А. Ф. СМИРНОВ, А. В. АЛЕКСАНДРОВ,Б. Я. ЛАЩЕНИКОВ, Н. Н. ШАПОШНИКОВСТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКАДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ
СООРУЖЕНИЙПод редакцией чл.-кор. АН СССР
А. Ф. СмирноваДопущено Министерством высшего
и среднего специального образования
в качестве учебника для студентов
строительных специальностей вузовМОСКВАСТРОЙИЗДАТ
ПРЕДИСЛОВИЕk'^'V'V .• >.►>■>*' ' " V/ ' -Книга является третьим разделом курса строительной механики
и посвящена методам решения задач динамики и устойчивости со¬
оружений.	■*■'Решениями XXVI съезда КПСС, последующих Пленумов ЦК
КПСС поставлена задача расширять автоматизацию проектно-кон¬
структорских и научно-исследовательских работ с применением элек¬
тронно-вычислительной техники. Все более широкое применение на¬
ходят ЭВМ в расчетах строительных конструкций. В данной книге,
как и в предыдущих двух разделах курса, особое внимание уделено
вопросам использования ЭВМ.Приведены основные сведення о численных методах интегриро¬
вания уравнений движения деформируемых систем, методах реше¬
ния задач определения спектра частот и форм собственных колеба¬
ний и критических нагрузок, эффективных в связи с применением
метода конечных элементов.Большое внимание уделено вопросам дискретизации систем о
распределенными параметрами. В связи с этим показано использо¬
вание аппарата обобщенных перемещений и соответствующих базис¬
ных функций. Уравнения движения получаются как на основе ис¬
пользования принципа Даламбера, так и с привлечением уравнений
Лагранжа.	'Из прикладных задач динамики сооружений значительное вни¬
мание уделено расчетам сооружений на сейсмические воздействия.
Наряду с расчетами по нормам (глава СНиП II-7-81 Строительство
в сейсмических районах) показаны особенности анализа поведения
конструкций в случаях, когда воздействия заданы в виде реальной
или синтезированной акселерограммы. Обсуждаются вопросы учета
неупругой работы сооружения в расчете на заданную акселерограм¬
му.Отдельная глава посвящена методам исследования устойчивости
систем. В качестве конкретных приложений этих методов подробно
рассмотрены задачи устойчивости сжатых стержней, рамных и ароч¬
ных систем.	>Наряду с точными методами особое внимание уделено прибли¬
женным методам 'исследования устойчивости, которые рассматрива¬
ются на примерах задач об устойчивости стержневых систем и пла¬
стин.Задачи устойчивости упругих систем рассмотрены при действии
нагрузки, заданной несколькими параметрами. Приведены примеры
использования теоремы П. Ф. Папковича о выпуклости пограничной
поверхности в задачах устойчивости стержневых систем и пластин.Расчет стержневых систем по деформированной схеме изложен
частично во второй части курса применительно к висячим конструк¬
циям. В данной книге дается развитие этих методов для произволь¬
ных стержневых систем. На основе аппарата метода конечных эле¬
ментов рассмотрены задачи об учете геометрической нелинейности в
расчетах стержневых систем, пластин, мембран и оболочек.Главы 8, 9, 12 и приложения написаны А. Ф. Смирновым, главы
1—4 и 6 — А. В. Александровым, главы 7, 10, 11, 13, 14 — Б. Я. Ла-
щениковым, главы 5, 15 — Н. Н. Шапошниковым.Авторы приносят глубокую благодарность принимавшим большое
участие в рецензировании трех книг учебника профессорам А. В. Дар-
кову, О. В. Лужину, Н. Н. Леонтьеву, Г. В. Исаханову, А. П. Сини¬
цыну, А. Г. Барченкову, а также коллективам кафедр строительной
механики Всесоюзного заочного политехнического института, Киев¬
ского и Воронежского инженерно-строительных институтов, чьи за¬
мечания в большой степени способствовали улучшению содержания
учебника. .
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ. КОЛЕБАНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ
СИСТЕМГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНАМИКЕ
ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ§1.1. Характерные виды динамических воздействий
на строительные конструкции и задачи курса динамики
сооруженийНагрузку, действующую на сооружение, относят к
динамической, если она изменяет свою величину или по¬
ложение в сравнительно короткий промежуток времени.
При действии такой нагрузки развитие деформаций сис¬
темы и возникновение в ней перемещений представляет
некоторый процесс, изменяющийся во времени. Массы
элементов самого сооружения, а также связанного с ним
оборудования, в процессе деформации получают ускоре¬
ния, и это приводит к тому, что на сооружение со сторо¬
ны движущихся масс системы действуют дополнительные
силы — силы инерции, а в сооружении возникают коле¬
бания. Расчет сооружения с учетом сил инерции и возни¬
кающих при этом колебаний называют динамическим'
расчетом. Его задачей в общем случае является опреде¬
ление во времени закона движения масс деформируемой
системй, зная который возможно дать оценку прочности
и жесткости системы.Если силы инерции и колебания в системе не учиты¬
ваются, то такой условный расчет называют статическим.
Статический расчет отвечает либо очень медленному из¬
менению нагрузки во времени, либо тому состоянию, ког¬
да нагрузка достигла определенных положения и вели¬
чины и далее во времени остается неизменной, а колеба¬
ния в упругой системе затухли. Для упрощения иногда
расчет сооружений выполняется как статический, а ди¬
намический характер воздействия учитывается путем
увеличения нагрузки с помощью так называемых дина¬
мических коэффициентов. Однако для установления зна¬
чений динамических коэффициентов необходимо уметь
проводить именно динамический расчет. Кроме того, дале¬
ко не всегда с помощью коэффициентов можно учесть все
своеобразие процесса динамического деформирования.В процессе эксплуатации сооружения подвергаются
различного рода динамическим воздействиям. К ним от-5
Рис. 1.1носятся ветровые и подвижные нагрузки (рис. 1.1 ,а,б);
периодические вибрационные или ударные воздействия от
работающих машин и оборудования на несущие конст¬
рукции промышленных зданий (рис. 1.1, в); действие
взрыва, вызывающего резкое изменение давления на по¬
верхность сооружения (рис. 1.1,г); сейсмические воздей¬
ствия на здания или сооружения, вызывающие принуди-6Рис. 1.2
тельные подвижки фундамента, изменяющиеся во време¬
ни по сложному закону Д(£) (рис. 1.1, д) и как следст¬
вие вызывающие сложные колебания сооружения, и т. д.Из всех нагрузок особо отметим важный случай гар¬
монической нагрузки. Например, при наличии эксцентри¬
ситета у вращающейся массы машины возникает цент¬
робежная сила Ро (рис. 1.2). Если ее разложим на сос¬
тавляющие, то получим, что на систему при равномерном
вращении с угловой скоростью 0 воздействуют периоди¬
ческие силы, изменяющиеся во времени по закону синуса
и косинуса;Рх = Р0 cos Ф — Ро e°s 0/; Ру = Ро sin 6/.Ввиду того, что такие случаи в расчетной практике
встречаются весьма часто, им в динамике сооружений
уделяется особое внимание. Воздействия и колебания,
представляемые во времени в виде гармоник синуса или
косинуса, называют гармоническими.В некоторых случаях динамические расчеты прово¬
дятся в условиях неопределенности параметров динами¬
ческого воздействия, например амплитуды возмущающей
динамической силы или ее частоты (периода) изменения
во времени. Так, давление ветра, неровности дороги на
мостовой конструкции, параметры сейсмического воздей-
ствля невозможно задать заранее точно в полном соот¬
ветствии с их фактической реализацией в каждом кон¬
кретном случае. Такие воздействия рассматриваются как
случайные величины или случайные функции, и расчет
на их воздействие производится с привлечением не толь¬
ко методов собственно динамики сооружений, но также
и методов теории вероятности. Такие воздействия называ¬
ют недетерминированными (неопределенными), а соот¬
ветствующие расчеты — вероятностными или статистичес¬
кими расчетами. Они рассматриваются в теории надеж¬
ности конструкций. Динамические нагрузки с заданными
определенными параметрами называют детерминирован¬
ными. В дальнейшем мы главным образом будем предпо¬
лагать последний случай воздействий.Многие инженерные задачи могут быть решены только
на основе методов динамики сооружений. Так, задачи
обеспечения прочности и долговечности сооружения час¬
то связаны с определением внутренних усилий в соору¬
жении от сил инерции, в частности задачи расчета на вы¬
носливость конструкций, испытывающих вибрацию или7
периодические воздействия. Вопросы ограничения уровня
вибрации путем применения виброизолирующих уст¬
ройств или различного рода виброгасителей также свя¬
заны, с динамическими расчетами. Для легких конструк¬
ций типа висячих перекрытий или висячих и вантовых
мостов ответственной является задача обеспечения устой¬
чивости колебаний этих конструкций в условиях обтека¬
ния воздушным потоком.В курсе динамики сооружений нет возможности под¬
робно рассмотреть перечисленные задачи расчета соору¬
жений, В то же время в любой из этих задач используют¬
ся некоторые общие представления о реакции деформи¬
руемой массовой системы на динамическое воздействие.
Поэтому в дальнейшем основное внимание уделяется об¬
щим вопросам динамики конструкций, таким как иссле¬
дование спектра главных или собственных форм колеба¬
ний систем, методы составления и решения уравнений
движения системы при гармоническом и произвольном
изменении нагрузки во времени и др. Владея этими об¬
щими представлениями и методами динамики сооруже¬
ний, студент или инженер сможет сознательно восполь¬
зоваться нормативными и справочными материалами, а
также изучить более сложные вопросы с помощью спе¬
циальной литературы.§ 1.2. Число степеней свободы деформируемой системы
и способы дискретизации континуальных системДля составления уравнений движения системы необ¬
ходимо установить, каким наименьшим количеством не¬
зависимых геометрических параметров (перемещений)
" определяется положение всей системы в любой момент
времени. Это наименьшее число параметров, через кото¬
рые выражаются перемещения всех материальных точек
системы, называется числом степеней свободы этой сис¬
темы.Число степеней свободы зависит от вида расчетной
модели, с помощью которой схематизируется реальная
конструкция. В дальнейшем часто будем использовать
понятие безмассового стержня или стержневой системы,
несущих точечные сосредоточенные массы.На рис. 1.3, а изображен безмассовый стержень с то¬
чечной массой т на конце. С учетом деформаций растя¬
жения и изгиба положение массы т в плоскости черте*
жа определяется двумя, перемещениями у\ и у*. Эта плос-8
Рис. 1.4	Рис. 1,5кая система имеет две степени свободы (п = 2). Если пре¬
небречь продольными деформациями стержня (£F = оо),
и считать прогибы малыми* то та же система будет иметь
одну степень свободы (рис. 1.3, б). В то же время мы
будем иметь вновь систему с двумя степенями свободы,
если учтем конечные размеры массы. В этом случае ее
положение в плоскости определяется линейным переме¬
щением у 1 и углом поворота у2 (рис. 1.3, в).В приведенных примерах при задании yx(t) и y^{t)
как функций времени вполне определяются все силы
инерции системы. Из теоретической механики известно,что это будут сосредоточенные силы инерции Ji=my\ и
Уг = —tny2, а в последнем случае также момент.сил инер¬
ции, равный Мс = —ЗсУь где Зс — момент инерции масс
относительно оси вращения С (см. рис. 1.3, в). Точками
здесь, как обычно, обозначается дифференцирование по
времени. Зная все силы, действующие на систему, можно
вычислить перемещения всех ее сечений, выразив их че¬
рез ух и у2- Следовательно, последние представляют не¬
зависимые параметры, определяющие число степеней сво¬
боды систем, изображенных на рис. 1.3.Число степеней свободы удобно определять как мини¬
мальное число связей, которое необходимо наложить на
систему, чтобы полностью устранить движение всех ма-9
термальных точек, обладающих массой. Таким способом,
например, можем установить, что для невесомой балки
и рамы на рис. 1.4, несущих точечные массы, число сте¬
пеней свободы соответственно будет п = 3 и п = 6. Услов¬
ные связи, закрепляющие соответствующие материаль¬
ные точки; показаны пунктиром.На рис. 1.5 показана система, в которой изгибная
жесткость среднего звена, обладающего массой, приня¬
та бесконечно большой, а крайние консоли — безмаосо¬
быми. Перемещения всех точек среднего звена определя¬
ются только параметрами ух и у2. Для любой точки пере¬
мещение у можно выразить через щ и у2‘-У = У1 Ш&i (*) + У2 $ Ф-z 14.	О-Огде Фi(x) и Фц(х)— функции, характеризующие перемещения при
параметрах у\=\ или уг—1-Данная система имеет две степени свободы (п — 2), а
параметры у\ и г/2 называются обобщенными перемеще¬
ниями или обобщенными координатами системы. Функ¬
ции Ф] (я) и Ф2(х) называются координатными, или ба¬
зисными функциями, соответствующими обобщенным пе¬
ремещениям у\ и г/2-Динамическое поведение системы, имеющей п степе¬
ней свободы, определяется п функциями. Каждая из них
выражает зависимость соответствующего перемещения
из числа п независимых перемещений, определяющих
степени свободы системы как функцию единственного ар¬
гумента— времени t. Поэтому в общем случае движение
такой системы описывается системой обыкновенных диф¬
ференциальных уравнений, служащих для определения
этих п функций.Для того чтобы определить положение всех точек та¬
ких элементов, как стержень, пластина, оболочка, имею¬
щих распределенные характеристики жесткости и распре¬
деленную массу, необходимо, вообще говоря, задание бес¬
конечно большого числа перемещений. Поэтому такие
элементы рассматриваются как системы с бесконечным
числом степеней свободы.Для динамического анализа систем с распределенны¬
ми параметрами возможны два подхода. Первый состоит
в составлении дифференциальных уравнений движения с
учетом континуальных свойств масс и упругих характе¬
ристик системы. В этом случае аргументами, от которых
зависят искомые Функции движения точек системы, яв¬
ляются не только время, но и пространственные коорди-ю
наты, определяющие положение точек системы. Так как
искомые функции зависят не от одного, а от нескольких
аргументов, то уравнения движения представляются диф¬
ференциальными уравнениями в частных производных.
В принципе такие уравнения описывают конструкцию
как систему с бесконечным числом степеней свободы.
С таким подходом мы познакомимся в дальнейшем.Но наиболее часто при проведении динамических рас¬
четов континуальных систем их условно рассматривают
как дискретные, применяя тот или иной способ дискрети¬
зации, т. е. условное введение конечного числа степеней
свободы для континуальной системы.Простейший прием состоит в сосредоточении масс в
отдельных точках сооружения или введения жестких дис¬
ков, обладающих массой и конечными размерами и сое¬
диненных с упругой безмассовой системой. Эту модель
мы уже рассмотрели выше.Другой способ дискретизации состоит в использова¬
нии обобщенных перемещений и соответствующих базис¬
ных функций. Именно на таком подходе основано при¬
менение метода конечных элементов в статических и в ди¬
намических расчетах. Пусть, например, требуется опи¬
сать движение балки, имеющей распределенную массу с
интенсивностью т(х) и изгибной жесткостью EJ(x). Про¬
гибы ее зависят от двух аргументов: от jc и от времени t
(рис. 1.6, а), т. е.y = y{x,t).	(1.2)Неизвестную функцию (1.2) представим с помощью
специально выбранного набора базисных функций ФДх)н
(г = 1,...,п), которыми надо задаваться так, чтобы они
удовлетворяли условиям закрепления балки. При шар¬
нирном опирании это могут быть, например, гармоники
синуса, а в общем случае — какие-либо другие функции.
Вместо (1.2)' запишем усеченный ряд' у^Уг%)Ф1(4+-:-+УпШФжЫ>	(i-з)Здесь величины y{(t),...,yn(t) являются обобщенными пе¬
ремещениями или обобщенными координатами, задание
которых вполне определяет изгиб балки по формуле (1.3).
Используя вместо (1.2) выражение (1.3), мы перешли от
системы континуальной к дискретной, обладающей п
степенями свободы.В литературе по механике обобщенные координаты
обычно обозначаются qu...,qn. Поэтому в дальнейшем
вместо (1.3) при использовании обобщенных координат
будем иногда писать‘ЫС'Фг&Й»	(1-4)где <?; — обобщенные координаты, зависящие только от времени;
Ф«- — базисные функции или функции формы, зависящие только от
пространственных координат.В методе конечных элементов также используются
функции формы Ф,, которые задаются в пределах каждо¬
го конечного элемента, а обобщенные перемещения обо¬
значаются через Zi. В динамических расчетах значения
Zi будут зависеть от времени, и поэтому вместо (1.3) н
(1.4) Применительно к системам уравнений движения
будем писатьZi(t)<t>i(x).	.. (1.5)t=i .Для рассмотренной балки в качестве Z,-, например,
могут быть приняты прогибы и углы поворота отдельных
сечений балки (рис. 1.6, б). Тогда функциями Ф* в (1.5)
будут являться статические линии прогибов соответству¬
ющих конечных элементов от перемещений — 1.Записи (1.3), (1.4) и (1.5) совершенно эквивалентны,
и мы будем пользоваться как теми, так и другими обо¬
значениями для обобщенных координат.§ 1.3. Сипы инерции. Понятие о методах составления уравнений
движения деформируемой системыПонятие сил инерции знакомо из курса теоретической
механики в связи с принципом Даламбера. Ввиду важ¬12
Рис. 1.7ности этого понятия напом¬
ним его здесь еще раз, под¬
черкнув некоторые моменты,
характерные для расчета де¬
формируемых систем.Рассмотрим ускоренное
движение тела массой т,
вызываемое воздействием
другого движущегося тела
М, передающимся на массу
т с помощью жесткой связи
С. Связь С при этом оказы¬
вает давление Р на массу т
(рис. 1.7, а) . Положение тел
пусть определяется коорди¬
натой y=y{t), положитель¬
ное направление которой
примем вправо. Второй за¬
кон Ньютона, связывающий силу Р и вызываемое ею ус-,корение у, записывается в видеР — ту.	(1-6)Понятие силы инерции можно ввести, если равенство
(1.6) переписать в формеР — ту —О	(1-7)ИЛИP + J = о,	(1.8)где / =—ту.	.Выражение (1.8) можно рассматривать как запись
условия равенства нулю суммы проекций сил, действу¬
ющих на массу т (рис. 1.7, б). При этом под J понима¬
ется сила, прикладываемая к массе, которая условно рас¬
сматривается как бы находящаяся в покое. Это и есть
сила инерции, а принцип Даламбера состоит в том, что
уравнение движения типа (1.7) можно получать путем
составления обычных уравнений равновесия типа (1.8),
если к массе помимо внешней силы Р приложить еще ус¬
ловную силу инерции /.Обратим внимание на то, что сила / как сила инерци¬
онного сопротивления, действующая со стороны массы т
на связь С, всегда фактически направлена в сторону, про¬
тивоположную ускорению у. Это показано на рис. 1,7, в
для у>0. Формально же при выводе уравнений движения13
всегда силу инерции направляют в сторону у>0 и запи¬
сывают ее со знаком минус, т. е. как на рис. 1.7, б.В динамике деформируемых систем мы часто будем
пользоваться моделью безмассовой упругой конструкции,
с которой так или иначе связаны массы (сосредоточен¬
ные или распределенные). Поэтому роль связи С для
этих масс будет играть упругая безмассовая конструк¬
ция. Следовательно, силы инерции, передаваемые от
масс на эту конструкцию как на «связь», будут дополни¬
тельной внешней нагрузкой на сооружение. По своей при¬
роде это объемная нагрузка, но для таких элементов, как
стержень, пластина, оболочка, она будет собираться по
толщине элементов и относиться к единице длины или
площади как интенсивность распределенной нагрузки.
Для сосредоточенных масс это будут сосредоточенные
силы.Из сказанного ясно, что для составления уравнений
движения деформируемой системы можно воспользо¬
ваться любой формой записи условий квазистатического
равновесия между внешними силами и силами упругости.
Надо только к внешним силам добавить силы инерции.
Так как последние зависят от перемещений, то и уравне¬
ния равновесия составляются так, чтобы они были выра¬
жены через перемещения. Применяются следующие ос¬
новные приемы составления уравнений квазистатическо¬
го равновесия: 1) непосредственное использование
условий равновесия в форме проекций на оси координат
или сумм моментов сил; 2) использование принципа воз¬
можных перемещений; 3) использование дифференциаль¬
ных уравнений Лагранжа.Рассмотрим применение этих подходов на простейшем
примере (рис. 1.8).Использование уравнений равновесия. На рис. 1.8, а
изображена шарнирная система, состоящая из линейно¬
упругих безмассовых стержней, несущих сосредоточен¬
ную массу в узле. Составим уравнения движения этой
массы под действием силы P=P(t). Положение массы в
плоскости чертежа определяется двумя координатами у\
и у2, положительные направления которых указаны на
рис. 1.8, а. Таким образом, система обладает двумя сте¬
пенями свободы. На рис. 1.8,6 изображены независимые
деформированные состояния у 1=^=0, г/2=0 и г/1 = 0, уг¥=0,
из которых находимA/t = У1 и Д/2 = Д/и + Д/22 = у у cos а + уг sin а.
Рис. 1.8По закону Гука получим усилия в стержнях, выраженные
через координаты г/i и у2:Ni = Mi EFi/li = itfyi,	(1.9/.Nt = N2i + N22 = {M2i EF2!l2) + (Д/22 EF2H2) == «2 (г/i cos a-f (/jjSina),	0-10)'где ni=EFill1\ n2=EF2/l2.На рис. 1.8, в указаны все силы, действующие на мас¬
су: сила Р, упругие (восстанавливающие) силы N\ и N2и силы инерции /1 = —ту\, J2=—my2, Сумма проекций
этих сил на направления у\ и у2 дает:Ji— A'i — jV2cos а = 0; J2—N2 sin a -J- P = 0. (l.ll)После подстановки (1.9), (1.10) и значений ]\ и J2 в
эти равенства окончательно получим дифференциальные!
уравнения движения массы т в виде	,+ («j + п2 cos? и.) yi + п2 sin a cos ауг — 0;1 ^ ^тУ2 + Щ sin a cos а и + n2 sin2 ау2 — Р (t). JВ более сложных системах для составления уравне*
ний движения как уравнений равновесия удобно исполь¬
зовать каноническую форму уравнений метода переме¬
щений. Так, в рассмотренном примере, обозначив у\=.
~Z\ и y2=Z2, напишем эти уравнения в виде обычных
уравнений метода перемещений15
Рис. 1.9RZ + Rp= ОИЛИги Г12'г{ФЩур= 0А Л22.Rip(1.14)Здесь R — матрица жесткости, элементами которой яв¬
ляются реакции в связях, показанные на рис. 1.9, а, б.
С учетом деформаций стержней, рассмотренных на
рис. 1.8,6, и значений усилий (1.9), (1.10) эти реакции в
данном примере получим в виде(rii + «2 cos2 а) п2 sin a cos а
_ п% sin а cos а п2 sin2 аОсобенностью динамической задачи является то, что в
число внешних сил кроме силы R относим и силы инер¬
ции Ji=—ту\ и /2 =—ту2. Тогда из рис. 1.9, в получим
грузовой вектор в (1.14):R(1.15)Rip‘ h -— ту i1ХэtoЪ_ Р — ту г .(1.16)Подставляя (1.15) и (1.16) в (1.14), придем к урав¬
нениям, совпадающим с (1.12), с той лишь разницей, что
в них обозначения уи у2 будут заменены на Zb Z2.В данном случае для характеристики упругих сил сис¬
темы использована матрица жесткости R, отвечающаявектору перемещений масс Z. Далее мы увидим, что для
составления уравнений движения иногда удобно исполь¬
= Я-1.зовать матрицу податливости, обратную к R, т. е. матрииу ,	.	'А — ^12
*■ .-i.t	L^2i S22Использование принципа возможных перемещений.Согласно этому принципу система сил находится в рав¬
новесии, если на любом возможном перемещении 6Z(- ра¬
бота всех сил системы равна нулю:8А. = 6Л[ПР + 6Л?нешн = 0 (г = 1,,.,,/г), (1.17)где первое слагаемое обозначает работу внутренних сил
упругости, а второе — внешних сил (включая силы инер¬
ции) на перемещении 6Z,-. Заметим, что уравнения (1.17)’
в механике называются общими уравнениями динамики,
если в состав 6-4°чешн включена работа сил инерции.Каждая i-я строка уравнений (1.13) метода переме¬
щений дает суммарную реакцию по направлению Z*, ко¬
торая совпадает по величине (и противоположна по зна¬
ку) с обобщенной силой, отвечающей перемещению бZj
[см. 39, с. 411]. Поэтому работу (1.17) в рассматри¬
ваемом примере можно получить, используя строки урав¬
нений (1.14), домножив каждую из них на соответствую¬
щую вариацию 6Zi и бZ2. В результате придем к равен¬
ствам:	•
(Ли + / и Z2) 6Zj + Rip 6Zi = 0;„ „ , (1-18)
(/*21 -(- /"22 Z2) 6Z2 R^P bZ2 — 0. JЗдесь первые слагаемые выражают работу обобщенных
упругих сил, а вторые — обобщенных внешних сил. В сис¬
темах с сосредоточенными массами, как видим, эти урав¬
нения после сокращения на 6Z; полностью совпадают с
прямым использованием уравнений (1.13) метода пере¬
мещений и принципа Даламбера, что рассмотрено выше.
Некоторую особенность представляет определение обоб¬
щенных сил в случае распределенных сил инерции. На
этом остановимся подробно в § 2.3, 3.6.Использование дифференциальных уравнений Ла¬
гранжа. В большинстве задач механики деформируемых
систем, состояние которых определяется п обобщенными
координатами qit ..., qn, кинетическая энергия масс си¬
стемы Т и потенциальная энергия сил упругости U мо¬
жет быть представлена в виде некоторых зависимостей
от координат <7i и скоростей qcT = T(qit ...,qn, qt,...,qny, U = U (qlt.. ., qn). (1.19)2-75317
Будем также считать, что внешние силы Р (как консер¬
вативные, так и неконсервативные) таковы, что возмож¬
ная работа этих сил на вариациях перемещений
bq\,...,bqn линейно зависит от этих вариаций, т.е.6ЛР= Q1&?1 + ...+ Qn6?;i.	(1.20)Если выражения (1.19), (1.20) для Г и U составлены
для данной системы, то в теоретической механике дока¬
зывается, что обобщенные силы инерции U и обобщенные
упругие силы 5,-, отвечающие вариации перемещения bqt,
выражаются через производные функции Т и U следую¬
щим образом:Jt=~ — (-?—)+ — ; Si = -~ .	(1.21)dt V dqt J dqt	dqtТеперь запишем условия равновесия системы с помощью
принципа возможных перемещений (1.17):= (Jt + Si + Qi) 6qt = 0 (£=!,.(1.22)Подставляя (1.21) в (1.22) и сокращая на произвольную
вариацию bq.t, получим п уравнений движения Лагранжа:d / дТ \ дТ 0U' =Qi (1 = 1	п). (1.23)dt ^ dqt j dqt dqtПрименим эти уравнения к системе, изображенной на
рис. 1.8. Обозначим y\ = q\ и t/2 = <72- Тогда кинетическая
энергия массы m будет равна: ,T = m{q\ + "o^J2.	(1.24)Потенциальная энергия деформации стержней полу¬
чит види = рх А/х + Uz Ду/2 = [{EF, MUQ + (F.Fa_ Д&/а)]/2 == |q\ + «2 fc.cos a + %sin a)2]/2-	0 .25)Возможная работа вертикальной силы Р на перемещен
ниях 6<7i и б(?2 равна:бАрх = Qx бq± = С;8Ар2= Q28q2= Pdq^Следовательно, Qi = 0 и Q2 = P■ Находим производные,
входящие в уравнение (1.23), для г = 1:
—	= (ч + пг cos2 a) -f и2 sin a cos a <72.
c% .Аналогично вычисляя производные для i=2 и подстав¬
ляя эти производные в (1.23), получим уравнения Ла¬
гранжа в видеmQi + («1 + «2 cos2 а) щ + sia a cos a = 0;mq2 + n2 sin a cos a + n2 sin2 a = P .Последние совпадают с уравнениями (1.12), ранее состав¬
ленными для этой системы.ГЛАВА 2. КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ	'СВОБОДЫ§ 2.1. Уравнение движения и свободные колебания системы
с одной степенью свободыРассмотрим систему с одной степенью свободы в ви¬
де невесомой конструкции, несущей точечную массу. Для
определенности на рис. 2.1, а изображена балка. Для
того чтобы характеризовать упругие свойства конструк¬
ции, будем считать, что с помощью обычных методов
строительной механики предварительно определена по¬
датливость системы 6ц в точке сосредоточения массы т
(рис. 2.1, б). Иногда удобнее пользоваться жесткостью
системы гп — \/6и (рис. 2.1, в). Подчеркнем, что в стати¬
чески неопределимой системе для определения 6ц и гп
необходимо вначале рассчитать ее на действие единичной
силы, приложенной по направлению колебаний массы.
Затем по обычным правилам определения перемещений в
статически неопределимых системах с помощью формулы
Мора могут быть вычислены значения бц и гп = 1/бц.Для составления уравнения движения воспользуемся
принципом Даламбера. При этом возможны два подхо¬
да. В первом (см. § 1.3) с помощью принципа Даламбе¬
ра записываем условие равновесия движущейся массы,
отделенной от конструкции (рис. 2.2). На массу действу¬
ет упругая восстанавливающая сила S, определяемая че¬
рез жесткость ги равенством S = rny, внешняя сила Р =
= P(t), а также сила инерции, по принципу Даламбераравная / = —ту. Равновесие этих сил запишем в виде
S—J—Р = 0 илиГи У + Щ — Pif)-	'	(2-О2*19
Рис. 2.1Рис. 2.2Другой подход можно трактовать как использование!
идеи уравнивания перемещений балки и массы. В любой
момент времени на балку действуют две внешние силы:внешняя сила P(t) и сила инерции /=—ту (рис. 2.1,а),
которые вместе вызывают прогиб Ь(Р+|у, Он должен
быть равен перемещению массы у, т.е. у — 8ц{Р + 1), илиУ + й&£ Щ = 5ii Р (0 •	(2.2)Заметим, что под у понимается отклонение массы от
положения равновесия. Поэтому вес массы и соответст¬
вующая ему упругая реакция балки взаимно уравнове¬
шены и в уравнения (2.1) и (2.2) не входят.В уравнении (2.1) использована жесткость системы
гп, оно выражает условие равновесия системы. В урав¬
нение (2.2) входит податливость бц, его механический
смысл состоит в совместности перемещений массы и бал¬
ки. В дальнейшем при составлении уравнений движения
масс системы будем использовать оба рассмотренных под¬
хода. Иногда уравнения типа (2.1) называют уравнени¬
ями в прямой форме, а типа (2.2) —в обратной.Разделим равенства (2.1) и (2.2) соответственно на
т и на тбц и приведем их к окончательному виду, учи¬
тывая, ЧТО Гц— 1/611У -f “2 У = р	(2.3)где со = У'г11/т = У\1т&ц.	(2.4)Равенство (2.3) представляет уравнение движения
массы в системе с одной степенью свободы при действии
внешней силы P(t), переменной во времени.Смещение массы у{0)=у0 и ее скорость y{0)=yo при
^ = 0 будем называть начальными возмущениями.Колебания называются свободными, если они вызва¬
ны только начальными возмущениями, полученными сис¬
темой. В процессе свободных колебаний внешние силы,20
переменные во времени, на систему не действуют[Р(0=°]-Колебания называются вынужденными, если в про¬
цессе движения на систему действует некоторая пере¬
менная нагрузка P{t).Рассмотрим свободные колебания системы, для кото¬
рых уравнение (2.3) будет?/Ч М-{/-0.	(2.5)Решение этого однородного уравнения задаем в виде у == Ceat. Подставив его в (2.5), получим характеристи¬
ческое уравнение относительно а: а2 + ©2 = 0. Два корня
этого уравнения а\ = т и а2 =—т определяют общее ре¬
шение однородного уравнения (2.5): .	■у = С\ еш + С2 ё~ш.	(2.6)С помощью формулы Эйлера eia =cosa+tsina дей¬
ствительную часть выражения (2.6) можно представить
в видеу = Cf cos со/ С2 sin (ot,	(2.7)где Ci и С2— вещественные постоянные, определяемые
из начальных условий: при £=0; у=уа и y=dyldt=y0.
Из этих условий найдем, что С\=у0 и С2=у0/«. Следо¬
вательно, решение для свободных колебаний можно за¬
писать так:у= у0 cos со/ + ((/о/со) sin со/. '■ -	(2.8)Иногда используют другую форму представления ра¬
венства (2.7). Положим, что Ci=4sirupo и С2=Лсо5фо,
где А и фо — некоторые новые постоянные. Тогда, ис¬
пользовав формулу синуса суммы двух углов, вместо
,(2.7) можем написатьу = Asin (со/ + Фо) •	(2.9)Учитывая значения С\ и С2, найдем постоянные А и
фо В виде	, V,.	• I s •. • л.	,A-Vc\+Cl-V&+(«M^tg Фо = Ci/C2 = ЩоГуо-	, (2.10)На графике рис. 2.3 видны основные элементы гармо¬
нических свободных колебаний, описываемых равенством
.(2.9): А — амплитуда колебаний; ф0 — начальная угловая21V-^TV.
фаза колебаний; Т — период колебаний, т. е. продолжи¬
тельность одного полного цикла колебаний, с; со = 2п/Т —
круговая (угловая) частота колебаний, рад/с. Величина
п—\/Т, выражающая число колебаний за 1 с (измеря¬
ется в герцах), иногда называется технической частотой.
Круговая частота ю, очевидно, представляет собой число
циклов колебаний, совершаемых за 2л секунд.Учитывая значения ю (2.4) для периода колебаний,
можем написать формулыТ = 2я/со = 2я V ffifVjx = 2л Vтбц.	(2.11)Вычислим силу инерции массы в произвольный мо¬
мент времени:J (/) =— ту = со2 тА sin (со t + ф0) = со * ту (t).	(2.12)Выражение (2.12) показывает, что при гармонических
колебаниях с частотой со сила инерции пропорциональна
отклонению'массы //(/). Для свободных колебаний эта I
сила является единственной внешней силой, уравнове¬
шивающей упругую реакцию балки ri\y(t) в любой мо- j
мент. В частности, в амплитудном состоянии / = ©2/пЛ.Следует хорошо уяснить «игру сил» в системе в про¬
цессе свободных колебаний. Масса и балка в точке их
соединения непрерывно взаимодействуют. На рис. 2.4
условно показано, что это взаимодействие передается че¬
рез связь С (см. § 1.3). Упругая сила S, приложенная к
массе, вызывает ее неравномерное движение. При этом
ускорение массы в соответствии с направлением упругой
восстанавливающей силы всегда направлено к точке рав¬
новесия системы в покое (у = 0). Инерционное сопротив¬
ление массы неравномерному движению воздействует набалку как внешняя сила J ——ту. Знак минус указывает
на то, что она всегда противоположна ускорению, т. е. в
данном случае в сторону от положения у = 0. В дальней¬22
шем силы инерции всегда рассматриваются как внешние
силы, действующие со стороны масс на упругую безмас-
совую систему, хотя, как это уже отмечалось, условно
иногда и говорится, что силы инерции «приложены к
массам».С энергетической точки зрения свободные незатухаю¬
щие колебания характеризуются непрерывным переходом
кинетической энергии движения массы в потенциальную
энергию деформации системы, и наоборот.§ 2.2. Реакция системы с одной степенью свободы
на некоторые виды воздействийДействие внезапно приложенной силы. Пусть сила
P = P(t) изменяется, как это показано на рис. 2.5, а.
Тогда для ^>0 уравнение (2.3) примет виду + (о2 у = Р/т.	(2.13)Общее решение его запишем в формеу = Су cos coi -f- С2 sin a>t + (P/mco2),	(2.14)где первые два слагаемых составляют решение (2.7) од¬
нородного уравнения (2.5), а последнее — частное реше¬
ние, удовлетворяющее равенству (2.13). Постоянные Ci
и С2 должны быть найдены из начальных условий, кото¬
рые примем нулевыми, т. е. при £=0 будем считать у =
= 0 и уо = 0. Эти два условия дают уравнения
Ci + (P/mco2) = 0; С2(о = 0,из которых найдем С2=0;Сi~—Р/та>2. Если вместо со2
в выражение Р/та2 подста¬
вить значение (2.4), то это вы¬
ражение получит смысл стати¬
ческого перемещения точки
приложения силы Р. Обозна¬
чим егоР/mo2 = рбц ~,Уст- (2-15)Тогда окончательно решение(2.14)	запишется так:#	= г/ст(1 — coscof). (2.16)23
Графически оно представлено на рис. 2.5, б. Оно пред¬
ставляет собой незатухающие колебания с частотой сво¬
бодных колебаний со около статического положения рав¬
новесия у = уст с амплитудой А = уСт. Максимальное от¬
клонение Утах = 2 Уст, 3 ДИНаМИЧвСКИЙ КОЭффИЦИвНТ Ц == */тах/г/ст = 2. Этот результат известен из элементарной
теории удара, где, как известно, jx определяется форму¬
лойц= 1 +V \ +2/i/XCT.	(2.17)При высоте падения груза h = О по формуле (2.17) р,
получается также равным двум. Отметим, что из решения(2.14)	легко получить формулу (2.17), если принять в на¬
чальных условиях скорость уо не равной нулю, а равной
скорости падения груза с высоты h.Действие периодической гармонической силы. Пусть
P(t) =Р sin Qt, где 0 — частота изменения возмущающей
силы. Предположим, что она не равна частоте свобод¬
ных колебаний системы, т. е. 0=^<в.Уравнение движения (2.3) получает виду + со2 г/ = (P/m) sin 0/, ■	(2.18)и его общий интегралу = Ci cos со/ -f- С2 sin соt + A sin 0/.	(2.19)Здесь частное решение содержит неизвестную пока по¬
стоянную А, которую найдем подстановкой выражения !
/4sin0/ в левую часть уравнения (2.18), что дает
(— Ав2 -j- Лео2) sin в/ = (P/m) sin 0/.В результате получим выражениеА =	— 02) = Лст/[1 — (0/со)2],	(2.20)в котором использовано обозначение, аналогичное (2.15) !Лст = р/т<о2 = Р8ц.	(2.21)Будем считать, что сила P(t)=PsinQt начинает дей¬
ствовать на покоящуюся систему. Тогда из начальных
условий уо = 0 и у0 = 0 при / = 0 получим Ci = 0; С2 == — А(в/а>), после чего решение (2.19) запишем в окон¬
чательном виде:У	(t) = tji 4- у2 =— А (0/со) sin со/ + A sin 0/.	(2.22)Как видим, суммарное движение (2.22)’ получается
сложением двух гармонических колебаний: у\ — являю¬
щихся результатом влияния начальных условий и совер- |
■	шаемых с частотой свободных колебаний ©, и у2 — чисто■	вынужденных колебаний с частотой изменения силы 0.■	На рис. 2.6, а показано изменение силы P(t), а на■	рис. 2.6, б — график функции y(t), построенный по (2.22)■	при 0 = 0,5(0. Пунктиром показана функция уч как часть■	решения (2.22), а сплошной линией — сумма y\ + tj2.1 В приведенном решении не учитывались силы сопро-■	тивления. С течением времени они приводят к затуханию
1 свободных колебаний ух (см. § 2.6). На рис. 2.6, б это ус-■	ловно изображено в правой части оси /, где сохранены
1 лишь чисто вынужденные колебания г/2- Обычно суммар-■	ные колебания z/i + z/г называют переходным процессом,
Ж а движение г/г(0, в которое постепенно вырождаются
V суммарные колебания при учете сил сопротивления, на-
I зывают установившимися колебаниями. Для установив-
I шихся колебаний динамический коэффициент запишем■	как абсолютную величину отношения Л/Лст, что с учетом■	(2.20) дает;	И = ММст1 = 1П-(е/с»)2]-Ч.	(2.23); График jx = jx(0/to) изображен на рис. 2.7.Состояние системы при совпадении частоты возмуща-
1 ющей силы 0 и частоты свободных колебаний со называ-
I ется резонансом. С приближением к резонансу в приве-■	денном решении получаем А-*-оо. Это означает, что при-
I нятое в начале частное решение t/2=^sin0t в виде■	гармонического движения при 0 = ш невозможно. Указан-
1 ному явлению легко да\ъ объяснение с механической точ-■	ки зрения.; Пусть система совершает свободные колебания с час¬
: I тотой м. В этом случае, как указано в § 2.1, сила инерции
I {{t) [см. (2.12)] точно уравновешивает силу упругости
I S(t), действующую на массу (см. рис. 2.4). Они образу-
I ют систему взаимно уравновешенных сил в любой момент
1 времени и при любой аплитуде колебаний А, так как
| каждая из этих сил пропорциональна перемещению y(t).■	Если теперь приложить к массе внешнюю силу Р{С) ~
Р sin 0/, то при 0 = ш она окажется неуравновешенной.
Н Это приведет к постоянному увеличению амплитуды ко-
I -лебаний А во времени, а движение массы при резонансеI	уже не будет гармоническим.Пусть 0 = о), тогда общий интеграл уравнения (2.18)
f вместо (2.19) запишем в видеу = Cj cos -j- С2 sin ш/ В{ cos	(2.24)2S
Подставив последнее слагаемое этого выражения в
(2.18) при 0=со, найдем В =—Р/2тш = — «ъ4Ст/2. Для
нулевых начальных условий t/o=0 и уо'=0 постоянные
С, и С2 получают значения Ci = 0, Со=ЛСт/2, и окон¬
чательно решение (2.24), выражающее нарастание ре¬
зонансных колебаний во времени без учета сил сопро¬
тивления, получает видУрез (/) = 0.5ЛСТ (sin Ш — Ш cos t).	(2.25)Из рис. 2.8, а, где показана зависимость (2.25), вид¬
но, что амплитуда колебаний нарастает во времени по
линейному закону. При этом нарастание идет довольно
быстро: за три-четыре размаха она достигает значения
~10 Лст. Как увидим в дальнейшем, учет сил сопротив¬
ления ограничивает нарастание амплитуд Лрез, что схе¬
матически показано на рис. 2.8,6.Действие двух гармонических нагрузок с близкими
частотами (биение). Пусть на систему действуют две
гармонические силы с близкими частотами 0, = 0+0,5 Д0
и 02 = 0 — 0,5 А0. Близость частот означает, что Д0<С0.
Предположим для простоты, что амплитуды этих сил
одинаковы Р] =Р2=Р и, следовательно, амплитуды ус¬
тановившихся колебаний, вызываемых этими силами,
будут также одинаковыми Ai=A2=A. Рассмотрим сум¬
марные установившиеся колебания системы для данного
случая:у = At sin 0! t + Л2 sin 02 t,	(2.26)или с учетом равенства амплитуд0 ' — 0 0 0
у = A (sin 011 -f- sin 021) = 2A cos 1 ——— t sin—5 - - t.Подставив 0i и 02, выраженные через 0 и А0, получиму = (2А cos Д0/) sin О/ = В (t) sin 0/.	(2.27)Движение (2.27) можно рассматривать как синусоидаль¬
ные колебания с частотой 0, периодом Т=2л/0 и пере¬
менной амплитудой B(t) —2А cos Д0/. Амплитуда В ме¬
няется также по гармоническому закону, но с меньшей
частотой Д0 и большим периодом 7’б=2я/А0. При этом
^тах=2 А. В результате будем наблюдать постепенное
периодическое нарастание и убывание амплитуд коле¬
баний, что графически представлено на рис. 2.9. Это яв¬
ление называют биением.Биения часто наблюдаются в системах с несколькими
степенями свободы. Так, если в системе, симметричной
относительно оси О—О (рис. 2.10,а), вызвать колебания27
путем удара по левой массе и записать с помощью виб
рографа горизонтальные колебания каждой из масс, тс
получим графики, аналогичные показанным внизу ри
сунка. Это последовательное нарастание и убывание
амплитуд левой и правой масс есть результат сложенш
двух гармонических колебаний, в которых будут участ
вовать массы, а именно колебания с частотой toi (анти
симметричные колебания, рис. 2.10,6) и с частотой м;
(симметричные колебания, рис. 2.10, в). При жесткоеп
средней пружины сг значительно меньшей, чем ег, час¬
тоты со 1 и Юг будут близкими и движение масс носит ха¬
рактер биений. Анализ частот этой системы можно про
вести методами, изложенными в § 3.3.Действие импульса. В технике часто встречаются слу
чаи загружения конструкции нагрузками, имеющим£
ударный характер. Закон изменения силы P(t) при этом
может быть довольно сложным, а продолжительность
действия силы т очень небольшой (рис. 2.11). В опреде
ленных случаях эффект действия такой силы в основном
определяется ее импульсомXG ~ Г P(t)dt,	(2.28очисленно равным площади графика P(t).Для примера рассмотрим действие на систему с од¬
ной степенью свободы прямоугольного импульса G — Px
(рис 2.12, а) , Полу¬
чим вначале реше¬
ние, учитывая дейст¬
вительный характер
изменения силы во
времени. В этом слу¬
чае движение распа¬
дается на два эта¬
па — I и II, отмечен¬
ные на оси t.\иуP(t)V-|. t,dtРис. 2.1128Рис. 2.12
Этап I — движение массы от внезапно приложен¬
ной силы Р = const. Для этого случая получено решение
(2.16), согласно которомуУ[ = </ст (1 — cos со/) I	.•	. ■	.	(2.29)■■ " У} = Уст w sm со/В конце этапа I масса получает перемещение г/х (т) и
скорость yi(x), определяемые по (2.29) при t=%.Этап 11 — свободные колебания системы, вызванные
перемещениями уi(t) и y\(i) как начальными возмуще¬
ниями. Примем за начало отсчета времени на втором
этапе момент t=т, введя новую переменную ti — t — т.
Используя (2.8), для второго этапа получимУц~ У] W cos to/j + '((/, (т)/со) sin со/^	(2.30)На рис. 2.12,6 приведены графики yi(t) и yn{t) для слу¬
чая т<(7’/2), где 7’=2л/со — период свободных колеба¬
ний системы, испытывающей действие импульса. На
этом рисунке для сравнения пунктиром изображена кри¬
вая y(t) в случае действия силы Р на протяжении всего
интервала времени: 0<^<оо (см. рис. 2.5).Используя форму (2.9) представления свободных ко¬
лебаний, запишем (2.30) в виде	'Уп = Утахsin (mfi + Ф0) . ‘ (2-31)где, согласно (2.10), ^max = V~у\Ь)+ {ух{*)1а)2 '. Под¬
ставив сюда значения (2.29) при t=т, найдем	.Утах = Уст Y— cos сот)2 + sin2 сот = 2i/ст sin (сот/2). ^Сделав замену ® = 2тс/Т, получим	..	- ■Ут ах ~ 2(/ст sin (ят IT). "	(2.32)Теперь выполним приближенный расчет, считая им--
пульс G мгновенным, т. е. считая, что т->0. В этом слу¬
чае по теореме о сохранении количества движения мо¬
жем написать при / = 0 G = my0. Отсюда найдем началь¬
ную скорость масы; y0=G/m. Так как уо=0, то свобод¬
ные колебания массы, вызванные импульсом G, прибли¬
женно рассматриваемым как мгновенный, по (2.8) бу¬
дут выражаться равенствому = (г/0/со) sin со/= (G/mco) sin со/; - (2.33)
при sin (о£= 1 имеем приближенное значениё(2.34)29
Для прямоугольного импульса (рис. 2.12, о) G = P% ,Ушт = Ръ/тW = (P/rncО2) (2ят/Т) = уст 2ят/Т. (2.3,Итак, выражение (2.35) дает приближенную оценк
эффекта действия импульса G, а формула (2.32) — тоц
ное значение. Их отношение будетУтах/Лпах = (^т/Г)/sin (тп/Т).Для т/7' = 0,1 это отношение составляет 1,016, т. е. п<
грешность приближенного расчета по формуле (2.35
равна 1,6%. Аналогично для т/Т = 0,2 эта погрешност
будет 6,9%, а для т/7’=0,3—16,5%. Подобные резул!
таты дают и .расчеты при других формах импульса-
синусоидальном, треугольном и т.д. Поэтому практич<
ски при длительности импульса т< (0,1—0,2) Г его моя
но считать мгновенным и расчет реакции систем1
приближенно вести по формулам (2.34), (2.35).§ 2,3. Описание движения системы с одной степенью свободы
с помощью обобщенной координаты. Формула РэлеяРассмотрим систему в виде абсолютно жесткого зв<
на АВ, несущего ряд сосредоточенных масс тщ, упруг
закрепленного с помощью невесомой консоли АС и пру
жины в точке В (рис. 2.13, а). Требуется составить ypai
нение движения этой системы под действием внешни
сил Pi — Pj(i), (i = l,..., п). Положение любой точк
данной системы определяется одним каким-либо пер(
мещением — углом поворота звена ЛВ, прогибом точк
А и т. п. Поэтому данная система обладает одной сте
пенью свободы (предполагаем, что консоль АС може
изгибаться, но нерастяжима, следовательно, горизон
тальные перемещения масс исключены). Примем далев качестве обобщенной ко
ординаты прогиб точки А
обозначив его через q.Для составления уравне
ний движения в подобны:
системах удобно использо
вать принцип возможных пе
ремещений либо уравнение
Лагранжа (1.23). В § 1.3
указано, что оба подхода эк
Рис. 2.13	вивалентны и различаются30
Шь способом подсчета обобщенных сил системы, от-
Ле4ающих перемещению q. Рассмотрим применение
уравнения Лагранжа. Для системы с одной степенью
свободы это будет лишь одно уравнение
d ( дТ\ дТ dU37 1 л' I— л	~ Qp •	(2.36)dt \ dq j dq dq yПеремещение любой точки системы определяется равен¬
ствомy{xt) = q(t)v(x),	(2.37)где v(x) — функция формы (базисная функция), выра¬
жающая прогибы точек системы при <7 = 1 (рис. 2.13,6) .Обобщенную силу Qp внешних нагрузок Pi(t) най¬
дем из условия, что произведение Qp на вариацию 6q
должно давать виртуальную работу сил Pi(t), вызван¬
ную перемещением 6q, т. е.б AP*=QPSq = P1v1&i + ...+ PnvnSq.Сократив на бq, получим выражение для Qp*Qp=SVi,	<2-38>i=lиз которого следует, что выражение обобщенной силы лю¬
бой системы внешних нагрузок можно составить как вир¬
туальную работу этой системы сил на перемещениях,
определяемых функцией формы, т.е. при q = 1. Этот
способ определения обобщенной силы справедлив для
любой системы сил — сил инерции, упругих сил и т. д.
Совокупность перемещений v\,...,vn представим какбазисный вектор v, а силы Pi,,.., представим как век¬
тор сил Р. Тогда вместо (2.38) можем написатьQp=(p •»)=?*•?,	(2.39).где	.' Pi~Vi; v =•-Рп--Vn-В (2.39) круглыми скобками отмечено скалярное произ¬
ведение векторов Р и v. В правой части (2.39) Qp пред¬
ставлено как произведение Рт (транспонированный стол¬
бец Р) на вектор v в соответствии с обозначениями, при-31
пятыми в операциях над матрицами. Оба обозначена
(2.39) соответствуют одному и тому же выраженц
'(2.38) и будут использоваться в дальнейшем.' пКинетическая энергия масс будет Т = тг y-J2, ц,i=iтак как для любой точки i на основании (2.37) y^qty
то у, = qvi, поэтомуТ = (q42) 2 Щ. г§ =.(?*/2) М.	(2.40)г=1Величина М называется инерционным коэффициентом
или обобщенной массой системы, соответствующей ко
ординате q:ПМ = 2 tn. vj + j dm иг (a) .	(2.41i~ I	sВ выражении (2.41) к сумме добавлен интеграл на тЯ
случай, если на длине s звеньев системы кроме сосре
доточенных масс гйч имеется распределенная масс
пг(х).Потенциальная энергия U накапливается в деформи
руемых элементах системы (например, на рис. 2.13 — d
консольной балке АС и пружине В). Энергия дефор¬
мации пропорциональна квадрату перемещений. Поэто
му можно записатьt/ = ('i i/2)?2,	(2.4!где множитель г я имеет смысл обобщенной реакции си
стемы, отвечающей <? = 1. Если по направлению обоб
щенного перемещения y—q ввести связь и дать ей сме
щение q = 1„ то ?\% можно представить как реакцию в
этой обобщенной связи (см. рис. 2.13,6). Формула (2. 42)
в этом случае выражает равенство работы обобщенной
упругой силы г и и энергии деформации упругих элемен¬
тов системы.Вычислим производные, содержащиеся в уравнений
Лагранжа (2.36), используя выражения (2.40) и (2.42):дТ . d I дТ\ .. дТ	dUqM\	= fM\ —— = 0; —— еаугц.dq	dt \ dq j	dq ’ dqПодставляя их в уравнение (2.36), приведем его к видуq+a<iq = Qp(.t)/M,	(2.43)где		05 У ги!М.	(2.44)32
Рис. 2.14Рис. 2.15Сравнивая выражения (2.3) и (2.43), видим, что
уравнения движения, записанные через непосредственное
перемещение массы у и через обобщенное перемещение
q, совершенно аналогичны. Отличие состоит лишь в. том,
что обычные силы P(t) и масса т в последнем заменя¬
ются обобщенной силой (2.38) и обобщенной массой
(2 41). То же относится и к формулам для частоты (2.4)
и (2.44).Для свободных колебаний QP(t)= 0, и уравнение(2.43) получает вид qJra2q=0. Его решение по форме
совпадает с решением (2.9) q=A sin(ft^+<po). Каждая
точка t системы при этом движется по гармоническому
закону с частотой со, а перемещения точек определяются
базисной функцией (или векто^рм) v{x):У1	= Я» (*;) — A sin (со/ -f- ф0) vt.Значения А и фо определяются из начальных условий.Заменим в формуле (2.44) гп через энергию по вы¬
ражению (2.42), в котором положим <7 = 1, ry\ = 2U.
Здесь U — потенциальная энергия, найденная при q=1.
Выражение (2.44) получит виде>2 = 2U/M-, со = V2U!М.	(2.45)В таком виде оно известно как формула Рэлея.^Рассмотрим несколько примеров использования формулы Рэлея
и сообщенной координаты в системах с одной степенью свободы.Найдем частоту свободных горизонтальных колебаний системы
2 и(КИХ ЗБеньев’ имеющих постоянную погонную массу т (рис.)■ Упругими элементами системы являются диагонали с жестко-
тыо Ер Примем за обобщенное перемещение ординату q. Для лю-
и ™чки y = qv, где v—x/H.Обобщенную массу, соответствующую базисной функции v, най-по формуле (2.4J):	■. ' '
Здесь 2mdx — масса элемента двух стоек, а тл — сосредоточенна?
масса ригеля. Потенциальная энергия деформации диагоналей, полу
чивших удлинение AL=q cos а, при q= 1 будет(7 = 2 (NAL/2) = EFkWL = EF cos2 a sin а/Н.По формуле (2.45) получим квадрат частотысо2 =2U/M= 2EF cos2 a sin а/тН [I + (2/3) Я].Пусть на ту же систему действуют три одинаковые силы P(t)
Требуется составить уравнений движения. По формуле (2.38) найдеа
выражение обобщенной силыПQp = р Ptvt = p$ll+P Щ (2/3) + р (0 (1/3) = 2 Р Щ,Используя (2.43), получим уравнение движения:q + со2? = 2Р (t)l[ml + (2/3) тН].Рассмотрим второй пример (рис. 2.15). Балку постоянной жес1
кости EJ, несущую распределенную погонную массу m=const и дв
сосредоточенные массы пц и т2, приближенно представим как систе
му с одной степенью свободы. Прогибы ее зададим в виде у== q(t) v(x), гдеv (х) — 1 sin (лх! I).Найдем период свободных колебаний этой системы. Обобщенна
масса будетМ = щ (1^2/2) -j- тг ( V2/2)” + f mdx sin2 (л*/Щ —о= (т1 + m2 + ml)/2.Энергия изгиба балки при <7= 1 (штрихом обозначено дифферен
цирование по х)Г	IU — (1 /2) [ (v")*EJ dx = (я* £7/2/4) f sin2 (як/0 dx = # £7/4/3.По формулам (2.45) и (2Л0) найдем частоту и периодш еа (я//) ; АEJ/1 (/пх /п2 +	Т — 2л,'(о.В заключение рассмотрим задачу о движении силы Р (безмас
совой нагрузки) с постоянной скоростью Vp по системе, изображе!
ной на рис. 2.16, а. Балки считаем абсолютно жесткими. Погонны
вес балок р, масса m~plg. Вес плавучей опоры G; понтон в план
имеет прямоугольную форму размером аХЬ (о — размер, перпенди
кулярный к чертежу). При заглублении понтона на у на него буде
действовать дополнительная выталкивающая сила, равная yaby, т1
у — вес единицы объема жидкости. Если пренебречь волнообразова
нием и инерционными свойствами самой жидкости, то можно прибли
женно плавучий понтон рассматривать как «упругую» опору с жест
костью c=yab. Такая расчетная схема изображена на рис. 2.16,бСоставим уравнение движения описанной системы, приняв в ка!
честве обобщенной координаты осад- '
«у плавучей опоры y=q. Соответст¬
вующая базисная функция показана
на рис. 2.16,6. На первом и втором
участках функция v(x) имеет выра¬
жения	.Vj=x/l; vn = (x/l) — 2 (х — [)/l.(2.46)Обобщенная масса системы с учетом
симметрии будет
IМ — 21 v\ mdx + tn1 l2 = ml -f тъЭнергия деформации «упругой» опо-;-
ры U = cq2j2. Поэтому при q = 1 по¬
лучим 2 U—c=yab. По формуле
(2.45) найдем частоту и период сво¬
бодных колебаний системыРис. 2.16а> =\/ГуаЫ(т1-\- т±)\ Т — 2л/а>.(2.47)Рассмотрим движение силы в пределах первого пролета 0<хР</.
Обобщенная сила по выражению (2.38) будетQlp = PVl(xp) = РхрП = PVptll.Обозначим через x=l/Vp— время движения силы на длине пролета.Тогда	-(2.48)(2.49)Q'p = Ptl т.Подставляя (2.48) в (2.43), получимq -\- a? q = Qlpl М = Ptl Мх.Общий интеграл уравнения (2.49) имеет видq — Ci cos соt + С2 sin (at + Pt/Mxai2.	(2.50)Использовав начальные условия q(0) =q(0) =0, найдем C| = 0;
C2 = — Я/Мтш2. В частном решении [последнее слагаемое (2.50)]
величина Р/Мсо2=Р/^ай = уСт имеет смысл статической осадки пон¬
тона от силы Р, расположенной над ним. Решение (2.50) представим
окончательно в видеq —— (уст/<£>) sin to/ -f- уст t/x; 0<1<х.	(2.51)При движении силы по второму пролету решение можно полу¬
чить путем продолжения выражения (2.51) на отрезок времени т<
<^<2т и вычитания из него аналогичного выражения, но записанного
относительно переменной (t—т). Это следует из рис. 2.16,г, где пра¬
вый участок базисной функции, по которому строится правая часть
Дифференциального уравнения движения, представлен как разность
°Рдинат двух прямых, прямой tVP/l (пунктирная линия) и ординат3*35
| 1(t—T)VP/l, заключенных между
пунктирной и сплошной линиями.В результате для участка И полу¬
чимд =— (г/ст/ш) sin Ш + уст tlx —2хК [— (г/ст/“) sin « (* — т) +-ь i/ст — т)/т]; (2.52)т С t « 2т.При сходе Я со второго про¬
лета для i>2т решение однород
ного уравнения (при нулевой пра
вой части) будет выражать свободные колебанияq = q (2т) cos со (t — 2т) 4- 2 sin ® (t — 2т); (2.53соI ft 2т,где <7(2т) и q(2т)—обобщенная координата q и скорости ее изме¬
нения, определяемые по (2.52) при t = 2т.На рис 2.17 изображен, график функции q(t), построенный п<
формулам (2.51) — (2.53) для двух случаев скоростей движения силь
VР\ на рис. 2.17, а для т>Т (медленное движение силы), а на рис
2.17,6 — для т<^Т (быстрое движение силы). Термины медленное
быстрое относятся к сравнению времени т прохождения силой про
лета I и периода свободных колебаний Т. Как видим, при медлен
ном движении силы осадка понтона г/^и”х достигается при нахожде
нии силы Р в пролете. При быстром движении силы система н
успевает быстро среагировать на действие силы Р, и наибольшая
просадка понтона г/^ианх достигается уже после схода силы со вто¬
рого пролета. На этих рисунках пунктиром показано частное реше
ние для q(t), представляющее статическую линию влияния осади
понтона от силы Р, изображенную на оси времени.§ 2.4. Влияние сил сопротивления на свободные колебания.Гипотеза вязкого тренияИз практики известно, что свободные колебания ме¬
ханических систем с течением времени затухают. При¬
чиной этого служат различные процессы, сопровождаю¬
щие упругие колебания; трение в опорных закреплениях,
трение в соединениях, имеющих упругий натяг (конст¬
рукционное трение), отступления от идеальных условий
деформирования конструкции и ее основания, вызванные
упругими несовершенствами реальных материалов, вза¬
имодействие колеблющейся системы с внешней средой
(воздух, жидкость) и т.д. Иногда в колебательную си¬
стему вводятся специальные устройства с повышенным
проявлением сил сопротивления, предназначенные для
гашения колебаний (демпфирование колебаний).36
Различные виды сопротивлений колебаниям условно
можно разделить н.а две категории — внутреннее сопро¬
тивление (трение), связанное со свойствами материала и
конструкции, и внешнее сопротивление. Ввиду сложно¬
сти и многообразия факторов, влияющих на сопротивле¬
ние колебаниям, не существует единой теории, одинако¬
во пригодной для учета всех видов внутреннего сопро¬
тивления. Имеется обширная литература по этим
вопросам (см., например, [27, 29, 41, 43, 49, 50]). Здесь
мы рассмотрим прежде всего важные для строительных
конструкций вопросы учета в«утреннего сопротивления
колебаниям, обусловленного свойствами материала кон¬
струкции.Немецким ученым, работавшим в области физики и
теории упругости, Вольдемаром Фойгтом (W. Voigt,
ШЙ—1919 гг.) была предложена гипотеза вязкоупруго¬
го деформирования материала как обобщение закона
Гу ка. Несмотря на ее недостатки, вскрытые в задачах
динамики позднее, модель вязкого трения (часто в не¬
сколько исправленном виде) до сих пор широко приме¬
няется. Рассмотрим эту модель подробнее.Закон вязкоупругости по гипотезе Фойгта записыва¬
ется в виде	.а — Ее + х£е,	‘(2.54)где Е — модуль упругости; х — коэффициент, характеризующий вяз
кость материала (он имеет размерность времени); e=de/dt— ско¬
рость изменения деформации во времени.При отбрасывании второго слагаемого получаем
обычный закон Гука; отбрасывая первое слагаемое, име¬
ем соотношение, аналогичное закону Ньютона для вязкой
жидкости. Механической моделью соотношения (2.54)
может служить элемент, содержащий идеальную линей¬
но-упругую пружину и вязкое сопротивление в виде ци¬
линдра с вязкой жидкостью, в котором движется пор¬
шень, имеющий малое отверстие (рис. 2.18).Соотношение (2.54) можно записать как сумму упру¬
гого as и вязкого Of напряженийcr = 0s + (TF,	, (2.55)где	'os = Ее.-,	(2.56)о> = у.Ее ш %as .	(2.57)37
Рассмотрим далее систему с одной степенью свобо¬
ды, для которой все перемещения и деформации опреде¬
ляются координатой y — y(t), а напряжения — внешней
силой R=R(t) (рис. 2.19,а). В такой системе напряже¬
ния as и ар можно представить как результат действия
соответствующих внешних сил — упругой 5 и вязкой F,
Между собой они связаны, очевидно, так же, как и на¬
пряжения (2,57), т, е. F=xS, Итак, имеемR = S + F,	(2.585упругая сила 5= гцу,	(2.59вязкая сила F — xS = яги!/.	(2.60Соотношения (2.58) — (2.60) показывают, что в про¬
цессе движения массу т можно считать связанной как
бы с двумя элементами: с линейно-упругой балкой же¬
сткостью Гп и с вязким элементом, имеющим характери¬
стику вязкости иг и и силу сопротивления, пропорцио¬
нальную первой степени скорости у (рис. 2.19,6).Мысленно представим теперь такой эксперимент: в
системе на рис. 2.19,6 удалим массу т и введем в этой
точке связь, которую принудительно заставим переме¬
щаться по гармоническому закону с частотой р и ампли¬
тудой Л:y = Asinpt.	(2.61)Со стороны связи на балку будет действовать сила (ре¬
акция в связи) R=S-\-f. Найдем по формулам (2.59) я
(2.60) закон изменения этих сил:5	Щ = у = rn A sin pt = sin pt;	(2.62F (t) = xS = xr^Apcos pt = F0 cos pt.	(2.63Исключив из (2.62) и (2.63) время (sin2 pt-{-cos2 pt —
= 1), получим уравнение эллипса[FI /'о)2 + (у! А)2 = 1.	(2.64)На основе этих зависимостей на рис. 2.20 изображе¬
ны графики изменения сил F, 5 и R = S-{-F при цикли]
ческом изменении прогиба у. Как видим из выражений
(2.62), (2.63) и из графиков, вязкая и упругая силы из]
меняются во времени со сдвигом на четверть периода
(четверть цикла).Работа силы S за полный цикл колебаний равна ну¬
лю. Работа силы F равна площади эллипсаШ = UFa А.	(2.65)
Рис. 2.19A_jТакое количество работы необратимо затрачивается на
преодоление сил вязкого сопротивления за каждый цикл
колебаний. Величина Ua = 0,5 SaA представляет потен¬
циальную энергию деформации системы в амплитудном
состоянии. Отношение1|)и= Ш1и A = nFQAI0,bSAA = 2яхр	(2.66)называется коэффициентом поглощения энергии коле¬
баний (или иначе — коэффициентом диссипации, т. е.
Рассеивания энергии). В процессе свободных колебаний
Рассеивание энергии может компенсироваться только за
счет уменьшения кинетической энергии движения массы.39
Это и приводит к демпфированию, т. е. к затуханию ко¬
лебаний во времени. Сила F поэтому называется сило!
демпфирования.	-Составим теперь уравнение свободных затухающи)
колебаний массы, учитывая, что восстанавливающая
сила, приложенная к ней со стороны конструкции, буде’!R = S-\-F, По принципу Даламбера с использование?»
(2.59) и (2.60) получим S+F—/==0, или гп£/+xr,iy-\-
in у — 0. Перепишем это уравнение так:У • 2/( у -j- и)(‘,у •= 0,	(2.67где введены обозначения2 п = x(0q; (0q = tgj/т.	(2.68Последнее равенство выражает квадрат частоты свобод
ных колебаний без учета затухания.Подстановкой можно проверить, что решение урав
нения (2.67) имеет виду = Ae~ni sin (со/ + ф0).	(2.69Используя начальные условия t = 0; у=уо\ У=Уо, най
дем постоянные А и ф0 [см. формулы (2.10)]:А = ]/~ у\ + ( Уо + пУ())2/й? ;	(2.70tg Фо = Уо “/('/» + «г/о) •	(2 -71Здесь через со обозначена частота затухающих свобод
ных колебаний		со = |/со2 — д2 ,	(2.72Для реальных конструкций п<Ссоо, и поэтому npaKJ
тически частоты ю и соо считаются одинаковыми. На рис,
2.21 изображен график затухающих колебаний по урав¬
нению (2.69). Пусть при t = ti sin(a>^+cpo) =1 и г/; =
=Ai = Ae~nti. Через отрезок времени 7’ = 2я/со получим
yi+. =Лг+1=Ле_п(‘^ : . Отношение соседних амплитуд ,
(Ai/Ai+i) =en7' = const. Значение этого отношения обыч¬
но очень близко к единице, поэтому в качестве количе¬
ственной характеристики затухания принимают вату!
ральный логарифм отношения2 л8 = In (AiJAi+l) = пТ = — — .	(2• 73)j
учитывая, что (Oo~ci>, получим логарифмический декре-;
мРнт колебанийм	6 = яиш.	(2.74)Как видим, гипотеза вязкого трения приводит к тому,
что декремент колебаний (2.74) линейно зависит от час¬
тоты со (рис. 2.22). В этом смысле говорят, что гипотеза
вязкого сопротивления дает эффект частотно-зависимо--
го внутреннего трения. В то же время многочисленные
эксперименты показывают, что для данного материала и :
максимального уровня напряжений (при котором проис¬
ходят колебания) значение декремента остается практи- -
чески постоянным, что отмечено на рис. 2.22 пунктиром, -
т.е. фактически внутреннее трение в материале проявля¬
ет себя как частотно-независимый фактор. Указанное
противоречие является недостатком гипотезы Фойгта в.'-
задаче учета внутреннего трения.Заметим, что полученная на основе гипотезы Фойгта
пропорциональная зависимость затухания от частоты-
колебаний является довольно очевидной. Действительно, '•
чем выше частота колебаний, тем больше скорость дви¬
жения у. Но именно скорости у пропорциональна вяз¬
кая сила сопротивления F (2.60). Коэффициент дисси¬
пации (2.66) также оказывается пропорциональным ча¬
стоте по этой причине.	. ,§ 2.5. Учет сил сопротивления по теории неупругого
поглощения энергии	tВ результате многочисленных экспериментальных и'
теоретических исследований вопросов учета внутреннего
трения при колебаниях были выяснены следующие ос¬
новные положения, которые легли в основу так называе¬
мой теории неупругого поглощения энергии колебаний. -
Рассмотрим их применительно к системе с одной сте-','
пенью свободы:	.	' 'а)	при установившемся циклическом изменении пе-'
ремещения у в пределах ±А (рис. 2.23) зависимость
между силой R и перемещением у неоднозначна: полно-.
МУ циклу соответствует замкнутая гистерезисная петля.
Для гармонических колебаний она может быть принята
в виде узкого вытянутого эллипса;	,б)	суммарная сила R может быть представлена в ви-/суммы упругой силы 5 и силы неупругого сопротив- ’ления F:;	P = S-'rF,	(2.75)41
которые изменяются в,.
времени циклически с
сдвигом по фазе на цет_
верть периода: их амщц*
тудные значения ±SA j
±F0 достигаются в щ
менты, отстоящие друг 3
друга на 774.Эти два положения
как видим, внешне сов-J
дают с картиной, полуЗ
емой по гипотезе вязкоп
трения (см. рис. 2.20).
чественная разница состе
ит в том, что в отличие о:
гипотезы Фойгта здес!
сила неупругого сопротивления F не связана с вязкость*
и практически не зависит от скорости нагружения-раЗ'
грузки, т. е. от частоты колебаний.Площадь петли гистерезиса ДU выражает необрату
мую часть работы внутренних сил за один цикл. Для эj
липтической петли гистерезиса по формуле (2.65) AU=
= nF0A. Эта работа равна энергии, поглощаемой за счет
упругих несовершенств материалов реальных конструг
ций (микропластические деформации, накопление вну
ренних повреждений и микроразрушения, тепловые э<
фекты и т.д.). Аналогично (2.66) представим коэфф
циент поглощения энергии г(з как отношение энерги
поглощаемой за один цикл, к амплитудному значени
потенциальной энергии деформации:щ = Дu/U = nF0 Л/0,55л А=2я (F0/SA) = 2лу. (2.7Здесь у = /го/5а представляет отношение амплитуд не
упругой и упругой сил (см. рис. 2.23) и называется ко
эффициентом неупругого сопротивления. Он отличаете
от гр лишь множителем 2я и более часто используется
расчетах.Многочисленные эксперименты показали, что коэф
фициенты if. и у практически не зависят от частоты коле¬
баний. Для многих строительных материалов в опреДе'|
ленном диапазоне изменения напряжений (амплитуд
они могут быть приняты постоянными. В машинострой]
тельных сталях они зависят от уровня напряжений ^
амплитуд А, т. е. -ф = ij? (/4). Таким образом, по рассМЩ42
io;i теории внутреннее трение является частотно-
РИВ ннснмыд!, а коэффициенты -ф или 7 могут служить
H63d количественными характеристиками. Остановимся
еГ°„вух вариантах использования рассмотренных поло¬
Н ений при составлении уравнений колебаний.К:пользование условного коэффициента вязкости.
Как сказано в § 2.4, основной недостаток гипотезы вяз-
о рения состоит в том, что. коэффициент диссипации
2.66) и декремент колебаний б (2.74) пропорцио¬
нальны частоте колебаний. В целом же картина затуха¬
ния даваемая этой гипотезой, является приемлемой, а
равнший колебаний (2,67) — достаточно простым. По¬
этому часто в расчетах для учета внутреннего сопротив¬
ления используют вязкое трение, но с условным коэф¬
фициентом вязкости ху. Последний назначается так, что¬
бы при х=ху коэффициент диссипации (2.66) был
равен коэффициенту поглощения энергии f (2.76), яв¬
ляющемуся (в определенной степени) константой мате¬
риала. При этом сам коэффициент ху, естественно, не
будет физической постоянной материала, как это пред¬
полагалось в гипотезе Фойгта (2.54).Приравнивая (2.66) и (2.76), получим 2л%ур = 2пу,
откуда*у = yip;	(2-7?)где р — частота гармонических колебаний, равная со для
свободных колебаний системы и 0 для вынужденных ко¬
лебаний. Подставив ху (2.77) при р = со в (2.74), полу¬
чим соответствующий логарифмический декрементб	= яку со = я-j).	(2.78)Он также оказывается постоянной, частотно-независимой
величиной. Как видим, применение условного коэффи¬
циента вязкости ху (2.77) устраняет отмеченный выше
недостаток гипотезы вязкого трения. Однако это имеет
ат„чные обоснования лишь для гармонических кйлйг
приближенно гипотезой условного вязкого
Р^ния пользуются и для циклических колебаний, близ-
‘ J5 гаРМоническим.среди Я расчетовц строительных конструкций в области
м, Их значений амплитудных напряжений од реко-гоп согфоти Лед^юш,ие значения коэффициента неупру-43
Бетон и железобетон ,0,1 Дерево . . . . . . .0,06
Кирпичная кладка . . .0,08 Прокатная сталь . . .0,025Для малых напряжении ад<а* в соответствии
графиком на рис. 2.24 коэффициент у принимается п(
линейной зависимости	/а*, где а* № 0,02 R, R-расчетное сопротивление материала. Два других пара
метра ip и 6, характеризующие внутреннее трение мате
риала конструкции, связаны с у на основании (2.76) i
(2.78) соотношениямиу — г|;/2я = б/п.	(2.79Учет внутреннего трения в комплексной форме. Для аналитиче
скота описания теории частотно-независимого внутреннего трени:
проф. Е. С. Сорокиным разработан метод составления уравнений ко:,
лебаний в комплексной форме [41]. Толкование усилий и перемеще
нНй как комплексных величин позволяет достаточно просто в анали
тической форме учесть наличие сдвига на четверть периода у упру
гой и неупругой сил (2.75) (наличие фазового угла сдвига л/2).Изменение сил S(t), F(t) и перемещения y(t) в процессе коле
баннй можно трактовать как изменение вертикальных проекций со
ответйтвующих векторов при их вращении, вызванном изменением уг
ла ф = ф(0 (рис. 2.25). Пусть эти векторы изображаются на коми
лексной плоскости (на рис. 2.25 Re — действительная часть, 1т-
мнимая часть векторов). Комплексные величины будем отмечать
звездочной. Коэффициент у (2.76) даег соотношение между моду¬
лями векторов | F* [ =у JS* [.	.Из теории комплексных величии известно, что умножение комп¬
лексного вектора на i= y*-rl создает поворот этого вектора на уго;
я/2. Поэтому связь между F* (t) и S (г) во времени в комплексной
форме запишется очень просто: F* = iyS*, а суммарная сила К* бу¬
дет4* = S* + Я* = ( 1 + VI) S* = (1 + » т у* ■ (2.80;В общем случае на массу т действуют три силы: восстанавли¬
вающая R* (2.80), сила инерции /* = —ту* и внешняя сила, которая
должна быть также записана как комплексная величина Р*. Напри¬
мер, если P(t)=PasmQt, то Р* =—Ров1®1. На основании принципа"Г6*Рие. 2.2444
Даламбера получим R*—/*—Я* = 0, или	- ... .■ - -	-¬1	т'у* + (\ +yi)rny* = P*. ' - " (2.81)Обозначив гц/т=coq, это уравнение окончательно запишем в виде'/X/ ■	У* + ([ +yi) у” = Р*/т.	. (2.82)К уравнениям (2.81) и (2.82) можно прийти, если ввести поня¬
тие комплексного модуля упругости материала.	£* = (1 + т*)£.	(2-83)связывающего комплексную деформацию е* и напряжение а*о* = £*8* = (1 Н- yi) Ее*.	(2.84)Здесь второе слагаемое соответствует неупругой составляющей на¬
пряжений. На основании некоторых дополнительных соображений
Е. С. Сорокиным для модуля Е* дано выражение■	Е* = (a+bi)E, . . . (2-85)где	.	'■:■■■а = (4 — у2)/(4 + V?); b = 4у!(4 + V2)-	(2.86)Для строительных конструкций при у<1 а»'1 иЕсли сравнить уравнение (2.81) с уравнением (2.1), можно сфор¬
мулировать простое правило составления уравнений движения сис¬
тем с учетом частотно-независимого трения по методу Е. С. Соро¬
кина: составляется уравнение (или уравнения) для линейно-упругой
системы в обычном виде, затем величины перемещений и сил прини¬
маются комплексными, а к слагаемым, выражающим упругие восста¬
навливающие силы, добавляется множитель (a + bi) или (1+у/). Он
создает фазовый угол сдвига я/2 у упругих и неупругих сил систе¬
мы [41, 43].Для свободных затухающих колебаний при использовании комп¬
лексного модуля (2.85) уравнение (2.82) будетУ (о ~h bi) Шд у = 0.Его решение ищется в виде y*=A*eali, где А* и со* — комплексные
величины. После удовлетворения начальным условиям // (0) = t/0;
У(0)=Уо, которым подчиняется действительная часть у*, являющая¬
ся искомым решением (подробности см. [41]), это решение получит«ид	.у = Ае V(0'/2 sin (coi + <р0);А = V~ у\ + -[(VC0J + (Wo/2)]2 ;tg Фо = °>Уо/ f Уо + (УЩо!2)1;(2.87)со = ш0/ V 1 + (у/2)2,	(2.88)где о) — частота затухающих свободных колебаний.Если воспользоваться гипотезой условного вязкого трения и при¬
нять в выражениях (2.70) —(2.72) по равенству (2.77) 2п=ху(Оо =45
= Y(0q/c0«yw> получим те же формулы (2.87). Разница будет толь¬
ко в значении со. Вместо значения (2.88), даваемого комплексной
теорией Е. С. Сорокина, по гипотезе условного вязкого трения по¬
лучимсо = со0 VI - 1уЩр~,	(2.89)При у<1 значения (2.88) и (2.89) очень близки. Практически, как
указывалось, принимают co«co0. Оба решения дают затухающие ко¬
лебания (см. рис. 2.21) с частотно-независимым декрементом б = л/у
(2.78).§ 2.6. Гармонические колебания системы с одной степенью
свободыРассмотрим действие синусоидальной силы Р —
= PosinQt на простейшую систему (рис. 2.26). При со¬
. ставлении уравнения дви-
ip=poSlngt t	жения учтем внутреннеет i f #*#*/ трение с помощью гипо-<>	©	тезы условного вязкого7'yft)	Грения (2.77). В некото¬рых случаях система мо-
Щг*-3£0 Г	жет содержать элементс внешним вязким сопро-2	26	тивлением (демпфер) с■	И5‘ 1	коэффициентом вязкостит- Поэтому примем, что
общее сопротивление учитывается с помощью вязкого
элемента, имеющего суммарный коэффициент вязкостии = + х0.	(2.90)На массу от балки и демпфера передается сила (2.58)
R,--—S-^rF — ri\yJr%ruy. Запишем условие равновесия
массы по принципу ДаламбераS + F — J — Р — 0,или у ф 2п у + cOq у = Р/т = (PJm) sin Qt,	(2.91)где COq = гх1/т; 2п = хсо^.	(2.92)Общий интеграл уравнения (2.91) представляет сумму
У = Ух + У% = Ai e~nt sin (сot -f <p01) -f A sin (0^ + <p9); ■ (2 .S3)yi — общее решение соответствующего однородного
уравнения, составленное по типу (2.70), Оно выражает,
затухающие колебания с собственной частотой а —=	—п2 ж Ю0; при Ь—>со yi->0; г/2 — частное реше- '■
Рис. 2.27ние, удовлетворяющее право^ части уравнения (2.91 )\
Это чисто вынужденные (установившиеся) колебания
системы; при t-+oo у^~у2.На рис. 2.27 показан график решения (2.93). В нача¬
ле движения имеет место переходный процесс (неуста-
новившиеся колебания). По истечении некоторого вре¬
мени т собственные колебания практически затухают и
система совершает установившиеся гармонические ко-■	лебания с частотой и периодом изменения возмущающей
силы Г=2я/0. Рассмотрим последний случай более по¬
дробно.Пустьу = у2 — A sin (0< + ф0) = A' sin 0/ + A" cos 0^;^' = /4cosq>0; Л"=Азтф0.	(2.94)Для определения постоянных А и фо подставим (2.94) в
левую часть (2.91) и запишем полученное равенство в
виде	'L sin & + N cos & = (PJm) sin 0/ + 0 cos dt.Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе обе¬
их частей этого равенства, придем к системе уравнений
относительно А' и А":L = (со2 — 0?) А’- — 2пдА" = Р0/т;N = 2nd А' + (со? — 02) А" = 0.Отсюда найдемА’- = Р0 (со2 — 02)/тД; А" =— Р0 2пв/тА;Д = (со2—62)+4л?02. .	(2.95)Суммарная амплитуда А и тангенс угла фо .(2.94) теперьбудут	' --47
tg Фо = А"/А' =-2я0/(со2 - 02); A = V(A')2 + (Л")2 =-	PjmV (<*>? — 02)2 + 4n02 .	(2.90Учит Lifts# (2.92) , преобразуем отношение
Pol — РolPn ~~ h ®ii = ^ст -
Как видим, оно равно условному статическому прогибу
от амплитуды силы Р0. Поэтому формулу для А можно
записать так:Л = цЛст; |х = Л/Лсг = 1 /]/[1 —(0/со)2]2 + (2/г0/со2)2 . (2.97)Коэффициент jii представляет отношение наибольшего
динамического прогиба к статическому, вызванному си¬
лой Ро, и называется динамическим коэффициентом.;
С учетом (2.92) и (2.90),и = IiV [1 - (0/®)2]2 + (V + х0 0)2 •	(2.98]Здесь для чисто вынужденных колебаний по равенств)!
(2.77) принято ку=у/0. Если система не имеет демпфе¬
ра с внешним вязким трением (/.о —0), то(,i= l/f/ [1 — (0/со)2]2 +-у2 . ‘ .	(2.99)Графики j.i для ряда значений коэффициента неупру¬
гого сопротивления у, называемые амплитудно-частот¬
ными характеристиками системы, изображены на рис2.28,	а. На рис. 2.28,6 приведен график изменения фо —
фазового угла сдвига колебаний прогибов |/=Л sin (01+
■—j— фо) и силы P = Posin0/', построенный с использова¬
нием (2.96).Совпадение частот собственных и вынужденных ко
лебаний называется резонансом. Для резонансной часто
ты 0Рез = <в имеем.	^рез = I / Т •	(2.100)Ввиду того что v<Cl, при резонансе амплитуды про¬
гибов резко возрастают. Причину этого легко понять.
При колебаниях системы с собственной частотой 0 = о>
в любой момент упругая сила системы S = ruy уравнове¬
шена инерционной силой / =—ту (см. § 2,1). Так как
они образуют взаимно уравновешенную группу сил, они
не в состоянии уравновесить внешнюю нагрузку Р —
= Posin0^. Это может сделать только сила неупругого
сопротивления. Вследствие малости неупругой силы
прогибы оказываются весьма большими (2.100). В ска-
занном можно убедиться непосредственно, если вычис¬
лить и сравнить разность сил (S—/) и неупругую силу
I'=xyS, которые получат значенияS — J = г if А [1 — (б/ш)2] sin (Ш + Фо); F — угц A cos (Ш -f ф0) . .При резонансе нагрузка Р, уравновешиваемая толь¬
ко силами внутреннего трения, должна изменяться во
времени так же, как и эти силы, т. е. со сдвигом относи¬
тельно упругих сил и прогибов на четверть периода.
Этб видно из графика на рис. 2.28,6, где при 0/со = 1
угол <р0=—п/2. В процессе резонансных колебаний про¬
гибы (2.94), отставая от внешней силы, достигают мак¬
симального значения в те моменты, когдЙ сила обраща¬4—75349
ется в нуль, и наоборот. При 0=^<в фазовый угол сдвига
колебаний зависит от 0/®.Таким образом, при наличии сил сопротивления
внешняя нагрузка Р, изменяющаяся во времени по за¬
кону синуса (2.91), порождает установившиеся колеба¬
ния, которые представляются суммой синусоидальных а
косинусоидальных колебаний с амплитудами А' и А"
(2.94). Складываясь, эти два колебания во времени да¬
ют сдвиг по фазе на угол ф0 относительно изменения си¬
лы Р. Отметим, что в пределе при 0/со->-оо угол ф0-н
-и§—я), и изменение прогибов и силы происходит >s
«противофазе»» экстремумы их совпадают, но направле¬
ния противоположны. При этом амплитуда динамическо¬
го прогиба и коэффициент р, стремятся к нулю (см. рис2.28,	а).Изложенное показывает, что неупругие силы, несмот¬
ря на их относительную малость, играют существенную
роль при резонансных или близких к ним колебаниях!
Система как бы «включает» силы внутреннего трения
как резерв, с помощью которого она только и можел
уравновесить внешнюю нагрузку при 0 = (о. Следова¬
тельно, в резонансной зоне (см. рис. 2.28, а) учет сил
сопротивления необходим. В то же время вне ее учеч
их мало сказывается на результатах.Дадим оценку ширине резонансной зоны, в предела?
которой необходим учет внутреннего трения. Обозначий
относительную полуширину этой зоны Ае = (со—0)/<в =
= 1 — (0/со) (см. рис. 2.28, а). Через Дц обозначим отно’
сительную погрешность вычисления динамического ко
эффициента по формуле (2.99) при у = 0:Из анализа формул (2.99) и (2.101)' легко можно по
лучить приближенное равенствоТак, при допустимой погрешности определения динами-;
ческого коэффициента Д(1 = 0,05 и у = 0,1 по формуле
(2.102) получим Аел;±0,16, т. е. учет сил внутреннего,
трения в этом случае необходим только в промежутке
частот 0= (1±0,16)со, Обычно принимается A»»±
± (0,15—0,20).И= 1/[1 -(0/(0)*],(2.101)1Де« + 7/2|/2Д^.(2.102;50
2,7. Интеграл ДюамеляРассмотрим вновь систему с одной степенью свобо¬
ду, показанную на рис. 2.26, но внешнюю силу будем
сЧитать не гармонической, а произвольно зависящей от
времени P = P(t). С учетом вязкого трения напишем диф¬
ференциальное уравнение движения (2.91) :у+ 2tiy+ (i>ly = Р {t)!m\ '((Oq =rll/m, 2п ~ хЩ . (2.103)Общий интеграл уравнения (2.103)	состоит из суммырешения однородного уравнения уi	и частного реше¬
ния У 2- -. У = У1 + Уг-	(2.104)Решение у\ получено в § 2.4 и выражено через на¬
чальные возмущения (2.70), (2.71):г/i = Ae~nt sin (сot -f ф0 ),	(2.105)где А=.Уу1+ (у0 + ny0f/a2 ;tg (р0 = шу0/ (у0 + nyj; со = Уа>1 ~ п2 .	(2.106)Для получения частного решения г/2 при произволь¬
ной функции P(t) решим вспомогательную задачу: най¬
дем перемещение массы от действия на нее начального
мгновенного импульса G (рис. 2.29). Импульс G равен
приращению количества движения ту0, откуда yQ =
G/m. Следовательно, действию мгновенного импульса
G отвечают начальные условия: при £ = 0 у0 = 0; y0 = G/m.
Подставляя их в (2.106), найдем Л = С/та>, ф0 = 0 и ис¬
комое решение с помощью (2.105) запишем в видеу = (Glrna) e~nt sin cof.	(2.107)Для G = 1 обозначим его так:ф (t) = (1/mco) е~‘nt sin (£>t.	(2.108)Функция Ф(0 называется реакцией линейного ос¬
циллятора (системы с одной степенью свободы) на еди¬
ничный мгновенный импульс (рис. 2.30).Теперь, используя Ф(0> легко записать частное ре¬
шение г/2- Для этого представим график P{t) как по¬
следовательность мгновенных элементарных импульсов
dG = P(x)dx (рис. 2.31). Импульс dG по истечении вре¬
мени (t—т) вызовет перемещение dyo = dG<t>{t—т). Сум-4*51
Рис. 2.30	Рис. 2.32мируя влияние всех элементарных импульсов за врем
от 0 до 4 получим перемещение у2 в момент времени t
t t t
у2 = ( dy2 = | Л7Ф (t — т) = Г P (т) Ф (t — t) dx. (2.10!0 0 0 'Окончательно общий интеграл (2,104) с учето)
(2.105) и (2.108) запишется в видеiу = Ae~nl sin (соt + ср0) -}- (1 /тсо) • Р (т) е~'sin со (i — т) dx.(2.11Он называется интегралом Дюамеля. Приведем приме
использования решения (2.110).Пусть сила изменяется по линейному закону Р(х)=Ркх/и и
участке 0<t<tK (рис. 2.32, а). В начальный момент система нахс
дится в покое. Поэтому первое слагаемое в (2.110), учитывающе
начальные условия, будет равно нулю. Внося под интеграл (SLUG
выражение Я(т), получим для 0</</д
у = (Рк/тШк)^ те nU т) sin со {t — т) di =о= [PKlm(0tK (п2 -f со2)] е~т~х)[{пх — a) sin со (/ — т) +(сот — 6) cos со (( — т)] |q,где а= (п2 —ю2)/(п2 + ш?); р = 2пт/(п2 + со2).	(2.1/1)Подставляя пределы интегрирования t и 0, приведем выражение
для у к видуУ = \РК1 twtK(n? 41 со2)] [(“< — й + е~п‘ (а sin + Рcos со*)](2.112)(0<U^).Примерный вид графика, построенного по (2.112) на указанном
участке времени, изображен на рис. 2.32,6; пунктиром показана ли¬
нейная часть выражения (2.112).При t>tK система будет совершать свободные затухающие ко¬
лебания, вызванные смещением ук. и скоростью ук, полученными мас¬
сой в момент t = tK. Эти величины вычисляются с использованием
(2.112), после чего выражение для у при /><я может быть состав¬
лено с помощью формулы (2.105), если принять за начало отсчета
времени, фигурирующего в этой формуле, точку t=tK. Это означает,
что в (2.105) вместо аргумента t надо поставить (t—tK) (рис. 2.32,6),
что дает '	’	.у = Ae~n(i~tK') sin [со (/ — ^) + ф0]; t>tK. (2.113)Значения Л и фо вычислим по формулам (2.106), полагая в них
У<~Ук И уа = ук.§ 2.8. Численная реализация интеграла ДюамеляОпределение функции y(t) путем вычисления определенного ин¬
теграла (2.110) при сложной функции Р(х) в аналитической форме
Довольно громоздко, а часто и вовсе невыполнимо. Поэтому при ис¬
пользовании решения (2.110) применяют различные квадратурные
формулы. Их применение основано на той или иной аппроксимации
подынтегрального выраже¬
ния в (2.110). Используется
замена подынтегральной
Функции ступенчато-посто-
яипыми функциями, кусоч¬
но-линейными, отрезками
парабол и т. д. Соответст¬
вию используются форму¬
лы прямоугольников, трапе¬
ций, Симпсона и т. д., при¬
меняемые для вычисления
определенных интегралов в
численном анализе.Изложим прием числен-
Юго определения функции	Рис. 2.33
y(t) с помощью интеграла Дюамеля, дающего высокую точней
и существенную экономию времени при вычислениях на ЭВМ, раз!,
работанный В. М. Осокиным. В основе описываемого способа
жат два положения. Первое состоит в том, что заданная завис;?
мость P(t) заменяется кусочно-линейной функцией, т. е. график Р(1
представляется как набор трапецеидальных импульсов (рис. 2.33)1Pi Ш = т,где Bt = (Pt — Pi-i)/ ДтAi — Pt — Bt(2.114Второе положение состоит в том, что в каждой точке t=fi
t=tk+i и т. д., где определяется состояние колеблющейся системь
вычисляется не только само перемещение y(t), но и скорость y(tl
Поэтому при переходе от t = tk к моменту t = tk+\ можно за начал|
отсчета времени принять точку t = tk и значение г/*+1 получить в ви
де суммы■Ук+г = Ли	sin [со (t - th) + cpoft] + 2 biji (t), (2.11где постоянные Л* и ф0* аналогично (2.113) определяются по фор
мулам (2,106), в которых за начальные перемещения и скорост
принимаются ук и у к. Величины Ay,(tit+i) . получаются от каждогЛ
г'-го трапециевидного импульса, заключенного между точками k I
А + 1 (см. рис. 2.33). Подставляя (2.114) под интеграл (2.110), дл!|
At/i получим выражение%.Ay. (t) = (1 //исо) | (AiJrBix)e п[-1 х) sin со (t — т) dx =
xi—l= [(е~1г(-*~TVmco (re2 + со2)] {[геЛ; + (пт — a) Bj] sin со (t — т) +т.+ [соЛг- + (сот — Р) В;] cos со (t — т)} | (t = th+l), (2.116)1Скорость в точке t = tk+x, так же как и во всех других точках, опре¬
деляется по формулам, аналогичным (2.115) и (2.116), которые по-j
лучаются путем дифференцирования по t этих выражений.Указанным путем, последовательно переходя от точки k к точ¬
ке /г+1, можно вычислить точные значения функции y(t) и ее про-]
изводной y(t) для любой кусочно-линейной функции P(t). Опыт вы-]
числений показывает, что использование данного приема сокращав,
время вычислений в 10 и более раз по сравнению с непосредственные
использованием квадратурных формул. Число трапецеидальных им-]
пульсов М, которыми заменяется истинная зависимость P(t), мо|
жет быть достаточно велико (М=1000), что обеспечивает очень хо-|
рошую аппроксимацию кривой P(t). При этом состояние системы i/a]
и у и (к 1, 2,..., N) может определяться в значительно меньше»
числе промежуточных точек временной: оси (/V«100).54
с 2 9. Использование численных методов для решенияуравнений движенияВ связи с широким использованием ЭВМ в настоя¬
щее время большие возможности в решении задач ди¬
намики открывает применение методов численного ин¬
тегрирования уравнения (или уравнений) движения.
В этом случае становится возможным решение не только
линейных, но и нелинейных уравнений, представляющих
в общем случае большие трудности для получения реше¬
ния. Существует несколько методов численного интегри¬
рования уравнений движения, успешно используемых в
программах динамического расчета конструкций. Неко¬
торые из них будут описаны в гл. 5 в связи с использова¬
нием метода конечных элементов в динамике сооружений.
В этом параграфе на примере системы с одной степенью
свободы вначале дадим общее представление об одном
из наиболее распространенных методов, программы реа¬
лизации которого имеются в библиотеках математическо¬
го обеспечения практически для ЭВМ любого типа. Это
так называемый метод (а точнее методы) Рунге — Кутта.
Его использование в виде стандартных программ позво¬
ляет решать разнообразные динамические задачи как в
учебной, так и в инженерной работе.Рассмотрим дифференциальное уравнение первого
порядка	,у= F (t, у). .	(2.117)Например, пусть F(t, у) =ty. Тогда уравнение (2.117)
получит вид dy/dt = ty или dy/y — tdt. Интегрируя это
уравнение, найдем у = Се*‘/2, где постоянная С должна
быть найдена из начальных условий: при t = 0 у = у(0).
Таким образом, мы пришли к задаче, когда в общем слу¬
чае надо интегрировать уравнение (2.117) первого по¬
рядка с заданными начальными условиями. В математи¬
ке она называется задачей Коши.Геометрически уравнению (2.117) отвечает семейст¬
во кривых (рис. 2.34). Каждому начальному значению
У{0) отвечает своя кривая. В любой точке с координата-
Ми„ Ук) с помощью функции F(t, у), стоящей в пра¬
вой части (2.117), можно определить тангенс угла на¬
клона yh к соответствующей кривой семейства. Такая
геометрическая интерпретация подсказывает простой
способ нахождения кривой, отвечающей данным началь¬
ным условиям. А именно: точки кривой можно найти,55
Рис. 2.34	Рис. 2.35если, начиная из начальной точки, по шагам продвигать¬
ся вдоль нее с помощью малых отрезков касательных
Так, для перехода из точки (th, у к) в соседнюю точку
(ik+At, уа+Аук) надо вычислить Дук = Atyk =
xF(th, yk) (рис. 2.35). Тогдаyh+i = yk + MF (th, г/ft)-	(2.118)Формула (2.118) выражает простейший метод чис¬
ленного интегрирования уравнения (2.117) — метод Эй¬
лера. Его же называют методом Рунге—Кутта первого
порядка. Название «первого порядка» связано с тем, что
он соответствует разложению кривой y(t) в ряд Тейлора
по степеням Дt и удержанию лишь первого линейного!
члена ряда. Слагаемые с At2 и более высокого порядка
отбрасываются, следовательно, погрешность формулы
(2.118) имеет порядок At2, что записывают в виде О (At2).
Формула (2.118) позволяет перейти в следующую точку,
произведя однократное вычисление правой части
Fiptk, у к).Недостаток метода состоит в том, что с увеличением
числа шагов быстро накапливается погрешность е% (от¬
мечено штриховкой на рис. 2.35).Наиболее употребителен метод Рунге — Кутта чет-,
вертого порядка, согласно которому переход от tk к th-и
выполняется по формулам [22]:Ук+г = У	/=(' 'Щу + 2 f2 + 2/з + /4) > (2-119)где	,-	i = 1 (tk I Ун) > /2 — F (th -j- 0, 5Дt, уь -j- 0,5Д^/i);
h = F (tk + 0,5Д/, yh + 0,5Д//,);' /„ - F (/* -f Л/, » + Щз)-56
При этом требуется четырехкратное вычисление функ¬
ции F в (2.117).Геометрически формула (2.119) выражает переход от
точки k к точке k+1 с помощью секущей, проведенной
с некоторой крутизной f (тангенсом угла наклона),
обеспечивающей достаточно малую погрешность e4<^ei
(рис. 2.36, а). При этом крутизна f получается как сред¬
невзвешенная величина из четырех величин /1—/4, по*
следовательно вычисленных с помощью правой части
уравнения (2.117) в четырех точках 1—4, показанных
на рис. 2.36, б. Погрешность формул (2.119) 0(А^5), т.е,
значительно меньше, чем у формулы (2.118).Следует иметь в виду, что общая погрешность возрас¬
тает с увеличением длины отрезка интегрирования О—t.
Она может быть уменьшена выбором достаточно малого
шага Дt, но при этом увеличиваются затраты машинно¬
го времени. Рациональный шаг At в конкретной задаче
может быть определен пробными расчетами. Существу¬
ют алгоритмы и программы с автоматическим выбором
шага интегрирования, обеспечивающим определенную от¬
носительную точность решения.Мы рассмотрели задачу интегрирования одного урав¬
нения. Но формулы (2.119) легко обобщить и на случай
системы уравнений первого порядкаГ = у), ■, - (2.120)
V Pft) /г,, =.fa ft)(мм)/\7 = 2ЧГ^т/гп-1с7\/\/\Ч(V/\~N/\/\/кV112//\S\/\У/,Ч.0,1сРис. 2.37г/iг/ =JJn _; # =-У 71; ? =.Fn _гдеВ этом случае формулы (2.119)' применяются в отно¬
шении каждой компоненты уи ..., уп вектора у, а все ве
личины, входящие в эти формулы (кроме независимой
переменной t), надо понимать как векторы, например- » + 01 7= (1/6) th + 2/, + 2/з + £|| К- = F bk. № 1и т. д.К системе уравнений (2.120)’ может быть сведена за¬
дача интегрирования уравнения движения, имеющего
второй порядок. Пусть дано уравнение движенияу -{-2пу + (й* у = Р (t)lm.	(2.121)Введем обозначения у, -у\ г/2 = г/. Тогда вместо (2.121 |
можем написать эквивалентную систему первого порядка
У£ = Уз',Уг — P (()/m — 2ny2 — со2 yit(2.122)представляющую собой частный случай системы (2.120).Приведем пример интегрирования уравнений (2.122), На раму
(рис. 2.37, а), имеющую жесткость ги по отношению ,к горизонталь¬
ному перемещению ригеля у, действует переменная сила' P(t)~
==гц100(//7')е-4,/т, где Г = 1 с—период свободных колебаний рамы.
На рис. 2.37, я изображен график P(t)lru=yст, представляющий ус¬
ловные статические перемещения ригеля от переменной силы P(t).
Найдем динамическую реакцию системы на действие силы в виде
прогибов y(t). Для этого проинтегрируем систему (2.122), приняв
начальные условия: г/,(0)=0; у2(0)=0.Вычисления выполнены на машине «Наири-К» с, помощью стан¬
дартной программы, реализующей применение формул (2.119) мето¬
да Рунге — Кутта. Шаг интегрирования был принят Д/=0,05 с, па
печать результаты выдавались через 0,1 с. На рис. 2.37,6 показан
результат решения в виде зависимости y(t). Сравнение рис. 2.37, а
и б показывает, что в данном случае динамический коэффициентах ~1.5.Результаты, полученные при Д/=0,05 с и при удвоенном шаге
интегрирования Д/=0,1 с, для характерных моментов времени при¬
ведены в таблице.t, с0,61,11,62,12,6у при Дt = 0,05 с
у при Дг = 0,1 с14,261114,2518—6,0830—6,07405,94525,9347—4,4870—4,47593,58323,5719Сравнение говорит о достаточной точности результатов вычислений.Как мы видели, метод Рунге — Кутта требует пред¬
ставления уравнения (или системы уравнений) в нор¬
мальной форме, т. е. в форме, разрешенной относитель¬
но первых производных искомых функций. Существуют
методы, которые специально разработаны для решения
Уравнений движения (второго порядка) и не требуют
сведения этих уравнений к нормальной форме. В гл. 5
эти методы будут изложены применительно к системам
со многими степенями свободы. Здесь дадим трактовку
одного из них — метода линейного ускорения. Это удоб¬
но сделать в простейшем случае на примере интегриро¬
вания уравнения движения системы с одной степенью
свободы, которое запишем в видеmy{t)-\-by(t) + S(y)=:P{t).	(2.123)Слагаемые by и 5 (у) представляют вязкую силу и59
fiРис. 2.38#$Ь41ГГiу/eatРис.2.39.■л-ii!	uупругую (или упругопласти¬
ческую)' силу системы. Бу¬
дем предполагать, что в об¬
щем случае она как-то нели¬
нейно связана с перемеще¬
нием у (рис. 2.38) .Прежде всего линеаризу¬
ем уравнение (2.123). Для
этого запишем его для момента t + M:niy {t -|- At) “j- ь y(t -j- Дt) -)- S Qt ky) ~ P {t + At) • (2 • 124
Вычтем из равенства (2.124) уравнение (2.123). При
swap обозначим &у = у (t+At)—y(t) и AP = P{t i-At)-
—Р((). Кроме того, примем, что S(yJrAy)—S(0W{a:
jdy)Ay = S'Ay. В результате получимяА у+ bt\ij + S' Ay — АР.	(2.121Уравнение (2.125) определяет малое приращение А у з<
время At. ВеличинаS' = dSIdy	(2.12fi|называется касательной или мгновенной жесткостью си
стемы в момент движения t.Теперь поставим задачу свести дифференциальной
уравнение (2.125) к алгебраическому уравнению отно¬
сительно приращения перемещения А у. Для этого будеГсчитать, что при t=tk известны ук, у к, у к- Введем вспо¬
могательную переменную т с началом отсчета в точк^
t = tk и разложим искомые функции в ряд Тейлора п
степеням т, ограничившись слагаемым с т3 (рис. 2.39)'-У = Ук+ St f + Ук т2/2 + yk х3/6;У= Ук + Ук'1 4*' Ук т2/2;У**	Ук +(2.12760
равенства (2.127)’ соответствуют линейному законуи3менения ускорения у(т) на рассматриваемом отрезке
(мени, поэтому данный метод называют часто мето¬
дом линейного ускорения. Из последнего равенства(2.127) найдем ук={у- -уь)/г = Ау/х. ' Подставляя ук в
первые два уравнения (2.127) и обозначая у—yk = &y и-	!>:. -' V/. запишем их в видеД{/ = Ун т + № t2/2 + ЦуМ6;Ду =	»/ьт + Дут/2.Отсюда можно выразить Дг/ и Ду через Дг/, а именно:
Д{/= бДу/т2 — 6yk/x — 3yh-A	129^= ЗДу/т — Зук ftx/2. JОкончательно, подставив (2.129) в уравнение (2.125),
приведем это дифференциальное уравнение равновесия
к алгебраическому уравнению относительно Ду:>;1ДУ = ДР',	(2.130)гдеrn = S + 6т/т2 + 36/т; ДР' = ДР + [(6т/т) + Зй] yk +■+[3m + (br/2)]'yh.	(2-131)Полагая в последних равенствах т=Дt, составляем
на каждом шаге уравнение (2.130), из которого можно
вычислить Ay{At), а далее по формулам (2.129) найтиAt/ и ду. После этого найдем полное перемещение, ско¬
рость и ускорение в точке tk + At:у Vh + д0 = Ук + Ду> у Щ + ДО = Уи 4- Ду",y(tk + ДО = ун + Ьу-Последовательно давая аргументу t приращения At и
каждом шаге вычисляя текущие значения эффектив¬
ной жесткости ги и суммарной внешней силы АР', по-
Хт решение нелинейного уравнения движения
(“123). В таком виде этот метод называется методом
линейного ускорения или методом Вилсона [5, 19].келейно было установлено, что вычислительный про¬
цесс оказывается более устойчивым (см., гл. 5), если в61(2.128)
равенствах (2.131) при основном временном шаге At nq
лагать т = 0А^, где 0>1 (обычно 0«1,4). Кроме того,
линейной экстраполяции для момента tk + QAt полагаь
ДР = 0 [Р {th + ДО - Р ОД.Тогда уравнение равновесия (2.130) будет применено
моменту th+QAt и из него будет найдено приращени!
А//(ОД/) (рис. 2.39, б). После этого по формуле (2.129]для А у при т = 0Д^ вычислим Ay(QAt) и по линейной и]терполяции для t = tk-\-At получим Ay(At) —Ay (QAt)/(j
Подставив эту величину в формулы (2.128) при t = AJ
найдем А у (At) и Ay(At). В такой модификации это|
путь решения носит название 0-метода Вилсона.Изложенный метод может быть легко обобщен на с;:
стему п уравнений. Так, если вместо (2.123) имеем ей}
тему(2,133где М и В — матрица масс и матрица коэффициентов
демпфирования, то основные равенства (2.130) и (2.131)
получат вид[/•'] Д^Г=ДР\	(2.135|где[г'| = R' + (6/т2) М + (3/т) В;АР' = ДР + [(6/т) М + 3B]yh + [ЗА* + (т/2)в] yk.(2.134При т=А/ формулы (2.134) соответствуют метод
линейного ускорения, а при r = 0At — 0-методу Вилсона
Здесь R' — мгновенная матрица жесткости (матриц
Якоби)'dSi/dyi ... dSjdynR' =(2.135'_dSn/diji ... dSnfdynТеперь вместо одного уравнения (2.130) на каждом шаге
At следует решать систему алгебраических уравнени!
(2.133).§ 2.10. Свободные колебания нелинейных систем. Действие
гармонической силыЕсли восстанавливающая сила, действующая на мае
су при ее отклонении от положения у = 0, нелинейно за62
висит от у, то дифференциальное уравнение колебани|
такой системы будет нелинейным. Нелинейность може
возникать за счет конструктивных условий (например
наличие зазоров у упругих элементов); вследствие ко
нечных перемещений, существенно искажающих началь
ную форм'у системы (геометрическая нелинейность); н|
конец, она может вызываться физическими свойствам^
тел системы (отклонение от закона Гука, развитие упр|
гопластических деформаций или сил сопротивления, не
линейно связанных с перемещением или скоростью).Приведем примеры нелинейных систем. На рис2.40,	а показана упругая балка, имеющая в промежу
точных точках ограничители прогиба. Для нее завис!-
мость упругой силы S(y) будет иметь вид, изображен
ный на рис. 2.40, б. Такой график называется упруго^
характеристикой системы. Точки перелома на этом гра¬
фике соответствуют прогибам у, при которых включе
ются (или выключаются) промежуточные опоры.Уравнение вынужденных колебаний массы т дл^
описанной системы получит видmy + S(y) = P(t).	(2.131Если масса т связана с упругой нитью, имеющей н
чальное натяжение N0 = aEF, то при поперечных кол
баниях восстанавливающая сила S{y), действующая н
массу, и ее перемещение у связаны зависимостью (рис,2.41,	а)5 = 2EF [ а + |/ 1 ' (У/ О2 - 1 ] У/1 V : Ш~г ■ (2.137)Разлагая функцию S (у) (2.137) по степеням (у/1)\
получим упругую характеристику в видеS — EF [2а {у/1) + (1 — а)(у/tf — 0,5 (у!/)5 + (2.1 ЯЗависимость S(y) в этом случае показана на рис. 2.41, б.В приведенных примерах сила S возрастает быстрее,
чем по линейной зависимости, отмеченной на рисунках
пунктиром. Такие системы называются системами с
жесткой характеристикой. Напротив, если зависимостьS	(у) имеет вид, изображенный на рис. 2.42, б, то гово
рят, что система обладает мягкой упругой характеристи
кой.Для того чтобы получить уравнение колебаний сис¬
темы, изображенной на рис. 2.42, а, приравняем нулю
сумму моментов относительно точки О всех сил систе64
МЫ. В результате получимтР у + со1 sin у cos у = IP (t).	(2.139)Здесь момент сил упругости, который для аналогии обо¬
значим по-прежнему S (у) . будет	.5 (у) = са2 sin у cos у — 0,Ъса1 sin 2у.	(2 .140)Чтому выражению отвечает график на рис. 2.42, б. Раз¬
ложив (2.140) в ряд по степеням у, получим5(y) = ta2[y-(2/3)^ + (4/30)^ ...]. (2.141)Объединим далее уравнения (2.136) и (2.139), пе¬
рейдя к обобщенной координате q:M4~rS(q) = Q(t),		(2.142)здесь q — безразмерная величина обобщенного переме¬
щения, например для системы на рис. 2.41 q=y/l, а на
рис. 2.42 q = y. Под М, S h Q понимаются обобщенные
масса и силы. Ограничиваясь в выражениях (2.138) и
(2.141) слагаемыми третьей степени, запишем обобщен¬
ную упругую характеристику системы в видеS(y) = rn(q + W*),	(2.143)где tз — обобщенная жесткость соответствующей линейной системы,
а Р-коэффициент, выражающий степень нелинейности системы
(рис 2.43). Для жесткой характеристики |3>0, а для мягкой (i<0.Численно нелинейное уравнение (2.142) можно легко
проинтегрировать при любой нелинейной характеристи¬
ке, как это описано в предыдущем параграфе. Для вы¬
яснения особенностей нелинейных колебаний рассмот¬
рим приближенное аналитическое решение этого урав¬
нения на примере кубической характеристики (2.143)’.Для свободных колебаний это уравнение запишется
так:?+ о>о(? + Р?3) = 0.	(2-144)где :»•.= гп/м — частота свободных колебаний для ли¬
синой системы, т. е, при р = 0. Эта частота отвечает
также при р=£0 бесконечно малым перемещением
когда кубическим членом в (2.143)’ можно пренебречь,-	ля конечных значений q решение (2.144) представим в
ВиДе периодической функции (рис. 2.44):Я (0 == Лх sin at -f А2 sin 2Ш -f Л3 sin 3at -f- ... , (2.145)амплитуды Ап (п=1, 2, ..J) и основная частота <а =—	гп/Т {J — период свободных колебаний) подлежат
Рис. 2.44определению. Далее ограничимся одним членом ряда t
амплитудой А\=А, т. е. примем <7=v4sin(o^ (пунктир i
рис. 2.44). Подстановка этого выражения для q в ypai
нение (2.144) даетL(t) = А |а>е — ш2| sin at + рЦ Л3 sinJ at ф 0. (2.14Величина L(t) представляет невязку, т. е. неуравн<
вешенную обобщенную силу (точнее величину, пропор¬
циональную этой силе), являющуюся функцией времен)!
и возникающую от того, что выражение (2.145) при ко¬
нечном числе членов ряда не является решением ура
нения (2.144).Разложим невязку в тригонометрический рядL (t) = 1г sin ш/ + L2 sin 2at -j- L3 sin ЗШ + ... , (2.14
где коэффициенты Фурье66
Основой одного из методов приближенного решения
задач о периодических колебаниях нелинейных систем,
называемого методом гармонического баланса, является
требование обращения в нуль амплитуд невязки Lu L%, ...
в соответствии с'принятым числом члецов ряда в реше¬
нии (2.145). Применим этот метод в данном случае и по¬
требуем, чтобы в нерязке L(t) была ! сбалансирована
лишь первая гармоника Li = 0, что даетL, = А {<4 - о)2|(772) + (Ц Л3(3/8) Т = 0.Отсюда найдем<а2 = Шд(1 + 0, 75£Иг).	(2.148)По равенству (2.148) построены кривые со = со (Л) для
мягкой (р<0), жесткой (|3>0) и линейной (Р=0) сис¬
тем (рис. 2.45). Их называют скелетными кривыми. Осо¬
бенностью свободных колебаний нелинейной системы яв¬
ляется зависимость частоты и (периода Т) колебаний от
амплитуды (о = (о(Л). Причем, естественно, что, например,
для жесткой характеристики с возрастанием Л увеличи¬
вается упругая жесткость системы и как следствие воз¬
растает частота е> по сравнению с too-Пусть теперь на нелинейную систему действует гар¬
моническая сила. В уравнении (2.142) это дает правую
часть/которую примем в виде Q(t) = Qo sin(0£-f-cp). За¬
пишем уравнение (2.142) с учетом вязкого сопротивле¬
ния и кубической характеристики (2.143). При этом пе¬
ренесем обобщенную силу Q(t)в левую частьMq + 2п q + m (q + №) - Q0 sin (0/+ q>) = 0. (2.149)Примем, как и ранее, для установившихся колеба¬
ний «?=Asin0£ и, подставив это выражение в (2.149)',
получим невязку L(t). Она будет содержать слагаемые,
имеющие множителем как sin 0^, так и cos Ы. Поэтому
ПРедставим ее в форме ряда Фурье следующего вида:L (0 = L1 sin0^-j- L[ cosQt + L'2sin2Qt L'^cos 2Qt +... , (2.150)
в, в2в,гдеРис. 2.46Гот(2.151оОграничившись в (2.150) двумя первыми слагаемы¬
ми и составив уравнение баланса для первой гармоники
синуса и косинуса, т. е. приравняв нулю L[ =0; L" =0, ив
этих двух уравнений найдемгде со2(Л) определяется выражением (2.148).При п2<Сш2 последнее выражение упрощается:Величина ср выражает сдвиг по фазе колебаний внеш
ней силы и перемещений. Выражение для 02 дает ам
плитудио-частотную характеристику нелинейной систе
мы. Она изображена на рис. 2.46, а для жесткой хараК
теристики, на рис. 2.46, б — для мягкой. Ее характерно)!
особенностью является неоднозначность амплитуды н!
участке частот 0i<0<02. При этом устойчивые режимы
колебаний показаны сплошной линией (точки Л] и Аг)!
неустойчивый режим — пунктиром (точка Л3). На отме¬
ченном участке частот переход колебаний от меньшей Кtg q> =— 2я0/(<»2 (Л) — в2);(2.15:62 = ш2 (А) — 2п2 ± VTQoIMA)*- - 4яа со2 (Л) + 4л2 ,Й2 = ш2 ± V(Q0/MA)? — 4п2 со2 (А) .	(2.15368I
большей амплитуде, или наоборот, возможен при слу¬
чайных конечных возмущениях колеблющейся системы.
На границах участков эта смена амплитуды (срыв йоДе-
баний) при постепенном изменении частоты происходит
при любых сколь угодно малых возмущениях. Это отме¬
чено на рис. 2.46, а стрелками.	:Заметим, что в выражении q(t) для свободных коле¬
баний из ряда (2.145) удерживалась только одна основ¬
ная гармоника с частотою со. Более точные исследова¬
ния показывают, что в состав свободных Колебаний не¬
линейной системы входят и высшие гармоники: с
частотами поз, где —целые числа, т. е. свободные ког
лебания оказываются полигармоническими. Аналогично
даже чисто гармоническая внешняя сила частоты 0 (и
тем более периодическая сила, содержащая кроме ос¬
новной частоты 8 также гармоники с кратными частота¬
ми тд, где т = 2, 3, ...) порождает полигармонические
установившиеся колебания нелинейной системы. При¬
сутствие гармоник с частотами тв в составе возмущаю¬
щих периодических воздействий и пи в составе свобод¬
ных колебаний может приводить к явлениям, называе¬
мым комбинационными колебаниями (взаимодействие
упомянутых т—х и п—х гармоник дает комбинационные
колебания порядка т/п). Совпадение частот возбужда¬
ющей периодической силы и свободных колебаний т0 =
= nw порождает комбинационные резонансы нелинейной
системы.В частности, при т= 1 и n> 1 при определенных ус¬
ловиях могут развиться так называемые субгармониче¬
ские колебания. Внешне это явление состоит в том, что
сила, изменяющаяся с частотой 0 = п(о, в несколько раз
превосходящей основную частоту свободных колебаний
ы, вызывает значительные амплитуды А\ колебаний, со¬
вершаемых системой с частотой со и с определенным уг¬
лом сдвига ф по отношению к силе. Энергетическая связь
между внешней силой и первой гармоникой перемеще¬
ний осуществляется через силы внутреннего сопротивле¬
ния (т.е. последние совершают за период Т = 2п/а> по¬
ложительную работу, расходуемую на поддержание
колебаний с амплитудой А\). Поэтому условия возник¬
новения субгармонических колебаний зависят от вели¬
чины и вида сил сопротивления данной нелинейной си¬
стемы. Отмеченные вопросы подробно рассматриваются
в общей теории колебаний нелинейных систем [12]. .69
ГЛАВА 3, СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ
ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ§ 3.1. Свободные колебания системы с п степенями свободы.
Уравнения движенияРассмотрим составление уравнений движения д
дискретной системы, совершающей свободные колеб
ни, на примере невесомой рамы, несущей точечные ма
сы (рис. 3.1', а). Предположим, что при t =0 массы рам
получили некоторые начальные скорости и смещени
после чего рама совершает свободные колебания, хара
теризуемые независимыми перемещениями масс Z,- (£= 1Эти перемещения составляют вектор~ZtZ =Zn(ЗАВ любой момент движения на раму действуют сильинерции /,=—rriiZi (i = 1, ..., п), которые представим Kajj
вектор сил инерции (рис. 3.1, б)7=Jiгщ ЩJn__tUn in=— rnZ.(3.JВместо вектора (3.2) силы инерции можно предСт
вить и так:■гщJ =— М Z ; М =(3.3)Номера масс здесь и далее соответствуют номера-,
независимых перемещений. Так, масса тв, изображен¬
ная на рис. 3.1, а будет входить в уравнение (3.3) ка!множитель при Z, под номером i, а при Zn под нощеров
л, так как она участвует в двух независимых движени*
ях. С другой стороны, если пренебречь удлинением pi
геля, то одинаковое горизонтальное пермещение Z,- будут
иметь все массы, расположенные на ригеле. В этом слу|
чае fiii будет выражать сумму этих масс.Предположим, что система рассчитана на действие
сил Ji — 1, соответствующих силам инерции, в результа|
те чего найдена матрица податливости системы
Ww(3.4)■ • Sinunl • • • Sjin J	■Она называется также мат¬
рицей коэффициентов влия¬
ния перемещений. Для при¬
мера на рис. 3.1, в проил¬
люстрирован смысл элемен¬
тов первого столбца этой
матрицы.В процессе колебаний пе¬
ремещение первой массы Ъ\
будет равно прогибу рамы в этой точке, который может
быть получен по принципу независимости действия сил с
помощью первой строки матрицы А:6li + Sia Ч- ... + бщ; Jn — Zi\				(3.5)6nl Ji + ^П2 А + ••• + &ПП Jп =Аналогично представлены все другие перемещения масс.
В^матричной форме равенства (3.5) будут записаны так:A]=Z илиAMZ + Z= 0.^ развернутой форме система (3.6) имеет вид
ЬцтjZj -f- Ь12т2 Z2 -|- ... + 6inmn Zn -f lx = 0;(3.6)(3.7)+ 8пг m2Z2 + ... + ^nn rnn Zn -f- Zn — 0.Заметим, что если для некоторой массы надо учесть71
и инерцию вращения, то ее перемещения удобно связать
с центром массы С (рис. 3.2). Силы инерции /„ J,- npt
кладываются в точке С. Угловому перемещению Zk б>,
дет соответствовать момент сил инерции. Поэтому в си|стёме уравнений (3.7) при Zh в качестве множителя ml
войдет момент инерции массы относительно оси С. Эле-]
менты k-то столбца б/* матрицы А должны определяться
от единичного момента, приложенного в точке С по шн
правлению угла поворота Z*.Уравнения (3.6) или (3.7) являются дифференциал^
ными уравнениями, описывающими свободные колеба-j
ния системы с п степенями свободы, выраженными через
матрицу податливости А. Запишем аналогичные урав-i
нения, но в которых упругие свойства системы будут
выражены с помощью матрицы жесткости (реакций) R:rii • • ■ finЯ = И =Т П1(3.81Смысл элементов этой матрицы проиллюстрирова!
на рис. 3.3 на примере первого столбца матрицы R. Ма¬
трица R преобразует вектор Z в вектор упругих реакни
в связях, показанных на рис. 3.3, а. По принципу Далам-бера приложим к массам силы инерции J и, рассматри-j
вая их как внешние силы, запишем условия равновесия'
рамы в деформированном состоянии с помощью уравне*
ний метода перемещений•	RZ+RP = 0.	(3.9)1От действия сил инерции вектор грузовых реакцийRp = —J — MZ, что проиллюстрировано на связи 1 рис,)
3.3, б, поэтому уравнения движения получим в видеЖ -I- RZ^O.	(3.10)|В развернутой форме равенство (3.10) имеет видЩ + ri',/‘i + г 12^2 4 • • • + гт Zn — 0;
		(3.11)тп^п + Г-ni Zj 4- Гпг Zg + . . . + Гпп — 0.Известно, что Ли/? взаимно обратные матрицы:
R = A~l и AR=E (Е — единичная матрица). Поэтом72
мНожение (3.10) на Л слева переводит эти уравнения
равнения (3.6), выраженные через матрицу податли¬
вости.	.На общем решении уравнений (3.7) или (3.11) с уче¬
том заданных начальных условий здесь останавливаться
' будем. Это сделаем несколько ниже (см. § 3.5). Те-
дерь же рассмотрим характерное частное решение этих
уравнений, которое приведет нас.к важнейшему понятию
динамика деформируемых систем — понятию спектра
собственных колебаний системы.	.§ 3.2. Спектр частот и форм собственных колебаний
системы	.В § 2.3 показано, что в системе с одной степенью сво¬
боды, движение которой определяется обобщенной коор¬
динатой Q и соответ-		ствующей функцией	" -- ^формы v(x), при сво¬
бодных колебаниях все
точки движутся по гар¬
моническому закону
Zi=vi sin(«^ + (ро) с
частотой и, а форма
перемещений в системе
определяется функци¬
ей к(х). Колебание имеет характер стоячей волны, все
ординаты которой изменяются во времени с частотой м.
Выясним, возможно ли аналогичное движение в системе
с п степенями свободы и, если возможно, то сколько та¬
ких форм колебаний и им соответствующих частот име^
ет эта система.	'Итак, пусть перемещения всех масс определяются не¬
которым вектором v (вектором формы колебаний), а во
времени они совершаются по гармоническому закону о,
некоторой частотой ю (рис. 3,4):sin («>/+ ф0), или Z = и sin (wi -|- ф„). (3.12)допытаемся получить уравнения, из которых можнобыла бы найти компоненты вектора v и частоту со. Для
•'Того подставим (3.12) в уравнение (3.6) или, что то же,
в Уравнения (3.7), Сократив на общий множительРис. 3.4VУхА-75
sin(o>f+ Фо). эти уравнения запишем для амплитуднд
состояния системы в видеAMv= (1/to2) у.	.	(3В развернутой форме, например, первая строка зт
равенства имеет вид6ггЩЩ + bnm2v, -]	f- mrlvn -■ (1/м2) Vi-Если в уравнении (3.13) все компоненты vt выбра;
так, что они имеют одну размерность, то для удобс
вычислений целесообразно представить перемеще
5ik и массы mi в безразмерной (относительной) фор
Назначим для данной системы некоторые основные
личины перемещения 6о и массы то. Тогда безразмери
перемещения и масса будутhk = &ih/б0;	(3.Разделив обе части равенства (3.13) на произве,
ние т.0б0, получим те же уравнения в безразмерн
форме(б! Iml v — Xv,	(3.1где через Я обозначено безразмерное число% = 1/(й2т0б0.	(3.1В развернутой записи уравнение (3.15) имеет вид+ • • • + бх„ т„ vn =
	 (3 - If§nlmLvi + 6n2 ^2 4“ - • • + B,ln Wn t!n = Xl'n.Если ввести матрицу С=ЛМ, где матрица податливое:
Л = [б] и диагональная матрица масс М = [т] составл
ются из относительных величин (3.14)бцmi... binтпС =(З.Ш3nl ffl-l • • ' бпп Щто равенства (3.17) можно записать так:Cv^'Kv.	(3.11Система линейных уравнений (3.19) и является ис*комой. Из нее найдем компоненты вектора v и число
связанное с частотой ш равенством (3.16).Векторы v и числа %, удовлетворяющие уравнени74
13 19), в линейной алгебре называются собственнымиректорами и собственными числами матрицы С. Сущест¬
вуют различные методы определения собственных векто¬
ров и чисел. Имеются специальные алгоритмы и прог¬
раммы для решения этой задачи на ЭВМ [47]. Здесь
рассмотрим лишь метод сведения этой задачи к так на¬
зываемому вековому уравнению. ,В § 3.7 будут даны не¬
которые дополнительные сведения о решении задачи на¬
хождения собственных векторов и собственных чисел.
г Перенесем величины, стоящие в правой части урав¬
нений (3.17), в левую:	; ...(бцШ1 — X) % + 612 т2 v2 + ... + 8in тп vn = 0; ■ *$21mlvi ~Ь ($22т2 — ^2 + • • ■ ~Ъ §2П тП vn — 0;	/Q 20^«1 щ + бп2 щ Щ + • • • 4- ($ппШп — X) Vn = 0или в краткой записи (Е— единичная диагональная
матрица)	.(С — ХЕ)1' = 0.	(3.21)Для того чтобы однородная система линейных урав¬
нений (3.20) имела решение, отличное от нулевого (у^Ф
Ф§, i=l,...,/г), необходимо, чтобы детерминант систе¬
мы был равен нулю:Det (С — ХЕ) = 0	(3.22)ИЛИ	:(dnmi —X)1-. mnSai^i(622^2 —* • 62n mn6nx mi6П2 m2•• ftnnmn —Уравнение (3.23) называется характеристическим (час¬
тотным) уравнением. В механике его также называют
вековым уравнением. Это название возникло в связи с
задачами небесной механики о периодических отклоне¬
ниях планет от своих орбит.Развернув определитель (3.23), получим алгебраиче¬
ское уравнение п-й степени относительно Я:Хп + Bi Хп~1 + В2Хп~2	вп-i X + Вп = 0. (3 .24)Можно доказать, что для упругой системы, устойчи-
®ой в покое, это уравнение имеет, в общем случае п ве¬
щественных положительных корней Я.* (ft = 1, 2, ..., п).J5
Этому ряду чисел Хи отвечает ряд частот (Ли [см, (3,1{
каждой из которых соответствует свой векторt~4 h1Wfe = —; vh =У lh m060(kn). (33_"nh_Ряд чисел \h и частот щ, расположенных в поря
возрастания частот (убывания >.*), называется спе
ром собственных чисел и спектром собственных част
Им отвечает спектр форм собственных колебаний сист
мы (рис. 3.5)I.Для определения компонент вектора Vk соответств
ющее ему число Х& надо подставить в систему (3.2(Так как эта систе1 Л Л п	однородная, тонее может быть на
депо лишь соот
шение между ю
понентами Веле]
ствие равенства
лю определите,(3.23)	одно из ypal
нений (3.20)
обязаны отбросии
как зависимое о
остальных. Обыч^<
Рис з_5	поступают так: одй}из компонент пол(
гают равной единице, после чего ей соответствуюшдГ
столбец в системе (3.20) превращается в столбец сво
бодных членов. Из п строк уравнений (3.20) выбирают
ся любые (п—1) строк, дающие систему неоднородны|
уравнений относительно остальных (п—1) компонент
вектора. Решив их, получают полный собственный век¬
тор.Таким образом, мы установили существование у ся
стемы с п степенями свободы спектра п собственных ка
лебаний.Собственными колебаниями системы называете
частный случай свободных колебаний, когда последи»
совершаются по типу стоячей волны с одной определен
ной частотой и формой деформации системы./6
Из физики известно, что, например, световые колеба¬
ния, отвечающие, белому цвету, состоят из спект,рз мо¬
нохроматических световых колебаний. Подобно этому
любые свободные колебания конструкции, возбужденные
некоторыми начальными возмущениями, состоят из сум¬
мы отдельных собственных колебаний, что мы увидим
далее в § 3.5.Спектр собственных колебаний является важнейшей
динамической характеристикой сооружения. Собствен¬
ные колебания называют также главными или нормаль¬
ными формами колебаний.	'В заключение отметим, что уравнения для определе¬
ния спектра собственных колебаний получены на основе
матрицы податливости Л. Аналогичные уравнения мож¬
но получить на основе матрицы жесткости R, если исхо¬
дить из дифференциальных уравнений (3.11). Такие
уравнения будут использованы в § 3.6 и 3.7.	.§ 3.3. Ортогональность собственных форм колебанийНапомним из векторной алгебры, что скалярное про¬
изведение двух векторов X и/У определяется равенством
(рис. 3.6) .. (х у) = |Х|-|У| cos а =	X2F2 + X3Y3 = £ Yi •i=lПусть один вектор, например X, изображает постоянную
силу, а второй — перемещение ее точки приложения.
Тогда произведение, очевидно, будет выражать работусилы X на пути У. Два вектора называются ортогональ¬
ными (а=90°), если их скалярное произведение равно
нулю, что для n-мерных векторов записывается так;(х-У) = 2 XtYi=Q.	<i=l .Это равенство можно рассматривать как условие того,
что суммарная работа системы сил Xi на перемещениях
равна нулю.Теперь рассмотрим более подробно некоторую k-ю
Форму собственных колебаний системы, имеющей п сте¬
пеней свободы (рис. 3.7,а). Для нее прогибы во време¬
ни изменяются по законуZft (0 = vh sin cofe t.	.77
©'а)	д) /у£J mf^5m fn2*m	aS‘(10,5mo<So)'!' * IЛ x •	•4—-—j-	|-*sitlinrJg) -Рис. 3.8Вектор сил инерции будетrntmJk Щ = -тх Zlh
mn Znk _= wi. mn vnhsin G>kt = ЩМик sin ©я f*re
g амплитудном состоянии (sin (о^=1) имеем вектор
вцешних сил	^	^ . .	чи соответствующие прогибы vk (рис. 3.7',а). В этом
состоянии система находится в равновесии. Для анало¬
гичного состояния некоторой /-й формы колебаний тойже системы имеем силы Jj = ayjMvj и прогибы Vj (рис.3.7,6). Составим условие взаимности возможных работдля этих двух состояний: Ajk =А*/, -т.е. (Jjvk) = {jkb/)\или aj{MvjVk)—(x)k (Mvkvj). Скалярное произведение
векторов здесь одинаково, так как в слагаемых пере¬
ставлены будут только сомножители. Поэтому, переносявсе в левую часть и вынося за скобки величину (ЛГи^Х
X Vj) = (MV/V/г), получим	■ ’<3-26>В общем случае со*=7^(о/, поэтому(Mvb-vj) = vj М vk = 2 Щ Vsh vtj = 0; (j фк). (3.27). ' i=1 . ' ■
Равенство (3.27) выражает условие взаимной орто¬
гональности любых двух форм собственных колебаний из
состава спектра данной системы. Собственные колебания
совершаются таким образом, что Возможная работа сил
инерции (внешних сил) одной формы на перемещециях
другой формы колебаний равна нулю. Очевидно, т*о же
относится и к возможной работе внутренних сил двух
различных форм собственных колебаний. Свойством ор¬
тогональности (3.27) главных форм колебаний будем
неоднократно пользоваться в дальнейшем.	; iЗаметим, что если в (3.27) положим }=k, то это вы¬
ражение даст величину обобщенной массы (2.41) к-н
формы колебаниймь=(мЪ'°к)	(3-28)При j=£k левую часть выражения (3.27) можно на¬
звать взаимной обобщенной массой форм / и k\•	г=/г :	■' ''. '.= М и) = 2 mi vik VH-	(3-29)Как видим, для главных форм колебаний она равна
нулю.	:	.7?
Вывод об ортогональности форм собственных koJ
баний опирался на го, что щфщ, т. е. на то, что часто^
ное уравнение (3.24) не имеет кратных корней. Пуст
это уравнение имеет, например, двойной корень и соа|= a>k+\- В этом случае условие ортогональности (3.27по отношению к векторам и* и y*+i> вообще говоря, не2 2справедливо, так как при (со* —<а*+1 ) =0 оно не следуе
из (3.26). Более детальный анализ показывает, что
этом случае существует целое семейство векторов, л!
бая пара из которого может служить собственными ве|
торами для частот = Все это семейство може
быть построено на двух базисных линейно-независим!
строено на двух базисных линейно-независимых вектсрах, которые обозначим ©(а) и v , по равенству^=аа(а) + 6у(е>,	(3.30)где а и р — произвольные числа.Любой паре чисел а*, и а*+(, будут отвчать векторы Vh и и&+\ (3.30), которые в общем случае
не будут удовлетворять условию ортогональности. Од¬
нако они могут быть и ортогонализованы с помощью ме¬
тодов, рассматриваемых в линейной алгебре. Снос!определения базисных векторов v(a) и ^(|3) для крат
ных частот будет указан в следующем параграфе,§ 3.4. Примеры определения частот и форм собственных
колебанийНа примере простейшей статически определимой системы с дву¬
мя степенями свободы (рис. 3.8) покажем последовательность оп¬
ределения спектра собственных колебаний.1.	Определяем элементы матрицы податливости А (3.4) от дей¬
ствия единичных сил инерции /i = l и 1. Так как балка статиче¬
ски определима, то непосредственно по формуле Мора с hciio.ih
ванием правила Верещагина находим (рис. 3.8, а)бц = (P/3EJ; б22 = M43EJ-, 621 = б21 = 2,5d3/3EJ,Примем за основные значения б0=й3/3£/ и та=т, тогда Ск-з-
размерные величины (3.14) будут:6ц =■ = 1; 622 = 8; 6i2 — = 2,5; nt% = 3; m2 = 1.2.	Составляем матрицу С (3.18) и систему уравнений (3.20)С=[,Л 2 ; (3-Х)^ + 2>2 = 0; 7, 5di + (8 — ?t) = 0. (а
.7,5 8 J3.	Приравнивая определитель системы (а) нулю, получаем веко¬
вое уравнение(3 — к) 2,5 =0 или х*— lU + 5,25 =0.7,5 (8— X)80
4.	Находим корни векового уравнения (собственные числа мат¬
рицы С) и частоты (3.25)	'^1,2 == 5,5 ± V5,5^ —5,25 = &,5 ±5;= 10,5, (Of = (10,5m06o)“1/2; К — 0,5; а>2 — (0,5т(Д>)_1/2 .Периоды колебаний с соответствующими частотами связаны соот¬
ношением 7’i=2rt/(Oi (i=l, 2).•	.	, - v. . *5.	Вычисляем компоненты собственных векторов t>i й v2, опре¬
деляющих форму собственных колебаний. Примем v\ — \ и из лю¬
бой строки уравнений (а) найдем v2.Так, для А.=А,1 v2l =—(3—Xj)/2,5=—(3—10,5)72,5 = 3. Аналогич¬
но для к=Х2 получим и22=—1. Знак минус указывает на то, что
перемещение v22 противоположно принятому направлению силы инер¬
ции /2=1, т. е. в данном случае v22 в составе вектора v2 направлено
вверх. Найденный спектр частот и форм собственных колебаний
представлен на рис. 3.8, б.Легко проверить, что условие ортогональности (3.27) выпол¬
няется= ^т' * ‘ * "Ь т‘3 (—'0 = 0. \ .Если симметричная конструкция имеет и симметрич¬
ное распределение масс, то для упрощения построения
спектра собственных колебаний можно использовать
групповые симметричные и антисимметричные воздейст¬
вия, как это показано на рис. 3.9. Обозначим через Oi =
= vA и V2 = VB перемещения масс А и В в составе сим¬
метричных колебаний, а через Уз — перемещение массы
В для антисимметричных колебаний. Система уравне¬
ний (3.20) запишется так:(бц mi — + б i2m2 v3 = 0;(Bai/2) mjVi + К622/2) тг — v2 — 0-[(а3з/2)тз-хЬз = 0. : ..	", (3.32)Здесь т1 = тА и т2 = т3 = тв. Подчеркнем, что в
строках, отвечающих групповым воздействиям (в данном
случае во второй и третьей), все коэффициенты 6/* дол¬
жны быть поделены на два, так как полная величина
этих коэффициентов (при вычислении их по формуле
Мора) соответствует сумме перемещений двух симмет¬
ричных масс.Ввиду того, что 613 = 623 = 0, уравнения разделяются
на симметричную и антисимметричную группы. Два зна¬
чения X', X" и им соответствующие величины щ = t»s и
= vr (при Oi = l) будут найдены из первой группы, а
третье значение А, — из уравнения (3.32) второй группы.6-75381
После этого три собственны^ вектора (каждый третьей
порядка) получат вид	:	4v'b1—У '; V2 =Г0.; из ;=г- П —\VB1• (2> V'b _— 1v"b_Нумерация этих векторов, как обычно, производится в
порядке возрастания частот (убывания чисел А), и ко¬
сосимметричная форма может занимать, вообще говоря,
различное положение по отношению к симметричным
формам в составе спектра. В равенствах (3.33) предпо¬
лагается, что она занимает промежуточное положение.Построим спектр собственных колебаний для симметричной ком¬
бинированной конструкции с тремя степенями свободы (рис. 3.10, а)
Примем тА = тв = т, Жесткость вант на растяжение-сжатие £Р=—	$EJjd2, причем в данном примере пусть $ = \6~/~3. Для пилонов
и для балки будем считать жесткость EF] = оо.Система однажды статически неопределима. На рис. 3.10,6 изо
бражены основная система метода сил и эпюры в балке Mi и в ван¬
тах N1 от Xi—li С учетом симметрии построим матрицу податливо¬
сти от симметричных сил инерции /i = l и 1^=1 и антисимметричных
сил /,з=1. Так как от симметричных сил /i и /2 ^i = 0, то эпюры
Mj -. Nj и Mj2(Nj = 0) строятся в основной системе. При этом сила
/1 = 1 прикладывается симметрично по 0,5 к левой и правой частям
конструкций. Эти эпюры изображены на рис. 3.10, о. Их перемноже¬
ние дает6Ц = вд (М) + бп (АО = I	ds + J \N% IFF) ds,S	SИЛИ6U = 8 (d44EJ) (2/3) (d/2) + 4-22 (d/EF cos a) == 2d3/3EJ + 32d/V3 = 4dsl3EJ.Аналогично найдем S22=d3/3£/, 612=621=—d3/3EJ. Для опреде¬
ления бзз от действия /3=1 требуется предварительно найти к\ из
уравнения бцЛ^ + Ду — О, где верхний индекс о подчеркивает, что
это перемещение по направлению A’t определяется в основной сис¬
теме. (Не следует смешивать 6°j и найденный выше коэффициент
податливости бц от силы инерции/) = 1.)	'Перемножив эпюры N1 на рис. 3.10,6 сами на себя, получим
6°j = l6d3/3EJ. Перемножение эпюр и М\ дает А], =•—2d3/3EIи,	следовательно, А,1 = Д1_7 /6[1=1/8. По формулам Mj
a Nj3=NiXi построены эпюры моментов Mj и продольных сил в
вантах от действия /3=1 в заданной конструкции как в стати¬
чески неопределимой системе (рис. 3.10, <Э).Известно, что для определения перемещения в статически не¬
определимой системе по формуле Мора в качестве эпюры М от еди
^ -Г&? ^ Kf=1—ггтттТТТЖ1тгтттт^—‘«щцщда10'
а/2-=чнщщ ЩЦВТ0"^)
4/2-^-rrrTTTTfff ТПТТТтттт-г— /£*Ничной силы, приложенной по направлению искомого перемещения,
может быть использована эпюра М°, построенная в статически опре¬
делимой системе. В данном случае в качестве такой эпюры примем
М, перемножив которую с эпюрой MJs (рис. 3.10,5), найдем 633==d3/4 EJ.	.	_Итак, имеем коэффициенты матрицы податливости А от дейст¬
вия единичных сил инерции6а = 4rf3/3EJ\ bi% = S21 = — (P/3EJ;622 = <Р/3£/; 633 = d3/4W.Приняв в качестве основного перемещения^ 80=d3l3EJ и_для массы
та = т, получим mi=m2=m3=l и 6ц=4; 612=621——1; 622=!; 6зз=
=0,75.	'
^Уравнения (3,31) и (3.32), с учетом деления коэффициентов
6и, 622 и 633, отвечающих групповым силам инерции, пополам, полу,
чат вид.	(4 — A,) t»! — v2 — 0; |— 0,5ух + (0,5 — Я) v2 — 0. J	I(0,375 — Я) i>3 = 0.	(в)Равенство нулю определителя системы уравнений (б) дает
Я2 — 4,5Я + 1,5 = 0; Я' = 4,1375; Г = 0,3625.Из уравнения (в) найдем Я'" = 0,375. В составе спектра корни
Яг нумеруются в порядке убывания (возрастания частот), следова¬
тельно, имеем	.= 4,1375; Я2 = 0,375; Я3 = 0,3625,Wi = (^m0 60r1/2(i=ls 2, 3).Для определения векторов К] и vs симметричных форм колеба¬
ний в уравнения (б) подставляем последовательно Я1 и Х3. Приняв
одну из координат, например tu=>’i = i, найдем vB=v2: для Я=—	Xi v в =—0,1375 и для Я=Яз vB =3,6375.Три вектора форм собственных колебаний для рассматриваемой
конструкции окончательно запишем в форме (3.33):— 0,1375~' Г“■3,6375"1; V2 =0; уз =1— 0,1375_ J3,6375Они изображены на риг. 3.11.В заключение вновь остановимся на случае кратных
корней Kk = 'x.k+i и равенстве частот atk — Ok+i в системе с
п степенями свободы. В § 3.3 указано, что такой частоте
отвечает семейство векторов (3.30), которое можно по¬
строить с помощью базисных векторов v(a) и v{i'!. Для
их определения в систему однородных уравнений типа
уравнений (б) надо подставить Х = и задаться не од¬
ной, как это сделано в рассмотренных примерах, а дву¬
мя координатами вектора v. Для того чтобы »(а) и
были независимы, надо задать v дважды, например ввиде (и(а>)т=[1; 0;*... -*] и (у(3))т = [0; 1; *...* ], где
звездочками отмечены (п—2) координаты, определяе¬
мые из решения (п—2) неоднородных уравнений. Ана¬
логично, если кратность корня р, то задаются р раз. ли¬
нейно-независимыми частями вектора v, а остальные
(п- р) координат находят из решения (п—р) уравне¬
ний.	■84
В практических расчетах часто встречаются случаи
неточного равенства некоторых частот, когда соседние
частоты, бывают близкими по значению, как, например,
со2 и соз на рис. 3.11. Поэтому при выборе метода реше¬
ния частотного уравнения для системы с большим чис¬
лом степеней свободы п следует особое внимание уде¬
лять тому, как ведет себя данный метод в случае бли¬
зости корней частотного уравнения. Как правило, бли¬
зость частот приводит к снижению точности и увеличи*
вает время вычислений. Один из употребительных ите¬
рационных методов решения на ЭВМ частичной проб¬
лемы собственных значений для уравнений высокого по¬
рядка п изложен в § 3.7.§ 3.5. Определение свободных колебаний системы
»о начальным условиямВернемся к задаче определения свободных колебаний
с учетом заданных начальных условий, которая ранее в
§ 3.1 свелась к интегрированию системы дифференциаль¬
ных уравнений (3.7). Исследование спектра собствен¬
ных колебаний показало, что для системы с п степенями
свободы существуют п частных решений вида (3.12)
Добавим к каждому из них некоторый постоянный мно]
житель Aj и составим из них общий интеграл уравнений
(3.7) в виде2=2 4} 0 Ч?> где <h - 4/Sin (ш7-1 + . (3.34||л	/=i :	. ; "Здесь <// являются обобщенными координатами решения}
a 'Jj - ■ векторы главных форм колебаний, играющие рол/
базисных векторов. Решение (3.34) показывает, что в об-]
щем случае свободное движение системы, порожденное
лишь начальными возмущениями, может быть пред]
ставлено как сумма и гармонических собственных ко¬
лебаний с частотами щ (/—1,..„«). 2п чисел А) и фо/j
играют роль произвольных постоянных, которые надо
найти исходя из начальных условий.Примем, что при £ = 0 задан вектор начальных сме«щений Z0 и вектор начальных скоростей Zo:'0 —(0))’ 2(0) '•; z0 =*A. (0)_ Zn (0) _(3.35)(3.36)Полагая в (3.34) t = 0, напишем-> i=n2<> = 2 чз (0) vl>/=12|> = 2 <lj (0) Vj,/=1где q}(0) и <?j(0)—начальные значения обобщенных ко¬
ординат и их скоростей. Они связаны с постоянными
Aj и фо/ формулами [см. (2.10)]А) = V <§ (°) + (<lj (°)/“у|2 ; tg Фо; = q. (0) ы./д. (0). (3.37)!Задача сводится к определению чисел <7/(0) и <//(0) из
уравнений (3.36). Это легко сделать,, используя условие
ортогональности главных форм колебаний (3.27). Умно¬
жим скалярно первую строку (3.36) на вектор Mvk (k =
= 1, ..., п):| Mv/t • Zo) = 2 Я} (0) {Mvh■ Vi} = qh (0) \Mvk- t>*)./=i
Под знаком суммы все слагаемые, для которых i¥*k, на
основании (3.27) равны нулю. Поэтому в правой части
остается одно Слагаемое для j=k с одним неизвестным
числом ^ft(O) . Отсюда найдем его значение в видеi=n| S mi ZiЯк (0) =\Mvk(3.38)(/Vf Vk ■ Vk}Поступая аналогично со второй строкой .(3.36), получим( -* 2 m* vth (°)-• - М vk • Zo) 1=1 -
(°) = ;—— =			 • (3-39)(m vk • Oft)	kЗдесь в знаменателе стоит обобщенная масса (3.28) k-и.-	i = Пглавной формы колебаний Mk= 2 т&)к. Вместо реаль-i — 1ных масс ttii в числители и знаменатели формул (3.38) —
(3.39) можно вводить относительные величины масс
(3.14).Формулы (3.34) и (3.37) — (3.39) решают поставлен¬
ную задачу определения движения системы по заданным87
начальным возмущениям (3.35) . Приведем пример (рис,
3.12).Пусть система, рассмотренная в примере предыдущего парагра.
фа (см. рис. 3.8), получает удар в точке /, схематизируемый ка»
мгновенный импульс G0. Найти свободное движение масс Z\=Z\(t)
и Z2=Z2(t) после удара.Изменение количества движения массы	при ударе раяно импульсу Go=Zt(0)3m. Отсюда Zi(0) = Go/3/n, Скорость BTopoi
массы Zj(0)=0. Начальные смещения обеих масс Z,(0) =Z2(0) =0
Поэтому векторы начальных возмущений (3.35) будут'G0/3mг.-оИспользуя данные, полученные в § 3.4 о спектре собственны*
колебаний этой системы (см. рис. 3.8), вычислим обобщенные массьдля каждой из главных форм колебаний vt и vs:Mi = 2 mi vn3m-12 + m-З3 = 12m;^=2По формулам (3.38), (3.39) найдем q\ (0) =?г(0) =0 иft(0)=Зт-1 (G0/3m)
12m
3m-1 (G/3m)4m12mGo4m "По формулам (3.37) получимtg Фо! = tg Ф02 = 0; Лi = qx (0)/co, = G0/ 12та)х;Фм£ = Ф02 = 0; A2 = Яг (0) 0)г = G0/4mo)2.Следовательно, в нашей задаче q\{t) =А\sin сМ и q2(t) — Л2 sin arf,
По уравнению (3.34) запишем искомые перемещения масс в век¬
торной форме. _ - j2 =ч= At sin <о^• I- А% sin оз1— 1Z это равенствоОбозначим а=00/12тсо!. Для каждой компоненты
получит видZx = a (sin + (3(0х/со2) sin a>2t)\Z2 = а (3 sin — (3o)i/<о2) sin w2t)Графики этих функций даны на рис. 3.12. На них отчетливо
видно, что свободное движение каждой массы состоит из смены двух
гармонических движений: одно с частотой toj (периодом Tt), оно на
рис. 3.12 показано пунктиром, и другое с частотой со2. Последняя
связана с частотой ©i соотношением4,58о)];83
Через найденные обобщенные координаты q\(t), q?{f) легко мо¬
гут быть выражены не только перемещения масс, но и любые фак¬
торы в системе. Пусть, например, требуется получить закон измене¬
ния во времени изгибающего момента в сечении Е у заделки рас¬
сматриваемой консоли. Обозначим МЕi и Ме? моменты в заделке со¬
ответственно от qi = l и q2=1. В общем случае они могут быть опре¬
делены от сил инерции, действующих в амплитудном состоянии для
каждой формы колебаний (см, рис. 3.7). В данной задаче эти силы
инерции показаны на рис. 3.13, а, пользуясь которым, найдем MEi =
=9wjmd; M£2=o>|md. В произвольный момент времени функцию
ME(t) получим в видеМЕ Щ = Mm qx (t) + МЕ.2 ?2 (0 = Ь (3 sin а/ + (со/ш^sin оу), (3.40)
где b = G0(i)\djA. Зависимость ME(t) изображена на рис. 3.13,6.,i 3.6. Использование обобщенных координат и базисных
Функций в задаче о свободных колебаниях системы
с распределенными параметрамиДеформируемая система, содержащая как сосредото¬
ченные nii, так и распределенные массы интенсивности
т, вообще говоря, является системой с бесконечным чис¬
лом степеней свободы. Однако часто указанные конст¬
рукции схематизируют как системы с конечным числом
степеней свободы, характеризуя перемещения всех ее
точек некоторым числом обобщенных координат, на что
Указано в § 1.2. Составим уравнения свободных колеба¬
ний такой системы на примере изгибаемой балки (рис.•1%®). Представим ее прогибы в форме ряда89
!=п(3.41!/•--iгде г/, - п обобщенных координат (/—1, ..., п) ; Ф/—п ба-|
зисных или координатных функций, выбираемых таь
чтобы они удовлетворяли условиям совместности переЗмещений в местах опорн<.ц
ш) 1 т. т. т	закреплений (кинематичЛ—х ким условиям). В частности]
' в методе конечных элем :
гов под <7/ понимается ли!
нейное или угловое перемер
щение узловых сечений ког
струкции, а под Фj — фун!
ция формы перемещений
конечных элементов, свя
занная с узловым пере к
щением сц (рис. 3.14, 6)1
Таким образом, Фг— это из¬
вестные функции координат,
a q, — искомые функции
времени.Составление уравнении
движения. Скорости точек
системы на основании равенства (3.41) будутРис. гмi=i(3.42)Кинетическая энергия и потенциальная энергия Де¬
формации системы (в данном случае изгиба) запишут
ся так:/ i	(=р	\	i=n г k=n	\2“ S К Mik4h I ЯУ' (3-43f),■=1 \ k=i Ji=n , s=ft	,T =y2dm+2L0	C=1y, m. =‘ ‘ 2U =tJEJ (y")‘i dx = —SSrik 4k 4j-(3.44)s=i \ /=lЗдесь M/ft — инерционные коэффициенты (обобщенные
массы); r,k — обобщенные коэффициенты жесткости (ил«
реакции) системыI	i~pMjh — i Ф^ Фи mdx + 2	фк (Xi) тг\	(3.45)о	г=1«О
Ф„ EJdx(3.46)(штрихами обозначено дифференцирование по х).' Выражения (3.43) и (3.44) для кинетической и потен¬
циальной энергии системы могут быть записаны в век¬
торно-матричной форме еще и так:Т-*.— q* Му, и =-qvRq,(3.47)- Mi i ..■ Мшrii • • • rin• Мпп .; R =. rni ■•• rnn .• (3.48)где М и R—матрица инерционных коэффициентов
(обобщенных масс) и матрица жесткостейМ=Из формул (3.45) и (3.46) для коэффициентов этих
матриц видно, что они симметричны.Подставим теперь выражения Г и U в уравнения
Лагранжа (1.23), записанные для случая, когда внеш¬
ние силы отсутствуют, учтя, что dT/dqj = 0:
d I дТ \ dU	,dt ( dqj ) + dgj -° °~1, n)'Эти « уравнений запишем как сумму двух векторов,
каждый n-го порядка (/ = 1, ..., п):	;— 4 dT/dqj)at+= 0.(3.49)По правилу дифференцирования произведения (3.47)получим (dlljdqj) = (у2) (ERq) + (y2) (<?т#£), где £—
единичная матрица. Во втором слагаемом множителиможно переставить так: qTR=Rrq. Но ввиду симметрии
матрицы жесткостей RT=R, поэтому оба слагаемых здесьодинаковые и (dUjdqj) ~Rq. Аналогично (dT/dqj)—Mq.
'Дставляя эти значения векторов производных от Т и
в (3.49), окончательно получим уравнения свободных
Колебаний системы в видеMq + Rq = 0или в развернутой форме	.% ?i + • •• + Mln <?n + ^iM + • •• ' i" rm 4a ~ O', j4i *1" •• ■ JtAinn Чп • rni 9i.+ •• • 4~ rnn fit = ® • '(3.50)(3.51)m ■
Сравнение уравнений (3.50)' и уравнений (3.10), з
писанных для системы с сосредоточенными массами, пц
называет, что эти уравнения внешне полностью совги
дают. Отличие лишь в том, что если в уравнениях (3.10
матрица М была диагональной, то в данном случае
системе с распределенной массой эта матрица недиагс
нальна, С ее помощью вектор обобщенных сил инерцц
определяется равенствомМц .М1пI = — Mq =т(3.5(3.5;Мп1 • • • Мппв то время как вектор обобщенных упругих сил
S = — Rq = —Таким образом, уравнения (3.50) выражают условие
равновесия системы как условие равенства нулю сумманых обобщенных сил /+5 = 0.Из формулы (3.45) для вычисления инерционного ко>
эффициента Niik следует, что численно он равен работесил инерции, отвечающих ускорению (—Цк) = 1 на перв'
мещениях, определяемых координатой (?/ = !. Действ
тельно, величина 1- Фктйх, стоящая под интегралом,это элементарная сила инерции при (—<?*) = 1. Множ1|
тель Ф/ — это перемещение при <?/ = 1, на котором эле¬
ментарная сила инерции совершает работу. Об этом уже
говорилось в общем виде ранее в связи с разъяснением
формулы (2.38).	,Для сложной конструкции, состоящей из многих ко¬
нечных элементов, уравнения движения (3.50) формиру¬
ются с помощью матриц R'. и М\, составленных для t-ro
конечного элемента в локальной системе координат, по
обычным формулам преобразования матриц за счет ИЗ1
менения базиса координатщR = VTГ?IIн_ ’ MN_V, (3где V — матрица, преобразующая глобальные об обще
ные координаты q в локальные координаты q' конечны*92
Рис. 3.15элементов: q'=Vq. Как видим, тех¬
ника формирования матрицы масс
М одинакова с техникой формиро¬
вания матрицы жесткостей ансамб¬
ля элементов. Важно иметь матрицу
масс для отдельного элемента. Для
примера приведем матрицу масс для
стержня при т= const (рис. 3.15).
На этом рисунке вместо q\ указаны
амплитудные значения обобщенных
координат, обозначенные Zt. Если принять для такого
стержня по предложению проф. В. В. Болотина в каче¬
стве функций Ф; статические линии прогибов стержня
постоянного сечения от Z,= 1:<Pi = 1 - 3 (хЦу + 2 {х/l)3; Ф3 = 3 (*//)? — 2(л://)3;Ф2 =*[1-2 (*//) +(*//)?]; Фь = -х[(х11)-(х/1)*], (3,55)то матрица масс Л4/ для такого стержня, построенная по
формулам (3.45), получит вид
' 13//35
II/2/2I0 /3/ 105
9//70 13/V420
— 13//420 —Р/НОМ, = т13//35 '— 11/2/210 /3/105(3.56)Составим уравнения свободных колебаний (3.50) для
балки, состоящей из двух конечных элементов (рис.
3-16). Принимая за обобщенные координаты qi и q2 про¬
гиб и угол поворота среднего сечения, получим систему
АвУх дифференциальных уравненийMilM1291+1*4-t** 59i- M2iM22 ' _l_jvi *22-. _= 0,(3.57)ГДе -и = 12 |(«л/Я) Hr {EJB IP)]- = 4 [(EJa //) + (EJB //)]
ri^^=-6[(EJA/ft)-(EJs/l2)].93
Используя соответствующие элементы матрицы масс
(3.56), найдем: Мц = (13/35) (mA/+mB/); М2(1/105)'
Х(тА13+тв13)$ Ml2=M2t= (11/210) (тАР~тв12). ПИ
тл = тв и EJa = EJb матрицы М и R становятся диагс
нальными и уравнения (3,57) разделяются.Задача о собственных колебаниях. Будем обозначать
амплитуды обобщенных координат щ, как это сделано
§ 3.2.Представим аналогично (3.12) вектор q в видеq = о sin (coi + ф0),	(3.58)где uT=[us, Vn] —вектор амплитуд q(t). Подстанов¬
ка (3.58) в (3.50) дает для амплитудного состояния си¬
стему однородных уравнений5.59)юб-Rv = ХМ v,	(3где А,=со2. Мы вновь пришли к задаче определения собственных значений X и собственных векторов v, удовлет¬
воряющих уравнению (3.59). В отличие от стандартнойзадачи для уравнения (3.19) Cv=Kv она называется
обобщенной задачей о собственных значениях. Обратим
внимание на то, что если в уравнении (3.19) коэффици*
ент К зависел обратно пропорционально от со2, то в (3.59)
он равен со2. При одинаковом обозначении %, принятом в
линейной алгебре для собственных чисел, они по-разному
связаны с искомыми частотами со.Запишем (3.59) в виде(R — ХА4)_у = 0.	(3.60)При и=^=0 определитель этой системы должен быть ра¬
вен нулю, что дает частотное уравнениеDet (R — %М) = 0,	(3.61)или в развернутой форме(гXI ^jMii) . . • (rxn — hMin)= 0. (з.е(rni Шп1) . . . (гпп ХМпп)Из (3.62) находим /.!—с , К2 = ьу1 ... как корни этого
уравнения, а из системы уравнений (3.60) — координатысоответствующего вектора формы колебаний иг, подста¬
вляя в нее	и полагая одну из координат vt равной
единице.94
Заметим, : что суммарные коэффициенты уравнений■(3.6°) ■	.«Л:■Kjh r jh ttPMjfc .	' (3.63)иногда называет .обобщенными динамическими .жестко¬
стями (реакциями) системы. Используя это понятие; вме¬
сто (3.61), частотное уравнение можем западать в видеDel [Rjk\ -= 0.	(3.64)Рассмотрим подробнее частный случай — стержень
постоянного сечения EJ — const, т = const. Как указы¬
валось, проф. В. В. Болотин предложил в качестве ба¬
зисных функций Ф;- принимать статические линии проги¬
бов такого стержня от единичных смещений^ его конце¬
вых сечений, показанные для, примера на рис. 3.15 для
стержня с защемленными концами. Для других гранич¬
ных условий выражения функций Ф; легко могут быть
получены, например, по методу начальных параметров.
Обобщенные координаты (3.58) и их амплитуды Z/ в
этом случае представляют угловые и линейные переме¬
щения концевых сечений стержня, а обобщенные реакции
Rik — реакции по направлению этих смещений от 'Zj — \.
Вычисленные В. В. Болотиным [8] по формулам (3.45)’,
(3.46), (3.63) динамические реакции стержня Rjk для
некоторых случаев опирания приведены в табл. 3.1.Обратим внимание на то, что каждая реакция Rjk в
I табл. 3.1 состоит из двух слагаемых: первое —^ упругая
реакция г,*, обычно используемая в методе перемеще¬
ний; вторая — реакция (a2Mjk от распределенных сил
инерции, интенсивность которых в каждой точке равна
m(a2vk, где у*=ФА(Х)— прогиб точки. Условно в табл.
3.1 эти распределенные силы инерции помечены стрелка¬
ми. Именно за счет сил инерции схемы 3 и 5 имеют раз¬
личные значения суммарных реакций. Схема 6 содер¬
жит реакции только за счет сил инерции.Приведем пример приближенного определения соб¬
ственных частот стержневой системы с применением
табл. 3.1 (рис. 3,17,а).В амплитудном состоянии будем характеризовать состояние сис¬
темы двумя обобщенными координатами 2\ и Z2. Вводим по их на¬
правлению, связи (рис. 3.17, б) и вычисляем с помощью табл. ,3.1
Динамические обобщенные реакции так же, как в расчетах рам по
Методу перемещений:	. ...	■ ■ .95
Та б л и ц а 3.1. Таблица динамических реакций
Рис. 3.17( 3i и* i / i	k\*. = ** = -(—■+^r)=~(3T + 0'04-)-Уравнения (3.60) получат вид(8,5 — 0,181u) Zx — (3 + 0,04[i) Z2/l = 0; 1	(4■	(3)—	(3+0,04(1) 2j +(3 — 0,57jA)22// = 0, 'j ' wгде jx = k/i = mafil4! EJ; <o2 = \iEJlmll.	(6)Приравнивая определитель системы уравнений (а) нулю, получим
0,101 [.I2—5,63^+16,5 = 0. Отсюда itt -3.1 и |л2 = 52,5 и соответствую-
щне частоты (б) будут: g>i = gr 3,lEJ/ml4 и	52,5EJjtnl4. Изпервой строки уравнения (а) находим соотношение Z{ и Z2, опреде¬
ляющее форму колебаний_ 3 + 0,04ц _Zj_8,5 — 0,181 I *Для м- = =3,1 (w = wi)
получим Zi = 0,39Z2/i. Coot-	2 =0.39ветственно для (j. = ju,2 = 52,5	' ’(о)= ю2) 2, =—5,06Z2//.Формы колебаний изобра¬
жены на рис. 3.18.Для получения более
высших, собственных частот
системы или в целях повы¬
шения точности возможно
Увеличить число обобщен¬
ных координат Z}, вводя
связй в каких-либо проме¬
жуточных точках. Другой
пУть состоит в использова¬
нии уравнений, описываю¬
щих изгиб стержня как эле¬
мента с бесконечным числом
■
степеней свободы. На этом вопросе остановимся подробнее в гд,
Определение свободных колебаний по заданным
чальным условиям. В этой задаче сохраняют силу
формулы § 3.5, записанные там для сосредоточенн
масс. В них надо только под матрицей М понимать м
рицу обобщенных масс (3.48). Тогда, например, форм(3.38)	для qk (0) будет записана в видеqh{0)=:{MVk-Z,)mh,	(3!где ft/Ik — обобщенная масса &-й формы колебаний;Mh = {мщ ■ щ) = vTk Mvk.<з.«,§ 3,7, О решении частичкой проблемы собственных значений
для матриц высоких порядковВыше мы видели, что определение спектра част|г
сводится к определению собственных чисел из уравне¬
ний видаCv = Я v;
Rv= %Mv.(3.6?(з.бьУравнение (3.67) строится на основе матрицы подат
ливости А, а (3.68) — на основе матрицы жесткости R\
В первом (со2тобо)-1, во втором К—ю2.В принципе уравнение (3.68) может быть сведено к(3.67)	умножением либо на R~\ либо на М~х (если М —
неособенная и для нее существует обратная матрица)
Однако при высоком порядке получение обратных мат¬
риц очень трудоемко. Исключение составляет важнЦЙ
случай, когда М — диагональная матрица. Тогда“ nilМ=-■тш;UmN, (3-69)и уравнение (3.68) получает вид, аналогичный (3.67):Kv = Xv,	(3.70где K=M-,R. В уравнении (3.67) С=АМ. Хотя матрИ
цы жесткости R и податливости А симметричные, оС
зуемые из них матрицы К и С после умножения на дй8'
тональные матрицы М~1 или М оказываются несиммет
ричными. Однако во многих известных алгоритмах 0*
решения проблемы собственных значений в целях экоНО'98
мйа времени вычислений на ЭВМ используют симметрию
маТриц С или К■ Покажем, как можно симметризовать
gT!I матрицы. Кроме того, рассмотрим некоторые вопро¬
СУ итерационного определения части полного спектра
чисел М/=1> Щ (N—полное число степеней свобо¬
ду, равное порядку матриц К или С). Обычно определя¬
ется* лишь некоторое количество чисел Kj(i=l, ..., п),
причем n<^.N. Такой подход носит название частичной
дро-блемы собственных значений.Практическое значение во многих случаях имеет имен¬
но частичная проблема, так как даже в очень обшир¬
ных Системах, когда /V- 1000 (символ «~» означает
«порядка 1000» и N может быть равно одной или несколь¬
ким тысячам), инженера интересует лишь несколько пер¬
вых частот и форм собственных колебаний. Практичес¬
ки п может быть равно от 1 до 30—50, т. е. обычно
:~Ю.	'Симметризация матриц. Рассмотрим этот вопрос вна¬
чале для случая диагональной матрицы масс (3.69). Сим¬
метризация матриц С и К достигается заменой« = Ш 1/2 и,(3.71)где М~1/2—диагональная матрица, состоящая из элемен¬
тов [ 1 / У mi]-. Подставляя (3.71) соответственно в урав¬
нения (3.67) и (3.68) и умножая обе части равенства на
придем вместо этих уравнений к следующим:МчйС:„ и = X и; К* и — к и.	(3.72)Матрицы С* и К* симметричныеV»! б21 VmSS • • • бШ VmimN62iС* = Л*У» АМ^ =S22m2_ бдг! У tnxmN	Ьш m-fj(3.73)К* = 1/2 RM~l/2 =rHfmihztVm lm2 ■rJ Vr22/«2 •. (3.74)7*99
Преобразование (3.71) не меняет собственных чио%. Их вместе с собственными векторами и найдем
преобразованных уравнений (3.72) с симметричны^,
матрицами. После этого надо сделать переход по форму.лам (3.71) от найденных векторов и к действительны^
векторам форм собственных колебаний рассматриваемо?.системы V.Если матрица масс М недиагональная, то предвари¬
тельно ее надо представить в виде произведения М=.
=LLT, где L — нижнетреугольная матрица (все элемен¬
ты у ее верхнего треугольника нулевые), что можно еде-
лать по методу Холецкого с помощью известных формул
[47, 48]. После этого вместо (3.71) вводится заменаv= (LT)-lu, которая приводит ко второму из уравнений(3.72)	с симметричной матрицей K* = L~'R (LT)_1 =
= ±~Щ (L_1)т.Как уже указывалось, для решения проблемы собст¬
венных значений разработан ряд методов. Среди них —
метод Якоби, позволяющий успешно решать полную про¬
блему типа (3.72) для матриц порядка 50—100, метод
Хаусхолдера в сочетании с методом бисекций и обрат¬
ных итераций, удобный при использовании уравнения(3.72)	с полностью заполненной матрицей С*, так назы¬
ваемый Qi^-алгоритм, применимый к уравнениям с не¬
симметричными матрицами типа (3.67), (3.70). Матри¬
цы К и К*, основанные на матрице жесткости R, в боль¬
шинстве случаев имеют ленточную структуру. Это
успешно используется в методе Гивенса, применяемом в
сочетании с методами бисекций и обратных итераций.
Алгоритмы упомянутых методов можно найти в [47]
В последнее время наиболее популярным методом реше¬
ния частичной обобщенной проблемы собственных значе¬
ний типа (3.68) является метод одновременных итераций
(итераций в подпространстве). О нем более подробно
сказано далее.Итерационное определение первого собственного чИ'
ела и вектора. В уравнении (3.67) в левую часть подставим произвольный вектор и<0), в котором некоторая ко
ордината, например первая uS*'1,принята равной единице.После умножения 8М°> получим новый вектор, у ко¬
торого все координаты разделим на первую координату100
[	вынеся ее как множитель. В результате получим Си(0) =:	^=/.<0)у(1)- Подставим теперь образовавшийся справа век¬
.	т0р и(|) вместо и проделаем с ним те же операции.:	Хаким путем можно образовать последовательность'	Су<0) =	;.			(3.75)Можно доказать, что при i-voo	i — Хшах ДЛЯматрицы С, а вектор	— первому собственномувектору этой матрицы. При этом coi = (Xim060)_i/2 = a)mm
отвечает первой наименьшей частоте и первой (основ¬
ной) форме главных колебаний системы. Аналогичный
итерационный процесс, примененный к уравнению
(3.70), содержащему матрицу жесткости, в котором %== со2, приводит к наибольшей частоте Xmax=«w и соот¬
ветствующей старшей форме, колебаний ZN. Так как
обычно интересует именно первая частота comm, то с мат¬
рицей К этот.способ не используется.Существуют методы, с помощью которых после на¬
хождения и V[ матрица С так преобразуется, что ите¬
рационный процесс (3.75) с этой новой матрицей приво¬
дит к 12 и »2 и т.д. Этот метод называется методом ис¬
черпывания [48]. Но при высоком порядке матриц он
неудобен из-за медленной сходимости итераций в слу¬
чае близких частот.Метод одновременных итераций. Предположим, что
Для уравнения N-го порядка (3.68) нам известно п соб¬
ственных чисел A,i	 Кп и соответствующих векторовvu--,vn (п<СА0- Подставим их все в уравнение (3.68),
записав его в таком виде:R lVi\...; vn] = М К;...; vn]или в сокращенной записиRV = MVA,	(3.77)где V — прямоугольная матрица ny^N, составленная изФ1 "■(3.76)
п собственных векторов Vi, а Л — диагональная матр*
ца /?Х/г> содержащая на диагонали собственные чи«
Ki.В правой части (3.77) стоят п столбцов типа XiMv,
каждый из которых будем рассматривать как грузововектор Rip. Если п раз решить систему уравненийRv — Rip (i = \,... ,п),	(3.7то результатом решения будут те же векторы щ с ndмощью которых образованы грузовые столбцы RiP. Это
следует из того, что в правой и левой частях (3.77) cti
ят одинаковые матрицы V.Порядок матриц R и М равен N—общему числу ст
пеней свободы рассматриваемой конструкции. Теперь
уменьшим (редуцируем) число степеней свободы этой
системы до я<СЛ/\ приняв в качестве базисных п собст-
—> —>венных векторов иь ..., vn и вводя п обобщенных коор
динат ()i, ..., qn. Итак, пустьv=--q-Lvi_-\-...+ qnvn	(3-7Sилиv = Vq■	(3.80
Подставим (3.80) в (3.68):RV~q = XMVq.	(3.81)
Умножив обе части этого равенства на Ут, получимrq = %mq^	(3.82где матрицыr=VJRV\ т — l/T MV	#»83имеют порядок пу^п (этот уменьшенный порядок п по
сравнению с порядком N матриц R и М подчеркивается
в обозначении гит малыми буквами). Матрицы г и
т — это матрицы обобщенных жесткостей и масс, отвечающие вектору q. Уравнение (3.82) совершенно аяало!
гпчно уравнению (3.68), но оно составлено для систе
мы, имеющей п степеней свободы. Если N векторов за
данной конструкции, для которой составлено уравнение(3.68), образуют пространство N-vt мерности, то из него102
jjy как бы выделили подпространство мерности п, сни¬
зив с помощью п обобщенных координат по равенству
(3.80) число степеней свободы с N до п. Для этой реду¬
цированной системы с п степенями свободы составлено
уравнение (3.82) порядка п.Уравнения (3.77) и (3.82) выполняются точно, если
Б них подставляются точные значения векторов V и чи¬
сел Л. Но так как они неизвестны, то строим следующий
процесс итераций:	.(а)	RVi'1) = MV(k) Л<*> (N-N)\V(ft)i(б)	/■(*) = (V<fe))T RV^I; m(*> = (У(А))т MV<-k);L -(в)	r(k) q — q (n-ri)\I(г)	A<ft+4; V(fe+!J =V(ft) Q<*+4.На этапе (а) в правую часть подставим п «пробных»векторов и п «пробных» чисел Aw; выполнив п ре¬
шений системы уравнений порядка NX.N, найдем п век¬
торов V<-k). Эти векторы используем для снижения числа
степеней свободы системы до п, составляя матрицы
и m(h) [этап (б)]. На этапе (в) решаем полную пробле¬
му собственных значений порядка пу^п и находим п
собственных чисел %, составляющих матрицу Л(*+1), и пвекторов q, из которых образуем матрицу	Длярешения указанной полной проблемы используется один
из упоминавшихся методов, например метод Якоби, с
приведением уравнения этапа (в) к виду (3.72) с сим¬
метричной матрицей К*- По результатам этого решениястроятся новые «пробные» числа Л(й+1)=Л№+1) и векто¬
ры !/№+') [этап (г)]. Последние строятся на основании
равенств (3.79) или (3.80). С помощью новых «проб¬
ных» чисел и векторов процесс повторяется, начиная с
этапа (а). Как видим, процесс итераций ведется и с век¬
торами v (мерности N), и с векторами q (мерности п).
Его называют одновременными итерациями или итера¬
циями в подпространстве. В ходе итераций матрицы
г(*о и m(k) стремятся к диагональным, а матрица Q(&+1)
стремится к единичной.103
Спектр периодов собственных холеЗаний,	т	1111 Mill II 1 111 1 .о 1 г j <t s , в 7 а?
Рис. 3.19В качестве нулевого приближения можно принятЛ<°> (единичная матрица), а составить из век
торов перемещений, полученных от загружения задан
ной системы некоторыми п независимыми нагрузками
Опыт вычислений показывает, что если требуется полу
чить с достаточной точностью п векторов, то итерировать:
следует несколько большее число векторов пи приче
щ примерно на одну треть больше числа п.Приведем временные показатели программы, составленной
инж. В. М. Осокиным, реализующей этот метод па ЕС ЭВМ 1033
Для получения 10 частот и форм колебаний (я=10) потребовался
примерно 20 мин. для системы с 600 степенями свободы (/V—600)
50 мин для = 1500 и 90 мин для iV=3000. Эти данные получен
для малой ширины ленты (<10).Для определения 20 форм собственных колебаний пространст
венной висячей конструкции нефтепровода (рис. 3.19) при Л/ = 125
итерировалось 28 форм колебаний. Ширина ленты матрицы R
ставляла 50. Время решения по упомянутой программе —180 мин
На рис. 3.19 показана найденная часть спектра периодов собствен
ных колебаний указанной конструкции.ГЛАВА 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ
ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ§ 4.1. Гармонические колебания системы с несколькими
степенями свободы (без демпфирования]Пусть на систему (рис. 4.1, а) по направлению каЖ
дого независимого перемещения Zi(t) в общем случае104
действует гармоническая сила Р—Po;sin0/ (i = l, 2,..,/?.). Предположим, что частота 0, одинаковая для всех
сИ’л, находится достаточно далеко от резонансной зоны.
Поэтому силы внутреннего и внешнего сопротивления
я!, будем учитывать. Их влияние учтем позднее (см.
§ 4.4). Рассмотрим установившиеся колебания системы,
благодаря отсутствию сил сопротивления можно счи¬
тать, что эти колебания будут происходить синхронно
(с одинаковой частотой) и синфазно (в одной фазе) с
изменением сил Р,- с некоторыми амплитудами Л&. Сле¬
довательно, имеем перемещения и силы в точке кв произвольный момент в амплитудном состоянииZt (0 = At sin 01;Н й =— mi Z\ =
= 02 ms Ai sin 0/;Pi (0 ~ Poi sin №;
Щ W = (Ли ++ 82 Щ /1;) sin 0/.h = At;PouSi = о; + = oz "Г~j-02 mt Ar(4Л)Здесь через S, обозна¬
чена амплитуда сум¬
марной внешней дина¬
мической силы, дейст¬
вующей на упругую
систему в точке i. Она
слагается из амплитуд
внешней силы и силы
инерции. В то же вре¬
мя она численно равна
и противоположна по
направлению силе уп¬
ругого отпора балки,с которой она противодействует массе и внешней
силе в этой точке. Поэтому величины Si можно назы¬
вать амплитудами упругих динамических сил системы.
Амплитуды сил и перемещения в точке i приведены на
РВД, 4.1,6.Последнее равенство (4.1) показывает, что все три
Н(?известные величины Su /{, А* взаимосвязаны. Так как
амплитуда внешней силы P0i задана, то, определив од¬
НУ из них, можно вычислить и две другие с помощью
Этого равенства.Рис. 4.1105
Составим уравнения для амплитуд Si, считая, чт
матрица податливости системы [б] известна (3.4). Вентор прогибов А в амплитудном состоянии можно выразить через вектор сил 5 с помощью [б] так:А = [б] SИЛИAl — б if Si + 612 S2 + ■ • •+ 6ln Sn',(4.2Заменив здесь с учетом последней строки (4.1) Ai =
= (1/82т,-) (Sj—Poi) и перенеся все неизвестные S
левую часть, получим искомые уравнения[6ц — (1/02 /7?х)] % + б12 S2 • Н- &т Sn ++ (l/02m5) Р0х = 0;(41бщ Sx + б„2 S2 +.. , + [Snn — (1/е2 тп)} Sn++ (1 /02тп) Рт = 0.Если в (4.2) выразить силы S; через Ач и обозначит[б]Ро = Ая вектор статических перемещений, вызванныхамплитудами сил Р0, то вместо (4.3) получим уравнения
для определения А с[бхх даj! — (1 /02)] Ai + Si2 пи А2 +. >.-j- йцг тп Ап + 1+ Д1РО/02 =°;	j		 . \ (4.4)б nx ?% Аг -f- бп2 тг Ал +. .. + [бл/г тп — (1 /02)] Ап + |+ ДпРо/02=О.	|Для того чтобы привести (4.3) и (4.4) к более удоб
ной для вычислений безразмерной форме, сделаем в них
подстановку (3.14) бг*=Згйбо и mi = mim0. Кроме Torq
аналогично (3.16) представим частоту 0 в форме6= - Ш,н «Д,	(4.5где —безразмерный частотный параметр. После это
го уравнения (4.3) и (4.4) получат вид:для амплитуд внешних динамических сил10а
[бц — mi)^ +612 S3 +.. .-f 6i„ 5,i + (?^e /mi) P^i = 0;(4.6)S*i 5i + 6rt2 S2 + ... + [бпп— (Wmn)] Sn -f(Wmn) Pon = 0
и для амплитуд перемещений
(бп /ni — ^0 ) Л14- 612 tn2 Аг + ..61 п тп Ап -j- Хв Aip0 = 0;6п 1 mi + бпг т2 Аг + •.. + (Ьпп тп — Хв ) Ап -f- Хв &п,р0 = 0.(4.7)Уравнениями (4.6) и (4.7) пользуются для определе¬
ния амплитуд динамических нагрузок или прогибов вда¬
ли от резонанса. Выясним, как ведет себя решение этих
уравнений в зависимости от частоты изменения внешней
нагрузки 0. Из алгебры известно, что решение системы,
например (4.7), можно по формуле Крамера записать
в виде Ai——Di/D, где D — детерминант, составленный
из коэффициентов при не¬
известных этой системы, а
Di — аналогичный детерми¬
нант, но в нем i-й столбец
коэффициентов заменен
столбцом свободных членов.С приближением 0 к любой
собственной частоте и Хв
к Xh (3.25) величина D будет
стремиться к нулю, так как
именно из условия D = 0,
давшего вековое уравнение	Рис. 4.2
{3.23), мы определили частоты т (k—\, 2, п) (о*§ 3.2). Неизвестные Лпри £)->■0 в общем случае стр!
мятся к бесконечности, что свидетельствует о резонанс^
в системе без затухания. Следовательно, в системе с
степенями свободы возможно образование п резонансе
в случаях, когда частота возмущающего воздейств!
приближается к одной из собственных частот систем
Для получения конечных амплитуд прогибов при ре
зонансных частотах, а также близких к ним необходим
учет сил демпфирования аналогично системе с одной сте¬
пенью свободы (см. § 2.6). С учетом внутреннего трещ
график Ai = Ai(Q) будет иметь несколько характерных
резонансных пиков и соответствующих им резонанснь^
зон (рис. 4.2).Пример. Исследуем собственные и вынужденные симметричнь
колебания балки на упругих опорах, жесткость которых c = 6£7/df
(рис. 4.3\а). Используя симметричнее единичные воздействия (рис,
4.3,6), вычислим элементы матрицы податливости:В	'= [ (Щ EJ) dx + 2 wfpfe = d3/6EJ + 2 (1/2)2 (1/c) =d3/4EJ;622	= ( (MV-EJ) dxJrHj	= 8d3/3EJ + 2 (if (1/c) = 3d?!EJ\I _ _612 = = f (Mi m2/ej) dx + ]g Wu N.2iia =,	“	4= — d?!2EJ + 2(1 /2) 1 (1/c) =— d3/3EJ.Первые слагаемые выражают влияние изгиба балки, а вторые-
влияние осадки упругих опор под действием реакций Шл и /V2л
Приняв за основные величины т0=т, и 60 = rf3/12£/, получи!
.безразмерные массы Щ = %, /Щ— 1 и безразмерную матрицу подат¬
ливостиш =18Здесь [б] — безразмерная матрица податливости, в которой % и 62:
поделены пополам, так как второе единичное воздействие являете
групповым (см. § 3.4).Вековое уравнение (3.23) и его решение будут:(6-Я) -4—	4 (18 —А,)= 0;X2 — 24Х + 92 = 0;	2 = 12 ± У’52;19,2;4,8; со2/сох s= 2.108
Используя коэффициенты первой строки векового уравнения, нахо¬
дим соотношение между компонентами собственных векторов v2lv\ =
(6—Я,)/4. Приняв V\ — 1, получим: при A=Ai o2i=—3,3 и при Х=Х2
v ^0,3. Формы симметричных собственных колебаний показаны на
рИс. 4.4. Заметим, что осадка пружин на рис. 4.4, а также любые дру¬
гие интересующие факторы должны быть найдены от сил инерции
масс Jik=(£>2kmivih = miVik/'Khba (6=1, 2).Рассчитаем теперь систему на установившиеся вынужденные ко¬
лебания от действия гармонической силы P=Posin0^ (рис. 4.5, а),
построив эпюры изгибающих моментов и прогибов в амплитудном
состоянии для некоторых частот 0. Составим уравнения (4.6) для
определения амплитуд суммарных динамических сил, ^спользуя ко¬
эффициенты матрицы (а) и полагая Ръ\ = Ро', Рог=0; nti = 2 и т2= 1:
[3 - (Хе/2)] Si - 4S2 + (Хв/2) Р0 = 0;— 25j + [18 — (7.е/1)] S2 = 0.	(б)Пусть 7.0=23, что, учитывая (4.5) и {3.16), соответствует 0/01 =
=	= У19,2/23«0,9. Решив уравнения (б), найдем Si == (5/3)Р0 и S2=—(2/3)Р0. Эпюра амплитуд изгибающих моментов
показана на рис. 4.5, а.	. ■Прогибы А\ и Л2 можно найти по равенствуАA2J= So [6J/V3—4'
— 2 185
— 2Ро 6023
— 46lAjЭпюра прогибов на рис. 4.5 показана пунктирной линией.Аналогичные результаты для Ае=6 (0/со2= V4,8/6»0,9) при¬
ведены на рис. 4.5, б. Как видим, с изменением частоты вынужден¬
ных колебаний меняется и форма деформации системы. В примере
умышленно частота 0 принята близкой к ап и <в2, чтобы показать,
что в резонансной зоне форма вынужденных колебаний приближа¬
ется к «резонирующей» форме собственных колебаний. Это видно из
сравнения рис. 4.5 и 4.4. Более точные результаты с учетом сил
сопротивления при указанных частотах (близких к резонансным/
могли бы быть получены по методике, изложенной в § 4.4.Рассмотрим еще одну задачу о действии гармоничес¬
кой силы P=P0smQt на систему с двумя степенями сво¬
боды (рис. 4.6,а). Примем для нее все параметры масс
и жесткостей такими же, как в системе на рис. 3.8. Ис¬
пользуя данные об этой системе, приводимые в § 3.4,
составим для нее уравнения (4.7) относительно ампли¬
туд Л[, Лг перемещений точек 1 и 2:(3 — Xq ) /41 + 2,5Л3 + Xq Дро = 0; 1
7,5Л1 + (8-Я0)Л2 + 2|5^е ДРо=0,{	(В)гДе Др0 =Р0Ьо=Ройг/ЪЕЗ. Найдем из уравнений (в) без¬
размерные величины амплитуд а.\=А\/&р и а2 =
=Л2/Др0= lh - 1 >75} Хв/(Х20 - 11Х„ + 5,25);109
6,75 P03*°' 4>5P0<£’ " \--W,5P0J0
/i\fM / i \9^0,9 OJfP0sin9tRB=P0sin9fi
ая = 2,5А|/(Л|— llXg + 5,25).	(г)g знаменателях здесь стоит детерминант системы (в),
из условия равенства нулю которого в § 3.4 найдены соб¬
ственные числа >4 = 10,5, Х2 = 0,5 и частоты ©i =
= (10,5 m060)~1/2 = 0,301 (m0S0rI/2, ю2=(0,5 т0&0)~1/2== 1,41 (т0ЬоГУ\На рис. 4.6, г показаны зависимости а\ и а2 от час¬
тоты 0^= (Л.ет0бо) 1/2, построенные по формулам (г). Из
этого рисунка обнаруживается любопытная особенность:
при 0 = 01 амплитуда Л] точки приложения силы Р рав¬
на нулю. При этом из уравнений (г) находим Xoj 1,75
и 0] = 0,757 (т060)~1/2, а2=0,4, т.е. Л2 = 0,4 Р0бо- Это
состояние изображено на рис. 4.6, б.На первый взгляд
равенство нулю пе¬
ремещения точки
приложения внеш¬
ней силы представ¬
ляется необычным.Объяснение этому
дает рис. 4.6, в, где
в точке В поставле-
■ на опора, обеспечи¬
вающая условие
А 1=0, а масса т2
совершает колеба¬
ния с амплитудой0,4 Р0б0 и частотой
0ь которая, как
можно убедиться пу¬
тем вычислений, яв¬
ляется собственной
частотой для систе¬
мы с опорой в точке
В. Реакция RB, ме¬
няясь во временипо
гармоническому за¬
кону с частотой 0ь
и является той внешней силой по отношению к за¬
падной балке, которая вызывает описанное сос¬
тояние. Указанное явление называют антирезо¬
Нансом (виброгашением), а частоту 01 ^частотой
антирезонанса. Для системы с п степенями сво-111
боды, выбрав какую-либо массу за точку прило,
жения силы P = Posin0/', получим в общем случае (п■—1) частоту антирезонанса.Явлением антирезонанса пользуются при создани;
динамических гасителей колебаний. Так, на рис. 4.7,
показаны колебания массы п%\ с амплитудой А\, вызван
ные внецентренно вращающейся массой с круговой’ ча
тотой 01. По технологическим требованиям, предъявляй-
мым к оборудованию, пусть надо устранить эти колеба:
ния, т.е. надо сделать Ai = Q. Этого можно добиться
(рис. 4.7,6), присоединив массу т2 на пружине жестко¬
сти с так, чтобы частота ft была собственной час¬
тотой присоединяемой одномассовой системы (назы¬
ваемой парциальной системой). Для этого надо, чтобы
У c/m2=Bi. Тогда при действии силы Z5 = Ро sin 0,
вызываемой вращающейся массой, масса rti\ окажется
неподвижной, а присоединенная масса т2 будет совер¬
шать гармонические колебания с амплитудой А2 — Ро1с,
Расчет гасителей колебаний с учетом сил сопротивления
производится исходя из уравнений, излагаемых далее
(§4.4).	.§ 4.2. Действие сил, произвольно изменяющихся во времени.
Уравнения движения	.Вначале на примере балки, несущей точечные массы,
запишем уравнения движения в случае воздействия груп¬
пы сил Pi=Pi(t), произвольно меняющихся во времени,
на систему с п степенями свободы (рис. 4.8). Далее обоб¬
щим их для систем с распределенными массами.Независимые п перемещений'масс, как это принято
в методе перемещений, будем характеризовать векторомZ= [Z,,...,	ZnV.	(4.8)Упругие свойства системы задаются либо матрицей
жесткостей R, либо матрицей податливостей А:R =Напомним, что матрицы R и А строятся в заданной
системе по отношению к перемещениям Zit определяю¬
щим число независимых динамических степеней свобо¬
ды. В статически определимых системах (или в систе¬
мах с малым числом лишних неизвестных) более про->и-■rln	1о>^ni-• •ГПП-; А =_6ni* ■ -&ПП.112
сто строится матрица А. Тогда матрица R получается
как обратная R=A~1, Напротив, в системах с высокой
степенью статической неопределимости, когда в стати¬
ческом расчете более целесообразно использовать метод
перемещений, матрица R может быть получена путем
исключения всех таких перемещений Z3-, с которыми не¬
посредственно не связаны массы и соответствующие си¬
лы инерции, напримеруглы поворота узло¬
вых сечений балки или
рамы (более подробнооб	этом см. в гл. 5).Будем считать, что
с каждым перемеще¬
нием Zi (4.8) связана
некоторая сила неуп¬
ругого сопротивления
Fi. Все вместе они со¬
ставляют вектор сил
сопротивления (сил
демпфирования)тГ -JI2, i ,hitРис. 4.8F= lFltУ$ s £ ftТПТ THT TH7	. ,\Si
♦ ftШщ(4.9)Рис. 4.9Эти силы могут иметь различную природу. Это мо¬
гут быть силы внутреннего неупругого сопротивления в
материале конструкции, силы сопротивления, передаю¬
щиеся от внешнего демпфера, присоединенного к точкеI,	либо то и другое (рис. 4.9).На массу т,- в общем случае действуют сила упру¬
гого сопротивления балки S,, сила демпфирования
сила инерции и внешняя сила Р,, сумма которых по
принципу Даламбера в каждый момент должна быть
равна нулю:P. + jf-St-F^ 0 (i = 1,..., п),	(4.10)что можно записать в векторной форме.Р+ J—S—F= 0.	(4.11)Выразим три последних слагаемых через вектор пе¬
ремещений Z. Упругие силы S получим с помощью мат¬
рицы жесткостиS = RZ.	(4.12)8—753113
~h- (ki\F = к S +Z = \kR +- &Т1 _\_ ' kn_На рис. 4.9 уже учтено направление S, как восстанавли¬
вающей силы, поэтому в (4.12) знак минус не ставится
Силы инерции, согласно (3.3), будутJ=—MZ.	(4.13]Подставив (4.12), (4.13) в (4.11) и перенеся Р в пра
вую часть, получим уравнения движения в видеMZ + F RZ = Р.	(4.14)Наиболее часто принимается, что силы сопротивле¬
ния F имеют вязкую природу. Тогда с учетом (2.60) для
отдельной i-й силы сопротивления можем написатьFi^ySt + ki'Zi,	(4.1где "л—коэффициент вязкости материала конструкции, a ki—коэф¬
фициент вязкости внешнего демпфера (они имеют разную размер¬
ность, поэтому обозначены разными буквами).Равенству (4.15) соответствует вектор сил сопротив¬
ления_» ki ~* ( ki ~|^ -* ->Z = BZ. (4.16)Здесь В — матрица коэффициентов демпфирования.В формуле (4.16) она имеет значениеB=xR + K,	(4.17)где К — диагональная матрица, образованная из коэффициентов вяз¬
кости ki внешних демпферов.Часто для приближенного учета внутреннего и внеш¬
него сопротивления матрицу В задают в виде суммы5 = !3itf + p2/W.	(4.18)При этом коэффициенты pi и р2 подбираются из услощ
вия, чтобы декременты колебаний, отвечающие затуха¬
ющим свободным колебаниям, совершаемым по двум
характерным формам собственных колебаний, были ча¬
стотно независимыми. Это в ряде случаев согласуется с
экспериментами (см. § 2.5). На определении этих коэф¬
фициентов подробнее остановимся в следующем napa-j
графе.Итак, примем, что~F = BZ,	(4-19)]тогда уравнения движения (4.14) для системы, облада-114
ющей демпфированием типа вязкого трения, получат
видMZ + BZ + RZ = P.	(4.20)Все рассуждения в целях наглядности мы вели до
сих пор на примере системы с сосредоточенными масса¬
ми. Но легко видеть, что уравнения движения (4.14) и
(4.20) сохраняют вид и для дискретной системы с я сте¬
пенями свободы, содержащей распределенные массы.Действительно, как было показано в § 3.6, уравне¬
ния Лагранжа для указанной системы приводят к ра¬
венству, аналогичному условию равновесия (4.11). Толь¬
ко все силы, входящие в эту сумму, будут пониматься
как обобщенные. В частности, для сил инерции это при¬
водит к тому, что матрица М в (4.13) аналогично (3.52)будет недиагональная. Вектор сил Р состоит в этом
случае из обобщенных., внешних сил (см. § 2.3). То жеотносится и к вектору сил сопротивления F. Таким об¬
разом, уравнения движения (4.14) и (4.20) записывают¬
ся одинаково для систем с сосредоточенными и распре¬
деленными массами. Отличие будет лишь в содержании
матриц, характеризующих данную дискретную систему
с п степенями свободы.В заключение укажем, что если заданной является
не матрица жесткости R, а матрица податливостей А,
то умножая на нее слева равенства (4.14) и (4.20) и
учитывая, что AR=E (единичная матрица), получим
уравнения движения, выраженные через матрицу А:
для произвольных сил демпфированияAMZ+ AF + Z = AP\
для сил демпфирования вязкого типаЛМ2+ ABZ + Z= АР.§ 4.3. Метод главных координат (разложение движения
по собственным формам колебаний)Решение уравнений движения (4.20) или (4.22) мо¬
жет быть существенно упрощено, если от неизвестных2	перейти к новым групповым перемещениям, форма ко¬
торых совпадает с формами собственных колебаний дан¬
ной системы Vh (k=\, ..., п). Напомним, что векторы vk(4.21)(4.22)8*115
Ч -£'jl . fmQ2 =\. v =j . «1еа ю
1	.vni ' vnn-(4.25;
в том, что
(4.20) илп|и частоты a>k находятся из уравнении, записанных ли¬
бо через матрицу А, либо через матрицу R (см, § 3.2,3.6), а именно:AMv = (1/со?) v; Rv = и2 Ш,	(4.23)Будем предполагать, что для рассматриваемой конст4
рукции предварительно из уравнений (4.23) найден пол-2ный спектр частот со* и форм и* (./, = 1,..., л). Предста»
вим их в виде матриц(4.24)Подстановка (4.24) во второе уравнение (4,23) дает?
равенствоRV = MV№.Смысл рассматриваемого метода состоитискомый вектор Z(t) решения уравнений
(4.22) представляется в виде суммы-> _► _► к=п *
i(0 = пШt'i-I-.2 vb*h= 1где qh{t) — новые неизвестные обобщенные перемеще¬
ния (координаты). Поскольку отвечающие им базисныевекторы Vk называются главными формами колебаний,
сами величины qu называются главными координатами.Равенство (4.26) выражает переход от координат Z,
определяющих состояние системы, к главным координа¬
там7= Ш	<?п]т.	(4.27)которые также определяют это состояние, но посредством
разложения (4.26). Упрощение задачи будет состоять в
том, что вместо совместной системы дифференциальный
уравнений (4.20), (4.22) относительно Zb ..., Zn получим
п разделенных (независимых) дифференциальных урав¬
нений относительно qи ..., qn.Для краткости (4.26) запишем с помощью матрицы(4.24)	V и вектора (4.27) q так:Z=Vq.	(4.28)(4.26)116
Пусть, например, требуется преобразовать по (4.28)'
уравнение (4.20), которое для матрицы демпфирования(4.18)	запишется следующим образом:MZ-\-(&iR + $zM)Z-\-RZ = P.	(4.29)Подставим сюда (4.28), после чего умножим все сла¬
гаемые слева на VT. В результате при q, q, q образуют¬
ся матрицыMq = VT MV; Rq = VTRV,	(4.30)а в правой части образуется векторq=Vtp..	.	(4.31)С учетом условия ортогональности собственных форм
колебаний (3.27) выражения (3.28) и равенства (4.25))
найдем,что~Mi -)&II; Rq = MqQ* =- 'Мп_М ц>1- п п _Здесь Mh \k = \, ..., п) — обобщенные массы (3.28|
или (3.66) соответствующих форм собственных колеба¬
ний. Кроме того, получим’	Q = [Qx	QnF.	(4-33)где каждая величина Qk .Qk = $P='ik»ihPt - (*=»;■■■.«)	(4-34)(=1представляет обобщенную внешнюю силу (2.38), соот¬
ветствующую k-ih форме колебаний.Итак, вместо (4.29) получимMq q -|- (6i Rq + р2 Mq) 1 + RqQ = Q ■	(4.35)Поскольку в левой части все матрицы диагональные, то
(4.35) составляют п независимых уравнений видаMkik + (hMkal + $2Ml$ ik + Mkrfkqk = Qk (k= \,2,...,«).Разделив обе части равенства на Ми и вводя обозначе»кие2nk = ^l + ^,	(4.36)окончательно получим п раздельных дифференциальных117
уравнений, определяющих координаты <//.(/) :(k=\,2	(4.37)Как видим, переход от перемещений Zb ..., 1п к главным координатам и групповым перемещениям q%vs, Jqnvn привел к тому, что система с п степенями свободы
как бы распалась на п систем, каждая из которых име
ет только одну степень свободы и форму деформации
подобную одной из главных форм колебаний конструк
ции.Заметим, что формулы (4.30), (4.31) представляют
попросту преобразование матриц масс и жесткостей,
также вектора внешних сил, вызванного переходом о)
одной системы базисных векторов (отвечающих коорди-Jнатам Z) к другой, отвечающей координатам q. Таки
преобразования подробно рассматривались в первой ча
сти курса [39] и дополнительно обсуждаются далее в
гл. 5.Подчеркнем, что совместная система уравнений (4.20)
распалась на отдельные уравнения (4.37) только благо¬
даря тому, что матрица демпфирования В была задана
как линейная комбинация матриц жесткости и масс(4.18). На это было указано еще Рэлеем, поэтому пара
метры Pi и р2 иногда называют коэффициентами матри
цы демпфирования Рэлея. Для такого представления
матрицы В, как это следует из (4.35), справедливо соот
ношение'2п, MiIVT BV =2т Mh.(4.38)где в правой части стоит диагональная матрица, элемен¬
ты которой содержат величины (4.36). При произвола
ной матрице В преобразование (4.38) не дает диагональ*
ную матрицу и уравнения (4.20), строго говоря, не раз¬
деляются. Механически это означает, что силы
демпфирования одной формы колебаний взаимодейст¬
вуют (совершают работу, не равную нулю) с другими
гармониками. Если принять силы демпфирования по
Рэлею, то эта взаимная работа сил сопротивления от¬
дельных форм колебаний будет равна нулю.Чаще всего затухание колебаний определяется мно¬
жеством факторов, носящих количественно не вполне оп|
ределенный характер. Поэтому разделенной системой
уравнений (4.37) пользуются как приближенной и в тех
случаях, когда условие (4.38) не выполняется строго.Каждое уравнение (4.37) представляет как бы урав¬
нение движения системы с одной степенью свободы и со¬
вершенно аналогично уравнению (2.103), составленному ,
ьг! примере одномассовой системы. На основе этой ана¬
логии представим 2пк в (4.37) так:2nk= хуы\,	(4.39)где ху — условный коэффициент вязкости (2.77). Он ха¬
рактеризует суммарный эффект затухания колебаний
k-й формы. Для движения, близкого к свободным зату¬
хающим колебаниям с частотой со^, значение 2пк по фор¬
муле (2.77) при р = со* будет2nk = yhah,	(4.40)а для вынужденных колебаний с частотой 0 соответст¬
венно примет значение2пк = ylta>l/d-	(4.41)В этих формулах уи (k=\, 2/:.., п) — коэффициенты
неупругого сопротивления, которые в принципе могут
быть различными для разных форм колебаний, посколь¬
ку они приближенно учитывают суммарный эффект дем¬
пфирования по данной форме колебаний. Так как учет
демпфирования проявляется наиболее сильно на часто¬
тах, близких к резонансным, т. е. при б-'-'соь, то чаще
всего пользуются соотношением (4.40). При этом, если
следовать теории неупругого поглощения энергии коле¬
баний (см. § 2.5), то коэффициент у должен принимать¬
ся как константа материала конструкции одинаковым
для всех k = \, ..., п.На основе отмеченной аналогии уравнений (2.103) и
(4.37) общее решение последнего запишем в форме ин¬
теграла Дюамеля (2.110):iЯк = Ак е~пк* sin (со*. t + <pofe) + (1 /Mk ak) J Qh (т) X 'Xe~nk(‘~x) sin a)k(t — x) dx.	(4.42)Постоянные Аь, (poh связаны с начальными условиями
Формулами, аналогичными (2.106):Ak = V(°) + (W (°) + пк Як119
tg <Pofe = ®fe Чк (0) / [Чк (0) + nh % (0)],	(4.43)где qu\0) и <7^(0) определяется по формулам (3.38)(3.39).В заключение вновь вернемся к неразделенным урав¬
нениям движения (4.20). В настоящее время разработа¬
ны эффективные методы прямого численного интегриро¬
вания таких уравнений, описание которых дано в гл. Б.
При их использовании требуется задание матрицы демп- ’
фирования В. Практически чаще всего ее задают по Рэ¬
лею в форме (4.18), а при наличии сосредоточенных
демпферов добавляют диагональную матрицу К, как в
,(4.17): ‘£=6fj?Hb|3sAl + K-	(4.44)Коэффициенты Pi и р2 находят с использованием каких-
либо двух характерных форм колебаний (см. § 4.2)'.
Пусть это будут формы с частотами со/, со/ и известными
коэффициентами сопротивления щ и у,-. Тогда, прирав¬
нивая (4.36) и (4.40) при k — i, /, получим два уравне¬
ния;(W + P2 = Y;0>,(4.45)решая которые можно найти коэффициенты j3i и |?2, при¬
ближенно определяющие матрицу демпфирования В
данной конструкции. Имеются и другие предложения по
построению матрицы демпфирования для неразделен¬
ных уравнений движения [19, 49, 50].§ 4.4. Вынужденные гармонические колебания
[с демпфированием]В § 4.1 рассмотрена задача об установившихся вы¬
нужденных колебаниях системы, изображенной на рис.
4.1, под действием группы сил = PoisinQt (г= 1, 2,...,«). ■
Но там было получено решение без учета сил сопротив¬
ления, которые необходимо учитывать в резонансных
зонах.Рассмотрим ту же задачу об установившихся гармо¬
нических колебаниях, принимая во внимание частотно¬
независимое внутреннее трение. Используем метод раз¬
ложения движения по формам собственных колебанийvh {k=\, 2, ..., п), считая, что спектр собственных коле¬
баний системы предварительно изучен и известен.120
По формуле (4.26)' решение пишем в видеZ^qhvh.	(4.46)k=lОбобщенная сила Qk (4.34)’ в данном случае будетп	' пQk = 2 PiVih^ Qokswet; Qoh = 2 poi vik- (4-47)
f=l i=1Для определения функций qk уравнение (4.37) получитвид	' '4k+2%%+ wbk = fVMJsin	(4-48>где для вынужденных установившихся колебаний множи¬
тели 2пк имеют значения (4.41). Это уравнение анало¬
гично уравнению (2.91), использованному в § 2.6 для
системы с одной степенью свободы. Поэтому его реше¬
ние с учетом (2.94), (2.96) и (4.41) будет<?ft = <4ftsin(e/4-<p0ft),'	(4Л9>гдегде Ак = QJMk а>1 YX* + V2 ; tg ср№ =- v/Xk;3Ck=l-(0/<oh)*.	(4.50)Следовательно, прогибы Z получим в виде суммы (4.46) *Пz = 2 ^ Ah sin (0* + Фоь) •	(4-51)k= 1Для расчетов на прочность надо знать суммарные ди¬
намические силы Si (включающие в себя силы инерции
и внешние силы). Вектор этих сил найдем по (4.12):-	П -уS = RZ = 2 - Mvk в>1 Ah sin (0* + ф0/;).	(4.52)к=\Здесь вместо Z подставлено выражение (4.51) и исполь¬
зовано второе из соотношений (4.23).Иногда решения (4.51) и (4.52) удобнее представить
в форме синусоидальной и косинусоидальной составля¬
ющих [см. (2.94)], для чего надо воспользоваться фор¬
мулой sin (0^+сро/г) =sin 0/cos фоа+cos dt sin ф0* и сгруп¬
пировать все слагаемые при sin0f и cos0/, В результате
получим выраженияZ = A’ sin 0^ — A" cos Ы\ S = S' sin Qt — S" cos 0^, (4.53)121
■гдел' = 2 W4l V А’= 2
k=l к=1
S* - 2 h Щ-, s" = V e; Mvk-	(4.54)А=1	/г=1& = <?o* хЛ fet + V2); p; = Q0* y!Mk U + rlКак и в системе с одной степенью свободы (§ 2.6)в
при действии на рассматриваемую систему нагрузки, из¬
меняющейся во времени по закону синуса, возникают
две составляющие перемещений — первые изменяются в
той же фазе, что и нагрузка (по синусу), вторые отста¬
ют на четверть периода (по косинусу). Так же изменя¬
ются и соответствующие динамические силы. Расчеты на
прочность обычно ведут в таком порядке: от амплитудсил S' и S" строят эпюры амплитуд внутренних усилий,
например изгибающих моментов М' и М", Полный изги¬
бающий момент в сечении i во времени определяется
выражениемЛ4. (t) = ML sin 0/ — M';cos 0^,	(4.55)а его наибольшее (амплитудное) значение, являющееся
расчетным для сечения, будетmax М. = У (Л?;)" + (М])2.	(4.56)По усилиям (4.56) и делается оценка прочности рас¬
сматриваемого сечения.—У	УПример. Определить динамические силы S' и S" при установив¬
шихся вынужденных колебаниях системы с резонансной частотой0	= м8, приняв коэффициент неупругого сопротивления у=^>1
(рис. 4.10). Собственные колебания этой системы были изучены в
примере § 3.4 (см. рис. 3.8), а обобщенные массы главных форм
колебаний Mi=l2tn и М2=4/я найдены в § 3.5. Необходимые дан¬
ные о формах собственных колебаний приведены на рис. 4.10. По
формулам (4.54) с учетохм (4.47), (4.50) вычисляем для первой
формы колебаний:Xl = 1 - (0/Wl)3 = 1 - (?V1 |у =_ 20;Qoi = Л vii " ' Ро’>
в; =— 20Р0/12т (400 + 0,12) ss..— P0/240m;€r	pjnmm.
Рис. 4.10	Рис. 4.11Вектор Mv 1 состоит из двух компонент: Зт-1 и т-3. Умножив каж¬
дую из них на р, и Pi - получим составляющие сил S' и 5", показан¬
ные на рис. 4.11 в первой строке.Аналогичные вычисления для второй формы колебаний дают:х2 = о; <?02= Vi2 = Лг Й = °;02 = QqzIVM2= 10/V4m'Соответствующие составляющие сил S' и S" показаны на рис.
4.11, а, б. Сумма составляющих первой и второй форм колебаний
дает силы Sj,S2 и Sp S2 , от которых на рис. 4.11, в изображены
эпюры изгибающих моментов М' и М". Как видим, в данном случае
доминирующее значение имеют составляющие сил р2^у2, отвечаю¬
щие второй (резонансной) частоте 0 = ы2. Расчетный изгибающий мо¬
мент в каждом сечении может быть найден по формуле (4.56).Формулы (4.54) решают задачу расчета на вынуж¬
денные гармонические колебания с учетом сил сопротив¬
ления при условии, что известен спектр собственных ко¬
лебаний системы. Если же спектр неизвестен, то ука¬
занную задачу можно свести к системе линейных алге¬
браических уравнений, аналогично тому, как это дела¬
лось в § 4.1 без учета сил сопротивления.Покажем это на примере решения уравнений (4.20).Искомый вектор Z зададим в формеZ = Z’ sin 0^ -)- Z" cos Qt.	(4 .57)Вместо А' и А" [см. (4.53)] здесь пишем 2' и Z” для
большей аналогии уравнений, которые будут приведены
ниже, с каноническими уравнениями метода перемеще¬
ний. Вектор внешних сил будет P = Posin0£. Подставив123
Р и Z в (4.20) и сгруппировав в левой части слагаемые
при sinOz' и cos0/, приравняем коэффициенты при этих
тригонометрических функциях левой и правой частей
уравнения. В результате получим систему уравнений от-носитеаьно векторов Z' и Z":Вид уравнений (4.58) сохраняется одинаковым для
систем с сосредоточенными массами Щ и для систем с
распределенными массами. Как указано в § 4.2, в пер¬
вом случае матрица масс М будет диагональной, во вто¬
ром — недиагональной. Вектор Ро — вектор амплитуд
обобщенных внешних сил, отвечающих перемещениям
Zi и функциям формы Ф{. .§ 4.5. Кинематическое возбуждение колебанийВынужденные колебания системы могут вызываться
и поддерживаться за счет принудительного смещения
опорных закреплений системы. На рис. 4.12, а показано
принудительное линейное Ал (?), а на рис. 4.12, б — уг-(4.58)ловое фА (0. смеше¬
ние левой заделки
| стержня. Если сме-Рис. 4.12щения изменяются
во времени (напри¬
мер, периодически),
то это вызовет коле¬
бания массы т. Воз¬
буждение колебаний
с помощью задан¬
ных смещений сис¬
темы называют ки¬
нематическим воз¬
буждением колеба¬
нии.Рис. 4.13Колебания эки¬
пажа или его эле¬
ментов при движе¬
нии по дороге с не¬
ровностями пред¬
ставляют характер*
ньш пример кинематического возбуждения колебаний
(рис. 4.13). При сейсмическом толчке фундамент соору¬
жения получает некоторое смещение в пространстве.
В результате массы сооружения совершают также кине¬
матически возбуждаемые колебания. Рассмотрим состав¬
ление уравнений движения при кинематическом возбуж¬
дении на примере системы с одной степенью свободы
(см. рис. 4.12). Будем различать первичное (возмущаю¬
щее) перемещение точки, к которой присоединена масса,
Д=А(t) и ее дополнительное перемещение y=y(t).Возмущающее перемещение — это перемещение точ¬
ки в условной безмассовой системе. Если конструкция
статически определима, то перемещение A{t) происходит
без ее деформации (рис. 4.12, а). При статически неоп¬
ределимой системе в общем случае эти перемещения со¬
провождаются' ее определенной деформацией (см. рйс.
4.12, б).Дополнительное перемещение точки находится с уче¬
том деформаций системы от воздействия на нее со сто¬
роны массы суммарной силы инерции.Обозначим полное перемещение массы через у\ = у ++Д. Суммарная сила инерции будет / =—ту\. Вызван¬
ный ею дополнительный прогиб получим в виде у == бц/ = —б\\tnyi. Так как У\ = У + А, то отсюда получа¬
ем	■у -J- со2 у = Р (t)/т,	(4.59)где Р (t) =—т& (t); а>2=1/т8ц.	(4.60)Сила P(t) (4.60) имеет простой смысл — это сила
инерции массы т, соответствующая ускорению первич¬
ного (возмущающего) перемещения А. Сравнивая (4.59)
и (2.3), приходим к выводу, что для определения допол¬
нительных кинематически возбуждаемых колебаний си¬
стему необходимо рассчитать на действие возмущающих
сил инерции (4.60). Это справедливо для систем с лю¬
бым числом степеней свободы.Пример. Пусть система, изображенная на рис. 4.13,
равномерно движется со скоростью V, и, следовательно,
ее абсцисса x=Vt, а профиль пути имеет уравнение
A(*)=A(W). Дополнительные вертикальные перемеще¬
ния массы y(t) могут быть найдены из решения уравне¬
нияу-у Ф у = Р (t)!т =—Д (W); со2 = с/т,	, .'• i. i
125
где с — жесткость рессорной пружины. Требуется найти
резонансную скорость движения Крез, если дорога имеет!,'
периодический профиль A = f0sinnx//0 = fosinnW//o.Находим возмущающую силу инерцииР (/) =— т Л ;(т/0 я2 V2//o) sin nVt/lQ.Как видим, это гармоническая сила вида P{t) = Posin0?,
где Ь—nV/to, Условие резонанса будет 9 = <а или
nVpe3Po= V с/гп- Отсюда найдем Крез= (%/it)’ Vс!т.§ 4,6, Основы спектральной теории расчета сооруженийна сейсмические воздействияИз центра землетрясения в грунтовой среде распрост¬
раняются волны деформаций и перемещений. Точки зем¬
ной поверхности при этом испытывают сложное движе¬
ние колебательного характера. Упрощая задачу, предпо¬
ложим, что длина сейсмической волны по сравнению с
протяженностью сооружения весьма велика, и можно
считать, что при ее проходе фундамент сооружения испы¬
тывает лишь некоторое поступательное перемещение Д =
= А(0 в направлении, наиболее опасном для данного
сооружения (рис. 4.14, а). Будем считать, что функция
Л (/) нам известна в результате обработки предшествз^ю-
щих записей сейсмографа. Поставим задачу об опреде¬
лении прогибов Zi = Zi(t) и соответствующих динамиче¬
ских сил, с которыми массы воздействуют на сооруже¬
ние, при заданной функции смещения А(/).Таким образом, задача сводится к расчету системы с
п степенями свободы на вынужденные колебания, воз¬
буждаемые кинематически за счет смещения A(t). В
§ 4.5 показано, что для определения дополнительных
прогибов Л при кинематическом возбуждении колеба¬
ний надо к системе приложить «возмущающие» силыинерции (4.60) Рг =—niib. (см. рис. 4.14, б).В основе излагаемой теории сейсмостойкости [20] ле¬
жит представление о том, что сооружение как упругая
система с п степенями свободы реагирует на указанное
воздействие каждой составляющей своего спектра собст¬
венных колебаний щ {k = ], 2, ..., п). Поэтому и реше¬
ние поставленной задачи естественно провести путем
разложения искомого движения по собственным формам
колебаний (см. § 4.3).«26
Согласно этому методу, вектор прогибов Z представ¬
ляем как сумму (4.26) (рис. 4.14, в) :_	ПZ = ^qk{t)7k,	(4.61)к=1где каждая главная обобщенная координата qk опреде¬
ляется из решения дифференциального уравнения (4.37):+ 2пкЧ + “!<?* =QkWMk-	(4-62>Здесь Мк — обобщенная масса k-й формы, a Q* —'обоб¬
щенная сила (4.34) , в нашем случае равнаяп ... п
Qk = 2 pj vik =— Д S mi vib ■	(4 ■63)/=1 /=iС помощью интеграла Дюамеля (4.42) для нулевых на¬
чальных условий с учетом (4.63) записываем решение
для qk:tГ Qh W —nAt—x) .qk= \ —		е h sin (Oft (t — x) d.% =Mkah0S mi vib—	Wh(t),	(4.64)/=i127
где введено обозначениеW% (t) =— со/г I А (т) е Пк' ' sin u>k (t — т) dx.(4.65)Таким образом, прогибы Z (4.61)' стали известны.
Однако для прочностного расчета более важнодинамические силы 5, действующие на систему в мо>мент, когда она получила прогибы Z. Вектор этих сил
найдем по равенству (4.12)S = RZ = 2 <?h Ш •
k= 1Воспользовавшись вторым из уравнений (4.23), по
лучимs=	(4.66)k=i k=\Равенство (4.66) показывает, что вектор суммарныхдинамических сил 5 распался на п векторов, каждый из
которых соответствует определен¬
ной главной форме колебаний (рис.
4.15):Sik- mx vih 'Sh =Sik*mi. (4.67)_ Snk -_ mn vnk _Отдельная компонента этоговекто-ра для i-ймассыс учетом(4.64)будетS.. =
г!га ,1*1,11s., = tiiIK(4.68)Рис. 115где безразмерная величинаПvth 2 msг=л(4.69): ХЛ	2	‘Zi mivik
i=Iназывается коэффициентом формы колебаний. В форму-
ле (4.68) величина r\ikWh(t) имеет смысл ускорения, ко¬
торое приобретает масса /и, под действием силы Sm,
двигаясь в составе ft-й формы колебаний в момент вре¬
мени t.Итак, при заданном сейсмическом смещении Д = Д(£)
равенства (4.61) и (4.64) в сочетании с формулами
(4.65) и (4.66) — (4.68) дают возможность составить вы¬
ражения для прогибов и динамических сил системы как
функций времени t. При этом получаются они в виде
суммы составляющих, каждая из которых отвечает от¬
дельной главной форме колебаний системы.. Конкретный
анализ этих выражений возможен только при задании
функции A(t) и динамических параметров системы: ча¬
стот сок или периодов Th собственных колебаний, а так¬
же коэффициентов %, учитывающих влияние сил сопро¬
тивления. Приведенное решение послужило теоретичес¬
кой основой для разработки практического метода
расчета сооружений на сейсмические воздействия,
содержащегося в современных нормах.§ 4.7. Расчет на сейсмические воздействия по нормамСогласно теории, изложенной в предыдущем пара¬
графе, определение сейсмических нагрузок производит¬
ся отдельно для каждой к-й формы
спектра собственных колебаний соору¬
жения. Каждая такая форма ведет се¬
бя как система с одной степенью сво¬
боды с частотой и периодом собствен¬
ных колебаний со* и Ti; = 2nl(£>k. Выпи¬
шем еще раз формулу сейсмической
силы Sm для i-й массы и /г-й формы
колебаний (4.68), выразив в ней мас¬
су пи через ее вес m; = G;/g (g — уско¬
рение силы тяжести, С, — вес массы):Sih = Gir]ik(Wh(t)/g), (4.70)Где на основании (4.65)iWh (t) =— —- Г А (т) е 	 h sin 2я (/ — т)/Ть йл. (4.71)Тц JоЗд есь для коэффициента щ, характеризующего силы не¬
Упругого сопротивления колебаниям, согласно. (4.40),
пРинято nh~ya>k/2 = yn/Th,® 753	129
Функция Wk пропорциональна ускорению, получае¬
мому массой в составе рассматриваемой формы колеба¬
ний "при сейсмическом смещении фундамента сооруже¬
ния А = Д(/). Если система имеет одну степень свободы
и одну массу (рис. 4.16), то коэффициент формыП	П2	mi vih Vih^jGjVfk= —f1	-			(4.72)1=4	/= iравен единице и Wk в этом случае непосредственно вы¬
ражает ускорение массы т,-. Такая условная система на¬
зывается линейным осциллятором с частотой (перио¬
дом) (£>к=2л/Тк и коэффициентом неупругого сопротив¬
ления у, характеризующим затухание колебаний.Таким образом, \Vh представляет выражение для ус¬
корения линейного осциллятора при сейсмическом воз¬
действии. Это ускорение изменяется во времени в зави¬
симости от функции смещения А(£) и характеристик ос¬
циллятора: периода Тк и коэффициента у
Wh = Wh(/\(t), Тк, у).В принципе, имея инструментальную запись функцииА(/) (она называется акселерограмма), можно исследо¬
вать выражение (4.71) для ускорения Wк, а значит и
силы So, и найти их максимум. В целом для сооружения,
идя по этому пути расчета, надо было бы просуммиро¬
вать влияние ряда собственных форм колебаний и для
каждого расчетного внутреннего усилия (например, из¬
гибающего момента в некотором сечении) искать своя
максимум во времени. Ясно, что такой путь расчета, ос¬
нованный на «акселерограммном подходе», достаточно
громоздок и сложен. Но помимо сложности он имеет и
принципиальный недостаток. Дело в том, что акселеро¬
граммы Д, записанные при прошедших землетрясениях,
носят нестабильный (случайный) характер. На рис. 4.17
показан пример акселерограммы для землетрясения в
Эль-Центро (Калифорния, 1940 г.). По существу, каждая
акселерограмма — это конкретная реализация некото¬
рого случайного процесса, который представляет собой
сейсмическое воздействие. Поэтому непосредственное
использование записанной акселерограммы в принципе130
Рис. 4.17не может еще обеспечить надежную работу сооружения
при других землетрясениях в будущем. Для этого требу¬
ется использование вероятностного подхода в расчетах
на сейсмостойкость. Такой подход практически использу¬
ется при проектировании ответственных сооружений и
интенсивно развивается. Проводится изучение и класси¬
фикация различных типов землетрясений как случайных
процессов, создаются расчетные модели акселерограмм,
исследуется реакция (поведение) сооружений при зем¬
летрясениях как случайные колебания. Однако такие рас¬
четы не получили еще широкого распространения при
массовом проектировании.В принятом в нормах [44] методе расчета также ис¬
пользуются статистические обследования (теоретические
и инструментальные) предшествовавших землетрясений,
но их результаты представлены в упрощенном и укруп¬
ненном виде так, что по форме расчет на сейсмостойкость
носит как бы детерминированный характер. Это позво¬
ляет избежать использования в расчетах конкретных ак¬
селерограмм и обеспечивает достаточную надежность ра¬
боты сооружений. Рассмотрим методику, принятую в
главе СНиП П-7-81.Расчет не ставит задачу исследования ускорения Wh
н нагрузок Sik во времени. Вместо этого определяетсяр.ш
вероятное максимальное значение этих величин в зави¬
симости от основных динамических параметров соору.
жения (они выражаются спектром собственных частот
и форм колебаний) и уровня сейсмической опасности
района, где оно будет строиться. Для этого в формуле
(4.70) для нагрузки Sik отношение Whig, зависящее от
времени t, заменяется его максимальным значением
(Wk/g)mах- В свою очередь, этот максимум представляют
как произведение коэффициентов (Wk/g)max = KAfik.
После этого формула для сейсмической сосредоточенной
нагрузки (4.70) получает вид	,Sm = KAGt Pfc-	(4-73)Она и является основной для определения сейсмических
нагрузок, отвечающих каждой k-ih главной форме коле¬
баний.В этой формуле коэффициент А зависит от ожидае¬
мой силы землетрясения, выражаемой в баллах. Для
принятой в нашей стране сейсмической шкалы расчет на
прочность по нормам производится для землетрясений
силой а 7, 8 и 9 баллов. В приложении к главе СНиП II-
7-81 содержатся карты и список населенных пунктов
сейсмического районирования, разработанные Институ¬
том физики Земли АН СССР.Для зданий и сооружений коэффициент А принимают
равным 0,1; 0,2; 0,4 соответственно для расчетной сей¬
смичности строительной площадки 7, 8 и 9 баллов.Коэффициент К в нормах представлен в виде произ¬
ведения трех коэффициентов /( = /(i/C2/C-,|. Первый коэф¬
фициент /([ зависит от степени допускаемых в здании
или сооружении повреждений, его значение в обычных
случаях в зависимости от назначения здания колеблется
от 0,12 до 0,25, а в особых случаях принимается 1. Вто¬
рой коэффициент Ki учитывает особенности конструк¬
тивного решения здания или сооружения (здания кар¬
касные, крупноблочные, крупнопанельные, число этажей
здания и т. п.). Его значение колеблется от 0,5 до 1,5.
Наконец, третий коэффициент Щщ учитывает понижен¬
ные характеристики демпфирования для некоторых ти¬
пов высотных сооружений (башни, мачты, дымовые тру¬
бы и т. д.) и принимается = 1... 1,5.При расчете мостов произведение коэффициентов
К]А принимается равным 0,025; 0,05 и 0,1 при расчетной
сейсмичности соответственно 7, 8 и 9 баллов.132I
В формуле (4.73)' (Зь ■— коэффициент динамичности,
выражающий зависимость ускорений и сейсмических на¬
грузок от периода Тк собственных колебаний осциллято¬
ра. Таким образом, для каждой формы спектра собст¬
венных колебаний сооружения этот коэффициент полу¬
чает свое значение, чем учитывается «избирательное»
влияние сейсмического толчка на отдельные главные
формы колебания системы. На основе статистических ис»
следований в нормах принята следующая зависимость
| от периода колебаний Т\где а и fimax зависят от категории грунта, служащего ос¬
нованием для сооружения. В нормах введено три кате¬
гории грунтов: /—скальные невыветрелыё и слабо выве-
трелые; II — скальные выветрелые; /// — рыхлые пески,
глинистые грунты (полное описание деления грунтов на
категории см. в [44]). Соответственно номеру категории
грунта значения а и Ртах принимают равными: а1—1ДПериод Т в формулу (4,74) подставляют в секундах.
На рис. 4.18 изображены зависимости (4.74) для трех
категорий грунтов, называемые спектральными кривыми.По формуле (4.73) вычисляют максимальную сейсми¬
ческую нагрузку для каждой k-к формы собственных ко¬
лебаний. Ее рассматривают как независимую статичес¬
кую нагрузку, от которой в расчетных сечениях опреде¬
ляют внутренние усилия Nk. Следует, однако, помнить,
что каждый из этих максимумов, отвечающих различным
формам колебаний, реализуется в различные моменты
времени. Чтобы учесть неодновременность возникновения
усилий N& в данном сечении, полное расчетное усилие
з нем вычисляют по формуле среднеквадратического ос¬
редненияЩё р — число форм собственных колебаний, удерживаемых в рас¬
чете.Решающее значение в суммарных расчетных усилиях
имеют первые несколько главных форм спектра колеба¬
ний сооружения. Обычно ограничиваются учетом пер¬
вых 3—5 форм колебаний. Чем более гибкое сооружение,
тем большее число форм требуется вводить в сейсмиче¬
ские расчеты.0,8сР = а/Г(4.74)(4.75)133
Рис, 4,19Пример. На рис, 4.19 изображена симметричная трехэтажная
рамная конструкция, у которой жесткость ригелей £7Р,во много
раз больше жесткости стоек EJ. Поэтому в расчетах ригели прини¬
маем абсолютно жесткими. Стойки считаем безмассовыми, а вес пе¬
рекрытий пусть соответственно будет G, 2G, 2G. Для данной плос¬
кой конструкции требуется получить горизонтальные сейсмические
нагрузки, принимая расчетную сейсмичность места постройки 8 бал¬
лов, грунты I категории, а коэффициент К в формуле (4.72) равным
единице.В первую очередь необходимо найти спектр собственных коле¬
баний системы, обладающей тревя степенями свободы. В, данном
случае для этого удобно воспользоваться основной системой метода
перемещений (рис. 4.20). Применительно к ней вначале запишем
уравнения свободных колебаний рамы с помощью уравнений (3.11):rii Zi + г1г Z2 -j- r13 Z3 + mi Zi = 0;Рис 4.20Рис. 4,18134
rn ri2 z2 ri3z3-{- m„ z2 = 0;r3i.Zi~r r32 .^2 + гзз 23 + тз Z-г — 0 •(a)Для собственных колебаний вектор прогибов Z изменяется во
времени по гармоническому законуZ = usino)i; v=[viv2v3]T .	(б)Подставив (б) в (а), получим уравнения для определения собствен¬
ных частот со и соответствующих компонент форм колебаний Vi,у3-(щ — ш2 /щ) vt -j- г1г vt + гуз v% = 0;ГцЧ + {г22 — со2 m2) v2 + г23 и3 = 0;	(в)r31vl + г32 Щ + (^33 — Ш2 /Пз) о3 = 0.Введем следующие обозначения для рассматриваемой рамы:
ru = 24£7//3 = с; г22 = л33 = 2с; л12 =/-23 =—с; ^з = 0; (г)
mi = m = G!g’, т2 = т3 = 2т\ v = mm2/c,
после чего система (в) получит вид(1 — v) ij — о, '	= On—	Oi + 2 (1 — v) ог — у3 = 0; I	(д)—	и2 +2(1 — v) y3 = 0.jПриравняв определитель системы уравнений (д) нулю, получим
4(1—v)3—3(1—v)=0, откуда легко найдем три корня: Vi = 1—^—	(V 3/2); v2=l; v3=l + (y^3/2). Отвечающие им три собственныечастоты с учетом обозначения (г) будут: coi =\-(V 3/2)/с/m;ш2=У^с//п; со3= l + (V 3/2) I^с/т. Собственные векторы vk
(/г= 1, 2, 3), найденные из уравнений (д) при подстановке соответ¬
ствующих значений v, будут(е)Три формы собственных колебаний рамы изображены на рис. 4.19,6.Переходим к вычислению сейсмических нагрузок. Примем пара¬
метры у рассматриваемой конструкции такими, что У с/т —= V 24EJg/GP = 11,5 рад/с. Тогда периоды собственных колебаний
будут следующие: Tt = 2Jt/«i = 1,5 с; 7'2=2я/(о2 = 0,55 с; Т3=2л/со3 =
= 0,4 с. Коэффициент А в формуле (4.73) для 8 баллов согласно
нормам, принимаем 0,2, следовательно, при К= 1 произведение КА =
= 0,2. Вычисление горизонтальных сейсмических нагрузок Si* по фор¬
муле (4.73) с использованием выражений (4.72) для г|г* и (4.74)и, =- 1 “
Кз/2; щ =■ 10; vs =- 1 -
— Уз/2. 1/2 _—1_ 1/2 _135
IФ%sgp|#Nt-7777H МЩ
4Таблица 4.iIi%4=0Hi%si2=0Mmf-n-2Рис. 4.21$к--д,вт'523---0,076G\s3i=o,ow
Iw
)лофЦ--3кККАКпМъ = V т IV2.
h ^ 'к
/= IЩкs1)011 ,250,21I0,80,04Зт1,080,34420,620,1963—0,33—0,121г»61,830,091Зт0020,330,2430,0870,044132,50,125Зт—0,076—0,07620,043:0,0443 1для рй приведено в табл. 4.1 (k—номер формы колебаний, i—номер
массы]. Заметим, что для /г= j по формуле (4.74) коэффициент ди¬
намичности получается Pi = 1/1,5 = 0,67<0,8. Учитывая неравенство(4.74)	и очертание спектральной кривой (рис. 4.18), примем |3i=*
= 0,8. .При вычислении коэффициентов формы fc следует иметь в ви¬
ду, что. для данной массы г—сумма коэффициентов всех удержи¬
ваемых в расчете форм колебаний — должна быть равна единице, т. е.
р	'2 ip*l. Например, для i'=l имеем 1,25—0,33 + 0,087^1.к= IСейсмические нагрузки на этажи рамы Sn и соответствующие
эпюры изгибающих моментов для трех форм колебаний изображе¬
ны на рис. 4.21.136
Для примера вычислим расчетный изгибающий момент в сече¬
нии стойки Е по формуле (4.75):Мрасч = ]/о,742 + 0,122 + 0,012s (G//4) « 0,745 (GU4).Как видим, доминирующее значение в данном случае имеет первая
форма колебаний.В заключение отметим, что, если в расчетной модели
сооружения масса является распределенной, то сейсми¬
ческая нагрузка k-и формы колебаний также является
распределенной S*(x). Ее интенсивность в сечении xi
определяется по формуле, аналогичной (4.73):Sh(xi) = KAp(xi)r\k(xi)^>k,	(4.76)где р(Хг) — вес единицы длины стержня в рассматривав
емом сечении. Коэффициент формы x\k{xi) является так-
■ке функцией координаты Xi и определяется по выраже¬
ниюij1 Vk (х) т (х) dxПк (xi) = Щ (*;) 	 .j1 v2k (x) m (*) dx	■0которое написано по аналогии с (4.72), где суммы заме¬
нены соответствующими интегралами. Под Vh(x) пони¬
жается функция, выражающая перемещения k-я формы
колебаний. Например, на рис. 4.22 изображена форма
v-nlx) горизонтальных колебаний мостовой двухпролет¬
ной конструкции с гибкой промежуточной опорой. В ос¬
тальном расчет на распределенную сейсмическую нагруз¬
ку производится так же, как
н на сосредоточенные силы.§ 4,8. Расчет на воздействия
в виде заданных
акселерограммОписанный в предыдущем
параграфе упрощенный ра¬
счет по нормам должен вы¬
полняться для всех видов
зданий и сооружений. Однако
при проектировании особо
ответственных сооружений
..(гидростанции, атомные	Рис. 4.22137
-tРис, 4,23Рис. 4.24электростанции, крупные мосты и т. п.), а также высо¬
ких зданий (более 16 этажей) нормы [44] предусматри¬
вают проведение расчета сооружений с использованием
инструментальных записей ускорения основания или
синтезированных (модельных) акселерограмм.Синтезированные акселерограммы получают путем
соответствующей обработки записей прошедших сильных
землетрясений. Они используются для изучения стати¬
стических характеристик прочности или деформативно-
сти сооружения при воздействии характерной для данного
района модельной акселерограммы. В определенных слу¬
чаях они могут служить и основой для поверочных де¬
терминированных расчетов ответственных сооружений.
При этом максимальные амплитуды ускорений основа¬
ния по нормам [44] принимаются не менее 100, 200 или
400 см/с2 при сейсмичности площадок строительства 7,
8 и 9 баллов, соответственно. В таких поверочных расче¬
тах следует учитывать возможность развития неупругих
деформаций конструкций.Проследим особенности расчета на заданную акселе¬
рограмму на примере двухэтажной рамьг, рассматривае¬
мой как система с двумя степенями свободы (рис. 4.23).Модельную акселерограмму примем в виде (рис. 4.24)-й'И = Л(/)/М,	(4.77)где f(t) — осциллирующая функция, A(t) — огибающая138
амплитуд. Если А рассматривается как случайный про¬
цесс, то огибающая A it) характеризует интегральные
параметры очага землетрясения (интенсивность, дли¬
тельность, общий закон выделения энергии в очаге зем¬
летрясения). Функция f(t) представляет спектральный
(амплитудно-частотный) состав возмущений, дошедших
из очага до рассматриваемой точки земной поверхности.
Отражение и преломление сейсмических волн в земной
толще наделяет случайную функцию f(t) индивидуаль¬
ными свойствами места постройки сооружения.В данном примере зададим (4.77) в следующей де¬
терминированной форме:Д (/) = ate~ht sin Ы.	(4.78)Здесь огибающая Л (/) =ate~bt — одна из используемых
функций в моделях акселерограмм.Для получения перемещений 1-го и 2-го этажей рамы Z\{t), Z2(t)
надо составить и решить уравнения движения от действия силPl(t)=—niiA и Pi(t) =—т2Д (см. § 4.5). В случае упругой рамы
эти уравнения получат видmiZi+ вzi+rii ri2ZiPi V)7=.. т-г _. Ъ ..Л .-Г21 >22-2Рг (0 ^где В — матрица демпфирования (4.18), а г22 = с = 24£///3; —
г,2=r2i = —с; т.\ = т2=т.На рис. 4.23,6 показаны собственные формы и частоты колеба¬
ний рамы, найденные обычными методами (см. пример в § 4.7). Поль¬
зуясь ими для упрощения интегрирования уравнений (4.77), перей¬
дем к главным координатамZ = qiVi-\-q2vl.	(4.80)Для определения qi и q2 имеем два раздельных уравнения (4.37)<?&+2nhqk+(i>lqk=Qk/Mk (*=1,2),	(4.81)где	■Mi = т-12 + ml ,6182 = 3,618т;M2 = /n-l2 + m(— 0,618)2 = 1,382m;Q1= pr-l + p2 (1,618) =— 2,618m A;Q2 = pv 1"+ p2 (—0,618) =— 0,382тД.Решение уравнений (4.81) можно получить с помощью интегра¬
ла Дюамеля в форме (4.42). Ввиду сложности получения результата
Интегрирования (4.42) аналитическим путем целесообразно приме¬
нить численную процедуру, описанную в § 2.8. Другой путь состоит139
в численном интегрировании системы (4.81), например по методу!
Рупге—Кутта (см. § 2.9). Для этого приведем систему (4.81) к нор, |
мальной форме, введя обозначения u{ = qt:; м2=?г, «з=<?г; «4 = д2
Для численных значений параметров рамной системы 7', = 2я/со1=а
= 0,8 с, Г2= 0,3 с, 2/г, = y<»i = 0,79, 2к2=у®2=2,1, y = 0,1 и для аксе¬
лерограммы (4.78) а=1000 см/с, 6=5 1/с, 0 = 21 1/с. указанная сис¬
тема уравнений, составляемая по образцу уравнений (2.122), полу.ЧИТ ВИД!Ыу_ — Ы-2 jиг =— 724te~51 sin 21/ — 0,79и2 — 61,7их\«з = г;4;«4=— 27&e~c’t sin 21/ — 2, lu4 — 438,6 и3.Данная система уравнений решена по методу Рунге—Кутта чет¬
вертого порядка с шагом At — 0,075 с при нулевых начальных усло¬
виях. На рнс. 4.25 показаны результаты решения в виде зависимо¬
стей перемещения 1\ и Z2 от времени, получаемых по (4.80) с помо-
шыо формул Z^Uj+Из; Z2= 1,618«1—0,618«3. На этом же рисункеизображена расчетная акселерограмма Д (/). Отмеченные на графи¬
ках значения max|Zi| и max|Z2—Zx\ определяют наибольшие изги¬
бающие моменты в стойках Mi и А4п, так как последние пропорцио¬
нальны указанным перемещениям. Достигаются они в разные мо¬
менты времени, а именно при / = 0,45 с и / = 0,6 с.Обратим внимание на то, что в данном примере принятая час¬
тота акселерограммы 0 = 21 рад/с практически совпадает с собствен¬
ной частотой системы «2=20,9 рад/с. Однако никакого «резонанса»
в привычном понимании в данном случае не возникает, так как сис¬
тема испытывает кратковременное воздействие заметных величинускорений Д и находится в режиме нсустановившихся колебаний.Предположим теперь, что в стойках рамы в процессе
колебаний возможно появление упругопластических де¬
формаций (рис. 4.26, а). Пусть путем предварительных
расчетов или с использованием экспериментальных дан¬
ных получена зависимость между силой S и относитель¬
ным смещением 6 концов стоек данного этажа. Эту за¬
висимость обычно аппроксимируют полигональной кри¬
вой типа, показанной на рис. 4.26, б. В этом случае
интегрирование уравнений движения удобно вести по
шагам времени At. Составим уравнения движения типа(4.79)	для двух соседних моментов времени t и t-\-At.
Путем их вычитания придем к системе уравнений, состав¬
ленной относительно приращений перемещений A Z=
= [AZ,, ДZ2]T,MAZ + BAZ -f R' Ш = ДP.	(4.82)143i
■*- Рис, 4.26Здесь М и В — те же матрицы, что и в уравнениях(4.79). Вектор АР = ~Р	—P(t), а матрица R' —касательная матрица жесткости. Она. составляется с
использованием жесткости системы в данный момент де¬
формирования но отношению к малым приращениям пе¬
ремещений AZ, т. е. с использованием величин c'-dS/dd.
Матрица R' аналогично (4.79) получит вид141
г0,2 ОА 0,6
Рис. 4.27Рис. 4.28142
*где с 1 и с> — жесткости на сдвиг первого и второго эта¬
жа соответственно. В каждый момент деформирования
они в общем случае будут различны. Матрицу (4.83) на¬
зывают иногда мгновенной матрицей жесткости.Методы пошагового интегрирования уравнений типа(4.82)	излагаются в следующей главе (см. также § 2.9).В заключение приведем пример исследования мостовой конструк¬
ции (рис. 4.27) на воздействие, заданное акселерограммой. Конст¬
рукция рассматривалась как система с 300 динамическими степеня-
свободы. Определялись и удерживались в расчете первые 30 форм
собственных колебаний. Спектр периодов показан на рис. 4.27,6.
Коэффициент неупругого сопротивления у=0>025. На рис. 4.28 по¬
казана виброграмма изменения вертикальной составляющей опор-
гой реакции RA(t), полученная при поперечном, сейсмическом воз»действии Д*, заданном акселерограммой (рис. 4.17). На виброграм¬
ме R&(t) горизонтальными линиями отмечен max RA, полученный
при расчете по нормам. Как видим, усилия при воздействии данной
акселерограммы (относимой к 9-балльным землетрясениям) превы¬
шают расчетные по нормам в 6880/3200^2,2 раза. Исследование
проведено с использованием комплекса программ, разработанного
инж. В. М. Осокиным. Опыт расчетов мостовых конструкций с при¬
менением этого комплекса показал, что наиболее уязвимыми элемен¬
тами мостовых конструкций при сейсмических воздействиях являются
опорные части. Элементы несущих конструкций, запроектированные
под подвижную нагрузку, обычно не требуют дополнительного уси¬
ления.ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ§ 5.1. Общие замечанияВ § 1.3 приведено уравнение Лагранжа. При применении
метода конечных элементов (МКЭ) область рассчиты¬
ваемой конструкции покрывается сеткой и в качестве
обобщенных координат (qi) используются перемещения
узлов (Zi) и производные от них. Уравнения Лагранжа
с учетом рассеяния энергии при этом имеют видгде i=l, 2, ..., п, п—число степеней свободы; Т — кинетическая энер¬
гия системы; U—потенциальная энергия системы; Ф — диссипатив¬
ная функция Релея; Ri(t)—обобщенная сила; Zj — перемещения
Узлов или производные от них.Потенциальная энергия, кинетическая энергия и дис¬
сипативная функция Релея являются квадратичнымиформами от Z и Z:(5.1)143
где R— матрица реакций; Л-1 — матрица масс; С — матрица демпфи¬
рования.В [3, § 4.4] показано, чтоди -	_• _ • RZ .	(5.5)'diАналогичнодТ	*т	дФ -г—= М Z; (S.6) ——— = CZ.	(5.7)1dZ	<Z	*Подставляя (5.5), (5.6), (5.7) в (5.1) и учитывая, что—	=0, получимdit 3MZ+CZ + RZ = R(t).	(5.8)Уравнения (5,8) — есть уравнения равновесия и могут
пониматься как уравнения динамического равновесия в
момент времени t. Каждое уравнение системы (5.8) со¬
ответствует динамической степени свободыF, (t) + Fa II Щ =1Ш	(5-9)где F\(t)=MZ — вектор сил инерции; Fa(i)=CZ — вектор сил демп¬
фирования; FE{t)=RZ — вектор сил упругости; R(t)—вектор внеш¬
них сил.При этом все векторы зависят в общем случае от вре¬
мени.В [39, § 12] приведено понятие базиса (координатных' функ- .£
ций) и обобщенных координат в пространстве сил. Ввиду важ¬
ности этого понятия для дальнейшего, повторим выкладки для прост- .-J
ранства перемещении. Рассмотрим понятие базиса на простейшем
примере. Предположим, что сечение /г балки (рнс. 5.1, а) получило
смещение Zx и поворот Z2. Тогда каждой паре чисел Zi и Z2 будет
соответствовать своя кривая прогиба балки. Совокупность всех кри¬
вых прогибов балки будет образовывать пространство кривых про¬
гибов, каждая кривая этого пространства однозначно определяется
векторомZ=lZ:Z.2]r.	(5.Ю)Поставим в точке k опору и плавающую заделку и зададим каж¬
дой из них единичные смещения (см. рис. 5.1,6). Обозначим функ-
Рис. 5.1дни, показанные на рис. 5.1,6, еь е2, тогда функцию прогиба, изоб¬
раженную на рис. 5.1, а, можно представить в виде	'Z = Z1e1- + Z,<?2.	(5.11)Совокупность функций е называется базисом, а числа Z\ и Z2 коор¬
динатами функции прогибов Z в базисе е.Понятие базиса тесно связано с понятием системы координат:
Рассмотрим декартову систему координат, изображенную на рис. 5.2.Единичные векторы, направленные вдоль осей 1 и 2, обозначим в\, е2.
Тогда произвольный вектор двухмерного пространства может быть
представлен в виде■^1 е\ + ^2 еъ >(5.12)т. е. векторы е\, е2 определяют
систему координат (базис), а чис¬
ла Zu Z2— координаты вектора Z
в базисе.В качестве базиса можно
принять любую линейно независи¬
мую комбинацию базисных функ¬
ции е, изображенных на рис. 5.1,6.
Например, можно в качестве ба¬
зиса взять функции ft и /2 (см.
Рис. 5.1, в); первая функция по¬
лучается единичным смещением
(2| = 1) и поворотом на единицу
Ю-753 . .Рис. 5,2145
(Z2= 1), вторая — таким же смешением (Zi = l) и поворотом на ми¬
нус единицу (/.—i). CiiteBifiiHo,. что функция Z в этом базисе бу.
дет иметь другие координаты, Базис, в котором координатами явлн-1
ются прогибы (Z|) и углы поворота (Z2), будем называть естествен-!
ным или физическим базисом. Очевидно, что базис et, е2 будет есте¬
ственным, Любой базис просто выражается через естественный ба¬
зис:fi —е-2; /2 = ех — е2 (5.13) или f = Ve,где7i ■'1 г—>'m ’; V =; <2 =Jz .J — LЛ2 _(5.14)(5.15)Далее рассмотрим случай, когда естественный базис содержит п
функций еь в$, еа. Любая функция этого- пространства- может
■быть представлена в видеZ = Zi в!Z2 е2-Ь ■■■ ФШяЖп‘	(5.16)Предположим, что в этом же пространстве взят другой базис f,
функции которого линейно независимы и являются линейными ком-1
бинациями функций ft?. Базис f имеет вид fi, /*,.,/«• Функция Z в
базисе / будет	„i*“’fi:hHhШХй'г- + япh’>	(5-17)ft — обобщенные координаты функции Z в базисе f. Запишем ба¬
зис/ через естественный базис [см. (5.14) |:Г & 1%^12 * *1^22 * *•	I'm*	^2 71L in.Al^ П2ei(5.18)Какова будет связь между координатами Z и q, если базисы связа¬
ны зависимостью (5.18)?Развернув выражение (5.18) и подставив в (5.17), получимZ = 4i (V п <?! + У\г е2 + ... + Ущ ёп) + q2 (V 21 ++ К»: % + • - • ~г У2п еп) ++ Qn(Vni t’i Hr Vn2 е2 + ... JrVnn)en-	(5.19)Сгруппируем слагаемые в выражении (5.19) по функциям ба¬
зиса е„: 1 = (Уц 7x 4“ V2l Щ +' ■ • • Jr Vni Яп) ei ++	••• + V-пг Яп) е2 +"h (Vm Qi VfnQi +	JrVnnQn)en-Сравнивая (5.16) и (5.20), можно записать:Z\ = Ки Qi + V2i q-2 +. ..+ Vni Яп\Z2 = lh + V22 q2 + • • • + Vn.2 <7и i(5.20)(5.21)libZn — Vm <h H~ V2n <?2 + • ■ •+ Vnn Qn •*
Итак, если /= Ve, тоZ=VTT,	(5.22)где Z — координаты вектора Z в базисе е; q — координаты вектораI	в базисе /.Таким образом, если базисы связаны между собой
матрицей V, то координаты связаны матрицей VT в об¬
ратном порядке. Иногда соотношение (5.22) можно за¬
писать, минуя понятие базиса, непосредственно связывая
между собой координаты.Подставляя (5.22) в (5.2), (5.3), (5.4), получимU =	<5-23)Гг- т*-7 =	(5.24)2Т1 -iФ = — qTC*q,	(5.25)где. r* = VWt.	(5.26). M*-=VMV т;	(5.27)Ф* = 1/ФКТ.	(5.28)Формулы (5.26) — (5.28) выражают преобразования
матриц реакций, масс и диссипации при переходе от век¬
тора перемещений Z к вектору перемещений ц. Эти век¬
торы связаны соотношениемZ=\Tq.	(5.29)Трудоемкость решения системы дифференциальных
уравнений движения (5.8) зависит от выбора базиса.
Одним из наиболее распространенных методов решения
в случае, когда матрица демпфирования С пропорцио¬
нальна матрице масс, является метод разложения по
собственным формам колебаний. По существу, это есть
построение такого базиса, в котором все матрицы явля¬
ются диагональными.Метод разложения по собственным формам колеба¬
ний является одним из основных методов решения дина¬
мических задач. При его использовании необходимо
Уметь определять частоты и формы собственных колеба¬
ний. При использовании МКЭ в перемещениях матрицей10*147
системы алгебраических уравнений является матрица
жесткости (реакций). При определении частот и форм
колебаний часто более рационально использовать матри¬
цу, обратную к матрице жесткости,— матрицу податли¬
вости (перемещений). Напомним кратко получение диф.
ференциальных уравнений свободных колебаний без уче¬
та затуханий через матрицу жесткости и матрицу
податливости (табл. 5.1).Таблица 5.1Уравнения свободных колебаний, полученные:через матрицу жесткости. через матрицу податливостиМ1!”слСоОz {t) = p-ij (t)(5.30a)J (/) =—MZ(t) —вектор сил инерции (5.31)—MZ{t) = RZ(t) (5.32)i (t) = — ftr1 mz со(5.32a)Z(t) =2 sin(co^ + (po) —гармонические колебанияRZ — U)2M~Z = 0 (5.33)R-i MZ — -2=003“(5.33a)\M-iR — ?V1£| = 0, (5.34)\Я-Ш~\2Е\ =0,(5.34a)где ij = со2 (5.35)1где Хг = —
or(5.35a)Используя метод итераций, можно найти старшее
собственное значение. В соответствии с формулами
(5.35) и (5.35а), итерируя матрицу M~lR, можно найти
старшую частоту, а итерируя матрицу	— млад¬шую частоту. Таким образом можно найти диапазон
спектра частот. Метод разложения по собственным фор¬
мам широко используется для исследования длительных
динамических процессов, обязательным условием для
него является пропорциональность матрицы масс М и
матрицы демпфирования С, т. е. каждой частоте соответ¬
ствует свой коэффициент демпфирования.Наряду с этим методом все более широкое распрост¬
ранение находит метод непосредственного численного
решения системы дифференциальных уравнений (5.8).1481
решение уравнений представляют собой осциллирующие
функции, при этом шаг интегрирования связан с перио¬
дом колебания. Для решения уравнений движения созда¬
ны специальные методы, учитывающие их особенности.
Большим достоинством шаговых методов является воз¬
можность решения нелинейных задач, в которых любая
из матриц может быть изменена при переходе от одного
шага к другому в зависимости от результатов решения
предыдущего шага. Недостатком шаговых методов явля¬
ется то, что они дают тем худшее решение, чем для боль¬
шего промежутка времени оно необходимо.При решении по МКЭ континуальных задач произво¬
дится их дискретизация, поэтому далее рассмотрим два
вида дискретизации: с использованием сосредоточенных
масс и с использованием распределенных масс. При ре¬
шении этих задач возникает большое число степеней сво¬
боды, что значительно осложняет задачи, поэтому будут
также рассмотрены подходы, позволяющие уменьшать их
число.	.Ниже теоретические соображения проиллюстрирова¬
ны простейшими численными примерами. В качестве
расчетной схемы в большинстве случаев используется
простейшая балка, при этом арифметические выкладки
не заслоняют сущности подхода. Иногда решения не яв¬
ляются рациональными для данной задачи, так как
целью примера является не расчет балки, а иллюстрация
описываемого подхода.§ 5.2. Дискретизация при решении задач динамики
по МКЭРешение задач динамики сводится к составлению и
решению системы дифференциальных уравнений (5.8).
Для составления этой системы необходимо построить три
матрицы М, С и R. При построении может быть эффек¬
тивно использован общесистемный поэлементный подход,
при котором весь процесс построения матриц можно раз¬
бить на три этапа: 1) построение матрицы в местной
системе координат (в которой эти матрицы строятся наи¬
более просто); 2) перевод из локальной системы коор¬
динат в глобальную с помощью матрицы перехода. В ре¬
зультате выполнения первых двух этапов строится гло¬
бальная матрица в местной нумерации; 3) переход от
Местной нумерации к общей в соответствии с топологией
системы.	.	.149
о)В [39, § 77—80] подробно описан этот процесс при
построении матрицы реакций R. Поскольку в большинст¬
ве случаев матрицы М и С принимаются пропорциональ¬
ными, в дальнейшем остановимся на процессе построе¬
ния матрицы масс М. Все рассуждения будут справедли¬
вы и при построении матрицы диссипации С.Для построения матри¬
цы М могут быть кспользо-
ваны два подхода: метод
сосредоточенных масс и метод
распределенных масс. В §3.1,
3.6 описаны оба подхода
при расчете стержневых сис¬
тем. В данном параграфе
остановимся на особеннос¬
тях, связанных с расчетом
по МКЭ континуальных си¬
стем. Наиболее простым яв¬
ляется метод сосредоточен¬
ных масс.Сосредоточим массы в
углах треугольного и прямоугольного плоских элемен¬
тов, изображенных на рис. 5.3, тогда матрицы масс бу¬
дут иметь вид:1. В случае плоской задачи с двумя степенями сво¬
боды в узлах (и, v)Треугольник (рис. 5,3, а)11УF/3412.7Рис. 5.3М = —3(5.36)Прямоугольник (рис. 5.3,6)м =т411111 ■I-: 1
; 1(5.37)2. Для задачи изгиба с тремя степенями свободы в
узлах Щ срж, фу.150
. 5.3, а)1 :
0 ;0:m: 1 :
i 0 :3\ 0: .: 1
: 0(5.38)Прямоугольник (рис. .5.3,6)тМ— —001 :
о;0!;1 :
: 0 :! 0::1
: 0i 0(5.39)где m = p8F — соответственно масса треугольного или прямоугольно¬
го элемента; здесь р — плотность; 6, F — соответственно толщина и
площадь элемента.Далее рассмотрим метод распределенных масс. По¬
строим матрицу масс для треугольного элемента в слу¬
чае плоской задачи. Будем предполагать, что поле ско¬
ростей совпадает с полем перемещений при статическом
приложении нагрузок. Рассмотрим треугольный элемент
(рис. 5.3,а):Z (ху) =' U 'Li 0 j L2 0 : L3 O'. V __ 0 Lx i 0 L, i 0 L3щViи2«3_t>3.= L(xy)Z\ (5.40)Lз	— однородные площадные координаты [см. 3, § 4.7].
Запишем выражение для кинетической энергииТ = — \ZT (ху) pdv Z (ху),(5.41)гДе р --	плотность.151
Подставляя (5.40) в (5.41), будем иметь’ г- р,	Л■ Z7 рб \ LT (л-у) L (xtj) dFZт-Т-Сравнивая (5.42) и (5.3), получимМ = рб Lr (ху) L (ху) dF ■(5.42)(5.4.3;Вычислим произведение, стоящее под интегралом в
(5.43),'Li й'0 Lil2 оО. о А»к О :L2 0 :L3 О/2
ч0С’"*ю0L1 L300;2
1 _00040000■itl0Vahh0L2 L30400*1%04L30/2(5.44)Интегрируя выражение	(5.44)
прил. 1]‘ , :	Й fi JL j Щ dF	’по формуле [3,U + / + 2)!2F,получимЛЬ- 1/201/401/40 -01/201/401/4m1/401/201/40301/401/201/41/401/401/20- o1/401/401/2 _(5.45)Сравнивая выражения (5.36) и (5.45), видим, что
матрицы масс получаются разными. Аналогично матрице
масс для треугольника может быть построена матрица
масс для прямоугольника в случае плоской задачи. Поле
перемещений при этом задается в виде билинейной
функции [3, § 4.7]. Построение матрицы масс для объ¬
емной задачи принципиально не отличается от аналогич¬
ного построения для плоской задачи.Остановимся на задаче изгиба. Рассмотрим прямо¬
угольный элемент (см. рис. 5.3,6). Аналогично плоской
:адаче будем предполагать, что поле скоростей совпада¬
ет с полем перемещений при статическом действии на¬
грузок [3, § 5.1]w (ху) = ах + а2 л; + а3 у + а4 х2 + аь ху + а6 г/2 + а, х3 ++ а в х2 г/ + ссэ ху2 + а10 у3 + ап х3 у + а12 ху3. (5 .46)
Выражая коэффициенты а через скорости перемещений
угловых точек {w\ф*ср?; г= 1, 4), получимш (ху) = [1, х, у, х1, ху, у2, х3, хгу, ху2, у3, х3у, ху3]ХXL-1Z = L(xy)L-1Z\ ' '	(5.47)Z = [ш1 cpf cpf, w2 ф* ф^, щ3 ф] Ф^, w4 Ф^ ф|]т;	(5.48)L — числовая матрица, связывающая коэффициенты по¬
линома (5.46) с вектором Z (5.48).Запишем выражение для кинетической энергииТ = —- Г wT (ху) р w (ху) dv.	. (5.49)I/.VПодставляя (5.47) в (5.49), получимТ — ZT рб (L—1)1 j и (ху) L (ху) dFL-'Z■ (5.50)FСравнивая выражения (5.50) и (5.3), получимM = p6(L-1)T \D(xy)L(xy dFL—1.	(5.51)FВыражение (5.51) с точностью до множителя совпадает
с выражением для матрицы реакций за счет упругого ос¬
нования R0 (см. [3, § 5.2]) (k=p8=m0, где k — коэф¬
фициент постели). Таким образом элементы матрицы М
Могут быть определены с использованием [3, табл.
5.2].	.Покажем, как использовать полученную матрицу для153
определения частот колебаний прямоугольных пластин]
Разделим пластину на четыре элемента. В соответствщ
с [3, табл. 5.1, 5.2] выпишем реакцию и массу для пла]
стины, изображенной на рис. 5.4, а:R =DаЬ4 + [5-2) + ' <М '!')(5 = Ы а\М = О,137щ ab.Вековое уравнение (5.34) имеет вид
| /и-1 R — ш2 Е I = 0.
Подставляя (5.53) и (5.52) в (5.54), получимD 4 (Р Н- р-2) +(1/5) (14 — Щ2г Ьг0,1 Щтши/:Dгде у =4(Р2 + Р-2)Нг(1/5) (14 ; 4ц,)(5.541(5.Е(5.56)0,137В случае сосредото¬
ченной массы необходимо
коэффициент 0,137 заме¬
нить на 0,25. В табл. 5.2
приведены значения ко¬
эффициента у для случая
распределенной массы
[знаменатель подкорен¬
ного выражения (5.56) —
0,137] и сосредоточенной
[знаменатель подкоренного выражения (5.56)—0,25] при
|u, = 0,15.На рис. 5.4,6 показана форма колебаний, соответст¬
вующая частоте <*?.,Таблица 5.2Рис. 5.4Значения у для случаев(}распределенной•v'acobiсосредоточенноймассыпо справочнику J131)135,31726,14435,9991,526,43019,56527,012223,97017,74324,580154
§ 5,3. Сокращение числа динамических степеней
свободыЕсли при решении уравнения (5.34) определяются
£0е собственные числа, то такая задача носит название
паяной проблемы собственных значений [48]. Обычно
при решении практических задач не требуется знание
всего спектра собственных чисел (всех частот собствен¬
ных колебаний), а необходимо знать только часть спект¬
ра. Подобная задача носит название частичной пробле¬
мы собственных значений [48]. Трудоемкость решения
уравнения (5.34) зависит от числа динамических степе¬
ней свободы, поэтому при решении практических задач
его стараются сократить.При решении статических задач в качестве степеней
свободы помимо перемещений принимаются и углы пово¬
рота. Если массы точечные (а в большинстве задач ши¬
роко используется такая идеализация), то их моменты
икерции равны нулю и в соответствующих, местах мат¬
рицы М ставятся нули [см. (5.38), (5.39)]. Подобные
степени свободы называются ложными.При наличии ложных степеней свободы можно прово¬
дить решение с использованием матрицы податливости
[см. уравнение (5.34)]I	/?—1 УИ — А£| = 0.	(5.57)Матрица R~'M будет иметь нулевые столбцы на местах,
соответствующих ложным степеням свободы. При этом
матрица R-~'M будет иметь нулевые собственные числа,
число которых равно числу ложных степеней свободы.
Для сокращения порядка матрицы R~'M необходимо
уплотнить матрицу М, выбросив из нее строки и столб¬
цы, соответствующие ложным степеням свободы. В мат¬
рице R-1 также необходимо удалить строки и столбцы,
соответствующие ложным степеням свободы (нулевым
массам). Таким образом, для определения частот необ¬
ходимо найти собственные числа матрицы, порядок ко¬
торой равен числу динамических степеней свободы.Проиллюстрируем сказанное простейшим примером. Требуется
°пределить частоты и формы колебаний балки, изображенной на
Ркс- 5.5, а. Матрица реакций для защемленной балки, изображенной
На ряс. 5,5, б, имеет вид: '
0,5209 0,вО36
-0,8537to -4,98903683 2 'Рие. 5.512£76 EJ12 EJ6EJ 'РfI3Р6 EJAEJ6EJ2 EJЩ1Р 112 EJ6EJ№EJ6EJ13РР6 EJ2EJ6 EJ4EJё1Р 1(5.58)Примем для простоты £/=1, 1= 1, тогда матрица (5.58) будет иметь
вид	'R126— 12664— 62— 12— 612— 662— 64J(5.59)Построим матрицу реакций для основной системы, изображенной на
рис. 5.6:R -240— 126 “08— 62- 12— 62406208(5.60)В соответствии с рис. 5.5, а матрица масс М при т= 1 имеетвидМ =1 00 02о|00(5.61)В табл. 5.3 приведено получение матрицы Rс использовани¬
ем сокращенного метода Гаусса (см. [39, приложение]).
Таблица 5.3Z,<Pi^2ФгE224— 1261198—621.5— l 2—624176281 j 1724— 1261198—6215-0,5—0,7513,54,50,50,75120,250,250.250,333334,5—0,41667-0,5—0,3333314,25R~l =(5.62)В соответствии с табл. 5.3 матрица Л-1 имеет вид0,09876 0,07407 0,06790 — 0,092520,07407 0,22222 0,09259	—0,111110,06790 0,09259 0,09876	—0,07407
0,09259 —0,11111 —0,07407 0,22222 _Уплотним матрицу масс ММ1=[‘ 2].	(5.63)Вычеркнем из матрицы R~l строки и столбцы, соответствующие
ложным степеням свободы, и уплотним ее0,09876 0,06790'.0,06790 0,09876*Г =Вычислим произведение(5.64)0,09876 0,06790'1 '0,09876 0,13580.-.0,06790 0,098762.0,06790 0,19752.= 0.V М± =Составим и решим вековое уравнение0,09876 —X 0,13580
0,06790 0,19752 — А,Откуда*-2 — 0.29628Я + 0,01029 = 0; к = 0,14814 ± ]Л), 14814 — 0,01029;
Xj = 0,25610; Xa = 0,04018.157
Зная собственные числа, вычислим собственные частоты:щ = 1/Уо, 2561,= 1,976; щ = 1/К 0,04018 = 4,989. (5.65)
Вычислим собственные векторы:?-i = 0,2561; %=1; (0,09876 — 0,25610) ¥и + 0,1358 = 0; 1
1/ц = 0,8631; Х2 = 0,04018; У22 = 1;(0,09876 — 0,04018) У12 -|- 0,13S8 = 0; У12 =— 2,3182.Матрица собственных векторов имеет вид
-2,3182 0,8631'V	=11(5.66)Нормируем матрицу собственных
(Е — единичная матрица)— 2,3182 Г1 ‘— 2,3182 0,8631. 0,8631 L_ 2. 1 17,3731 0
0 2,7446векторов так, чтобы VTMV=E(5.67)В соответствии с (5.67) нормирующие множители будут;
У7,3731 —2,7153; / 2,7446=1,6567.Матрица нормированных собственных векторов имеет вид_ Г—0,8537 0,52091V	= \	.	(5.68)L 0,3683 0,6036j	'На рис. 5.5, в показаны формы колебаний я приведены частоты
для балки, изображенной на рис.: 5,5, а (при 1= 1, £7=1 и т— 1).Определим частоты и формы колебаний для той же балки через
матрицу жесткости [см, формулу (5.34)](5.69)Матрица М имеет на диагонали нули, поэтому для нее не су¬
ществует обратной И; непосредственно воспользоваться выражением
(5.69) невозможно. Необходимо предварительно исключить эти сте¬
пени свободы по Гауссу на уровне матрицы R (силы инерции, соот¬
ветствующие этим степеням свободы, равны нулю), После исключе¬
ния матрица M~lR будет иметь порядок, равный числу динамиче¬
ских степеней свободы.Проиллюстрируем сказанное на примере балки, изображенной
на рис. 5.5, а. Выше построена матрица реакций для этой балки при
/■ 1. £/=1 [см. (5.60)]. Исключим в матрице (5.60) степени свобо¬
ды^ соответствующие tpi и q>2: Для этого первоначально перенумерУ'
ем степени свободы. Матрица перенумерации С приведена <£ тайл. 5.4.
Используя матрицу С, перенумеруем степени свободы в матрице
Таблица 5.4ф|ФгZ,г2Zi1Ф11Z21%182—6286624—12—6— 1224(5.70)где матрица R приведна в выражении (5.60).Исключим из матрицы (5.70) степени свободы ер, и срг:,	, 19,2012 — 13,1988R^Rtz- Rm	'ФФ-'Фг [—13,1988 19,2012J
Вычислим произведение M~[lR\ [матрица М\ см. (5.63)]:М719,2012	—13,1988—6,5994	9,6006Составим и решим вековое уравнение—	13.1988= 019,2012	—13,1988-6,5994 9,6006 —%откудаX2 - 28,8018Х+ 97,2389 = 0;14,4009 ±Vh, 4009г — 97,2389;%i--= 24,896; Х2 = 3,9058.Вычислим частоты собственных колебаний.% = ]/ 3,9058 = 1,976; со2 = 1^4,989 = 4,990.Зная собственные числа, построим собственные векторы:= 24,896; V21= 1; (19,2019 — 24,896) Кг1 — 13,1988-1 = 0;(5.71)(5.72)Vn=— 2,3180; Х2 = 3,9058;
(19,2019 — 3,9058) V12 —13,1988-1 = 0;
Матрица собственных векторов имеет видГ—2,3180 0,8629V22 = 1;
у12 = 0,8629.V)(5.73)159
Частоты (5.72) совпадают в (5.65), а матрица (5.73) совпадает
с (5,66), что говорит о правильности арифметических выкладок.Для сокращения числа динамических степеней свобо- I
ды используется процесс, носящий название конденса¬
ции, при использовании которого перемещения делятся
на основные и дополнительныеz(5.74)Соответственно делению вектора Z матрица реакций R
делится на блоки:•^дя: R-mR =(5.75)L Ron J Roo^		I : предполагается (в этом и состоит приближен- '
ность подхода), что силы инерции, соответствующие до¬
полнительным неизвестным, равны нулю, и дополнитель¬
ные неизвестные с помощью этого условия выражаются
через основные•^дд^д + /?до г0 — о.откуда«дд R-но Z'o-Подставляя (5.76) в (5.74), получим-	Ядд «до(5.76)(5.77)Соотношение (5.77) связывает перемещения Z с основны¬
ми перемещениями ZQ. Далее матрицы реакций и масс
приводятся к перемещениям Z0 и порядок векового урав¬
нения становится равным порядку вектора Z0. Таким об¬
разом, размерность задачи уменьшается.Поясним сказанное простым примером. На рис. 5.7, а изображе¬
на балка с тремя массами. Определим для этой балки младшую час¬
тоту1 и соответствующую ей форму колебаний. Построим матрицу
податливости R~l, На рис. 5.8 изображены эпюры моментов от еди¬
ничных сил. Принимая 1=1, £/=1 и перемножая эшоры, изобра¬
женные на рис. 5.8, получим	■42-63 1 21	2 42	3 24 1
1 43 1 2
2 2 4
1 3 2160
Рис. 5.74/4Рис. 5.8'0,7500
0,5833
„0,9167
Матрица масс будетМ =0,5833 0,9167
0,7500 0,9167
0,9167 1,3333(5.78)Вычислим матрицу R~‘M:"0,7500R-1 М = '0,58330,91671,8334'1,83342,66670,5833
0,7500
0,9167Для получения старшего собственного значения воспользуемся
методом итерации [48]. Процесс итерации приведен в табл. 5.5 (век¬
торы последовательных приближений записаны под матрицей в видестрок).На рис. 5.7,6 показан собственный вектор и соответствующее
ему собственное значение X. Используя матрицу податливости (5.78),
построим матрицу R:	'*' 9,85714 4,85714 — 9,42857“3,85714 9,85714 —9,42857
9,42857 — 9,42857 13,71428В качестве основного примем перемещение Z3. Составим уравне¬
ния, связывающие основные и дополнительные неизвестные:9,85714Zf -Ь 3,85714Z2 — 9,42857Z3 = 0;3,85714Zj + 9,85714Z3 — 9,42857Z3 = 0.Решая систему относительно 2\ и Z2, получимR =■гг2,.0,11979 — 0,04687
— 0,04687 0,119799.428579.42857Z, =0,687530,6875311-753161
Таблица 5.50,75000,58330,91670,58330,75000,91671.83331.8333
2,6666VII11(R-1 VjF3,16670,70374,5VI0,70370,70371(R 1 V2y
V\2,77160,70052,77160,70053,95681(А’“1 Vsy2,76742,76743,9509А0,70040,70041Я, - 4,5| Яг — 3,9568л, = 3,9507Матрица перехода от 23 к вектору Z будетZ =Приведем матрицу реакций R и масс Л1 к 23:/?1 = [0,6875 0,6875 1] X'0,6875'Z2=0,6875% (5.79)UJ_ 1 __ 9,8571 3,8571 —9,4286 ''0,6875'X3,8571 9,8571 „—9,42860,68759,4286 —9,4286 13,7443 _1 _= 0,75;/Мц = [0,6875 0,6875 1]Х= 2,945;'1 0 0'0,6875'X0 1 00,6875.0 0 2_ 1R-1 M — X= 0; 3927 — 1 =Я = 3,927.Собственный вектор, соответствующий Я=3,927, найдем из вы¬
ражения (5.79); он изображен на рис. 5.7, в. Результаты сравнения
рис. 5.7, б и 5.7, в указывают на вполне удовлетворительную точ¬
ность вычисления собственного числа и собственного вектора с ис-
пользованиедМ процесса «конденсации».§ 5.4. Использование суперэлемента для определения частот
и форм колебаний сложных конструкцийПри расчете сложных конструкций применяется ме¬
тод суперэлементов, при использовании которого всЯ
конструкция делится на суперэлементы (подконструк-162
ции), строятся матрицы жесткости для суперэлементов и
окончательная система уравнений составляется только
для мест контакта соседних суперэлементов. Подобную
процедуру можно проводить несколько раз, например
первоначально можно исключить в суперэлементах внут¬
ренние узлы, далее использовать эту процедуру для мест
контакта суперэлементов и получить матрицу жесткости
для больших суперэлементов, из которых можно собрать
еще большие суперэлементы и т. д.В [39, § 82] пояснена эта процедура для решения
статических задач. Покажем, как использовать ее для
определения частот и форм собственных колебаний.
Итак, допустим, что конструкция разбита на подкон-
струкции и предположим, что частоты и формы собст¬
венных колебаний подконструкций известны, требуется
определить частоты и формы для всей конструкции.
Поясним этот процесс на простейшем примере защем¬
ленной балки, где решение видно наиболее выпукло и не
загромождено арифметическими выкладками. Поскольку
статическая и динамическая задачи в этом случае, тесно
пересекаются, напомним кратко процедуру получения
матрицы жесткости для суперэлемента.На рис. 5.5,6 показан элемент в виде балки с за¬
щемленными концами. Матрица реакций для этого эле¬
мента при £7=1, 1=1 имеет вид (5.59). Построим по
этой матрице матрицу жесткости для элемента двойной
длины (рис. 5.9,а). Обратим внимание на то, что эту
матрицу можно построить, подставляя в (5.58) вместо
пролета / пролет 21, но далее приведем общий подход,
применяемый для построения матрицы жесткости произ¬
вольного суперэлемента. Наложим на точку 1 верти¬
кальную и поворотную связи. Используя матрицу жест¬
кости для основной системы, изображенной на рис.
5.9, б.RipZiRnRkkЯнкRn=ЯнК■ Янн0RK0Якк _X1'де Rn—Rhh~\~Rkk',’» =-Я>1..Фа..Фн.163
а)ч I U> i	Iа) ш	mРис. 5.9m 2Z m 2тj? 111 мг ii- .iРис, 5,10°-4L *A iA *4w It 'K,/,71-UF Jl * L / I. jй/перэлемент 1 Суперэлемент 2Рис. 5.12то-0,8537~"\L^о,зт0,500-0,2500,5209 0,603В з0,741 0,255 4
1f.Рис. 5.11_ Исключим по Гауссу вектор Zx в системе уравнений(5.80). После исключения матрица реакций будет иметь
видЯ =^нн ^НК «Я1 l}imRHH Rn-*„я*пЧаRm< - %тДП RMK(5.81)Определим перемещения в точке 1 (Z,) через пере¬
мещения начала (Z.) и конца (ZK) стержня при усло¬
вии, что реакция в точке 1 (/?,) равна нулю. Первое
уравнение системы имеет вид0	= Щп % + A’i.-i, ?„ + /?нк zK.	(5.82)Решая систему (5.82) относительно Zu будем иметь2* =- Ru1 К - «П1 Я„к 1.	(5.83)164
Подставляя в (5.81) и (5.83) блоки матрицы жесткости
для элемента одиночной длины (см. рис. 5.5,6) по выра¬
жению (5.59), получим матрицу жесткости для элемен¬
та двойной длины и перемещения точки 1 (рис. 5.9, а)Яш_^кн_Яяк.Rkk3/23/2— 3/23/2 -3/22— 3/2I— 3/2— 3/23/2— 3/23/2!— 3/22'W{Лг.1/2-3/41/4-1/4нLA41/2 —1/4
3/4 -1-42КФк1(5.84)(5.85)Рассмотрим далее систему, изображенную на рис.
б'10. Разобьем ее на два суперэлемента, наложив свя-
ди на точку 4 (см. рис. 5.9, а). Рассмотрим суперэлемент
I (рис. 5.11, а). Матрица жесткости и перемещения в
промежуточной точке для этого суперэлемента получена
йыше [см. формулы (5.84), (5,85)]. Определим собствен¬
ное число и собственный вектор для суперэлемента 1
при т — 1. В соответствии с (5.59), имеем г, =24;
т~[гц= 24, где гц— реакция в точке 1 при смещении
последней на единицу (см. рис. 5.11, а).Составим вековое уравнение:т-4 т — ъ = 0; 24 — % = 0; ki = 24.	(5 .86)На рис. 5.11,6 показан собственный вектор, соответст¬
вующий Ai'=24.Рассмотрим суперэлемент 2 (см. рис. 5.11, а). Часто¬
ты и формы для этого суперэлемента приведены на рис.
5.5. Собственные числа, соответствующие этим частотам,
см. (5.71). Следуя общей методике, построим матрицуреакции для основной
5.12, а:системы, изображенной на рис.12-^нк 4 Л-кк ;RhhRm ' ^нн 4 ЛккRhkн^?нк ■! «нн!0к! ^КН0^кк(5*87)Матрица Rw (соответствующая закрепленным сечениям
ft и к) будет иметь вид165
Ru =?нн + 			R кн ! R HH "Г RkkМатрицы Rm: и Rkh, используемые в формулах (5.81)' |(5.83), в матрице (5.87) обведены в рамки сплошным!
линиями [блоки Rm, Rhk, Rim, Rw см. выражение(5.59)]. Матрица /?ц при £7=1 и 1—1 будетRrUiЩtv2ф2Vi- 240— 126ft08— 62v2— 12-6240Фг_ 6208Используя (5.83), получим формулу для вычисления
перемещений в точках I я 2- Wi~-—12—6 “- 00 “Ф162j1007 	w,00— 126_ Ф2 ^_ 00 __—62 ^0,7410,444; 0,259—0,222—0,4440j 0,444—0,3330,2590,222j 0,741—0,444—0,444—0,333j 0,4440ФнФк(5.8Выше описан общий алгоритм получения перемеще¬
ний в промежуточных точках. Для контроля можно оп¬
ределить перемещения в промежуточных точках, исполь¬
зуя уравнение кривой изгиба стержня. Используя (5.81)«получим матрицу реакции для суперэлемента,
женного на рис. 5.12,6,	.0,4444	0,6667	—0,4444	0,66670,6667	1,3333	—0,6667	0,6667-0,4444	—0,6667	0,4-444	—0,66670,6667	0,6667	—0.6667	1,3333изобра-(5.8Ввиду того, что в данном примере в качестве суперэле;
мента использована балка, элементы матрицы (5.89)
могут быть легко проверены по формуле (5.58).На рис. 5.11,6 показаны собственные векторы ДлЯ
отдельных суперэлементов, а также функции, соответст¬
вующие единичному линейному и угловому перемещен**'
ям точки 4. Ординаты кривых (/4—fs) взяты из выраЖе'166
jj-jaft (5.85) и (5.88). Матрица реакции R в базисе fj—/5
ймеет вид [см. (5.86), (5.71), (5.84) и (5.89)]:~2424,891
/?!=	3,90581,9444 —0,8333
_	—0,8333 3,3333Вычислим матрицу податливости
' 0,04170,04017Я~} =	0,25600,5760 0,1440
_	0,1440 0,3360Матрица масс в естественном базисе {еу—е^) имеетвидГ 1 '1М= 220_1М.атрица С, связывающая естественный базис е с бази¬
сом /, имеет вид, приведенный в табл. 5.6.Таблица 5.61e,e>e3чfi1'—0,8540,368h0,5210,604h0,5000,7410,259Ih—0,2500,4440,2221Переведем матрицу масс М в базис —fs:CMCT- 1000,500—0,250 и010—0,442—0,2160010,6690,5000,500—0,4420,6992,9330,319^—0,250—0,2160,5000,3190,358 __«67
Вычислим произведение R\ 5M(iкг'м.0,0417о
о0,252—0,01200,04017О-0,286-0,136ОО0,25600,4750,2690,0208—0,01770,1791,7350,529—0,0104—0,00860,1280,2350,166Таким образом, матрица /?-|Мь для которой надо
решать проблему собственных чисел, имеет окаймленную
структуру. При делении произвольной системы на су.
перэлементы предложенным выше алгоритмом можно
всегда привести матрицу к окаймленной структуре, при¬
чем на диагонали будут стоять частоты, соответствую¬
щие жесткому закреплению границ суперэлементов
(парциальные частоты), а окаймления будут соответст¬
вовать местам контактов суперэлементов. Для снижения
числа степеней свободы можно использовать не все пар¬
циальные частоты, а только их часть. Естественно, реше¬
ние при этом получается приближенным. Для нахожде¬
ния собственных чисел окаймленных матриц удобно ис¬
пользовать эскалаторный метод. Составим вековое урав¬
нение=0.0,0417 — X000,0208—0,010400,04017— X0—0,0177—0,0086000,2560 — X0,1790,1280,252—0,2860,4751,735 — X0,235—0,012—0,1360,2690,5290,166 — XТаблица 5.70,0417000,0208—0,01040,052100,040170—0,0177—0,00860,0138000,25600,1790,1280,563 |0,252—0,2860,4751,7350,2352,411—0,012—0,1360,2690,5290,1660,8160,0417000,0208—0,01040,0521о0,040170—0,0177—0,00860,0138000,2560,1790, 1280,563 I6,0432—7,11971,85551,1511—0,0011,1498—0,2878—3,38561,05080,24930,000630,00053168
Одна из степеней свободы ложная, поэтому определи¬
тель должен быть равен нулю при А=0. Вычислим опре¬
делитель при А.=0, используя сокращенный алгоритм
Гаусса (см. [39, приложение]) (табл. 5.7).Определитель матрицы RJ1 М\ равен произведению
диагональных элементов матрицы, полученной после
прямого хода (см. табл. 5.7)	.Det	= 0,0417-0,04017-0,256-1,1511-0,00063 = 0.В табл. 5.8 приведены собственные числа и собствен¬
ные векторы матрицы ЯГ1 (в базисе f).Таблица 5.8Я,, = 1,8328%2 = 0,2596?., = 0,0637А, = 0,0331к3= 0,0000,0089—0,05420,3075—0,64630,2123—0,01050,00740,30150,67880,18470,12810,81190,5258—0,2200—0,42930,9416—0,3272—0,04120,27050,00090,31100,4803—0,73240,00490,8582Для получения собственных векторов матрицы
(в базисе е) необходимо перейти от базиса / к базису е- 100 0,5 —0,25 '0—0,8540,521 0,741 0,44400,3680,604 0,259 0,222X000 10_ 000 01“ 0,0089-0,05420,3075—0,6463-0,2123 -—0,01050,00740,30150,67880,1847X0,12810,81190,52580,2200 --0,42930,9416—0,3272—0,04120,27050,0009.. 0,31100,4803—0,7324' 0,00490,8582 _- 0,4019 -0,33790,4700—0,5123 : --0,0018 -0,91150,3875 --0,3392—0,4917 ;0,0003=0,38640,51500,25530,1881 ! --0,00060,9416 -0,3272 --0,04120,2705 ;0,0009L 0,31100,4803 --0,73240,00490,8582' Последний столбец полученной матрицы является
собственным вектором, соответствующим Х = 0. Поэтому169
его необходимо отбросить (его первые четыре компонент
ты должны быть равны нулю, полученные цифры явля-Jl
юте я результатом накопления арифметических погрещЛ
ностей). Последняя строка представляет собой углы по¬
ворота в точке 4 (см. рис. 5.11) и ее тоже необходимо
отбросить (эта компонента получилась в результате вве¬
дения ложной степени свободы). Пронормировав векто¬
ры, находящиеся внутри пунктирных линий, так чтобы
длина каждого была равна единице, получим оконча¬
тельную матрицу собственных векторов, приведенную в
табл. 5.9.Таблица 5.91, = 1,8828= 0,2-596%,= 0,06371Я, = 0,0331 10,2822-0,42350,7405—0,65440,64000,4857—0,5344—0,62810,27130,64540,40220,24030,6611—0,41010,06490,3455§ 5.5. Прямые методы решения задач динамикиПри решении задач по МКЭ на конечные элементы
разбивается, как правило, только пространственная об¬
ласть. При этом во временной области задача сводится
к решению системы обыкновенных дифференциальных
уравненийMZ + CZ+ RZ = P	(5.90)при начальных условияхZ(t0) = Za-,Z(tB) = 'Za.	(5.91)Для решения задачи динамики созданы специальные
численные методы. Эти методы носят название прямых
методов, так как при их использовании не производится
никаких преобразований уравнений. Решение с использо¬
ванием этих методов ведется по шагам, поэтому они но¬
сят также название шаговых методов. Эти методы могут
быть эффективно использованы при расчете конструкций
по МКЭ. По существу, на каждом шаге решается ста¬
тическая задача, но в соответствии с принципом ДалаМ-
бера к статическим силам добавляются силы инерции й170
силы сопротивлений [см. § 5.9]. При этом в отличие от
статической задачи уравнение равновесия решается мно¬
гократно для всех дискретных точек, на которые разбит
временной интервал.Рассмотрим два характерных прямых метода реше¬
ния системы дифференциальных уравнений (5.90)
при начальных условияхКЬадратнаяпараболаZ(t+At)t'Att+T t+At(5.91). В качестве перво¬
Го метода рассмотрим
метод центральных раз¬
ностей, -в котором пред¬
полагается, что пере¬
мещения Z(t) изме¬
няются по квадрат¬
ной параболе, проходя¬
щей через точки Z(t—АО,Z{t), Z(t+At) (рис. 5.13).Используя полиномы Лагранжа [3, § 4.10], проведем
квадратную параболу через эти точки:Рис. 5.13Z(t + %) = Z (t — At)т2 — Atx2ABт2 + Д/тAt22Д/2(5.92)Используя выражение (5.92), вычислим скорость
—> —>.Z(т) и ускорение Z(x)\v2т — At -± 2т	, 2т + AtZ{t + i) = Z(t — At)	”^2т — At
2At2 .-* 2т ->■Z (t)	 + Z(t+ At)'y ’ At2	2Дt2(5.93)T-	Z (t — At) — 2Z (0 + Z (t + At)	„ ,Z (t + t)=	= const. (5.94)At2При т = 0 по формулам (5.93) и (5,94) получим
' \Z(t + At) — Z(t — Д/)];Z(t)2Д tZ(t)1At2[Z(t — At) — 2Z (t) + Z (t + At)}.(5.95)(5.96)Выражение (5.96) есть центрально разностное выра¬
жение для второй производной и отсюда название мето¬
да. При использовании метода предполагается, чтоZ{t—At) и Z(t) известны, для определения Z(t+At) со-171
уставим уравнение движения для момента времени tMZ(t) + CZ (t) -I- RZ (t) = P (t).	(5.97)Подставляя (5.95) и (5.96) в выражение (5.97), по¬
лучимRg Z (t + At) = Рэ (t, t-At),	(5.98)W ^=^M + WC;	(5‘99). %{t, t-Ы) =я(0-(«--£гЛ4)^(<)-—	( —— M — —- c) Z (t — At).	(5.100)\Ub	2 At j	•Решая уравнение (5.98), будем иметьz (t + At) = /f,;1 ?э ft* t - ДО.	(5,101)Для запуска метода (стартовая процедура) необхо¬
димо знать Z (0—М) по известным Z0 и Z0. Подставляя
Z0 и Z0 в дифференциальное уравнение (5.97), получим
Z (0) = M~l [Р0 — CZ0 - RZ,',	(5.102)Таким образом, в точке t = 0 известны функции и их
производные, при этом функция изменяется по квадрат¬
ной параболе. Запишем уравнение квадратной парабо¬
лы через Zо, Z0, Z0 по формуле Тейлораz (т) = Z0 + ie т + % (т2/2).	(5.103)Подставляя в (5.103) т=0—At, получимZ (0 — At) = ~Za — Z0 At + 20 (Д^/2).	(5.104)При использовании метода центральных разностей все
вычисления проводим по формулам (5.99), (5.100) и
(5.101), при этом значения Z(t) и Z(t—St) берем с пре¬
дыдущих шагов.В качестве второго метода рассмотрим метод Нью*
марка. В этом методе предполагаем, что ускорение в
пределах шага At остается постоянным (рис. 5.14, а)-172
В методе центральных разностей ускорение постоянно в
поеделах двух шагов AtZ{t + x)=\z(t-\-M)+Z(t) }/2 = const. (5.105)
Интегрируя выражение (5.105), получим= z(/) + {[z(/ + ao + z«) ]/г}т.а)Z(V)(5.106)Вновь интегрируя выраже- а)
ния (5.106), будем иметьZ (I + т) = 2 (о + Z(t) т +{[z'(r+A/)+2«)]/ 4-Z(t+\t)+ZU)6)т .(5.107)Графики функций (5.106)
и (5.107) показаны соответ¬
ственно на рис. 5.14, б, Z{Z)
в. Используя выражения
(5.106) и (5.107), получим
формулы для скорости и пе¬
ремещения в конце проме¬
жутка Дt	f>) t-	- ■№
Z(t + At) = Z (t) +[z (t + At) + Z (t)]l 2} At-(5.108)2\\Тt * Z й +4 iZ(t*At)t + Z t±AtZ(f + A/)=2(/) + Z(0^ ++ {[Z(/ + A<)+Z(0 ]/ 4} Лг2;(5.109)Ш)Z(t>X)Z(tMt)Lt + Z.
Рис. 5.14t'At.Из соотношения (5.109) выразим Z(t-\-At)i	(t + Д^) = {(4Z (t + At) _ 42 (0 — 4Z (t) At}/ Ae } — Z (/). (5.110)Подставляя (5.110) в (5.108) и приводя подобные чле-
ЧЬ1, получим
Зависимости (5.110) и (5.111) выражают ускорение—у	—>Z(t-\-At) и скорость Z({~\-Ai) в конце промежутка At
через перемещение Z(t-\-At) в конце того же промежут¬
ка (при этом величины Z(t), Z(t), Z(t) известны с пре¬
дыдущего шага). Для определения Z(t-\-At) составим
дифференциальное уравнение движения (5.90) для мо¬
мента времени l-\-AtMZ (t + m -{-CZ{t + Ы) + RZ(t + Щ = P (I + At). (5.112)
Подставляя (5.110) и (5.111) в (5.112), получимRaZ(t + &l) = ?э,	(5.113)где Ra = ——- М ф —— С + R\	(5.114)at*	tR3 (t) = p(t + m + m + c'yi(t) +f\-M + C}Z(t)-\- MZ(t).	(5.115)Решая уравнение (5.113), будем иметьЩ ; Щ • - R~' ,>!).	(5.116)Шаговый процесс по Ньюмарку проводим по форму¬
лам (5.114), (5.115) и (5.116). В начальный момент вре¬
мени при /о = 0 известны перемещения Z0 и скорости Zo
всех точек системы и из дифференциального уравнения
движения, составленного для момента to, определим ус¬
корениег (0) = м~ — С20 — щв].	(5. и 7)Далее по формуле (5.116) вычислим Z(0-j-A/) и по фор¬
мулам (5.111), (5.110) Z(0+A^) и Z{Q-\-At) и т.д.Проанализируем оба описанных метода. При исполь¬
зовании метода центральных разностей уравнение дви¬
жения составляется для момента времени t [см. (5.97)
следствием этого является то, что матрица реакций си¬
стемы (R) не обращается. Если матрицы М и С диаго¬
нальные, то процесс вычисления Z(t-\-At) может быть174
проведен поэлементно без формирования матрицы R.
Это обстоятельство существенно облегчает задачу. По¬
добная схема решения системы дифференциальных урав¬
нений называется явной схемой.При использовании метода Ньюмарка уравнение
движения составляется для момента времени (t-\-At),
вследствие чего возникает необходимость в обращении
матрицы жесткости системы [см. (.5.116) и (5.114)]. Эта
схема более сложна в реализации. Подобная схема ре¬
шения дифференциальных уравнений называется неяв¬
ной схемой.Матрица R при решении задач по МКЭ имеет ленточ¬
ную структуру, матрицы С и М либо диагональны, либо
их структура подобна матрице R, в результате матрица
Rs имеет ленточную структуру. Обратная матрица
является полностью заполненной и ее невозможно хра¬
нить в машине, поэтому матрицу R3 представляют в ви¬
де произведения трех матриц [52]R9^LtDL,	(5.118)где L — верхнетреугольная матрица с диагональными элементами,
равными единице той же структуры, что и матрица D — диаго¬
нальная матрица.При использовании выражения (5.118) процесс раз¬
ложения производится один раз. В памяти ЭВМ хранит¬
ся только матрица L, причем на месте ее диагонали сто¬
ят элементы матрицы D. При этом процесс вычисленияZ(t-\-At) [см. (5.116)] проводится следующим образом:
Zi = L-ip3; Z2 = D-Z (t + Аг) =- (L-^Y Z2. (5.119)Центральным вопросом при решении задач шаговы¬
ми методами является выбор шага. Остановимся на этом
вопросе.Исследуем устойчивость метода центральных разно¬
стей и метода Ньюмарка. В обоих случаях формулу дляопределения Z(t-\-At) можно записать в видеZn+i = AZn+ АР,	(5.120)где п — номер шага; Р—вектор заданной нагрузки.Рассмотрим случай, когда нагрузка не зазисит отвремени P = const (в частности Р=0 — нагрузка отсут¬
ствует). Формула (5.120) для предыдущего шага имеетВид '	.	.175
Zn=AZn^+АР.	(5.121)Вычитая из (5.120) выражение (5.121), получимA2n = AAZn—i,	(5.122)где AZ7i = Zn-\-2 пAZц—i — Zn ' :t i ■Если собственные числа матрицы А действительные!то после ряда итераций вектор AZn будет стремиться к
собственному вектору, а произведение (5.122) к умноже¬
нию его на старшее собственное число К матрицы А. При
этом, если Л,< 1, то вектор приращений будет уменьшать¬
ся, подобный процесс называется'устойчивым, в про¬
тивном случае (А.>1) —неустойчивым. Если собствен¬
ные числа матрицы А комплексные, то необходимо вы¬
числить их модуль р (Л.) и если р(А,)<1, то процесс бу¬
дет устойчивым.Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
движения (5.90) и случай, когда матрицы М и С диаго-
вальны при этом С=2пМ. Используя разложение по
собственным формам, приведем систему дифференциаль¬
ных уравнений к разделяющимся уравнениям (см. §4.3).
Вычислим собственные числа и построим матрицу соб¬
ственных векторов V для матрицы М-1/?. Нормируем
матрицу собственных векторов V так, чтоV М]/7=£,	(5.123)тогда — VR V7 — Q2;	(5.124)Q2 — диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные
числа M~'R, равные квадратам собственных частот со.Для решения задачи построим базис f из собствен¬
ных векторов}=Ve.	(5.125)В соответствии с (5.22)Z = VT7.	(5-126)где Z — вектор перемещений в естественном базисе Щ sf — тот же
вектор в базисе из собственных векторов f.Дифференцируя выражение (5.126), получим1	V" ':/ (5.127) Z = VTq.	(5.128)Подставляя (5.128) и (5.127) в (5.90), получим
Умножая обе части равенства (5.129) на V, получимУМУ'1' q + 2nVMVT q + VRVT q = VP
или используя (5.123) и (5.124), будем иметь(5.130)(5.131)q + 2п q + Q2 q = q.Q=VP — вектор обобщенных сил.Чем меньше шаг At, тем точнее получается решение,
но при этом возрастают арифметические трудности. Оче¬
видно, что шаг зависит от периода и должен составлять
его долю. Каждое из дифференциальных уравнений
(5.131) имеет свою оз, а следовательно, и свой период
Т=(2л)/со. При использовании прямых методов шаг
принимается единым для всех дифференциальных урав¬
нений (5.131) и должен составлять долю от наименьшего
периода. Поэтому исследование на устойчивость надо
проводить только для дифференциального уравнения с
наибольшим to (наименьшим периодом).Рассмотрим устойчивость метода конечных разностей. Для прос¬
тоты рассмотрим случай, когда затухание отсутствует (п=0). Ис¬
пользуя базис из собственных векторов, перейдем к системе разде¬
ляющихся уравнений и рассмотрим уравнение с наименьшим пе¬
риодомq(t) + w2q(t) = Q(t).	(5-132)В соответствии с формулами (5.99) и (5.100) запишемГ э =At2 ’(О-1Рэ (t, t At) — Q (t) - (w2 - — 2 J ,	ДйПодставляя (5.133) и (5.134) в (5.101), получим2(5.133)■q(t — At). (5.134)q(t + At) = Д t2Q(0 ■At2q(t)At2q(t — At)(5.135)При использовании метода центральных разностей необходимо
знать q(t) и q(t—At), по которым определим q(t-\-At), при этом
q(t—At) берем с предыдущего шага. Запишем основную рекуррент¬
ную формулу метода центральных разностей в форме (5.121)(5.136)где-q (t + At) -' / (D ''At2'= А+ Q№. -я (О .jq (t - At) __ 0А =‘ 2 — to2 At2— 1 '_ 10 .12-753177
Вычислим собственные числа матрицы АDel А =2 — <в2 А/2 — X— 111О0.	(5.137)Раскрывая определитель_(5.137), получим—	л (2 — а2 — X) + 1 = 0, где а — wAiX2 — (2 — а2) Я. + 1 = 0.Отсюда%т = [(2 - а?) 12] ± V [(2 - а2)/2]2 - 1 . (5.138)Исследуем подкоренное выражение формулы (5.138). Определим
значения а, при которых подкоренное выражение равно нулю:[(2 — а2)/2]? — 1 =0; (2 — а2)/2 =± 1.Отсюда(2 — а2)/2 = +1. а = 0; (2 — а2)/2 = — 1, а = 2.При а —0 X - 1, при сс=2 Х=—1. При 0<а<2 подкоренное выраже¬
ние формулы (5.138) отрицательно и корни уравнения (5.137) будут
комплексными, следовательно, их можно записать в видеXlfi = a + ib,	(5.139)гдеа = (2 — а2)/2; Ь = V 1 - [(2 — а2)/2]2 .Ввиду сопряженности модули ?ч и Х2 равны между собойр (к) = V а2 + Ь2 = 1.При а>2 подкоренное выражение формулы (5.138) положительно
и 1X [яцг-^ LТаким образом, при а<2 р(Х) = 1, и метод центральных разно¬
стей является устойчивым, а при а>2 |Я|Ша.ч.>1, и метод централь¬
ных разностей становится неустойчивым. Определим критический
шаг Д/„р, до которого метод центральных разностей устойчивсоД^р = 2; (2л/Т) Щщ = 2;Дгкр = Г/я.	(5.140)Если шаговый метод до определенного шага устой¬
чив, а далее неустойчив, то он носит название условно
устойчивого метода. Таким образом, метод центральных
разностей является условно устойчивым методом.Приведем пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение jQ (t) + 9(0=0.	(5.141)При начальных условиях<?о ~ ^ I Яо — 0 *	(5.142)178
л =(5.144)Точное решение уравнения (5.141) при начальных условиях (5.142)
имеет вид	..	q (t) = cos (t).	(5.143)Матричный оператор рекуррентной формулы (5.136) для дифферен¬
циального уравнения (5.141) имеет вид'2 —АС1 — 1 '- 1 °.Вычислим AtHp в соответствии с (5.140):Т = 2я/со = 2я; Д^кр = 2я/я = 2.	(5.145)Подставляя начальные условия (5.142) в дифференциальное уравне¬
ние (5.141), получим?„=-1.	(5.146)Подставляя (5.142) и (5.146) в. (5.104), будем иметь<7(0 — At) = 1 — Д^/2.	(5.147)В табл. 5.10 приведен матричный оператор метода центральных
разностей А (5.144) при Д/ = 0,5(Д/<Д/Кр). Значения q(t) и q(t—
At) при различных значениях t приведены в строках табл. 5.10 под
матрицей А (для получения последующего значения необходимо про-
транспонировать строку и умножить ее на А). Значение q(0 — At)
вычислено по формуле (5.147) q(0—At) = 1—0,52/2 = 0,875.Таблица 5.10t1,75 —1. 1 0 .At =0,5cos i%00,511.5
22.510,8750,5310,054—0,436—0,8170,87510,8750,5310,054—0,43610,8770,5400,071—0,416—0,80100,21,67244,82Из анализа табл. 5.10 можно судить о достаточно высокой точ¬
ности (значение погрешности 24 % можно во внимание не принимать,
так как эта погрешность вычислена по отношению к очень малой
ординате).В табл. 5.11 проведены аналогичные результаты при Д/=2,5
(ДОД(кр). Значения перемещений далеки от точного решения и рез¬
ко растут с увеличением t, что говорит о неустойчивости метода.Рассмотрим устойчивость метода Ньюмарка на примере уравне¬
ния, которое рассматривалось в методе центральных разностей(5.132). В соответствии с (5.114) и (5.115) запишем/■э = (4/Д^2) + со2.	(5.148)Рэ = <3(* + Л*) + (4/ ДО q (0 + (4/At) q (t) + q\t). (5.149)12*179
Таблица 5.111[ Гt ]Др =2.5
cos /01—2, 12512,5—2,1251—0,80158,031-2,1250,2847,5-328,0310,3471012832—0,839Подставляя (5.148) и (5.149) в (5.116), получим чыражение для
q(t + At). Подставляя это значение в (5.111) и (5.110), получим вы¬
ражения для q (/ ЬД;'1 и q(t + At). Полученные выражения можно
записать в матричной форме"ч а+тht)вш5 АР4 щ+до= Аi т+ Q (i + АОР2со? Ы.я (t + &t)тjl4со, (5.150)где А =_Р_1_Р4AtАРAt(-1), JLР222.-\гАР(i -ЦЧ'Ч), _Р_14 )44со2 АР
4 + «г гУ*(5.151)Вычислим собственные числа матричного оператора А выраже¬
ния (5.150). Предварительно избавимся от At:1Atарj_§4AtAt'2лгfl\~2-JL2I1" 4 j1 22Atл^2fj Р 11-Д4~ 4 j4180
(5.152)Очевидно, что преобразование (5.152) не меняет собственных
едсел матрицы А. Составим характеристическое уравнение для мат¬
рицы А (5.152):-f'-±4 \ 4-Р‘"t"*1-i4__121-е-л= 0.(5 Л 53)Характеристическое уравнение матрицы А имеет видЯ3 + аА.2 + М« + с = 0, .	(5.154)гдео	= Sp Л =—р/4 + 1 — £3/2 + 1 —13/4 = 2 — (5;Ь = ( 2- р/2)(1 - р/4) + (р/4)(1 - р/4) - (р/4)(1 - р/4) ++ (Р/4)(1 - р/4) - (Р/4)(1 - р/2) + (Р/2)(1 - р/4) = 1;c = DeL4 = 0; определитель матрицы А равен нулю, так как после
вынесения (—р) из первой строки и (1—Р/4) из третьей получим
определитель с двумя одинаковыми строками.Подставляя значения а, Ь и с в (5.154), получимЯ3-(1 — Р) X2 + Я. == 0; МА,2 — (2 — РНХ.+ 1)] =0.Итак, либо Я = 0 (этот случай не представляет интереса), либоX2 — (2 — Р) Я + 1 = 0.	(5.155)Решая уравнение (5.155), получимЧг = К2 - Р)/2] ± 1Л(2 - Р)/2]'2 - 1.	(5.156)Исследуем подкоренное выражение формулы (5.156). Определим
значения р, при которых подкоренное выражение равно нулю. Ана¬
логично (5.138) можно показать, что при 0<Р<4 подкоренное вы¬
ражение формулы (5.156) отрицательно и р(Я) =1.В соответствии с (5.151) Р меняется от 0 (при Д/ = 0) до 4
(при А<-»-оо). Но, как показано выше, при этом р(Я) = 1.Таким образом, метод Ньюмарка устойчив при любых
значениях At. Метод, устойчивый при любом шаге At,
Называется абсолютно устойчивым.
В качестве примера рассмотрим то же, что и выше дифферента
альное уравнение (5.141) при тех же начальных условиях (5.142),
Рассмотрим два шага интегрирования Д/ = 0,5 и А^ = 2,5 (те же,
что и в предыдущем примере). Вычислим Р по (5.151) (со = 1); при
Л/ 0,5, р=--0,235; при Д< = 2,5, (3 = 2,439.В табл. 5.12 и 5.13 приведены матрицы А, построенные по фор¬
муле (5.151). Анализ табл. 5.12 говорит об удовлетворительной точ-Таблица 5.12i" —0,059
0,235
_ 0,059—0,4700,8820,471—0,940 "
—0,235
0,941 _. д tcos i-0,5% 10—101100,5—0,882-0,4700,8820,8770,61—0,557—0,8300,5570,5403,11,5—0,100—0,9950,1010,0714220,379—0,925—0,379—0,41692,50,770—0,637—0,770—0,8013,9ности результатов. Обратим внимание на то, что результаты полу¬
чились несколько худшими, чем по методу центральных разностей
(ср. табл. 5.10). Результаты, приведенные в табл. 5.13, являются
неудовлетворительными, однако они не растут, как в методе централь,
ных разностей, что говорит об устойчивости метода Ньюмарка.
Таблица 5.13tГ —0,610 —0,976 —0,390 ']
0,488 —0,219 —0,488
|_ 0,610 0,976 0,390 JAt =2,5 •cos t02.5
57.5
10— 10,2190,903—0,616—0,6330—0,9760,4280,787—0,7741—0,219—0,9040,6160,6331—0,8010,2840,347—0,839При использовании МК.Э число динамических степе¬
ней свободы принимается большим. Если преобразовать
полную систему дифференциальных уравнений (5.90) к
системе разделяющихся уравнений (5.131) и выделить
уравнение с наименьшим периодом, то этот период буде1
стремиться к нулю. При использовании метода централь'
ных разностей шаг надо назначать из условия
< (Тшп/Лг)» Этот шаг при решении практических зада4182
может оказаться очень малым, что приведет к громад¬
ным затратам маижнного времени. В то же время ча¬
сто не требуется учитывать колебания с высокой часто¬
той (малым периодом). Поэтому метод центральных
разностей надо использовать тогда, когда необходим
учет высших форм колебаний (волновые задачи или за¬
дачи с невысоким числом степеней свободы).Метод Ньюмарка является безусловно устойчивым,
поэтому его шаг можно назначать в долях от периода тех
колебаний, которые необходимо учитывать при реше¬
нии задачи. При этом высшие формы не будут «портить»
решение, т.е. шаг интегрирования по методу Ньюмарка
можно назначать существенно большим, чем по методу
центральных разностей.'ЛАВА 6. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ КАК СИСТЕМ
С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ§ 5.1. Уравнения движения для продольных колебаний
стержня. Бегущие и стоячие волны деформацииРассмотрим однородный идеально прямой стержень
постоянного сечения, испытывающий деформации растя¬
жения-сжатия, вызванные осевым продольным воздейст¬
вием на конце (например,ударом) в момент време- т	и и ди#ни / -0 (рис. 6.1). Масса 0	тт ft *~ок"стержня непрерывно рас-I пкГ'—^движение Ьоты■mdx iiпределена вдоль оси с ц	-М^гц:интенсивностью т. Будем fyrutx'S> >" 	*учитывать лишь силы ^ f~инерции, развиваемые в	\продольном направлении, ^
а инерцией за счет попе- "
речных деформаций (от
влияния коэффициента	Рис 6111уассона) пренебрежем.Продольное перемете-	,ние произвольного сечения обозначим и. Эта
Функция зависит от пространственной переменной х и
времени t, т.е. и— и(х, ^. Описанная модель предста¬
вляет простейшую конструкцию с распределенными па¬
раметрами (одномерный континуум) и должна рассмат¬
риваться как система с бесконечным числом степеней
свободы.183
Как мы видели, состояние систем с конечным числом
степеней свободы определяется несколькими параметра¬
ми, зависящими только от одной переменной — време¬
ни I. Поэтому движение конструкции выражается в об¬
щем случае системой обыкновенных дифференциальных
уравнений, В данном случае состояние модели описыва¬
ет не конечное число параметров, а функция двухментов и.(х, !). Поэтому для ее определения получим*
дифференциальное уравнение, но уже в частных произ¬
водных. В этом состоит существенное различие задачДля получения уравнения движения модели напишем
условие равновесия элемента стержня длиной dx (рис.
6.1, е), на который помимо внутренних сил N и iV+cW =
= 14-\-(dN/dx)dx действует распределенная сила инер¬
ции (—mdxu)Так как относительное удлинение tx = i\dxldx=
= ди)дх (рис. 6.1, а) и <зх = Еех=Е (ди/дх), то продоль¬
ная сила N = axF=EF (ди/дх). Подставив это значение
N в уравнение (6.1), получим (при EF=const)Уравнение (6.2) является искомым дифференциаль¬
ным уравнением продольных колебаний стержня. Рас¬
смотрим два характерных вида решения, которые допус¬
кает это уравнение.а)	Решение в виде бегущей волны. Представим, что
на левом конце стержня при t = О внезапно приложено
продольное воздействие, которое создало на относитель¬
но коротком участке стержня смещения и(х, 0) ~}(х)\
На рис. 6.1, а это схематически показано с помощью вер¬
тикальной штриховки, а на рис. 6.1,6 — в виде графикадинамики дискретных и континуальных систем.откудаЖ д2 и(6.1)дхEFдг и
или ——С', (6.2)
(6.3)гдес2 = EFI т.184
функции и(х, 0)', изображенного сплошной линией. Со¬
ставим теперь выражениеи {х, t) = / (х — ы),	(6.4)в котором аргумент х функции / заменен на (х—ct). Ес¬
ли обозначить z=x—ct и подставить (6.4) в уравнение
(6.2), то по правилу дифференцирования сложных функ¬
ций получим тождество (—с)2(<32//дг2) =c2(d2//<3z2).
Следовательно, выражение (6.4) является решением
уравнения (6.2), соответствующим описанным начальным
условиям*.Решение в форме (6.4) носит название решения Да-
ламбера. Если построить график функции f(x—ct) при
некотором фиксированном значении t, то получим ту же
кривую, выражаемую функцией f(x), но смещенную впра¬
во на величину ct (показано пунктиром на рис. 6.1,6).
Следовательно, знак минус в (6.4) отвечает движению
волны деформации f(x—ct) вправо. Аналогично и =
= f 1 (x-\~ct) соответствует движению волны f\(x-{-ct)
влево, например волны деформации, отраженной от за¬
делки. Таким образом, рассматриваемая модель про¬
дольных колебаний стержня допускает движение волн
продольных деформаций, причем величина с — это ско¬
рость распространения этих волн. Функции f и /i опре¬
деляют форму волн. Они могут быть найдены из условий
контакта тела, воздействующего на левый конец стерж¬
ня, и равенства нулю смещения в заделке.Если плотность материала обозначить р, тоc = VEFIm=VEF/pF-\ =VEIp.	(6.5)Например, для стали Еж200 ГПа (2-1011 Н/м2), р«
яй7800 кг/м3 и с= V 2- 10п/7800 = 5100 м/с. Эта ско¬
рость, как видим, достаточно велика. Поэтому визуаль¬
но наблюдать движение волн деформации в сплошном
стержне трудно. Как некоторую, довольно близкую,
аналогию напомним распространение эффекта продоль¬
ного удара локомотива в длинном поезде. Звук от после¬
довательно соударяющихся вагонов позволяет ощутимо
проследить за продольным движением ударной волны.Можно привести пример более строгой аналогии, поз¬*	Математическая формулировка начальных условий будет: при t=
-0 смещения и(х, 0)=f(x) и скорости и(х, 0) = (—с)(д[/дх), что
следует из равенства (6.4).185
воляющей визуально наблюдать движение волны в соот^
ветствии с уравнением (6.2). Для пологой нити (рис.
6.2), имеющей массу единицы длины т я натяжение
(распор) Я, уравнение движения, записанное относитель¬
но поперечных перемещений w, отсчитываемых от линии
статического провисания, имеет точно такой же вид, как
уравнение (6.2)д2 w „ <52 w^Г = с 5	(6'6)di2	дх2с = Ун1т.	(6.7)Если резким рывком на одном конце такой нити воз-.
будить при t = 0 начальное отклонение w(x, 0), то мож¬
но видеть, как эта волна
И.	х	возмущений движется впра-во, отражается от другого
ю(х,оу - rl„~‘h(x,t) конца и затем движетсявлево. Чем меньше натяже-
Рис. 6.2	ние Н, тем меньше скоростьдвижения волны с, что вид¬
но из формулы (6.7). По¬
этому указанное явление легко наблюдать с помощью
слабо натянутого веревочного шнура.Уравнение (6.2) называется волновым уравнением и
в математике относится к так называемым уравнениям
гиперболического типа. Отвечающие ему модели, как ви¬
дим, допускают в соответствующем линейном континууме
(одномерной среде) распространение волн возмущений
без изменения формы этих волн. Более сложные среды
(стержень при поперечном изгибе, пластина, оболочки,
упругое пространство) также допускают распростране¬
ние волн деформации, но в общем случае при движении
волны происходит ее искажение: суммарная волна рас¬
падается на отдельные составляющие, которые движут¬
ся с различными скоростями. В среде движется волновой
пакет, трансформирующийся во времени. Это явление
носит название дисперсии волн. Обычно различают сре¬
ды с дисперсией и среды без дисперсии. В механике и
физике специально изучаются волновые процессы.Изучение распространения волн деформации в средах
позволяет объяснить многие явления, встречающиеся в
инженерной практике. Например, в длинном железобе¬
тонном стержне, имеющем свободный конец, продольная
волна сжатия, созданная ударом, может вызвать появ¬186
ление поперечных трещин. На первый взгляд, появление,
трещин при сжатии удивляет, однако объясняется это
просто: анализ показывает, что продольная волна сжа¬
тия отражается от свободного конца как такая же вол¬
на, но уже растяжения. Отраженная волна и может выз¬
вать разрыв материала. Большое значение теория рас¬
пространения волн деформаций имеет в сейсмологии,
акустике, описании явления удара, в вопросах инженер¬
ного использования взрыва и т.д.б)	Решение типа стоячей волны. Ранее мы уже
встречали термин стоячая волна. Это такой вид волны
перемещений, когда во времени форма этой волны не из¬
меняется и координаты характерных точек волны — пуч¬
ностей и узлов (в этих точках перемещения, соответст¬
венно, экстремальны и равны нулю) — в пространстве
остаются неизменными. Все ординаты стоячей волны из¬
меняются во времени подобно самим себе. Отсюда сле¬
дует, что в решение типа стоячей волны функция време¬
ни должна входить как множитель при выражении, оп¬
ределяющем форму волны. Пустьи(х, l) = T (I) Х(х),	(6.8)где Т(1) — неизвестная функция времени; Х(х)— неизвестная функ¬
ция координаты х, определяющая форму волны перемещений.Задание решения в виде (6.8) известно как решение
по методу разделения переменных (метод Фурье). Под¬
ставим (6.8) в (6.2) ТХ=с2ТХ" (точками обозначено
дифференцирование по времени, а штрихами — по коор¬
динате х). Перепишем равенство в виде{f/т} = с? (X"/X) =— со3.	(6.9)Отсюда следует, что величина (—©2) одновременно дол¬
жна зависеть только от t и только от х. Этому противо¬
речивому требованию можно удовлетворить, если при¬
нять, что правая часть не зависит ни от t, ни от х, т. е.
^-©2 = const. Теперь вместо (6.9) имеем два уравненияГ + (о2Г = 0;	(6.10)Х" + (со2/с2)Х = 0.	(6.11)Из уравнения (6.10) находим общее выражение функ¬
ции ТТ = Aicos (ot + Bi sin о/ = A sin (ait + <p0).	(6.12)Это решение аналогично решению уравнения (2.5) (см.
§ 2.1) и говорит о том, что колебания во времени совер-187
шаются по гармоническому закону с круговой частотой ©з
. и (х, t) = A sin (0)t + ф0) X (л:).	(6.13)Форма колебаний определяется как решение уравне¬
ния (6.11), Это уравнение однородное и имеет ненулевое
решение для заданных граничных условий (условий за¬
крепления стрежня) только при определенном значении
коэффициента п2 = со2/с2. Следовательно, решение урав¬
нения (6.11) должно дать и форму колебаний, и .число
п, т. е. частоту а, при которой эта форма колебаний ре¬
ализуется.Введем безразмерный параметр, пропорциональный п,X = nl = со//с,	(6.14)где / — длина стержня, и сформулируем задачу отыска¬
ния решения уравнения (6.11) для граничных условий,
указанных на рис. 6.1, а.Необходимо найти значение параметра % и функцию
Х = Х(х, К), удовлетворяющие дифференциальному урав¬
нению и граничным условиямX" + (А,2//2) X = 0; Х(1) = 0; Х'(0)=0.	(6.15)Условие Х(1)= 0 выражает равенство нулю переме¬
щения в заделке, а условие ^7(0)=0 следует из равен¬
ства нулю продольной силы N=EFX' на левом свобод¬
ном конце. Как видим, граничные условия выражают от¬
сутствие какого-либо внешнего воздействия на стержень
(нулевые или однородные граничные условия).Задача (6.15) называется однородной краевой зада¬
чей для дифференциального уравнения (6.11). Значения
параметра к, при которых эта однородная задача имеет
нетривиальное (тождественно не равное нулю) решение,
называют собственными числами, а соответствующие
функции Х=Х(х, К) — собственными функциями.Общий интеграл дифференциального уравнения (6.15)
имеет видX = Сх со; (Кх/I) + С2 sin (кх/1).	(6.16)Второе граничное условие (6.15) дает С2 = 0. Следова¬
тельно, собственные функции в данном случае будутX = Ci cos (%х/1).	(6.17)ЯПри Суф0 первое граничное условие дает уравнение для
нахождения собственных чисел Кcos % — 0.	(6.18)188
rU=X(X)K‘0Это уравнение дает бесконечный ряд корнейXh = (2k+ 1)я/2 (k = 0,1,2,...),	(6.19)которому отвечает ряд частот (6.14)<s>h = Kkc/l = [(2k + 1) л/2] V Е/р '(* = 0,1,2,...)- (6-20)На рис. 6.3 изображены собственные функции (6.17) при
С) = 1 для ряда значений частот со*.Очевидно, что ряд частот &k (6.20) и соответствую¬
щий ряд функций Хц (6.17) есть не что иное, как спектр
частот и форм собственных
продольных колебаний рас¬
сматриваемой континуальной
модели стержня. В отли¬чие от дискретных систем, оо- и
ладающих конечным числом "
степеней свободы, этот
спектр бесконечен. Напом¬
ним, что для дискретных си¬
стем задача определения
собственных колебаний ма¬
тематически сводилась к на¬
хождению собственных чи-	Рис- 6-3
сел и векторов матрицы ко¬
эффициентов однородной системы линейных алгебраиче¬
ских уравнений (см. § 3.2). Для континуальной системы
эти частоты и формы колебаний находятся как собствен¬
ные числа и собственные функции при решении однород¬
ной краевой задачи [типа (6.15)] для соответствующего
Дифференциального уравнения.Для континуальных систем уметь определять спектр
собственных колебаний так же важно, как и для дис¬
кретных. Этому вопросу далее уделяется основное вни¬
мание.	'§ 6.2. Поперечные колебания стержня. УравнениеДвиженияСоставим уравнение относительно функции прогибов
^==У(х, t) при поперечных колебаниях балки, имеющей
Постоянную жесткость EJ и постоянную распределенную
Массу т (т — масса единицы длины) (рис. 6.4). Если
балка испытывает воздействие распределенной безмас-
с°вой нагрузки^ <7 = <7(д1, t), то с учетом сил инерции в
Процессе движения на каждую единицу длины балки бу-189
дет действовать суммарная интенсивность внешних рас¬
пределенных сил	-p = q~my.	(6.21)Дважды, дифференцируя по х известное соотношение
для кривизны балкиEJ (д2у/дх2) =— М,	(6.22)получимд2
дх2EJд2у
дх2д2 М
дх2= Р>или, с учетом значения (6.21) для £7 = const, найдемEJд*удх4+ т ■dtz= q(x,().(6.23)Это и есть дифференциаль¬
ное уравнение поперечных
колебаний балки с распреде¬
ленными параметрами. Оно
получено для модели, в ко¬
торой учитываются лишь
деформации искривления
элементов балки, вызван¬
ные изгибающими момен-
не учитываются деформации сдви¬
га от внутренних поперечных сил. Такое уп¬
рощение модели приводит к тому, что уравнение (6.23)
не является волновым и не пригодно для изучения рас¬
пространения в стержнях волн изгибных деформаций.
Более точное уравнение с учетом деформаций сдвига и
инерции вращения элементов балки получено С. П. Ти¬
мошенко [46]. Оно имеет видтами (6.22), иEJдЧудх4Р Fд2 у
dt2EJ V д4 ур2 Уд4 у— р/ + р - - —4-		 = q (х, О!V k&t дх2 Ш2 kGdt*	Я(6.24)р, Е, G — плотность is модули упругости при растяжении и сдвиге
материала балки; J, F, k — момент инерции, площадь поперечного
сечения балки и коэффициент, учитывающий влияние формы сече¬
ния на деформацию сдвига элемента балки.Это уравнение является волновым и допускает реше¬
ния в виде движения в балке волн искривления и волн
сдвига.Однако более простое уравнение (6.23) достаточно
точно описывает поведение балки при не очень быстрых
воздействиях (не мгновенных) и широко используется190
при решении многих динамических задач. В частности,
оно позволяет с достаточной точностью найти основную
часть спектра собственных колебаний балок. Ниже да¬
ется его применение к этой задаче.§ 6.3. Собственные колебания стержней при изгибе.Балочные функцииДля собственных колебаний в уравнении (6.23) внеш¬
няя нагрузка отсутствует q(x, t)= 0. Аналогично выра¬
жению (6.13) полагаемПодстановка (6.25) в (6.23) приводит к следующему
обыкновенному дифференциальному уравнению, выра¬
жающему равновесие стержня в амплитудном состоя¬
нии,где I — характерный линейный размер, например длина
балки. Теперь уравнение (6.26) вместе с условиями за¬
крепления балки запишем такОпределение спектра главных форм колебаний бал¬
ки опять, как и в § 6.1 [см. (6.15)], сводится к решению
краевой задачи (6.28). Так как внешние воздействия на
балку в процессе собственных колебаний отсутствуют,
то это будет однородная краевая задача (однородное
Дифференциальное уравнение плюс однородные, т. е. ну¬
левые, граничные условия).В результате решения однородной краевой задачи(6.28)	получим для заданных граничных условий спектр
собственных чисел X и частот ©и соответствующий спектр собственных функций (ампли¬
тудных функций)	. .Сражающих формы собственных колебаний балки при
этих частотах. Эти функции, являющиеся решением од¬у(х, t) = X (х) sin (at + ф0).(6.25)EJX™ — ты2 X = 0.(6.26)Введем обозначения:я4 = mu)2/EJ; nl = Х,(6.27)IXIV— n4 X = 0 (граничные условия).(6.28)(6.29)X - Х(х, X),(6.30)191
нородной краевой задачи (6.28), в строительной мехаш
нике часто называются балочными функциями. Их вид
зависит от заданных условий закрепления балки.Общее решение однородного уравнения (6.28) будет
X is С* ch пх + С2 sh пх + С3 cos пх + С4 sin пх. (6.31)Подчеркнем, что большой буквойу	1	г X обозначаются здесь ординаты	1C ~	прогибов соответствующей формы' ~ х(х)	колебаний (рис. 6.5). Для боль¬шего удобства записи граничных
Рис. 6.5	условий введем функции, являю¬щиеся линейной комбинацией
слагаемых правой части (6.31).
Примем, что при х = 0 нам заданы все начальные пара¬
метры:1)	х (0) = Х„; 3) М (0) = Ж0, т. е. X" Щ EJ =— М„;2)	X' т = 3& 4) Q (0) = % т- е. (0) EJ = - Q0Если воспользоваться этими равенствами как граничны¬
ми условиями и с их помощью определить постоянные
Ci, С2, Сз и С4 в (6.31), то выражение для Ж(х) приметвидЖ (х) = Х0 К, (пх) + —- К2 (пх) +	К3 (пх) +п	ж bJ+ ~Г7Т ^4 (пх),	(6.32)п3 EJгде	К1 (пх) = 0,5 (ch пх + cos пх)\К2 (пх) = 0,5 (sh пх + sin щг>	(6.33)Кз (пх) = 0,5 (ch пх — cos яле);Кц (пх) = 0,5 (sh пх — sin пх).Функции А', (пх) введены выдающимся кораблестрои¬
телем академиком А. Н. Крыловым и называются
функциями Крылова. Для них справедливо следующее
удобное правило дифференцирования, поясненное крУ‘
говой схемой:/<; = П/С4;< = ПК3;	(6.34)К'з=пК2-К 2 = пКи192к'<4г\*П 1\
Пример. Найдем спектр частот и соответствующие
балочные функции для шарнирно опертой балки (см.
рис. 6.5).Так как в данном случае ^о=0 и М0=0, то по ра¬
венству (6.32) получим Х(пх) в видеX = - ' К, (пх) +	Kt (пх) = АК2 (пх) + ВКХ (пх), (6.35)С учетом формул дифференцирования (6.34) найдемX” = Ап2 Kt (пх) + Вп2 Кг (пх).	(6.36)Граничные условия на правом конце балки дают равен¬
ства . .	.X (/) = 0; X" (0=0.	(6.37)Последнее условие следует из равенства нулю момента
в шарнире: М{1) =—EJX"(l) —0. Обозначая по-прежне¬
му nl—i, граничные условия (6.37). запишем в виде
системы уравнений относительно постоянных Л и В:АКг (К) + BKi т = 0;АК< (X) + ВЦ* Щ = 0-
Это однородная система и для того чтобы она имела ре¬
шение, отличное от нулевого (АФ0, ВФ0), ее определи¬
тель должен быть равен нулю, что дает так называемой
частотное уравнениек2 а) к4 (юк, т к2 шПодставляя сюда выражения Ki и Ki, получим shA,X
5<siriA,=0. Так как при Хф0 sh|,%^= 0, то sin Я=0, откуда
получаем бесконечный ряд собственных чисел и частот(6.29)tfri1 л Г EJXft = fort; с% =—-— I/ 	 (k — 1,2,3,...). (6.39)firmИз первой строки (6.38) имеем В=—[/Сэ (Я,)//С4 (X.) ] .
Но так как sinX=0, то К2Щ =К* (X) и, следовательно,
& ~—А, после чего выражение для искомой балочной
Функции (6.35) получает видX = А [К2 (пх) — Kt (пх)] = A sin пх,(6.38)= 0, ит Ц(%) —К\(%) =Q.
Как видим, формами собственных колебаний шарнирно
опертой балки являются синусоиды с числом полуволн,
равным номеру частоты (рис. 6.6).Рекомендуем учащимся самостоятельно, следуя изло¬
женной схеме, исследовать спектр собственных колеба1-
ний для балки, изображенной на рис. 6.7. В результате
балочные функции, изображенные на этом рисунке, по¬
лучат выражениеХ = АК1 (>Л	'А'з (}.х/1) -	К4 (ЛА-/о.	^2 W	.а собственные числа X определяются из частотного урав¬
ненияtgX- th>„.	(6.4DНа рис. 6.8 дано графическое представление расположе¬
ния бесконечной последовательности корней этого урав¬
нения на оси X. Корни уравнения (6.41) получаются кгК
абсциссы точек пересечения кривых /i=tgi и /2=th Я-
Так как с возрастанием К th К быстро приближается й194
единице, то для старших частот справедливо приближен¬
ное равенствоУкажем важное свойство балочных функций. Для
данных граничных условий они дают спектр форм собст¬
венных колебаний балки постоянного сечения. Запишем
известное общее свойство взаимной ортогональности для
й-й и /-й форм колебаний (см. § 3.3), заменив в равенст¬
ве (3.27) сум^у интеграломОтсюда при m = const следует, что балочные функции
данной краевой задачи образуют систему взаимно орто¬
гональных функцийМожно показать, что вторые производные балочных
функций также взаимно ортогональны, т. е.Свойства (6.42), (6.43) существенно упрощают решение
многих задач строительной механики, в которых балоч¬
ные функции используются как вспомогательные базис¬
ные функции. Например, их удобно использовать при
решении задач динамики балок и пластин, имеющих рас¬
пределенную и сосредоточенные массы, когда движение
системы описывается несколькими обобщенными коор¬
динатами, а в качестве координатных функций принима¬
ются балочные функции (см. § 3.6). Так, для балки
(рис. 6.9), приняв согласно (3.41)| mXft (x) X] (x) dx = 0.(6.42)(6.43)I=nу = 2 Я] (0 Xj Mв частотном уравнении (3.62)= 0irni — Mni) ■ • ■ (fnn, сог Mnn)195
шбудем иметь следующие коэффициенты (3.45), (3.46):г	1—рMjh = [ Xj Хй mdx 4* 2_: -Xj (*j) Хщ (*j) m$;
b i=iЕсли приближенно принять =0 Цфк) и учесть,
что согласно (6.43) />=0 для j^k и £/=const, то из
частотного уравнения получим приближенную формулу
для fe-.fi частотыЁ/	dx4=^=		,Mhh 1 „ ,=р „
mj Aftd*+2которая, по существу, совпадает с формулой Рэлея
(2.44).Имеются подробные числовые таблицы балочных
функций и их производных (см., например, [42]). Вели¬
чины ординат А’* обычно нормируются так, чтобы
i(1/0 \ X2kdx=l (А = 1,2,3,...),очто упрощает формулы и пользование таблицами. На¬
пример, последняя формула приводится к виду<4 = “ао| 1 +2 Х1 (хг) mi/ml I >	(6’44)где (ййо — k-я частота соответствующей балки, имеющей только рав¬
номерно распределенную массу т.§ 6.4. Вынужденные гармонические колебания стержней
при изгибеПусть внешняя нагрузка, действующая на балку (см.
рис. 6.4) , изменяется во времени по законуа. (.г,г) - ч {*) sin 0/;	(6.45)где q(x) —амплитудная функция нагрузки, зависящая только от JC.Рассмотрим установившиеся вынужденные колебания
балки (см. § 4.1), для чего положиму (x,t) = v (х) sin 0/,	(6.Щгде v(x) —неизвестная амплитудная функция прогибов.196
gsindtMasinet M-M, sin&t I r -r tTXJ i_i C"I 1 1
gfjgJ-	^ I "	~лл • л+	< P"P SltlOtQ0 sinQt	\ 1aiРис. 6.10Для определения v(x) подставим (6.46) и (6.45) в урав¬
нение (6.23), которое для амплитудного состояния
(sin 0/= I) получает видEJ div — m02 v = q (*),	(6.47)ИЛИB)v — niv = q(x)IEJ (п4 — tnQ2! EJ).	(6.48)Решение этого уравнения можно представить как сум¬
му решений однородного уравнения vx и частного реше
ния v2, т. е. u = Oi-l--t)2. Однородное (без правой части)
.'равнение (6.48) по виду совпадает с уравнением (6.28),
поэтому для v{ можно принять выражение, аналогичное
(6.32)vn	Mr,	Qo% = v0 Kt (nx) + K2 (nx) ф —y K3 (nx) +	Kt (nx),(6.49)где /({ (i=l, 2, 3, 4) — функции Крылова (6.33).Частное решение v2 зависит от вида нагрузки. 1юка-
жем, как сконструировать решение для случая воздей¬
ствия гармонических внешних сил при наличии в балке
двух участков (рис. 6.10). Для участка > уравнение
(6.48) будет однородным. Поэтому для этого участка
можно принять выражение (6.49) vJ==v\. Для тою чтобы
были удовлетворены условия плавного сопряжения ли¬
ний прогибов на границе участков, запишем эп в форме,
используемой в методе начальных параметров°1W+ 0г	Ki (т) ~ l,"Kl м ’(6.50)197
где А ЛЬ =;Mi; AQi —/Y> A^i = <?i; ^i=x—а,. Начальные
параметры на рис. 6.10 будут: М0—амплитуда момента
на левой опоре, Q0— определяется как опорная реакция
балки от амплитуд нагрузок, у0 = 0. а оо —находится из
граничного условия на правом конце балки у11 (/)=0.
В остальном все вычисления аналогичны применяемым в
методе начальных параметров.Рассмотрим важный час¬
тный случай вынужденных
колебаний — кинематичес¬
кое возбуждение колебаний
стержня, например вызван¬
ное периодическим поворо¬
том левой заделки на угол
tp(/)=lsin0/ (рис. 6.11, а).
На рис. 6.11, б показано ам¬
плитудное состояние стерж¬
ня. Изгиб этого стержня вне¬
шне напоминает случай, хо¬
рошо знакомый учащимся
из курса статики сооруже¬
ний (метод перемещений).
Однако надо помнить, что
здесь, как и в предыдущих примерах, мы рассматрива¬
ем случай равновесия изогнутого стержня в процессе
колебаний. Поэтому кроме краевых условий стержень,
испытывает действие распределенных сил инерции, ус¬
ловно показанных на рис. 6.11, б пунктирными стрелка¬
ми. В произвольный момент интенсивность этих сил рав¬
на (—ту). В амплитудном состоянии, учитывая (6.46),
она будет mQ2v. Дифференциальное уравнение (6.48)
описывает изгиб стержня в амплитудном состоянии с
учетом указанных сил инерции.Определим реакции в рассматриваемом стерл<не
(рис. 6.11,6). По выражению (6.49) при начальных па¬
раметрах Оо = 0; t'o — 1; Mfi=MA и Qo=—Ra составля¬
ем решение для v (х):«(*)= — («*) + • f ;4*з (nx) - К, (nx). (6.51)
п	п2 EJ	п3 EJДля определения МА и ЯА используем граничные усло¬
вия: v{l)=0; v'(l)= 0, что дает
Ki (и) +	К, (и)Здесь введено обозначение для безразмерного аргумен¬
та функций KiРешая систему уравнений (6.52), найдем МА и RA.
Представим эти результаты в видеМА = (4ЕЛ I) ф2 (И); ЦА = (6EJ I /2) % (и).Реакции на правом конце стержня найдем по равенст¬
вам MB = —EJv"(l) = {2EJIl)yz(u); RB=—EJv'"(l) =
= (6£///2,)г|)6(и).Функции ^(и), учитывая выражения для Ki (t—1, 2,
3, 4), являются гиперболо-тригонометрическими функ¬
циями аргумента и. Например,Такие функции для рассмотренного стержня, а также
для ряда других случаев закрепления стержней получе¬
ны профессором А. Ф. Смирновым. В табл. 6.1 показаны
значения амплитуд реакций стержней при гармониче¬
ских колебаниях с частотой 0, выраженные через эти
функции. Таблицы числовых значений ^(и) (г=1, 2,...
..., 12) и выражения для \|ц(и) даны в прил. 1.Из табл. 6.1 видно, что функции tyi(u) являются по¬
правочными множителями к статическим реакциям стерж¬
ней. Они учитывают влияние распределенных сил инерции
на величины реакций. Такое представление динами¬
ческих реакций при наличии таблиц функций tyi(u) поз¬
воляет вести расчет рамных систем по методу перемеще¬
ний в той же канонической форме, какая используется в
задачах статики. При этом с помощью функций грг (м) по
методу перемещений расчет стержневых систем можно
вести как на вынужденные гармонические колебания,
так и на собственные колебания. В последнем случае
при отыскании спектра собственных колебаний в аргу¬
менте и частота 0 заменяется на частоту со, а сам аргу¬
мент обозначется К как собственное число и =(6.53)^2 («) —и chusinu — sh и cos и
4 1 — ch и cos и===/ Y may1/EJ=Х.1W
Таблица 6.1. Таблица реакций§ 6.S. Метод перемещений в задачах о гармонических
колебаниях стержневых системВынужденные колебания. Порядок применения мето¬
да к расчету на вынужденные установившиеся гармони¬
ческие колебания опишем на примере рамы (рис. 6.12)>2001
На рис. 6.12, а пунктиром показаны амплитудные состоя¬
ния рамы, колеблющейся синхронно и синфазно с изме¬
нением внешних сил. Через Zx, Z2 и Z3 обозначены ам¬
плитуды линейного и угловых перемещений узлов рамы.Выразим условие равновесия рамы в амплитудном
состоянии в канонической форме метода перемещений.
Для этого введем соответствующие связи по направле¬
нию перемещений h (■£= 1, 2, 3) (рис. 6.12,6) и соста¬
вим условия равенства нулю суммарных реакций в этих
связях. Так как связи эти совершают колебательное дви¬
жение вместе с рамой, то речь идет об амплитудах реак¬
ций в связях. Условия эти , запишутся, как обычно, в
форме'nZl + ''l2Z2 + /'l3Z3+/?lP = 0;Г21 Z1+/22 Z2 + Л23 Z3 + ^2Р = °;	(6-54>'31 21 + Л)2 Z2 + Г33 Z3 + р=°-Система (6.54) по сравнению со статическим расче¬
том имеет только ту особенность, что она должна состав¬
ляться с учетом сил инерции распределенных масс стерж¬
ней. Поэтому ее коэффициенты, а в общем случае и
грузовые члены, зависят от частоты колебаний 0. Эти за¬
висимости для коэффициентов гц, составляют с помощью
таблицы реакций (табл. 6.1).На рис. 6.13 показано состояние рамы для Z\ = ] и
изображены эпюры моментов в стойках. Параметры трех
стержней рамы могут быть различны. Нижним индексом
1, 2 или 3 отмечена принадлежность всех величин к тому
или иному стержню в соответствии с нумерацией стерж¬
ней на рис, 6.12, б.Из рис. 6.13, б найдем12i'i	3i3ГЦ =	Г- tio C«i) + —Г Фв («з) — h Щ б- •Г	/h	1гЭто равенство написано из условия равновесия риге¬
ля, отдельно изображенного на рис. 6.13, б. Помимо
внутренних поперечных сил, приложенных к нему в се¬
чениях примыкания стоек, на ригель действует еще его
собственная сила инерции. При поступательном горизон¬
тальном движении ригеля y=Z\&'mQt эта силаинерции будет (—т2%), а ее амплитуда при Z] = 1
Равна т2/202 и направлена в сторону отклонения Z\. Пос¬
леднее слагаемое в составе Гп и учитывает эту силу.201
Из условия равновесия узлов рамы получим
fitr-ii =—■ % (ui); г:н =— -p («3) •
к hАналогично вычисляются все остальные коэффици¬
енты при неизвестных в уравнениях (6.54). Заметим, что
как и в статике, здесь справедлива теорема о взаимности
реакций rik = rki, поскольку амплитудное состояние рамы
можно трактовать как равновесие соответствующей ли¬
нейно дефор'мируемой системы.Узловая сила Р\ дает амплитуду грузовой реакции
R\p = —#1. Для определения грузовых реакций R2p и
Л’зр от внеузловой силы Р2 надо решить задачу об изгибе
ригеля как элемента основной системы (рис. 6.14), оп¬
ределив амплитуды моментов МА и Мв. Это удобно вы¬
полнить с помощью метода начальных параметров
(§6.4).	'4	Так как аргументы «, = /< у 02тг/£7; (i=l, 2, 3)
функций г|з(«) зависят от частоты 0, то для каждого зна¬
чения этой частоты система уравнений (6.54) будет иметь
свои значения коэффициентов и свое решение. Следова¬
тельно, она позволяет проследить работу рамы при раз¬
личных частотах вынужденных гармонических колеба¬
ний 0.Заметим, что рассматриваемое решение составлено
без учета сил сопротивления. Поэтому, как и в дискрет¬
ных системах, оно будет давать удовлетворительные ре¬
зультаты лишь вне резонансной зоны (частота 0 должна
отличаться от частоты собственных колебаний оз более
чем на 15—20 %).Собственные колебания. Метод перемещений удобен
также для получения спектра собственных колебаний
стержневых систем. Так, если рама, изображенная на
рис. 6.12, совершает не вынужденные, а собственные ко¬
лебания с частотой со, то внешние силы Pi и Р2 отсутст-
ствуют и в системе уравнений все грузовые коэффици¬
енты обращаются в нольГ11 -% “Г Г12 ^2 + Г13 ^3 — 0',r2iЩ ~'с r22 -f- /"23 Z3 = 0;	(6.00}f3i + Ш ^2 + ''зз^з = 0. .В этой однородной системе уравнений коэффициенты
га; зависят от частоты со, так как аргументами функции202
IЛмьtРис. 6.13
Рис. 6.14будут величины4 ,		 —щ = 1гу tfmiIEJi (i= 1,2,3).Введем основное значение аргумента, обозначив его
через I,ий = l0yr^2tn0/EJ^ = %.	(6.56)Тогда через % аргументы отдельных стержней выразятсятак:203
Теперь все коэффициенты уравнений (6.55) выражены
через один параметр К, играющий роль собственного
числа в этой задаче. Так как при собственных колеба¬
ниях в общем случае Z,=^0 (i— 1, 2, 3), то детерминант
системы (6.55) должен быть равен нулюРавенство (6,58) представляет трансцендентное
частотное уравнение, корни которого дают спектр соб¬
ственных чисел Kk (k=l, 2, 3,...). После их определения
из выражения (6.56) находим и собственные частотыСоотношения между Z; для каждой &-й формы коле¬
баний могут быть найдены из уравнений (6.55) после
подстановки туда соответствующего значения %к-Пример. Исследуем симметричные собственные ко¬
лебания рамы, изображенной на рис. 6.15, а. Погонная
масса т и жесткость всех стержней одинаковы. Сосредо¬
точенная масса в середине ригеля rri\ — $ml. ПримемНа рис. 6.15,6 показана основная система, в которой
Z2 является групповым симметричным неизвестным. Ко¬
сосимметричные неизвестные по условию задачи не рас¬
сматриваются.На рис. 6.15, в, г с помощью табл. 6.1 построены эпю¬
ры моментов с указанием характерных ординат для еди¬
ничных состояний Zi = l и Z2=l. Стержни данной рамы
имеют одинаковое выражение для аргумента и, которое
принимаем за А	-Поэтому все функции “ф на рис. 6.15, в, г зависят от од¬
ного аргумента К, Из рис. 6.15, в, г найдемril&) fi2 Ш Ггз (X)Det R(X) = rn (К) г22(Х) г23(к) =°-	(6-58)(6.59)4-	и = 1у ы2 mlEJ - X.204гп .=> ]21ij',„ (Я) — 0,2Х1) t//2;
г22 = 2 [6i|>i (Я) -§■ 4ф2 (Я)] Щ
rn ^ г21 =	(X) £*//.(6.60)
а)т =0,2 mb
-нв—:—т= const	 vQzМ I г-В)~х. ^кI |, IZr-1АVt%/IЛ'7&Г. 121шВторое слагаемое в составе гп учитывает воздейст¬
вие силы инерции массы mi, направленной в сторону от¬
клонения Z\ = l. Амплитуда ее равна тх • 1(о2 = 0,2Л4///2.Система уравнений равновесия имеет вид	.. rii -j-r12 Z2 = 0;	(6.61)f21 Zi + Л22 ^2 = О,
а равенство нулю ее детерминанта дает частотное урав¬
нение
tx<>a)-(Wl20) . -0,5ф, Щ
-ч\т fi w + (2/3) (i)= 0. (6.62)На рис. 6.16 изображен график D(k), построенный с
помощью таблиц функций if (прил. 1). Например, пер¬
вые два корня и собственные частоты будутЗаметим, что график D(X) в ряде точек имеет разрывы.
Поэтому старшие корни X следует искать осторожно,
иначе можно пропустить некоторые из корней, а значит,,
и частот. Разработаны специальные алгоритмы и про¬
граммы, позволяющие надежно решать эту задачу на
ЭВМ (в трудах А. Ф. Смирнова, Р. Р. Матевосяна,
Г. А. Мануйлова и др. [23, 24—26, 36]).На рис. 6.17 изображены формы колебаний рамы для
частот ом и ©2- Например, из первой строки (6.61) име¬
ем ■При Х\ = 2 из таблиц функций ^ найдем гр! = 0,892; 1(32 =
= 0,961; ■ф6=1!086; гр10 = 0,497 и с учетом выражений
(6.60) получим Z2«0,67 (ZJl).Аналогично найдено соотношение между Zx и Z2, от¬
вечающее Х = %2- Форма изгиба каждого стержня рамы
при необходимости может быть более точно установлена
по методу начальных параметров, описанному в преды¬
дущем параграфе.4=-{гц (1)1 г12 (?.)] Zt.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ
СИСТЕМГЛАВА 7. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
УПРУГИХ СИСТЕМ§ 7.1. Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии.
Критическая нагрузка и методы ее определенияПонятия устойчивого и неустойчивого равновесия
(движения) системы являются одними из самых слож¬
ных понятий механики. Они могут трактоваться различ¬
ными способами, и соответственно существует несколько
методов исследования устойчивости равновесия дефор¬
мируемых систем. Остановимся на исследовании равно¬
весия (а не движения) системы, как наиболее важного
случая для объектов строительства. Интуитивно каждый
читатель представляет себе, что исследование равнове¬
сия естественно выполнить, сообщив системе движение.
Если после небольшого начального отклонения (или
толчка — задания небольшой скорости) система движет¬
ся так, что получает большие перемещения, то она
считается неустойчивой. Если же небольшим начальным
перемещениям, или скоростям, соответствуют в дальней¬
шем также малые перемещения около положения равно¬
весия и малые скорости, то система устойчива. Такая
динамическая трактовка устойчивости системы, хорошо
согласующаяся с жизненным опытом каждого человека,
легла в основу понятия устойчивости по Ляпунову*.Например, система, показанная на рис. 7.1, а устой¬
чива. Небольшое отклонение от положения равновесия
(задание небольшой начальной скорости) приводит к
колебаниям около положения равновесия, которые
вследствие наличия сил трения будут даже затухать.Равновесие системы, показанной на рис. 7.1,6, теоре¬
тически возможно. Можно вычислить значения сжиман)-*	Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений дви¬
жения, созданная известным русским математиком и механиком
А. М. Ляпуновым, широко применяется во многих областях науки, в
частности при исследовании движения или равновесия механических
систем. Строгое изложение этой теории можно найти в соответству¬
ющей математической литературе, например в книгах [15, 51). Здесь
будем пользоваться лишь некоторыми понятиями и результатами
этой теории.267
Рис. 7.2Рис. 7.3Рис. 7.4■Область ОбластьР,крРис. 7.5щих сил в стержнях, при которых узлы системы нахо¬
дятся в равновесии. Но практически положение равнове¬
сия, показанное на рис. 7.1,6, неосуществимо. Малейшее
отклонение или малейший начальный импульс, которые
всегда существуют в природе, приводят к большим пере¬
мещениям, резко изменяющим или даже разрушающим
систему. В данном примере свойства устойчивости или
неустойчивости заложены в самой конструкции системы.Практически более важны задачи исследования та¬
ких упругих систем, которые могут быть устойчивы или203
неустойчивы в зависимости от величины нагрузки. Из
курса сопротивления материалов известно, что сжатый
гибкий упругий стержень (рис. 7.2) устойчив при Р<
<n2EJji /2. Прямолинейная форма равновесия этого
стержня становится неустойчивой при Р>я2£7/4 /2. Ве¬
личина P=n2EJ/A I2 называется критической силой для
этого стержня и обозначается Ркр.Аналогично сжатое радиальной нагрузкой упругое
кольцо (рис. 7.3) устойчиво при малых значениях на¬
грузки q и неустойчиво при <?>3 EJ/R2. Значение qKр=
= 3 EJ/R2 также называют критической нагрузкой.
В более общем случае действия нескольких нагрузок
будем пока предполагать, что они возрастают пропор¬
ционально одному параметру Р. Например, на рис. 7.4
показана рама, нагруженная тремя силами, которые
пропорциональны Р. Пренебрегая малыми продольными
деформациями стоек, т. е. полагая EF=оо, можно при¬
ближенно считать, что в исходном состоянии рамы нет
изгиба стержней. При некотором значении возрастаю¬
щего параметра нагрузки Р это безызгибное .состояние
равновесия становится, как и в случае рис. 7.2, неустой¬
чивым. Соответствующее значение параметра Р также
называется критическим.На оси О—Р (рис. 7.5) значения Р, меньшие Ркр, со¬
ответствуют устойчивым состояниям равновесия упругой
системы, т. е. образуют область устойчивого равновесия;
значения Р, большие Ркр, дают область неустойчивого
равновесия (кратко — область устойчивости и область
неустойчивости).Таким образом, критическим значением нагрузки
(или параметра нагрузки) называется его наиболь¬
шее значение, при котором система еще устойчива,
или наименьшее, при котором система неустой¬
чива.Общим методом определения критических нагрузок
является динамический метод, согласно которому, как
говорилось выше, исследуется движение системы вбли¬
зи положения равновесия и ее реакция на малые возму¬
щения. Примеры применения этого метода даны в § 7.2
и 7.3.В случае когда система консервативна (т. е. работа
сил зависит только от начального и конечного положе¬
ний системы и не зависит от пути, по которому система
переходит из одного положения в другое), критический14—753
параметр может определяться упрощенными методами
без изучения движения системы!	.Один из методов основан на изучении полной энер¬
гии системы, которая в состоянии устойчивого равнове¬
сия системы, имеет минимум. Отклонение устойчивой си¬
стемы от состояния устойчивого равновесия приводит к
возрастанию энергии. При этом критическая нагрузка
находится как минимальная нагрузка, при которой мож¬
но отклонить систему от положения равновесия, не уве¬
личивая ее полную энергию. Такой подход лежит в ос¬
нове энергетического метода. •Другим методом является известный из курса сопро¬
тивления материалов статический метод или метод Эй¬
лера. Согласно этому методу, критическая нагрузка оп¬
ределяется как наименьшая нагрузка, при которой про¬
исходит разветвление форм равновесия, т. е. наряду с
исходной существует смежная форма равновесия.
Для определения этой нагрузки достаточно иссле¬
довать равновесие систем (например, по рис. 7.2,
7.3, 7.4) в смежном положении при малых переме¬
щениях.Для отдельно взятого стержня критическую нагрузку
можно определить из уравнений продольно-поперечного
изгиба (см., например, рис. 7.6, а). При Р-+Ркр прогибы
у(л:), определенные из полученных в курсе сопротивле¬
ния материалов неоднородных линейных дифференци¬
альных уравнений, стремятся к бесконечности. Анало¬
гично, как будет показано в гл. 14, линейные уравненияметода перемещений ^г+^р = 0, составленные с учетом
продольно-поперечного изгиба стержней рамы (рис. 7.7),
при достаточно большом значении нагрузки Р дают
бесконечные реши и я >-оо. Эту нагрузку часто считают
критической, хотя она может несколько не совпадать с
Ркр, найденной для рамы (см. рис. 7.4), стержни кото¬
рой до потери устойчивости испытывают только сжатие.
Это объясняется тем, что в отличие от нагрузки на стер¬
жень (см. рис. 7.6) поперечная нагрузка изменяет про¬
дольные сжимающие силы в стержнях системы, приве¬
денной на рис. 7.7, по сравнению с системой рис. 7.4.
Поскольку оба подхода к определению критической на¬
грузки основаны на исследовании уравнений равновесия
систем в деформированном состоянии, будем считать их
вариантами статического метода.Таким образом, для определения критической на*210
а)JLРис. 7.6IГ7Т7Т77УРис. 7.8Рис, 7.7грузки имеем три основных метода: динамический, энер¬
гетический и статический.Более детальное описание этих методов и их сравне¬
ние дано на примере, рассмотренном в следующем пара¬
графе. Здесь еще раз подчеркнем, что наиболее общим
является динамический метод. Он дает возможность ис¬
следовать устойчивость и неконсервативных систем. При¬
мером такой системы является стержень, сжатый силой
следящей за сечением, к которому она приложена (рис
7.8), т. е. всегда направленной по касательной к оси изо¬
гнутого стержня. Работа такой силы зависит от того
каким путем стержень переводится из положения А в А'
Статический метод здесь неприменим. Смежная формг
Равновесия отсутствует. Фактически стержень теряет ус¬
тойчивость при конечном значении силы, двигаясь околс
положения равновесия. Критическая нагрузка можеп14*21
быть найдена только исследованием уравнений движе¬
ния [9].Из сказанного не следует, что любая следящая сила является
неконсерватийной. Если направление силы Р проходит через фик- .
сированную точку А (рис. 7.9.), то она консервативна и может быть,
например, осуществлена натяжением троса, закрепленного в точке А.
Решение задачи устойчивости для этого стержня может быть выпол¬
нено энергетическим или статическим мотодом.§ 7.2. Исследование устойчивости системы с одной
степенью свободыРассмотрим основные методы определения критичес¬
кой нагрузки на примере абсолютно жесткого стержня
(рис. 7.10), закрепленного на упругой опоре А. Обозна¬
чим через с жесткость опоры при повороте, т. е. коэф¬
фициент ИЗ формулы Л4 = Сф.Применим динамический метод. Принимая угол по¬
ворота ф за параметр, характеризующий перемещение
системы, запишем уравнение движения в виде/тФ = РД —сф,	(7.1)где Jm — момент инерции массы стержня относительно точки Л;Д — горизонтальное перемещение верхнего сечения;РД — сф — момент сил (включая силы упругости) относительно
точки А.Подставляя в (7.1) выражение A=/sir^, получим
Jm Ф — М sin ф + сф = 0.	(7.2)Дифференциальное уравнение (7.2) нелинейно, так
как в него входит слагаемое, содержащее sin ф.Для исследования устойчивости «в малом», т.е. при
малых отклонениях от положения равновесия, естест¬
венно «линеаризировать» систему и заменить приближен¬
но нелинейное слагаемое линейным. В данном случае
полагаем этф«ф и получаем линеаризированное урав¬
нение1	+ — Pl (р = 0.	-	(7.3)^ тИсследовать устойчивость решений этого уравнения
гораздо проще, чем уравнения (7.2), но возникает воп!
рос, что дает это исследование для решения исходной
задачи. А, М. Ляпуновым доказано для систем с конеч¬
ным числом степеней свободы, что действительно можно
решать задачи устойчивости нелинейных систем путем
исследования соответствующих линеаризированных урав-212
Р 14t/fa1Рис. 7,11*- Рис. 7.10нений, т. е. путем исследования линеаризированных сис¬
тем. Если линеаризированная система неустойчива, то
неустойчива и заданная система. Устойчивость исход¬
ной нелинейной системы вытекает по Ляпунову из так
называемой «асимптотической устойчивости» линеари¬
зированной системы. Система называется асимптотически
устойчивой, если малым начальным отклонениям и ско¬
ростям соответствуют при >-оо убывающие по абсолют¬
ной величине перемещения и скорости (см., например,
рис. 7.11). Если линеаризированная система асимптоти¬
чески устойчива, то по Ляпунову устойчива и заданная
нелинейная система. В случае «сомнительном» по Ляпу¬
нову, когда линеаризированная система устойчива, но не
устойчива асимптотически, т. е. уравнения движения име¬
ют среди решений слагаемые типа sin(W + v), не убы¬
вающие во времени, вопрос об устойчивости исходной
системы должен решаться дополнительным исследовани¬
ем с учетом нелинейных членов уравнений.Для системы рис. 7.10 рассмотрим три случая:1) с— Я/>0; 2) с — РКО) 3) с — Р/ = 0.В первом случае, вводя обозначение <d2= (c—Pl)/Jm,
получим линеаризированное уравнение (7.3) в видеЭто уравнение малых колебаний около положения
равновесия имеет решение вида cp=a sin at+b cos и t.
Формально мы не имеем в этой модели асимптотической
устойчивости. Практически же в системе по рис. 7.10
всегда есть малые силы трения. Учитывая их (см. гл. 2)'
и введя в уравнение (7.4) слагаемое, например вида
2«ф со сколь угодно малым п, получим затухающие ко¬
лебания вида,приведенного на рис. 7.11. Его решение
9(0=Ae~nt sin(wf-f v), т. е линеаризированная ; систе¬<р + со? ф = 0.(7.4)213
ма асимптотически устойчива. Исследуемая система при
с—Р1>0, т. е. при Р<с//, устойчива.Во втором случае, при с—Р/<0, введем обозначение
(Pi—c)/Jrn=k2 и запишем уравнение (7.3) в видеФ — &2ф = 0.	(7.5)Его решение .Ф (0 = Фо ch (Ы) + Sh (М|
kнеустойчиво, так как при сколь угодно малых ф0 и ф0
оно неограниченно нарастает при t >00.Соответственно исходная система при с—РК0, т. е.
при P>cjl, неустойчива.В третьем случае при с—Р/1 = 0, т. е. при критичес¬
кой нагрузке Якр с/1, уравнение (7.3) запишется в
видеФ = 0.	(7.6)Его общее решение <р(/) =а+ Ь/=ф0+фо^ интересно для
нас тем, что оно содержит частное решение в виде кон¬
станты <р = а = ф0. При Р = Ркр можно задать линеари¬
зованной системе произвольное малое перемещение и
она будет при этом находиться в равновесии — не будет
двигаться. Этот вывод является принципиально важ¬
ным, так как показывает, что метод Эйлера (статиче¬
ский метод) вытекает из динамического метода.Таким образом, в данном случае для определения
критической силы можно практически не составлять и
не решать уравнения движения, а сразу применять ме¬
тод Эйлера и разыскивать такую силу, при которой воз¬
можно равновесие системы (см. рис. 7.10) в смежном
состоянии.'При этом рассматриваем линеаризированную
систему, где полагаем А = 1ц> и т.д. (рис. 7.12). Из урав¬
нения равновесия 2то = 0: Р1ц>—Сф=0 получим PKV =
—сЦ. .Малый угол ф остается при этом неопределенным.
Равновесие линеаризированнои системы возможно при
любом малом ф, поэтому его часто называют безразлич¬
ным равновесием.Сравнивая статический и динамический методы, об¬
ратим внимание на то, что критической нагрузке соот¬
ветствует обращение в ноль частоты <о = V(c-Pl)/J пг*
Поэтому динамический метод определения РКр часто
связывают с уравнением coi = 0, т. е. динамический ме¬
тод трактуется как метод определения минимальной на-214
Рис. 7.1277ТТ777777'М=су>Рис. 7.13грузки, при которой обращается в ноль первая частота
собственных колебаний системы. К этому вопросу вер¬
немся еще в следующем параграфе.Рассмотрим на этом же примере применение энерге¬
тического метода. Согласно известной из механики тео¬
реме Лагранжа, равновесие системы устойчиво, если ее
энергия в состоянии равновесия имеет изолированный
минимум.Примем для исходного вертикального положения
значение полной энергии, равное нулю: 3(0) =0. При¬
ращение энергии Д3 при переводе системы в смежное
положение будет совпадать с ее значением, т. е. Э — АЭ.
Полная энергия складывается из энергии деформации.	J	Qупругой заделки U = —M<p= ^~Ф2 и потенциала внеш¬
них сил П=—РА (рис. 7.13). Обозначая через W рабо¬
ту внешних сил при переводе системы в смежное состоя¬
ние, получаем для энергии в отклоненном состоянии вы¬
ражениеЭ = и + П = U — W — ф2 — рД,	(7.7)где А = 1—/ cos ф = / (1—соэф).Рассмотрим три случая: 1) Э>0; 2) 3<0; 3) 3=0.В первом случае, когда перевод системы в смежное
состояние приводит к увеличению энергии, система
Устойчива. В исходном состоянии 3 имеет минимум.
В этом случае U>W, т. е. сила Р мала, и при переводе
в смежное состояние совершает меньшую работу, чем
работа момента в упругой заделке.21S
Во втором случае сила Р достаточно велика
Энергия Э в исходном вертикальном состоянии имеет
максимум. Система неустойчива.Критическое, пограничное, значение силы Р находим
согласно энергетическому методу из равенств3	= 0; U— W = 0; U = W.	(7.8)Поскольку исследуется устойчивость в малом, и
энергия деформации является малой второго порядка,
представим перемещение Д = /—/coscp = /(l—cos<p) так¬
же с точностью до малых второго порядка малости:(Р‘£	(р2	,cos<p=l	— + ...; Л — / .	Получим для W выраже-Р1ние W=—^-ф2. Подставляя	U и W в равенство (7.8),
найдем Р,(Р:С РНГ}1	С	 ф2 = 	Е <р2;	Р — - -2	2	/Результат, конечно, не зависит от метода исследова¬
ния устойчивости и не противоречит здравому смыслу:
чем больше жесткость упругой заделки и меньше длина
/, тем устойчивее система — больше значение Ркр.§ 7.3. Устойчивость систем с несколькими степенями
свободыУстойчивость систем с п степенями свободы, напри¬
мер, системы, показанной на рис. 7.14, исследуется ана¬
логично рассмотренному выше примеру системы с одной
степенью свободы.Если силы обладают потенциалом и система консер¬
вативна, то для систем с п степенями свободы статиче¬
ский метод также вытекает из динамического, как в
примере § 7.2. Используя уравнения Лагранжа (i— 1,
2, ..., п\d I дТ\ дЭ	m1ГТ+Т = 0'	(7-9)(it \ dqt I dqtгде T = T(qu q2>.9 = U — W=9 (P, qu q2,..., qn),
получим, как и в гл. 3, уравнения движения линеаризи¬
рованной системы около положения равновесия, в кото¬
рые входит параметр нагрузки Р, в видеЛй'+(Я-РГ)<Г=0,	(7.10)216
где М — матрица обобщенных масс; R—матрица жесткости системы:
Г — некоторая геометрическая матрица, характеризующая геометри-.
ческие свойства системы.Например, для системы, показанной на рис. 7.14, энергия де¬
формации упругих шарниров U запишется в виде^ = (7Л1)
где сi — жесткость г-го упругого шарнира; а< — угол раскрытия
шарнира.Работу внешней силы Р запишем в соответствии с §7.2 в видеW = PA = PX -yaf<p? .	(7.12),Отсюда, например, в случае c,=c=const, a, = a=const3=-£-2a?-^y-Zq>? .	(7.13)Подставляя в (7.13) выраженияФг = (?г+12 4l) ; «г = Фг — Фг-i = -у - 2<7; + <7;+il,“ 	(7.14)где <7( — перемещение г-го шарнира, получим согласно (7.9) матри¬
цы R и Г, входящие в уравнение (7.10), в виде- 5-41000..• 00”—46-4100. •• 001 --46 --410..• 00с01-46-41..• 00•*•000000.,■ 6—4_ 000000• •• —45_”2— 10,0о--12-1...0010—12• ••00г= —••-•а***000’ .2—1000• —-12Если Р=0, то характеристическое уравнение для ча¬
стот	.| — ш2М + Я| = 0	(7.16)имеет, как показано в гл. 3, только действительные и
положительные корни ю;>0. Уравнение (7.10) имеет в->	П-*этом случае решения вида q(t)sin (o^ + v;)- При
Учете сколь угодно малых сил трения эти решения бу-217
аоJдРкс. 7.14п~* — ! ■
дут иметь вид д(/)=2и(е f sin (att + Vi). Линеаризиро-1 .
ванная система при Р = 0 асимптотически устойчива, от¬
сюда по Ляпунову устойчива и заданная система.В общем случае будем разыскивать решения систе¬
мы (7.10) в виде Vjept . Характеристическое уравнение
для р будет следующим:! р2 М + Я— РГ | = 0.	(7.17)При малых значениях Р корни этого уравнения р,-
будут мнимыми. При учете рассеивания энергии полу¬
чим комплексные числа с отрицательными действитель¬
ными частями вида pk=—nh+mh, что соответствует
устойчивому равновесию системы.При больших значениях Р среди корней уравнения
;i(7.17) будут корни р с положительными действительны¬
ми частями, что соответствует возрастающим во време¬
ни решениям, т. е. неустойчивости системы.В случае консервативной системы, как показано, на¬
пример, в работах И. Г. Четаева [51] и В. В. Болотина
;[9], при возрастании Р первая частота coi стремится к
нулю, т. е., как и в системе с одной степенью свободы,
переход к неустойчивому равновесию проходит через со¬
стояние безразличного равновесия. Действительно, если
при каком-то конкретном значении Р~Рир со=0 и п = 0,
т. е. р = 0, то из (7.17) следует:I	R — -Ркр Г I = 0,	(7.18)откуда вытекает, что при любом t имеется ненулевое
решение системы алгебраических уравнений(Я-Якр гн=0.	(7.19)
Из сопоставления уравнений (7.19) и ’(7.10)' следует,что Mq=0, т. е. в качестве вектора q можно взять нену¬
левой вектор из констант, удовлетворяющий уравнению(7.19)’. Это соответствует равновесию системы в откло-л : •' ■ —►ненном состоянии при дфО, т. е. критическую нагрузку
Ркр можно и в этом случае определять методом Эйлера.Уравнения (7.19), (7.18) для Ркр вытекают и из
энергетического метода.При малых значениях Р, в состоянии устойчивого
равновесия, энергия консервативной системы 9 = U—W• —>
должна иметь минимум. Поскольку при q=0 Э0 = 0, топри любом q=^=0 5>0; U>W.При больших значениях Р, в состоянии неустойчиво¬
го равновесия, найдется хотя бы один вектор перемеще¬
ний q, при котором Э<.0, U<C.W.Пограничное (критическое) значение Р=РКр опре¬
деляется как минимальное значение, при котором суще¬
ствует ненулевой вектор перемещений q, обращающий
в ноль величину Э. В этом случае U = W.Записывая энергию с точностью до слагаемых второ¬
го порядка *, получими = -у$т Rq-, W = ~Y P~qr tg ,где R — матрица жесткости системы; Г — некоторая «геометриче¬
ская» матрица [см., например, (7.15)].При Р<РКр энергия Э является положительно опре¬
деленной квадратичной формой, которая вырождаетсяпри Р=РКр, т. е. существует q^O, для которого3=-р?т(Я-РКрГ)<Г=о.	(7.20)Необходимым условием вырождения квадратичной
формы является существование ненулевого вектораЦфО, который удовлетворяет равенствам:дЭ	дЭ	дЭ „	„= 0; — =0;	——=0.	(7.21)<5<?i ’ dq2 ’	dqn*	Напомним, что слагаемые, содержащие qt в первой степени, дол¬
жны отсутствовать, так как изучается состояние равновесия, и при9 = 0, согласно принципу возможных перемещений, d9/dqi= 0.219
Од/юстьОбластьРис. 7,1$устоичибогьрадмЗесш/-/eymoi/wSogo раЗнодесшО*« Рис, 7.16согласно формуле (7.20), эти равенства записыва¬
ются в виде уравнений (7.19). Геометрический смысл
указанных соотношений можно иллюстрировать в слу¬
чае вектора ц второго порядка, когда энергия Э явля¬
ется функцией двух переменных q<t и <72- При малых зна¬
чениях Р функция 9=9(q\, q2) имеет вид параболоида
(рис. 7.15, а), который касается плоскости (qu Ы в од¬
ной точке ^i=0; q2=0. При Р = РКр он вырождается
в цилиндрическую поверхность (рис. 7.15,6) Эта по¬
верхность касается плоскости (qu ^2) вдоль линии, в
точках которой и выполняются равенства ddjdqi = 0 и
d9ldq2=Q.Механический смысл этих равенств: возможностьравновесия системы при <?=£0. Уравнения (7.21), (7.19)
являются, согласно принципу возможных перемещений,
уравнениями равновесия системы в отклоненном состоя¬
нии, т. е. метод Эйлера и энергетический метод должны
принципиально приводить решение задачи к исследова¬
нию одних и тех же уравнений (7.19).[рактически уравнения равновесия системы в откло¬
ненном состоянии можно записывать в различных фор¬
мах. Это будет приводить решение задачи устойчивости220
к исследованию разных матриц, хотя и к одинаковым
значениям РКр.Например, для системы, показанной на рис. 7.14, уравнения энер¬
гетического метода (7.21) приводятся к системе (7.19) с матрица¬
ми (7.15).	г
Уравнения метода Эйлера можно составить в этой задаче про¬
ще, записав выражения моментов в шарнирах через внешние (пра¬
вые, левые) силы Mi—Pqi и через углы раскрытия — перемещения'
в случае а,—a=const, Мг=са,= (с/а) 29; + <?(+1),Приравнивая эти выражения, получимrq=Xq,(7.22)Р - — =Р ■о f,3u/rгде Х=Р/с.	.Задача нахождения Ркр сводится здесь к определению мини¬
мального собственного значения матрицы Г [см. (7.15)] ЯшШ = Ркр/с;соответствующий собственный вектор V, матрицы Г дает форму по¬
тери устойчивости.Разница в уравнениях (7.22) и (7.19) объясняется здесь тем,
что матрица R в этой задаче представляется в виде Я = сГтГ=сГт!
Умножив (7.19) на Г-1 и разделив на с, легко приведем эти урав¬
нения к виду (7.22).В общем случае
консервативной сис¬
темы с п степенями
свободы не всегда
легко получить та¬
кое преобразование g)
уравнений энерге¬
тического метода
(7.21) в уравнения
безразличного рав¬
новесия, полученные
каким-либо другим
способом. Но такие
преобразования су¬
ществуют, так как
механический смысл
этих уравнений оди¬
наков.До сих пор мы говорили о критической нагрузке, т. е.
о минимальном характеристическом значении уравне¬
ния (7.18).В случае системы с п степенями свободы это урав¬
нение имеет п корней Р\,эйл<Р2,эйл<--.<Рп, каждому изкоторых соответствует решение о, уравнения (7.19).
Критическое значение, разграничивающее областиРис. 7.17221
устойчивости и неустойчивости, одно — Pv$=PiMn
(рис. 7.16). Остальные «эйлеровы силы» Р;,9йл находят¬
ся в области тех значений параметра Р, при которых
система неустойчива. Соответствующие им формы рав¬
новесия Vi неустойчивы и не могут быть реализованы
без введения дополнительных связей. Это существенно i
отличает исследования устойчивости систем от исследо¬
вания их собственных колебаний, когда инженера инте¬
ресует несколько первых частот юг- и форм ии При ис¬
следовании .устойчивости обычно необходимо опреде¬
лять лишь Р 1,эйл и соответствующий вектор v\. Осталь¬
ные Vi и Рг.эйл — это то лишнее, что иногда может и по¬
мешать решению, если, например, ошибочно Р2,эйл будетпринята за критическую нагрузку. Вектор уь дающий
форму потери устойчивости, помогает, привлекая интуи¬
цию инженера, избегать подобных ошибок.В качестве примера рассмотрим систему с двумя степенями
свободы (рнс. 7.17, а)—частный случай системы, показанной на
рис. 7.14.Уравнение (7.22) имеет в этом случае, согласно (7.15), следую¬
щий вид:. аРгде К =	.сСобственные числа % и Х2 определяются из характеристического
уравнения Я2—iX+3 = Q, откуда ?ы = 1; ^2=3; Ркр — Р\,эгт=с/а\Р2,э&л=3с/а. Соответствующие собственные векторы v] =[1; 1]; v\ == [1; —I]. Форма потери устойчивости показана на рис. 7.17,6. Фор¬
ма безразличного, неустойчивого равновесия при Яг,эйя = 3с/а — на
рис. 7.17, в.Такое же решение получаем из уравнения (7.19), которое, со- у
гласно (7.15), имеет в этой задаче следующий вид:)?=©,' 2 —I "= %V—1 2.<?2 ..Яг.{—' 5—41 РГ 2— ГVV а24б] а-12)§ 7.4. Некоторые особенности применения статического
методаВ предыдущих параграфах при исследовании устой¬
чивости равновесия упругой системы мы задавали ей
малые отклонения и изучали линеаризированную систе¬
му, энергия которой является квадратичной функцией
перемещений, т. е. исследовали «устойчивость в малом».-
Существуют системы, которые будучи устойчивыми в222
малом, могут быть неустойчивы при достаточно боль¬
ших начальных возмущениях.Простейшим примером «неустойчивости в большом»
является равновесие жесткого параллелепипеда, стоя¬
щего на плоскости (рис. 7.18,а). При малых отклонени¬
ях, когда угол поворота ср<а, где a = arctg(ajh) — угол
между проекцией диагонали и вертикальным ребром,
параллелепипед возвращается в исходное состояние. Ес¬
ли ф^а и центр тяжести проходит над осью вращения
(точкой Л), то в начальное положение параллелепипед
не вернется.Удобно использовать в таких задачах понятие энер¬
гетического барьера, который необходимо преодолеть,
чтобы вывести систему из состояния устойчивого равно¬
весия. В данном примере, принимая 30 = 0, получим
максимальное возрастание Э в момент наивысшего по-7.18,6). Это значение ^шах и является энергетическим
барьером для заданной системы. Зная Зщах, можно ре¬
шать ряд задач об устойчивости заданной системы в
большом. Например, можно определить минимальную
скорость v движущейся горизонтальной массы т (рис.
7.18, е), при которой возможно опрокидывание паралле-
' лепипеда после столкновения с ним этой массы! Кинети¬
ческая энергия массы T = mv2l2. Сделав допущение, что
кинетическая энергия после столкновения целиком пе¬
рейдет в энергию вращения системы вокруг оси А, и
пренебрегая моментом инерции массы т. по сравнению
с моментом инерции параллелепипеда, получим, что
для устойчивости системы должно выполняться нера¬
венство rnu2/2<;5max- Система устойчива при значении
скоростиАналогичная ситуация возникает и при исследовании
ряда упругих и упругопластических систем. Простейшим
примером является устойчивость симметричной системы
из двух упругих стержней (рис. 7.19,а). Если угол а до¬
статочно велик (близок к я/2), то при больших значе¬
ниях Р возможна потеря устойчивости этой системы по
антисимметричной форме, связанной с раздвоением (би¬
фуркацией) формы равновесия (рис. 7.19,6). Соответ¬ложения центра тяжести 9max=Qh.(— 1) (рис.cosa
ствующая критическая нагрузка может быть получена
методом Эйлера или энергетическим методом.При малых углах а заданной системы и сравнитель¬
но малой нагрузке Р (рис. 7.19, в) возможна потеря
устойчивости равновесия в большом, т. е. «прощелкива-
ние» системы после сообщения ей некоторой дополни¬
тельной энергии для преодоления энергетического барь¬
ера. Детальный анализ деформирования этой нслиней-fl
ной системы имеется, например, в книге [28].Остановимся здесь на основных принципиальных осо¬
бенностях, полученных Мизесом зависимостей между
силой Р и перемещением узла С по вертикали г (рис.
7.20).При малых значениях силы Р связь между Р иг поч¬
ти линейна вблизи нуля, а далее становится нелиней¬
ной. Каждому значению силы Р соответствуют теорети¬
чески три возможных формы равновесия: точки М, N н
Q диаграммы P = P(z). Точке М соответствует равнове¬
сие, близкое к иедеформированному состоянию, показан¬
ное на рис. 7.19, в жирной линией; точке Q — состояние
после «хлопка», показанное на рис. 7.19, в тонкой лини¬
ей; точке N — некоторое промежуточное неустойчивое
состояние равновесия, которое практически неосуществи¬
мо без наложения дополнительной связи (например,
при Р~0 z = f, что соответствует точке О' на рис. 7.20,
система сжатых стержней должна находиться в состоя¬
нии, когда шарниры А, С, В лежат на горизонтальной
прямой)’.Обратим особое внимание на состояние системы, со¬
ответствующее точке К при Р = Ртах. При такой нагруз¬
ке для прощелкивания не нужно сообщать системе до-*-
полнительной энергии. Можно назвать эту нагрузку кри¬
тической, она соответствует, как и эйлерова нагрузка в
случае, показанном на рис. 7.19,6, падению жесткости
системы до нуля. Только в случае рис. 7.19,6 обращает¬
ся в ноль жесткость системы в горизонтальном направ¬
лении r] 1 =0 (рис. 7.21,а). (Такая форма записи урав¬
нений равновесия в смежном состоянии еще будет ис¬
пользоваться в дальнейшем в главах 10, 11).В случае системы рис. 7.19, в при Р = Ртах обращает¬
ся в нуль жесткость системы в вертикальном направле¬
нии r22=dP/dz = 0. Заметим, что в состоянии, соответ¬
ствующем точке М (см. рис. 7.20), г22=<ЭР/дг>0. В не¬
линейных системах значения dP/dz при фиксированных224
Рис. 7.18в)\Рис. 7.19Рис. 7.20Р называют мгновенной жесткостью по направлению пе¬
ремещения г.Аналогично с использованием понятия мгновенной
Жесткости изучается равновесие систем в упругопласти-'5—753	,	225
ческой стадии. Например, для массивного стержня, сжа¬
того с эксцентриситетом е (рис. 7.22, а), при развитии
пластических деформаций связь прогибов z (рис. 7.22,6)
с нагрузкой Р становится нелинейной (рис. 7.22,в).
Здесь нет разветвления форм равновесия, но обращение
в ноль производной дР/дг при Р = Ртах служит призна¬
ком появления неустойчивости системы. Правая часть
графика P(z) соответствует состояниям неустойчивого
равновесия. При значениях Р, меньших предельного,
так же как и в задаче рис. 7.19, в, теоретически возмож-Ш
ны две формы равновесия (точки М и N графика P(z)),
и существует энергетический барьер, отделяющий устой¬
чивое равновесие от неустойчивого. Этот барьер уменьша¬
ется при Р-ьРmax, что иногда называют потерей устойчи-1
вости второго рода.Вернемся еще к методу Эйлера в задачах устойчиво¬
сти при упругопластических деформациях. Особенности
потери устойчивости прямых сжатых стержней в случае
критических напряжений акр = Ркр/Р, больших предела
пропорциональности, подробно излагались в курсе con-f
ротивления материалов. В нем давалась формула Ясин¬
ского: а=а—ЬХ, где а и Ь — постоянные, зависящие от
материала стержня, X — гибкость стержня: /.
где 1= У J/F — радиус инерции поперечного сечения.Обратим здесь внимание на некоторые особенности
учета разгрузки упругопластического материала в мо¬
мент потери устойчивости.Упругопластическая система при учете разгрузки ма¬
териала является существенно неконсервативной систе¬
мой и к ней не всегда применим метод Эйлера. Убедим¬
ся в этом на следующем примере.Рассмотрим простую модель в виде абсолютно жест¬
кого блока, опирающегося на два стержня (рис. 7.23, я)',
каждый из которых имеет площадь поперечного сечения
F и выполнен из упругопластического материала с диа¬
граммой растяжения ст—е, показанной на рис. 7.23,6.Эта задача совпадает с рассмотренной в § 7.2 с той
лишь разницей, что жесткость с упругого закрепления
стержня (из формулы М=Сф) зависит от значения кри¬
тической нагрузки Ркр.Если высота жесткого блока I велика и потеря ус¬
тойчивости происходит при малых значениях Ркр, f• е.
при малых критических напряжениях аКр = Ркр/2Р<сгпц,
то жесткость определяется модулем Е начального уча]226
Рис. 7.21Рис. 7.22
стка диаграммы ст—е. При угле поворота ф = 1 (см. рис. ‘
7.23, в, где не показаны деформации сжатия стержней до
потери устойчивости). EF h \ EFh2	с EFh2М = с = | . 1 . ', Р ко — . - •а 2 f	2а ’ ' кр I 2alПри малых значениях I система теряет устойчивость
при больших Ркр, и значит, — больших напряжениях
Окр >Опц- Это соответствует точкам диаграммы в обла¬
сти упрочнения, где мгновенный модуль упругости £i<;
<Е.	'В момент потери устойчивости один опорный стер¬
жень, например правый, догружается. Его жесткость
E\F/a=kEF/а, где k=Ei/E. Другой стержень разгру¬
жается. Его жесткость, в соответствии с пунктирной ли¬
нией разгрузки материала (рис. 7.23,6), определяется
начальным модулем упругости Е и имеет значение
EF/a.Поскольку при переходе в смежное состояние равно¬
весия не изменяется сумма усилий в стержнях, то
(AN[ (■=* | Atif~s |> и отношение удлинений Alt/At* должно
равняться отношению модулей Еу/Е. Действительно, из
равенства EFAl\/a=E\FА12/а следует А1\/Ah=E\/Е.Положение точки Оь относительно которой повора¬
чивается блок при потере устойчивости, также определя¬
ется отношением модулей h\/h2=E\/E=k. При этом
k 1 — Jhi — ——Щ h2 =	h. Жесткость c1=M1 = A/V]ft = AA^2/iI	+ k	J -f k	„получается следующей:Cl = M1 = №Al. iV=(1 k) aОтсюдаCi kEFh2P — ■KP I (I -f k) alПолученным силам соответствуют критические на¬
пряжения акр:при больших I
при малых I_ ^
Зкр- -kEh2кркр 2F 2(1+ k) al228(7.23)(7.24)
Рис. 7.25Поскольку 6<1, то формально получается а«Р <аКр.
Но формулами (7.23) и (7.24) можно пользоваться лишь
при различных I и их нельзя сравнивать буквально.Зададимся конкретным соотношением a/h = а и по¬
лучим график зависимости aKP = aKp{hll). Для простоты
будем считать и h фиксированным, изменяя только I.
Получим для больших значений I (для гибкой системы)
из (7.23) формулу для критического напряжения в виде
Е hcr,j=	, которая справедлива до значения окР = апц,' 4а Iт е. при l>ll=Eh/4aom. Ей соответствует участок ОА
графика, показанного на рис. 7.24.Для малых значений I из (7.24) получаем акр ==	—	— .Поскольку £<1и &£/2а(1+£) <£/4а, то2	(1 + k) а /угол наклона графика а*ф (/г//) меньше угла наклона
предыдущего графика aKp(/i//) (см. рис. 7.24). Формулой
для сгкр можно пользоваться лишь при Окр >сгПц, т. е. приkEh2	(1 + k) асгпцВ интервале значений / между 1г и 1\\1г<1<1\ фор¬
мулы (7.23), (7.24) не дают решения задачи. Вычисляя
для 12<1<11 согласно схеме рис. 7.23, в PKP=EFh2l2al,
получим 0кр = 'Ркр/2/;’>апц, что противоречит исходным
предпосылкам. И, напротив, принимая схему потери ус¬
тойчивости в упругопластической стадии и определяя,
согласно рис. 7.23,г, РкР =kEFh2/(1+/г)а/, получим
°кР =Ркр/2/Г<апц, что также противоречит исходным
предпосылкам. Указанные затруднения являются след¬
ствием того, что упругопластическая система с диаграм¬
мой растяжения-сжатия по схеме рис. 7.23,6 является
Неконсервативной системой, и метод Эйлера здесь, во¬
обще говоря, неприменим. Практический выход из ука-229
занного затруднения находят сглаживая диаграмму рас¬
тяжения-сжатия по схеме рис. 7.25, а, что приведет в
данном примере к сглаживанию зависимости oKP(h/l) по
рис. 7.25,6. Диаграмму о — е можно взять, таким обра
зом, ближе к истинной, но это усложнит расчет нелиней¬
ной системы.	.Из курса сопротивления материалов известна и дру¬
гая постановка задачи устойчивости по Шенли в усло¬
виях возрастающей нагрузки Р. Она приводит формаль¬
но к тому, что можно в расчетах на устойчивость как бы.
пренебрегать разгрузкой и считать мгновенную жест¬
кость по касательному модулю Е = до/де в каждой точ¬
ке (см. подробнее, например, [28]).Такой подход эквивалентен, в свою очередь, замене
упругопластической системы системой упругой, но с не¬
линейной диаграммой растяжения-сжатия. Упругая фи¬
зически нелинейная система является системой консер¬
вативной и ее устойчивость можно исследовать с по¬
мощью метода Эйлера или энергетического метода.
Принимая, например, в этой задаче, что для нагрузки и
разгрузки справедлива диаграмма рис. 7.25, а, мы мо¬
жем применить метод Эйлера и получим зависимость
aKP{h/l) вида, показанного на рис. 7.25,6. Это приводит
к осложнению вычислений по сравнению с расчетами
систем, материал которых следует закону Гука. Необ¬
ходимо во многих случаях использовать метод последо¬
вательных приближений.В дальнейшем будем применять метод Эйлера или
энергетический метод к расчету более сложных систем,!
считая их упругими и имея в виду, что в расчетах упру¬
гопластических систем необходим в каждой задаче ана¬
лиз возможности применения этих методов.§ 7.5, Понятие о исследовании устойчивости систем
с бесконечно большим числом степеней свободыРеальные упругие системы представляют собой сис
темы с бесконечно большим числом степеней свободы..
Любая модель с конечным числом степеней свободы яв¬
ляется приближенной и не совсем точно отражает свой
ства исходной системы. При расчетах на устойчивость
необходимо выбирать расчетную модель и метод расче¬
та так, чтобы критический параметр Ркр был определен
как можно точнее.Здесь возможно применение всех трех методов, рас230
смотренных выше. Динамический метод приводит к ис¬
следованию сложных систем дифференциальных уравне¬
ний в частных производных и рассматриваться здесь не
будет.Метод Эйлера и энергетический метод применимы
здесь, как и в задачах устойчивости систем с п степеня¬
ми свободы, в случае если система консервативна. При¬
менение их в случае систем с бесконечно большим чис¬
лом степеней свободы приводит лишь к решению не¬
сколько более сложных математических задач.Применяя, например, метод Эйлера к решению зада¬
чи устойчивости упругого стержня переменной жестко¬
сти (рис. 7.26), необходимо, рассматривая его равнове¬
сие в отклоненном состоянии, вместо п алгебраических
уравнений (7.19) или (7.22) получить дифференциаль¬
ное. уравнение. В него войдет в качестве неизвестной
функции прогиб у{х).Это уравнение легко получить, например, рассматри¬
вая равновесие элемента dx (рис. 7.27), проектируя все
силы на ось у и считая cos срж 1, sinQ — (Q + dQ) + Ny’ -N(y' + у" dx)= 0.dQОткуда 	=— Ny .dx,,	v л dM n	dQ d2MИз уравнения Ътк = 0,	= Q\ откуда 	=	 =dx	dx dx1= —Ny".Из гипотезы плоских сечений и закона Гука следует
(см. курс сопротивления материалов) М=Е1у", откудаполучаем..	(EJy")" +Ny" = 0.	(7.25)Это уравнение сжато-изогнутого стержня переменного
сечения при отсутствии поперечной нагрузки q необхо¬
димо исследовать при заданных граничных условиях
(условиях закрепления). Определение NKP = PKP сводит¬
ся к определению минимального параметра JVKP, при
котором уравнение (7.25) имеет при заданных гранич¬
ных условиях ненулевое решение у(х). Это решение да¬
ет форму потери устойчивости.В случае £7 = const уравнение (7.25) имеет вид0lv+nV = 0,	(7.26)где п = VN!(EJ) .I231
Его общее решениеу = а + Ьх + с sin пх + d cos пх	(7.27)содержит четыре произвольных постоянных, для опреде¬
ления которых при любом способе закрепления сущест¬
вует четыре граничных условия. Удовлетворяя этим ус¬
ловиям, будем иметь в общем случае четыре однородных
уравнения с четырьмя неизвестными а, (>, с, d. Мини¬
мальное значение п, при котором существует ненулевое
решение этой системы, даст критическую нагрузку
Pkp = Nkp. Определяя коэффициенты а, Ь, с, d, можно
получить форму потери устойчивости.В частных задачах, которые будут рассмотрены в
следующей главе, используются и уравнения равновесия
порядка, меньшего четырех, но схема решения задачи
остается такой же. При этом всегда существует беско¬
нечно большое число эйлеровых сил (и соответствующих
форм равновесия), из которых нужна первая Рил.: Ркй
Применяя энергетический метод и используя, как и
выше, равенство 5 = 0, U = W, будем энергию дефор¬
мации считать функционалом, зависящим от у{х). На-|
пример, для стержня переменной жесткости1	1d.U = ~ Md(р = — EJ (у )2 dx;I(7= I EJ (y"fdx.	(7.28)о232I
-сr ''i -г,Вместо суммы (7.12), заменяя в ней а* на dx и ср* на
у', будем иметь интегралi■	W = РА = -^- J (у')2, dx.	(7.29)оТаким образом, определение Ркр для стержня пере¬
менной жесткости сводится к исследованию функционала
/ i
9=~y^EJ (у")2 dx - -j j (idy.	(7.30)о	оКритическим значением Ркр будет такое минимальное
значение параметра Р, при котором существует функция
у(х), удовлетворяющая граничным условиям и обраща¬
ющая в ноль функционал (7.30). Зная такую функцию,
можно из условия 3=0 определить и Р*Р по формуле
С. П. Тимошенкоi.	Г EJ(y"Ydx	.Рк р=—	:	 .	(7.31)j (у')2 dxБолее детально рассмотрим применение энергетиче¬
ского метода в гл. 11.ГЛАВА 8. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 3.1. Влияние способов закрепления концов стержняВ курсе сопротивления материалов изучалось влия¬
ние способов закрепления концов стержня на величину
критической силы. Напомним, что это влияние весьма
значительно и должно учитываться при расчете сжатых
стержней. Для гибких упругих стержней основные ре¬
зультаты показаны на рис. 8.1 для пяти случаев закреп¬
ления концов прямолинейных стержней с одинаковыми
Длиной и жесткостью. Даны значения критических сил
и формы потери устойчивости. Наименьшая сила для
первого случая закрепления равна Ркр=я2.£7/4Р, а наи¬
большая— для пятого случая PKP=4n2EJ/l2. Таким об¬
разом, критическая сила для стержня с двумя заделан¬
ными концами в 16 раз больше, чем для стержня, заде¬233
ланного одним концом. Величина /о носит название
свободной длины.Напомним, что с помощью понятия свободной длины
критическая сила для всех пяти случаев определяется по
формуле Ркр = я2£7/й.Между истинной длиной I и свободной длиной /о су¬
ществует связь %—pi< Величина ц носит название коэф
фициента свободной длины. Значения ji для каждого
случая закрепления стержня приведены на рис. 8.1, они
соответственно равны 2; 1; 1; 0,7; 0,5.С помощью коэффициента ц критическую силу най-j
дем по формулея2 EJ	,Рк„ = 	.	(8.1)1кр (ц/)а	vОбычно при граничных условиях более сложных, чем
на рис. 8.1, в результате расчета критическую силу вы
ражают через некоторый параметр и
Между v и ц существует зависимость|л = ]/"л/v .	(8.3)В этой зависимости легко убедиться, подставив выра¬
жение (8.3) в формулу (8.1).§ 8.2. Матричная форма метода начальных параметров
при расчете многоступенчатых, стержнейВ строительной практике применяются стержни, со¬
стоящие из участков с разной жесткостью, на протяже¬
нии каждого из участков сжимающая сила и жесткость
постоянны (рис. 8.2,а). Будем рассматривать каждый
участок в отдельности со своими осями координат, рас¬
положенными так, как показано на рис. 8.2,6. Ось х
совпадает с первоначальной осью стержня, а ось у про¬
ходит через начало соответствующего участка.Рассмотрим подробнее t-й участок длиной d,- с жест¬
костью E)i. Обозначим вертикальные и горизонтальные
силы, действующие по концам участка, соответственно
N и Н. Сила N численно равна силе, сжимающей стер¬
жень на участке i до потери устойчивости, силы Я,- и мо¬
менты Mi до потери устойчивости равны нулю. Силы Н
возникают в процессе потери устойчивости и их можно
Рассматривать, как условные поперечные силы, отнесен¬
ные к первоначальному положению оси стержня. Рас-23*
четная схема для i-ro участка показана на рис. 8.3. Из¬
гибающий момент в сечении х от сил, приложенных к
нижней отсеченной части, определяется равенствомДифференциальное уравнение изгиба участка i будет
У ' =— (У — Hi— 1) + M.t—i -j- Hi—1ix]IEJiили„ , vi V* Mi-1 Hi-1У +—-У = —ГУ1-1 —				 X, (8.4)£ &	Pi di Pi di*VH;'где vi = dj J/	(8.5)?i = ~' (8-6)iРешение уравнения (8.4) имеет виду = Аь\п~ х+В cos X +	Mt_j —di f ргdiHi-ix.*f Р/Найдем первую производную и момент,	У/	У;	V; . У;и = А —г cos —1— х — В — sin - — х —
di dt dt dtdi	pi xfi vi	r—Wj-x; M=-EJy" =A- T- s\n-^x'+v2 рг	di diP; v*- V;+ В cos —- x.
df dtИспользуем граничные условия в начале координат: приi	= §, у' ф,- M = Или иначеЩ тA~r-^r—Ht- 1 = Ф;-ьd> v]PlPi 4в1	Xл*„ „ d* di d}
откуда найдем A = — +	//г_х; В =	— Mj-i*■	JiPi	vf Pi236
Далее выполним следующие преобразования: 1) под¬
ставим найденные значения постоянных А и В в уравне¬
ния для у, у'=М\ 2) положим в этих уравнениях х=
= di и найдем у,-, у. и Mi для верхнего конца участка;
3) присоединим к трем уравнениям четвертое уравнение
для силы Н, а именно #, = #,_ьОтметим, что силы Н перпендикулярны к первона*
чальной оси стержня, поэтому они не являются попереч¬
ными силами Q, направленными перпендикулярно каса¬
тельным к оси стержня в его деформированном состоя¬
нии, и равенство 	=Q нельзя применять к условнойdx	"поперечной силе Н.После всех преобразований получим:
dt sin vt	di (cos Vi — 1)Hi■Vi-1-2 2
vi Piмi-1d,' (sin v. — v.\. ^ v	I	vi Pi .sin Vi	di (cos a.■ Mi—1 ~r ~1)vi Pii= vt pi sin vtX(8.7)d; sin	„ ,,x Ф;—i ~b cos vi Mi—i +	Ht—1‘, Hi — Ht—i.ViЗапишем систему уравнений (8.7) в матричной фор¬
ме. Для этого предварительно введем следующие обо¬
значения:Sin V;(8.8)Ui~У1-1 “—УФ i4>i-iЩ =Mi; «i-iMi-гHiHiR; =dt (cos Vi — 1) dj (sin Vj Vj)COS O;«iPi Sinw;
0“ip i
—sin Vi
Vi PiCOS Vi
0f?pidj (cos Vj — I)vi Pi
di sin иг(8.9)237
Таким образом, имеемUi = Ri «г-1-	(8-Ю)Равенство (8.10)' справедливо для любого участка.
Начиная с первого участка можно записать следующую
систему равенств:—»- —►
и± = м0;&2 = ^2г(8.11)i	• J	1	Произведя последовательную подстановку, получим
un=RnRn-1... RiRoUo или иначе«а = £?н0.	(8.12)Матрица определяется произведением П матриц Rt’	Ий = П«г.	(8.13)^=1Уравнение (8.12) связывает граничные условия на
концах стержня. Значения параметров для верхнего конШ
ца стержня выражаются через начальные параметры длянижнего конца, расположенного
в начале координат. Необходи¬
мо обратить особое внимание на
принятое правило знаков. Вели¬
чины М0 и Н0 будем считать по¬
ложительными, если они стремят¬
ся повернуть примыкающий к
нижнему концу элемент по ходу
часовой стрелки, угол поворота
принимаем положительным, если
сечение повернулось также по
ходу часовой стрелки. Указанное
правило необходимо учиты¬
вать при решении конкретных
задач. В случаях, когда момент и горизонтальная сила в
процессе деформации действуют в обратном направле-Щ
нии, они вводятся в вектор и0 со знаком минус.Используя для каждого конкретного случая закреп¬
ления стержня соответствующие граничные условия, по-
лучим из (8.12) однородное уравнение, которое позволя¬
ет определить критический параметр нагрузки.Прежде чем переходить к решению конкретных задач,
рассмотрим частный случай, который будем использо¬
вать при решении целой группы задач.Для случаев, показанных на рис. 8.4, силы Н для всех
участков равны нулю, начальный прогиб также равен
нулю. Это позволяет рассматривать не четыре, а два
уравнения, а именно: для угла поворота ф и момента М.Основные уравнения (8.11) и (8.12) остаются преж¬
ними, но матрица R и векторы и будут второго порядка(8 • 14)Ui =Ф г; U;_f =фг-1 ■1Mi,' IMi-1.COS V:Vi Р; Sin Vi— sin Vi
vi PiCOS V;(8.15)Таким образом, в дальнейшем будем применять еди¬
ную методику в двух подвариантах: 1) если Н = 0, то
матрица R будет второго порядка, а в векторы и будут
входить величины ф и М; 2) если Нф§, то матрица R
будет четвертого порядка, а координатами векторов бу¬
дут у, ф, М, Н.§ 8.3. Случай действия нескольких сил на стержень
постоянного сеченияРассмотрим стержень постоянного сечения при дей¬
ствии нескольких сил. На рис. 8.5 показан стержень, на
который действуют силы Р\ и Р2. Силы Я для всех уча¬
стков равны нулю, поэтому матрица R определится ра¬
венством (8.15). Пунктиром показан момент в заделке,
который в соответствии с установленным выше правилом
знаков будет отрицательным. Векторы (8.15) для дан¬
ного случая имеют вид:	'для сечения 0 (в заделке)’ для сечения 2 (на верхнемконце)О—МпМатрица R, согласно равенству (8.13), с учетом вы¬
ражения (8.15) будет состоять из произведения двух
матриц	■239
— sin v2— sinyj ПCOS ^2vz P2COS VfVi Pi=% ri2У2 po sin V8 COS 02vi Pi sin I cose.- -Равенство (8.12) запишется в видеФ2"i! ЩЬ '0 1. 02l ^22 ,Из этого равенства находим 0=— ?$%Мо. Следовательно.
При М0ф 0 /'22 = 0.Таким образом, по равенству (8.16) необходимо оп¬
ределить только один элемент матрицы R и приравнять
его нулю. Вычисления дают^2 Р2	/-<cos vx cos о2 — —:—— sin vi sin vz — 05
PiоткудаV<> Ра ,1 —Ix*. tgo, tgo, = 0.	|8.17).	V\ PtЭто.уравнение можно решить при заданном соотношенииV2/V1.	■	.Рассмотрим пример. Положим Р,=ЗР2; £7=£72=const; dj =
= d2=//2. Продольные силы на двух участках будут Ni = 4P2\ N2 = P2'
По формулам (8.5) и (8.6) находимV	EJ 2 V EJi.°2 2VeJi 2 V EJ 2 Z’где z = IУравнение (8.17) примет вид tg z tg(«/2) =2. Учитывая, что2	tg (г/2)g2 1 — tg|#71 ’после преобразования получим tg г/2= l/yr2=0,707j откуда найдем
г= 1,23.Критическая силаР2кр= (г2 EJ)lfi = 1,513 EJ/ft.СоответственноР 1кр ~ ЗР2кр “ 4,539£.//Ь.Для случая, когда Pi=0 (иt = е>2), уравнение (8.17) примет вид240/4V EJ„ EJ, Pt = Рг = 2	EJ	I
Рис. 8.5Рис. 8.7Рис. 8.6Рис, 8.8tgSBs=l, ПОЭТОМУ V2 = —— = —л/—\ EJ 'откуда найдем Р 2кр =4	2= n2EJ/4/2.Результат совпал с решением для заделанного одним концом
стержня, сжатого силой, приложенной на свободном конце.Если Рг=О (t>2=0), то характеристическое уравнение (8.17) бу¬
дет tg V\ = ViPi/v2P2 = °°, поэтому costil = 0; U| = ji/2; PlHp =
= л2£У/ 4(//2)2.Полученный результат совпадает с решением для заделанного
одним концом стержня длиной 1/2 сжатого силой, приложенной в
точке 1. Верхняя часть стержня (весом стержня пренебрегаем) на¬
клонится, но останется прямолинейной (рис. 8.6).Рассмотрим стержень постоянного сечения, сжатый тремя си¬
лами (рис. 8.7). Матрица R будет равна произведению трех матриц,
определяемых равенством (8.15). Так же как в предыдущем приме¬
ре, характеристическое уравнение будет г22 = 0.Произведем перемножение трех матриц R^RsRiRt-Вынося из каждой матрицы как общий множитель величину
cos о и обозначив a=cos vi cos v2 cos i>j, получим16-753241
Г « — tg у3 1Г , -tgy2 “IR = а1из РзV2 Р2«3 Рз tg Щ 1% Ра tg Щ 13®- tg 9j
vi PiVi PiПеремножив три матрицы и приравняв нулю ггг, получим ха¬
рактеристическое уравнение. Так как произведение трех косинусов
не равно нулю (а=й=0), то, отбросив общий множитель а, получимVj Рг
PiРяtg V1 tg V2 + ■	tg Uj tg v3 +^зРз
^2 Рг01 Pi
tgw2 tgv3 \= 0.(8.18)Для решения данного уравнения необходимо установить связь ме
жду значениями t>i, t>2 и у3. Будем считать, что в процессе возрас
тания всех трех сил их соотношение не изменяется. В этом случае
vi, v% и t з связаны между собой одним параметром (коэффициен¬
том пропорциональности).Поясним сказанное на примере стержня, показанного на
рис. 8.7. Требуется определить Ркр, т. е. найти все силы, соответст¬
вующие критическому состоянию стержня. Продольные силы для
трех участков будут: jV, = 5Р; iV2 = 3P; NS = P. В этом случае по (8.5)
найдем:^i-т/"*“т]/"3 Р
EJ= zV3;	1/ = г.Здесь. !/ ir-EJ(8.19)даетПодстановка результатов в характеристическое уравнение (8.18)F (г) = 1 -/— tg (г V5 ) tg( z V 31 +О: — tg (г 1/5 ) tg г + —— tg (2 V3 ) tg гVIV i= 0.Искомой величиной здесь является параметр г. Это уравнение мо¬
жет быть решено с применением малых вычислительных средств, на¬
пример калькуляторов. В этом случае рекомендуется строить график242
функции F (г) и находить по нему г„р, при котором функция F(z)
обратится в ноль. Такой график показан на рис. 8.8.Вычисления дают г„р = 0,372.По формуле (8.19) находимРер = р3 = (Зг)2 EJ/l = 1,245£i//2;	(8.20)р1 = р2 = 2,490£///2.Для анализа и проверки характеристического уравнения рас¬
смотрим случай Pi=P2 = 0. Тогда продольные силы во всех сечениях
стержня одинаковы и равны Рз. Рассматривая случай di=d2 = c(s=
= 1/3 и £/ = const [вместо (8.18)], получим1 — 3 tg2w = 0 (где v = l/3\/r Р/EJ).Из этого уравнения находим tgt/=l/j/3; о=0,5236. Следовательно,
по (8.21) имеем: Ркр= (Зи)2£///2 = 2,4674£///2, что совпадает с точ-
/ я2 £/ \
ным решением —	— .§ 8.4. Устойчивость колонны постоянного сечения
под действием собственного весаРассмотрим случай потери устойчивости стержнем
постоянного сечения, показанным на рис. 8.9, под дейст¬
вием равномерно распределенной сжимающей нагрузки
q. Дифференциальное уравнение изгиба EJy"=—М
приведем к виду EJy"=—Q.После изгиба стержня поперечная сила в произволь¬
ном сеченииQ = (/ — х) q sin ф « (I — х) qy'.Дифференциальное уравнение изгиба примет вид
EJy'" + q(l— х)у' = 0.Это уравнение путем особой подстановки приводится к
уравнению Бесселя и решается с помощью функций Бес¬
селя. Опуская все вычисления, приведем готовый ре¬
зультат для критического веса7,83£У.	(?0кр =		•	(8.21)Данную задачу можно приближенно решить, заменив распреде¬
ленную нагрузку системой сосредоточенных сил. Разбив стержень на
«участков длиной l/п, получим систему п—1 сил Pi = ql/n и одну си¬
лу Pn = ql/2n. Применяя ЭВМ, легко вычислить (ql)кр, которая бу¬
дет тем ближе к точному значению, чем больше число делений п.Сосредоточим распределенную нагрузку в трех точках, как по¬
казано на рис. 8.10. Из рисунка видно, что данная задача совпала с
задачей, рассмотренной в предыдущем параграфе. Сила, приложен¬
ная вверху, в 2 раза меньше двух других сил. Сравнивая два ука-243
Рис. 8.102)занных случая, замечаем, что q!/6 = P. В критическом состоянии,
с учетом (8.20), имеем(<7/)„р = 6Ркр = 6.1,245 (ЕЛР) = 7,47£J//2. (8.22)Расхождение полученного решения с точным (8.21) составля¬
ет 4,6 %.§ 8.5. Устойчивость стержней при наличии упругих
опорНа практике часто встречаются случаи, когда концы
стержня имеют упругие закрепления.Рассмотрим несколько типичных случаев упругого
закрепления концов стержня.1.	На рис. 8.11 показан стержень с упругой заделкой
и свободным верхним концом. Из рисунка видно, что
Фо>0, поэтому уравнение (8.12) будет:"ф1Г11 г12I— Фо ".0,ГЩ Г22.L М0 .откуда находимФх —— гu ф0 -j- ги Ма(8.23)(8 .24)Из второго уравнения имеем г2\1г22 = М0/(р0.Угол поворота упругой заделки можно определить по
формуле фо = ФоЛ4о, где ф0 — угол поворота заделки от^
момента, равного единице. Таким образом, г2]//'22 = 1/фо-|Из матрицы (8.15) следует r2l=—up sin у; r22 =
= cos и. Подстановка с учетом равенства р=Ещ1 даетV	tg V = //(Фо EJ).	(8.25)Так как УИ0фе безразмерная величина, то фо имеет
размерность 1 кН-м. Таким образом, в правой части ра-244
Рис. 8.11Рис. 8.12Рис. 8.13венства (8.25) стоит безразмерная величина. Искомой
величиной в равенстве (8.25) является v. При заданном
отношении UmEJ параметр v находится путем последо¬
вательных приближений. Отношение l/qoEJ может из¬
меняться от оо (qp0 = 0), что соответствует жесткой за¬
делке, до 0 (фо = °°), что соответствует шарниру. Поэто¬
му значение vKP лежит в пределахО	< окр < я/2.Естественно, что при наличии шарнирного закрепле¬
ния стержня система будет изменяемой, поэтому Ркр =
«а при жесткой заделке Ркр= (л/2)2 (EJjl2), следова¬
тельно, значение критической силы лежит в пределахО	с Ркр с n2EJ/4/2.Для других случаев, изображенных на рис. 8.12 и8.13,	горизонтальная сила Я не равна нулю, поэтому
матрица R будет четвертого порядка (8.9). Для случая,
изображенного на рис. 8.12, уравнение (8,12) с учетом(8.8)	будет	_Ж' Г12 г 13 Г14о 'Щ0 ^22 Ггз ^24000 . Г32 Г 33 ^34т~1
ООоо_ЯЭ _Умножив матрицу на вектор, получим■У\ — ГП Mfj rii Но'> Ф1 Г23 Щ 	 ^24 Шф:О гъъ ЛГ0 — ^34 Н(,\ Hi '■ - Hv-US
Из условия деформации пружины найдем1	IHi—У\— #i— Щ’
с	сгде с — коэффициент жесткости упругой опоры, равный силе, вызы.
вающей удлинение пружины на единицу.Из третьего уравнениям0 = -^н0.	(8.26)гззУчитывая, что Н0 = Ни после подстановки значений
и М0 в первое уравнение получимГ13"34 +/rtVi = 0.с гзз 7
Так как Яi не равно нулю, то, приравнивая нулю выра¬
жение в скобках, получим уравнение!	r3l ,	г.— —	+ ги = 0.а ^ззИз выражения (8.9) легко определяются значения г,
подставив которые в характеристическое уравнение, по¬
лучим1	I (cos v — 1) / sin v РС	V* рОткуда найдем+ —-— (sin v — v) — 0.v2l(v) = igv-v+~— = 0.	(8.27)l* сДанное уравнение решается путем построения графи¬
ка функции /(и). Критическое значение икр равно абс¬
циссе этого графика, при которой функция f(v) обраща¬
ется в нуль. Для двух частных случаев, когда с = 0 и
с=оо уравнение (8.27) совпадает с полученными ранее:при с — 0, что соответствует консольному стержню,
tg v =—оо\ v = n!2\ Ркр = я2 EJIAPПри с = оо, что соответствует стержню, заделанному
внизу и шарнирно опертому вверху, получим уравнениеtga — и = 0.	(8.28)Из этого уравнения находимщ= 4,493; Ркр = 20,19£У/Р.	ЯРассмотрим третий случай закрепления стержня по
схеме, показанной на рис. 8.13. Нижний конец стержня246
упруго заделан, а верхний шарнирно оперт. При cp0>0
момент М0 действует на заделку по часовой стрелке, а
на стержень со стороны заделки — против часовой стрел¬
ки, т. е. Af0<0. Соответственно этому Н0 и Н{ создают
противоположную пару Но1=М0, как показано на рис.8.13,	поэтому #0>0. Таким образом, вектор и0 будет«0=0— мпНаХарактеристическое уравнение будет01 г 12 Л13 гй0Ч>1=0 /'гг ггЗ г 24Фо00 г32 Г33 Л34-М0Ооо_!- Но -Перемножив матрицу на вектор, получим четыре
уравнения, из которых запишем два однородных урав,-
нения0 = r\i Фо — ri3 М0 + г14 Я0;0	= г32 Фо — ''зз + r3i Н0.(8.29)Учтя, что фо = фоЛ1о и Н0=—М0 и подставив эти зна¬чения в первое уравнение, получим/sin v /(cosy—1) /3(sint> — v)
Фо	—	1xf p+о3	piM0 = 0.Так как М0ф0, то, приравняв нулю выражение в
квадратных скобках, получимФо sin Vcos Vsin V= 0илиtg» = v\ 1 + v2	1(8.30)Точно такой же результат получим из второго уравнения
(8.29). _	_При ф0 = 0 получим tgu = o; (иКр = 4,493), а при ф0=”
= оо tgu = 0; (uKp = Jt). Между двумя этими значениями247
iy лежит икр для всех других промежуточных жесткостей
Фо. Таким образом:ji\EJ _ 20,19 EJРЯ С v < 4.493 и —-— < Ркр < -§ 3.6. Устойчивость стержней переменного сеченияНа рис. 8.14 показаны стержни, жесткость которых
изменяется по кусочно-непрерывному закону. Такие
стержни встречаются в промышленных зданиях. Стерж¬
ни с непрерывно изменяющейся жесткостью (рис. 8.15)’
применяются в мостостроении, при строительстве высоких
труб, телевизионных башен, опор линий электропереда¬
чи и т. п.Рассмотрим случай, показанный на рис. 8.14, а. Рас¬
четная схема изображена на рис. 8.14, б. Общее решение
для этого случая дано в предыдущем параграфе. Полу¬
ченное характеристическое уравнениеJ _ —2^2- tg tg = о	(8.31)Ч Piможно использовать и в решении данных задач.Величины v и р определяются по формулам (8.5) и
,(8.6).Приведем пример расчета стержня с конкретными данными,
показанными на рис. 8.16. По формуле (8.5) находим (N2=P\
N| -6Р):I	I £ / 6Р 21 , Г Р4	- 1 V EJ, 3 V 1,5 EJ 3 V EJ„ /X 21 1 f Р
1,2=1 2 V EJ, ~ 3 V EJ ~Z'По формуле (8,6) определяемEJy 4,5EJ	EJ2 1,5 EJPi — , —	; Pa — . —	•a,	l	a,	tПодставляя полученные значения в уравнение (8.31), получим:
tg2z=3, откуда г=л/3. Следовательно,урдьпсмис уо.о i;, ни— = — 1
3 3 V EJ ■Критический параметр PKV=n'2EJ/4/г.Решение (при Р,=0) для стержня, изображенного на
рис. 8.14, а, справедливо также для стержня, симметрии#,
ного относительно среднего сечения, показанного на
рис. 8.14, в.248.
Jp \psNII43*a-fj' гMPYРис. 8.16ihipaatlp.ДтЛS
7К\ШРис. 8.17укElй.i
Рис. 8.19Рассмотрим случай, когда жесткость стержня изме¬
няется по степенному закону/	•* \т■	EJX = EJ01 i + a — J .	■249
Дифференциальное уравнение изгиба стержня при
шарнирно неподвижных концах будет иметь вид/	X ' ,п£\Ц1+а-у] У" + РУ = 0-	(8.32)Это уравнение хорошо изучено Бесселем и носит его
имя. Оно решается в функциях Бесселя, для которых
составлены таблицы. Однако при т = 2 и т = 4 уравне¬
ние (8.32) имеет решение в элементарных функциях. Как
раз эти два случая представляют особый интерес, так
как стержни, отвечающие таким значениям т, широко
применяются в строительстве.Рассмотрим решетчатый стержень, изображенный на
рис. 8.17, а и б. Поперечное сечение стержня показано
на рис. 8.17,6. Несущими элементами являются четыре
стойки (например, из уголков), расположенные в углах
четырехугольника. Пунктиром показаны боковые решет¬
ки. Момент инерции относительно оси Z в произвольномhсечении % будет /Л ;li/0 1-F( —х)]2. Момент инерции угол¬
ка относительно собственной оси /о значительно меньше
величины F(hx/2)2, поэтому им можно пренебречь. В этом
случае момент инерции всего сечения lx = Ehi. Величина
lix, согласно рис. 8.17, а, определяется равенством
hx = h0[l-(l -а)(х{1)).Момент инерции сечения с абсциссой л; будет
EJX= EJ0[ 1 -(! - а)Пх!1)р.Дифференциальное уравнение изгиба стержня, за¬
крепленного шарнирно, как показано на рис. 8.17,6 за¬
пишется в виде£/0[1 _(1 _«) (л://)]2 f/' + Ру = О-Обозначив и= 1 — (1—а) (х/1),
получим Е10и2у"+Рг/ = 0.Решение этого уравнения, полученное А, Н. Динни'
ком:у = I и [A cos (р In и) + В sin р In и)],/РР	1EJ0 (1 — а)2 "4 ’ .Граничные условия: при х = 0 (и~\), у = 0; при х=
= 1, (и = а), у = 0 дают А =0; В V <х sin р In а = 0, от¬
куда при В-7^=0 имеем р!па = я, 2л, ..., пп.250
Наименьшему значению критической силы соответст¬
вует р In а=п, поэтому .PKV = K(EJ/l2),гдеК =1]п а / 4Рассмотрим теперь случай, когда т = 4. Например,
для колонны сплошного сечения (рис. 8.18, а)hx = h0 [1 —(1 — а) (хЦ)]\ Ьх = Ь0 [1 — (1 — а) (х/1)].Здесь a = hjho = b/bo. Из этого условия вытекает, что рас¬
сматриваемый стержень представляет собой усеченную
пирамиду. Момент инерции в произвольном сечении с
абсциссой х будетJx = Ьх А**/12 = J0 [ 1 - (1 - a) [x/DY.В качестве примера найдем критическую нагрузку
для стержня, шарнирно закрепленного по концам (рис.
8.18, б). Дифференциальное уравнение£70 [1 - (1 - «) (х/1)]* у" + Ру=О
решается в элементарных функциях1у — — (Л cos « + В sin и),.	. иV	k г	■где и = ■= 0,1	— а 1 — (1 — а) (х/1)Граничные условия при х = 0 у — 0; при х = 1, у = 0 при¬
водят к двум однородным уравнениям
A cos и„ + В sin и0 = 0;A cos щ + В sin щ = 0.Приравнивая нулю определитель
cos и0 sin и0
COS Ul sin И;получим характеристическое уравнениеsin (щ—щ) = sin {V К /а) =0.
Следовательно, _VК/а — л\ Рнр = (л2 a2 EJ)!l2-.Приведем также без вывода окончательный результат
Для стержня, показанного на рис. 8.19,	.ЯКр = KEJ/12,	- '2М
гдеК =(I — Л/оВеличина f определяется из характеристического .урав¬ненияtg[1 -сад!» Я.1• (ШI1 11 - • (■/„/•/) \+ ctgш )а)6)в)р \ра§ 8.7. Влияние местных ослаблений на значение
критической силыОчень часто стержни имеют местные ослабления в ви¬
де отверстий для болтов, выточек, врубок (в деревянных
элементах) и др. Возникает вопрос о влиянии таких ос¬
лаблений на величину критической силы.На рис. 8.20, а, б показаны слу¬
чаи ослаблений стержней в середи¬
не длины, а на рис. 8.20, в стержень
имеет ослабление около заделки.В обоих вариантах ослабление
произведено в наиболее опасном
W jjj "1 ^ сечении, где изгибающй момент,
возникающий в процессе потери ус¬
тойчивости, имеет наибольшее зна¬
чение. Для того чтобы выяснить, как
влияют ослабления на значение кри¬
тической силы, рассмотрим случай,
показанный на рис. 8.20, в. Ха¬
рактеристическое уравнение для
аналогичного стержня (8.31), получено в § 8.6.Критическую силу для стержня, имеющего ослабле¬
ние, представим в видеэт2 F 1^ ■	(8-33)При со=1 будем иметь критическую силу для стерж¬
ня постоянного сечения. Коэффициент оз, естественно, бу¬
дет меньше единицы. Применяя формулы (8.5) и (8.6),.'
найдемРис. 8.20“"Уam2 EJ4/2 aEJ
:U- |!’ |/«;яр2VoVI252к
EJ,o.EJ~JTPa =EJ,EJ
(1 -P)/Подстановка в характеристическое уравнение » и рдаетр (со) = 1 _1я|3■VI© ig= 0,KatgUl/aВ этом уравнении искомой величиной является коэф¬
фициент со, который при заданных аир можно опреде¬
лить путем последовательных приближений.В табл. 8.1 приведены значения « при разных а
и Р-Таблица 8.1a0,90,8р0,050,0750,100,050,0750,10со0,9890,9840,9780,9760,9640,952Величина а характеризует глубину ослабления. В рас¬
смотренных случаях a = 0,9 и 0,8 жесткость стержня в
месте ослабления меньше заданной жесткости EJ соот¬
ветственно на 10 и 20 %. Эти цифры характеризуют весь¬
ма значительное местное ослабление. С уменьшением
значения а уменьшается коэффициент ю.Значение р характеризует протяженность ослабления,
составляющую 5 и. 10% длины стержня. При увеличе¬
нии р уменьшается коэффициент со.В табл. 8.1 величина (о изменяется от 0,989 до 0,952
Критическая сила, определяемая по формуле (8.33), при
наличии рассмотренных ослаблений уменьшается несу¬
щественно— соответственно от 1 до 5 %.На основании приведенных результатов можно сде¬
лать заключение о том, что малые ослабления незначи¬
тельно влияют на величину критических сил и при рас¬
четах реальных стержней их можно не учитывать.§ 8,8. Влияние сдвигов на значение критической силыВ предыдущих параграфах при определении переме¬
щений учитывались только деформации, вызванные из¬
гибом. Влияние сдвигов не учитывалось. Перемещения253
отдельных сечений при учете изгиба и сдвига можно
представить в виде суммы (рис. 8.21) у ~у\~-у2 и соот¬
ветственно у'=у\ -Ь£/2;У = У1 + У у(а)Кривизна от изгиба связана с моментом выражением.	EJy"——М.	(б)Для определения у" найдем угол
сдвигатРис. 8.21следовательноу’2 = у==поэтому£ =GF 'К dM
GF dxЖ ФШ
GF dx2 '5.34)(в)Подставляя равенства (б) и (в) в уравнение (а)', по¬
лучим дифференциальное уравнение прогибов с учетом
изгиба и сдвиговм Ку" =—	+	М".	(8.35)EJGFИзгибающий момент в произвольном сечении М-Ру
и соответственно М" = Ру", поэтому уравнение (8.35)
преобразуется к видуКРEJ 1 -GFУ" + Ру = 0.Решение этого уравнения будет у = Acosmx-\- Bsinmx, где
т = V />/[£/(1 -KP/GF)].Граничные условия (у О)* о и (у = 0)x=i дают
sinm/ = 0; ml=-л, 2п,...,пл.Критическая сила будет равна	"Р кр —я2 EJ1 +К л3 EJ
GF Р= аРл(8.36)где Pa=Ti2EJ/I2; учитывая что Р:>/F • • сга, получим значе¬
ние поправочного множителяф (К/G) аэ254
77777.Шт,Для стальных стержней 0 = 80 000 МПа. Если при¬
нять наибольшее возможное критическое напряжение
сгэ = ат«200 МПа, то o3/G = 1/400. Величина К близка
к единице.На основе данного примера можно сделать заключе¬
ние, что поправочный множитель а мало отличается от
единицы, поэтому для сплошных стержней влияние сдви¬
гов можно не учитывать. Это замечание справедливо так¬
же для сплошных стержней из других материалов. Осо¬
бое место занимают составные стержни, при расчете ко¬
торых приходится учитывать влияние сдвигов.§ 8.9. Замечания по расчету составных стержнейНа рис. 8.22 показаны два типа составных стержней:
с решеткой (рис. 8.22, а) и с планками (рис. 8.22, б). Кри¬
тическая сила для составных стержней определяется так
же, как для сплошных стержней, по формуле (8.36). Для
определения а необходимо определить а от действия Q =
= 1. Вместо формулы (8.34) теперь будем иметь у = 8ц/й.
Определим по формуле	.Вычислив бц и V, окончательно получима Р. (8.37)255
Отметим, что при изгибе составного стержня работа¬
ют решетки, установленные с двух сторон в плоскостях,
параллельных плоскости изгиба, поэтому при определе¬
нии площадей диагоналей и распорок Fд и Fv необходи¬
мо брать сумму площадей двух раскосов и сумму площа¬
дей двух решеток.Из формулы (8.37) можно установить, что основное
влияние на Рт имеют раскосы, а не распорки.Рассмотрим расчет стержня с планками, показанного
на рис. 8.23, б. Угол сдвига -у от действия поперечной си¬
лы, равной единице, у = Ьи/й. При определении у необхо
димо учесть изгибную деформацию ветвей стержня и
планки, показанную на рис. 8.23, б. Опуская промежу¬
точные выкладки, приведем окончательный результатДЛЯ РКря2 (Р ]ь2414—гздесь d — расстояние между центрами планок; JB — момент инерции
одной ветви; J — то же, всего сечения.Если моменты инерции выразить через гибкости А.,
J~X2F\ /„ FBt то получим1КР' 'а 1 + 0,83 (%1/Х2). В практических расчетах часто коэффициент 0,83 за¬
меняется единицейЯ2Ркр — Рз „ у •+§ 8.10. Влияние способов передачи нагрузкиИногда сжимающая сила передается на стержень че¬
рез некоторые дополнительные устройства, которые в
процессе потери устойчивости могут изменять направле¬
ние действия сжимающей силы.Один из типичных случаев показан на рис. 8.24, а.
Колонна АВ загружена через дополнительное устройст¬
во, которое можно схематически изобразить в виде бес¬
конечно жесткого стержня ВС; этот стержень в процессе
потери устойчивости наклонится на некоторый угол а,
как показано на рис. 8.24, б. При этом на стержень кроме
сжимающей силы будет действовать горизонтальная си¬
ла, которая создает дополнительный изгибающий момент.2i6
На рис. 8.24, б изображена расчетная схема. Отклонение
точки В на величину 6 создаст наклон жесткого диска
ВС, вследствие чего на стержень АВ будет передаваться
сила N под углом а. Выберем начало координат в точке
В (рис. 8.24, б).Проведем сечение на расстоянии х и, разложив силу
N на две составляющие, найдем изгибающий момент
M = P[y+{bxlh)].Дифференциальное уравнение изгиба
EJy” =—Р[у + Ь(хЦ1)]
преобразуется к виду	.у" + Ц2у=-к*д(х!11),	(а)где k =¥ Pi EJ.Интеграл уравнения (а) будету = A cos kx -f- В sin kx —Удовлетворяя граничным условиям, при л:=0 у = О
и при у = б и у' = 0 получимА = 0; В sin v — (1 + Ш*) б = 0 kB cos и — 6/?i = 0,где v = kl = lVР/EJ.Приравняв определитель нулю
sin и —(1 — 1/1{)! COS V	-г 1 III= 0,>7-753257
после преобразований получим характеристическое урав¬
нение(tg т = i+yt-В табл. 8.2 приведены значения V и критических сил
Pkp = v2EJII2 при разных отношениях h/l. Из таблицуТаблица 8.2Ык0,5i23S20oo JlV0,9671,1661,3241,3931,4561,511я/2i2Лф EJ0,9351,3601,7531,9402,1202,283n2/4следует, что чем меньше длина стержня ВС, тем меньше
критическая сила. При увеличении 1\/1 критическая сила
возрастает до значения яг£//4£2, которое имеет колонна
без стержня ВС. Этот необычный на первый взгляд ре¬
зультат объясняется тем, что при уменьшении длины
стержня ВС увеличивается горизонтальная сила, возни¬
кающая при отклонении точки В на 8\{Н —Рб/h), что и
влияет на уменьшение критической силы. При /]-*•() полу¬
чаем неожиданный результат: РКр—>~0. Объясняется это
тем, что при /1->0 горизонтальная сила Н стремится к
бесконечности. Аналогично при Ij-э-оо угол наклона
стержня ВС равен нулю и //->0.Рассмотрим еще один пример, изображенный на рис.8.25,	для стержня, сжатого силой Р, которая при любом
отклонении стержня всегда направлена в точку А,
Практически такой случай возможен, если к точке В
прикреплен трос, растянутый силой Р и проходящий
через кольцо в точке А, например, при предварительном
напряжении трубы, внутри которой имеется напряжен¬
ный стержень, не соприкасающийся со стенками трубы.
В данном случае имеем простое решение. Стержень из¬
гибается по синусоиде относительно линии АВ, поэтому/>кр = ЗХ2£//I2.Заметим, что при предварительном напряжений
стержня с помощью троса, проходящего внутри узкого
канала, диаметр которого равен диаметру троса, потери
устойчивости происходить не будет. Объясняется это258
Tetf, что при случайном изгибе стержня растянутый
трос будет давить на стенки канала. Указанные давле¬
ния будут выпрямлять стержень.§ 8.11. Численный метод определения критических силВ некоторых случаях встречаются системы с жест¬
костью, изменяющейся по сложному закону, который
нельзя представить каким-либо единым аналитическим
выражением. В таких случаях для определения Ркр при¬
меняются численные методы. Один из приемов решения
задачи устойчивости основан на применении способа
упругих грузов, описанного в [39, § 45].Рассмотрим применение этого метода к расчету пря¬
мых стержней. Упругие грузы W определяются черезизгибающие мементы с помощью матрицы Bw:\W== BWM.Для определения упругих грузов используем извест¬
ную формулу Мора. .• [МРШь . ,	, f ГМ* .Wk^ J^7'~ds+J^rds+kJ~bTds'где МР, Л'я. Qp момент, продольная и поперечная силы от задан¬
ной нагрузки; Mh, Л'*, Qk — то же, от группового воздействия в ви¬
де двух уравновешенных единичных пар, показанных на рис. 8.26, б.В элементах, работающих преимущественно на из¬
гиб, в формуле Мора учитывается, как правило, только
первый интегралГ МрМкMh~ J ~E]~ds'При решении задач устойчивости ординаты эпюры
МР, а также очертания эпюры неизвестны, поэтому при¬
ходится заменять неизвестную эшору какой-либо изве¬
стной кривой.Наиболее простым приемом является замена очерта¬
ния эпюры МР ломаной линией, как показано на рис.8.26,	а. Более точный результат получим, применив вме¬
сто ломаной линии криволинейное очертание эпюры
Мр. Один йз простых приемов состоит в замене эпюры
Шр системой квадратных парабол, проведенных через
каждые три точки так, как показано пунктиром на рис.
^■26, а, В обоих случаях формула упругого груза может17*259
в)Р 1 2 3 4 5 Р-ШУ, ц \ 5 |д| ййлив;JTT г 5 м 5 ДВ)[Мт*ЩМ ?у. гтЗФ *3М - угф гW]i4. !Рис. 8.26/М *</5ф У5
tРис, 8.27быть записана в видеWh =6EJa(Pft(ft-i) Mk-i -f pftfe Mh + Pft(fe+i) Mh+i)(ft= 1,2,3,...,).	(8.38)Определяя по выражению (8.38) упругие грузы для
всех точек, при замене очертания эпюры Ж в пределах
двух участков квадратной параболой получимSn -	(8.39)W :6 EJBw М.Матрица упругих грузов будет иметь трехдиагональную
структуруГ hi Pi»Р21 Р22 Раз
Рза Рзз Р346 EJР‘п(п—i)Pnn.гдеPfe ■5Л+1Pwte,l2 + 2s!+JРк'Г 2 +2Sk (Sh + Sh+1)
Sh+iPfe+ъ(2 + ^)Pfe+i»Pms-W =—25^+1 (5ft -j- .Sk+i)
Sh J0, Sft-H + 2Sfe
Ph + „ гг ; ~ ... pfe-j-i;2 (5fe + S/t4-i)Ph — ■Jh $0(8.40)(8.41)260
Для случая, когда длины всех участков, на которые
разбит стержень, равны, т. е. Sfe=Sfe+1=50::=const, бу¬
дем иметь:Приведем также формулы для элементов матрицы
упругих грузов для случая, когда криволинейное очер¬
тание зпюры МР заменяется ломаной линией:f%k~T>— Щ РйЛ — 2 (Pfc + Ph+iV* Pft(fe+i) = Pft+|- (8.44)В частном случае, когда pft=const и /*=const, матри¬
ца Bw будет иметь видГ 4 1	1Все приведенные матрицы получены в предположении,
что моменты Мр на концах стержней равны нулю. В
отдельных случаях это условие может не соблюдаться,
тогда рекомендуется пользоваться матрицей, полученной
при замене криволинейной эпюры прямыми отрезками.
Однако в этом случае необходимо увеличить число уз¬
ловых точек. Элементы, относящиеся к опорным точкам,
будут в 2 раза меньшими остальных диагональных эле¬
ментов.Применяя матрицы упругих грузов, легко выразить
вектор перемещений через вектор изгибающих момен¬
тов:(8.42)Матрица упругих грузов будет иметь видГ1 0,1
0,1 1 0,15Уй*	0,1 1 од(8.43)0,1 1(8.45)1	4У — LmBw Мр,(8.46)261
где l.m — матрица влияния моментов для фиктивной системы.Вектор моментов МР определяется для каждого ча¬
стного случая через вектор перемещений. В общем слу.
чаеМр = р0 щгде Р0 — параметр группы заданных сил, а П — матри¬
ца, определяющая способ загружения. Если етержен!
сжат одной силой и шарнирно оперт, то мятоица П сов¬
падает с единичной матрицей Е.Подставляя Мр в у, получим,(8.47)откуда (С — КЕ)у=0.Так как вектор у не равен нулю,	то приравнивая
нулю определитель, получим характеристическое урав¬
нение| С — ?.£ | = 0,	(8.48)
где Е — матричная матрица, аС = L*m Bw П;	. (8.49)Я = I / Я0.	(8.50)Уравнение (8.48) имеет число п корней Щ Х2,..., Хп,
равное порядку матрицы С. Из равенства (8.50) видно,
что наименьшему значению критического параметра Ро
соответствует наибольший корень %шш поэтому
Р 0,1фш1п== 1А шах-Отметим, что при вычислении матрицы С целесооб¬
разно некоторые постоянные множители матриц Lm,
Bw и П вынести из матриц. Тогда вместо (8.50) будем
иметь Х = а/Р0, поэтому Рокр = аДтах, где а — число,
полученное в результате перемножения постоянных мно¬
жителей при трех перемножаемых матрицах (8.49),Рассмотрим стержень постоянного сечения, показанный на рис.
8.27, и выясним точность численного решения путем сравнения с
известной формулой Эйлера. Разобьем стержень ка 6 равных ча¬
стей; узловых точек, получивших перемещения, будет пять, поэтомувсе матрицы и вектор у будут пятого порядка.Поскольку эпюра прогибов (рис. 8.27, а), а следовательно, >'•моментов (МР=Ру) будет криволинейной, то для вычисления грУ»
262
3oB (PllC- б) применим, матрицу- Bw согласно -равенству (8.43)5	50Bw =6	EJI 0,10,1 1 0,1
0,1 1 0,1
0,1 1 0,1
0,1 1(8.51)Катрина влияния моментов Ьт в фиктивной системе (рис. 8.27, в)
совпадает с матрицей Lm для заданного стержня. Например, если
сТержень разбить на шесть равных частей длиной 1:3, она будетиметь вид/-т —I365432148642369632468412345Матрица П для данного случая, как указано выше, совпадает с
единичной матрицей, т. е.Мр = Рг/21-Уь JПо формуле (8.49) найдем матрицу5	РРС =362 EJ 'где5,44,83,62,41,24,897,24,82.43,67,210,27,23,62,44,87,294,81,22,43,64,85,4Сг =Обозначим Х=362£7/5Р/2; характеристическое уравнение будет
1C, — Я£-| =0.Опуская вычисления, приведем значение наибольшего характе¬
ристического числа матрицы Лтах = 26,27.Критическая сила Ркр=362£7/5/2Ятах=9,867£'.///2, что отличает¬
ся от точного решения Р„р = я2£'///2 на 0,03 %.Если криволинейную эпюру моментов заменить ломаной ли¬
нией, то вместо матрицы (8.43) следует применить матрицу (8,45).
° этом случае точность несколько упадет. В данном примере рас¬
ХоЖдение будет составлять 2,2 %.В тех случаях, когда эпюра Мр будет иметь сложное очерта-
рекомендуется все же применять матрицу (8.45). Для дости¬
жения повышенной точности в этом случае целесообразно приме-
Ять матрицы Lm и Bw более высокого порядка.262
Рис. 8.29Рис. 8.30§ 8.12. Устойчивость стержня переменного сеченик
при сложной нагрузкеРассмотрим стержень, изображенный на рис. 8.28,
который загружен произвольной распределенной нагруз¬
кой с жесткостью, изменяющейся по определенному за¬
кону. Для решения этой задачи удобнее всего приме¬
нить описанный выше численный метод.Заменим колонну, заделанную нижним концом, сим¬
метрично загруженным стержнем на двух опорах (рис..
8.29). Среднее сечение п+1 соответствует заделке, так
как поворот этого сечения равен нулю. Разобьем стер¬
жень на несколько равных частей длиной S и сосредо¬
точим в узлах силы, заменяющие рапределенную на¬
грузку. Жесткость в пределах каждого участка будем
считать постоянной. Таким образом, приходим к расче¬
ту ступенчатого стержня, загруженного системой
сосредоточенных сил. Естественно, что при такой
расчетной модели полученное решение будет прибли¬
женным. Точность получаемых результатов будет тем
выше, чем больше число участков, на которые раз¬
бит стержень.Вектор изгибающих моментов от системы сосредото¬
ченных сил определяется равенствомМр = уПу,где у — критический параметр; П — треугольная матрица, связываЮ'
щая прогибы с изгибающими моментами:264
л =hi—	Pi t'22
-Pi - p2h.-Pi -Рг ~P3 • •диагональные элементы будут- k—i(8.52)/=0Матрица влияния моментов (при рассмотрении по¬
ловины балки длиной I) определится выражениемLm —*51111221 .
2 .31П
• 2
• 3_ 123(8.53)Матрицу упругих грузов Bw определим по (8.43), в
последний диагональный элемент которой необходимо
внести поправку: ввиду того, что рассматривается толь¬
ко половина балки длиной / (см. рис. 8.30), последний
элемент матрицы Bw будет в 2 раза меньшим.Вектор перемещений будет выражаться соглас¬
но (8.46), (8.47): y = $LmBwfly, откуда получим
характеристическое уравнение |С —	где % = \/у.Определив Атах, найдем 7Кр=1Д max*Приведем пример, для которого Ф. С. Ясинский по¬
лучил точное решение, когда распределенная сжимаю¬
щая нагрузка изменяется по закону треугольника (рис.
8.3&). Решение, полученное Ясинским, для критической
суммарной нагрузки определяется формулой (£/ = const)
<2кр = (?//2)кр = 5,12Е//£.	(8.54)Разобьем стержень длиной 21 на восемь равных частей. Так
как нагрузка на протяжении длины / изменяется по закону прямой
линии, то сосредоточенные силы можно определять с помощью мат¬
рицы Bw, составленной но формуле (8.45), Р— (So/6EJ)Bwq.Для рассматриваемого примера при определении сосредоточен¬
ных сил первый элемент будет равен двум. Это объясняется тем, что
для точки с номером ноль имеется только один участок с номером0—1. Таким образом, получим:Гр°1~21—“1 “"2,75-Pi_14 10,75	q]_4,50Рг1 410,53,00Рз241410,25~ 241,50LpJ14 __0 __0,25_265
Сумма всех грузов равка-^—12 == Q. Мы получили пло-1LK=JL24	2щадь треугольника эпюры распределенной нагрузки, что подтверж¬
дает правильность вычислений. Груз в точке. 4 отбрасываем, так как
он не участвует в формировании матриц, поэтому все матрицы бу¬
дут четвертого порядка.По формуле (8.52) найдем матрицуП ='41242,75000— 4,57,2500— 4,5— з10,250„—4,5-3-1,511,75Эпюра моментов от заданной распределенной нагрузки будет
криволинейной. После замены нагрузки q(x) системой сосредоточен¬
ных сил найдем моменты в ряде точек, однако по длине стержня
эпюру будем аппроксимировать системой квадратных парабол, по¬
этому матрица В\у определяется формулой (8.43). Последний эле¬
мент берется с коэффициентом 0,5, так как в принятой расчетной
схеме половины стержня к точке 4 примыкает только одни участок.
Таким образом,11 0,1Bw —6EJ0,1 1 0,1
0,1 1 0,1
0,1 0,5Матрицу влияний моментов для стержня, заделанного одним
концом, найдем по (8.53):■'~*т —12	2 22	3 32	3 4Матрицу С определим как произведение трех матрицql I 5S0С — Lm Bw Л =Учитывая, что So = //4, получим
1152 EJ1 =24 4 6EJ
115215/2qtl2 5/2 Q(8.55)Матрица Со будетС0 =1 111”l 0,11 222.0,1 10,1i 2330,110,1_1 234_-0,10,5_X266
—	2,75 О	О—	4,5 7,25 О О
-4,5 —3 10,25 04,5 —3 —1,5 11,75—	10,474	3,300	11,400 7,050~—	23,250 5,875	22,800	14,100—	31,350	1,500	33,175	21,150_—34,050 —0,300	33,450	27,025_Наибольшее характеристическое число этой матрицы и соответству¬
ющий ему вектор, определяющий форму изогнутой оси стержня,
будут:Ятах = 45,34; </ = [0,353 0,677 0,913 1].Из выражения (8.55) получаемQKP= 1152£//5ЯЯтах = 5,08£У//2.Расхождение с точным решением Ясинского (8.54) составляет
0,8 %, что свидетельствует о высокой точности рассмотренного чис¬
ленного метода.§ 8.13. Расчет стержней на продольно-поперечный
изгибПредположим, что на сжатый стержень действует груп¬
па поперечных сил Q (рис. 8.31). Вектор изгибающихмоментов в узловых сечениях М —М0-{-Ру.С помощью вектора упругих грузов W=BwM най¬
дем вектор прогибовч	у = LmW = Lm Bw (УИ0 + Ру) = Lm Bw Л40+ PLm Bw у.Первое слагаемое в этом
выражении представляет
собой вектор прогибов от
действия только одной по¬
перечной нагрузки. Обозна¬
чая его через уо, получимQУ = У0 + РСУ,где(а)С = Lm Bw •	(б)В начале рассмотрим случай, когда пеперечная на¬
грузка отсутствует уо=0, тогда у=РСу,	(в)
поэтому |Е— РС|=0или '| С = | = 0,	(г)267
где к= 1/Р.Произведем заменуС = ЯШах С,	(д)где А,шах—наибольшее характеристическое число мат¬
рицы С. В соответствии с выражением (г) имеем ?..тах =
1/Р,;р. Подставив это выражение в формулу (д) и за¬
тем полученное значение матрицы С в выражение (а),
найдемУ = Уо + (P/P«i>)Cy,откуда имеем(8'5б>Полученное выражение в частном случае определения
прогиба только в одной точке (С=1) превращается в
широко известную формулуy = yJ(\-P!P^)-Формула (8.56) справедлива также для стержней пере¬
менного сечения, находящихся под действием продоль¬
но-поперечного изгиба.ГЛАВА 9, УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА
БАЛОК§ 9.1. Общие замечанияВ балках, работающих на изгиб в одной плоскости,
высота поперечного сечения обычно превышает ширину,
вследствие чего моменты инерции относительно главных
осей существенно отличаются друг от друга.При большой разнице между моментами инерции из¬
гибаемой балки в плоскости наибольшей жесткости мо¬
жет создаться положение, когда плоская форма изгиба
становится неустойчивой. Балка начинает изгибаться
также и в другой плоскости, при этом поперечные сече¬
ния поворачиваются на некоторые углы. Вместо плоско¬
го изгиба появляется изгиб в двух плоскостях при одно¬
временном закручивании балки.При потере устойчивости плоской формы изгиба ме¬
тут возникнуть большие перемещения, иногда приводя¬
щие к разрушению.268
В настоящей главе рассматриваются методы расчета
балок на устойчивость плоской формы изгиба при раз¬
личных нагрузках и способах закрепления концов.§ 9.2. Устойчивость тонкой полосы при чистом изгибеРассмотрим устойчивость балки с постоянным по
длине прямоугольным сечением при чистом изгибе (рис.
9.1). Балка опирается на идеальные шарниры, позволя¬
ющие свободно поворачи¬
ваться в плоскости изгн- М	м
ба. Кроме этого, на опо¬
рах предусмотрены уст¬
ройства, позволяющие
также свободно повора¬
чиваться относительно
другой оси, но препятст¬
вующие повороту опор¬
ных сечений относительно продольной оси балки.В деформированном состоянии произвольное сечение
т — п на расстоянии х от левой опоры сместится по
вертикали и по горизонтали на величины v и и, а так¬
же повернется на угол 0.Обозначим EJZ—изгибную жесткость относительно
оси г; EJy — то же, относительно оси у, GJd— жесткость
при кручении. Величина Jd для узкого прямоугольного
сечения может быть определена по формуле, рекомен¬
дованной С. П. Тимошенко,Рис. 9.1Jd =hb331 —0,630 —
hЗдесь hub — высота и ширина поперечного сечения.Дифференциальные уравнения изгиба в двух плос¬
костях и кручения в упругой стадии имеют следующий
вид:	.d2v М d2 и MsinOdx2EJ,dx2.dQdxMGJdEJydudxMQEJU(9.1)Перемещения и и 0, возникающие в момент потери ус¬
тойчивости, входят в два последних уравнения, которые
и подлежат рассмотрению. Продифференцируем один
Раз третье уравнение.d2Q . М d2 иdx2EJd dx2-269
у—у	d2a	,Подставив в это уравнение вместо —7- ее значение
из второго уравнения (9.1), получимd2e+ я2 0 = 0,(9.2)V	EJу GJd
Решение уравнения (9.2) будет0 = A cos пх + В sin пх.где п = М(9.3)(9.4)Для определения постоянных А и В использует гранич¬
ные условия: при л:=0 0 = 0; при x—lQ = 0. По первому
условию находим А= 0, а второе условие дает В sin nl =
= 0. Случаю В = 0 соответствует плоский изгиб без по¬
тери устойчивости, поэтому принимаем sinrt/ = 0, отку¬
да имеем: nl=я, 2л, Ззт...Мы получили бесконечное количество корней. Каж¬
дому из них соответствует своя форма изгиба балки.
Практическое значение имеет наименьший корень til ——	л, которому соответствует критический моментФормулой (9.5) определяется критическое значение мо¬
мента, при котором происходит потеря устойчивости
плоской формы изгиба полосы. Если на концах полосы
будут стоять заделки, не позволяющие поворачиваться
опорным сечением при изгибе в горизонтальной плоско¬
сти, то изменится второе из уравнений (9.1), а также
граничные условия.Опуская выводы, приведем окончательный результат
для критического моментаМомент Мкр больше в 2 раза, чем для шарнирного за¬
крепления полосы. Объяснить этот результат легко, ес¬
ли рассмотреть форму изгиба полосы в горизонтальной
плоскости. Линия перемещений и в плоскости zOx бу¬
дет иметь точку перегиба в середине пролета, поэтому
вместо размера I в формулу (9.5) достаточно подста¬
вить 1/2, что и приведет к формуле (9.6).(9.5)270
§ 9.3. Устойчивость полосы при внецентренном сжатииРассмотрим случай одновременного действия сжа¬
тия с чистым изгибом. Такбе нагружение возникает при
внецентренном сжатии полосы, как показано на рис.
9.2. Закрепление полосы на опорах такое же, как по¬
казано на рис. 9.1.Изгибающий момент
в произвольном сечении	„	„ __ .относительно оси г будет
Mx=MQ — Ри\ М = Ре, 1
где е— эксцентриситет
(см. рис. 9.2).Дифференциальные
уравнения изгиба в гори¬
зонтальной плоскости и
кручения запишутся в виде
d2 и МРис. 9.2Риdx2EJУМEJ»dudx	GJd dxПродифференцируем первое уравнение:
d3 и М d8 Р dudx3EJ„ dxEJy dx
<20Подставив вместо производной 	 ее значение из вто-dxрого >щавнения, получим
d3 и	М2Обозначивполучимdx3dudxdu
j dx= 0.= to;M2EJyGJd \ M2jd2 (o
dx2■	+ n2 co =0.Решение этого уравнения имеет вид
со = A cos nx В sin nx.Граничные условия: при х=0 =dxd2 и
dx2= 0; приХ = 1— =0
dxдают А—0; Bsinnl=0, поэтому имеем271
(9.7,характеристическое уравнение sirm/ = 0; п1 = л, 2jt,..
Учитывая наименьший корень, найдем(/Vi2 + PGJd)KV = (n2EJy GJci)!Р ■Полученное равенство удовлетворяет двум ранее рас¬
смотренным случаям. Если положить эксцентриситет «
равным нулю, то получим формулу Эйлера
PKV = {n*EJy)l(2..Наоборот, если предположить, что действует только вне-1
шний момент М, а Р=0, то получим формулу (9.5). Ес¬
ли положить М-Ре и подставить это выражение в
формулу (9.7), получим квадратное уравнение для опре¬
деления Ркр при внецентренном сжатии полосы, закреЯ
пленной, как показано на рис. 9.2.В том случае, когда момент М и сила Р заданы неза¬
висимо друг от друга, формулой (9.7) можно пользовать¬
ся для определения критической силы, приложенной цен- ?•
трально, с учетом дополнительно действующего заранее
заданного момента Mo<MKV. Точно так же можно опре¬
делять критический момент при центральном сжатии си¬
лой Ро<Р кР'§ 9.4. Устойчивость балки прямоугольного сечения
под действием поперечной нагрузкиРассмотрим расчет на устойчивость балки под дейст¬
вием сосредоточенной силы Р, приложенной в середине
пролета (рис. 9.3). Изгибающий и крутящий моменты в
произвольном сечении определяются равенствамиР	Р da РМ = —,0; ЖКР = -— х—здесь 5 — горизонтальное перемещение центра тяжести сечения всередине пролета.Дифференциальные урав¬
нения изгиба в горизонтальной
плоскости и кручения запи¬
шутся в видеd-udd
Исключая из этих уравнений будем иметьdxd20 PV „ Л		+	0 = 0.dx*. AEJyGJdПерейдя к безразмерной координате из равенства х=
= /£ получим уравнение
d2Q—+ ^|29 = 0,	(9.8)где безразмерный коэффициентЯ2/4й =	5	.	(9.9)4EJyGJd	V .Решение уравнения (9.8) можно получить в видеQ = AQ>(k,i)-\-B^(k, I),	(9.10)где Ф и if — функции, представляющие собой бесконеч¬
ные ряды£4 ' ев	нзлеФ(£, Е)=1——2— £2.1.		 (9Л1)v б;	3-4	3.4.7.8	3-4-7-8-11-12 ’ v 'S5	£9	Е13Ь6Ф(А, у=£——А5+			№—			 . (9.12)у s 4-5	4-5-8-Э	4-5-8-9-12-13 vГраничные условия:I	L Л \ dQ	/ dQ \при х = ; (| = —J ; — = 0;	= о) ;при х — 0; (| = 0) 0 = 0.По второму условию найдем А = 0, а по первому имеемСледовательно,В — 'Р№ = 0.d-ldty(k, t) j т m2	trfi	.	,.=B 1-—+-^-———=0, (9.13)d%	\ 4 ' 4-5.8 4.5-8.9-12k2ll ' РЧгде m = —-— =	.	(9.14)8 64EJy GJdРешение этого уравнения возможно в двух случаях:
1) В = 0 (что свидетельствует об устойчивом равнове¬
сии); 2) функция-^- (k\ 0,5)=0. Ограничившись тремя
d% .
членами ряда, получим квадратное уравнение т.2—40т+
+ 160=0, минимальный корень которого т=4,508.18-753	273
Из равенства (9.14) получаем(9.15)Если вместо трех членов ряда учесть шесть членов, то
получим т = 4,482, что незначительно отличается от
т=4,508. Приведем без вывода формулу критической
равномерной нагрузки для системы при загружении ее
на линии оси балки% 9.5. Устойчивость консольной балки с силой на концеНа рис. 9.4 изображена узкая полоса, заделанная на
правом конце, в отклоненном состоянии, показанномпунктиром, под дейст-Дифференциальные уравнения изгиба в горизонтальной
плоскости и кручения будутИсключая из второго уравнения перемещение и, будем
иметь:(9.16)\вием силы Р, прило¬
женной в центре тяже¬
сти концевого сечения.В процессе потери
устойчивости дополни¬
тельно возникли изгиб
в горизонтальной пло¬
скости и кручение.
В произвольном сече¬
нии на расстоянии х от
левого конца, возник¬
нут изгибающие и кру¬
тящий моменты:М г= Рх; Му — Mz 0;Рис. 9.4Мх = -Му—~ Р(6-и).
dx(9.17)274
d20 , РЧг л л	-f-	0 = 0.rfx2	EJy GJdПоложив JC = g/, получим
d20+ £2£20 = O,	(9.18)црггде £2 =	 .	(9.19)EJ,jGJd	VУравнение (9.18) совпадает по структуре с уравнением(9.8), но k имеет другое значение.Решение уравнения (9.18) совпадает с решением
(9-10)0 = ЛФ(|, к) + Ву&, k).	(9.20)Функции Ф и ij) даны выражениями (9.11) и (9.12).d 0Граничные условия: при g=0, 	=0 (вытекает изd-l(9.17)	при х=0); при £ = 1, 0=0 (заделка). Первое ус¬
ловие дает В = 0, по второму ЛФ(1, k) =0.Характеристическое уравнение при Аф 0 будет
Ф(1, k)=0 или иначеСО	(О2	(О61—	+	—	+-.-=0, (9.21)3-4 ^ 3-4-7-8 3-4-7-8-11 >12 г	v 'где <в=&2. Ограничившись пятью членами ряда, найдем
значение k, удовлетворяющее характеристическому ура¬
внению (9.21) (0=16,10; *=4,01.Из формулы (9.19) находим§ 9.6. Устойчивость плоской формы изгиба балки
переменного сеченияВ строительстве иногда применяются балки перемен¬
ного сечения с кусочно постоянным законом изменения
размеров поперечного сечения. Например, на рис. 9.5 по¬
казана подобная консольная балка, загруженная силой
Р. В пределах каждого участка прямоугольное сечение
имеет свои размеры. В случае п участков будем иметь п
дифференциальных уравнений вида (9.18)^- + ^|20.=О; g = — ,
dl* 1 £ /18*	27S
Рие. 9.6Рис, 9,8где i — номер участка со своим значением коэффициент;Для каждого участка при загружении балки одной
силой, приложенной на свободном конце, будем иметь
свое уравнение для углов закручивания.Ч (i= 1. 2, ..., я). (9.24)Число таких уравнений будет равно числу участков.
Для определения 2я постоянных используются гранич¬
ные условия, число которых также 2п. В результате по¬
лучим 2п однородных уравнения. Приравняв нулю опре¬
делитель, состоящий из коэффициента при неизвестных,
найдем критическую силу.	.Рассмотрим пример расчета балки, имеющей два
участка (рис. 9.6). Будем здесь иметь два дифференци»
альных уравнения кручения:276
d20id?<PQZd|*+ Л? 6*0^0,+ k\ f 02= 0;0 < I < lj}
6X<6< 1.(9.25)решения для этих уравнений запишем в виде (9.24)
е1 = Л1Ф(|, ft,) + ад (6, Л,);02 = ^2® (1. ^г) + (1.*г).где(9.26)1,2 _
«1 —Я2/4я2/4, ...,	.	(9.27)EJyiGJdi ' * EJy2GJd2	У ’Для определения постоянных А и В имеем четыре гра¬
ничных условия:
do,(■l=o = 0:	= (02)i=S.;)i=Sidl h=I
d0j= G/d2-d02dE021=1 — 0 •(9.28)(9.29)Из первого условия находим Вх = 0. Два других усло¬
вия даютA&dx, h)-AzФ(6ь k2) - В2Ц) (gj, *2)=0;GJaiAtO’ (si, ад - Gid2 В2х|>‘ (&, /е2) =0.Здесь штрихом обозначено дифференцирование по
По четвертому условию получим:Л2Ф(1, Ай) + В2Ч>(1, й2) = 0-	(9.30)Системы трех однородных уравнений (9.29) и (9.39)
имеют ненулевое решение, когда их определитель равен
нулю. На основании этого запишем характеристическое
Уравнение:	'Ф(&, *i);	h)i — 4>(5i, *а)0(й)= ®'(iifti); — «0ф' (Si. *2); У Иъ h) =0. (9.31)0	Ф(12) *а);	*(«. *2)Значения элементов этого определителя найдем по
формулам (9.11) и (9.12) при аргументах g и k, которые
Указаны в скобках. Искомой величиной в уравнении
(9.31) является k\. Решение возможно при заданных
значениях |i и Ъ и соотношениях между и k2. Введем277
обозначения:kx = k; кг = ^к\~ • = ?;	=V3; - ■=Ь\-; Л =а0)bt	EJx	п	GJd 1(9.32)где и b2, а также /ii и h2 — размеры поперечных сече¬
ний;„	1	1 — 0,63у6Р = -7=-; a = vs-—(9.33)
Vat	1-0,636_ ' ■ -
Высоту сечения балки принимаем постоянной по всей
длине. Изменяться будет только ширина сечения. Реше¬
ние задачи целесообразно проводить с применением
ЭВМ. Определив ki=k, найдем критическую силуD — kiEJy 1 / OJ dкр~ Г- V EJyТакой же результат получим и по второй формуле (9.27).Пример. Определить критическую силу для двухступенчатой
балки, заделанной одним концом (рис. 9.6), при следующих данных:
Y=U; 6 = 0,1; si —0,5; g2=l.Вычисления по формулам (9.33) дают:а = 1,18 —	: — = 1,32205; Р=- =0,75385.1-0,63-0,1	’ ’ 1	’Решение уравнения (9.31) проводилось методом последователь¬
ных приближений. Для различных значений k = k\, k2	 kn вычис¬
лялся определитель. На рис. 9.7 показана кривая изменения функции
а(£). Величина k, при которой определитель обращается в нуль,
оказалась равной ft = 5,03.Из формулы (9.27) находимр =	I / 1Ш- .	(9.34)кр	в V EJyТакой же результат может быть получен по второй из формул
(9.27).Критическая сила зависит от соотношения длин пер¬
вого и второго участков стержня, определяемого величи¬
ной !,. На рис. 9.8 показан график изменения коэффици¬
ента k, входящего в формулу РкР= —/у -	— ■[-■ V EJyОн построен по пяти значениям k, полученным при
= 0; 0,25; 0,50; 0,75; 1. По этому графику легко опреде- |
лить критическую силу при любом значении |, лежащем
в пределах 0s£C£d.278
, о т Устойчивость плоской формы изгиба двутавровой балки9 *' ‘При потере устойчивости двутавровой балки, так же
f ак полосы, наряду с изгибом в одной плоскости допол¬
нительно появляются изгиб в другой плоскости и круче¬
ние. Сопротивление кручению тонкостенного стержня
состоит из двух частей: сопротивления свободному круче¬
нию и стесненному кручению.Рассмотрим случай чистого изгиба двутавровой бал¬
ки по схеме, показанной на рис. 9.1. Дифференциальные
уравнения изгиба в горизонтальной плоскости и круче¬
ния для двутавровой балки в отличие от уравнений (9,1),
полученных для полосы, будутd2u .. d9EJy dx2 ~ dx ''daQ	dQ	duEJ	— GJ.— =M	a dx3	d dx	dx(9.35)В отличие от двух последних уравнений для полосы (9.1)
изменилось только уравнение кручения, в котором £7<»
представляет собой секториальную жесткость тонкостен¬
ного стержня. В частности, для симметричного двутавро¬
вого сечення с высотой h и шириной b секториальная же¬
сткость определяется выражениемEJyy h2 Eh2b98EJa-24где — момент инерции одной полки относительно оси /; б—*
толщина полки.Продифференцировав второе из уравнений (9.35) иd2uподставив в него вместо	выражение из первого ура-dx2внения, получим:d*0. GJd d2Q	М2	—~~Г~ —“cw	~ЕГГ 0 = 0.	9.36)dx4	dx2 EJa EJdПолученное уравнение имеет общее решение в виде0 = Ci sin тх + С2 cos тх + С3епх + Слё~пх,	(9.37)где279
GJd Y m
со V \ J + ^ - (9'39)Постоянные Ci, C2, C3 и C4, входящие в уравнение
(9.37), определяются из граничных условий. Для балки,
закрепленной на концах, так же как в примере, рассмот¬
ренном на рис. 9.1, будем иметь следующие четыре усло¬
вия:d2 0	d4)при л: = 0, 0 = 0, - — =0; прил; = /, 0 = 0, - -=0. (9.40)dx3	тДва первых условия дают С2 = 0; С3=—С■,, поэтому
0 = Cj sin тх + С3 (епх — ё~пх)или иначе0 = Cj sin тх -j- 2Сз sh пх.Из этого выражения видно, что С3=0, так как sh пх при
х=1 не равен нулю, поэтому sinmZ = 0, откуда ml =
= л, 2л, Зл,... Взяв наименьший корень, получим ml—n
и, учитывая выражение (9.38), будем иметь2EJa -г у \ 2EJa ) f EJa EJy - Ш •
откуда найдем критический моментПолученное решение отличается от выражения (9.5)
множителем I	При EJ« =0 формула(9.41) совпадаете (9.5), Формулу (9.41) можно записать
в видеМКР = КУШ7771-	(9-42)EJВеличина К зависит от отношения ю .GJdОбозначим безразмерную величину
PGJd= р,	(9.43)когда коэффициент К будет определяться выражением
Ц=я V 1+я2/р. В табл. 9.1 приведены значения К для
определения критического момента при чистом изгибе
двутавровой балки в зависимости от р.280
Таблица 9.1р0.448163296128400к15,95,854,703,993,593,303,263,18Аналогичные решения получены и для некоторых дру¬
гих случаев загружения двутавровых балок при разных
случаях закрепления на концах. Так, например, для
балки на двух опорах, при тех же граничных условиях,
загруженной сосредоточенной силой посредине пролета
по схеме рис. 9.3, критическая сила определяется по
формулеPKV = KVEJyGJdil.	(9.44)В табл. 9.2 приведены значения К в зависимости от без¬
размерной величины р, определяемой по формуле (9.43).Таблица 9.2Р0,448163296160400К86,431,925,621,819,618,317,517,2Значения К для других случаев приводятся в спра¬
вочной литературе.	*ГЛАВА 10. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ§ 10.1. Основные положения расчета рам на устойчивостьМетоды расчета стержневых систем на устойчивость
удобно изучать на примерах определения критических
нагрузок для плоских рам, которым и будем уделять осо¬
бое внимание в этой главе.При исследовании устойчивости рам (см., например,
рис. 7.4) будем предполагать, что потеря устойчивости
происходит в упругой стадии и значения сжимающих сил
Nt известны, т. е. выражены через параметр нагрузки Р.
Критический параметр нагрузки Ркр обычно определяет¬
ся статическим методом (методом Эйлера). Уравнения281
а)\Р :Рнт5)IkEJtSwA8!PHSTSfWTOwuРис, 10.1шФ-чпШ tРис. 10.2равновесия системы в
отклоненном состоянии
записываются чаще в
форме метода переме¬
щений, хотя возможно
и применение метода
сил. Например, рас¬
сматривая равновесие
рамы (рис. 10.1,а) в
отклоненном соотоянии
и пренебрегая продоль¬
ными деформациями
стержней, т. е. полагая
EF=oо, можно соста¬
вить каноническое ура¬
внение метода сил
6n-Xi=0 или уравне¬
ние метода перемеще¬
ний f\\Z\ = 0. В этих
уравнениях отсутству¬
ют грузовые члены
А\Р и RiP, так как пе¬
реход стержней рамы
в искривленное состоя¬
ние возникает не от
действия изгибающей
нагрузки. Сила Р в ис¬
ходном недеформиро-
ванном и в деформиро¬
ванном состоянии одна
и та же. Она явля¬
ется здесь дополнительным, кроме I и EI, парамет¬
ром, характеризующим сжатый стержень. Соответственно
податливость бц основной системы метода сил по напра¬
влению А'ь и жесткость заданной системы ги будут функ¬
циями силы Р: 8и = 8и(Р)Гп=гп(Р)-Поскольку в искривленном состоянии ХфО (или Z\Ф-
^0), то из канонических уравнений получаем в этом
случае для определения РКр характеристические урав¬
нения: для метода сил бп = би(Р) = 0, для метода пере¬
мещений Г\\—г\\(Р) =0.Минимальный корень любого из этих уравнений даетР1ЭИЛ ^кр*Таким образом, для применения метода сил или мето-282
да перемещений в задачах устойчивости необходимо
знать функциональные зависимости от N коэффициен¬
тов податливости и жесткости сжатых стержней.Например, для угла поворота фо = бп верхнего (лево¬
го) сечения сжатого стержня от М = \ (рис. 10.2) можно
получить формулу 6u=6u(P), используя решение урав¬
нения изгиба сжатого стержня (7.26) в форме метода на¬
чальных параметров, изложенного в гл, 8.Уо	М„У W = Уо +	Sin пх + _ (1 — cos пх) +п	ti£EJН' 0 (пх — sin я*),	(10.1)n3EJ
где п = УN/EJ.В нашем случае у0=0, Мо=—1, Но — VI. Подставляя
эти начальные параметры в (10.1), из второго гранично¬
го условия при х=1, у(1) =0, находим:бп = Ф0 = =_з^7 а(и)>	(10'2)где а (в) = — (— — —-—\ ;	. (10.3)v \ v tg v }v = nl = lVN/EJ .	(10.4)Таблицы функций а (и) и р(и) (рис. 10.2) даны в
прил. 2.Используя формулу (10.3), можно, например, соста¬
вить характеристическое уравнение для системы рис.
10.1, а.Податливость основной системы рис. 101,6 по напра¬
влению Х\, т. е. угол раскрытия 6ц, запишем в виде сум¬
мы податливостей стержней6и = 3EJ “ ^ 3EJ ‘Приравнивая 6ц нулю, получаем а(у) + 1=0; a(v) =
=—1. Минимальный корень этого уравнения vm\n =
=3,725 дает, согласно (10.4), критическую нагрузку„ vl\nEJ 3,725*EJ 10AEJ r-
N^ = P*v = —ji			p	=	p	 (10-5)283
Аналогично, записывая выражение для жесткости гп
сжатого стержня (рис. 10.3)1 3EJ 1 3EJ ,Гп = ~— — —		— — Ф1 (V),	(10.6)§*	I a (v) I	' чгде (v) = v :, ! 13 —:■(10.7)Iv tg’-Pполучим для системы рис. 10.1, а жесткость по направле¬
нию перемещения zl в виде3EJ	3EJhi =—— Ф1'М + —— •I	IПриравнивая гц нулю, получим из характеристичес¬
кого уравнения ф, (у) ——1 минимальный корень umln и
Ркр (10.5) такими же, как в расчете с использованием
метода сил.Для сложных рам основная система метода переме¬
щений более стандартна, чем в методе сил. Поэтому для
рам со стержнями постоянной жесткости будем рассмат¬
ривать лишь методику определения Ркр с использовани¬
ем уравнений равновесия в смежном состоянии в форме
метода перемещений. Для этой цели необходимо знать
жесткости сжатых стержней, т. е. специальные функции,
аналогичные ср; (у) из формулы (10.6).§ 10.2. Жесткости сжатых упругих стержнейКоэффициенты жесткости прямого сжатого упругого
стержня удобно использовать в такой же форме, в ка¬
кой они использовались в расчетах на прочность без
учета продольно-поперечного изгиба, с введением допол¬
нительных безразмерных множителей-функций безраз¬
мерного параметра и=1 УN/EJ [см., например, (10.6)].
Для этого, конечно, не обязательно прибегать к исполь- ‘
зованию метода сил, как в примере предыдущего параг¬
рафа.Коэффициенты rik можно получать непосредственно
путем использования решения дифференциального урав¬
нения изгиба сжато-изогнутого стержня (7.26). Общее
решение уравнения можно взять в форме (7.27) или, что
удобнее, в форме метода начальных параметров (10.1).Например, для сжатого стержня (рис. 10.4) при у0 =
= 0, у"о = 1 получим для Мо и Но из граничных условий
у(1) =0, у (Г) =0 два уравнения284
■ sin v ■M,COS V ■rPEJ
, M0H°~ (1 — cos v) + ^ (v — sin v) = 0.n3EJsin v +Ял- (1 — eos v) = 0.nEJ	1 n?EJРешая эти уравнения, после преобразований получа¬ем4ej	бEJ— Ма = ГЦ =	— ср2 (у); н0 = r2i - —— Т)з (V),где, например,ф2 (о) = 1:4tg (р/2)
v/2Рис. 10.4tgt)Аналогично получа¬
ются специальные
функции для осталь¬
ных коэффициентов
жесткости — элементов
матрицы реакций стер¬
жня, которые указаны
в табл. 10.1. Формулы
для специальных функ¬
ций фг(и), T)i(u) даны вприл. 3, в котором приведены также таблицы этих функ¬
ций для тех значений о, которые необходимы при опре¬
делении критических нагрузок для рам.Анализ таблиц прил. 3 показывает, что при и = 0 все
специальные функции равны единице, т. е. при отсутствии
продольно-поперечного изгиба коэффициенты жесткости
стержня принимают значения, которые используются в
задачах статики.Если какие-либо стержни рамы растянуты, то влия¬
ние растягивающих сил на деформации изгиба можно
также учесть введением соответствующих специальных
функций метода перемещений. Во многих случаях, одна¬
ко, этим влиянием пренебрегают, что идет в запас устой¬
чивости (несколько снижает РкР) и упрощает алгоритм
вычислений.§ 10.3. Расчет рам на устойчивость с помощью метода
перемещенийБудем в первом приближении полагать, что исследу¬
ется устойчивость рамы, нагруженной узловой нагруз-285
Таблица 10.1. Таблица реакций сжатого стержнякой, с известными значениями сжимающих стержни сил
Ni (рис. 10.5, а). Допуская, что при достаточно малых
значениях сил Ркр возможно безизгибное равновесие ра¬
мы, а также допуская, что все силы Рк изменяются про¬
порционально одному параметру Р, найдем его крити¬
ческое значение РКр методом Эйлера. Будем определять,
при каком минимальном значении Р-ьф» возможно рав¬
новесие рамы в искривленном, смежном, состоянии (рис.
10.5,6). Уравнения равновесия в смежном состоянии за¬
пишем в форме метода перемещений с использованием
матрицы жесткости системы.RZ = 0,	(10.8)286
иEX7~r7777777~TTT77~7~7T?Рис. 10.5Рис. 10.6или в развернутом видег 11^1 -Н riiZz +... + rin %п = о>“Ь л22^2 + • • • +'’гп = 0;
rnl + r n2 + • • • + rnn Zn = 0.(10.9)287
Коэффициенты г & системы (10.9)—элементы матри¬
цы жесткости R — будем определять в основной систе¬
ме (рис. 10.5, в) как реакции по t-му направлению от
Zk= 1 (рис. 10.5, г) с учетом продольно-поперечного из¬
гиба сжатых стержней по формулам табл. 10.1.Пр имем в качестве основного параметр v для одного
из стержней v = l0 VNo/Eio. Поскольку все силы Ni про¬
порциональны Р, то каждый i-й стержень можно харак¬
теризовать параметром и(=/,- VNilEJit линейно выра¬
жающимся через v : tv=pit’, где р*— числовой коэффи¬
циент, не зависящий от Р.Таким образом, элементы rik матрицы жесткости R
являются функциями одного параметра v: rik = rik(v) и
можно исследовать, как зависят решения системы одно¬
родных уравнений (10.9) от этого параметра, например,
с использованием определителя.Ненулевое решение системы (10.9), соответствующеесостоянию смежного равновесия Z=^0, возможно лишь в
случае обращения в ноль определителя матрицы R. Ми¬
нимальный корень Umin уравнения|Я(у)! = о	(10.10)дает, согласно (10.4), критическую нагрузку Ркр.Уравнение (10.10) имеет бесконечно большое количег
ство корней (рис. 10.6), соответствующих эйлеровым
силам системы с бесконечно большим числом степеней
свободы.Каждой высшей эйлеровой нагрузке Р/,Эйл>-Ркр соот¬
ветствует своя форма равновесия, которая неустойчива
и практически не существует без введения дополнитель¬
ных связей.Определить любую форму равновесия, в том числе и
форму потери устойчивости при Р = Р\,э&я, можно, вычис¬
лив для корня щ все щ и решив систему однородных
уравнений (10.9). При v = vmyn решение системы (10.9)
дает форму потери устойчивости. Решение определится
с точностью до множителя. Полагая одно перемещение
Zk = 1 и перенося £-й столбец в правую часть системы
(10.9), найдем, решая («—1) уравнения, остальные (п—-—	1) значения Z/, характеризующие форму потери устой¬
чивости, т. е. вектор Zy.Это позволяет часто качественно проверить правиль¬
ность решения. Например, для системы (10.5, а) при по¬288
тере устойчивости горизонтальные перемещения всех уз¬
лов должны быть одного знака и величина их должна
нарастать по высоте рамы. Невыполнение этих соотноше¬
ний говорит об ошибке в расчете, либо о том, что опре¬
делен корень Vj соответствующий высшей эйлеровой на¬
грузке.Разрыв в графике рис. 10.6, обращение в бесконеч¬
ность R(v), соответствует тем значениям v, при которых
теряет устойчивость какой-либо элемент основной систе¬
мы. Для t'-ro стержня основной системы, имеющего с
обоих кондов связи, препятствующие перемещениям и
поворотам крайних сечений, Л7,кр = (2л) 2EJi/l2[. При тех
значениях Р, при которых Ni=Ni,кр, некоторые элемен¬
ты матрицы жесткости г,к и определитель |#(у)| обра¬
тятся в бесконечность.	-Решение трансцендентного уравнения (10.10) явля¬
ется арифметически непростой задачей и требует привле¬
чения вычислительной техники.В случае небольшого числа неизвестных использова¬
ние таблиц прил. 3 позволяет решать задачи устойчиво¬
сти и «вручную». Для симметричных систем возможны уп¬
рощения, связанные с введением симметричных и анти¬
симметричных обобщенных перемещений.Например, определяя критическую нагрузку для симметричной
рамы (рис. 10.7, а), будем изучать отдельно симметричную и анти¬
симметричную формы равновесия, для которых в этой задаче кано¬
нические уравнения разделяются:Первое уравнение приводит к. определению согласно рис. 10.7,6
коэффициента г и с учетом продольно-поперечного изгиба вертикаль¬
ных стержнейПриравняв гц нулю, получим характеристическое уравнение <рг(у) =
= —3/2, минимальный корень которого согласно прил. 3 дает: ti| =
= wmin = 5,53, откуда Р1эйл = о^1;п£'///2 = 30,6£//Р.Для антисимметричной формы равновесия (рис. 10.7, в) опре¬
делим согласно рис. 10.7, г Г22:	.Характеристическое уравнение (при г2г=0) ф2(у)=—2,5 дает со¬
гласно прил. 3 02 = 5,76, Р2,айл = 33,18£///2. Таким образом, крити¬
ческой нагрузке Pkp = P™J" =30,6EJ/lp- соответствует симметричная
Форма потери устойчивости. Действительно для сжатых стержнейriiZi— 0; г22^ 2 — 0.(10.11)19-753289
Рис. 10.10•Щг Рис. 10.8
-амы ригель является как бы упругой, заделкой, жесткость которой
Ери симметричной деформации меньше, чем при антисимметричной.
Меньшей жесткости закрепления соответствует меньшая критическая
нагрузка. Система менее устойчива.Теоретически могут существовать системы, для кото¬
рых минимальные эйлеровы силы, соответствующие сим¬
метричным и антисимметричным формам смежного рав¬
новесия, одинаковы £,1,эйл=Р'2)эйл=/3Кр. Например, для
системы на рис. 10.8, а при одинаковых жесткостях се¬
чений стержней EJ форма потери устойчивости зависит
от соотношения размеров I и h. Очевидно, что при боль¬
ших 1г и малых I потеря устойчивости будет происходить
по антисимметричной форме (рис. 10.8,6) ЛГ'ял >
>Р1 ,эйл* При l^>h форма потери устойчивости будет
симметричной: Р'* < Р\%\л (рис. 10.8, б). Это озна¬
чает, что можно подобрать такое соотношение размеров
h и I, при котором Рьз'лл = йл. Таким образом, урав¬
нение (10.10) может иметь кратные первые корни.
В этом случае график R(v) касается оси v в точке с абс¬
циссой ^min (рис. 10.9). В этом случае при vi = v2:=vmisl
ранг матрицы R будет равен п—2, и система имеет бес¬
конечно большое количество форм смежного равновесияL -.kxZctm+k2Zac, где k\ и k2 — произвольные действи¬
тельные числа.Практически для плоской стержневой системы такая
ситуация точного совпадения первых корней vt и v2 ма¬
ловероятна, но для пространственных систем, обладаю
Щих несколькими плоскостями симметрии (рис. 10.10),
кратные корни реальны и связаны с одинаковыми кри¬
тическими нагрузками при потере устойчивости в раз¬
личных направлениях, например х и у.Близкие корни при графике определителя, показан¬
ном на рис. 10.9 пунктиром, могут встретиться в расче¬
тах и плоских, и пространственных систем.	»г§ 10.4. Понятие о применении метода перемещений
8 задачах устойчивости сложных системПри определении критических . нагрузок,, например
Для пространственных систем вида, приведенного на рис.
Ю.10, необходимо использовать ЭВМ. При этом следует
Учитывать продольные деформации стержней, что свя¬
зано с алгоритмом метода и нуждается в пояснении.Вернемся к примеру, показанному на рис. 10.7, а. При19*291
возрастании нагрузки Р вертикальные стержни сжима¬
ются, и еще до потери устойчивости все стержни рамы
слегка искривляются. Реально потери устойчивости в
смысле разветвления форм равновесия здесь не будет.
Будет близкое к этому явление продольно-поперечного
изгиба с резким возрастанием перемещений при Р-^-Ркр,
Более подробно этот вопрос рассмотрен в гл. 14. Допу¬
стим, что рама имела вначале такие искривления — стро¬
ительный подъем (рис. 10.11, а), — что при Р=Ркр в ре¬
зультате сжатия стоек все стержни выпрямились и рав¬
новесие рамы стало точно безизгибным (на рис. 10.11, а
жирная линия).При переходе рамы в смежное состояние искривление
стержней невозможно без их дополнительного растяже¬
ния (сжатия) (рис. 10.11,6). При изгибе возникают по¬
перечные силы AQ, и из равновесия узлов следует появ¬
ление дополнительных продольных сил AN и удлинений
стержней. Узлы рамы при потере устойчивости не только
поворачиваются, но и перемещаются по вертикали и го¬
ризонтали. Пренебрегая этими перемещениями, мы со¬
кращали число неизвестных, как и в расчетах на проч¬
ность «вручную».При составлении на ЭВМ матрицы жесткости для
сложных систем алгоритм стандартизируется, если учи¬
тывать продольные деформации стержней, т. е. в данном
примере принимать основную систему в виде рис. 10.11,0
с тремя неизвестными Z; в каждом узле. При этом до-292
лолнительные специальные функции будут связаны толь¬
ко с изгибами стержней, что учитывается при составле¬
нии стандартных программ (процедур) для ЭВМ. В за¬
дачах устойчивости пространственных систем в каждом
жестком узле будет шесть перемещений Z,— три угла
поворота и три линейных перемещения.При определении vm\n и построении по точкам графи¬
ка определителя |R(v) \ (рис. 10.12) можно в случае
матриц высокого порядка столкнуться с другой трудно¬
стью. Определитель матриц высокого порядка может
быть очень большим или очень малым числом в зависи¬
мости от масштаба (размерности) чисел Действи¬
тельно, умножая, например, каждое щ на 10 (перенося
запятую на одну позицию), мы изменяем определитель
на 10л. Если число неизвестных п имеет порядок сотен
пли тысяч, то даже такая операция может обратить оп¬
ределитель в машинный ноль или вызвать переполнение
разрядной сетки ЭВМ.Корень Утш можно определить и не вычисляя значе¬
ний определителя, а лишь анализируя их знаки. Выбрав
шаг Аи, будем для каждого значения vk = kAv (/г=1, 2,
3,...) вычислять с помощью специальных функций
Фdvk), T\i(vk) элементы rik и формировать матрицу
R(vk). Далее для определения знака определителя до¬
статочно привести матрицу R, например, прямым ходом
по Гауссу, к треугольному виду(10.12)При малых значениях v, т. е. при малых параметрахнагрузки Р квадратичная форма Э= ([j2)ZTRZ будет по¬
ложительно-определенной, DetjR>0. В этом случае все
элементы, расположенные на диагонали матрицы (10.12),
должны быть положительны. Определитель равен их
произведению. Появление при У/=/(Ду) на диагонали
отрицательных элементов говорит об изменении знака
определителя (см. рис. 10.12). Это позволяет засечь поX • * в
X • • •X • • •X • в •X • • •X • • •
X • • «
* • *Г)	X 1293
шагам значение щт& при котором хотя бы один элемент
на диагонали обращается в ноль (квадратичная форма
9=3(v) вырождается), и далее уточнить его внутри
последнего шага.Применение этой методики затрудняется в случае
кратных или близких первых корней (см. рис. 10.9). Да¬
же в случае близких корней при не слишком малом ша¬
ге Ду ЭВМ может пропустить корень ymin. Здесь нужны
особые приемы анализа квадратичной формы 3 == ('/2)ZTRZ, на которых здесь мы не имеем возможно,
сти останавливаться.ГЛАВА 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
И ПЛАСТИН§ 11.1, Дополнительные сведения об энергетическом методеВ расчетах упругих систем энергетический метод
обычно используется как приближенный, поскольку не¬
известна форма потери устойчивости упругой системы.
Например, формула (7.31) критической силы для стер¬
жней переменной жесткости дает точное решение, если в
нее подставить форму потери устойчивости стержня у(х),
заранее неизвестную.Прежде чем обсуждать использование таких формул,
вернемся для простоты к системе с одной степенью сво¬
боды и получим аналогично результатам §§ 7.2, 7.3 удоб-1
ное во многих задачах выражение для работы внешних
сил W,Рассмотрим симметричную систему абсолютно жест¬
ких шарнирно соединенных стержней, упруго закреплен¬
ных на опорах А и В (рис. 11.1, а). Жесткость упругих
закреплений с — коэффициент из формулы М = сср. Вы¬
ражение энергии деформации U=	записыва¬
ется с точностью до малых второго Порядка U = (с1‘2)У\
х (< гЧ'.О (рис. 11.1,6). Углы ф! и ф2 отличаются на
малые второго порядка малости.С учетом симметрии системы можно считать ф1 =
= ф2==ф, так как в выражение U эти углы входят во
второй степени(11.1)294
Рис. 11.1Сложнее вычислить работу
внешних сил W = P(A 1—Л2)-
С точностью до малых первого
порядка Л-,«Ля и W—Q. Это¬
го недостаточно для решения
задачи. Для записи работы Wр г, .рс точностью до малых второго
порядка необходимо с такой	.же точностью записывать вы-	Рис 2ражение перемещений А] и Д2,	' '	.т. е. нельзя считать антисим-метричиым состояние смежного равновесия, и необходи¬
мо даже в этом примере решать громоздкую геометри¬
ческую задачу.Расчленим мысленно систему на стержни и узлы
(рис. 11.1, б) и запишем работу W через силы JV,-, кото¬
рые в недеформированном состоянии легко выражаются
через Р: N\ = Pjsina\ A?2 = P/tga; N3=N\. Силы, при¬
ложенные к узлу, находятся б равновесии и их возмож¬
ная работа на перемещении узла равна нулю (рис.
11.1, г). Силы Ni, сжимающие стержни, также находятся
в равновесии, но их работа, согласно результатам § 7.2,
с точностью до малых второго порядка равна Wt=
~{42)NiUy] (рис. 11.1,5), где у; — угол поворота t-ro
стержня	,В формулу (11.2) малые углы у,- входят во второй
степени, и их можно записывать с точностью до малы к(П.2)295
первого порядка. Например, для симметричной системы
по рис. 11.1, а можно записать у|=Уз = ф и согласно
рис. 11.1,5, е, 72 = 2 cos вер, т. е.w = ;-(2N1l(f2 + 4N2l cos2 аф2) =-. (2— -/ +4 (Р/tg a) I cos2 а) ф?,2	2 \ sin а	/ ^Из условия 3 = 0 (U—W) получаем в этой задачес sin с/,^кр / (1 + 2cos3 а)В частном случае а = д/2, Лг2 = 0 при антисимметрич¬
ной форме равновесия каждый вертикальный стержень
теряет устойчивость как бы независимо от другого. Ре¬
шение в этом случае совпадает с полученным в (7.2)
Р кр = с//.Таким образом, запись работы внешних сил Р через
внутренние силы основного напряженного состояния(11.2)	позволяет избежать решения громоздких геомет¬
рических задач для заданных систем и использовать
стандартную формулу для сближения крайних сечений
элементов при их повороте на угол у: (‘/2 Ну2- По суще¬
ству, выражение (11.2) при /V; = const = .P использова¬
лось в § 7.3, когда перемещение Д (см. рис. 7.14) сумми¬
ровалось за счет поворотов нескольких стержней.В формуле (11.2) считаются положительными сжи~
мающие силы, производящие положительную работу при
повороте элементов. Если система имеет растянутые
стержни, то соответствующие им слагаемые вводятся в
выражение (11.2) со знаком минус.Например, используя формулу (11.2), легко доказать
устойчивость висячей системы, показанной на рис. 7.1, а.
Для нее U — 0 и, поскольку все стержни растянуты,
W<0. Отсюда Э = и—W~>0, система устойчива.Предоставляем читателю самостоятельно решить следующую за¬
дачу: определить, при каких значениях U устойчива система, пока¬
занная на рис. 11.2; Р, I и а. считать фиксированными. Наклонные
стержни — не связаны (свободно проходят один через другой). Оче¬
видно, что при малых значениях li система устойчива, так как растя¬
нутый средний стержень при малых отклонениях поворачивается на
сравнительно большой угол и W<0. При больших /, система будет
неустойчивой. Интересно, что можно ввести здесь понятие критиче¬
ской длины /i,kj>, а не критической силы (сила Р фиксирована). Ис¬
следование устойчивости сводится к определению Л,(ф. Ответом яв¬
ляется выражение Ii,„p = 2/coss« »Выражение работы внешних сил W через внутренние
силы основного напряженного состояния широко исполь¬296
зуется и в приближенных решениях более сложных за¬
дач устойчивости систем с бесконечно большим числом
степеней свободы. Простейшая такая задача рассмотре¬
на в следующем параграфе.ti(*f§ 11.2. Устойчивость стержней переменной жесткости
при переменной продольной силе	чРешая задачу устойчивости для стержня переменной
жесткости Е1(х), сжатого переменной по длине продоль¬
ной силой N (х) (рис.11.3, а), применим
энергетический метод.Для энергии деформа¬
ций U используем вы¬
ражение (7.28). Рабо¬
ту внешних сил W за¬
меним формально ра¬
ботой внутренних сил
М(х), представив стер¬
жень как сумму беско¬
нечно большого числа
бесконечно малых эле¬
ментов длиной dx и за¬
менив в формуле(11.2)	сумму интегра¬
лом.Дифференциал dW,
согласно рис. 11.3,6,
выражается через угол
поворота одного эле¬
мента:dW=C/2)N(x) (у')Чх.Интегрируя это вы¬
ражение, получаем для энергии Э
мость:'i ! f JУ 2Х *3Рис. 11.3следующую завися--ifEJ (*) (у")» dx-иN (*) (у') dx,где через N(x)=N(x)/P обозначена функция (эпюра)
продольных сил при Р= 1 (рис. 11.3,а). (По-прежнему
предполагаем, что все нагрузки возрастают пропорцио¬
нально одному параметру Р).297
Если известна форма потери устойчивости, то, прирав¬
нивая Э=О, получим для Ркр формулу Тимошенко в бо¬
лее общем виде, чем выражение (7.31) :I , 'j EJ (х) (у")г dxАв = "7	•	(11.3)j N (х) (у')'2 dxИспользуя эту формулу как приближенную, необхо¬
димо подставить в нее у(х), близкую к форме потери ус¬
тойчивости и удовлетворяющую кинематическим гранич¬
ным условиям (условиям закрепления). Например, для
задачи рис. 13.3, а обязательно удовлетворение началь¬
ным условиям г/(0)=0, у'{0)=0. Точность решения по¬
вышается, как и при применении метода Ритца в задачах
статики, если у(х) удовлетворяет статическим гранич- •
ным условиям. Например, для рассматриваемой задачи
М(1) =0, т. е. у" (I) =0. Удобно принимать за г/(х) форму
потери устойчивости сжатого стержня постоянного сече¬
ния при /V = const и тех же условиях закрепления у{х) =—	\—cos , или функцию, пропорциональную прогибуот поперечной нагрузки при £7 = const (рис. 11.3, в).Покажем, что при использовании формулы (11.ЗУ
как приближенной будем всегда получать завышенное
значение критической нагрузки. Запишем выражение Wв виде W = PW, где W = ('/2) (х) (y')2dx—работаовнешних сил на заданной кривой у(х) при Р= 1. По¬
скольку при Р = РКр величина Зз&О и равна нулю только
при функции у{х), совпадающей с формой потери ус¬
тойчивости, то U—PKPW>0 на любой другой кривой
(ср. с рис. 7.15,6, где показано, что энергия вырождает¬
ся при Р — РКр только на одном векторе, характеризую¬
щем форму потери устойчивости. Для любого другого
вектора при Р = Ркр 5>0). Таким образом, получаемPKI><UIW,	(11.4)где знак равенства будет только в случае подстановки вU и W истинной формы потери устойчивости. Механиче¬
ский смысл этого такой же, как при использовании ме- ]
тода Ритца в задачах статики. Задавая форму потери298В
устойчивости, мы заменяем систему с бесконечным чис¬
лом степеней свободы системой с одной степенью свобо¬
ды, накладывая некоторые обобщенные связи. Это дела¬
ет систему более жесткой, а значит и более устойчивой.
Критическая нагрузка возрастает.Аналогично можно задавать форму потери устойчи¬
вости с точностью до нескольких* параметров Zb Z2,...y(x) = h(x)Zi+J2(x)Z2+...+fn(x)Zn.	(U.5)Подставив (11.5) в выражение для Э, получим зада¬
чу устойчивости для системы с п степенями свободы (см.
§ 7.3). Из уравнений, аналогичных (7.21),дЭ	дЭ	дЭ	 =0; 	 =0, ..., 	 =0 (11.6dZt	dZ2	dZnполучаем для Z, систему однородных уравнений:(ац — РЬц) Zx + (а12 — Pbl2) Z2~\~ ... + (чщ — Р^т) = 0;(о«х — РЬщ) Zx + (ап2 — Pbn2) Z2 + ... + (апп — Pbnn) Zn=0;(11.7)I	„ „	{- , ,где а . = I EJ (.*) f] /'• dx; b.. = f N (*) /'. /у dx .	(11.8)о	о	.В матричной форме (Л — ЯВ)2 = 0.	(П-9)Минимальный корень характеристического уравнения\А — РВ\ = 0	(11.10)дает критическую нагрузку Ркр. Подставляя Ркр в (11.7)и решая эту систему, получаем Z и далее по формуле
(11.5)—форму потери устойчивости.§ 11.3. Исследование устойчивости стержневых систем
энергетическим методом в форме метода конечных элементовПри исследовании устойчивости стержневых систем
энергетическим методом естественно в качестве парамет¬
ров, входящих в (11.5) и характеризующих деформа¬
ции системы, принять перемещения и углы поворота уз¬
лов системы Z,, а также отдельных сечений стержней.
Задаваясь формой изгиба стержней ср», можно избежать
применения специальных трансцендентных функций и
свести задачу определения Ркр и формы потери устойчи¬
вости Z к алгебраическим задачам вида (11.9), (11.10).299
Если стержни системы имеют постоянную жесткость
£7K=const, то можно, приняв в качестве формы изгиба
те же функции формы, что и в задачах статики, полу¬
чить для элементов а.; и Ь;, (11.8) простую механичес¬
кую и геометрическую трактовку.Рассмотрим задачу изгиба стержня (рис. 11.4) от
поворота левой заделки на малый угол Z. Представим
энергию в виде3	= YruZ*.	(11.11)В главе 10 продольно-поперечный изгиб стержня учи¬
тывался введением в Гм множителя fifa)/reef'll %{£/),
где г j, = 3 EJ/l- v^lVW0,В данном случае запишем энергию Э в виде суммыЭ	= и°-]-П=ио—W. Задаваясь для прогиба у{х) от по¬
ворота Z = \ такой же
функцией fix), как и
в задачах статики, без
% учета N:y{x) = f(x) = x —3	*2 I х3
Ряе. 11.4	2 1 2 1*получим согласно(11.8)t■ 1 п 9	в Г ■	3£7и°= Y ' и Z ’ где *R = EJ (П2 dx = - : - ;оI	_w = NA .= — P'Cn'/.z, где §д - j N (/')* dx — ‘ — ; (11.12)оN = N/Р\ Р — основной параметр нагрузки.Таким образом* в выражении (11.11) коэффициент
жесткости представляется приближенно в виде ги =
= гп —Рун, где Гп —жесткость без учета продольно¬
поперечного изгиба; -уц — коэффициент, пропорциональ¬
ный перемещению Д (см. рис. 11.4). Будем его называть
геометрическим коэффициентом и определять по форму¬
ле (Г!.12).Аналогично для любого коэффициента гц. метода пе¬
ремещений получаем выражениеrik-r}k~Pyih,	01.13)300
J »где	=	-Ч -VJk=Sj NjViiVkjds.	(11.14)i оВ этих формулах, как обычно, суммируются коэф*
фициенты по стержням, деформирующимся в основной
системе от 2=^1. Для каждого из этих стержней при
EJj=const; yVj=const коэффициенты жесткости г% и
геометрические коэффициенты уцг можно взять из табл.
11.1. Они получены аналогично коэффициентам по
(11.12).Таблица 11.1. Приближенные значения реакций стержня
в методе перемещенийКвадратичную форму 9(Z) представим в виде Э == {^k)ZTRZ, где Z — вектор перемещений, R — матрица
Жесткости с учетом продольно-поперечного изгиба стер¬301
жней. В отличие от точного представления через спеца,
альные функции R определяется здесь по формуле=	(i 1.15)R° — матрица жесткости без учета сжимающих сил; Г — матрица ге¬
ометрических параметров, состоящая из элементов ЗД (11.14).Уравнения энергетического метода (11.6) приводят к
системе(R« — РГ)1 = 0.	(11.16)Определяя минимальный параметр Pmin, при кото¬
ром эта система имеет ненулевое решение Zu получаем
приближенное, несколько завышенное значение критиче¬
ской нагрузки РКр~Ртт и форму потери устойчивости Z1
Значение Ркр можно определить, решая характерис¬
тическое уравнение\R° — РГ| = 0	(11.17)либо обращая матрицу R0 и вычисляя матрицу податли¬
вости Л°=(/?0)-1, привести решение задачи к определе¬
нию старшего собственного числа Ятах и соответствую¬
щего собственного вектора Z\ матрицы С=Л°Г.
Уравнение (11.16) эквивалентно равенствуСУ. XZ,	(11.18)где С = (R°)~l Г; /. 1/Я; W=!/Pmin.Задача определения Ашах и соответствующего собст¬
венного вектора Z\ является наиболее простой из задач
решения характеристических уравнений. Она легко ре¬
шается в большинстве случаев методом итераций. Поэто¬
му для матриц не слишком высокого порядка, который
определяется мощностью используемой в расчете ЭВМ,
приведение к задаче (11.18) является рациональным.
Она близка к задаче определения первой частоты и фор¬
мы колебаний упругой системы с заменой матрицы обоб¬
щенных масс М на геометрическую матрицу Г.Изложенная форма энергетического метода, предло¬
женная в работах В. В. Болотина (см., например, [8])
при выборе в качестве неизвестных узловых перемеще¬
ний, может быть также получена, согласно А. Р. Ржа-
ницыну, простым разложением специальных функций
cff(i')> »)i (>’) метода перемещений в ряды с удержанием
первый двух членов каждого ряда.302
Рис. 11.SТакая замена точных решений приближенными с по¬
мощью табл. 11.1 дает удовлетворительное решение
при достаточно малых значениях N/, когда критическое
значение Л^,Кр значительно меньше критической силы в
основной системе метода перемещений. Рассмотрим, на¬
пример, раму с абсолютно жестким ригелем (рис. 11.5, а),
которая характеризуется в состоянии смежного равно¬
весия одним перемещением. Уравнение ruzi = 0 дает:
гп=0. По табл. 11.1 получаем (рис. 11.5,6)12EJ	6 \	10EJр	ы ) кр Р .Точное решение Ркр=л2£///2. Погрешность (1,3%) ма¬
ла, так как в основной системе (рис. 11.5, в) стойки те¬
ряют устойчивость при нагрузке, превышающей Ркр в 4
раза. Графически это означает, что хорошую точность
методика дает, когда точка разрыва графика определи¬
теля (здесь — просто гц) находится далеко за значени¬
ем РКр (рис. 11.5, г).Если применить эту методику к определению Ркр для
рамы (см. рис. 10.7, а), то получим75 EJ'п = 24EJ	21 \ 6 EJI ~р~й) + ~~Г0; Р,кр~ /2Точное решение было найдено ранее: РКр = 30,6 EJjl2.
Неудовлетворительная точность методики для рамы с
несмещающимися узлами объясняется тем, что РКр близ¬
ко здесь к значению 4n2EJ/l2, которое в этой задаче так¬
же является критическим для основной' системы (рис.
11.6, а).Хорошую точность можно получить в таких задачах,
вводя большее число неизвестных. Проще всего это осу¬
ществляется введением более мелких элементов основ¬
ной системы (см., например, рис. 11.6,6). Это увеличи-303
вает в 4 раза критическую нй*
грузку для основной системы
что делает практически точный
решение по излагаемой мето¬
дике и для рам с несмещающц..
мися узлами.Увеличение точности реше¬
ния с уменьшением размеров
элементов, использование фуц«
кций формы и энергетическо¬
го метода позволяют рассмат¬
ривать данную методику как'
простейший вариант метода
конечных элементов примени¬
тельно к исследованию стерж¬
невых систем, ь таком же виде эта методика применя¬
ется и в задачах устойчивости пластинчато-стержневых
систем и оболочек с более сложными элементами (см.
главу 15).§ 11.4. Двусторонние оценки для критических нагрузок
некоторых систем. Учет следящих силРассмотрим в качестве примера раму с бесконечно жестким ри¬
гелем и дополнительной шарнирной стойкой (рис. 11.7, а). Здесь од¬
но неизвестное метода перемещений Жесткость системы гц —
реакция по направлению Zj — складывается по табл. 10.1 из реак¬
ции двух сжатых стоек (2- 12EJ/13)Т|г(а) и силы t=\ Р0==г>^ЕЛ/I3
которую можно назвать «толкающей» силой, так как она действует
по отношению к упругой раме в ту же сторону, в которую направ¬
лено перемещение, и уменьшает жесткость системы (рнс. 11.7, б);24£7ги — р Л 2 (у) — р ■Приравнивая в критическом состоянии гп нулю, находим мини¬
мальный корень характеристического уравнения r)2(t')—d2/24 = 0;
г] 2 (о.) =t)2/24.	‘Согласно рис. 11.7, в и таблицам прил. 3, t'mm = 2,65, Ркр —
= 7,02£У//2.Допустим, что это решение нам неизвестно. Легко получить для
Р,:р оценку сверху, перенеся все силы на шарнирную стойку. Тогда
рама будет играть роль упругой пружины с жесткостью с=24£///’
(рис. 11.7. г). Решая задачу устойчивости для этой системы с одной
степенью свободы, получим 3Ркр = с1, Ркр=8£///2. Система с одной
степенью свободы более устойчива, чем исходная, и мы получим для
РКр оценку сверху, т. е. приближенное решение.Интересно, что перенося все силы на шарнирный стержень мож¬
но получить и точное решение, если жесткость рамы определять с
учетом сжимающих сил S = P, «стягивающих стойки» (рнс. 11.7,5)-
Поскольку (риС. 11.7, е)'■£>)иШ304
t		.Б/1_rNQ pj~Рис. 11.7да.4EJ	2EJ '~ Ф2 (и) + ^ Фз (:’)V.где у == — , Q = 2 АШ,то жесткость рамы с учетом стягивающих стойки сил S = P получим
в виде4 EJс = 2ги = 2( 2ф2 (») + Фз (f)откудаРнр —8EJЗ/2(2фг (о) + Фз (у)')•(11.19)(11.20)Уравнение (11.20) легко решается методом последовательных
приближений. Получив на первом этапе при S=0 для v завышен¬
ное значение v =^8=2,83, подставим его в (11.20) и получим для
рамы с завышенными значениями сил 5 (менее устойчивой) оцен¬
ку снизу для Ркр6,87 EJ8 EJ*>нр —£Г (2-0,699 +1,18)РПогрешность «2 %: Этот процесс можно продолжить, но
обычно достаточно двух шагов, чтобы получить необходимую для
проектной практики точность.Аналогичные оценки можно производить и для других стержне¬
вых систем. Характеристика жесткости каждого стержня на сме¬
щение при фиксированной силе 5 определяется по формулегц = 4£7 [2ф2 (и) + фз (v)]/Pf где v = l\rS!EJ.Толкающие силы зависят иногда от геометрических параметров
системы на первый взгляд неожиданным образом. Например, оче¬
видно, что для системы (рис. 11.8, а) критическая нагрузка зави-.20—753305
Рис, 11.8Рис. 11.9сит от размера h, и может показать¬
ся, что с уменьшением h система
должна становиться устойчивее, так
как при h=0 ригель рамы как бы за- I
крепляется от горизонтальных пере¬
мещений. В действительности при
сколь угодно малых, но конечных
размерах стержней h горизонтальные
перемещения возможны, причем при
малых перемещениях рамы возника¬
ют большие горизонтальные толкаю¬
щие силы (рис. 11.8,6) t—PZifh, что
существенно снижает критическую
нагрузку. В отличие от рис. 11.7, д, е,
где мы разлагали вертикальные силы
Р на толкающие и стягивающие
стержень, здесь имеем реальные го¬
ризонтальные составляющие, которые
учитываются при определении жест¬
кости:24EJгде е =24 EJIs'nil.Наряду с этим можно привести примеры такого поведения
нагрузки в процессе деформации системы, которое увеличивает ее
устойчивость Это также примеры с силами, линии действия кото¬
рых проходят через фиксированные точки (рис. 11.9), например си¬
лами натяжения тросами, закрепленными в точках А и Л'. При пе¬
ремещении рамы возникают горизонтальные составляющие этих
сил /, как бы увеличивающие ее жесткость г,,:Ргу	24EJ , s 2Р 24EJ , , . МЫf = 7 ; ш = й ^2 (v) + , = ,я ш й)LI3РPLРели в расчете используется энергетический метод в форме
МКЭ, то сила F изменяет коэффициенты -уп геометрической матрицы24 EJ ,Гг1 = /з	'306
Sl.- - Z2 - 7?--ccmstРис. 11.106)N§ 11.5. Понятие о задачах устойчивости сжатых пластин
и методах их решенияПри сжатии тонкой пластины в ее плоскости (рис.
11.10) безизгибное равновесие пластины может стать
неустойчивым. Для исследования устойчивости исполь¬
зуются принципиально те же методы, что и в задачах
устойчивости стержней и стержневых систем. Простей¬
шим является во многих случаях статический метод (ме¬
тод Эйлера). Определяется минимальный параметр на¬
грузки РКр, при котором возможно равновесие пластины
в смежном искривленном состоянии. Смежное состояние
характеризуется функцией прогибов w = w(x, у). В за¬
дачах деформации пластин от поперечной нагрузки q=
=q{x, у), эта функция должна была удовлетворять диф¬
ференциальному уравнению= <?(*, у),гдед*врдх1+ 2dlwдхгду2+diw(11.21)(И .22)20*307
D = £63/12(l—ц2) — цилиндрическая жесткость пластины; б —
щина пластины; [Л — коэффициент Пуассона.Из уравнения (11.21) легко получить уравнение рав¬
новесия в смежном состоянии (уравнение устойчивости),
если воспользоваться понятием толкающих силНапример, в аналогичной задаче устойчивости стер¬
жня в уравнении £7yIV = q(х, у) роль нагрузки играла
величина — Ny" см. (7.25) (рис. 11.11,а). После искрив¬
ления стержня на элемент dx действуют силы, угол меж¬
ду которыми равен y"clx и которые дают вертикальную
составляющую (рис. 11.11,6) (/.), — —Ny", Положитель¬
ной кривизне отвечает отрицательная условная нагруз¬
ка.Аналогично для сжатой пластины, имеющей до поте¬
ри устойчивости внутренние силы Nx и А%, уравнение ус¬
тойчивости будет иметь видПри однопараметрической нагрузке Nx и Ny выра¬
жаются через параметр р, и метод Эйлера приводит к
следующей краевой задаче: определить, при каком ми¬
нимальном параметре нагрузки ртт уравнение (11.23)
имеет ненулевое решение w(x, у), удовлетворяющее за¬
данным граничным условиям.В общем случае эта задача не решается в элементар¬
ных функциях, и необходимо приближенное ее решение.
Например, можно использовать метод Бубнова — Галер-
кина и представить w(x, у) в виде двойного ряда по
полным системам базисных функций ср,-(х), tyk{y), удов¬
летворяющих граничным условиям,Условие полноты функций fj(x), tyk(y) состоит в том,
что имеется в области пластины единственная функция—
тождественный ноль, которая ортогональна ко всем ба¬
зисным слагаемым ср,- (.v)\|-.t (у) ряда (11.24).или(11.23)(11.24)
Подставляя ряд (11.24) в уравнение (11.23) и огра¬
ничиваясь несколькими слагаемыми г = 1, 2, 3, ..., т,
fc&hlf 2, 3, п, получим в левой части не тождественный
ноль, а функцию — невязку:где через L( ) обозначен дифференциальный оператор
.уравнения (11.23)L (	) +	) + ^^( )•Потребуем, чтобы г(х, у) была ортогональна первым
слагаемым ряда (11.24), т.е.Условие (11.25) дает тп однородных алгебраических
уравнений с тп неизвестными коэффициентами ащ. При¬
равнивая определитель этой системы, зависящий от р,
нулю, находим минимальный корень pmltl. Оператор
Ь{ ) уравнения (11.23) содержит только четные произ¬
водные по х и по у. Если в качестве <р,• (х) и \|-й {у) при¬
нять систему балочных функций (см. § 6.3), удовлетво¬
ряющих соответствующим граничным условиям при х —
=0, х=а и у = 0, у = Ь (условиям закрепления), то, ис¬
пользуя их свойства ортогональности, можно существен¬
но упростить решение. В частности, при шарнирном (сво¬
бодном) опирании и при A?3c=const, A^—const можно
получить и точное решение задачи, которое дано в сле¬
дующем параграфе.§ 11.6. Устойчивость шарнирно опертой прямоугольной пластиныРассмотрим случай прямоугольной шарнирно опер¬
той пластинки, сжатой силами px = Nx=const, ру =
==iVj,=const (рис. 11.2). В качестве базисных функций
примем тригонометрические функции <pm (х) — sin (тлх/а);=sin(ппу/b), которые удовлетворяют граничным
Условиям. Для w(x, у) имеем ряд0 0 \ t=lft==l //=1, 2, т, 1= 1-, 2,(11.25)п.ОО оот—\ n=1тпх ппу
amn sin —— sin ~Г~а	b(11.26)309
Рис, 11.12у/ щ,//// / 2 2 '777/77//////;'	<7Рис. 11.15Рис. 11.13Дифференциальный оператор (11.23) от	у)(11.26) получаем следующим:тпх ппуатп s>n	~ sin —~~а	оатп I Огаа пJ
а3-Рхтпх	плу‘Л-рг) si*» — ««•—3.10
В силу ортогональности синусов по координате хаI°	( 0 яри т ф ктпх кш 1sin	sin	dx = i аа	а	[— при т = kя аналогичного свойства по координате у, выражения
вида (11.25) обращаются в ноль, кроме членов, содер¬
жащих синусы одинаковых аргументов. Система уравне¬
ний распадается на независимые для каждого атп одно¬
родные уравнения. Каждая из функций sin (mnxja),
sin{tiny/b) может быть формой безразличного равнове¬
сия. Полагая йтпФО, получаем характеристические
уравнения {т= 1, 2, 3, ..., п = 1, 2, 3, ...)	'и2 в2DРх — Ру = 0 •	(Ч - 27)Зная соответствующие рх/ру и отношение а/b., мож¬
но определить из (11.27) /7min и соответствующие ему
номера т и к, т.е. форму потери устойчивости.Для квадратной пластины при а=Ь из (11.27) сле¬
дует, что минимальной нагрузке соответствует потеря
устойчивости при т=п= 1 по одной полуволне синусои¬
ды в обоих направлениях (рис. 11.13). Выражение для
соответствующей критической нагрузки можно записать
в виде(Рх + Ру)кр = 4я2£)/а2.	(11.28)Для прямоугольной пластины, вытянутой вдоль X,
т.е. при а>6 (рис. 11.14), потеря устойчивости может
происходить .по различным формам в зависимости от со¬
отношения а/Ь. Интересен случай сжатия вдоль длинной
стороны при ру=0. Обозначим рх=.р. Из {1.1.27) полу¬
чим/ т Ы \2
Рэйл = Ро ^ ^ “Ь т J ’	-29)где р0 =	а!Ъ = \.	(11.30)Минимальным будет рэйл при п= 1, т.е. црй одной по¬
луволне вдоль короткой стороны. В этом случаеPi,«8л = Ро <«*/! + |/,да)2 = kp<, ■	(11.31)Зависимость k от % и т показана на рис. 11.15. Кри¬
тическим нагрузкам при малых £ соответствует т=1.
При У'2<£< V & потеря устойчивости происходит иот
-(®)! r_,v,
iii.i1Lrr'J{щс, 7-vT'i(©)-*6:	-<	1ыьМ/•JРис. 11.16двум полуволнам в направлении оси х, при * 6<£<
< У 12 — по трем полуволнам (см. рис. 11.14) и т.д.
С дальнейшим увеличением | пластина при потере ус¬
тойчивости разбивается полуволнами на части, близкие
к квадратным (рис. 11.16), и Ркр в соответствии с фор¬
мулой (11.28) близка к 4n2D/b2.	/1Подробные таблицы для критических нагрузок (кри¬
тических напряжений аКр=Ркр/б) сжатых пластин при
различных способах их закрепления, а также для круг¬
лых пластин можно найти, например, в книге [13], а
также в справочниках.Рассмотрим здесь еще случай потери устойчивости
шарнирно опертой пластины, работающей на сдвиг в ее
плоскости (рис. 11.17,а). Сдвиг связан с появлением
сжимающего напряжения а2 = —т при сч—т и приводит
также к потере устойчивости по форме более сложной-
чем в предыдущем примере. Это можно наблюдать, за¬
ключив тонкую пластину в жесткую шарнирную рамуй312
нагружая ее в плоскости рамы (рис. 11.17,6). Можно
доказать [13], что уравнение равновесия в смежном со¬
стоянии будет в этом случае иметь в правой части «тол¬
кающие силы», зависящие от смешанной производнойd2wDy4w = ^2Nxy	где Nху—т*у6.Переписав (11.32) в виде/ д4 w	д4ш д*шI ■	■ ~	•дх дуD. + '\ дх* дхг ду1 1 дуА
видим, что дифференциальный•2 N-худ2 w
дх ду(И .32)= 0, (11.33)
L() содер-операторжит в этом случае нечетные производные, и каждый из
членов ряда (11.26) не является решением уравнения
(11.32). Необходимо удерживать большое количество
членов ряда по синусам или даже выбирать другие ба¬
зисные функции [13]. Не останавливаясь на деталях ре¬
шения, которое достаточно громоздко, приведем в табл.
11.2 лишь результат — значения коэффициента k из-Таблица 11.2. Значения коэффициента k для шарнирно опертой
пластины при сдвигеа/Ь11,21,41,61,835СОk9,347,977,306,906,646,045,715,34формулы xKp — kn2Dlb26 для различных соотношений
а/6.ГЛАВА 12. УСТОЙЧИВОСТЬ АРОК И АРОЧНЫХ СИСТЕМ
§ 12.1. Общие замечанияУстойчивости арок и арочных систем посвящено боль¬
шое число работ. Для круговых арок постоянного сече¬
ния задача довольно просто решается в замкнутом виде
путем интегрирования дифференциального уравнения
изгиба. Для арок пароболического очертания дифферен¬
циальное уравнение не решается в замкнутом виде, по¬
этому применяются численные методы, с помощью кото¬
рых составлены таблицы коэффициентов, позволяющих
проводить расчеты для простейших систем.313
Для арок переменного сечения задача сильно услож¬
няется, и также необходимо применение численных ме¬
тодов. Задача по определению критического параметра
сводится к решению характеристического уравнениягде С — некоторая числовая матрица; Е — единичная
матрица, величина X связана некоторым соотношением с
критическим параметром. Для наименьшего критическо¬
го параметра, так же как для стержней, приходится оп¬
ределять только один наибольший корень W Порядок
матрицы С зависит от очертания, граничных условий и
закона изменения жесткости по длине арки. Особое зна¬
чение имеют случаи, когда загружение вызывает во всех
сечениях арки центральное сжатие, при котором М и Q
до потери устойчивости равны нулю. В этом случае
очертание оси арки совпадает с кривой давления. Мат¬
рица С в уравнении (1.2.1), так же как для прямых
стержней, определяется по формулегде Lm — матрица влияния моментов; Bw — матрица упругих грузов.Построение этих матриц для каждой конкретной за¬
дачи составляет основную часть решения.§ U.2. Устойчивость круговых арок при гидростатическом
давленииДля плоского кривого стержня малой кривизны,
очерченного по окружности, дифференциальное уравне¬
ние радиальных перемещений имеет видгде Ш — перемещение точки оси арки по радиальному направлению;
го — радиус оси кругового стержня; М и В/ — изгибающий момент и
жесткость при изгибе; d§ — длина дуги, соответствующая углу d0
(рис. 12Л).Произведя замену| С — IE | = О(12.1)С L В,у/т V/ ’d3wiw	Мdw dw dQ
ds dQ ds1 dw d2 w 1 d2 wra dQ ’ ds2 J d62 ’вместо уравнения (а) получимd2 w(12.2)EJ о314
\ \a#Рис. 12.1V	1Рис. 12.4а)	Устойчивость двухшарнирной арки. Рассмотрим
Двухшарнирную арку (рис. 12.2), которая при гидроста¬
тической нагрузке утеряет устойчивость по форме, по¬
казанной пунктиром. В этом случае продольная сила во
всех сечениях одинакова и ра&на N=qr0. Если не учи¬
тывать обжатие (&jv=0), то первоначальное очертание
арки совпадает с кривой давления, поэтому изгибающий
момент в произвольном сечении в отклоненном состоя¬
ли равен Мв =Nw — qrQw.
тДифференциальное уравнение (12.2) примет вид I. d? wJ- n*w = 0,	(12.3)I/ , ^где п = у х+~^у-	(>2.4)Интегрируя дифференциальное уравнение (12.3), полу¬
чими = Л cos я0-j-5 sin яй.	(12.5)Граничные условия: при 0 = 0 ау = 0; при 0 = а да=0
дают Л = 0; И sin па- --•{), откуда при Вф 0 sina=0;
па —к, 2л, Зя, ...Наименьшему значению соответствует па = л, откуда,
учитывая (12.4), найдемJ Ж? \ EJ9кР~Л ** ~ ) | 'Для сжимающей арку силы N = qr0 получим критиче¬
ское значение/я2 \ EJNkv = [—-1)~-	(а)Для пологих арок при f//^l/5 угол а мал по срав¬
нению с я, поэтому единицей: в формуле (а) по сравне¬
нию с п2/а2 можно пренебречь, тогда	.Д;кр = № еЩ	(б)(здесь Sо — длина оси половины арки). Таким образом,
критическая сила для пологой арки приближенно сов¬
падает с силой, определяемой по формуле Эйлера для
прямого стержня, длина которого равна половине длины
оси арки S0.Рассмотрим теперь частный случай, когда а = л/2
(рис. 12.3). Критическая нагрузка, найденная по форму¬
ле (12.5), соответствует критической нагрузке для ради¬
ально сжатого кольца qKp = 3EJ/r'o. Изгибающие мо¬
ментов в точках А и В будут равны нулю. Система
превратится в две шарнирные арки. При со — я крити¬
ческая нагрузка равна нулю. Объясняется это тем, что
при а = я два шарнира сольются в один и система будет
изменяемой.б)	Устойчивость бесшарнирной арки. Для бесшар-
нирной арки наименьшей критической силе соответству-316
ет форма потери устойчивости, показанная на рис.12.4,	а. В заделках возникают моменты М0 (рис. 12.4,6) ,
0т которых эпюра дополнительных моментов изображе¬
на на рис. 12.4, в. Отмеряя угол 0 от вертикали, найдем
дополнительный момент в произвольном сеченииsin 0Ма = М,оsin аПолный моментМ = Qr0 w — М0 -sin V
sin аДифференциальное уравнение (12.2) примет видd2d02w	Мо r^sin (+ и2 w = ■EJ sin aгде n по-прежнему определяется равенством (12.4).
Интеграл полученного уравнения будет« Л г,	Csin0w = A cos и0 + В sin л9 +«2 — 1 ’где С =Мо Г1
EJ sin a(12.6)da>Граничные условия: при 0 = О,да=О; при 0 = а,	 =dB= 0, w= 0 дают Л = 0 и
В sin па +Bn cos па -4п2 — 1
Сп2 — 1sin a = 0;
cos а =0.(12.7)Приравниваем нулю определитель системы уравне¬
ний (12.7)sin пал2 — 1sin ап2— 1•	cos a= 0,откуда получим характеристическое уравнениеatg V , tg а
где v = па.(12.8)(12.9)(12.10)317
Очевидное решение .уравнения (12.9) v = a отбрасы¬
ваем, так как в этом случае q = 0. Определив из (12.9)
наименьшее значение уга;п Й учтя (12.10) и (12.4), най¬
дем критическую нагрузку/и2 \ EJ EJfcp= V-1	(12Л1)4	’ Щ	Ч)В табл. 12.1 приведены значения K=(v2/а2)' — 1 для
разных значений а.Таблица 12.1aсооо60°90°120 6150°О|К73,3418,1484,593,273в)	Устойчивость трехшарнирной арки. Трехшарнир¬
ная арка при антисимметричной форме потери устойчи¬
вости (рис. 12.5, а) имеет такую же критическую нагруз¬
ку, как и двухшарнирная. Объясняется это тем, что в ,
двухшарнирной арке при этой форме изгиба в точке С
момент равен нулю, что равносильно наличию шарнира.
Наряду с антисимметричной формой изгиба возможна
прямосимметричная форма, как показано на рис. 12.5,6.
Приведем без вывода формулу критической нагрузки
при симметричной форме потери устойчивости трехшар¬
нирной аркиEJ(12.12)‘/лр :2и \2Величина и определяется из характеристического урав¬
нения	.-^^ = 4(tgg~a) .	(12.13)и3	а3Обозначив f/кр. KEJ/r, , получим продольную силу в
арке NK-p = KEJ/rQ .Для сравнения устойчивости круговых арок при раз-1
ных граничных условиях в табл. 12.2 приведены соот¬
ветствующие значения коэффициентов К.Из данных таблицы видно, что минимальному значе¬
нию критической нагрузки для трехшарнирной арки при318
Таблица 12.2аБесшарнирнаяаркаДвухшарнирнаяаркаТрехшзрнирнаяг,арка30 °73,343527,0860 018,1486,7690°■ 333а=30° и 60° соответствует симметричная форма потери
устойчивости.г)	Устойчивость арки с упруго заделанными пятами.Данная задача схожа с задачей устойчивости бесшар-
нирной арки. Разница состоит только в граничных усло¬
виях (рис. 12.6). В отличие от граничных условий для
бесшарнирной арки здесь будем иметь: при 0 = 0 ш=0;dw	' —при 0 = 0, 01 = 0; при 0=а, —тг =— ^Фо——пИ^оФо» (12.14)где ср0 — угол поворота заделки от момента, равного единице.Из первого условия найдем А=0. Два других усло¬
вия в отличие от (12.6) приводят к двум уравнениям319
Между С и М имеется связь С — (Л1С/ Г') /EJ sin а. Под.;
становка в (12.15) даетВ sin па 4- МоBn cos па +EJ (ft2 — 1)'2О	1= 0;EJ (ft2 — 1) tg а
Приравняем нулю определитель+ Фо г0sin пап cos паEJо («2 - 1)IEJ (ft? — 1) tg ct
После всех преобразований получимv	а+ Фо го0.— ра,(12.16)tg v r tg агде безразмерные величины$! = п!) р = EJffolarg.	(12.17)Критическая нагрузка по-прежнему определяется по
формуле9кр —1EJг°гоКEJ(12.18)При р=0 уравнение (12.16) совпадает с уравнением
(12.9) для бесшарнирной арки, а при р = оо, sinu=0,
что совпадает с условием для двухшарнирной арки. Для
арки с упругозаделанными пятами значение К лежит в
пределах ШъЩК^Мз, где К0 относится к двухшарнирной
арке, К — к арке с упруго заделанными пятами, а Кз к
бесшарнирной арке.§ 12.3, Численный метод расчета круговых арокНа основании сходства двух дифференциальных
уравнений для радиальных перемещенийd- wМ
и для изгибающих моментов в кривом брусе
<р М мможно задачу определения перемещений w заменить за¬
дачей отыскания изгибающих моментов Мф от фиктив¬
ной нагрузки q=M/EJ, которую заменим грузами W.При определении радиальных перемещений упругие
грузы W необходимо прикладывать в радиальных на¬
правлениях, как показано на рис. 12.7. Будем рассмат¬
ривать случаи, когда g'min соответствует антисиммет¬
ричная форма потери устойчивости (см. рис. 12.2). В
замковой точке сечения имеется точка перегиба, где из¬
гибающий-момент равен нулю, поэтому в качестве рас¬
четной фиктивной схемы принимает кривой брус, пока¬
занный на рис. 12.7.Как было установлено в§ 12.2, изгибающий момент
в произвольном сечении M=qrgw. Вектор упругих грузовW (рис. 12.7) найдем по равенствуW = Вуу М = qr^ Вщ, w..Через грузы W выразим прогибыw = Lm W = qr0 Lm Bw wи получаем соответствующее характеристическое урав¬
нение	.	.1C — %Е [ = 0 , гдеС = 1тВц7; % =	 . (12.19).	-о21-753	■ 321
Матрицу Bw найдем по равенству (8.40). Для ее оп¬
ределения рассмотрим действие единичного груза в про.
извольной точке k (рис. 12.8). Разобьем ось полуарки
на 11 равных частей длиной 50 = г0р. Реакции RA и /^с
будутR* =sin /,'рRr =sin а	“	sin аИзгибающие моменты в точках i, k, j будут
sin i§ sin (a — /гр)mihmkhmjh — rosin asin sin (a — k$)= г о	:	sin asin 1ф sin (a — f|3)(i < k)\(12.20)sin aОбо¬значения углов i[3, k% j$ показаны на рис. 12.8.При делении дуги полуарки на 2, 3 и 4 части матри¬
цы Lm соответственно будут:sin2 6—Г о ■sin2 [3sin сс
2 cos J 1
1 2 cos pj’Азm — rosin a12 cos p
4 cos2 6 —(12.21)sm af 4 cos2 p — 1 2 cos p
2 cos p 4 cos3 p
1 2 cos pНетрудно также по формулам (12.20) вычислить эле¬
менты матрицы при любом числе делений п.Рассмотрим пример расчета арки переменного сечения, показан¬
ной на рис. 12.9. Пологость арки ///=1:6. Радиус гй=— +-Г"==of Л_ Ы_6Найдем угол а:= 0,75; а = 0,6435;
sin а = 0,6; р = а/4 = 0,168/'
sin р = 0,160182;322
cos P = 0,987087; sin2£ = 0,025659; cos2 (5 = 0,974342,
Матрица моментовLm — ro0,1239 0,0844 0,0428
0,0844 0Д667 0,0844
_0,0428 0,0844 0,1239_По формулам (8.41) находим элементы матрицы Bw'-622 = n111,51,211,2= 3,750;
= 5,208;1	3 1
*12	4 + 4 1)50,8-	= 0,250; Ь13 = 0;^21 — '11 1^23 = '4 1,5J	1_"Т 1,54 1,2
3 14 1,2= 0,292;
= 0,458;^32 — '11	14	1,2Следовательно,So= 0,313; &3i = 0.Bw — ■6 EJ04	0,54,167 0,250	00,292 3,750	0,458.0 0,313	5,208Перемножение двух матриц дает0,5409 0,3609 0,2616С — L Bw —Гр Sg
6 EJa0,4004 0,6726 0,5159
0,2030 0,3660 0,6839.Наибольшее характеристическое число этой матрицыга^max — 1,3466 ■6EJn(12.22)Вектор перемещений, определяющий форму изгиба, найденный
На ЭВМ одновременно с величиной Яшах, будетшт = [0,6966 1 0.7657J.21*323
Приравнивая выражения (12.22) и Я из (12.19), найдем6£70<?кр —	, •1,3466 ^S„Учитывая, что S0 = j3r0 = 0,16087го, окончательно получим9кр — '6EJn0,16087-1,3466^27,7-т,г3■оДля того чтобы судить о точности получаемых результатов, рас¬
смотрим пример расчета круговой арки постоянного сечения, для ко¬
торой имеется точное решение. Проведем три варианта решения,
разделяя длину оси полуарки на 2, 3 и 4 равные части. Матрица
упругих грузов для этого случая имеет вид55п-W ■2 EJ,0,10,1
1 0,10,1 1Для трех указанных вариантов матрицы Biw, B2w, В$ш coot-'
ветственно будут первого, второго и третьего порядков. Матрицы
Ci, С2 и Сз соответственно будут5-S,, г, sin2 fa
6£7sin al2m BW(j3 ~ B3W'5S0 rc sin2 p2 [2 cos 62 + 0,1 1+ 0,2 cos|
0,2 cos p2 2 cos62 + 0,lC11 ci2 c13
Ш C22 ^23
-c3i C3Z сзз55о r0 sin- p3
6EJn sin aгде cn = C33 = 4- cos2 83 + 0,2 cos p3 — 1;
c22 = 4 cos2 (53 + 0,4 cos p3;
ci2 = cZi = ca3 ш ^32 = 0,4 cos2 B3 4- 2 cos p3;
ci3 = c3i = 1 Ч- 0,2 cos Рз-(a)'Найдем характеристические числа матриц Си С2 и С3. МатриИ
% имеет только один элемент, которому и равно характеристик fjца Сческое число5S0 гй s in2 рх
6EJ0 sin а5rn12 EJ,pitg Pi-(б)Для матрицы С2 характеристическое число равно сумме элементов
любой строкиЛо —5S0 r0 sin2 р2
6£Уо sin а1,1(1 -f- 2 cos jy.(в)324
яр вычислении учтем равенство между собой некоторых эле¬
ментов матрицы Сг- Представим симметричную матрицу С3 в видаCu Cl2 Cl3j.	5S0r0 sin*PsC'\ — схлc12 c22 c12
c13 c12 cll.a„ =6£JsinaСобственный вектор этой матрицы также будет симметричным(г)W =(д)Используя равенство C3w = %sw, получим два уравнения
аГ) [(с11 + с1з) X + С!з] = Хз х\а0 [2Щм х + с2й1 = Ьз ■Исключая из этих уравнений X, получим: 2с1г*2 + (сп—Сц—Ci3)jc + ;
+ С,5 = 0.,Учитывая равенства (а), заметим, что выражение в скобках рав¬
но нулю, поэтому х~ У2/2. Подставляя это значение в формулу (д)
и учтя обозначение а0 (г), после преобразований получим:1 ■ 		 (/)Ь = —2 4- Ь +524Сравнивая приведенные значения X с его обозначением (12.19), най¬
дем критическую нагрузкуЗначения К для трех рассмотренных случаев определяются вы*
ражениями:12	! аК256х tg pi ’12(2 cos [^2 — 1)
Ufosinfe
24p2=f);Щ& S= 		,	,	,ft> tg2 p3 110 -f V 2 -f- (] + 5 \ 2} sec p3]
Точное значение K=n2la2—1.Таблица 12.3aТочноезначениеК% погре¬
шностиК,% погре¬
шностиК,% погре¬
шностиn/233,0623,051,73,0310,45,255,260,25,3015,280,60,310,11Ш-1,110,140,310,140,30,22423,51—223,96—0,224,010,040,19996,47—2,698,57—0,498,900,1	325
Для сравнения результатов численного решения с
точным приведена табл. 12.3 значений К при разных
значениях а. По данным таблицы видно, что расхожде¬
ния приближенных значений К.ь К2 и Кз с точным /(
весьма незначительны. Применяя этот метод расчета
круговых арок переменного сечения, получим высокую
точность, вполне достаточную для инженерных расчетов.§ 12,4. Устойчивость параболических арокПри действии равномерно распределенной нагрузки
в сечениях параболической арки за счет обжатия от дей¬
ствия продольных сил возникают весьма незначительные
изгибающие моменты. При расчетах на устойчивость
обычно пренебрегают обжатием и поэтому считают ар¬
ку безмоментной. Таким образом, кривая давления очер¬
чена по квадратной параболе, совпадающей с осыо
арки.Когда нагрузка достигает критического значения
<7кр, арка теряет устойчивость, изгибаясь по антисиммет¬
ричной форме, показанной пунктиром на рис. 12.10. Диф¬
ференциальное уравнение изгиба параболической арки
не решается в замкнутой форме, поэтому приходится
применять численные методы. В отличие от круговой
арки при гидростатической нагрузке в параболической
арке продольная сила изменяется по длине оси арки.
Изгибающий момент в произвольном сечении kНЩк — Ш w =-	wh>COS фйгде фй — угол наклона касательной к оси арки в точке k.Разбив ось на ряд частей и наметив узловые точки,
запишем вектор моментовM = HGw,	(12.23)где Я —распор от равномерной нагрузки ■— скалярная величина;w — вектор перемещений системы точек в направлении нормалей к
зпки; G — диагональная матрицаоси арки; G — диагональная матрицагС -	•	.	(12.24)sec ф3 JДальнейшее решение проводится так же, как для326
круговой арки. Вектор упругих грузов W=HBwGW. Пе¬
ремещения w будутw= HLmBw Gw,	(12.25)откуда (С — KF) w — 0.Приравнивая нулю определитель, получим \у
—А,£=0, где	Матрица С будет С—LmDwu.Матрица Bw будет определяться так же, как для кру¬
говой арки. Каждый груз W направляется по нормали к
оси арки. Желательно разбить длину оси полуарки на
части равной длины, что несколько упростит решение и
повысит точность результатов.Для определения длины полуоси арки необходимо
найти интеграл	.*=]/'(|2-2б)о327
Перейдем к безразмерным координатам. Обозначим:I	= ХЦ; т) = у/1; S - S.U.	(12.2?)При этих условиях переходим к условной арке с проде.
том, равным единице, и стрелой, равной m=f/l. Вмё
длины S теперь будем определять длину S0,5s_ I Vi+{^)dh (i2-28)0 “ ‘где r\—ордината оси арки при /= 1; f — m.Опуская преобразования, приведем готовый результат1_ 1
S = Tsec ф0 + “ In (4m -j- sec ф0)
Am(12.29)где ф0 — угол наклона каса'тельной к оси арки в начале координат
(рис. 12.11).При вычислении элементов матрицы Lm и Bw придет¬
ся определять длины всех участков Sk(k~п и	Для
этой цели найдем длину оси от начала координат в точке
А до произвольной точки k (см. рис. 12.11) с координа¬
тами ffe ИДля этой цели необходимо вычислить интеграл (12.28)
с верхним пределом, равным |& В этом случае вместо
формулы (12.29) получим формулуS»-S- — f-feb. +1„ i+iiii»', (l2. J16m \ cos ф/г	cos ерь IВсе вычисления при расчете на устойчивость парабо¬
лической арки упростятся, если разбивать длину оси на
равные части. При делении оси полуарки на п равных ча¬
стей с длиной S0=S/n придется определить координаты
с* и т]* всех узловых точек 1, 2,...— 1.Для этого необходимо длину Sk (12.30) приравнять
величине	где р*=1Дг, 2/п, 3/п,, (п—1)/п, чтоприведет к необходимости решения (п—1) раз транс¬
цендентного уравненияi-«w-o-w5~4 (aa.+i.-i tssuL)-*. С2Л16m ‘соэф/г	cos фй /где cpfe = arctg 4m(l —2£ft).Уравнение (12.31) удобнее всего решать с применени¬
ем ЭВМ; при небольшом числе делений п задача легко
решается с помощью электронных калькуляторов.3281
Приведем пример расчета на устойчивость арки беременного се¬
яния при действии равномерно распределенной по всему пролету
^грузки а. Разобьем длину оси полуарки на четыре равные части.
Матрицы Lm, Bw и G будут третьего порядка. Пусть ///--м-1/6.
gge основные размеры и значения жесткостей приведены на
рис. 12.12.Для определения геометрических элементов необходимо триж¬
ды решить уравнение (12.31), положив последовательно |5=0,25; 0,5;0	75 и определить значения гц; tg ср*; sin фь; cos cps для точек
|р, 2, 3, 4.Результаты вычислений приведены в табл. 12.4.Таблица 12.410§fsrsIa=tyk^=7tg<p4sin <pkCOS (p£10,115110,067910,513180,456570,8896920,237800,120830,349600,330010,9439830,366970,154870,177370,174640,9846340,5 ..0,16667001Примечание. S0~S/4 = 0,13372.Для построения матрицы влияния моментов рассмотрим дейст¬
вие единичного груза, приложенного в точке к, для расчетной схе-*
мы. изображенной на рис. 12.13. Все вычисления проведем при 2=1,
f=m. Тогда в окончательный результат необходимо ввести множи¬
тель I. На рис. 12.13 полупролет равен 0,5, а стрела — т. Реакция в
точке С равна 2Щ.Изгибающие моменты в точках г, k и | будут:= —Щф = CiM \
mhh = М> ~ 2Ы; |	. (12-32)mjb.= rk(\—2lj). )По рис. 12.13 при 1=1, f=m с учетом (12.27) имеет:rh = h COS Фг, + % + sin ф^;	]hi =*Щк —%i) ces.qv, | (12.33)—|fs). JПо формулам (12.33) находим .ri — li cos Ф! + 41 sin f, = 0,13342;
r2 = 0,26435; r3 = 0,38838;
c2i = (I2 — Si) cos ф2 H- (t|2 ~ ry sin ф2 = 0,13328;329
c3i — (£з — ?i) cos Фз +'(% — %) s'n Фз — 0,263!7;c32 = (?3 — §2) cos Фз + 1% — ^2) sin Фз = 0> 13313.Далее, используя формулы (12.32), найдем:	. ‘jm„ =^(1 —2y = 0,13342 (1 — 2-0,11511) = 0,10270;mi2 = Л! (1 —2^) = 0,06997; т/3 = 0,03550;m2i = a2 (1 — %) — c21 = 0,20349 — 0,13328 = 0,07021;mi2 = r2 (1 — \i) — 13863; m23 =^2(1 — 2|3) = 0,07033;m31 = r3 (1 — 2y — i31 = 0,29897 — 0,26317 = 0,03580;m32 r3 (1—2g2) — c32 = 0,07054;m33 =4Я -2У = 0,10333.Матрица влияния моментов (с округлением до четырех знаков пос¬
ле запятой) •“0,1027 0,0700 0,0355“0,0702 0,1386 0,0703 .	(12.34)0,0358 0,0705 0,1033..Найдем теперь по (8.40) элементы матрицы Bw■ Учтем при этом, что:Si	= S2 = S3 — S4 = 0,1336;b 11 = ■5-0,13372 / 10,8+15-0,13372 I 1
2 V 1,2
5-0,13372 / 1+ '1,211,5= 0,6965;
= 0,5015;\ 1,5+ 1 1 = 0,5572;.11 36I2 = 0,13372 j ——+1b23 = 0,13372 [ —4 0,8
1 14 1,23= 0,0418;= 0,0390;.	/ 3 I62v = 0,13372 	21	I 4 1,2632 = 0,13372 (-114 1,5= 0,0613;I1,5— П =-0,0334.На основании полученных величин составим матрицу By?:Bw~6 EJa0,6965 0,0418 0 "
0,0613 0,5015 0,03900	0,334 0,5572.(12.35)330
Диагональную матрицу G найдем по (12.24)
1,12400 =Перемножив матрицы L-,по-1,	6 EJ1,0593 . .	(12.36)1,0156.г (12.34), Bw (12.35) и G (12.36), получим
0,8522 0,4299 0,2286"0,6451 0,7923 0,4527
0,3288 0,4269 0,6125Характеристическое число этой матрицы Х= [l,606i/6£/0] Ю-’. При¬
равнивая это выражение 1/Н, получим:1	1,606/10-1.Н6 EJaУчтя,что H=ql2/8f, найдем критическую нагрузку при т—1/6
48 mEJ0 лп 0, £/0?кр —вектор,Р 0,1606
определяющий= 49,81форму изгиба, а)т= [0,779 1Собственный
0,687].Для круговой арки с тем же законом изменения жесткости при
гидростатической нагрузке мы получили (?Кр=47,85(£70//3)- Несколь¬
ко отличается также и вектор перемещений.Для оценки точности результатов расчета, получае¬
мых численным методом, рассмотрим пример, для кото¬
рого известно решение, полученное А. Н. Динником.
Пусть арка имеет постоянный момент инерции. Разобь¬
ем длину оси полуарки всего на две части, выбрав точку
k так, чтобы длина двух прилегающих к точке k частей
была одинаковой. В этом случае все матрицы будут
первого порядка; это позволит получить величину р в
виде формулы, содержащей основные размеры в буквен¬
ном виде. Вместо матриц Lm, Bw> G будем находить
их единственные элементы.Элемент матрицы влияния моментов в соответствии
с формулами (12.32) и (12.33) будет определяться ра¬
венством:	-{Lm}ii — I (Ik cos <ph + Лh. sin <pfe) (1 — 2|ft);элемент матрицы:5S0 '{В-Л6EJэлемент диагональной матрицы (12.24)':'	{G}ii = seccpft.Перемножив три приведенных элемента и учтя, что331
S0=50/, где J?-8- длина участков, прилегающих к точке
/г, при /=1; f = m, получим(Си) = %j:■' - ф + % tg Фй) (1 — 2gft).oEJВеличина {С} и является характеристическим числом \
матрицы С, которое связано с распором Н выражением
%-—\/Н. Следовательно:	№/		кр_ 8/ *откуда	48 mEJ	q"V = 5 (ih + % ■+ tg q>ft) (1 - 2Pft) So ‘Для удобства вычислений, произведя замену rpt =4	tn - % (1—gft), tgcp»i: = 4m (1—2^), окончательно по¬
лучимEJ9кр — &n ,3 >	(12.37)где9,6	mГД6 ° = О - 2ift) [1 + 16«a (1 - Ы (1 - 2|n)] 5o ' {Входящие в эту формулу величины и S0 определяют¬
ся на основе решения уравнения (12.31) с учетом выра¬
жения (12.29), Для нашего случая ((3 = 0,5) будем иметь
трансцендентное уравнение1	1 ! tg Фъ 1 4-sin Фь\sec Ф0 + — In (4m + sec Фе) - —	+ In -	= 0.4т	2т \cos ф^	cos ф^ )(12.39)Т а 6 л и ц а 12.5	/ 3тhSoК,К по Дикни-
ку% расхожде¬
ния0,10,245240,2565228,228,5— 10,20,233330,2745644,545,4—20,30,218960,3010947,646,51 •0,40,205620,3334343,343,9i0,50,194630,3697436,8. 38,440,60,186010,4088230,630,51 А0,70,179340,4499225,3.—0,80, 174160,4925121,1. 2040,90,170090,5362317,7—10,166850,580851514,16332
Здесь Фо угол наклона касательной к оси арки на опоре; щ ~~ 70
*g( в искомой точке & которая делит длину полуарки на две рав-
#1,ге части S0= 1/2 S,	_	-Результаты вычислений S0 и fe0 Для . разных т
приведены в табл. 12.5, Для сравнения в таблице даны
значения К, полученные А. Н.Динником.Анализируя данные этой таблицы видим, что даже
при делении оси полуарки всего на два участка, когда
определяется перемещение только одной точки, числен¬
ный метод дает высокую точность. Чем меньше т, тем
выше точность решения. Учитывая, что в строительстве
применяются в основном пологие арки при т = ’/е—Уз.
можно пользоваться рассмотренным методом при малом
числе делений оси полуарки. Заметим, что при т = 0,5
в результатах, полученных А. Н Данником, имеется 'не¬
точность, в чем легко убедиться, построив кривую изме¬
нения К. Точка с ординатой 38,4 не совпадает с плавной
кривой величин К.§ 12.5» Устойчивость параболической арки при действии
груза, приложенного в замкеСимметричная параболическая арка под действием
сосредоточенной силы Р, приложенной в замковом сече¬
нии С (рис. 12.14), испытывает симметричную форму
изгиба. При достижении силой критического значения
симметричная форма равновесия . станет неустойчи¬
вой, произойдет отклонение ар¬
ки в сторону, как показано
пунктиром на. рис. 12.14, а.Общие реакции опор А и
В пересекаются в точке С* на
расстоянии с-\-т от линии, со¬
единяющей шарниры А и В.Распор в двухшарнирной ар¬
ке постоянного сечения от си¬
лы, приложенной в замке, И —= 0,2344 (pl/f). Обозначимjj, = н01Н = /*//, (12.40)где #о=0,25 (Pl/f) — распор в трех¬
Шарнирной арке того же пролета I и
с Той же стрелой (.Следовательно,	jx== 0,25/0,2344 = 1,067. Из ра¬333
венства (12.40) найдем f* = \xj. Тангенс угла наклона
реакции к горизонтуI 2ц/= А	(12.41)Изменение изгибающего момента в произвольном сече¬
нии вследствие потери устойчивости будетM = Raw.	(12.42)Здесь w—перемещение точки k по направлению нормали к реакции
На, возникающее при потере устойчивости.Вектор моментов в ряде точек M=RAw = [P/2sin
Вектор упругих грузов, направляемых по нормали к ли.нии действия реакции, W=[P/{2 sin [i)]Bww. Вектор пе¬
ремещений w — LmW — [Pj{2 sin $)}LmRww. Характерис¬
тическое уравнение будет j С — ХЕ | =0,где С — Lm Slt7; % = 2 sin р/Я.	(12.43)После определения наибольшего характеристическо¬
го числа Хтах матрицы С найдемРкр — 2 sin P/^max*	(12.44)Рассмотрим вариант решения, при котором ось полу¬
арки разбита на две части. Все матрицы будут первого
порядка.Учитывая, что при определении элемента матрицы С
единичный груз необходимо приложить под углом 90° к
направлению реакции RA, найдем-	/(I — 2£д) % cosP + 4k sin Р).Для матрицы Bw имеем: {Bw}w = (5S0l)/6EJ. Следова¬
тельно, по (12.43)(С),с = [(5/ So)/6£7] (1 - S|0 (Ь cos р + % Sin © = Vax-По формуле (32.44) найдемРкр = (12EJ sin p)/[5l* .So (1 - Щ)Щк cos р + % sin р)] „Вынося в знаменателе cos р за скобку, а также учтя ра¬
венство (12.41) и выразив г\ь через после всех преоб¬
разований получим:Ркр = Кр ЕЛР,	(12.45)
Значения %k и S0 определены из решения уравнения
; 12.39); они приведены в табл. 12.5.Значения Кр, вычисленные по формуле (12.46) при
разных значениях т и при ц= 1,067, приведены в
табл. 12.6.Таблица 12.6т0,10,20,30,40,50,60,70,80,9. IКР1523,825,924,321,418,415,6313,311,49,8§ 12,6. Устойчивость параболической арки с заделанными пятамиНа рис. 12.15, а показана трижды статически неопре« ;
делимая арка, очерченная по квадратной параболе, при •
действии равномерно распределенной по всему пролету
нагрузки. При достижении нагрузкой критического зна«
ченин арка выпучится в сторону, как показано на рис,
12.15, а пунктиром. Вертикальным перемещением шар*
нира С пренебрегаем. Момент в замковом сечении будет
равен нулю, а в заделках А и В возникнут одинаковые
по абсолютному значению моменты Хи которые образу¬
ют антисимметричную группу лишних неизвестных. Та*
ким образом, в трижды статически неопределимой систе»
ме будем иметь одно антисимметричное лишнее неизве¬
стное Xi._	.Как в каждой статически неопределимой системе,
вектор моментов в ряде точек k (6=1, 2,я) опреде¬
ляется равенствомМ = М°р + /\f, жь
где МР — вектор моментов от нагрузки q(12,47)м°р ='Ком°р1335
и М — то же, от неизвестного Xi = l'^10АГцМ\ =LMiПорядок векторов М% к №% определяется числом то-,
чек (0, 1,п), в которых определяются моменты. Пере¬
мещение точки А равно нулю, поэтому в конце расчета
выпадут первый столбец и первая строка матрицы. Та¬
ким образом, окончательно получим матрицу третьего
порядка.Значение неизвестного Xt определяется равенством
Х1=-Д 1Р/би.	(12.48)Перемещение Ащ представляет собой угол поворота се¬
чения в основной системе на опоре А, который можно
определить как фиктивную опорную реакцию.Заметим, что линия влияния опорной реакции при
действии единичного груза, направленного по нормали к
оси арки, совпадает с эпюрой М.\ (рис. 12.16, а).Вектор упругих грузов, найденных по эпюре М°р,W°p= HB'W М°р,	(12.49)гдеВ w —6 EJ2 1
1 4 1
1 4 1
1 4(12.50)так как для
один приле-Первый элемент этой матрицы равен двум,
опорной точки (опора Л о} имеется только
гающий участок.Найдем теперь величину бц. Для этого примем дру¬
гое расположение осей координат, показанное на рис.
12.17. Для этих осей |* и rj*1-1* = 4т (|*)2;dr)*dscos ср уdr)*dl*rfl*— 8m|* = и;du
8 mИзгибающий момент от Xi = l в произвольном сечении
Рис, 12.18EJ 6.it, dr]* Y
l + l-r-l X= j M\ds = j (2|*)2 |/
о	о4in( фV'l + «2 duX dl*_ 1
8 m 64 m2После интегрирования получимIEJ8 n =128 m?(sec3 ф0 — 2S),(12.51)гДе S определяется по формуле (12.29); ф0 — угол на¬
клона касательной к оси арки на опоре А, <p0=arctg4/n.22~753	337
По формуле (12.48) найдемXj =— — - М\ Вуу М°р.
Oil(12.52)М\ — матрица-строка, которая получится из вектора М
путем его транспонирования. Она состоит из ординат ли¬
нии влияния фиктивной опорной реакции в точке_А. Эта
линия влияния фактически совпадает с эпюрой МиВектор упругих грузов для заданной системы с уче¬
том выражения (12.47) будетW=Bw {м% + х1 мг},где В^-—5S0 I
EJ0,5 1
0,1 1 0,1
0,1 1 0,1
0,1 1(12.53)Первый элемент этой матрицы, как и матрицы В*.7,
равен половине диагонального элемента. По упругим
грузам найдем вектор перемещений1=LmBw(M°p + X1Mi),	(12.54)где Lm — матрица влияния моментов, которая совпадает с матрицей,
применявшейся ранее для расчета двухшарнирной параболической
арки.Вектор моментов в основной системе согласно рис.
12.16,6 'М°р = HCw,(12.55)где Н — распор от заданной нагрузки (H = q!/8f), a G — диагональ¬
ная матрицаsec (piG =(12.56)sec tpnПодставив (12.52) и затем (12.55) в формулы (12.54),
после преобразований получим:w = HCw,где С = Lm Bw I Е—	ММ] BW)G.(12.57)(12.58)Уравнению (12.57) соответствует характеристическое
уравнение|С— fc,£|=0; %=\!Н.	(12.59)Определив наибольшее характеристическое число мат¬
рицы С по '(12.59) , найдем Якр==1/Ятах или9кр = 8//Р ^шах■	(12.60)Проследим технику вычислений на примере расчета ар¬
ки постоянного сечения, заделанной на опорах.Пример. Найдем критическую нагрузку для арки с заделанными
пятами при m=f//= 1/6. Разобьем ось половины арки на четыре рав¬
ные части (рис. 12.18,а). Эпюра Afi показана на рис. 12.18,6. По
формулам (12.29) и (12.51) найдем: S=0,53488; Е/би = 0,18737/.Абсциссы | при разделении оси полуарки на четыре равные час¬
ти вычислены по уравению (12.31) при (3=0,25; 0,5; 0,75 и приведе¬
ны в табл. 12.4; £i = 0,11511; |2=0,23780; |3=0,36697. Длина участка
между узлами S0 = 0,13372. Найдем матрицы, входящие в формулу
(12.5):М=10,769780,524400,26606Л^ = [1 0,76978 0,52440 0,26606].Матрицы четвертого порядка В^ и Bw найдем по формулам
(12.49) и (12.52):Д* . — So I2 1
1 4 15S0 I' &EJ0,5 0,1
0,1 10,1w 6EJ1 4 10,11 0,11 40,1 1Матрицы G и Lm даны равенствами (12.36), (12.34). Найдем про¬
изведения матриц, входящих в (12.58):[а{1 = Mi Mi —10,769780,524400,26606[1 0,76978 0,52440 0,26606] =1	0,76978 0,52440 0,266060,76978 0,59256 0,40367 0,20481
0,52440 0,40367 0,27500 0,13952'
0,26606 0,20481 0,13952 0,07079Далее находим
1-г— Ш ■°и18цS0 EJ6EJ ■ 0,18737X2,76978 4,60352 3,13344 1,58864
2,13212 3,54369 2,41205 1,22291
1,45247 2,41408 1,64319 0,83308
L0,73693 1,22482 0,83368 0,4226822*339
[,%1 = Е — —— [яг] =%0,67055 —0,54756 —0,37270	—0,18896
-0,25360 0,57850 —0,28690 —0.14546
-0,17276 —0,28714 0,80455 —0,09009
-0,08765 —0,14569 —0,09916 0,94973(12.61)Jw I6 EJ0,49503 —0,24372 —0,17427
-0,24386 0,76595 —0,01866 :
-0,17440 -0,01871 0,93982Элементы этой матрицы, отмеченные звездочкой, не вычислялись®
так как они не участвуют в дальнейших вычислениях (перемещение
опоры А равно нулю). Теперь числовую матрицу третьего порядка
необходимо умножить слева на матрицу влияния моментов (12.34),
которая была вычислена при расчете двухшарнирной арки, а также
умножить справа на матрицу G (12.36). Произведя вычисления, по-
лувим:	'55 ,2 Г 0,30998 0,29577 0Д438ГImB[a3]G = —5	 —0,12679 0,92939 0,52048 . (12.62)6£7• 10 [—0,19654 0,45912 0,90926_Наибольшее характеристическое число этой матрицы5	S„ S60 EJ1,337.Собственный вектор, характеризующий форму изгиба,
w= [0,41)7 1 0,8838].По формуле (12.60)_ 8/ 60 EJ
<?кр^ Z25S0/2 1,337 'Учтя, что So = 0,13372, а также ///=1/6, после вычислений получим
<?кр = (89,5£,/)//3.	(12.63)Для проверки точности численного метода рассмотрим случай
т = 0, что равносильно сжатию силой Р стержня, заделанного од-'
ним концом: и шарнирно опертого другим. Как известно, для этого
случая Ркр= (20,19£/)//2.Произведение[ах] = ММ\ =0,75 0,5 0,25] =0,75 0,5 0,25
= S 0,75 0,5625 0,375 0,1875
0,5 0,375 0,25 0,125
0,25 0,1875 0,125 0,0625340
учтя, что 8ц = 1/2Е1, найдем..:[а2] = [а'х] ВW	 So I&EJ2,75 4,5 3	1,52,0625 3,375 2,25	1,1251,375 2,25 1f5	0,750,6875 1,125 0,75	0,375Далее[аз] = Я — — [а2]
L Оц6 EJ0,6563 —0,5625	—0,3750 —0,1875—0,2578 O.Vei	—0,2813 —0,1406—0,1719 —0,2813	0,8125 —0,09380,0859 —0,1406	—0,0938 0,95310,49375 —0,23750 —0,16875
-0,23750 0,77500 —0,01250
-0,16875 —0,01250 0,94375Теперь вычисляем матрицу С, учтя, что S0=l/4;5,S0 V- Р96 EJПосле вычислений получим
где С„ =С=Lm BW Газ1= 'гз21'‘ 0,49375—0,23750—0,168751242—0,237500,77500—0,12500123-0,16875—0,012500,94375С =ЪР Р
384£7Со0,8375 0,8250 0,4125
-0,3000 2,6000 1,5000
-0,4875 1,2750 2,6375Наибольшее характеристическое число матрицы384 EJ^тя-к — 	 — 3,83.42,ЪРЕоткудаРкр — ;38420,03EJ5-3,8342
Разница с точным решениемР кр —EJР	В20,19£7меньше 1что сви¬детельствует о высокой точности численного метода.§ 12.7. Расчет арки с упруго заделанными пятамиРасчет на устойчивость арки с .уп-руго заделанными
Пятами (рис. 12.19) отличается от расчета бесшарнирной
арки тем, что при определении величины бц необходимо341
Рис, 12.19Рис. 12.20учитывать поворот упругой опоры от момента, равного
единице. В итоге получимугол поворота упругой опоры от единичного момента.Согласно формуле (12.52), изменится величина Х\,
что повлечет за собой изменение числовых значений эле¬
ментов матрицы С (12.58). Все матрицы, входящие в
формулу (12.58) и алгоритм расчета, останутся преж¬
ними.Приведем пример расчета неразрезной системы, показанной на
рис. 12.20, а. Основная система и эпюра М\ изображены на рис.12.20,6.	Ось арки с пролетом I очерчена по квадратной параболе.
Отношение стрелы к пролету равно 1/6(///=1/6). Примем р=
= (ltEJap) /1Е1 оал = 0,8.Значение &°п вычислено в примере, приведенном в § 12.6,
£Уар6°, =0,18737/.Угол поворота упругой заделки от Xi = l равен углу поворота
балки длиной liВычисления дают:342
°11?i £/ap \	3EJ-О,18737//б?! (1 + 1,77901 р) = 2,423215°,.рмссто матрицы (12.61), полученной для арки с заделанными пята¬
ки, теперь будем иметь:[а3] = Е — [а2] =Oil-О. 86406 —0,22594 —0,15379 —0,07797
—0,10464 0,82608 —0,11838 —0,06002
—0,07129 —0,11848 0,91935 —0,04089
—0,03617 —0,06011 —0,04092 0,97925Далее находим:550 IBw [а,]—6 EJар# # $ **	0,79165 —0;04182 —0,07191*	—0,04188 0,90342 0,05103
L* —0,07196 0,05102 0.97516JПереходя к матрицам третьего порядка и учтя (9.34), и (9.36),вычислим:С — L Bw [а3] G —5Sp I
6 EJap0,85216 0,64359 0,31286
0,50254 1,33329 0,71679
0,20181 0,71465 1,03344Наибольшее характеристическое Число этой матрицыW = -5^-2,18760.60£/арСобственный вектор, соответствующий числу ^тах и определяю¬
щий форму изгиба, w — [0,6538 1 0,7336].Критическую нагрузку найдем по формуле (12.60). Учтя, что
5о=0,13372 н f/l=m = l/&, получим.	8/	8f 60£7ар‘Укр —5S„	= 54,702,18760 - /3—Г • (12.64)1г ^тах 1Сравнение полученного значения qKp с выражением (12.63) показы¬
вает, что наличие упругого закрепления опорных сечений сущест¬
венно снизило критическую нагрузку.§ 12.8. Устойчивость арки с затяжкойВ строительной практике широко применяются арки
с затяжками, которые воспринимают распор Н и реак¬
ции, в которых передаются на опоры, как в простой
балке.В расчете таких систем необходимо различать два
случая. В первом случае нагрузка передается непосред¬
ственно на арку, а во втором она приложена на уровне
затяжки и передается на арку через систему подвесок
:,(рис. 12.21). Арки первого типа применяются в перекры-343
с ■IРис. 12.21	Рис. 12.22 ->тиях промышленных и торговых зданий, вокзалах, зре¬
лищных и спортивных сооружениях. Основная нагрузка,
например от действия снега, передается сверху на арку,
затяжка в момент потери устойчивости остается прямо¬
линейной и не оказывает влияния на устойчивость систе¬
мы. В конструкциях второго типа, применяющихся глав¬
ным образом при строительстве мостов, затяжка шар¬
нирно соединена с подвесками. В процессе потери
устойчивости подвески сообщают перемещения затяжке
по вертикали. Растягивающее усилие в затяжке оказы¬
вает на подвески давления, направленные в сторону,
противоположную перемещениям. Таким образом затяж--
ка создает как бы упругое основание, поддерживающее
арку.Из конструктивных соображений расстояния между
подвесками принимаются одинаковыми, поэтому рас¬
стояния между точками присоединения подвесок по дли¬
не арки будут разные. При большом числе подвесок рас¬
стояния между узлами, лежащими на оси арки, можно
приближенно определить как длины хорд, соединяющих
узлы. Матрицы упругих грузов теперь будем определять
по формулам (8.38) и (8.40).В процессе потери устойчивости за счет смещения
затяжки по вертикали можно установить изменение уси¬
лия в стойке с номером k (рис. 12.21, б):AVh = И [tg ^h(k-i) — tg tfc(ft+i)] >	(12.65)где 'фуць-п и	— углы наклона звеньев затяжки примыкающихк узлу k.Обозначим перемещения узлов оси арки по направ¬
лению нормалей через ШЩ ■■■ Вертикальные пере¬
мещения узлов затяжки соответственно будутУк = wk cos ер*, g§ = 1,2	n).344
Здесь <р* — угол наклона касательной к оси арки.По рис. 12.22 найдем:tg <Pk(h-i) = (т cos (fk — wk~i cos cph~i);tg 4>h(h+i) — — (o^+i cos фй+i — wk cos <Pfc).Подстановка этих выражений в формулу (12.65) дает
ИД Vft = — [— cos Фй-! wk-i -f 2 cos cpk wk — cos фн-i а%-и] •Вектор дополнительных сил ДУ, стремящихся удержатьарку, определяется равенством ДУ—#С®, где Cv —
трехдиагональная матрица -2	соз фх — cos ф2—	cos фх 2 cos ф2 cos ф3с>~т—	cos фп-1 2 cos Ф„Силы ДУ вызовут дополнительные изгибающие моменты
в аркеMv=LmCvw,	(12.67)где Lm — матрица влияния-моментов, составленная с учетом того,
что силы ДУ приложены к арке вертикально (снизу вверх).При антисимметричной форме изгиба арки при поте¬
ре устойчивости будем, как и ранее, рассматривать полу¬
арку, поэтому матрица влияния Lm будет совпадать с
таковой для двухопорной балки длиной 1/2:	-LmV 2п*п — 143	62	4 61	2 3 44 3 2 1
6 4 2
6 3
4п — 1(12.68)Здесь п — число панелей на длине I/2.Дополнительные упругие грузы от изгибающих мо¬
ментов Mv (12.67) определим по выражениюД W — НВт Lm Cv ш;(12.69)345
матрица Bw находится с учетом того, что эпюра момем
тов от сил Aw изменяется по линейному закону.Изменение вектора прогибов от сил ДУ-будетД w = HLmBwCvw.	(12.70)Перемещение узлов арки без учета сил ДУW = HLm BwGw’	('2-71)матрица упругих грузов B°w находится для основной си¬
стемы в виде половины двухшарнирной арки с учетомтого, что длины элементов арки между узлами J, 2, 3	п разные. В этом случае необходимо применять матри¬
цы (8.38) с элементами (8.39).Суммарные перемещения, полученные с учетом
(12.70) и (12.71), будутw = #Lm Bw Gw HLm LmV Gvw = #Lm Bw (C — LmV Gv ) w. ^В результате приходим к характеристическому уравне¬
нию | С—я£| =0,де С С0 — Сх; CQ = Lm Bw G; Сг = Lm Bw LmW Cv ; % = 1 /Я(12.72)Случай, когда матрица Су равна нулю, соответствует,
задаче устойчивости двухшарнирной арки. Для арки с
затяжкой, соединенной в узле с подвесками, С\Ф0. Обо¬
значим К и Хо характеристические числа матриц С и Со-
Из формул (12.72) видно, что К<Хо, следовательно, кри¬
тическая нагрузка для арки с затяжкой больше, чем для
двухшарнирной арки.Необходимо обратить внимание на то, что матрицы
Lm и LmV не совпадают друг с другом: Lm определяется
от грузов, направленных радиально, ее элементы вычис¬
ляются по (12.32): LmV определяется от системы верти-При расчете с использо¬
ванием ЭВМ, позволяющей
вести расчет при большом
числе подвесок, можно вне¬
сти некоторые упрощения
без опасения за потерю точ¬
ности: спрямим арку междУ
узловыми точками, т. е. за¬
меним ее ломаным брусом,кальных сил (12.68).Рис, 12.23
iiiOpy моментов от нагрузки также заменим ломаной ли¬
лией- Эти допущения несколько упрощают вычисления.Пример. Рассмотрим пример расчета на устойчивость арки по¬
сТоянного сечения с затяжкой (рис. 12.23). Примем ///=0,4. Гео¬
метрические величины приведены в табл. 12.7.Таблица 12.7.Vs точекh%tg<PKsin Фкcos щ%0001,60,848000,53000010,12500,1751,20,768220,640180,21506 /20,2500,3000,80,624700,780870,17678 г30,3750,3750,40,371380,928480.14577 140,5000,4000010,12748/Матрица упругих грузов согласно формулам (6.44), будет:2	(Pi + Рг)	РзРг 2(Рг + Рз) <Рз	, (12.73)Рз	2 (Рз + р4)—Iгде — ■6 EJSk EJ
EJk>.(k = f, 2, 3,- 4).Относительные гибкости элементов арки р в данном случае чис¬
ленно равны их длинам ps=Si = 0,21506; р2=52=0,17б78; рз=5з=
= 0,14577; р4=54=0,12748. Подстановка даетn0,7836S 0,17678 00;17678 0,64510 0,14577 , (12.74)0	0,14577 0,54650ВIwv ■&EJМатрицу упругих грузов для основной системы определим
на основании формул (8.41), так как эпюра моментов МР криволи¬
нейная. Вычисления с по!мощью данных, приведенных в табл. 12.7
при S0=/, дали:ГО,98715 0,06511 00,10118 0,81239 0,05408 , (12.7510	0,08088 0,68558Во ___L_
v ~ QEJМатрицу Lmv определим, как для простой балкиI	ГЗ 2 11Г 2 4 23? 12 3LmV —(12.76)34/
Далее находим диагональные матрицы
| § T4COSCP!32г — .4 cos ф24 cos фзCOS фх 'cos q>->. " cos Фз _=0,640180,780870,92848Матрица G будетГ sec фхsec ф?L sec ф3_=”1,562061,280621,07703Для составления матрицы влияния моментов в основной
ме, пользуясь табл. 12.7, найдем отрезки (при d = 0,125)гу — d cos + % sin фх = 0,21446;г2 = 2d cos ф2 + % sin ф2 = 0,38263;г3 = 3d cos ф3 + % sin фз = 0,48745;с12 = d cos фх + ('12 — %) sin ф2 = 0,17570;с13 = 2d cos ф2 + (Лз — %) sin фз = 0,30640;с23 = 3d. cos фо + (т)з — Ъ) sin Фз = 14391.По формулам (12.32) составим матрицу Lm\(12.77)(12.78)
систе-= —Зг2 — 4с12
2г1 2г2г2Зг3 — 4ci3
2/"з — 4с23
ЩПодстановка значений (12.79) дает0,64338 0,44509 0,23675’
0,42892 0,76526 0,39926
0,21446 0,38263 0,48745Произведение матриц (12.81) и (12.75):L B°w =т WР24L В?„ G =т24 EJ0,68015 0,42263 0,186381
0,50084 0,68191 0,31511
0,25042 0,36423 0,354881,06244 0,54123 0,20074
0,78234 0,87327 0,33938
0,39117 0,46644 0,38222Далее находим произведение матриц (12.81) и (12.74)
РL Вwv2AEJ0,58289 0,43538 0,19426
0,47142 0,62769 0,32975
0,23571 0,35580 0,32217(12.79)(12.80)(12.81)С1 = Lr,LmV Gv —P2AEJ0,37315 0,33998 0*18037
0,30179 0,49014 0,30617
0,15090 0,27783 0,29913348
суммарная матрица С будет...	I2С — С0 Cj —24EJ0,68929 0,20125 0,02037
0,48055 0,38313 0,03321
0,24027 0,1.8861 0.08309Для определения критической нагрузки найдем максимальное
характеристическое число матрицы С Xmax = 0,895. Собственный век¬
тор, определяющий форму изгиба, Й=[1,029 1 0,537].qP 1
учтя Н = ——- = — ■, получим:of К	■	/24-8-0,4 EJ	EJот =		 = 85,81	.Чкр	0,895 Р	РДля сравнения найдем критическую нагрузк-у для двухшарнир¬
ной арки (без подвесок). Для этого необходимо определить наи¬
большее характеристическое число >.;',1ах матрицы Со- Вычисления
дают„	п 24-8-0,4£7	EJ^х=1,785;	= 43,03 .Собственный вектор, определяющий форму -изгиба.[0,911 1 0,587].Значение полученной критической нагрузки отличается от точ¬
ного 43,4 меньше чем на 1 %.Результаты расчета показали, что наличие затяжки, соединенной
с аркой с помощью подвесок, увеличило в 2 раза критическую на¬
грузку (W<?£p =1,99).	.§ f2.9. Устойчивость плоской формы изгиба круговой аркиНа рис. 12.24 изображен кривой брус под действием
двух моментов, приложенных на концах. При постепен¬
ном [увеличении моментов М наступает такое состояние,
при котором плоская форма изгиба становится неустой¬
чивой, появляется пространственная форма равновесия.
Приведем без вывода формулу для критического мо¬
мента:	;EJy + GJd / (EJy — GJd)2 л2 EJy GJ ал?кр =	gf	± /	-|	+ -—I	i	"o	V	. 4r|	4a / Гц(12.82)Здесь, как и для прямолинейных балок, EJy — наименьшая изгибная
Жесткость арки; GJd—жесткость на кручение; /v-^ радиус оси ар¬
ки; 2а — угол между двумя радиусами, как показано на рис. 12,24.
•знак перед корнем принимается в зависимости от направления дей¬
ствия моментов М. Если концевые моменты увеличивают кривизну
^рки, как показано на рис. 12.24, то берется знак плюс; если мо¬
менты направлены в обратную сторону (стремятся выпрямить арку),
Занимается знак минус,349
Рис. 42.24Рие. 12.25Для пологого кривого бруса, когда г0 значительно
превышает пролет /, можно упростить решение. Обозна¬
чив длину оси арки 250 и учтя, что 2ar0 = 2S0, получимМкр = —± — VEly GJd ,	(12.83)Рассмотрим случай устойчивости плоской формы из¬
гиба круговой двухшарнирной арки при действии на¬
грузки q, радиально приложенной к оси арки (рис.
12.25). В опорных сечениях элемент арки может свобод¬
но поворачиваться относительно главных осей инерции
сечения, но не может поворачиваться относительно каса¬
тельной к оси арки.Приведем решение Е. Л. Николаи для случая, когда
нагрузка q остается параллельной первоначальной плос¬
кости арки,fafr-’ У"*?* Е'У »	(12.84)WKP 4а* (я2 + 4а2Х) л3 !	v 'где % = EJy/GJd.	(12.85)Решению (12.84) соответствует изгиб арки по одной
полуволне синусоиды. Искривлению по двум полуволнам
соответствует вторая эйлерова нагрузка(я2 - a2)2 EJy
?2эйл а? (я2 + 4а3А,)	;	^ ‘Для угла а, меньшего некоторого значения а0 наимень¬
шей будет нагрузка, определяемая формулой (12.84).
Если а>ао, то наименьшей будет вторая эйлерова на¬
грузка (12.86). Положив в обе формулы угол а~ао, по¬
лучим равенство первой и второй нагрузки (?1КР = ^2эйл‘
Найдем угол «о из уравнения350
я2	5A,	25Я2~Т~ = —~Г+У ~л— + 8^+4.	(12.87)ao	' 4Если опорные сечения арки жестко заделаны, то фор¬
мулу для определения критической нагрузки представим
в виде<7кр = К •	(12.88)'оЗначения К в зависимости от угла 2а (12.88) приве¬
дены в табл. 12.8.Таблица 12.82 а45°90°180 4ООГ--сч■1360°К60,112,61,850,690,60ГЛАВА 13. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ
ПРИ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ§ 13.1. Понятие об устойчивости при многопараметрической
нагрузкеПри решении задач устойчивости в предыдущих гла¬
вах мы предполагали, что нагрузка возрастает пропор¬
ционально одному параметру Р, определяли его крити¬
ческое значение Ркр, и тем самым — коэффициент запа¬
са на устойчивость при любом фиксированном Рky = PKV!P.	(13.1)Во многих задачах расчета сооружений нагрузки не
связаны между собой зависимостями и не изменяются
пропорционально одному параметру. Например, по раз¬
личным законам могут изменяться нагрузки от собствен¬
ного веса сооружения, ветровые нагрузки, давление на
сооружение от подвижных грузов (поезда, автомобиля)'
и т. д.В этом случае важной становится задача исследова¬
ния устойчивости упругой системы при различных воз¬
можных сочетаниях нагрузок.Если ввести понятие я-мерного пространства пара¬
метров нагрузки, то каждая конкретная ее реализация,
характеризующаяся значениями параметров Л, Рг,--,Р'п,351
будат изображаться точкой этого пространства, НаппЦ
мер, при двухпараметрической задаче каждая нагруЗКа
характеризуется точкой Р на плоскости параметров Pt
Р2 (рис. 13.1). При малых Р{ и Р2 система (см., напри’
мер, ркс. 13.2, а) устойчива. Это дает вблизи начала ко¬
ординат область значений Р\ и Р2, при которых система
устойчива. Будем ее для краткости называть областью
устойчивости. На рис. 13.1 эта область заштрихована
При больших значениях нагрузки система неустойчива'
что дает на плоскости Рь Р2 область неустойчивости!
Кривая АВ, разграничивающая эти области, называется
пограничной кривой. Точки этой кривой соответствуют
критическим значениям нагрузок. Их можно получить,
фиксируя соотношения PJP?. и решая соответствующую
однопараметрическую задачу. Коэффициент запаса на
устойчивость (13.1) при. нагрузке Р будет равен отноше¬
нию отрезков ОС и OP: ky = OC/OP.Точки пересечения пограничной кривой с осями Р( и
Р2 соответствуют парциальным критическим нагрузкам
Р1 и Р>> Нагрузка Pi , например, является критической
нагрузкой Р'йлПри Рг = 0 (рис. 13.2, б). Нагрузке Pi =
= Рэйл соответствует потеря устойчивости при Pi = О
(рис. 13.2, в).В случае «-параметрической нагрузки будем иметь
соответствующие области устойчивости и неустойчивости
/г-мерного пространства и пограничную поверхность,
соответствующую критическим сочетаниям параметров
Pi (рис. 13.3, где п = 3).Очевидно, что область устойчивости при Р;>0 не мо¬
жет выйти за пределы значений P^Pt, при п = 2 — за
пределы ломаной ADB. Эта предельная граница соот¬
ветствует случаю независимых форм потери устойчиво¬
сти при Р1 и Ро. Например, для рамы по рис. 13.4, а об¬
ласть устойчивости показана на рис. 13.4, б. Здесь каж>
дая половина, например левая часть рамы, теряет устой¬
чивость независимо от другой нагрузки (например, отPi),Пограничная кривая может вырождаться и в линию
АВ и, соответственно, поверхность — в плоскость «.-мер¬
ного пространства (рис. 13.3). Например, для квадрат¬
ной шарнирно опертой пластины, сжатой нагрузками
рх и /?г/(рис. 13.5, а), в § 11.6 была получена формула
(Рх + Ру\кр = 4:К20/а2, что соответствует линейной зави-1352
sОблаетиоластьvmРис. 13.1Г JJ—"O'Область£J77?'////ар,Рис. 13.4а) Ур* mzzzzz&r%4—-_ — —— —— — —ч~	‘ТТ' у JlUРу /уу~Г7~/////У wix,a)~sin-fi sin fОВмастьустойчивостиаРис. 13.S23--753353
симости для точек пограничной кривой (рис. 13.5, б)'. По
существу, это следствие того, что формы потери устойчи¬
вости w(x, у) для рх и ру совпадают (рис, 13.5, а); и
пластина как бы превращается в систему с одной сте¬
пенью свободы. В следующем параграфе будет показано,
что пограничная кривая (поверхность) всегда выпукла
и случай прямой (плоскости) действительно предельный.На рис, 13.1 пунктиром показано, что пограничную
кривую, а значит, и область устойчивости можно прод¬
лить в область отрицательных значений Р/, если, конеч¬
но, физически возможны отрицательные нагрузки. Для
системы рис. 13.2, а это увеличит область устойчивости,
что может быть учтено в расчете по МКЭ использовани¬
ем табл. 11.1 при отрицательных Ni для растянутых
стержней.Отрицательные критические нагрузки могут появиться и в Ре"
зультате расчета при решении ряда задач. Например, определяя
критические нагрузки для системы с одной степенью свободы (ряс-13.6,	а), где потеря устойчивости может произойти из-за упругой354
,вкга в одном из сечений, применим метод Эйлера. Согласно рис,-	б., :>• получим, проектируя левые силы на ось :т, уравнениеQ+(Pi + P2)<f'-(PiUi)4> = О/где Q = cA = c/<p, с — жесткость сечения на сдвиг. В результате по-
Уучим для критических значений нагрузки уравнение(L//-l)PI~P2 = d.	; (13.2)Это уравнение прямой, разделяющей плоскость на две области
(рис. 13.6, г). Здесь парциальная сила Р*2 =—cl отрицательна..т. е.
потеря устойчивости происходит при растягивающей силе Р\ (пред¬
полагается, конечно, такое устройство упругой связи, которое допу¬
скает и растяжение).	.	IНа первый взгляд, потеря устойчивости при растяжении проти¬
воречит энергетическому методу, но объясняется особенностью кон¬
струкции системы. При сдвиге в упругом сечении опора В переме¬
щается направо (рис. 13.6,5). Работа W—P2AX>0, и возможно ра¬
венство Э—U — W=0. При L>1 сила Pi>0, согласно рис. 13.6, г,
при малых L и Р* <0, что также изменяет область устойчивости.
Рекомендуем читателю построить эти области при £=/; 0; -!/2.§ 13.2. Теорема П. Ф, Папковича о пограничной поверхностиТеорема, впервые доказанная в общем виде советским
ученым, специалистом по строительной механике кораб¬
ля П. Ф. Папковичем, формулируется кратко так: погра¬
ничная поверхность всегда выпукла. Рассматривается
задача устойчивости упругих систем при многопарамет¬
рической нагрузке. Практическая ценность теоремы в
том, что она гарантирует уменьшение области устойчи¬
вости при замене пограничной поверхности плоскостью.Например, заменяя кривую АСВ (см. рис. 13.1) пря¬
мой АВ и определяя затем по этой прямой приближенно
критические нагрузки, мы допускаем погрешность в за¬
пас устойчивости, так как координаты линии АСВ боль¬
ше, чем прямой АВ.Для простоты изложения покажем справедливость
этой теоремы на примере с двумя параметрами Р{ и Р2.Запишем основной энергетический критерий устойчи¬
вости для точек пограничной кривой U — W в виде U==где геометрические характеристикиW2 являются квадратичными функционалами фор¬
мы потери устойчивости у (s). Они численно равны ра¬
ботам внешних сил Pj = l и ^2=1 на перемещениях, со¬
ответствующих истинной форме потери устойчивостига
y(s) (ем. рис. 13.2, а). Перепишем это равенство в вид|Pi - + —~ = 1.	(13.3)U/W1 £//ГгВ знаменателях здесь записаны выражения, большие
соответствующих парциальных сил Pi и Рг. Действи¬
тельно, согласно энергетическому методу, выражениеU/w\ равно Р,, если в него подставить форму потер
устойчивости от этой нагрузки yi(s) (см. рис. 13.2, б)
Поскольку y(s) не совпадает с yi(s), то отношениеU/W] должно давать завышенное значение Р\; U/Wi~^Р\. Аналогично y(s)¥=y2(s) и \JjW^P\. Таким об¬
разом, в равенствахUjWl = a1P\ и UIW2 = а2 р\	(13.4)коэффициентыЩ>Щ а2>1-	(13.5)Знак равенства может быть только в случае совпаде¬
ния формы потери устойчивости от двух нагрузок Р1 и
Р2 с формой при Pi или Р?.Из (13.3) —(13.5) следует, что1«1 Р1 а2 Р2Р1т. е. точки пограничной кривой имеют большие коорди¬
наты, чем прямая-Щг + ~- = 1-	(13.7)Л р%Используя в расчете уравнение (13.7) или соответст¬
вующее уравнение плоскости в n-мерном пространствеПPi =1,	(13.8)	PiI—1356
и повторяя все рассуждения, сделанные для п = 2, полу¬
чим для Ркр погрешность в запас устойчивости. Она бу¬
дет тем большей, чем больше форма потери устойчиво¬
сти y(s\ отличается от парциальных yi(s).Для полного доказательства теоремы Папковича не¬
обходимо строго доказать выпуклость пограничной кри¬
вой на любом участке СуС2
(рис. 13.7) (а также—лю¬
бом участке поверхности
в n-мерном пространст¬
ве). Это можно сделать,
например, для «—2, при¬
няв нагрузки Pi и Р2, со¬
ответствующие лучам OCi
и ОСг, за новые обобщен¬
ные параметры (новые
координаты), и, повторив	Рис. 13.7сделанные выше рассуж¬
дения, вернуться к исход¬
ным координатам. Мы опускает здесь полное доказатель¬
ство и приведем далее примеры использования теоремы.§ 13.3, Применение теоремы П. Ф. Папковича в приближенных
расчетахНайдем приближенное значение Ркр для системы на
рис. 13.8, а. Парциальные силы Pi и Рг получаем, со¬
гласно рис. 13.8, б, в, решая простые задачи. Подставляя
Pi и Pi в (13.7) и полагая, согласно рис. 13.8, а, Р\ —
= Р2=Р, получаем/ Р	40 \	1,354EJР\!ЁГ + ~^ЁГ)~1; Ркр_' I2 'Точное решение по методу перемещений с использо¬
ванием таблиц прил. 3 дает3EJ	viEJ „	v2tn = —;vmin = 1.165; PK p = 1 >357EJllKТаким образом, использование в этой задаче выра¬
жения (13.7) дает практически точное решение, посколь¬
ку здесь близки формы потери устойчивости у{х), у\{х)«йМ-3S7
777777777777'*~сГа*'2~ШРис. 13.9Существенно то, что рассматриваемая методика дает
заниженное значение Ркр, тогда как энергетический ме¬
тод — завышенное. Использование обеих методик поз¬
воляет в ряде задач получить для Ркр двусторонние
оценки.Рассмотрим пример исследования устойчивости шар¬
нирно опертой квадратной пластины при одновременном
действии сжатия в двух направлениях и сдвига (рис.13.9,	а).358
Допустим, 4to напряжения сгь 02, т заданы: г?! =
= 0,8оо‘, 02=1,2 0О", ’т—3,4оо, где Оо=я20/6а2. Проверим,
устойчива ли пластина при таких напряжениях. Согласно
рис. 11.15 и табл. 11.2,: имеем парциальные критические
напряжения d! =o*2=4h2D/8a2-, т*=9,34л:2£>/6а2 (рис.13.9,:б). Подставляя заданные и парциальные напряже¬
ния В левую часть равенствакоторое является уравнением плоскости (на рис. 13.9, б—■
пунктир), получаем0,8 1,2 3,4 '	,——+	^ 0,864 <1,4	4 9,34пластина устойчива.Найдем приближенное значение коэффициента запа¬
са на устойчивость Ку, показывающего, во сколько раз
нужно увеличить эти напряжения, чтобы пластина поте¬
ряла устойчивость. Подставляя в (13.9) 0i = &yO,8ao;
a2=&yl,20o; т=йуЗ,40О, получаем йу0,864=1, откудаfey= 1,16.ГЛАВА 14. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПО ДЕФОРМИРОВАННОЙ СХЕМЕ§ 14.1. Применение метода перемещений с использованием
специальных функцийРасчет стержневых систем по деформированной схе¬
ме может выполняться в нескольких различных постанов¬
ках в зависимости от существа задачи, вида и назначе¬
ния системы. Можно считать, что перемещения системы
велики, под нагрузкой сильно' изменяется геометрия си¬
стемы, и задача становится существенно нелинейной.
Столь гибкие системы сравнительно редко встречаются
в строительной практике. В основном это висячие систе¬
мы, которые были рассмотрены в [3].Гораздо чаще встречаются системы, у которых пере¬
мещения малы, геометрия системы под нагрузкой сохра¬
няется, но ее сжатые элементы вследствие продольно¬
поперечного изгиба существенно изменяют под нагруз¬
кой свою жесткость. Система становится нелинейной по
отношению к некоторым параметрам нагрузки, хотя ее
равновесие описывается уравнениями, линейными отно-359
сительно малых перемещений. В результате возрастаний
параметров нагрузки, допустим в 1,5 раза, может вызЗ
вать изменение перемещений и внутренних сил (напря¬
жений) в 2 и более раза. Это, как отмечалось уже в кур¬
се сопротивления материалов, снижает истинные запасы
прочности, и должно учитываться в расчетах систем,
имеющих достаточно гибкие сжатые элементы. При ис¬
пользовании метода перемещений в расчетах таких си¬
стем будем составлять и решать обычные каноническиеуравнения RZ = P или RZ =—Rp с учетом при вычисле¬
нии щ сжимающих сил JV,-, т. е. специальных функций
ф;(и), rji(u) (см. гл. 10).Например, для рамы (рис. 14.1, а) при антисиммет¬
ричной нагрузке Т (силы Р играют роль параметра для
сжатых стоек) будем составлять, согласно эпюрам рис.
14.1, б, два уравнения с двумя неизвестнымиг12^г = ^’ г21%1 г22^2 —	(14.1)где/ 4 EJrii 21 , <р2 (у) +	!2 EJг 12= r21	’Ъ (и)24 EJ	-I /~	гг» =		 %1-1); » = i v p/ej.Определяя при заданном Р значения специальных
функций, согласно прил. 3, и решая систему (14.1), по¬
лучаем Щ. Далее по таблицам метода перемещений с
учетом таблиц прил. 3 находим значения внутренних
сил, например, изгибающих моментов.Уравнения (14.1) не имеют решения при Р = Ркр, об¬
ращающей в ноль определитель системы. В данном слу¬
чае Dei R = 0 при и = 2,94, Ркр = 8,64 EI/12. Допустим,
что Р = 0,5Ркр = 4,32£)/Р, тогда и = 2,08; ф2(2,08) =
= 0,847; ф4 (2,08) =па(2,08) =0,926; т]2'(2,08) = 0,565^
ги =42,78 /•:///; г)2 = г2,=- 11,11 EJ/12- г22 = 13,56£///3.Решая систему (14.1) при этих значениях жесткостей,
получим Z, =5,646 PTjllb EJ; Z2 = 21,73 PT/U6EJ. Те
же перемещения без учета сжимающих сил (Р = 0) по¬
лучаются следующими: Z\ =Sl2Tj\ 16£/; Z%=\\l3T/\\6EJ.Как видно, перемещения с учетом Р = 0,5 Ркр полу¬
чаются примерно в 2 раза большими. То, что именно в1Ш4EJ12 EJ(2ф2 (у)+ 9);;(Ф % (У) = (у);360
i)33,88 66,75	33,вus) w) jtft mРис. 14.12 раза, не случайно. Этому мы дадим объяснение в сле¬
дующем параграфе.Эпюра изгибающих моментов при Р=0,5 Ркр дана
на рис. 14.1, в, где ординаты .увеличены в 116//Г раз. В
скобках даны ординаты без учета сжатия стоек (Р = 0).Изучая зависимость перемещений й внутренних сил,
например, изгибающих моментов от сжимающей на¬
грузки (рис. 14.2), получаем одновременно и критичес¬
кую нагрузку (точка разрыва графика). Однако это361
только в том случае, если нет ошибки в расчетной схеме.
При расчетах сложных симметричных систем при сим¬
метричной или антисимметричной нагрузке расчетная
схема часто выбирается с учетом симметрии. В этом слу¬
чае можно получить на ЭВМ нереальный график в об¬
ласти параметров Р, превышающих Ркр.В данном примере это не так. Система действительно
теряет устойчивость по антисимметричной форме. Вто¬
рая эйлерова нагрузка, соответствующая симметричной
форме равновесия, равна здесь Р2,э йл = 34 £7//2>
>8,64 EJ/12.Представим себе, что зависимости, подобные приве¬
денным на рис. 14.2, мы получали бы для симметричной
нагрузки с учетом симметрии (рис. 14.3), т. е. из урав¬
нения r33Z3 =—R3P. Тогда разрывы графиков были бы
при Р = 34£7//2, т. е. далеко за критической нагрузкой.
Это в особенности относится к пространственным систе¬
мам с большим числом неизвестных, в которых иногда
возможны неочевидные (например, крутильные) формы
потери устойчивости.Таким образом, расчет по деформированной схеме в
общем случае не заменяет анализа устойчивости, кото¬
рый необходимо выполнять в этом случае хотя бы на
уровне проверочных расчетов.362
] ъi5•з-*3'г*ита¥'Г"I4	N:1/TTnT777TTTrm77T7fT7T\ :Рис. 14.4§ 14.2. Расчет по деформированной схеме в форме метода
конечных элементовВ рассмотренном примере (см. рис. 14.1, а) силы Т
считались достаточно малыми и не учитывались измене¬
ния продольных сил в стойках, возникающие от Т. В ре¬
зультате перемещения, внутренние силы линейно зави¬
сят от малых сил Т. Если после расчета продольные си¬
лы в стойках существенно изменились, то необходимо
повторить расчет с измененными характеристиками сто¬
ек Ni или Vi. Использование такого процесса последова¬
тельных приближений особенно необходимо в расчетах
сложных систем, например высоких рам, где даже ма¬
лая поперечная нагрузка q (рис. 14.4, а) может сущест¬
венно изменить усилия iV; в сжатых стойках.Рассчитывая систему, приведенную на рис. 14.4, а, в
качестве характеристик каждого элемента необходимо
иметь не только жесткости EJ, EF, ..., но и продольную
силу Ni, т. е.Vi = liVNi/EJi .В первом приближении можно считать и, = 0. Форми¬
руя матрицу /?<°>, получаем систему уравнений R(~0)Z=
= —Rp. расчета по недеформированной схеме. Решаяэту систему, получаем в первом приближении Z<°>, по
которому определяются в первом приближении усилия
М0) и v?'. Далее расчет повторяется с учетом специаль*363
ных функций, т. е. продольно-поперечного изгиба; полу¬
чаются новые значения перемещений Z(1> и и т. д.
Процесс, быстро сходится, так как реальные сооружения
обладают большой жесткостью. В каждом цикле можно
изменять и характеристики EJ, EF и т. д., учитывая фи¬
зическую нелинейность системы.Поскольку использование трансцендентных функций
требует при формировании матрицы жесткости зачастую '
большого количества машинного времени, возможно
применение приближенных формул для nfe, приведенных
в табл. 11.1, т. е. использование МКЭ. Погрешность,
вносимая этим в расчет, будет невелика, так как реаль- j
ные усилия Ni далеки от критических нагрузок для ос¬
новной системы. Параметр нагрузки Р должен быть в
этом расчете значительно меньше параметра Ркр для
заданной системы и тем более далек от критической на¬
грузки для основной системы.Составляя с помощью формул табл. 11.1 матрицу
жесткости системы R, можем, как и в задаче расчета на
устойчивость, представить R в виде (11.15). Система
уравнений запишется в виде	.= -Rp.	(14.2)Во многих задачах форма деформации системы от
нагрузки (см., например, рис. 14.4, а) близка к форме
потери устойчивости.Как указывалось в § 11.3, вектор Z, характеризую¬
щий форму потери устойчивости, должен удовлетворять
равенству(/?(0))' 'I’Z я» ——Z.	(14.3)Р эйлПоскольку мы допускаем, что вектор Z близок к собст- *
венному вектору матрицы (Р(0))-1Г, то равенство (14.3)выполняется приближенно. Вектор Z(°> — перемещения, |
полученные расчетом по недеформированному состоя¬
нию, можно записать в виде~i(0) = — (R{0))~1 Rp.	(14.4)Раскрывая скобки в равенстве (14.2) и умножая его
слева на матрицу (/?(0>)-1, получаемZ — P (R{0})-~1TZ=^ — (R(0))-1 Rp.	(14.5)364
Учитывая (14.3) и (14.4), получаем из (14.5) формулу2(0) ,которая является обобщением известной из курса сопро¬
тивления материалов приближенной формулы продоль¬
но-поперечного изгиба (см. также § 8.13).В примере предыдущего параграфа (см. рис. 14.1, а)’
мы отмечали, что при Р = 0,5 Ркр перемещения прибли¬
зительно в 2 раза больше перемещений при Р=0. Это
закономерно, так как перемещения системы от нагрузки
Т близки по форме перемещениям при потере устойчи¬
вости. Действительно, форма потери устойчивости ха¬
рактеризуется в этой задаче вектором ZT=[0,2604//; 1];
от нагрузки Т перемещения имеют соотношение Zi/Z2=
= 0,2598//. Таким образом,z я;			z(0) « 2Z(0> .1—0,5§ 14.3. Расчет упругих рам со стержнями переменной
жесткости методом силПри расчетах упругих рам со стержнями переменной
жесткости удобно использовать матричную форму ме¬
тода сил с учетом достаточно сло¬
жных законов изменения внут¬
ренних сил вдоль участков стерж¬
ней рамы. Применяя численный
метод с использованием интерпог
лирования функций, будем ис¬
пользовать матричную форму ин¬
теграла Мора (см. [39]). Соста¬
вим лишь более точные выраже¬
ния для матриц податливостей от
дельных участков.Рассмотрим особенности со¬
ставления матрицы податливос¬
тей В, входящей в формулу для
вычисления перемещений:Д р = LT ВМ р.Для составления матрицы В в сложных случаях из¬
менения эпюр внутренних сил и жесткостей нужно пред¬Рис. 14.5365
варительно составить такие матрицы на отдельных уча¬
стках, где эпюра Мр изменяется плавно. Затем из этих
матриц можно составить всю матрицу В,Если на каком-либо отрезке жесткость изменяется по
сложному закону, а эцюра Мр достаточно гладкая, то
можно избежать излишнего увеличения порядка матриц
следующим образом.Разобьем отрезок интегрирования на отдельные бло¬
ки по два равных участка в каждом. Причем сделаем
это так, чтобы эпюра Мр была в каждом блоке гладкой,
а разрыв в жесткости попадал на границу участков (рис.
14.5). Интерполируя эпюру Мр квадратной параболой,
выразим промежуточные ординаты и М9, р (рис. 14.
5, а) через узловыеA?fp= — (ЗА*, _ р -f 6M2i р я);Mi — Mi гр+ш2,Р+з/и3, Р).Средние ординаты единичной эпюры М,- также выра¬
зим через узловые (рис. 14.5, б) и вычислим затем ин¬
теграл Мора на каждом участке по формуле Симпсона.
Таким образом получим формулы для элементов матри¬
цы В. Эти формулы приведены в табл, 14.1, где обозна¬
чено gi=EJjL]i и даны также матрицы В для случая,
когда единичные эпюры разрывны (тогда они характе¬
ризуются в этом блоке четырьмя ординатами) и для слу¬
чая, когда единичные эпюры постоянны на участках
(тогда они характеризуются в блоке двумя ординатами).Матрицы В, приведенные в табл. 14.1, особенно удоб¬
но использовать при решении задач устойчивости и ко¬
лебаний стержневых систем переменной жесткости, так
как в этом случае в каждой узловой точке какая-либо
единичная эпюра обязательно имеет перелом или раз¬
рыв.Рассмотрим теперь задачи расчета статически неоп¬
ределимых стержней и рам, состоящих из стержней пе¬
ременной жесткости. Будем рассматривать общий случай
пространственной деформации. Вектор внутренних сил**	Поперечные силы Q* и Qy не включены в этот вектор, так как при
необходимости деформации сдвига могут быть учтены при составле¬
нии матрицы Вц [37].366
Таблица 14.1м.м„Мгр ,iг LА	 8A L -A £о ft" 24£7Mii % %'V + 3efчх-&3gl' §2	4gf+ 4g^-f- 6§2 —gf+3g£3g2 + 4&f■gf6«?2B = -2AEJW + Щ
3 gf
— §2
— 82bgl
6gf+ 4gf
+ 6«?2
6g2-rf-gf
3§2;
3gf + 4gfЛ*/В =12£/2gf +3gf6gf + 2gf
2g2/’ + 6g2C3g2 +2g25 =MyM,M,HPNпредставим в виде суммыs=s^+s° + s° ,(14.6)(14.7)где Sj — вектор внутренних сил в основной системе от неизвестныхметода сил; Sp^ внутренние силы от продольных сжимающих (рас¬
тягивающих) сил, найденные методом сечений в основной системе;
S° - вектор внутренних сил от «поперечной» нагрузки в основной367
системе. Предполагается для простоты, что эта нагрузка мала и прак¬
тически не влияет на величину сжимающих сил.Перемещение по любому k-щ направлению в основ¬
ной системе может быть выражено через вектор SYk^LlBS.(14.8)Строка LI состоит из внутренних сил от соответству- {
ющего единичного воздействия. Квазидиагональная мат¬
рица В включает в себя матрицы податливости на все
виды деформаций стержняв =вВ,кр(14.9)Выразим вектор S = S^+5®
векторXчерез расширенным(14.10)с помощью матрицы Hl=[L^H], ТогдаXS	= PHiY+ s°(14.11)Вычисляя по формуле (14.8) перемещения по направ¬
лению неизвестных и по направлению Yk и приравнивая
перемещения по направлению неизвестных нулю, полу¬
чим расширенную систему линейных уравнений:0'= PLT ВНх+ LT В S°илигде(Б0 - PLT BHi)Е о =XY,'0 0'
Ср е= LT BS°(14.12)(14.13)368
эешая систему уравнений (14.13)', получим вектор
—> ■ - >Л . а затем по формуле (14.11) и вектор 5.^сли система (14.13) получается высокого порядка,
то можно применить методику обобщенного неизвестно¬
го [37]. Решая в общем виде первые уравнения системы(14.13) относительно вектора X, подставляем выражен¬
ное через У решение в последние уравнения этой систе¬
мы и находим Y. Затем вычисляем Х и S.Вычисления контролируем в конце деформационной
проверкойL^B's = 0.	(14.14)Пример. Вычислим изгибающие моменты, возникающие от на¬
грузки q в раме, изображенной на рис. 14.6, а, при Р=0; Р=1/4Ркр;
Р=1/2РКр. Будем считать нагрузку q малой, и сжимающими (рас¬
тягивающими) склами, которые она вызывает в стержнях рамы,
будем пренебрегать. Примем за основной размер h = l/2, за основное
значение нагрузки Р, за основную жесткость EJ.Разобьем раму на шесть блоков (рис. 14.6, в); в блоках /, III,
IV, VI будем интерполировать эпюру Мр квадратными параболами
и составлять матрицы податливости Si, Вш, Biy, B\i согласно
табл. 14.1. Для этого разобьем каждый из этих блоков на два рав¬
ных участка. В блоках II w V эпюра МР линейна, и матрицы Ни,
Bv составим по формулам, приведенным в [39, ф-лы (206)].Такое составление матрицы В позволит вычислять с ее помощьюгрузовые перемещения &.i,9 = LTBMq и единичные перемещения 8ц,
так как соответствующие эшоры линейны на протяжении каждого
блока и интерполирующая парабола точно совпадает с ними. Ана¬
логичное можно сказать и об эпюре Мд в первом блоке.Безразмерные данные, необходимые для построения матрицы
В.if, показаны на рис. 14.6,6. При составлении матрицы S1V нужно24—753369
учесть наличие в . узле 8 упругого шарнира. Для. этого добавляем
к последнему диагональному элементу этой матрицы величину’ отно¬
сительной податливости шарнира (b/h)£7=2. Матрица #.%, необхо¬
димая для учета податливости крайних опор- будет диагональной
ее безразмерные элементы равны 6EJ/h3=l3EJ/EJh3 = 8.	’Таким образом;В,32446 36 -6
14 100 6
—4 24 24вп =5П1 — '+1' 2424—4 '2Г 3224—4-610014; B|V = _2T1060224—63646—21210+‘000"1' 3224—400010602002_ 12—21234«“[о в]-Поскольку эпюры М непрерывны в узлах 2, 6 и 10, матрицу В бу¬
дем составлять по следующей схеме:	’В =О4,Решим сначала задачу устойчивости этой рамы. Неизвестные
метода сил показаны на рис. 14.6, г. Деформированное состояние
в момент потери устойчивости изображено на рис. 14.6,5. Согласно
этому рисунку, для определения изгибающих моментов во всех уз¬
лах, т. е. для определения вектора М°р , достаточно характеризовать
форму потери устойчивости восемью перемещениями У0, Уь У2, ^5>Уе, У?, V||, У12, которые и образуют вектор Y.Матрицу Н| составим из следующих матриц:Г L -> Н
м,х мСтолбцы матрица / и L -> состоят из величин внутреннихсил в основной системе от единичных неизвестных. Матрицы Нм и
HN составим согласно рис. 14.6, е. За положительные примем изги¬
бающие моменты, растягивающие внутренние волокна; на средней370
стойке- ' правые волокна. За положительные усилия в упругих свя¬
зях примем сжимающие усилия. Тогда получим	■	'"000000000000“0303!0000000606—10100000100,500000000000-100000Q00000—1200-33000000—1400-30300000-1800-30-690000—0,5000-30-6000060—600000000030—300—4000040000000000—44010100000000_о10—100000000_Матрицу LT ооставим из следующих матриц;LT1Т =м.хIы, х-л/где LJVj и Z,Jv—матрицы, строки которых состоят из внутренних силот единичных воздействий, приложенных понаправлениюУ^,“00о.100000100000~03600000006301!0000,5—1—!—1—1_1 _-05 0000003600248120—6—301— 10 --3—600—1—2—4—6000000Г> =00—300—1—2—4-600000000000—1—2—4—6000000000000— 1—3—50000000000000—2—400000000000000—200000000000_ 1—2—4—603000000000—1—2—4—6063000НапримершестаястрокаЭТО!-матрицысоставляетсясоглас!рис. 14.7, а.1Обозначим =P/i2PRПеремножая матрицы LT,X 12 EJ 48 EJ
В и Нгде В без множителя 1/12, получим матрицу С=^ТВЯЬ Ре¬
шая далее уравнение(С — ХЕ°)= 0с предварительным построением на ЭВМ графика определителя
матрицы (С—ХЕ°) и нахождением	получаем	1640,53;P«p=0,02927£y/P;24*371
м =-—о,2692
0,3089
—3,3393
—0,13460,0102¬
0,6865
1,0000
0,9344
0,7658
0,2885
0,7310
0,0259—Полагая затем Л—2ЛШах и Х=4Х max» ЧТО СООТВСТСТвубТ Ря
■('MPkv и Р=('и)Р,,в, решаем систему уравнений(С - \Е°)= — LT BAGгде M°q составляется согласно рис. 14.7, б, и получаем соответствую*щие значения моментов по формуле•XМ — Нм+ М°Они показаны на рис. 14.7, е, где даны также значения Mi при
Р = 0.372
ГЛАВА 15. РАСЧЕТ МЕМБРАН, ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК
С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ*§ 15.1. Расчет мембранВ практике проектирования широко используются не¬
сущие конструкции в виде мембран. Мембраной называ¬
ется тонкая пластинка, работающая только в своей плос¬
кости, при этом ее работой на изгиб можно пренебречь.
Поэтому нормальные и касательные напряжения рас¬
пределяются по толщине мембраны равномерно. В мем¬
бранных конструкциях возникают большие перемещения,
поэтому их нужно рассчитывать с учетом геометрической
нелинейности. Аналогично расчету стержневых конст¬
рукций [3, § 3.10] для расчета мембран будем использо¬
вать общие уравнения строительной механики и метод
Ньютона—Рафсона.Построим касательную матрицу для треугольного
элемента (рис. 15.1, а). Первоначально получим матрицу
реакций для плоской задачи. При этом будем использо¬
вать общие уравнения строительной механики и статико¬
геометрическую аналогию [3, § 3.5]. В качестве степеней*	При написании главы использован материал Е. Г. Перушева.373
свободы для треугольного элемента примем перемеще¬ния угловых точек. Вектор обобщенных перемещений
будетВектор реакций, соответствующих вектору Z, имеет вид
(см. рис. 15.1, б).В дальнейшем удобно вместо реакций г (рис. 15.1, б) ис¬
пользовать реакции N (рис. 15.1, в). Найдем связь меж¬
ду этими реакциями:Составим уравнения равновесия для треугольника,
изображенного на рис. 15.1, в: 2т3=0, N\2a—N2\Ci = 0.
ОтсюдаДлины сторон треугольника обозначим /ь /2, k, индексы
1, 2, 3 соответствуют противоположным углам, анало¬
гичные индексы приняты и для N (рис. 15.1, г).
Подставляя (15.4) в (15.3) и учитывая, чтоsina=c//2, cosa = Ь/12\ sin ^>=all1> cos р = c/li, (15,5)
получимZ = [«!Vi, UZVZ, М3У3]1.(15.1)(15.2)(15.3)jVj2 = A?2i — N 3.Аналогичноj¥i3 = N31 — N2\ N23 = A^32 — Ni.(16.4)ba
Перепишем эти зависимости в матричной форме:' V-Г:. 0— Ы12— 1”Г°10— а//г0c/li01Ч— a!k00— dliЫ120aliia//20Ш
N 2
L Na.(15-6)илигдег = [a]Ni(15.7)(15.8)N = [A'iAW'Вектором обобщенных перемещений для N являетсяЛ = [AiAjAj]*.	(15.9)В соответствии со статико-геометрической аналогией
[3, § 3.5] можно записатьA = [a]TZ.	(15.10)Общая система уравнений для треугольника имеет вид7	= [а] М-,Д= [а]т Z;	(15.11)N = [d] Д,
где [d] — матрица закона Гука.Особенностью системы уравнений (15.11) по сравне¬
нию с аналогичной системой, приведенной в [3, § 4.5],
является то, что в качестве вектора независимых внут¬
ренних усилий принят вектор N (15.8). Подставив пос¬
леднее уравнение системы (15.11) в первое и заменив Д
по второму уравнению, получим:= la] [dj [aJT Z = И Z;	(15.12)И = [a] [d] [а]*.	(15.13)Построим матрицу закона Гука. Будем предполагать,
что в треугольнике возникает однородное напряженно-
деформированное состояние ex=const, еу — const, у=375
1— const (поля перемещений имеют вид M = ai + a2*-fa3j/;
v = a4 + a5x-\-a6у, см. [3, § 4.7]). Как известно из курса
сопротивления материалов [38], относительная деформа¬
ция по произвольному направлению выражается черезотносительные деформации
вдоль осей х, у (е*, гу) и
сдвиг (у) по формулее = гх cos2 ф + Sy sin? ф -f-
-f у cos ф sin ф; (15.14)Уv X5^4. ^а ,fitv°tьсРис. 15.2Ф — угол между направлением, по
которому ищется деформация,
и положительным направлением
оси х.На рис. 15.2 показаны
углы ф для сторон треугольника. Вычислим деформации
вдоль сторон треугольника 1, 2, 3. При использовании
зависимостей (15.14) эти деформации будут:
сторона 1, qpi = (180°— Р)Si = е* cos2 (180° — р>) + ех sin2 (180° — Р)+ V cos (180° — р) sin (180° — 6);6i	= ex cos? P -j- sin? p — у cos p sin p;с.	a‘	ас8i = еж — + гу — |' _ iIt11сторона 2, ф2= (180°-]-a)62	= £x cos2 (180° + a) + £y sin2 (180° -j- a) +
+ у cos (180° -j- a) sin (180° + a);£2 = £x cos2 a + гу sin? a + 7 cos a sin a;
b2 . _a*
fte2 = "I*tryГLr.ab■ ~r V Г" ’>ft‘2	‘2	‘2сторона 3, фз = 0°S3 = sx cos? 0° + ц sin? 0° + У cos 0° sin 0°;£з = бж.Запишем эти зависимости в матричной форме:S3с2И\и/iaVliагИ\- ас/if
ablllу
L V(15.15)376
,■ ->■■■;.r.fУмножая строки равенства (15.15) на /ь /2, h (см.
рис. 15.1, г), получим~c2//i a?Ik — ac/li~\ Гех~ЬУ12 агЦ2 аЫ12 • е„ .	(15.16)L о О J 1у_Обращая матрицу выражения (15.16), запишем8	= [ai] Д,	(15.17)Ш-гдее = [е* 8У vlT; А —см. (15.9);
Оbk cl2[Oil =О —
hаЧ_ аЧ3
к h
ah ohbeс — b
al з(15.18)Вектор напряжений имеет видо = {ахСу%]г.(15.19)Запишем связь между вектором напряжений и вектором
N:	.Л/ = [а2]а.	(15.20)Определим матрицу [сс2]. Запишем выражение для потен¬
циальной энергии через внешние силы:W = 1 /2NT Д.	(15.21)Через внутренние силы потенциальная энергия выража¬
ется по формулеU = J ат 8 dv — h j ат edxdy — h—ат е, (15.22)Vгде h — толщина элемента.Приравнивая (15.21) и (15.22) и учитывая равенства
(15.17) и (15.20), получим-> -* aUh -* -*NT Д = —г— от вИЛИат [а2]т Д =2ahhот [ajAs(15.23)377
откуда- [«i]T-(15.24)Запишем полную систему:е = [а*Д Д;г. ahh -
W = — — [ai]T а;а =где1 — ц2
IМ-14] !(15.25)О О(X 0 '1 О1 —[X(15.26)Подставляя первое уравнение системы (15.25) в
третье и результат во второе, получимгдеЫ] =N = [d] Л,
Ehal з(15.27)2(1 -ц*)Окончательную матрицу реакций определим по фор¬
мулеEhalзи =■U^i] [а]т}т [di] ШН*%ГЬ (15.28)2 (1 - (х2)Матрицы [d|], [aj], [a] — см. выражения (15.26), (15.18),
(15.7).Для контроля построим матрицу реакций для прямо¬
угольного треугольника (рис. 15.3) по формуле (15.28).
В этом случае матрицы [а] и р5] будут иметь видО 0 c/li —all i —c/li ally
0 —10 0 0 1
-10 10 0 0[a]T =[Oil =0 0 He
0 1/a 0
-lilac lie 11 a(15.29)378
Подставляя (15.29)’ в (15.28), получим матрицу, при¬
веденную в [3, § 4.7].Рассмотрим далее про¬
извольную мембрану и пред¬
положим, что известно ее
первоначальное положение.Разделим мембрану на тре¬
угольные элементы. Исход¬
ное положение мембраны
известно, поэтому известны
и координаты узлов. Общая
система уравнений строительной механики для мембра¬
ны аналогична общей системе уравнений для стержневой
системы с учетом геометрической нелинейности (см. [3,
§3.10]):a\z) N = Р — статические уравнения;. йД = Ат (zjdz —геометрические уравнения; [ (15.30)■—v	— ►	_Л/ = D А — физические уравнения.Рис. 15.3При построении матриц A(Z) и D используется по¬
элементный подход. Воспользуемся для решения методом
Ньютона—Рафсона. Составим уравнение равновесия
для мембраны:А Ш	=	(15.31)—> ■—V	'Y(Z) — вектор невязки.*-1* “>Вычислим дифференциал функции ty(Z):Фр (i) = dA ( z) N + A (1) ON.	(15.32)Вычисляя дифференциал от последнего уравнения(15.30) и подставляя в него с?Д из второго уравнения,
получимdN — DA'1 ( 2) dZ.	(15.33)В выражение dA(Z)N линейно входят дифференциалыперемещений dZ, поэтому его можно представить в ви¬
де
Подставляя (15.33) и (15.34) в (15.32)’, получим4 Ш = Ы Ш+к2 Ш 07-гдеКу (z) = A {Z} DjV (Т).Отсюда касательная матрица будет— = щШ + к2 (,v).dZПримем в качестве п-го приближения вектор Zn.
Разложим функцию г|)(Z) в ряд Тейлора около точки
Zn и ограничимся одним членом рядаAZ = 0.dZОтсюдадz = -	j | fu.	(15.35)Матрица /(j (Z) представляет собой матрицу жестко¬
сти для мембраны в деформированном состоянии (к ис¬
ходным координатам добавлены перемещения в глобаль¬
ной системе координат). Эта матрица может быть легко
построена с использованием обычных матриц жесткости
для треугольных элементов с постоянным полем дефор¬
маций (см. [3, § 4.7]).Остановимся на процессе построения матрицы Кг (Л ••
Выше в качестве независимых усилий приняты силы N,
действующие вдоль сторон треугольника. При этом мат¬
рица Кг(^) будет такой же, как и для стержневого
шарнирно соединенного треугольника. Эту матрицу
можно построить, используя матрицу К.2 для шарнирно¬
го стержня (см. [3, § 3.10]).При построении матрицы /С2(Л^) приходится пользо¬
ваться в библиотеке элементов двумя элементами: плос¬
ким треугольником и шарнирным стержнем. Более удоб¬
но
_’r 'Vr',r_ <' ‘ ' > '• - -Рис. 15.4но построить матрицы Ki (Z) и K2(N) для мембранного
элемента. Выражения для этих матриц получаются гро¬
моздкими, поэтому их приводить не будем.§ 15.2. Расчет пластин с учетом продольно-поперечного
изгиба. Матрица геометрической жесткостиВ главе 5 получена специальная дополнительная мат¬
рица, приближенно учитывающая работу сил инерции.
Аналогично может быть построена матрица, учитываю¬
щая работу продольных сил при изгибе пластин.Разделим пластину на прямоугольные элементы и
рассмотрим первоначально случай равномерного ежа.'
тия элемента лагрузкой qx = oxb (рис. 15.4, а, б—толщи¬
на пластины) . Для элемента будем использовать безраз¬
мерные координаты | = х/а; х\ = у/Ь. Углы будем прини¬
мать положительными в том случае, если поворот про¬
исходит по часовой стрелке при взгляде вдоль
соответствующей оси (рис. 15.4, а). Используя коорди¬
натные функции, соответствующие единичным переме¬
щениям угловых точек, приведенные в табл. 15.1, запи¬
шем выражение для полей перемещений (см. [3, § 5.1]):_	w = [/v[Л/2 Nl~Nl\ Z,	(15.36)где ' - ..;V.' Ф = [«»«*«?] (« = 1. 2> з);381
Таблица 15.1%«1ft?(1—3£2-Ь2£3) (1—'*!)-)-( I—ё) (г)—ЗП2+2л3)
0+|') W-2ii?+43) Ь
(£-2|?+£3) (1-Л) ап2(3|2-2|3) (1-ifl (П_ЗП2+2Т13)%4| (Г)—2Г12+Т13) Ь4(1—11) а«3(l_3£*+2s»)_r)+ (1_^) (_г]+Зт12+2г]3)^3-(1-|) (Ц*-Т]*)Ьfs(g-2^+g3} Ца/14Ш-Щ)^4«5—1 (112—II3) ъ4-Й2-!3) iia2— \Z’\, Z.J, Z3, j-; Z] — [tt»t ф* Ф?].Выделим бесконечно малый элемент с размерами
dx^dy (рис. 15.4,6). При изгибе пластины элемент по¬
вернется на уголdwдхdN 1dN2шМдх дх дх	дхПри этом на элемент будет действовать моментdwdM — qx dy >	dx.дх(15.37)(15.38)Запишем выражение для работы внешних сил за счет
продольно-поперечного изгибаЬ а■dwдх(15,39)о о382
Таблица 15.21234552666—42а-552—666—42а204—396—21а—204396—21 а1666126*0—666—126?0396—96?0—39696?0—42а056а?42а0—14а?—21а028а2-21а0—7а2—552—66642а55266642а—20439621а204—39621а2—66*—126?0666126?0—3969Ь20за>—962Я—42а0—14а?42а056а?—21а0—7а221а028а220439 6—21а—204—396—21а552—666—42а—552666—42а3—39 6—т03969620—66612620666—12620—21 а028а221а0—7а?—42а056а242а0—14а2—204—39621а20439621а—55266642а552—66642а43969620—396—9620666—12620—666126?0—21а07 а221 а028 а2—42а0— 14а242а056а2<7осЭ „ Ь
Общий множитель —р= ■—■
1260	а
ИПодставляя в (15.39) выражения (15.38) и (15.37),
будем иметьW = — 2Т % абX.(ЭЛ/11 1f fiiV,0idN31rj)J J_ dx ’dx ’dx ’dx .о оdNlдха/УздхШадхdldr\Z,X(15.40)откудаR = Qx‘1 lГ Г- -1 тdNi—>т№ 2дМdN'l).1дх ’дх 'дхдх0 0_>тON l
дхdNi
' дхеШдхdNi
дх _а|Щ,х(15.41)Умножая матрицу-столбец (вектор) на матрицу-
строку, получим матрицу размером 12X12, входящую в
подынтегральное выражение формулы (15.41). Интегри¬
руя эту матрицу, получим дополнительную матрицу R,
учитывающую работу продольных сил на поперечных
перемещениях (табл. 15.2). Действие продольных сил
qy можно учесть с помощью такой же матрицы при заме¬
не а-*-Ь; Ь-^а) l/p->p; |3-М/р.Матрица, приведенная в табл. 15.2, называется мат¬
рицей геометрической жесткости. Используя ее для пла¬
стины, можно получить аналогичную матрицу для стер¬
жня. Вектор обобщенных перемещений для плоского
стержня имеет видzi =КФн'; -к ff*(15.42)Первые две компоненты вектора (15.42) характеризуют
перемещение начала, вторые — конца стержня. За на¬
чало стержня, получающегося из пластины, примем
кромку пластины 1-3, за конец — 2-4 (см. рис. 15.4).Запишем связь между Z и Z\\Z = CZit(15.43)384
где<tl	WK	Фк1 1(ftI<pf1w2Ф21<P$1w3Фз1ff1wtФ41ф!Матрица реакций для стержня с учетом выражения
(15.43) будет иметь вид■	Rt^Cr RC.	= (15.44)Далее рассмотрим случай действия сдвигающей на¬
грузки t=тб, где б толщина пластины (рус. 15:5, а).
Выделим из пластины бесконечно малый элемент (рис.15.5, б). Рассмотрим раздельно повороты - (рис. 15.■	. ■	ах5, в) и ——(рис. 15.5, г). На рис 15.5, в показаны состав-dy	. .	i		 ..u«*ляющие сдвигающей силы, дающие момент относительно
оси х,.	''' ■1;	' :dw ■	'dMx = (dy	dx.	(15.45)■	.	дх	!	’Аналогично для случая, приведенного на рис. 15.5, г,
имеем	... ,	.. . .да>dMa = tdx ^ dy, ■■■-■,	(15.46)25—753	Зв5
fЗапишем выражение для работы внешних сил за счет
продольно-поперечного изгиба:* ду
0 0 0 0Выпишем выражения для производных:дхdwдхdwдуdN 1 ЭЛ/2 д,Уз М/4дх дх дх дх
dNi d~N2 dNs dN‘4ду ду ду ду2\2.(15.47)(15.48)(15.49)Подставляя значения производных (15.48), (15.49) в
(15.45)',. \ 15.46) и результат в (15.47) , получим£86
дх дх дх дхДобавочная матрица реакций будет иметь вид (табл.
15.3) '	тv' ц|; •гдеR = rt + г\,1 1—> >т>	—У'р	—►ерdNi dNi dN3 5ЛМдх дх дх дхXхdN] dNi d~N3 dNidy dy dy dydm-(15.51)Процесс расчета пластин на продольно-поперечный'
изгиб проводится в Два этапа.1. Решается плоская задача и в каждом элементе в
его центре определяются нормальные напряжения сгж,
оу и касательные т. Определяются погонные нормальные
и касательные силыЯх —	= t=xb.	(15.52)1 2. Решается задача изгиба, но к реакциям за счет из¬
гиба добавляются дополнительные реакции, учитываю¬
щие работу мембранных сил на перемещениях от изгиба
(см. табл. 15.2, 15.3). Решается система канонических
уравнений метода перемещений, откуда определяются
прогибы пластины с учетом продольно-поперечного изги¬
ба. Приравнивая определитель системы канонических
уравнений нулю, можно получить значения критических
нагрузок.Приведем простейшие примеры определения критических нагру¬
зок для пластин. На рис. 15.6 изображена квадратная пластина,
-882Таблица f!T.31. 234— 180000: ' 366000•—36а180—36636а100ЪаЬ—36 ь0ЪаЬ00—ЪаЬ366-662ЪаЬ05 ab00—ЪаЬ036а—5а60—36 аЪаЬ—6 а20—36 b018000—18036 b36а00—36а236 60- —ЪаЬ00ЪаЬ—366662ЪаЬ00—ЪаЬ0ЪаЬ00ЪаЬ0—36а5а66 а236 а—ЪаЬ00036 а—180—366—36я1800003660300—ЪаЬ3666 й2ЪаЬ005а6—3660—5а6—36а. — ЪаЬ036 аЪаЬ6 а20ЪаЬ00—Баб018036 6—36а0036 а0—36 Ъ0— 180004—36 6—6 й3ЪаЬ00—ЪаЬ3660—5а600ЪаЬ36 6ЪаЬ— 6а2—36а—ЪаЬ00—5а600баб0/р „ ЬОбщий множитель 	, 8=	.360	а
сжатая в двух направлениях одинаковыми погонными нагрузками
qx=^qy=N. Определим критическую нагрузку по справочнику [31]
исходя из зависимостиох = 'Ь24 пгОа2.+7)4(15.53)В нашем случае <yx=av=Njh-, h — толщина пластины; a = b=l; 2N=
4лг8 D16 D
JVKP = —я* —= 52,638DР(15.54)Определим критическую силу, используя МКЭ. Рассмотрим чет¬
верть пластины. Вертикальная реакция при изгибе пластины в со-,
ответствии с [3, табл. 5.1], будет	лDПри ц = 0, р = 1/ 14 \ О . D^=(8 + — )-^ = 10*8-^Г(15.55)389
В соответствии с табл. 15.2 дополнительная реакция за счет про¬
дольно-поперечного изгиба„ 552	552	2-552г?, - — • /V + 'iV= ..... N.1260 ‘ 1260 1260
Составим уравнение равновесия на вертикальную ось:
. D - 2-552 \10,8— --r^STlUi = 0,aiоткуда10,8-1260 D. 12604.10,8-1260— = 49,305 —$	В(15.56)(15.57)(15.58)аз	2,552Исходя из выражений (15.54) и (15.58), процент расхождения будет52,638 — 49,305 ,	:1	100 яг 6%.52,638На рис. 15.7, а изображена квадратная шарнирно опертая пла¬
стинка, сжатая в направлении оси х нагрузкой qx~N. Рассмотрим
четверть пластины. Матрица реакций для элемента, изображенного
на рис. 15,7,6, имеет вид (см. [3, § 5.1].’а а«г*Ы*21Ь31«йc2lc3ldii^21«21«22«32*21*22*32— с21c22c32— d2i^22^32«31«зг«33— *31— *32*33С31_‘ c32c33Щх^32^33*11*21 —-*з1т«21 “«31du<^21 “^3iciic2i —c3l*21*22*32«21«22 ~«32— ^21^22 ~<^31—c2fc22c32Ьз1■*33— «31«32«33rf3l— ^32^33—c3£c32^33си— С21to:dn-~ 4-%1dzi«ir«21«31*li~~*2l*31С21с22—~ ^32^22СМ1-«21a22“■«32—*2i*22“’*32«31‘с32Сзз—d33«31«32«33*31*32*33^11— dzi—Щ~ %С31*u-“*21*31«1Г"«21D3l^21^22^32С21с22с32— *21*22*32”«21«22«32$££d32^33— С31— с32с33*31-*32*33—«31«32«33В матрице реакций выделены реакции для случая граничных усло¬
вий, изображенных' на рис. 15.7,6. Выпишем матрицу реакций для
этого элемента:ЩФ‘!ф^«11*31^21*31a33—^32cal■ ^32«22
Рассмотрим случай, когда (3 = 1, jx—0. Ввиду симметрии задачии Я“-Ф?=Фз=(Р-Построим матрицу реакций для случая, когда в качестве обоб¬
щенных перемещений принят вектор Z=[a/|(p]T. Запишем связь меЖ'
ду векторами.	■щф1ф!—1Фз1Построим матрицу реакций для вектора [да^ф]1:«и *3i c2i	]О_JОО*31 a33 — d.42.7о0—1 1JС21— ^32 a220 1ац: —*31 + czi-b3x+c2 J fl22 + 2rf32! + «33(16.59)Выпишем выражения для элементов матрицы реакций, возника*
ющих за счет изгиба (см. [3, табл. 5.1]):Daii — зD«22 — 'D«33= 2а14$? + p-?) + — (14- щD10,£DD1,6а;1.6а3;Ы i —DD■2,2а;D-2p*-—(1 -Ц)i}6 = -Dаг.■ 2,2a.(15.60)Выпишем дополнительные выражения для элементов матрицы
реакций, возникающих за счет продольной силы (см. табл. 15.2):391
а22 = 12 b?fijj — 55.2"
NN1260
«зз = 56 ai= 1Ш ■N1260
N1260
c2 j = — 396^32 0;hi = — 42aN1260N1260 1260
Подставляя (15,60) и (15.61) в (15.59), получим(51.61)D' 10,8— 4,4а 'N'552За "а2— 4,4а3,2а2 .1260. За68 а2Dа210,8
— 4,4а—	552Я —4,4а — 3аХ '—	3 аХ 3,2 а? —68 а2Кгде% = ■Na2
1260DСоставим уравнение равновесия дл^ точки 1:Dг 10,8- 552/.— 4,4а •— ЗаЯ,"а2— 4,4а— 3 аХ3,2а2 — 68а??о _Нетривиальное решение будет при условии2 = 0.= 0.3— ЬЬа^К
Раскрывая определитель получим(10,8 — 552?,) • (3,2а2 — 68а2А) — (4, 4а + 3aX)i — 0
или 37 527,2Х2 — 2527,2Х + 15,2 = 0;10,8 — 552Х— 4, 4а — ЗаХ— 4,4а — 3аХ3, 2а? — 68а2ХX = |2527,2 ± V2527,22 — 4-37 527-15,2
lmin = 0,00667.В соответствии с (15.62) (jVa2)/1260D~0,00667;= (DIP), 4-1260-0,00667 = (Dll)2 33,642
По справочнику [31] критическая сила равнаD39,478-=
*(15.62)37 527;Nкр* 2 D
=4л т■■ 4-3,142 —Й(15.63)(15.64)Процент расхождения39,478	—33,642100 % =16 % получает-39,478ся ббльшим, чем для защемленной пластины. Для получения более
точного решения требуется более мелкая сетка.392
§ 15.3. Расчет оболочек с учетом геометрической нелинейностиТонкие оболочки могут иметь большие прогибы и при
их расчете приходится учитывать геометрическую нели¬
нейность. В оболочке возникают мембранные и изгибные
напряжения. Учет мембранных напряжений описан в
§ 15.1. Построим матрицу, учитывающую влияние изгиб-
ных напряжений. На рис. 15.8 изображен треугольный
элемент. В качестве степеней свободы примем верти¬
кальные перемещения угловых точек и углы поворота
сторон:Z=[w1w2w3; ф1ф2фз]т-	(15.65)Вектор реакций, соответствующих вектору Z, имеет вид~Г = [W МгМ2М3Г.	(15.66)Вектор г содержит шесть компонент, которые связаны
между собой тремя уравнениями равновесия. Примем вкачестве независимых усилий ММ = [М1М2Мгу.	(15.67)Вектор обобщенных перемещений, соответствующих век¬
тору М, будетД = [Дф1Дф2Дф3]т.	(15.68)Найдем связь между векторами г п М, исходя из усло¬
вий равновесия:2г —	+ ^ —	1Т,тх — О М3 — М± cos р—Л12 cos а + л8а = 0; > (15.69)
Smy = 0 Mi sin р — М2 sin а + rxb — г2с = 0.	JИз второго уравнения системы (15.69) получимcos р	cos а	1/•3=	Ah + — Mz-—Mz.	(15.70)а	а	аПодставляя г3 в первое уравнение системы (15.69), по¬
лучим систему уравнений для определения Tj и л2cos 8	cos а	1гг r2 		Mi —		— М2 + — М3;а	а	аTib — г2с = — sin р+ sin аМ2.(15.71)393
Решая совместно систему уравнений (15.71)', будем
иметьГ1 =al3cos р — — sin j? \ Mi + ; 		cos a +ah]	\	С•г ~ s>n a) Mz -f- — M3;
h /	alzr2 = I —— cos 8 + — sin P	cos 61 Mi -f-ah	h	a( с	1	!	\+ 	cos a — — sin a —	cos a \ M2 +\ ah	h	a IВ соответствии с рис. 15.8sin a = a//2; cos a = bl lz\ sin P — a/к', cos p = c//f. (15.72)
Подставляя (15.72) в выражения для г\ и г2, получимU	а2 •— Ьс	сa---- -—2- ^i+—гг—м2 + —мг-ah	ahh	ahа9 — beН			Afi-akhrS = — Afj; +
или в матричной формеhакM»-Л4,a;6 1— М2-— Мг,a/2	о(15.73)нка3 —beсal3al згга2 — 6сhbalihahahЧ	сЬ1ака1гaMi100м2010_М3__ 001 _м2Л43(15.74)илиг=[а]М.	(15.75)В соответствии со статико-геометрической аналогией
.	Л = [a]T"z.	(15.76)Закон Гука для треугольного элемента, изображенного394
Рис. 15.8Рис. 15.10Рис. 15.9395
" жна рис. 15.8, имеет вид
.	М = Щ~£.	(15.77)Построим матрицу закона Гука [а!].На рис. 15.11, а показаны положительные направле¬
ния напряжений, принятые в теории упругости, на рис.
15.11,6 — напряжения, возникающие в пластине (при
z>0 эти направления соответствуют напряжениям, пока¬
занным на рис. 15.11, а), и соответствующие им погонные
моменты (моменты направлены в соответствии с прави¬
лом буравчика). Выделим элемент, прилегающий к сто¬
роне треугольника (рис. 15.9), Спроектируем векто¬
ры моментов на ось s:2ms = 0;тп ds — rriy dy cos a — myx dy sin a — my dx sin a — mxy dx cos a = 0;dy	dy	dx	dxтп = гпх	cosaJ тю- — sin a •••'- mv	sin a 4- m™ - cos a;ds	ds	a ds	ads(15.78)dy dx
m,,x = mxu', ■	= cos a; 	= sina,	(15.79]ds	ds	'Подставляя (15.79) в (15.78), получимrnn = mx cos2 a -f my sin2 a -f- 2mxy sin a cos a. (15.80)Будем предполгать, что в треугольнике возникает од¬
нородное напряженное состояние mx=const; my=const;
TTixy== const. Используя зависимость (15.80), найдем
связь между моментами тх, ту, тху и моментами, дей¬
ствующими вдоль сторон Mi, Лт2, М3 (рис. 15.10):
сторона 1 (лежащая против узла 1)Щ = тх cos2 (90° — Р) -|- /пу sin2 (90° — 6) +4- 2тху sin (90° — Р) cos (90° — Р);с учетом (15.72) будем иметьа2	сг	асmi = Ях + ту —- + 2тху —— ;	(15.81)I I 4умножая обе части равенства (15.81) на 1\, получима2	с2	асмх = кщ = тх ——- + тг- +2 тху— ; (15.82)
н	к	ксторона 2 (лежащая против узла 2)т2 = тх cos2 (90° -j- a) -}•• ту sin2 (90° + a) ++ 2mxysin (90^ + a) cos (90° + a),396	.. .
килиf. ‘ 'А'л4’ ’’ I, W l-‘ V»-'-'’—^• " ■ 'ч :,‘.4 *'•■ Щ ■• ,.£■>. <■ '/X;'>. ■. . ■а?аб:• М2 = тг?2 = тх —— + ту —— — 1tnxy —— ;h h hсторона 3 (лежащая против узла 3)щ — ту\ М3 = т313 = ту13. . . '(15.83)(15.84)Перепишем зависимости (15.82), (15.83), (15.84) в
матричной форме:‘ : <>г(15.85),(■оЯЛ0' ^ ’~ а2с?2ас *"' Mi"к "^i/1' тх 'М2=а?6?2аЬ•Щм3h/2k™ху0h0Ч- / ' ; ■7v ' •.t . - * i,1 V .?■ W• М=[Oj] т.(15.86)^ В соответствии с рис. 15.12, на котором показана де¬
формация пластины, имееми —dwг; vdw "• 1 V t f|><дх~di Z'Вектор деформаций имеет вид1\-Л ■ _~ ди■ —-d2w ”дхдх2' ' ■* г г\ '■. 8 =dvду= гд2®ау?. —V. t= zx.'(15.87)_ jди, dv— 2д2до^ , ’_ дудхдх ду'■< -■ *Ч Запишемсвязьмеждувектором относительных де-формаций х и А*. > •ч j . ‘.х:\Ь.• \1?* ,"*, -2 ^
* ■1. • ‘. Г .J-Лн = [я2] Д •(15.88)Найдем матрицу [аг]. Запишем выражение для по¬
тенциальной энергии через внешние и внутренние силы' -V' . w = (1/2) Л1т д.(15.89)397
С другой стороны,и = -у- J ffT edx dy dz = -у- j* J [сгж cr^ хху]т ziz =Л/2F —ft/2“ 3 [mx Щ mXyf к - 4—mT x. (15.90)2	2 •" 2 2
Приравнивая (15.89) и '(15.90), получим-• -► о/ч -> ■-*Мт д =	— тт х(15.91)Подставляя в (15.90) значение вектора М по '(15.86) и
и по (15.88) , получимmT fa1|T Д = mTа/3(15.92)откудаакЗапишем систему уравнений:М = [av] т;
■+ 2к =МТ«ЧщпI = [dj х.Построим матрицу |4ij‘1ц оЕХху1 — (I2|Л 1 01 — ио о ——-6хУху(15.93)(15.94)(15.95)Подставляя в '(15.95) выражение (15.87), умножая обе
части на zdz и интегрируя, получим(15.96)~10 '_ тх£7i3V-101 |«г ^12 (1 - |Л2)00to 1•р1	393
В соответствии с (15.96)~1V-0 -ИI0Г ~ 12 0 “И001 —(i2(15.97)Подставляя третье уравнение системы (15.94) в первое
и заменяя к по второму уравнению, получимЛ)=ИД, ' .	(15.98)где2 ' 'а!3(15.99)Подставляя в (15.99) [ai] по выражению \ 15.85) и [rfi]
по выражению (15.97), получим	"Eh3d = ■X(а2—Ьс)2 -)- а213цal36 (1
(a2 — 6с)2 +■ц)?Xv-г_ п■с2)hhйf (в2И
h(ааЦ + b2)l2При расчете оболочекb2)необходимо(15.100)учитывать какмембранные, так и изгибные деформации. На рис. 15.13
показан треугольный элемент с 12 степенями свободы.
Для этого элемента в качестве вектора обобщенных пе¬
ремещений используется вектор
^Z—^viWi, u2v2w2, u3v3w3; фаф2фз]т.	'Касательная матрица для учета мембранных напряже¬
ний получена в § 15.1. В локальной системе координат
х, у, г изгиб не влияет на плоско-напряженное состоя¬
ние и наоборот. Поэтому матрица реакций будет состо¬
ять из двух частей. В общем случае с учетом направля¬
ющих косинусов матрица реакций будет полностью за¬
полненной.■	Г. v t. •' , ' > '1 • • .399
.400ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ТАБЛИЦЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙДЛЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА КОЛЕБАНИЯ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙВид Деформаций
и эпюры МоментовЗначения функций1 3i%(u)« Зг‘Qa = — Ь (и)
тQs = ~r'b (“)ф (“) ~и2sh a sin иach и sin и—sh a cos и '(и) =и2ch a sin a -f- sh a cos a3ch и sin a — sh a cos и "'■¥> ш =a2sh a + sin и3ch a sin a — sh a cos иф2(и) =ach a sin a — sh « cos a41 — ch a cos a6(■ % (а)IЫQ-в = “ te («)fs («) =■ -a sh u — sin и
2 1 — ch « cosa’,2и2 shwsinw> щ = —г :	т	;6 1 — Си U COS и% (и) =и2 ch и — cos и
6 1 —chiicosa’
401
и(и)12 («)•Фа (“)(«)^5 (Ы)■Фб («)0,01,000001,000001,000001,000001,000001.000000,11,000001,000001,000001,000001,000001,000000,20,999991,000001,000010,999950,999991,000010,30,999940,999981,000030,999770,999931,000040,40,999840,999941,000090.999270,999781,000130,50,999600,999851,000220,998210,999451,000320,60,999180,999691,000460,996300,998871,000670,70,998470,999431,000860,993140,997901,001240,80,997390,999021,001460,988280,996421,002110,90,995820,998441,002350,981210,994271,003391,00,993630,997611,003580,971330,991261,005171,10,990650,996501,005250,957960,987191,007582,20,986730,995041,007440,940340,981843,010751.30,981670,993171,010260,917620,974961,014831.40,975250,990791,013840,888820,966271,020001.50,967230,987841,018280,852890,955471,026431.60,957340,984221,023750,808590,942231,034331,70,945250,979831,030390,754550,926181,043941,80,930600,974551,038380,689200,906921,055511,90.912980,968261,047910,610710,884001,069332,00,891880,960831,059220,516980,856941,085722,10,866710,952101,072550,405520,825191,105072,20,836780,941891,088190,273340,788151,127782,30,801200,930001,106460,116850,745121,154362,40,758910,916221,12776—0,068380,695331,185362,50,708550,900271,15252—0,287920.637891,221462,60,64838 .0,881871,18127—0,548850,571781,263452,70,576100,860641,21465—0,860420,495821,312272,80,488640,836181,25340—1,234990,408591,369062,90,381750,807971,29844—1.689540,308441,435203,00,249370,775401,35089—2,248170,193361,512413,10,082560,737721,41217—2,946360,060901,602823,2-0,132520.693991,48404—3,83880-0,091971,709143,3-0,418470.643001,56877—5,10472—0,269081,834843,4—0,815020.583221,66931—6,63059-0,475341,984443,5—1,399060.512611,78959—8,98897-0,717172,163963,6—2,341500,428451.93491—12,7620—1,003212,381603,7—4,114810,326942,11269—19.8068—1,345302,648743,8-8,683830,202712,33351—37,8450—1,760312,981733,9—47,55530,047802,61310—190,688—2,273043,404844,019,4676—0,150082,9758072,5892—2,921773,955734,19,17015—0,410993,4615132,0149—3,768804,696084,26,39342—0,770044,1402320,9844—4,923225,734264,35,09273-1,295025,1472115,7435—6,595177,279624,44,33068—2,135686,7817012,6074—9,248959,795644,53,82358—3,702129,8635010,4603—14,155314,55214,63,45603-7,6655017,73468,84763—26,492226,72594,73,17211—37,947778,23827,54805-120,374120,4304,82,9412518,3048—34,33286,4399353,8390-53,97584,92,745208,34376—14,48305,4496522,9053—23,25235,02,572215,74862—9,371584,5288714,7866—15,36255,12,414194,54448—7,049493,6423910,9712—11,79665,22,265233,84172—5,738312,766568,70237—9,800065,32,120663,37489—4,90802 •1,876707,15699—8,552225,41,976543,03685—4,345390,953736,00243—7,723265,51,829252,77590—3,94830—0,022145,07780—7,155595,61,675182,56393—3,66194—1,072064,29505—6,765025,71,510462,38429—3,45455—2,220193,60123—6,503165,81,330582,22596—3,30668—3,495802,96183-6,340915,91,130032,08186—3,20607—4,936032,35258—6,26051402
Продолжение прил. IиЧ’т (И>Ф» (ы>•фа (И)Фю (и)Фи (и)ф1г («)0,0 I1,000001,000001,000001,000001,000001,000000,11,000000,999981,000001,000001,000000,999990,21,000020,999741,000070,999951,000020,999870,31,000110,998691,000380,999751,000090,999360,41,000340,995851,001190,999211,000270,997990,51,000820,989881,002900,998061,000670,995090,61,001700,979011,006020,995991,001390,989810,71,003150,961111,011160,992571JD02570,981120,81,005370,933621,019060,987321,004390,967790,91,008620,893611,030570,979681,007040,948371,01,013160,837721,046970,969021,010740,921251,11,019310,762141,068500,954621,015750.884581,21,027430,662641,097330,935691,022340,835301,31,037920,534481,134620,911351,030830,774121,41,051250,372381,182010,880641,041570,695491,51,067940,170501,241420,842521,054950,597571,61,08859—0,077681,315040,795831,071410,477211,71,11391-0,379441,405400,739331,091440,330901,81,14470-0,742971,515490,671651,115570,154681,91,18194—1,177511,648870,591331,14442—0,055902,01,22675-1.693621,809800,496731,17870—0,305932,11,28054—2,303482,003460.386091,21920—0,601262,21,34499—3,021272,236210,257461,26683—0,948692,31,42221-3.863812,516030,10867. 1,32268—1,356282,4,1,51486—4,851322,85300—0,062651,38794-1,833702,51,62361—6,008583,26008—0,259211,46412—2,392772,61,76099—7,366503,75427—0,484011,55296—3,048242,71,92479—8,964744,35821—0,740511,65655—3,818962,82,12566—10,85535.10279—1,032671,77743-4,729632,92,37473—13,10856,03118—1,365101,91871-5,813633,02,68795—15,82287,20554—1,743242,08425—7,117623,13.08906—19,14168,71851—2,173602,27887—8,709493,23,61495—23.284110,7144—2,664082,50873—10,69293,3■ 4,32616—28,605313.4304—3,224472,78172—13,23573,45,32940—35,724817,2849—3.867093,10821—16,63083.56,83166—45,836623.0905—4,607873,50200-21,44163,69,29380—61,578132,6572—5,467843,98191-28,91843,713,9908—90,279650,9940—6,475654,57418—42,50963,826,2273—162,26498,9448—7,671586,31656—76,54493,9131,076—764,081510,816—9,114476,26517—360,7444,0—50,0202269,204—200,997-10,89457,50722127,0614,1—22,3504108,347—92,4486—13,15779,1856951,05064,2—15,001763,4671—63,7764-16,159011,552029,79274,3—11,054141,2098—50,8504—20,388115,092319,21004,4—9,7780827,0861—43,7338-26,925420,882912,46124,5—8,6096416,7007—39,4279—38,725431,87397,470324,6—7,839528,25542—36,7214—67,8215£0,09393,387884,7—7,319420,86832—35,0365—286,431277,755-0,203274,8—6,96699—5,95313—34,0673117,882—127,584—3,536454,9—6,74570—12,5144—33,641745,4706—56,2845—6,756835,0-6,61931—19,0240—33,661126,0348—38,0519—9,963885,1-6,57441—25,6381—34,071216,5568—29,8773—13,23265,2—6,60156—32,4852—34,847310,6284—25,3614—16,62515,3—6,69622—39,6811—35,98726,33368—22,5990—20,19785,4—6,85771—47,3398—37,50732,89632—20,8258—24,00685,5—7,08877—55,5820-39,4429—0,06147—19,6777—28,11155,6—7,39562—64,5440-41,8496-2,74869— 18,9619—32,57975,7—7,78837—74,3878—44,8078—5,29338— 18,5690-37,49215,8—8,28201—85,3146—48,4303—7,78152—18,4354—42,94905,9—8,89804—97,5837-52,8743—10,2762—18,5245—49,080126*403
иЧ>1 (и)(и)'Фз <и)'h (и)(л)Фб (ы)6,00,901641,94654—3,14497-6,590101,75508—6,251426,10,635641,81579—3,11863-8,525901,15419—6,308166,20,318101,68609—3,12451—10,84110,53635-6,429086,3-0,071841,55421-3,16184—13,6826-0,11165-6,615946,4—0,567261,41697-3,23150—17,2838-0,80379—6,873826,5—1,224201,27096—3,33602. —22,0407-1,55590-7,211516,6—2,146241,11221—3,47984—28,6852—2,38707-7,642366,7-3,549000,93590-3,66989-38,7417—3,32150-8,185826,8—5,968780,73570—3.91647-56,0011-4,39125—8,869946,9-11,21370,50302—4,23489-93,2444—5,64072-9,735607,0—31,63550,22551-4,64819—237,782—7,13407-10,8439ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ТАБЛИЦЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
МЕТОДОМ СИЛVа (и)Р (V)Vа (v)Р (V)01,000001,000002,01,436491,799250,11,000671,001772,11,515771,949360,21,002681,004692,21,612422,133600,31,006051,010602,31,732522,364080,41,010831,018992,41,885442,659500,5-1,017071,029962,52,086383,050210,61,02485.1,043662,62,361763,58902О,71,034271,060282,72,761954,376600,81,045441,080062,83,396265,631510,91,058531,103302,94,555017,934301,01,073721,13037; 3,07,3485913,50571,11,091241,161723,123,565945,92341,2• 1,111381,197923,2—15,7339—32,70641.31,134501,239643,3—5,41538— 12,07701,41,161021,287773,4—3,07872—7,424791,51,191501,343383,5—2,04334—5,376821,61,226651,407853,6—1 ,45725—4,229271,71,267351,48295: 3,7—1,07871—3,498891,81,31477- 1,571003,8—0,81282—2,996091,9-1,370451,675053,9-0,6146 8—2,63137404 '
Продолжение прил. 1и% (и)Щ> («)ш4>io <“)Фи («)t-j; Ой6,0-9,66722—111,542—58,3610—12,8279-18,8176—56,05896,1■^—10,6340—127,670—65,2074-15,4813—.19,3091—64,12686,2—И.8642—146,669—73.8813—18,2790—20,0042—73,62796,3—13,4590—169.550—85,0985—21,2656-20,9182—85,08666.4— 15,5807—197.999—100,008—24,4907—22,0775—99,33068,5—18,5070—234,807—120,571—28,0127—23,5215-117,7656,6—22,7533—285,156—150,433—31,8041—25,3065-142,9866,7—29,3961—359,825—197,001—36,2582-27,51'?—180,3976,8—41,1164—485,620—279,826—41,2002—30,2495—243,4326,9—66,9589—752,891—462,244—46,9040—33,6823—377,3767,0-168,735—1778,81—1181,36—53,6219—38,0513—891,557П родолженивVа (v)р т0a (v)i (^)4,0—0,46027—2,357026,01,80151—3,745574,1-0,33555—2,145346,12,73526—5,560864,2—0,23172—1,979206,25,88141—11,80314,3—0,14297— 1,847536,3—28,241456,49094,4—0,06524—1,742916,4—3,921257,897324,50,00439—I,660286,5—2,024264,148984,60,06817—1,596186,6— 1,317542,780304,70,12790— 1,548316,7—0,944472,078334,80,18511—1,515236,8—0,711381,655974,90,24118—1,496266,9—0,550131,377275,00,297491,491407,0—0,430571,182215,10,35550— 1,501427,1—0,33727-1,040245,20,41690—1 ,527967,2—0,261510,934245,30,48384—1,573837,3—0,197920,853875,40,55917—1,643607,4—0,143040,792635,5 '0,64705—1,744557,5—0,094490,746215,60,75384—1,888597,6—0,050530,711765,70,89011—2,096177,7—0,009870,687355,81,07503—2,404967,80,028530,671735,91,34756—2,892387,90,065560,66416т
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ТАБЛИЦЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙВид деформаций и эпюры моментовЗначения функций	®l(v) =3	1-tgyф2(и) =tgavj 2
vsm V1Фз(у) =*№) = 4 I ( —) *= ф4«П#) = Ф1 ы — —%lv) = Фх, V \	V2«I = 4 (— j = islv} - —12406
Продолжение прил. 3Вид деформаций и эпюры мементовЗначения функцийг+тН—г.1 / . 0=Л*I f 'Р 1
^ 1 // g£71Продолжение прил. 3Vфг (V)ф2 (V)фз (V)Ф. (к)Hi (о)П« (">00000000,10,99940,99971,00020,99990,99610,99900,20,99730,99871,00070,99940,98400,99600,30,99400,99701,00150,99850,96400,99100,40,98930,99471,00270,99730,93600,98400,50,98320,99161,00420,99580,89990,97500,60,97570,98791,00610,99400,85570,96400,70,96690,98361,00830,99180,80350,95100,80,95650,97851,01090,98930,74320,93600,90,94470,97271,01380,98640,67470,918910,93130,96621,01720,98320,59800,89991.10,91640,95901,02090,97970,51310,87881.20,89980,95111,02510,97570,41980,85571.30,88140,94241,02970,97150,31810,83071,40,86130,93291,03480,96690,20800,80351,50,83930,92271,04030,96190,08930,77441я/20,82250,91491,04450,962000,75251.60,81520,91161,04630,9565—0,03810,74321,70,78910,89981,05290,9508—0,17430,71001.80,76060,88711,06000,9447—0,31940,67471.90,72970,87351,06760,9382—0,47360,637420,69610,85901,07600,9313—0,63720,59802,10,65970,84361,08490,9241—0,81030,55662,20,62020,82731,09460,9164—0,99310,51312,30,57720,80991,10510,9083—1,18610,46752,40,53040,79151,11640,8998—1,38960,41982,50,47930,77201,12860,8908—1,6040.0,37002,60,42340,75131,14170,8814—1,82990,31812,70,36210,72951,15590,8716—2,06790,26412,80,29440,70641,17120,8613—2,31890,20802,90,21950,68191,18780,8505—2,58380,1497407
Продолжение прил. 3V<Pi (v)ф2 (а)Фа (У)ф, (f)m (а)30,13610,65601,20570,8393—2,86393,10,04240,62871,22510,8275—3,1609я00,61681,23360,8225—3,28983,2—0,06350,59971,24620,8152—3,47693,3—0,18470,56911,26910,8024—3,81473,4—0,32480,53661,29400,7891—4,17813,5—0,48940,50211,32120,7751—4,57273,6—0,68620,46551,35090,7606—5,00623,7—0,92700,42651,38340,7455—5,49043,8—1,23030,38501,41910,7297—6,04363,9—1,62690,3407I,45840,7133—6,69694—2,17260,29331,50190,6961—7,50604,1—2,98020,24241,55010,678з—8,58364,2—4,31560,18781,60370,6597—10,1964,3—6,99470,12871,6636в,6404— 13,1584,4— 15,3270,06481,73100,6202—21,7804,5+227,93—0,00481,80700,5991+221,184,6—0,08091,89330,57724,7-0,16461,99200,5543Зя/2-0,17552,00520,55144,8—0,25722,10560,53044,9—0,36072,23750,50545—0,47722,39230,47935,1—0,60992,57570,45205,2—0,76292,79600,42345,3—0,94223,06480,39355,4— 1,15633,39890,36215,5— 1,41823,82360,32915,6— 1,74814,37940,29445,7—2,18035,13460,25805,8—2,77776,21390,21955,9—3,66797,87270,17906—5,159410,7270,13616,1—8,233616,7390,09076,2—18,59137,3080,04242л	ОО000112 (и)0,08930,02670-0,0381-0,1051-0,1743-0,2457-0,3194-0,3954-0,4736-0,5542-0,6372-0,7225-0,8103-0,9005-0,9931-1,0884-1,1861-1,2865-1,2992-1,3896-1,4954-1,6040
-1,7155
-1,8299
-1,9474
-2,0679
-2,1917
-2,3189
-2,4495
-2,5838
-2,7219-2,8639-3,0102-3,1609-3,2898
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.	Александров А. В. Динамика транспортных сооружений. — М.:
изд. МИИТ, 1976, 150 с.2.	Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н., Смир¬
нов В. А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболо¬
чек с использованием ЭВМ, ч. I/Под ред. А. Ф. Смирнова, — М.:
Стройиздат, 1976, 248 с.3.	Александров А. В., Лащеников Б. Я-, Шапошников Н. Н. Строи¬
тельная механика. Тонкостенные пространственные системы./Под
ред. А. Ф. Смирнова. — М.: Стройиздат, 1983. 488 с.4.	Барченков А. Г. Динамический расчет автодорожных мостов. —
М.: Транспорт, 1976, 150 с.Б. Бате К., Вилсон Р. Численные методы анализа и метод конеч¬
ных элементов. Пер. с англ. Под ред. А. Ф. Смирнова. — М.:
Стройиздат, 1982, 447 с.6.	Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2,— М.:
Гос. изд.-во. физ.-мат. лит., 1959, 620 с.7.	Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний. —
М.: Высшая школа, 1972, 250 с.8.	Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.—М.:
Гостехиздат, 1956, 600 с.9.	Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устой¬
чивости.— М.: Физматгиз, 1961, 340 с.10.	Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежно¬
сти в расчетах сооружений.—М.: Стройиздат, 1982, 351 с.11.	Вибрации в технике. Справочник, т. 1. Колебания линейных си¬
стем/Под ред. В. В. Болотина. — М.: Машиностроение, 1978,
352 с.12.	Вибрации в технике. Справочник, т. 2. Колебания нелинейных
механических систем/Под ред. И. И. Блехмана. — М.: Машиност¬
роение, 1979, 351 с.13.	Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз,
1963, 879 с.14.	Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной матема¬
тики.— М.: Гос. изд.-во физ.-мат. лит., 1960, 659 с.15.	Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчиво¬
сти.— М.: Наука, 1967, 472 с.16.	Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир,
1975. 541 с.17.	Инструкция к программе расчета комбинированных систем мето¬
дом конечного элемента СПРИНТ. Межотраслевой фонд алгорит¬
мов и программ автоматизированных систем в строительстве,
вып. 1—250/Н. Н. Шапошников, В. Б. Бабаев, Г. В. Полторак,
А. М. Зак, В. А. Ожерельев, Е. Г. Перушев, Д. Б. Гуров.— М.:
1982/ЦНИИпроект. 139 с.18.	Казакевич М. И. Аэродинамическая устойчивость надземных и
висячих трубопроводов. — М.: Недра, 1977, 150 с.19.	Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. Пер, с англ. —М.:
Стройиздат, 1979, 319 с,409
20.	Корчкнский И, А. Сейсмические нагрузки на здания и сооруже¬
ния.—М.: Стройиздат, 1959. 170 с.21.	Крейг Р. Р., Бэмптон М. К. Сочленение подконструкций при ди¬
намическом расчете конструкций. — Ракетная техника и космо¬
навтика, 1968, № 7, с. 113.22.	Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование
на ФОРТРАНЕ Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.23.	Матезосян Р. Р. Некоторые приложения качественной теории
колебаний упругих стержневых систем с бесконечно большим
числом степеней свободы. — В сб.: Исследования по теории со¬
оружений, вып. XI. М., Стройиздат, 1962.24.	Мануйлов Г. А. О применении некоторых неравенств в спект¬
ральном анализе упругих систем/Науч. тр. МИНТ, 1966, Тр.
вып. 225. Вопросы прикладной механики.25.	Нудсльман Я. Л. Методы определения собственных частот и кри¬
тических сил для стержневых систем. — Л., — М.: Гос. изд-во
техн. теорет. лит., 1949.26.	Нудельман Я. Л., Ляхович Л. С. Уточнение критерия, опреде¬
ляющего место заданного числа в спектре собственных частот и
критических сил упругих систем. Сб, трудов/Томский индустри¬
альный ин-т, 1968, т. XIV, Исследования по строительным кон¬
струкциям.27.	Пановко Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих сис¬
тем. — М : Физматгиз, 1960.28.	Пановко Я. Г, Губанова М. И. Устойчивость и колебания упру¬
гих систем. — М.: Наука, 1979, 384 с.29.	Писаренко Г. С. Колебания механических систем с учетом несо¬
вершенной упругости материала. — Киев: Наукова думка, 1970.30.	Прокофьев И. П., Смирнов А. Ф. Теория сооружений, ч. Ш,—
М.: Трансжелдориздат, 1948, 243 с.31.	Прочность, устойчивость, колебания. Справочник, т. 3/Под ред.
И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. — М.: Машиностроение, 1968,
567 с.32.	Рокар И. Неустойчивость в механике/Пер. с фр.— М.: ИЛ, 1959.33.	Синицын А. П. Практические методы расчета сооружений на сей¬
смические нагрузки. — М.: Стройиздат, 1967.34.	Синицын А. П, Метод конечных элементов в динамике сооруже¬
ний.— М., Стройиздат, 1978. 231 с.35.	Система ПАРАДОКС—ЕС фонд алгоритмов и программ для ЭВМ
в отрасли «Строительство», вып. 1—223/Ж. Д. Возгрипа, В. Н.
Гордеев. -М., 1977/ОТРД ЦНИИПИАСС, 117 с.36.	Смирнов А. Ф. Устойчивость и колебания сооружений. — М.:
Трансжелдориздат, 1958.37.	Смирнов А Ф., Александров А. В., Шапошников Н. Н., Лащени-
ков Б. Я. Расчет сооружений с применением вычислительных ма¬
шин.— М.: Стройиздат, 1964, 380 с.38.	Смирнов А. Ф., Александров А. В., Монахов Н, И. и др. Сопро¬
тивление материалов. — М.: Стройиздат, 1975, 479 с.39.	Смирнов А Ф., Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошни¬
ков Н. Н. Строительная механика. Стержневые системы/Под ред.
А. Ф. Смирнова. —М.: Стройиздат, 1981. 512 с.40.	Снитко Н. К. Сопротивление материалов. — Л.: 1975, 368 с.41.	Сорокин Е. С, К теории внутреннего трения при колебаниях упру¬
гих систем.— М.: Стройиздат, 1960.410
42.	Сорокин Е. С. Инструкция по расчету перекрытий на импульсные
нагрузки. — М.: Стройиздат, 1966.43.	Справочник по динамике сооружений/Под ред. Б. Г. Корнеева,
И. М. Рабиновича. — М.: Стройиздат, 1972, 511 с,44.	Строительные нормы и правила. Ч. II. Гл. 7. Строительство в
сейсмических районах. СНиП 11-7-81. — М,: Стройиздат, 1982.45.	Тимошенко С. П. Теория упругости ОНТИ. — М.: 1937, 451 с,46.	Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. — М.: Наука,
1967, 439 с.47.	Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ.
Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976,48.	Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линей¬
ной алгебры. — М.: Физматгиз, 1960, 656 с.49.	Цейтлин А. И. О линейных моделях частотно-независимого внут¬
реннего трения. — МТТ, 1978, № 3.60.	Цейтлин А. И. Об учете внутреннего трения в нормативных до¬
кументах по динамическому расчету сооружений. — Строитель¬
ная механика и расчет сооружений, 1981, № 4, с. 33—38.61.	Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Гос. изд-во техн. те*
орет, лит., 1955, 208 с.52. Шапошников Н. Н, Строительная механика транспортных соору¬
жений,—М.: МНИТ, 1983. 80 с.
ОГЛАВЛЕНИЕСтр.Предисловие			3Раздел первый. Колебания деформируемых систем ... 5Глава 1. Общие сведения о динамике деформируемых систем. 5
§ 1.1. Характерные виды динамических воздействий на
строительные конструкции и задачи курса динамики со¬
оружений		5§ 1.2. Число степеней свободы деформируемой системы и
способы дискретизации континуальных систем ... 8
§ 1.3. Силы инерции. Понятие о методах составления ура¬
внений движения деформируемой системы .... 12
Глава 2. Колебания систем с одной степенью свободы . . 19
§ 2.1. Уравнение движения и свободные колебания системыс одной степенью свободы	 19§ 2.2. Реакция системы с одной степенью свободы на не¬
которые виды воздействий 		23§ 2.3. Описание движения системы с одной степенью сво¬
боды с помощью обобщенной координаты. Формула Рэлея 30
§ 2.4. Влияние сил сопротивления на свободные колебания.Гипотеза вязкого трения 	 36§ 2.5. Учет сил сопротивления по теории неупругого по¬
глощения энергии	41§ 2.6. Гармонические колебания системы с одной степеньюсвободы	46§ 2.7. Интеграл Дюамеля		 5!§ 2.8. Численная реализация интеграла Дюамеля . . 53
§ 2.9. Использование численных методов для решения урав¬
нений движения	55§ 2.10. Свободные колебания нелинейных систем. Действиегармонической силы	62Глава 3. Свободные колебания систем с конечным числом сте¬
пеней свободы	70§ 3.1. Свободные колебания системы с п степенями сво¬
боды. Уравнения движения	70§ 3.2. Спектр частот и форм собственных колебаний си¬
стемы 	73§ 3.3. Ортогональность собственных форм колебаний . . 77
§ 3.4. Примеры определения частот и форм собственныхколебаний	80§ 3.5. Определение свободных колебаний системы по на¬
чальным условиям		 . . 85.§ 3.6. Использование обобщенных координат и базисных
функций в задаче о свободных колебаниях системы с рас¬
пределенными параметрами			89§ 3.7. О решении частичной проблемы собственных значе¬
ний для матриц высоких порядков 	 98Глава 4. Вынужденные колебания систем с конечным числом
степеней свободы	Г04412
Стр.§ 4.1. Гармонические колебания системы с несколькимистепенями свободы (без демпфирования)	104§ 4.2. Действие сил, произвольно изменяющихся во вре¬
мени. Уравнения движения	112§ 4.3. Метод главных координат (разложение движения пособственным формам колебаний)	115§ 4.4. Вынужденные гармонические колебания (с демпфи¬
рованием) 	120§ 4.5. Кинематическое возбуждение колебаний ... . 124
§ 4.6. Основы спектральной теории расчета сооружений насейсмические воздействия 	 126. § 4.7. Расчет на сейсмические воздействия по нормам . 129
§ 4.8. Расчет на воздействия в виде заданных акселеро¬
грамм 	137Глава 5. Применение метода конечных элементов для решениязадач динамики		 143§ 5.1. Общие замечания	143§ 5.2. Дискретизация при решении задач динамики поМКЭ			149§ 5.3. Сокращение числа динамических степеней свободы 155
§ 5.4. Использование суперэлемента для определения ча¬
стот и форм колебаний сложных конструкций . . . 162
§ 5.5. Прямые методы решения задач динамики . . .' 170
Глава 6. Колебания стержней как систем с бесконечным чис¬
лом степеней свободы		183§ 6.1. Уравнения движения для продольных колебаний
стержня. Бегущие и стоячие волны деформации ■ . .	183
§ 6.2. Поперечные колебания Стержня. Уравнение движе¬
ния 	 . . . . 189§ 6.3. Собственные колебания стержней при изгибе. Ба¬
лочные функции . . . . . . . . . . ;	191
§ 6.4. Вынужденные гармонические колебания стержнейпри изгибе		 :; 196§ 6.5. Метод перемещений в задачах о гармонических ко-‘
лебаниях стержневых систем . . .	200Раздел второй. Устойчивость упругих систем . . , . . 2O7
Глава 7. Методы исследования устойчивости упругих систем 207
§ 7.1. Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесий.
Критическая нагрузка и методы ее определения ... . ' 207
§ 7.2. Исследование устойчивости системы с одной степе-' ■нью свободы		 . . .’ 212§ 7.3. Устойчивость систем с несколькими степенями сво-
бодь! . . . . ... . . . . • . . • 216
§ 7.4. Некоторые особенности применения статистического '
метода . . . ... ... . ... V 222
§ 7.5. Понятие о исследовании устойчивости систем с бес'.-
конечно большим числом степеней свободы . . . V 230
Глава 8. Устойчивость прямолинейных стержней 1 . . > 233
§ 8.1. Влияние способов закрепления концов стержня . ' 233
§ 8.2. Матричная форма метода начальный параметров при , .
расчете многоступенчатых стержней ’ . . \	’ 235§ 8.3. Случай действия нескольких сил на стержень нсето-
янного сечения	"239413
Стр.§ 8.4. Устойчивость колонны постоянного сечения под дей¬
ствием собственного веса	*	243§ 8.5. Устойчивость стержней при наличии упругих опор	244
§ 8.6. Устойчивость стержней переменного сечения . ,	248
§ 8.7. Влияние местных ослаблений на значение критичес¬
кой силы			252§ 8.8. Влияние сдвигов на значение критической силы .	253§ 8,9. Замечания по расчету составных стержней . . .	255§ 8.10. Влияние способов передачи нагрузки ....	256§ 8.П. Численный метод определения критических сил .	259
§ 8.12. Устойчивость стержня переменного сечения присложной нагрузке		 ,	264. § 8ЛЗ. Расчет стержней на продольно-поперечный изгиб .	267Глава 9. Устойчивость плоской формы изгиба балок . . .	268§ 9.1. Общие замечания			268§ 9.2. Устойчивость тонкой полосы при чистом изгибе .	269§ 9.3. Устойчивость полосы при внецентренном сжатии .	271
§ 9.4. Устойчивость балки прямоугольного сечения поддействием поперечной нагрузки 		272§ 9.5. Устойчивость консольной балки с силой на конце .	274
§ 9.6. Устойчивость плоской формы изгиба балки перемен¬
ного сечения	275§ 9.7. Устойчивость плоской формы изгиба двутавровойбалки	279Глава 10. Устойчивость стержневых систем	281§ 10.1. Основные положения расчета рам на устойчивость	281
§ 10.2. Жесткости сжатых упругих стержней . . .	284
§ 10.3. Расчет рам на устойчивость с помощью метода пе¬
ремещений 	285§ 10.4. Понятие о применении метода перемещений в за¬
дачах устойчивости сложных систем . . . . . .	291
Глава 11. Приближенные методы определения критических на¬
грузок для стержневых систем и пластин	294§ 11.1. Дополнительные сведения об энергетическом ме¬
тоде 	294§ 11.2. Устойчивость стержней переменной жесткости припеременной продольной силе . . 		297§ 11,3. Исследование устойчивости стержневых систем энер¬
гетическим методом в форме метода конечных элементов	299
§ 11.4. Двусторонние оценки для критических нагрузок не¬
которых систем. Учет следящих сил	304§ 11.5. Понятие о задачах устойчивости сжатых пластини методах их решения 		307§ 11.6. Устойчивость шарнирно опертой прямоугольнойпластины		309Глава 12. Устойчивость арок и арочных систем ....	313§ 12.1. Общие замечания	313§ 12.2. Устойчивость круговых арок при гидростатическомдавлении	314§ 12.3. Численный метод расчета круговых арок . . .	320§ 12.4. Устойчивость параболических арок ....	326
§ 12.5. Устойчивость параболической арки при действиигруза, приложенного в замке	333414
§ 12.6. Устойчивость параболической арки с заделаннымипятами			§ 12.7. Расчет арки с упруго^ заделанными пятами . ,
§ 12.8. Устойчивость арки с затяжкой ......§ 12.9. Устойчивость плоской формы изгиба круговой арки.
Глава 13. Устойчивость упругих систем при многопараметричес¬
кой нагрузке		§ 13.1. Понятие о устойчивости при многопараметрическойнагрузке 	 ,§ 13.2. Теорема П. Ф. Папковича о пограничной поверх¬
ности				§ 13.3. Применение теоремы П. Ф. Папковича в прибли¬
женных расчетах 			Глава 14. Расчет стержневых систем по деформированной схеме
§ 14.1. Применение метода перемещений с использованиемспециальных функций 		§ 14.2. Расчет по деформированной схеме в форме мето¬
да конечных элементов 		§ 14.3. Расчет упругих рам со стержнями переменной же¬
сткости методом сил		 . . .Глава 15. Расчет мембран, пластинок и оболочек с учетом гео¬
метрической нелинейности 	§ 15.1. Расчет мембран	§ 15.2. Расчет пластин с учетом продольно-поперечного из¬
гиба. Матрица геометрической жесткости	§ 15.3. Расчет оболочек с учетом геометрической нелиней¬
ности 	Приложение 1. Таблицы специальных функций для расчета
стержневых систем на колебания методом перемещений .
Приложение 2. Таблицы специальных функций для расчета
стержневых систем на устойчивость методом сил . ,
Приложение 3. Таблицы специальных функций для расчета
стержневых систем на устойчивость методом перемещений
Список литературы		 , • , .Стр<33534134334935135135535735935936336537337338.1393400404406409