МАТЕМАТИЧЕСКИМ АНАЛИЗ
В ВОПРОСАХ
И ЗАДАЧАХ
Издание четвертое, исправленное
Под редакцией В.Ф. БУТУЗОВА
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2001
УДК 517
ББК 22.16
М34
Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб, пособие/ В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин; Под ред. В.Ф. Бутузова. — 4-е изд., исправ. — М.: Физико-математическая литература, 2001. — 480 с. - ISBN 5-9221-0127-7.
Пособие охватывает все разделы курса математического анализа функций одной и нескольких переменных. По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями.
Третье издание вышло в 2000 г.
Для студентов высших учебных заведений.
Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор
А. И. Прилепко (Московский инженерно-физический институт)
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001
© В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая,
ISBN 5-9221-0127-7
Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин, 2000, 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинаров по математическому анализу на физическом факультете МГУ. Оно предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинающих вести семинары.
Пособие охватывает основные разделы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных. Оно не является сборником задач в обычном смысле слова. Как следует из его структуры, назначение пособия — помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. Материал каждого параграфа разбит, как правило, на четыре пункта.
В пункте “Основные понятия и теоремы” приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. Формулировки определений и теорем соответствуют в большинстве случаев учебнику В.А. Ильина и Э.Г. Позняка “Основы математического анализа”. Иногда после формулировки определения или теоремы даются поясняющие примеры или комментарии, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. Там, где это возможно, авторы старались указать на физическую интерпретацию и физические приложения математических понятий. В наибольшей мере это относится к главе XV.
В пункте “Контрольные вопросы и задания” содержатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение пункта — помочь студентам в самостоятельной работе над теоретическим материалом, дать возможность самостоятельно проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспектам лекций. Однако для решения задач часто достаточно понимания сути теоремы (или формулы). Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие этой сути. Из этого пункта преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к семинару по той или иной теме.
В пункте “Примеры решения задач” разобраны типичные примеры, демонстрирующие применение на практике результатов теории. При этом большое внимание уделяется обсуждению не только “технических приемов”, но и различным “тонким местам”, например уело-
4
Предисловие
виям применимости той или иной теоремы или формулы. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности темы. Иногда здесь дается ответ на вопрос, поставленный в предыдущем пункте.
Назначение последнего пункта — “Задачи и упражнения для самостоятельной работы” — определено его названием. Авторы ограничились определенным минимумом упражнений, достаточным для усвоения основных приемов решения задач по каждой теме. При подборе упражнений были использованы различные источники, в том числе широко известные задачники, например “Сборник задач и упражнений по математическому анализу” Б.П. Демидовича. Поэтому многие задачи данного пособия не претендуют на оригинальность, хотя среди них есть целый ряд новых. В конце книги даны ответы и указания к задачам и упражнениям.
При подготовке данной книги были устранены замеченные в предыдущем издании опечатки и неточности.
Начало и конец решений задач отмечаются соответственно знаками Д и А, а вместо слова “Указание” употребляется знак *.
Авторы надеются, что пособие поможет студентам в овладении методами математического анализа при их самостоятельной работе над предметом. Они также выражают надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримут все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания.
Авторы
ГЛАВА I
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Сравнение вещественных чисел
Основные понятия
1. Представление вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Любое вещественное число а представимо в виде бесконечной десятичной дроби:
а = ±<tq, а-[а2-..ап...,
где из двух знаков ± берется какой-то один: плюс — для положительных чисел, минус — для отрицательных чисел (знак плюс обычно не пишется).
Рациональные числа представимы в виде периодических, а иррациональные числа — в виде непериодических бесконечных десятичных дробей. Некоторые рациональные числа представимы в виде конечной дроби или, что то же самое, в виде бесконечной дроби с нулем в периоде. Такие числа допускают второе представление — в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например,
1/2 = 0,500...0... = 0,5(0), 1/2 = 0,4999...9... = 0,4(9).
При сравнении вещественных чисел будем пользоваться для таких рациональных чисел лишь первой формой записи (с нулем в периоде).
2. Правило сравнения вещественных чисел. Пусть а = = ±ао,	иЬ = ±&о, bib2...bn... — произвольные вещественные
числа, представленные в виде бесконечных десятичных дробей.
Числа а и b называются равными (а = Ь), если они имеют одинаковые знаки и справедливы равенства а*. = Ьк {к = 0,1,2,...). В противном случае считается, что а Ь.
При сравнении неравных чисел а и b рассмотрим три случая:
1)	а и b — неотрицательные числа. Так как а Ь, то существует натуральное п (или п = 0) такое, что а/. = bk (к = 0,1,...,я — 1) и ап Ьп. Будем считать, что а > Ь, если ап > Ьп, и а < Ь, если ап <Ьп;
2)	а — неотрицательное, b — отрицательное число. Будем считать, что а > Ь;
3)	а и b — отрицательные числа. Будем считать, что а > Ь, если |а| < |Ь|, и а < Ь, если |а| > |Ь|.
6
Гл. I. Вещественные числа
3. Некоторые числовые множества. Вещественные числа можно изображать точками на координатной прямой *). Поэтому множество всех вещественных чисел называют числовой прямой, а сами числа — точками, и при рассмотрении числовых множеств часто пользуются их геометрической интерпретацией.
Будем использовать следующие обозначения и терминологию:
N — множество всех натуральных чисел-,
Z — множество всех целых чисел-,
R = (—оо, +оо) — множество всех вещественных чисел (числовая прямая);
[а, Ь] — сегмент (отрезок), т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам a х Ь;
(а,Ь) — интервал, т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < 6;
[а,Ь), (а,6] — полуинтервал (полусегмент), т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих соответственно неравенствам а х < Ь, а < х Ь;
[а, 4-оо), (а, 4-оо), (—оо,а], (—оо,а) — полупрямая, т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих соответственно неравенствам а х < 4-оо, а < х < 4-оо, —оо < х а, — оо < х < а;
сегмент, интервал, полуинтервал, полупрямую и числовую прямую будем называть также промежутком-,
окрестность точки с — любой интервал, содержащий точку с;
е-окрестность точки с— интервал (с-е,с4-е), где е > 0.
Контрольные вопросы и задания
1.	В чем состоит различие бесконечных десятичных дробей, представляющих рациональные и иррациональные числа?
2.	В каком случае два числа называют равными?
3.	Верны ли равенства 0,41(9) = 0,42(0) — 0,42?
4.	Сформулируйте правило сравнения двух неравных чисел.
Примеры решения задач
1.	Доказать, что для любых вещественных чисел а и b (а < Ь) найдется рациональное число с такое, что а < с < Ь.
Л Пусть для определенности числа а и & положительны, т. е.
а = а0, а1а2-..а/!... >0, b = bo, b^-.-bk--- > 0.
Если какое-нибудь из них является рациональным числом, выражающимся дробью с периодом 9, то запишем его в виде дроби с периодом 0. По условию а < Ь. Это означает, что существует неотрицательное целое число п такое, что = (ц, (к = 0,1,..., п — 1) и ап < Ьп.
*) Напомним, что координатной прямой называется прямая, на которой выбра-ны точка, являющаяся началом отсчета, масштабный отрезок и положительное направление.
§2. Точные грани числового множества
7
Поскольку цифра 9 не является периодом числа а, найдется натуральное число г > п такое, что аг 9.
Рассмотрим рациональное число с = cq, cic2...c,, где с* = ак {к = 0,1, ...,г - 1), сг = аг 4- 1. Число с больше а, так как q = ак (к = 0,1,...,г — 1), сг = аг + 1 > аг, и меньше Ь, так как с* =	= Ьк
(к = 0,1,..., п — 1), сп = ап <Ьп. Итак, существует рациональное число с такое, что а < с < Ь. А
2.	Доказать, что для любых вещественных чисел а и b (а < 6) найдется иррациональное число а такое, что а < а < Ь.
Л При предположениях примера 1 рассмотрим число
а = со, cic2...ct010010001... 000^1000^01... п п4-1
Эта дробь, очевидно, непериодическая (объясните, почему), т. е. а — иррациональное число. Это число больше а, так как с& = ак (к = = 0,1, ...,г - 1), сг = аг + 1 > аг, и меньше Ь, так как q = bk (к = 0,1, ...,п - 1), сп = ап < Ьп. Итак, существует иррациональное число а такое, что а < а < Ь. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Докажите, что >/8 есть иррациональное число.
2.	Представьте дробь 31,2 (88) в виде обыкновенной.
3.	Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, не имеющую цифры 9 в периоде, можно получить как результат деления двух натуральных чисел.
4.	Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, имеющую в периоде цифру 9, нельзя получить как результат деления двух натуральных чисел.
5.	Докажите, что для любых двух вещественных чисел а и b (а Ь) существует бесконечно много как рациональных, так и иррациональных чисел, заключенных между ними.
6.	Докажите транзитивность знаков =, >, т. е.: а) если а = Ъ и b = с, то а = с; б) если а > Ь и Ь > с, то а > с.
7.	Докажите, что для любого числа а справедливы неравенства — |а| а lol-
в. Докажите, что если х у, то — х —у.
§ 2. Точные грани числового множества.
Применение символов математической логики
Основные понятия и теоремы
1. Об использовании некоторых логических символов.
Пусть X — непустое множество вещественных чисел.
Определение. Множество X называется ограниченным сверху {снизу), если существует число М (т) такое, что для любого числа
8
Гл. I. Вещественные числа
х из множества X выполняется неравенство х М (х т). Число М (т) называется верхней (нижней) гранью множества X.
В этом определении, а также в формулировках многих других определений и теорем используются слова “существует” и “для любого”. Для краткости записи вместо этих слов будем использовать логические символы 3 и V.
Символ 3 называется квантором существования, а символ V — квантором всеобщности. Тот факт, что число х принадлежит (не принадлежит) множеству X, будем обозначать так: х € X (х £ X).
С помощью указанных символов определение ограниченного сверху множества можно записать так: множество X называется ограниченным сверху, если ЗМ е R такое, что Ух е X выполняется неравенство х М, или (еще более кратко)
ЗМ е R УхеХ: х^М.	(1)
Использование кванторов не только сокращает запись, но и позволяет весьма простым способом строить отрицания предложений (определений, утверждений), записанных с помощью кванторов. Проиллюстрируем этот способ на примере отрицания определения ограниченного сверху множества. Иначе говоря, сформулируем определение неограниченного сверху множества. Неограниченность сверху множества X означает: не существует числа М такого, что для любого х & X выполняется неравенство х М. Это значит, что для любого числа М существует х & X, для которого х > М. Поэтому определение неограниченного сверху множества с помощью кванторов можно записать так: множество X называется неограниченным сверху, если
WeR ЗхеХ: х > М.	(2)
*Сравнивая (1) с (2), мы видим, что для построения отрицания предложения (1) нужно квантор 3 заменить на V, а квантор V на 3 и стоящее после двоеточия неравенство заменить ему противоположным.
Это правило можно использовать и для построения отрицаний любых других утверждений, содержащих кванторы 3 и V.
2. Точные грани числовых множеств.
Определение. Число х называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества X, если: 1°) Ух € Х\ х х; 2°) Ух < х Зх € X: х > х.
Условие 1°) означает, что х — одна из верхних граней множества X, а условие 2°), что х — наименьшая из верхних граней множества X, т. е. никакое число х, меньшее х, уже не является верхней гранью. Точная верхняя грань множества X обозначается supX.
Аналогично определяется точная нижняя грань *) ограниченного снизу множества X; она обозначается inf X.
*)В некоторых учебниках по математическому анализу точная верхняя (нижняя) грань называется просто верхней (нижней) гранью.
§2. Точные грани числового множества
9
Теорема. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Если множество X не ограничено сверху (снизу), то пишут supX = Too (infX = -оо).
Множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу, т. е.
ЗМ, т Ух £ X: т х М.
Контрольные вопросы и задания
1.	Напишите с помощью кванторов определение ограниченного снизу множества. Постройте отрицание этого определения, пользуясь правилом построения отрицаний.
2.	Дайте определение точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества.
3.	Сформулируйте теорему о существовании точных граней числового множества.
4.	Докажите единственность точных граней, т. е. что ограниченное сверху (снизу) множество имеет только одну точную верхнюю (нижнюю) грань.
5.	Покажите, что точные грани могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Приведите примеры числовых множеств X, у которых: a) supX G X; б) supX X; в) inf Л Е X: г) infX X. Имеет ли множество X в случаях а) и б) наибольшее, а в случаях в) и г) наименьшее число?
6.	Что означает символическая запись: a) sup Л = +оо; б) inf X = —оо?
7.	Какое множество называется ограниченным?
8.	Докажите, что следующее определение ограниченного множества эквивалентно (3): множество X называется ограниченным, если ЗА > О Ух Е X: |х| А.
9.	Применяя правило построения отрицании к приведенному в задании 8 определению, сформулируйте определение неограниченного множества.
Примеры решения задач
1.	Найти точную верхнюю грань интервала (0,1).
Л Число 1 является верхней гранью интервала (0,1), так как Ух € € (0,1): х < 1. Более того, Ух < 1 3а € (0,1): а > х. Действительно, если х 0, то У а Е (0,1): а > х. Если х > 0, то, как показано в примере 1 § 1, на интервале (х,1) найдется рациональное число а такое, что х < а < 1, т. е. За е (0,1): а > х. Таким образом, для числа 1 выполнены оба условия определения точной верхней грани. Следовательно, sup (0,1) = 1. Заметим, что найденная точная грань не принадлежит интервалу (0,1), т. е. sup (0,1)	(0,1), в то время
как для промежутка (0,1] sup (0,1] = 1 € (0,1]. А
2.	Найти точные грани множества всех правильных рациональных дробей т/п (т,п € N,m < п) и показать, что это множество не
10
Гл. I. Вещественные числа
имеет наименьшего и наибольшего элементов.
А Пусть X — множество всех правильных рациональных дробей т/п. Так как Ут,п Е N: т/п > 0, то число 0 — нижняя грань множества X. Более того,
VJ>0 ЭаеХ: а < х.	(4)
Действительно, если х > 1, то правильная рациональная дробь а = = 1/2 удовлетворяет условию (4). Если 0 < х < 1, то число х можно записать в виде бесконечной десятичной дроби:
5 = 0, XiX2-..Xk-..,
причем Эп такое, что хп =4 0. Рациональное число
а = 0, xiX2-..xn-i(xn — 1)1
согласно правилу сравнения вещественных чисел удовлетворяет неравенствам 0 < а < х < 1, т. е. является правильной рациональной дробью и удовлетворяет условию (4).
Таким образом, для числа 0 выполнено и второе условие определения точной нижней грани числового множества. Итак, inf X = 0.
Так как множество X содержит только правильные дроби, т. е. т < п, то т/п < 1. Значит, число 1 — верхняя грань множества X. Более того, V5 < 1 Эт/п & X: т/п > х. Действительно, как было показано в примере 1 § 1, существует рациональное число х^ такое, что х < Xi < 1. Так как Xi < 1, то Xi — правильная дробь: Xj = = т/п (т < п), т. е. Xi Е X. Следовательно, для числа 1 выполнены оба условия определения точной верхней грани числового множества. Итак, supX = 1.
Однако inf X = 0 X, поскольку т/п = 0 лишь при т = 0, но 0 N. Значит, множество X не имеет наименьшего элемента. Точно так же supX = 1 X, поскольку т/п = 1 лишь при т = п, что противоречит требованию правильности дроби. Значит, множество X не имеет наибольшего элемента. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
9.	Пусть X и Y — непустые множества вещественных чисел, причем X ограничено сверху, а У содержится в X. Докажите, что У также ограничено сверху и sup У supX.
10.	Найдите точные грани множества рациональных чисел х, удовлетворяющих неравенству х2 < 2.
11.	Пусть .4 — множество чисел, противоположных по знаку числам из множества В. Докажите, что: a) inf А — — sup В; б) sup А = — inf В.
§3. Арифметические операции над числами
11
§ 3.	Арифметические операции над вещественными числами
Основные понятия
1.	Сложение и умножение рациональных чисел. Для рациональных чисел известны следующие правила сложения и умножения:
пц । mi _ т^пз+т^пу ту m2 _ mimi П1 П2	П1П2 ’ П1 П2 П1П2
Определим операции сложения и умножения для любых вещественных чисел.
2.	Сложение вещественных чисел. Пусть хну — произвольные вещественные числа, а ад и у-[ — любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
Xi х, 1/1 у.	(2)
Далее символ (xi + yi)r будет означать, что числа х} и у± складываются по правилу (1) сложения рациональных чисел. Рассмотрим множество {(#1 + У1)г} всевозможных сумм рациональных чисел Xi и yi, удовлетворяющих условию (2). Это множество ограничено сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань.
Суммой вещественных чисел х и у называется sup{(xi +yi)r}-
3.	Умножение вещественных чисел. Пусть х и у — произвольные положительные вещественные числа, а х± и уу — любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < х, 0 < yi у. Далее символ	будет означать, что числа Xi и yi перемножа-
ются по правилу (1) умножения рациональных чисел. Рассмотрим множество {(ж1У1)т} всевозможных произведений таких рациональных чисел. Это множество ограничено сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань.
Произведением положительных вещественных чисел х и у называется sup{(a:ii/1)r}.
Произведение вещественных чисел любого знака определим следующими правилами:
1°) х - 0 = 0  х = 0;
2О\	_ Г |ж| • |у|, если знаки х и у одинаковы,
' ХУ — S _|д.| .	если знаки х и у различны.
Контрольные вопросы и задания
1	. Сформулируйте правила сложения и умножения двух любых вещественных чисел. Докажите, что множества {(xi + t/i)r} и {(®ij/i)г}, фигурирующие в этих правилах, ограничены сверху.
12
Гл I Вещественные числа
2	Докажите, что правило сложения вещественных чисел обладает свойствами а) х + у — у + х (переместительное свойство), б) (х + у) + z = = х + (у + z) (сочетательное свойство)
3	Докажите, что правило умножения вещественных чисел обладает свойствами а) ху = ух (переместительное свойство), б) (xy)z = x(yz) (сочетательное свойство)
Примеры решения задач
1. Доказать, что сложение двух рациональных чисел по правилу сложения вещественных чисел дает тот же результат, что и сложение их по правилу (1) для рациональных чисел
А Пусть х и у — произвольные рациональные числа, (х 4- у)г — их сумма, полученная по правилу сложения рациональных чисел, (х 4-4- у) — сумма, полученная по правилу сложения вещественных чисел, т е х 4- у = 8ир{(ж! 4- j/i)г}, где Ж1 и j/i — любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам х^ х, yi у Нужно доказать, что х + У — (ж + у)г, или
sup{(x1 4- J/i)r} = (х + у)г
Для этого согласно определению точной верхней грани множества нужно показать, что
1°) V(a:i 4- У1)г € {(^1 + J/i)r) Cd + У1)г (ж + у)г,
2°) Ух < (х 4- y)r 3(aj! 4- yi)r е {(ал 4- Oi4-yi)r >ж
Так как xi х и у\ у, то (х^ 4- yt)r < (а: 4- у)г (для рациональных чисел это свойство неравенств известно) Следовательно, условие 1°) выполняется Покажем, что выполнено условие 2°)
Пусть х — произвольное число, меньшее (ж 4- у)г Между числами х и (.г 4- у)г найдется рациональное число а (см пример 1 § 1) х < < а < (х 4- у)г Положим 6 = (х 4- у)г — а (вычитание производится по правилу вычитания рациональных чисел) Тогда а = (ж 4- у)г — 6, и так как 6 > 0, то существует такое натуральное п, что 2/п < 3
Рассмотрим теперь рациональные числа х^ = х — 1/п и у\ = у — — 1/п Так как х^ < х и у-[ < у, то (ж1 4-i/i)r € {(si 4- yi)r} При этом (ял 4- yi)r = (ж 4- у)г ~ ^1п >(х + у)г — 3 = а, поскольку 2/п < 6
Итак, (яд 4- yi)r > а > х, т е (ял 4- yi)r > х Тем самым мы показали, что выполнено условие 2°) А
2. Доказать, что Ух х 4- (—ж) = О
А Пусть ял и yi любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам ял х, yi —х Нужно доказать, что sup{(xi 4- г/i )r } = = 0, т е
1°) \/(ял 4- yi)r е {(ал 4- У1)г} (xi 4- yi)r О,
2°) Ух < 0 3(ял 4- j/i)r £ {(ал +2/i)r}	(ж1+У1)г>5
Так как у\ — х, то — j/i is х (это легко установить, используя правило сравнения вещественных чисел, см упр 8 к § 1) Из неравенств ял х и х —j/i в силу транзитивности знака следует, что
$4 Метод математической индукции
13
Х1 —yi и, значит, (я?! 4- У1)г 0 Тем самым выполнено условие 1°)
Покажем, что выполнено условие 2°) Пусть х — произвольное отрицательное число Так как —х > 0, то найдется такое натуральное п, что 1/10" < -ж, т е -1/10” > х Представим число х в виде бесконечной десятичной дроби (будем для определенности считать, что х > 0)
X = Хо, ХгХ2 хп
Из правила сравнения вещественных чисел следует, что
хг = х0, Xtx2
хп
Ж,
1/1	^0, *1'1^2 Хп
Тем самым (ai! + j/!)r е {(aii 4-1/1 )г} При этом (ан 4- yi)r = -1/10" > > х, т е мы доказали, что выполнено условие 2°) А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
12.	Докажите, что умножение двух рациональных чисел по правилу умножения вещественных чисел дает тот же результат, что и умножение их по правилу (1) для рациональных чисел
13.	Докажите, что Vx х 4- 0 = х
14.	Докажите, что Vt, у существует единственное число z такое, что х = = у 4- z (z называется разностью чисел хну z = х — у)
15.	Докажите, что Vx х 1 = х
16.	Докажите, что Vx / 0 Эх' хх — 1
17.	Докажите, что Vx и V?/ / 0 существует единственное число z такое, что х = yz (z называется частным чисел х и у z = х/у)
18.	Докажите, что Vz, у, z (x + y)z — xz + yz
19.	Докажите, что если х > у, то Vz х + z > у + z
20.	Докажите, что если т > у, то Vz > 0 xz > yz
21.	Докажите справедливость неравенств а) 4- г/|	|х| 4- |г/|, б) |х — у\
> 1®1 - 1г/1
22.	Пусть X, Y — непустые ограниченные множества вещественных чисел, а Т — множество всевозможных сумм х 4- у, где х G X, у € Y Докажите, что множество Т ограничено и что a) supT = supX 4-sup У, б) inf Г = inf X 4-inf У
23.	Пусть X Y — непустые ограниченные множества неотрицательных вещественных чисел, а В — множество всевозможных произведений ху, где х 6 X, у € У Докажите, что множество В ограничено и что a) sup В = sup X sup У, б) inf В — inf X inf У
24.	Вычислите три первые значащие цифры суммы а) | 4- л/З б) л/З 4- д/7
25.	Найдите три первых десятичных знака произведения а) i\/3, б) л/З х 7
26.	Пусть А и В — непустые множества вещественных чисел, у которых каждое число из А меньше любого числа из В и для любого е > 0 существуют х € А и у € В такие, что у — х < е Докажите, что sup А = = inf В
14
Гл I Вещественные числа
§ 4.	Метод математической индукции
Основные понятия
Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числа п начиная с по, достаточно доказать, что-
а)	это утверждение верно для п = п0;
б)	если данное утверждение справедливо для некоторого натурального числа к по, то оно верно также и для следующего натурального числа к 4-1.
Такой метод доказательства называется методом математической индукции.
Контрольные вопросы
1	В чем состоит метод математической индукции7
2	Методом математической индукции докажите, что Vn € N п 2п-1
Примеры решения задач
1. Доказать, что Уп € N и Уж > — 1 справедливо неравенство (неравенство Бернулли)
(1 + х)п 1 + пх.	(1)
Д Докажем неравенство (1) методом математической индукции Если п = 1, то неравенство (1) справедливо, поскольку обращается в верное равенство. Предположим, что соотношение (1) справедливо для натурального числа к и \/х > —1:
(1 + х)к 1 + кх.	(2)
Так как х > — 1, то 1 + х > О Умножим неравенство (2) на положительное число 1 + х:
(1 + z)*+1	1 + кх + х + кх2
Отбрасывая неотрицательное слагаемое кх2 в правой части, получаем неравенство
(1+ж)^1	1 + (к + 1)х.
Мы доказали, что неравенство (1) справедливо для натурального числа Ar + 1 и > — 1 Тем самым доказано, что соотношение (1) справедливо Уп е N и Уж > —1. А
2. Доказать, что для любых п положительных чисел ylf у%,..., уп, удовлетворяющих условию
УГУ? -Уп = 1,	(3)
имеет место соотношение
У1 +у2 + +Уп п.
(4)
§4 Метод математической индукции
15
Л При п = 1 из условия (3) следует, что yi = 1 Поэтому соотношение (4) выполнено.
Пусть при п = к из условия (3) следует соотношение (4) и пусть к+ 1 положительных чисел j/i, т/2, ЗЛ+i удовлетворяют условию (3). Докажем, что для них выполнено соотношение (4). Если все эти числа равны 1, то их сумма равна к + 1 и соотношение (4) имеет место. Если же среди указанных чисел есть хотя бы одно, отличное от 1, то обязательно найдется еще одно число, не равное 1. При этом если одно число больше 1, то другое меньше 1. Не умаляя общности, предположим, что ук > 1, Ук+i < 1- Произведение к чисел j/i, у2,. , yk-i, УкУк+i в силу условия (3) равно 1. Поэтому по индуктивному предположению
У1+У2+  + 2/fc-i + УкУк+i к.
Отсюда получаем
У1+1/2+ +Ук+1+УкУк+1 к+ ук+Уь+1, или
У1 + У2 +	+ Ук+1 к + 1+ ук + Ук+1 - УкУк+1 - 1 =
= к 4- 1 + (1 - ук+1)(Ук - 1) к + 1,
т. е. соотношение (4) выполнено при п = к + 1 Таким образом, для любых п положительных чисел, удовлетворяющих условию (3), выполнено соотношение (4). А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Применяя метод математической индукции, докажите, что Vti G .W справедливы следующие равенства
27.	1 + 2 + 3 +	4- ti = 0,5ti (71 4-1)
28.	I2 + 22 + З2 +	4- п2 = | п(п 4- 1)(2тг + 1)
29.	I3 4-23 4-З3 4-	4-тг3 = 0,25п2(п + 1)2
Методом математической индукции докажите справедливость следующих неравенств
30	1 3 2п - 1	1
'2 4 2п ч/2п + 1
31.	1 4- -Ь + 1 +	+ 1 >	2)
у/2 ч/З	ч/й
32.	г/Ч-1 > (п + 1)" (п 3)
33.	£1_±_£2_±—+ :Гп- tyxixz х^ при хк 0, к = 1, , п (среднее геометрическое п неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического)
34.	у/а 4- д/а -I-	4- \/а 0,5(1 4- у/4а 4-1) Vo > О
п
ГЛАВА II
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1.	Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел последовательности
Основные понятия и теоремы
Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие некоторое число хп, то говорят, что определена числовая последовательность (или просто последовательность) х^,Х2,Хз, ...,хп,... Кратко ее обозначают символом или (in). Число хп называется членом (элементом) последовательности, а /г — номером члена.
Последовательности {хп + уп}, {хп-уп}, {хпуп}, {хп/уп} называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным последовательностей {жп} и {у,,} (для частного уп 0).
Определение. Последовательность {жп} называется ограниченной, если ЭМ > 0 такое, что Vn |жп| М.
С геометрической точки зрения это означает, что все члены последовательности находятся в некоторой окрестности (М-окрестности) точки х = 0.
Определение. Последовательность {жп} называется неограниченной, если УМ > 0 Зп: |яг„| > М.
Определение. Число а называется пределом последовательности {хп}, если Уе > 0 3IV € N такое, что Уп > N |хп — а| < е. Обозначение: lira хп = а. п—>оо
С геометрической точки зрения это означает, что в любой е-ок-рестности точки а находятся все члены последовательности начиная с некоторого номера (зависящего, вообще говоря, от е) или, что то же самое, вне любой £-окрестности точки а находится лишь конечное число членов последовательности.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, — расходящейся.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2 (необходимое условие сходимости последовательности). Сходящаяся последовательность ограничена.
§1. Предел последовательности
17
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определения: а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности; в) предела последовательности. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.
2.	Эквивалентно ли определение предела последовательности такому определению: lim хп = а, если Vs > О ЗК > 0 (не обязательно натуральное) п—>оо
такое, что Vn > К [хп — а| < е?
3.	Покажите на примере, что номер N, фигурирующий в определении предела последовательности, зависит, вообще говоря, от е.
4.	Пусть последовательность {хп} и число а удовлетворяют условию: ЗЛГ такой, что Vs > 0 и Vn > N |хп — а| < е. Всякая ли сходящаяся к а последовательность удовлетворяет этому условию? Какова геометрическая интерпретация этого условия?
5.	Пусть lim хп = а.
п—>оо
а)	Могут ли все члены последовательности быть положительными (отрицательными), если а = О?
б)	Может ли последовательность иметь бесконечно много отрицательных (равных пулю) членов, если: а > 0; а 0?
в)	Докажите, что lim xn+i — a, lim хп+2 = а. п—>оо	п—>оо
г)	Докажите, что {хп} ограничена.
6.	Пусть в некоторой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности {хп}-Следует ли из этого условия, что: a) lim хп = п—юо
= а; б) никакая точка вне этой окрестности не является пределом последовательности {х„}; в) {in} ограничена?
7.	Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности {i„}. Следует ли отсюда, что: a) lim хп = а; б) {т„} ограничена?	п-юо
8.	Какая последовательность называется: а) сходящейся; б) расходящейся?
9.	Пусть последовательность {тп} является ограниченной (неограниченной). Следует ли из этого условия, что она сходится (расходится)?
10.	Пусть последовательность сходится. Является ли сходящейся последовательность, которая получается из исходной, если:
а)	из нее удалить конечное число членов, а оставшиеся заново перенумеровать в порядке их следования;
б)	к ней добавить конечное число членов, перенумеровав члены последовательности в порядке их следования;
в)	в ней изменить произвольным образом конечное число членов?
11.	Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.
12.	Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности.
Примеры решения задач
1.	Сформулировать на языке “е — N” определение того, что число а не является пределом последовательности {жп} (ayl lim и дать геометрическую интерпретацию этого определения.
Л По определению предела последовательности а = lim хп, если
18	Гл. II. Предел последовательности
Vs > О ЗА’ такое, что Vn > АГ |жп — а| < е. Пользуясь правилом построения отрицаний, получаем: а / lim хп, если 3s > 0 такое, что п—>оо
VN Эп > N-. [х„
Более подробно это можно записать так: а lim если Зе > О п—>оо
такое, что
для N = 1 Зги > 1: |шП1 — а| s,
для N = 2 Зп2 > 2: |жП2 — а\ е,
для N = 100 Зпюо > ЮО: [жюо - а|
Таким образом, а lim хп, если существуют е > 0 и последовательность номеров {пдг} (N = 1,2,3,...) таких, что n,v > N и |xnjv — — а\ е.
Геометрическая интерпретация этого определения: а lim хп, п-+оо если существует некоторая s-окрестность точки а, вне которой находится бесконечно много членов последовательности. А
2.	Доказать, что последовательность хп = 2”^-1^ не ограничена. Д В силу определения неограниченной последовательности нужно показать, что УМ >0 Зп е N, для которого |a:n| > М. Зададим произвольное М > 0 и возьмем любое четное число п, удовлетворяющее неравенству п > log2 М. Для такого п имеем
хп = 2” > 210^м = М,
что и требовалось доказать. А
3.	Пользуясь определением предела последовательности, доказать, ,.	5-3"	_
что lim ——- = 5.
П—>СО 3” — 2
Д Зададим произвольное е > 0 и рассмотрим модуль разности между n-м членом последовательности и числом 5:
15-3” г I _ 10
I Зп - 2	3 ~ Зп - 2
В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер N такой, что Уп > N выполняется неравенство
10
Зп - 2
Для отыскания номера N решим неравенство (1) относительно п. Получим
п > Из (у + 2) •	(2)
Из неравенства (2) следует, что в качестве N можно взять целую часть числа log3 + 2^ :
* = [Мт + 2)1-
§1. Предел последовательности
19
В самом деле, если п > N, то
п > [1оёз (у + 2)] + 1 > 1о& (у + 2),
т. е. справедливо неравенство (2), а значит, Vn > N выполняется и неравенство (1). ^Отметим, что при е > 10 имеем N = [log3(-^ + 2^j = = 0, и поэтому неравенство (1) справедливо Vn € N.^
Итак, для произвольного s > 0 мы указали такой номер N =
= ^log3(~^ + 2^, что Vn > N выполняется неравенство
15*3	~ I
3^2"5|<£-
Это и означает по определению предела последовательности, что
..	5  3:
пт -------
4. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что lim -i= = 0.
п—»оо уп!
А Зададим произвольное s > 0. Нужно указать номер N такой, что Vn > N выполняется неравенство
1/х/гИ < £.
(3)
Мы не будем стремиться к тому, чтобы найти наименьший номер N, начиная с которого выполняется неравенство (3). Укажем номер “с запасом”, решая более простое неравенство
2/п < £.
(4)
Так как Vn g N п! > п(п/4) (докажите это), то Vn g N справедливо неравенство
1/х/гг! < 2/п,	(5)
и поэтому неравенство (3) является следствием неравенства (4). Решая относительно п неравенство (4), получаем
п > 2/е.
(6)
Положим N = [2/г]. Если п > N, то п [2/е] + 1 > 2/е, т. е. выполняется неравенство (6), а следовательно, неравенства (4) и (3). Таким образом, Vs > 0 ЭЛ" (N = [2/s]) такой, что Vn > N 1/Vn\ < s. Тем самым доказано, что lim i = 0. А
П—fOO 711
Рассмотренные примеры показывают, каким образом следует доказывать, что lim хп = а, пользуясь определением предела последо-п—>оо
вательности. Надо составить выражение |жп — а| и подобрать (если
20
Гл II Предел последовательности
это целесообразно) последовательность {уп} такую, что, во-первых, Vn |жп — а| уп и, во-вторых, неравенство
Уп < s	(7)
при произвольном е достаточно просто решается относительно п Пусть решение неравенства (7) имеет вид
п > /(е),
где /(е) >0 Тогда в качестве N можно взять [/(e)] (если при этом окажется, что [/(e)] = 0, то неравенство (7) справедливо Vn) Таким образом, Vn > N = [/(e)] будет выполнено неравенство \хп — а] <6, а это и означает по определению предела последовательности, что lim хп = а
п—>оо
5. Известно, что lim хп = 0 и хп 0 Vn Доказать, что при а > 0 п—>оо
hm х“ ~ 0
п—юо
Д По условию lim хп = 0, т е Vei > 0 ЗМ такое, что Vn > N\ справедливо неравенство
|ж„| < £1	(8)
Требуется доказать Vs > 0 ЭЛ’ такое, что Vn > N |ж“| < е, или, что равносильно,
Ы<Е1/а	(9)
Зададим произвольное е > 0 и положим Ei — е1/01 (si > 0) Для этого ЗЛГх такое, что Vn > N\ справедливо неравенство (8), т е |жп| < е1/" Таким образом, Уп > N = справедливо неравенство (9) Тем самым доказано, что lim = 0 А п—>оо
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1. Ограничены ли последовательности а) хп = (—1)п~, б) хп = 2п, в) хп = Inn, г) х„ = sinn, д) {i„} = 1, 0, 2, 0, 3, 0,4, 0, 5, 0, 6, 7 Ответы обоснуйте
2. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что
а) hm Ы12 = о, б) hm = 2,	в) hm = 0,
п—>ОО ft	71—>ОО п + 3	n—>оо ft
г) hm logn 2 = 0, д) hm 1	= 0, е) hm (0,8)" = 0,
7i—>cxj	n—>cxj 71	271 -f- 1	n—>oo
ж! hm 2n+5 62 = 5.	3) hm	= 0
в) hm Xn = a2
n—>OO 3n + 6n	n—>oo ft 4- 1
3.	Известно, что hm xn — а Докажите, что n—>oc
a) hm (i„+i - in) = 0,	6) hm |xn| = |a|,
- ' - -	n —ЮО
4.	Пусть hm |a:n| = |a| Следует ли отсюда, что hm хп = а7 п—>оо	п—>оо
5.	Докажите, что последовательность {хп} расходится, если
а) Хп = П, б) Хп = Inn, в) хп = п^-1)"
§2 Бесконечно малые
21
6.	Пусть последовательность {х„} сходится и М = sup{a:n}, т = mf{a:n} Докажите, что либо Зп такое, что хп = Л/, либо 3k такое, что х^ = т, либо Зп,к такие, что хп = М, хь = т Приведите примеры последовательности всех трех типов
§ 2. Бесконечно малые
и бесконечно большие последовательности
Основные понятия и теоремы
Определение Последовательность {з:п} называется бесконечно малой если hm хп — О п—>оо
Определение Последовательность {жп} называется бесконечно большой, если V.4 > О EW такое, что Vn > N )хп > А]
С геометрической точки зрения это означает, что в любой (сколь угодно большой) окрестности нуля находится лишь конечное число членов последовательности, а вне ее — бесконечно много членов
Если последовательность {жп} бесконечно большая, то пишут hm хп = оо Если при этом начиная с некоторого номера все члены бесконечно большой последовательности положительны (отрицательны), то пишут hm хп = +оо (—оо) Отметим, что бесконечно большая п—>о©
последовательность не является сходящейся и символическая запись hm хп — +оо (—оо) означает только, что последовательность {тп} П-+ОО
является бесконечно большой, но вовсе не означает, что она имеет предел
Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, поскольку вне любой окрестности нуля имеется член последовательности (даже все члены начиная с некоторого номера) Обратное неверно неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой
Теорема 3 Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью
Теорема 4 Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью
Следствие Произведение конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая
Теорема 5 Если последовательность {жп} бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера п, определена последовательность {1/хп}, которая является бесконечно малой Если последовательность {ж„} бесконечно малая иЧп хп 0, то последовательность {1/ж„} является бесконечно большой
22
Гл 11 Предел последовательности
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте определения а) бесконечно малой последовательности, б) бесконечно большой последовательности Дайте геометрическую интерпретацию этих определений
Сформулируйте на языке “е — N” отрицание того, что последовательность является а) бесконечно малой, б) бесконечно большой Дайте геометрическую интерпретацию этих отрицаний
Дайте определение, соответствующее символической записи lim хп = = —оо	"-+00
Пусть бесконечное число членов последовательности находится а) в любой окрестности нуля, б) вне любой окрестности нуля Следует ли из условия а) (из условия б)), что последовательность является бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной, неограниченной7 Следует ли из условия а) (из условия б)), что последовательность не является бесконечно малой, бесконечно большой7
Известно, что последовательность {хп} является а) бесконечно малой, б) бесконечно большой Следует ли отсюда (при условии хп 0 Vn), что последовательность {1/лп} является а) бесконечно большой, б) бесконечно малой7
а) Является ли бесконечно малая последовательность ограниченной7 б) Является ли бесконечно большая последовательность неограниченной, сходящейся7
в) Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой7
Известно, что уп 0 Vn и a) hm хп = lim уп = 0, б) lim хп = п—юо	п—юо	п—юо
= lim уп = сю Может ли последовательность {хп/уп} быть бесконечно п—юо
большой, бесконечно малой, сходящейся, расходящейся, но не бесконечно большой7 Приведите примеры
Докажите, что сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой Верно ли аналогичное утверждение для бесконечно больших последовательностей7 Ответ обоснуйте
Докажите, что если lim хп = сю, то, начиная с некоторого номера п,
п —юо
определена последовательность {1/тп}, причем lim (1/хп) = О п —>оо
Пусть {х„ + i/n} — бесконечно малая последовательность Следует ли отсюда, что {in} и {t/n} — бесконечно малые последовательности7 Ответ обоснуйте
Пусть {xnt/n} — бесконечно малая последовательность Следует ли отсюда, что хотя бы одна из последовательностей {i„} и {i/n} бесконечно малая7 Ответ обоснуйте
Докажите, что если хп уп и hm уп = +сю, то hm хп = +сю п—юо	п—юо
Примеры решения задач
1.	Сформулировать на языке е — N” отрицание того, что последовательность является бесконечно большой Дать геометрическую интерпретацию этого отрицания
Д Согласно определению бесконечно большой последовательности
§2 Бесконечно малые
23
lim хп = оо, если V.4 > О EW такое, что Vn > N ]ж„] > А Поль-п-юо
зуясь правилом построения отрицаний, получаем, что последовательность {жп} не является бесконечно большой, если ЗА > 0 такое, что VAr Зп > N |жп| А С геометрической точки зрения это означает, что найдется некоторая окрестность нуля (Л-окрестность), в которой находится бесконечно много членов последовательности ▲
2.	Доказать, что последовательность {ап} является а) бесконечно большой при |а| > 1, б) бесконечно малой при |а| < 1
Д Пусть |а| > 1 Докажем, что последовательность {ап} удовлетворяет определению бесконечно большой, т е V.4 > О ЗА' такое, что Vn > N выполняется неравенство
|а|” > А	(1)
Зададим произвольное А > 0 Для отыскания номера N решим неравенство (1) относительно п Получим
п > log|a| А	(2)
Положим N = [log|a| А] Тогда Vn > N выполняется неравенство (2), а значит, и (1) Таким образом, V.4 > О EW = [Iog|a| А] такое, что Vn > N |а|п > А Это и требовалось доказать
б) Пусть ]а| < 1 Если а = 0, то ап = 0 Vn и, следовательно, {а”} бесконечно малая Пусть а 0 Тогда ап = ((1/а)п)-1 Так как |1/а| > > 1, то последовательность {(1/а)”} является бесконечно большой, а последовательность ((1/а)п)-1 бесконечно малой в силу теоремы 5 Таким образом, последовательность {ап} бесконечно малая при |а| < С 1 ▲
3.	Пусть хп =	Доказать, что последовательность {жп}
а)	неограниченная, б) не является бесконечно большой
Д а) Докажем, что удовлетворяет определению неограниченной последовательности В самом деле, VM > 0 член последовательности с номером п = 2([М] + 1) равен п и больше М Это и означает по определению, что {хп} — неограниченная последовательность
б)	Докажем, что последовательность {жп} не является бесконечно большой Действительно, в интервале (—2,2) находятся, очевидно, все члены последовательности с нечетными номерами, а значит, в этом интервале находится бесконечно много членов последовательности {жп} Отсюда следует, что {жп} не является бесконечно большой А
4.	Пусть {тп} — сходящаяся, a {i/n} — бесконечно большая последовательность Доказать, что последовательность {хп + уп] бесконечно большая
Д Докажем, что последовательность {тп+уп} удовлетворяет определению бесконечно большой, т е VA > О 4ЛГ такое, что Vn > N l^n +2/п| > А Так как {тп} сходится, то она ограничена, т е ЗМ > О такое, что Vn выполняется неравенство
|жп| < М	(3)
24
Гл. II. Предел последовательности
Зададим теперь произвольное А > 0. Поскольку {уп} бесконечно большая, для числа А + М ЭЛ' такое, что Vn > N имеем
|у„| > А + М.	(4)
Из (3) и (4) получаем, что Vn > N выполняется неравенство
|ж„ + уп| |г/п| - W > А + М - М = А, что и требовалось доказать. ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
7.	Известно, что в некоторой окрестности нуля находится: а) конечное число членов последовательности; б) бесконечное число членов последовательности. Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой?
8.	Известно, что последовательность {хп} сходится, а {уп} бесконечно большая. Может ли последовательность {хпуп}'- а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой? Ответьте на эти вопросы, используя в качестве при-
{77 — 1 1 f 1 1 ( (-Й” 'I (11
—П— J ’ Inf’ I 'll J ’ I ~2 J
9.	Приведите примеры последовательностей {л„} и {у„}, для которых lim х„=0, lim уп = оо, а произведение их {xnj/n} является последова-п—юо	п—юо
тельностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.
10.	Докажите, что заданные последовательности бесконечно малые: а) хп = = пк (к < 0); б) хп = (-1)п 0,999п; в) хп = -Ь г)хп = -^—.
п!	2п3 + 1
11.	Докажите, что заданные последовательности бесконечно большие: а) 1П = пк (fc > 0); б) хп = п(—1)п; в) хп = З^; г) хп = log2(log2n) (п £ 2).
12.	Докажите, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
13.	Докажите, что последовательность {(1 + (—1)”)п} неограниченная, однако не является бесконечно большой.
14.	Докажите, что если lim хп = +оо (—оо), то последовательность {хп} п—юо
достигает своей точной нижней (верхней) грани.
15.	Найдите наименьший член последовательности {х„}, если: а) хп = — п2 — 9п — 100; б) хп — п + 100/п.
§ 3. Свойства сходящихся последовательностей
Основные понятия и теоремы
Теорема 6. Пусть lim хп — a, lim уп = Ь. Тогда: П-AOQ	П—¥<Х>
a)	lim (хп + уп) = а + b;
§3. Свойства сходящихся последовательностей
25
б)	limjznl/n) = ab;
в)	если b 0, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность {хп/уп} (т- е- 3N такое, что Vn N уп 0) и lim (•T'n/l/n) а/Ъ.
П-+0О
Если lim хп = lim уп = 0, то lim (хп/уп) называют неопреде-П-+ОО	п—>оо	п—юс
ленностью типа 0/0. Аналогично определяются неопределенности типа оо/оо, 0  оо, оо — оо. Ясно, что для таких пределов теорема 6 неприменима.
Теорема 7. Если lim хп = а и, начиная с некоторого номера, п—юо
хп Ъ (хп Ь), то а b (а Ь).
Теорема 8 (теорема о трех последовательностях). Если lim хп = п—>оо
= a, lim уп = а, и, начиная с некоторого номера, выполняются нера-п—юо
венства хп zn	Уп, то lim zn = а.
п—>сс
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение сходящейся последовательности.
2.	Сформулируйте на языке “е — N” определение расходящейся последовательности и дайте геометрическую интерпретацию этого определения.
3.	Сформулируйте теоремы 6-8.
4.	Пусть последовательность {т„ } сходится, a {;/„} расходится. Докажите, что {тп + i/n} расходится, {ст„} сходится, (ст/п) расходится при с 0. Покажите на примерах, что последовательность {лп1/п} может: а) сходиться; б) расходиться.
5.	Пусть последовательность {хп + t/n} сходится. Следует ли из этого, что {т„} и {j/„} сходятся?
6.	Пусть
lim хп = а.	(*)
п—юо
Докажите, что {тп} можно представить в виде
Хп — a -f- ctn,	(**)
где {а„} — бесконечно малая последовательность. Докажите обратное: из (**) следует (*).
7.	Докажите теорему 6.
8.	Пусть lim х„ = а, причем Уп хп > Ь. Следует ли отсюда, что: а) а > Ь; п —юо
б) а Ь?
Примеры решения задач
1.	Пусть lim уп = Ь 7^ 0, а последовательность {zn} расходится. П—ЮО
Доказать, что {zni/n} расходится.
Л Обозначим хп = znyn- Докажем расходимость последовательности {яп} методом от противного. Предположим, что {жп} сходится. Так как по условию lim уп = Ь 0, то по теореме 6 последовательность
26
Гл. II. Предел последовательности
{хп/Уп} = определена, начиная с некоторого номера, и сходится. Но это противоречит условию. Следовательно, {х„} расходится. А
2.	Доказать, что последовательность {sinn} расходится.
д Доказательство проведем методом от противного. Пусть
lim sinn = а. Тогда lim sin(n + 2) = а, откуда
п—>оо	п-4оо
lim (sin(n + 2) - sinn) - 0.	(1)
72-400
Так как sin(n + 2) — sinn = 2sin 1 cos(n + 1), то, учитывая равенство (1), получаем
lim cos(n + 1) = 0.	(2)
п—>оо
Из равенства cos(n + 1) = cosпcos 1 — sinnsin 1 находим sinn = = ^4y(cosncos 1 - cos(n + 1)). Отсюда в силу (2) следует, что lim sinn = 0. Таким образом, получаем lim cosn = lim sinn = О,
П—>OO	72—>OO	71-400
что противоречит равенству cos2 n + sin2 n = 1. Следовательно, {sinn} расходится. ▲
3.	Найти пределы:
\	.. Юп	n2-n , r 5 • 3n
al hm ; 6) hm --------------7=; в) hm ----------
72—400 7l2 + 1	72—>0O 71 — \/7l	П“4ОО 3П — 2
Д Отметим, что каждый из этих пределов является неопределенностью типа оо/оо. Имеем:
a)	lim —= lim —= О,
так как <п + - У бесконечно большая;
I п J
б)	lim	= lim ~	=
72—>оо 71 — у/П	П—^ОО	71 — \
,	5-3”	5
в)	11т	9 = 11т -----Г - 5
п—>ос о * — 2	п—>оо ।____
Зп
-----5^- = 5. ▲
1 - — )
3” /
4.	Найти предел lim (у/п2 + п - п).
Д Отметим, что этот предел является оо — сю. Имеем
неопределенностью типа
lim (\/n2 4- n - n) = lim n ------------
n-^oo	n-^eo y/n'2 + n + n
/ГТ1+1 Hm (/Г7Т') + i
V 71	n-дх \ V 71/
5.	Вычислить lim n. П-4ОО 71 + 1
Л Последовательность {cosn} ограничена, a ( 	) бесконечно
I 7i -V 1J
§3. Свойства сходящихся последовательностей
27
малая, так как
lim
1
п
lim 4= п—>ос уп
= 0.
Отсюда по теореме 4 следует, что произведение этих последователь-
ностей является бесконечно малой, т. е. lim	= 0. А
п—>оо п + 1
а тт -	г I4 4- 24 4- З4 4-	4- п4
6.	Наити предел lim ---------------------.
п—Юо	П5
Л Обозначим Sn = I4 + 24 + З4 + ... + п4. Будем искать Sn в виде
Sn = Ап5 + 5п4 + Сп3 + Dn2 + Еп + F.
Тогда
5n+i - Sn = A[(n + I)5 - п5] + 5[(n + I)4 - п4] +
+ C[(n + I)3 - п3] + D[(n + I)2 - n2] + Е[(п + 1) - п].
Отсюда для любого натурального п имеем
(п + I)4 = 5Ап4 + (ЮЛ + 45)n3 + (10А + 6В + ЗС)п2 +
+ (5А + 45 + ЗС + 25)n + А + 5 + С + 5 + Е.
Приравнивая коэффициенты при равных степенях п в левой и правой частях равенства, получим
5A	= 1
10A + 4B	= 4.
10A + 65 + 3(7	= 6
5A + 45 + 3C +	25	= 4
A + В + C +	5 + E = 1
Отсюда А = 1/5, В = 1/2, С = 1/3, D = 0, Е — —1/30. Таким образом, для любого п имеем Sn = | n5 + i п4 + | п3 - п + F. Полагая п = О 2	3	30
= 1, получим 1 — -=-4-~4-|-^4-F, откуда F = 0. Следовательно, □	23 3U
С _ 14 , 04 , о4 ,	, „,4 _ 6п5 + 15п4 + 10п3 - п
<Jn — А +2 4-0 4- ... 4- 71 — -------------.
Итак,
14 + 24 + 34 + ... + п4	/1,1,1	1 \	1
нт ------------------ = hm I - + -—I----------т = -. A
n-^co	n5	n-^co \5 2n 3n2	30n4)	5
28
Гл II Предел последовательности
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
16. а) Известно, что последовательность {хп} сходится, а {уп} расходится Может ли последовательность {x„i/n} быть сходящейся, расходящейся7 б) Известно, что последовательности {х„} и {;/„} расходятся Могут ли последовательности {х„ + уп}, {xnt/n} быть сходящимися, расходящимися7
Ответьте на эти вопросы, используя в качестве примеров последовательности {	, {(-1)"}, {	, {«}, {-n}, {(-l)n+1}
17.	Даны последовательности {	~~~ } > { n +\qq } Выбе-
рите из этих бесконечно малых последовательностей такие, что
a) hm (x„/j/n) = 0, б) hm (хп/уп) = 1,. в) lim (хп/уп) = оо, п—юо	п—юо	п—юо
г) {xn/i/n} расходится, но ограничена
18.	Дано hm хп = b оо, hm уп = оо Докажите, что
a) hm (хп ± j/n) — оо,	б) hm (x„/t/n) = О,
п—юо	п—юо
в) hm (уп/хп) = со (л„	0), г) hm (x„j/n) = оо, если b 0
п—юо	п—юо
19.	Докажите, что hm (хп/уп) = со, если hm хп = b 0, hm уп = 0 п —юо	п—юо	п—юо
(s/n + 0)
20.	Известно, что hm хп = а У оо Найдите предел последовательности
п —юо если
л) Уп — Tn-f-l,	б) Уп — Хп Хп-^-2,
в) Уп = (ж„+1 -Хп)п, г) Уп = mm(xn,i„+))
21.	Известно, что hm х„ = а оо Приведите пример, когда последова-п—ЮО
тельность {t/n} сходится (расходится), если а) уп = [т„], 6)j/„=sgnxn
22.	Известно, что хп > 0 Докажите, что
a)	hm хп = 3, если hm (х„ — хп) = 6, п—юо	п —юо
б)	hm хп = 1, если hm (хп -I—— ) = 2
п —>оо	п—ЮО \ ХП /
23, Исследуйте на а, 0, 7)
. па + 1
а) = ТО’
24. Найдите пределы
, , x/ri? sinin'
a) hm ------—
' _ ... г, а. >
сходимость последовательности (в зависимости от
б)
_ „т &п3 + 1 - п
X п ~' Ь у-'' '* 1 1 г~* 7=
б) hm (л/п + 1 — у/п),
в) hm —\ ,--------------
25. Пусть х.
-V , 1
' \/п2 + /г k=i
Требуется вычислить
hm х
Оценим хп сверху и снизу
п
Vn2 + п
< Хп < 1
Таким образом, имеем
§4 Замечательные пределы
29
Так как
hm --- ™	= hm —1	= 1,
2—ЮО Vn2 + П	п—>ос
то по теореме о трех последовательностях lim хп = 1 С другой 71-100
стороны, произвольный член в выражении для хп равен , J (к = 1,2, , п\ Так как lim	= 0, то
у/п2+к к	’	n-кх, +п2 + к
, /1,1, 1 \
n->oo\yn2 + l vn2 + 2	vn2 +п/
— hm — 1---+ hm -=1	+	+ hm 1 - = 0 + 0+	+0 = 0
n—1СЮ Vn2 + 1 72 —> OQ	+ 2	П—>OO Vn2 + n
Итак, мы получили, что 1 = 0 Найдите ошибку в проведенных рассуждениях Какой из двух результатов верен, а какой нет и почему7
26. Вычислите пределы
В)	(1~2 + 2~3 +	+ п(п + 1)) ’
Г)	(1 2 3 + 2 3 4 +	+ тг(тг + 1)(тг + 2)
Д) (21 + 3> + ? + +	)
§ 4.	Замечательные пределы
Основные понятия и формулы
Будем говорить, что бесконечно большая последовательность {.тп} имеет более высокий порядок роста, чем бесконечно большая последовательность {i/n}, если {хп/уп} бесконечно большая, при этом будем употреблять обозначение уп хп Этот параграф посвящен вычислениям некоторых пределов, с помощью которых сравниваются порядки роста различных бесконечно больших последовательностей Нахождение таких пределов основывается на применении теоремы 8 о трех последовательностях и формулы бинома Ньютона
(а + Ь)п = ап + С1пап-1Ъ+ + Ckan~kbk + + bn = V Ckan~kbk, k=0
где
Гк = nl _ п(п ~ г) (т7 - ^ + 1) П| _ 1 п к'(п-к<}	к'	’
Из этой формулы получаем неравенство
(а + b)n >	~ ^an~2b2,	(1)
30
Гл. 11. Предел последовательности
справедливое для положительных а и b и любого натурального числа п.
Рассматриваемые в этом параграфе примеры и задачи приводят к таким результатам:
log|0| /I « п“ < а" «С п! при а > 0, |а| > 1.	(2)
(Соотношение log|a| п па справедливо при а > 0, но в упр. 24 и упр. 25 предлагается доказать его лишь при а 1.)
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте теорему о трех последовательностях.
2.	Напишите первые четыре члена формулы бинома Ньютона для разложения (1 + а)п.
3.	Даны бесконечно большие последовательности: {п!}, {log10n}, {-i/n}, {4”}, {п5}. Пользуясь соотношениями (2), для каждых двух последовательностей укажите, какая имеет более высокий порядок роста.
Примеры решения задач па
1.	Доказать, что lim — = 0 при а > 0, |а| > 1. п—>оо О,п
А Из определения предела последовательности следует, что если lim |un| = 0, то и lim ип = 0. Поэтому достаточно доказать, что п—>оо	п—>оо
lim шп = 0, где шп =	. Представим шп в виде
п-+оо	|а|"
Рассмотрим последовательность zn = ц/ар и Д°кажем, что lim zn — 0. Тогда из результата примера 5 из § 1 будет следовать, П—ЮО
что lim шп = 0. Так как а > 0, |а| > 1, то 3/3 > 0 такое, что |а|	=
= 1 + /3. Применив неравенство (1) к биному (1 + /3)”, получим
(lap/”)” = (1 + /3)п > -^n2 ^/З2 Vn 2.
Отсюда следует, что
Положим хп = 0
П
\а\п/а
2
/32(п~ 1)
Vn > 2.
Vn И Уп = whv
'in 2. Последовательности
{з:п}, {zn}, {уп} удовлетворяют условиям теоремы о трех последовательностях, поскольку хп zn уп и lim хп = 0, lim уп = 0.
п—юо	п—юо
Следовательно, lim zn = 0, что и требовалось доказать. п—юо

§4- Замечательные пределы
31
п! " 11 Ы	1 1 U \2/ '
и lim (2[a|)2Ar—1 ( i ) = 0, по теореме о трех после-п—>оо	\ 2 /
ап
lim zn = 0. Отсюда следует, что lim —7 — 0, т. е. 77-4 ОС	77.-4 ОС П‘.
Таким образом, можно записать па ап при а > 0, |а| > 1. ▲ п
2.	Доказать, что lim —г = О при>1а| > 1. п—>СС п! । in
Л Рассмотрим последовательность zn = -1—L- и докажем, что lim zn = п—>оо
= 0. Пусть к — натуральное число такое, что к |а|, и пусть п > 2к. Представим zn в виде произведения п сомножителей:
И = НН ...Н_Н_... Ы. п! 12 2fc 2k +1 п
Поскольку к > |а|, дробь и все дроби, следующие за ней, не больше, 2k
чем 1/2. Поэтому получаем оценку
%П —
Так как zn > 0 довательностях
последовательность {п!} имеет более высокий порядок роста, чем последовательность {а”} при |а| > 1. Итак, ап п\ при |а| > 1. ▲
3.	Доказать, что lim у/п = 1. П-4ОО
Д При п 3} 2 число у/п больше 1. Поэтому Vn 2 3/3„ > 0 такое, что
= 1 + /V	(3)
Из равенства (3) вытекает, что п = (1 + вп)п- Применяя к правой части последнего равенства неравенство (1), получим
п = (1 + 0пу £
Отсюда находим, что /Зп у n [ Vn 2. Из неравенств 0 < $ \/~п 11 и соотношения lim	= 0 по теореме о трех после-
довательностях следует lim /3„ = 0. Из равенства (3) теперь имеем п—>оо lim у/п = 1. ▲ п—>оо
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
27.	Используя определение предела последовательности и результат примера 3, докажите, что lim 1о^а7г = 0 при а > 1.
71-4 00
28.	Докажите, что lim 1о^Д п = 0 при а > 1, а > 1. П —> ОО 71
32
Гл II Предел последовательности
29.	Докажите, что заданные последовательности бесконечно малые
а) хп = — , б) хп =	, в) хп =	— 1
7	2п 1	71’
30.	Вычислите пределы
2п
a) hm f i + Д- + Д- + + —-\ б) hm Inn V' —-г-n-+ook2T 22 23	2” J' ’ n-oo	Z^A:(fc + l)
k=n
31.	Используя результат примера 2, докажите, что hm = О п —юо уП*
§ 5.	Монотонные последовательности
Основные понятия и теоремы
Последовательность {жп} называется невозрастающей (неубывающей), если Vn жп+1 хп (хп+1 хп)
Невозрастающие и неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями
Последовательность {zn} называется возрастающей (убывающей), если 'in xn-j-i х-* хп	х,-,)
Возрастающие и убывающие последовательности называют также строго монотонными
Отметим, что монотонная последовательность всегда ограничена хотя бы с одной стороны невозрастающая последовательность ограничена сверху, а неубывающая — снизу своим первым членом Если же монотонная последовательность ограничена и с другой стороны, то она сходится, т е имеет место следующая деорема
Теорема 9 Монотонная ограниченная последовательность сходится
Контрольные вопросы и задания
1	Сформулируйте а) определение монотонной последовательности, б) признак сходимости монотонной последовательности
2	Является ли ограниченность последовательности необходимым и достаточным условием сходимости а) монотонной последовательности, б) произвольной последовательности7
Пример решения задачи
Найти предел последовательности {жп}, которая определяется рекуррентным соотношением
— хп{% хп) Vn 1,
где Xi — произвольное число, удовлетворяющее неравенству 0 < х± < < 1
§5 Монотонные последовательности	33
Л Докажем сначала, что последовательность {жп} ограничена, а именно, пользуясь методом математической индукции, докажем, что Vn справедливы неравенства
О < жп < 1	(2)
Для si неравенства (2) выполняются по условию Допустим, что неравенства (2) имеют место для номера п, и докажем, что тогда они будут справедливы для номера п 4- 1 Запишем формулу (1) в виде
•Тп4-1 — 1	(1 Я'п)
Из неравенств (2) следует, что 0 < (1 - э:„)2 < 1, поэтому 0 < хп+г < < 1 Тем самым неравенства (2) доказаны Vn
Докажем теперь, что последовательность {жп} возрастающая Так как хп < 1, то 2 — хп >1 Разделив равенство (1) на хп, получим
*Тп+1 fx-n — 2 хп > 1
Отсюда следует, что xn+i > хп 'in Таким образом, последовательность {тп} монотонная и ограниченная Следовательно, по теореме 9 существует hm хп, который обозначим а Для отыкания а перейдем П—J-OQ
к пределу в рекуррентной формуле (1) Получим
hm £п+1 = hm хп hm (2 — хп), или а = а(2 — а) п—>оо	п—>оо	п—>оо
Отсюда а = 0 или а = 1, так как х, > 0 и последовательность {жп} возрастающая, то а = 1 ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
п
32.	Докажите сходимость последовательности {хп}, где хп = fc=i
33.	Докажите сходимость и вычислите предел последовательности {хп}, если ту = у/a, Х2 = \/а + у/а, , хп = а + у/ а +	+ у/а, , где а > О
п
34.	Докажите сходимость и вычислите предел последовательности {х„}, если она определяется рекуррентным соотношением
а)	X! = а, Х2 — Ь, а Ь, хп =	Хп~?. уп 3,
б)	Xi — произвольное положительное число,
Тп+1 =	+ — 'l Vn>l, а > О,
2 \ Тп )
в)	Xi — произвольное отрицательное число,
Xn+i = (хп + —Vn 1, а > О,
А \	/
2 В Ф Бутузов и др
34
Гл. II. Предел последовательности
г)	Xi = |, Лп+1 = у/Зхп — 2 Vn 1; д) an е р, , Xn+i = ап + х2п
1; е) Xi = 1, Хп+1 = 1 — -Д- Vn 1; ж) ап =0, Х2 = Д '	4х„	2
£п+1 = |(1 + хп + £„-1) Vn 2; з) хп > 0 Vn 1; в качестве Хп+1 берется любое число, удовлетворяющее неравенству тп(6 — zn+i) > 9.
35.	Докажите, что неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.
/ 1 \п
36.	Докажите существование предела lim (14— 1 . п —>оо \	П/
§ 6. Предельные точки
Основные понятия и теоремы
Пусть {тп} — некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел к1,к%, ...,кп,... Отметим, что кп п. Выберем из {тп} члены с номерами fcj, к2,..., кп,...:
Полученная числовая последовательность называется подпоследовательностью последовательности {жп}.
Теорема 10. Если lim хп = а, то любая подпоследовательность п—юо
{т*п} сходится к а при п —> оо.
Теорема 11 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Определение 1. Число а называется предельной точкой (или частичным пределом) последовательности {ж„}, если из последовательности {яп} можно выделить подпоследовательность {a;fcn}, сходящуюся к а.
Можно дать другое, эквивалентное определение предельной точки.
Определение 2. Число а называется предельной точкой последовательности {а?п}, если в любой е-окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности {жп}.
Замечание 1. Из теоремы 10 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.
Замечание 2. Из теоремы 11 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности {жп}, ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается lim хп ( lim хп).
§6. Предельные точки
35
Очевидно, если {з:п} сходится, то lim хп = lim хп = lim хп. п—>оо	п—>сю	п—>оо
Если последовательность {жп} не ограничена сверху (снизу), то полагают lim хп = +оо ( lim хп — —оо).
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определения: а) последовательности; б) предельной точки (дайте два определения и докажите их эквивалентность); в) верхнего (нижнего) предела последовательности.
2.	Дайте геометрическую интерпретацию определения предельной точки.
3.	Является ли предел последовательности ее предельной точкой? Ответ обоснуйте.
4.	Даны последовательности {тг((—1)п + 1)}, {п}, {(—l)n + 1}. Укажите, какая из них: а) имеет предельную точку; б) не имеет предельной точки; в) имеет две предельные точки; г) имеет только одну предельную точку. Есть ли среди этих последовательностей сходящаяся?
5.	Докажите, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом. Верно ли обратное утверждение: если последовательность имеет единственную предельную точку, то она сходится?
6.	Дана последовательность {in}. Известно, что любая окрестность точки а содержит бесконечно много членов последовательности и никакой сегмент, которому не принадлежит точка а, не содержит бесконечно много членов последовательности. Следует ли отсюда, что lim хп = а? п—>оо
7.	Пусть lim = 4. Может ли последовательность {i„} быть: а) сходя-п—юо
щейся (если да, то чему может быть равен ее предел?); б) расходящейся?
8.	Сформулируйте теорему Больцано Вейерштрасса.
9.	Верно ли утверждение: если последовательность не ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность?
Примеры решения задач
1.	Доказать расходимость последовательности хп = (—1)”.
А Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности: x2k = 1 и x2k-г = -1 (fc = 1,2,...). Очевидно, что lim x2k = 1, k—¥OQ lim s2fc-i = -1.
Таким образом, последовательность {(—1)п} имеет две предельные точки: 1 и —1, а поэтому не может быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку. ▲
2.	Найти: а) все предельные точки последовательности {sinn°}; б) верхний и нижний пределы этой последовательности.
А а) Каждое из чисел
О, ±sinl°, ±sin2°, ..., ± sin 89°, ±1
2’
36
Гл II Предел последовательности
встречается в последовательности бесконечно много раз, поскольку Vn, р 6 N sinn° = sin(360°p + п°) Поэтому каждое указанное число является предельной точкой последовательности {sinn0}. Других предельных точек последовательность не имеет, так как если число а не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки а, не содержащая ни одного члена последовательности
б) Из указанных в п а) 181 предельных точек наименьшей является — 1, а наибольшей 1, т. е.
lim sinn° = 1, hm sinn0 = —1 A n—>OQ	n—>OO
3.	Найти: а) все предельные точки последовательности
О, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, ...;
б) верхний и нижний пределы этой последовательности.
А а) Данная последовательность {тп} представляет собой множество всех рациональных чисел сегмента [0,1], расположенных в указанном порядке Так как в любой е-окрестности любого вещественного числа из сегмента [0,1] содержится бесконечно много рациональных чисел (см. упр. 5 к гл. 1), то каждая точка этого сегмента является предельной точкой данной последовательности Если же а $ [0,1], то эта точка не является предельной точкой данной последовательности, поскольку для нее существует окрестность, не содержащая ни одного члена последовательности _________
б) Очевидно, lim хп = 0, lim хп = 1. А n-ix	П-+ОО
4.	Доказать, что бесконечно большая последовательность {жп} не имеет предельной точки.
А Доказательство проведем методом от противного. Пусть некоторая точка а является предельной точкой последовательности {жп} Тогда существует подпоследовательность {ж*,п} такая, что lim xkn = а. С п—>оо
другой стороны, {sfcn} не имеет предела, поскольку является бесконечно большой. Действительно, так как {жп} — бесконечно большая, то VA > О EW: Vn > N |хп| > А. Отсюда, поскольку кп п и кп+1 > кп, следует, что Vfcn > N |ж*,п| > А, т е. бесконечно большая. Полученное противоречие доказывает, что {жп} не имеет предельной точки. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
37.	Докажите, что
а)	из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность,
б)	любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой,
в)	монотонная неограниченная последовательность не имеет предельной точки,
г)	у каждой ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы
§ 1 Фундаментальные последовательности
37
38.	Известно, что последовательности {in} и {i/n} имеют по одной предельной точке Покажите па примерах, что последовательности {х„ + уп} и {xnt/n} могут не иметь предельных точек, иметь одну предельную точку, иметь две предельные точки
39.	Найдите все предельные точки последовательности {т„}, а также hm гп, 1чп хп, если
п->о° п-юо
а)	хп = (-1)"-1 (2+ б) хп = 1 + ^ycos^,
в)	хп = 1 + 2( —1)"+1 +	г) хп = cos
д)	Хп = 1 + nsm е) хп =	- + 1 +	,
ж)тп=(1 + 1)	(-1)" + sin^, 3) хп = ^jsm2
и)	Хп = ^l+2"(-D", к) Хп = cos" л) Хп = (-1)"п
40.	Исследуйте на сходимость последовательность
Хп,
1 ____ 2 _|_ 3 ______	। /____
п п п	п
§ 7.	Фундаментальные последовательности.
Критерий Коши сходимости последовательности
Основные понятия я теоремы
Определение 1. Последовательность {жп} называется фундаментальной, если Уе > О ЭЛ’ такое, что Vn > N и любого натурального числа р выполняется неравенство |т„ — хп+р| < £
Это определение эквивалентно следующему
Определение 2 Последовательность {жп} называется фундаментальной, если Уе > О EW такое, что Уп > ТУ и Ут > N выполняется неравенство |жп — жт| < е.
Геометрическая интерпретация этих определений состоит в следующем если последовательность {яп} фундаментальная, то Уе > О 3N такое, что расстояние между любыми двумя членами последовательности с номерами, большими, чем N, меньше е.
Теорема 12 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной
Контрольные вопросы и задания
1 Сформулируйте определения
а)	фундаментальной последовательности (дайте два определения и докажите их эквивалентность),
б)	нефундаментальной последовательности (пользуясь правилом построения отрицаний)
Дайте геометрическую интерпретацию этих определений 2 Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности
38
Гл II. Предел последовательности
Примеры решения задач
1.	Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последова-п t
,	,	sin к
тельности где хп = / у -р-.
к=1
Д В силу критерия Коши достаточно доказать, что последовательность {тп} фундаментальная Для этого оценим — хп+р[. Имеем
Жп+р|—
п+р .
Esin к
'к2'
fc=n+l
n+p
fc=n4-l
m	1	1
Так как — < ——-к2 k(k — 1)
1
k — 1
1
ТО к
n+p
fc = n+l
1
(n + 2)2
1
(n + p)2
1
1
n + 1
1
n + 1
1
n + 2
1
n + p — 1
1
П
1 A _ n+p J
1	£
n + p	n
Поэтому Vn, p € N имеем
\xn Я++р| < X/n.
(1)
Зададим теперь произвольное e > 0 и положим N = [1 /е]• Тогда Vn > N выполняется неравенство п [1/е] + 1 > 1/е, откуда 1/п <е. Следовательно, Vn > N и любого натурального числа р, используя неравенство (1), получаем |х'п — хп+р1 < 1/п < £. Это доказывает фундаментальность последовательности {тп}. ▲
2.	Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последова-п
тельности , где хп = fc=i v
Д В силу критерия Коши достаточно доказать, что последовательность {+>} не является фундаментальной. Для этого оценим |тп — — жп+р|- Имеем
п+р 1
К-^+р| = Д2 7^ ^^7
Л=п+1
Vn, pt N.
В частности, при р = п получаем
Vn.
(2)
§ 7 Фундаментальные последовательности	39
Возьмем е — Тогда WV найдутся такие п > N и натуральное число р, что \хп — хп+р1 е. В самом деле, в силу неравенства (2) достаточно взять любое п > N и р = п. Это доказывает, что последовательность {гсп} не является фундаментальной. ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
41.	Пользуясь критерием Коши, докажите сходимость последовательности {хп}, если
fc=l	к=Л	fc=l
п
г) хп = Y,akqk, где |q| < 1 и |afc| М Чк, М>Ъ fc=o
42.	Пользуясь критерием Коши, докажите, чдо если последовательность п
хп = / а* сходится, то bin а„ = О п—>оо
fc=l
43.	Пользуясь критерием Коши, докажите расходимость последовательности {тп}, если
п	п
а)	б) хп =
fc=l	fc=l
ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 1.	Предел функции. Теоремы о пределах.
Бесконечно большие функции
Основные понятия и теоремы
1.	Предел функции в точке. Пусть х — числовая переменная величина, X — область ее изменения. Если каждому числу х € X поставлено в соответствие некоторое число у, то говорят, что на множестве X определена функция, и пишут у — f(x). Переменная х называется независимой переменной (или аргументом функции), множество X — областью определения функции f(x), а число у, соответствующее данному значению аргумента х, — частным значением функции в точке х. Совокупность Y всех частных значений функции называется множеством значений функции f(x).
Точка a (a g X или а X) называется предельной точкой множества X, если в любой окрестности точки а имеются точки множества X, отличные от а.
В определениях этого параграфа предполагается, что а есть предельная точка множества X — области определения функции f(x).
Определение 1 (по Коши). Число Ь называется пределом функции f(x) в точке а (при х —> а), если Ve > 0 3<5 > 0 такое, что Vie, удовлетворяющего условиям х g X, 0 < |ж — а| < 6, выполняется неравенство |/(х) — < Е.
Определение 2 (по Гейне). Число Ь называется пределом функции f(x) в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности {жп} такой, что хп Е X, хп / а, соответствующая последовательность значений функции {/(жп)} сходится к Ь.
Обозначение: lim /(ж) = Ъ или /(ж) —> Ь при х —> а.
х—+а
Подчеркнем, что понятие предела функции в точке а вводится только для предельных точек а области определения функции. Отметим, что при этом функция может быть и не определена в точке а, т. е., вообще говоря, а $ X.
Сформулируем отрицания определений 1 и 2.
Отрицание определения 1. Число b не является пределом функции f(x) в точке а (Ь 7^ lim f(x)), если Зе > 0 такое, что V<5 > О х	х—>а	'
3,-е 6 X, для которого 0 < |ж — а| < д и |/(ж) — Ь| е.
Отрицание определения 2. Число b не является пределом функции f(x) в точке a (b 7^ lim /(ж)), если существует сходящаяся
§1. Предел функции
41
к а последовательность {xn} (xn € X, хп а) такая, что соответствующая последовательность {f(xn)} не сходится к Ь.
2.	Теоремы о пределах.
Теорема 1. Определения I и 2 предела функции эквивалентны.
Теорема 2. Пусть /(х) и д(х) определены в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а, и lim f(x) = b, х —>о
lim g(x) = с. Тогда:
lim (f (я) + g(x)) - b + c; lim (f(x) - g(x)) = b - c;
x—x-+a f(x} b lim f(x)g(x) = be, lim —7-4 = - при условии с 0. x—>Q	x—>a QyX) C
Теорема 3. Пусть функции /(x), g(x) и h,(x) определены в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а, и удовлетворяют неравенствам /(т) g(x) h(x). Пусть lim /(х) = х —>0.
= lim h(x) — b. Тогда lim g(x) = b.
3.	Односторонние пределы.
Определение 1 (по Коши). Число b называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если Ve > О Э<5 > 0 такое, что Vx, удовлетворяющего условиям х€Х,а<х<а + ё (a — S < х < а), выполняется неравенство |/(х) — Ь| < е.
Определение 2 (по Гейне). Число b называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности {хп} такой, что хп € X, хп > а (хп < а), соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к Ь.
Обозначения: lim f(x) = b или /(а + 0) = b (соответственно х —»а,4-0
lim f(x) = b или f(a — 0) = b). x—>o—О
Определения 1 и 2 эквивалентны.
Теорема 4. Если существуют f(a + Q) и f(a — 0), причем f(a + + 0) = f(a — 0) = b, то существует lim f(x) = b.
x—>a
Теорема 5. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и существует lim f(x) = b, то существуют f(a + 0) и f(a — 0), причем f(a + O) = Xf~(a-O) = b.
4.	Предел функции при х -> оо. Пусть функция f(x) определена на полупрямой (с, +оо).
Определение 1 (по Коши). Число b называется пределом функции f(x) при х —> +00 (b = lim f(x)), если Ve > 0 ЭЛ > 0 (а с) такое, что Vx > А выполняется неравенство |/(х) — 6| < е.
Определение 2 (по Гейне). Число b называется пределом функции f (х) при х —> +оо, если для любой бесконечно большой последо
42
Гл III Предел и непрерывность функции
вательности {жп} (хп > с) соответствующая последовательность значений функции {/(хп)} сходится к Ь.
Определения 1 и 2 эквивалентны.
Аналогично определяется hm f(x) Если lim f(x) = hm f(x) = x—>—co	x—¥—oo	x—>4*00
= b, то пишут lim f(x) = b Например, lim (l/x) = 0. x~>oo	x —>oo
Для односторонних пределов и пределов при х —> оо справедлива теорема, аналогичная теореме 2.
5.	Бесконечно большие функции.
Определение 1 Функция /(х) называется бесконечно большой в точке а справа, если VM >0 3<5 > 0 такое, что Чх, удовлетворяющего условию x€X,a<x<a + S, выполняется неравенство
I/WI > М.	(1)
Обозначение- lim f(x) = сю или /(а + 0) = сю Подчеркнем, что х—>а4-0
эта запись означает только, что f(x) является бесконечно большой в точке а справа, но вовсе не означает, что /(х) имеет в точке а правый предел, очевидно, этот предел не существует
Если в определении 1 вместо неравенства (1) выполняется неравенство /(х) > М (f(x) < —М), то говорят, что функция f(x) является бесконечно большой знака плюс (минус) в точке а справа, и пишут lim f(x) — +сю или /(а + 0) = +сю (соответственно х—>а4*0
lim /(аг) = —сю или /(а + 0) = —оо) х—>а4-0
Аналогично определяется бесконечно большая функция в точке а слева.
Если функция является бесконечно большой в точке а справа и слева, то пишут lim f(x) = оо. Например, lim(l/x) = оо.
х—ьа	х—>0
Определение 2. Функция /(х) называется бесконечно большой в точке а справа (слева), если для любой сходящейся к а последовательности {жп} такой, что хп € X, хп > а (хп < а), соответствующая последовательность {/(^п)} является бесконечно большой.
Определения 1 и 2 эквивалентны.
Пусть функция f(x) определена на полупрямой (с, +сю).
Определение 3. Функция f(x) называется бесконечно большой при х —> +сю, если VM >0 ЗА (А~^ с) такое, что Vx > А |/(х)| > М.
Определение 4. Функция f(x) называется бесконечно большой при х —> +оо, если для любой бесконечно большой последовательности {х„} (хп > с) соответствующая последовательность {/(жп)} является бесконечно большой.
Обозначение- lim f(x) = сю.
х—>4-сю
Определения 3 и 4 эквивалентны.
Аналогично вводится понятие бесконечно большой функции при х —> —оо: lim f(x) = сю. Если функция f(x) является бесконечно Я—> —ОС
§ 1 Предел функции
43
большой при х —> +оо и при х —> —со, то пишут hm /(х) = со На-
X —>оо пример, lim х = оо х—>ос
Контрольные вопросы и задания
1	Сформулируйте два определения предела функции в точке Что означает эквивалентность этих определений7
2	Пользуясь определением предела функции по Гейне, докажите единственность предела функции в точке
3	Докажите, что Vxo hm х = хо, пользуясь определением предела функ-X—¥Xq
ции а) по Коши, б) по Гейне
4	Дана функция f (г) = Определена ли функция /(г) в точке х = 0? Является ли точка х = 0 предельной точкой области определения функции7 Существует ли lim f(x)7
х-*0
5	Сформулируйте отрицание двух определений предела функции в точке.
6	Сформулируйте теоремы 2 и 3 о пределах функций
7	. Сформулируйте два определения односторонних пределов функции и отрицания этих определений	. _ ,
8	. Существуют ли f (3 + 0) и f(3 — 0), если fix) = L—51? Существует ли hm f (х)7	“ х
х—>3
9	При каких условиях из существования односторонних пределов (предела функции) следует существование предела функции (односторонних пределов)7
10	Сформулируйте два определения предела функции при х —> +со и отрицания этих определений
11	. Докажите, что функция fix) = х не имеет предела при х —> +со
12	Докажите, что hm х = +оо
х—>4-00
13	Сформулируйте определения по Гейне и по Коши, соответствующие следующим символическим обозначениям
a) lim fix') = -boo, б) f(а + 0) = —со; в) lim /(х) = Ь, х—>а	х —> — оо
г) hm fix) = оо, д) lim fix) = +со х—>ос	х—> — оо
14	Докажите, что функция fix) = —5— является бесконечно большой в точке х = 3	г - 3
Примеры решения задач
1.	Доказать, что lim smx = 0.
«->о
Л Воспользуемся неравенством |sinx| С |х| Vx. Зададим произвольное е > 0 и положим <5 = е. Тогда если |х| < <5, то | sin х| С |х| < S = е. Это и означает (согласно определению предела функции по Коши), что lim sinx = 0. А х-+0
X2 - 1
2.	Вычислить lim /(х), где /(х) =----
Ж—>1	х — 1
Л Так как hm(x2 — 1) = 0 и lim(x — 1) = 0, то этот предел является х —•>!	х —>1
44
Гл. III. Предел и непрерывность функции
неопределенностью типа 0/0, и мы не можем воспользоваться теоремой 2 о пределе частного двух функций. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке х = 1 ее аргумент не принимает значения, равного 1. Поэтому lim /(ж) = lim(х + 1), так как
2 _ -I	Ж—>1	яг—>1
/(ж) =	= х + 1, если ж / 1.
Пусть {жп} — произвольная последовательность, сходящаяся к 1 (хп И 1); тогда lim (xn + 1) = 2. Это означает (согласно определению
П—>00
предела функции по Гейне), что lim (ж + 1) = lim /(х) = 2. А х —> 1	X —> 1
3.	Вычислить предел lim - + У ~-2.
Л Этот предел, как и в примере 2, является неопределенностью типа 0/0. Однако в отличие от примера 2 здесь нельзя непосредственно “сократить” числитель и знаменатель дроби на х — 1. Поэтому предварительно преобразуем функцию, умножив числитель и знаменатель на (-\/3 + х + 2) — выражение, сопряженное числителю. Получим
у/3 + х — 2 _ х — 1 х - 1	“ (х - 1)('/3+7+2)’
Так как при рассмотрении данного предела аргумент х не принимает значения х — 1, то, сокращая на х — 1, получаем
1
,.	д/3 + х — 2	,.	1	1
lim----------— = lim ,	----= -
ж-»1 х — 1	х-+1 у/3 + х + 2	4
4.	Доказать, что функция Дирихле
_ ( 0, если х — иррациональное число, ' ' ~ 1 1, если х — рациональное число,
не имеет предела ни в одной точке.
Л Докажем, что в произвольной точке а функция D(x) не удовлетворяет определению предела функции по Гейне. Для этого укажем две последовательности, {тп} и {х„}, сходящиеся к а и такие, что lim D(xn) lim D(x' ). Сначала рассмотрим последовательность
П—>ОО	П—>0О
{хп} рациональных точек, сходящуюся к а. Для нее D(xn) = 1 Vn, и поэтому lim D(xn) = 1. Теперь рассмотрим последовательность п—>оо
{ж^} иррациональных точек, сходящуюся к а. Для нее D(x'n) = 0 Vn, и поэтому lim Р(ж'„) = 0. Таким образом, lim D(xn) lim D(x‘’).
11 —>оо	п—>ОС	П—>0С
Отсюда следует, что предел функции D(x) в точке а не существует. А
5.	Рассмотрим множество всех иррациональных чисел интервала (—1,1). Обозначим его 1Г. Определим на множестве 1Г функцию f(x): f(x) = 1, если х € 1Г. Доказать, что lim /(ж) = 1, где а — произволь-
X —>Q
ная точка сегмента [—1,1] (рациональная или иррациональная).
§1. Предел функции
45
Л Пусть a G [—1,1]. Точка а является предельной точкой множества 1Г (см. упр. 5 к гл. I). Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть {хп} — произвольная последовательность точек множества 1Г, сходящаяся к точке а (хп ф а). По условию /(xn) = 1 'iXn € Ir- Поэтому lim f(xn) = 1 и, следовательно, lim f(x) = 1. А п—>ос	х~у а
6.	Доказать, что функция sinx не имеет предела при х -4 +оо.
Л Докажем, что эта функция не удовлетворяет определению предела функции при х —> +оо по Гейне. Для этого укажем такую бесконечно большую последовательность {хп}, что последовательность {sinrrn} расходится. Положим хп = ^(2n+ 1). Тогда lim хп — +оо, а после-2	п—>оо
довательность {зшжп} = —1,1, —1,1,... расходится. Отсюда следует, что функция sinx не имеет предела при х —> +оо. А
7.	Пусть
Дя) Ь.	при X < О
J v 7 1 sin х при X > ()
(f (я) не определена при х = 0). Существует ли lim /(ж)? х~>0
Д Вычислим в точке х = 0 односторонние пределы функции f(x), пользуясь теоремой 5 для функций у = sin х и у = х в точке а = 0:
f (а + 0) = lim sinx = lim sin а: = 0, x —>0+0	x—>0
f(a — 0) = lim sin.r = lim x = 0.
Отсюда по теореме 4 следует, что существует lim f(x), и он равен нулю. А
on	Г	'i t! \ ЮОх2 + 1
8.	Вычислить hm /(я), где f(x) = —-——-.
т—>оо	+ 1UU
Д Этот предел является неопределенностью типа оо/оо, так как числитель и знаменатель — бесконечно большие функции при х —> оо. Представим /(ж) в виде
Я*) =
100 + 1/г2
1 +100/г2
(х 0).
Так как Um (1/х2) = 0, то, используя теорему 2 (для х -4 оо), полу-х—>оо
чаем
lim (100 + 1/г2) 1ПЛ
2^------------ =	= ЮО. А
lim (1 + 100/ж2)	1
х —>оо
lim f(x)
х—>DO
Примеры 2 и 8 позволяют сформулировать общие правила вычисления пределов вида lim R(x) и lim R(x). Здесь R(x) — рациональ-х—>а	х—>оа
ная функция (рациональная дробь), т. е. R(x) = Pn(^)/QTO(x), где Рп(х) и Qm(x) — многочлены соответственно степени пит.
46
Гл III Предел и непрерывность функции
Если lim Qm(x) = Qm(a) 0, то lim R(x) = Pn(a)/Qm(a) х—>q	х —>Q
Если hm Qm(x) = 0 и lim Рп(х) ф 0, то lim R(x} = оо. х—>а	х—>а	х—ьа
Если lim Qm(x) = lim Рп(х) = 0, то Рп(х) — (х - a)P*_j (ж), х—ьа	х —¥а
Qm(x) = (х - a)QX_i(ar) И
lim R(x) = lim х—>а	х —>а
Pn*-lW
Qm-W
Для вычисления lim R[x) надо разделить числитель и знаменатель х—>оо
функции R(x) на хт и далее вычислять предел полученной функции, Q (ж)
учитывая, что lim  -	= bo, где b0 — коэффициент при хт мно-
г-юо хт
гочлена Qm(x). ▲
9.	Пусть lim /(х) = b, hm g(x) = +оо. Доказать, что х—>а	х —>а
lim(/(x) + д(х)) = +оо х—>а
Д Докажем, что функция /(ж) + д(х) удовлетворяет определению бесконечно большой знака плюс в точке а, т е 'iM >0 3J > 0 такое, что Vx, удовлетворяющего условию 0 < |х — а| < 5, выполняется неравенство f(x) + g(x) > М. Так как hm f(x) = b, то существует х—^а
Ji-окрестность точки а, в которой (при х а)
1Л*)1 < С,	(2)
где С — некоторое положительное число (докажите это самостоятельно) Зададим произвольное М > 0 Поскольку hm g(x) = +оо, х—>а
для числа М + С 3<5 > О (J <+) такое, что Vx, удовлетворяющего условию 0 < |х — а| < <5, выполняется неравенство
5(х) > М + С.	(3)
Из неравенств (2) и (3) получаем, что при 0 < |х — а| < 5 справедливо неравенство
f(x) + q(x) g(x) - |/(х)| > М + С-С = М, что и требовалось доказать. ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Пользуясь определением предела функции по Коши, докажите, что lim (х sin(l/a;)) = О х—+0
2.	Докажите, что функция /(х) = sm(l/a;) не имеет предела в точке х = О
3.	Существует ли hm {х}, где {х} = х — [х] — дробная часть числа х?
х—>0
§ 1 Предел функции
47
4.	Пусть	.
ч _ [ х2, если х — иррациональное число, J '	11, если х — рациональное число
Докажите, что /(г) имеет предел в точках т = 1 и т = — 1 ине имеет предела в остальных точках
5.	Докажите, что a) lim (1 — cos а;) — 0, б) hm tgx = О х—>0	х—+0
6.	а) Используя неравенство shit < х < tga; (0 < х < тг/2) и теорему 3, докажите, что
lim — 1 [первый замечательный предел) х —>0 X
б) Используя первый замечательный предел, докажите, что
_ 1
~ 2’
,	1 — COST
hm ---------
7:->0 Х£
hm = 1
х-+0 X
7. Пусть
. aoxn+aixn *+ +ап R(x) = -------------------,
box™ +b1xm~1 1- +bm
Докажите, что
I co при hm R[x) = < ao/6o при
I 0 при
n > m, n = m, n < m
8.
Вычислите пределы
a)
в)
д)
hm x—t-0
hm
x —>3
hm
X —> 1
(1+x)3 - (1+3t + 3t2)	. .
----------у----г-------6) hm —
X4 + ХЛ	x-+2 X6
x2 — 5x 4- 6	. x4 — 3x 4- 2
— ----------, r) Lim —-------------,
x2 — 8x 4- 15	7 x-+i x5 — 4x 4- 3
•pTTl _ 1
~----p- (m — натуральное число)
x2 — 4
- 2z2	- 2’
an Ф 0, bo / 0
9. Вычислите пределы
a) hm
х—+4	у/х — 2
б)
в)
10.
Вычислите пределы т2 — 4
а) 11т 7----77----Г>
1 z->oo [х — 2)(х 4- 1)
б)
. (х - 3)40(5т + I)9 10 hm 2------—2---------—
z-oo (Зт2-2)25
в) hm
х—+4-оо
. .	%/х + tyx +
г) 11 т -------Т7-	—
я-^+оо	у2т + 1
11.
12.
Докажите, что hm cos х не существует X —+ОО
Существует ли hm f[x), если
х—+а
а)	а = 1,
б)	а = О,
в)	а = О,
f[x) = TSgn (т — 1), где sgn х =
/(т) =
( 1
1 0
I -1
при х > О, при х = О, при х < О,
при х < О,
при х > О,
1 - COS X X2 X 2х + х2
Sin X „гчт, П /С®) = <! х	’
1^ cos х при X и '
48
Гл. III. Предел и непрерывность функции
13. Пусть lim /(х) = Ь, hm g(x) = +оо. Докажите, что.
a) lim (/(г) — д(х)) — —со; б) lim = оо (при 6 0),
в) lim = 0, г) lim f(x)g(x) = оо (при Ъ ф 0). х —ю	х—>а
14. Пусть lim /(х) = 0 (причем /(х)	0 при х а), lim g(x) = b ф 0.
х —>а	х—>а
Докажите, что lim = со. f(T)
§ 2.	Непрерывность функции в точке
Основные понятия и теоремы
1.	Непрерывность функции в точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если lim f(x) = f(a).
х—>а
Пусть функция /(х) определена в правой (левой) полуокрестности точки а, т. е. на некотором полуинтервале [а, а-1-е) (соответственно (а —е, а]). Функция f(x) называется непрерывной справа (соответственно слева) в точке а, если /(а + 0) = /(а) (соответственно /(а — 0) =/(а)).
Теорема 6. Для того чтобы функция была непрерывна в точке а, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева.
Теорема 7. Если функции /(х) и д(х) непрерывны в точке а, то функции f(x) + д(х), f (х) - д(х), f(x)g(x), f(x)/g(x) также непрерывны в точке а (частное — при условии д(а) 0).
2.	Непрерывность сложной функции. Пусть функция у = = <р(х) определена на множестве X, a Y — множество значений этой функции. Пусть, далее, на множестве Y определена функция и = f(y). Тогда говорят, что на множестве X определена сложная функция, и пишут и = f(y), где у — <р(х), или и = /(<р(х)).
Теорема 8. Пусть функция у = <р(х) непрерывна в точке а, а функция и = f (у) непрерывна в точке b = ip(a). Тогда сложная функция и — f(v(x)) = F(x) непрерывна в точке а.
3.	Непрерывность элементарных функций. Функции у = = С = const, у = ха, у = ах, у = logo х (а > 0, а 1), у = sinx, y = cosx, y=tgx, у = ctgx, g = arcsinx, g = arccosx, g=arctgx, у = arcctgx называются простейшими (или основными) элементарными функциями.
Функция называется элементарной, если она может быть получена с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций над простейшими элементарными функциями.
§S. Непрерывность функции
49
Совокупность всех элементарных функций называется классом элементарных функций.
Наряду с простейшими элементарными функциями весьма широкое применение имеют так называемые гиперболические функции: гиперболический синус shx = (ех — е~х)/2;
гиперболический косинус chx = (ех + е~х)/2\
гиперболический тангенс ths= shs/chx;
гиперболический котангенс cths= chx/sliT.
Теорема 9. Любая элементарная функция, определенная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.
4.	Второй замечательный предел.
lim (1 + х)1/а: = е « 2,718281828459045...
Отметим, что этот предел является неопределенностью типа 1°°.
5.	Классификация точек разрыва. Пусть а — предельная точка области определения функции /(ш). Точка а называется точкой разрыва функции fix), если f(x) в этой точке не является непрерывной. Пусть /(гг) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Тогда а называется:
1)	точкой устранимого разрыва функции f(x), если существует lim f(x) = b, но либо fix') не определена в точке а, либо / (а)	5 (если
х—>а
положить /(а) = Ь, то функция /(я) станет непрерывной в точке а, т. е. разрыв будет устранен);
2)	точкой разрыва I рода функции f(x), если существуют f(a + 0) и f(a - 0), но /(а + 0)	/(а - 0);
3)	точкой разрыва II рода функции f(x), если в точке а не существует по крайней мере один из односторонних пределов функции
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определения: а) непрерывности функции в точке; б) непрерывности функции справа (слева) в точке
2.	Сформулируйте необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке
3.	Исследуйте на непрерывность функцию /(х) в произвольной точке а: a) fix') = х2-
,, .	( 0, если х — иррациональное число, , „	„	.
б) fix) = < .	(функция Дирихле).
1.1,	если х — рациональное число '	г 7
4.	Какие функции называются элементарными?
5.	Докажите, что функция у = sin х непрерывна в любой точке а.
6.	При каких значениях аргумента х функция f(x) = arcsinQnx) является непрерывной?
7.	Какие точки называются точками разрыва функции?
8.	Дайте определения точки устранимого разрыва и точек разрыва I и II рода.
50
Гл. III. Предел и непрерывность функции
9.	Найдите точки разрыва функции Дирихле. Укажите тип этих точек разрыва.
10.	Укажите тип точки разрыва функции /(х): а) /(х) — sgnx; б) /(х) = = \х\/х.
11.	Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции. Пользуясь этой теоремой и первым замечательным пределом, вычислите lim 1п^.
х—>0	X
12.	Какие функции называются гиперболическими? Принадлежат ли они классу элементарных функций? При каких значениях аргумента эти функции непрерывны?
Примеры решения задач
1.	Исследовать на непрерывность функцию /(х) и указать тип ее точек разрыва, если:
a)	f(x) =	6) f(x) = е-1^; в) f(x) = ( * ПрИ Х J
> J > х’ \	\ / (Inx при х > 1.
А а) Функция f(x) равна х при х 0 и не определена при х = 0. Так как Va lim х = а, то при а 0 lim f(x) = а = f(a), и, следователь-х —х—>а
но, f(x) непрерывна в любой точке а 0. В точке х = 0 /(х) имеет устранимый разрыв, поскольку существует lim /(х) = lim х = 0.
т->0
б)	Функция /(х) — элементарная, так как она является суперпозицией функций у = -х-1 и f = еу. Функция /(х) определена при всех х, кроме х = 0; следовательно, по теореме 9 она непрерывна в любой точке х 0. Так как /(х) определена в окрестности точки х = 0, а в самой точке не определена, то х = 0 — точка разрыва. Вычислим /(0 + 0) и /(0 — 0), пользуясь определением одностороннего предела функции по Гейне. Рассмотрим произвольную бесконечно малую последовательность {хп} такую, что хп > О Vn. Поскольку lim (—1/хп) = —оо, имеем lim = 0. Следова-п—>оо	п—too
тельно, lim Q е~г^х = 0. Рассмотрим теперь произвольную бесконечно малую последовательность {x(J такую, что х'п < 0 Vn. Так как lim (—Ijxn) = +оо, то lim е~1^Хп = +оо. Поэтому lim е-1^ = п—too	п—too	х—>0—0
= +оо, т. е. /(0 — 0) = +оо.
Таким образом, предел /(х) в точке х = 0 слева не существует, и, значит, х = 0 является точкой разрыва II рода.
в)	Докажем непрерывность /(х) в точке а 1. Возьмем е < |a — 11, е > 0. Тогда £-окрестность точки а не содержит точку х = 1, если е < < |а — 1|. В этой £-окрестности /(х) совпадает либо с функцией <р(х) = = х, если a < 1, либо с функцией V’(x) = 1п(х), если a > 1. Так как указанные простейшие элементарные функции непрерывны в точке а, то /(х) непрерывна в любой точке а ф 1. Исследуем на непрерывность функцию /(х) в точке а = 1. Для этого вычислим ее односторонние
§2. Непрерывность функции
51
пределы в этой точке, пользуясь непрерывностью функций ?/>(х) и ip(x) в точке а = 1 и теоремой 6. Получим
/(1 + 0)= lim Inx = lim Inx = In 1 = 0, ж—>1-4-0	я—>1
/(1 — 0) = lim x = lim x = 1.
v '	z-H-0 z-H
Таким образом, /(1 + 0)	/(1 — 0), поэтому в точке а = 1 функ-
ция /(х) имеет разрыв I рода. ▲
2.	Доказать, что:
a)	lim	gl lim £--1 = Ina, а > 0, а/1.
X	х-ю х
Л а) Представим функцию	в виде 1п(1 4-ат)1/35 = In?/,
где у = (1 + я)1/®. Так как lim(l + х)1^ = е, а функция In у непре-х —>0
рывна в точке у = е, то lim ln(l + s)1^ = Ine = 1. х—>0
б)	Рассмотрим функцию у = ч>(х) = ах — 1. Она непрерывна в точке х = 0 и 1/(0) = 0. При этом
s = logQ(l + ?/),
Ж 1
а - 1 _ У
х logo(l + j/)'
Вычислим lirn ip- & —у, пользуясь результатом п. а):
1
у	ulna ,	1	Ina
hm ------------г = hm 7-7--------г = Ina----r-r------? = ——
y->o loga(l + y) y—»o ln(l + ?/) iim ln(1 + У) 1
y->o у
= In a.
Рассмотрим теперь функцию /(х), непрерывную в точке у = 0: f 1-------------------------77-----7 ПРИ г/ /
/(?/) = J loga(l + г/)
( Ina при у = 0.
Согласно теореме 8 сложная функция
J а --1 при х ф 0,
*)) = S х ( Ina при х = 0
ах -1
является непрерывной в точке х = 0. Поэтому lim ------ = In a. ▲
z->0 X
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
15. Исследуйте на непрерывность функцию /(х) и укажите тип ее точек разрыва (см. упр. 1-4):
а) f(x) = х sin(l/x); б) /(х) = sin(l/x); в) /(х) = {х};
52
Гл. III. Предел и непрерывность функции
Г 9
\ /f \ _ ) х > если х — иррациональное число, ' J '	11, если х — рациональное число;
«) № = е) № = arctS ж) № =
з) /(х) = In	---уу---—;	и) /(х)	= | f	ПрИ ? 5 Х	г
'	(х + 1)(х- 3)	’ 1	'	12-х	при 1 < х	2
кч Нх\ = {Х ПРИ |ж| 11	л1 fM = I “sW2) п₽и 1:
' *' ' (1 при [х| > 1;	> J\ ) I |ж — 1|	при |:
16. Докажите, что: a) lim -—=-!- = 1; б) lim --------- — а;
х—>0	%	х—>0	X
в) lim = 1; г) lim = 1; д) lim ----------------------= -|.
z->0 I	х->0 X	x-tO х2	2
§ 3. Сравнение бесконечно малых функций. Символ “о малое” и его свойства
Основные понятия и теоремы
1.	Сравнение бесконечно малых функций. Функция а(х) называется бесконечно малой при ж —> а (в точке а), если lim а(х) = 0.
х —>а
Пусть а(х) и /3(х) — две бесконечно малые функции при х —> а.
Функции а(х) и /3(х) называются:
а)	бесконечно малыми одного порядка при х -4 а (в точке а), если
б)	эквивалентными бесконечно малыми при х а (в точке а), если
lim = 1 (обозначение: а ~ (3 при х -> а).
Z-+a /j[Z)
Если lim 77^4 = 0, то говорят, что а(х) является бесконечно малой х^а /3(Х)
более высокого порядка при х —> а (в точке а), чем /3(х), и пишут а = о(/3) при х —> а (а равно “о малое” от /3 при х —1 а).
Например, х2 = о(х) при х —1 0.
Аналогичные определения имеют место для случаев х -> а + 0, х —> а — 0, х —> оо.
Следует иметь в виду, что равенства, содержащие символ “о малое”, являются условными. Например, равенство х2 = о(х) при х —> 0 верно, но о(х) = х2 неверно, поскольку символ о(х) обозначает не какую-то конкретную функцию, а любую функцию, являющуюся при х —> 0 бесконечно малой более высокого порядка, чем х. Таких функций бесконечно много, в частности, любая функция хр (где р > 1) есть о(х) при х 0. Таким образом, равенство х2 = о(х) при х —> 0 означает, что функция х2 принадлежит множеству бесконечно малых
§3. Сравнение бесконечно малых
53
функций более высокого порядка при х -4 0, чем х. Поэтому “в обратную сторону” это равенство (о(х) = х2) неверно: все множество функций о(х) не сводится к одной функции х2.
2.	Свойства символа “о малое”.
Теорема 10. Пусть од(х) иа^х) —две произвольные бесконечно малые при х -4 а функции такие, что Qi(x) = о(Д) и а2(^) = о(Д). Тогда «i(x) + п-2(х) = о(Д) при х -4 а.
Эту теорему кратко можно записать так:
oQ3) + о(/3) = о(/3).
Сформулируем наряду с указанным еще ряд свойств символа “о малое” (всюду имеется в виду, что а —> 0 и /3 —> 0 при х —> а).
1°. о(/3)+о(/3)=о(/3).
2°. о(/3) - о(в) = о((3).
3°. о(с/3) = о(/3) Vc 0.
4°. со(/3) = о((3) Vc ф 0.
5°. 0(j3n) = o(j3k), n3>2(neN), k = l,2,...,n- 1.
6°. (o(/3))n = o(J3n) Vn € N.
7°. /3"о(/3) = о(Д"+1) Vn 6 N.
8°.	n 2 (n G TV).
Обозначим любую бесконечно малую при х —> а функцию символом о(1). Тогда свойство 8° будет справедливо также при п = 1:
р / п \
9°. о! '^Ck/3k I = o(J3), где С/, — числа. ' fc=i '
10°. о(о(/3)) = о(/3).
11°. о(/3 + о(/3)) =о(/3).
12°. а/3 = о(а), а/3 = о(/3).
13°. Если а ~ (3, то а — (3 = о(а) и а. — (3 = о(/3).
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение бесконечно малой функции: а) при х —> а; б) при х —> оо. Приведите примеры таких функций.
2.	Сформулируйте определение и приведите примеры бесконечно малой функции а(х)\
а)	одного порядка с функцией /3(х) в точке а;
б)	эквивалентной функции /3(х) в точке а;
в)	более высокого порядка при х —>• а, чем /3(х).
Что означает символическая запись а = о(/3) при х —> а?
54
Гл III Предел и непрерывность функции
3 Приведите примеры функций а(х), для которых справедливы равенства
а)	а(х) = о(х) при х —> О,
б)	а(х) = о(ч/1 — х) при х —> 1 — О,
в)	а(х) = о(1/х2) при х —> со
4 Докажите, что х3 = о(х2) при х —> 0 Верно ли равенство х3 = о(/3) при х —> 0, если
а)/3(х) = х, б) /3(х) = х2л/|х], в)/3(х) = х3-у4х], г)/3(х) = х2 sin х?
5 Докажите, что (х — I)2 = о(х — 1) при х —> 1 Верно ли равенство (х — — I)2 = о(/3) при х —> 1, если
а)/3(х) = (х - I)3, б) /3(х) = sm(x — I)2, в) ^(х) =
6 Докажите, что 1/х4 = о(1/х3) при х —> оо Верно ли равенство 1/х4 = = о(/3) при х —> оо, если
aW) = ± (fc = l,2),	б)^(х) = ±,	в)/3(х) = ^±_,
г)	/3(х) =	—,	д) /3(х) = ---- 1	?
хл sin х	(х — I)4 arctg (1/х)
7	Являются ли функции sin х и х эквивалентными бесконечно малыми при х —> 0? Докажите, что sm х — х = о(х) при х —> О
8	Пользуясь свойствами символа “о малое”, запишите для функции а(х) равенство вида а(х) = о(хк) при х —> 0, если
а(х) = о(х2) + о(х2), а(х) = о(х) — о(х), а(х) = 5о(х),
а(х) = о(3х2), а(х) = (о(х))3, а(х) = хо(х), а(х) =
х2
а(х) = о(—х + 2х2 + х4), а(х) = о(о(х2)), а(х) = о(х + о(х))
9	Пользуясь свойствами символа “о малое”, запишите для функции а(х) равенство вида а(х) = о(1/х*) при х —> со, если
Примеры решения задач
1.	Верно ли равенство а(х) = о(х) при х -4 0, если: а) а(х) = 2z2,
X
In |х| ’
б) а(х) = Зх, в) а(х) = \/|х[, г) а(х) =
Л а) 2х2 = о(х), так как lim — = 0.
7	' '	х-»0 X
д) а(х) = 1 — cos ж?
б)	Равенство Зя = о(х) неверно, поскольку hm — — 3 0. Функции
Зя и I являются бесконечно малыми одного порядка при х —> 0.
в)	x/ixl о(х), так как lim — оо.
' v 1 1 v '	z-»0 X
§3. Сравнение бесконечно малых
55
г)	, х, , = о(т), поскольку lim (, х. , : х | =0.
1 In |rr| v	J а-^о \1п |®|	)
д)	1 — cost — о(х), так как hm -—cosa: = lim 2sm = '	z-»0 x	x—>0	x
= lim (51П^/2) У% =1-0 = 0. A
z->0 \ x/2 ) 2
2.	Верно ли равенство а(т) = о(х2) при х -4 0, если:
а)	а(х) = sin2т; б)а(т)=х3; в) а(т) = 1 — cost?
Д a) sin2 х / о(х2), так как hm 1 х = hm	= 1. функции
х->0 х2 х-»0 \ х )
sin2 тит2 — эквивалентные бесконечно малые в точке х — 0
б)	х3 = о(х2), поскольку lim — = 0
ч 1	/ Z О\	1.	1 — COS X 1	-	_
в)	1 — cosrr о(х ), так как hm---------— = Функции 1 —
*с О X
— cost их2 — бесконечно малые одного порядка в точке х = 0. ▲
3.	Используя пределы
а) lim = 1; б) hm 12^1 = 1; В) lim М1+Д) = 1;
г) lim + g = - (п — натуральное число), х—>0	X	71
представить функции sinx, cost, ln(l + x), 1/1 + х в виде
ф(х) = а0 + aixk + o(xk) при х -4 0,
где k = 1 или к = 2; а() и щ — некоторые числа.
Д Докажем сначала, что если а(х) и /3(х) — бесконечно малые од-
ного порядка при х -4 а, т. е при х -> а.
В самом деле, так как
lim = с ф 0, то а(х) = с(3(х) + о(/3) х—¥а р(Х)
,	/а(х)	\ п
hm - с = 0 или ж-»а \р(х)	/
а(х) - сД(х) x-Та Д(х)
= о,
то по определению символа о(Д) имеем
а(х) — с[3(х) = о(Д), или
а(х) = с(3(х) + 0(0) при х -> а.	(1)
Из равенств а)-г), пользуясь формулой (1), получаем
sinx = х + о(х)	при	X -4 0,	(2)
cos х = 1 — х2 + о(х2)	при	х -э 0,	(3)
1п(1 + ж) = х + о(т)	при	х —> 0,	(4)
-Ь ж = 1 + - х + о(х) 71	V '	при	х —> 0	(5)
Формулы (2)-(5) называются асимптотическими формулами, а также асимптотическими разложениями или асимптотическими
56
Гл. III. Предел и непрерывность функции
представлениями функций sinrr, cosx, 1п(1 + ж), tyl + х при х -4 0. Последнее слагаемое в правой части этих формул (о(аг) или о(х2)) называется остаточным членом асимптотической формулы, к
4.	Доказать свойства 2°, 3°, 6°, 9°, 10° символа “о малое”.
Л Напомним, что символ о(/3), входящий в левую часть формул, означает любую бесконечно малую функцию в точке а более высокого порядка, чем (3(х).
1.	Докажем сначала свойства 2°, 3°, 6°, т. е.
О(/3) - о(/3) = о(/3),	(6)
о(с/3) = о(/3) Vc # 0,	(7)
(о(/3))п = О(Д") Vn € N.	(8)
Обозначим через ai(x), аг(^), «(я) произвольные бесконечно малые функции в точке а такие, что ai(x) = o(J3), аг(^) = о(/3), а(х) = = о(с/3) при х —> а. По определению символа “о малое” эти равенства означают, что
lim	= 0,	(9)
х->а /3\Х)
lim	= 0,	(10)
х->а р(Х)	7
Для доказательства справедливости равенств (6)-(8) нужно установить, что
Qi(x) - а2(х) = о(Д),	а(ш)=о(/3), (од (т))п = о(/?п),
т. е.
Т	ai(r)-a2(r)	п
Lj = hm >.....= 0,
х-¥а р[Х)
(щ(*))п (Д(г))«
L2 = lim = 0, х->а р(Х)
= lim X —>Q
= 0.
Учитывая (9) и (10), получим
£i = lim х —>а
О1(ж) /3(ж)
lim
х—
О2(х) Д(гг)
Ьз —
lim х—¥а
0-0 = 0, = 0.
ai(.x)\n _ п /3(х) )
С помощью равенства (11) находим
L2
= с lim х—¥а
а(г) с/3(х)
= С-0 = 0.
Итак, справедливость формул (6)-(8) доказана.
§ 3. Сравнение бесконечно малых
57
2.	Докажем теперь свойства 9° и 10°, т. е.
= о(/3) (ск — числа),	(12)
о(о(/3)) = о(/3).	(13)
Обозначим через ф(;г), а(т) и ip{x) произвольные бесконечно малые функции в точке а такие, что
ф(х) = о('^ск/Зк\ а(х) = о(Д), уз(х) = о(а) = о(о(/?)),
к— 1
т. е.
lim - ^=0, х^а Л.
Е С/А fc=l
lim ^±1 = о, х—ьа р[х)
lim <44=0.
(14)
(15)
(16)
Для доказательства справедливости равенств (12), (13) нужно доказать, что т V'W л £i = lim — 0,
i2 = lim = 0. x-¥a p{x)
Учитывая (14), (15), (16), получаем
t^k
k-"^T = Q'c' = 0’
Li = lim - — lim х"а Е ск(з* х^а к = 1
Li = lim lim х—>Q Ot(XJ x—>a
=0'0 = 0.
Таким образом, справедливость формул (12), (13) доказана. ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
17.	Используя пределы:
a) lim -—— = In а (а > 0, а ф 1); б) lim -—— = 1;
х—>0 X	х—>0 X
В) lim	= а. г) lim shr = 1;
х->0 X	х-»0 X
\ 1- thx 1	\ 1-	1 “ chx 1
д) hm = 1; е) hm --------------— =
' z->0 х	r-m х2	2
выведите асимптотические формулы (при х —> 0) для функций ах, ех, (1 + х)“, shx, thx, chx.
58
Гл III Предел и непрерывность функции
18.	Докажите свойства 1°, 4°, 5°, 7°, 8°, 11°-13° символа “о малое”
19.	Справедливо ли равенство о(о(х)) = о(х1+е) при х —> 0, если а) е > О, б) е = 0, в) —1 < е < 0? Ответ обоснуйте
20.	Верны ли равенства
а) о(х + аг) = о(х2) при х —> 0, б) о(т) = о(х2) при х —> О,
в) о(х2) = о(х) при X —> 0, г) о(1/х) = о(1/х2) при X —>• оо,
д) о(1/т2) = о(1/х) при X 00?
Ответ обоснуйте
21.	Пользуясь войствами символа “о малое”, запишите для функции а(х) равенство вида а(х) = о(1) или а(х) = о((х — а)*) при х —> а (к натуральное), если
а)	а(х) = о(—5х + х2 — х3 + о(—5х + х2 — х3)) при х —> О,
б)	а(х) = (к — 1)о((х — I)2 + о(х — 1)) при х —> 1,
в)	а(х) = о(3х + х2) при х —> О
22.	Пользуясь свойствами символа “о малое”, запишите для функции а(х) равенство вида а(х) = о(1) или а(х) = о(1/хк) при х —> оо (к натуральное), если
§ 4. Вычисление пределов функций с помощью асимптотических формул. Вычисление пределов показательно-степенных функций
Основные понятия и формулы
1.	Асимптотические формулы. В примерах и задачах § 3 были получены асимптотические формулы для простейших элементарных функций при х -4 0 Запишем эти формулы в виде таблицы
I	sinx = х	+ о(х)	V
II	cos х = 1	— ~ + о(х2)	VI
III	1п(1 + х)	= х + о(х)	VII
IV	ах = 1 +	х1па + о(х) (а > 0), VIII
ех = 1 +	х + о(х)	IX
(1 + х)а = 1 + ах + о(х) tgx = х + о(х) shx = х + о(х)
chx = 1 + у + о(х2) thx = х + о(х)
Указанные формулы остаются справедливыми, если в них вместо аргумента х подставить хп, где {хп} — бесконечно малая последовательность, либо у(х), где hm у(х) = 0 Например, справедливо х—>а представление, вытекающее из формулы I
1	1 > ( 1 \
ЗШ — = — + о( I, п2	п2 \п2 /
Вычисление пределов функций
59
где -J j — бесконечно малая последовательность более вы-( 1 1	,	о(1/п2)	.	2 ( 1 \ п
сокого порядка, чем < I, т е hm ; '	= hm п о — =0
I П2 J	П-+ОО 1/zi2 n->oo \Zl2/
Функция у(х) = х — 1 является бесконечно малой при х —> 1 поэтому из формулы III получаем равенство
1п(1 + у{х)) = у(ж) + о(у) при X -4 1, или
1п(1 + (х — 1)) = In X = х — 1 + о(х — 1) при х —> 1
Используя это равенство и формулу II, запишем асимптотическое представление функции cos In х при х -4 1
cos In х = cos(x — 1 + о(х — 1)) =
, (х — 1 + о(х — I))2	1	,	,\\2\
= 1 - -------+ о((х - 1 + о(х - I))2)
На основании свойств символа “о малое” получаем
(х — 1 + о(х — I))2 (х — I)2	,	,	1.	1, , lU2
------=	2	+ (х - 1)0(2: - 1) + -(о(х - 1)) =
=	9— + о(х - I)2 + о(х ~ I)2 =	+ о(х ~ I)2
z	z
Аналогично,
(х - 1 + о(х - I))2 = (х — I)2 + о(х - I)2
В силу свойства 11° имеем
о((х — I)2 + о(х — I)2) = о(х — I)2
Окончательно получим
cos In х = 1 — (Х + о(х — I)2 при х —> 1
2. Вычисление пределов показательно-степенных функций. Рассмотрим вычисление предела при х —> а показательно-степенной функции	где функции и(х) и v(x) определены в некоторой
окрестности точки а, причем и(х) > 0
Возможны следующие случаи
1	Если hm u(x) = b > 0, hm v(x) = с, to hm u(x)v^ = bc x—¥a	x—¥a	x—¥a
2	Если hm u(x) = 0, lim v(x) = c > 0 (или +00), to hm ul: = 0 x—x—¥a	x —¥a
3	Если hm u(x) = 0, hm v(x) = c < 0 (или —00), to hm uv = +00 x—¥a	x—¥a	x-¥a
4	Если hm u(x) = 0, hm w(x) = 0, to hm и{хУ^ называется не-x—¥a	x—¥a	x—¥a
определенностью типа 0°
60
Гл III Предел и непрерывность функции
5	Если hm u(x) = +оо, lim v(x) = с > 0 (или +оо), то hm и" = х—¥а	х—¥а	х—¥а
= +оо
6	Если hm u(x) = +оо, hm «(х) = с < 0 (или —со), то hm и" = О х—+а	х—¥а	х —¥а
7	Если hm u(x) = +оо, hm «(х) = 0, то hm uv называется не-х—¥а	х —¥а	х—¥а
определенностью типа со0
8	Если hm u(x) = 1, hm v{x) = оо, то hm uv называется неопре-х—>q	х—ьа	х—>а
деленностъю типа 1°° Примером такой неопределенности является второй замечательный предел
hm (1 + a:)1/* = е х—>0
Если uv представить в виде evln“, то каждая из неопределенностей 0°, со0, 1°° сводится к неопределенности вида 0 оо, для функции v In и
Если при этом hm v In и = b, то hm uv = еь x~¥a	x-+a
Контрольные вопросы и задания
1	Напишите асимптотические формулы для функций sin ж, tgr, cosx, ln(l + x), ex, ax, (1 + x)a, shx, thx, chx при x —> 0
2	Напишите асимптотические формулы с остаточным членом вида о(ха) при х —> 0 или о(1/х“) при х —> со (а > 0) для сложных функций ыпр, tg?/, cosp, ln(l + у), еу, av, (1 + р)“, slip, thp, ch у, если
a) у — 3® и x —> 0, б) у = y/x и x —> +0, в) у = г3 и х —> О, г)р = 1/гих —>оо
3	Напишите асимптотические формулы с остаточным членом вида o(l/zi“) (а > 0) для последовательностей ыпг71, tgхп, cosxn, ln(l + xn), е1п, о1", (1Н-Хп)“, shxn, ths:™, chхп, если
а) хп = —	б) хп	= Д-,	в) х„ = In f 1+	-Y	г) хп = е1/п - 1
п	' п2	\	и/
4	Дайте определение бесконечно малой последовательности {ап} более высокого порядка, чем {1/zi}, при п —> оо Дайте определение бесконечно малой функции а(х) более высокого порядка, чем 1/х, при х —> оо Запишите для ап и а(х) соответствующие символические обозначения
5	Какой порядок малости имеют последовательность ап — по(1/п2) при п —> со и функция а(х) = хо(1/х2) при х —> оо по сравнению соответственно с {1/zi} и /3(х) = 1/х7
6	Пользуясь асимптотической формулой IV и определением предела функции по Гейне, докажите, что е1//п = 1 +	ПРИ п ~* 00
7	Верны ли равенства
\/1 + х2 = 1 + i х2 + о(х2) при х —> О,
ch - = 1 + 1	+ о( -Y-'j при х -> 0 ?
п 2п2	\п2/
Ответ обоснуйте
§4 Вычисление пределов функций
61
8	Назовите возможные случаи вычисления пределов показательно-степенных функций Приведите примеры трех типов неопределенностей для таких функций
9	Вычислите пределы
а) llm Ой) ’ б) hm (й) ’ в) 11“(я:)1/1пл:
х —>оо \	о/	Х-—>оо \ X ~г о /	х—>4-0
Примеры решения задач
1.	Вычислить hm
ж-Ю ШСОвЗт
Л Запишем асимптотическое разложение числителя, пользуясь асимптотическими формулами для синуса и тангенса и свойствами символа “о малое”
т2	/ х2 / х2\\
sinsm tg — = smsin I у + o( у J ) =
[2	,	2 x	у2	у 2 ч \ ч
X  (Х А . (Х । Iх AM т + Чт)+Чт + 0(т))1 =
2	\	2	о
(X / 2\	/	Iх . < 2\А х / 2\
= sin I у + о(х ) + о(х ) ) = sin I у + о(х ) \ = у + о[х )
Здесь мы воспользовались тем, что о^у +	= о(т2) и °(ж2) +
+ о(т2) = о(л;2)
Выведем теперь асимптотическое разложение знаменателя, используя асимптотические формулы для косинуса и логарифма
In cos Зя; = In (1 — —у—h o((3x)2)) = In ^1 +	+ o(z2))) =
9т2 ,	/ 2\ ,	/2ч	9т2 ,	, 2\
= —у + o(x ) + o(x ) = —— + o(t2)
Здесь мы воспользовались тем, что
о((3а;)2) = о(я;2),
/	9т2 z	i 2ч
----у + °(Х )) = °(.Х )>
о(х2) + о(т2) = о(х2)
Таким образом, данный предел равен
lim ж-s-O
т2
~+ф2)
-~+о(х^)
= hm
х—>0
1	4. °(l2)
2	+ ~
9	о(х2)
2	х2
1
2	_______
9	.	о(т2)
-----1- hm -Цт2-
2	z-ю х2
hm
г-»0 х2
1
9
Здесь мы воспользовались тем, что, по определению символа «„	77 1	о(т2)
о малое hm v ' = 0 А
X->0 X2
62
Гл III Предел и непрерывность функции
2.	Вычислить hm -----— (а > 0)
х—>а X — а
Д Положим у = х — а, тогда данный предел запишется так:
hm у-Ш
ау+а - аа
У
= аа hm
ау — 1
у->° у
Так как ау = 1 + у\тха + о(у), то
о, ау — 1 а г/1па + о(у)	, ,. о(у) \ О1
a hm------= a hm ----------— = а In а + hm = а In а.
у->о у	у—*о	у	\	у-ю у )
Итак, lim ° ~ ° — аа In а. А х—х — а
3.	Вычислить lim sin(7rVn2 + 1) n—>0Q
Д Используя асимптотическую формулу V при х = 1/и2 и а — 1/2, получим
г—----	/	1 х1/2	/	11	/ 1 \\	1 /IX
у/п2 + 1 = п (1 + -г)	= п(1+-- — + о(-^)) = п +	~ )
к п2 / к 2 п2 \п2 J ) 2п \п/
Отсюда
зт(тг\/п2 + 1) = sin (тгп + ^- + o(i')') = (-l)n sin f^ + of-')') '	’	\ 2n \nJJ '	\2n	\n)J
Последовательность {(—l)n} ограниченная, a {sin	} бес-
конечно малая, поэтому произведение этих двух последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Таким образом, lim siniTrvn2 + 1) = 0. А п—>оо
4.	Вычислить liin(cosx)ctg х.
Д Данный предел является неопределенностью типа 1°°, так как lim cosх = 1, lim ctg2x = оо. Запишем (cosx)ctg2:c в виде ectg2;c lncosi ж-»0	ж-Ю
и вычислим L = lim ctg2x  In cos х. Для этого напишем асимптоти-х—>0
ческое разложение для In cos х и sin2x при х —> 0:
Incosx = In {1 -	+ о(х2)) =	+ о(х2),
sin2 х = (х + о(х))2 = х2 + о(х2).
Используя эти равенства, находим
L = lim cos2 х  lim
х—>0	х—>0
—х2/2 + о(т2) _ _ 1^ х2 + о(х2)	2
Таким образом, искомый предел равен eL = е х/2. А / J \ tg (1/п)
5.	Вычислить lim I — I
п—>сю \П /
Д Данный предел является неопределенностью типа 0°. Для его вы-
§4 Вычисление пределов функций
63
/ 1 х tg (1 /п)	, , . . , , .
числения запишем I - 1 в виде е gl- 'п> и вычислим пре-
дел L = lim (tg -  In - ]. Имеем
*	П-ЮО \ п nJ
L = lim [ — Innfi + of-')')] = — lim — n-too L	\n	n-и» n
— lim	[inn	•of— Y	=0 — hm lim	°^ln^	= Q;
n—>0Q	L	\7l/J	n—>0Q	71 n—>oo 1/71
так как hm = 0 (cm. § 4 гл II) и hm = 0.
n—>OO n	n—>oo 1/71
Таким образом, L = 0, т e. искомый предел равен 1. ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
23.	Напишите асимптотические разложения следующих функций при х —> 0 с остаточным членом вида о(та), где а 4 0
a)	sin2(51yT), sin2(5y/x + х) (т > 0), б) cos(4x2), cos(4t2 + х),
в)	е2х, е2х+^ (х > 0), г) ln(l — х2), ln(l — х2 + х),
д)	3 - ^27 - х, 3 - ^27 - х + vT (т > 0), е) 2*3, 2l3+l2,
ж)	In cos 2х, lncos(2x + х2), з) cos Vsmz, ch у/sin х (х > 0),
и)	ln(e* + vT) (х > 0), к) 5e’-cos '/Ч
л)	^/cos у/х (х > 0), м) COST cos х2 — 1
24.	Напишите асимптотические разложения функций при х —> 2 с остаточным членом вида о(х — 2)“, где а 4 0
a) sm(x — 2)2, б) (3 — х)^, в) 1п(т — 1), г) cos(ttt),
д) tg(7rx2), е) (/х — 1 — у/х — 1, ж) хх — 4
25.	Напишите асимптотические разложения функций при х —> оо с остаточным членом вида о(1/т“), где а 0
а) у/х2 + х — х, б) v^x3 + х — х, в) ^/(т + 1)(х + 2)(т + 3)(т + 4) — х, r)sin(vi)’ sh(4s)’ д)с08Ш’ е)51/*’
ж) Ineos f-1 lnchf-Y з) — 1 (х > 0) \х)	\х)
26.	Напишите асимптотические формулы для последовательностей с остаточным членом вида о(1/п“), где а 0
а) у/п2 + п2 — п, б) 21/п + 71/п — 2, в) sm
27.	Вычислите пределы
hm COSX-COS3X hm gmfr-irza
х->0 X2	2->тг/3 1—2 COSX
в) hm(l - x)tg Х—¥ 1	*
д) hm (\/1 + т + т2 х—>4-оо
г) hm VI+ - yf.h+b£ (m,neN), х—>0	X
Г. ’ Г, , ,	У cost — fyeosx
— у 1 — т + х2), е) hm---------=----,
х—>0	Sin2 X
64
Гл III Предел и непрерывность функции
28.
ж) hm х—>а
In X — In fl х — а
1 — \/х
при X —> +0, X —> 1, X —> +(
(/	\\tg2x	/	т\х
tg(l + :K))	’ К) hm	(а2+Ь2^0),
\ о / /	х—>4-оо \ OX -f- 2 /
л) hm (sinx)tSJ:, X—>7Г/2
.	1 (ch (jr/n)-1)
м) hm TV k ' > J, n —>oo
H) hm f-a-~ 1 + (a > 0, b > 0) n—>oo \	0.	/
Вычислите пределы
a) hm Tyi + ax yi-+.b£- 1 (W] n G ту), x —>0	X
6)
r)
hm x—>0
hm
x —>0
B) hm
1 — \/l — t/2	’ x-»+0 sin4 3 VS
д) hm	..,
lncos3x’ x-^q sin(xy2) — sinx
e)
з)
hm n( %/a — 1) n—>oo
к) hm smn (ч2я7\ Y n—>oo	\3n+V
29. Вычислите пределы 81п2(тг 2*) lncos(7r 2х)’ In tg (тг/4 + ax) sin bx ’
л) hm cos" -5=, n—> оо	V Tl
m) hm (tgx) x—>ir/4
tg lx
hm
hm
X—>«
Xх — aa x — a
(a > 0),
hm x—>0
ax+h + ax-h _ 2a* г I hm h->0
(° > 0),
д hm cos(xez) — cos(ze x) z z->0	X3	’
e) hm
n—>oo
(ch- -i'I \ n J
1 / In n — 1
ж) hm n2 sin n—>oo
3) hm K^y + smll", n—>oe L \ ”1* 1 / Л-J
и) hm cos(7r\/n2 + n), к) hm (x —Inchx) n—>oo	x—>4-oo
30. Вычислите пределы
a) hm ( \/о:3 + 3x2 — \/x2 — 2x), x—>4-oo
6) hm я:1^3[(я: + I)2''3 — (x — l)2^3], X—>oo
r) hm(l - oQlog^ 2, д) hm
x—>1	x—>a Я- — fl
, ,	1 — cos x cos 2x cos 3x
в) hm------------2S--------
x->o sm^2x
(a > 0),
e) hm n2(i/a— п+Уа) (a > 0), n—>oo
_ ^fx	Г
з) lim-X=--и) hm cos
x->1	X—>oo L
к) hm tg"[^ + (1 + 1)“], n—>oo	L	\	" / J
Ж) hm ln«2- + 2V*), x->+0 tgv1
m)
, ln(x2 + ex) hm ——;--------—,
x-t+oo ln(z4 + e21)
л) hm ( sm - + cos -x—>oo \ X	X
h)
1 m 'n(x2 > £l) x-i-oo ln(z4 -(-e2x)
ГЛАВА IV
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. Производная функции. Правила дифференцирования
Основные понятия и теоремы
1. Определение производной. Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки tq. Приращением этой функции в точке то называется функция аргумента Дт
Ау = f(xo + Дт) - /(т0)
Разностное отношение также является функцией аргумента Дт
Определение Производной функции у — f(x) в точке тп называется Jim (если он существует)
Производная функции у = /(т) в точке хо обозначается /'(то) или у'(хо). Операция нахождения производной называется дифференцированием.
2. Таблица производных простейших элементарных функций.
I. (та)' = ат“-1 (а — любое число)
II	(sma:)' = COST.
III.	(cost)'= —sin т
IV.	(log0T)' = —p—, в частности, (1пт)' = — (т > 0)
V.	(а1)' = а1 In а, в частности, (е1)' = ех.
VI	(tgT)' = —(х ~ + тт, пе Zj cos2 х \	2	)
VII.	(ctgT)' =----(т im, п € Z).
sin х
VIII	(arcsinx)' =	*	(— 1 < х < 1)
VI — х2
IX.	(агссозт)' = —	- (—1 < т < 1).
X.	(arctgT)' = т^-7
XI	(arcctg т)' = --^2
XII.	(зЬт)' = сЬт.
3 В ф Бутузов и др
66
Гл. IV. Производные и дифференциалы
XIII.	(chx)'= shx.
XIV.	(thx)' = -1-. ch 2x
XV.	(cthx)' = —(t^O).
sh2x
3. Физический смысл производной. Производная /'(то) —это скорость изменения функции у = /(т) в точке хо (иными словами, скорость изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х в точке хо). В частности, если х — время, у = /(т) — координата точки, движущейся по прямой, в момент х, то f'(x0) — мгновенная скорость точки в момент времени х0-
4. Геометрический смысл производной. Рассмотрим график
Рис. 1
функции у = /(т) (рис. 1). Точки М и N имеют следующие координаты: М(х0, /(т0)), N(x0 + Ax,f(x0 + Дт)). Угол между секущей MN и осью Ох обозначим <^(Дх).
Определение. Если существует lim <^(Да;) = <ро, то прямая I с Дж—>0 угловым коэффициентом к = tg<^o, проходящая через точку М(х0,/(т0)), называется касательной к графику функции у = /(х) в точке М.
Теорема 1. Если функция у = f(x) имеет в точке хо производную /'(хо), то график функции имеет в точке М(х0, /(tq)) касательную, причем f'(xo) является угловым коэффициентом касательной, т. е. уравнение касательной записывается в виде
У ~ /(то) = /'(т0)(т - т0).
Если функция у = f(x) непрерывна в точке x.q и
Пт	= оо,
Дх-Ю	Дх
то говорят, что функция имеет в точке xq бесконечную производную. В этом случае касательная к графику в точке Мо параллельна оси Оу, а ее уравнение таково: т = xq.
5.	Односторонние производные. Если существует lim /(то + Дт) ~/(хо)	/ lim f(x0+&x)-f(x0)\
Дг->+0 Дх	\Дгч-0 Дх /’
то он называется правой ( соответственно левой) производной функции у = f(x) в точке то и обозначается /'(то + О) (соответственно /'(т0 - 0)).
Если существуют /'(жо + 0) и /'(жо — 0) и они равны, то существует /'(то), и она равна /'(то + 0). Обратно: если существует /'(то), то существуют f'(x0 + 0) и f'(x0 - 0), причем /'(х0 + 0) = f'(x0 - 0) =
§1. Производная функции
67
6.	Правила дифференцирования.
Теорема 2. Если и(х) и v(x) имеют производные в точке хо, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) 0) также имеют производные в точке x.q, причем в точке Xq справедливы равенства
(и + v)' = и' + V1, (uv)' = u'v + uv',
(и — v)' = и' — v', (и\ _ u'v — uv'
V)	V2
7.	Производная обратной функции.
Теорема 3. Если функция у = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки х0, имеет производную в точке хо и f'(xo) / 0, то существует обратная функция х = f-1(y), которая определена в некоторой окрестности точки у0 = f(xo) и имеет производную в точке уо, причем
= (1)
Физическая интерпретация формулы (1): производная (f~1(yo))' есть скорость изменения переменной х по отношению к изменению переменной у, a f'(xo) — скорость изменения переменной у по отношению к изменению переменной х. Ясно, что эти величины являются взаимно обратными.
8.	Производная сложной функции.
Теорема 4. Если функция t = tp(x) имеет в точке х0 производную <р'(хо), а функция у = i/>(t) имеет в точке to = (р(хо) производную ip'(to), то сложная функция у — ф(<р(х)) = f(x) имеет производную в точке xq, причем
f'(x0) = ф'(р(хо))<р'(хо).	(2)
Физическая интерпретация формулы (2): производная <р'(хо) есть скорость изменения переменной t по отношению к изменению переменной х, а производная tp'(to) — скорость изменения переменной у по отношению к изменению переменной t. Ясно, что скорость <р'(хо) изменения переменной у по отношению к изменению переменной х равна произведению скоростей ip'(to) и <р'(хо). (Если t “движется” быстрее х в к раз, ay — быстрее t в I раз, то у “движется” быстрее х в kl раз.)
9.	Производная функции, заданной параметрически. Пусть Функции
x = <p(t), y = ^(t)	(3)
определены на некотором промежутке изменения переменной t, которую назовем параметром. Пусть функция х = <p(t) является строго монотонной на этом промежутке. Тогда существует обратная функция t = <p'~1(x'), подставляя которую в уравнение у = ф(Е), получим
у = ф(<р 1(х)) = f(x).
з*
68
Гл. IV. Производные и дифференциалы
Таким образом, переменная у является сложной функцией переменной х. Задание функции у = /(х) с помощью уравнений (3) называется параметрическим.
Уравнения (3) можно интерпретировать как зависимость координат точки, движущейся на плоскости (х,у), от времени t. При такой интерпретации график функции у = f(x) представляет собой траекторию точки.
Если функции х = <p(t) и у = i/)(t) имеют производные <p'(t) Д) и ^>'(t), то функция у = f(x) также имеет производную, причем
f'M =
(4)
Заметим, что существование производной <^'(t) определенного знака является достаточным условием строгой монотонности функции х = <^(t) и, следовательно, существования функции у = /(т), заданной параметрически.
10.	Производная вектор-функции. Если каждому значению переменной t € Т (Т — некоторое числовое множество) поставлен в соответствие некоторый вектор г, то говорят, что на множестве Т определена вектор-функция г = r(t).
Определение. Вектор а называется пределом вектор-функции г = r(t) в точке to, если lim |r(t) — а| = 0.
t—
Определение. Производной вектор-функции г = r(t) в точке t называется lim -xr(r(t-|- At) — r(t)) (если он существует).
At—>0 At
Производная вектор-функции r(t) обозначается r'(t).
11.	Физический смысл вектор-функции и ее производной. Положение точки М в пространстве можно задать тремя ее коорди-
натами или вектором г = (JM, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с точкой М (рис. 2). Если точка М движется, то вектор г изменяется в зависимости от времени t. Таким образом, движение точки можно описать вектор-функцией г = = r(t), где t изменяется на некотором отрезке [а, Ь]. Множество концов вектора r(t) (где t € [а, Ь]) представляет собой траекторию движения точки (оно называется также годографом вектор-функции г = r(t)). Производ
ная r'(t) есть вектор мгновенной скорости точки в момент времени t. Вектор r'(t) направлен по касательной к траектории.
Если обозначить через x(t), y(t), z(t) координаты точки М в момент времени t, а через i, j, k — единичные векторы осей координат,
§1. Производная функции
69
то вектор-функцию г = r(i) можно представить в виде
г = x(t) i + y(t)j + z(t) k,
а производную r'(t) — в виде
r'(t) = x'(t) i + y'(t) j + z'(t) k.
Аналогично, движение точки M на плоскости (х, у) можно описать вектор-функцией г = x(t) i + y(t) j.
Если x'(t) имеет определенный знак, например, x'(t) > 0, то траектория движения точки М представляет собой график функции у = /(х), заданной параметрически уравнениями х — x(t), у = y(t).
Координаты вектора скорости г'(£) равны x'(t) и y'(t), а тангенс угла между вектором r'(i) и осью Ох, т. е. угловой коэффициент касательной к графику функции у = /(х), равен y'(t)/x'(t) (рис. 3). Таким образом, мы снова получили выражение (4) для производной функции, заданной параметрически.
Вектор n(t) = {—при х'2 (t) + у'2 (i)	0 является векто-
ром нормали к графику функции у = f(x) в точке M(x(t),y(t)), т. е.
направляющим вектором прямой, проходящей через точку М перпендикулярно касательной к графику в этой точке (эта прямая называется нормалью).
Контрольные вопросы и задания
1.	Что называется приращением функции у = f(x) в точке хо?
2.	От какого аргумента зависит разностное отношение Ду/Дт? Какова область определения функции Ду/Дт?
3.	Дайте определение производной функции у = f(x) в точке то.
4.	Пользуясь определением производной, выведите формулы для производных функций хп (п — натуральное число), sinT, cost, loga х, ах.
5.	Каков физический смысл производной функции у = f(x) в точке то? Какое движение точки описывается уравнением у = тот 4- уо (т — время, ио и уо — постоянные)?
6.	Каков геометрический смысл производной функции у = /(т) в точке то? Дайте определение касательной к графику функции у = /(г) в точке (то, /(то)) и запишите уравнение касательной.
7.	Когда говорят, что функция имеет в точке то бесконечную производную? Приведите пример функции, график которой имеет в некоторой точке вертикальную касательную.
8.	Что такое односторонние производные функции в точке? Какова связь между односторонними производными и производной функции в точке? Приведите пример функции, у которой существуют односторонние производные в некоторой точке, но не существует производная в этой точке.
70
Гл. IV. Производные и дифференциалы
9.	Выведите формулы для производных суммы, разности, произведения и частного двух функций. Используя их, выведите формулы для производных функций tgx, ctgi, shx, сЬж, thx, cthx.
10.	Сформулируйте теорему о производной обратной функции. Что можно сказать о производной обратной функции, если выполнены все условия теоремы, кроме условия j(xo) 0 (т. е. выполнено условие /'(то) = 0)? Приведите пример такого случая. Какова физическая интерпретация формулы для производной обратной функции? Пользуясь этой формулой, выведите формулы для производных обратных тригонометрических функций.
11.	Сформулируйте теорему о производной сложной функции. Применима ли эта теорема к функции у = sin2( у/х^) в точке х = 0? Существует ли производная этой функции в точке х = 0? Какова физическая интерпретация формулы для производной сложной функции? Используя эту формулу, выведите формулу для производной функции ха (а — любое число).
12.	Что такое параметрическое задание функции? При каких условиях справедлива формула (4) для производной функции, заданной параметрически?
13.	Что такое вектор-функция? Дайте определения предела и производной вектор-функции. Каков физический смысл вектор-функции и ее производной?
14.	Пользуясь определением производной вектор-функции, выведите формулу г'(?) = ix'(?) +Л2/'(г) +kz'(i).
15.	Каковы координаты единичного вектора нормали к годографу вектор-функции г = i x(t) + j y(t) в точке М(x(t), у(Г))?
Примеры решения задач
1.	Пользуясь определением производной, найти производную функции у = х3 в точке х = 1.
Д Находим приращение функции у = ж3 в точке х = 1:
Ду = (1 + Дж)3 — 1 = ЗДж + 3(Дж)2 + (Дж)3.
Отсюда получаем = 3 + ЗДж + (Дж)2 и, следовательно, т/'(1) =
= lim 4^ = 3. А
Дх->0 Ду
2. Сравнить на промежутке 0 t 5$ 1 мгновенные и средние ско-
рости двух точек, прямолинейные движения которых заданы уравнениями S; = t2, S2 = 2?4 (? ^ 0).
Д Находим мгновенные скорости точек в момент времени ?: щ(?) = = s((t) = 2t, v2(t) = s'2(t) = 8t3. Отсюда получаем щ (0) = иг(0); i>i (1/2) = v2(1/2); i>i (?) > v2(t) при 0 < t < 1/2; гц (?) < и2(?) при ? > 1/2. Средняя скорость первой точки на отрезке времени 0 ^ ? ^ 1 равна г?1ср = 81	1 81 (°) = 1. Аналогично, г2ср = 52	= 2. Таким
образом, И1ср < г>2ср- А
3.	Составить уравнение касательной к графику функции у = cos ж в точке с абсциссой ж = тг/6.
§1. Производная функции
71
Д Имеем х0 — тг/6, /(т0) = cos(tt/6) = л/3/2, /'(х0) = -зт(тг/6) = = —1/2. Поэтому искомое уравнение касательной запишется в виде
\/3	1 / 7Г \
у--Г = ^{Х-б)- А
4.	Найти односторонние производные функции /(т) = |х — хо|у(х) в точке х0, где д(х) — непрерывная в точке хо функция. Имеет ли функция /(т) производную в точке то?
Л При Дх > 0 приращение функции в точке хо имеет вид
У (ж) =
Ду = f(.xo + Дж) - f(x0) =
= |то + Дт — а?о| 9(%о + Дж) — 0 = д(хо + Дж) Дт, откуда = д(хо + Дж). Так как д(х) непрерывна в точке т0, то lim = 9^' Итак’ f'(x° + °) = 5(ж0).
Дж-ч-Н-О
Аналогично, при Дх < 0 получаем Ду = — д(х.о + Дт)Дт, откуда s\1f
д^-о Д^ =	+ Ах)) = ~9^
т. е. f'(x0 - 0) = -у(ж0).
Если д(хо) / 0, то /'(то + 0)	/'(жо — 0), и, значит, функция /(т)
не имеет производной в точке хц. Если же у(ж0) = 0, то /'(ж0 + 0) = = /'(жо — 0) = 0, и, следовательно, функция f(x) имеет производную в точке х0, причем J'(tq) = 0. А
5.	Вычислить производную функции:
а)	у = х sinх (х > 0, х / 1); б) у = соз(2г — х3) (—оо < х < оо). Д а) Пользуясь правилами дифференцирования произведения и частного и таблицей производных, получаем
(т2 sin х)1 In х — х2 sinT(lnT)z _
In2 х
_ (t2cost + 2т sin x) In т — T2sinT  1/т _
In2 x
x(x cos x + 2 sin x) In x — x sin x ,	_	, ,.
= -3-------------------------- (ж > 0, ж / 1).
In X
б)	Функцию у = cos(2x — х3) можно представить в виде у = cos/, где t = 21 — х3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получаем
У'(х) = (cos/)'|t=23>_i3 (2* - т3)' =
= — sin(2z — т3)(2а: In 2 — Зт2) (—оо < х < оо). А
6.	Найти производную у’(х) функции
_ fx2sin(l/x) при х / 0,
У ~ 1 0	при х = 0
72
Гл IV Производные и дифференциалы
у'(х) = (
и исследовать, является ли т/(ж) непрерывной в точке х = 0.
Д При х 0 производную у'(х) можно найти дифференцированием функции х2 зт(1/ж) по правилу дифференцирования произведения Это дает
у'(х) — 2жзш(1/ж) - соз(1/ж) (ж 0).
Полученное выражение не определено при х = 0. Это не означает, однако, что у' (О') не существует, поскольку выражение для у'(х) и было получено при условии х 0 Для нахождения у'(0) воспользуемся определением производной. Приращение Дт/ функции у(х) в точке х = 0 равно (Да;)2 зт(1/Дж), поэтому
lim = lim Дж sin = 0, Дх-»0 Дт Дх->0 Дт
т. е. у' (0) = 0. Итак, у'(х) существует во всех точках.
2жзт(1/ж) — соз(1/ж) при х 0, 0	при х = 0.
Для исследования непрерывности т/'(ж) в точке х = 0 рассмотрим lira у'(х) Ясно, что lirn 2жзш(1/ж) = 0, a hm соз(1/ж) не существует.
Поэтому и hm у'(х) не существует. Таким образом, у'(х) разрывна х—>0
в точке х = 0, которая является точкой разрыва II рода функции /(ж) А
7. Доказать, что уравнения х = cost, у = sint (0 < t тг) задают параметрически некоторую функцию у = /(ж) Найти производную /'(ж) этой функции.
Д Функция х = cost является строго монотонной (убывающей) на отрезке 0 «С t sj тг и, следовательно, имеет обратную Подставляя эту обратную функцию в уравнение у = sint, получаем функцию вида у = ‘f(x). В данном случае обратная функция находится в явном виде: t = агссозж, и поэтому для /(ж) получаем выражение /(ж) = = зш(агссозж) (—1 ж 1) Эту же функцию можно записать в виде /(ж) = л/1 — х2 (—1 ж 1) (объясните, почему). Вычислим производную /'(ж) двумя способами- а) используя явное выражение; б) используя формулу для производной функции, заданной параметрически Имеем:
а) ^1<х< 1);
= ^°>
Так как cost = ж, sint = л/1 — cos2 t = л/1 — ж2 при 0 t тг, то из второго выражения для /'(ж) получаем первое: /'(ж) = —г —
VI — х2
(ж ±1 или —1 < ж < 1) Л
8. Доказать, что если вектор-функции ri(t) и r2(t) имеют производные, то для производной скалярного произведения (r!(t)r2(t))
§ 1 Производная функции
73
справедлива формула
(ri(t)r2(t))' = (r;(i) r2(t)) + (rj(t) r!>(£))
Д Пусть n(t) = xi(t) i ++ z!(t)k, r2(t) = x2(t) i + y2(t)j + 4-z2(t)к. Тогда (n(£) r2(l)) = xi(t) x2(t) + y^t) y2(t) + zr(t) z2(t). Воспользуемся тем, что если r,(i) (г = 1, 2) имеет производную, то хг(1>), yt(t), z^t) также имеют производные, причем r'(t) = x'(t) i + y[(t) j + + z'(i) k (см. упр 25) Получаем
(ri(i)r2(0)' = xi(t)x2(t) + x1(t)x'2(t) + y'1(t)y2(t) + yi(f) y'2(f) +
+ z'1(t)z2(t) + zj(i) z2(i) = {x'^t) x2(t) + y'^t) 7/2(0 + z'-^f) z2(t)} +
+ {xi(t)x'2(t) +y1(t)y'2(t) + zi(t)4(0} = (г'1(0гг(0) + (ri(0r2<0)- A
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Запишите выражение для Ду = f(x0 4 Дт) /(т) и найдите область определения функции Ду, если
а) /(т) — arcsmT, то = 1/2, б) /(т) = агссоэт, то = 0,
в) /(т) = In ж, то = 2, г) f(x) = sinx, то = 2 т
2.	Пользуясь определением производной, найдите производную функции а) у =	т в точке т = 1,	б)	у — т2	в	точке х	= то,
в) у =	у/х в точке х = 4,	г) у = т|т|	в точке х — 0,
,	f (1 — cost)/t	при	т / 0,	„
Д) У =	5 X	л	в	точке	т = 0
' и [0	при х = 0
3.	Функция у = /(т) имеет производную в точке а Вычислите пределы последовательностей
a) hm n(f(a + 1/n) —	6) lim n(/(a) —/(a — 2/n)),
71—>OO	П—>OO
в) hm n(/(a — 1/n) — /(a + 1/n)),
r) hm n(f(a + 1/n) + f(a + 2/n) + + f(a + k/n) — kf{a)) n—>oo
4.	Уравнения прямолинейного движения двух точек имеют вид а) si = t, 32 = t2 (t 0),	6) S1 = t2, 32 = t3 (t 0), в) Si = Int, s2 = x/i
(t 1) (t - время, si и S2 — расстояния, пройденные первой и второй точками за время t) Сравните мгновенные скорости этих двух точек, а также их средние скорости на отрезках времени
для случаев а) и б) и на отрезках 1 $ t si 4 и 1 si t $ 25 для случая в)
5.	Составьте уравнение касательной к графику функции у = /(т) в точке с абсциссой то, если
а) /(т) = sinar, то = 0, б) /(т) = т2, то = 1,
в) /(т) = (/г, то = 0, г) /(т) = arctgT, то = 1
6.	Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = /(т) в точках с абсциссами ti и т2, если
а) /(т) = cost, ti = тг/6, т2 = тг/2, б) f(x) = ех, ti = 0, т2 = 1,
в) /(т) = arcsmT, Ti =0, т2 = 1/2
7.	Составьте уравнения касательных к графику функции у = у/х, проходящих через точку (2, 3/2)
74
Гл IV Производные и дифференциалы
8.	Найдите односторонние производные /'(то + 0) и f'(xo — 0) и сравните их, если
а) f(x) — то = 0, б) /(т) = |т|, то = 1,
в) /(т) = т2 sgnх, хо = 0,	г) f(x) = Vsm2 т, то = О,
д) /(т) = |t|shit, то = О,	е) /(т) — |т — tt/2|cost, То = тг/2,
ж) f(x) = |ж — lie1, то = 1
Существует ли в каждом случае производная /'(то)?
9.	Найдите у'(т), если
а) у = т2, б) у = у/х, в) у = 1/х, г) у = 2%/х2 — 3/у/х, д) у = log2 т3 + log3 т2 (вычислите у1 (1)), е) у = 2х + (1/2)1, ж) у = SUIT — cost (вычислите j/(0) и у'(тг/4)), з) у = tgT — CtgT, и) у = arcsinT + агссовт (объясните полученный результат), к) у = arctgT + arcctgT (объясните полученный результат)
10.	Докажите, что если м(т) и п(т) имеют производные в точке т и м(т) > > 0, то функция [«(т)]”также имеет производную в точке т, причем
[и(т)г’(г)]' = v(x)u(x)'><'x}~1'u (х) + и(т)и^ In м(т)г/(т)
11.	Найдите у' (т), если (везде а > 0)
а)	у =	, у = у/х2 _ а2 у = х у/х2 + 1,
сз? 4~ d
б)	у = ^/т + /т + у/х, у — sm2 (cos т) + cos2 (sm т),
в)	у = sin[sin(smT)],	у = 2с031+‘8а:,
г)	у = ех зшт, у = ех2 cos2т, у = ее + хе ,
Д)у = хх, у = 1п[1п(1пт)], у=±1п^-2
е)	у = In |т|, у = 1п(т + у/х2 ± а2), у = Inзшт,
ж)	у = sin(ln т), j/ = arcsm|, у = 1 arctgT,
з)	у = arctg (сравните с производной функции у = arctgT и объясните результат),
и)	у = arccos(l/T), у = arcsm(sinT), у = arctg (tgT),
к)	у = sin(arcsmT), у = ctg (arcctg т),
л ) у = In	+ X Ь У = f Va2 - т2 + ^- arcsin
х/х£ Ь2 о о 2	Z	а
м)	arctg	,
т 2	1 + V1-Z2	Vz2 - 1
н)у=^Ц + ^1п^, у = ln(ex + x/fW4,
о)	у = arctg (т + -/1 + т2), у = (sin t)cos х, y=sh(tgT), у — th (cost) п) у = 1п(вЬт), y = lg(chx), у = arctg (th т), у = In ^cth
12.	Известно, что у/х), ф(х) и /(т) имеют производные Найдите у/х), если
а) у - д/^2(х) + ф2(х),
б)у = logv(l) ф(х) (<р(х) > 0, ч/х) / 1, ф(х) > 0),
в) у = /(т2) + /(т“2), г) у = /(/(т))
§ 1 Производная функции
75
13.	Функция у = f(x) имеет в точке х = 0 производную, отличную от нуля Вычислите пределы
а) 11Ш _/(*)е.*^/(0.)._ б) 11ш __________
' x-to f(x) cos х - /(0)	' х->0 f (х) ch х - /(0)
14.	Функция у = f(x) имеет производную в точке х = а Вычислите пределы
(&+Л1У'-, в) 1ЦВ (ДгП,ЛЛ-Л> (о>0)
’ z-ю V /(а) )	’ x-ta\f(a)J	v '
15.	Функции /(т) и д(х) имеют производные в точке а Вычислите пределы
а) hm °n/W~^/W (n G TV), 6) hm ~	,
' x->a X-a	x-^a	x — a
B) hm (a>(W(a)^0)
JA*/) 9\a)
16.	Докажите (методом математической индукции), что если /Дт), /г(т),
п
, fn(x) имеют производные в точке х, то сумма /;(т) и произве-
1—1
дение/Дт)/г(т) fn(x) также имеют производные в точке х, причем
(П	\ f п	п
=2L/.'(:C)> (fl^)f2(x) fn(x))' =^fl(x) f',(x) fn(x)
1=1	' 1=1	1=1
17. Докажите, что имеет место следующее правило дифференцирования определителей гг-го порядка
	Ап(х)	t п	/11 (я)	/1п(х)
fkl(x)	fkn	= Е		/L(ai)
/п1(т)	fnn	fc=l	/nl(x)	fnn(т)
18.	Можно ли применить правило дифференцирования произведения двух функций и(т) и v(x) в точке хо, если
а)	и(х) = х, v(x) = |т|, хо = 0, б) и(х) = х, и(т) — |т|, Хо = 1,
в)	и(х) = shit, v(x) = sgnr, tq = 1,
г)	м(т) — х2, и(т) = SgllT, то = 0,
д>«w.л	«=о,
е)	и(т) = [т], и(т) = 51п2(тгт), то = п С Z,
ж)	и(х) = х — [т], и(х) = 81п2(тгт), хо = п G Z7 Существует ли в каждом случае производная произведения и(т)г>(т) в точке то?
19.	Справедливы ли следующие утверждения7
I Если и(т) имеет производную в точке то, а и(т) не имеет производной в точке то, то
а) и(т) + г>(т) не имеет производной в точке то, б) m(t)d(t) не имеет производной в точке то
II Если и(т) и г>(т) не имеют производных в точке то, то
а) и(х) + г>(т) не имеет производной в точке то, б) и(т)г>(т) не имеет производной в точке то (Если утверждение не справедливо, то приведите соответствующий пример )
76
Гл. IV. Производные и дифференциалы
20.	Функции /(ж) и д(х) имеют производные во всех точках ж € Я. В каких точках не имеет производной функция:
а) |/(х)|; б) тах(/(х),5(я:)); в) max /(f)?
21.	Справедливо ли утверждение: если /(ж) < д(х), то f'(x) < g'(x}t
22.	Выведите формулы для сумм
Рп = 1 + 2х + ,3т2 + ... + пхп~\ Qn = I2 + 22т + 32х2 + ... + п2^-1,
п
Rn = х + Зт3 + 5т5 + ... + (2n + l)x2n+1, Sn — kcoskx.
к= 1
23.	Изобразите траекторию точки, движение которой на плоскости (ж, у) задается уравнениями:
а)	х = t, у = t2, —оо < t < оо;	б) х = cos2 t, у = sin2 t, 0 $ t < оо;
в)	х = a cost, у = bsint, 0 si t < оо;
г)	х = acht, у = fcsht, —оо < t < оо;
д)	х = a(t — sint), у = a(l — cost), —оо < t < оо;
e)	x = e4, у = e2t, —оо < t < оо.
В каждом из случаев укажите такой промежуток изменения параметра t, на котором уравнения определяют функцию у = f(x), и найдите производную этой функции по формуле (4). В случаях а), б), в), г), е) выразите f(x) в явном виде и сравните явное выражение для f'(x) с выражением, полученным по формуле (4). В случаях в) и г) составьте уравнения касательной и нормали к кривой в точке t = 0.
24.	Пусть r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, а = ai i + a? j + аз k — постоянный вектор. Докажите утверждение: для того чтобы lim r(t) = а, необхо-t->t0
димо и достаточно, чтобы lim x(t) = ai, lim ylt) = аг, lim z(t) = ag. t->to	t-»lo	t->t0
25.	Пользуясь результатом предыдущей задачи, докажите утверждение: для того чтобы вектор-функция r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k имела производную r'(t) в точке t, необходимо и достаточно, чтобы скалярные функции x(t), y(t), z(t) имели производные в точке t. При этом г'(Г) = = x'(t)i + у' (t)j + z'(t)k.
26.	Докажите, что для вектор-функций имеют место следующие правила дифференцирования:
(ri(t) + r2(t))' =ri(t) +r'2(t), (/Wr(t))' = /'(t)r(t) + /(t)r'(t), [ri(t)r2(t)]' = (i<(*) r2(t)] + [ri(t)r2(t)], где [ri(t)r2(t)| — векторное произведение векторов ri(t) и r2(t).
27.	Движение точки в пространстве задается уравнениями:
а) х — t, у = t, z — t2, t is 0;
6)x = 7?cost, y = Rsmt, z = ht, t 0, R>0, h > 0 (винтовая линия); в) x = t, у = t2, z = t3, t is 0;
r) x = Int, у = t2/2, z = \/2t, t i> 1.
Найдите модуль и направляющие косинусы вектора скорости в момент времени: а) t = 2; б) t = тг; в) t = 1; г) t = 2,5.
§2. Дифференциал функции
77
§ 2. Дифференциал функции
Основные понятия и теоремы
1.	Дифференцируемость функции.
Определение. Функция у = /(х) называется дифференцируемой в точке хо, если ее приращение Дг/ = /(хо + Дя) — /(xq) в этой точке можно представить в виде
Дт/ = А Дх + а &.х,
где А — некоторое число, а а — функция аргумента Дх, бесконечно малая и непрерывная в точке Дх = 0 (т. е. lira а(Дх) = а(0) = 0).
Теорема 5. Для того чтобы функция у = /(х) была дифференцируемой в точке Xq, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная f'(x0).
Отметим, что при этом А = /'(xq).
Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции у = /(х) в точке хо (дифференцируемой в этой точке) называется функция аргумента Дх: dy = f'(xo)Ax.
При /'(хо) Д- 0 дифференциал является главной (линейной относительно Дх) частью приращения функции в точке xq.
Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной: dx = Дх. Таким образом, дифференциал функции у = f(x) в точке х0 имеет вид
dy = f'(x0)dx,	(2)
откуда
гы =
т. е. производная функции у = /(х) в точке хо равна отношению диф-
ференциала функции в этой точке к дифференциалу независимой переменной.
2.	Геометрический и физический смысл дифференциала. Геометрический смысл дифференциала функции нетрудно уяснить из рис. 4, на котором изображены график функции у = /(х) (жирная линия) и касательная МР к графику в точке Л/Ы/(хо)). Дифференциал
dy равен приращению линейной функции, графиком которой является
касательная МР.
78
Гл IV Производные и дифференциалы
Если х — время, а у = /(х) — координата точки на прямой в момент х, то дифференциал dy = /'(х0)Дх равен тому изменению координаты, которое получила бы точка за время Дж, если бы скорость точки на отрезке времени [хд, .г0 + Дж] была постоянной и равной /'(хо) Изменение скорости на этом отрезке приводит к тому, что, вообще говоря, Ду / dy. Однако на малых промежутках времени Дж изменение скорости незначительно и Ду и dy = f'(x0)&.x.
3.	Инвариантность формы первого дифференциала. Пусть аргумент х дифференцируемой в точке xq функции у = f(x) является не независимой переменной, а функцией некоторой независимой переменной t: х = <^(t), причем хо = <£(to), а <^(t) дифференцируема в точке t0- Тогда дифференциал функции у = f(x) по-прежнему имеет вид (2): dy — f'(xo)dx, но только теперь dx является не произвольным приращением аргумента х (как в случае, когда х — независимая переменная), а дифференциалом функции х = <p(t) в точке to, т. е. dx = ip'(to)dt Это свойство (сохранение формулы (2) и в том случае, когда х = </?(t)) называется инвариантностью формы первого дифференциала
4.	Использование дифференциала для приближенных вычислений. Так как Ду = dy при малых Дж, т е /(х0 + Дх) — /(хд) — й /'(х0)Дх, то
/(то + Дж) = /(х0) + /'(х0)Дх	(3)
Эта формула позволяет находить приближенные значения f(xo + Дж) при малых Дж, если известны f(xo) и /'(xg) При этом погрешность при замене f(xo + Дж) правой частью формулы (3) тем меньше, чем меньше Дж, и, более того, эта погрешность при Дх -> 0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем Дж.
Контрольные вопросы и задания
1	Дайте определение дифференцируемости функции в данной точке
2	Докажите теорему о связи между дифференцируемостью функции в точке и существованием в этой точке производной
3	Что такое дифференциал функции в данной точке7 От какого аргумента он зависит7
4	Может ли дифференциал функции в данной точке быть постоянной величиной7
5	Для каких функций дифференциал равен приращению функции7 Приведите примеры
6	Каков геометрический смысл дифференциала7
7	Каков физический смысл дифференциала7
8	Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала7 Докажите, что форма первого дифференциала инвариантна
9	Как можно использовать дифференциал функции для приближенных вычислений7
§2 Дифференциал функции
79
Примеры решения задач
1.	Найти дифференциал функции у = х2 — х + З в точке х = 2 двумя способами а) выделяя линейную относительно Дх часть Ду, б) по формуле (2)
Д а) Ду = /(2 + Дх) - /(2) = [(2 + Дх)2 - (2 + Дх) + 3] - [22 - 2 +
4- 3] = ЗДх + (Дх)2 Отсюда следует, что dy = ЗДх
б)	Р(х~) = 2х - 1, /'(2) = 3 Следовательно, по формуле (2) получаем dy = Sdx = ЗДх ▲
2.	Найти дифференциал функции у — sin(x2). а) в точке х = хр, б) в точке х = а/тг; в) в точке х = а/тг при dx = —2
Д а) Согласно формуле (2) с2у|з.=а.о = /'(х0)с/х = соз(хр)2х0 dx
б)	Полагая в последнем равенстве х = ^/тг, получаем dy\x_^ = = —2а/тг dx.
в)	Имеем dy\х=у/^ = 4^/тг А |	2
3.	Заменяя приращение функции ее дифференциалом, найти приближенное значение' а) д/0,98, б) sin 31°
Д а) Рассмотрим функцию у(х) = уТ + х. Так как у(0) = 1, у(—0,02) = ,/0,98, у'(х) = |(1 + х) ^1''2, у'(0) = |, то по формуле (3) получаем
у(-0,02) « у(0) + у' (0)(-0,02) = 1 - 0,01 = 0,99.
Итак, д/0,98 «0,99.
б)	Рассмотрим функцию у = smx Так как у(30°) = sin 30° = 1/2, у'(30°) = cos30° = /3/2, 1° = 2тг/360 (радиан) « 0,0175 (радиан), то по формуле (3), получаем
sin31°«J- + ^ ^«0,5151. А 2	2	360
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
28.	Представьте в виде (1) приращение функции
а) у = ех в точке х = 0, б) у = sm х в точке х = тг/2,
в) у = arctgT в точке х = 0
Запишите выражение для функции а(Дт)
29.	Найдите приращение и дифференциал функции у — х3 — х2 + 1 в точке х — 1 и вычислите их значения при
а) Дт — 0,01, б) Дт = 0,1, в) Дт = 1, г) Дт = 3
30.	Прямолинейное движение точки задано уравнением s = It2 + t + 1, где t выражается в секундах, as — в метрах Найдите приращение и дифференциал пути s в момент времени t = 1 с и сравните их при а)Дг = 0,1с, б)Д/ = 0,2с, в) Д1 = 1с
80
Гл. IV. Производные и дифференциалы
31.	Найдите дифференциал функции у в точке х, если:
a)y = \/S; б) у = i; в) у = 1п(т + Ут2 + 1); г) у = 1 In I |;
д) у = arcsin ; е) у — i arctg ж) у = хе2х; з) у = xsinx + cosx.
32.	Найдите </у|т=о и dy|I=i, если:
а)у=у-у+т; б) у = 1п(1 + ж); н) у = ех \
r)y = sin^; fl)y = cosS.
33.	Постройте график функции у = 1п(1 + х) и изобразите на графике dy при: а) х = 0, dx = 1; б) х = 1, dx — 1; в) х = 1, dx = 2.
34.	Пусть у = sinx, где х = cosi. Какие из следующих равенств справедливы:
а) dy|t=Tr/2 = 0; б) dy|t=7r/2 = dx; в) dy\t=„/2 = ~dt?
35.	Используя формулу (3) и выбирая подходящее значение т0, найдите приближенные значения:
a)cosl51°; б) arcsin0,49; в) Igll; г) ^1,01; д) arctgl,l; е) е0’?
36.	Докажите приближенную формулу (для малых х)
х/ап + х к а Ч-—- (а > 0).
пап 1
С помощью этой формулы найдите приближенные значения: а) ^9; б) ^255- в) (/130.
37.	Функция у = f(x) имеет производную в точке х = а. Вычислите предел последовательности
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
Основные понятия и формулы
1. Определение производных высших порядков. Если производная f'(x) функции у = /(т) определена в некоторой окрестности точки хо и имеет в этой точке производную, то эта производная от /'(х) называется второй производной (или производной второго порядка) функции у = f(x) в точке xq и обозначается одним из следующих символов: f"(x0), /(2)(х0), у”(х0), у^\х0).
Третья производная определяется как производная от второй производной и т. д. Если функция у = f(x) имеет (п — 1)-ю производную в окрестности точки xq и если (п — 1)-я производная имеет производную в точке х0, то эта производная называется п-й производной (или производной п-го порядка) функции у = /(т) в точке xq и обозначается f(n}(.x0) или у(п>(х0).
Таким образом, производные высших порядков определяются индуктивно по формуле
у^\х) = [у^\х)]'.
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
81
Функция, имеющая п-ю производную в точке х0, называется п раз дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая в точке xq производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.
Производные высших порядков вектор-функции г = r(t) также вводятся индуктивно:
r<n\t) = [т^1) (£)]'.
Если r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, to
r(n’ (t) =	(t) i + y^ (t) j +	(t) k.
Если функция г = r(i) описывает движение точки (t — время), то вторая производная г"(£) есть вектор ускорения в момент времени t.
2. Основные правила вычисления n-х производных.
1.	(и ±	±	.
2.	Формула Лейбница:	п
(tw)(n) =
i=0
где u(°) = и, = и,	.. , 0! = 1.
г:(п — г)!
3.	Формулы для п-х производных некоторых функций.
1.	(та)(п^ = а(а - 1)...(а - п + 1)т"-" (х > 0, а — любое число).
2.	(а?)^ = аж(1па)п (0 < а 1); в частности, (ехУ-п'> = ех.
3.	(sinz)(n) = sin (х +
4.	(cos л:/") = cos (х +
4.	Дифференциалы высших порядков. Пусть х — независимая переменная и функция у = /(т) дифференцируема в некоторой окрестности точки хо- Первый дифференциал dy = f'(x)dx является функцией двух переменных: х и dx.
Второй дифференциал <Ру функции у = /(т) в точке xq определяется как дифференциал функции dy = f'(x)dx в точке xq при следующих условиях:
1°) dy рассматривается как функция только независимой переменной х (иными словами, при вычислении дифференциала от f'(x)dx нужно вычислить дифференциал от рассматривая dx как постоянный множитель);
2°) приращение независимой переменной х при вычислении дифференциала от f'(x) считается равным первоначальному приращению аргумента, т. е. тому же самому значению dx, которое входит множителем в выражение dy = f'(x) dx.
Пользуясь этим определением, получаем
^У\х=Хо = d(dy)\x=xa = d[f (x)]\x=X0dx =
= {[/'(a:)]'k=x0^} dx = f"(xt>)(dx)2,
82
Гл. IV. Производные и дифференциалы
или (записывая (dx)2 в виде dx2)
= f'(x0)dx2.
Дифференциал произвольного n-го порядка функции у = f(x) определяется индуктивно по формуле
dny = d(dn-'y)
при таких же двух условиях, что и дифференциал второго порядка. При этом справедлива формула
^2/1^0 = /(п) W dxn (dxn = (dx)n),	(1)
откуда
/(nl(i»)=0-	(2>
Если х является не независимой переменной, а функцией какой-то переменной t, то формулы (1) и (2) становятся неверными (неинва-риантность формы дифференциалов высших порядков). В частности, при п = 2 имеем
d2y = f"(x) dx2 + f'(x) d2x.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение второй производной функции у = f(x) в точке хо-
2.	Может ли существовать вторая производная /”(хо), если не существует первая производная /'(хо)?
3.	Приведите пример функции, у которой существует /'(хо), но не существует /"(хо).
4.	Дайте определение n-й производной функции у — f(x) в точке хо.
5.	Известно, что п-я производная функции в точке хо существует. Что можно сказать о существовании производных меньшего порядка в точке хо и в окрестности этой точки?
6.	Дайте определение п-it производной вектор-функции. Каков физический смысл второй производной вектор-функции, описывающей движение точки?
7.	Методом математической индукции докажите правило нахождения п-й производной суммы и разности двух функций.
8.	Выведите формулу Лейбница.
9.	Выведите формулы для п-х производных функций х“, ах, sinx, cosx, Inx.
10.	Докажите, что если /(х) п раз дифференцируема, то
- = * /(П)(*)1^+Ь-
ахп
11.	Вычислите производные тг-го порядка: (е5г)(п), (sin(3x + 2))(п\ (у/Т^)(">.
§3. Производные и дифференциалы высших порядков
83
12.	Дайте определение дифференциала n-го порядка функции у = f(x) в точке хо-
13.	Докажите справедливость формулы (1) для дифференциала n-го порядка в случае, когда х — независимая переменная.
14.	Справедлива ли формула (1), если х — функция некоторой переменной /? Выведите в этом случае формулы для d2y и d3y. Докажите, что формула (1) сохраняется, если х — линейная функция независимой переменной 1, т. е. х = at + b (а и b — числа).
Примеры решения задач
1.	Найти у(10\ если у = х2е3х.
Л Данная функция является произведением двух функций: х2 и е3х. Применяя формулу Лейбница, получаем
(а.2еЗх)(Ю) = Х2(е3-)(Ю) +С1о(г2у(е3х)(9) +
+ C120(T2)^(c3a:)W + ... + (т2)(10)е3г.
Так как (х2)^ = 0 при п 3, (е3*)^ = е3а!3*, то
(T2e3:c)(10) = т2е3:Е310 + 10  2те3а:39 + 45 • 2е3х38 =
= 39е3*(3а:2 + 20т+ 30). А Рассмотренный пример показывает, что формулу Лейбница наиболее удобно применять в тех случаях, когда один из сомножителей является многочленом невысокой степени р. В этом случае все члены формулы Лейбница начиная с (р + 2)-го равны нулю.
х2 + 1
2.	Найти п-к> производную функции у = —— х2 — 1
2
Д Данную функцию можно представить в виде у = 1 -I—-—
ТТ	(П1	1 (п) , (	2	\(п)	(	2	\(п) п	2
Поэтому у^п> = к -1 + —----- = —-—-	. В свою очередь —-
\х2 — 1/	\х2 — 1/	х2 — 1
можно разложить на простейшие дроби:
2	_ 1_________1
х2 — 1 х — 1 X + 1
Следовательно,
\Ж — 1/	+ 1/
Вычислим последовательно первую, вторую и третью производные функции д |
= (-1)(-2)(х - I)-3 = (-1)2  2!(х - I)-3,
/ 1 \(з)
(т^т)	= (—1)22!(-3)(х - I)-4 = (-1)3 • 3!(х - I)-4.
84
Гл. IV- Производные и дифференциалы
Далее по индукции нетрудно доказать, что
/= (_1)пп!(а. _	-(п+1) =
\ X — 1 /
(х - 1)п+!’
Аналогично,
(~1)пп!
(х + 1)п+1 
Итак,
У
3.	Функция у — f(x) задана параметрически уравнениями х = = a cost, у — asini, 0 < t < тг. Найти
Л Выведем формулу для второй производной функции у = f(x), заданной параметрически уравнениями х = <p(t), У = V’W, считая, что функции ip(t) и ip(t) дважды дифференцируемы и <//(t)	0.
В силу инвариантности формы первого дифференциала df'(x) =
= f"(x) dx, откуда f'(x) = dfJx), <рак как f'(xj = II) T0 df'(x) = 4/47 ax	J
= (4
\<p'
*10 dt. Учитывая, что dx = p'^dt, получаем

^/>'3(£)
• (3) t=<p-1(®)
Положив в этой формуле ip ~ a sin t, (p = acost, ip 1(x) = arccos(a:/a), получим
f"(x) -______1__I	=---------1______=--------—______
asin3 t lt=arccos(a:/a) a(l — x2/a2)3/2	(a2 - x2)3/2 ’
В данном примере можно найти явное выражение для f(x): /(х) = = Va2 — х2 (—а < х < а). Вычисляя f"(x), получим, разумеется, то же самое выражение, что и по формуле (3). А
4.	Движение точки в пространстве задано уравнениями х = Rcost, у = Rsint, z = ht2/2, t 0. Найти модули векторов скорости и ускорения в момент t = 1.
Д С помощью вектор-функции движение можно задать уравнением
Л/2
г — R cos t • i + R sin t • j -I—— • k, t 0.
Дифференцируя, находим
r' (t) = — R sin t • i + R cos t • j + ht • k (скорость), r" (t) = —R cos i-i — fisint-j+h-k (ускорение).
Отсюда получаем |r'(t)| = \/R2 + h2t2, |r'(1)| = у/R2 + h2, |r"(t)| = = y/R2 + h2 (абсолютная величина ускорения является постоянной). ▲
§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
85
5.	Найти второй дифференциал функции у = cos 2т, если: а) х — независимая переменная; б) х = где — дважды дифференцируемая функция независимой переменной t.
Л a) d2y = y"(x)(dx)2 = — 4соз2т(б?т)2;
б)	d2y = y"(x)(dx')2 + y'(x)d2x =
= — 4cos(2(/>(i))((/(t)<ft)2 — 2 sin(2<^(Z))<^"(t)(dt)2 =
= —2 [2cos(29?(£))<//2(Z) + sin(2<^(t))<//'(£)](dt)2. A
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
38. Найдите производные указанного порядка.
а) (е-*2)(3);	б)	(sinах)(10);	в) (efc*)w;	г)	(f(x2))<3),
д) (/(еа:))(2);	е)	(f(<p(®)))(3);	ж) (\^)(10);	3)	:
и)	(х2 sin2x)(2°i; к) (х3 cos5x)(ls\ л)	;
м)(—У30’;	н)	(xe5l)(11);	о) (1пЗх)(10).
\ х2 — 1 )
39. Найдите у^п\ если:		ax + Ъ сх + d’	в) у = sin2 х;
а) у = у/ах + Ь;	б) I/—		
г) у = cos2 х;	д) У =	sin3 х,	е) у = cos3 х
ж) у = sin ах sin/Эх;	з) у = cos ах cos (Зх\	n)j/ = xsinax;
к)	у — х2 cosax;	л) у = (ах2 + bx + с)екх;
,	. ах + Ь .	.	. о 1
м) у = In------; H)j/ = xshx; о) у = х спх;
ах — Ь
п)	у = аох" + aixn-1 + ... + a„-ix + an (а, — числа).
40. Методом математической индукции докажите равенства:
а) (ех sinx/") = 2П//2е® sm (х + ~ j ;
б) (xnlnx)(n) = nl( 1пх 4- 1 + 1 + ... + -'j;
в)	=
41. Для функций из упр. 23, заданных параметрически, найдите f"(x) и /'"(*)•
42. Выразите производные обратной функции х = f *(у) до третьего порядка включительно через производные функции у = f (х).
43. Движение точки в пространстве задается уравнениями из упр. 27. Найдите модуль и направляющие косинусы вектора ускорения в указанные моменты времени.
44. Найдите дифференциалы указанного порядка, если х — независимая
переменная:
а) d3(x3), б) d4(y/x — 1); s)d5(xlnx); г) d10(xsinx).
86
Гл. IV. Производные и дифференциалы
45.	Найдите dny, если:
а) у= shx; б) у = ch (ах);	в)?/ = х21пх.
46.	В каждом из следующих случаев проверьте, что функция у(х) удовлетворяет соответствующему уравнению (С, — произвольные числа): а) у — Ci sin кх 4- Сг cos кх, у" + к2у = 0;
б)	у = Ciekx + С2е~кх, у" - к2 у = 0;
в)	у = е~ах (Ci cos /Зх + С2 sin /Зх), у" 4- 2ау' + (а2 4- /32)у — 0;
г)	у = Ci sinx 4- Сг cos х 4- С2ех 4- Сце~х, у^ — у = 0.
47. Найдите f(n^(xo), если f(x) = (х — хо)п<р(х), где ip(x) имеет непрерывную производную (п — 1)-го порядка в точке хо-
Г — 1	! л
48. Докажите, что функция/(х) = < ® ПРИ х бесконечно диф-
1 0 при х — 0
ференцируема в точке х = 0.
ГЛАВА V
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл
Основные понятия и формулы
1.	Определение первообразной и неопределенного интег-
рала.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке X, если F'(x) = f(x) Ут € X.
Теорема 1. Если F'i(x') и — две любые первообразные для У(т) на X, то Fi(x) — Fi(x) = С — const.
Следствие. Если F(x) — одна из первообразных для f(x) на X, то любая другая первообразная Ф(т) для функции f(x) на X имеет вид Ф(ж) = F(x) + С, где С — некоторая постоянная.
Определение. Совокупность всех первообразных для функции У(т) на X называется неопределенным интегралом от функции }(х) на промежутке X и обозначается j/(т) dx.
В силу следствия из теоремы 1 j f(x) dx = F(z) + С, где F(x) — одна из первообразных для f(x), С — произвольная постоянная. (Иногда символом jf(x)dx обозначается не вся совокупность первообразных, а какая-либо одна из них.)
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
1°. dу/(т) dx = f(x) dx.
2°. jdF(x) = F(x)+C.
3°. Линейность интеграла. Если существуют первообразные функций /(т) и д{х), а а и /3 — любые вещественные числа, то существует первообразная функции af(x) + [Зд(х), причем
j[af(x) + /Зд(х)] dx = а /(х) dx + /3 д(х) dx.
Контрольные вопросы и задания
1-	Дайте определение первообразной для функции f(x) на промежутке X.
2.	Приведите примеры функций, имеющих первообразные.
3.	Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той же функции /(х).
88
Гл. V. Неопределенный интеграл
4.	Всякая ли функция имеет первообразную? Рассмотрите пример:
= / 1 при х > О, I' '	[—2 при
Найдите первообразную для функции f(x) = sin х, которая в точке х = тг/2 принимает значение, равное 10.
Известно, что две первообразные для функции f (х) = ех в точке х = 1
5.
6.
7.
отличаются на 2. На сколько отличаются эти же первообразные в точке х = 100?	!
График какой первообразной для функции /(ж) =----- проходит через
точку с координатами (1,2тг)?	х
Примеры решения задач
1.	Доказать, что функция
{1 при х > 0, 0 при х = 0, — 1 при х < 0 имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку х = 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку х = 0.
Д На любом промежутке, не содержащем точку х = 0, функция sgn х постоянна. Например, на сегменте [1, 2] sgn а: — 1 и любая первообразная для функции sgn я: на этом сегменте имеет вид F(x) — х + С, где С — некоторая постоянная.
Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку х — 0, например, сегмент [—1,3]. На полусегменте [—1,0) любая первообразная для функции sgnа: имеет вид — х + Ci, а на полусегменте (0, 3] первообразная для sgnx равна х + С2. При любом выборе произвольных постоянных Ci и мы получаем на сегменте [—1,3] функцию, не имеющую производной в точке х = 0. Если выбрать Ci = С2, то получим непрерывную функцию у = |я;| + С {С = Ci = С2), которая также не дифференцируема в точке х = 0. Таким образом, функция sgnx не имеет первообразной на сегменте [—1,3].
Данной пример показывает, что вопрос о существовании первообразной для функции существенно связан с тем промежутком, на котором эта функция рассматривается. А
2.	Важный физический пример первообразной дает задача восстановления закона прямолинейного движения материальной точки по заданной скорости. Мгновенная скорость v(t) является производной функции s(t), определяющей закон движения материальной точки. Поэтому отыскание функции s(l) по заданной скорости v(t) сводится к нахождению первообразной для функции v(t). Любая первообразная для v(t) имеет вид
s(t) = /dt + С.
Постоянная С определяется из дополнительных условий. Пусть,
§2. Простейшие неопределенные интегралы
89
например, v(t) = a(t — ta) + uq (движение с ускорением а = const), s(t0) = з0- Тогда s(t) =	_|_ VQ(t _ /0) С. Из дополнительного
условия s(io) = s0 находим С = Sq, поэтому
s(t) = ~—2~^—Ь ^o(t — to) + So-
§ 2. Простейшие неопределенные интегралы
Таблица основных неопределенных интегралов.
I.	У Odx = С.
II.	fldx = х + С.
III.	Jxadx - а+1+С (а/ 1).
IV.	J^- = ln\x\ + C (а^О).
V.	Уах dx = 	h С (0 < а / 1), f ех dx = ех + С.
VI.	j sinx dx = — cos х + С.
VII.	У cos xdx = sin x + С.
VIII.	f ^2 = tg т + C (x / + im, n e z\ J cost	\	2	)
IX.	[	= — ctg x + C (x/ im, n e Z).
X.	Г dx _ j arcsina; + C, (-1 < x < 1) J i/l - i2 j — агссозт + С
XI.	[dx _ J arctgx + C, J 1 + x'2	1 — arcctg x + C.
XII.	/vfe=lnll + '/l2±1' + &
XIII.	
XIV.	У sh x dx = ch x + C.
XV.	У ch x dx = sh x + C.
XVI.	f - = thi + C. J ch2x
XVII.	[	= — cthx + C. J sh2x
90
Гл. V. Неопределенный интеграл
Примеры решения задач
Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения.
l.	J^=^dx = I (у/х +-^dx =	+ 2х1/2 +С.
2.	у (г4 + l)x3dx = 1у (а:4 + 1) с/(ж4 + 1) = iy d(x4 + I)2 =
= i(z4 + I)2 + C.
О
3.	= /(-1 +	=
JI— X2 J 1 — X2	J X 1 — X2 J
. 1 , 11 + X I , „
= -x + -ln ---- +c.
2	11 — x I
4.	у tg2xdx = у[(1 + tg2z) — 1] dx = у ( - *г% — l^dx =
= tgT - x + C.
/~2x + 3	= r2(x + 3/2)	2 /-[(a+ 2/3)+ 5/6]	_
’ J 3x +2	/3(т+ 2/3)	3/ (я+ 2/3)
2	5.1	21	„
= rx + -ln t + - +C. о	у I	о |
6.	у Vl — sin 2x dx = У х/sin2 x — 2 sin x cos x + cos2 x dx =
= у^/(sinx — cost)2 dx — у| cosx — sinx\ dx =
= (sin x + cos x)  sgn (cos x — sin x) + C.
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Найдите следующие интегралы.
1.	2. f(x3 + 1)3х2 dx. 3. f-—dx. 4. f(3 — x2')3dx.
Vx4 + x~4 + 2 -----------dx. хл r2x + l_5x-l /-----dx.
'	10*
9. f^~y^-dx.	10. fctg2xdx. 11. f —2 dx.
J x2 - 1	J b	J 2x + 3
13. f th2xdx 14. fsh2xdx. 15. f ch (2x + 3) dx.
16. J(2х +3x)2dx.
19.	+ sin 2x dx.
23. f dx
J sin2(2x + ?r/4)
17.	18.
J Vi -x4
20.	21.
J	J 2 + 3x2
24. f———.	25. f —~.
J 1 + cos x	J 1 + sin x
f(2x - 3)10dx.
22. /'-^=||== / \/3x2 —
§3. Метод замены переменной
91
§ 3. Метод замены переменной
Основные понятия и теоремы
Теорема 2. Пусть функция у = (p(t) определена и дифференцируема на промежутке Т, а промежуток X — множество ее значений. Пусть функция у = /(т) определена на X и имеет на этом промежутке первообразную F(x)
Тогда на промежутке Т функция F(ip(ty) является первообразной для функции
Из теоремы 2 следует, что
y/(v(t))v'(t)dt = F(v(t))+C',	(1)
а так как F(tp(t)) + С = (Г(х) + C)|x=¥,(f) = jf(x) dx\x=<fl{t}, то равенство (1) можно записать в виде
dx\x=ip{t} =- Idt.	(2)
Равенство (2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Если функция х = <p(t) имеет обратную функцию t = tp~ 1(т), то из равенства (2) следует
У f(x)dx = I f(.V^W(t)dt\t=v>_1[xy	(3)
Эта формула является основной рабочей формулой при вычислении интеграла j"f(x)dx методом замены переменной.
Контрольные вопросы и задания
1.	Запишите формулу (2) замены переменной в неопределенном интеграле. При каких условиях эта формула справедлива?
2.	При каком условии из формулы (2) следует формула (3)?
3.	Требуется найти Jx/4 — х2 dx для — 2 х < 2. Допустима ли для этой цели замена переменной.
а) х = sin t, —тг/2 Sj t Sj тг/2; б) х = 2 sin t, 0 si t тг/2;
в) x = 2sin£, —тг/2 < t < тг/2; г) х = 2cost, О t тг/2;
д) х = 2 cos £, тг t 4 2тг?
Примеры решения задач
Рассмотрим некоторые приемы вычисления интегралов с помощью замены переменной.
1°. Тождественное преобразование подынтегрального выражения с выделением дифференциала новой переменной интегрирования (простейшая замена переменной).
г Г xdx =	= г~^-хЧ =
3 %/1 — х2 J \/1 — X2 J у/1 — X2
92
Гл. V. Неопределенный интеграл
= -1/(1 - ^Г,/2 <1(1 -х2) = ~ 2(1 - х2)1/2 + с.
х3 dx
xs -2
1 л	V? X4 \
4±1= Г	=
«•)< -2 J -2(1 - (xVV5)"]
\/2 + x4
— -3
dx __ f dx xVx2 + 1 ~ J x2y/l + 1/x2
= - In - + X
4.	\rfr , = /птпд) =lnIlnM + c-J rm rm In x J mlnr
5.	у tgxdx = j ~~~~ = ~ In | cosx| + C.
dx _ Г dx
sin2 x + 2 cos2 x J cos2 x{ tg 2x + 2)
2[1 + (tg ж/^/2)2]
v2 . ( tgrzA , „ = ~у arctg (+ C.
z	\ V £ '
2°. Некоторые подстановки.
1.	I = уx2 x/1 — x dx. Положим t = (1 — а:)1/3, тогда x = 1 — t3, dx = — 3t2 dt. Имеем
I = У(1 - t3)2Z(-3t2) = —Зу(1 — t3)2/3 dt =
= -31(t3 - 2yG +19) dt = -3	- ^t7 + ± J10) + C,
/ = (l-x)V3.
2.	I — уx5(2 — bx3)2/3dx. Положим t = 2 —5т3, тогда x =
= (—-—) , dt = —15x2 dx. Находим
\ и /
1=p-^-t^^-^^-^l^-t^dt =
= -i-2.|i5/3 + ^.|i8/3+C, Z = 2-5x3. (55	75 о
з. I = f^c 0^x dx = /sinxcosx[(cos2x + l)-l] dx.
J 1 + cos x J	14- cos2 x
§3. Метод замены переменной
93
Положим t = l+cos2x, откуда dt = — 2 cost sin a: dx. Значит,
I =	[~~г~ dt =	| In |t| + С, t = 1 + cos2 т.
£ J I	Lt,
3°. Тригонометрические подстановки при интегрировании некото-
рых иррациональных функций.
1. I = [----д„. Положим х — sint, —тг/2 < t < тг/2;
/ (1 — х2) '
dx = cos t dt. Следовательно,
тогда
costdt , , , „	,
------— = tgt + C, t = arcsinx.
cos31
dx
Положим х = atgt, — тг/2 < t < тг/2; тогда
j a dt dx — -----j-
cos t
Поэтому
a cos3 tdt 1	. x
-----— = — sin t + C, t= arctg -. аЛcos21 a1	a
3.	I = / —,	. Положим x = 1/sint, —тг/2 <t < О и 0 < t <
J (x2 - 1)3/2	'
< тг/2; тогда dx = — c°s-^, Таким образом,
sin2
— costdt _ Г sin tdt _ rd(cost) _ / 1	\3/2 J cos21 J cos21
1 cost
t = arcsin
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Выделяя дифференциал новой переменной, найдите следующие интегралы.
26. ух2 ^1 + х3 dx. 27. у sin(2x + 3) dx.
29. f dx . 30. f, dx 31.
J (H-xj^/x	J 3/(1 + 2x)2
Q„ Г dx „ . r	fln2x ,
33. / —-—34. /хе dx. 35. /------------dx.
J xvInx	J	____ J x
37.	j -i- 27x dx. 38.
Ar. r sinx + cosx .	r sinxdx
_ dx. 41. /
J vsinx —cosx	J vcos2x
43.	[^L. 44. f^^dx. 45. [
J sh x	J
xdx
-t - 32. f-
X'Jx1 — 1	J
dx x(2 + Inx)
sin5 x cosx dx.
.2
• 42. f^-.
J sin x
1 i 1 + x j ----- In----dx.
1 — x2 1 — x
dx
x
94
Гл. V. Неопределенный интеграл
Используя различные подстановки, найдите следующие интегралы.
46. fx3(l -bx2yadx. 47. [-*1^-= J	J vl — X2
49. / —--------• 50.	= 51.
J ex/2 + ex	J ,/j + ex
х
'а2 — х2 dx. 53.
-----ах I* х = acos2t). а — х
55.
а
cos2t
dx у/х2 + а2
/X2 dx y/a2 + x2 dx
y/x2 — a2
§ 4. Метод интегрирования по частям
Основные понятия и теоремы
Теорема 3. Пусть на промежутке X функции м(т) и v(x) дифференцируемы. и существует jv(x)u'(z) dx (m. е. функция v(x)u'(x) имеет первообразную на X).
Тогда Ju(x)v'(x)dx также существует на X и
Уu(x)v'(x) dx = u(x)v(x) — уv(x)u'(x) dx.
Это равенство называется формулой интегрирования по частям. Так как и'(х) dx = du, v'(x) dx = dv, то эту формулу можно записать в виде
Judv = u(x)v(x) — у du.
Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях.
1.	Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции In ж, In ip(x), arcsinz, arccosz, arctgT. Если в качестве и(х) выбрать эти функции, то подынтегральное выражение vdu нового интеграла обычно получается проще исходного.
2.	Подынтегральная функция имеет вид Р(х)еа;с, P(x)sinax, Р(х) cosax, где Р(х) — многочлен относительно переменной х. Если в качестве м(т) выбрать Р(х), то в новом интеграле подынтегральная функция снова принадлежит одному из указанных типов, но степень многочлена окажется уже на единицу меньше. Выбирая этот многочлен снова в качестве п(т), понижаем степень еще на единицу и т. д.
3.	Подынтегральная функция имеет вид еагзт6т, еа:ЕсозЬт, sin(lnz), cos(ln х) и т. п. После двукратного интегрирования по частям получается снова исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно искомого интеграла.
§4- Метод интегрирования по частям
95
Контрольные вопросы и задания
1. Напишите формулу интегрирования по частям неопределенного интеграла. При каких условиях эта формула справедлива?
2. Какие функции удобно интегрировать по частям?
Примеры решения задач
1.	I = уarctga:da:. Положим и = arctga:, dv = dx. Тогда du =
__ —у = х. Следовательно, 1 4- х
Т , Г xdx	,	1 fd(l +х2)
I = rrarctgx - у — = xarctgx - -J	=
= x arctga: — - ln(l + x2) + C.
2.	I = jx2e Xdx. Положим и — x2, dv — r- Xdx. Тогда du = 2xdx, v = — e~x. Значит,
I = — x2e x + 2^xe Xdx = — x2e x + 2^—xe x + fe Xdx^ =
= —x2e~x - 2xe~x - 2e~x + C.
3.	I = у sin (In a:) dx. Положим и = sin Ina:, dv = dx. Тогда du —
= — cos In a: da:, v = x. Имеем x
I — x sin In x — у cos In x dx = x sin In x — (a: cos In x + f sin In x dx).
Мы получили линейное относительно I уравнение
I = x(sinlnx — cos In a:) — I, откуда находим
I = (sin In x — cos In a:) + C.
4’ Ka = f (х2"+а^а	=	ПоЛОЖИМ U = Гх2+а2^^ dV =
J	I u. J	“Г и )
= dx. Тогда
К = x____________fxd( 1	=
“	(x2+a2)“ J k(x2 + a2)“7
= x__________l 2a + д2) ~ д2 dx =
(x2 + a2)a J (x2 + a2)“+1
_ x _1_оГ/ dx 2 f dx I _
(x2 + a2)“ + 20 IJ (x2 + a2)« ~a J (x2 + a2)“+d “
= , 2 1 2V* + 2a - a2tfa+i]: (x2 4- a2)“
откуда
тг _	1_______x____! 2a — 1 „
a+1 2aa2 (x2-h a2)a 2aa2 a'
96
Гл V Неопределенный интеграл
Мы получили рекуррентную формулу, с помощью которой Ка+1 выражается через Ка При а = 1 интеграл Ка есть “почти” табличный интеграл
Ki= [	= i arctg + С
J х +а а ° а
Полагая в рекуррентной формуле а = 1 и зная Ki, найдем К-2 Полагая а = 2 и зная К-2-, найдем и т д
Замечание С помощью методов замены переменной и интегрирования по частям получаются следующие часто употребляемые формулы 1 /гт? = ;агс1в7 + с (“*0) 2	+ c (о^О)
J а2 — х2 2а | а — х | „ f xdx , 1 , . 2 .	21 , z-<
3 /-^-7—7 = ±Zln a ±x \ + C J a2 ± i2 2 /dx	x
- ,l=---t: = arcsm - + C (a > 0)
va2 — x2	Q-
5 f 	= In |x + x/x^±b2| -I- C
J Vx2 i a2
j у/a2 ± x2
7 f y/a2 — x2 dx = — x/a2 — x2 + — arcsm - -|- C (a > 0) J	2	2 a
2
8 J Vx2 ± a2 dx = ~Vx2 ± a2 ± In |rr + у/х2 ± a2| + C
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Найдите следующие интегралы
58. Jlnxdx 59. Jy/x\n2xdx 60. Jx3e~x dx
61. Jx2 sin 2x dx 62. J arcsm x dr 63.	d.x
64. Jsmrln(tgr)dr	65. Jx(axctgx)2 dx
66.	67. fexV^+ldx
68. у cos(lnr)dr 69. Jeax smbxdx 70. Je2xsm2xdx
§ 5. Интегрирование рациональных функций
Основные понятия и теоремы
1. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Рассмотрим рациональную функцию (или рациональную дробь) Pntxj/Qmtx) Здесь Рп(х) и Qm(x) — многочлены степеней пит относительно переменной х
$5 Интегрирование рациональных функций
97
Если п }т,т в дробь неправильная, то ее можно представить в виде
=	+	(к<т),
ЦтпуХ)
или, как говорят, выделить из нее целую часть Pn_m(x)
В результате интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию правильной дроби 7?/; (^)/Qm(я)
Теорема 4 Пусть Pn(x)/Qm(x) — правильная рациональная дробь [п < т), а разложение Qm(x) на произведение неприводимых вещественных множителей имеет вид
Qm(x) = (х - а)“ (х - Ь)в (х2 + рх + qy (x2+rx + s)5,
где а, ,Ь - вещественные корни, х2 ратные трехчлены, не разложимые Тогда
Рп(х) Аа , Аа-1
+ рх + q, , х2 + rx + s — квад-на вещественные множители
Дд-1
ВВ _______________
(х-Ь)/3 "и (i-fe)/3-1
М\х N\
4--т-,	; г
х2 + рх 4- q
х — а
Bi Арх 4- Гр х — b + (х2 + рх + д)т
х2 + гх 4- s ’	' 3
где Аг, Вг, Мг, Nt, Кг, Ьг — вещественные числа
Дроби, входящие в правую часть (1), называются простейшими, а само равенство (1) называется разложением правильной рациональной дроби Рп(х)/Qm{x) на сумму простейших дробей с вещественными коэффициентами
2. Интегрируемость простейших дробей в элементарных функциях. Каждая из простейших дробей интегрируется в элементарных функциях
1) ( Дх = А1п |т — а| 4-С, J х — а
Мх 4- N , М ,, 2	\
------dx = — ln(x +рх + q) +
x2+px + q 2 v Г 3
2N — Mp .	х+р/2
4----r= — arctg .
2\/q -р2/4	\Zl-P1/
4) [ Мх +	М__________1:_____с f/y _ ^Р\
']{х2+рх + Ч}а 2(1-а) (Р4-а2)«-1 V 2 / ‘
(а > 1), где
т, Г dt	, р о Р2
= < = »+5. “ =?-7
4 В ф Бутузов и др
98
Гл. V. Неопределенный интеграл
Интеграл Ка вычисляется по рекуррентной формуле (см. § 4).
3. Практические приемы разложения правильной дроби на сумму простейших дробей.
1°. Метод неопределенных коэффициентов. Разберем этот метод на следующем примере. Разложение правильной дроби ------—Х-	2—— на сумму простейших дробей согласно тео-(Х “Н 1)(^Х — 1)(Х	1)
реме 4 имеет вид
х	_АВ Сх 4- D
(х + 1)(2х — 1)(х2 4-1) х 4- 1 2х — 1 х2 4- 1 ’
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители получившихся дробей, приходим к равенству
х — А(2х — 1)(х2 4-1) 4- В(х 4- 1)(т2 + 1) +
4-	Сх(х 4- 1)(2х — 1) 4- О(х 4- 1)(2х — 1). (2)
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для определения А, В, С и D:
при х° —А 4- В— D = 0;
при	х1	2А + В — С 4- D	= 1;
при	х2	—А + В+ C + 2D	= 0;
при	х3	2А + В + 2С	=0.
Решив эту систему, найдем коэффициенты А, В, С, D.
Такой общий подход даже в примере с четырьмя неопределенными коэффициентами приводит к весьма громоздкой системе.
Вместе с тем, используя тождество (2), можно найти искомые коэффициенты проще:
а)	полагая в (2) х = получаем i = В • | откуда В — Z	J. о
б)	полагая в (2) х = —1, получаем — 1 = А • (—3) • 2, откуда А = ~;
в)	полагая в (2) х = 0, получаем 0 = —А 4- В — D, откуда D =
= В ~ А = Тб’
г)	сравнивая коэффициенты при х3. получаем 0 = 2 А 4- В 4- 2С, откуда С =	+ В) = -2 (з + Тб) = “Тб’
2°	. Метод вычеркивания. Отметим полезный прием вычисления некоторых из неопределенных коэффициентов. Пусть
Рп{х) _ Рп{х)
Qm(x) (х-а)"<р(х)’
</Да) 0,
т. е. вещественное число а — корень кратности а многочлена Qm(x}.
§5- Интегрирование рациональных функций
99
Кратному вещественному корню х = а соответствует в разложении дроби Pn(x)/Qm(x) цепочка простых дробей:
Для отыскания коэффициента Аа при старшей степени знамена-Р (х)
теля надо в знаменателе исходной дроби	. вычеркнуть
(х - а)“у>(х)
(х — а)“ и в оставшейся дроби положить х = а, т. е. Аа =	.
v	<р(а)
Указанный метод особенно удобен, если все корни знаменателя вещественные и простые. Тогда этим методом находятся все неопределенные коэффициенты. Например,
_________х4- 2_________ А В С D х(х — 1)(х 4- 1)(х — 2) х х - 1 + г + 1 + х - 2'
д _ _________х + 2_________|	_
(х — 1)(х 4- 1)(х - 2) |х=0	’
в_ * + 2 I =_3 х(х 4- 1)(х — 2) L=i 2
и т. д.
Контрольные вопросы и задания
1.	Всякая ли рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях?
2.	Почему исследуется вопрос об интегрировании только правильной дроби?
3.	Что значит “выделить целую часть неправильной дроби”?
4.	На какие простейшие вещественные множители можно разложить многочлен с вещественными коэффициентами7
5.	Известно, что число 2 — г является корнем многочлена с вещественными коэффициентами. Верно ли, что число 2 4- i есть корень того же многочлена?
X | 1
6.	На какие простейшие дроби разлагается дробь ---  — 2------?
(х 4-1) (х 4- х 4" 1)
7.	Что такое метод неопределенных коэффициентов при разложении дроби на сумму простейших дробей?
8.	Что такое метод вычеркивания при вычислении неопределенных коэффициентов?
9.	Найдите методом вычеркивания неопределенные коэффициенты в разложении дроби ---------------.
' (х 4- 2)(х - 3)
10.	Найдите методом вычеркивания неопределенные коэффициенты в раз-х2
ложении дроби —-------—---. * Положите х2 = у и затем примените
(xz 2дх2 4~ 3J
метод вычеркивания.
4'
100
Гл V Неопределенный интеграл
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Найдите следующие интегралы
/• 2х + 3	,
/ -----:-----г dx
J (т.	2)(х 4- 5)
г х2 4- 5х + 4 , /	=---dx
J х^ + 5х2 4- 4 г dx
J х3 + 1
х3 + 1	,
-------□-----dx
хЛ — 5х2 Ч- 6х dx
х \2
х2 — Зх + 2 /
77-
z2 dx
(:г2 — 4х + 4)(х2 — 4т + 5) г dx __ г
dx
dx
х4 + З:г3 + 4,5х2 4- Зх + 1	J
^±ldx 84.
хв 4- 1	J х8 4- Зх4 4- 2
-^2 j_ -j	/• ^5 —
dx
dx
„ Л С х3 dx 82’ /(7^ 1)100
у ~ - dx
X4 + 1 , —-----ах
§ 6.	Интегрирование иррациональных функций
Основные рационализирующие подстановки
В этом и следующем параграфах через	обозначается ра-
циональная функция двух аргументов х и у
1.	Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
Интеграл вида / R\x, V —- 1 рационализируется, т е J у \/ СХ “|“ d /	\ С d}
сводится к интегралу от рациональной функции, подстановкой
__ п / ах 4~ Ь у сх + d
2.	Подстановки Эйлера. Вопрос об интегрировании в элементарных функциях интегралов вида jR(x, 'Jax2 + Ья + с) dx (а / 0) решается с помощью подстановок» Эйлера, которые рационализируют интегралы такого вида
Если квадратный трехчлен ах2 +Ьх + с имеет комплексные корни (в этом случае знак а совпадает со знаком трехчлена, стоящего под корнем, т е а > 0), то применяется первая подстановка Эйлера
Если ах2 +Ьх + с = а{х — Xi)(x — Хг), где ii И1г — вещественные корни, то для рационализации интеграла применяется вторая подстановка Эйлера 
__ у/ах2 4- Ьх 4- с
х — Х1
3.	Другие приемы интегрирования квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера, играя важную теоретическую
§ б Интегрирование иррациональных функций
101
роль, на практике приводят обычно к громоздким выкладкам, поэтому прибегать к ним надо в крайних случаях, когда не удается более просто вычислить интеграл другим способом Одним из таких способов является следующий Если в квадратном трехчлене ах2 + Ьх + с
I Ъ \2 выделить полный квадрат, т е привести его к виду а(т+—) + z ,2 \	\	2а/
+ (с — — ) и положить
\	4а/	,-----------
<= у|с-Ь2/(4а)|(:С+ 2а)’
то интеграл R(x, у/ах2 +bx + с) dx приводится к одному из трех видов
I(t, \/1 - <2) dt, jR2(t, y/t2 - l)dt, jR3(t, y/\+t2)dt
Сделав в первом из этих интегралов подстановку t = smu, во втором 1/t = sin и, в третьем t = tgu, получаем интегралы вида j R(sm и, cos u) du (см § 7)
Рассмотрим еще один способ вычисления интегралов вида УR(x, у/ах2 + Ьх + с) dx (без применения подстановок Эйлера и тригонометрических подстановок) Для этого преобразуем подынтегральную функцию к некоторому специальному виду
Так как четные степени выражения у/ах2 +Ьх + с являются многочленами, то функция R(x, у/ах2 +Ьх + с) представима в виде
. Р(х) + <Э(х)л/ат2 + Ьх +7
Rix, V ах2 +Ьх + с) = ———	,
S(x) + Т(х)у/ах2 + Ьх + с
где Р, Q, S и Т — многочлены Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель этой дроби на S(x) — Т(х)^ах2 +Ьх + с Тогда получим
т-> /	/	;	;	, А(х) + В (х) у/ах2 + Ьт + с
й(яг, у/ах2 + Ъх + с) =	-----4^——-----------—
С (т)
A(z) В(х)(ах2 + Ьх + с) , >	/?2(т)
— Т77—Г ।	। —г-'— .--
С(х) С(х)-/ах2 + Ьх + с	ах2 + Ьх
где А, В и С — многочлены, Rylx) и /?2(т) — рациональные функции
Вычисление интеграла от 7?i(t) описано в § 5
Выделяя в рациональной дроби R3{x) целую часть Рп(х) и разлагая оставшуюся правильную дробь на сумму простейших дробей, приходим к следующим трем типам интегралов
Рп(х) dx у/ах2 + Ьх + с
(1)
102
Гл V Неопределенный интеграл
/ --------“Г_=	(2)
J (т — /3)т\/ах2 + Ьт + с
Г_______(Мх + 7V) dx_____
J (х2 + рх + q)ay/ax2 + Ъх + с
Эти интегралы можно вычислить следующим образом
1	Для интеграла (1) справедлива формула
[= Qn-1 (х) Vax2 + bx + c + А [	- ,	(4)
J \/ax2 + bx + c	J yax2 + bx + c
где Qn-i(z) — многочлен степени n — 1, a A — некоторое число Для определения коэффициентов Qn_i (т) и числа А продифференцируем тождество (4) После приведения к общему знаменателю получим равенство двух многочленов Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим неизвестные коэффициенты Входящий в правую часть равенства (4) интеграл сводится к табличному выделению полного квадрата в подкоренном выражении
2	Интеграл (2) сводится к интегралу типа (1) подстановкой t = =
3	Интеграл (3) в случае, когда
У = - =	(5)
1 Р <?
т е когда квадратные трехчлены совпадают с точностью до множителя (ах2 + Ьх + с= а(х2 + рх + q), а > 0), можно представить в виде суммы двух интегралов
М Г (2x+p)dx	1 Мр\ г	dx
2\/а J (х2 + рх + g)(2«+i)/2 +	2 ) J (х2+рх + дУ2а+1'>/2
Первый из них рационализируется подстановкой t = x2+px + q, а второй - подстановкой t — (\/х~ + рх + q)1 = — +р 2\Jx2 +рх + q
Если соотношение (5) не выполняется, то интеграл (3) сводится сначала к виду
(7 > 0) (6)
(у2 +-f)my/ry2 +s
Так, если ~	то вид (6) достигается подстановкой х = у — £
Если у р то для приведения интеграла (3) к виду (6) используется подстановка х = Коэффициенты р. и v подбираются так, чтобы в полученных квадратных трехчленах отсутствовали члены первой степени относительно у
§6 Интегрирование иррациональных функций
103
В интеграле (6) дробь	является правильной, и после ее
(У + 7)
разложения на простейшие дроби получаются интегралы типа f ydy	г dy
7 (у2 + y)ky/ry2 + s J (у2 + ~t)ky/ry2 + з
Первый из них рационализируется подстановкой t = у/ry2 + s, вто-
рой — подстановкой t = (у/гу2 + s)' = . rV dry2 + s
Контрольные вопросы и задания
1	Какая подстановка рационализирует интеграл от дробно-линейной иррациональности7
2	Какого типа интегралы вычисляются с помощью подстановок Эйлера7
3	Какова теоретическая роль подстановок Эйлера7
4	С помощью каких тригонометрических подстановок вычисляются интегралы yVl — ж2 dx, fy/x2 — 3 dx, Jy/x2 +3 dx, y\/z2 — 2т + 2 dx, [y/1 + 2т — t2 dx7
Примеры решения задач
6/2 dt (? - l)2
1 =
t + 1 dx Положим т — 1 т + 1
Следовательно,
„f dt 1 ,	(1 -t)2
-21пГПТс
1. I =
f3 — 1
, откуда dx =
2t + 1
3 arc tg ——— \/3
rflet= P/£±T
V x — 1
, тогда y/5dt = 2dx и, значит,
Положим t =
_ 4 Г_______dt______
~ 5 J {t2 +3/5)^<2 - 1
104
Гл V Неопределенный интеграл
1	лу
Положим теперь | = sinu, откуда —	= cos и du. Поэтому
4 Г cos и sin и du __	4 f sin u du _
(1 + - sin2 cos и	- — - cos2 и
\	5	/	5	5
_ 4 Г d(cosu) _ 4 1 /з". I з/ 8/3-cos2 и - 3 2 V 8 1П I
где и = arcsin
у5
2т+ 1
Окончательно получим
1 ln I (2т + 1)а/2 + \/3(тг + ж - 1) I + >/б I (2т + 1)а/2 — \/3(т2 + ж - 1) I
3. Вычислим интеграл примера 2 без применения тригонометрических подстановок. Интеграл имеет вид (3). где р = 1, q = 1, а = 1, b = 1, с = —1, т. е. выполнены условия а/1 = b/p / c/q
Полагая х = у — i, приходим к интегралу I = [ —z---=
2	J (у2 + 3/4)yj/2 - 5/4
типа (7), который рационализируется подстановкой
У
Vy2 ~ 5/4
(8)
Из соотношения (8) получаем t2(y2 — 5/4) = у2, откуда
2	3
У +-4 =
2t2 - 3/4 i2 - 1
(9)
Записывая формулу (8) в виде ty/y2 — 5/4 = у и дифференцируя, получаем dty/y2 — 5/4 + t(y2 — 5/4)'dy = dy, или, с учетом (8), di\/?/2 - 5/4 + i • tdy = dy, откуда
dy _ dt
Vy2 - V* ~ 1 ~t2 ’
(10)
Подставляя выражения (9) и (10) в интеграл I, имеем

I
dt _ 1 , 3/4 - 2i2 ' Тб П
где t =
2т + 1
2л/т2 + т + 1
т е
ЙЗ + ИЙ \/3- ИЙ
i = -Un 1/6
(2т + 1)У2 + х/3(т2 + т-1) (2® + 1)а/2 — ^3(т2 + т — 1)
+ С
§6 Интегрирование иррациональных функций	105
4. 1= [------,3	... Положим t = —Ц-, тогда dx = -4 dt
J (х- 1)\Д2 + Зх + 1	ж-Г "	Г
Т f t2dt тт	»	„ ,лч
и 1 = — / —,	= Далее воспользуемся формулой (!)•
J V5t2 + 5£ +1
.	= (At + B)75i2 + 5i + l + А [.
ч/б/2 + 5t + 1	J y/5t2+5t + l
Дифференцируя это тождество, получаем * I
f2 = Лу^2 +5£ + 1 + (Л* + В)(10< + 5) А
у/Ы2 + 5t + l	2y/5t2 + 5t+l y/5t2 +5t + l
Приводя к общему знаменателю и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, находим А = 1/10, В = —3/20, А = 11/40. Далее,
dt	1 Г d(t + 1/2)
V5t2 + 52 + 1 ~ V5 J у^ + 1/2'р - 1/20
= 4=ln У5
Окончательно имеем
I = - t - би) \/5t2 + 5t + 1------^-= In
\10	20/ v	40-/5
x 1 где t =-----, или
x — 1
t + + \/fi+t+ | 2 у	5
t+и+\A2+<+1 2 у	□
+ c.
+ C,
j _ 3x — 5
~ 20(z - l)2
--'-In 40a/5
(x + 1)л/5 + 2y/x2 + 3x + 1 x — 1
+ C
Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найдите следующие интегралы
dx
89. [---------=—
J х(1 + 2/х + fyx)
91. /\, dT ________
J \/(.г + I)2 (х - I)4
94. [^±^±ldx
f x2dx	[________dx________
J Vx2 + T + 1	j (x + IJx/x'2 + X'|l
x3 dx	__ Г x10dx
,	9o. / —.........
Vl + 2x — x2	J VI + x2
97. /	98. /----,	99. /------------ —
J x3y/x2 + 1	J x4\/x2 — 1	/ (4 — 2x + z2)y/2 + 2x — x2
100. [--------101. f---------------------
2(1 — x4)\/l + x2	J (x2 — IJvA-2 — x — 1
102. f--------103. f_________________________-dx -
J (x2 + x + l)vx2 + x + 1	J x + Vx2 + x + 1
106
Гл. V. Неопределенный интеграл
104.	[----7=^=^.
J 1 + \/1 — 2z — я2
ice. f
J (х2 + 1) а/(т4 + 1)
г dx
I [i + vXi + z)]2
r (x2 + 1) dx
J (x~ - l)v/(r4 + 1)
§ 7.	Интегрирование тригонометрических функций
Основные рационализирующие подстановки
Интеграл вида f R(sin х, cos a?) dx рационализируется с помощью универсальной тригонометрической подстановки t = tg(z/2). На практике она приводит часто к громоздким выкладкам. В ряде случаев более удобны другие подстановки:
a)	t = cost, если R(— sinх, cost) = —_R(sinT, cost);
6)	t = sin x, если 7?(sin x, — cos x) = — /?(sin x, cos t) ;
в)	t — tgT, если R(— sinx, — cost) = 7?(sinT,cost).
Примеры решения задач
1. I = j cos5 xdx. Подынтегральная функция относится к случаю б). Поэтому положим t = sinT. Тогда dt = cos xdx, cos'1 x = = (1 - sin2 t)2 = (1 - t2)2 и
I = /(I - t2)2 dt = t-?-t3 + J i5 +C, J	3	5
где t = sinT.
2. I = j sin5тcost dx. В данном случае проще вычислить интеграл, не прибегая к подстановкам и представив подынтегральную функцию в виде ~ (sin 4т + sin 6т). Тогда
1 г	11
I — - (sin 4т + sin 6т) dx = — - cos 4т — — cos 6т + С.
2 J	8	12
/dx
------—-.—. Здесь можно сделать универсальную под-CL COS iX у Sill »Х
становку t = tg^. Тогда т = 2arctgi, dx = p , sinT = — , cosi = i и интеграл I сводится к интегралу от рациональной функции. Однако проще сначала преобразовать подынтегральную функцию:
1
1
a cos х + b sin х -/а2 + b2 sin (ж + <р) ’
§ 7. Интегрирование тригонометрических функций	107
где sin у? = .	- , cos с? = . - — и положить далее t =
уа2 + о2	ya2 + Ь2
— tg . Тогда dx =	, sin(a? + tp) — —и, следовательно,
2	1 4~ £	1 4~ t
г- г 1	/' d/'l -	1 1п|ьгж + у)| | с
t|t=tg£±*	R 2 R
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Найдите следующие интегралы.
108. / sin6 xdx. 109. J sin2 ж cos4 xdx.
111.	[tg5xdx. 112. f-=dX
>	J v sin3 x cos5 x
114. f cos x cos 2x cos 3т dx.
f sin'3 х J 110. /-------— dx.
J COS4 X
113. /RR. J ytgT
sin3 2т cos7 3r dx.
116. f-------------------
J 2 sin x — cos x + 5
118. f.s^dx. ng J 1 4- sin2 x
117. /-------—----- при: а) 0 < e < 1
J 1 + e cos x
sin x dx	f ^x
sin3 x + cos3 x	J cos6 x + sin6 x
ГЛАВА VI
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
§ 1.	Теоремы об ограниченности непрерывных функций
Основные понятия и теоремы
1.	Определение ограниченной функции. Пусть функция у = = f(x) определена на множестве X.
Определение. Функция у = /(т) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если существует число М(т) такое, что Vz £ X выполняется неравенство /(х) М (f(x)	т).
Число М(т) называется верхней (нижней) гранью функции на множестве X. Функция у = f(x) называется ограниченной на множестве X (или ограниченной с обеих сторон), если она ограничена сверху и снизу на этом множестве.
2.	Теоремы об ограниченности непрерывных функций.
Теорема 1 (о локальной ограниченности функции, непрерывной в точке). Если функция у = f(x) непрерывна в точке хо, то существует окрестность точки Хо, в которой эта функция ограничена.
Теорема 2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция у = f(x) непрерывна в точке Хо и f(xo) А 0, то существует окрестность точки хо, в которой f(x) имеет тот же знак, что и f&o).
Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.
3.	Точные грани функции.
Определение. Число М называется точной верхней гранью функции у = f(x) на множестве X, если:
1°) Vz € X выполняется неравенство f(x) М;
2°) \/М' < М Зх' ё X такое, что f(x') > М'.
Замечание. Условие 1°) означает, что число М является одной из верхних граней функции у = f(x) па множестве X. Условие 2°) означает, что М — наименьшая из верхних граней функции у = f(x) на множестве X, т. е. никакое число М', меньшее М, не является верхней гранью.
Точная верхняя грань функции у = f(x) на множестве X обозначается так: sup f(x). Если функция у = f(x) не является ограниченной
сверху на множестве X, то пишут sup f(x) — +сх>.
х
§1. Ограниченность непрерывных функций
109
Аналогично определяется точная нижняя грань функции; inf f{x).
Разность sup f(x) — inf f(x) называется колебанием функции у = fix) х	X
на множестве X.
Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на сегменте [а, 6] функция f(x) достигает на этом сегменте своих точных граней, т. е. Зх', х" 6 [а, Ь] такие, что f(x') = inf f(x), f(x") = [а,Ь]
= sup Дж).
[а,Ь]
Если функция у = f(x) достигает на множестве X своей точной верхней (нижней) грани, то она имеет на X максимальное (минимальное) значение, причем max f(x) = sup f(x) (соответственно min f(x) = x	x	x
— inf В противном случае функция не имеет на множестве X максимального (минимального) значения.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение ограниченной сверху (снизу) на множестве X функции.
2.	Используя правило построения отрицаний предложений с кванторами, сформулируйте определение неограниченной сверху (снизу) на множестве X функции.
3.	Докажите, что определение ограниченной функции эквивалентно следующему: функция у — f(x) называется ограниченной на множестве X, если существует число А > 0 такое, что Vt 6 X выполняется неравенство |/(т)| € А.
4.	Сформулируйте определение неограниченной па множестве X функции с помощью отрицания определения, приведенного в задании 3.
5.	Сформулируйте теорему о локальной ограниченности непрерывной функции.
6.	Докажите, что теорема о локальной ограниченности функции остается в силе, если условие непрерывности функции в точке Хд заменить условием существования lim f(x).
7.	Сформулируйте теорему об устойчивости знака непрерывной функции.
8.	Известно, что f (т) непрерывна в точке хд и f(xg) = 0. Можно ли утверждать, что /(х):
а)	имеет определенный знак в некоторой окрестности точки хд (кроме самой точки то);
б)	не имеет определенного знака ни в какой окрестности точки то?
9.	Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса.
10.	Справедливо ли утверждение: непрерывная на интервале функция ограничена на этом интервале?
11.	Может ли неограниченная на множестве X функция быть непрерывной на этом множестве, если: а) X — сегмент; б) X — интервал?
12.	Дайте определение точной верхней и точной нижней грани функции. В каком случае полагают inf f(x) = —сю?
110
Гл VI Непрерывные и дифференцируемые функции
13	Справедливо ли утверждение ограниченная сверху (снизу) на множестве X функция имеет на этом множестве точную верхнюю (нижнюю) грань7
14	Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса
15	Справедливо ли утверждение непрерывная и ограниченная на интервале функция достигает на этом интервале своих точных граней7
16	Справедливо ли утверждение если функция не достигает на сегменте [а, 6] своей точной верхней (или нижней) грани, то она разрывна на этом сегменте7
17	Справедливо ли утверждение разрывная на сегменте [а, 5] функция не достигает на этом сегменте своих точных граней7
18	Справедливы ли следующие утверждения
а)	ограниченная на сегменте [а,Ь] функция у = /(ж) имеет max/(ж) и mm fix'), [<*,!>]
б)	непрерывная на сегменте [а, Ь] функция имеет max f(x) и mm/(ж)7 [а,д]	[а,д]
19	Справедливы ли утверждения задания 18, если сегмент [а, Ь] заменить интервалом (а,5)7
Примеры решения задач
1.	Доказать, что функция у = ——- ограничена на числовой прямой (—оо,+оо)	1+z
А Так как х2 0, то 1 + ж2 1 и, следовательно, Vx 6 (-оо, +оо) выполняются неравенства
(1)
Отсюда следует, что функция у — yqy—j ограничена на (—оо,+оо). А
2. Найти точные грани функции из примера 1 и установить, имеет ли она максимальное и минимальное значения
А Из неравенств (1) следует, что числа т = 0 и М = 1 — соответственно нижняя и верхняя грань функции у = —- Докажем, что эти числа и являются точными гранями данной функции Так как 1 1
----Z- —> 0 при х оо, то Vm' > 0 Эх1 такое, что -----— < т'. Та-1+z2	1+т'2
ким образом, никакое положительное число т' не является нижней гранью функции, а значит, число т = 0 — наибольшая из нижних граней, т. е. inf -------- = О
(-00,4-00) 1 +Х2
При х = 0 значение функции равно 1. Следовательно, никакое число, меньшее 1, не является верхней гранью функции Иначе говоря, наименьшая верхняя грань функции равна 1. Итак, sup f(x) = 1 ( — 00,-4-00)
Заметим теперь, что, в отличие от значения 1, которое функция принимает при х = 0, значение 0 не принимается функцией ни при
§ 1 Ограниченность непрерывных функций
111
каком х (Vx  1—2 > 0) Поэтому данная функция имеет на числовой
„ . , 1
прямой (—оо, +оо) максимальное значение max ------------- = 1, но нс
(-00,4-00) 1+Ж2
имеет минимального значения. ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1. Докажите ограниченность функции
а)
б)
в)
1 + х
1 + х2
2х
1 + X2
1
х sm -х
на полупрямой [0, +оо),
на числовой прямой ( —оо,+оо),
на (—оо,+оо),	г) у = arctg 2* на (—оо,+оо),
д) у = хе х на (0, +оо)
2. Ограничены ли следующие функции
а) у = х2 на [—5,10], б) у = ж’ на [—5, +оо),
в) у = х cos(1/t) на (—оо, +оо),
У =
У =
У =
21^1 при х 1, О	при х = 1
на (0,2),
д) у =	на (0, l)^
3.	Приведите пример функции, которая на некотором множестве X а) ограничена сверху, но не ограничена снизу, б) ограничена снизу, но не ограничена сверху, в) не ограничена снизу и сверху
4.	Пусть функция /(т) определена на множестве X и пусть Vx 6 X существует окрестность, в которой /(ж) ограничена Следует ли отсюда ограниченность /(т) на X, если
а) X — интервал, б) X — сегмент?
5.	Приведите пример функции /(ж), которая непрерывна и равна нулю в некоторой точке хо и
а)	имеет определенный знак в некоторой окрестности точки хо (кроме самой точки то),
б)	не сохраняет знака ни в какой окрестности точки хо
6.	Приведите пример функции, непрерывной на интервале, но не ограниченной па нем
а) сверху, б) снизу, в) с обеих сторон
7. Постройте пример функции, определенной на [а,Ь], но не ограниченной на [а, Ь]
а) сверху, б) снизу, в) с обеих сторон
Может ли такая функция быть непрерывной на [а, Ь]'?
8. Найдите точные грани функции
a) f(x) — ----- на (0, +оо), б) f (т) = х2 на [—5,10],
1 + х2
в) j{x) = arctg 21 на (—оо,+оо), г) /(ж) = suit + cos х на [0, тг],
д) /(т) = 21/(-1) на (0,1)
Достигает ли /(ж) своих точных граней на указанном множестве7
112
Гл VI Непрерывные и дифференцируемые функции
9.	Приведите пример функции f(x), у которой
a) sup f(x) = +оо, б) inf /(х) = —оо
х	А
10.	Постройте пример непрерывной и ограниченной па интервале функции, которая на этом интервале
а)	достигает sup, но не достигает inf,
б)	достигает inf, но не достигает sup,
в)	не достигает sup и inf
11.	Постройте пример ограниченной на сегменте функции, которая на этом сегменте
а)	достигает sup, но не достигает inf,
б)	достигает inf, но не достигает sup,
в)	не достигает sup и inf
Может ли такая функция быть непрерывной на сегменте7
12.	Постройте пример функции, которая на некотором множестве X имеет sup и inf, но не имеет max и mm
13.	Найдите колебания функции
а)	f(.x) = х~ на (~1, 2)>
б)	f(x) = ып(1/т) на (0, е), где е — произвольное число,
в)	fix) = Ж81п(1/т) на (0,1),
г)	f(x) = ^1 чт(1/ж)| на (0,1)
14.	Обозначим через т[/] и Л1[/] соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани функции /(г) на множестве X Пусть fi(x) и /?(т) определены и ограничены на X Докажите, что
”4/1 + /2]	m[/i] + ”4/2],	М[/i + /2] $ М[/i] + М[/г]
Постройте примеры функций /1(т) и /г(ж), для которых в указанных соотношениях имеет место а) знак равенства, б) знак неравенства
§ 2. Равномерная непрерывность функции
Основные понятия и теоремы
1.	Определение равномерной непрерывности функции. Пусть множество X является промежутком или состоит из нескольких промежутков.
Определение Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве X, если Ve > О 35 = 5(e) > 0 такое, что Vt, х' ё X, удовлетворяющих неравенству |х — х'| < S выполняется неравенство |/(т) - /(х')| < Е-
Замечание Из определения следует, что если функция равномерно непрерывна на множестве X, то она непрерывна на этом множестве, т е непрерывна в каждой его точке Отличие равномерной непрерывности функции на множестве X от “обычной” непрерывности на этом множестве (т е непрерывности в каждой его точке) состоит в том, что при равномерной непрерывности Ve > 0 найдется “нужное” (такое, какое требуется по определению) 5(e) > 0, общее для всех х € X (5 зависит только от е и не зависит от г), а при 1 обычной” непрерывности Ve > 0 и Vx ё X найдется “нужное” 6
§2 Равномерная непрерывность функции
113
(т е 6 зависит и от е, и от х), по для каких-то е может не существовать “нужного” 5(c) > 0, общего для всех х 6 X Ясно, что в этом случае 6 изменяется в зависимости от х так (при указанных фиксированных значениях г), что может принимать сколь угодно малые значения
2. Геометрическая иллюстрация равномерной непрерыв-
ности функции. Если /(т) равномерно непрерывна на X, то Ve > 0 35(e) > 0 такое, что прямоугольник со сторонами 5(e) и е, параллельными осям От и Оу, можно так переместить вдоль графика (сохраняя параллельность сторон осям координат), что график не пересечет горизонтальных сторон прямоугольника, а будет пересекать только вертикальные стороны (рис 5)
3.	Теоремы о равномерной
непрерывности функции.
Теорема 5 (теорема Канто-	Рис 5
ра). Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на
этом сегменте
Теорема 6 (достаточное условие равномерной непрерывности функции). Если функция f(x) имеет на промежутке X ограниченную производную, то f(x) равномерно непрерывна на этом промежутке*).
Контрольные вопросы и задания
1	Дайте определение равномерной непрерывности функции
2	Пользуясь кванторами, сформулируйте отрицание равномерной непрерывности функции
3	Справедливы ли следующие утверждения
а)	если /(т) непрерывна на множестве X, то она равномерно непрерывна па этом множестве,
б)	если f(x) равномерно непрерывна на X, то опа непрерывна на X7
4	Какова геометрическая иллюстрация равномерной непрерывности функции7
5	Сформулируйте теорему Кантора
6	Справедливо ли утверждение непрерывная на интервале функция равномерно непрерывна на этом интервале'
7	Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие равномерной непрерывности функции
8	Является ли ограниченность производной необходимым условием равномерной непрерывности функции7
*) Напомним, что промежутком называется любое из следующих множеств сегмент, интервал, полуинтервал, полупрямая, числовая прямая
114
Гл VI Непрерывные и дифференцируемые функции
Примеры решения задач
1. Исследовать на равномерную непрерывность функцию у = х2 на интервале (—1,1), где I > 0 — любое фиксированное число.
Д Докажем, что функция у = х2 равномерно непрерывна на интервале (—1,1), причем сделаем это тремя способами. 1) пользуясь определением равномерной непрерывности; 2) используя теорему Кантора; 3) используя достаточное условие равномерной непрерывности.
1)	Составим разность y(xi) — у(х2)‘
у(х^) -у(х2) =а?1 -^2 = (Xi +T2)(zi -Х2).	(1)
Если xi,x2 G (—1,1), то модуль суммы |a?i + х2\ ограничен числом 21 Поэтому модуль разности |y(Ti) — у(хг)| будет сколь угодно малым для любых xi,x2 € (—1,1), если только модуль разности |a?i — х2\ достаточно мал Эти качественные рассуждения показывают уже, что функция у = х2 равномерно непрерывна на интервале (—1,1)
Проведем теперь более строгие рассуждения, пользуясь определением равномерной непрерывности. Зададим произвольное е > 0 и положим <5 = е/(21). Тогда Vxi,х2 6 (—1,1), удовлетворяющих неравенству |a:i — а?2 i < <5, выполняется неравенство
- у(х2)| = |xi - х2\  |rri + х2| < 8 21 = е
Это и означает по определению, что функция у = х2 равномерно непрерывна на интервале (—1,1)
2)	Рассмотрим функцию у = х2 на сегменте [—I, /]. Она непрерывна на этом сегменте и, следовательно, по теореме Кантора равномерно непрерывна на нем Отсюда следует, что функция у = х2 равномерно непрерывна на интервале (—1,1). В самом деле, (—1,1) С [—1,1], и так как неравенство |?/(a:i) — у(а7г)| < е выполняется Vzj,х2 6 [—1,1], удовлетворяющих неравенству [а:] — х2| < <5(е), то оно выполняется и для любых Xi, х2 € (—1,1), удовлетворяющих тому же неравенству
3)	Производная у'(х) = 2х ограничена на интервале (—1,1)' |у'(ж)| = 2|а;|	21 Отсюда по теореме 6 следует, что функция у = х2
равномерно непрерывна на ( — 1,1). Л,
2.	Исследовать на равномерную непрерывность функцию у = х2 на всей числовой прямой
Д Из выражения (1) видно, что если х\,х2 € (—оо,+оо), то при сколь угодно малом модуле разности |zi — ж2| модуль разности |у(Х1) — у (х2)| не будет мал при достаточно больших Xi и х2 из-за множителя (a?i Н-хг) Это качественное рассуждение наводит на мысль, что функция у = х2 не является равномерно непрерывной на всей прямой (—оо,+оо). Докажем это, пользуясь отрицанием определения равномерной непрерывности. Нужно доказать, что Зе > 0 такое, что V8 > 0 Зху,х2, удовлетворяющие неравенству |a?i — д;2| <8, для которых \y(xY) - 7/(t2)|	£
§2 Равномерная непрерывность функции
115
Возьмем е = 1 и V5 > 0 положим xi = 1/5 + <5/2, .г2 = 1/5. Тогда |zi — х2| = 5/2 < 5, но при этом
|j/Oi) - у(х2)| = |xi - x2||a;i + х2| = | Q + |) = 1 + у 5= 1 = е.
Это доказывает, что функция у — г2 не является равномерно непрерывной на (—оо,+оо). ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
15.	Пользуясь определением равномерной непрерывности и его отрицанием, докажите, что функция у = 1/х
а)	равномерно непрерывна на полупрямой [1, +оо),
б)	не является равномерно непрерывной на полупрямой (0, +оо)
16.	Приведите пример функции, которая непрерывна на некотором интервале, но не является на нем равномерно непрерывной
17.	Докажите равномерную непрерывность следующих функций, пользуясь только определением равномерной непрерывности (т е выбирая по заданному произвольному £ нужное S = 5(e))
a) f(x) = кх + Ь на (—оо, +оо), к / 0, б) f(x} = х3 на (—3, 5),
в) /(®) = smх на (—оо, +оо), г) f (т) = ех на [0, 10]
18.	Исследуйте на равномерную непрерывность следующие функции (любым способом)
а)	/(т) = ln(z) на (0,1) и на (1, 2),
б)	f(x) = ып(1/я) на (0,1) и на (0,01,1),
в)	f(x) = arctgT на ( —оо, +оо),
г)	/(т) = arcsm х на (—1,1), д) f(x) = у/х на [0, +оо),
е)	= zsm i на (0,1), ж) /(ж) = на (0,1),
3)	— ®sin® на ( —оо,+оо), и) /(ж) = sm2 х на (—оо,+оо),
к) / (т) = sm(x2) на (—оо, +оо), л) f(x) = е~х на (0, +оо)
тт	.	\ 1нтт|
19.	Докажите, что функция f(x) = -----1 равномерно непрерывна на ин-
х
тервалах I-. = ( — 1 < х < 0) и = (0 < х < 1), но не является равномерно непрерывной на их сумме Ii + /г = {0 < |т| < 1}
20.	Докажите, что если функция /(ж) равномерно непрерывна на каждом из сегментов [а, с] и [с, Ь], то она равномерно непрерывна на сегменте [а, Ь\
21.	а) Докажите, что если функция / (т) определена и непрерывна на полупрямой [а,+оо) и существует lim f(z), то /(ж) равномерно непре-г  \	х —> -4-со
рывна на [а,+оо)
б)	Приведите пример функции, равномерно непрерывной на полупрямой [а, +оо), у которой hm f(x) не существует
х—+4-00
22.	Приведите пример функции, которая имеет неограниченную производную на множестве X, но является равномерно непрерывной на этом множестве
23.	Докажите, что равномерно непрерывная на интервале функция ограничена на этом интервале Верно ли обратное утверждение?
24.	Докажите, что сумма и произведение двух равномерно непрерывных на интервале функций равномерно непрерывны на этом интервале
lie
Гл VI Непрерывные и дифференцируемые функции
25.	Модулем непрерывности функции /(т) па промежутке (а,Ь) (а и b могут быть соответственно равны —оо и +оо) называется следующая функция аргумента 6 (5 > 0)
ш/(й)= sup	- /(ж2)|
Ь)
Iх! “®2|^
(если 1/(^1) —/(тг)| является неограниченной функцией при {Д — — ж2|	6, Ti, т2 € (а, Ь)}, то пишут ш/((5) = +оо)
а)	Докажите, что для равномерной непрерывности функции f(x) на промежутке (а Ь) необходимо и достаточно, чтобы hm ок (5) =0
J—>о
б)	Приведите пример функции /(#), х 6 (а, Ь), для которой о>/(<£) = +оо 26. Пусть функция /(т) непрерывна на множестве X, т е непрерывна в
каждой точке х € X Тогда Ve > 0 и Ух 6 X 3d = <£(е, т) > 0 такое, что из неравенства |ж' —	< 5(е,т) (х € X) следует неравенство —
—/(ж)| < е Докажите, что для равномерной непрерывности функции f (т) на множестве X необходимо и достаточно, чтобы существовала функция й(е,т) такая, что ш£<5(е,т) > 0 (Ve > 0)
§ 3. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Основные понятия и теоремы
1.	Возрастание функции в точке.
Определение Говорят, что функция /(z) возрастает в точке Хо, если существует такая окрестность точки tq, в которой /(т) > > /(х0) при х > х0, Да;) < f(x0) при х < х0
Аналогично определяется убывание функции в точке
Теорема 7 (достаточное условие возрастания функции в точке) Если функция f(x) дифференцируема в точке xq и f'(xo) > 0 (Д(зщ) < < 0), то f(x) возрастает (убывает) в точке xq
2.	Теоремы о возрастании и убывании функции на промежутке.
Определение Говорят, что функция f(x) возрастает (не убывает) на промежутке X, если Ух^,Х2 € А из условия a?i < х% следует неравенство ДаД < /(тг) (соответственно Дад) $ f(xz))
Аналогично определяется убывание (невозрастание) функции на промежутке
Теорема 8 Для того чтобы дифференцируемая на промежутке X функция f(x) не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы Ух € X выполнялось неравенство f'(x)^0 (f'(x)^O)
Теорема 9 (достаточное условие строгой монотонности функции) Если f'(x) > 0 (f'(x) < 0) Ух е X, то f(x) возрастает (убывает) на промежутке X
§3 Теоремы о дифференцируемых функциях
117
3.	Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
Теорема 10 (теорема Ролля) Пусть функция /(а?) удовлетворяет условиям
1°) /(т) непрерывна на [а, Ь],
2°) /(а;) дифференцируема в (а,Ь),
з°) /(а) = /(b)
Тогда существует точка с G (а, Ь) такая, что f'(c) = 0
Физическая интерпретация теоремы Ролля Пусть х — время, /(а?) — координата точки, движущейся по прямой, в момент времени а: В начальный момент х — а точка имеет координату /(а), далее движется определенным образом со скоростью /'(а?) и в момент времени х = Ь возвращается в точку с координатой /(a) (J(b) = f(a)) Ясно, что для возвращения в точку /(а) она должна остановиться в некоторый момент времени (прежде чем “повернуть назад”), т е в некоторый момент х = с скорость /'(с) = 0
Геометрическая интерпретация теоремы Ролля Существует точка с G (а, Ь) такая, что касательная к графику функции у = f(x) в точке (с, /(c)) параллельна оси Ох
Теорема 11 (теорема Лагранжа) Пусть функция /(а?) удовлетворяет условиям
1°) f(x) непрерывна на [а, Ь],
2°) /(а?) дифференцируема в (а,Ь)
Тогда существует точка с € (а, Ь) такая, что
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)	(1)
Формула (1) называется формулой Лагранжа (или формулой конечных приращений)
Физическая интерпретация теоремы Лагранжа Пусть х — время, /(т) — координата точки, движущейся по прямой, в момент времени х Запишем формулу Лагранжа в виде
/(b) ~ /(а) = ы, ч b-a J >
Величина в левой части равенства является очевидно, средней скоростью движения точки по прямой за промежуток времени от а до b Формула Лагранжа показывает, что существует такой момент времени х = с, в который мгновенная скорость равна средней скорости на временном отрезке [а, Ь]
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа Число /(b) - /(“)
—является j гловым коэффициентом прямой, проходящей через концы графика функции у = f(x) — точки (а,/(а)) и (b,/(b)), a f'{c) — угловым коэффициентом касательной к графику в точке (с,/(c)) Формула Лагранжа показывает, что касательная к графику в некоторой точке (с,/(c)) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней)
118
Гл. VI. Непрерывные и дифференцируемые функции
Теорема 12 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и glx) удовлетворяют условиям:
1°) f(x) и g(x) непрерывны на [«,£>];
2°) /(х) и (/(а?) дифференцируемы в (а,Ь);
3°) д'(х)	0 Ух G (а, 6).
Тогда существует точка с G (а, Ь) такая, что
fib) - /(а) = /'(с)	,2х
з(0 - »(«) a'tc) ’
Формула (2) называется формулой Коши.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение возрастания (убывания) функции в точке.
2.	Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие возрастания функции в точке.
3.	Справедливы ли следующие утверждения:
а)	если функция возрастает в точке то, то она имеет в этой точке положительную производную;
б)	если дифференцируемая в точке хо функция /(х) возрастает в этой точке, то /'(то) > О?
4.	Сформулируйте теорему, выражающую необходимое н достаточное условие монотонности дифференцируемой функции на промежутке.
5.	Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке.
6.	Справедливо ли утверждение: если дифференцируемая на промежутке X функция /(т) возрастает на этом промежутке, то /' (т) > 0 Ух & X?
7.	Пусть функция /(т) определена в некоторой окрестности каждой точки множества X. Справедливы ли утверждения:
а)	если /(ж) возрастает на множестве X, то она возрастает в каждой точке хо € X;
б)	если /(т) возрастает в каждой точке хо С X, то она возрастает на множестве X? (Рассмотрите функцию /(ж) = —1/х.)
8.	Сформулируйте теорему Ролля.
9.	Останется ли справедливой теорема Ролля, если опустить условие: а) /(а) = f (Ь); б) /(ж) непрерывна на [а, Ь]? Приведите соответствующие примеры.
10.	Сформулируйте теорему Лагранжа.
11.	Сформулируйте теорему Коши.
Примеры решения задач
1.	Найти промежутки монотонности функции /(т) = З.т — х3.
А Имеем f'(x) = 3 - За:2 = 3(1 -х2). Так как /'(т) > 0 при х € € (-1,1), f'(x) < 0 при х € (-оо, -1) и х G (1, оо), то функция /(а?) = = Зх. — х3 возрастает на интервале (—1,1) и убывает на полупрямых (—оо,—1) и (1,+оо); можно также сказать, что f(x) возрастает на сегменте [—1,1] и убывает на полупрямых (—оо,—1] и [1,+оо). ▲
§3. Теоремы о дифференцируемых функциях
119
2.	Доказать, что функция
,, \ f х + z2 sin(2/z) при х О, з\х) — |	q	ПрИ х _ Q
возрастает в точке х = 0, но не является возрастающей ни на каком интервале (— е,е) (е > О — произвольное число).
Д Имеем
,,, ч _ ( 1 + 2zsin(2/z) — 2cos(2/z) при х О, J W — |	1	ПрИ х = о
(по поводу вычисления /'(0) см. пример 6 из § 1 гл. IV).
Так как f'(0) = 1 > 0, то по теореме 7 функция f(x) возрастает в точке х = 0.
Если бы f(x) возрастала на некотором интервале (—е,е), то согласно теореме 8 выполнялось бы условие /'(z)	0 Vz е (—е,е). Пока-
жем, что это не так. Положим хп = 1/(тгтг) (п — натуральное число). Очевидно, что Vs > 0 Зп такое, что 1/(тт) < е, т. е. хп € (—е,е). Подставляя х = хп = 1/(тгп) в выражение для f'(x) при х 0, получим /'(zn) = — 1 < 0. Это доказывает, что функция f(x) не является возрастающей ни на каком интервале (—е,е). А
3.	Пусть функция /(z) удовлетворяет условиям: 1) f(x) имеет непрерывную производную на [а, £»]; 2) f(x) имеет вторую производную в (а, 6); 3) /(а) = /'(а) — 0, /(6) = 0. Доказать, что существует точка с € (а, Ь) такая, что f"(c) = 0.
Д Очевидно, что для функции f(x) на сегменте [а, Ь] выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому существует точка d € (а, Ь) такая, что f’(d) = 0.
Рассмотрим функцию /'(z) на сегменте [а,Д]. Имеем: 1) f'(x) непрерывна на [a, d]; 2) f'(x) имеет производную (/'(z))' = J"(z) в (а,Д); 3) /'(а) = Г№) = 0- В силу теоремы Ролля существует точка с€ (а, d) (и, следовательно, се (а, 6)) такая, что (/' (х))'\х=с = f"(c) = = 0. А
4.	Доказать, что | cos х — cos у\ |z — у| Vz, у.
Д По формуле Лагранжа
cos х — cos у = sin £ • (х — у),
где £ — некоторая точка из интервала (х,у). Так как |sin£| V 1, то |cosz — cosy| |z — у\. А
5.	Пусть функции /(z) и д(х) определены и дифференцируемы при х х0, причем f(x0) = д(х0), f'(x) > д'(х) при х > х0- Доказать, что /(z) > д(х) при х > х0.
Д Рассмотрим функцию y?(z) = f(x) — д(х) на произвольном сегменте [zq,z] (х > Хо). По формуле Лагранжа
i^(z) - <р(х0) = <р'(£)(х - z0),	(3)
120
Гл VI Непрерывные и дифференцируемые функции
где £ — некоторая точка ил интервала (а?о,х) Так как
= /Оо) - д(х0) = 0,	0(C) = /'(£) - «/(О > 0, х - хо > О,
то из равенства (3) получаем у?(т) > 0, т е f(x) — д(х) > 0 при х > х0 Таким образом, f(x) > д(х) при х > х0 А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
27.	Найдите промежутки монотонности функций
a) f (х) = ах2 + Ьх + с (а > 0), б) f(x) = х3 + З.т2 + Зх, 2х
в) f(x) — ---т> г) f(г) = х + ыпх, д) /(т) = х + 2smх,
1 + х2
е) /(г) = ып(тг/х), ж) f(x) = х22~х, з) f(x) — хпе х (п > 0, х 0)
28.	При каких значениях а функция /(ж) = ах + sm х возрастает (убывает) на числовой прямой7
29.	Докажите, что если функция возрастает в каждой точке интервала, то она возрастает на этом интервале Останется ли верным это утверждение, если интервал заменить произвольным множеством7
30.	Функции f(i) и д{х) удовлетворяют на [а, Ь] условиям теоремы Ролля и, кроме того, /(х) /Он д(х) ф 0 на [а, Ь] Докажите, что существуют точки ci, сг 6 (а,Ь) такие, что
/'(cj _ g'(ci) /'(с2) _ _ д'(сг)
/(Cl) p(ci) ’	/(с2)	д(с2)
31.	Пусть функция /(т) удовлетворяет условиям
1)	/(т) имеет непрерывную (п — 1)-ю производную на [то,гп],
2)	f(x) имеет тг-ю производную в (хо,жп),
3)/(жо) =/(ж1) =	= /(х„), где х0 < Xi <	< хп
Докажите, что существует точка / С (то,жп) такая, что /^f, * п,(С) = 0
32.	Используя теорему Ролля, докажите, что если все корни многочлена Рп(х) = аох71 + aiTn-1 +	+ a„ (ao ф 0)
с вещественными коэффициентами а^ (k = 0,1, , п) вещественны, то его производные Р„(х), Р”(х), , Рп' (ж) также имеют лишь вещественные корни
33.	Докажите, что все корни многочлена Лежандра
вещественны и лежат в интервале (—1,1)
34.	Найдите точку с в формуле конечных приращений (1) для функции
f, , Г 0,5(3 — ж2) при 0 х 1,
| I/х при 1 < х < +оо
на сегменте [0, 2]
35. Используя формулу Лагранжа, докажите справедливость неравенств а) | sin х — sin у | Si |z — у | Vz, у, б) | arctg x — arctg у |	— у | Vx, y,
, ж — у , x x — у n
в) ---- < In - < ---- при 0 < у < х
х У У
Правило Лопиталя
121
36.
Докажите, что если производная функции во всех точках промежутка равна нулю, то функция является постоянной на этом промежутке Используя это утверждение, докажите тождества
2х
а) 2 arctg х + arcsin-----------
1 -I- 'Г2
= 7Г При X 1,
, 1 77
+ - arcsin х = — 2	4
при — 1 < X < 1,
— 2 arctg х = 0 при х О
37.	Докажите справедливость неравенств
а)	е‘г > 1 + х при х ф О, „2
б)	х —— < 1п(1 + я) < х при х > О,
в)	1п(1 + я) > 1 при х > О, ч гз
г)	X —	< sin я < х при X > О,
д)	X + у < tgx при 0 < X < у
е)	Ьха — ахь < b — а при я > 1, 0 < а < b
Проиллюстрируйте эти неравенства геометрически
38.	Пусть функции /(г) и д(х) определены и п раз дифференцируемы при х хо, причем fw(xo) = <7W(^o) (fc = 0,1, , п — 1),	> 5(п)(х)
при х > Хо Докажите, что /(я) > д(х) при х > Хо
39.	Докажите утверждения
а)	если функция имеет на интервале ограниченную производную, то и сама функция ограничена на этом интервале,
б)	если функция дифференцируема, но не ограничена на интервале, то
ее производная также не ограничена на этом интервале
Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение невер-
но
40.	Пусть функции /(я), д(х) и h(x) непрерывны на [а, Ь] и дифференци-
руемы в (а, Ь), a

/(я) д(х) h(x) f(a) д(а) h(a) f(b) g(b) h(b)
Докажите, что существует точка с € (а, Ь) такая, что F'(c) = 0 Используя это утверждение, выведите формулы Лагранжа и Коши
41.	Справедлива ли формула Коши для функций /(я) = х2 и д(х) = х3 на сегменте [—1,1]? Какое условие теоремы Коши не выполнено для этих функций7
42.	Пусть функция /(я) удовлетворяет условиям 1) /(я) непрерывна на [a, t>], 2) f(x) дифференцируема в (а,Ь), 3) f(x) не является линейной функцией Докажите, что существует точка с £ (а,Ь) такая, что
л ~/(а)1<1Ш |Ь-«|
43.	Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям 1) /(я) дважды дифференцируема на [a, t>], 2) /'(а) — /?(Ь) — 0 Докажите, что существует точка с € (а, Ь) такая, что \f(b) — f(a)|	(1/4)(Ь — а)21/"(с)|
44.	За время t с точка прошла по прямой расстояние з м В начальный и конечный моменты времени скорость точки равна нулю Докажите, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения точки была не меньше ^sjt2 м/с2
122
Гл VI Непрерывные и дифференцируемые функции
§ 4.	Правило Лопиталя
Основные понятия и теоремы
Теорема 13. Пусть выполнены условия:
1°) функции /(ж) и д(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (кроме, быть может, самой точки а);
2°) lim /(ж) = lim g(x) — 0; х-Та	х—^а
3°) д'(х) /0 в указанной окрестности точки а (кроме, быть может, самой точки а);
/'(я)
4°) существует lim -7- (.
х->а д (X)
f(x)	f'(x)
Тогда существует lim ~у—(, и он равен lim  х-^а д(х)	х-+а д (х)
Замечание Если все условия теоремы 13 выполнены в правой (левой) полуокрестности точки а, то теорема верна в отношении правого (левого) предела функции f(x)/g(x) в точке а
Теорема 14. Пусть выполнены условия:
1°) функции f(x) и д(х) определены и дифференцируемы на полупрямой (а, +оо);
2°) lim f(x) = lim g(x) = 0,
X—> + 00	X—> + 00
3°) g'(x.)	0 Vx € (a, +00),
.o,	f'(x)
4 ) существует lim -x-^+00 g'(x)
x)	ft (x')
Тогда существует lim ^4—7, и он равен lim J . x—>+00 g(x)	x—>+00 g (x)
Замечание Если условие 4°) в теоремах 13 и 14 заменить условием
lim J .; =оо (а — число или символ +оо), то lim . ' = 00 x-i-a gl(x)	x-ia g(x)
Теоремы 13 и 14 позволяют раскрывать неопределенности типа 0/0.
Теорема 15. Если выполнены условия 1°), 3°), 4°) теорем 13 и 14, а вместо условия 2°) выполнено условие lim f(x) = lim g(x) = оо x—¥a	x—>a
,	,	\	1	/(x)
(a — число или символ +oo), то существует lim ; . , и он равен fl(x)	х-+а д(х)
hm 4^4.
х-^а д'(х)
Теорема 15 позволяет раскрывать неопределенности типа со/оо. Она справедлива также в отношении односторонних пределов.
Каждая из теорем 13-15 называется правилом Лопиталя Неопределенности других типов (0 - оо; со — оо; 1°°; 0°; со0) можно свести к неопределенностям типа 0/0 или оо/оо и затем применять правило Лопиталя.
$4- Правило Лопиталя
123
Контрольные вопросы и задания
1 Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределенности типа а) 0/0 при х —> а, б) 0/0 при х —> +оо, в) оо/оо при i-> а. г) оо/оо при х —У +оо
2. Пусть выполнены условия 1°)-3°) теоремы 13 (или теоремы 14, или теоремы 15) и пусть не существует hm —- Следует ли отсюда, что x-ta д'(х)
. /и, не существует lim — -L ' x-ta g(x) _	. , x2sm(l/x) ,,	, i-|-sinx
Рассмотрите примеры a) hm --------——6) lim --------------
x-»0 SHI X	x-»+oo 2x + sin X
Примеры решения задач
тт „	, sin ax
1. Наити hm-----—.
z->0 tg/lX
Д Данный предел является неопределенностью типа 0/0. Проверим, выполнимость условий теоремы 13:
1°) функции sin ах и tg (Зх определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х = 0;
2°) lira sin ах = lim tg вх = 0; z-»0	z->о
3°) (tg /Зге)' — —ф 0 в окрестности точки х — 0;
COS IJX
, (sinax)' .. acosax a
4°) lim	= hm	——- = -
' z->0 (tg/?x)'	x—>0 /?/(cos2 /lx)	(3
Следовательно, по теореме 13 lirn s^n	▲
Иногда для раскрытия неопределенности приходится применять правило Лопиталя последовательно несколько раз, как в следующем
примере.
2. Найти
lim х—>0
tgx — х х3
(1)
Д Этот предел является неопределенностью типа 0/0. Условия 1°)-3°) теоремы 13 выполнены, а предел отношения производных
, (tgx — х)' .. l/cos2x —1
(х3)' Ь ........"3^~
(2)
также является неопределенностью типа 0/0
Для предела (2) выполнены условия 1°)-3°) теоремы 13, а предел отношения производных
(1/cos2 х — 1)' 2cos 3xsmx llm ~ /о гм—- = hm ---------------г--------
x —Ю	(3x2)' x—+0	6x
(3)
снова является неопределенностью типа 0/0
124
Гл VI Непрерывные и дифференцируемые функции
Для раскрытия этой неопределенности также можно воспользоваться правилом Лопиталя, поскольку для предела (3) условия 1°)-3°) теоремы 13 выполнены и предел отношения производных есть
,	(2 cos 3 m sin ж)/	6 cos 4 a sin2 х + 2 cos 2х 1
lim 2—----------------— — lim ----------------------------------=
x->o	(6a:)'	z-»o	6	3
(4)
Итак, в силу (2)-(4) искомый предел (1) равен 1/3. ▲
3. Найти lim Xх.
а->+0
А Данный предел является неопределенностью типа 0° Представим хх в виде ег1п1 и рассмотрим lim (я: In ж) Этот предел является не-х—>-|-0
определенностью типа 0 • оо.
Записав х In х в виде —— (1/а)
приходим к
неопределенности типа со/со. Нетрудно проверить, что для lim — Z-++0 1/г выполнены все условия теоремы 15 для односторонних пределов (проверьте это самостоятельно). Применив правило Лопиталя, получим
In г	1/х	,.
lim —— = lim —= lim :-»+0 1/х	г-++0 -1/ж2	х-++0
Отсюда следует, что lim хх х—>4-0
lim ех1пт = е° = 1. ▲ х—>4-0
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Найдите следующие пределы
45. hm (а > 0)	46. lim
х—>4-00 Ха	х—>+оо
. sin ОТ	tgz-x
47. lim ---- 48. hm —---------
а:-»о sin/lr	гчОЗШГГ - x
/pCt
— (Q > 0, a > 1) ax
49. hm
ch x — cos x x2
50. lim [ x — - ) ctg 2x X—> 7Г / 2 \	2 /
51.
hm 2+WS x->Зтг/4 1-2 COS2 X
о
, arcsinz __ , x 52. lim -------- 53. hm ----------
x—>0	x	z—>oarccosx
, cos(smz) — cosz	,
55. hm —---------------- 56. hm
®->o x4	x->4-0
„ _	, Infsin ax)
54. hm —;------------7
z—>4-0 ln(sin fix)
(a > 0, ft > 0)
57. hm -——	58. hm (2 — a:)tg (’rz/2')	59. hm (tgx)tg2x
x—^aX — 0,	r —> 1	r—>7t/4
60. hm x'/x 61. hm (-— V’ 62. hm
63. hm (------------—)	64. hm f—------------— )	65. hm (ctgr - -
z—>o	ex — 1J	x->i \lnx x — 1J	z->o \	x
66.	hm
x—>0
(1 4-	— e
x
— fl'
67.	hm -----------
r->a x — a
68.	hm (arccosrr)1 x->l-0
§ 5 Формула Тейлора
125
§ 5.	Формула Тейлора
Основные понятия и теоремы
1.	Многочлен Тейлора. Пусть функция /(х) п раз дифференцируема в точке arg Многочлен
к=0
называется многочленом Тейлора для функции /(т) (с центром в точке то)- Он обладает следующим свойством-
=	(А: = 0,1,- ,0-
Роль многочлена Тейлора раскрывает следующая теорема.
Теорема 16. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки Xq и п раз дифференцируема в точке х0, то
f(x) = Рп(х) + Rn+1(x'),	(1)
где Rn+i (ж) = о((х - x0)n).
Формула (1) называется формулой Тейлора для функции /(х) с центром в точке :гп и остаточным членом Rn+i(%) в форме Пеано.
2.	Различные формы остаточного члена.
Теорема 17. Пусть функция f(x) определена и п + 1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки х0. Пусть х — произвольное значение аргумента из этой окрестности, р > 0 — произвольное число. Тогда существует точка £ € (х0,х) такая, что
Л„+1(т) = /(т) - Р„(т) = (Ж~Г+1(^т)Р/(га+1)(0-	(2)
Выражение (2) называется общей формой остаточного члена.
Наиболее важны следующие частные случаи общей формы остаточного члена:
а)	форма Лагранжа (р = п + 1)
Л„+1(т) = (Vl°n,+ 1 /(п+1)(^о +	- то)) (0 < е < 1);
б)	форма Коши (р = 1)
Лп+1(х) =	-°-w+,1(1~g)n /("+1)(а;о + 0(х - То)) (0 < е < 1).
3.	Основные разложения. Если Хо = 0, то формулу Тейлора принято называть формулой Макларена. Важную роль играют еле-
126
Гл. VI. Непрерывные и дифференцируемые функции
дующие разложения по формуле Маклорена. n k
L	e*=£^ + T?„+1(z)-
IL	sina; = £(-l)fc-1^^I+7?2n+1(a:).
III.	cost = £(-1)^ + Л2п+2(т).
IV.	In (1 + x) = V(-+ Rn+1(x).
k=l
V.	(1 + zf = 1 + £ a^-^-k±1l xk + nn+1 (t). fc=l
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое многочлен Тейлора для функции f(x) с центром в точке хо? Каким свойством он обладает?
2.	Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом: а) в форме Пеано; б) в общей форме. Как отличаются условия этих теорем? Условия какой теоремы следуют из условий другой?
3.	Выведите из общей формы остаточного члена формы Лагранжа и Коши. Получите форму Пеано остаточного члена из формы Лагранжа.
4.	Напишите формулу Маклорена для функции /(ж) и остаточные члены этой формулы в формах Пеано, Лагранжа и Коши.
5.	Напишите основные разложения и остаточные члены этих разложений в формах Пеано, Лагранжа и Коши.
Примеры решения задач
1.	Разложить функцию tgx по формуле Маклорена до члена с х3 включительно.
Д Найдем производные функции /(х) = tgx до третьего порядка включительно;
f'(x) = —V- = cos~2x;
cos2 х
?'(х) = 2 cos-3 xsinx;
f"'(x) = 6 cos-4 x sin2 x +2 cos-2 ar.
Отсюда получаем /(0) = 0, /'(0) = 1, f"(0) = 0,	= 2. По формуле
Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеем
з tgx — X + — + о(х3). о
Заметим, что вычисление /^4\х) дает /^4\0) = 0. Поэтому остаточный член можно записать в виде о(х4). А
§5. Формула Тейлора
127
2.	Разложить функцию f(x) = In cost по формуле Маклорена до члена с т4 включительно.
А Здесь нет надобности вычислять производные f(x) до четвертого порядка, а можно воспользоваться основными разложениями III и IV. Пользуясь разложением III, получим
In (cost) = In (1 —	~ + о(т4)^ = ln(l + i),
г2 т4
где! = —— + — +о(т4).
Теперь воспользуемся основным разложением IV:
t2
In cost = ln(l +1) = t — у + o(i2) =
2 . ({ x2
я + »(А)2) = 4 + й-т + *‘> =
х2 X4
~ ~Т ~ 12 + °
3.	Оценить абсолютную погрешность приближенной формулы
2	П
е*~1 + т + ^ + ... + ^=Рп(т)	(3)
при 0 т 1.
А Для получения оценки абсолютной погрешности нужно оценить остаточный член 7?n+i (т) = ех - Рп(х). Остаточный член 7?п+1(т) т"+1
в форме Лагранжа для функции ех имеет вид R„+i(t) =	еих
(О < 0 < 1). Отсюда получаем
|fin+i(a:)| z 2 при 0<^1-	(4)
Это и есть искомая оценка абсолютной погрешности приближенной формулы (3) при 0 V т V 1. к
4.	С помощью оценки (4) решить следующую задачу: сколько членов нужно взять в формуле (3) при х = 1, чтобы вычислить число е с точностью 10“6?	2
А Нетрудно подсчитать, что 10! > 3-106. Поэтому — <	=
= 10“6. Таким образом, достаточно в формуле (3) при х = 1 положить п = 9, чтобы получить число е с точностью 10“6. ▲
5.	Используя основные разложения, найти
tgx + 2 sin а: — Зг
hm -2-------Л-----.
128
Гл VI Непрерывные и дифференцируемые функции
Д Имеем
lim
X -40
°(ж4)
т-+0 X
= 0
6.	Найти числа а и b такие, что
lim х( \/х3 + х2 + ах — \/х3 — Ьх2) = 3
X—>оо
Д Используя формулу Маклорена для (1 + х)“ при а = 1/3, получаем
Чтобы предел этой функции при х —> оо был равен 3, должны быть выполнены равенства
1 + 6 = 0,
За — 1 + Ь2
Отсюда находим b = — 1, а = 9 ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
69.	Разложите функцию /(х) по формуле Маклорена до члена указанного порядка включительно
a)	f(x) — е~х до члена с хп, б) /(х) = е21-1 до члена с х5,
в)	/(ж) = smsinx до члена с х3, г) /(х) = cossinx до члена с х4,
д)	f{x) = In до члена с хв, с) f(x) = v^sin х3 до члена с г13,
х
ж)	/(х) = \/ап + х до члена с х2 (а > 0),
3)	/(ж) = л/1 — ^ + 2х2 до члена с х3
70.	Напишите разложение по формуле Тейлора с центром в точке х = 1 функции
а) /(х) = х2, б) /(х) = у+ до члена с (х — I)3,
в) f(x) — 81п(тгл:/2) до члена с (х — I)4
§ 5 Формула Тейлора
129
71.	Оцените абсолютную погрешность приближенных формул
Т3	]	X3
a) sini яа х---при |_с|	-, б) tgr яа х Ч-при Ы 0,1,
6	£	3
2
в) У1 + х «14-- — — при 0 х Sj 1 2	3
72.	С помощью формулы Тейлора найдите приближенные значения а) у7!) с точностью до 10 3 б) -Уэб с точностью до 10~4,
73.
а)
в)
в) sin 18° с точностью до 10“’, г) sm 1° с точностью до 10-8 д) In 1,1 с точностью до 10 3, е) е° 2 с точностью до 10“5, ж) cos 6° с точностью до 10-5
Используя основные разложения, найдите пределы
Inn х->0
-z2/2 cos х — е -
X4
,, , sm2x — 2tgx
б) hm ----------
7 но 1п(1 + х3)
lim ( \Л’-" + 1 — у/с1 — 1 ) х —>+оо
г)	lim х3|/2(з/-г + 1 + Vх — 1 — 2-s/x), х—>-|-оо
е* +е-х _2	/1	1 \
д)	lim --—-----, е) hm-------------,
х->0	2.x	ж->0 \х smx/
. ,	1/1	\	. , sm sm х — х v7! — х2
ж) lim ------ctgx , з) hm --------------------
х-»о х \ х	J т-m	х5
74.	Найдите числа а и b такие, что
a)	hm (Vх2 + 2х + \/х2 — х + ах + Ь) = 2, т—> 4-оо
, sin ах — tgftx .	. , еах — \/Т+~Ьх
б)	hm ----—2— = 4, в) hm --------------- = 1
х~>0	X3	л-уО	X2
( sinx т д л
75.	Найдите /'(0) и /"(0), если f(x) = < х ’	’
[1, х = О
76.	Докажите, что
a	) hm ^'•;--У-АУ—+	———^ = /,,(х) (если f"(x) существует),
Ах-»о	(Дх)2
б	) hm f(~X + ЗАд) ~	+ 2Ад:) + 3/(1 + Аж) ~	= f'"(x) (если
7	Дг-Ю	(Дх)3	J ' 7 V
/'"(ж) существует)
5 В Ф Бутузов и др
ГЛАВА VII
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
§ 1.	Построение графиков явных функций
Основные понятия и теоремы
1.	Асимптоты графика функции. Функцию, заданную соотношением у = /(ж), х € D(J), принято называть явной функцией.
Определение. Прямая х = с называется вертикальной асимптотой графика функции у = f{x), если хотя бы один из пределов lim f{x) или lim fix) равен +оо или —оо.
х —>с—0	х —>с+0
Определение. Прямая у = кх + b называется наклонной асимптотой графика функции у = fix) при х —> 4-оо, если эта функция представима в виде f{x) = кх + Ь + а{х), где а{х) -у 0 при х —> +оо.
Теорема 1. Для того чтобы прямая у = кх + Ь была наклонной асимптотой графика функции у — f{x) при х —> +оо, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы
lim = к, lim [fix) — кх] = b.
х—>4-оо X	х—>+оо
Аналогично вводится понятие наклонной асимптоты графика функции при х —> —оо.
2.	Четные, нечетные, периодические функции.
Определение. Функция у = f(x) называется четной, если Ух € еП(/): f(x) = f(-x).
Определение. Функция у = f(x) называется нечетной, если Ух е £>(/): /(яг) = -/(-х).
Определение. Функция у = f(x) называется периодической, если существует число Т 0, называемое периодом функции у = /(т), такое, что
VxG £>(/): f{x)=f{x + T)=f{x — T).
Обычно под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой период существует.
3.	Локальный экстремум функции. Пусть функция у = f{x) определена в некоторой окрестности точки х^.
Определение. Говорят, что функция у = f{x) имеет в точке Тц локальный максимум {минимум), если существует такая окрестность точки То, в которой при х То выполняется неравенство f(x) < f {xq) (соответственно f{x) > f{xg)).
§1. Графики явных функций
131
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум (или просто экстремум).
Теорема 2 (необходимоеусловие экстремума). Если функция у = — f(x) имеет в точке х0 экстремум, то производная f'(x) в точке Хо или равна нулю, или не существует.
Значения аргумента функции у = /(ж), при которых либо производная функции равна нулю, либо производная не существует, но сама функция непрерывна, принято называть точками возможного экстремума.
Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки Хо возможного экстремума (за исключением, быть может, самой точки Хо). Тогда если при переходе через точку хп (в сторону возрастания х) производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке то функция у = f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если при переходе через точку т0 производная функции не меняет знака, то в точке Хо функция у = f(x) не имеет экстремума.
Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке Хо возможного экстремума функция у = f(x) имеет вторую производную. Тогда если f"(x0) < 0 (f"(x0) > 0), то функция у = f(x) имеет в точке Хо локальный максимум (минимум).
4.	Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Пусть функция у = f(x) имеет в каждой точке интервала (а, Ь) конечную производную. Тогда в каждой точке М(х, f(x)), х € (а, Ь), график функции у = f(x) имеет касательную, не параллельную оси Оу.
Определение. Говорят, что график функции имеет на интервале (а,Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала (а,Ь) график лежит не ниже (не выше) любой касательной.
Теорема 5. Если на интервале (а,Ь) существует вторая производная функции у — f(x) и если эта производная неотрицательна (неположительна) всюду на этом интервале, то график функции у = f(x) имеет на интервале (а, Ь) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Определение. Точка M(c,f(c)) графика функции у = f(x) называется точкой перегиба этого графика, если в этой точке график функции имеет касательную и существует такая окрестность точки с, в пределах которой слева и справа от точки с направления выпуклости графика функции у = f(x) различны.
Говорят также, что в точке М(с, f(c)) график функции имеет перегиб.
Теорема 6 (необходимое условие перегиба). Если график функции у = f(x) имеет перегиб в точке М(с,/(c)) и вторая производная f"(x) непрерывна в точке с, то /"(с) — 0.
Теорема 7 (достаточное условие перегиба). Если в некоторой
5
132
Гл. VII. Графики функций
окрестности точки с существует вторая производная функции у = = /(х), причем /"(с) = 0, и в пределах этой окрестности слева и справа от точки с знаки f"(x) различны, то график функции имеет перегиб в точке
5.	Схема построения графика функции у = /(т).
1°. Найти область определения функции и значения этой функции в точках разрыва и граничных точках области определения.
Если в точке с функция имеет разрыв, причем /(с + 0) или /(с — — 0) обращается в бесконечность, то х = с — вертикальная асимптота графика функции у = f(x).
Если функция определена на полупрямой или на всей числовой прямой, то следует установить (с помощью теоремы 1), имеет ли график функции наклонные асимптоты. Если наклонных асимптот нет, то нужно исследовать, является функция ограниченной при х —> оо или неограниченной (в последнем случае — является ли она бесконечно большой при х —> оо и какого знака).
2°. Установить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Назначение этого пункта — сократить выкладки. Действительно, если функция четная или нечетная, то вместо всей области определения достаточно рассмотреть лишь ту ее часть, которая принадлежит положительной полуоси абсцисс. На этой части области определения нужно провести полное исследование функции и построить ее график, а затем, пользуясь симметрией, достроить его на всей области определения.
Если функция периодическая, то достаточно провести исследование функции на любом отрезке, длина которого равна периоду функции, а затем, построив график на этом отрезке, распространить его на всю область определения функции.
3°. Найти нули функции, т. е. решить уравнение /(т) = 0. Эти решения и точки разрыва функции разбивают ее область определения на промежутки знакопостоянства функции.
4°. Найти локальные экстремумы и промежутки возрастания и убывания функции (на графике экстремальные точки будем обозначать символом о).
5°. Найти промежутки сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика функции (на графике точки перегиба будем обозначать символом х или +).
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение и приведите пример вертикальной асимптоты графика функции.
2.	Сформулируйте определение и приведите пример наклонной асимптоты графика функции при х —> +оо (при х —> —оо).
3.	Сформулируйте теорему, выражающую необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты графика функции.
§1. Графики явных функций
133
4.	Приведите примеры функции, у которой существуют наклонные асимптоты графика при х +оо и при х —> —оо, причем эти асимптоты: а) совпадают; б) не совпадают.
5.	Дайте определение локального экстремума функции.
6.	Что такое точки возможного экстремума функции?
7.	Сформулируйте теорему, выражающую необходимое условие экстремума: а) произвольной функции; б) дифференцируемой функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
8.	Сформулируйте теоремы, выражающие достаточные условия экстремума функции.
9.	Дайте определение направления выпуклости графика функции.
10.	Дайте определение точки перегиба графика функции.
11.	Может ли меняться направление выпуклости графика функции при переходе через точку, не являющуюся точкой перегиба? Приведите примеры.
12.	Сформулируйте необходимое условие перегиба графика функции. Покажите на примере, что это условие не является достаточным.
13.	Сформулируйте достаточное условие перегиба графика функции.
14.	Приведите схему построения графика функции у = f(x).
Примеры решения задач
2х
1.	Построить график функции у = arcsin ---—
Д 1°. Функция определена при тех значениях х, для которых, как I I следует из определения арксинуса, выполнено неравенство |y-j-—
1. Оно равносильно неравенству (1 — )ж|)2	0. Последнее верно для
2г
любых вещественных х. Итак, D(f) = R. Функция ——- непрерыв-
на в любой точке (как частное двух непрерывных функций). Поэтому 2г
функция arcsin ---- также непрерывна в любой точке (как суперпо-
1 + г2
зиция непрерывных функций), и, следовательно, график функции не имеет вертикальных асимптот. Для нахождения наклонной асимптоты при х —> оо вычислим следующие пределы:
г /(ж) г 1	. 2х
lim = lim — arcsin-------------------- = 0,
х ->4-оо X	z—Ц-оо X	1 + X2
2х
lim \f(x) — kx] = lim arcsin:;-----------arcsin0 = 0.
x —>+oo	X—>+oo	1 + X2
Отсюда следует, что прямая у = 0 является асимптотой при х —> +оо (ее правильнее назвать горизонтальной, а не наклонной). Аналогично можно установить, что та же прямая у = 0 является асимптотой при х —> —оо.
2°. Очевидно, что функция непериодическая и является нечетной. Поэтому вместо всей области определения достаточно рассмотреть полупрямую [0,+оо).
134
Гл VII Графики функций
3° Имеем у = 0 при х = О Других нулей, а также точек разрыва функция не имеет На полупрямой (0, +оо) функция является положительной
4° Найдем точки возможного экстремума на полупрямой [0, +оо) Вычислим производную функцию при х 1
, _	1	2(1 + х2) - 4ж2
У ~ Г 4х~~ (1+*2)2
У (1 + г2)2
1 + х2 2(1 — х2) _ 2sgn (1 — г2) |1 — х2| (1 + ж2)2	1 + х2
Отсюда видно, что производная не обращается в нуль ни в одной точке Так как у'(1 + 0) = —1, у'(1 — 0) = 1, то в точке х = 1 производная не существует Знак производной при переходе через точку х — 1 меняется с плюса на минус Поэтому в точке х = 1 функция имеет локальный максимум, причем у(1) = arcsin 1 = тг/2 Отметим, что в точке х = 1 функция непрерывна, а ее производная имеет разрыв I рода В таком случае соответствующая точка графика (в данном примере точка (1, тг/2)) называется угловой точкой Промежутки монотонности функции определяются знаком производной у' > 0 при 0 <( х < 1, у1 < 0 при х > 1
5° Так как вторая производная ,, _ —4ж sgn (1 — ж2) У	(1 + ж2)2
обращается в нуль лишь при х = 0 и при переходе через точку х = 0 у" меняет знак, то в точке (0, г/(0)) = (0,0) график функции имеет перегиб Направление выпуклости определяется знаком второй производной у" < 0 при 0 х < 1, у" > 0 при х > 1
Исследование функции закончено Перед тем как строить график, удобно изобразить на схеме результаты исследования, в частности, промежутки знакопостоянства функции, первой проиводной у1 и второй производной у"
х / 1,
Перегиб
, 0	щах
'"“о-----Г
v о
X
X
X
1
Теперь, считывая информацию со схемы, строим график функции па промежутке [0, +оо) На отрезке [0,1] а) функция возрастает от значения у = 0 при х = 0 до значения у = тг/2 при х = 1, б) выпуклость направлена вверх Далее, на полупрямой [1, +оо) а) функция убывает, оставаясь положительной, б) выпуклость направлена вниз, в) при х —> 4-ос график приближается к асимптоте — оси Ох Отметим, что при переходе через точку х — 1 изменяется направление выпуклости графика, но точка (1, тг/2) не является точкой перегиба — это угловая точка (рис 6)
§ 1 Графики явных функций
135
Наконец, используя нечетность функции, достраиваем ее график на всей области определения (рис 7) ▲
Замечание Если кривая задана уравнением Ф(ж,у) = 0 и если это уравнение удается разрешить относительно у или относительно х, то построение кривой сводится к построению графиков явных функций
2. Построить кривую, заданную уравнением у2 — sm4 х = О
Л Это уравнение Vz € R имеет два решения относительно у у = = sin2 о: и у = — sin2 ж, которые являются явными функциями, определенными на всей числовой прямой Графики этих функций симметричны относительно оси Ох Поэтому достаточно построить график первой функции, а затем, воспользовавшись симметрией, построить всю кривую Итак, задача свелась к построению графика явной функции у = sin2 х, которую запишем в виде
1	1 о
У = 2 “ 2 C0S 2х
Эту функцию исследуем по вышеизложенной схеме
1° Имеем D(y) = R
2° Функция у(х) периодическая с периодом Т — тг Поэтому чтобы построить график функции, достаточно рассмотреть отрезок оси Ох длины тг, например [—тг/2,тг/2] Так как у(х), кроме того, является четной, то можно ограничиться сегментом [0, тг/2]
3° Найдем нули функции на сегменте [0,тг/2], имеем
1	1 о п
- - - cos 2х = О
при х = k~. к 6 Z, но из всех этих решений сегменту [0, тг/2] принадлежит только х = 0 Функция не имеет точек разрыва На промежутке (О,тг/2] функция положительна
4° Находим у1 = sm 2х На сегменте [0, тг/2] производная равна нулю при х = 0 и х = тг/2 Далее, у' > 0 при 0 < х < тг/2, у' < 0 при х < 0 и х > тг/2 По теореме 3 функция имеет локальный максимум в точке тг/2, причем т/(тг/2) = 1, и локальный минимум в точке х = 0, причем т/(0) = 0 Весь сегмент [0, тг/2] является промежутком возрастания функции
13G
Гл VII Графики функций
5°. Имеем у" = 2cos2x На сегменте [0,тг/2] вторая производная обращается в нуль при х = тг/4 При переходе через эту точку у" меняет знак Значит, по теореме 7 график функции имеет в точке (тг/4, у(тг/4)) = (тг/4,1/2) перегиб. Таким образом, можно построить следующую схему
9	+	V2	+	д.
у ------------------- X
_min	I	max	_
у'~6--------^/2------х
у" 0 + тг/i	х
Считывая информацию со схемы, строим график функции на сегменте [0,тг/2] (рис. 8) Используя четность функции, достраиваем ее
АУ
график на сегменте [—тг/2, тг/2] (рис 9). Учитывая периодичность функции, строим ее график на всей области определения (рис. 10)
АУ
Рис 10
Рис 11
Наконец, учитывая симметричность исходной кривой относительно оси Ох, получаем всю кривую (рис 11) ▲
§2 Кривые, заданные параметрически
137
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Постройте графики следующих явных функций
1. у — 1 + т2 — 0,5ж4 3. у = 0,4х — 0,5х3 + 0,1а:5 5. у = х4(1 + а:) 3 7. у = х2(х - 1)(х + 1)“2	2. у = (х + 1)(х — 2)2 4. у = (1 - х2) 1 6. у = (1 + х)4(1 — х)“4 8. г/= х(1 — х2)-2
9. у = 2т - 1 + (х + 1) 1 1 — х2 11. у-атссоч 1 + а_2 13. у — sm(arcsm г) 15. у = arctg (1/х)	10. у = 	 cos 2х 12. у — arcsm(smx) 14. у = arctg (tgx) 16. у — (х + 2)с,'//
17. г/ = 0,5(х/х2+х + 1 — х/х2 — х+1)	18. у = х/х2 + 1 — у/х2 — 1)
19. у = (х + 2)2/3 - (х - 2)2/э	20. у = (х + 1)2/3 + (х - 1)2/3 Постройте кривые, заданные следующими уравнениями	
21. у2 - 8х2 — х4	22. у2 = (х - 1)(х —2)(х —3)
23. у2 = (х - 1)(х + I)"1	24. у2 = х2(1 — х)(1 + х) 2
25. у2 = х4(х + 1)	26. х2(у - 2)2 + 2ху - г/2 = 0
§ 2. Исследование плоских кривых, заданных параметрически
Схема исследования кривой
Параметрические уравнения плоской кривой имеют вид
т = т(/), y = y{t), teT	(1)
Исследование и построение такой кривой можно провести по следующей схеме.
1° Найти множество Т — общую часть областей определения функций x(t), y(t) (если множество Т не задано), — отметив, в частности, те значения параметра t, (включая tt = ±оо), для которых хотя бы один из односторонних пределов lim т(0, t hm Qy(i) равен +оо или —оо
2° Установить, обладает ли кривая симметрией, позволяющей сократить выкладки
3°. Найти нули функций x(t), y(t) и области знакопостоянства этих функций
4° Найти точки tk, в которых хотя бы одна из производных ar(t), y(t) равна нулю или разрывна Заметим, что точки tt, отмеченные в п 1°, и точки tk, найденные в этом пункте, разбивают множество Т на промежутки знакопостоянства производных x(t), y(t) Поэтому на каждом таком промежутке (tp,tp+[) функция x(t) строго монотонна, и, следовательно, система уравнений (1) на интервале (tp,tp+i)
138
Гл VII Графики функций
задает параметрически функцию вида у = f(x) (см. § 1 из гл IV). Производные этой функции выражаются по формулам
_ У(0 fit _ Zt^ ) x(t) ’	x(i)
Часть кривой, соответствующую изменению параметра t от tp до tp+i, будем называть ветвью кривой. Каждая ветвь кривой является графиком функции вида у = /(т).
5° Найти точки ij, в которых /" = 0.
6°. Составить таблицу следующего вида:
(ipj tp+1)			
			
(Ур;Ур+1)			
Знак /"			
Здесь в первой строке записываются промежутки изменения параметра I, граничными точками которых tp и tp+1 служат точки, найденные в пп. 1°, 4° и 5° Во второй и третьей строках таблицы приводятся соответствующие промежутки изменения переменных х и у. В последней строке таблицы указывается знак определяющий направление выпуклости графика соответствующей ветви кривой.
7° Пользуясь таблицей, построить ветви кривой, соответствующие промежуткам (tp,tp+1).
Замечание 1 Вп 1° схемы можно найти асимптоты кривой (если они имеются) Для этого надо иметь в виду следующее
а)	если при t	tp (t —1 tp + 0 или t —> tp — 0) x—t x0, а у —> оо, to x = xo —
вертикальная асимптота кривой,
б)	если при t tp (t tp + 0 или t —> tp — 0) х —Г оо, а у —> у0, то у = у0 — горизонтальная асимптота кривой,
в)	если при t tp (t tp + 0 или t tp — 0) х —> оо и у оо, то возможна наклонная асимптота, нахождение которой надо провести в соответствии с теоремой 1
Замечание 2 При изучении симметрии кривой (п 2° схемы) следует иметь в виду четыре случая, когда вместо всей области определения Т
достаточно рассмотреть лишь неотрицательную ее часть
a)	Vt € Т x(t) — x(-t), y(t) = -y(-t) (симметрия оси Ox).
б)	Vt & Т x(t) = -я(—i), y(t) = y(—t) (симметрия оси Оу),
в)	Vt е Т x(t) = — х(—t), y(t) = -y(—t) (симметрия начала координат),
г)	Vt € Т x(t) = х(—t), y(t) = y(—t) (наложение)
относительно
относительно
относительно
Замечание 3 Если tp — точка, найденная в п 4° схемы, и если на интервале (tp-i,tP+i) x(t) сохраняет знак, то на этом интервале система уравнений (1) задает параметрически функцию вида у = f(x), для которой точка x(tp) является точкой возможного экстремума Является ли x(tp) точкой экстремума функции у = f(x), можно определить, рассмотрев изменение у на интервалах (tp_i,tp) и (tp,tp+i)
§2 Кривые, заданные параметрически
139
Замечание 4 В процессе исследования кривой можно обнаружить одну из характерных особых точек кривой, заданной параметрически, — точку возврата (см пример 2 на с 140)
Контрольные вопросы и задания
1	Как вычисляются производные функции, заданной параметрически7
2	Кривая задана параметрически х = sin2!, у — cos2 t Какой промежуток достаточно рассмотреть, чтобы при изменении параметра t на этом промежутке точка (ж(£),y(t)) оказалась в каждой точке кривой только один раз7
3	Как найти асимптоты кривой, заданной параметрически7
4	Как исследовать и использовать симметрию кривой, заданной параметрически7
5	Сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции, заданной параметрически.
6	. Приведите схему исследования и построения кривой, заданной параметрически
Примеры решения задач
1.	Построить кривую, заданную параметрически.
Д 1°. Имеем
t С (—оо, — 1) U (—1,1) U (1, +оо),
х С (0, +оо) U (—оо, +оо) U (—оо, 0), у € (—оо, —оо) U (+оо, —оо) U (+оо, +оо).
Отсюда следует, что х = 0 — вертикальная асимптота кривой, а при t —> — 1 и 14 1 возможны наклонные асимптоты. Действительно, lim - = lim (1 - 2i2) = -1, lim (у + x) = hm 21 = 2
x —>±oo X	t—>l±0V	t—»±oo	t—»l±0
Аналогично находятся пределы при t —> - Г lim - = —1, lim (у + x) = — 2.
X —>±oo X	x~>±oo
Итак, кривая имеет две асимптоты, у = —х + 2 и у = —х — 2.
2°. Так как x(t) = -x(-t), y(t) = — у(—1), то кривая обладает симметрией относительно точки 0(0,0). Поэтому достаточно рассмотреть далее множество М = [0,1) U (1, +оо)
3°. На множестве М x(t) = 0 при 1 = 0, у(1) = 0 при t = 0, t = 1 /\/2
1 _1_ /2	0/4 _ г.2 । -1
4°-	= (1-772)2’ Ш = (t _~f2)2 • На множестве М x(t) > 0,
а у(1) = 0 при 11 = 0,5л/б — \/17 ~ 0,47 и 12 = 0,5\/5 + л/17 « 1,51.
140
Гл VII Графики функций
, _ у _ 2//1 - 5t2 + 1 fll = dt^ = ~4t(l - t2)3(3 +12)
1 ~ х~ 1 + t2 ’ J х	(1+t2)3
сюда f" 0 при t G [0,1), f" > 0 при t G (1,oo).
6° Составим таблицу
(tp, tp+1)	(0,0,47)	(0,47,1)	(1,1,51)	(1,51, +оо)
(Хр, 1!р-|-1 )	(0,0,6)	(0,6, +оо)	(-оо, -0,7)	(-0,7,0)
(ур>Ур+1)	(0,0,3)	(0,3, —оо)	(+<х>,2,3)	(2,3,+оо)
Знак f"	+	+	-	-
7°. Строим часть кривой, соответствующую множеству М (рис. 12).
t
х
У
Далее, используя симметрию кривой, построим всю кривую (рис. 13). ▲
2. Построить кривую, заданную параметрически.
ar = 21-i2, у = 3t-t3.	(2)
Л 1°. Имеем	.	.
€ (-оо, +оо), G (—оо, —оо), G (+00, -оо).
Таким образом, при х -+ —оо (t —> ±оо) возможны наклонные асимп-_	V	У ..	3t — Р
тоты Однако	hm	-	= hm	---—-	= оо, т. е. асимптот нет.
X —> — оо X	t—>±оо It — t2
2°. Свойствами симметрии и периодичности кривая не обладает. 3°. Имеем х = 0 при г = 0и! = 2;у = 0 при t — 0, t = — у/3 и t = д/З. 4°. Находим x(t) = 2(1 — t) = 0 при t = 1, y(t) = 3(1 — t2) = 0 при t = — 1 и t = 1.
з
5° Так как /" = ——то /" > 0 при t < 1, /" < О при t > 1.
§2 Кривые, заданные параметрически
141
6°. Составим таблицу
(tp, Zp4-i)	(-00,-1)	(-1,1)	(1, +oo)
(з*р, aip^i)	(-00,-3)	(-3,1)	(1, -оо)
(Ур,Ур+1)	( t ос, —2)	(-2,2)	(2,-oo)
Знак f"	+	+	-
7°. Строим кривую.
Заметим, что если t рассматривать как время, а кривую, заданную системой уравнений (2), — как траекторию движения точки на плоскости (х,у), то {г.у} есть вектор скорости движения этой точки. При t = 1 в данном примере ar(i) = y(t) = 0, т. е. скорость равна
нулю, причем при переходе через t = = 1 x(t) и y(t) меняют знак Это означает, что при t —> 1 — 0 точка, движущаяся по траектории, приближается к точке W(1,2) (рис. 14), в момент t = 1 останавливается в точке W, а далее движется в обратном направле-
нии. Так как hm ~ hm t-и-о x(t) t-я+о X(t) то ветви траектории, соответствующие t 1 и t 1, имеют при t = 1,
т. е. в точке 1Ф'(1,2), одну и ту же одностороннюю касательную Точка 1Т(1,2) называется точкой возврата (такое название, очевидно, соответствует рассмотренной выше физической интерпретации). А
Замечание 1 Для кривой, заданной уравнением вида
Т(г,?/) = 0,	(3)
иногда удается получить параметрические уравнения Обычно это делается так Положим у = a(t)xn где a(t) и ?i — выбранные подходящим образом функция и число Подставляя выражение для у в уравнение (3), получим F(x,a(t)xn) — О Пусть х = p(t) решение этого уравнения Тогда
x = p(t), У = «(*>"(*) = V’(t)
— параметрические уравнения кривой На практике выбор функции a(t) определяется видом функции F(x, у)
Рассмотрим кривую, заданную уравнением
х4 + у4 = 2ху	(4)
Этому уравнению могут удовлетворять координаты х, у только тех точек, которые лежат в I и III квадрантах или на осях координат, т е должно быть выполнено неравенство ху 0 Для перехода к параметрическим уравнениям кривой положим у = Xy/tg t Подставляя это выражение в уравнение (4), получим
т4(1 + tg 2t) = 2т2 у/ tgt,
откуда х = 0 и х — -(/4 tg t cos t Первое решение х = 0 содержится во втором при t = 0 Таким образом, параметрические уравнения кривой имеют вид х — ^/4 tgt cost, у = ^/4(tgt)3 cost
142
Гл. VII. Графики функций
Однако параметр t можно ввести и иначе, полагая, например, у = xt. Тогда приходим к следующим параметрическим уравнениям кривой-
Дальнейшее исследование кривой проведите самостоятельно для обоих случаев введения параметра t
Замечание 2. Кривую, заданную в полярных координатах, можно исследовать, используя схему, изложенную в этом параграфе Действительно, пусть в полярной системе координат (<р,р) кривая задана уравнением р = /(<р). Тогда, выражая декартовы координаты через полярные:
х = р cos р, у = ps'mp, получим параметрические уравнения кривой (<р — параметр)
ж =/(<р) cos <р, У = f(p) sin р.
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
Постройте кривые, заданные следующими уравнениями.
27.	X =	i(t + l)2, y=j(4-l)2	28.	t2	1 X = 	-, у = 	7 1-42’	1 + t2
29.	X =	tz	t 4-1’	t2 - 1	30.	x = —542 + 245, у — — 3t2 + 243
31.	X —	42 + 1	t	32.	
		4(1- 4) У 4+1		4+1 J	4-1
Переходя к параметрическим уравнениям, постройте кривые, заданные следующими уравнениями
34.	ж3 + у3 — Заху, где а > 0 (лист Декарта).
35.	(ж — а)2(х2 + у2) = Ь2х2, где а > О, b > 0 (конхоида Никомеда) Рассмотрите случаи: а) а > Ь; б) а = Ь; в) а < Ь. установите в каждом из них, каков характер особой точки кривой 0(0,0)
36.	х2/3 + у2'3 = а2^3, где а > 0 (астроида).
37.	х6 + 2х3у — у3. * Положите у = x2t
38.	4п2 = 4х2у + х5. * Положите у = x2t 39. ж4 + 2у3 = 4х2у.
40. х3 — 2х2у — у2 — 0.	41. х2у2 + у = 1. * Положите у — t/x.
42. ж3 + у3 = Зт2. 43. у5 + х4 = ху2.
44. х4 — у4 + ху = 0	45. х5 + у5 = ху2.
Постройте кривые, заданные в полярной системе координат следующими уравнениями.
46. р — 5/р (0 < р < + оо).	47. р2 = 2а2 cos2 р
48.	р = a cos р + Ь (Ь^а>0). 49. р — a sin Зр (а > 0)	50. р = 2/ycos Зр.
ГЛАВА VIII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1.	Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл
Основные понятия и теоремы
1.	Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на сегменте [а, Ь] (где а < й). Произвольное разбиение сегмента [а, Ь] точками а = ж0 < Xi < ... < хп — b на п частичных сегментов [ж,-1, тг] (г = 1. 2,..., п) будем обозначать символом Т[«,Ь] или просто Т. Положим Джг = хг — хг^у. Выберем на каждом сегменте ягг] произвольную точку и составим сумму:
п
&)•
1=1
Число Г(жг,^г) называется интегральной суммой функции /(ж), соответствующей данному разбиению Т[а, Ь] и данному выбору промежуточных точек £г на сегментах [жг_1,жг].
Введем обозначение Д = шах Джг.
1 I п
Определение. Число I называется пределом интегральных сумм 1(хг,£г) при Д —> 0, если Ve > 0 3<5 > 0 такое, что для всякого разбиения Т[а,6], у которого Д < 5, выполняется неравенство \1(хг,£г) — /| < < £ при любом выборе промежуточных точек на [жг_i, жг].
Определение. Функция /(ж) называется интегрируемой (по Риману) на сегменте [а, Ь], если существует Нт /(жг,£г) = I.
При этом число I называется определенным интегралом от функции /(ж) по сегменту [а, Ь] и обозначается так:
Ь
I = У7 (ж) dx. а
2.	Суммы Дарбу. Пусть /(ж) определена и ограничена на [а, 6]. Для произвольного разбиения Т[а, Ь] введем обозначения тг = inf /(ж), Mt = sup f(x) и составим суммы:
-1, т,]	[ж,_ 1, а:,]
п	п
s ~ тгДатг, S ~ МгД.хг.
г=1	г=1
144
Гл. VIII. Определенный интеграл
Числа s и S называются нижней и верхней суммами (суммами Дарбу), соответствующими данному разбиению Т[а,Ь].
Очевидно, что для фиксированного разбиения Т[а, 6] и любого выбора промежуточных точек на этом разбиении s	S.
Приведем свойства сумм Дарбу.
1°. Для любого фиксированного разбиения
5 = поЧсем	S= SUP
по всем	п0 всем
наборам	наборам
точек	точек
2°. Если разбиение Т2 получено из разбиения Ту добавлением нескольких новых точек (т. е. получено измельчением 7\), то нижняя сумма S2 разбиения Т> не меньше нижней суммы si разбиения Ту, а верхняя сумма S2 разбиения Тг не больше верхней суммы Sy разбиения Ту: Sy s2, S2 Sy.
3°. Нижняя сумма произвольного разбиения не превосходит верхней суммы любого другого разбиения.
4°. Пусть {s} и {S} — множества всевозможных нижних и верхних сумм для любых разбиений [а, Ь]. Числа
/= inf {S},	£= sup {s
по всем	по всем
разбиениям	разбиениям
называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу. Нижний интеграл Дарбу не превосходит верхнего: I 1.
5°. Лемма Дарбу:
lim S = I, lim s — I. ди,	д->о
3.	Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
Теорема 1. Для того чтобы ограниченная на сегменте [а,Ь] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы Д = I.
Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на сегменте [я . 6] функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы Ve > 0 нашлось такое разбиение Т[а, 6] (хотя бы одно), для которого
S — s < е.	(1)
Напомним, что число = Му — ту называется колебанием функции на сегменте £;].
Условие (1) можно записать в виде
п
S — 8 =	< Е.
1=1
§1. Интегрируемость функции (по Риману)
145
4.	Некоторые классы интегрируемых функций.
Теорема 3. Непрерывная на сегменте [а, 6] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.
Следствие. Всякая элементарная функция интегрируема на любом сегменте, целиком лежащем в области определения этой функции (так как она непрерывна на этом сегменте).
Теорема 4. Пусть f(x) ограничена на сегменте [а, Ь]. ЕслиУе > > 0 существует конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва f(x) и имеющих сумму длин, меньшую е, то f(x) интегрируема на сегменте [а, Ь].
Следствие. Кусочно непрерывная функция (т. е. имеющая на сегменте [а, Ь] конечное число точек разрыва I рода) интегрируема на этом сегменте.
Замечание. Если выполнены условия теоремы 4, то значение интег-ь
рала jf(x)dx не зависит от значений f(x) в точках разрыва. Поэтому час-а
то ставят и решают задачу вычисления интеграла от функции, которая не определена либо в конечном числе точек сегмента [а, 6], либо на множестве точек, которое можно покрыть конечным числом интервалов сколь угодно малой длины. При этом считают, что функция f(x) доопределена в этих точках произвольно, но остается, конечно, ограниченной на сегменте [а, Ь] и, следовательно, интегрируемой.
Например, строго говоря, интеграл
fS^dx	(2)
не существует, так как в точке х — 0 функция не определена. Однако х
1
интеграл J f(x) dx, где
о
{sin х	,
---- при х ф О, х
С при х = О
(С — произвольное число), существует и не зависит от выбора С Поэтому
1
считают, что интеграл (2) также существует и равен j"f(x)dx.
о
Теорема 5. Монотонная на сегменте [а, Ь] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое разбиение сегмента [а, Ь]?
2.	Что такое интегральная сумма функции f(x) на сегменте [а, 6]?
3.	Дайте определение предела интегральных сумм при измельчении разбиений (Д —> 0) сегмента [а, Ь].
146
Гл. VIII. Определенный интеграл
4	Что такое определенный интеграл?
5.	Какая функция называется интегрируемой?
6-	Докажите, что неограниченная функция неинтегрируема.
7.	Интегрируема ли функция /(х) = 1/ж: на сегменте [1,2], на сегменте [-1,1]?
8.	Интегрируема ли функция /(х) = tgxctgx. на сегменте [тг/6, тг/4); на сегменте [—1,1]?
9	Интегрируема ли функция /(х) = е~г^х' на сегменте [-3,-2]; на сегменте [—1,0]; на сегменте [—1,1]?
10.	Всякая ли ограниченная функция интегрируема? Обоснуйте ответ примерами
11.	Что такое нижняя и верхняя суммы (суммы Дарбу)?
12.	Перечислите свойства сумм Дарбу.
13.	Сформулируйте необходимые и достаточные условия интегрируемости (два варианта).
14.	Назовите известные вам классы интегрируемых функций. Приведите примеры функций из этих классов
15.	Придумайте пример монотонной на сегменте [а, Ь] функции, имеющей бесконечно много точек разрыва Интегрируема ли такая функция на [а,ь]?
Примеры решения задач
1.	Постоянная функция /(аг) = С интегрируема на [а,Ь], так как для любых разбиений и любого выбора точек £, интегральные суммы имеют одно и то же значение
п	п
ц*г, еа = £ /(е.)дс. =	= с<ь - а).
2=1	2=1
b
Отсюда Сdx = lim I(xt,£i) = C(b - a).
J	Д-+О
a
2.	Доказать, что функция Дирихле
_ f 0, если х иррационально, W — [1, если х рационально,
не интегрируема на любом сегменте [а, Ь].
Л В самом деле, на любом сколь угодно малом сегменте [ягг_1, хг] найдутся как рациональная, так и иррациональная точка. Если на всех сегментах выбрать рациональные £г, то 1(хг,£г) = b — а; если же все £г иррациональны, то /(жг,£г) =0. Чередуя такие выборы при Д —> —> 0, получаем, что предел I не существует. Значит, функция Дирихле не интегрируема. А
3.	Проверить, что для функции f(x) = 1 + х на сегменте [—1,4] выполнено условие (1) теоремы 2, и вычислить I = J (1 + x)dx как -1
§1. Интегрируемость функции (по Риману)
147
предел интегральных сумм.
Д Согласно теореме 2 для произвольного е > 0 нужно указать такое разбиение сегмента [—1,4], при котором S — s < е.
Разобьем сегмент [—1,4] на п равных частей. На каждом сегмен-г 1 Г ч , 5(г — 1)	,	5г1
те [2гг-1,2гг 1= -1 + —-Д,-1Ч-непрерывная функция 1 + х
Ln	nJ
достигает точной нижней грани на левом конце сегмента, а точной верхней — на правом. Поэтому
Д-'	J \ п / п £— п п п2
1=1	г=1	»=1	г=1
Отсюда
s~°== ' г=1	г=1	'
25
V'1 п2
25
— < £, п
если п > 25/е, т. е. при таком числе п точек разбиения сегмента [—1,4] выполнено неравенство (1). Значит, по теореме 2 интеграл 4
I — у (1 + x)dx существует.
-1
Чтобы вычислить его как предел интегральных сумм, можно рассмотреть любую последовательность интегральных сумм, у которой Д —> О, поскольку из существования интеграла следует, что предел любой последовательности интегральных сумм при измельчении разбиения существует и равен I.
Возьмем, например, последовательность интегральных сумм, соответствующую разбиениям сегмента [—1,4] на п равных частей (п = 1,2,...) и выбору в качестве точек правых концов частичных сегментов. В этом случае для возрастающей функции f(x) =
= 1 + х интегральная сумма равна верхней сумме 5 = у ~21> от“ куда получаем	г=1 п
1= hl + x)dx= lim lim 25ф2+1) =^.
J v ’ n-юо Д^ п2 n-юо 2п2	2
-1	г=1
Итак, / (1 + х) dx = 25/2. ▲
148
Гл. VIII. Определенный интеграл
4.	Доказать, что функция Римана
( > _ J 0> если х иррационально, ™	~ j 1/п, если х = т/п,
где тип (п > 1) — взаимно простые целые числа, интегрируема на любом сегменте [а,Ь].
Л Снова воспользуемся теоремой 2. Зададим произвольное е > 0. Тогда функция у>(аг) удовлетворяет неравенствам
2(1^ < ’’W < 1
только в некотором конечном числе N точек.
Это вытекает из следующих соображений. Все рациональные точки сегмента [a, i>], т. е. точки вида m/п, можно занумеровать в таком порядке: сначала точки вида гп/1, затем т/‘1, затем т/3 и т. д. Соответствующие значения функции <р(аг) в этих точках равны 1/1, 1/2, 1/3, ..., т. е. уменьшаются с переходом к каждой следующей группе точек, причем точек каждого вида имеется конечное число. Таким образом, в число указанных N точек попадут такие, для которых 1 е	2(Ь — а) „
— > —;----, откуда п < —--------. Ясно, что таких точек конечное
п 2(Ь — а)	£
число (пусть оно равно N).
Покроем эти N точек конечной системой попарно пересекающихся сегментов с общей суммой длин, меньшей е/2. Длины этих сегментов обозначим Дх';. Получилось некоторое разбиение [а, Ь]. На сегментах с длинами Да:' колебания ш'г функции не больше 1, поскольку Va: G [а, Ь] 0 <p(ar) 1. Имеется также некоторое конечное число остальных сегментов (обозначим их длины Да;"). Колебания ш" функции <p(z) на этих сегментах не превышают	—-. Поэтому для
полученного разбиения справедливы оценки
S - s = ^Д ^Д.г, =	+ ]Гш"Даг" < 1 • ^2 Дж( +
+ 2(Ь - а) 52	< 1 ’ 2 + 2(Ь-а) ~ а) = £-
Итак, по заданному е > 0 нашлось разбиение сегмента [а, Ь], для которого S — s < е; следовательно, по теореме 2 функция Римана <р(аг) интегрируема на любом сегменте [а,6]. А тг
5.	Вычислить [ —-—----—.
J cos2 + tg о
Д Этот интеграл принадлежит к типу интегралов, рассмотренных в замечании к теореме 4, поскольку
1	fl при 0 х < тг/2, тг/2 < х тг,
f (х} — ------------ — <
v ' cos2 х(1 + tg 2т)	( не определена при х = тг/2.
§2. Свойства определенного интеграла
149
Доопределив эту функцию в точке тг/2, например, по непрерывности, т. е. полагая /(тг/2) = 1, мы получим /(ж) = 1 Vx е [0,тг], и, следовательно, искомый интеграл равен тг. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на п равных частей: а) /(ж) — х3, 2 х 3; б) /(ж) = 21, 0 х 10.
2.	Вычислите определенные интегралы как пределы интегральных сумм:
2
a)	jх2 dx (удобно разбить сегмент [—1,2] на равные части);
-1
2
б)	у (удобно выбрать £, =	• ж,);
1
3
в)	ухт dx (удобно выбрать точки деления х, так, чтобы они образо-2
вали геометрическую прогрессию).
3.	Докажите, что функция /(ж) — 1/х — [1/т] при х 0 и /(0) = 0 интегрируема па сегменте [0,1].
4.	Докажите, что функция /(ж) = sgn (sin(7r/x)) интегрируема на сегменте [0,1].
§ 2. Свойства определенного интеграла
Основные понятия и теоремы
1.	Свойства определенного интеграла.
1°. По определению
ь
2°. По определению /
а	ь
3°. Линейность интеграла. Если /(х) и интегрируемы на [а, 6],а и (3 — любые вещественные числа, то функция af(x) + /Зд(х) также интегрируема на [а, i>], причем
ь	ь
У(а/(ж) + (Зд(х')) dx = aj
ь
4°. Если /(ж) интегрируема на [а, Ь], то функция |/(дг)| также интегрируема на [а, 6], причем
ь	ь
150
Гл VIII Определенный интеграл
5° Если /(х) и д(х) интегрируемы на [а, £>], то функция /(х)д(х) также интегрируема на [а, Ь]
6° Если /(х) интегрируема на [а, Ь], то она интегрируема также на любом отрезке [с, V] С [а, 6]
7° Аддитивность интеграла Если /(х) интегрируема на [а,с] и [с, &], то она интегрируема также на [а, Ь], причем
с	Ь	b
^/(х)дх + Jf(x)dx = у f(x) dx аса
При этом точка с может быть произвольно расположена относительно а и b
В дальнейших свойствах 8°-10° полагаем а < b
8° Если /(х) интегрируема на [а, Ь] и /(х)	0,
9° Если /(х) и д(х) интегрируемы на [а, Ь] и ь	ь
1,6], то f(x)dx> g(x)dx
ь
то ^f(x)dx~^0 /(з;) g(x) Vx е
а	а
10° Если /(х) непрерывна на [a, b], fix') 0, /(х)	0 на [а, Ь], то
ь
ЭК > 0 такое, что J f(x) dx	К
2.	Формулы среднего значения.
Теорема 6 Пусть f(x) и д(х) интегрируемы на [а,Ь], д(х) 0 (д(х) <1 0) Vx £ [а, 6], М = sup /(х), т = inf /(х) [а Ь]	[а 6]
Тогда существует число р Е [т, М] такое, что ь	ь
f dx = руg(x) dx а	а
Следствие 1 Если в формуле (1) положить g[x) = 1, то ь
У/(х)dx = p(b — a), pt [m,М] а
(1)
(2)
ь
Число р = ----у f(x)dx называется средним значением функции
а
Дх) на сегменте [а, Ь]
Следствие 2 Если выполнены условия теоремы 6 и функция f(x) непрерывна, то 3£ € [а, Ь] такое, что
ь	ь
Уf(x)g(x)dx = /(^yg(x)dx	(3)
а	а
§2 Свойства определенного интеграла
151
Следствие 3 Если f(x) непрерывна на [а, Ь], то е [а, Ь] такое, что
ь
Jf(x)dx = f^(b-a)	(4)
а
Контрольные вопросы и задания
1	Перечислите свойства определенного интеграла
2	Следует ли из интегрируемости суммы интегрируемость слагаемых? Ответ обоснуйте примерами
3	Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и частного двух функций
4	Интегрируема ли сумма двух функций, если одно слагаемое интегрируемо, а другое нет?
5	Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и частного двух функций
6	Интегрируема ли сумма двух неинтегрируемых функций? Ответ обоснуйте примерами
7	Рассмотрите аналогичные вопросы для разности, произведения и частного двух неинтегрируемых функций
8	Известно, что |/(т)| — интегрируемая функция Что можно сказать об интегрируемости /(ж)? Приведите примеры
9	Пусть /(ж) интегрируема на [а, с] и не интегрируема на [с, Ь] Что можно сказать о ее интегрируемости на [а, Ь]?
ь
10	Известно, что Jf(x)dx~^0 Следует ли отсюда, что fix') 0 Vz е [а, Ь]? а
Приведите примеры
ь	ь
11	Известно, что J/(x'jdx > Jg(x)dx Следует ли отсюда, что /(ж) Тг д(т) а	а
Vx С [а, Ь]? Приведите примеры
12	Приведите несколько вариантов формулы среднего значения При каких условиях они справедливы?
Примеры решения задач
1. Доказать, что сумма, произведение и частное двух неинтегрируемых функций могут быть интегрируемы
Д Пусть /(ж) = 2 + D(x), g(x) = 2 + D(x), где
0, если х — иррациональное число,
1, если х — рациональное число
(т е D(x) — функция Дирихле)
Напомним, что функция D(x) неинтегрируема (см пример 2 из § 1) Функция f(x) = 2 + D(:r) также неинтегрируема В самом деле,
Л(т) =
152
Гл VIII Определенный интеграл
если допустить, что /(z) интегрируема, то разность двух интегрируемых функций /(т) - 2 = D(r') согласно свойству 3° должна быть интегрируемой, но это противоречит тому, что D(x) неинтегрируема Так как д(х) = f(x), то g(z) неинтегрируема Рассмотрим функцию
, , ч _ 1 _( 1/2, если т — иррациональное число, — д(х) — 1 1/3, если х	рациональное число
Эта функция также неинтегрируема Доказательство аналогично доказательству неинтегрируемости функции Дирихле
Составим сумму, произведение и частное неинтегрируемых функций
Fi (аг) = /(аг) + (~д(хУ) = 0,	F2(z) = /(ж)Д(ж) = 1,
^з(аО = f(x)/q(x) = 1
Функции F1,F2, Fi как постоянные интегрируемы на любом сегменте [а, Ь] Таким образом, из интегрируемости суммы или произведения не следует интегрируемость слагаемых или сомножителей А
2. Доказать, что произведение интегрируемой функции /(z) на неинтегрируемую функцию д(х) может быть а) интегрируемой функцией, б) неинтегрируемой функцией
Л а) Рассмотрим, например, интегрируемую функцию f(x) = 0 и неинтегрируемую функцию Дирихле D(x) на [а, Ь] Так как f(x)D(x) = = 0, то f(x)D(x) — интегрируемая функция на [a, t>]
б) Пусть f(x) = 2, д(х) = D(x) на [а, Ь] Тогда f(x)g(x) = 2L>(z) — неинтегрируемая на [а, Ь] функция А
3. Найти среднее значение функции на заданном сегменте
a) /(z) = cosz на [0, Зтг/2] б) /(z) = sgnz на [—1,2]
Л Находим средние значения д, пользуясь формулой (2)
Зтг/2
2 г	2
а)	д = — / coszdz = ——- Отметим, что непрерывная функция Зтг J	Зтг
О
cos z принимает на сегменте [0, Зтг/2] значение pt = — 2/(Зтг), а именно cos £ = — 2/(Зтг), в точке £ = aiccos(—2/(Зтг)) е [0, Зтг/2]
1 / 1
б)	д=- I sgnzdz=- В данном случае разрывная функция sgnz -1
не принимает на сегменте [—1,3] значение д = 1/3 А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
5.	Докажите, что сумма интегрируемой и неинтегрируемой функций есть функция неинтегрируемая
6.	Интегрируемы ли на сегменте [0,1] функции
а)/1(ж) = ®,	б) gi(z) = 1/z, в) /Дт) + 91(т),
г) /i(z)gi(z), д) /2(z) = уТ, е) /2(z)gi(z) '
§ 3 Формула Ньютона-Лейбница
153
7.	Пусть
fM = J1 при -2^х^0, ' I D(x) при 0 х 2,
где О(х) — функция Дирихле Интегрируема ли функция /(ж) на сегментах [—2,2], [-2,-1], [—1,1], [1, 2]7
ь
8.	Пусть существует J]f(x)]dx Следует ли отсюда интегрируемость а
функции /(ж) на сегменте [а, 6] 7 Рассмотрите пример
,, . _ ( 1, если х — рациональное число, ~ \ —1, если х — иррациональное число
9.	Пусть /(ж) — чшт, д(х) = 0,5 sin ж, и пусть а) 0 х тг, б) 0 х Зтг/2 В каком из этих случаев выполнены условия свойства 9°7
10.	Найдите среднее значение функции на указанных сегментах а) /(ж) = sin х на [0, тг], [0, 2тг], [</?о, фо + 2тг], [</?о, фо + тг], б) f(x) bgnx на [-2,-1], [-2,1], [-1,3], [-2,2], [1,2] Является ли среднее значение функции на каждом сегменте одним из значений этой функции на этом сегменте7 Объясните почему в одних случаях ответ положительный, а в других — отрицательный
11.	Найдите среднее значение функции на указанных сегментах
а)	/(т) — па [0,1], [0, Ю]> [0, ЮО],
б)	/(ж) — 10 + 2sma; + 3cost на [—тг, тг],
в)	f(x) = ып х Ч1п(т + ф) на [0, 2тг]
12.	Найдите среднее значение скорости свободно падающего с высоты h тела, начальная скорость которого равна vr,
13.	Сила переменного тока меняется по закону
/ 2я7	\
г = ю sm I + ф\,
где io — амплитуда, t — время, Т — период ф — начальная фаза Найдите среднее значение квадрата силы тока
а)	на промежутке времени [0, Т],
б)	на промежутке [0, Т/2] (период функции t2(i)),
в)	на произвольном промежутке [0, to] и предел этого среднего при to —1 оо
§ 3. Формула Ньютона-Лейбница
Основные понятия и теоремы
1.	Первообразная непрерывной и кусочно непрерывной функции. Пусть функция /(дг) интегрируема на сегменте [а, Ь] Функция
X
F(x) = у/(t) dt (а х Ь) а
называется интегралом с переменным верхним пределом
154
Гл VIII Определенный интеграл
Теорема 7. Непрерывная на сегменте [а, 6] функция f(x) имеет первообразную на этом сегменте Одной из первообразных является функция
X
F(x)=jf(t)dt	(1)
а
Замечание Интеграл с переменным верхним пределом определен для любой интегрируемой на [а, Ь] функции /(ж) Однако для того чтобы функция F(x) вида (1) оказалась первообразной для /(ж), существенно, чтобы функция /(ж) была непрерывна
Приведем пример, показывающий, что интегрируемая функция может не иметь первообразной Пусть f 1 /(х) = sgn х — <	0
-1
при при при
х = 0.
Эта функция интегрируема на сегменте [—1,1], поскольку является кусочно непрерывной, но, как уже отмечалось в гл V, не имеет первообразной В самом деле, любая функция вида
/(ж) = {
-х + С1
X + С'2
при при
х < 0,
1^0,
где С\, Ci — произвольные числа, имеет производную, равную sgnx, при всех х 0 Но даже “самая хорошая” из этих функций — непрерывная функция F(x) = |х| + С (если Ci = Ci = С) — не имеет производной при х = 0 Поэтому функция sgn ж (и вообще всякая кусочно непрерывная функция) не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку разрыва
Дадим теперь расширенное определение первообразной, пригодное и для кусочно непрерывных функций
Определение Функция f(x) называется первообразной функции /(ж) на сегменте [а, Ь], если
1°) непрерывна на [а, Ь],
2°) F'(x) = fix) в точках непрерывности
Замечание Непрерывная на [а, Ь] функция f(x) является частным случаем кусочно непрерывной (“кусок ее непрерывности” совпадает со всем сегментом [а, Ь]) Поэтому для непрерывной функции расширенное определение первообразной совпадает со старым, так как F'(x) = /(х) Vx £ [а, 6], а непрерывность F(x) следует из ее дифференцируемости
Приведем пример функции, имеющей первообразную в “новом” смысле и не имеющей в “старом” Функция /(х) = sgn х на [—1,1] в “старом” смысле не имела первообразной В “новом” смысле ее первообразной является функция Fix) = |х|, поскольку она непрерывна на [—1,1] и F'(х) — Дх) для х f 0, т е всюду, кроме точки разрыва, х = 0
Ценность расширенного определения первообразной ясна из следующего результата, сохраняющего для кусочно непрерывных функций теорему 7 с “новым” определением первообразной.
§3 Формула Ньютона-Лейбница
155
Теорема 8 Кусочно непрерывная на сегменте [«./•>] функция f(x) имеет первообразную на этом сегменте в смысле расширенного опре-X
деления Одной из первообразных является функция F(x) = Jf (t) dt
2.	Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема 9 Для кусочно непрерывных функций справедлива формула Ньютона-Лейбница ь
У/(ar) dx = F(b) - F(a), а
где F(x) — первообразная функции fix') на [а, Ь] в смысле расширенного определения 2
Например, J sgnxdx = l^ll^ =2 — 1 = 1 i
3.	Метод замены переменной.
Теорема 10 Пусть.
1)	f(x) определена и непрерывна на [а, Ь],
2)	х — g(t) определена и непрерывна вместе с производной на [а, /3], где д(а) = а, д(Д) = Ь и а g(t) Ь
ь	0
Тогда ff(x)dx = J/(д(ф))д'(£) dt а	а
4.	Метод интегрирования по частям.
Теорема 11 Если f(x) и д(х) имеют непрерывные производные на [а, Ь], то ь	ь
f f(x)g'(x) dx = /(х)д(х)\Ьа - Jf'(x)g(x) dx a	a
Контрольные вопросы и задания
1	Что такое интеграл с переменным верхним пределом7 Для каких подынтегральных функций он является первообразной7
2	Дайте расширенное определение первообразной, пригодное для кусочно непрерывных функций
3	При каких условиях справедлива формула Ньютона Лейбница7
4	Известно, что функция/(х) имеет первообразную на [а, Ь] Интегрируема ли /(х) на [а, Ь]f Рассмотрите пример /(х) = Т'(х), где
x3/2sm(l/x) при х 0, х £ г0 0 при х = 0,	1’1
5	Перечислите условия, при выполнении которых справедливы а) формула замены переменной, б) формула интегрирования по частям
F(x) =
156
Гл. УШ. Определенный интеграл
6	. С помощью каких подстановок вычисляются интегралы, содержащие: а) дробно-линейные иррациональности; б) квадратичные иррациональности?
7	. Для вычисления каких типов интегралов удобны тригонометрические подстановки? Приведите примеры.
8	. Цля вычисления каких типов интегралов удобен метод интегрирования по частям? Приведите примеры.
Примеры решения задач
f cos(i2)<ft
1.	Найти lim —---------.
X—Ю	X
А Данный предел представляет собой неопределенность вида 0/0. X
Интеграл с переменным верхним пределом cos (i2) dt есть первооб-разная непрерывной функции созж2, т. е. I / cos(t2)dt I = соэ(ж2). Поэтому, применяя правило Лопиталя, получим
[ COS (t2) (ft	гпч1т2ч
lim к----------= Um SELH 1 = i.
х —>0	X	х—>0	1
Отметим, что первообразная для cos (ж2) не является элементарной X
функцией, т. е. J cos (t2} dt не выражается через элементарные о
функции. Это, однако, не помешало вычислению искомого предела, к
2.	Найти первообразную кусочно не-прерывной функции
2-z------- f( \ I1 * при Nd, „
Л	= 1 о 11^1 X & R.
j	[0 при 5= 1;
1	х /\ Одной из первообразных является ин-
Рис. 15	теграл с переменным верхним преде-
лом, причем в качестве нижнего предела интегрирования можно взять любое число, например х = —2. Итак,
X
F(x) = f f(t)dt =
-2
' О
< х + 1
2
при при при
Ж —1,
— 1 г 1,
X 1
(рис. 15). к
я
о -п	Т Г cos х ах
3. Вычислить 1 — /	—.
g V 1 — sin2 х
AI способ. Подынтегральная функция /(ж) не определена в точке
§ 3. Формула Ньютона-Лейбница
157
х = тг/2. Разобьем сегмент [О,тг] на два: [0,тг/2] и [тг/2,я]. Полагая на первом сегменте /(тг/2) = 1, получим интеграл от непрерывной функции f = 1:
тг/2
I1= J ldx=x\l/2 = о
На втором сегменте положим /(тг/2) = -1и снова получим интеграл от непрерывной функции / = —1:
h= J (-l)dx = -x\*/2 = тг/2
Окончательно имеем Д + h = 0.
II способ. Воспользуемся расширенным определением первообразной. Функция F(x), удовлетворяющая этому определению, имеет вид fa:	при 0 х тг/2,
F(X) = 1	/о /
( 7Г — X при тг/2 X 7Г.
В самом деле, F(x) непрерывна на [0, тг] и F'(x') = fix') Vx G [0,7г], x Д тг/2, t. e. F'(x) = f(x) в точках непрерывности f(x). (Напомним, что х = тг/2 — точка разрыва /(а:).)
Согласно формуле Ньютона-Лейбница, справедливой для кусочно непрерывных функций и расширенного определения первообразной, получаем
Z = У f(x) dx = F(x) I’ = тг - х|ж=л. - ж|х=о = 0. ▲ о
Следующие два примера показывают, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница (т. е. использование этой формулы без учета условий ее применимости) может привести к неверному результату.
1 /dx
—Взяв в качестве первообразной L\/X о
подынтегральной функции /(х) = l/(2i/r) функцию F(x) = у/х и формально применив формулу Ньютона-Лейбница, получим
1 С dx /— 11 л
о
Однако этот результат неверен, так как функция /(#) — 1/(2д/я) не ограничена на [0,1], и, следовательно, интеграл Jне существует, о
158
Гл. VIII. Определенный интеграл
5. Рассмотрим интеграл
г f d (	4.
I = / -р arctg -
J dx \ х /
-1
dx.
На первый взгляд может показаться, что функция arctg (1/х) яв-
ляется первообразной подынтегральной
,	d (	4.	1А\
функции — arctg -ах \ х /
и тог-
да по формуле Ныотона-Лейбни-
ца получаем
Г	4.	1
I = arctg -
Рис. 16
Однако этот результат неверен, поскольку функция arctg (1/х) не является первообразной для — farctg—на сегменте [—1,11. dx \ xJ
В самом деле, на рис. 16, а изображен график функции arctg (1/х). Наглядно видно, что эта функция имеет в точке х = 0 разрыв I рода, в то время как первообразная по самому определению должна быть непрерывной во всех точках.
Чтобы вычислить интеграл I, заметим, что
d (	1\	/
— I arctg - 1 = < dx X х) I
при
не определена при х = 0.
Доопределяя эту функцию в точке х = 0 по непрерывности, получим непрерывную функцию
^) = -тЬ’
х е [-1,1].
Первообразной для /(х) является F(x) = — arctgx, поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
Г	4- I1 п , ( 7ГЛ я
Z =-arctgx]^ = --+
Отметим, что первообразную для /(х) можно построить также с помощью функции arctg (1/х), а именно:
Ф(х) = <
arctg (1/х)
—тг/2
arctg (1/х) — тг
при при при
— 1 х < 0, х = 0, 0 < х < 1.
График Ф(х) изображен на рис. 16, б. По формуле Ньютона-Лейбница
§ 3. Формула Ньютона-Лейбница
159
снова получаем
' = *(<. =-у-(4) = 4-
6.	Применяя подходящую замену переменной, вычислить 1= [х2 \7п2 — х~ dx.
о
Д Положим х = asint, O^t тг/2. Такая замена переменной удовлетворяет всем условиям теоремы 4. Так как \/а2 — х2 = a cost, dx = acostdt, то
тг/2	4 тг/2	4 тг/2
I — а4 у sin21 cos21 dt —	sm22tdt=^- j (1 — cos4t) dt =
0	00
a4 (	1 . .
= —- t — 7 sm It
8 k 4
тг/2
формально замену
dt _ 1 + t2 ~
(2)
2 ’
4 тга
о
Следующий пример показывает, что формальное применение формулы замены переменной (без учета условий ее применимости) может привести к неверному результату.
7.	Если в интеграле I = j 2 = сделать
-1 переменной х = 1/t и написать
J 1 + 1/t2
то получается, очевидно, неверный результат.
Ошибка связана с тем, что изменению х сег.менте [—1,1] соответствует изменение t = 1/х не на сегменте [—1,1], как написано в равенстве (2), а на объединении полупрямых (—оо, —1) и (1,-f-oo). Тем самым указанная замена переменной не удовлетворяет требованиям теоремы 4.
2тг
8.	Вычислить I = [-------f----.
J 1 + 0,5 cos к о
Л Подынтегральная функция /(я) = -——---------- непрерывна на сег-
1 4“ 0,0 cos ж
менте [0,2тг] и, следовательно, имеет первообразную. Для нахождения первообразной функции f(x) подходящей заменой переменной является t = tg (гк/2) (см. гл. V). Однако для определенного интеграла I такая замена не удовлетворяет условиям теоремы 4, поскольку изменению х на сегменте [0,2тт] не соответствует изменение t на некотором сегменте: t = tg (х/2) -> +оо (-оо) при х -> тг - 0 (тг + 0). Поэтому воспользуемся указанной заменой переменной для нахождения
160
Гл. VIII. Определенный интеграл
первообразной подынтегральной функции. Рассмотрим неопределенный интеграл [-----. На каждом из промежутков 0 < х < тг и
J 1 + 0,5 cos х
тг < х 2тг для него допустима замена переменной t = tg (яг/2).
В первом случае обратной функцией является х = 2 arctg t (0 si
t < +оо), во втором х = 2(тг + arctgt) (—сю < t 0). В каждом
1 -12 , 2dt
случае cos я; =	, ах =	, и мы получаем
Ф(х) = [----—-----
J 1+0,5 cos х
3 + t2 lt= tg (х/2)
При любой постоянной С функция Ф(.г:) является первообразной для f(x) = у + (1/2)---НЭ пР0МежУтках [0;7Г) и (7Г! 2тг]. Так как она име-
ет в точке х = тг разрыв I рода: Ф(тг + 0) — Ф(тг — 0) — — -^=, то Ф(з?) не является первообразной для f(x) —	-	---- па всем сегменте
L ~г U,О COS X
[0,2тг]. Однако с помощью Ф(х) теперь уже легко построить первообразную для f(x) на всем сегменте [0, 2тг]. Положим
0 si х < тг,
х — тг, тг < х 2тг.
Тем самым на [0, тг) мы взяли С = 0, в точке х = тг доопределили Ф(яг) (при С = 0) по непрерывности слева, а на (тг, 2тг] взяли С = 4тг/х/3. Получилась функция F(x), производная которой во всех точках сегмента [0, 2тг], в том числе и в точке х = тг, равна функции f(x) (для точки х = тг докажите этот факт самостоятельно), т. е. F(x) — первообразная для f(x) на [0,2тг]. По формуле Ньютона-Лейбница
I = F(x)fon = F(2tt) - F(0) =	- 0 =	▲
у и	у О
Замечание. Можно было бы разбить интеграл I на два интеграла:
У/(ж) dx +
О
2тг
jF(x)dx, и воспользоваться тем, что первообразной для 7Г
/(х) на [0, тг] является функция
Fi (ж) = <
4
— arctg
2тг
л/З
при
при
0 X < тг,
X = тг,
§ 3. Формула Ньютона-Лейбница
161
а на [тг, 2тг] — функция
F2(x) =
4	/1
7з g \7з tg 2?
_ 2?г
Vs
при
при
тг < х < 2тг,
X = тг
(Fi (ж) получается из Ф(т) при С = 0 с помощью доопределения Ф(т) в точке х = тг по непрерывности слева, a F2(x) — справа). В этом случае, применяя формулу Ньютона-Лейбница к каждому из интегралов, получаем
/ = F1(T)|’+F2(T)|“’r =F1(7r)-F1(0) + F2(27r)-F2(7r) =
Vs \ VsJ Vs
9.	Вычислить I — j |lnx|dx.
l/e
А Разбивая интеграл I на сумму интегралов по сегментам [l/e, 1] и [1,е] (чтобы “освободиться от модуля”) и применяя в каждом интеграле формулу интегрирования по частям, получим
10.	Вычислить I = [--------— dx.
J 1 + cos2 х о
А Применим формулу интегрирования по частям:
d(cos х)
1 + cos2 х
—ух d( arctg (cosrr)) = о
= —х arctg (cos ж) I* +
тг2
0 + Л = ^- +Ji,
4
7Г
где Л = У arctg (cos ж) dx. о
Чтобы найти Ji, заметим, что график функции /(ж) = arctg (cosж) центрально симметричен относительно точки (тг/2,/(тг/2)) = (тг/2,0). Поэтому интегралы от этой функции по сегментам [0, тг/2] и [тг/2, тг] равны по модулю и противоположны по знаку, а значит, в сумме равны нулю, т. е. Д = 0. Этот же факт можно установить таким образом: разобьем Д на два интеграла по сегментам [0, тг/2] и [тг/2, тг] соответственно и во втором интеграле сделаем замену переменной
6 В.Ф. Бутузов и др.
162
Гл. VIII. Определенный интеграл
х = 7Г — t. Получим
тг/2	тг
7) = у" arctg (cos х) dx + j arctg (cos x) dx =
0	ir/2
тг/2	0
= У arctg (cosx.) dx + J arctg (—cost) (—dt) =
о	тг/2
jt/2	тг/2
= у arctg (cos x) dx — J arctg (cos t) dt = 0. о	о
Итак, Ii = 0, поэтому I = 7г2/4. A
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
14. Найдите производные.
d br
a) — I sm(a:2) dx;
dx J a
. X2_______
r) — f a/1 + t2 dt;
dx J 0
x3
-.dr dx ж) — / —— dx J \/l 4- x2 x2 X3 -dr dt к) — / ,  - 7;
dt J Vl + t4 * * X2
15. Вычислите интегралы
2
Ь	х2
б) -^у sin(a:2)dT, в) — у sin(x2)da:; а	а
д) — [	+ х2 dx;	е) — f
’ dxJ	'	1 dx У УГ+Т2
О	.т 2
х3 , г dt
У vi +12 ’ о х3 , г dt /
r dx
t v7! + x"1 ’
з
л
и
sb 2
. r dx
a) / 7r+^;
sh 1
в) / -------------- (0 < a < тг).
J x2 —2x cos a + 1
о	-1
16. Объясните, почему формальное применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам, и вычислите, используя первообразную для кусочно непрерывной функции или разбивая иа части промежуток интегрирования, следующие интегралы а) 7 dx	б) [ d (	1 }dx.
У cos2 х(2 + tg 2х) ’ У dx \1 + 21/* У
2	Г 2
17. Вычислите J f(x) dx, где f(x) = < ^	"Р^
о
способами: а) используя первообразную для /(ж), построенную на всем сегменте [0,2]; б) разбивая сегмент [0,2] на сегменты [0,1] и [1,2].
18. Применяя формулу интегрирования по частям, вычислите следующие интегралы:
In 2
а) у хе о
двумя
dx; 6) Jx2 costdx; в) J axccosxdx. о	0
§3. Формула Ньютона Лейбница
163
19.	Применяя подходящую замену переменной, вычислите следующие ин-
тегралы:
а)/
-1
х dx \/5 — 4х ’
0,75	In 2
б) [ ---------Г--Л;--; в) [ >/ё*
I (я + IJVr2 + 1 J
1 dx;
dx.
з
20.	Можно ли вычислить интеграл Jх -^1 — ж2 dx с помощью замены переменной х — sint?	о
1
21.	Можно ли, вычисляя интеграл J\/1 — х2 dx с помощью замены пере-о
менной х = sin 4, взять в качестве новых пределов интегрирования числа а) тг и тг/2; б) 2тг и 5тг/2; в) тг и 5тг/2? Вычислите интеграл в каждом случае, когда указанная замена допустима.
22.	Докажите, что для непрерывной на [—1,1] функции /(ж) справедливо равенство:
i	I
а)	у/(х) dx — ‘2! f(x)dx, если /(ж) — четная функция;
-I	о
I
б)	у f (ж) dx = 0, если /(ж) — нечетная функция.
-I
Дайте геометрическую иллюстрацию этих фактов Справедливы ли эти равенства, если f(x) — интегрируемая на [—/,/], но не обязательно непрерывная функция7
23.	Докажите, что одна из первообразных четной функции есть функция нечетная, а всякая первообразная нечетной функции есть функция четная.
24.	Вычислите интегралы
1	е	3	_____
а)/^Т7ТТ; ^(xlnxfdx. в)
-1	1	о
2л-
г) /----------------; д) / sinTsin2Tsin3Ttfa:; е) I txsvnxY dx.
1 J (2 + cosx)(3 + cost) 1 J	' .Г '
0 '	о	0
25.	Пользуясь формулой Эйлера
= cos х + i sin x
(j — мнимая единица), покажите, что
2%	г r>
Г tnx —imx j ______ ( U ПрИ
J е ' е х ~ t 2тг при
О
т 7^ п, т — п
ь	ь	ь
(используйте равенство J [f(x) + ig(x)]dx = Jf(x)dx + iJ] а	а	а
26.	Покажите, что
ye(a+,fl)l dx =
aiifl
(используйте равенство e^a+l^x = еах  ег^х).
164
Гл. VIII. Определенный интеграл
27.	Пользуясь формулами Эйлера
1 / гх , — гл\	1 / lx	— гх\
cost— — (^е + е ),	sinx=—(е — е ),
вычислите интегралы
тг/2	7Г
ч f Im 2n 1	fsmnx *
а) / sm zcos xdx, б) /------------dx,
J	J sinx
о	о
7Г	7Г
в) J cosn x cos nxdx, r) J sin" ж sinns dx о	о
§ 4. Вычисление длин плоских кривых
Основные понятия и формулы
1.	Длина кривой. Рассмотрим на плоскости кривую L, заданную параметрически:
ж = y?(t), у =
а $ t /3,
(1)
где ip(t) и i[>(t) — непрерывные на сегменте [а,/?] функции, причем различным значениям t € [а, /3] соответствуют различные точки (ж, у) (т. е. нет кратных точек). Такую кривую назовем простой (плоской) незамкнутой кривой
Если точки А(<р(а),ф(а)) и B(ip(/3), ф((3)) совпадают, а остальные точки не являются кратными, то кривая L называется простой замкнутой кривой.
Пусть L — простая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная уравнениями (1). Рассмотрим произвольное разбиение сегмента [«.й] точками а = to < ti < t% < . < tn = (3 Ему соответствует разбиение кривой L точками А = Мо, Mi, М2, ..., Мп = В, где Мг = M(tp(t,), V’(ij))- Впишем в кривую L ломаную АМ1М2—В. Обозначим длину ломаной через 1(Мг) и положим At = max (tt — tt~i).
1
Определение. Число / называется пределом длин ломаных 1(Мг) при At —> 0, если Ve > О > 0 такое, что для любого разбиения сегмента [а, 0], у которого At < <5, выполняется неравенство 0 $ I - 1(Мг) < Е.
Определение. Если существует предел длин ломаных при At —> 0, то кривая L называется спрямляемой, а число I — длиной кривой L (или длиной дуги кривой L).
2.	Длина кривой, заданной параметрически.
Теорема 12 Пусть простая кривая L задана параметрическими уравнениями х = <^(t), у = ф(Т), а $ х /3, причем функции tp(t) и i/i(t) имеют на сегменте [а,Д| непрерывные производные. Тогда кривая L
§4 Вычисление длин плоских кривых
165
спрямляема, а ее длина вычисляется по формуле
/з
I = У vV2(0 + dt	(2)
а
Функция
t
/(*) =	(3)
а
называется переменной дугой.
3.	Длина кривой в декартовых координатах. Если кривая задана уравнением у = fix'), а х $ Ь, причем функция f(x) имеет на сегменте [а, 6] непрерывную производную, то длина кривой вычисляется по формуле
ь
1= f^i + f2(x)dx.	(4)
а
4.	Длина кривой в полярных координатах. Если кривая задана уравнением г — г(<^), <р <р2, причем функция г(<р) имеет на сегменте [</?!, tp2] непрерывную производную, то длина кривой вычисляется по формуле
V2 _____________
I = У \/г2(9?) + r,2(tp) dtp.
Vi
Если кривая задана уравнением tp = tp(r), гi $ г $ г2, причем функция <р(г) имеет на сегменте [ri,r2] непрерывную производную, то длина кривой вычисляется по формуле
I — f \/1 + r2tp'2(r) dr.
Контрольные вопросы и задания
1	Что такое простая незамкнутая (замкнутая) кривая7
2	Дайте определение предела длин ломаных при Д£ —> О
3	Что такое спрямляемая кривая7
4	Что такое длина кривой7
5	По каким формулам вычисляется длина кривой а) заданной параметрически, б) в декартовых координатах, в) в полярных координатах7
6	Приведите примеры спрямляемых кривых
7	Является ли прямая спрямляемой кривой7
8	Является ли окружность простой кривой7
166
Гл VIII Определенный интеграл
Примеры решения задач
1.	Найти длину параболы у = х2, 0 $ х $ 2 Л По формуле (4) получаем
2
I — \/1 + 4.т2 dx = л/17 + i 1п(4 + л/17) А
о
2.	Найти длину одной = а(1 — cost), 0 $ t 2тг Л По формуле (2) находим
“арки” циклоиды х = a(t - suit), у =
2тг .— l = af^l О
— cost)2 + sm2 tdt = 8а
3.	Найти переменную дугу эллипса —- + %- = 1 (а > М между О.2 о2
точкой (О, Ь) и любой точкой эллипса в первой четверти
Л Полагая х = asmt, у = bcost, 0 t < тг/2, по формуле (3) получаем (считая от верхнего конца малой полуоси)
l(t) = аУ ^1 — -—sm21 dt = a f у/1 — е2 sm21 dt, о	о
где е = у/а2 — Ь2 /а — эксцентриситет эллипса
Таким образом, переменная дуга эллипса выражается интегралом
t __________
l(t) = а У \/1 — е2 sm21 dt = aE(e,t), о
который называется эллиптическим интегралом II рода
Этот интеграл не выражается в элементарных функциях Он широко используется в математике Его название объясняется как раз связью с рассмотренной задачей
Если t = тг/2, то интеграл выражает 1/4 длины эллипса В этом случае эллиптический интеграл Е(е, тг/2) называют полным эллиптическим интегралом и обозначают Е(е) А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
28.	Найдите длипы кривых, заданных уравнениями
а)	у = х3'2 (0 $ х 4), б) х =	| In У (1 $ у $ е),
в)	у — Incogs (0 х а < тг/2), г) у2 = х3/(2а — х) (0 х 5$ 5а/3),
д)	т2/3 + у2/3 = а2^3,	е) х = cos'* t, у = sm4 t,
ж)	х — a(t — sint), у — а(1 — cost) (0 t 8тг, обратите внимание на пределы интегрирования),
з)	р = ар (0 $ р С 2тг) (спираль Архимеда),
и)	р = а(1 + cos р), к) р = asin ‘(y/3), л) р = ,J~p (0 р 5)
§ 5 Вычисление площадей плоских фигур
167
29.	Докажите, что длина эллипса х = asmt, у = bcost равна длине синусоиды у = csm(i/6), 0 х 2тг6, с = у/а2 — Ъ2 Дайте геометрическую иллюстрацию этого результата, связав длины эллипса и синусоиды с сечением цилиндра х2 + у2 = Ь2 плоскостью z = (c/b)x
§ 5. Вычисление площадей плоских фигур
Основные понятия и формулы
1.	Площадь плоской фигуры. Плоской фигурой будем называть любое ограниченное множество точек плоскости
Пусть в данную фигуру вписана многоугольная фигура и около данной фигуры описана многоугольная фигура, т е фигура, состоящая из конечною числа треугольников
Множество площадей всех вписанных многоугольных фигур ограничено сверху (площадью любой описанной фигуры), а множество площадей всех описанных многоугольных фигур ограничено снизу (например, нулем)
Определение Плоская фигура называется квадрируемой, если точная верхняя грань Р множества площадей всех вписанных многоугольных фигур равна точной нижней грани Р множества площадей всех описанных многоугольных фигур
Число Р = Р_= Р называется площадью плоской фигуры (по Жордану)
Теорема 13 (достаточное условие квадрируемости) Для того чтобы плоская фигура была квадрируемой, достаточно, чтобы ее граница была спрямляемой кривой
2.	Площадь плоской фигуры в декартовых координатах. Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную непрерывными кривыми у = /1(т), у = /2(2), а х
b (где 1/1 (т) < ’/2(-'г))> и двумя отрезками прямых х = а, х = Ь
Рис 17
Рис 18
(рис 17, а) Отрезки прямых могут вырождаться в точку (рис 17, С)
168
Гл VIII Определенный интеграл
Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле
S =
ь
У”[fz(x) - fi(x)]dr
(1)
3.	Площадь плоской фигуры в случае параметрического задания ее границы. Пусть граница плоской фигуры G — простая замкнутая кривая, заданная параметрически уравнениями х = </?(t), у = i/j(t), 0 $ t $ Т, причем точка (<^(t),V’(i)) при изменении t от О до Т пробегает границу G так, что фигура G остается слева от движущейся точки. Тогда площадь фигуры G может быть вычислена по любой из следующих формул;
Г
S = —уdt,	(2)
о т
S = у(t) dt,	(3)
о
т
s = | f	- ip'(t)^(t)]dt.	(4)
4.	Площадь плоской фигуры в полярных координатах. Пусть плоская фигура представляет собой криволинейный сектор, ограниченный непрерывной кривой р — p(jp), ipi $ р (рг> 0 < < </?2 — <Р1 ^*2тг, и отрезками лучей <р = tpi и <р — <р2 (рис. 18, а) Отрезки лучей могут вырождаться в точку О (рис. 18, 6). Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле
V2
S = g У
<Р1
(5)
Контрольные вопросы и задания
1	Что такое плоская фигура?
2	Что такое квадрируемая фигура''
3	Что такое площадь плоской фигуры?
4	По каким формулам вычисляется площадь фигуры а) в декартовых координатах, б) в случае параметрического задания границы, в) в полярных координатах?
5	Приведите примеры квадрируемых фигур
6	Является ли плоскость квадрируемой фигурой?
7	Является ли прямая квадрируемой фигурой?
§ 5 Вычисление площадей плоских фигур
169
Примеры решения задач
1.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у — )ж — 1), У = 3 - |х|.
Л Данные кривые пересекаются в двух точках (рис 19) Решив
уравнение 3 — |ж| = |яг — 11, найдем абсциссы этих точек, t = —1, х = 2. Поэтому
2
-1
Разобьем интеграл на три интеграла соответственно по сегментам [—1,0], [0,1], [1,2] Получим
о	1
S = у" [(3 + х) — (1 — ж)] dx + у [(3 — х) — (1 — ж)] dx +
-1	о
2
+ У((3 — х) — (ж — 1)] dx = 1 + 2 + 1 = 4. А
1
2.	Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой ж2/3 + у2/3 = = а2^3 (рис 20)
Д Полагая х = acos3t, у = asin3t, 0 С t 2тг, приходим к параметрическим уравнениям астроиды (параметр t играет роль полярного угла точки (ж, у) на астроиде) По формуле (4) получаем
2тг
S = - у (a cos3 t За sin2 t cos t + За cos2 t sin t  a sm3 t) dt =
О	2tt
= - a2 / sin2 t cos2 t dt = - тта2. k 2 J	8
о
Замечание 1 Симметричная формула (4) привела здесь к более простому интегралу, чем тот, который получился бы в результате применения формул (2) или (3)
170
Гл VIII Определенный интеграл
За2 Г
2 J
Замечание 2 Отметим, что интеграл по сегменту [0, тг/2]
7Г /2
sin21 cos2 tdt = —7га2
32 о
дает площадь той части фигуры, которая лежит в I квадранте (рис 21), хотя в этом случае вся граница фигуры уже не описывается уравнениями х = = a cos3 4, у — asm3 4, поскольку содержит отрезки осей координат Почему же получился правильный результат? Дело в том, что параметрически отрезок [а,0] оси Оу можно задать уравнениями х = 0, у = 2а(1 — 4/тг), тг/2 $ t $ тг, а отрезок [0, а] оси Ох — уравнениями х = 2a(t/ir — 1), у = 0, тг $ t Зтг/2 На этих отрезках параметр t не играет роли полярного угла
Рис 21
Рис 22
Используя теперь полную параметризацию границы фигуры (параметр t изменяется от 0 до Зтг/2) и разбивая интеграл по сегменту [0, Зтг/2] па три интеграла, соответствующих криволинейному и двум прямолинейным участкам границы, получаем, что интегралы по отрезкам координатных осей обращаются в нуль, так как на каждом из них одна координата и ее производная по параметру равны нулю
По той же причине формула (2) остается справедливой для криволинейной трапеции, ограниченной отрезком оси Ох, двумя вертикальными отрезками и кривой, заданной параметрически уравнениями х = <^(4), у =	0 $1 t Т, если при изменении t от 0 до Т точка (</?(£), г/>(4))
пробегает кривую так, что трапеция остается слева от точки В противном случае в формуле (2) перед интегралом нужно поставить знак плюс
Замечание 3 Найти площадь фигуры, ограниченной циклоидой х = = a(t — sm 4), у = a(l — cos 4), 0 $ 4 2тг, и осью Ох
Л По формуле (2) (где в силу замечания 2 перед интегралом взят знак плюс) имеем	2
S = y*a2(l — cos4)2 dt = Зтга2 A о
Замечание 4 Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах уравнением р = 2а2 cos 2^ (лемниската Бернулли)
Л Учитывая неотрицательность р, находим, что —тг/4 $ р тг/4 и Зтг/4 $ S/ ip 5тг/4 (рис 22) По формуле (5) вычисляем площадь одной из двух равных частей фигуры и удваиваем результат
тг/4
S" 2 - 2a2 у* cos 2(/5 dtp = 2а2 А
— 7г/4
§ 6 Вычисление объемов тел
171
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
30.	Найдите площадь фигуры, граница которой ладана уравнениями в декартовых координатах
д-2 у2
а)	= 1, х — х0, х = xi, у О (—а < х0 <	< а)
а2 62
б)	у = х2, х + у — 2, в) у = (х + I)2, х = smтгу, у = 0 (0 $ у $1 1), г) у2 = х2(а2 —х2), д) у = е-1| зшж|, у = 0 (ж 0) (за площадь этой неограниченной фигуры примите предел при А —> +оо площадей криволинейных трапеций, соответствующих изменению х от 0 до А)
31.	Найдите площадь фигуры, граница которой задана параметрически (предварительно нарисуйте эскиз фигуры)
а)	х = a(cos t + t sm t), у = a(sin t — t cos t), 0 $ t 2тг, x = a, у 0 (развертка круга),
б)	x = a(2 cos t — cos 2t), у = a(2 suit — sm 2t)
32.	Найдите площадь фигуры, граница которой задана уравнением в полярных координатах
а) р = а(1 + cos <р>) (кардиоида), 6)p = asm3<^ (трилистник), в) р = 3 + 2 cos ip, г) р2 + tp2 = 1
33.	Перейдя к полярным координатам, найдите площадь фиг уры граница которой задана уравнением
а)	х3 + у3 = Заху (лист Декарта),
б)	(ж2 + у2)2 = 2а2ху (лемниската Бернулли)
§ 6. Вычисление объемов тел
Основные понятия и формулы
1. Объем тела (по Жордану). Телом будем называть любое ограниченное множество точек пространства
Пусть в данное тело вписан многогранник и около данного тела описан многогранник, т е. тело, состоящее из конечного числа треугольных пирамид
Множество объемов всех вписанных многогранников ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество объемов всех описанных многогранников ограничено снизу (например, нулем).
Определение Тело называется кубируемым, если точная верхняя грань V множества объемов всех вписанных многогранников равна точной нижней грани V множества объемов всех описанных многогранников.
Число V = V = V называется объемом тела (по Жордану)
2. Объем тела с известными поперечными сечениями. Пусть каждое сечение кубируемого тела плоскостью х — const есть квадрируемая фигура, причем ее площадь S(x) является непрерывной функцией х (а х Ь) Тогда объем этого тела вычисляется по
172
Гл VIII Определенный интеграл
формуле
Ь
(1)
В частном случае, когда тело получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией у = f(x), а х $ Ь, объем тела вращения вычисляется по формуле ъ
(2)
Контрольные вопросы и задания
1	Что называется телом7
2	Что такое кубируемое тело7
3	Что такое объем тела7
4	По какой формуле вычисляется а) объем тела с известными поперечными сечениями, б) объем тела вращения7
5	Приведите примеры кубируемых тел
6	Является ли плоскость курируемым телом7
7	Является ли прямая курируемым телом7
Примеры решения задач
х2 2
1.	Найти объем тела, полученного вращением эллипса + у- = 1 а2 Ь2
вокруг оси Ох
Л По формуле (2) имеем
V = тг f ^-(а2 — х2) dx = 7гаЬ2. А J а	о
—а
2.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями ж2 + у2 = а2, z = л/Зу, z = 0 (г/ > 0)
Л I способ Рассмотрим сечения этого тела плоскостями х = const. В сечениях получаются прямоугольные треугольники с площадями
5(ж) = | y{x)z{x) = |	2 ~ ж2 л/З у/а2 — х2 =	(а2 — ж2).
По формуле (1) находим
х/3 Г, 2	2\ j 2\/3 з
V = — / (а -x)dx = — а .
£ J	о
— а
II способ Рассекая это же тело плоскостями у = const, в сечениях получаем прямоугольники с площадями
S(y) = 2ж(г/)г(»/) = 2у/а2 - у2 Vty.
§ 7 Физические приложения
173
Поэтому
V = 2j3fyja2-y2dy = ^a3 А о
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
34.	Найдите объем усеченного конуса, основания которого ограничены эллипсами с полуосями А, В и а, Ь, а высота равна h
35.	Тело представляет собой множество точек М(х, у, z), где 0 $ z $ 1 При этом	если z — рациональное число, и —1 5$ х 5$ О,
— 1 У 0, если z иррациональное число Докажите, что объем этого 1
тела не существует, хотя JS(z) dz = 1 о
36.	Найдите объемы тел, поверхности которых заданы уравнениями
z — - х, z = О,
х2	v2	72
б) ~у + 7Т + у = h а2	о2	с2
г) х2 + z2 = а2, у2 + z2 = а2, х2 + у2 = ах (пересечение указанных сферы и
, т2 у2
В) ~2 + ту
а2 о2
• — 1, Z = ±с, = “2>
Z2
С2 д) X2 + у2 + Z2 цилиндра образует два тела Найдите объем так называемого тела Ви-виани, вырезаемого цилиндром из сферы Получив ответ, обратите внимание на его структуру если из полусферы удалить тело Вивиани, то объем оставшейся части выражается через радиус сферы без иррациональных коэффициентов, в частности без тг)
37.	Найдите объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными вра-
щением следующих кривых
а)	у = Ь{х/а)2^Л (0 $ х У) а) вокруг оси Ох,
б)	у = 2х — х2, у — 0 вокруг оси Ох,
в)	у = 2т — х2, у = 0 вокруг оси Оу,
г)	у = sins, у = 0 (0 $ х $ тг) вокруг оси Ох,
д)	у — sms, у = 0 (0 х $ тг) вокруг оси Оу,
е)	х = a(t — sin4), у = а(1 — cos 4) (0^4^ 2тг) вокруг оси Ох, ж) х = а(4 — sint), у = а(1 — cos4) (0^4^ 2тг) вокруг оси Оу
§ 7. Физические приложения определенного интеграла
Основные понятия и формулы
1.	Вычисление массы плоской кривой. Пусть простая кривая L задана параметрически уравнениями х = у?(4), у — i/j(4), а $ 4	/3,
и пусть р(х,у) — линейная плотность массы в точке (х, у) G L. Тогда масса кривой L вычисляется по формуле
0
м = f	+ ^'2(4) dt
174
Гл. VIII. Определенный интеграл
Пусть простая кривая задана уравнением в декартовых координатах у = f(x), а $ х <7 Ь. Тогда масса кривой L вычисляется по формуле
ь
М = у+ f'2(x) dx. а
В частности, при р = 1 числовое значение массы совпадает с длиной кривой.
2.	Вычисление моментов и координат центра тяжести плоской кривой. Статические моменты (или моменты первого порядка) кривой L относительно координатных осей в случае постоянной линейной плотности р = 1 (геометрические моменты) вычисляются по следующим формулам (ж = <p(t), у — V’(t), а $ t $ /3, — уравнения кривой):
(момент относительно оси Ох),
0
Мх = y'i/’(i) а/Г1'2 (О + V'2 (0 dt а
(момент относительно оси Оу).
Если кривая задана в декартовых координатах: у = /(ж), а ж <7 Ь, то
ь	ь
Мх = f f(x)\/l + f'~2(x) dx,	Му = ужл/1 + /,2(ж) dx.
а	а
Координаты жо и уо центра тяжести кривой L вычисляются по формулам
Жо — Му 11,	уо — Мх 11,
где I — длина кривой L.
Моменты инерции (или моменты второго порядка) кривой L относительно координатных осей (р = 1) вычисляются по формулам
0
1х = У^2 (t) vV2(i) + ^r2(t) dt а
0
1У = У<p2(i)vV2(i) + ip,2(t) dt или (в декартовых координатах)
ь
4 = у/2(ж)У1 + /'2(ж) dx,
(относительно оси Ох),
(относительно оси Оу),
ь
1У = Уж2л/1 + f'2(x) dx. а
§ 7. Физические приложения
175
3.	Вычисление моментов и координат центра тяжести плоской фигуры. Статические моменты фигуры G, ограниченной непрерывными кривыми у = fi(x), у = fa (х), а < х Ь (где Л (ж) С /2(ж)), и отрезками прямых х = а. х = Ь, в случае постоянной поверхностной плотности р = 1 вычисляются по формулам
ъ
Мх =2/[А2(ж) — fi(.x)]dx (относительно оси Ох), (1) а
b
Му = f x[f2(x) - fa(x)] dx (относительно оси Оу). (2) а
Координаты хо и у0 центра тяжести фигуры вычисляются по формулам
Му	Мх	/п\
Жо =	Уо =	(3)
где S — площадь фигуры G.
Моменты инерции фигуры G относительно координатных осей р = 1 вычисляются по формулам
(относительно оси Ох),
ь
1У = Jx2[fa(x) - fa(x)] dx а
(относительно оси Оу).
Примеры решения задач
1. Найти статические моменты и координаты центра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной параболой у2 = /2 (ж) = %РХ и прямыми у = fi(x) = 0 и х = 1.
Л По формулам (1) и (2) находим
1 1
М* = f2(x)dx = ^- 2pj'xdx = ^., О	о
1 1 ___________________________
Му = Уxfa(x) dx = л/lpух3/2 dx — о	о
Вычислим площадь этой криволинейной трапеции:
S = т/2рУх1/2 dx =
о
Теперь по формулам (3) находим координаты центра тяжести:
Му 3
У 5’
Уо =
Мх S
3
8
176
Гл VIII Определенный интеграл
2. Применяя вторую теорему Гульдена (см ниже упр 44), найти координаты центра тяжести плоской фигуры G, ограниченной одной аркой циклоиды х = a(t — smt), у = а(1 — cost), 0 < t 2л, и осью Ох
Л Объем тела, полученного от вращения фигуры вокруг оси Ох, равен
2тга	2тг
V = тг у" у2 dx = -ла2 у (1  о	о
Площадь фигуры G равна
2л а	2тг
S= f y dx = y<i2(l — cos t)2dt = Зла2 о	о
= 5л2«3
Пусть у0 ордината центра тяжести Согласно второй теореме Гульдена S 2тгу0 = V, откуда у0 = 5а/6 Из симметрии фигуры G относительно прямой х = ла следует, что абсцисса центра тяжести есть zq = лр А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
38.	Найдите статистический момент и момент инерции полуокружности радиуса а относительно диаметра этой полуокружности
39.	Найдите статический момент дуги параболы у2 = 2рх (О х $ pity относительно прямой х = р/2
40.	Найдите статический момент и момент инерции однородной треугольной пластинки с основанием Ъ и высотой h относительно основания
41.	Найдите моменты инерции однородной эллиптической пластинки с полуосями а и & относительно ее главных осей
42.	Найдите момепт инерции однородного круга радиуса R и массы М относительно его диаметра
43.	Докажите первую теорему Гульдена площадь поверхности, образованной вращением плоской кривой вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости кривой, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описываемой центром тяжести кривой
44.	Докажите вторую теорему Гульдена объем тела, образованного вра щением плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси лежащей в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности описываемой центром тяжести этой фигуры
45.	Найдите объем ‘баранки”, полученной вращением окружности (ж — 2)2 + у2 — 1 вокруг оси Оу
46.	Найдите координаты центра тяжести дуги окружности х = acosp, у = asm 9? (|</з| $1 а $ тг)
47.	Найдите координаты центра тяжести фигуры, ограниченной парабола ми ах = у2, ау ~ х2 (а > 0)
48.	Найдите координаты центра тяжести однородного полушара х2 + у2 + z2 a2, z О
49.	Найдите координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой г — а(1 + cos р)
ГЛАВА IX
МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1.	Мера множества
Основные понятия и теоремы
1.	Некоторые сведения о множествах. Говорят, что между элементами двух множеств установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества поставлен в соответствие некоторый элемент второго множества так, что при этом каждый элемент второго множества соответствует только одному элементу первого множества
Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие Если два множества эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность
Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел (иными словами, множество называется счетным, если его элементы можно занумеровать с помощью натуральных чисел)
Например, множество всех рациональных чисел сегмента [0,1] счетно, а множество всех вещественных чисел этого же сегмента не счетно
Если множество эквивалентно множеству всех вещественных чисел сегмента [0,1], то говорят, что оно имеет мощность континуума
Объединением (суммой) множеств Ei,E2, ,Еп называется мно-п
жество Е = (J Ek, которое состоит из всех элементов, принадлежала!
щих хотя бы одному из множеств Ek (к = 1,2, ,п)
Объединение множеств ГД и Е2 будем обозначать также символом Ех и Е2 или + Е2
Пересечением множеств Е\,Е2, ,Еп называется множество п
G = Q Ek, которое состоит из всех элементов, принадле?кащих каж-к=1
дому из мно?кеств Ek (к = 1,2, ,п)
Пересечение множеств Ei и Е<2 будем обозначать так?ке символом Е^ Г) Е2 или Е}Е2
Точно так же определяются объединение [J и пересечение k-i
178
Гл. IX. Мера и интеграл Лебега
Р| Ек счетного числа множеств.
А:=1
Разностью множеств Е} и Е2 называется множество Е = Ei \ Е2, которое состоит из всех элементов множества Е^, не содержащихся в Е2 
Пусть Е — произвольное числовое множество. Точка х называется внутренней точкой Е, если существует окрестность точки ж, целиком принадлежащая Е.
Множество Е называется открытым, если все его точки внутренние. Множество Е называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Например, интервал (а, Ь) — открытое множество, а сегмент [а, Ь] — замкнутое множество.
Объединение конечного или счетного числа открытых множеств является открытым множеством.
Теорема 1(о структуре открытых множеств). Любое открытое множество является объединением конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
2.	Понятие числового ряда. Пусть {ап} — числовая последовательность. Образуем формально выражение
а1 + Й2 + ••• + бп + ... = 5 ' Ok
fc=i и назовем его числовым рядом (или просто рядом). п
Числа ak называются членами ряда, а число Sn = 52	— его п-й
частичной суммой.	p=i
Рассмотрим последовательность {Sn}.
О п ре дел ен и е. Если существует lim Sn = S, то говорят, что со	~	п—>оо
ряд a k сходится, а число S называется суммой ряда. k=i
3.	Мера множества. Мерой интервала (а,13) (где /3 > а) назовем его длину (3 — а.
Пусть G — ограниченное открытое множество. По теореме 1 его можно представить в виде G= U (ak,(3k), где (ajt,^jt) — попарно непересекающиеся интервалы. к=1
Мерой pG открытого ограниченного множества G назовем сумму длин его интервалов: pG = 52^* - акУ k=i
Отметим, что если число интервалов	счетно, то сумма
длин интервалов является числовым рядом (А - ак) с положи-
Ar = 1
тельными членами (/3* — а*). В силу ограниченности множества G этот ряд сходится.
§1. Мера множества
179
Пусть Е — произвольное ограниченное множество. Рассмотрим всевозможные ограниченные открытые множества G, содержащие Е. Множество {/1G} мер этих множеств ограничено снизу (например, числом 0) и, следовательно, имеет inf {/zG}.
Число ЦЕ = inf {juG} называется внешней мерой множества Е.
Определение. Множество Е называется измеримым (по Лебегу), если Ve > 0 существует открытое множество G, содержащее Е, для которого p(G \Е) < е. При этом внешняя мера множества Е называется его мерой (Лебега) и обозначается рЕ, т. е. рЕ = рЕ.
Замечание. Для открытого множества Е это определение эквивалентно данному выше (в качестве G достаточно взять само Е).
Понятие меры множества обобщает понятие длины. Для достаточно простых множеств (интервал, сегмент) мера совпадает с длиной. Для более сложных мно?кеств, не имеющих длины в обычном смысле, роль длины играет мера.
Любое замкнутое ограниченное множество измеримо.
Если Е — измеримое множество, причем Е С [а, Ь], то множество Е = [а, 6] \ Е (дополнение множества Е до сегмента [а, Ь]) измеримо.
Объединение (если оно ограничено) и пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств являются измеримыми множествами. При этом мера объединения счетного (или конечного) числа попарно пепересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств, т. е. если
Е = \J Ek, EiEtEj=0 (i / j), fc—1
TO
k—1
Это свойство называется счетной аддитивностью (или tj-аддитив-ностью меры Лебега.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств?
2.	Какие множества называются эквивалентными?
3.	Какое множество называется счетным?
4.	Является ли счетным: а) множество Q всех рациональных чисел; б) множество R всех вещественных чисел?
5.	Что такое множество мощности континуума? Имеет ли множество R всех вещественных чисел мощность континуума?
6.	Что такое объединение множеств? Может ли объединение множеств совпадать с одним из них? Может ли объединение непустых множеств быть пустым множеством?
180
Гл IX Мера и интеграл Лебега
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Что такое пересечение множеств7 Может ли пересечение множеств совпадать с одним из них7 Может ли пересечение непустых множеств быть пустым множеством7
Что такое разность двух множеств7 Может ли разность Ei \ Е% непустых множеств совпадать а) с Ei, б) с Е27
Что такое а) внутренняя точка множества, б) открытое множество, в) предельная точка множества, г) замкнутое множество7
Является ли множество Q всех рациональных чисел а) открытым, б) замкнутым7
Является ли множество R всех вещественных чисел а) открытым, б) замкнутым7
Докажите что объединение конечного или счетного числа открытых множеств является открытым множеством
Докажите что пересечение конечного числа открытых множеств является открытым множеством, а пересечение счетного числа открытых множеств может не быть открытым множеством
Докажите, что пересечение конечного или счетного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством
Докажите, что объединение конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством, а объединение счетного числа замкнутых множеств может не быть замкнутым множеством Сформулируйте теорему о структуре открытых множеств
Когда говорят, что числовой ряд сходится7 Что такое сумма ряда7
ОО
Пусть все члены ряда a.i- неотрицательны Докажите, что в этом
fc=i
случае а) необходимым и достаточным условием сходимости ряда является ограниченность последовательности {Sn} его частичных сумм, б) если переставить члены ряда произвольным образом, то сумма ряда не изменится
Что такое мера а) интервала, б) ограниченного открытого множества7
Докажите сходимость ряда p,G =	-а<), где (ak,Pk) — попарно
к = 1
непересекающиеся интервалы, из которых состоит открытое ограниченное множество G
Что такое внешняя мера множества7 Всякое ли ограниченное множество имеет внешнюю меру7
Дайте определение измеримого множества и его меры
Пользуясь определением измеримого множества, докажите, что сегмент [а,Ь] измерим, причем его мера /т[а,Ь] = Ь — а (а < Ь)
Пусть измеримое множество Е С [а, 6] Докажите, что множество
Е = [a,b] \ Е измеримо, причем рЕ — р[а, b] — рЕ
Докажите, что замкнутое ограниченное множество измеримо
Что такое счетная аддитивность меры7 Докажите, что объединение (если оно ограничено) счетного числа измеримых множеств является измеримым множеством
§1. Мера множества
181
Примеры решения задач
1.	Доказать, что интервал (0,1) = I и числовая прямая R — эквивалентные множества. ~ I.
Л Чтобы доказать эквивалентность множеств I и R, нужно установить между их элементами взаимно однозначное соответствие. Такое соответствие осуществляет функция
у = tg (ttz - х El.
В самом деле, каждому хе! эта функция ставит в соответствие некоторое у е R, а так как она непрерывна и возрастает на I и, кроме того, lim tglirx — — ) = —оо, lim tg (тгя* — — ) = +оо, то х->+0	\	2/	г—>1 —0	2/
\/у ~ R существует единственное хе! такое, что у = tg (jrx — Это и означает, что между элементами множеств I и R установлено взаимно однозначное соответствие. Итак, R ~ I. А
2.	Доказать, что интервал (0,1) = I и сегмент [0,1] = S — эквивалентные множества- I ~ S.
Л Пусть Q — множество всех рациональных чисел сегмента S. Это множество счетное (см § 6 из гл. II). Положим Q = S\Q. Тогда S = Q + Q. Удалим из множества Q точки 0 и 1. Получим счетное множество Qi рациональных чисел интервала I. Очевидно, I = Qi + + Q. Так как Q и Qi — счетные множества, то Q ~ Qi Отсюда следует, что Q + Q ~ Qi + Q, т. е. S ~ I. А
Замечание Из утверждений примеров 1 и 2 следует, что числовая прямая R (множество всех вещественных чисел) имеет мощность континуума
3.	Пусть открытое множество Е С [а, Ь]. Доказать, что G = = [a, b] \ Е замкнутое множество.
Л Нужно доказать, что G содержит все свои предельные точки. Из определения разности множеств следует, что Уж G [а, Ь] либо х е Е, либо х е G. Пусть г — предельная точка множества G, т. е. в любой окрестности точки х имеются точки множества G, отличные от х. Очевидно, х е [а, 6]. Докажем, что х е G. Предположим противное. Тогда х е Е, и так как Е — открытое множество, то существует окрестность точки х, целиком принадлежащая Е. Следовательно, в этой окрестности точки х нет ни одной точки из множества G, но это противоречит тому, что х — предельная точка G. Полученное противоречие доказывает, что х е G, и, значит, G — замкнутое множество А
4.	Доказать, что множество Q всех рациональных чисел произвольного сегмента [а, 6] измеримо, причем pQ = 0.
Л Множество Q счетно, поэтому его точки можно занумеровать с
182
Гл. IX. Мера и интеграл Лебега
помощью натуральных чисел. Зададим произвольное г > 0 и заключим первую точку множества Q в интервал длины е/2, вторую — в интервал длины г/22, ...,п-ю — в интервал длины г/2" и т. д. Объединение этих интервалов является открытым множеством G, мера которого
OQ
к=1
В силу того, что е произвольно мало, отсюда следует, что pQ — 0. Так как (G \ Q) С G, то /z(G \ Q) pG = pG < е. Это означает по определению, что Q измеримо, причем pQ = pQ = 0. В таком случае говорят, что множество Q имеет меру нуль. А
5.	Пусть а — произвольное число такое, что 0 < а < 1. Построим два множества, D и Е, с помощью счетного числа шагов следующим образом. На первом шаге удалим из сегмента [0,1] интервал Et длины а/2, расположенный симметрично относительно середины сегмента [0,1] (назовем такой интервал средним интервалом). На втором шаге из оставшихся двух равных сегментов удалим средние интервалы длины а/8 каждый. Обозначим объединение этих интервалов Е2; длина Ез равна а/4. На третьем шаге из оставшихся четырех равных сегментов удалим средние интервалы длины а/32 каждый. Обозначим объединение этих четырех интервалов Е3; длина равна а/8. На четвертом шаге из оставшихся восьми равных сегментов удалим средние интервалы длины а/128 каждый и т. д. Пусть
Е — Ек, D = [0,l]\E.
к-1
Доказать, что:
а)	Е — открытое, a D — замкнутое множество;
б)	рЕ = a, pD = 1 — а;
в)	множество D не содержит целиком ни одного сегмента;
г)	множество D не содержит изолированных точек;
д)	Ve > 0 найдется множество D' такое, что D С D' и 0 < pD' — — pD < г;
е)	множество D несчетно.
А а) Множество Е открытое, так как оно является объединением интервалов— открытых множеств; множество D замкнутое, поскольку является дополнением открытого множества до сегмента.
б)	Так как множества Ек (k = 1, 2,...) не пересекаются, то в силу сг-аддитивности меры
рЕ = ^рЕк=^^ = а. jfc=i	*=i
Множества D и Е не пересекаются, поэтому
pD = /ДО, 1] — рЕ = 1 — а.
§1. Мера множества
183
в)	Предположим, что множество D содержит целиком некоторый сегмент длины I. Заметим, что в процессе построения множества D после n-го шага удаления средних интервалов оставшаяся часть сегмента [0,1] состоит из 2П равных непересекающихся сегментов. Длину каждего из них обозначим dn. Очевидно, dn —> 0 при п —> оо. При любом п множество D содержится в объединении указанных 2П сегментов. Поэтому сегмент длины I, целиком содержащийся в D, должен целиком содержаться в одном из указанных сегментов длины dn, т. е. I dn. Но это противоречит тому, что dn —> 0 при п —> оо. Итак, множество D не содержит целиком ни одного сегмента.
г)	Если бы множество D содержало изолированную точку, то отсюда следовало бы, что при построении D из сегмента [0,1] удалены два смежных интервала (разделенных этой точкой). Однако любые два удаленных интервала разделены некоторым отрезком, а не точкой.
п
д)	Положим D' = [0,1] \ (J Ek- Очевидно, D С D', причем
с»	fc=1	00	оо
D'\D= U Ек, цО'-цЕ = цЕк = U = fc=n+l	k=n+l	к=п+1 2
Отсюда следует, что Ve > 0 Зп такое, что выполняется неравенство О < /ЯУ - fiD = £ < е.
е)	Счетное множество имеет меру нуль (см. пример 4). Так как /j,D = 1 — а 0, то D — несчетное множество. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Докажите эквивалентность следующих множеств:
а)	{1,2, 3,4,...} и {2,4,6,8,...};
б)	сегментов [0,1] и [a, t>];
в)	интервала (а,Ь) и числовой прямой R.
2.	Докажите, что:
а)	бесконечное подмножество счетного множества также счетно:
б)	объединение конечного или счетного числа счетных множеств есть счетное множество;
в)	множество всех многочленов с рациональными коэффициентами счетно;
г)	множество точек разрыва монотонной функции конечно или счетно.
3.	Докажите, что множество всех вещественных чисел сегмента [0,1] несчетно.
4.	Докажите, что:
а)	если А — бесконечное множество, В — конечное или счетное множество, то А + В ~ Л;
б)	если А — бесконечное множество, В — конечное или счетное множество, А \ В — бесконечное множество, то А \ В ~ А;
в)	множество всех иррациональных чисел сегмента [0,1] имеет мощность континуума;
г)	всякое бесконечное множество содержит часть, эквивалентную всему множеству.
184
Гл IX Мера и интеграл Лебега
5.	Докажите, что для любых множеств А, В, С
а)	(А + В)С = АС + ВС, б)А + А = А,
в)	АА — А, г) А + ВС = (А + В)(А + С),
д)	А = (А \ В) + (АВ), в частности, А = (А \ В) + (В), если В С А
6.	Пусть Vk AkCE, Ak=E\Ak —дополнение Afc до Е (число множеств Ak конечно или счетно) Докажите, что (J А* = Q А&
к	к
7.	Пусть замкнутое множество В С (а, Ь) Докажите, что G = (а, Ь) \ Е — открытое множество
8.	Докажите, что множество Q всех иррациональных чисел сегмента [а, Ь] измеримо, и найдите его меру
9.	Пусть Е ограниченное множество такое, что рЕ = 0 Докажите, что Е измеримо, причем рЕ — О
10.	Докажите, что всякое подмножество множества меры нуль имеет меру пуль
§ 2. Измеримые функции
Основные понятия и теоремы
1.	Определение измеримой функции. Пусть функция /(ж) определена на измеримом множестве Е Символом {х Е Е: f(x) с} будем обозначать множество всех таких значений аргумента х, принадлежащих множеству Е, для которых f(x) Г. с (с - число).
Определение. Функция /(ж) называется измеримой на множестве Е, если для любого числа с множество {ж G Е : /(ж) с} измеримо
Теорема 2. Для измеримости функции /(ж) на множестве Е необходимо и достаточно, чтобы для любого числа с было измеримо любое из следующих множеств-, {ж G Е: /(ж) > с}, {ж 6 Е: /(ж)	с},
{ж G Е: /(ж) < с}.
2.	Некоторые свойства измеримых функций.
1°. Если функция /(ж) измерима на множестве Е, то она измерима на любом измеримом подмножестве множества Е.
2°. Если функция /(ж) измерима на множествах Elt Е2,Еп,
то она измерима на их объединении (J Ek и пересечении Q Ek-к=1	к=1
3° Если функция /(ж) определена на множестве Е меры пуль, то она измерима на этом множестве.
4°. Если функции /(ж) и </(ж) измеримы на множестве Е, то функции /(ж) + д(х), /(ж) - д(х), f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при условии д(ж)
0) также измеримы на множестве Е
5°. Непрерывная на сегменте функция измерима на этом сегменте.
Говорят, что некоторое свойство справедливо почти всюду на множестве Е, если множество точек из Е, на котором оно не справедливо, имеет меру нуль.
§2 Измеримые функиии
185
Функции f(x) и д(х), определенные на измеримом множестве, называются эквивалентными на этом множестве, если они равны почти всюду на нем
Обозначение эквивалентности, /(х) и f(x) на Е.
Например, функция Дирихле

если х — иррациональное число, если х — рациональное число;
х е [а, ft], (1)
эквивалентна на [а, 6] непрерывной функции д(х) = 0, так как множество точек х сегмента [а, ft], в которых D(x) =4 д(,х), является множеством Q всех рациональных чисел сегмента [a, t>], мера которого p(j = 0. Заметим, что функция D(x) разрывна во всех точках [а,Ь].
Приведем еще два свойства измеримых функций.
6°. Если д(Е) измерима на Е, f(x) « д(х) на Е, то /(ж) измерима на Е
7°. Теорема 3 (теорема Лузина, или С-свойство измеримых функций). Для того чтобы функция f(x) была измерима на [a, ft], необходимо и достаточно, чтобы Ve > 0 существовала непрерывная на [a, i>] функция д(х) такая, что ц{х 6 [a,ft]: /(ж)	д(х)} Р е.
Теорема Лузина означает, что любая измеримая на [а,Ь] функция может быть сделана непрерывной путем изменения се на множестве сколь угодно малой меры, т. е. измеримые функции в этом смысле близки к непрерывным функциям
Контрольные вопросы и задания
1	Дайте определение измеримой функции
2	Пользуясь определением, докажите измеримость функций
а) = с = const, х G [а, Ь], б) /(г) = х, х G [а, Ь],
вч = / 0 при 0 Р х 1/2, >	| 1 при 1/2 < х 1
3	Сформулируйте теорему, выражающую необходимое и достаточное условие измеримости функции па множестве Е
4	Сформулируйте свойства 1°-5° измеримых функций Докажите свойства 1°-3°
5	Когда говорят, что некоторое свойство справедливо почти всюду на множестве Е'<
6	Какие функции называются эквивалентными на множестве Е'’ Докажите, что функция Дирихле эквивалентна на [a, ft] непрерывной функции Чему равна мера множества точек разрыва функции Дирихле на [a, ftp
7	Сформулируйте и докажите свойство 6° измеримых функций
8	. Пользуясь свойствами 5° и 6°, докажите, что если функция /(г) эквивалентна на [а,Ь] непрерывной функции, то /(г) измерима на [а, Ь]
9	Сформулируйте теорему Лузина Проиллюстрируйте ее на примере ,, . Г 0 при 0 < х Р 1/2,
функции/(т) = | х при 1/2<х^
186
Гл. IX. Мера и интеграл Лебега
Примеры решения задач
1.	Доказать, что функция Дирихле D{x) (см. формулу (1)) измерима на [а, Ь].
Л По определению измеримой функции нужно доказать, что Vc множество {ж 6 [а, &]: /(ж) с} = Ес измеримо. Рассмотрим три случая.
Если с 1, то Ес = [а, Ь] — измеримое множество.
Если 0 с < 1, то Ес = Q, где Q — множество всех иррациональных чисел [а, 6] — измеримое множество.
Если с < 0, то Ес = 0, где 0 — пустое множество. Пустое множество считается измеримым: Д10 = 0.
Итак, D(x) — измеримая функция. А
2.	Доказать свойство 5°: непрерывная на [а, 6] функция /(ж) измерима на [«,£>].
Л Докажем, что Vc множество {ж 6 [а, 6]: /(ж) с} = Ес измеримо. Если Ес = 0, то Ес измеримо: цЕс = [10 = 0. Пусть Ес не пусто. Докажем, что Ес — замкнутое множество. Отсюда будет следовать, что Ес измеримо. Пусть жо — предельная точка множества Ес. Нужно доказать, что жо G Ес. Ясно, что жо € [а, Ь]. Согласно определению предельной точки Э{жп} —> жо, причем Vrz хп G Ес. Из непрерывности /(ж) в точке ж0 следует, что {/(жп)} —> Дж0), а так как хп G Ес, то /(жп) с. Значит, /(ж0) с, т. е. жц 6 Е,.. что и требовалось доказать. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
11. Докажите теорему, выражающую необходимое и достаточное условие измеримости функции на множестве Е.
12. Пусть	, „	л
_ ( 0 при х G В,
J\x) — | 1	ПрИ , х g f) — jo, 1] \ Е,
где Е и D — множества из примера 5 из § 1. Докажите, что:
a)	f(x) -- измеримая функция на [0, 1];
б)	D является множеством всех точек разрыва /(ж);
в)	Ve > 0 существует непрерывная на [0,1] функция д(х) такая, что Р {ж £ [0,1]: /(ж)	д(ж)} < е.
13.	Докажите, что функция <р(х) = ж, ж G D, где D — множество из упр. 12, измерима на множестве D.
14.	Пользуясь теоремой Лузина, докажите, что сумма, разность и произведение измеримых на [а, Ь] функций являются измеримыми на [а, Ь] функциями.
§ 3. Интеграл Лебега
Основные понятия и теоремы
1.	Определение интеграла Лебега от ограниченной функции. Пусть Е — произвольное измеримое множество. Разбиением множества Е назовем любую совокупность Т = {Ek } конечного чис
§3. Интеграл Лебега
187
ла измеримых множеств Ег,...,Еп такую, что (J Ek = Е;
Ei C\Ej = 0 при i j.	k~'
Пусть на множестве Е определена ограниченная функция /(ж). Для произвольного разбиения Т = {Е*} положим Мк = sup/(ж), тк = inf /(ж) и составим две суммы:	Ек
П	П
St = ^Мк(1Ек, 8Т = '^ткцЕк-к=1	k--l
Числа St и st называются верхней и нижней суммами разбиения Т. Очевидно, VT st St-
Рассмотрим числовые множества {зт} и {Sy} всевозможных нижних и верхних сумм. Они ограничены снизу числом тпцЕ, а сверху — числом МцЕ, где m = inf f(x), М — sup /(ж), и, следовательно, имеют
Е	_Е
точные грани. Числа I = sup {st} и I = inf {Sr} называются нижним и верхним интегралами Лебега.
Определение. Ограниченная на измеримом множестве Е функция /(ж) называется интегрируемой по Лебегу на этом множестве, если 1 = 1.
При этом число 1 = I называется интегралом Лебега от функции /(ж) по множеству Е и обозначается j /(ж)Дд(ж).
Е
2.	Связь между интегралами Римана и Лебега.
Теорема 4. Всякая функция, интегрируемая по Риману на [а, Ь], является интегрируемой на [а, Ь] по Лебегу, причем интегралы Римана и Лебега от такой функции равны.
Замечание. Обратное утверждение неверно (см. пример нас. 189).
3.	Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций.
Теорема 5. Для того чтобы ограниченная на измеримом множестве Е функция /(ж) была интегрируема по Лебегу на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы /(ж) была измеримой на Е.
4.	Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм. Пусть /(ж) — ограниченная измеримая функция на множестве Е,т = inf/(ж), М = sup/(ж), и пусть yi, у2,...,уп-1 — про-
Е	Е
извольные числа такие, что т = Уо < У1 < уг < ••• < Уп = М.
Лебеговским разбиением множества Е называется разбиение Т = {Efc}, где Ei = {ж е Е: у0 /(ж)	щ}, Ек = {ж G Е: ук_х <
< /(ж) 5% Ук}, к = 2,3, ...,п.
Пусть — произвольная точка из Ек (к = 1,2, ...,п). Число
188
Гл IX Мера и интеграл Лебега
и
= f(£k)pEk называется лебеговской интегральной суммой k=i
(если какое-то Ек = 0, то Ек не содержит ни одной точки и соответствующее слагаемое в сумме считаем равным нулю) Положим <5 = max 6k, где 6k = ук - ук_2
Теорема 6 Предел лебеговских интегральных сумм при 6 —> О равен интегралу Лебега, т е. lim ЦЕк,£к) = I /(х)бр(х)
<5->0	J
Е
Из этой теоремы следует, что интеграл Лебега можно определить как предел лебеговских интегральных сумм при 6 —> 0 Такое определение интеграла Лебега аналогично определению интеграла Римана с той разницей, что при составлении лебеговских интегральных сумм на частичные сегменты разбивается не область определения, а множество значений функции
5.	Свойства интеграла Лебега.
1° уdp(x) = рЕ.
Е
2° Линейность интеграла. Если /(ж) и д(х) интегрируемы на Е, а а и (3 — произвольные числа, то функция af(x) + (Зд(х) интегрируема на Е, причем
У Ы(х) + /Зд(ж)] dp(x) = a j f(x) dp(x) + д(Е) dp(E)
Е	ЕЕ
3° Аддитивность интеграла Если /(ж) интегрируема на Ei и Е2, причем Ei р] Е?2 = 0, то f(x) интегрируема на Et (J Е2 и выполняется равенство
У f(x)dp(x) = f f(x)dp(x)+ у f(x) dp (ж)
E1UE2	Ei	Е2
4°. Если /(ж) и д(х) интегрируемы на Е, причем /(ж) р(ж) \/ж € Е, то
У f(x)dp(x) jg(x)dp(x)
Е	Е
Контрольные вопросы и задания
1	Что называется разбиением измеримого множества Е7
2	Что такое верхняя и нижняя суммы данного разбиения7
3	Докажите, что если разбиение Т2 получено из разбиения Т\ = {.Ek} с помощью разбиений каких-то Ек (т е путем измельчения разбиения Т1), ТО Sy-j ST2i Sti St2
4	Докажите, что «у, St2, st2 Stj для любых разбиений Ti и Т2
5	Что такое верхний и нижний интегралы Лебега7 Докажите, что / -•$ I
§3 Интеграл Лебега
1 «<)
6	Дайте определения интегрируемой по Лебегу функции и интеграла Лебега
7	Какова связь между интегралами Лебега и Римана7
8	Что представляет собой класс интегрируемых по Лебегу’ ограниченных функций7
9	Что такое лебеговское разбиение7
10	Что такое лебеговская интегральная сумма7
11	Можно ли определить интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм7 В чем состоят общность и отличие такого определения интеграла Лебега по сравнению с определением интеграла Римана7
12	Перечислите свойства интеграла Лебега
Пример решения задачи
Доказать, что функция Дирихле £>(ж) (см формулу (1) из § 2) интегрируема по Лебегу на [а, Ь], и найти j D(x}dpi(x)
[а,Ь]
A I способ Так как D(x} 0, то для любого разбиения Т имеем st 0, St 0 Рассмотрим разбиение Т* сегмента [а, 6] на множество Q рациональных чисел и множество Q иррациональных чисел Для этого разбиения
ST* = supD(x)piQ + sup D(x)piQ = 1 0 + 0 (b — a) = 0 Q	Q
Таким образом, множество {St} содержит число 0 Поэтому I = = inf {St} = 0
Так как все st 0, то I — sup {st} 0, а поскольку I I, получаем / = 0
Итак, 1 = 1 = 0 Отсюда следует, что функция D(x) интегрируема по Лебегу на [а,Ь], причем j D(x)dpt(x) = 0
[а,Ь]
II способ Для любого лебеговского разбиения Т = {Ek} имеем
[1Е1 = /л {ж 6 [а, Ь] 0	£>(ж) yi < 1} =
= /iQ = b-a, /(^) = 0 V^i е Ег, цЕ2 = цЕз = = нЕп-1 = И0 = 0,
цЕп = pi {ж е [а, Ь] 0 < г/п_! < £>(ж)	1} =
= HQ = о, /(G) = 1 VG е Еп
Поэтому I(Gt,G) —	+ f^n)nQ = 0, т е любая лебеговская
интегральная сумма равна нулю. Следовательно, lim I(Ek,£k) = 0, <5—>0
т. е. функция И(ж) интегрируема на [а, Ь], причем J D(x}dpi(x) — = 01	[а 6]
190
Гл. IX. Мера и интеграл Лебега
Замечание. Известно, что функция £>(я) неинтегрируема по Риману на [а,Ь]. Таким образом, интегрируемая по Лебегу функция может быть неинтегрируемой по Риману.
Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы
15.	Пусть /(г) — функция из упр. 12. Докажите, что /(г) интегрируема по Лебегу, но неинтегрируема по Риману на [0,1].
16.	Для функции из упр. 15 составьте лебеговские интегральные суммы и вычислите J
[0,1]
17.	Докажите, что функция у>(я) из упр. 13 интегрируема по Лебегу на множестве D, и вычислите Jtp{x) dp(x).
D
18.	Докажите, что если функция /(ж) = 0 почти всюду на измеримом множестве Е, то она интегрируема, причем J	— 0.
Е
19.	Докажите, что если ограниченные функции /(я) и д(я) эквивалентны на множестве Е и функция /(я) интегрируема на Е, то функция д(я) также интегрируема на Е, причем fg(x)dp(x) = Jf(x)dp(x).
Е	Е
20.	Докажите, что всякая функция, интегрируемая по Риману на [а, Ь], является интегрируемой на [а, Ь] по Лебегу, причем интегралы Римана и Лебега от такой функции равны.
21.	Докажите достаточность в теореме 5, т. е. докажите, что ограниченная измеримая на множестве Е функция интегрируема по Лебегу на этом множестве.
22.	Докажите, что имеет место следующий критерий интегрируемости функций по Лебегу (аналогичный критерию интегрируемости по Риману): для того чтобы ограниченная на измеримом множестве Е функция была интегрируема по Лебегу на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы Ус > 0 существовало такое лебеговское разбиение Т множества Е, для которого справедливо неравенство St — st < £
23.	Докажите, что если функция /(я) ограничена и измерима на множестве Е, то предел ее лебеговских интегральных сумм при 6 —> 0 (6 = = max (уь — ук-1)) равен интегралу Лебега от функции /(я) по мно-
жеству Е.
ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1.	Последовательности точек
в m-мерном евклидовом пространстве
Основные понятия и теоремы
1.	Понятие m-мерного евклидова пространства. Совокупность т чисел называется упорядоченной, если указано, какое из этих чисел считается первым, какое — вторым и т. д. Произвольную упорядоченную совокупность т чисел часто записывают в виде (xi, х2, •••, хт), где rcj — первое число из совокупности т чисел, ж2 — второе число и т. д.
Множество всевозможных упорядоченных совокупностей т чисел называется т-мерным координатным пространством и обозначается Rm. Каждая упорядоченная совокупность (24, Х2,...,хт) называется точкой этого пространства и обозначается так: M(xi, т2,..., жга). При этом числа Ж!, ж2,..., хт называются координатами точки М.
Расстоянием между двумя произвольными точками Mi(xi,x2, — ...,хт) и Af2(yi,у2,Ут) координатного пространства Rm называется число p(Mi,M2), определяемое формулой
p{Mi,M2) = \/(yi - хг)2 + (у2 - ж2)2 + ... + (ут - xmY- (1)
Определение. Координатное пространство Rm с введенным по формуле (1) расстоянием между точками называется т-мерным евклидовым пространством и обозначается Ет.
Отметим, что евклидово пространство Е1 представляет собой числовую прямую (т. е. множество всех вещественных чисел) и геометрически изображается координатной прямой. Аналогично, евклидовы пространства Е2 и Е3 геометрически представляют собой соответственно плоскость и трехмерное пространство, в которых введены прямоугольные системы координат. Формула (1) обобщает известную из аналитической геометрии формулу расстояния между точками на случай m-мерного пространства.
2.	Множества точек пространства Ет. Пусть точка А принадлежит Ет, R — некоторое положительное число.
Множество точек {М: р(М, А) /?} (т. е. множество всех точек евклидова пространства Ет, удовлетворяющих условию р(М,А)
R), называется т-мерным шаром радиуса R с центром в точке А.
192
Гл X Функции нескольких переменных
Множество точек {М ; р(М, А) < R} называется открытым т-мерным шаром радиуса R с центром в точке А.
Множество точек {М. р(М,А) = R} называется т-мерной сферой радиуса R с центром в точке А.
Отметим, что при т = 2 (т. е на евклидовой плоскости) эти множества представляют собой соответственно круг, открытый круг и окружность радиуса R с центром в точке А
Открытый шар радиуса е с центром в точке А называется е-окрестностью точки А.
Пусть точка А имеет координаты (ai,a2,  Um'l- a di,d2, ,,dm — положительные числа. Множество точек {М(ху,Х2, •• ,хт)' |^i — ai|^ c?i, |ж2 — а2|	</2,	, \хт — ага| dm} называется т-мерным
параллелепипедом При т = 2 это множество представляет собой прямоугольник
Пусть {М} — некоторое множество точек пространства Ет
Определение. Точка А называется внутренней точкой множества {Л/}, если существует s-окрестность точки А, целиком принадлежащая множеству {М}, (т. е. все точки этой s-окрестности принадлежат множеству {М}; рис 23)
Определение. Точка А называется граничной точкой множества {Л/}, если в любой s-окрестности точки А содержатся точки,
как принадлежащие множеству {М}, так и не принадлежащие ему (рис. 24)
Отметим, что граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему
Определение. Множество {М} называется открытым, если все его точки внутренние.
Определение. Множество {Л/} называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки
Множество всех граничных точек множества {М} называется его границей.
Определение. Точка А называется предельной точкой множества {Л/}, если в любой s-окрестности точки содержатся точки множества {М}, отличные от А.
Образно говоря, точка А называется предельной точкой множества {М}, если “к точке А можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества {М} и не наступая на саму точку А ” Отметим,
§ 1 m-мерное евклидово пространство
193
что предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.
Множество {М} называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре
Множество L = {M(2i,z2, ,хт) х± =	12 =	•
,хт = а < I в}. где	— непрерывные функ-
ции на сегменте [<т, /3], называется непрерывной кривой в пространстве Ет. Точки Afa^a), .,<р,„(а)) и	называются
концами кривой L Говорят также, что непрерывная кривая L соединяет точки А и В
Множество {Л/(х1,ж2, ...,жга) . ац = x°+a2t, х2 = х2 + a2t, . ,1т-^+ат1, -00 < t < оо}, где ж?, .,2^,01, ,ат— числа, называется прямой в пространстве Ет Очевидно, эта прямая проходит через точку Mq(x®, ж°, ..., (точка Mq соответствует t = 0)
Множество {Л/} называется связным, если любые две точки его множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.
Окрестностью точки А называется любое открытое связное множество, содержащее точку А
Открытое связное множество называют также областью, а объединение области и ее границы — замкнутой областью.
3.	Последовательности точек в пространстве Ет. Если каждому натуральному числу п поставлена в соответствие точка Мп 6 Ет, то говорят, что определена последовательность точек пространства Ет.	 , Мп,. . Ее обозначают {Мп}.
Определение. Точка А называется пределом последовательности точек {Мп}, если lim р(Мп, А) = 0.
Обозначение lim Мп = А или Мп —> А при п —> оо. Последователь-п—>00
ность {Мп} называется при этом сходящейся к точке А (или просто сходящейся). Отметим, что определение предела последовательности {Л/п} точек пространства Ет основано на понятии предела числовой последовательности, условие lim р(Мп, А) = 0 означает, что числовая последовательность {/?(ЛГП, А)} сходится к нулю. Согласно определению предела числовой последовательности отсюда следует, что Ve > О zW такое, что Vn > TV- р(Мп,А) < е. Геометрически это означает, что в любой г-окрестности точки А находятся все точки последовательности {ЛГП}, начиная с некоторого номера N (зависящего, вообще говоря, от е)
Лемма 1 Если
{Мп(х[п\ х^\ .. , z^)} -> A(ai,a2,• ,«m) при п -> оо, (2)
то
} -> Я], {т2П'}->а2, ,	пРи П ~г Ж. (3)
Обратно- из (3) следует (2).
7 В Ф Бутузов и др
194
Гл. X. Функции нескольких переменных
Эта лемма показывает, что сходимость последовательности точек {Мп{х^\	эквивалентна покоординатной сходимости, т. е.
сходимости т последовательностей координат	{1'!“'}.
Определение. Последовательность {А/п} называется фундаментальной, если Vr > О 3N такое, что Vn > N и любого натурального числа р выполняется неравенство р(Мп, Мп+р) < е.
Теорема 1 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Определение. Последовательность {Мп} называется ограниченной, если существует число R > 0 такое, что Vn: р(Мп,О) R, где О — точка, все координаты которой равны нулю.
С геометрической точки зрения это означает, что все точки последовательности {Мп} содержатся в шаре радиуса R с центром в точке О (начале координат).
Теорема 2 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности точек пространства Ет можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Контрольные вопросы и задания
1 Дайте определения: а) упорядоченной совокупности т чисел; б) m-мерного координатного пространства; в) m-мерного евклидова пространства.
2.	Дайте определения: а) m-мерного шара, б) открытого m-мерного шара; в) m-мерной сферы; г) m-мерного параллелепипеда; д) с-окрестности точки. Докажите, что во всяком m-мерном параллелепипеде содержится некоторый m-мерный шар Каков максимальный радиус такого шара?
3.	Дайте определение внутренней точки множества. Может ли внутренняя точка множества не принадлежать этому множеству?
4.	Дайте определение граничной точки множества. Может ли точка быть одновременно внутренней и граничной точкой какого-то множества? Может ли точка множества быть одновременно не внутренней и не граничной точкой этого множества?
5.	Дайте определение открытого множества. Являются ли открытыми следующие множества:
а) m-мерный шар; б) m-мерная сфера; в) с-окрестность точки?
6.	Дайте определение замкнутого множества. Может ли множество быть одновременно: а) открытым и замкнутым; б) не открытым и не замкнутым? Являются ли замкнутыми следующие множества:
а) m-мерный шар, б) m-мерная сфера; в) е-окрестность точки, г) m-мерный параллелепипед?
7.	Что представляет собой граница: а) m-мерного шара; б) открытого m-мерного шара; в) m-мерной сферы?
8.	Дайте определение предельной точки множества Докажите, что любая внутренняя точка множества является предельной точкой этого множества. Может ли граничная точка множества: а) быть предельной точкой этого множества, б) не быть предельной точкой этого множества?
§1. m-мерное евклидово пространство
195
9.	Дайте определения: а) ограниченного множества; б) непрерывной кривой; в) прямой в пространстве Ет Может ли непрерывная кривая быть неограниченным множеством7 Является ли прямая замкнутым множеством7
10	Дайте определение связного множества. Являются ли связными следующие множества а) m-мерный шар; б) m-мерная сфера, в) прямая в пространстве Ет?
11.	Дайте определение окрестности точки. Докажите, что в любой окрестности точки А содержится некоторая е-окрестность этой точки
12.	Какое множество точек называют, областью; замкнутой областью?
13	Сформулируйте определения: а) последовательности точек пространства Ет; б) предела последовательности Дайте геометрическую интерпретацию определения предела последовательности {Мп}.
14.	Сформулируйте лемму об эквивалентности сходимости последовательности {Мп(х(”\ х^\  , Хт'1)} и сходимости т числовых последовательностей	{'Со"''},	{хт'1}- Пользуясь определением предела, дока-
жите эту лемму.
15.	Сформулируйте определения а) фундаментальной последовательности {Mri} точек пространства Е,п; б) нефундаментальной последовательности {Мп} (пользуясь правилом построения отрицаний). Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.
16.	Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности {Мп}.
17.	Сформулируйте определения: а) ограниченной последовательности {Мп}; б) неограниченной последовательности {Мп}. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.
18.	Дайте определение подпоследовательности последовательности {Мп} и сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрасса. Верно ли утверждение из неограниченной последовательности {М„} можно выделить сходящуюся подпоследовательность7
Примеры решения задач
1.	Доказать, что для любых точек Mi,M2,M2 пространства Ет справедливо неравенство треугольника
р(Мг,М2) ^р(М1,М3)+р(М3,М2).	(4)
А Пусть точки Mi, М2, М3 имеют следующие координаты: М1(х1,х2,...,хт), М2(у1,У2,-,Ут), M2(z1,z2,...,zm). Тогда
p(Mi,M2) =
р(М2, М2) —
Для доказательства справедливости неравенства (4) нам понадо-
т
196
Гл. X. Функции нескольких переменных
бится неравенство Буняковского для сумм*)
-,1/2 а?
m -j 1/2
г=1	i=l J i=l J
Используя это неравенство, получаем m	т
p2(Mi,M2) = 52 (ж» - Уг)2 = 52 [(Хг ~	+ (2г - У‘)]2 =
1=1	1=1
т	т	т
=	- г02 + ЗУ'/я» - г’)(гг - Уг) + 52(г‘ ~ 
г~1
 1/2 г т	1	п
52^ ~у»)2
m
- z,
+	- Уг)2 =
2
— p2(Mi, М$) -+- 2р(М1, Мз)р(М%, М2) + р2(М$, М2) —
= [p(Mi, М3) + р(М3, М2)]2.
Отсюда следует, что р(М1;Мз) p(Mi,M3) + р(Мз,М2). А
2.	Доказать, что открытый шар О = {М: р(М,А) < Я} является открытым множеством.
Д Согласно определению открытого множества нужно доказать, что любая точка шара О является внутренней точкой этого шара, т. е. что для любой точки Mo G О существует некоторая г-окрестность этой точки, целиком принадлежащая Q. Пусть Mq — произвольная точка шара О и пусть р(Мо,А) = г. Так как Mo G G Г2, то г < R. Положим е = R — г и рассмотрим г-окрестность точки Мо- Любая точка М из этой г-окрестности удовлетворяет условию р(М, Мо) < £ Используя неравенство треугольника, получаем
р(М, А) р(М, Мо) + р(Ма, А) < е + г =
= R — г + r = R.
Таким образом, р(М, А) < R, т. е. любая точка М из указанной £-окрестности точки Мо принадлежит шару Г2, что и требовалось доказать. Отметим, что в случаях трехмерного пространства и плоскости доказанный факт является наглядно очевидным (рис. 25). А
3.	Доказать, что сфера S = {М: р(М, А) = R] является замкнутым множеством.
Д Согласно определению замкнутого множества нужно доказать, что
*) Доказательство справедливости неравенства Буняковского для сумм приведено в учебнике В А. Ильина и Э.Г. Позняка “Основы математического анализа”, ч. I (М., Наука, 1982), с. 349.
§1. m-мерное евклидово пространство
197
сфера содержит все свои граничные точки. Докажем сначала, что любая точка Мо сферы является граничной, т. е. что в любой s-окрестности точки Мо содержатся точки, как принадлежащие сфере, так и не принадлежащие ей. Пусть точки А и Мо имеют следующие координаты: А(аг, а2,..., ат), Мо(х®, ..., ж°г). Так как Мо 6 S, то р(М0,А) =	- ai)2 + ... + (х°т - ат)2 = R.	х°-а е
Рассмотрим точку M(%i,x2, ...,хт), где г, =	Н—	г 
R 2 Поскольку
точка М содержится в s-окрестности точки Mq- Кроме того, точка М не лежит на сфере S, так как
р(М, А) = лДяи “ «1)2 + - + (хт - ат)2 = R+ | > R.
Таким образом, в произвольной s-окрестности точки Мо сферы содержатся точки, как принадлежащие сфере (например, сама точка Mq), так и не принадлежащие ей (например, точка М). Заметим, что в случае сферы в трехмерном пространстве этот факт наглядно очевиден. Итак, любая точка сферы является ее граничной точкой.
Если же точка Мо не лежит на сфере, то она не является граничной точкой этой сферы. В самом деле, если, например, р(Л4о, А) = г < R, то, взяв е = R — г, получим, что ни одна точка М из е-окрестности точки Мо не лежит на сфере (р(М, А) р(М, Мо) + р(Мо,А) <е + г = = R). Это и означает, что точка Мо нс является граничной точкой сферы.
Мы доказали, что множество всех граничных точек сферы совпадает с самой сферой. Значит, сфера содержит все свои граничные точки, т. е. является замкнутым множеством. А
4.	Доказать, что если А — предельная точка множества {Л/}, то существует последовательность {Мп}, сходящаяся к А, каждая точка которой принадлежит множеству {М} и не совпадает с А.
А Рассмотрим ед-окрестность точки А, где Si = 1. Согласно определению предельной точки множества в Si-окрсстности точки А содержатся точки множества {М}, отличные от А. Возьмем одну из этих точек и обозначим ее Mi. Пусть p(Mi,A) = Ji. Очевидно, д', < 1.
Положим е2 = min(<5i, 1/2). В ег-окрестности точки А также содержатся точки множества {М}. отличные от А. Одну из этих точек обозначим М2. Пусть р(М2, А) = ё2. Очевидно, ё2 < 1/2.
Далее, положим s3 = min(A2,1/3) и аналогичным образом выберем точку Мз G {АД}. При этом р(М$, А) = <53 < 1/3.
Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность {А/,,}, каждая точка которой принадлежит {М} и нс совпадает с А, причем р(Мп,А) < 1/н. Отсюда следует, что {ЛДП} —> А при п —> оо. А
198
Гл. X Функции нескольких переменных
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Докажите, что m-мерный шар {М р(М, А) R} является замкнутым множеством
2.	Докажите, что если множество {А/} точек пространства Ет ограничено, то оно содержится в некотором m-мерном шаре с центром в точке 0(0,0, ,0)
3.	Докажите, что ограниченность множества {М(хi, х2, ,тт)} эквивалентна ограниченности т числовых множеств {п}, {х2}, , {rm}
4.	Докажите, что в пространстве Ет непрерывная кривая — ограниченное множество, а прямая — неограниченное множество
5.	Составьте уравнения прямой, проходящей через точки Afi(pi, г/2, ,Ут) И Мг(г1, Z2,	5 ^ТП,')
6.	Докажите, что m-мерный шар {М р(М, А) < R) является связным множеством
7.	Найдите множество всех предельных точек а) m-мерного шара, б) открытого m-мерного шара, в) m-мерной сферы
8.	Докажите утверждение для того чтобы множество {АД} было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои предельные точки
9.	Докажите, что если последовательность {Л/„} граничных точек множества {АД} сходится к точке А, то А — также граничная точка множества {Af}
10.	Докажите, что если все точки последовательности {Л1„} принадлежат замкнутому множеству {Л/} и > А при п —> со, то А £ {АД}
11.	Докажите, что фундаментальность последовательности Мп(х^1] х^, ,Хт'1') эквивалентна фундаментальности т числовых последователь-
ностей	{"Г;"'} , , К’}
§ 2.	Предел функции
Основные понятия и теоремы
1.	Понятие функции т переменных. Пусть {Л/} — множество точек пространства Ет. Если каждой точке M(xi,X2,  ,хт) G 6 {М} поставлено в соответствие некоторое число и, то говорят, что на множестве {М} определена функция т переменных, и пишут и = = f(M) или и =	Числовые переменные Ж1,ж2, -,хт
называются независимыми переменными (или аргументами) функции Множество {Л1} называется областью определения функции f(M), а число и, соответствующее данной точке М, — частным значением функции в точке М. Совокупность {и} всех частных значений функции и = f(M) называется множеством значений этой функции.
Функции двух и трех переменных часто обозначают так-и = f(x,y) и и = f(x,y,z).
2.	Предел функции. Теоремы о пределах. Пусть функция и = f(M) определена на множестве {М} и точка А -- предельная точка множества {Л1}.
§ 2 Предел функции
199
Определение 1 (по Коши). Число Ь называется пределом функции f(M) в точке А (при М —> А), если W > О 3<5 > О такое, что VAf, удовлетворяющей условиям М е {А/}. 0 < р(М, А) < S, выполняется неравенство |/(Af) — 6| < е.
Определение 2 (по Гейне). Число Ъ называется пределом функции f(M) в точке А, если для любой сходящейся к А последовательности {М„} такой, что Мп е {АГ}, Мп ф А, соответствующая последовательность значений функции {/(Afn}) сходится к Ь.
Обозначение: lim f(M) = Ь или lim /(zi, ,xm) = b, где M~aA	Xi->ai
ai,...,am — координаты точки A. xm-Aam
Теорема 3. Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны.
Теорема 4. Пусть функции f(M) и д^М) определены на множестве {А/} и пусть hm f(M) = b, hm^g(M) = с. Тогда
lim (/(Af) + g(M)) = b + c,
MaA
lim (/(AT) — g(AI)) = b — c,
M-aA
lim f(M)g(M) = be,
M-aA
..	/(A/)	b	, „
lim г,= - при условии с / 0.
m-aA g(M)	c H J	r
Функция и = f(M) называется бесконечно малой при М —> А (в точке А), если lim /(Af) = 0. Если/(А/) и g(Af)— бесконечно малые
М-аА	/(М]
функции при AI —> А и если lim^ J = 0, то говорят, что функция f(M) является бесконечно малой более высокого порядка при М —> А (в точке А), чем д(М), и пишут / = о(д) при М —> А.
Пусть функция и = f(M) определена на множестве {А/}, которое содержит точки, сколь угодно удаленные от точки 0(0,0,..., 0).
Определение Число b называется пределом функции f(M) при М —> оо, если Ve > О ЗЯ > 0 такое, что VAf, удовлетворяющей условиям М £ {A/}, p(M,O)>R, выполняется неравенство |/(Af)— — b\<e.
Обозначение: hm f(M) = b или hm f(x1,...,xm) = b.
M-ACXJ	11—>ос
3.	Повторные пределы. Для функций многих переменных наряду с обычным понятием предела вводится понятие повторного предела. Оно связано с изучением предела функции при изменении только одной независимой переменной и фиксированных значениях остальных. Рассмотрим это понятие на примере функции двух переменных.
Пусть функция и = f(x,y) определена в прямоугольнике Q = {(х,у): |.т — То| < di, jy — уо < d2], кроме, быть может, отрезков прямых х = х0 и у = уо При фиксированном значении переменной у функция f(x,y) становится функцией одной переменной х Пусть
200
Гл X. Функции нескольких переменных
для любого фиксированного значения у, удовлетворяющего условию 0 < \у — 2/о| <	> существует предел функции f(x,y) при х —> xq (этот
предел зависит, вообще говоря, от у):
Жу) = </Чу)-
у — фикс
Пусть, далее, предел функции <р(у) при У Уо существует и равен Ь:
lim <р(у) = b
У-+УО
Тогда говорят, что в точке Л/о(ж'о-’/о) существует повторный предел функции fix,у), и пишут
hm lim f(x, у) = b
у>уо 2->zo
При этом Jirn /(ж, у) называется внутренним пределом в повтор-у — фикс
О<|«-Ло|<^2
ном. Аналогично определяется другой повторный предел lim lim fix, у), в котором внутренним является lim fix, у).
x—¥xq y—tya	У~+Уо
х — фикс
0<|т —To|<di
Теорема 5. Пусть в точке Мо(хо,уо) существует предел функции fix,у), равный b ( lim f(r,y) = Ь), а также внутренние пределы
у-^уо
в двух повторных пределах этой функции. Тогда существуют повторные пределы lim lim fix,у) и lim lim fix. w), причем каждый из них равен b х^'с° у^у" ' у->уо^о
ilLUj	(z•
Отметим, что обратное утверждение неверно (см. примеры 3 и 7).
Понятие повторных пределов функции можно ввести и для того случая, когда Xq (либо уо, либо xq и уо) равно 4-00 (или —оо, или оо)
Контрольные вопросы и задания
1	Сформулируйте два определения предела функции f(M) в точке А Что означает эквивалентность этих определений7
2	Для каждого из двух определений предела функции f(M) в точке А сформулируйте отрицание определения
3	Может ли быть так, что hm f(M) = b, hm g(M) = с, где b и c — M—tA	\I -a A
числа, но равенство hm (/(Af) + g(A/)) = 6 4- с не выполняется7 M -a A
4	Дайте определение бесконечно малой функции при М —> А Приведите пример бесконечно малой функции при М —> 0(0,0, ,0)
5	Сформулируйте определение бесконечно малой функции f(M) более высокого порядка при М —> А, чем д(1И) Приведите пример таких функций
6	. Дайте определение предела функции f(M) при М —> со Приведите пример непостоянной функции /(Af), у которой hm f(M) — 1
§2 Предел функции
201
7	Дайте определение повторного предела функции f(x,y) в точке М0(х0, уо)
8	Известно, что функция f(x, у) имеет в данной точке предел и повторные пределы Могут ли какие-то два из них быть неравными7
9	Сформулируйте определение повторного предела
a)	hm hm f(x,y), б) hm lim f(x,y), в) lim lim f(x,y)
T-llQ г/—>+oo	y —>+oo I—>ZQ	X —> -f-oc у —► — ОС
Примеры решения задач
1.	Доказать, что функция f(x,y) = (х + у) sin 1 sin - является бесконечно малой в точке 0(0,0).	Х 'J
А Согласно определению бесконечно малой функции требуется доказать, что lim f(x,y) =0. Отметим, что функция f(x,y) не определена х—>0
на осях координат, но точка 0(0,0) является предельной точкой области определения f(x,y), и, значит, можно рассмотреть вопрос о пределе функции в точке О
Воспользуемся определением предела функции по Коши Зададим произвольное е > 0 и положим ё = е/2 Тогда если р(М(х, у), 0(0,0)) = = \А’2 + у2 < 6, то |л| < ё и |у| < ё. Следовательно,
\f(x, у) — 0| = I (х + у) sm - sin -1	|х| + \у\ < 2ё = е
I	х у I
Это и означает, что lim f(x,y) = 0. ▲
ar—>0
2.	Вычислить предел hm (1 + ху)2^х +ху\
х—>0 у—>2
А Представим функцию в виде [(1 + д;у)1/О!/)]2у/(з;+’/\ Так Как z =
= ху —> (} при Z? о), то hm (1 + ху)^ху} = lim (1 +	= е. Да-
S' ~х->0	2->0
лее, lim = 2 (в силу теоремы 4) Поэтому искомый предел ра-х —У 0 X J-- 1J
у-+2
вен е2. ▲
3.	Существует ли предел lim	--?
х->о х2 + у2 у^о
А Пусть точка М(ж,у) стремится к точке 0(0,0) по прямой у = кх, проходящей через точку О. Тогда получим
ху	кх2	к
lim -------— = lim -------- — --------
л >о х2 + у2 z-soi2 + к2х2 1 + к2
(у=кх)
Таким образом, приближаясь к точке 0(0,0) по различным прямым, соответствующим разным значениям к, получаем разные
202
Гл X Функции нескольких переменных
предельные значения Отсюда следует, что предел данной функции в точке (9(0,0) не существует А
х + 2ц
4.	Вычислить предел hm ——  -	
Х->00 ж2 _ 2Ху + 2«2 у—>оо	*	*
Л Перейдем к полярным координатам z = 300599, 3 = 3311199 Тогда
х + 2у _ 1	cos <р + 2 sm <р	_ 1
х2 — 2ху + 2у2 р cos2 tp — 2 cos </?sin^ + 2 sin2 p p g(<p)’
а условие M(x,y) —> оо эквивалентно условию p —> оо При p —> oo первый сомножитель 1 /p стремится к нулю Докажем ограниченность второго сомножителя — функции f (р) j д(<р) при 0 С 99 2тг Отсюда будет следовать, что искомый предел равен нулю
Очевидно,	3, а для функции д(р) нетрудно установить,
что ее минимальное значение положительно Это можно сделать, используя известные методы исследования на экстремум функций одной переменной, а можно и проще, а именно запишем д(р) в виде 3(99) = (cos 99 — S11199)2 + sm2 99 Ясно, что д(р>) > 0 при 0	99 2тг, а
так как д(<р) — непрерывная функция, то она имеет на сегменте [0,2тг] минимальное значение, причем т = mm д(<р) > 0 Итак, 3(99) т > [0 2тт]
> 0 Следовательно, \f(p)/g(<p)\ З/m, т е функция /(99)73(99) ограничена при 0	99 2тг А
5.	Вычислить повторные пределы функции f(x,y) = --------X в
точке (9(0,0) при условии с^0,	сх+ у
Л Имеем
hm hm f(x,y) = hm f hm	=
ar—>0 y—>0	x—>0 \ y—>0 exay /
ar—фикс	.	, > / 4
= hm f hm	=	= «
s->0\ y->0 c + ay/xj ar->0 c c
x — фикс
Аналогично получаем hm hm f(x,y) = 3 A y—>0x—>0	d
6.	Существуют ли повторные пределы функции /(х, у) = (ж + у) х х sm - sm i в точке (9(0, 0)?
х у
А Рассмотрим внутренний предел hm f(x.y') в повторном пре-я-9 0 у — фикс
деле lim hm f(x,y) Представим функцию f(x,y) в виде суммы двух у-+0 х->0
11	11
слагаемых f(x,y) = rsin - sm - + у sm - sm - При фиксированном х у	х у
у 0 первое слагаемое аз sin - sm - стремится к нулю при х 0 Во
§2 Предел функции
203
втором слагаемом произведение ysmi является постоянным, отлич-
ным от нуля, если у ф — (п € Z), а сомножитель sm - не имеет предела при j: —> 0 в сколь угодно малой окрестности точки х = 0 функция sm принимает все значения от —1 до 1 Следовательно, второе слагаемое у sm - sm i, а значит, и вся функция /(т,у) не име-х у
ет предела при х 0 и фиксированном у, не равном 0 и — Таким ТТЛ
образом, указанный внутренний предел не существует, а поэтому не существует повторный предел hm lim f(x,y) Аналогично можно до-у—>0 х —>0
казать, что не существует другой повторный предел hm hm f(x,y) ▲ х—>0 у—>0
Замечание В примере 1 было доказано, что предел функции f(x у) = = (л + y)sm т sin в точке 0(0,0) < уществует и равен нулю Таким образом на основании примеров 1 и 6 можно сделать вывод из существования предела функции в точке не следует существование повторных пределов функции в этой точке (сравните этот вывод с утверждением теоремы 5)
7.	Вычислить повторные пределы функции f (т, ке (9(0,0) А Имеем
hm hm f(x, у) = lim f hm xy^ Л = hm (Д') — 0
x—>0y—>0	x—t-OX у—>0 X2 -f- у2, / x—>O\372/
x фикс
X-/-0
Аналогично получаем hm hm f(x,y) = 0 ▲ у—>0 т—>0
Замечание В примере 3 было доказано, что предел функции f(x,y) = =	в точке 0(0,0) не существует Таким образом, на основании при-
х2 + у2
мерой 3 и 7 можно сделать вывод из существования и равенства повторных пределов функции в данной точке не следует существование предела функции в этой точке
\ х ч
У) = ГТ 2 В т04’
X2 + у2
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
12. Докажите, что функция f(x,y) является бесконечно малой в точке 0(0, 0), если a) f(x,y) =	б) /(z, у) = sm(z + у) 1п(ж2 + у2)
13. Вычислите пределы
a) hm	б) hm	в) hm (1 + xy2)!'/(j?’'+^2),
У0	у-+3
Г) hm + д) hm ^±4. е) h™ + ,
Ж-+СЮ х2 + XV + V2	д-4	7 Т-+СЮ 1^31 м 1^31
у—»со	а а	У-+ОО	*	у—>ОО 1 I 1 1У I
ж) hm (к 4- у)е~^х +!/ \ з) hm (i2-l-y2)'1' i—>оо	z—>0
у->оо	y_>0
204
Гл X Функции нескольких переменных
14. Докажите что следующие пределы не существуют
. , х2 + ху + у2 . ln(x + y) . sin |х - у\ a) hm -------—б) lim	в) hm -
х2 - ху + у2 *-+1 У	*-1-0 Jx2+y2
у—+0	у —>0	у—*0 v
15. Докажите, что функция /(т, ствами
\ х у
у) = ——-— обладает следующими свои-т4 + у2
а) при стремлении точки М(х,у) к точке 0(0,0) по любой прямой, проходящей через точку 0(0, 0), предел функции равен нулю, б) предел функции в точке О не существует
16. Вычислите повторные пределы hm 1ип/(ж,у)и hm hm /(л, у), если
9 ,	,2	1/—>yQl—>.Tq
,	,	. х2 + ху + у2
а)	f(x, У) = -S----—у, х0 = 0, уо = О,
з*2 — ху 4- У2
,, ,/ х Sin(x + y)
б)	/(ж>у) = —пг-’ х°= °’ у° = °
2х + Зу
...	.	cos х - cos у	.
в)/(.г,у) =------2	’ ^0=0, уо = О,
х2 + У2
,,	. sin |гс| - sin |у|
Г) f(x, у) = ---- '—хо - 0, Уо = о,
Vх + у
. ,,	. siu'ii - tg2y
Д) f(x,y) = —-----------> х° = 0, Уо = О
од + Зу
х^1 у
е) f(x,y) = —-г0=ос, Уо = ос.
х2 + у4
+0,
= сю
пределы функции f(x,y) в точке
(хо,уо) если
Х^
а)	f(x, У) = 2 т 4’ х° = °> У° = °’
х2 + у
б)	/(ж,у) = log„(z + y), хо = 1, у0 = О, ,	.	sin х + sin у
в)	f(x, у) = ---;------, жо = 0, уо = 0?
х + у
f(.x>y) = 7~—жо = +оо, уо =
3) f(x,y) =	х0=<х>, Уо
2х + Лу
17. Существуют ли предел и повторные
§ 3.	Непрерывность функции
Основные понятия и теоремы
1.	Определение непрерывности. Пусть функция т переменных и = f(M) определена на множестве {М} и пусть 4 — предельная точка множества {Л/}, принадлежащая этому множеству
Определение Функция и = f(M) называется непрерывной в точке А, если lim f{M) = f(A)
М^А
Приращением (или полным приращением) функции и = f(M) в точке А называется функция Дм = f(M) - f(A), М Е {М}
Пусть точка А имеет координаты (ai, ,am), а точка М — координаты (х!, ,хт) Если ввести обозначения хА — щ = Лад, ,хт —
§3 Непрерывность функции
20 .
— ат = Дтт, то приращение функции Ди можно записать в виде Ди — f (ui + Д^1, , um 4- Дтт)	{"(h i, , ат)
Очевидно, условие непрерывности функции в точке А ( hm — = f(A)] эквивалентно условию hm Ди = 0 или hm Ди = 0 Это ра-венство называется разностной формой условия непрерывности функции в точке А
Предельные точки области определения функции и = f(M), в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва этой функции
2.	Непрерывность по отдельным переменным. Зафиксируем все аргументы функции и = f(x-[, , хт), кроме одного из них, например, хр, положив хг = аг (г k) Аргументу xp дадим произвольное приращение Да^ Функция и = /(tj, , хт) получит приращение
=/(“1, ,ak-i,ak + ^Xk,ak+i, am)-f(ai, ,ат),
которое называется частным приращением функции в точке А, соответствующим приращению Дж*, аргумента хр Отметим что, Д^и является функцией одной переменной Дж^,
Определение 1 Функция и= f(z;, ,тт) называется непре
рывной в точке Л(а1; ,ат) по переменной хр, если hm Д^и = 0
Azjt->0
Можно дать другое, эквивалентное определение непрерывности по переменной хр
Определение 2 Функция и = f(xj ,хт) называется непрерывной в точке 4(а1; ,а,п) по переменной хр, если функция f(aj, ,хр, ,ат) одной переменной хр непрерывна в точке хр = ар
В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции (определение п 1) называют иногда непре
рывностью по совокупности переменных
Теорема 6 Если функция и = /(xi, ,хт) определена в некото рой окрестности точки А и непрерывна в точке А, то она непрерывна
в этой точке по каждой из переменных Xi, . .т,7;
Обратное утверждение неверно (см пример 2 на с 208)
3.	Основные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 7 (об арифметических операциях над непрерывными
функциями) Если функции f(M) и д(М) определены на множест ее {М} и непрерывны в точке А € {Af}, то функции f(M) + g(M),
f(M)-g(M), f(M)g(M) и gg прерывны в точке А
(частное при условии д(А) 0) не-
Пусть функции
Xi <pi (fl,	,^Л:), Х2 —	Ак), 5 Хт —	Ак)
определены на множестве {T(tp, ,tk)} С Ek Тогда каждой точке T(ti, & {Т} ставится в соответствие точка Af(xi, ,хр) € Ет
206
Гл X Функции нескольких переменных
Множество всех таких точек М обозначим {А/}. Пусть на множестве {М} определена функция и = f(xi, хт). Тогда говорят, что на множестве {Т} определена сложная функция и =
•> -рт. (Ъ ; •••;£<:))•
Теорема 8 (о непрерывности сложной функции) Пусть функции Xi =	•••> tk), <хт =	непрерывны в точке 4(ai,.
.. jUk'), о функция и = f(xi, ,хт) непрерывна в точке В(Ь1, ...,Ьт), где Ьг =	,аь) (i = l,...,m) Тогда сложная функция и =
= f(<pi(ti,. .,tk),	,tk)) непрерывна в точке A
Функция и = f(M) называется непрерывной на множестве {Af}, если она непрерывна в каждой точке этого множества
Функция и = f(M) называется ограниченной на множестве {Л/}, если существуют числа с и С такие, что VAT € {М} выполняются неравенства с f(M) С.
Теорема 9 (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция ограничена на этом множестве
Определение Число U называется точной верхней гранью функции и = f(M) на множестве {Л/}, если.
1) VAT € {АГ} выполняется неравенство /(АГ) U,
2) W < U ЗМ1 е {М} такая, что f(M’) > U'
Обозначение- U = sup f(M)
W
Аналогично определяется точная нижняя грань функции inf f(M).
Теорема 10 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своих точных граней
Пусть каждая точка М множества {АГ} является его предельной точкой и пусть на множестве {АГ} определена функция и = f(M).
Определение Функция и — f(M) называется равномерно непрерывной на множестве {АГ}, если Ve > 0 3J = 6(e) > 0 такое, что \/АГ1,АГг € {Af}, удовлетворяющих неравенству р(Мг,М2) < 6, выполняется неравенство \f(Mi) — f(M2)\ < е.
Теорема 11 (теорема Кантора). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве.
Замечание Обе теоремы Вейерштрасса и теорема Кантора имеют место для функций, непрерывных па замкнутом ограниченном множестве В случае функций одной переменной эти теоремы были справедливы для функций, непрерывных на сегменте Таким образом, аналогом сегмента в многомерном случае является замкнутое ограниченное множество
§3 Непрерывность функции
207
Контрольные вопросы и задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
Дайте определение непрерывности функции в точке
Что такое полное приращение функции и = в точке А7 Как записать условие непрерывности функции в точке А, используя ее приращение в этой точке7 Выразите приращение функции и = ху в точке Л(1,2) через приращения Az и Ду ее аргументов
Какие точки называются точками разрыва функции и = f(M)7 Приведите примеры точек разрыва функций двух и трех переменных
Что называется частным приращением функции и = f(x\, ,хт) в данной точке Л(в1, , ат)7 Как получить частное приращение функции из ее полного приращения7 Напишите частные приращения функции и = ху в точке А(1, 2)
Сформулируйте два определения непрерывности функции и = /(ад, ,хт) в точке А по отдельным переменным и докажите их эквивалентность
Как связаны непрерывность функции в точке по совокупности аргументов и непрерывность в этой точке по отдельным переменным7 Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями Докажите эту теорему, опираясь на теорему 4 Сформулируйте понятие сложной функции и теорему о непрерывности сложной функции
Дайте определение непрерывной на данном множестве функции Является ли функция
sinfrr + у} ,	/ п
—i, х + у Ф 0,
1, х + у = 0, непрерывной на всей плоскости7
Дайте определение ограниченной на данном множестве функции Является ли функция
{sm(x + у)
х ’
0,
х ф 0,
х - 0,
ограниченной а) в круге {(х,у) х2 + у2 1}, б) на оси Ох7 Сформулируйте определение неограниченной на данном множестве
функции
Сформулируйте первую теорему' Вейерштрасса
Справедливо ли утверждение непрерывная в s-окрестности точки А функция и = f(M) ограничена в этой г-окрестности7
Может ли неограниченная на множестве {Л1} функция быть непрерывной на этом множестве, если а) {Л/} — m-мерная сфера, б) {М} - {(х,у) х2 + у2^1}	в){М}-{(х,у) х2 + у2 < 1}
Дайте определения точной верхней и точной нижней граней функции
на данном множестве всей плоскости7
Ti		ХУ
Имеет ли функция и = —------- точные грани на
X2 + у2
Сформулируйте вторую теорему Вейерштрасса
Справедливо ли утверждение если функция достигает па множестве {М} своих точных граней, то она непрерывна на этом множестве7 Справедливо ли утверждение непрерывная в параллелепипеде функция имеет в этом параллелепипеде максимальное и минимальное значения2
208
Гл X Функции нескольких переменных
19	Дайте определение равномерной непрерывности функции Как связаны между собой непрерывность и равномерная непрерывность функции па данном множестве7
20	Пользуясь кванторами, сформулируйте отрицание равномерной непрерывности функции
21	Сформулируйте теорему Кантора
22	Верно ли утверждение непрерывная в г-окрестности точки А функция u = f(M) равномерно непрерывна в этой s-окрестности7
Примеры решения задач
1.	Найти точки разрыва функции и = —V-
хЛ — уЛ
Л Данная функция не определена в тех точках, где знаменатель дроби равен нулю х3 — у3 — 0, т е функция не определена на прямой у = х В остальных точках плоскости функция определена, поэтому каждая точка прямой у = х является предельной точкой области определения функции В любой точке А прямой у = х функция не является непрерывной, так как и(Д) не существует Таким образом, любая точка прямой у = х есть точка разрыва данной функции
В любой точке В, не лежащей на прямой у = х функция и = г — у	_
= -=—непрерывна Это следует например, из теоремы 7, посколь-хЛ — уЛ
ку функции х, у, х3, у3, очевидно, непрерывны в любой точке и ж3 -— у3 0 в точке В Итак, множество точек разрыва данной функции есть прямая у = т
Отметим что в любой точке 4(а, а), лежащей на прямой у = х и не совпадающей с точкой 0(0,0) (т с а 0), существует предел функции hm -4—~ = hm —--------------- = —
г->а _ yi	xz — Ху + У (Г
у->а	И
Поэтому' точки Л(а,а) при а 0 можно назвать точками устрани мого разрыва функции если положить и(а, а) = —, то функция станет непрерывной в точке А(а,а) В точке же 0(0,0) имеем hm и(т,у) =
X—*-0
у—
= hm —————- = оо, т е 0(0,0) - точка неустранимого разрыва у-»о	У У
данной функции ▲
2.	Доказать, что функция
(	0, х2 + у2 = О,
непрерывна в точке 0(0,0) по каждой переменной х и у, но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных
А Рассмотрим частное приращение функции f(x,y) в точке 0(0,0), соответствующее приращению Дж аргумента х
Д.хи = /(Дж,0) - /(0,0) =0-0 = 0
§ 3 Непрерывность функции
209
Очевидно, hm Дхм = 0, а это и означает, что f(x,y) непрерывна в Дт—>0
точке 0(0,0) по переменной х
Этот же факт легко обосновать, пользуясь другим опрсделени-ем непрерывности функции по отдельным переменным Рассмотрим функцию /(х,у) при у = 0, т е /(ж,0) Поскольку/(х, 0) = 0 во всех точках х, функция f(x, 0) непрерывна на всей оси Ох, в частности в точке х = 0 Согласно второму определению непрерывности функции в точке это и означает, что функция f(x,y) непрерывна в точке 0(0,0) по переменной х
Аналогично можно доказать непрерывность f(x,y) в точке 0(0,0) по переменной у
Чтобы доказать, что функция f(x,y) не является непрерывной в точке 0(0,0) по совокупности переменных, используем результат примера 3 из § 2 В этом примере было доказано, что предел функции - в точке 0(0,0) не существует Отсюда следует, что функция х2 + у2 f(x,y) не является непрерывной в точке 0(0,0) ▲
3.	Исследовать функцию
( cos(r - у) - cosQr + у) и(ж,у)=<	2ху	’	’
I 1,	ХУ = О,
на непрерывность по отдельным переменным и по совокупности переменных в точках 0(0,0) и Л(1,0)
Д Применяя известную формулу для разности косинусов, запишем функцию и(х, у)
в виде
1) Так как hm
{sm х ып и . п --------ту# О, к у
1, ху = О
/	\	1 shit . smy 1 ,л
и(х,у) = hm -----hm------ = 1 = u(0,0),
z-Ю X у >0 у
то функция и(х,у) непрерывна в точке 0(0,0) и, следовательно, непрерывна в этой точке по отдельным переменным
2) Рассмотрим функцию и(х,0) Согласно определению имеем w(x,0) = 1 для всех х, и, следовательно, эта функция непрерывна в точке г = 1 Это означает, что функция и(х,у) непрерывна в точке А(1,0) по переменной х
Рассмотрим теперь функцию
{ sm у , „
sm 1----, у # О,
У
1,	У = о
Так как hm u(l, у) = lim sm 1	= sm 1 7^ 1 = u(l 0), то функция
у—>0	у—>0	у
210
Гл X Функции нескольких переменных
и(1, у) не является непрерывной в точке у = 0 Это означает, что функция и(х,у) не является непрерывной по переменной у в точке Л(1,0) Отсюда следует, что функция и(х,у) не является непрерывной в точке А(1,0) по совокупности переменных, так как в противном случае в силу теоремы 6 она была бы непрерывной в этой точке и по пере-
менной у ▲ 4	4
. тт	.	I \ Ж + V
4.	Доказать, что функция uix.y) = —— х2 + у2
ограничена на мно-
жестве fl = {(х,у) 0 < х2 -I- у2 1}, и найти ее точные грани на этом
множестве
Л Для исследования функции удобно перейти к полярным координатам х = р cos 99, у = р sin 99 Тогда
и = p2(cos4 ip + sm4 ip) = p2 (1
- i sm2 299)
Так как VAT(x,t/) € fl выполняются неравенства 0 < p2 1, 0 < 1 — — i sm2 ip 1, то 0 < и 1, т e функция u(x,y) ограничена па множестве fl
При p = 1,	= 0, т e в точке x = 1, у = 0, функция и(х,у)
принимает максимальное свое значение, равное 1 Таким образом, sup и(х, у) = 1
О
Так как, очевидно, и —> 0 при р —> 0, то и(х,у) принимает сколь угодно малые положительные значения, т е Vs > 0 3(жо,Уо) € & такая, что и(хо,уо) < £ Отсюда и из неравенства и(х,у) > 0 следует, что inf и(х, у) = 0
Отметим, что функция и(х,у) не достигает па множестве fl своей точной нижней грани, т е ни в одной точке ее значение не равно нулю Следовательно, функция и(х,у) не имеет на множестве fl минимального значения ▲
5.	Доказать, что функция и = х + 2у + 3 равномерно непрерывна на всей плоскости
Л Воспользуемся определением равномерной непрерывности функции Зададим произвольное е > 0 и положим <5 = е/3 Тогда VMi(Ti,т/i), М2(лг2, у2), удовлетворяющих неравенству p(Afi,M2) = = у/(л-i - ж2)2 + (1/1 - у2)2 < <5, будут выполнены неравенства |xi -— т2| < 6, |j/i — 1/21 < & и, следовательно, |u(Mi) — u(M2)| = |zi + -I- 2yi — а2 — 2у2\ |ti - х2| + 2|i/i — у2| < 6 + 26 = 3d = е Это по определению и означает, что функция и(х,у) равномерно непрерывна на всей плоскости ▲
6.	Исследовать на равномерную непрерывность функцию и = 3 .	3
=	на множестве fl = {(z,у) 0 < х2 + у2 1}
х2 + у2
Л Данная функция имеет более сложный вид, чем функция в примере 5 Поэтому исследование ее на основании определения равномерной
§3 Непрерывность функции
211
непрерывности представляет большие трудности Проведем исследование другим способом
Отметим, что функция и(х, у) непрерывна на множестве fl, так •э о	'	9	9
как числитель х + у и знаменатель х + у являются непрерывными функциями и х2 + у2 ф 0 на множестве fl Но множество fl не является замкнутым (поскольку не содержит точку 0(0,0)), поэтому теорема Кантора непосредственно здесь не применима
Однако функцию и(х,у) можно доопределить в точке 0(0,0) так, что она будет непрерывной в этой точке В самом деле, переходя к полярным координатам х = pcos<^, у = psm^, получим и = p(cos3 ip + -4- sm3 </?), откуда следует, что и —> 0 при р —> 0 т е lim w(x,y) = О
I—>0 у—>0
Таким образом, если доопределить функцию и(х,у) в точке 0(0,0), положив и(0,0) = 0, то функция и(х,у) будет непрерывной в точке 0(0 0) и, следовательно, непрерывной в круге fl = {(х,у) х2 + у2 <( 1} Круг fl — ограниченное замкнутое множество По теореме Кантора функция и(х,у) равномерно непрерывна в этом круге, а значит, равномерно непрерывна и в круге fl с выброшенным центром 0(0,0), т е на множестве fl ▲
Замечание Оказывается что функция и(х,у) является равномерно непрерывной на всей плоскости Однако обосновать это с помощью теоремы Кантора уже нельзя, так как плоскость — неограниченное множество, и теорема Кантора неприменима Равномерная непрерывность н(а;, у) на всей плоскости будет доказана в § 5 (см пример 8 на с 233), где будет получено достаточное условие равномерной непрерывности функции
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
18. Найдите точки разрыва следующих функций
а)и=~Г^—у б) и = 1п(4-к2-у2), в) и = —-------------
х2 + у2	х2 + у2 — z2
х	х х	sin ism у
г) и = sm -, д) и = ------,
У	ху
е) и = —-— ---— ,	ж) и = tg (я2 + у2 + Z2)
cos2 х — cos2 у
19. Исследуйте следующие функции на непрерывность по отдельным переменным и по совокупности переменных
а) и =	г 0-2.2 г'1 I 7/4	0 ж4+у4’	УТ, в точках 0(0,0) и А(1,2), [	0,	х4+у4 = 0,
б) и = <	Г т3у2	4	4 , х4 + у4 ’ Х Ух2’ в точках 0(0, 0) и .4(10 4,10-5), [	0,	я4 + у4 = 0
212
Гл X Функции нескольких переменных
20.
21.
( х2 4- у2 в) и = < х + у ’
I °>
( X2__у2
г) и = < X2 + у2
1
!sm х + sm х + у
1 {cos х cos
X — у о,
А2(тг тг)7
X + У + 0, в х + у = О,
X2 + у2 7^ О,
х2 + у2 = О,
X + у 7^ О,
х + у = О,
х - у # О х — у = О,
точках 0(0,0) и А(1,— 1),
в точках 0(0, 0) и 4(0,1)
точках 0(0, 0) и Л
в точках 0(0,0) и 41
Ограничены ли следующие функции
а)	и = х2 — у2 в круге {(я,у) х2 + у2	25},
б)	и — х2 — у2 вне круга {(х, у) х2 + у2 25}
. ах2 + Ьу2	2	2 , „ ,	,	X
в)	и = —z---2- при х + у Ф 0 (а и Ь — числа)
х2 + у2
. cos(x + у) - cos(x — у)	, „
г)	и = ——----------->----при ху 0 О,
ху
. sm(x + у) - sin(x - у)	, -
д)	и = —----------------— при ху 0 О,
ху
In х —In у	, „
е)	и = -------- при х у’
X - у
Докажите ограниченность функции па указанном множестве, найдите
ес точные грани и установите, достигает ли функция своих точных граней
а) и =
х2 - У2 х2 + у2
при х2 + у2 7^ О
б)
X6 + у6
X2 + у2
на множестве {(а;, у) 0 < х2 + у2 9},
в) и =
Х2У2 х4 + у4
при х4 + у4 О
в
и
г) и = хуе ху на множестве {(я,у) х 0, у 0}, . а(х2 + у2) + bz2	>	2	2 , „ ,	, .
Д) u = --  при х2 + у2 + z2 о (а > Ь)
х + У + Z2
22.	Пользуясь определением равномерной непрерывности, докажите равномерную непрерывность функции на указанном множестве а) и = ах + Ъу + с на всей плоскости Е2 (а ф О, Ъ 0), б) и = х2 + у2 в круге {(я,у) х2 + у2 1}, в) и = у/х2 + у2 + z2 во всем пространстве Е3, г) и — х3 — у3 в квадрате {(х, у) 1 х 2, 0 у 1}
23.	Исследуйте функцию на равномерную непрерывность на указанном
множестве
а) и =
х4 +у4 х2 + у2
на множестве {(а,у)
О < х2 +у2 < 25},
§4 Частные производные
211
и =
б)
и =
У2—---— на множестве {(х,у) 0 < х2 + у2 1},
х2 + у2
2 2
—— на множествах Qi = {(х, у) 1 < х2 + у2 < 2} и fh = х4 + у4
= {(х,у) 0 < х2+у2 < 1},
г)	и = - +	на множествах Qi = {(ж, у, z) 102 < х2 + у2 + z2 <
х2 + у2 + z2
< 100} и 0,2 = {(х, у, г) 0 < г2 + у2 + z2 < 10”2},
д)	и = х sm - на множестве {(х, у) 0 < х < 1, 0 < у < 1}, У
е)	и = xysm - на множестве {(х,у) 0 < х < 1, 0 < у < 1} У
§ 4.	Частные производные
и дифференцируемость функции
Основные понятия и теоремы
1.	Определение частной производной. Пусть	,хт) —
внутренняя точка области определения функции и = /(ii, ,хт) Рассмотрим частное приращение этой функции в точке	,хт),
соответствующее приращению Дх*, аргумента хк
— /(^l? jXk — ljXp + Дт/с, Tfe+i, , xm)
- f(Xr, ,Xk-l,Xk,Xk+l, ,Xm)
Д X >. 11	A Z J.
Отношение Л * является функцией одного аргумента 2\хк (при фик-ДЖа.
сированпой точке M(xi, ,хт))
Определение Частной производной функции и = f[x\, ,хт)
1 ^xku <
по аргументу хк в точке М называется lim - (если он сущест-.	Azfc->0 Ахк
вует)
Эта частная производная обозначается любым из следующих символов	-^-(МУ, их,(МУ, /Хк(МУ Отметим, что при фикси-
охк дхк
рованных значениях всех аргументов, кроме хк, функция и = f(xi, ,хт) становится функцией одной переменной Производная этой
функции одной переменной и есть частная производная функции и — = f(xi, ,хт) по аргументу хк Поэтому вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной
Физический смысл частной производной —(М) — это скорость охк
изменения функции в точке М в направлении оси Охк
Замечание Если М — граничная точка области определения функции, то для такой точки введенное определение частной производной
214
Гл. X. Функции нескольких переменных
может быть непригодным. Например, если функция и = f(x,y) определена
в треугольнике G (рис. 26), то для граничной точки Мо(хо,уо) не определено частное приращение Ххи, так как при любом Хх ф О точка М(х0 + Дж,уо) лежит вне области G.
Поэтому нельзя определить — (Мо), пользу-дх
ясь данным выше определением частной про-
изводной. В таком случае, если существу-ди
ет частная производная — во внутренних дх
точках М области G, то по определению по-ди .,, .	ди . „,, ,
лагают — (Мо\ — lim —-(М) (если этот дх	м -,мг, дх
предел существует).
2.	Определение дифференцируемости функции. Рассмотрим полное приращение функции и = /(xj,..., хт) во внутренней точке М(х±, ...,хт) области определения функции
Ди Т ,..., хт Т Дтт) f (xi,..., хт).
Оно является функцией аргументов Axi,..., Дтт.
Определение. Функция и = /(xj,...,хт) называется дифференцируемой в точке M(xi, ...,хт), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
Дм = А1Дх1 + ... + АтДхт + о?! Длд + ... + атДхт, (1) где Ai — некоторые числа, аДг = 1,...,т) — функции аргументов Дх1,..., Дхт, бесконечно малые при Дх1 -> 0, ..., Дхт ч 0 и равные пулю при Д^! = ... = Дхт = 0.
Условие дифференцируемости (1) можно записать в другой, эквивалентной форме
Ди = 41 Дх1 + ... + АтАхт + а(р),	(2)
где р = у/(Дят1)2 + ... + (Дхт)2 — расстояние между точками М(хг, ...,хт) и M'(ti + Дх1, ...,хт + Дхт), а(р) = о(р') при рчО, а(0) = 0.
Теорема 12. Если функция и = f(xi,...,xm) дифференцируема в точке М, то она непрерывна в этой точке.
Обратная теорема неверна, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции (см. замечание к примеру 1, б) на с. 219).
3.	Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных. Напомним, что для функции одной переменной у = f(x) существование производной в точке т0 является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции
§4- Частные производные
215
в этой точке. Для функции нескольких переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.
Теорема 13 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция и = f(xi, ...,xm) дифференцируема в точке М, то она имеет в точке М частные производные по каждому аргументу ху,...,хт.
ди
При этом -—(М) = Ak (к = 1,2,т), где Аь — числа из равен-ства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде
ди	дчк
Дм = -—(M)Ax-i + ... + -—(M)Axm + aiAzi + ... + атДхт. (3) (7X1	иХтп
Обратная теорема неверна, т. е. существование частных производ-
ных не является достаточным условием дифференцируемости функции (см. пример 2 на с. 219).
Теорема 14 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция и = f(xi, ...,xm) имеет частные производные по каждому ар-
гументу	в некоторой окрестности точки М и эти част
ные производные непрерывны в точке М, то функция и = f(x±,...,хт
дифференцируема в точке М.
Отметим, что непрерывность частных производных является только достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости функции (см. пример 3 на с. 220).
4. Геометрический смысл дифференцируемости функции. Напомним, что для функции одной переменной у = /(ж) из дифференцируемости функции в точке то следует существование касательной к графику функции в точке М(х0, f(xoy).
Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных и = = /(ят, у),	График
этой функции, т. е. множество точек S = {(х,У, Ф(х,уУ), (х,у) 6 € G}. представляет собой поверхность в пространстве /Г’. Пусть плоскость Р проходит через точку Nq(xo, Уо, f(xo, Уо)) поверхности S; N(x, у, f(x, у)) — произ-вольная точка на поверхности S; Nr — основание перпендикуляра, проведенного из точки N к плоскости Р (рис. 27).
Определение. Плоскость Р, проходящая через точку No поверхности S, называется касательной плоскостью к поверхности S
216
Гл. X. Функции нескольких переменных
в этой точке, если при N —> No (N € S) величина p(N,Ni) является бесконечно малой более высокого порядка, чем p(N, No), т. е.
г	о
hm Ч—= 0.
N^N0 p(N,No)
Nes
Теорема 15. Если функция и = f(x,y) дифференцируема в точке М0(х0,у0), то в точке No(xo,yo, f(.xo,yo)) существует касательная плоскость к поверхности S (графику этой функции), причем уравнение касательной плоскости имеет вид
|^(Л10)(а: - zo) + ^{Мо)[У ~ Уо) - (и- f(x0,y0)) = 0. U Д>	С/ (J
Вектор п нормали к касательной плоскости, т. е. п =
I дх
-1}’
называется вектором нормали (или нормалью) к поверх-
ности S в точке No(xo,yo,f(xo,yo)).
5. Дифференцируемость сложной функции.
Теорема 16. Пусть функции Xi = 921(^1,...,Ч), •••, хт = =	, •••, tk) дифференцируемы в точке A(ai,..., а*,), а функция и =
= f(xi,..., хт) дифференцируема в точке B(bi, ...,bm), где bi = = <pi(ai,.... ak) (i = 1,..., к). Тогда сложная функция и = (ii,..., Ч), ...,99т(^, ...,Ч)) дифференцируема в точке А и ее частные производные в этой точке выражаются формулой
+ - + &<в> =
6. Дифференциал функции. Пусть функция и = f(xi,...,xm) дифференцируема в точке М(х1; ...,хт), т. е. ее приращение в этой точке можно представить в виде (3):
Ди = Г——(М) Дх1 + ... + т?—(М) Дхт"| + (од Дх1 + ... + атАхт).
L д х 1	дхт,	J
Выражение в квадратных скобках является линейной относительно Дх1,..., Дхт частью приращения функции, а выражение в круглых скобках — бесконечно малой функцией при Д24 —> 0, ...,Дхт	0
более высокого порядка, чем р = ^/(Дх1)2 + ... + (Дхт)2.
Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции u = f(xt, ...,хт) в точке М называется линейная функция аргументов Дт1,..., Дтт.
du = ^(М) Дац + ... + ^(М) Дхт. дху	дхт
§4- Частные производные
217
Дифференциалом независимой переменной х^ будем называть приращение этой переменной: dx{ = Дяц. Тогда дифференциал функции и = /(дц, ...,а:т) в точке М можно записать в виде
du= ~(M)dxY +...+ ^{M)dxm.	(5)
dx,	dxm
Если аргументы дифференцируемой в точке M(bi,..., bm) функции u = f(zi, •••, zm) являются не независимыми переменными, а дифференцируемыми функциями каких-либо независимых переменных ti, tk-
2-1 - 93!	1 ••• 5	7	 • • 7	%‘Ш -	(^1 7 ***7	7	(^)
причем bj =	bm =	я*), то дифференциал
сложной функции и = /(9C7i (ii,t*),..., ipm(ti,..., tk)) в точке A(alt... ...,ak) по-прежнему имеет вид (5), но dxi, ...,dxm являются не приращениями переменных т1,...,л’,„ (как в случае, когда xi,...,xm — независимые переменные), а дифференциалами функций (6) в точке А, т. е.
cfcj = ^(А) dh + ... + ^-(А) dtk, i = 1, ...,m. (7ti
Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение частной производной функции и = /(»i,..., хт) по аргументу Xk во внутренней точке области определения функции. Каков физический смысл частной производной?
п г,	-	С>и ди
2.	Пользуясь определением частной производной, паидите — и —, если 2	дх ди
и = ху .
3.	Почему для граничной точки определение частной производной может быть непригодным? Как определяются частные производные функции в граничных точках области определения функции?
4.	Дайте определение дифференцируемости функции в данной точке. Докажите эквивалентность условий дифференцируемости (1) и (2). Докажите дифференцируемость функции и = xixz в точке 0(0, 0), представив ее приращение в этой точке в виде (1).
5.	Докажите, что дифференцируемая в данной точке функция непрерывна в этой точке. Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.
6.	Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии дифференцируемости.
7.	Сформулируйте теорему о достаточном условии дифференцируемости.
8.	Пусть дана функция
,	-1 _ / 0 на осях координат,
' ’У'	[1 в остальных точках плоскости.
218
Гл X Функции нескольких переменных
9
10
11
12
ди	ди
Она обладает следующими свойствами —(0,0) — — (0,0) = 0, в любой
ди	ди
точке М(х, 0) (х 0) оси Ох — = 0, а — не существует, в любой точке дх	ду
ди	ди
М(0,у) (у ф 0) оси Оу — = 0 а — не существует, во всех остальных ду	дх
точках плоскости — = — = 0 (обоснуйте эти свойства) Отсюда сле-дхдуу	7
ди	п\
дует, что частные производные — и — непрерывны в точке 0(0, 0) дх ду
Вместе с тем функция и(х,у) разрывна в точке 0(0,0) (объясните, почему), и, следовательно, недифференцируема в этой точке Объясните кажущееся противоречие этого примера с теоремой о достаточном условии дифференцируемости
Каков геометрический смысл дифференцируемости функции и= f(x, у) в точке Мо(хо,уоу Дайте определение касательной плоскости к поверхности и = f(x, у) в точке №i(xo, уо, /(жо, Уо)) и запишите уравнение касательной плоскости в этой точке
Сформулируйте теорему о дифференцируемости сложной функции и запишите формулу для вычисления частных производных сложной функции
Что такое дифференциал функции и = f(xi, ,хт) в данной точке7 От каких аргументов он зависит7
Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала7 Докажите инвариантность формы первого дифференциала, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции
Примеры решения задач
1.	Найти частные производные функции:
а)	и = ту (х > 0), б) н = т/х2 + у2 + z2.
А а) При вычислении частной производной функции и = ху по аргументу х рассматриваем функцию и как функцию только одной переменной т. е. считаем, что у имеет фиксированное значение При фиксированном у функция и = ху является степенной функцией аргумента х. По формуле дифференцирования степенной функции ди
получаем — = уху А дх
.	„	„ ди
Аналогично, при вычислении частной производной — считаем, ду
что фиксировано значение ;г, и рассматриваем функцию и = ху как показательную функцию аргумента у. Получаем ~ = ху\пх
б)	При фиксированных значениях у и z функция и = \/х2 '+ у2 + z2 является сложной функцией аргумента х. Вычисляя производную этой функции аргумента х, получаем
ди _	1 2х — Х
дх 2у/х2 + у2 + z2	х2 у2 + z2
§4- Частные производные
219
Аналогично,
ди _ у	ди _ z
у/ х2 + у2 + z2	&z	у/ х2 + у2 + z2
Отметим, что полученные формулы теряют смысл в точке 0(0,0,0). Покажем, что в этой точке частные производные функции и(х, y,z) = у/х2 + у2 + z2 не существуют. В самом деле, и(х.0,0) = = л/х2 = |х|. Эта функция аргумента х, как известно, не имеет производной в точке х = 0. Последнее и означает, что частная производная в точке О не существует Аналогично можно показать, что ди ди	~
частные производные — и — в точке С) также не существуют. ▲ ду дг
Замечание Функция и= у/ х2 + у2 + z2, очевидно, непрерывна в точке 0(0, 0,0), но не дифференцируема в этой точке (поскольку не имеет частных производных в точке О) Это доказывает, что непрерывность является только необходимым (теорема 12), но не достаючным условием дифференцируемости функции
2.	Доказать, что функция
f Х2 + У2’ х2 + у2 0, и = < х2 + у2
[	0, х2 + у2 = О,
имеет в точке 0(0,0) частные производные, но не дифференцируема в этой точке.
А Так как и(х,0) = { q’ — q’ т- е ^(^,0) = х, то ^(0,0) = = -^-ы(х,0)| _0 = 1 Аналогично получаем ^(0,0) = 1. Итак, функ-ция и(х,у) имеет в точке О частные производные
Докажем, что функция w(x,y) не дифференцируема в точке О. Предположим противное Тогда приращение функции в этой точке, л , .	. х	Дх3 + Ду3
равное Aw = и(Дх, Ду) - u(0,0) = ——:-можно представить в
Дх2 + Ду2
виде
Ли = |^(0, 0)	°)	+ °(р),
где р = у/Дх2 + Ду2 Так как ^(0,0) = ^(0,0) = 1, то из усло-,,	Ла-3 + Ду3 .	.	. .
вия дифференцируемости получаем	= Дх + Ду + о(р), или
ДхДу2 + Дх2Ду , гт—а------т—д,
-----хА--л , ~ = o(Jkx2 + Ду2), т. е.
Дх2 + Ду2 v	у
,. Дх Ду2 + Дх2 Ду п
hm ------= О
Дх->о (Дх2 + Ду2)3/2
220
Гл. X Функции нескольких переменных
Покажем, что на самом деле этот предел не существует. Пусть Дх и Ду стремятся к нулю так, что Ду = /гДх (fc /- 0). Тогда получим
lim
Дх—>0 Ду—>0 (Ay=feAx)
ДхДу2 + Дх2Ду _ j Дх3(А:2 +/г) _ k2 + к (Дх2 + Ду2)3/2	Ax-»0 Дх3(1 + А:2)3/2	(1 + fc2)3/2
Так как величина---------— принимает разные значения при разных
(1 + fc2)3/2
к, то указанный предел не существует. Отсюда следует, что сделанное предположение неверно, и, значит, функция и(х,у) не дифференцируема в точке О. А
3.	Доказать, что функция
)(х2 + у2) bin	.,
у/х2 + у2
0,
х2 + у2 / 0, х2 + у2 = О,
имеет частные производные в окрестности точки (9(0,0) и дифференцируема в точке (9, но частные производные не являются непрерывными в точке О.
Л Во всех точках, кроме точки (9, частные производные функции и(х, у) можно найти, вычисляя по обычным правилам производные функции (х2 + у2) sin 1____Например,
у/х2 +У2
= 2х sin „2.	+ (х2 + у2) cos — --	(х2 + у2) 3/<22х =
^/х2 + у2	\/®2 + у2 /
Л .	1	X	1	2	2	/ /ч
= 2xsm—. ...	----.... cos—t	при х +V # 0.
у/х2 + у2 у/х2 + у2 у/х2 + у2
В точке (9(0,0) эта формула теряет смысл. Однако это не означает, ди /п п\	,
что — (0,0) не существует, поскольку выражение для — (х,у) было xj Ju	\J
ди
получено при условии х2 + у2 0. Для нахождения —(0,0) воспользуемся определением частной производной. Так как
и(х,0) =
2 	1
х sm —, и
О,
х / 0,
х = О,
то Дтг1 = и(Дх, 0) — н(0, 0) = Дх2 sin-2—-. Отсюда lim = k '	7	|Дх|	Дх-,0 Дх
= lim Дх sin —Ц--= 0, т. с. m 0) = 0. Аналогично можно доказать, Дх->о |Дх|	дх
Частные производные
221
ди
что — (0,0) = 0. Итак, функция и(х,у) имеет частные производные в окрестности точки О.
Докажем, что функция u(x,y) дифференцируема в точке О. Для этого нужно доказать, что Дм = м(Дж, Ду) — м(0,0) = (Дж2 + . 2, . 1
+ Ду ) Sin ----------можно представить в виде
х] £хх2 + Ду2
Дм = тг-(0,0) Дж + t-(0,0) Ду + о{\/Дж2 + Ду2), (J	Uy
справедливо равенство (учитываем, что ^(0,0) = ^(0,0) = 0^
(Дж2 + Ду2) sin —- 1 ----- = о(х/Дж2 + Ду2)
у] Да2 + Ду2
Но это равенство очевидно, поскольку
(Дх2 + Ду2) sm —	—
,.	х/ Дх2 + Ду2
lim -----------------------— —
Дх—>0 Ду—>0
т. е.
Дх2 + Ду2
= lim х/Дж2 + Ди2 sin 1 — = 0.
Да:—Ю	у/ Дх2 + Ду2
Ду-»О	v	У
Таким образом, функция и(х,у) дифференцируема в точке О. тг	да, ,
Докажем, наконец, что частная производная — (ж, у) не является дх
непрерывной в точке О. Очевидно, первое слагаемое 2х sin —г х/х2 + у2
стремится к пулю при М(х,у) —> 0(0,0). Второе же слагаемое /	27	1	\
I--- соя  -	- I не имеет предела при М{х,у) —>
' XJ X2 + У2 х/х2+у2'
-> 0(0,0). В самом деле, если точка Л/(ж,у) стремится к точке 0(0,0) по лучу у = кх (к 0, х > 0), то на этом луче указанное слагаемое 1 1
равно---cos —	 и, очевидно, нс имеет предела при х —> 0.
х]1 Т к2	хх] 1 к2
ди
Итак, предел — (х,у) при М(х,у) —> 0(0,0) не существует. Сле-
довательно, У) не является непрерывной в точке О. Аналогично ди
можно показать, что —1х,у) не является непрерывной в точке О. ду
Рассмотренный пример показывает, что непрерывность частных производных является только достаточным (теорема 13), но не необходимым условием дифференцируемости функции. А
4.	Составить уравнение касательной плоскости к параболоиду и = = х2 + у2 в точке No(l, 2, 5) и найти нормаль к параболоиду в этой точке.
222
Гл. X. Функции нескольких переменных
ди
Д Пусть Мо(1,2) — точка на плоскости Оху. Так как — = 2х, ~ — 2у, то |^(-^о) — 2, ~(Мц) — 4. Учитывая также, что и(М0) = = 5, получаем искомое уравнение касательной плоскости
2(х — 1) + 4(у — 2) — (и — 5) = 0, или 2х + 4у — и — 5 = 0.
Вектор п = {2,4, —1} является нормалью к параболоиду в точке ЛГ0. А 5. Найти частные производные функции и = f(x,xy,xyz) по аргументам X, у И Z.
Д Данная функция является сложной функцией переменных х, у и z: и = /(х-[_,Х2,хз), где xi = х, Х2 — ху, х3 = xyz. Обозначим частную производную функции и = f(xi,X2,x3) по аргументу Xt, через / (г = = 1,2,3) (функции /' зависят от тех же аргументов, что и функция /, т. е. /? = /'(ж, ху, xyz)). Применяя формулу (4), получим
> fi	ft	ди fi	fi	du fi
fi-^ +fz-У + h-yz, = f2-x +f3-xz, -=f3-xy.L
6. Найти дифференциал функции: а) и = ex2+y2+*2 в точке Л4(0,1,2); б) и = f(x + у2, у + х2) в точке Л/(—1,1).
Д а) Имеем = е^+у2+^2.2х, ^(М) = 0;	= е^2^  2у,
дх	дх'	ду
^(М) = 2е5;	= ех +z2-2z, ^-(М) = 4е5. Следовательно,
ду	dz	dz
dU\M = dx + g(M) dy + ^(M) dz = 2 • Ody + 4e5dz.
б) Запишем функцию и = f(x + у2, у + х2) в виде и = f(t, v), где ,	,2	, 9 г,	ди ди
t = х + у , v = у + х. Вычисляя частные производные — и — по дх ду формуле (4), получим
= ft(x + у2, у + х2)  1 + fv(x + у2, у + X2) • 2х, ^(М) = Л(0,2)-2А(0,2),
= ft(x +у2, у + х2) - 2у + fv(x + у2, у + X2)  1,
^(М) = 2А(0,2) + Л(0,2).
Следовательно,
= [Л(0,2) -2А(0,2)] dx+ [2ft(0,2) + fv(Q, 2)] dy. (7)
§4- Частные производные
223
Это же выражение для можно получить другим способом, используя инвариантность формы первого дифференциала. В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем
du\M = ft(0,2)dt + fv(0,2)dv,	(8)
где dt и dv — дифференциалы функций t = х + у2 Hv = y + x2 в точке М(-1,1). Так как g(M) = 1, g(M) = 2, g(M) = -2, g(M) . 1, то dt\M = dx + 2dy, M = —2dx + dy, и из равенства (8) получаем dw|M = ft(Q,2)(dx + 2dy) + fv(0,2)(-2dx + dy) =
=	2) - 2/v(0,2)]dx + [2ft(0,2) + /„(0,2)]dy,
что совпадает с равенством (7). ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
24. Найдите частные производные следующих функций: а) и = х2 + у3 + Зж у3',	к"1 ’< — ж — •
в) и = sin(a:y + yz); .	.	X
е) и = arcsm
и) и =
б) и = xyz + —: yz
t _ cost д) ад = tg (г+ y)  el/y;
cos у
----, ж) и = arctg з) и = ryln(ry);
:2+у2	X
k)u — zx/v-, л) и = xyZ; м) и = xyyzzx.
25.	Существует ли частная производная функции ад =
точке (0,1)?
26.	Исследуйте, имеет ли функция ад(ж, у) частные производные в точке 0(0, 0) и дифференцируема ли она в этой точке, если:
•2 — у2 в
а)	и = -уЛг2 + у2;	б) и = у/х4 + у4;	в) ад = tyxy; г)	и = у/х2у2
д)	и = у/х4 + у4-	е) и = у/х3 + у3',	ж) и = у/х4 + у4-,	
з)	( е-1/(^ + у2 U — \ 1 о,	\ х2 + у2 / 0, ж2 + у2 = 0;		
и)	ч/— и = ух - sm у;	к) и = %у • tgr;		
	Г X4 + у4	ж2+у2/0,	(х3 + у3 ы	+ Ы / о,
				
л)	и = <( х2 + у2	м)	и = < И + Ы	
	1 0,	х2 + у2 = 0;	1 о. kl	+ Ы = 0.
27.	Для функций из упр. 26 исследуйте вопрос о существовании частных производных в окрестности точки 0(0,0) и их непрерывности в точке О.
28.	Докажите, что если функции /(ж) и д(у) имеют производные соответственно в точках жо и у0, то функции и(х,у) = f(x) + g(y) и г>(ж, у) — f(x)  g(y) дифференцируемы в точке (ж0, Уо)-
29.	Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности:
а)	и = ху в точке А'о( 1,0,0);
б)	и = х + у2 в точке А(0,1,1); в) и — х3 + у3 в точке В(1, —1, 0); г) и = sin(xy) в точке С(1, тг/З, у/3/2); я) и = ех+у в точке P(l, —1,1).
224
Гл. X. Функции нескольких переменных
30.	Является ли плоскость и = 0 касательной в точке 0(0,0,0):
а) к параболоиду вращения и = х2 + у2; б) к конусу и = д/г2 + у2, в) к гиперболическому параболоиду и — ху?
31.	Найдите частные производные следующих сложных функций (функции / и д считаются дифференцируемыми)-
а) и = f(x + y,x2 + у2); б) и =	в) и = /(г - у, ху)\
\у т /
г) и = f (ху)  g(yz); д) и = [f(x - у)]д(ху)-,
е) и = f(x — у2, у — я2, ху)', ж) и = /(д/г2 + у2, у/у2 + z2, д/z2 + х2)
32.	В каждом из следующих случаев проверьте, что функция и(х, у) удовлетворяет соответствующему уравнению, если / — произвольная дифференцируемая функция.
ч г/ 2	2\ ди	ди
а) и = /(г2 +у ), у-----ж— =0,
Эх	оу
б) U = Xnf(^X \Х J
ди _ ди х---1- 2у— = пи,
дх У ду
.	.. 2 2х 9 ди ди
B)u = yf(x -у), у +ху—=хи-,
33.	Вычисляя частные производные — и — и исключая производные дх ду
функций / и g (f и g — произвольные дифференцируемые функции), составьте уравнение, которому удовлетворяет функция и(х, у), если.
а) и = х + f(xy)\ 6)u = xf(~\-, в) и — f(x - у,у - z)\
У t(x у\ \ t(x\ I (х г)и = /	, p)u = xf - +У5 -
\у z)	\У) \У
34.	Найдите решение и = u(r, у) уравнения:
а) — = cos г + ху, удовлетворяющее условию и(0,у) — у2\ дх
б)
в)
Uu 2	9	/	\ г\
— — х +у , удовлетворяющее условию и{х,х) — 0; ду
ди	I 1X ,
— = е 9 + у, удовлетворяющее условию и I х, - I = 1.
35.	Найдите дифференциал функции:
а)	и = х2у3 в точках М(г, у) и Мо(2,1);
б)	и = — в точках M(x,y,z) и N(l,2,3); х
в)	и = cos(xy + xz) в точках M(x,y,z) и 7V(1, тг/6, тг/6);
г)	и — еху в точках М(х,у) и 0(0,0),
д)	и = ху в точках М(х,у) и Л/о(2,3);
е)	и = г 1п(жу) в точках М(х,у) и Мо(—1, — 1).
§ 5. Частные производные высших порядков
225
36.	Найдите дифференциалы следующих сложных функций в указанных точках, если / — дифференцируемая функция, x,y,z — независимые переменные:
а)	и = /(я — у, х + у) в точках М(х, у) и Л/о(1,—1);
б)	и — flxy, - ) в точках М(х, у) и Мо(0,1), \ у/
в)	и = f(x2 — у2, у2 — z2, z2 — х2) в точках M(x,y,z) и Лг(1,1,1);
г)	и = f (sin х + sm у, cos х — cos z) в точках M(x,y,z) и 0(0, 0,0).
37.	Пусть и и v — дифференцируемые функции каких-либо независимых переменных. Докажите, что справедливы следующие правила дифференцирования:
1)	d(cu) = с du (с — число);	2) d(u + t>) = du + dv;
3) d(u — v) — du — dv;	4) d(uv) — udv + v du;
_4	v du —udv ,	.
5) d - I = ----j---- (n 0).
\ V )	v‘
§ 5.	Частные производные
и дифференциалы высших порядков
Основные понятия и теоремы
1.	Частные производные высших порядков. Пусть функция и = /(зд, • хт) имеет частную производную -— (она называется также частной производной первого порядка) в каждой точке некото-ди
рой окрестности точки М. Если -— имеет в точке М частную про-дх i
изводную по аргументу Xk, то эта производная называется частной производной второго порядка (или второй частной производной) функции и = /(яд, ...,хт) по аргументам хг, xj. в точке М и обозначается одним из следующих символов:
Если к г, то частная производная второго порядка называется смешанной. Если к = i, то частная производная второго порядка д2и d2f	,
обозначается —-=• или т-^-, или и..?, или /  дх2 дх2	•
Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и т. д. Частная производная п-го порядка (или п-я частная производная) функции и = f(xi,хт) по аргументам a:tl, яд2,xtn обозначает-дпи	А
ся --------------— и определяется формулой
дх1пдхг ... дхг1
2 .
u
дпи _ 9 /______________&
дхгпдх1п1.. дхг1 дх1п\дхгп_г... дхг1
8 В Ф. Бутузов и др
226
Гл. X. Функции нескольких переменных
Если не все индексы	равны друг другу, то частная произ-
водная тг-го порядка называется смешанной.
Теорема 17. Если в некоторой окрестности точки М0{хо,уо) функция и — f(x,y) имеет смешанные частные производные fXy(x,y) и fyx(x,y), причем эти смешанные частные производные непрерывны в точке Мо, то они равны в этой точке:
Фху(,%0,Уо) — /ух(%0,Уо)-	(1)
Если равенство (1) выполняется, то говорят, что смешанные частные производные второго порядка функции и = f(x,y) не зависят от порядка дифференцирования в точке М0(х0,у0).
Обобщением теоремы 17 является следующая теорема.
Теорема 18. Если все смешанные частные производные п-го порядка функции и = /(ah, • -.,хт) существуют в некоторой окрестности точки Мо и непрерывны в точке Мо, то они не зависят в точке Мо от порядка дифференцирования.
Определение. Функция и = f(xr,..., 3?m) называется дифференцируемой п раз в точке Мо, если все ее частные производные (я — 1)-го порядка дифференцируемы в этой точке.
Следующая теорема дает другое, нежели в теореме 17, достаточное условие для выполнения равенства (1).
Теорема 19. Если функция и = f(x,y) дважды дифференцируема в точке М0(х0,уо'), т0 fxy(xo,Vo') = fyx(xo,yo)-
2.	Дифференциалы высших порядков. Пусть функция и(х,у) независимых переменных х и у дифференцируема в окрестности точки Мо(хо,Уо) и дважды дифференцируема в точке Мо. Первый дифференциал функции
du = Ъ^Х' У> dx +	V>> dy
является функцией четырех переменных: х, у, dx и dy, причем ~~(х,у) и у~(х,у) — дифференцируемые в точке Мо функции.
с/ JE	\J у
Второй дифференциал d2u (или дифференциал второго порядка) функции и(х,у) в точке Мо определяется как дифференциал в точке Мо от первого дифференциала du при следующих условиях:
1°) du рассматривается как функция только независимых переменных х и у (иными словами, при вычислении дифференциала от du нужно рассматривать dx и dy как постоянные множители);
2°) при вычислении дифференциалов от ^(х,у) и ^-(х,у) приращения независимых переменных х и у берутся такими же, как и в выражении для du, т. е. равными dx и dy. На основании этого определения получается формула
= ~(Mo)dx2+2^(Mo)dxdy + ^(Mo)dy2,	(2)
iMo Эх2	дхду	дуг > * v /
§5. Частные производные высших порядков
227
где dx2 = (dx)2, dy2 = (dy)2. Формулу (2) можно записать в более компактном виде. Для этого введем следующие понятия. Символ
дх будем называть оператором частной производной по переменной х. При действии этого оператора на функцию и(х,у) получается новая функция — частная производная ^~(х,у). Аналогично определяется д
оператор — частной производной по у. ду
п	д д
Определим степени и произведения степеней операторов — и — дх ду следующим образом:
( д \2	52	„
I — 1 —	— оператор второй частной производной по х‘, при
X (J Лг /	(J Ju
д2и действии его на функцию и получается
_ д2
дх ду дх ду
— оператор смешанной второй производной по у, х; dk+l
- т; ь'»-7 оператор смешанной производной дхк ду‘
(к + /)-го порядка I раз по у и к раз по х.
Символ d = dx + dy назовем оператором дифференциала. При действии этого оператора на функцию и(х,у) получается дифференциал функции: du = dx + dy. Определим п-ю степень опе-дх ду
ратора дифференциала как n-ю степень двучлена — dx + — dy. В дх ду
частности, при п = 2 получаем ,2	( д , д , \2 д2 ,	_ д2 , , д2 , 2
d = dx + — dy) = — dx + 2^-—- dxdy + —— dy2. \dx ду ) дх2 dxdy	dy2
При действии оператора d2 на функцию и получится, очевидно, второй дифференциал функции. Таким образом, формулу (2) можно записать теперь в операторном виде:
д \2
dx+d^dy) и1л л/
Дифференциал dnu произвольного n-го порядка функции и(х, у) определяется индуктивно по формуле
dnu = d(dn~1u)	(3)
при таких же двух условиях, что и дифференциал второго порядка. Для dnu справедлива операторная формула
dnu = (-^-dx+-^~ dy) и.	(4)
\дх ду )	'
8:
228 Гл. X. Функции нескольких переменных
Если х и у являются не независимыми переменными, а дифференцируемыми (нужное число раз) функциями каких-либо независимых переменных ii, ..., tk, то формула (4) при п 2 становится, вообще говоря, неверной (неинвариантность формы дифференциалов высших порядков). В частности, при п = 2 имеем
j2 { д , , д . \2 , f ди .9 , ди ,2 \	,гч
d и= I — dx+ — dy) и+ — d2x + — d2y),	(5)
\ох оу / \дх ду )
где dx, dy, d2x, (Ру — дифференциалы первого и второго порядка функции x(i!,...,tfc) и
В случае функции т независимых переменных и = f(xi,...,xm) дифференциал n-го порядка определяется индуктивно по формуле (3) при условиях, аналогичных условиям 1°) и 2°). Оператор дифференциала имеет вид
d - dxr + ... + -— dxm, OX 1	охт
и справедлива операторная формула, аналогичная (4): ед	д	\п
dnu = ( -— dx\ + ... + -— dxm ) и.	(6)
\ОХ\	ОХт	/
3.	Формула Тейлора.
Теорема 20. Если функция и = /(ад,..., хт) дифференцируема п + 1 раз в некоторой Е-окрестности точки Мо(х$, ...,т™), то для любой точки M(xq + Дад, ...,х'-г + Дтт) из этой Е-окрестности справедливо равенство
/(4 + Дад, + Да:т) - /(a:J, ...,х™) =
= dwl + i-d2w| -р ... -j. _L cPul	+-—J-— d"+1ul	(7)
2! 'Mo	71! \Mo (71-1-1)1	IN’ v >
где N — некоторая точка, лежащая на отрезке MqM, а дифференциалы dku вычисляются по формуле (6), причем dxi = (г = 1,...,т). Формула (7) называется формулой Тейлора для функции и = = /(зд,...,яДп) с центром разложения в точке М0(х°, ...,3^).
Если положить Дад = ад — х1- (г = 1, ...,т) и раскрыть выражения для	то формулу (7) можно записать в виде
/(ад, ...,a;m) = /(^, ...X) + |£-(М0)(ад - а:?) + ...
- + ~ х°^ + - х°^ + -
1 0n f
“• "Т Ту а п (ЛТо)(%т ~ -^т) + -^п+1 = Рп (^1 > •••> Хт) + 7?n+l i (8) где Рп (ад,..., хт) — многочлен степени п от переменных х\,...,хт, а Rn+i = 7---— dra+1wl.. — остаточный член.
(п + 1)! w
§5. Частные производные высших порядков
229
Многочлен Pn(xi,..., хт) называется многочленом Тейлора-, он обладает тем свойством, что значения его и всех его частных производных до n-го порядка включительно в точке Мо соответственно равны значениям функции и = f(xi,...,xm) и ее частных производных в точке Мо-
При п = 0 из формулы (7) получаем формулу Лагранжа конечных приращений для функции многих переменных:
f(x° +Ахъ...,х°т +	— /(х?,...»=
Введем обозначение р = р(М0,М) — у/ДЯ} + ... + Да^- Тогда остаточный член в формуле (8) можно записать в виде Rn+i = °(рп) (остаточный член в форме Пеано).
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано справедлива при более слабых требованиях, чем в теореме 20, а именно функция и = f(xi,...,xm) должна быть дифференцируемой п — 1 раз в Е-окрестности точки Мо и дифференцируемой п раз в самой точке Мо-
Контрольные вопросы и задания
1	. Дайте определение частной производной второго порядка функции и — f(xi,..., хт) по аргументам xt,Xk в точке М. В каком случае частная производная второго порядка называется смешанной?
2	. Покажите, что смешанная частная производная fXy(x,y) функции и = f(x,y) представляет собой повторный предел
fxy(х, у) =
_ ц ]im f(x + Дт, у + Ду) - f(x, у + Ду) - f(x + Дх,у) + f(x, у) Aj/-»0Az->0	Дх • Ду
3	. Дайте определение частной производной n-го порядка функции и = —	по аргументам ,  , Xin. В каком случае эта част-
ная производная называется смешанной?
4	. Известно, что функция и = f(xi,..., хт) имеет все частные производные /i-го порядка в точке М. Что можно сказать о существовании частных производных меньшего порядка этой функции в точке М и в окрестности точки М?
5	. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции и = f(x,y). Пользуясь этой теоремой, обоснуйте равенство смешанных частных производных второго порядка функции и = [sin(r + y)]cos в любой точке М(х,у), в которой sin(r + у) > 0 (не вычисляя самих производных).
6	. Сформулируйте теорему о независимости zi-x смешанных частных производных функции и = f(x\,..., хт) от порядка дифференцирования. Опираясь на теорему о равенстве смешанных частных производных д3и	д3и
второго порядка, докажите, что -------- = ---------—.
dxi дх2 дхз дхз дХ2 дх^
230
Гл X Функции нескольких переменных
7	Дайте определение n-кратной дифференцируемости функции и = = /(ж1, , хт) в данной точке Докажите, что если функция дифференцируема п раз в точке Мо, то эта функция и все ее частные производные до (п — 1)-го порядка включительно дифференцируемы в точке Мо
8	Докажите, что если функция u =/(ri, , хт) имеет в некоторой окрестности точки Мо все частные производные n-го порядка и эти частные производные непрерывны в точке Мо, то функция дифференцируема п раз в этой точке
9	Сформулируйте вторую теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка функции и = f(x, у)
10	Дайте определение дифференциала второго порядка функции и = f(x, у) (х и у — независимые переменные) в данной точке Мо и, пользуясь этим определением, выведите формулу (2)
11	Напишите операторную формулу для дифференциала второго порядка функции и = f(x,y) (х и у — независимые переменные)
12	Дайте определение дифференциала n-го порядка функции и = f(x,y) Методом математической индукции докажите справедливость операторной формулы (4) для дифференциала n-го порядка
13	Выведите формулу (5) для дифференциала второго порядка функции и — f(x, у) в случае, когда хну — дважды дифференцируемые функции каких-либо независимых переменных
14	Напишите выражение для оператора дифференциала и операторную формулу для дифференциала n-го порядка функции и = /(ri, ,хт), где Г1, , хт независимые переменные Докажите, что эта формула справедлива и в том случае, когда xi, ,хт — линейные функции независимых переменных ti, ,tk
15	Сформулируйте теорему о формуле Тейлора и запишите формулу Тейлора в двух видах (формулы (7) и (8))
16	Что такое многочлен Тейлора7 Каким свойством он обладает7 Докажите это свойство
17	Напишите формулу Лагранжа конечных приращений для функции и = /(si, ,хт) При каких условиях эта формула верна7
18	При условиях теоремы 20 (т е пользуясь формулой (7)) выведите формулу для остаточного члена в форме Пеано При каких более слабых требованиях справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано7
Примеры решения задач
1. Найти частные производные второго порядка функции и = ху
А Сначала находим частные производные первого порядка.
ди „-j ди
— = ух11 ,	— = ху1пх
дх	ду
Затем, вычисляя частные производные от частных производных первого порядка, получаем производные второго порядка данной функции:
= у(.У - l)zy~2,	= 'T'J^ + yxv~Y In а: =	+ j/lnx),
d = yxy~l In x + xv- = xy~] (1 + ylnx), = з;у(1па:)2 A dx uy	x	dyz
§ 5. Частные производные высших порядков
231
Замечание В рассмотренном примере ------- = ----- Вообще, если
дх ду ду дх
функция и = f(x, у) является суперпозицией элементарных функций, то ее частные производные любого порядка также являются суперпозициями элементарных функции, а так как элементарная функция непрерывна в любой точке, в окрестности которой она определена, то частные производные любого порядка функции и = f(x,y) не зависят от порядка дифференцирования
2. Доказать, что функция
f(x,y) = <
2	2
X — У	о .	9	/ г»
ху 2 , 2, ж2+1/2^0, х2 + у2
0, х2 + у2 = 0,
имеет в точке 0(0,0) смешанные частные производные второго порядка, но при этом /хУ(0,0) / /Ух(0,0)
А Вычислим сначала частную производную первого порядка fx(x,y).
Во всех точках, кроме точки 0(0,0), это можно сделать, дифферен-х2 — у2 „
цируя по х функцию ху	Получаем
fz(x,y) = у Х2 У2 +ху(Х2	при?+1/2^0	(9)
X2 + у2 \Х2 + у2 / х
Чтобы найти /х(0,0), воспользуемся тем, что /(т, 0) = 0. Отсюда имеем /х(0,0) = О
Для нахождения смешанной производной второго порядка fxy(fi,0) нужно найти производную по у функции fx(O,y) в точке у = 0. Из (9) следует, что fx(O,y) = —у при у 0, а так как /ж(0,0) = 0, то
Vy. /х(0,1/) = -у Следовательно, /Ж!/(0,0) =	Л(0,2/) |у=0 = “1-
Г2-!/2	fX2-y2\'
Аналогично получаем ftAx.y) = х —-----7 + ху ——~]	при
х2 + у2	\х2+у2}у
+ у2 0, /у(0,0)=0, откуда Vz. fy(x,Q) = х Следовательно,
Таким образом, /жу(0,0) / /Ух(0,0). А д10и
3. Найти	если и = еху.
дх2 ду№
Указанная частная производная десятого порядка не зависит от
порядка дифференцирования (см замечание после примера 1). Оче-=”»»». ту. = Л”  в-™™	”»
д8и
производную по х от —т-, получаем дуя
д2 (д8и\ _ д10и _ ^8}"еху дх2\дуя) дх2дув у }
= 56хвеху + 16a:7j/e^ + т81/2е^ = е^(56т6 + 16т7
X2
А

232
Гл X. Функции нескольких переменных
4. Найти второй дифференциал функции и = ху в точке Л1о(1,0).
А Полагая х = 1, у = 0 в выражениях для частных производных второго порядка данной функции (см. пример 1), получим	=
д2,,	д2,,	д2,,
= °’	=	= 1 ^(Мо) = 0. Подставляя эти зна-
дх ду	дудх	ду2
чения в формулу (2), находим d2u|м = 2dxdy. А
5. Найти второй дифференциал функции и = f(x + у, ху) в точке М(х,у), если х и у — независимые переменные.
А Запишем данную функцию в виде и = f(t, v), где t = х + у, v = ху. Используя эти обозначения, находим
+ У, ху) + /„(я: + у, ху)  у,
= ft(x + У, ху) + fv(x + у, ху)  х,
д2и
-Q^ — fit + fvt'y + ftv’y + fvv  у2 — fit + tyftv + у2 fvv,
д2и г , t	,
qx Qy — ftt + Jvt ’ X + ftv • у + Jvv  Xy + Jv —
ftt T (x + y) ftv + xyfvv + /v.
d2u
о 2 fit "T ' % "T fvv ' % — fit "T ^xftv T X fvv
dy2
Подставляя эти выражения в формулу (2), получаем
d2u = (ftt + 2yftv + У2 fw) dx2 + 2(/tt + (x + y)ftv + xyfvv +
+ fv) dx dy + (fu + 2xftv + x2fw) dy2. k
6.	Разложить функцию f(x,y) = еж/у по формуле Тейлора (8) с центром разложения в точке Мо(0, 1) до членов второго порядка включительно.
А Сначала находим частные производные функции f(x,y) до второго порядка включительно-
df _ ех/у . £	df _ ^х/у . / г \
дх	у1	ду	\ у1 / ’
д f — „x/у . 1 д f _ „x/у . (, „x/у . /
дх2	у2’’ дудх	\ у3)	\ у2 /
д f = рх/у . х___|_ рх/у .
ду2	у4	у3 ’
В точке Mo(0,1) имеем f(M0) = 1,	=	^(-^о) = 0,
д2 /	д2 f	g2f
-^(Мо) = 1, -х~-(М0) = -1, -^-(Мо) = 0. Подставляя эти выра-дх2	дудх	ду2
§ 5. Частные производные высших порядков
233
жения в формулу (8), получаем
ех/у _ | _|_ х 1 х2 _ х(у _	| 2Х 1 х2 _ Ху _|_ д3.
В форме Пеано 7?3 = о(х2 + (у — I)2)- А
7.	Доказать, что если функция f(x,y) дифференцируема в выпуклой*) области G и се частные производные fx(,x,y) и fy(x,y) ограничены в этой области, то f(x,y) равномерно непрерывна в области G-Д Пусть |/Дз;,у)\ с, |fy(х,у)| с в выпуклой области G (с > О — некоторое число). Зададим произвольное е > 0 и поло?ким д =
2с
Пусть Mi(xi,yi) и М^х^тУг) — любые точки области G, для которых p(A7i, М2) < 5. Так как область G выпуклая, то отрезок прямой, соединяющий точки Mi и М2, целиком лежит в области G, и поэтому к разности /(MJ — /(М2) можно применить формулу Лагранжа:
f(Mi) - КМ2) = fx(N)(xi - Х2) + fy(N)(yi - У2).	(Ю)
Далее, так как p(Mi,M2) = л/(з?1 — х2)2 + (yi — у2)2 < <5, то — -т2| < 6, \yi -у2\ < И поскольку |/x(N)| с, |(7V)| с, из равенства (10) следует, что
\f(Mi) - f(M2)\ \fx(N)\\xi - т2| + \fy(N)\\yi - у2\ < 2с6 = е.
Согласно определению это и означает, что функция f(x, у) равномерно непрерывна в области G. А
8.	Доказать, что функция
0, х2 + у2 — 0, равномерно непрерывна на всей плоскости.
Д Докажем сначала, что данная функция имеет ограниченные частные производные их и иу на всей плоскости. В самом деле, их = - + 3^ fxy при х2 + у2 0 и «ДО, 0) = 1 (см. пример 2 § 4).
(j.2 _|_ yZjZ
Переходя к полярным координатам х = pcosp, у = р sirup, получим их = cos4 ip + 3 cos2 ip sin2 tp — 2 cos tp sin3 p (при p 0) и wx(0,0) = 1. Отсюда непосредственно видно, что их(х, у) — ограниченная функция на всей плоскости. Аналогично доказывается ограниченность иу(х,у).
Казалось бы, теперь можно воспользоваться установленным в примере 7 достаточным условием равномерной непрерывности функции.
*) Область G называется выпуклой, если для любых точек Mi и М2 этой области отрезок прямой, соединяющий точки Mi и целиком принадлежит области G. Например, круг и прямоугольник — выпуклые области на плоскости.
234
Гл X Функции нескольких переменных
Однако этому мешает тот факт, что функция n(z,t/) не дифференцируема на всей плоскости, а именно не дифференцируема в точке 0(0,0) (см. пример 2 § 4) Тем не менее простые рассуждения позволяют обойти это препятствие Если точки Мг и М2 таковы, что точка О не лежит на отрезке М3М2, то разность u(Mi) — u(Af2) можно оценить с помощью формулы Лагранжа точно так же, как и в примере 7 Если же точка О лежит на отрезке MiM2, то разность u(Mi) — и(М2) следует заменить суммой двух разностей (u(Mi)-— и(Л/з)] + [u(M3) - u(M2)], причем точку М3 выбрать так, чтобы точка О не лежала на отрезках М^М3 и М3М2 Далее, каждую из этих разностей можно оценить с помощью формулы Лагранжа В любом случае получим |и(ЛЛ) — u(Af2)| < е, если р(М2,М2) < 6 = —, где с — верхняя грань |нж| и | Это доказывает равномерную непрерывность функции и(х,у) на всей плоскости к
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
.У*
38. Найдите частные производные второго порядка следующих функций а) и = х3 + у4 + 2г3у4, б) и = xy2z3 -|—-—, в) и = сов(жу), y2z3
г) и = sm(r + yz), д) и = arctg -, е) и = х/r2 + у2 ех+у,
X т	т
и) и — cikXk 4- b^kXiXk (ofc,
л	г -i	t k—i
числа)
тт	.	i \ f ХУ при 1н| < Ы,
39.	Докажите, что функция и(х, у) = |	> |х| имеет в точке
0(0, 0) смешанные частные производные второго порядка, но иху (0, 0) иух(0,0)
40.	Докажите, что если функция и = f(x,y) имеет в некоторой окрестности точки А1о(го,г/о) частные производные fx(x,y), fy(x,y), fxy(x,y) и смешанная частная производная fiy(x,y) непрерывна в Мо, то в этой точке существует смешанная частная производная fyx и справедливо равенство fyx(х0, у0) = fxy(x0,y0)
41.	Найдите частные производные указанного порядка
д3и д3и
а)	—л— и -------, если и = sm ху,
дх2 ду дх ду2
,, д3и	л	д	, д3и
б)	—;---если и = х cos у + у cos х,	в) -------, если и = е ,
1 дх4 ду4	У	’	' дхдудг
у д10и	„	. дт+пи	т п
г) —- если и = smrcoszw, д) ------------, если и = х у ,
’	дх^ду6	дхтдуп
дт+пи	,	у
е)	-----, если и — е. suit; + е cos
дхт дуп	2
. Э10И	. 2	.10,	X Эт+"11	X + у
ж)		-, если и = (х + у) tgr, з)  ----—, если и = ----
дх ду9	дхт дуп	х — у
42.	Найдите частные производные второго порядка следующих функций
(функции fug считаются дважды дифференцируемыми)
§ 5 Частные производные высших порядков
235
а) и = /(г + у,х2 + у2),	6)u = f(xy,-], в) и = f(xy) g(xz),
\ у/
г) и = In f(x,x + у), д) 14 =/(smr + cosy), е) и = [/(г)]3^^
43.	Докажите, что функция
Г -ж2-4
и _ ) е	, гу / О,
V 0, ху — О,
имеет в точке 0(0,0) частные производные любого порядка, которые не зависят от порядка дифференцирования, но при этом функция и разрывна в точке О
	I	(ж-хр)2
44.	а) Докажите, что функция и =-— е	4a2t (а и Жо — числа) удов-
2аутг4
_ ди 2д2и
летворяет уравнению теплопроводности — = а —— dt дх2
б)	Докажите функция и = -, где г = ^/(т — жо)2 + (у — уо)2 + (г — zo)2,
, _	_	. д2и д2и д2и
удовлетворяет при г Ф 0 уравнению Лапласа Ли = —=• Н-+ —- = О
дх2 ду2 dz2
45.	В каждом из следующих случаев проверьте, что данная функция удовлетворяет заданному уравнению, если / и у — произвольные дважды дифференцируемые функции
, г/ ,х /	д2и 2д2и
а)	и = f(x - at) + g(x + at), = a
б)	и = ж/(ж + y) + yg(x + y),	— 2 9 “ +	= 0,
)	ТУ/, дх2 dxdy dy2
\ ,fv\ (y\ ?d2u , d2u 2d2u
в)	u = /(~) +жу(М, x2—, + 2xy——— +y2—- = 0, \x/ \x J ax1 ax ay ayz
, r, efy\	.	l-„	(y\	2d2U	„ d2U	,	2^2U	l 1X
r) tl — Ж / - 4-ж1 у- , я2—+ 2ry——+y2-—=n(n - l)u, \x )	\x)	dx2 dxdy dy2
,	, .. du d2u	du d2u
д) u = f(x + g(y)), —
dx dxdy	dy dx2
46.	Вычисляя частные производные первого и второго порядков и исключая производные функции / и g (f и g — произвольные дважды дифференцируемые функции), составьте уравнение, которому удовлетворяет функция ад(ж,у), если
а) и = f(x) + g(y), б) и = f(x)g(y),
в) и = f(x + у) + д(х - у), г) и = f(xy) + д ( - )
\yJ
47.	Найдите решение и = и(х, у) уравнения
х д2и	,п ,	2 ди .
а)	—- = у, удовлетворяющее условиям и(0,у) = у ,	—(0, у) = у,
дх2	дх
д2и
б)	---— = — sins, удовлетворяющее условиям и(0, у) — 0, и{х, 0) = х,
дх ду
д^и	ди
в)-	---- — 1, удовлетворяющее условиям и(х, 0) = 0, —(ж, 0) = ж + 1,
дх ду2	ду
и(°,у) = У
48.	Для функций из упр 35 найдите дифференциалы второго порядка в указанных точках
236
Гл. X. Функции нескольких переменных
49.	Найдите дифференциалы второго порядка следующих функций в указанных точках, если / — дважды дифференцируемая функция, х, у, z — независимые переменные:
а)	и = f(x — у, х + у) в точках М(х,у) и Mq(1,1);
б)	и = f (х + у, z2) в точках М(х, у, z) и Л1о(1, —1,0);
в)	и = f(xy, х2 + у2) в точках Л1(г, у) и 0(0, 0);
г)	и — sin /(х)  е-^ в точках М(х,у) и 0(0, 0).
50.	Найдите dnu, если: а) и = f(ax + by + cz); б) и = f(ax, by, cz); x, у, z — независимые переменные.
51.	Разложите данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в данной точке Мо'-
а)	и — (х — I)2 + (х + у)2, Л1о(0,0);
б)	и — х — 2у + х2 — Зху + 4у2, Мо(1, 2);
в)	и — х3 + у3 + z3 — 3xyz, ЛТо(1, 1, 1).
52.	Разложите данную функцию по формуле Тейлора с центром разложения в данной точке Мо до членов указанного порядка включительно: а) и = у/1 — х — у, Мо(0, 0), до членов второго порядка;
б)	и = 1п(1 + х + у), Мо (0,0), до членов третьего порядка;
в)	и = (х + у) sin ( г — у), Мц(0,0), до членов третьего порядка;
г)	и = ez cosy, Мо(0,0), до членов четвертого порядка;
д)	и = ху, Л/о(1, 1), до членов второго порядка;
е)	и = xy^z, Мо(1, 2, 1), до членов второго порядка.
53.	Исследуйте на равномерную непрерывность на всей плоскости следующие функции:
а) и = sin я cos у; б) и = е”1-1 +у \ в) и — у/х2 + у2;
(X2 - У2 2 , 2 / П	( X3 + У3	4 , 4 , п
—р===, х +у /О,	I	х +у ^0,
/х2 + у2	д) U = <	+ 0
0,	х2 + у2 = 0;	[	0,	x4+7j'1=0.
§ 6.	Локальный экстремум функции
Основные понятия и теоремы
1.	Определение и необходимые условия локального экстремума. Пусть функция и = f(M) = /(зи, хт) определена в некоторой окрестности точки M0(z°,х°т).
Определение. Говорят, что функция и = f(M) имеет в точке Мо локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки Мо, в которой при М / Мо выполняется неравенство f(M) < /(Мо) (f(M) > f(M0))-
Если функция имеет в точке Мо локальный максимум или локальный минимум, то говорят также, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстремум).
Теорема 21 (необходимое условие экстремума). Если функция и = f(M) = f(xi,...,xm) имеет в точке Мо(х°,..., х°т) локальный
§ 6. Локальный экстремум
237
экстремум и е этой точке существует частная производная функции ди ,,, ,	_
по аргументу х^, то -—(Мд) — 0.
UXk
Следствие. Если функция и = f(M) = f(x\, ...,хт) имеете точке Мо локальный экстремум и дифференцируема в этой точке,
то
du\M = ^L(Mo)dx1+... + ^(Mo)dx.m=0 0X1	ОХт
(при любых значениях дифференциалов независимых переменных dx\,..., dxm).
Точки, в которых первый дифференциал функции равен нулю, принято называть точками возможного экстремума этой функции. Для отыскания точек возможного экстремума функции и = f(xi,... ...,хт) нужно решить систему уравнений fX1(xt,...,xm) = 0, ... ..., fXm(xr, ...,хт) = 0 (это система т уравнений с т неизвестными х±,...,
2.	Некоторые сведения о квадратичных формах. Функция
вида
Q(x±,..., хт) =	+ 012X1X2 + ...
... + a^XiXrn + a21x2xi + а22х% + ... + аттх2т
т
(или, в краткой записи, Q = OijXiXj), где Оу — числа, причем i,j = l
Оу = aji, называется квадратичной формой от переменных Xi, ...,хт. Числа Oij называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих коэффициентов симметричная матрица
< ЙЦ	<212	0.1m
Й21	022	••• O2m
Oml Om2 О'тпт
— матрицей квадратичной формы. Определители
<51 — он,
d2 —
Оц 012
021	022
Оц ... Оц
Ofci ... O-kk
5
Оц ... Оц,
Oml ••• 0mm
называются угловыми минорами матрицы А.
Квадратичная форма Q(xi, ...,хт) называется положительно опре-
деленной (отрицательно определенной), если для любых значений пе
ременных xi,...,xm, одновременно нс равных нулю, она принимает положительные (отрицательные) значения.
238	Гл. X. Функции нескольких переменных
Отметим, что <2(0, 0,0) = 0.
Например, <2(аТ1,аг2) = x'j + ''2х.\ — положительно определенная квадратичная форма, так как Q(a:i,:r2) > 0 во всех точках (а^,я?), кроме точки (0,0).
Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной.
Квадратичная форма Q(xY,..., хт) называется квазизнакоопреде-ленной, если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль не только при Ху = ... = хт = 0.
Например, Q(a:i, т2) = х% + 2tiт2 + х% — квазизнакоопределенная квадратичная форма, поскольку Q(x\, ж2) = (зц + т2)2 0 во всех точках (а?!, т2), но Q{x\,X2) = 0 не только в точке (0,0); так, Q(l, —1) = 0.
Квадратичная форма Q(x\,..., тт) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Например, Q(x\,X2) = х\ — Х\Х2 — т2 — знакопеременная квадратичная форма, поскольку она принимает как положительные, так и отрицательные значения: <2(1,0) = 1 > 0, Q(0,1) = —1 < 0.
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
1°. Для того чтобы квадратичная форма Q(xi,...,xm) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны: <51 > 0,62 > 0,	> 0.
2°. Для того чтобы квадратичная форма Q(xT,..., хт) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров ее матрицы чередовались следующим образом: <51 < 0, §2 > 0, <5з < 0, ($4 > 0,...
3.	Достаточные условия локального экстремума. Второй дифференциал функции и = f(x\,..., хт), где хт — независимые переменные, в точке Мо можно записать в виде
т я2
d2wl = У' (M0)dxt dx.
1Мо	дхгдх,'	! J
m=i J
Это выражение показывает, что второй дифференциал функции и = = /(zi, ...,хт) в данной точке Мо является квадратичной формой от переменных dxi,..., dxm, а частные производные второго порядка
-— ------коэффициентами этой квадратичной формы.
(J X1 (JX 2
Теорема 22 (достаточные условия экстремума). Пусть функция и — f(M) = f(.xi, ...,хт) дифференцируема в некоторой окрестности точки М0(х°,..., х^) и дважды дифференцируема в самой точке Мо, причем Мо — точка возможного экстремума данной функции, т. е.
= 0. Тогда если второй дифференциал	является поло-
жительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной
§ 6. Локальный экстремум
239
формой от переменных dxi, ...,dxm, то функция и = f(M) имеет в точке Мо локальный минимум (максимум). Если же является знакопеременной квадратичной формой, то в точке Мо функция и = f(M) не имеет локального экстремума.
Замечание. ЕслиДи|м = 0, ad2n|M является квазизнакоопределеп-ной квадратичной формой, то функция и — f(M) может иметь в точке Мо локальный экстремум, а может и не иметь его. Например, для каждой из функций и = х4 +у4 и и = х3у3 в точке 0(0, 0) выполнены условия du = О, d2u = 0 (т. е. второй дифференциал является квазизнакоопределенной квадратичной формой). Но при этом первая функция имеет, очевидно, в точке О локальный минимум, а вторая функция не имеет экстремума в точке О.
4.	Случай функции двух переменных. Пусть функция и — = f(x,y) дифференцируема в окрестности точки Мо(хо,уо) и дважды дифференцируема в самой точке Мо, причем Мо — точка возможного экстремума данной функции, т. е. du|м = 0. Введем обозначения:
а11 = -гр-^(Мо},	0.12 = я'~я М) > а22 = ^-у(М0).
дх1	д.гду	ду1
Тогда из теоремы 22 и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы следуют утверждения:
1)	если D = аца22 - а%2 > 0, то в точке Мо функция и = f(x,y) имеет локальный экстремум (максимум при ац < 0 и минимум при аы > 0);
2)	если D < 0, то в точке Мо функция и = f(x,y) не имеет экстремума;
3)	если D = 0, то в точке Мо функция и = f(x,y) может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его.
Контрольные вопросы и задания
1.
2.
Дайте определение локального экстремума функции.
Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии экстремума и следствие этой теоремы Приведите пример функции и — f(x,y),
удовлетворяющей в некоторой точке Мо условиям
ди ,, . . ^-(Мо) ох
= о,
3
— (Мо) — 0, но не имеющей в точке Мо локального экстремума. ду
Какие точки называются точками возможного экстремума функции? Приведите пример функции и = f(x,y), имеющей в некоторой точке ,.	-	» ди .... п ди	..
Мо локальный экстремум и такой, что —-(Мо) = 0, а — в точке Мо не дх	ду
существует.
4
Какая функция называется квадратичной формой? Что такое матрица квадратичной формы? Выпишите матрицу квадратичной формы Q(xi,X2, хз) = 2х2 — 4xiX2 + 6Ж1Я3 — х2 — 2г2£з + Зх2 и вычислите ее главные миноры
240
Гл X Функции нескольких переменных
5 Какая квадратичная форма называется а) положительно определенной, б) отрицательно определенной, в) знакоопределенной, г) квазизнако-определенпой, д) знакопеременной9 Приведите примеры каждого типа квадратичных форм
6 Сформулируйте критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы Пользуясь этим критерием, установите, является ли знакоопределенной квадратичная форма Q(ri, х2, х3) — х2 — 2xix2 + 2х2 + + 4х2хз + 8т3
7 Напишите выражение для второго дифференциала функции и = = /(xi, ,хт) в точке Мо, если xi, ,хт — независимые переменные Квадратичной формой от каких переменных является с/2и|м0?
8 Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума функции и = f(xi, ,хт) Являются ли условия этой теоремы необходимыми условиями экстремума9
9 Сформулируйте достаточные условия локального максимума, локального минимума и отсутствия экстремума функции и = f(x,y) в точке Мо(хо,уо)
10 Приведите пример функции и — f(x,y), удовлетворяющей в некоторой точке Мо условиям du = 0, D = ana?? — а?2 = 0 причем эта функция в точке Мо а) имеет локальный экстремум, б) не имеет локального экстремума
Примеры решения задач
1. Найдите точки локального экстремума функции и = 2х2 — ху + 2xz ~ у + у3 + z2
Д Для нахождения точек возможного экстремума данной функции вычисляем ее частные производные и приравниваем их нулю-
их = 4х — у + 2z = 0, иу = — х — 1 + Зу2 = 0, uz = 2х + 2z = 0
Решая эту систему трех уравнений, находим две точки возможного экстремума: A7i(l/3,2/3, —1/3) и Мг(—1/4, — 1/2,1/4).
Далее воспользуемся достаточными условиями экстремума. Для этого вычислим частные производные второго порядка данной функции Нхх 4, Uj-y — Uyx —	1, Uxz — Uzx — 2, Uyy — 6y, UyZ	— 0?
uzz — 2.
Значения этих частных производных в точке М\ являются коэффициентами	- квадратичной формы от переменных dx, dy,
dz. Матрица этой квадратичной формы имеет вид
/ 4 -1 2 \
А =	-1	4	0
\ 2	0	2/
Вычисляя главные миноры матрицы А, получаем
2
0
2
<51 = 4 > 0, <5-2 =
4 -1
-1	4
= 15 > 0, <53 =
4 -1
-1	4
2	0
= 14 > 0
§6. Локальный экстремум
241
Согласно критерию Сильвестра d2u|м является положительно определенной квадратичной формой от переменных dx, dy, dz Следовательно. в точке Mi функция имеет локальный минимум
Исследуем теперь точку М2 d2ul,, имеет вид
I М}
Матрица квадратичной формы
-i 2 \
-3 0 .
0 2/
Отсюда получаем 51 = 4 > 0, <52 = -13 <0, <53 = -14 < 0. Следовательно,	не является знакоопределенной квадратичной формой от
dx, dy, dz. Нетрудно видеть, что эта квадратичная форма знакопеременная. В самом деле, если положить dx 7^ 0, dy = dz = 0, то получим (Ри\м2 —	dx2 — 4 dx2 > 0, а если положить dx = dz = 0, dy 7^ 0,
ox2
то получим d2u|м = ——(М2) dy2 ~ —3dy2 < 0 Следовательно, в точен/
ке М2 функция не имеет локального экстремума А
2. Найти точки локального экстремума функции и = х2 — 2xj/ + + 4//3.
Д Вычисляем частные производные функции и приравниваем их нулю:
их = 2х — 2у = 0, иу = — 2х + 12г/2 = 0.
Решая эту систему уравнений, получаем две точки возможного экстремума- Mi (0,0) и М2 (1/6,1/6).
Далее находим частные производные второго порядка: ихх = 2, иху = -2, иуу = 24г/
В точке Mi. ап = ^(MJ = 2, а12 = ^-(Mj) = -2, а22 = ох2	ох оу
D2u
= -g-^(Mi) = 0. Следовательно, D = аца22 — а22 = —4 < 0, и, значит, в точке Mi функция не имеет локального экстремума.
В точке Л/2: ад = 2, щ2 = —2, а22 = 4. Следовательно, D = = 2 4 — (—2)2 = 4 > 0 и так как ап = 2 > 0, то в точке ЛЛ функция имеет локальный минимум А
3. Найти точки локального экстремума функции и = Зх2у — х3 — -J/4-
Л Вычисляем частные производные функции и приравниваем их
нулю:
их = —Зх2 + бху = 0, иу = 3:г2 — 4у3 = 0
Решая эту систему, находим две точки возможного экстремума:
ЛА (0,0) и М2(6,3)
Вычисляем частные производные второго порядка данной функции- ихх = —бх + бу, иху = бх, иуу = -12у2.
В точке Mi: ац = 0, а12 = 0, а22 = 0, и, значит, D = аца22 — а22 = = 0- Поэтому точка Mi (0,0) требует дополнительного исследования.
242
Гл. X. Функции нескольких переменных
Значение функции и(х,у) в этой точке равно нулю: и(0,0) = 0. Далее, при х < 0, у = 0 имеем и{х,у) = — х3 > 0, а при х = 0, у 0 имеем и(х,у) = —у4 < 0. Следовательно, в любой окрестности точки Mi (0,0) функция и(х,у) принимает значения, как большие и(0,0), так и меньшие и(0,0), и, значит, в точке М\ функция u(z, у) не имеет локального экстремума.
В точке М2- оц = —18,	= 36, сыг = —108, и, значит, D =
= 648 > 0. Так как ац < 0, то в точке М2 функция имеет локальный максимум. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
54. Найдите точки локального экстремума следующих функций двух переменных:
а) и = х2 — ху + у2', б) и = х2 — ху — у2',
в) и = х2 — 2ху + 2у2 + 2т; г) и = х3 + у3 — х2 — 2ху — у2;
д) и = х3 — 2у3 — 3x4- 6j/); е) и = х3 — 2x2j/2 4- у4;
ж)	и = ху + ц^уу з) и = ех+2у(х2 -у2)',
и)	и = ех~у(х2 — 2ху 4- 2у2); к) и = (х2 4- 2у2~)е~^х2+у \
л)	и = (т — 2у')е~(х	м) и = xj/ln(x2 4- у2)- н) и = - 4- - + у.
55.	Найдите точки локального экстремума следующих фун^ций^трех переменных:
а)	и = х2 4- 2у2 4- z2 — 2х 4- 4у — 6z -I- 1;
б)	и = 2х2 4- у2 4- z2 — 2ху 4- 4z — х;
в)	и — х3 4- ху 4- у2 — 2zx + 2z2 4- Зу — 1;
х2 у2
г)	и — xyz(l — х — у — z); д) и — 2---1-----4х 4- 2z .
У z
е)	= (х + y + 2z)e~(x2+y2+x2).
56.	Докажите, что функция и = (х — у2)(2х — у2):
а)	имеет в точке 0(0,0) локальный минимум вдоль каждой прямой, проходящей через эту точку;
б)	не имеет локального минимума в точке 0(0,0).
ГЛАВА XI
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1.	Неявные функции
Основные понятия и теоремы
1.	Понятие неявной функции. Рассмотрим уравнение
F(z,2/) = 0.	(1)
Пусть для любого х из некоторого множества X это уравнение имеет решение относительно у. Тем самым каждому х € X ставится в соответствие определенное число — решение уравнения (1) (заметим, что уравнение (1) может иметь несколько решений относительно у, но мы выбираем какое-то одно из них). Это означает, что на множестве X определена функция у = /(ж). При этом правило /, ставящее в соответствие каждому х некоторое число, не указано здесь явно, а задано с помощью уравнения (1) (“спрятано” в этом уравнении). Такой способ задания функции у = /(ж) называется неявным, а сама функция у = /(ж) — неявной, функцией. Итак, неявная функция у = /(х) — это решение уравнения (1) относительно у, т. е. Vx £ X: F(z,/(z)) = 0.
Например, уравнение х2 + у2 — 1 = 0, рассматриваемое в области у 0, определяет неявную функцию у = V1 — х^. Таким образом, здесь неявная функция найдена в явном виде. Во многих случаях этого сделать не удается.
Аналогично уравнению (1) можно рассмотреть уравнение с большим числом переменных:
F(xx,x2,...,xm,y) = 0,	(2)
и ввести понятие неявной функции у = f(xi, х2,..., хт), определяемой уравнением (2).
2.	Существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции.
Теорема 1. Пусть-. 1°) функция F(x,y) непрерывна в прямоугольнике Q = {(т, у): а < х < Ь, с у d};
2°) Vx £ (a,b); F(x,c)F(x,d) < 0 (m. е. на нижней и верхней сторонах прямоугольника Q функция F(x,y) имеет значения разных знаков);
3°) Vx G (a,b) функция F(x,y) является строго монотонной функцией аргумента у на сегменте [с,d\.
244
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
Тогда на (а, Ь) существует единственная неявная функция, определяемая уравнением (1), и эта функция непрерывна на (а,Ь).
Следующая теорема в отличие от теоремы 1 носит локальный характер: утверждается существование, единственность и дифференцируемость неявной функции в некоторой окрестности точки.
Теорема 2. Пусть: 1°) функция F(x,y) дифференцируема в некоторой окрестности ш точки Мо(хо,уо);
2°) частная производная Fy непрерывна в точке Мо',
3°) F(x0,y0') - 0, Fy(xo,yo) / 0.
Тогда существует такой прямоугольник {(х,у): |х — то| <d,\y~ — З/о | с, d > 0, с > 0} С ш, в котором уравнение (1) определяет единственную неявную функцию вида у = /(ж), причем f(xo) = Уо, функция /(ж) дифференцируема на интервале (xq — d, xq + d), и ее производная вычисляется по формуле
Fx(x,y)
Fy(x,y)
Fx(x,f(x))
(3)
Замечание 1. Обратите внимание на порядок действий при вычислении Fx(x, f(x)) — числителя в формуле (3): сначала берется частная производная по х функции F(x,y), а затем вместо у подставляется /(ж) (но не наоборот).
Замечание 2. Если функция F(x,y) дифференцируема п раз в ш, то неявная функция у = f(x) дифференцируема п раз па интервале (то — — d, хо + d). Ее вторая производная может быть вычислена с помощью дифференцирования по х правой части равенства (3):
d Г Fa,(т,/(т)) 1 dx L Fj,(t, f(x)) J
(4)
Производные более высокого порядка вычисляются аналогично.
Замечание 3. Если условие Fy(xo,yo) 0 не выполняется, т. е. Fy{xo, уо) = 0, то уравнение (1) может иметь не единственное решение относительно у в окрестности точки Мо и может не иметь ни одного решения. Например, для уравнения F(x, у) = х2 + у2 — 1 = 0 выполнены условия F(l,0) = 0, FB(l,0) = 0. Очевидно, что в окрестности точки Мо(1,0) при х > 1 уравнение не имеет решений (вещественных) относительно у, а при х < 1 имеет два непрерывных решения: у = \/1 — х2 и у = — уТ — х2. Уравнение F(x,y) = х2 + у2 = 0, для которого F(0, 0) — Fj,(0, 0) = 0, не имеет решений относительно у при любом х ф 0.
Вместе с тем условие Fv(x,o,yo) 0 0 является лишь достаточным (в совокупности с остальными условиями теоремы 2), но не необходимым для существования в некоторой окрестности точки Мо единственной неявной функции вида у = /(ж), определяемой уравнением (1). Например, для уравнения F(x,y) = х3 — у3 = 0 это условие не выполнено в точке Мо(0,0): F(0,0) = FB(0, 0) = 0, но тем не менее данное уравнение определяет в окрестности точки Мо(0,0) единственную неявную функцию вида у = /(ж): У = х.
Теорема 3. Пусть: 1°) функция F(xi ,х?, ...,хт,у) = F(M) дифференцируема в некоторой окрестности ш точки Moi'M.x1), ,	у0)',
§1. Неявные функции
245
df ( ^-(zi
2°) частная производная Fy непрерывна в точке Мо;
3°) F(M0) =0, Fy(M0) #0.
Тогда существует такой параллелепипед
{(z1;Z2, ...,хт,у): |хг - х°\ < d, (г = 1,2, ...,т),
\у - i/0| с, di > 0, с > 0} С ш, в котором уравнение (2) определяет единственную неявную функцию вида у = f(xi,X2,...,Xm), причем f(x°,	= у°, функция у =
= f(xi,X2,..., хт) дифференцируема при |ж, — х®\ < di (i = 1,2, и ее частные производные вычисляются по формуле
Fxj(xi,x2, -, Хт, f(xi,X2,..., Хт)) Fy(Xi,X2, ..., Хт, f(Xi,X2, Хт))
(г = 1,2,	(5)
3.	Неявные функции, определяемые системой уравнений.
Рассмотрим систему п уравнений
F1(xi,X2,---,xm,y1,y2,-,уп) = 0, Р2(х1,Х2,--,Хт,у1,у2,...,Уп) = 0,
Fn(xi,X2,...,xm,y1,y2,...,yn) = 0.
Решение этой системы относительно У1,у2,—,Уп
У1 = fl(x1,X2,-.,Xm), У2= fa{xX,X2,-,Xm), ...
Уп = fn(x1,x2,...,xm)	(7)
называется совокупностью неявных функций, определяемых системой уравнений (6).
Определитель
5Fi	dFi	dFi
dyi	dyi	дуп
dF.	dF2	dF2
 и	1 1	
dyi	dy2	дуп
dFn	dFn	dFn
		
dyi	dy2	dyn
составленный из частных производных, называется определителем Якоби (или якобианом) функций F±, F2, , Fn по переменным У1,У2,---...,уп и обозначается символом
D(Fi,F2,.-,Fn)
Т)(.У1,У2,-,Уп) '
Теорема 4. Пусть: 1°) функции Fi, F2, Fn, входящие в систему (6), дифференцируемы в некоторой окрестности ш точки Мп(т° Т° 7° 11° ?/°	11°}-
м0{х1,х2, ...,хт,у1,у2, , Уп),
246
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
OF
2°) частные производные (i,j = 1,2, ...,п) непрерывны ке Мо;
3°) F1(Mo) = 0, F2(Mo)=0, Fn(Mo) = 0.
Тогда существует такой параллелепипед
в точ-
#0.
Мо
{(zi,z2, ...,хт,у1,у2,...,уп)' 1^1 - Я?| < dr (i = l,2,...,m),
\у3 ~ У°\ < cj> 0 = 1’2> ->n)>	>0, Cj > 0} С ш,
е котором система уравнений (6) определяет единственную совокупность неявных функций вида (7), и эти функции дифференцируемы при \xt —	< dt (i = 1,2,m).
Формулы для вычисления частных производных неявных функции (7) можно получить следующим образом. Предположим, что в систему (6) подставлены функции (7). Тогда получатся тождества, дифференцирование которых по переменной хг дает систему п ли-dfi df2	dfn
неиных уравнении относительно	:
дх, дхг	дхг
{3Fi	3F	Э/i	8Fi	9F	dfn	= Q
дхг	дух	дхг	ду2	дхг	дуп	дхг
dFn' dFn'' а// ’ ’ ’ dFn "/dfc'''' , 9F„ _ dfn '= ” дхг	дух дхг ду2 дхг	дуп дх.
л	-	й F(Fi,F2,...,Fn) п
Определителем этой системы является якобиан —!—f-. В си-
D(yi,y2, ...,уп)
лу условий 2° и 3° теоремы 4 он отличен от нуля в некоторой окрестности точки Мо. Поэтому из этой системы однозначно получаются (например, по формулам Крамера) выражения для частных производных неявных функций (7).
Контрольные вопросы и задания
1	Какая функция называется неявной? Приведите пример уравнения вида F(x,y) = 0, определяющего неявную функцию, и пример уравнения, не определяющего неявную функцию.
2.	Сколько непрерывных неявных функций вида у = f(x) определяет уравнение х2 — у2 = 0 в окрестности точки 0(0, 0)?
3.	Сформулируйте теорему о существовании, единственности и непрерывности неявной функции, определяемой уравнением F(x,y) = 0 (теорему 1). Докажите существование и единственность этой функции.
4.	Докажите, что уравнение х2 + у2 — 5 = 0 не определяет неявную функцию в прямоугольнике {(х, у): — 1 < х < 1, 0 5? у 5? 2}. Какое условие теоремы 1 не выполнено в данном случае?
5.	Сформулируйте локальную теорему о существовании, единственности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением F(x,y) = 0 (теорему 2). Докажите, что при условиях теоремы 2 существует такой прямоугольник, в котором выполнены условия теоремы 1.
§1. Неявные функции
247
6.	Выведите формулу (3) для производной неявной функции, дифференцируя по х тождество F(x,f(x)) = 0. Является ли такой вывод доказательством дифференцируемости неявной функции?
7.	Приведите примеры, когда невыполнение условия Fy(xo, уо) / 0.
а)	приводит к неразрешимости уравнения F(x,y) = 0 относительно у в окрестности точки (хо,уо) или к неединственности решения;
б)	не нарушает существования и единственности неявной функции вида у = /(ж), определяемой уравнением F(x,y) = 0 в окрестности точки (хо,уо)-
8.	Докажите, что уравнение х + у = 0 не определяет неявной функции в достаточно малой окрестности точки (1,1). Какое условие теоремы 2 не выполнено в данном случае?
9.	Уравнение |т| 4- у = 0 определяет в окрестности точки 0(0, 0) недифференцируемую в точке х = 0 функцию у = —1®|. Какое условие теоремы 2 не выполнено в данном случае?
10.	Уравнение (у — х)(у — 2х)(у + За:) = 0 определяет в любой окрестности точки 0(0, 0) три дифференцируемые функции у — х, у = 2х, у = —Зх. Какое условие теоремы 2 не выполнено в данном случае7
11.	Вычислите производные f'(0) и f"(0) неявной функции у = f (х), определяемой уравнением х2 + у2 — 1 = 0 и удовлетворяющей условию f (0) = = 1, двумя способами: а) используя формулы (3) и (4); б) используя явное выра?кение для функции f(x)
12	Сформулируйте теорему о существовании, единственности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением F(xi, z?, ••• ..., Хт, у) =0 (теорему 3).
13-	Сформулируйте теорему о существовании, единственности и дифференцируемости совокупности неявных функций, определяемых системой уравнений (теорему 4).
Примеры решения задач
1.	Доказать, что уравнение
у + 0,5 sin у — х = 0	(8)
определяет единственную неявную функцию вида у = f(x), х £ € (—оо, +оо), и найти /'(х),	f'(n), /"(я).
Л Введем обозначение F(x,y) = у + 0,5sinp — х. Так как Fv = = 1 + 0,5 cos у > 0, то при любом фиксированном значении х функция F(x,y) является возрастающей функцией аргумента у. Кроме того, для любого фиксированного значения х при достаточно больших значениях |р|, очевидно, выполняются неравенства F(x,y) < 0 при у < 0, F(x,y) > 0 при у > 0. Поскольку F(x,y) — непрерывная функция, отсюда следует, что V:/; существует единственное у такое, что F(x,y) = 0, т. е. Vx уравнение (8) имеет единственное решение относительно у. Это и означает, что уравнение (8) определяет единственную неявную функцию вида у = f(x), х € (—оо, +оо).
Так как F(x,y) — дифференцируемая функция и Fy{x,y) 0, то и функция у = f(x) дифференцируема на всей числовой прямой. Для
248
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
нахождения /'(.т) воспользуемся формулой (3):
= 1 ру(х,у) y=f(x) 1+0,5 cos/(ж)’
Дифференцируя f'(x), найдем
г"/ \ _ 0,5 sin/(ж)  /'(ж) __ sin /(ж) [1 + 0,5 cos f(x)]2	2[1 + 0,5 cos f(x)]3 '
Чтобы найти значения /'(ж) и f"(x) в какой-либо точке х, нужно сначала вычислить соответствующее значение f(x). Пусть х = тг. Нетрудно проверить, что решением уравнения (8) при х = тг является у = тг, т. е. /(тг) = тг. Подставляя х = тг, /(х) = тг в формулы для f'(x) и /"(ж), получаем /'(тг) = 2, /"(тг) = 0. А
2.	Найти производные /'(0) и /"(0) неявной функции у = /(ж), заданной уравнением
х2 — ху + 2у2 + х — у = 1	(9)
и удовлетворяющей условию /(0) = 1.
Л Функция F(x, у) = х2 — ху + 2у2 + х — у — 1 дифференцируема в любой окрестности точки (0,1). Производная Fy = — х + 4у — 1 непрерывна в точке (0,1). Наконец, F(0,1) = 0, Fy(0,1) = 3	0, т. е.
выполнены все условия теоремы 2. Поэтому в некоторой окрестности точки (0,1) уравнение (9) определяет единственную дифференцируемую неявную функцию вида у — /(ж), причем /(0) = 1. Более того, так как функция F{x,y) дважды дифференцируема в любой окрестности точки (0,1), то и функция у = J (х) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х = 0.
Производные /'(ж) и /"(ж) можно найти по формулам (3) и (4), а затем, полагая х = 0, /(0) = 1, вычислить /'(0) и /"(0). Однако удобнее поступить следующим образом. Предполагая, что функция у = /(ж) подставлена в уравнение (9), продифференцируем полученное тождество по х:
2х - у - ху' + 4уу' + 1 - у' ~ 0.	(10)
Полагая в равенстве (10) х = 0, у = 1, получаем — 1 + 4у'(0) + 1— — у' (ОТ) = 0, откуда г/(0) = 0. Чтобы найти вторую производную, продифференцируем тождество (10) по х\
2~2у' - ху" + 4(т/)2 + 4уу" - у" = 0.	(11)
Полагая х = 0, у = 1, у' = 0, получаем 2 + 3?/"(0) = 0, откуда у"(0) = = -2/3. Итак, /'(0) = 0, /"(0) = -2/3. А
3.	Найти производные первого и второго порядков неявной функции у = /(ж), заданной уравнением
у - 2х arctg = 0.	(12)
§1. Неявные функции
249
Л Левая часть уравнения (12) не определена при х = 0. Будем считать, что х ф 0. Предположим, что уравнение (12) определяет дважды дифференцируемую неявную функцию у = /(z). Подставляя ее в уравнение (12) и дифференцируя полученное тождество по х, приходим к равенству
y' — 2arctg^~ —?L-(Xy'- у) = 0.	(13)
X л т у
Уравнение (13) можно упростить, если воспользоваться исходным уравнением (12). А именно, из уравнения (12) следует, 2arctg- =
= Поэтому уравнение (13) можно записать так:
у'- - ~-^(ху'~ у) = 0.	(14)
Из уравнения (14) находим
У’ = ?	(15)
где у = f(x). Для вычисления второй производной можно, как и в примере 2, продифференцировать тождество (14) по х и, получив линейное относительно у" уравнение, найти вторую производную. Однако в данном случае удобнее воспользоваться равенством (15), из которого следует
„ = ху1 -у
X2
Подставляя в последнее равенство выражение (15) для у1, окончательно находим у" = 0.
Задача решена в предположении, что уравнение (12) определяет
дважды дифференцируемую функцию у = Исследовать вопрос о существовании такой функции можно, как это было сделано в примере 2, с помощью теоремы 2. Однако здесь мы воспользуемся другим способом. Равенство нулю второй производной функции во всей области определения означает, что уравнение (12)
может задавать только линей-
ные функции. Если ввести пе-	Рис- 28
ременную t = у/х, то уравнение (12) запишется в виде t = 2arctgt. Это уравнение имеет три решения: t = —to, t = 0, t = t0 (рис. 28). Следовательно, уравнение (12) определяет линейные функции у = —tr>x, у = 0 и у = tox при х ф 0. А
250
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
4.	Доказать, что уравнение
z3 - xyz + у2 = 16
(16)
определяет в некоторой окрестности точки (1,4,2) единственную неявную функцию вида z = f(x,y). Найти ее частные производные dz,	, d2z,	,	..	32z,n .,
д-(x,y), —(x,y), —(1,4) и —-^(1,4).
dx dx2' dx	dx2
А Функция F(x, y, z) = z3 — xyz + y2 — 16 дифференцируема в любой окрестности точки ЛДо(1,4,2). Производная Fz = 3z2 — ху непрерывна в точке Мо. Наконец, F(l,4,2) = 0, F^(l,4,2) = 8 / 0, т. е. выполнены все условия теоремы 3. Поэтому в некоторой окрестности точки Мо
уравнение (16) определяет единственную дифференцируемую неявную функцию вида z = f(x,y), причем /(1,4) = 2. Более того, так как функция F(x,y,z) дважды дифференцируема в любой окрестности точки Мо, то и функция z = f(x,y) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки (1,4).
dz
Для нахождения — (х,у) воспользуемся формулой (5):
dz _ Fx(z,y,z)	_ yf(x,y)
дх Fz(x,y,z)	3f2(x,y) — ху'
Дифференцируя по x, найдем
d2z _ 2xy3f(x,y)
dx2 (3f2(x,y) — xy]3
(17)
(18)
Теперь, подставляя в выражения (17) и (18) вместо х, у, f(x,y) соот-, . о	dz d2z	,, ..
ветственно значения 1, 4, 2, найдем значения — и —в точке (1,4). дх dx2
Рассмотрим другой (эквивалентный) способ решения задачи. Предполагая, что функция z — f(x,y) подставлена в уравнение (16), продифференцируем полученное тождество по х:
3z2zT -yz - xyzx = 0.	(19)
Решая уравнение (19) относительно zx, приходим к соотношению (17). Если же в равенстве (19) положить х — 1, у = 4, z = 2, то получим Ml, 4) = 1-
Чтобы найти zxx, продифференцируем тождество (19) по х\
64М2 + ЗгМа, - 2yzx - xyzxx = 0.	(20)
Отсюда следует равенство (18). Если же в равенстве (20) положить х = 1, у = 4, z = 2, zx = 1, то получим zxx(l, 4) = —0,5. А
5.	Доказать, что уравнение
х2 + у2 + z2 = а2	(21)
§1 Неявные функции
251
определяет единственную неявную функцию вида z = f{x,y) в некоторой окрестности точки Мо(хо,уо, z0), где
Zo = \/а2 -^о-Уо 0,	(22)
и найти: а) частные производные zx и zxy; б) дифференциалы dz и d2z этой функции.
Л Функция F(x,y,z) = х2 + у2 + z2 — а2 дифференцируема в любой окрестности точки Mq. Производная Fz = 2z непрерывна в точке Mq, причем Fz(xg, у0, zo) = 2z0	0 в силу соотношения (22). Из того же
соотношения следует, что F(x0,y0, z0) = 0.
Итак, выполнены все условия теоремы 3. Поэтому в некоторой окрестности точки Mq уравнение (21) определяет единственную дифференцируемую функцию вида z = f(x,y). Более того, так как функция F(x,y,z) дважды дифференцируема в любой окрестности точки Mq. то и функция z = f(x,y) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки (х0,у0).
а)	Предполагая, что функция z = f(x,y) подставлена в уравнение (21), продифференцируем полученное тождество по х:
2х + 2zzx = 0.	(23)
Отсюда имеем zx = —x/z, где z = f(x,y). Дифференцируя (23) по у, получаем
2zyzx + 2zzxy = 0.	(24)
Из равенства (24) можно найти смешанную производную, если известна производная zy. Чтобы найти zy, продифференцируем тождество (21) по у 2у + 2zzy = 0. Отсюда zy = -y/z, где z = f(x,y). Теперь из (24) находим zxy — —xy/z2, где z = f(x,y).
б)	Предполагая, что функция z = f(x,y) подставлена в уравнение (21), вычислим дифференциалы от обеих частей полученного тождества:
2х dx + 2ydy + 2z dz = 0.	(25)
Отсюда имеем
dz = — - dx — - dy,	(26)
где z = f(x,y). Чтобы найти второй дифференциал функции z = = f(x,y), вычислим дифференциалы от обеих частей тождества (25):
2(dx)2 + 2(dy)2 + 2(dz)2 + 2z d2z = 0.	(27)
Из равенства (27) получаем
~~Fdxdy ~
где z = f(x,y).
252
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
Заметим, что из равенств (26) и (28) находятся все частные производные первого и второго порядков функции г = f(x,y):
2,2	2,2
_ х _ _ у	_ х + z	_ ху _ у + г
Zz —	—	ZXX ~	, zxy — —	Zyy —	^3	1
где г = f(x,y). А
6.	Найти производные первого и второго порядков неявных функций ж(г), у(г) в точке г = 2, если эти функции заданы системой уравнений
2 + у2 = 0,5г2,
(29)
2 —2
1 1
= 4 и,значит, отличен от
и удовлетворяют условиям х(2) = 1, i/(2) = —1.
Л Функции Fi (ж, у, z) = х2 + у2 — 0,5г2 и F2(x,y, г) = х + у + z — 2 дифференцируемы в любой окрестности точки Мо(1, —1,2). Частные 3Fi „ dFx „ dFi , dF-i ,
производные	= 2ж, —- = 2w,	- = 1> -тг- = 1 непрерывны в точке
дх	ду	дх ду
Мо- Далее, имеют место равенства Fi(l,—1,2) = 0 и FaCl,—1,2) = 0.
„	, D(Fi,F2)
Наконец, якобиан -2*, —-г равен
Г>(ж,?/)
нуля в точке Mq. Таким образом, выполнены все условия теоремы 4. Следовательно, в некоторой окрестности точки Mq система уравнений (21) определяет единственную пару дифференцируемых функций x(z) и y(z). Более того, так как функции Fi(x,y,z) и F2(x,y,z) дважды дифференцируемы в любой окрестности точки Мо, то и функции х(г), y(z) дважды дифференцируемы в некоторой окрестности точки z = 2.
Предполагая, что в систему уравнений (29) подставлены функции x(z) и y(z), продифференцируем полученное тождество по z:
( 2хх' + 2уу' = z, I х' + у' + 1 = 0.
Полагая в равенствах (30) х = 1, у = —1, z = 2, получим систему уравнений относительно х'(2), у'(2):
Г Ж'(2) -з/'(2) = 1, \ х'(2) + y'W = -1.
Отсюда находим ж'(2) — 0, у'(2) = —1.
Теперь продифференцируем по z тождества (30):
( 2(х' )2 + 2хх" + 2(у')2 + 2уу" = 1, (	х" + у" = 0.
Полагая х = 1, у = —1, z = 2, х' = 0, у' = —1, получим систему уравнений относительно ж"(2), у"(2):
( х"(2)-у"(2) = -0,5,
1 х"(2)+2/"(2) = 0.
(30)
§1. Неявные функции
253
Отсюда имеем ж"(2) = -0,25, у"(2) = 0,25. А
7.	Доказать, что неявная функция z — f(x,y), определяемая уравнением
х2 + у2 + z2 = Уа(~\	(31)
\z/
где д(и) — произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению
(х2 — у2 — z2)zx + 2xyzy = 2xz.	(32)
Л Пусть х0, у0, zq — решение уравнения (31). Рассмотрим функцию F(x, у, z) = х2 + у2 + z2 — уд( - ) в некоторой окрестности точки М0(х0,уо, zo)- Пусть FZ(MO) ± 0. Тогда в некоторой окрестности точки Мо выполнены условия теоремы 3, и, следовательно, уравнение (31) определяет дифференцируемую неявную функцию z = f(x,y). Подставляя эту функцию в уравнение (31), получим тождество
x2+y2 + f(x,y) =уд(—У- -1	(33)
' У)'
Вычислим дифференциалы от обеих частей тождества (33):
2xdx + 2ydy + 2z dz = p(-) dy + д' (- dy — ~ dz\,	(34)
где z = f(x,y). Решая равенство (34) относительно dz, получим
Следовательно,
Подставляя полученные выражения для частных производных в уравнение (32), приходим к тождеству (33). Таким образом, неявная функция z = f(x,y), определяемая уравнением (31), удовлетворяет уравнению (32). А
8.	Найти локальные экстремумы неявных функций вида z — f(x,y), заданных уравнением
F(x, у, z) = х2 + у2 + z2 — 2х + 2у — 4z — 10 = 0.	(35)
Л Предполагая, что дифференцируемая неявная функция z = f(x,y) подставлена в уравнение (35), вычислим дифференциалы от обеих частей полученного тождества:
2х dx + 2у dy + 2z dz — 2 dx + 2 dy — 4 dz = 0.	(36)
254
Гл XI Неявные функции и их приложения
Отсюда (при z 2) находим
, х — 1 , у + 1 , dz = ----dx + 2----dy
2 — z 2 — z
Используя необходимое условие экстремума dz = 0, приходим к системе уравнений для координат точек возможного экстремума
Г ж ~ 1 - О
I 2-z ~ ’	Г х- 1 = 0,
p + i _0 или 0 + 1 = 0, К 2 — z
откуда х = 1, у = — 1 Подставив значения х = 1, у — — 1 в уравнение (35), найдем соответствующие значения z, имеем z2 — 4z — 12 = = 0, откуда zi = —2 и z? = 6 Таким образом, получили две точки М1(1,-1,-2) и М2(1,-1,б)
Заметим, что Fz(Mf_) = —8^0, FZ(M2) = 8 ф 0, и, следовательно, в окрестностях точек М\ и _М2 выполнены все условия теоремы 3 для уравнения (35) Так как функция F(x,y,z) дважды дифференцируема, то в некоторой окрестности точки Мг (г = 1,2) существует единственная дважды дифференцируемая неявная функция z = fj^x.y) При этом /1(1, —1) = —2, /2(1, —1) = 6 Точка (1, -1) является точкой возможного экстремума для каждой из функций fi(x,y) и /2(z,i/)
Чтобы применить достаточное условие экстремума, надо найти вторые дифференциалы этих функций Для этого вычислим дифференциалы от обеих частей тождества (36)
(dx)2 + (dy)2 + zd?z + (dz)2 — 2d2z = 0
Отсюда имеем
.2	(dx)2 + (dy)2 + (dz)2
2 — z
Учитывая, что dz\(i _i) = 0, получаем rf2/i|(i ~i) = 0,25[(dz)2 + (ch/)2], cZ2/2|(i -i) = -0,5[(dz)2 + (ch/)2] Таким образом, d2 fi|(i,—i) является положительно определенной квадратичной формой, а с?2/2|(!	—
отрицательно определенной квадратичной формой Следовательно, функция z = fi(x,y) имеет в точке (1,-1) локальный минимум, равный —2, а функция z = fz(x,y) имеет в точке (1, —1) локальный максимум, равный 6 А
Замечание Уравнение (35) приводится к виду
(х - I)2 + (у + I)2 + (z + I)2 = 16
Это — уравнение сферы радиуса 4 с центром в точке (1,—1,2) Точка Mi (1,-1, —2) — самая нижняя, а точка Л12(1, —1,6) — самая верхняя точка этой сферы Очевидно, неявная функция z = ф\(х,у) является уравнением нижней полусферы (в точке (1,-1) эта функция имеет минимум, равный — 2), а неявная функция z — fi(x,y) — уравнением верхней полусферы (в точке (1,-1) эта функция имеет максимум, равный 6)
§1 Неявные функции
255
/”(х) = -
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Пользуясь теоремой 1 докажите, что уравнение х3 + у3 + х 4- у = 12 определяет единственную неявную функцию вида у = /(х) в прямоугольнике {(х, у) — 1 < х < 1,5, 1 у 3} Найдите /(1)
2.	Пользуясь теоремой 2, докажите, что уравнение х3 + у3 — * х + 4у = = —4,2 определяет единственную дифференцируемую неявную функцию вида у = f(x) в некоторой окрестности точки (1 —1) Вычислите /'(1) и /"(1)
3.	Пусть функция F(x,y) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Мо(го,2/о) и пусть F(Mo) = 0 Ё„(Л/о) / 0 Докажите, что в некоторой окрестности точки Мо уравнение F(x,y) = 0 определяет единственную дважды дифференцируемую неявную функцию вида У = причем справедлива формула
Fz^F2 — ‘iFzyF^Fy + FyyF2
4.	Найдите первую и вторую производные неявной функции вида у = = f (х), заданной уравнением
a) In у/х2 + у2 = arctg б) у — ecosy = х (0 < е < 1),
в) ху = ух {у г), г) sinry = 1 — 0,2x7/
5.	Найдите первую, вторую и третью производные неявной функции вида у = /(х), заданной уравнением х2 + ху + у2 = 3
6.	Найдите/'(0), /"(0), /"'(0) для неявной функции у = /(х), удовлетворяющей условию /(0) = 1 и заданной уравнением
а) х2 + ху + у2 = 1 б) ysmx + х2 + у3 = 1
7.	Пользуясь теоремой 3, докажите, что уравнение z3 — 3xyz = 8 определяет единственную дифференцируемую неявную функцию вида z = = f(x, у) в некоторой окрестности точки (0, —1, 2) Вычислите zT(0, —1) и гД0,-1)
8.	Найдите частные производные первого и второго порядков неявной функции вида z = /(х у), заданной уравнением
a) z = у/х2 — у2 tg - -L--: -, б) z3 — 3xyz = а3, в) х + у + z = ez V12 - у2
9.	Найдите дифференциалы первого и второго порядков неявной функции вида z = /(х, у), заданной уравнением
а) х + у + z = e~x~y~z, б) - = In - + 1,
z	У
2	2	2
в) X2 +у2 + Z2 = 2 xyz, г)^-	+ ^ + ^ = 1
а-	о2	с-
10.	Найдите все частные производные второго порядка функции z = /(х, у) в точке (1, —2), если эта функция удовлетворяет условию /(1, —2) = 1 и задана уравнением
а) х2 + 2у2 + 3z2 + ху — z = 9, б) 3xyz + x2z2 — 5(х + у)
11.	Докажите, что неявная функция z = f(x, у), определяемая уравнением F(x — az, у — bz) = 0, где F(u, v) — произвольная дифференцируемая функция (a,b — постоянные), является решением уравнения a zx + + b zy = 1
256
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Гл XI Неявные функции и их приложения
Докажите, что неявная функция z = ffx-.y)-. заданная уравнением
F\ х + -,у + -} =0, где F(u, и) — произвольная дифференцируемая \ У х)
функция, удовлетворяет уравнению xz^ + yzv = z — ху
Система уравнений
j х cos и + у sin и + In z = д(и), | — zsinu-l- ycosu = д'(и),
где д(и) — произвольная дифференцируемая функция, определяет неявные функции z = /i(x,j/), и = /2(2,у) Докажите, что функция z = — fi(x,y) удовлетворяет уравнению (z^,)2 + (zy)2 = z2
Найдите производные первого и второго порядков неявных функций x(z) и y(z'), заданных системой уравнений
а) С х + у + z = 0, б) Г х2 + у2 - 2z = 1, х2 + у2 4- z2 = 1,	1 х + ху + у + z = 1.
Найдите производные j/'(0), z'(0), у"(0), z"(0) неявных функций у(т) и z(t), удовлетворяющих условиям j/(0) = —1, z(0) = 1 и заданных системой уравнений:
а) Г х + у + z = 0, б) f х2 - у2 - z2 + 2 = О,
х2 + у2 + z2 = 2,	х2 + ху + у2 4- z = 2
Найдите дифференциалы dz и d2z в точке (3, —2) неявной функции z = f(x,y), заданной уравнением Z3 - XZ + у = О И удовлетворяющей условию /(3, —2) = 2
Найдите дифференциалы первого и второго порядков неявных функций и(х,у) и v(x,y), заданных системой уравнений
{и 4- v = х + у,
sin и _ х sin-и у
Найдите du, dv, d2u, d2v в точке (1, 1), если неявные функции и(х,у) и v(x,y) заданы системой уравнений
и удовлетворяют условиям и(1,1) = 0, v(l, 1) = тг/4
Исследуйте на экстремум неявную функцию у — f(x), заданную уравнением у — esmy = х2 (0 < е < 1).
Исследуйте на экстремум неявные функции вида z = f(x, у), заданные уравнением
a) z3 — xyz + у2 = 16, б) z3 — xyz + у2 + 4х2 = 16,
в) х2 4- у2 4- z2 — xz — yz 4- 2т 4- 2у 4- 2z = 2;
г) (х2 +у2 - z2)2 - а2(х2 +у2 + z2) (а > 0)
§2 Зависимость функций
257
§ 2. Зависимость функций
Основные понятия и теоремы
1. Понятие зависимости и независимости функций. Пусть п функций
Г У1 = fl (xltx2,..., хт),
....................;	П)
определены и дифференцируемы в некоторой области D С Ет.
Определение. Функция yk — fk(xi,x2,...,Xm) = fk(M) называется зависимой в области D от остальных функций из совокупности (1), если ее можно представить в виде
Ук = Ф(У1,-,Ук-1, Ук+1,-, Уп),	(2)
где Ф — дифференцируемая функция своих аргументов.
Равенство (2) нужно понимать следующим образом: если в правую часть вместо yt подставить ft(M) (г = 1,..., к — 1, к + 1,..., п), то получится Д(М), т. е.	=
= fk(M) для всех точек М € D.
Определение. Функции (1) называются зависимыми в области D если одна из них (безразлично, какая) зависит в области D от остальных функций Если же ни одна из функций (1) не зависит от остальных, то функции (1) называются независимыми в области D.
Например, функции у\ = xf, у2 = х%, у3 = у/1 —	— х% зависимы
в круге D — {(яд, х2)' х% + х2 < 1}, так как для всех точек этого круга выполняется равенство у3 = у/1 — yi — у2. Примеры независимых функций рассмотрены ниже (см. пример 1 на с. 258).
2. Достаточные условия независимости и зависимости функций.
Теорема 5. Пусть функции у} = /i(o?i,a?2»•••>хт), ..., уп = fn(xi, х2, ...,хт), где п т, дифференцируемы в окрестности ш точки М0(х°,Х2, ...jX^) и пусть якобиан этих функций по каким-либо переменным не равен нулю в точке Мо- Тогда эти функции независимы в ш.
Следствие. Если функции у\ = fi(xi,x2, ...,хт), ..., уп = fn(x\, D(yi,y2, -,уп) х2,...,хт) зависимы в ш, то все якобианы -—т^—------ . равны
нулю в U).
Составим матрицу из частных производных функций (1):
	/ a/i	dfi	dfi \
	dxi	3X2	дх-гп
	df2	df2	df2
А —	dxi	dx2	дх-гп
	dfn	dfn	dfn
\ dxi		dx2	Эхт /
9 В Ф Бутузов и др
258
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
Она называется функциональной матрицей.
Сформулируем общую теорему о зависимости и независимости
функций.
Теорема б. Пусть: 1°) функции (1) дифференцируемы в окрестности а> точки М0(х^, х°,...,x^i), а частные производные (i = — 1,2,п\ j = 1,2,..., m) непрерывны в точке Мо;
2°) функциональная матрица А имеет минор r-го порядка, не рав-
ный нулю в точке Мо',
3°) все миноры (г + 1)-го порядка матрицы А (если такие имеются) равны нулю в ш.
Тогда г функций, представленных в указанном миноре г-го порядка, независимы в ш, а каждая из остальных функций зависит в некоторой окрестности точки Мо от этих г функций.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение функции, зависимой от других функций в некоторой области. Зависит ли функция yi = х2 от функции уз = х на интервале —1 < х < 1? Зависит ли функция у2 от yi на том же интервале?
2.	Дайте определение зависимости и независимости функций. Приведите пример зависимых функций. Зависимы ли функции yi = Xi, у2 = хъ в окрестности точки 0(0,0)?
3.	Сформулируйте теорему о достаточном условии независимости функций (теорему 5). Является ли это условие (отличие от нуля какого-либо якобиана этих функций в точке Мо) необходимым условием независимости функций в окрестности точки Мо? (Рассмотрите функции yi = х( и у2 = х2 в окрестности точки Мо(О, 0).)
4.	Сформулируйте необходимое условие зависимости функций.
5.	Сформулируйте общую теорему о зависимости и независимости функций (теорему 6).
Примеры решения задач
1.	Доказать, что функции yi = Xi + х% и у2 = xix2 независимы в любой окрестности точки 0(0,0).
Д Решим задачу двумя способами: 1) пользуясь определением зависимости и независимости функций; 2) используя теорему 5 о достаточном условии независимости функций.
I способ. Предположим, что yi и у2 зависимы в некоторой окрестности точки 0(0,0). Тогда в этой окрестности либо yi зависит от у2, либо у2 зависит от yi. Допустим, что yi зависит от у2, т. е. yi = Ф(у2), и, значит, Xi + х2 = Ф(Х1Х2) для всех точек (xi,x2) из указанной окрестности.
Отсюда для точек (xi, 0) этой окрестности (т. е. точек, лежащих на оси Oxi) получаем Xi = Ф(0) = const, а это противоречит тому, что Xi изменяется вдоль оси Ох\. Следовательно, yi не зависит от у2.
§2. Зависимость функций
259
Допустим, что у2 зависит от ух, т. е. у2 = Ф(т/1), и, значит, ххх2 = = Ф(ц + х2) для всех точек (x1,z2) из указанной окрестности. Отсюда для точек (жт, —o?i) (т. е. точек, лежащих на прямой х2 = —xi) получаем — х? = Ф(0) = const, а это противоречит тому, что хх изменяется вдоль этой прямой. Таким образом, у2 также не зависит от ух, т. е. функции yi и у2 независимы в любой окрестности точки 0(0,0).
II способ. Составим якобиан функций ух, у2 по переменным xi, Х2-.
D(xx, х2)
1
х2
1 хх
= Xi — х2.
В точке 0(0,0) этот якобиан, очевидно, равен нулю. Однако в любой окрестности ш точки 0(0,0) имеется точка M0(xi,х2), у кото-
рой xi х2, и, следовательно,	О Окрестность ш точки
Т>Си,*2) Мо
0(0,0) является также окрестностью точки Mq. Таким образом, для окрестности ш точки Мо выполнены условия теоремы 5, и, значит, функции yi и у2 независимы в ш. А
2.	Даны функции
х2, О, (z + 1)2,
х О,
— 1 < х < О, X -1.
Доказать, что ух зависит от у2 в некоторой окрестности любой точки числовой прямой, но ух не зависит от у2 на всей числовой прямой.
Д Для любой точки х можно указать такую окрестность, в которой зависимость ух от у2 при х > — 1 выражается формулой ух = Фд (т/г) = = у2, а при х — 1 — формулой ух = Ф2(1/2) = 0. Таким образом, ух зависит от у2 в некоторой окрестности любой точки х.
Вместе с тем ух не зависит от у2 на всей числовой прямой Е1. В самом деле, предположим, что это не так, т. е. ух зависит от у2 на Е1. Тогда существует такая дифференцируемая функция Ф(т/2)1 что сразу для всех х выполняется равенство ух = Ф(г/2), т. е. это равенство обращается в тождество относительно х при подстановке ух = Ух(х), у2 — У2(х): ух(х) = Ф(у2(хУ). Положим в этом тождестве х — —2. Учитывая, что ух(~2) = 0, у2(—2) = 1, получим Ф(1) — 0. Положим теперь х = 1. Так как j/i(l) = 1, 3/2(1) = 1, то Ф(1) = 1. Равенства Ф(1) = 0 и Ф(1) = 1 противоречат друг другу. Следовательно, функция 1/1 (х) не зависит от у2(х) на всей числовой прямой. А
3.	Исследовать вопрос о зависимости функций уг = хх + х2 + х3+ + Х4, У2 = Хх - Х2 + Х3 - Х4, Уз = (Хх + Х3)2 + (х2 + Х4)2.
Д Составим функциональную матрицу из частных производных
9*
260
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
1
-1 2(Х2 + Х4)
1 1 мер, т _т
функций У1,У2,Уз-
/ 1	1	1
А= 1	-1	1
\	2(xi + Хз)	2(z2 +	Xi)	2(zi+z3)
Матрица А имеет минор второго порядка, отличный от нуля, напри-= —2 7^ 0, а все миноры третьего порядка тождественно равны нулю, поскольку каждый такой минор содержит два одина
ковых столбца. Отсюда по теореме б следует, что функции ух и у2 независимы в любой окрестности каждой точки М(хх, х2, Хз, х^) и, значит, независимы во всем пространстве Е4, а функция у3 зависит от yi и j/г в некоторой окрестности каждой точки М. Вместе с тем это не означает, что у3 зависит от ух и у2 во всем пространстве Е4 (см. пример 2). Однако в данном случае нетрудно проверить, что ух, у2 и уз связаны соотношением у3 = 0,5(?/i + у%), следовательно, у3 зависит от ух и у2 во всем пространстве Е4. Поэтому ух,у2,уз зависимы в£4. ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
21.	Докажите, что функции щ = ху, и2 = х, из = у зависимы на всей плоскости Оху
22.	Зависимы ли функции ух = 11Ж2 , у2 — ХхХ2Хз, уз = хз: хз
а) в окрестности точки (0,0,1); б) в полупространстве гз > 0?
23.	Пользуясь определением зависимости и независимости функции, докажите, что:
а)	функции ui — ху и и2 = - независимы в окрестности точки (0,1); У
Х1Х2	ХЗ
б)	функции их = ----- и и2 = — независимы в окрестности точки
хз	х2
(1,1,1)-
24.	Пользуясь теоремой 5, докажите, что функции ух = 8т(ххх2хз), у2 — = ххС08х2 независимы в окрестности точки (1,0,1). Зависимы ли эти функции в какой-нибудь окрестности точки (0,0,0)?
25.	Пользуясь теоремой 6, докажите, что функции ю = sin(n;j/^:), и2 = = xcosy, и3 = х2 sin(xyz) — х2 sin(xyz)sin2 у зависимы в некоторой окрестности точки (1,0,1), а любые две из них независимы в любой окрестности этой точки. Зависимы ли функции их, и2, из во всем пространстве Е2?
26.	Пользуясь теоремой 6, докажите, что функции их = ху + yz + zx, и2 = = х + у + z, и3 — х2 + у2 + z2 зависимы в некоторой окрестности точки (1,2,3), а любые две из них независимы в любой окрестности этой точки. Зависимы ли функции и\,и2,из во всем пространстве Е3?
27.	Докажите, что п линейных функций тп переменных у, = а,ххх + + al2x2 + ... + aimxm (i = 1,2, . , п; al} — числа): а) зависимы при п > тп во всем пространстве Ет'.
б) независимы, если п — т и det ||av|| / 0.
§3. Условный экстремум
261
§ 3.	Условный экстремум
Основные понятия и теоремы
1.	Понятие условного экстремума. Рассмотрим функцию
u ==/(Af)	(1)
при условии, что ее аргументы являются не независимыми переменными, а связаны между собой к соотношениями (к < т):
Гг(2?1,х2,-.,хт) = 0 (г = 1,2,..., /г).	(2)
Эти соотношения называются условиями связи. Пусть координаты точки Mo(xi, 2°,..., удовлетворяют уравнениям (2).
Определение. Говорят, что функция (1) имеет в точке Мо условный минимум (максимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки Мо, что для любой точки M(xi,X2, ...,хго) (М Мо) этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (2), выполняется неравенство f(M) > f(M0) (f(M) < < /(Мо)).
Иначе говоря, условный максимум (минимум) — это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке Мо по отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки Мо, а только к тем из них, которые связаны между собой условиями связи.
Рассмотрим два метода решения задачи об условном экстремуме функции.
2.	Метод исключения части переменных. Пусть в окрестности ш точки М0(х®, 2;°, •••, х^) для уравнений связи (2) выполнены условия теоремы 4 о неявных функциях, так что в некотором параллелепипеде Q с ш эти уравнения имеют единственное решение относительно каких-то к переменных, например, относительно х\,Х2,-..,хк-
Хг = Vi(xk+1,xk+2,-,xm) (г = 1,2, ...,fc).	(3)
Тогда в параллелепипеде Q условия связи (2) эквивалентны соотношениям (3), в которых естественно рассматривать xk+i,xk+2, •,хт как независимые переменные.
Если функции (3) удается найти в явном виде, то, подставляя их в (1), получим функцию т — к независимых переменных:
и = f(Vl(.xk+l,-,Xm), ,Vk(xk+1,...,Xm),Xk+1,...,Xm) =
= F(xk+1,...,xm) = F(M').
В пределах Q значение функции F(M') в любой точке M'(xk+iхт) совпадает со значением функции f(M) в соответствующей точке M(xi,X2, ...,хт), удовлетворяющей уравнениям (3), или, что то же самое, уравнениям связи (2). Поэтому вопрос об условном экстремуме функции (1) при условиях связи (2) в параллелепипеде Q сводится к вопросу о безусловном экстремуме функции F(M').
262
Гл XI. Неявные функции и их приложения
Если нахождение функций (3) в явном виде затруднительно (или невозможно), то можно поступить следующим образом. Предположим, что функции (3) подставлены в (1), в результате чего получается функция F(M'), и в уравнения (2), которые после этой подстановки обращаются в тождества. Дифференциал функции F(M') в силу инвариантности формы первого дифференциала можно записать в виде
т
dF = a^d^	(4)
г=1
где dxk+i, dxk+2, ...,dxm — дифференциалы независимых переменных, a dxi, dx2,..., dxk — дифференциалы неявных функций (3). Дифференцируя указанные выше тождества, получим
,	dFi	,	,	, dFi	,	„
—— dxi + dx2 + ... + -j— dxm = О, dxi	их2	дхт
dFk	,	, dFk	,	dFk	,	n
dxi + dx2 + ••• + 5—- dxm = 0. dxi	0x2	dxm
(5)
Из этой линейной системы выразим дифференциалы dx3,dx2, ...,dxk неявных функций (3) через дифференциалы независимых переменных dxk+i, dxk+2, , dxm. Подставляя полученные выражения для dx\,dx2, ...,dxk в (4), приходим к равенству
т
dF = ^2 Al{x-k,x2,...,xm')dxl,	(4')
г= k +1
где х3 = 1р3{хк+1,хк+2, ...,хт) (j = 1,2,...,к).
Если в точке Mq(x°+1,x°+2,...,x^) функция F(M') имеет экстремум, то dF\M^ = 0, т. е.
т
^2 Ai(x01,x^,...,x0k,x0k+1,...,x°m)dxl = 0,	(6)
где х°} = tp3(x^+1,x°k+2, ...,х^п) =	О’ = 1,2,..., А:). Так как dx,
(i = к + 1, fc + 2,..., m) — дифференциалы независимых переменных, то из (6) получаем
А(х?,^,...,х°,х°+1,...,х^) = 0 (г = к + 1,...,т).	(7)
Равенства (7) являются, таким образом, необходимыми условиями экстремума функции F(M') в точке Mq, или, что то же самое, необходимыми условиями условного экстремума функции f(M) в точке М0(х°,Х2, ПРИ условиях связи (2).
Отсюда следует, что для отыскания точки Мо(х^, х2,..., х^) возможного экстремума нужно решить систему т уравнений относительно т неизвестных х3,х2, ...,хт
Г Ft(xi, х2,...,хт) ~ 0 (i = l,2,...,fc),	.у.
1 Аг(х1,х2, ,хт') = 0 (г = к + 1,к + 2, ...,т).	' >
§3. Условный экстремум
263
Если точка Мо возможного экстремума найдена, то ее дальнейшее исследование связано с рассмотрением второго дифференциала
Его можно вычислить (предполагаем, что функции (1) и (2) дважды дифференцируемы), дифференцируя равенство (4') для dF и используя выражения для дифференциалов dx}, dx2,..., dxk неявных функций (3), найденные из системы (5). В итоге находим сР/|лг' — квадратичную форму от переменных dxk+1, dxk+2,..., dxm. Если эта квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то функция (1) имеет в точке Мо условный минимум (максимум) при условиях связи (2). Применение описанного метода, использующего систему (8), к конкретной функции рассмотрено в примере 2 на с. 265.
3.	Метод Лагранжа. Задача об условном экстремуме функции (1) при условиях связи (2) эквивалентна задаче об условном экстремуме функции Лагранжа
Ф(М) = f(M) + XiFi(M) + A2F2(7Vf) -I-... + XkFk(M")
(At — произвольные числа) при тех же условиях связи (2), поскольку в точках М, удовлетворяющих уравнениям связи, справедливо равенство Ф(М) = f(M).
Теорема 7 (необходимое условие Лагранжа условного экстремума). Пусть:
1°) функция и = f(xi,x2, ...,xm) дифференцируема в точке Мо(х°, х2, ,х(}п) и имеет в этой точке условный экстремум при условиях связи (2);
2°) уравнения (2) удовлетворяют в некоторой окрестности точки Мо условиям теоремы 4 о неявных функциях вида (3).
Тогда существуют числа Ai, Аз,А*, такие, что все частные производные первого порядка функции Лагранжа равны нулю в точке Мо-
Из теоремы 7 следует, что для отыскания точек возможного условного экстремума функции (1) при условиях связи (2) нужно решить систему т + к уравнений
' Fl(x1,x2,...,xm) = 0 (z = 1,2,...,к), ^-(xi,x2,...,xro, Ai,A2,...,Afe) = 0 (z = 1,2,...,т)
относительно т + к неизвестных Xi, х2,...,хт, Ai, А2,..., А*. Если х?, 2?2; >	— решение системы (9) (таких решений может
быть несколько), то Мо(х°,Х2, ...,2;^) является точкой возможного условного экстремума функции (1) при условиях связи (2). Дальнейшее исследование этой точки связано, как и в методе исключения части переменных, с рассмотрением второго дифференциала сРР\щ ФУНКЦИИ F(M') = F(xk+1,...,Xm) = Ф(<^1 (XA;+1, ..., Хго), ..., <^fc(xA:+i,... ...,xm),x*+i, ...,хт), где Ф = f + A?Fi + A°F2 + ... + X°kFk. Его можно
264
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
вычислить по формуле
т а2*
= Е ^-(M0-)dXldXj,	(io)
i,i=i г 3
где dxk+i, dxk+2, ...,dxm — дифференциалы независимых переменных, a dxi, dxz,dxk — дифференциалы неявных функций (3) в точке Mq. Формула (10) показывает, что для нахождения d2F|^' сначала вычисляется второй дифференциал функции Лагранжа в точке Мо, причем так, как если бы все аргументы xi,X2,—,xm были независимыми переменными, а затем dx^,dx2, ...jdxk заменяются дифференциалами неявных функций (3) в точке М'о. В результате получается cPFIm' — квадратичная форма от dxk+i, dxk+2,---,dxm. Если эта квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то в точке Mq функция (1) имеет условный минимум (максимум) при условиях связи (2), а если d2F\M'o — знакопеременная квадратичная форма, то в точке Мо функция (1) не имеет условного экстремума.
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определение условного экстремума функции.
2.	Объясните, в чем состоит метод исключения части переменных. Сведите задачу об условном экстремуме функции и = х2 + у2 при условии связи х + у = 2 к задаче о безусловном экстремуме.
3.	Изложите схему метода исключения части переменных, не связанную с нахождением в явном виде каких-то переменных через остальные.
4.	Что такое функция Лагранжа? Напишите выражение для функции Лагранжа в задаче об условном экстремуме из задания 2.
5.	Сформулируйте теорему о необходимых условиях Лагранжа условного экстремума. Составьте систему уравнений (9) для задачи об условном экстремуме из задания 2 и решите ее.
6.	'Объясните, как исследовать далее точку возможного условного экстремума, найденную методом Лагранжа. Проведите такое исследование для точки, найденной в задании 5.
Примеры решения задач
1.	Методом исключения части переменных найти экстремум функции
и = х + у + z2	(11)
при условиях связи
=	(12)
1 у — XZ — 1.	v ’
А Решая систему уравнений (12) относительно у и z, находим
у = х2+х + 1, z = x + l.	(13)
§3. Условный экстремум
265
Подставляя выражения (13) в равенство (11), приходим к функции одной переменной х: и(х) = 2х2 + 4х + 2, для которой рассмотрим задачу о безусловном экстремуме. Так как и' = 4(х + 1) = 0 при х = —1, то функция и(х) имеет единственную точку возможного экстремума. Но u"(—1) = 4 > 0, поэтому при х = — 1 функция и(х) имеет минимум. Из системы (13) находим соответствующие х = — 1 значения у иг: у = l,z = 0. Итак, функция (11) при условиях связи (12) имеет в точке (—1,1,0) минимум, причем w(—1,1,0) = 0. А
2.	Методом исключения части переменных найти экстремум функции
и = х + у — z	(14)
при условиях связи
Г 4х3 + 4?/3 + 4z3 + 12х + 12?/ + 12г = 13,	,Л
|х + у=1.
А Воспользуемся схемой метода исключения части переменных, не связанной с нахождением в явном виде каких-либо двух переменных через третью из уравнений связи (15). Предполагая, что система (15) определяет дважды дифференцируемые неявные функции у[х) и z(x), и считая, что они подставлены в уравнения связи, будем рассматривать равенства (15) как систему тождеств. Вычисляя дифференциалы от обеих частей тождеств (15), получим
Г (х2 + 1) dx + (у2 + 1) dy + (z2 + 1) dz = 0,
1 dx + dy = 0.
Отсюда находим
{dy = —dx, dz = z^±Ldx.	(16)
Подставляя эти выражения для dy и dz в выражение для дифференциала функции (14), которое имеет вид du = dx + dy — dz, получим
du = —- dx = A dx.	(17)
z2 + 1	’
Рассмотрим теперь систему уравнений, состоящую из уравнений (15) и уравнения А = 0 (это и есть система (8) в данном случае). Она имеет единственное решение х = 1/2, у = 1/2, z = 0, т. е. Мо(1/2,1/2,0) — единственная точка возможного экстремума функции (14) при условиях связи (15). Дифференцируя выражение (17) для du, получаем
,2 _ 2(г2 4- 1) dx — (2х — l)2z dz , ~	(z2 + l)2	’
откуда, используя уравнения (16), находим d2u\м0 = 2(dz)2. Так как 2(dx)2 — положительно определенная квадратичная форма (одной переменной dx), то функция (14) имеет в точке Мо минимум при условиях связи (15). А
266
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
Замечание. Задача решена в предположении, что система (15) определяет дважды дифференцируемые функции у(х) и z(x'). Теперь можно уточнить, что это условие должно выполняться в некоторой окрестности точки Мо(1/2,1/2,0). Покажем, что данное требование выполнено. Воспользуемся теоремой 4. Функции Fi(x,y, z) = 4i:3 4- 4t/3 + 4г3 4- 12x 4- 12y 4-4-12г — 13 и Fi(x,y, z) = х 4- у — 1 дифференцируемы в любой окрестности точки Мо- Частные производные = 12(?/2 4-1),	= 12(г2 4-1),
ду	dz
dFi	9F2
----= 1, —— = 0 непрерывны в точке Мо. Функции F.(x,y, г) и F2(x,y,z) ду--dz
D(Fi F2) равны нулю в точке Мо- Наконец, ——-	= —12 / 0. Поэтому в си-
м0
лу теоремы 4 система (15) в некоторой окрестности точки Мо определяет единственную пару дифференцируемых функций y(x),z(x). Более того, так как функции Fi(r,p, г) и F2(x, у, г) дважды дифференцируемы в любой окрестности точки Мо, то и функции у(х), z(x) дважды дифференцируемы.
3.	Методом Лагранжа найти экстремум функции (11) при условиях связи (12).
А Составим функцию Лагранжа
Ф = х4-?/4-г24-А1(2-д:-1)4- Аг (у - xz — 1)
и рассмотрим систему уравнений (9):
дф
= 1 - А! - А22 = 0, дх
ВФ
= 1 + А2 = о, ду дФ — = 2z 4- Ai - А2х = 0, oz
Fi — z — х — 1 = 0, , F? = у - xz - 1 = 0.
Она имеет единственное решение: х = —1, у = 1, z = 0, Ai = 1, А2 = = —1, т. е. Мо(—1,1,0) — единственная точка возможного экстремума функции (11) при условиях связи (12). Отметим, что в окрестности точки Мо система (12) определяет единственную пару неявных функций у(х), z(x). Хотя в данном случае их легко найти в явном виде, нам эти явные выражения не понадобятся. Предполагая, что в систему (12) подставлено ее решение у(х), z{x), и дифференцируя полученные тождества, приходим к равенствам
J dz — dx = 0, [ dy — х dz — z dx = 0.
Отсюда находим
( dz — dx,	/1
[ dy = (x 4- z) dx.	' '
§3. Условный экстремум
267
Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа:
Э2Ф = 2(dz)2 — 2А2 dx dz,
и, подставляя А2 = — 1 и выражение (18) для dz, получаем положительно определенную квадратичную форму от одной переменной dx-. 4(dx)2. Отсюда следует, что функция (11) при условиях связи (12) имеет в точке Mq условный минимум. А
4.	На эллипсоиде х2 + 2у2 + 4г2 = 8 найти точку, наиболее удаленную от точки (0,0,3).
А Расстояние р между точками (х,у, z) и (0,0,3) определяется формулой р — у/х2 + у2 + (z — З)2. Поэтому исходная задача равносильна задаче об условном максимуме функции
и = р2 - х2 + у2 + (z - З)2	(19)
при условии связи
X2 + 2у2 + 4z2 = 8.	(20)
Составим функцию Лагранжа
Ф = х2 + у2 + (z - з)2 + А(х2 + 2у2 + 4z2 - 8)
и рассмотрим систему уравнений (9):
ЭФ
= 2х + 2Ах = 0, дх
ЭФ
(21)
ЭФ
= 2z - 6 + 8Az = 0, dz
_ х2 + 2у2 + 4г2 = 8.
Так как эллипсоид (20) более всего вытянут вдоль оси Ох, то абсцисса искомой точки не может быть равна нулю, т. е. х 0. Поэтому из первого уравнения системы (21) следует, что А = —1. Тогда из второго и третьего уравнений системы (21) имеем у = 0,z = —1. Наконец, из последнего уравнения системы (21) находим х = ±2. Итак, функция (19) имеет две точки возможного условного максимума, A/i(2,0,— 1) и М2(—2,0,-1). Предполагая, что в уравнение (20) подставлено его решение z = z(x,y), и дифференцируя полученное тождество, находим
х dx + 2у dy + 4z dz = 0,
откуда dz=-^dx-/Ldy.	(22)
Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа
Й2Ф = 2(1 + A)(dx)2 + 2(1 + 2A)(dy)2 + 2(1 + 8A)(dz)2,
268
Гл XI Неявные функции и их приложения
и, подставляя А = —1, координаты точки Mi или М2 и выражение (22) для dz, получаем в каждом случае отрицательно определенную квадратичную форму от двух переменных dx, dy —2(dy)2 — 3,5(dx)2 Отсюда следует, что функция (19) имеет в точках Mi и М2 условный максимум при условиях связи (20), т е на эллипсоиде (20) имеются две точки, Mi(2,0, -1) и Мг(-2,0, -1), наиболее удаленные от точки (0,0,3) ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
28.	Исследуйте на условный экстремум методом исключения части переменных функцию
,22	х У ,
а)	и = х + у при условии связи —и - = 1, а Ь
1	1	1 / ,,,
б)	и = х Ч- у при условии связи — Ч—- = — (а > 0), х2	у2-	а1
в)	и = ху при условии связи х2 + у2 = 1,
г)	и = х2 Ч- у2 + 2г2 при условии связи х — у Ч- z = 1,
д)	и = х3 Ч- у2 — г3 + 5 при условии связи х + у — z = 0,
е)	и = х — 2у + z при условии связи х Ч- у2 — z2 = 1,
ж)	и = xy2z3 при условии связи х + 2у Ч- 3z = 6 (г > 0, у > 0, г > 0), з) и = х — 2у Ч- 2г при условии связи х2 + у2 + г2 = 1,
хг и2 г2
и)	w = — 4- т? Ч—z- при условии связи х2 Ч- у2 Ч- г2 = 1 (а > b > с > 0), а2	о2	с2
,	2 ,	2 ,	,	2	II Х2	, Хп ,
к)	и = Г1 Ч- х2 Ч- Ч- хп при условии связи--1----И Ч-----= 1
ai аг	ап
(ai > 0, аг > 0, , ап > 0)
29.	Исследуйте на условный экстремум методом Лагранжа
а)	функцию и — xyz при условии связи х2 Ч- у2 4- z2 — 3
б)	функцию и = xyz при условиях связи х2 4- у2 4- г2 = 1, х 4- у 4- г = 0
30.	При каких значениях диаметра основания d и высоты h цилиндрическая банка, объем которой равен 54тт, имеет наименьшую поверхность7
31.	При каких размерах прямоугольная банка объемом 32 см3, открытая сверху (те без верхней грани), имеет наименьшую поверхность7
32.	При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, поверхность которой равна Зтг м2, имеет наибольшую вместимость7
33.	Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда наибольшего X2	У2	Z2
объема, вписанного в эллипсоид — Ч—т Ч—г = 1 а2	Ъ2	с2
34.	Найдите наименьшее из расстояний между точкой (xo,yo,zo) и точками плоскости Ах Ч- By + Cz + D = О
35.	Найдите наименьшее из расстояний между точками параболы у — х2 и прямой х — у — 2 — 0
36.	Найдите наибольшую площадь треугольника, у которого заданы сторона а и противолежащий угол А
37.	Известны стороны а, b треугольника и величина угла С между ними Разделите этот треугольник на две равновеликие части отрезком прямой, пересекающим заданные стороны и имеющим наименьшую длину
§4 Замена переменных
269
§ 4. Замена переменных
Основные понятия
1. Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные. Пусть в выражении
А = *(х,у,у',у", ,у^),	(1)
где у является функцией аргумента х, требуется перейти к новым переменным t, и, где t — независимая переменная а и — функция аргумента t, причем переменные х, у связаны с переменными t, и уравнениями
gi(x,y,t,u) = 0,	.
g2(x,y,t,u) = О,
которые будем называть формулами замены переменных Будем считать, что система (2) определяет (в некоторой области) дифференцируемые достаточное число раз неявные функции х =	у =
—	fz&u) Так как и есть функция аргумента t, то х =	=
—	x(t) и у = /2(t,u(t)) = y(t) — сложные функции аргумента t
Схема решения
1	Предполагая, что в систему (2) подставлено ее решение x(i), y(t), получим тождества
Г ?/(*)> *, и(О = о, = О
Дифференцируя по t обе части этих тождеств, приходим к системе уравнений, линейных относительно производных dx	dii	du
х = —, у =	и = —
dt	dt	dt
2	Решаем полученную систему относительно х, у
3	Выражение у' в новых переменных t, и находим по формуле
4	Чтобы найти выражения старших производных, пользуемся операторной формулой
d _ 1 d	,,,
dx х dt	'
Например, чтобы найти выражение второй производной у", в левую часть формулы (4) подставляем у', а в правую — представление для у' по формуле (3) Получим
/ ДА _ Ух ~ Vх
х dt\x/ х3
5 В исходном выражении (1) переходим к переменным t, и
270
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
Замечание. Если формулы замены переменных (2) даны в форме, разрешенной относительно х, у (t, и), то изложенная схема упрощается (см. пример 2 на с. 273).
2. Замена переменных в выражении, содержащем частные производные. Ради простоты изложения ограничимся случаем функций двух переменных. Пусть в выражении
В = $(x,y,z,zx,zy,zxx,zxy,zyy,...),	(5)
где z является функцией аргументов х и у, надо перейти к новым переменным и, и, w, где и, v — независимые переменные, a w — функция аргументов u,v, причем переменные x,y,z связаны с переменными u,v,w уравнениями
дг(х, у, z, и, v, w) = 0 (г = 1,2,3),
(6)
которые будем называть формулами замены переменных.
Обычно формулы замены переменных (6) даются в форме, разрешенной относительно либо старых переменных x,y,z, либо новых переменных u,v, w.
Рассмотрим в отдельности оба эти случая.
1°. Пусть формулы замены переменных имеют вид
х = fi(u, v, ш), У = /2(11,v,w), 2 = /з(и, V, W),
(7)
где ft(u, v, w) (z = 1,2,3) — функции, дифференцируемые достаточное число раз.
Схема решения.
1.	Из равенств (7) получаем
dx =	du +	dv +	dw,
du dv dw
< dy =	du +	dv +	dw,	(8)
du	dv	dw
dz=9hdu+911dv + 9Edw. du	dv	dw
Так как w — функция аргументов и, v, то dw = wudu + wvdv. Подставляя это выражение для dw в равенства (8), приходим к равенствам
, Dfi , Dfi , dx = -т— du + dv, Du	Dv
< dy = du + dv, Du	Dv
j Dfi , Dfi , dz = —— du + -г—- dv, Du Dv
(9)
где
= % ЗА
Du du	dw
и
Dfx Dv
dfi ,
—Ь	w,
dv dw
(i = 1,2,3).
§4- Замена переменных
271
2. Если А =
Dfi	Dfl
		
Du	Dv
Df2	Dh
	
Du	Dv
7^ 0, то первые два уравнения систе-
мы (9) однозначно разрешимы относительно du и dv:
du = Lf^p-dx- ^frdy),
dv = L(_2hdx + ^f-dy). Д\ Du Du J
(Ю)
частных производных zx и zy
zy =
1 / Д/3 О/i О/з О/i \
Д \ Ou On Dv Du / ' ' вторых производных функции
3. Подставляя выражения (10) в последнее уравнение системы (9), получаем
dz = 1 (	0/2 _ о/з O/2\dx 1 /_ о/з 0/1	о/з £Л\ ,
Д \ Du Dv Dv Du )	Д \ Du Dv	Dv Du /
Сопоставляя полученное представление для dz с равенством dz = = zx dx + zy dy, находим выражения в новых переменных u,v,w:
_ 1 /О/з О/2 _ р/з 0/2 х Д \ Du Dv Dv Du
4. Чтобы получить выражения z(x,y) в новых переменных, вычислим дифференциалы от первых производных zx и zy, представленных в виде (11). Запишем первую из формул (11) в кратком виде:
zx = F(u, v, w, wu, wv).
Отсюда d(zx) = dF или zxxdx+zxydy = Fudu + Fvdv + Fwdw + + FWudwu + FWvdwv. Подставив сюда выражения dw = wudu + wvdv, dwu = wuudu + wuvdv, dwv = wvudu + wvvdv, а затем выражения (10) для du,dv, и приравняв коэффициенты соответственно при dx » dy ъ обеих частях полученного равенства, найдем выражения zxx и zxy в новых переменных.
Выражение zyy получим аналогично, вычислив дифференциал производной Zy, представленной второй формулой (11).
Таким же образом можно найти далее выражения для производных более высокого порядка.
5. В исходном выражении (5) переходим к новым переменным и, V, W.
2°. Пусть теперь формулы замены переменных имеют вид
( и = falx^z}, < V = fa(x,y,z), I W = f3(x,y,z),
где ft(x, y,z) (z = 1,2,3) — функции, дифференцируемые достаточное число раз.
(12)
272
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
Схема решения.
1.	Из равенств (12) получаем
,	dfi	,	dfi	,	dfi	,
du =	dx +	dy + dz,
dx	dy	dz
,	dfi	,	dfi	,	dfi	,
dv =	dx +	dy + -5— dz,
dx	dy	dz
dw^^dx+^dn + ^dz. dx	dy	dz
(13)
Подставляя сюда выражение dz — zxdx + zvdy, приходим к равенствам du = dx +	dy,
Dx	Dy	4
j	Dfi	,	Dfi	,
dv — —f—	dx + -77—	dy,
Dx	Dy
, Df$ , Df?, , aw = dx + —7— dy, Dx Dy
Dfi	dfi	dfi	Dfi	dfi , dfi	o
Dx	dx	dz	Dy	dy dz
2.	Так как w — функция аргументов u,v, то dw — wudu 4- wvdv. Подставляя в это равенство выражения (13) для du, dv и dw, приходим к равенству
Приравнивая в обеих частях равенства коэффициенты соответственно при dx и dy, получаем систему двух линейных уравнении относительно Zx И Zy.
3.	Коэффициенты этой системы зависят от wu, wv и старых переменных x,y,z. Поэтому для zx и Zy получаются выражения
zx - F(x,y,z, wu, w„), Zy = G(x,y,z,wu,wv). (14)
4.	Чтобы получить выражения вторых производных функции z(x,y), вычислим дифференциалы от первых производных zx и zy, представленных в виде (14). Из первого равенства (14) имеем dzx = = dF или zxxdx + zxydy = Fxdx + Fvdy + Fzdz + FWudwu + FWvdwv. Подставив сюда выражения dz = zxdx + zvdy, dwu = wuudu + wuvdv, dwv = wvudu + wvvdv, а затем выражения (13) для du, dv и выражения (14) для zx, Zy, и приравняв коэффициенты соответственно при dx и dy в обеих частях полученного равенства, найдем выражения zxx и zxy в новых переменных.
Выражение zyy получим аналогично, вычислив дифференциал производной zy, представленной второй формулой (14).
Таким же образом можно найти далее выражения для производных более высокого порядка.
Замена переменных
273
5.	В исходном выражении (5) переходим к новым переменным и, V, W.
Примеры решения задач
1. В уравнении уу' + ху2 + х3 = 0 перейти к новым переменным t,u, где и — u(t), если формулы замены переменных имеют вид
и2 — у2 — х2 = О, х2 — I2 + и2 = 0.
(15)
А В соответствии со схемой, описанной в п. 1°, сначала нужно установить, что система (15) разрешима относительно х,у. Это можно сделать, используя результаты § 1, но здесь мы не будем этим заниматься. Учитывая, что и = tt(t), и предполагая, что в систему (15) подставлено ее решение х — x(t), у = y(t), продифференцируем полученные тождества по переменной t:
ий — уу — хх = 0, хх — t + ий = 0.
Отсюда находим
t — ий . 2ий — t
ТТ Л	/т,	! У x(2uU~t) тт
По формуле (3) получаем у =	-----гг. Подставляя это вы-
х y(t — ии)
ражение для у' в исходное уравнение и используя формулы замены переменных (15), приходим к уравнению в переменных t, и
ий =
t(l - и2) 2 — и2
2. Решить уравнение (1 + х2)2у" = у, перейдя к новым переменным t, и, где и = u(t), если х = tgt у = —
COS t
А Продифференцируем по t выражения для х, у, заданные формулами замены переменных; тогда получим
. _	1	. _ й cos t + и sin t
cos21 ’	cos2t
Производную у' находим по формуле (3): у' = К = u cost + usint. Используя операторную формулу (4), находим выражение второй производной
у" = -г4-(йcost + usint) = cos3 t • (и + и), х dt
Переходя к новым переменным в исходном уравнении, получим й = = 0. Очевидно, решением этого уравнения является линейная функция и = At + В, где А, В — произвольные постоянные. Возвращаясь
274
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
в равенстве и = At + В к старым переменным, получаем решение исходного уравнения у = (Aarctgх + В)\/1 + х2. А
3.	Решить уравнение у"(?/')~3 — я = О, приняв у за новую независимую переменную, ах — за новую функцию.
А Чтобы воспользоваться стандартной схемой решения задачи, введем новые переменные t и и (u = u(t)) по формулам t = у, и = х. Продифференцируем эти равенства по t: 1 = у, й = х. Используя полученные соотношения, по формулам (3) и (4) находим
1	и
й’	х dt\u) й3
В результате исходное уравнение примет вид и + и = 0. Возвращаясь к прежним обозначениям, т. е. заменяя и на х, a t на у, полу-d~ х
чаем уравнение —- + х = 0, решением которого является функция dyz
х = Asin(?/ + <^), где A, ip — произвольные постоянные. Выражая
из последнего равенства у, находим решение исходного уравнения: у = arcsin(x/A) — или у = arcsin(Bx) + С, где В и С — произвольные постоянные, В 0. А
4.	В выражении В = xzx + yzy — 2z перейти к новым переменным u, v, w, где w = w(u, v), если формулы замены переменных имеют вид
2 	2
=	w = ?y.	(16)
2	z	V '
А Так как формулы замены переменных (16) заданы в форме, разрешенной относительно новых переменных и, v,w, т. е. имеют вид (12), то воспользуемся схемой решения, изложенной в п. 2°. Из равенств (16), учитывая, что dz = zxdx + zydy, получаем
' , dx x , du =------------ dy,
У У dv = xdx + ydy,	(17)
dw = - dx + - dy — (zx dx + zy dy).
Так как w — функция аргументов u,v, то dw = wudu + wvdv. Подставляя в это равенство выражения (17) для du, dv и dw, приходим к равенству
wu	dy^ + w„(x dx + у dy) - dx + dy - ~ (zx dx + zy dy).
Приравнивая в обеих частях равенства коэффициенты соответственно при dx и dy, получаем систему двух линейных уравнений относительно zx и zy
1	у	ху
- wu + xwv = ---zx,
J У	z	z2
X ,	x ху
--zWu + ywv =-----fzy.
\ y~	zz2
§4- Замена переменных
275
Отсюда находим
Подставляя эти выражения для первых производных в исходное выражение, получим
Используя формулы замены переменных (16), переходим к новым переменным и, v,w в выражении В:
В =----20 , 2\WV Ж
w2(l + иг)
5.	Решить уравнение zy — zx = 0, перейдя к новым независимым переменным и = х + у, v = х — у.
А Дифференцируя выражения для и, v, заданные формулами замены переменных, имеем
( du = dx + dy,	,
| dv = dx — dy.	' '
Так как в данной задаче заменяются только независимые переменные, а переменная z (функция) не заменяется, то dz = zxdx + zydy и, аналогично, dz = zudu + zvdv. Отсюда, используя равенства (18), получаем
dz = zxdx + Zydy = zu(dx + dy) + zv(dx — dy).
Приравнивая в обеих частях последнего равенства коэффициенты соответственно при dx и dy, находим выражения для zx и zv: zx = = zu+zv, zy = zu — zv. Следовательно, исходное уравнение примет вид zv = 0. Решением этого уравнения является произвольная дифференцируемая функция переменной и, т. е. z = f(u). Возвращаясь к старым переменным, получаем, что z = f(x + у) — решение исходного уравнения. ▲
6.	В уравнении zxx + zxy + zx = z перейти к переменным и, v, w, где w = w(u,v), если
x = u + v, y = u-v, z = wev u.	(19)
Так как формулы замены переменных (19) заданы в форме, разрешенной относительно старых переменных х, у, z, т. е. имеют вид (7), то воспользуемся схемой решения, изложенной в п. 1°. Из равенств (19), учитывая, что dw = wudu + wvdv, получаем
dx = du + dv, dy = du — dv,	(20)
dz = eu~v(wudu + wvdv) + wev~u(dv — du).
276
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
Из первых двух уравнений системы (20) находим
( du = 0,5(dx + dy),	, <
dv = 0,5(dx — dy).	' '
Подставляя выражения (21) для du, dv и dz = zxdx + zydy в третье уравнение системы (20), приходим к равенству
zxdx + zvdy = 0,5et’_’‘[wu((h; 4- dy) + wv(dx — dy)] — wev~udy.
Приравнивая в обеих частях равенства коэффициенты при dx, имеем zx = 0,5e1’-u(wu + w„). Чтобы найти выражения вторых производных функции z(x,y) в новых переменных, вычислим дифференциал от первой производной zx.
dzx — zxxdx + zxvdy = 0,5ev~u(dv — du)(wu + wv) 4-
4-	Q,5ev~u(wuudu + wuvdv 4- wvudu 4- wvvdv).
Подставляя сюда выражения (21) для du и dv, получаем равенство zxxdx + zxydy = —0,5ev~u(wu + wv) dy +
+ 0,25ev~u[wuu(dx 4- dy) + 2wuvdx + wvv(dx - dy)].
Приравнивая в обеих частях равенства коэффициенты соответственно при dx и dy, находим
zxx = 0,25ev-u(wuu + 2w uv 4- Wyy),
zXy — Zyx — 0,5e (wu 4“ ujv) 4" 0,25e [ivuu wvv).
Подставив выражения первых и вторых производных в исходное уравнение, получим wuu 4- wuv = 2w. ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
38.	Решите дифференциальное уравнение, вводя новую независимую переменную:
а)	х2у" 4- ху' 4- у = 0, если х = е'\
б)	(4г2 4- 1)у" 4- 4ху' 4- у = 0, если х = | sh 2t;
в)	4(1 — х2)у" — 4ху' 4- iv2y = 0. если х = sin 2t.
39.	Преобразуйте дифференциальное уравнение, приняв у за новую независимую переменную, а х — за новую функцию:
а) у'у”' - 3(р")2 - (у')5у = 0; б) (y')3y7V - Wy'y"y"' + 15(г/")3 = (у')7.
40.	Введя новые переменные t,u, где и = u(t), преобразуйте дифференциальное уравнение:
а)	х3у" 4- хуу' — у2 = 0, если х = е', у — и  ef;
б)	у"' — х3у" 4- ху' — у = 0, если x = l/t, у = и/Г, . х2 ,	,	, In х In t
в)	-—;— у 4- У = 1, если =	---= —;
1 — Inz	X t
г)	хуу" — х(у')2 4- уу' = 0, если t — у, и = 1п(р/г).
§4- Замена переменных
277
41.	В уравнении у" 4- р(х)у' 4- д(х)у = 0 перейдите к новой функции и = = и(х), если у = ехр{—0,5J p(t)dt^  и.
ХО
42.	Преобразуйте дифференциальное уравнение, перейдя к полярным координатам х = рcosр, y = psmp, где р = р(<^)): а)</ = £±2; б) (ху' - у)2 = 2ж?/(1 4-г/2).
х - у
43.	В системе уравнений
= y + kx(x2+y2), at
= -хЧ- ку(х2 + у2)
> at
перейдите к новым функциям р = p(t), р = p(t) по формулам х = pcos р, y = psinp.
44.	Введя новые независимые переменные и, v, преобразуйте дифференциальное уравнение:
a)	xzx -f- yzy = z, если и — х, и = у/х\
б)	yzx — xzy = уех2+у2, если и = х2+у2, v = у;
в)	(х 4- y)zx — (х — y)zv = 0, если u = In ^/г2 4- р2, v = arctg (у/х)-,
г)	(xzz)2 + ayzzv = bz2, если и — In г, v — Ini/.
45.	Решите уравнение с частными производными, введя новые независимые переменные u,v:
a)	azx bzv = 0, если и = ах 4- by, v = bx — ay,
6)	yzx — xzy = 0, если и = x, v = x2 + у2;
в)	xzx + yzy = z, если и = 4x — 7y, v = &y/x.
46.	Решите дифференциальное уравнение, введя новые переменные и, v, ш, где ш = w(u, v):
a)	xzx + (у + l)zy = 0, если x = u + v, y = v/u, z = w/u-,
б)	yzx — xzy = (у — x)z, если и = х2 + у2, v = 1/х 4- 1/у, w = Inz — - х - у.
47.	Преобразуйте дифференциальное уравнение, перейдя к новым переменным и, v,w, где w = w(u, v):
, X2 4*	, о.	1J3	9	9	9	9
а)		— zx 4- г(1 4- у )zy = --ху, если и + v + х — у = 0, х =
У	х
= vy, sin(w — z) = и;
б)	(ху 4- z)zx 4- (1 — y2)zy = х 4- yz, если и = yz — х, v = xz — у, w — = ху ~ Z-,
в)	(xzx)2 4- (yzy)2 = z2zxzy, если x = uew, у = vew, z — wew.
48.	Преобразуйте выражение В = (zx)2 + (zy)2, приняв x за функцию, a и = xz и v = yz — за независимые переменные.
49.	Введя новые независимые переменные, преобразуйте выражение:
а)	В = (zx)2 + (zy)2, если х = pcosp, у = psinp;
6)	B — zxx+zyy, если х = pcos р, y = psinp;
в)	В = x2zxx + 2xyzxy + y2Zyy, если u = lnr, гл = 1пг/;
г)	В = x2zxx 4- 2xyzxy 4- y2Zyy, если r=pcos<^, у = psinp.
278
Гл. XI. Неявные функции и их приложения
-У v =
т.г + уЛ
50.	Введя новые независимые переменные, преобразуйте уравнение: а) zxx	если и — —
х2 + у2
б)	x2zxx — 2хsin yzxy	+ sin2 yzyy = 0, если u = a?tg-, v	= х\
в)	zxx + 2zxy + Zyy =	0, если u = x z, v = у + z.
51.	Решите уравнение, введя новые переменные и, v, w, где w = w(u, v):
a)	zxx — 2zxy + Zyy =	0, если и = x + у, xv = у, xw	= г;
6)	zxx = a2zyy, если	и = у — ax, v = у + ax, w = z.
52.	Преобразуйте уравнение xyRxy + yzRyz + xzRxz = 0, введя новые независимые переменные и, v, w по формулам х = vw, у = uw, z = vu.
53.	Введя новые переменные и, V, то^где ш = w(u, и), преобразуйте уравнение:
а)	Угуу +	= 2/ж, если уи = х, v = х, ш = xz — у,
б)	zxx + 2zxy + Zyy = 0, если и = х + у, v = х — у, w = ху — z;
в)	zxx - 2zxy + (1 + y/x)zyy =0, если и = х, v = x + y, w = x + y + z;
г)	(1 — x2)zxx + (1 — y2)zyy = xzx + yzy, если x = sinu, у = sint), г = еш;
д)	zxx + ZXy + Zyy = 1 + z — ху, если t)+T + t/ + u=l, v — x + y — и — = 0, xy — z = w.
54.	Докажите, что вид уравнения zxxZyV = (zxy)2 не меняется при любом распределении ролей между переменными х, у, z.
55.	Докажите, что уравнение zxx = zv не изменит своего вида при замене
переменных и = -, v — —	z=— exp < — — >, где w = w(u, и).
У	У y/У [ 4у J
ГЛАВА XII
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойные интегралы
Основные понятия и теоремы
1. Определение двойного интеграла. Пусть G — квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена ограниченная функция и = f(M) — fix,у). Разобьем область G на п квадрируемых частей G, (г = 1,2, ...,п) так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части Gi возьмем произвольную точку и составим сумму
п
г—1
где As; — площадь Gt. Эта сумма называется интегральной суммой функции fix, у), соответствующей данному разбиению области G на части Gi и данному выбору промежуточных точек М{.
Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого множества: sup р1М',М").
M'EG m"eg
Пусть di — диаметр Gi, d — di.
Определение. Число I называется пределом интегральных сумм I(Gi, Mi) при d -> 0, если Ve > 0 35 > 0 такое, что для любого разбиения области G, у которого d < 6, и для любого выбора промежуточных точек Mi выполняется неравенство
\I(Gi,Mi)-I\ <е.
Если существует lim IlGi,Mi) = I, то он называется двойным интег-</->о
ралом от функции fix, у) по области G и обозначается fix, у) dx dy
G
или уf(M) ds, а функция fix, у) называется интегрируемой в облас-G
ти G.
Теорема 1. Функция, непрерывная в замкнутой квадрируемой области, интегрируема в этой области.
280
Гл. XII. Кратные интегралы
Теорема 2. Функция, ограниченная в квадрируемой области и непрерывная всюду, кроме некоторого множества точек площади нуль*), интегрируема в этой области.
Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.).
2. Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования. Пусть функция f(x,y) определена в области
Рис. 29	Рис. 30
G = {(х,у): а^х ^Ь, уг(х) О 5$ Уг(х)}, где уг (х) и у2(х) — непрерывные функции на сегменте [а, 6] (рис. 29). Такую область G назовем у-трапециевидной.
Теорема 3. Пусты.
1°) существует двойной интеграл Цf(x,y)dxdy, G
2°) Vx G [а, 6] существует определенный интеграл
У2<х)
I(x)= I f(x,y)dy. yiG)
Тогда существует определенный интеграл ъ	ь yiG)
УI(x) dx = уdx У f(x,y)dy а	а yiG)
(он называется повторным) и справедливо равенство Ь У2(х)
JJf(x,y)dxdy = Jdx У f(x,y)dy,	(1)
G	а yY(x)
т. е. двойной интеграл равен повторному.
Если область G является х-трапециевидной (рис. 30), то при соответствующих условиях справедлива формула, аналогичная (1):
*) Говорят, что множество точек плоскости имеет площадь нуль, если Ve > 0 существует многоугольник, содержащий это множество и имеющий площадь, меньшую е (иными словами, если это множество можно заключить в многоугольник сколь угодно малой площади).
§1. Двойные интегралы
281
d Z2<!/)
УУ f(x,y)dxdy = J dy у f(x,y)dx.
G c *1(1/)
(2)
Область более сложного вида часто удается разбить на трапециевид-
ные части, к которым применима формула (1) или (2) (рис. 31).
3. Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим
двойной
интеграл
УУ f(x,y)dxdy. G
Замена переменных в двойном
интеграле состоит в переходе пе-
ременных х и у к новым переменным и и v по формулам
х = у?(и, г),
t/ = V>(u,v),	(3)
(u, v) С д.
При этом каждая точка (х,у) области G соответствует некоторой точке (u,t>) области д, а каждая точка (и, и) области д переходит в некоторую точку (х,у) области G (рис. 32). Иными словами, когда
точка (и, г) “пробегает” область д, соответствующая ей точка (ж, у) = = (y?(u,u),j/>(u, и)) “пробегает” область G. Функции (3) называют
у/к
X=tp(u,v)
У=ф(и,У)
Рис. 32
также отображением области д плоскости (и, г) на область G плос-
кости (х,у). Область G называется образом области д, а область д — прообразом области G при отображении (3).
Пусть отображение (3) удовлетворяет следующим условиям.
I. Отображение (3) взаимно однозначно, т. е. различным точкам (u,v) области д соответствуют различные точки (х, у) области G.
II. Функции <p(u,v) и ф(и,в) имеют в области д непрерывные частные производные первого порядка.
III. Якобиан отображения во всех точках области д.
Р(х,у)
D(u, и)
Ри Pv
Фи фу
отличен от нуля
282
Гл XII. Кратные интегралы
Теорема 4. Пусть д и G — замкнутые квадрируемые области, функция f(x, у) ограничена в области G и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек площади нуль, а отображение (3) удовлетворяет условиям I—III.
Тогда справедливо равенство
/Ifix,у) dxdy = II/(</>(u,v),V’(u,v))|^i^y|dudu.	(4)
G	G	’ '
Формула (4) называется формулой замены переменных в двойном интеграле.
Замечание. Если условие I (взаимная однозначность отображения (3)) или условие III (отличие от нуля якобиана отображения) нарушается на множестве точек площади нуль (например, в отдельных точках или на отдельных кривых), то формула (4) остается в силе.
4. Криволинейные координаты. Формулам (3), которые рассматривались как отображение области g на область G, можно придать другой смысл. Рассмотрим в области g отрезок прямой и — uq = = const (рис. 33). В области G ему соответствует параметрически заданная кривая
х = <p(u0,v), у = ф(и0,и),	(5)
где роль параметра играет переменная v. Точно так же отрезку прямой v = по в области g соответствует в области G кривая
X = <р(и, По), у = ф(и,с0),	(6)
где роль параметра играет и. Точке (ио,ио) области g соответствует некоторая точка Мо(хц,уо) области G(xo — </j(u0,uq),уо = ^(ио,и0)),
причем в силу взаимной однозначности отображения (3) точке Мо соответствует единственная точка (г*о,по) области д, т. е. точка Mq однозначно определяется парой чисел (uq,uo). Поэтому числа uq и uq можно рассматривать как координаты точки Mq (но уже не прямоугольные, а какие-то другие), а кривые (5) и (6), на которых одна из координат и или v постоянна, естественно назвать координатными линиями пип. Так как эти координатные линии представляют собой.
§1. Двойные интегралы
283
вообще говоря, кривые, то числа (uo,fo) называются криволинейными координатами точки Mq. При отображении (3) сетка прямых координатных линий в области g переходит в сетку кривых координатных линий в области G (рис. 33). Итак, формулы (3) можно рассматривать как формулы перехода от прямоугольных координат (,т, у) к новым, криволинейным координатам (u, г) в области G.
Примером криволинейных координат являются полярные координаты (р, <р), связанные с прямоугольными координатами (х, у) формулами
х = pcostp, у = psintp (0 р < оо, 0	< 2тг).
Иногда в качестве промежутка изменения берется промежуток —тг < <р тг. Якобиан перехода к полярным координатам имеет вид
дх дх
Р{х,у) _ др д^
D(p,<p)	ду	ду
др dip
cos<p —psin<p sin ip p cos
5. Геометрические приложения двойных интегралов.
а) Площадь S квадрируемой области G на плоскости (х, у) выражается формулой
S = ffdxdy.	(7)
G
Если G = {{х,уу. а^. х ^.Ь, 0 ^у f(x)} — криволинейная трапеция, то, сведя двойной интеграл (7) к повторному, придем к известному выражению площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла ь f(x) ь	ь
S = JJdxdy = уdx у dy = f [y\f0^] dx = jf(x)dx.
G	a о	a	a
Переходя в (7) к новым переменным по формулам (3), получим выражение площади области G в криволинейных координатах
S= f[№pl\dudv.	(8)
J J I D(u, v) I я
Величину ds = dx dy, представляющую собой площадь прямоугольника со сторонами dx и dy, естественно назвать элементом площади в прямоугольных координатах х и у, а величину ds = I I du dv —
I D(u, v) I элементом площади в криволинейных координатах и и v. Модуль якобиана	представляет собой коэффициент растяжения
площади в точке (и, г) при отображении области g плоскости (u, v) на область G плоскости (х,у).
Если G — криволинейный сектор на плоскости (х,у), ограниченный лучами <р = а, <р — /3 и кривой р = p(tp), где р и <р — полярные
284
Гл. XII. Кратные интегралы
координаты (рис. 34), то, переходя в формуле (7) к полярным коорди-
натам, учитывая, что —= р, а д = {(р, <р): а tp /3, 0 р
/’(</’)}> и сводя двойной интеграл к повторному, получаем известное выражение площади криволинейного сектора через определенный интеграл
S = j'j'dxdy = fjpdpdp = уdtp J рdp = J ~
0 рМ
0 2 РМ'
1 Г
= 2j P2№d(P-
о
G	9	a о
б) Объем V тела T = {(x, у, z): (x,y) &G, 0 z /(x, у)} (рис. 35), где G — квадрируемая замкнутая область, a f(x,y) — непрерывная неотрицательная в области G функция, выражается формулой
V = УУf(x,y)dxdy.	(9)
G
6. Физические приложения двойных интегралов. Пусть G — материальная бесконечно тонкая пластинка (квадрируемая область на плоскости Оху) с плотностью р(х,у). Тогда справедливы следующие формулы:
а)	т = уур(х,у) dx dy — масса пластинки;
б)	Мх
~	М«= f[^,y)dxdy— статические
G	G
моменты пластинки относительно осей Ох и Оу,
. Му К1%
в)	xq = —-, у0 =-----координаты центра тяжести пластинки;
т	т
г)	Ix = j^y2p(x, у) dx dy, Iy = уух2р(х, у) dx dy — моменты инер-G	G
ции пластинки относительно осей Ох и Оу,
д)	Io = 1Х + 1У = уу(.г2 + у2)р{х, у) dx dy — момент инерции плас-G
тинки относительно начала координат.
§1. Двойные интегралы
285
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое интегральная сумма? Составьте интегральную сумму функции f (х, у) = х2 + у2, соответствующую разбиению области G = {(х, у)-, а х Ь, с у d} на прямоугольники G,j = {(х,у): x,-i 4 х
Xi, у}-1 5$ у 5$ yj} (а = Хо < XI < ... < Хп = Ь, с = у0 < yi < ... ... < Ут = d) и выбору левых верхних вершин этих прямоугольников в
качестве промежуточных точек.
2. Что называется диаметром ограниченного множества точек? Чему равен диаметр: а) квадрата со стороной 1; б) области, ограниченной у%
эллипсом — +	= 1 (а > Ь)?
а2 Ь2
3. Дайте определение предела интегральных сумм и двойного интеграла. Докажите, что неограниченная в области функция не интегрируема в этой области.
4.	Сформулируйте теорему об интегрируемости непрерывных функций. Верно ли утверждение: непрерывная в открытой квадрируемой области функция интегрируема в этой области?
5.	Сформулируйте теорему об интегрируемости некоторых разрывных функций (теорему 2). Для каких областей (открытых, замкнутых) верна эта теорема?
6.	Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность двойных
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
интегралов.
Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для двойного ин-
теграла, аналогичную теореме для определенного интеграла.
Сформулируйте теорему о сведении двойного интеграла к повторному по формуле (1) (теорему 3) и аналогичную теорему о сведении двойного интеграла к повторному по формуле (2).
Сведите двойной интеграл
Уf f(x,y)dx dy
к повторному двумя способа-
ми, если G — круг, ограниченный окружностью (х — I)2 + (у — 2)2 = 25. Напишите формулы перехода к новым переменным в двойном интеграле и сформулируйте условия I—III, которым должно удовлетворять отображение.
Используя теорему о неявных функциях, докажите, что в силу условия III некоторая окрестность произвольной точки («o,fo) области д взаимно однозначно отображается на некоторую окрестность точки (то, уо) = (<^(«o, Uj),V'(Mo, п0)) области G, т. е. локально из условия III следует условие I. Следует ли в целом (т. е. для всей области д') из условия III условие I? (Рассмотрите пример: х = и cos v, у = и sin v, 1 и 2, 0 sj v 4тг.)
Изобразите на плоскости (х,у) образ прямоугольника д = {(р, уэ): 0 5$ р sj 1, 0 5$ ip < 2тг} при отображении х = р cos ip,y = р sin р. Является ли это отображение взаимно однозначным?
Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле. Что такое криволинейные координаты? Изобразите на плоскости (х, у)
координатные линии полярных координат р и <р.
15. Напишите формулы для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла. Получите из этих формул выражения площадей криволинейной трапеции и криволинейного сектора с помощью определенного интеграла. Что такое элемент площади в прямоугольных и криволинейных координатах? Каков геометрический смысл якобиана отображения?
286
Гл. XII. Кратные интегралы
16. Напишите формулу для вычисления объема тела с помощью двойного интеграла.
17. Напишите формулы для вычисления координат центра тяжести и моментов инерции материальной плоской пластины.
Примеры решения задач
1. Свести двойной интеграл
Цf(x, у) dxdy
G
к повторному двумя
способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G — область, ограниченная кривыми х = 1, у = х2, у = 2х (х 1).
A I способ. Область G изображена на рис. 36, а. При каждом зна-
чении х из отрезка [0,1] переменная у изменяется от х2 до 2х, т. е. область G можно представить в виде G = {(яг, у): 0 х 1, х2
у 2х}. По формуле (1) полу-
чаем
1 2т
I[г/) dxdy=jdxj f(x, у) dy.
G	0	д,2
II способ. Чтобы воспользо-
ваться формулой (2), нужно разбить область G на две части, Gi
и Сг, как показано на рис. 36, б.
В области Gi переменная у изменяется от 0 до 1, а при каждом значе-
нии у переменная х изменяется от у/2 (значение х на прямой у = 2т) до y/у (значение х на параболе у = аг). Поэтому по формуле (2) полу-
чаем
1 у/У
Ц f(x,у) dxdy = Idy I f(x,у)
Gi	0	y/2
dx.
В области G% переменная у изменяется от 1 до 2, а при каждом значении у переменная х изменяется от у/2 до 1. По формуле (2)
имеем	2	1
I[ f(x, г/) dxdy = Idy I f{x, у) dx.
тт	G2	1	у/2
Итак,
IIf(x,y)dxdy = II f(x,y)dxdy + Ц f(x,y)dxdy = G	Gi	C?2
1 VV	2	1
= /dy I f(x, y)dx + Idy I f(x, y) dx. ▲ 0	y/2	1	y/2
2. Вычислить двойной интеграл Ц(x + у2) dx dy по области G, G
§1. Двойные интегралы
287
ограниченной кривыми у = х и у = х2.
А Область G изображена на рис. 37. Сводим двойной интеграл к повторному по формуле (1):
1
G	о х2
Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница:
I(х + у2) dy = (ху + | у3)	= х2 - | х3
- -х6
5
42
z2
Теперь вычисляем повторный интеграл:
[ (х2 - | х3 - | т6) dx =	|
J X 3	3/	\ 3	6
.4
1
21
О
3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
2
I = fdx у f(x,y)dy.
° ^2x-xi
Л Кривые у = у/2х — х2, у — \/2х и отрезок прямой х = 2 ограничивают область G, изображенную на рис. 38, а. Данный повторный
интеграл равен двойному интегралу по этой области. Чтобы изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, нужно разбить область G на три части, как показано на рис. 38, б. Кривая у = у/2х — х2 является верхней полуокружностью окружности (х — I)2 + у2 = 1. Разрешая это уравнение относительно х, получим два решения: х = = 1 ± \/1 — у2. В областях Gi и G^ переменная у изменяется от 0 до 1, а при каждом значении у переменная х изменяется в области Gi от у2/2 (значение х на кривой у = у/2х) до 1 - у/1 - у2 (значение х на окружности), а в области G2 — от 1 + у/1 — у2 до 2. Поэтому по
288
Гл. XII. Кратные интегралы
У2/2
формуле (2) получаем
1 1 — л/i—у2
УУ f(x,y)dxdy + уу f(x,y)dxdy = J dy J	f(x,y)dx +
Gi	G2	О	у2/2
1	1 r 1-0-У2
+ У dy у 2f(x,yjdx = fdy f f(x,y)dx +
° 1+/C-V	0
Аналогично для области G% имеем 2	2
УУ	у) dxdy = ply у f(x, г/) dx.
G3	1	У2/2
Таким образом, окончательно находим
1 г
УУf(x, г/) dxdy = ply	J f(x, у) dx +
G	0
2	1
У f(x,y)dx . /1-у2
2
У2/2
l-y2
2	2
+ fdy у f(x,y)dx. к
1	У2/2
4. В двойном интеграле I = Ц(х2 + у2) dx dy, где G — круг, огра-G
ниченный окружностью х2 + у2 = 2х, перейти к полярным координатам с полюсом в точке 0(0,0) и вычислить полученный интеграл.
Рис. 39
А Круг G изображен на рис. 39, а. Уравнения, связывающие (х, у) и полярные координаты (/>,92) с полюсом в точке 0(0,0), имеют вид
T = pcos</>, у = psin</>,	(10)
причем наглядно видно, что в качестве промежутка изменения </> можно взять сегмент —тг/2 ср тг/2. Подставляя выражения (10) в уравнение окружности, получим р2 = 2pcos</>, откуда р = 0 или
§1. Двойные интегралы
289
р = 2 cos <р. Эти две кривые на плоскости (р, <р) при —тг/2 р тг/2 ограничивают область д (рис. 39, б}, являющуюся прообразом об-'и')
ласти G при отображении (10). Якобиан	отображения (10)
D(x tf)
равен р. Отметим, что )	' = 0 па границе р = 0 области д, одна-
^\Ру р)
ко формула (4) замены переменных применима (см. замечание после теоремы 4). Подынтегральная функция х2 + у2 в новых переменных равна р2. По формуле (4) имеем
I = уур3 dp dp.
9
Полученный двойной интеграл по области д сводим к повторному: тг/2 2 cos ip
1 = /dv 1
-л/2 О
и вычисляем повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница;
тг/2 4 2 cos
(П)
тг/2	тг/2
,	. Г 4	,	. f ( 1 + COS 2<pV
’.р = 4 / cos р dp — 4 J I----------——]
-тг/2	—тг/2
тг/2
У (1 + 2cos2<р + 1 + c°s^^dp =
-тг/2
О
-л/2
| р 4- sin 2<p + 1 sin 4<р)
*/2 о
/2 = ^-А — 7Г/2
Замечание 1. Расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле (11) можно произвести, рассматривая не область д, а изменение полярных координат в исходной области G. На рис. 39, в видно, что при каждом значении р из промежутка [—тг/2, тг/2] переменная р изменяется от 0 (значение р в полюсе) до 2cos<p (значение р на окружности, уравнение которой в полярных координатах имеет вид р — 2cos<p). Таким образом, пределы интегрирования по р — от —тг/2 до тг/2, а по р — от 0 до 2cosip.
Замечание 2. Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования. Если в данном примере перейти к полярным координатам с полюсом не в точке (9(0,0), а в точке А(1, 0) (центре круга), т. е. по формулам х — 1 = р cos р, у = р sin <р, то прообразом круга G окажется прямоугольник (наиболее простая область) а = {(р>	 0 р 1, 0 <р 2тг} (рис. 39, г). Выражение для подын-
тегральной функции примет вид х2 + у2 = 1 + 2pcos р + р2. В этом случае, используя формулу (4) и сводя двойной интеграл к повторному, получим 1 = JJ(1 + 2pcos р + p2)pdpdp =
СТ	2тг 1
= fdp j\p + 2p2 COS о о
2г ( 3	2
У (j + gCos., о
3 - 7Г.
2
10 В.Ф, Бутузов и др.
290
Гл. XII. Кратные интегралы
5. Вычислить двойной интеграл I = 1 х2 + у2 ^4}.
Ух2у2 dxdy, где G = {(т,у): с
А Область G представляет собой кольцо (рис. 40, а). Его можно разбить на трапециевидные части, к которым применима формула сведения двойного интеграла к повторному, например так, как пока
зано на рис. 40, а. Однако удобнее сделать замену переменных — перейти к полярным координатам: х = pcos</>, у = psinip, 0 2тг. При этом отображении прообразом кольца является прямоугольник д = {(р, <р): 1 р 2, 0 <р 2тг} (рис. 40, б). Применяя формулу (4) и сводя двойной интеграл к повторному, получаем
2 2тг	2 2тг 3
Т f J f 5  2	2 j f 5 J f sin 2p ,	63 тг 21тг ж
1 = JdpJ p°sm vcos <pd<p = j p dpj —-— d<p = — - = —. A 10	10
6.	Найти площадь фигуры G, ограниченной кривой
(*лУУ=4ху (а > 0, Ь>0).	(12)
\а Ы
Д Так как левая часть уравнения кривой неотрицательна при любых х и у, то и правая часть должна быть неотрицательной, а значит, хну должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, кривая расположена в I и III квадрантах, причем она симметрична относительно начала координат. В самом деле, если точка М(х, у) лежит на кривой, т. е. х и у удовлетворяют уравнению (12), то — х и — у также удовлетворяют этому уравнению, т. е. точка М'(—х, —у), симметричная точке М относительно начала координат, также лежит на кривой. Поэтому и вся фигура G состоит из двух частей, симметричных друг другу относительно начала координат. Найдем площадь Si части фигуры, расположенной в I квадранте. Для этого удобно перейти к новым переменным — обобщенным полярным координатам. Они вводятся по формулам
х — хд = ар13 cos“ <р, у — уо = ЬрР sin“ <р,	(13)
§1. Двойные интегралы
291
где хо, уо, а, Ь, а, (3 — некоторые числа, выбираемые в каждом конкретном случае из соображений удобства. Якобиан отображения (13) равен пЫДЗр2'3^ sinfl 1 <pcosQ-1 <р.
В данном случае удобно взять хо = уо = 0, а = 2, (3 = 1. Тогда левая часть уравнения (12) будет равна р4 и уравнение примет вид р4 = 4abp2 cos2 99 sin2 <р,
откуда р = 0 или р = 2-\/а6 sintp cos <р, причем 0 <р тг/2 (I квадрант). Кривые р = 0 и р = lyfabsintp cos <р (0 <р тг/2) на плоскости (р,<р) ограничивают область д — прообраз части фигуры G, лежащей в I квадранте. Якобиан отображения (13) в данном случае равен 2abpsin<pcos<p. По формуле (8) получаем
я/2 '2\/ab sin у cos у
Si = yy2abpsin<pcos(pdp<i<p = J dip j 2abp sintp cos <p dp =
9	00
• T	a2b2
= 4a2 b2 I sin3 <p cos3 <p dp = 4a2 b2 / sin3 p (1 — sin2 p) d(sin p) = ——.
о	0
2
Искомая площадь фигуры G равна 2Si, т. e. - a2b2. ▲
7.	Найти объем тела Т, ограниченного поверхностями z = 0, z = = х2 + у2, у = х2, у = 1.
Л Данное тело можно представить в виде Т = {(x,y,z): (х,у) G G, О z х2 + у2}, где G — область на плоскости (х, у), ограниченная кривыми у = х2 и у — 1, т. е. G = {(х,у): — 1 х 1, х2 у
1}. Применяя формулу (9) и сводя двойной интеграл к повторному, получим
1 1
V = уу (х2 + у2) dx dy = у dx J(х2 + у2) dy = G	-1 х2
= / [z2(l - X2) + | (1 - X6)] dx =	▲
J L	о	J	1UO
-1
8. Найти моменты инерции 1Х и 1у относительно осей Ох и Оу пластины с плотностью р = 1, ограниченной кривыми ху = 1, ху = 2, у = 2х, х = 2у и расположенной в I квадранте.
Д Данная пластинка G изображена на рис. 41. По формулам для 1Х и
1у имеем
1х = Цу2 dx dy, ly = ffx2 dx dy. G	G
Чтобы свести каждый из этих двойных интегралов к повторному, нужно область G разбить на три части. Удобнее перейти к полярным координатам: х = pcosp, у = psinp. Тогда р изменяется от
10:
292
Гл XII Кратные интегралы
<pi = arctg - до ip2 - arctg 2
(см. рис 41), а при каждом значении <р
из сегмента [</>i, у?2] переменная р изменяется от pi(ip) =	1 — (значение
ysm ip cos ip \
p на кривой ху = 1, уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид р = .= 1	до р2 (</>) =
у sm ip cos ip /
2	/
=	= (значение p на кривой ху =
у sin <pcos ip
= 2) Следовательно,
P2 P2<,V>)
I, = dip / p3 sin2 tpdp =
V1 PiM
P2	V2=arctg2
= 4 f Sln2 Г [Ш ~ Р1И d<P = 4 f = 4 W
Pi— arctg 2
Аналогично получаем Iy = - A 8
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Сведите двойной интеграл f{x, у) dx dy к повторному двумя способами, если	G
a)	G — треугольник с вершинами (1,1), (4,1), (4,4),
б)	G — треугольник с вершинами (2,1), (5, 2), (3, 7),
в)	G — область, ограниченная кривыми у — Зт2, у = 6 — Зх,
r) G — круг х2 + у2 2х — iy + 4,
д)	G — треугольник со сторонами, лежащими на прямых у = 2х, у = Зх, х = 4,
е)	G — трапеция с вершинами (—1,4), (5, 4), (1,1), (4,1),
ж)	G — трапеция с вершинами (—2, 0), (0,6), (0, 3), (—1,0),
з)	G — трапеция с вершинами (—2, 3), (0, 6), (3, —3), (0, —3),
и)	G — кольцо 1 (у — I)2 + у2 4,
к)	G — область, ограниченная кривыми х2 — 2х + у2 = 0 и х2 — 2х + + у2 - 2у = 2
2.	Измените порядок интегрирования в повторных интегралах
1	i/»	е2 Ini2	2 2х
a) J'dy у f(x,y)dx, 6)JdxJ f(x,y)dy, в) f dxjf(x,y)dy,
0	,/y	e In X	ox
I 1-a?	0 y2
г) Уdx у f(x,y)dy, д) уdy J f(x,y)dx, -1	-1	-2V-1
§ 1 Двойные интегралы
293
1/2	^/2~х
е) f dx у f(x,y)dy, 0
i	-Vi-v2
ж) f dy у	f(x,y)dx
1/2 --s/sA+v-v2
3.	Вычислите двойные интегралы
а)	уу(т — у) dx dy, где G — треугольник с вершинами (1,1), (4,1), (4,4),
G
б)	J'j'xdxdy, где G — область, ограниченная кривыми у — Зх2, у =
G
= 6 — Зх,
в)	Jj2\x\dxdy, гдеС? — трапеция с вершинами (-1, 4), (5,4), (1,1), (4 1)
G
4.	Перейдите к полярным координатам в двойном интеграле J J f(x, у) dxdy и сведите его к повторному двумя способами, если с
a)	G — круг х2 + у2 <: а2, б) G — круг х2 + у2 si 2у,
в)	G — кольцо а2 х2 у2 Ь2,
г)	G — область, ограниченная кривой (х2 + у2)2 = а2(х2 — у2), х О, д') G — треугольник со сторонами, лежащими на прямых х = 0, у — О, У = 1 - х,
е)	G — область, ограниченная кривыми х2 = ау, у = а (а > 0)
5.	В следующих интегралах перейдите к полярным координатам, а затем сведите интеграл к повторному двумя способами
1 х	2 л/Зу	1	V1 —
а) Уdxу f{x,y)dy,	б) j~dy	j f(x2	+ у2) dx, в) Jdx J	f(x,y)dy
О x2	О	У	0	1-я
1	V
dy, если и = х, v = -х
6.	Перейдите к новым переменным и, v в интеграле з 3-у
а) у*dy у* /(х + у, х — у) dx, если и = х + у, v = х — у,
О 2-у 3 4т
2 Зя
7.	Докажите, что замена переменных х + у = и, у — uv переводит треугольник, стороны которого лежат на прямых х = 0, у = 0, у — 1 — х, в квадрат {(и, л) 0 si и 1, Osjusjl}
8.	Найдите замену переменных х = x(u,v), у = у(и, и), при которой область G, ограниченная кривыми ху = 1, ху = 4, х — 2у — 2 = 0, х — — 2у + 1 = 0 (т > 0, у > 0), является образом прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат на плоскости (u,v)
9.	Вычислите двойные интегралы, введя обобщенные полярные координаты ___________________
а)	где G — область, ограниченная эллипсом
а2	1
б)	уу*1 + у 1 dxdy, где G — область, ограниченная кри-G
294
Гл. ХП. Кратные интегралы
,	/ж — 1 /у +1	,
выми х = 1, у = -1, yj —у + у -у- = 1;
в)	j'j'xdxdyu х2 dx dy, rpe G— область, ограниченная астроидой
+ р2/3 = ffl2/3
10.	Вычислите двойные интегралы:
a)	jjxdxdy, где G — область, ограниченная кривой х2 + у2 = 4ж —
— 2у + 4,
б)	ff(\x\ + \y\)dxdy, где G = {(□?,г/) |ж| + |р|	1};
G
в)	fjxydxdy, где G = {(г, у). ж4 + у* +) 1};
G
г)	ff(x + y) dxdy, где G — область, ограниченная кривыми у2 = 2ж, G
х + у = 4, х + у = 12.
11.	Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми;
а) ху — а2, х + у — 2,5а (а > 0), б) (2ж — Зр)2 + х2 = 3;
в) ху = а2, ху = 2а2, у ~ х, у — 2х (ж > 0, у > 0).
12.	Введя полярные координаты, найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми:
а)	(ж2 + р2)2 = 2а2(х2 - у2), х2 + у2 — а2 (ж2 + р2 а2);
б)	(ж2 + р2)2 = 8а2жр, ж2 + р2 = а1 (а >0, ж2 + р2 а2)
13.	Введя обобщенные полярные координаты, найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми:
а)(4 + ЙУ = ^; б) (ж+р)3=6ж2р2;
\ а2 / с/
. (Ж2	у2 \ 2	2	2	\	(ж — З)2	(р+2)2	х	у
1 \а2	Ь2) _____ У’	’	9	4	3	2’
д) ->/ж — 1 + д/р + 1 = \/2, ж = 1, у = -1
14.	Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями:
a)	z = 1п(1 + ж2 + р2), z = 0, ж2 + р2 = 2,
б)	z = sin \/х2 + р2, z = 0, ж2 + р2 = тг2;
в)	z — ху, х2 = у, ж2 = 2р, р2 = ж, р2 = 2ж, z = 0.
15.	Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми:
.)I+„ = 4, 9 = о,51°; ч	= j у
в) (ж2 + у2)2 = 2а2жр (ж > 0, у > 0).
16.	Найдите координаты центра тяжести круглой пластинки {(ж,р): х2 + + у2 <; а2}, если ее плотность в точке М(х,у) пропорциональна расстоянию от точки М до точки А(а,0).
17.	Найдите моменты инерции 1Т и 1У относительно осей Ох и Оу однородной пластинки с плотностью р = ро, ограниченной кривыми-а) ж = 0, у = 0, ж = а, у = Ь (а > 0, 6 > 0);
б)	р = 0, у — х, у = 2 — х;
в)	(ж — а)2 + (р — а)2 = а2, ж = 0, у = 0, (0 ж а);
г)	ж4+р4-:а2(ж2+р2).
§2. Тройные интегралы
295
18.	Найдите моменты инерции 1Х и 1У относительно осей Ох и Оу пластинки с плотностью р = ху, ограниченной кривыми:
а) х = 0, у — 0, х = а, у = Ь (а > О, fe>0), б) у = 0, у = х, у = 2 — х. 19. Шар радиуса а погружен в жидкость постоянной плотности р, причем центр шара находится на расстоянии h от уровня жидкости иЛ^в. Найдите силы давления рв и рн на верхнюю и нижнюю полусферы этого шара.
20. Докажите, что если в плоскости, где расположена пластинка G массы т, взяты две параллельные оси х и х' на расстоянии а друг от друга, причем первая из них проходит через центр тяжести пластинки G, то моменты инерции пластинки G относительно этих осей связаны соотношением Ix> = 1х + та2
§ 2. Тройные интегралы
Основные понятия и формулы
1. Определение тройного интеграла. Основные понятия и теоремы для тройных интегралов аналогичны соответствующим понятиям и теоремам для двойных интегралов. Пусть Т — кубируемая область (открытая или замкнутая) в трехмерном евклидовом пространстве и пусть в области Т определена ограниченная функция и = f(M) = f(x,y,z). Разобьем область Т на п кубируемых частей Тг (г = 1,2, ...,п) так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части Тг возьмем произвольную точку Л/г(^г,7Д,£г) и составим интегральную сумму
п
= ^ж,тл,сг)дк,
г—1
где ДЦ — объем 7).
Пусть dt — диаметр Тг, d = max dt.
Определение. Число/ называется пределом интегральных сумм 1(Тг, Мг) при d —> 0, если Ve > О 35 > 0 такое, что для любого разбиения области Т, у которого d < 6, и для любого выбора промежуточных точек Мъ, выполняется неравенство
\1(Тг, Мг) - 1\ < е.
Если существует lim 1(Тг, МО = I, то он называется тройным ин-d—M
тегралом от функции f(x,y,z) по области Т и обозначается .у, z) dx dy dz или J^f(M)dV, а функция f(x,y,z) называть	т
ется интегрируемой в области Т.
Теорема 5. Функция, непрерывная в замкнутой кубируемой области, интегрируема в этой области.
Теорема 6. Функция, ограниченная в кубируемой области и непрерывная всюду, кроме некоторого множества точек объема нуль, интегрируема в этой области.
296
Гл. XII. Кратные интегралы
Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.).
2. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования. Пусть функция f(x,y,z) определена в области Т = {(x,y,z): (х,у) е G, Zi(x,y) si z si z2(x,y)}, где z-i(x,y) и непрерывные квадрируемой (рис. 42).
Т еорема
1°) существует тройной интеграл
/// dX dy dz'
z-i(x,y) — функции в области G
7. Пусть:
2°) V(x,y) € G существует определенный интеграл
z2G,y)
I(x,y)= J f(x,y,z)dz.
Тогда существует двойной интеграл
*2 (я, у) jjl(x,y)dxdy = уу dxdy f(x,y,z)dz G	G	z\(x,y)
(он называется повторным) и справедливо равенство
-2 (х, у) f(x,y,z)dxdydz = jfdxdy J f(x,y,z)dz, T	G 21 (x, У)
m. e. тройной интеграл равен повторному.
Если область G является ^-трапециевидной (см. рис. 42), т. е. G = {(т,у): а х b, yi(x) si у у2(х)}, то двойной интеграл УУI(x,y)dxdy в свою очередь можно свести к повторному: G	Ь У2(х)	Ь У2(х)	?2(х, у)
jЦх,у) dxdy-- jdx у I(x,y)dy = Jdx f dy f f(x,y,z)dz. G	“	У1(х)	a yi(x) Zi(x,y)
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится в этом случае к последовательному вычислению трех определенных (однократных) интегралов:
(1)
b !/2(z)	z2(x, j/)
JJJ f(x,y,z)dxdydz = fdx J dy J f(x,y,z)dz.
T	a yiG) ?iG,y)
§2. Тройные интегралы
297
В формуле (1) повторный интеграл представляет собой двойной интеграл, а внутренний интеграл в повторном является определенным интегралом. Возможно и иное сведение тройного интеграла к повторному, когда повторный интеграл представляет собой определенный интеграл, а внутренний интеграл в повторном является двойным интегралом.
Пусть функция f(x,y,z) определена и ограничена в области Т, которая заключена между плоскостями х = а и х = Ь, причем каждое сечение области Т плоскостью х — const (а si
si х si Ь) представляет собой квадрируемую фигуру G(x) (рис. 43).
Теорема 8. Пусть:
1°) существует тройной интеграл	f (х,у, z) dx dy dz\
т
2°) V.r € [a, 6] существует двойной интеграл
Ц f(x,y,z)dydz.
Тогда существует определенный интеграл ь	ъ
fl(x)dx = уdx Ц f(x,y,z)dydz
а	а Gfz)
(он называется повторным) и справедливо равенство ь
f(x,y,z)dxdydz = fdx f(x,y,z)c
Т	a G(a,)
(2)
3.	Замена переменных в тройном интеграле. Аналогично случаю двойного интеграла замена переменных в тройном интеграле ууу f(x,y,z) dxdy dz состоит в переходе от переменных х, у, z к
Т
новым переменным и, v, w по формулам
х = tp(u, v, w), у = ip(u,v,w), z = y(u,u,w),	(u,v,w)£t.	(3)
При этом каждая точка (х,у, z) области Т соответствует по формулам (3) некоторой точке (u, v,w) области т, а каждая точка (u,v,w) области т переходит в некоторую точку (x,y,z) области Т. Иными словами, функции (3) осуществляют отображение области т пространства (u,v,w) на область Т пространства (x,y,z). Пусть отображение (3) удовлетворяет таким же условиям, как и в § 1.
298
Гл XII Кратные интегралы
I Отображение (3) взаимно однозначно
II Функции tp(u,v,w), tp(u,v,w) и x(u,v,w) имеют в области т непрерывные частные производные первого порядка
D(x,y,z)
III Якобиан отображения —,	. отличен от нуля в области г
D(u, v, w)
Теорема 9 Пусть r и Т — замкнутые кубируемые области, функция f(x, у, z) ограничена в области Т и непрерывна всюду, кроме, быть может, некоторого множества точек объема нуль, а отображение (3) удовлетворяет условиям I—III
Тогда справедливо равенство (формула замены переменных в тройном интеграле)
f/f У’ dX dy dZ ~
T
= //j" f(tp(u, v, w),ip(u, v, w),x(u, v, w)) | ^X> У'pit dv dw T
Замечание Формула замены переменных остается в силе, если условия I и III нарушаются на множестве точек объема нуль
4.	Криволинейные координаты. Формулы (3) можно рассматривать как формулы перехода к новым, криволинейным координатам (и, v,w) в области Т Поверхности и = const, v = const и w — const представляют собой координатные поверхности (вообще говоря, криволинейные) в пространстве (x,y,z) Кривые, па которых две криволинейные координаты имеют постоянные значения и изменяется только одна из координат, представляют собой координатные линии
Рассмотрим два примера наиболее употребительных криволинейных координат
Цилиндрические координаты Пусть М(х, y,z) — произвольная точка в пространстве (x,y,z), М’ — проекция точки М на плоскость z	(х, у) (рис 44) Точка М однозначно задает-
'	ся тройкой чисел (p,<p,z), где (р,у>) — по-
z \	лярные координаты точки М1 на плоскос-
ти (х,у), z — аппликата точки М Тройка \	чисел (р, <р z) называется цилиндрическими
’	координатами точки М Переход от прямо-
!	угольных координат (x,y,z) к цилиндричес-
yV I	ким (р, <p,z) задается формулами
/V \ i
/	х = pcos <р, у = psintp, z — z
(о <; p < -f-оо, 0	< 2тг, —oo < z < +oo)
Рис 44	(4)
(Иногда в качестве промежутка изменения берется промежуток
§2 Тройные интегралы
299
—тг < р тг) Якобиан отображения (4) есть
D^,y,z) _ D(p,p z)
Координатная поверхность р = const представляет собой цилиндрическую поверхность — отсюда и название “цилиндрические координаты”
Сферические координаты Пусть M(x,y,z) — произвольная точка в пространстве (x,y,z), М' — проекция точки М на плоскость (х,у)
(рис 45) Точка ЛГ однозначно задается тройкой чисел (г, #,</>), где г — расстояние точки М от точки О (начала координат), 0 угол между лучами ОМ и Oz, р — полярный угол точки М' на плоскости (х, у) Тройка чисел (г, 0, р) называется сферическими координатами течки М Переход от прямоугольных координат (x,y,z) к сферическим (г, 0,р) задается формулами
т = г sm 0 cos р,
(О 1 < +оо,
у = г sm 0 sm р, z = г cos 0
0 Si # тг, 0 si р < 2тг)
(5)
Рис 45
(Иногда в качестве угла 0 берется угол между лучами ОМ и ОМ' со знаком плюс, если z > 0, и со знаком минус, если z < О В этом случае —тг/2 si 0	тг/2, а в формулах (5) нужно заменить sm# на cos#, а
cos# на sm# )
Якобиан отображения (5) есть
11, Z) ;	„ .
& & ' = г2 sm # (в случае второго
способа выбора угла # якобиан равен г2 cos#) Координатная поверх
ность г = const > 0 представляет собой сферу — отсюда и название
“сферические координаты”
Иногда используются так называемые обобщенные сферические координаты Они связаны с прямоугольными координатами (x,y,z) формулами
х — Xq = arn smQ # cos^ р, У — Уо — brn sin“ # sm^ р, z - zQ = er11 cos“ #
(0 si г < +oo, 0 si # S( тг, 0 у? < 2tt),
где хо,Уо, zo, a, b, c, n,a, (3 — некоторые числа, выбираемые в каждом конкретном случае из соображений удобства
Якобиан перехода к обобщенным сферическим координатам имеет вид
= abcna/3r3n~1 sm2a-1 #cos"-1 #sm'34 i^cos^-1 р (6) D(T\ о р)
300
Гл XII Кратные интегралы
5.	Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. Объем V кубируемой области Т (кубируемого тела) в пространстве (x,y,z) выражается формулой
V = ууdx dy dz.	(7)
т
Если Т = {(х,у, z): (х,у) EG, 0 z f(x,y)}, где G — квадрируемая область на плоскости (,т, у), a f(x,y) — непрерывная в области G функция (см рис. 35), то, сводя тройной интеграл к повторному, придем к формуле (9) из § 1, выражающей объем тела Т через двойной интеграл:
fG,y)
V = Цдхду I dz = II[z^^]dxdy = Цf(x,y)dxdy GOG	G
Если область T заключена между плоскостями х — а и х = b и каждое сечение области Т плоскостью х = const представляет собой квадрируемую фигуру G(x) с площадью S(x) (см рис. 43), то, сводя тройной интеграл (7) к повторному по формуле (2) и учитывая, что, II dy dz = S(x), придем к известному выражению объема тела с GG) помощью определенного интеграла
ь	ь
V	= Idx II dydz = fs(x)dx.	(8)
“	G(a:)	“
Переходя в равенстве (7) к новым переменным и, v, w по формулам (3), получим выражение объема области Т в криволинейных координатах:
V	= fff I ^Х’ v’- \ I du dv dw.
J J J \D(u,v,w) I T
Величину dV = dxdydz, представляющую собой объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, естественно называть элементом объема в прямоугольных координатах х, у, z, а величину dV — I	I dudvdw — элементом объема в криволинейных ко-
I £>(м, v, w) I
,	- I D(x, у, z) |	, „
ординатах и, v, w. Модуль якобиана —)———71 представляет собой
I D(u, v, w) I коэффициент растяжения объема в точке (и, v, w) при отображении области г пространства (u,v,w) на область Т пространства (x,y,z).
6. Физические приложения тройных интегралов. Пусть Т — материальное тело (кубируемая область в пространстве Oxyz) с плотностью p(x,y,z). Тогда справедливы следующие формулы:
§2 Тройные интегралы
301
a)	m = y"yyp(x, y, z) dx dy dz — масса тела. т
6)	Myz — fffxp(x,y,z)dxdydz, Mzx = fffyp(x,y,z)dxdydz, т	т
Mxy = fffzp(x,y, z) dxdy dz— статические моменты тела относи-т
тельно координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху,
.	MyZ	Mzx	МХу
в)	аго = —Уо ~, го = —- — координаты центра тяжести тела; m	m	m
г)	Iyz = fff x2p(x,y,z) dxdy dz, Izx = fffy2p(x,y,z)dxdydz, т	т
Ixy = fff z2p(x, y, z) dx dy dz — моменты инерции тела относительно т
координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху,
д)	1х — Izx Ixy, 1у — Ixy “f- Iyz, Iz — Iyz H- Izx моменты инер~ ции тела относительно осей координат Ох, Оу, Oz;
е)	Jo = Iyz + Izx + Ixy = fff (ar2 + y2 + Z2)p{x, y, z) dx dy dz — mo-
t
мент инерции тела относительно начала координат;
ж)	U(xo,yo,zo) = 7fffp(x,y,z)-dxdydz — ньютоновский по-т
тепциал поля тяготения тела Т в точке (х0,№, го); здесь г = = \/{х — то)2 + (у — уо)2 + (г — го)2 — расстояние между точками M(x,y,z) и М0(х0,у0, z0), у — гравитационная постоянная,
з)	F — {Fx, Fy, Fz} — сила притяжения материальной точки массы то телом Т, где
dU
= 7П'1о^— - уто Эхо
Мо(хо,Уо,?о)
X ^0 J J ]
—з— dx ay dz,

Fy
dU	fff/ \У — Уо , , ,
= ^m°dyo ~ 7m°JJJl> X,y'Z "Frr~ dxdydz,
Fz
dU
= 7гпо-— = ут0 dz0
-— dx dy dz.
Контрольные вопросы и задания
1 Что такое интегральная сумма7 Составьте интегральную сумму функции f(x,y,z) = х2 + xyz, соответствующую разбиению области T{(x,y,z) a х	b, с у d, е -7 z < д} на параллелепипеды Т1}ь =
= {(г, у, z) x,-i	х < х,, у}-[ У Уу, Zk-i z Zk} (а = х0 <
< ху <	< хт = Ь, с = уо < уу <	< уп — d, е = zo < zy <	< zi = д)
и выбору вершин {хг-у,у}, z^-y) этих параллелепипедов в качестве промежуточных точек
302
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Гл XII Кратные интегралы
Дайте определения предела интегральных сумм и тройного интеграла Докажите, что неограниченная в пространственной области функция не интегрируема в этой области
Сформулируйте теоремы об интегрируемости непрерывных и некото рых разрывных функций (теоремы 5 и 6) В какой из этих теорем существенна замкнутость области и почему7
Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность тройных интегралов
Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для тройного интеграла
Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному, в котором внутренний интеграл является определенным интегралом Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному, в котором внутренний интеграл является двойным
Тройной интеграл JЦ f(x,y, z) dx dy dz, где T — шар, ограниченный т
сферой (г + I)2 + (у — I)2 + (г + 2)2 = 9, сведите к повторному двумя способами а) так, чтобы внутренний интеграл в повторном был опре деленным интегралом, б) так, чтобы внутренний интеграл в повторном был двойным интегралом
Сведите тройной интеграл из предыдущего задания к последовательному вычислению трех определенных интегралов
Напишите формулы перехода к новым переменным в тройном интеграле и сформулируйте условия I III которым должно удовлетворять отображение
Что представляет собой образ параллелепипеда г = {(р,у?, z) 0 р
1, 0 р < 2тг, 0 z 1} при отображении х — pcosp, у = psinp, z = z Является ли это отображение взаимно однозначным?
Что представляет собой образ параллелепипеда т = {(г, 9, р) 0 г 2, 0	9 тг/2, 0 тг} при отображении г = т sm в cos ср, у = г sm 9 sm р,
z = г cos $ Является ли это отображение взаимно однозначным7 Сформулируйте теорему о замене переменных в тройном интеграле Что такое криволинейные координаты7 Напишите формулы перехода от прямоугольных координат (т, у z) к цилиндрическим координатам (p,p,z) Вычислите якобиан перехода Что представляют собой координатные поверхности р = const, ср = const, z — const и координатные линии р, ср, z7
Напишите формулы перехода от прямоугольных координат (x,y,z) к сферическим координатам (г, 9, р) Вычислите якобиан перехода Что представляют собой координатные поверхности г = const, 9 = const, р — const и координатные линии г, 9, ру
Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к обобщен ным сферическим координатам Вычислите якобиан перехода Напишите формулу для вычисления объема тела с помощью тройного интеграла Получите из этой формулы выражения объема тела с помощью двойного интеграла и определенного интеграла Что такое элемент объема в прямоугольных координатах7
Напишите формулу для вычисления объема тела в криволинейных координатах Что Такое элемент объема в криволинейных координатах7 Каков геометрический смысл якобиана отображения7
§2 Тройные интегралы
ЗОЛ
19 Напишите формулы для вычисления координат центра тяжести и моментов инерции материального тела
20 Напишите выражения для ньютоновского потенциала поля тяготения материального тела и составляющих силы притяжения этим телом материальной точки
Примеры решения задач
1. Дан тройной интеграл f(x,y,z)dxdydz, где Т — область, т
ограниченная поверхностями z — 0, z = эт/, у = х, х = 1 Свести данный интеграл к повторному двумя способами а) так, чтобы внутренний интеграл был определенным интегралом с переменной интегрирования z, б) так, чтобы внутренний интеграл был двойным интегралом с переменными интегрирования у и z В каждом случае свести тройной интеграл к последовательному вычислению трех определенных интегралов
Д а) Область Т представляет собой “криволинейную пирамиду” АО ВС (рис 46, а), основанием которой является треугольник О ВС
Рис 46
в плоскости (х,у) (обозначим этот треугольник буквой G) Для каждой точки (х,у) области G переменная z изменяется от 0 (значение z в области G) до ху (значение z на поверхности z = ху), т е область Т можно представить в виде
T={(x,y,z) (х,у) 6 G, 0 z ху}
По формуле (1) имеем
ху
I = j[dxdy У f(x, у, z) dz
G	0
Сводя двойной интеграл по области G к повторному, получим
1 х ху
I = fdxfdy у f(x,y,z)dz	(9)
ООО
304
Гл. ХП. Кратные интегралы
б) Область Т заключена между плоскостями х = 0 и х = 1. Сечение области Т плоскостью х = const (рис. 46, б) представляет собой треугольник G(x). Проекция этого треугольника на плоскость Oyz изображена на рис. 46, в. По формуле (2) имеем
о
области G(x) к повторному, получим
1 т ху
I = уdxdyу/(х, у, z) dz, ООО
что совпадает с равенством (9). к
2. Вычислить тройной интеграл
1 = УУУяи/х/г dx dy dz,
где Т — область, ограниченная поверхностями
г = 0, z = у, у = х2, у = 1.
Рис. 47
Д Область Т изображена на рис. 47. Ее мо?кно представить в виде
Т = {(x,y,z): (х,у) &G, 0 О у], где G — {(х,у): — 1 х 1, х2 у 1}. Сводя тройной интеграл к
повторному, получим У	1	1 у
I --	dxdyIху \[z dz = уdx Jdyjxyxfz dz —
G	0	-1 x2 0
1	1 1
= f dx^ | xy5/2 dy = Iz(l - |x|3 * * * 7) dx =
-1 x2	-1
4 /х2
21 КТ
о
о
3. Вычислить интеграл I = ///^х +	~	если °бласть
Т ограничена поверхностями z = 0 и (г — I)2 = х2 + у2.
Д Область Т представляет собой конус (рис. 48, а). Уравнение ко-
нической поверхности, ограничивающей область Т, можно записать
в виде z = 1 — у/х2 -Г у2, а саму область Т представить следующим образом: T{(x,y,z): (х,у) & G, О z 1 — у/х2 + у2}, где G — круг
§2. Тройные интегралы
305
радиуса 1 с центром в начале координат. Поэтому данный тройной интеграл можно свести к последовательному вычислению трех определенных интегралов в прямоугольных координатах:
1 Vl~x2 1-у/х2+у2
I = I dx / dy /	+ у}2
-I -x/jrp	0
z] dz.
Однако удобнее перейти к цилиндрическим координатам (р, <р, z): х = = pcosp, у — psinp, z = z. Тогда прообраз круга G есть прямоугольник	0 < р 1, 0 2тг}, прообраз конической поверхнос-
ти — плоская поверхность z = 1 — р, а прообраз области Т — область
т, изображенная на рис. 48, б. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен р, подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна +sin2^) — z. Сводя тройной интеграл по области т к последовательному вычислению трех определенных интегралов, получим
/ = ууу[р2(1 + sin 2р) - z\pdpd<pdz =
2тг 1	1-р
= fdtpjdp у [р2(1 + sin2tp) — z]pdz = ООО
= /dvl[p3(l -р)(1 + sin 2<р) - | р(1 - p)2j dp =
0	0	2.
= /[1(1 + ып2^)-1]^=Л.	(10)
о
Отметим, что расстановку пределов интегрирования в цилиндрических координатах можно произвести, рассматривая не область т, a
306
Гл. XII. Кратные интегралы
изменение цилиндрических координат в области Т. Наглядно видно, что в области G переменная р изменяется от 0 до 2тг, при каждом значении </? переменная р изменяется от 0 до 1, а для каждой точки (р, р) области G переменная z изменяется в области Т от 0 (значение z в области G) до 1 — у/х'2 + у2 = 1 — р (значение z на конической поверхности). Это позволяет расставить пределы интегрирования так, как сделано в равенстве (10). к
4. Вычислить интеграл I = Щу/х2 + у2 + z2 dxdy dz, где Т — т
область, ограниченная поверхностью х2 + у2 + z2 ~ z.
Д Область Т представляет собой шар, ограниченный сферой, урав-
Рис. 49
нение которой удобно записать в виде х2 + у2 + (г — 1/2)2 = 1/4 (рис. 49, а). Данный тройной интеграл можно вычислить с помощью повторного интегрирования в прямоугольных координатах:
1/2	1^1/4 —z2	1 / 2 + ^1/2 —х2 —у2
I = / dx у dy у i/ж2 + у2 + z2 dz.
“ V 2	— у/1 /4 —я2	1 / 2 — ^/1 /2 —я2 —у2
Однако удобнее перейти к сферическим координатам (г, 0,р):
х = г sin 0 cost/?, у = г sin 6 sin р, z = rcos0, (11)
причем переменная р изменяется от 0 до 2тт, а при каждом значении р переменная 0 изменяется от 0 до тг/2. Подставляя выражения (11) в уравнение сферы, получим г2 = г cos 0, откуда г = 0 или г = cos 0. Эти две поверхности в пространстве (г, 0,р) при 0 р 2тг, 0 тг/2 ограничивают снизу и сверху область т (рис. 49, б), являющуюся прообразом области Т при отображении (11). Якобиан отображения (11) равен г2sin#, а подынтегральная функция в сферических координатах равна г. Вычисляя тройной интеграл по области т с помощью
§2. Тройные интегралы
307
повторного интегрирования, получаем
2я я /2 cos 0
I = Щг3 sin 6 dr d6 dp = jdp dB jf r3 sin в dr = T	ООО
2тг я/2
= у dp у cos4 6 sin 0 d6 = 2тг • - • |	.
о о
Отметим, что расстановку пределов интегрирования для переменной г можно произвести, рассматривая не область т, а изменение г при фиксированных значениях р и в в области Т. Наглядно видно, что на каждом луче р = const, в = const переменная г изменяется в шаре Т от 0 (значение г в начале координат) до cos# (значение
5. Найти объем тела Т, ограниченного
поверхностью S:	= 1 и
координатными плоскостями.
Д Тело Т изображено на рис. 50. Для вычисления его объема удобно перейти к обобщенным сферическим координатам (г,0,р) по формулам
х = 2r2 sin4 в cos4 р, у = Зг2 sin4 В sin4 р. z = 15г2 cos4 в.
Тогда уравнение поверхности S примет простой вид: г = 1. В пределах тела Т переменная р изменяется от 0 до тг/2, при каждом значении р £ [0, тг/2] переменная в изменяется также от 0 до тг/2, а на каждом луче
р = const, в = const переменная г изменяется от 0 (значение г в начале координат) до 1 (значение г на поверхности S). Итак, прообразом тела Т при отображении (12) является прямоугольный параллелепипед в пространстве (г, в, р):
т = {(г,6,ру. 0 st г 1,
Якобиан отображения (12) (см. формулу (6)).
Используя формулу (8) для
динатах и вычисляя интеграл по области т с помощью повторного
г на сфере). А
(12)
0 < в $ тг/2, 0 р тг/2}.
равен 2880г5 sin7 в cos3 6 sin3 р cos3
объема тела в криволинейных коор-
интегрирования, получаем
тг/2 тг/2 1
V = j dp У dej2880г5 sin7 в cos3 в sin3 р cos3 р dr = ООО
тг/2	тг/2
= 480 у sin3 р cos3 pdp  j sin7 в cos3 в d8 о	о
308
Гл. XII. Кратные интегралы
тг/2	тт/2
= 480 У sin3 </?(1 — sin2 tp) d(sin<p) • j sin7 0(1 — sin2 0) d(sin0) = о	0
= 48°-n^ = 1-A
6. Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями а:2 = 2рг, у2 = 2рх, х = р/2, z = 0 (р > 0).
Д Тело Т изображено на рис. 51. Его можно представить в виде
ординатной получаем
Рис. 51 плоскости Ozx,
Р у2 dx dydz= у -р
Р,
2
У2 2p
Используя формулу для момента инерции тела относительно ко-помощью повторного интегрирования
р/2
г/2/(2р)
р/2
-Р у2/(2р)
Аналогично находим
lyz = IIIх2 dx dy dz =
Р
2’
х2/(2р)
[ у2 dz =
г г „Л,2	..8
-Р
^ = {//z2dxdydZ = ^
,5
Т =
Р
с
О
2 2
7. Найти ньютоновский потенциал поля тяготения однородного шара Т радиуса R с плотностью р в точке А, находящейся на расстоянии d от центра шара (d > R).
Д Введем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром шара, а точка А ле?кала на положительной полуоси Oz. Тогда уравнение сферы, ограничивающей шар, примет вид х2 + у2 + г2 = R2, а точка А имеет координаты (0,0, d). По формуле для ньютоновского потенциала имеем
U(0,0, d) = 7 [[[Р , dxdydz----=.
JJJ лД2 + у2 + (z - d)2
Так как тело Т — шар, то для вычисления тройного интеграла удобно перейти к сферическим координатам: х = г sin 0 cos <р, у = г sin 0 sin <р,
§2. Тройные интегралы
309
z — г cos В. Прообразом шара Т при этом отображении является прямоугольный параллелепипед г = {(г, В, р): 0 < г < R, 0 < в тг, О С <; 2тг}. Учитывая, что якобиан отображения равен r2sind, а т/х2 + у2 + (г — d)2 = y/r2 + d2 — 2rdcosd, и сводя тройной интеграл по области г к повторному, получим
EZ(0,0, d) = ^ [[[р . r S‘n^ dr dB dp = v 7 jJJ r Vr2+d2 -2rdcos0
= ~р '[dp /г2dr f Sin.^
J J J y/r2 -р d2 — 2r d cos 9 0	0 о
2тг R
= 7pfdpj	(\/r2 + d2 — 2r d cos В
о о
2 2тг R
-"ipjd’pjr2 dr =
о о
odd
где т = irR3p — масса шара.
Таким образом, однородный шар массы т создает в пространстве вне шара такое же поле тяготения, что и точечная масса т, помещенная в центр шара. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
21.	Сведите тройной интеграл	У->г) dx dy dz к последовательному
г
вычислению трех определенных интегралов шестью способами, если:
X2	у2	Z2
а)	Т — область, ограниченная эллипсоидом — + ~ Ч—» = 1; а2	Ь2	с2
б)	Т — область, ограниченная поверхностями х2 Ч- у2 + z1 = 1, х2 + + у2 + г2 = 16, х — 0, у = 0, z = 0 (х р 0, у 0, z 1? 0);
в)	Т — четырехугольная пирамида с вершинами (—2,0,0), (0, —2,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,4),
. _	X2 у2	ж2 у2
г)Т — область, ограниченная поверхностями----1- - = 2г, — ч- =
а b	а2 Ь2
= 1, z = 0 (Ь > а > 0).
22.	Измените порядок интегрирования (различными способами) в интегралах:
1	1	2х2 + 3!/2
а) у dx J dy J f(x,y,z)dz; 6) JdyJdx J f(x,y,z)dz; ООО	000
1 Vl —г2 1	1 x z у
в) у dz J dy J f(x,y,z)dx', r) Jdx Jdy J f (x,y, z) dz.
-I -V7T72	о о о
az+j/
310
Гл. ХП. Кратные интегралы
23.	Вычислите интегралы:
a)	JJJxz dx dydz, если Т — область, ограниченная поверхностями х2 + у2 + z2 = а2, z = 0 (z 0);
б)	ууу (х + у + z) dxdy dz, если Т — область, ограниченная поверхнос-т
тями х + у + Z = 1, X = 0, у = 0, 2 = 0.
24.	Перейдите к сферическим координатам в интеграле
УУУ f(\/x- + у2 + z2) dx dy dz,
где Т — область, ограниченная поверхностями z = х2 + у2, х = у, х = 1, у = 0, z = 0, и сведите полученный интеграл к последовательному вычислению трех определенных интегралов шестью способами.
25.	Перейдите к сферическим координатам и вычислите интегралы:
a)	JJJу/г2 + у2 + z2 dx dy dz, где Т — область, ограниченная поверх-СТ 2	2	2
НОСТЬЮ X + у + Z = X',
3	V9 —х2	V18 —х2 —V2
б)	Jx2dx J у2 dy J zdz.
~ 3	— \/9—X2	ч/х2-Ьз/2
26.	Перейдите к цилиндрическим координатам и вычислите интегралы:
а) ууу у/т2 + у2 z dx dy dz, гдеТ — область, ограниченная поверхностя-т
ми х2 + у2 = z, z = 1;
3 т/z	yjz-y1
fzdz f y2dy f x2 dx.
0	-77
27.	Выбрав подходящую замену переменных, вычислите интегралы:
a) JJJ(х2 + у2 + z2)dx dy dz, где Т — область, ограниченная сферой г
х2 + у2 + Z2 = X + у + z\
—-----------\dxdydz, где Т — область, ограниченная эллип-
с2 а2 Ъ2 /
Г о 2	2
г	у	z
СОИДОМ	—	+	— +	— = 1;
а2	о2	с2
в) JJfy dx	dy dz, где T — область, ограниченная поверхностями z = у2,
т
z = 4у2, z = х, z = 3:г, z = 3 (у > 0).
28.	Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями:
a)	u + y + z = l, х + у — z = — 1, — х + у + z = 1, х — у + z = 1, z = 0;
б)	л/f + ^ + i/f =1,	= 0, у = 0, z = 0;
V 2 J V 5
Т2	I/2	т2	и2
в)	+ У- = 4z,	= 1, z = 0 (Ь > а > 0).
а	о	а2	о2
§2. Тройные интегралы
311
29.	Перейдите к цилиндрическим координатам и вычислите объем тела,
ограниченного поверхностями:
a)	2z = 2т2 + —, 4т2 + — = 1, z = 0;
3	9
б)	у2 + z2 — а2, у2 + z2 = х2, х = b (Ь> а> 0).
30.	Перейдите к сферическим координатам и вычислите объем тела, ограниченного поверхностями:
а)	х2 + у2 + z2 — 1, х2 + у2 + г2 = 16, z2 — x2 + y2, у = 0, z = 0, у = х (х 7: 0, у 7: 0, z 0);
б)	(х2 + у2 + г2)2 — а2(х2 + у2 — z2).
31.	Перейдите к обобщенным сферическим координатам и вычислите объ-
ем тела, ограниченного поверхностями:
а)	+ £ +	+ й)~;
б)	z = 0, у = 0, z=l (z>l);
(х	z\2
в)	( —h 6ji Ч— ) = 3z, х = 0, у = 0, z — 0 (х 0, у 0, z 0). \ 5	2 /
32.	Найдите массу тела, ограниченного поверхностями 2z = х2 + у2, :г + + у -|- z = 1, если плотность тела изменяется по закону: а)р = р0; б) р = р0|1 + т|; в) р = роу2|1 +	(р0 = const).
33.	Найдите координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного
поверхностями:
а)	х+ z2 = а2,	у — 1,	у = 3, z	= 0	(z^0);
б)	z — 4 — х2 — у2, z =	1, х = 0,	у	0	(т /7 0,	у	0);
в)	х2 — 2pz, у2	= 2рх,	х = р/2,	z =	0	(р > 0);
г)	z = х2 + у2,	z = (х2	+ р2)/2,	т + у =	1, х + у =	—1, х — у = 1,
X - у = -1.
34.	Найдите координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями 2z = х2 + 4х + у2 — 2у + 5, Z — 2, если плотность тела изменяется
по закону:
а)р = ро; б) р = ро[(т + 2)2 Ч- (у - I)2]; в) р = poz(x2 -f- у2) (р0 - const).
35. Найдите моменты инерции относительно координатных плоскостей од-
нородного тела плотности ро, ограниченного поверхностями:
( 9	9	9 \ 2	/ 9	9 9х
= 2{Ч + 77 + М ~ 1 (“ > 0, Ь > 0, с > 0);
а/ Ьг /	\ a2 bz сг /
б)	z = (г2 + у2 + z2)3;
в)	z = 4 — х2 — у2, z=l, х = 0, у = 0 (г 0, у 0).
36. Найдите моменты инерции относительно координатных плоскостей
тела:
а)	плотности р = ——--------- (р(1 = const), ограниченного поверхнос-
^2 _|_	22
а?2 у2
------h ------h
ТЬЮ
c2 J \a2 b2 c2 /
37.
б)	плотности p — -5^- z2, ограниченного поверхностями x2 + у2 = a2, 128
y2 + z2 = a2.
Найдите моменты инерции относительно осей координат и начала ко-
ординат однородного тела плотности ро, ограниченного поверхностями: a) z = (г2 + у2 + z2)3; б) х2 + у2 + z2 = а2, z — у/х'1 + у2.
312
Гл. XII. Кратные интегралы
38. Определите момент инерции относительно начала координат тела плотности р = ро(к2 + у2 + z2), где ро = const, ограниченного поверхностью (х2 +y2+z2)2 = х2 + у2.
39. Пусть Т — однородный цилиндр плотности ро с высотой h и радиусом основания R. Найдите силу притяжения этим цилиндром материальной точки массы то, находящейся в центре основания цилиндра.
§ 3. m-кратные интегралы
Основные понятия и теоремы
1. Определение m-кратного интеграла. При т > 3 понятие m-кратного интеграла вводится аналогично понятиям двойного и тройного интеграла. Предварительно нужно ввести понятие объема тела в m-мерном евклидовом пространстве Ет. Объемом т-мерного параллелепипеда Q = {(тц х2,..., хт): |a?i — ai | di,..., |.rm — am| <: dm} назовем число V(Q) = 2di2d2...2dm (при т = 3 получается известная формула для объема прямоугольного параллелепипеда в трехмерном пространстве). Пусть Т — произвольное ограниченное множество точек в пространстве Ет (для краткости будем называть его телом). Рассмотрим всевозможные многогранники QBn и <Эоп, вписанные в тело Т и описанные около него и составленные из m-мерных параллелепипедов. Объем каждого такого многогранника положим равным сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Числа
V= sup {У(0вп)} и V= inf {У((?оп)} ЗвпСТ	TCQon
называются соответственно нижним и верхним объемом тела Т. Тело Т называется кубируемым, если У = V, а число V = У = V называется объемом тела Т.
Пусть на кубируемом множестве Т с Ет задана ограниченная функция и = f(M) = f (xi,х2,хт). Разобьем тело Т на кубируе-мые части Тг (г = 1,2, ...,п) так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку	..., и составим интегральную сумму
п
г-1
где ДУ; — объем Т\. Пусть (Ц — диаметр Тг, d = max Предел 1
интегральных сумм при d —> 0 (его определение в точности такое же, как и для двойных и тройных интегралов) называется тн-кратным интегралом от функции /(xi,..., хт) по множеству Т и обозначается
[ [...[ f(xi,x2,...,xm) dx-i dx2...dxm.	(1)
§3. т-кратные интегралы
313
Как и в случае двойных и тройных интегралов, справедливы следующие утверждения:
1) функция, непрерывная в замкнутой кубируемой области Т С С Ет, интегрируема в этой области;
2) функция, ограниченная в кубируемой области Т с Ет и непрерывная всюду, кроме некоторого множества точек объема нуль, интегрируема в этой области.
Если /(ii, х2,хт) = 1, то интеграл (1) равен объему тела Т:
V(T) = JI ldxrdx2...dxm.	(2)
т
2. Вычисление m-кратных интегралов с помощью повторного интегрирования.
Теорема 10. Пусть-.
1°) функция	интегрируема в области Т = {(xj,...
...,хт): (a?i,...,a:m_i) £ G, У1(хх, ...,xm-i) хт у2(т1, ...,xm-i)}, где У1(ху, ....хТп..[) и y2(xi, ...,хт-1) — непрерывные функции в кубируемой области G С Ет;
2°) V(z1; х2, , xm-i) £ G существует определенный интеграл
1(х1,х2,...,хт_1) = J f(x1,x2,...,xm)dxm.
Тогда существует (т — 1)-кратный интеграл от функции J(xi,... ...,хт) по области G (повторный интеграл) и справедливо равенство Ц.1 f(xi,...,xm)dxr...dxm =
— II.I• • • dxjn..\	I	f (х\,..., хт) dxm.
В свою очередь интеграл по области G при соответствующих условиях можно также свести к повторному и т. д. В конечном итоге при определенных условиях, которым должна удовлетворять область Т, m-кратный интеграл сводится к последовательному вычислению т определенных интегралов (см. пример 1 на с. 314).
3. Замена переменных в m-кратном интеграле. Замена переменных в m-кратном интеграле (1) состоит в переходе от переменных xi,...,xm к новым переменным ui,...,um по формулам
Ж1 —	Um), ..., Хт — (1^1; • * •, , (11-1, * **, Г1ш) £ Т. (3)
Функции (3) осуществляют отображение области т пространства (ui,..., um) на область Т пространства (xj,..., xm). На это отображение накладываются такие же условия I—III, как и в случае двойных и тройных интегралов.
314
Гл. XII. Кратные интегралы
Теорема 11. Пусть т и Т — замкнутые кубируемые области, функция	ограничена в области Т и непрерывна всюду,
кроме, быть может, некоторого множества точек объема нуль, а отображение (3) удовлетворяет условиям I—III.
Тогда справедливо равенство [формула замены переменных в т-кратном интеграле)
Jf(xi,x2, ...,xm)dxi dx2 ...dxm =	jf (</5i («1, ...,um),...
</5m(ui;	Mm))|	Idui- dum. (4)
При f(xi, ...,xm) = 1 из формулы (4) получаем выражение для объема тела Т в криволинейных координатах
J I D(ui,U2, , um) I
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определения кубируемого тела в m-мерном евклидовом пространстве и объема тела.
2	Дайте определения интегральных сумм и m-кратного интеграла.
3.	Сформулируйте теорему о сведении m-кратного интеграла к повторному. Сведите интеграл по параллелепипеду Q — {(ли, . ,тт): |ti — <ii|
di,..., |um — ат|	dm} к последовательному вычислению т опреде-
ленных интегралов.
4.	Сведите интеграл по m-мерному шару Т = V{(ri,..., хт) : х* + ... ... + х^ Я2} к последовательному вычислению т определенных Ин-
S.
6.
тегралов.
Сформулируйте теорему о замене переменных в m-кратном интеграле. Докажите, что если отображение (3) линейное, т. е. <рг[и1,...,ит) = =	и det||ajj ||	0, то это отображение удовлетворяет усло-
виям I—III.
7.	Напишите формулы для вычисления объема тела в пространстве Ет с помощью m-кратного интеграла.
Примеры решения задач
1.	Вычислить объем тела Т, заданного неравенствами х\ 0, х2
0,	О, Х1 + х2 + ... + хт 1.
Д Согласно формуле (2) V(T) = Ц fdx± dx2 ... dxm. Тело Т можно т
представить в виде Т = {[хг, ...,xm): (xi, ...,xm-i) € Gm-i, 0 хт
1 — Xi — х2 — ... — xrn.i}, где Gm-i — область в пространстве Ет~\ заданная неравенствами Xi 0, ...,xm-i	0, Xi + ... + x,n-i 1.
§3. т-кратные интегралы
315
Сводя m-кратный интеграл по телу Т к повторному, получим
V(T) = JJ Jdx1...dxm_1
-i) dxi... dx,
Gm— 1	0
= -11 - • £*771 — 1
Так как область Gm-i можно представить в виде Gm-i = {(ггт, 'Em— 1) • (З-l, - , 'Em—2) £ Gm- 2 , 0 Xm—1 5^ 1	X-[	... Xm — 2 } , К
Gm-2 — область в пространстве jE™-2, которая задается аналогично Gm-i, то (т — 1)-кратный интеграл по области Gm-i можно свести к повторному таким же образом, как и интеграл по телу Т:
J^..J (1	“ 'Em — 1) dxi... dxm — 1 —
= У/../ dxi...dxm-2
'Em — 1) dXjyi — i —
0
-г)2 dxi... dxm-2-
Далее, аналогичным образом можно свести (т — 2)-кратный интеграл по области Gm-2 к повторному и т. д. Через т — 1 шагов придем к следующему определенному интегралу:
Итак, V(T) = к
ml
2. Даны два материальных тела: Т\ с плотностью pr(x,y,z) и Т2 с плотностью p2(x,y,z). Найти силу F притяжения тела Т\ телом Тг. Д Пусть M(x,y,z) — произвольная точка тела Ti, а М'(х',у', z') — произвольная точка тела Тг. Введем (бесконечно малые) элементы объема dV = dxdydz и dV = dx'dy'dz' с центрами в точках M
Рис. 52
и М' (рис. 52). Масса элемента объема dV равна pi(x, у, z) dxdydz, а масса элемента объема dV равна р2(х',у', z') dx' dy' dz'. Силу, с которой первая из этих масс притягивается второй, можно представить в
316
Гл. XII. Кратные интегралы
виде
_ pi (х, у, z) dx dy dz p2(x', у', z') dx' dy' dz'
d 7	p2(M,M')	e’
где e — единичный вектор, сонаправленный с вектором ММ'. Коор-f х — х у' — у z' — z 1
динаты вектора е равны	S ~7Т7~Т77О /„ г-
\р(М, М'У р(М,М') р(М,М')\
Так как р(М,М') = [(а?' — а:)2 + (у' — у)2 + (z' — z)2]1/2, то составляющую силы dF по оси Ох можно записать в виде
dFx = 7 и	V137? dx dy dz dx> dy'dz'	(5)
[(ж' — x)2 + [y1 — y)2 + (z' — z)2]3/2
Чтобы найти составляющую по оси Ох силы, с которой тело Ту притягивается телом ТТ, нужно просуммировать выражения (5) по всем элементам объемов тел Ту и Тг, или, более точно, нужно проинтегрировать по телам Ту и Т>. Таким образом, составляющая Fx искомой силы F выражается 6-кратным интегралом:
= 7 [[[[[[----р1 ^рУ2^ у', у)(х' -О dx d dz dx, d , dz,
1JJJJJJ [(ж' — x)2 + (y' - у)2 + (z' - z)2]3/2	y
Ту / Ту
Говорят, что этот интеграл берется по произведению тел Ту и Аналогично выражаются составляющие Fy и Fz силы F. Л
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
40.
41.
42.
43.
Вычислите m-кратный интеграл:
а) Ц J(х2 + х? + ... + х^У) dxy dx2... dxm, где Т — m-мерный куб, за-
данный неравенствами 0 ху: 1, к = 1, 2,..., ш;
б) уу f^X1 Х2 + Xm dxi dxm-t где Т — m-мерная пирамида, т
заданная неравенствами ту + х2 + ... + xm 1, х* 0, к = 1, 2,..., т.
Найдите объем m-мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостями 0,1X1 + аг2Х2 + ••• + а1тхт — ±/гг (г = 1, 2,..., т), если Д = = detj|ftfe,|jn,,m 7^ 0.
Найдите объем m-мерной пирамиды, заданной неравенствами — + ai
+ — + ... +	^1, xt 0 (г — 1, 2,..., т), а, > 0 (г = 1, 2,..., т).
^2	й/гп.
Найдите объем 5-мерного шара радиуса R.
ГЛАВА XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1.	Криволинейные интегралы первого рода
Основные понятия и теоремы
1.	Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями
х =	y=^(t),	a^t^/3.	(1)
Напомним, что L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции </>(£), ^(i) непрерывны на [а, /3] и различным значениям параметра t из сегмента [а, /3] соответствуют различные точки M(y(t),^(t)). Если точка Л(^(а),^»(а)) совпадает с точкой
^(/3)), а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел длин ломаных, вписанных в кривую, при ДЗ -> О (этот предел называется длиной кривой L). Аналогичные определения имеют место для пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями в координатном пространстве Oxyz.
Пусть L — простая, спрямляемая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная уравнениями (1), и пусть на кривой L определена функция f(x,y). Разобьем сегмент [а, 3] на п частей точками а = to <	< ... < tn = /3. При этом кривая L разобьется на п частей
точками Мо, Mi,..., Мп. Обозначим через Д/j, длину дуги Mk~iMk, выберем на каждой дуге Mk-iMk некоторую точку А';(<!; ЛД-) и составим интегральную сумму п
I(Mfc,Nk) = ^f(^,rlfc)Al(t.
k=l
Пусть Д/ = max Д^.
Определение. Число I называется пределом интегральных сумм при Д/ -> 0, если Ve > 0 3d > 0 такое, что для любого разбиения кривой L, у которого Д/ < 6, и для любого выбора промежуточных точек Nk выполняется неравенство
\I(Mk,Nk) — 1\ < е.
Если существует lim I(Mk,Nk) = I, то число I называется кри-д/-ю
волинейным интегралом первого рода от функции /(ж, у) по кривой L
318
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
и обозначается
f f(x,y)dl.	(2)
L
Если кривая L — незамкнутая и точки А и В — ее концы, то криволинейный интеграл первого рода обозначается также следующим образом: у f(x,y)dl.
АВ
Из определения следует, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к Л) пробегается кривая L, т. е.
У f(x,y)dl= У f&,y)dl.
АВ	ВА
Если f(x,y) = 1, то у dl равен длине I кривой АВ: f dl = I.
АВ	АВ
Аналогично вводится криволинейный интеграл первого рода для пространственной кривой L, заданной параметрически уравнениями
х = ‘pit), у=ф(Е), z = x(t), a^t^/Э.	(3)
2.	Вычисление криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного интеграла. Простая кривая L, заданная уравнениями (1), называется гладкой (кусочно гладкой), если функции ip(t) и имеют непрерывные (кусочно непрерывные) производные, одновременно не обращающиеся в нуль на [а, 3] (на за исключением конечного числа точек). Функция f(M) = f(x,y), определенная на кривой L, называется непрерывной вдоль кривой L, если VM(I € L lim f(M) = f(M0).
М-Ah
M£L
Если это условие выполнено в каждой точке кривой, за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрывы первого рода, то функция f(M) называется кусочно непрерывной вдоль кривой L.
Теорема 1. Если L — кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями (1), и функция f(x,y) кусочно непрерывна вдоль кривой L, то существует криволинейный интеграл (2) и справедливо равенство
0
У f(x, y)dl = If(p(t), ^(i))^'2(i) + ^,2(i) dt. (4) L	a
Замечание. Предположим, что f(x,y) непрерывна вдоль кривой L. Тогда имеют место следующие утверждения.
1°. Если кривая L задана уравнением у = у(х), а х Ъ, и у(х) имеет непрерывную производную на [а, Ь], то существует интеграл (2) и справедливо равенство	ь
f f(x,y)dl = J f(x,y(x))\/l +y'2(x)dx.	(5)
L	a
§1. Криволинейные интегралы первого рода
319
2°, Если кривая L задана в полярных координатах уравнением г = г(^>), р>у si <р si 922, и т(<р) имеет непрерывную производную на [921,922], то существует интеграл (2) и имеет место равенство
Jf(x,y)dl= J f(r(p) cos 92, r(92) sin 92)1/r2(p) + r'2(92) dp. (6) L	^1
3°. Для гладкой пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями (3), справедлива формула
в
f f(x,y,z)dl = у/(92(t),V>(t),x(i))\/<p'2(i) + V>'2(i) + X'2(i)di-	(7)
L	a
4°. Криволинейные интегралы первого рода обладают свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла: линейность; аддитивность; модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции. Справедлива также формула среднего значения.
3.	Физические приложения криволинейных интегралов первого рода. Пусть L — материальная плоская кривая с линейной плотностью р(х,у). Тогда справедливы следующие формулы:
а)	т = ур(х,у) dl — масса кривой;
L
б)	Мх = уур(х,у) dl, Му = ухр(х,у) dl — статические моменты L	L
кривой L относительно осей Ох и Оу,
\	Му	Мх	„
в)	хо = —уо =----------координаты центра тяжести кривой;
т	т
г)	10 = у (х2 + у2)р(х, у) dl — момент инерции кривой относитель-L
но начала координат (полярный момент инерции кривой);
д)	Ix = fy2p(x,y)dl, Iy — jx2p(x,y) dl — моменты инерции L	L
кривой относительно осей Ох и Оу;
е)	F = {FT , Fy} — сила притяжения материальной точки Mo(zo,2/o) массы то материальной кривой L, где
р	/~р(ж,у)со5 92	fpQ,y)sinp
Г х — /^0 /	2	У — /^"0 I 2
L	L
г = {х0 — х,уо — у}, г = |г|, <р — угол между вектором г и осью Ох, у — гравитационная постоянная.
В случае пространственной материальной кривой справедливы аналогичные формулы для вычисления координат центра тяжести, статических моментов, полярного момента инерции, а также силы притяжения материальной точки.
320
Гл ХШ Криволинейные интегралы
Контрольные вопросы и задания
1	Какая плоская (пространственная) кривая называется а) простой незамкнутой (замкнутой), б) спрямляемой, в) гладкой, г) кусочно гладкой7
2	Является ли кривая х = cost, у = smt, 0 t Зтг, простой7 Является ли кривая х = 2t — t2, у — 3t — t— 1 t 1, гладкой, кусочно гладкой7
3	Напишите параметрические уравнения плоской кривой, заданной а) в декартовых координатах, б) в полярных координатах
4	Дайте определение функции а) непрерывной вдоль кривой, б) кусочно непрерывной вдоль кривой
5	Сформулируйте определения а) интегральных сумм для криволинейного интеграла первого рода, б) предела этих интегральных сумм, в) криволинейного интеграла первого рода
6	Зависит ли от направления обхода кривой а) криволинейный интеграл первого рода, б) какая-нибудь его интегральная сумма7
7	Составьте интегральную сумму функции /(т, у) = х + у, соответствующую разбиению отрезка прямой у = х при 0 х 1 на п равных частей и
,	.. /V2k у/2к\ n
выбору промежуточных точек ЛД (----,---) Вычислите предел этих
\ п nJ
интегральных сумм при п —> оо
8	Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла первого рода и вычислении его с помощью определенного интеграла Напишите соответствующие формулы для а) плоской кривой, заданной параметрически, в декартовых координатах, в полярных координатах, б) пространственной кривой, заданной параметрически
9	Вычислите интеграл J(г + у) dl, где L — отрезок прямой у = х при 0 л
х 1, и сравните результат с пределом интегральных сумм задания 7
10	Какие физические приложения криволинейного интеграла первого рода вы знаете’’
11	В случае плоской (пространственной) материальной кривой напишите формулы для вычисления а) координат центра тяжести, б) моментов инерции относительно осей координат, в) силы притяжения точки Мо массы то материальной кривой
12	Для криволинейного интеграла первого рода сформулируйте а) свойства линейности и аддитивности, б) теорему об оценке модуля интеграла, в) теорему о формуле среднего значения
Примеры решения задач
1.	Вычислить криволинейный интеграл первого рода у (а:4/3 + + у4/3) dl, где кривая L — астроида ж2/3 + у2/3 = а2/3 ъ Д Запишем параметрические уравнения астроиды х = acos3i, у = = a sin3 t, 0 t 2тг Так как х' = —3a cos2 t sm t, у' = За sm2 t cos t, to x'2 + y'2 = 9a2 cos21 sm21
Отметим, что x'2 +y'2 = 0 в четырех точках t = 0, тг/2, тг, Зтг/2, т е астроида является кусочно гладкой кривой
£ 1 Криволинейные интегралы первого рода
321
Для вычисления криволинейного интеграла применим формулу
(4) Получим
У (а:4/3 + у4/3) dl = у a4/3 (cos4 t + sin4 t) За | cost sm t| dt =
L	о
тг/2
= 12а7/3 у (cos51 sin t + sin51 cos t) dt = о
= 12aV3[_££^Г/2 + ^|я/21 = 4a7/3. A
L 6 Io о Io J
2.	Вычислить криволинейный интеграл первого рода J\/x2 + y2 dl, L
где L — кривая, заданная уравнением (х2 + у2)3/2 = а2(х2 — у2). Д Перейдем к полярным координатам х = г cosip, у — rsin</i. Уравнение кривой L примет вид
г = a2 cos2</?, р € Ф = {</? —тг/4 р тг/4, Зтг/4 р 5тг/4}.
Для вычисления интеграла применим формулу (6). Так как
\/я2 + У2 = г = a2 cos 2р,	\/г2 + г'2 = а2 ^/1 + 3 sin2 2р,
то
У \Д2 + У2 dl — у a4 cos 2р у1 + 3 sin2 2р dp —
L	¥>6Ф
4 я/4	___________ 4
_ 2а,	? Л + g sin2 2<^j cZ(y/3 sin 2р) — 2а4 +	1п(-\/3 + 2). А
2уЗ J ’	v3
— я/4
3.	Найти массу т материальной кривой L, заданной уравнением у = In ж, где 1 х е, если линейная плотность ее в каждой точке пропорциональна квадрату абсциссы, т. е. р(х,у) = кх2.
Д По формуле для массы т имеем т = Jкх2 dl. Для вычисления L
криволинейного интеграла воспользуемся равенством (5). Так как л/1 + у,2(х) = J1 +	= 1 + х , то
у х~ х
т = fkx2^? dx = | (1 + т2)3/21; = | [(1 + e2)3/2 - 2V2]. A
4.	Вычислить криволинейный интеграл I = J(x + y) dl, где L — меньшая часть окружности	l
( x2 +y2 + z2 = B2, ( У = x,
ограниченная точками A(0,0, R) и B(R/2, R/2, R/y/T).
11 В Ф Бутузов и др
322
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
Д Запишем параметрические уравнения данной части окружности в виде х = t, у = t, z = y/R? — 2t2, 0 t 7?/2. Тогда у/х'2 + у'2 + z'2 =
^1 + 1 +
4£2
R2 - 2t2
Ry/2 y/R2 - 2t2
и по формуле (7) находим
Д/2	г-	г-К/2	.	„
f 2t R^dt .. = f d<-R ~ 2t > = _R2(V2 - 1). A
J y/R2 - 2t2	2 J y/R2 - 2t2	7
о	0
5.	Найти координаты х0, yo, zo центра тяжести первого полувитка материальной винтовой линии L, заданного уравнениями х = a cost, у = asini, z — bt, 0 t тг, если ее линейная плотность постоянна и
равна р.
Д Масса т равна Jpdl. Вычислим
этот интеграл по формуле (7). Так
как у/х'2 + у'2 + z'2 = \/a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2 = у/d2 + b2, то m =
7Г
= p [ у/d2 + b2 dt = ттру/а2 + Ъ2. Значения x0, y0, Zq находим по фор-
o мулам
xq = — I xdl, Уо = — I У dl, zo = — I z dl. mJ	mJ	mJ
L	L	L
Каждый из этих интегралов вычисляем с помощью равенства (7): Я	я
х0 = — [a cos t1/a2 + b2	— о у0 = — f a sin t у/а2 + Ъ2 dt = — ,
mJ	mJ	тг
о	0
я _________
zo = — [bty/d2 + b2 dt — A
mJ	2
о
6. Найти момент инерции I относительно диаметра окружности L, заданной уравнением х2 + у2 = а2, если ее линейная плотность есть р = 1.
Рис. 53
Д Зафиксируем какой-нибудь диаметр окружности. Имеем
I = уd2(x,y) dl, L
где d(x, у) — расстояние от точки М(х,у) £ L до диаметра. Перейдем к полярным координатам: х = rcosip, у = = rsinyj, 0	2тг. Тогда уравне-
ние окружности L примет вид г = а.
Пусть диаметр лежит на прямой, обра-
зующей угол ро с осью Ох, где ро € [0, л) (рис. 53). При этом
d(x,y) — d(a cos р; a sin р) = a|sin(</? — у>0)|-
§1. Криволинейные интегралы первого рода
323
Пользуясь формулой (6) и учитывая, что \/г2 + г'2 = а, находим 2л	2л
I = уa2sin2((p — ip0)ad<p = a3 j — | cos(2</? — 2<ро))с!(р = ла3. А о	о
7. Пусть с — {и(х, у), н(х, у)} — скорость плоского потока несжимаемой жидкости в точке М(х,у). Найти количество Q жидкости, вытекающей за единицу времени из области G, ограниченной гладким контуром L.
Д Разобьем кривую L на п частичных дуг. Пусть п* — единичный вектор внешней нормали к кривой L в точке Nk(£k, %) (т. е. вектор njt направлен во вне области G), |AQfc| — количество жидкости, вышедшей (вошедшей) за единицу времени через дугу длины Д/fc из области (в область) G (рис. 54).
Так как |AQjt| есть площадь параллелограмма со сторонами Д/jt и |с*|, где ск = {uk,vk}, ик = и(£к,т)к), Vk = v^k,t]k), то AQfc = AZfc(cfcnfc). Если скалярное произведение (с^п^)
положительно, то жидкость вытекает из области G (AQk > 0), а если отрицательно, то втекает в G (AQk < 0). Далее, составим сум-п
му ^2(cfcnfc)AZfc и перейдем к пределу при max{AZfc} -> 0. Получим t=i
п — единичный вектор внешней нормали в точке
М(х,у) е L. к
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Вычислите криволинейные интегралы первого рода:
a)	j\x + y)dl, где L — граница треугольника с вершинами А(1,0),
В(0,1), С(0,0);
б)	J у2 dl, где L — арка циклоиды х = a(t — sint), у = a(t — cost), L
0 C t С 2тг;
в)	fe^+^dl, где L — граница кругового сектора {(г, уз): 0 г а, L
0 V я/Ь}, г и — полярные координаты;
г)	У у/х2 + у2 dl, где L — окружность х2 + у2 = ах,
L
д)	у z dl, где L — коническая винтовая линия х = t cos t, у = t sin t, z = t, L
ll*
324
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
О t < t0;
, [ 2 ,, т	( х2 + у2 + z2 = а2,
е)	у х2 dl, где L — окружность \x+y+z=0
l	'•
2.	Найдите массу материальной кривой L с линейной плотностью р(х, у, z), если:
a)	L: х = e-tcosi, у = e-tsini, z = е~‘, 0 t 1пЗ; p(x,y,z) =
= Ро\
б)	L-. х = 3t, у = 3t2, z = 2t3 от точки 0(0,0, 0) до точки А(3, 3,2), р(ж, S/,= ро;
2^2	^.2
в) L — половина дуги эллипса — +	= 1, для которой у < 0, р(х,у) =
= ~У\
г) L: х = i, у = 1t2, z = 113, 0 t Sj 1, р(х, у, z) = \/2у.
3.	Найдите координаты центра тяжести:
а)	однородной меньшей дуги окружности х2 + у2 = 4, соединяющей точки А(2,0) и В(—1, л/З);
б)	контура однородного сферического треугольника х2 + у2 + z2 = а2, х't 0, у is 0, z 0.
4,	Найдите статические моменты дуги L астроиды х2?3 + у2?3 = а2?3, х
0, у 0, относительно осей координат, если ее линейная плотность Р<А,У) = 1.
5. Найдите полярный момент инерции однородной кривой L плотности ро относительно точки 0(0,0), если:
a)	L — контур квадрата {(ж, у): тах(|х|, |р|) = а};
б)	L — контур правильного однородного треугольника плотности ро с вершинами в точках, заданных полярными координатами Р(а,0), <2(а,2тг/3), Я(а,4тг/3).
6. Найдите моменты инерции относительно осей координат одного витка однородной винтовой линии х = cost, у = sint, z = t/(2?r), 0 t 2тг,
если ее плотность равна ро-
7. Найдите проекции на оси координат силы, с которой материальная однородная полуокружность х2 + у2 = а2, у 0, массы М притягивает материальную точку 0(0, 0) массы т.
§ 2.	Криволинейные интегралы второго рода
Основные понятия и теоремы
1.	Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть АВ — простая спрямляемая незамкнутая кривая, заданная параметрически:
(A = A(^(a),V-(a)), b =
Пусть на кривой АВ заданы две функции, Р(х,у) и Q(x,y). Разобьем сегмент [а,/3] на п частей точками а = to < ti < ... < tn = /3. При этом кривая АВ разобьется на п частей точками А = Мо, Мг, Мъ,...
§2- Криволинейные интегралы второго рода
325
Мп — В в направлении от А к В. Пусть (xk,yk) — координаты точки Мк, Ахк = хк - хк-1, &ук = ук - ук-!, Д^ — длина дуги Мк-}Мк, Ы = max Д^. На каждой дуге Mk-iMk возьмем некоторую точку
Nk(£k-,ilk) и составим две интегральные суммы:
п	п
Ii(Mk,Nk) = ^Р^к,г1к)^хк, I2(Mk,Nk) = k=i	k-i
Определение. Число Im (m = l,2) называется пределом интегральных сумм 1т(Мк, Nk) при Д1 —> 0, если W > 0 3<5 > 0 такое, что для любого разбиения кривой, у которого Д/ < S, и для любого выбора промежуточных точек Nk выполняется неравенство
I Im (Мк , Nk ) — 1т | < £.
Если существует lim Im(Mk,Nk) = 1т, то он называется криволи-Д/-+0
нейным интегралом второго рода и обозначается следующим образом:
Л = У P(x,y)dx, I2- f Q(x,y)dy. АВ	АВ
Сумма + 12 называется общим криволинейным интегралом второго рода и обозначается так:
У Р(х,у) dx + Q(x,y) dy.	(2)
АВ
Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что при изменении направления обхода кривой АВ изменяется и знак интеграла, т. е.
У P(x,y)dx = - у P(x,y)dx, у Q(x,y)dy = — J Q(x,y)dy.
АВ	BA	АВ	ВА
Если АВ — замкнутая кривая (замкнутый контур), т. е. точка А совпадает с точкой В, то для нее можно указать два направления обхода от Ак В. Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой L назовем положительным, а противоположное ему — отрицательным.
Интеграл (2) по замкнутому контуру L в положительном направлении обозначают так: <j>P(x, у) dx + Q(x, у) dy.
L
Аналогично вводится криволинейный интеграл второго рода
У Р(х, у, z) dx + Q(x, у, z) dy + R(x, у, z) dz	(3)
AB
326
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
для пространственной кривой, заданной параметрически, x = <p(t), У = Ф(1), z = x(t), a^t^/3	(4)
(A = А(<р(а),ф(а),х(р)), В = B(<p(J3), ф(/3), у(Д))).
2.	Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.
Теорема 2. Если АВ — кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями (1), а функции Р = Р(х, у) uQ = Q(x, у) кусочно непрерывны вдоль кривой АВ, то существует интеграл (2) и справедливо равенство
0
I Pdx+Qdy = I[P(V(t), ф(1))<р'Щ + Q(ip(t), фШ1 (i)] dt. (5)
AB	Q
Для пространственной кривой AB, заданной уравнениями (4), справедлива аналогичная теорема, и интеграл (3) вычисляется по формуле
У Pdx + Qdy + Rdz = j'[P(jp(t), V>(t), y(t))</?'(£) +
AB	a
Если кривая AB задана уравнением у = у(х), а х С Ь, и имеет кусочно-непрерывную производную, а функции Р(х,у) и Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой АВ, то существует интеграл (2) и имеет место равенство
У Pdx + Qdy = J[P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x)]dx.	(7)
АВ	а
Замечание. Криволинейные интегралы второго рода обладают свойствами линейности и аддитивности, однако теорема об оценке модуля интеграла и формула среднего значения неверны.
3.	Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
Теорема 3. Пусть АВ — кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями (1), функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y) кусочно непрерывны вдоль кривой АВ и т = {cos a, sin а} — единичный касательный вектор к кривой АВ в точке М(х,у), причем направление т соответствует направлению движения от А к В (а — угол между вектором т в точке М(х,у) и осью Ох).
Тогда имеет место равенство
У Р(х, у) dx + Q(x,y) dy = У (Р cos а + Q sin a) dl = J (ат) dl, (8) АВ	АВ	АВ
где а = Р(х,у) i + Q(x,y) j.
§2. Криволинейные интегралы второго рода
327
Замечание. Для пространственной кривой (4) справедлива аналогичная теорема, а формула (8) имеет вид
У Р(х, у, z) dx + Q(x, у, z) dy + R(x, у, z) dz = ab
— f (P cos a + Q cos fi + Я cos 7) dl = [ (ат) dl, (9)
AB	AB
где a = Pi + Q j + R k, T — cos a  i + cosfi  j + cos 7  k; a, fi, 7 — углы между касательным вектором т к кривой в точке М(х,у, z) и осями Ох, Оу, Oz.
4.	Физические приложения криволинейных интегралов второго рода.
а)	Работа силы F(x,y) = Р(х, у) i + Q(x, у) j при перемещении материальной точки массы 1 из точки А в точку В вдоль кривой АВ вычисляется по формуле
f P(x,y)dx + Q(x,y)dy.	(10)
АВ
Таким же образом вычисляется работа силы при перемещении материальной точки вдоль пространственной кривой.
б)	Пусть с = {и(х, у), v(x, у)} — скорость плоского потока жидкости в точке М(х,у) (см. пример 7 из § 1). Тогда количество Q жидкости, вытекающей за единицу времени из области G, равно
Q = J(сп) dl,
L
где п — единичный вектор внешней нормали к кривой L в точке М(х,у). Если направление касательного вектора т к кривой L соответствует положительному направлению обхода кривой и a — угол между вектором т и осью Ох, то
n = {cos ~ sin {a — j = {sin a, — cos a}, (cn) = и sin a — v cos a,
и для величины Q, используя формулу (8), получаем выражение через криволинейный интеграл второго рода:
Q = у (—v cos a + и sin a) dl =	— vdx + и dy.
L	L
Контрольные вопросы и задания
1.	Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла второго рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла второго рода.
328
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
2.	Зависит ли от направления обхода кривой: а) криволинейный интеграл второго рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма?
3.	Для криволинейного интеграла второго рода J ydx + xdy, где кри-АВ
вая АВ задана уравнением у = 2т, А(— 1, — 2), В(2,4), составьте интегральную сумму, соответствующую разбиению кривой АВ на п равных частей и выбору промежуточных точек М	~6fc ,
к — 1, 2,..., п. Вычислите предел интегральных сумм при п —> оо.
4.	Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла второго рода и сведении его к определенному интегралу. Напишите соответствующие формулы для: а) плоской кривой, заданной параметрически; в декартовых координатах; б) пространственной кривой, заданной параметрически.
5.	Какое направление обхода замкнутой кривой принимают за положительное?
6.	Каков смысл обозначения <j>Pdx + Q dyl L
7.	Сформулируйте теорему о связи между криволинейными интегралами первого и второго рода.
8.	Криволинейный интеграл второго рода J ydx + xdy, где кривая АВ АВ
задана уравнением у = 2х, А(—1, —2), В(2, 4), сведите к криволинейному интегралу первого рода и вычислите его. Сравните результат с результатом задания 3.
9.	Приведите примеры физических приложений криволинейных интегралов второго рода.
10.	Напишите формулу для вычисления работы силы при перемещении материальной точки вдоль кривой.
11.	Сформулируйте свойства линейности и аддитивности криволинейных интегралов второго рода.
Примеры решения задач
1.	Вычислить криволинейный интеграл второго рода I = = у 2ху dx + х2 dy по трем кривым, соединяющим точки А(0,0) уАВ	и .В(1,1), изображенным на рис. 55.
5(1,1)	Л 1) Пусть кривая АВ задана уравнением
У	у = х. Тогда у' = 1, и, пользуясь форму-
ф У/	лой (7), получим
>У?	1	1
"*	Л= [2х • xdx + х2 dx = [Зх2 dx = х3|^ = 1.
4(0,0)	0(1,0)	* 1 о	о
Рис- 55	2) Для кривой АВ, заданной уравнением
у = х2, имеем у' = 2х, откуда
1 1
I? = У2х  х2 dx + х2 • 2х dx = J4х3 dx = ж4 = 1. о	о
§2. Криволинейные интегралы второго рода
329
3)	Интегрируя по ломаной АСВ, воспользуемся свойством аддитивности интеграла и представим его как сумму двух интегралов — по отрезкам АС и СВ. Так как для отрезка АС у = 0,2/' = 0и0^х^1, то по формуле (7) получаем
1
У 2ху dx + х2 dy = у 2х • 0 dx + х2 • 0 dx = 0. ас	о
Для отрезка СВ имеем х = х(у) = 1, х' = 0 и 0 у 1; поэтому
1
У 2ху dx + х2 dy = у2 • 1 • у • 0 dy + I2 dy = у |* = 1. св	о
Следовательно,
/з = У 2ху dx + х2 dy + у 2ху dx + х2 dy = 1.
АС	СВ
Таким образом, В = /2 = 1з — 1- Этот результат не случаен. Можно доказать, что значение данного интеграла I не зависит от кривой, соединяющей точки А и В. Вопрос о том, в каких случаях криволинейный интеграл второго рода не зависит от кривой, соединяющей две данные точки, будет рассмотрен в § 3. А
2.	Вычислить криволинейный интеграф второго рода I = J (4х + АВ
+ y)dx + (х + 4у) dy, где кривая АВ задана уравнением у = х4, А(1,1), В(-1,1).
Д Вычислим интеграл, пользуясь формулой (7). Учитывая, что у =
1
= х4, dy = 4х3 dx и х изменяется от 1 до —1, получаем I = — J (4х +
+ х4 + (х + 4я4)4х3) dx = —2. А	-1
3.	Вычислить криволинейный интеграл второго рода j>(x + у) dx +
L
+ (х — у) dy, где L — окружность (х — I)2 + (у — I)2 = 4.
Д Запишем параметрические уравнения данной окружности: х — = 1 + 2cost, у = 1 + 2sin0 С t 2тг. Вычисляем интеграл, пользуясь формулой (5). Так как dx = —2 sin t dt, dy = 2costdt, то
2 л
У(х + y)dx + (х — у) dy = у(2 + 2 cost + 2 sint)(—2sint) dt + l	о
+ (2 cos t — 2 sin t)2 cos t dt =
2тг
= У (-4 sin t - 8 sin t cos t + 4 cos 2t) dt = 0. A о
4.	Вычислить криволинейный интеграл второго рода I = (у2 —
L
330
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
— z2) dx + 2yz dy — х2 dz, где L — кривая x = t, у = t2, z = t3, 0 C t 1, пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
Д Вычислим интеграл по формуле (6). Так как dx = dt, dy = 2tdt, dz = 3t2 dt, 0 <t 1, to
i
I = fit4 - t6 + 2t5 • 2t - t2 • 3t2) dt = —. A J	35
о
5.	Вычислить криволинейный интеграл
I = У (у2 — z2) dx + (г2 — x2) dy + (x2 — у2) dz L
вдоль замкнутого контура L, являющегося границей части сферы х2 + у2 + z2 = 1, расположенной в I октанте: х 0, у 0, z 0, причем направление обхода контура таково, что в плоскости Оху движение происходит от точки А(1,0,0) к точке В(0,1,0).
Д Контур L состоит из трех кривых, li, 12, 13, каждая из которых является дугой единичной окружности, лежащей соответственно в з
координатной плоскости Оху, Oyz, Oxz. Поэтому / = Ik, где Ik =
k=i
= У (У2 — г2) dx + (г2 — х2) dy + (х2 — у2) dz.
ik
Найдем интеграл В по кривой 1г. Так как кривая lj лежит в плоскости Оху, то z — 0, dz = 0 и /j = уу2 dx — х2 dy, где Ц: х2 + у2 = 1, О
х 0, у 0. Запишем параметрические уравнения 1Г: х = cost, у = = sint, 0 t тг/2. По формуле (5) получим
я/2	тг/2
h= У (- sin3 t — cos3 t) dt = -2 у sin3 tdt = о	о
тг/2
= 2 / (1 — cos2 t) d(cost) = 2f cost — -°S I = —
J	\	3 /1 о 3
0
Точно так же вычисляются интегралы 12 и /3. При этом В = /2 = = /3 = —4/3. Следовательно, I = —4. А
6.	Найти магнитную индукцию В = {Bx,By,Bz} магнитного поля, создаваемого током I, протекающим по замкнутому проводнику L, в точке M0(x0,y0,z0).
Л Рассмотрим произвольное разбиение кривой L на малые дуги MqMi, MiM2, ..., Mn-iMn такие, что направление по дуге кривой от точки Мк-1(хк-1,Ук-1>2к-1') к точке Мк(хк, Уь zk) совпадает с направлением тока. На дуге Мк~1Мк выберем некоторую промежуточную точку Nk(£k,T]k,£k)- Каждую из дуг Mk~iMk заменим прямолинейным отрезком. Согласно закону Био-Савара электрический ток I,
§2. Криволинейные интегралы второго рода	331
протекающий по отрезку Мк_\Мк, создает магнитное поле, индукция которого в точке Мо равна
ABfcy, Д-Bkz} = [Mk-iMk  г*,], rk
где rfc - M0Nk = {Ct - x0,r]k - y0,Ck - z0}, Mk-iMk = {xk - xk-i, Ук -Ук-1,гк ~ zk-i} = {Axjfc, Ayk, Azk}, rk = |rjfej, 7 — коэффициент пропорциональности. Поэтому
-у/
АВкх =	((& - z0)Ayfc - (rjk - y0)&zk),
rk
^Вку — —J- ((£/; Xo)&Zk	2(})Aj^),
rk
yi
&Bkz - \ ((т)к - yo)&xk - (£fc - X0)Ayk).
rk
Суммируя no k от 1 до n и переходя к пределу при Д! —> 0, получим
Вх = у! <£_____(z-z0)dy-(y-y0)dz--------
7 ((х - Хо)2 + (у - 2/о)2 + (г - Zo)2)3/2
Т, _ Т [_______(ж - До) dz — (z — zp) dx__
V 7 L ((т “ To)2 + (?/“ Уо)2 + (г “ го)2)3/2 ’
в _ т Г	(у - у0) dx - (х - х0) dy
7 j ((т - Т°)2 + (у -уо)2 + (z - zo)2)3/2
Если ввести векторы г = {х - х0,у - Уо- z - z0} иИ1 = {dx, dy, dz}, то вектор магнитной индукции В = Вх i + Ву j + Bz к можно записать в
L
Отметим, что направление обхода контура L совпадает с направлением тока в контуре. ▲
7.	Привести пример, показывающий, что для криволинейных интегралов второго рода неверна, вообще говоря, формула среднего значения
У Р(х,у) dx — Р(х*, у*) у dx, АВ	АВ
где АВ — гладкая кривая, Р(х, у) — непрерывная вдоль АВ функция, (х*,у*) — некоторая точка кривой АВ.
Д Рассмотрим полуокружность {х2 + у2 = 1, х 0} с направлением обхода от точки А(0,1) к точке В(0, -1). На полуокружности АВ зададим непрерывную функцию Р(х,у) = у. Пользуясь параметрическими уравнениями кривой АВ х = cost, у = sint, тг/2 t Зтг/2, вычислим криволинейные интегралы, входящие в формулу среднего
332
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
значения:	,
О7Г/2
У Р(х, у) dx — у у dx = у sint( — sin t) dt — — 7^ 0,
AB	AB	тг/2
Зтг/2
У dx = J sin 0 dt = 0.
AB	я/2
Следовательно, не существует такого промежуточного значения Р(х*,у*) непрерывной подынтегральной функции Р(х, у) = у, для которого у Р(х,у) dx = Р(х*,у*) J dx. ▲
АВ	АВ
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
В упр. 8-18 вычислите криволинейные интегралы второго рода. Для незамкнутых кривых, заданных параметрически (уравнением у = /(ж)), направление обхода соответствует возрастанию параметра t (переменной ж).
8.	у х dy — у dx, где 0(0,0), А(1,2), если: а) О А — отрезок прямой;
ОА
б)	ОА — дуга параболы, осью которой является ось Оу- в) ОА — ломаная линия, состоящая из отрезка ОБ оси Ох и отрезка В А, параллельного оси Оу.
9.	у xdx — ydy, где О А — кривые из пн. а), б) и в) упр. 8.
ОА
10.	у(х2 — 2ху) dx + (у2 — 2ху) dy, где L — дуга параболы: у = х2, —1
L
х 1.
11.	у (х2 + y2)dx + (х2 — у2) dy, где L — кривая у =1 — |1 — т|, 0 х 2. L
12.	ф (х + у) dx + (ж — у) dy, где L — эллипс —- +	=1.
I	аг tr
L
13.	у(2 — у) dx + xdy, где L — арка циклоиды х = t — sint, у = 1 — cost,
L
0 t 2тг.
/(х + у) dx - (х - у) dy г	2	2
1----——-—— где £ — окружность х2 + у2 = 1.
L	X2 +у2
15.	/	+	, где L — граница квадрата с вершинами А(1,0), В(0,1),
/ 1*1 + М
С(-1,0), £>(0, -1).
16.	у у dx + z dy + х dz, где L — виток винтовой линии х = cos t, у = sint,
L
z — t, 0 t 2тг.
17.	у (у — z)dx + (z — x) dy + (x — y) dz, где L — окружность x2 + y2 + L
+ z2 = a2, у = x tga, a € (0, тг/2); обход окружности совершается против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2a, —2a, 0), a > 0.
§3. Формула Грина
333
18.	J у2 dx + z2 dy + х2 dz, где L — кривая Вивиани х2 + у2 + z2 = а2, L
х2 + у2 = ах (z 0, а 0), пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть из точки (2а, 0,0).
19.	Пусть F(M) — сила, с которой материальная точка массы т, помещенная в начало координат 0(0,0), притягивает точку массы 1, находящуюся в точке М(х,у). Найти работу силы притяжения F при перемещении материальной точки массы 1 вдоль кривой АВ, где АВ — часть эллипса	= 1, при х 0, у 0, А(0, 3), 6(2,0).
20.	Пусть с = {~ху,у2/2} — скорость плоского потока жидкости в точке М(х,у). Вычислить количество жидкости, вытекающее за единицу времени из области G = {(ж, у): — 1 х 1, ж4 у 1}.
21.	Вычислить работу силы F вдоль кривой АВ, если:
a) F = {г/, — т}, АВ — окружность х2 + у2 = 1, пробегаемая по ходу часовой стрелки от точки А(—1/\/2, —1/\/2) до точки В(1/у/2,1/у/2\, б) F = {z, — х,у}, АВ — виток винтовой линии х = a cost, у = 6 sint, z = ct, 0 t 4 2тг, А(а, 0, 0), В(а, 0, 2тг).
22.	Вычислить работу силы F вдоль замкнутого контура L в положительном направлении, если:
a)	F = {х — у, 2х + у}, L — треугольник с вершинами А(1,1), .6(3,3), С(3,-1);
б)	F — {т + у, у — т}, L — эллипс 5т2 — бху + 5у2 = 8.
§ 3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
Основные понятия и теоремы
1.	Понятие простой области. На рис. 56, а изображена замкнутая область Gi, ограниченная снизу и сверху кусочно гладкими
М	%
О а	Ь х	О	х
а	б
Рис. 56
кривыми у = У1(х) и У = у?(х), а слева и справа — отрезками прямых х = а и х = Ь. Напомним, что такая область называется у-трапециевидной (отрезки прямых могут вырождаться в точку). Аналогично определяется аг-трапециевидная область (рис. 56, б).
334
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
Замкнутую область G назовем простой, если ее можно разбить
на конечное число как ж-трапециевидных, так и у-трапециевидных
областей. Предполагается, что при каждом разбиении никакие две области не имеют общих внутренних точек. Примерами простых областей являются круг, прямоугольник, кольцо. На рис. 57, а показано разбиение кольца на у-трапециевидные, на рис. 57, б— на х-трапециевидные
а	б
Рис. 57
области (стрелками указано положительное направление обхода границы кольца).
2.	Формула Грина.
Теорема 5. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) и их частные про-□ дР dQ	„ _.
изводные —— и непрерывны в простой области G. ду дх
Тогда справедливо равенство
^Pdx + Qdy = уу- ^)dxdy,	(1)
где криволинейный интеграл берется по границе L области G в положительном направлении.
Формула (1) называется формулой Грина. Она связывает интеграл по границе области с интегралом по самой области.
Замечание 1. Формула Грина справедлива не только для простой области, но и для любой ограниченной области с кусочно гладкой границей.
Замечание 2. Полагая в формуле Грина Q = х, Р =0, а затем Q = 0, Р = — у и учитывая, что JJdx dy равен площади S области G, получим вы-G
ражения площади фигуры через криволинейные интегралы по ее границе:
S = j>xdy,	S=—j>ydx.	(2)
L	L
Пусть а и /3 — произвольные числа такие, что а + /3 = 1. Умножая первое из равенств (2) на а, а второе на (3 и складывая, получим еще одну формулу для площади:
S = ^ах dy — (Зу dx	(а + (3 = 1).
L
Наиболее употребительна эта формула при а = /3 = 1/2:
S = ^^xdy — ydx.	(3)
L
§3. Формула Грина
335
3.	Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования на плоскости. В § 2 был рассмотрен пример, в котором криволинейный интеграл второго рода по трем различным кривым, соединяющим две данные точки А и В, имел одно и то же значение. Можно доказать (см. ниже замечание 2 к теореме 6), что этот интеграл имеет то же самое значение для любой кусочно гладкой кривой, соединяющей точки А и В. В таком случае говорят, что криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования (т. е. не зависит от выбора кривой, соединяющей две данные точки, а зависит только от самих этих точек).
В формулируемой ниже теореме 6 об условиях независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования используется понятие односвязной области.
Определение. Область G на плоскости называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области G.
Примерами односвязных областей служат круг, прямоугольник; пример неодносвязной области — кольцо.
Теорема 6. 1°. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в области G.
Тогда следующие три условия эквивалентны (т. е. из каждого из них следуют два других).
I.	Для любого замкнутого кусочно гладкого контура L, расположенного в области G, справедливо равенство
j>P dx + Q dy = 0.
L
II.	Для любых двух точек А и В в области G криволинейный интеграл у Р dx + Qdy не зависит от пути интегрирования, располо-АВ
женного в области G.
III.	Выражение Р(х, у) dx + Q(x, у) dy является полным дифференциалом, т. е. в области G существует функция и(М) = и(х, у) такая, что
du = Р dx + Q dy.
При этом для любой кусочно гладкой кривой АВ, лежащей в области G, имеет место равенство
У Р dx + Q dy = и(В) — tz(A).	(4)
АВ
2°. Пусть G — односвязная область, а функции Р и Q имеют в А	, дР dQ
области G непрерывные частные производные — и
Тогда каждое из условий I III эквивалентно следующему условию:
336
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
У1К
IV. В области G выполняется равенство
& ду дх
Замечание 1. Функция и(х,у) из условия III может быть найдена по формуле
6е. «/)
и(х,у) = у Pdx + Qdy + C,
(z0,3/o)
где интеграл в правой части представляет собой криволинейный интеграл второго рода по произвольной кривой L, лежащей в области G и соединяющей какую-нибудь фиксированную точку (хо,«/о) с точкой (х,у), a С — произвольная постоянная. В качестве кривой L часто бывает состоящую из двух отрезков, параллельных осям
координат (рис. 58). Тогда
(z.l/o)	(z,p)	X	у
и(х,у) = у Pdx+ у Qdy + C = Jp^Xjyo') dx + jQ(x,y) dy + С. (6) (xo.yo)	O.S/o)	x0	УО
Замечание 2. Для рассмотренного в примере 1 из § 2 криволинейного интеграла I = f 2ху dx + х2 dy имеем Р — 2ху, Q = х2,	= 2т, — = 2х.
J	ду	дх
ав	а
m	дР до
Таким образом, —- = —- и, следовательно, интеграл I не зависит от пути ду дх интегрирования.
(адо)
(Х,У)
Рис. 58
1ЭТЬ
о
(ж,М>)
X
Контрольные вопросы и задания
1.	Какая область называется: «/-трапециевидной; т-трапециевидной; простой?
2.	Покажите, что область G = {(ж, у): — 1 х С 1, х2 у 1} является / 1 1
простой. Удалив из области G круг х2 + \ У ~ -J < —, получим область Gi. Покажите, что область G« также является простой. Укажите положительное направление обхода границы области Gi.
3.	Напишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых она верна.
4.	Пусть G — «/-трапециевидная область, L — ее граница, функция Р(х, у) дР
и ее частная производная — непрерывны в области G. Докажите, что 3«/
справедливо равенство JJ-^-dxdy = —^Pdx. G у	L
5.	Напишите формулу для вычисления площади S простой области с помощью криволинейного интеграла по ее границе L. Верна ли формула S = ^dy-^-dx?
L
§3. Формула Грина
337
6.	Что означает утверждение: криволинейный интеграл J Р dx + Q dy не зависит от пути интегрирования?	ав
7.	Что означает утверждение: выражение Pdx + Qdy является полным дифференциалом в области G ?
8.	Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в области G. Сформулируйте два необходимых и достаточных условия независимости криволинейного интеграла J Р dx + Q dy от пути интегрирования.
АВ
9.	Дайте определение односвязной области на плоскости. Является ли односвязной областью: полуплоскость; круговой сектор; круг с выброшенным центром; область G; из задания 2?
1П гт	-nt \ z-т/ \	дР SQ
10.	Пусть функции Р(х,у), Q(x,y) и их частные производные — и —-ду дх непрерывны в односвязной области G. Сформулируйте необходимое и достаточное условие независимости криволинейного интеграла У Р dx + Q dy от пути интегрирования, использующее указанные про-АВ
изводные. Как связано это условие с условиями из задания 8?
11.	Пусть du(x, у) = Р(х, у) dx + Q(x, у) dy в области G. Напишите формулу для вычисления функции и(х,у).
12.	Пусть Р — ху, Q = А —-—, G{(x,y): хI 2 + у2 < 4}. Докажите, что 2	2 — у
выражение Pdx + Qdy является полным дифференциалом некоторой функции и(х, у) в круге G, и найдите эту функцию. Чему равен интеграл ^Р dx + Q dy для любого замкнутого кусочно гладкого контура L, расположенного в области G? Вычислите интеграл J Р dx + Qdy, где А(—1,1), В(1,1).	ав
Примеры решения задач
1.	Вычислить криволинейный интеграл
1 = у (ех sin у — ру) dx + (ех cosy — р) dy, АО
где кривая АО — верхняя полуокружность xz + yz = ах, А(а,0), 0(0,0) (рис. 59).
Д Введем обозначения: Р = ех sin у — ру, Q = ех cosy — р. Дополним кривую интегрирования АО до замкнутого контура L отрезком ОА оси Ох. Тогда получим
I = j>P dx + Qdy — у Р dx + Q dy. L	ОА
г,,	dQ дР	.	p
1ак как ------— = р, то по формуле Грина находим
G
338
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
где область G — верхняя половина круга радиуса а/2. Поэтому
2
jjpdxdy = р - S(G) =р-
G
Вычислим интеграл по отрезку ОА оси Ох. Учитывая, что на этом отрезке Р = 0, dy = 0, получим J Р dx + Q dy = 0. Таким образом, 1=^-р. А	ОА
2.	Пусть функции и(х,у), v(x,y) и их частные производные первого и второго порядка непрерывны в замкнутой области G, ограниченной гладкой кривой L. Доказать, что справедлива вторая формула Грина:
и v
дп дп
и V
Ди Av
dx dy,
G
производная по направлению внешней нормали L, Ли =
(7)
ди где — — дп д2и д2и	„	„
=	а интеграл в левой части есть криволинеиныи интеграл
первого рода.
Д Сначала докажем, что
/ ди ,, ГГ( л dv ди dv ди
<bv—dl = lv&u + —  — + --  у-J дп JJ \ дх дх ду ду L	G
Пусть n = {cosy?, sin у?} — единичный вектор внешней нормали к „ Т гг.	ди ди	ди .
кривой L. 1ак как 7— = — cosy? + -^smy, то
дп дх	ду
f ди „	/1 ди , ди .	\ ,,
iv — dl — ф \ v cos х + v — smy? dl.
J dn J \ дх	dy )
Единичный касательный к L вектор т = {cos a, sin а}, направление которого соответствует положительному направлению обхода контура, получается поворотом вектора п на угол тг/2 против часовой стрелки (рис. 60). Поэтому
а = у? + тг/2, cos а = — sin у?, sin а = cos ср.
Учитывая эти равенства, с помощью формулы (8) из § 2 выразим криволинейный интеграл первого
рода через криволинейный интеграл второго рода:
Г( ди	ди . \	„	£( ди\ ,	,	f	ди\ ,
Ф и тг cos ср	+ v — sm ср]	dl	=	ф[	— v — ]dx	+	[v	— ] dy.
J \ дх	ду )	£ \ ду)	\	дх)
§ 3. Формула Грина
339
Вводя обозначения Р = —v Q = v —, преобразуем последний ин-dy	дх
теграл по формуле Грина. Учитывая, что
dQ _ д I ди\ _ д2и до ди
дх дх \ дх/ V дх2 + дх дх’
дР _ д / ди\ _ д2и до ди
ду ду \ V ду) V ду2 ду ду ’ получим
~v 7r}dx + Cl; 7г)с1у = [[(.7^ ~ уг)с1хс1У =
J \ ду/ \ дх/ JJ\dx ду /
L	G
[ Г ( . до ди до ди\ , , = // v Ди+	— dardy.
JJ \ дх дх ду ду/ G
Таким образом, справедливость равенства (7) доказана.
Поменяв в равенстве (7) ролями функции v{x, у) и и(х, у), получим
[llubv + ^ + ^yxdy. (8)
J дп JJ \ дх дх ду ду/
L	G
Составляя разность равенств (8) и (7), приходим ко второй формуле Грина:
— УУ(« Ди ~ v Ди) dx dy. ▲
L	G
3.	Вычислить площадь S фигуры, ограниченной астроидой x = acos3t, у = b sin3 t, 0 С t < 2тг.
Д Пользуясь формулой (3), находим
2тг
S — - dy — у dx ~ - у (3a& cos4 t sin2 t + 3a6 sin4 t cos2 t) dt = l	о
2tt 3 /	2+ •
= - / COS t SI
2л	2тг
sin2 t dt = | [ sin2 2t dt =
u	8 J	8
о	о
4. Доказать, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить криволинейный интеграл;
а) у xdx — ydy, где А(0,1), В(3, —4);
АВ
б) у (х4 + ixy3) dx + (6х2у2 — 5у4) dy, где А(—2, —1), В(3,0).
АВ
Д а) Очевидно, xdx — ydy — du, где и = ——	По формуле (4)
находим
У xdx — ydy = u(B) — и(А) = —= —3.
AB
340
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
б) Проверим выполнение условия IV теоремы 6: Р = х4 + 4ху3, с 2 2 г 4 дР 1 о 2	1 о 2 *т	А &Р &Q
Q = вх у - 5у , -тг- = 12ху , —— = 12ху . Таким образом, -тг— = -к5-, оу	дх	дудх
т. е. условие IV выполнено. Следовательно, по теореме 6 выражение Р dx + Qdy является полным дифференциалом, а криволинейный интеграл I = у Р dx + Q dy не зависит от пути интегрирования, Возь-АВ
мем в качестве пути интегрирования ломаную AM В, где М(—2,0). Тогда AM = {(х, у): х -= —2, — 1 у 0}, МВ = {(я, у): у = 0, — 2
Вдоль отрезка AM имеем х = —2, dx = 0, — 1 у 0; поэтому о
У Р dx + Qdy = у (24у2 — 5у4) dy = 7. Вдоль отрезка МВ имеем у = AM	-1
= 0, dy = 0, — 2 х 3; поэтому з
У Рdx + Qdy = ух4 dx = 55.
MB	-2
Искомый интеграл по ломаной АМВ равен сумме вычисленных интегралов, т. е. равен 62. ▲
5. Дважды дифференцируемая функция и(х,у) называется гармо--	> е Л d2W 92W	.. _
ническои в области G, если в этой области Хи = —— +	- = 0. Дока-
дх2 ду2
зать, что если для функции и(х,у), имеющей непрерывные частные производные второго порядка в односвязной области G, и для любого гладкого замкнутого контура L, лежащего в области G, справедливо к
/ди л п ди
— dl = 0, где —--производная по внешней нормали
L
контуру L, то и(х, у) — гармоническая функция в области G.
Д Пусть n = {cos <р, sin ср} — единичный вектор внешней нормали кривой L. Так как ди ди .ди .
— = — cos<p+ — simp, дп дх	ду
К
то
/ди .. Г (ди	ди .
к
Далее, пусть т = {cos a, sin а} — единичный касательный вектор кривой L, направление которого соответствует положительному на-7Г
правлению обхода контура. Тогда а = — + ip (см. рис. 60), cos а =
= — simp, sin а — costp, и по формуле (8) из § 2 получим
/ди	„	f (ди	.	ди	\	Г	ди	.	ди	.
—	dl	= ф	Hr- sm а - — cos а ] dl	= ф -	— dx + — dy.
дп	J	\дх	ду	/	J	ду	дх
L	L	L
§3. Формула Грина
341
Таким образом, $ — ^~dx + ^~dy = 0 для любого замкнутого гладкого контура L, лежащего в односвязной области G, т. е. выполнено условие I теоремы 6. По теореме 6 из условия I следует условие д (	ди\	д (ди\	д2и д2и	п	Л	„
IV,	т.	е.	— I -	—	= д- д- ,	откуда	— + —	=	0,	или	Ди	=	0.
оу \	ду/	дххдх/	дх1 ду2
Это	и	означает,	что	функция и(х,у)	гармоническая	в области	G.	А
6. Вычислить интеграл I =	где L —замкнутый ку-
сочно гладкий контур, окружающий начало координат, пробегаемый в положительном направлении и ограничивающий область G.
Л Покажем, что интеграл I не зависит от выбора контура L, окружающего начало координат. Положим Р = —Q = —г~—т- Тогда X2 + у2 х2 + у2
dQ_dP^_ у2 ~х2 дх ду (х2 + у2)2
при х2 + у2 / 0,
т. е. условие IV теоремы 6 выполнено всюду в области G, за исключением точки 0(0,0). Область G с выброшенной точкой О уже не является односвязной, поэтому утверждение 2° теоремы 6 использовать нельзя (нельзя утверждать, что из условия IV следует условие I).
Рассмотрим другой кусочно гладкий замкнутый контур I, окружающий начало координат. Пусть контур I лежит внутри (или вне) области G, тогда кривые L и I ограничивают некоторую область Я.
Рис. 61
Применим к этой области формулу Грина. Если кривая I лежит внутри G (рис. 61, а), то в формуле Грина обход контура L совершается против часовой стрелки, а контура I — по часовой стрелке. Поэтому
dx + Qdy - j>P dx + Qdy = J J (jQ —	dxdy = 0,
L	I	fi
откуда
<fPdx + Qdy = <fPdx + Q dy.
(9)
342	Гл. XIII. Криволинейные интегралы
Если же кривая I лежит вне G (рис. 61, <?), то в формуле Грина обход контура L совершается по часовой стрелке, а контура I — против часовой стрелки. Значит,
Р dx + Q dy — Р dx + Q dy = 0.
i	L
Отсюда снова получаем равенство (9). Если контуры L и I пересекаются в п точках (рис. 61, в), то для каждой из п полученных при этом областей 14, не содержащих начала координат (они заштрихованы на рис. 61, в), справедлива формула Грина. Пользуясь этой формулой, находим
У Р dx + Q dy + у Р dx + Q dy = 0
Ik	lk
(направления обхода показаны на рис. 61, в). Просуммировав эти равенства по к от 1 до п, получим, что сумма интеграла по контуру L в положительном направлении и интеграла по контуру I в отрицательном направлении равна нулю. Отсюда снова приходим к равенству (9). Таким образом, интеграл I не зависит от выбора кривой L. Вычислив его по единичной окружности х = cost, у = sint, 0 t 2тг, получим
т f cos2 t dt + sin2 tdt „
I = / ----------—5--- = Z7T. A
J cos21 + sin t 0
Замечание. Рассмотренный пример показывает, что если область не является односвязной, то из условия IV теоремы 6 может не следовать условие I.
7. Найти функцию и(х, у), если du = [у cos ху — 2х sin(a:2 — у2)] dx + + [2: cos ху + 2у sin(a:2 — у2)] dy.
Л Нетрудно убедиться, что для дифференциального выражения выполнено равенство (5). Для вычисления функции и(х,у) воспользуемся формулой (6). Находим
X
и{х,у) = у [уо cos ху(} — 2х sin(a:2 — i/q)] dx +
210	у
+ у [х cos ху + 2у sin(a:2 — у2)] dy =
УО
= [sinяп/о + cos(2i2 - У2)]IL + [sin ХУ + cos(s2 - у2)] IL + С =
= [sin ху0 + cos(a:2 - у%) - sin хоуо ~ cos(xq - у2)] +
+ [sin ху + cos(a:2 - у2) - sinan/o - cos(a:2 - 3/0)] + С =
= sinxy + cos(x2 — у2) + Ci,
где Ci — произвольная постоянная. А
§ 3. Формула Грина
343
2
X - у) dy, где L — эллипс — + —- = 1; а* о2
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
23.	Вычислите криволинейные интегралы второго рода, применив формулу Грина:
а)	<j>xy2 dy — х2 dx, где L — окружность х2 + у2 — а2;
L	„2
б)	<j>(x + у) dx — (:
L
в)	Г~х +v (cos 2ху dx + sin 2ху dy), где L — окружность х2 + у2 = R2; L
г)	У (v(y)e1 — ру) dx + (<р'(у)ех — р) dy, где АВ — кусочно гладкая АВ
кривая, соединяющая точки A(a?i, yi) и В(х?,у2), не пересекающая отрезок АВ в его внутренних точках и ограничивающая вместе с отрезком АВ область площади S, а функция <р(у) имеет непрерывную производную.
24.	На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы Л = У (т + у)2 dx — (х - у)2 dy и = У (х + у)2 dx - (х - у)2 dy, где АтВ	АпВ
АтВ — отрезок, соединяющий точки А(1,1) и В(2,6), а АпВ — дуга параболы, проходящей через точки А, В и начало координат?
25.	С помощью криволинейных интегралов вычислите площади областей, ограниченных следующими кривыми:
а)	эллипсом х = a cost, у = bsmt, 0 t 2тг;
б)	параболой {х + у)2 = 2ах (а > 0) и осью Ох;
в)	гиперболой у = 1/х, осью Ох и прямыми х = 1 и х = 2;
г)	окружностью х2 + у2 — 4 и параболой х2 = 2 — у (область содержит начало координат).
26.	Вычислите интеграл I = j> (х cos а + у cos /3) dl, где L — замкнутая L
гладкая кривая, ограничивающая область площади S; а и /3 — углы между вектором внешней нормали п к кривой L в точке М(х,у) и осями Ох и Оу.
27.	Докажите, что если функция и(х,у) имеет в замкнутой области G непрерывные производные второго порядка, то справедлива формула
//[(£) + (S) W = -f/^udxdy + fu^-dl, G	“	G	L
где L — гладкий контур, ограничивающий область G.
28.	Докажите, что подынтегральное выражение является дифференциалом некоторой функции, и вычислите криволинейные интегралы:
а)	у х dy + ydx, где А(— 1, 2), В(2,3);
АВ
б)	у (х + y)dx + (х - y)dy, где Л(0,1), В(2, 3);
АВ
в)	у —2------, где А(2,1), В(1,2), АВ — кривая, не пересекающая
АВ
ось Оу;
344
Гл. XIII. Криволинейные интегралы
г)	f — . —7, где А(1,0), В(б, 8), АВ — кривая, не проходящая че-AJB #2 + У2
рез начало координат;
д)	J xdx + у2 dy, где А(1,1), В(2,3);
АВ
. г xdx + у dy	. г ,	.	2,
е)	/	— -------1 Где точка Mi{Xi,yi) лежит на окружности х +
Vx2+y2
Ml М2
+ у2 = а2, а точка Mz(x2,y2) — на окружности х2 + у2 = Ь2.
29.	Выразите следующие криволинейные интегралы через определенный интеграл:
a)	J f(x + y)(dx + dy), где А(0,0), B(a,b), a /(t) — непрерывная
АВ
функция;
б)	J /(1/т2 + y2)(xdx + ydy), где Mi(a?i, yi), М2(<Г2,уз), a /(t) —
Л/j М2
непрерывная функция.
30.	Выразите криволинейный интеграл J <р(<г)dx + V'(y) dy, где Mi(xi,yi),
JVfi М2
М2(хз,уз), a ip(x) и ip(y) — непрерывные функции, через сумму определенных интегралов.
31.	Найдите функцию и(х,у), если:
a)	du = (х2 + 2ху — у2) dx + (х2 — 2ху — у2) dy,
an+m+l2	an+m+l2
б)	du = -———— dx 4----------— dy.
3in+1 dym dxn dym+1
ГЛАВА XIV
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Площадь поверхности
Основные понятия и теоремы
1. Уравнения поверхности. В § 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции
z = f(x,y), (x,y)eG.	(1)
Задание поверхности уравнением (1), а также уравнением
x = f(y,z)	(1')
или уравнением
y = f(z,x)	(1")
называется явным.
Поверхность может быть задана уравнением
F(x,y,z) = 0,	(2)
не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (2). Например, уравнение
х2 + у2 + z2 - R2 = 0	(3)
задает сферу радиуса R с центром в начале координат.
Наконец, поверхность может быть задана параметрически:
з: = <£>(u,v), у = ip(u,v), z = x(u,v), (u,v) € д, (4) где ip, ip, х — непрерывные функции в области д. Переменные и и v называются параметрами. По формулам (4) каждой точке (u,v) области д ставится в соответствие некоторая точка (х, у, г) трехмерного пространства. Множество этих точек и образует поверхность.
Например, уравнения
х = Я sin u cos v, у = .Rsinu sinv, z = Rcosu, (и, v) € g = {(it, v): 0 < и < тг, 0 v < 2тг}	'
задают ту же самую сферу, что и уравнение (3).
Уравнения (4) можно записать в векторном виде
г = <р(и, v) i + ip(u, v) j + х(и, и) k, (и, и) € д,	(6)
346
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
где r = xi + yj + zk — радиус-вектор точки М (х, y,z), a {i, j, k} — ортогональный базис.
В дальнейшем, рассматривая поверхности, заданные параметрически уравнениями (4), будем считать выполненными следующие условия.
I.	Область д ограничена и замкнута; ее границей является кусочно гладкая кривая без самопересечений.
II.	Функции <р, чр и х непрерывно дифференцируемы (т. е. имеют непрерывные частные производные первого порядка) в области д.
III.	Различным внутренним точкам (и, v) области д соответствуют различные точки (x,y,z) поверхности.
Если условие, аналогичное III, выполнено также для граничных точек области д, то поверхность будем называть простой. Множество точек поверхности, соответствующих граничным точкам области д, образует в этом случае границу (или край) поверхности. На рис. 62 изображена часть конической поверхности х = ucosv, у = usinv,
z — и, (u,v)Gg={(u,v):O<a^u^b, 0 v %}, краем которой является замкнутый контур А'В'СD', соответствующий прямоугольнику ABCD — границе области д. Точки поверхности, не принадлежащие краю, называются ее внутренними точками. Если же условие типа III не выполнено для граничных точек области р, то поверхность может не иметь края (в таком случае она называется замкнутой). Примером такой поверхности является сфера, заданная уравнениями (5).
Замечание. Определение внутренних и граничных точек поверхности можно ввести еще и так: точка М поверхности называется внутренней, если существует окрестность точки М такая, что множество точек этой окрестности, не принадлежащих поверхности, является несвязным; точка поверхности, не являющаяся внутренней, называется граничной.
2.	Понятие гладкой поверхности. Пусть поверхность Ф задана либо явно, либо неявно, либо параметрически. Будем называть поверхность Ф гладкой, если для любой ее внутренней точки существует такая окрестность, которая вырезает часть поверхности Ф,
§1. Площадь поверхности
347
допускающую явное представление вида (1) или (1') или (1") где / — непрерывно дифференцируемая функция.
Из этого определения следует, что в каждой внутренней точке гладкой поверхности существует касательная плоскость и нормаль (см. § 4 гл. X).
Если поверхность Ф задана явно уравнением (1) и функция f(x,y) непрерывно дифференцируема в области G, то поверхность, очевидно, является гладкой. Уравнение касательной плоскости и координаты вектора нормали в данной точке поверхности Ф приведены в § 4 гл. X.
Пусть поверхность Ф задана неявно уравнением (2) и пусть функция F(x,y,z) непрерывно дифференцируема. Точка Mo(xo,yo,zo) поверхности Ф называется неособой, если в этой точке F? +	+ Fz / 0.
В противном случае точка называется особой. Если поверхность не содержит особых точек, то она является гладкой. Уравнение касательной плоскости к поверхности Ф в неособой внутренней точке Mo(xo,yo,zo) имеет вид
Fx(M0)(x - хо) + Fy(M0)(y - уо) + Fz(M0)(z - z0) = 0.
Вектор
N = {Fx(M0),Fy(M0),Fz(M0)}
(7)
является вектором нормали к поверхности Ф в точке Мо. Пусть поверхность Ф задана пара-
метрически уравнениями (4), или, что то же самое, уравнением (6). Точка Мо(>р(и, v), ф(и,у), x(u,v)) называется неособой точкой поверхности Ф, если в этой точке векторы
Гг» = i^u(u,w) + jVu(w,v) +kxu(w,w), rv = i <pv (u, v) + j V’r (u, v) + k Xu (u, v)
неколлинеарны (линейно независимы). В противном случае точка Мо называ-
ется особой.
Простая поверхность, не имеющая особых точек, является гладкой.
Уравнение касательной плоскости к поверхности Ф в неособой внутренней точке М(1р(и,о),ф(и,о),х(и,иУ) имеет вид
А(х - хо) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0, где х0 = <p(u,v), уо = Ф(и,у), z0 = x(u,v),
А =
Фи Хи
Фи Хи
Хи фи
Xv '"Pv
фи Фи фи Фи
(8)
в =
Вектор N = [ги • rv] = iA + у В + kC есть вектор нормали к поверхности Ф в точке М. Векторы ги и г„, отложенные от точки М, лежат в касательной плоскости (рис. 63).
348
Гл. XIV- Поверхностные интегралы
3.	Понятие площади поверхности. Пусть Ф — гладкая ограниченная поверхность. Разобьем ее с помощью кусочно гладких кривых на конечное число п частей Ф, (г = 1,2,..., п) так, чтобы каждая часть Фг однозначно проектировалась на касательную плоскость, проведенную в любой точке этой части (предполагается, что такое разбиение возможно). На каждой части Ф; возьмем произвольную точку Mi и проведем через нее касательную плоскость к поверхности. Обозначим через Si площадь проекции Ф,- на касательную плоскость (эта
проекция ограничена кусочно гладкими кривыми и потому квадри-п
руема). Составим сумму 5(Ф;,М;) = Пусть d{ — диаметр Ф;, d = max d,.	i=i
Определение. Число S называется пределом сумм S($i, Mi) при d —> 0, если Ve > 0 35 > 0 такое, что для любого разбиения поверхности Ф, у которого d < 6, и для любого выбора точек Mi выполняется
неравенство
\S($i,Mi)-S\ <е.
Если существует lim 5(Ф;,Л/г) = S, то поверхность Ф называется d—►о
квадрируемой, а число S — площадью поверхности Ф.
Замечание 1. Поверхность, составленная из нескольких гладких поверхностей, называется кусочно гладкой. Если каждая из этих гладких поверхностей квадрируема, то сумма их площадей принимается за площадь кусочно гладкой поверхности.
Замечание 2. Определение площади естественным образом распространяется на поверхности, не имеющие касательной плоскости и нормали в конечном числе внутренних точек. Примером такой поверхности является коническая поверхность, которая не имеет касательной плоскости в своей вершине.
4.	Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
Теорема 1. Гладкая параметрически заданная поверхность, не имеющая особых точек, квадрируема, и ее площадь S выражается формулой	_____________
S= If x/А2 + В2 + С2 du dv,	(9)
9
где А, В и С определяются по формуле (8).
Замечание 1. При наличии конечного числа особых точек формула (9) остается в силе.
Замечание 2. Введем функции
Е = rl = tpl (и, v) + ф2 (и, v) + х2 (u, v),
G - rl = <pl(u,v) + ф2(и,ъ) + Xv)u,v),	(10)
F = (гцг„) = ipu<pv + фифу + ХиХу.
Справедливо равенство
А2 + В2 + С2 = EG - F2,	(11)
§1. Площадь поверхности
349
и поэтому формулу (9) можно записать в виде
S = JJx/eG-F2 dudv.	(12)
9
Замечание 3. Поверхность, определенную явно уравнением (1), можно рассматривать как заданную параметрически — роль параметров играют х и у. Параметрические уравнения (4) для такой поверхности можно записать в виде
X = и, у = V, Z = f(u, v),	(и, г) 6 G.
Если область G удовлетворяет условию I п. 1, а функция f(x,y) непрерывно дифференцируема в области G, то, используя равенство (12), получим формулу для площади поверхности, заданной явно,
S = JJ\/1 + f£(x,y) + fy(x,y)dxdy.	(13)
G
Контрольные вопросы и задания
1.	Назовите способы задания поверхности. Для каждого способа приведите пример.
2.	Напишите уравнения поверхности в параметрическом и в векторном виде. Какие требования накладываются на параметрические уравнения поверхности?
3.	Напишите параметрические уравнения сферы, конуса, круглого цилиндра.
4.	Какая поверхность называется простой? Что называют границей или краем поверхности? Является ли простой поверхностью часть эллиптического параболоида х = и, у = v, z — и2 + и2, (и, и) Е g = {(и, т): 0
и2 + V2 а2}? Что является границей этой поверхности?
5.	Приведите пример замкнутой поверхности, т. е. поверхности без края.
6.	Для следующих поверхностей, заданных параметрически, определите, в какие точки поверхности (граничные или внутренние) отображается граница области у.
а)	сфера х = TisinucosB, у = Rsinusinv, х = Rcosu, (u.v) 6 g =
= {(u, d) : 0 и Sj тг, О v 2тг};
б)	конус х = г cos ip, у = rsinip, z — г, (г, т?) Е g = {(г, т?): 0 г
а, 0	2тг);
в)	цилиндр х — acos р, y — asmp, z = h (а > 0), (Д, р) Е g = {(h, р): —b^.h^.b, 0 р 2тг).
Нарисуйте данные поверхности и укажите на рисунке образ границы области д. Являются ли эти поверхности простыми?
7.	Дайте определения: а) гладкой поверхности; б) касательной плоскости к поверхности в данной точке.
8.	Какая точка поверхности называется неособой (особой), если поверхность задана: а) неявно; б) параметрически?
9.	Сформулируйте достаточные условия, при которых является гладкой поверхность, заданная: а) явно; б) неявно; в) параметрически.
10.	Напишите уравнение касательной плоскости в неособой внутренней точке гладкой поверхности, заданной: а) явно; б) неявно; в) параметрически. Каковы координаты нормали к поверхности в этой точке?
350
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
11.	Укажите особые точки сферы и конуса из задания 6. Существуют ли касательные плоскости в этих особых точках?
12.	Имеет ли особые точки цилиндр х = acos^j, у = asin</3, z — h. при —b^.h^.b, 0 2тг?
13.	Справедливо ли утверждение: в каждой внутренней точке гладкой поверхности существует касательная плоскость и нормаль?
14.	Дайте определение площади поверхности. Какая поверхность называется квадрируемой?
15.	Сформулируйте теорему о квадрируемости поверхности, заданной параметрически, и напишите формулу для вычисления ее площади.
16.	Вычислите выражение VEG — F2 для сферы, конуса, кругового цилиндра из задания 6.
17.	Напишите параметрические уравнения гиперболического параболоида
2	2	X2 У2 22	,
z = х — у и эллипсоида —т + ” Н—- = 1 и вычислите выражение /72 Ь2 г2
у/EG - F2 для этих поверхностей.
18.	Выведите формулу для вычисления площади поверхности, заданной явно. При каких условиях она верна?
Примеры решения задач
1.	Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности х = и, у = v, z = = и3 + v2 в точке Мо(1,1,2).
Д Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме z = iu + + j v + k (u3 + v2), получим
ru(Af0) = (i + 3u2k)|Mo =i + 3k, r„(M0) = (j + 2vk)|Mo =j + 2k. По формуле N = [rurr] находим нормаль в точке Mq:
i j k
N = 1 0 3 =- 3i — 2j + k.
1 2
Составляем уравнение касательной плоскости, проходящей через точку -Mq(1, 1,2): -3(т - 1) - 2(у - 1) + (z - 2) = 0, или z-3x — — 2у + 3 = 0. Далее, вычислим длину вектора N и его направляющие косинусы: |N|2 = 9 + 4 + 1 = 14, cos a = -3/\/14, cosj3 = -2/\/14, cos 7 = l/x/14. A
2.	Вычислить площадь S части гиперболического параболоида z — = ху, вырезанной цилиндром х2 + у2, = 8.
Д Площадь S вычислим по формуле (13):
S =	^1 + z2 + z2 dxdy — jjт/1 + у2 + х2 dxdy,
где G — круг х2 + у2 < 8. В интеграле перейдем к полярным координатам; получим
§1. Площадь поверхности
351
2я 2V?
S = j dip j р\/1 + р1 dp. о о
Вычисляя интеграл, находим S = 26тг. к
3.	Найти площадь S части поверхности z = 1 — (х2 — у2)3/2, отсекаемой плоскостью z = 0.
Л Для вычисления площади S воспользуемся формулой (13). Находим
zx = -Зх(х2 + у2)1/2, Zy = -Зу(х2 + у2)1/2,
^/1 + z2 +	= \/1 + 9(z2 + у2)2, S = уу л/1 + 9(т2 + у2)2 dx dy,
G
где G — область на плоскости Оху, на которую проектируется часть поверхности, отсеченная плоскостью z = 0. Границей области G является линия пересечения поверхности с плоскостью z = 0, т. е. кривая 0 = 1 - {х2 + у2)3/2. Отсюда получаем х2 + у2 = 1, т. е. граница области G — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Вычислим интеграл S, перейдя к полярным координатам х = р cos ip, у = psin<p, 0 tp 2л. Имеем
л 7Г X	г О 2
s = ldipfpdpVi + 9pi = l[~V^ + ^ +
о о	_________
+ | In (зР2 +	+ 9/)] j = (Зл/10 + 1п(3 + л/10)). к
4.	Найти площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями х2 + z2 = а2, у2 + z2 = а2.
Л Сначала вычислим площадь S части поверхности Ф первого цилинд
ра, вырезанной вторым (рис. 64). Параметрические уравнения первого цилиндра имеют вид
х = acosip, у = h, z = asincp, 0 <р 2тг, —00 < h < +00.
352
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
Для того чтобы найти уравнение линии пересечения поверхностей, подставим параметрические выражения у и z в уравнение второго цилиндра. Уравнение у2 + z2 = а2 в переменных р, h примет вид h2 = a2 cos2 р, 0 < р 2тг.
Таким образом, для точек пересечения поверхностей при у > О имеем h = а| cos <р|, при у < 0 имеем h = — <z] cos <^>|. Область д изменения параметров поверхности Ф запишется следующим образом:
д = {(<А ^): 0 2тг, —а| cos <р|	h а| cos
Пользуясь формулами (10), получаем Е = a2 sin2 р + a2 cos р = а2, G = 1, F = 0, откуда у/EG - F2 = а. По формуле (12) находим 2я a|cos^|
S = уу a dp dh = a J dp J dh — 8a2.
9	0	—a| cos 9?)
Точно так же вычисляется площадь части второго цилиндра, вырезанной первым. В результате получаем ответ: 16a2. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.	Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности в точке Мо(хо,Уо,го):
а)	х = acosDsinu, у = bsinusinu, z = ccosu, M0(a/\/3,Ь/л/З, — с/\/3);
б)	х = г, г/=г sin </?, z = rcosp, Мо(—1, х/3/2, —1/2);
в)	х = acosp, y = asinip, z = h, Mo(a/y/2,a/y/2,—l').
2.	Вычислите направляющие косинусы нормали к поверхности в точке Мо'.
а)	х = г cos р, j/ = rsin^j, z = hp, Ma(h/y/2, h/y/2, /itt/4);
6)	x = (1 +cosi/j)cosp, у = (1 + cosV1)5'пz = sini/j, Mo(l/y/2, 1/л/2,-1).
3.	Пользуясь явным заданием поверхности, вычислите площадь
а)	части гиперболического параболоида аг = ху, заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2;
б)	части эллиптического параболоида 2az = х2 + у2, заключенной внутри цилиндра (х2 + у2)2 = 2а2ху;	2	2
в)	части гиперболического параболоида --= 2z при z 0, вырезанной цилиндром	— 1;
г)	части поверхности т = 0, у = 0, z = 0;
д) части конической поверхности Z2 = 2ху, отсекаемой плоскостями х + у = 1, х = 0, у = 0;
е) части конической поверхности z = у/х2 + у2, заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = 2х.
4. Пользуясь параметрическим заданием поверхности, вычислите площадь:
а) части сферы х2 + у2 + z2 = а2, заключенной внутри цилиндра х2 + + z2 = Ь2, если 0 < b < а;
- +	+ — = 1, вырезанной плоскостями
а Ь) с
§2. Поверхностные интегралы первого рода
353
б)	части сферы х = R cos v sin и, у — Rsin v sin u, z = Rcosu, ограниченной двумя параллелями и двумя меридианами, т. е. vi v V2, ui и «2;
в)	части сферы х2 + у2 + z2 = а2, расположенной вне цилиндров х2 + + у2 — ±ах;
г)	части цилиндра х2 + у2 = а2 при х > 0, у > 0, вырезанной плоскостями х + z = О, х — z = 0;
д)	части гиперболического параболоида z = (х2 — у2)/2, заключенной внутри цилиндра (х2 + у2)2 — (х2 — у2);
е)	части геликоида х = г cos <р, у = r sin <р, z = hip, О^г^а,	2тг;
ж)	поверхности тора х = (b + a cos ф) cos р, у = (b + a cos ф) sin р, z = аыпф при 0 < а Ь, 0^9?^ 2тг, 0^1/)^ 2тг.
5. Вычислите площадь поверхности тела, ограниченного поверхностями: а) х2 + у2 = z2/3, х + у + z = 2а (а > 0);
б)	z = \/х2 + у2, х + 2z = а (а > 0).
§ 2.	Поверхностные интегралы первого рода
Основные понятия и теоремы
1.	Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть на квадрируемой поверхности Ф определена функция — = f(x,y,z). Разобьем Ф кусочно гладкими кривыми на п квадрируе-п
мых частей: Ф = U Фг. На каждой части Фг выберем произвольную г=1
точку Мг и составим интегральную сумму п
ДФг,Мг) = £/(Мг)5(Фг), 2 = 1
где 5(Фг) — площадь Фг. Пусть dt — диаметр Ф„ d = max dt.
Определение. Число/ называется пределом интегральных сумм 1(Фг,Мг) при </—> 0, если Ve > 0 35 > 0 такое, что для любого разбиения Ф, у которого d < 6, и для любого выбора точек М, выполняется неравенство
|/(Ф„ М,) -/| < Е.
Предел I интегральных сумм называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности Ф и обозначается
fff(M)dS
ф
или
If f(x,y,z)dS.	(1)
ф
12 В Ф Бутузов и др.
354
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
первого рода с
2.	Вычисление поверхностного интеграла помощью двойного интеграла.
Теорема 2. Пусть Ф — гладкая поверхность, не имеющая особых точек, заданная параметрически уравнениями х — tp{u,v), у = — ф(и, и), z = x(u,v), (и, v) £ д, и пусть функция f(x, у, z) непрерывна на Ф. Тогда существует интеграл (1) и справедливо равенство
JJf(x,y, z) dS = уf(<p(u,v), ф(и,у),х(и,оУ)\/ EG - F2 dudv; (2) Ф	9
функции E, G, F переменных и, v определены формулами (10) из § 1.
Замечание 1. Если поверхность Ф является графиком непрерывно дифференцируемой функции z = z(x,y), (х,у) £ G, то имеет место равенство
У"[f(x,y,z)dS = JJ/(х,у.г(з:,у))у/\ + z% + z% dxdy. Ф	G
Замечание 2. Формулы (2) и (3) остаются справедливыми для кусочно гладкой поверхности.
3.	Физические приложения поверхностных интегралов первого рода. Пусть Ф — материальная поверхность с поверхностной плотностью p(x,y,z) в точке M(x,y,z) € Ф.
Тогда справедливы следующие формулы:
а)	М — JJp(x,y,z)dS — масса поверхности;
б)	Мху = JJzp(x,y,z)dS,	Mxz = у
Г Г	Ф	Ф
= // xp(x,y,z)dS — статические моменты поверхности относитель-ф
но координатных плоскостей Оху, Oxz, Oyz;
\ ^dvz	Mxz	Мху
в)	xq = Уо	z° =	— координаты центра тяжести
поверхности;
г)	h = JJ(y2 + z2)p(x,y,z)dS — момент инерции поверхности ф
относительно оси Ох;
д)	Iyz = JJх2р(х, у, z) dS — момент инерции поверхности относи-ф
тельно плоскости Oyz;
е)	10 = уу (х2 + у2 + z2)p(x, у, z) dS — момент инерции поверхнос-ф
ти относительно начала координат;
ж)	F = {Fx,Fy,Fz} — сила притяжения материальной точки Мо(хо,Уо,го) массы т0 материальной поверхностью Ф, где
Fx = 7Ш0 УJ Х	р(х, у, z) dS, Fy = ут0 JJ У-3У° р(т, у, z) dS,
ф	ф
(3)
MyZ
§2. Поверхностные интегралы первого рода	355
Fz = 'ут,,уz r3Z°p(.x, у, z) dS, ф
х = {х — х0,у — y0,z ~ z0}, г = |г|, 7 — гравитационная постоянная.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение поверхностного интеграла первого рода.
2.	Сформулируйте теорему о существовании поверхностного интеграла первого рода и сведении его к двойному интегралу для поверхности, заданной параметрически.
3.	Напишите формулу вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла для явно заданной поверхности.
4.	Пусть Ф — материальная поверхность с поверхностной плотностью р(М). Напишите формулы, по которым для этой поверхности вычисляются: а) статические моменты относительно координатных плоскостей, б) координаты центра тяжести; в) моменты инерции 1ху и Iz относительно плоскости Оху и оси Oz; г) сила, с которой поверхность притягивает материальную точку массы то, помещенную в точку Mo(xo,yo,zo).
5.	Пользуясь формулой (3), вычислите интеграл JJzdS, где Ф — часть параболоида z = х2 + у2 при 0 z 1.	*
6.	Пользуясь формулой (3), сведите поверхностный интеграл J[f(x, ф
у, z) dS к сумме двух двойных интегралов, если Ф — сфера х2 + у2 + ,	2	2
Н- z — а .
Примеры решения задач
1.	Вычислить поверхностный интеграл первого рода I = zdS, ф
где Ф — часть гиперболического параболоида z = ху, вырезанная цилиндром х2 + у2 = 4.
Л По формуле (3) получаем
I = УУZy/1 + z2 + z2dx dy = yyxy\/l + y2 + x2 dx dy, G	G
где G — круг x2 + у2 4. Переходя к полярным координатам х = = г cos р, у = г sin р и сводя двойной интеграл к повторному, находим 2я 2	_____
/ = У dp у г3 cos р sin р\/1 +r2 dr =
0	0	2я	2
= У dp cos р sin р  Jгл \/Ъ + г2 dr — 0. А о	о
2.	Вычислить интеграл I — Цу dS, где Ф — часть поверхности ци-ф
линдра х = 2у2 + 1 при у > 0, вырезанная поверхностями х = у2 + z2,
12
356
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
х = 2, х = 3.
А Вычислим интеграл I с помощью двойного интеграла по области G — проекции поверхности Ф на плоскость Oxz. Для отыскания границы области G исключим переменную у из уравнений х = 2у2 + 1 и х — у2 + z2; получим 2z2 = х + 1.
Граница области G состоит из двух дуг этой параболы и отрезков
прямых х = 2 и х = 3 (рис. 65). Уравнение поверхности запишем в виде у =	~ 1. Отсюда следует, что
Пользуясь формулой
I = УУ \/1 + у2+у2 dx dz,
G получим
I--- I------	3	V(*-l)/2
/ dz=
G	2	-VG+i)/2
3.	Вычислить момент инерции Iz относительно оси Oz однородной сферической оболочки х2 + у2 + z2 = a2, z 0 плотности ро.
А Имеем Iz = ро(х2 + у2) dS. Напишем параметрические уравне-ф
ния данной полусферы: х = a cos v sin и, у = a sinn sin u, z = acosu,
§2. Поверхностные интегралы, первого рода
357
О < и < тг/2, О < v <i 2тг. По формулам (10) из § 1 находим п 22	9	2>2	2	9 • 9	9
Е — a cos v cos и + a sm v cos и + a sin и = а , G = a2sin2v sin2it + a2cos2n sin2it = a2sin2u, F = — a2 cos v cos и sin v sin и + a2 sin v cos и  cos n sin it = 0, откуда yjEG - F2 = a2sinu.
Выразим подынтегральную функцию в переменных и, v; получим х2 + у2 = a2 sin2 и.
Вычисляем интеграл Iz по формуле (2):
я/2	2л-	4
Iz — P0/Jо2 sin2 и  a2 sin ududv = poa4 j sin3u du J dv — - тгрой4. A 9	oo
4.	Заряд Q равномерно распределен по сфере радиуса R. Найти напряженность электрического поля сферы в точке А, находящейся на расстоянии г (г R) от центра сферы.
Д Введем прямоугольную систему координат с началом О в центре сферы и осью Ох, направленной, как и вектор оА. Пусть Е = = {Ei,E2, Ез} — вектор напряженности в точке А электрического поля сферы. Из соображений симметрии имеем Е2 = Е3 = 0 и |Е| = ЕЛ. Поверхностная плотность сг заряда на сфере равна Вектор на-4тггъ
пряженности, создаваемой в точке А элементом сферы с площадью Де, обозначим через Д£? = {ДЕ1; ДЕ2, ДЕз}. Заряд элемента сферы равен сгДв, и по формуле напряженности поля точечного заряда получаем |ДЕ| =	, где к =	, Eq — диэлектрическая постоянная,
р	ЧТГЕо
р — расстояние от точки А(т, 0,0) до элемента сферы, заряд которого будем считать сосредоточенным в точке М(х, у, z) этого элемента. Пусть а — угол между вектором ДЙ и осью Ох. Тогда
Д£?1 = I Д^1 cosa = ka/\.s cosa  — .
Р
Вычислим р и cos а:
— г)2 + у2 + z2 — \/ R2 + г2 — 2гх, г — х cos а = ,	..	' —.
уТ?2 + г2 — 2га:
г — х
Следовательно, = ка--------------------------------—--------Г Д5.
(Я2 + г2 — 2га:)3/2
Пусть сфера разбита кусочно гладкими кривыми на тг квадрируемых частей (элементов). Будем предполагать, что диаметр di г-го
358
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
элемента достаточно мал. Для каждого элемента вычислим величину ДЕ}, составим сумму всех п таких величин и перейдем к пределу при d -> 0 (d = max dt). В результате получим поверхностный ин-1
теграл первого рода
Ei = ксг [[-------------— dS.
J J (R2 + г2 — 2га:)3/2 Ф
Верхняя и нижняя полусферы проектируются на координатную плоскость Оху в один и тот же круг G = {(х,у): х2 + у2 R2} и для обеих полусфер имеем y/l + z2 + z2 = .	Поэтому поверхност-
V	-v yR2 -12 - j/2
ный интеграл Ei равен удвоенному двойному интегралу по кругу G:
Е1 = 2kv [Г------, Rdxdy- .
JJ (R2 +Г2- 2rX)2/2 JR2 -X2-y2
G	*

r — X
Вычислим полученный интеграл с помощью повторного интегрирования:
R	у/ R2 —х^
Ei = 2kaR f-----------------r dx [	----=
J (R2 + r2 _ 2rz)3/2 J______ yR2 _ Z2 _ ,2
~R	-y/R^-X2 V
r — X	!	u I'/R2~x2 \
= 2kaR / ---------------T- dx ( arcsin — y -	____) =
J (R2 + r2 - 2rz)3/2 V VR2 -x2 \-VR2-xO
—R
R
= 2kcrRK [ —  -—---------г- dx =
Jr (R2 + r2 — 2rz)3/2
r — X
r — X
2fcffJ?7r[ / (Д2 + r2-2rz)3/2	/ r 4^2 +r2 _2ra:)]
= 2А:сгЛ7г|(Я2 + r2 — 2га:)-1/2 j — - ^t(7?2 + r2 — 2rx)~1/2^	—
“ / tR’ + r" - 2™r 1/2	{ гЬгГ pbij "
1 ( R	, R	1 ,,	Dl	„Д1
---11—“vr H------г; H— ( r — R — r — J?)
r k|r - Л| r + R r u	1	4 J
Отсюда получаем:
если г > R, то Ei = 2kaitR .^ = к^-
если г < R, то Ex = 2kairR 0 = 0.
Таким образом, сфера, на которой равномерно распределен заряд Q, создает в пространстве вне сферы такое же электрическое поле, что и точечный заряд Q, помещенный в центр сферы. Внутри же сферы электрическое поле равно нулю. А
§2. Поверхностные интегралы первого рода
359
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
6.	На сколько отличаются друг от друга поверхностные интегралы h = = уу {х2 + у2 + z2) dS и А = JJ (х2 + у2 + z2) dS, где Ф1 —сфе-
Ф1	4*2
ра х2 + у2 + z2 = а2, Ф2 — поверхность октаэдра |<г| + |j/| + |z| = а, вписанного в эту сферу?
7.	Вычислите интеграл J[y/z2 — х2 dS, где Ф — часть конуса х2 + у2 = ф
= z2, вырезанная цилиндром х2 + у2 — а2.
8.	Вычислите поверхностные интегралы первого рода:
а)	уу (х + у + z) dS, где Ф — полусфера х2 + у2 + z2 — a2, z 0; ф
б)	уу (х2 + у2) dS, где Ф — граница тела, заданного неравенствами ф________
+ у2 z 1;
в)	уу +	, где ф — граница тетраэдра, заданного неравенст-
ф
вами <г + у + z 1, х 0, у 0, z 0;
г)	Jf\xyz\dS, где Ф — часть поверхности z = х2 + у2 при z 1; ф
д)	уу zdS, где Ф — часть геликоида х = u cost:, у = и sin t:, z = v ф
при 0 Sj u а, 0 v 2тг;
е)	уу z2dS, где Ф — часть конической поверхности х = г cos <р sin а, ф
у = г sin sin a, z = г cos а при О^г^а, 0 2тг (а > 0, а — постоянная и 0 < а < тг/2);
ж)	уу {ху + t/z + zx) dS, где Ф — часть конической поверхности ф
г — х2 + у2, вырезанная цилиндром х2 + у2 = 2ах.
9.	Вычислите массу: а) части поверхности z = {х2 + у2)/2 при z 1, плотность которой в точке M(x,y,z) равна z; б) полусферы х2 + у2+ + z2 = а2 при z 0, плотность которой р{М) = z/a.
10.	Вычислите статистические моменты относительно координатных плоскостей однородной треугольной пластинки х + у + z = а, х 0, у О, z О плотности po-
ll.	Вычислите момент инерции относительно оси Oz части однородной конической поверхности х2 + z2 = у2, у>0 плотности р0, заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
12.	Вычислите момент инерции однородной конической поверхности 2	2	2
^ + ^2- — |j-=0, O^z^b, плотности ро относительно прямой у = _ у_ _ z — b
О 0 '
13.	Вычислите моменты инерции относительно начала координат однородных поверхностей Ф1 и Ф2 плотности 1, где Ф; — поверхность куба с
360
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
центром в начале координат и ребром 2а; Фг — полная поверхность цилиндра х2 + у2 R , 0 z Н.
14.	Вычислите координаты центра тяжести однородных поверхностей Ф1 и Фг, где Ф1 — часть конической поверхности z = у/х2 + у2, вырезанная цилиндром х2 + у2 = ат; Фг — часть поверхности z = ^а2 — х2 — у2 при х 0, у 0, х + у а.
15.	С какой силой однородная поверхность х = г cos р, у — г sin <р, z = г, 0 р 2тт, 0 b si г SJ а, плотности р0 притягивает материальную точку массы т, помещенную в начало координат?
§ 3. Поверхностные интегралы второго рода
Основные понятия и формулы
1.	Двусторонние и односторонние поверхности. Если поверхность ограничивает некоторое тело, то у нее различают внешнюю и внутреннюю стороны. Примером такой поверхности является сфера. Если поверхность задана уравнением z = f(x,y), то у нее различают верхнюю и нижнюю стороны. Указанные поверхности имеют две стороны. Наряду с ними существуют так называемые односторонние поверхности. Сформулируем теперь строгие определения.
Если каждой точке М области G поставлен в соответствие вектор а(ЛГ), то говорят, что в области G задано векторное поле. Векторное поле а(М) =	называется непрерывным в
области G, если его координаты — функции аг(М), а3(М) — являются непрерывными в области G. Гладкая поверхность Ф в каждой внутренней точке М имеет нормаль N(M), причем существует окрестность этой точки, вырезающая часть поверхности, на которой поле нормалей непрерывно.
Если можно задать векторное поле нормалей, непрерывное на всей поверхности, то такая поверхность называется двусторонней. Поверхность, на которой не существует непрерывного векторного поля нормалей, называется односторонней.
Двусторонняя поверхность Ф характеризуется следующим свойством: для любой точки М € Ф и для любого замкнутого контура, проходящего по поверхности Ф и не пересекающегося с границей поверхности, выбранное в точке М направление нормали, непрерывно меняясь при движении точки по контуру, не изменит своего направления (на противоположное) при возвращении в точку М.
На односторонней поверхности существует такой контур, при обходе которого направление нормали изменится на противоположное.
На каждой двусторонней поверхности можно задать два непрерывных ноля нормалей, противоположных по направлению: N(M) и — N(Af). Выбор одного из этих полей называется выбором стороны поверхности. Таким образом, двусторонняя поверхность имеет две стороны.
§3. Поверхностные интегралы второго рода
361
Двусторонние поверхности называются также ориентируемыми, а выбор определенной стороны (выбор поля N(M) или -N(M)) называется ориентацией поверхности. Например, плоскость, сфера, гиперболоиды — двусторонние поверхности, лист Мёбиуса — односторонняя поверхность. На рис. 66 изображен лист Мёбиуса и указан контур, при обходе по которому направление норма-
ли изменяется на противоположное.
Если поверхность задана уравнением z = =	где функция f(x,y) непрерывно
дифференцируема, то на верхней стороне поверхности непрерывное поле нормалей можно задать вектор-функцией
N(M) = {-/x(M),-/y(M),l},	(1)
на нижней стороне — вектор-функцией
-N(M) = {A(M),/y(M),-l}.	(2)
Рис. 66
Если гладкая двусторонняя поверхность задана параметрически, то на одной ее стороне непрерывное поле нормалей можно задать вектор-функцией N = {А, В, С], а на другой — вектор-функцией —N = {-А,-В,-С}.
Понятия двусторонней и односторонней поверхности можно ввести и для кусочно гладких поверхностей. Примером кусочно гладкой двусторонней поверхности является поверхность параллелепипеда.
2.	Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть Ф — гладкая или кусочно гладкая ограниченная поверхность. Выберем одну из ее сторон, определяемую полем нормалей N(M). Пусть а(М), /3(М), 7(М) — углы, которые вектор N(M) составляет с осями координат, и пусть на поверхности Ф заданы три функции Р(М), Q(M), R(M).
Определение. Поверхностные интегралы первого рода
Д = уу Р(М) cos a(M)dS, I2 = ffQ(M) cos /3(M)dS,
Ф	Ф	/9\
13 = Цр(М) cosy(M)dS	{
ф
называются поверхностными интегралами второго рода соответственно от функций Р, Q, R по выбранной стороне поверхности Ф.
Они обозначаются также следующим образом:
Л = ffp(M')dydz, ф
I2 = HQ(M)dzdx, I3 = ff R^M'jdxdy. Ф	ф
Такие обозначения связаны с тем, что элемент площади dy dz можно рассматривать как площадь проекции элемента поверхности с площадью dS на координатную плоскостью Oyz, т. е. dydz = dS cos а
362
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
(или dydz = —dS cos а в зависимости от знака cos а) и, аналогично, dz dx = dS cos /3, dx dy = dS cos 7.
Из определения следует, что поверхностный интеграл второго рода зависит от выбора стороны поверхности. Если взять другую сторону поверхности, то вектор N(M) изменит направление на противоположное; поэтому направляющие косинусы вектора N(M), а следовательно, и интегралы Д, 1%, 1% изменят знак.
Сумма
/1+/2 + /3 = j'j'p(M)dydz + Q(M)dzdx + R(M)dxdy (4) ф
называется общим поверхностным интегралом второго рода.
3.	Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного интеграла. Поверхностные интегралы второго рода (3) по выбранной стороне поверхности Ф являются поверхностными интегралами первого рода соответственно от функций Р(М) cosa(M), Q(M) cos/3(М), /?(Л4) cos7'(A4). Поэтому на основании теоремы 2, считая, что функции Р(М), Q(M), R(M) непрерывны на Ф, получаем формулы для вычисления поверхностных интегралов второго рода.
Пусть гладкая двусторонняя поверхность Ф задана параметрически уравнениями
x = <p(u,v), y = t[>(u,v), z = х(и, v), (u,v) 6 у,
и не имеет особых точек. Выберем ту сторону поверхности, на которой N(M) = {А,В,С}. Тогда, пользуясь формулой (11) из § 1, находим
cos а(М) =	..
v	’	\JA2 + В2+С2	yjEG - F2
'	л/Л2 + В2 + С2	у/EG - F2
С	С
п	7	VA2 + В2 + С2	VEG - F2
По формуле (2) из § 2 получаем
В = уу р(М) cos а(М) dS = ф
s
v), х(и, v)) . Л	VEG - F2 du dv =
у/ — r£
= ЦP(<p(u,v),‘&(u,v),x(u,v))A(u,v) dudv. (5) 9
Аналогично,
J2 = cos/3(M) dS = yyQ(<^(u, v), V>(u, v),x(«, v))B(u,n) dudv,
Ф	9	(6)
§3- Поверхностные интегралы второго рода
363
/3 = Цр(М) cos7(M) dS = ЦR(cp(u,v),^(u,v),x(u,v))C(u,v) dudv. ф	g	(7)
Если гладкая поверхность Ф задана уравнением z = f(x,y), (х,у) & G G, и выбрана верхняя сторона поверхности, т. е. N(M) = { — fx(x,y), -fy(x,y),l}, то cosyfAf) = —.... 1	, и по формуле (3) из § 2
V1 + /* + fy находим
/з = flR(M) cos 7(М) dS = ф
= /М(х, у, f(x, y))—=L==JlT][Tfj dx dy =
G	V 1 + ix + Jy
= ljR(x,y,f(x,y))dxdy. (8)
G
Для нижней стороны поверхности имеем cos7(M) =- =,
откуда	V 1 + /г + /^
I3 = -IIR(x,y, f(x,y))dxdy.	(9)
G
Аналогично получаются формулы для вычисления интегралов Д и /г, если поверхность Ф задана соответственно уравнением х = х(у, z), (y,z) G G, и уравнением у = y(z,х), (z,i) G G.
4. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода. Запишем общий поверхностный интеграл второго рода (4) в виде
П = ff[P(M) cos а(М) + Q(M) cos/3(М) + R(M) cosy(M)]dS. (10) ф
Направляющие косинусы cosa(M), cos/3(M), cos7(М) являются координатами единичного вектора нормали п(М) к поверхности Ф в точке М. Если ввести вектор а(М) = {Р(М), Q(M),R(M)}, то подынтегральное выражение будет представлять собой скалярное произведение векторов а(М) и п(М), а интеграл (10) можно записать в виде
П = yy(a,n)dS.	(11)
ф
Интеграл (11) называется потоком вектора (векторного поля) через выбранную сторону поверхности Ф (определяемую вектором п(М)). В частности, если а(М) = v(M) — скорость течения жидкости в точке М, то П = Ц(vn) dS представляет собой поток жидкости ф
через выбранную сторону поверхности (см. также § 2 из гл. XV).
364
1
2
3
4
5
6
7‘
8
9
10
11
12
13
Гл XIV Поверхностные интегралы
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте понятие векторного поля
Дайте определение поверхности а) двусторонней, б) односторонней, в) ориентируемой Приведите примеры двусторонних поверхностей и односторонней поверхности
Каким характеристическим свойством обладает двусторонняя поверхность, односторонняя поверхность7
Укажите вектор-функцию N(Af), определяющую верхнюю сторону поверхности Z = f(x, у)
Найдите непрерывное векторное поле единичных нормалей, определяющее внешнюю сторону сферы х = asinwcosu, у = asmusmv, z = a cos и, (u,v) £ д = {(u,v) 0 4^ и 4^ тг, 0 v 2тг}
Вычислите координаты единичных векторов нормалей, определяющих нижнюю сторону части конической поверхности z = ух2 + у2 при 0<а^2^Ь, а <Ъ Докажите, что это поле нормалей непрерывно Сформулируйте определение поверхностных интегралов второго рода Как они обозначаются7
Зависят ли от ориентации поверхности
а) поверхностный интеграл первого рода и его интегральные суммы, б) поверхностный интеграл второго рода7
Что такое общий поверхностный интеграл второго рода7 Каков его физический смысл7
Сформулируйте достаточные условия существования поверхностного интеграла второго рода и напишите формулы сведения его к двойному интегралу в случае, если поверхность задана а) параметрически, б) явно
Вычислите поверхностные интегралы второго рода JJ dxdy, JJ dydz, ф	ф
Уdzdx, где Ф — внешняя сторона сферы х2 + у2 + z2 = R2
ф
Выразите поверхностный интеграл второго рода
УJ (cos a + cos /3 + cos7)/(x, у, z) dS Ф
через сумму двойных интегралов, где Ф — сфера х2 + у2 + z2 = R2 и п(Л7) = {cos a, cos [3, cos 7} — ее внешняя нормаль
Вычислите поверхностный интеграл второго рода
УУх dy dz 4- у dz dx + z dx dy, Ф
где Ф — внешняя сторона поверхности куба {(x,y,z) 0 х 1, 0 у 1, Osi;z^l} Чему равен этот интеграл, если Ф — внутренняя сторона поверхности куба7
Примеры решения задач
1. Вычислить поверхностный интеграл второго рода I = jj dxdy, _____________________________________________ ф
где Ф — нижняя сторона части конуса z = у/х2 + у2 при 0 z 1
§3 Поверхностные интегралы второго рода
365
Д Проекцией данной части конуса на плоскость Оху является круг G х2 + у2 1 Пользуясь формулой (9), сведем поверхностный интеграл I к двойному интегралу I = — dxdy Так как // dxdy = = S(G) = 7Г, ТО J = -7Г A	G	G
2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода I — jjydz dx, ф
где Ф — верхняя сторона части параболоида z = х2 + у2 при 0 z 2 Д По формуле (1) вычислим вектор нормали, определяющий верхнюю сторону данной поверхности N = { — fx(x,y), —fy(x,y), 1} = {—2х, —2у, 1} Отсюда следует, что для единичного вектора п(М) = = {cos a, cos /3, cos 7} верхней стороны справедливо равенство
sgn cos/3(М) = / | ПРИ п’ 6	' 1 1 при у < О
Разобьем данную поверхность на две части, описываемые уравнениями у = \/ z — х2 при у 0 и у = —y/z — х2 при у 0. Обе части поверхности (обозначим их соответственно Ф1 и Ф2) проектируются на область G плоскости Oxz, граница которой состоит из дуги параболы z = х2 и отрезка прямой z = 2, т е G = {(i,z) — у/2 х а/2, х2 z 2}.
Сведем поверхностные интегралы по Ф[ и Ф2 к двойным интегралам по области G подобно тому, как это было сделано при выводе формул (8) и (9) Получим
УУ ydzdx = — уУу(х, z) dz dx = — j[\/z — x2 dz dx G	G
(здесь перед двойным интегралом стоит знак минус, так как cos /3(М) < 0) и, аналогично,
УУ ydzdx = ffy(x, z) dz dx = J J — z — x2 dz dx.
Ф2	G	G
Таким образом, имеем
1 = jjydzdx = [j'ydzdx + ydzdx =	\/z — x2 dz dx.
ф	Ф1	Ф2	G
Двойной интеграл вычислим с помощью повторного интегрирования-
I = ~2f dxfjz- х2 dz = —2 y|(z_^)3/2|^ =
-Vi x2	-Vi	л ''O' „ ,
= -3 У (2-z2)3/2da:
Используя замену переменной x = y^sini, —тг/2	тг/2, оконча
тельно получаем
I = — У 23'/2v/2cos4£d£ = — 2тг А
-тг/2
366
Гл. XIV Поверхностные интегралы
3. Вычислить поток П вектора а = х2 i + у2 j + z2 к через внешнюю сторону сферы (х — а)2 + (у — b)2 + (z — с)2 = R2.
& Согласно определению потока требуется вычислить поверхностный интеграл второго рода
П = Ц(х2 cos а + у2 cos 0 + z2 cos 7) dS, ф
где Ф — внешняя сторона данной сферы. Находим вектор нормали N по формуле (7) из § 1: N = {2(х - а), 2(у - 6), 2(z - с)}. Единичный вектор нормали п = (°-, ~ \ z определяет внешнюю сторо-1/1	/1 К )
ну сферы. Учитывая это, перепишем интеграл в виде
n = //(l2V+»2^+21ii£)'ls ф
и вычислим его по формуле (2) из § 2. Для этого запишем параметрические уравнения сферы, х = а + Rcos vsin м, у = b + Rs'mvsin и, z = с + R cos и, 0 и 0 2тг. Так как \/EG — F2 = R2 sin и, то
П = j dvj R2 sinu [(a + R cos v sin u)2 cos v sin и + о 0
+ (b + R sin v sin u)2 sin v sin u + (c + R cosn)2 cosu] du = 277	77	277	77
= R2j 2aBcos2 v dv J sin3 и du + R2 J 2bR sin2 v J sin3 и du + 0	0	0	0
+ R2 у 2cR dv у cos2 и sin и du =	(a + b + c
о 0
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
16.	Вычислите поверхностный интеграл второго рода
a)	ffxdydz + ydzdx + zdxdy, где Ф— внешняя сторона сферы х2 +
ф
+ у2 + z2 = а2,
б)	jу/(х) dydz + д(у) dz dx + h.(z') dx dy, где Ф — внешняя сторона ф
параллелепипеда 0 х а, 0 у b, O^z^c, /(х), д(у), h(z) — непрерывные функции,
в)	уу (у — z) dy dz + (z — x) dz dx + (x — y) dx dy, где Ф — нижняя сто-
ф
рона части конической поверхности z
г)	уу ^-с> — + cos@ + с0^)ds, где Ф — внешняя сторона эллипсоида
ф
т2	я2	z2
— + У- + — = 1
а2	Ъ2	с2
2
<J 4 Формула Стокса
367
17.	Вычислите поток вектора а(Л1) через ориентированную поверхность Ф, если
а)	а(ЛГ) = х i + у j + z к, Ф — нижняя сторона части конической поверхности z = yjx2 + у2 при 0 z h,
б)	а(Л1) — х i + у j + z к, Ф — верхняя сторона основания этого конуса, те Ф = {(х, у, z) z = h, х2 + у2,	h.2},
в)	а(Л1) = yz i + xz j 4-xyk, Ф — внешняя сторона части цилиндрической поверхности х2 + у2 = а2 при 0 z h,
г)	а(Л1) = yz i + xz j + ху k, Ф — внешняя сторона границы тела {(ж, у, z) х2 + у2 а2, 0 z h},
д)	а(Л1) = х i + 1/j + z к, Ф — верхняя сторона части поверхности z = = 1 — а/ж2 + у2 при 0 z 1,
е)	а(Л/) = х2 i + у2 j + z2 к, Ф — верхняя сторона части сферы х2 + у2 + + z2 = 1 при х 0, у 0, z О,
ж)	а(Л1) = у i + z j + х к, Ф — внешняя сторона поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = а (а > 0), х = 0, у = 0, z = 0,
з)	а(Л1) = х3 i + у3 j + z3 к, Ф — внешняя сторона сферы х2 + у2 + + z2 = X.
§ 4. Формула Стокса
Основные понятия и формулы
1. Согласование ориентации поверхности с направлением обхода ее границы. Пусть Ф — ориентированная поверхность, ограниченная замкнутым контуром L. Введем положительное направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности: если наблюдатель находится на выбранной стороне поверхности (т. е. направление от ног к голове совпадает с направлением вектора
нормали), то при обходе контура L в положительном направлении он оставляет поверхность слева от себя (рис 67).
Если граница поверхности состоит из нескольких замкнутых контуров, то для каждого из них положительное направление обхода определяется таким же образом (рис. 68).
368
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
Поверхность Ф называется xyz-проектируемой, если она однознач-
но проектируется на каждую
координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz. Такую
поверхность можно задать с помощью любого из следующих уравнений:
z = z(x,y), х = x(y,z), У = У(г,х),
(х,у) е Gi; (2/,*)gG2; (z, х) G Gs.
(1)
Примером такой поверхности является часть плоскости, изображенная на рис. 69.
2. Формула Стокса.
Теорема 3. Пусть гладкая xyz-проектируемая ориентированная по-
верхность Ф ограничена кусочно гладким контуром L и расположена внутри области G, в которой функции P(x,y,z}, Q(x,y,z~), R(x,y,z) имеют непрерывные частные производные первого порядка.
Тогда справедлива формула
j>P dx + Qdy + Rdz = ff(j^~^~)dydz +
L	Ф
, fdP dR\ , , , fdQ dP\ , , +1 -s- “ v ) dz dx + --— 1 dxdy, (2)
k dz дх I	\dx dy I	,
где контур L обходится в положительном направлении.
Эта формула называется формулой Стокса. Она выражает криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру L через поверхностный интеграл второго рода по поверхности Ф, ограниченной контуром L.
Замечание 1. Формула Стокса остается справедливой, если поверхность Ф не является ^^-проектируемой, но ее можно разбить кусочно гладкими кривыми на конечное число туз-проектируемых частей.
Замечание 2. Формула Стокса справедлива и в том случае, когда поверхность Ф является плоской областью, параллельной какой-либо координатной плоскости (такая поверхность не является хул-проектируемой). Для такой поверхности формула Стокса переходит в формулу Грина. Например, если поверхность Ф параллельна плоскости Оху, то вектор нормали п = {0, 0, 1}, jiRdz = 0, и из равенства (2) получаем формулу Грина
$ Р dx + Qdy = Ц	dxdy.
L	ф Х У
Замечание 3. Если граница поверхности Ф состоит из нескольких контуров, то формула Стокса остается в силе. При этом в левой части формулы (2) нужно записать сумму интегралов по всем контурам, пробегаемым в положительном направлении.
§4- Формула Стокса
369
Замечание 4. Отметим, что третье слагаемое в правой части формулы Стокса представляет собой правую часть формулы Грина. Два первых получаются из него циклической перестановкой переменных х, у, z и функций Р, Q, R-.	s£\
3. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования в пространстве. Для криволинейных интегралов второго рода в пространстве справедлива теорема об условиях независимости их от пути интегрирования, аналогичная теореме 6 из гл. XIII. В этой теореме будет использовано понятие поверхностно односвязной области.
Определение. Трехмерная область G называется поверхностно односвязной, если для любого замкнутого контура L, лежащего в G, внутри области G найдется поверхность, ограниченная контуром L.
Примерами поверхностно односвязных областей являются: шар, область, заключенная между концентрическими сферами; примером поверхностно неодносвязной области служит тор.
Теорема 4. 1°. Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны в области G. Тогда следующие три условия эквивалентны (zn. е. из каждого из них следуют два другие).
I. Для любого замкнутого кусочно гладкого контура L, расположенного в области G, справедливо равенство
У Р dx + Q dy + Rdz = 0.
L
II.	Для любых двух точек А и В области G криволинейный интеграл у Pdx + Qdy + Rdz не зависит от пути интегрирования, АВ расположенного в области G.
III.	Выражение Р(х, у, z) dx + Q(x, у, z) dy + R(x, у, z) dz является полным дифференциалом, m. e. в области G существует функция и(М) = u(x,y,z) такая, что
du = Р dx 4- Q dy + Rdz.
При этом для любой кусочно гладкой кривой АВ, лежащей в G, имеет место равенство
У Рdx + Q dy + Rdz = u(JB) — и(Л).	(3)
AB
2°. Пусть G — поверхностно односвязная область, а функции Р, Q, R в области G имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда каждое из условий I III эквивалентно следующему условию.
IV.	В области G выполняются равенства
ЭР _ dQ	dR	_ dQ	дР_	_ dR	...
ду дх’	ду dz ’	dz дх'
370
Гл XIV Поверхностные интегралы
Замечание Функция и(х, у, z) из условия III может быть найдена по формуле
(х у г)
и(х, у, z) = J Pdx + Qdy + Rdz =
(*О уа го)
х	у	z
= уP(x,yo,zo)dx + ^Q(x,y, Zo) dy + JR(x.,y, z) dz + C	(5)
г0	У0	z0
Здесь (xo,yo, zo) — какая-нибудь фиксированная точка, С — произвольная постоянная, и в качестве кривой интегрирования взята ломаная, отрезки которой параллельны осям координат
Контрольные вопросы и задания
1	Как вводится положительное направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности, ограниченной этим контуром7
2	Пусть на сфере х2 + у2 + z2 = 1 выбрана ее внешняя сторона Контур L х2 + у2 + z2 = 1, х = у является границей полусферы, содержащей точку М(1, 0, 0) Укажите на контуре L положительное направление, согласованное с ориентацией данной полусферы
3	Дайте определение xyz-проектируемой поверхности
4	Является ли жуг-проектируемой часть плоскости х + у + z = 1 при х 0, у > 0, z О7 Является ли эта поверхность гладкой7
5	Является ли жуг-проектируемой сфера х2 + у2 + z2 = 1f Покажите, что сфера допускает разбиение кусочно гладкими кривыми на конечное число гладких жуг-проектируемых частей
6	Покажите, что часть параболоида z = х2 + у2 при 0 z h можно разбить на четыре гладкие жуг-проектируемые поверхности
7	Напишите формулу Стокса и сформулируйте условия, при которых эта формула верна
8	Пользуясь формулой Стокса, вычислите криволинейный интеграл второго рода <f>y2 dx + z2 dy + х2 dz, где L — граница тела, заданного He-Г.
равенствами х + у + z 1, ж 0, у 0, z 0, причем контур L обходится против часовой стрелки, если смотреть из точки (2, 0, 0)
9	Что означает утверждение криволинейный интеграл j Pdx + Qdy + + Rdz не зависит от пути интегрирования7	ав
10	Что означает утверждение выражение Р dx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом в области G?
11	Пусть функции Р(х,у, z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны в области G Сформулируйте два необходимых и достаточных условия независимости криволинейного интеграла J Р dx + Q dy + Rdz от пути интегрирования	АВ
12	Дайте определение поверхностно односвязной области в пространстве Является ли поверхностно односвязной областью все пространство, часть шара, отсекаемая плоскостью, шар с выброшенным центром, тор7
13	Пусть функции Р(ж, у, z), Q(x, у, z), R(x,y, z) имеют непрерывные частные производные первого порядка в поверхностно односвязной области
§ 4 Формула Стокса
371
G Сформулируйте необходимое и достаточное условие независимости криволинейного интеграла J Pdx + Qdy + Rdz от пути интегрировала
ния, использующее производные первого порядка Как связано это условие с условиями из задания 11?
14	Пусть du(x, у, z) = Р(х, у, z) dx + Q(x, у, z) dy + R(x, у, z) dz в области G Напишите формулу для вычисления функции u(.x,y,z)
15	Пусть Р = 2ху + z, Q = х2 + z2, R — 2yz + х Докажите, что выражение Рdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции м(г, у, z), и найдите эту функцию Чему равен интеграл J Р dx + Q dy + Rdz, где А(—1,1,1), В(1, — 1,1)7
АВ
Примеры решения задач
1.	Вычислить двумя способами (по формуле (6) из § 2 гл XIII и по формуле Стокса) криволинейный интеграл I = jjydx + z2 dy + х2 dz,
L
где контур L — окружность, по которой пересекаются сфера х2 + + у2 + z2 =4 и плоскость z = у/3, причем направление обхода контура L выбирается против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (0,0,2) В формуле Стокса в качестве ориентированной поверхности Ф, которую ограничивает окружность L, взять
а)	верхнюю сторону части сферы z = у/4 — :г2 — у2 при у/3 z 2,
б)	верхнюю сторону части плоскости z = у/3 при х2 + у2 1 (направление обхода контура согласовано с ориентацией поверхности) Д Уравнения окружности L можно записать в виде х2 + у2 = 1, z = у/3 Вычислим криволинейный интеграл I, перейдя к параметрическим уравнениям окружности х = cost, у = smt, 0 t 2тг Тогда dx = — sintdt, dy = costdt, dz = 0, и по формуле (6) из § 2 гл XIII получаем	2я
I = у (— sin2 t + 3 cos t)dt = — тг о
Перейдем теперь к вычислению интеграла I вторым способом — с помощью формулы Стокса Поскольку Р = у, Q = z2, R = x2, имеем
dR	dQ	„	dP	dR	dQ	dP
	я	=	2z-	a	55“	= ~2&,	RT	~	~R~ =	-1> dy-------------------------------------------------dz	dz-dx	dx	dy
и поверхностный интеграл второго рода в формуле Стокса равен
J = —уу2д dy dz + 2х dz dx + dx dy
Ф
Пусть n = {cos a, cos /3, cos 7} — единичный вектор нормали верхней стороны поверхности Ф
372
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
а)	Часть сферы х2 + у2 + z2 = 4 при л/3 z 2 проектируется на координатные плоскости Oyz, Oxz, Оху соответственно в области
Gi = {(у, z): -y/i - z2 у y/i - z2, V3 z 2},
С2 = {(z,i): \/3 < z 2, — х/4 - z2 < х < у/4-z2}, Gs = {(ят, у) ’• х2 + у2 1}.
Так как на область Gi проектируются две части поверхности Ф: х = \/4 — у2 — z2, для которой cos а 0, и х = — ^/4 — у2 — z2, для которой cos а 0, то для поверхностного интеграла второго рода Ji = — у"у2z dy dz получаем
ф Jr = — ( уу 2z dy dz — yy 2z dy dz^ = 0.
.	Gl	Gj
Аналогично,
J2 = — У[2x dz dx = — ( yy 2xdzdx — JJ 2xdz dx^ = 0.
Ф	G2	G2
Учитывая, что cos 7 > 0, и пользуясь формулой (8) из § 3, находим
7з = -УУ dxdy = - уу dxdy = -S(G3) = -тг.
Ф	G3
Следовательно, J = J\ + J2 + J3 = —тг = I.
Отметим, что второй способ вычисления криволинейного интеграла I (с помощью формулы Стокса) является более громоздким по сравнению с первым. Этот способ рассматривается здесь только с целью лучшего усвоения формулы Стокса. То же самое относится к примеру 2 и некоторым упражнениям для самостоятельной работы этого параграфа.
б)	Для верхней части плоскости z — л/3 имеем dz = 0, п = = {0,0,1}. Поэтому
J = — уу2z dy dz + 2х dz dx + dxdy = — jj dxdy = — J dx dy = —тг. ф	ф	x2 + y2^l
Таким образом, и в этом случае получили тот же результат. А
2.	Пользуясь формулой Стокса, вычислить криволинейный интеграл 1= у yz dx + 3xz dy + 2ху dz, где О A — кривая, x = tcost, ОА
y = tsmt, z = t2, 0 t 2tt, 0(0,0,0), А(2тг,0,4тг2).
Д Незамкнутая кривая О А лежит на поверхности z = х2 + у2. Действительно, х2 + у2 = t2(cos21 + sin21) = t2, т. e. x2 + y2 = z. Дополним кривую интегрирования ОА до замкнутого контура L дугой АО параболы z = х2, лежащей в плоскости Ozx (отметим, что эта парабола лежит также на поверхности z = х2 + у2). Тогда
I = j>yz dx + 3xz dy + 2xy dz — J yzdx + 3xz dy + 2xy dz.
L	AO
§4- Формула Стокса
373
Учитывая, что вдоль кривой АО у = 0, dy = 0, получим У yz dx + Sxz dy 4- 2xy dz = 0. AO
Следовательно, I = j)yzdx + 3xz dy + 2xy dz. L
Контур L лежит на параболоиде z — x2 + у2 лении, указанном на рис. 70. Выберем на части параболоида, ограниченной контуром L, непрерывное векторное поле нормалей п(М) = {cos a, cos /3, cos 7} так, чтобы обход контура был положительным, т. е. выберем верхнюю сторону параболоида. По формуле (1) из § 3 находим N = {—2х, —2у, 1}. Вычислим единичный вектор нормали п:
|N|2 = 4ж2 + 4т/2 + 1,
_ Г ~2х	—2у
п = , —===^= —	.
* д/4.г2 + 41/2 + 1	^/4ж2 + 4г/2 + 1
\/4.г2 + 4 т/2 + 1 J
Для нахождения криволинейного интеграла
по замкнутому контуру L применим
Р — yz> Q — Зхг, R = 2ху, то
9RBQ „
—----— = 2х — бх = —х,
ду dz
9Q _ ЭР
дх ду
По формуле Стокса находим
и обходится в направ-
Рис. 70
формулу
Стокса. Так
как
~2у
дР dz
дЯ
- у дх
= 3z - z = 2z.
- ?У = ~У,
—2х
У L^x2 + 4?/2 + 1
2-	x2+y2 + z
1	.---------- V у) Т .	---= I К.С — - , ,	-—	--- dS.
у 4х2 + 4г/2 + 1	у4,г2 + 4у2 + 1J у д/4х2 + 4?/2 + 1
Этот поверхностный интеграл первого рода вычислим по формуле (3) из § 2. В данном случае z = х2 + у'2, zx = 2х, zy = 2у, ^/1 + z^ + z2 = =	+ 4z2 + '1г/2. Поэтому
О о
2 [f Ж +У +z dS = 4 f f (х2 + у2) dx dy, У v/4r2 + 4?/2 + l Я
где G — область на плоскости Оху, ограниченная кривой I: х =
374
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
= tcost, у — tsint (0 t 2тг) и отрезком [0, 2тг] оси Ох (рис. 71). Для вычисления двойного интеграла по области G перейдем к поляр-
Рис. 71
Рис. 72
ным координатам х = pcosp, у = р sin </?, О р 2тг. Подставляя эти выражения для х и у в уравнения кривой /, получим pcosp = tcost, рsintp = tsint. Отсюда, учитывая, что t и р изменяются в одних и тех же пределах от 0 до 2тг, находим р = t, р = t, и, следовательно, уравнение кривой I в полярных координатах имеет вид р = р, О
р 2тг. Таким образом,
2тг V
I = 4Ц(х2 + у2) dx dy = 4Цр3 dp dp = 4dpIр3 dp = у тг5. А G	G'	0	0
3.	Доказать, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом и вычислить криволинейный интеграл
J= I (15i2t/ + 3z2) dx + (5ж3 - 2yz) dy + (6xz - y2) dz, AB
где Д(1,2,1), B(2,3,2).
Л Проверим выполнение условия IV теоремы 4: Р = 15ж2г/ + 3z2, Q = 5x3 - Iyz, R = 6xz- у2,	= ?£ = 15i2	= -2y,
dy dx	dy dz a
= 6z. Следовательно, выражение Pdx + Q dy + Rdz является полным дифференциалом, а криволинейный интеграл I = f Р dx + + Q dy + Rdz не зависит от пути интегрирования. лв
Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную АМКВ, где М(2,2,1), К(2,3,1) (рис. 72). Тогда
AM = {(ж, у, z): 1 х 2, у = 2, z = 1},
МК = {(x,y,z): х = 2, 2 у 3, 2 = 1}, КВ = {(x,y,z)-. х = 2, у = 3, 1^2^ 3}.
Вдоль отрезка AM имеем у = 2, z = 1, dy = dz = 0, 1 х 2;
2
поэтому I Pdx + Qdy + Rdz = ^(ЗОя:2 + 3) dx = 73. AM	1
§4- Формула Стокса
375
Вдоль отрезка МК имеем х = 2, z = 1, dx = dz = 0, 2 у 3;
з
поэтому у Pdx + Qdy + Rdz — J(40 - ‘2у) dy = 35.
МК	2
Вдоль отрезка КВ имеем х = 2, у = 3, dx = dy = 0, 1 z 3;
з
поэтому интеграл вдоль этого отрезка равен J(12г — 9) dz = 30.
1
Искомый интеграл по ломаной АМКВ равен сумме вычисленных интегралов, т. е. равен 138. А
4.	Найти функцию u(x,y,z), если
du = Л _ 1 + Д') dx + + r\dy _ Ц dz. \ у z! \z у1) Z1
А Нетрудно убедиться, что для дифференциального выражения du выполнены равенства (4) при yz 0. Для вычисления функции и(х, у, z) воспользуемся формулой (5), считая, что у0, z0, у, z отличны от нуля. Получим
X	У	Z
=/(1 -1 +	+/(i + i)ds -/а* + с =
1'0	УО	z0
= (1-- + ^кГ +(—у--)\У +— Г +С =
V Уо z0J ко Vxo у/ко z к0
= Ifl_l_ Д') _Xofl-±_ Д2)+С.
\ У Z J \ уо Z0 /
Следовательно, u(x,y,z) =xfl — - + ^) +6*1, где Ci — произволь-\ у z)
ная постоянная и yz 0. А
к
5.	Найти работу силы тяготения F = —5г (r = ii-l-ji/ + kz, г
г = у/х2 + у2 + z2), действующей на единичную массу, которая перемещается ИЗ ТОЧКИ Ml (li, yi, zi) В точку Mz(X2,y2, Z2)-
А Работа А силы F при перемещении материальной точки из точки Mi в точку М2 вдоль кривой М1М2 вычисляется (аналогично плоскому случаю) по формуле А = f Р dx + Q dy + Rdz, где F = {P,Q,R}.
Следовательно,
/к ---------{xdx + ydy + zdz).
Mi М2
Покажем, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом:
-^{xdx + ydy + zdz) - d{x2 + у2 + z2) =
к ,, 2\ к , kdr , = - 2^3 d^r ) = -2^ 2r dr =	= k '
376
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
Поэтому
f
М2
1 1 1 -r(M2) r(Mi) J ~
= k( 1	=
\\/x22+yl+4
1
для самостоятельной работы
Стокса, вычислите криволинейный интеграл: виток винтовой линии х = cost, у =
Задачи и упражнения
18.	Пользуясь формулой
a)	Jydx + zdy 4- xdz, где L — L
= sin t, z = t, 0 t 2тг, пробегаемый в направлении от точки (1,0, 0) до точки (1, 0, 2тг);
б)	£(у — z) dx + (z — ж) dy 4- (ж — у) dz, где L — окружность ж2 + у2 + L
4-	z2 = а2, у = жtga, 0 < а < тг/2, обход которой совершается против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2а, 0,0);
в)	jiydx + zdy + xdz, где L — окружность ж2 + у2 + z2 = а2, х + у + L
4-z = 0, пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть из точки (а,0, 0);
г)	$(.У ~ z) dx + (z — х) dy 4- (ж — у) dz, где L — эллипс х2 4- у2 = а2, L
4-	— 1 (а > 0, h > 0), пробегаемый против часовой стрелки, если
смотреть из точки (2а,0,0);
д)	у (у2 4- z2) dx 4- (ж2 4- z2)dy 4- (ж2 4- у2) dz, где L — кривая, по ко-L
торой пересекаются верхняя полусфера ж2 4- у2 4- z2 — 2Iix (z > 0) с цилиндром ж2 4- у2 = 2гж, где 0 < г < R. Кривая L пробегается против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (0,0,27?);
е)	у (у2 — z2)dx + (z2 — ж2) dy 4- (ж2 — у2) dz, где L — граница сечения L
куба 0 4^ ж 4^ а, О^у^а, 0^.z^.a плоскостью х 4- у 4- z = За/2, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2а, 0,0); ж) У (?/2 — -г2) dx 4- (z2 — ж2) dy 4- (ж2 — у2) dz, где L — контур, огра-L
ничивающий часть сферы ж2 4- у2 4- z2 = 1 при ж 0, у 0, z 0. Направление обхода кривой L берется против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2,0,0).
19.	Докажите, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом и вычислите криволинейные интегралы:
а)	у ж dx 4- у2 dy — z3 dz, где A(l,l,l), 73(2,3,—4);
АВ
б)	у yz dx 4- xz dy 4- xydz, где A(l,2,3), 73(6,1,1);
AB
<J 5. Формула Остроградского-Гаусса	377
в)	f xdx + ydy + zdz , где точка yi,zi) лежит на сфере х2 + .. L Vх + V + z
М1 Лз2
+ у2 + z2 = а2, а точка Мг(х2, J/з, зг) — на сфере х2 + у2 + z2 = Ь2 и О < а < Ь.
20.	Выразите криволинейный интеграл J fG/x2 + у2 + z2)(xdx + ydy +
+ zdz) через определенный интеграл, где /(Z) — непрерывная функция И М\ = Afl(®i,J/i,Zi), Mi = Mi(X2,y2,Zi).
21.	Найдите функцию w(x,?;,z), если:
a)	du = (х2 — 2yz) dx + (у2 — 2xz) dy + (z2 — 2xy) dz;
6)	du = (yze* + zey + yez) dx + (xzev + zex + xez) dy + (xyez + yex + + xeK) dz;
в)	du = (2xyz + y2z + yz2)dx + (2xyz + x2z + xz2) dy + (2xi/z + x2y + + xy2) dz.
22.	Найдите работу, производимую силой тяжести, когда материальная точка массы т перемещается из точки Mi(xi,yi,zi) в точку Mz(x2, yi, z2) (ось Oz направлена вертикально вверх).
23.	Вычислите работу силы F вдоль замкнутого контура L, пробегаемого против хода часовой стрелки, если смотреть из точки М-.
a)	F = г = {x,y,z}, L — окружность, по которой плоскость х = 2у пересекает сферу х2 + у2 + z2 = R2, М = (2R, 0, 0);
б)	F — {yz, zx, ху}, L — эллипс, по которому плоскость 2z — За; = 6 пересекает цилиндр х2 + у2 = 1, М = (2, 0, 0).
§ 5. Формула Остроградского-Гаусса
Основные понятия и теоремы
Пусть функции zi (х,у) и z2(х, у) определены и непрерывны в огра-
ниченной замкнутой области D и zi (ж, у) z2^x, у). Область G = {(ж, у, z): (х,у) е D, Zi{x,y) < z < z2(x,y)} называется z-цилиндрической (рис. 73). Аналогично определяются т-цилиндри-ческая и у-цилиндрическая области. Область G называется простой, если ее можно разбить на конечное число как т-цилиндрических, так и у-ци-линдрических и ^-цилиндрических областей.
Теорема 5. Пусть функции Р(х, y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z) и их частные
производные	непрерывны в простой замкнутой облас
ти G, ограниченной кусочно гладкой поверхностью Ф.
378
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
Тогда справедлива формула
f]dxdz = Р dy dz + Q dzdx + Rdxdy, (1) G	Ф
где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности.
Формула (1) называется формулой Остроградского-Гаусса.
Следствие. Если функции Р, Q, R таковы, что	=
дх ду dz = 1, то интеграл в левой части равенства (1) равен объему области G, т. е. JJJ dx dy dz = V (G), и из формулы (1) получается формула G
для вычисления объема области G с помощью интеграла по ее поверхности
V(G) = Ij Р dy dz + Q dz dx + Rdx dy.
Ф
Замечание. Формула Остроградского-Гаусса остается справедливой для любой ограниченной области G, граница которой состоит из конечного числа кусочно гладких поверхностей.
(2)
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение: а) «-цилиндрической области; б) у-цилиндри-ческой области; в) х-цилиндрической области.
2.	Какая область называется простой?
3.	Является ли простой областью: а) шар х2 + у2 + z2 а2; б) параллелепипед 0 х а, 0 у Ь, 0^2^ с; в) тетраэдр х + у + z 1, х 0, у 0, z 0? Ответы обоснуйте.
4.	Напишите формулу Остроградского-Гаусса и сформулируйте условия, при которых эта формула справедлива.
5.	Пусть «-цилиндрическая область G ограничена кусочно гладкой поверхностью Ф и пусть функция R(x,y,z) и ее частная производная ~ не-OZ
прерывны в области G. Сводя тройной интеграл к повторному, докажите, что УУУ dxdy dz = ууRdxdy, где поверхностный интеграл
G	ф
берется по внешней стороне Ф.
6.	Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, покажите, что объем области G, ограниченной кусочно гладкой поверхностью Ф, можно вычислить по формуле
V(G) = - х dy dz + у dz dx + zdx dy,
ф
где интеграл берется по внешней стороне Ф.
7.	С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислите интеграл
JJх2 dy dz + у2 dz dx + z2 dx dy,
Ф
где Ф — внешняя сторона поверхности тетраэдра заданного неравенствами x+y + z^l, х 0, у^О, z 0.
§5. Формула Остроградского-Гаусса
379
Примеры решения задач
1.	Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить интеграл П = уух2 dy dz + у2 dz dx + z2 dx dy (см. пример 3 из § 3), где Ф — ф
внешняя сторона сферы (ж — а)2 + (у — b)2 + (z — с)2 = R2.
Л По формуле Остроградского-Гаусса имеем
П = УУУ (2ж + 2у + 2z) dx dy dz, G
где G — шар (.т — a)2 + (y — b)2 + (z — c)2 < R2. Для вычисления интеграла перейдем к сферическим координатам
х — а + г cos <р sin в,	у = b + г sin </? sin в, z = c + г cos в,
О 2тг, 0 О тг.
Якобиан перехода равен г2 sin0. Уравнение границы области G имеет вид г = R. Следовательно, 2тг 7Г	В
П = 2^ dtpУ sind dd f г2 [а + b + с + r(cos</?sin0 + sin</?sin0 +
+ cos (?)] dr — | тг(а + b+ c)R3. A
2.	Вычислить интеграл Гаусса
ф
где Ф — поверхность, ограничивающая простую замкнутую область G; N(g,T],C) — фиксированная точка вне области G; M(x,y,z) G Ф; г = {ж — £, у — т], z — С}, г = |г|; n = {cosa, cosД, COS7} — внешняя единичная нормаль к поверхности Ф в точке М\ <р — угол между векторами г и п.
Л Выразим cost/? через координаты векторов г и п:
(п’г) _ (i-Ocosq + (?/-?/)cos/3 + (z-<)cos7 . .. . — • |п||г|	г
Поверхностный интеграл I запишется в виде
J = //(^cosa+^cos£+£^cos'r) dS. ф
Так как точка 7V(£,t?,C) лежит вне области G, то г 0 и, следова-.	Г> х~£	У — У г> z ~ С
тельно, функции Р = —j-2-, Q = -—у2, R = —— непрерывны вместе с их частными производными первого порядка в области G. Находим ЭР _	J_	_ 3(х -Q2	dQ = _1_	_ 3(у-у)2	dR	=	_ 3(z - Q2
дх	г3 rs ’	ду г3 г5	dz г3 г5 ’
дР	dQ	dR	_ 3	3r2	_ Q
dx	dy	dz r3	rs
380
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
Применяя формулу Остроградского-Гаусса, получаем
G
1 а2’
а сферы. А
3.	Вычислить интеграл Гаусса /(0,0,0) (см. предыдущий пример), если Ф — сфера х2 + у2 + z2 = а2.
Д Формулу Остроградского-Гаусса применять нельзя, так как функции Р, Q, R не являются непрерывными в точке N(0,0,0) G G. Так как f = а = С = 0, п = ^ - ,2, - 1 и г = а, то
I a a a J
х — [	у — г/ _ z — С	х.2 + у2 + z2
—cos а +	cos /3 н-г-1 cos 7 =-\-----
2(0,0,0) = i//dS=^=4», ф
т. е. интеграл Гаусса /(0,0,0) не зависит от радиуса
4.	Пусть Ф — гладкая поверхность, ограничивающая простую замкнутую область G, функция u(x,y,z) имеет непрерывные частные производные второго порядка в области G, — производная функции и(х,у, z) по направлению внешней нормали к поверхности Ф. Доказать, что	-
ffaidS = flf^dx‘bjdz’
„	„ Ф	G
г, л 92и , д2и , д2и где Ди = д-j + д-j + —у. дх ду dz
Д Пусть n = {cos a, cos /3, cos 7} — единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф. Тогда ди _ дп дх
ди	ди	„ ди
= — cos а + — cos р + — cos 7 дх	ду	dz
Г [ди , и поверхностный интеграл 11 — as запишется в виде
ф
, ди	о ди	\ ,о
cos а + — cos р + — cos 7 db. ду	dz	)
Ж ф
Применяя формулу Остроградского-Гаусса, получим ff^=+Й+£)	*
ФО	G
5.	Вычислить интеграл I = jу ж3 dy dz + у3 dz dx + z2 dx dy, где Ф
Ф — нижняя сторона части параболоида z = х2 + у2, отсекаемая плоскостью z = 2х.
Д Дополним поверхность Ф до замкнутой частью плоскости z — 2х. Обозначим плоскую часть через Фх и выберем ее верхнюю сторону.
§ 5. Формула Остроградского-Гаусса
381
Для вычисления интеграла по замкнутой кусочно гладкой поверхности Ф + Ф1 применим формулу Остроградского-Гаусса. Тогда для интеграла I получим
/ = УУУ(Зх2 + Зу2 + 2z) dxdydz — х3 dy dz + у3 dz dx + z2 dx dy, G	Ф1
где G — тело, ограниченное поверхностями z = x2 + у2, z = 2x. Вычислим тройной интеграл с помощью повторных интегралов. Область G проектируется на плоскость Оху в область D, границей которой является окружность 2х — х2 + у2. Находим
2х
(Зх2 + Зу2 + 2z) dxdy dz = dxdy J [3(z2 + у2) + 2z]dz =
G	D	x2+y2
= УУ [6x(x2 + y2) + 4z2
— 4(z2 + i/2)2] dxdy.
Двойной интеграл вычислим, перейдя к полярным координатам х = rcos<p, у = rsinp, 0 р 2тг. В полярных координатах уравнение окружности примет вид г = 2cos</>, и поэтому двойной интеграл
равен тг/2 2 cos 9?
У dtp у г [6г3 cos р 4- 4r2 cos2 p — 4r4] dr =
-тг/2	0 тг/2
Г / А	о о \ J2 co8
= / ( r5 cos + r4 cos2 r6 )
J \5	О / Io
— тг/2 тг/2 '
= 16 У cos6 p + cos8 p — | cos8 p
-*/1	'	--G2
~ ТГ Г + j sin 2<^ + Гл sin 4^ - Jo Sin3 2p\ I
15 L16	4	64 r 48 JI-tt/2
dtp =
тг/2
У dp =	[ cos8 pdp =
/	15 J
Вычислим интеграл по верхней стороне области Ф! на плоскости z = 2х, учитывая, что единичный вектор нормали п равен {—2/\/5, О, 1/\/5}. Получаем
УУ х3 dy dz + у3 dzdx + z2 dxdy =	x3 + -^0 dS.
Ф1	Ф1
Этот интеграл вычислим с помощью двойного интеграла по области D. Находим zx =2, zy = 0, ^/1 + z2 + z^ = \/5 и
УУ х3 +	= уу(—2х3 + 4z2) dxdy.
Ф!	D
Переходя к полярным координатам, получим тг/2	2 cos 9?
I dp j (—2r3 cos3 p + 4r2 cos2 p) r dr =
-тг/2 О
382
Гл. XIV. Поверхностные интегралы
тг/2
= [ ( — cos8 <р + 16cos6 97) dtp =
J X Э	/2
—тг/2
Таким образом, данный интеграл I равен ~ А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
24.	Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислите поверхностные интегралы по внешней стороне поверхности Ф (если поверхность не замкнутая, дополните ее до замкнутой):
a)	JJxdy dz + ydzdx + z dxdy, где Ф — сфера х2 + у2 + z2 = а2; ф
б)	ff (У ~ z) dydz + (z — х) dzdx + (х — у) dx dy, где Ф — часть кони-ф
ческой поверхности х2 + у2 = z2 при 0 z h;
в)	JJyzdydz + zx dzdx + xydxdy, где Ф — граница тела х2 + у2 а2, ф
О z Д;
г)	JJxdydz + ydzdx + zdxdy, где Ф — часть поверхности z = 1 — ф_________
— -^/т2 + j/2 при 0 z 1;
д)	JJydydz + zdzdx + xdxdy, где Ф — поверхность пирамиды, огра-ф
ниченной плоскостями х + у + z = а (а > 0), х = 0, у = 0, z = 0; е) JJx3 dy dz + у3 dzdx + z3 dxdy, где Ф — сфера х2 + у2 + z2 = х; ф
ж)	ffx2dydz + y2dzdx + z2dxdy, где Ф — поверхность куба ф а, 0 у а,
з)	JJx3 dydz + у3 dz dx + z3 dxdy, где Ф — сфера х2 + у2 + z2 — а2; ф
и)	JJ(x — у + z)dydz + (у — z + x)dzdx + (z — х + y)dxdy, где Ф — ф
поверхность |т — у + z\ +	— z + х| +	— х + т/1 = 1.
25.	Пусть Ф — гладкая поверхность, ограничивающая область G, функции и(х, y,z) и v(x, у, z) имеют непрерывные частные производные второго порядка в замкнутой области G, — производная по направлению внешней нормали к поверхности Ф. Докажите справедливость формул: а> //“ £ “ ///{[(£)’+ (ST + (£)’] + «Ч Ф	G
б) JJ| ди | ds =: JJJ\ д'ц д; | dxdy dz — вторая формула Грина.
ГЛАВА XV
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
§ 1.	Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях
Основные понятия и формулы
1.	Скалярное поле. Пусть G — область в трехмерном пространстве (или на плоскости). Говорят, что в области G задано скалярное поле, если каждой точке М € G поставлено в соответствие некоторое число и(М).
Физические примеры скалярных полей: поле температур какого-либо тела; поле плотности зарядов на какой-либо поверхности или в сплошной среде; поле плотности масс какого-либо тела.
Поверхность (линия), на которой функция и(М) принимает постоянное значение, называется поверхностью (линией) уровня скалярного поля (например, поверхность или линия постоянной температуры). Придавая и(М) различные постоянные значения: и(М) = С, получаем семейство поверхностей (линий) уровня данного скалярного поля.
Физические скалярные поля не зависят от выбора системы координат: величина и является функцией лишь точки М и, быть может, времени (нестационарные поля).
Если в пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, то скалярное поле описывается функцией трех переменных: и = u(x,y,z), (x,y,z) € G.
2.	Векторное поле. Говорят, что в области G задано векторное поле, если каждой точке М g G поставлен в соответствие некоторый вектор а(М).
Физические примеры векторных полей: электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряженности Е; магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции В; поле тяготения, создаваемое системой масс и характеризующееся в каждой точке вектором силы тяготения F, действующей в этой точке на единичную массу; поле скоростей потока жидкости, описываемое в каждой точке вектором скорости v.
Удобной геометрической характеристикой векторного поля а(ЛГ) служат векторные линии — кривые, в каждой точке М которых вектор а(М) направлен по касательной к кривой. Векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного полей называются силовыми линиями, а поля скоростей — линиями тока. Так, например, силовые
384
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
линии электрического поля двух разноименных зарядов представляют собой кривые, начинающиеся на одном заряде и заканчивающиеся на другом. Силовые линии магнитного поля тока являются замкнутыми кривыми.
Пусть векторная линия, проходящая через точку Мо, описывается уравнением г = г(£), где t — параметр. Условие коллинеарности вектора поля а и касательного вектора г(£) в произвольной точке этой линии имеет вид
Tt = Ла’	(1)
где А — некоторое число. Условие (1) можно записать также в виде
[£’Н'	<2>
или, умножая на dt, в виде
[dr а] = 0.	(3)
Каждое из уравнений (1)-(3) является дифференциальным уравнением векторных линий в векторной форме и определяет множество векторных линий. Конкретная векторная линия, проходящая через заданную точку Mq, определяется дополнительным условием
г(£0) = г0,	(4)
где го — радиус-вектор точки М.
Физические векторные поля не зависят от выбора системы координат: в каждой точке М вектор а(М) полностью определяется своим модулем |а(Л1)| и направлением. Если в пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, то векторное поле а(М) описывается вектор-функцией трех переменных a(x,y,z) или тремя скалярными функциями — ее координатами:
a(x,y,z) = {P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)}, (x,y,z) € G.
Так как в прямоугольных координатах dr = {dx, dy, dz}, то векторное уравнение (3) для векторных линий эквивалентно системе дифференциальных уравнений
dx _ dy _ dz
~Р ~ Q ~ ~R ’
а дополнительное векторное условие (4) эквивалентно следующим условиям:
x(Z0) = ^о, y(to) = Уо, z(t0) = z0,	(6)
где х0, у0, zq — координаты точки Мо-
3.	Производная по направлению. Скалярное и векторное поля и(М) = u(x,y,z) и а(М) = {P(x,y,z), Q(x,y,z), R{x,y, z}} называются дифференцируемыми п раз, если функции u(x,y,z), P(x,y,z),
§1. Дифференциальные операции
385
Q(x,y, z), R(x,y,z) дифференцируемы п раз. В дальнейшем, не оговаривая это особо, будем считать, что рассматриваемые поля дифференцируемы нужное нам число раз.
Пусть и(М') — скалярное поле, заданное в области G\ 1 — единичный фиксированный вектор; М — фиксированная точка; М' — любая точка из G, отличная от М и такая, что вектор ММ’ коллинеарен 1. Пусть, далее, ММ' — величина направленного отрезка ММ' (она равна его длине |ММ'| , если векторы ММ' и 1 сонаправлены, и равна — |МЛ/'|, если эти векторы противоположно направлены).
_	т. ..	и(М') - и(М)	,
Определение. Число lim —*— ---------—- называется производ-
М'-*М ММ'
ной скалярного поля и(М) (функции w(Mj) в точке М по направлению 1 и обозначается символом — (М).
тт	ди,.,.
Производная по направлению — (М) является скоростью изменения функции и(М) по направлению 1 в точке М.
Если в прямоугольной системе координат Oxyz 1 = {cos a, cos /3, cos 7}, то
ди ди	ди _ , ди
— =—cosа 4-—cos/3 4-—cos7.	(7)
dl дх	ду	dz
В частности, если вектор 1 сонаправлен с одной из координатных осей, то производная по направлению 1 совпадает с соответствующей частной производной. Например, если 1 = {1,0,0}, то
ди _ ди , _ ди dl дх дх' Аналогично определяется производная по направлению векторно-
го поля.
,,	от а(М') — а(Л7)	,
Определение. Вектор lim ——; ,—- называется производ-М'^М ММ'
ной векторного поля а(А1) (вектор-функции а(М)) в точке М по на-
правлению 1 и обозначается символом —.
Если в прямоугольной системе координат Oxyz а(М) = {P,Q,R}, то
да = (дР dQ dR\
dl I дГ дГ dl Г
4.	Градиент скалярного поля.
Определение. Градиентом скалярного поля и(х, у, z) называется вектор-функция
, ди . ди .	ди.	(ди	ди	ди 1
grad u = -H-i+7y-j	+	7T-k =	{	>.
дх ду	dz	I дх	ду	dz J
Из равенства (7) следует, что
^ = (gradu-l),	(8)
13 В.Ф. Бутузов и др.
386
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
ди
откуда — (М) = | gradu||l| costp = | grad?x| costp, так как |1| = 1. Здесь <р — угол между векторами 1 и gradiz в точке М. Очевидно, ди	„	п
что — принимает наибольшее значение при tp = 0, т. е. в направлении grad и в данной точке. Иначе говоря, вектор grad и в данной точке указывает направление наибольшего роста поля и (функции и) в этой точке, a |gradu| есть скорость роста функции и в этом направлении. Таким образом, вектор grad и не зависит от выбора системы координат, а его модуль и направление в каждой точке определяются самой функцией м(7Й).
5.	Потенциальное поле.
Определение. Векторное поле а(М) называется потенциальным в области G, если его можно представить в этой области как градиент некоторого скалярного поля и(М):
а = grad и.	(9)
Функция и(М) называется скалярным потенциалом векторного поля а(М). Если а = {Р, Q,R}, то из равенства (9) следует, что
р _ ди „ _ ди р __ ди di' Q~dy’ ~дР
Иногда потенциалом векторного поля а называют такую функцию и, что а = — grad и.
Рассмотрим, например, поле тяготения точечной массы т, помещенной в начале координат. Оно описывается вектор-функцией F(M) = —7 ™ г (7 — гравитационная постоянная, r = xi + ?/j + xk, г = |г| = \/х2 + у2 + z2). С такой силой действует это поле на единичную массу, помещенную в точку M(x,y,z). Поле тяготения является потенциальным. Его можно представить как градиент скалярной функции и(М) = называемой ньютоновским потенциалом поля тяготения точечной массы т. Действительно, ди — ='ут дх
(^х2 + у2+z2) = =
= ут
z
.	ди	у ди
Аналогично, — = — 7 m—, — = — ут-т, откуда ду	тЛ dz	тЛ
gradu =	(xi + i/j + zk) = - 7	г = F(M).
В качестве еще одного примера рассмотрим электрическое поле точечного заряда е, помещенного в начале координат. Оно описывается в точке M(x,y,z) вектором напряженности
Е(М) = ^г (г = х i + у j + zk, г = |г| = \/х2 + у2 + z2).
§1. Дифференциальные операции
387
Это также потенциальное поле. Его можно представить в виде Е = — grad —. Функция и(М') = — называется потенциалом электрического поля точечного заряда е.
Поверхности уровня потенциала и(М) называются эквипотенциальными поверхностями. В рассмотренных примерах эквипотенциальными поверхностями являются сферы с центром в начале координат.
6.	Дивергенция.
Определение. Дивергенцией векторного поля а = Р(х, у, z) i + + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k называется скалярная функция
,. дР dQ , dR diva = — +	4- -s-.
dx ду dz
Слово “дивергенция” означает “расходимость” (“расхождение”). Дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.
Рассмотрим, например, электрическое поле точечного заряда е, помещенного в начале координат:
„ ке ке , .	.	. ,
E=-z-r= — (xi + i/j+zk), р О	р О	'
3	о 2 dr d / T\ r3 - x - 3r2  — Так кяк	1	1 — 	dx. 1аккак	- HO — f—) = r2 ~ 3j/2 — ( — 'j = ’ dy\r3J	rs ’ dz\r3)	r3 — 3x2r r2 — Зх2 =	g	=		 и, аналогии- r2 - 3x2 	5	’ T0
divE = fce^-%+^=0
(при г 0). Физически этот результат означает отсутствие источников поля в любой точке, кроме начала координат. В начале координат divE = оо (бесконечная плотность заряда).
7.	Ротор.
Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля а = = Р(х, у, z) i + Q(x, у, z) j + R(x, у, z) k называется вектор-функция
rot a —
i d dx P
j d dy Q
k d dz R
(dR _ dQ\ .(dP _ dR\ , /dQ _
\ dy dz )	\ dz dx )	\ dx dy)
13*
388
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
В частности, для плоского поля а= {Р(х,у), Q(x,y), 0} имеем
rot а = к
dQ дх
дР\
ду )'
Ротор характеризует завихренность поля а в данной точке.
Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью и> (рис. 74). Векторное поле скоростей v(M) точек этого тела можно представить в виде
i j k
0 0 ш
х У z
v(M) = [ыг] =
= -uxyi + wzj.
Найдем ротор поля скоростей v(M):
rot v =
i	j	к
д	д	д
дх	ду	dz
-му	и;х	0
i - 0 + j • 0 + 2w k = 2щ k.
Таким образом, rotv является постоянным вектором, направлен-
ным вдоль оси вращения
Oz, а его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения тела: | rot v| = 2u>. Рассмотрим потенциальное поле
г = х i + ?/j + zk.
Его потенциал и = г2/2 = (х2 + у2 + + z2)/2. Вычислим ротор этого поля:
д д дх ду х у
к д
dz z
= i  0 + j  0 + к • 0 = 0.
Вообще, ротор любого потенциального поля равен нулю (см. также § 2). Поэтому говорят, что потенциальное поле является безвихревым.
8.	Соленоидальное поле. Векторное поле а(М) называется соленоидалъным в области G, если в этой области div а = 0. Так как div а характеризует плотность источников поля а, то в той области, где поле а соленоидально, нет источников этого поля.
Например, электрическое поле Е точечного заряда соленоидально (удовлетворяет условию divE = 0) всюду вне точки, где находится заряд (в этой точке divE = ос). Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться или заканчиваться внутри области солено-идальности; они либо начинаются и заканчиваются на границе области, либо являются замкнутыми кривыми. Примером соленоидального поля с замкнутыми векторными линиями является магнитное поле, создаваемое током в проводнике.
§1. Дифференциальные операции
389
Если векторное поле а(1И) можно представить как ротор некоторого векторного поля Ь(М), т. е. а = rotb, то вектор-функция Ь(М) называется векторным потенциалом тля а(М).
Можно проверить (см. подробнее § 2), что divrotb = 0, т. е. поле а = rotb является соленоидальным.
Любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей (см. § 2).
9.	Уравнения Максвелла. Уравнения Максвелла — фундаментальные уравнения классической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме). Они связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, т. е. напряженность электрического поля Е, электрическую индукцию D, напряженность магнитного поля Н и магнитную индукцию В с ис
точниками поля, т. е. с распределением в пространстве электрических зарядов и токов.
В дифференциальной форме уравнения Максвелла записываются с помощью понятий дивергенции и ротора. В системе СИ эти уравнения имеют следующий вид.
т . . .	• 3D
j. rotH=j + —.
Это уравнение является обобщением закона Био-Савара и выражает тот факт, что магнитное поле порождается токами проводимости с	\	9D
(j — плотность тока) и токами смещения ——.
dt
Это уравнение выражает закон электромагнитной индукции Фарадея и показывает, что одним из источников электрического поля
является изменяющееся во времени магнитное поле.
III.	div В = 0.
Это уравнение выражает факт отсутствия магнитных зарядов (соленоидальность магнитного поля).
IV.	divD = р.
Это уравнение выражает закон Кулона и показывает, что вторым источником электрического поля являются электрические заряды с
плотностью р.
К уравнениям Максвелла следует присоединить так называемые материальные уравнения поля.
V.	D = еЕ.
VI.	В = pH.
VII.	j = сгЕ.
Здесь £ — диэлектрическая проницаемость, р — магнитная проницаемость, — удельная проводимость среды.
10.	Оператор Гамильтона. Напомним, что символ ~ называ-
ет
ется оператором частной производной по х. Под произведением этого
390
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
оператора на функцию и = (u,x,y,z) будем понимать частную про-Эи	д	ди .	д	д
изводную —, т. е. — • и = —. Аналогично, — и -------операторы
дх	дх	дх	ду	dz
частных производных по у и по z.
Введем векторный оператор “набла”, или оператор Гамильтона:
— _ . д	. д	, д _ Г д д 31
1 дх Jду dz \dx’ dy’ dz)
С помощью этого символического (операторного) “вектора” удобно записывать и выполнять операции векторного анализа.
В результате умножения вектора V на скалярную функцию и(х, y,z) получается gradu:
_	(. d . d . d \	. du . du , du ,
Vu= 1 — +j -тг-	+ k — u	= i —	+ j —-	+ k —	= gradu.
\ dx dy dz / dx dy dz
Скалярное произведение вектора V на вектор-функцию а(х, у, z) = — Р i + Q j + Rk дает diva:
(Va) — P + ~ Q + ~ R = div a. dx dy dz
Векторное произведение вектора V на вектор-функцию а(т, у, z) = Pi + Qj + Rk даст rota:
11.	Правила вычислений с оператором V.
а)	Если оператор V действует на линейную комбинацию агРг, где Рг — скалярные или векторные функции аг — числа, то 1
v(Eta,Fz) =
б)	Если оператор V действует на произведение нескольких функций Fy G, Н (скалярных или векторных), то результат этого действия аналогичен результату дифференцирования произведения в том смысле, что оператор V последовательно применяют к каждому сомножителю, отмеченному знаком ф, а другие сомножители при этом считают фиксированными. Затем результаты складывают. Итак,
V(FGH) = X(FGH') + V(FGH + \7(FGH).	(10)
При этом следует иметь в виду, что слагаемые в правой части равенства (10) предварительно преобразуют по правилам векторной алгебры так, чтобы за оператором V стоял тот множитель, который отмечен знаком ф. После вычислений знаки ф опускают.
Пользуясь этим правилом, докажем, что
div[ab] = (brota) — (arotb).	(11)
§1. Дифференциальные операции
391
Учитывая, что divfab] = (V • [ab]), по формуле (10) имеем
(V • [ab]) = (V • [Ab]) + (V  [ab]).
(12)
Чтобы в первом из двух смешанных произведений (12) оператор V действовал на вектор а, воспользуемся свойством смешанного произ-
ведения:
(v-[ab]) = ([vA]b).
Переставляя сомножители [Va] и b в скалярном произведении и учитывая, что [Va] — rota, получаем
(V • [Ab]) = (brot а).
Во втором слагаемом (12) поменяем местами сомножители в векторном произведении:
(V-[ab]) = -(V-[ba]).
После этого находим
(V  [ab]) = -(V  [ba]) = -(arotb).
Складывая полученные результаты, получаем формулу (11).
Формулу (8) для производной по направлению с помощью оператора V можно записать в виде
S
ди
С другой стороны, — можно вычислить, “умножая” скалярное dl
произведение векторов 1 и V на скаляр и:
д^ = ^.
(13)
Символ — = (IV) будем называть оператором производной по направлению 1. В частном случае, когда вектор 1 сонаправлен с одной из координатных осей, например, с Ох (1 = i), имеем
— = (i V) = —, dl 1	1 дх
т. е. оператор производной по направлению координатной оси — это оператор соответствующей частной производной.
Используя оператор производной по направлению, запишем с помощью оператора Гамильтона производную векторного поля а по направлению 1:
^ = (lV)a.	(14)
Формула (14) эквивалентна совокупности трех формул (13) для координат вектора а.
392
Гл XV Скалярные и векторные поля
12. Нестационарные поля. Пусть в области G определено нестационарное скалярное поле u(x,y,z,t) величина и является функцией точки M(x,y,z) е G и времени t Физический пример такого поля — изменяющееся со временем распределение температуры в какой-либо среде (например, в потоке жидкости). Рассмотрим движущуюся в области G точку (частицу жидкости) М(x(t),y(t),z(t)) Координаты точки (частицы) изменяются со временем по известному закону х = x(t), у = y(t), z — z(t) Величина и в движущейся точке М является сложной функцией t
и = u(x(t), y(t), z(t), £)
Вычислим производную по t этой функции (она называется полной производной) По правилу дифференцирования сложной функции находим
du _ ди ди dx ди dy ди dz dt dt дх dt ду dt dz dt
Введя в точке M вектор скорости v = {vx,vy,v, получаем
du
dz’
du ди , ди	ди
37 = 37 + vz— + vy — dt dt дх	ду
или
du ди ,	, . ди , , _ . да , ,
dt = dt + (VgradU) = dt + (V W) = dt + (V V)“
Аналогично, если в области G задано нестационарное векторное поле a(x,y, z,t), то для движущейся точки M(x(t), y(t), z(t)) векторная величина а является сложной функцией t a(x(t),y(t), z(t),t) Полную производную по t для каждой координаты вектор-функции а можно вычислить по формуле (15) Умножая результаты па базисные векторы i,j,k и складывая, получим
В формулах (15) и (16) слагаемые — и ~ выражают скорости изменения величин и и а со временем при фиксированных координатах, т е характеризуют локальное изменение этих величин, и поэтому называются локальными производными Слагаемые (vV)u и (vV)a образуются за счет изменения координат точки, ее движения (конвекции) Поэтому эти слагаемые в выражениях полных производных называются конвективными производными
Локальные производные характеризуют нестационарность рассматриваемого физического поля в данной точке пространства Конвективные производные характеризуют неоднородность поля в данный момент времени
§ 1 Дифференциальные операции
393
Контрольные вопросы и задания
1	Дайте определение скалярного и векторного полей и приведите примеры физических полей
2	Что такое поверхности уровня7 Напишите уравнение семейства поверхностей уровня электрического поля точечного заряда, находящегося в точке М(хо, у0, г0)
3	Что такое векторные линии7 Напишите их уравнения в различных формах
4	Дайте определение производной по направлению для скалярного и векторного полей Как связана производная по направлению с частными производными7
5	Найдите производную скалярного поля и = у/(х — xq)2 + у2 + z2 в точке А(0, 0, 0) по направлению а) оси От, б) оси Оу, в) вектора 1 — {1,1,1}
6	Дайте определение градиента скалярного поля Как связана производная по направлению 1 с градиентом скалярного поля в данной точке7
7	Для скалярного поля из задания 5 найдите grad и в точке А(0,0,0) Сопоставьте направление grad и. с указанными в задании 5 направлениями и значение | gradu(.4)| с производными функции и в точке А по этим направлениям
8	Какое векторное поле называется потенциальным7 Приведите примеры потенциальных полей
9	Дайте определение дивергенции векторного поля Каков физический смысл дивергенции7
10	Чему равна дивергенция электрического поля точечного заряда7
11	Дайте определение ротора векторного поля Каков физический смысл ротора7
12	Какое векторное поле называется безвихревым7 Приведите примеры безвихревых полей
13	Какое векторное поле называется соленоидальпым7 Приведите примеры соленоидальных полей
14	Что такое скалярный потенциал, векторный потенциал7
15	Напишите систему уравнений Максвелла Какое из уравнений Максвелла выражает факт отсутствия магнитных зарядов7
16	Что такое оператор Гамильтона?
17	Запишите с помощью оператора Гамильтона а) градиент скалярного поля, б) дивергенцию векторного поля, в) ротор векторного поля, г) формулы для производной скалярного и векторного полей по направлению 1
18	Используя правила вычислений с оператором Гамильтона, докажите, что div[ab] = (brota) — (arotb)
19 Что такое полная производная, локальная производная, конвективная производная7 Что они характеризуют и каким соотношением связаны7
Примеры решения задач
1.	Найти и нарисовать линии уровня скалярного поля и = ху Вычислить и изобразить на чертеже градиент этой функции в точках (1,1) и (1,-1).
А Линии уровня функции и = ху задаются уравнением ху = С, где С — произвольная постоянная, т е представляют собой семейство
394
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
гипербол у = —, а также две прямые, х = 0 и у = 0 (рис. 75). Далее,
Рис. 75
gradu = у i + xj, gradu(lil) = i+j, gradu(1_1) =-i + j. На рис. 75 видно, что в указанных точках grad а перпендикулярен линиям уровня, проходящим через точки. В точке (1,1) функция и = ху быстрее всего возрастает в направлении от начала координат по биссектрисе I квадранта, и скорость ее возрастания в этом направлении равна ^(1,1) = | gradu|(1)1) = V2.
В точке (1, —1) функция и = ху возрастает быстрее всего в направлении к началу координат по биссектрисе IV квадранта, и скорость ее возрастания в этом направлении также равна д/2- А
2.	Найти градиент скалярного поля и = xyz в точке М( —2,3,4). Чему равна в этой точке производная поля и в направлении вектора а = {3,-4,12}?
Л Согласно определению градиента имеем
= {yz,xz,xy}M(-2,3,4) = {12,-8,-6}.
Далее, единичным вектором, сонаправленным с а, является вектор а 1
1 = — = — {3, -4,12}. По формуле (8) получаем
|а|	13
йи, 3	4	12 е 4
аГ(«) = й-12 + й-8-пб = --.1
3.	Найти векторные линии векторного поля = grad и, где и = xyz.
Л Для векторного поля а(М) = gradw = yz i + zx j 4- ху k уравнения (5), определяющие векторные линии, имеют вид
dx	du	dz	у j	j 7
— = — = — или хах = уау и уау = zaz, yz	xz	ху
откуда
У = т + С1’	<17)
„2 Z2
т = т +	а8)
Уравнения (17) и (18) определяют два семейства гиперболических цилиндров с образующими, параллельными соответственно осям Oz и Ох, а также (при Ci = С 2 = 0) две пары плоскостей, х = ±у и у = ±z.
§1. Дифференциальные операции
395
Любая векторная линия поля а(М) является линией пересечения двух поверхностей, получающихся из семейств (17) и (18) при некоторых фиксированных значениях Ci и С->.
Например, при Ci = Сг = 0 линия пересечения плоскостей х = = у и у = z представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Ее уравнения имеют вид х = у = z. В точках этой прямой вектор поля есть а(М) = {х2, х2, х2}. ▲
4.	Найти градиент сферического скалярного поля и = </>(г), г = = \/х2 + ?/2 + г2 (т. е. зависящего только от расстояния точки (х, у, z) до начала координат).
А Согласно определению градиента имеем
grader) = {А¥,(Г)1 ^(г), А^(Г)} =
= {^'(Н	^'(0
Отметим, что из соотношения
а =	- = grad<p(r)
следует, что векторное поле а = ip'fr) - является потенциальным, а г
функция <р(г) — его потенциал. ▲
С г
5.	Доказать, что кулоновское поле а = — - - (С = const) потенциально, и найти его потенциал.
С г
Д Кулоновское поле а= — • - является частным случаем потенциаль-г2 г
ного поля р (г) рассмотренного в предыдущей задаче и имеющего г
(j
своим потенциалом функцию р(т). Поэтому, полагая <р'(г) — —, на-с	т
ходим <р(г) —-----Н Ci, где Ci — произвольная постоянная.
Итак, кулоновское поле потенциально и представимо в виде
а =	• - = grad<p(r),
г2 г
Q
где <р(г) = Ci----его потенциал. Отметим, что потенциал любого
векторного потейциального поля определен неоднозначно — с точностью до постоянного слагаемого. Это слагаемое не влияет на координаты векторного поля, получающиеся дифференцированием потенциала, и может быть выбрано любым удобным образом, исходя из дополнительных соображений, к
6.	Найти дивергенцию векторного поля а = х i + у2 j + z3 к в точке М(-2,4,5).
А Согласно определению дивергенции векторного поля а = {F, Q, /?.}
396
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
находим
diva(M) = ^(М) + ^(М) + ^(М) = дх	ду	dz v '
= (1 + 2т/ + 3z2)м(—2,4,5) = 1 + 8 + 75 = 84. ▲
7.	Найти дивергенцию сферического векторного поля а — /(г) г, r = zi + 2/j + zk, г = |г|. Определить вид функции /(г), для которой поле а является соленоидальным.
А Данное поле в координатах имеет вид а = /(г) г = {/(г) х, /(г) у, f(r)z}. Согласно определению дивергенции находим diva= + = (Jx	(JU	(J £>
2	2	2
= /'(г) Х- + /(г) + /'(г) У- + /(г) + f (г) Z- +	= /'(г) г + 3/(г).
Из условия соленоидальности div а = 0 следует, что /'(г)г + 3/(г) = 0. Далее, разделяя переменные, имеем
df _	3 dr
f г
После интегрирования получаем
In |/| = —3 In г 4- In С,
(J
откуда /(г) = —, где С — произвольная постоянная.
Итак, дивергенция сферического векторного поля а= /(г) г равна
с
нулю только в том случае, если /(г) = —, т. е. только в случае ку-
с	г
лоновского поля а = — г. Это поле является соленоидальным в любой области, нс содержащей начала координат. ▲
8.	Дано векторное поле а — z2 i + х2 j + у2 к. Найти rota в точке М(1,2,3).
А Согласно определению ротора имеем
	i j k	
	AAA	
rota(M) =	dx dy dz	= i (2т/ - 0) 4- j (2x - 0) 4- k (2x - 0)M =
	z2 x2 y2	= 4i 4- 6j 4- 2k. ▲
9.	Найти ротор сферического векторного поля а = /(г) г, г = = xi + yj 4- zk, г = |г|.
А Запишем данное поле в координатах: а = /(г) г = {f(r)x, f(r)y, f(r)z}. По определению ротора находим
rot а =
i j k
А А дх dy dz f(r)x f(r)y f(r)z

§1. Дифференциальные операции
397
й/(г)г) +к(й/(г|9- ^/WI) =
=	+j/(•)(? - 7) +1Лг)(2 - S) = 0.
Итак, ротор любого сферического векторного поля равен нулю, т. е. сферическое векторное поле является безвихревым. ▲
10.	Векторное поле а(М) соленоидально в области G. Доказать, что его можно представить в виде a(M) = rotb(M), и найти векторный потенциал Ь(М).
дР
А Пусть а = Р(х, у, z) i + Q(x, у, z) j + 7?(z, у, z) k и diva = ——H dQ dR _	„	...
+ —I- —. Будем искать векторный потенциал поля а(Л7) в виде b = Ь1(ж, у, z) i + b-z(x. у, z) j. Из условия rotb = а получаем
5	д	д 0Ь2 . dbi . (db2	dbx \ ,	.	„ . р,
к-	т-	т-	= --7- 1 + -т-J + -z--г- k	= Fi + Qj + /?k,
дх ду dz	dz dz \ дх ду /
Ьх 62	0
откуда
^ = -P,	^=Q.	=	(19)
dz	dz	дх ду
Интегрируя первые два уравнения (19), находим
Z	Z
&2 = - P(x,y,z)dz + Ip(x,y), bx = Q(x,y,z)dz + ф(х,у), z0	io
где zq — аппликата какой-нибудь точки (a:o,yo,zo) € G, a <р(х, у) и ip(x,y) — произвольные функции. Положим ф(х,у) = 0, а функцию <р(х,у) выберем так, чтобы выполнялось третье равенство (19), т. е.
Z	Z
у, z) dz +	-	у, z) dz = R(x, у, z).	(20)
Zq	Zq
Покажем, что такой выбор функции tp{x,y) возможен. Действитель-дР	dQ	dR .
но учитывая равенство тг—h	= — -тг- (оно следует из условия
дх	ду	dz
diva = 0), получаем из (20)
z
^ = R(x,y,z)-f ^(x,y,z)dz =
Zo
= R(x,y,z) - [R(x,y,z) - F(z,y,zo)] = R(x,y,z0),
X
откуда fp{x, y, z) = f R(x,y, zo) dx.
Xq
398
Гл XV Скалярные и векторные поля
Итак, искомый векторный потенциал Ъ(М) имеет координаты Z	Z	X
61 = ^Q(x,y,z)dz, Ьг = — f Р(х,у, z) dz + f R(x,y,z0) dx, b3 = 0 ▲ 2q	Zq	Xq
11.	Пусть u(M) и v(M) — скалярные поля Доказать справедливость формулы grad(uu) = г grad м + и grad v
Л Согласно правилу (10) вычисления оператора Гамильтона от произведения функций имеем
grad(ur) = V(uv) + \7(uu) = vVu + uVv = и gradu + u grad г ▲
12.	Пусть u(M) — скалярное поле, а(ЛГ) — векторное поле. Доказать справедливость формулы
div(ua) = [grad и  а] + u div а	(21)
Л Используя свойства оператора Гамильтона, получаем
div(ua) = (V • ua) = (V • ua) + (V ua) = (Vu a) 4- u(Va) =
= (grad и a) + и div a ▲
13.	Доказать справедливость формулы
rot(ua) = [gradu  a] 4- urota,	(22)
где u(M) — скалярное поле, а(ЛГ) — векторное поле Л Имеем
rot(ua) = [V ua] = [V • ua] + [V ua] =
= [Vu a] + u[\7a] = [grad и • a] 4- и rot a ▲
14.	Доказать справедливость формулы
rotfab] = adivb — bdiva + (bV)a — (aV)b,	(23)
где a(M) и Ъ(М) — векторные поля
Л Учитывая выражение ротора с помощью оператора V и правило (10), находим
rot[ab] = [V[ab]] + [V[ab]].	(24)
Преобразуя первое двойное векторное произведение в (24) по формуле [p[qs]] = q(ps) - s(pq), получаем
[V[ab]] = а(Vb) - b(V a) = (bV) a -b(V a) = (bV)a - b div a (25) Отметим, что перестановка сомножителей в скалярном произведении (a(Vb) = (bV) а) сделана для того, чтобы оператор V действовал на стоящий за ним вектор а.
§ 1 Дифференциальные операции
399
Аналогично для второго слагаемого в (24) имеем
[V[ab]] = a(Vb) - b(Va) = a(Vb) - (aV) b = adivb - (aV)b. (26)
Складывая (25) и (26), получаем формулу (23). ▲
15.	Доказать справедливость формулы
grad(ab) = [brota] + [a rotb] 4- (bV)a 4- (aV)b, (27)
где а(М) и Ъ(М) — векторные поля Л Согласно правилу (10) имеем
grad(ab) = V(ab) 4- V(ab).	(28)
Перепишем формулу [p[qs]] = q(ps) — s(pq) в виде s(pq) = [p[sq]] + 4- (ps)q При этом мы переставили сомножители в произведении [qs], изменив знак векторного произведения
Запишем с помощью этой формулы второе слагаемое в (28)
V(ab) = [a[Vb]] + (aV) b = [arotb] 4- (aV)b	(29)
Аналогично для первого слагаемого в (28) имеем
V(ab) = V(ba) = [b[V а]] 4- (bV) а = [b rot a] + [bV]a (30)
Складывая (29) и (30), получаем формулу (27). ▲
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
1.
2.
3.
4.
Найдите и нарисуйте линии уровня скалярного поля и = (х — у)2 Вычислите и начертите вектор grad и в точках А(—1,1) и В(1,1)
Найдите линии уровня скалярного поля и = е2х^х2+^2'> и нарисуйте линии уровня и(х,у) = е и и(х,у) = е1^2 Вычислите и начертите вектор grad и в точках А(1,1), В(2,0), С(1,— 1)
Найдите и нарисуйте линии уровня скалярного поля и = min(a:,i/) Вычислите и начертите вектор grad и в точках А(2,1) и В(1, 2)
Найдите векторные линии
а)	кулоновского поля Е = — г точечного заряда е, находящегося в
начале координат,
б)	векторного поля а = [с г], где с — постоянный вектор, г = х i + у j + + z к,
в)	векторного поля а = —а2у i + b2x j (а и Ь — числа),
г)	векторного поля a = Ti + i/j + 2zk
5.
Вычислите производные скалярного поля и = х2 + у2 в точке Л/(1,1) по направлениям векторов П = {1,1}, L = {0,1}, 1з = { — 1,1} Найдите grad и в точке М и сравните | gradu| с найденными значениями производных по направлениям векторов Ь, 12, 1з
400
Гл XV Скалярные и векторные поля
6.	Найдите градиент скалярного поля
а)	и = x3y2z в точке М(1, 2, 3),
б)	и = (х — у){у — z)(z — г) в точках Mi (1, 2, 3), Л/2(3,1,2), Л/з(2,3,1), в) и = (х — 1)(г/ — 2)(z — 3) в точке М(2, 3, 4)
7.	В каких точках градиент скалярного поля и — х3 + у3 + z3 — 3xyz
а) перпендикулярен оси Oz, б) параллелен оси Oz'2
8.	В каких точках градиент скалярного поля и = х2 4- у2 — 2ху
а) перпендикулярен прямой у = х, б) равен нулю7
9.	Найдите угол между градиентами скалярного поля и = —------------ в
х2 + у2 4- z2
точках ЛД(1,2,2) и АД—3,1,0)
10.	В каких точках выполнено равенство grad In - , если
Г = i/(z - а)2 + (у - Ь)2 4- (z - с)27 г	1г
11.	Докажите, что a) gradr = б) grad - =-----------, в) gradsmr =
Г	г г3
= cosr-, где г = ri 4- ?/j + zk. г = |г| Укажите скалярные потен-г
г г г	г 1г
циалы векторных полей	- cost, ----------
у* ^**5 у*	1 | 7*^ 7*
12.	Докажите справедливость формул (u, v — скалярные поля)
.	.,	.	,	.	, и	v grad и — и grad v
a) grad(u 4- v) = gradu 4- grad v, 6) grad - — —------— -----,
v
в) grad /(u) = f'(u) gradu, r) grad/(u, u) = — grad и 4- — gradu du	dv
13. Найдите grad(cr) и grad(u(cr)), где u — скалярное поле, с — постоянный вектор, r = rri4-pj4-zk
14. Для скалярного поля и = и(х,у) найдите gradu, если функция и{х, у)
определяется неявно уравнением
а) и3 — Зхуи = а2, б) х + у + и = еи, в) х 4- у 4- u = Р_(А+»+и)
15.	Найдите дивергенцию векторного поля а, если
а)	а = (х - у)(у - г) i 4- (у - z)(z - х) j 4- (z - z)(z - у) k,
б)	а = (у2 4- z2)(x + y)i + (z2 + х2)(у + z)j + (х2 + y2)(z 4- х) k,
в)	а = (х2 4- у2)(у — z) i 4- (г/2 4- z2)(z - х) j 4- (z2 4- х2~)(х - у) к,
г)	а = /j(j/,z)i4- f2(x,z)j + /з(ж,з/)к,
Д) а = [ж 4- fi(y, z)] i + [у 4- /2(х, z)] j 4- [z 4- /з(ж, у)] к, е) а = z/i(p,z) i + yf2(x,z) j 4- zf3(x,y) к
16.	Вычислите a) div г, 6) div-, в) div(r4 г), где г — х 1 4- у j 4- z к, г = |г| Г
17.	Найдите минимальное значение дивергенции векторного поля а = =	- а)(у - Ь)2 i 4- (у - Ъ)(х - a)2 j
18.	Докажите справедливость формулы
a)	div(a 4- b) — div а 4- div Ь,
б)	div(uc) = (с grad и), где с — постоянный вектор
19.	Используя формулы (21) и (11) из § 1, преобразуйте a) div(rc), б) div(r2c), в) div(/(r)c), г) div(b(ra)), д) div(r(ra)), е) divr[cr], ж) div[a[rb]], где r = :ri4-yj4-zk, г — |г|, а, Ь, с — постоянные
векторы
Дифференциальные операции
401
20.	Твердое тело вращается вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью w Векторные поля скоростей v(iW) и ускорений ш(М) определяются формулами v(Af) = [и>г],	) = [ш[ш г]], где ш = щ к г = Ол/
радиус-вектор точки М Вычислите divv(M) и divw(Af)
21.	Найдите дивергенцию гравитационного поля, создаваемого конечной системой точечных масс	,тп
22.	Найдите дивергенцию электрического поля, создаваемого конечной системой точечных зарядов ej, ег, , еп
23.	Найдите ротор векторного поля а = - i + - j 4— к т У ’
а) в произвольной точке М(х, у, z), б) в точке А(—1,—1,—1)
24.	Найдите ротор векторного поля
а) а = yz i 4- zx j + ху k, б) a = y2z3 i 4- 2xzy2 j 4- 3a:i/2z2 k,
У	1
в) a = yzi 4- z(x 4- 2y)j +y(x 4- y)k, r) a = — j-k,
X.	X
\	W .	1 . s	у 1	1 .
д)а= — i-----j, e)a- k--------1
X	:r~ r
25.	Найдите ротор векторного поля а в точке ЛГ(1,1,2), если а) а = yz2 j 4- х к, б) а = yz2 i 4- х j, в) а — yz2 к 4- х i
26.	Вычислите a) rot г г б) rot B)rot-^-, где г = х i 4- у j 4- z к, г = |г|
27.	Используя формулы (22) и (24), преобразуйте a) rot(rc)a, б) rot(rc), в) rot /(г)с, г) rot[c /(г) г], где а — векторное поле, г = х i 4- у j 4- z к, г — [г|, с — постоянный вектор
28.	Для произвольных векторных полей а, Ь, с и произвольного скалярного поля и докажите двумя способами (с помощью оператора Гамильтона и в прямоугольных координатах) справедливость следующих формул a) (aV)ub = Ь(а\7и) 4-u(aV)b, б) (с V(ab)) = (a cVb) 4-(b (cV)a), в) (cV)[ab] = [a (cV)b] — [b (cV)a], г) ([ab] rot c) = (b (aV)c — (a (bV)c)
29.	Пусть а и b — векторные поля Докажите, что вектор (bV)a есть производная векторного поля а по направлению вектора Ь, умноженная Да
на модуль вектора b (bV)a — — |b|
30.	Даны векторные поля а = yz i 4- zt j 4- а:?/ к и Ь — zx i -f- xyj 4- yzk
Вычислите векторы (bV)a и (aV)b и найдите — и — (производную Ob да
поля а по направлению вектора b и производную поля b по направлению вектора а)
31.	Вычислите производные векторного поля а = xyi 4- yzj 4- zxk по направлениям векторов h = i, 1г = i 4- j, 1з = j + k, U — i + j 4- k Вычислите также векторы (liV)a, (hV)a, (1з^)а, (bV)a
32.	Покажите, что дифференциалы скалярного поля и векторного поля могут быть записаны с помощью оператора Гамильтона в виде du = (dr Vu) = (drV)?/, da = (drV)a, где dr = dx i 4- dy j 4- dz k
33.	Нестационарное поле температуры точек плоскости Оху задано формулой Т — Тое~^х +у +t -1 (t — время) Частица движется по траекто-рииг(() =--------14-----j (r(t) — радиус-вектор частицы) Вычислите
локальную, конвективную и полную производные по времени температуры частицы
402
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
34.	Нестационарное электрическое поле в пространстве задано формулой
Е = г + Aosinwt  i, r = a:i + i/j + 2k; г = ]г|, t — время.
Вычислите векторы локальной, конвективной и полной производных по времени поля Е в точке, движущейся по винтовой линии r(t) — = a cos t  i 4- b sin t  j + bt k.
35.	Пусть v(x,y,z,t) — нестационарное поле скоростей потока жидкости. Используя формулу (16) при а = v и формулу (27) при а = b = V, выведите формулу	2
= Я?+grad(l) +[rotvv],
di di	\ 2 /
§ 2. Повторные дифференциальные операции в скалярных и векторных полях
Основные понятия и формулы
1. Дифференциальные операции второго порядка. Пусть в области G заданы скалярное поле и(М) и векторное поле а(М) = = {P,Q,R}, причем функции u,P,Q,R имеют в области G непрерывные частные производные второго порядка. Тогда gradu(M) и rota(M) являются дифференцируемыми векторными полями, а diva(Al) — дифференцируемым скалярным полем.
К векторным полям grad u(M) и rota(M) можно применить операции вычисления дивергенции и ротора, а к скалярному полю diva(M) — операцию вычисления градиента. Таким образом, получаем повторные операции: div grad и, rot grad и, div rot a, rot rot a, grad div a.
Операцию div grad называют оператором Лапласа и обозначают также символом Д:
div grad и = Аи.
С помощью оператора Гамильтона оператор Лапласа записывается в виде
Ди = div grad и = (V • (Vu)) = V2u.
Учитывая, что
2 = /. в_	. д_	а_\2	= а2	а2	д2
V дх	J ду	dz) дх2	ду1	dz2 ’
получаем
.	—2	92и	д2и	д2и
и	—	тут	+	ТГ"+	тут-
дх2	ду1	dzz
Функция и, удовлетворяющая в некоторой области уравнению Лапласа Ди = 0, называется гармонической в этой области. Например, линейная функция и = ах + by + cz является гармонической в любой области. Оператор Лапласа широко используется в уравнениях математической физики. Отметим, в частности, что потенциал
§2. Повторные дифференциальные операции
403
электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной
к	г~----:----
массы, имеющий вид и = - (к = const, г = у/х2 + у2 + z2), при г / 0
удовлетворяет уравнению Лапласа.
Как было отмечено в § 1,
rot grad и = [V  Vu] = О (потенциальное векторное поле grad и является безвихревым) и
div rot а = (V[V  а]) = 0
(векторное поле rota является соленоидальным).
Две остальные повторные операции rot rot а и grad div а связаны соотношением (см. пример 3 на с. 404)
rot rot а = grad div а — Va,	(1)
где Да = A(Fi + Qj + Як) = ДР1 + AQj + Дгк — вектор-функция, координатами которой являются результаты применения оператора Лапласа к функциям F, Q, R.
2. Разложение векторного поля на сумму потенциального и соленоидального полей. Произвольное непрерывно дифференцируемое векторное поле а(М) может быть представлено в виде
а(М) =а1(М)+а2(М),	(2)
где ai(M) — потенциальное поле, а2(М) — соленоидальное поле.
Действительно, по определению потенциальное векторное поле ai(M) есть градиент некоторого скалярного поля и(М): ai(M) = = gradw(Af). Поэтому для вектора а2(М) из равенства (2) имеем а2(М) = a(M) — gradw(M).	(3)
Чтобы векторное поле а2(М) было соленоидальным, оно должно удовлетворять условию diva2(M) = 0, откуда, учитывая равенство (3), находим
diva2(M) = diva(M) — div grad u(M) = diva(M) — Ди(М) = 0.
Таким образом, для скалярного потенциала поля а\(М) получаем уравнение
(4)
Ди = div а, где diva — известная функция данного поля а(М).
Итак, если функция и есть решение уравнения (4), то, полагая a-f/M) = gradu(M), а2(М) = а(М) — gradu(Af), получаем представление поля а(М) в виде (2), где аДМ)  потенциальное, а2(М) — соленоидальное поле.
Уравнение (4) — неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, называемое уравнением Пуассона:
л д2и д2и д2и ,	,
Ди = — + — + — =/,	/ = div а.
дх2 ду2 dz2
404
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
Отметим, что это уравнение имеет (бесконечное) множество решений, поэтому представление поля а(М) в виде (2) не единственно.
Контрольные вопросы и задания
1.	Перечислите повторные дифференциальные операции в скалярных и векторных полях.
2.	Результаты каких повторных дифференциальных операции тождественно равны пулю?
3.	Что такое оператор Лапласа и как он связан с оператором V?
4.	Приведите примеры функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа Ди = 0. Как называются такие функции?
5.	Объясните, как представить произвольное векторное поле в вице суммы потенциального и соленоидального полей.
6.	Вычислите grad div г и div grad г, где г = х i + у j + z k, г = |г|.
Примеры решения задач
1.	Доказать справедливость формулы div(wgradf) = (grad и • grad и) + «Дг,	(5)
где и и v — скалярные поля.
Д Используя оператор Гамильтона, получаем div(izgradu) = (V • (uVt))) = (Vu  Vu) + и V2v =
= (grad и  grad u) + и Av. ▲
2.	Доказать справедливость формулы
A(uv) — v Au + 2(gradw • gradu) + и Av.	(6)
где и и v — скалярные поля.
Д Используя формулы Au = (V • Vu), V(tw) = rVu + uVr и (V • v Vu) = (Vu • Vt)) + v V2u, находим
V(ttu) = (V • V(iw)) = (V • (v Vu + и Vw)) = (V • v V«) + (V • и Vr>) — = (Vw • Vu) + v V2u + (Vu  Vw) + и V2f =
= v \72u + 2Vw Vw + и V2t> = v Vu + 2(grad и  grad w) + и Av. ▲ Отметим, что формулу (6) с помощью оператора Гамильтона можно записать в виде
V2(tw) — v V2u + 2(Vw  Vw) + и V2w аналогично формуле второй производной произведения двух функций (uv)" = uv" + lu'v' + uv".
3.	Доказать, что для векторного поля а справедлива формула rot rot а = grad div а — Да.
§2. Повторные дифференциальные операции
405
Д Используя формулу для двойного векторного произведения [а[Ьс]] = = b(ac) — (ab)c и полагая в ней а = b = V, получаем
rot rot а = [V[Va]] = V(Va) - V2a = grad div a - Да. ▲
4.	Вычислить Д(1), где г = у/х2 + у2 z2, Д оператор Лапласа.
Q /1 \	2.	dv 1	х
Д Учитывая равенство	— ( - I	=	—-	— = —- -	и аналогичные ра-
дх \г/	г2	дх г2 г
д /1\ д /1\
венства для — I - и — [ - , получаем
ду \г ) dz\rJ
д/1\ _ Э2 /1\	Э2 /1\ , Э2 /И _
\г/ дх2 \г/	Э?/2\г/ dz2 \rz
г3 — Зг2 — х г3 — Зг2 — у г3 — Зг2 - z
___________г_________________г _ _______________г уэб
и / — аг г.	/ г.
-------- = 0 при г 0.
Итак, функция и = - является гармонической в любой области, г
где г 0. ▲
5.	Доказать, что электрическое поле Е(М,t) при /z = е = 1 удовлетворяет телеграфному уравнению
ДЕ
ЭЕ Э2Е dt + dt2
(7)
в области, где плотность зарядов равна нулю (р = 0).
Д Рассмотрим систему уравнений Максвелла при p = e= l,p = Q (см. п. 9 из § 1):
rotH-~j + -—, rotE = ——-	divH = 0, divE = 0, j = сгЕ. (8)
J dt '	dt ’	’	’ J v '
Дифференцируя первое из уравнений (8) по времени и учитывая последнее уравнение, находим
х ЭН	ЭЕ	Э2Е
r°t -ттг	=	о- —	+	—— .
dt	dt	dt2
(9)
Вычисляя ротор от обеих частей второго из уравнений (8), получаем
rot rot Е = — rot .	(10)
dt	'
В силу тождества rot rot Е = grad div Е — ДЕ и уравнения divE = 0 имеем
rot rot Е=— ДЕ.	(11)
406	Гл XV Скалярные и векторные поля
(9Н
Поэтому rot = ДЕ, и, следовательно, из (9) получаем уравнение (7) ▲
Если ток проводимости отсутствует (а = 0), то для электрического поля Е получается волновое уравнение
Для стационарного электрического поля Е(М) оно переходит в уравнение Лапласа
ДЕ = 0.	(12)
Уравнение (12) означает, что каждая координата вектора Е является гармонической функцией в рассматриваемой области
6.	Разложить векторное поле а = (х — у) i + (х + у) j + (z + 2) к на сумму потенциального и соленоидального полей
Д Как показано в п 2, векторное поле а представимо в виде а = = ai + аг, где aj = grad и — потенциальное поле, а2 = а — grad и — соленоидальное поле, причем и — решение уравнения Пуассона Ди = div а.
Для данного поля
diva= А(Ж-^) +А(ж + 2у) + ^(2+2) = 3
Уравнение Ди = 3 в прямоугольных координатах имеет вид д2и д2и д2и _ „ + + ~ '
Частным решением этого уравнения является, например, функция и — ^(х2 +у2 + Z2). Для этой функции
grad w = xi + yj + 2k = r
Следовательно, данное поле а представимо в виде суммы потенциального поля
а! = grad w = a:i + ?/j + 2k = r
и соленоидального поля
а2 = а - grad и = [(а: - у) - х] i + [(ж + у) - у] j + [(2 + 2) - z] k =
= -2/i + xj + 2k
Непосредственно можно проверить, что векторное поле &2 является соленоидальным*
diva2 =	~	+ 1“(2) = °- ж
дх	дух dzK
§3 Характеристики векторных полей
407
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
36.	Вычислите a) div(ugradu), б) div(grad/(r)), в) rot(ugradu), г) rot[a rotb], где г = у/ х2 + у2 + z2, и и v — скалярные поля, а и b — векторные поля
37.	Для векторного поля а = х2у2 i + ?/2z2j + z2x2 к вычислите rotrota, grad div а, Да и проверьте справедливость формулы (1)
38.	Даны векторные поля ai = ie±a!+je±!/+ ke±z, a2=ie±^+je±z + + ke±x, аз = ie±z +je±z + ке±к (возможны любые комбинации знаков) Докажите, что
a) rot ai — 0, а поля а2 и аз удовлетворяют уравнению а + rot rot а = О, б) diva2 = 0, div а3 = 0, а поле си удовлетворяет уравнению а — — grad div а = О
39.	Покажите, что функция u = In где г = у/х2 + у2, удовлетворяет при , „	_	Г	Л	d2u	d2U	-
г f 0 уравнению Лапласа на плоскости Ди = —- 4------ = 0
ке	дх2	ду2
40.	Покажите, что электрическое поле Е = — г точечного заряда е, находящегося в начале координат, удовлетворяет при г 0 уравнению Лапласа ДЕ = 0
41.	Покажите, что при ц = е = 1 магнитное поле Н удовлетворяет теле-ОН , 32Н
графному уравнению ДН — а-------1----—
dt dt2
42.	Разложите следующие векторные поля на сумму потенциального и соленоидального полей
а)	а! = (х + у) i + (ж - у) j + (z + 1) k,
б)	а2 = -Qr2i + ?/2j + z2 к), в) a2 = xi + yj - 2zk
§ 3.	Интегральные характеристики векторных полей
Основные понятия и формулы
1.	Поток векторного поля. Рассмотрим векторное поле а(М), определенное в пространственной области G, и некоторую кусочно гладкую ориентированную поверхность Ф С G Пусть п(М) — поле единичных нормалей на выбранной стороне поверхности Ф.
Как было отмечено в § 3 из гл XIV, поверхностный интеграл
У(an)dS = УУ andS	(1)
Ф	Ф
называется потоком векторного поля а(М) через поверхность Ф в сторону, определяемую вектором п (говорят также: поток через выбранную сторону поверхности Ф)
Если взять другую сторону поверхности (изменить ориентацию), то вектор п изменит направление на противоположное; поэтому скалярное произведение (ап), а значит, и поток (поверхностный интеграл (1)) изменит знак.
Если а = v — скорость движущейся жидкости, то / / (vn)tZS пред
408
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
ставляет собой количество (объем) жидкости, протекающей через поверхность Ф в заданную сторону в единицу времени. Эта величина называется в физике (гидродинамике) потоком жидкости через поверхность Ф. Поэтому и в случае произвольного векторного поля а(М) интеграл (1) называется потоком векторного поля через поверхность Ф.
Рассмотрим электрическое поле Е точечного заряда е, помещенного в точку N. Найдем поток векторного поля Е через внешнюю сторону сферы Ф радиуса г с центром в точке N. Пусть г = NAi (М — точка на сфере Ф); тогда |Va/| = г, Е(М) = г, п(М) = (En) = ^(rr)=^ = g. Поэтому
I/(En)dS =	If dS =	Гтгг' = 4тгке =
ф	Ф
, 1
где е — диэлектрическая проницаемость среды, к = -.
4тге
Если в системе координат Oxyz а = {Р, Q, R}, a n = {cosn, cos /3, cos 7}, то выражение (1) для потока векторного поля а(М) можно записать в виде
II (Pcos а + Qcos/3 + Rcosy)dS =
Ф	= IIР dy dz + Q dzdx + Rdx dy. (2)
Ф
Каждое слагаемое в правой части равенства (2) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т. е. поток Ц(an)dS, очевидно, не зависит от выбора системы координат. ф
2.	Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме. Пусть в области G определено векторное поле а = {P,Q,R}; Ф — замкнутая поверхность, ограничивающая область G; n(M) = {cosn, cos (3, cos 7} — единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф в точке М.
Пусть, далее, для векторного поля а (т. е. для функций P,Q,R) и поверхности Ф выполнены условия теоремы 5 из гл. XIV. Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса
Щ +	dz = II№cosa + Qcosfl + Rcosy)dS.
G	Ф
(3)
Подынтегральная функция в тройном интеграле есть diva, а поверхностный интеграл представляет собой поток векторного поля а через поверхность Ф. Поэтому формулу (3) можно записать в векторной форме:
HI div adV = ll(an')dS.	(4)
G	Ф
§3. Характеристики векторных полей
409
Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса: поток векторного поля а через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу по области, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции векторного поля а. Чтобы поток был отличен от нуля, внутри области G должны быть источники (или стоки) поля. Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что тогда и diva будет отлична от нуля. Таким образом, diva характеризует источники поля. Само векторное поле как бы расходится от источников. Отсюда и происходит название “расходимость” или “дивергенция”.
3.	Свойства соленоидального поля. Как известно, векторное поле а(ЛГ), удовлетворяющее в области G условию diva = 0, называется соленоидальным в этой области. Пусть область V является объемно односвязной. Это означает, что если кусочно гладкая замкнутая поверхность Ф лежит в области G, то и область, ограниченная поверхностью Ф, целиком принадлежит области G. Примерами объемно односвязных областей являются шар, параллелепипед, тор. Отметим, что тор не является поверхностно односвязной областью. Область, заключенная между двумя сферами, не является объемно односвязной (но является поверхностно односвязной; см. п. 3 § 4 из гл. XIV).
Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что соленой дальнее поле в объемно одпосвязпой области обладает следующим свойством: поток соленоидального поля через любую замкнутую поверхность, расположенную в этой области, равен нулю. Иногда это свойство прини
мают за определение соленоидального поля.
Отметим, что если область не является объемно односвязной, то поток соленоидального (в этой области) поля через замкнутую поверхность, расположенную в области, может быть отличен от нуля. Так, электрическое поле Е(М) точечного заряда, помещенного в точку N, является соленоидальным в шаре с выброшенным центром N (div Е(ЛГ) = 0 при М ф N). Шар с выброшенным центром нс является объемно односвязной областью, и, как мы установили в п. 1, поток поля Е(М) через сферу с центром в точке N отличен от нуля.
Слово “соленоидальное” означает “трубчатое”. Для соленоидального поля имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки.
Он состоит в следующем.
Пусть а(М) — соленоидальное поле. Рассмотрим отрезок “векторной трубки”, т. е. область, ограниченную двумя сечениями, Ф1 и Ф2, и боковой поверхностью Фз, состоящей из векторных линий (рис. 76). Применим к такой области формулу Остроградского-Гаус-
са (4). Так как в соленоидальном поле diva = 0, то поток векторного поля а(М) через поверхность области равен нулю:	(an) dS = 0
$14-Ф2+ФЗ
410
Гл. XV- Скалярные и векторные поля
(n — единичный вектор внешней нормали). На боковой поверхности Ф3 имеем а ± п, поэтому (an)dS = 0. Значит,
ф3
УУ (an)dS = уу (an)dS + (an)dS = 0.
Ф1+Ф2	Ф1	ф2
Изменим на сечении Ф1 направление нормали п на противоположное (щ — внутренняя нормаль к Ф^. Тогда получим
//(.», )rfS= // (an2)dS,
Ф1	Ф2
где оба потока через сечения Ф1 и Ф2 вычисляются в направлении векторных линий.
Таким образом, е соленоидальном {трубчатом) векторном поле а поток через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение. Это и есть закон сохранения интенсивности векторной трубки.
4.	Инвариантное определение дивергенции. Пусть в области G, ограниченной поверхностью Ф, определено векторное поле а(М). Запишем формулу (4) для векторного поля а в области G. Применяя к левой части этой формулы теорему о среднем, получим
diva(Al*) • V(G) = 11 (an) dS,
Ф
f [ (an) dS
где V{G) — объем области G, a M* — некоторая точка области G.
Зафиксируем точку М € G и будем стягивать область G к точке М так, чтобы М оставалась внутренней точкой области G. Тогда V(G) -> 0, а М* будет стремиться к М. В силу непрерывности diva значение diva(M*) будет стремиться к diva(M). Таким образом, получаем
ИЛИ
/J^dS V(G)
(5)
diva(M) = hm
V(G)-H)
MSG
В правую часть формулы (5) входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (поток векторного поля через поверхность и объем области). Поэтому формула (5) дает инвариантное определение дивергенции векторного поля. Итак, дивергенция векторного поля зависит только от самого поля и не зависит от выбора системы координат.
5.	Циркуляция векторного поля. Рассмотрим векторное поле а(М), определенное в пространственной области G, и некоторую кусочно гладкую кривую L € G, на которой указано направление обхода (выбор направления обхода называют также ориентацией кривой).
§3. Характеристики векторных полей
411
Пусть т(М) — единичный касательный вектор к кривой L в точке М, направленный в сторону обхода кривой.
Криволинейный интеграл
(6)
называется циркуляцией векторного поля а вдоль кривой L в заданном направлении.
Если взять другое направление обхода кривой (изменить ориентацию), то вектор т изменит направление на противоположное, поэтому скалярное произведение (ат), а значит, и циркуляция (криволинейный интеграл (6)) изменит знак.
Если а = F — силовое векторное поле, т. е. F — вектор силы, то циркуляция у (Ft) dl представляет собой работу силового векторного
L
поля вдоль кривой L в заданном направлении.
Если в прямоугольной системе координат Оху а = {F, Q,R}, а т = {cos a, cos (3, cos 7}, то выражение (6) для циркуляции векторного поля а можно записать в виде
У (F cos а + Q cos/3 + R cos 7) dl = jРdx + Q dy + Rdz. (7) L	L
Каждое слагаемое в правой части (7) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т. е. циркуляция j\ar)dl, очевидно, не зависит от выбора системы координат. L
Если ввести вектор dr = {dx,dy.dz}, то циркуляцию можно записать в виде y\adr) (сравните с правой частью равенства (7)).
L
6.	Формула Стокса в векторной форме. Пусть в области G определено векторное поле а = {Р, Q,R}‘, L — замкнутый контур, лежащий в области G; Ф — произвольная поверхность, границей которой является контур L; Ф С G (говорят: поверхность Ф натянута на контур L); n(M) = {cos a. cos (3, cos 7} — единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности Ф.
Пусть для векторного поля а (т. е. для функций Р, Q, Р) и поверхности Ф выполнены условия теоремы 3 из гл. XIV. Тогда справедлива формула Стокса
Ijc cos7 do, ду) J
_ ff\(dR	dQ\
~ JjKdy	dz)cosa
ф
где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности Ф.
Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля а
412
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
вдоль контура L, а правая часть представляет собой поток через по-ж	dR dQ дР dR
верхность Ф векторного поля с координатами -------—, —-----—,
ду dz dz	дх
dQ дР	,	, уу	,
—— ——, т. с. поток rota через поверхность Ф. Поэтому формулу дх ду
Стокса можно записать в векторной форме:
(ат) dl = уу (rot а  n)dS,	(8)
или	L	L
У (a dr) = уу (rot а • n) dS.
L	Ф
Физический смысл формулы Стокса: циркуляция векторного поля а вдоль замкнутого контура равна потоку ротора векторного поля а через поверхность, натянутую на этот контур.
Чтобы циркуляция была отлична от нуля для малого контура, окружающего некоторую выбранную точку поверхности, поле а должно поворачиваться (иметь завихрение) вблизи этой точки. Из формулы Стокса следует, что тогда и rot а вблизи этой точки будет отличен от нуля. Таким образом, rota(M) характеризует завихрение поля в точке М. Отсюда и происходит название ’‘вихрь” или “ротор”.
7.	Свойства потенциального поля. Как известно, векторное поле а(М), удовлетворяющее в области G условию а = gradw., называется потенциальным в этой области (и — скалярный потенциал поля а(Л/)). Если поле а(М) — {P,Q,R} потенциально в области G, то P=^,Q=^,R=^n выражение Р dx + Qdy + Rdz = дх ду dz
ди , ди , , ди ,	, ,
= — dx + — dy + - dz является полным дифференциалом функции дх ду dz
и в области G. Это означает, что выполнено условие III теоремы 4 из гл. XIV об условиях независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве. Из условия III вытекают остальные условия этой теоремы.
Таким образом, потенциальное в области G поле обладает следующими свойствами.
1°. Циркуляция потенциального поля а(М) вдоль любого замкнутого контура L С G равна нулю:
У (a dr) = ^Р dx + Q dy + Rdz = 0. L	L
Иногда это свойство принимают за определение потенциального поля.
2°. Для любых точек А и В из области G циркуляция потенциального поля а = grad и вдоль кривой АВ не зависит от выбора кривой АВ С G и равна разности значений потенциала и в точках А и В:
У (adr) = и(В) — п(Л).
АВ
§3. Характеристики векторных полей
413
Применительно к силовому потенциальному полю это свойство означает, что работа такого поля вдоль кривой АВ не зависит от выбора кривой, а зависит только от начальной и конечной точек А к
и В. Для поля тяготения точечной массы F = —- г этот факт был уже установлен в примере 5 из § 4 гл. XIV:
F = grad-, [ (Fdr) = k(^--^—\. г J '	'	\r(B) r(A)J
АВ
3°. Потенциальное поле а(М) является безвихревым, т. е.
rot а = rot grad и = 0.
Пусть теперь дано векторное поле а(М) = {Р, Q,R}, удовлетворяющее в области G условию rot а — 0. Следует ли отсюда, что поле а(М) потенциально в области G7 Ответ на этот вопрос зависит от вида области G. Если область G является поверхностно односвязной, то из условия rota = 0 в силу теоремы 4 из гл. XIV следует, что существует функция u(x,y,z) такая, что
р _ ди р. _ ди „ _ Зи
' dP У “ ду’	дР
,,	ди ди . ди,	,
Следовательно, а = —1+ —i + —k = gradw, т. е. поле а является дх ду dz
потенциальным в области G.
Таким образом, условие rota = 0 является необходимым и достаточным условием потенциальности поля а(М) в поверхностно односвязной области.
Потенциал и(х,у, z) потенциального поля а(М) = {P,Q,R} в поверхностно односвязной области можно вычислить по формуле (5) из § 4 гл. XIV:
G, у, А
u(x,y,z)= у Pdx + Qdy + Rdz =
(х0,у0, zo)
X	у	Z
- уP(x,yQ,z0)dx + J^Q(x,y,z0)dy + j R(x,y,z)dz. (9) XQ	У0	Zq
Если область G не является поверхностно односвязной, то условия rota = 0 не достаточно для потенциальности поля а(М) в области G. Так, например, векторное поле
a = -^i + ^j + 2k х' + у- хЛ + у
(см. пример 13 на с. 423) удовлетворяет условию rota = 0 в шаре с выброшенным диаметром, лежащим на оси Oz. Шар с выброшенным диаметром не является поверхностно односвязной областью, и, как показано в примере 13, поле а не является потенциальным в этом шаре.
414
Гл XV Скалярные и векторные поля
8. Инвариантное определение ротора. Пусть в области G определено векторное поле а(М) Зафиксируем точку М € G и некоторую плоскость, проходящую через эту точку Пусть п — единичный вектор нормали к плоскости, L — замкнутый контур, лежащий в плоскости и ограничивающий область Ф такую, что М — внутренняя точка области Ф Запишем формулу (8) для векторного поля а в области Ф Применяя к правой части этой формулы теорему о среднем,получим
У (ат) di = (rot а п)Л/* 5(Ф),
L откуда
ф (ат) dl
(rota n)M* =	,
где 5(Ф) — площадь области Ф, М* — некоторая точка области Ф
Будем стягивать область Ф к точке М так, чтобы М оставалась внутренней точкой области Ф Тогда 5(Ф) —> 0, а М* будет стремиться к М В силу непрерывности rota значение (rota п)м* будет стремиться к (rota п)м Таким образом, получаем
ф (ат) dl
(rol. = sbm о	(10)
меФ
В правую часть формулы входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура и площадь плоской области) Поэтому данная формула дает инвариантное определение проекции rot а в точке М на направление, определяемое заданным вектором п
Итак, проекция ротора векторного поля на произвольное направление, а значит, и сам rota зависит только от векторного поля а и не зависит от выбора системы координат
Для определения вектора rota вышеуказанным способом достаточно рассмотреть в заданной точке М проекции rot а на три произвольных некомпланарных направления Такими тремя проекциями rot а определяется однозначно
Контрольные вопросы и задания
1	Что называется потоком векторного поля через поверхность^ Напишите выражения для потока в векторной форме и в прямоугольных координатах
2	Приведите примеры потоков физических векторных полей через заданные поверхности
3	Запишите формулу Остроградского-Гаусса в прямоугольных координатах и в векторной форме
§3 Характеристики векторных полей
415
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Каков физический смысл формулы Остроградского-Гаусса7
Какая область называется объемно односвязной7 Приведите примеры объемно одпосвязных областей и областей, не являющихся поверхностно односвязными
Каким свойством обладает соленоидальное векторное поле в объемно односвязной области7 Покажите, что это свойство может не иметь места, если область не является объемно односвязной
Выведите закон сохранения интенсивности векторной трубки для соле-ноидального поля
Дайте инвариантное определение дивергенции векторного поля
Что называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой7 Напишите выражение для циркуляции в векторной форме и в прямоугольных координатах
Запишите формулу Стокса в прямоугольных координатах и в векторной форме
Каков физический смысл формулы Стокса7
Сформулируйте свойства 1°-3° потенциального поля Что означает свойство 2° применительно к силовому полю7
Сформулируйте необходимое и достаточное условие потенциальности поля а(1И) в поверхностно односвязной области и напишите формулу вычисления потенциала поля а(1И)
Векторное поле а(М) в области G удовлетворяет условию rota = 0 Следует ли отсюда, что поле а(М) потенциально в области G7 Циркуляция векторного поля а(1И) вдоль любого замкнутого контура, лежащего в области G, равна нулю Является ли поле а(М) потенциальным в области G7
Дайте инвариантное определение ротора векторного поля
Каков физический смысл условия div а = О7
Каков физический смысл условия rota = О7
Приведите примеры физических полей удовлетворяющих условиям a) div а = 0, б) rot а = О
В области G выполнено условие diva = 0 Следует ли отсюда, что поток векторного поля а(М) через замкнутую поверхность, лежащую в G, равен нулю7 Приведите соответствующие примеры
Пусть точечный заряд находится в точке Мо Рассмотрим электрическое поле Е этого заряда в области G, представляющей собой окрестность точки Мо, из которой удалена сама точка Мо Является ли поле Е в области G соленоидальным7 Укажите какую-либо замкнутую поверхность Ф С G, через которую поток поля Е равен нулю Укажите замкнутую поверхность Ф С G, через которую поток поля Е отличен от нуля Всякая ли область, в которой поле Е соленоидально, является объемно одпосвязной7
Пусть точечная масса т находится в точке Мо Рассмотрим поле тяготения F массы т в области G, представляющей собой окрестность точки Мо, из которой удалена сама точка Мо Является ли поле F в области G потенциальным7 Существует ли в области G замкнутый контур, вдоль которого циркуляция поля F не равна нулю7 Всякая ли область, где поле F потенциально, является поверхностно односвязной7
416
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
Примеры решения задач
1.	Доказать, что поток постоянного векторного поля а через любую замкнутую кусочно гладкую поверхность равен нулю.
Л Пусть Ф - замкнутая кусочно гладкая поверхность, ограничивающая область G. Согласно формуле Остроградского-Гаусса имеем
Уу\ап) dS — Щ divadV = О, Ф	G
так как дивергенция постоянного поля а равна нулю. Следовательно, поток постоянного векторного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю: У(an) dS = 0. ▲
Ф
2.	Найти поток радиуса-вектора г — х i + у j + z к через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность Ф, ограничивающую область G объема V.
Д Сначала найдем дивергенцию данного поля: div г = 1 + 1 + 1 = 3. Далее, используя формулу Остроградского-Гаусса, имеем
У[(rn) dS = HI div г dV = ЗУУУ^Г = 3V. Ф	G	G
Полученный результат дает формулу для вычисления объема области G с помощью поверхностного интеграла
М/М"5'
Ф
или, в прямоугольных координатах,
V = ^jjfxcosa + у cos (3 + zcos-f)dS, Ф
где n = {cos a, cos (3, cos 7} — единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф. Эта формула была приведена в § 5 из гл. XIV. ▲
3.	Вычислить поток электрического поля Е точечного заряда е, помещенного в начале координат, через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность, не проходящую через начало координат. Л Векторное поле Е точечного заряда е, находящегося в начале координат, имеет вид Е(ЛГ) = ^|г, где г = Ол/, |г| = |ОЛ?|.
По определению, векторное поле Е является соленоидальным в любой области G, где divE = 0. В п. 6 из § 1 было показано, что div^^l г) = 0 при г 0. Поэтому поле Е(М) соленоидально в любой области G, не содержащей начала координат. Однако, как было отмечено в п. 3, величина потока соленоидального векторного поля через замкнутую поверхность Ф, расположенную в области G, существенно
§3. Характеристики векторных полей
417
связана со свойством объемной односвязности области G. Рассмотрим два случая.
1. Пусть замкнутая кусочно гладкая поверхность Ф представляет собой границу объемно односвязной области G, не содержащей начала координат. Тогда условие divE = 0 выполняется во всех точках объемно односвязной области G, и в силу свойства соленоидального поля поток вектора Е через поверхность Ф равен нулю.
2. Пусть замкнутая кусочно гладкая поверхность Ф представляет собой границу области G, содержащей внутри себя начало координат. Тогда поле Е не является соленоидальным в области G, так как в начале координат divE = оо. Если же выбросить из области G начало координат, то оставшаяся область не будет объемно односвязной. Для вычисления потока Е через поверхность Ф введем сферу Ф] достаточно малого радиуса с центром в начале координат, целиком расположенную внутри G, и рассмотрим область Gy между поверхностями Фх и Ф. Условие div Е = 0 выполнено для всех точек области Gy.
Применим к этой области формулу Остроградского-Гаусса. Тройной интеграл от дивергенции Е по области Gy равен нулю. Следовательно, равен нулю и полный поток поля Е через поверхности Ф и Фг:
H(En)dS+ yy(En)dS = 0	(11)
ф	ф1
Вычислим поток поля Е через сферу Фх:
УУ (En)dS = — 4?rke
Ф1
(см. с. 408). Знак минус означает, что внешняя к области Gy нормаль на поверхности Фх направлена к центру сферы Фх (к началу координат) и, следовательно, противоположна вектору г. Отметим, что поток Е через сферу Фх нс зависит от ес радиуса, т. с. имеет одно и то же значение для сферы любого радиуса.
Возвращаясь к соотношению (11), находим поток поля Е через поверхность Ф:
УУ(Еп) dS = - уу (En) dS = 4кке. ф
Итак, поток электрического поля Е через поверхность Ф равен либо нулю, либо 4тгА:е, в зависимости от того, лежит точка, где помещен заряд, вне или внутри области, ограниченной поверхностью Ф. А
4. Вычислить поток векторного поля а = х2 i + у2 j + z2 к через боковую поверхность Фх конуса {(ж, y,z): х2 + у2 h2, у/х2 + у2 G z h] в сторону внешней нормали.
A I способ. Поток уу (an) dS поля а через поверхность Фх можно Фх
14 В.Ф. Бутузов и др.
418
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
вычислить по формуле (2), не пользуясь формулой Остроградского-Гаусса. Этот способ применялся ранее (см. пример 3 из § 3 гл. XIV). Здесь мы так делать не будем.
II способ. Чтобы сделать возможным применение формулы Остроградского-Гаусса для вычисления искомого потока, дополним заданную поверхность Ф1 (боковую поверхность конуса) до замкнутой кусочно гладкой поверхности Ф основанием конуса — кругом Ф2: ж2 + у2 h2, z — h.
Применим теперь формулу Остроградского-Гаусса к области G, ограниченной замкнутой поверхностью Ф:
УУ (an)dS + уу (an) dS = zj^jfx + у + z~) dx dy dz. (12) $1	$2	G
На круге Ф2 имеем a = x2 i + y2 j + h2 k, n = k; поэтому
УУ (an)dS = yy h2dS = /г25(Ф2) = h2  irh2 — irh4.
Ф 2	Ф2
Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: х = pcostp, у = psintp, z = z. Уравнение конической поверхности примет вид z = р. Таким образом,
2n h, h,
^dp^ pdpу [p(cos p + sin	+ z] dz —
OOP
» 2	21
sin95) + — - y]pdp = h4.
2ууу (х + у + z) dx dy dz = 2 2тг h
= 2 уdtp у*	— p) (cos ф +
о 0
Из формулы (12) следует, что искомый интеграл по боковой поверхности Ф1 конуса равен разности тройного интеграла и поверхностного интеграла по кругу Ф2:
УУ (an) dS =	— тг/i4 = —
ф2
Рассмотренный пример показывает, что применение формулы Остроградского-Гаусса для вычисления потока векторного поля через замкнутую поверхность удобно в тех случаях, когда достаточно просто вычисляются поверхностный интеграл по поверхности, дополняющей данную поверхность до замкнутой поверхности Ф, и тройной интеграл от дивергенции векторного поля по области, ограниченной поверхностью Ф. ▲
5. Вывести формулу Грина как частный случай формулы Стокса для поля а= {Р(х, у), Q(x, у)} на плоскости.
Л Рассмотрим векторное поле а= {Р(х,у), Q(x,y)} как частный случай поля а = {Р, Q, R} при R = 0. Пусть поле а = {Р, Q,0} задано в плоской области G с границей L, лежащей в плоскости Оху. Единичная нормаль к области G совпадает с базисным вектором к оси Oz.
§3. Характеристики векторных полей
419
Поэтому, применяя формулу Стокса (9) к полю а в области G, получим
y\adr) = yy\rot а • k) dS.	(13)
L	с,
Формула (13) является векторной формой формулы Грина. Вычислим
ротор поля а:		
	i j k	
	д д д	(dQ дР\,
rot а —	— - ,	= (	к.
	дх ду dz	X дх ду )
	Р Q 0	
Учитывая также запись циркуляции в прямоугольных координа-		
тах, получаем уже знакомый вид формулы Грина
L	G
Отметим, что по-прежнему условие rot а = 0 (jr. е. в данном случае dQ	дР	ПХ й
—- —— = 0 обеспечивает потенциальность поля а лишь в поверх-дх	ду )
ностно односвязной области. Такую область на плоскости мы назвали односвязпой (см. § 3 из гл. XIII). А
6. Доказать, что циркуляция постоянного векторного поля а вдоль
любого замкнутого кусочно гладкого контура равна нулю.
Д Пусть L — замкнутый кусочно гладкий контур, Ф — кусочно гладкая поверхность, натянутая на L. Согласно формуле Стокса (9) имеем y\adr) = (rota  n) dS = 0, так как ротор постоянного no-г.	Ф
ля а равен нулю. Следовательно, циркуляция постоянного векторного поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю: ^(adr) = 0. А L
7. Найти циркуляцию плоского векторного поля а = —yi + xj вдоль произвольного кусочно гладкого контура L, лежащего в плоскости Оху и ограничивающего область Ф площади S.
Д Сначала вычислим ротор данного поля:
i J k
Г	д	д	д
rota= — — -у = 2к. дх ду dz —у х 0
Далее, используя формулу Стокса и учитывая, что для области Ф п = к, находим
y(adr)= yy(2k-k)dS = 2yydS = 2S. L	Ф	Ф
Полученный результат дает формулу для вычисления площади
14
420
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла:
S = ^(adr),
L
или, в прямоугольных координатах,
Другой вывод этой формулы был получен в § 3 из гл. XIII. ▲
8. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию векторного поля а = — у i + х j + z к вдоль замкнутого контура L, состоящего из отрезка винтовой линии r(t) = a cost • i + asint • j + btk (0 t 2?r) и отрезка прямой, соединяющего точки В(а, 0,2тт£>) и А(а, 0,0), причем обход контура совершается так, что по отрезку прямой движение происходит от А Находим
rot а =
j д ду
Ф,
точки В к точке А.
к д dz z
= 2k.
натянутая на кон-
д дх ~У
Пусть поверхность
тур L, состоит из части цилиндрической поверхности х2 + у2 = а2 и круга Ф2 : х2 +у2	a2, z = 2тг& (рис. 77). На цилинд-
рической поверхности Ф1 имеем rota ± п, На поверхности Ф2 имеем п = к, и поэтому
и поэтому (rot а  п) = 0. rot а-п = 2к-к = 2.
Применяя к полю а формулу Стокса, получаем
У (adr) = уу (rot а  п) r/.S = f + ^=0 + 2 ds = 25(Ф2) = 2тга2. ▲ L	Ф	Ф1 Ф2	^2
9. Найти работу силового поля F = —T/i + zj + zk вдоль отрезка I/j винтовой линии r(t) = a cos t • i + a sin t • j + bt k (0 t 2тг) от точки Л(а,0,0) до точки В(а, 0,2тт£>).
A I способ. Непосредственно вычисляя криволинейный интеграл второго рода, выражающий работу силового поля F вдоль кривой Li в заданном направлении, находим
У (Fdr) = j (—asint • i + a cost • j + btk) x
L1	°	x (—asint • i + acost -j + bk)dt = 2?ra2 + 2тг2Ь2.
II способ. Чтобы сделать возможным применение формулы Стокса для вычисления искомого интеграла, дополним заданный отрезок Li винтовой линии до замкнутой кусочно гладкой кривой L отрезком L2 прямой, соединяющим точки В(а, 0,2тгЬ) и А(а, 0,0).
§3. Характеристики векторных полей
421
Применяя формулу Стокса к контуру L и любой кусочно гладкой поверхности Ф, натянутой на этот контур, имеем
У (Fdr) + у (Fdr) = //(rotF-n)dS.	(14)
t-1	L2	Ф
Повторяя выкладки предыдущего примера для вектора а = F, находим, что rot F = 2 к и
yy(rotF  n) dS = 2тга2. ф
0	2 °
[ zdz =	— -2тг2Ь2.
2 2тгЬ
Вычислим теперь работу силы F вдоль отрезка L? прямой от точки В(а,0,2тгЬ) до точки А(а,0,0). На этой прямой F = aj + zk, d г = k dz и
(Fdr) =
£2
Из формулы (14) следует, что искомый интеграл (работа силы F вдоль кривой Li) равен разности поверхностного интеграла (потока rotF через поверхность Ф) и криволинейного интеграла по отрезку прямой L2:
У (Fdr) = 2тга2 — (—2тг2Ь2) = 2тга2 + 2тг2£>2.
f.i
Рассмотренный пример показывает, что применение формулы Стокса для вычисления работы силового поля (а также других криволинейных интегралов второго рода) вдоль незамкнутых кривых удобно в тех случаях, когда достаточно просто вычисляются криволинейный интеграл по кривой, дополняющей данную кривую до замкнутого контура, и поток ротора данного векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур. А
10.	Вершины Л, В, А' куба ABCDA'В'СD' находятся соответ-
ственно в точках (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Применяя формулу Стокса, вычислить циркуляцию векторного поля a = yi+zj + xk вдоль ломаной C'CDABB'A'D' (рис. 78).
А Обозначим данную ломаную через Li. Чтобы сделать возможным применение формулы Стокса для вычисления искомого интеграла J (adr), Li дополним ломаную Li до замкнутой кривой L отрезком /.2 прямой, соединяющим точки D' и С. На контур L
“натянем” кусочно гладкую поверхность Ф, состоящую из трех квадратов: C'CDD', D'DAA' и А'АВВ1. Обозначим их соответственно через Ф1, Ф2, Ф3.
422
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
Применяя формулу Стокса к контуру L и поверхности Ф, имеем
У (a dr) + у (a dr) =
Ь1
= уу (rota-n)dS'H-
Ф1
Уу (rot а • n) dS + уу (rot а • n) dS. ф'2	Фз
(15)
Далее, находим rota = — i — j — к. Единичные векторы нормалей на частях Ф1; Ф2, Ф3 поверхности Ф с учетом направления обхода контура L имеют вид п(Ф1) = -i, п(Ф2) = j, п(Ф3) = i.
Вычислим поток rota через поверхность Ф:
УУ (rot а • п(Ф!)) dS + уу (rot а • п(Ф2)) dS + Ц	(rot а	• п(Ф3)) dS =
Ф1	ф2	Ф3
=	/м-	ffds-	ff
ф|	Ф2	Фз
Найдем теперь циркуляцию поля а вдоль отрезка L2 прямой от точки D' до точки С. На этой прямой а = ?/i + j + k, dr=jdy и 1
У (a dr) = jdy = 1. l2 о
Из формулы (15) следует, что искомый интеграл f (a dr) (цирку-ляции поля а вдоль кривой Li) равен разности поверхностного интеграла (потока rota через поверхность Ф) и криволинейного интеграла У (adr) (циркуляции поля а вдоль кривой L2): f (adr) = —1 —1 = Li = -2. ▲
11.	Доказать, что векторное поле а = у2 i + 2xyj + zk потенциально, и найти его потенциал.
А Поле а определено во всем пространстве. Пространство является поверхностно односвязной областью; поэтому необходимое и достаточное условие потенциальности поля а имеет вид rot а = 0. Находим
i j k
rota =
д дх У2
д д ду dz Ixy z
= 0.
Следовательно, а — потенциальное поле.
Вычислим потенциал поля а по формуле (10), взяв в качестве точки (xo,yo,zo) начало координат:
xyz	2
и(ж, у, z) = у" 0 • dx + у" 2ху dy A- Jz dz — ху2 + . А
ООО
§3. Характеристики векторных полей
423
12.	Найти работу силового поля F = у2 i + 2ху j + z к вдоль отрезка L линии пересечения цилиндров х2 + z2 = а2 и у2 + z2 = а2, проходящего от точки А(-а, —а, 0) через точку С(0,0, а) до точки В(а, а, 0). А I способ. Как и в примере 9, можно непосредственно вычислить криволинейный интеграл f(Fdr), выражающий работу силового no-т.
ля F вдоль данной кривой L. Здесь мы этого делать не будем.
II способ. Воспользуемся тем, что данное силовое поле F являет-
2 ся потенциальным во всем пространстве: F = grad и, где и = ху2 + у (см. пример 11). Отсюда следует, что работа силы F вдоль кривой L равна разности значений потенциала в точках ВнА:
У(Fdr) = u(B) — u(A) = а3 — (-а3) = 2а3. ▲ L
13. Выяснить, является ли потенциальным векторное поле
а =
А Находим					
	i	j	k		
	d	d	d		
rot a =	dx	dy	dz	= o,	если x2 + у2 0
	У	X	9		
	x2 + у2	X2 + y2			
Заметим,
однако, что поле а не определено на оси Oz, поэтому
условие rot а выполняется во всех точках пространства, кроме точек оси Oz. Следовательно, в любой поверхностно односвязной области, не содержащей точек оси Oz, поле а является потенциальным. Так, например, оно потенциально в I октанте (х > 0, у > 0, z > 0), и его потенциал равен и = arctg - + 2z (проверьте это).
х
Рассмотрим теперь область, содержащую точки оси Oz, например шар с центром в начале координат. Удалив из этого шара точки оси Oz (т. е. диаметр, лежащий на оси Oz), получим область G, в которой поле а определено и rot а = 0. Однако эта область не является поверхностно односвязной, и поэтому из условия rota = 0 нельзя сделать вывод о потенциальности поля а. Покажем, что поле а в области G не
является потенциальным.
Для этого рассмотрим окружность L = {х = Rcost, у = JJsint, 0 t 2тг, z = 0}, лежащую в области G, и вычислим циркуляцию поля а вдоль окружности L, пробегаемой в направлении возрастания параметра t от 0 до 2тг. Имеем
(adr) =	----dx + iX dy =
J	J x2 +y2 x2 + y2
L	L 2?r	2tt
= sint)(- sint) dt + cost • costdt] = dt = 2тг 0.
о	о
424
Гл XV Скалярные и векторные поля
Итак, циркуляция поля а вдоль замкнутой кривой L не равна нулю Следовательно, поле а не является потенциальным в области G. ▲
14. Пусть векторное поле а = {Р(х, у), Q(x, у)} задано в плоской области D, ограниченной кусочно гладкой кривой L. Доказать, что
УУ div adS1 = y"(an)d/,
(16)
где div а = —-h an — внешняя нормаль к кривой L.
дх ду
А Формула (16) представляет собой “плоский” вариант формулы Остроградского-Гаусса и может быть получена из обычной формулы Остроградского-Гаусса следующим образом Рассмотрим векторное поле а = {P(x,y),Q(x,y),0} в пространственной области G — = {(х, у, z). (х, у) € D,	Согласно формуле Остроградского-
Гаусса имеем
/// divadV = ff (an) dS,	(17)
G	Ф
где Ф — поверхность, ограничивающая область G, а п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф. Сводя тройной интеграл к повторному и учитывая, что diva не зависит от z, получим
1
УУУ div a dV = j j dx dy j div a dz = div a dS G	do	D
Поверхность Ф состоит из оснований D(z = 0), Ф1(г = 1) и боковой поверхности Ф2- На основаниях D и Ф1 имеем а ± п, и, следователь-H0,‘//(an)dS = Ц (an) dS = 0. На боковой (цилиндрической) по-D
верхности Ф2 введем криволинейные координаты (l,z) (рис 79), где
Рис 80
I — расстояние вдоль кривой L, отсчитываемое от некоторой точки (0 I /0) Так как на Ф2 выполняется равенство dS = dl • dz и вектор нормали п совпадает с вектором нормали к кривой L, причем а
§3 Характеристики векторных полей
425
и п зависят только от I и не зависят от z, то
УУ (an) dS =
Ф
(о 1
УУ (an) dS = !dlу (ап)
Ф2	оо
dz
io
У (an) dl = у (an) dl о	L
Подставляя найденные выражения для тройного и поверхностного интегралов в (17), приходим к формуле (16). А
Замечание 1 Отметим, что формула (16) (“плоский” вариант формулы Остроградского-Гаусса) есть не что иное, как формула Грина, записанная в специальной форме В самом деле, запишем формулу Грина в обычном виде
/Ж?-©—/
D	L
Р dx + Q dy
Введем теперь вектор а = {Q, — Р} Тогда	= diva, Pdx + Q dy —
дх ду
— (Р cos а + Qsm а) dl — [Q мп а + (- Р)(— cos а)] dl — (an) dl, где а — угол между касательным вектором т и осью (Jx, n= (costa— — ), sin (a —
— —	= {sma, — cos a) — единичный вектор внешней нормали к L
(рис 80) В силу этих равенств формула Грина принимает вид (16)
Замечание 2 Аналогично тому, как из формулы Остроградского-Гаусса была получена формула (16), из формулы (16) (или, что то же самое, из формулы Грина) можно получить формулу Ньютона-Лейбница (“одномерный” вариант формулы Остроградского-Гаусса) Для этого положим Q — Q(x), Р = О, D = {х,у 0 х I, 0 у 1} Тогда из формулы Грина получим
ff^dxdy = fQdy
Т dQ	D	?
Так как -х— не зависит от у, а на нижнеи и верхней сторонах прямоугольна:
ника D имеем dy = 0, то
I	1	0	1
f^dxfdy = Q(0) fdy + Q(T) у dy, 0	0	1	о
ИЛИ	I
f^dx = Q(l)-Q(0) о
Это и есть формула Ньютона Лейбница
Таким образом, формулы Грина и Остроградского-Гаусса являются обобщениями формулы Ньютона-Лейбница на случаи двумерных и трехмерных областей
15. Пусть скалярные поля и и v заданы в области G, ограниченной кусочно гладкой поверхностью Ф. Доказать, что
/fV^nd^ = Jff(vAu + (gt&du-gradvy)dV (18) Ф	G
426
Гл XV Скалярные и векторные поля
(19)
(первая формула Грина) и
If GS - dS=Ш^пи -и dv Ф	G
(вторая формула Грина) Д Применим к векторному полю а = v grad и в области G форму-ди лу Остроградского Гаусса Учитывая равенства (у grad и п) =v—, div(u gradu) = v div(gradu) + (gradu gradu) (см. формулу (21) из § 1) и div(gradu) = Ди, получаем формулу (18)
Вторая формула Грина выводится с помощью первой нужно в (18) поменять и и v местами и вычесть полученное равенство из (18) ▲
Замечание 1 Отметим, что первую и вторую формулы Грина на плоскости можно вывести аналогично (18) и (19), применив формулу (16) к векторным полям v(x, у) gradu(r, у) и и(л;, у) grad v(x, у) Эти формулы в координатной форме были получены в § 3 из гл XIII
Замечание 2 Рассмотрим широко распространенный в математической физике оператор
L(u) = div[k(M) grad u(A/)] — q(M)u(M),	(20)
где k(M), q(M), u(M) — скалярные функции (оператор Лапласа Ди является частным случаем L(u) при k(M) = 1, q(M) = 0)
Пусть векторное поле а = v(M)k(M) grad и (v(M) — скалярное поле) задано в области G, ограниченной поверхностью Ф Применяя к векторному полю а в области G формулу Остроградского-Гаусса и учитывая равенство div(vA: grad и) = v div(& grad и) + &(grad и grad v)
(см формулу (21) из § 1), получаем
JJkv^dS = JJJ[vL(u) + &(grad и grad v) + quv] dV (21) Ф	G
(первая формула Грина для оператора L(u))
Меняя в формуле (21) и и v местами и вычитая полученное равенство из (21), приходим к формуле
Jfk(Vlh~U^i)dS = JJf _ UL^ dV (22) Ф	G
(вторая формула Грина для оператора L(u))
В случае полей и(М) и v(M), заданных в области D с границей L на плоскости, применяя к полям v к gradu и и к grad v формулу (16), для оператора L(u) получаем следующие формулы
J kv	dl = fj\vL(u) + &(grad и grad v) + quv] dS,
L	D
fk(v — — и dl = f[(vL(u) — uL(v)) dS,
J \ dn dn J J J
L	D
аналогичные формулам (21) и (22)
В случае полей и(х) и v(x), заданных на отрезке 0 х I, для оператора Ци) = V-[*:(*)+ q(x)u(x)
§3 Характеристики векторных полей
127
(одномерный вариант (20)) имеют место формулы
kv— — \vL(u) + k—-----------i-quv\dx	(23)
dx | о J L	dx dx J
k(v— — u~'j | = f (yL(u) — uL(v') ) dx	(24)
\ dx dx / |o 2
В справедливости формул (23) и (24) можно убедиться непосредственно интегрированием по частям
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
43.	Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите поток векторного поля а — (х — у) i + (z — y)j + (z — x) k через
а)	поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, х = 0, у = 0, z = 0 в сторону внешней нормали,
б)	сферу х2 + у2 + z2 = 1 в сторону внешней нормали
44.	Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите поток векторного поля а = х cos у i — sin у j + (z — I)2 k через боковую поверхность цилиндра, ограниченного поверхностями а) х2 + у2 = 1, z = 0, z = 2,
б)	х2 + у2 = 1, z = 2, z = 4 в сторон^' внутренней нормали
45.	Вычислите поток векторного поля а = (z + 1) к через
а)	сферу х2 + у2 + z2 = 1 в сторону внешней нормали,
б)	полусферу х2 + у2 + z2 — 1, z 0 в сторону внешней нормали к сфере,
в)	полусферу г2 + у2 + z2 = 1, z 0 в сторону внутренней нормали к сфере,
г)	полусферу х2 + у2 + z2 = 1, z 0 в сторону внутренней нормали к сфере,
д)	полусферу х2 + у2 + z2 = 1, у 0 в сторону внешней нормали к сфере
46.	Вычислите поток векторного поля a = yi + zj+a;k через круг, получающийся при пересечении шара х2 + у2 + z2 1 и плоскости а) а; + у + z = 0, б) а; + ?/ + z = 1, в) ж — у + z = 0,
г) х — у + z = 1 в сторону той нормали к плоскости, которая образует острый угол с осью Оу
47.	Применяя формулу Остроградского Гаусса, вычислите поток векторного поля а = i/i + zj + rk через каждую из частей сферы х2 + у2 + + z2 = 1, получающихся при пересечении этой сферы плоскостью а) а; + у + z = 0, б) х + у + z = 1, в) х — у + z = 0, г) х - j/-|-z = 1 в сторону внешней нормали к сфере
48.	Вычислите поток векторного поля a = yi + zj + a;k через круг, полученный при пересечении шара х2 + у2 + z2 1 и плоскости х + у + z = — а в сторону той нормали к плоскости, которая образует острый угол с осью Ох При каком значении а поток векторного поля а принимает наибольшее и наименьшее значения7
428
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Гл XV Скалярные и векторные поля
Даны векторные поля ai = /i(y, z) i + /2(2, ж) j + /3(1, у) k, аг = x2 i + •	( x2 \	(У2 \ . I z2 \ .	2 •
+ yj + zk, a3 — I — — xy h + I —-yzJj+(-—Xz) k’ a4 = x 1 +
+ y2j + z2k Выясните, какие из них являются соленоидальными Вычислите поток каждо! о из данных полей через сферу единичного радиуса с центром в начале координат в сторону внешней нормали Применяя формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля а = (z - х2) i + (х - у2) j + (у - z2) к вдоль
а)	треугольного контура, образованного пересечением плоскости х + + у + z = 1 с координатными плоскостями и пробегаемого по часовой стрелке, если смотреть из начала координат,
б)	треугольного контура, образованного отрезками прямых, соединяющими точки (0,0,0), (0,1,0) и (0,0,1), и пробегаемого по часовой стрелке, если смотреть из точки (1,0,0),
в)	треугольных контуров, лежащих в плоскостях Оху и Oxz, аналогичных контуру из п б) и пробегаемых по часовой стрелке, если смотреть соответственно из точек (0, 0,1) и (0,1, 0)
Применяя формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля a = 2/i + zj+zk вдоль окружности, получающейся при пересечении сферы х2 + у1 + z2 — 1 плоскостью а) х + у + z = 0, б) х + у + z = 1, в) х — у + z = 0, г) х — у + z = —1 Контур пробегается против часовой стрелки, если смотреть из точки (0,2,0)
Применяя формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля а — (у — х) i + (z — у) j + (т — z)к вдоль окружности, получающейся при пересечении сферы х2 + у2 + z2 = 1 и плоскости х + у + z = а Окружность пробегается против часовой стрелки, если смотреть из точки (0, 0, 2) При каком значении а циркуляция векторного поля при нимает наименьшее значение7
Применяя формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля а = г cos у i + siny j + (z — l)2 k вдоль отрезка винтовой линии r(i) = = cos t i + sm t j + - k
7Г
а)	от точки A(0,0,0) до точки B(0,0,2) (0 Sj t 2тг)
б)	от точки В(0, 0,2) до точки 0(0, 0,4) (2тг -< t 4тг)
Вершины В, В, А' куба ABCDA' В'С D' находятся соответственно в точках (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) Применяя формулу Стокса, вычислите циркуляцию векторного поля а = zi + rj-1-i/k вдоль замкнутого контура а) С'СВВ' A'D'C, б) DD'A'ABCD, в) CD'DAB В'С Используя полученные результаты, вычислите циркуляцию векторного поля а вдоль ломаной г) С'СВВ' A'D', д) DD' А' АВС, е) СD'DABB' Докажите, что векторное поле а = /(г) г, где г — х i + i/j + z k, г = |г|, является потенциальным, и найдите потенциал этого поля
Даны векторные поля ai = (у + z) i + (z + х) j + (х + у) к, а2 = /1 (г) i + +/г(у) j + fi(z') к, аз — х i + у j + z к, a.t = z i + х j + у к Выясните, какие из них являются потенциальными Вычислите циркуляцию каждого из данных полей вдоль окружности х2 4- z1 = 1, пробегаемой против часовой стрелки, если смотреть из точки (0,1,0)
Найдите потенциалы потенциальных полей предыдущей задачи
Докажите, что поток векторного поля а через поверхность Ф, заданную .	. .	,	_т Г 9г Эг1
уравнением г = r(«, v), (u,v) 6 д, в сторону нормали N = — —
I du dvJ
§3 Характеристики векторных полей
429
может быть вычислен по формуле
//(an)dS=//(ag
Ф	9
N	-	Ж
где п = -—- — единичный вектор нормали к поверхности Ф
59.
60.
Вычислите по этой формуле поток векторного поля а = cosy> i + + sin р j через коническу ю поверхность Ф, заданную векторным уравнением г (г, р) = г cos р i + rsin<^ j+rcoso k (0 р 2тг, 0 •< г
1), где г,р - полярные координаты, а угол между образующей конуса и осью Oz
т,	„	Г dr dr "I	Г dr dr 1
Какая из нормалей Ni = — — и N2 = — — образует острый 19г др]	[др дг]
угол с осью Oz2
В области G = {(;?,£/) О < х2 + у2 1} задано векторное поле а =
= —------ i -I———- j Докажите, что rota = О в G Объясните, поче-
х2 4- у2 х2 4- у2
му из условия rota = О не следует потенциальность поля а в области G Задав произвольную замкнутую кривую L в области G в виде х = р(р) cos р, у = р{р) sin р, 0 р 2тг, докажите, что циркуляция поля а вдоль кривой L равна нулю Найдите потенциал поля а
Вычислите ротор векторного поля а и циркуляцию этого поля вдоль окружности L, если
ч	х . у .	, г ?	?
а)	а = —------- 1 + —------ j + z k, L х2 + у2 - 1, z — zo,
X2 + у2 х2 + у2
б)	а = a; i + -5—-.-, j + ~т 2 ? к, L у2 + z2 = 1, х = х0,
у2 + Z2 У2 + z2
в)	а =  Х i---------У....; j + z к, L х2 + у2 = 1, z = z0,
х2 + У х2 + у2
г)	а = X I -I------- J---------- к, L у + z = 1, х = х0
у2 + Z2 у2 + Z2
Являются ли поля а) и в) потенциальными в шаре х2 + у2 + z2 -< 1 с выброшенным диаметром, лежащим па оси Oz, а поля б) и г) потенциальными в шаре х2 + у2 + z2 1 с выброшенным диаметром, лежащим на оси Ох7
61.	Дано векторное поле на плоскости а = ——i 4——-j, х2 + у2 О х2 + у2 х2 + у2
Вычислите rota и циркуляцию поля а вдоль окружности х2 + у2 = Л2 Является ли поле а потенциальным в области 0 < х1 + у2 1, в области (r-2)24-y2 I7
62.	Дано скалярное поле на плоскости и = arccos — - Вычислите у/х2 + у2
gradu и циркуляцию векторного поля а = gradu вдоль окружности х2 4- у2 — R2 Является ли векторное поле а потенциальным в области О х2 + у2 12
63.	Дано векторное поле на плоскости а = —--- i 4——-j, х2 4- у2 О
+ у2 х2 у2
Вычислите div а и поток поля а через окружность х2 4- у2 = 1 в сторону внешней нормали Объясните, почему в данном случае из соленоидаль-ности поля а не следует, что поток поля а через любую замкнутую кривую равен нулю
430	Гл XV Скалярные и векторные поля
64.	Дано векторное поле на плоскости а = - ,	7 i Ч——г j, х2 + у2 /
х2 + у2 х2 -- у2
-/ 0 Докажите, что diva = 0 и поток поля а через любую замкнутую кривую, не проходящую через начало координат, равен нулю (кривая может обходить начало координат)
65.	Пусть в односвязной плоской области G векторное поле а(г, у) удовлетворяет условиям rota = О и diva = 0 Докажите, что поле а потенциально и его потенциал является гармонической функцией в области G Объясните, почему это утверждение неприменимо к полю — у • X	,,	9	2	.
а= —------ 14— ---j в области 0 < х + у 1, хотя условия rot а =
х2 + у2 X2 + у2
= О и diva = 0 в этой области выполнены (см упр 61 и 64)
66.	Применяя формулу Остроградского-Гаусса к векторному полю и(ЛГ) i, где и(М') — скалярное поле в области G с границей Ф, докажите, что
ffuC0SadS = Ф	G
где а — угол между внешней нормалью п к поверхности Ф и осью Ох 67. Применяя формулу Остроградского-Гаусса к векторным полям гх(ЛГ) i, м(М) j, и(М) к, где а(Л/) — скалярное поле в области G, ограниченной поверхностью Ф, докажите, что
= ffnudS = ^JXudV,	(25)
Ф	Ф	G
где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф (Эта формула аналогична формуле Остроградского Гаусса, но вместо векторного поля здесь фигурирует скалярное поле и(Л7) )
68.	Используя формулу (25), докажите, что
f [ ип dS
giadulM} — hm —----------- (26)
5 k 7 v(G)^o	v ’
где y(G) — объем области G, ограниченной поверхностью Ф (Эта формула дает инвариантное определение градиента скалярного поля, аналогичное инвариантным определениям дивергенции и ротора )
69.	Пусть векторное поле а = {Р(ЛГ), Q(M), Р(М)} задано в области G, ограниченной поверхностью Ф, a n = {cos a, cos /3, cos 7} — единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф
Примените в области G формулу Остроградского-Гаусса к векторным полям Л(ЛГ) j — Q(M) к, Р(ЛГ) k — i и Q(M) i — P(M) j Умножая полученные равенства соответственно на i, j, к и складывая, докажите, что
JJ[na]dS — rotadV ф	G
или
J[па] dS = УУУ [Va] dV	(27)
Ф	G
Эта формула аналогична формуле Остроградского-Гаусса
J[ (па) dS = JJJ div a dV ф	а
§3 Характеристики векторных полей
431
или fJJ(na)dS= fff(V*)dV	(28)
Ф	G
70.	Используя формулу (27), докажите, что
/ [ [па] dS rota(Af) = hm	,	(29)
v(G)-»o V(G)	'
MEG
где V(G) — объем области G, ограниченной поверхностью Ф (Формула (29) дает инвариантное определение ротора векторного поля, причем, в отличие от формулы (10), опа выражает сам вектор rota, а не его проекцию на некоторое выбранное направление )
71.	В примере 4 из § 5 гл XIV для скалярного поля и была получена формула
<30’
Ф	G
которую с помощью оператора Гамильтона можно записать в виде JJ(nV)udS = JJJWidV	(31)
Ф	G
Используя формулу (30), докажите, что
Д и(М) =
Inn
V(G)->0 M^G
HwiS
J Уф on
V(G)
(32)
где V(G) - объем области G, ограниченной поверхностью Ф (Формула (32) дает инвариантное определение оператора Лапласа ) Формулы (25), (27), (28), (31) можно рассматривать как частные случаи следующего операторного обобщения формулы Остроградского-Гаусса
JJb(n)dS = JJjL(y)dV,	(33)
Ф	G
где L(b) — некоторое линейное однородное выражение относительно вектора Ъ (Ъ — произвольный вектор, в частности вектор п или вектор V ) Такими выражениями относительно вектора п в левых частях формул (25), (27), (28), (31) являются nu, [па], (па), (nV) В правых частях указанных формул тройные интегралы берутся от тех же выражений, в которых вектор п заменен вектором V Поэтому формулы (5), (26), (29), (32) оказываются частными случаями операторной формулы
L(V)jw = hm
V(G)-K) meg
L(n)dS
V(G)
где V(G) — объем области G, ограниченной поверхностью Ф и стягивающейся к точке М
72.	Применяя формулу (33), докажите, что
yy(vn)a<7S = /// (vV)adV,	(34)
Ф	G
(35)
Ф	Ф	с,
432
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
где а — векторное поле, заданное в области G с границей Ф; п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф>; v - постоянный вектор.
Проверьте справедливость этих формул, проделав все указанные операции в координатах. Используя форм>'лы (34) и (35), докажите, что
/V (vn)adS	Hd-dS
(vV)a(M) = lim 77ф ---------, Да(М) = lim
'	v(G)-»o	V(G)	v(C)-»o V(G)
мео	мес
(эти формулы дают инвариантные определения операций (vV)a и Да).
73.	Пусть а — постоянный вектор, г — х i + у j + z к. Используя формулу (34), докажите, что JJ(an)rdS = аУ, где V — объем области, ф
ограниченной поверхностью Ф.
74.	Пусть а —постоянный вектор, г = х i + у j + z к. Используя формулу
(34) и тождество (25) из § 1, докажите, что Jf(ar)ndS’ = аУ, где У —
G
объем области, ограниченной поверхностью Ф.
§ 4.	Основные дифференциальные операции векторного анализа
в криволинейных ортогональных координатах
Основные понятия и формулы
1.	Криволинейные ортогональные координаты. Пусть .т, у, z — прямоугольные координаты точки М. Положение точки М, как было отмечено в гл. XII, можно задать также с помощью криволинейных координат. Будем обозначать их qi, q2, q.>,, а формулы, связывающие криволинейные координаты с прямоугольными, запишем в виде х =	У = У(?1,92,дз), z = z(qi,q2.q3).	(1)
При изменении qi и фиксированных значениях q2 и дз точка с координатами x,y,z, определяемыми формулами (1), описывает в пространстве некоторую кривую, называемую координатной линией qY. Аналогично определяются координатные линии q2 и q2. Криволинейные координаты называются ортогональными, если в любой точке три координатные линии, проходящие через эту точку, попарно ортогональны (т. е. попарно ортогональны касательные к координатным линиям в этой точке).
Элемент dli длины дуги координатной линии qi выражается формулой
dli = Hidqi, где
Аналогично,
§4- Криволинейные координаты
433
dl2 = H2dq2, dl3 = H3dq3, где
H - !( дх>\	( дУ^ ( dz}2
2	У \dq2)	V dq2 /	\ dq2 / ’
н = 1( дх\21 ( ду}2 I ( dz V
3	\ \dq3 J	\dqtJ	\dq3J '
Величины Hi, H2, H3 называются параметрами Ламэ или масштабными коэффициентами криволинейных координат qi, q2. q3. Они характеризуют в каждой точке пространства изменение dli длины координатной линии в зависимости от изменения dqt соответствующей криволинейной координаты дг.
2.	Цилиндрические и сферические координаты. Примерами криволинейных ортогональных координат являются известные нам цилиндрические и сферические координаты.
Цилиндрические координаты щ = р, q2 = tp, q3 = z вводятся с помощью соотношений
х = pcostp, у = psin tp, z = z,
p 0,	0 tp < 2тг, —oo < z < +oo.	)
Параметры Ламэ для цилиндрических координат имеют вид
Я1 = 1, Н2 = р, Н3 = 1.
Сферические координаты гд = г, q2 = 9, q3 = tp вводятся с помощью соотношений
х = г sin 9 cos tp, у — г sin 0 sin у?, z=rcos9, г 0,	0 тг, 0 tp < 2тг.	(
Параметры Ламэ для сферических координат имеют вид
Hi = 1, Н2 = г, Н3 = rsinf?.
3.	Операции grad, div, rot, Д в криволинейных ортогональных координатах. Пусть qi,q2,q3 — криволинейные ортогональные координаты точки М. Введем в точке М ортогональный базис, состоящий из трех единичных векторов ei, е2, е3, касательных к координатным линиям в точке М и направленных в сторону возрастания ?i, ?2, 9з- Отметим, что при переходе от точки к точке направления векторов ei, е2, ез изменяются (в отличие от векторов i, j, к), т. е. базис {ei, е2, ез} зависит от точки М (или, что то же самое, от qi, 92, 9з)-
Пусть и(М) и а(М) — дифференцируемые скалярное и векторное поля. Вектор а(М) разложим по базису {е1,е2,е3} в точке М: а = = aiei + а2е2 + а3е3.
Основные дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах имеют следующий вид:
434
Гл. XV. Скалярные и векторные поля
1 ди	1 ди 1 ди
grad и = — -х—	ез>
Hi dqi	Hi dqi	Н3 dq3
(4)
diva = —A—( ^_(а1Я2Я3) + ^-(a2H3Hi) +
HiHiH3idqi	dqi	dq3	J
	Яг в1	Я2 е2	Я3 е3
1	d	д	d
			
TOta Н1Н2Н3	dqi	dq2	dq3
	Й1Я1	а2Я2	C13H3
= -еАИЛ^з)- /-(а2Н2)}е1 + -1-{/-(а1Я1)-H2H3 I dqi	dq3 ) H3H1 L dq3
-^-(а3Я3)|е2 +	/-(агЯ2) - -^ЦсияМез,
dqi J HiH2(dqi	dqi J
Ди = div grad и =	(5)
_	1 f д / Я2Я3 du \	d f H3H1 du \	d f Я1Я2 du \ 1
Я1Я2Я31Эд1\ Я1 dqi /	dqi \ Hi dqi J dq3\ H3 dq3) )
Контрольные вопросы и задания
1.	Что такое криволинейные координаты; координатные линии? Какие криволинейные координаты называются ортогональными?
2.	Что такое параметры Ламэ? Каков их геометрический смысл?
3.	Приведите примеры криволинейных ортогональных координат. Напишите формулы, связывающие прямоугольные координаты: а) с цилиндрическими координатами; б) со сферическими координатами. Изобразите на рисунке координатные линии для цилиндрических и сферических координат.
4.	Вычислите параметры Ламэ для цилиндрических и сферических координат двумя способами: а) по формулам для параметров Ламэ; б) используя вид координатных линий и геометрический смысл параметров Ламэ.
5.	Как вводится базис {е1,е2,ез}, связанный с криволинейными ортогональными координатами? В чем его отличие от базиса {i,j,k}? Изобразите на рисунке базис {е1,е2,ез} в произвольной точке для: а) цилиндрических координат; б) сферических координат.
6.	Запишите в криволинейных ортогональных координатах: a) grad и; б) diva; в) rota.
7.	Используя формулу А = div grad, выведите выражение для оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах.
Примеры решения задач
1.	Записать выражение градиента скалярного поля и в цилиндрических координатах.
А Полагая в формуле (4) qi = р, q2 — 9?, q3 = z, ei = ер, е2 = е^, е3 = ег и используя выражения параметров Ламэ в цилиндрических
§4- Криволинейные координаты
435
координатах, получаем
, ди 1 ди ди grad и = — ер + - c.f. + — ez. А др И рдр v dz
2.	Записать выражение Ди (Д — оператор Лапласа) в сферических координатах.
Д Полагая в формуле (5) qi = г, q2 = 9, qs = У и используя выражения параметров Ламэ в сферических координатах, получаем
.	1 д ( 2 ди\ ,	1 д ( . „ ди\ 1 д2и . .
Au = — — Ir — + -у- . -- — I sm# — + ,.2д-^~?-А	(6)
г2 dr \ dr J г2 sin# до \ до J r2sin2# др2
3.	Найти сферически симметричное решение уравнения Пуассона
Ди = -, т. е. решение, зависящее только от г. г
А Так как искомая функция и по условию не зависит от 9 и р, то производные по этим переменным в выражении (6) равны нулю, и уравнение для функции и примет вид
Отсюда
используем обозначения обыкновенных производных, так как функция и зависит лишь от одной переменной: и — и(г). Умножая на dr, получаем
откуда, интегрируя, находим
Деля на г2 и интегрируя еще раз, имеем
_ г	С, „
и — q	~ + ^2-
2 г
Здесь Ci и С*2 — произвольные постоянные. А
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
75.	Пусть ер,е^,ег — единичные базисные векторы системы цилиндрических координат р,р, z, связанных с прямоугольными координатами х, у, z формулами (2). Даны точки Л(1, 0, 0), В(0,1, 0), 0(0, 0,1) (координаты точек прямоугольные).
а)	Изобразите на рисунке базис {ер,ep,ez} в точках А, В, С.
б)	Найдите углы между векторами: 1°) ер(Л) и ер(В); 2°) ер(Л) и ер(В); 3°) ер(Л) и еДВ); 4°) еДЛ) и еДВ).
в)	Разложите векторы: 1°) i, j, к по базису {ер,ер,е2} в точках А и В; 2°) ер,ер,е2 точках Л и В по базису {i,j,k}.
4 16
Гл XV Скалярные и векторные поля
76.	Пусть er,eff,ev — единичные базисные векторы системы сферических координат г, в, ip, связанных с прямоугольными координатами x,y,z формулами (3) Даны точки А(1, 0, 0), В(0,1, 0), (7(0, 0,1) (координаты точек прямоугольные)
а)	Изобразите на рисунке базис {ег.ей,е„,} в точках А,В,С
б)	Найдите углы между векторами 1°) ег(А) и ее(В), 2°) е<ДА) и ег(В), 3°) ег(А) и е^В), 4°) ев(А) и ев(В)
в)	Разложите векторы 1°) i,j,к и по базису {ег,ее,е^} в точках А и В, 2°) erjSgje^ в точках А и В по базису {i,j,k}
77.	Запишите выражение градиента скалярного поля и на плоскости Оху в полярных координатах
78.	Выразите дивергенцию и ротор плоского векторного поля а(ж,р) в полярных координатах
79.	Запишите выражение градиента скалярного поля и в сферических координатах
80.	Запишите выражение дивергенции векторного поля а
а) в цилиндрических координатах, б) в сферических координатах
81.	Выразите ротор векторного поля а
а) в цилиндрических координатах, б) в сферических координатах
82.	Запишите выражение Да (Д — оператор Лапласа) в цилиндрических координатах
83.	Найдите решения уравнения Лапласа Да = 0, зависящие а) только от р, б) только от ip, в) только от z, где p,ip,z — цилиндрические координаты
84.	Найдите решения уравнения Лапласа Да = 0, зависящие а) только от г, б) только от в, в) только от р, где г, в. р — сферические координаты
85.	С помощью выражения оператора Лапласа в сферических координатах вычислите Д(гт)
86.	Пусть {ei, ег, ез) — ортогональный базис системы криволинейных координат gi, 92, 9з Найдите divei, divei, dives Запишите полученные выражения
а) в цилиндрических координатах, считая ei = ер, ег = е^, ез = ег, б) в сферических координатах, считая е, = ег, ег = ев, ез = е^
87.	Пусть {е1,ег,ез} — ортогональный базис системы криволинейных координат qi, 9г, 9з Докажите, что
р /	1 ЭН, \	/ 1 ЭН1 \	1 г , „	,
rotei = (тт ~г~)е2 _ дгтг т)ез = 7rferadH1 eiJ \ Из Hi dq> /	\H1H2 о?2 / Н1
Выведите аналогичные формулы для rot ег и rot е3 Запишите полученные выражения
а) в цилиндрических координатах, считая ei = ер, ег = ev, е3 = ez, б) в сферических координатах, считая ei = ег, ег = ед, ез = ер
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава I
1. * Воспользуйтесь методом доказательства от противного 5. * Воспользуйтесь результатами примеров 1 и 2 15. Пусть х — любое положительное число и пусть ху и уу — любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
О < ху х, 0 < уу 1
(*)
Тогда по определению произведения положительных чисел имеем х 1 = = sup М, где М = {(л?1?л)г} Как следует из (*), V./.т, уу 0 < (хууу)г ху х, тех — верхняя грань множества М Пусть х < х Как показано в примере 1 из ij 1, существует рациональное число х* такое, что х < х* < х Возьмем хх = х”, уу = 1 Тогда (хууу)r = х* 1 = х* и, следовательно, (хууу)т > х Итак, для числа х выполнены оба условия определения точной верхней грани множества, т е sup М = х Таким образом, У.е > 0 х 1 = sup М — х, откуда х 1 = х Если х = 0, то согласно правилу умножения рациональных
чисел 0 1 = 0 Если х < 0, то согласно определению произведения вещественных чисел х 1 = — |ж| 1 Но, как только что было показано, |r| 1 = |ж|, т е х 1 = —|л| = х 33. ★ При xia?2 хп = 0 утверждение очевидно При
xixj хп £ 0 положите щ. = —т=	(к = 1,2,
tyxyx2 х^
результатом примера 2 из § 4
, п) и воспользуйтесь
Глава II
1. а) Да, б) нет, в) нет, г) да, д) нет 4. Нет 5. Достаточно доказать, что последовательность {./:„} неограниченная 14. ★ Если hm хп = +оо, то п—>оо
ЗА > 0 и номер N такие, что хп > А Уп > А Среди ху, Х2, ,xn существует наименьшее число 15. а) ху = х$ = —120, б) хю = 20 20. а) а, б) а2, в) О, г) а 21. а) уп = |^2 + (—1)”1] расходится, б) уп = sgn(( —l)ni^ расходится 23. а) Сходится, если а>0, /3>0, а^/3 или а 0, /3 любое, б) сходится, если 7 4 3/2 24. а) 0, б) 0, в) 1/3 26. а) 1/2, б) 1/3, в) 1 * Представьте дробь .j,1 п в виде ~ — --1 (к — 1,2, , п), г) 1/4 * Представь-4- Щ	к k _|_ 1
те Sn =	7 +	-I—т в виде Sn = А 4-----------|-----Уп,
12 3	п(п + 1)(п + 2)	п + 1 п + 2
д) ★	, -1 .-= - О' = 1, п 1 30. а) 2, б) 0 31. Так как Уе >
' п1 (п — 1)’ п1	’	7 ’ '
>0 hm k = 0, то Уе > 0 ЗА такое, что Уп > N выполняется неравенство (1/е)п/п' < 1 или 1/у/п><€ 33. (1 4-х/1 + 4а)/2 34. а) (а + 26)/3, б) у/а,
438
Ответы и указания
в) — у/а, г) 2, д) (1 — VI — 4ti)/2, е) 1/2, ж) (\/5 — 1)/2, з) 3 37. ★ г) Докажите, что 1°) множество U предельных точек последовательности ограничено, 2°) если inf U = с, sup U = b, то c,b &U, 3°) с = lim хп, b = hm хп п—ьсх>	п—ю°
39. а) Предельные точки 2, —2, hm хп — 2, hm хп = —2, б) предельные
точки 0, 1, 2, hm хп = 2, hm хп = 0, в) предельные точки —4, 0, 2, ______	п-Юо	____
6, hm хп = 6, hm хп = —4, г) предельные точки —1/2, 1, hm хп = 1, П—>ОО	П-+ОО
hm хп — —1/2, д) предельная точка 1, hm хп = +оо, hm хп = —оо,
П—ЮО	,Wco	п-ч-со
е) предельные точки 0, 1, hm хп = 1, hm хп = 0, ж) предельные точ-п-юо	n—too
ки —е----U, —е + -^=, е — 1, е, е + 1, hm хп = е + 1, hm хп = — е---у=,
v2	у2	п—>СО	п—>оо
з) предельные точки 0, 1/2, 1, hm хп = 1, hm хп — 0, и) предельные точ-
ки 1, 2, hm Хп = 2, hm хп = 1, к) предельные точки 0, 1, hm х„ — 1,
hm хп = 0, л) нет предельных точек, hm хп = +оо, hm хп = — оо 40. Рас-п—юо	тг—юо
ходится ★ оценкой р
Хп{
Докажите, что hm x2k / hm i2t+i 41. а) Воспользуйтесь к—юо	fc—юо
к{к- 1) ~ 1 - к к При к 2’ г)
п+р
п+р
= | 52 ак1к\ м 52 м* 42- *
воспользуйтесь оценкой
В определении 1 фупда-
fc=n4-l	fc=n+l
ментальной последовательности положите р = 1 43. а- б) Покажите, что для е = 1/2 и Vn |®п - Z2n| 1/2
Глава III
2. * Докажите, что /(г) не удовлетворяет определению предела функции по Гейне 3. Нет 4. * Для доказательства того, что не существует hm /(х) при |я| /- 1, воспользуйтесь отрицанием определения предела функции по Гейне 8. а) 1, б) 4/5, в) —1/2, г) 1, д) т 9. а) 4/3, б) —2, в) 1/4 10. а) 1, б) 510/325, в) 1, г) 1/^2 12. а) Нет, б) 1/2, в) 1 15. а) х = 0 — точка устранимого разрыва, б) х — 0 — точка разрыва II рода, в) х = к (к fz Z) — точки разрыва I рода, г) в точках х — 1 и х = — 1 функция непрерывна, остальные точки — точки разрыва II рода, д) х = — 1 — точка разрыва II рода, е) х = 0 — точка разрыва I рода, ж) х = 1 — точка разрыва I рода, х = 0 — точка разрыва II рода, з) х = -1 иг = 3 — точки разрыва II рода, и) х = 1 — точка устранимого разрыва, к) х — — 1 — точка разрыва I рода, л) х = — 1 — точка разрыва I рода 17. а) ах = 1 + rln а + о(г), б) е1 = 1 + х + о(г), в) (1 + х)а = 1 + ах + о(г), г) shx = х + о(х), д) th а; = = х + o(r), е) ch х — 1 + (1/2)г2 + о(г2) 19. а) Нет, б) да, в) да 20. а) Равенство о(х + х2) — о(х2) при х —> 0 неверно Действительно, например, функция а(х) = ху/х является бесконечно малой более высокого порядка, чем х + х2 при х —> 0 (так как hm / л = ok но hm х ''fi = сю т е х у/х / о(х2} '	i-юх + х '	л—>о х2	v '
Глава IV
439
при х —> 0, б) нет, в) да, г) нет, д) да 23. а) 25г + о(а;), 25ж + о(т), б) 1 — 8а;4 + о(а;4), 1 — (1/2)а;2 + о(а;2), в) l + 2r + o(r), 1 + у/х + о(у/х), г) -а;2 + о(г2), х + о(®), д) (1/27)а; + о(а;), (-1/27)лД + о(У^), е) 1 + + х3 In 2 + о(а;3), 1 + х2 In 2 + о(а;2), ж) — 2х2 + о(х2), — 2х2 + о(х2), з) 1— - (1/2)а; + о(х), 1 + (1/2)а; + о(г), и) yfx + о(У^), к) 1 + (х + (1/2)|г|) In 5 + + о(г), л) 1 — (1/6)а? + о(г), м) — (1/2)а;2 + о(а;2) 24. а) (г — 2)2 4- о((аг — - 2)2), б) 1 + /3(2 - х) + о(2 - х), в) х - 2 + о(х - 2), г) 1 - (1/2)тг2(а; - 2)2+ + о((а;-2)2), д) тг(х2 - 4) + о(х — 2), е) (2/35)(а; - 2) + о(а; - 2), ж) 4(1 + + 1па;)(а; — 2) + о(х — 2) 25. а) 1/2 + о(1), б) 1/(За;) + о(1/х), в) 5/2 + о( 1), г) 1/у^Ё2+o(l/$Gi2), l/v'r2 + я(1/^), д) 1 - 1/(2а;2) + о(1/а;2), е) 1 + + (In5)/х + о(1/г), ж) —4/а;2 + о(1/х2), 4/а;2 + о(1/а;2), з) 1/у/х + о(1/^) 26. а) 1/3 + о(1), б) (1/n) In 14 + о(1/п), в) 1/у/п + о(1/у/п)	27. а) 4,
б) 1/х/З, в) 2/тг, г) а/т — Р/п, д) 1, е) —1/12, ж) 1/я, з) 1/2, л/2/3, 1, и) 0, к) 0, если а < Ъ, +оо, если а > Ь, е~1/ь, если а — Ъ, л) 1, м) 1, н) у/Ъ 28. а) а/т + /З/n, б) -19/3, в) 1/324, г) -4/9, д) 3, е) 1пя, ж) е*2, з) 0, и) О, к) 0, л) е ’1'2''2, м) е-1 29. а) —2, б) я“ 1п(ея), в) 2а/Ъ, г) ах In2 я, д) —2, е) е2, ж) —тг2/4, з) е1-°, и) 0, к) In 2 30. а) 2, б) 4/3, в) 7/4, г) — In 2, д) я“ 1п(я/е), е) In я, ж) 2, з) 45/91, и) e~ilr а , к) е2“, л) е, м) 1/2, н) 1/2
Глава IV
1. а) Ду = arcsmf| + Да;^ -	-| Да; в) Ду = ln( 1 + ЙМ,
\ х	/Ох	х	\х/
—2 < Да; < +оо 2. а) 1 б) 2а?о, в) у'(4) = hm ~/4..+ .Д+.- '/i = 1 г) О, Дт—>0	4
д) 1/2 3. а) /'(я), б) 2/'(а), в) -2/'(я), г) ±к(к + 1)/'(«) 4. а) щ > v2 при О Sj t < 1/2, щ = V2 при t = 1/2, щ < v2 при t > 1/2, на [0,1] vicp — «гср = 1, на [1, 2] vicp = 1 < 3 = пгер, б) vi = V2 = 0 при t = 0, гц > при 0 < t < 2/3, vi = v2 = Ь/Ъ при t = 2/3, i>i < v2 при t > 2/3, на [0,1] щср = v2cP = 1, на [1, 2] viep = 3 < 7 = «гер, в) vi > v2 при 1 Sj t < 4, гц = v2 = 1/4 при t = 4, tn < v2 при t > 4, на [1, 4] viep = (1/3) ln4 > 1/3 = V2cP, на [1, 25] vicp = (1/24) ln25 < < 1/6 = v2cp 5. a) у = x, б) у = 2a; - 1, в) x = 0, г) у = ^x +	|
(^-ЛУз-?),о) (i*),.) (^5)-^))
= 5^ + 5, У =	+ 1 8. a) /'(+0) = !, /'(-0) = -1, б) /Ч1 + 0) = /'(1 -
-0) = /'(1) = 1, в) /'(+0) = /'(-0) = /'(0) = 0, r) /'(+0) = 1, /'(-0) = -1, д) /'(+0) = /'(-0) = /'(0) = 0, e) /'(тг/2 + 0) = /'(тг/2 - 0) = /'(тг/2) = 0, ж) /'(1 + 0) = e, /'(1 - 0) = — e 9. a) 2a;, б) (a; > 0), в) - Д, (a; / 0),
Г) 3~^x + 2x^x > °)’ Д) x In 2^3	> °)’ y W Ьг'пЗ’®^2	2х)1п2,
ж) cos a; + sinr, y'(0) = 1, у'(тг/4) = \f2- 3) l/(sin2 cos a;) (г тгтг/2, n £ Z), и) 0 (arcsinx + arccosx = тг/2 = const), к) 0 (arctgx + arcctga; = тг/2 =
= const) 10. ★ Представьте [«(a;)]^®) в виде e формулой для производной сложной функции
D(i)lnu(z) и восполь3уйтесь 11	а<^ ~ вс х
J (сх + dp ’ Vx2 - op
440
Ответы и указания
(г < —а, х > я); —Лх2 +3 б) ——  1=...	- [1 ч---7-1	(1 + —
Зл/(х2 + 1)2	L 2лЛ +WJ
(ж > 0) — sinrsin(2cosx) — cosxsin(2sinr); в) cos[sin(sina;)] cos(sinr) cosx; 4tgr(l + tg2*) (x / n e z\- 2COS x+tg * In 2 f — sin x + —7—i (*/ £ + (1- tg2a?)2 v '	4 ’	/’	\	cos2 x) '	2
+ тгтг; n e Z); r) ex(sinr + cosx); 2ex (x cos2x — sin2x); ex jec + xe ^lnr + + ±)] (x > 0); д) ^(ln^ + 1) x > 0;	7 > e); (x <
< —a, x > a); e) 1 (x 7 0); —====; ctgx (2тт < x < тг + 2тт, n £ Z): X	VPitr
ж) icos(lnr) (x > 0); x2 (-a < x < я);	з)	(x / 1);
arctg - arctg* = { ДД "Д ДД и) ; r 7 < -1, х > 1); sgn cos х (г / 2- + тгтг, п £ Z); 1 (г + тгтг, тг £ Z); к) 1 (—1 < х < 1); 1; л) (х Д Д, Ь2Х > -«); W - х2 (-а < х < я); м) - arccos^ (Q <	<
IV xarcsinx	iv	 М 1
7(х2 - 1)? ' > i}’ ° 7(1~2)3 ' 1 < Х < 1)1 уТ+с2-’ °’ 2(1+х2)’ (sin г)0031-1 (cos2 х — sin2 х In sin х) (2тт < х < тг + 2тгп, п £ Z); ~qS2~^ (г / /	+ тгп, п £ Z); —	2(cog ’ п) cthx (х > 0); tg х/ In 10; 1/ ch 2x; -1/clir
(x > 0). 12. a) wL+WL	/ 0); 6)	b) 2xf(x2)-
y/tp2 + “Ф2	рфт p
£ 0); r) /WW))- 13. а) Л°ДД; б) /(o)//'(o). 14. а) e/,(a)//(a); 6) e2^/'W//(“). 15. a) an f (a) - nan~7(a); 6) g(a)f’(a) --f(a)g'(a); в) [(lna)/'(a) - (l/a)/(a)]/p'(a). 18. а) Нет, (uv)'|x=0 = 0; б) да, W'|I=1 = |;B) да> (“v)'L=i = cosl;г) иет> L=o=°; д) нет> (“V)'L=O = = 0; e) нет, (uv)'|= 0; ж) нет, (uv),|i_n = 0. 19. I. а) Да; б) нет. IL а) Нет; б) нет. 20. а) В точках x таких, что f(x) = 0 и f'(x)	0;
б) в точках х таких, что f(x) = д(х) и f'(x) 7^ д'(х); в) в точках х таких, что /(г) = max/(t) и /'(х) ^0. 21. Нет. 22. ★ Для Рп(х) рассмотрите [а,х)
(х + х2 + ... + хп)‘. 23. а) —оо < t < 00, f'(x) = 2i/l|t_ = 2r, f(x) = x2 (-00 < x < 00); 6) 0 t тг/2, f'(x) = (sin2 t)7(cos2 t)'|f=arccoa yj- = -1 /2
(0 < x < 1), f(x) = 1 - x (0 x 1); в) 0 t тг, f'(x) — .bcost	=
j \	/^.^.>/4 / -asm! <=arccos(i/o)
~2
b x
а у/a2 — x2
_ __b_ cos t	_ _
~ a \/T- cos2 t I cos t=x/a
(—a x а)-, касательная: x = а, нормаль: у = 0; г) 0 t < 00, /'(z) =
_ bch 11	_ b x_ (х>а), f(x) = - \/x2 — a2 (x я); касательная:
ash4o<t<oo a Vxi - a2	av
x — а, нормаль: у = 0; e) —00 < t < 00, f'(x) =	= 2x, f(x) = x2
e lt = lnac
Глава IV
441
(О < х < оо), 27. a) |v| = х/18, cosX = cos У = 1/-/18, cosZ = 4/л/18; б) |v| = y/R2 + h2. cos А? = 0, cos У = -R\/R2 + Л7, cosZ = hlVR?~+T^^ в) jv| = /14, cos X = 1/5/14, cos У = 2/\/14, cos Z = 3//14; r) |v| = 2,9, cos X = 2/29, cosy = 25/29, cosZ = 10/2/29. 28. а) Ду = дж + а(Дг)Да:, где а(Дх) = J Дх при / °> б) Ду = а(Дж) Дж где а(Дх) = [, 0 при Дх = 0;
( sin(7r/2 + Дж) - 1) пп1л л,, / п
= у Дж	Р ' ’ в) Ду = Дх + а(Дх)Дх, где а(Дх) =
[ 0 при Дх = 0;
= I arctg Дх Дж при Дя. ф Oj 2э = Да. + 2(Да;)2 + (Да.)3_	= Да;.
[ 0 при Дх = 0.
а) Ду = 0,010201, dy = 0,01; б) Ду = 0,121, dy = 0,1; в) Ду = 4, dy = 1;
г) Ду = 48, dy = 3. 30. Де = 5Д« + 2Д£2, ds = 5Д£; а) Д.ч = 0,52, ds =
= 0,5; б) Дл = 1,08, ds = 1; в)-Де = 7, ds = 5. 31. а) (х > 0); б)
X
(;г/0);в)	Дт	ДД (—а < х < а); е)
у Ц/ ~р“ 1	А	у 1Л	d>	J U'
ж) (1 + 2x)e2ldx; 3) xcosxdx. 32. a) dy|	= dx, dy|^_1 — dx', 6) dy|^ () = dx,
d«L=i = faв> d«L=0 =dx' d«L=J = edx>r) d«Lo= ¥x> dv\?=i = °-д) dy | _Q = 0, dy Ix = - ^dx. 34. Равенства б) и в). 35. a) -0,8747; б) 0,5121 рад, или 29°20'; в*) 1,04; г) 1,0033; д) 0,83 рад, или 47°33'; е) 1,2. 36. а) 2,08; б) 3,9961; в) 2,0045. 37. f'(a)/2. 38. а) (12х - вх^е-*2; б) -a10sinax; в) к4екх; г) 12х/"(х2) + 8х3/'"(х2); д) ех f (ех) + е2х f" (ех)-, е) у>'"(х)х х/'Их)) + з/(х)/(х)Г(‘р(^)) + /3(^)/"'(^)); ж) -1--^ы->17 (х > Z Jj Jj
> 0)! 3)	1); и) 220(х2 sin 2х — 20х cos 2х — 95 sin 2х); к) 514(5х3 —
(Я —
- 126х) sin 5х — 3 • 513(75х2 - 182) cos5х; л)	(х ,4 — 1); м) 1  301 х
Х [(Дрг + Дтргг] (х + ±1)! «) 510(5х + И)е5т; о) (х > 0). м \ (-1)п-1(2п-3)!!(а/2У ,	, , .	,,	- Ьс)^-1 , z ,
39- а) k U UjC2-1)-'2 (flX + b > °); б) (cx + dr+1--------------(СТ +
+ d / 0); в) —2n-1 cos^2x +	; г) 2n-1 cos ^2x +	; д) | sin^x +	—
— sinf3x + e) I cosfx + П7Й + cosfsx + ж) |(a — 0)n x
x cos (a — /3)x +
x cos (a — /3)x +
-|(a + /3)ncos (a + /3)x + n^ ;	3) |(a-/3)nx
+ |(a + /3)"cos (a + /3)x + n^ ; и) a’1-1 Lx sin fax +
+	+ n sin (ax + (n — 1)^ ; к) an 2|^a2x2 cos (ax + n f j + 2nax cos (ax +
+ (n — 1)t0 + n(n — 1) cos (ax + (n — 2)т0]; л) fcn-2efcJ![(ax2 + bx + c)k2 + + (2ax + b)nk + n(n - l)a]; м)	- 1)! ^дд.	1 ^yn]
442
Ответы и указания
> 0^; н) xchx + nshx, если п нечетное, xshx + nchx, если п четное; о) х2 sh х + 2пх chx + n(n — 1) sh х, если п нечетное, х2 ch х + 2пх х х shx + n(n — 1) chx, если п четное; п) воп!. 41. a) f"(x) = 2; f"'(x) = = 0; б) /"(х) = f’"(x) = 0; в) /"(х) = ~^2)3/2; /'"(*) = -(a/ag)5/2 i г) /"(.) =	/'"(-) =	Д) ГЫ = - 4^72);
f"'(x) = 2°s^V(2/2) ’ ГДе = Ы'Ы — обратная функция к функции х = = a(t - sint) (t / 2тгп, п £ Z); е) f"(x) = 2, f"(x) =0. 42. (/-1 (у))' = утууу, (/-’(?/))'' = -S4, (ГЧу))'" =	43. а) |г"(2)| = 2,
J \х)	J \х)
cosX = cosY = 0, cos Z = 1; б) |г"(тг)| = 1, cosX = 1, cosY = cos Z = 0;
в) |г"(1)| = 2710, cosX = 0, cosY = 1/710, cosZ = 3/710; г) |r"(2,5)| = = 7Й1/25, cosX = -4/7Й1, созУ = 25/7641, cos Z = 0. 44. a) 6dx3;
6)	(x -> 1)> B) (x '>0); r) (10cosx :rsinx)dx10. 45. a) chix
x dxn, если n нечетное; shxdxn, если n четное; 6) an sh (ax) dxn, если n нечетное; an ch (ax) dxn, если n четное; в) ( —1)п~х2 • (n — 3)!^_2 (x > 0, n 3). 47. <р(х<з)  rd.
Глава V
1. 2^ + ln|x|. 2. (l/12)(x3 + I)4. 3. 273 arctg (x/y/3) - x. 4. 27x -
- 9x3 + 9x5/5 - x7/7. 5. (—1/57)(Зж + 2)“19. 6. IS*/ In 15. 7. 4(x2 + 7)/(7Tx).
8. In |x| — l/(4x4). 9. x + 2 In| ~ * |. 10. — ctg x — x. 11. 3x/2 — (5/4) In |x + + 3/2|. 12. —	(Г\ + 51a2 Y 13. x — thx. 14. 0,5 ch 2x. 15. 0,5 sh (2x +
+ 3). 16. 1^4 + 2j^ +	I7- arcsin x + ln(x + 71 + %2)- 18. (l/22)(2x-
-3)11.
19.	(—cosx + sinx) sgn (cosx + sinx).
1
76
20. (-2/5)72 - 5t.21.
x
x arctg (xy/3/2) 22. (1/73) In |x73 + 73x2 — 2|. 23. (—1/2) cth (2x + тг/4). 24. tg(x/2). 25. tg (x/2 - тг/4). 26. (1/4)(1 + х3)4/3. 27. -0, 5 cos(2x + 3). 28. (1/4) arctg (x2/2). 29. 2 arctg yfx. * Воспользуйтесь тем, что dx/y/x = = 2d(y/x). 30. 1,5(1 + 2х)1у/3	31. — arcsin(l/|x|). 32. 2sgn ln(-7^1 +
+ yil + xl), x(l + x) > 0. 33. 27bT. 34. (-l/2)e“*2. 35. (1/3) In3 x. 36. ln|2 + lnx|. 37. (l/30)(l+ 27x)’0/9. 38. 0,75(ln x)4/3. 39. (1/6) sin6 x. 40. (3/2)71 — sin 2x. 41. ( — 1/72) In |72cosx + -7cos(2a:)|. 42. In | tg (x/2)|. 43. In | th(x/2)|. 44. 0,5( arctgx)2. 45. | In2 46. -У+65050т2 (1 - 5т2)11.
47. — уд (8 + 4x2 + 3x4)71 - x2.	48.	| sin2 x + sin4 x j 7sin3 x.
49. -x -2e~x/2 + 21n(l + e3:/2). 50. x - 2 ln(l + 71 + e1). 51. ( arctg 7?F)2. 52. 0,5[х7я2 — ж2 + a2 arcsin(x/a)]. 53. —7a2 — x2 + a arcsin(x/a). 54. 0,5 x x [xy/a2 + x2 — a2 ln(x + 7a2 + x2)]. 55. 7<r2 — a2 — 2a ln(7^ ~ a + y/x + a),
Глава V
443
если х > а; — у/х2 — а2 + 2а 1п(л/~ж + а + у/—х — а), если х < —а. 56. In |х + + у/х2 + а2|. 57. In |ж + \/х2 — а2\. 58. ж(1п х — 1). 59. |х3^2 (in2 х — 1In ж + + |к 60. —0,5(ж2 + 1)е-а:2 . 61. 1	- сов2ж + | sin2x. 62. х arcsinх +
+ 71^2 63. arcsinж -1п|1 + ^1~-^|. 64. In tg (х/2) — COS X In tg X. 65. 0,5[(l + x2)(arctgx)2 — 2xarctgx + ln(l + ж2)]. 66.	y/1 + x2 1п(ж +
+ y/1 + ж2) — x. 67. 0,5[exy/e2x + 1 + ln(ex + y/e21 + 1)]. 68. 0,5x[sin(lnx) + + cos(lnx)]. 69. asin~ ^°S^eaI. 70. (l/8)e2l (2 - sin 2ж - cos 2ж). + 71. In |x - 2| + In |x + 5|. 72. x + (1/6) In |x| - (9/2) In |x - 2| + (28/3) In |ж -— 3|. 73.---51-6—+ 41п|^Ц|. 74. arctg x + jin 4t4- 75---------------4 “
1	t2-3t}-2	|ж-2|	6	x2+4	x-2
— arctg (ж —2). 76. | In	+ 4= arctg —-Z1. 77. | ln|1 ~ 4 —
6 v '	6 ж2 - x +1 у/з ь у/з	4	| x + 1 |
- 1 arctgx 78. -L= In	arctg 79. 1 In 4'—4 ] +
2	6	4y/2 x2 - Ху/2 + 1	2y/2 ь 1 - x2 4 x2 - x + 1
+ 2?3 MCtg 8°- 11П £ + ж+t/22 + 1 arctg (x + “ 1	(2x + 1>’
81‘ Z?3 1П 11	+ g arCtgX + । a^ga82~2 -96(Д1)И ~
“ 97(x - I)97 “ 98 (ж - Х){>8 - 99(2- _ i)99  83. In J _ x + 3 arctg ж + I 1 nr rtf' 2х2 — 1 R/1 •E4 I 1 In “1~ 1 RK 1 1-F-] Iх!7 Sfi 1 V + 2?3arCtS“73_- 84’ т + 4 1П (X4 + 2)4  85‘ 7 П (1 + X7)2’ 86- ?3 X X arctgafer 87‘ ^2 ln х4 + х2Й+1' 88; a^gz+l^g*3- 89‘ I x X 1П (1+ §/S)2(l^U + 2V5)3 ~ 2?7 arCtg 4Vy7~ 9°‘ °’5^2 “ X^X2 ~ 1 + + In |ж + л/ж2 - 1|). 91. -хл/^Ц- 92. 2^-.^ Уж2 + ж + 1 - | lnf| + ж +
Zf у j/ i	7X	О \ Z
+ Уж2 + ж + 1 j. 93. - In I 4 - ж + 2x/x2 + X + 11. 94. я + In/x + 1 + Я) _ x x 1п|ж + 2 + ч/2Я I R = ^x2 + 2x + 2. 95. - 19 +	+ 2?„2 t'i + 2x - ж2 -
I X I	6
- - 4 arcsin 1 ~ x 96 f — ж - —xri + —ж5 ---ж7 +	x/m/2 - — x
4 C® ^2 '	\256	128	+ 160	80	+ 10/V1+	256
x 1п(ж + ч/1 + ж2). 97. --L^x2 + 1 + 1 In l + v<r2 + l. 98. a^.+ l^a _ L '	'	2x2	2	|x|	3xJ
_ 1
2 zi
99. arcsin 4 arctg + 2ж “ 4= ‘n ^ + ^2 + 2ж-4-л/З 3 b (l-x)y^	%/б ч/б - -/2 + 2х - ж2
ЮО. х + * 1п| 4±£|±Ж>Ш 101- I arcsin , ж~,3/-2\/1 + х2 4у/2	| \/1 + х2 — Ху/2 I	2 |х —1|\/5
х ln| g£-+l --2^g2 ~ ж ~ 1 I 102. 2(g ~ 1) . 103.	3	+ 11п
I х 4-1	| Зл/х2 + х + 1	2(2z 4-1)	2	|2z4-l|3
где z — х 4- Vx2 4-^ + 1. 104. In| г 11 — 2 arctg г, где z = 1	.
io5-	™ г--«+4(7+1).
444
Ответы и указания
106.—U arcsm *4 * Положите t = х + - 107.—In I	+ *-1
л/2 х2 +1	х	V2 | z - 1	|
* Положите t = х — i 108. (5/16)х — (l/4)sm2x + (3/64)sm4x + (1/48) х х sm3 2х 109. (l/16)z — (1/64) sin 4z + (1/48) sm3 2а, 110. l/(3cos3r) — — 1/cosx 111. (1/4) tg4x — (1/2) tg2x — In | cosx| 112. — 2-/ctg x + (2/3) x x л/tg 3x 113. —In z2 +	1--L arctg , где z = tgz
v 6	2^/2	z2-zv/2 + 1 V2 z2 - Г	b
114. l/4x + 1/8sin2r + 1/(16)sin4x + 1/(24) sin6r 115. —3/(16) cos2т+ + 3/(64) cos 4a: + 1(48) cos 6 a: — 3/(128) cos 8x + 1/(192) cos 12т
ц6.	3tgM+l n7 a)	arctg	tg
6)	ln	118- x - 4 arcts tg ж)
119-	4ln (rSmTC°ca2 - V3(2C<XT*) 12°- -MlH
Глава VI
2.	а) Да, б) нет, в) нет, г) нет, д) да 4. а) Нет, б) да 8. a) mf fix') — О (О +оо)
не достигается, sup /(т) = 1 =/(1), б) mf /(т) = 0 = /(0), sup /(т) = (0,+оо)	[-5,101	[-5 10]
= 100 = /(10), в) inf /(т) = 0, sup /(т) = тг/2 не достигаются, [ —оо,+оо]	[—оо +оо]
г) mf /(т) = -1 = /(тг),	sup /(т) = л/2 = /(тг/4), д) inf /(т)	= 0, sup /(т)	=
[0 г]	[о Я-]	(0 1)	(0 1)
= 1/2 не достигаются	13.	а) 4, б)	2 17. а) <5(г) = г/|/г|,	б) й(е) = е/75,
в)	<5(е) = е, г) <5(е) = е-10г	18. а)	Равномерно непрерывна на (1, 2),	но
не является равномерно непрерывной на (0, 1), б) равномерно непрерывна на (0,01, 1), но не является равномерно непрерывной на (0, 1), в) равномерно непрерывна, г) равномерно непрерывна, д) равномерно непрерывна, е) равномерно непрерывна, ж) равномерно непрерывна, з) не является равномерно непрерывной, и) равномерно непрерывна, к) не является равномерно непрерывной, л) равномерно непрерывна 22. f(x) = arcsm х на (—1,1) 23. Из равномерной непрерывности /(т) на (а,Ь) следует, что в точках а и b выполнено условие Коши существования предела функции Поэтому функцию f(x) можно доопределить в точках а и b так, что она станет непрерывной на [а,Ь], а значит, и ограниченной на [а, Ь] 27. а) Убывает на (—°°,—возрастает на ^-,+сю), 6) возрастает на (—<ю,+оо), в) возрастает на ( — 1,1), убывает на (—сю, —1) и на (1,+сю), г) возрастает на (—оо,+оо), д) возрастает на ^2тгп — 2тгп + убывает на [ 2тгп + 2тгп + 4? ), п £ Z. е) возрастает на ( —fve. к—Цг-г ), п Е Z, у 3	3 /	\ 2п + 1,0 2п — 0,5)'
убывает на (-сю,-2), на (^4^5’ 2п-0,б)’ ” G Z' П °’ И На (2’+о°)’ ж) возрастает на (0, 2/In 2), убывает на ( —оо,0) и на (2/In 2, +сю), з) возрастает на (0,п), убывает на (п,+оо) 28. Возрастает при а 1, убывает при a Sj — 1 31. * Используйте метод примера 3 из § 3 34. с = 1/2 или с = л/2 37. * Используйте метод примера 5 из § 3 39. * Воспользуйтесь теоремой 6 и результатом упр 23 41. Нет 42. Рассмотрим функцию
Глава VII
445
g(x) = f(x) — f(a) —	— а) Она непрерывна на [a,b] и диффе-
b — а
ренцируема в (а,Ь), причем д(а) = д(Ь) = 0 Так как /(х) не является линейной функцией, то д(х) / 0 и, следовательно, д'(х) /Ов (а,Ь) Отсюда следует, что Эс1,сг G (а,Ь) такие, что g'(ci) > 0, а д'(с2) < 0 (объясните, почему), откуда /'(ci) >	~ а f (ег) <	Значит, в одной
и От	Ой
из точек с, имеем |/'(с,)| >	т е l/(b) “ /(a)l < l/'(cOI \b ~ «I
44. * Воспользуйтесь результатом упр 43 45. О 46. О 47. а//3 48. —2 49. 1 50. 1/2 51. -1/3 52. 1 53. О 54. 1 55. 1/6 56. О 57. aa(lna-l) 58. е2/* 59. 1/е 60.1 61. е“1/6 62. е~1/3 63.1/2 64.1/2 65.0 66.-е/2 67. аа 68.1 69. а) 1 -х +	+	+ (-1)"+ о(хп), б) 1 + 2х +
+ х2 - |х3- |я4- ^а;5+ °(а;5)> в) х ~ у- + о(я3), г) 1 - у- + ^х4 + о(х4),
-	+ °^2)> з) 1 - |х + р + ^х3 + с(х3) 70. а) 1 + 2(х - Г) +
+ (х - I)2, б) 1 + (х - 1) - |(х - I)2 +	- I)3 + о((х - I)3), в) 1 - 2L. х
х (х — I)2 + 2^-(х — I)4 + о((х — I)4) 71. а) Меньше 1/3840, б) меньше 2 х х 10“6, в) меньше 1/16 72. а) 2,080, б) 3,08000, в) 0,3090, г) 0,01745241 д) 0,095, е) 1,22140, ж) 0,99452 73. а) -1/12, б) -2, в) 1, г) —1/4, д) 1/2, е) 0, ж) 1/3, з) 19/90 74. а) а = -2 Ь = 3/2, б) а = b = -2, в) а = 1, b = 2 или а = -1, b = —2 75. /'(0) = 0, /'(0) = -1/3
Глава VII
На графиках функций экстремальные точки обозначены “кружками” (о), а точки перегиба — “крестиками” (х или +)
446
Ответы и указания
К упр. 12 . j,	К упр. 13 Ау
К упр. 11 Ау
(0,0) — угловая точка
Й+2п7г^) и (-2+2п7Г-2)-угловые точки
Глава VII
447
448
Ответы и указания
Глава VII
449
— точки возврата
15 В.Ф. Бутузов и др.
450
Ответы и указания
Глава VIII
4. * Используйте то, что х = 0 — предел точек разрыва. 6. а) Да; б) нет; в) нет; г) да, с учетом замечания в п. 4 § 1; д) да; е) нет. 7. Нет; да; нет; да. 9. а) Да; б) нет. 10. а) 2/тг; 0; 0; (2/тг)cos<р0; 6) —1; —1/3; 1/2; 0; 1. 11. 2/3; (1/15)103/2; (1/150) 1003/2; б) 10; в) (1/2) cos <р. 12. 1>Ср = = (ио + гч)/2, где гл = 2gh — конечная скорость тела. 11. г’о/2; г’о/2; г'о/2 — — (io/2)(l/£o)(T747r)[sin(47rto/T'+ 2у>) — sin2<р], гр/2. 14. а) 0; б) sin(b2); в) — sin(a2); г) 2х\/1 + х4; д) 2x^/1 + г4; е) Зх2/у/1 + х6 — 2х/\/1 + г4; ж) Зх2/-\/1 + х6 — 2х/-/1 + х4; з) Зх2/\/1 + х6; и) 3£2/д/1 + t12; к) 0; л) —Jx(x2 + t4y~3/2dx + Зт2ДЛг2 + х12.15. а) 1; б) 1; в) 7r(2sm а). 16. а) тгл/2;
б) 2/3. 17. 5/6. 18. а) 0,5 1п(е/2); б) 4тг; в) 1. 19. а) 1/6; б) (1/а/2) 1п[(9+ + 4\/2)/7]; в) 2 — тг/2; г) тг2/4. 20. Нет. 21. а) Да, тг/4; б) да, тг/4; в) да, хотя в этом промежутке нарушено условие теоремы 10, тг/4. 24. а) 0,5 In 3 — — тг/2ч/3; б) (5/27)е3 — 2/27; в) 4тг/3 - УЗ; г) 2тг(1/>/3 - 1/2л/2); д) 1/6; е) 7Г3/6 — тг/4. 27. а)	б) 0, если п — четное число; тг,
'	'	'	' 22m+2n+1m!n!(m + п)!	'
если п — нечетное число; в) тг/2п; г) (тг/2п) зт(тгп/2). 28. а) (8/27)(10-/10 — — 1); б) (е2 + 1)/4; в) In tg (тг/4 + а/2); г) 4а[1 + -/31п(1 + -/3)/-\/5]; д) 6а; е) 1 + [1п(1 + а/5)]/-\/2; ж) 32а; з) тга-/1 + 4тг2 + (а/2) 1п(2тг + /! + 4тг2); и) 8а; к) Зтга/2; л) 19/3. 30. a) (ab/2)[arcsin(xi/a) — axcsin(xo/a)] — [b/2a] х х (xjy/a2 — х2 — хо\/а2 — Xq); б) 9/2; в) 1/3 + 2/тг; г) 4а3/3; д) 0,5 cth (тг/2). 31. а) (а2/3)(4тг3 + Зтг); б) бла2. 32. а) Зтга2/2; б) тга2/4; в) Птг; г) 2/3.
Глава IX
451
33. а) За2/2; б) а2. 34. (тгЛ/6)[(2А + а)В + (А + 2а)Ь]. 36. а) 2аЬс/3; б) 4тгаЬс/3; в) 8тгаЬс/3; г) 16а3/3; д) 2тга3/3 — 8а3/9. 37. а) ЗтгаЬ2/7; б) 16тг/15; в) 8тг/3; г) тг2/2; д) 2тг2; е) 5тг2а3; ж) 6тг3а3. 38. 2а2; тга3/2. 39. (р2/8)[лЛ + 51п(1 + лЛ)] 40. 6Л2/6; 6/г3/12. 41. Мх = irab3/4; Му = = тга3Ь/4. 42. ЗЯМ/16. 45. 4тг2. 46. хо = (asina)/a; уо = 0. 47. хо — 9а/20; уо = 9а/20. 48. хо = 0; уо = 0; zo = За/8. 49. <ро = 0, го = 5а/6.
Глава IX
1. а) Достаточно каждому числу п из первого множества поставить в соответствие число 2п из второго множества; б) функция у = (Ь — а)т + а осуществляет взаимно однозначное соответствие между элементами сегментов [0,1] и [а, Ь]; в) функция у = tg	осуществляет взаимно
однозначное соответствие между элементами интервала (а, Ь) и числовой прямой R. 2. б) Элементы объединения счетного числа счетных множеств {х,}, {jaL {г>},	{»'>}> •••, {w,},... можно занумеровать по следующей
схеме:
Х1 ~>Х2
Ха—>Х4	Х5—>...
У1	У2	уз	yi	ys 
4/ / / /
Z1	Z2	za	Z4	Z5
Ul	U2	из	U4	и$
Dl	D2	V3	1)4	1)5
4. ★ а) Используйте метод примера 2 из § 1; б) воспользуйтесь равенством А = (А \ В) + АВ (см. упр. 5) и результатом упр. 4, а); в) воспользуйтесь результатом упр. 4,6); г) воспользуйтесь результатом упр. 4,6). 5. а) Докажем, что: 1°) любой элемент х из множества (А + В)С принадлежит также множеству (АВ + В(7); 2°) обратно: любой элемент х из множества (АВ + ВС) принадлежит также множеству (А + В)С. 1°. Если х £ (А + В)С, то х Е (А + В) и х £ С. Так как х £ (А + В), то х принадлежит хотя бы одному из множеств А или В. Пусть, например, х £ А. Тогда х £ АС и, следовательно, х £ (АС + ВС). 2°. Если х £ (АС + ВС), то х принадлежит хотя бы одному из множеств АС или ВС. Пусть, например, х £ АС. Тогда х е А и х £ С. Значит, х £ (А + В) и х £ (А + В)С.
6. Докажем, что любой элемент х из множества UAj, принадлежит также множеству PlAfc. Если х £ U Ak, то х U А*, и, следовательно, х А*, к__________________	к	__ к
V&. Поэтому х £ Ak Vfc, а значит, х £ ПА^. Остается доказать, что любой ------------------------------	k	----- элемент х из множества АА*, принадлежит также множеству UA;t. Сделайте это самостоятельно. 7. Если предположить, что какая-то точка х £ G не является внутренней точкой G, то х окажется предельной точкой Е (объясните, почему) и, следовательно, х £ Е. Но это невозможно, так как GE = 0. Таким образом, любая точка х £ G является внутренней точкой G, т. е. G — открытое множество. 8. * Воспользуйтесь тем, что Q + Q = [а, Ь] и p,Q = 0 (см. пример 4 из § 1); отсюда p,Q = b — а. 9 и 10. * Воспользуйтесь определением измеримого множества. 12. * а) Используйте метод примера 1 из § 2; б) воспользуйтесь результатом в) примера 5 из § 1;
15’
452
Ответы и указания
в) воспользуйтесь результатом д) примера 5 из § 1. 13. * Рассмотрите функцию у(х) = х на сегменте [0,1] и воспользуйтесь свойствами 5° и 1° измеримых функций. 15. Интегрируемость по Лебегу следует из измеримости /(ж) (см. упр. 12, а). Чтобы доказать, что /(ж) неинтегрируема по Риману на [0,1], достаточно доказать, что нижний и верхний интегралы Дарбу не равны: J ,4 I. Рассмотрите произвольное разбиение [0,1] на частичные сегменты и покажите, что для него s = 0, 5^1-а(ви§ — суммы Дарбу). Отсюда следует, что J = 0, 7^1 — а> 0. 16. J /(x)d/z(x) = 1 — а.
г	[0,1]
17. / ^(x)d/z(x) = (1 —а')12. 19. * Составьте разность /(х) — д(х) и вос-
D
пользуйтесь для нее результатом упр. 18. 20. * Воспользуйтесь тем, что множество всех нижних (верхних) интегральных сумм Дарбу, получающихся при разбиениях [а, Ь] на конечное число частичных сегментов, содержится во множестве всех нижних (верхних) интегральных сумм, получающихся при разбиениях [а, Ь] на конечное число попарно непересекающих-ся измеримых множеств. 21. * Воспользуйтесь тем, что для лебеговско-го разбиения Т множества Е выполняется неравенство St — st С <5 • цЕ, где <5 = max (уь — yk-i), а также тем, что I — I_ St — st- 22. * Для доказательства необходимости воспользуйтесь тем, что для лебеговского разбиения Т множества Е выполняется неравенство St — st С <5 • цЕ, где Я = max (г/fc — уь-i). Для доказательства достаточности воспользуйтесь
_
неравенством I — 7 St — st- 23. * Воспользуйтесь тем, что любая ле-беговская интегральная сумма 1(Еь,&) лебеговского разбиения Т = {£*,} множества Е удовлетворяет неравенствам st С I(Ek,£k) St, а также тем, что St — st S  р,Е.
Глава X
5. Х{ = yi + (г, — yi)t, i = 1, 2,..., m; t € R. 7. a) m-мерный шар; 6) m-мерный шар; в) тп-мерная сфера. 13. а) а; б) 2; в) е3; г) 0; д) 0; е) 0; ж) 0; з) 1. 15. * б) Рассмотрите случай, когда точка М(х, у) стремится к точке 0(0,0) по параболе у = кх2. 16. а) 1 и 1; б) 1/2 и 1/3; в) —1/2 и 1/2; г) 1 и —1; д) 1/2 и —2/3; е) 0 и 1; ж) 1/2 и 1; з) х/З/2 и 1. 17. а) Предел не существует, lim ( lim f(x,y)) = 1, lim ( lim /(x,?/)) = —1; б) предел не ' у—>0	7 y-tO'x-tO	7
существует, lim ( lim f(x,y)} — 1, lim ( lim f(x,y)} = оо; в) lim f(x,y) = x->l'j/-»O	’	s/-+O'x->l	’
= lim (lim/(a:,y)) = lim (lim/(x,y)) = 1. 18. a) 0(0,0); 6) все точки x—+ 0'1/ —>0	7	у—+ 0 ' x—+0	7
окружности x2 Ч- у2 = 4; в) все точки конической поверхности х2 + у = z2\
г) все точки прямой у = 0; д) все точки прямых х = 0 и у = 0; е) все точ-
ки прямых х ± у = тгп, п £ Z\ ж) все точки сфер х2 + у2 + z2 = тг/2 + тгк, к — 0,1, 2,... 19. а) В точке О функция непрерывна по отдельным перемен-
ным и разрывна по совокупности переменных, в точке А непрерывна как по отдельным переменным, так и по совокупности переменных; б) в точках
О и А функция непрерывна по отдельным переменным и по совокупности переменных; в) в точке О функция непрерывна по отдельным переменным и разрывна по совокупности переменных, в точке А разрывна по отдельным переменным и по совокупности переменных; г) в точке О функция
Глава X
453
непрерывна по переменной х и разрывна по переменной у и по совокуп-
ности переменных, в точке А непрерывна по отдельным переменным и по совокупности переменных; д) в точке О функция непрерывна по отдельным переменным и по совокупности переменных, в точке А разрывна по отдельным переменным и по совокупности переменных; е) в точках О и Аг
функция непрерывна по отдельным переменным и по совокупности переменных, в точке Ai разрывна по отдельным переменным и по совокупности переменных. 20. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет. 21. a) sup и — 1 достигается, например, в точке (1,0); inf и = —1 достигается, например, в точке (0,1); б) sup и = 81 достигается, например, в точке (0, 3); inf и = 0 не достигается; в) supw = 0,5 достигается, например, в точке (1,1); inf и = О достигается, например, в точке (0,1); г) sup и — 1/е достигается, например, в точке (1,1); inf и = 0 достигается, например, в точке (0,0); д) supw = а достигается, например, в точке (1,0,0); inf и = b достигается, например, в точке (0,0,1). 23. а) Равномерно непрерывна; б) не является равномерно непрерывной; в) равномерно непрерывна на множестве Ях, не является равномерно непрерывной на множестве Яг; г) равномерно непрерывна на множестве Ях, не является равномерно непрерывной на множестве Яг; д) не является равномерно непрерывной; е) равномерно непрерывна.
24. а) их
uz = ху -
— 2х + бхх/3, иу = Зу2 + 9т2у2-, б) их = yz + —, иу = xz---------------%-,
yz	У z
-Лу; в) их = у • cos(xx/ + yz), Uy = (х + z) cos(xj/ + yz), uz = у x
x cos(tj/ + yz)-, г) ux = -Sinx u = cos a: sin x/ )	_ —+ tg (x -f-
v а я >	cosy' y cos2!/	cos2(a: + y) b
+ y)  e.xly  Uy = ——r + tg (x + y)e-x/v (; e) ux =	2 uy =
у cos2(x + y)	\y J	x1+y2' y
=	ж)	uv = д.2 ^2; з) «х =!/ ln(®j/) + у, Uy = x \n(xy) +
+ x; и) ux = — - f Uy — - (n') , uz = In И; к) ux = zx^y Inx  1,
’ '	x\xj ' y y\xJ	\x J x'f	y’
Uy = zx^y In z(^^, uz = ^zx^y~1; л) ux = yzxyZ~l, uy = xyzzyz~1 Inx, uz = = xy yz In у In x; m) ux — xy~1yz+1zx + xyyz zx In z, uy = xyyzzx In x + xy x x yz~1zx+1, uz = xyyzzx In г/ + xy+1yzzx~1. 25. Нет. 26. a) ^(0, 0) и Uy (0,0) не существуют, функция u(x, у) не дифференцируема в точке 0(0,0); б) «^(0,0) = «р(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О; в) Их(0,0) = //„(0,0) = 0, но функция и(х,у) не дифференцируема в точке О; г) их (0,0) = wp(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О; д) (0,0) и иу(0, 0) не существуют, функция и(х, у) не дифференцируема в точке О; е) их(0,0) = цр(0, 0) = 1, но функция и(х,у) не дифференцируема в точке О; ж) их(0,0) = //„(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О; з) и(0, 0) = иу (0,0) = 0 и функция и(х, у) дифференцируема в точке О; и) их (0, 0) = иу (0, 0) = 0 и функция и(х, у) дифференцируема в точке О; к) «х(0,0) = ир(0, 0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О; л) их(0,0) = иу(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О; м) Их(0,0) = //„(0,0) = 0 и функция и(х,у) дифференцируема в точке О. 27. а) Частные производные функции и(х,у) существуют в окрестности точки О, за исключением самой точки О; б) частные производные функции и(х,у) существуют в окрестности точки О и непрерывны в точке О; в) частная производная их существует в окрестности точки О, за исключением точек (0, у), у =£0; частная производная иу существует в окрестности точки О, за исключением точек (х,0), х / 0; их, иу разрывны в точке О;
454
Ответы и указания
г) частная производная их существует в окрестности точки О, за исключением точек (0, у), у 5^ 0; частная производная иу существует в окрестности точки О, за исключением точек (х, 0), х 0; их, иу разрывны в точке О; д) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О, за исключением самой точки О; е) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О, за исключением точек прямой у = — х (х 0), они разрывны в точке О; ж) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О и непрерывны в этой точке; з) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О и непрерывны в этой точке; и) частная производная их существует в окрестности точки О, за исключением точек (0, у),у^= kir, к & Z;ux разрывна в точке О; частная производная иу существует в окрестности точки О и непрерывна в этой точке; к) частная производная их существует в окрестности точки О и непрерывна в точке О; частная производная иу существует в окрестности точки О, за исключением точек (х,0), х / кя, к 6 Z; иу разрывна в точке О; л) частные производные функции и(х, у) существуют в окрестности точки О и непрерывны в этой точке; м) частные производные функции и(х,у) существуют в окрестности точки О и непрерывны в этой точке. 29. а) и = у, б) и = х + 2у - 1; в) и = Зх + Зу; г) и = ^х + ^У -
д) и = х + у + 1. 30. а) Да; б) нет; в) да. 31. а) их = ft + fv • 2х, иу = ft + fv  2у, где t = х + у, v = х2 + у2; б) их = ±ft - ^fv,uy = ^ft + 1/„, где t = v = &; в) их = ft + yfv, иу = -ft + xfv, где t = х - у, v = ху; г) их = ftyg, uv - ftxg + fgvz, uz = fgvy, где t = xy, v = yz; д) ux = f9 [g„y In f + jft j, uv = fs	- ^/t] , где t = x - y, v = xy; e) ux = ft - 2xfv + yfw,
uy = — 2yft + fv + xfw, где t = x - y2,v = y — x2 ,w = xy; ж) ux = -—- + yz2 + y2
. xfw =	У ft	, yfv = zfy	zfw t =
V z2 + x2 ’ y’z2 + j/2 y/у2 + z2 ’ y/z2 + y2 \/z2 + x2 ’
— \/ж2 + у2, v = y/у2 + z2, w = y/z2 + x2. 33. a) xux — yuy = x; 6) 2xux + + yuy = 2u; в) ux + uy + uz — 0; r) xux + yuy + zuz = 0; д) xux + yuy = u. 34. a) и = sin a; + 0,5x2t/ + у2; б) и = x2y + |j/3 — в) и = -exy + xy — ex.
о	о	у
35. a) dtt|M = 2xy3dx + 3x2y2dy, dtt|Af = 4dx + 12di/; 6) du|M = — ^dx + + ^dy + ^dz, du|w = — 6dx + 3dy + 2dz; в) d-u| M = — sinz(j/ + z)[(j/ + z)dx + + xdy + xdz], = —^^dx + dy + dz^; r) d«|M = exy(ydx + xdy), du\ = 0; д) dtt , = xy ( V-dx + Inz • dy ), dtt = 12dz + 81n 2  dy; e) du I =
IО ' iM \ x	)	। Mq	' \M
= (1 + Inxy)dx + ^dy, du|Mo = dx + dy. 36. a) du\M = (ft + fv)dx + (/„ -- ft)dy, du\Mo = [ft(2,0) + f„(2,0)]dx + [/„(2,0) - ft(2,0)]dy, где t = x - y, v = x + y; 6) du\M = (yft + ^fv^dx+ (xft - -^fv^dy, du|M() = [/t(0,0) + + /v(0,0)]dx, где t = xy, v = в) du|M = 2(xft - xfw)dx + 2y(fv - ft)dy + +2z(/w-/„)dz,du|JV=2(/t(0,0,0)-/w(0,0,0))dz+2(/„(0,0,0)-/t(0,0,0))d!/+
Глава X
455
+ 2(/w(0, 0, 0) — /и (О, О, O))dz, где t = х2 — у2, v = у2 — z2, w = z2 — х2; г) du\M = (ft cos x — f„ sinx)dx + ft cos ydy + fv sin z dz, dw|o = ft(Q, 0)dx + + ft(O, O)dy, где t = sin 2; + sin y, v = cos x — cos z. 38. a) uxx = fyx + 12xy4, uxy = 24x2j/3, uyy = 12j/2 + 24x3?/2; 6) uxx = 0, uxy = 2yz3------------uxz =
У z
= 3j/2z2 — -^7, Uyy = 2xz3 + 4^, uyz = 6xyz2 + uzz = 6xy2z + yW	уЧЛ’ J a уЛг4'	я y2zb’
в) Uxx = —y cosxy, Uxy = — Sinxy — xycosxy, Uyy = —x cosxy; Г) uxx = = — sin 2, uxy = —^sint, uxz — —ysint, uyy = —>z2sinf, uyz = —yz sin t + cosf,
tt22 = —y2 sint, где t = x + yz; д) uxx = -uyy =	, uxy =	+ ^2 i
e) = (l2 + у2)3/2 [У2 +	+ У2) + (z2 + У2)2]’	= (ж2 +y2)3/2 [~ХУ +
+ (х + у)(х2 + у2) + (х2 + у2)2], Uyy = (д.2^^3/2 [х2+ 2У(х2+ У2) + (а;2 + +1/2)2]; ж) ихх = yz(yz — 1)ху2-2, иху = xyz~1z(l + yzXnx), uxz = хуг-’з/(1 + + уг1пх), Uyy — ху2(г1пх)2, u,JZ = Inx • xyz(l + г/г!пх), uzz = xyz (у In x)2; з) uxx = Z^J , uXy =—z2y~2(xy~1)z~1,	(l + zln^Y
Ш	=- ИЮ I1+г ln xy) ’u-=Ш lnT 4gb a) =
= — 2ysinxy — xy2 cosxy, UyyX = —2xsinxy — x2ycosxy; 6)	= 24 x
+ 3xyz + l)eIy2; r)	= -26sinxx
dm+nu = 2me2lsin dxmdyn x2 -COS'
e'
x(cosу + cost); b) uzyx = (x2y2z2 x cos 2y, д) dyn rrainl, e) X cos ж) = 10! (2x tg x + ^L\ - 3) TaK KaK ^u =	2y!
2	’ 7 dxdy* \	0 cosJ r / ’ 7	dy (x - y)n+L
Qm+nu 2(—l)m(n 4- m — l)!(nx + ту) ло \ x . 4 x . A 2 £	.
To dx™dy* "	(x- y)™+“+l	• 42‘ a) Uxx = ftt + 4xftv + 4x fvv4~
~b 2fv, uxy = fu + 2(x + y)ftv 4" 4xyfvv> uyy ~ ftt + 4yftv + 4y2fvv + 2fv, где t = x + y, v = x2 + y2; 6) uxx = y2ftt + 2ftv + у fvv, uxy = xyftt -	+
+ ft - Uyy = x2 ftt - 2^ ftv + у fw + y/”> r«e = ХУ< v = B) u^x = = y2gf" + Zyzf'g' + z2fg", Uyv = x2gf, Uzz =x2fg", uXy = xygf" + xzf'g’ + + gf, uxz - xyf'g + xzfg” + fg', uyz = x2f'g'; r) uxx = -j^(ft + fv)2 + + y(/tt +	+ fvv), UXy = —fs(ft + fv)fv + у (ftv + fvv), Uyy = -J fvv —
— -jzf2, гДе t = x,v = x + у; fl) uxx = cos2 x  f" — sin x  f', uxy = — sin у cos x x x/", «РР = sin2 У f" - cos у  f; e) uxx = g • fB~2[(g - l)f’2 + //"], uxy = =	+ yln f), uvy = f9(gl2ln2 f +y"ln/)- 46. a) uxy = 0; 6) uuxy =
= uxuy; в) uxx = Uyy; r) x2uxx = y2uvv — xux + yuy. 47. а) и = 0,5x2у + xy + + у2; б) и = у cos x — у + x; в) и = 0,5xj/2 + xy + у. 48. a) d2«|M = 2y3dx2 + + 12xj/2 dxdy + 6x2ydy2, d2'u|M = 2 dx2 + 24dx dy + 2idy2; 6) d2u\M = = ^г^х2 — ^dxdy — ^%dx dz + ^dydz, d2^^ = 12 dx2 — 6 dx dy — 4 dx dz +
456
Ответы и указания
+2dydz, в) rf2-u| M= — cos(xy +	+ z)dx + x(dy + dz)]2 — 2sm(xy + xz) x
/ \2
xdx(dy + dz), d2«|w = — | ( ^dx + dy + dz j — y/3 dx(dy + dz), r) d2u\M = = exy[(ydx + xdy)2 + 2dxdy], d2w|o = 2dxdy, д) d2u|M = xy~2[(ydx + x x x Inx dy)2 + dx(2xdy — у dx)], d2u\M = 2[(3 dx + 2In 2dy)2 + dx(4dy — 3dx)], e) d2u^M =	—I--dxdy—^dy2, d2u]M = ~dx2 — 2 dx dy + dy2
49. a) d2tt|M = /«(dx - dy)2 + 2/tlJ(dx2 - dy2) + fvv(dx + dy)2, d2“|Mo = =	2)(dx - dy)2 + 2ftv{0,2)(dx2 - dy2) + fvV(O, 2)(dx + dy)2, где t =
= x - y, v = x + y, 6) d2tt|M = ftt(dx + dy)2 + 4zftvdz(dx + dy) + 4z2fvvdz2 + + 2fvdz2, d2u| = ftt(O, O)(dx + dy)2 + 2/„(0,0)dz2, где t = x + y, v = z2, b) d2u\M= ftt(ydx + xdy)2 + 4/tl)(ydx + xdy)(xdx + у dy) + 4fvv(xdx + у x xdy)2 + 2/tdx dy + 2fv(dx2 + dy2), d2u\M = 2/t(0, O)dxdy + 2/„(0,0)(dx2 + + dy2), где t = xy, v — x2 + у2, r) d2«|Af = — sm/(x) e^s'fl2(x)dx2 + 2x x cos f (з:)е^у > f (x) f (,y)dx dy + cos /(x) e/(«)y"(x)dx2 + sm/(x) x xf'2(,y)dy2 + sinf(x) ef'v>f"(y)dy2, d2u|o = e/(0)[(cos/(0)/"(0) - sm /(0)x x/'2(0))dx2+ 2cos/(0)/'2 (0)dxdy + sm/(0)(/" (0) + f2(fi))dy2] 50. a) dnu = = f^fax + by + cz)(adx + bdy + cdz)n, 6) dnu = (adx+ bdyg^y + + cdz^z^u 51. a) и = 1 — 2x + (2x2+ 2xy + у2), б) и = 8+ (—ЗДх + 11 Ду) + + (Дх2 — ЗДхДу + 4Ду2), где Дх = х — 1, Ду = у — 2, в) и = 3(Дх2 + Ду2 + + Дг2 — ДхДу — ДуДг — ДгДх) + (Дх3 + Ду3 + Дг3 — ЗДхДуДг), где Дх =х — 1, Ду = у — 1, Дг = z—l 52. а) ^/1 — х — у = 1 — j(x + у) — |(х + + у)2+ о(х2+ у2), б) 1п(1 + х + у) = х + у- 0,5(х + у)2 + |(х + у)3+ о((х2 + + у2)3/2), в) (х + у) sin(x - у) = х2 - у2 + о((х2 + у2)3/2), г) e*cosy = = 1 + х + 0,5(х2 - у2) + |(х3 - Зху2) + ^-(х4 - 6х2у2 + у4) + о((х2+ у2)2), д) xv = 1 - у + ху + о((х - I)2 + (у - I)2), е) xp/z = -у + 2z + х2 + ху -— 2xz + о((х — I)2 + (у — 2)2 + (z — I)2) 53. а)-д) Равномерно непрерывна 54. a) ttmln = и(0, 0) = 0, б) точек экстремума нет, в) -umin = и(—2, —1) = —2, г) «mm = «(4/3,4/3) = -64/27, д) ит1п = «(1, -1) = -6 и wmax = «(-1,1) = 6, е) точек экстремума нет, ж) точек экстремума нет, з) «тш = «(2/3, —4/3) = = -(4/3)е-2, и) Umin = «(0,0) = 0, к) Umm = «(0,0) = 0, «max = «(0,1) = = «(0, -1) = 2/е, л) цт,п = «(- 1/Ло, 2/л/1б) = -^5/(26), итах = «(1/У10, -2/У10) = у/5/(2е), м) Ит1п = И(1/У2^, 1/У^) =	-l/v^) =
«тах = «(1/л/2е, — 1/л/2е) = «(-1/\/2е, 1/л/2е) = 1/(2е), н) «т1п=«(1,1) = 3 55. a) um,„= w(l, -1,3) = -11, б) ат,„ = «(1/2,1/2,-2) = -17/4, в) «тш = = И(1, —2,1/2) = -9/2, г) «тах = «(1/4,1/4,1/4) = 1/256, д) «т1П = «(1/4, 1/4, 1/4) = -1/8, е) umax = г£(1/(2>/3), 1/(2Л/3), 1/л/З) = ^3/7, «т1п = = «(-1/(2ч/3),-1/(2ч/3), -1/х/З) = -УЗ/7
Глава XI
457
Глава XI
_ у2(1пх - 1) т2(1пу - 1) ’
г) у' =
1. /(1) = 2 2. /'(1) = —0,4, /"(1) = -0,72 4.а)У = ^,У'=2^^1, где у = }(х), б) У = 1+£XS—, у” =	где у = f(x), в) у' =
yLln2^-2(x-yin^ln£-xln2 d
у" = L ?(i-my..................у = А-)-
, У' = g, где у = f(x) 5. У = -1^, у" =	У" =
=	 где у = f(x) 6. а) У(0) = -0,5, У'(0) -	у"'(0) = 0,
б) У (0) = -1/3, У'(0) = -2/3, У"(0) = -7/27 7. z«(0, -1) = -0,5, z„(0, -1) = - п я - xz ? — ~yz x — ~y2z r — xyz ? — - U 8. a J ZX -	, ZU - x2 1y2>	’ ZXy -	2^2)2. Zyy -
= ,	4, где z = f(x,y), 6) zx =	Zy -	zxx = ,^3z3,
v 7	z2 — xy 3 z* — xy	[ZZ - XyY
Zxv = гУ4-^2~у.У) Zyy =	где z = f(x,y), в) zx = zy =
y	(zz - xy)6	y \Z - xy)6	y	z	*
— ez _ 15 zxx = zXy = Zyy —	j, где z = f(x, y) 9. a) dz = —dx — dy,
d2z = 0, 6) dz = y^z+-^(ydx + zdy), d2z =	(y- xdy)2, где z =
= f(x,y), в) dz = x ~yzdx + У ~~ x~dy d2z = ---—гу{[(хг/— z)2 + (x—
> a/}	!	xy — z xy — z a’	{xy — z)3 11
- yz)2 - 2y(xy - z)(x - yz)] (dx)2 + 2 [(x - yz)(y - xz) - (xy - z) (x2 + y2 -- xyz - z2)]dxdy + [(xy - z)2+ (y - xz)2 - 2x(j/ - xz)(xy - z)] (dy)2}, гдег = = f(x,y):r) dz=-^-(^dx + $dy),d2z= xdxdy-^s(c2y2 + b2z2)(dy)2 = —0,2, Zyy = —3,132, 6) zxx
У x - У
У" = ~x" =
—е'
dx + $dy), d2z = ^J(C2x2 + a2z2)(dx)2 — X , где z = f(x,y) 10. a) zxx = -0,4, zxy = = zxy = Zyy = -|	14. а) х' =
- -х" =	~ z)2 + (z ~	+ У ~ б) у' = -х' =
~ Х	(х - у)3	' 0) У Х
зг, где X - x(z), у = y(z) 15. а) z'(0) = у'(0) =
У
х-у’ _ 1
= —0,5, z"(0) = -У'(0) = —0,75, б) У(0) = У(0) = -1, У'(0) = 1, z"(0) = = 0 16. dz = ^(2dx — dy), d2z = — ^^(2(dx)2 — 5dxdy + 2(dy)2) 17. du = _ (sm u+x cos»)rfx +(x cosd —sin«)di/	_ (i/cos« —sin ti)dx+(j/cos u+sin
~	у COS U + X COS V	’	—	у cos и + X COS V	’
d2u~—d2 — (2costl^a- ~ isint><fo)<fo — (2 cos u di/ — i/sinudu)du r &u — u(x 1 ~	—	i/cos « + x cos n	’ д ' ,y'’
v = v(x, y) 18. du = 0,5(dx + dy), dv = 0,5[(l + it!2)dy — dx], d2u = (dx)2, d2v = 0,5(dx — dy)2 19. /mln(0) = 0 20. а) Нет точек экстремума, 6) zmax = = z(0,0) = 2 У2, в) Zmm = z(—3 — Уб, —3 — Уб) = —4 — 2 Уб, zmax = г(Уб — - 3, >/б - 3) = 2 Уб — 4, г) zmln = Zi (0,0) = a, zmax = z2(0,0) = —а 22. а) Зависимы, б) зависимы 24. Независимы в любой окрестности точки (0,0, 0) 26. Функции ui, U2, из зависимы во всем пространстве Е3 28. a) ttmln = = а2 "~ь2 в точке	’ б) Итш = в точке (У2а, У2а),
458
Ответы и указания
«max = —2л/2а в точке (—-\/2а, —х/2а), в) umax = 0,5 в точках (1/л/2,1/л/2) и (—1/л/2, —1/л/2), wmin = —0,5 в точках (—1/л/2,1/л/2) и (1/л/2, — 1/л/2), г) Wmm = 0,4 в точке (0,4, -0,4, 0,2), д) = 5 в точке (0, 0, 0), птах = в точке (—4/3, 8/3, 4/3), е) нет точек экстремума, ж) wmax = 1 в точке (1,1,1), з) Wmm = —3 в точке (—1/3, 2/3,—2/3), wmax = 3 в точке (1/3,—2/3, 2/3), и) wmax = с-2 в точках (0,0,-1) и (0,0,1), umln = а-2 в точках (—1,0,0),
1_____
П	ч }
л *
(1,0,0), К) Wmin
в точке
1_____1
П	л 1
.=!< /
29. a) wmin = —1 в точках (—1,1,1), (1,—1,1), (1,1,—1) и ( —1,—1,—1), «max = 1 В точках (1,1,1), ( —1, — 1, 1), (—1, 1, — 1) И (1,-1,-1), б) Wmln = = - 1/(3\/б) в точках (1/у/ё, 1/х/б,-2/V&), (1/л/б, -2/^6,1/л/б) и (-2/\/б, 1/ч/б, l/Уб), «max = 1/(Зл/б) в точках (-1/у/б,	2/\/б), (-1/\/б, 2/у/б,
-1/?6) и (2/v/g, — l/v%, — 1/\/б) 30. d = h = 6 31. Smm = 48см2 при высоте 2 см и длинах сторон основания, равных 4 см 32. Vmin = тгм3 при радиусе основания 1 м и длине образующей 2 м 33. 2а/\/3, 2Ь/\/3, 2с/\/3 34. pmln = = \^ + By0±Cz0 + D\ 35_ 7д4х/2) 36 Smax = 0,25а2 ct Д 37.	=
у/ 4- В2 4- С J	*
= V2absin 38. а) у + у = 0, решение исходного уравнения есть функция у = A sm(ln х + <р), где А, <р — произвольные постоянные, б) у + у = 0, решение исходного уравнения есть функция у = A sm 1п(2х ± \/4т2 + 1) +	,
где А, <р — произвольные постоянные, в) у + <v2j/ = 0, решение исходного уравнения есть функция у = Asm^ arcsinx + где A, ip — произвольные постоянные 39. а) х'" + у = 0, б) + 1 = 0 40. а) и + (1 + и)и = 0, б) t5u + (3t4 + l)w + и = 0, в) J ]п ц « = 0, г) tu + и = 0 41. и" + [д(х) — - 0,25р2(х) - 0,5р'(х)]ц = 0 42. а) р = р, б) р2 =	43. р = кр3,
<р = —1 44. a) uzu = z, б) zv = ± , " „е“, в) zu = zv, г) г2 + azz„ — bz2
V и — V2
45.	a) zu = 0, решение исходного уравнения есть функция z = f(bx — ay), где f(v) — произвольная дифференцируемая функция, б) zu — 0, решение исходного уравнения есть функция z = f(x2 + у2), где /(и) — произвольная дифференцируемая функция, в) uzu = z, решение исходного уравнения есть функция z =	(4х — 7у), где f(y) — произвольная дифференцируемая функция 46. a) wv = 0, решение исходного уравнения есть z —	-
/ (	), где /(и) — произвольная дифференцируемая функция, б) = 0,
решение исходного уравнения есть функция z = exp {т + у + f(x2 + у2)}, где f(u) — произвольная дифференцируемая функция 47. а) и ш„ = 1, - и^(хи + z2) — 2аи3хц х4(«тц + vxv)2
Zuu + 2zUD 4“ Zdv
_____ 2u %vv —	2 ;
u2 4- v2
б) Шу = 0, в) u2w2 + n2tc2 = ш2шиШи 48. В =
49. a) В = z2 + -^z2, б) В = zpp + ±zp + -^zvlp, в) В = — zn — Zu, г) В = p2zpp 50. a) Zuu + zvv = 0, 6)
Глава XII
459
+ 2zu„ + zvv = 0 51. a) wvv = О, решение исходного уравнения есть функция z = y f(% + y) + x д(х + у), где f(u), д(и)— произвольные дважды дифференцируемые функции, б) zuv = 0, решение исходного уравнения есть функция z = f(y + ах) + д(у — ах), где f (v), д(и) — произвольные дважды дифференцируемые	функции	52. и-^~	)	+ u-Д (v^ )	+	ШтД- (w^ )	=
т	du \ du	J dv \	dv J	dw \ dw)
= 2(\w^A + та /2Я	+ vw /2^-- 'j 53. a)	wuu = 0,	6) wuu	= 0,5, в) wUu	=
\ dudv	dudw	dvow)	'	'	7
= 11—	f) Wuu + Wvv + W„ + w"‘ = 0, Д) Wuu + Wuu + Wvv = W
Глава XII
4 x	4	4	3	6z —11
2 3y-l
y<fj/ у f(x,y)dx +
i (»+ii)/e
x
— 2 4- \/84-2x —z2
X I f(x,y)dy,
— 2—\/^+2т —z2
5	(29—5т)/2
+fdx у f(x,y)dy,
3	(x+l)/3
7	(29-2У)/5
+f dy	I f(x,y)dx
2	(s/+ll)/6
6—3x
x f f(x,y)dy,
3z2
2-y/3
x У f(x,y)dx
4y —y2
(рис 82), в) Jdx
-2
'y/3
12
3
y<fj/ у f(x,y)dx+ Idy x
0	-V»73
(рис 83),
, , w w	4
I dy у f(x,y)dx, д) f dxI f(x,y)dy, -5
3т
1 —\/5-“4y —y2
О
2x
3
4
— 2
Рис 82
460
Ответы и указания
8	J//2	12	4
fdy j f(x,y)dx + Jdy J f(x,y)dx (рис. 84); о
у/ь
х=—
Рис. 83
(у+11)/з
h IdxI/(х,у^у + Idx I f(x,y)dy, Idy I f(x,y)dx; ж) Idx x
1	1	4	Зт-11	1	(5-2y)/3	-2
Зг+6
О Зх+6
3	p/3-1
4	4
5
4
4
6
О
О
3x+3	0	p/3-2	3	y/3-2
0	1,5x4-6	3	6—3x	3	2-J//3	6
з) Idx I f(x,y)dy + jdx I f(x,y)dy, Idy I f(x,y)dx + ldyx
-2 —3x —3	0	-3	-3 _у/з_1	3
2-y/3
x I f(x,y)dx; и) II f(x,y)dxdy= II f(x,y)dxdy + Ц f(x,y)dxdy + (2/3)i,-4	G
Рис. 86
2 S/2W	3 SjW
+ yy f(x,y)dxdy + jj f(x,y)dxdy = Idx I f(x,y)dy + Idx I f(x,y)dy+ G3	Gi	0	2	-12(1)
Глава XII
461
2	О w(z)	________
+ jdx у f(x,y)dy + jdx J f(x,y)dy, где j/i(t) = V2x — x2, yz(x) =
0	-P2(^)
-1	-J/2(z)
2	l+*2(«)	1	4-*2(»)
(рис. 85); J dy j f(x,y)dx + J dy J f(x,y)dx +
1 1-zi («) 
л/3 + 2т — т2
-1 l+^2<«)	-	____
+ f dy у f(x,y)dx+ jdy J f(x,y)dx, где Ti(p) = л/1 ~ У2> Х^У) = -2 i-x2(a)	-1 i-^2(»)
= У4 - у2-, к) yy f(x,y)dxdy = J J f(x,y)dxdy + Ц f(x,y)dxdy + G	Gi	Gi
2 l + «2(z)	3 1+«2(я)
+ УУf(x,y)dxdy + yyf(x,y)dxdy = jdx j f(x,y)dy + Jdx J f(x,y)x G3	Gi	0 ai(i)	2 i-aali)
2	-</l(z)	O 1+»2(e)
x dy + у dx J f(x,y)dy+ у dx J f(x,y)dy, где j/i(z) = y/2x - x2,
3	1	14-212(1/)
y2(x) = \/3 + 2x - т2 (рис. 86); f dy J f(x,y)dx+ Jdy J f(x,y)dx + 1 1-12(1/)	— 1 14-Z1(1/)
1 1-®1 (1/)
+ Уdy J f(x,y)dx, где тДр) = y/1 - у2, x2(y) = y/3 + 2y - у2.
-1	1-Xl(y)
lx2	2 ev	4 e2
2. a) уdx j f(x, y)dy (рис. 87); 6) f dy f f(x, y)dx + Jdy J f(x, y)dx (рис. 88); о хз	1 e	2 еУ/2
в) jdy J f{x,y)dx + Jdy у f(x,y)dx-, r) j~dy J f(x,y)dx+jdyx
0 a/2	2 v/2	-1 -VTV	0
00	1	- Уё
x у f{x,y)dx (рис. 89); д) Jdx J f(x,y)dy + Jdx J f(x,y)dy
О -(l+i)/2
-(1+х)/2
Рис. 87
Рис. 88
462
Ответы и указания
(рис. 90); e)
•/2-0,5	0,5
f dy f f(x,y)dx +
0,5>/3 у/1 —у %	V
— 0,5-Уз
(рис. 91); ж) J dx
i Vi-y	Vi
f dy J f(x,y)dx + j' dyx
-0,5 y/l-yi	1
x2	0
f f(x,y)dy + f dx x 0,5
x f f{x,y)dx
0	-1	°.s	- 0,5^3
1	2ir a
x J f (x, y) dy (рис. 92). 3. a) 4,5; 6)—27/4; в) 61. 4. a) j dip j pf(pcosip, ° °
a 2ir	it 2sm<p
psinp)dp — J Pdpf f (pcos p, p sin p) dp] 6) Jdtp f pf (pcos p, psin p) dp — oo	oo
2	тг —arcsin(p/2)	2ir	6
= J pdp y* f(pcosp,psinp)dp (рис. 93), в) Jdp Jpf(pcos p, psintp)dp =
0	arcsin(p/2)	0
6 2тг	тг/4
= Jpdp! f(pcosip, p sin <p) dip\ r) J dp
pf (рcos ip,p sin ip) dip =
о
Рис. 91
Рис. 92
Глава XII
463
а 0,5 arccos(p2/a2)	тг/2 l/(sin i^+cos ip)
Уpdp J /(pcos p, psin p) dtp (рис. 94); д) j dp j px
0	— 0,5 arccos(p2/a2)	0	0
1/^2 тг/2	1	а-тг/4
x /(pcosp, p sin ip) dp = у pdp у /(pcosp,psinp)dp + J pdpl J f(px 0	0	1/-/2	0
X
e)
cos p, psinp) dp + У /(pcos p, psin p) dpj, где а =: arcsin (рис. 95); Зтг/4 —а
тг/4 аып^/cos2^	Зтг/4 a/sin<p
У dp У	pf(pcos р, р sin р) dp + у dp у р/(рcos р, рsin р) dp +
0	0	тг/4 0
тг а sin ip/ cos2	а	тг —Qj(p)
У dp у	pf(pcos р, рsin р) dp — уpdp J /(pcos р, psin р) dp +
тг/4	0	0 а । (р)
464
Ответы и указания
/2а	г“2(р)	Tr-ai(p)
+ J pdp\ J f(pcosp, psinp) dip + J f(pcosp,psinp) dpi, гдеа^р) = “	“i(p)
тг-а2(р)
= arcsin ^-a ~>гг^р—аг(р) = arcsin-. 5. a) zp	vr'	p	'
ir/4 sin yj/cos2y?
J dp	J	pf(p cos p,
о	о
где
тг/4
/2	”74
psinp)dp = J pdp J f(pcosp,psinp) dp, о	a
тг/4 2/ sin tp	2\/2
6) J dp f pf(p2)dp = j f(p2)pdp j dp+ j f{p2)pdp	J
tt/Q	0	0	тг/6 2v^2
= arcsin	:
2p
4	arcsin(2/p)
dp;
ff/2	1	1	я/4+а(р)
в) J dp	J	pf(p cos p, psin p) dp = J pdp J /(pcosp,psinp) dp;
0	1//2созес(^+тг/4)	1/-/2	ir/4-a(p)
3 и	3	4	4
где a(p) = arccos . 6. a) | J du J f(u, v) dw, 6) J и du J f(v) dv = | J f(y)dv. P	2	u-6	2	3	3
8, Положите u = xy, v — x — 2y. 9. а) 2тгаЬ/3; 6) 2; в) 0 и 21тга4/29. 10. а) 18тг; б) 4/3; в) 0; г) 543||. 11. а) (15/8 — 1п4)а2; б) тг; в) 0,5а2 In 2. 12. а) а2(л/3 - тг/3); б) а2(4 - ч/П + тг/2 - arccos(л/15/4)). 13. а) а2Ь2/(2с2); б) 1/35; в) ab(a2 + 62)тг/2; г) Зтг; д) 2/3. 14. а) тг(31п3 - 2); б) 2тг2; в) 3/4. 15. а) то = —1, уо = 3,2; б) то = 4,5, уо = —1; в) то = уо = ’ка/З. 16. то ~ = — а/5, уо = 0. 17. a) Ix = ab3po/3, 1У = а35р0/3; б) 1Х = ро/6, 1У = 7ро/6; в) 1Х = 1У = а4(1 - 5тг/16)ро; г) 1Х = 1У = ^ро- 18. а) 1Х = а2Ъ*/8, 1У = а4Ь2/8; б) 1Х = 0,1, 1У = 13/30. 19. рв = тга2p(h - (2/3)а), рн = = тга2р(Л + (2/3)а). 20. Взяв ось т в качестве оси абсцисс, получаем 1Х/ = = уу (у — а)2р{х, у) dx dy = Ix — 2аМх + а2т. Так как по условию Мх =
G	а Ь^1-х2/а2
= 0, то приходим к равенству 7Х/ = 1Х + та2. 21. a) jdx J dy x a —by^Y — x^/a2, су/ l — x2/a2 — y2/b2	5	ay/l — y2/b2 cy/l — x2 / a2—y2 /b2
x J f(x,y,z)dz, Jdy I dx у f(x,y,
—c y/l — x2,/a2 — y2/Ь2	—а у/l — y2/b2 —Су/X — x2/a2 — y2/b2
a	c y/l — x2 /a2	by/\ — x2/a2—z2/c2	c	а у/ 1 — z2/с2
z)dz, Jdx у dz J f(x,y,z)dy, Jdz J dx x
a —cy/l—x2 /а2 —b у/ \ — x2 / a2 — z2 / c2	C —о-y/ 1 — z2/с2
by/ l — x2/a2-z2/c2	b c^/1 —j/2/d2 ay/l — y2/b2-z2/c2
X У f(x,y,z)dy, Idy / dz I f(x,y,z)dx,
— b y/\ — x2 ja2—z2lc2	k — cу/i —	_a	—j/2 /^2 _22yc2
Глава XII
465
с	ад/1- y2/b2-22/c'2	,
Jdz J dy J f(x,y,z)dx; 6) J dx ~c -by/l-z2/c2 -ал/1^у2/Ь2-22/С2	°
\/l — z 2	>/16 —z2 — y2
f dy J f(x,y, о ^l-x2-v2

4	л/16— x 2	>/16 —z2 —у2
z
z
0
0
0
>/16—y^ >/16 —Z2 — y2
f dx	f	f(x,y,z
'/1TT2	0
\/16—z2 — y2
z f f(x,y,z\
y/i—x^—y^
\/16 —y2 >/16—z2 —у2	1	>/l — У 2
J dx / f (x, y, z) dz, у dy / dz
°	0	0	71-у4_г4
0
0
X
4
X
0

X
0
0
X
X
X
X
x/16—у2 y/lG-y'2-	-z2	4	>/16— y2,	\/16—y2 —z^	1		
{ dz / 0	f(x,y,z)dx + jdy j dz 1 i	о	b		f(x,ytz)dxy Jdzx 0
•\/l—22	\/16 —y2 — f dV f 0	>/l — y2 — z‘	i f (x, y, z) dx + Jdz X	0	x/16 — Z2 \/16— y2 — / dy	f y/l-z2	0	"z^"	4 f(x}y1z)dx + J dzx i
\/16 — z2 x/16 — y’^- J dy f 0	0	-z2	1 f (z, y, z) dxy J de 0	Vl — x2 >/16 —X2-c f dz / °	>/l — Z2 — z	-z2	1 f(x, y, z) dy 4- Jdxx 2	0
\/16—z2 >/16—z2-f dz	/ y/I^2	0	—z2	4	\/16 — z2 \/16—z2 f{x}y,z)dy + jdx J dz у 10	0		-z2		1 f(x,y,z)dy, Jdzx 0
>/l — z2 у/16—х2 — f dx f 0	\/l — x2 — z	z2	1 f(x,y,z)dy + / dz 2	0	>/16 — Z2 \/16 —z2- J dx	J VT^I2	°	z2	4 f(x,y,z)dy + J dzx 1
\/16 —z2	y/lG—x"2 f dx /	-z2 f{x,y,z)dy; в	2	2-x	4-2x- ) fdx fdyf	-2»	2 f(x,y,z)dz + Jdxx
0	0	0
0	4+2z+2y
X
о	0
0	4-2z+2y	0	„	, „
J dy / f(x,y,z)dz + /dx / dy / f(x,y.
0	— 2	-x-2	0
2	2—у 4— 2x — 2y
j'dyj'dx / f(x,y,z
0	0	0
2x + 2y
f f(x,y,z)dz +
0
x-2
4-\-2x—2y
< f f(x,y,z)dz,
0
z
О У+2
dy dx
4 —
0
’>z
0
0	z+2
dx I dyx
— 2	0
2	0	4-f-2x — 2y
-2	0
4	2—z/2	2—y—z/2
4
0
-2	-2-y
y — z /2Ц-2
О y-2	0
0	4+2z+2y
f dx J f(xjy,z)dz,
0
0
0
0
y+z/2-2
> Z.
X
0	z/2-2	-y+z/2-2
-2
466
Ответы и указания
2»+4	2-y-z/2	2	4-2»	y-z/2+2 х j dz у f(x,y,z)dx + Jdy J dz J f(x,y,z)dx, 0	y+z/2-2	0	0	z/2—» —2 2~x — z/2	4	0	z—z/2+2 X У f(x,y,z)dy + Jdz у dx J f(x,y,z)dy, x+z/2-2	0	z/2-2	—x+z/2 —2 2 —x—z/2	2	4 —2z j/ —z/24-2 x у f (z, y,z) dy + Jdx J dz J f(x^y^z)dy. 22. a) z+z/2-1	0	0	Z/2-X-2	4	2—z/2 Уdz у dx x 0	0 0	2z+4 У dx у dz x — 2	0 1 (!-«)/“ У dy J dx x 0	0
ах+у	1 г (1-»)/а	1	1	(1-»)/а
х J f(x,y,z)dz = JdzJdy J f(x,y,z)dx+jdzjdy J f(x,y,z)dx = 0	0	0 (z — y)/a	0	2	0
1	- 1	(!-V)/a	У (!-«)/«	1/a az
= Jdy\Jdz J f(x,y,z)dx + уdz J f (t, j/, z) dx I = j dx\j dz x 0 У (z-»)/a	0	0	0	0
1 — ax	1 1 —ax	_	1	_ l/a 1 —ax
x / f(x,y,z)dy+ fdz j' f(x,y,z)dy^	= Jdz\Jdx J f(x,y,z)dy +
0	ax z—ax	0 z/a	0
г/a 1-az	1	1	2z2+3»2	1	3»2	1
+ j dx J f[x,y,z')dy\- 6) J dx J dy J f(x,y,z)dz = jdy\Jdz J f{x,y, 0	z —az	0	0	0	0	0	0
3
5
x J
у/ (г-3«2)/2
, z)dx + J dz j dy у	f (z, y, z) dx + j dz x
2	^(г-2)/3	y/(z~3y2)/2	3
I	1	’-2	1	2x2+3
x, y, z) dy + J dz x 2z2
x J dy у f(x,y,z)dx = Jdx^Jdzj V(^-2)/3	А/(г-33,2)/2	0	0	0
f f(x,y,z\
-/(z-2z2)/3
2 \Д72 j dz J dx о о
5
X
0	v^72	0
3	1
x 1
у/ (z-2z2)/3
JdzJdx j f(x,y,z)dy+ J dz J 2	°	y/(z-2^)/3	3	У(^-3)/2
x у f(x,y,z)dy, в) например, Jdz Jdx	J f(x,y,z)dy = Jdx x
y/(.z-2x2)/3	-1	|г|	->Л2-г2	0
x	х/х2 — у^	l у2 j
x Jdy у f(x,y,z)dz-, r) например, -Я _,/т2—,.2	0	0	1/
J az x
У2
Глава ХШ
467
sin в dO х
arcctg (1/ cos v?) l/(cos tp sin 9)
dp У f(r)r2dr +
arccos(tg0) cos 0/sin2 0
1	тг/4	it/'
x f f(x,y,z)dx\. 23. a) 0; 6)1/8. 24. Например, j dip j zjy	0
X/(cos tp sin 0)	-ir/4	тг/4
x J f(r)r2 dr = j sin в dd j cos»/sin2»	arctg (l/v'Z)
тг/2	тг/4	1/(cos tp sin0)
+ j sinede у d<p у f(r)r2dr. 25. a) ?r/10; 6) 37tt/25. 26. a) 4тг/21; w/4	0	cos0/sin20
б) 81/40ТГ. 27. а) Зч/Зтг/5; 6) &>rabc/5\ в) 9/4. 28. a) 2/3; 6) 1; в) тгаЬ(а + Ь)/8. 29. а) 21тг/32; б) тг(Ь - а)(62 + ab - 2а2)/3. 30. а) 21?г/(4ч/2); б) тг2а3/(4чЛ). 31. а) тгаЬс/60; б) 81/40; в) 6. 32. а) 4тгр0; б) 128р0/15; в) 1408ро/105. 33. а) то = 0, уо = 2, zo = 4а/(3тг); б) х0 = уо = 16-\/3/(15тг), zo = 2; в) х0 = = 7р/18, уо = 0, zq — 7р/176; г) то = уо = 0, zQ = 7/20. 34. а) то = —2, Ро = 1, zo = 4/3; б) хо = -2, р0 = 1, z0 = 2/3; в) т0 = 32/13, ро = 16/13, za = = 33/65. 35. а) 1ху — (4/15)тгр0«Ьс3, Ixz = (4/15)тгроаЬ3с, Iyz — (4/15)тгроа35с; 6) Fy — 7Гро/10, Ixz lyz ~ ТГро/20; в) 1ху 81тГро/16, lyz — Fz ~ Q'Kpo/^-^' 36. а) 1Ху = (4/9)тгроаЬс3, Fz = (4/9)тгроа63с, Iyz = (4/9)тгроа36<-“ б) Fy = = 75тг, Ixz = 62тг, IyZ = 50тг. 37. а) F = 1У = 0,15тгро, F = 0,1тгро, 1о = 0,2тгро; б) 1Х = 1у= тгр0а5(16 - 7л/2)/60, F = ^роа&(8 - 5л/2)/30, 10 = тгроа5(2 -— \/2)/5. 38. отг2ро/64. 39. Fx = уЩdxdydz = у porno Ц dydzx Т	-Я^у^Я
z^h
Fy — 0; Fz = '7Р&тоЩ ^dxdydz =
1
- -I- II2
0;
+ z2)3/2 - 7Pomo Ц х^+уЗ^Я?
40. a)
8tt2R5
Vh2-s/4 „ Г ____________xdx______ _
J (т2+У2+г2)3/2
= 7pomo I dxdy
Г2 + ?/2^Л>2	О
----/ ? 1 9 .	= 2-K-fpomo{R + h - y/R2 + h2).
у/x2 + у2 + h2 /
______ 2______ a-\ 2mhlh2--.hm Л9 QlQ2-..Qm 40 __________
) (m — l)!(2m + 1)'	'	|Д|	’ ml '	"15
Глава XIII
1. a) 1 + t/2; 6) 2^; в) 2(e“ - 1) + ^e“; г) 2a2; д) |[(2 +1£)3/2 -— 23/2]; e) 2. a) б) 5p0; в) 4 arcsin^; r) 1 [зч/З - 1 + + | ^1+^/3] 3. a) Xo=3^tVQ=^. 6) XQ = yo = ZQ = 4a . 4. Mx = it	«J J	Z7T	Z/l	lOTTi
= My = 3al. 5. a) ^a^o. 6) 3^3a3p0 6. ц =	= 5ро,Д^1,
Iz — роч/4тг2 + 1. 7. Fi = 0, F2 = где 7 — гравитационная постоянная. 8. а) 0; б) |; в) 2. 9. а) б) -|; в) -|. 10. -||. 11. |. 12. 0. 13. -тга2. 14. -2тг. 15. 0. 16. -тг. 17. 2тгУ2а2sin - а). 18.
19. f. 20. 0. 21. а) тг; б) тга(2с - 5). 22. а) 4; б) -4я. 23. а) б) -2тга5; в) 0; г) ±pSeX2  ^(рг) - е*1 • ip(pi) - р(р2 - Pi) - 0,5р(т2 - Ж1)(р2 - pi) (вы
468
Ответы и указания
бор знака зависит от направления обхода замкнутого контура АтВА).
24. h - J2 = 2. 25. а) тгаб; б) в) In2; г) 3\/3 +	26. / = 2S. 28. а) 8;
а+b
б) 4; в) —|; г) 9; д) е) b — а. 29. a) J f (и) dw, б) f du. О	/ 2~. э
Х2	У2	3	дАл+Ъ
30. j(p(x}dx + Jtp(y)dy. 31. a) u =	+ х2у — ху2 —	+ С; б) и =
Х1	VI
_ dn+mz г дхпдут +
Глава XIV
1. а) 4- — | — УЗ = 0; б) 2х + у/Зу — 2 = 0; в) ах + ау — \/2а2 = 0. 2. a) cosa = cos/3 = — COS7 = -^=; б) cosa = 0, cos/3 = 0, COS7 = —1. 3. а) 2тга г^2у/2- 1). б) а2 (20- Зтг).	4ab(2v^ _	г) kabc(^ +
+К) [(i+^+^) ~К1; д) ?2: е) 4-
б) Д2|п2 — vi|| cos «1 — cosи21; в) 8a2; г) 2a2; д) (20 - Зтг)/9; е) -к^ал/а2 +h2 + 4-fe2lna±V«2+fe2^; Ж) 4тг2а5. 5. а) 4тг(3 4-2ч/3)а2; б) 01(75 + 21/2)-6. h - h = (4тг - 2\/3)а4. 7. ^^1. 8. а) тга3; б) AJ +V2)  в) о,5(3 -— х/З) 4-(73 — 1) In 2; г)	Д) я2(аУГТ^ + 1п(1 + УГ+^));
е) 0,5тга4 sin a cos2 а; ж) 64фА 9. а) 2АХ + 6У?) б) 2 10 <?£а 11.	12. ^7гроа(За2+2Ь2)х/а2+Ь2. 13. 40а4, тгя(й(Я 4-Н)24-
14. то = уо = 0, z0 = х0 = у0 = 0=, z0 =	15. F =
= {Fi, F2, Гз}, где Fi = F2 = 0, F3 = тг7тро1п^У 16. а) 4яа3; б) абс х х	в) 0; г) ^|(а252 + а2с2 + Ь2с2).
17. а) 0; б) тг/i3; в) 0; г) 0; д) тг; е) ж) 0; з) 18. —2тг * Дополните кривую L отрезком так, чтобы контур стал замкнутым; б) 2у/2тга2 sin — а) ; в) — тга2\/3; г) —2тга(а + Л); д) 2тгДг2; е) — |а3; ж) —4; 19. а) — 53^; б) 0;
в) b — а. 20. у	tf (t) dt. 21. а) u= |(т3 + у3 + z3) — 2xyz 4- С; б) и =
^14-^1+zi
= exyz + eyxz + ezxy + С; в) и = x2yz + ху2z + xyz2 + С. 22. — mg(z2 — — 2i). 23. а) 0; б) 0. 24. а) 4тга3; б) 0. ★ Дополните поверхность Ф до замкнутой; в) 0; г) тг. ★ Дополните поверхность Ф до замкнутой; д) 0; е) ж) За4; з) 1^-; и) 1.
Глава XV
469
Глава XV
1. (х - у) = С; gradti(—1,1) = —ni + 4 j; gradti(l, 1) = 0. 2. (z — С)2 + + У2 = С2, х2 + у2 / 0; (z — I)2 + у2 ~ 1; (х — 2)2 + у2 = 4; gradti(l, 1) = = — ej; gradw(2,0) — — (е/2) i; gradti(l,—1) — ej. 3. Пары лучей, сонаправ-ленных с положительными полуосями Ох и Оу и имеющих общее начало на прямой у = х; grad и(2,1) = j; grad u(l, 2) = i. 4. а) Лучи, исходящие из начала координат; б) окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных прямой, параллельной вектору с и проходящей через начало координат; центры этих окружностей лежат на указанной прямой; в) семейство эллипсов х2/а2 + у2/Ь2 =С; г) х = Ciy = Сз^/Й- 5- |gradu| = 2д/2 = = ^-(М), 2 = ^(М), 0 =	6. a) gradu(M) = 36i + 12j + 4k;
6) grad-u(Mi) = —3i + 3k, gradu(M2) = 3i —3j, gradu(M3) = 3j — 3k; в) gradu(M) = i+j + k. 7. а) В точках конуса z2 = xy, б) в точках прямой х = у — z. 8. а) Во всех точках; б) в точках прямой х = у. 9. <р — arccos(—8/9). 10. В точках сферы (х — а)2 + (у — Ь)2 + (г — с)2 = 1. 11. г; 1/г-, sinr; Inr; arctgr. 13. с; (cr)gradu + uc. 14. a) —-(yi 4- rcj);
6) (eu — l)-1(i + j); в) -i-j. 15. a) 0; 6) 2(z2 + y2 + z2)-, в) 0; г) 0; д) 3; e) /1(1/,z) + /2(z,«) +	16. а) 3; б) 2/г; в) 7г4. 17. min diva = 0 при
х = а, у = Ь. 19. а) (сг)/г; б) 2(гс); в) (/'(г)/г)(гс); г) (ab); д) 4(га); е) 0; ж) 2(аЬ). 20. а) 0; б) —2ш2. 21. 0 вне масс. 22. О вне зарядов. 23. a) -(l/y)i- (l/z)j- (l/z)k. 24. а) О; б) 2xyz(3z - 2) i + 2yz2(l - z) к; в) О; г) -(1/z2) j - (2/z3) к; д) 0; е) (1/z2) i + 2(y/z3) j. 25. a) -4i-j; б) 4j — Зк; в) 4i. 26. а) 0; б) 0; в) О. 27. а) (гс) rot а + [са]; б) (1/г)[гс]; в) (/'(Н/НМ; г) 2/(г) с + (/'(г)/г)[сг2 - г(сг)]. 30. (bV)a = yz(z + у) i + zx(y + z) j + xy(z + x) k; (aV)b = y(z2 + z2)i + z(x2 + y2) j + x(y2 + z2)k; da/db — (z2x2 + x2y2 + y2z2)~1/,2[yz(x + y) i + zx(y-f-z)j + xy(z + x) k]; дЪ/да = (y2z2 + z2x2 + z2y2)~1/2[y(z2 + z2) i + z(x2 + y2) j + z(y2 + z2) к]. 31. да/dh = у i + zk; da/dlz — (1/a/2)[(z + y)i + zj + zk]; За/сЛз = (I/a/2) x x[zi + (y -f-z)j +ik]; да/дЦ = (1/л/3)[(т + у) i + (у + z) j + (z + x) k]; (hV)a = yi + zk; (12 V)a ~ (x + y) i + z j + zk; (13 V)a = x i + (y + z) j + + rk; (l4V)a = (z 4- y) i 4- (y 4- z) j + (z + z) k. 33. dT/dt = -2Totexp{-t-2--12}; (vV)T = 2Tor3 exp{—1~2 - t2}- dT/dt = dT/dt + (vV)T = 2T0(-i + + t-3)exp{—1~2 — t2}. 34. dE/dt = iA0wcoswt; (v V)E = (fce/r5{[asint x x(3z2 — r2) — 3bx(ycost + z)]i -f- [&cost(r2 — 3y2) — 3y(bz - azsint)]j + + [b(r2 — 3z2) — 3z(bycost — azsint)]k}; dE/dt = dE/dt + (vV)E. 36. a) (grad-u)2 +-uA-u; 6) f"(r) + (2/r)/'(r); в) [grad-ugradi?]; r) (rotbV) x xa — (aV) rot b — rot b • diva. 37. rot rot a = 2(2zx — x2) i + 2(2xy — y2) j + + 2(2yz - z2) k; grad div a = 2(2zx -f- y2) i + 2(2xy -f- z2) j + 2(2yz + x2) k; Да = 2(x2 + y2) i + 2(y2 + z2) j + 2(z2 + x2) k. 42. a) an0T ~ (l/3)(z i + у j + + zk), асол = (2z/3 + y) i + (x - 4y/3) j -f- (2z/3 + 1) k; 6) anoT — аг, &сол — 0; в) апот = 0, аСол = аз. Следует иметь в виду, что ответы этой задачи не однозначны. Например, возможно а3 = аПОт = асол, где аПОт = (z + z) i + + (г + ж) j + (z + у) к, асол = (т - У - г) i + (у - х - z) j + (2z + у + х~) к. 43. а) 1/6; б) 4тт/3. 44. а) 0; б) 0. 45. а) 4тг/3; б) 5тг/3; в) -5тг/3; г) тг/З; д) 2тг/3. 46. а) 0; б) 2тг3х/3; в) 0; г) Ютгл/3/81. 47. а) 0; 0; б) —2тг/3х/3; 2тг/3л/3; в) 0; 0; г) -Ютгл/3/81; Ютгл/3/81. 48. тга(3 - а2)/3л/3; а = 1; а =
470
Ответы и указания
г) 1; д) -1; е) -2. 55.
ся поля ai и аг; 0; 0;
= — 1. 49. Соленоидальными являются поля ai и аз; 0; 8тг/3; 0; 0. 50. а) 3/2; б) -1/2; в) -1/2; -1/2. 51. а) -тгл/З; б) —2л/3/3; в) тг/у/З; г) -2тг/(3\Л). 52. -тгл/3(1 - а2/3); а = 0. 53. а) 2/3; б) 26/3. 54. а) 2; б) -2; в) -1;
Г
и = jtf{t)dt + С. 56. Потенциальными являют-’’о
0; тг. 57. ai = grad it г, ги = ху + xz + yz + С;
.	у	*
а2 = gradu2; u2 = f fi(£)d£ + Jf2{f])dT] + Jfs(C)dC + C. 58. Ni образует ООО
острый угол с осью Oz. 59. и = In г + С. 60. a) rota = 0 при х2 + у2 / 0; б) rota = 0 при у2 + г2 / 0; в) rot а = [4жт//(ж2 + г/2)2] к; г) rot а = = [4j/£:/(j/2 + z2)2] i; циркуляции всех полей вдоль указанных окружностей равны нулю. Поле а) потенциально в указанной области, и его потенциал есть и = In -^/т2 + у2 + z2/2 + С. Поле б) потенциально в указанной области, и его потенциал есть и = In ^/j/2 + z2 + х2/2 + С. Поля в) и г) не являются потенциальными. 61. О при х2 + у2 / 0; 2тг; нет; да. 62. grad и = = [~|j/|/(z2 + У2)] i + [|ж|/(ж2 + у2)] j; 0; да. 63. 0 при х2 + у2 / 0; 2тг; область не является односвязной. 75. б) 1°) тг/2; 2°) 0; 3°) тг; 4°) 0; в) 1°) в точке A: i = ер, j = е^, к = ez; в точке В: i = — е^, j = ер, к = ег; 2°) в точке А: ер = i, ev = j, ez = k; в точке В: ер = j, = -i, ez = k. 76. б) 1°) тг/2; 2°) 0; 3°) тг; 4°) 0; в) 1°) в точке A: i = ег, j = е,р, k — —eg; в точке В: i — — е^, j = еТ, к = —ев; 2°) в точке A: er — i, ее — —k, ev = j; в точке В: er = j, ее = —k, ev = —i. 77. grad и = ер + + -	78. diva = - Г^-(рар) +	, rot а = Ц^-(ра,,) - -^-]ez,
р dip *	р \_dp -' p/ dip ]’	\_рдр'г г/ р dip }	’
где a = ap(p,p)ep + aip{p,<p)ev. 79. gradu= еГ + ее + ^4^
80. a) diva(p,ip,z) = -р j^(pap) +	+ P^-j , гдеа= арер + а^е? + azez;
б) div а(г, в, р) =	[^(г2аг sin 0) + r^(ae sin в) + г где а = агег +
+ ав ев +ач,еч,. 81. a) rota(p,<p,z) =	“ ^)е/> +	~	+
+ ИаД^‘4- 7^] , где а = арер + avev + azez;6) rot а(г, 0, р) = -4^ х - [-4-д ТГ2" ~ -Щга^Тев + ~ [4-(гав) — г [sin 0 dp drv	г [orv ’ dO J v
где a = ar er + ae eg + av ev. 82. Au(p, <p, z) = G’tp) + ~fP^dipi + 83. a) Ci lnp + Сг; б) Cup + C2; в) Ciz + C2; Ci и Сг — произвольные постоянные. 84. a) Ci/r + С2; б) Ci In tg | + С2; в) Cip + Сг; Ci и С2 — произвольные постоянные. 85. т(т + 1)гт~2. 86. divei = д^2д3	>
dive2 = tf	dives = „ Д „ Э(^1Я2); a) divep = dive,, =
Я1Я2Яз dq2 ’	H1H2H3 dqs ' ’ v P v
= 0, divez = 0; 6) diver = divee = ^ctgP, dive^, — 0. 87. a) rotep = 0, rot ev = i ez, rot ez = 0; 6) rot er = 0, rot eg = e^, rot ev = i ctg в, eT — i eg 
х sm
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аддитивность интеграла 150, 188
Асимптотические формулы 55
Безвихревое поле 388
Бесконечная производная 66
Бесконечно большая последовательность 21
-------более высокого порядка роста 29
----функция при х -Ь а справа, слева 42
----------х —> -l-оо, х —> —оо 42
—	дифференцируемая функция 81
—	малая последовательность 21
----функция 52, 199
-------более высокого порядка 52,
199
Бесконечно малые одного порядка 52
Вектор нормали 69, 216
Вектор-функция 68
Векторная линия 384
Векторное поле 384
Векторный потенциал 389
Вертикальная асимптота 130
Верхний интеграл Дарбу 144
----Лебега 187
— предел последовательности 34
Верхняя грань функции 108
----числового множества 8
— сумма по Лебегу 187
-------Риману 144
Ветвь кривой 138
Вихрь 387
Внешняя мера 179
Внутренняя точка множества 192
---- поверхности 346
Возрастание функции в точке 116
----на промежутке 116
Возрастающая последовательность 32
Волновое уравнение 406
Вторая производная 80
Второй дифференциал 81, 226
Выпуклая область 233
Выпуклость графика вверх 131
--- вниз 131
Гармоническая функция 340, 402
Геометрическая интерпретация дифференциала 77
---дифференцируемости функции двух переменных 215
--- производной 66
— — равномерной непрерывности функции 113
---теоремы Лагранжа 117
-------Ролля 117
Геометрические приложения двойного интеграла 283
— — определенного интеграла 164,
165, 167, 168, 171
Гиперболический косинус 49
—	котангенс 49
—	синус 49
—	тангенс 49
Гладкая кривая 318
—	поверхность 346
Годограф 68
Градиент 385
Граница множества 192
—	поверхности 346
Граничная точка множества 192
--- поверхности 346
Двойной интеграл 279
Двусторонняя поверхность 360
Диаметр множества 279
Дивергенция 387, 410
Дифференциал независимой переменной 77, 217
—	функции 77, 216
—	n-го порядка 82, 227
Дифференцирование 65
Дифференцируемая п раз функция
81, 226
—	функция 77, 214
Дифференцируемое п раз скалярное, векторное поле 384
472
Предметный указатель
Длина кривой 165, 317
Дополнение множества 179
Зависимость функций 257
Закон сохранения интенсивности векторной трубки 410
Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные производные 269
----------, — частные производные 270
Замечательные пределы 47, 49
Замкнутая область 193
— поверхность 348
Замкнутое множество 178, 192
Знакоопределенная квадратичная форма 238
Знакопеременная квадратичная форма 238
Измеримая на множестве функция 184
Измеримое (по Лебегу) множество 179
Инвариантность формы первого диф-
ференциала 78, 217
Интеграл Гаусса 379
— Лебега 186
— с переменным верхним пределом 153
Интегральная сумма 143, 279, 295, 312, 317, 325, 353
Интегрирование иррациональных функций 100
— рациональных функций 96
— тригонометрических функций 106
Интегрируемая по Лебегу функция 187
----Риману функция 143
— функция 279, 295
Касательная 66
—	плоскость 215
Квадрируемая поверхность 348
—	фигура 167
Квантор всеобщности 8
—	существования 8
Колебание функции 109, 144
Конвективная производная 392
Коэффициент растяжения объема 300
----площади 283
Криволинейные координаты 282, 298 — ортогональные координаты 432 Криволинейный интеграл второго рода 324
---- первого рода 317 '
Критерий Коши сходимости последовательности 37, 194
— Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы 238
Кубируемое тело 171, 312
Кусочно гладкая кривая 318
— поверхность 346
Кусочно непрерывная функция 145
--- вдоль кривой 318
Лебеговская интегральная сумма
188
Лебеговское разбиение 187
Левая производная 66
Левый предел 41
Лемма Дарбу 144
Линейность интеграла 87, 149, 188
Линия тока 383
— уровня 383
Локальная производная 392
Локальный максимум 131, 236
— минимум 131, 236
— экстремум 131, 236
Максимальное значение функции 109
Масштабный коэффициент 433
Матрица квадратичной формы 237
Мера (Лебега) 179
Метод вычеркивания 98
— замены переменной 91, 155, 281, 297, 313
—	интегрирования по частям 94
—	исключения части переменных 261
—	Лагранжа 263
—	математической индукции 14
—	неопределенных коэффициентов 98
Минимальное значение функции 109
Многочлен Тейлора 125, 229
Множества одинаковой мощности 177
Множество меры нуль 182
—	мощности континуума 177
— точек площади нуль 280
Монотонная последовательность 32
Наклонная асимптота 130
Невозрастающая последовательность 32
Независимая переменная 40, 198
Независимость интеграла от пути интегрирования 335
Неограниченная последовательность 16
Неопределенности разных типов 25, 59, 60
Неопределенный интеграл 87
Неособая точка поверхности 347
Непрерывная кривая 193
Непрерывность функции в точке 48, 205
----------по отдельной переменной
205
Предметный указатель
473
Непрерывность функции в точке по совокупности переменных 205
---------- слева 48
Непрерывность функции в точке справа 48
--- вдоль кривой 318
---множестве 206
Неравенство Бернулли 14
— треугольника 195
Неубывающая последовательность 32
Нечетная функция 130
Неявная функция 243
Нижний интеграл Дарбу 144
---Лебега 187
—	объем тела 312
—	предел последовательности 34
Нижняя грань функции 109
---числового множества 7, 8
—	сумма по Лебегу 187
-------Риману 144
Нормаль 69, 216
Ньютоновский потенциал поля тяготения 386
Область 193
— определения функции 40, 198
Обобщенные полярные координаты 290
—	сферические координаты 299
Образ области 281
Общая форма остаточного члена 125
Объединение множеств 177
Объем m-мерного параллелепипеда 312 — тела (по Жордану) 171, 312 Объемно односвязная область 409 Ограниченная последовательность 16, 194
—	сверху функция 108
— снизу функция 108
— функция 108, 206
Ограниченное множество 8, 193
—	сверху множество 7
—	снизу множество 7
Односвязная область 335
Односторонняя поверхность 360
Окрестность 6, 193
Оператор Гамильтона 390
—	дифференциала 227
— “набла” 390
—	Лапласа 402
—	производной по направлению 391
—	частной производной 227 Определенный интеграл 143 Определитель Якоби 245 Ориентация поверхности 361 Ориентируемая поверхность 361 Особая точка поверхности 347
Остаточный член асимптотической формулы 56
---формулы Тейлора в форме Коши и Лагранжа 125
Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано 125, 229
Открытое множество 178, 192
Открытый m-мерный шар 192
Отрицательно определенная квадра-
тичная форма 237
Отрицательное направление обхода 325
Параметр 67, 345
— Ламэ 433
Параметрическое задание поверхности 345
---функции 68
Первообразная 87, 154
Первый дифференциал 77, 216
Переменная дуга 165
Пересечение множеств 177
Периодическая функция 130
Плоская фигура 167
Площадь плоской фигуры (по Жордану) 167
— поверхности 348
Поверхностно односвязная область
369
Поверхностный интеграл второго рода 361
--- первого рода 353
Поверхность уровня 383
Повторный интеграл 280, 296, 313
— предел 200
Подпоследовательность 34
Подстановки Эйлера 100
Покоординатная сходимость 194
Полная производная 392
Полное приращение 204
Полный дифференциал 335, 369
Положительно определенная квадра-
тичная форма 237
Положительное направление обхода
325, 367
Последовательность 16
—	точек пространства 193
Потенциал электрического поля 383
Потенциальное поле 386
Поток векторного поля 363, 407
—	жидкости 408
Правая производная 66
Правила дифференцирования 66
Правило Лопиталя 122
—	построения отрицания 8
—	сравнения чисел 5
Правый предел 41
474
Предметный указатель
Предел вектор-функции 68
—	длин ломаных 164
—	интегральных сумм 143, 279, 295, 317, 325, 348
Предел последовательности 16
--- точек пространства 193
—	функции в точке 40, 199
---на бесконечности 41, 199
Предельная точка множества 40, 192
--- последовательности 34
Представление вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей 5
Приращение функции 65, 205
Произведение вещественных чисел 11
Производная 65
—	вектор-функции 68
—	по направлению 385
—	n-го порядка 80
Прообраз области 281
Простая замкнутая кривая 164, 317
—	незамкнутая кривая 164, 317
—	область 334, 377
—	поверхность 346
Простейшие дроби 97
—	элементарные функции 48
Равенство вещественных чисел 5
Равномерная непрерывность функции 112, 206
Разбиение множества 186
Разностное отношение 65
Разность множеств 178
Расстояние между двумя точками 191
Расходящаяся последовательность 16
Ротор 387, 414
Свойство, справедливое почти всюду 184
Связное множество 193
Силовая линия 383
Скалярное поле 383
Скалярный потенциал 386
Сложная функция 48, 206
Смешанная производная 226
Совокупность неявных функций, определяемых системой уравнений 245
Соленоидальное поле 388, 410
Спрямляемая кривая 164, 317
Среднее значение функции 150
Строго монотонная последовательность 32
Сторона поверхности 360
Сумма множеств 177
—	ряда 178
Суммы Дарбу 144
Сферические координаты 299
Схема построения графика функции у = f(x) 132
Схема построения кривой, заданной параметрически 137
Сходящаяся последовательность 16, 193
Сходящийся ряд 178
Счетная аддитивность меры Лебега 179
Счетное множество 177
Таблица основных неопределенных интегралов 89
— производных простейших элементарных функций 65
Телеграфное уравнение 405
Тело 171, 300, 312
Теорема Больцано-Вейерштрасса 34, 194
— Вейерштрасса вторая 109, 206
---- первая 108, 206
— Кантора 113, 206
—	Коши 117
—	Лагранжа 117
—	Лузина 185
—	о вычислении площади поверхности с помощью двойного интеграла 348
— — — поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла 354
----дифференцируемости обратной функции 67
-------сложной функции 67, 216
----локальной ограниченности функции, непрерывной в точке 108
----непрерывности сложной функции 48, 206
----разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей 97
----связи между криволинейными интегралами первого и второго рода 326
----структуре открытых множеств 178
----существовании точных граней числового множества 9
----сходимости монотонной ограниченной последовательности 32
---- трех последовательностях 25
— об устойчивости знака непрерывной функции 108
— Ролля 117
Предметный указатель
475
Теоремы о вычислении кратных интегралов с помощью повторного интегрирования 280
-------криволинейных интегралов с помощью определенного интеграла 318, 326
----дифференцируемых функциях 77, 116, 215
----зависимости и независимости функций 257, 258
----замене переменных в интегралах 91, 155, 282, 300, 316
----направлении выпуклости и точках перегиба графика функции 131
----непрерывных функциях 48, 49, 108, 109, 205, 206
----неявных функциях 243-246
----первообразных 87, 91, 94, 97, 154, 155
---- пределах последовательностей 16, 21, 25, 32, 34, 37, 194
-------функций 41, 199, 200
----производных 66, 67
----равенстве смешанных производных 226
— об измеримых функциях 184, 185
----интегрируемых функциях 144, 145, 187, 279, 280, 295
----условиях независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования 335, 369
----экстремумах функций 131, 236, 263
Точка возврата 141
— возможного экстремума 131, 237
— перегиба 131
— разрыва 49, 205
----I и II рода 49
— устранимого разрыва 49
— m-мерного координатного пространства 191
Точные верхняя и нижняя грани множества 8
-------функции 108, 206
Тройной интеграл 295
Убывание функции в точке 116
----на промежутке 116
Убывающая последовательность 32
Угловая точка 134
Угловой минор 237
Упорядоченная совокупность чисел 191
Уравнение касательной 66
---- плоскости 216
Уравнение Лапласа 235
—	теплопроводности 235
—	Пуассона 403
Уравнения Максвелла 389
Условия связи 261
Условный максимум 261
—	минимум 261
— экстремум 261
Физическая интерпретация вектор-функции и ее производной 68
---дифференциала 77
--- поверхностного интеграла второго рода 363
--- производной 66
---теоремы Лагранжа 117
------- Ролля 117
---формулы Остроградского-Гаусса 408
-------Стокса 412
--- частной производной 213
Формула бинома Ньютона 29
— Грина 334
---вторая 338, 425, 426
--- первая 425, 426
— замены переменной 91, 155
— интегрирования по частям 94, 155
—	Коши 118
— Лагранжа конечных приращений 117, 229
—	Лейбница 81
—	Маклорена 125
— Ньютона-Лейбница 155
— Остроградского-Гаусса 378, 408
— Стокса 368, 411
— Тейлора 125, 228
Формулы для вычисления длин плоских кривых 165
-------моментов и координат центра тяжести 175, 284, 301, 319, 327, 354
Формулы для вычисления объемов тел 172, 282, 300
-------площадей 168, 283, 348
— замены переменных 269
-------в кратных интегралах 281, 297, 313
— среднего значения 150
Фундаментальная последовательность 37, 194
Функциональная матрица 257
Функция 40
— Дирихле 44, 146, 151, 185, 189
—	Лагранжа 263
—	Римана 148
—	т переменных 198
—	sgn х 88, 154
476
Предметный указатель
Цилиндрические координаты 298
Циркуляция 411
Частичная сумма ряда 178
Частичный предел последовательности 34
Частная производная 213
---n-го порядка 225
Частное значение функции 40, 198
—	приращение функции 204
Четная функция 130
Число е 49
Числовая последовательность 16
—	прямая 6
Числовой ряд 178
Член последовательности 16
—	ряда 178
Эквивалентные бесконечно малые 52
—	множества 177
—	функции 185
Эквипотенциальная поверхность 387
Экстремум 131, 236
Элемент объема в криволинейных координатах 300
Элемент объема в прямоугольных координатах 300
— площади в криволинейных координатах 283
-------прямоугольных координатах 283
Элементарная функция 49
Эллиптический интеграл 166
Явная функция 130
Явное задание поверхности 345
Якобиан 245
С-свойство измеримых функций 185
m-кратный интеграл 312
m-мерная сфера 192
m-мерное евклидово пространство 191
—	координатное пространство 191
m-мерный параллелепипед 192
—	шар 192
“о малое” 52
xj/z-проектируемая поверхность 368
^-трапециевидная область 280
z-цилиндрическая область 377
е-окрестность б, 192
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................... 3
ГЛАВА I
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1.	Сравнение вещественных чисел................................. 5
§ 2.	Точные грани числового множества. Применение символов математической логики ....................................... 7
§ 3.	Арифметические операции над вещественными числами..	11
§ 4.	Метод математической индукции .............................. 14
ГЛАВА И
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1.	Ограниченные и неограниченные последовательности............ 16
§ 2.	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности . .	21
§ 3.	Свойства сходящихся последовательностей..................... 24
§ 4.	Замечательные пределы....................................... 29
§ 5.	Монотонные последовательности............................... 32
§ 6.	Предельные точки............................................ 34
§ 7.	Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности ............................... 37
ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 1.	Предел функции. Теоремы о пределах. Бесконечно большие функции .................................................... 40
§ 2.	Непрерывность функции в точке............................... 48
§ 3.	Сравнение бесконечно малых функций. Символ “о малое” и его свойства................................................ 52
§ 4.	Вычисление	пределов	функций с помощью асимптотических формул. Вычисление пределов показательно-степенных функций ...	58
ГЛАВА IV
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1.	Производная функции. Правила дифференцирования.............. 65
§ 2.	Дифференциал функции........................................ 77
§ 3.	Производные и дифференциалы высших порядков................. 80
478
Оглавление
ГЛАВА V
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1	Первообразная и неопределенный интеграл	87
§ 2	Простейшие неопределенные интегралы	89
§ 3	Метод замены переменной	91
§ 4	Метод интегрирования по частям	94
§ 5	Интегрирование рациональных функций	96
§ 6	Интегрирование иррациональных функций	100
§ 7	Интегрирование тригонометрических функций	106
ГЛАВА VI ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
§ 1	Теоремы об ограниченности	непрерывных	функций	108
§ 2	Равномерная непрерывность	функции	112
§ 3	Некоторые теоремы о дифференцируемых	функциях	116
§ 4	Правило Лопиталя	122
§ 5	Формула Тейлора	125
ГЛАВА VII ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
§ 1	Построение графиков явных функций	130
§ 2	Исследование плоских кривых, заданных параметрически	137
ГЛАВА VIII ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1	Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл	143
§ 2	Свойства определенного интеграла	149
§ 3	Формула Ньютона-Лейбница	153
§ 4	Вычисление длин плоских кривых	164
§ 5	Вычисление площадей плоских фигур	167
§ 6	Вычисление объемов тел	171
§ 7	Физические приложения определенного интеграла	173
ГЛАВА IX МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1	Мера множества	177
§ 2	Измеримые функции	184
§ 3	Интеграл Лебега	186
Оглавление
479
ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1	Последовательности точек в m-мерном евклидовом пространстве 191
§ 2	Предел функции	198
§ 3	Непрерывность функции	204
§ 4	Частные производные и дифференцируемость функции	213
§ 5	Частные производные и дифференциалы высших порядков	225
§ 6	Локальный экстремум функции	236
ГЛАВА XI
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1	Неявные функции	243
§ 2	Зависимость функций	257
§ 3	Условный экстремум	261
§ 4	Замена переменных	269
ГЛАВА ХП КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1	Двойные интегралы	279
§ 2	Тройные интегралы	295
§ 3	m-кратные интегралы	312
ГЛАВА XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1	Криволинейные интегралы первого рода	317
§ 2	Криволинейные интегралы второго рода	324
§ 3	Формула Грина Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования	333
ГЛАВА XIV
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1	Площадь поверхности	345
§ 2	Поверхностные интегралы первого рода	353
§ 3	Поверхностные интегралы второго рода	360
§ 4	Формула Стокса	367
§ 5	Формула Остроградского-Гаусса	377
ГЛАВА XV СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
§ 1	Дифференциальные операции в скалярных и векторных полях 383
§ 2	Повторные дифференциальные операции в скалярных и векторных полях	402
§ 3	Интегральные характеристики векторных полей	407
§ 4	Основные дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах	432
Ответы и указания	437
Предметный указатель	471
Учебное издание
БУТУЗОВ Валентин Федорович, КРУТИЦКАЯ Наталия Чары, МЕДВЕДЕВ Герман Николаевич, ШИШКИН Александр Александрович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ
Редактор Е.Ю. Ходан Оригинал-макет Н.Л. Ивановой
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 25.05.01.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 30. Уч.-изд. л. 33. Тираж 3000 экз. Заказ № 1742
Издательская фирма “Физико-математическая литература” МАИК “Наука/Интерпериодика”
117864 Москва, ул. Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП “Типография “Наука” 121099 Москва, Шубинский пер., 6
9
785922
101271