И. А. Виноградова,
С. Н. Олехник,
В. А. Садовничий
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
В ЗАДАЧАХ
И УПРАЖНЕНИЯХ
Допущено Государственным комитетом СССР по на-
родному образованию в качестве учебного пособия для
студентов вузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1991
ББК 22.161
В48
УДК 517(075.8)
Рецензенты:
кафедра высшей математики МИФИ, чл.-кор. АН СССР Л. Д. Кудрявцев
В48 Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А.
Математический анализ в задачах и упражнениях: Учеб,
пособие. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1991. — 352 с.
ISBN 5—211—01559—2.
Пособие составлено на материале занятий по курсу математического
анализа на II курсе механико-математического факультета МГУ и отра-
жает опыт преподавания кафедры математического анализа. Перед зада-
чами приводятся развернутые методические указания. В них даны все
используемые в данном параграфе определения, формулировки основных
теорем, вывод некоторых соотношений, приведены подробные решения
характерных задач, обращено внимание на часто встречающиеся ошибки.
Содержание задач и упражнений согласовано с теоретическим курсом
математического анализа. Большая часть задач и упражнений отлична от
задач, содержащихся в известном задачнике Б. П. Демидовича.
Для студентов математических специальностей университетов и пед-
вузов и студентов технических вузов с углубленным изучением матема-
тического анализа.
1602070000(4309000000) —109
077(02)—91	—
ББК 22.161
Учебное издание
Виноградова Ирина Андреевна
Олехник Слав Николаевич
Садовничий Виктор Антонович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ
Зав. редакцией Н. М. Глазкова Редактор Л. А. Николаев
Художественный редактор Л. В. Мухина Технический редактор Н. И. Смирнова
Корректоры М. И. Эльмус, Н. И. Коновалова
ИБ № 4102
Сдано в набор 28.03.91.	Подписано в печать 19.11.91.
Формат 60x90/16	Бумага тип. № 2
Гарнитура литературная. Высокая печать.
Усл. печ. л. 22	Уч.-изд. л. 23,81
Тираж 17.000 экз.	Заказ 68.	Изд. № 1757
Цена 4 р. 05 к.
Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ.
119899, Москва, Ленинские горы
ISBN 5—211—01559—2
© Виноградова И. А.,
Олехник С. Н.,
Садовничий В. А., 1991 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................ 4
Г лава I. Интегральное исчисление функций многих переменных ...	5
§ 1.	Определение и общие свойства интеграла от функции f : Rn-*-R	5
§ 2.	Двойной интеграл. Его геометрические и механические приложе-
1.	Теорема Фубини.............................................20
2.	Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярной и
обобщенной полярной системам координат...................... 43
3.	Площадь поверхности и ее вычисление........................58
4.	Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела .	67
5.	Механические приложения двойного интеграла.................71
§ 3.	Тройной интеграл. Его геометрические и механические прило-
жения .........................................................75
1.	Общие свойства. Теорема Фубини.............................75
2.	Замена переменных. Переход к цилиндрическим, сферическим и
обобщенным сферическим координатам...........................90
3.	Объем тела.................................................ЮЗ
4.	Механические приложения тройного интеграла................108
§ 4.	Несобственный кратный интеграл.............................ИЗ
Задачи.......................................................127
Ответы.......................................................157
Глава II. Криволинейный и поверхностный интегралы первого рода .	.	184
§ 1.	Криволинейный интеграл первого рода.......................184
§ 2.	Поверхностный интеграл первого рода.......................198
Задачи.......................................................205
Ответы.......................................................216
Глава III. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода.
Векторный анализ...................................................220
§ 1.	Ориентация кусочно-гладкой кривой LcR3 и кусочно-гладкой
поверхности SczR3..............................................220
§ 2.	Дифференциальные формы в курсе анализа. Интегрирование
дифференциальных форм.	Общие	сведения...................229
§ 3.	Криволинейный интеграл второго	рода.....................247
§ 4.	Поверхностный интеграл второго	рода.....................255
§ 5.	Векторный анализ..........................................263
§ 2*	. Криволинейный интеграл	второго	рода.....................278
§ 3*	. Поверхностный интеграл	второго	рода.....................289
§ 4*. Векторный анализ.........................................301
Задачи.......................................................319
Ответы.......................................................337
Теоретические задачи ....................................... 340
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1988 г. в Издательстве МГУ вышел в свет сборник авторов
«Задачи и упражнения по математическому анализу». В этот
сборник вошел материал, соответствующий первому году обуче-
ния по курсу математического анализа на механико-математиче-
ских факультетах университетов.
Настоящий задачник соответствует курсу математического
анализа, излагаемого на втором курсе, и соответствует материалу
одного семестра. Сборник посвящен интегральному исчислению
функций многих переменных. Он содержит следующие разделы:
«Кратный интеграл», «Криволинейный и поверхностный интеграл
первого рода», «Криволинейный и поверхностный интеграл второ-
го рода».
Так же, как и в первой книге, авторы ставили своей целью не
только привести списки задач и дать ответы, а стремились при-
вести необходимые теоретические сведения и, главное, дать по-
дробные методические указания, привести типичные алгоритмы,
пригодные для решений целых классов задач. Обращается вни-
мание на типичные ошибки, допускаемые при решениях, разобра-
ны наиболее характерные задачи.
Вслед за изложением методических указаний приводятся за-
дачи и упражнения вычислительного характера. Все предлагае-
мые задачи снабжены ответами.
Следует заметить, что в основном задачи и упражнения ранее
не встречались в известных задачниках по математическому ана-
лизу и являются в определенном смысле новыми.
В сборнике имеется еще одна особенность. Материал третьей
главы изложен двумя способами. Интегральное исчисление стро-
ится с использованием дифференциальных форм и в более клас-
сическом виде — без их использования. Это соответствует сло-
жившейся ситуации чтения данного раздела математического
анализа в университетах страны.
Структура построения предложенного задачника аналогична
структуре упоминавшейся книги «Задачи и упражнения по мате-
матическому анализу».
Авторы выражают искреннюю благодарность сотрудникам ка-
федры математического анализа механико-математического фа-
культета МГУ им. М. В. Ломоносова за полезные замечания,
предложения, участие в обсуждении. Авторы особо благодарны
Ю. А. Казьмину, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд по-
лезных предложений и замечаний, а также И. Г. Царькову и
В. Е. Подольскому за обсуждение отдельных частей рукописи.
4
ГЛАВА I
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
ОТ ФУНКЦИИ f : R’-*R
Определение. Множество 1={х, x^Rn, а^х^Ь,,
называется стандартным относительно осей координат брусом в
Rn (n-мерным брусом, или промежутком).
Если необходимо отметить точки a=(aj, а2, ...,ап) и b=(bi,
b ~,..., Ьп), то применяется обозначение /а, ь.
Другими словами, промежуток в Rn есть декартово произве-
дение отрезков, лежащих на координатных осях.
И
Определение. Число П(Ь,—а,-) называется n-мерным объ-
i=l
емом бруса 1а,ь и обозначается 11а,ь I •
Если размерность бруса ясна из контекста, то вместо термина
«л-мерный объем» используется термин «объем».
Определение. Пусть задан брус Ia,i,czRn. Разбиения 7\,
координатных отрезков [ai; b(],	с диаметром
7.(Г{) индуцируют разбиение бруса Д.?, на более мелкие проме-
жутки /«,	получающиеся декартовым произведением
промежутков разбиения отрезков [a,, b{],	Представление
Q,
бруса 1а,ь в виде 1а,ь= U Iq называется разбиением бруса 1а,ь
«=1
и обозначается символом Т. Величина А(Г)= max л(Д) называ-
ется параметром разбиения Т.
Пусть функция f : I~^~R ограничена на / и Т — разбиение I. По-
ложим
sup f(x), 1 Д q <С Q, inf f (х),
xei9	X£iq
Q	Q
S(T, /) = Vs(T, d = E
q--.',	<7=1
(t/) ?/(x)dx = infS(7, f) = <F, (L)'\fdx = sups(E, f) = &.
;	т	i	T-
Для любой ограниченной функции f: I-+-R имеем 3^2/.
Определение. Если 3=3=3, то функция f: I-+R называ-
ется интегрируемой по Риману на / и число 3 называется инте-
гралом Римана от f по I и обозначается $fdx.
I
5
Это определение эквивалентно такому: пусть Т — разбиение
и — совокупность точек £а,	таких, что
А	ч
функция f, 1-+Rn интегрируема на I, если lim У
существует и не зависит от выбора точек {Е9}Я=1 и разбиения Т.
Данное определение аналогично определению интеграла Ри-
мана на отрезке [а, Ь] (а<Ь), т. е. случаю п=1. Сходство опре-
деления подчеркнуто и формой записи подынтегрального выра-
жения fdx. Равносильные, но более развернутые обозначения рас-
сматриваемого интеграла такие:
j f (хь х2, ..., xn) dx1 dx2 .. . dxn,
i
или
$	•  • • J f (*1, -4, ..., xn) dxi dx2 ... dxn.
п раз
1
Замечание. Для функции одной переменной f: R-+R и
ь
промежутка [a, b]czR, a<.b, имеет смысл как символ dx, так
а
а	Ь
и символ dx=—^fdx, т. е. интеграл Римана от функции од-
Ь	а
ного действительного переменного определяется по направленно-
му промежутку. В пространстве же Rn, ns-2, понятие направлен-
ного промежутка не вводится. Если и в пространстве R рассмат-
ривать толь:.о такие промежутки [а, &], для которых а<&, то в
дальнейшем при рассмотрении Rn можно считать п любым нату-
ральным числом, в том числе и единицей.
Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле от функции
многих переменных на брусе IczRn (м>2), говорят, что это крат-
ный интеграл (двойной, тройной и т. д. в соответствии с размер-
ностью Rn).
Определение. Множество MaRn называется множеством
меры нуль в смысле Лебега (короче, множеством меры нуль),
если для любого 8>0 существует покрытие множества М не бо-
лее чем счетной системой {Д}^=1 п- мерных промежутков, сумма
00
объемов которых \1Ч\ не превышает 8.
?=i
Некоторые свойства множеств меры нуль в смысле Лебега.
1.	Точка есть множество меры нуль.
2.	Объединение конечного или счетного числа множеств меры
нуль есть множество меры нуль. В частности, всякое не более чем
счетное множество есть множество меры нуль.
6
3.	Подмножество множества меры нуль есть множество меры
нуль.
4.	Пусть PczRn— замкнутое ограниченное множество и функ-
ция / : P—^R непрерывна на Р. Тогда множество
Mcz Rn+l: М={(х1( х2, .хп, у):х = (х1, х2, хп)^Р,
(график функции у на Р) есть множество меры нуль.
Заметим, что никакое открытое множество GczRn не является
множеством меры нуль. Так, например, интервал (a, b)aR есть
открытое множество в пространстве R и тем самым не есть в
этом пространстве множество меры нуль. Если же взять интервал
(а, Ь) на оси ОХ в двумерном пространстве R2, то он будет мно-
жеством меры нуль, но этот интервал в R2 уже не есть открытое
множество.
Определение. Пусть множество D<zzRn. Функция
-+R
называется характеристической функцией множества D.
Определение. Множество DczzRn называется жордановым
множеством, если D ограничено и функция интегрируема по
Риману на любом брусе Ic: Rr>, таком, что Del. Величина JxDdx
I
называется л-мерным объемом или мерой в смысле Жордана
множества D и обозначается | D | или V(D).
Величина ^Xodx не зависит от выбора бруса /, содержащего
I
множество D, и, следовательно, данное определение корректно.
Можно показать, что для того, чтобы множество DaRn было
жордановым, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниче-
но и множество его граничных точек было множеством меры нуль
в смысле Лебега.
Приведем теперь эквивалентное определение гг-мерного объ-
ема, не использующее понятие интеграла.
Обозначим через Нк множество всех брусов Ia,b<^Rn, для ко-
торых ai~~2k~’ Р	1 <С i п. Для множества
DcRn через /Д (D) обозначим объединение всех брусов из //*, ко-
торые целиком входят в D, через Hk(D) —объединение всех бру-
сов из Нк, которые пересекаются с D. Объем Hk(D}, равный сум-
ме объемов составляющих его брусов, обозначим Vk(D)- объем
НЬ(Р)—Vk(D). Если lim(D) = HmVk(D), то множество D жор-
k->QQ.
7
даново и число V(D), равное значению этих пределов, есть его
n-мерный объем.
Любой брус /а, ьсд7?п является жордановым множеством, и
k '
определенный выше его объем |Za,&| =11 (&, — а,) совпадает с объ-
i=l
емом V(Ia, ь), определяемым по приведенному выше правилу для
объема жордановых множеств.
Используя указанные выше свойства множеств меры нуль,
можно получить следующие свойства жордановых множеств.
1.	Дополнение жорданова множества до любого включающего
его бруса есть жорданово множество.
2.	Объединение и пересечение конечного числа жордановых
множеств есть жорданово множество.
3.	Если М — жорданово множество объема нуль, то любое его
подмножество есть жорданово множество объема нуль.
4.	Пусть	cz Rn—замкнутое жорданово множество,
(paeClAfj), Ф1 (х)	<р2 (х), хеМр Тогда множество /И = {х, х —
= (Хр х2, .... хп, xn+1) : т = (х1( ха, .... xJ^M^ фх (х) С х„+1 <
Ф2 (х)> жорданово.
5.	Пусть Mi<zzRn — ограниченное множество и С — константа.
Тогда множество 7W={x:x=(xi, х2, ...,х„, C):m=(xi, х2, ...,х„)е
eAli} есть жорданово множество объема нуль.
6.	Множество M<^R2, границей которого является спрямляе-
мая (в частности, кусочно-гладкая) замкнутая кривая без само-
пересечений, является жордановым множеством. Множество Мс
czR3, границей которого является кусочно-гладкая замкнутая по-
верхность без самопересечений, является жордановым множест-
вом.
7.	Если /1 — жорданово множество, то М (замыкание М) и
А1° (множество внутренних точек М) —также жордановы множе-
ства и объемы множеств М, М и М° равны, т. е.
|М| = |М| == | М°|.
Так, например, отрезок [а, Ь] оси ОХ есть жорданово множе-
ство объема (Ь—а) в одномерном пространстве R и жорданово
множество объема нуль в двумерном пространстве R2 (и любом
Rn, п>2) (свойство 5); круг {(х, у) :х2 + у2^а2} и множество D=
={(х, */) : 0<х2+t/2^a2} являются жордановыми множествами
объема ла2 в R2 (свойство 6).
Несвязное множество, являющееся объединением двух шаров
{(х, у, г) : х2+у2 + г2^а2} и {(х, у, z) : х2+у2 + г2—8az+ 15а2^0},
есть жорданово множество объема ла3 в R3 (свойства 2 и 6).
Определение. Функция f:Rr‘^-R интегрируема по Риману
на DczRn, если D — жорданово множество и функция f-%D инте-
8
грируема по Риману на брусе I, таком, что Dal. Число j f%Ddx
i
называется интегралом Римана от f по D и обозначается J f dx*.
D
Можно показать, что существование и величина интеграла
\fdx не зависят от выбора промежутка I, если Dal.
D
Из определения и свойства 7 жордановых множеств следует,
что функция f одновременно интегрируема или нет на всех трех
множествах D, D и D°, где D — замыкание множества D, a D° —
его внутренность, т. е. множество внутренних точек D и
f dx = [ dx = \ f dx.
D d Do
Поэтому в дальнейшем при качественном анализе или вычис-
лении интеграла по области D мы часто будем переходить к рас-
смотрению интеграла по замыканию D этой области, не оговари-
вая специально этого перехода. Множество интегрируемых по
Риману на множестве D функций будем обозначать &(D).
Внимание! Записывая символ Й(О), подразумеваем, что мно-
жество D жорданово.
Критерий Лебега интегрируемости по Риману
Пусть D — жорданово множество и f: D->-R. Для интегрируе-
мости по Риману функции f на D необходимо и достаточно, что-
бы f была ограничена и множество ее точек разрыва было мно-
жеством меры нуль.
Из критерия интегрируемости Лебега и свойств множеств ме-
ры нуль получаем
Следствие 1. Ограниченная функция, имеющая не более
чем счетное множество точек разрыва на жордановом множестве
D, интегрируема по Риману на этом множестве.
Следствие 2. Если f<=$(D), то fa^(D{) для любого жор-
данона множества DiaD.
Основные свойства кратного интеграла Римана
1.	Если fe^?(Z)2) и f^%(D2), то fa^D^D^; если множест-
ва Di и D2 не имеют общих внутренних точек (не перекрывают-
ся), то
§ f dx = J f dx + f dx (аддитивность интеграла).
О,иОа	Л,	D,
* Если функция f задана на подмножестве_Ес/?п, то доопределяем ее на
все пространство, полагая f(x) = O для любого хе£.
9
2.	Пусть /e5?(Z)) и	тогда f-ge5?(Z)); для любых
постоянных Ci и С2 (C1f+C2^)e5?(D) и
f (CJ + C.2g) dx = С\ f dx + C2 [ gdx (линейность интеграла).
D	D	D
3.	Если -52(D), TO	и
|f I dx|< \\f\dx.
D	D
4.	Пусть /e^(D), g-ъ %(D) и f(x)^g(x), x'^D, тогда
f dx^ f gdx.
D	D
5.	Если	и m = inf/, Л4 = зир/, то
D	D
m\D\^\fdx^M\D\.
D
6.	Пусть fe-ЙР), gЧ/iiP'), g(x)i>0 для любого xeD, m =
= inf f, M = supf, тогда
D	D
gdxs^L I" f -g dx<^M g dx.
D	D	D
Если при этом D связно и f (D), то найдется точка се D, такая, что
f-gdx = f(£) j gdx (теорема о среднем).
Ь	D
Замечание. Условие связности, как показывает следую-
щий пример, существенно. В самом деле, для функции f(x) =
=signx и множества D={x'.x^[—2, —1]U[1, 2]} имеем \fdx =
b
= 0. Однако не существует такой точки g, принадлежащей мно-
жеству D, что f(g)=O.
7.	Пусть g^ffl(D) и ограниченная функция f: D-+.R совпадает
с g для всех xeeD кроме множества объема нуль, тогда (е
е5?(£>) и
gdx.
D	D
В частности, если на жордановом множестве D функция f :
: D-+R ограничена и совпадает с функцией g^C(D) всюду, кро-
ме множества объема нуль, то fe5?(Z)).
Поэтому в дальнейшем функцию, аналитическое выражение
которой теряет смысл в точках множества объема нуль, всегда
будем предполагать доопределенной в точках этого множества;
там, где возможно, — по непрерывности, там, где это невозмож-
10
но, — произвольным образом, лишь бы полученная функция была
ограниченной.
Замечание. Требование ограниченности функции f(x) на
D в свойстве 7 существенно. Так, например, пусть gr(x) = l,
[ 1, х#= —, п е N-,
011
f(x)=;	j
п, х = —-, nez N
2”
и D есть отрезок [О, 1]. Функция f(x) совпадает с интегрируемой
на [О, 1] функцией g(x) всюду на отрезке [О, 1], кроме множе-
ства М=(х, х=\/2п, певХ}, объем которого равен нулю (прове-
рить!) но f(x) как неограниченная функция не является интегри-
руемой на [О, 1].
Теорема Фубини. Пусть X — брус в Rn, Y—брус в Rm
и функция /е5?(ХхУ). Обозначим через 'У(х) функцию Т:Х-+-
-+R, равную f (х, y)dy для тех значений х<=Х, для которых
У
этот интеграл существует, и равную произвольному числу из от-
резка [(L) f (х, y)dy, (U)\j(x, y)dy] для тех хеХ, для которых
У	У
интеграл j/(x, у) не существует. Обозначим через Ф(у) функцию
Ф: Y-+R, равную j f (х, y)dx для тех значений г/еУ, для кото-
х
рых этот интеграл существует, и равную произвольному числу из
отрезка [(L) \ f (х, y)dx, (U)^.f(x, y)dx] для тех t/еУ, для кото-
х	х
рых интеграл \ f (х, у) dx не существует. Тогда Ф(у)е52(У),
Т(х)еЯ(1) и
f(x, y)dxdy=*\(b (у) dy=Aw(x)dx.
ХХУ	У	X
Чтобы отличить кратный интеграл по (п + т) -мерному проме-
жутку X\Y от последовательно вычисляемых интегралов
§ Ф (у) dy и ( Т (х) dx
у	х
соответственно по брусам X и У, принято эти интегралы назы-
вать повторными интегралами от f(x, у) и обозначать соответ-
ственно
$ ф (У) dy = J dy / (х, у) dx и Т(х) dx= f dx (х, у) dy.
Y	ух	х	ХУ
Если /г=1, т=\, то теорема Фубини сводит вычисление двой-
ного интеграла к последовательному вычислению двух одномер-
11
ных интегралов. В общем случае повторное применение этой тео-
ремы приводит вычисление «-мерного интеграла к последователь-
ному вычислению п одномерных интегралов:
f (*i>	• • •. хп) dxx • • • dxn =
la,b
bt b,	&п
= § dxt dx2 § ... j f (x1T .... xn) dxn.
щ a,	an
Можно сформулировать теорему Фубини и тогда, когда инте-
грирование производится не по промежутку l<zzRn+m, а по произ-
вольному жорданову множеству DczPn+m, но формулировка ста-
новится чрезвычайно громоздкой. Поэтому ограничимся форму-
лировкой для частного, но наиболее широко используемого слу-
чая:
Теорема. Пусть P<^Rn— замкнутое жорданово множество,
функции (р1еС(Р), ([)2еС(Р), cpi(х)^ф2(х), х^Р, множество М—
={х:х=(х,, х2,...,хп, хп+1):
т = {ху, х2, ..., xjeP, ?l(m)^x„+i <<р2(/п)}.
Если feC(.W), то
\ fdx= \ f (хъ х2, .... хп, xn+x)dxldxi ... dxndxn+l =
м м
ф,(т)
\ dxi dx2 • • • dxn f (хг, х2 ...» хп1 хп~^. 1) t/Xn-j-1.
Р	<Р1(т)
Заметим, что в условиях теоремы множество М жорданово
(см. свойство 4 жордановых множеств, с. 8), интеграл f(xlt
х2, ..., хп, х„4-1)dxn+i существует для всех т=(х1,...,хп)е
еР и является непрерывной функцией на Р, поэтому все входя-
щие в формулировку теоремы интегралы существуют.
Следствие 1. Пусть жорданово множество Z)={[a, b] X
XDx}, где Dx=Dr\{x,=x} жорданово при любом xej[a, b], и функ-
ция f : D-+R зависит только от переменного х; :
f(xb х2, ...,xn)=f*(xi). Тогда в силу теоремы Фубини
ь
§ f (х) dx=^ dxr j f* (xj dx2 dx3 ... dxn.
D	* Dx
Так как функция f*(xi) не зависит от переменных интегрирова-
ния х2, Хз, ..., хп, то
f*(xi)dx2 ... dxn = Г(х,) J dx2... dxn = f*(Xi) | Dx |.
Dx	Dx
12
Таким образом, в этом случае кратный интеграл сводится к од-
нократному:
ь
§ f (х) dx=^f (х) | Dx | dx.
D	а
п
Следствие 2. Если на брусе /=П[а;, Ь<] функция
£=1
f (Xj, .... х„) = A (xj (хп) и	С [at, bt]
для всех г,	то
п bi
f (х) dx = п § fi (Xi) dxt.
I	i=l
Пример 1. Вычислить
(x4 + x2 + x3 + x4) dxL dx2 dx3 dxt,
At
где
Л4 = {х = (х1, x2, x3, xJiO^Xi^l, 0^x2^l, 0^xs^l,
Xi + x2—x3sCx4sCxi +x2 + x3} c
Решение.
cX = J (*1 + x2 + хз + x4) dxL dx2 dx3 dxt =
м
= J dxr dx2 dx3 j (.Vj + x2 + x3 + x4) dx4,
/	Xi+х,—X,
где I есть трехмерный промежуток: O^x^l, 0^х2^1, 0<Хз<1.
Поскольку
Xt+Xz+x,
(x4 + x2 + x3 +x4)dx4 = (x1 + xa + x3)-2xs +
xt 4-x2—Xi
+ ~ [(*1 + *2 + *3)2 — (A + *2 — *s)2] =
= 2xs (х4 + x2 + x3) + 2 (x4 + x2) xs = 4x3 (x4 + x2)+2x|,
TO
& = [4xs (x4 + x2) + 2x|] dxi dx2 dx3 =
i
13
1	1 1
2	dx2 [2 (x-j —р х2) Xg -J- x^] dx3
ООО
1
dx2 =
0
(*	(•	%3	x§
= 2 \ dxr \ (xx + x2)——|——
t)	J	|_
о	о
i i	1
= 2 CdXi C ('^±^ + -2-') dx2=-±- f (Зх1х2 + -^-х22+2х2 j ' dxx =
v	\	~	о /	о Tj| \	/0
0	0	0
Пример. Вычислим
J(xi4-x2 + ... 4-x;[)2dx1dx2 ... dxn,
i
где
I = {(%1.  • • > xn)  0 C xl C 1 > 1 < i < n}.
Решение. Для фиксированных i и /, l^t^n, 1^/^n, мно-
жества Iat = /fl {Xi = а,, 0<а;<:1} и /а.,&;. = /a. n {Xj = bj, Os^b/s^ 1}
есть брусы объема 1 в пространствах Rn~l и Rn~2, соответствен-
но. Применяя следствие 1, получаем, что
1 1
x2dx = x2dXilJx.l = J x^dx,= 1/3,
i	о	1 о
i	i	i
Xt dXi J Xj dXj | Ix.Xj | = [ xt dxt J Xj dxj = 1/4, i=/=j.
о	oo
Отсюда получаем, что
__ n л 1 n (n—1) _______ n . n2 — n __ 3re2 4-n
~ 3 ’ ‘ ’ 4 '	2	~ 3 ~	4	~	12
Определение. Биективное (взаимно однозначное) отобра-
жение q>:D-*-Di, Di=q)(D) czRn, DczRn называется регулярным
отображением, или диффеоморфизмом множества D, если ере
еС!(0) и якобиан <р (определитель матрицы линейного отобра-
жения <р') не обращается в нуль на D.
14
Свойства регулярного отображения
Пусть ср — регулярное отображение области D (т. е. связного
открытого множества) на область D[. Тогда
1.	Если MaD, то внутренние точки множества М переходят
во внутренние точки множества ф(Л1), граничные точки Л'1— в
граничные ф(Л4); отсюда следует, что образ открытого множест-
ва— открытое множество, образ замкнутого — замкнутое.
2.	Если McD и М — жорданово множество, то ф(Л4) — жор-
даново множество.
3.	Отображение ф-1 :	регулярно.
Первая теорема о замене переменных в кратном интеграле
Пусть х=х(/)—регулярное отображение области DtdRn на
область DxdRn. Пусть далее М— жорданово множество, MdDx,
f — якобиан отображения х(/) и	Тогда
f (х(0) е (х~1 (Л4)) и \fdx=
Практически довольно часто возникает необходимость замены
переменных при помощи отображения, которое не является регу-
лярным на всей области Dt. В этом случае может быть примене-
на следующая теорема.
Вторая теорема о замене переменных в кратном интеграле
Пусть x=x(t)—отображение жорданова множества DtczRn в
жорданово множество DxdRn. Если существуют множества ме-
ры нуль SxdDx и StdDt, такие, что: 1)DX\SX и открытые
множества;
2)	отображение х : Z>t\S<-»-Z?x\Sx регулярно;
3)	якобиан ? отображения х определен и ограничен на Dt, то
для любой функции f^3i(Dx) функция
^fdx= $(f°x).№\dt.
Dx	Dt
Отметим, что и в первой, и во второй теореме о замене пере-
менных в кратном интеграле утверждается не только равенство
исходного и преобразованного интегралов, но и существование
преобразованного интеграла, в частности то, что множество из-
менения новых переменных жорданово. На практике часто суще-
ствование обоих интегралов устанавливается непосредственно и
вопрос идет только об их равенстве. В этом случае используется
следующая
Теорема. Пусть Di и D2— открытые множества в Rn, би-
ективное отображение	Если для множе-
ства MdD{ оба интеграла J f (ф (/)) | ф' (f) | dt и J f(x)dx сущест-
М	Ф(Л1)
вуют, то они равны.
15
Переход в кратном интеграле \ f dx = \ f (х1; х2> . . ., хп) dx± . ..
м м
...dxn к переменным г, ф,, <р2, •••, фп-i, связанным с переменны-
ми Х|, х2.х„ формулами
X] — Г COS фь
хг -- г sin cfj cos ф2,	(1)
х„_) -- г sin ф! sin ф2 . . . sin ф„_2 cos ф„_ i,
Л'„ Г sin (pj sin ф2 . . . sin ф„-2 sin ф.л- : ,
называется переходом к полярным (иногда называемыми сфери-
ческими) координатам, а переменные г, фЬ ф2,..., <рэт—i—полярны-
ми (сферическими) координатами в Rn. Отображение ф:7’->-/?п
бруса Т={г, ф1,.... фп-i : г>0, О^ф^л (!</<«—2), 0<;ф71-1^2л}
в /?", задаваемое формулами (1), не биективно, например, обра-
зом грани этого бруса Т^{г, ф1,...,фп_1, г=0} является единствен-
п—2
ная точка 0(0, 0,...,0). Якобиан ф равен rn~x 11 sinn-i-1 ф,; он
i=l
обращается в нуль на множестве
Т\{г, Фг.....ф„_1:г>0, 0<ф;<л(1	2)}.
Все это показывает, что для произвольного жорданова множест-
ва М отображение ф не удовлетворяет условиям первой теоремы
о замене переменных в кратном интеграле. Для обоснования воз-
можности перехода к полярным координатам в кратном интегра-
ле отметим следующие свойства отображения ф.
1)	Множество Т*=Т\{г, фь ..., фп-1 : г>0, 0<фг<л (l^i<n—
— 2), 0<фп_[<2л} есть множество меры нуль.
2)	Отображение ф : {Т\T*)->Rn—ф(Т*) регулярно.
3)	Для любого а>0 образом жорданова множества Га=
=7Т|{Л фь •••> фп- i : г<а} является открытое жорданово множест-
п
во: Ма {xj, .v2, . . ., х„ : У х? < а2}.
i— 1
4) Множество Та = Т* {г, фъ ..., ф„_1	замкнуто, следо-
вательно, в силу непрерывности отображения ф множество ф(То) замк-
нуто и в силу свойства 3 множество Ма = Ма \ ф (Та) открыто.
5) ф(Т*) есть множество меры нуль*.
* Свойство 5 есть утверждение теоремы Сарда: если £>сз/?п — открытое
множество; отображение f:D->-R'n, feC'iD) и S = {x, xeD, det )'(л) = 0}, то
f(S) есть множество меры нуль. Но для отображения ф вместо ссылки на тео-
рему Сарда можно просто заметить, что ф(Г*) есть подмножество множества
п
£ = U где ^i:{xi, х2............хп : Х1 = 0} (гиперплоскость в Rn), и так
fl— 1
как все Е, есть множества меры нуль, то £ и его подмножество ф(Г*) есть
множества меры нуль.
16
Рассмотрим теперь интеграл jfdx. Так как множество М
м
жорданово, то найдется такой открытый шар Ма = {хх, х2, ..хп,
Л „ л .. .. „	, . Шх), х^.М\
у х2<а2 , что МаМ:1. Пусть ff(x)={	тогда
“ ‘	10, хеА10\Л1,
\fdx= \igdx. Из свойств 1—5 отображения ф следует, что
М	Ма
множество Ма и отображение ф: Та-+Ма удовлетворяют условиям
второй теоремы о замене переменных в кратном интеграле. Сле-
довательно,
$/(хх, х2, ..., xn)dxYdx2 ... dxn= ^(хх, х2, ..., x^dx^.. ,dxn=
м	ма
п—2
=	{г, <px, .. ., фп-t) rn~'- П sin"--^1 (Pi drd^ ... dqn-i =
Ta	i=>
n—2
= f /’ (г, Ф1, . . •, <P„-1) rn-' П sin"-'-1 cpf dr d(Pi .. . dcpn-1,
i = l
где
g"(r, фх, ..., cprt_i) =
= g(rcos<p1, r sin <px cos cp2, rsincpi .. . sincprt—i),
f* (r, cpx, ..., cp„_i)=f (rcosqpj, r sincpxcoscpa, ..., rsincpx, ..., sin<pn_i)
и M*<ziT есть прообраз M на множестве Т.
Отметим, что все предыдущие рассуждения остаются в силе,
если основным промежутком изменения угла <рп._। является не [0,
2л], а [а, а + 2л] при любом а.
Пример. Вычислим
(х2 4- х2 4-х2 + х2) dx± d::2 dx3 dxit
м
где
М = {х, x = (xlt х2, х3, х4) : х^+х|+х|+х2^2ахх, х3^0}, (а>0),
Решение. Множество М жорданово, так как часть шара в
трехмерном пространстве: Л!х-={х, х = (х2, х3, х4): х2 + х^ + х® а2,
х3^0} является жордановым множеством и
Л4 = {х, х=(хх, х2, х3, x4):m = (x2, х3, х4) е Mlt
а— V а — (хг + хз + <ХХ< а + ]/а2—(х2-Ьх2-{-х2)}
17
(см. свойства 6 и 4 жордановых множеств, с. 8). Сделаем в
данном интеграле переход к полярным координатам:
хг = rcoscpj; x2 = rsincp1cosq)2; х3 = г sin ф4 sin ф2 cos ф3;
xt = г sin ф4 sin ср2 sin <ps.
Из условий, наложенных на переменные хь х2, х3, х4, учитывая,
что г>0,	0^3ф2^л, получим условия для переменных г,
ф1, Ф2, Фз: ^2а cos epi, cos(p>:>0, созфз>0. Если основным про-
межутком изменения угла ф3 берется промежуток [0, 2л], то
условие cosc[3> 0 выполняется на двух отделенных друг от друга
промежутках [0, л/2] и [Зл/2, 2л]; если же взять в качестве ос-
новного промежутка изменения ф3 промежуток [—л, л], то усло-
вие соБф3>0 выполняется на связном множестве — промежутке
[—л/2, л/2]. Это обстоятельство делает выкладки более удобны-
ми. Итак, в качестве прообраза множества М при переходе к по-
лярным координатам берем множество
А4* = {(г, Ф1, Ф2, ф3): 0 < фх С л/2, 0^ф2<л,
— л/2 Сф3=С л/2, г ^2асоэф1}/
и получаем, что
(xf -j- х2 + Хз + х4) dx1dx2dx3dxi = t- • г3 sin2 cpj sin ф2 й/'с?ф1(/ф2с?ф3.
Л1	м*
Так как
М' = {(г, ф4, ф2, ф3):т==(ф1, ф2, ф3)еЛ 0<r sCr(zn)},
где
/-{i/в ф2, Фз):0<Ф1^ л/2, 0^ф2^л, — л/2^ф3< л/2},
г (т) --- г (cpj, ф2, ф8) = 2асо5ф1,
то в силу теоремы Фубини
2а cos cpt
г5 sin2 cpjsin (p2drd(p1d(f2dip.J = з!п2ф1 sin ф2 йф^ф^фз j tbdr =
М*	1	о
= -у- • sin2 ф4 со56фх sin ф2 с?Ф1йф2</ф3.
I
Применяя следствие 2 из теоремы Фубини к брусу I, получаем окон-
чательно:
У (х2 + х2 + х2 + х2) dXidx^dx^dXi =
м
18
32о»
3
л/2	л	л/2
^sin2 cos6 ср! dtp, J sin cp2 dcp2- J d<p3 =
0	0	—Л/2
32ae	5л	o 5n2ae
=------.--------- 2л =------.
3	28	12
П p и м e p. Найдем объем «-мерного шара радиусом /?:
i=i
Решение. Отрезок (xi: х2 R2} есть жорданово множест-
во. Двумерный шар (круг) Д(2) = {(х1, х2): х2 +	R2} есть
объединение двух жордановых множеств:
D, = {(хп х2): 4 < R2, 0 < х2 < / R2—x2}
и
D2 = {(x1, x2):x2^R2, — YR2—x2sO2<0}
(см. свойство 3 жордановых множеств), следовательно, жорда-
ново множество. Рассуждая по индукции, получаем, что «-мер-
ный шар DM — жорданово множество. Прообразом шара DM
при переходе к полярным координатам является брус:
/== {0 <г 7?, 0^<рг^л, 1^г^«—1, О--СФп-i 2л}.
Применяя следствие 2 теоремы Фубини, получаем, что
п—2
| Dw | = С dX1dx2 ... dxn = I rn~~l ( П s’11'*"'l~1 Фг ]	^Ф-2 • • • ^фп-1 =
Dw	i i=l
R	2л	n—2 л
= ^r'I-1dr^	1 1	sin"-»”*1 (ptdtpi =
0	0	i = l 0
In — i \	/ 1 \
n— i Г ---- Г ----
_ 2nRn г-j	\ 2 / \ 2 / _ 2n”/2 Rn *
~ n	г( » —» +	~ nf(n/2) ’
* При решении примеров часто приходится вычислять интегралы вида
Л/2
\ cosP х sin? xdx (р>—1, q~>—1)-
о**
Для их вычисления удобно использовать формулу
1S
Рассмотрим более подробно пространства: R2— плоскость XY
и .R3 — пространство XYZ.
§ 2. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Теорема Фубини
Поскольку в этом параграфе рассматривается интегральное
исчисление функций f:	то по большей части не будет спе-
циально оговариваться, что рассматриваемое множество лежит в
R2. Функцию f: R2^-R будем обозначать f(x, у); двумерный про-
межуток будем называть прямоугольником, в случае равенства
его сторон — квадратом; двумерный объем — площадью.
С целью пояснения понятий верхней и нижней сумм, критерия
интегрируемости Дарбу и определения двойного интеграла рас-
смотрим следующий
Пример 3. Вычислим интеграл
? Г xydxdy,
где D —- прямоугольник [1; 2]х[1; 3], пользуясь непосредствен-
но определением двойного интеграла.
Решение. Обозначим через Тп разбиение D, индуцирован-
ное разбиениями:
Л/2	Г Г/Д±-1_\
С	1	\ 2 / \ 2 /
\ cosP х sin4 xdx — — -------------------->
J	2 г( Р + Ч , i\
°	\ 2 +1J
-1-00
где Г (х) =	yx~le~у dx (х > 0)—функция Эйлера со следующими свойствами:
о
Г (и) =5n—1)!, гае А;
Г (х 1) = хГ (х), х>0;
Г (х) Г (1 — х) =-, 0<х<1.
sin лх
20
т. е. разбиение D на прямоугольники прямыми х=1 + — и у =
= 1 +	1 i	п— 1. Так как Л, (7\) = — и Л, (Т„) = —, то Л, (Тп) =
п	п и п
Обозначим через Иц прямоугольник
гг + 2 (J — 1)
п
^y<2L±2LJ.
Имеем	(J Dih \Dti\=^-
i= I /= 1	П
Mtj = sup (xy) = ( 1 + — W1 + —I
тц = inf (Xi/) = (1 + —— |(14- 2(/'~~1)  j;
d;7	\ n J \	n j
n n	n n
S(»7.)^Smu|Ou|^S(1+Xj(1 + ^A.
i=l /=1	i=l /=1
= 2(2n+l) / n(n+O \ = (2» + l) (3»+ 1) .
n2 \	2n I	n2	’
n n	n
S(XS, T„) = £	|D„|	+ "j x
i=i	i=l
x £(+
2 (/ - 1)
n
= А_у71	. (n + 2n^~{).
rfl £4 \ n ) \	2n
1=1
n
=	(2n-1) V (1 + ±=± j =	(2n-1) (n + M7^-) =
n2	4J \ n } n2	\	2	)
i=l
_ (2n —1) (3n— 1)
~	n2
21
Так как
6 = sups(/, 7\) С sups(f, Т) inf S(/, Т) inf S(/, Тп) = 6,
п	Т	Т	п
то, следовательно,
sups (A T) = infS(/, Т) = 6.
т	т
В силу общего определения делаем вывод: функция f(x, у)—х:у
интегрируема по Риману на прямоугольнике £>:[!, 2] X [ 1, 3] и
xydxdy — 6.
D
Разумеется, способ вычисления интеграла, рассмотренный в
данном примере, не является практическим методом. На практи-
ке вычисление двойного интеграла осуществляется применением
теоремы Фубини. Рассмотрение этого метода вычисления являете-
ся основным содержанием данного параграфа.
Непосредственно из определения двойного интеграла следуете,
что если	и множество D симметрично относительно оси
OY, то из равенства f(x, y)=f(—х, у) (четности функции f(x, yi)
относительно переменной х) следует, что
f (х, у) dxdy = 2 f (х, у) dxdy,
D	'd.
где
^1 = ПЛ{(х, у):х>0},
а из равенства f(x, у)=—f(—x, у) (нечетности f(x, у) относи-
тельно переменной х) следует, что f (х, y)dxdy = Q.
D
Так, например, сразу можно утверждать, что интеграл
| х13 (1 + х2 + у2)22 dxdy,
D
где
£> = {(х, y):x4 + i/4<x2 + z/2}
равен нулю, а интеграл
j \ (х2 + У2)2 xiysdxdy,
D
где D = {(х, у): (х2 + у2)2	2х2у}, равен
2 Й + У*)2 x<lysdxdy,
D,
где
Г>1 = ПП {(*> у):х>0}.
22
Аналогичные равенства справедливы, если область D сим-
метрична относительно оси ОХ, а функция fix, у) четна или не-
четна относительно переменной у.
Множество
G = {(x, yy.a<x<b, Ф1 (х) < г/< ф2 (х)},
где
Фх е С [а, Ь], ф2 е С [а, Ь]
будем называть областью, стандартной относительно оси ОХ-,
множество
G = {(*. У)  с <у < d, Xj (у) < х < х2 iy)},
где
ZjGECfc, d], х2еС[с, d],
— областью, стандартной относительно оси OY. Стандартная от-
носительно той или иной координатной оси область и ее замыка-
ние являются жордановыми множествами. Для стандартной об-
ласти теорема Фубини формулируется следующим образом:
Если
D={(x, yy.a^x^b, Ф1(х)<у^ф2(х)}, ф1(=С[а, Ь],
ф2еС[а, Ь] и f<=C(D),
то
Ь Ф,(х)
/(Л-, у) dxdy = у dx fix, y)dy.
D	а Чж(лг)
Если
D = {Ы: с С у С d, щ(у)^х^и2 (у)},
Xi^Cfc, d], х, gC[c. d] и f^CiD),
то
d x2(j/)
Ур(х’ y)dxdy=ljdy jj f(x, y)dx.
D	c v.f(y)
Геометрически область G, стандартная относительно оси ОХ,
G={(x, у)-а<х<Ь, Ф1 (*) <у<ф2(х)} характеризуется следую-
щим образом: если интервал (а, Ь) есть проекция G на ось ОХ,
то для любой точки xocz(a, b) вертикаль, проходящая через эту
точку (прямая х=хйу пересекается с G по единственному интер-
валу (а(х0), р(х0)), концы которого, вообще говоря, зависят
от х0.
Утверждение, сформулированное в теореме Фубини, можно
описать так: полагая х постоянным, берем интеграл по интерва-
23
лу (а(х), р(х)) снизу вверх и получаем функцию Ф(х), которую
интегрируем слева направо по интервалу (а, Ь) изменения х.
Аналогично интерпретируется повторный интеграл по области,
стандартной относительно оси OY.
Представление двойного (в общем случае кратного) интегра-
ла в виде повторного:
ь <р2(х)	d /-Лу')
\ f (х, у) dxdy = dx j fdy = J dy J fdx
D	а Ф,(х)	c 7.,(y'j
называют расстановкой пределов интегрирования в определен-
ном порядке. Задача расстановки пределов интегрирования до-
пускает несколько вариантов.
1. Задан двойной (кратный) интеграл по множеству D. Рас-
ставить пределы интегрирования в том и другом порядке.
Как следует из вышесказанного, равенство
b q>3(x)	d х2(</)
dx fdy = dy J fdx
о Ф1(х)	с v.,(y)
имеет место для множества D, являющегося замыканием обла-
сти, стандартной как относительно оси ОХ, так и относительно
оси OY:
П = {(х, у):а^х^Ь, уг (х) у у2 (х)} =
= {(х, y):c^y^d, хх(у) sCх2(у)}.
Если D не является множеством такого вида, то прибегают к
представлению его как конечного объединения неперекрываю-
Q
щихся (без общих внутренних точек) множеств D= |J Dq, каж-
<?=i
дое из которых есть замыкание области, Стандартной относитель-
но той или другой оси. Тогда в силу аддитивности
а
у) dxdy =	^fdxdy.
'd	«=1 ь;
Поскольку область, стандартная относительно одной из осей, не
обязана быть стандартной относительно другой, то разбиение
Q
£) = (J Д, зависит от желаемого порядка расстановки пределов
<7=1
интегрирования. Естественно, желательно, чтобы количество ком-
Q
понент в представлении D = (J Dq было минимальным. Но при
рассмотрении кратного интеграла по конкретному множеству по-
является еще дополнительное требование: необходимо, чтобы
функции, определяющие пределы интегрирования, были не толь-
ко непрерывными, но и гладкими (говоря нестрого, функциями,
24
заданными достаточно простым аналитическим выражением). Это
требование, формально не высказанное, но подразумевающееся,
может привести к необходимости дополнительного разбиения
множества DQ, хотя это множество и является замыканием обла-
сти, стандартной относительно рассматриваемой оси.
Аналитическая запись области D, стандартной относительно
оси ОХ или оси OY, состоит в представлении заданных условий
на координаты точек этой области системой неравенств специаль-
ного вида
{а<х<Ь, Ф1 (х) < у < ср2 (х)} или {c<_y<d, xJyXx <Х2(Х
Возможно ли такое представление или необходимо разложить
рассматриваемое множество на составляющие, каков конкретный
вид этого представления всего множества или отдельных его ча-
стей, — ответ на эти вопросы часто существенно упрощается при
изображении множества D на чертеже.
Пример. Область D лежит в правой полуплоскости (т. е.
х>0) и ограничена кривыми:
Зу = х2, Зу = —х2, х2 + у2 = 4.
В двойном интеграле
f(x, у) dxdy,
расставим
пределы интегрирования в том и другом порядке.
Решение. Перейдем к неравенствам, которым должны
удовлетворять координаты (х, у) точек множества D без помощи
чертежа — аналитически. Используем то, что координаты точек,
лежащих по одну сторону от кривой ф(х, у)=0, удовлетворяют
одному из неравенств ф(х, у)>0 или ф(х, у) <0. Так как из нера-
венства у<—х2/3 следует неравенство у<х2/3, а из неравенства
z/>x2/3— неравенство г/>—х2/3, то условия на координаты точек
рассматриваемой области должны иметь вид —х2/3<у<х2/3, в
противном случае одна из данных парабол окажется лишней. Ес-
ли к этому неравенству добавить неравенство х2+у2>4, то полу-
чим неограниченное множество. Учитывая, что D лежит в правой
полуплоскости, получаем окончательно, что
—	(	у2	v2	4
D= (X, У):х>0,х2 + у2^ 4 .
I	о	о	I
Приводя полученные неравенства к эквивалентной системе нера-
венств, характеризующей области, стандартные относительно ко-
ординатных осей, получаем, что
0= |(х, у) ;0 <х^2, maxj——~|/4—х2}
у min	д/4—х2| |,
или
£ = {(*, У)- — 1 СХ 1, / |3z/| s^x< /4—у2}.
25
Как уже делалось раньше, разобьем интервалы изменения пер-
вой координаты на такие подынтервалы, чтобы границы измене-
ния второй координаты записывались при помощи простой ана-
литической функции. Именно
О=[(х, y):0^x<V3, —U
U{(x, у):УЗ^х<2, —	У4=Р}
и
D={(x, у):-1^у^О,	U
U{(x, у):О^у^1, }/Ту <х С VT=^}.
Итак,
/з х2/3	2 Vi—Xs
^/(х, у) dxdy =-- dx у f(x, y)dy+ J dx f (x, y)dy =
D	0	—x2/3	/3	_ ( <_X2
o VV^yi	i	V i—y2
= \ dy S f y)dx + \dy J f (x< У)yy-
—1 V-Vy	0 Wy
Предлагается самостоятельно сделать чертеж области D и убе-
диться, что его использование облегчает переход к повторному
интегралу. Вообще, если множество D, по которому берется ин-
теграл, задано неравенствами на координаты входящих в него
точек, то переход к повторному интегралу может быть проведен
чисто аналитически, хотя чертеж и в этом случае делает некото-
рые переходы более наглядными. Если же множество D описано
как «область, ограниченная данными линиями», то наглядное
представление D на чертеже дает существенную помощь в пере-
ходе к повторному интегралу или в переходе к полярной системе
координат. При этом подразумеваются следующие важнейшие
условия: область должна быть ограниченной, т. е. лежать в неко-
тором квадрате; граница области должна содержать не вырож-
денные в точку дуги всех кривых, указанных в условии, т. е. ни
одна кривая в условии не должна являться лишней. Если при
этих требованиях область все-таки однозначно не определяется,
то либо указывается точка в той области, которую желают рас-
сматривать, либо определяется расположение области относи-
тельно осей координат. Наконец, если все эти соображения не
приводят к однозначному определению области, надо рассмот-
реть все возможные варианты.
П р и мер. Расставим пределы интегрирования в том и дру-
гом порядке в двойном интеграле ^/(х, у)dxdy, где
'd
0 = {(х, г/):х2 + у2<4} и feC(D).
26
Решение. Множество D (см. рис. 1) является замыканием
области, стандартной как относительно оси ОХ, так и относи-
тельно оси OY:
D = {(x, у): —2^х^2, —]/4—x2<Jys^l/4—х2};
D = {(x, у):-2^у^2, --|А-у2^х^-у4-у2}.
Рис. 1
Поэтому
2
^ ('(*> у)dxdy = J dx
’d	—2
14—хг	2	ТД — уг
Ж y)dy= f dy
14— х1	2	—V4—v2
f (x, у) dx.
Пример. Расставим пределы интегрирования в том и дру-
гом порядке в двойном интеграле f (х, у) dxdy, где
D — {(x, у): х2 + у2 ^9, х2 + (у + 4)2^25} и /'еС(О).
Решение. Множество D (см. рис. 2) является замыканием
области, стандартной относительно оси ОХ:
D — {(x, у):—З^х^З, 1/25—х2—4Су<-/9—х2}.
Поэтому
3 Ге— X2
/ (х, у) dxdy = dx j
°	—3	V 25—х>—4
/(х, y)dy.
Так как область D не является стандартной относительно оси OY
(например, горизонталь у=1/2_пересекается с 9 по двум непере-
Г	1/35	1/19 I Г 1/19	Т/35 ]\
секающимся отрезкам-----------;------— , —-—; OL------ ।, то
L	2	2 J [ 2	2 ]/
для того чтобы расставить пределы интегрирования в другом по-
27
рядке, необходимо представить множество D как объединение
множеств: Z^DiU-DzlI-Ds, где
£>1=={(х, уул^у^з,
D2 = {(x,	— /9—г/2<х< — /9—8у—у2},
D3 = {(x, у): OsC«/sC 1, -/9 — 8у—у2<х^У9—у2},
к каждому из которых уже применима теорема Фубини (каждое
Dh k=l, 2, 3, уже есть замыкание области, стандартной относи-
тельно оси ОУ) и, следовательно,
3 V 9—уг
y')dxdy=[dy f(x, y)dx-\-
D	1	— /9—</2
1	— V 9-8y-y*	1	V 9-y2
+ \dy	f(x, y')dx+ yly	f(x, y)dx.
°	— Г9—0	/9—8</—i/2
Пример. Расставим пределы интегрирования в том и дру-
гом порядке в интеграле yf(x, y)dxdy, где
D
D = {(x, у): |х| + |у| sC 1} и Л=с (О).
Решение. Множество D является замыканием области,
стандартной относительно обоих осей координат (см. рис. 3):
О = {(х, у): — 1 х 1, — 1 + | х К у 1 — | х |} =
= {(*> У)-— 1 =С =С 1. —	• |у|}.
28
Следовательно,
।	i-|*|	i	i-W
Ш(*, y)dxdy = J dx f(x, y)dy = J dy f(x, y)dx,
D	—1	—1+1*1	—1	—1+11/1
но такое представление содержит негладкие функции 1±|х| и
1±|р|. Чтобы избавиться от таких функций, представим D в ви-
де £)=£>1иО2, где
£>1 = {(х, у):—l^x^O, —1—х^у^.1+х},
D2 = {(х, у): 0 ++ х 1, — 1 + х «С У 1 —х},
для расстановки пределов интегрирования в порядке х, у и в ви-
де D=BX\}B2, где
^ = {(х,
S2={(x,
у):—	— 1 — t/<x< I +у},
у):О^у^1, — 1 + i/<x<l-f-i/},
для расстановки пределов интегрирования в порядке у, х.
В итоге получим, что
О 1+х	1	1—х
(х, у) dxdy= dx j f(x,y)dy+^dx f(x,y)dy =
D	—I	— 1—x	0	— Г-Н
0	l+i/	1 I-4—г/
= § dy f (x, y) dx + dy f (x, y) dx.
-1	-1-1/	0J	-1+1/
2&
Пример. Расставим пределы интегрирования в том и дру-
гом порядке в двойном интеграле f (х, у) dxdy, где
£>
D={(x, у):х2 + у2<25, Зх<4 |у|} и /едС(О).
Решение. Множество D есть замыкание области, не являю-
щейся стандартной как относительно оси ОХ, так и относительно
оси OY. Для каждого из повторных интегралов сделаем свое раз-
биение множества D (рис. 4).
Представив множество D в виде Z^Z^jZ^U^s, где
= {(*, У) = “ 5 < х 0, —/25—у2 < х У 25 —у2},
Ds = {(x, у):0<х<4, (3/4)х<у< К25—х2},
D3 = {(x, у):0<х<4, —/'25—х2 < у	— (3/4) х},
получаем, что
О	/ 25—х*
J^/(x, y)dxdy = \dx f (х, y)dy^-
D	—5 _ У 25—х2
4	V 25—х2	4	—3/4 х
4- \^dx j (х, у) dy + dx f (х, у) dy.
О 3/4 х	0	_ У 25—х2
Представив множество D в виде Z^D/JZ^U-OsU^, где
D^^x, у): —5^уС —3, —/25^=7<х | 25—у2},
Dt= (х, у): -З^уСО, -/25-у2^х<---------^у],
30
Ds = ^(x, y):0<y<3, — "/25—y2^x	z/j,
Di = {(x, y):3^y^5, — ]/25—t/2 <,r < ]'25—y2}>
получаем, что
—3	/ 25-Jf*
jp (X, y) dxdy = dy f (x, y) dx +
D	— 5	у25—у ‘
О	—4{//3	3	4y/3
+ dy f (x, y) dx 4- "yly f (x, y) dx +
-3	—У 25-|/«	°	— 25-j/»
6 V 25—//»
+	fix, y)dx.
3	— V 25—//»
2. Задан двойной (кратный) интеграл по множеству D. Рас-
ставить пределы интегрирования в каком-либо порядке.
При такой постановке задачи мы имеем право выбора поряд-
ка в повторном интеграле и естественно стремимся к наиболее
простому представлению заданного интеграла. Выбор может
определяться как видом множества D, так и свойствами подын-
тегральной функции, например, расстановка пределов в одном
порядке требует разбиения множества D на меньшее число со-
ставляющих, чем расстановка в другом порядке, или подынте-
гральная функция четна относительно какой-либо координаты и
множество D симметрично относительно соответствующей оси
и т. п.
Пример. Расставим пределы интегрирования в интеграле
у) dxdy, где D — область, ограниченная линиями:
D
х2 + у2=Юу, у = 2х—5, у = 0 и f ед С (£>)
(см. рис. 5).
Решение. Область D стандартна относительно оси OY и не
является стандартной относительно оси ОХ. Поэтому для расста-
новки пределов интегрирования в порядке у, х можно не разби-
вать D на составляющие области, а для другого порядка расста-
новки пределов интегрирования такое разбиение необходимо. Ис-
ходя из этого, выбираем порядок у, х. Самой верхней точкой мно-
жества D является нижняя из точек пересечения окружности х2+
, 2	« о с тл	f х2 + у2=10у;
+ у2=1Оу и прямой у=2х—5. Решая систему {	по-
( 2х—5 = у,
лучаем координаты точек пересечения: (3, 1) и (5,5). Следова-
тельно,
£={(х, у):0^у<1, VlOy—z/2^x<-A-(z/4-5)
31
и
1	(й-1-5)/2
f(x, y)dxdy=^dy f(x, y)dx.
D	° VWy-y*
Пр им ер. Расставим пределы интегрирования в интеграле
f (х2 + у2) dxdy, где D — область, ограниченная линиями: Зу—
— 4х=0, Зу + 4х=0, jc2+z/2+9=10x, содержащая точку М(1/2, 0)
(см. рис. 6), и /еС[0, 10].
Решение. Область D не является стандартной ни относи-
тельно оси ОХ, ни относительно оси OY, но симметрична относи-
тельно оси ОХ. Так как подынтегральная функция <р(х, y)=f(x2 +
+ у2) четна относительно координаты
у и М — {(х, у) :х2 + у2^ 10}zz>Z),
то
f (*2 + у2) dxdy = 2 f (х2 + у2) dxdy,
D	Di
-32
где Р1=ДП{(*, у), У>0}— верхняя половина области D. Область
Di уже является стандартной относительно оси OY. Из системы
| Зу—4х = 0;
I х2—-10х +у24-9 = О
находим, что самая верхняя точка множества есть (9/5, 12/5).
Отсюда получаем, что Dr — !(х, у): 0 < у < —-, Зу/4<х<5—
—1^16 — у2| и, следовательно,
^f^ + y^dxdy^Z ^f(x2 + y2)dxdy~=
D	О,
12/5	5— V 16—i/’
= 2 J dy J /(x24-y2)dx.
0	(3/4)1/
6	<p,(x)
3. Задан повторный интеграл dx /(x, y)dy. Переменить
a q>i(x)
в нем порядок расстановки пределов интегрирования.
Для решения такой задачи сначала делаем переход от задан-
ного повторного интеграла к двойному:
6	<₽,(*)
dx | / (х, у) dy = f (х, у) dxdy.
а Ф1(*)	D
Условия на координаты точек (х, у) множества D получаем ис-
ходя из заданного повторного интеграла:
D = {(x, y):a<x<b, <рх(х)<1/<<р2(х)}.
В полученном двойном интеграле приведем расстановку пределов
интегрирования в требуемом порядке так, как было разобрано
выше. Таким образом, считая для простоты записи, что D — об-
ласть, стандартная относительно обеих осей ОХ и OY, получаем
цепочку равенств
6	Ф.(х)	d %, (»)
\^dx /(х, y)dy=\^f(x, y)dxdy — ^dy j f(x, y)dx.
а <р,(л)	D	c	Xi (»)
Обычно средний член этой цепочки — кратный интеграл — только
подразумевается (как общее значение равных повторных интегра-
лов), но не записывается.
Пример. Изменим порядок интегрирования в повторном
интеграле
VT /4—1/’	_
dy у /(х, y)dx, f<=C(D).
о у
33
Решение. Начнем с того, что запишем условие на коорди-
наты точек (х, у) из множества D, по которому берется интеграл:
D={(x, у): 0^у^У2, у^х^У4—у2}-, множество D (рис. 7)
есть замыкание области, стандартной как относительно оси OY
У
Рис. 7
(это видно и из записи повторного интеграла), так и относитель-
но оси ОХ-.
D—{(x, у): 0 дб-г =С2, 0 у дб min (х, У4 — х2)}.
Поскольку, как указывалось выше, функции, определяющие пре-
делы интегрирования, должны быть гладкими, представим мно-
жество D в виде D=Z)1U£)2, где
Di = {(x, у): OsCxC у 2, 0<у^х),
Z)2 = {(x, y):V2^x<2, 0<z/<y4=72}.
Итак,
/2	14.»	У 2 х	2	/4—№
j" dy f (х, у) dx =-- j dx f (x, y) dy 4- dx f (x, y) dy.
CO	0	0	Г 2	®
Если подынтегральная функция в двойном интеграле зависит
только от одного переменного, то, как было указано в общем п-
мерном случае, при соответствующем порядке расстановки преде-
лов интегрирования двойной интеграл сводится к однократному.
Пример. Сведем интеграл [ f (х) dxdy, где область D
~D
ограничена линиями у=2х, у^х, у=2 (см. рис. 8), к однократ-
ному.
34
Решение. В силу следствия
1 из теоремы Фубини полу-
чаем, что
2
где ф(а)—длина интервала, по которому прямая х=а, О^.а^.2,
пересекается с областью D. Так как
{2а—а —а,
2 — а,
1;
1	а^2,
то окончательно
1	2
f (х) dxdy = xf (х) dx + f (х) (2—х) dx.
D	б	1
2а	V 2ах
Пример. Сведем интеграл dx f (у) dy к однократ-
О	V‘2ax—хл
ному.
Решение. В силу следствия 1 из теоремы Фубини получаем,
что
2а V2ax	2а
\dx J	f (у) dy = f (у) ф (у) dy,
0	V 2ак—х‘	°
35
где ф(а)—длина интервала, по которому прямая у=а, 0<|а<2а,
пересекается с областью D = {(x, у} : 0<х< 2а, ]/2ах—х2<jy<Z
< уг2ах} (см. рис. 9). Для	имеем
<р(а) = 2а------2 ]/а2—а2; для асСагС2а имеем
2а
<р(а) = 2а-----
2а
Итак, окончательно,
2а	Viax	а
/*	I®	Г* /	««2	- --	\
^dx § f(y)dy = ^2a — ^-—2ya2 — y2p(y)dy +
° V lax—x1	°
2а	2а
+ f [2а~ V-) f(y)dy= \f(y) [2a — -f-\dy —
J \ 2а /	.)	\ 2а /
а	о
— 2 р (у) Va2 — у2 dy.
о
Рассмотрим теперь приемы вычисления двойного интеграла
f(x> y)dxdy в случае, когда область D ограничена замкну-
D
той кривой, заданной параметрически:
Г = {(х, у), x = x(t), y = y(t), t^yr^Tj]},
x(t)<=Ci[T0, Л],	Л], x(T0) = x(T1), у(Р0)=У(Л).
Подробно разберем простейший случай: отрезок [То, Ti] делится
точкой те(Tq, Ti) так, что на [То, т] функция x(t) строго убы-
36
вает, а на [т, TJ—строго возрастает. Тогда кривая Г состоит из
двух ветвей:
У = У1(х) = у1(!(х)), хе [х(т), х(Т0)], <е[Т0, г]
и
У = Уа(х) = у(Цх)), хеЕ[х(т), х(Т0)] = [х(т), х(7\)], t е= [т, 7\].
Предположим еще, что yi(x)>y2(x) для всех хе.[х(т), х(То)].
При этих условиях кривая Г проходится так, что область D оста-
ется слева (положительное направление обхода), когда t воз-
растает от То до Tit и область D стандартна относительно оси
ОХ:
D={(x, у) : х(т)<х<х(Т,), У2(х)<У<У1(х)} (см. рис. 10).
Пусть Ф(х, у) есть первообразная для функции f(x, у) относи-
тельно переменной у, т. е. Фу(х, y) = f(x, у), тогда
*<г») »»(«)
y)dxdy= dx J f(x, y)dy =
о	x(t) 1/,U)
«(To)
= \ [ф(*. У1(х))—Ф(х, y2(x))]dx —
*П)
*(T,)	«(Т,)
= J ф(х- yi(x))dx— J Ф(х, y2(x))dx.
«О)	х(т)
В каждом из полученных однократных интегралов сделаем заме-
ну x=x(t). Тогда
То
/(*’ у) dxdy = ?Ф(х(/), y(t))x'tdt—
D	т
Г,
-у Ф(х(0, y(t))x'tdt=- у ф(х(0, y(t))x-tdt.	(1)
«	Г.
37
Пример. Вычислим
х УЧх2 + ху dxdy,
D
где D — область, ограниченная правой петлей кривой:
Г = {(*> у) : х — acost, у = а sin 4t}, х0.
Решение. Правая петля кривой Г проходится в положи-
тельном направлении при изменении t от —л/2 до л/2 (см.
рис. 11). Заметим, что для точки (х, y)^D справедливо нера-
венство:
|t/|<asin (2 arc cos— ) = 2х ~\/ 1-----— ,
\	а / г а’
следовательно,
4xa-f-xt/>4xa—x|t/|=2xa{2— 1/ 1 ——
\ г а2
т. е. функция f(x, y) = xY4х2-}- ху определена и непрерывна в D.
Первообразная этой функции по переменной у есть функция
(4х2+-*и/)3/2 • —. Следовательно, используя формулу (1), полу-
3
чаем, что
л/2
х У 4х2 + хуdxdy =---------j (4а2 cos2/ +4а2 sin/ -cosa/)3/2x
D	—л/2
х d(acos/)
л/2
= -^-а4	(1 + sin/)3/2sin/ • cos3/d/ =
—Я/ 2
38
/2	Г2
= _^_а4 Г г4 (г2— 1)(2г3—z4)dz= — а* Г (3z8—z10—2z*)dz =
3 J	3 J
о	о
_ 32	4 Г 1	29/2 _ 1	. 2"/'___—	. 27/2 1	=
3	I 3	11	7 J
= 256 -1/2“ ( —____-____- ^ = 218'
~~ 3 '	\ 3	11	7 }	9-11-7
Если замкнутая кривая Г = {(х, у} : x — x(t), y — y(t), /е[70,
7\]} проходится в положительном направлении при возраста-
нии параметра t от То до Ть т. е. область D, ограниченная Г,
остается при этом слева, то, повторяя приведенные выше рас-
суждения, получим формулу
f (X, у) dxdy = Т (X, t), у (0) У’ (0 dt,	(2)
D	Г.
где Ч^х, у)—первообразная функции f(x, у) относительно пе-
ременной х.
Формула (1) справедлива и тогда, когда область D ограниче-
на кривой Г = {(х, y):x = x(t), y~-y(t}, ie[T0, Л]} и прямой
х=С, если кривая Г при возрастании t от То до Т\ проходится
так, что область D остается слева. Формула (2) справедлива, ес-
ли область D ограничена кривой Г = {(х, у): x = x(t), y — y(t),
е[Т0. Tj]} и прямой у=С при том же условии прохождения Г.
Пример. Вычислим
х ]/Л2а2—ay dxdy,
D
где D — область, ограниченная одной аркой циклоиды Г = {(х, у) :
ix = a(t—sin t), у = а(\ — cost), t e [0, 2л]} и осью OX.
Решение. При возрастании t от 0 до 2л кривая Г прохо-
дится слева направо, так что область D остается справа от Г
'(см. рис. 12). Поэтому формула принимает вид
2л
f (X, у) dxdy = —\ ^(x(t), y(t))y' (t)dt.
D	0
Первообразной для функции f (х, у) ~ х ]/2а2—ау относительно
^2	——
переменной х является функция Т(х, у) =— у 2а2—ау- Итак,
2л
х У2а2— ay dxdy = — С а <*~sin0—
d	е
|Za2 + a2cos/-asin/d/=
39
/2 У 1 + cos Z sin Z d/ + a4 J t sin21 1 + cos t dt—
о	0
2л
у- J sin31 /Г+
0
cos t dt.
Вычислим отдельно каждый из интегралов:
2Л	_________ 2л	________
— sin3tУ 1 + cos / dt = (1 — cos2t) У1 4- cos t dcost — 0,
В	0
2Л	2л
— Г /2 Y1 + cos t sin t dt = — C t2d (1 + cos t)3/2 =
V	3 J
о	0
2л
=	(1 + cos 03/21 °" — -у p (1 + cos 03/2 dt.
0
Так как
2я
J /(1 4-cos/)3/2dt = J/(14-cos
о	о
2л
/(14-cos 03/2^ =
Л
J t (1 4-cos Z)3/2 dt + С (2л—z) (1 + cos z)3/2 dz =
о	0
= 2л J (1 4- cos 03/2 dt = 2л J 2 1^2 cos3 -y dt
о	0
16л "У2
3	’
40
то
16л V2 /
= -------- Л
3 I
2я
Г ^2ч/Т—i----7 •	16 2 л2 64л -/2
— \ t2 у 1 + cos t sin t at =-----------------— =
J	3	9
о
_______________£\
3 / '
Далее имеем
2n	я
§ t sin21 ]/1 + cos t di = t sin21 cos t dt +
о	0
2я	я
+ § /sin2/]Z 1 + cos tdt = § tsin2/ /1 + cos / d/ +
Я	0
я	я
+ J(2л—z)sin2zyr14- coszdz = 2л f sin2/ /l + cos/d/ =
о	о
= 161/2л C sin2 — cos®—d (—=
J 2	2	\ 2 /
о
= 81/2 л Г (3/2) Г (2) = ^V2 я
V	Г (7/2)	15
Объединяя полученные результаты, окончательно имеем, что
jjх /2а2—aydxdy = a4 ( 8~^Я* —	+ 32~^2я ) =
D
= 8V^na4 (15л—20 + 12) = -All™* (15л—8).
Обратим теперь внимание на наиболее характерные ошибки
при расстановке пределов в двойном интеграле:
Ь <р,(х)
^f(x, y)dxdy=^dx J f(x, y)dy.
D	a
1.	Неправильно, если при некоторых значениях xoe[a, fe]
4>.U)
нижний предел во внутреннем интеграле f(x, y)dy больше
ф*(*>
верхнего: <pi(%o) >фг(хо). Эта ошибка возникает обычно при от-
сутствии или неправильности чертежа.
2.	Следует четко представлять, что постоянные, не зависящие
от х границы с и d во внутреннем интеграле, бывают только то-
41
гда, когда соответствующая (верхняя или нижняя) граница мно-
жества D представляет собой отрезок прямой, параллельной оси
ОХ, т. е. одна или обе функции ф1(х), ф2(х) представляют собой
константы. Если же эти линии не являются параллельными оси
ОХ, то границы интегрирования во внутреннем интеграле обяза-
тельно представляют собой функции от х. Является ошибкой, ес-
ли вместо функций ф1(х) и ф2(х) поставить их значения в конце-
вых точках (ф[(а), ф2(а) или Ф1(Ь), ф2(&)), или тахф2(х), хе[а,
6] и тшф1(х), хе|[а, , т. е. границы проекции D на ось OY.
3.	Неправильно, если границы внутреннего интеграла
\ f (х, у) dy зависят не только от х, но и от у или границы
внешнего интеграла не являются постоянными. Если при этом
провести все указанные операции, то в результате получится не
число, а функция от х или от у, или от обоих переменных х и у
в зависимости от допущенной ошибки.
4.	Если множество D симметрично относительно одной из ко-
ординатных осей, но не дано условие четности функции f(x, у)
относительно соответствующей переменной, то равенство
f(x, у) dxdy — 2 f(x, у) dxdy,
где Di часть множества D, лежащая по одну сторону от соответ-
ствующей оси, вообще говоря, неверно.
5.	Если множество D проще представить не в виде объедине-
ния замыканий стандартных относительно той или иной коорди-
натной оси областей, а в виде разности таких замыканий: D=
"=Di\D2, то, вообще говоря, нельзя вместо представления инте-
грала
^/(х, У)dxdy
в виде суммы делать представление в виде разности
р (х, у) dxdy = f(x, у) dxdy— f (х, у) dxdy,
В	D,	D,
поскольку условие /еЗ?(£>) не дает права интегрировать функ-
цию f на множестве Di^>D. Если же из условия задачи можно
утверждать, что	то представление
У) dxdy = 'j f (х, у) dxdy— f(x, у) dxdy
'd	d,	в,
законно и может быть использовано для упрощения вычислений.
42
2. Замена переменных в двойном интеграле. Переход
к полярной и обобщенной полярной системам координат
Замена переменных в двойном интеграле приводит как к из-
менению подынтегрального выражения, так и к изменению мно-
жества, по которому берется интеграл. В отличие от одномерного
интеграла, где связь двух промежутков интегрирования устанав-
ливается просто, для многомерного интеграла найти множество
изменения новых переменных достаточно трудно, поэтому глав-
ное внимание при выборе зависимости между новыми и старыми
переменными обращается именно на нахождение этого множест-
ва. Наиболее простым случаем является тот, когда границами
множества D, по которому берется интеграл, являются линии
уровня достаточно гладких функций: фДх, у) и ф2(х, у), т. е.
D = {(x, у): а^ф^х, у)^Ь, с<ф8(х, £/)<</},
причем отображение ф : D-> R2, ф : и = ф1(х, у), v=-q>z(x, у) регуляр-
но. В этом случае отображение ф:и = ф1(х, у), v=<p2(x, у) перево-
дит множество D в промежуток
1 = {(u, v): а "С и -С b, c^SZv^ci}.
Пример. Вычислим
И (хя + у2) dxdy,
где
£) = {(х, у) :1 ху2, 0^х^2у^4х)
(см. рис. 13).
43
Решение. Рассмотрим отображение <р: (и, и)->(х, у), об-
ратное к отображению и = ху, v = у/х i x — ^u/v , y = tfuv. Из
формул, выражающих х, у через и, v, видно, что для множества
D, лежащего в первом квадранте и отделенного от координатных
осей, существует область Gx,yz^Dt в которой отображение ср яв-
ляется биективным. Геометрически биективность отображения <р
видна из того, что произвольная линия уровня функции v — пря-
мая y=CiX и произвольная линия уровня функции и—гипербола
ху=С2 при условии х>0, у>0 пересекаются только в одной точке.
Как неравенства l^xz/^2, ]/2^.y/x<Z,2, так и геометриче-
ские соображения (гиперболы ху=С2 и прямые у=С\Х пересека-
ются с множеством D тогда и только тогда, когда — ^Сг^2, 1
^Са^2) показывают, что прообразом D при отображении ф
является прямоугольник
/ = f(u, v) : 1 ^и^2,
Далее, для якобиана ф справедливо соотношение
^-=#0, (и, и) ее/.
2и
Итак, отображение ф регулярно и
1 J j
----dudv —
2и
D	1
,	63
иаи =—.
16
Разумеется, можно было бы вычислить этот интеграл и не
производя замены переменных. Но тогда множество D для пред-
ставления двойного интеграла в виде повторного нужно разбить
на три: £>=£>10^211^3, где
£>1 = {(*. У)-’	h
О2 = | (х> У) : 1 х V2 ,
D3—\(х, y)-.V2^x^2,
44
Пример. Вычислим
№y+xy*)dxdy,
D
где
D = {(x, у): х>0, у>0, 4х2—Зу2^4, 4у2—Зх2^4}
(см. рис. 14).
Решение. Так же, как и в предыдущем примере, для непо-
средственного применения теоремы Фубини к данному интегралу
необходимо разбить множество D на составляющие, поскольку
оно является замыканием области, не являющейся стандартной
относительно каждой из координатных осей ОХ и OY.
Покажем, что переход к переменным и и v по формулам
и = 4х2—Зу2, o=4z/2—Зх2
упрощает вычисление данного интеграла.
Поскольку
f 4и Зц
У =
Зи 4- 4у
7
и х>0, t/>0, то отображение <р: (х, у)-+(и, v) есть биекция D->
—хр (D).
Из неравенств 4х2—Зу2^4, 4у2—Зх9<4 следуют неравенства
и^4, и^4; поскольку
, / 4м + Зу
*- —г-
Зи + 4у
7
то необходимо, чтобы выполнялось условие
4и + Зи^0, Зи-|-4у^0.
45
Объединяя все полученные соотношения, получаем, что образом
ф(£>) множества D является множество
£)1 = {(u, v) : 4u4-3ul>0, 3u + 4u>0, u^4, v ^4}
(см. рис. 15). Якобиан <p равен
на D этот якобиан обращается в
8х
— 6х
нуль,
— бу
8у
= 28ху.
Так как
то условия первой теоре-
мы о замене переменных в кратном интеграле не выполнены, ОД'
нако выполнены условия второй теоремы, если
£>1\S1 = {(u, и) : и<4, v<4, 4и-|-Зи>0, 3u + 4v>0}.
Итак,
(u-\-v)dudv =	(4х2—Зу2 + 4у2—Зх2)28xydxdy=
'6
(хяу + xys) dxdy.
D
=28И
Следовательно,
(xsy 4- xy3) dxdy = (u 4- v) dud;
D
4	4
О	4
,	1 (* л Г
\v=------ \ du \
Dt
0
=— C L (4 4-
О	—Зи/4	—з
О
о	4
—— С — - u2du 4- —— (
28 J 9	28 J
—з	о
3.
—3	—4U/3
— и) +8--------— u2"|du +
3 /	9 J
4
У (4и 4" 8) du j-
—з
46
В этом примере фактически рассматривалось не отображение
<р : (и, и)->(х, у), а обратное отображение Чг=ф-1 : (х, у)->(щ v).
Хотя в ходе решения были получены явные выражения как функ-
ций и(х, у), v(x, у), так и функций х(«, у), у(и, и), но дифферен-
цирование отображения ф технически проще дифференцирования
отображения <р.
Если связь переменных (х, у) и (и, v) задана соотношениями
вида и=и(х, у), v=v(x, у), то для вычисления якобиана % —
= —у- необходимо наити явную зависимость х=х(и, v), у=у
(и, v). В некоторых случаях проще найти якобиан обратного
отображения Ф=ф-1 : (х, t/)->(u, v) и воспользоваться равен-
ством =
Пример.
р р ^з_Злы2 j 2i/3
Вычислим Н -------------dxdy, где D — область, ограни-
d У
ченная линиями t/=l/x2, у=4/х2, у=х—1, у=х+1.
Решение. Граница области D составлена из линий уровня
функций и=ух2 и v=x—у:
D = {(x, у) : 1<ух2<4, — 1<х — у<1}
'(см. рис. 16). Более того, каждая точка (х, у) области D лежит
только на одной кривой вида ух2=С\, 1^С!^4, и только на одной
кривой вида х—у=С2, —1=СС2^1.
Таким образом, отображение (р: и=ух2, v=x—у есть биекция
области D на область D1 = {(u, и) :!<;«<; 4, —Не
выражая явно переменные х и у через и и v (это требует реше-
ния кубического уравнения), найдем якобиан
D (х, у)
D (и, v) ’
равный
l/(det <р'). Так как
det ср' =
2ху
1
= — х(2у+х),
ю
I D (х, у) I _	1	________________1______________
I D (ы, у) I х (2у + х) х2 (и, у) + 2х (и, у) у (и, у) ’
следовательно, биективные отображения ф и ф-1 есть соответ-
ственно диффеоморфизмы D->Di и D^D. Итак, условия первой
теоремы о замене переменных в кратном интеграле выполнены, и
поэтому
D	D
ЙУ2 (х, у) /2,0	\ .1 J
—----• (х2 + 2ху) dxdy =
и (х, у)
D
= С С v* . xt<u' v)+2x(u, v) у (и, у) . dudv =
JJ и х2 (и, у) + 2х (и, у) у (и, у)
Di
1	4
= f v2dv С = — In 4.
J	J и 3
—1	1
Нахождение прообраза множества D при переходе к поляр-
ным координатам на плоскости, т. е. при отображении х=гсозф,
у=г sin ф, облегчается простым геометрическим смыслом параме-
тров г и ф. Именно г есть длина радиуса-вектора из начала коор-
динат в точку (х, у), а ф — угол между этим вектором и положи-
тельным направлением оси ОХ. Как уже указывалось при общем
рассмотрении полярных координат в n-мерном пространстве
(с. 17), для любого жорданова множества DczR2 и функции fa
czC(D) имеет место равенство
^f(x, У) dxdy = f (г cos ф, г8Шф)гйгс!ф,
D	Ы
где £>i={(r, ф)} — прообраз D, если г>0, а угол ф изменяется в
промежутке длиной не более 2л:
сс,^ф^а|2л.
(Чаще всего берутся значения а, равные 0, —л или —л/2 в зави-
симости от расположения множества D.)
48
Расстановку пределов в
стью делают в виде
полярных координатах
большей ча-
рФ $ g{r, (f)dr,
а г,(ф)
поскольку зависимость г(<р) чаще всего аналитически выражает-
ся проще, чем ф(г).
Заметим, что переход от переменных х и у к переменным г и
<р можно рассматривать как переход к согласованной с декарто-
вой полярной системе координат, а не как преобразование мно-
жества D. Поэтому для упрощения записи не будем в дальней-
шем изложении вводить новое обозначение для множества изме-
нения г и <р, а будем рассматривать множество D как в виде D=
={(х, у):...}, так и в виде £)={(г, <р):...}, где вместо многоточия
стоят условия на координаты (х, у) и (г, ф) соответственно.
Пример. В двойном интеграле j f (х, у) dxdy, где
D
D = {(x, у) : х2 + у2^а2, х2-\- у2 ^.2ау, а>0} и f^C(D)
(см. рис. 17) перейдем к полярным координатам и расставим
пределы интегрирования в том и другом порядке.
Решение. Запишем условия на координаты точек (г, ф)е7)
в полярных координатах: г2>а2, г2^2аг81пф, т. е. в силу усло-
вия г>0 имеем а^г^2а sin ф. Из чертежа видно, что луч ф—фо
пересекается с множеством D тогда и только тогда, когда л/6
^Фо^5л/6. Каждый такой луч пересекается с D по отрезку
[а, 2а sin фо]. Итак,
D = {(г, ф) : л/6 ф 5л/6, a sK г 2а sin ф}
49
и
5л/6	2а sin ф
f (х, у) dxdy = d<p f (г cos ср, rsincp)rdr.
D	л/6 а
Для расстановки пределов интегрирования в другом порядке сно-
ва обратимся к чертежу. Минимальное расстояние точек множе-
ства D от начала координат равно а, максимальное — 2а, следо-
вательно, имеем а^г^2а. Линия г=С — окружность радиусом С
с центром в начале координат — пересекается с D по дуге (а,
л—а), где a=arcsin(C/2a). Итак,
D — {(г, ф) : a дС г 2а, arcsin (г/2а)	ф д/
^л—arcsin (г/2а)} и	у) dxdy —
D
2а л—arcsin(r/2a)
= J dr	/(ГСО5ф, Г5Шф)гс/ф.
a arcsln(r/2a)
Пример. В двойном интеграле i\f(x, у)dxdy, где D — об-
'о
ласть, лежащая одновременно как внутри кардиоиды г=а(1 +
+ собф), так и внутри окружности х2 + у2=3ах, а>0 и
(см. рис. 18), перейдем к полярным координатам и расставим пре-
делы интегрирования в том и другом порядке (декартова и по-
лярная системы координат совмещены).
Рис. 18
Решение. Запишем уравнение окружности в полярных ко-
ординатах: г=3асозф. Так как точки (г, cp)eZ) лежат внутри об-
ласти, ограниченной обеими кривыми, то их координаты должны
одновременно удовлетворять неравенствам: г<а( 1+созф) и г<
50
<3acos<p. Из условия г>0 и второго неравенства получаем, что
—л/2<ф<л/2. Так как и первое, и второе неравенства ограничи-
вают г сверху, то, объединяя их, получаем, что 0<r<min{a(l +
+ cos<p), За cos ф}. Как и раньше, разобъем интервал изменения
<р: (—л/2, л/2) на подынтервалы так, чтобы границы изменения
г записывались с помощью простого выражения. Для этого най-
дем, на каких подынтервалах интервала (—л/2, л/2) функция
min{a(l + coscp), За cos ф} совпадает с функцией а(1 + созф) и на
каких — с функцией Засоэф. Так как неравенство a(l + cos<p)<
<3acos<p справедливо для —л/3<ф<л/3,_а неравенство а(1 +
Tcoscp) >3acos<p — для л/3< | <р | < л/2, то ^=Z)iUZ>2U-O3, где
£)1 = {(г, ср) :—л/2^ф^—л/3, 0 ^г^Засоэф),
£)2 = {(г, ф) ;—л/3^ф^л/3, 0^г^а(1+соэф)},
D3 = {(г, ф): л/3 'С ф 'С л/2, 0 sT rsT 3a cos ф}.
Следовательно,
л/3 3acosrp
y)dxdy= d(p ] /(гсозф, rs^)rdr+
D	—л/2 О
л/3	a(14-cosq.)
+	</ф	/(гсоэф, г sin ф) г dr +
—Я/3	о
л/2 Засовф
+	</ф J /(гсоэф, г sin ф) г dr.
я/3 О
С другой стороны, из исходных неравенств получаем, что 0<
<r<2a, cos ф>шах{г/3а, (г/а)— 1}. Опять разобъем интервал из-
менения г: (0, 2a) на такие подынтервалы, на которых функция
max{r/3a, (r/a)—1} совпадает с одной из функций r/За или г/а—1.
Получим, что D=D}[jD2, где
= {(г, ф): О «Г геТ 3a/2, cos ф Д- 2,'За),
D2 — {(г> ф) • За/2 'С г 'С 2а, cos ф г/а— 1}
и, следовательно,
За/2 arccos(r/2a)
^/(х, y)dxdy = dr J /(гсоэф, г8Шф)г</ф-)-
D	б	—arccos(r/3a)
2а arccos(r/a— 1)
+ dr	f (г cos ф, г sin ф) г dq>.
За/2 —arccos(r/a—1)
На_чертеже все эти рассуждения наглядны. Луч ф=фо пересе-
кает D при —-л/2^фо^л/2. Если л/3^ | фа | ^л/2, то этот луч пе-
ресекается с D по отрезку, начало которого в начале координат,
51
а конец — на окружности r=3acos<p, т. е. О^г^Засозф, если
же —л/З^лро^л/З, то по отрезку, начало которого в начале коор-
динат, а конец—на кардиоиде
r=a(l + cos<p), т. е. 0^r^a(l+cos<p).
С другой стороны, минимальное расстояние точек (г, <р)е/5
от начала координат равно нулю, максимальное — 2а, т. е. 0^
^г^2а; окружность г=С пересекается с D по дуге, концы кото-
рой при О^С^За/2 лежат на окружности r=3acos<p, т. е.
—arccos(r/3a)^<p^arccos(r/3a), а при За/2^.С^.2а— по дуге,
концы которой лежат на кардиоиде r=a(l+cos <р), т. е.
—arccos (г/а—1) ^ф^агссоэ (г/а—1).
Пример. Перейдем к полярным координатам и расставим
пределы интегрирования в двойном интеграле y)dxdy, где
D
область D ограничена кривыми
г — a sin (ф/6), г = аф/Зл, 0 <р Зя, а > 0, и f е С (D)
(декартова и полярная системы совмещены).
Решение. Сделаем чертеж области D (см. рис. 19). По чер-
тежу видно, что наиболее простые условия на координаты (г, <р)
точек области D выглядят так: 0<ф<Зл, а<р/Зл<г<a sin (<р/6).
Но такая запись формально нарушает требование, чтобы при пе-
реходе к полярным координатам длина интервала изменения уг-
ла ф не превосходила 2л. Это требование связано с тем, чтобы
нарушение биекции при переходе к полярным координатам про-
исходило самое большее на множестве обт.ема пуль. Опико в
данном случае, как хорошо видно из чертежа, '“''ш!
Dj = {(г, ф):0^ф^Зл, аф/3л^г^а81п(ф/6)}
D — {(x, у): х = гсозф, у = гзшф, (г,
52
как раз биективно. При этом все условия первой теоремы о за-
мене переменных в кратном интеграле выполнены и, следова-
тельно,
Зя asin(<p/6)
у) dx dy = dq \ /(rcostp, г sin <p) r dr.
D	0 аф/Зя
Можно обосновать это равенство и чисто аналитически. Для
этого представим множество D как объединение D=-D1U£>2, где
Di — {(г, <р): О S.C <р 2л, а<р/3л «С г 'С a sin (<р/6)},
П2 = {(г, <р) : 2л ^ф^Зл, a<p/3a^	asin(<p/6)}.
Для каждого из этих множеств переход к полярной системе коор-
динат уже не имеет формальных препятствий, следовательно,
у) dx dy = f (х, y)dxdy+<\j\i f (х, y)dxdy =
D	Dt	D,
2Л asin(<p/6)
= dq	f (r coscp, rsinq>)r dr +
О аф/Зя
3л asln(q>/6)
+ dq J f(rcosq, r sin <p) rdr,
2л аф/Зя
так как внутренние интегралы в первом и втором слагаемом оди-
наковы, то, пользуясь аддитивностью одномерного интеграла, по-
лучаем, что
Зя asln(<p/6)
y)dxdy— J dq j f (r coscp, rsin<p)rdr.
*D	0 аф/Зл
Обобщенными полярными координатами называется пара (г,
<р), связанная с координатами х, у формулами x=ar cosaq, у=
=br sin“<p. При этом г>0, а <р пробегает либо промежуток [О,
2л] ([—л, л]), либо промежуток [0, л/2] в зависимости от зна-
чения постоянной а так, чтобы функции cos“<p и sin“<p имели
смысл и оба равенства sin“<po=sin“<p1, cos“<po=cos“<pi одновремен-
но выполнялись только при
<р0 = 0 и <р1 = 2л (<р0=—л, = л) или фо = 0 и <р1 = л/2.
Переход к обобщенным полярным координатам делается в ос-
новном тогда, когда уравнение кривой, ограничивающей область
интегрирования D, в новых переменных при соответствующем
выборе постоянных а, Ь, а становится существенно более про-
стым. Так как обобщенные полярные координаты не имеют на-
глядного геометрического смысла, то границы их изменения для
точек (х, р) из данного множества D определяются аналитиче-
ским путем. Если при переходе к полярным координатам мы
53
оставляли обозначение множества D без изменения, то теперь,
как и в общем случае замены переменных, будем соответствую-
щее множество значений (г, <р) обозначать через D\. Якобиан
при переходе к обобщенным полярным координатам равен
aabr cos"-1 <р sin“-1 <р.
Пример. Вычислим
<*(* I х и \2 .
D
где D — область, лежащая в первом квадранте (х>0, t/>0) и
ограниченная осями координат и кривой 1—4- ~ \ =( — + «/ г\.
Решение. Положим x=2rcos2<p, t/=5rsinz<p, тогда уравне-
ние заданной кривой примет вид г2 =-i-cos4<p4-25sin4<p. Функ-
ции cos2<p и sin2<p имеют смысл при любом <ре|[0, 2л], но, чтобы
их значения не повторялись, как было указано выше, необходимо
выполнение условия <ре[0, л/2].
Обозначая для упрощения записи g(<p) =	cos4 <р 4- 25 sin4 <р)1/2,
получаем,что
\2	"о2	Й-Ф>
Jj	dx dy = 5-2-2~ dtp у r3cos<р sin<рdr =
D	0	0
Я/2
C/4	\
= 5 \ (— cos4 <p 4- 25 sin4 <p j cos <p sin <p dtp =
о
Я/2	n/2
80 Г » j , 1000 f R	,
=	\ cos® <p sin <p dtp 4—-— \ cos6 <p sin8 <p dtp 4-
o	‘ о
Я/2
। oioe (* • a j 8 . 625 , 500 Г (3) Г (3)
4-3125 i sin® <p cos <p dtp =--------------——=
J v v v 81	2	9 Г (6)
o
= 8  625 , 50 = 50941
~ 81 • . 2 + 27 ~ 162 *
Пример. Двойной интеграл	у)dxdy, где D—область,
D
ограниченная кривой х2/3/4 + 2у2^3 = (2х—у)1/3, представим в виде
повторного, перейдя_ предварительно к обобщенным полярным
координатам (/еС(£>)).
Решение. Положим х = 8r cos8 <р, у — ~	sin3 <р, тогда уравне-
ние заданной кривой примет вид r = (16cos*<p—(sin8 <р)/21/2)1/2.
54
Функции cos3k₽ и sin\p имеют смысл при всех <ре(—л, л), и на
этом же промежутке выполнено условие неповторяемости их зна-
чений одновременно. Кроме того, уравнение кривой дает ограни-
чение на интервал изменения <р: так как левая часть в этом урав-
нении неотрицательна при всех х и у, то должно выполняться не-
равенство 2х—i/>0, откуда получаем, что —л 4- ф0ф<р0, где
Фо = arctg(4/1^2). Итак, прообразом множества D является мно-
жество
£>г = {(г, ф) : —л-]-фо^ф^ф0, 0^г^(16соз3ф — (sin3 ф)/2'|/<2)1/2}
и, следовательно,
y)dxdy =
'd
V,	(16cos"<p—51п«ф/2/2) 1 /2
= d<f	/(8гсоз3ф, r (sin3 ф)/21^2) X
—я+Фо	о
ХбУ"2 cos3ф sin2ф-rdr, ф0 = arctg(4/y/ 2).
Если при переходе к обобщенным полярным координатам
значение а меньше единицы, то в условиях первой теоремы о за-
мене переменных в кратном интеграле нарушается не только тре-
бование биективности отображения, но и требование его гладко-
сти. В этом случае, опять применяя вторую теорему, получаем,
вообще говоря, несобственный двойной интеграл по ограниченно-
му жорданову множеству Dx от неограниченной функции f (ar cos®jp,
йг8ш“ф)айасоза-1ф8П1“~1ф. Подробнее вопрос о несобствен-
ных кратных интегралах рассмотрим несколько позже, здесь за-
метим только, что в данном случае этот интеграл имеет смысл и
равен повторному интегралу, причем интеграл по переменному ф
будет несобственным. Аналогичным является и общий случай, ко-
гда при замене х=»х(и, и), у = у(и, и) прообразом жорданова мно-
жества D={(x, у)} является жорданово множество Z)1={(«, ц)},
но условия гладкости отображения q-.Dt-t-D нарушаются на
множестве объема нуль. При этом оба одномерных интеграла в
повторном могут быть несобственными, но формула замены пере-
менных остается справедливой.
Пример. Вычислим
Cf jc* — х3у + х'у' — ху3 + / , ,
JJ—W+?	" “Ли.
D
где D — область, ограниченная кривой (x6+t/®)2= (х—у)3.
Решение. Функция f(x, у)=** ~ * У	~ху3 +К* формально не
Vx*+y*
определена в начале координат. Положим F (х, у)=
(f (х, у), х2+г/а#=0;
( 0 , ха + / = 0
55
и проверим, что так определенная функция F(x, у} непрерывна
на D. Непрерывность F во всех точках, кроме начала координат,
следует непосредственно из ее задания. Чтобы проверить непре-
рывность F при х=0, г/=0, проще всего перейти к обычным по-
лярным координатам
г (cos* <р—cos3 <р sin ф-j-cos2 <р sin2 <р— cos <р sin8 ф-j-sin* <p)
Д/cos* q> —si ne q>
/(rcosqp, rsintp)
Отсюда получаем оценку
|f(rcos<p, г sin <р) К	< 10г,
Д/1—3/4 sin2 2<р
которая и показывает, что
lim F (х, у) = lira f (г cos <р, rsin<p) = 0 = F(0, 0).
r->0
Итак, как было указано выше, можно считать, что под
интеграла стоит непрерывная функция
знаком
f(x, у), х24-//2=#0,
0 , х2 4- у2 = 0.
Положим x = rcos1/3<p, у = rsin1 /3 <р, тогда уравнение заданной кривой
примет вид r3 = cos1/3<p—sin1/3 ср. Так же, как и в предыдущем при-
мере, делаем вывод, что —Зл/4 ^ф^ л/4 и в качестве прообраза
множества D получаем множество
Dx = {(г, <р); —Зл/4 <р л/4, 0 г3	(cos1/3 <р—sin^3 <р)}.
Итак,
И*4- х3у4~х2у2 — *у3 + у* . , _
У~
(co.1/3<p-sin1/3^1/3
= -у d<p §	(cos4/3<p—cos<psin,/3<p4-
—Зл/4	О
4- cos2/3|cp sin2/3\p—cos’/3 <p sin'cp 4-sin4/3 <p) r2 cos-2/3 <p sin-2/3 <p dr.
Вычислим внутренний интеграл
(соз1/3^1п,/3<₽)1/3
У	(cos4/3 <р—cos <р sin Ч3 <р 4~ cos2/3 ф sin2/3 ф—
о
—cos1/3 ф sin ф 4-sin4/3 ф) г2 cos-2/3 ф sin-2/3 ф dr —
= — (cos5/3 ф 4- sin5/3 ф) cos-2/3 ф sin-2/3 ф =
3
= — cos ф sin-2/3 ф 4------cos-2/3 ф sin ф.
56
D
Заметим, что под знаком внешнего интеграла стоит неограничен-
ная функция
— cos <р sin-2/3 ф 4—— cos-2/3 ф sin ф.
3	3
Вычислим интеграл от первого слагаемого
Л/4	О
j соэф sin-2/3 ф сйр =§ зт-2/3фс(5тф4~
—ЗЛ/4	—Зл/4
Л/4
4~— С sin-2/3 ф d sin ф = з!п1/3ф |и. Ц-sin1/3(p I =-г—.
3	1	Т т	Т|—ЗЛ/4 ’	т,0	• /о
О
Точно так же вычисляется интеграл от второго слагаемого, сле-
довательно,
х4 — x3t/ -4- *2Уа — ху3 4- dx , = _1_4 = 2^32
1/х® + У*	У 3 '	3
Пример. Вычислим
.	( X \ 3/2	/ у \ 3 \ ,
D
где
(х, у) :х>0, у>0, —	+ Нг <1 .
Решение. Сделаем замену переменных: х = аи2'3, y = bv1'3.
Из условий на координаты точек (х, y)&D получаем, что множе-
ством изменения переменных (и, о) является D{={(u, v) : и>0,
о>0, и 4- п^1}. Якобиан отображения ф:£>1->-£) равен
—-Ы-1/31Г-2/3.	ИтаК)
на отрезках u=0,	и и=0,
являющихся прообразами отрезков х=0, ОсЬ и у—0, О^х^а,
условия гладкости нарушаются. Тем самым такая замена приво-
дит к несобственному интегралу:
1	1-U
Xu-1/3o-2/3dudo=u-1/3du § (1—и—v)ir~2/3dv.
о	о
57
В данном случае и внешний, и внутренний интегралы — несоб-
ственные. Вычисляя их, одновременно убеждаемся в их сущест-
вовании
1—и
С (1 — и—v) и-2!3 dv = 3 (1 — и) V1 /з I	—- и^31=
4
О
= 9/4(1—и)4/3,
1	л/2
-ab J -у- (1—u)i/3 u~i/3 du= ab § sin1/31 cos11I31 dt =
о	0
3. Площадь поверхности и ее вычисление
Определение. Множество Sc/?3 называется поверхностью
в R3, если для любой точки scS существует открытое множество
V(s), seV такое, что V(s) QS = г(D), где В={(и, и): и2+и2^1} —
замкнутый круг в У?2 и r:R2~^R3— гомеоморфизм, т. е. биектив-
ное отображение, непрерывное вместе с обратным.
В курсе анализа ограничимся рассмотрением более узкого
класса — кусочно-гладких поверхностей.
Определение. Поверхность S называется простой глад-
кой поверхностью, если S есть образ замыкания области DczR2:
S={r(u, и); (и, a)eD} и выполнены условия:
1.	область D жорданова;
2.	отображение г: D->-S гомеоморфизм;
3.	отображение гсС‘(£));
4.	для всех точек Л10=(п0, v0)^D ранг матрицы
'	) равен двум ’“"‘Ч’1' г“ и '•
неколлинеарны).
Отображение r=r(u, v) : D->-S называется параметрическим
представлением поверхности S; переменные и и v — параметрами
S; область D — областью значения параметров и, v. Параметри-
ческое задание поверхности S будем записывать следующим об-
разом: S={r(u, v), (и, v')eeD} или
S = {(x, у, z):x = x(u, v), у = у(и, v), z = z(u, v); (и, v)^D}.
Точки seS, являющиеся образами точек D, будем называть
внутренними точками S; точки seS, являющиеся образами мно-
жества dD=D\D (границы D) —граничными точками S.
Возникает вопрос, может ли простая гладкая поверхность,
рассматриваемая как определенное множество точек трехмерного
пространства, иметь несколько различных параметрических пред-
ставлений.
58
Определение. Пусть Z) и D} — жордановы области в R2.
Отображения г: D->-R3 и p:Di->/?3 называются-Эквивалентными,
если существует такой диффеоморфизм <р: D->Db что <p(£))=Z)i,
<f>(D\D)=Dl\Dl (внутренние точки переходят во внутренние, гра-
ничные— в граничные) и г(Л1) =р(<р(Л1)) для любой точки ТИе
Из наглядных геометрических соображений можно заключить,
что эквивалентные отображения г: D->~R3 и р : D—rR3 задают од-
ну и ту же простую гладкую_поверхность.
Диффеоморфизм <p:D->Di, осуществляющий эквивалентность
г(и, и) и p(«i, ui), назовем допустимым преобразованием пара-
метров.
Определение. Поверхность 3, являющаяся конечным объ-
единением простых гладких поверхностей SQ, l^^Q, называет-
ся кусочно-гладкой поверхностью, если выполнены условия:
1. поверхности SQ и Sp, p=£q, не имеют общих внутренних то-
чек.
2. если множество Lp, д=3РПЗд содержит более одной точки,
то Lp,q представляет собой кусочно-гладкую кривую.
Простые гладкие поверхности Sq будем называть компонента-
ми 3; кривую Lp, g — линией пересечения компонент Sp и Sq.
Из определения простой гладкой поверхности S={r(u, v), (и,
v)^D} следует, что в каждой точке soe3, s0=r(u0, vQ) поверх-
ность 3 имеет касательную плоскость, которая является плос-
костью, натянутой на векторы r'u(u0, v0) и г'Дпо, ио).
Пусть 3—{r(u, и), (и,	— простая гладкая поверхность;
$)<=[qu	М и Ти — разбиение отрезка [аь ai=u0<
<U|<Uj< ... <ипа"Оь Г»—разбиение отрезка [а2, b2]:a2=v0<
<П1< ...	Т-ТиХГ?—разбиение прямоугольника [аь
bi] X [а2, Ь2].
Возьмем точку (u,, Vj)eD,	—1,	—1, и обозна-
чим AUi=ui+i—uit Avj = Vj+i—Vj. Линейное отображение г'(и{, Vj)
переводит множество векторов плоскости R2, выходящих из точки
(и<, Vj), в плоскость, касательную к поверхности 3 в точке s,j=
= r(ui, Vj). Прямоугольник Ui^.u^.Ui+i, Vj^.v^.Vj+l переходит
при этом в параллелограмм оц, построенный на векторах
ru(ui> vj)Aub rv(ui< v/)&Vj- Площадь |Gjj| этого параллело-
грамма равна |[г2(иь*’/)Хго(мь	। ДМ[Г„Х^] обозначает век-
торное произведение векторов г’и и г'). Обозначим символом £
сумму, распространенную на те индексы i, j, —I,
1, для которых (ult v5)^D.
Определение. Площадью |3| поверхности 3 называется
*
lim £ |aM| |[X(ub п/)ХгДи;, П/)]|ДыгДпъ
Х(Г)-*0 I j
где Х(Т) —параметр разбиения Т.
59
Введем обозначения:
е= |/-ui2 = <+<+<; g= |г;|8=лг;,+у;,ч-г;>;
Е = (г'и • Q	+ У'иУ'о + «•
тогда площадь поверхности S=(r(u, v), (и, v)^D} вычисляется
по формуле
|S|=JJ/EG—Pdudu.	(1)
D
(Поскольку в формуле (1) под знаком интеграла стоит непрерыв-
ная функция и интеграл берется по жордановой области, то в
данном случае интеграл существует.)
Площадь простой кусочно-гладкой поверхности определяется
и вычисляется как сумма площадей составляющих ее простых
гладких поверхностей.
Величина площади поверхности должна быть, конечно, фак-
том внутренней геометрии поверхности, т. е. не зависящей от
различных способов ее представления. Действительно, при регу-
лярном отображении <p:D->-/5i величина интеграла в формуле (1)
не изменяется. Следовательно, приведенное определение площади
поверхности S={r(u, п); (и, корректно (не зависит от вы-
бора параметризации).
Заметим, что даются и другие, эквивалентные приведенному,
но более «геометрические» определения площади поверхности.
Пусть S={r(u, v), (и, u)g/5], отображение r:Z5->)?3 — гомео-
морфизм и на множестве Е, EcD, площади нуль нарушены усло-
вия его гладкости. Пользуясь понятием площади простой гладкой
поверхности, определяется понятие площади и для поверхностей
такого класса. Если при этом интеграл (1) существует хотя бы
как несобственный, то его величина равна площади |S| поверх-
ности S. Точно так же допускается не только регулярное преоб-
разование параметров в представлении поверхности, но и такое,
при котором условие биекции или условие гладкости нарушаются
на множестве площади нуль. При этом интеграл (1) преобразует-
ся в условиях второй теоремы о замене переменных в кратном
интеграле (см. с. 15).
Если поверхность S задана явным уравнением: z=f(x, у), (х,
y)^D, т. е. S = {(x, у), f(x, у), (х, y)^D}, то формула (1) прини-
мает вид
151 = J $ /1 + Ю2 + (^)2 dx dy.
D
Пример. Найдем площадь части поверхности
х = a cos и (1 —cos v) Н—. ab.	sin и sin v,
'	’ Va2+62
60
t/ = asinu(l—cos v)
ab
У a2 4- b3
cos и sin V,
z = bu
, fl2 Sin tl
если
О^ц^л, 0^и^2л.
Решение. Имеем
, Г<Га& F
хи = —a sin и (1 — cos и) 4-—===== cos и sin с,
х„ = a cos и sin v 4- —===== sin u cos v,
°	У a2 4- b3
,	.	, a2 cos v
Z =0, 2 ——
“	° Уа24-ь2
y'u = aeosи (1 —cos n)4
ab
У a2 4- b3
sin и sin v,
y' = a sin и sin v-, ..... cos и cos v,
У a2 4- b3
E = a2(l — cos n)2 4——-— sin2 v 4- b2 =
a2 4- b3
(а*4~Ь2 — a2 cos и)2 a3b3
" в* 4- b* + a3 4- b3 ’
ft i ft । a'b' a । a* cos2 v 2
G = a2 sin2 v 4—:—— cos2 v + —--— = a2,
a’ 4-b2	a»4-b2
F — - sin2 V—(1 —cos v)'cos V 4" У a b ' cos V =
у a2 4- b3	1У a2 4- b3 v	' yas + b2
_____a3b
~V^+T3’
VEG — F2 = д(д2 + Ь2 —a2cosv)
V	у a2 4- b3
я 2л
ISI = ,. a„.= C du C (a2 4- b2—a2cosu) dv =
1 1 W+J2d J V	Л
о 0
= y== • 2л (a2 4- b2) = 2л2а у a2 4- b2.
Пример. Найдем площадь части сферы х24-y2+22 = R2, если
a2+b2<R2.
3 е ш е н и е. Цилиндр, построенный на границе прямоуголь-
ника {—вырезает на верхней и нижней по-
61
лусферах части одинаковой площади. Представим уравнение
верхней полусферы в явном виде: г=]/г7?а—х2—у2. Тогда =
дх
—х	дг	—у	т,
=	=	Так как на прямоугольнике
|х|^а, \y\^.b(a2+b2<R2) условия гладкости функции z выпол-
нены, то
а b --------------------
ISI-2 jdx J у 1 +	=
—fl —Ъ
а
_ , dy ------ = 47? С arcsin - b.— dx =
VR*-x2—y2 J VR*-x*
— a
a
= 47? I x arcsin b | — b Г —=
L	VR2 — Xa I—a	J Vr<
—a
x2 dx__________
b2 — x2 (R2 — x2)
a
= 8aR arcs in ----4- 4&7? C —-..d~ ....——
VR2 — a2	J yR2_b2__x!1
—a
a	a
~2bR2 C-----------dx..........— 9.hR2 Г---------dx .....—
J (R — x)l/R2 — b2 — x2	J (R + x)l/Ra — b2 — x2
—a	—a
= 8а7? arcsin b 4- 4- 8&7? arcsin Г а .
yR2-a2	У R2—b2
b2_R2__
(R-\-a) УR2 — b2 )
а______
yR2-b2
—47?2 f arcsin ———. — arcsin
\ (R — a) yR2 — b2
= 47? | 2а arcsin - ..Ь 4- 2b arcsin
I yR2-a2
D R2 (R2 — а2 — b2) — a2b2 ]
— 7? arccos —2------------------ .
(R2 — b2) (R2 — a2) J
Пример. Найдем площадь части конуса z = Ух24-у2, если
Решение. Множество	D = {—1^x4-y^5, —3^1/—x^3}
представляет собой квадрат с вершинами: А(—2; 1), В(1; 4),
С (4; 1), D(l;—2). Для поверхности S = {(x, y),"]f х2+у2, (х, у) се
ей} имеем -^-=—-х	-^—==— у . В точке 0(0; 0)е
дх Ух2 + у2 ду Ух2 + у2 ___________
е7) гладкость отображения (х, у)-«-(х, у, ]fx2 + y2) нарушается.
Но так как для любой точки М=(х, y)^D, кроме начала коор-
.	/ дг \2	[ дг У2 „	,	. Г. , / дг \2 , / дг \г
динат, 1 + (--- + ---- = 2, то функция 1/ 1 + —— + —-
\ дх j \ ду !	V \ дх )	\ ду j
62
доопределяется в начале координат по непрерывности зна-
чением Y2. Таким образом,
J J /1 + (zx)2 + (zy)2 dxdy =	Т<2 dxdy =
D	D
= ]/2 |О| =У2 |ДВ|2 = 18-/2
и рассматриваемая поверхность имеет площадь |S| = 18^2.
Пример. Найти площадь части конуса z2=x2—у2, если
2x2—z2^R2.
Как и в примере на с. 61, цилиндр 2х2—z2*=R2 вырезает на
верхней z^O, 2 = j/x2—у2 и нижней z^O, z=—Ух2—у2 по-
ловинах конуса части одинаковой площади. Поэтому рассмотрим
только верхнюю половину. Она задается формулой г = Ух2-[-у2.
Найдем, на какое множество плоскости XY проецируется данная
часть этой поверхности, т. е. найдем множество D изменения па-
раметров х, у, в задании рассматриваемой поверхности:
5= {(х, у, Ух2—у2), (х, у) t= D}.
Проекцией всей поверхности г = Ух2—у2 на плоскость XY
является множество Л1={(х, у), |х| >|у|}. Проекция рассматри-
ваемой части конуса отсекается от множества М проекцией на
плоскость XY линии пересечения конуса z2=x2—у2 и цилиндра
2х2—z2=R2. Исключая г из системы уравнений | г = Ух2 у2\
I 2х2—z2 — R2
получаем уравнение этой проекции x2 + y2 = R2. Итак,
D = {(x, у), |х| > |t/|, x2 + y2^R2}.
Далее,
дг __ х дг __________	— у
дх Ух8 — У2 ' ду Ух2 — У2
i+(^)2+(z7=|/' 1 + 4^
* у	X2 — У‘
/2 |х|
На линиях у=х, у=—х, являющихся границами множества D, ус-
ловия гладкости отображения (х, t/)->(x, у, ]/х2—у2) наруша-
ть ГС ИГ И dxdy
ются. Интеграл \ \	~	является несобственным. Для его
у х2 —у2
вычисления — и одновременно проверки сходимости — воспользу-
емся симметрией множества D и четностью относительно х подын-
тегральной функции и перейдем к полярным координатам
63
r-	Л/4	R
D	0	0
r coscp
У cos 2<p
dr —
— 2R2 -/2
dsintp
j/1 — 2 sin2 q?
= 2R2 arcsin (]/ 2 sin <p)
Л/4
0
= n#2.
Итак, площадь данной части конуса равна 2nR2.
Замечание. Выбор в качестве параметров переменных х и
у потребовал некоторых усилий для нахождения множества D их
изменения. Обратим внимание на то, что условие 2х2—z2^.R2, вы-
деляющее рассматриваемую часть поверхности конуса, связывает
только переменные х и z. Это подсказывает, что удобнее именно
переменные х и z выбрать в качестве параметров. Используя, как
и выше, симметрию поверхностей, получаем, что |Si|—площадь
поверхности 51 = {(х, ]/х2—г2, г), 2х2—г2^/?2,	а^гО)—
составляет 1/8 часть всей искомой площади. Имеем
ду х ду
дх ух2_____z2 * dz
V^ + {y'xY+^=-^=r
l/"	1/Д«+г«
Д и Л2	R	У ——
|S|=8fdz С —У-2х dx = 81Л 2 С l/x^^z21 dz =
J	J	Vх* — г2	J	1г
0	z	0
Я
= 8 /2 J -/Я2—г2 dz = 2л/?2.
о
Общего правила для перехода от неявного задания поверхно-
сти S уравнением вида F(x, у, z)=0 и некоторыми неравенствами
на координаты х, у, z к параметрическому заданию S={r(u, v),
(u, v)^D}, вообще говоря, не существует. При таком переходе
необходимо учитывать простоту как аналитического выражения
отображения г: £)—>/?3, так и описания множества D. В рассмот-
ренных примерах неявные уравнения части сферы и конуса при-
водились к параметрическому представлению просто разреше-
нием этих уравнений относительно выбранного переменного х, у
или z. Как было показано в примере, выбор этого переменного
определяется удобством представления множества D изменения
параметров.
Рассмотрим еще два класса часто встречающихся поверхно-
стей.
а) Поверхность вращения. Пусть в плоскости XY задана кри-
вая x=x(t), y=y(t), To^.t^.Ti, не имеющая самопересечений и не
пересекающая ось ОХ. Поверхность S, полученная вращением
64
этой кривой вокруг оси ОХ, чаще всего параметризуется следую-
щим образом:
S = {x = x(Z), у = у (/) cos <р, z — y (/)sincp,
/ = Го. Л], фе [0, 2л]}.
Параметры t и <р в этом представлении имеют простой гео-
метрический смысл. Значение to определяет положение плоско-
сти, перпендикулярной оси вращения, в которой лежит точка
so(to, <Po)^S, находящаяся на окружности, описанной при враще-
нии точкой (x(to), y(to))^F; значение <ро есть угол, на который
надо повернуть вокруг оси вращения точку (x(t0), у (to)), чтобы
получить точку So(to, Фо).
Для такой параметризации поверхности S имеем E = x't + у ;
G = z/2(/), /? = 0, следовательно,
]/ EG—F2 dtd<p = | y(t) | x't + y 't dtd<p — |t/| dfpds,
где ds есть дифференциал дуги кривой Г. Для поверхности вра-
щения имеем	Л],	<ре|[0, 2л], и ее площадь равна
2л Т,	т,
J dip |y| ds = 2n |t/| ds
О То	То
— формула, которая несколько другим путем была получена при
рассмотрении одномерного интеграла.
Пример. Поверхность S получена вращением части трак-
трисы x = a(lntg//2-]-cos/), r/ = asin/, х2>0,	относи-
тельно оси ОХ. Найдем площадь ее части Sb заданной условием
у^а/Ч.
Решение. Параметризуем поверхность вращения S, как бы-
ло указано выше:
S = {a (In tg (//2) + cos /), a sin/ cos <р, a sin/ sin <р,
л/2 ^ / ^ 5л/6, О S.C <р 2л}.
Для кривой х = a (In tg (//2) + cos /), у = a sin / имеем
, а . . a cos21	,	.
xt =------asm/ =---------, и, — a cost,
1 sin t	sin t ‘
ds=a—~~st dt, \y(t)lds=—a?costdt.
sin/
Из условия y^ajO. получаем, что для Si параметры / и <р должны
удовлетворять неравенству sin/cos<р> 1/2. Поскольку л/2</<
^5л/6, то
О <р arccos (1/2 sin /),
2л—arccos (1/2 sin t)	<p 2л.
65
Итак,
5л/6 arccos( 1/2 sin t)
|S| = у dt	(—a2cos—
Л/2	— arccos(l/2 sin t)
5Л/6	2
— —2a2 I arccos(l/2 sin/") cos/d/= a2 Varccos(l/z)dz =
л/2	1
2
= a2 (z arccos (l/z)|i—j	) = a2 —ln(2+]<3)
б) Цилиндрическая поверхность. Пусть в плоскости XY задана
кривая Г:х=х(0, y—y(i),	Л]. Цилиндрическая поверх-
ность (или, коротко, цилиндр) S, образованная прямыми, парал-
лельными оси OZ и проходящими через точки кривой Г, наиболее
часто параметризуется следующим образом:
S = {x = x(t), y — y(t), z = h, t e [To, Г J, йе/?}.
Геометрически значение /0 определяет ту образующую цилинд-
ра, на которой лежит рассматриваемая точка s0(^, /г0)е£, а
h0 — отклонение точки s0 от начальной (нулевой) плоскости XY.
Для такой параметризации цилиндра S имеем E = x't +y't, G= 1,
F—0. Следовательно,
У EG—F2 dtdh= x’’ + y* dtdh.
Таким образом, площадь части цилиндра S, определенной ус-
ловием Ц, h)^D, вычисляется по формуле
х'*у‘dtdh.	(2)
о
Поскольку дифференциал ds дуги кривой Г равен р^х)' + y*dt,
то приведенная формула (2) может быть записана в виде
? f dsdh.
Пр и мер. Найдем площадь части цилиндра (х2+у2)2=
=а2(х2—у2), если х2 + у2-—г2+а2;>0.
Решение.
Для параметризации кривой (х2+у2)2=а2(х2—у2) в плоскости
XY запишем уравнение этой кривой в полярных координатах:
r = aVcos2<p, откуда получаем, что
х = al/cos2<рcos <р, у= al/cos2<p sing),
ds = Vr2 + r'y d<f
ad<p
1/cos 2<p
66
Итак, данный цилиндр параметрически записывается следующим
образом:
{a]/cos2<pcosф, a 1/cos 2ф sin ф, й; —л/4^ф^
^л/4, Зл/4^ф^5л/4, йе/?}
и при этой параметризации "|/EG—F2 d<fdh = adqidh/Усоз2ф.
Используя симметрию поверхностей, видим, что |Sj| — пло-
щадь части данной поверхности, лежащей в первом октанте х>0,
У>0, z>0 составляет 78 часть всей искомой площади. Множест-
во значений параметров ф и h для определяется условиями
х>0, t/>0, z>0,
ха + ^2—z2+a2>0,
откуда получаем, что 0^ф^л/4, О^/i+соз2ф. Итак,
Si = {a"j/cos2фcos ф, a "j/cos2фsinф, /г; О^ф^л/4,
O^/i^ayi-4-cos 2ф}
и
л/4 a /l+cos2(p
1X1=8 15^=8 [	, _	=
J	J	V cos 2ф
о	о
Л/4	Л/4
= 8а2 С Х2_с_0£Ф dcp = 8а2 f -1И-2-М)_ =
J Vcos 2<р	J ]/1 — 2 sin2 ф
= 8a2arcsin(]/2"sin(p)|o/4=: 4 л а2.
В этом и следующих пунктах будем рассматривать плоские
области D, ограниченные кусочно-гладкими замкнутыми кривы-
ми. Как следует из предыдущего (см. с. 7), такие области яв-
ляются жордановыми множествами и для любых ограниченных
функций z=f (х, у) с не более чем счетным множеством точек раз-
рыва, в частности непрерывных, существует
y)dxdy-
4. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела
Площадь | D | плоской области D (из указанного выше клас-
са) вычисляется по формуле
dxdy
D
(как объем жорданового множества, см. с. 9).
67
Определение. Тело Vc:7?3, ограниченное сверху непрерыв-
ной поверхностью z=f(x, у), снизу — плоскостью 2=0, а с
боков — цилиндрической поверхностью, с образующими, парал-
лельными оси OZ, вырезающей на плоскости XOY область D ука-
занного выше типа, будем называть цилиндроидом. Такое тело яв-
ляется жордановым множеством и его объем ] У| вычисляется по
формуле
= у) dxdy.
D
Таким образом, вычисление площадей плоских фигур и объ-
емов цилиндроидов сводится к вычислению двойных интегралов,
которое подробно было рассмотрено в начале этого параграфа.
Пример. Найдем площадь S области, ограниченной кривыми
х24-г/2=1, x2 + t/2 = 2, у = 2х, у = 3х,
находящуюся в первом квадранте.
Решение. Способ 1. Область, площадь которой надо найти,
представлена на рис. 20. Найдем точки пересечения прямых с ок-
ружностями. Соответственно имеем
Л / 1	\ п ( -у	\ Г1 ( I 2 \
I УТб’ /ТО )' \ V 5 ’ 5 Г к /5 ’ 1/5 ;•
Рис. 20
Заметим, что абсциссы точек В и С одинаковы. Представляя об-
ласть D] в виде объединения областей двух криволинейных тре-
угольников АВС и BDC, находим площадь искомой области сле-
дующим образом:
68
I//б Зх	/2/5	/2—л*
$ = у dx у dy+ у dx у dy =
I/ /Тб /Г=7»	1/ /5	2*
1
— arcsin х
2
1/ /5
1/ /То
+ f ——-—F arcsin
/2/5
1/ /5
1
= — arcsin
2
1	1*1
—у=-= —arctg —.
5V2	2	7
Способ 2. Граница области Dt составлена линиями уровня
функций f(x, у}=х2+у2 и g(x, у)=у/х. Введем новые неизвест-
ные и=х2+у2 и v=y/x. Отображение <р : и=х2+у2, и=у/х есть би-
екция области £)] на область
D2 = {(u, v):l<u<2, 2<и<3}.
Поскольку
& (н» в) ___ 2х 2у I____р । 2</2 __0 , 0 2
ТсГТГ- -<//*’ 1»Г	+
D (х, у)	1
то ------— =------------ и, следовательно,
D (и, t>)	2(1 + V2);
f[dxdy = f С — {*’ У} dudv = Г f--------dudv =
У У D(u,v) J J 2(1 4-и2)
г з
= $ dU$~2~f4- V2)	(arCtg3-arctg2) =	arCtg~7~•
1	2 "
Способ 3. В полярной системе координат имеем
Di = {(/, ф): 1 < г < ]/2, arctg 2 < ср < arctg 3}.
Следовательно,
arctg 3	/2
S— J d(p у rdr = -у- (arctg 3—arctg2) = -i- arctg -у-.
arctg 2	1
Из всех предложенных способов третий, как видно, является са-
мым простым.
69
Пример. Найдем площадь S области, ограниченной кривой
bx* + ay9 = 6c2xiy.
Решение. В силу симметрии кривой, ограничивающей дан-
ную область, относительно оси OY рассмотрим кривую только в
первом квадранте (поскольку t/>0); положим
z-c(yz&)-1 rcos'^tp, у = (уЛа)-1 rsin1/3<p,
тогда в обобщенной полярной системе координат уравнение дан-
ной кривой имеет вид
г = 6са —L- cos4/3<p	sin1/3<p = A cos4/3 <р sin1/3 <р,
j/ft2	Y a
где
A - 6c*
л	6.— •
У bla
Поскольку якобиан при переходе к новым координатам равен
—	-----— г cos-2/3 <р sin-2/3 ф,
d у b у а
ТО
Л/2	A cos^/a sin 1/3 ф
2 г*	Г*
S=-------- I с?ф \	г cos-2/3 ф sin-2/3 фс!ф =
3 '}/' ab о	о
я/2
2	36с4 Г	2 , Зле4
=----------------\ COS2 фДф =-----=г-.
Зу^ад 2у^ь^ о	^аЬЗ
Пример. Найдем объем тела, ограниченного поверхностями,
z = csin л--------1-——	и г = 0
\ а2 Ь2 ))
при условии, что k	k + 1, k (= N.
Решение. Объем данного тела найдем по формуле
|z| dxdy, где О= |(х, у):	+ k+ 1|-
D
Введем новые переменные г и ф по формулам
х = агсо8ф, г/ = Ьг8тф.
Тогда в силу симметрии области D и четности функции
h(x, у)= csini л (+
70
относительно обоих переменных имеем
я/9	УТм
rabc | sin лг2| dr = 4abc J r |sin №| dr =
° Vk	Vh
= 2nabc — (cosnr2) I к^+' =
2л	| /fe
= abc (— 1 )ft+1 (cos л (k + 1)—cos лk) = 2abc (— 1 )k+2 cos л/г = 2abc.
5. Механические приложения двойного интеграла
Пусть_скалярная величина P(D) распределена на жордановой
области D с плотностью р(х, у), являющейся непрерывной функ-
цией, тогда
рф) Н y>dxdy-
D
Интегралы
q/q!) = ^jp(x, y)rkdxdy, k(=N,
'd
где p(x, у) — плотность распределения массы области D (р не-
прерывна и неотрицательна в D) и г(х, у) — расстояние точки
М (х, y)&D до некоторой прямой Q, называются моментами по-
рядка k области D относительно прямой Q.
Масса М пластинки D с плотностью р — момент нулевого по-
рядка — вычисляется по формуле
М = ё7(0) = j j р (х, у) dxdy.
D
Моменты первого порядка называются статическими момента-
ми, моменты второго порядка — моментами инерции. Координа-
ты центра масс области D с плотностью р(х, у) вычисляются по
формулам
^ох 1 РС
Х° = -^Г=-7ПГР(Х’ y'}dxdy'
D
^OY 1 Р Г
= = ур(х> y)dxdy-
Моменты инерции &ох и ^оу области D с плотностью р(х, у) от-
носительно осей ОХ и OY соответственно находятся по формулам
eJ'o^^p^, y)y2dxdy и е7су=^р(х, y)xzdxdy.
D	D
71
Иногда рассматривается в приложениях центробежный момент
инерции
&xy = J р (х, у) xydxdy
D
и момент инерции относительно точки 0(0, 0)
вГ = Р (х, у) (х2 + у2) dxdy.
D
Пример. Найдем моменты инерции относительно осей коор-
динат однородной пластинки плотности р, имеющей форму обла-
сти, определенной неравенствами
(x2 + y2)2s^2axy, х>0.
Решение. Данная пластинка, занимающая область D, изо-
бражена на рис. 21. Уравнение кривой (х2+у2)2—2аху, располо-
г3 cos2 (pdr =
женной в первом квадранте, в полярной системе координат, сов-
мещенной с декартовой системой, есть
r = ayrsin2<p,
В силу симметрии пластинки относительно биссектрисы первого
координатного угла имеем
Я/2 a /sin 2ф
ёТох = ё7оу = р xydxdy = р
D	оо
л/2	л/2
= -^~ у sin2 2ф cos2 q>dq> = ра4^ sin2 <р cos4 <pd<p =
о	о
= Р < Г (3/2) Г (5/2) = _лр_
2 Г(4)	32 '
72
Пример. Найдем массу и координаты центра масс однород-
ной пластинки плотности р, представляющей собой замкнутую об-
ласть, определяемую неравенствами
ха + «/2^6у, х —1/^0, х—2y^.Q, x^Q.
Решение. Область D, определяемая данными неравенствами,
изображена на рис. 22.
Перейдем к полярным координатам x=rcos<p, z/=r sirup. Тог-
да, поскольку
<ВОС= arctg (1/2), <АОС = л/4,
имеем
Л/4	( М = pyj dxdy = р j dtp D	arctg(t/2)	5sin<p	п/4 У rdr=18p § sin® (pd(p = 0	aretg(l/2)
31/4 = \ 2	4	/ arctg(l/2) , о / Л	1	1	.	1	. = 18p (	— arctg	h - \ 8	4	2	s 2 Л/4 M J D	arctg(l/2) n/4 =	f sin3<p cos<pd<p= -5-2- ЗЛ1 J	v 12Л4 arctg(l/2) 21	1	—= 9p ( arctg —	— 5 )	b 3	10 6sin<p d<p § r2 cos (pdr — 0 • .	я/4 sin4 <p	= arctg(l/2)
73
И/4
I/O = -^-p^ydxdy =
D
6slncp
-2- V dq> \ r2sinmdr =
M J J
arctg(l/2) О
Л/4
63O	Г	• 4	,
——	\ sin4<paq) =
З.И	J
arctg(1/2)
„ ,	1	16
3 arctg — —--------
3	25
1	1
arctg~3~“7o
Иногда при решении задач полезно использовать следующие два
утверждения (теоремы Гульдина):
1. Величина поверхности, полученной от вращения кривой от-
носительно не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кри-
вой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяже-
сти кривой.
2. Объем тела вращения плоской фигуры относительно не пе-
ресекающей ее оси, равен произведению площади этой фигуры на
длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
Пример. Площадь поверхности S, полученной от вращения
однородной арки циклоиды
L = {(x, y):x = a(t — sin/), z/ = a(l—cos/), 0^/^2л}
вокруг оси ОХ есть
2Л
|S|	а2 (1—cos/) 1/(1—cos/)2 + sin21 dt =
о
2Л
= 2ла2 С 4sin3— dt
J 2
о
64ла2
3
Площадь фигуры Si, ограниченной кривой L и осью ОХ, есть
2Л
|SX| = J а2(1—cos/)2dt = Зла2,
о
Длина L есть
|L| — 2а J sin—dt — 8а.
о
Объем тела V, полученного при вращении фигуры Si относитель-
но оси ОХ, есть
|V| = ла3 (1—cos /)3dt = 5л2а3.
о
74
Применяя первую теорему Гульдина, для нахождения коорди*
наты т] центра тяжести дуги имеем соотношение
64
— ла’	4
| S| = 2лт) 8а, откуда т; =-----= — а.
16ла	3
В силу симметрии и однородности циклоиды имеем £=ла. Итак,
центр тяжести кривой L находится в точке (ла; 4/3а).
Применяя вторую теорему Гульдина, для координаты т] цент-
ра тяжести фигуры Sj имеем соотношение
nz । о го	5л2а3	5
| V | = Зла2 2лт}, откуда ц =---= — а.
6л2а2	6
В силу симметрии и однородности площадки имеем |=л/а.
центр тяжести фигуры находится в точке (па; — а^.
\	6 j
Итак,
В тех случаях, когда заранее известно положение центра тя-
жести, теоремы Гульдина можно использовать для определения
площади поверхности вращения и объема тела вращения.
Рассмотрим, например, тор, т. е. тело, ограниченное поверх-
ностью
x = (a + &cosv)cosa, y = (a + bcos v)sina, z = bsinv, (a>b).
Это тело получено вращением относительно оси 0Z круга с
центром в точке (а, 0, 0) и радиусом Ь. Центр масс окружности
лежит в ее центре, т. е. в точке (а, 0, 0), длина окружности есть
2пЬ. Следовательно, по первой теореме Гульдина площадь по-
верхности тора есть |5|=4л2аЬ. Центр масс круга лежит также в
его центре, т. е. в точке (а, 0, 0), и при вращении описывает
окружность длиной 2ла, площадь круга есть лЬ2. Следовательно,
по второй теореме Гульдина объем тора есть |Г|=2л2Ь2а.
§ 3.	ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ. ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
1.	Общие свойства. Теорема Фубини
При рассмотрении интегрального исчисления функций f:R3-+
-+R проблемы, аналогичные тем, которые были подробно проана-
лизированы в предыдущем параграфе для функций f:R2-+R, раз-
бираются более бегло, чтобы заострить внимание на особенно-
стях именно тройного интеграла. Функцию f:D-+R, D<^R3 будем
обозначать f(x, у, г) и по большей части не будем специально ого-
варивать, что рассматриваемое множество D лежит в R3.
Фактически анализ трехмерного интеграла мало чем отличает-
ся от анализа «-мерного интеграла для произвольного п>3, так
как наглядные геометрические представления в основном уступа-
ют место аналитическим соотношениям.
75
Непосредственно из определения тройного интеграла следует,
что если	и множество D симметрично относительно плос-
кости XY (XZ, YZ), то из равенства f(x, у, z)=f(x, у, —z)
(/(х, у, z) = f(x, —у, z), f(x, у, z) = f(—x, у, г))
следует, что
|^/(х, У> z) dxdydz = 2	(х, у, z)dxdydz,
d	'о,
где
Di = О П{(х, у, z), z>0},
(Dl = Dn{(x, у, z), y^Q}, D1 = Z)n{(x, у, z), х>0}),
а из равенства
f(x, у, z)=—f(x, у, — z)
(f(x, У, z)=—f(x, —у, z), /(х, у, z)=~f(—x, у, 2))
следует, что
У, z)dxdydz = 0.
* D
Вычисление тройного интеграла производится с помощью тео-
ремы Фубини (см. с. 11). Пространство R3 представляется де-
картовым произведением двух пространств меньшей размерности
двумя способами: R3=RlxR2 и R3=R2xRl. Подробно рассмот-
рим представления R3 = R2x,y) X R{Z) и R' = R\z) X R2x,y), посколь-
ку все остальные, варианты представлений R3 получаются из этих
двух перестановкой обозначений осей координат. Сформулируем
теорему Фубини для рассматриваемых представлений в простей-
ших условиях на множество интегрирования и интегрируемую
функцию. За исключением единичных случаев, именно эти условия,
дополненные свойством аддитивности, применяются для вычисле-
ний.
Теорема Фубини (для представления R3 = R(X,y) X R(z))
Пусть D0czR2x,y)—замкнутое жорданово множество, <р j ge б? (Z)o)»
ф2^С(/?о) ,
Ф1(х, ИХфИ*. у), (х, y)^D0, £) = {(х, у, z):(x, y)(=De,
Ф1(*. ?)<г<фг(х, У)},
Тогда
JJ^f(x, V' ^xdydz^dxdy f(x, у, z)dz.
D	Do	<Pi(*,P)
76
Отметим, что при данных условиях множество D жорданово
<₽«(*.»)
(см. свойство 4 с. 8), интеграл f(x, у, z)dz представляет
собой непрерывную функцию на Do, следовательно, все интегра-
лы, входящие в равенство, имеют смысл.
Пример. Область D ограничена плоскостями
х = 0, у = 0, x + y + z = a, х + у—z = a.
Вычислим тройной интеграл
D
пользуясь его представлением в виде
Ч+х.у)
Решение. Найдем систему неравенств, которой удовлетворя-
ют координаты точек Л1(х, у, z)^.D. Плоскости x+y+z=a и х +
+у—z=a пересекаются по прямой х+у=а, z=0, следовательно,
для точек М(х, у, z)<^D или х+у>а и —(х+у) +a<z<x+y—а,
или х+у<а и х+у—a<z<a—(х+у), иначе одна из плоскостей
x+y + z=a, х+у—z—a окажется в условии лишней. Условия
х+у>а, а—(x+y)<z<.x + y—а при любом условии на знак коор-
динат х и у определяют неограниченную область, следовательно,
для характеристики координат М(х, у, z)^D нужно взять нера-
венства х+у<а, х+у—a<z<a—(x+y). Если при этом хотя бы
одна из координат х или у отрицательна, то опять получаем не-
ограниченную область. Итак,
D = {(x, у, z), (х, y)e=D0, х + у—а<г<_а—(х + у)},
где
£>0 = {(х, У)> х>0, у>0, х-\-у<.а} (см. рис. 23).
Применяя теорему Фубини, получаем, что
а—(х+у)
D	D,	х+у—а
_ ГГ х + у /arcfg_£_\ я dxdy =
а \ а / х+у—а
D0
= -у j j (X + у) arctg (1---dxdy'
Do
Применяя теорему Фубини к двойному интегралу, получаем, что
а а—х
— С dx f (% + «/) arctg [ 1----LiiL \ dy_
a J J	\ a )
о о
Далее,
a—’X	a
2 J (x + y) arctg 1----j dy = j* 2t arctg 1---------— j dt —
0	x
a
= t2arctg (1----—\ Г+ f---------—------dt = —x2arctg (1------—\ +
\ a ) I* J a2+ (a-/)2	& \ a j
X
+ a(a—x)—a2in 11 +
J pa—x)-----— arctg (1----—j —a In p + ।
о
i
= a у [at—a(l —t)2arctg/ — a In(1 +/2)] dt =
о
2
= a2 — 4- ——— arctg t
2	3
C (l-o8
J 1 +<2
0
dt —
3
78
-1 ln(l + /2)|>+	л] = aa
0
4 + 4-f(z+9)^-in2+
Z о «J
0
, 1 (•	21 j, 4 P dt "I 2 j 5	2 . o л \
H-----\----------- at-----\---------- = a2------------In 2---------I .
3 J 1 + /2	3 J 1 +t* J \ 3	3	3 )
о	e
Теорема Фубини (для представления R3 = /?'2) х
Пусть D — область, ограниченная кусочно-гладкой замкнутой по-
верхностью без самопересечений, и feC(D). Тогда
я
J j f (х, у, z)dxdydz = j dz J J f (x, y, z)dxdy,
J d	p dz
где интервал (p, q) есть ортогональная проекция D на ось OZ;
Dza={(x, у, z): (x, у, z)^D, z = z0) есть пересечение D с плос-
костью z=z0 (сечение D горизонтальной плоскостью z=z0).
Отметим, что при данных условиях множества Dz, z^(p, q)
ограничены кусочно-гладкими замкнутыми кривыми без самопе-
ресечений (связность Dz не обязательна), следовательно, являют-
ся жордановыми множествами так же, как и область D (см. свой-
ство 6 с. 8); интеграл ^/(х, У- z)dxdy представляет интегри-
руемую (необязательно непрерывную) функцию на (р, q), следо-
вательно, все интегралы, входящие в равенство, имеют смысл.
Пример. Область D ограничена цилиндрами x2+z2=a2 и
y2+z2=a2. Вычислим тройной интеграл
D
dxdydz
2а + z
Решение. Подынтегральная функция f(x, у, z) = l/(2a + z)
зависит только от переменной z. Представим данный интеграл в
я
виде ^Z^~2a + z dxdy- Так как ограниченная область D ле-
Р Dz
жит внутри обоих цилиндров, то координаты точек М(х, у, z)^D
удовлетворяют неравенствам x2+z2<a2, y2 + z2<a2 (рис. 24,a).
Отсюда получаем, что ортогональной проекцией D на ось OZ яв-
ляется интервал (—а, а) и
D = {(x, у, z): —a<z<a, (х, y)^Dz},
где
^i = {(x. У, u):u = z, |х|<К a2—z2 , IpKV а2— г* }
(см. рис. 24,6).
79
Итак,
’ГГ dxdydz
JJ 2а 4- г
D
dxdy
2а 4“ 2
Величина
dxdy
есть площадь квадрата следовательно,
а
Г dz
J 2а 4- 2
dz =
—а
а	а
= 4 J(2a—z) dz— 12а2	= 4а2(4—3 1пЗ).
—а	—а
Рис. 24
Пример.
Тройной интеграл
f (х, у, г) dxdydz,
где D —
Ж
D
область, ограниченная поверхностями а(х24-у2) =xz\a—z), xz==
—ay, yz=ax и содержащая точку Л40(а/8, а/12, а/2) и f^C(D),
представим в виде повторного:
я
^dz у, z)dxdy.
i 'Dt
Решение. Координаты х0=а/8, у0=а/12, z0=a/2 точки Ма
удовлетворяют неравенствам
а(хо+{/о)<хигДа—z0), хо2о<аУо, Уо20<ах0.
80
Следовательно, для координат х, у, z любой точки из области D
должны выполняться неравенства:
а (х2 4- у2) < xz (а—z), xz<Zay, yz<Zax.
Так как левая часть первого неравенства неотрицательна, то от-
сюда получаем, что или 0<z<a и х>0, или
ze( — оо, 0)U(a, +°°) и х<0. Условия х<0, z<0, xz>ay,
yz<_ax и х<0, z>a, xz<.ay, yz<ax
определяют неограниченные области.
Следовательно,
D = {(x, у, z):x>0, 0<z<a, а(х2-\- y2)<_xz(a—z), xz<_ay,
yz<_ax}.
Отсюда видно, что ортогональной проекцией D на ось OZ являет-
ся интервал 0<z<a. Фиксируем zoe(0, а), тогда пересечением
области D с горизонтальной плоскостью z=z0 является плоская
область
Dza = {(x, у, z), z = z0, a(x2 + y2)^xz0(a—z0), xz0<ay, yzu<ax},
т. e. часть круга с центром в точке I	2—и, z01 и радиу-
г» (а — z0)
сом	лежащая в плоскости z=z0 между прямыми
xz0=ay и уг0—ах (см. рис. 25). Итак,
а
Пример. Вычислим тройной интеграл
j zdxdydz,
d
где D —
область, ограниченная частями плоскостей z=0, z—a, z=3a,
частью параболоида az+ (х2+у2)=2а2, лежащей между плоско-
81
стями z=0 и z=a и частью конуса z2=3(x2+y2), лежащей между
плоскостями z=a и г=3а (см. рис. 26,а).
Решение. Из условия видно, что ортогональной проекцией
области D на ось OZ является интервал (0, За), а горизонтальная
плоскость z=z0 пересекает D по кругу, радиус которого равен
|^2а2—az для 0<г<а и z/УЗ для a^z<3a. Следовательно,
Ф (z) — zdxdy = z dxdy — | nZ ^ag aZ^’
0<Zz<Za;
a^z<z3a.
Функция Ф(г) разрывна в точке z=a, но интегрируема на (0, За)
(см. рис. 26,6). Окончательно,
За	а	За
zdxdydz = \ Ф (z) dz = \ (2ла2г—лаг2) dz + \ —— dz =
D00	а
. па* , 27яа4	ла4	22	.
3	4	12	3
Запишем двойной интеграл в представлении тройного интегра-
ла как повторный. Тогда тройной интеграл
<₽»(*.»)
j f(x, у, z) dxdydz = dxdy f(x, у, z)dz=
D	D,
<
= dz § j f (x, y, z) dxdy
P Dt
62
представится в виде трех последовательных одномерных интегра-
лов:
JSS ^(Х* zW^z = px dy Цх, у, z)dz =
D	a у,(х)	<h(*.P)
d	X|(P)	?	z«(z)	Sil*.г)
= J dy dx / (x, y, z) dz = dz f dx f (x, y, z) dy —
f	*i(P)	Ф1(*.Р)	P	z>’(z)	Pi(i.z)
«	P«(»)	x»(».z)
= dz J dy f (x, y, z) dx,
P	VM	Xi(P.z)
где Xi, yt, <pi, i=l, 2, — некоторые функции соответствующих ар-
гументов.
Используя представления 7?3 = R(y,z> X R(x) И /?3 — X R(y),
получаем еще две возможные последовательности одномерных ин-
тегралов:
d	г,(у)	х,(у,г)	Ь z,(x)	у,(х,г)
^dy V dz f (х, у, z) dx, dx dz f (х, у, z) dy,
с ХМЛ Х,(у,г)	a	Pi(z.z)
где Zi, Xi, yt — некоторые функции соответствующих аргументов.
Каждому такому представлению тройного интеграла
У> z)dxdydz соответствует определенная форма записи
условий на координаты точек М(х, у, z)^D:
D={(x, y,z):a^x^b, У1(х)^у^ул(х), ^(х, z/)sO<<p2(x, у)};
D = {(х, у, г): с< у d, х, (у)<х <ха(z/), <рх (х, t/)<z<<р2 (х, у)}\
D = {(x, y,z):p^z^q, хх(z)О =О2(z), t/Jx, z)ууг(х, z)};
£) = {(х, y,z)-.p^z^q, ydzjs^y^y^z), х^у, z)^x^x2(y, z)};
D = {(x,y,z):c^y^d, z^j^z^z^y), x±(y, z)^x^x2(y, z)};
D = {(x,y,z):a^x^b, zx (x) z < z2 (x), y^x, z)<^y^y2(x, z)},
и, наоборот, запись тройного интеграла в виде трех последова-
тельных одномерных определяет соответствующие неравенства на
координаты точек множества, по которому берется интеграл.
Представление тройного интеграла в виде последовательности
трех одномерных будем называть расстановкой пределов в трой-
ном интеграле. При этом, как и в двумерном случае, подразуме-
вается требование, чтобы функции, определяющие границы одно-
мерных интегралов, были гладкими.
83
Каждая последовательность одномерных интегралов, пред-
ставляющая данный тройной интеграл, может быть получена дву-
ft y,W
мя путями. Рассмотрим, например, интеграл	dx dy X
а им
X f (х, у, z)dz. Такая последовательность одномерных инте-
градов получается из повторного интеграла
dxdy f(x, у, z)dz=^<D(x, у)dxdy
Do	Ф1(х,Р)	Do
при представлении двойного интеграла
Ф (х, у) dxdy в виде
ft йИ	ft
V dx Ф(х, y)dx и из повторного интеграла ydxy^f (х, у, z) dydz
а УМ	а \
при представлении двойного интеграла И f (х, у, z) dydz в виде
УМ <Р2(х,у)
j dy J f(x, у, z)dz.
УМ ФЦх.у)
Эта двойственность позволяет свести решение задачи перестанов-
ки порядка интегрирования в тройном интеграле к перестановке
порядка интегрирования в двойном интеграле, меняя местами ли-
бо первые две, либо последние две из трех координат. Преимуще-
ство такого метода в том, что решение задачи перестановки пре-
делов интегрирования в двойном интеграле существенно облегча-
ется наглядным геометрическим представлением соответствующе-
го множества на плоскости, а геометрическое изображение про-
странственной области на плоскости страницы или доски из-за не-
избежных искажений часто не облегчает, а затрудняет переход
к нужным неравенствам на координаты точек рассматриваемого
множества.
Пример. Расставим пределы интегрирования во всех воз-
можных порядках в тройном интеграле \ И f (х, у, z)dxdydz, где
' D
D — область, ограниченная поверхностями х=0, х=а,
у = 0, у — ^ах, 2 = 0, г —х + у,
Решение. Данные поверхности являются границами ограни-
ченной области
£> = {(%, у, г): 0<.х<а, 0<.у<.у^ах, 0<z<x + y}.
Из этого представления области получаем, что
a Vox х-^-у
a)	J/> z)dxdydz = V dx ? dy f(x, y, z)dz.
ДГ	0	0	0
84
Запишем:
D = .((x, у, z):(x, y)^D0, 0<z<x4-z/},
где
De = {(x, y)‘.O<.x<a, 0 <y <Ц/ах}
M
£) = {(x, y, z):O<x<a, (y, z)^D,},
где
Д, = {(у, z) Q <yax , 0<z<x + tj}.
Этим представлениям D соответствуют представления тройного
интеграла
х^гУ
Кх' V' z)dxdydz= ^dxdy V f(x, у, z)dz —
*D*'	D„	0
и
Ф(х, у)dxdy
Dg
a
У» z)dxdydz = dx f(x, y, z)dydz.
о	о 'd'
Чтобы изменить порядок интегрирования в интеграле
Ф(х, у) dxdy, сделаем чертеж множества Do (см. рис. 27),
откуда получим, что £>0 = {(•*> у): 0<у<а, у2/а<_х<.а} и, следо-
вательно,
б)	У> z)dxdydz =\^dxdy
' D	Do о
f(x, у, z)dz =
a a x-^-y	a
= dy dx f(x, y, z)dz= *\dy*\^f (x, y, z)dxdz,
О У‘/а 0	о Dy
где
Dy = {(x, z) : y2/a^x^a, O^z^x + y}.
85
Сделаем чертеж множества Dy (см. рис. 28)'. Из этого черте-
жа получаем, что
D, = {(x, z): 0<z^t/ + f/2/a, z/2/a^x^a}U
(	и*
и (х, z):«/ + ^-^z^«/ + a, z—t/^x^a
I	я
и, следовательно,
в у+у'/а а
в)	J/> z)dxdydz= dy dz f(x, у, z)dx-\-
D	00 y‘/a
a y+a a	a
+ \dy J dz f (x, y, z)dx= dydz J f(x, y, z)dx~t~
0 y+y*}a z—y	be ipja
a
+ ^dydz J f(x, y, z)dx,
D'
где
Da = {(y, z):O^t/<a, 0Czу + tf/a},
D*0 = {(y, z):0^y^a, y + y2/a^z^y + a},.
Сделаем чертеж множества Do (см. рис. 29). Из этого черте-
же получаем, что
Do = {(y, z) : 0^z<2a, y(z)s^y^a},
где y(z) = -±- (y"a24-4az —a)—решение уравнении у2 + ay — az — <\
удовлетворяющее условию у (г)	0.
86
Следовательно,
а	2а а а
dydz f(x, у, z)dx — ^dz dy f(x, у, z)dx.
D, уча	О J/(Z) уг/а
Сделаем чертеж множества Do* (см. рис. 30). Из этого черте-
жа получаем, что
Do = {(y, z):0^z^a, O^«/^z/(z)}U
£|{(0, z) : a^z^2a, z — a<^y^y(z')}
и, следовательно,
^dydz J f(x, y,
d‘
2a y(z) a
a
<? vS,z)
', z)dx=\^dz dy J f(x, y, z)dx+
0	0 z—y
в 2—0	2—У
Объединяя полученные равенства, получаем, что
а
г)	/Л z)dxdydz = j^dydz J f(x, у, z)dx +
D	D, y'!a
a	2a a a
4- ^dydz f(x,y,z)dx = ^dz J dy f (x, y, z)dx +
в* «-Р	6 p(z) y*/a
a ;(z) a	2a y(z) a
Q
a z—a
87
Возьмем теперь равенство
а
^j^/(x, у, z)dxdydz = j dx jj f(x, y, z)dydz,
1 d J	о dx
rjsfi. Dx = {(y, z) : О^у^Уах, Q^z^x + y} и сделаем чертеж
множества Dx (см. рис. 31). Из этого чертежа получаем, что
£)*={(«/, z):0^2^x, О «Су ~Vax} U
U {(у, z) . х^.г^.х-\-Уах , z—х
и, следовательно,
V ах
а
д)
X
z) dxdydz —^dx^dz f(x. у, z)dy +
‘ Ь J	обо
а х-|- V ах	Vах	Vах
J dx J dz /(х, у, z)dy=^dx\dz / (х, у, z)dy +
0 х 2—х	Do 6
V ах
^dxdz J f(x, у, z)dy,
п* г~х
ио
а, О
где
D0 = {(x, z) : О
и
Dq = {(x, z) : О^х^а, x^z^x + y ах}.
Сделаем чертеж множества Do (см. рис. 32). Из этого чертежа
получаем, что
Do = {(х, г) : 0 z «С a, z х а}
88
и, следовательно,
/ox	а а	V ах
J j dxdz	f {х, у, z)dy = ^dz^dx J f (x, у, z) dy.
Do	0	0 z 0
Сделаем чертеж множества Do* (см. рис. 33). Из этого черте*
жа получаем, что
D*0 = {(x, z):0<z<a, x(z)^x<z}U
(J {(х, г): а z < 2а, х (г) х а},
где x(z)=-y(2z + a—l/a2-j-4az)—решение уравнения х-|- У ax=z.
Следовательно,
V ах	a z	V ах
dxdz у f(x, у, z)dy = ^dz J dx f (х, у, z)dy +
Z—X	О x(z) Z—X
я
2а а	Уах
+ $ dz J dx J f(x, у, z)dy.
а	х(г)	г—х
Объединяя полученные равенства, получаем, что
а а /ах
е) jyy/(x' z)dxdydz= dz у dx у f(x, у, z)dy +
D	0 z О
а г V ах	2а а	Vах
4- у dz у dx у f(x, у, z)dy+^dz dx J f (х, у, z)dy.
О jt(z) z—x	а х'(~.) г—х
89
Равенства а), б), в), г), д), е) и дают все возможные вариан-
ты расстановки пределов интегрирования в рассматриваемом
тройном интеграле.
Пример. Функция	где £>={(х, у, z):0cx<a, 0<
^у^х, 0<г<у]. Проверим равенство
а х у	а а а
J dx^dy J f (х, у, z)dz—^dz^dy^f (х, у, z) dx.
0	6	0	0* z у
Решение. Задача сводится к изменению порядка интегриро-
вания в тройном интеграле. Если проводить решение методом пе-
рестановок соседних переменных, как в предыдущем примере, то
потребуется сделать три перестановки: xyz-+yxz-+yzx-+zyx. В дан-
ном случае, когда промежуточные перестановки нас не интере-
суют, а условия на переменные х, у, z достаточно просты — все
неравенства линейны, — можно провести нужную перестановку
аналитически, не прибегая к геометрическим соображениям. Дей-
ствительно, из совокупности всех трех неравенств следует, что ми-
нимальное возможное значение z есть 0, максимальное — а, т. е.
O^zca. Из первых двух неравенств получаем, что максимальное
значение у есть а, а из третьего, — что при фиксированном z
должно быть z^y, итак, zcyca. Наконец, из первого и второго
неравенств следует, что t/^Cx^a. Итак,
D = {(х, у, г) : 0 z a, z у а, у «С х «С а}
и, следовательно,
а х у
(/ (х, у, г) dxdydz =^dx^dy\f(x, у, г) dz =
“о	обо
а а а
dz у dy J f (х, у, z)dx.
О z у
Характерные ошибки в решении задач на расстановку преде-
лов интегрирования те же, что были подробно разобраны при рас-
смотрении двойного интеграла (см. с. 41).
2. Замена переменных. Переход к цилиндрическим,
сферическим и обобщенным сферическим координатам
Так же, как и в двойном интеграле, основной проблемой при
замене переменных в тройном интеграле является нахождение
множества значений новых переменных.
Пример. Вычислить интеграл Дирихле
хручгг (\ —х—у—z'fdxdydz,
90
где D — область, ограниченная плоскостями x+y+z=l, х = 0,
у=0, 2=0, полагая х+у+2=и, y+z=uv, z=uvw.
Решение. Данные четыре плоскости являются границами
ограниченного множества D = {(x, у, z), х^О, у^О, z^O, x-f-y +
Ц-z^l}. Так как минимальные значения х, у и z равны 0, то и
минимальные значения и, v и w равны 0. Из соотношений х+у+
+ z—u, x+y + z^.] следует, что и<1. Так как минимальное значе-
ние х равно 0, то при фиксированном и максимальное значение
y+z равно и, отсюда и из соотношения y+z—uv следует, что мак-
симальное значение и равно 1. Так как минимальное значение у=
=0, то максимальное значение z при фиксированных и и v равно
uv, отсюда и из соотношения z=uvw получаем, что максимальное
значение w равно 1. Итак, точкам (х, у, z)^D соответствует мно-
жество точек (u, v, w) : = {(и, v, w) : 0 v sC 1, 0 и 4^ 1, 0
Выражая х, у, z через и, v, w, получаем, что отображе-
ние <р:	есть х=и(1—и), y=uv(l—w), z=uvw. Якобиан ф
равен
1—v	—и	0
V—VW и — UW —UV
VW	UW	UV
1—v —и 0
v	и 0
VW UW UV
1 о о
v и 0
VW UW UV
= И2У.
Биективность отображения q> нарушается на ребре у=0, 2=0, 0<
<х<1 пирамиды D, при этом точка х=0, у=0, 2=0 является об-
разом квадрата: и=0, 0<пс1, 0«да<1, а точка х=х0>0, у=0,
2=0 — образом отрезка и=х0, и=0, 0<ау<1. Применяя вторую
теорему о замене переменных в кратном интеграле, получаем,
что

х—у—z)sdxdydz	—v)₽uV X
X (1 — w)" urvrwr (1 — u)s u2vdud: dw =
i	i	i
= Jup+?+r+2(l—m)s du у R+1 (1 — v)pdv § of (1 —w)9dw =
о	oo
=	i, q_±. i)p»+r+i (1 -f-o)p dv* =
о	0
1
0
• Бета-функция Эйлера В (x, у)
(1 — di
связана с гамма-фун-
кцней соотношением В (х, у) =
Г (х) Г (у)
Г (* + !/)
91
= B(r+h <7+ 1) j «₽+«+'+2(1— u)sB(<74-r + 2, p+\)du =
о
= B(r+l, q+ l)B(<7+r4-2, p+\)B(p + q + r + 3, s+l) =
= Г(г+1)Г(<7+1)Г(<7 + г + 2)Г(р+1)Г(р + </ + г + 3)Г(5+1)
Г (г + q + 2) Г (<? + г + р + 3) Г (р + q + г + s + 4)
= Г (s+ 1) Г (г + 1) Г (? + В Г (р + 1)
Г (р+?+' + «+4)
Замечание. При вычислении интеграла
up+»+,+2(1—«)s o?4-2+i(l—v)p vf (1 — w)Q dudvdw
' Dt
мы пользовались тем, что множители, не зависящие от перемен-
ной интегрирования, можно выносить за знак соответствующего
интеграла по этой переменной.
Рассмотрим наиболее часто применяющиеся преобразования
переменных в тройном интеграле.
1. Границами множества D являются поверхности уровня трех
независимых функций фДх, у, г)=а{ и фДх, у, z)=bi, i=l, 2, 3.
Тогда
D = {(x, у, г):а1<ф1(х, у, z)^blt п2<ф2(х, у, z)^b2,
«ХФзС*. У>
и отображение ф:м=ф1(х, у, z), и=ф2(х, у, z), да=ф3(х, у, z) регу-
лярно. В этом случае переход к переменным и, v, w переводит
множество D в промежуток
/ = {(«, v, w):	п2 v<4b2, а3w М
и
у’ z^dxdydz- щ
f* (и, v, w)\y'\dudvdw,
где
/*(«, v, w) = f(x(u, v, да), у (и, v, да), г (и, v, да))
и —якобиан отображения ф-1.
Пример. Вычислим тройной интеграл
С С С г + 1  dxdydz,
JJ J ху
D
где
D = {(х, у, г) : О «С х у Зх, О г О 3 (х 4 у) 6z,.
1 <4z(x + y) =С4}.
92
Решение. Рассмотрим отображение
if ; и =  у~, v=- х + у. , w = z(x + y).
X	z
Тогда получим	1/з<п<2,	отображение
if”1: x = ’]/vw/(u+ 1), у = и,у vw/(u-\-V), z = Vw/v,
якобиан if-1 равен
y'vw
(« + 1)‘
(«+!)’
Следовательно, отображение if регулярно и
2. Цилиндрическими координатами точки М(х, у, z)e/?3 назы-
вается тройка чисел г, <р, h, связанная с числами х, у, z формула-
ми
х = гсозф, z/=rsin<p, z = h.
Фактически цилиндрические координаты — это полярные коорди-
наты в плоскости XY и обычная декартова координата в ортого-
нальном дополнении плоскости XY — оси OZ. Переход к цилинд-
рическим координатам в тройном интеграле
У> 2)dxdydz
93
— это переход к полярным координатам в двойном интеграле
У’ z)dxdy,
если тройной интеграл представлен в виде
я
f (х, у, г) dxdydz = ^dz / (х, у, z) dxdy,
или в двойном интеграле
^ф(*. У) dxdy,
D.
если тройной интеграл представлен в виде
Ч’Лх.у)
У, z) dxdydz —dxdy f (х, у, z)dz —
D	Do
==^ф^’ y}dxdy-

Этот переход ничем не отличается от подробно разобранного в
предыдущем параграфе перехода к полярным координатам в дву-
мерном случае. Якобиан перехода к цилиндрическим координатам
равен г. Обратим внимание только на то, что если переход де-
лается в интеграле вида ^f(x, У< z) dxdy, где область Dz зави-
'Dz
сит от z, то и пределы интегрирования по переменным <р и г, во-
обще говоря, должны зависеть от z.
Пример. Вычислим тройной интеграл
2С*2 + У2) dxdydz,
где область D ограничена поверхностями x2+y2=az и (х2+у2)2=
=az3, пользуясь переходом к цилиндрическим координатам.
Решение. Поскольку обе поверхности, ограничивающие об-
ласть D, являются поверхностями вращения относительно оси OZ,
то сделаем чертеж меридионального сечения D (см. рис. 34).
Линией пересечения заданных поверхностей является окруж-
ность z=a, х2+у2=а2, ортогональной проекцией D на ось OZ яв-
ляется интервал (0, а), а на плоскость XY—круг х2 + у2<а2, го-
ризонтальная плоскость z=Zo, zoe(O, а) пересекает D по круго-
вому кольцу с центром на оси OZ, внутренним радиусом
4/-—	___
у аг0 и внешним— у az0 . Следовательно,
О = {(х, у, z):0<z<a, az3<(х2 + у2)2<а2г2}
94
и
I/ \	2 I 2	2 X2 + У2	3 f (**+У2)2 1
D =с |(х, у, г) •_ х2 + у2 < а2, -< 2 <1/ ~—~~~ | г
откуда получаем, что
где
D2 — {(*. У) : аг3 < (*2 + У2)2 < <т2?2}
V (хЧ w/a
а
где
D0 = {(x, у) : х2 + у2<а2}.
Переходим к цилиндрическим координатам в обоих представ-
лениях:
5 z (х2 + у2) dxdydz = и $ г	dxdydz = D	а	2л	Д/ah ^hdh f dtp	r3dr 6	0	4/-— V a№ 3f4 2л	a	r a 5 d<p r3dr	hdh. d	(J	/« a
95
Окончательно получаем, что
2 dxdydz = 2л С h (а2й2—ah3) dh =
D	о
_ JLae (2______L\ —
2	\ 4	5 /	40 ’
^z(x‘ + g‘)dxdydz = ~-2it^r1
D	0
1 \ _ rufi
F) ~ 40
6 / 3
= лет —
\ 20
Пример.
D — область,
Вычислим тройной интеграл ydxdydz, где
ограниченная поверхностями
а (х2 4- у2) — xz (а—z), xz — ay, yz = ах
и содержащая точку 7И0(«/8, а/12, al1!).
Решение. В примере (см. с. 81) данный тройной интеграл
был приведен к виду
а
О
Dz
где
Dz—{(x, у) : а (х2у2) < xz (а—z), xz<_ay, yz<Zax}.
Переходя к цилиндрическим координатам, получаем, что
D
a
arctg(a/h)	h(a—h)cos<p
J r2 sin cp dr =
о
О arctg(ft/a)
arctg(a/h)
J /i3(a— й)3 cos3 <p sin q> dtp =
6 arctg(ft/a)
1 Г / ч /	i I агс*е(Л/а)
=-------\ h3(a—/i)3cos4<p	dh —
12 J	I arctg(a/h)
0
a
о
1
(1 4-Л2/аа)’
1______
tf/h2)2
96
dh —
•i- § (h6 — 3h5a + /i4a2 + 5h3a3—
о
— 4/i2a4 — 4ha5 + 4a6 4-—--——\ dh =
/i2 -{- a2 h2 + a2 )
1 r / 1	1,1,5	4 л . j z-» i /-»	4 тс \
= ---a1-----------------i----2 + 4 + 2 In 2—4— 1 =
12	\ 7	2	5	4	3	4/
3. Сферическими координатами точки M(x, у, z)^R3 назы-
вается тройка чисел г, ср, ф, связанная с числами х, у, z форму-
лами
х = г cos ср cos ф, у = г sin ср cos ф, Z = rsin+-
(1)
Сравнивая эти формулы с формулами связи декартовых и по-
лярных координат в «-мерном пространстве (см. с. 16), видим,
что сферические координаты переходят в трехмерные полярные
л .1.
координаты преобразованием x1 — z, х2 = х, х3 — у, срг = —----Ф,
<р2 = ср. Отсюда можно сделать вывод, что якобиан / при перехо-
де к сферическим координатам есть r2sincpi=r2cosj) и для любо-
го жорданоиа множества DczR3 и функции f^C (D) имеет место
равенство
У у z) dxdydz = f (г cos ср cos ф, г sin ср cos ф, гвшф) X
х г2 cos ф drdydty,
где
Di = {(r, <р, ф)} с {(г, ср, ф):г>0, —л/2<4ф<4л/2,
а ср а + 2л}
— прообраз D.
Так же, как полярные координаты (г, ср) точки М на плоско-
сти, сферические координаты (г, ср, ф) точки М в пространстве
имеют простой геометрический смысл: г — длина радиуса-векто-
ра из начала координат в точку М, ф — угол этого вектора с
плоскостью XY (широта), ср — угол проекции радиуса-вектора на
плоскость XY с положительным направлением оси ОХ, равный
углу вертикальной полуплоскости, содержащей радиус-вектор с
начальной (нулевой) положительной полуплоскостью XZ, у>0
(долгота).
97
Иногда сферическими координатами называют непосредствен-
но трехмерные полярные координаты в такой нумерации:
х = х2 = гз1пфсо5<р, y = x3 = rsinAj:sinq>, г = х1 = гсозф(г^ О,
О^ф^л, 0^<р^2л).
При таком переходе от х, у, z к г, <р, ф якобиан вычисляется по
общей формуле «-мерных полярных координат, т. е.
У=г2 sin ф.
Всюду в дальнейшем будем использовать сферические коор-
динаты, определяемые с помощью равенств (1).
Переход к цилиндрическим или сферическим координатам в
пространстве так же, как переход к полярным координатам на
плоскости, можно рассматривать как переход к согласованным
с декартовой цилиндрической или сферической системам коорди-
нат. Поэтому, как и в предыдущем параграфе, для множеств зна-
чений г, <р, /г и г, ф, ф не будем вводить нового обозначения, а
будем рассматривать множество D как в виде
D = {(х, У, z) :. . так и в виде D = {(г, <р, h):. . и D = {(г,<р’
ф)} :...} с указанием условий на соответствующие координаты.
Пример. Расставим пределы интегрирования в сферической
системе координат в интеграле	У> z)dxdydz, где fe
b
еС(Д), D — область, ограниченная сферой x2 + y2 + z2=a2, пара-
болоидом 2(x2+y2)=3az и плоскостью z=0.
Рис. 35
Решение. Так как все поверхности, ограничивающие об-
ласть D, являются поверхностями вращения относительно оси OZ,
то сделаем чертеж меридионального сечения D (см. рис. 35). Об-
ласть D лежит выше плоскости z=0, вне параболоида 2(х2 + У2) =
=3az и внутри сферы x2 + y2+z2^a2, т. е.
D : {(х, у, г) :z>0, х2 + у2 + г2<а2, 2 (х2 + г/2) > Заг}.
98
Перейдем в неравенствах, определяющих условия на декарто-
вы координаты точек области D, к сферическим координатам. По-
лучаем, что г, <р, ф должны удовлетворять неравенствам: rsini|?>
>0, г2<а2, 2г2 соч2ф>3аг sin ф.
Дополнительных ограничений на угол ср эти неравенства не да-
ют, следовательно, 0 с ср <2 л, — геометрически это видно из того,
что рассматриваемая область есть тело вращения относительно
оси OZ. Следовательно, если точка M^D, то и все точки ЛД, для
которых радиус-вектор OMt получается поворотом радиуса-векто-
ра OA'i относительно оси OZ, также принадлежит D. Так как г>0
и —л/2сф<л/2, то система неравенств эквивалентна системе 0<
<г<а, 0<ф<л/2, 2rcos2i|)>3asin^. Первое и третье неравенст-
ва могут выполняться одновременно только при условии 2соь2ф>
>3зшф, откуда получаем, что sinip^Vs- Учитывая второе нера-
венство, получаем окончательно, что
D=[(r, <р, Ф): 0 ср 2л, 0^ф^л/6,	г ^а]
|	2 cos2 ср	J
и, следовательно,
У> z)dxdydz =
d *
2л л/6	а
= j сйр с/ф	/(rcos(pcosip,rsincp созф, г sin ф) г2 cos ф dr.
0	0 3asim|,/2cos2ip
Пример. Расставим пределы интегрирования в сферической
системе координат в интеграле
У у z)dxdydz,
J D
где
D = {(x, у, z):x>0, (х2+у2 + г2)3<а2г2(х2—у2), х24-г/2<г2,
г>0} и fe^C(D).
Решение. Перейдем в неравенствах, определяющих условия
на декартовы координаты точек множества D, к сферическим ко-
ординатам. Учитывая условие г>0, получаем систему неравенств:
r2^a2sin2,vpcos2(p, cos2 ф^ sin2 ф, зтф^О, cos ср cos ф 0.
Из первого неравенства следует, что cos2cp>0, и, учитывая усло-
вия ri>0, —л^ср^л, —л/2 ^ф^ л/2, получаем, что
D = {(r, q?, ф):—л/4 sC ср л/4, л/4 ^ф^ л/2,
азтфт/сов 2<р}.
9S
Следовательно,
у, z)dxdydz =
D '
л/4	л/2	asin^V cos 2cp
= dcp	f (r cos ф cos ф, r sintp cos ф, rsinip)x
—л/4	л/4	0
X r2 cos ф dr.
Пр им ер. Вычислим интеграл
\ f (*2 + z2) dx dy dz,
где D — область, лежащая внутри обеих сфер x2 + y2+z2=2ax и
x2 + y2 + z2=2ay, пользуясь переходом к сферическим координатам.
Решение. Так как точки области D лежат внутри обеих
сфер, то их декартовы координаты должны удовлетворять системе
х2 + у2 + z2 < 2ах, х2 + у2 + z2 < 2ау.
Перейдем в этих неравенствах к сферическим координатам. Учи-
тывая условие г'д-0, получаем систему неравенств:
О г д/ 2а cos ф cos ф, 0 д/ г Д/ 2аsin фсоэф.
В силу условия —л/2<ф<л/2 имеем, что cos ф>0, следователь-
но, угол <р должен удовлетворять неравенствам: созф>0, sin<p>
>0, откуда получаем, что 0<ф<л/2. Наконец, поскольку оба не-
равенства ограничивают г сверху, то этой системе эквивалентно
неравенство
0 г Д/ 2а cos ф min (sin ф, созф).
Чтобы границы интегрирования выражались гладкими функция-
ми, как и выше, разобьем интервал (0, л/2) изменения угла ф
на подынтервалы, где функция min (cos ф, simp) совпадает с одной
из функций cos ф или sin ф. Окончательно получаем, что
£) = {(г, ф, ф):—л/2 Д/фД/ л/2, Од/ф^л/4,
0 г Д/ 2а sin ср cos гр) (J {(г, ф, ф):—л/2 ^фд/л/2,
л/4 Д/ ф Д/ л/2, 0 д/ г Д/ 2а cos ф cos ф}
и,
следовательно,
л/2	л/4 2asincpcos4'
J^(x2-)-z2) dxdydz = cosфdф J dф г4 (cos2 ф cos2 ф+
D	—л/2	0	0
л/2	л/2 2acos<Kos,ip
ф- sin2 ф) dr + у cosфdф^ dф	г4 (cos2 ф cos2 ф+sin2 ф) dr =
—л/2	л/4	0
100
Л/2	Л/4
32 Л	(•
=-----а6 \ cos8ip dip \ cos2 ф sin5 ф dtp 4
—л/2	О
л/2	л/4
32	р	(*
4-----а5 \ cos6 ip sin2 ip dip \ sin5фdф4
5	J	J
—Л/2	О
Л/2	Л/2
4-	-у- а5 у cos8 ip dip J cos7 ф dф 4-
—л/2	л/4
л/2	л/2
4 Э2°5-- § cos6 ip sin2 ip dip cos5 ф dф =
—л/2	л/4
г ( —} г(—]
— ~^2°5----2f 5	2 J СОЭ2ф(1 — COS2 ф)2 d COS ф—
Г (5)	0
Л/4
_ 32аь Г (7/2) Г (3_/2)_ С (1 _c0S2 ф)2 d cos ф +
5 Г (5)
Г (9/2) Г f—— ] я/2
у-а5--------г .5	' J —sin2 ф^ sin ф 4-
Л/4
! 3 .
Г (7/2) Г I — 1 л/2
4 -— а5-----г~(5---- (1 —S*n2 sin Ф =
л/4
1 1
= 32а»л /2__5_ J_ J_ Г ц—/2)2/2^+А	С (1—(2)2d/ +
5-24 \ 2222J	2222J
12/2	/2/2
i	1
4- — — — — С (1— t2)3dt + — — — — С (1 — t2)2dt) =
2 2 2 2	J	2 2 2 2	J
/2/2	/2/2
C (i_/2)2jZ = 2^ [i—L4-J—-/2 f---
4 J	4 L 3	5	\ 2	6
/2/2
= _^L(64 —43 -/2).
101
4. Обобщенными сферическими координатами точки
М (х, у, z)ei?3 называется тройка чисел г, ф, ф, связанная с чис-
лами х, у, z формулами
х = ar cos® ф cos₽ ф, у = br sin® ф cosP ф, г^сгзтРф.
При этом г:>0, угол ф меняется в промежутке [0, 2л] или [0, л/2],
угол ф — в промежутке [—л/2, л/2] или [0, л/2] в зависимости от
параметров аир аналогично тому, как зависел промежуток из-
менения угла ф в обобщенных полярных координатах (см.
с. 53). Так же, как в двойном интеграле, при переходе к обоб-
щенным сферическим координатам может возникнуть несобствен-
ный интеграл от неограниченной функции по жорданову множе-
ству (который всегда сходится). Якобиан при переходе к обоб-
щенным сферическим координатам равен abcafir2 cos®-1 ф sin®-4p х
X sin₽~1 ф cos2P-1 ф.
Пример. Вычислим интеграл z dxdydz, где D — об-
' b
ласть, лежащая в первом октанте (х>0, у>0, z>0) и ограничен-
ная координатными плоскостями и поверхностью
, _z_\2= _х__у_
 а b с ) h k '
Решение. Положим
х = ar cos2 ф cos2 ф, у = br sin2 ф cos2 ф, г = сг5т2ф.
В переменных г, <р, ф уравнение данной поверхности примет вид
г — ( — соэ2ф-----— sin2 ф') соз2ф.
\ h	k )
Дополнительных условий на угол ф нет, следовательно, фе
е[0, л/2]. Угол ф должен удовлетворять двум условиям:
Ф & [0, л/2] и ~~ cos2 ф-- sin2 ф О,
следовательно, фе[0, ф0], где фОе (0, л/2) и
— cos2 ф0---sin2 ф0 = 0.
h	k
Итак, прообразом множества D при переходе к обобщенным
полярным координатам является множество
О1 = {(г, Ф> Ф): 0^ф^л/2, О^ф^фо, 0^г^г(ф, ф)},
где через г(ф, ф) обозначено для краткости произведение
/ — cos2 ф-— sin2 ф j cos2 ф, и, следовательно,
\ h	k /
Л/2	<₽о	г(<Р,ф)
zdxdydz=\^ t/ф йф J er sin2 ф 4abcr2 cos ф sin ф sin ф х
D	ООО
102
Л/2	Фо	г(Фф)
X cos3 ip dr = 4abc2 § cos3 ip sin3 ip dip § cos <p sin <p dtp £ r3dr —
0	0	0
Л/2	q>o
— abc2 cosnipsin3ipdip J
о	0
/ iZ Q	b • 9	\	• t
I — cos4 ф-----------sin4 ф cos ф sin ф dtp =
\ h	k }
Фо
= аЬ£_	С M _ P + A') sln. <p j ‘ d (sln= <(,) =
4 Г (S) J 1 h \ li k I )
0
abc2	1 /a / a . b \ . 2 \5 0 a2bc2k
=--------------------------------------------sin2 ф =---------------------.
4-6-7-5 / a J_ \\h	\ h k J I <p0 840 (ak + bh)
\h + k
В этом и следующих пунктах будем рассматривать тела из
R3, ограниченные кусочно-гладкими замкнутыми поверхностями.
Как следует из предыдущего (см. с. 8), такие тела являются
жордановыми множествами, и для любых ограниченных функций
u—f(x, у, z) с не более чем счетным множеством точек разрыва
(в частности, непрерывных) существует f(x, у, z)dxdydz.
v ‘
3. Объем тела
Объем | V | тела V (из указанного выше класса) вычисляется
по формуле
|V | = dx dy dz ( как объем жорданового множества),
v d
Пример. Найдем объем тела V, ограниченного поверхностя-
ми
z = x3 + y2, 2 (х2г/2) = г, х = у, у = 2х, z = h,
находящегося в первом октанте.
Решение. Способ I. Проекция тела на плоскость XOY изоб-
ражена на рис. 36.
Разобьем тело V на два тела Vi и V2: Vi={(x, у, z):(x, z/)e
eDi, x2+y2^z^.2(x2+y2)} и V2={(x, у, z):(x, y)^D2, x2+y2<
где область Dx ограничена линиями y=x, y=2x и 2(x2+
+ y2)=h, а область D2 ограничена линиями y=x, y=2x, x2+y2=h
и 2(x2 + y2)=h.
В свою очередь область Dx представим как объединение двух
областей и £)t2:
Di = 1(х, у): 0 х
103
а область D2 — как объединение трех областей
Рис. 36
Теперь объем тела V найдем следующим образом:
/Л/10	2х	2(х2+у2)	Vh/i	Vh/2—х2	2(хг+уг)
|V| = J dx^dy dz+ J dx § dy J dz +
0	x	x2+y2	Vh/Го x	x2+y2
Vh/5 2x	Л	Vh/4 Vh—x2 h
+ § dx dy dz + dx § dy dz-\-
VhilQ	Vh/2—х2	x'2Ay2	Vh/5 Vh/2—х2	х2+У2
V T	Vh^2 h
+ dx § dy dz.
•I /Т x x2-i- У2
г T
He вычисляя интегралов, читатель уже может видеть нерацио-
нальность предложенного способа решения.
Способ II. Сечением данного тела плоскостью z—a, 0<a<h,
является фигура ABCD=S(a), представленная на рис. 36,6.
104
Тогда искомый объем найдется по формуле
h
| V| = da J dxdy.
О 5(a)
Интеграл ^dxdy равен |S(a) | — площади S(a). Эту пло-
S(a)
щадь можно вычислить как разность площадей двух круговых
секторов с центральным углом <p=arctg2—л/4 и радиусами У а
и Уа/2 соответственно, т. е.
|S(a)| (а — -у) (arctg2—л/4) = у arctg-у.
Следовательно,
&
1V1 = J “4~arctg тda =	arctg т •
о
Замечание. Поскольку границами области S(a) являются
линии уровня функций
и=х2 + у2	и v=ylx,
то для вычисления \\dxdy сделаем замену х2 + y2=u, у/х=и.
§(а)
Отображение
cp:u=x2 + z/2, v=yjx есть биекция области
D = {(x, у) : а/2<х2 + у2<.а, 1<г//х<2}
на область
£>i = {(u, v) : а/2 < и < а, 1<и<;2}.
Так как
1
D(x, у)   D(u, у)  	2у _ Q । о У2
D(u, v)	D(x, у) ~ —У/x2 \/х	х2 ’
ТО
|V| =^da^dxdy — ^da^ а du =
О S(a)	0	1	а/2
h
”1 Пагс‘82~т)т',“=т (»rctg2-i)=^arctBA.
О
105
Способ III. Перейдя к цилиндрическим координатам, имеем
arctg2	yrh/2	2rl	arctg 2		h
|V| =	dtp § rdr	\ dz+ § dtp		r dr dz =
П./4	0	г'	Л/4	/h/2	r*
= (®c‘82-t)(t	/ hr2 Io + \ 2	—'i 4 /	Vh ' Vh/2^
/	n я \ / h2	, h2	h2	h2	
— arcig-	lft \	4 j \ 16	2	4	4	16 /
ft* I , П	Л \ - 8 (arC‘g2	< )	h2 , 1 - 8 arCtS 3		
Способ IV. Сделаем	замену переменных		
a , 2	x* + У’ x +y —u, 	—— z	у = v, ~ = w. X,		
Отображение
Ф : u = x2 + y2> и= х w = —
Z	X
является биекцией данной области V на область
У, = |(«, v, w) : 0<zu<h, 1 < ay < 2, м < — < min(2и, h)
и
D (u, v, w) 	 D(x, y, z)	2x 2y	0 2x/z 2y/z -~(x2 + y2)/z2 = —уfx2 \\jx	0
Х* + У* (<) > 2У*\_2(1 + «Я)»а
--------------------й
Условие u<M/n<min(2u, h) эквивалентно условиям
—	если 0<u^/i/2;
2
и/Л<ц<1, если h/2 ^.и <zh.
Следовательно,
h/2	1	2	h 1	2
IУI = С du С dv С dw--------------h C du f dv C dw---------------=
11 J J J ,2v«(l+a>»)	J J 2^(1 + ^)
0	1/2	0	=	h/2 u/h 1
= (arctg 2—^-) (2-1) ±+ -j- (arctg 2- J) x
h
P / h i \	, h* ,	1
X \----------1 u du =  -----arctg —.
J \ и /	8	3
h/2
106
Пример. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью
Решение. В силу симметрии тела относительно координат-
ных плоскостей рассмотрим 1/в его часть, находящуюся в I октан-
те. Перейдем к цилиндрическим координатам, тогда имеем
Это означает, что
т. е.
1 —1 — а2 ^г/с 1 +	1 — а2.
Следовательно,
с+с VI—а* л/2	V 2Z/C—г'/с1—а"
] V] =8	у dz § dtp j" г ah dr =
с—ckl—а1	О	О
с-^с V1—а’
= 8а£-л/4 у —
с—с V1—а*
/ 7^	7З	«
= 2лаЬ(----------------а2г
\ с	Зс2
с—с V1—а1
Пример. Найдем объем тела, ограниченного поверхностями
/ X	. у	. Z Iх	У \Ъ	А
—+—Н------=---------— , х = 0, у = 0, 2 = 0.
\ а Ь с	j \ h	kJ
Решение. Положим
х = ar cos2 ср cos2 ф,
y = br sin2 ф cos2 ф,
z — cr sin2 ф.
Тогда
I x	, у	. z ,6	e x	у	/а	, b	•= . „ \	2 .
---F —H----—re,  -------~ = r{ COSJtp — •—jsm2 ф cos2 ф.
\ a b c /	h	k	\ h	k j
107
Из условия
h. k
получаем условие на изменение ф
cos2 ф---— sin2 ф > 0, т. е. | tg ф |	1Лaklbh
h	k
и, следовательно, 0 ф arctg ak/bh.
Таким образом, имеем, что
arctg Vak/bh л/2 ~h
| V | = iabc C
о
, b .	\5
:os2cp---^-sin2^ cos10\l?
\	r2 COS3 Ф COS ф X
о
arctg Vaklbh
X sin ф sin ф dr = у ।
о
л/2
(* / a 9 b - , \ 15
\	---COS2 Ф---------Sin2 ф x
J \ h	k /
о
Л/2
X cos33 ф cos ф sin ф sin ф t/ф —	§ cos33 ф sin ф йф x
0
aretgVak/bh
Г ( a 2 b .	\ 15
\	---COS2 ф---------sin2^
v) \ b	k	/
—hk
4а&с /а ч
------- ----COS2 ф —
I2(ak + bh) 3-34-16 \ h
Ь  2
----8Шаф
k
16 arctg Vак/bh
abc U/ a \
24-34 a b • h /
h + k
4. Механические приложения тройного интеграла
Пусть скалярная величина P(V) распределена на жордановой
области V с плотностью р(х, у, z), являющейся непрерывной функ-
цией, тогда
Р (Ю =	Р (х> У> z) dxdydz.
Если тело занимает объем V и р(х, у, г) — плот нос/г его в точ-
ке (х, у, г), то по этой формуле вычисляется масса тела.
X
X---
— 2
о
1 i
О
6
108
Координаты центра тяжести х0, у0, z0 тела V вычисляются по
формулам
х0 = Р (х> z)xdxdydz,
V *
Уо = ~м у’ z^ydxdydz'
V
z0 = -i- yjy p(x, у, z)zdx dy dz, где M—масса тела.
v
Моментами инерции тела относительно координатных плоско-
стей XOY, YOZ и ZOX называются соответственно интегралы
&xoy = \	Р (х, у, z) z2 dx dy dz, &Yoz —	p (x, y, z)x2 dx dy dz,
* v'1	’ v '
<Kzox=^^p(x, y, z)y2dxdydz.
v
Моментом инерции тела V относительно оси I называется интеграл
eXi = ^^P(^> У’ z)r2dxdydz,
к‘
где г — расстояние переменной точки (х, у, г) тела V от оси I,
р(х, у, z) — плотность тела.
Моментом инерции тела V относительно начала координат на-
зывается интеграл
е7°= р (х, у, г) (х2 + у2 -фz2) dxdy dz.
v
Ньютоновым потенциалом U тела V в точке Р(х, у, г) назы-
вается интеграл
[7= f p(g, л, £) dld^ ,
* V '
где (>(х, у, z) — плотность тела и r = ’[Y(^—х)2 I (n- >/Y ' Р -
Материальная точка массой т притягивает р' !о е си’ю"
F(X, Y, Z)
X — km= кт \ [ р (i,, ц, Q
дх j J	' г3
v
109
Y = ktn~ = km yjj* p (g, n, ?) — dr] d£,
Z = km ~~ ==	p (t, X), £)  de dr] dt,,
v
где k — постоянная закона тяготения.
Пример. Найдем координаты центра тяжести однородного
тела, ограниченного поверхностями
х2 + У2 — г, х + у + z = 0.
Решение. Проекцией данного тела на плоскость XOY яв-
ляется область D :х2+у2^.—х—у, т. е. круг
—V
2 )
I IV
+ (у + ”)
1
2 ’
Поэтому в силу симметрии тела относительно плоскости х=у име-
ем х0=г/0.
Положим x=rcos<p—1/2, y=r sin ф—1/2. Масса данного тела
равна
1/1^2	1—r(cos<p-|-sin<p)
У dr-r J dz =
0	г’—r(cosq>+sin<p)+l/2
2л 1//2
= р J dtp у г(1—г (cos <р + sin <р)—г2 + г (cos ф + sin ф)—1/2) dr ~
о о
1/ /2
= 2лр у ^г—г3--------dr —2лр ------------
о
1/^2_ лр
о 8
Далее
Хо — Уо-—
НИ1"*'4'*’
V
2 л	1IV 2
= —рСс/ф С г(гсовф—1/2) f—'—r2Vdr = —р2л (—
М J .1	z 7 \ 2	) М \	2 )
о о
2 J	М \ 4	4 / о	2
110
2л	1 / V2	1— r(cosq>+sin<p)
z°= pzdx dydz =J d<p J dr § r-zdz =
V	0	0	r*—r(cos<j>-i-slnq>)J 1/2
2л 1//2
= — dcp у r^l—2r(cos<p4-sin<p)4-r2-|--^-^l—r2—^-jdr =
о 0
2л	1IV 2
4 f	. f	/	/	, . 1 \2\	.	5
= —l dtp \	r—r i г 4------\dr =—.
я J J	\	\	2 J J 6
о 0
Итак, координаты центра тяжести: х0=у0=—’/г, £о = 5/б-
Пример. Найдем массу и момент инерции однородного тела,
ограниченного поверхностями
х2 + у2=2г и x2+y2=z2
относительно прямой х=0, z=4.
Решение. Масса М тела равна
2Л 2 г	2
dxdydz = р J dtp J dr	rdz = 2лру ^r2—yj dr —
V	0	0	A/2	0
2__ 4np
o“~
Момент инерции 3 данного тела найдем по формуле
<2/ = pr2dxdydz,
где г — расстояние от точки (х, у, z) тела V до прямой x=0, z—
=4. Квадрат этого расстояния находится по формуле г2=х2Ч-
+ (z—4)2, поэтому
ш
V
ё/ = Р
(х2 + (г—4)2) dx dy dz =
2л 2 г
— ру d<p J dr у г (г2 cos2 ф ф-(z—4))2dz =
О О г'/2
111
2Л /
('ll	Г®
= р I I----r5COS2(p-----cos2<H
О '
(r-4)s
15
4 (г —4)4
4-3
d<p = ^-_
3
о
Пример. Найдем ньютонов потенциал в точке Р(0, 0, z), z>
>R неоднородного шара x2 + y2 + z2=R2, если плотность его р(Е,
ц, £) пропорциональна квадрату расстояния точки (g, тр £) до
плоскости XOY, т. е. р=/г|2.
Решение. Потенциал найдем по формуле
(7(0, о, г) = ЦСГ^...................
JJJ V52 + n2 + (S —z)2
Переходя в данном интеграле к сферическим координатам, име-
ем
g = г cos ф созф, T] = г sin ф cos ф, £ = rsinip,
2л	Г л/2	R
U (0, 0, z) — k J dtp | § dty £
0	—Л/2	0
R Я/2
0	—Л/2
sin2 ip ci (sin ф)
Vr2—2arsini|) + a2
5 r4 sin2 ф cos ф dr
~\/r2 cos2 ф + (r sin ф — a)2
Далее находим, полагая Z = sirup, а затем z2 = r2 + a2—2arZ
Г t2 dt______________________ “гГ (r2 + a2 — z2)2, j?
J	"|/та +a2 — %art <J	4a3r3
— 1	a—r
11 г	9
=	+ a2)2  2r-4 (r2 + a2) ((a + r)3- (a-r)3) +
4aar3 [	3
+4«a+r)5-(a~r)5>
о
1 I
2a3r2
r4 + 2r2a2 + a4—
—- (3a2r2 + 3a4 + r4 + a2r2) + — (5a4 + 10a2r2 + r4)
1
2a3r2
л 8 I 2 2 4
r4-------h r2a2 —
15	3
1
a3
Г 4	9 I 2	2
-----r2 -------a2
L 15	3
112
Следовательно,
о
 4лй / 2 Д’
— а3 15	7
4/г.т
15а3
-^-R1 +а2/?5
а2Да
15
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЙ КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определение. Последовательность жордановых множеств
{Dm}m=i, Dm е Rn, называется исчерпанием множества DaRn,
если DjcOjC-.-cDmCD и Q Dm — D.
т=1
Определение 1. Если функция f:D-+R неинтегрируема в
смысле Римана на множестве DczRn, но для любого исчерпания
{Ьт} множества D, удовлетворяющего условию	суще-
ствует
lim \f dx,	(1)
m-*oo п
utn
то величина этого предела обозначается символом f dx, назы-
D
вается несобственным интегралом от функции f по множеству D.
Тогда говорят, что этот интеграл f dx сходится. Если существует
D
такое исчерпание {Dm} множества D, что для любого	,
но предел не существует, то говорят, что интеграл § f dx расхо-
D
дится.
Вместо выражения «интеграл ^fdx сходится» употребляют-
D
ся такие: «интеграл f dx существует в несобственном смысле»
D
и «функция f интегрируема в несобственном смысле на D».
Замечание 1. Чтобы определение несобственного интегра-
ла было корректным, формально надо было бы добавить требова-
ние независимости величины предела от выбора исчерпания {Dm}.
Однако это требование излишне, так как если для двух исчерпа-
ний {Dm} и {Dm} существуют несовпадающие пределы
lim ^fdx и lim \fdx,
т-+<х> ‘i	т-+ос> л
D1	D2
то найдется такое исчерпание {Dm}> для которого предел (1) не
существует. Для иллюстрации рассмотрим
113
Пример. Исследуем сходимость интеграла dxdy, где
D
D={(x, у):х>1, —
Решение. Последовательность
{Dm}, Dlm = {(x, у) : 1 sC х С т, — 1 у 1}
и последовательность
{Dm}, ОД = О^и{(х, у):т^х^2т, О^у^ 1}
(см. рис. 37) являются исчерпаниями множества D
f(x, у) = —	и/(х,у) = — <=&№) для любого m<=N.
х	х
Но
m	1
lim СС— dxdy= lim С — С ydy = O,
т-+<х> J J X	J х J
а
2т 1
lim СС — dxdy= lim СС — dxdy-}- f f у dy = — 1п2.
m-*oo J x	m->oo J J X	J x J	2
Различие этих пределов уже говорит о том, что интеграл
— dydx расходится. Действительно, возьмем последователь-
D
ность {£>т} : П2ь-1 = D\k^Dih = D2k. Эта последовательность явля-
ется исчерпанием D- f(x, y)=y/x^&(Dm) для любого m^N и
114
lim (C —dxdy = lim CC	— dxdy = lim CC — dxdy = — In2,
m->-x < *)	X	fe-*oo J J	X	£-*oo J J	2
Il>	D„.	„2
m	2k	D^k
lim CC — dxdy = lim CC — dxdy = lim CC--dxdy —0,
m-wc> Jv %	k-*<x>	•)«) X	£-*oo J J X
Dn,	1
m	№-1	D2k
т. e. предела последовательности ^ — dxdy не существует.
Замечание 2. Если для функции f:D-*-R, DczRn, не сущест-
вует ни одного такого исчерпания {Dm} множества D, что для лю-
бого m:f^32(Dm), то вопрос, сходится или расходится интеграл
f dx, не имеет смысла; в таких случаях применим только тер-
D
мин «функция неинтегрируема в несобственном смысле на £)».
Если {£)„} — такое исчерпание множества D, что f^32(Dn) для
любого п, то множество Мп точек разрыва функции f на Dn есть
со
множество меры нуль. Поскольку D= (J Dn, то множество то-
гг—1
со
чек разрыва f на D есть М — (J Мп. Следовательно, М есть мно-
п— 1
жество меры нуль.
Поэтому неинтегрируемость по Риману функции f на D мо-
жет быть, как и в одномерном случае, обусловлена только дву-
мя причинами: или множество D не жорданово, в частности неог-
раничено, или функция f неограничена на D. Обе эти особенности
могут иметь место и одновременно.
Замечание 3. Если	то предел существует для лю-
бого исчерпания {£>т} множества D и равен ffdx.
D
Таким образом, понятие несобственного интеграла является
обобщением понятия интеграла Римана.
Множество функций, интегрируемых на D в смысле Римана
или в несобственном смысле, обозначим через 5? (О). 32(D) есть
линейное пространство и функционал (p(/) = ^/dx линеен, т. е.
~ ~ D
для любых двух функций fi&ftfD), f2<=32(D) и любых двух чисел
а, р имеем, что
af1 + ^>f2^%(D) и J(a/1 + p^2)dx = a$f1dx + ₽^2dx-
D	D	Ь
Сравнивая определение кратного (п>2) и одномерного несоб-
ственного интегралов видим, что в одномерном случае берется в
качестве множесгва D только промежуток и исчерпание D произ-
водится только промежутками. Это связано с тем, что в одномер-
115
ном пространстве (на прямой) только ограниченные промежутки
являются ограниченными связными множествами и тем самым ес-
тественно выделяются из остальных жордановых множеств. Вы-
деление более узкого класса исчерпаний приводит в одномерном
случае к более широкому классу функций, интегрируемых в не-
собственном смысле, именно появляется понятие условно сходя-
щегося интеграла.
В многомерном же случае (п>2) имеет место
Теорема. Если для функции f-.D-^R, DczRn (п>2) сходится
интеграл \fdx, то сходится и интеграл f Ifldx.
b	Ь
Смысл этой теоремы в том, что в n-мерном (и>2) простран-
стве понятие сходимости и абсолютной сходимости несобственно-
го интеграла совпадают, т. е. отсутствует понятие условной схо-
димости.
В одномерном случае сформулированная теорема выглядит
так..
Пусть функция f'.D-+R, DczR и последовательность {Z)m} жор-
дановых множеств удовлетворяют условиям:
1. f ^31 (Dm) для любого т ед N',
ос-
2. с= D2 с=.. . с= Dn с=. . . с D, U Dn = D.
п~ 1
Если для любой такой последовательности существует пре-
дел lim \fdx, то существует и предел lim Ifldx.
m—»-оо г-)	D
utn	tn
4-оо
Итак, обратим внимание на то, что символ f(x)dx имеет
а
два разных определения:
А
lim \ f (х) dx
л-*+°° а
и
lim \ f (х) dx,
П~>оо /У
где Dn исчерпание луча [я, +оо).
Чтобы пояснить разницу между исчерианисм пуча щ.омежут-
ками и произвольными жордановыми множествами, раи-мсгрим
следующий
Пример. Пусть
( 1/п, xg [п—1, п—1/2),
(—1/д, х ед [п —1/2, п), n^N.
116
Тогда для В>0 имеем, что
В	[В]	в	в
О С С f (х) dx = С f (х) dx + С f (х) dx = 0 + С f (х) dx	,
J	J	J	J	[S] +1
О	О	[В]	[В]
следовательно,
в
lim \ fdx = О,
В^оо
-4-00
т. е. интеграл f (х) dx сходится. С другой стороны, так как ряд
6
00
У] — расходится, то существует строго возрастающая последователь-
на
ность целых чисел р(т), такая, что
р(т+1)
р(1) = 0 и ~Т>т-
k=p(m)+l
Положим
Р(2)
U [k— 1, k—1/2],
fe=i
р(3)
n2 = [0, P(2)]U( и [А—1, А—1/2]), ..
fe=p(5)+!
p(m+D
Dm = [0, p(m)]u( U [fc-1, fc-1/2]).
k=p(m)+l
Тогда для любого m^N множество Dm жорданово как объедине-
ние конечного числа отрезков, Om_iG:[0, p(m)]czDm. Следователь-
но, {Dm} есть исчерпание луча О=[0, +оо). Так как
p(m)	р(т+1) fe—1/2
f (х) dx = у f (х) dx +	f (х) dx =
Dm	0	fe—1
p(m+l)
= o + 1	V"	1 > m
2	Z ..	k 2
k=
то последовательность f (x) dx расходится.
Поскольку для мь.-згомерного случая имеет смысл только аб-
солютная сходимость несобственного интеграла, то все дальней-
117
шие свойства этого интеграла формулируются для неотрицатель-
ных функций f:D^>~R+, DaRn (n>2).
Теорема. Если f:D-+R+, DczRn, то из существования преде-
ла для одного исчерпания {Dm} множества D следует его сущест-
вование для любого другого исчерпания, т. е. сходимость инте-
грала
§ fdx.
D
Теорема сравнения (мажорантный признак сходимости
несобственного интеграла). Если функции f:D-+R+, g:D-+R+, De
ceRn интегрируемы на одних и тех же жордановых подмножест-
вах D и f(x)<g(x), xeD, то из сходимости интеграла gdx сле-
D
дует сходимость интеграла f dx.
b
Пример. Исследуем сходимость интеграла
С fС у* г\ dx dy dz,
JJJ (x»+«/a + z»)p
D
где
D = {(x, У> z): x2 + y2 + z2^ 1}
(x, y)t=D, f<=C(D), 0^M1^\f(x, y, z)\^M2.
Решение. Поскольку
у, 2)| <
(xa + y3 + za)₽	(№ + y3 + za)p '' (x3 + y3 + za)₽ ’
то рассматриваемый интеграл сходится или расходится одновре-
f Г Р dx dy dz	п
менно с интегралом 1 \ —------------. Последователь-
b V
ность {.О™}, Dm={(x, у, z) :1сх2+г/2+ z2«m2} является исчерпани-
ем множества D. Переходя к сферическим координатам, получа-
ем, что
dx dy dz
(x3 + y3 + z3)P
2л л/2	т
С , Г , ,, Р dr
dtp V cos ф dty (
О —Л/2	1
т
1
следовательно,

dxdy^----= lim 4л Г =
(x3 + y3 + z3)P	J г2р~2
+ °О
откуда получаем, что рассматриваемый интеграл сходится при р>
>3/2 и расходится при р<3/2.
118
Пример. Исследуем сходимость интеграла
Г Г f(x, у) dxdy
JJ (ха+ «/»)₽ ’
D
где
D = {(x, у) : 0<x2 + g2^ 1} и для любого zeD,
у,	f<=C(D).
Решение. Так же, как и в предыдущем примере, получаем,
что рассматриваемый интеграл сходится или расходится одновре-
менно с интегралом	~-
D
Последовательность Dm~\(х, у, г) '------^Сх24-у2^Г} яв-
(	I718	)
ляется исчерпанием множества D. Переходя к полярным коорди-
натам, получаем, что
2л 1	I
Dm	О	1/m	1/m
Следовательно,
iim се =Нт2лг *_=2яг^_,
т-кх, J J (%8 + У2)₽	т-«о J г2₽-’ J г2р 1
iOm	*/т	О
откуда получаем, что рассматриваемый интеграл сходится при
р<1 и расходится при р>1.
Теорема о заменепеременных в несобственном
интеграле. Пусть множества DxczRn, D2<z.Rn и отображение
q>:D^»D2 удовлетворяют условиям:
1. Множества Di и D2 открытые.
2. Существуют множества Si и S2 меры нуль, такие, что множе-
ства Dj xSj и D2\S2 — открытые и <p:£>i\;Si-»-Z)2 \S2 —
диффеоморфизм.
Тогда для любой функции f:D2-+R+ из сходимости интеграла
fdx следует сходимость интеграла \'/ (<₽ (0)|ф'(ОIи равен-
D,	D,
ство величин обоих интегралов.
Пример. Найдем условие на параметры р и q, при котором
ЙДх dy
где
D = {(x, у) : 0<|х| + |у|< 1}
сходится.
119
Решение. В силу симметрии множества D и четности подын-
тегральной функции как по х, так и по у сходимость данного ин-
(* (*	dx du
теграла эквивалентна сходимости интеграла И-------р—где
JJ lxl + |у|
£>i
D1 = {(x, у) : 0<|х| + \ у\< 1, х>0, z/>0}.
Если хотя бы одно из чисел р и q неположительно, то функция
fix, у)— ।	непрерывна и ограничена на жордановом
множестве D\, следовательно, интегрируема в смысле Римана на
поэтому будем рассматривать данный интеграл при усло-
вии р>0, 7>0. Для любой такой пары (р, q) существует число
а>0, такое, что кривая |х|р + \ у\ч=а лежит в множестве D.
Пусть
£>={(х, у)-. И₽+ ]у\я<а, х>0, у>0},
так как для (х, у) е Di\D
l*lp+lf/l’>a,
то функция
и*. у)=, ,Р 2. .q
1*1 + 1уГ
интегрируема в смысле Римана на DX\B, следовательно, сходи-
мость рассматриваемого интеграла эквивалентна сходимости ин-
ndxdy
-------------------—.
х^ + уо
D
Переходя к переменным г, <р по формулам х = (гсоз2ф)1/р, у —
= (г sin2 <р)114, получаем, что
~рХ2'? = ~~~	cos2/p—1 ф sin2/’-1 фг1/р+1/’~2 dqdr,
_ I + У	е
где
G = {(г, ф) : 0 < ф < л/2, 0 < г а}.
Последовательность {Gn},
Gn = {(г, ф): 1/2п ^’ф «С л/2 — 1/2п, а/2п «С г «С а},
является исчерпанием множества G. Так как
cos2/p_ 1 ф8ш2/’-1 фг1/р+1/?-2 dq>dr =
°п
л/2— 1 /2п	а
= (	cos2/p— 1 фэт2/’-1 ф d(p ^r'/p+V’—2 dr,
1 /2п	а/2п
120
то
Zl—>оо л
п
cos2/p—1 <р sin2^—1
<р г1/р+!/<?-2 dtp dr =
Л/2	а
= (	cos2₽^1 <psin2/ff—1 cpdcpj г1'10 '	7 аг.
о	о
Первый сомножитель является сходящимся интегралом для любой
пары (р, q), р>0, q>0. Для второго сомножителя необходимым и
достаточным условием сходимости является выполнение неравен-
ства 1/p-i- l/q—2>—1 (р>0, q>0). Итак, интеграл
6
сходится для пары (р, q), если min(p, <7)<0, или 1/р+1/<7>1, и
расходится, если 1/р+1/^<1 и min(p, ^)>0.
Повторный интеграл dx f(x, y)dy называется сходящим-
М М(х)
ся, если интеграл f(x, y)dy сходится для всех х<=М\Е, где
М(х)
ЕаМ — множество меры нуль, и сходится интеграл <J)(x)dx, где
м
Ф(х) =
f(x, y)dy, х<=М\Е-,
MW
О
X Е.
Сходимость повторного интеграла — это существование предела
lim\\f(x, у)dxdy по некоторому исчерпанию {Оп} множества
П-*оо
D = {(х, у) : х е= М, у М (х)}.
Теорема (сведение несобственного кратного интеграла к по-
вторному). Пусть
D — {(х, у):х^М, у^М(х)} и f (х, у)^0, (х, y)^D.
Тогда соотношение
yjdxdy^dx § /(х, y)dy	(2)
D	М М(х)
справедливо в том смысле, что либо кратный и повторный инте-
гралы одновременно расходятся, либо одновременно сходятся и
равны по величине.
Итак, для неотрицательной функции переход от кратного инте-
грала к повторному дает возможность или вычислить кратный ин-
теграл, или установить его расходимость.
121
Пример. Вычислим или установим расходимость интеграла
С Г У^У.-------, где D={(x, z/):0<y<oo, — оо<х<+оо).
•У Уу+у3 (х2 + у2)
Решение. Функция f(x, у) = у/Уу + у3 (х2 + у2) неотрицательна
на множестве D. В силу предыдущей теоремы
оо	-|~°°
Г f“ ydxdy ___________ Г» ydy Г dx ______________
Уу+у3 (х2+ У2) <J Уу + у3 Д, х* + у3
оо	«о
С У	1	х х	400	,	(• ndy
= \..... ..........arctg —	dy = \ —— 	=
J	Уу + у3	у у	-°0	£	У У+ У3
__ Л g / 1 ,	1 \ __	jig f 1 \
~ 2	\ 4 ’ 4 /	2	\ 4 /
Итак, интеграл С Г——ydxdy--------- сходится и равен -V"~ г2 .
«У Уу + у3(х3+у3)	2	\ 4 J
Пример. Вычислим или установим расходимость интеграла
_________dxdydz________
(х3 + у3) (х3 + г3) (у3 + z3) ’
D
где
D = {(x, у, z):x2 + y2<z2, z>0).
Решение. Функция f(x, у, z) неотрицательна на множестве
D. В силу теоремы
’СГ___________dxdydz_____ _ С dz С С _________________dxdy__________
JJ (х2+у2)(х2 + ?2) (y2 + z2) J JJ (x2 + y2)(x2+z2)(y2 + z2) ’
D	0 D(Z)
где D2 = {(x, y) t x2 + y2^.z2}, и так как интеграл
2л z
f f-----------------------------= С dtp f---------------------------------
J J (x2 + y2)(x2-j-z2) (у2+z2) J J r (z2 H-r2 cos2 <p) (z2 + r3 sin2 <p)
dz	oo
расходится, то, следовательно, расходится и интеграл
\ \dxdydz
D (x2 + y2)(x2 + z2)(y2 + z2)
Если функция f(x, у) на множестве D не сохраняет знака, то
расходимость повторного интеграла в соотношении (2) показы-
вает, что и кратный интеграл расходится, а сходимость повторно-
го показывает только то, что в случае сходимости кратного инте-
122
(xa + №)p
грала его величина равна повторному. Поэтому в таком случае
необходимо убедиться в сходимости кратного интеграла. Наибо-
лее простым и распространенным методом для этого является рас-
смотрение интеграла |f(х, у) |dxdy в силу эквивалентности схо-
D
димости кратного интеграла и абсолютной его сходимости. Схо-
димость интеграла от неотрицательной функции |/(х, у) | иссле-
дуется или сведением к повторному, как было рассмотрено выше,
или применением мажорантного признака.
Пример. Исследуем сходимость интеграла
D
где
D = {(x, у) : х + у> 1).
Решение. Сделаем поворот осей координат так, чтобы коси-
нус стал функцией одного аргумента; а именно, положим
х-\-у =«У"2 , х—y = v}^2 . Так как поворот — изометрическое
преобразование плоскости и сумма квадратов координат являет-
ся инвариантом этого преобразования, то
ГГ ^±.y\.dxdy^ re
D	Dt
COS ("|/2 u)
(u2 + V3)P
dudv,
где
О1=={(и, v): u> 1/У1Г, — 00 < v < + 00
tt	СГ cos (1/2 u) dudv
Интеграл 11 —-------------- сходится или расходится одновременно с
D, “ + v )
интегралом
ГС lcos^2 “I dudv = Г | cos]/2 и | f --------.
J J (u24-v2)P	J	J	(u* + v2)p
Di	1//2	“°0
Делая в интеграле
-f-oo
Г dv
J (и3 + v3)P
—00
замену u=Mitg/, получаем, что
dv
(и3 + V3)P
Л/2
—J— f cos2P~2tdt.
U2»-1 J
—л/2
123
Этот интеграл сходится тогда и только тогда, когда 2—2р<1, т. е.
р>1/2, и равен при этом условии /((р)/^2?-1. Итак, для р^1/2 ис-
ходный интеграл расходится, а для р>1/2 имеем, что
СС	“I	Г I cos/2d
JJ (u2 + t>2)₽	J и2р-1
Di	1/ /2
л/2
Л (p) = J cos2p~21 dt.
—Л/2
Этот интеграл сходится тогда и только тогда, когда 2р—1>1,
т. е. р>1.
Итак, интеграл С(*dxdy сходится при р> 1 и расходит-
JJ (х2 + У2)р
D
ся при р 1.
Замечание 1. Обратите внимание на то, что повторный ин-
теграл
f cos (V2 и) du f ---------= С cos(V2 и)	( ) du
J_	’	J (u2 + v2)₽ J_ u2p-i	w
1//2	—00	1//2
сходится при р>1/2, но при 1/2<р<1 интеграл
00	_
р cos (У~2 и) ь, , . ,
J ...
сходится условно. Здесь опять играет роль отсутствие условной
сходимости в «-кратном (п>2) несобственном интеграле.
Замечание 2. Утверждение, что рассматриваемый интеграл
сходится при р> 1, можно получить, используя мажорантный при-
|cos(x4-y)|	1	ГР dxdy
знак: -----1-------------------, а интеграл I ----------- схо-
(х2 + У2)р (х2 + у2)Р	Н JJ (Х2 + У2)Р
D
дится при р>1 (см. выше). Но таким образом нельзя проверить,
что этот интеграл расходится для pel. Мажорантный признак в
данном случае дает только достаточное условие сходимости ин-
теграла.
Пример. Вычислим или установим расходимость интегралов
а)
D	D
где
D = {(x, у) : х + у> 1, х>0, у>0}.
124
Решение. Последовательность
DTL = {(x, у) :% + //>!, 0<х<п, 0<у<п}
является исчерпанием множества D. Так как множества Dn сим-
метричны относительно прямой у=х, а подынтегральные функции
как в первом, так и во втором интеграле меняют знак при пере-
становке местами переменных х и у, то
о.	D,
х—У
х4 + у4
dxdy = О
и, следовательно, если данный интеграл сходится, то он равен ну-
лю. Итак, для решения задачи осталось исследовать сходимость
интегралов
ёл= dxdyи = ([1 dx^y
J J X2 + у2	J J х' + yi
D	D
В силу указанной выше симметрии имеем, что
Dt	Dt
где
D1 = {(x, у) : х-\-у> 1, х>0, 0<у<.х}.
Так как подынтегральные функции в обоих интегралах непре-
рывны при (х, y)e£>i, то сходимость этих интегралов эквивалент-
на соответственно сходимости интегралов
Л dxdy=" Л Ыу “
D,	Dt
где
D2 = {(x, у) : х2 + у2> 1, х>0, 0<t/<x).
Переходя к полярным координатам, получаем, что
Л/4	оо
е71= J (cos ср—зй1ф)(йр^(Уг
О	1
— интеграл расходится,
Л/4
Z ____ f cos <р — sin <р
й/ з — \ ------------------
J cos4 <р + sin4 <р
о
— интеграл сходится.
Итак, интеграл	——^dxdy расходится, а интеграл j j	Уtdxdy
'd У	d У
сходится и равен нулю.
125
Пример. Вычислим или установим расходимость интеграла
J^(sinx) е—хЧ/уЧ-г2) dxdydz,
d
где
D = {(x, у, z):x>0, у>0, z>0}.
Решение. Рассмотрим повторный интеграл
sinxdx e-x2(f/24-z2) dydz= sinxdx dtp J e~x2rZ rdr.
0	y>0,z>0	6	6	0
Л/2 oo
Интеграл J dtp J е~х*гг rdr сходится для всех x > 0 и равен л/4х2, а
о о
00
С л sinx ,
интеграл I----------dx расходится. Итак, рассматриваемый интеграл
J 4	%2
о
расходится.
Пример. Вычислим или установим расходимость интеграла

cos (х + у—z) е-С^'+^’+г') dxdydz,
где
D={(x,y,z):—оо<х<+оо, —оо<у<; + оо, —oo <Z< + оо}.
Решение. Начнем с проверки сходимости этого интеграла.
Так как
| cos (х + у—г) е-с^-нл-н*) | + e-t^+v’+z1)
и интеграл
е_(*’+»"+2*) dxdydz = dtp cos фс/ф e-r’ r2dr
' D	о	— Л/2	б
-сходится, то сходится интеграл
cos(х + у—г) е-(*г+»!+г!) dxdydz.
Сделаем поворот координатных осей так, чтобы косинус зави-
сел только от одного переменного, т. е. ось 0U берется перпенди-
кулярно к плоскости х+у—z=0, а оси 0V и 0W берутся по лю-
бой паре ортогональных векторов в плоскости х+у—z=0. Так как
поворот координат — изометрическое преобразование пространст-
ва и сумма квадратов координат является инвариантом этого пре-
образования, то
126
П ? cos (х + у—г) е-^’-Н/’+г2) dxdydz =
И cos (и ]/3 )e-(u2+°,+“’2) dudvdw.

Переходя к повторному интегралу, получаем, что
cos (и УЗ ) е-(“*+«2+“'2) dudvdw —
cos (u УЗ ) е~и‘ j dtp e-r' rdr —
= 2л \ cos (и УЗ ) e~u' = л ]/ л е~3/4‘.
ЗАДАЧИ **
§ 1. Расстановка пределов интегрирования в двойном
интеграле и его вычисление
В следующих задачах в двойном интеграле \\f(x, у) dxdy*
где функция f (х, у) непрерывна в области D, расставить пределы-
интегрирования в том и в другом порядке для указанных замк-
нутых областей D (под D всегда будет подразумеваться ограни-
ченная связная компонента множества {(х, у) : <рг(х, у)>0, < = 1,
2, ... , п}, если условие на D задано в виде
<рг- (х, у)^0, г = 1, 2, ... , п.
1.	D—треугольник с вершинами 0(0, 0), А(0, 1), В(1, 0).
2.	D—треугольник с вершинами 0(0, 0), А(1, 1), В(1, —1).
3.	О = {(х, у) : х2 + у2<х}.
4.	D = {(x, г/):х2 + у2>1, 0у1, 0^х^ 1}.
5.	D = {(x, у) : |х| + |х/| sC 1).
6.	О={(х, у) : x2 + z/2^2x + 2y—1, O^x^l, 0
* Величина интеграла \ е ах,г cos bxdx находится методом дифференциро-
вания по параметру.
** Все буквенные параметры в дальнейшем считаются положительными.
127'
7.	D = {(x, y):x2 + y2>2x + 2y—l, 1 x 2, O^z/^l}.
8.	D={(x, y) : 0 < у 1/x, y^O, x^O, у—2x^0, у—l/2x^0}.
9.	D = {(x, y) : z/>x2, z/sC-|-x2+-yj-
10.	D= |(x, y) : y^x2, y^Z-~-x2-—y^—x2 + ~~, x^o|.
11.	D = {(x, y) : x2 + y2> 1, (x—2)2+//2> 1, (x—2)2 + (y—2)2> 1,
x2 + (y—2)21> 1}.
12.	D = {(x, y) : x2 + y2	4a2, (x—a)2y2 ~^a2, (xa)2 + y2	a2}.
13.	D = {x, y) : x24~2z/2	8a2, x2—y2^2a2}, M (2a, 0)gD.
14.	D = {(x, y) : x24~2z/216a2, x2—y2^.a2}.
15.	D ограничена линиями 2x = sinyn, y = (\-\-x)2, y = 0.
16.	D ограничена линиями x = eosny, у2———x = 0.
4
17.	D ограничена линиями x=\y\, y2 = 4(x—1), Л1(1/2, OjeO.
18.	D ограничена линиями z/=|x| — 1, y = cos(nx/2).
19.	D ограничена линиями (x—l)2 + (y—1)2= 1, x2 + 'y2=\, y = Q.
20.	D = {(x, y) : x2 4- y2 ^a2, (x—a)2 + (y— a)2^a2}.
21.	D = {(x, y) : x—у—1 ^0, x + y—1 ^0, y2^2x + 1}.
22.	D = {(x, у) : (х+1)2 + у2>1, (x-l)2 + y2> 1, 0	у	1}.
23.	D = ((x, y) : x2 + y2~^a2, y2^a2—ax/2}.
24.	D = {(x, y):y2^x + ^, y^x}.
25.	D={(x, z/):(x + l)2 + (y-l)2>l, x + y-lC0, y>0}.
26.	D = {(x, y):x2 + y2^l, x + y—l^Q, y>0}.
27.	D = {(x, y) : x2 -f- У2 1, x + y— 1	0, x Jr у 4-1	0}.
28.	D = {(x, y) : —x^.2y ^.x, x2—г/2^1}.
29.	D = {(x, y):x2 + //a^l, (x + l)2 + (y-I)2 > 1, y>0}.
30.	D — {(x, y) : y2 ^2x—4, z/2^4x-|-4}.
Переменить порядок интегрирования в следующих интегра-
лах:
31.	§dx<\J(x, y)dy.	32. \dx f (х, y)dy.
оо	01,,
— *4-1
2
.128
6	x— 1
33. J dx f (x, y) dy.
0	x"/6—1
1 X*
35.	dx^ f(x, y)dy.
0 x*
1	cos (лу/2)
f(x, y)dx.
0	-i+^F
2	x+2
39.	\ dx f(x, y)dy.
—1 X»
1	2+/7-6^-^
41. dy	f(x, y)dx.
— 7 2_ Уtsy—yt
1 V	3	1
43. \dy ( f(x, y)dx+^dy
о i ,	'i Г
( f(x, y)dx.
— уг	'	~У‘
9	9
7	3	9	10—у
44.	\dy^ f(x, y)dx+\dy f(x, y)dx.
3	9/y	7	9/V
vT/2 V\-Vl	0	V\-y’
45.	dy f(x, y)dx~- dy f(x, y)dx.
О	у	-r^~
2 Vr5—x‘
46.	J dx J f(x, y)dy.
0	(x— l)’
— /2 /2
5я/4 sin x
48. dx f(x, y)dy.
я/4 cos x
n sin x
50.	J dx f (x, y) dy.
о 6
a Viax—x’
52.	у dx j f(x, y)dy.
a/2	0
a/ 2 Va^—y^
a
2	4-y*
34. \dy j f (x, y) dx.
0	4—2//®
1	2y— y*
36. dy f (x, y)dx.
о
38. \dx
dJ
40. dx
6
42. ^dy
0
О
J f(x, y)dy.
0
J f(x, y)dy.
У¥х~х«
f (*, У) dx.
i’ .
— И
2
—У
a	2a«/(a4-x2)
47‘ J dX J	^dy-
Л arctg Щ
я | a I
1	3—2//
49. J dy J f (x, y) dx.
° Vy
3	/25-1/»
5I-	s	/(x, y)dx.
0	У9^
a a-|- V дз—xl
53. dx	f (x, y) dy.
G 12ах—х*
V a*—y*
129
а— У а8—у*
О
а	2а
§ f(x, y)dx +
а У У а3—у3
1	2
J J 1+у2
о о
2	1
[dxt-^L
J J 1 + у2
о о
59.	dx J
О х!—1
о	иг/4а
2а ГГ	2а
+ J dy J f(x, yjdx.
а	иг/*а
Вычислить интегралы:
56.	а) С dx Г ——— ;
J J U + y)2
1 з
4	2
б) С dx С —.
J J (х + у)2
3	1
58.	Cdx С-------.
J J (1 + ха 4-уа)3/2
60.	J J x3y6dxdy, где D = {(x, у) : |х| + |г/|^1}.
D
61.	^x2dxdy, где О = {(х, у) : |х| + |г/|^ 1).
о
62.	^xydxdy, где область D ограничена осями координат и кри-
о
вой x = acos3/, y = asin3/, 0^/^л/2.
63.	J ([х] + [у]) dxdy, где область D есть квадрат с вершинами
°	0(0, 0), Л (0, 2), В (2, 0), С (2, 2).
64.	j$sgn(x2 + y2—4) dxdy, где D={(x, у) :х2 + у2^9}.
D
65.	fj-/|x-y2| dxdy, где D={(x, у)-. |z/|^l, 0^х^2}.
'd
66.	J[х2 + у2] dxdy, где D = {(x, у) : х + у^.3, х>0,
о
В двойном интеграле J J f(x, у) dxdy перейти к полярным коорди-
D
натам г и <р, полагая x = rcos<p, у — г sin <р, и записать интеграл в виде
<Tt г2(<₽)
^d(p g(r, <f)dr.
<Ti О(Ф)
130
67.	D={(x, у) : x2 + y2^a2}.
68.	D = {(x, у) : x2 + y2^a2, z/>0).
69.	D = {(x, y) : x2 + у2 a2, у 0}.
70.	D = {(x, y) : x2 + y2 ^ax}.
71.	D = {(x, y)-.x2 + y2^ay}.
72.	D={(x, y):x2 + y2^l, x2 + (y—l/2)2> 1/4}.
73.	D	—	треугольник	с	вершинами	0(0,	0),	Л(1, 0), B(0, 1).
74.	D	—	треугольник	с	вершинами	0(0,	0),	Л(1, 1), В(—1, 1).
75.	D	—	треугольник	с	вершинами	0(0,	0),	Л(1,0), В(1,1).
76.	D	—	квадрат с вершинами 0(0, 0),	Л(0, 1), В(1, 0), С(1, 1).
77.	£> = |(х, у) : х2 + у2^ 1, у—2х<0, у-х>0, х> oj.
78.	D = {(x, у) : (х- 1)2 + у2< 1, х2 + (у-1)2 С 1).
79.	О = {(х, у):(х—1)2 + у2^1, O^x^l).
80.	О = {(х, г/):(х—1)2 + у2^1, 1<х^2).
81.	О = {(х, у) :(х—1)2 + у2^1, х2 + у2>1).
82.	D — область, лежащая внутри окружности х2+//2=1 и вне
кривей г—со»3ф (системы совмещены).
83.	D — область, лежащая вне окружности х2+у2=а2 и внут-
ри кривой (х2 + у2)2=2а2(х2—у2).
84.	D — область, лежащая вне окружности х2+у2=а2 и внут-
ри кривой r = 2asin3<p (системы совмещены).
85.	D — область, лежащая вне окружности х2+у2=а2 и внут-
ри кривой r=2a(l + cos<p) (системы совмещены).
86.	О = {(х, у): х2 + у2^ 1, 0 х 1, O^z/^1).
87.	D= |(х, у): 1 ^х2 + у2 ^4, у—х^О, у----^-х^о|.
88.	О = {(х, у):х2 + у2^1, х2 + (у-1)2	I).
89.	О = {(х, у)-.х2 + (у~ 1)2^1, —1^х^0}.
90.	D = {(x, у):(х-1)2 + у2^1, у + х^О).
91.	D = {(x, у)-.(х2 + у2)2^а2ху}.
92.	D-^{(x, у)-. |х-1| + |у| <1).
93.	D= {(х, у): а2^х2 + у2^а(у + Ух2-\-у2)}.
131
94.	D=[(x, y):x2 + y2 ^^-^За2, x>0, y>o|.
I	x2	j
95.	D = {(x, y): x2 + y2 max {2ax, 2ay}}.
96.	D = {(x, y): min [a(]/x2 + y24-x), За(д/у24-х2—x)]
x2 + y2 4a2}.
Переходя к полярным координатам, вычислить интегралы:
97.	cos (х2 4- у2) dxdy, где О = {(х, у); х2у2 а2}.
D
98.	j In (1 + х2 4~ у2) dxdy, где D = {(х, у): х2 + У2 а2},
о
99.	С С ———dxdy, где D = {(x, у): х2 4- у2 ах}.
V •) % 4“ у
D
100.	]/х24~у2 dxdy, где D = {(x, у): х2 + У2 ау}.
D
101.	J^y2}/./?2—x2dxdy, где О = {(х, у): х2 4- у2 R2}.
I02<	где D=«x’ уУ-^+у2^}-
D
Ввести новые переменные а и и и вычислить следующие ин-
тегралы:
103.	JJ (х2У2-\-у2} dxdy, где D = {(х, у): 1/х 'С 2/х, х^у^Зх}
D
104.	dxdy, где D — {(x, у): 1—х^
D
^У^З—х, х/2^у^2х}.
105.	| (х3 + У3) dxdy, где D = {(х, у): х2 у Зх2,
D
1/х 2у 3/х},
106.
j ху (х 4- у) dxdy, где D = {(х, у): — 1 х—у 1,
D
1/х у 2/х}.
107.	JJ x2dxdy, где О = {(х, у):х3^у^2х3, х^2у^6х}.
D
132
108. ху (х + у) dxdy,
D
где D = {(х, у):х— 1	у	х + 1,
—х—1 гОС —х+1}.
109. xydxdy, где D = {(x, у): ах3 у bx3, px^y2^.qx}.
в
ПО. ^xydxdy, где D = {(x, у): ах2 ^.у3 ^bx2, ax^t/^Px).
111. х2 sin ху - dxdy, где D = {(х, у): ay С х2 by, рх у2 С qx}.
D
112. Вычислить
dxdy, где D есть область,
ограниченная параболой
Л/ — 4- Л/ — = 1 и осями координат.
Г а У b
113.	Вычислить xydxdy, где D — область, ограниченная
о	2
петлей кривой ( —+ —| =-^-, находящейся в первом коорди-
\ а2 6а / с3
ватном угле.	________
114.	Вычислить	dxdy, где D«— область, ограни*
/г	_ ___
ценная осями координат и кривой Ух+Уу=1.
115.	Доказать, что
Ф (х + У) хР~' Уч~х dxdy = В (р, q) ф (и) ир+‘>—1 du,
в	о
где <р(«) — непрерывная на [0, 1] функция и D есть треугольник
с вершинами 0(0, 0) Д(1, 0), В(0, 1).
116.	Доказать, что
Л/2 л/2	Л/2
J cos (2z sin <р sin 9) dq>d§ = [ V cos (z sin X) dXj2.
oo	о
117.	Вычислить ?Гхр«/’(1—x—y)r dxdy, где D есть область, огра-
JjJ (₽>0, <7>0, г>0)
ниченная осями координат и прямой х+у=1.
§ 2.	Вычисление площади плоской области
Переходя к полярным координатам х=гсозф, y=r sin ф либо
обобщенным полярным координатам x=ar cos“ ф, y=br sin“ ф, вы-
числить площадь области, ограниченной следующими кривыми:
133
118.	(х2 + у2)2 = 2ах3.
119.	(х2 + у2)3 = а2(х4 + г/4).
120. (х2-у2)3=4а2х2у2-
121.	х2-\-у2 = ах, x2-\-y2 = by, М	yjeS.
122.	/ д-а	уг	ху \ а2	Ь2 }	с2 '
123.	/ г®	г/2 \ 2 (А- + —1 =х2 + у2. \ а2	Ь2 )	а
124.	Й и ьа t>9 о* ы	г* ю II
125.	/ х2	у2! \3	 Х*у \ а2	Ь2 ~ с3 '
126.	( х2 4. JLV = JL _|_ у* \ a2	b2 )	h2	fe4 
127.	X1 , у2 _ х2у а1	Ь1	с3
128.	xi	। _У2_ = х2	у2 a*	b-2	h2	k2 ‘
129.	Xе	у»   X*	у1 afl	be	h2	k2 '
130.	В | к + 1^ Ь5 II О [ >1 СГ II О
131.	1 X , у \ 3 х2 1 —н— = —. \ a	b )	h2
132.	(2L + JL\3 = Jl.JL, у = о. \ a	b /	h	k
133.	f2L+JLV = 2^	у = о. \ a	b /	h3	k3
134.	/ х . У \5 = х3 , У3 \ а b /	Л3	k3 ‘
135.	]/~ + ^у=1> * = 0. У = 0 (*>0» У>°)-
136.	
137. bx2n + ау2п = с3 (ху)п~’.
138. Ьх2П + ау2П = с3х2п~2 + d3y2n—2
134
Найти площадь петли кривой:
139. (х+у)* = ах2у.
140. (х-\-у)3 = аху.
141. (х -f- У')ъ = ах2у2.
Производя надлежащую замену переменных, найти площадь,
ограниченную следующими кривыми:
142.	xy = p, xy — q, y2 = ax, y2 = bx, 0 < p < y, 0 < a <_ b.
143.	xy = p, xy = q, y = ax, y = fix, 0<p<y, 0<a<p.
144.	x2 = py, x2 = qy, y = ax, y = px, 0<Zp<2q, 0<a<p.
145.	y = ax3, y — bx3, y2 = px, y2 — qx, 0<a<b, 0<p<g.
146.	о « A H о О Ik Д T i о	II A	j* a ; p- ** ^5» * V p V p
147.	II о 'С II ’J- 'С ьа II % R. О Л й Л 5s* о А е> А
148.	уЗ'	уЗ	у2	у2 У- 2 ’ У- м *У-	' У- л ' °<a<b> Q<.c<d. cr	b2	с	d
149.	У=	У =	ху = с2, xy = d2, х>0, у > 0, а8	о8 0<a<Zbt 0<Zc<.d.
150.	х2 + у2 = ау, х2 + у2 = by, х = ау,гх = $у, 0 <Za<_b, 0 < а < fJ.
151.	у2 = 2р(х—р/2), tf = 2q(x—q/2), у2 = 2г(х—r/2), 0<2p<Zq<.r (х>0, у>0).
152.	а)	(х + 2у-1)2 + (2х+у-2)2 = 9; б)	(х — 2у+3)2 + (3х + 4у—1)2= 100.
§ 3. Вычисление объема с помощью двойного интеграла
Найти объемы тел:
153.	Ocjzs^x2, x + ys^5, х—2у^2, у~^0.
154.	x + y + z^a, Зх + у^а, Зх + 2у ^2а, у^О, z^O,
155.	x + y^Cl, z^.x2 + y2, х^О, y^Q, z^O.
156.	x4-y^a, 0^.2bz	у2, x^O, г/^>0.
157.	z2^2px, y^Cx^Ca, yl>0.
135
о
•si
V/
A
%
S3
4
4
A\
4
A\
4
A\
C3
CM
A\
4
<3
e«
C3
V/
ej
4
л\
53
л\
Q
V/
N
V/
S3
C3
CM
V/
N
C3
V/
%
CM
V/
5^
V/
4
Q
4
=S>
V/
00
QO
G
4
O>
V/
V/
3
V/
N
V/
C4
4
3
V/
00
00
S3
53
A\
3
CM
A\
8
A\

G
4

CM
V/
CM
V/
co
V/
*4
C3
V/
CM
00
N
«
=S>
*
*
4
3
*
Ю
co
00
00
Ю
00
CQ
— I---।---i Y2	n2
186. Os^zCce Vfl’ b!), -—|-—<J?2.
a2	b2
190.	0CJzcsinsin|x|'^a,
a b ~
191.	0<Cz<C------=----г.	Q^y^2b-,
(x+a)k(y + b)‘
k> 1, /> 1.
192.	O^z^xye<-*‘-»‘>, x4 + y4</?4.
193.	OsCzsC(x+y)e-“^a, x3+y3^R3, x>0, y>0.
(/ X \ 4 \
л I — I , nx С/ y2 mx,
\ у П
fiy^x^ay, m>n>0, 0<p<a<l.
195.	0^c2z -^— (x2 + y2), aytS^x2^.$y, m^y^n,
У2
0<a<₽, 0<zn<;n.
196.	r^asin3(p, r2^a2—z2, 0^<p^n/2.
197.	a) r^a j/cos2<p, O^az^a2—r2, —л/2^ф^л/2;
6)	r a }/ 2 cos 2<p, O^az^a2—r2, —л/2	л/2.
§ 4.	Вычисление площади поверхности
Найти площадь поверхности:
198.	z2=2xy, если	O^ysgCb.
199.	z = "Ух2 + у2, если х2-\-у2^2ах.
200.	2z = х2, если х 2у 4х, х 2 ]/2.
201.	cz = xy, если (х2 + у2)2^2с2ху, z^O.
202.	(x2 -j- у2)3 = c2z4, если x2 + y2^-^—.
16
203.	2аг = х2-\-у2, если (х2 + у2)2 а2 (х2—у2), х^О.
13Г
204.	2az = x2 4- У2, если х2 + у2^а2, у^х, х^О, у^О.
205.	2аг = х2 + у2, если х2 4- у2 4- г2 2сг.
206.	х24-у2 + z2 = R2, если х + y^R, х>0, z/>0.
207.	х2 4- у2 + z2 = R2, если х2 4- у2 z2 tg2 a, z^sO.
208.	х24-у24-г2 = 7?2, если (х2 4- у2)2 < R2 (у2—х2).
209	х2 4- У2 4-г*2 = 2/?z, если ——.
У	а2 62 с2
210.	г2 = х24-а2, если у2 (2х2 4- а2) <С а2х2, 0<Сх<Са.
211.	у24-z2 = 2ах, если у2^ах^а2.
212.	х2 + у2 + г2 — а2, если х4^а2х2—Ь2у2, а<_Ь.
213.	x2 + y2-}-z2 = a2, если y2^s а(а + х).
214.	х24-у2 + z2 = а2, если х34-by2 а2х, Ь^а.
215.	х2 4-у2 = 2ах, если z2^x24-z/2.
216.	у24-х2 = 2ах, если 0 az х2 4- у2.
217.	x2 = y2-\-z2, если х2—у2^.а2, |у|^Ь.
218.	x2 = y2-}-z2, если х2 + у2^.а2.
219.	x2 = y24-z2, если х2^.ау.
220.	x24-z2 = 2ax, если у2^2рх.
221.	х2/34-г2/3 = а2/3> если у2^.2рх.
222.	х2/3-г2-'3 = а2/3, если у2/34~х2/3^а2/3.
223.	х2 = 2с(с—z), если О^у^ах, г^О.
224.	х2 = 2с(с—г), если г^О, х2у2 ^.а2х2—с2у2.
225.	x = rcos<p, y = rsinq), z = h<p, если a) O^tp^r,
О г 1; б) 0^ф^л/4, О^г^ф.
226.	x = ucosu, y = usinu, z = 4u, г^О, х24~г/2^9.
227.	x = (а 4- b cos и) cos a, z/=(a4-tcosu)sinu, z=b sin v;
О	и	n/2 (a > b).
228.	x = a cos3 u cos ф, у = асоз3изтф, z = asin3u, Os^u^n/2,
0	Ф	л cos u.
229.	x — a ^ln| tg|4-cos, у = азтг'созф, г = азт/зтф,
О^/^л/2, 0<Сф<;л/2.
230.	x = 3u-]-3uv2—и3, у—v3—3v—3u2v, z — 3(u2—v2), 0<и<;1
0
138
231.	Найти объем и площадь поверхности тела Вивиани
х2 + у2 + z24а2, х2 + у2^2ах.
232.	Найти объем и площадь поверхности тела
х2-фг2^а2, г2 + у2 ^.а2.
233.	Найти объем и площадь поверхности тела
Os^zOarctg —, х2 + у2^!?, х>0.
X
234.	Найти объем и площадь поверхности тела
х2 + у2 ^2ах, x2^y2-\-z2.
235.	Найти объем и площадь поверхности тела
x2 + y2^z2, az^2a2—(х2 + у2).
§ 5.	Механические и физические приложения двойного
интеграла
Найти массу пластинки плотности р, ограниченной линиями:
236.	у + х2, х + у = 2, у—х = 2 (х>0), если р = х + 2.
237.	х = у, х — Зу=1, у=\, у = 3, если р = у.
238.	ха4-1/а = 4х1 х2-{- у2 — 4у (ху^ 0), если р = х.
239.	у2 = х + 4, у2 = 4—х, у = О(г/^О), если р = у.
240.	--4-^ = 1, —+ -^-=1, если р = 4х2 + 9у2.
9	4	18	8
241.	х2-\-у2=1, х2 + у2 = 9, х = 0, г/ = 0 (xi>0, у^О), если р =
= х + г/-
/	г/2	\	2	у 2	*j2
242.	|----F—I =----------—	(х^О),	если	о = х2.
\а2	Ь2 }	а2	Ь2	’
243.	Найти массу круглой пластинки радиусом R, если плот-
ность этой пластинки в каждой точке пропорциональна расстоя-
нию от этой точки до центра пластинки и равна р0 на краю пла-
стинки.
244.	Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими
окружностями, радиусы которых равны соответственно 1 и 3.
Зная, что плотность материала пропорциональна расстоянию от
центра окружностей, найти массу кольца, если плотность на
окружное in внутреннего круга равна единице.
245.	Найти массу пластинки, имеющей форму кольца, радиу-
сы внутренней и внешней окружности которого равны соответ-
139
ственно г и R, если плотность пластинки в каждой точке обратно
пропорциональна расстоянию от этой точки до центра кольца.
246.	Найти массу квадратной пластинки со стороной а, если
плотность пластинки в каждой точке пропорциональна квадрату
расстояния от этой точки до одной из вершин квадрата и равна
ро в центре квадрата.
247.	Найти статический момент однородного прямоугольника
плотности р со сторонами а и b соответственно относительно его
сторон.
248.	Найти статический момент однородной пластинки плот-
ности р, занимающей область, ограниченную одной аркой циклои-
ды, x=a(t—sinO. f/=e(l—cos 0 и отрезком прямой у=0 относи-
тельно оси ОХ.
249.	Найти статический момент однородной пластинки плот-
ности р, занимающей область, ограниченную линиями у=х2 и
2
и =	 относительно оси ОХ.
9	14-х2
250.	Вычислить момент инерции однородного круга массой М
и радиусом R относительно точки на его окружности.
Вычислить моменты инерции относительно заданной прямой
однородной пластинки массой М, ограниченной линиями:
251.	x2+y2=R2 относительно прямой, проходящей через центр
круга и лежащей в его плоскости.
252.	x2+y2=R2 относительно касательной к окружности этого
круга.
253.	—	= 1 относительно большой и малой осей.
аг ь2
254.	y=sin х,	y=Q относительно прямой у=1.
255.	ау = х2, х+у=2а относительно каждой из осей координат.
256.	х2=2ру, у2=2рх относительно каждой из осей координат.
257.	r=a(l + cos<p) относительно полярной оси.
258.	r2=a2 cos 2<р относительно полярной оси.
259.	ху=4, ху = 8, х=2у, х=у, (у>0) относительно оси OY.
260.	Плотность в каждой точке прямоугольника пропорцио-
нальна квадрату расстояния от этой точки до одной из его вер-
шин. Найти момент инерции этого прямоугольника относительно
его сторон, проходящих через эту вершину, длины которых соот-
ветственно равны а и Ь.
261.	Найти момент инерции относительно начала координат
однородной пластинки плотности р, занимающей область, ограни-
ченную линиями
*а + У2 = 9, х + у = 0, х—у — 0 (х>0).
140
262.	Найти координаты центра тяжести однородной пластинки,
занимающей область, ограниченную линиями: у=х, у=—х, х=1,
если плотность пластинки в каждой ее точке численно равна рас-
стоянию от этой точки до начала координат.
263.	Найти координаты центра тяжести однородной пластин-
ки, имеющей форму кругового сектора с углом а и радиусом
Найти координаты центра масс однородной пластинки плот-
ности р, ограниченной линиями:
264.	у = х2, у = 3х2, у = 3х.
265.	у = 2х— 1, у2 — х, у — 0.
266.	у = 4—х2, у + 2х = 4.
267.	у = ^2х—х2, у = 0.
268.	у — 4х+4, у2 =—2х + 4.
269.	у = х2, у — 2х2, х—1, х—2.
270.	4 + 4=	х = 0’ ^ = °
а2
<12
271.	^+^=1, у = 0 (у>0).
а2 Ь2
272.	-^-+-^- = 1, Зх-|-2у = 6, х>0, у>0.
273.2+±=1 ± + ± = 2Л=Л	=
a b a b a b ' а b
274. у2 = ах3—х*.
21Ъ. x = acos3/, у — a sin3/, х=»0, у — 0 (х^О, у ^0).
276.	x = a(t—sin/), у = а(1—cos/), у = 0, х = ла (О^х^ла).
277.	х = а(/—sin/), у = а(1—cos/), у = 0, 0^х^2ла.
278.	(х2 + у2)2 = 2а2ху, х>0, у>0.
279.	х3 + у3 = Заху, х^О, у^О.
280.	(—=	х>0, у>0.
\ a b ) ab
281.	^ + -^- = 2^-, х>0, у>0.
а4 64 с3
лог. !	. У2 \3 Х*у	п	л
282.	И— =—*>0, у^О.
\аг^Ь* J с6 ’
283.	r = a(1 + cos<р), О^ф^л, ф=»0.
141
284.	r = a(>-r-cos<f), 0^ф^2л.
285.	r2 = a2 cos2<p, 0^<ps^n'4, <p -----0.
286.	r = 9cos(p, r -4 cos <[.
287.	r2 = a2cos2<p, 0^<p^n/2.
288.	Найти массу и координаты центра масс пластинки в фор-
ме прямоугольного треугольника с катетами а и b (а>Ь), если
плотность в каждой ее точке равна расстоянию ее от меньшего
катета.
289.	Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D,
ограниченную кривыми х=2, у2=2х, у=0 (у^О). На пластинке
распределен электрический заряд с поверхностной плотностью
а = х + у!2. Найти полный заряд пластинки.
290.	Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D,
ограниченную следующими линиями: х=1, у=0, у = 2^х. На пла-
стинке распределен электрический заряд с поверхностной плот-
ностью и = 7х+у. Вычислить полный заряд пластинки.
291.	Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D,
ограниченную кривыми у=0, у—2, х = 0, х + у=4.
Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону с=2х+
+ 3у. Найти количество тепла, получаемое пластинкой при ее
нагревании от температуры ti= 10° до температуры /2=20°.
292.	С какой силой плоский диск радиусом R и массой М при-
тягивает материальную точку массой т, которая лежит на пря-
мой, перпендикулярной диску и проходящей через его центр, на
расстоянии а от центра.
293.	Пластинка в форме треугольника погружена вертикально
в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Осно-
вание пластинки а, высота h. Вычислить силу давления воды на
каждую из сторон пластинки.
294.	Прямой круговой цилиндр погружен в наполненный жид-
костью сосуд так, что его середина — точка М— находится на
глубине с под поверхностью жидкости, а ось цилиндра состав-
ляет с вертикалью угол а. Длина цилиндра равна I, радиус осно-
вания а. Вычислить давление на нижнее и верхнее основания ци-
линдра, если плотность жидкости равна у0.
295.	Пластинка, имеющая форму полукруга радиусом а, по-
гружена вертикально в жидкость так, что горизонтальный диа-
метр АВ, служащий ее основанием, находится внутри жидкости,
а вершина О полукруга соприкасается с поверхностью жидкости.
Вычислить давление на пластинку, если плотность жидкости
равна у0.
142
296.	Определить силу давления воды на боковую стенку х>0
цилиндрического сосуда x2+z/2=a2, г=0, если уровень воды z=H.
§ 6.	Расстановка пределов интегрирования в тройном интеграле
и его вычисление
Вычислить следующие тройные интегралы:
12	3	1 х ху
297.	\ dx § dy ^xyzdz.	298. dx dy (х + у + z) dz.
о о о'	ООО
1
2	2	ху	0	0	гу
299. С dy С dx С-----—----.	300. \ dy С dz С у2 cos xdx.
J	J	J	x (1 + x2y2z2)	J	J	J
1	у	0	—1	у	0
4 z	V z2—x1	3 3—z	3—y—z
301.	{dz C dx C z2xy2dy. 302. {dz C dy C -----------------dx.
J J J У У	J J J (x+y+z)2
0	—z 0	1	1—z	0
Расставить всеми возможнвши способами пределы интегриро-
вания в следующих тройных интегралах в декартовой системе
координат *:
I	1 — X	1—х— у	1 X у
303. \dx \ dy § f(x,y,z)dz. 304. ^dx^dy^ f (х, у, z)dz.
ООО	000
1 4-х 4—х—у	1	2	1-|у—1|
305. § dx dy f(x,y,z)dz. 306. ^dx^dy \ f(x, у, z)dz.
—i b о	doo
2	3 2—'х—1|	R V R*—xt x'+y*
307.	^dxXdy f(x,y,z)dz. 308. dx dy^ f(x,y,z)dz.
odd	o' о ‘ о
R	V Rt—x*	R—V R’—x'—y*
309.	dx \ dy § f (x, y, z) dz.
—R —у R>—X‘	v
R	V R'—z*	V R!-z'—y'
310.	dz dy § f(x, y, z)dx.
0	— /R!—z’ — V Rt—zt—y1
Расставить всеми возможными способами пределы интегри-
рования в цилиндрической системе координат в интеграле
У’ z)dV, если
у
* Всюду в дальнейшем функция f(x, у, z) предполагается непрерывной в
соответствующей области.
143
311.	V = {(x, у, : .'---if <R2, GtfztfH}.
312.	V = {(x, y, z) : x: + y2^k2z2, O^z^fH}.
313.	V = {(x, у, zj-.x^-if-sfR2, x2 +г/2 + га <4R2}.
314.	V = {(x, r, z) : x2 '-- //‘2 ^-z2 «С 2az, x2f-y2^z2}.
315.	V = {(x, w, z): x2 + y2 + z2^4R2, zfz R}.
316.	V = {(x, tj, z) : x2 + y2 + z2^4R2, x2 + y2 < 2Rx).
Расставить всеми возможными способами пределы инте-
грирования в сферической системе координат в интеграле
У>2)^> если
317.	У = {(х, у, z) : x2 + y2 + z2zfAaz, x2 + y2^3z2}.
318.	V = {(x, у, z) : x2 + y2f-z2^R2, zfsR/3}.
319.	V = {(x, y, z):x2 + y2^R2, 0<z<^H, (H^ R)}.
Записать интеграл ^^f(x, У, z)dxdydz в виде одного из по-
вторных в цилиндрической системе координат, если
320.	V={(x, у, г) : ~	+	х>°’ У>°> 2>0}-
321.	V = {(x, у, z) : х2 ф-z/2	z, О^г^Я}.
322.	{(х, у, г):0^х^1, 0sC 1, O^z^l}.
323.	V={(x, у, г); (х—Rf-fy2 + z2sfR2, x2 + (y—R)2 + z2^R2}.
324.	V = {(x, у, z) : x2f-y2^2ax, x2-f у2 ^a2 — az, z^O}.
325.	V = {(x, y, z) : 4x2 + 3z/2 + z2^48, О^2г<4х24-3г/2}.
326.	V=((x, y, z) : |zK5—/3х2 + 3г/2, z2^x2 + f/2+1}.
Записать интеграл	У, zjdxdydz в виде одного из по-
вторных в сферической системе координат, если
327.	У=|(х, у, г):~ + -^+~<1, ^>0. «/>0, z>ol.
[	2	3	4	J
328.	V —{(х, у, г) : х2+ y2-fz2 ^4Rz, x2 + y2 + z2^Rz, х2 + у2^.
<г2/3}.
329.	Р = {(х, у, z) : x2 + y2-fz2s^R2, x2 + y2f-z2^2zR}.
330.	У = {(х, у, г)х2 f-y2->rz2'^R2, x2f-y2-fz2^2zR}.
331.	V = {(x, у, z) : x2-fy2-\-z2^.2yR, x2 + y2^z2}.
144
332.	V = {(x, у, z) :x2 + y2+z2^2yR, x2 + y2^z2}.
333.	V = {(x, у, z) : x2 + у2 + z2 sC 8z—8, 3(x2 + y2)^z2}.
В следующих примерах требуется записать тройной интеграл
\\\/(х, У, z)dxdydz в виде повторного. Так как подынте-
"Г
тральная функция конкретно не задана, то выбор, в какой систе-
ме— декартовой, цилиндрической или сферической — и порядок,
записи этого повторного интеграла производится только из рас-
смотрения области интегрирования V. Под V всегда будет подра-
зумеваться ограниченная связная компонента множества {(х, у,
z) :<р,(х, у, z)>0, i=l, 2,если условие на V задано в виде-
фц(х, у, z)>0, i=l, 2,
334. V = {(x, у, z):0$Cz$C4—х2, х2—z/2i>0, xi>0}.
335.	У = {(х, у, z):0^z^4—х, у2 ^2х + 2}.
336.	У = {(х, у, z) : х + у + г^2, 0^4г^4—х2—у2, х>0,
У>0}-
337.	У = {(х, у, z) : 0^z^4—х2 — у2, \х + у\^2}.
338.	V = {(x, у, z) : x2>z/2 + z2, 5х 4 Ч-г/2 4-г2}.
339.	У = {(х,
х>0}.
340.	V = {(x,
341.	V= {(х,
342.	V = {(x,
у, z) : (х2 + у2)2 а2 (х2—у2), 0 аг 4 (х2 + г/2),
у, z) :	4ху, x + 4z/+zsC 1}.
у, z):0^z^3— ]/x2 + 2z/2, х^у].
у, z):y2^z^4, х2 + г/2<16}.
343. V = {(x, у, z) : O^z^x2—у2, х^О, у~^2х — 1).
344.	V = {(x, у, z) : а2^.х2 + у2^.Ь2, х2—у2—z2i>0, xi>0}.
345.	V = {(x,	у,	z)	: x2-f-i/2^3z2, х2-фу2— z2^2}.
346.	V = {(x,	у.	z)	: Зх2—t/2 + 3z2^0, x2 + y2 + z2^2ay}.
347.	V = {(x,	у,	z)	: x2 + y2 + z2 2ax, x2 + y2 a2}.
348.	a) V={(x, у, z) : 4(x2 + i/2)<z2, 0 ^z 1 +/x2 + y2};
6) V = {(x, y, z): 4(x2 + r/2)<z2, x2 + j/2—z2 + 2z—1 >0}.
349. V = {(x, y, z) : z2 + y2^R2, x2 + z2^R2}.
350.	V = {(x, у, z): x2 + г/2 + г2 3R2, Rx < 2 (y2 + z2)}.
351.	V = {(x, y, z): x2 + y2 + ax~xz^O, z>0}.
352.	V={(x, y, z) : y2-j-z + x^a, x^z^0}.
145
353.	V = {(х, у, z) : (х2 4- У2)2	а2 (х2 — у2), 0 az 4 (х2 4- г/2),
х^О}.
Вычислить
354.	JJ\$+ у2) dx dy dz, V = {(х, у, г) : х2 + у2 2z, 0^z^2}.
V
355.	(х2 — 4ху 4- у2) dx dy dz, где V = {(x, у, z):0^x^l,
O^z/^l, O^z^l}.
356.	§ К x dx dy dz, V == {(x, y, z) : 0 у ^h, x 4- z a, x 0,
z>0}.
357.	§ xyz dx dy dz, V = {(x, y, z) : x2 4- y2 4- z2 a 1^3 x, x24-
+ y2 + z2^ay, z>0}.
358.	<\\\(x2 + y2^z2)dxdydz, V = {(t, У, z) : x2 + y2 + z2 <R2,
у2 + г2^х2, x>0}.
35Э. z dx dy dz, V =
v *

360.	§^zmdxdydz, V=|(x, y, z) :	j2-|- f~V (~)2’
v
Os^z^c, xi>0,
361.	^((zdxdydz, V=[(x, y, z) : — 4- —4-—1, z^O
J J J	I	aa b1 c2
v
362.	[ f f-----------dx dy dz, V = [(x, y, z):-4-^-4-
JjJ 62x2 + aV + a2*3	Г	а2 Й2
V
363.	§ z2 dx dy dz, V = {(x, y, z): x2 4- y2 4-z2 R2, x2 + y2 + z2^
^2Rz}.
364.	§ (x 4- у 4- z)2 dx dy dz, V = {(x, y, z) : x2 4-1/2 2az, x2 4-
4-y24-z2^3a2}.
146
365.	xyz dx dy dz, V—тело, ограниченное поверхностями,
yz = ах, yz = aLx, а> а1>0,
zx = by, zx = bty, Ь>Ь±>0,
xy = cz, xy = c±z, OCi>0,
полагая
yz	zx	xy
U=—, v — —, w = ——.
X	у	z
366.	xpyqzr —x—у—z? dxdydz (p>0, q>0, r>0, s>0),
V—тело, ограниченное плоскостями x+y + z=i, x—0, z/=0, z=0,
полагая, x+y+z*=u, y + z=uv, z=uvw.
367.	\\\xdxdydz, V = {(x, y, z): a^ixyztSib, ex s^y-z^dx,
*v **
mys^x^ny}, y>0.
§ 7. Вычисление объема с помощью тройного интеграла
Найти объем следующих тел:
368.	V = {(x, у, z):x2 + 2y2—z2^a2, х2 + 2у2	4z2}.
369.	V=((x, у, z) : 2(x2 + 2y2)^L2az^3a']/ra2—x2—2y2}.
370.	V = {(x, у, z): x2 + 4y2 ^.z2, а2^л24-4г/24-г2^9аа}.
371.	V = {(x, y, z)'. x2 + y2 + z2^.2Rz, 32tg2a<x2 + i/2^z2tg2P^
0<а<Р<; n/2}.
372.	V = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2^R2, x2 + y2 + z2^2Rz}.
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
373.	(x2 + y2 + z2)2 = a3z.
374.	(х2 + i/2 + z2)3 = a3xyz.
375.	(x2 + z/2 + z2)2 = axyz.
376.	(x2 + y2 + z2)2 = az(x2 + t/2).
377.	(л24-//2 + г2)3 = а2г4.
378.	(x2 + y2 + z2)3 = az(x2 + i/2)2.
379.	(x2 4- y2 4- z2)3 — a2y2z2.
380.	(x2 + y2 + z2)3 — a3 (x3 + ys).
381.	(x2 + y2 + z2)3 = asz (x2 — y2).
147
382. (х2 + г/2 + z2)4 = a3z (x* 4~ z/4).
_ **+у*
383. (x2 + i/2 + z2)2 = a3ze x,+^’ .
384. (x2 + y2 4- z2)3 = a9 sin2
V*2 + у2 + г2
385. (x24-r/2)2-f-z4 = za3.
386. (x2 + f/2)2 + z* = a3(z/—x).
.387. (x2 + y2)3 + ze = 3a3z3.
388.	(х24-г/2)34-гв = а3хг/г.
389.	(х4-г/4-г)2 = аг/, x = 0, y = 0, z = 0 (x>0, z>0).
390.	(x2 + y2 + z4)2 = z2.
392. ((x2 + i/2)34-ze)2 = ae(x2 + «/2)3-
393. ((x2 + j/2)2 + z4)2 = a3z(x2 + z/2)2.
398.
(x>0, y>Q, z>0).
ллп / x , у	, г	Г/	z	/х.У.гХМ/_____л
400.--1-4-4-=exp----------1-4-4- (x > 0,
\a о	c	J L \	k	\ a b c / / _
y>0, z>0).
148
401‘ (y^v+	х=0’у=0’г=0 (г>0)-
402.	f—+ ^-? + —= —+^-, х = о у = 0 г = 0,
\ а b )	с2 й	k	у
(х>0, z/>0,	z>0).
403.	f—+ -Ц2 + —= ~----------х = 0, «/ = 0, г = 0,
\ a b )	с2 h	k	J
(х^О, г/^0,	zi>0).
/ х» V ( „а \ з	?в	, / у2	, ,2 \
404.	(— + —1 + — = — ( — + — .
\ а2 Ь2 )	0я	р \ h2	k2 /
406.	x + y + z = a, x + y-\-z — 2a,
x-^-y — z, x + y — Zz, x = y, y = 3x.
407.	a2^xy^.b2, pz^Zxy ^.qz, ax^y ^.fix,
0<_a<.b, 0<_p<q, 0<a<p.
408.	r = asin<p(l+ cosi|)).
409.	r = asin<p у/costy.
410.	r = sin<p(asin2ip-|-dcos2t|>).
411.	(2L._|_X__i__L.\ =-f---
\ a2 b2 c2 /	x2/a2 + y2lb2
(тНШ’+(ЯР>0>-
412.	|±]»‘+ш”+1пм-1.
\ a /	\ b )	\ c J
§ 8.	Механические и физические приложения тройного
интеграла
Найти массу тела плотностью р, ограниченного поверхностями
413.	г = х2 + у2, z2 + x2 + y2 = 6, z>0, если p = z.
414.	z — ——, z = 3, если o = x2.
4	9
415 . z = x2 + y2, z = 2y, если (> = y.
416.	x4-i/4-z = 2, x = 0, y = 0, z = 0, если p = x+? + z.
417.	x = y2, x = 4, z = 2, z=5, если p= |i/|.
418.	z = 6—x2—y2, z2 = x2 + y2, z^0, если p = z.
149
419.	2х + г = 2а, x-\-z = a, у2 = ах, у = 0 (у^О), если р = у.
420.	2х2 + 2у2—4ах—4ay + az = a2, х2 + у2 — 2ах—
— 2ay+az = Q, z = 0, М(а, а, а) <= V, если р = г2.
421.	Найти массу куба со стороной а, если плотность его в
каждой точке равна квадрату расстояния этой точки до фиксиро-
ванной вершины куба.
422.	Найти массу шара радиусом R, если плотность его в каждой'
точке равна удвоенному расстоянию этой точки до поверхности
шара.
423.	Найти массу сферического слоя между сферами х2+г/2+
+ z2=a2 и x2 + y2 + z2=4a2, если плотность его в каждой точке об-
ратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат и
на внешней сфере равна р0.
424.	Найти массу конуса 7?2(z—77)2> (х2+у2)Н2,	ес-
ли плотность равна p=|xz/|.
425.	Найти массу прямого кругового цилиндра, высота которо-
ро равна Н, а радиус основания R, если плотность в любой точке
равна квадрату расстояния этой точки от центра основания ци-
линдра.
426.	Найти статический момент относительно плоскости XY од-
нородного тела плотностью р, ограниченного поверхностями
ха + у2 + г2 = 2az, х2 -4- у2 = z2 tg2 а, х2 + у2 = г2 tg2 (3 (0<а < ₽<л/2).
427.	Найти статический момент относительно плоскости XY
однородного тела плотности р, ограниченного плоскостями
^+f/4-z=l, х = 0, z/ = 0, z = 0.
Найти момент инерции относительно заданной оси однородно-
го тела плотностью р, ограниченного заданными поверхностями
428.	х = 0, х = а, у = 0, y = b, z — Q, z = c
относительно осей координат.
429.	z/=]/x, y = 2]fx, z = 0, 'z-\-x = 4 относительно осей коор-
динат.
430.	 ---р ——|------ 1 относительно осей координат.
а2 Ь2 с2
431.	х2 + у2—ах = 0, z2 = 2ax, z = 0 (г>0) относительно осей ко-
ординат.
432.	z —	(у2 + х2), г=1 относительно оси ОХ.
433.	х-фу -фг = 2, г = 0, х2 + у2 — 2 (г>0) относительно оси OZ.
150
434.	x2-\-y2 = cz, z = c, относительно оси OZ.
435.	— + ~ + — = 1, x = 0, y = Q, z-0 (x>0, z/>0, z>0)
a b c
относительно оси OZ.
(X \ 2/3	/ U \ 2/3	/ z \ 2/3	_
—	+1 — 1 + —	=1 относительно оси OZ.
a f \ b /	\ c /
437.	x2 + у2 + z2 = R2, x2 + y2 = z2 tg2 а (г + 0 x2 + y2 + z2tg2 a, a<n/2)
относительно оси OZ.
438.	x2+t/2 + ?2 = 3, x2 + y2 = 2z, z^>0, относительно оси OZ.
439.	(x2 + y2 + z2)2 = a2z относительно оси OZ.
440.	(x2 + y2 + z2)3 ~3xyza3 (x^O, y^Q, z^O) относительно оси
OZ.
441.	Найти момент инерции однородного тела плотностью р, ог-
раниченного поверхностью тора х = (а + г cos и) cos v, y = (a-Y
+ г cos и) sin v, z = rsin«, 0^r^&<a, 0^«^2л,
</2л, относительно осей координат.
Найти момент инерции относительно заданных плоскостей од-
нородного тела плотностью р, ограниченного заданными поверх-
ностями
442.	х2 + у2 = k2z2, z = h, относительно XZ и XY.
443.	az —а2—х2—у2, г-0 относительно XZ и XY.
444.	^ + +_ + +_ = 1, х = 0, у = 0, z = 0 (х>0, у>0, z>0)
а b с
относительно YZ.
445.	(х2 + у2 + z2)2 = а2ху, х > 0, у >0 относительно XY.
446.	а2 = х2 + у2 + г2, Ь2 = х2 + у2 + z2, х2 + у2 = г2, г 0 (х2 + у2 <
<z2) относительно XY.
447.	х2 + у2 + г2 = 2аг, х2 + у2 = Зг2 (х2 + у2 < 3z2) относительно XY.
448.	Найти момент инерции однородного прямого кругового
конуса плотностью р, радиус основания которого равен R, а вы-
сота равна Н относительно его оси.
449.	Найти момент инерции однородного шара массой М и ра-
диусом R относительно точки на его сфере.
450.	Найти момент инерции относительно начала координат
тела, ограниченного поверхностями
+ У2 + z2 = 4, у = 0, у = х/]/3 (х 0, у>=0),
если плотность в каждой точке обратно пропорциональна рас-
стоянию от начала координат.
151
451.	Найти момент инерции относительно оси симметрии кру-
гового конуса, если высота конуса — Н, радиус основания — /?;,
плотность в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию»
от этой точки до оси симметрии конуса.
Найти координаты центра масс однородного тела, ограничен-
ного поверхностями
452.	2 = 0, х2 + у2 = 2х, z = x2 + y2.
453.	аг = а2—х2—у2, z = 0.
454.	х-|- у = 1, z = x2-\-y2, х = 0, у —0, z = 0.
455.	x2 + y2 + z2 = R2, х = 0, у = 0, z = 0 (х>0, у>0, z>0).
456.	x2 + y2 = 3z2, z = H.
458.	— + ” + — = 1, х = 0, y = Q, z = 0.
a b с
459.	z = x2 + y2, 2z = x2 + y2, x + y=±l, x—y = ±l.
460.	V/3= 1, x = 0, y = Q,
\ a j \ b /	\ c )
z = 0 (x^>0, y^=0, z2>0, a<n/2).
461.	z2 = xy, x — a, y = b, z = 0 (z>0).
462.	x2 + y2-\-z2 = a2, x2 + y2 = a{a—2z), (x2 + y2<Za(a—2z)).
463.	x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 = z2 tg2 a, (z>=0).
464. (x2 + y2-|- z2)2 = axyz (x>0, y>0).
465.	(x2 + y2 + z2)2 = a?z.
466.	x + y + 2 = 2a, x = a, y==a, x = 0, y = 0, z = 0.
467.	x2 + y2 + z2 = 3a2, x2 + y2 = 2az, (x2 + y2 2az).
468.	x2-\-y2 = z, x2 + y2 = 2z, xy=l, xy = 4, y = x,
y = 2x (x^Q, y^ty.
470.	Найти положение центра масс однородного шарового сег-
мента плотностью р, радиус основания которого равен г0, а высо-
та равна h.
152
471.	Найти координаты центра масс однородного прямого кру-
гового конуса плотностью р, радиус основания которого равен /?,
а высота равна Н:
R2(z—H)2>H2(x2+y2), O^zs^H.
472.	Найти массу и определить положение центра масс шара
x2+y2 + z2^Z2az, если плотность в точках шара:
а)	обратно пропорциональна расстоянию этих точек от нача-
ла координат;
б)	обратно пропорциональна квадрату расстояния этих точек
от начала координат.
473.	Найти силу, с которой однородный цилиндр плотностью
р притягивается к центру своего основания, если радиус основа-
ния цилиндра равен R и высота равна Н.
474.	Найти силу, с которой однородный конус плотностью р
притягивается его вершиной, если радиус основания конуса ра-
вен R, а длина образующей равна I.
§ 9.	Вычисление n-мерного интеграла
Вычислить интеграл
1 1 i
475.	j ... V + +	х2) dx1dx2 .. ,'dxn.
0 0 и
4Ж	SS-5 jAtj + х2 + • • . + хп dx}dx2 .. . dxn.
xt^0..rn*^0,
1
1 1 1
477.	J • • • $ (ХЛ + х1хз + • • • +x„_ix„) dxkdx2 ... dxn.
do о
478.	Пусть f — fix^ x2,...,xn) непрерывная функция в области
0 sCXi Ах (г' = 1, 2, ... ,п).
Доказать равенство
X Х1	ХП-1	XX	X
dxY dx2 ... J fdxn = dxn J dxn-i ... J fdxL.
0	0	0	0 xn	x2
479.	Доказать, что если f—непрерывная функция, то
1	'n-i	t
\dtAdt2... \ / (/х) f (tj ...f (tn) dtn = — \ f (т) dz .
J J	J	nl IJ J
O °	и	0
153
480.	Найти объем части «-мерного шара М = {х = (хъх2,.. .,xn}:xJ4r
+ х2+-..+х2<а2, х* + х^3^_2, х„_2>0), (п>2).
481.	Доказать равенство (feC[0, х])
С dXi Г dx2 . . . f f (хп) dxn = ( f (и) -у"";;,1 du.
J J J	J («—1)1
0	0	0	0
482.	Доказать формулу Лиувилля
JJ ... §	/(Х1 + х2+ ...+ xn)x*“’x*_! ...x^"-1c!x1...c!x„ =
xt^0, xt>0..xn^0,
*l+x,-t ...+xn< 1
= Г (Pl) Г(рг) . . . r(£„). Г . иРг+Рг+.  -+pn-\ du,
Г (Pl+Pa + • • • + Pn) J
0
где f(u) — непрерывная функция, p,->0 (t=l, 2, ...,n).
483.	Вычислить потенциал на себя однородного шара радиу-
сом R и плотностью ро, т. е. найти интеграл
Ро пли dx1dyidz1dx2dy2dz2
2
где П.2 = У(%1—х2)2 + (У1—уа)2 + (?!—Z2)2;.
484.	Пользуясь формулой
| S | = J У | det G | du,
D
где
S = {r:r(u), ueeD}, r:Rk-^Rn(k<n),
DczDh, область D жорданова,
G — матрица Грамма (G — (g^), gtj = (r'u. r'u. , найти площадь
поверхности «-мерного шара:
М = {х = (xlt х21 .. . , хп): £ х2 а2|.
>=1
§ 10.	Несобственный кратный интеграл
Исследовать сходимость интегралов
485.	С[-Ап-^+^) dxdy.
J J	(Х« + У2)Р
R1
154
486.
*4-j4d
x2 — y2 , ,
----------dxdy.
(х*+уг)Р
487.
.lA-T.:?,, dxdy (p>0, q>0, r>0).
klp+ lyi? + \z\r
488.
—x<y<x,x>0
4r2 _ «/2
—-------v— dxdg.
(2% + y + l)₽
489.
cos (x2 4- y2 -f- z2) dxdydz
(x24-y2 + z2)P
£>={(%, y, z): x4-y 4-z > 1, x>0, t/>0, z>0).
(x 4~ у 4- z) dxdydz
(xp 4- y« 4- zr) }<x24-y2 + z2
D = {(x, y, z) :x4-z/4-z> 1, x<0, y>0, z>0}.
491.
x + y — z
(x^ + y^ + z^P
dxdydz,
1*14-1/44-1*',<1
D
D
D
D = {(x, y, z): |x| + |y\4- |z| <1}.
492.
’f C dxdydz
J J (х2 + У2 4-г2)»Р ’
D
D = J (x, y, z): x2 4- z/2 4- za
aez2 1
x2 4- y2 J
Вычислить несобственный интеграл или установить его расхо-
димость
493. §§-~dxdy, D = {(x, у):х>1, —
D
494. j^-^-dxdy, D = {(x, z/):x>l, — 1<ху<1}.
D
495,	dxdV' D = {(x> г/):х>0, z/>0, х4-у>1}.
D
496‘	dxdy’ D = ^x’ y')-x>^ y>0^ x + y>\}.
U J	“Г v
D
dxdy, D = {(x, y):x>0, 0<xy<l}.
155
498. е _ dxdy, D = {(x, z/):x>0, 0<x2//<;l}.
D
499.
УУ S'n D ~	: x > 1 ’ У > 0}-
D
500. J j e-^sin 2xydxdy, D = {(x, //):%>!, y>0}.
D
501. xg~^ y— dxdy, D = {(x, y):x>0, mx<Zy<.nx}, Q<.m<Zn~
D
502.
У J *^2 dxdy’ D = KX- i/): at>°, y>Q}.
D
503.	fee	dxdydz.
J.) J (x2 + y2-f-Z2)2
R>
504.	- x ~y- dxdydz.
x*+y*<az—a
“5- Ш -^——dxdydz.
X>1, I»l, 2>1
506.	у I" J -1~	dxdydz, D = {(x, y, z): x > 0, у > 0;.
D
Z>0, x + y + Z< 1}.
507.	jyy -———dxdydz, D = {(x, y, z): % + y-\-z< 1
D
//>0, z>0}.
508.	Cff r dxdydz--------, Z) = {(x, y, 2):x2 + f/2 + z2^
V(x2 + y2 + z2)8
^a2z2/(x2H-t/2)}.
509.
‘ P Г*	dxdydz
.’J Vx2 + y2 + z2 ’
D
2
x2 + y2
510. Щ rW+W^)(tidydz.
x>0, i/>0, 2>0
5П. jyy^B-,
D
156
D — часть тела, полученного при вращении трактрисы х=»
»a(lntg(4/2) +cos t), у=а sin t относительно оси ОХ, лежащая в
I октанте (х>0, г/>0, z>0).
512. ух1 2ех«г dxdydz, D={(x, у, z)‘.y>\, z>l,
*D
0<xyz< 1}.
513. СГС s{n(x + y+A-dxdydz.
Jjj (*® 4-</* + z®)7/4
i
5M- ш
Я3 *
515’ fif	dxdydz' D=^x' y' z):x?+y9+
D
+ Z2<1).
ОТВЕТЫ
1 1—x	1	1—
!• \dx f(x, y)dy = \dy j fix, y)dx.
0	0	0	0
2- dx ^f(x, y)dy = ^dy ^f(x, y)dx +^dy^f(x, y)lc.
0	— x	—1 — у	0 у
1 V x—x‘	1/2	1/24-/1/4—
3. ^dx fix, y)dy = jj dy $ f(x,y)dx.
0 -Vx—x‘	—1/2	1/2—/1/4—!/•
11 11
4-	dx	f(x,y)dy = ^dy	J f (x, y) dx.
0	/1Л"	°' /ГЛ*
5- \>dx	f(x, y)dy+^dx	f{x, y)dy = ^dy	f (x, y) .1* H
— 1	—x—1	0 x— 1	—1	—1
1	1—4/
+ J dy f (x, y) dx.
0 y-l
1	1— /1—(X— 1)*'	1 l-Zl-^-lJJ
6. jdx j fix, y)dy = ^dy j fix, y)dx.
0	0	0	0
2	1— /1—(x-l)>	1	2
7- ^dx	fix, yfdy^dy	fix, y)dx.
1	0	0	1+V 1-(4г-1)«
157'
l/V 2	2*	/2	\/x	/2/2 2y
8. dx *\ f (x, y) dy + dx j' f (x, y)dy = J dy f(x,y)dx+
°	*/2	1//Г	*/2	0	y/2
/Г V»
+ J dy^ f(x, y)dx.
vT/2 »/2
1	*«/2+1/2	1/2	/7
J dx J f(x, y)dy= ^dy j f(x, y)dx +
-1	*«	0
1 - /27л	.1	/7
+ dy f(x, y)dx + dy /(x, y)dx.
'/2	—у у	1/2	V 2y— 1
1/2	l/2+*«/2	1	l/2+*«/2
10.	J dx J / (x, y)dy + ^dx f f(x, y)dy =
0	1/2- *«	1/2	*«
1/2 Vy	1	/7
= У dy f (x, y) dx 4- dy j f (x, y) dx.
1/4	v 1/2—у	1/2	/27л
1	2— Vl-*«	2	2— 7l—(*—2)«
11.	^dx у	f (x, y) dy + у dx J	f(x,y)dy =
0	V1—*«	1	V1—(*—2)«
1	2- VI-1/2	2	2- /l-(j/-2)«
= \dy У	f (*> У) dx +- у dy J	f (x, y) dx.
°	/ь=7«	>	/i-(y-2)«
0	— +a2— (*+a)2	0	/4a2—л2
12.	у dx у f (x, y) dy 4- у dx J f(x, y)dy +
“2a	_ У4О2__Л2	—2a	/a2__(x+a)2
2a	— “Ka2—(x—a)*	2a	/4a2—x2
+ У dx J f(x, y)dy + J dx у f(x, y)dy ==
0	—/4a2—x2	0	V a2—(x—a)*
—а	У 4a2—y2	a	—a— Vh2—y2
= У dy J f (x, y) dx + у dy	f (x, y)dx +
2a	— у ^at—yi	a	— /4a2—y2
a	a—/a2—^2	a	/4a2—y2
+ \ dy у f(x, y) dx + у dy у f (x, y) dx +
“a —a+ /a2—a	a-{- /a2—y2
2a	/ 4a2—y2
+ '\ dy	f(x, y)dx.
a	_ у4a2_i/i
158
2а Vх2—2а"	2 VTa <4а2—х2/2
13.	J dx	fix, у) dy + dx J fix, y)dy ==
a VT	— Vx2—2а2	2а	— V 4а2—x2/2
a KT	У 8а2—2</2
= dy fix, y)dx.
—a V2	V2a24-j/2
—a	— V x2—а2	а	/8а2—x2/2
14.	dx	f(x,y)dy+ dx	fix, y)dy +
—а Кб" — /8а2—x2/2	—а/б"	Vx2—a2
a	/8а2—x2/2	а /б"	— Vx2—a'
+ \ dx J f (x, y) dy + dx	fix, tj) dy +
-a	_ у 8O2_x2/2	a — V8a2—x2/2
a V 6	V Sa2—xz/2	—a V 5	V 16а2—2y2
+ dx ? f (x, y) dy =- < dy ( f (x, y) dx +
a	Vx‘—a2	—2а V 2	— V 16а2—2y2
a /5	Va2+x2	a /5 V 16a2— 2уг
+ J dy \ f(x, y)dx+ J dy	fix, y)dx.
—a VfT — Va2-x2	2a VT — V\§a*—2y*
1 ,
— sin лу
12	0	(1 H)’
15.	\dy fix,y)dx= ^dx fix, y)dy +
v -14/Г	~1	0
j---L arcsin 2x
1/2	л
+ J dx	fix, y)dy.
0	1	. „
— ascsin 2x
Л.
1/2 cos лу	о /х+1/4
16.	dy fix, y)dx= dx V fix, y)dy |-
-V2	ji2-l/4	—1/4
1
— arccos x
l л
+ \ dx	f (x, y) dy.
0	1
--------- arccos x
я
1 x	2 —2/x—1	2
0	({/2+4)/4	2	(/+4)/4
= \dy fix, y)dx + ^dy fix, y)dx.
-2	—и	6 у
159
0 cos(nx/2)	1 cos(rtx/2)
18.	^dx f (x, y) dy + \ dx f(x,y)dy =
-1	-x-1	0	x-1
2
— arccos у
О И-1	1л
= § dy J f (x, y) dx + ^dy	f (x, y) dx.
/1—X>	1	1— /1—(X—1)!
J f(x, y)dy+^dx	f(x,y)dy =
о	do
i 1-/1—
=?9 L
° -Vi-y'
f(x, y)dx.
20.
f(x, y)dx.
О	V 2x4-1	1	1—x
“21- dx f (x, y) dy 4- dx f(x, y)dy-=
—1/2	— /2x+l	0 x~1
0 J	• J
22. dx f (x, y) dy + dx	f (x, y) dy =
—1 V l-(x-t-l)2	0	/1—(X—I)1
i 1-/Г47»
= ^dz/	f(x, y)dx.
c __i+
a	—Va2—Xя	a Va2—ax/2
23. dx	f(x, y)dy + dx f(x, y)dy +
a/2	—Va2—ax/2	V аг—x2
2a	V a8—ax/2	a /3 /2	(2a2—2y2)/a
+ ^dx J f(x, y)dy= J dy J f(x, y)dx.
a	— V a‘—ax/2	—aVT/2 Va*—U’
— 1	/x+2	2	/*+2
24.	dx f (x, y) dy + dx f (x, y) dy =
— 2	— /x+2	~1 x
= ^dy f (x, y) dx.
-1	y!-2
160
	1- V1-u+l)*	1	1-х
25.	dx	f (х, у) dy + dx ? f (х, у) dy =
—io	d o
1	i—»
= }dy	$	f(x, y)dx.
°	-14-/1-(</-1)г
О V 1-x1	1	1—x
26.	dx f (x, y) dy + V dx V f (x, y) dy =
— 10	0	0
1 l-y
= } dy Ж У)dx.
° —
0	/1-х*	1	1-x
27.	dx f(x, y)dy + ^ dx f(x, y)dy =
-i	—x—i	o' _/i=/J
о VT^y1	i i-y
— § dy f(x, y)dx+ \dy f(x, y)dx.
— ‘	—1—»	0	—
1 xJ2	2//Г	— /х^Ч
28 .J dx	f (x, y) dy +	dx f (x, y) dy +•
0	—x/2	1	—x/2
2//Г	x/2	0	VT+7*
+ V dx f(x,y)dy — dy f(x, y)dx +
* Ух»=й	— 1//Г	—2»
1//Г	/ГТ^*
+ dy f(x, y)dx.
0	2y
o	i-/1-(x+i)>	i У1^х«
29.	dx V f{x, y)dy-\- ^dx f(x, y)dy =
—to	d o
1 VT^>
= [dy	f(x’ y)dx.
о	-i+Zi-i»-!)*,
— 1	/2x4-4	0	— УСНЧ
30.	dx f (x, y) dy + j dx f (x, y) dy +
—2	— V 2x4-4	—1	— /2x4-4
0	/2x4-4	2	(y‘—4)/4
+ § dx f (x, y) dy = V dy f (x, y) dx.
-1 /4ГЙ	-2	(»’-4)/2
31-	^dt/p(x, y)dx. 32. ^dy f(x, y)dx + J dy f(x, y)dx.
о v	i d	зб
6 Зав. 68	161
5	V 6у+6	0	2
33. dy /(х, y)dx. 34. j dx fix, y)dy +
—1 1H-I	--4	— У2—x/2
, 	r~—
4	У4—X	1 У У
о
О (1-f-x)’
о
fix, y)dy. 35. ^dy fix, y)dx.
У 2-x/2	0 УГ
1	0	(1+x)2
36. dx f (x, y) dy. 37. dx f (x, y) dy +
o’ i_yi=x
2
— arccos x
1 Л
+ jjdx fix, y)dy.
о	0
1 1-УГ	1	2
38.	^dy	f(x, y)dx +^dy fix, y)dx.
0	0	0 l+Vy~
1 Vy~	4 Vy~
39.	^dy f (x, y)dx +\>dy j f (x, y) dx.
6	1 y-o
1	1- У1—J	2
40.	dy fix, y)dx dy fix, y)dx +
6 уЧО	0
3 УГ 2	6	-3+У1£-(х-2)«
+ J dy J fix, y)dx. 41. 5 dx J fix, y)dy
1 АГ’/Э	—2	—3— У16— (x—2)’
1/2 У5х	УГ 1
42. dx fix, y)dy+ \ dx fix, y)dy +
o
— 2
0	1/2 o
УГ Уз^х*
3	10—х
3 Ух
43. \dx \ fix, y)dy. 44. ^dx J fix, y)dy.
о x	i 9/x
УГn	x	i	У 1—*’
45.	J dx J fix, y)dy+ J dx J fix, y)dy.
О —x	УГ/2	— У1—х»
i	i+УГ	УГ	У6^’
46.	dy ? f (x, y) dx + ? dy f (x, y) dx.
0 i- УГ	10
162
a a tg(nr//4a)	2a	V 2a3/y—a2
47.	City	f(x,y)dx + $dy	f(x, y)dx.
0 —a tg(ni//4a)	a	^a*/y—a‘
l/)T	n— arcsin у	—1/1^2	2л—arccos v
4*. J dy f(x, y)dx + j dy jj f(x, y)dx +
—1/ VT”	arccos у	—	1	arccos	у
1	л—arcsin у
+ J dy f(x, y)dx.
l/УТ	arcsin
1 x'	3	(3—x)/2
49.	dx J f (x, y) dy + dx V f (x, y) dy.
oo	i о
1	n—arcsin у	3	3
50.	dy J f(x, y)dx. 51. ^dx f(x, y')dy +
0	arcsin у	0	Уg_хг
4	3	5 V 25—x1
+ ^dy^f(x, у) dy + ^dx f (x, y) dy.
3	0	4	0
52.	dy f(x, y)dx+ J dy	f(x, y)dx.
0	a	д /3- a- \a2—y2
2	2
a a—Va,—x‘	2a V 2ay-~y*
П. [dy f(x,y)dx+^dy j f(x, y)dx.
об	a 0
а Va1-*1	2a V 4ax
54-J^ 5 f(x, y)dy. 55’ \dx f f^y^y-
0	(a»-*«)/2a	0 У2ах-х*
56. a) In—; 6) In—. 57. a) —arctg 2; 6) —. 58.1n 2 + ^j[-.
’	24	’	24	' 3	6	’ 3	1 +Д/3
59.-------60. 0. 61. —. 62. — . 63. 4. 64. л.
24	3	80
65. 4 + л. 66. 9— — .
4
67.* J c?<p <p)rdr. 68. d(p rf\ (r, q)dr.
o o'J	о d
2л a	л/2 a cos <p
69. dtp r/x (r, <p) dr. 70. dtp rfi (r, <p) dr.
л 0	—n/2	0
• В задачах 67—96 Л(г, <p) обозначает f(rcos<p, rsin<p).
163
	л	a sin ф	Л	1
71.	§dT	r/i(r, tp)dr.	72. dtp	tp)dr +
	0	6 2л	1 + dtp r/j (г, ф) dr.	б 1 л/2 73. J dq	sin ф l/(cos Ф+sin <p) f rfi(r, tp)dr.
74.	л	0 ЗЛ/4 1/sln <p dtp rfi(.r, tp)dr.	6 л/4 75. V dtp	0 1/COS ф ? rfi (г, Ф) dr.
76.	st/4	6 л/4	1/cos ф \ dtp $ rft(r, ф^г	0	6 л/2	1/sln ф + \ dtp t r/Jr, tp) dr.	
77.	0	0	л/4 arctg 2	1	л/4 Г с/ф(гА(г, <p)dr. 78. С		0 2 sin ф dф J r/i(r, tp)dr+
	arctg’(l/2) 0	0	0
л/2	2 cos <р	—л/4	2 cos <р
+ t dtp	q)dr. 79. Г dqp Г rfx (r, <₽)dr +
л/4 о	—л/2 б
л/4 1/cosф	л/2	2 cos <р
+ j dtp J r/Jr, <p)dr + [ dtp r/Jr, tp) dr.
—Л/4 О	л/4	0
Л/4	2 cos q>	л/3	2 cos ф
80. dip г{\(г, tp)dr. 81. dtp rf^r, tp) dr.
—л/4 1/cos ср	—л/3	1
Л/6	1	л/2	1
82.	dtp rf1(r, (p)dr+^ dtp^rfrir, <p)dr +
—Л/6 cos'scp	л/6 o
5л/6	1	7л/6	1
+ dtp J r/j (r, cp) dr + dtp г/i (r, q>) dr 4-
Л/2 cos Зф	Бл/6 6
Зл/2 1	Пл/6 1
+ j dtp J г/Дг, фМг+ у dtp^rfiir, tp) dr.
7n/5 cos 3<p	Зл/2 0
л/6 a /2 cos 2<p	7л/6 a V 2 cos 2<p
83.	dtp	rf^{r, tp)dr+ dtp	rf1(r, tp) dr.
—л/6	а	5л/6	a
5Я/18 2asin3<p	173/18 2a sin Зф
84.	dcp	tp)dr + j dtp rf\(r, tp)dr +
л/18 а	13л/18 a
29Л/18 2a sin Зф	2Г./3 2a(l+cosq>)
+ J dtp rfifr, cp)dr. 85. J dtp rfi{r, tp)dr.
25 л/18	a	—2л/3	a
Л/4 1/cos <p	Л/2 1/sin <p
86.	dtp V rfx(r, <p)dr+ dtp J rfT(r, tp)dr.
О	Г	Л/4	1
Л/4	2
87.	dtp	rfi (r, cp) dr.
arctg(l/2) 1
164
П/4	2 sin ф	5л/6	1
88.	V (ftp \	r/i(r, <p)dr4-	f	dtp \	rfi(r, ср) dr.
j) *)	J	<J
00	Л/6	0
л 2 sin ф	л/2	2 cos ф
89.	J dtp r/i(r, tp) dr. 90. dtp rf^r, tp) dr.
л/2	0	—л/4	0
л/2	a Vsin 2<p/2	Зл/2 a /sin 2<p/2
91.	dtp | rft(r, q>)dr+1^ dtp	r)\(r, tp)dr.
0	0	no
6	2/(cos (p— sin ф)	л/4 2/(ccs ф+sin ф)
92.	| dtp J rf1(r, tp) dr + dtp	rfAr> <p)dr.
—л/4	0	0	0
я a(14-sin<n)	л/3 a tg ф
93.	f dtp rf-tfr, tp) dr. 94. dtp rf^r^.tp) dr.
0 a	6	6
Л/4	2a cos ф	л	2a sin q)
95. J dtp	J rfi(r, tp)dr+ dtp	rf^r, tp) dr.
— л/2	0	Л/4	0
л/3	2a	5л/3	2a
96»	dcp	J rf^r, tp) dr + j dtp	rfi(r, tp)dr.
—л/3	За (1[— cos <p)	л/3	a (l+'cos Ф)
97. л sin a2. 98. л [(1 + a2) ln(l -j-a2)—a2]. 99. 3na2/16. 100. -•* a8.
101. — fl6. 102. -2 a2. 103.
45	3
108. 3. 107. 215/2’. 108. 0.
— -(--7-ln3. 104.: 26ln2. 105.—.
2	6	3	18
Ю9. JL(a-6/5_ b-w>)(q3^__ p№).
110.		111.	sin pb — sin pa	sin qb — sin qa P	Q
112.	2	.	,, _	1	a10b3 — ab. 113.	. 21	" 840	c12	114.	2 n7 Г:(р+1),Г(<Н-1)Г(г+1) 15 ’	‘ Г (p+^+r+3)	*
118.	— ла2. 119. .Чтла2. 120. 8	4	_1_, 2	ла2. 121.	+ 8
	, b3 — a2	, a	ab 	arctg	 4	b	4	. 122.	123. ~ ab(a2 + b2).	
124. ~		a3b ~¥'	125. 512	a3b3 cio	126. —nab 8	/ a4 \ h'	-+—у л4 j
	2						
127.	16	' a3b3 c6	. 128. 2LLL./. 2	\				ab. h2	k2 J	129.	2 t, / a‘ , b4 \ 3	[h* k* Г
130.	1	ab.	131. — 10	a3b	132 a3	b	
	12			№	4/l2	a r + ’	b k
133. ------------------(a2k2 + 3abhk + 3b2h2). 134. — ab (— +
8h.3(ak + bh)3	8	\ h3 fe3
165
135.
, («О2
ab ——.
(2л)!
ГС с3
2n 1/аЬ
139.
а2
136. -.(2n+1)! nab. 137. — /г = 2/г+1;
2«(л!)2	п Уab
. n-2fc. 138. ----------"------+
л \ a J \ b а )'
4 sin---
2п
—. 141. -j!—. 142. —(<7 — р) In —.
60	1260	3	а
*	1 Л Л 1 / —Q	_9Л /Г-Ч	_ Q\
6 X/	г I
с3
. 140.
210
2_(9_р)1п-£-. 144. -i-(<72-p2)(ft3-a3).
145. ~(<74/5 — Р4/5) (а-3/5 — ft~3/5). 146. -у (а — b) (с — rf).
143.
147. — (а5 — Ьъ) (—--------Ц. 148. — (а8 — Ь9) ( -------------Ц
15	\ d3	с3 /	12	' \ dl с4 )
149.	А (с2—d2) In —. 150. — (а2—ft2) I	+ arctg
5	' b	4,	[(1+а2)(1+₽2)	1+аР1
151-	4” (У <7 —Ур ) (У г — Vq) У г ~Ур) <Ур +Vr +Vq)
152.	а) Зл. Указание: сделать замену x~^2y = v, 2х + у=и\ б) Юл
153.	32. 154. а3/18, 155. 1/6.' 156.	157. ^сру’~2ар
158. УьУУ 159‘ п°2^Р^- 160- 1/8, ,6L 4таЛ 162, ~(9я + 10)
163. а3(л/4+1). 164. na4/4ft. 165. 16aft2/3. 166. 88/5. 167. 8/15
168. 45ла4/32. 169. ла3	(3 УЗ—2 уГ)-----------У). 170. лй4/2а
171. ла3. 172. — —. 173.	174. —Ь— (7^4- 5^)
105 а	16	140а3Л
175. ла3/6. 176. 1/27. 177. 8. 178. —а3. 179.	180. —
3	2	15
181. 4У^ ла3. 182.	(8л — 6 }/Т).
183. — ~l/— (ft3 — а3)Г2 f—V 184. —а3. 185. а) 4-л(с—а)8;
3 г л	’	( 4 )	12	' 3
б) — л (с — а)3. 186. nabc. 187. 2nabc. 188. Объем части
3
тела, расположенного над n-м кольцом есть (8п — 6) abc.
189. л/4 abc. 190. — abc. 191.	(1-З1-6) (1-З1^)
1x2	(k— 1) (/— ii^-’y-*
192. — (1—е-«4). 193. -±L/1— е-к‘). 194.	[созлб4 —
4	9 У 3	12л	1
-cos ла4]. 195. -У*~"от3) ~а2> .
J	12с2
166
196. — (Зл— 4). 197. а) — (8—л); б) -^+а3М------
27	'	'16	7	' 16	( 2	32 /
198. (а+Ь)УаЬ. 199. луГа2. 200. 13. 201. — с2[20— Зл].
3	9
202. -1^1 лс2. 203. —а2 (20 —3л). 204.(2 У Г—1).
9720	9	12 F
205. -ула2^-^- —З)3'2— 1]. 206. -Ь л/?2 (|/Т — 1).
207. 4n/?2sin2-^- + n7?2sina. 208. 16а2(]/2 —1).
209.	4лаад/-/(а2 + с2)(й24-с2) . 210. 4а2(/2 —1).
211.	(3 /3" — 1). 212. 8а [aarcsin (a/b) — b + /Ь2 — а2 ].
213.	4а2. 214. 2а [(2а—b)arcsin}/а/& + Иа(Ь—а)]. 215. 16а2.
216.	4ла2. 217. 8 фл2 ab. 218. 2ла2. 219.	=^ла2. 220. 16аУар.
221.	-у-а/2ар. 222. ~а2. 223.	(3 Уз — 1). 224. 4ас.
225. а) -у [(1 + /г2)3/2—А3]; б)	+-^Н*^2)372 +
+ JL |2LinbL+	+
2	4	\ 4/i V 16/i2	/ J 2	V16
226. л(15 + 161п2). 227. -^-аЬ + Ь2. 228. —. 229.	.
8	2	2
230.-^-. 231. V = 16а3(3л — 4)/9; S = 8ла2. 232. У = -у-а8;
S = 16а2. 233. V =	aR2-, S =	[/? У а2 + R2 +
+ a2 In -/?-+ Va2 + ^ 1 + А ал2 + у
а	8	2	4
234. у = . 7я У2 а3 • з=ла2(3 + 2 /2 ). 235. V= — ла8; S =
О	6
= ла21/2* +	(5 У5-— 1). 236. у|-. 237. 21
238. 2л—4. 239. 8. 240. 1620л. 241. —. 242. ^fn/4y — V
3	8 \	3 )
243. — р07?2. 244. —. 245. 2nk(R—г), где k — коэффициент
3	3
4	1	1
пропорциональности. 246. — а2р0. 247. — аЬ2р; <— а2др.
3	2	2
248. — ла3(>. 249. (— + — \ р. 250.	251.
4	\ 2	5 )	2	4
167
252. J^. 253.	. 254. -'М(44—9 л).
4	44	36 v ’
255. .47Л1а2 ; — Л1а2. 256. —- Мр2-	Мр2.
14	10	35	35
257. -2-М&. 258. — Ма2. 259.
16	48	In 2
260.	+
\ 5	9 ) V 5	9 ]'
где k—коэффициент пропорциональности. 261.	262. (3/4; 0).
8
263.
4Р
На оси симметрии сектора на расстоянии] —— sin (а/2) от вер-
267.
270.
273.
276.
279.
281.
283.
286.
288.
шины. 264. (13/8; 39/10). 265. (23/50; 2/5). 266Л(1; 12/5).
(1; 4/Зл). 268. (2/5; 0). 269. (45/28; 279/70).
(49/Зл; 46/Зл). 271. (0; 46/Зл). 272. (44/(Зл—6); 22/(л—2)),
(7а/12; 356/36). 274. (5а/8; 0). 275. (256а/315л; 256а/315л).
(л/2-}-8а/9л; 5а/6). 277. (ла; 5а/6)..<278. (ла/8; ла/8).
(4"|ЛЗла/27; 4"|/зла/27). 280. (Зла/64; ЗлЬ/64)"
9 ~\/Ъ. a3b	1	а2й2 \	/ 64	а5Ь	33	а463 \
2 V- ---;--------. 282.-----------;----------•
с3	4	с3 /	\ 147 л	с5	448	с3 ./
—У 284. f—; о\ 285. (— fl + —Vln31)
9л /	\ 6	/	\ 4Д/2	6 (	Д/2 JJ
Зл
5а
6 ’
—; oV 287.	JL (3-/21п(1 + /2)—2)).
26	/	у 8	12	/
-EL- /^L-	289. — 290. — 291.
2	\ 12	6 7 ’	5 '	5’	3
292.
2утМа
~R2~
где у — гравитационная постоянная. 293.
ah2
~6~‘
294.	~-а2у0п(2с— /cos а); -Y- а2у0л (2с ф-1 cos а).
295.	7оа3( —л------j. 296. аН2. 297. —. 298. —.
го \ 2	3 /	2	36
299.	— (1 — In 2). 300. -у(1— sinl)?301. 0. 302. 21пЗ------
1	1—X	1—х— г	1 l~v	1—х—у
303.	| dx \ dz f (х, у, z)dy = ^dy dz f (х, у, z) dx~
0	0	0	0	0	0
1	1-1/	1—х~ у	1	1—z	1— X—г
= \dy \ dx f (х, у, z)dz = dz dx f(x, у, z)dy=
0	0	0	0	0	0
1	1—г	1—г— у
= dz dy f (х, у, z) dx.
0	0	6
168
1	2	2	1	1 У
304.	dx dz ^f (x, y, z)dy—^ dy[ dx f (x, y, z) dz =
0	0	2	0 у 0
19	1	J 1 x
= Г dy C dz f (x, y, z) dx = f dz V dx [ f (x, y, z) dy =
6	0	9	0	2	2
111	1	4—2	4—2—z
О z у
—10	О
' 5 4—у 4—х—у
О—1О
3	1 4—х—2
3-1 О
5	4—г	4—2—х
0—10	3—10
3	3—у	1	3	5—у	4—у—г
— ^dy^dz^f(x,y,z)dxJr!^dy\jdz f (х, у, z) dx +
0	0—1	6	3—у	—1
5	5—у	4—у—z	3	3—г	1
+ dy dz f (х, у, z)dx^\dz t dy j f (x, y, z) dx +
3	0	—1	0	0	—1
3	5—2	4—у—z	5	5—2	4—2—9
3 О
2	2-9
0	3-2
1	1 У	-
306.	dx ? dy V f (x, y, z) dz + dx dy f (x, y, z) dz =
doo	oid
1	1	2- Z	11	2—z
= dx dz fix, y, z) dy= ^dz^dx j" f(x, y, z)dy =
0	0 z	o' 0	2
1	2—2	1	119
= dz dy f (x, y, z}dx=^dy'\dx^ f(x, y, z) dz +
о z 6	doo
2	1	2—9	1	9	1
+ ]jdt/Jdx J f(x, yfh)dz = \dy\dz ^f(x, y, z)dx +
10	0	000
2	2-9 I
+ \dy J dz ^f(x, y, z) dx.
i о о
1	3	2+1	2	3	3—2
307.	dx \>dy \ f (x, y, z) dz-j- dx dy f (x, y, z) dz =
ooo	i о d
1	1-I-X	3	2	3—x	3
= \dx dz^f(x,y, Z)dy + ^dx	dz^f(x, y, z)dy =
0	0	0	1	0	0
3	1	2	3	2	3—2
= $ dy J dz J f(x, y, z) dx+ ^dy\dz J f(x, y, z) dx =
ООО	61	2—1
169
OZ!
Д ---	----Z& /1 -H --
+ xp(z ‘fi ‘x)J J zp J Up J +
 (г-у)-,Я-,УД-	U	У
г^—гУД —	0	У—
+ xp (z ‘/? 'x) j. zp \j Up =
—g& Д	—zil Д ~~H	if
гХ-г^ Д	zX—zii Д
= Up (z ‘fi ‘x)j J zp xp § +
гХ—гЦ Д ’	У	У
zx—zti Д—	zx—zil Д—&	у—
+ fip(z ‘fi ‘x)J	zp	xp § +
t(z—У)-4*-,УД —	У	У
гу—гУ Д —	о	JJ—
+ fip (г 'fi 'x)l J гр хр =
г*—гУД	гУ—гУД —У	У
0	Л^гУу! — ц—
— zp(z 'fi ‘x)l J xp J tip J -60S
—гх—д J?	zfi—zii Д	if
0	£/ о	гД—zyt	0	0
•xp (z 'fi ‘x) J fip J zp + xp (z ‘fi ‘x)]	Up § zp =
гУД	У	«У	Л~«У I	Zyt	zy
О	-Л	О	2^7 г4	О	О
— fip (г‘fi‘х) j	§ xp zp^ +fip (z ‘Н ‘х) J	xp^zp^ =
zx—Д	гИ	zx~zti Д	£Д	zti
^~гЛ гл О	ООО
— xp(z'fi'x}l zp § fip .j + хр (г 'fi *x) У zp\>dp!\j =
Д zii H	—гёГ Д	z^ &
О	0	0
= zp(z'fi'x)j f xp J =
S^4"ZX	—Z^I Д
zx о	ООО
— fip(z ‘fi 'x)J zp xp + fip (z ‘fi ‘x)j zp^xp^ ‘80g
гУД гУ У	;У—;У ,1	У
1—Z	fl I	000
хр (г ‘fi ‘л') j ? fip^ гр +xp(z ‘fi ‘х) J^fip^ zp^ =
г-£ г г	г с I
О	l—Z	I	000
= fip (z 'fi 'x) j\xp zp + fip (z ‘fi 'x) j xp J zp^ —
£ Z—£ Z	£ Z I
oio	ooo
xp\fip'^ =
*—£	г £	i+* i f.
— zp (z 'fi 'x) 1 \ xp \ fip \ 4- zp (z ‘fi l.r) j \
R	R	V R2—y2
+ dy j dz	f (x, y, z) dx =
—R R— У R2—yi	/R2—*2—(R-z)2
R -O'-(R-z)2	Vr2—x2
= dz ? dx f(x,y,z)dy +
°	—R	— Kr2^!2
R	/R2—(R—z)2	— VR2—(z—R)2—x2
+ dz	dx	f (x, y, z) dy +
0	- VR2-(R-z)2	- VR2^
R	R	V R2—x2
+ dz	dx f(x,y,z)dy+
0	)7Г2-~(г—R)2	— V R2—x2
R	/R2—(z—R)2	1'r2—x2
+ dz't	dx	f (x, y, z) dy ==
0	— VR2—(z—R)2	/R2-(z-R)2—x2
R	— VR2—(R—z)2	1'ЙН/
=	dy f(x,y,z)dx +
0	-Я	- V R2—y2
R	VR2—(R—z)2	— У R2-(z-R}2-y2
+ dz \ dy	f (x, У, z)dx-t-
0	- /R2-(R-z)2	—
R	R	V R2—y2
+ \dz	dy J f(x, y, z)dx +
0	/R'-(z-R)2	- VRiZZ^i
R VR«-(z-R)2	V R2-y2
+ \ dz	dy	f (x, y, z) dx.
0	— yR2-(z—R)2	yR2-(z-R)2—j/2
R	V R2—x2 V R‘—x2—y2
310.	dx dy	f (x, y, z)dz =
—R _ УRt—X‘	0
R	V R2—y2	V R2—x2—y2
— dy dx	f (x, y, z) dz =
-	R	_ УRi—y2	0
R	V R2-z2	VR2-x2-y2
= ^dz dx j / (x, y, z) dy =
0	— V R2—z2	— V Rt-x2-y2
R	V R2—x2	V R2—x2—z2
— dx dz	f (x, y, z)dy —
-	R о — у rL.X!—z2
R /R2^2	VR2—Й2—z>
= dy dz	f(x, y, z)dx.
—	R^	_ УRi—yt—,2
171
В дальнейшем во всех примерах, где делается замена х = х(и, v, w),
у = у (и, v, w), z = z(ti, v, w), через f* (и, v, w) обозначена функция
/* (u, v, w) = f (x (tl, V, w), у (и, V, w), z (tl, V, w)).
H 2Л R	HR 2л
311.	\ dz dtp ^rf*(r, <p, z)dr = dz rdr j f’ (r, <p, z)d<p =
doo	ooo
2Л	R	H	2л	H	R
= V dtp rdr \ f* (r, <p, z) dz = dtp ^dz V rf* (r, <p, z)dr —
0	0	0	0	0	0
R H 2л	R 2л H
= ^rdr^dz\> f* (r, <p, z)dq> —Jrdr^ d<p ^f*(r, Ф» z)dz.
ooo	odd
312.
H 2Л kz	H kz 2л
dz J d<pjrf*(r, <p, z)dr=^dz ^rdr /’ (r, <p, z)d<p =
ooo	odd
2 л kH H	2л H kz
ф, z)dr~
313.
— dtp! rdr j" /"* (г, cp, z) dz = dtp dz rf * (r,
0	0 r/k	0	0	0
<P> z)d<p.
-Уз R
-2R
2Л
dz dtp
0j
/47?’-z’	/3 7?	2л	7?
rf*{r, <p, z)dr+ dz J dtp rx
о	-V1R	0	0J
27? 2л	V 4R2—z‘
Xf'(r, <p, z~)dr+ dz J dtp rf* (r, <p, z)dr =
/37?	0	°-
— Уз 7?	У47?2—za	2л
= dz rdr f* (r, <p, z)d<p +
—27?	6	0
/37?	7?	2л
+ V dz \ dr f rf* (r, <p, z) dtp 4-
—УЗ 7?	°	0
27?	У|7?2—z‘	2Л
+ dz rdr f* (r, q>, z)d<p"==
У37?	0	0
R	ViR2—r2	2л
= rdr	dz f* (r, <p, z) dtp =
0	_ У 4R2—r‘	0
R 2л У 4R‘—r2
= ^rdr dq>	f * (r, <p, z) dz =
0	0 •	_ v47?’—r»
2л 7?	У 47?’—г1
== j dtp J rdr у f* (r, <p, z) dz =
°	0	— У 47?’—r’
172
2 л	— V 3 R	V 4R2—г2
== dtp ? dz rf*(r, Ф, z)dr +
0	—2R	0
2Л /3R	R
+ dtp J dz ^rf*(r, q>, z)dr +
0	_/3R	0
2П 2R	V 4R2—z2
+ dtp j dz rf* (г, q>, z) dr.
о 1'3 R °
2 л a a-^-la2—r2
314. C dty^rdr {	/*(г, (p, z)dz =
0	0	r
2я a z	2л 2a Vaz—z1
= dtp j dz rf* (r, q>, z) dr 4- J dtp dz rf* (r, q>, z)dr =
doo	0 a 0
а г 2л	2a	V аг—z2	2 л
= f dz rdr f* (r, q), zdq)) + \ dz | rdr f* (r, q>, z) dq) =
0	0	0	a 0	0
a 2л z	2a 2л	/аг—z2
— dz dq) rf* (r, q>, z) dr -f- dz J dq) rf* (r, q>, z) dr =
0	0	0	a 0	0
315.
316.
а 2л	a-y/a2—r2	a a-f-Va8—г2 2л
— ^rdr^d^p J f* (r, q>, z)dz=\^rdr dz J f*(r, q>, z) d<p.
Stir	о r о
SR 2Л	/4R1—z«	2R	/4R2—г2	2 л
^dz^dq) rf* (r, cp, z) dr = dz rdr f*(r, q), z) dq) =
«00	R о	0
2л	/3 R /4R2—r2
= J dtp rdr j f* (r, q), z)dz =
о	d R
2 л	2R	V 4R2—z2
= f dq) ? dz f rf* (r, q>, z)'dr =
or о
/3 R	V4R*—r*	2л
= j rdr dz f rf* (r, q>, z) dq) =
0	RO
/3 R 2 л	V4R2—r2
= rdr f dq) f f* (r, q>, z) dz.
d o R
2R arccos(r/2R) T4R2—r2
( rdr	dq) f*(r> <P, z)jdz =
0	— arccos(r/2i?)	_ у4^1—ra
2R V4R2—r2 arccos(r/22?)
J rdr \	f* (r> Ф> z) =
_ /4Rn_ri	—arccos(r/2R)
173
2R	V 4R2—z8	arccos(r/27?)
— dz rdr	f* (r, <p, z) dtp =
—2R	0	- arccos(r/27?)
2R —arccos V4R2—z2/2R 2Rcos(p
= \ dz	dq) J rf' (r, <p, z)dr±
—2R	— л/2	0
2R arccos 1'4R!—z2/2R	V4R‘—za
+ J dz	dq) j" rf* (r, q), z)dr-
—arccos V4R2—z2/2R	0
2R	л/2	2^cos<p
= j dz	dq> \ rf* (r, q>, z)dr =
—27?	arccos ViRa—za/2R °
я/2	2R cos ф	У4^2—r2
= dq> f rdr J f*{r, q>, z)dz =
—л/2	0	_У47^2_г»
0 2Rsin<p	/ 4/?2—z2
= dq> dz j rf* (r, q>, z)dr +
—л/2	—2R	0
Л/2 2Rsinq> V4Ra—z1
+ J dq> dz rf* (r, q>, z)dr +
0	—2R	0
0	— 2R sintp 2R cos
+ dq> j dz rf* (r, q>, z)dr +
—Л/2 2R sin q>
Л/2 27?sin(p
dtp dz
0	—27?sinq)
0	2R
+ J dtp dz rf*(r, q), z)dr +
—Л/2	— 2R sin <p 0
Л/2 2R V 4R‘—za
+ dq) dz rf* (r, q>, z) dr.
0 2R sin ф 6
0
2R cos <p
rf*(r, Ф, Z)dr +
6
V 4R2—r2
2л л/2	4a sin i|>
317.	d(p j cos^dii? J	ty)dr =
0	n/6	.0
2 л	2a	л/2
= dq/J r2dr j cosH)/’ (r, q>, ^dty-h 
б	0	n/6
2л	4a	л/2
+ dq) r2dr	cos tyf* (r, q>, Ц1) d^ —
0	a,	arcsin(r/4a)
Л/2	2л 4asin'ip
= j ’ cos i|)di|j' j dq) у r2f*(r, q), H))'dr =
Л/6	0	[0
174
л/2	4а sin гр 2л
= COSlpdAp r2dr^\J*(r, ф, А|))с(ф =
Л/6	О	о
2а	2 л	л/2
= r2dr /ftp cos гр/* (г, ф, гр)/ftp 4-
О	6	л/6
4а 2л	л/2
+ r2dr dtp	cos гр/* (г, ср, гр) dty =
2а О arcsin‘(r/la)
а	п/2	2 л
= r2dr J cos грс/гр j* f* (г, ср, ip) d<p +
6	л/6	о
4а	'Л/2	2 л
+ f r2dr cos грс/гр [* {г, ср, гр) dcp.
2а	arcsin(r/4a)	О
2л л/2	R
318.	у dtp	cos грс/гр у r2f* (г, ср, гр)с/г =
О arcsin (1/3)	R/3sini|>
2л R	л/2
= у d<p J r2dr у cos гр/• (г, ср, гр) dty =
О R/3 arcsin(/?/3r)
Л/2	2л R
— cos грс/гр у dcp r2f* (г, ср, гр) rfr —
arcsin(l/3)	О	7?/3sim|j
л/2,	R	2 л
= у cos грс/гр r2dr /’ (г, ср, гр) dcp =
arcs! п( 1/3)	J?/3sla4>	О
R	л/2	2л
= у r2dr [ cos грс/гр у /* (г, ср, гр)<Ар =
R/3 arcsin (R/Зг)	О
R 2л	л/2
= у r2dr dtp j* cos гр/* (г, ср, гр) с/гр.
R/З О arcsin (R/3r)
2л	arctgf(///^)	Т^/соз-ф
319.	chp J cos грйгр г2/* (г, ф, ip)dr +
0	0	о
2л	л/2	///sin гр
+ У dcp	cos грс?гр г2/* (г, ср, гр)с/г =
О	arctg (Н/Я)	О
2л	R л/2
= У dcp r2dr cos гр/* (г, ср, гр) с/гр +
оо о
2л Н	л/2
+ dcp у r2dr у cos гр/* (г, ср, гр)с/гр+
6 R arccos (R/r)
2л	/R2+W!	arcsin (H/r)
+ у dtp r2dr у cos гр/* (г, <p, гр) dty =
О	H	arccos (R/r)
175
arctg (/7/R)	2л R/cosip
=	cosdtp	r2f*(r, tp, t|>)dr +
0	0	0
Л/2	2л	H/sintp
+	costpd^^ dtp	r2f* (r, tp, t|))dr =
arctg (W/R)	о	0
arctg (7//R)	R/cos ip 2л
=	cosApd-ip f2dr J /* (r, cp, ^)d(p +
o	oo
л/2	/У/sin i|> 2л
+ j cosipdt|) r2dr f f* (r, tp, "ф) dtp =
arctg UI/R)	0	0
R	2л	л/2
= r2dr dtp cos4/*(r> ф, 'Ф)^'Ф +
0	0	0
H 2л	л/2
+ j r2dr j* dtp J costpr (r, tp, i|/)d^ +
R 0 arccos (R/r)
V/iiJi~Rt 2л arcsin (H/r)
+	[ r2dr dtp J cos ip/* (r, tp, tp) d^ —
H	6 arccos (R/r)
R л/2	2л
= J r2dr cosipdip f* (r, tp, 4>)dq>-|-
oo d
H	л/2	2л
+ \r2dr j costpd^ f* (r, tp, tp) d<p +
К arccos (R/r)	0
///«+«•	arcsln(///r)	2л
+	\ r2dr § cos dtp f* (r, tp, t|))dtp.
n	arccos(R/r)	6
4	л/2	(4—z)/4[(coscp)/2+(sin<(>)/3)l
320.	dz dtp	rf* (r, tp, z)dr.
0 o'	0
H 2я	V z	1	л/4 l/cos<p
321.	dcp^r/*(r, q>, г) dr. 322. dz dq? rf* (r, z)dr +
6“ о о	о a о
1	л/2	l/sln<p
+ § dz dtp rf* (r, tp, z) dr.
0	Л/4	0
Я/4 2Rsincp	V 2rRstn<p—r*
323.	dtp rdr	f*(r, tp, z)dz-j-
0	0	—Vr2r/?sin(p—r*
П/2 2Rcoscp	V2rRcosq>--r*
+ dtp rdr	f* (r, tp, z) dz.
0	— V 2rRcos<p—r1
176
—л/3 2acos(p	(а8—г8) /а
324.	dtp rdr *\	/*(г, <р, z)dz +
—л/2	6	6
л/3 а	(а*—г-')/а
+ § dtp r dr § f* (г, <р, z)dz +
—л/3 О	О
л/2 2acos<p (а1—г1}! а
+ dtp § rdr \	/*(г, <р, z)dz.
л/3	6	5
6 2л	V (48—z2)/(3+cos2<p)
325.	\>dz \ dtp	rf* (г, ф, 2) dr.
°	°	/2г/(3+cos!<p)
2л /3	/744
326.	dtp \ rdr /*(г, <р, z)dz +
О	О	_ У 75Т1
2л	5//3	5—г/3
+	dtp	г dr	f* (г, <р, г) dz.
° Уз	г/З—5
л/2	л/3	12/(6cosq)cosi|)-|-4sin(pcos^+3sim|))
327.	dtp cos Ц) d^	r2f*(r, <р, 'Pfdr.
об	о
2л	п/2	4J?sinip
328.	J dtp cos г|) di|) r2f* (г, <р, ^)dr.
О	л/3
2 л	л/6	27?sini)>
329.	V dq> J cos г|) dip J r2f* (r, <p, ip)dr+
oo	о
2л	Л/2	R
+ j dq) cos Ц) di|) § r2/* (r, q>, Ц)) dr.
О	л/6	О
2 л	л/2	2/<?.1п-ф
330.	dq) cos 1|) dty r2/* (r, q>, 'ф) dr.
О	л/6	R
л	—л/4	2/?sin(j>cosi|)
331.	dq) J cosH)di|) } r2f* (r, q>, i|>)dr-|-
0	—л/2	0
л n/2	2#slncpcosi|)
+ dtp § cos Ц) di|) r?1f* (r, q>, г|)) dr.
о л/4	b
л л/4	2iRsinq)cos^
332.	V dtp cos^d^ r2f*(r, q>, i|))dr.
б	— л/4	6
2л	л/2	4sini|)+ V 16sin2iJ:—8
333.	dq> cos i|) dty § r2f* (r, q>, ^)dr
о	Л/3	4sin<|>— V 16sln*1p—8
177
2 х	4—х2	4	V2x-\-2	4—x
334.	dx ^dy [ f(x, y, z)dz. 335. dx dy f(x,y,z)dz
о —x О	-1	_/ 2x^2	0
2	2— /4—(x—2)2	(4—x!—y2)/4
336.	dx § dy	f (x, y, z) dz +
6o	0
2	2—x	2—х— у
+ \dx	dy § f(x, y, z)dz.
0	2—/4—(x—2)2	0
0	V 4—x2	4—x2—y2	2	2—x
337.	\dx dy f(x, y, z)dz-\-^dx [ dy x
—2	—2—x	0	0	_ VV^x2
4—x2—y2
X f(x, y, z)dz. При замене x = (u + u)/]/2, z/ =
о
12	/4—u2	4—u2—v2
= (u—v)/^2 имеем du § dv f* (u, v, z) dz.
—Vi	—V 4—u2	0
2л
338.	При замене x = x, z/ = rcoscp, г = r sin ср имеем dtp x
6
4	r	4	2 л	1r 5x— 4
X [rdr \ f(r, <p, x)dx или\ dx [ dtp rf (r, <p, x)dr.
i (44-r*)/5	16 X
л/4 a V^co=2(p 4r2/a
339.	d<p ? rdr /’(r, <p, z)dz.
—л/4	0	0
1	(1—x)/4(l-f-x)	4xy
340.	dx	dy \ f(x, y, z)dz +
QUO
1	(1—x)/4	1—x— 4 у
+ \dx § dy $ f(x, y. z)dz.
6	(1—x)/4*(l+x)	u
F5n/4	3/ / l-|-sin2<j	3—г У 14-sin2<p
341.	^ dtp \ rdr [ Г (r, tp, z)dz.
Л/4	О	0
3
При замене x = 3rcos<p, z/ = ^=-rsinw имеем
n4-arctg2 1	3—3r
j d<p f rdr /*(r, cp, z)dz.
arctg2 0	0
2	V16—y2	4
342.	dy dx^f(x, y, z)dz.
—2	_ / j 6_^	у2
178
1 /3 X	Хг—у2	I X	хг—у*
343.	\ dx \dy f(x, у, z)dz-p- dx dy \ f(x, у, z)dz.
6	—х О	1/3	2х— 1 О
л/4 b r/cos2q>
344.	dop\rdr	/*(г, ф, zfdz.
а —rlcos2(p
О 2л K2+z2	1 2л У2Й-22
345.	dz|^ dtp rf*(r, <р, zjdr+^dz^ dtp rf*(r, q>, z)dr.
-1 О _t?3z	OO узг
346.	При замене tj = г sin гр, х — г cos гр cos ср, z = rcosipsinq) имеем
2л л/3	2asini|>
d<p cos гр d)p § r2f* (г, q>, гр) dr.
0	0	о
—л/3 2acosq>	У2агсозф—г2
347.	dq) rdr	/*(г, <р, z)dz +
—я/2	О	—V^arcoscp—г2
л/3 а	УЗагсовф—гг
+ [dtp г dr	f * (г, q>, z) dz +
Я/З 0	— У 2arcoscp—г2
л/2 2acos<p	V 2arcosq>—г2
+ § dq) rdr	f* (r, q>, z)dz.
л/3	0	— V 2arcoscp—г2
2л 1	Н г
348.	а) dtp § rdr § f* (г, q>, z)dz;
О	0^	2r
2 л л/2	l/(sini|>—cosi|>)
6)	dq) cosгpdгp	r2f (r, q), гр) dr,
0	arctg2	l/(sinip4~cosi|>)
I ЛИ
1 2л г/2	2 2л г/2
dz dq)	rf * (r,q), z) drdz \ dop rf* (r, <p,z)dr^
2/3 б	1—z	1 б z—1
К V R‘—zi VR^—z2
349. dz dx f(x, y, z)dy, или
2 л	R	V R2—r2cos<p
dq) rdr J /‘(г, q), y)dy.
°	0	— V R2—r2cos<p
О	2 л	V 3R2—z2
ЗБО. dx^ dq> rf* (г, q>, x)dr +
— /ад 0	0
Т«/2	2л	V 3R2—х2
+ dx § dq) rf* (г, q>, x)dr.
°	0	/Rx/2
179
Зл/2 — acostp (r+acosq))/cos<p
351.	[ dq) j	rdr §	f*(r, <p, z)dz, или
л/2 О	О*
а Зл/2 — (а—z)cosq>
?dz J	dtp	Jj rf*(r,	q>, z)dr.
О л/2	О
Va (a—</’)/2 x
352.	dy	dx§f(x, y,	z)dz-\-
+ $ dy dx f(x, y, z)dz.
~Va (a-if)/2	О
2л a	(2a’—r')/a
353.	J dq) rdr	f*(r, q>, z)dz +
o о 6'
2л 4a/3	4a—3r
+ j	dcp \ rdr	J	f*(r,	q>, z)dz.
a	a	О
354.	355.---------------L	356.	Al 357.	_A_ 353. ^в(з_у2).
3	3	6	1280	5 v
359.	-5^. 360. — ab<fi+i . 361. — abc2.
4	4 m + 3	4
362.	In (1 + 1/2)—7). 363. — nR5.
9ab	64
364.
366.
367.
368.
-^(18/3:--^). 365.
Г (p + 1) Г (7 + 1) Г (г + 1) Г (s + 1)	'
Г (P + ? + r + s + 4)
— (б]/Ъ—a^a ) —L--------Ain — .
3 r V Yc Yd m
29л~|/2а3 ^3g9 пУ1^(з^2У5). 370. -^-(2 —1/2).
192	12	2
9 ла3
371. — ir7?3(cos4a—cos1 ₽). i372.	373. — ла3. 374. —.
3	=	12	3	6
375. -— a3. 376.	377.	378.	. 379. -^-a3.
360	60	21	168	315
380. ла3. 381. — a3. 382.	383. — (1—
24	3	12	3	’
384. —a3. 385.	386. — ла3. 387. ^=- 388. —
3	6	3	ЗУЗ	27
3 /-----
389. —. 390. —. 391. s/ —. 392. A nV.
60	5	5p » p2	9
393.: ЛА 394. _J_	3g5	g96
J 12 ’	360 h» '	3 k ’	3 k
180
397, —398. —399. _L f J-------------------------------L\.
,3; k2	80 h	3	\ л л3 ,/
400. — abc. 401. — abc. 402. — abc (— + — ) (— + —Y
3k	18	64	\ h k ) \ h2 k2 J
/ a \«
лло	я t, \ b /	л21/3~’аЬс2 / а2 . b2 \
403. ----abc —-------г—. 404. ——----------------------.
64 2L , _L	27 p \ h2 k2 /
h + k
4ac 4л Д/З abc2 Г ас , ( a2 b2 \ /	, ak л \ 1
405. ------------------к------------! arctg-----------) .
27 p [ hk \ h2 k2 ) \	: bh 4 ) J
406. ~^—a3. 407. — (b1 —a4)/—--------Yn~. 408.	a3.
864	4 j	\ q . p ) a	8
409. у a3. 410. -^-(a4~b) (5a2—2ab + 5b2). 411. nabc2.
412. —abc. 413.	414. 54л. 415. —. 416. —.
35	3	2	3
173/2 1	Q9w	nt	31
417.—-------!_ 4i8.	419. 2_ 420. -—ла5. 421. a3.
2	3	12	24
422. -|-ла4. 423, 12jW*3- 424.	425.	(.3^2 + 2№).
426. -^y^-’(cos6a—cos6P). 427. “~~P- 428. M = abc$>; Sox--
= -^-(b2 + c2); ^Oy = ^l(a2 + C2); tf0Z=M(a2 + b2).
О	О	О
429
~	28-101	2’0.41	20-41
Sox =———Pl e/'oy = -——P, qJoz = ———p.
1	63	315	315
430. M=-^-nabcp; S ox = — M (b2 -f-с2); е70У = —Л4(а3 + с2);
3	5	5
<J70Z = -^M(a2 + fe2). 431. M = —Sox = ~ M;
5	15	21
&0Y==^a2M-, <Soz = ~a2M. 432. .,7^ = -^.
3	9	6
433. <SOz = 4лр. 434. Soz= 435. -a^P...(g-+-b.2X
6	60
436. Soz= (a2 v' . 437. Soz =	(1 — sin a)2 (2 4- sin ct).
715	15
438. ‘&oz= -^(61/3- 10). 439.^2-
15 r	140
3^- I 1 \
3	2 /9 Г3 I —
440.	Soz=------3 7 . 441. M=2nVZ=p; S'ox=Soy
o	4U5
= 4" (4a2 + 5b2); <7oz = —(4a2 4-3b2). 442. М = Гя/№ p;
8a	46	3
181
x№k2 З/i2	3h2k2 .. •	.. лра3
еХуу=-------=------M', су г? =------Al. 443. M =--------,
XY 5	5	20	2
„ Ala2 ...	..	1	.	„ Ma2
<Ухг — &ху-- —  444. M — abcp, qj YZ— .
6	6	io
16 Ala2
627
_--_8_-.5V2... (fr5-as)p.
p; =
10
k—коэффициент
R2M ,
= —----, где k—
6
коэффициент пропорциональности. 452. x0 = — yo—0; z0 =
10	..-г.	n	а лсл	2	7
= -^-- 453. x0=y0=0, z0 = —. 454. x0 = y0= —, 2o = -^~-
445. M=- V?Xr2 f-Ц; d/Xy
648	< 4 1
446. М = л fe3"a3 (2 —]/2)p,
M=J5n^p; ^y=^L[a2M
=	450. Л4=:_^1
20	3
пропорциональности. 451. M = nHRk, &
447.
449.
455.
461.
463.
465.
e-- xy
30
448. M = ^-
3
S = 2M, где
D	2
*o = i/o=Zo = v 456- A'o = //o = °> Ч =	457. xo = z/o = O,
£>	i
„ I	1 -v =4 C- 459> ХО = Уь =
4	4	4
.„n	21	21 ,	21
. 460. x0 =-------a, ya =-------b, z0
128	128
7
30
c. 458. x0 = —a, y0 — —b, z0 =
7
—. 460. x0 =--------с,	-u
20	128	128	128
2	2	9	__ ।
— a, y0 = — b, z0 = -— Vab. 462. xo=z/o=O, z0=—a.
О	О	OZ	z
Q	QtT/7
x0 = yo = 0-, z0 = -~/?(l+cosa). 464. x0 = y0 = z0 = ——.
8	448
л	9a Ллл	5a	7
Xo = #u = O, 2o=^r. 466. xo = yo = — , Zo = —
ZU	1Z	1 z

= 0,

C.
+> = -
о
a.
467. xo=z/o = O, z0 = -A- (6 /3 + 5) a. 468. M = ^-, *o =
= 221(11 /2—8), J/o = —(/2 + 4), z0= 1Ц15+.1-1.1Л211".2.
675 r	675 4	. .	90
469. x0=z/o=0, z0= —K1/1+1L a. 470. На перпендикуляре,
83
опущенном из центра шара на основание сегмента на рас-
стоянии г2/2+от центра шара. 471. х0 = г/0 = 0; z0 = -^-.
4”	4
472. а) М--—nka2, x0 = yo = 0, z0 = — а; б) M=2nka, xQ=y0=
3	5
= 0, где k—коэффициент пропорциональности. г0 = -1-.
182
473.
476.
483.
502.
507.
510.
514.
Fz = 2n[)(R + h— VR2—h2). 474.	=	(/—/г). 475. —.
/	3
!2	л77 : n (n - 1)|	Hn^aP
(«-1)!(2п+1Г 477-;~T~- 48°- nT(JL\ ’
\ 2 У
—— л2р27?5. 484. 2a"	. 485. Сходится при 1 < р < 2,
15 гШ
расходится при р = (—оо, 1] (J [2, -|- оо). 486. Сходится при
р<2, расходится при р^2. 487.“Сходится при —+ —4-
р q
+ ' - > 1, расходится при ~ + —+ —^1. 488. Сходится
г	р q г
при р>3, расходится при р^З. 489. Сходится при р>3/2,
1	1	1
расходится при р^З/2. 490. Сходится при —+ —+ —<1,
р	q	г
расходится при —+ — + — >» 1. 491. Сходится при р<2,
р q г
расходится при р^2. 492.4 Сходится при — 3/2<р<3,
расходится при —оо, —3/2] □ [3, +<эо). 493. Расходит-
ся. 494. 0. 495. Расходится. 496. 0. 497. 2]^л. 498. Расхо-
дится. 499. -^-arctg2. 500. Расходится. 501. 2л(]/2п—]Л2/п).
Расходится, 503. л2. Указание. Использовать, что
+°°
г s n«x.	_ _д sjgncc 5Q4. Q 505. Расходится. 506.
о
Расходится. 508. JXl дЗ/гра /_]_ \ 50g. Расходится.
3	\ 4 /
-^Г3 (—V .511. -^r2f—'l 512.	----X 513.
,16	\ 4 У	8	\ 4 /	\ 2	'
Расходится. 515. 2л + X.
0.
ГЛАВА II
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
ПЕРВОГО РОДА
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Определение. Пусть L=AB— кусочно-гладкая кривая в
Д)3 с концевыми точками А и В. Набор несовпадающих точек
этой кривой йо, ai,...,an, занумерованных в порядке следования
от А к В : а0=А, ап=В или от В к А : а0=В, ап=А, называется
разбиением кривой L и обозначается Т.
Пусть функция f: L-*-R определена и ограничена на кусочно-
гладкой кривой ДсД3 и Т : а0, а\,...,ап — разбиение L. Введем
обозначения: |a>-i, аг-|—длина дуги щ-i, at.
Л4г-= sup f(x),	inf /(х),
xeal_^,ai
п
S(f, T) = J* Л4е|о^_1, аД—верхняя сумма Дарбу;
i=i
п
s(f, T') = ^'	«J—нижняя сумма Дарбу;
i'Al
еХ (/, L) = inf S (f, T)—верхний интеграл Дарбу;
т
$(f, L) = swps(f, T) — нижний интеграл Дарбу.
—	т
Определение. Функция	определенная и ограни-
ченная на кусочно-гладкой кривой Lcz/?3, интегрируема по кривой
L, если &(f, L)=Sf(f, L). В этом случае общее значение интегра-
лов Дарбу называется криволинейным интегралом первого рода
от функции f по кривой L = AB и обозначается j f ds, или fds.
L	АВ
Обратим внимание на то, что поскольку в определении сумм
Дарбу используются величины длин дуг а(=_ь аг-, то эти суммы
не зависят от того, в каком порядке следования нумеровались
точки кривой L = AB при ее разбиении — от А к В или от В к
А. Из этого следует, что криволинейный интеграл первого рода не
зависит от порядка следования точек разбиения, или, как приня-
то говорить, не зависит от ориентации кривой L.
Как видно, определение криволинейного интеграла первого
рода дословно повторяет определение интеграла Римана функции
184
f по отрезку [a, b]aR. Оно является переносом определения ин-
теграла с прямолинейного отрезка на криволинейный. Един-
ь
ственным различием интегралов ^\f(x)dx — f dx и f ds = § f ds
a	[a,b]	L	AB
является «направленность» интеграла [ fdx, т. e. pa-
венство J fdx =— \ fdx и «ненаправленность» интеграла
[a,6]	[6,a]
j” f ds, т. e. равенство j f ds — j f ds.
AB	AB	BA
Основные свойства криволинейного интеграла первого рода
1.	Если функция f непрерывна вдоль кривой L, т. е. бесконеч-
но малому сдвигу по L отвечает бесконечно малое приращение
функции f, то функция f интегрируема по L.
Заметим, что из непрерывности функции f в области D сле-
дует, что f непрерывна вдоль L, Lc.D, но не наоборот.
2.	Если функции h и f2 интегрируемы по кривой L, то функции
g=frf2 и f=aifi + a2f2 при любых числах си, а2 интегрируемы по
L, причем
J f ds == § (ajj -ф a2f2) ds = at fL ds + a2 f2 ds
L	L	L	L
(линейность интеграла).
3.	Назовем две кривые Li и L2 неперекрывающимися, если их
пересечение содержит конечное множество точек (может быть, и
пустое). Если функция f интегрируема по двум неперекрываю-
щимся кривым Ц и Li, то f интегрируема по L=L}\JL2 и fds —
L
— j fds-]- f ds (аддитивность интеграла).
z_2
4.	l-ds = |L|,
L
где |Т| —длина кривой L.
5.	Если функция f интегрируема по кривой L, то функция |/|
интегрируема по L и | f ds I j \f | ds.
L	L
6.	Если функции fug интегрируемы по кривой L и f(x)^.
^g(x) для всех х L, то fds^Agds (монотонность интегра-
L	L
ла).
7.	Теорема о среднем. Если функции f и g интегрируе-
мы по кривой L, g(x)>0 для всех x^L,
а = inf / (%), b = sup f (х),
xGL	x^L
185
то
а g ds < j gf ds C b j g ds,
L	L	L
в частности, a\L\^.^ f ds^.b\L\.
L
Если к тому же функция f непрерывна вдоль кривой L, то су-
ществует точка xq^.L, такая, что
J gfds = f (х0) J gds.
L	L
8.	Если L — простая гладкая кривая, т. е.
L = {r = (x, у, г), г = г(0 = {х(0, у(0. г(0}, t^[a, &]},
re С1 [а, Ь], |г'(01¥=0
и функция f непрерывна вдоль L, то
ь	_____\_____
<\)fds=^f(x, у, z)ds = \/(*(/), y(t), ?(t))Vxt +y't +z't dt.
L	L	a
Пример. Вычислим криволинейный интеграл первого рода
J у ds, где L = AB—дуга кривой у=х2+|х2—х|, Л=(—1, 3),
L
В=(2, 6) (см. рис. 38).
Решение. Дуга L — кусочно-гладкая. Представим ее как
объединение неперекрывающихся гладких кусков: L=LjUL2U^3
= У) = */ = 2х2—х, хе[-1, 0]},
186
L2 = {(x, у) : у = х, хе [О, 1]},
L3 = {(x, у) : у = 2х2—х, хе[1, 2]}.
По свойству 3 имеем, что
f у ds = J у ds + j у ds + § у ds.
L	L.\	L-i	L,%
Интегралы по гладким кускам L\, L2, Ls вычисляются на основа-
нии свойства 8. Соответственно имеем, что
о
у ds= § (2х2—х) У1 + (4х—l)2dx =
* —1
—1
±. С (Z2_1) y^+idt^
Об
—5
= -1- [(2/2-3)]Л2 +1+3 In (/ + р/2+ 1)]
о 2 • о
= _L [—5/2 + 3 In (/2—1)+ 247/26 —3 In (/26 —5)];
у ds = J х У1 + 1 dx =
L,	О
2	_	7
j у ds = j (2х2—х)/1+(4х—I)2 dx =	j' (/2— 1) y^+i dt =
L,	1	3
= -^-[683/50 + 3 In (7 +-/50)—51 VW —31п (3 + /16)].
Откуда получаем, что
\yds = ^ + ~ [247/26 + 3410/2-51 /16] +
J	Z Z
L
+ 31п [(/26 + 5) (7 + 5/2) (/2—1)(/Т0 —3)].
Формула вычисления криволинейного интеграла первого рода
и другие формулы, которые появятся позже, требуют представле-
ния кривой в параметрическом виде (параметризации кривой).
Рассмотрим некоторые наиболее часто употребляемые методы
параметризации.
Пусть уравнение кривой Е(х, у)=0 имеет явную форму у—
=у(х), хе[й, Ь] или х=х(у), уе[с, d] (или аналитически при-
водится к такой форме, т. е. разрешается относительно одного из
переменных). Тогда в качестве параметра обычно берется аргу-
мент полученной явной функции. В первом случае у=у(х), х^
&[а, й] получаем параметрическое представление кривой: L=
=f(*» У)'х=х, у=у(х), хе [а, &]}, во втором — параметрическое
представление: L={(x, у):х = х(у), у=у, у^[с, d]}.
187
Пусть функция F(x, у) представляет собой линейную комби-
нацию двух однородных алгебраических функций от х и у. Тогда,
обозначая через t отношение у/х, получаем параметрическое
представление координат х и у кривой L как алгебраических
функций x=x(f), y=y(t). При этом необходимо только проверить,
что не потеряна точка вида (0, уо), принадлежащая L. Иногда
эта точка соответствует несобственному значению параметра:
О = limx(Z), Уо = limz/(0 (/->-]-оо, —оо).
Пусть уравнение F(x, y)=Q после перехода к полярным коор-
динатам x—r coscp, # = rsinq) или обобщенным полярным коорди-
натам x=ar cos® <р, у=Ьг sin“ ср разрешается относительно г, т. е.
приводится к явной форме г=г(ф), фо^Ф^фь Тогда, принимая в
качестве параметра переменную ф и подставляя выражение г че-
рез ф в формулы x—r cos ф, у=гзтф, либо х=агсоз®ф, у=
— br sin2 ф, получаем параметрическое представление кривой
L--={(%, у) : х = г(ф)со$ф, у = г(ф)51’пф, фен[ф0, ф^}, или L — {x,
у) : х = ш" (ф) cosa ф, у = 6гзтаф, фе[д(,, фЛ.
Таким же образом получается параметрическое представление
кривой L, заданной в совмещенной декартовой системе коорди-
нат, если кривая L задана на плоскости в полярной системе ко-
ординат.
Насколько полученная параметризация кривой L удобна для
вычислений, зависит от конкретного вид? функции F(x, у).
Пример. Запишем параметрическое представление кривой L,
заданной уравнением х3+2х2+у2=3 и условием удО.
Решение. Условие уд-0 дает возможность явно выразить
у(х) : у = ]/3—х3—2х2. Многочлен 3—х3—2х2 убывает на (—оо,
—3/4), в точке (—3/4) принимает значение 147/64>0, затем воз-
растает на (—3/4, 0) и убывает на (0, 4-оо). Поскольку этот мно-
гочлен обращается в нуль при х=1, то функция у(х) определена
для всех хе(—оо,1]. Итак, L=[(x, у):х = х, у =]F3—х3—2х2,
х е (—- оо, 1]}.
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
L, заданной уравнением 1пх—y+siny=O.
Решение. Уравнение 1пх—y + siny=O аналитически разре-
шимо относительно х : х = Функция ф (у) = еи-^У пред-
ставляет собой биективное отображение R—>-R. Отсюда получаем,
что L = {(x, у) : х = ey-s'imJ, у = у, y&-R}.
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
L, заданной уравнением х(х—у)2 + у=0 и условием хд-0.
Решение. Функция F(x, у)=х(х—у)2 + у является суммой
двух однородных многочленов от х и у — третьей и первой степе-
ни. Поскольку равенство х(х—у)2 + у=0 и условие х<-0 показы-
вают, что значения у неположительны, то обозначим через t от-
ношение —у/х. Тогда переменные х и t связаны равенством
х3(1 + £)2=х/.
188
Учитывая условие х>0, отсюда получаем, что
L—{(x, у) : x = Ytl(l+f), У= — £"/£/( 1 + £), *>0}.
Точка (0, 0) соответствует значению £=0.
Пример. Записать параметрическое представление кривой L,
заданной уравнением х4—г/4—6х2у=0 и условиями х^О, z/<X).
Решение. Функция F(x, у)=х4—у4—6х2у является суммой
двух однородных многочленов от х и у — четвертой и третьей сте-
пеней. Обозначая через t отношение у/х, получаем связывающее
х и t равенство: х4(1—£4)=6х3£, откуда следует, что х(£) = 6£/(1— Р),
y(t)= 6£2/(1— £4). Условия х^О, у^.0 выполняются для £>1,
при этом точка (0, 0) кривой L соответствует несобственному зна-
чению £:0 = Игл х(£), 0= lim y(i). Итак,
/->-4-оо	/->-{- оо
[L = {(x, у) :x(0 = 6£/(l-£4), y(t) = 6t2/(l — t4), t>l}.
Параметрическое представление можно получить и переходом
к полярным координатам. Замена x=rcos<p, z/=rsin<p превра-
щает уравнение х4—у4—6х2у=0 в уравнение r4cos2tp—3r3sin2tpX
Xces«p«"O, следовательно, в совмещенной полярной системе коор-
динат кривая L имеет уравнение r=3tg 2ср cos q>. Делая обратное
преобразование, получаем, что
~ = у tg2(p(l+cos2<p), У = -^ tg 2<р sin 2<р.
Условие х<0 выполнено, если tg2q>^0, а условие у^О, — если
се* 2ip<0. Отсюда следует, что
L={(x, у) : x = -|-(tg2(p + sin2<p), =
(2	2 cos 2ф
<р ее (5л/4, Зл/2] j.
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
L, заданной уравнением х2'34-//2/3 = <22/3.
Решение. Функция F (х, у) = х2/3 -|- у212 является однород-
ной алгебраической функцией х и у. Обозначая через t отноше-
ние у/х, получаем соотношение, связывающее х и £: х2/3(1 4-£2<'3) =
=а2/3. Это равенство определяет две однозначные функции хг(1) =
«=а/(1 4-/2/3)3/2 и х2 (£)=—а/(1 4-£2/3)3/2_ Таким образом, кривую L
придется рассматривать как объединение:
L = U12, где = {(х, у) : х (£) = а/( 1 + £2/3)3/2, у (£) =
= а£/(1+£2/3)3/2, £е7?} и 12 = {(х, у): х = — а/(1 + £2/3)3/2,
^(0=-а//(1 + £2/3)3/2, t^R}.
В данном случае удобнее воспользоваться переходом к обоб-
щенной полярной системе координат. Положим x=arcos3q>, у=
189
=arsin3<p, тогда уравнение кривой L примет вид г=1. Обратный
переход к х и у дает параметрическое представление кривой:
£ = {(х, у) : х = асоз3ф, у = a sin3 ф, ф е= [0, 2л)}.
Пример. Запишем параметрическое представление эллипса:
X2 = !
а2 Г i2
Решение. Положим х=аг созф, y=br sin ф, тогда уравнение
эллипса примет вид г=1. Обратный переход к х и у дает пара-
метрическое представление эллипса: L={(x, у)-. х=асозф, у=
=asinq>, фе{0, 2л)} (в частности, простейшим параметрическим
представлением окружности радиусом а с центром в начале коор-
динат является:
L = {(x, у) : х = асо5ф, г/ = азшф, ф е [0, 2л)}).
Пусть кривая LaR3 задана как пересечение двух поверхно-
„ f Fi(x, У> z) = 0,
стен, т. е. системой {	и условиями вида
( Г 2 (х, у, z) = О
ф(х)>0, ф(г/)>0, x(z)>0.
Чаще всего для параметризации заданной таким образом кри-
вой исключают одну из переменных. Геометрически это означает,
что находится проекция L* кривой L на одну из координатных
плоскостей. Плоскую кривую L* параметризуют методами, рас-
смотренными выше. После этого любое из двух уравнений, опре-
деляющих L, дает параметрическое представление третьей коор-
динаты.
L
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
, заданной соотношениями x2+y2+z2 = 2ax, x2+y2=z2, z>0.
Решение. Исключая из системы
х2 + у2 + г2 = 2ах,
х2 + у2 = г2
пере-
менную z, получаем, что переменные х и у связаны соотношением
х2+г/2=сгх, т. е. проекцией кривой L на плоскость XY является
окружность fx—+У2 = —. Простейшая параметрическая
\	2 /	4
запись L* есть х = — + — cost,
2	2
Из уравнения x2+y2=z2 и
+ cos£) = a cos-y-l.
Z =
y = -^-s\nt, t е [0, 2л).
условия гд-0 получаем, что
Чтобы получить гладкое пред-
ставление переменной z, заметим, что в параметрическом зада-
нии окружности L* можно взять в качестве промежутка измене-
ния параметра t любой отрезок длиной 2л; если t е [ — л, л], то
t	f
cos—0 и, следовательно, z = acos—. Итак,
2	2
а ,, ,	а . ,	t
:х= —(1+cosn, ц=—sinif, z=acos—, —л
2	’ J 2	2
190
Пример. Запишем параметрическое представление кривой L,
заданной соотношениями x2 + z2=a2, y2+z2 = a2, х>0.
Решение. Поскольку каждое из уравнений, задающих кри-
вую L, содержит только два переменных, то каждое из них есть
уравнение проекции L на координатные плоскости: первое — на
плоскость XZ, второе — на плоскость YZ. Так как на переменные
у и z не дано дополнительных условий, то окружность y2+z2 = a2
параметризуется простейшим образом:
y = acost, z = asmt, t е [0, 2л).
Из первого уравнения с учетом условия х>0 получаем, что
x=a|cos/|. В отличие от предыдущего примера в данном случае
не удалось избежать негладкого представления переменной х.
Итак,
Л = {(х, у, г) : x=a|cos/|, y = acos/, z — asmt, /е[0, 2л)}.
Решение. Исключая из системы
Пример. Запишем параметрическое представление кривой
£, заданной соотношениями z2=y2+x2, ax=zy, z>0, у^-0.
z2 = y24-x2,
переменную
ах = гу
х, получаем, что переменные z и у связаны соотношением a2z2=
*^a2y2+z2y2, т. е. проекцией L на плоскость ZY является кривая
L*={(z, у) : a2z2 = a2y2+z2y2}. Учитывая условия z>0, y^Q, полу-
чаем, что кривая L* записывается явным уравнением
у = аг/Уа2 + г2.
Из уравнения ax—zy получаем, что x = z2/}/a24-z2. Итак,
, Г/	г’
аг
у = —_Z—Z, Z
: х
Пример. Вычислим \(x-}-y)ds, где L = AB — дуга цикло-
L
иды:
х = а(1—sin/), у = а (1 — cos/), Л = (0, 0), В = (4ал, 0).
Решение. Кривая L состоит из двух гладких кусков — дуг
циклоиды L1=AC и Ь2 = СВ, где С=(2ал, 0) (см. рис. 39). По-
скольку
Li = {(х, у):х = а(/—sin/), у — а(1—cos/), / е [0, 2л]},
L2 = {(x, у) : x = a(t—sin t), у = а(1 — cost), /ее [2л, 4л]},
то для обеих дуг имеем, что
ds	Ух'*4-y{dt = а У 2—2cos/d/ = 2a sin
£
2
dt,
(х у) ds — 2а2 f/— 2 sin- -cos — 4-sin2 — I sin —
2	2	2 / j 2
dt.
191
Следовательно, в силу свойств 3 и 8
2П
J (х + у) ds = (х 4- у) ds + § (х 4-у) ds = 2а2, ( ^/—2 sin -L cos^-4-
L	L,	L„	0
4 л
4-sin2 — 'jsin — dt—2a? C (t—2sin — cos— 4-sin2— ^sin — dt =
T 2/2	J \	2i 2	2/2
2Л
л	Jt	Л
= 8а2 J 2z sin z dz — 2 J sin2 z cos z dz 4- J (1 —cos2 z^
о	б	о
4- 1 бла2 = 8а2 ( 2л H---j 4~ 1 бла2 = —— а2 (1 4- Зя).
\ з у	3
Рис. 39
Пример. Вычислим У х2+у2 ds, где L—петля кривой г—asin3q),
L
лежащая в первом октанте хд-0, у>0 (декартова и полярная си-
стемы координат совмещены).
Решение. Пользуясь формулами связи совмещенных декар-
товых и полярных координат, получаем параметрическое выраже-
ние кривой L:
L = {(x, у): х = a sin Зср cos ср, у — asin Зср sin <р, <р е [0, л/3]}.
.Для вычисления ds воспользуемся формулой из интегрального ис-
числения функции одной переменной:
ds = У r2 + yd<$ = a]/sin23(p + 9cos2 3<р dtp.
Итак,
л/3
У + У* ds = a? sinЗср]/14- 8 cos2 3<p dtp =
L	О
1	2 1'2
=	J yvy? dt -
— 1	—2 /2
192
-^[—•/14-^4-
6j/2	2 r
1-1П (/ + /l+f)
2 /2
—2 /2
= “Ф+^1п(3 + 21/2)[
Следует обратить внимание на то, что, вычисляя ds по форму-
ле ds =	+ Уф d<p, получим, конечно, то же выражение: ds =
= а У sin2 3<р 4- 9 cos2 Зф сйр, но применение формулы ds = ]Лг2 + г'* х
X йф существенно сокращает выкладки.
П р и м ер. Вычислим j (х2 4- у2 + z2)ds, где
L = {(x, у, г): x = a(tcost—sin^), j/ = a(/sin^-f-cos/)» z = W2,
t e [0, 2л]}.
Решение. Так как
x't ——atsint, y't = atcost, z't = 2bi,
TO
ds =	x’'t + yf 4- z/ dt = Уa2 4- %b2tdt
и
2л
j {x2 4- y2 + z2) ds = j (a2 4- a2t2 4- 62/4) /а2 + 4У21 dt =
L	0
= У a2 4- 4ft2 f 2а2л2 4- 4а2л4 4- —— b2n* 'j.
Пусть L — дуга линии F(x, y)=0 в плоскости XY и L кривая
в пространстве, полученная пересечением поверхностей Ф(х, у,
z)=0 и F(x, у)=0 (см. рис. 40). Тогда площадь части цилиндри-
ческой поверхности F(x, у)=0, ограниченной снизу дугой L и
сверху кривой L, вычисляется по формуле
\ z (х, у) ds,
где z(x, у)—функция, определяемая соотношением Ф(х, у, z)=0.
Пример. Найдем площадь цилиндрической поверхности х2+
4-у2=/?2, ограниченной снизу поверхностью	а сверху —
плоскостью x4-y+z=27?.
193
Решение. Площадь данной поверхности S найдем как раз-
ность следующих интегралов:
ф (2R—х — y)ds и § ds.
Поэтому поскольку для окружности радиуса R имеем ds=Rdq>, то
j [(2Я-х-у}-Л
*»+г/’=«2
2я
ds = R§ (2R—7?cos<p—
о v
— R sin ф—cos <р sirup j dq> = R2 (
17 \
л----------
8 У
Пусть скалярная величина P(L) (масса, заряд, количество теп-
лоты и т. п.) распределена на кривой L с линейной плотностью
р=р(х, у, z), тогда P(L)=^p(x, у, z) ds.
L
Если р — плотность распределения массы на кривой L и
r(m)—расстояние точки m^L до некоторой плоскости или пря-
мой Q, то интегралы
^ = Jpr^s, ke^N,
L
называются моментами порядка k кривой L относительно соот-
ветствующей плоскости или прямой. Формально можно сказать,
что масса кривой L является моментом <£ £0) нулевого порядка
кривой L относительно любой плоскости или прямой. Моменты
первого порядка называются статическими моментами, моменты
второго порядка—моментами инерции. Используя запись массы
194
как момента нулевого порядка, выпишем формулы для вычисле-
ния координат х0, уо, Zq центра масс кривой L с плотностью р:
<у(1)	«-(1)	^(1)
г —	?YZ	,, —	xz	,	^XY
°	(0) > Уо „(0)  z0 „(0) •
-'KZ	XZ	у XY
Пример. Найдем координаты центра масс кривой Вивиани:
L = {(x, у, г) : х2 + у2 = ах, x2 + y2-\-z2 = а2, z>0}
с плотностью р(х, у, z)=z.
Решение. Чтобы воспользоваться формулами для вычисле-
ния центра масс, необходимо записать данную кривую в пара-
метрическом виде. Поскольку кривая лежит на цилиндре х2+у2=
=ах, начнем со стандартной параметризации цилиндра: окруж-
ность х2+у2=ах, z=0 может быть параметризована как x = acos2/,
у = a cos t sin t, ie[ — л/2, л/2] и, следовательно, параметри-
ческое задание цилиндра может быть взято в виде
x = acos2/, y = acos/sin/, z = z, t [—л/2, л/2], ге/?.
Связь параметров t и z на кривой Вивиани получим, используя
ТО, что эта кривая лежит и на сфере x2+y2 + z2=a2, откуда сле-
дует, что z2=a2—a2 cos2/, и, таким образом, получаем параметри-
ческое представление кривой L:
L = {(x, у, z):x — acos2t, у = a cos /sin/, z = a|sin/|,
/€=[—л/2, л/2]}.
Из этого представления получаем, что
x't — —a sin 2/, y't = a cos 2/, z' = a sgn (sin /) cos /,
ds — lAi2 + a2cos2/ dt= a j/1 -J- cos2/ dt.
Следовательно,
a7x°y =	= e/xz — J p ds — a2 |sin/| j^l-f-cos2/d/ =
t —л/2
1
= 2a2 $	+ a2 du = ц2 (u ]ЛПн?+In (u +	=
0
= a2 (/2 + In (1 +/2)),
я/2
&Y^=^pxds= J a3cos2/|sin/|}/l 4-cos2/d/ =
L	—n/2
1
= 2as Ju2yi + u2du = Y [(2u3 + u) yT+u2 —
0
195
—In (и + ]/1 +«»)] l? = 4(3 V2—In(1 + 1/2)),
u 4
л/2
&{Xz = РУds = 5 a’cos/sin (|sin/|}/l 4-cos2/Л = 0,
L	—Л/2
n/2
e7xy — ( pz dz = C a3 sin2 i У" 1 + cos21 dt =
= ^Г0-3/4(1_0)1/2 dv = ^B(±t П =
2 J	'	2	\ 4	2 )
Г V (3/2)
Г(7/4)
Итак,
о3 y- 4 Г* (1/4)	_ a3V2 (1/4)
4 Г ' 3 Г (3/4)-Г (1/4) ~ ЗД/2я
x as(31/2-In (1+1/2))	g(3V2-ln(l+V2))
0	4a3(1/2+ In (1 + 1/2))	4(1/2+In(1+1/2)) ’
Уо = О>
g3r3 (1/4)
аГ*(1/4)
0	31/2«4а2(1/2+ln(l+1/2))	12 -|/2n(l/2 + In (1 + 1/2))'
Пример. Найдем момент инерции кривой
L = {(x, у, z) : у = 2 cos %, z = sin2x, x e [0, n/2]}
с плотностью p(x, y, z)=z относительно плоскости XZ.
Решение. Так как расстояние точки т= (х, у, z) от плоско-
сти XZ есть | у |, то
Sxz= \zy3ds.
Для данной кривой имеем
ds = j/1 4- 4 sin2 х + 4 cos2 2х = j/3 + 2 cos 2х 4- 4 cos2 2х dx.
Следовательно,
zy2ds= \ sin2x4cos2xl/34-2cos2%4-4cos22xdx =
(1 4- cos 2x) Т/ 4- (2 cos 2x 4-1/2)2 d (cos 2x) —
196
С (1+г) V -^- + (2г +4)2 <й = 4<3 + 2г + 4г2)3/2Г +
J	у 4	\	2 /	б	j— 1
— 1
2z +
+ _LLln(2z+-i-+V3 + 22 + 4za)	=
= 9 —_5_-/5 + A ( -А_|_ А-/5 + -Ain—А
3 К 8 \ 2	.2	4	21/5
Пример. Найдем силу, с которой масса М, распределенная
равномерно на окружности х2+у2=а2, z=0, притягивает массу т,
помещенную в точке А (О, О, Ь).
Решение. Согласно физическому закону две массы Л4] и М2
притягиваются с силой
F = gM1Mi
где g— гравитационная постоянная и г — расстояние между точ-
ками, в которых находятся массы.
В нашем случае из соображений симметрии можно сделать
вывод, что Fx=0, fy=0, так как точка А (О, О, Ь) одинаково уда-
лена от всех точек однородной окружности. В силу этого вектор
f направлен вдоль оси OZ в отрицательном направлении. Пусть
точка М(х, у) принадлежит элементу окружности ds. Этот эле-
мент действует на массу, помещенную в точке А с силой, верти-
кальная составляющая которой равна
м
g —— ds mb
2па
(Z>» + xa+i/»)3/2 ‘
Суммируя по всем элементам ds, имеем
। р । _ gMmb ________ds______
2ла J (& + х* + у*)Ы2 ’
где L = {(x, у): х2у* ~ а2}, переходя к параметрическому заданию
окружности
L = {(x, у) •. x — acost, y = asmt},
получаем,что
2л
I Fl — &тМЬ С ______ «_____ л_ gmMb
2па J Тб»4-с2)3/2	~ (Ь» + а*)3/2'
о
197
§ 2. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Определение. Пусть S — кусочно-гладкая поверхность, ле-
жащая в 7?3. Конечный набор кусочно-гладких кривых у, лежа-
щих на S, назовем разбиением Т поверхности S. Части S, (l^i^
поверхности S, полученные при разбиении Т, назовем участ-
ками разбиения.
Заметим, что как для поверхности S, так и для всех участков
разбиения St-,	определены площади | S | и |S,|.
Пусть функция f: S-*-R определена и ограничена на кусочно-
гладкой поверхности Зе/?3 и Т — разбиение 3. Введем обозна-
чения:
= sup f (х), х е Sj, mi — inf / (х), xeSi;
S (j, T) = ^ Mt |S/| — верхняя сумма Дарбу;
i=l
n
s(f, T) = ^77ii|Si|—нижняя сумма Дарбу:
е/ (f, S) = infS(f, Г)—верхний интеграл Дарбу;
т
S) = sups(f, Т)—нижний интеграл Дарбу.
— т„
Определение. Функция f:S->-7?, определенная и ограни-
ченная на кусочно-гладкой поверхности Зе/?3, интегрируема по
поверхности S, если 3 (f, S)=tf(f, 8). В этом случае общее зна-
чение интегралов Дарбу называется поверхностным интегралом
первого рода от функции f по поверхности S и обозначается
И WS.
S
Определение поверхностного интеграла первого рода перено-
сит определение двойного интеграла Римана по плоской лежащей
в R2, области на кусочно-гладкую поверхность 8, лежащую в R2.
Основные свойства поверхностного интеграла первого рода
1.	Непрерывная на поверхности 8 функция f интегрируема
по 8.
2.	Если функции fi и f2 интегрируемы по поверхности 8, то
функции g—fifs и f=aif 1 +a2f2 при любых числах щ, а2 интегри-
руемы по S, причем
f ffdS= f f (aj, + «Л) dS = аД f AdS + aa	f2dS
s "s	s'	s
(линейность интеграла).
3.	Назовем две поверхности Si и 32 неперекрывающимися, ес-
ли их пересечение представляет конечное множество кусочно-
198
гладких кривых (может быть, и пустое). Если функция f интегри-
руема по двум неперекрывающимся поверхностям Si и 32, то /
интегрируема по S=S!|JS2 и
+ J J fdS (аддитивность интеграла),
s s, s,
4.	уу 1 • dS= |3|,
где |31 —площадь поверхности.
5.	Если функция f интегрируема по поверхности S, то функция
|f| интегрируема по S и	1/1
s "s
6.	Если функции fug интегрируемы по поверхности S и fix)
^g{x) для всех хе 5, то
У У fdS^$ gdS (монотонность интеграла).
s	S
7.	Если функции fug интегрируемы по поверхности S, g(x)^O
для всех х е S, а = inf f (х), b = sup f (х), то а ( f
*€S	xes
^bj^gdS, в частности
s
s
a
Если к тому же функция f непрерывна вдоль поверхности S,
то существует точка x0^S, такая, что
J J gfdS = f (х0) J J gdS (теорема о среднем),
s	s
8.	Пусть S— простая гладкая поверхность, т. е.
S = {г = (х, у, г)}: г— г (и, и) = {х (и, v), у (и, о), г (и, v)} (и, о) е D,
где D — жорданова область в 7?2, reC'(D) и ранг (r') = 2(([r’X
XrJ)^0).
Если f: S->7? непрерывна вдоль поверхности S, то
[J fdS — JJ f(x(u, v), у (и, v), 2 (и, v))VEG—F2 dudv,
s	D
где
£ = «- r'u)= KI2- G = K  Q = KI2, F = (r'u -rv).
В частности, если поверхность S задана явной функцией z=z(x,y):
S = {(x, у, z):z = z(x, у), (х, y)^D},
199
DczR2—квадрируемая область, геС1(О), то
(х, у, г(х, у)) Vl + (z^)2 + (z^sdxdy.
S	D
Пусть скалярная величина P(S) распределена на поверхно-
сти 5 с поверхностной плотностью р=р(х, у, z), тогда
P(S)= JJp(x, у, z)dS.
s
Интегралы
&q} == j J р (х, у, z) rkdS, k<=N,
s
где p(x, у, z)—плотность распределения массы на поверхности
5 и г(т)—расстояние точки от m^S до некоторой плоскости
или прямой Q, называются моментами порядка k поверхности S
относительно соответствующей плоскости или прямой. Массу по-
верхности можно считать моментом нулевого порядка относи-
тельно любой плоскости или прямой; моменты первого порядка
называются статическими моментами, моменты второго поряд-
ка— моментами инерции. Координаты хо, Уо, z0 центра масс по-
верхности S с плотностью р(х, у, г) вычисляются по формулам
уШ
Хо =--Уо = —^, 20 =-------—.
У <яг(°)
yYZ	У XZ	у XY
Пример. Вычислим поверхностный интеграл первого рода
jl^(x + ^4-z)dS, где S— поверхность тела, ограниченного плос-
костью z=0, полусферой Т==}/2а1—х2—у2 и конусом z2=x2+ya
(а>0).
Решение. Так как все поверхности, заданные в условии, яв-
ляются поверхностями вращения относительно оси OZ, то сде-
лаем чертеж меридионального сечения данного тела (см. рис. 41).
Рис. 41
200
Из этого чертежа видно, что поверхность S состоит из трех глад-
ких поверхностей: части плоскости
= {(х, у, z):z = 0, х2 + у2 < 2а2},
части полусферы
S2 = {(*> У, г):г= У2а2 — х2—у2, а2<х2 + у2 < 2а2},
части конуса
Ss = {(x, у, г):г = ]/75+7, x2 + i/2<a2}.
В силу свойства 3
jJ(x + y + z)dS = jJ(x + y + z)dS +
s
+ K(x + y+z)dS + JJ (x+y+z)dS.
s.	s.
Вычислим отдельно каждое из трех слагаемых, пользуясь свой-
ством 3.
1.	Для Si имеем, что
dS = ]/l+«)2+(z„)2 dxdy = dxdy,
*( следовательно, в силу симметрии области интегрирования и не-
четности подынтегральной функции
JJ(x + y + z)dS= Jj {x + y)dxdy=0.
S,	хч4«<2а«
2.	Для Sz имеем, что
г;=-7-	^/i+K)2+(z;)2dxdy=A^- dxdy
и, следовательно,
ДО^+К+г)-»- ДО ['+|)°Г2^-
= а3л "|/2.
3.	Для 53 имеем, что
zx = у, z'y =	dS = У1 + (zx)2 + (z')2 dxdy = У2 dxdy
201
и, следовательно,
jy(* + y + z)dS = V2 jj (x + y + ]/rx2 + y2)dxdy =
S,	х’4-у><а*
2я a
= /2 J dtp J r2dr = 2a3jI3^2-.
о 0
Итак, окончательно,

Пример. Вычислим j J z3xy2dS,
s
где S—часть поверхности ци-
линдра x2+y2=2ax, лежащая внутри конуса y2+z2=x2 и выше
плоскости z=0 (a>0).
Решение. Запишем поверхность S в виде
•S: {(х, у, г): х2 -|- у2 = 2ах, у2 -j-z2 =Сх2, г^О}.
Как уже говорилось раньше, наиболее простым и часто употреб-
ляемым способом параметризации цилиндра с образующими, па-
раллельными оси OZ, является следующий:
х = х(/), y = y(t), z — h, t е [а, Ь], h<=R,
где х = х(/), y = y(t), /ее [a, 6]
— параметрическое задание линии пересечения этого цилиндра с
плоскостью XY. В данном случае таким способом получаем пара-
метризацию цилиндра:
x = a(l 4-cos/), у — a sin/, z — h, t ее [0, 2л], h е R.
Чтобы найти область D значений параметров t и h, перейдем к
переменным t и h в неравенстве y2+z2^.x2. Получим неравенство
a2sin2/ 4-Л2^^ 14-cost)2, или h2^.4a2cos/cos2-—-. Последнее не-
равенство показывает, что cos/>0, т. е. /е[—л/2, л/2]. Итак,
S:(r = r(t, h)), / се [—л/2, л/2], Ле ^0, 2а cos -у VZcos t ,
r(t, h) = (a(l -|-cos/), a sin/, h).
Отсюда получаем, что
r't = (—asin/, acos/, 0); r'h= (0, 0, 1);
£=lr'|2=a2. G=|rj2=1; F=(r;.^)=0;
dS = VEG—Pdtdh = adtdh.
202
Следовательно,
J § z3xy2dS = у j hsa3 (1 + cos f) sin2 tadtdh =
s	D
2a cos — /cos t
Л/2	2
= a4 J (1	+ cos Z)sin2 tdt	§
—Л/2	0
Л/2
cos t) sin21  16a4 cos* — cos2 tdt =
’	2
-Л/2
Я/2	Я/2
— as J (1 4-cos t)3 sin21 cos2 tdt = 2a8 J [cos21 sin21 +
-л/2	0
4- 3 cos31 sin2 /4-3 cos41 sin214- cos61 sin2/] dt —
Г (3/2) Г (3/2)	3 Г (2) Г (3/2)	3 Г (5/2) Г (3/2)
Г (7/2)	Г(4)
' 5п 20 1
16 + 21
= а®
Г (3)
Г (3) Г (3/2) 1 д8
Г (9/2)
Пример. Вычислим
где S — поверхность, полученная при вращении дуги параболы
x=acos4/, y=asin4/ относительно оси ОХ (а>0).
Решение. Обозначим во избежание путаницы через х*(/) =
=acos4/, y*{t)=a sin41 параметрическое задание кривой на плос-
кости XY, а через х, у, z—координаты точек в пространстве
XYZ. Воспользуемся выведенными раньше (при рассмотрении
площади поверхности) соотношениями: если поверхность S, полу-
ченную вращением вокруг оси ОХ кривой x*=x*(t), y*=y*(t)f
te[a, б], параметризовать следующим образом:
x — x*(t), у = у* (/) cos ср, z = у* (/) sin <р, (е[а, Ь],
Ф [0, 2л],
то
dS=YEG—F2 dtdcp = |t/*| dsdq,
где ds = Y(x*')2 + (y*i')2dt—дифференциал дуги кривой x = x*(t), у==
(/)•
В данном случае получаем, что
S = {(x, у, г): х = a cos41, у = a sin4/ cos ф, г = a sin4 / sin ф,
203
t e [0, л/2], <p e [0, 2л]};
ds = 4a }/ cos* t sin41 + sin* t cos41 dt —
= 4a cos t sin?Уc°s4 + s'n4t dt;
dS = 4a2 sin51 cos t/cos414- sin41 dtdy.
Следовательно,
2я я/2
S	0	0
4a1 sin11 cos t К cos414- sin4 t
cos4/+ sin41
Я/2
» f (1 — cos 2/)1 sin 21
= ла* i —1—=z^zzzz^zzr
0 +
ла1 f (1— г)а .
/2 J Vl+г*
—1
Г	d2 = -^L-[zVl+Z2 + In|z + yi+z2|]lLi =
/2 J Vl + z4 2/2 1	1 r 1
= ла4(1 + -bln(l+Z2)V
Пример. Найдем координаты центра тяжести части сферы
x2+#2+z2=a2, лежащей в первом октанте х>0, «/>0, z>0, если
плотность р(х, у, z)=z2(a>0).
Решение. Запишем рассматриваемую часть сферы в виде
5 = {(х, у, г):г = Уаа—х2—у2, (х, у) е= D,
D = {(x, у):х^0, у>0, х4 + у4Ха4}}.
В таком случае
?;=	, ?_= ds=yi+(z;)2+(z34 dxdy = ^-dxdy,
* г 9 г	у	z
zadS = J j а Уa2—x4— ya dxdy =
D
Я/2
_	(aa-r^2 • — “ =
2	3 о 6 ’
a/W = JJzp(x, y, z)dS=^
s	s
23dS ==	a (a2—x2 — z/2) dxdy =
D
n/2 a
C , C ! *	-я\ j яаГа4 a4] na1
= a \ dtp j (a*r—ar^)dr= — |^-----^]=-^
о о
294
_	__ За
0 М 4
= [f Р (X, у, г) yds = j j yz3dS =
s	s
= f f ayVa3—x3—y3 dxdy = aj(—(a3—x3 — y3))3'3  ~
0
Л/2
x2)3/2 dx = ~~ § cos* tdt =
о	о
а5|	1 Г (5/2) Г (1/2) _ паь
Г (3)	16 ’
Vа’—х‘ ,
dx—
D
а
3	2
у xz
За
У°~ M ~ 8 ’
a/Vz = Р (х, у, г) xdS = xz3dS =
s	s
= ^J ах Уд2—х3—у3 dxdy = -^~,
D
. __ W „ За
0 М 8
ЗАДАЧИ *
§ 1. Параметрическое задание кривой
Написать какое-либо параметрическое задание в виде L=
={х(0> f/(0, t&T} следующей линии (если кривая задана урав-
нением в полярной системе координат, то х и у есть координаты
точек этой кривой в совмещенной декартовой системе):
1.	отрезка АВ, соединяющего точки
а)	А(1, 2) и В( —1, 3);
б)	А (2, 3) и В (5, 3);
в)	А(—1, 2) и В(—1, 5).
2.	части параболы у=х2, соединяющей точки А (1, 1) и В(3, 9).
о л х2 У3 1
3.	гиперболы------— = 1.
л2 ь2
• Все буквенные параметры в дальнейшем считаются положительными.
205
4.	V — + 1zz —=1 от точки А (а, 0) до точки В(0, Ь).
г а г Ъ
5.	Х2/5	у2/5 = а2/5.
6.	а) (х + у)2/3 — (х—у)2/3 = а2/3; б) 2(х + //) = (х—у)2.
7.	а2#4 = х4(а2—х2).
8.	(у—х)2 = а2—х2.
9.	х4 — у44-ху = 0 от точки А (}/2/15, 2^2/15) до точки В(0, 0).
10.	х4 = аху2 + ау3.
11.	х3 = аху—ау2.
12.	xe + z/e = a2x4 + 62t/4.
13.	у2 (а—х) = х2(а + х).
14.	r = acos<p.
15.	r = a(l 4-coscp).
16.	r = acos3(p.
17.	г=—<р>0.
1 + <Р
1О s о sin3 Ф
18.	г2 = а2---—.
cos ф
19.	(х2 + у2)2 = 2хг/.
20.	(х2 + у2)3 = 2а4 (х2—у2).
Написать какое-либо параметрическое задание в виде
«=х(0, y=y(t), z=z(t), t^=T} следующей линии:
21.	отрезка АВ, соединяющего точки
а)	А(I, 2, 3) и В( —I, 3, —4);
б)	Л(— I, 2, I) и В( —I, 2, 4);
в)	Л (I, 3, —I) и В (2, 3, 0).
22.	а) x2 + t/2=7?2, z = 2;
б)	x2 + t/2 = /?2, x-\-y — z.
23.	а) x2 + y2-|-z2 = 7?2, х2 + у2=-у-, z>0;
б)	x24-y2 + z2==/?2, х + ^Ч-г = 0;
в)	х2 -г у2 + z2 = R2, x2 + y2 = xR.
24.	x2 + y2 = cz, -^ = tg- от точки Л I — у — у —. — I
до точки В(х0, у0, г0).
206
25.	x2—y2 = 9/8z2, (x — y)2 = a(x4-y) от точки Л (0, 0, 0)тдо точ-
ки В(х0, у0, z0).
26.	х2 +у2 + ?2 = а2, j/x2 + y2ch ^arctg — j =а (z>0) от точки
А (а, 0, 0) до точки В(х0, у0, z0).
§ 2.	Вычисление криволинейного интеграла первого рода
Вычислить криволинейный интеграл первого рода по указан-
ной кривой L:
27.	f———, L есть отрезок АВ, где Л = (0, —2), В = (4, 0).
J * — у
L
28.	J yds, L = {(x, y):y = smx, О^х^л}.
L
29.	J(x2 + y)ds, L есть отрезок AB, где Л = (0, 1) и В = (—2, 3).
30.	J xyds, L есть контур квадрата, ограниченного линиями х ±
L
±У = 1, Х±у= —1.
31.	^xyds, L есть четверть окружности х24~у2=1, .глежащая в
первом квадранте.
32.	J y2ds, L = {(x, у): у= шах(2 ]/х, 2х), 0^х^2).
33.	Jx2yds, L — {(x, у): х = 4cosi, y = sin 2t, х2>0, yi>0}.
L
34.	yds, L есть дуга параболы у2 —2х от точки Л (2, —2) до
L
точки В (8, 4).
35.	J(x4-y)ds, £. = {(х, y):x — acost, y = asmt, 0^?^л/2}.
36.	(4х2—у2) ds, L = {(x, у): х — a cos3 Z, y = asm3t}.
37.	С 4xyfls, L= |(x, у): у — min	tf2.a2—x2Lx^>o],
J	I	\ а	/ J
i.
38.	V (x2 4- У2)" ds, L = {(x, y)-.x = a cos Z,~y = a sin t}.
207
39.	jxyds, L={(x, y):x — t— sin/, y= 1—cosf, /(=[0, 2л]}.
L
ds
40.	I-------, L = {(x, y) :x = cos/4-/sin/, u = sin/—/cos/, 0^
J x24-</2
L
2л}.
41.	j xds, L — верхняя половина кривой г = 1 4-cos<p(0 ^<р ^я).
L
42.	^(x + 4y)ds, L—правая петля кривой г2 = cos 2ср (х 2>0).
L
43.	yzds, L—петля кривой r = acos4<p, пересекающая положи-
тельную ось ОХ.
44.	J |у| ds, L—кривая г = а (2-|-cos ср).
L
45.	(х3 +t/3) ds, L = {(х, у): (х2 + у2)2 = 2агху, х > 0, у > 0}.
L
Г	fl*
46.	\ (2х—z2y)ds, L = ](х, у, г), х — — и —
J	I	2 ’ а
L
= 212/3/2 ? = /, 0</< 1).
3	J
47.	\ (xt-f-y3+za)ds, L = {(x, у, z):x = cos/, z/ = sin/, г = /, 0^
</<2л}.
48.	у t » £ — {(*> !/» z):x = acos/,
€=[0, 2л]}-
z/ = asin/, z = ai,
49.	j (x2 4-^2 + z2)'ds, L= |(x, y, z):x=a(t—sin/), y = a(l — cos/),
£
z = 4asinl-j от точки Л (0, 0, 0) до точки В(2ал0, 0).
50.	^xzds, L= |(r, <р, г): г = а(1-|-созф), г = 4а^1—cos-|-jj.
£
51.	j' уе~хds, L = {(x, у) :х — 1п(1 +^2)> [у = 2 arctg/—/4-3, 0^
£
С/<1}.
208
82.	j*y2ds, L = {(x, y, z), x2 + y2 + z2 = a2, x + y-\-z = a}.
L
53.	j/x2 + y2 ds, L={(x, y, z):x = ]/zcos V~z, y = ‘/z’sin У z} от
L
точки Л(0, 0, 0) до точки В(—л, 0, л2).
54.	j |#| ds, L = {(x, у, z):x2 + y2=z2, х2 + у2 = ах}.
L
§ 3.	Механические приложения криволинейного интеграла
первого рода
55.	Найти массу участка кривой г/=1пх, 0<xi^x^x2, если
плотность кривой в каждой точке равна квадрату абсциссы
точки.
56.	Найти массу контура треугольника с вершинами Л=(0, 0)»,
В=(3, 0), С=(0, 4), если его плотность в точке М(х, у) равна
57.	Найти массу участка цепной линии у — -^(ех/а + е-~х1а), если
плотность р в каждой точке равна kly.
58.	Найти массу полуокружности х24-у2=7?2, расположенной в
верхней полуплоскости, если плотность в каждой ее точке про-
порциональна кубу ординаты этой точки.
59.	Найти массу дуги винтовой линии
x = acos/, y = bsint, z = bt, Q^t^.2n,
если: а) плотность в каждой ее точке равна квадрату аппликаты;
б) плотность в каждой ее точке равна радиусу-вектору точки.
60.	Найти статический момент однородной полуокружности
x2+i/2=7?2, у>0, плотности р относительно оси ОХ.
61.	Найти статические моменты однородной дуги эллипса
х’ у2 .
— + — — I плотности р, расположенной в первом октанте, от-
носительно осей координат (a>b).
Найти моменты инерции однородных дуг L плотности р.
62.	L={(x, у) : к + 2у = 3, 1^х^2} относительно оси ОХ.
63.	£={(х, у): у2 = х, 1^х^2} относительно оси ОХ.
209
64.	L = {(x, у); x2—у +1, O^x^l) а) относительно оси ОУ;
б) относительно оси ОХ.
65.	L —ломаная АВС, соединяющая точки Л(1, 1), В (2, 3),
С (4, —1) а) относительно оси ОХ; б) относительно оси OY.
66.	L — {(x, у) : x = acos/, y = asmt, 0^/^а} а) относительно
оси ОХ; б) относительно оси OY.
67.	L = {(x, y)\x~a(t—sin/), y = a(l—cost), О^/^л/2) отно-
сительно оси OX.
68.	L— {(x, у) : Vx 4-Уу = O^x^aj относительно оси OX.
69.	£.= {(х, у) : х2/3+ y2/3 = a2/3, x>0, y^O) а) относительно
оси OX; б) относительно оси OY.
70.	L= f(x, y, z)-.x = a cos/, y=asin/, z = -^-. 0^/^2nl
l	2n	J
а) относительно оси OX; б) относительно оси OY; в) относи-
тельно оси OZ.
71.	Найти момент инерции витка конической винтовой линии
х —at cos tn, у = а/sin л/, z = bt, 0^/^2л
с плотностью p=kz: а) относительно оси OZ; б) относительно
плоскости XY; в) относительно начала координат.
Найти координаты центра масс дуги однородной кривой L,
если
72.	L = {(x, у) : х2 + у2 = Я2, х>0, у>0}.
73.	L— I(х, у) ; у — ^—{ех/ае~х/“), — а^х^а!.
I	2	J
74.	L= |(х, у) : у =-~ (eJ£/''' + e~’-/a), O^x^aj.
75.	£ = {(х, у) : у2 = ах3—х4}.
76.	L — |(х, у) : х = -|-у2— J-Iny, l^y<2j.
77.	L = {(x, у):х = а(/—sin/), у = а(1—cos/), 0^/^л}.
78.	L = {(x, у):х = а(/—sin7), у = а(1—cos/), 0^/^2л}.
79.	L={(x, y):Vx + Vy = Va}.
80.	L = {(x, у) : х2/34-у2/3 = а2/3) у>0).
81.	L=={(x, у) : х2/3 + у2/3 = а2/3, х>0, у>0).
82.	L = {(x, y):x = acos/, y = asin/, 0^/^р) (0<р<2л),
210
83.	L={(x, у, z) : x = acost, y = asint, z = bt, 0^Z^2n}.
84.	L = {(x, y, z):x = e(cos/, z/ = e‘sin/, z — e(, —oo</^0}.
85.	L = {(r, cp): r=a(l -f-coscp), О^ср^л).
86.	£.= {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 = a2, \y\=x, z>0}.
87.	Найти координаты центра масс дуги винтовой линии.--
x = acos/, у = a sin/, z — bt, 0^/^л,
если ее плотность в каждой точке пропорциональна аппликате,
этой точки.
88.	Найти координаты центра масс дуги
L= {(х, у, z):x = a(t—sin/), «/ = a(l —cos/), z= 4asin-у,
0 ^ / ^ 2л |,
если ее плотность в каждой точке пропорциональна аппликате.
89.	Найти координаты силы притяжения однородной полу-
окружностью массой М и радиусом R массы т, помещенной в
центре соответствующей окружности.
90.	Найти координаты силы притяжения бесконечной однород-
ной прямой плотности р материальной точки единичной массы,
находящейся от прямой на расстоянии h.
91.	Найти координаты силы притяжения дугой астроиды х=
=acos3/, z/=asin3/, 0^/^л/2, единичной массы, помещенной в
начале координат, если плотность астроиды в каждой ее точке
равна кубу расстояния этой точки от начала координат.
§ 4.	Вычисление площади поверхности с помощью
криволинейного интеграла первого рода
Найти площадь цилиндрической поверхности F(x, у)=0, огра-
ниченной снизу поверхностью z=f\(x, у) и сверху — поверхностью
2=Ь(^> у), если
92.	F(x, у) = у2—2х, ft —0, fa(x, у) = У2х — 4х2.
93.	F (х, y) = R2-x2-y2, f1 = 0, f2(x, у) = -%-.
94.	F(x, у) = у^-±-(Х-\)\ /1 = 0, f2 = 2-V7.
95.	F(x,	/1 = 0( /2==я + Л1
/\
211
96.	F(x, y) = x3—y, I^x<2, /\ = 0, /2 = х + у.
97.	F(x, у} —у---— х3, 0^х^4, /\ = 0, /а = х.
8
98.	F(x, у) = х3+у3—ах, fr=—j^a2—х2—у3, ft = Vа3—х3—у*.
99.	F(x, у) = у—х3, f1 — 0, fz = x, O^xs^l, yZ^O.
^2	'
100.	Найти площадь части цилиндра —+— =1, заключен-
а3 Ь2
”	X3 . Z3 .
нои внутри цилиндра —+ —= 1.
§ 5.	Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Вычислить интеграл
101.	JJ(x2 + ^24-z2)dS,
S
где S — поверхность, полученная вращением кардиоиды г=а(1 +
+ cos<p) относительно полярной оси (декартова и полярная си-
стемы координат совмещены).
102.	j^(xz/ + yz + zx)dS,
S
S={(x, у, z):z = Yx3 + y3, х3 + у3<2ах].
103.	^(x2 + y2)dS, где 5—граница тела
‘s'3
V - {(х, у, г) : ]/x2 + y2<z< 1}.
104.	(y-{-z)dS, где 5—лежащая в первом октанте (х^0,
s
у ;> 0, z ^ Qi) часть поверхности, полученная вращением арки
циклоиды x — a(t—sinZ), у = а(1—cos/), 0^/^2л, вокруг
оси ОХ.
105.	ее ds
JJ V2-{/3-z3
s
где S есть поверхность, полученная вращением линии L = {(x, у):
: у = sin х, 0 х л} относительно оси ОХ.
106.	yzdS,
где 5 — удовлетворяющая условию z>y>0 часть поверхности, по-
лученной вращением кривой z/=cosx, |х|^л/2, относительно осн
ОХ.
«12
107.	j| (x2 + f/2 + z-±')dS,
s
где 8—часть параболоида 2г = 2—x2—у2, z>0.
108.	JJ (x2+y2+z)dS, где S—верхняя полусфера:
x2 + y2 + z2 = a2, z>0.
109.	J J (Зх2 + 5y2 + 3г2—2) dS,
s
где 8—часть конуса у = Ух2 + г2, лежащая между плоскостями
0 = 0, у = Ь.
"°- Я
«
где 8—часть параболоида г=--------х2>0, лежащая внутри
/ *' , У1 \2 о / X* U* \
цилиндра +	=а2^-—-j.
111.	JJ /а2+л2 + г2 dS,
где 8—часть параболоида ax = yz, лежащая внутри цилиндра (у2 +
4-г2)2 = 2Ь20г.
112.	' xyzdS,
где 8—часть конуса z2 — 2xy, z2>0, лежащая внутри [ цилиндра
х2 + у2 = а2.
113.	^(xy + yz + xz)dS,
где 8—часть конуса x2 + y2 = z2, z^O, лежащая внутри цилиндра
х24-02 = 2ах.
114.	JJ(x + 0 + z)dS,
где 8—часть конуса x2 = y2 + z2, лежащая внутри цилиндра х24-у2 =
= 2ах.
115.	ffxzdS,
213
где S — часть цилиндра х2 4- у2 — 2ах, лежащая между конусом z =
= у х2 -|- у2 и параболоидом г =•—.
116.	jj(x — y2 + z2)dS,
s
где S — часть цилиндра х2+у2=а2, х>0, лежащая между плоско-
стями x4-z=0, х—z=0.
117.	JJl/TdS,
где S — часть цилиндра х2+у2=2ах, лежащая вне гиперболоида
х2+у2—z2=a2.
118.	J$(x-y)dS,
s
где S — часть цилиндра х2+у2=а2, лежащая внутри цилиндра
z2=a(a—х).
119.	fJ|xy|dS,
где S — поверхность тела, образованного пересечением цилин-
дров x2+z2=a2, y2+z2—a2.
120.	Jflx-hyldS,
s
где 5 — часть поверхности геликоида x=ucosv, z/=usina, z=u,
0<и<2л, 0<u<l.
121.	{рх + у-КЖ
s
где S — часть тора x=(&4-acos -ф) cos <р, y=(&4-acosi|))sin<p, z=
—a sinip, х>0, z>0 (b>a).
§ 6.	Механические приложения поверхностного интеграла
первого рода
122.	Найти массу части однородного параболоида г =	(х2 4- У2),
0 г 1» плотности р.
123.	Найти массу части цилиндра x2+z2=2az, лежащей внут-
ри конуса x24-i/2=z2, если плотность р=|у|.
124.	Найти массу части конуса x2=y2+z2, лежащей внутри
цилиндра х2+у2=2ах, если плотность р—х.
214
125.	Найти массу части конуса x2 + y2=z2, 0^z^4, если плот-
ность в каждой точке равна квадрату расстояния до вершины.
126.	Найти статический момент части цилиндра, x2+y2=2Ry,
лежащей между плоскостями z=0 и z=c, относительно плоскости
XZ, если плотность p=y + z.
127.	Найти момент инерции однородной поверхности х2 + у2=
«=2ах, x2>y2+z2 плотности р относительно оси OZ.
128.	Найти момент инерции однородной поверхности плотно-
сти р, полученной при вращении одной арки циклоиды х=а(ф—
— sin ср), у=а(\—cos<p) вокруг оси ОХ, относительно оси ОХ.
129.	Найти момент инерции части однородного цилиндра х2 +
+ у2=ах плотности р, лежащей внутри сферы x2+i/2+z2=a2 отно-
сительно плоскости XZ.
130.	Найти момент инерции части однородной верхней полу-
сферы x2+y2 + z2=a2, z>0 плотности р, лежащей внутри цилин-
дра х2+у2=ах, относительно плоскости YZ.
131.	Найти моменты инерции относительно плоскости XY части
однородного конуса x2+i/2=z2tg2a, x2 + y2^R2 (0<а<л/2), мас-
сой М.
132.	Найти момент инерции однородной поверхности х=(Ь +
+ acosi|>) cos <р, #“(& +a cos ф) simp, z=asinip(b>a) плотности р
относительно оси ОХ.
133.	Найти момент инерции однородного параболоида х2 + у2=
—2cz, O^z^c плотности р относительно оси OZ.
134.	Найти момент инерции однородного сегмента сферы х2+
+y2+z2=R2, z^-H (H<_R) плотности р относительно оси OZ.
135.	Найти координаты центра масс однородной полусферы
x2+z/2+z2=7?2, z>0.
136.	Найти координаты центра масс части однородной сферы
x2 + «/2+z2=R2, х>0, у>0, z>0.
137.	Найти координаты центра масс верхней полусферы х2 +
+ y2+z2=R2, z>0, если поверхностная плотность в каждой ее точ-
ке равна расстоянию от этой точки до оси OZ.
138.	Найти координаты центра масс однородной поверхности,
полученной от вращения дуги кривой у2=2рх, О^х^р, относи-
тельно оси ОХ.
139.	Найти координаты центра масс части однородной поверх-
ности x2+«/2«=2cz, 0s^z<c.
215
140.	Найти координаты центра масс части однородного ко-
нуса
+ =	0<2<Н.
141.	Найти координаты центра масс однородной поверхности
x=ucos v, у—и sin v, z=av, О^и^а, O^v^n.
142.	По поверхности кругового цилиндра, радиус основания
которого равен R и высота которого равна h, распределена масса
с постоянной плотностью у. Найти притяжение, испытываемое со
стороны поверхности единичной массой, расположенной в центре
основания цилиндра.
ОТВЕТЫ
1. а) х=1—2t, y = 2 + t, /е[0, 1]. б) х=2-|-3£, у—3, /е[0, 1]
либо х = х, у = 3, хе [2, 5]. в) х= — 1, [у = 2 + 3/, /е[0, 1]
либо х =— 1, у — у, у е [2, 5]. [2. х = х, у = х2, хе fl, 3].
3. x = ach/, y = bsht, /е(— оо, -|-оо) правая ветвь; х=—ach/
y=bsht, —oo, 4-oo) левая ветвь. 4. x=acos4/, y=bsin4/f
/е[0, л/2]. 5. x = acos6/, у = a sin8/, /е[0, 2л]. 6. a) x =
a . , « . , . о ,,	/ ch3 i — sh81 \ .	.	,	,
= — (ch3/-)-sh3/), y = ai----------- , /e(—oo, 4-00); 6) x=
2	\	~	/
= /a-|-/, y=f----1, /e(----OO, + oo) либо X= 2°+-—» У =
— —~Z..2y ,t t?e(—oo," + oo). 7. x = a cos/, y = acos/yr|sin/| X
X sign (sin/), /е[0, 2л]. 8. a) x = acos/, y = a (cos/ +sin’/),
/ e [0, 2л]; 6) y = y, x =	, ye(—oo, + oo)\{0}.
9. x= —*-—, y = ty ~—t Ze [2, +oo). 10. x = a/2 + a/8,
У 7«— 1 ’ a У /4—1	1
y = a/3 + a/4, —oo</<4-oo. 11. x — at—a?, y = aP—al3,
— oo</<; + oo. 12. x = ya2cos4/3/-f-Ь2 sin4/3 / cos,/3/, y =
= /a2 cos4'3 /+b2 sin4/3/ sinV’ /, /е[0, 2л]. 13. x=acos2/ctg/t
y = acos2t, /е(0, л), либо x = --- ~	y—^	/e
1-H2	1 -M2	’
e(—oo, -|- oo). 14. x = acos2<p, «/= a cos <p sin <p, <pej^—y,
л/2 . 15. x=acoscp(l 4-coscp), //=asin<p(l+coscp), <pe[0, 2л].
216
16.
x — a cos cp cos 3cp, z/ = asin<pcos3cp, cp = [0, л/6] J [л/2, 5n/6](J
U[7n/6, —]u[—. 2л]. 17. x = -^-cosq>, sintp,
1.	2 J L 6 J	1 + <P	1 + Ф
<p e [0, + oo). 18. x = asin<p /tg<pcos<p, y = asin2cp /tg<p,
ср <= [О, л/2)и{л,	19. x=/sin2cpcoscp, y=/sin2<psin<p,
4 -------
20. x = a у 2 cos 2cp cos ср, у =
21.
22.
ср e [0, л/2] J л,
= a y^2 cos 2cp sin cp, <p e [—л/4, л/4] (J [Зл/4, 5л/4].
а) х=1—2/, y=t-\-2, z=3—7t, t <= [0, 1]; 6) x = —1, у=2,
z = t, le[l, 4]; в) x=1+/, z/ = 3, z = t—1, t e [0, 1].
a) x = 7?cos/, y = Rsint, z = 2, /е[0, 2л]; 6) x = Rcost, y =
— Rsin/, z = 7?(cos/ + sin/); t <= [0, 2л]. 23. a) x = —cos/,
V 2
R - j. R j. rri n	Z? / sin / .
у = —7=- sin /, z — —t e [0, 2л]; 6) x = — —+ cos / ,
*	1/2	1/2 ’ i » J’ /	2 \ /3	)
у = ——cos/], z=-------------^=-7? sin/, t s [0, 2л]; в) x=
1/2 \ 1/3	/	1/6
= 7? cos2/, у = R sintcost, z — R&mt, t e [0, 2л]. 24. x =
=с]/фсо8<р, t/ = c<psincp, z = ccp, л/6 cp z0/c. 25. z — t, x =
= _L f32/3al/.y/3	3^a~1/3/4/3 .	= J_ , 3473^,-1/3,4/3
4 \	2 Г У 4 \	2
_38/>alV/a\	j 26	z=ath<p,
/	ch <p ch <p
<p e[0, <p0], 27. -|/5 ln2. 28. 1/2 + In (1 +1/2). 29. 20д1^-.
lll + J8^1_2_ln(l|+V<2).3 33. 1/5 +
+ ln(2+/5) 34. 173/2 ~ 53/2 . 35. 2a2. 36.
-^-(25/5+151/2+1). 38. 2ла2п+*. 39. —.
In/1+4л2. 41. л. 42. 1/2. 43. — f— +—^=-ln(4 —
r	r	16 V 15	301/15	'
—1/I5)V 44. 6,4a2. 45. 2а3л. 46.
)	33	27	12
2? 1/2 (3 + 4+), 48. jVLn3a 49. _82(П3 + 3). 50. 4азя.
3	3	3
-InVT. 52.	53.
16	r	3	15	
4(2/2-1). 55. Ihi+x^HI+x?)3/2]. 56.
0	0	Z
30. 0. 31. —. 32.
2
37.
40.
47.
51.
54.
217
57.
62.
k. 58. ~ kR*, где k—коэффициент пропорциональ-
3
ности. 59. a) ft2 "[Ла2 + ft2•	; б) /2 (л j/1 + 4л2 +
О	\
+ -Г|П(2П+/Т+®)). 60. 2Я>р. 61. р(^- + д-х
„	. l/a2^?2 \	/а2 . ab2 ,	(/а2 — й2 4-а) \
xaresin-L---);	 In----~ь----J.
21SL вз. Ap[_!Li/A__Lt/------------1—1п(-Ц-+
24 ’	2 L 16 V 2	16 V 4	128	\ 8
. Г 9 \	.	1	j ( 9 .	-.Г 5 \	.
“Ь л/ — I	ч---in I — “Ь	1/ — I •	*
у 2 /	'	128	\	8	Г 4	/	J
= 4- V-г-4-ln + v's)] р; б) &Ох=
16 F 4	64
— р. 65. а) 21/5; б) 18 /5.
64. a) &oy =
— 1h(2 +
512
66.
68.
70.
71.
72.
74.
76.
4
+/5)------__________________,	, . ,	..
128 У 4 J
a) -^-(2a—sin2a)p; 6) -y-(2a + sin2a)p. 67.	-----~/2-
27=-(^^- + 951n(]/2-l)). 69. ^ox = tfrOy = -5-a3p.
a) dTox=o7oy=(-y+-7-)/4n5aIWp; в) ^oz=a2p/ 4л2а2+/Л
a)	[(6л4 — b2 — 1) (4л4+b2 + 1 )3/2 + (ft2 + 1 )5/2];
б)	[(6л4—b2 — 1)(4л4-ьЬ2+1)3/2 + (62+1)5/2];
15 л4
в)	(a2 + b2) [(6л4 — b2 — 1) (4л4 + b2 + 1)3/2 + (ft2 + 1 )B/2].
15л4
2R-. 73. xo = O, y0=	.
°	’ Jo 4e(e»-l);
’a(e4 + 4e2— 1)	__ 5a
------------. /О. Xg- 	 Ug=\J,
4e (e2— 1)---8
20
78.
81.
Х0 — У о
л
2а
*о=——, Уо =
«+ 1
X -	27~241п2	,, _	20	77 г -	_ 40
°	8(34-21п2) ’ Уй 3(3 + 21п2) ’	' ° Уо 3 '
79. Хд = уд = ± 80. хо = 0, У0=^~.
об	t>
asinP	а(1—cosf)
Уо-
x0 — ла, z/0 —
2a
ха~Уо — -7-
0 '
82. x0

83.
84.
xo = 0, Уо=О, z=nft.
'	2	1
xo —	_	, Уо — '	“>	zo —
О	ь
—. 85. Xg
2	0
4a
V’
2а
о
218
а У 2	4o	2a	2
86. xo=t/o = 0, z0= —. 87. x0 =--------------yg —-------, z0= — nb.
я	л2	л	3
88. x0 = an\ Уо = -~\ z0 = a.	89. 0;
90. 0;------91.
h '	5 ’	5
92. л/4. 93. R2. 94. —. 95. 3л#2. 96. —. 97. — (10 УЮ —1).
3	6	27
a2
98. 4аг. 99. — (5 j/5—1). ЮО. 4c (b 4-----X==-arccos.
12	ya2 — b2	a /
128л	ал q/o" ai	л	—	512
—. Ю2. -64ya . 103. —(1+/2). 104.—
101.
105. 4л. 106. J^_ + -Lin(l+-|/2). 107. ^-(9/3*—1).
108. -^ла« + ла8. 109. 2/2 л (264—fe2). 110.
111. —(8д262 + л^). 112. — a5. 113. — a4/2". 114. — ла3.
8a	15	15	6
115.	116. ла3--117. 3У^па5/г . 118.--------— а3 У 2.
4	3	2	3
119. -^-a4. 120.—(4—У2). 121. ла (a2 + 2b2 + 2ab).
3	3
122. 2-я(1 + бКз)р. 123. а3 (л+ 4). 124. -^-а3л.
125. 256У2л. 126. R2c2. 127. 7]/2ла4р. 128.
129. -^-a4p. 130.	26_fl4k. 131. Mj?2coi2^-
15	\ 3	45	/	2 sin a "
132. 2n2abp(2a2 + 3b2). 133.	(l+6/3)c4p Me2. 134. X
15	3
X(2R3—3R2H + H3). 135. x0 = y0 — Q, z0 = ~. 136. x0 = y0 =
— zo “	137. x0— y0 — 0, zg — ——. 138. x0 —
2	ОЯ
p /53 — 3 Уз \	_ on	n
• I ~	), Уо — го — О* 139. x0 — ya — 0,
5	\	26	/
Zo = J5 +-? c. 140. X0 = yg = 0, jz0 = -^-- 141. r0 = 0,
loU	о
4 /	2a’K2 —a3 \	,	P P л
Уо =--- -----------------z— , zo =-----• 142. FX=FU = 0
Зл \ а2У2 + а21п(1 + У2) /	2
= rg'+t, )
219
ГЛАВА III
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
ВТОРОГО РОДА. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
§ 1. ОРИЕНТАЦИЯ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ КРИВОЙ И
КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ SczR3
Определение. Пусть L — незамкнутая кривая без точек
самопересечения, лежащая в R\ с концами в точках А и В. Вы-
бор в паре (А, В) начальной и конечной точек называется ориен-
тацией кривой L. Выражения L = AB и L = BA являются записью
кривой с противоположными ориентациями.
Наглядно, задать ориентацию кривой L=AB— это значит ука-
зать, как направлена (или как проходится) эта кривая от точки
А к точке В, или от точки В к точке А.
Замкнутую кривую, которая после удаления любой своей точ-
ки («разрезания» кривой в этой точке) становится незамкнутой
кривой без точек самопересечения, часто называют контуром.
Контур можно ориентировать, разрезав его в произвольной точке
и ориентируя полученную незамкнутую кривую. Если контур ле-
жит на плоскости XY, то он является границей односвязной огра-
ниченной области DczR2. В таком случае ориентация контура ча-
ще задается направлением его обхода: положительным направле-
нием обхода принято считать такое, при котором область D оста-
ется слева, и отрицательным — противоположное.
Пусть LczR3 — простая гладкая кривая, т. е.
Ь = {(х, у, z):x — x(t), y = y(t), z=z(t), /е[а, b]},
где a<b, отображение r={x{t), y(t), z(t)}^C\[a, b], |г/|=?Ч), и
концевые точки А и В кривой L есть соответственно образы то-
чек а и Ь. Тогда ориентация L=AB соответствует ориентации [а,
Ь], а ориентация L=BA — ориентации [Ь, а] отрезка изменения
параметра t на прямой R. Говорят, что кривая L=AB проходится
при возрастании, а кривая L=BA — при убывании параметра t.
Тогда векторное поле Т = {т}, где т = ——	-^-1, и
|r'|	( ds ds ds J
ds~V(x’t)3 + (y't)* + (z’t)2dt— дифференциал длины дуги L — явля-
ется заданным на L непрерывным полем касательных к L еди-
ничных векторов, при этом направление векторов т совпадает с
направлением движения по кривой L=AB при увеличении пара-
метра t, так как а<Ь. Таким образом, на простой гладкой ориен-
тированной кривой L=AB однозначно определено согласованное
220
с ее ориентацией непрерывное поле единичных касательных к L
векторов. Векторное поле Т—{—т} является заданным на L не-
прерывным полем касательных к L единичных векторов, направ-
ление которых совпадает с направлением движения по L при
уменьшении параметра t.
Кусочно-гладкая ориентированная кривая L также однознач-
но определяет согласованное с ее ориентацией векторное поле Т
единичных касательных к L векторов только уже, вообще говоря,
определенное не во всех точках L и непрерывное на множестве
своего определения. Ориентированную кривую L вместе с соот-
ветствующим полем единичных касательных векторов будем обо-
значать (L, Т).
Пример. Запишем какое-нибудь параметрическое представ-
ление х(/), y(t) петли кривой х3+у3=3аху так, чтобы эта петля
проходилась в положительном направлении при возрастании па-
раметра t (а>0).
Решение. Если положить t—yjx (х>0), то получим, что>
x = 3a//(z!3-|-l), y = 3aPi(t3+1). При этом петля кривой х3+у3—
=3аху расположена в первом квадранте х>0, t/>0 и проходится
при изменении t на луче (0, 4-оо). Так как для	имеем
О^х^у, то обход петли начинается по той ее части, которая ле-
жит ниже биссектрисы у=х первого координатного угла и, следо-
вательно, действительно при возрастании t петля обходится в по-
ложительном направлении.
Пример. Запишем параметрическое представление лемни-
скаты; (х2+ у2) 2=2а2ху так, чтобы каждая ее петля проходилась
в положительном направлении при возрастании параметра (а>
>0).
Решение. Так как в полярных координатах уравнение лем-
нискаты есть: r2=a2 sin 2ср, то для правой петли имеем
х = a cos срsin 2ф, у — a sin ф^sin 2ф, 0 ф л/2,
а для левой—
х = асозфуГ5ш2ф, 1/ = азтф ]/зт2ф, л^ф^Зл/2.
При этом, когда t возрастает от 0 до л/2, то правая петля
проходится в положительном направлении, поскольку изменению
t на [0, л/4] соответствует часть лемнискаты, лежащая в первом
квадранте ниже прямой у—х. Так же проверяется, что левая пет-
ля проходится в положительном направлении при возрастании t
от л до Зл/2.
Пример. Запишем параметрическое представление контура
квадрата: |х| + 11/1 =а (а>0) так, чтобы этот контур проходился
в положительном направлении при возрастании параметра t.
Решение. Подберем функцию x—x(t), такую, чтобы при
возрастании t значения x(t) сначала убывали от а до —а, затем
возрастали от —а до а; например, можно положить x(Z)=acosL
Чтобы точка х(/), y(t) двигалась по верхней границе квадрата
221
|х| + |у|=а, координата y=y(t), te|[0, л], должна удовлетво-
рять соотношению у=а—|х|, т. е.
y(t) = а — а | cos £ | = asgn sin t—a |cosf|.
На нижней границе квадрата координата y=y\t) должна
удовлетворять соотношению у——а+ |х|, т. е. у=—a+a|cosf|,
^[я, 2л]. Объединяя обе полученные формулы, запишем пара-
метризацию контура квадрата следующим образом:
x==acos/, z/ = asgnsinZ— acostsgn (sin 2t), te[0, 2л].
Ориентация кусочно-гладкой поверхности в R3
Пусть SgzT?3— простая гладкая поверхность, т. е.
S = {(х, у, z):x = x(u, v), у = у(и, v), z — z(u, и), (и, v)eeD},
где область DclR2 жорданова, гомеоморфизм
г = {х (и, v), у (и, v), z(u, и)} az С1 (D) и [г'и х =И= 0, (u, v) ^D.
Тогда векторное поле N=\n:n.
К X г J
х <|
является определен-
ным на S непрерывным полем единичных нормальных векторов
к S.
Определение. Гладкая (т. е. имеющая в каждой точке ка-
сательную плоскость) поверхность SczT?3 называется ориентируе-
мой или двусторонней, если на ней можно задать непрерывное
поле единичных нормальных векторов. Такое поле будем назы-
вать ориентирующим полем нормалей S.
Как следует из вышесказанного, простая гладкая поверхность
ориентируема. Лист Мебиуса является примером гладкой, но не-
ориентируемой — односторонней — поверхности. Это, в частности,
показывает, что лист Мебиуса нельзя задать как простую глад-
кую поверхность никаким способом параметризации.
Так как в каждой точке гладкой поверхности имеются два и
только два различных единичных нормальных вектора противо-
положного направления, то для ориентируемой поверхности суще-
ствуют два и только два ориентирующих ноля нормалей Ni и М2,
причем векторы этих полей в данной точке soeS взаимно проти-
воположны. Для простой гладкой поверхности такими полями яв-
v К х
ляются поля	= \п: п ——у
и
1<х г'| |
Определение. Ориентируемая поверхность с выбранным
ориентирующим полем нормалей называется ориентированной по-
верхностью.
.222
Ориентированную поверхность будем обозначать парой (S,
N), где N— выбранное ориентирующее поле нормалей.
Не строго можно сказать, что выбор направления нормали
определяет сторону поверхности. Поэтому ориентацию поверхно-
сти часто называют выбором стороны поверхности — отсюда тер-
мин «двусторонняя поверхность». Например, на сфере можно за-
дать непрерывное поле внешних — направленных от центра —
нормальных векторов или сказать, что задана внешняя сторона
сферы; если же задать поле внутренних — направленных к цен-
тру— нормальных векторов, то можно сказать, что задана внут-
ренняя сторона сферы.
Определение. Точку s поверхности S назовем внутрен-
ней, если у нее существует такая окрестность (J (s), что множест-
во U (s) \S несвязно. Точку s поверхности S назовем граничной
(краевой), если для любой ее окрестности t/(s) множество
U (s) \S связно.
Определение. Пусть контур L лежит на поверхности S.
Если часть Si поверхности S, для которой точки L — граничные,
не имеет других граничных точек и является связным ограничен-
ным множеством, то скажем, что контур L ограничивает часть
S) поверхности S или что поверхность Si натянута на контур L.
Если незамкнутая поверхность S ориентирована, то для любо-
го контура, лежащего на S, определяется положительное (согла-
сованное с ориентацией S) направление обхода такое, что огра-
ниченная этим контуром часть поверхности S оставалась слева-
при обходе контура по соответствующей стороне поверхности.
Определение. Пусть незамкнутые ориентированные по-
верхности S) и S2 пересекаются по кривой L. Возьмем на Si и S2
контуры С] и С2 соответственно так, чтобы кривая L или ее часть
составляла часть как контура Сь так и контура С2. Если положи-
тельное направление обхода контуров С-, и С2 индуцирует на L
противоположные ориентации, то ориентации поверхностей St и
S2 называются согласованными.
Q
Определение. Кусочно-гладкая поверхность 5 = и
<7^1
где Sq,	— простые гладкие поверхности, называется ори-
ентируемой (двусторонней), если на каждой из поверхностей Sg,
можно выбрать ориентацию (Sg, Ng) таким образом,
чтобы для любой пары S,, Sj, имеющей линию пересечения, ори-
ентации были согласованными. Векторное поле N, составленное
полями Nq (l^t/^Q), назовем ориентирующим полем норма-
лей S.
Для кусочно-гладкой поверхности S ориентирующее поле нор-
малей определено и непрерывно на S, за исключением, быть мо-
жет, конечного числа кусочно-гладких кривых, лежащих на S.
Так же, как и для гладкой ориентируемой поверхности, для ку-
сочно-гладкой ориентируемой поверхности существуют два и
только два ориентирующих поля нормалей У] и N2, составленные
взаимно противоположными векторами.
223
Определение. Пара (3, Лг), где 3 —ориентируемая кусоч-
но-гладкая поверхность и N— выбранное ориентирующее поле
нормалей, называется ориентированной поверхностью.
Так же, как на гладкой незамкнутой ориентированной поверх-
ности, определяется положительное направление обхода контура
на незамкнутой кусочно-гладкой ориентированной поверхности.
Любая кусочно-гладкая замкнутая поверхность ориентируема.
При этом одна ориентация соответствует выбору внешних норма-
лей (внешняя сторона поверхности), другая — выбору внутрен-
них нормалей (внутренняя сторона поверхности).
Для указания ориентации (стороны) поверхности будем поль-
зоваться следующей терминологией.
Для замкнутых поверхностей, как уже говорилось, определя-
ются внешняя и внутренняя стороны. Будем считать это отпреде-
ление наследственным для любых частей замкнутых поверхностей.
Например, внутренняя сторона полусферы — это сторона, соответ-
ствующая выбору нормалей, направленных к центру. Для эллип-
тических цилиндра и параболоида, двухполостного и однополост-
ного гиперболоидов и эллиптического конуса внутренней нор-
малью считаем вектор нормали, направленный внутрь полости, и
соответственно определяем внутреннюю и внешнюю стороны.
Определения внешней и внутренней стороны также будем счи-
тать наследственными для любых частей таких поверхностей. Ес-
ли (3, N)—ориентированная поверхность и косинус угла векто-
ра п с осью OZ не меняет знака для n^N, то назовем соответ-
ствующую сторону 3 верхней, когда cos (и, OZ)>0, и нижней, ко-
гда cos (и, OZ)^0. Аналогично назовем сторону поверхности (3,
N) правой, когда cos(n, OXj>0, ti^N, и левой, когда cos (и,
ОХ) 4^0, n^N. В частности, если поверхность 3 задана явной
•функцией z—z(x, у), т. е.
3 = {г:г(х, у) — (х, у, z(x, у)), (х, y)<=D},
z(x, y)^C1(D), то поле N =
о1
1 /*	/2 Л
V 1 + гх + гу 
зада-
ет верхнюю, а поле N— 1п:п= ——-г— = — х> у'---------
[ lrxXri/l у\+г'х+гд
нюю стороны 3. Точно так же для поверхности
—- ниж-
•$ = {г: г (у, z)~{x(y, г), у, z}, (у, z)^D}, х(у, г)еСх(О)
АГ (	['уХг']	{1, — х — х'} 1
поле N — ln:n——?-----;— = —-------- - =-1 задает правую, а поле
I	I^XrJ	J/i + x^ + x'aJ
JV= ш: п
\r'u xrj
z	I—левую стороны 3.
224
Пример. Определим, внешняя или внутренняя сторона по-
верхности S={(x, у, z) : x2+z2=2az, z<a) является верхней (а>
>0).
Решение. Условие z<a показывает, что ориентирующее по-
ле нормалей к S, определяющее верхнюю сторону, есть W={n},
л={—х/а, 0, (а—z)/a}. Внешняя и внутренняя стороны поверхно-
сти S как части цилиндра {(х, у, z) -,x2 + z2=2az} определяются
полем нормалей, направленных соответственно от оси симметрии
этого цилиндра и к оси симметрии. Осью симметрии цилиндра яв-
ляется прямая z=a, лежащая выше точек поверхности S, следо-
вательно, вектор п—{—х/а, 0, (а—z)/a} направлен к этой прямой.
Итак, верхняя сторона S — внутренняя (см. рис. 42).
Пример. Определим, правая или левая сторона поверхности
•S={(x, у, z): x2=y2 + z2, х>0) является внутренней.
Решение. Поверхность S является частью конуса х2—у2+
+ z2, следовательно, внутренняя сторона S определяется полем
нормалей N—{n}, направленных внутрь полости этого конуса,
т. е. к оси ОХ. Такой вектор п={пх, nv, tiz} в точке (х, у, z)^S,
2>0 должен иметь отрицательную координату nz. Отсюда полу-
чаем, что ориентирующим полем нормалей внутренней стороны S
является поле jV={m}, п=={1/У2? —у/х, —z/x}. Так как пх==1/у2>0,
то внутренняя сторона S является правой (см. рис. 43).
Пример. Проверим, что сторона поверхности
Л'={(х, у, г):х=асо5исо5*а, у = a sin и cos4 v, г — a sin4 и,
0<«<л, 0<а<л/2},
определенная полем N =
[ [r'uXr'v]
I X <|
—верхняя.
225
n	TZ	[ru X
Решение. Координата пг вектора п = —“----------— равна
\[г'и хг']|
—Д-;— (х'иУ’о—Х»УЭ = —г~,------------4а2 cos? v sin v > 0.
IR„Xrp]|	|[r„xro]|
Полученное неравенство показывает, что соответствующая сторо-
на S— верхняя.
Пример. Поверхность S есть часть поверхности тела V=
={(х, у, z) : 2x2+2y2^.az^.x2+yz+a2}, удовлетворяющая условию
у>0. Вектор нормали, определяющий ориентацию S, в точке М=
= (0, а/2, 5а/4) образует острый угол с осью OZ. Дадим характе-
ристику ориентаций гладких поверхностей, составляющих кусоч-
но-гладкую ориентированную поверхность 5 (а>0).
Решение. Поверхность S состоит из части Si параболоида
az=x2+у2+а2 и части S2 параболоида az=2x2+2y2 (см. рис. 44),
линией пересечения Sj с S2 является полуокружность х2+у2=а2,
z=2a, у>0. Обе поверхности Si и S2 заданы явными функциями
-Si= {(*, У, z):z = — (x2 + y2 + a2), х2 + у2^а, z/>ol,
t	a	J
s2 = ((*, у, z); z = — (x2 + y2), Х2 + У2^а, z/>ol.
I	a	J
Поэтому их ориентация характеризуется указанием — рассматри-
вается верхняя или нижняя сторона соответствующей поверхно-
сти.
Точка Л1=(0, а/2, 5а/4) лежит на 31( следовательно, на Si за-
дана верхняя сторона. Чтобы определить согласованную ориента-
цию поверхности S2, возьмем на параболоиде az=x2 + y2\-a2 кон-
тур L, составленный дугой АВ линии пересечения Si с S2 и пара-
болой ЛВ*1’: az=x2+y2+a2, у=а/2, а на параболоиде az=2x2+
+ 2у2 — контур L2, составленный той же дугой АВ и параболой
226
ABm: az=2x2+2y2, у=а/2. Координаты точек А и В находятся из
системы: у=а/2, х2+у2=а2, z=2a, что дает A — (a j/3/2, а/2, 2а),
В = (—а}/3/2, а/2, 2а). На верхней стороне параболоида az=x2+
+ у2+а2— поверхности Si — положительное направление обхода
контура Ц индуцирует направление АВ дуги полуокружности
х2 + у2=а2, z=2a, z/>0— линии пересечения Sj с S2, следователь-
но, при согласованной ориентации параболоида az=2x2+2y2 —
поверхности S2— положительное направление обхода контура Л2
должно индуцировать направление ВА этой дуги. Оказывается,
контур L с положительным направлением обхода находится на
нижней стороне параболоида az=2x2+2y2. Итак, заданная ори-
ентированная кусочно-гладкая поверхность S состоит из верхней
стороны части параболоида az=x2+y2+a2 и нижней стороны ча-
сти параболоида az=2x2 + 2y2 (х2+у2^а2, у->0).
Пример. Найдем параметрическое представление окружно-
сти L={(x, у, z) : x2+y2+z2=a2, x+y+z=Q}, такое, чтобы направ-
ление ее обхода при возрастании параметра было положительным
на верхней стороне плоскости x+y+z=Q (а>0).
Решение. Точка О=(0, 0, 0) лежит внутри рассматриваемой
окружности, следовательно, на верхней стороне плоскости век-
тор МО из точки М окружности L в точку О идет налево от век-
тора т, касательного к окружности L в точке М и направленного
в сторону возрастания параметра. Найдем одну из параметриза-
ций окружности L. Исключая z из системы x2+y2+z2—a2, х+у+
+ £=0 получаем, что координаты х и у точек окружности связа-
ны уравнением х2-\-у2уху = —. Это уравнение на плоскости ХУ
определяет эллипс, главные оси которого образуют угол л/4 с
осями координат, поэтому
а , ,	6	. ,	а , В . ,
X = —T^COS^H—7=-sin/ и w = ——-cos/------у=- sin t,
Т/2	T/2 а /2 V2
где а и (3 — полуоси этого эллипса. Для вычисления аир, под-
ставив выражения х и у в уравнение эллипса, получаем соотноше-
З®2	2 J. I Р2 • 2 4 а*	а п XX
ние ------cos^/H---snr/ =— откуда а = - р=а. Итак,
2	2	2 J	УЗ 1
(	а	а	а
L = {(х, у, z):x =—— cos t -|---sin/, у = ----cos/ —
I	/6	/2
---7=-sin/, г =—Л/ — cos/, 0</<2n|-
Д/2	УЗ	1
Для требуемого направления обхода вектор р={рх, ру, рг}=[тХ
Х-МО] должен быть направлен в ту же сторону от плоскости х+
+ t/+z=O, что и нормальный вектор этой плоскости, определяю-
227
щий верхнюю ее сторону, т. е. должно выполняться неравенство
рг>0. Так как
dx dy dz
dt ’ dt ’ dt
a cos/
V2 ’
a sin t
a &int
/6
a
>	f dx dy \ a2 . n
.»=H, -y, -2}, TO	+ x —) =--^<0,
таким образом, полученная параметризация окружности L дает
при возрастании t от 0 до 2л противоположное требуемому на-
правление обхода. Заменяя t на — и, получаем следующее пара-
метрическое представление окружности:
r /	х	а,	а .	а
L = \(х, у, г):х — —— cos и--— smu, «==—-=
У а ’ у 6	/2 а /6
COS u +
, а
]---SIH U,
Г /2
и поскольку сделано преобразование параметра с отрицатель-
ной производной, то такая параметризация задает противополож-
ную предыдущей, а значит, требуемую ориентацию окружности
L = {(x, у, z): х-|-у-J-z = 0, x2 + y2 + z2 — a2}.
Пример. Найдем параметрическое представление верхней
петли кривой Вивиани Л={(х, у, z) : x2+y2+z2=4a2, х2+у2=2ах,
2>0}, такое, чтобы направление обхода при возрастании пара-
метра на верхней стороне верхней полусферы 3={(х, у, г) :х2+
+ y2+z2=4a2, z>0} было положительным (а>0).
Решение. Точка М=(а, О, ауз) лежит внутри той части
верхней полусферы S, которая ограничена кривой L, следователь-
но, на верхней стороне S вектор AM, где А — точка на L, должен
идти налево от вектора т, касательного к L в этой точке и на-
правленного в сторону возрастания параметра. Найдем одну из
параметризаций кривой Вивиани L. Условию х2+у2=2ах удовле-
творяет параметрическое представление координат x=2acos2t и
y=2acos tsin t, где /е[—л/2, л/2] или ген[0, л]. Из соотношения
x2+y2+z2=4a2 получаем, что z2=4a2 sin21\ учитывая условие z>
>0, получаем окончательно, что
L={(x, у, z): х = 2a cos2/, у = 2acos /sin/, z = 2asin/,
л}.
Для требуемого направления обхода векторное произведение вектора
[ d* dy dz
( dt ’ dt ’ dt
касательного к L в точке A (x, у, z), и вектора
228
АМ = {а—х, —у, а]/3—г} вектор р = (рх, ру, pz)=[t у. AM] дол-
жен иметь положительную координату pz, так как вектор р дол-
жен быть направлен в ту же сторону от полусферы S, что и нор-
мальные векторы, определяющие ее верхнюю сторону. Вычисляя
pz, имеем, что
рг = (—у ——(а—=а2>0,
г \ у dt	dt )
т. е. полученная параметризация кривой Вивиани
L={(x, у, z): х = 2а cos2/, у — 2а cos t sin t, z = 2asin/,
является искомой.
Дальнейшее изложение § 2—5 использует понятие дифферен-
циальной формы, опирающееся на определение и свойства косо-
симметрической полилинейной формы из курса линейной алгеб-
ры. Такое рассмотрение криволинейного и поверхностного инте-
гралов второго рода включено в общие структуры геометрии и
теории интегрирования и широко используется в современной ма-
тематике. Поскольку в некоторых учебниках изложение темы
«Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода» ве-
дется без использования аппарата дифференциальных форм, то
параллельно в § 2*, 3*, 4* проведен анализ соответствующих по-
нятий и разбор задач в такой форме. Параллелизм изложения
подчеркивается прямым повторением текста там, где это возмож-
но, и разбором одних и тех же примеров.
Среди задач, помещенных в конце этой главы, задачи № 1—
35 посвящены непосредственным действиям с алгебраическими и
дифференциальными формами — они относятся сугубо к материа-
лу § 2. Остальные задачи, начиная с № 36, — это задачи инте-
грального исчисления; они решаются так же, как разобранные
примеры, и тем и другим методом, в зависимости от формы изло-
жения темы «Криволинейный и поверхностный интегралы второ-
го рода».
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В КУРСЕ АНАЛИЗА.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ. ОБЩИЕ
СВЕДЕНИЯ
А) Алгебраические формы
Напомним некоторые необходимые для дальнейшего факты из
курса алгебры.
Определение. Пусть X и Y — линейные пространства. По-
лилинейная форма L:X4-+Y порядка q, определенная на упоря-
доченных наборах (gi, |2, > gg) векторов из I и принимающая
значения в У, называется кососимметрической формой, если ее
значение меняет знак при перестановке любой пары аргументов,
Т. е. L (5! gf, .... gj gg) =~L(gl gj, .... gi, .... gg) .
229
В частности, если gf=g3- при некоторых i и /, то независимо от
остальных векторов значение кососимметрической формы равно
нулю, следовательно, кососимметрическая форма, порядок кото-
рой больше размерности пространства X, равна нулю на любом
наборе векторов (так как среди векторов, на которых она задана,
по крайней мере два вектора обязательно совпадают).
Например, если X — двумерное подпространство R3, то вектор-
ное произведение [£1X62] векторов Iz^X есть кососимме-
трическая форма второго порядка со значениями в ортогональ-
ном дополнении X. В самом деле, во-первых,
KL+ 11) X У = & х Ы + [Il х Ы
и
[61Х &+!)] = & Х&] + &х12],
т. е. векторное произведение линейно относительно как первого,
так и второго сомножителя и, во-вторых, [£iXb]=—ИВ2ХВ1] •
Вещественнозначную кососимметрическую форму порядка q
коротко будем называть (/-формой. Множество (/-форм является
линейным пространством.
Линейную форму естественно называть 1-формой.
Определение. Пусть L\, L2,...,Lq—1-формы. Внешнее про-
изведение L|AL2A-..ДЬд есть (/-форма, которая на векторах
(gi, ^2.£д) принимает значение
М А Дг • •  Л (=1> ?2, • • • ,(£д) —
Mi) l2(g,)... Ml)
Д( (с2) ^-2 (£2) •   Lq (B2)
Из определения следует, что справедливы равенства:
Д Л Д • • • Л • • • A Lj... A L4 = Li А ^-2 Л • • 
  • А Д/ • •  А Д • • • A Rq>
(Д + Д) A Д f\ Li .. A Lq = Д д Ls... АД +
+д А Д A   • A
В силу линейности пространства (/-форм всякий однородный
многочлен степени q от 1-форм есть //-форма. Из свойств внешне-
го произведения 1-форм следует, что внешнее произведение q-
форм находится по правилам умножения алгебраических много-
членов с добавлением условия сохранения порядка сомножи-
телей.
Пример. Упростим выражение
(Д A Д—2Д А L3) Л (2Д-4Д + ЗД),
где Д, L2, Lg, Li— 1-формы.
230
Решение. Раскрывая скобки с сохранением порядка сомно-
жителей, получаем, что
(L, Л Ц-2Ц Л £3) Л (2L2-4L3 + 3L4)==2L1 Д L4 Д Ьг-
— Д L3 Д L2 — 4Li Д Li Д L34~8Li Д L3 Д £э +
+ 3L1 Д Lt Д Li 6Li Д L3 Д Lt.
Учитывая, что при перемене местами двух сомножителей внеш-
нее произведение меняет знак, и, следовательно, внешнее произ-
ведение, включающее два одинаковых сомножителя, равно нулю,
окончательно получаем, что
(L, Д Li—2L1 f\ L3) Д (2L2-4L3 + 3L4) =
— — Д Т2 Д L4 4~ 4/^ Д L2 Д L3 4- 4Lj Д L3 Д L4
Л ^зЛ^4 = Д L2 Д L3 2Li Д L2 Д 2Lj Д L3 Д Lt.
Символом яг, l^i^n, будем обозначать оператор проектиро-
вания пространства Rn на координатные оси, т. е. для x=(xi,
х2,xn)^Rn по определению Лг(х)=х{. Проекторы лг-,
представляют собой простейшие 1-формы. Всякая (/-форма пред-
ставляется в виде линейной комбинации простейших (/-форм —
внешних произведений 1-форм щ (однородным многочленом сте-
пени q от щ):
L= L	Л лц Д . .. Д
Такое представление называется координатной записью или
записью в координатном виде формы L.
Из определения следует, что
лцЛ^Д ...	U ... Л,) =
•  • В<7,(^
Ь = (1/.ь li,2    Ij.n), 1 < j q-
Пример. Найдем значение 3-формы
« = 4л1 Д л2 Д л3 —Зл! Д л2 Д л44-Л! Д л3 Д n,4-5nj Д л3 Д л4
на векторах
g1==(l, 0, 3, 0); |2 = (5, 3, 4, -3), g3 = (2, -1, 1, 2).
Решение. Так как
1
5
2
0 3
Л1 Д л2 Д л3&, g2, g3) =
= —26,
3 4
— 1 1
231
Я1 Л Л2 Л £.2’ £з)— 5
О о
3 —3 =3,
2 —1
1 3
П1 Л я3Л ^(£i, £г, £з) = 5 4 —3 = —37,
2 1	2
П2 Л Л3 Л (£1, £г> £з) —
0 3 о
3 4—3 =—9,
— 11	2
о= — 104—9 — 37 — 45= —195.
Пример. Пусть [Bi X ?2]—векторное произведение векторов =
= (£п, £12, £13) е и £2 = (£21, £22, £23) е Я8-
Запишем в координатном виде 2-формы
•rti([£i х |2])> я2 ([£1 х У), M£i х £г])-
Решение. Так как
[£i X |2] = ( |’2 |*>
£22 £23
£п £12
£21 £22
M£i х &])= |1з И.
Ь22 Ь23 I
>22 э23
С другой стороны, по определению
Ъ л М£1, У = ”г(£1) 2з(|х) = |12 |13
п2 (£2) пз (£2)
£22 £23
ойл 94 0
Следовательно, х У) = л2 Д л3(^, Н2).
Аналогично получим, что
Щ ([£1 X У) = Л3 Д ЗТ], Л3 ([^J X J2]) = Д1 Л Л2.
В) Дифференциальные формы
Пусть область D лежит в Rn. Совокупность всех n-мерных век-
торов, приложенных в точке x0^D, называют касательным про-
странством в точке х0 и обозначают TDX°. Каноническим базисом
в TDX° является базис ei(x0), е2(хо),-.,еп(х0), где е<(хо)—век-
тор, коллинеарный вектору е, базиса ei, е2, ...,еп исходного про-
странства Rn.
Пусть f^Cl(D), D<^Rn. Тогда дифференциал df(x0) опреде-
лен в каждой точке x0^D и является линейной формой
df (х0) = 4^- (^о) dxr + (хэ) dx2+ ...+ -У- (х0) dxn,
232
определенной на векторе смещения h = (dxydx2, ... , dxn) е TDXtl.
При переходе от точки к точке в области D форма df(x0), вооб-
ще говоря, меняется. Таким образом, гладкая функция f:D-+R,
порождает поле линейных форм или 1-форм, определенных на
соответствующих касательных пространствах TDX, xe^D. С по-
мощью внешнего умножения от задания 1-форм можно перейти
к заданию (/-форм.
Определение. Дифференциальная форма порядка q (диф-
ференциальная </-форма) со задана в области DczRn, если для
каждой точки x<=D задана (/-форма
со(х) : (TDx)i^R.
Согласно определению дифференциал df(x) функции f: D-+R,
есть дифференциальная форма первого порядка (диф-
ференциальная 1-форма),заданная в области D.
Пусть в области DczR3 задано векторное поле А = (АХ, Ау, А2).
Такое поле порождает в D две часто употребляемые дифференци-
альные формы:
а)	если поле А рассматривать как силовое поле, то для мало-
го вектора h^TDx смещения от точки x<=D скалярное произведе-
ние (А • й) = ЛА.л1 (й) 4- Аул2 (h) + Лгл3(й) дает величину работы по-
ля А, отвечающей этому смещению. Поскольку в R3 h={dx, dy,
dz}, т. е. лг (й) = dx, л2 (й) — dy, л3 (й) = dz, то
(Л • й) — Axdx + Aydy 4- Azdz.
Дифференциальная 1-форма оф = Axdx4-Aydy4-Azdz, заданная в
D, часто называется формой работы векторного поля А;
б)	если поле А рассматривать как поле скоростей установив-
шегося течения жидкости, то для двух малых векторов h[<=TDx,
h2^TDx, x<=D, смешанное произведение <Л-й1-й2> дает величину
объема жидкости, протекающей за единицу времени через парал-
лелограмм, натянутый на векторы йь й2.
Так как
(Л • йх • й2) = Алп1 [Й! х й2]4-Лвл2 [Й! х й2] 4-Л2л3 [Й! х й2],
то, используя результат примера с. 232, получаем координатную
запись этой 2-формы на векторах йь й2
(Л • й3 • й2) (Ллл2 Д л34-Лг/л3 А ^4-Лл А ^(йь й2).
Поскольку лх (й) = dx, л2 (й) = dy, л3 (й) = dz, то
л2 А Ю^-dy /\ dz,
л3 A Ch, h-г) — dz A dx,
Hi А Ch, Ю = dx A dy.
Итак, окончательно
(Л • йх • й2) = Axdy /\ dz-}-Aydz /\ dx + Azdx A dy.
233
Дифференциальная 2-форма со^ = Axdy [\ dz + Aydz Д с/хД-Л2Дх Д
Д dy, заданная в D, часто называется формой потока векторного
поля А.
По аналогии с трехмерным случаем для векторного поля А =
={А1, А2,...,Ап}, определенного в области Dc=Rn, формой работы
и формой потока часто называют соответственно дифференциаль-
п	п
ные 1-форму ~ Ajdxt и (и—1)-форму сД"1 — Atdx4 Д dx2l\
i—1	i—1
Д ... dxt .. . Д dxn. (Знак *'*'• показывает, что именно этот со-
множитель в данном слагаемом отсутствует.)
Внешнее произведение дифференциалов координат dxit, ... ,dxtj},
1 <Д’Х < Д < •  • < Д, является простейшей дифференциальной
(/-формой. Представление дифференциальной (/-формы со в виде
линейной комбинации
® = у аг„1............tq(х)dXi, t\dxt,... Д dxiq
i<(1<(!<.. .<tq
называется координатной записью, или записью в координатном
виде. Функции ailti....г (х) называются коэффициентами формы
со. Порядком гладкости формы со в области D называется наи-
меньший из порядков гладкости ее коэффициентов. Множество
дифференциальных (/-форм в D с коэффициентами класса C°°(D)
обозначается
Пример. Приведем к координатному виду дифференциаль-
ную форму
co = (x2dxx Д Дх2Д-х3Дхх Д dx3-[-xidxL /\ dx4-j-x3dx2 Д Дх3Д-
Д-ххДх2 Д dx4-f-Xidx3 Д dx4) /\ (x2dxx Д- x3dx2 Д- x4dx3 Д- ху1х4).
Решение. По свойствам внешнего произведения имеем, что
со = х2Дх1 Д dx2 Д dxx Д-x3x2dxx Д dx3 Д dx3A-
Д-х4х2с/хх Д dx4 Д dx1A-x3x2dx2 Д dx3 Ду/ххД-
Д- х4х^х4 Д dx4 Д dx4 Д- x3x2dx2 [\ dx3 Д dxr Д-
+ х4х2dx2 Д dx4 Д dx4 Д- х1х2Дха Д dx4 Д dxx Д-
Д- x2xsdxx Д dx2 [\ dx2 Д- x2adxt /\ dx3 /\ dx2 Д-
Д-XgX^Xi Д dx4 Д dx2A-x^dx2 Д dx3 /\ dx2-f-
+x4Xgdx2 Д dx4 Д dx2 Д- хгх^х3 Д dx4 Д dx2 Д-
Д-х2х4Дхх Д dx2 Д dx3 + x3xidx1 Д dx3 Д dx3 +
+ x24dx4 /\ dx4 Д dx3 Д- x3x4dx2 Д dx3 Д dx3 Д-
234
x^dx2 dx4 /\ dx3 -р x4x4dx3 f\ dx4 /\ dx3 -|-
+ x2x4dx4 Д dx2 Д dx4 + XjXgdXj A dx3 /\ dx4 +
4~ x4x4dx4 A dx4 dx4 'A x4x3dx2 A dx3 A dx4 -p
+ xxx4dx2 A dx4 A dx4 + x2 dx3 A dx4 A dx4 =
= (x3x2—x2+x2x4)dx1 f\ dx2 A ^j+(V4-¥i+vJ X
X dx4 /\ dx2 A dx4 + (x1x2—x2 + x1x3)dxl A dx3 A dx4+
+ (x1x3—x2 + x1x3)dx2 /\ dx3 A dx4.
Выкладки упрощаются, если сразу учитывать, что внешнее
произведение, содержащее два одинаковых сомножителя, равно
нулю:
(x2dx4 A dx2 + x3dx4 A dx3 4- x4dxt A dx4 4~
+ x3dx2 A dx3 + x4dx2 A dx4 4- x4dx3 /\ dx4) A (x2dXj 4- x3dx2 4-
4- x4dx3 4- x4dx4) = x2x3dx2 A dx3 A dx4 4- x2x4dx2 A dx4 A dx4 4-
4- x4x2dx3 A dx4 A dx4 4- x2dx4 A dx3 A dx2 4-
4- x3x4dxi A A dx2 4- x4x3dx3 /\ dxt A dx2 4-
4- xix2dx1 /\ dx2 A dx3 + x2dxT A dxt A dx3-j-
+ x2dx2 A dx4 /\ dXg + x&dXi A dx2 A dxt +
+ x1x3dxi A dx3 [\ dxi + x1x3dx2 A dxs f\ dx^
= (x2x3—x2 + х^2) dxx f\ dx2 A dx3 + (x2xi—xaxi + xix2) X
X dx1 A dx2 A dx^+ (X]X2—x^-f-xjxjdx! A dx3 A dxt +
+ (2x1x3~x2 + x1x3) dx2 A dx3 f\ dx4.
Пример. Приведем к координатному виду дифференциаль-
ную форму
d(x|%3x2X4) Д d(x2_x2 + x2_x2).
Решение.
d (*t Х32Х2xt) A d (Х2 — Х2 4- х2 — х2) =
= (4г|х| х2 x4dx! 4- Зх] х2 х2 xtdx2 4- 2х{ x3 x3x4dx3 4*
4- x^x3x2dx4) А (2х4ах4 — 2x2dx2 4- 2x3dx3—2x4dx4) —
= 6x3x2x2x4dx2' A dx1 + 4x5lx3x3xldx3 A dx4 +
-]-2x3x3x2dx4 A dx4—8x3x^x2x4dx4 A dx2 —
235
— 4л^Щ x3xtdx3 /\ dx2—2x\xi2x^dxi /\ dx2 +
4-8х^а|л-з^4(/л-1 A dx3-j- 6x4x2x3x4dx2 Д dx3-j-
-j-2x4x3x3dx4 Д dx3—8x3x3x2x2dx4 Д dx4—
— 6x*x2x2x2dx2 Д dx4— 4xjx3x..x2dxs Д dx4 =
= — 2x3x2x2xi(3x2 + 4x2)dx1 Д dx2 + 4x3x3x3x4(2x2—x2) dx4 Д dx3 —
— 2x3x3x2(x24~4x2)dx] Д dx4-j-2x4x2x3x4(2x2-±-3x2) dx2 Д dx3-L-
+ 2x4x22x2(x2 + 3xl)dx2 Д dxi—2x\x3x3(x2 + 2x2')dx3 f\ dx4.
Пример. Вычислим значение дифференциальной формы
со = x4x4dx4 [\ dx2 ф- x3x4dx2 [\ dx3 4- x1x3dx1 Д dx3 + x3x2dx.2 Д dx4
на паре векторов
£t = (l, 4, 1, 0) и ^ = (2, 0, 3, 1),
Вх, S2e77?4(l, 0, 2, —1).
Решение.
dx4 Д dx2 =	Sil 112 Й21 ^22		1 2	4	= — 8,
dx2 /\ dx3	crrf (TrT t-o Г-* ьэ to OTf ffW to >-* w <w	=	4 0	1 3	= 12,
dx-L Д dx4 =	CTrf'trrf to w CTrf (fTf to		1 2	0 1	= 1,
dx2 Д dx4 =	trrt’trrt* to to <Trf crrf to >-* 1Й		4 0	0 1	| = 4.
x4= 1, x2 =	0, x3 =	2,			— 1.
Следовательно,
<о= —1 .(—8)—2 - 124-2-1 + 0-4= —14.
Условимся под дифференциальной формой нулевого порядка
(0-формой) в области D понимать функцию f :D^R.
Определение. Пусть функция f<=Cl(D). Дифференциалом
(внешним дифференциалом) 0-формы f называется 1-форма в D,
а именно, дифференциал первого порядка df функции f.
Определение. Если коэффициенты 9-формы
и =	£	ah.i......iq(х)dxh Д dxiz Д ... Д dxiq,
заданной в D, дифференцируемы в D, то
236
дифференциал (внешний дифференциал) йсо формы со есть диф-
ференциальная (р+1)-форма в D, определяемая равенством
da= Е d..................1оЛ dXl' Л dx‘° Л  Л dxiq.
Пример. Найдем йсо, где
со = xjxjx^x, Д dx2—х^х3х^х2 Д dx3 +
+ x2x2x2dx1 /\ dx4—x\x2dx2 Д йх4.
Решение.
dco = rf(x2x|x4) Д dxY /\dx2 — d (х®х3х4) Д dx2 Д dx34-
4- d (xfx2x2) Д dx1 Д dx4—dix^x2) Д dx2 Д dxi = (2x1x2xidx1 +
4-2x2xbx4dx3-{-x\x2dx^ Д dxr Д dx2—(3x2x3xidx1-{-x^xidx8 +
4- x®x3dx4) Д dx2 Д dx3 4- (2x1x2x2dx1 4- x2x2dx2 4-
4-2x\x2x3dx3) /\ dx\ /\ dxi—(3x2x2dx1 + 2x3lx3dx3) Д dx2 Д dx4 =
= 2x'2lx3xidx3 Д dxr Д dx24-x^x2dx4 Д dxt Д dx2—
—Зх2х3х^хг Д dx2 Д dx3—x^x3dxi Д dx2 Д dx3 +
-$-x2x2dx2 Д dxj Д dxi + 2x2x2x3dx3 Д dxt Д dx4—
—Sx^x^dx! Д dx2 Д dx4—2x|x3dx3 Д dx2 Д dx4 =
= —х2х3х^хг Д dx2 Д dx3—2х2х2х^х4 Д dx3 /\ dx4 —
—3x2x2dx1 Д dx2 Д dx44-x®x3dx2 Д dx3 /\ dx4.
Если порядок гладкости формы со не меньше двух, то, как
следует из теоремы о равенстве смешанных производных, имеем
й(йсо)=0.
Определение. Дифференциальная р-форма со, заданная в
области D, называется точной в этой области, если существует
такая (р—1)-форма coi, заданная в D, что dcoi=co.
Из предыдущего равенства следует, что если гладкая форма
со точная, то йсо=й(йсо1) =0, т. е. условие йсо=О необходимо для
точности гладкой формы.
Покажем, что это условие не является достаточным для точ-
ности гладкой формы. В качестве примера рассмотрим форму
__ xdy — ydx
~~ ха + У2
в области £>={(х, у) :1<х24-р2<2} (рис. 45). Тогда форма сое
eQ'(Z)) и
237
da =
(x2 + у2) dx — 2xydy — 2x2dx
(x2+y2)2
A dy +
.	— (x2 + y2) dy + 2xydx + 2y2dy
H	(A2'+ y2)2
A dx-
— x2+y2
(x2 + y2)2
dx f\ dy-[
-x2 + y2
(x2 + y2)2
dy /\ dx=O.
Так как при x=^0 имеем, что d f arctg — \	—^- = со,га из ус-
\ х / х2 + у2
ловия dg=Q следует, что g=C, то удовлетворять условию dz=a
Рис. 45
может только функция z=f(x, у)+С, где f(x, у) —гладкая функ-
ция в D и
f(X, у) =
arctg -А, (Х) у) <= Dly = {(Xj у): (Х) y)e=D, х > 0};
X
arctg — + fe, (х, у) е= D2, D2 = {(х, у): (х, у) <=D,x< 0}.
X
Покажем, что никакой выбор постоянной k не даст функцию f(x,
у), непрерывную (и тем более, гладкую) в области D. Действи-
тельно, так как lim f(x, у) = л/2 и lim f (х, у}=—л/2-j-fe,
Х-МН-, г/>0	x-sO—, у>0	_
то для непрерывности f в точках интервала (1, У2) оси OY, ле-
жащего в D, необходимо, чтобы /г=л. Но тогда
lim f(x, у)=—л/2, lim / (х, у) = л/2 + k = Зл/2
, !/<0	х~>0—, (/<о
и f разрывна во всех точках интервала (—ф2, —1) оси OY, также
лежащего в D.
Итак, хотя 1-форма со = ——принадлежит C°°(Z>), т. е.
X2 +у2
(iieQ1 (Z>), и dco=O, x^D, однако не существует гладкой функции
z:D->R — 0-формы в D, для которой Дг=со.
238
Определение. Дифференциальная форма со, заданная в
области D и удовлетворяющая условию Ло=0, для всех x>=D на-
зывается замкнутой в этой области.
Теорема (лемма Пуанкаре). Если дифференциальная фор-
ма замкнута в шаре, то она точна в нем.
Эта теорема является частным случаем более общей теоремы
Пуанкаре о связи свойств замкнутости и точности дифференци-
альных форм, заданных в области D. В приведенной формулиров-
ке взята простейшая область — шар. Общая теорема Пуанкаре
выделяет некоторый класс областей, для которых замкнутая диф-
ференциальная форма, заданная в этой области, является точ-
ной. Эти классы областей для пространств R2 и /?3 будут рас-
смотрены при изложении интегрального исчисления дифференци-
альных форм.
Пусть область U лежит в Rm, область V лежит в Rn. Пусть
задано отображение ср: U->V и функция f : V->-R. Определим
операцию f-мр*/ соотношением
(q>*/) («) = Z (ф («)). u<=U.
Символ <р*Д в отличие от обычной записи композиции функций,
показывает, что мы имеем дело с преобразованием множества
функций, определенных на V, в множество функций, определен-
ных на U, т. е. с функционалом, определенным отображением ср.
Пользуясь введенной выше терминологией, скажем, что отобра-
жение ср: U->V порождает отображение ф* : Q°(lz)^-Q°(L'), пре-
образующее 0-формы, заданные на V, в 0-формы, заданные на U.
Если ср: U-+V— гладкое отображение, то для каждой точки
u<=U определено соответствующее отображение касательных про-
странств TUu-+TVv=4M. Каждой су-форме со, заданной в U, тогда
можно сопоставить (/-форму <р*со, заданную в V, соотношением
ср’со(i>)(vb v2, ..., v</) = co(cp(u))(cp,(u)v1, cp'(u)v2, ..., cp'(v)ve).
Итак, каждое гладкое отображение ср: U-*-V порождает отоб-
ражение <р* : й9(К)-яй9({7), преобразующее (/-формы, заданные
на V, в (/-формы, заданные на U. Это отображение называют пе-
реносом форм с V на U.
Основные свойства отображения ср* : й« (К)	(U)
1.	ср* (СО1 + со2) =ф* (®1) +1<р* (со2).
2.	ф* (Ьсо) = Хер* (со), Zs/?.
3.	ф* (а (и) со) = а(ф(и))ф* (со).
4.	(фоф)- = ф‘оф-, ((ф(ф))‘ = ф*(ф‘)).
5.	ф*(с/(о) = й(ф*со).
6.	ф* (dvh Л dvit Д ... Д dviq) =
v, д  • • Vi )
=	/ 1 д (и, и . и, ) du-ii /\ dUf, ... du^.
'* ,г
239
7.	Если форма со записана в координатном виде
® = Е av,---iJv)dvit /\ dvit Д ... Л dv ,
KliChC-.-zSiq
то координатная запись формы ср*со получается из координатной
записи со прямой заменой переменных v=cp(u) с последующим
преобразованием в соответствии со свойствами внешнего произ-
ведения.
Пример. Пусть область U лежит в R3, область V лежит в R5,
отображение q>: U-+V задается формулами
Vx = и2и2и3, v2 = ua— +
u3 = -j- u|—uA, vi — utu2u3, v5 = u^u2;
дифференциальная форма
о, = Vi dv1 /\ dv2 Д dv3 + (v2 + v3) dvy Д dv3 Д dv^ +
+ 32v6 dvi f\ dVi Д cfo8 + (u2 + v3) dv^, f\ dv2 /\ dv±—
— vLdv2 Д dv3 Д du4 + (o3 —v2)dv2 /\ dv3 Д dv6
задана в V. Найти форму ср*со, заданную в U.
Решение.
dvk = 2«1u2u3 dut -ф и2и3 du2 ф- wfw2 du3,
dv2 — 4u3 dUi—4u?2 du2 + 4«| du3,
dv3 = 4u3 dur + 4u3 du2—4u% du3,
dvt = u2u3 dur + 2«1tzau3 du2 + u±u2 du3,
dv3 = u2ul dur + UiU^ du2 + 2«1u3u2 du3.
Отсюда получаем, что
	2u1u2u3 u2u3 u2u2	
dv! A dv2 A dv3 =	4u3 — 4u3	4u|	dur [\ du2 /\ du3 —
	4u3 —4u3 —4u3	
— 32uf (uA + uA) duA A du2 A du3,		
	2u1u2u3 u2u3 u2u2	
dv± /\ dv3 /\ dv4 =	4u3	4u3 — 4u3	dur Д du2 f\ du3 —
	u2u3 2uru2u3 uru2	
= 4u2u2u3(3u^-\~uA-4-uti)dui Д du2 f\ du3,
240
	2и1и.2и3 и2и3 и2и2	
dvi Д dv4 Д dv5 =	и2и3 2и1и2и3 щи2	du4 Д du2 /\ du3 —
	u2ul иги2 2и4и2и3	
— 4и2и22и3(и4— и4—Sutyduy Д du2 Д du3,
	4uz. — 4u2	4u? 1	i.	0	
dv2 Д dv3 Д dv4 =	4u3	4u3	—4«|	duy /\ du2 /\ du3 =
	и22и3 2иги2и3 uLu2	
= 32 и\и2 (и4 4- 2и|) с/«х Д du2 /\ 'du3,		
	4u3 —4u2	4ul 1	2	<5	
dv2 dv3 dv& =	4u? 4u3 —4«з 12	О	du4 [\ du2 Д du3 =
	u2u2 uLu2 2u4u2u3	
= З2и4и3 (2u4 + И3) Д du2 Д du3.
Подставляя выражения переменных t»i, v2, v3, v4, u5 через пере-
менные Ui, u2, u3 в коэффициенты формы и и заменяя простейшие
дифференциальные 3-формы переменных щ, v2, v3, v4, v5 получен-
ными выражениями через 3-форму dui/\du2/\du3, окончательна
получаем, что
со = [UjU2Ug • 32 (ufu4 4-	4- 2и\ (12ujufuf 4- 4и~и%и3 4- 4u®u2u3) 4-
4- 32и1и2и2  4ufufuf 4- 2u| (4u®u^u3—4u^u®u3 — 12u2u2uf) —
—u2u2u3 (32и4и,5 4- 64u4u2u4) 4- 2 (u|—u|) (64u4u4u3 4- 32u*u|)] x
Xdu-! /\ du2 /\ du3= 16u|us[u6u2—2u2u2u4 + 8u% + 4u4u4 —
—4и|] du4 Д du2 /\ du3.
Если порядок q формы co, заданной в области VczRn, больше,
чем размерность области UczRm, то для любого гладкого отобра-
жения ср: U-+-V форма ср*со будет нулевой. С другой стороны, ес-
ли ср: U-+V— диффеоморфизм, т. е. существует обратное глад-
кое отображение ср-1: V-*-U, то отображения ср* : Qp(V)->Qp((7) и
(ср-1)* : Qp([7)-hQp(V) взаимно обратны, т. е. отображение ср*:
: Qp (V) (U) биективно.
Определение. Пусть Зет/?3— простая гладкая поверх-
ность. Дифференциальная 2-форма со задана на S, если на векто-
рах плоскости TSs, касательной кЗв точке s, определена 2-фор-
ма со.
Если поверхность 3 кусочно-гладкая, то дифференциальная
2-форма задана на S, если эта форма задана на каждой из глад-
ких составляющих S.
241
Примером дифференциальной 2-формы, заданной на простой
гладкой поверхности Зет/?3, может служить одна из координат
вектора нормали к S, если этот вектор определяется как вектор-
ное произведение двух неколлинеарных векторов соответствую-
щей касательной плоскости.
Пусть гладкая поверхность Зет/?3 лежит в области DaR3 и
дифференциальная 2-форма и задана в D. Тогда для любой точ-
ки seS имеет место включение TSsaTDs и, следовательно, мож-
но рассмотреть сужение формы ® на TSs. Такое сужение пред-
ставляет собой форму, заданную на 3; эту форму называют су-
жением и на S и обозначают ®|s. Если 3={ср(и, ц), (и,	—
параметрическое представление поверхности S, то можно сделать
перенос ср*® и <р*®|s форм ® и ®|s на U, при этом формы ср*® и
<p*®|s тождественны. Поскольку отображение <pz: TU(U,vy-*-TSs
есть изоморфизм, то можно переносить формы как с S на U, так
и с U на S; поэтому формы на гладкой простой поверхности обыч-
но задаются в области изменения ее параметров.
Точно так же определяется задание дифференциальной 1-фор-
мы на кривой Lcz/?3 и ее перенос на область изменения парамет-
ра. Покажем это на примере.
Пример. Найдем сужение формы ®=y2zdx—xyzdy+xz2dz на
коническую винтовую линию x = ne-/cosZ, y = ne~*sin/, г = ае~‘
(fl>0).
Решение, dx = а (— cos t — e~f sin t) dt,
dy — a (e~* cos t — е~‘sin t)dt, dz = —ae~‘ dt.
Следовательно,
co = — a4e~3z sin21 (е~* cos t + e~* sin f) dt —
—aie~3i sin t cos t (e~{ cos t—e~* sin t) dt—
—ale~3t cos t e~l dt= — а*е~и (sin t + cos t) dt.
Пример. Найдем сужение $opwbi(x = xydx/\dy4-yzdy/\dz-+-
-\-xzdz /\dx на конус x = uv, y = u2-}-v2, z = u2— v2.
Решение. dx = vdu-{-udv, dy = 2udu-\-2vdv, dz = 2udu— 2vdv.
Следовательно,
dx !\dy= n n \du /\ dv — 2 (v2—u2) du /\ dv,
dy /\ dz == I | du !\dv = — 8uv du Л dv,
\2u —2v
dz [\dx =
2u
v
du [\dv = 2 (и2 ф- o2) du [\ dv
и
co = 2uv (u2 4- о2) (ц2—и2) du /\dv—(и4—u4) 8uv du f\ du +
-f-2uu(u2—v2) (u2 4- v2) du f\ dv — —8uv(ul— v^du Д dv.
242
С) Интегрирование дифференциальных форм. Ориентация
пространства Rn. Простое ориентированное многообразие
в R". Интеграл по многообразию
Множество базисов в пространстве Rn разбивается на два
класса эквивалентности таким образом, что определитель матри-
цы перехода от базиса одного класса к базису того же класса по-
ложителен, а к базису другого класса отрицателен. Эти классы
эквивалентности называют классами ориентации базисов.
Определение. Ориентированным пространством Rn назы-
вается пространство Rn с фиксированным классом ориентации
его базисов.
Поскольку класс ориентации базисов определен указанием
одного из принадлежащих ему базисов, то ориентированное про-
странство Rn задается как пространство Rnai^t...ап с фиксиро-
ванным базисом «1, а2,...,ап. Для краткости пространство Rn со
стандартным базисом е2,...,еп будем называть просто ориенти-
рованным пространством Rn. Базис фиксирован, когда заданы
составляющие его векторы и их порядок. Базис а^,..., aj,....	...
...,сгп, полученный из базиса аь	..., ап перестановкой
любой пары векторов, принадлежит другому классу эквивалент-
ности, т. е. пространства R^ а. Oi.....ап и R^ ai.....aj.....an ори-
ентированы противоположно.
В одномерном случае базисами разных классов ориентации
являются ненулевой вектор а и противоположно направленный
вектор Za, Z<0. Геометрически, задать ориентацию на промежут-
ке <а, b')^R—это указать, проходится ли этот промежуток слева
направо или справа налево, т. е. указать начальную и конечную
точку движения по промежутку. В пространстве Rn (п>2) про-
стейшим методом перехода от одного класса ориентации базисов
к другому является перестановка векторов стандартного базиса.
В двумерном случае, переставляя векторы базиса, получаем
два противоположно ориентированных пространства Rxy и Ryx.
В трехмерном случае имеется шесть перестановок xyz, yzx, zxy,
xzy, yxz, zyx векторов базиса и шесть ориентированных про-
странств разбиваются на два класса Rxyz, Ryzx, Rzxy И Rxzy, Ryxz-,
Rzyx’ таким образом, что пространства в одном классе ориенти-
рованы одинаково, а ориентация любой пары пространств из раз-
ных классов противоположна.
Определение. Интеграл от n-формы &=f(x)dxi/\dx2/\...
... /\dxn по области DaRn обозначается со и определяется ра-
b
венствбм J со = f (х) dx.
D D
Если U и V — области в Rn, то диффеоморфизм (регулярное
отображение) ср: U-+-V задает переход от базиса dux, du2,...,dun
к базису dvi, dv2, ...,dvn. Рассматривая эти два базиса в Rn, ви-
дим, что отображение ср сохраняет ориентацию Rn, если det (<р')>
243
>0, и изменяет ее, если det(<p') <0. При этом q>* (dv\/\dv2/\ ...
... /\dvn) =det (<₽') dui /\du2/\ ... /\dun.
Формула
J f (x) dx= j f (ф (/)) det (ф') dt
£>=<p(D,)
замены переменных в кратном интеграле при условии, что диф-
феоморфизм ф :D\-^D сохраняет ориентацию Rn (т. е. det(<p')>
>0), получается формальной подстановкой х=ф((), и ее можно
записать в виде | со = ф*со. В таком виде эта формула спра-
ф(Ъ) b
ведлива и для диффеоморфизма ф, изменяющего ориентацию,
Ь	а
т. е. если det (ср') <0. В частности, формулу \f(x)dx —— \ f(x)dx
а	Ъ
можно рассматривать как замену переменного ф:х->(—х), ме-
няющую ориентацию пространства R1.
Определение. Множество MrzRn называется простым
гладким многообразием порядка q, если М есть образ жордано-
вой области (или ее замыкания) DczRi при _гладком невырож-
денном отображении ф: D->Rn (т. е. феСЦВ) и ранг матрицы
Якоби ф равен q). Запись М={ф(Х1, х2, ...,xq), (хь х2, ...,хд)ез£)}
называется параметрическим представлением М, область D — об-
ластью значений параметров М.
Определение. Гладкие невырожденные отображения ф:
U^Ri, и ф: V-+Rn, VaR4, называются эквивалентными,
если существует такой диффеоморфизм f: U-+-V, что ф(и) =
=ф(Н«)) для всех we (7.
Если ф и ф — эквивалентные отображения, то выражения
{ф(Ц|, и2,.. ,,Ug), (Ui, u2,...,Ug)^U} и {ф(У1, v2, ...,vg), (ui, v2,...
.... Vq), (vi, v2,..., ug) eV'} являются различными параметрическими
представлениями одного и того же простого гладкого многообра-
зия М Диффеоморфизм f, связывающий отображения ф и ф, на-
зывается диффеоморфизмом преобразования параметров, или,
короче, преобразованием параметров.
Понятие многообразия есть обобщение понятий кривой и по-
верхности. Именно простая гладкая кривая L есть многообразие
первого порядка, простая гладкая поверхность S—многообразие
второго порядка.
Пусть
М = {ф (w1( ti2, ..., uq), (иь w2, ..., uq) e U} и
=	v2, ..., vq), (vlt v2, ..., wg)eV}
— два различных параметрических представления одного просто-
го гладкого многообразия порядка q. Отображение /=ф-1ф —
диффеоморфизм преобразования параметров, следовательно, яко-
биан f, det(f), не меняет знака на U. Все возможные парамет-
рические представления разбиваются на два класса эквивалент-
244
ностей так, что якобиан f для представлений одного класса поло-
жителен, а для представлений разных классов отрицателен. Та-
ким образом, на простом гладком многообразии М так же, как в
пространстве Ri, определяются две ориентации.
Определение. Простое гладкое многообразие М с выбран-
ной (заданной) ориентацией называется ориентированным про-
стым многообразием.
Ориентация многообразия М задается порядком векторов ба-
зиса, или, что то же самое, порядком записи координат в области
значений параметров. Таким образом, выражения
{ф(«с, ..., uq), (иь и2...иг, ..., и}, uq)e=U}
и
{<р («!, ..., uq), (иъ и2, ..., Uj, ..., uh .... uq) <= U}
являются записью одного и того же многообразия с противопо-
ложными ориентациями.
Определение. Пусть в области DaRn задана дифферен-
циальная 7-форма & и ориентированное простое многообразие по-
рядка 7 :Al={<p(u1,...,Ug), («!,...,	(MdO). Тогда интеграл
от о по М обозначается j со и определяется равенством f со —
м	м
= [ ср*со, где ф’со— перенос формы со, порожденный отображе-
и
нием ср.
Из соотношений переноса форм и замены переменных в крат-
ном интеграле следует, что величина интеграла j® не зависит от
м
выбора параметрического представления многообразия М, т. е.
определение этого интеграла корректно.
Пример. Вычислим
} x2x3dx1 Д dx3 Д dx7--x1xidx2 /\ dxe Д dx8 -j- х{х2 dx3 f\dxt f\dx3,
ЛС
где
{'^1	^*2	^З ===: ^1^2^3’ ^4	^Д^з, X-g ==
^6	^1^2’ ^7	^143, '^8===^'2^3» Ху ~— (Дс^з, (^1, ^2» ^з)
<= До,о.о),(1,1,1)}, Т. е.	/=1, 2, 3.
Решение. Делаем перенос ср*со формы
со = х2х3 dx1 /\ dx6 Д dx7 х2х tdx2 /\ dxs Д dx8 4- х^х2 dx3 f\ dxi Д dxe
с Д9 на /(o,o,o),(1,1,1), порожденный отображением ср : Я8->/?9, кото-
рое задает многообразие М; tp:x1 = u2lu2ui, х2 = и1и2и3, х^и^и2,
x4 = u8u3, хъ = и\и2, xtj = u1u^, х1 = и1и2, x8 = u2u|, ха — и2и3. Вычислим
последовательно слагаемые ср*®:
245
x^XfdXi /\ dxi/\dx1 = u1u^ul
2u1u2u3 u^u3
3«2U2
«3 о
«1«2
0
3u}u^
dur [\ du2 Д du3 —
2u2u3 UjUg u,tz2
= u\u\u^	3u2 ux 0	diii /\ du2 Д du3 =
	u| 0 3u±ul	
= —4u8u®M|~dui Д du2 Д du3,
	u^u3 2uxii2u3 uxu|	
XyX^ dx2 /\ dxe Д dx8 = ufau?	«з 3ux«2	0	dUi[\ du2 /\ du3=
	0 u? 3u2u2 0	* о	
= u5«^w?
1 l о
u3 2ujU2us uxu2
u2 3uTu^ 0
О цз 3u|
du1 Д du2 /\ du3 =
= 4u6U6U5 ^Ui д ^Ug д du3>
	u2ul Uytil 2uxu2u3	
xrx2 dx3 Д dx4 Д dxa=	3u?u3 0 «з i3	i	d«! A 4wa Д du3 =
	0 Зи^и3 «з	
= u^u2u3
m2u3 щи3 2u1u2ug
3«з 0 «з
0 3u| и®
= 12ufu6u5 Д
dui Д du2 /\ du3 =
Следовательно,
<р*<в = 4u<>uf>u;> dux Д du2 Д du3.
Итак, по определению
J x2x3dxr Д dxb /\ dXj—XiXtdXz Д dxe Д dx3 +
м
+ xxx2dx3 /\ dXi l\dx9= J 4m6u6u5 д д ^Ug
/(0,0,0),(l,l,l)
и по определению
4U®U6U5 Д Д dUg =
;(0,0,G),(1,1,1)
246
=	4U®«6U5	rfUa —
'(0,0,0),(1,11,)
1	1	1
Л	л	p	1112
= 4 J u® duM u® du2 \ “з^з^4'—•—--у = "Т^Г-
ooo
Заметим, что, обобщая понятие касательной плоскости к поверх-
ности, дается понятие касательного пространства к многообра-
зию. Определяются также понятия дифференциальной формы на
многообразии и сужения дифференциальной формы из области,
содержащей многообразие, на многообразие. Но поскольку прак-
тически всегда мы имеем дело с формами, определенными на об-
ласти, включающей рассматриваемое многообразие, то на этих
понятиях останавливаться не будем.
§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный
в этом параграфе, рассмотрен в § 2* в терминологии векторных
полей. Читателю полезно сравнить определения, основные свой-
ства рассматриваемых понятий и ход решения примеров.
Простая гладкая кривая
L={r(t), t^[a, 6], геСх[а, 6], |г^|=5^=0},
как уже говорилось, является простым гладким многообразием
первого порядка. Как многообразие первого порядка кривая L
ориентируется заданием ориентации в области значения парамет-
ра t. Область значения параметра t — отрезок; ориентация [а, Ь]
этого отрезка соответствует ориентации АВ, А=г(а), В-г(Ь'),
кривой L, а ориентация [&, а] —ориентации В А кривой L. Таким
образом, понятие ориентации простой гладкой кривой L как од-
номерного многообразия совпадает с введенным в § 1 понятием
ориентации кривой. В дальнейшем под термином «ориентирован-
ная кривая L» будем понимать выбор ориентации на L в обоих
смыслах.
Определение. Пусть L — кусочно-гладкая ориентирован-
ная кривая и Lq,	— простые гладкие ориентированные
кривые (простые гладкие ориентированные многообразия) без
общих внутренних точек (неперекрывающиеся), составляющие
Q
L, т. е. L= (j Lq. Интеграл от 1-формы и по ориентированной
кривой L или криволинейный интеграл второго рода обозначает-
ся J со и определяется равенством
L
Q
j “ = Е f “•
ь 9=1 Lq
247
Определение криволинейного интеграла второго рода по ку-
сочно-гладкой ориентированной кривой корректно, т. е. его вели-
чина не зависит от способа представления кривой L в виде объ-
единения простых гладких ориентированных многообразий (про-
стых гладких кривых Lo).
Основные свойства криволинейного интеграла второго рода
1.	J со =— [со (направленность интеграла).
АВ	ВА
2.	j" (XjCDj + <х2со2 = «j J coi -j- <х2 [ ®2, гДе ai и “а—постоянные (ли-
L	L	L
нейность интеграла).
3.	Если L = A B[jB С, то j ®+ J ю (аддитивность инте-
L	А~ В	ВС
грала).
4.	Если форма со точная, т. е. a = df(M), то
J co = f(B)-f(X).
а' в
В частности, для контура L и точной формы со имеем jco=0
L
(независимость интеграла от пути интегрирования).
Обратно, если для любого кусочно-гладкого контура LaD
верно равенство jco=0, то форма со точна в области D.
L
5.	Пусть L — ориентированная гладкая кривая, r={cosa, cosp,
cosy} — единичный вектор, касательный к L и направленный со-
ответственно ориентации L, и co = a1c/x1 + a.2dx24-a3c/x3. Тогда
со = [ (a , cos a -+- a2 cos p -j- a3 cos y) ds
L L
(связь криволинейных интегралов первого и второго рода).
Пример. Вычислим
(ya + 2xy)dx + (x2 —2xy)dy,
АВ
где АВ — дуга параболы у=х2 от точки Л(1, 1) до точки В (2, 4).
Решение. Кривая АВ есть простое гладкое ориентирован-
ное многообразие первого порядка: АВ=(х=х, у=х2, хе(1, 2)).
Делаем порожденный отображением ср: (1, 2 )->-/?2: х=х, у=х2 пе-
ренос формы co=(y2+2xy)dx+ (х2—2xy)dy на промежуток (1, 2).
Так как у=х2, dy=2xdx, то cp*co=(x4+2x3)dx+(х2—2x3)2xdx=
248
= (4х3—3x4)dx и по определению криволинейного интеграла вто-
рого рода
2
С (г/2 + 2ху) dx + (х2 — 2ху) dy=\ (4х3—Зх4) dx  -—.
J	J	5
А~ В	1
Пример. Вычислим
[ (ху 4- х2 + г/2) dx 4- (х2—у1) dy,
L
где L — контур треугольника ОАВ:О=(0, 0), Л=(1, 2), В=(0, 2)
с положительным направлением обхода (см. рис. 46).
Решение. Кривая L составлена из трех ориентированных
гладких кривых: отрезков ОА, АВ, ВО. Запишем каждый из них
как ориентированное многообразие:
ОА = {х = х, у — 2х, х е (0, 1)};
АВ = {х = х, у = 2, /е(1, 0)};
ВО = {х = 0, у = у, у е (2,0)}.
Обозначим сужение подынтегральной формы w= (xy+x2+y2)dx+
4-(х2—y^dy на соответствующие отрезки через ыОл, юав, ©во;
тогда на отрезке ОА имеем dy=2dx и к>оа=(7х2—6x2)dx=x2dx
на отрезке АВ : dy=Q и иав=(х24-2х4~4)йх на отрезке BO:dx=0
и и»во=—y2dy. Следовательно,
j	?
j" и ----- J ® 4- и + } (О = J X2 dx + ( (х2 + 2х 4- 4) dx +
L ОА АВ ВО 0	1
0	1	2
+ J (-№) dy = - J (2х 4- 4) dx 4- J у2 dy = - 7/3.
2	0	0
249
Пример. Вычислим
f ydx—xdy,
L
где L — астроида х2/3 + y1^ = a2/i с положительным направле-
нием обхода (a>0).
Решение. Запишем астроиду в параметрическом виде: х=
=acos3/, z/=a sin3/, при этом положительному направлению об-
хода астроиды соответствует изменение t от 0 до 2л. Итак, L=
={x=acos3/, z/=asin3/, /&[0, 2л]} есть запись астроиды как ори-
ентированного многообразия. Так как
dx —— 3a cos21 sin t dt, dy = 3a sin21 cos t,
у dx—x dy — (— 3a2cos21sin41—3a2 cos4 / sin2/) dt =
= —3a2 cos2/sin2/d/,
TO
2л
r ,	, o,r ,, .2,,, Ю 2 1 г (3/2) Г (3/2)
\ ydx—xdy — — 3a2 \ cos-/sin2/dt = — 12a2---*—-——— —
J	J	2 Г (3)
L	0
__ —Злаа
—	4	’
Пример. Вычислим
f (y + x)dx—(x—y)dy,
L
где L — петля кривой r=a cos Зф, пересекающая полярную ось, с
положительным направлением обхода (декартова и полярная си-
стемы координат совмещены) (а>0).
Решение. Запишем уравнение кривой L в параметрическом
виде:
х = a cos Зф cos ф, г/= a cos Зср sinq>.
При этом положительному обходу заданной петли соответствует
изменение ф от —л/6 до л/6. Итак,
£, = {х = асо5 3фсозф, г/ = асозЗфsintp, —л/6, л/6]}
есть запись кривой как ориентированного многообразия. Так как
dx= -—а (зш2ф-}-2 sin 4ф) d<p, dy = a(2 cos 4ф—cos 2ф) dip,
(х-\- у) dx—(х—у) dy= —a2 cos Зф (cos ф + sin ф) (sin 2фЦ-
+ 2 sin 4ф) dtp — a2 cos Зф (cos ф — sin ф) (2 cos 4ф—cos2 ф) d<p —
= —a2 cos Зф (6 sin Зф + 2 cos Зф) dtp,
250
то
л/6
^(x-]-y)dx—(х—y)dy =— § a2cos3<p(6sin3(p + 2cos3<p)d<p =
L	—Л/6
л/6
= —a2 J (1+cos6<p)dtp =----
—л/6
Пример. Вычислим
j zdx-y2xdy—ydz,
Лв
где АВ — кривая
х2 -|- г/2 = 2ах, az=xy, z^O, Л = (0, 0, 0), В = (2а, О, 0) (а>0).
Решение. Так как на кривой АВ имеем х>0, z>0, то и
>0. Следовательно, кривая АВ может быть параметризована
следующим образом:
х = х, у = У2ах—х2, z — ~——y^2ax—х2, xs[0, 2d].
Запишем АВ как ориентированное многообразие
ЛВ=!х = х, y = V2ax—х2,г = — ^2ах—х2, хен[0, 2а]
I	а
Тогда
,	“ —х	,	,	/ (а — х)х /2ах —ха \ ,
dy = —— -------dx, dz — |-^3^27 + —— ------ dx=
У 2ax— x2	\a}A2ax—x2	/
3ax — 2x2	,
=—'	-- dx.
a у 2ax — x2
Делая перенос формы, получаем, что
» х ,<5--------, , , 2х (а — хУ ,	Зах—2х2 ,
Ф со = — у 2ах—х2 dx Н-.. dx---------------dx.
а	У 2ах—х2	а
Следовательно,
2а
Г / x~~g т/а2—(%—a)2 dx +
J \ а
о
АВ
+ /а2—(х—а)2 dx + 2 /а2—(х—а)2 dx---dx—
у ci m" х	а 1
2а2
9у2
dx—3xdx~l——
а
251
a
' /_L+ 3 -/a2=?--------------------v==r^ dt-
| \ a V	V	Va2 — t2 /a2 — /2 )
—a
c , , 16	2 ла2	2 2
—6a2 4----a2 =--------------a2.
3	2	3
Заметим, что при этой параметризации функции у(х) и z(x)
не являются гладкими на (0, 2a), так что формально мы здесь не
имели права применять рассмотренные выше соотношения. Но,
как уже не раз отмечалось в аналогичных ситуациях, если в этих
соотношениях вместо интеграла Римана появляется несобствен-
ный абсолютно сходящийся интеграл, то они остаются в силе.
Этим утверждением будем пользоваться и в дальнейшем.
Можно параметризировать кривую АВ и так, чтобы все функ-
ции были гладкими. Например, положим
x = a(l 4-cos/), z/ = asin/, z = a sin/(1 4-cos/).
Тогда точке Л = (0, 0, 0) отвечает значение t—n, точке В=(2а, 0,
0) —значение ^=0; делая перенос формы, получаем
<р*со = а2 (—sin21—sin2 / cos /4- 2 cos/4- 2cos2/—sin / cos/—
— 2 sin / cos2 / 4- sin3 /) dt = a2 [cos / (2—sin2 /—sin /) +
+ sin /(1 —2 cos2 /) + 3 cos2 /— 1] dt.
Следовательно,
о
( zdxA-Zxdy—ydz = a2 ( (2—sin2/—sin/)cos/4~
J	•! L
AB	я
+ (2cos2/—1)(—sin/)-|-~~cos 2/4-j dt =
> I -a i \ 10 na2 2 2
= a2 — cos3 / — cos /--------=-------a2
> 3	/ л 2	3	2
ла2
Пример. Вычислим
Г — ydx 4- xdy
J x2 4- y2
L
где L — окружность x2+y2=a2 с положительным направлением
обхода (a>0).
Решение. Запишем уравнение окружности L в параметри-
ческом виде: x=acos/, у=а sin t, при этом положительному на-
правлению обхода соответствует изменение / от 0 до 2л. Делая
252
перенос формы, получаем, что cp*co — а sin	rf/. Следова-
тельно,
С -^+^.-=?d/=2n.
J х2 + у2 J
L	О
Полученное равенство еще раз показывает, что замкнутая в
области D :	< х2-ф г/2 < 2а21 форма со =	(см.
| 2	j	х 4* У
с. 248)) не является точной, так как в противном случае интеграл
Г	Г	xdy — ydx	~
\со=\———-— должен был быть равен нулю в силу того, что
J	J х2 + у2
L	L
LczD и в силу свойства криволинейного интеграла второго рода
(см. с. 248).
Пр и м е р. Найдем функцию f : Rs-+R, если
df = (у + z) dx + (г -ф х) dy -ф (х -ф у) dz.
Решение. Поскольку точность формы
м = (у-фг) dx-ф (z-ф х) dy-ф (х-ф z/) rfz
дана в условии, то в силу свойства 4 криволинейного интеграла
второго рода (см. с. 248) имеем
/(х0, у0, z0) = f (B) = f (А)-ф 5 со.
АВ
В этом равенстве символ АВ обозначает произвольную кусочно-
гладкую кривую, не выходящую за пределы той области, в кото-
рой a—df. В данном примере не дано ограничений на значения
х, у, z и форма со является гладкой на всем пространстве R\ по-
этому можно считать равенство a—df заданным всюду в R3. Точ-
ка А выбирается произвольно, — положим А = (0, 0, 0). Так как
равенство df=a определяет функцию f с точностью до произволь-
ного слагаемого, то значение ДА) выбирается произвольно. В ка-
честве кривой АВ при решении задач этого типа берется ломаная,
составленная из отрезков, параллельных осям координат. Такой
вФсбор обусловлен тем, что на таких отрезках все координаты,
кроме одной, постоянны и, следовательно, их дифференциалы
равны нулю, поэтому сужение формы и на эти отрезки получает-
ся наиболее просто. Итак,
AB = AM + MN + NB,
где А = (0, 0, 0), Л4=(х0, 0, 0), ^ = (x0, у9, 0), В = (х0, у0, гр). Обоз-
начая со|ЛЛ1, coIaw, сужение формы со на AM, MN, NB соот-
ветственно, получаем, что со | АМ = 0 dx, со | MN = xody, со | NB = (х0 -ф у0) dz
и, следовательно,
253-
со — и-f- со 4- со — Odx 4- x()dy 4* (х0 4- у о) dz —
дв ДМ X.N NB 6	О	6
= хоУо+ Vo + ^o-
В силу произвольности точки (х0, Уо, Zo) получаем, что
f(x, у, z) = xy + xz + yz + C,
где С — произвольная постоянная.
Пример. Найдем функцию f : R2->-R, если
df =---dx -4- (’ —- 4-	]dy---— dz.
У2 ; Г z2 ) z3
Решение. В данном примере' форма
со =---— dxf- (—4~—1 dy—— dz
if \ i/3 z3 ) У г3
является определенной и гладкой в области D, замыкание кото-
рой не пересекается с плоскостями w=0 и г=0, и, следовательно,
функция f определяется в точках (х, у, z), не принадлежащих
этим плоскостям. Примем для определенности, что у>0 и z<0.
В качестве начальной возьмем точку Л=(0, 1, —1), тогда для
любой точки В=(х0, уо, г0), Уо>О, £о<0, ломаная /1Л4Л'В, где М=
= (О, 1, Zq), Л4=(0, ye, z0), лежит в области гладкости формы со.
Следовательно,
=	\ со = f (А) 4- со 4- со + j со =
Хв	AM ALV NB
Zo	Уо
(* — dz , P
О
= /ИН
2z2	2
zz0
2	2
1 ,	Уо_____1^xo
»4	2z2	9t/2
“40	“»0
f	x2
Уо	vo
2z2	2l/g

В сил}7 произвольности точки (х0, Уо, z0), Уо>О, zo<0, получаем,
что
»>2	у2
f (х. у, г) = —----------1- С,
где С — произвольная постоянная.
п
Если дифференциальная 1-форма от п переменных со = at (х) X
i— 1
X dxt точна, то функция f :Rn-*-R, удовлетворяющая условию
df=a, находится по такой же схеме. Если 1 — брус в Rn и df = a>
254
в I, то для любых двух точек А = (у\, у2,..., уп) ^1 и В=(х}, х2,...
...,х„)е/ имеем равенство:
/(Ч, х2, ... ,х„) = /(В) = /(Л) +J ^(4, у2, ... ,у,№1 +
Ух
х*	xi
+ а2 (хь t2, ys, ... ,yn)dt2 + + \ «г (*i. х2, ... , хг_1, th
Ух
«t
1» -Чь  • • > ^п— 1, ta) dtп.
уп
Пример. Найдем функцию f :R°->~ R, если
df — (2ххх2 + х|) dxj + (х|— 2х3х3) dx2 + (2х3х4 — xty dx3 +
+ (4~2хЛ) dx, + (2xjX5 — х|) dx5.
Решение. Положив Л = (0, 0, 0, 0, 0), получаем, что
/(х1( х2, х3, х4, хБ) = /(Л) 4-V O-d^+^x^ —
О	о
Хя	х4	х5
- 5 X2dt3 + Jj х2 dt, + (2х^6 - х2) dt, =
ООО
= х|Х2 — х2 х3 4- ХдХ4 — Х^ХБ + XjX2.
Отсюда следует, что
f(x„ х2, х3, х„ х5) = х21х2 — х%х3 + х$х,—х^Хб + х^ + С,
где С—произвольная постоянная.
§ 4. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный
в этом параграфе, рассмотрен в § 3* в терминологии векторных
полей. Читателю полезно сравнить определения, основные свой-
ства рассматриваемых понятий и ход решения примеров.
Простая гладкая поверхность
5 = {r:r = r(u, v), (и, v)^D}, DcR2, r^C'fD), [r'u х r'v]=^Q,
как уже говорилось, является простым гладким многообразием
второго порядка. Как многообразие второго порядка, поверхность
5 ориентируется заданием ориентации в области значений пара-
255
•метров — области DczR2. Записью поверхности S с противопо-
ложными ориентациями являются выражения
S = {г: г = г (и, и), (и, v) GE D}
и
S = {r:r=r(u, и), (у, u)=eD}.
Поставим в соответствие ориентированной поверхности S век-
торное поле нормалей .¥=)
, а ориентированной по-
е	г, <rv X ги\
верхности о — поле Л=Х—;---------- . Поскольку выбор порядка
I X rj ]
параметров («, и) или (о, и) взаимно однозначно определяет вы-
бор поля W или N, то понятие ориентации простой гладкой по-
верхности как двумерного многообразия совпадает с введенным
в § 1 понятием ориентации поверхности. Если S — простая глад-
кая поверхность, то под термином «ориентированная поверхность
S» будем понимать поверхность 5 с фиксированной ориентацией
как в том, так и в другом смысле. Кроме того, будем пользовать-
ся введенными в § 1 понятиями ориентированной кусочно-гладкой
поверхности, положительного обхода контура на незамкнутой ку-
сочно-гладкой ориентируемой поверхности и терминологией ука-
зания ориентации поверхности.
В частности, выражение
S = {г: г (х, у) = (х, у, z (х, у)), (х, у) ge D}
задает верхнюю, а выражение
S = {r:r(x, у) = (х, у, z (х, у)), (у, х) ge D}
— нижнюю сторону поверхности, определенной явной функцией
z=z(x, у); выражение
S = {r:r (у, z) = {х (у, г), у, г}, (у, z) ед D}
задает правую, а выражение
S = {r:r(y, г) = {х(у, г), у, г}, (z, у) ge D}
— левую сторону поверхности, определенной явной функцией х=
=х(у, г).
Определение. Пусть К — кусочно-гладкая ориентирован-
Q
ная поверхность, S= (J S,, где SQ, l=Cy=CQ, — простые глад-
Q= 1
кие ориентированные многообразия (простые гладкие ориентиро-
ванные поверхности) без общих внутренних точек. Интеграл от
256
2-формы и по поверхности 5 или поверхностный интеграл второго
<?
рода обозначается 'Цои определяется равенством co=J^ <в’
’s	s <7-1 sj
Определение поверхностного интеграла второго рода коррект-
но, т. е. его величина не зависит от представления S в виде объ-
единения непересекающихся многообразий.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода
I.	Если S a S есть обозначения одной и той же поверхности с
противоположными ориентациями, то ^со =
— co (направ-
s
поверхность, N={n} —
ленность интеграла).
2.	4-а2со2 = at ^сох4-а2 со2,
s	s	’s
где и а2 — константы (линейность интеграла).
3.	Если 5=510^2, поверхности S] и 32 не имеют общих внут-
ренних точек и их ориентации согласованы, то
со = J J со + со (аддитивность интеграла),
s a, s,
4.	Пусть S — ориентированная гладкая
ее ориентирующее поле нормалей. Тогда
со =	(a1 cos a + a, cos р + а3 cos у) dS,
s 's
где а, р, у — углы вектора n&V с осями
ственно, т. е. n=(cosa, cosp, cosy) (связь
гралов первого и второго рода), w=a{dy/\dz+a2dz/\dx+a3dx/\
/\dy.
Пример. Вычислим
yzdy /\ dz~Yx2dz Д dx-'r yzdx [\ dy,
OX, OY, OZ соответ-
поверхностных инте-
где 5 —внешняя сторона полусферы x2+c/2 + z2=a2,	(a>0).
Решение. Поскольку с/>0, то уравнение полусферы 5 за-
писывается в явном виде:
х = х, г = г, = ]/а2—х2—z2, (х, z)(=D,
где область параметров D = {(х, г): х2 4- z2 <с а2}. Для отображения
ср : D-+R3: х= х, y=--j/a2— х2 — z2, z = z имеем
Гт' х ф'1 = [	— — 1 — ~г
1 х J - Уа?-х2-г2	/а® - х® - г2
257
Следовательно, ориентация (х, z} области D определяет вектор
нормали к S, направленный к центру полусферы, т. е. эта ориен-
тация противоположна заданной. Итак, в нашем случае ориенти-
рованная полусфера записывается в виде
S = {x = x, г/ = ]/а2 — х2—z2, z = z, (2, х) е D}.
Согласно определениям находим соответствующий перенос ф*со
подынтегральной формы со:
dy = -~xdx~~zdz . ф‘со= —xzdx /\dz-\-
J-a2 — т2 — г2	/х
+ x2dz /\dx—z2dx ft dz = (x2z2 -|- xz) dz Д dx.
Следовательно,
® =	У^У /\dz + x2dz /\ dx-\-yzdx Д dy =
s s
= jy(x2 + z2 + xz)dz Д dx = ^(*2 + z2 + xz)dzdx =
D	D
—	+ cosФsin=	•
о 0
Пример. Вычислим
(4x2 + z2) dy /\ de + 4xydz /\ dx-j- z2dx Д dy,
s
где S —правая сторона части гиперболического цилиндра 4х2—•
•—у2=а2, лежащей внутри конуса х = У y2-\-z2 (а>0).
Решение. Поскольку задана правая сторона поверхности
S, выразим ее в виде S={(x, у, z), х=х(у, z), у = у, z=z, (у,
е/)}. Используя условие х>0, получаем, что х(у, z^ — ^aа + у2.
Область D значений параметров является проекцией заданной
части цилиндра 4х2—у2=а2 на плоскость ZY, границу ее находим
как проекцию линии пересечения поверхностей 4х2 — у2 = а2 и х —
==V<y2 + z2. исключая, переменную х из этих двух уравнений:а2 +
+ у2=4(у2+г2) или 3z/2 + 4z2=a2. Итак,
5 = ^ = ~Уа2 + у2, у = у, z = z, (у, z)^D,
D={(y, z):4z2 + 3c/2<a2)j.
Согласно определению находим соответствующий перенос ф*а>
подынтегральной формы со:
258
dx = TV/?, 2 ’ (₽‘® =	+ y2 + z2> dy [\dz- y2dz !\dy =
* V a У
= (a2 + z2)dy /\ dz.
Следовательно,
= jy (4x2z2)dy A dz-\-4xydz /\ dx-'r-z2dx f\ dy =
s s
= j J (a2 + г2) dy A dz = j j z2dydz +
D	D
В полученном двойном интеграле сделаем замену:
а .	а
у = - Л- Sin ф, Z =-СОЗф.
J- 3	2
Тогда
1
Иг’*2=Т75 j -г4тг’с05г,₽‘"-^7Г-
D	0	0
Итак, окончательно
Ила4 f ла4! _ ла4 17
Ю~~ 32/3 + 2/3 ~~ 32/3 ’
Пр и м е р. Вычислим
xdy /\ dz — ydz /\ dx-\-zdx /\ dy,
где S— внешняя сторона части конуса z2=x2+y2, лежащей выше
плоскости z=0 и внутри цилиндра х2+г/2=а2 (а>0).
Решение. Внешняя нормаль к поверхности конуса z2=x2+
+ у2 направлена от оси OZ, и в точках конуса, лежащих выше
плоскости z=0, образует с этой осью тупой угол (см. рис. 47).
Следовательно, задана нижняя сторона конуса. Используя усло-
вие 2>0 запишем S в виде S = {x = x, у —у, z = ]/ха + г/2, (г/, х) е
eD}. Областью D значений параметров является круг {(х, у) :
:х2+у2<а2}. Находим соответствующий перенос ф*и подынте-
гральной формы со:
, xdx + udii ,	х2 , . ,
259
Следовательно,
У Ш = J f	dZ—Л + Z(^x t\dy =
‘'s S
\\-^~dy Kdx^-2 Cf-/=fc
J J У x2 + y2	J J У x2 +у2
D	D
Пример. Вычислим
xydy /\dz-y yzdz [\ dx + xzdx /\ dy,
's’
где S— левая сторона поверхности
X = U3— V3, y—U2V, Z = UV2, (U, V) (= 7(0,0), (1,1).
Решение. Проверим сначала корректность задания стороны
поверхности S, т. е. проверим, что существует непрерывное поле
N нормалей к 5, такое, что cos(n, ОХ)<0 для любого вектора
еМ Обозначим через <р:7?2->-7?3 отображение х=и3—v3, y—tiPv,
z=uv2, тогда
q>'u — (Зи2, 2uv, v2), q/ = (— Зп2, и2, 2uv),
[q/ x q>'] = (3u2n2, — Зп4 — 6u3n, 3u4 + 6uv3).
Отсюда видим, что
S — (x=us — v3, y — u2v, z = uv2, (v, u) e/(o,o), (i.d)
266
есть задание поверхности S с указанной в условии ориентацией.
Находим соответствующий перенос <р*со подынтегральной фор*
мы ю:
dy /\dz =	u2 2uv 2uv v2	dv Д du = —3u2v2dv /\ du,	
dz /\dx =	2uv — 3t;2 и2 3u2		dv Д du = (6u3v 4- 3г?4) dv\ Д du,
dx f\dy =	—3n2 u2 3u2 2uv		dv Д du — (— 6uy3 — 3u4) dv Д du,
ф’ы = — 3u2v2u2v (и3—г?3) dv Д du 4- u3v3 (6u3v 4- 3г?4) dv Д du —
—uv2 (и3 — v3) (6uu3 4-3u4) dv /\ du — (—3u‘v3 4- 3u4o6 4-
4- 6uM 4- 3uV—3ubv6 4- 6u2o8— 3uV) dv Д du.
Следовательно,
co = xydy Д dz 4- yzdz [\dx — xzdx /\dy =
s s
(—3u7o3 4- 3u4oe 4- 61Л?4 4- 3«V—3u6o6 4-
Ло.о), (i.i)
4- 6uV—3u3v2) dv /\du = ^du\^
6 и
:4г?6 — 3u5u5 4-
4- 6uev*—Зи V—3uV) dv = C ( — u2 4- — u3 4- — u4—- uB 4-
J \ 9	8	7	6
о
;8 ', du = —-j---------L_|---Ё----
J 9	32	35	12	35
3
 6 6	3 .	.
4----ue -—- u1—u*
5
3
4
1
359
32	9	1260 *
Пример. Вычислим
VV y2dz j\ dx + z2dx Д dy—x2dy /\ dz,
где S — часть поверхности тела
V={(x, z): 2x2 4-2y2^az^x24-i/24-a2} (a>0),
удовлетворяющая условию y>0, и вектор нормали п, характери-
зующий ориентацию 5 в точке Л4(0, а/2, 5а/4), образует острый
угол с осью OZ.
Решение. Ориентация поверхности S, определенная векто-
ром п, была подробно проанализирована в примере на с. 226.
Этой ориентации соответствует верхняя сторона части параболо-
261
ида Si={(x, у, z) . az=x2+y2 + a2, х2+у2^.а2, г/>0} и нижняя сто-
рона части параболоида S2={(x, у, z):az—2x2 + 2y2, х2+у2^.а2,
//>0}. Следовательно, ориентированная поверхность S=S1|JS2, где
fr: г(х, у)= |х, у, -х +у2 + д2 L (х, у) е=1)|
а
И
S2 = I г: г (х, у) — ! х, у,
2х2 + 2у2 )	,	.
---, (у, х) е D ,
a J	J
О={(х, у):х2 + у2<а2, с/>0}.
Находим ф]*со — перенос формы
со = y2dz Д dx—x2dy /\ dz-)-z2dx Д dy
6 5г на D:
dz= — (2xdxJt-2ydy), ф?со=------dy /\ dx-\~-^—dy /\dx-\-
а	а	а
dx /\dy = -X (2ах3— 2ау3 + (х2 + у2 + a2)2) dx Д dy\
а2
Ф*со—перенос формы
со = y2dz /\ dx—x2dy /\ dz-\-z2dx [\ dy
с S2 на D:
4
dz = —(xdx + ydy),
а
Ф*со = — (y3dy /\ dx)---- x3dy Л dx -ф -А. (х2 -ф у2)2 dx /\ dy =
г а	а	о*
= -X (ау3 — ах3 — (х2 + у2)2) dy /\dx.
а2
Следовательно,
= Й “ =	[2qx3—2ау3 + (х2 + у2 + а2)2] dx [\dy +
S S, S2	D
+	^3 — a%3 —(%2 + y2)2] dv Л	[2ax3—2ш/3 +
D	D
+ (x2 + y2 + a2)2 + 4a y3—4ax3 — 4 (x2 + c/2)2] dxdy =
л a
sin3 qp—2a cos3 ф) -ф га4 + 2r3cz2—3r5] dr =
о о
а» 4
а2 \ 3
262
§ 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный
в этом параграфе, рассмотрен в § 4* в терминологии векторных
полей. Читателю полезно сравнить определения, основные свой-
ства рассматриваемых понятий и ход решения примеров.
Пусть в области DczR2, задано векторное поле Л={ЛХ, Av, Аг).
Определение. Если координаты Ах, Av, Az векторного но-
ля А являются гладкими функциями в D, то
,	дА. . дАи , дАг
1. скаляр—— Н----------— называется дивергенцией поля
дх ду дг
А и обозначается div Л;
2. вектор				
i	!	k		
д	д	д		дА7
II»			— i (	
дх	ду	dz		ду
лх	Ау	Лг		
+ k ( дАу	дАх
\ дх	ду
называется ротором (вихрем) поля А и обозначается rot Л;
3. дифференциальная 1-форма
со1 = Axdx + Aydy + Azdz
называется формой работы поля А и обозначается юл1;
4. дифференциальная 2-форма
со2 = Axdy Д dz + Aydz /\dx-\- Azdx Д dy
называется формой потока поля А и обозначается <ва2.
Определение. Пусть в области D заданы векторное поле
Л={ЛХ, Ау, Az} и ориентированная кривая L. Обозначим через т
единичный вектор касательной к L, направленный соответствен-
но ориентации L. Интеграл
оД == (А • т) ds
L	L
называется работой поля А вдоль кривой L. Если кривая L
замкнута, то этот интеграл обычно называют циркуляцией поля
вдоль кривой L.
Определение. Пусть в области D заданы векторное поле
Л={ЛХ, Av, Az} и ориентированная поверхность S. Обозначим че-
рез п единичный вектор нормали, характеризующий ориентацию
S. Интеграл
\^А= ^(A.n)dS
8	S
называется потоком поля А через поверхность S.
263
Определение. Кривая L называется векторной линией по-
ля А, если в каждой точке MeL вектор поля касателен к L.
Из определения следует, что векторными линиями поля А==
={ЛТ, Ау, Аг] являются интегральные кривые системы уравнений
dx  dy  dz
Лх	Ад	Az
Определение. Область, ограниченная поверхностью 5, на-
зывается векторной трубкой поля А, если в каждой точке A4&S
вектор поля ортогонален вектору п нормали к S.
Из определения следует, что поток поля А через поверхность
векторной трубки равен нулю.
Определение. Векторное поле А, заданное в области De
eR3, называется потенциальным, если существует функция и:
г, г,	,	( ди ди ди. 1
:D-+~R, такая, что grad и = ----, ---, -— =Д. Функция и на-
[ дх ду дг J
зывается потенциалом поля А.
Потенциальность поля А эквивалентна точности формы юд1
работы этого поля: (jjA1=du. Следовательно, работа потенциаль-
ного поля вдоль кривой АВ равна разности значения потенциала
в конечной и начальной точках этой кривой:
(Л • т) ds j Axdx -г Aydy + Azdz = и(В) — и (Л).
АВ	АВ
Необходимым и достаточным условием потенциальности поля яв-
ляется равенство нулю работы его вдоль любого кусочно-гладко-
го контура LaD (см. свойство криволинейного интеграла второ-
го рода).
Определение. Векторное поле Л, заданное в области De
eR3, называется соленоидальным, если в области D существует
векторное поле W, такое, что rot W=A. Поле W называется век-
торным потенциалом поля Л.
Соленоидальность поля Л эквивалентна точности формы по-
тока этого поля: co^ = d(w^). Следовательно, для соленбидально-
го поля справедливо равенство 61уЛ=0, так как
= d (Axdy /\dz + Aydz Д dx 4- Azdx /\ dy) —
/ dAx , dA,, , dAz \ , A	n
=	+	—e- dx/\dy /\dz = 0.
\ dx dy dz }
Теорема Пуанкаре показывает, что если область D такова,
что любую замкнутую поверхность, лежащую в D, можно непре-
рывно стянуть в точку, не выходя из D, то поле Л, определенное
в этой области и удовлетворяющее условию div4=0, соленои-
дально. Так как для потенциального поля/7 имеем, что d(a1p=d(du)=
= 0, то векторный потенциал соленоидального поля определя-
ется с точностью до слагаемого, являющегося потенциальным по-
264
лем. Один из векторных потенциалов IF={IFX, Wy, Wz} соленои-
дального поля А={АХ, Av, Az} получают следующим образом: по-
лагают IFX=O; за Wy берут одну из первообразных функций Аг
относительно переменной х; тогда 1Г2 будет та из первообразных
функций —Ау относительно переменной х, которая отвечает урав-
нению
dwz	dWy _ л
ду	dz х'
Запишем это так:
=	Л/х + ф(у, г),
где функция ф(г/, z) удовлетворяет уравнению
Выбирая одно из решений этого уравнения, окончательно
определяем функции
н+ = о, wy,
Пример. Проверив, что поле A={x—y+z, y+z—х, х+у—2г)
соленоидально, найдем его векторный потенциал.
Решение. Поле А соленоидально, так как
div Л {x-y-\-z)A-~(y+z—x')A-~(xA-y—2z) =
дх	ду	дг
= 1 = 1 —2 = 0. -
Одним из векторных потенциалов поля А является поле W = (IF, W .
VJ, где	'	”
IF, = O,
Vy = (х + у—2z)dx = -^--\-ух—2zx,
№г = j(x—У—z}dx + <v(y, 2) = ^---Ух—zx+<p(y, z),
д<р	,	, д / хг ,	„ \ ,
—— = х — y + z + —- — + ух— 2zx| +
Уу	дг \ 2	J
, д (	х2	\
+	---7Г + УХ + гХ 
ду \	2	j
5<р
~f/+2,
ду
у2 ,
<Р =---— -т гу.
265
Итак, векторным потенциалом поля А={х—y + z, y + z—х, х+
+ у—2z) является векторное поле F=ir + gradu, где
{v2	у2 _ ,,2
О, -у + ух—2xz, -у---ху — xz + zy
и и— произвольная функция класса С2.
Теорема (формула Грина). Пусть область D лежит в R2 и
граница dD области D состоит из конечного числа кусочно-глад-
ких контуров dD= Q L?. Обозначим через dD+ объединение
<7=1
контуров Lq (l^g^Q), ориентированных так, чтобы при их об-
ходе область D оставалась слева. Тогда если функции Р(х, у) и
Q(x, у) непрерывны в D вместе со своими частными производны-
дР	dQ
MU---- и ----, то
, ду	дх
С Pdx+Qdy= СС — -^-}dxdy.
J	JJ \ дх ду )
dD+	D
Если через и обозначить форму Pdx+Qdy, то формула Грина за-
пишется в виде
j ю = J J
dD+ D
Если контур L лежит на поверхности S, то назовем часть S,
ограниченную L, поверхностью, натянутой на контур L. Если по-
верхность 5 ориентируема и контур L ориентирован, то ориента-
цию 5, при которой заданный обход контура L положителен, на-
зовем согласованной с ориентацией L.
Теорема (формула Стокса). Пусть область D лежит в R3;
функции Р, Q, R^Cl(D); ориентированный контур LczD и SczD—
натянутая на L ориентированная поверхность, ориентация кото-
рой согласована с ориентацией L. Тогда
^Pdx+<}dy + Rdz = ^
L	3 '
\ dz дх J	\ д;
dy /\dz +
dz /
дР \ , Л ,
— dx Д dy.
ду !
На практике поверхностный интеграл второго рода, стоящий
справа, часто переводят в поверхностный интеграл первого рода
и пользуются формулой Стокса в виде
cos a cos Р
J Р dx + Qdy + R dz — J J
l	s
d
dx
P
d
dy
Q
cos у
d
dz
R
dS,
266
где cos a, cos р, cosy — направляющие косинусы вектора норма-
ли к S, характеризующего ориентацию 5.
Если через и обозначить форму Pdx+Qdy+Rdz, то формула
Стокса запишется в виде
L S
В терминах векторного анализа формула Стокса выглядит
так. Пусть область D, контур L и поверхность S удовлетворяют
сформулированным выше условиям; п— единичный вектор нор-
мали к S, характеризующий ориентацию S, т — единичный век-
тор касательной к L, направленный соответственно ориентации
L. Тогда циркуляция гладкого в D векторного поля А вдоль кон-
тура L равна потоку rot Л через поверхность S
У (Л'т)(7з = J Axdx-}-Ay dy + А, dz = yy (rot Л-n) dS =
L	L	S
cos a cos (3 cos у
dS.
JJ дх	ду	dz
ДЛ	Ау	Аг
Теорема (формула Остроградского — Гаусса). Пусть об-
ласть D лежит в R3 и граница дЬ области D состоит из конечно-
го числа кусочно-гладких поверхностей. Тогда если функции Р,
Q, R^C'AD), то
yj Р dy /\dz-\-Qdz /\dx-\-Rdy l\dx —
dD
Г Г С / дР . dQ . dR \ , , ,
= \	— +— + —- ]dx dy dz,
J.lJ \ dx dy dz /
D
где первый интеграл берется по внешней относительно D стороне
dD.
Если через о обозначить форму
Р dy /\dz-RQdz /\dx-\-Rdy Д dx,
то формула Остроградского —Гаусса запишется в виде
dD  D
В терминах векторного анализа формула Остроградского —
Гаусса выглядит так. Пусть область D удовлетворяет сформули-
рованному выше условию. Тогда поток гладкого в D векторного
поля А через поверхность dD равен интегралу от div Я по D:
267
J f (A n) dS— f [ Ax dy Д dz + Ay dz Д dx -j- Az dx f\ dy —
dD	db
dx dy dz.
J b
Область De/?2 называется односвязной, если для любого кон-
тура LaD область DLczP2, ограниченная L, целиком лежит в D.
Если область D односвязна, то любой контур LciD можно
непрерывно стянуть в точку, не выходя из D.
Теорема. Пусть область Dc^R3 (DczR2) такова, что любой
контур L<xcD непрерывно стягивается в точку, не выходя из обла-
сти D. Тогда гладкая замкнутая дифференциальная \-форма ю,
заданная в D, точна в этой области.
В терминах векторного анализа это утверждение выглядит
так:
Пусть область DczR3 (DczR2) такова, что любой контур
непрерывно стягивается в точку, не выходя из D. Тогда гладкое
векторное поле, заданное в D, потенциально тогда и только тог-
да, когда всюду в D го1Д=0. Поле, удовлетворяющее условию
rot/l=0, называют безвихревым полем.
Естественная область применения формул Грина и Остроград-
ского— Гаусса —это интегралы второго рода по замкнутым кон-
турам на плоскости и замкнутым поверхностям в пространстве.
Но иногда, особенно в пространстве, вычисления упрощаются,
если замкнуть незамкнутую поверхность или кривую и считать
данный интеграл как разность преобразованного интеграла по
замкнутой поверхности или кривой и соответствующего интегра-
ла по замыкающему множеству. В качестве такого множества
обычно берутся отрезки прямых или части плоскостей, парал-
лельных координатным, поскольку по таким множествам инте-
грал второго рода вычисляется наиболее просто.
Пример. Вычислим указанным способом интеграл из при-
мера на с. 261:
J j у2 dz [\ dx—х2 dy Д dz + z2 dx /\ dy,
s
где S— часть поверхности тела V={x, у, z) ;2x2 + 2y2^.az^.x2+
+ y2 + a2} (a>0), вырезанная условием (/>0, и нормаль, характе-
ризующая ориентацию S, в точке Л4=(0, а/2, 5а/4) образует ост-
рый угол с осью OZ.
Решение. Замкнем поверхность S частью плоскости у=0.
Тогда полученная поверхность S будет границей тела: V = {(х, у,
z): z/>0, 2x2 + 2y2^az^x2 + y2 + a2}. Точка Л4=(0, а/2, 5а/4) ле-
жит на верхней границе тела Р и нормаль в этой точке направле-
на вверх, следовательно, интеграл берется по внешней стороне
поверхности dV. На поверхности Si — части плоскости у=0, вхо-
дящей в Р, внешняя нормаль направлена противоположно оси
268
OY, следовательно, запись ориентированной поверхности 5» есть
5г={х=х, у=0, z=z, (х, г) s D, D = {(x, z) : 2х2 ^az^x24-a2}}.
Итак, в силу формулы Остроградского — Гаусса
у2 dz f\ dx—х2 dy [\dz-\- z2 dx /\ dy =
's'
= J J y2 dz [\ dx—x2 dz /\fdy 4~z2 dx /\ dy—
dV
— Jy2 dz Д dx — x’ dz [\ dy z2 dx /\dy =
s,
=	—2x 4- 2z)dxdydz—J y2 dz /\ dx—x2dy /\ dz-\-z2dx Д dy.
"v	St
Находим сужение <p*co формы fa=y2dz/\dx+x2dz/\dy+z2dx/\dy
naS]idy=0, <p*(o=O. Так как
V : {(x, у, z) : х2 + у2^а2, 2x24-2y2 azx24-y2-f-a2, y^O},
то, следовательно,
y2 dz /\ dx—x2dy Л dz-\-z2dx /\ dy =
s
хг+уг+а’
=	— 2x + 2z)dxdydz — 2^dxdy	§ (y—x-{-z)dz =
V	D	2л*+2у*
a
[a(_x + y)(a2~x2—y2) +
-]—I— (3x2 4- 3y2 4- a2) (a2—x2—y2) ^dxdy —
= -yJdq> ^(a3r2—ari)(—cos tp 4-sin tp) 4—~(а*г 4- 2a2r3—Зг®)| dr=^
0	6
Пример. Найдем поток вектора A=x3i+y3j + zik через:
а) боковую поверхность конуса
£» = {(х, у, z): Я2(х24-у2)^г2/?2, О<гН} (/?>0);
б) через полную поверхность этого конуса.
269
Решение. Обозначим через п единичный вектор внешней
нормали к границе dD конуса D.
Начнем с п. б). В силу формулы Остроградского—Гаусса по-
ток вектора А через поверхность dD есть
^(Л-л) dS= f div A dxdydz^ dxdy	(3x2+3z/24-
dD '
2л	R	H
+ 3z2) dz = 3	dtp r dr § (r2 + z2) dz —
в	6	Hr/R
R
0
R
о Г [ о и ч 1 / 3/7 , Н3 \ . „о I ,
= 2л \ ЗНг3—г*----Д-гН3 dr =
J L \ R R3 /	|
о
= 2л F—HR*---(3HR* + H3R2~) + — H3R2
[45	2
= — R2H(R2 + ^H2).
Вычисление потока вектора А через боковую поверхность ко-
нуса D проведем двумя способами.
1.	Обозначим через S, и S2 соответственно внешнюю сторону
боковой и верхней поверхности конуса D. Тогда вектор п, харак-
теризующий ориентацию S2, сонаправлен оси OZ, следовательно,
запись ориентированной поверхности S2 есть
S2 = {(х, у, z) : х = х, у = у, z — Н, (х, у) е D,
D = {(x, у)-.х2 + У2<Я2}}.
Находим сужение <р*ю формы
со = (Л  п) dS = х3 dy Д dz -ф у3 dz Д dx + z3 dx Д dy
на S2: dz = 0, cp’co = H3 dx Д dy. Следовательно,
(A-n)dS =
S4	dD	S,
=	(^ + 2H2)— H2dxdy =
x!+^R2
= 3jt^H. (£2 + 2H2)—nR2H3 =	(3R2—4№).
(A-n)dS— ?^(A-n)dS =
270
2.	Вектор п, характеризующий ориентацию Si — боковой по-
верхности конуса D, образует с осью OZ тупой угол, т. е. внешней
стороной поверхности Si является нижняя сторона. Поэтому за-
пишем ориентированную поверхность Si так:
Sj= (х, у, z) : х = х, у—у,
г = хг + у\ (у, x)seD,
О = {(х, г/):х2 + у2<£2}).
Находим сужение <p*o формы
<£> = (А  п) dS х3 dy Д dz-\-y3 dz /\ dx + z3 dx Д dy
на S1:dz = A^±£^_i
x	r> n / ..a । .я *
» H x4 dy Д dx H yi j * j ,
«> w =---4-----------. dy Д dx +
R Vx2+y2 R Уха + у2
+	(x2 + У2^ V^+fdx Д dy = (
+ x dy /\ dx.
Vx2 + y2 /

Следовательно,
s,
n) dS =	x3 dy Д dz + y3 dz /\dx + z3 dx /\dy =
№ (--S-:(*2+y2)3/2+	)dy Л dx=
J J .. R2	tV^ + y3 j
D
СП (x2 + y2)3/'2 + R3	1 dydx^
R3 JJ L	Vx3 + y3 J
D
2л R
R3’^ d(₽ ^l~H2 + R2<cos4 <P + sin* <P)114 dr =	(ЗЯ2—4Я2).
о 0
Пример. Вычислим
\ (cos у + у sin х-J- y2) dx—(cos x + x sin z/ + x2) dy,
L
где L — часть кривой r=a( 1 +cos<p) (a>0) от точки Д=(2а, 0)
до точки О=(0, 0), лежащая в верхней полуплоскости (декартова
и полярная системы координат совмещены).
271
Решение. Замкнем кривую АО отрезком ОА оси ОХ
(рис. 48). Направление кривой АО индуцирует обход полученно-
го контура так, что область D={(r, ф) :0<ф<л, 0<г<а(14-
Н-соэф)}, ограниченная им, остается слева. Следовательно, при-
меняя формулу Грина, получаем, что
§ (cos I/ А-1/ sin х -j- У2) dx—(cosx + xsin yA~x2)dyA~
L
4- (cosyA-ysinxA-tf)dx—(cosx + xsinу—x2)dy =
OA
—	(sin у—sin x—2y + sin x—sin у—2x) dx dy —
D
л o(14-cos$)
= —2 §§(xA-y)dxdy=—2 § d<f> r2(cos ф-psin ф) dr =
d	e e
Я
2	/•
-------a3 \ [(1 4- cos ф)3 sin ф + cos ф + 3 cos3 Ф + 3 cos3 ф 4-
3
e
9	1	10	9
4- cos4 ф] с?ф  --а3----(1 + cos ф)4-----a3 x
3	4	1л	3
Г3 Г (3/2) Г (1/2) г (5/2) Г (1/2) = _ g 3fl3_ 5^
Г (2)	Г (3)	]	4 •
Так как ОА={х=х, у=0, 0^х^2а), то сужением ф*со формы
со = (cos уУ sin yA-y^dx—(cos х 4- х sin у 4- х2) dy на О А являет-
ся форма (x>=dx. Следовательно,
2л
(cos у 4- у sin у 4- у2) dx—(cos х 4- х sin у 4- х2) dy — § dx = 2a
ОА	о
272
и, окончательно,
У (cos у — у sin у 4- у~) dx— (cos	X sin у + х2) dy =
L
8	5ла3	о
=-----а3——--------2а.
3	4
В дополнение к свойству 5 криволинейного интеграла второго
рода (см. с. 248) выведем еще одну формулу связи криволиней-
ных интегралов первого и второго рода.
Пусть L — простой гладкий контур, лежащий в /?2; T={cosa>.
sin a} — единичный вектор касательной, направленный соответ-
ственно положительному обходу L, и n={cos р, sin р} — единич-
ный вектор внешней нормали к L. Так как вектор п направлен
вправо от вектора т, то угол поворота от т к п равен (—л/2). От-
сюда получаем, что cos р=sin a, sin р=—cos а и, следовательно, в.
силу свойства 5 для функций ai:R2-*-R, a2:R2-+R имеем равен-
ство
(a^cosP — ^sinP) ds= (—а2 cos а -ф ar sin a) ds = atdy—a2dx.
L	L	L
Пример. Пусть D — односвязная область в R2, кусочно-глад-
кий контур L лежит в D и f^C2(D). Преобразуем в двойной ин-
-	-	Г df j
теграл криволинейный интеграл \—— ds, где п — вектор внеш-
J дп
L
ней нормали к контуру L.
Решение. Не ограничивая общности, можно считать вектор
и единичным, тогда n = {cosp, sin Р) иcos рsin ₽.
дп дх	ду
Применяя полученное выше равенство, получаем в силу формулы:
Грина, что
С df , С- / df а , df . о , ,
\ —— ds=\	cos р 4-— sin Р ] ds =
J дп j дх	ду '
L	L
J дх ду JJ \ дх2 ду2 /
£	DL
где Dl — область, ограниченная контуром L.
Пример. Вычислим интеграл Гаусса
,	, р cos (г, п) ,
и(хв, у0) — \	ds,
J И
L
где L — простой гладкий контур в R2, г={х—х0, у—уа} — вектор
из точки Л40=(х0, д0), не лежащей на L, в точку М=(х, у) конту-
ра L и п— вектор внешней нормали к L.
273
Решение. Не ограничивая общности, можно считать, что
Хо=О, уо=0 и n={cosp, sin р} — единичный вектор.
Тогда
,	, х cos В 4- у sin В
cos (г, п) =-————
и в силу полученного выше равенства
(• cos (г,	п)	(*	х cos В + у sin ₽	(•	xdy— у dx
J И	J	х2 + у2	J	x2 + t/3
L	L	L
Дифференциальная 1-форма co = -^-^—ydx_ рассматрИвалась на
x2 + у2
с. 252. Эта форма замкнута в любой области, не содержащей на-
чала координат, и
С xdy-ydx = Ссо = 2л,
J	х2 + у2	J
с+	с+
а	а
где Са+— окружность х2+г/2=а2 (а>0) с положительным на-
правлением обхода.
Если начало координат лежит вне области D, ограниченной
контуром L, то в D форма со гладкая и, следовательно, примени-
ма формула Грина, в силу которой имеем, что
f* xdy — у dx
J х2 + у2
L
da> = 0.
Если же начало координат лежит внутри области D, ограни-
ченной контуром L, то возьмем область Da, границей которой dDa
является контур L и окружность Са: х2+у2=а2. Число а>0 бе-
рется достаточно малым, чтобы окружность Са лежала внутри D.
Область Da лежит слева от контура L при положительном его
обходе и слева от окружности Са при отрицательном ее обходе.
Обозначим через Са+ окружность Са с положительным направле-
нием обхода и через Са~— с отрицательным.
В области Da форма со — гладкая, следовательно, применима
•формула Грина, в силу которой имеем, что
Отсюда получаем, что
Итак, интеграл Гаусса ы(х0, г/0) равен нулю для любой точки
JW=(x0, Уо), лежащей вне области, ограниченной контуром L, и
274
равен 2л для любой точки Л4=(х0, у0), лежащей внутри этой об-
ласти.
Область применения формулы Стокса — это вычисление кри-
волинейных интегралов второго рода )и, когда кривая L задана
L
как пересечение двух поверхностей L: F} (х, у, z)=0, F2{x, у, z) =
=0. Во-первых, при таком условии уже определена поверхность,
натянутая на L; во-вторых, переход к параметрическому заданию
L и нахождение соответствующего сужения ф*ю подынтегральной
формы со требует нетривиальных преобразований.
Пример. Найдем циркуляцию вектора A={x(y+z), y(x+z)„
z(x+y)} вдоль кривой L : {x2 + y2 + z2=2Rx,
x2 + y2=2rx, z^O (0< г < 7?)},
положительно ориентированной на внешней стороне сферы
х2 + У2 + z2 = 2Rx.
Решение. Кривая L лежит как на сфере x2+y2 + z2—2Rx,
так и на цилиндре х2+у2=2гх, но условиям применения формулы
Стокса удовлетворяет только часть сферы, поскольку она являет-
ся гладкой поверхностью, натянутой на L (см. с. 223).
Следовательно,
Axdx-\-Ay dy + Аг d?-= \ х (у + z) dx 4- у (х ф- z) dy + z (х + у) dz =
L	L
= d(x(y + z)dx+y(x+z)dy+z(x-i-y)dz) =
s
^\^(z—y)dy Л dz + (x~z)dz Л dx + (y—x) dx Д dy,
s
где S есть часть внешней стороны верхней полусферы х2+у2+
+ z2=2Rx, z>0, лежащая внутри цилиндра х2+у2=2гх. Посколь-
ку на верхней полусфере внешняя сторона является одновремен-
но верхней стороной, то, выразив явно зависимость z от х и у, по-
лучаем запись ориентированной поверхности S:
5—{(х, у, z)-.x = x, у —у, z = ]/2xR—x2—y2, (х, y)^D,
D = {{x, У) : х2 + у2<2гх}\.
Находим соответствующий перенос ср*о» подынтегральной фор-
мы о:
dz = ^R—x}dx — ydy = (R~x) dx — ydy
"|/ 2Rx — х2 — у2	г	’
(f,a = (z-y)-^=-^-dy Л dx— (х~— z) — dy /\ dx+
kz	2
+(y—x)dx Д dy= f-y-'—dx A dy-
275
Следовательно,
= (г~У^У A dz-\-(x-z)dz Д dx-\-(y—x)dx f\dy=
s s
= ^{^-R^dx Kdy=^[-^--Ryxdy.
D	D '
Так как D симметрична относительно оси ОХ, а функция f (х, у, г)=
yR	'.yR	С Г yR , , л
— —— =	нечетна относительно у, то \ \ -— dx dy = О
z	~[/2Rx — X2—у2	JJ 2
D
si следовательно,
§ Axdx + Aydy + Azd.z— —= —nRr2.
L
Пример. Применяя формулу Стокса, вычислим интеграл
\ zdx-{-2xdy—ydz, где А В—кривая
а"в
х2-*- у2 — 2ах, аг = ху, г^>0, Л = (0, 0, 0), В = (2а, 0, 0) (я>0).
Решение. Так как отрезок В А оси ОХ лежит на поверхно-
сти параболоида аг=ху, то, объединяя его с кривой АВ, полу-
чим замкнутый контур L, лежащий на поверхности az=xy. Об-
ход полученного контура положителен, если рассматривать его
на нижней стороне параболоида. Итак, натянутая на контур L
часть параболоида с согласованной ориентацией есть
S = I (х, у, z) : х = х, у = у, z =	(у, х) D, D =
к	а
= {(х, у) : х‘Ч~у2<2ах, у>0}|.
Перенос ф*о подынтегральной формы
а = z dx 4-2х dy— ydz
на отрезок В А в силу того, что 2=0, dy==0 и dz=0, дает нулевую
форму, следовательно,
zdx + ^xdy—ydz=\zdx + 2xdy—ydz=^(d.
д' в
Применяя формулу Стокса, получаем, что
ю= = dx-}-2dx Д dy—dy /\ dz.
L s 's’
276
Находим соответствующий перенос ф*со подынтегральной формы
со = dz Д dx-)-2dx /\ dy—dy Д dz,
dz = — (xdy + y dx),
a
<p*(i> = — xdy Д dx + 2'dx Д dy--—ydy/\dx =
a	‘	a
= — (x—у—2a) dy /\dx’,
a
dz Д dx-i-2dx Д dy—dy /\ dz = —	(x — y—2a)dy /\ dx =
S	D
n/2 2acosqp
=—	—V—%a)dydx = —	dq	r2(cosq)—sin <p) dr—а2л==
D	0	0
Л/2
8a2 C , i  ч \ j 9
-=----- \ (cos4 ф—sin tp cos3 <p) dtp—azn,=
3 j
о
8a2 Г 1 Г (5/2) Г (1/2)__l_j_ =
3 I 2	Г(3)	4 J
2a2 , 2a2	3	1	,	2 2 na2
=----------k-----.— л— arn =-----------a3------
3	3	2	2	3	2
Пр и мер. Проверим, что дифференциальная 1-форма
со = (cos у + у cos х) dx (sin х—х sin у) dy
точна и найдем функцию f(x, у), для которой df=(>).
Решение. Так как форма co=(cos у+у cos x)dx+ (sin х—‘
— х sin у) dy является гладкой на всей плоскости 7?2, то необхо-
димым и достаточным условием ее точности является ее замкну-
тость, т. е. справедливость равенства da)=0. Действительно,
dta — dy /\ dx( — siny + cosx) + dx Д dyfcosx—siny) = 0,
•функцию f(x, у) находим по уже рассмотренному правилу (см.
с. 254):
.V»
f(x0, yo) — f(fi, 0) + §dx+\ (sinxn—x0 sin у) dy =
о 0
= x0 + Уо sin x0 + x0 cos y0—x0 = y0 sin x0 + x0 cos y0,
откуда f(x, y)=y sinx+xcos y + C, где C — произвольная посто-
янная.
277
Пример. Проверим, что векторное поле
потенциально в первом октанте (х>0, у>0, 2>0) и найдем его
потенциал.
Решение. Необходимым и достаточным условием потенци-
альности поля является выполнение равенства го1Л=0. Действи-
тельно,

21/у ) +l \ 2-]/z
Поэтому существует функция и(х, у, z), такая, что gradu=4„
т. е.
du-dx+dy+dz-
Функцию и находим, пользуясь рассмотренным выше правилом:
и(х0, у0, z0) = u(l, 1
1)+П1 +
1
Уо	го
+У	dz=
1	1
— хо— 1 +1^хо— 1 + i/у у, — Ух0 + У,.— 1 ~Ь2о У*" У о ~У1 УоА~
+ xoj/zo — Xo-f-u(l, 1, 1) = у0 j/Хд -|- Zo ~/yQ + хву2в
—34-И(1, 1, 1).
Итак, потенциалом поля А является функция и(х, у, г) = х^гА~
4-2У'у+уУГл: + ^> где С — произвольная постоянная.
§ 2*. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный
в этом параграфе, рассмотрен в § 3 в терминологии дифференци-
альных форм. Читателю полезно сравнить определения, основные
свойства рассматриваемых понятий и ход решения примеров.
278
Определение. Пусть в некоторой области DczRz заданы
непрерывное векторное поле Л = (Р, Q, R) и ориентированная ку-
сочно-гладкая кривая AB=(L, Т) *. Тогда интеграл
(Л • т)ds (	(Л-т)ds')
L	А~В
называется криволинейным интегралом второго рода и обознача-
ется символом
Р dx-\- Q dy + R dz ( § P dx + Q dy + R dz'i.
L	a~в
Поясним происхождение символа Р dx-\-Qdy А~ Rdz. Вектор %
L
для простой гладкой кривой L={x(Z), y(t), z(t)} имеет коорди-
наты
[ dx	dy dz 1
( ds	ds ’ ds j
где s — длина дуги L, следовательно,
.(Л • т) = Р— + Q	+ R —
ds ds ds
и формальное преобразование выражения (A-r)ds дает следую-
щее соотношение:
(Л-т) ds= (р	+ Q	+ R—) ds = Рdx-[-Qdy + R dz.
\ ds ds ds f
Заметим, что скалярное произведение (Л-т) при данных усло-
виях является кусочно-непрерывной и ограниченной функцией,
определенной на L, за исключением, может быть, конечного мно-
жества точек, поэтому интеграл
Р dx + Q dy + R dz = \ (Л • т) ds
L	L
имеет смысл.
Если поле Л={Р, Q, 7?) интерпретировать как силовое поле, то
криволинейный интеграл второго рода РdxA-QdyA~R dz =
L
— ^(Л • т) ds представляет работу этого ноля при перемещении
L
по ориентированной кривой (А, 1").
* Поле f есть поле единичных касательных векторов т, согласованных с
ориентацией L (см. с. 220).
279
Основные свойства криволинейного интеграла второго рода
(Всюду предполагаем, что функции Р(х, у, z), Q(x, у, z)„
R(x, у, z) непрерывны в яекоторой области DczR3, содержащей
кривую L.)
1.	Pdx + Qdy + Rdz=— Рdx+Qdy + Rdz
a~ в	в~л
(направленность интеграла).
2.	\ (aPj + РР2) dx + (aQj + PQ2) dy + (aRj + ₽R2) dz =
L
= a ?! dx -|- Qi dy -j- Ri dz + p P.2 dx + Q2 dy + R2 dz,
L	L
a, P—постоянны (линейность интеграла).
3.	Если АВ f| ВС = {В}, то
Pdx + Qdy + Rdz + Pdx-~- Qdy Rdz = Pdx + Qdy + Rdz
AB	BC	AC
(аддитивность интеграла).
4.	Если в области DaR3 существует такая дифференцируемая
функция f(M), что df=Pdx + Qdy+Rdz, то для ABc.D
J Pdx+Qdy+Rdz = f(B)—f(A).
АВ
В частности, в этом случае для любого контура L<^D
Pdx + Qdy + Rdz = 0.
L
Обратно, если для любого контура LczD верно равенство
Pdx + Qdy + Rdz = 0,
L
то в области D существует дифференцируемая функция |(Л4), для
которой df=Pdx + Qdy-\-Rdz.
5.	Если AB = L = {(x, у, z):x=x(t), y = y(t), z = z(t), t e [a, fe]},
где с<й и x(/), y(f), г(()^С3[а, b],
(л'(0)2 + (/(/))2 + (г'(/))2>0, Л = (х(а), у (a), z(a)),
B = (x(b), y(b), z(b)),
280
то
? Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz =
АВ
ь
= ^[Р(х(0, у (0, z(ty)x't + Q(x(t), y(V), z(ty)y't +
а
+ R(x(t), y(t), z(t))z't]dt.
Для упрощения выкладок полезно заметить, что при любой
параметризации отрезка L=[A, В], параллельного оси ОХ, функ-
ции y(t} и z(t) постоянны, следовательно, у/=0, z/=0, и поэтому
V Pdx + Qdy + Rdz— Pdx,
[АВ]	[АВ]
точно так же для отрезка [С, D], параллельного оси OY,
Pdx + Qdy-\-Rdz =	Qdy,
[СО]	[с'.О]
и для отрезка [Л1, /V], параллельного оси OZ,
Pdx + Qdy + Rdz = Rdz.
IM,N]	[Л1.Х]
Свойства 3 и 5 дают формулы вычисления криволинейного
интеграла II рода для гладких и кусочно-гладких кривых.
Пример. Вычислим
J (yi + ^xy)dx + (xi— 2xy)dy<
АВ
где АВ — дуга параболы у=х2 от точки Д(1, 1) до точки В (2, 4).
Решение. Запишем кривую L=AB как простую гладкую
ориентированную кривую L={(x, у) :х=х, у=х2, хе[1, 2]}. Так
как х'х=1, у'х = 2х, то, применяя свойство 5, получим, что
2
§ (y2-j-2xy) dx-i-(x2—2ху) dy = J [(х4 + 2х3) -|- (х2—2x3)-2x]dx =
АВ	1
2
= С(4х3—3x*)dx = 15------- 31 =----—.
J	5	5
1
Пример. Вычислим (ху + № ф- у2) dx (х2—y2)dy, где L—кон-
L
тур треугольника ОАВ: 0= (0, 0), Д = (1, 2), В=(0, 2) с поло-
жительным направлением обхода (см. рис. 46).
281
Решение. Кривая L — кусочно-гладкая. Она состоит из
трех гладких ориентированных кусков: отрезков ОА, АВ, ВО.
Запишем каждый из них как простую гладкую ориентированную
кривую, проходящуюся при возрастании параметра:
ОЛ = {(х, у):х=х, у = 2х, х е [0, 1]},
АВ — {(х, y):x=]—t, у =2, /е[0, 1]},
ВО = {(х, y):x=0, y = 2 — t, t ё=[0, 2]}.
На отрезке О А имеем х/=1, ух'=2, следовательно, в силу
свойства 5
I
V (ху + х2 + у2) dx + (х2—у2) dy=^ [(2х2 4- х2 4- 4х2) 4-
о*д	б
1
+ (х2 — 4х2) • 2] dx= J x2dx= 1/3.
б
На отрезке АВ имеем —1, f//=0, следовательно,
1
У (xy + x* + y*)dx + (x*-y*) d?/ —(2 (1 —/) 4-(1 —/)2 + 4) (—l)d/=
АВ	О
1
= j(4/—7—/2)d/ = 2—7—1/3 =--------у-.
О
На отрезке ВО имеем х/=0, у/=—1, следовательно,
2
J (ху 4-x24-y2)dx4-(x2—y2)dy = jj —(2—/)2(— 1)Л =
ВО	б
2
= (J(2—/)М = 8/3. -
б
Применяя свойство 3, получаем, что
j (xy + X2 4- у2) dx A-(x2—y2)dy= § (xy + х2 + у2) dx 4-
L	ОА
4- (х2—у2) dy 4- J (ху 4- X2 4- у2) dx 4- (х2—у2) dy 4-
АВ
+ С (ху 4- X2 4- у2) dx 4- (х2—у2) dy = ^-4- 8/3 = — 7/3.
J	О О
во
Выкладки становятся проще, если использовать свойство 1,
тогда отпадает необходимость вводить параметр так, чтобы кри-
282
®ая проходилась именно при возрастании параметра. Покажем
это.
Если отрезок АВ параметрически представить как
{(х, у)\ х=х, у = 2, хе[0, 1]},
то он будет проходиться при убывании параметра х от 1 до 0, а
отрезок ВА будет проходиться при возрастании параметра х от
О до 1. Следовательно,
^(xy + x2 + y2)dx + (x2—у2) dy= — ^(xy + x2 + y2)dx +
АВ	ВА
1
+ (х2—y2)dy = — C(2x + x2 + 4)dx= —(1 + —+ 4
•)	\	3
о
16
3 ’
Аналогично
ОВ = {(х, у):х = 0, у = у, уе[0, 2]}
и
j (xy + x2 + y2)dx + (x2—y2)dy= — (xy + x2 + y2)dx +
ВО	ов
2
Ч-(х2—y2)dy = — JJ(—у2)у = -р
О
Применяя свойство 3, получаем, что
^(xy + x2 + y2)dx + (x2—у2) dy = ±--у- + _1= —L.
L
Пример. Вычислим ydx— xdy, где L — астроида х2/3+
L
+ у2/ъ=а213 с положительным направлением обхода (а>0).
Решение. Запишем уравнение астроиды в параметрическом
виде: x=acos3/, y=asin3/. Тогда положительному направлению
обхода соответствует возрастание параметра t от 0 до 2л. Итак,
Е = {(х, y):x = acos3/, y = asin3/, t е [0, 2л]}.
Отсюда получаем, что
х]=—За cos21 sin t, y't — За sin2/ cos t,
и в силу свойства 5
2л
§ ydx—xdy = J (— a sin31- 3a cos21 sin t — a cos31 • 3a sin21 cos f) dt =
l	о
283
= —За2 cos21 sin21  (sin214-cos2 t)dt = — 12а2 § cos21 sin21 dt =
0	0
=	6д2 Г (3/2) Г (3/2)  _3а2	1 р /_Ц =	3<?л
Г (3)	4	\ 2 /	4
На практике удобно преобразование подынтегрального выра-
жения вести отдельно.
Пример. Вычислим
(х + у) dx—(x—y)dy,
где L — петля кривой r=a cos 3q> (а>0), пересекающая поляр-
ную ось, с положительным направлением обхода (декартова и
полярная система координат совмещены).
Решение. Запишем уравнение кривой L в параметрическом
виде: х=а cos Зф cos ср, у=а cos 3q> sin ср, тогда положительному
направлению обхода заданной петли соответствует возрастание
параметра от —л/6 до л/6. Итак,
£={(%, у): х = a cos Зф cos ф, г/ = асозЗф8тф, фе[ — л/6, л/6]}.1!
Отсюда получаем, что
x'v = — a (sin 2ф 2 sin 4ф), y’v — а (2 cos 4ф — cos 2ф);
(х 4- у) dx —;(х—у) dy = [— a2 (cos ф 4- sin ф) cos Зф (sin 2ф 4- 2 sin 4ф)—
— а2 (cos ф—sin ф) • cos Зф (2 cos 4ф—cos 2ф)] dtp =
= — а2 cos Зф (6 sin Зф 4- 2 cos Зф) dw
Следовательно,
Г	л/6
^(x-]-y)dx—(х—y)dy=— § a2 cos Зф (6 sin Зф 4-2 cos Зф) йф =
L	—л/6
л/6
= —а2 § (1 4-cos 6ф) dtp =--
—л/6
П р и м е р. Вычислим zdx-!r2xdy—ydz,
АВ
где АВ — кривая:
х24-^2==2ах, аг = ху, г>0; Л = (0, 0,0), В=(2а, 0,0), а>0.
Решение. Для точек кривой АВ из первого уравнения по-
лучаем условие х>0; из условия 2>0 и второго уравнения сле-
284
дует, что г/>0. Отсюда получаем, что кривая АВ может быть па-
раметризована следующим образом:
х — х, у=У2ах—х2, г = ~У2ах—х2, хе[0, 2а]
и заданной ориентации соответствует возрастание параметра х от
0 до 2а. Итак,
:х = х, у = У2ах—х2, z= — У2ах—х2, хе [0, 2а] L
а	)
Отсюда получаем, что
,	,	а — х
х Jx р 2ах--х2 х
Зах — 2х2
а V 2ах — х2
Следовательно,
zdx + 2xdy—ydz = (—]/ 2ах — х2
+ 2х. —-----.
р 2ах — х2
У2ах — х2 . — З.?х~2х-2
а У 2ах — х2 /
о । Г 2х2
Зх +—-
а
2ах
У2ах — х2
dx.
Итак,
2fl
f zdx + 2xdy— ydz = \ I ——— У a2—(x— a)2 +
J	J I a
ЛВ	о
+ 3 Уa2—(x—a)2-----------------—----- ...
r	/a2 — (x— a)2	/a2—(x —a)2
a
— 3x----i rfx = С [ — У^!2 + 31/a2—Z2 —
a J J L a
—a
2at	2a2 ’I ,, c 2 . 16 ,
----___________ dt—ba2 н-----------a2 =
pa2 — /2	/a2 — I2 ]	3
na2
2
2	2
—a2.
3
Заметим, что в этом примере при такой параметризации кри-
вой АВ функции у(х) и z(x) не являются гладкими на [0, 2a],
так что формально мы здесь не имели права применять рассмот-
ренные выше соотношения. Но, как уже не раз отмечалось в ана-
логичных ситуациях, если в этих соотношениях вместо интеграла
Римана поставить несобственный абсолютно сходящийся инте-
285
трал, то они остаются в силе. Этим утверждением будем пользо-
ваться и дальше.
Можно параметризировать кривую АВ и так, чтобы все функ-
ции были гладкими. Именно положим: x=a(14-cos/), y=asint,
z=a sin /(14-cos t); тогда точке Л=(0, 0, 0) отвечает значение
t=n, точке В=(2а, 0, 0) —значение /=0. Итак,
АВ — L= {(х, у, г): х=а(1 4-cosZ), у = a sin/,
z = asin/(1 4-cos/), t e [0, л]},
кривая AB проходится при убывании параметра / от л до 0. От-
сюда получаем, что
х' =—a sin/, y't = acost, z't = a (cos / 4~ cos21 — sin2/);
•следовательно,
zdx-}- 2xdy—ydz = [a2 (— sin2 /—sin2 / cos t 4~ 2 cos / 4- 2 cos2 /—
— cos/sin/ — cos2 /sin/ sin3/)] dt = a2 [cos /(2 — sin2/—sin/) 4-
4-sin/(l—2 cos2/) 4-3cos2/—1] dt
SH
о
zdx-\-2xdy—ydz = a2 ^[(2 — sin2/ — sin /)cos/4~
AB	n
4-(2cos2/—1)(—sin/)4-3/2cos2/4-1/2] dt =
о	ла2 _ ла2	2a2
я~ 2 ~ ~ 2	3 ‘
Г 2
= a2 — cos3 / — cos /
3
Если известно, что выражение Pdx+Qdy+Rdz является пол-
ным дифференциалом некоторой функции f: R?,->-R, т. е. df=
=Pdx+Qdy+Rdz, то в силу свойства 4
/(В)-/(Л) = Pdx + Qdy + Rdz=-- J df,
АВ	АВ
где АВ есть произвольная кусочно-гладкая
той области D, где справедливо равенство
df = Pdx + Qdy + Rdz
кривая, лежащая в
(об условиях, при которых такое выражение является полным
.дифференциалом, будет сказано ниже).
Фиксируя точку Лей, получаем значение f (В) = dfA~f(A)>
АВ
где В — произвольная точка рассматриваемой области D. Так как
.равенство df=Pdx+Qdy+Rdz определяет функцию f с точностью
.286
до произвольного слагаемого, то значение f(A) выбирается про-
извольно. В качестве кривой АВ при решении задач этого типа
берется ломаная, составленная из отрезков, параллельных осям
координат. Такой выбор обусловлен тем, что на таких отрезках
(св. 9) все координаты, кроме одной, постоянны, следовательно,
производные этих координат при любой параметризации равны
нулю и, как указано после свойства 5, криволинейный интеграл
второго рода наиболее просто преобразуется в одномерный ин-
теграл.
Пример. Найдем функцию f : R3^R, если
df = (y+z) dx + (г + x) dy + (х-ф у) dz.
Решение. Функции
Р(х, у, z) = y + z, Q(x, у, z) = zA-x, R(x, у, z) = x + y
непрерывны на всем пространстве 7?3, поэтому естественно счи-
тать равенство df—(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz заданным всю-
ду в R3. Возьмем произвольную точку В с координатами (х0, г/о»
Zo).
Положим
Л = (0, 0, 0), М = (х0, 0, 0), N = (x0, у0, 0),
тогда
AM = {(х, у, z)'.x-—x, у = 0, z — Q, х [0, х0]},
MN = {(x, у, z):x = x0, у = у, г = 0, у е= [0, у0]},
Л4В = {(х, у, г):х = х0, у-=уй, z = z, ге[0, z0]}.
Отсюда получаем, что
f (xoi £/о> 2о) — f (В) — df + f (А) = (у z) dx
АВ	AM
+ (z + x)dy + {xA-y)dzA-	(y + z)dx-{-(z + x)dyA-(x + y)dz +
MN
+ § (у + г) dx + (г 4- х) dy + (х + у) dz + f (А) =
NB
= ? Odx + ? xody + \ (х0 + у0) dz = хоу„ ф- xozo + yozo + f (А).
d oJ о
В силу произвольности точки В(х0, у0, zQ) и того факта, что функ-
ция f определяется с точностью до константы, заключаем, что
f(x, у, z)=xy + xz+yz+C.
Подчеркнем, что в этом параграфе не решается вопрос, будет
выражение Pdx+ Qdy+Rdz полным дифференциалом некоторой
функции f: R3-+R или нет. В задачах этого типа подразумевает-
287'
•ся, что условие df=Pdx+Q.dy+Rdz верно для всех точек, в ко-
торых непрерывны все три функции Р, Q, R.
Пример. Найдем функцию f : R3-+R, если
df=----— dx+( ——r"~\dy — dz.
у* \ у3 г2 j г3
Решение. Функции
Р(х, г/, z)=-х—, Q(x, у, г)=~+-у, R (х, у, г) =—£-
у2	у3 г3	г3
определены и непрерывны, если у=/=0 и z=#0. Поэтому и функция
f(B) определяется для точек В(х, у, г) при условии, что г/¥=0 и
z¥=0. Примем для определенности, что у>0 и z<0. Чтобы кусоч-
но-гладкая кривая АВ не пересекала плоскостей у=0 и z=0, не-
обходимо начальную точку А также взять в области D={(x, у, z) :
:г/>0, z<0}. Положим Л = (0, 1, —1), тогда для любой точки
В=(х0, у0, z0), у0>0, z0<0, ломаная AMNB, где М=(0, 1, z0), У=
= (0, у0, z0), не пересекает плоскостей у=0 и z==0. Так как
АМ = {(х, у, z):x — Q, у—\, z = z, ze[ — 1, z0]},
MN = {(x, у, zy.x^Q, y = y, z = z0, ye[l, y0]},
NB = {(x, y, z):x = x, y = y0, z = z0, x ge [0, x0]},
TO
^0	У 9	Xe
KP*- PHir* РМу41
AM —1	MN 1	NB 0 y°
Следовательно,
f (xo< Уо< го) — f (В) — / (Л) + J df — f (Л) •- df A- df -f- у df =
AS	ЛМ MN NB
=fw+^
—1
J----_!_+A----!----^ = IW_± + JL
2z0	2	2z0	2z0 2Уо	2	2z0
Отсюда следует, что f
тоянная.
----f-C, где С — произвольная пос-
Таким же образом находится по своему дифференциалу функ-
ция любого числа переменных. Если I—брус в Рп и в I имеем
равенство
df = 2 di (х) dxt, at: Rn-+R, 1 i п,
288
то для любых двух точек А = (у1( у2,..., yr,) е I и В = (х15 х2,..., х„) е= /
имеем равенство
*1
f(xlt х2, ... ,xn) = f (B) = f(4)4-jj а^, у2, ... ,yn)dti +
У1
4* 4 (41» ^2> Уз>  • • > Уп) dt2	fl; (х1; х2, ...
У,	yt
•••.Xf-i, tl, yt+l
, Уп) dtf\-...+ an (xx, x2,
y'n
Xn—1> tn)dta.
Пример. Найдем функцию f:R5-+R, если
df = (2ххх2 4- x|) dxt + (x2—2x2xa) dx2 4 (2x3x4—x2) dx3 +-
+ (x| — 2x4x8) dxt 4- (2x tx5—x2) dx6.
Решение. Положив Л = (0, 0, 0, 0, 0), получаем, что
f(xlt х2, х3, х4,
*1	X,
х5)=/(Л) + jjo-d/1 + J x\dt2~
— Х2 4~ хз dtt 4- (2x^5 х2) dt& —
ООО
= f(A) + Х21Х2 — Х22Хз + Х1Х4 4-Х1Х| — Х24Х5.
Отсюда следует, что
/(хъ х2, . . . , Хъ) Х2Х2—Х2Х3 + Х2Х^ + ХгХ2 — х^ + С.
§ 3*. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный
в этом параграфе, рассмотрен в § 4 в терминологии дифференци-
альных форм. Читателю полезно сравнить определения, основные
свойства рассматриваемых понятий и ход решения примеров.
Определение. Пусть в некоторой области DczR3 заданы
непрерывное векторное поле А={Р(х, у, z), Q(x, у, г), 7?(х, у, z)}
и ориентированная кусочно-гладкая поверхность (S, ./V). Тогда
интеграл
n)ds
S
289
называется поверхностным интегралом второго рода и обознача-
ется символом
^Pdx Д dy + Qdy Л dz + Rdz Д dx.
Поясним происхождение символа Pdx Д dy-\-Qdy Д dzX-Rdz/\
Д dx. Если S—простая гладкая поверхность, т. е.
S = {(x, y,z)-.x = х(и, v), у —у (и, v), z = z(u, v), (и,
r = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}czC'(D), [r'uX Го]^0, (и, v) e D
и
Отсюда в силу свойств поверхностного интеграла первого рода
получаем соотношение
СС(4  Ш р +q D ^...±1 + DAX’ у). ] х
JJ	J J L D (и, v) D (u, V) D (u, v) J
S	D
X _l[<x<ll_ dudv ^_£L + q^K£L +
1[<Х<]|	«Ш D(u, v) D(u,v)
+ R D{x’ y} ]dudv.
D (u, v) J
Для регулярного отображения	(u, v)-+(y(u, v), z(u,
v)), имеем равенство
С С Р  D	dudv = С С Pdydz,
JJ D(u, v) J J
о	5
перенося формально это соотношение на отображение
r—{x(u> V), у (и, v), z(u, и)},
290
в подынтегральном выражении поверхностного интеграла второго
рода заменяем Р D г*- dudv на Pdydz. Остается еще обра-
D (и, v)
тить внимание на то, что знак слагаемого Р D dudv меня-
D (и, I1)
ется при перестановке местами функций у (и, v) и z(u, v). Поэто-
му вместо знака обычного умножения, как в кратном интеграле,
между дифференциалами dy и dz ставится знак «внешнего умно-
жения» Д, удовлетворяющий условию аДр=—РДа. Таким же
рассуждением приходим к записи выражения
Q г)	D (х, t/) I	как qjz	^у.
D (и, v)	D (и, v) J
Поскольку запись подынтегрального выражения в виде Rdx/\
/\dy+Pdy/\dz+Qdz/\dx уже определяет, что рассматривается
поверхностный интеграл второго рода, то, чтобы не усложнять
запись символа, вместо (S, У) пишется просто S. Указание ори-
ентации поверхности S входит обязательным условием в задание
поверхностного интеграла второго рода.
Заметим, что скалярное произведение (Л-n) при данных усло-
виях является кусочно-непрерывной и ограниченной функцией,
определенной на S, за исключением, может быть, конечного мно-
жества кусочно-гладких кривых, лежащих на S, поэтому инте-
грал
\\(A-ri) dS='\\P dy /\ dz -\-Qdz /\ dx + R dx Д dy
's'	s
имеет смысл.
Если поле А={Р, Q, R} интерпретировать как поле скоростей
течения жидкости, то величина поверхностного интеграла второго
рода
\^Pdy /\ dz-\-Qdz /\dx-\~Rdx /\ dy (А-п) dS
s	s
представляет количество жидкости, протекшей за единицу време-
ни через поверхность S (поток поля) в направлении нормали п.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода
(всюду предполагаем, что функции Р(х, у, г), Q(x, у, z), R(x, у,
г) непрерывны в некоторой области DcR3, содержащей поверх-
ность S).
1.	Если S=(S, N) и S=(S, —У) обозначают одну поверхность
с противоположными ориентациями, то
П R dx Д dy -ф Р dy Д dz -ф Q dz Д dx
s
=	R dx /\ dy -ф Р dy /\ dz -ф Q dz /\ dx
S'
291
(направленность интеграла).
2.	(<xRi Ч- PR2) dx [\ dy + (ссРх -}- PR2) dy Д dz -|-
*s‘
+ (а(Д + PQ2)dz Д dx = a R±dx /\ dy + Prdy /\ dz + Qrdz Д dx +
's
+ Р$$ R2dx f\dy + P2 dy f\ dz + Q2dz f\ dx,
s
где а и P—постоянные (линейность интеграла).
3.	Если S=SiUS2, поверхности St и S2 не имеют общих внут-
ренних точек и их ориентации согласованы, то
R dx Д dy Р dy Д dz + Q dz Д dx =	R dx Д dy +
8	’s',
+ Рdy Д dz-f-Qdz Д dx-$- Rdx Д dy + Pdy Д dz + Qdz Д dx
s,
(аддитивность интеграла).
4.	Если
S = {(x, У> z) : х = х(и, v), у~ у(и, v), z = z(u, v), (и, v)eeD},
область DczR2 жорданова, отображение
г = {х(и, v), у {и, v), z(u, u))eC1(Z))> [дхг']=#0,
для любых (и, v)eeD и N — \n : п
[''иХг']	}
—;—I, то
l[/-oXrJ| )
^Rdx Д dy + Pdy /\dz-\-Qdz Д dx —
s
=	t’)> У^и’ v>>’ z(u> v^+\~u'~v\~ + P('X^ti> v^’ y(U’ v^’
D
(«> ^))
D (У, г)
D (u, v)
]-Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))	x)-
D (u, v)
dudv.
Следствие. Для гладкой цилиндрической поверхности S с
образующими, параллельными оси OZ, единичный вектор нор-
мали в точке s=(x, У> z)eS есть п(х, у, z)={cosa(x, у), cos[3(x,
у), 0}. Поэтому независимо от выбора ориентации S справедливо
равенство
Rdx Д dy= (A-n)dS = 0, так как Л={0, 0, R}.
’s	S
292
Точно так же для гладких цилиндрических поверхностей S[ и S2
с образующими, параллельными соответственно оси ОХ и оси
OY, справедливы равенства
Р dy Д dz = 0, \\Qdz Д dx = 0.
’s,	*s.
Следствие. Если поверхность S задана явной функцией
г=г(х, у), т. е.
3 = {г:г(х, у) = {х, у, г(х, у)}, (х, y)^D}, z = z(x, yj^C^D),
то, как было сказано выше, поля N=\n:n = ——I и N =
I |['хХ'9И J
I	lr'xr'x] 1
= \n : n =-? задают соответственно верхнюю и нижнюю
I	IlGXr^l I
сторону поверхности S. Поэтому для верхней стороны S имеем
равенство
^Rdx /\dy=^R(x, у, z(x, t/))	dxdy =
S	D
= ^Я(х, У> z(-x' y»d*dy,
D
а для нижней — равенство
^Rdx/\ dy = ^R(x, у, z(x, t/)) 5^’^ dxdy =
S	D
= У’ Z('X’ y^dXdy'
D
Точно так же для правой стороны поверхности
S = {r:r(y, z) = {x(y, z), у, г}, (у, z)^D}, х = х(у, z)e (?(£))}
справедливо равенство
Pdy Д dz= Р(х(у, z), у, z)dydz,
s	'd
а для левой — равенство
pdy Д dz= — jjjj Р(х(у, z), у, z)dydz.
293
Пример. Вычислим
l\(x2 + y2 + z2)dy Д dz,
s
где S— левая сторона поверхности, полученной вращением дуги
кривой Л = {(х, у), х — х, y — cosx, хе [0, л/2]} относительно оси
ОХ.
Решение. Поскольку в условии задана левая сторона по-
верхности S, представим ее с помощью явного задания функции
х = х(у, г) = arccos тЛ/2-}-?2:
S= {г : г— {arccosдЛу2 +-г2, у, г}, (у, z)eD],
D = {(y, z):y2 + z2<\}.
В силу следствия 2 свойства 4
УJ (*2 + Уг + г3) dy Л dz = —	(arccos2 /у2 + г2 у2 + г2) dy dz =
S	D
2n 1	л/2
= —§ dq § (r3-f- r arccos2 r) dr =—2л(-^--|--у-	/2sin2/d^ =
0	0	0
Пример. Вычислим
yz dy Д dz 4- x2 dz Д dx-^-yzdx Д dy,
где S — внешняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = a2, y^O (a>0).
Решение. Поскольку y>0, то уравнение полусферы можно
записать с помощью явно заданной функции у(х, z):
S=|r:r(x, у, z) = jx,	—х2—г2, z], (х, z)eD\,
где область значений параметров £)={(%, z) : x2 + z2<a2}. Для
отображения r'.D-^R3 имеем
[	1гхХт2] I
Таким образом, поле N = \n: п =------—-1 является полем нор-
I	|[гхХгг]| J
малей, направленных к центру полусферы S, т. е. определяет ори-
ентацию s, противоположную заданной. Следовательно, заданная
294
ориентация определяется полем N = yi : п =	^—4-
няя свойство 5, получаем, что
Приме-
yz dy /\ dz + х2 * * dz Д dx -г yz dx [\dy =
s
D
n2_ r2__ -2 'D(y> Z) I ,,2^(2. *)
И Л £	~1 A
_D (z, x) D (z, x)
4-z У a2 — x2—z2 D	I dxdz.
D (z, x) j
Далее,
dy	dy
D (y,	z)	_	dz	dx
D{z,	x)~	 dz
dz	dx
— Z	—X
у a* 1 * - x2 -	ya2 _ x2 —
1	0
x	D (z, x) ______
У a* — x2 — y2 ’ D (z, x)
0	1
D (x, y)   dz	dx  
D (z, x) “ dy	dy ~	—*	—x
dz ~dx	У a2 — x2—z2	У a2—x2—z2
_ z
~ Д/а2—x2^2 ’
Следовательно,
yz dy Д dz + x2 dz Д dx Д- yz dx [\dy — (xz -{- x2 -{- z2) dx dz =
s	D
2л «
= dtp rs (1 + cos ф sin q>)dr =	.
о о
Пример. Вычислим
(4x2 + z2)dy /\ dz 4xy dz /\ dx-]-z2 dx /\ dy,
s
где S — правая сторона части гиперболического цилиндра 4х2—
— у2=а2, лежащей внутри конуса х = ]/у2-|-г2 (а>0).
Решение. Поскольку х>0, то уравнение поверхности мож-
но записать с помощью явно заданной функции
$= {г : г(х, у, г)= ^/У2 + а2>	г)-
295
Область D значений параметров является проекцией заданной
части цилиндра на плоскость ZY. Границу D находим как проек-
цию линии пересечения поверхностей 4х2—у2 = а2 и х = }/у2г2,
исключая переменную х из этих двух уравнений, получаем
a2+y2=4(y2 + z2'), или 3y2+4z2=a2.
Итак,
S=jr:r(x, у, г) — {х =	]/а2 + у2, у, г}, (у, г) сд
Z) = {(y, г) : 4z2 + 3y2<a2}.
Далее,
f«= iTySW- *' °)’ '- = {0' °’	[г“хг'1 =
Следовательно, заданная ориентация поверхности S определяется
v J	1гуХг'г] j	„
полем N = \n:n =—7—В силу свойства 5
I	|[^Xrz]| J
(4х2 + г2) dy [\dz-4- 4ху dz /\dx-\- г2 dx /\dy =
s
Ш(а2 + у2 + г3)
О(У, г)
D {у, г)
+ 2у|/а2 + уа
Р(г, х)
D (у, 2)
, 2 D - У)... I du dz
+ D(y, 7) ГУ
Далей,
0(2,	И		dz dy	dz dz		0	1	
D(y,	z)	dx dy dx	dx dz dx		У rVa?+y2 У	0 0	2
D (x,	У) _	dy	dz		2-]/а2 + У2		= 0.
D(y,	г)	dy dy	dy dz		1	0	
Следовательно,
(4х2 + г2) dy Д dz + 4xydz Д dx-\-z2dx [\dy —
s
== jJJ(a2 + № + z2—у2) dydz=$$(a2 + z2)dydz.
D	D
296
Имеем, что
^a2dydz = a2\D\=^.
D
В интеграле ^z2dydz сделаем замену: у = -——sin ф, г^-^-созф»
D
тогда
2п 1
ГГ 2 1 J °2 С 1 С °2 Ч Ч J ai 1	ЯД4
\, z2 dy dz —-= \ dtp \— г cos3 <р dr =-— л = —-7=-.
Jj J 2V3 J J 4 Т 8Д/3 4	321/3
D	0	0
Итак, окончательно,
J J (4х2 + z2) dy Д dz + 4ху dz Д dx + г2 dx f\dy =	+
s
, па1 ____ па.47
+ 32 }/3 ~ 32 У 3 '
Пример. Вычислим
xdy Д dz—ydz /\ dxzdx /\ dy,
s
где S — внешняя сторона части конуса z2—х2 + у2, лежащей выше
плоскости z=0 и внутри цилиндра х2+у2=а2 (а>0).
Решение. Используя условие 2>0, записываем
S={r:r(x, у, z)={x, у, Vx2 + y2}, (х, y)<=D},
£ = {(%, у) : х2 + у2<а2}.
Внешняя нормаль к поверхности конуса z2=x2+z/2 направ-
лена от оси OZ и в точках конуса, лежащих выше плоскости z=
=0, образует с этой осью тупой угол (см. рис. 47). Следователь-
но, в условии задана нижняя сторона конуса, т. е.
В силу свойства 5
Д dz—ydz Д dx-^-zdx Д dy =
s
~ СС Гх D {У' Z) и D (Z’	I ,,2 D (* У) 1
D
297
	dy dy
D (у, z) __	dy dx
P(y, X)	dz dz
	dy dx
	dz dz
	 I"	
D (z, x) 		dy dx
D (y, x)	dx dx
	dy dx
Следовательно,	
1 о
____________________ X
_У	х
Д/хI 2 * * s + у2 Д/х2 Д- у2 I
У	х
Д/х2 + у2 Д/х2 + у2 _ у
О	1	Vх2 + у2 ’
х^у Л dz—ydz Д dxД-z dx Д dy =*
s
= Cf-— .I... - — д/х2 + у2 dxdy = СC y dxdy —
«ЩД/х2 + у2 Д/х2 + у2 у	* JJVx2 + y2 а
D	D
= — 2 у dtp § r2 sin2 ф dr — —	.
о о
Пример. Вычислим
\\ xy dy /\dz + yzdz Д dx-j-zxdx Д dy,
где S — левая сторона поверхности
S = {r:r(u, v) = {2u-±-v2, и2—2v, 2uv), (u, v)i=D},
D = {(u, n):0<u<;l, 0<о<1}.
Решение. Проверим сначала корректность задания сторо-
ны поверхности^?. Так как
ru={2, 2и, 2v}, r„—{2v, —2, 2и},
то для
__ [ЛиХ'’о] _ 4 {и2 -4- у, у2 — и, —1 — чу}
П ll>’uXr„il	lKx<]|
получаем,'что cos (и, ОХ) = 4и, —4— Д- 0- Отсюда следует, что поле
11^и ХТр] I
I	[foX^l 1	с
N=\n:n = ——~~ i определяет левую сторону поверхности X.
I	lkexr„]| J
В силу свойства 5
xydy [\dz-\-yzdz Д dx -\-zxdx [\dy =
s
298
=fi [(2“++2“° 2”
D
4- 2иц (2и + о2) -		D (x, D (у,		du dv,		
D(y, г) ... D (и, и)	ду dv dz dv	dy du dz du	=	— 2 2 2u 2	и !u	= —4u2—4v„
D {г, х) _	dz dv	dz du		2u 2v		4u — 4v2,
D (и, и)	dx dv	dx du		2v 2		
Р(х, у) D (^> и)	dx ~dv dy dv	dx du dy du	=	2v — 2 2	2 !u	= 4uv-}-4,
xy dy Д dz-\- yz dz f\ dx-\- zx dx f\dy —
s
= 4 jj [(u2 + ^)(2u +u2)(2ц—u2)4-2uu(u2—2и)(и—y2)4-
D
+ 2uv (2u + y2) (4u 4-1)] du dv =
i i
= 4 ^dv § [2ц4 4- и (4ц4 + 2ц3 4- 4ц2) 4- «2 (4ц—4ц2 4- v3 4- 2v*) 4-
0	0
4- u3 (2ц 4- 4ц2 — 2ц3) 4- u4 (2ц—v2)—2u5] du —
1
= 4 C [ 2ц4 4- 2ц1 4- v3 4- 2v2 -|—— v-— v2 4—— ц3 + — vi 4-
J L	3	3 0 . 1	. ,	1 , . 2	12	1 4	v4-v	trM	v— — v	 2	2	5	5	3	3	3 ,	869 dv =	. 90
Пример. Вычислим
y2dz /\ dx-}-z2dx Д dy—x2dy f\ dz,
s'
где S — часть поверхности тела: V={(x, у, z) -.2x2+2y2^.az^.x2+
4-i/2+a2} (a>0), удовлетворяющая условию y>0, и вектор нор-
мали п, определяющий ориентацию S, в точке Af=(O, а/2, 5а/4)
образует острый угол с осью OZ.
299
Решение. Ориентация поверхности S, определенная векто-
ром п, была подробно проанализирована в примере на с. 226.
Этой ориентации соответствует верхняя сторона поверхности
Si={'(x, у, z) :az=x2 + y2+a2, х2 + у2^.а2, i/>0} и нижняя сто-
рона поверхности S2={(x, у, z) : az=2x2+2y2, х2+у2^а2, у>0}.
Следовательно, ориентирующее поле нормалей к Si есть
м f	[ хг + у2 + а2 ] ]
N, = < п : п =----“—, г = г (х, у) = х, у, ——   — >
I liGX^ll	I - a JJ
и ориентирующее поле нормалей к S2 есть
I 1дхД] / х f 2х2 + 2у2 1 1
N2=\n:n =—у—, г — г(х, у) — х, у, ----------- И.
I	1РхХ^]|	I	a JJ
В силу свойств 3 и 5 имеем, что
y2dz [\ dx-\-z2dx /\ dy—x2dy [\dz —
s
—	dz /\dx-j- z2 dx Д dy—x2 dy Д dz +
s;
+ y2 dz Д dx4-z2dx A dy — x2dy A dz =
s,
_ Гe Г / 2 D <Z1> X) I Д D (* У)__x2 D (У, Zl) \ I
J J LV D(x, у) ’Г 1 D(X, У) D(X, у) Г
D
, / 2 P(Z2,^_ + ,2 D(x, yL_x2	1 dx d
\ J D (y, x) D (y, x) D(y, x) ) \
где
Zi(x, y) = — (x2 + y2 + a2), z2(x, y) = — (2x2 + 2y2),
a	a
D = {(x, y) : x2 + t/2^a2}.
Так как
D (Zj, x) _	дгг dx	dzt ~~дУ		1_	2x 2y	=	2y
D (x, y) D (У, Zj)	dx ~dx dy dx	dx dy dy dy	a i	1 0 0 1	a 2x
D (x, y)	dx	dzL dy	a	2x 2y	a
300
D (z2,	х) _	дг2 ду	дг2 дх	_ 1	4г/	4х	
D (у,	Ч	дх	дх	а	0	1	а
		ду	дх				
		ду	ду		1	0	
D(y,	z3)	ду	дх	1			4х
D (у,	Ч	дг2	дг2	а	4у	4х	а
		ду	дх				
то
y2dz /\ dx + z2dx f\ dy—x2dy f\dz —
s
СГГ —2y3 . 1 , » , . ,	, 2x3 . 4t/3
= \\ ——+ -г(^ + ^ + я2)2Н-------h~-----
J J L a a	a a
D
— -V (%2 + У2)2 — — I dx dy = -T	[ W~2ax3—
a2	a j	a1 J J
D
— 3 (xa + y2)2 + a4 + 2aaxa 4- 2a2x2] dx dy =
Ф—cos3 <p) — 3rB + ra4 + 2a2r3] dr =
§ 4*. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Еще раз обратим внимание на то, что материал, изложенный
в этом параграфе, рассмотрен в § 5 в терминологии дифференци-
альных форм. Читателю полезно сравнить определения, основные
свойства рассматриваемых понятий и ход решения примеров.
Пусть в области DczR3 задано векторное поле А{Р, Q, 7?}. По-
рядком гладкости поля А назовем наименьший из порядков глад-
кости функций Р, Q, R в области D. В дальнейшем, если не огово-
рено противное, всегда будем подразумевать, что рассматривает-
ся векторное поле достаточного порядка гладкости (не менее вто-
рого) .
Определение. Если Л={Р, Q, R}—векторное поле, задан-
. п	dP.dQ.dR
ное в области и, то скаляр--1-----1---называется диверген-
дх dy dz
цией поля А и обозначается div Л.
301
Определение. Если А={Р, Q, R} — векторное поле, задан-
ное в области D, то вектор
i	j	k
д___д_ J_____i( —___+  / дР______9R_\ + k(^Q____ЗР '
дх	ду дг	Эу	дг )	\ дг	дх )	\ дх	ду J
Р	Q	R
называется ротором (вихрем) поля А и обозначается rot А.
Определение. Векторное поле А, заданное в области Da
czT?3, называется потенциальным в D, если существует функция
и : D-+R — потенциал поля А, такая, что
, (ди ди ди 1	.
gradw= ---, ---, ---- = А.
( дх ду дг J
Определение. Векторное поле А, заданное в области Da
czT?3, называется соленоидальным, если в области D существует
векторное поле W (называемое векторным потенциалом поля А),
такое, что rot W=A.
Как указывалось выше, для силового поля А={Р, Q, R} инте-
грал	Pdx + QdyA-Rdz представляет работу этой силы при пере-
L
мещении по ориентированной кривой L. Принято называть инте-
грал ^PdxA-QdyA-Rdz работой поля А={Р, Q, /?} вдоль кривой
L
L для любого векторного поля, безотносительно к его физической
характеристике. Если кривая L является контуром, то этот инте-
грал обычно называют циркуляцией поля вдоль контура L в дан-
ном направлении.
Точно так же безотносительно к физической характеристике
поля А={Р, Q, R} интеграл
§ § Рdy Д dz + Qdz Д dx + R dx Д dy
s
принято называть потоком поля А через ориентированную поверх-
ность S в данном направлении.
Определение. Кривая L называется векторной линией по-
ля А, если в каждой точке MaL вектор поля касателен к L.
Из определения следует, что векторными линиями поля А =
— (Р, Q, R} являются интегральные кривые системы уравнений
dx __ dy _-dz
Р ~ Q ~~R~‘
Определение. Область, ограниченная поверхностью S, на-
зывается векторной трубкой поля А, если в каждой точке MaS
вектор поля ортогонален вектору п — нормали к S.
Из определения следует, что поток [^(A-rijdS поля А через
's
поверхность S векторной трубки равен нулю.
302
Свойство 4 криволинейного интеграла второго рода в терми-
нах векторного анализа выглядит так: для того чтобы векторное
поле А, заданное в области DczR3, было потенциальным, необхо-
димо и достаточно равенство нулю работы этого поля вдоль лю-
бого контура LczD. Если поле А={Р, Q, R} потенциально, то ра-
бота его вдоль кривой L равна разности значений потенциала по-
ля и в начальной и конечной точке этой кривой:
§ PdxA-QdyA-Rdz — u(B)—и (А).
а'в
Теорема (формула Грина). Пусть область D лежит в R2 и
граница dD области D состоит из конечного числа кусочно-глад-
Q
ких контуров dD — Lq (см. рис. 49). Пусть функции Р, Q и
<7=1
дР dQ	R -Г
---, ---- непрерывны в D. Тогда
ду дх
Q
(p* + Q^j№ + Q<7,, = Jj(^
дЬ	<7=1 Lp	D
дР \ , ,
— dxdy,
ду /
Рис. 49
где все контуры Lq,	ориентированы так, что при обходе
область D остается слева.
Если контур L лежит на поверхности S, то назовем часть S,
ограниченную L, поверхностью, натянутой на контур L. Напом-
ним, что ориентации контура L и поверхности, натянутой на L,
согласованы, если при обходе L по соответствующей стороне по-
верхности S часть S, ограниченная L, остается слева.
Теорема (формула Стокса). Пусть 1) область D лежит в
7?3; 2) функции Р, Q, R^C[(D)', 3) ориентированный контур (L,
Т) и натянутая на L ориентированная поверхность (S, N) лежат
303
в D; 4) ориентация поверхности (S, ;V) согласована с ориента-
цией контура (L, Т). Тогда
Гол. , пл., , ол,_ГГ I 3R dQ \	. . .
\ ду
S
. , ( до.
dz
дР
/JJP____ОД
\ dz dx )	' '	\ dx dy )	< ' J
Используя формулу связи поверхностных интегралов первого
и второго рода, правую часть формулы Стокса записывают в виде
{*(* Г/ dR dQ \	, ( dP dR \ ft .
\ \ I---------— cos а +---------------| cos р 4-
JJ L \ dy dz /	\ dz dx j
s
. / dQ 'dP \ I ле
+	-----— cos у dS,
\, dx dy I |
где cos a, cosp, cosy — координаты единичного вектора n^N. Ко-
ротко подынтегральная функция в этом интеграле записывается в
виде
cos a	cosP	cosy
d	d	d
dx	dy	dz
P	Q	R
В терминах векторного анализа формула Стокса выглядит
так:
Пусть область DaiR3, ориентированный контур (L, Т) и ори-
ентированная поверхность (S, N) удовлетворяют сформулирован-
ным выше условиям. Тогда циркуляция вдоль контура L вектор-
ного поля А, заданного в D, равна потоку rot Л через поверх-
ность S:
(Л • т) ds = (rot А • п) dS.
Формулы Грина можно рассматривать как формулу Стокса
для плоского векторного поля {Р, Q, 0}.
Теорема (формула Остроградского — Гаусса). Пусть об-
ласть D лежит в Р3; граница dD области D состоит из конечного
числа кусочно-гладких поверхностей; функции Р, Q, R^Cl(D).
Тогда
Р dz/ Д dz + Q dz Д dx + R dx Д dy-=
dD
CCC (dp
JJJ \ dx
D
) dx dy dz,
dy dz j
304
где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверх-
ности.
В терминах векторного анализа формула Остроградского —
Гаусса выглядит так:
Пусть область D удовлетворяет сформулированному выше ус-
ловию. Тогда поток векторного поля А через поверхность dD в
сторону внешней нормали п равен интегралу от div Л по D:
^(A-ri)dS = div Adx dy dz.
dD	'b
Определение. Область DdP называется односвязной,
если для любого контура LczD область DLcz/?2, ограниченная L,
целиком лежит в D.
дх '
функ-
так:
Теорема. Пусть область DczR2 односвязна и функции Р,
Q^Cl(D). Тогда условие =	(х, y)^D необходимо и до-
дх ду
статочно для существования функции иеСЦО), такой, что du=
=Pdx+Qdy. Пусть область D<c:R3 такова, что любой контур Lcz
czD можно непрерывно стянуть в точку, не выходя из области D,
,	п л п pi/г» т	dR dQ дР
и функции Р, Q, R^Cl(D). Тогда условия ------=-----, —
ду дг дг
dQ дР
---=----- необходимо и достаточно для существования
дх ду
ции иеС‘(£)), такой, что du=Pdx+ Qdy + Rdz.
В терминах векторного анализа эта теорема выглядит
Пусть область DczR3 (DczR2) такова, что любой контур LczD
непрерывно стягивается в точку, не выходя из D. Тогда гладкое
векторное поле, заданное в D, потенциально тогда и только тог-
да, когда rot/1=0 всюду в D.
Необходимость условия теоремы есть просто условие равен-
ства смешанных производных второго порядка функции ие
czC2(D).
Чтобы проанализировать достаточность условий теоремы, рассмот-
рим выражение	В области £) = ^(х, у): -^-<х2 + у2<4а2|
(а > 0) функции Р (х, у) = ——— и Q (х, у) =-------- бесконечно
X2 + у2	X2 + у2
гладкие и удовлетворяют равенству
дР	—х2 4- у2	3Q
ду	(х2+ у2)2	дх
Условием существования
которой du = Р dx-pQdy =
интеграла
в области D функции
xdy — ydx
х2+ у2
хdy — ydx
u^Cl(D), для
является равенство нулю
по любому замкнутому
контуру LczD. Покажем, что это условие не выполняется. Дей-
ствительно, пусть L — окружность радиусом а с положительным
305
направлением обхода L={(x, у) : х=а cos t, y=asint, te[0, 2л]}.
2Л
Тогда Lc=.D и С х dy ~ ? dx- С	dt-2п. Итак,
J	х’ + у2 J	а2
L	О
,	о. ,n>	u	. х dy — у dx
функции u^Cl(D), удовлетворяющей условию аи =---------а—,
не существует. Такой результат получился потому, что область
D = | (х, у) :	< х2 -г у2 < 4а2 j
не является односвязной. Если же рассматривать односвязную
область £)={(х, у) : х2+у2<4а2}, то нарушается условие гладко-
сти функций Р(х, у) и Q(x, у). Можно показать, что при любом
доопределении этих функций в точке (0, 0) получаются разрыв-
ные в этой точке функции.
Естественная область применения формул Грина и Остроград-
ского — Гаусса —это вычисление интегралов второго рода по
контурам на плоскости и замкнутым поверхностям в простран-
стве. Но иногда, особенно в пространстве, вычисление интеграла
второго рода по незамкнутой кривой или поверхности упрощает-
ся, если замкнуть эту кривую или поверхность и вычислять дан-
ный интеграл как разность соответствующих интегралов по замк-
нутой кривой или поверхности и по замыкающему множеству.
В качестве замыкающего множества обычно берутся отрезки
прямых или части плоскостей, параллельных координатным, по-
скольку по таким множествам интеграл второго рода вычисляет-
ся наиболее просто. В частности, этот метод дает возможность
заменить достаточно сложную процедуру ориентации кусочно-
гладкой поверхности путем согласования ориентаций ее гладких
составляющих более простым выбором внутренней или внешней
стороны замкнутой поверхности.
Пример. Вычислим указанным способом интеграл
У2 dz Л dx — x2dy Л dz-\-z2dx Д dy,
з
где S — часть поверхности тела
V = {(х, у, г) : 2х24-2у2^аг^х2-}-у2 + а2} (а>0),
удовлетворяющая условию у>0, и вектор нормали, определяю-
щий ориентацию S, в точке ЛГ=(О, а/2, 5а/4) образует острый
угол с осью OZ.
Решение. Замкнем поверхность S частью плоскости у=0.
Тогда полученная поверхность 5 будет границей тела: Р={(х, у,
z) :у>>0, 2x2+2y2^.az^.x2+y2+a2}. Точка ЛГ=(О, а/2, 5а/4) лежит
на верхней границе тела Р, и нормаль в этой точке направлена
вверх, следовательно, интеграл берется по внешней стороне по-
306
верхности dV. Часть плоскости у=0, входящая в dV, есть поверх-
ность
= {г : г (х, г) = {х, 0, z), (х, z) е £)},
D = {(х, г): 2х2 < az < х2 + а2}.
Внешняя по отношению к телу Р нормаль п на S] направлена
противоположно оси OY. Так как в данном случае
г>{1. О, 0}, г’ = {0, 0, 1}, [<XrJ = {0, -1, 0}, то п = [г^г'г].
Так как плоскость у=0 параллельна как оси ОХ, так и оси OZ, то
в силу следствия 1 свойства 4 поверхностных интегралов второго
рода имеем
y2dz Л dx — x2dy Д dz-j-z2dx Д dy--= \^y2dz /\ dx =
S,	Si
= dx= 0.
(Так что определение ориентации здесь оказалось ненужным.)
В силу полученного равенства и аддитивности интеграла име-
ем, что
y2dz /\ dx—x2dy Д dz + z2dx /\ dy^- ^ y2dz f\ dx—
s	s
— x2 dy Д dz-}-z2dx Д dy.
Так как
V = {(x, У> z) i 2x2 + 2y2^az^x2 + y2-Ya2, (x, y)^D},
D = {(x, y): x2 + y2<a2, y>0},
то, применяя к последнему интегралу формулу Остроградского —
Гаусса, окончательно получаем, что
y2dz /\ dx — x2dy /\ dz-^z2dx /\dy =
s
(2^~2х 2г^х ~2
V	D
х*4-»г+а»
а
(y-x + z)dz-
а
= й [ “	(а2—х2—у2) +
D
4- - (Зх2 + Зу2+а2) (а2—х2—у2) dx dy =
307
9	P	f г	1
= — \ dtp \ (а" г2— аг1)(—cos <р + sirup)-]--(а4г+2а2г2—3r5)
a2	J	JI	2
о	о
dr =
Пример. Найдем поток вектора A=x3i+y3j + z3k через
а») боковую поверхность конуса
К = {(х, у, г) : H2(x2 + y2)^z2R2, O^z^H} (R>0)
(в сторону внешней нормали);
б) через полную поверхность этого конуса (в сторону внеш-
ней нормали).
Решение. Начнем с п. б). В силу формулы Остроградско-
го—Гаусса поток вектора А через полную границу дК конуса
Л есть
(Л • п) dS = §§§ div A dx dy dz =
дК	Ж
Н
— dxdy § (Зх2 + Зу2 + 3z2) dz. =
" у^
2л Я Н	R
= 3^dtp^rdr § (г2z2)dz = 6л[г* (н—
о е нг	о
R
R
+ —	dr = 2n ? I ЗЯг3—г4 ( — + — ') +r№ 1 dr =
3 \ R3 / ] J I	\ R R3 ) J
о
= 2л Г— Я/?4---- (ЗЯ/?4 + H3R2) + — H3R21 =	(R2 + 2Я2).
I 4	5	2 I 10
Перейдем к п. а).
Вычисление потока вектора А через боковую поверхность ко-
нуса К проведем двумя способами.
1. Обозначим через (Si, Л^) внешнюю сторону верхней части
поверхности дК. Тогда
Si = {r:r(x, у) = {х, у, Н}, (х, y)<^.D},
D^{(x, у) : х2 А-У2 <. R2} 
Вектор nEzR\ направлен вверх. Так как r'x — {1, 0, 0}, г' = {0, 1, 0},
[г'Хг^] = {0, 0, 1}, то п — [г'ххг'и]. Так как Sj параллельна как оси
308
ОХ, так и оси 0Y, то в силу следствия 1 свойства 4 поверхност-
ных интегралов второго рода получаем, что
dS = ^zsdx /\ dy=^H3dxdy = nR2H3.
s,	s,	'd
Пользуясь аддитивностью интеграла и результатом предыду-
щего п. б), окончательно получаем, что
^(A-n)dS=	dS-^(A-n) dS =
St	dK	8,
= —(7?2 + 2H2) — л Д773 =	(ЗЯ2 — 4Я2).
2. Обозначим через (S2, АД) внешнюю сторону боковой части
дК.
Вектор образует с осью OZ тупой угол, т. е. рассматри-
вается нижняя сторона S2. Условие о О позволяет записать S2 в
виде
S2 = г : г (х, у) = х, у,
-~Ух2 + у2\, (х, y)(=D
D = {(x, у)-. x2 + y2<R2}-
Так как вектор n^N2, определяющий нижнюю сторону поверхно-
_	\r'u X гх]
сти So, равен -"---— , то
(А-п) dS = х3 dy /\dz-Yy3 dz Д dx-^z3 dx Д dy =
s,	s2
CC Гх3 D (у, г) з D (z,x) И3 ^, ^/2 D(x, у) 1 ,
D(y, х)+У D(y,x) +	(*+У) D(y>
D
Далее,						
D (у, 2) _	ду ду	ду дх		1	0	Нх
О (у, Х)	дг	дг		Ну	Нх	R Ух2 + у2
	ду	дх		R "|/х2 + У2	RYx2 + y2	
	дг	дг		Ну	Нх	
D (г, х)	ду	дх		R ~\/х2 + у2	RVx2+y2	_	Ну
D(ff, Х)	дХ ду	дх дх		0	1	R Ух2 + у2
Следовательно,
St	D
У2 + У)3/2] dxdy =
309
2л R
4 Ф 4-sin4 ф)—Я2]/4 dr =
О о
Н R* Г (5/2) Г (1/2) /й R* 2л_Ж ГЗЯ2 4Я2]
R ’ 5	Г (3)	R3 ' 5	10 1
Предоставляем читателю сравнить достоинства и недостатки
каждого из способов и остановиться на том или другом.
Пример. Вычислим
(cos у	у sin х + у2) dx—(cos х 4- х sin у 4- х3) dy,
где L — часть кривой r=a(l 4-cos ф), у>0 от точки А(2а, 0) до
точки 0(0, 0) (декартова и полярная системы координат совме-
щены) (а>0).
Решение. Замкнем кривую АО отрезком [ОД] оси ОХ (см.
рис. 48). Направление кривой АО индуцирует обход полученного
контура так, что область О={(г, ф) :0<ф<л, 0<г<а(14-созф)},
ограниченная им, остается слева. Следовательно, используя ад-
дитивность интеграла и формулу Грина, получаем, что
(cos у 4- у sin х 4- у2) dx— (cos х 4- х sin у 4- х2) dy =
=	(cos у 4- у sin х 4- у2) dx — (cos х 4- х sin у 4- х2) dy —
£Щ0Л]
— У (cos у 4- у sin х 4- У2) dx — (cosx4-xsiny4-x2)dy =
[ОА]
2а
= —+	(sin х — sin у—2^4-sin у — sin х—2r/) dxdy —
О	D
л а(1-Ьсо5ф)
= —2а—2 ^(ху)dxdy=—2а—2§d<p	§ г2(cosд4-з1Пф)dr—
D	оо
Л
2 С*
= —2а—— а3 \ [(1 4-cosф)®sinф4-cosф4-3cos2ф4-3cos3ф4-
0
2	1,	|0
4-соэ4ф]4ф=—2а------а3 — (14-созф)4 —
3	4	|я
__2_ - Г3 Г (3/2) Г (1/2) Г (5/2) Г (1/2) 1 = _2а___8_аз_ 5п°Э
3	|_ Г (2)	’’’ Г (3)	]	3	4
310
Пусть (L, Т)—гладкий контур с положительным направле-
нием обхода и n={cos р, sin 0} —единичный вектор внешней нор-
мали к L. Так как вектор п направлен вправо от вектора т=
={cosa, sina}e7', то угол поворота от т к п равен —л/2. Отсюда
получаем, что для плоского вектора А—{Р, Q}
(X-«) = PcosP + QsinP= —Q cos a -f- P sin a = (A, t),
где вектор Л = {—Q, P} и (An)ds = § 0-r)ds = Pdy—Qdx.
L	L	L
Пример. Односвязная область DczR2. Преобразуем к двой-
ному интегралу криволинейный интеграл первого рода ds,
L
где функция /еС2(О); кусочно-гладкий контур L<=£); п — еди-
ничный вектор внешней нормали к L.
Решение. Применяя полученное выше равенство и формулу
Грина,получаем,что
ds= С (grad f- ri) ds = C dy-~dx —
J dn J	J dx dy
L	L	L
= dxdy>
J J \ dx2 dy2 /
тле Dl — область, ограниченная контуром L.
Пример. Вычислим интеграл Гаусса
,	.	(* cos (г, п) ,
и (*о, Уо) = \ —~	ds'
J 1И
L
где Lc:R2— гладкий контур; г={х—х0, у—Уо} — вектор из точки
Мо(х0, Уо), не лежащей на L, в точку Л1=(х, у) контура Л; и —
единичный вектор внешней нормали к L.
Решение. Не ограничивая общности, можно считать, что
Хо=О иуо=О. Тогда cos (г, п)=-^-^-. Применяя полученное вы-
И
ше равенство, получаем
Г cos (г,	п)	= Г	(г-д)	dsC	xdy —ydx
J И	J	И*	J	x2 + y2
L	L	L
Выше было показано (см. с. 252), что интеграл
Г xdy —ydx
J х* + у*
2л,
где Cj"—окружность x24-z/2 = a2 (a>0) с положительным направле-
311
нием обхода. Функции Р — -------— и Q = —-—- в любой области,
х2 + у2	х2 + у2
не содержащей начала координат, являются бесконечно гладки-
dQ дР
ми и удовлетворяют равенству
Отсюда следует, что если начало координат лежит вне замк-
нутой области D, ограниченной контуром L, то к интегралу
С —dy-~у— применима формула Грина, и он равен нулю.
J X2 + у2
L
Если же начало координат лежит внутри области D, ограни-
ченной контуром L, то возьмем область Da, границей dDa, кото-
рой является контур L и окружность Са : х2+у2=а2. Число а>0
берется так, чтобы окружность Са лежала внутри D. Область Da
лежит слева от контура L при положительном его обходе и сле-
ва от окружности Са при отрицательном ее обходе (см. рис. 50).
Обозначим через Са+ окружность Са с положительным направле-
нием обхода и через Са~ —с отрицательным. Так как начало ко-
ординат лежит вне Da, то, как уже получено,
Г х dy — у dx _Q
х2 + у2 “
ьис7
Отсюда, пользуясь аддитивностью и направленностью криволи-
нейного интеграла второго рода, получаем, что
Р х dy — у dx
J х2 4- у2
L
Г х dy — у dx
<J х2 + у2
ct
= 2л.
Итак, интеграл Гаусса и(х0, Уо) равен нулю для любой точки
М=(х0, у0), лежащей вне заданной области, ограниченной кон-
туром L, и равен 2л для любой точки Л4=(х0, у0), лежащей внут»
ри этой области.
312
Область применения формулы Стокса — это вычисление кри-
волинейных интегралов второго рода в случае, когда кривая ин-
тегрирования L задана как пересечение двух поверхностей.
При таком задании кривой L, во-первых, как правило, уже
определена поверхность, натянутая на L, а, во-вторых, нет необ-
ходимости производить параметризацию кривой L, что часто тре-
бует нетривиальных преобразований.
Пример. Найдем циркуляцию вектора A={x(y+z), y(x+z),
z(x+y)} вдоль кривой L : х2 + у2+ z2=2Rx, х2+у2=2гх, х>0, (0<
<г<7?), положительно ориентированной на внешней стороне
сферы x2 + y2+z2=2Rx.
Решение. Ориентированный контур (L, Т) лежит как на
сфере x2 + y2+z2=2Rx, так и на цилиндре х2+у2=2гх, но усло-
виям применения формулы Стокса удовлетворяет только часть
сферы, поскольку она является простой гладкой поверхностью.
Рассмотрим два способа решения: сведение криволинейного ин-
теграла второго рода а) к поверхностному интегралу второго ро-
да и б) сведение к поверхностному интегралу первого рода.
Первый способ. Обозначим через (3, N) часть внешней
стороны полусферы х2+y2 + z2=2Rx, z>0, лежащую внутри ци-
линдра х2+у2=2гх. Так как для верхней полусферы внешняя сто-
рона является одновременно и верхней стороной, то
S={r:r(x, у)={х, у, Y2Rx—х2—у2}, (х, y)^D],
D = {(x, у) : x2 + z/2<2rx}
и
Применяя формулу Стокса, получим, что
(Л-т) ds = § x(y-j-z) dx-Дy(x-l-z) dy-J-z(xA-y) dz =
L	L
= ^(z—y)dy Л dz-f-(x — z)dz Д dx + (y—x)dx /\dy =
s
= CC[(z(x, y)-y)-^-^ + (x-z(x, y))^J± +
J J L	D y)	D U. y)
D
+ (У~х)	y\- j -dxdy.
D (x, y) |
Дифференцируя z(x, у) как неявную функцию, получаем, что
		ду	ду		0	1	
D(y,	z)	дх	ду				х — R
D (х,	У)	дг	дг		R — х	У	г
		дх	ду		Z	Z	
313
dz dz
D (z, x)   dx	dy
D(x, y) ~~ dx	dx
dx dy
R — x_________у
г	z
1	0
У
z
Следовательно,
J(4-T)ds =	(г—y)
L	D
— + (x—z)— + z/—x I dxdy —
z	z
=	---Rj dxdy.
D
Так как область D симметрична относительно оси ОХ, а функция
fix, у, г)=	— — Ry------------- нечетна относительно у, то
' v у ’ г ~[/2Rx —х2-у3
dxdV = <d и’ следовательно, § (Л • т) ds = — R^dxdy — —aRr*..
D	L	D
Второй способ. Единичный вектор п внешней нормали к сфе-
ре х2 4- у2 + z2 = 2Rx равен -----
-R~ ’ У} ’ Часть верхней полу-
сферы, лежащей внутри цилиндра х2-$- у2^2гх, как и в первом
случае, запишем в виде
S={r, г(х, у)—{х, у, y2Rx—x2—y2\, (х,
D = {(х, у): х2 + у2 < 2гх}.
Применяя формулу Стокса, получим, что
x(y + z)dx + y(x + z) dy + z(x + y)dz=-.
^+'/Hx~z) + T (#—*)] dS= ^(y~z)dS-
s	s
Так как
dS = V1 +(z;)2 + (/)2 dx dy = У 1 +	+ -J dx dy =
R , ,
— — dx dy t
2
314
то
§ (A-x)ds = y~~z  j dxdy= —nRr2.
L	D
Пример. Вычислим интеграл
zdx^2xdy—ydz, где А В—кривая х2 + у2 = 2ах (а>0),
а~ в
az = xy, z>0, Л=(0, 0, 0), В=(2а, 0, 0), используя формулу Стокса.
Решение. Так как отрезок [ВЛ] оси ОХ лежит на поверх-
ности параболоида az=xy, то, объединяя его с кривой АВ, полу-
чим контур L, лежащий на поверхности az=xy. Обход получен-
ного контура, индуцированный направлением кривой АВ, поло-
жителен, если рассматривать его на нижней стороне параболои-
да. Итак, натянутая на контур (L, 7') часть (S, ;V) параболоида
az=xy с согласованной ориентацией есть
S = ! г : г (х, у) = ! х, у, | (х, у) ед D у,
а
D—{(x, у) : х2 + у2
И
п = у е N.
|[ГХ X Гу\\
Так как
§ zdx-]-2xdy—ydz= \ zdx=0,
[ВЛ1	[В%
то в силу аддитивности интеграла имеем, что
zdx-r2xdy— у dz—\z dx х-2х dy—ydz—
В	L
—	z dx^2xdy—уdz=--<\zdx-\-2xdy—ydz.
[ВЛ]	L
Как и в предыдущем примере, проведем два вычисления интегра-
ла по контуру L.
Первый способ. Применяя формулу Стокса и учитывая
указанную сторону поверхности параболоида, получаем, что
^zdxA-2xdy — ydz = ^dz f\ dx-\-2dx /\ dy—dy /\ dz —
L	S
-D (y> г) +D^- +2	dxdy.
J J L D(y, x) D(y, x) D(y, x) J
D
315
Далее,
D (г, х)	дг ду	дг дх		X а	У а	X
D (у, х)	дх ду	дх ~д7		0	1	а
D (У, г)	ду ду	ду дх		1	0	У
D(y, х)	дг	дг дх		X а	У а	а
Следовательно,						
^zdx-^xdy— ydz = ^	---2 —
L	D
—'j dxdy =
a /
Л/2	2acos<p
= —\ dq V r2(cos<p—sin(p)dr—a2n =
a	J	J
о	0
8a2
3
Л/2
(cos4 cp—sin(pcos3(p) dq—a2n =
о
= 4a2 Г Г (5/2) Г (1/2)_______1_ ] _fl2jT =
3 [ Г (3)	4 ]
2a2 , 2a2	3	1	,	2a2
-------------------. — — л — a-л = — ——
О 1 о n n	о
а2п
2
Второй способ. Так как г'х={\, 0, у/а}, r'y~y, 1, х)а},
{у, х, —а)
п — —>— и следовательно,
Д/a2 + х2 + у2
70
zdx-\-2xdy—ydz =
______У________ _______х______
(• (• Д/а2 + х2 + У2 Д/а2 + х2 + у2
JJ	jL
s	дх	ду
г	2х
—а
Д/а2 + х2 + у2
д
дг
—у
dS =
Так как
( Д/а2 + х2 + у2 + У а2 + х2 + у2
2а] dS.
dS = У1 +(z'x)2+(z )2 dx dy = — У а2 Д- х2 + у2 dx dy,
у	CL
316
то
(*	1 РР	2g®	g®jt
\ zdx + 2xdy—ydz= — \ \ (х—у—2d)dxdy =-----------—.
J	а JJ	3	2
L	D
Пример. Проверим, что выражение (cosy+y cosx)dx4-
+ (sinx—xsinz/)dy является полным дифференциалом, и найдем
все функции, для которых это выражение является дифферен-
циалом.
Решение. Так как функции P=cos у+у cos х и Q=sinx—
— xsiny непрерывно дифференцируемы на всей плоскости 7?2, то
дО	. dR
из равенства —-^ = cosx—sin«=------ следует существование
дх	ду
функции f:R2-+R, для которой df=Pdx + Qdy= (cos у+у cos х) X
X dx+ (sin х—х sin у) dy.
Функцию f(x, у) находим по уже рассмотренному правилу
(см. с. 254). Рассмотрим две точки Л = (0, 0) и В=(х0, у0), тогда
хо	Уо
f(x0, yo) = f(0, 0)4- $dx+^ (sinx0 — xQ sin у) dy =
о	о
= x0 4- y0 sin x0 4- x0 cos y0—x0 = y0 sin x0 4- x0 cos y0.
В силу произвольности точки В=(хо, уо) находим множество
функций f(x, y)=xcosy+ysinx+C, где С — произвольная по-
стоянная.
_П р и м ер. Проверим, что векторное поле А = {4-у/2 Vх,
Vx + z/2Yy, Yy + x/2Yz]	потенциально в первом октанте х>
>0, у>0, z>Q, и найдем его потенциал.
Решение. Условием потенциальности поля А является ра-
венство rot4=0. Проверим справедливость этого равенства для
данного поля:
Потенциалом поля А является функция и(х, у, z), удовлетворяю-
щая условию grad и=А или
“и = (^+4;)(^г+ Th)d!/+ (^+ W?)
317
По уже рассмотренному правилу получаем, что
и(х0, у0, z0) = u(l, 1, o +	+
1
Уо	го
+i (/7,+тк) М (/9“+ТП/1) Лг=
1	1
= Ха—1 +У*о— 1	А'о—]/ хо + 1^Уо— 1 +zo Уо—]/ У о +
+ А0 ]/z0—x0 = y0Yx0 + z0 Уу0 + х0У zu— 3.
Итак, потенциалом поля А является функция
и(х, у, z) = xY^ + zY У А- У VXA~C,
где С — произвольная постоянная.
Непосредственная проверка показывает, что дивергенция со-
леноидального поля А тождественно равна нулю. Верно и обрат-
ное утверждение: если div71=0 в области DczR3, то в этой обла-
сти поле А соленоидально. Так как div(grad и) =0, то векторный
потенциал соленоидального поля определяется с точностью до
слагаемого, являющегося потенциальным полем. Один из вектор-
ных потенциалов	Wv, W2} соленоидального поля Л={ЛЖ,
Ay, Az} получают следующим образом: 1) полагают Wx=0; 2) за
Wv берут одну из первообразных функций Az относительно пере-
менной х\ 3) Wz будет та из первообразных функций — Ау отно-
сительно переменной х, которая отвечает уравнению
dWz dWy ~
ду дг х'
Запишем это так:
J Аг dx, \VZ = - J Ау dx + ф (у, г),
где функция <р(у, z) удовлетворяет уравнению ~- =	+
4—— Сл dx. Выбирая одно из решений этого уравнения,-окон-
чу J v
чательно определяем функции ^=0, Wy, Wz.
Пример. Проверив, что поле Л={х—y + z, y + z—х, x+y—2z}
соленоидально, найдем его векторный потенциал.
Решение. Поле А соленоидально, так как div/4 = -^— (х—у-\~
дх
-|-z) +	(у4-z—х)4~ —(х-фг/—2z)=14-l — 2 = 0. Одним из век-
dy	дг
торных потенциалов поля А является поле W = \WX, Wy, 1Г2}, где
Гх = 0,
318
№ = С (X 4-1/—2г) dx — — -}-yx—2zx,
и J	2
№г = ^(х—y + z)dx-\-(p(y,	= ~---yx—zx + ^iy, г),
-^- = x—y-j-z + — (— + yx—2zx\ +
dy	dz \ 2	!
+ ~T~ ( — +УХ + zx} = — У + г>
ду \	2	/
У2 ।
Ф=—у + zz/.
Итак, векторным потенциалом поля А=[х—y+z, y+z—х, х+
4-у—2г} является векторное поле F=W+ grad и, где
( у2	у2__ н2	Ч
W= О, — 4-ух—2гх, —----------ух—гх4-гу! и и—произвольная
функция класса С2.
ЗАДАЧИ
§ 1. Алгебраические и дифференциальные формы
1.	Найти значение формы
«1 Л Л2 Л л3—Злх Л я3 Л л4 —гц Л ла Л л44-2л2 Л яа Л п4
на векторах gx = (2, 2, —1,1), £г = (4, 3, —1, 2), £3 = (—1, 0, 2, 3).
2.	Найти значение формы
лх Л я24-2п2 Д л3—5лх Д я3
на векторах £i = (l, 4, 1), £2 = (2, 0, 3).
3.	Привести к координатному виду форму
(2лх4-п2—я34-2л4) Л (ях Д я2—Зл2 Д nJ.
4.	Привести к координатному виду форму
(2пх Д л8—Зях Д л44-я3 Д п4) Д (5лх—2я24-Зл34-я4).
5.	Найти значение дифференциальной формы
х^х2^ Д dx2A~x2lx^dx1 Д dXi-j- x2x2dx2 Д dx3-}~ x2x2dx2 Д dxi
на векторах gi=(l, —1, 0, 2) и £2= (3, 1, —1, 0) из пространства
2, -1, _2).
31»
6.	Найти значение дифференциальной формы
x2x2dxx д dx24-2x1x2x2dx1 Д dx3 ф- x1x2x3dx2 Д dx3
на векторах £i=(l, 0, 1), £2(2, —1, 0) из пространства TD(2t2t 1}.
Привести к координатному виду дифференциальные формы.
7.	(x2dx3 Д dXi + x^Xz Д dx3-Lx3dx1 Д dx4 + x4dx1 Д dx2) Д
Д (x1x2dx1 ф- x2x3dx2 + x3x4dx3 ф- x&dxj.
8.	d (arctg Д d(x3Xj—x2x4).
9.	d (2x2x2x3dx2 Д dx44- x2x2dx3 Д dx4—2x1x2xidx1 Д dxa).
10.	d (2x1x3ex,+x* dxr Д dx34-xfe*’+*4dx2 Д dx3 +
4~ 2x1x2ex,+x*dx, Д dxi± xleXs i~Xidx2 Д dx4).
11.	d (2x1x2x3x4dx1 ф- XjX3X4dx2 ф- Xi x2x4dx3 ф- xxx2xf dx4).
12.	d (x (г2—у2) dx ф- у (x2 — г2) dy ф- z {у2 — x2)dz).
13.	d (xyz2dx /\dy-\- x2yzdy /\dz-\- xy2zdz f\ dx).
14.	d(sin(x1-j-x2—x3—x4)dx4 Д dx3ф-sin(x4ф-x2—x3—x4) X
X dx2 Д dx4—sin (Xj + x2 + x3 ф- x4) dx4 Д dx2 ф-
+ sin (Xj + x2 4- x3 ф- x4) dx3 Д dx4).
15.	d (x1x2dx1 ф- x2x3dx2 ф- x3x4dx3 ф- xxx4dx4) Д
Д (x4dxr ф- x3dx2 ф- x2dx3 ф- x4dx4).
Выяснить, замкнуты или нет следующие формы:
16.	2zxdx ф- 2zydy + (х2 4- у2) dz.
17.	2xyzdx4-(x2z—z2y) dy -\-x2ydz.
18.	(yexyz 4- xy2zexl>z) dx 4~ (xexyz 4- x2yzexVZ) dy 4- x2y2exVZ dz.
19.	(x2 + x2x3—x3x4) dx4 Д dx2 4- (x2 ф- 2x3x4—x2x4) dx4 Д dx3 ф-
4-	2xlxidxl /\ dxt 4- (x4x2—x3x4) dx2 Д dx3 ф-
4-(—2x2x44-xxx3)dx2 Д dx44-(xxx24-x2x3—2xjx3)dx<^dx4.
20.	z(x—z/)cos(x4-y — z)dx Д dy4-x(y4-z)cos(x4-у—z)dy /\
Д dz—у (x 4- z) cos (x 4- у—z)dz /\ dx.
21.	(x4x2 4- x3x4) dx4 Д dx2 4- (x4x3 4- x2x4) dx4 Д dx4 ф-
+ (^i^4 4- -Ф^з) dx2 /\ dx3 4- (х| ф- x2 4- x2 4- x2) dx3 Д dx4.
320
22.	(х4х3 + х2) dx1 Л dx2 /\ dxs + x^dx,^ Д dx2 Д dxt4-
+ (x2xi—x2)dx1 Д dx3 Д dxi)-x1x2dx2 Д dx3 /\ dxt.
23.	2x3xix2dx1 Д dx3 Д dxt—2x2x2x3dx1 Д dx2 Д dx3 +
+ (2x3x2xs—xlx2xix6)dx1 Д dx3 f\ dx3 + (2x1x2x2 + x^xf) dxt Д
Д dx2 Д dxi x^x^dx, Д dx2 Д dx3 (x2x^-(-2x2x2x3) dx2 Д
Д dx3 Д dxi + 3x1xix2dx2 Д dx4 /\ dx^—XyX^x^dXy f\ dxi f\ dx5.
Найти сужение формы co на кривую L с указанной параметри-
зацией:
24.	со = (х + sin х) dy—у (cos х + 1) dx,
L = {(x, у):х = х, y = xcosx}.
25.	со — ydx—xdy,
£ = {(х, у): x = у In у, у = у}.
26.	со = yzdx—xzdy -f~ xydz,
L = {(x, у, z): x —a cost, y = asmt, z = bt}.
27.	co = xzdx-|-yzc/y + (x2 + y2)c/z,
£ = {(x, y, z):x = atsmt, у = at cost, z = bt2}.
Найти сужение формы и на поверхность S с указанной пара-
метризацией:
28.	со -= xdy Д dz + ydz /\ dx + zdx /\ dy,
S = ((x, у, z):x~x, y-=y, z = xsiny4-ysinx}.
29.	co = —z (z2 -ф y2') dx Д dy + у (z2 -f-y2) dz Д dx + 2xdy /\ dz,
S = [(x, y, z):x = arctg —+ yz, y = y, z = z].
I	г	j
30.	co — zdx /\dy~r xdy f\dz + 2ydz Д dx,
S = {(x, y, z):x — x, y = xzln(x24-z2), z = z}.
31.	a> = xdy [\dz-{-ydz /\dx-}-zdx f\dy,
S—сфера радиусом R:S = {(x, у, z): x = R cos <p cos ф, y =
= 7?sin<pcosip, z = 7?sinip}.
32.	co = z2 (x y) dx /\ dy—z (x2 + y2) (dz /\ dx + dy /\ dz),
S—геликоид : S = {(x, y, z): x=^ au cos v, у ^ausinv, z = bu}.
321
33.	co — yzdy /\ dz— xzdz Д dx 4- xydx + dx Д dy,
S—тор: S = {(x, у, z): x = (b~^ a cos tp) cos i|>, y = (b +
+ acos<p)sinip, z = asin<p}, a<ib.
34.	u> = ydx /\ dy—zdz /\ dx-j-xdy Д dz,
S—гиперболический параболоид
S = {(x, у, z):x — auv, y — a(u + v), z~a(u—u)}.
35.	и = z (x2 + y2) dx /\ dy—x(y2-\-z2)dy Д dz 4- у (x2 4- г2) dz /\ dx,
S—цилиндр, S = {(x, y, z): x = 7? cos <p -f- R, y = /?sin<p, z = h}.
§ 2.	Вычисление криволинейного интеграла второго рода
Вычислить криволинейный интеграл второго рода, взятый
вдоль ориентированной кривой L:
36.	^(2— у) dx 4- xdy,
L = {(x, y):x = t—sin/, y=l—cos/, 0^/^2л},
где кривая проходится при возрастании параметра.
37.	С -ydx-~>r-x(iy где L есть отрезок АВ, Д = (0, 0) и В=(1, 1).
J 1 + хгу2
L
38.	\ (—x2ydx 4- xy2dy), L = {(х, у): х2 4- у2 = г2},
L
где окружность проходится в положительном направлении.
39.	ydx—(y-\-x2)dy, L—дуга параболы у = 2х—х2 от точки А =
L
= (2, 0) до точки В = (0, 0).
40.	xdy 4- ^ydx, L—контур, составленный линиями у = 0, у = х,
L ____________
у = уг1—х2 с положительным направлением обхода.
41.	^(x-}-y)dx—xydy, где L—дуга кривой x1/4_|_yi/4==ai/4 от
L
точки Л = (0, а) до точки В —(а, 0).
42.	х • y2dx—x2ydy, L={(x, у):2(х + у) = (х—у)2}, от точки А =
= (0, 2) до точки В = (2, 0).
322
43.	xydx— x2dy, L = {(x, у): .г4 — 2x2y2 + у3 = 0} от точки А =
L
= (—1/4, —1/8) до точки В = (0, 0).
44.	y9dy—2xy2dx, где L—часть кривой хя 4- 2х2 4- у2 = 3 от точки
l	_
Д=(—1, ]/2) до точки В —(1, 0).
45.	(у4-л) dx4- х cos ydy, где L—часть кривой л In х—уА~
L
4-sin// —0 от точки Л = (1, 0) до точки В = (е, л).
46.	x2dy—xydx, где L—часть кривой .г4—у4 = 6х2у от точки А =
= (—4}/2; 4) до точки В = (0; 0).
47.	xdy—ydx, где L—часть кривой х(х—у)2А-У = ® от точки
Д=(0, 0) до точки В=(2/5; —8/5).
48.	xdy—ydx, где L — петля кривой х4 4- у1 = а2 (х2 4- у2) с поло-
L
жительным направлением обхода.
Указание. Положить y=xt. При вычислении соответствую-
щего интеграла сделать замену г=\Ц.
49.	xydx — x'‘y'''dy, где L — контур квадрата |х—у\ 4- | *4- У\ = 1
L
с отрицательным направлением обхода.
50.	\xzdxA-axdy—x2dz, где L — часть кривой az—xy, х-\-у +
L
4-	z = а, х 4г 0,г/ 4> 0 от точки А = (0, а, 0) до точки В (а, 0, 0).
51.	yzdxA-aydz—azdy, где L — часть кривой x2-\-y2—z2, у24*
4-	х2 — ах, у 0, z 0 от точки А = (0, 0, 0) до точки В(а, 0, а).
52.	x2yxdx-i-dy A-zdz, где L—часть кривой x24-y2 = r2, z = H от
L
точки (г, 0, Н) до точки (— г, 0, Н), проходящая через точку
(0, г, Н).
Для вычисления следующих интегралов удобно пользоваться
формулами Грина и Стокса, замыкая, если нужно, кривую отрез-
ком прямой. Все они могут быть вычислены и путем параметри-
зации кривых, что полезно проделать для проверки, однако вы-
числения при этом, как правило, становятся существенно более
громоздкими.
323
53.	(х2—у2) dx 4- 2xydy, L—контур треугольника с вершинами
L
Л = (1, 1), В = (3, 1), С=(3, 3) с положительным направле-
нием обхода.
54.	xydx 4- 2xy2dy, L — контур треугольника с вершинами А =
L
= (1, 0), В = (0, 1), С —(0, 0) с отрицательным направлением
обхода.
55.	(х—у)2 dx 4- (х 4- у)2 dy, L—ломаная АВС, где Л = (0, 0), В =
= (2, 2), С = (0, 1).
56.	x2y2dx-\-(x.—y)2dy, L—ломаная АВС, где Л = (2, 1), В =
= (0, 3), С = (—2, 1).
57.	(4ху—15x2y)dx4-(2x2—5х3-г7)4у
L
a)	L—часть кривой y = xs—Зх2-'2 от точки Л = (1—l/З, 0) до
точки В = (1, 0);
б)	L—часть кривой у = х2—Зх24~2 от точки Л —(1— У?>, 0) до
точки В = (1 4-УЗ, 0).
58.	xdy 4- ydx, L—часть кривой,
x2sin-— -1——, х#=0;
х л2
У =
х = 0
л2
от точки Л=(0, 4/л2) до точки В=(2/л, 8/л2).
59.	^(xyA-x + y)dx + (xy + x—У) dy
L
a)	L—часть окружности х24-г/2 = ах (У^Р) от точки Л —(0, 0) до
точки В = (а, 0);
б)	L—часть окружности х2+у2 == ах (х а/2) от точки Л = (а/2, — а)
до точки В = (а/2, а).
60.	С fl---— ) dx4- — dy, где L—верхняя (у^0) полуокруж-
•) \	2 /	2
L
ность х24-у2 = а2 от точки Л = (а, 0) до точки В — {—а, 0).
61.	(e-xcosy — y2)dx4-(e~*sinу—x2)dy,
L
324
где L—правая (х^а) полуокружность х24у2 —2ах от точки А —
= (а, а) до точки В = (а, —а).
62.	у5-'3 dx — х5'3 dy,
L
где L — положительно ориентированная кривая х2'3 + у223 — а2/3.
63.	xy2dx + (у2 — x2)dy,
L
где L — положительно ориентированная кривая г=а(1 +cos<p).
64.	x2ydx—у2xdy,
L
где L — верхняя (у>0) часть правой петли (х>0) лемнискаты
(х2+у2)2=а2(х2—у2) от точки А=(0, 0) до точки В=(а, 0).
65.	(х2 + у) dx + (у2 -I- z) dy + (z2 + х) dz,
L
где L — эллипс х2 + у2=4, x+z=2, положительно ориентированный
на верхней стороне плоскости.
66.	(xy + z)dx + (yz + x)dy + (xz + y)dz,
L
где L — окружность x2 + y2+z2=a2, x+y+z=Q, положительно ори-
ентированная на верхней стороне плоскости.
67.	(z2—y2)dx + (x2—z2)dy + (у2—x24-x)dz,
L.
где L — эллипс x2+y2=8x, x + y+z=0, положительно ориентиро-
ванный на верхней стороне плоскости.
68.	2xydx-f-z2dy-f-x2dz,
L
где L — эллипс 2x2 + 2y2=z2, x + z=a, положительно ориентиро-
ванный на верхней стороне плоскости.
69.	Пусть К—-куб, построенный на единичных положитель-
ных векторах осей координат. Вычислить
y2dx -f- z2dy + x2dz,
L
если L есть:
а)	контур сечения К плоскостью, проходящей через точки 0=
*=(0, 0, 0), В=(0, 0, 1), А = (1, 1, 0), положительно ориентирован-
ный на правой стороне плоскости;
325
б)	контур сечения К плоскостью, проходящей через точки Р—
= (1, 0, 0), Q= (0, 1, 0), 7?=(1, 0, 1), положительно ориентирован-
ный на правой стороне плоскости.
70.	(t/2 + z2) dx + (х2 4- z2) dy + (у2 4- х2) dz,
где L — верхняя (z>2) петля кривой х2+у2=2х, х2 + у2 + г2=4г,
положительно ориентированная на внешней стороне верхней (z>
>2) полусферы.
71.	(г—х2—у) dx 4-(х 4-у 4-z) dy 4-(d 4~ 2х 4-z3) dz,
где L — кривая y2+z2=x2, х>0, x2+y2+z2=2az, положительно
ориентированная на внешней стороне правой (х>0) полусферы.
72.	V z2dx + x2dy + y2dz,
где L—кривая х2-1гу2 = 2ах, z = |/ —
положительно ориентированная на внешней стороне конуса.
73.	z2xdx - iz \ -х - - -у) dy--y2zdz,
L
где L — кривая x2 + y2=ax, x2=y2 + z2, положительно ориентиро-
ванная на внешней стороне цилиндра.
74.	xyzdx y2zdy 4- zx2dz,
где L — кривая x2 + z2=a2, y2 + z2=a2, x>0, положительно ориен-
тированная на внешней стороне первого цилиндра.
75.	(ху + z) dx 4- (yz 4- х) dy + у У а2— x2dz,
L
где L — кривая x2 + y2+z2=2ax, х2 + у2=а2, положительно ориен-
тированная на внутренней стороне цилиндра.
Для вычисления следующих интегралов удобно привести их к
криволинейному интегралу второго рода и применить формулу
Грина:
76.	С а + Зху ~~ ds
J	дп	’
L
где L — кривая 4(х+а)2+(у—2а)2=4а2, п — направление внеш-
ней нормали к L.
326
77.	C d^ + ^.-xyLds<
J дп
где L — кривая (х— 2)2 + 4(у + 1)2=16, /г —направление внешней
нормали к L.
78	С д ~~ 5ху + ds
J	дп
L
где L — контур, составленный правой (х>а) полуокружностью
xz+y2=2ax и прямой х=а, п — направление внешней нормали
к L.
f/d(xy) z . .	д у х2 + 4у2 \
79.	\ ----у х2 + 4у2---   - ху ds,
J \ дп	дп /
L
где L — контур, составленный верхней (у->1) полуокружностью
х2+у2=2у и прямой у=\, п — направление внешней нормали к L.
Проверив, что подынтегральное выражение представляет со-
бой полный дифференциал, вычислить интеграл:
(1.0)
80.	(2х— y)dx4-(3y—x)dy.
(-1,-2)
(1,0)
81.	(Зх2— 2ху4-у2)4х—(х2— 2xy)dy.
(o', 1)
(2,3)
82.	V 2x(y2 — 2)dx + 2y(x2+ l)dy.
(i.i)
(i,i)
83.	x(14-6y2)dx + p(14-6x2)dy.
(0,0)
(2,3,4)
84.	V (2xy-j-y2-j-yz2)dx-j-(x2y2xy-j-xz2)dy-l-2xyzdz.
(i.i.i)
(1,1,2)
85.	x (y2-j-z2) dxy(x2-j-z2)dy + z(x2-j-y2)dz.
(-i.i, -i)
(2,2,2)
86.	yzxv*-4 dx -j- zx^2 In xdy + yx^z In xdz.
(i.i.i)
(5,3,1)
(* xzdy 4’ xydz — yzdx
87.	\ ------—!— ----------- вдоль путей, не пересекающих яоверх-
J (x — yz)2
(7,2,3)
ность x = yz.
327
(-2, 3)
C	xdy — ydx
\	z_ вдоль путей, не пересекающих оси ординат.
J X2 + у2
88.
(-1, -2)
(2.2)
89.	Г	вдоль путей, не пересекающих оси абсцисс.
J х2 + у2
(-1,5)
Найти функцию U, если задан ее дифференциал:
90.	dU = (2х cosy—у2 sin х) dx-f (2 у cosx—х2 sin у) dy.
91.	dU = (1 fexfdx + (1------ exy dy.
\ У /
99! dU — xdx + ydy 1 xdy ~ ydx
. Г-Х—7	~ Г	2
/х2 + у2
93. dU = —++A_Z.
(x2 + y2 + z2)2
4- (г2 + x2 — yz—yx) dy + (x2 + if —zx—zy) dz}.
----------]dx +
1,-2	- •	-	1
{(у2 + г2—ху—хг) dx -f-
94. dU= ] 1 -if
95. dU= I ,
\ 2 H xy
! ! У
x2 + y2
-----------------x------dy.
/i-у2 x2 + y2 у;
y * 1	----4 ex sin 2y 4-5—) dx 4-
f- y2	sin X /
— + 2e*cos 2y^ dy.
\ 21 1+xy x2 + y
96. dU= -----------H2x/T
x2 + «/2
. / 2y	x2
-Ц x24-y2	2/1 +у
97- dU== ( ,Л-ЛЛТ+-ггт- + 2x') dx+
\ 1 + (xyz)2 X2 + Z2	/'
. / xz
у_______
- Yitl‘i
—^4----1 Л dy.
V у I 1 + y2 1
, .	— l'\dy +
1 + (xyz)2 2 / yz /
/ xy	2г /Й , \ ,
4~ I---------------1------------1-------+ 1 I dz.
\ 1 4- (xyz)2 x2 + г2 2г/г /
98. dU = (2 xyz 4- -'- j dxf f x2z---------M dy f
\	z /	\ г2 /
4- ( x2y — — 4- —') dz.
. z2 г3 /
328
99. dU = (2xy 4- z2 4- yz) dx 4- (x2 4- 2yz 4- xz) dy 4-
4- (y2 4- 2xz 4- xy) dz.
§ 3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Вычислить поверхностные интегралы второго рода
100. jjj (y24-z2)dx Д dy,
где S —часть верхней стороны цилиндра z=)/a2—х2, О^Су^Ь.
101.	(х44- у*4-2a2z2)dx Д dy,
где S — часть нижней стороны параболоида az=xy, лежащая в
первом октанте и внутри цилиндра (х2 + у2)2=Ьху.
102.	jfj(x24-6z— 2y2)dx^dy,
' s
где S — часть нижней стороны цилиндра y2=Qz, О^х^З, z^6.
103.	(a2x~^by2+ cz2)dy Д dz,
s
где S — правая сторона цилиндра у2=2рх, xsR42p, O^z^q.
104.	^(x2 + z2)dy Д dz,
s
где S — часть внешней стороны цилиндра х=]/9—у2,
105.	^(x2 + y2-)-z2)dx f\dz,
s
где S — часть внешней стороны конуса y=^x2+z2, O^ytSZb.
106.	(у—z)dy f\ dz + (z—x)dx Д dz4-(x—y)dx /\ dy,
s
где S —часть внешней стороны верхней z>0 полусферы х24-
+ y2 + z2=2Rx, лежащая внутри цилиндра х24~у2=2ах, a<R.
107.	^xdy Д dz + y2dz Д dx-)-z2dx/\dy,
s
где S — внешняя сторона поверхности тела х2 \-у2^а2, —H^.z^.
108.	xdy f\ dz + ydz Д dx 4- zdx /\ dy,
329
где S — внутренняя сторона эллипсоида
х2 . t/2	, г2 = j
а2 ' Й2 *Г с2
109.	x2dy /\ dz + y2dz Д dx + z2dx /\ dy,
s
где a) S — внешняя сторона поверхности тела x2+y2^z, zs^.H;
б)	S— часть внешней стороны параболоида x2 + y2=z,
110.	x2dy f\dz + y2dz f\dx + z2dx /\ dy,
s
где S — внешняя сторона поверхности тела x2 + y2^.z2, O^Lz^H.
111.	xdy f\dz + ydz Д dx 4- zdx /\ dy,
где S — внутренняя сторона поверхности тела x4-2y + 3z^l, х>
>0, у>0, z>0.
112.	И (xy2 + z2)dy Д dz + (yz2 + x2)dz Д dx + (zx2 + у2) dx Д dy,
где S — внешняя сторона верхней (z>0) полусферы x2 + y2 + z2=
•=а2.
113.	xydy f\dz + yzdz Д dx -ф xzdx Д dy,
s’
где S — часть внешней стороны конуса x2+y2=z2, O^z^H.
114.	j/x2 4-у2 dy Д dz +"/х2 + у2 dz Д dx-'.-^ z dx Д dy,
S'
где S — правая сторона части поверхности тела x2 + y2^.z2, х2+
+ y2^.2—z, г>0, удовлетворяющая условию х>0.
115.	^xdy [\dz-\-ydz f\dx\-zdx [\dy,
s
где S —правая сторона части цилиндра у2+х=1, 0^z^2, х>0.
116.	\Vx3dy f\dz-\-y2dz f\dx->f-z3dx f\dy,
где S — верхняя сторона части параболоида х2+у2=2—z, z>0.
117.	(xz2 4- у2) dy [\dz^- (yx2 4- z2) dz Д dx 4- (zy2 4~ x2) dx Д dy,
где S—часть внешней стороны конуса. 1—z — Yх2 + у2, z>0.
330
118.	\\x:tdy /\dz-\-y3dz /\dx + zdx /\ dy,
's
где S— часть внутренней стороны гиперболоида х2 + у2—z2=l,
О^г^З.
119.	(x + y2)dy Д dz + (y + z2)dz /\ dx+(z + x2)dx Д dy,
s
где S—часть внешней стороны цилиндра х2 Д- у2 = a2, Q^z-^H.
120.	yz2dy Д dz + zy2dz Д dx Д- yx2dx f\\dy,
's
где S — внешняя сторона поверхности тела 0 z х2 Д- у2, х2 Д- у2 1,
хДз 0,	0.
121.	xz2dy Д dzd-yx2dz /\ dx-\-zy2dx Д dy,
s
где S—внешняя сторона поверхности тела х2 Д- у2 Д- г2 'Д 2az, х2Д-
Д- у2 Д- Зг2, х > у.
122.	jj J (х2 Д- у2) dy /\dz + (у2 Д- z2) dz Д dx Д- (г2 Д- х2) dx /\ dy,
s
где S — внутренняя сторона поверхности тела x2 + y2 + z2^a2, х>
>0, у>0, z>0.
123.	—1— ]dyf\dz +
JJ	\« + 2 3(«+ 1)/
s
Д- хау^гч (—---------!--'j dz Д dx Д-
у U + 2	3(P+1J м
+ x“!/₽zv+1 ("ЗТ —Г/"1!' dx Л dy’
\y + 2	3(тД1)/
где S — внешняя сторона поверхности тела x+y+z^l, х>0, г/>
>0, z>0.
124.	^ydy^dz—xdz Д dx-j-zdx f\dy,
s
где S—часть верхней стороны геликоида x = wcosy, у = и sin v, z =
= av, 0^ц^2л, О'ДшД!.
§ 4.	Векторный анализ
Найти grad U, если:
125.	и=Ух2 + у2 + г2.
331
127. Найти угол между градиентами функций «=1п(х2 + y2+z2)
и v=xy + yz+zx—18х—6z—у в точке Л4=(3, 5, 4).
Найти divF, если:
19! Я Р 	& F i У kz
"|/х2 + у2
129*. F = 7.
130.	F =—.
Г
131.	F =	Z-p/(х'у,г)/—k, f = Cl(R).
yz	rz	xy
132.	F = xf ^ — \i~2yf(^-\j—zf(-^-\k, f<=Cl(R).
\ z /	\ z /	\ z /
Найти rotF, если:
133.	F = (x-j- z) 14- (y 4-z) j 4- (x2 4- z) k.
134.	F = (г2+У2) i + (У2 + z2) j + (z2 + %2) k.
135.	F = z3i + y3j + x3k.
136.	F = -±- i + — j 4-— k.
Z	X	у
137.	F = Z
138.	F = c f(r),	c — постоянный вектор.
139.	F = 7j(r), f <=&(%).
140.	F — [с X f (r) r], f sCMR), c—постоянный вектор.
	d2u d2u d2u
Пусть vu = gradu, Au =-----1-----1----, где и—скалярная
дх2 ду2 dz2
функция; vF —divF =-^-4--^-4~ dFz , гДе F—вектор: F — {FX,
дх ду dz
Fff, Fz}-
Доказать следующие соотношения:
141. a) div(« yu) = « Au4-(yu)2;
б)	div (u vu) = и Ап4-уи-уп;
* Здесь и в дальнейшем г={х, у, z}, г= |г|.
332
в)	grad (u + v) = grad и 4- grad a;
r) div (F4~ Ф) = div F + div Ф;
д)	div (»c) = c-grad м, c — постоянный вектор;
e)	grad (ни) = и grad и + v grad u;
ж)	div [F X Ф] = Ф • rot F—F-rotO);
3)	div (uF) = и div F ,F grad m;
и)	div grad и = Aw;
k)	rot grad w = 0;
л)	rot (У7--Ф)rot F--rot Ф;
m) rot (mF) — и rot F 4- [grad и • F].
142.	Найти div (grad f (г)). Выяснить, когда
div(gradf(r))=O, f^Cl(R).
143.	Найти div(f(r)c), f^C'(R).
144.	Найти div(f(r)r). Выяснить, когда
div(/?(r)r)=0, f^C'(R).
145.	Электростатическое поле точечного заряда q равно
Вычислить divE в точке Л1(х, у, z) (xyz^Q).
Проверить, является ли поле F потенциальным, и если да, то
найти его потенциал.
146.	F=2xyi + (х2+ 1)/.
147.	F = (y + l)2i+2x(y+l)j.
148.	F = cos yi 4- х sin yj.
149.	F = (y 4- z) i 4~ (x -f-z) j + (x + y) k.
150.	F = (yz-ф xzjxyk.
151.	F= .1 + ! + к .
x-Fy + z
152.	F = ex sin у i 4- ex cos у j + k.
333
153.
154.
155.
156.
157.
F = yz (2x + у -J- z) i + xz (x 4- 2y + z) j + xy (x 4- у 4- 2z) k.
F = 2xyzi 4- x2zj 4~ x2yk.
,,	2	.	x .	x ,
F = ——_____" 1---7——t— /-------===- k.
V4  z V(y H г)3	V(y-l-z)3
Доказать, что поле электрической напряженности Е, соз-
даваемое точечным зарядом q, помещенным в начале координат,
является потенциальным полем, и найти его потенциал.
158.	Найти потенциал гравитационного поля а=—тг/г3, соз-
даваемого массой т, помещенной в начале координат.
Проверить, является ли поле соленоидальным, и если да, то
найти его векторный потенциал (с точностью до слагаемого
grad U, где [ДееС1 (£>)).
159.	F=(y~Ez)i + (x + z}j + (x-\-y)k.
160.	F = (6х 4- 7yz) i 4- (бу 4- 7xz) j 4- (6z 4- 7xy) k.
161.	F— 2yi—zi~\-2xk.
162.	F = x(z2—ifti + ytx2—z2)j+z(y2— x2)k.
163.	F = y2i-(x2 + y3)j + z(3y2+l')k.
164.	F = (1 4- 2xy) i—y2zi 4- (z2y—2zy 4-1) k.
165.	F=6y2Z4-6zj4-6xfe.
166.	F = yex4 + 2yzj-— (2xyze*2 4- z2) k.
Найти циркуляцию вектора F вдоль ориентированного конту-
ра L
167.	F = z3i 4- x3j 4- ysk,
L={(x, у) : 2x2-f-z2—y2 = a2, x4-y = 0},
положительно ориентированная на правой стороне плоскости.
168.	F = y2i + xyj + (x2 + y2)k,
L = {(x, у, z) : x24-y2 = az, х = 0, у = 0, z = a, xJ>0, у^О},
положительно ориентированная на внешней стороне параболоида.
169.	F = yexyi 4- xex«j 4- xyzk,
L = {(x, у, z):x24~y2 = (z—I)2, x = 0, y = 0, z = 0, (x^O, y^O,
z>0)},
положительно ориентированная на внутренней стороне конуса.
334
170.	F= xyi-\- yzj + xzk,
L = {(x, y, z) : x2-\-y2=l, x + y + z=\},
положительно ориентированная на верхней стороне плоскости.
171.	F= xi + xj + zk,
L — {(x, у, z) : x2 + y2 + z2 = a2, x-\-y-\-z — 0},
положительно ориентированная на верхней стороне плоскости.
172.	F = yi~2zj+ xk,
L = {(x, у, z) : 2х2—y2-[-z2 — a2, х = у},
положительно ориентированная на правой стороне плоскости.
173.	F=xj—yi, L — окружность (х—х0)2+(у—y0)2=R2 с поло-
жительным направлением обхода.
174.	F — (x + z) i + (х—у) j + xk,
L—эллипс------f- —=1, положительно ориентированный на верх-
а2 Z>2
ней стороне плоскости z = 5.
175.	F=(x+3y + 2z)i+ (2x+z)/ + (х—y)k,	L — контур тре-
угольника MNPM, где М=(2, 0, 0), Af=(O, 3, 0), Р=(0, 0, 1).
176.	F=(x+y)i+ (х—z)j+ (y+z)k, L — контур треугольника
АВСА, гдеЛ = (0, 0, 0), В==(0, 1, 0), С=(0, 0, 1).
177.	F=(3x—l)i+(y—x + z)j + 4zk, L — контур треугольника
АВСА, где А, В и С — точки пересечения плоскости 2х—у—2г+
4-2=0 соответственно с осями координат OX, OY, OZ.
178.	Найти работу поля F вдоль кривой L, если F=2xyi + x2j
и L есть наименьшая дуга окружности х2 + у2—1 от точки Л=(1,
0) до точки В=(0, 1).
179.	Найти работу поля F вдоль кривой L, если F=2xyi + y2j—
— x2k и L — часть кривой х2+у2—2z2—2, у=х от точки Л=(1, 1,
0) до точки В=(у2, У2, 1).
180.	Найти работу векторного поля F вдоль кратчайшей дуги
эллипса x=acost, y=b sin t от точки А = (а, 0) до точки В=(0, Ь),
если:
а)	Р = {У, а};
б)	F = {xy, х + у};
F = {2xy, х2};
335
г)	F— сила, имеющая постоянную величину F и направление:
1) вдоль оси ОХ\ 2) вдоль оси OY\
д)	F — упругая сила, направленная к началу координат и про-
порциональная удалению точки от начала координат.
181.	Под действием силы тяжести g, направленной по оси OZ,
тело единичной массы скатывается от точки А = (а, 0, 2пЬ) до точ-
ки В=(а, 0, 0) по спирали
x=acos<p, у=а sin <р, z=5(2jt—<р).
Найти работу поля при таком перемещении.
Найти поток векторного поля F через поверхность S в направ-
лении внешней нормали.
182.	F = (х3 + yz) i + (у3 4- xz)j + (г3 + ху) k,
S—верхняя полусфера: х24-z/2г2 = 16, г^О.
183.	F = (ху 4- х2) i 4- (2у—2ху) j + (z~У?) k,
S = {(x, у, z):x2 + y2 = z2, Os^z^H}.
184.	F = (x—y + z)i + (y—z-Fx)j-F(z—x-Fy)k,
S = {(x, y, z) : |x| 4- |y| 4- |z| = 1}.
185.	F ^2xi-\-2yj—zk,
S = {(x, y, z) : z2 = x2 4- y2, O^zs^H}.
186.	F = 2xi—yj-Fzk,
S — поверхность тела x2 4- у2 4- z2^4, 3z^x24-y2-
187.	F = — x3i 4- y3j—z3k,
S—поверхность'куба	O^z/jgCa, OzgCz^a.
188.	F = x2yi 4- xy2j 4- xyzk,
S—поверхность x2 4- y2 + z2 R2, x 0, у Fx 0, z 0.
189.	F = x2i 4-y2j 4-z2k, S—нижняя полусфера: x2 4- y2-\-z2 = I,
z^O.
190.	F = yi + zj A-xk,	S—поверхность пирамиды % + у + 2 ^а»
х^0, у^0, z^ 0.
191.	F = y2j 4- zk, S—часть параболоида z — x2^y2, z$C2.
192.	F = x2i—y2j-(-z2k, S—поверхность тела ^x2i4-y24-z2^37?2,
0^z^yx2 + y2—R2.
336
193.	F = xi—xyj + zk, S — часть цилиндра x2 + y2 = R2, ограничен-
ная плоскостями z = 0 и х + z = R.
194.	F = xzi + yzj + z2fe, S—часть сферы x2 + у2 + z2 = 9, отсечен-
ная плоскостью z-2 (zi> 2).
195.	F = x3i-\-y3j''-Fz3k,
S = f (x, y, z) : x2 + y2 =	z2, 0 z |.
I	№	)
’196. F=(y—x)i + (x + y)j + yk,
S—верхняя сторона треугольника ABC, где Л = (1, 0, 0), В —
= (0, 1, 0), С = (0, 0, 1).
197.	F = (Зх — 1) i + (у—х + z) j + 4zfe, S — поверхность пирамиды,,
образуемой плоскостью 2х—у—2z+2=0 и координатными плос-
костями.
198.	F=(x—3y + 6z)i, S — поверхность пирамиды, образуемой
плоскостью — x + y + 2z—4=0 и координатными плоскостями.
199.	Вычислить поток жидкости в направлении внешней нор-
мали через верхнюю половину окружности x=R cos t, y=R sin t,.
y>-Q, если скорость потока v постоянна по величине и направле-
на вдоль оси ОХ.
200.	Вычислить поток жидкости в направлении внешней нор-
мали через правую половину окружности x=7?cos/, y—Rsint, xi>
>0, если скорость потока v образует угол л/4 с осью ОХ (| ц|=
=const).
201.	Вычислить поток жидкости в направлении внешней нор-
мали через часть окружности x=acost, у=а sin t, лежащую в.
первой четверти, если скорость потока v={x + y, у}.
ОТВЕТЫ
1. •—17. 2. И. 3. — Д л2 Д л3—4лх Д л2 Д л4—Зл2 Д л3 Дл4.
4. 4лх Д л2 Д л3+ 16лх Д л3 Д л4—6л3 Д л2 Д л4—2л2 Д л3 Д л4.
5. 54. 6. —14. 7. (х2х2 + хах2) dxx Д dx2 Д dxs + (x1x22 — х^йхг/\
Л dx3 Д dx4 + (XjX2 —х2х2) dx! Д dx2 Д dx* + (х2х3 + х2х4) dx2 Д
Д dx3 Д dx4. 8.	1	[(x^x^ + x^xjdx! Д dx2 + (x2x3xi—
v v ' v ** v "	*“	*“
Л1Л2 Л3Х4
— x^x^dXj Д dxj— 2Х(Х2х3 dx± Д dx3 + '(ххх2х2 —’х2х3х4) dx2 Д
Д dx3 + 2х4х2х3х4 dx2 Д dx4--(x1x2x4 + x2x2x3)cfx3 Д dx4].
9. 4x1x2x3dx1 Д dx2 Д dx4ф-4ххх2х4dx± Д dx2 /\ dx3. 10._0.
337
11. (xfxi — 2ххх3х4) с?хх A dx2 4- (x|x3 — 2x4x2x3) dxr /\ dx4 + (xy4 —
— 2x1x3xi) dx2 Д dx3+(2хгх2х3—хгх^) dx3 A dxt. 12. 4xzdz/\dx+
+ 4xydx[\dy+4yzdy [\dz. 13. Qxyz dx f\dy A dz. 14. 2cos(xj.+
+ x2) cos (x4 4- x3) [dxi A dx2 /\ dXi 4- dx2 /\ dx3 /\ dx4]—2sin (x4 4-
+ x2)sin(x3 + x4)[dx1 A dx2 A +4 + +4 A dx3 A dxaj.
15. — (x2+x^ (dxx A dx2 f\dx3 + dx±/\ dx3 /\ dx4) — (x3 + х3)[4х4 A dx2 A
A dxt+dx2 A dx3 A dx^. 16. Замкнута. 17. Нет. 18. Замкнута.
19. Замкнута. 20. Замкнута. 21. Нет. 22. Нет. 23. Замкнута.
24. (sinxcosx— x2sinx— x)dx. 25. —ydy.
26. a.2b (sin t cost — t)dt. 27. 3a2bt3dt. 28. —xz/(cosx +
4- cos y) dx A dy. 29. 2 arctg — dy A dz. 30. — 2xzdz [\dx.
31. 2R3 cos3 dtp A dty. 32. 2Ь2а3и* (cos t> +sin о) da A dv.
33.	—asin<psini|)cosip(a4-^cos<p)36f(p A dty. 34. 2a2uvdu[\dv.
35.	[7?2 sin <p cos2 <p + R2 sin ф cos3 ф 4- 2R cos2 ф sin ф—h2 sin ф]	Adll.
36.	— 2л. 37. л/4. 38. —. 39. —4. 40. — л/8. 41. — a2—
2	35
----42. —. 43. 1п2~6 . 44. —. 45. ле. 46. 21.
990	35	64	10
47. —In 5+ 4/5. 48. —	49. 0. 50. а3 (4 In 2—3). 51. -—-а3
52.	— ~ 53. 16	—. 54. 0. 55. 3. 56. — 3	~ 57. а) 0; б) 0.
58.	—. 59. а)	ла3	а3 , а2	ла3 	77	.77" + —; б) —-		— + а2. 60. ——2а.
61.	^_(Зл+10). 62.----— а8/3л. 63. —-а3 л. 64. —.
3 v	32	2	32
65.	—8л. 66. Уз ла2. 67. —16л. 68. —2/2 ла3. 69. а) 0;
б) —2. 70.----71. — — а2. 72. —2ла2. 73. —И^-ла»
'	3	3	8
74	75.----^_аз 76. — 12ла2. 77. 80л. 78. 4ла2. 79. 0.
2	15
80. —4. 81. 1. 82. 37. 83. 4. 84. 123. 85. 3. 86. 15. 87.-
2
.88.
4	/	9 \
arcctg —. 89. arcctg I-------— \.
90. х2 cos у + у2 cos х.
+уе*/«. 92.3Ух2 + у2 + -^- + С. 93.^
(х + у + г)2
х2 + У2 + z2
91. х +
4 С.
D4. хУ 1— г/2 + уУ1—x2| + arctg — + 1пу + С. 95. У1 + хг/4-
+ arctg — +e*sin2y+lntg — +С. 96. 1п(х2 + г/2)+х2 У1 +у—
х	2
338
— arctg xyx In х— x—In -J-iJ/j—---------j-C. 97. arctg (xyz)-f-
У
+ ln(x2 + z2)— v ~+ *2 —у+г+с- 98- х2Уг + -^-------------+C.
f Z	%!	23
99. x2y + y2z + z2x + xyz + C. 100. — ab(b3 + 2a2). 10 1.---b—,
3	72
102. 324. 103.	(2a2p2q \ - 4bp3q--cpq3). 104. 88. 105.-----
106. na2R. 107. 2ла2Н. 108. — 4mbc. 109. а) -^лН3; 6)
ПО. r^- ill.----------L Ц2. 2^L(8a + 5). 113.
2	12	20	4
114.	—/2--------115. -21. 116. 8л. 117.
2	\ 15	3 /	3	60
118. 104,4л. 119. 2ла2Н. 120. —. 121. -^7 122. — 3^1.
7	60	8
123.
125.
126.
 Г (ct + 1) Г (P + 1) Г (y+lL 124. ла(1+л).
Г(а + Р + ?+5)
1 x__________	__ у_	_______Z___|
I. Vxa 4- I/2 + za ’	]Л2 + l/2 + Za ’ Vxa + l/a + za j 
(	—2x	_-2y	—2z	j
I (xa + Sa + Z2)3 ’ (xa+ya + za)a ’	(x3 + y2 + 2a)3 J’
127. arccos ——
10
128	%2	4______!__
*"• (x3 4-ya)32^(xa-j-y2)1/2 '
129. 3. 130. —
r *
131. 0. 132. — 2f 133. {—1; 1— 2x; 0}. 134. {—2z; — 2x;
\ 2 /
— 2y}. 135. 0; 3z2 — 3x2; 0}. 136. f--------------------------L;
’	\ У2 x z3 у '
-----------137. {0, 0, 0}. 138. -^-[rxc]. 139. 0.
X3 z J	r
140. 2/(r)7+^- [7(7-7)—7(7.7)]. 142. Г(г) + — Г(гу, +
г	г	г
143. XliL(77). 144. 3/(r)4-r/'(r); /=—. 145. 0. 146. x2y+y+C.
r	rs
147. x(y+ 1)2 + C. 148. He является. 149. xy + yz-f-zx-f-C.
150. x~[-xyz-yC. 151. 1п|х4-у + г|+C. 152. e*siny-|-z-|-C.
153. J!- + _£_ + .jL + c. 154. xyz(x +y + z) + C. 155. x2yz^C.
x у z
156. y= + C- 158. ”. 159. (^+xyp+(—^-zx + yz +
+	I®9- He является. 161. x2j(xzу-у2) k.
339
162.	\zy'~x—jr+ 'z^yx—j k. 163. He является.
164.	(z2yx—2zxy -J-x) j\-(у2гх +y)k. 165. 3x2/4-(2y3— 6zx)k.
166.	— (xz2 + yzex‘)j—2xyzk. 167. — ла4. 168. —. 169. 0.
2	3
170.	—л. 171.	172. Зла2. 173. 2л/?2. 174. nab. 175. —5.
Уз
176.	1. 177. 0. 178. 0. 179. 2/2--У 180. a) — +ab;
,, a2b , nab . b2 ? n	k (a — b)
6)	— ^-+~^ + v; B) °; Г) ~aF' 2) Fb' Д) 2 '•
где k — коэффициент пропорциональности. 181. 2n|g|6.
182. УЬ_.2ю. 183. 0. 184. 4. 185. 2л/г3. 186. — л. 187. а5.
5	2
188. — . 189. —л/2. 190. 0. 191.—2л. 192. л/?4.
3
193. л/?3(2 4*/?)/2. 194. 45л. 195.	196. -L,
197. —. 198. —.	199. 0. 200. 7? /2 |а|. 201. —(л 4-1).
3	3	2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1.	Доказать, что замыкание жорданового множества объема
«уль есть жорданово множество объема нуль.
2.	Привести пример ограниченного множества меры нуль, за-
мыкание которого не является множеством меры нуль.
3.	Доказать, что компакт К меры нуль есть жорданово множе-
ство объема нуль.
4.	Привести пример несчетного множества, не являющегося
жордановым, замыкание которого жорданово.
5.	Доказать, что множество всех внутренних точек жорданово-
го множества жорданово.
Следующее построение используется в задачах 6 и 7.
Обозначим через U}, i интервал с центром в точке 1/2 и дли-
ной 1/5. Множество [0, l]\77i.i состоит из двух отрезков р1т1 и
pi,2- Интервалы t/2, ь ^2,2 имеют центры в центрах отрезков рЬ1
и pi, 2 соответственно и длину 1/52. Интервалы t/i, 1, U2,1, U2,2
2
взаимно не пересекаются (проверить!) и множество [0, 1]\(J X
i=i
21-1
X (J Uи состоит из четырех отрезков р2,1, Р2,2, Р2, з> ря, 4- Пусть
/=i
построены непересекающиеся интервалы 1/ц для	1^/^
340
k 2l 1
^2^'. Множество [О, 1]\H Н Utj состоит из 2/: отрезков р*д,
Z—:1 /-^1
Pfe.2, • • • , Pk,211- Тогда интервалы ^+i,i> Е/цл.о,    >^+',2*
имеют центры в центрах отрезков рк, i, Pk. 2, Pk,2k соответствен-
но и длину l/5fe+1. Проверить, что эти интервалы не пересекаются
ни между собой, ни с ранее построенными интервалами. Таким
образом, по индукции определяется бесконечная система интерва-
лов Ufj: 1<Т<°о,
6.	Пусть
оо 21'~1
м = [0, 1] \ Q и ии и Р - {(х, у): х е= М, у^М}.
i — 1	1
Показать, что Р есть компакт и не есть жорданово множество.
7.	Пусть
D=(0, 1)Х(0, 1)\Р, где Р— множество, определенное в зада-
че 6. Доказать, что D есть ограниченное связное открытое множе-
ство, не являющееся жордановым (сравните с тем, что в про-
странстве R1 ограниченное связное открытое множество может
быть только интервалом, т. е. жордановым множеством).
8.	Привести пример отличной от нуля на множество мощности
континуума функции f : I-+R, где /=|[0, 1] X [0, 1], такой, что
^fdx = Q для любого жорданового множества Dczl.
D
9.	Привести пример непрерывной, не равной тождественно
нулю функции f : I~*~R, где /—[0, 1] X [0, 1], такой, что fdx = O.
/
10.	Пусть функция f: R'n->~R непрерывна на жордановом мно-
жестве Dcz.Rn, | D | =#0, и не равна тождественно нулю. Доказать,
что найдется такое жорданово множество MczD, что fdx=£O.
м
11.	Доказать, что для непрерывной и неотрицательной на жор-
даноном множестве D^R4 функции f : D—i~R из равенства fdx = O
D
следует, что или | D | =0, или f тождественно равна нулю на D.
12.	Доказать, что если /ез^(£)), DaRr‘, |D| >0 и /(х)>0,
х е D, то fdx> 0.
D
13.	Пусть	D<^Rn. Пусть х0 — внутренняя точка D,
./ — непрерывна в х0, {ЕД — совокупность жордановых подмно-
жеств D, для каждого из которых точка х0 — внутренняя, и
d(Ea) =sup {Iki—x2ll}, xit х2^Еа.
Доказать, что
lim С /dx = /(x0).
d(£a)->-0 |Еа| J
Еа
341
14.	Установим взаимно однозначное соответствие между мно-
жеством всех рациональных чисел интервала (0, 1) и множеством:
всех нечетных натуральных чисел М и обозначим через гт число,,
соответствующее элементу т^М. Положим
Р ।	1
Хпп а --	4	,
2'1	</2n+1
п е /V, р е М, q е М.
Доказать, что:
а) из равенства x:nifP1,Pt = xn2,P2,q2 следуют равенства ni=n2>.
Р1=Р2, ^1 = ^2-
б) Пусть уП'Р (1=гч 4
Г	1
—-----, если эта сумма меньше 1, м
У 2  2"
в противном случае. Тогда множество
E = {(xn_p,q, Уп.р.о), n<=N, р(=м, q^M}
лежит в квадрате /=i[0, 1]х[0, 1], пересекается с любой гори-
зонтальной прямой у = уо, О<уо<1, и любой 'вертикальной прямой
х=х0, О+хо+4, не более чем в одной точке и Ё=1.
в) Характеристическая функция /я множества Е неинтегри-
руема на I, хотя оба повторных интеграла
11 11
\ dx \ xEdy, \dy Г %Edx
О f	0	8
существуют и равны нулю.
15.	Функция	/=[0, 1] X [0, 1], определяется следующи-
ми условиями:
1)	f (х, 1/2") = 0, если х е [0, 1/2"] (J [ 1/2”—1, 1], zieiV;
2)	/(5/2"+2, 1/2") = 2"“’/Щ f(7/2"+2, 1/2")= — 2"-1/п;
3)	f(x, 1/2") линейна на отрезках [(1/2”; 1/2”); (5/2"+2; 1/2")], [(5/2"+2;
1/2"), (7/2"+2; 1/2")], [(7/2"+2; 1/2"), (1/2"“’; 1/2")] (см. рис. 51);
4)	f(x, у) = 0, если i/ё (J (1/2" —1/2"+2; 1/2"+1/2"+2) и хе [0,1];
Г»=1
5)	для каждого хое;[О, 1] функция f(x0, у) линейна на отрезках
[1/2"— 1/2"+2, 1/2" + 1/2п+2] (обратите внимание, что для любо-
го хое|[О, 1] функция f(x0, у) может быть отлична от нуля не бо-
лее чем на одном отрезке вида [1/2" —1/2"+2; 1/2" +1/2"+2].
Доказать, что:
а)	функция /(х, у) непрерывна и неограничена на £)=(0, 1]Х
X (0, 1];
б)	для каждого хое[О, 1] и каждого у0<= [0, 1] функции /(х0,
у) и f(x, уо) интегрируемы на [0, 1];
342
о'
в)	функции Ф (х) = f (х, у) dy и ’FQ/) = f (х, у) dx непрерывны на
о
1 1
{О, 1] и Ф (х) dx = ф (у) dy = 0.
о	о
16.	Привести пример функции,
на множестве меры нуль Лебега,
множестве.
непрерывной и ограниченной
но неинтегрируемой на этом
17.	а) Пусть на прямоугольнике [a, b] X [с, d] задана функция
fr(x, у), такая, что /(х, y)^f(x', у'), если x<Zx' и у^у'. Доказать,
что /(х, у) интегрируема на этом прямоугольнике.
б)	Пусть функция f(x, у) ограничена на круге и удовлетворяет
условию п. а). Доказать, что f(x, у) интегрируема на этом круге.
18.	Привести пример таких областей £)xc/?2, DtaR2 и отобра-
жения	что С1 (Dt), якобиан отображения <р отли-
чен от нуля для всех t^Dt, но <р не является диффеоморфизмом.
19.	Доказать, что якобиан для сферических координат в Rn
х1 = г sin 6Х sin 02 • • • sin 0„_i
n-1
xm = г cos 9m—i П sin 6fe
k—m
xn = r cos 9,1-1, r 0, 6j e [0, 2л), |0m e [0, л], m = 2, . . . , n— 1,
n-i
равен r"-1 [| sinft-1 6fe.
*=i
343
20.	Показать, что функция f(x, у), определенная в задаче 15,
интегрируема в несобственном смысле на /= [0, 1]Х'[0, 1]. Вы-
числить ^/(х, У) dxdy.
21.	Показать, что характеристическая функция множества
D, определенного в задаче 7, интегрируема в несобственном
смысле на /=:[0, 1] X [0, 1]. Вычислить XDdxdy.
22.	Пусть I = [0, 1] X [0, 1],
п+ = (1/2", 5/2"+2) х (1/2", 5/2" L2)U(3/'2'42, 1/2") х (3/2п+2, 1/2"),
Г>~ = (1/2", 5/2"+2) х (3/2"+2, 1 /2") U (3/2п+2, 1/2") х (1/2", 5/2"+2)
(см. рис. 52) и
|	2^", (х, 9)ей„+;
/ (х, т - I -*"> <*• = «=
I 0, (х.	(W UW-
п=1
Доказать, что
а)	интеграл ^/(х, у)dxdy расходится;
б)	для любого xoe[0, 1] и любого «/о^'[0, 1] функции f(x0, у)
и /(•*, Уо) интегрируемы на [0, 11;
1 1
в)	y)dy=Q для любого х0 е [0, 1] и /’(х, z/o)dx = O, для
и	о
любого у0 е [0, 1].
23.	Пусть
Ln = {(x, У, г):(х, у, z) = rh(t), /ее[0, !]}—
344
семейство простых гладких кривых, лежащих в области ОсУ?3 и
таких,что:
1) последовательность гп(0) сходится к точке А^Г) при п->-
—>-оо;
2) последовательность r'n(t) на [0, 1] сходится равномерно к
<р(0, причем |<р(0 |=И=0, te[0, 1].
Доказать, что:
а)	последовательность отображений гп: [0, 1]->7?3 сходится к
отображению г : [0, 1]-^-7?3сдС1 [0, 1],
б)	для любой функции feC(Z)) имеем равенство
lim <\fds=\fds,
п~+°° L L
где простая гладкая кривая
L = {(x, у, z):(x, у, z) = r(0, t (= [0, 1]}.
24. Пусть / = [0, 1] х [0, 1] и Sn = {(x, у, г):(х, у, z) — rn(u, v),
(и, v)e/}—семейство простых гладких поверхностей, лежащих в об-
ласти D с= R3, таких, что последовательность on = sup{||rn(u, v)|| 4-
+ ||/(u, v)||, (и, v) e= /} фундаментальна. Доказать, что:
а)	последовательность отображений rn :I-*-D сходится к отоб-
ражению г : /—«-DeC1 (/);
б)	если [Л xrJ^=0, (и, и) е I, то для любой функции f i=D(C )
имеем равенство
lim fdS — И fdS,
где простая гладкая поверхность
5 = {(х, у, z):(x, у, г) —г (и, v), (и, v) е /}.
25. Доказать формулу Пуассона
f (х, у, z) dS = 2л V f (и У а2 + b2 + с2) du,
S	-1
где
S—сфера х2ф-у3Ц-z2 =--1 'и f^C(—]/а2!-b2 4- с2, j/a2 + Ь2 + с2).
26. В прямой круговой цилиндр радиусом R и высотой Н впи-
шем многогранную поверхность Рп,т (сапог Шварца) следующим
образом. Параллельными плоскостями делим цилиндр на т рав-
ных цилиндров высотой Him. Каждую из т+1 полученных
окружностей — оснований цилиндров — делим на п равных частей
345
так, чтобы точки деления на одной окружности находились над
серединами дуг ближайшей нижней окружности (см. рис. 53).
Возьмем две соседние точки а и b на одной окружности и точку
с, лежащую на ближайшей окружности над или под серединой
дуги (а, Ь). Треугольник с вершинами в точках а, Ь, с назовем
Та.ь.с- Совокупность всех таких (равных между собой) треуголь-
ников образует многогранную поверхность Рп,т.
а)	Показать, что если n->oo, т-*-
->оо и m/n2->oo, то площадь |Pn,m|
многогранника Рп,т неограниченно'
растет, хотя длины сторон треуголь-
ника Та,ь,с, являющегося гранью
Рп,т, стремятся к нулю.
б)	Найти предел |Pn,m|, если п->-
->оо, т->оо и mln2-+p.
27.	Доказать неравенство
Рис. 53
Pdx + Qdy + Rdz\^]L\ sup l/P2 + Q2 + 7?2.
IJ	I	et
Если функция u:Rn-+R дважды дифференцируема, то символ
Едги
28.	Пусть односвязная область DcR2; LczD — кусочно-глад-
кий контур, п — вектор внешней нормали к L и S — фигура, огра-
ниченная контуром L. Доказать, что для функции ueC2(D) спра-
ведливо равенство
Си -j- ds = ^ [ (	(17/] dXdy + йU^Udxdy'
L	S 4	S
29. Пусть односвязная область DczR2\ LaD — кусочно-глад-
кий контур, п — вектор внешней нормали к L и S — фигура, огра-
ниченная контуром L. Доказать, что для функций ueC2(D) и
l'gC2(£)) справедливо равенство (вторая формула Грина на плос-
кости)
Au Av
и V
dxdy = \
L
ди
дп.
dv
ди
ds.
s
и v
Функция и: Rn^>~R называется гармонической в области Dcz
czRn, если ueC2(D) и Au=0 для всех x^D.
30.	Пусть D — односвязная область в R2. Доказать, что функ-
ция u^C’2(D) является гармонической в D тогда и только тогда,
346
когда для любого кусочно-гладкого контура LczD выполняется
равенство	ds = 0, где п— вектор внешней нормали к L.
L
31.	Пусть функции и и v — гармонические в односвязной обла-
сти Dc.R2 и и(х)=ш(х) для всех точек х, лежащих на кусочно-
гладком контуре Lc^D. Доказать, что и(х) —v (х) для всех x<=S,
гд£ S — фигура, ограниченная L (т. е. гармоническая функция од-
нозначно определяется в S своими значениями на границе S).
32.	Пусть функции и и и гармонические в односвязной области
DaR2; Лс£) — кусочно-гладкий контур и п — вектор внешней
, „	ди dv	г
нормали к L. Доказать, что если —— = ------ во всех точках L,
дп дп
то в области, ограниченной L, разность и(х)—v(x) постоянна.
33.	Пусть и — гармоническая функция в односвязной области
DcxRR LcD—кусочно-гладкий контур и п — вектор внешней
нормали к L. Доказать, что для точки х0> лежащей в области
ограниченной L, справедливо равенство
, .	1 Г д In Irl  . । ди \ ,
и (*о) — ~— \ и---------------------'n Ir I —— ds,
2л J । дп	дп /
L
где г — вектор из точки х0 в точку х контура L.
34.	Пусть и — гармоническая функция в области DcxR2. Дока-
зать, что для любой точки XqXz.D справедливо равенство
« (*о) =	V “ds,
2nR J
с
где С — окружность с центром в точке х0 и радиусом R, такая,
что круг S={x : II*—*ollsRR}^D.
35.	Доказать, что гармоническая в области DcxR2 функция и,
отличная от постоянной, не имеет в этой области локальных экс-
тремумов.
Односвязной областью в R3 назовем такую область D, что для
любой замкнутой поверхности ScxD тело V, ограниченное S, цели-
ком лежит в D.
36.	Пусть D — односвязная область в R3; Sc.D — кусочно-
гладкая замкнутая поверхность, п — вектор внешней нормали к
5 и V — тело, ограниченное поверхностью V. Доказать, что для
функции н=С2(О) справедливы равенства
ц) — dS = §§§ Audxdydz;
s	V
S	V
4-	§§§ uAudxdydz.
v
347
37.	Пусть D — односвязная область в Д3; SaD— кусочно-
гладкая замкнутая поверхность, п — вектор внешней нормали к
S и V-—тело, ограниченное поверхностью S. Доказать, что для
функций ueC2(D) и V^C2(D) справедливо равенство (вторая
формула Грина в пространстве)
Ж vHMii
V	S |
dv
дп
v
dS.
38.	Пусть D — односвязная область в Д3. Доказать, что функ-
ция ueC2(D) является гармонической в D тогда и только тогда,
когда для любой кусочно-гладкой замкнутой поверхности SczD
выполняется равенство ^-^-dS = 0,
s
где п — вектор внешней нормали к S.
39.	Пусть функции и и v — гармонические в односвязной обла-
сти ОсД3; SaD — кусочно-гладкая замкнутая поверхность и
V — тело, ограниченное S. Доказать, что если u(x)=v(x) для
всех xeS, то и(х)=о(х) для всех хеГ
40.	Пусть функции и и v — гармонические в односвязной обла-
сти ДсЛ3; SczD — кусочно-гладкая замкнутая поверхность, п —
вектор внешней нормали к S и V — тело, ограниченное поверхно-
с п	ди dv	__ е
стыо о. Доказать, что если ---= -- для всех хеЛ, то разность
дп дп
и(х)—ц(х) постоянна в и.
41.	Пусть и — гармоническая функция в односвязной области
DczR3; SaD— кусочно-гладкая замкнутая поверхность и п —
вектор внешней нормали к S. Доказать, что для точки х0, лежа-
щей в области, ограниченной поверхностью S, справедливо равен-
ство и (хр)
4я JJ \ И2
s
-1-- — 1 dS,
| г | дп /’
где г — вектор из точки х0 в точку х поверхности S.
42.	Пусть и—-гармоническая функция в области DczR3. До-
казать, что для любой точки х0еО справедливо равенство
«(*о) =	{<\udS>
4nR2 J J
s
где S — сфера с центром в точке х0 и радиусом R, такая, что шар
V: {х, ||х—XollCRJazD.
43.	Пусть S — кусочно-гладкая замкнутая поверхность, п—
вектор внешней нормали к S, V — тело, ограниченное поверх-
ностью S; г — вектор из точки Хо, лежащей вне S, в точку х по-
2
2
dxdydz
верхности S. Доказать, что
cos (г, п) dS.
s
348
44.	Пусть S — кусочно-гладкая замкнутая поверхность; п —
вектор внешней нормали к S; г—вектор из точки Хо, лежащей
вне S, в точку х поверхности S. Вычислить интеграл Гаусса
^cos^n)dS.
S
45.	Пусть область £)с=/?3; функция	LczD —кусоч-
но-гладкая ориентированная кривая, проходящая через точку х0^
<=D. Найти lim —1—С dx-j-	dy +	dz,
е=о | U | J дх ду дг
где LB = Lft{x: ||х—х0||<е).
46.	Пусть область £)с:/?3; функция иеС'(Д), SaD — кусочно-
гладкая ориентированная поверхность, проходящая через точку
хвеО. Найти
lim —!— С С	dy Д dz + dz /\ dx + dx Д dy,
е^о ISel J J дх У M ду П дг
se
где S8 = Sf|{x:||x—х0||<е).
ОТВЕТЫ. РЕШЕНИЯ. УКАЗАНИЯ
2.	Например, множество всех точек квадрата [0, 1]Х[0, 1], обе координаты
которых рациональны. 3. Пусть е>0 и {/*}, ne N,—система брусов таких, что
оо	00
КС U 1п, У |/п]<;е. Поскольку К.—компакт, то из системы {/'’}> вы"
п=1	п^л
Q
делается конечная подсистема lq, 1 < <? <Q, такая, что К a Q 14. Так как-
<7=1
Q	оо
У |/4|< У 11п 1 <е, то К—жорданово множество объема нуль. 4. Например,.
<7=1	fl~ 1
множество .VI всех точек квадрата Z=[0, 1]Х[0, 1], обе координаты которых
иррациональны, поскольку замыкание М есть квадрат J, а характеристическая
функция -/.и не интегрируема на 1 (проверить!). 5. Указание. Использовать со-
отношение: д(дМ) сдМ, где дМ — множество граничных точек множества М:
6. Множество А/ замкнуто как дополнение открытого множества. Если
(хп, у„)^Р и (х„,	Уо), п-»-оо, ю х„->х0. у„^Уо, п-+оо. Так как
г/пеМ, то .r.e.VI, уоеМ, т. е. (х0, Уо)^-Р- Итак, Р — замкнутое ограниченное
множество, т. е. компакт. Из построения следует, что длина каждого из оi рез-
кое р*,7,	меньше, чем 1/2*, т. е. на любом интервале, длина
которого больше, чем 1/2*, найдутся по крайней мере две точки, не
принадлежащие М. Отсюда следует, что все точки М и все точки Р — гранич-
ные. Осталось проверить, что дР = Р не есть множество меры нуль. Предполо-
жим, что существует система А открытых прямоугольников {/'}, i - 1, 2 ...,
со	00
что о Р и У |/!|< 1/8. Положим	= иц X ( -- 1/16,	17/16) и
*=|	i~l
349
В? j= (—1/16, 17/16) X иц и обозначим В1 систему прямоугольников. B*f
и В2 систему прямоугольников В?Система Т открытых прямоугольников
T=4[JB’UB2 покрывает квадрат [О, 1]Х[0, 1] = /, следовательно, из нее можно
выбрать конечную подсистему В,,	покрывающую I. Следовательно.
Q
для этой подсистемы выполняется неравенство |GP|>1. Разобьем прямо-
«=1
угольники подсистемы Gq на три группы: первая—прямоугольники из системы
А; вторая—прямоугольники из системы В1; третья—прямоугольники из системы
В2 — и обозначим соответствующие суммы площадей этих прямоугольников че-
рез 21, 211, 2й 1 соответственно. Имеем
_|_2П Д-2Ш <—. Полученное противоречие
показывает,
3
О
Q
т е. |G?| = 24-
<7=1
что <9Р = Р не есть
множество меры нуль и, следовательно, Р не есть жорданово множество. 7.
Множество D есть дополнение до открытого множества (0; 1)Х(0; 1)
замкнутого множества Р. Следовательно, множество D открыто и огра-
ничено. Множество (0; 1) X (0; 1) жорданово (см. свойство 6 жордановых
множеств, с. 8), а множество Р не является жордановым (см. задачу 6). По-
этому в силу свойства 1 жордановых множеств (см. с. 8) множество D также
не является жордановым. Пусть точки Л41=(х1, yi)eD. и M2=(x2, УА-^- От-
резки [7ИЬ Д], [Д, В], [В, М2], где Д = (хь 1/2) и В=(х2, 1/2), целиком лежат
в В и составляют ломаную L : М,АВМ>, целиком лежащую в D. и соединяю-
щую точки <М1 и М2. Итак D связно, даже линейно связно. 8. Например,
f(x, </)=0, xe[0, 1], у¥=1/2 и f(x, 1/2) = 1, хе[0, 1]. 9. Например, /(х, у) =
= х—у. 10. Поскольку |£>|>0, то множество № внутренних точек D непусто.
Если f(x)=0 для всех .reD’, то в силу непрерывности /(х)=0 и для всех те
eD, что противоречит условию, следовательно, найдется внутренняя точка х0
множества D, такая, что f(xo)#=O. Пусть для определенности /(х0)>0, тогда
найдется такой шар (6 — окрестность х0) М = {х, ||х—х0|| <б}, что тИсй? и
f(х)>/(х0)/2, хеМ. Шар М есть жорданово подмножество D и f (х) dx^>
м
f (хо)
>----------- |М|>0.	11. Указание. Использовать утверждение задачи 10 и ад-
дитивность интеграла. 12. Указание. Использовать критерий Лебега и провести
рассуждение, аналогичное решению задачи 10. 13. Указание. Применить теоре-
му об оценке интеграла. 14. а) Пусть xnl,pl,qi~ хпг,рг,<1г и « = max(nj, тг2) + 1-
Умножая равенство
Pi ________1 Рг __I	( .
2"* 1 qi2nxr' г"2	q^‘+l
на <7i •2'1, получим, что отношение qi/q2 есть целое число, а умножая это равен-
ство на <7г-2'1, получим, что отношение <?2/<7i — целое число. Следовательно,
350
qt = q2=q. Умножая равенство (*) на q-2n, получим равенство Р19-2"	+
। 2n—ni—1 — p2q2n~"2 | 2п~"2—1. Если п^п2, то одна из частей этого равен-
ства четное число, а другая — нечетное, что невозможно. Итак, ni = /i2- При
qi = q2 и П1 = и2 из равенства (*) следует, что Pi = p2.
б) Из построения следует, что 0 < xn,p,q Ь ® Vn,p,q < '  n~^XP~N>
q^N, т. е. Edl. Если хсе[0, 1] не входит в множество {xnpq},	р^.М,
q е Л-1,	то вся вертикаль х=х0 не пересекается с £; если же х0 =
==xn„poq„' 10 в силу однозначности определения чисел п0, р0, q0 (п. а) на
прямой х=х0 лежит единственная точка из Е, координата уо которой равна
Для доказательства того, что любая горизонталь пересекается с Е не
более чем в одной точке, надо показать, что из равенства Ул1,р1.<7,= Уп2,р„^
следуют равенства п^-п?, pi=p2, q\ = q2, т. е. уПа<р q однозначно определяет
Р2
тройку чисел п0, р0, q0. Действительно, если РП1>Р1Л1 =Уп2,р2,^’ т0 rq, +	=
_Р1
г<?1 -г у 2 . 2п,
довательно, число
+ б,
1
где 6 принимает одно из значений 0, 1, —1, и, сле-
Р2 Р1 I
—------рационально, что возможно только тог-
Р2
да, когда—-
= 0, а из этого равенства в силу нечетности р2 и pi сле-
дует, что Л1=«2. Pi=Pc.. Тогда rPi J-6, а так как 0 < /у < 1 и 0<г^<
<1, то rq2 = rql- Осталось показать, что в любом прямоугольнике Д = [а, р]Х
X [у, б] с/ найдется по крайней мере одна точка множества Е. Действитель-
но, если ]/2п°<(Р — сс)/8, то найдется такое рй<=Мй, что а <р(1/2по <; (р0 4-
4-1)/2"°<р. Так как р0/2п»<p0/2n° + 1 /р-2П°+1 < (р„ + 1)/2П“ для всех
ре .41, то хп е [а, Р). Далее обозначим через (у, б)* интервал (у — po/2no,
б — р0/2п°), если у — р0/2''“ ,> 0, и интервал (у — р0/2"° Ц- 1, б —р0/2'1° + 1)
в противном случае, тогда (у, б) *П(0, 1)^0 и найдется рациональная точка
гЧа е(у, б)*П(О, 1). Тогда t/rt [у, б] (проверить!) и, следовательно, точка
е £ Л А-

в) Немедленно оледует из утверждения б).
15. Указание. Графически изобразить f(x0, у) и f(x, у0). 16. Например,
функция f(x, у) определенная в квадрате [О, 1]Х[0, 1], равная нулю, если оба
аргумента х и у рациональны, и равная 1, если хотя бы один из аргументов —
иррациональное число.
18. Например, Dx={(x, у) : 1/4<х2+</2<4},	Dt={(t, s) : 1/2</<2, —л<
<5<3л), q.:x = lcoss', y = t sin s. 20. 0. 21. 4/9. 22. Указание. Проверить, что
f(x, у)^Я(Е„') для любого £„= (1/2", 1]Х(1/2", 1], neV, и lim \ \ |/(х, y)\dxX
П-+9О V, ’
ьп
Xdy0 = oo. 23. а) Так как £„ — простая гладкая кривая, то rn(t) —
= {Xn(t), y„(t), и хД/)еС>[0, 1], y„(t)<=&\Q, 1], 2„(/)еС'[0, 1].
Из условий 1) и 2) следует, что:
1) х„(0)->хо, уп($)-+Уо, 2„(0)->г0, где х0, уо, г0 — координаты точки А.
2) Последовательности x'n(t), y'n(t), z'n(t) сходятся равномерно на [0, 1].
Отсюда следует, что последовательности x„(f), yn(t), z„(t) равномерно схо-
дятся на [0, 1] к функциям x(t), y(t), z(/)cC'[0, 1], т. е. rn(/)->r(Z) =
={*(0. У(0. z(Z)}eC[0, 1] и £(/)=<₽(/), te[0, 1].
б) Так как |r/(0 | = |<pz(01=/=0,	£es[0, 1], то множество £ =
= {(х, у, г) : (х, у, z)=r(t), Ze[0, 1]} является простой гладкой кривой. Тогда
351.
1 ___________________________________
\ f ds — f ds = (x (?), y(t), z (/)) ]Л xt +yt + z' —
L	Ln	°
-f(xn(t), tjn (o, ?n(o)Ki(^);]2+[(yn);i2+[(?n);i2}^.
В силу равномерной сходимости на [0, 1] функций x„(t), yn(t), zn(t), (xn)t',
(yn)t', (zn)t' к функциям x(t), y(t), z(t), xt'(t), yt'(t), zt'(t) соответственно
и непрерывности функции f последовательность
f у (/), z (/)) xt + yt +zt — f(xn{i), yn (I), zn (I)) x
X T^[xn Wl2 + 1Уп (012 + lzn (012 равномерно стремится к нулю на
[О, 1] и, следовательно, [ f ds— ^/dsj—>0, n-»-oo. 24. Доказательство про-
"L Ln
водится аналогично доказательству утверждения задачи 23. 25. Указание. Сде-
лать поворот осей координат так, чтобы плоскость ax+by+cz—О стала ко-
ординатной плоскостью и=0. 26. а) Указание
Isabel" sin— ~\/ —— 4-4/?2sin4-------; б) 2nR Y Н2	R2n4pa. 27. Ука-
п у т2	‘2п
зание. Показать, что \Pdx 4- Qdy + R dz| < l^P2 + Q2 -j- R2 ds. 28. Указание,
f du
Преобразовать интеграл \ и —— ds в интеграл второго рода и применить
L
формулу Грина. 30. Указание. Применить утверждение задачи 10 и формулу
Грина. 31. Указание. Применить равенство задачи 28 и утверждение задачи II.
32. Указание. Применить равенство задачи 28 и утверждение задачи 11. 33.
Указание. Проверить, что в равенстве задачи 29 фигура S может иметь грани-
цей конечное число кусочно-гладких контуров, и применить это равенство к об-
ласти, ограниченной контуром L и окружностью с центром в точке Л'о и произ-
вольно малым радиусом. 34. Указание. Применить равенство задачи 33. 35. Ука-
зание. Применить равенство задачи 34. 36. Указание. Преобразовать интегралы
(*(* ди	Г Г ди
\\ ~—dS, \ \ и ——dS в интегралы второго рода и применить формулу Ост-
S	S
роградского—Гаусса. 38. Указание. Применить равенство а) задачи 36 и утверж-
дение задачи 10. 39. Указание. Применить равенство б) задачи 36 и ут-
верждение задачи 11. 40. Указание. Применить равенство б) задачи 36 и ут-
верждение задачи 11. 41. Указание. Проверить, что равенство задачи 37 имеет
место и тогда, когда границей тела V является конечное число кусочно-гладких
поверхностей, и применить это равенство к телу, ограниченному поверхностью
S и сферой с центром в точке х0 и произвольно малым радиусом. 42. Указание.
ди
Применить равенство задачи 41. 44. 4л. 45---- , где т —вектор касатель-
ств х=х„
ди I
ной к L, определяющей ее ориентацию. 46. —— |	, где п—вектор нормали
.к S, определяющий ее ориентацию