В.А.ИЛЬИН,Э.Г. ПОЗНЯК

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В ы пуск 5
В. А. ИЛЬИН, Э. Г. ПОЗНЯК
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов университетов,
обучающихся по специальностям
«Прикладная математика» и «Физика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1988

ББК 22.151.5
И 46
УДК 514.122
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Под редакцией
А. Н. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА,
А. Г. СВЕШНИКОВА
И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г. Аналитическая геометрия: Учебник для
университетов.— 4-е изд., доп.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—
224 с.— (Курс высшей математики и математической физики/Под ред.
А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
Учебник написан на основе опыта преподавания авторов в Московском
государственном университете им. М. В. Ломоносова. Первое издание вышло
в 1968 г. Второе издание (1971 г.) и третье (1981 г.) были стереотипны.
Для 4-го издания учебник дополнен.
Учебник удостоен Государственной премии СССР за 1980 год.
Для студентов физических и физико-математических факультетов и фа¬
культетов вычислительной математики и кибернетики университетов.
Ил. 85.
© Издательство «Наука»>
ISBN 5 - 02-013762 -6
Главная редакция
физико-математической литературы(
1988

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии 		  '
Предисловие 	 $
Введение

Глава 1. Системы координат. Простейшие задачи аналитической гео¬
метрии 	 12
§ 1. Декартовы координаты на прямой	  12
1. Направленные отрезки на оси (12). 2. Линейные операции над направлен¬
ными отрезками. Основное тождество (13). 3. Декартовы координаты на пря¬
мой (14).
§ 2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве ....	15
1. Декартовы координаты на плоскости (15). 2. Декартовы координаты в про¬
странстве (16).
§ 3. Простейшие задачи аналитической геометрии	16
1. Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного
отрезка на ось (16). 2. Расстояние между двумя точками (17). 3. Деление от¬
резка в данном отношении (13). 4. Барицентрические координаты (20).
§ 4. Полярные, цилиндрические и сферические координаты .... 21
1. Полярные координаты (21). 2. Цилиндрические координаты (22). 3. Сфериче¬
ские координаты (23).
Дополнение к главе 1. Определители второго и третьего порядков . .	24
1. Понятие матрицы и определителя второго порядка (24). 2. Система двух
линейных уравнений с двумя неизвестными (25). 3. Определители третьего по¬
рядка (27). 4. Свойства определителей (29). 5. Алгебраические дополнения и
миноры (30). 6. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными с оп¬
ределителем, отличным от нуля (33). 7. Однородная система двух линейных
уравнений с тремя неизвестными (35). 8. Однородная система трех линейных
уравнений с тремя неизвестными (37). 9. Неоднородная система трех линейных
уравнений с тремя неизвестными с определителем, равным нулю (38).
Глава 2. Векторная алгебра	41
§ 1. Понятие вектора и линейные операции над векторами .... 41
1. Понятие вектора (41). 2. Линейные операции над векторами (42). 3. Поня¬
тие линейной зависимости вектороз (47). 4. Линейные комбинации двух векто¬
ров (48).	5. Линейные комбинации трех вектороз (49).	6. Линейная зависи¬
мость четырех векторов (51).	7. Понятие базиса. Аффинные координаты (53).
8. Проекции вектора на ось и ее свойства (55). 9. Декартова прямоугольная
система координат как частный случай аффинной системы координат (56).
§ 2. Скалярное произведение двух векторов	59
I. Определение скалярного произведения (59). 2. Геометрические свойства ска¬
лярного произведения (60). 3. Алгебраические свойства скалярного произведе¬
ния (61).	4. Выражение скалярного произведения в декартовых координа¬
тах (62).
§ 3. Векторное и смешанное произведения векторов	63
1. Правые и левые тройки векторов и системы координат (63). 2. Определение
векторного произведения двух векторов (64). 3. Геометрические свойства век¬
торного произведения (65).	4. Смешанное произведение трех векторов (66).
5.	Алгебраические свойства векторного произведения (68). 6. Выражение век-
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
торного произведения в декартовых координатах (72). 7. Выражение смешан¬
ного произведения в декартовых координатах (73). 8. Двойное векторное про¬
изведение (74).
Глава 3. Преобразование декартовых прямоугольных координат на
плоскости и в пространстве	76
§ 1. Преобразование декартовых прямоугольных координат на пло¬
скости 	76
§ 2. Преобразование декартовых прямоугольных координат в простран¬
стве .	.	.	,	79
1. Общие формулы преобразования (79). 2. Выяснение геометрического смысла.
Углы Эйлера (81).
§ 3. Линейные преобразования 		83
1. Понятие линейных преобразований плоскости (83). 2. Аффинные преобра¬
зования плоскости (84).	3. Основное свойство аффинных преобразований пло¬
скости (86).	4. Основной инвариант аффинного преобразования плоскости (88).
5. Аффинные преобразования пространства (89). 6. Ортогональные преобразо¬
вания (90).
§ 4. Проективные преобразования .	92
Глава 4. Уравнение линии на плоскости. Уравнения поверхности и ли¬
нии в пространстве 	 94
§ 1. Уравнение линии на плоскости 		94
1. Понятие об уравнении линии (94).	2. Параметрическое представление ли¬
нии (95).	3. Уравнение линии в различных системах координат (97).	4. Два
типа задач, связанных с аналитическим представлением линии (99). 5. Класси¬
фикация плоских линий (99). 6. О пересечении двух линий (101).
§ 2. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве . . . 102
1. Понятие об уравнении поверхности (102). 2. Уравнения линии в простран¬
стве (103). 3. Цилиндрические и конические поверхности (104). 4. Параметри¬
ческие уравнения линии и поверхности в пространстве (106). 5. Классификация
поверхностей (108). 6. О пересечении поверхностей и линий в пространстве (109).
7. Заключительные замечания (109).
Глава 5. Линейные образы	ПО
§ 1. Различные виды уравнения прямой на плоскости	ПО
1. Общее уравнение прямой (ИО). 2. Неполные уравнения прямой. Уравнение
прямой в отрезках (112). 3. Каноническое уравнение прямой (ИЗ). 4. Парамет¬
рические уравнения прямой (114). 5. Прямая с угловым коэффициентом (114).
6.	Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикуляр¬
ности двух прямых (116). 7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение
точки от прямой (118). 8. Уравнение пучка прямых (120).
§ 2. Некоторые задачи на прямую линию на плоскости	122
1. Нахождение прямой, проходящей через данную точку Ali(Xi, У\) и соста¬
вляющей заданный угол <р с данной прямой y = kiX + bi (122). 2. Нахождение
биссектрис углов, образованных данными прямыми (123). 3. Условия, при ко
торых данная прямая пересекает данный отрезок АВ (123). 4. Определение
местоположения данной точки М и начала координат О относительно углов,
образованных двумя данными прямыми (124). 5. Условие пересечения трех пря¬
мых в одной точке (124). 6. Нахождение прямой, проходящей через точку пе¬
ресечения двух данных прямых и удовлетворяющей еще одному условию (125).
§ 3. Различные виды уравнения плоскости	126
1. Общее уравнение плоскости (126). 2. Неполные уравнения плоскости. Урав¬
нение плоскости в отрезках (128). 3. Угол между двумя плоскостями. Условия
параллельности и перпендикулярности плоскостей (129). 4. Уравнение пло¬
скости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной пря¬
мой (130). 5. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от пло¬
скости (130). 6. Пучки и связки плоскостей (133).
§ 4. Прямая линия в пространстве 		134
1. Канонические уравнения прямой в пространстве (134). 2. Уравнения прямой,
проходящей через две различные точки (хь У\, zx) и jM2(x2. у-, z j (136).
3. Параметрические уравнения прямой в пространстве (136). 4. Угол между
прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности пря¬
мых (136). 5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости (137).
6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендику-

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
л яркости прямой и
х —xt _ У — Ух __ Z
I	т
прямых (138).
! плоскости (137).
z~ — к плоскости
п
7.	Условия принадлежности прямой
Ах + By 4- Cz + D=0 (138). 8. Связка
§ 5. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве ,	. 139
1 Условие пересечения трех плоскостей в одной и только в одной точке (139).
9 Нахождение биссектральных плоскостей двугранного угла, образованного
лвумя данными плоскостями (139). 3. Условия, при которых данная плоскость
пересекает данный отрезок АВ (140). 4. Определение местоположения двух
пачных точек А и В относительно двугранных углов, образованных данными
плоскостями (140). 5. Уравнения прямой, проходящей через данную точку
А11(Х1, //1,21) и перпендикулярной данной плоскости Ах + By + Cz + £)—0 (140).
6. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку Л1о (Xq,//о, ^о) и парал¬
лельной заданной плоскости АхХ + Bxy + C\Z + .Di=0 (140). J. Уравнение
плоскости, проходящей через		~
дикулярной, заданной прямой
плоскости, проходящей через
через заданную не лежащую на
пение плоскости, проходящей через данную прямую -
х —х2 У —Уч
и параллельной другой данной прямой —		= —

t2	1П2
заданную точку Мо (х0, !/о, 20) и перпен-
х —х^____^—(ИО). 8. Уравнение
I	т	n
х —Х[	у — Ух	Z — Zi
данную прямую 	j—=———=	и
этой прямой точку Af0(x0, Уо, г0) (141). 9. Урав-
X —Х1 _ у —Ух __ Z—Zx
lx	ГПх	Пх
(141), ю. урав-
пение плоскости, проходящей через заданную прямую L{ и перпендикуляр¬
ной заданной плоскости л (142). 11. Уравнения перпендикуляра, опущенного из
заданной точки А1о на данную прямую Lx (142). 12. Нахождение расстояния от
данной точки Л1о до данной прямой Lx (142). 13. Нахождение общего перпен¬
дикуляра к двум скрещивающимся прямым Lx и (142). 14, Нахождение
кратчайшего расстояния между двумя данными скрещивающимися прямыми Lt
и Li (142).
Глава 6. Линии второго порядка	143
§ 1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы . .	. 143
1. Эллипс (144). 2. Гипербола (146). 3. Парабола (147).
§ 2. Исследование формы эллипса, гиперболы и параболы по их ка¬
ноническим уравнениям	149
1. Исследование формы эллипса (149). 2. Исследование формы гиперболы (150).
3. Исследование формы параболы (154).
§ 3. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы	155
1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы (155). 2. Директрисы эллипса и гипер¬
болы (156). 3. Определение эллипса и гиперболы, основанное на их свойстве
по отношению к директрисам (169). 4. Эллипс, гипербола и парабола как ко¬
нические сеченця (163). 5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и пара¬
болы (164).
§ 4. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе	166
1. Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе (166). 2. Опти¬
ческие свойства эллипса, гиперболы и параболы (167).
§ 5. Кривые второго порядка .			168
1. Преобразование коэффициентов уравнения линии второго порядка при пе¬
реходе к новой декартовой системе координат (169). 2. Инварианты уравнения
линии второго порядка. Понятие типа линии второго порядка (172). 3. Центр
линии второго порядка (174). 4. Стандартное упрощение любого уравнения ли¬
нии второго порядка путем поворота осей (176). 5. Упрощение уравнения цен¬
тральной линии второго порядка (Л У= 0). Классификация центральных
линий (176). 6. Упрощение уравнения линии параболического типа (72=0). Клас¬
сификация линий параболического типа (180). 7. Распадающиеся кривые вто¬
рого порядка (183).
Глава 7. Поверхности второго порядка	184
§ 1. Понятие поверхности второго порядка .			184
1. Преобразование коэффициентов уравнения поверхности второго порядка при
переходе к новой декартовой системе координат (185). 2. Инварианты уравне¬
ния поверхности второго порядка (186). 3. Центр поверхности второго по¬
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
рядка (187). 4. Стандартное упрощение любого уравнения поверхности второго
порядка путем поворота осей (187).
§ 2. Классификация поверхностей! второго порядка ....... 189
1. Классификация центральных поверхностей (189). 2. Классификация нецен¬
тральных поверхностей второго порядка (192).
§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их кано¬
ническим уравнениям	194
1. Эллипсоид (194). 2. Гиперболоиды (196). 3. Параболоиды (199). 4. Конус и
цилиндры второго порядка (201). 5. Прямолинейные образующие поверхностей
второго порядка (202).
Приложение. Проблемы оснований геометрии и обоснования метода
координат ..... 	 205
§ 1. Аксиомы элементарной геометрии .	.	.			205
1. Аксиомы принадлежности (206). 2. Аксиомы порядка (207). 3. Аксиомы кон¬
груэнтности (209). 4. Аксиомы непрерывности (211). 5. Обоснование метода ко¬
ординат (212). 6. Аксиома параллельности (217).
. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида . . 217
. Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского 221
. Заключительные замечания о проблемах аксиоматики	223
CO bo

ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
Данный выпуск серии представляет собой учебник по курсу
аналитической геометрии. Кроме традиционно излагаемого ма¬
териала, он содержит изложение некоторых вопросов, находя¬
щих применение в физике и в теоретической механике (понятие
о барицентрических координатах, выяснение роли углов Эйлера
в вопросах преобразования координат, представление произ¬
вольного преобразования в виде трансляции и одного поворота
в пространстве, оптические свойства кривых второго порядка
и т. п.).
Представляет интерес и приложение, содержащее аксиома¬
тику Гильберта, обоснование метода координат и дающее пред¬
ставление о неевклидовой геометрии.
Л, Тихонов, В, Ильин, А. Свешников

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга возникла на основе лекций, читавшихся авторами
на физическом факультете МГУ в течение ряда лет.
Отметим некоторые особенности изложения. Во-первых, от¬
метим, что по всей книге идет параллельное рассмотрение слу¬
чаев плоскости и пространства.
Весьма подробно излагается векторная алгебра. При ее из¬
ложении сразу же вводится понятие линейной зависимости век¬
торов, и на его основе устанавливается возможность однознач¬
ного разложения вектора по аффинному базису. Отличаются от
общепринятых доказательство распределительного свойства
векторного произведения и формулы для двойного векторного
произведения.
В связи с потребностями теоретической механики детально
рассматривается преобразование декартовых прямоугольных
координат. Выясняется роль углов Эйлера и устанавливается,
что, каковы бы ни были два базиса одной ориентации, один из
них может быть преобразован в другой посредством парал¬
лельного переноса и одного поворота вокруг некоторой оси
в пространстве.
При описании линейных образов, наряду с изложением тра¬
диционного теоретического . материала, рассмотрено большое
число задач идейного характера. Нам кажется, что разбор этих
задач принесет пользу студентам, приступающим к упраж¬
нениям.
Не оставлены без внимания и имеющие прикладной харак¬
тер вопросы теории образов второго порядка (оптические свой¬
ства, полярные уравнения и т. п.).
Приложение к книге содержит материал, не входящий в
традиционные курсы аналитической геометрии. Здесь дается
представление об аксиоматике Гильберта. Проводится обосно¬
вание метода координат, дается представление о системе раз¬
вертывания основных геометрических понятий, об евклидовой
и неевклидовой геометриях и о доказательстве их непротиворе¬
чивости.
По программе, действующей в настоящее время, этот мате¬
риал не входит ни в один математический курс. Тем не менее
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
этот материал актуален не только с точки зрения логических
принципов построения геометрии, но и для понимания ряда
разделов современной физики.
При написании этой книги мы широко пользовались сове¬
тами и дружеской критикой А. Н. Тихонова и А. Г. Свешни¬
кова, которым приносим свою глубокую благодарность.
Нам хочется также поблагодарить Н. В., Ефимова и
А. Ф. Леонтьева за прочтение рукописи и сделанные ими за¬
мечания.
1968	В. Ильин, Э, Позняк
Для четвертого издания учебник дополнен материалом, по¬
священным линейным и проективным преобразованиям.
Авторы благодарят за помощь при оформлении этого изда¬
ния А. В. Ильину.

ВВЕДЕНИЕ
Аналитическая геометрия имеет своей задачей изучение
свойств геометрических объектов при помощи аналитического
метода.
В основе этого метода лежит так называемый метод коор¬
динат, впервые систематически примененный Декартом*).
Основные понятия геометрии (точки, прямые линии и пло¬
скости) относятся к числу так называемых начальных поня¬
тий. Эти понятия можно описать, но всякая попытка дать опре¬
деление каждого из этих понятий неизбежно сведется к замене
определяемого понятия ему эквивалентным. С научной точки
зрения логически безупречным методом введения указанных
понятий является аксиоматический метод, в развитии и завер¬
шении которого величайшая заслуга принадлежит Гиль¬
берту **).
Аксиоматический метод излагается в Приложении в конце
настоящей книги. Там дается представление о всей системе
аксиом геометрии и о так называемой неевклидовой геометрии,
к которой приводит замена одной из аксиом (так называемой
аксиомы параллельности) утверждением, ее отрицающим.
Там же выясняется вопрос о непротиворечивости как евкли¬
довой, так и неевклидовой геометрии и устанавливается, что
конкретной реализацией совокупности объектов, удовлетворяю¬
щих аксиомам геометрии, является введение точек как всевоз¬
можных упорядоченных троек (х, у, z) вещественных чисел,
прямых — как множества троек (х, у, г), удовлетворяющих си¬
стеме двух линейных уравнений, и плоскостей — как множества
троек (х, у, z), удовлетворяющих одному линейному уравнению.
Аксиоматический метод закладывает фундамент и для ле¬
жащего в основе аналитической геометрии метода координат.
Ради простоты рассмотрим вопрос о введении координат на
прямой. Возможность введения координат на прямой основы¬
вается на возможности установления взаимно однозначного со¬
*) Рене Декарт — великий французский математик и философ (1596-^
1650).
**) Давид Гильберт — великий немецкий математик (1862—1943)

ВВЕДЕНИЕ
И
ответствия между множеством всех точек прямой и множеством
всех вещественных чисел. Доказательство возможности уста¬
новления такого соответствия базируется на аксиомах геомет¬
рии и на аксиомах (свойствах) множества вещественных чич
сел*) и приводится в Приложении к настоящей книге.
Таким образом, в Приложении к настоящей книге читатель
найдет обоснование как системы развертывания основных гео¬
метрических понятий, так и лежащего в основе аналитической
геометрии метода координат.
Метод координат представляет собой глубокий и мощный
аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометри¬
ческих объектов методы алгебры и математического анализа,
*) Свойства вещественных чисел и аксиоматический метод введения мно¬
жества вещественных чисел излагаются в главе 2 и в Приложении к вы¬
пуску 1 настоящего курса,

ГЛАВА 1
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В этой главе вводятся декартовы координаты *) на прямой,
на плоскости и в пространстве. Рассматриваются простейшие
задачи аналитической геометрии (расстояние между двумя точ¬
ками, деление отрезка в данном отношении). Дается понятие
о других системах координат (полярных, цилиндрических и
сферических).
§ 1. Декартовы координаты на прямой
1. Направленные отрезки на оси. Прямую линию**) с ука¬
занным на ней направлением будем называть осью. Отрезок на
оси называется направленным, если указано, какая из его гра¬
ничных точек является началом и ка-
~	?	кая — концом. Будем обозначать на-
Ось правленный отрезок с началом в точ-
Рис. 1.1	ке А и концом в точке В символом АВ
(на рис. 1.1 изображены направлен¬
ные отрезки АВ и CD). Мы будем рассматривать также и так
называемые нулевые направленные отрезки, у которых начало
и конец совпадают.
С каждым направленным отрезком сопоставляется его чис¬
ловая характеристика — так называемая величина направлен-
*) Координаты (от латинских слов со — совместно, ordinatus — упоря¬
доченный, определенный) — числа, заданием которых определяется положение
точки на прямой, на плоскости или в пространстве (соответственно на линии
или на поверхности). Заслуга введения метода координат, с помощью кото¬
рого задачи геометрии могут быть истолкованы на языке математического
анализа, и, обратно, факты анализа могут приобрести геометрическое толко¬
вание, принадлежит французскому ученому Р. Декарту.
**) В Приложении в конце этой книги рассматривается аксиоматическое
введение основных геометрических понятий (точек, прямых, плоскостей).
Кроме того, в этом же Приложении устанавливается связь между геометри¬
ческим понятием прямой линии и понятием числовой оси (см. выпуск 1 «Осно^
вы математического анализа»).

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ
13
§ П
кого отрезка. Величиной АВ направленного отрезка АВ назы¬
вается число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком плюс,
если направление АВ совпадает с направлением оси, и со зна¬
ком минус, если направление АВ противоположно направлению
оси. Величины всех нулевых направленных отрезков считаются
равными нулю.
2.	Линейные операции над направленными отрезками. Основ¬
ное тождество. Предварительно определим равенство направлен¬
ных отрезков. Направленные отрезки мы будем' перемещать
вдоль оси, на которой они лежат, сохраняя при этом их длину
и направление*).
Два ненулевых направленных отрезка называются равными,
если при совмещении начал этих отрезков совпадают и их
концы. Любые два нулевых направленных отрезка считаются
равными.
Очевидно, необходимым и достаточным условием равенства
двух направленных отрезков на данной оси является равенство
величин этих отрезков.
Линейными операциями над направленными отрезками бу¬
дем называть операции сложения таких отрезков и умножения
направленного отрезка на веществен-
ное число.
с
Перейдем к определению этих опе¬
раций.
А
В
Для определения суммы направ¬
ленных отрезков АВ и CD совместим
Рис. 1.2
начало С отрезка CD с концом В отрезка АВ (рис. 1.2). По¬
лученный при этом направленный отрезок AD называется сум¬
мой направленных отрезков АВ и CD и обозначается символом
АВ + CD.
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 1.1. Величина суммы направленных отрезков равна
сумме величин слагаемых отрезков.
Доказательство. Пусть хотя бы один из отрезков АВ
и CD является нулевым. Если, например, отрезок CD нулевой,
то сумма АВ + CD совпадает с отрезком АВ, и утверждение
теоремы справедливо. Пусть теперь оба отрезка АЁГ и CD не¬
нулевые. Совместим начало С отрезка CD с концом В отрезка
АВ. Тогда АВ CD = AD. Нам нужно доказать справедли¬
вость равенства АВ CD = AD. Рассмотрим случай, когда оба
гпрпптп^ЯПр°/С ° в°зможнос™ перемещения отрезков связан с аксиомами кон-
с 209)	СМ* Приложение в копце кииги и> в частности, сноску на

14
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. [
В	С
-О°п ж...„ „„
А	В
Рис. 1.3
отрезка АВ и CD направлены в одну сторону (рис. 1.2). В этом
случае длина отрезка AD равна сумме длин отрезков АВ и CD
и, кроме того, направление отрезка AD совпадает с направле¬
нием каждого из отрезков АВ и CD. Поэтому интересующее
нас равенство АВ -j- CD = AD спра¬
ведливо. Рассмотрим, наконец, еще
один возможный случай, когда отрез¬
ки АВ и CD направлены в противопо¬
ложные стороны (рис. 1.3). В этом
случае величины отрезков АВ и CD имеют разные знаки, и по¬
этому длина отрезка AD равна |ДВ + CD]. Так как направле¬
ние отрезка AD совпадает с направлением наибольшего по
длине из отрезков АВ и CD, то знак величины отрезка AD
совпадает со знаком числа АВ CD, т. е. справедливо равен¬
ство АВ 4- CD = AD. Теорема доказана.
Следствие. При любом расположении точек Д, В, С на чис¬
ловой оси величины направленных отрезков АВ, ВС и АС удов¬
летворяют соотношению
АВ + ВС = АС,	(1.1)
которое называется основным тождеством.
Операция умножения направленного отрезка на веществен¬
ное число а определяется следующим образом.

Произведением направленного отрезка АВ
на число а называется направленный отрезок, обозначаемый
а-АВ, длина которого равна произведению числа |а] на длину
отрезка АВ и направление которого совпадает с направлением
отрезка АВ при а > 0 и противоположно направлению АВ
при а < 0.

Очевидно, величина направленного отрезка а-АВ равна
а* АВ.
3. Декартовы координаты на прямой. Декартовы координаты
на прямой вводятся следующим образом. Выберем на прямой
;	определенное направление*) и неко-
0	торую точку О (начало координат)
^4?	я	(рис. 1.4). Кроме того, укажем едини-
рис j 4	цу масштаба. Рассмотрим теперь про¬
извольную точку М на прямой. Де¬
картовой координатой х т о ч к и М будем называть ве¬
личину направленного отрезка ОМ.
Тот факт, что точка М имеет координату х, символически
обозначают так: М(х).
*) Напомним, что прямая с указанным на ней направлением, называется
осью.

§ 2]
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
15
Замечание. Введение декартовых координат на прямой
представляет собой один из способов, с помощью которого лю¬
бой точке М прямой ставится в соответствие вполне опреде¬
ленное вещественное число х. Вопрос о том, исчерпывается ли
при этом способе все множество вещественных чисел, т. е. бу-
дет ли указанное соответствие взаимно однозначным, положи¬
тельно решается в Приложении в конце книги. (См. по этому
поводу также Приложение к выпуску I.)
Пусть'Л11(Х1) и М2(х2) — две точки на оси. В следующем
утверждении устанавливается выражение величины MiM2 на¬
правленного отрезка Л41Л42 через координаты Xi и х2 его начала
и конца.

Теорема 1.2. Величина М]М2 направленного отрезка М\М2
равна х2 — Xi, т. е.
М1М2 = х2-х1.	(1.2)
Доказательство. Рассмотрим на оси три точки О, Mi,
М2. Согласно теореме 1.1 справедливо равенство
ОМ[ + М[М2 = ОМ2.	(1.3)
Так как OMi = %i, ОМ2 = х2, то из (1.3) вытекает нужное нам
соотношение* (1.2). Теорема доказана.
Следствие. Расстояние p(A4i,A42) между точками Mi(xi)
и М2(х2\ может быть найдено по формуле
р(Мь М2) = \х2-х1\.	(1.4)
#1
1


1
1
1 5
о'
Мд	3!
Рис. 1.5
§ 2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве
1. Декартовы координаты на плоскости. Две перпендикуляр¬
ные оси на плоскости с общим началом и одинаковой мас¬
штабной единицей (рис. 1.5) образуют-декартову прямоуголь¬
ную систему координат на плоскости. Одну
из указанных осей называют осью Ох или
осью абсцисс, другую — осью Оу или осью ор¬
динат. Эти оси называют также координатны¬
ми осями. Обозначим через Мх и Му соответ¬
ственно проекции произвольной точки М пло¬
скости на оси Ох и Оу.
Декартовыми прямоугольными
координатами х и у точки М будем на¬
зывать соответственно величины направленных
и ОМи.
Декартовы координаты х и у точки М называются соответ¬
ственно ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет
координаты х и у, символически обозначают так: М(х, у).
отрезков ОМХ

16
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. С
Координатные оси разбивают плоскость на четыре квад¬
ранта, нумерация которых указана на рис. 1.6. На этом же ри¬
сунке указана расстановка знаков координат точек в зависи¬
мости от их расположения в том или ином квадранте.
2.	Декартовы координаты в пространстве. Декартовы коорди¬
наты в пространстве вводятся в полной аналогии с декарто¬
выми координатами на плоскости.
П
я><0, у>о
I
Я>0} y>Q
0
Ъ
ш
IV
у<0
х>0, у<&
Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (коор¬
динатные оси) с общим началом О и одинаковой масштабной
единицей (рис. 1.7) образуют декартову прямоугольную си¬
стему координат в пространстве. Одну из указанных осей на¬
зывают осью Ох или осью абсцисс, другую — осью Оу или осью
ординат, третью — осью Oz или осью аппликат. Пусть Мх, Му
и Мг — проекции произвольной точки М пространства на оси
Ох, Оу и Oz соответственно.
Декартовыми прямоугольными координата¬
ми х, у и z точки М будем называть соответственно величины
направленных отрезков ОМХ, ОМУ и OMZ.
Декартовы координаты х, у и z точки М называются соот¬
ветственно ее абсциссой, ординатой и аппликатой. Тот факт,
что точка М имеет координаты х, у и z, символически обозна¬
чают так: М (%, у, z).
Попарно взятые координатные оси располагаются в так на¬
зываемых координатных плоскостях хОу, yOz и zOx (рис. 1.7)’.
Эти плоскости разбивают пространство на восемь октантов..
Читатель без труда выяснит расстановку знаков координат то¬
чек в зависимости от их расположения в том или ином октанте.
§ 3. Простейшие задачи аналитической геометрии
1.	Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция
направленного отрезка на ось. Отрезок в пространстве называет¬
ся направленным, если указано, какая из его граничных точек
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
17
является началом' и какая — концом. Как и в п. 1 § 1 этой
главы символом АВ будем обозначать направленный отрезок
с началом в точке А и концом в точке В.
Рассмотрим в пространстве направленный отрезок MiM2 и
ось Ох (рис 1.8). При этом будем считать, что на оси Ох вве¬
дены декартовы координаты
точек.

Проекцией пррх Af]M2 на¬
правленного отрезка М[М2 на
ось Ох называется величина
направленного отрезка М1хМ2х,
началом М\х которого служит
проекция начала отрезка
а концом М2х— проек-
ция конца отрезка М\М2,
Пусть точки М\х и М2х имеют на оси Ох координаты Xi и х2
соответственно. Из определения про* A4iM2 и теоремы 1.2 выте¬
кает справедливость соотношения
npOxM1M2 = x2 —Хр
(1.5)
Установим еще одну формулу для вычисления про* MiM2. Для
этого перенесем направленный отрезок ЛйА42 параллельно са¬
мому себе так, чтобы его начало совпало с какой-либо точкой
оси Ох (на рис. 1.8 этой точкой является точка Л11Х). Обозна¬
чим через <р наименьший угол между направлением оси Ох и
направлением отрезка М1хМ*> полученного указанным выше па¬
раллельным переносом отрезка Л41Л42. Отметим, что угол ср за¬
ключен между 0 и л. При этом очевидно, что угол ср острый,
если направление отрезка М\хМ2х совпадает с направлением Ох,
и тупой, если направление MiKM2x противоположно направле¬
нию Ох, Используя это, легко убедиться в справедливости сле¬
дующей нужной нам формулы:
про^Мз = | М{М2 [ cos (р,
(1.6)
в которой |MiM2] обозначает длину отрезка MiM2.
2. Расстояние между двумя точками. В этом пункте мы уста¬
новим формулу для вычисления расстояния между двумя точ¬
ками по известным координатам этих точек. Эта задача уже
решена для случая точек на прямой в п. 3 § 1 этой главы
(см формулу (1.4)). Ради определенности подробно остано¬
вимся на случае, когда точки расположены в пространстве.
Рассмотрим в пространстве декартову систему координат
Оху? и точки Mi(xt, у!, zi) и М2(х2, у2,22) (рис. 1.9). Очевидно,

18
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. I
расстояние р(ЛД,Л12) между точками Mi и Л42, равное длине
направленного отрезка М\М2, равно также длине диагонали
параллелепипеда, грани которого параллельны координатным
плоскостям и проходят через точки
М[ и М2 (на рис. 1.9 этот паралле¬
лепипед изображен штриховой ли¬
нией). Длина параллельного оси
Ох ребра этого параллелепипеда
равна, очевидно, абсолютной вели¬
чине проекции отрезка М{М2 на ось
Ох, т. е., согласно формуле (1.5),
равна |х2 — *i|. По аналогичным
соображениям длины ребер, парал¬
лельных осям Оу и Oz, равны со¬
ответственно |у2 —-//i| и |г2 — zj.
Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу
для р(Л1ьЛ42):
р(Л41( М2) = V(x2 — %i)2 + (z/2 — Z/i)2 + (^2 — Zi)2.	(1.7)
Замечание. Формула расстояния между двумя точками
в случае их расположения в плоскости Оху имеет следующий
вид:

р(М1; Af2) = V(*2 —*1)3 + й/2 —У1)2.	(1.8)
3. Деление отрезка в данном отношении. Рассмотрим в про¬
странстве две различные точки
мую этими точками. Выберем
z
Mi и М2 и прямую, определяе-
на этой прямой некоторое на¬
правление (рис. 1.10). На по¬
лученной оси точки All и ЛТ2
определяют направленный от¬
резок Л11Л12.
Пусть М — любая отличная
от М2 точка указанной выше
оси. Число
М{М
мм2
(1.9)
Рис. 1.10
называется отношением, в ко¬
тором точка М делит направ-
ленный отрезок М\М2. Таким образом, любая, отличная от М2
точка М делит отрезок A4iA12 в некотором отношении л, где К
определяется равенством (1.9).
Замечание 1. При изменении направления на прямой,
проходящей через точки Mi и М2, меняют знак величины всех
направленных отрезков. Поэтому отношение	в правой
5 3]
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
19
части формулы (1.9) не зависит от выбора направления на
прямой MiM2.
Рассмотрим задачу о вычислении координат точки М, деля¬
щей отрезок MiM2 в отношении X, считая известными коорди¬
наты точек Mi и М2 и число К, где Л не равно —1.
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную си¬
стему координат Oxyz, и пусть в этой системе координат точки
Mi, М-2 и М имеют соответственно координаты (xi,yi,zi),
(x2,y2,z2) и (х, у, z). Спроектируем точки Mi, М2 и М на коор¬
динатные оси (на рис. 1.10 указаны лишь проекции Mix, М2х
и Мх точек М], М2 и М на ось Ох). Очевидно, точка Мх делит
направленный отрезок MixM2x в отношении X. Поэтому
, хМх
(1.10)
Согласно теореме 1.2, MixMx = x— %i, а МхМ2х = Х2— ^От¬
сюда и из соотношения (1.10) найдем, что х равняется
Совершенно аналогично вычисляются координаты у
кн М. Таким образом,
Х1-ЬЛЛ'2	_ ?/1 -НЧ/2	21+^2
1 4- л ’	1 + Л 9	1 + Л *
Формулы (1.11) называются формулами деления отрезка в дан¬
ном отношении X.
Замечание 2. Очевидно, если %=1, то точка М делит
отрезок MiMo пополам. Получающиеся при этом из соотноше¬
ний (1.11) формулы называются формулами деления отрезка
пополам.
Замечание 3. Для положительных значений % точка М
лежит между точками Mi и М2 (в этом случае, как это видно
из (1.9), отрезки MiM и ММ2 одинаково направлены), а для
отрицательных значений — вне отрезка М\М2.
Замечание 4. Соотношения (1.11) имеют смысл для лю¬
бых значений X —1. Этим, в частности, и объяснялось ука¬
занное ранее ограничение для значений Л.
Пример. Решим задачу о вычислении координат центра
тяжести системы материальных точек.
Используем следующие два допущения, отвечающих извест¬
ным физическим предпосылкам:
1)	Центр тяжести системы из двух точек Mi и М2 с массами
соответственно ш\ и ш2 находится на отрезке М\М2 и делит
этот отрезок в отношении % = m2lm\.
2)	Центр тяжести системы точек М\, М2, ...» Mn-i, Мп
с массами соответственно mi, m2, mn_i, mn совпадает с
центром тяжести системы из двух точек, одна из которых яв¬
:о
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. f
ляется точкой Мп с массой тп, а другая находится в центре
тяжести системы точек Mi, М2, ..Mn-i (с массами mi, т2,
..., mn-i) и имеет массу mi + m2 + ... + mn_i.
Из первого допущения и формул (1.11) вытекает, что коор¬
динаты х, у и 2 центра тяжести системы из двух точек
Mi (хь yi, 21) и М2(х2, у2, 22) с массами mi и т2 равны соответ-
ственно -^|Х1 + ОТ2Х2 , т'у' + т^- и +	Поэтому следует
тх + т2	mi + ^2	mj 4-/?г2
ожидать, что координаты х, у и 2 центра тяжести системы из
п точек Mi(xi, yi, 2i), г = 1, 2, ..., п, с массами mi могут быть
вычислены по формулам
х _ т}х} + ... + тпхп	_ т,//. 4- ... 4- тпуп
+ ... + тп ’	Ш1 + ... Атп
+ ... + mnzn
2 =	;	j	.
/7ii + • • • 4- nitl
(1.12)
В справедливости этих формул можно убедиться по индукции,
если использовать второе допущение. В самом деле, пусть эти
формулы справедливы для системы точек Mi, .»., Mn~i с мас¬
сами mi, ..., mn-i. Тогда, например, для абсциссы х рассматри¬
ваемой системы точек Afi, ..., Мп, согласно второму допущению;
и формуле для абсциссы х системы из двух точек, получим вы¬
ражение
из которого сразу же вытекает первая формула (1.12). Выра¬
жения для у и 2 получаются аналогично.
Замечание. Если система точек Mi с массами mi распо¬
ложена в плоскости Оху, то координаты х и у центра тяжести
этой системы могут быть найдены по первым двум формулам
(1.12).
4. Барицентрические координаты. Формулы (1.12) используются для вве¬
дения так называемых барицентрических координат. Рассмотрим барицентри¬
ческие координаты на плоскости. В целях упрощения рассуждений будем счи¬
тать, что на плоскости введены и декартовы координаты Оху. Рассмотрим
какие-либо три различные точки Afi (х±, z/i), A42(%2, уг), Мз(хз, #з), не лежа¬
щие на одной прямой, и любую данную точку М(х, у). Выясним, существуют
ли такие три числа mlt m2, m3, удовлетворяющие условию
4- m2 4- пг3 = 1,
(1.13)
что данная точка М(х, у) будет центром тяжести системы точек Mit M2t М3
с массами т2, т3 соответственно. Ниже мы убедимся, что при сформу¬
лированных требованиях числа ть m2, m3 определяются однозначно для
каждой точки М. Они называются барицентрическими координатами точки М
относительно базисных точек М1} М2 и Л43.

§4]
ПОЛЯРНЫЕ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ, СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
21
Сформулированная задача о существовании чисел mit т2, т3 при условии
(1.13) сводится, очевидно, к исследованию вопроса об однозначной разреши¬
мости следующей системы трех линейных уравнений *) относительно mi,
m2, m3:
/??1 + m2 + m3 = 1,
mjXi + т2х2 + т3х3 = х,	(1.14)
т1г/1 4- т2у2 + т3у3 = у.
Известно, что для однозначной разрешимости квадратной системы линейных
уравнений (система, у которой число уравнений равно числу неизвестных)
необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был отличен от
нуля (см. Дополнение к этой главе), Для рассматриваемой системы этот
определитель имеет вид
1
Х1
1 1
*3
= {х2 — Xi) (Уз — У1) — (х3 — Xj) {у2 — уд-
У2 Уз
Этот определитель отличен от нуля, иначе мы получили бы пропорцию
—	l —	и обозначив каждое из указанных отношении через
*з —*/з —J/1
—X (Л. =?£= — 1, ибо точки М2 и М3 различны), пришли бы с точностью до
обозначений к первым двум равенствам (1.11). Это означало бы, что точка Mi
делит отрезок М2Мз в отношении К, т. е. означало бы, что точки Mi, М2 и Мз
лежат на одной прямой. Таким образом, система (1.14) однозначно разре¬
шима относительно trtiy m2i т3. Следовательно, положение любой точки М на
плоскости однозначно определяется относительно базисных точек Mi, М2, М3
этой плоскости посредством барицентрических координат mi, m2 и т3.
Барицентрические координаты в пространстве вводятся совершенно ана¬
логично. Для этого используются четыре базисные точки, не располагающиеся
в одной плоскости,
§ 4. Полярные, цилиндрические и сферические координаты
1. Полярные координаты. Полярные координаты на плоскости
вводятся следующим образом. Выберем на плоскости некото¬
рую точку О (полюс) и некоторый выходящий из нее луч Ох
(рис. 1.11). Кроме того, укажем едини¬
цу масштаба. Полярными коорди¬
ната м и т о ч к и М называются два чис¬
ла р и ф, первое из которых {полярный
радиус р) равно расстоянию точки М.
от полюса О, а второе {полярный угол
<р) — угол, на который нужно повернуть
против часовой стрелки луч Ох до сов¬
мещения с лучом ОМ **).
Точку М с полярными координатами р и ф обозначают сим¬
волом М (р, ф).
*) Последние два уравнения этой системы представляют собой следствия
первых двух соотношений (1.12) и соотношения (1.13).
**) При этом предполагается, что точка М отлична от полюса. Для по¬
люса О полярный радиус р равен нулю, а полярный угол неопределенный,
т. е. ему можно приписать любое значение.

22
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. I
Для того чтобы соответствие между отличными от полюса
точками плоскости и парами полярных координат (р, ф) было
взаимно однозначным, обычно считают, что р и ф изменяются
в следующих границах:
0<р< + оо, 0^ф<2л.	(1.15)
Замечание. В некоторых задачах, связанных с непре¬
рывным перемещением точки по плоскости, требуется непрерыв¬
ное изменение полярных координат этой точки. В таких задачах
удобнее отказаться от ограничений для'р и ф, указанных в со¬
отношениях (1.15). Если, например, рассматривается враще¬
ние точки по окружности против часовой стрелки (р = const),
то естественно считать, что полярный угол этой точки может
принимать, при большом числе оборотов, значения, большие
2л. Если же рассматривается движение точки по прямой, про¬
ходящей через полюс (ф = const), то естественно считать, что
при переходе через полюс ее полярный радиус меняет знак.
Закон изменения величин р и ф выясняется в каждом кон¬
кретном случае.
Установим связь между полярными координатами точки и
ее декартовыми координатами. При этом будем предполагать,
что начало декартовой прямоугольной системы координат на¬
ходится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает
с полярной осью (рис. 1.11). Пусть точка М имеет декартовы
координаты х и у и полярные координаты р и ф. Очевидно,
х = р cos ф, у = р sin ф.	(1.16)
Полярные координаты р и ф точки М определяются по ее де-
х
картовым координатам
и у, очевидно, следующим образом:
р = д/х2 + //2. Для того чтобы най¬
ти величину угла ф, нужно, исполь¬
зуя знаки х и у, определить квад¬
рант, в котором находится точка М
(см. п. 1 § 2 этой главы и рис. 1.6),
и, кроме того, воспользоваться тем,
что тангенс угла ф равен у/х.
2.	Цилиндрические координаты.
Цилиндрические координаты в про¬
странстве вводятся следующим об¬
разом. Выберем на фиксированной
плоскости П некоторую точку О и
выходящий из нее луч Ох
1.12). Кроме того, рассмотрим ось Oz, проходящую че-
(рис. ,	_	_	.
рез О перпендикулярно плоскости П. Пусть М — любая точка
пространства, N — проекция этой точки на плоскость П, а
М2 — проекция М на ось Oz. Цилиндрическими ко¬
ординатами точки М называются три числа р, <р и г,

§ 4]
ПОЛЯРНЫЕ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ, СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
23
первые два из которых (р и ф) являются полярными коорди-
ватами точки 7V в плоскости П относительно полюса О и по¬
лярной оси Ох, а число z есть величина отрезка OMZ. Точку М
с цилиндрическими координатами р, <р и z обозначают М (р, ф, г).
Наименование «цилиндрические координаты» связано с тем, что
координатная поверхность р = const (т. е. поверхность, все точ¬
ки которой имеют одну и ту же координату р) является ци¬
линдром, прямолинейные образующие которого параллельны
оси Oz (на рис. 1.12 такой цилиндр изображен штриховыми ли¬
ниями). Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы
координат Oxyz так, как указано на рис. 1.12, то'декартовы
координаты х, у, z точки М будут связаны с ее цилиндриче¬
скими координатами р, ф, z соотношениями
х = р cos ф, у = р sin ф,	z = z.	(1.17)
Замечание. Так как первые две цилиндрические коорди¬
наты р и ф являются полярными координатами проекции М
точки М на плоскость П, то к этим двум координатам относятся
повернуть против часовой
замечание и выводы, сделанные в предыдущем пункте.
3.	Сферические координаты. Для введения сферических коор¬
динат в пространстве рассмотрим три взаимно перпендикуляр¬
ные оси Ох, Оу и Oz с общим началом О (рис. 1.13). Пусть
М— любая, отличная от О точка пространства, N — ее проек¬
ция на плоскость Оху, р — расстояние М от О. Пусть, далее,
0 — угол, который образует направленный отрезок ОМ с осью
z, а ф — угол, на который нужно
стрелки ось Ох*) до совмещения с
лучом ON. 0 и ф называют широтой
и долготой соответственно.
Сферическими коорди¬
натами точки М называются три
числа р, ф и 0 **).
Наименование «сферические ко¬
ординаты» связано с тем, что коор¬
динатная поверхность р = const
(т. е. поверхность, все точки кото¬
рой имеют одну и ту же координа¬
ту р) является сферой (на рис. 1.13
такая сфера изображена штриховой
линией).
Для того чтобы соответствие между точками пространства
и тройками сферических координат (р, ф, 0) было взаимно од-
*) Если при этом смотреть на вращение Ох со стороны положительного
направления оси Oz.
**) Если точка М совпадает с точкой О, то р = 0, Для точки О коорди¬
наты ф и 0 не имеют определенного значения,

24
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. t
позначным, обычно считают, что р и ср изменяются в следующих
границах:
0^р< + оо, 0<р < 2л.
Координата 0 по самому определению заключена между 0 и я.
Отметим, что в задачах, связанных с непрерывным перемеще¬
нием точки в пространстве, часто отказываются от указанных
ограничений на изменение сферических координат (см. замеча¬
ние в п. 1 этого параграфа).
Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы коор¬
динат так, как указано на рис. 1.13, то декартовы координаты х,
у, z точки М связаны с ее сферическими координатами р, ср, 0
соотношениями
х — р sin0cosф, у = р sin 0 sin ф, z = pcos0. (1.18)
ДОПОЛНЕНИЕ к ГЛАВЕ 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ
1.	Понятие матрицы и определителя второго порядка. Прямое
угольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число иг
строк и произвольное число п столбцов, называют матрицей.
Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные чер-.
точки, либо круглые скобки. Например,
II 2	5	13,1
7,2	1	О
И —9	7	6
/25	13,1 \
ИЛИ I 7,2	1	0	|.
\ —9 7	6 /
Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то
матрица называется квадратной. Числа, входящие в состав мат¬
рицы, обычно называют ее элементами.
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех
элементов:
|| Ch
II #2
м
Ьг II
(Д1.1)
Определителем второго порядка, соответствую¬
щим матрице (Д1.1), называется число, равное а\Ьъ— аъЬх и
обозначаемое символом
pi 6,1
Нг 62 Г
Итак, по определению
|«; ^|=«а-(Д1.2)
Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обыч¬
но называются элементами этого определителя.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ Г
25
Справедливо следующее утверждение: для того чтобы
определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и
достаточно, чтобы элементы его строк (или соответственно его
столбцов) были пропорциональны.
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить,
что каждая из пропорций ах/а,2 = bx/b2 и а\/Ь\ = а2/Ь2 экви¬
валентна равенству ai&2 = ^2^1, а последнее равенство в силу
(Д1.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.
2.	Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Покажем, как применяются определители второго порядка для
исследования и отыскания решения системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными
+ bxy = а2х + b2y = h2	(Д1.3)
(коэффициенты ах, Ьх, а2, Ь2 и свободные члены hx и h2 счи¬
таются при этом заданными). Напомним, что пара чисел х0, z/o
называется решением системы (ДЕЗ), если подстановка этих
чисел на место х и у в систему (ДЕЗ) обращает оба уравнения
(ДЕЗ) в тождества.
Умножая первое уравнение системы (ДЕЗ) на Ь2, а второе —
па —Ьх и затем складывая полученные при этом равенства, бу¬
дем иметь
(<7^2 — а2Ьх) х = b2h{ — b{h2.	(Д1.4)
Аналогично путем умножения уравнений системы (ДЕЗ) на
—а2 и ах соответственно получим
(аф2 — а2Ь{) у = aji2 — a2h{.	(Д1.5)
Введем следующие обозначения:
А = |а‘
| а2 Ь2\
А,
1/!1
I h2
bi I
&2 I ’
hi I
hi I
(Д1.6)
С помощью этих обозначений и выражения для определителя
второго порядка уравнения (ДЕ4) и (ДЕ5) могут быть пере¬
писаны в виде
Д-х = Д%,
(Д1.7)
Определитель Д, составленный из коэффициентов при неизвест¬
ных системы (ДЕЗ), принято называть определителем этой си¬
стемы. Заметим, что определители Дх и получаются из опре¬
делителя системы Д посредством замены первого или соответ¬
ственно второго столбца свободными членами.
Могут представиться два случая: 1) определитель Д си¬
стемы отличен от нуля, 2) этот определитель равен нулю.
Рассмотрим сначала случай Д #= 0. В этом случае из урав¬
нений (ДЕ7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных,
называемые формулами Крамера*.
х = Дх/Д, у =
(Д1.8)

26
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 1
Полученные формулы Крамера (Д1.8) дают решение системы
(Д1.7) и потому доказывают единственность решения исходной
системы (Д1.3). В самом деле, система (Д1.7) является след¬
ствием системы (Д1.3), и поэтому всякое решение системы
(Д1.3) (в случае, если оно существует!) должно являться ре¬
шением и системы (Д1.7). Итак, пока доказано, что если у ис¬
ходной системы (Д1.3) существует при А 0 решение, то это
решение однозначно определяется формулами Крамера (Д1.8).
Легко убедиться и в существовании решения, т. е. в том,
что при А =0= 0 два числа х и у, определяемые формулами Кра¬
мера (Д1.8), будучи подставлены на место неизвестных в урав¬
нения (Д1.3), обращают эти уравнения в тождества. (Предо¬
ставляем читателю самому расписать выражения для опреде¬
лителей А, Ах- и А?/ и убедиться в справедливости указанных
тождеств.)
Приходим к следующему выводу: если определитель А си¬
стемы (Д1.3) отличен от нуля, то существует, и притом един¬
ственное, решение этой системы, определяемое формулами Кра¬
мера (Д1.8).
Рассмотрим теперь случай, когда определитель А системы
равен нулю. Могут представиться два подслучая: а) хотя
бы один из определителей А% или отличен от нуля; б) оба
определителя Ах и Ау равны нулю *)•
В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из
равенств (Д1.7), т. е. система (Д1.7) не имеет решений, а по¬
этому не имеет решений и исходная система (Д1.3) (следствием
которой является система (Д1.7)).
В подслучае б) исходная система (Д1.3) имеет бесчислен¬
ное множество решений. В самом деле, из равенств А = Ах =
=	= 0 и из утверждения в конце п. 1 заключаем, что а\/а2=
= b\/b2 = h\/h2, т. е. заключаем, что второе уравнение системы
(Д1.3) является следствием первого и его можно отбросить.
Но одно уравнение с двумя неизвестными
alx-\-bly = hl	(Д1.9)
имеет бесчисленно много решений (хотя бы один из коэффи¬
циентов Я1 или bi отличен от нуля, и стоящее при нем неизвест¬
ное может быть определено из уравнения (Д1.9) через произ¬
вольно заданное значение другого неизвестного).
Приходим к следующему выводу: если определитель Их си¬
стемы (Д1.3) равен нулю, то система (Д1.3) либо вовсе не
имеет решений (в случае, если хотя бы один из определителей
*) Из утверждения в конце п. 1 вытекает, что если определитель А и
один из определителей Ах и ку равны нулю, то и другой из указанных опре¬
делителей равен нулю. В самом деле, пусть, например, А = 0 и А% = 0, т. е.
а{1а2 = ЬуЬ^ и /11//12 = bi/62. Тогда из этих пропорций получим, что айаг ==j
hi/h2t т, е. = 0.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ I
27
Дх или отличен от нуля), либо имеет бесчисленное множе¬
ство решений (в случае, когда Дх = Ду = 0). В последнем слу¬
чае два уравнения (Д1.3) можно заменить одним и при реше¬
нии его одно неизвестное задавать произвольно.
Замечание. В случае, когда свободные члены h\ и /?2
равны нулю, линейная система (Д1.3) называется однородной.
Отметим, что однородная система всегда имеет так называемое
тривиальное решение: х — 0, у = 0 (эти два числа обращают оба
однородных уравнения в тождества).
Если определитель Д системы отличен от нуля, то однород¬
ная система имеет только тривиальное решение. Если же Д^О^,
то однородная система имеет бесчисленное множество решений
(поскольку для однородной системы возможность отсутствия
решений исключена). Таким образом, однородная система имеет
нетривиальное решение в том и только в том случае, когда
определитель ее равен нулю.
3.	Определители третьего порядка. Рассмотрим квадратную
матрицу, состоящую из девяти элементов:
Ci
а2
ь2
С2
#3
Ьз
Сз
Определителем третьего порядка, соответствую¬
щим матрице (ДЕЮ), называется число, равное
О[Ь2с3 +	+ с^&з £1^3’— &1^2^з —	(Д1.11)
и обозначаемое символом
ах Ъ{ с{
^2 ^2 с2
«3	^3
Итак, по определению
«1
а2
а3
Ьз
Ci
С2
Сз
= аф2с3 + 1щс2а3 + сщ2Ь3 — с{Ь2а3 — Ь{а2с3 —
(ДЕЮ)
Как и в случае определителя второго порядка, элементы
матрицы (ДЕЮ) будем называть элементами самого определи¬
теля. Кроме того, договоримся называть диагональ, образован¬
ную элементами а{, Ь2 и с3, главной, а диагональ, образованную
элементами аз, Ь2 и щ, — побочной.
Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в вы¬
ражение для определителя (ДЕ11), укажем два правила.
Заметим, что первые три слагаемых, стоящих в (ДЕИ)' со
знаком плюс, представляют собой произведение элементов опре¬
28
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. I.
делителя, взятых по три так, как указано пунктирами и штри¬
хами на нижеприведенной схеме
Последние же три слагаемых, стоящих в (Д 1.11 У со знаком ми¬
нус, представляют собой произведение элементов, взятых по
три так, как указано различными пунктирами на следующей
схеме:
Правило составления шести слагаемых, входящих в выражение
(Д1.11) для определителя, опирающееся на указанные две схе¬
мы, обычно называют правилом треугольника.
Укажем и другое правило составления выражения для
определителя, еще менее требующее напряжения внимания и
памяти. Для этого к матрице, из которой составлен определи¬
тель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец.
В полученной при этом матрице
сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые па¬
раллельным переносом главной диагонали и отвечающие трем
слагаемым, входящим в выражение (Д1.11) со знаком плюс;
пунктирной же чертой соединены три другие тройки членов, по¬
лучаемые параллельным переносом побочной диагонали и отве-.
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ I
29
чающие трегл слагаемым, входящим в выражение (Д1.11) со
знаком минус.
4. Свойства определителей. В этом пункте мы установим ряд
свойств определителей. Эти свойства мы будем формулировать
и устанавливать применительно к определителям третьего по¬
рядка, хотя, конечно, они справедливы и для определителей
второго порядка и, как выяснится позже (см. выпуск «Линей¬
ная алгебра»), эти же свойства справедливы и для определи¬
телей любого порядка п (там же см. понятие определителя по¬
рядка п).
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если стро¬
ки и столбцы этого определителя поменять ролями, т. е.
ai
bi
(И
а2
а3
а2
ь2
с2
=
bi
ь2
Ьз
«3
Ьз
Сз
Ci
с2
Сз
Для доказательства этого свойства достаточно расписать
определители, стоящие в левой и в правой частях (Д1.13), по
правилу треугольника (или по другому указанному в предыду¬
щем пункте правилу) и убедиться в равенстве полученных при
этом членов.
Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и
столбцов. Поэтому все дальнейшие свойства определителя мож¬
но формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать
или только для строк, или только для столбцов.
Свойство 2. Перестановка двух, строк (или двух столбцов)
определителя равносильна умножению его на число —1.
Доказательство также получается из правила треугольника
(мы предоставляем его читателю).
Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые строки
(или два одинаковых столбца), то он равен нулю.
В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк,
с одной стороны, определитель Д не изменится, а с другой сто¬
роны, в силу свойства 2 он изменит знак на противоположный.
Таким образом, Д = —Д, т. е. 2Д = 0, или Д = 0.
Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки
(или некоторого столбца) определителя на число К равносильно
умножению определителя на это число X.
Иными словами, общий множитель всех элементов некото¬
рой строки (или некоторого столбца) определителя можно вы¬
косить за знак этого определителя. Например,
Кв!
КЬ.
ai
bi
Ci
а2
ь2
С2
= л
а 2
ь2
с2
аз
Ьз
Сз
аз
Ьз
Сз
Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что
определитель выражается в виде суммы (Д 1.12), каждый член
30
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
ИЛ. I
которой содержит один и только один элемент из каждой стро¬
ки и один и только один элемент из каждого столбца.
Свойство 5, Если все элементы некоторой строки (или не¬
которого столбца) определителя равны нулю, то и сам опреде¬
литель равен нулю.
Это свойство вытекает из предыдущего (при л = 0).
Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов)
определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональ¬
ности можно вынести за знак определителя, после чего остается
определитель с двумя одинаковыми строками, равный пулю со¬
гласно свойству 3.
Свойство 7. Если каждый элемент п-й строки (или п-го
столбца) определителя представляет собой сумму двух слагае¬
мых, то определитель может быть представлен в виде суммы
двух определителей, первый из которых имеет в п-й строке (в
п-м столбце) первые из упомянутых слагаемых и те же эле¬
менты, что и исходный определитель, в остальных строках
(столбцах), а второй определитель имеет в п-й строке (в п-м
столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те оке элементы,
что и исходный определитель, в остальных строках (столбцах).
Например,
/ , //
1 а[
b\ + ь"
г 1 z/
+С1
Г
С1
//
1гг
Ь1
//
С1
а2
1>2
с2
=
а2
Ьг
е2
+
а2
ь2
с2
«3
^3
Сз
а3
с3
а3
&3
Сз
Для доказательства этого свойства снова достаточно заметить,
что определитель выражается в виде суммы слагаемых, каждое
из которых содержит один и только один элемент из каждой
строки и один и только один элемент из каждого столбца.
Свойство 8. Если к элементам некоторой строки (или неко¬
торого столбца) определителя прибавить соответствующие эле¬
менты другой строки (другого столбца), умноженные на произ¬
вольный множитель К, то величина определителя не изменится.
В самом деле, полученный в результате указанного прибав¬
ления определитель можно (в силу свойства 7) разбить на сум¬
му двух определителей, первый из которых совпадает с исход¬
ным, а второй равен нулю вследствие пропорциональности эле¬
ментов двух строк (или столбцов) и свойства 6.
Для формулировки еще одного фундаментального свойства
определителя нам понадобятся новые понятия.
5.	Алгебраические дополнения и миноры. Соберем в вираже-
нии (Д1.12) для определителя члены, содержащие какой-нибудь
один элемент этого определителя, и вынесем указанный эле¬
мент за скобки; величина, остающаяся при этом в скобках, на¬
зывается алгебраическим дополнением указанного элемента.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ I
31
Алгебраическое дополнение данного элемента мы будем обо¬
значать большой латинской буквой того же наименования, что
и данный элемент, и снабжать тем же номером, который имеет
данный элемент. Например, алгебраическое дополнение эле¬
мента &2 бдем обозначать через В2, алгебраическое дополнение
элемента а3 —через А3 и т. д.
Непосредственно из выражения для определителя (Д1.12)
и из того, что каждое слагаемое в правой части (Д 1.12) содер¬
жит один и только один элемент из каждой строки и один и
только один элемент из каждого столбца, вытекают следующие
равенства:
Д = а{ А!	+ С{С{, Д=Г72А + ^2^2+ C2^2f Д=«3^з+^з53 + ^3,
(Д1.14-)
Д = С1[ Д^-^-^ЛоЧ-ЛэДз, Д—^1£>14“&2^24-^зДъ
(Д1.15)
Эти равенства выражают следующее свойство определителя:
определитель равен сумме произведений элементов какой-либо
строки {какого-либо столбца) на соответствующие алгебраиче¬
ские дополнения элементов этой строки {этого столбца).
Равенства (Д1.14) принято называть разложением опреде¬
лителя по элементам соответственно первой, второй или третьей
строки, а равенства (Д1.15) — разложением определителя по
элементам соответственно первого, второго или третьего столбца.
Введем теперь важное понятие минора данного элемента
определителя. Минором данного элемента определителя п-го
порядка*) называется определитель {п—1)-го порядка, полу¬
чаемый из данного определителя путем вычеркивания той стро¬
ки и того столбца, на пересечении которых стоит данный эле¬
мент.
Например, минор элемента а{ равен |
I с I
мента а2 служит определитель	, и т.
Предлагаем читателю самому убедиться в том, что алгебраи¬
ческие дополнения и миноры связаны между собой по следую¬
щему правилу: алгебраическое дополнение любого элемента
определителя равняется минору этого элемента, взятому со зна¬
ком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересече¬
нии которых стоит данный элемент, есть число четное, и со зна¬
ком минус — в противном случае.
Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение
и минор могут отличаться только знаком.
С2 , минором эле-
сз I
д.
:) В рассматриваемом случае п = 3.

32
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕРШИ IЕ ЗАДАЧИ
Lf л I
Следующая таблица дает наглядное представление о том,
каким знаком связаны соответствующие алгебраическое допол¬
нение и минор
+ - +
- + - .
+ — +
Установленное правило позволяет в формулах (Д 1.14)'* и (Д1.15)
разложения определителя по элементам строк и столбцов всюду
вместо алгебраических дополнений писать соответствующие ми¬
норы (с нужным знаком)
Так, например, последняя из формул (Д1 14), дающая раз¬
ложение определителя по элементам третьей строки, принимает
вид
а2
а3
Ь2
Ь3
С2 |	|«2
С
С2
+ с3
ai
d2
Ь>\
ьА
В заключение установим следующее фундаментальное свой¬
ство определителя.
Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо
столбца определителя на состветствующие алгебраические до¬
полнения элементов этого (другого) столбца равна величине
этого определителя (равна нулю).
Конечно, аналогичное свойство справедливо и применитель¬
но к строкам определителя. Случай, когда алгебраические до¬
полнения и элементы отвечают одному и тому же столбцу, уже
рассмотрен выше. Остается доказать, что сумма произведений
элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраиче¬
ские дополнения элементов другого столбца равна нулю.
Докажем, например, что сумма произведений элементов пер¬
вого или второго столбца на соответствующие алгебраические
дополнения элементов третьего столбца равна нулю.
Бухем исходить из третьей формулы (Д1.15), дающей раз¬
ложение определителя по элементам третьего столбца:
а1
а2 Ь2
а3 Ь3
С\
с2
— + С2^2 + ^3.
Так как алгебраические дополнения Ci, С2 и С3 элементов треть¬
его столбца не зависят от самих элементов сь с2 и с3 этого
столбца, то в равенстве (Д 1.17) числа Ci, с2 и с3 можно заме¬
нить произвольными числами h2 и h3i сохраняя при этом в
левой части (Д1.17) первые два столбца определителя, а в пра¬
вой части величины Ci, С2 и Сз алгебраических дополнений,

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ f
33
Таким образом, при любых hi, /12 и Аз справедливо равен¬
ство
а2
^3
Ь2
ь3
hi
h2
Аз
= h{C[ + h2C2 + ^3.
Беря теперь в равенстве (Д1.18) в качестве hi, h2 и h3 сначала
элементы ai, а2 и я3 первого столбца, а затем элементы bi, b2
й Ь3 второго столбца и учитывая, что определитель с двумя
совпадающими столбцами в силу свойства 3 равен нулю, мы
придем к следующим равенствам:
а1С1 + а2С2 Я3С3 = 0, bfii + Ь2С2 Ь3С3 == О*
Тем самым доказано, что сумма произведений элементов пер¬
вого или второго столбца на соответствующие алгебраические
дополнения элементов третьего столбца равна нулю.
Аналогично доказываются равенства
^\В{ 4" #2^2 4" = О, С1В1 4“ с2^2 4“ С3В3 = О,
biA[ + Ь2А2 4- Ь3А3 — 0, Ci^i 4- ^2^2 4“ £з4з = б
и соответствующие равенства,
строкам:
4~ Ь{Вз 4-	— 0,
ai^2 4- htB2 4“ ^iC2 = 0,
a24j + b2Bi 4* ^2^*1 = 0,
относящиеся не к столбцам, а к
^2^3 4" Ь2В3 4" ^2^3 — 0>
&з42 4" Ь3В2 + с3С2 = 0>
^3^1 4" h3Bi 4" £364 = 0*
6.	Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными
с определителем, отличным от нуля. В качестве приложения
изложенной выше теории рассмотрим систему трех линейных
уравнений с тремя неизвестными
^1Х + Ь{у + с{г = Ь1,
а2х 4- b2y + c2z — h2,	(Д1.19)
а3х + Ь3у 4- c3z = h3
'(коэффициенты ai, а2, а3, bi, b2, b3. Ci, с2, с3 и свободные члены
hi, h2, h3 считаются заданными). Тройка чисел х0, у0, zQ назы¬
вается решением системы (Д1.19), если подстановка этих чисел
на место х, у, z в систему (Д1.19) обращает все три уравнения
'(Д1.19) в тождества.
Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следую¬
щие четыре определителя:
ar bi Ci
hi bi Ci
д =
а2 b2 с2
, Дх =
h2 b2 c2
«з Ь3 с3
h3 b3 c3
ах hi Ci
a{ bi hi
а2 h2 с2
a2 b2 h2
аз h3 с3
аз Ьз Аз
2 В. А. Ильин, Э. Г. Позняк

34
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. f
Определитель А принято называть определителем системы
(Д1.19) (он составлен из коэффициентов при неизвестных)1.
Определители Дх, Д^ и А3 получаются из определителя системы
А посредством замены свободными членами элементов соответ¬
ственно первого, второго и третьего столбцов.
Для исключения из системы (Д1.19) неизвестных у и z умно¬
жим уравнения (Д1.19) соответственно на алгебраические до¬
полнения Д1, Л2 и Аз элементов первого столбца определителя
А системы и после этого сложим эти уравнения. В результате
получим
(Mi + cl2A2 + #зА) * + (&iA “h Ь2А2 + &зА) У +
+	+ с2А2 + с3А3) z = h]Ai + h2A2 + /г3у43. (Д1.20)
Учитывая, что сумма произведений элементов данного столб¬
ца определителя на соответствующие алгебраические дополне¬
ния элементов этого (другого) столбца равна определителю
(нулю) (см. свойство 9), получим
^1Л]-}-(72Л2“{-^зЛз=А, &1Л14“&2^24~^з^з==0, с j Л i+c2 АН” ^зА=
(Д1.21)
Кроме того, посредством разложения определителя Ах по эле¬
ментам первого столбца получается формула
Дх = М1 + М2 + Мз.	(Д1.22)
С помощью формул (Д 1.21) и (Д1.22) равенство (Д1.20) пере¬
пишется в следующем (не содержащем неизвестных у и г) виде:
А • х = Ах.
Совершенно аналогично выводятся из системы (Д1.19) равен¬
ства Д-у = Ду и A-z = Дг *).
Таким образом, мы установили, что система уравнений
&-х = кх, к*у = ку, k>z = kz	(Д1.23)
является следствием исходной системы (Д1.19).
В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая:
1)	когда определитель А системы отличен от нуля,
2)	когда этот определитель равен нулю.
Здесь мы рассмотрим лишь первый случай (рассмотрение
второго случая отложим до п. 9) .
Итак, пусть А 0. Тогда из системы (Д1.23) мы сразу по¬
лучаем формулы для неизвестных, называемые формулами
Крамера:
х = кх/к, у = ку/к, z = kz/k.	(Д1.24)
*) Для получения этих равенств следует сначала умножить уравнения
(Д1.19) соответственно на алгебраические дополнения элементов второго и
третьего столбцов, а затем сложить полученные равенства.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ f
35
Полученные нами формулы Крамера дают решение системы
(Д1 23) и потому доказывают единственность решения исход¬
ной системы (Д1.19), ибо система (Д1.23) является следствием
системы (Д1.19), и всякое решение системы (Д1.19) ооязано
быть решением и системы (Д1.23).
Итак, мы доказали, что если у исходной системы (Д 1.1 J)
существует при Д =И= О решение, то это решение однозначно
определяется формулами Крамера (Д1.24).
Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы
должны подставить в исходную систему (Д1.19) на место х, у
и z их значения, определяемые формулами Крамера (Д1.24/,
и убедиться в том, что все три уравнения (Д1.19) обращаются
при этом в тождества. Убедимся, например, что первое уравне¬
ние (Д1.19) обращается в тождество при подстановке значений
х, у и 2, определяемых формулами Крамера (Д1.24). Учитывая,
что Д* = А1Д1 4-WU + ^з^з» Ду = ftiBi + Й2^2 + АзВз, Дг =
= h{Ci+h2C2 +h3C3l будем иметь, подставив в левую часть
первого из уравнений (Д1.19) значения х, у и г, определяемые
формулами Крамера:
Ад;	Ау	А2
+ ь{у + clz = a{— + b] — + ci — ==
=	{«! (/г^! 4- h2A2 + /г3А3) 4- b{ 4~ h2B2 4- Мз) +
4- c?i (h[Cl 4" Ь)С2 4" А3С3)}.
Группируя внутри фигурной скобки члены относительно h\, h2
и /г3, будем иметь
#1Х 4- Ь{у 4- c{z —
— д” {^i (#И1 +	4- hi [^1^2 4- ЬХВ2 4- ^iC2] 4-
4" А3 Iai А 4- Мз 4~ ^Сз]}.
В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скоб¬
ки равны нулю, а круглая скобка равна определителю Д. Таким
образом, мы получим aix.4- Ь\у 4- C\Z — hi, и обращение в тож¬
дество первого уравнения системы (Д1.19) установлено. Анало¬
гично устанавливается обращение в тождество второго и треть¬
его уравнений системы (Д1.19).
Мы приходим к следующему выводу: если определитель Д
системы (Д1.19) отличен от нуля, то существует, и притом един¬
ственное, решение этой системы, определяемое формулами Кра¬
мера (Д1.24).
7.	Однородная система двух линейных уравнений с тремя не¬
известными. В этом и в следующем пунктах мы разовьем аппа¬
рат, необходимый для рассмотрения неоднородной системы
(Д 1.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим
2*

35
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 1
однородную систему двух линейных уравнений с тремя неиз¬
вестными
а^х Ьуу c{z — О,
а2х + b2y + c2z = 0.
Если все три определителя второго порядка, которые можно
составить из матрицы
II #1 #1 с\
II «2 Ь2 С2
равны нулю, то в силу утверждения из и. 1 коэффициенты пер¬
вого из уравнений (Д1.25) пропорциональны соответствующим
коэффициентам второго из этих уравнений. Стало быть, в этом
случае второе уравнение (Д1.25) является следствием первого,
и его можно отбросить. Flo одно уравнение с тремя неизвест¬
ными а\х + Ь\у + С]2 — 0, естественно, имеет бесчисленное мно¬
жество решений (двум неизвестным можно предписывать про¬
извольные значения, а третье неизвестное определять из урав¬
нения).
Рассмотрим теперь систему (Д1.25) для случая, когда хотя
бы один из определителей второго порядка, составленных из
матрицы (Д1.26), отличен от нуля. Не ограничивая общности,
будем считать, что определитель
|“; ^О-).	(Д1.27)
Тогда мы можем переписать систему (Д1.25) в виде
^1* + Ьуу = — cxz,
а2х + Ь2у = — c2z
и утверждать, что для каждого z существует единственное ре¬
шение этой системы, определяемое формулами Крамера (см.
п. 2, формулы (Д1.8))
X = — Z
Ьг
С2
ь2
а2
ь2
У= — 2
1
С1
1 а2
с2
I
bt
1^2
ь2
Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение алгебраиче¬
ские дополнения Д3, В3 и С3 элементов третьей строки опреде¬
лителя
61
С}
а2
с2
аз
Ъз
Сз
*) Это предположение не снижает общности, ибо порядок следования
неизвестных х, у и z находится в нашем распоряжении.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 1
В силу результатов и. 5 о связи алгебраических дополнений
и миноров можно записать
I
с2Г
1 Я1 Ci I
I а2 с2 I
С = b[ I
3 I «2 Ь21
Основываясь
(Д1.28) в виде
на (Д1.29)’, мы можем переписать формулы
Для того чтобы получить решение в виде, симметричном отно¬
сительно всех неизвестных х, у и г, положим t = z!C3 (отме¬
тим, что в силу (Д1.27) определитель С3 отличен от нуля). По¬
скольку z может принимать любые значения, то и новая пере¬
менная I может принимать любые значения.
Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель
(Д1.27) отличен от нуля, однородная система (Д1.25) имеет
бесчисленное множество решений, определяемых формулами
х = A3t, у = B3t, z = C3t,
в которых t принимает какие угодно значения, а алгебраиче¬
ские дополнения А3, В3 и С3 определяются формулами (Д1.29).
8.	Однородная система трех линейных уравнений с тремя
неизвестными. Рассмотрим теперь однородную систему трех
линейных уравнений с тремя неизвестными
+ b{y + c{z = Q,
а2х + b2y + c2z = О,	(Д1.32)
+ b3y + c3z = 0.
Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое три¬
виальное решение', х = 0, у = Q, z = Q.
В случае, когда определитель системы Д #= 0, это тривиаль¬
ное решение является единственным (в силу п. 6).
Докажем, что в случае, когда определитель Д равен нулю,
однородная система (Д1.32)' имеет бесчисленное множество ре¬
шений.
Если все определители второго порядка, которые можно со¬
ставить из матрицы
bi сх II
аг b2 с2 ,	(Д1.33)
«з Ь3 с31|
равны нулю, то в силу утверждения из п. 1 соответствующие
коэффициенты всех трех уравнений (Д1.32)' пропорциональны.
Но тогда второе и третье уравнения (Д1.32) являются след¬
ствиями первого и могут быть отброшены, а одно уравнение

38.
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 1
4-= 0, как уже отмечалось в предыдущем пункте,
имеет бесчисленное множество решений.
Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор ма¬
трицы (Д1.33) отличен от нуля. Так как порядок следования
уравнений и неизвестных находится в нашем распоряжении, то,
не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен от
нуля определитель (Д1.27). Но тогда, как установлено в пре¬
дыдущем пункте, система первых.двух уравнений (Д1.32)
имеет бесчисленное множество решений, определяемых форму¬
лами (Д1.31) (при любом t).
Остается доказать, что х, у и г, определяемые формулами
(Д1.31) (при любом /), обращают в тождество и третье урав¬
нение (Д1.32). Подставляя в левую часть третьего уравнения
(Д1.32) х, у и г, определяемые формулами (Д1.31), будем
иметь
+ Ь3у + c3z = (а3А3 + Ь3В3 + с3С3) t = Д • i.
Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в
круглых скобках равно определителю А системы (Д1.32). Но
определитель Д по условию равен нулю, и поэтому при любом t
мы получим а3х + Ь3у + с3г = 0.
Итак, доказано, что однородная система (Д1.32) с определи¬
телем Д, равным- нулю, имеет бесчисленное множество решений.
Если отличен от нуля минор (Д1.27), то эти решения опреде¬
ляются формулами (Д1.31) при произвольно взятом t.
Полученный результат можно сформулировать еще и так:
однородная система (Д1.32) имеет нетривиальное решение в
том и только в том случае, когда определитель ее равен нулю.
9.	Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя
неизвестными с определителем, равным нулю. Теперь мы распо¬
лагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной системы
(Д1.19) с определителем А, равным нулю. Могут представиться
два случая: а) хотя бы один из определителей Дх, Д^ или А?
отличен от нуля; б) все три определителя Дх, Дг/ и Дг равны
нулю.
В случае а)' оказывается невозможным хотя бы одно из ра¬
венств (Д1.23), т. е. система (Д1.23) не имеет решений, а по¬
этому не имеет решений и исходная система (Д1.19) (след¬
ствием которой является система (Д1.23)).
Переходим к рассмотрению случая б), т. е. случая, когда
все четыре определителя Д, Дх, и Д2, равны нулю. Начнем
с примера, показывающего, что в этом случае система может
не иметь ни одного решения. Рассмотрим систему
* + У ~г = 1,
2х 4~ 2у 4- 2г = 3,
За 4- ty 4-Зг А.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ I
зэ
Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если
бы решение х0, yQ, г0 существовало, то из первых двух уравне¬
ний мы получили бы х0 -г У о + 2'о — 1, 2х0 + 2уо + 2г0 = 3, а от¬
сюда, умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3.
Далее, очевидно, что все четыре определителя А, Дх, Аг/ и А,г
равны нулю. В самом деле, определитель
1 1 1
2 2 2
3 3 3
имеет три одинаковых, столбца, определители Ах, Ду и Az полу¬
чаются путем замены одного из этих столбцов свободными чле¬
нами и, стало быть, имеют по два одинаковых столбца. В силу
свойства 3 все эти определители равны нулю.
Докажем теперь, что если система (Д 1.19) с определителем
А, равным нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бес¬
численное множество различных решений.
Предположим, что указанная система имеет решение Хо, {/о,
го. Тогда справедливы тождества
ад + b{yQ + с^0 = Л1,
а2х0 + Ь2Уо + с2г0 = /г2,	(Д1 -34)
+ &зУо + c3z0 = /г.3.
Вычитая почленно из уравнений (Д1.19) тождества (Д1.34),
получим систему уравнений
«1 (* — х0) + (у — у0) +	Ct (г — г0) = 0,
а2 (х — х0) + Ь2(у — у0) +	с2 (г — г0) = 0,	(Д1.35)
а3 (х — х0) + Ь3 (у — у0) +	с3 (z — z0) = 0,
эквивалентную системе (Д1.19). Но	система (Д1.35)'	является
однородной системой трех линейных уравнений относительно
трех неизвестных (х — х0), (у — z/0) и (г — г0) с определите¬
лем А, равным нулю. Согласно п. 8 последняя система (а стало
быть, и система (Д1.19)) имеет бесчисленное множество реше¬
ний. Например, в случае, когда отличен от нуля минор (Д1.27),
мы с помощью формул (Д1.31) получим следующее бесконеч¬
ное множество решений системы (Д1.19) :
х = х0 + Лз^, У — Уо + ВзЛ 2 — “г C$t
(t принимает любые значения)'.
Рассматриваемое утверждение доказано, и мы можем сде¬
лать следующее заключение: если А = Дх = Ду = &z = 0, то
неоднородная система (Д1.19) либо совсем не имеет решений,
либо имеет их бесконечное множество.

40
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. !
В качестве примеров предлагаем читателю рассмотреть еле*
дующие три системы:
х + 2у + z = 4, '
3r-5// + 3z=l,
2х -|- 1у — z = 8,
х + У + % —
Зх -|- 2z/ "4“ 2# == 1,
4х —|- Зу	3z = 4, >
х + у + 2=19 '
2х + у + 2 = 2,
Зх 2у 4" 2z = 3, <
и убедиться в том, что первая система имеет единственное
решение х = 1, у = 1, z = 1 (для нее А = Ах == Ау = Д2 = 33),
вторая система не имеет решений (для нее А = 0, А^ = 1),
а третья система имеет бесчисленное множество решений
(для нее А — Ах = Ау = \z = 0), определяемых при произволь¬
ном t формулами: х = 1, у = t, 2 — —t

ГЛАВА 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
В этой главе изучаются векторные величины (или просто
векторы), т. е. такие величины, которые, кроме своего числен¬
ного значения, характеризуются еще направленностью. Физиче¬
скими примерами векторных величин могут служить смещение
материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и
ускорение этой точки, а также действующая на нее сила.
В главе изучаются простейшие операции над векторами
(сложение векторов, умножение векторов на число), вводится
понятие линейной зависимости векторов и рассматриваются
основные приложения этого понятия, изучаются различные
типы произведений векторов, актуальные для физических при¬
ложений (скалярное и векторное произведение двух векторов,
смешанное и двойное векторное произведение трех векторов).
§ 1. Понятие вектора и линейные операции над векторами
1. Понятие вектора. Абстрагируясь от конкретных свойств,
встречающихся в природе физических векторных величин, мы
приходим к понятию геометрического вектора, или просто
либо одной
вектора.
Геометрическим вектором '{или
просто вектором) будем называть направлен¬
ный отрезок.
Мы будем обозначать вектор либо как на^
правленный отрезок символом АВ, где точки
А и В обозначают соответственно начало и
конец данного направленного отрезка (вектора),
жирной латинской буквой, например а или Ь. На чертеже будем
изображать вектор стрелкой, причем латинскую букву, обозна¬
чающую этот вектор, будем писать у его конца (рис. 2.1).
Начало вектора называют точкой его приложения. Если
точка А является началом вектора а, то мы будем говорить,
что вектор а приложен в точке А. Для обозначения длины век¬
тора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной ве¬
42
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
личины)'. Так, |4В| и |а| обозначают длины векторов АВ и а
соответственно.
Вектор называется ну ле вы м, если начало и конец его
совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направле¬
ния и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи
отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.
Введем важное понятие коллинеарности векторов. Векторы
называются коллинеарными, если они лежат либо на од¬
ной прямой, либо на параллельных прямых.
Теперь можно сформулировать понятие равенства двух
векторов: два вектора называются равными, если они кол¬
линеарны, имеют одинаковую длину и
одинаковое направление. Все нулевые
векторы считаются равными.
На рис. 2.2 изображены слева не¬
равные, а справа равные векторы а
и Ь.
Из определения равенства векторов
непосредственно вытекает следующее
утверждение: каковы бы ни были век¬
тор а и точка Р, существует, и притом единственный, вектор
PQ с началом в точке Р, равный вектору а* **)).
Иными словами, точка приложения данного вектора а мо¬
жет быть выбрана произвольно (мы не различаем двух равных
векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся
один из другого параллельным переносом). В соответствии
с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными
(они определены с точностью до точки приложения)1"*).
2. Линейные операции над векторами. Линейными опера¬
циями принято называть операцию сложения векторов и опе¬
рацию умножения векторов на вещественные числа.
Сначала определим операцию сложения двух векторов.
Определение 1. Суммой а + b двух векторов а и b назы¬
вается вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b
при условии, что вектор Ь приложен к концу вектора а.
*) В самом деле, существует лишь одна прямая, проходящая через точ¬
ку Р и параллельная той прямой, на которой лежит вектор а. На указанной
прямой существует единственная точка Q такая, что отрезок PQ имеет длину,
равную длине вектора а, и направлен в ту же сторону, что и вектор а.
**) В механике и физике, кроме свободных векторов, иногда рассматри¬
вают скользящие и связанные векторы. Скользящими называют такие век¬
торы, которые считаются эквивалентными, если они не только равны, но и
лежат на одной прямой. Примером скользящего вектора может служить сила,
приложенная к абсолютно твердому телу (известно, что две силы, равные и
расположенные на одной прямой, оказывают на абсолютно твердое тело оди¬
наковое механическое воздействие). Связанными называются такие векторы,
которые считаются эквивалентными, если они не только равны, но и имеют
общее начало. Примером связанного вектора может служить сила, приложен¬
ная к некоторой точке нетвердого (например, упругого) тела.

§ и
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
43
Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом
опоеделении, обычно нззывают иравыло/л треугольника* **)
Это название объясняется тем, что в соответствии с указан-
ним правилом слагаемые векторы а и b (в случае, если они не
коллинеарны) и их сумма а + b образуют тре¬
угольник (рис. 2.3).
Правило сложения векторов обладает теми &
же самыми четырьмя свойствами, что и правило
сложения вещественных (или рациональных)
чисел*):
1° а + b—b	а (переместительное свойство);
2° (а + Ь) +с = а + (Ь + с) (сочетательное
свойство);
3° существует нулевой вектор 0 такой, что а_+_0 = а для
любого вектора & (особая роль нулевого вектора);
4° для каждого вектора а существует противоположный ему
вектор я! такой, что а + а' = 0.
Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 3° непо¬
средственно вытекает из определения 1. Для доказательства
свойства 4° определим вектор а', противоположный вектору а,
как вектор, коллинеарный вектору а, имею¬
щий одинаковую с вектором а длину и про¬
тивоположное направление **). Очевидно,
что взятая согласно определению 1 сумма
вектора а с таким вектором а' дает куле¬
вой вектор.
Для доказательства свойства 1° прило¬
жим два произвольных вектора а и Ь к об¬
щему началу О (рис. 2.4). Обозначим бук¬
вами А и В концы векторов а и b соответ¬
ственно и рассмотрим параллелограмм ОВСА. Из определения
равенства векторов следует, что ВС = ОА = а, А.С = ОВ =
— Ь.
Из определения 1 и из рассмотрения треугольника О АС сле¬
дует, что диагональ ОС указанного параллелограмма представ¬
ляет собой сумму векторов а + Ь, а из рассмотрения треуголь¬
ника ОВС следует, что та же самая диагональ ОС представ¬
ляет собой сумму векторов b + а. Тем самым свойство 1° уста¬
новлено.
Остается доказать свойство 2°. Для этого приложим вектор а
к произвольной точке О, вектор b к концу вектора а и вектор с
к концу вектора b (рис. 2.5). Обозначим буквами А, В и С
*) См. выпуск 1, главу 2.
**) Для получения А' достаточно поменять ролями начало и конец вею
тора А.

44
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
концы векторов а, b и с соответственно. Тогда
(а + Ь) + с = (ОД + АВ) + ВС = ОВ + ВС==ОС,
а + (Ь Д- с) = ОД + (ДВ + ВС) = ОД + ДС = ОС,
т. е. свойство 2° доказано.
Замечание 1.
одно правило
еще
Г—4° позво-
так
При доказательстве свойства Г обосновано
сложения векторов, называемое правилом
параллелограмма: если векторы а и b
приложены к общему началу и на них
построен параллелограмм, то сумма^
а Д- b (или b + а) этих векторов пред¬
ставляет собой диагональ указанного па¬
раллелограмма, идущую из общего на¬
чала векторов а и b *).
Доказанные свойства
ляют оперировать с суммой векторов
же, как с суммой вещественных чисел. В частности, при
сложении трех векторов а, b и с нет необходимости указывать,
как мы понимаем сумму аД-ЬД-с (как аД-(ЬД-с) или как
(аД-Ь)Д-с). Свойства 1°—4° позволяют нам распространить
правило сложения на сумму любого конечного числа век¬
торов. При этом нет необходимости производить сложение по¬
следовательно,
фиксируя каждый промежуточный результат;
сумма любого числа векторов может быть по¬
строена с помощью следующего правила:
если приложить вектор а2 к концу вектора аь
вектор а3 к концу вектора а2, ...» вектор
к концу вектора ап_ь то сумма ai Д- а2 Д-
Д- а3 Д- ... Д- а/г будет представлять собой
вектор, идущий из начала вектора ai в конец
вектора а«.
Сформулированное правило сложения,
проиллюстрированное на рис. 2.6, естественно
назвать правилом замыкания ломаной до мно¬
гие. 2.6 ломаная ОД1Д2Д3 ... Ап замыкается
Рис. 2.6
(на
гоугольника
до многоугольника путем добавления звена ОАп).
Наконец, свойства 1°—4° позволяют исчерпывающим обра¬
зом решить вопрос о вычитании векторов.
Определение 2. Разностью а — b вектора а и вектора b
называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает
вектор а.
*) Следует особо оговорить случай, когда векторы а и b коллинеарны.
В этом случае параллелограмм, построенный на векторах а и Ь, вырождается
b отрезок, понятие его диагонали теряет смысл, а сумма векторов а и b
может быть получена из определения 1.

§ 1]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
45
правило п о -
С помощью свойств Г—4° элементарно доказывается, что
существует, и притом единственный, вектор с, представляющий
собой разность а —Ь, причем этот вектор равен c = aj-b', где
Ь'— вектор, противоположный Ь.
В самом деле, если с = а-|-Ь', то на основании свойств
Iе —4°
с + b = (а + b7) + b = а + (Ь7 + Ь) — а + 0 = а,
т. е. вектор с представляет собой разность а — Ь.
Убедимся теперь в однозначности разности а —Ь. Предпо¬
ложим, что, кроме вектора с = а + b7, существует еще один век¬
тор d такой, что d + b = a- Тогда, с одной стороны, (d + b)+,
b' = а + Ь' = с, с другой стороны, (d + b) + bz = d + (Ь+
+ b') = d + 0 = d, т. е. с = d.
Непосредственно из определения 2 и из правила треуголь¬
ника сложения векторов вытекает следующее
строения разности а —Ь: разность
а — fe приведенных к общему началу векторов
а и b представляет собой вектор, идущий из
конца вычитаемого вектора b в конец умень¬
шаемого вектора а.
Это правило иллюстрируется на рис. 2.7.
Перейдем, наконец, к рассмотрению опе¬
рации умножения вектора на вещественное
число.
Определение 3. П р о из в е д е ние м аа
тора а на вещественное число а называется вектор Ь,
коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную | ос | • | а |, и
имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а
в случае а > 0 и противоположное направлению вектора а в
случае а < 0.
Замечание 2. В случае, когда а = 0 или а = 0, произве¬
дение аа представляет собой нулевой вектор, направление ко¬
торого неопределенно.
Геометрический смысл операции умножения вектора на чис¬
ло можно выразить так: при умножении вектора а на число а
вектор а «растягивается» в а «раз».
Конечно, надо тут же оговорить условность термина «рас¬
тягивается», ибо действительное растяжение происходит лишь
при а > 1; при 0 < а < 1 происходит не растяжение, а сжатие,
а при отрицательном а, кроме растяжения (при |а|> 1) или
сжатия (при |а|< 1), происходит еще изменение направления
вектора на противоположное.
Операция умножения вектора на число обладает следую¬
щими тремя свойствами:
5° а (а + Ь) = аа + ceb (распределительное свойство число¬
вого сомножителя относительно суммы векторов);
(или аа) век-

46
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ 2
6° (& '+Р)'а === аа'Ц-Ра (распределительное свойство вектор¬
ного сомножителя относительно суммы чисел);
7° с<(ра) == (ар)а (сочетательное свойство числовых сомно¬
жителей).
Для доказательства свойства 5° приложим векторы а и b
к общему началу О и построим на них параллелограмм, диаго¬
наль которого будет представлять собой сумму а + b (рис. 2.8).
При «растяжении»*) сторон этого па¬
раллелограмма в а раз в силу свойств
подобия диагональ также «растяги¬
вается» в а раз, но это и означает,
что сумма aa-|-ab равна a(a-j-b).
Свойства 6° и 7° почти очевидны из
наглядных геометрических соображе¬
ний. С
«растяжение»
учетОхМ оговоренной выше
свойство 6° означает, что при
раз получается такой же век-
«растянутого» в а раз, с век-
условности термина
«растяжении» вектора а в (а + ₽)
тор, как при сложении вектора а,
тором а, «растянутым» в р раз.
Свойство 7° в тех же терминах означает, что при «растяже¬
нии» вектора а сначала в р раз, а потом еще в а раз полу¬
чается такой же вектор, как и при «растяжении» вектора а
сразу в ар раз. Итак, мы установили, что линейные операции
над векторами обладают свойствами Г—7°.
Эти свойства имеют фундаментальное значение, ибо они по¬
зволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем пра¬
вилам, по которым производятся аналогичные выкладки в обыч¬
ной алгебре.
В заключение докажем следующее утверждение.
Теорема 2.1. Если вектор Ь коллинеарен ненулевому векто*
ру а, то существует вещественное число К такое, что b = Ха.
Доказательство. Приложим векторы а и b к общему
началу О. Тогда
, а Ъ
О ГТ
Рис. 2.9
эти векторы расположатся на одной прямой,
на которой мы выберем начало отсчета, мас¬
штабный отрезок и положительное направле¬
ние. Возможны два случая: 1) векторы а и b
направлены в одну сторону, 2) указанные
векторы направлены в противоположные сто¬
рис. 2.9 изображен первый из указанных слу-
роны**). На
чаев.
Обозначим
ственно и заметим, что, поскольку, вектор а ненулевой, точка А
буквами А и В концы векторов а и b соответ-
*) Термин «растяжение» следует понимать в указанном выше условном
смысле. Рис. 2.8 отвечает случаю а > 1.
**) Тривиальный случай, когда вектор b нулевой и направление его
неопределенно, можно исключить из рассмотрения, ибо в этом случае равен¬
ство b = Ха реализуется при X = О,

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
47
§ 1]
отлична от О. Но тогда, исключив тривиальный случай совпа¬
дения точек А и В*), мы (в силу п. 3 § 3 главы 1) можем
утверждать, что точка О делит направленный отрезок ВА в не¬
котором отношении, которое мы обозначим через —X, т. е.
или, что то же самое,
OB = l*OA**Y	(2.2)
В случае, когда векторы а и b направлены в одну сторону
(как на рис. 2.9), точка О лежит вне отрезка ВА, и потому
отношение (2.1) отрицательно, а К > 0. Если же векторы а и b
направлены в противоположные стороны, то точка О лежит
внутри отрезка В А, и потому отношение (2.1) положительно,
а X < 0.
Докажем, что в обоих случаях b = Ха. Достаточно доказать,
что два вектора b и Ха 1) коллинеарны, 2) имеют одинаковую
длину, 3) имеют одинаковое направление.
Коллинеарность векторов b и Ха вытекает из коллинеарности
векторов а и b и определения произведения вектора на число.
Равенство длин векторов b и Ха непосредственно следует из
определения произведения вектора на число и соотношения
(2.2). Наконец, тот факт, что векторы b и‘Ха имеют одинаковое
направление, следует из определения произведения вектора на
число и из того, что X > 0, когда а и b одинаково направлены,
и X < 0, когда а и b противоположно направлены. Теорема до¬
казана.
3.	Понятие линейной зависимости векторов. Линейной
комбинацией п векторов ai, а2, ..., а/: будем называть
сумму произведений этих векторов на произвольные веществен¬
ные числа, т. е. выражение вида
Mi + ct2a2 -J • ... + а„а„,	(2.3)
где ai, аг, *.., ап — какие угодно вещественные числа.
Определение 1. Векторы aj, а2, ..., а/г называются линей¬
но з а в и с и м ы м и, если найдутся такие вещественные числа
сс2, ..., ап, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что
линейная комбинация векторов аь а2, ..., аЛ с указанными
числами обращается в нуль, т. е. имеет место равенство
aiai + «2а2 + ... + аЛап = 0.
Векторы ai, а2, ..., аЛ, не являющиеся линейно зависимыми,
будем называть линейно независимыми.
*) В этом случае векторы а и b совпадают и равенство b = Ха реали¬
зуется при X = 1.	к
резков 3деСЬ П0Д И следует понимать величины направленных от^

48
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
Дадим другое определение линейно независимых векторов,
основанное на логическом отрицании содержания определе¬
ния 1.
Определение 2. Векторы ai, а2, а^ называются линей*
ио независимыми, если равенство нулю их линейной ком*
бинации (2.3) возможно лишь в случае, когда все числа ои,
с:2, . • •, равны нулю.
Имеют место следующие два утверждения.
Теорема 2.2. Если хотя бы один из векторов ai, а2, .а«
является нулевым, то эти векторы являются линейно зависи¬
мыми.
Доказательство. Пусть, ради определенности, вектор
ai является нулевым*), а остальные векторы а2, ...» а/г произ¬
вольны. Тогда обращается в нуль линейная комбинация (2.3)
указанных векторов с числами ai = 1, а2 = а3 = ... =	= О,
одно из которых отлично от нуля. Теорема доказана.
Теорема 2.3. Если среди п векторов какие-либо п—1 век¬
торов линейно зависимы, то и все п векторов линейно зави¬
симы.
Доказательство. Пусть для определенности векторы
аь а2, ..., an-i линейно зависимы, а вектор ап произволен**).
По определению линейной зависимости найдутся такие веще¬
ственные числа ой, а2, ..., an_i, из которых хотя бы одно отлич¬
но от нуля, что имеет место равенство
aiai + a2a2 + ... +	= 0.	(2.4)
Равенство (2.4) сохранится, если мы добавим в левую часть
этого равенства равное нулю слагаемое 0-а«, т. е. справедливо
равенство
а1^1 + а2а2 + ... +	+ 0 • а„ = 0»	(2.5)
Так как среди чисел ai, a2, ..., ал_ь 0 хотя бы одно отлично от
нуля, то равенство (2.5) доказывает линейную зависимость
векторов аь а2, .,., art. Теорема доказана.
Замечание. Конечно, утверждение теоремы 2.3 о линей¬
ной зависимости п векторов останется в силе, если среди этих
векторов линейно зависимыми являются не п—1, а любое
меньшее п число векторов.
4.	Линейные комбинации двух векторов.
Теорема 2.4. Необходимым и достаточным условием линей¬
ной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
*) Мы всегда можем поменять порядок следования векторов так, чтобы
пулевым оказался первый из векторов.
**) Поменяв порядок следования векторов, мы всегда можем добиться
того, чтобы линейно зависимыми оказались первые п — 1 векторов,

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
49
§ И
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть два
вектора а и b линейно зависимы. Докажем коллинеарность этих
векторов.
По определению линейной зависимости найдутся такие ве¬
щественные числа аир, хотя бы одно из которых отлично от
нуля, что справедливо равенство
«а+рЬ = О.	(2.6)
Пусть для определенности отлично от нуля число р. Тогда из
равенства (2.6) (посредством деления этого равенства на р
и переброски одного члена в правую часть) получим следую¬
щее равенство:
Вводя обозначение К = —а/p, получим, что b = Ха. Таким об¬
разом, вектор b равен произведению вектора а на вещественное
число X. По определению произведения вектора на число век¬
торы а и b коллинеарны. Необходимость доказана.
2) Достаточность. Пусть векторы а и b коллинеарны.
Докажем, что эти векторы линейно зависимы. Если хотя бы
один из векторов а и b нулевой, то эти векторы линейно зави¬
симы в силу теоремы 2.2.
Таким образом, нужно рассмотреть лишь случай, когда век¬
торы а и b ненулевые. Но если вектор а ненулевой, то из кол¬
линеарности векторов а иЬ в силу теоремы 2.1 вытекает суще¬
ствование такого вещественного числа X, что b = Ха, или, что
то же самое,
Ха + (-1) b = 0.	(2.7)
Так как из двух чисел X, —1 одно заведомо отлично от нуля,
то равенство (2.7) доказывает линейную зависимость векто¬
ров а п Ь. Достаточность доказана.
Следствие 1. Если векторы а и b не коллинеарны, то они
линейно независимы.
Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не мо¬
жет быть нулевого вектора (иначе бы эти векторы оказались
линейно зависимыми).
5.	Линейные комбинации трех векторов.
Определение. Векторы называются компланарными,
если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных
плоскостях.
Теорема 2.5. Необходимым и достаточным условием линей¬
ной зависимости трех векторов является их компланарность.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть три
вектора а, b и с линейно зависимы. Докажем компланарность
этих векторов.

50
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
По определению линейной зависимости найдутся такие ве¬
щественные числа а, [3 и у, хотя бы одно из которых отлично
от нуля, что справедливо равенство
aa+pb + yc = 0.	(2.8)
Пусть для определенности отлично от нуля число у. Тогда из
равенства (2.8) (посредством деления этого равенства на у
и переброски двух членов в правую часть) получим следующее
равенство:
Вводя обозначения К — —а/у} ц — —р/у, перепишем послед¬
нее равенство в виде
c = Aa+|ib.	(2.9)
Если все три вектора а, Ь и с приложены к общему началу О?
то из равенства (2.9) следует*), что вектор с равен диагонали
параллелограмма, построенного на двух
векторах: на векторе а, «растянутом» в
% раз, и на векторе Ь, «растянутом»**) в
р раз (рис. 2.10).
Но это означает, что векторы а, b и с
лежат в одной плоскости, т. е. компланар¬
ны. Необходимость доказана.
2) Достаточность. Пусть векторы
а, Ь и с компланарны. Докажем, что эти
векторы линейно зависимы.
Прежде всего, исключим случай, когда какая-либо пара из
указанных трех векторов коллинеарна. Тогда в силу теоре¬
мы 2.4 указанная пара векторов линейно зависима, а стало быть
(в силу теоремы 2.3), и все три вектора а, b ис линейно зави¬
симы.
Остается рассмотреть случай, когда в тройке векторов а, Ь,
с ни одна пара векторов не коллинеарна (и, в частности, от¬
сутствуют нулевые векторы***)).
Перенесем три компланарных вектора а, b и с на одну пло¬
скость и приведем их к общему началу О (рис. 2.10). Прове-
*) В силу правила параллелограмма сложения векторов и определения
произведения вектора на число (см. п. 2). При этом мы исключаем тривиаль¬
ный случай, когда векторы а и b коллинеарны. В этом случае компланар¬
ность векторов а, b и с вытекает из того, что эти три вектора, будучи при¬
ведены к общему началу О, лежат на двух проходящих через точку О пря¬
мых: на одной лежит вектор с, на другой — оба вектора а и Ь.
**) Термин «растянутый» следует понимать в указанном в п. 2 условном
смысле.
***) В силу следствия 2 из теоремы 2.4 в паре неколлинеарных векторов
не могут содержаться нулевые векторы,

$ П
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАЛ RERTOPAMH
51
„ем через конец С вектора с прямые, параллельные векторам
а и Ь. Обозначим буквой А точку пересечения прямой, парал¬
лельной вектору Ь, с прямой, на которой лежит вектор а, а бук¬
вой В точку пересечения прямой, параллельной вектору а,
с прямой, на которой лежит вектор Ь. (Существование указан¬
ных точек пересечения вытекает из того, что векторы а и b не
коллинеарны.) В силу правила параллелограмма сложения
векторов вектор с равен сумме векторов ОА и ОВ, т. е.
с = ОА + ОВ.	(2.Ю)
Так как вектор ОА коллинеарен ненулевому вектору а (с ко¬
торым он лежит на одной прямой), то в силу теоремы 2.1
найдется вещественное число X такое, что
ОД = Аа.	(2.11)
Из аналогичных соображений вытекает существование ве*
шественного числа р такого, что
ОВ — цЪ'	(2.12)
Вставляя (2.11) и (2.12) в (2.10), будем иметь
с = Ла + нЬ.	(2.13)
Равенство- (2.13)' можно переписать в виде
Ла + pb + (—1)с — 0.
Так как из трех чисел Л, р, —1 одно заведомо отлично от нуля,
то последнее равенство доказывает линейную зависимость век¬
торов а, b и с. Достаточность доказана.
Попутно доказаны следующие утверждения:
Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а
и b для любого вектора с, лежащего в одной плоскости с век¬
торами а и Ь, найдутся такие вещественные числа Лир, что
справедливо равенство
с~Ла + рЬ.	(2.13)
Следствие 2. Если векторы а, b и с не компланарны, то они
линейно независимы.
Следствие 3. Среди трех некомпланарных векторов не мо¬
жет быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни
одного нулевого вектора * ).
6.	Линейная зависимость четырех векторов.
Теорема 2.6. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. Прежде всего исключим случай, ко¬
гда какая-нибудь тройка из указанных четырех векторов ком¬
*) Иначе эти векторы оказались бы линейно зависимыми.

52
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
планарна. Тогда в силу теоремы 2.5 указанная тройка векторов
линейно зависима, а стало быть (в силу теоремы 2.3), и все
четыре вектора линейно зависимы.
Остается рассмотреть случай, когда среди четырех векто¬
ров а, Ь, с и d никакая тройка векторов не компланарна (и,
стало быть, нет ни одной пары коллинеарных векторов и ни
одного нулевого вектора *)).
Приведем все четыре вектора а, Ь, с и d к общему началу О
и проведем через конец D вектора d плоскости, параллельные
плоскостям, определяемым парами векторов Ьс, ас и ab
(рис. 2.11). Точки пересечения указанных плоскостей с пря¬
мыми, на которых лежат векторы а, b и с, обозначим соответ¬
ственно буквами Д, В и С. (Существование указанных точек
пересечения вытекает из того, что векто¬
ры а, b и с не компланарны.)
Убедимся в том, что вектор d = OD
равен сумме трех векторов ОД, О В и
ОС, т. е.
а = ОД-ЬОВ + ОС. (2.14)
В самом деле, из правила параллело¬
грамма сложения векторов и из паралле-
лограмма OCDE (рис. 2.11) вытекает, что d = ОС + О£, а из
параллелограмма ОВЕА вытекает, что ОЕ = ОА-\- ОВ. Тем
самым равенство (2.14) установлено.
Так как вектор ОД коллинеарен ненулевому вектору а (с ко¬
торым он лежит на одной прямой), то в силу теоремы 2.1 най¬
дется вещественное число К такое, что
ОД = Ла,
(2.15)
Из аналогичных соображений вытекает существование веще¬
ственных чисел [л и v таких, что
ОВ = цЬ, ОС = vc.	(2.16)
Вставляя (2.15) и (2.16) в (2.14), будем иметь
d = Ла + [.ib 4- vc.	(2.17)
Равенство (2.17) можно переписать в виде
Aa + pb + vc + (-l)d = O.
(2.18)
’*) Согласно следствию 3 из теоремы 2.5 в тройке некомпланарных век¬
торов не может содержаться ни одной пары коллинеарных векторов и ни
одного нулевого вектора.
**)_ Векторы, входящие в каждую из указанных трех пар, не коллинеарны,
а поэтому каждая из указанных трех пар определяет некоторую плоскость.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
53
§ И
Так как из четырех чисел X, р, v, —1 одно заведомо отлично
от нуля, то равенство (2.18) доказывает линейную зависимость
векторов а, Ь, с и d. Теорема доказана.
Попутно доказано следующее утверждение:
Следствие 1. Каковы бы, ни были некомпланарные векторы
a, b w с, для любого вектора d найдутся такие вещественные
числа К, р и v, что справедливо равенство
d = Ла + pb + vc.	(2.17)
7.	Понятие базиса. Аффинные координаты.
Определение 1. Говорят, что три линейно независимых век¬
тора а, b и с образуют в пространстве базис, если любой век¬
тор d может быть представлен в виде некоторой линейной
комбинации векторов а, b и с, т. е. если для любого вектора d
найдутся такие вещественные числа Л, р и v, что справедливо
равенство (2.17).
Аналогично определяется базис на некоторой плоскости л.
Определение 2. Говорят, что два лежащих в плоскости л
линейно независимых вектора a u b образуют на этой плоскости
базис, если любой леокащий в плоскости л вектор с может
быть представлен в виде некоторой линейной комбинации вею
торов а и Ь, т. е. если для любого лежащего в плоскости л
вектора с найдутся такие вещественные числа Лир, что спра¬
ведливо равенство (2.13).
Справедливы следующие фундаментальные утвер¬
ждения:
1)	любая тройка некомпланарных векторов а, b и с образует
базис в пространстве’,
2)	любая пара лежащих в данной плоскости не ко л линеар¬
ных векторов а и b образует базис на этой плоскости.
Для доказательства первого из этих утверждений доста^
точно заметить, что, каковы бы -ни были три некомпланарных
вектора а, b и с, они линейно независимы (в силу следствия 2
из теоремы 2.5), и для любого вектора d найдутся веществен¬
ные числа Л, р и v такие, что справедливо равенство (2.17)
(в силу следствия из теоремы 2.6). Утверждение 2) доказы¬
вается аналогично (с помощью следствия 1 из теоремы 2.4
и следствия 1 из теоремы 2.5).
В дальнейшем для определенности будем рассматривать
базис в пространстве. Итак, пусть а, Ь, с — произвольный базис
в пространстве, т. е. произвольная тройка некомпланарных век¬
торов. Тогда (по определению базиса)' для любого вектора d
найдутся такие вещественные числа Л, р и v, что будет спра¬
ведливо равенство
d = Ла + pb + vc.
(2.17)

54
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
Принято называть равенство (2.17) разложением вектора d по
базису а, Ь, с, а числа X, р и v — координатами вектора d от¬
носительно базиса а, Ь, с.
Докажем, что каждый вектор d может быть единствен¬
ным способом разложен по базису а, Ь, с, или (что то же
самое) координаты каждого вектора d относительно базиса а,
Ь, с определяются однозначно.
Допустим, что для некоторого вектора d, наряду с разложе¬
нием (2.17), справедливо еще и другое разложение по тому же
самому базису
d = Х'а + p'b + v'с.	(2.19)
Почленное вычитание равенств (2.17) и (2.19) приводит к со¬
отношению *)
(Л — X') а + (и — р') b + (v — v') с = 0.	(2.20)
В силу линейной независимости базисных векторов а, Ь, с со¬
отношение (2.20) приводит к равенствам
X ■— X' = 0, р — р' = 0, v —	= 0,
или X = Xх, р == р', v = у'. Единственность разложения по ба¬
зису доказана.
Основное значение базиса состоит в том, что линейные опе¬
рации над векторами при задании базиса становятся обычными
линейными операциями над числами — координатами этих век¬
торов. Именно справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.7. При сложении двух векторов di и d2 их коор¬
динаты (относительно любого базиса а, Ь, с) складываются.
При умножении вектора di на любое число а все его коорди¬
наты умножаются на это число.
Доказательство. Пусть di = Xia + pib + vic, d2 = X2a +'
‘+p2b-{-V2C. Тогда в силу свойств Г—7° линейных операций
(см. п. 2)
di + d2 = (Xt + Х2) а + (Pi + р2) b + (vt + v2) с,
ad! = (aXJ а -р (api) b J- (avj) c.
В силу единственности разложения по базису теорема до¬
казана.
Перейдем теперь к определению так называемых аффин¬
ных**) координат точки.
*) Возможность почленного вычитания равенств (2.17) и (2.19) и произ¬
водимой группировки членов вытекают из свойств линейных операций над
векторами (см. п. 2).
**) Термин «аффинный» происходит от латинского слова affinis, что
означает смежный, или соседний.

§1]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
55
Аффинные координаты в пространстве определяются зада¬
нием'базиса а, Ь, с и некоторой точки О, называемой началом
координат.
Аффинными координатами любой точки М на¬
зываются координаты вектора ОМ (относительно . базиса
а, Ь, с).

Так как каждый вектор ОМ может быть, и притом един¬
ственным способом, разложен по базису а, Ь, с, то каждой точке
пространства М однозначно соответствует тройка аффинных
координат X, р, v.
Разумеется, декартовы прямоугольные координаты являются
частным случаем аффинных координат, соответствующим трой¬
ке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов.
Более подробно этот важный частный случай рассматривается
в п. 9 настоящего параграфа.
В заключение заметим, что свойства базиса и понятие аф¬
финных координат па плоскости вполне аналогичны случаю
пространства.
8.	Проекция вектора на ось и ее свойства. Прежде всего оп¬
ределим проекцию вектора а = АВ на произвольную ось и.
Обозначим буквами А' и Вг основания пер¬
пендикуляров, опущенных на ось и из то¬
чек А и В соответственно (рис. 2.12).
Проекцией вектора а — АВ на
ось и называется величина А'В' направ¬
ленного отрезка А'В' оси и.
Договоримся обозначать проекцию век¬
тора а на ось и символом прма. Построе¬
ние проекции вектора а = ЛВ на ось и ил¬
люстрируется на рис. 2.12, где символом
аир обозначены две проектирующие плоскости (т. е. плоско¬
сти, перпендикулярные оси и и проходящие через концы А и В
вектора а = АВ).
Для дальнейшего нам понадобится понятие угла накло¬
на вектора & = АВ к оси и. Этот угол может быть опреде¬
лен как угол ср между двумя выходящими из произвольной
точки М лучами, один из которых имеет направление, совпа¬
дающее с направлением вектора ‘& = АВ, а другой — направ¬
ление , совпадающее с направлением оси и (рис. 2.12).
Очевидно, на величину угла наклона вектора а к оси и не
влияют выбор точки М выхода указанных выше лучей и за¬
мена оси и любой другой осью v, имеющей то же направление,
.что и ось и.
Докажем следующее утверждение,

56
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
Теорема 2.8. Проекция вектора а на ось и равна длине век*
тора а, умноженной на косинус ср угла наклона вектора а
к оси и.
Доказательство. Обозначим через v ось, проходящую
через начало А вектора а и имеющую то же направление, что
и ось и (рис. 2.12), и пусть С —проекция В на ось v. Тогда'
ZBAC равен углу ср наклона вектора а = АВ к любой из осей
и или у, причем точка С заведомо лежит в указанной на
рис. 2.12 проектирующей плоскости £ (т. е. в плоскости, пер¬
пендикулярной оси и и проходящей через точку В).
Далее, можно утверждать, что А'В' = АС *), ибо оси и и v
параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей, за¬
ключенные между параллельными плоскостями аир, равны.
Так как по определению npwa = X/B/, то мы приходим к ра¬
венству
прм а = ЛС.	(2.21)
Но величина АС представляет собой проекцию направленного
отрезка АВ на ось v, которая (в силу п. 1 § 3 главы 1) равна
АС = | АВ | cos ср = | а | cos ф.	(2.22)
Из сопоставления равенств (2.21) и (2.22) вытекает равенство
пру а = | а | cos ф.	(2.23)
Теорема доказана.
Основные свойства проекции вектора на ось заклю¬
чаются в том, что линейные операции над векторами приводят
к соответствующим линейным операциям над проекциями этих
векторов (на произвольную ось).
Именно справедливо следующее утверждение:
При сложении двух векторов di и d2 их проекции на произ¬
вольную ось и складываются. При умножении вектора di на лю¬
бое число а проекция этого вектора на произвольную ось и
также умножается на число а.
Доказательство этого утверждения отложим до п. 9. Опи¬
санные свойства проекции вектора на ось естественно назвать
линейными свойствами.
9.	Декартова прямоугольная система координат как частный
случай аффинной системы координат. Как уже отмечалось выше,
декартова прямоугольная система координат является частным
случаем аффинной системы, отвечающей тройке взаимно орто¬
гональных и единичных базисных векторов.
*) Здесь под А'В' следует понимать величину направленного отрезка А'В'
оси и, а под АС — величину направленного отрезка АС оси и,

§ 1]
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
57
В случае декартовой прямоугольной системы базисные век¬
торы принято обозначать не буквами а, Ь, с, а буквами i, j, k.
Итак, каждый из векторов I, j, к имеет длину, равную единице,
причем эти три вектора взаимно ортогональны (обычно направ¬
ления векторов i, j, к берут совпадающими с направлениями
декартовых осей Ох, Оу и Oz соответственно) .
В силу основных результатов п. 7 каждый вектор d может
быть, и притом единственным способом, разложен по декар¬
тову прямоугольному базису i, j, к, т. е. для каждого вектора d
найдется, и притом единственная, тройка чисел X, Y и Z *).
кая, что справедливо равенство
d = Xi + Yj + Zk,	(2.24)
Числа X, Y, Z называются декартовыми прямоугольными
координатами вектора d. Если М — любая точка пространства,
то определенные в главе 1 декартовы прямоугольные коорди¬
наты этой точки совпадают с декартовыми прямоугольными ко¬
ординатами вектора ОМ.
Если вектор d имеет декартовы прямоугольные координаты
X, Y, Z, то мы будем использовать следующую символику:
d = {X, Y, Z}.
Геометрический смысл декартовых прямоугольных коорди¬
нат вектора выясняет следующее утверждение.
Теорема 2.9. Декартовы прямоугольные координаты X, Y,
и Z вектора d равны проекциям этого вектора на оси Ох, Оу
и Oz соответственно.
Доказательство. В полной аналогии с рассуждениями,
проведенными при доказательстве теоремы 2.6 (п. 6), приложим
вектор d к началу О декартовой системы
и проведем через конец D этого вектора
три плоскости, параллельные координатным
плоскостям Oyz, Oxz и Оху (рис. 2.13).
Точки пересечения указанных плоскостей
с осями Ох, Оу и Oz соответственно обо¬
значим буквами А, В и С.
Как и при доказательстве теоремы 2.6,
получим, что
а = од + ов + ос.
Дальнейшие рассуждения упомянутой теоремы (с учетом из*
менившихся обозначений) приводят нас к равенствам
OA = Xi, OB = Yj, OC = Zk.
(2.25)
*) В случае декартовой прямоугольной системы для координат вектора d
вместо A, р, у мы будем использовать обозначения X, У, Z.

68
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
В рассматриваемом случае декартовой прямоугольной систе¬
мы параллелепипед, построенный на базисных векторах i, j, k
и имеющий вектор d своей диагональю, является прямоуголь¬
ным. Поэтому проекции вектора d на оси Ох, Оу и Oz соответ¬
ственно равны величинам ОА, ОВ и ОС. Для доказательства
теоремы нам остается убедиться в том, что ОА = X, ОВ = У,
oc = z.
	Убедимся, например, в равенстве ОА = X. В силу (2.25)
ОА = Xi. Отсюда и из того, что i — единичный вектор, выте¬
кает, что | О А | = | X |. Но и знаки чисел О А и X совпадают, ибо
в случае, когда векторы О А и i направлены в одну сторону, оба
числа ОА и X положительны, а в случае, когда векторы ОА и i
направлены в противоположные стороны, оба числа ОА и X от¬
рицательны. Итак, ОА = X. Аналогично доказываются равен¬
ства ОВ — Y и ОС = Z. Теорема доказана.
Обозначим буквами а, [3 и у углы наклона вектора d к осям
Ох, Оу и Oz соответственно.
Три числа cos a, cos [3 и cosy принято называть направляю¬
щими косинусами вектора d.
Из теорем 2.9 и 2.8 (см. формулу (2.23)) вытекают следую¬
щие формулы для координат X, Y и Z вектора d:
X = | d | cos a, y = |d|cos|3, Z = |d|cosy. (2.26)
Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепи¬
педа равен сумме квадратов его сторон, то из равенств ОА = X,
ОВ == Y и ОС = Z мы получим следующее выражение для дли¬
ны вектора d через его координаты:
I d | = ^/X2-\-Y2 + Z2.	(2.27)
Из формул (2.26)’ и (2.27)’ вытекают следующие выражения для
направляющих косинусов вектора d через координаты этого
вектора:
X	Y
COS a =	■		~, COS 6 =	;-■■■	,
л/х2 + у2 + z2	г 7х2 + у2 + z2
Z	(2.28)
cos у = —, ■ •	-	■ -- .
r V*2 + у2 + z2
Возводя в квадрат и складывая равенства (2.28)', получим, что
cos2 a + cos2 р + cos2 у = 1,
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора
равна единице.
Так как вектор d однозначно определяется заданием трех
его координат, то из формул (2.26) ясно, что вектор d одно¬
значно определяется заданием его длины и трех направляющих
косинусов.

59
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
§ 2]
В заключение докажем сформулированные в конце преды¬
дущего пункта линейные свойства проекции вектора на ось,
т. е. докажем, что при сложении двух векторов di и d2 их про¬
екции на произвольную ось и складываются, а при умножении
вектора di на любое число а его проекция на произвольную ось
и умножается на число а.
Пусть дана произвольная ось и и любые векторы di и d2.
Введем декартовы прямоугольные координаты так, чтобы ось и
совпала с осью Ох, Пусть
d1 =	+ yj 4-Zik, d2 = JV2i + y2j + Z2k.
Тогда в силу теоремы 2.7
dj + d2 = (Xi ~n X2) i + (Kj + У2) j + (^i	^2)
ad] = (aXJ i + (аУ^ j + (aZt) k.
Но в силу теоремы 2.9 и того, что ось и совпадает с осью Ох,
можно утверждать, что
= при dIy Х2 = прм d2, Xi Х2 = npw (di + d2),
aX1==npu(ad1).
Таким образом, npM(di + d2) = npwdi H- npMd2, npw(adj) = anpH dh
и сформулированное утверждение доказано.
§ 2. Скалярное произведение двух векторов
1. Определение скалярного произведения.
Определение 1. Скалярным произведением двух
векторов называется число, равное произведению длин этих век¬
торов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов а и Ь будем обозначать
символом аЬ. Если угол между векторами а и b равен ср, то
по определению скалярное произведение этих двух векторов
выражается формулой
аЬ = | а 11Ь | cos qp.	(2.29)
Сформулируем другое определение скалярного про¬
изведения двух векторов, эквивалентное определению 1. Для
этого воспользуемся понятием проекции вектора b на ось, опре¬
деляемую вектором а. В соответствии с обозначениями п. 8 § 1
будем обозначать проекцию вектора b на ось, определяемую
вектором а, символом npab. На основании теоремы 2.8 получим
npa Ь = | b | cos <р.	(2.30)
Сопоставление равенств (2.29) и (2.30) приводит нас к сле¬
дующему выражению для скалярного произведения:
ab = 1 а|прдЬ.
(2.31)

60
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
Конечно, в проведенных рассуждениях можно было бы поме¬
нять ролями векторы а и Ь. При этом мы пришли бы к следую¬
щему выражению для скалярного произведения:
ab = | b |пр^а.	(2.32)
Выражения (2.31) и (2.32) приводят нас к следующему
определению скалярного произведения (эквивалентному опре¬
делению 1).
Определение 2. Скалярным произведением двух
векторов называется число, равное произведению длины одного
из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, опреде¬
ляемую первым из указанных векторов.
Понятие скалярного произведения векторов родилось в ме¬
ханике. Если вектор а изображает силу, точка приложения ко¬
торой перемещается из начала в конец вектора Ь, то работа w
указанной силы определяется равенством
w = | а 11 b | cos qp,
т. е. равна скалярному произведению векторов а и Ь.
2. Геометрические свойства скалярного произведения.
Теорема 2.10. Необходимым и достаточным условием орто¬
гональности двух векторов является равенство нулю их скаляр¬
ного произведения.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть век¬
торы а и b ортогональны, ср — угол между ними. Тогда coscp = 0
и в силу формулы (2.29) скалярное произведение ab равно
нулю.
2) Достаточность. Пусть скалярное произведение ab
равно нулю. Докажем, что векторы а и b ортогональны. Прежде
всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из
или b является нулевым (нулевой вектор имеет не¬
определенное направление, и его можно считать
ортогональным любому вектору). Если же оба
вектора а и b ненулевые, то |а|>0 и |b | > 0,
и поэтому из равенства ab = 0 и из формулы
(2.29) вытекает, что cos ср = 0, т. е. векторы а
и b ортогональны.
Теорема доказана.
Прежде чем сформулировать следующее ут¬
верждение, уточним понятие угла ср между век¬
торами а и Ь. Приведем произвольные векто-
к общему началу О (рис. 2.14). Тогда в качестве
угла ср между векторами а и b можно взять любой из двух
указанных на рис. 2.14 углов qpi и ср2. В самом деле,
сумма углов qpi и ср2 равна 2л, и поэтому cos epi = cos <р2, а в
определение скалярного произведения входит только косинус
угла между векторами. Из двух углов epi и ср2 один заведомо
§ 2]	СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ	61
не превосходит л (на рис. 2.14 не превосходит л угол epi). До¬
говоримся в дальнейшем под углом между двумя векторами
подразумевать тот угол, который не превосходит л,
Тогда справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.11. Два ненулевых вектора a u b составляют
острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное
произведение положительно (отрицательно).
Доказательство. Так как векторы а и b ненулевые,
то в силу формулы (2.29) знак скалярного произведения совпа¬
дает со знаком cos ср. Но если угол ср не превосходит л, то cos ср
положителен тогда и только тогда, когда ср — острый угол, и
отрицателен тогда и только тогда, когда ср — тупой угол. Тео¬
рема доказана.
3.	Алгебраические свойства скалярного произведения. Ска¬
лярное произведение векторов обладает следующими четырьмя
свойствами:
1° ab = Ьа (переместительное свойство);
2° (aa)b = a(ab) (сочетательное относительно числового
множителя свойство);
3° (a + b)c = ac + bc (распределительное относительно сум¬
мы векторов свойство);
4° аа > 0, если а — ненулевой вектор, и аа = 0, если а —
нулевой вектор *).
Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 1° непо¬
средственно вытекает из формулы (2.29).
Для доказательства свойства 2° воспользуемся определе¬
нием 2 скалярного произведения, т. е. формулой (2.32). Учи¬
тывая, что проекция вектора на ось обладает линейным свой¬
ством прь(аа) = а прь а (см. конец п. 8 и конец п. 9 § 1), по¬
лучим
(аа)	b = | b | • прь (аа) = а | b | • пр6 а = а • (ab).
Тем самым свойство 2° доказано.
*) Отметим, что в курсе линейной алгебры вместо множества векторов
рассматривают множество элементов а, Ь, ... любой природы. Если для эле¬
ментов этого множества определены операция сложения и операция умноже¬
ния на вещественное число и для этих операций справедливы те же самые
свойства Г — 7°, которые установлены нами для линейных операций над
векторами (см. п. 2 § 1), то указанное множество элементов называется ли¬
нейным пространством.
Произвольное линейное пространство называется евклидовым простран¬
ством, если: 1) известно правило, посредством которого любым двум элемен¬
там а и b этого пространства ставится в соответствие число, называемое
скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом ab; 2) ука¬
занное правило таково, что для скалярного произведения справедливы только
что сформулированные свойства Г—4°.
Таким образом, пространство всех геометрических векторов с определен¬
ными нами линейными операциями и скалярным произведением представляет
собой один из примеров линейного евклидова пространства,

62
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
(ГЛ. 2
Для доказательства свойства 3° снова воспользуемся фор¬
мулой (2.32) и линейным свойством проекции вектора на ось
прДа 4-Ь) = прс апрс b (см. п. 8 § 1). Получим
(а + Ь) с = | с | • прс (а + Ь) = | с | • (прс а + прс Ь) =
= | с | прс а +1 с | • прс b === ас + Ьс.
Нам остается доказать свойство 4°. Для этого заметим, что
непосредственно из формулы (2.29)' вытекает, что аа = | а |2,
т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого
вектора. Отсюда, в частности, вытекает, что скалярный квад¬
рат аа положителен, когда вектор а ненулевой, и равен нулю,
когда вектор а нулевой.
Доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они
позволяют при скалярном перемножении векторных многочле¬
нов выполнять действия почленно, не заботясь при этом о по¬
рядке векторных множителей и сочетая числовые множители.
Указанная возможность будет существенно использована в сле¬
дующем пункте.
4.	Выражение скалярного произведения в декартовых коор¬
динатах.
Теорема 2.12. Если два вектора а и b определены своими
декартовыми прямоугольными координатами
а = К Уь b = {Z2, У2, Z2},
то скалярное произведение этих векторов равно сумме попар¬
ных произведений их соответствующих координат, т. е.
ab = Х{Х2 + Y{Y2 + ZXZ2.	(2.33)
Доказательство. Составим из тройки базисных векто¬
ров i, j и к все возможные пары и для каждой из пар подсчи¬
таем скалярное произведение. Учитывая, что базисные векторы
и имеют единичную длину,
являются попарно ортогональными
получим
ij = l, ji = 0,
ij = 0, jj = l,
ik = 0, jk = O,
ki = 0,
kj = O,
kk=l.
(2.34)
Далее, учитывая, что а — XJ 4- Tij 4* Zik, b = X2i 4-	4- Z2k,
и опираясь на установленную в предыдущем пункте возмож¬
ность почленного скалярного перемножения векторных много¬
членов, получим
ab = Х^П 4- Xxr2ij 4- X^lk 4- r.XJi 4- TOJ 4- Y^k 4-
4- ЗДИ 4- Z/2kj 4- ZtZ2kk.
Из последнего равенства и соотношений (2.34) вытекает фор¬
мула (2.33) , Теорема доказана. .

§ 3]	ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ	63
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием орто¬
гональности векторов
а={Х1, F^Zi} ti b={X2,Y2,Z2}
является равенство
XlX2 + YlY2 + Z1Z2 = 0.
Это следствие непосредственно вытекает из теоремы 2.10
и формулы (2.34).
Следствие 2. Угол гр между векторами
а = {Хь YnZi} и Ь = {Х2, У2, Z2}
определяется по формуле
COS(D = ..-.....^±22r- + ^ 	 ■	(2.35)
+ + + +
ab
В самом деле, coscp = n—■.. ■ •, и нам остается воспользо-
ч | а 11 Ь |
ваться формулой (2.33) для скалярного произведения и фор¬
мулой (2.27) для длины вектора.
§ 3. Векторное и смешанное произведения векторов
1.	Правые и левые тройки векторов и системы координат.
Определение 1. Три вектора называются упорядочен¬
ной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой
из этих векторов является первым, какой — вторым и какой —
третьим.
При записи тройки векторов мы всегда будем располагать
эти векторы в порядке их следования. Так, запись Ьас означает,
что первым элементом тройки является вектор Ъ, вторым — век¬
тор а и третьим — вектор с.
Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc назы¬
вается правой (левой), если выполнено одно из следующих
трех условий:
1° если, будучи приведены к общему началу, эти векторы
располагаются так, как могут быть расположены соответствен¬
но большой, несогнутый указательный и средний пальцы пра¬
вой (левой) руки-,
2° если после приведения к общему началу вектор с распо¬
лагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами
а и Ь, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершаю¬
щимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);
3° если, находясь внутри телесного угла, образованного при¬
веденными к общему началу векторами а, Ь, с, мы видим пово¬
рот от а к b и от него к с совершающимся против часовой
стрелки (по часовой стрелке) .

64
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
Легко проверить, что условия 1°, 2° и 3° эквивалентны между
собой. Пр едоставляем читателю с помощью каждого из условий
Г, 2° и 3° убедиться в том, что тройка abc, изображенная на
рис. 2.15, является правой, а тройка abc, изображенная на
рис. 2.16, является левой.
Замечание. Понятие правой и левой тройки теряет смысл
для компланарных векторов.
Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо
обе являются левыми, то говорят, что. эти тройки одной ориен¬
тации. В противном случае говорят, что
рассматриваемые две тройки противопо¬
ложной ориентации.
Всего из трех векторов а, b и с мож¬
но составить следующие шесть троек:
abc, bca, cab,	(2.36)
bac, acb, cba.	(2.37)
С помощью условия 3° определения 2 легко проверить, что
все три тройки (2.36) той же ориентации, что и тройка abc,
а все три тройки (2.37) имеют ориентацию, противополож¬
ную abc.
Определение 3. Аффинная или декартова система коорди¬
нат называется правой (левой), если три базисных век¬
тора образуют правую (левую) тройку.
Ради определенности договоримся в дальнейшем рассмат¬
ривать только правые системы координат.
2.	Определение векторного произведения двух векторов.
Определение. Векторным произведением вектора а.
на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом с =
= [ab] и удовлетворяющий следующим трем требованиям’.
1)	длина вектора с равна произведению длин векторов а и b
на синус угла <р между ними *), т. е.
1 с | = | [ab] | = | а || b 1 sin ср;	(2.38)
2)	вектор с ортогонален к каждому из векторов а и Ь;
3)	вектор с направлен так, что тройка векторов abc является
правой **).
*) В соответствии с договоренностью, принятой в п. 2 § 2, в качестве
угла между векторами берем тот угол ср, который не превосходит л. При
этом всегда sin ф 0 и величина (2.38) неотрицательна. Из формулы (2.38)
следует также, что в случае коллинеарных векторов а и b определяемый век¬
тор с .= [ab] является нулевым.
**) Требования 1) и 2) определяют вектор с с точностью до двух взаим¬
но противоположных направлений. Требование 3) отбирает одно из этих двух
направлений. В случае, когда а и b коллинеарны, тройка abc является ком¬
планарной, но в этом случае уже из требования 1) вытекает, что с = 0.

§ 3]	ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ	65
Понятие векторного произведения также родилось в меха¬
нике. Если вектор b изображает приложенную в некоторой
точке М силу, а вектор а идет из некоторой точки О в точку М,
то вектор с = [аЬ] представляет собой момент силы b относи¬
тельно точки О.
3.	Геометрические свойства векторного произведения.
Теорема 2.13. Необходимым и достаточным условием кол¬
линеарности двух векторов является равенство нулю их вектор¬
ного произведения.
Доказательство. 1J Необходимость вытекает из самого
определения векторного произведения: для коллинеарных век¬
торов а и Ь векторное произведение по определению равно нулю
'(см. формулу (2.38) й сноску*) на с. 64).
2) Достаточность. Пусть векторное произведение [ab]
равно нулю. Докажем, что векторы а и b коллинеарны.
Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя
бы один из векторов а или Ь является нулевым (нулевой вектор
имеет неопределенное направление, и его можно считать кол¬
линеарным любому вектору). Если же оба вектора а и b нену¬
левые, то |а| > 0 и |Ь|>0, и поэтому из равенства [ab] = О
и из формулы (2.38) вытекает, что sin ср = 0, т. е. векторы а и b
коллинеарны.
Теорема доказана.
Теорема 2.14. Длина (или модуль} векторного произведения
|[аЬ] равняется площади S параллелограмма, построенного на
приведенных к общему началу векторах а и Ь.
Доказательство. Так как площадь параллелограмма
равна произведению смежных сторон этого параллелограмма
на синус угла между ними, то теорема непосредственно выте¬
кает из формулы (2.38).
Чтобы получить следствие из теоремы 2.14, введем поня¬
тие орта.
Определение. Ортом произвольного ненулевого вектора с
назовем единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одина¬
ковое с с направление.
Следствие из теоремы 2.14. Если е — орт векторного про¬
изведения [ab], a S — площадь параллелограмма, построен¬
ного на приведенных к общему началу векторах а и Ь, то для
векторного произведения [ab] справедлива следующая фор¬
мула'.
[ab]	= Se *).	(2.39)
*) Если векторы а и b коллинеарны (и, в частности, если хотя бы один
из векторов а и b нулевой), формула (2.39) остается справедливой, ибо в
этом случае равны нулю как векторное произведение [ab], так и площадь S
построенного на векторах а и b параллелограмма.
3 В. А. Ильин, Э. Г. Позняк

66
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
Замечание. Из определений орта и векторного произве¬
дения вытекает, что тройка abe является правой (ибо тройка
ab[ab] является правой).
Следующее свойство устанавливает важную для дальней¬
шего формулу.
Теорема 2.15. Если с — какой-нибудь вектор, л — любая со¬
держащая его плоскость, е — единичный вектор, лежащий в
плоскости л и ортогональный к с, g — единичный вектор, орто¬
гональный к плоскости л и направленный так, что тройка ecg
является правой, то для любого лежащего в плоскости л век¬
тора а справедлива формула
[ас]	= пре а • | с I g.	(2.40)
Доказательство. Достаточно доказать, что векторы,
стоящие в левой и правой частях (2.40): 1) имеют одинаковую
длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление.
В силу теоремы 2.14 | [ас] | == S, где S — площадь построен¬
ного на приведенных к общему началу векторах а и с паралле¬
лограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (2.40), рав¬
на | с| | пре а|, т. е. тоже равна S, ибо если за основание указан¬
ного параллелограмма принять вектор
с, то высота его h будет равна | пре а |,
.(рис. 2.17) .
Коллинеарность векторов, стоящих
в левой и правой частях (2.40), выте¬
кает из того, что оба эти вектора орто¬
гональны к плоскости л (вектор [а*Д
в силу определения векторного произ¬
ведения, а вектор npea-|c|g в силу того, что вектор g по усло¬
вию ортогонален к плоскости л).
Остается проверить, что векторы, стоящие в левой и правой
частях (2.40), одинаково направлены.
Для этого достаточно заметить, что векторы [ас] и g одина¬
ково направлены (противоположно направлены), когда тройка
acg является правой (левой), т. е. когда векторы а и е лежат
по одну сторону от с (по разные стороны от с*)) и проекция
пре а является положительной (отрицательной), но это и озна¬
чает, что векторы [ас] и npea-|c|g всегда одинаково направ¬
лены.
Теорема доказана.
4. Смешанное произведение трех векторов. Пусть даны три
произвольных вектора а, b и с. Если вектор а векторно умно¬
жается на вектор Ь, а затем получившийся при этом вектор
*) При этом мы исключаем тривиальный случай, когда вектор а колли¬
неарен вектору с. В этом тривиальном случае [ас] = 0 и пр? а = 0, так что
равенство (2.40) очевидно.

§31
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
67
([ab] скалярно умножается на вектор с, то в результате полу¬
чается число [ab]c, называемое смешанным произведе¬
нием векторов а, b и с.
Геометрический смысл смешанного произведения вскрывает
следующая теорема.
Теорема 2.16. Смешанное произведение [ab]c равно объ¬
ему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему
началу векторах а, b и с, взятому со знаком плюс, если тройка
abc правая, и со знаком минус, если тройка abc левая. Если
же векторы а, b и с компланарны, то [ab]c равно нулю.
Доказательство. Прежде всего, исключим тривиаль¬
ный случай, когда векторы а и Ь коллинеарны. В этом случае
векторы а, b и с компланарны*), и нам требуется доказать,
что смешанное произведение [ab]c равно нулю. Но последнее
очевидно, ибо векторное произведение [ab] двух коллинеарных
векторов а и b равно нулю.
Остается рассмотреть случай, когда векторы а и b не кол¬
линеарны. Обозначим через S площадь параллелограмма, по¬
строенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь,
а через е — орт векторного произведения [ab].
Тогда, как доказано в предыдущем пункте, справедлива
формула (2.39). С помощью этой формулы и формулы (2.31)
для скалярного произведения получим
[ab] с = (Se)c = S (ес) = S| е | прес — S • прес. (2.41)
Сначала предположим, что векторы а, b и с не компланарны.
Тогда пре с с точностью до знака равна высоте h параллелепи¬
педа, построенного на приведенных к
общему началу векторах а, b и с, при
условии, что основанием служит па¬
раллелограмм, построенный на векто¬
рах а и b (рис. 2.18).
Таким образом, с точностью до
знака правая часть (2.41) равна объ¬
ему V построенного на векторах а, b
и с параллелепипеда. Остается уточ¬
нить знак.
Очевидно, что пре с = 4-Л, если векторы е и с лежат по
одну сторону от плоскости, определяемой векторами а и Ь, и
пре с = —h, если векторы е и с лежат по разные стороны от
указанной плоскости. Но это означает, что пр6?с=+/г, если
тройки abc и abe одной ориентации, и пре с = —h, если указан¬
ные тройки противоположной ориентации. Так как по опреде-
*) Ибо среди трех некомпланарных векторов не может быть двух кол'
линеарных векторов (см, следствие 3 из теоремы 2.5).
3*

68
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
лению векторного произведения тройка abe является правой
(см. конец предыдущего пункта), то
npec = j
[ + Л, если abc — правая тройка,
[, — h, если abc — левая тройка.
Для завершения доказательства теоремы достаточно вставить
это значение прес в правую часть (2.41).
В случае, когда векторы а, b и с компланарны, вектор с ле¬
жит в плоскости, определяемой векторами а и Ь, откуда сле¬
дует, что пре с = 0, и по формуле (2.41) [ab]c = 0. Теорема
полностью доказана.
Следствие 1. Справедливо равенство [аЬ]с = а[Ьс].
В самом деле, из переместительного свойства скалярного
произведения вытекает, что a [be] = [Ьс] а, и достаточно дока¬
зать, что [ab] с = [be] а. С точностью до знака, последнее ра¬
венство очевидно, ибо как правая, так и левая его части с точ¬
ностью до знака равны объему параллелепипеда, построенного
на векторах а, b и с. Но и знаки правой и левой частей послед¬
него равенства совпадают, ибо обе тройки abc и Ьса относятся
к группе троек (2.36) и имеют одинаковую ориентацию
(см. п. 1).
Доказанное равенство [ab]c = a[bc] позволяет записывать
смешанное произведение трех векторов а, b и с просто в виде
abc, не указывая при этом, какие именно два вектора (первые
два или последние два) перемножаются векторно.
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием ком¬
планарности трех векторов является равенство нулю их сме¬
шанного произведения.
В самом деле, компланарность векторов в силу теоремы 2.16
влечет равенство нулю их смешанного произведения. Обратное
вытекает из того, что для некомпланарных векторов смешан¬
ное произведение (в силу той же теоремы) равно отличному от
нуля объему параллелепипеда.
Следствие 3, Смешанное произведение трех векторов, два
из которых совпадают, равно нулю.
В самом деле, такие три вектора заведомо компланарны.
5.	Алгебраические свойства векторного произведения. Вектор¬
ное произведение векторов обладает следующими четырьмя
свойствами:
1° [ab] = — [Ьа] (свойство антиперестановочности сомножи¬
телей) ;
2° [(aa)b]= a[ab] (сочетательное относительно числового
множителя свойство);
3° [(а + Ь)с] = [ас] + [Ьс] (распределительное относительно
суммы векторов свойство);
’ 4° Даа] = 0 для любого вектора а.

§ 3]
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
69
Убедимся в справедливости этих свойств.
Для доказательства свойства Г положим С - [ab] , d =
= [ba]. Если векторы а и b коллинеарны, то в силу теоре¬
мы 2.13 с = d = 0, и свойство Г доказано. Если же а и b не
коллинеарны, то векторы cud, во-первых, имеют одинаковую
длину (в силу формулы (2.38) для длины векторного произве¬
дения) и, во-вторых, коллинеарны (в силу того, что оба вектора
сид ортогональны к плоскости, определяемой векторами а и Ь).
Но тогда либо с = d, либо с = —d. Если бы имела место пер¬
вая возможность, то по определению векторного произведения
обе тройки abc и Ьас оказались бы правыми, но это невозможно,
ибо в силу п. 1 эти тройки противоположной ориентации*).
Итак, с — —d, и свойство 1° полностью доказано.
Для доказательства свойства 2° положим с = [(аа)Ь],
d = а [ab] и прежде всего исключим тривиальные случаи, когда
вектор а коллинеарен b или когда а = 0. В этих случаях
(в силу теоремы 2.13 и определения произведения вектора на
число) мы получим, что с = d = 0, и свойство 2° доказано.
Пусть теперь векторы а и b не коллинеарны и а #= 0. Дока¬
жем, что и в этом случае векторы end равны. Обозначим бук¬
вой ср угол между векторами а и Ь, а буквой ф угол между
векторами аа и Ь. По определению длины векторного произве¬
дения и произведения вектора на число можно утверждать, что
| с | = | а 11 а 11 b | sin Ф, | d | = | а 11 а 11 b | sin qp. (2.42)
Рис. 2.19
Учтем теперь, что могут представиться два случая: 1) ф = ср
(когда а > 0 и векторы а и аа направлены в одну сторону;
рис. 2.19); 2) ф =д —(р (когда а<0 и векторы а и аа на¬
правлены в противополож¬
ные стороны; рис. 2.20).
В обоих случаях sin гр =
= sin <р и в силу формул
(2.42) |с| = |d|, т. е. векто¬
ры cud имеют одинаковую
длину.
Далее, очевидно, что век¬
тора cud коллинеарны,
ибо ортогональность к пло¬
скости, определяемой векторами
ность и к плоскости, определяемой векторами а и Ь.
Для доказательства равенства векторов end остается про¬
верить, что эти векторы имеют одинаковое направление. Пусть
а>0 (а<0); тогда векторы а и аа одинаково направлены
(противоположно направлены), и, стало быть, векторы [ab]
Рис. 2.20
аа и Ь, означает ортогональ-
*) Одна из этих троек входит в группу (2.36), а другая — в группу
(2.37).

70
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
и [(сса)Ь] также одинаково направлены (противоположно на¬
правлены), а это означает, что векторы d = cc[ab] и с =
= [(оса)Ь] всегда одинаково направлены. Свойство 2° дока¬
зано.
Переходим к доказательству свойства 3°. Рассмотрим от¬
дельно два случая: 1) случай, когда векторы а, b и с ком-
планарны^ 2) случай, когда эти векторы не компланарны.
В первом случае векторы а, b и с, будучи приведены к об¬
щему началу, располагаются в одной плоскости, которую мы
обозначим буквой л. Пусть е — единичный вектор, принадлежа¬
щий плоскости л и ортогональный к вектору с, a g— единичный
вектор, ортогональный к плоскости л и такой, что тройка ecg
является правой.
Согласно теореме 2.15
[ас] = преа • |c|g, [bc] = npeb • |c|g,	[(а 4-b) с] =
= npe(a + b) • | c |g.
Свойство 3° непосредственно вытекает из последних трех
формул и из линейного свойства проекции преа + преЬ==
= прДа + Ь) (п. 8 § 1).
Пусть теперь векторы а, b и с не компланарны. Так как три
вектора [(а + Ь)с], [ас] и [Ьс] ортогональны к вектору с, то
эти три вектора компланарны, а стало быть (в силу теоремы
2.5), линейно зависимы. Но это означает, что найдутся такие
числа X, ц и v, хотя бы одно из которых не нуль, что справед¬
ливо равенство
X [(а + Ь) с] = р, [ас] + v [Ьс].	(2.43)
Остается доказать, что X = ц и X = v*). Докажем, например,
что Х = ц. Для этого, пользуясь уже доказанным (в п. 3 § 2)
распределительным свойством 3° скалярного произведения,
умножим равенство (2.43) скалярно на вектор b и учтем, что
смешанное произведение [Ьс] Ь равно нулю (в силу следствия 3
из теоремы 2.16). В результате получим
X [(а + Ь) с] Ь = н [ас] Ь.
Поскольку векторы а, Ь и с не компланарны, смешанное произ¬
ведение [ас]Ь не равно нулю, и для доказательства равенства
X = |i достаточно доказать равенство смешанных произведе¬
ний [(a4~b)c]b и [ас]Ь. Равенство абсолютных величин ука¬
занных смешанных произведений вытекает из того, что (в силу
теоремы 2.16) эти абсолютные величины равны объемам двух
*) Так как по условию хотя бы одно из указанных чисел отлично от
нуля, то, доказав, что А. = и — v, мы можем поделить равенство (2.43) на
число Z « |х = v, в результате чего получим свойство 3°.

§ 3J
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
71
ТОГО,
что любой вектор а
параллелепипедов с равновеликими основаниями*) (на рис. 2.21
эти равновеликие основания заштрихованы штрихами разных
наклонов) и с общей высотой h, опущенной из конца вектора с
(рис. 2.21).
Равенство знаков указанных смешанных произведений вы¬
текает из определения правой (левой) тройки с помощью
условия 3° (см. п. 1), ибо из
этого условия **) очевидно, что
тройки асЬ и (a-J-b)cb одной ори¬
ентации. Равенство Х=ц доказано.
Аналогично (посредством умно¬
жения (2.43) скалярно на вектор
а) доказывается равенство % = v.
Свойство 3° полностью доказано.
Остается доказать свойство
4°, утверждающее, что векторный
квадрат любого вектора равен ну¬
лю, но это свойство непосредствен¬
но вытекает из теоремы 2.13 и из
коллинеарен сам с собой.
Замечание. Оба свойства 2°
менительно к п е.р в о м у сомножителю векторного произведи
ния. (Свойство 2° утверждает возможность сочетания числового
множителя а с первым множителем векторного произведе¬
ния, а свойство 3° утверждает возможность распределения от¬
носительно суммы векторов первого сомножителя вектор¬
ного произведения.)
Естественно возникает вопрос, справедливы ли аналогичные
свойства применительно ко второму сомножителю вектор¬
ного произведения, т. е. можно ли утверждать, что
[a (ab)] = а [ab] и [а (Ь + с)] = [ab] + [ас].
и Зэ
формулируются при-
е-
(2.44)
Оказывается, свойства (2.44) уже являются следствия-
м и свойств 2° и 3° и свойства антиперестановочности 1°. В са¬
мом деле, из свойств 1°, 2° и 3° вытекает, что
[a (ab)] = — [(ab) а] = — а [ba] = а [ab]
и аналогично
[а (Ь + с)] = - [(Ь + с) а] = - {[Ьа] + [са]} = [аЪ] + [ас].
*) Основанием одного параллелепипеда служит параллелограмм, по¬
строенный на векторах а и Ь, а другого — параллелограмм, построенный на
векторах а + b и Ь. Равновеликость указанных параллелограммов вытекает
из того, что они имеют общее основание, совпадающее с вектором Ь, и об¬
щую высоту, опушенную из конца вектора а + b на вектор Ь.
**) А также из того, что вектор а + b лежит в одной плоскости с век¬
торами а и Ь, причем «между ними».

72
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. 2
В заключение отметим, что доказанные свойства имеют фун¬
даментальное значение. Они позволяют при векторном пере¬
множении векторных многочленов выполнять действия почленно
и производить сочетание числовых множителей (но при этом
необходимо либо сохранять порядок векторных множителей,
либо при изменении этого порядка менять знак на противопо¬
ложный}).
В следующем пункте мы будем существенно использовать
эти свойства.
6.	Выражение векторного произведения в декартовых коор¬
динатах.
Теорема 2.17. Если два вектора а и b определены своими
декартовыми прямоугольными координатами
a = {Xb ZJ, b = (Z2, У2, Z2},
то векторное произведение этих векторов имеет вид
[ab] —{YXZ2 — Y2Z19 ZxX2 —Z2Xit	(2.45)
Для запоминания формулы (2.45) удобно использовать сим¬
вол определителя *) и переписать эту формулу в виде
[ab] =
х,
х2
1
Yt
Y2
k
Z,
Z2
(2.45')
Раскрывая определитель, стоящий в правой части (2.45')', по
элементам первой строки, мы получим разложение вектора [ab]|
по базису i, j, к, эквивалентное (2.45).
Доказательство теоремы 2.17. Составим из тройки
базисных векторов i, j и к все возможные пары и для каждой
из пар подсчитаем векторное произведение. Учитывая, что ба¬
зисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую трой¬
ку и имеют единичную длину, получим **)
[И] = О,
[ij]	= k,
[ik]	= -j,
[ji] = —k,
[j jl = 0,
[jk] = i,
[ki]	= j,
[kj]	= -i,
[kk]	= 0.
(2.46)
Далее, принимая во внимание, что а = A\i Ц-Kij Ч~ Zik, Ь =
= %2i + ^2j + Z2k, и опираясь на установленную в предыду¬
щем пункте возможность почленного векторного перемножения
*) Теория определителей второго и третьего порядков изложена в До¬
полнении к главе 1.
**) При этом мы учитываем также, что векторный квадрат вектора ра¬
вен нулю (свойство 4° из п. 5), и принимаем во внимание, что, поскольку
тройка ijk является правой, обе тройки jki и kij являются правыми, а все
три тройки jik, ikj и kji — левыми (см. п. 1, формулы (2.36) и (2.37)),

§ 3]
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
73
векторных многочленов, получим
[ab] = Х{Х2 [ii] + X,Y2 [ij] + XrZ2 [ik] + Y{X2 [ji] + Y.Y2 [jj] +
+ Y,Z2 [ jk] + ZxX2 [id] + z{y2 [kj] + Z.Z2 [kk].
Из последнего равенства и соотношений (2.46) вытекает раз¬
ложение
[ab] = (Y{Z2 - Y2Z{) i + (Z{X2 - Z2XJ j + (XJ2 - X2YJ k,
эквивалентное равенству (2.45). Теорема доказана.
Следствие. Если два вектора а = Уь Z\} и Ь= {Х2,
коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т. е.
х2 r2 Z2 •
Заметим, что в знаменателях последних равенств могут стоять
нули. Чтобы обойти эту трудность, мы раз и навсегда догово¬
римся всякую пропорцию a/b — c/d понимать в смысле равен¬
ства ad = be.
Для доказательства следствия достаточно заметить, что из
равенства нулю векторного произведения и из формулы (2.45)
вытекают равенства
ytz2 = y2zb Z,X2 = Z2X{, XJ2 = X2Yi9
которые в силу сделанного выше замечания эквивалентны до¬
казываемым пропорциям.
7.	Выражение смешанного произведения в декартовых коор¬
динатах.
Теорема 2.18. Если три вектора а, b и с определены своими
декартовыми прямоугольными координатами
а = {Хь Гь Z,}. b = U2, Yz, Z2}, с —{X3, У3, Z3},
то смешанное произведение abc равняется определителю, строки
которого соответственно равны координатам перемножаемых
векторов, т. е.
abc —
х2
х3
У> Z1
у2 Z2
Уз Z3
(2.47)
Доказательство. Так как смешанное произведение abc
равно скалярному произведению векторов [ab] и с и поскольку
координаты вектора [ab] определяются формулой (2.45)', а ко¬
ординаты с равны {Аз, Уз, Z3}, то в силу выражения (2.33) для
скалярного произведения векторов в координатах получим
abc = Х3 (У^2 - y2ZJ + У3 (X2Z{ - X,Z2) + Z3 (X{Y2 - Х^).
Если воспользоваться выражением для определителя вто¬
рого порядка и символом такого определителя, то последнее

74
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
(ГЛ. 2
выражение можно переписать в виде
*1 I I 7 I *!
Z2|+ 3|*2
abc = X3 И/
Zi| v 1*1
z2|	31*2
(2.48)
I
Г 2 I
Формулы (2.47) и (2.48) эвивалентны, ибо при разложении
определителя, стоящего в правой части (2.47), по третьей стро¬
ке получается выражение, стоящее в правой части (2.48)*)*
Теорема доказана.
Следствие. Необходимым и достаточным условием компла¬
нарности трех векторов а= {*i, Ki,Zi}, Ь = {Х2, Уг, *2} и с =
= {Х3, Уз, Z3} является равенство нулю определителя, строка¬
ми которого служат координаты этих векторов, т. е. равенство
*1 Ki Z1
х2 y2 z2
Х3 Уз z3
= 0.
В самом деле, достаточно привлечь следствие 2 из теоре¬
мы 2.16 и воспользоваться формулой (2.47).
8.	Двойное векторное произведение. Пусть даны три произ¬
вольных вектора а, b и с. Если вектор b векторно умножается
на вектор с, а вектор а также векторно умножается на вектор¬
ное произведение [Ьс], то получающийся при этом вектор
[а[Ьс]] называется двойным векторным произведе¬
нием.
Теорема 2.19. Для любых векторов а, Ь и с справедлива
формула **)
[a[bc]] = b(ac) —с(аЬ).	(2.49)
Доказательство. Рассмотрим отдельно два случая:
1) векторы b и с коллинеарны', 2) векторы b и с не колли¬
неарны.
В первом случае обозначим через с0 орт вектора с и учтем,
что с = |с[ - Со, b = ±|Ь| - со, где знак плюс берется для случая,
когда векторы b и с одинаково направлены, а знак минус — для
случая, когда b и с противоположно направлены. С помощью
этих формул для сиЬ получим, что b(ac) —c(ab) = О***), т. е.
правая часть (2.49) равна нулю. Но и левая часть (2.49) равна
нулю, ибо векторное произведение [Ьс] двух коллинеарных век¬
торов равно нулю. Для первого случая теорема доказана.
*) См. формулу (Д1.16) из п. 5 Дополнения к главе 1.
**) Для запоминания этой формулы удобно следующее правило:
двойное векторное произведение равно среднему вектору, умноженному на
скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего
произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных. Это
правило годится и для случая, когда внутреннее векторное произведение от¬
носится к первым двум векторам: с его помощью получается следующая
формула [[ab]c] = Ь(ас)—а(Ьс), являющаяся следствием (2.49).
***) В самом деле, элементарный подсчет показывает, что хак Ь(ас), так
и c(ab) равно ±]Ь[ • |с| • (ас0) «Со,

§ 3J	ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ	75
Переходим к доказательству теоремы для случая, когда век¬
торы b и с не коллинеарны. Так как вектор [а [Ьс] ] ортогонален
вектору [Ьс], а последний ортогонален плоскости, определяе¬
мой векторами Ь и с, то векторы [a[bc]], b и с компланарны,
а поэтому (в силу следствия 1 из теоремы 2.5) вектор [а [Ьс] ]
можно разложить по двум неколлинеарным векторам Ь и с как
по базису, т. е. найдутся вещественные числа а и Р такие, что
[a [be] ] = ab + рс.	(2.50)
Остается доказать, что а = ас, [3 = —ab. Докажем, например,
что а = ас. Воспользуемся теоремой 2.15. Для этого обозначим
буквой л плоскость, определяемую векторами Ь и с, буквой е —
единичный вектор, лежащий в л и ортогональный к с, буквой
g— единичный вектор, ортогональный плоскости л и такой, что
тройка ecg является правой. По теореме 2.15
[Ьс] = преЬ • | с | • g.	(2.51)
Если со — орт вектора с, то правая тройка ecog образует де¬
картов прямоугольный базис. Разложим вектор а по этому ба¬
зису, учитывая, что координаты равны проекциям вектора а на
базисные векторы:
а = е • пре а + с0 • прс а + g • npg а.	(2.52)
Умножая векторно (2.52) на (2.51) и учитывая, что [eg] = —со,
[cog] = е, [gg] = 0 (сравните с формулами (2.46)), получим
[а [Ьс] ] = —-сэ • пр. а • пре Ь • |с| 4~е • пре а • прбЬ • |с|. (2.53)
Сравнивая формулы (2.50) и (2.53), будем иметь
ab + рс = — с0 • пр, а • пре Ь • | с | + е • прс а • пре Ь • | с |. (2.54)
Остается умножить обе части (2.54) скалярно на е и учесть,
что Ье = преЬ, сое = 0, ее = 1. Окончательно получим
а • пре b = пре а • пре Ь • | с | или а = 1 с | • пре а = ас.
Для доказательства равенства [3 — —ab следует в проведен¬
ных рассуждениях поменять ролями векторы с и Ь и учесть, что
[а [cb] = — [а [Ьс] ]. Теорема доказана.
Замечание. Дадим другое доказательство теоремы 2.19, основанное
на специальном выборе декартовой прямоугольной системы и на- непосред¬
ственном просчете в координатах всех выражений, участвующих в форму¬
ле (2.49). Направим ось Oz вдоль вектора с, а ось Оу возьмем в плоскости
векторов b и с. Тогда векторы а, b и с будут иметь следующие координаты:
а = {X, У, Z}, b = {0, У', Zz}, с = {0, 0, Z"}.
Применяя формулу для векторного произведения (2.45), будем иметь [Ьс] =
= {yzZ'z, 0, 0}, а отсюда по той же формуле (2.45)
[а [Ьс]] = {0, ZyzZ", - yy'Z'T	(2.55)
Далее, очевидно, что (ас) = ZZZ/, (ab) = У У' + ZZ', а поэтому
b (ас) = {0, y'ZZ", Z'ZZ"},	(2.56)
с (ab) == {0, 0, yy'Z" + ZZ'Z"}.	(2.57)
Из сопоставления равенств (2.55), (2.56) и (2.57) вытекает формула (2.49);<

ГЛАВА 3
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе устанавливаются формулы, по которым преоб¬
разуются координаты произвольной точки плоскости (или соот¬
ветственно пространства) при переходе от одной декартовой
прямоугольной системы к произвольной другой декартовой
прямоугольной системе.
Мы доказываем, что координаты произвольной точки отно¬
сительно первой системы являются линейными функциями ко¬
ординат той же точки М относительно второй системы.
Попутно мы устанавливаем, что если две дерактовы прямо¬
угольные системы на плоскости л (в пространстве} образованы
парами (тройками) одной ориентации, то одна из этих систем
может быть совмещена с другой посредством параллельного
переноса и последующего поворота на некоторый угол ф в пло¬
скости л (вокруг некоторой оси в пространстве) .
§ 1. Преобразование декартовых
прямоугольных координат на плоскости
Пусть на плоскости л заданы две произвольные декартовы
прямоугольные
системы координат: первая, определяемая
началом О и базисными векторами i и j,
и вторая, определяемая началом О'
и базисными векторами Г и j'
(рис. 3.1).
Поставим перед собой цель — выразить
координаты х и у произвольной точки М
плоскости л относительно первой систе¬
мы координат через координаты х' и у'
этой же точки М относительно второй
системы координат.
Заметим, что координаты х и у совпадают с координатами
вектора ОМ в разложении его по базису ij, а координаты х’
и у' совпадают с координатами вектора О'М в разложении его

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
77
§ 1]
по базису izjz, т. е.
ОМ = х\ + у],	(3.1)
О'М = х'\' + /j'.	(3.2)
Если обозначить через а и b координаты начала О' второй
системы относительно первой системы, то
ОО7 — al + Ь].	(3.3)
Так как любой вектор на плоскости л можно разложить по
базису ij, то найдутся числа ап, ai2, СС21 и а22 такие, что
i' = aHi + a12j, j' = a21i + .a22j.	(3.4)
В силу правила треугольника сложения векторов (см. рис. 3.1)
ОМ= ОО' + ОЖ	(3.5)
Вставляя в правую часть (3.2) значения iz и jz, определяемые
формулами (3.4), и после этого подставляя в (3.5) значения
ОМ, О'М и 00', определяемые формулами (3.1), (3.2) и (3.3),
и группируя слагаемые относительно i и j, получим *)
+ У] — (я + ссцх' + ^21^) i + (^ + сс12х' + «22//Э j« (3.6)
В силу единственности разложения вектора по базису из ра¬
венства (3.6) получим искомые формулы преобразования ко¬
ординат
х = а + апх' + а21у',
у = Ь + а12х' + а22у'.
Мы приходим к следующему замечательному выводу: ка¬
ковы бы ни были две произвольные декартовы системы на
плоскости л, координаты любой точки плоскости л относительно
первой системы являются линейными функциями коор¬
динат той же точки относительно второй системы.
Установив этот фундаментальный алгебраический факт, пе¬
рейдем к геометрической интерпретации полученных формул.
Для этого договоримся обозначать символом cos(ab) косинус
угла между векторами а и Ь. Помножая каждое из равенств
(3.4) скалярно сначала на i, а затем на j и учитывая, что И = 1,
jj = 1, ij = 0, получим **)
an = cos (i'i),	a12 = cos (i'j),	a21 = cos (j'i),	a22 = cos(j'j).
(3.8)
*) Возможность сгруппировать слагаемые относительно i и j вытекает
из свойств линейных операций над векторами (см. п. 2 § 1 главы 2).
**) Учитываем также, что скалярное произведение двух единичных век-»
торов равно косинусу угла между ними.

78
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3
Будем существенно различать следующие два случая: 1) слу¬
чай, когда базисные векторы направлены так, что оба кратчай¬
ших поворота от i к j и от Г к j' совершаются в одном направ¬
лении (либо оба по часовой стрелке, либо оба против часовой
стрелки); 2) случай, когда базисные векторы направлены так,
что кратчайшие повороты от i к j и от Г к j' совершаются в
противоположных направлениях.
В обоих случаях обозначим через ср угол между базисными
векторами i и Г, отсчитываемый в направлении, отвечающем
кратчайшему повороту от i к j. Тогда ап = cos ср.
В первом случае угол между базисными векторами j и j'
также равен ср, и поэтому первая система координат может быть
совмещена со второй посредством параллельного переноса
вдоль вектора QO'
и последующего поворота в плоскости л
вокруг начала на угол <р (этот случай изо¬
бражен на рис. 3.1).
Во втором случае угол между базис¬
ными векторами j и j7 равен л — qp и пер¬
вую систему координат невозможно совме¬
стить со второй посредством параллельного
переноса и поворота, не выводящего из
плоскости л (нужно еще изменить направ- ’
ление оси ординат на противоположное
или, что то же самое, взять изображение
плоскости л в плоском зеркале. Второй
случай изображен на рис. 3.2).
Пользуясь формулами (3.8), подсчитаем для обоих случаев
коэффициенты ап, ai2, a2i и а22 *)•
В первом случае получим: an = cos<p, a22 = cosqp, а12 =
₽= cos — ф) = sin Ф» a2i = cos (-у + ф) — “ sin qp.
Во втором случае получим: an = cosqp, а22 = соэ(л— ф) =
= — cos qp, а12 = cos (-j- — qp) = sin qp, а21 = cos — qp)=sin(p.
Таким образом, в первом случае формулы преобразова¬
ния координат (3.7) принимают вид
х = а + х' cos qp — у' sin qp, у — b + х' sin ср + yr cos ср. (3.9)
Во втором случае соответствующие формулы преобразо¬
вания принимают вид
х = а + x'coscp 4~ у' sin qp, у = b + х' sin qp — / cos qp. (3.10)
Если мы примем договоренность рассматривать только такие
системы координат, у которых кратчайший поворот от первого
*) Все углы отсчитываются в направлении, отвечающем кратчайшему
повороту от i к j.

§2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
79
базисного вектора ко второму происходит против часовой стрел¬
ки (будем называть такие системы правыми), то второй слу¬
чай будет исключен и любое преобразование координат будет
определяться формулами (3.9).
Приходим к выводу, что, каковы бы ни были две правые
системы координат Оху и О'х'у', первая из них может быть со¬
вмещена _со_ второй посредством параллельного переноса вдоль
вектора 00' и последующего поворота вокруг начала на не¬
который угол ф.
Разрешая уравнения (3.9) относительно х' и у', получим
обратные формулы, выражающие координаты х' и у' любой
точки М относительно второй системы через координаты ее
относительно первой системы*):
х' = (х — a) cos ф + {у — b) sin ф,
у' = — (х —- a) sin ф + (У — b) cos ф.
Общее преобразование координат (3.9) распадается на сум¬
му двух преобразований, одно из которых отвечает только па¬
раллельному переносу системы, а другое — только повороту
системы вокруг начала на угол ф.
В самом деле, полагая в формулах (3.9) угол поворота ф
равным нулю, получим формулы преобразования координат
при параллельном переносе системы вдоль вектора 00' =
= {а, Ь}:
х = а-{-х',	у = Ъ + у'-	(3.12)
Полагая в тех же формулах (3.9) координаты а и b век¬
тора 00' равными нулю, получим формулы преобразования, ко¬
ординат при повороте системы вокруг начала на угол ф (в на¬
правлении против часовой стрелки)
х = х' cos ф — у' sin ф, у = х' sin ф + у' cos ф. (3.13)
§ 2. Преобразование декартовых прямоугольных координат
в пространстве
1. Общие формулы преобразования. Пусть в пространстве
заданы две произвольные декартовы прямоугольные системы
координат: первая, определяемая началом О и базисными
векторами ijk, и вторая, определяемая началом О' и базис¬
ными векторами i'fk'.
Поставим перед собой цель — выразить координаты х, у и z
произвольной точки Л1 относительно первой системы через ко¬
ординаты xz, у' и z' этой же точки М относительно второй си¬
стемы.
*) Так как определитель системы (3.9) равен единице, то эту систему
можно разрешить относительно х' и у'.

80 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3
Заметим, что координаты х, у, z совпадают с координатами
вектора ОМ в разложении его по базису ijk, и координаты х',
у', zr совпадают с координатами вектора О'М в разложении
его по базису i'j'k', т. е.
О/И — xi + у] + zk,	(3.14)
ООЙ = x'i' + y'i' + z'k'.	(3.15)
Если обозначить через a, b и с координаты начала О' второй
системы относительно первой системы, то
O(y = ai + &j + ck.	(3.16)
Так как любой вектор можно разложить по базису ijk, то пай-»
дутся девять чисел aim (I = 1, 2, 3; т — 1, 2, 3) таких, что
i' = ani + a12j + a13k, j' = a21i + a22j + a23k, k' = a31i + a32j + a33k.
(3.17)
В силу правила треугольника сложения векторов
ОМ = ОО' +(УМ.	(3.18)
Вставляя в правую часть (3.15) значения Г, j' и к', опреде¬
ляемые формулами (3.17), и после этого подставляя в (3.18)'
значения ОМ, О'М и 00', определяемые формулами (3.14),
(3.15) и (3.16), и группируя слагаемые относительно i, j и к,
получим
xi у\ + zk = (а + сад' + сад' + сад') i +
+ (b + сад' + сад' + сад') j + (с + Щзх' + а2зУ' + ОззУ') к. (3.19)
В силу единственности разложения вектора по базису из
равенства (3.19) получим искомые формулы преобразования ко¬
ордината
я = я + «нл/ + (*21*/ + a31Z,
У = ь + сад' + сад' + сад',	(3.20)
z = с + сад' + а23у' + а33г'.
Итак, доказано следующее фундаментальное утвержде¬
ние: каковы бы ни были две произвольные декартовы прямо¬
угольные системы координат, координаты х, у и z любой точки
пространства относительно первой системы являются линей¬
ными функциями координат х', у' и z' той же точки относи¬
тельно второй системы.
Умножая каждое из равенств (3.17)' скалярно сначала на i,
а затем на j и на к, получим следующие выражения для

§2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
81
чисел
а13 = cos (i'k),
а23 = cos (fk),
а33 = cos (k'k).
2.
относительно пер-
т
ПЛОСКОСТИ Ох'у' ОТ
aifn-
«и = cos (И),	a12 = cos (i'j),
a21 = cos (j'i),	a22 = cos (j'j),
a31 = cos (kzi), a32 = cos (k'j),
Выяснение геометрического смысла. Углы Эйлера. Уясним
геометрический смысл формул преобразования (3.20). Для вы¬
числения чисел aim и их геометрического значения предполо¬
жим, что первая и вторая системы имеют общее начало (т. е.
а = Ь = с = 0).
Ради определенности будем считать, что обе системы Oxyz
и Ox'y'z' являются правыми.
Введем в рассмотрение три угла, полностью характери¬
зующие расположение осей второй системы
вой. Обозначим через и ось, совпадающую
с линией пересечения координатной пло¬
скости Оху первой системы с координатной
плоскостью Ох'у' второй системы и на¬
правленную так, что три направления Oz,
Oz' и и образуют правую тройку
(рис. 3.3).
Пусть теперь ф — угол между осями Ох
и и, отсчитываемый в. плоскости Оху от
оси Ох в направлении кратчайшего пово¬
рота от Ох к Оу, 0 — не превосходящий л
угол между осями Oz и Oz' и, наконец, ср —
угол между осями и и Ох', отсчитываемый в
оси и в направлении кратчайшего поворота от Ох' к Оу'.
Три угла ф, ф и 0 называются углами Эйлера*). Очевидно,
по трем углам Эйлера и по направлениям осей Ох, Оу и Oz
однозначно определяются направления осей Ох', Оу' и Oz'.
Если заданы три угла Эйлера, то преобразование первой
системы Oxyz во вторую систему Ox'y'z Можно представить
в виде последовательного проведения следующих трех поворо¬
тов:
1)	поворота системы Oxyz на угол *ф вокруг оси Oz, пере¬
водящего эту систему в систему Ox\y\Z\ (рис. 3.4);
2)	поворота системы Ox\y\Zi на угол 0 вокруг оси Ох\, пе¬
реводящего эту систему в систему Ох2у^2 (рис. 3.5);
3)	поворота системы Ох2г/2^2 на угол ф вокруг оси Oz2 =
= Oz', переводящего эту систему в систему Ox'y'z' (рис. 3.6).
Каждый из указанных трех поворотов производится в одной
из координатных плоскостей соответствующей системы. Поэто-
*) Леонард Эйлер (1707—1783)—великий математик, член Петербург¬
ской Академии наук, большую часть жизни провел в России, по происхожде¬
нию швейцарец.

82 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3
му для соответствующих координат при каждом таком повороте
будут справедливы формулы вида (3.13) (см. § 1).
Это позволяет написать следующие формулы:
1)	для первого поворота
х = Xi cos ф — у{ sin ф, у = х{ sin ф + У\ cos ф, z = z{} (3.21)
2)	для второго поворота
*i=*2, У\ = У2 cosO — г2 sin 9, z{ = у2 sin 0 + ^2 cos 9; (3.22)
3)	для третьего поворота
х2 = х' cos ф — у' sin ф, у2 — х' sin ф + yr cos ф, z2 = z'. (3.23)
Внося (3.23) в (3.22), а затем (3.22)’ в (3.21), получим
х = (х' cos ф — у' sin ф) cos ф —
— [(Z sin ф + у' cos ф) cos 0 — z' sin 0] sin ф,
у = (%z cos ф — у' sin ф) sin ф +	(3.24)
+ [(*' sin ф + у' cos ф) cos 0 — zf sin 0] cos ф,
z = (x' sin ф + y' cos ф) sin 0 + zr cos 0.
Сравнивая формулы (3.24) с формулами (3.20) (при а —
— Ь = с — 0), окончательно получим выражения для чисел ctz™
через углы Эйлера:
аи — cos ф cos ф — sin ф cos 0 sin ф,
а12 = sin ф cos ф + cos ф cos 0 sin ф,
а13 = sin 0 sin ф,
а21 = — cos ф sin ф —- sin ф cos 0 cos ф,
а22 = — sin ф sin ф + cos ф cos 0 cos ф,	(3.25)
а23= sin 0 cos ф,
а31 = sin ф sin 0,
а32 = — cos ф sin 0,
а33 — cos 0.
Для вывода формул (3.25)' мы использовали допущение, что
обе системы имеют общее начало. Разумеется, отказ от этого
допущения не изменит вида формул (3.25), ибо ни направление
$3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
83
осей координат, ни величина углов Эйлера не зависит от того,
где выбрано начало первой и второй систем.
Самое общее преобразование координат представляет собой
суперпозицию (последовательное проведение) параллельного
переноса и трех производимых в соответствующих координат¬
ных плоскостях поворотов и определяется формулами (3.20),
в которых (при условии, что обе системы являются правыми)
числа aim выражаются через углы Эйлера по формулам (3.25).
Формулы, аналогичные (3.25), могут быть получены и для
случая, когда системы Oxyz и O'x'y'z' либо обе являются ле¬
выми, либо имеют разную ориентацию.
Замечание. Если Oxyz и O'x'y'z' — две произвольные
правые декартовы прямоугольные системы в пространстве, то
первая из них может быть совмещена со второй посредством
параллельного переноса, совмещающего их начала, и одного
поворота вокруг некоторой оси в пространстве.
Для нахождения указанной оси, во-первых, учтем, что она
проходит через общее начало О' совмещенных посредством па¬
раллельного переноса систем (ибо это начало остается непо¬
движным при повороте), и, во-вторых, заметим, что если О'М'—
произвольный вектор, лежащий на искомой оси вращения, то
координаты точки М' не изменяются при повороте.
Отсюда вытекает, что для нахождения координат х', у' и z'
точки М' в системе O'x'y'z' следует в системе (3.20) (взятой
при а = b = с = 0) положить х — х', у = у', z = z'. Это при¬
ведет нас к следующей однородной системе трех уравнений
с тремя неизвестными:
(ап — 1) х' + а21/ + a31z' = 0,
CtjgX + (а22 О У 4“ а32^ = 0,	(3.26)
<*13^ 4“ ®2ЪУ' 4- (а33	1) 2х = 0.
С помощью формул (3.25) можно показать, что определитель
этой системы равен нулю. Стало быть, в силу п. 8 Дополнения
к главе 1 система (3.26) имеет нетривиальные решения, кото¬
рые определяют совокупность коллинеарных векторов О'М', ле¬
жащих на оси вращения.

Одним из таких векторов будет вектор О'М' = {х', у', 1},
координаты х' и у' которого определяются из первых двух
уравнений (3.26) при z' = 1.
§ 3. Линейные преобразования
1.	Понятие линейных преобразований плоскости. Линейным
преобразованием плоскости л называется преобразование, при
котором каждая точка М (х, у\ этой плоскости переходит в
84 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3
точку М', координаты х', у' которой определяются формулами
х' = апх + а12у + 013,
у'= а21х + а22у + а23.
(3.27)
Обычно говорят, что соотношения (3.27) задают линейное пре¬
образование плоскости. Определитель
012 I
022 I
(3.28)
называется определителем линейного преобразования (3.27).
В случае А =И= О преобразование (3.27) называется невырож¬
денным, а в случае А = 0 — вырожденным. Мы в дальнейшем
будем рассматривать невырожденные линейные преобразова¬
ния, т. е. будем считать А=#0*). Такие линейные преобразова¬
ния называются аффинными.
Замечание. Наименование линейное преобразование объ¬
ясняется тем, что координаты л/, у' точек М' — образов точек
М(%, у\ (сами эти точки называются прообразами точек М')
являются линейными функциями координат х, у. Отметим, что
определение линейных преобразований инвариантно относи¬
тельно выбора декартовой системы координат, поскольку коор¬
динаты точки в одной декартовой системе координат выра¬
жаются линейно через ее координаты в любой другой декарто¬
вой системе координат.
2.	Аффинные преобразования плоскости. В предыдущем
пункте мы отметили, что аффинные преобразования плоско¬
сти— это линейные преобразования (3.27), для которых А Ф 0.
Перечислим некоторые свойства таких преобразований.
1°. Последовательное выполнение двух аффинных преобразо¬
ваний является аффинным преобразованием.
Это свойство проверяется непосредственно.
2°. Тождественное преобразование х' = х, у' = у также яв¬
ляется аффинным.
Действительно, для этого преобразования
Д==|о
3°. Преобразование, обратное данному аффинному (т. е. пре¬
образование плоскости л, переводящее точки М'(х',у'\ в точки
М (х, у)), также является аффинным.
*) Если Д = 0, то с помощью преобразования (3.27) все точки М(х, у)
плоскости л преобразуются в точки М'(х', у'), расположенные на некоторой
прямой. Действительно, если А = 0, то ац = Z021, 021 = \а22. Поэтому, если
мы умножим на —Л второе из соотношений (3.27) и сложим с первым, то
получим х' — Ку' = ai3 — 2i023. Мы видим, что координаты х', у' точек М'
удовлетворяют линейному уравнению, т. е. все точки М' лежат на прямой.

§ з]
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
85
Докажем это свойство. Обратное преобразование может
быть получено следующим образом. Найдем х и у из соотно¬
шений (3.27). Для этого перепишем их следующим образом:
а[{х + а]2у = х' — а13,
а21х 4- а22у = у' — а2з-
Решение этой системы имеет такой вид:
х Дл/Д, у &у/Д,
где
Д = |а“ «121^0, Ax = |x'_“13 а,2|,	Д=|а"
I «21	«22 I	I У — «23	«22 I	У I «21
(3.29)
х' — а131
У' — «23 I
"(см. Дополнение к главе 1, формулы (Д1.8) и (Д1.6)). Рас¬
кроем выражения для Дх и &у по формуле (Д1.2) и подставим
полученные значения в (3.29). Получим следующие выражения
для обратного преобразования:
	а22
“ д *
(3.30)
Видим, что обратное преобразование является линейным. Чтобы
убедиться, что оно является аффинным, остается доказать, что
его определитель Д' =^= 0. В самом деле,
Д' =
«22 	 «12
д	д
	 Д21	6711
д	д
«11«22— «12«21   А   1	П
Д2	Д2	Д	U
Итак, доказано, что преобразование, обратное данному аф¬
финному, также является аффинным.
4°. Аффинное преобразование представляет собой взаимно
однозначное преобразование плоскости.
Это означает, что каждая точка М'(х',у') есть образ един¬
ственной точки М(х, у) и в свою очередь каждая точка 7И(х, у)
представляет собой прообраз лишь одной точки ЛГ(х',у').
Докажем это свойство. Предположим, что две точки М (х, у)]
и М(х,у) преобразуются с помощью (3.27) в одну точку
М'(х',у'). Тогда путем вычитания из соотношений (3.27) ана¬
логичных соотношений для координат х, у точки М получим
следующую систему линейных уравнений для разностей х — х,
У — У-
«и (х — х) + а12 (у — у) = о,
a2i (х — х) + а22 (у — у) = 0.

86 преобразование декартовых прямоугольных координат [ГЛ. 3
Эта система имеет нулевое решение х— х — 0, у — у = 0, а так
как ее определитель А = |^12| ¥=0, то это нулевое решение
единственно. Итак, х = х, у = у, т. е. точки М и М совпадают.
Таким образом, каждая точка М'(х',у') есть образ единствен¬
ной точки М(х,у). Обращаясь к формулам (3.30), путем ана¬
логичных рассуждений мы убедимся, что каждая точка М(х,у)
представляет собой прообраз лишь одной точки М'(х\у').
3.	Основное свойство аффинных преобразований плоскости.
Докажем следующее утверждение:
Теорема 3.1. При аффинном преобразовании плоскости каж¬
дая прямая переходит в прямую и параллельные прямые пере¬
ходят в параллельные прямые.
Доказательство. Рассмотрим на плоскости л прямую
L, определяемую уравнением
Ax + By + C = Q.	(3.31)
Чтобы выяснить, что представляет собой совокупность точек
Л4/(х/, у') — образов точек М(х, у), расположенных на прямой
L, — подставим в уравнение (3.31) вместо хну их выражения
через х', у' по формулам (3.30). В результате получим соотно¬
шение вида
А'х' + В'у' + С' = 0.	(3.32)
Мы видим, что х' и у' удовлетворяют линейному уравнению
(3.32), т. е. точки /ИДх', у') расположены на прямой Z/, опре¬
деляемой уравнением (3.32).
Итак, доказано, что все точки прямой L при аффинном пре¬
образовании (3.27) переходят в точки прямой L'. Так как при
обратном аффинном преобразовании (3.30) все точки прямой
L' перейдут в точки прямой L, то в силу взаимной однознач¬
ности аффинного преобразования (см. п. 2, свойство 4°), пря¬
мая L переходит в прямую L'. Итак, при аффинном преобразо¬
вании прямая переходит в прямую.
Перейдем к доказательству второй части теоремы. Пусть L\
и Л2— параллельные прямые, a L\ и Ь'2 — их образы при аф¬
финном преобразовании (3.27) плоскости л. Допустим, что пря¬
мые L' и L2 имеют общую точку М'. Так как аффинное преоб¬
разование взаимно однозначно, то М'— образ только одной
точки М, причем М должна принадлежать и и L2, что не¬
возможно, поскольку Li и L2 параллельны. Следовательно,
L' и L'2 не имеют общих точек, т. е. параллельны. Теорема до¬
казана.
Естественно поставить вопрос о геометрическом способе за¬
дания аффинного преобразования плоскости. Определенный от¬
вет на этот вопрос дает следующее утверждение:

§3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
87
Теорема 3.2. Аффинное преобразование плоскости опреде¬
лено однозначно, если заданы образы трех точек, не лежащих
на одной прямой и эти образы также не располагаются на од¬
ной прямой.
Доказательство. Пусть точки Mi (хь у\), М2(х2, у2\
Мз(хз,уз) плоскости л не лежат на одной прямой и точки
ЛГ (*i>	М(Х’ Уз) эт°й плоскости также не ле¬
жат на одной прямой. Убедимся, что существует единственное
аффинное преобразование плоскости л, переводящее точки Mi,
М2, Мз в точки Мр М'2, М3 соответственно.
Пусть искомое аффинное преобразование задается соотно¬
шениями (3.27) с неизвестными коэффициентами ац, ai2, ai3,
а21, а22, а2з. Докажем, что при наших предположениях эти ко¬
эффициенты определяются однозначно и, кроме того, определи¬
тель Д, вычисленный по формуле (3.28), отличен от нуля. Этим,
очевидно, и будет завершено доказательство теоремы.
С помощью первой из формул (3.27) получим соотношения
*1 = а[АХ\	^13’
Z = 6z11x2 + ai2z/2 + a13,	(3.33)
хз = апхз + а12Уз + аы
которые можно рассматривать как систему трех линейных урав¬
нений относительно неизвестных ап, ai2, 01з- Определитель этой
системы
Х1
У1
1
х2
У2
1
Хз
Уз
1
| *2 ““ *1
I *3 “ *1
У2-уА
Уз — У1\
(3.34)
отличен от нуля, так как по абсолютной величине равен пло¬
щади параллелограмма, построенного на неколлинеарных век¬
торах М{М2 и М}Мз *). «Поэтому система (3.33) однозначно раз¬
решима относительно ац, а\2 и ai3. Обращаясь ко второй из
формул (3.27), с помощью аналогичных рассуждений убедимся,
что и величины a2i, a22 и a23 определяются однозначно. Таким
образом, однозначно определяется линейное преобразование
(3.27), переводящее точки Mi, М2 и М3 соответственно в точки
Л4р М' и М'3. Остается доказать, что определитель Д (см. (3.28))
полученного преобразования отличен от нуля.' Обратимся к
	*) Так как точки Mif М2 и Мз не лежат на одной прямой, то векторы
MiM2 и 2WiAf3 не коллинеарны. В системе координат Oxyz (ось Oz перпенди¬
кулярна плоскости л) эти векторы соответственно имеют координаты [х2 — Xi,
У2 — «/1, 0} и {хз — х^ уз — yi, 0}. Поэтому модуль векторного произведения
этих векторов равен модулю определителя (3.34) и, как известно, равен пло¬
щади параллелограмма, построенного на данных векторах,

88 преобразование декартовых прямоугольных КООРДИНАТ [ГЛ. 3
определителю
г г г г
х2 — Х{ у2~
*3_Х1
(3.35)
Этот определитель отличен от нуля, так как по абсолютной ве¬
личине равен площади параллелограмма, построенного на не¬
коллинеарных векторах М'М' и	*). С помощью первой из
формул (3.27) получим для элемента х'2 х' определителя
(3.35) следующее выражение:
*2 “ Х1 = «11 (Х2 ~ Х1) + «12 (У2 ~
Аналогичные выражения получим с помощью формул (3.27) и
для остальных элементов определителя (3.35). Подставляя най¬
денные выражения для х'2 — х', у'2 — у'{, х'3 — х\ и у'3 — у'{в (3.35),
после несложных преобразований получим
Г	Г Г	Г
Х2 —	Z/2 “ У\
*з~х1 Уз~У\
«11 «12	1*2 —*1 Уг — Ух
«21 «22 I ’ 1*3 — *1 Уз — У\
(3.36)
Так как определители
Г г г /
Х2~Х1 &2~У1 I *2 — *1 У2— Ух I
*3 - Х1 Уз - y'l ’ I хз - *1 Уз - yi I
отличны от нуля, то из (3.36) следует, что и Д= 011 612 =4=0.
I «21	«22 |
Теорема доказана.
Замечание. Аффинное преобразование, для которого
Д = i 11 6712 = 1, называется эквиаффинным, т. е. сохраняющим
I «21	«22 I
площади. Для таких преобразований соотношение (3.36) озна¬
чает равенство площадей параллелограммов, построенных на
векторах М{М2 и М{М3 и на векторах М'М2 и
4.	Основной инвариант аффинного преобразования плоскости.
Простым отношением трех точек А, В и С на прямой L назы¬
вается число
д R
(АВС) = ~,	(3.37)
которое, очевидно, равно отношению, в котором точка В делит
направленный отрезок АС.
Докажем следующее утверждение:
Теорема 3.3. Простое отношение трех точек на прямой яв¬
ляется инвариантом аффинного преобразования.
*) Эти векторы неколлинеарны, так как точки м{, М2 и ЛТ3 не лежат
на одной прямой, См. предыдущую сноску.

5 3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ,
89
Иными словами, простое отношение трех точек на прямой
не меняется при аффинных преобразованиях.
Доказательство. Рассмотрим три точки А(х\9у\]$
В(х2,у2) и С(х3, у3) на прямой L. Из формул (1.11) главы 1 для
координат точки, делящей отрезок АС в отношении X = АВ/ВС,
получаем для рассматриваемого случая следующее выражение
для к:
Х2 — Х! _ у2 — Ух
*3 — *2 Уз — У2 ’
(3.38)
Пусть А' (х', у'), В' (х', у0 и С'(х', у') —образы точек А, В и
С соответственно при аффинном преобразовании (3.27)\ Точка
В' делит отрезок А'С' в отношении V, причем
/ /
х3-х2
(3.39)
(3.40)
Из (3.27) получаем
Х2 Х1= а\\ (Х2 Х1) й12 (#2 #1)’
хз - х2 = ап (*з “ хз) + «12 (г/3 “ У2)-
Из соотношений (3.38) получим, что х2 — Xi = к(хз — х2) и
у2— i/i = Mf/з — у2) • Подставляя найденные значения х2— Х\
и z/г — i/i в первую из формул (3.40), получим
х2 xl = X [аи (х3	х2) + а12 (z/3
Подставим теперь в числитель правой части (3.39)’ найденное
выражение для х'2 — х{, а в знаменатель — выражение для л' — х'2
(см. вторую формулу (3.40))'. После сокращения на ац(х3—
—	х2) + Я12(t/з — у2) получим X = V. Так как \ = АВ/ВС —
—	(АВС) иК' = А'В'/В'С' = (А'В'С') (см. (3.37)), то (АВС) =
= (А'В'С'), т. е. при аффинном преобразовании простое отноше¬
ние трех точек не меняется. Теорема доказана.
Замечание. Простое отношение трех точек называется
основным инвариантом аффинного преобразования, так как че¬
рез него могут быть выражены все другие инварианты аффин¬
ного преобразования.
5.	Аффинные преобразования пространства. Аффинным пре-
образованием пространства называется преобразование, при
котором каждая точка М(х, у, г) пространства переходит в точ-.
ку М', координаты х', у', z' которой определяются формулами
х' = ДцХ + а^у + aI3z + ам,
у' = а21х + а22у + a23z + а24,
z' = а31х + аггу -j- a^z -ф а31,
(3.41)

90 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3
причем определитель
#11
#12
#13
д=
#21
#22
#23
#31
#32
#33
считается отличным от нуля: А 0.
В полной аналогии со случаем плоскости доказываются сле¬
дующие свойства аффинных преобразований пространства:
Г. Последовательное выполнение аффинных преобразований
пространства является аффинным преобразованием простран¬
ства.
2°. Тождественное преобразование является аффинным.
3°. Преобразование, обратное данному аффинному, также
является аффинным.
4°. Аффинное преобразование пространства взаимно одно¬
значно.
Основное свойство аффинного преобразования пространства
формулируется следующим образом: при аффинном преобразо¬
вании пространства плоскости переходят в плоскости, прямые
в прямые, параллельные плоскости и прямые переходят в па¬
раллельные плоскости и прямые.
Геометрический способ задания аффинных преобразований
пространства основан на следующем утверждении: аффинное
преобразование пространства определено однозначно, если за¬
даны образы четырех точек, не лежащих на одной плоскости,
и эти образы также не лежат на одной плоскости.
Как и в случае плоскости, основным инвариантом аффинного
преобразования пространства служит простое отношение трех
точек.
6. Ортогональные преобразования. Линейное преобразование
на плоскости
хг = апх + ЩъУ + ^1з>	/п 4 .
/	I >	(3.42)
у =a2ix + a22ij + a2i	'
называется ортогональным, если выполняются соотношения
Яц = 1, ^12	^22 ~ 1 > ^11^12 “Ь ^21^22 ~	(3.43)
Из соотношений (3.43) следует, что
A = |an
| #21 #22 I
Поэтому ортогональное преобразование всегда является аф¬
финным. Докажем основное свойство ортогональных преобра¬
зований.
Теорема 3,4. При ортогональных преобразованиях сохра¬
няются расстояния между точками.

§
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
91
Доказательство. Пусть точки Mi(xi,t/l] и М2(х2,у2)'
посредством ортогонального преобразования (3.42)’ переводятся
соответственно в точки М' (х', у') и М'(х', у'). Требуется дока¬
зать, что отрезки ЛТ]М, и М'М' имеют равные длины. С по¬
мощью формул (3.42) и (3.43) получаем
= [«И (*2 — *1) + «12 (Уз — i/1)]2 -Г [«21 (*2 — *1) + а22(у2 — Уд]2 —
= (йц + a2i) (х2 xiY 1“ (а?2 4~ а22) {У2 Hi)" +
+ 2 («ц«12 + а21а22) (*2 — *1) (У2 — Уд =
= (х2 — хд2 + (у2 — уд2 = I AfjAf212.
Итак, |	= | Af'M'l. Теорема доказана.
Замечание. Так как при ортогональных преобразованиях
расстояния сохраняются, то любая фигура на плоскости пре¬
образуется в равную ей фигуру*). Иными словами, ортого¬
нальное преобразование на плоскости можно рассматривать
как движение этой плоскости. При движении ортогональная
система координат переходит в ортогональную систему коор¬
динат. Этим можно объяснить термин ортогональное преобра¬
зование.
Ортогональные преобразования обладают следующими свой¬
ствами **):
Г. Последовательное выполнение двух ортогональных пре¬
образований есть ортогональное преобразование.
2°. Тождественное преобразование х'= х, у' = у является
ортогональным преобразованием (для этого преобразования со¬
отношения (3.43), очевидно, выполняются).
3°. Преобразование, обратное ортогональному, также яв¬
ляется ортогональным.
Линейное преобразование в пространстве
хг = а[{х + а12г/ + а132 + а14,
у' = а21х + а22У + a^z + я24,	(3.44)
z = а31х + aZ2y + a^z + я34
называется ортогональным, если выполняются соотношения
^11 + ^21 +	1	1^12	"Ь	^21^22	+	^31^32
6X^2 “4“ а^ 4“	^32	1,	ПJо^1з	"4“	^22^23	^32^33	(3.45)
^3 + ^23 “Ь	^33 =	I ’	^13^11	^23^21	"И	^33^31 =
*) Например, любой треугольник преобразуется в равный треугольник
(равенство по трем сторонам).
**) Эти свойства становятся особенно наглядными, если рассматривать
ортогональное преобразование как движение.

92 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ [ГЛ. 3
Ортогональное преобразование является аффинным. Справед¬
ливо следующее основное свойство ортогональных преобразова¬
ний: при таких преобразованиях сохраняются расстояния между
точками. Доказательство может быть проведено в полной ана¬
логии с доказательством теоремы 3.4.
Ортогональные преобразования в пространстве обладают
следующими свойствами.
Г. Последовательное выполнение ортогональных, преобразо¬
ваний является ортогональным, преобразованием.
2°. Тождественное преобразование х'= х, у'= у, z' = z—
ортогональное преобразование.
3°. Преобразование, обратное ортогональному, также орто¬
гональное.
§ 4. Проективные преобразования
Проективными преобразованиями на плоскости называются
преобразования вида
Г _	+ «13	Г _ а2\% + &22У + «23	/д 4g\
«31х + а32у + «зз ’ У о.31х + а32у + а33 ’
коэффициенты ац которых удовлетворяют условию *)’
0Ц
021
031
012
022
«32
013
«23
033
=и=о.
При проективном преобразовании (3.46)' плоскости особую роль
играет прямая L, определяемая уравнением
«31* + а32у + «зз = 0.
Для точек этой прямой знаменатели в выражениях для х' и у'
(см. (3.46)) обращаются в нуль, и поэтому преобразование
(3.46) не определено для точек этой прямой.
Отметим, что проективное преобразование инвариантно от¬
носительно выбора декартовой системы координат, так как фор¬
мулы перехода от одной декартовой системы координат к дру¬
гой линейны и поэтому при переходе к новой системе коорди¬
нат вид преобразований (3.46) не меняется. Непосредственной
проверкой можно убедиться, что последовательное проведение
двух проективных преобразований является проективным пре¬
образованием, тождественное преобразование и преобразование,
обратное проективному, — также проективные преобразования.
При проективных преобразованиях точки, лежащие на прямой,
переходят в точки, также лежащие на прямой.
*) Геометрически это условие означает, что три прямые «цх+«12г/+«1з =
= 0, «21Х + а22у + «23 = 0 и «31% + а32у + «33 == 0 не пересекаются в одной
точке (см. п. 5 § 2 главы 3).

§ 4]
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
93
Основным инвариантом проективного преобразования яв¬
ляется так называемое сложное (ангармоническое) отношение
(ABCD) любых четырех точек А, В, С и D на прямой, которое
определяется как частное двух простых отношений:
(ABCD) = (АСВ): (ADB).
Инвариантность сложного отношения (ABCD) четырех точек
прямой может быть обоснована так же, как и инвариантность
простого отношения при аффинных преобразованиях.
Проективными преобразованиями в пространстве называют¬
ся преобразования вида
Д=и^ + о=121/ + д=1з^+ Д=14
«41Х + а^У + Л432 + Д44 *
+ а22у + Д2з£ + о=24
041Х + а^2У + Д=43^ 4- 0^44
»
а31Х + а3гУ + Дзз2 + Оз4
а41Х + ai2y + a43z + ai4
»
для которых четыре плоскости
аих + al2y + aI3z + а14 = О,
а21Х + а22у + а2уг + а24=
«31* + а32у + a32z + «34 = О,
а41х + а42у + а432 + а44 = О
не пересекаются в одной точке.
Отметим, что проективное преобразование в пространстве не
определено для точек плоскости, определяемой уравнением
+ а^у + я43г + а44 = 0.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что последо¬
вательное проведение двух проективных преобразований, тож¬
дественное преобразование и преобразование, обратное проек¬
тивному,— также проективные преобразования. При проектив¬
ных преобразованиях точки, лежащие в одной плоскости, пере¬
ходят в точки, также лежащие в одной плоскости, а точки, ле¬
жащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой.
Основным инвариантом проективного преобразования в про¬
странстве является сложное отношение (ABCD) = (ACB)\(ADB\
любых четырех точек Л, В, С и D на прямой.

ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЯ
ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе рассматривается один из важнейших вопросов
аналитической геометрии — вопрос об аналитическом представ¬
лении линии на плоскости и поверхности и линии в простран¬
стве при помощи уравнений, связывающих их координаты*).
Обсуждаются простейшие задачи, связанные с таким аналити¬
ческим представлением, и приводится классификация плоских
линий и поверхностей. Доказывается, что порядок алгебраиче¬
ской линии (и соответственно поверхности) не зависит от вы¬
бора декартовой прямоугольной системы.
§ 1. Уравнение линии на плоскости
1. Понятие об уравнении линии. Предположим, что на пло¬
скости л нам заданы: 1) декартова прямоугольная система ко¬
ординат Оху и 2) некоторая линия L. Рассмотрим некоторое
уравнение, связывающее две переменные величины х и у**)1
ф(х, Z/) = 0.	(4.1)
Определение. Уравнение (4.1) называется уравнением
'линии L (относительно заданной системы координат}, если
этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точ¬
ки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты х и у
ни одной точки, не лежащей на линии L.
С точки зрения этого определения сама линия L представ¬
ляет собой (в заданной системе координат) геометрическое
место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
(4-1 )•-

*) По поводу самого понятия линии (или соответственно поверхности)’
отсылаем читателя к главе И выпуска 1 настоящего курса.
**) Равенство Ф(х, у) = 0, где Ф(х, у) — заданная функция двух пере¬
менных хну, называется уравнением, если это равенство справедливо не для
всех пар вещественных чисел х, у. Равенство Ф(х, у) — 0, справедливое для
всех пар вещественных чисел х, у, называется тождеством,

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
95
§ п
Если (в заданной системе координат) рассматриваемое урав¬
нение вида (4.1) является уравнением линии А, то мы будем
говорить, что это уравнение определяет линию L.
Замечание. Нетрудно указать такое уравнение вида (4.1J,
которое либо определяет геометрический образ, отличный от
того, что мы привыкли понимать под термином «линия», либо
вообще не определяет никакого геометрического образа. Так,
уравнение х2.+ У2 = 0 определяет на плоскости Оху лишь одну
точку (0, 0), а уравнение х2 + у2 + 1 = 0 вообще не определяет
никакого геометрического образа. Для того чтобы уравнение
вида (4.1) определяло геометрический образ, отвечающий на¬
шему привычному представлению о линии, следует, вообще го¬
воря, подчинить функцию Ф(х, у) некоторым ограничениям (на¬
пример требованию однозначной разрешимости функциональ¬
ного уравнения (4.1)’ относительно одной из переменных). Эти
ограничения выясняются в курсе математического анализа (см.
выпуск 1, главу 15, § 2, п. 3) .
Пример. Убедимся в том, что уравнение
(х — а)2 + (у — Ь)2 = г2	(4.2)
является уравнением окружности радиуса г > 0 с центром в
точке Мо(а,&). В самом деле, точка Л4(х,у) лежит на указан¬
ной окружности тогда и только тогда, когда расстояние между
точками М(х,у) и Мо(а,Ь) равно г, т. е. тогда и только тогда,
когда квадрат расстояния между указанными точками
(х— а)2 +(у — Ь)2 равен г2. Таким образом, координаты любой
точки Л4(х, г/), лежащей на указанной окружности, удовлетво¬
ряют уравнению (4.2), а координаты любой точки, не лежащей
на указанной окружности, не удовлетворяют уравнению (4.2)'.
Уравнение окружности радиуса г > 0 с центром в начале
координат имеет более простой вид, а именно
x2+z/2 = r2.	(4.3)
2о Параметрическое представление линии. Для аналитиче¬
ского представления линии L часто бывает удобно выражать
переменные координаты х и у точек этой линии при помощи
третьей вспомогательной переменной (или параметра) t:
х = ф(/), y = ty(f),	(4.4)
где функции ф(0 и ф(/) предполагаются непрерывными по па¬
раметру t (в некоторой области {/} изменения этого параметра)1.
Исключение из двух уравнений (4.4) параметра t приводит
к рассмотренному выше уравнению вида (4.1)*) .
*) Такое исключение заведомо возможно, если хотя бы одна из функций
*=ср(^) или г/ = ф(/) имеет обратную (достаточные условия для этого см.
& п. 4 § 2 главы 15 выпуска 1).

96
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
[ГЛ. 4
Параметрическое представление линии на плоскости есте¬
ственно возникает, если эту линию рассматривать как путь,
пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по
определенному закону. В самом деле, если переменная t пред¬
ставляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального
момента, то задание закона движения и представляет собой за¬
дание координат х и у движущейся точки как некоторых не¬
прерывных функций х = <р(/) и у = ф(/) времени t. •
Примеры. 1) Установим параметрические уравнения
окружности радиуса г > 0 с центром в начале координат. Пусть
М(х, у) — любая точка этой окружности, a t — угол между ра¬
диусом-вектором ОМ и осью Ох, отсчитываемый против часо¬
вой стрелки (рис. 4.1) . Очевидно, что
x = rcos/, у = г sin/.	(4.5)
Уравнения (4.5)' и представляют собой параметрические урав¬
нения рассматриваемой окружности. Параметр t может прини¬
мать любые значения, но для того, чтобы точка М (х, у) один
раз обошла окружность, следует ограничить область изменения
параметра полусегментом О / <С 2л. Заметим, что для исклю¬
чения параметра t из уравнений (4.5) достаточно возвести в
квадрат и сложить эти уравнения; мы получим при этом урав¬
нение (4.3) предыдущего пункта.
2) Установим параметрические уравнения так называемой
циклоиды, которая определяется как путь, описываемый одной
из точек М окружности, катящейся без скольжения по непо¬
движной прямой. Примем за ось Ох декартовой прямоугольной
системы ту прямую, по которой катится окружность, за начало
координат — одну из точек, в которых точка М катящейся
окружности выходит на указанную прямую, и направим ось Оу
так, чтобы ее положительная полуось лежала по ту же сторону
от Ох, что и катящаяся окружность (рис. 4.2).
Фиксируем произвольное положение катящейся окружности
и обозначим для этого положения буквой С — центр, а буквой
А—точку касания с осью Ох. Примем за параметр t угол, на
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
97
§ И
который повернулась катящаяся окружность при перемещении
из положения с точкой касания в начале координат О в поло¬
жение с данной точкой касания А. Так как качение происходит
без скольжения, то О А = Rt, где R— радиус окружности.
В силу того, что декартовы прямоугольные координаты х и у
точки М равны проекциям вектора ОМ на оси координат (см.
п. 9 § 1 гл. 2), и в силу линейного свойства проекции вектора
на ось (см. п. 8 и 9 § 1 главы 2) получим
х = прх ОМ = пр% О А + прх АС + прх СМ,
у = пру ОМ = пр^ О А + пру АС + пр^ СМ,
Учитывая, что угол АСМ, отсчитываемый от вектора С А в на¬
правлении по часовой стрелке (рис. 4.2), может отличаться от
угла t лишь на величину, кратную 2л, будем иметь
прхОЛ = 7?/, прхЛС = 0, прх СМ = —- R sin t,
пр^ОЛ = 0, пр^ AC = R, пр^СТИ = — Rcost.
Вставляя эти значения в формулы (4.6), окончательно по¬
лучим параметрические уравнения циклоиды
х = R(t — sin /), у = R (lz— cos /).	(4.7)
Параметр t в уравнениях (4.7) может принимать какие угодно
значения.
Замечание. Часто линию L определяют не уравнением
(4.1), а разрешенным (например, относительно у) уравнением
y = fM.	(4.8)
Подчеркнем, что определение линии разрешенным уравнением
(4.8) представляет собой частный случай параметрического
определения этой линии (при х = t, у = f(i)).
3.	Уравнение линии в различных системах координат. Вид
уравнения линии L зависит не только от вида самой линии L,
но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется
как при переходе от одной декартовой системы координат
к другой, так и при переходе от декартовых к каким-нибудь
другим координатам.
Если (4.1) представляет собой уравнение линии L относи¬
тельно декартовой прямоугольной системы координат Оху, то,
чтобы получить уравнение той же линии L относительно любой
другой системы координат, достаточно подставить в (4.1) на
место х и у их выражения через новые координаты.
Так, например, линия L, определяемая в декартовой системе
Оху уравнением (4.1), в полярной системе*) будет опреде-
*) Конечно, при этом предполагается, что полюс совмещен с началом
декартовых координат, а полярная ось — с осью Ох.
4 В. А. Ильин, Э. Г. Позняк

98
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
(ГЛ 4
ляться уравнением
(Р, ф) = о»
где введено обозначение ФЦр, <р) = O(pcos<p, psincpj (см. фор¬
мулы перехода от декартовых координат к полярным; гла¬
ва 1, § 4).
Использование для определения некоторых линий недекар¬
товых систем координат объясняется тем, что уравнение линии
имеет при этом более простой вид.
Пример. Предположим, что ось и вращается (против ча¬
совой стрелки) вокруг неподвижной точки О и по этой вра¬
щающейся оси движется точка М так, что длина р вектора ОМ
пропорциональна
углу ср поворота оси и, отсчитываемому от
некоторой неподвижной оси Ох (рис. 4.3).
Линия, описываемая точкой М, называв
ется спиралью Архимеда.
Если ввести полярную систему координат,
поместив полюс в точку О и направив поляр¬
ную ось вдоль оси Ох, то по самому опреде¬
лению спирали Архимеда ее уравнение имеет
вид
р = шр,
(4.9)
где р — полярный радиус, ср — полярный угол, а — коэффициент
пропорциональности, который будем считать отличным от нуля.
На рис. 4.3 сплошной линией изображена часть спирали Архи¬
меда для случая а > 0, а штриховой линией — часть спирали
Архимеда для случая а < 0 *).
Уравнение (4.9) спирали Архимеда в полярной системе координат отли¬
чается чрезвычайной простотой. Для того чтобы читатель убедился, насколько
сложно выглядит уравнение той же спирали Архимеда в декартовой прямо¬
угольной системе, приведем это уравнение для случая а > 0. Имея в виду,
что
р = лД2 + */2, ф =
arctg-^- + 2пп
arctg ■— -j- л + 2пп
sgn у 2лп
при
х > 0,
при
X < 0,
при
х = 0,
где п = 0, ±1, ±2, мы получим, что для случая а > 0 спираль Архи¬
меда определяется следующей бесконечной системой уравнений (номер п
*) Конечно, при неограниченном изменении угла ср (в случае а > 0 в
положительную, а в случае а < 0 в отрицательную сторону) как сплошная,
так и штриховая спирали будут иметь бесчисленно много завитков, не изо¬
браженных на рис, 4,3,

§ И
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
принимает значения 0, ±1, ±2, ...):
V*2 + У2 = л ^arctg + 2шг)	при
V*2 + = a ^aretg+ л +	йри
при х > О,
х < О,
1 У I = а sgn у + 2шг^ при
при х = 0.
4.	Два типа задач, связанных с аналитическим представле¬
нием линии. В связи с аналитическим представлением линии воз¬
никают задачи двух типов. Задачи первого типа заключают¬
ся в изучении свойств линии при помощи заранее данного
уравнения этой линии. Такое изучение проводится средствами
математического анализа и выходит за рамки аналитической
геометрии. В самом деле, уравнение линии устанавливает функ¬
циональную зависимость между координатами точек этой линии
и задача первого типа, по существу, представляет собой гео¬
метрическое исследование графика функции (см. главу 9 вы¬
пуска 1).
Задачи второго типа заключаются в выводе уравнения ли¬
нии, заранее заданной геометрически (например, линии, задан¬
ной как геометрическое место точек, удовлетворяющих некото¬
рым условиям).
Примерами задач второго типа могут служить все рассмот¬
ренные в пп. 1—3 задачи (вывод уравнения окружности, цик¬
лоиды и спирали Архимеда).
5.	Классификация плоских линий. Исходя из аналитического
представления линий относительно декартовых прямоугольных
систем координат, устанавливают следующую классификацию
Плоских линий.
Определение 1. Линия называется алгебраической,
если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат
она определяется уравнением
Ф(х, z/) = 0,
(4.1)
в котором функция Ф(х, у) представляет собой алгебраический
полином *) .
Определение 2. Всякая неалгебраическая линия называется
трансцендентной.
Определение 3. Алгебраическая линия называется линией
порядка п, если в некоторой декартовой прямоугольной си¬
стеме координат эта линия определяется уравнением (4.1), в
котором функция Ф(х,у) представляет собой алгебраический
полином п-й степени.
*) То есть сумму-конечного числа слагаемых вида akiXkyl, где k и I —
целые неотрицательные числа, — некоторые постоянные,

100
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
’(ГЛ 4
Иными словами, линией п-го порядка называется линия,
определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе
алгебраическим уравнением степени п с двумя неизвестными.
Для установления корректности определений 1, 2 и 3 необхо¬
димо доказать следующее утверждение.
Теорема 4.1. Если линия в некоторой декартовой прямо¬
угольной системе координат определяется алгебраическим урав¬
нением степени п, то эта линия и в любой другой декартовой
прямоугольной системе координат определяется алгебраиче¬
ским уравнением той оке степени п.
Доказательство. Предположим, что линия L в некото¬
рой декартовой прямоугольной системе координат определяется
уравнением
Ф(х, z/) = 0,	(4.1)
левая часть которого представляет собой алгебраический поли¬
ном степени п, т. е. сумму слагаемых вида
У >
где k и I — целые неотрицательные числа, причем наибольшее
значение суммы k + I равно п, а^ — некоторые постоянные, при¬
чем хотя бы для одной пары k и /, составляющих в сумме п, по¬
стоянная aki отлична от нуля.
Возьмем на той же плоскости любую ноиую декартову пря¬
моугольную систему координат О'х'у'. Тогда, как доказано в
§ 1 главы 3, для координат любой точки в старой и новой си¬
стемах справедливы формулы преобразования (3.7). Чтобы по¬
лучить уравнение линии L в новой системе О'х'у', достаточно
подставить в левую часть (4.1) на место х и у их значения,
определяемые формулами (3.7). Мы получим при этом сумму
слагаемых вида
aki а + ап*' + a2i/)ft (& + «12*' + а22у')1.
Отсюда ясно, что уравнение линии L в новой системе О'х'у'
будет представлять собой алгебраическое уравнение степени не
выше, чем п.
Если в проведенных рассуждениях поменять ролями системы
Оху и О'х'у', то мы убедимся в том, что указанное алгебраи¬
ческое уравнение (в системе О'х'у') имеет степень не ниже чем
п (иначе переход от О'х'у' к Оху повысил бы степень уравне¬
ния). Таким образом, линия L определяется в новой системе
О'х'у' алгебраическим уравнением степени, равной п. Теоре¬
ма 4.1 доказана.
Примером алгебраической линии второго порядка мо¬
жет служить окружность (уравнение (4.3) которой в некоторой
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ
101
§ И
декартовой прямоугольной системе является алгебраическим
уравнением второй степени). Примером трансцендентной
линии может служить спираль Архимеда, уравнение которой
в декартовой прямоугольной системе не является алгебраиче¬
ским (см. п. 3) .
Замечание. Будем называть алгебраическую линию L распадающейся,
если алгебраический полином Ф(х, у) степени п 2, стоящий в левой части
уравнения этой линии, распадается на произведение Ф1(х, //)Ф2(х, у) двух
алгебраических полиномов ФДх, у) и Ф2(х, у) степеней k 1 и п — /г 1
соответственно.
Из равенства Ф(х, у) = Ф1(х, г/)-Ф2(х, у) очевидно, что координаты х
и у точки М удовлетворяют уравнению Ф(х, у) = 0 тогда и только тогда,
когда эти координаты удовлетворяют хотя бы одному из уравнений
Ф1(х, у) = 0 или Ф2(х, у) = 0. Это означает, что линия L, определяемая
уравнением Ф(х, у) = 0, распадается на две линии: линию Lif определяемую
уравнением Ф1(х, у)= 0, и линию L2, определяемую уравнением Ф2(х, у)= 0.
Так, линия четвертого порядка, определяемая уравнением
х4 4~ #4 4~ 2х2у2 — 5х2 — 5z/2 + 4 = (х2 + у2 — 1) (х2 + У2 — 4) = 0,
распадается на две окружности, определяемые уравнениями х2 + у2 — 1 = 0 и
X2	у2 _4 = о.
Линия четвертого порядка, определяемая уравнением
х4 + у* + 2х2у2 — 2х2 — 2у2 + 1 = (х2 4- у2 - I)2 == 0,
распадается на две «слившиеся» окружности, определяемые уравнением вто¬
рого порядка х2 4- у2 — 1 = 0. В отношении этой последней линии следует
договориться, какое из чисел 2 или 4 мы будем понимать под ее порядком.
6. О пересечении двух линий. Важную роль в аналитической
геометрии играет задача о нахождении точек пересечения двух
произвольных линий L\ и L2, определяемых уравнениями
Qj (х,у) = 0 и Ф2(х, у) = 0 соответственно. Так как искомые
точки пересечения в случае, если они существуют, должны од¬
новременно лежать как на линии Li, так и на линии £2, то
координаты этих точек должны удовле¬
творять каждому из уравнений Ф1(х, у) =
= 0 и Ф2 (х, у) = 0.
Таким образом, для нахождения коор¬
динат всех точек пересечения следует ре¬
шить систему уравнений
Ф1 (*,£) = 0, Ф2(х, у) = 0. (4.10)
Каждое решение системы (4.10) опре¬
деляет точку пересечения линий Li и £2.
Если система (4.10) не имеет решений, то линии Li и L2 не пере¬
секаются.
Так, для нахождения точек пересечения двух окружностей,
определяемых уравнениями х2 + у2 = 1 и (х — I)2 и+ у2 = 2,

102
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
ГГЛ. 4
решаем систему уравнений
х2 + z/2 — 1=0, (х — I)2	z/2 — 2 = 0.	(4.11)
Вычитая из, первого уравнения (4.11) второе, получим 2х = 0,
откуда х = 0. Вставляя это значение х в первое уравнение, най¬
дем, что у = ±1. Получаем две точки пересечения Mi (0,1) и
М2(0,-Ц (рис. 4.4).
Можно доказать, что если Ц и Ь2 — две нераспадающиеся алгебраиче¬
ские линии порядков т и п соответственно и если одна из этих линий не
содержится целиком в другой, то эти линии имеют не более чем	то¬
чек пересечения (см. любой курс высшей алгебры).
§ 2. Уравнение поверхности и уравнения линии
в пространстве
1. Понятие об уравнении поверхности. Предположим, что нам
заданы: 1) декартова прямоугольная система координат Oxyz
в пространстве и 2) некоторая поверхность S. Рассмотрим не¬
которое уравнение, связывающее три переменные величины
х, у и г:
Ф(х, у, z) = 0.	(4.12)
Определение. Уравнение (4.12) называется уравнением
поверхности S (относительно заданной системы коорди¬
нат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х, у и z
любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют
координаты х, у и z ни одной точки, не лежащей на поверх¬
ности S.
С точки зрения этого определения сама поверхность S пред¬
ставляет собой (в заданной системе координат) геометрическое
место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
(4.12)	.
Если (в заданной системе координат) рассматриваемое урав¬
нение (4.12) является уравнением поверхности S, то мы будем
говорить, что это уравнение определяет поверхность S.
Конечно, не всякое уравнение с тремя переменными вида
(4.12)	определяет геометрический образ, отвечающий нашему
привычному представлению о поверхности (и вообще опреде¬
ляет реальный геометрический образ: рассмотрите уравнение
х2 + z/2 + г2 + 1 = 0). Чтобы уравнение вида (4.12) определя¬
ло геометрический образ, отвечающий нашему представлению
о поверхности, следует, вообще говоря, подчинить функцию
Ф(х, у, z) некоторым ограничениям (например, требованию од¬
нозначной разрешимости функционального уравнения (4.12) от¬
носительно одной из переменных). Эти ограничения выясняются
в курсе математического анализа (см. выпуск 1, главу 15, § 2).

§2]	УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ	ЮЗ
Аналогично определяется уравнение поверхности S в любой
другой (не обязательно декартовой прямоугольной) системе ко¬
ординат. Если (4.12) представляет собой уравнение поверхности
S в декартовой прямоугольной системе кординат Oxyz, то, что¬
бы получить уравнение той же поверхности S относительно
любой другой системы координат, достаточно подставить в
(4.12)	на место х, у и z их выражение через новые координаты.
Использование для определения некоторых поверхностей не¬
декартовых систем координат объясняется тем, что уравнение
поверхности имеет при этом более простой вид.
Легко убедиться в том, что в декартовой прямоугольной
системе Oxyz уравнение сферы радиуса R > 0 с центром в точке
М0(а, Ь, с) имеет вид
(х — а)2 + (у — Ь)2 + (z — c)2 = R2.	(4.13)
В самом деле, точка M(x,y,z) лежит на указанной сфере
тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между точками
Л4(х, у, z) и Мо(а, Ь, с)
(х — а)2 + (у — Ь)2 + (z — с)2
равен R2. В случае, когда центром Л40 сферы служит начало
координат (т. е. а = О, b = 0, с = 0), уравнение (4.13) прини¬
мает более простой вид:
x2 + y2 + z2 = R2.	(4.14)
Если ввести сферические координаты г, 0, <р, связанные с де¬
картовыми координатами так, как указано в п. 3 § 4 главы 1,
то уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат
принимает вид г = R.
Это последнее уравнение, сразу вытекающее из геометри¬
ческого определения сферы, может быть получено и посред¬
ством подстановки в (4.14) на место х, у и z их выражений че¬
рез сферические координаты.
2. Уравнения линии в пространстве. Линию в пространстве
естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей,
т. е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно
на двух поверхностях.
Если Ф1(х, у, z) = 0 и Ф2(х, у, z) = 0 суть уравнения двух
поверхностей, пересечением которых является данная линия L,
то: 1) координаты любой точки, лежащей на линии L, удовле¬
творяют обоим указанным уравнениям; 2) обоим указанным
уравнениям не удовлетворяют координаты ни одной точки, не
лежащей на линии L.
*) Эта сфера определяется как геометрическое место точек М(х, у, г),
расстояние каждой из которых от точки Мо(а, Ь, с) равно R.

104
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
[ГЛ 4
Таким образом, два уравнения
Ф1 (х, У, z) — О, Ф2 (X, у, 2) = О	(4.15)
совместно определяют линию L, т. е. являются уравнениями этой
линии.
Разумеется, данную линию L можно представить двумя
уравнениями бесчисленным множеством способов: вместо дан*
ных двух поверхностей можно взять любую пару поверхностей,
пересекающихся по той же линии L. Аналитически это означает,
что вместо системы (4.15) можно взять любую эквивалентную
систему.
Например, уравнения двух сфер
х2 + Z/2 + z2 = 1, *2 + #2+ (г — З)2 = 10
совместно определяют лежащую в плоскости Оху окружность
радиуса единица с центром в начале координат. Ту же самую
окружность можно определить и двумя уравнениями
X2+//2 + z2=l,	Х2+//2+(2-V^^T)2 = /?2,
во втором из которых в качестве /? можно взять любое веще¬
ственное число, превосходящее единицу.
3.	Цилиндрические и конические поверхности. Предположим,
что в пространстве задана декартова прямоугольная система
координат Oxyz.
Определение 1. Поверхность S называется цилиндриче¬
ской поверхностью с образующей, параллельной оси Oz,
если она обладает следующим свойством: какова бы ни была
лежащая на этой поверхности точка М0(х0, уо, z0), прямая ли¬
ния, проходящая через эту точку и параллельная оси Oz, цели¬
ком лежит на поверхности S.
Любую целиком лежащую на цилиндрической поверхности
S прямую называют образующей этой поверхности.
Совершенно аналогично определяются цилиндрические по¬
верхности с образующими, параллельными осям Ох или Оу.
Определение 2. Поверхность S называется конической
с вершиной в начале координат О, если она обладает следую¬
щим свойством: какова бы ни была лежащая на этой поверх¬
ности и отличная от начала координат точка Mq(xq, yQ, z0), пря¬
мая линия, проходящая через точку MQ и через начало коорди¬
нат О, целиком лежит на поверхности S.
Постараемся выяснить, какими уравнениями определяются
цилиндрические и конические поверхности.
Ради определенности будем рассматривать цилиндрическую
поверхность с образующей, параллельной оси Oz.
Докажем, что всякое уравнение вида
F (х, у) = 0,
(4.16)

§2]
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
105
связывающее две переменные х и у и не содержащее г, опреде¬
ляет цилиндрическую поверхность с образующей, параллель¬
ной оси Oz.
Пусть Мо(хо, г/о, ^о) —любая точка, лежащая на поверхности
S, определяемой уравнением (4.16). Тогда координаты этой
точки должны удовлетворять уравнению (4.16), т, е. справед¬
ливо равенство
F(x0, г/о) = О.	(4.17)
Достаточно доказать, что любая точка М прямой, проходя¬
щей через Мо и параллельной оси Oz, также лежит на поверх¬
ности S, т. е. имеет координаты, удовлетворяющие уравнению
(4.16)	.
Какова бы ни была точка М прямой, проходящей через
Mo(xq, уо, Zq) и параллельной оси Oz, ее абсцисса и ордината те
же, что и у точки Мо, т. е. равны соответственно х0 и уо, а ап¬
пликата z имеет какое угодно значение. Но в уравнение (4.16)
входят только абсцисса и ордината, а они в силу равенства
(4.17)	удовлетворяют этому уравнению.
Тем самым доказано, что S — цилиндрическая поверхность
с образующей, параллельной оси Oz.
Заметим, что на координатной плоскости Оху уравнение
(4.16) определяет плоскую линию, которую обычно называют
направляющей рассматриваемой цилиндрической поверхности.
В пространстве эта линия определяется двумя уравнениями:
F (х, у) = 0,	z = 0,
первое из которых определяет рассматриваемую цилиндриче¬
скую поверхность, а второе — координатную плоскость Оху*}.
В качестве примера приведем уравнение х2 + //2 = г2, опре¬
деляющее круглый цилиндр с образующей, параллельной осп
Oz, и с направляющей, представляющей собой лежащую в пло¬
скости Оху окружность единичного радиуса с центром в начале
координат.
Перейдем к выяснению вида уравнения конической поверх¬
ности.
Напомним, что определенная для любых значений аргумен¬
тов функция F(x, у, z) называется однородной функцией (сте¬
пени п), если, каково бы ни было вещественное число k, спра¬
ведливо равенство
F (kx, ky, kz) — knF (x, у, z).	(4.18)
Докажем, что уравнение.
F (х, у, z) == 0,	(4.19)
*) Ибо уравнению z = 0 удовлетворяют координаты любой точки, лежа¬
щей на плоскости Оху, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, нс
лежащей на этой плоскости.

103
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
(ГЛ 4
в котором F(x,y,z) является однородной функцией любой сте¬
пени п, определяет коническую поверхность.
Пусть Л4о(*о, f/o, 2о)~ любая отличная от начала координат
точка, лежащая на поверхности S, определяемой уравнением
(4.19). Тогда справедливо равенство
F (*о, Z/o, z0) = 0-	(4.20)
Достаточно доказать, что, какова бы ни была точка Л4(х,у,г),
лежащая на прямой, проходящей через точку Л40('х0, f/o, 2о) и
через начало координат О, координаты х, у и z этой точки удо¬
влетворяют уравнению (4.19).
Так как векторы ОМ и ОМ0 коллинеарны (как лежащие на
одной прямой) и вектор ОМ0 является ненулевым, найдется
(в силу теоремы 2.1) вещественное число k такое, что ОМ —
= k'OMo. На основании линейных свойств координат вектора
(см. п. 8 § 1 главы 2) можно утверждать, что координаты век¬
тора ОМ равны соответствующим координатам вектора ОМо,
умноженным на число ft, т. е.
х = kxQl у = fty0, z = ftz0.
Из последних равенств и из того, что F(x, у, z) (как однород¬
ная функция некоторой степени п) удовлетворяет соотношению
(4.18), получим
F (х, у, z) = F (kxa, kya, kzn) = knF (x0, y0, z0),
а отсюда в силу равенства (4.20) окончательно будем иметь
F (х, у, z) = 0.
Доказательство того, что поверхность S, определяемая уравне¬
нием (4.19) с однородной функцией F(x, у, z), является кониче¬
ской, завершено.
Заметим, что прямые, целиком лежащие на конической по¬
верхности, называются ее образующими и что все образующие
(как это видно из проведенного доказательства) проходят через
начало координат О.
Простейшим примером конической поверхности может слу¬
жить круглый конус, определяемый уравнением х2 + у2 — г2 = 0.
Эта поверхность исследуется в п. 4 § 3 главы 7. Функция
F(x, у, z) = х2 + у2 — z2, задающая ее уравнение, является од¬
нородной функцией второго порядка.
4.	Параметрические уравнения ле^нии и поверхности в про¬
странстве. В п. 2 мы рассматривали линию в пространстве как
пересечение двух поверхностей. Возможен и очень естествен
с кинематической точки зрения и другой подход к понятию ли¬
нии в пространстве, основанный на рассмотрении этой линии
как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно дви¬
жущейся по определенному закону.

§2]	УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ	107
Как и для случая плоской линии (см. п. 2 § 1)', этот подход
приводит к параметрическому представлению линии в простран¬
стве, заключающемуся в том, что координаты х, у и z любой
точки данной линии задаются как непрерывные функции неко¬
торого параметра t (преставляющего собой время). Итак, при
таком подходе координаты х, у, z любой точки линии L за¬
даются как три функции
л; = <Р(О>	«/ = ^(0. £ = %(0,	(4.21)
определенные и непрерывные в некотором промежутке измене¬
ния параметра t
Конечно, этот способ определения линии в пространстве
эквивалентен определению ее в виде пересечения двух поверх¬
ностей. Чтобы убедиться в этом,,предположим, что хотя бы одна
(например, третья) из функций (4.21) допускает обратную.
В таком случае из третьего равенства (4.21) получим, что / =
= %-1(z), и, подставляя это значение t в первые два равенства
(4.21), получим уравнения двух поверхностей
X = <р [%-1 (г)], у = \Ь [х-1 (г)],
пересечением которых служит данная линия.
В качестве примера приведем параметрические уравнения
окружности радиуса г > 0, лежащей в координатной плоскости
Оху и имеющей центр в начале координат. В декартовой пря¬
моугольной системе на плоскости Оху такая окружность опре¬
деляется одним уравнением х2 + у2 = г2 (см. п. 1 § 1), в про¬
странстве же эта окружность определяется двумя уравнениями:
х2 + У2 = r2, z = 0,
первое из которых определяет цилиндрическую поверхность, на¬
правляющей которой служит рассматриваемая окружность и
образующая которой параллельна оси Oz, а второе уравнение
определяет координатную плоскость Оху.
Из п. 2 § 1 мы уже знаем, что на плоскости Оху параметри¬
ческие уравнения окружности х2 + у2 = г2 имеют вид x=rcos /,
у — г sin t, где 0 t < 2л.
Очевидно, та же окружность в пространстве задается тремя
уравнениями:
х — г cos /, y = r sin /,	2 = 0,
причем параметр t пробегает полусегмент 0 t < 2л.
Для параметрического задания поверхности координаты лю¬
бой точки этой поверхности должны быть заданы как функции
не одного, а двух параметров р и q. Убедимся в том, что три
уравнения
х = <р(р, q), у = У(р, q), 2 = ъ(р, О)	(4.22)
определяют в пространстве некоторую поверхность,

108
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
(ГЛ 4
Для этого предположим, что хотя бы одна пара из трех
уравнений (4.22) может быть разрешена относительно парамет¬
ров р и q. Допустим, например, что из первых двух уравнений
(4.22) р и q могут быть выражены как функции х и у: р =
~ ®1 (*,!/). q =■ Ф2(х,у).
Вставляя эти значения р и q в третье уравнение (4.22), мы
получим уравнение с тремя переменными
2 — ЯХ [Ф1 {х, у), ф2 (х, Z/)] = О,
определяющее, как нам известно, некоторую поверхность*).
В качестве примера приведем параметрические уравнения
сферы радиуса г > 0 с центром в начале координат:
х = г cos 0 sin ср, у = г sin 9 sin ср, z = rcosqp.
Здесь параметры 0 и ср представляют собой угловые сфериче¬
ские координаты (долготу и широту) точек поверхности сферы
(см. § 4 главы 1). Для того чтобы все точки сферы обходились
один раз, следует ограничить область изменения параметров
промежутками О 0	2л, 0 ср л.
5. Классификация поверхностей. В полной аналогии с клас¬
сификацией плоских кривых устанавливают следующую класси¬
фикацию поверхностей.
Определение 1. Поверхность называется алгебраической,
если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат
она определяется алгебраическим уравнением с тремя перемен¬
ными.
Определение 2. Всякая не алгебраическая поверхность назы¬
вается трансцендентной.
Определение 3. Алгебраическая поверхность называется по¬
верхностью порядка п, если в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат она определяется алгебраи¬
ческим уравнением степени п с тремя переменными.
Для установления корректности этих определений необхо¬
димо доказать следующее утверждение.
Теорема 4.2. Если поверхность в некоторой декартовой пря¬
моугольной системе координат определяется алгебраическим
уравнением степени п, то эта поверхность и в любой другой де¬
картовой прямоугольной системе координат определяется ал¬
гебраическим уравнением той же степени п.
Доказательство теоремы 4.2 вполне аналогично доказатель¬
ству теоремы 4.1 и опирается на доказанное в § 2 главы 3
утверждение: каковы бы ни были две произвольные де¬
картовы прямоугольные системы координат, координаты х, у
и z любой точки пространства относительно первой системы яв¬
ляются линейными функциями координат хг, у' и г' той же
*) Конечно, при этом требуются некоторые ограничения.

УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ
109
§ 2]
точки относительно второй системы, С помощью этого утверж¬
дения и рассуждений, полностью аналогичных тем, которые
проводятся при доказательстве теоремы 4.1, мы получим, что
если поверхность S в некоторой декартовой прямоугольной си¬
стеме Oxyz определяется алгебраическим уравнением степени п,
то эта поверхность в любой другой декартовой прямоугольной
системе O'x'y'z' определяется алгебраическим уравнением сте¬
пени не выше п. Поменяв ролями системы Oxyz и O'x'y'z>
мы завершим доказательство теоремы 4.2.
Замечание 1. Так же как и в случае плоской линии, вво¬
дится понятие распадающейся алгебраической поверхности.
Замечание 2. Пространственная линия называется ал¬
гебраической, если она может быть определена как пересечение
двух алгебраических поверхностей.
Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной.
6.	О пересечении поверхностей и линий в пространстве. Для
отыскания точек пересечения поверхностей или линий (или по¬
верхностей и линий) следует рассмотреть совместно уравнения,
определяющие указанные геометрические объекты. Решение
полученной при этом системы и определит нам координаты всех
точек пересечения. Если полученная система не имеет решений,
то точек пересечения нет.
Так, например, если заданы две линии, первая из которых
определяется уравнениями Ф1 (х, у, z) = 0 и Ф2 (х, у, z) = 0, а
вторая — уравнениями Ф3(х, у, г) = 0 и Ф4(х, у, z) = 0, то коор¬
динаты точек пересечения этих двух линий (в случае, если точки
пересечения существуют) обязаны быть решением системы че¬
тырех уравнений с тремя неизвестными:
Ф| (х, У, Z) = 0, Ф2 (х, у, г) = 0,
Ф3 (х, у, 2} = 0, Ф4 (х, у, г) = 0.
Так как число неизвестных меньше числа уравнений, то послед¬
няя система, вообще говоря, не имеет решений, т. е. две линии
в пространстве, вообще говоря, не пересекаются.
7.	Заключительные замечания. Линии и поверхности выше
второго порядка не входят в учебные курсы аналитической гео¬
метрии (им посвящены специальные сочинения). В нашем курсе
мы ограничимся изучением плоских линий и поверхностей пер¬
вого и второго порядков.
В главе 5 будут рассмотрены линии и поверхности первого
порядка (их называют также линейными образами*)). В гла¬
ве 6 изучаются плоские линии второго порядка, в главе 7—•
поверхности второго порядка.
*) Термин «линейный» объясняется гем, что в левой части уравнения
первого порядка стоит линейная функция.

ГЛАВА 5
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
Эта глава посвящена всестороннему изучению прямых линий
на плоскости и плоскостей и прямых линий в пространстве.
Убедившись в том, что этими объектами исчерпываются все
линейные образы (т. е. геометрические объекты, определяемые
линейными уравнениями), мы вводим в рассмотрение различные
виды уравнений прямой и плоскости и останавливаемся на их
использовании для решения важнейших задач.
§ 1. Различные виды уравнения прямой на плоскости
1. Общее уравнение прямой. Докажем сначала, что если на
плоскости л задана произвольная прямая линия L и фиксиро¬
вана произвольная декартова прямоугольная система Оху, то
прямая L определяется в этой системе уравнением первой сте¬
пени.
Достаточно доказать, что прямая L определяется уравнением
первой степени при каком-то одном специальном выборе декар¬
товой прямоугольной системы на плоскости л, ибо тогда она
будет определяться уравнением первой степени и при любом
выборе декартовой прямоугольной системы на плоскости л (в
силу теоремы 4.1). Направим ось Ох вдоль прямой L, а ось Оу
перпендикулярно к ней. Тогда уравнением прямой будет урав¬
нение первой степени у — 0. В самом деле, этому уравнению
будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на
прямой L, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки,
не лежащей на прямой L.
Утверждение доказано.
Докажем теперь, что если на плоскости л фиксирована про¬
извольная декартова прямоугольная система Оху, то всякое
уравнение первой степени с двумя переменными х и у опреде¬
ляет относительно этой системы прямую линию.
В самом деле, пусть фиксирована произвольная декартова
прямоугольная система Оху и задано уравнение первой степени
Ах + Ву + С = Ъ,	(5.1)
§ 1]	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ	1Ц
в котором А, В и С—какие угодно постоянные, причем из по¬
стоянных А и В хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение (5.1)
заведомо имеет хотя бы одно решение х0, z/o*), т. е. существует
хотя бы одна точка Л1о(хо, z/o), координаты которой удовлетво¬
ряют уравнению (5.1):
Ах0 + Ву0 + С = 0.	(5.2)
Вычитая из уравнения (5.1) тождество (5.2), мы получим урав¬
нение
А (х — х0) + В (у — z/0) = 0,	(5.3)
эквивалентное уравнению (5.1). Достаточно доказать, что урав¬
нение (5.3) определяет относительно системы Оху некоторую
прямую. Мы докажем, что уравнение (5.3) (а стало быть, и
(5.1)) определяет прямую L, проходящую через точку Мо(хо,уу)
и перпендикулярную вектору п= {А, В} (так как А и В одно¬
временно не равны нулю,, то вектор п ненулевой).
В самом деле, если точка М(х, у) лежит на указанной пря¬
мой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.3), ибо
в этом случае векторы п= {А, В} и Л40М = {х— х0, у — у о}
ортогональны и их скалярное произведение
А(хxQ+ В(у — yQ)	(5.4)
равно нулю. Если же точка Л4(х, у) не лежит на указанной пря¬
мой L, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (5.3),
ибо в этом случае векторы п и М0М не ортогональны, и поэтому
их скалярное произведение (5.4) не равно нулю. Утверждение
доказано.
Уравнение (5.1) с произвольными коэффициентами А, В и С
такими, что А и В не равны нулю одновременно, называется
общим уравнением прямой. Мы доказали, что прямая,
определяемая общим уравнением (5.1), ортогональна к вектору
п = {Д,В}. Этот последний вектор мы будем называть нор¬
мальным вектором прямой (5.1).
Заметим, что если два общих уравнения Ах + By С = 0
и AiX + В\У + Ci = 0 определяют одну и ту же прямую, то най¬
дется такое число t, что справедливы равенства
A{ = At, B{ = Bt, Cx=Ct,	(5.5)
т. е. коэффициенты Ai, Bi, С\ второго уравнения равны соответ¬
ствующим коэффициентам А, В и С первого уравнения, умно¬
женным на некоторое число t.
*) В самом деле, А и В одновременно не равны нулю. Пусть, например,
В Ф 0. Тогда, взяв произвольное х0, мы получим из уравнения (5.1)	=

112
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
(ГЛ 5
В самом деле, по условию прямые, определяемые уравне¬
ниями Ах + By 4- С — 0 и А[Х + В{у + Ci = 0, сливаются. Ста¬
ло быть, нормальные векторы п= {Л, В} и гц = {41, В\} кол¬
линеарны. Так как, кроме того, вектор п ненулевой, найдется
(в силу теоремы 2.1) число I такое, что щ — nt, а отсюда и из
линейного свойства координат вектора вытекают первые два из
равенств (5.5). Докажем справедливость и последнего равен¬
ства (5.5). Слившиеся прямые имеют общую точку. Af0(x0, уо) »
гак что Axq + Вуъ + С = ® и Л1%0 + В^уо + С} = 0. Умножая
Первое из этих равенств на t и вычитая из него второе равен¬
ство, будем иметь (At— z4i)x0-f-(^ — B\)yoA~(Ct — С[)=0.
Отсюда в силу первых двух равенств (5.5) Ct — Ci = 0, т. е.
Ci == Ct.
2.	Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Общее уравнение прямой (5.1) называется полным, если все
его коэффициенты А, В и С отличны от нуля. Если хотя бы
один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение на¬
зывается неполным.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.
1)	С — 0, уравнение Ах + By = 0 определяет прямую, про¬
ходящую через начало координат (поскольку координаты на¬
чала удовлетворяют этому уравнению).
2)	В = 0, уравнение Ах А- С = 0 определяет прямую, парал¬
лельную оси Оу (поскольку нормальный вектор этой прямой
п = {4,0} ортогонален оси Оу).
3)	А = 0, уравнение By 4- С = 0 определяет прямую, парал¬
лельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой прямой
п {0, В} ортогонален оси Ох).
4)	В = 0 и С = 0, уравнение Ах = 0 определяет ось Оу (в
самом деле, эта прямая параллельна оси Оу и проходит через
начало координат).
5)	А = 0, С = 0, уравнение By = 0 определяет ось Ох (ибо
эта прямая параллельна оси Ох и проходит через начало коор¬
динат).
Рассмотрим теперь полное уравнение прямой (5.1) и пока¬
жем, что оно может быть приведено к следующему виду:
т + т=>,	<5-6>
называемому уравнением прямой в отрезках.
В самом деле, так как все коэффициенты А, В и С отличны
от нуля, мы можем переписать уравнение (5.1) в виде
-С!А -С/В 1
и затем положить а = —С/А, Ь = —С/В.

§ 1]
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
113
координат, см.
найти точки пе-
удобно ИСПОЛЬЗО-
Заметим, что в уравнении «в отрезках» (5.6) числа а и Ь
имеют простой геометрический смысл: они равны величинам
отрезков, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответ¬
ственно (отрезки отсчитываются от начала
рис. 5.1). Чтобы убедиться в этом, достаточно
ресечения прямой, определяемой уравнением
(5.6)	, с осями координат. Например, точка
пересечения с осью Ох определяется из со¬
вместного рассмотрения уравнения прямой
(5.6)	с уравнением у = 0 оси Ох. Мы полу¬
чим координаты точки пересечения х = а,
у — 0. Аналогично устанавливается, что коор¬
динаты точки пересечения прямой (5.6) с
осью Оу имеют вид х = 0, у = Ь.
Уравнение прямой в форме «в отрезках» ;
вать для построения этой прямой на чертеже.
3. Каноническое *) уравнение прямой. Любой ненулевой век¬
тор, параллельный данной прямой, будем называть направ-
л я ю щ им вектором этой прямой.
Поставим перед собой задачу: найти уравнение прямой, про¬
ходящей через данную точку М\(х\,у\) и имеющей заданный
направляющий вектор q = {/, m}.
Очевидно, точка М(х, у} лежит на указанной прямой тогда
и только тогда, когда векторы М{М = {х — хь у — ух} и q =
= {/, m} коллинеарны, т. е. тогда и только тогда, когда коор¬
динаты этих векторов пропорциональны (см. следствие
ремы 2.17):
из тео-
х — Х| _ У - у
I	пг
(57)
Уравнение (5.7) и есть искомое уравнение прямой. Это уравне¬
ние называют обычно каноническим уравнением прямой.
Заметим, что в каноническом уравнении (5.7) один из зна¬
менателей I или m может оказаться равным нулю (оба числа
I и m равняться нулю не могут, ибо вектор q = {/, m} ненуле¬
вой). Так как всякую пропорцию a/b = c/d мы договорились
понимать как равенство ad = be, обращение в нуль одного из
знаменателей в (5.7) означает обращение в нуль и соответ¬
ствующего числителя. В самом деле, если, например, I = 0, то,
поскольку m =т^= 0, из равенства 1(у — у{)=пг(х — %i) заклю¬
чаем, что х — Xi =0.
В заключение запишем уравнение прямой, проходящей че¬
рез две данные точки М\(х\,у\) и	У2) (конечно, эти точки
считаются отличными друг от друга). Так как за направляю-
*) Термин «канонический» (от греческого xavov — правило, предписание,
образец) понимается здесь как «типовой», «традиционный».

114
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[гл. g
щий вектор такой
= {%2 — *1, //2 — 1/1}
то из канонического
мой прямой в виде
прямой можно взять вектор q = Л11Л12 ==
и прямая проходит через точку Мi (ля, z/J,
уравнения (5.6) получим уравнение иско-
X — Xj
х2 — xt
у ~У\
У2 — УI *
(5.8)
4. Параметрические уравнения прямой. Параметрические
уравнения прямой элементарно получаются из канонического
уравнения этой прямой. Примем за параметр t величину, стоя¬
щую в левой и в правой частях (5.7). Так как один из знаме¬
нателей (5.7) отличен от нуля, а соответствующий числитель
может принимать какие угодно значения, то областью измене¬
ния параметра t является вся вещественная ось: —оо < t <;
< оо.	у
Мы получим х — Xi = It, у — у\ = mt или окончательно
х = Х14-//, у = У{-]-т1.	(5.9)
и есть искомые параметрические уравнения
Уравнения (5.9)
прямой. Уравнения (5.9) допускают наглядную механическую
интерпретацию. Если считать, что параметр t — это время, от¬
считываемое от некоторого начального момента, то пара¬
метрические уравнения (5.9) определяют закон движения мате¬
риальной точки по прямой линии с постоянной скоростью v
—	пг2 (такое движение происходит по инерции).
5. Прямая с угловым коэффициентом. Рассмотрим любую
параллельную оси Ох. Введем понятие угла на¬
клона этой прямой к оси Ох, Предполо¬
жим, что рассматриваемая прямая пересекает
ось Ох в точке А (рис. 5.2). Возьмем на оси
Ох произвольную точку М, лежащую по ту
сторону от точки А, куда направлена ось Ох,
а на рассматриваемой прямой произвольную
точку N, лежащую по ту сторону от точки А,
куда направлена ось Оу, Угол а = xLNAM
назовем углом наклона данной прямой к
оси Ох.
параллельна оси Ох или совпадает с ней, то
прямую, не
прямая
Если
угол наклона этой прямой к оси Ох мы будем считать равным
нулю.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем угловым
коэффициентом этой прямой. Если обозначить буквой
k угловой коэффициент данной прямой, а буквой а угол на¬
клона этой прямой к оси Ох, то по определению можно запи¬
сать k = tga.
Заметим, что для прямой, параллельной оси Ох, угловой ко¬
эффициент равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси

§ П
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
115
на-
как
Ох, угловой коэффициент не существует (в последнем случае
иногда формально говорят, что угловой коэфф-ициент «обра¬
щается в бесконечность»).
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку
Mi (xi, у\) и имеющей данный угловой коэффициент k.
Для этого докажем сначала следующее утверждение:
если прямая не параллельна оси Оу и имеет направляющий
вектор q = {/, m}, то угловой коэффициент этой прямой k
вен k = m/l.
Пусть а — угол наклона прямой к оси Ох, а 0*—угол
клона направляющего вектора q = {/, пг} к оси Ох. Так
прямая может быть наклонена к оси
Ох под острым или под тупым углом
и ее направляющий вектор q может
иметь два противоположных направ¬
ления, то возможны четыре случая,
изображенных на рис. 5.3. В случаях
1)	и 3) 0 = а и для проекций на оси
вектора q справедливы формулы
/ = | q|cos0,
m = | q | cos — o) = |
ра-
к
X
а
-
2)
В случаях 2)’ и 4) 0 = л — ос и для проекций вектора q спра¬
ведливы формулы I = | q | cos 0, m = — | q | sin 0.
Таким образом, в случаях 1) и 3) tg0 = tga и шЦ = tg 0
а в случаях 2) и 4) tg 0 = — tga и m/Z=—-tg0.
Стало быть, во всех четырех случаях tgcc = т/l, и утверж¬
дение доказано.
Для того чтобы вывести уравнение прямой, проходящей че¬
рез заданную точку М\(х\,у\) и имеющей заданный угловой
коэффициент k, умножим обе части канонического уравнения
(5.7)	на m и учтем, что m/1 — k.
Получим искомое уравнение в виде
У~ yi = k(x — X!).	(5.10)
Если теперь обозначить через b постоянную b = у{ — kx\, то
уравнение (5.10) примет вид
y = kx-\-b.	(5.11)
Уравнение (5.11) называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом. В этом уравнении k обозначает угловой коэф¬
фициент данной прямой, а b представляет собой величину от¬
резка, отсекаемого данной прямой на оси Оу, начиная от на¬
чала координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмот¬
реть совместно уравнение (5.11) и уравнение х = 0 оси Оу и
116
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ S
найти координаты точки пересечения оси Оу и прямой (5.11):
х = 0, у = b (рис. 5.4).
6.	Угол между двумя прямыми. Условия параллельности ч
перпендикулярности двух прямых.
а)	Пусть сначала две прямые L\ и L2 заданы общими урав¬
нениями
А}Х + В\У С] = 0 и /12-£ В2у “h ^*2== 0.
Так как нормальным вектором прямой L\ является вектор п =
= {Л1,В1}, а нормальным вектором прямой
L2 является вектор п2 = {Л2, В2}, то задача
об определении угла между прямыми и L2
сводится к определению угла ср между векто¬
рами П1 и п2 *).
Из определения скалярного произведения
П]П2 = |п11 | п21 cos ф и из выражения в коор¬
динатах длин векторов m и п2
ляриого произведения получим
т4142 Ч~ ВХВ2
и их ска*
COS ф =   --■■■ •.	.
д/д? + в1 д/лз + в2
Итак, угол ф между прямыми L\ и Ь2 определяется
формулы (5.12).
Условие п а р а л л е л ь н о с т и прямых L\ и
(5.12)
с помощью
L2, эквива¬
лентное условию коллинеарности векторов Hi и п2, заключается
в пропорциональности координат этих векторов, т. е. имеет
вид **)
т. е.
A_ = 2L
/12 В2
(5.13)
Условие перпендикулярности прямых L\ и L2
может быть извлечено из формулы (5.12) (при cos ф = 0) или
выражено равенством нулю скалярного произведения ni-n2.
Оно имеет вид
Л1Л2 + В1в2 = 0.	(5.14)
б)	Пусть теперь две прямые L\ и Ь2 заданы каноническими
уравнениями
х — хх  у — У\ „ х — х2	у — у2
li	tnx	l2	m2
Так как направляющими векторами прямых L\ и L2 служат
векторы qi = {/1, mJ и q2 = {/2, m2}, то в полной аналогии со
случаем а) мы получим:
*) Любые две пересекающиеся прямые образуют два угла, в сумме рав¬
ных л. Нам достаточно определить один из них.
**) При этом, как и выше, мы понимаем пропорцию alb == c/d в смысле
равенства ad == be.

§ И
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
117
1)	формулу для угла ф между прямыми L\ и L2:
1У2 + m,m2
COS ф = 	, ■	■—	7----■■■--:	,
VZ1 + m\m2
2)	условие параллельности прямых Li и L2:
l{ 	 m}
12	m2
3)	условие перпендикулярности прямых L\ и L2\
l[l2 + m{m2 — 0.
(5.12')
(5.13')
(5.14')
в)	Пусть, наконец, две прямые L\ и L2 заданы уравнениями
с угловым коэффициентом
y = klx-]-bl и y = k2x + b2.
Если «1 и а2 — углы наклона прямых Li и
а ср — один из углов между этими прямыми, то
ных соображений (рис. 5.5) вытекает, что &
Ф = а2 — ар
Таким образом,
tg ф = tg (<х2 — «О =
tg q2 — tg q, k2 — ki
1 -Hgqj tg q2 1+М/
О
~7
L2 к оси Ox,
Рис. 5.5
Мы получаем следующую формулу для определения угла <р:
=	(5.12Л
Если в этой формуле поменять ролями k[ и k2 (от чего факти¬
чески лишь изменится знак на противоположный), то эта фор¬
мула определит нам другой угол между прямыми, смежный по
отношению к прежнему углу (эти два угла в сумме составляют л
и тангенсы их отличаются лишь знаком).
Прямые параллельны, когда тангенс угла между ними ра¬
вен нулю, т. е. условие параллельности имеет вид
k{ = k2	(5.13zz)
(при этом числитель в (5.12") равен нулю, а знаменатель строго
положителен).
Условие перпендикулярности прямых L\ и L2 также можно
получить из (5.12"). Оно отвечает случаю, когда тангенс угла ф
не существует, т. е. случаю обращения знаменателя формулы
(5.12") в нуль: k{k2 4-1 = 0.
Итак, условие перпендикулярности прямых L\ и L2 имеет
вид
Л2 = -1/^
(5.1 Г)

118
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
7. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от
прямой. Рассмотрим какую угодно прямую L. Проведем через
начало координат О прямую п, перпендикулярную L, и обозна¬
чим буквой Р точку пересечения указанных прямых (рис. 5.6).
На прямой п возьмем единичный век¬
тор и, направление которого совпадает
с направлением отрезка ОР (в случае
совпадения точек О и Р направление п
выберем произвольно).
Поставим перед собой цель — выра¬
зить уравнение прямой L через два па¬
раметра: 1) длину р отрезка ОР,2) уголО
между вектором п и осью Ох.
Так как и — единичный вектор, то его координаты, соответ¬
ственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид*}
n = {cos0, sin0}.	(5.15)
Очевидно, точка М (я, у) лежит на рассматриваемой пря¬
мой L тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на
ось, определяемую вектором п, равна р, т. е. при условии
прпОМ = р.	(5.16)
Так как п —единичный вектор, то в силу определения 2 ска¬
лярного произведения (см. п. 1 § 2 главы 2)
прп ОМ = п • ОМ.	(5.17)
Имея в виду, что ОМ = {х,у}, а вектор и определяется равен¬
ством (5.15), мы получим следующее выражение для скаляр¬
ного произведения этих векторов:
п • ОМ = х cos 0 + У sin 0.	(5.18)
Из сопоставления (5.16), (5.17) и (5.18)' вытекает, что точка
М(х,у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда коор¬
динаты этой точки удовлетворяют уравнению
х cos 0 + у sin 0 — р = 0;	(5.19)
(5.19)' и есть искомое уравнение прямой L (выраженное через
два параметра: 0 и р). Это уравнение называется нормирован¬
ным уравнением прямой.
Введем теперь фундаментальное понятие отклонения произ¬
вольной точки М от данной прямой L. Пусть число d обозначает
расстояние от точки М до прямой L. Назовем отклонением
6 точки М от прямой L число -\-d в случае, когда точка М
*) В силу того, что проекция вектора на любую ось равна модулю этого
вектора, умноженному на косинус угла наклона к оси (см. п. 8 § 1 главы 2)<

§ И
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
119
и начало координат О лежат по разные стороны от прямой Л,
и число —d в случае, когда М и О лежат по одну сторону от L.
Если же начало координат О лежит на прямой L, мы поло¬
жим отклонение равным -\-d в случае, когда М лежит по ту
сторону от L, куда направлен вектор п, и равным —d в про-
х, у от
дивном случае.
Выясним геометрический смысл левой части уравнения
(5.19) при любых х и у.
Теорема 5.1. Левая часть нормированного уравнения пря¬
мой (5.19) равна отклонению точки М с координатами
прямой L, определяемой уравнением (5.19).
Доказательство. Спроектируем
точку М на ось, определяемую вектором п.
Пусть Q — проекция точки М. Отклонение 3
точки М от прямой L равно PQ, где PQ
обозначает величину направленного отрез¬
ка PQ оси, определяемой вектором п. Да¬
лее, из основного тождества (см. главу 1)
очевидно (рис. 5.7), что
b — PQ = OQ —OP = OQ —р. (5.20)
Но OQ = np/?OM, а последняя проекция в силу формул (5.17) и
(5.18) равна х cos 0 + г/sin 0. Итак,
OQ — х cos 0 + у sin 0.	(5.20х)
Сопоставляя формулы (5.20х) и (5.20), получим
б = xcosO + У sin0 — р	(5.21)
Теорема доказана.
Теорема 5.1 приводит нас к следующему правилу: для
нахождения отклонения 6 точки М(хъ,у$) от прямой L следует
в левую часть нормированного уравнения прямой L подставить
на место х и у координаты х0 и уо точки М.
Разумеется, эго правило позволяет отыскивать и расстояние
от точки М до прямой L, ибо расстояние равно модулю откло¬
нения.
В заключение укажем алгоритм приведения общего уравне¬
ния прямой Ах By + С = 0 к нормированному виду (5.19).
Так как указанное общее уравнение и уравнение (5.19)
должны определять одну и ту же прямую, то (в силу замечания
в конце п. 1) найдется число t такое, что
M = cos0, /B = sin0, tC — ’—p.	(5.22)
Возвышая в квадрат первые два равенства и затем складывая
их, получим /2(Л2 + В2)= 1, откуда
t == i —/	~ <
7л2 + в2
(5.23)

120
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
Остается уточнить, какой из знаков ±‘ следует взять в формуле
(5.23). Так как по смыслу расстояние р всегда неотрицательно,
то из третьего равенства (5.22) заключаем, что знак t противо¬
положен знаку С.
Итак, для приведения общего уравнения прямой Ах А- By А-
+ С = 0 к нормированному виду (5.19) следует умножить его на
нормирующий множитель (5.23), знак которого противоположен
знаку С.
8. Уравнение пучка прямых. Совокупность лежащих на дан¬
ной плоскости л прямых, проходящих через некоторую точку S
этой плоскости, принято называть пучком прямых с центром в S.
Центр S пучка прямых полностью определяется заданием
двух различных прямых этого пучка. Зная центр пучка S(xi,z/i),
легко написать уравнение любой прямой этого пучка: для этого
можно, например, использовать уравнение (5.10) прямой, про¬
ходящей через точку S(xi,z/i) и имеющей заданный угловой ко¬
эффициент k. Однако при решении задач представляется удоб¬
ным уметь писать уравнение любой прямой, проходящей через
точку пересечения двух данных прямых, не вычисляя координат
этой точки пересечения.
В этом пункте и решается задача о нахождении уравнения
пучка прямых, центром которого служит точка пересечения двух
данных прямых, определяемых уравнениями
А{х + Вау +	= 0 и А2х + В2у + С2 = 0.
Докажем следующую основную теорему.
Теорема 5.2. Если AiX + Вщ + Ci = 0 и А2х -j- В2у + С2 = 0
суть уравнения двух различных прямых, пересекающихся в неко¬
торой точке S, а а и |3 — какие угодно не равные одновременно
нулю числа, то
и {А{х + Бщ + С\) + р (А2х + В2у + С2) = 0	(5.24)
есть уравнение прямой, проходящей через точку S. Более того,
какова бы ни была наперед заданная проходящая через точку S
прямая, она определяется уравнением (5.24) при некоторых
а и р.
Доказательство. Прежде всего установим, что при лю¬
бых аир, не равных одновременно нулю, равенство (5.24) пред¬
ставляет собой уравнение первого порядка (т. е. в этом равен¬
стве хотя бы один из коэффициентов при х или при у не равен
нулю). Собирая в равенстве (5.24) коэффициенты при х и у,
перепишем это равенство в виде
(аД + рЛ2) х + (аВ1 + рВ2) у + (а^ + рС2) = 0.	(5.24')
Если бы имели место равенства аЛ1 + рЛ2 = 0 и аВ\ + рВ2 = 0,
то из этих равенств, предполагая, например, что а#=0*), мы
) По условию одно из чисел а и р отлично от нуля.
§ I]	РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ	121
получили бы
Л1/Л2 = —p/а, BJB2 = — Р/сс, Т. е. Л1/Л2 = В1/В2.
Последнее равенство (см. п. 6) есть условие параллельности пря¬
мых, определяемых уравнениями Ajx + Вху + G = 0 и Л2х +
4-В2у+С2 = 0, и противоречит предположению о том, что эти
прямые пересекаются и не совпадают.
Итак, (5.24) при любых аир, не равных одновременно нулю,
представляет собой уравнение первой степени, определяющее
(в силу результатов п. 1) некоторую прямую.
Эта прямая заведомо проходит через точку S(x0, уо) пересе¬
чения двух прямых, определяемых уравнениями
Л ^х В\У = 0 и А2х В2у Л- С2 = 0.
В самом деле, так как S(xOi yQ) принадлежит каждой из двух
указанных прямых, то справедливы равенства
A{Xq + B{yQ + С\ = 0 и А2х0 + В2у0 + С2 = 0,
из которых вытекает, что при любых а и р
а (Л^о + BLy0 + Cj) р (А2х0 + В2у0 + С2) = 0,
т. е. координаты х0 и у0 точки S удовлетворяют уравнению
(5.24).
Остается доказать, что, какова бы ни была наперед за¬
данная проходящая через точку S прямая, она определяется
уравнением (5.24) при некоторых а и р. Наперед заданная про¬
ходящая через точку S(xo, Уо) прямая однозначно определяется
заданием еще одной отличной от S точки М*(х*, #*), ей принад¬
лежащей. Таким образом, достаточно доказать, что не равные
одновременно нулю аир можно выбрать так, что координаты
х*, у* наперед заданной точки М* будут удовлетворять уравне¬
нию (5.24) при этих а и р. Подставляя в (5.24) на место х и у
координаты х* и у* точки М*, получим равенство
а (Л^* + В{у* + Ct) + р (Л2х* + В2у* + С2) = 0.	(5.25)
Прежде всего заметим, что (5.25) представляет собой уравнение
относительно а и р. В самом деле, оба выражения в круглых
скобках, являющиеся коэффициентами при аир, обратиться
в нуль не могут, ибо это означало бы, что две прямые, опреде¬
ляемые уравнениями А\Х + В\у -j- Ci = 0 и Л2х + В2у + С2 = 0,
проходят через точку Л4*. (Последнее невозможно в силу того,
что эти прямые не совпадают и проходят через точку S, отлич¬
ную от ЛР.) Итак, хотя бы одна из круглых скобок в (5.25)
отлична от нуля. Пусть, например, Л jx* + В\у* + Cj #= 0. Тогда,
задав произвольно р ¥= 0, мы определим из уравнения (5.25)

122
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
коэффициент а:
При указанных аир прямая, определяемая уравнением (5.24),
проходит через точку M*(x*,z/*). Случай, когда отлична от нуля
вторая из круглых скобок в (5.25), рассматривается аналогично.
Теорема доказана.
Замечание. Так как в уравнении пучка (5.24) хотя бы
одно из чисел аир отлично от нуля, то можно записывать
уравнение пучка не с двумя коэффициентами а и р, а с одним
коэффициентом %, равным их отношению. Так, если отлично от
нуля а, то, поделив (5.24) на а и положив X = p/а, мы полу¬
чим уравнение пучка в виде
(Alx + Bty + Ct) + К (А2х + В2у + С2) = 0.
(5.23)
Следует, однако, отметить, что уравнение (5.26) содержит все
прямые, проходящие через точку пересечения прямых, опреде¬
ляемых уравнениями Aix + В^у 4- Су — 0 и А2х 4- В2у 4~ С2 — 0,
за исключением одной прямой — прямой, определяемой уравне¬
нием Л2х + В2у + С2 = 0 (она не получится из (5.26) ни при
каком X).
§ 2. Некоторые задачи на прямую линию на плоскости
Выше уже был рассмотрен ряд задач на прямую линию на
плоскости (нахождение угла между двумя прямыми, установле¬
ние условий параллельности и перпендикулярности двух пря¬
мых, вычисление отклонения и расстояния точки от прямой, на¬
хождение уравнения прямой, проходящей через точку пересече¬
ния двух данных прямых).
В этом параграфе мы рассмотрим ряд задач, развивающих
и углубляющих материал предыдущего параграфа.
1.	Нахождение прямой, проходящей через данную точку
Ati(xi, j/i) и составляющей заданный угол ср с данной прямой
у = k}x + 6i. Будем искать уравнение прямой, проходящей через
точку Mi(xi, yi) и составляющей заданный угол <р с прямой,
определяемой уравнением у = k\x + &i, в форме (5.10):
У — У\ = k (х — %1).
Прямая (5.10) проходит через точку 7Wi(xi,t/i), и нам остается
выбрать ее угловой коэффициент k так, чтобы она составляла
угол ср с прямой у = kix + bi. Заметим, что, взяв уравнение
искомой прямой в виде (5.10), мы исключаем из рассмотрения
Прямую x = xi, проходящую через точку Mi(xi,y\) и перпенди¬
кулярную оси Ох. Так как искомая прямая у = kx — k*A\

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ ЛИНИЮ НА ПЛОСКОСТИ
123
и прямая у = k\X Ь\ составляют угол ф, то в силу формулы
(5.12'9
Из последнего уравнения определяем угловой коэффициент k
искомой прямей: k —	= ±tg ф ± tg ф, и, стало быть, при
(1 ± /?i tg ф) 0 получим
fei ±tgqp
1 kl tg ф
(5.27)
В случае, если знаменатель в формуле (5.27) обращается в нуль,
угловой коэффициент не существует, и искомую прямую, оче¬
видно, следует определить уравнением х = хх.
Итак, окончательно, получаем уравнения двух искомых пря-
мых в виде
1) ^/-//1= (Х~Х1} и =
при	tg ф =И= =Ь 1;
2)	У — У\ =	—(* — *1) и х = х{ при Mg<P = — 1;
3)	х = хх и у — ух =	(х — хО при ^1еф=1,
2.	Нахождение биссектрис углов, образованных данными
прямыми. Запишем уравнения двух прямых в нормированном
виде. Пусть это будут
х cos 0 + у sin 0 — р — 0 и х cos 0! + у sin 0i — рх = 0.
Левые части этих уравнений равны отклонениям Si и 62 точки
М (х, у) соответственно от первой и от второй прямых. На одной
из биссектрис (отвечающей тому углу, в котором лежит начало
координат) эти отклонения равны и по модулю, и по знаку, на
другой биссектрисе отклонения 61 и 62 равны по модулю и про¬
тивоположны по знаку. Таким образом, уравнения искомых бис¬
сектрис имеют вид
(х cos 0 + у sin 0 — р) — (х cos 0J + у sin 0j — рх) = 0,
(х cos 0 + У sin 0 — р) + (х cos 01 + у sin 0i — pj = 0.
3.	Условия, при которых данная прямая пересекает данный
отрезок АВ. Запишем уравнение прямой в нормированном виде
х cos 0 + у sin 0 — р = 0 и, подставив в левую часть последнего
уравнения сначала координаты точки Д, а затем координаты
точки В, найдем отклонения 6д и 6в соответственно точек А и В
от данной прямой. Для того чтобы данная прямая пересекала
отрезок АВ, необходимо и достаточно, чтобы точки А и В ле¬
жали по разные стороны от этой прямой, т. е. необходимо и до¬
статочно, чтобы отклонения 6д и 6в имели разные знаки.

124
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
4.	Определение местоположения данной точки М и начала
координат О относительно углов, образованных двумя данными
прямыми. Пусть заданы две пересекающиеся прямые и требуется
определить, в одном, в смежных или в вертикальных углах, об¬
разованных этими прямыми, лежат данная точка М и начало
координат О. Запишем уравнения данных прямых в нормирован¬
ном виде и, подставив в левые части указанных уравнений коор¬
динаты точки М, вычислим отклонения 61 и 62 точки М от пер¬
вой и второй прямых соответственно. По определению отклоне¬
ния точка М и начало координат О лежат в одном углу, если
оба отклонения 61 и 62 отрицательны, в вертикальных углах,
если отклонения 61 и 62 оба положительны, и в смежных углах,
если di и 62 имеют разные знаки.
5.	Условие пересечения трех прямых в одной точке. Найдем
условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три прямые,
определяемые уравнениями
+ В{у +	= 0, А2х + В2у + С2 = 0 и А3х + В3у 4- С3 = О,
пересекались в одной и только в одной точке.
Так как мы ищем условия, при которых точка пересечения
только одна, то необходимо предполагать, что из трех дан¬
ных прямых какие-нибудь две прямые пересекаются в одной
точке (ибо в противном случае у трех прямых либо вовсе не бу¬
дет точек пересечения, либо будет их бесконечно много). Таким
образом, необходимо требовать, чтобы из трех определителей
второго порядка
I ^1	Bj I	I Л1 I	I Л2	В2 |	/j- го\
| Л2	В2 I’	I Л3	В3 I	I Л3	В3 I	<0.^0/
хотя бы один был отличен от нуля.
Ради определенности предположим, что первые две из ука¬
занных трех прямых пересекаются в одной точке (т. е. предпо¬
ложим, что отличен от нуля первый из определителей (5.28)).
Тогда, для того чтобы три прямые пересекались в одной точке,
необходимо и достаточно, чтобы третья прямая А3х + В3у 4-
-|_ Сз = 0 принадлежала пучку, образованному первыми двумя
прямыми
а (А{х + В{у + CJ + Р (А2х + В2у 4~ С2) = 0.
В силу замечания в конце п. 1 § 1 найдется некоторое число
((обозначим его —у) такое, что все коэффициенты. последнего
уравнения равны соответствующим коэффициентам уравнения
А3х + Взу + С3 = О, умноженным на это число, т. е.
aXi 4~ рЛ2 — —
аВ{ + рВ2 = — уВ3, или
aCi + РС2 = — уС3,
a/li 4~ Р^2 +	= О,
аВ{ 4" Р#2 + Y^3= О,
aCt + рС2 4~ Y^3 = 0.

§2]
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ ЛИНИЮ НА ПЛОСКОСТИ
125
Последние равенства представляют собой однородную систему
трех уравнений относительно трех неизвестных а, £ и у. Так как
образующие пучок коэффициенты а и |3 не равны, нулю одновре¬
менно, то указанная система обязана иметь нетривиальное ре¬
шение, для чего необходимо и достаточно (см. Дополнение к
главе 1, п. 8), чтобы определитель этой системы
Л1 А2 Лз
Л] В, С]
Bj В2 В3
=
Л2 В2 С2
Ci С2 С3
Л3 В3 С3 ,
был равен пулю.
Итак, для того чтобы три прямые, определяемые уравнениями
AiX -f- Biy —|— Ci = 0, А^х Въу -|- С2 = 0 и А3х -|- В3у -j- С3 = О,
пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и до¬
статочно, чтобы обращался в нуль определитель (5.29) и был
отличен от нуля хотя бы один из определителей (5.28).
Мы пришли к этому утверждению, предположив, что первые
две из указанных трех прямых пересекаются в одной точке.
К этому же результату приводит и предположение о том, что
пересекаются в одной точке любые другие две из указанных
трех прямых (впрочем, последнее ясно из соображений сим¬
метрии) .
6.	Нахождение прямой, проходящей через точку пересечения
двух данных прямых и удовлетворяющей еще одному условию.
Пусть требуется найти уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения двух неколлинеарных*) прямых, определяе¬
мых уравнениями А\х + В\у + Ci = 0 и Д2х -ф В%у + С2 = 0, и,
кроме того, удовлетворяющей одному из следующих трех усло¬
вий: а) отсекающей на осях отрезки равной длины; б) парал¬
лельной заданной прямой А3х + В3у + С3 = 0; в) перпендику¬
лярной заданной прямой А3х + В3у + С3 = 0.
Искомая прямая принадлежит пучку
а(Л1Х + В[У + С.) + Р (А2х + В2у + С2) = 0.	(5.30)
Для определения постоянных а и (а точнее, их отношения)
будем использовать дополнительное условие.
В случае а) мы должны собрать в (5.30) коэффициенты при
х и у и приравнять друг другу модули этих коэффициентов
(мы приравниваем друг друг не сами коэффициенты при х и у,
а их модули, так как требуется, чтобы отсекаемые на осях от¬
резки имели равную длину, а не величину). В результате полу¬
чим уравнение |аЛ1 + Мг| = | ₽^2 + аВ[ | или а(Л1Ч=В1) =
*=—^(Лг + Вг). Заметим, что обе круглые скобки обратиться
в нуль не могут (так как прямые А^х + В\у + С\ = 0 и Л2% +
+ B2f/ + C2==0 не коллинеарны), и, стало быть, из последнего
*) Прямые называются неколлинеарными, если они не параллельны и не
совпадают,

126
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ 5
равенства, задавая произвольно один из коэффициентов аир,
мы найдем другой из этих коэффициентов.
В случае б) учтем, что у двух параллельных прямых коэф¬
фициенты при х и у пропорциональны (см. § 1, п. 6, условие
(5-13)).
Таким образом, мы получим
•аЛ‘ ХРЛа =	или а (А& - BtA3) = ₽ (В2Дз ~ АА).
Заметим, что в последнем равенстве обе круглые скобки не мо¬
гут обратиться в нуль (иначе бы прямые AiX-\-B\y + Ci =0 и
А2х + В2у + С2 = 0 оказались коллинеарными), и поэтому из
последнего равенства, задавая произвольно один из коэффициен¬
тов аир, мы найдем другой из этих коэффициентов.
В случае в) используем для прямой (5.30) и прямой А3х +
Ч" ВзУ + С3 = 0 условие перпендикулярности (5.14) (см. § 1, п. 6).
В результате получим (aAi + рЛ2)Л3 + (aBi + (ЗВ2)В3 = 0
или а(Д1Л3 + В1В3) = —[3(Д2Д3 + В2В3). Заметим, что обращен
ние в нуль обеих круглых скобок последнего равенства невоз¬
можно (иначе мы получили бы, что-^-=-^- и прямые А\х
'+ В^у + Ci = 0 и А2х + В2у С2 = 0 коллинеарны). Таким об-;
разом, задавая в указанном равенстве произвольно один из
коэффициентов а и р, мы определим из него другой из этих
коэффициентов.
§ 3. Различные виды уравнения плоскости
1.	Общее уравнение плоскости. Содержание этого пункта
полностью аналогично содержанию п. 1 § 1. Мы докажем два
утверждения.
1°. Если в пространстве задана произвольная плоскость л и
фиксирована .произвольная декартова прямоугольная система
Oxyz, то плоскость л определяется в этой системе уравнением
первой степени.
2°. Если в пространстве фиксирована произвольная декар¬
това прямоугольная система Oxyzt то всякое уравнение первой
степени с тремя, переменными х, у и z определяет относительно
этой системы плоскость.
Для доказательства первого утверждения достаточно уста¬
новить, что плоскость л определяется уравнением первой сте¬
пени при каком-то одном специальном выборе декартовой пря¬
моугольной системы, ибо тогда она определяется уравнением
первой степени и при любом другом выборе декартовой прямо¬
угольной системы (в силу теоремы 4.2). Расположим оси Ох и
Оу в плоскости л, а ось Oz направим перпендикулярно этой пло¬
скости. Тогда уравнением плоскости л будет уравнение первой
§3J
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
127
степени z = 0. В самом деле, этому уравнению будут удовлетво¬
рять координаты любой точки, лежащей на плоскости я, и не
будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей
на плоскости л. Утверждение Г доказано.
Для доказательства утверждения 2° фиксируем произволь¬
ную декартову прямоугольную систему Oxyz и рассмотрим про¬
извольное уравнение первой степени
Ах 4- By Cz 4" D = 0,	—(5.31)
в котором Л, В, С и D — какие угодно постоянные, причем из
постоянных А, В и С хотя бы одна отлична от нуля. Уравнение
(5.31) заведомо имеет хотя бы одно решение х0, //о, £о*), т. е.
существует хотя бы одна точка Mo(xo, f/o, Zo), координаты кото¬
рой удовлетворяют уравнению (5.31):
Ах0 4~ Ву0 4~ Cz0 + D = 0.	(5.32)
Вычитая из уравнения (5.31) тождество (5.32), получим урав¬
нение
Л (х — х0) 4- В Q/ — z/0) 4- C(z — ?0) = 0,	(5.33)
эквивалентное уравнению (5.31). Достаточно доказать, что урав¬
нение (5.33) определяет относительно системы Oxyz некоторую
плоскость. Мы докажем, что уравнение (5.33) (а стало быть,
и уравнение (5.31)) определяет плоскость л, проходящую через
точку Мъ(хп,уъ,гъ) и перпендикулярную вектору п={Л, В, С}
(так как хотя бы одна из постоянных Л, В и С не равна нулю,
то вектор п ненулевой).
В самом деле, если точка M(x,y,z) лежит на указанной
плоскости л, то ее координаты удовлетворяют уравнению (5.33),
ибо в этом случае векторы п={Л,В, С} и	— %0,
У — Уо, z— ?о} ортогональны и их скалярное произведение
Л (х — х$) 4- В (у — yQ) + C(z — zQ)	(5.34)
равно нулю. Если же точка M(x,y,z) не лежит на указанной
плоскости л, то ее координаты не удовлетворяют уравнению
(5.33), ибо в этом случае векторы п и М0М не ортогональны и
поэтому их скалярное произведение (5.34) не равно нулю.
Утверждение 2° доказано.
Уравнение (5.31) с произвольными коэффициентами А, В, С
и D такими, что из коэффициентов А, В и С хотя бы один отли*
чен от нуля, называется общим уравнением плоскости.
*) В самом деле, хотя бы одна из постоянных А, В, С отлична от нуля.
Пусть, например, С =й= 0. Тогда, взяв произвольные Хо и уо, получим из урав-
.	А	В
нения (5.31) zQ= — xq — — у0.

128
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
(ГЛ 5
Мы доказали, что плоскость, определяемая общим уравне¬
нием (5.31), ортогональна к вектору п={4, В, С}. Этот послед¬
ний вектор мы будем называть нормальным вектором плоскости
(5.31).
Заметим, что если два общих уравнения
Ах By 4~ Cz + В = 0, А^х 4~ В{у -|- C^z 4“ В^ = О
определяют одну и ту же плоскость, то найдется такое число t,
что справедливы равенства
А{ = А1, В{ = В1,	С{=С1, B{ = Bt,
т. е. коэффициенты 4Ь В{, С{ и В\ второго уравнения равны
соответсвующим коэффициентам А, В, С и D первого уравнения,
у множенным на некоторое число t.
Доказательство этого утверждения вполне аналогично дока¬
зательству утверждения, содержащегося в замечании в конце
п. 1 § 1. Мы предоставляем читателю провести его самому.
2.	Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в от¬
резках. Общее уравнение плоскости (5.31) называется пол-
н ым, если все его коэффициенты А, В, С и D отличны от нуля.
Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю,
уравнение называется неполным.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:
1)	0 = 0, уравнение Ах + By -J- Cz = 0 определяет пло¬
скость, проходящую через начало координат (поскольку коорди¬
наты начала удовлетворяют этому уравнению).
2)	4=0, уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость,
параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой пло¬
скости п ={0, В, С} перпендикулярен оси Ох).
3)	В = 0, уравнение Ах + Cz + В = 0 определяет плоскость,
параллельную оси Оу (ибо этой оси перпендикулярен нормаль¬
ный вектор п ={4, 0, С}).
4)	С = 0, уравнение Ах + By + В = 0 определяет плоскость,
параллельную оси Oz (ибо этой оси перпендикулярен нормаль¬
ный вектор и = {4, В, 0}).
5)	4 = 0, В = 0, уравнение Cz + В = 0 определяет плоскость,
параллельную координатной плоскости Оху (ибо эта плоскость
параллельна осям Ох и Оу).
6)	4 = 0, С = 0, уравнение В//4-^ = 0 определяет пло¬
скость, параллельную координатной плоскости Oxz (ибо эта пло¬
скость параллельна осям Ох и Oz).
7)	В = 0, С = 0, уравнение Ах + В = 0 определяет пло¬
скость, параллельную координатной плоскости Oyz (ибо эта
плоскость параллельна осям Оу и Oz).
8)	4=0, В = 0, В=0, уравнение Сг = 0 определяет коор¬
динатную плоскость Оху (ибо плоскость параллельна Оху и про¬
ходит через начало координат).

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
129
§ 3)
9)	А = О, С = 0, Z)=0, уравнение Ву = 0 определяет коор¬
динатную плоскость Oxz (ибо плоскость параллельна Oxz и про¬
ходит через начало координат).
Ю) В = 0, С = 0, D = 0, уравнение Ах = 0 определяет коор¬
динатную плоскость Oyz (ибо плоскость параллельна Oyz и про¬
ходит через начало координат).
Рассмотрим теперь полное уравнение плоскости (5.31) и по-
кажем, что оно может быть приведено к следующему виду:
т + т + т=>,	(3'35>
называемому уравнением плоскости в отрезках.
В самом деле, так как все коэффициенты А, В, С и D от¬
личны от нуля, мы можем переписать уравнение (5.31) в виде
—-	I	У	I	_— = 1
— D)A ' — D/В ' — D/C 1
равны величинам
и затем положить а =—D/А, Ь = —D/В, c = —D/C.
Заметим, что в уравнении «в отрезках» (5.35) числа а, Ь и с
имеют простой геометрический смысл: они
отрезков, которые отсекает плоскость на
осях Ох, Оу и Oz соответственно (отрезки
отсчитываются от начала координат, см.
рис. 5.8). Чтобы убедиться в этом, доста¬
точно найти точки пересечения плоскости,
определяемой уравнением (5.35), с осями
координат. Например, точка пересечения с
осью Ох определится из совместного рас¬
смотрения уравнения плоскости (5.35) с
уравнениями у = 0 и z = 0 оси Ох. Мы по¬
лучим координаты точки пересечения х = я,
логично устанавливается, что координаты
плоскости (5.35) с осыо Оу равны х = 0, у =
Oz равны х = 0, у 0, z = с.
3.	Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности
и перпендикулярности плоскостей. Пусть две плоскости m и лз
здданы общими уравнениями Aix + Biy + Ci? + Dy = 0 и A2x +
B2y + C2z + Ь2 = 0. Очевидно, вопрос об определении угла
между указанными плоскостями сводится к определению угла ф
между их нормальными векторами ni = {Ai, Вь CJ и п2 =
= {А2, В2, С2} *).
Из определения скалярного произведения гцпг = |ni| | n21 cos ф
и из выражения в координатах длин векторов ni и п2 и их
у == 0, z = 0. Ана¬
толии пересечения
6, z = 0 и с осыо
*) Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме
равных л. Нам достаточно определить один из этих углов.
5 В. А. Ильин, Э. Г. Позняк

130
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. б
скалярного произведения, получим
cos ф =	+	+	,
д/Л; + В; + С[ д/ Л| + в% + с2
(5.36)
Итак, угол <р между плоскостями Л1 и лг определяется с по¬
мощью формулы (5.36).
Условие параллельности плоскостей лц и л2, эквивалентное
условию коллинеарности векторов щ и п2, заключается в про¬
порциональности координат этих векторов, т. е. имеет вид *)
	 •#!   6*!
Лг В2	С2
(5.37)
Условие перпендикулярности плоскостей Л1 и Л2 может быть
извлечено из формулы (5.36) (при cos ср =0) или выражено
равенством нулю скалярного произведения векторов ni и Пг. Оно
имеет вид
Л1Л2 + В1В2 + С’1С2 = 0-	(5.38)
4.	Уравнение плоскости, проходящей через три различные
точки, не лежащие на одной прямой. Поставим перед собой
цель — вывести уравнение плоскости, проходящей через три раз¬
личные точки Л11(%1, Zi), М2(х2, #2, £г) и М3(хз, уь <?з), не ле¬
жащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат
на	одной прямой, векторы MiM2={x2— Xi, z/2 — t/i, ^2 — 2\} и
M1M3={x3— Xi, уч — yi,z3— 21} не коллинеарны, а поэтому
точка М(х, у, z) лежит в одной плоскости с точками Mi, М2 и М3
тогда и только тогда, когда векторы М{М2, М\М3 и М^М =
= {х — xi, у — yi, z— 21} компланарны, т.е. тогда и только тогда,
когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю
(см. главу 2, § 3, п. 4).
Используя выражение смешанного произведения в координа¬
тах, мы получим необходимое и достаточное условие принад¬
лежности М (х, у, z) к указанной плоскости в виде (см. главу 2,
§ 3, п. 7)
X — Xi у —Ух
Х2—Хх у 2 — У\
Хъ — Хх у3 — Ух
Z — 2х
^2 — ^1
23 “ Zx
= 0.
(5.39)
Уравнение первой степени (5.39) и является уравнением иско¬
мой плоскости.
5.	Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки
от плоскости. Рассмотрим какую угодно плоскость л. Проведем
через начало координат О прямую п, перпендикулярную пло¬
скости л, и обозначим буквой Р точку пересечения прямой п и
*) При этом, как и всюду выше, мы понимаем всякую пропорцию
tf/A .=== c/d в смысле равенства ad = be,

§ 31
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
131
плоскости л (рис. 5.9). На прямой п возьмем единичный вектор
и, направление которого совпадает с направлением отрезка ОР
(в случае совпадения точек О и Р направление п выберем про¬
извольно) .
Поставим перед собой цель — выразить уравнение плоскости
л через следующие параметры: 1) длину р отрезка ОР, 2) углы
а, (3 и у наклона вектора и к осям Ох, Оу и
Oz соответственно.
Так как и — единичный вектор, то
ординаты, соответственно равные его
циям на оси координат, имеют вид*)
n = {cosa, cosp, cosy}.
Очевидно, точка M(x,y,z) лежит на рас¬
сматриваемой плоскости л тогда и только то¬
гда, когда проекция вектора ОМ на ось,
определяемую вектором п, равна р, т.
прп ОМ = р.
(5.40)
его ко¬
пр оек-
е.
при условии
(5.41)
Так как и — единичный вектор, то в силу определения 2 ска¬
лярного произведения (см. п. 1 § 2 главы 2)
прп ОМ = и • ОМ.
(5.42)
Имея в виду, что ОМ = {х, у, z}, а вектор п определяется ра¬
венством (5.40), мы получим следующее выражение для ска*
лярного произведения этих векторов:
и • ОМ — х cos a + у cos Р + z cos у.	(5.43)
Из сопоставления (5.41), (5.42) и (5.43) вытекает, что точ¬
ка М (х, у, z) лежит на плоскости л тогда и только тогда, когда
координаты этой точки удовлетворяют уравнению
х cos a + у cos р + z cos у — р = 0.	(5.44)
(5.44) и есть искомое уравнение плоскости л, выраженное через
параметры р, а, р и у. Это уравнение называется нормирован¬
ным уравнением плоскости.
Введем теперь фундаментальное понятие отклонения произ¬
вольной точки М от данной плоскости л. Пусть число d обозна¬
чает расстояние от точки М до плоскости л.
Назовем отклонением- б точки М от плоскости л число
в случае, когда точка М и начало координат О лежат по
*) В силу того, что проекция вектора на любую ось равна модулю этого
вектора, умноженному на косинус угла наклона к оси (см. п, 8 § 1 главы 2).

132
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
разные стороны от плоскости л, и число —d в случае, когда М
и О лежат по одну сторону от л.
Если же начало координат О лежит на плоскости л, поло¬
жим отклонение равным -\-d в случае, когда М лежит по ту сто¬
рону от л, куда направлен вектор п, и равным —d в противном
случае.
Имеет место следующее важное утверждение.
Теорема 5.3. Левая часть нормированного уравнения пло¬
скости (5.44) равна отклонению точки М с координатами х, у,
z от плоскости л, определяемой уравнением (5.44).
Доказательство. Спроектируем точку А1 на ось, опре¬
деляемую вектором п. Пусть Q—проекция точки М (рис. 5.9).
Отклонение 6 точки М от плоскости л равно PQ, где PQ обо¬
значает величину направленного отрезка PQ оси, определяемой
вектором п. Далее, из основного тождества (см. главу I) оче¬
видно (см. рис. 5.9), что
b = PQ = OQ~OP = OQ- р.	(5.45)
Но OQ — прпОМ, а последняя проекция в силу формул '(5-42) и
(5.43) равна х cos а + у cos р + z cos у. Итак,
OQ = х cos а + У cos £ + z cos у.	(5.46)
Сопоставляя формулы (5.45) и (5.46), получим 6=xcosa-{-
+ у cos ₽ + 2 cos у — р. Теорема доказана.
Теорема 5.3 приводит нас к следующему правилу: для на¬
хождения отклонения 6 точки Мо(хо, у0, ?о) от плоскости л сле¬
дует в левую часть нормированного уравнения плоскости л под¬
ставить на место х, у и z координаты х0, f/o и точки Мо.
Разумеется, это правило позволяет отыскивать и расстояние
от точки М до плоскости л, ибо расстояние равно модулю от¬
клонения.
В заключение укажем алгоритм приведения общего уравне¬
ния плоскости (5.31) к нормированному виду (5.44). Так как
указанное общее уравнение и уравнение (5.44) должны опреде¬
лять одну и ту же плоскость, то (в силу замечания в конце
п. 1 этого параграфа) найдется число t такое, что
/Л = cos a, Z^ = coSj3, tC = cos у, tD = — p. (5.47)
Возвышая в квадрат первые три равенства (5.47), складывая
их и учитывая, что
равна единице (см.
С2) = 1, откуда
сумма квадратов направляющих косинусов
п. 9 § 1 главы 2), получим I2 (А2 + В2 -|-
	1

д/Д2 4- В2 + С2 ’
(5.48)
i = ±
Остается уточнить, какой из знаков ± следует взять в фор¬
муле (5.48). Так как по смыслу расстояние р всегда неотрица-

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
133
§ 3]
тельно, то из последнего равенства (5.47) заключаем, что знак
t противоположен знаку D.
Итак, для приведения общего уравнения плоскости Ах 4-
'+ By 4- Cz + D = 0 к нормированному виду (5.44) следует
умножить его на нормирующий множитель (5.48), знак которого
противоположен знаку D,
6. Пучки и связки плоскостей. Совокупность всех плоскостей,
проходящих через одну и ту же прямую Л, называется пуч¬
ком плоскостей (с центром в L).
В полной аналогии с теоремой 5.2, относящейся к пучку
прямых, доказывается следующее утверждение:
Если А[Х 4“ В\у 4~ C\Z 4- D\ = 0 и /12-^ 4“ В%у 4~ C2Z 4“ D2 == О
суть уравнения двух различных и не параллельных плоскостей,
пересечением которых служит некоторая прямая L, а а и Р —
какие угодно не равные одновременно нулю числа, то
а (А{х 4- Вху 4- Схг 4- D^) 4" Р (А2х 4“ В2у 4~ C2z 4" В2) = 0 (5.49)
есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L. Более
того, какова бы ни была наперед заданная проходящая через
прямую L плоскость, она определяется уравнением (5.49) при
некоторых а и р.
Доказательство этого утверждения (не содержащее по
сравнению с доказательством теоремы 5.2 никаких новых идей)
представляем читателю.
Сформулированное утверждение позволяет задавать пря¬
мую L, являющуюся линией пересечения двух не совпадающих
и не параллельных плоскостей Ахх 4- Вху 4- Cxz 4- Dx = 0 и
А2Х 4- В2у + С2г 4- D2 = 0, не только двумя уравнениями этих
плоскостей, но и любыми двумя различными уравнениями пучка
(5.49)	(полученными при каких угодно аир).
Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную
точку Мо(хо, у0, z0) называется связкой плоскостей (с
центром в Л40).
Легко убедиться в том, что уравнение связки с центром
в Mq(xq, уо, z0) имеет вид
А(х — х0) + В (у — г/0) + С (г — z0) = 0,	(5.50)
где А, В и С — какие угодно числа, не равные одновременно
нулю.
В самом деле, всякая плоскость, определяемая уравнением
(5.50)	, проходит через точку Л40(х0, #о, £о) • С другой стороны,
если л— наперед заданная плоскость, проходящая через точ¬
ку Мо(*о, f/o, Zo), то эта плоскость однозначно определяется за¬
данием, кроме точки Мо(хо, уо, z0), еще нормального вектора
п={Д,В, С} и потому определяется уравнением (5.33) (см.
п. 1 этого параграфа), совпадающим с уравнением (5.50).

134
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
§ 4. Прямая линия в пространстве
1.	Канонические уравнения прямой в пространстве. Выше
(см. п. 6 предыдущего параграфа) уже отмечалось, что прямую
линию в пространстве, являющуюся линией пересечения двух
различных и не параллельных плоскостей, определяемых урав¬
нениями А[Х + Biy 4- Ciz + Di = 0 и Л2х + В2у + C2z + Z)2 =
= 0*), можно задавать либо двумя уравнениями этих плоско¬
стей, либо двумя любыми различными уравнениями пучка
и (Xtx +	+ C{z + DJ + р (А2х + В2у + C2z + /)2) = 0
(отвечающими произвольно взятым числам а и Р) .
При решении многих задач более удобным является спе¬
циальный вид уравнений прямой в пространстве, к выводу ко¬
торого мы и переходим.
Договоримся называть любой ненулевой вектор, параллель¬
ный данной прямой, направляющим вектором этой прямой.
Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точ¬
ку пространства M\(x\,y\,z\) и имеющей заданный направляю¬
щий вектор q= {l,m,n}. Для этого заметим, что точка
Л4(х, г/, г) лежит на указанной прямой тогда и только тогда,
когда векторы MiM = {х — Xi, у — ух, z — zi} и q = {/, m, п}
коллинеарны, т. е. тогда и только тогда, когда координаты этих
векторов пропорциональны (см. следствие из теоремы 2.17)
=	=	(5.51)
I	m	п	х '
Уравнения (5.51) суть искомые уравнения прямой, проходящей
через точку Afi (%i, yi, Zi) и коллинеарной вектору q= {l,m,n}.
Эти уравнения принято называть каноническими уравнениями
прямой.
Заметим, что в канонических уравнениях (5.51) одно или
два из чисел Z, пг и п могут оказаться равными нулю (все три
числа /, пг и п равняться нулю не могут, так как вектор q =
= {/, m, п} ненулевой). Так как всякую пропорцию alb = cjd
мы договорились понимать как равенство ad = be, обращение
в нуль одного из знаменателей в (5.51) означает обращение в
нуль и соответствующего числителя. В самом деле, пусть, на¬
пример, 1 = 0, а п #= 0 (хотя бы одно из трех чисел I, пг и п
не равно нулю). Тогда из пропорции	=	, эквива¬
лентной равенству (х — x\)n = (z— z\)l, заключаем, что х —
— х1 = 0.
*) Из п. 3 § 3 следует, что для того, чтобы плоскости, определяемые
уравнениями Дре + Вху + CjZ +	= 0 и А2х + В2у + C2z + D2 = 0, не сов¬
падали и не были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы нарушалась
хотя бы одна из пропорций Ai/A2 =.В1/В2 =

§ 4]
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
135
(5.52)
В заключение покажем, как прямую, заданную уравнениями
двух различных и не параллельных плоскостей
А{х + В1У + C{z + D{ = О,
А2х + В2у 4“ C2z + D2 = 0,
привести к каноническому виду (5.51). Достаточно найти:
1) хотя бы одну точку Mi(%i, г/i, zi), через которую проходит
прямая (5.52); 2) направляющий вектор q = {Z,т, п} прямой
(5.52).
Начнем с нахождения координат %i, yi, zi точки Mi, через
которую проходит прямая (5.52). Так как плоскости, опреде¬
ляемые уравнениями (5.52) , не параллельны и не сливаются, то
нарушается хотя бы одна из пропорций =	= Это оз¬
начает, что хотя бы один из трех определителей второго по-
рядка j в* » в* С ’ I А С отличен от НУЛЯ (см- Допол¬
нение к главе 1, п. 1). Пусть ради определенности отличен от
нуля определитель j В1 |. Тогда, взяв вместо z произвольное
число 21 и подставив его в уравнения (5.52), определим из си¬
стемы (5.52) соответствующие этому 21 значения Xi и у^
Bi (C2zt Ръ) — ^2 (С 1^1 D А
AiB2 — А2В[
Л2 (Cj^i + DA — Ai (С22] + DA
У[

*1
(5.53)
Л1В2 — -^2-^1
В частности, можно взять zi = 0. Тогда, воспользовавшись фор¬
мулами (5.53), мы получим, что прямая (5.52) проходит через
точку Mi (BlD2-^-B?.Dl. _AzDl~AlD2 (й .
ку m[\AlB2-A2Bii AiB2^A2Bif иГ
Для нахождения координат /, т, п направленного вектора q
прямой (5.52) заметим, что вектор q ортогонален каждому из
нормальных векторов m = {4i,	и п2 = (А2, В2, С2} пло¬
скостей (5.52), так что можно положить вектор q = {/, m, п}
равным векторному произведению [П1П2]. Пользуясь выраже¬
нием векторного произведения в координатах (см. п. 6 § 3
главы 2), мы получим: I = В\С2 — В2С[, т = С\А2— C2Ai,
п = AiB2 — A2Bi'
Таким образом, для случая, когда отличен от нуля опреде-
литель /
I Л2
вид
В I
g , канонические уравнения прямой (5.52)' имеют
У
z
v 	 1	z
•^1^2 — B2Ci

136
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
Аналогично
(5.52) для
IB, CJ
р	ИЛИ
I Do О2 1
записываются канонические уравнения прямой
случая, когда отличен от нуля определитель
Mi Ci I
1А2 С21
2. Уравнения прямой, проходящей через две различные точки
t/i, Zi) и М2(х2, У2, ?2). Эти уравнения имеют вид
x — xt = у — l/i = z~zx
Х2~Хх У2 — У\ Z2 — ?!
Для получения их достаточно заметить, что прямая проходит
через точку Mi (%ь r/i, zj и имеет направляющий вектор q =
—	МХМ2 — {х2— Xi, у2 — yi, z2— 21}, и воспользоваться кано¬
ническими уравнениями (5.51).
3.	Параметрические уравнения прямой в пространстве. Па¬
раметрические уравнения прямой в пространстве элементарно
получаются из канонических уравнений (5.51) этой прямой.
Примем за параметр t каждое из отношений (5.51). Так как
один из знаменателей (5.51) отличен от нуля, а соответствую¬
щий числитель может принимать какие угодно значения, то
областью изменения параметра t является вся вещественная
ось: —оо < t < +°о« Мы получим х — X\ = lt, у — y\ = mt,
z— Z\ = nt, или окончательно
х = хл + И, y — yi + nit, z = zl + nt.	(5.54)
Уравнения (5.54) и есть искомые параметрические уравнения
прямой. Если принять параметр t за время, отсчитываемое от
некоторого начального момента, то параметрические уравнения
(5.54) определяют закон движения материальной точки по пря¬
мой линии с постоянной скоростью v =	+ пг2 + п2 (такое
движение происходит по инерции).
4.	Угол между прямыми в пространстве. Условия параллель¬
ности и перпендикулярности прямых. Пусть две прямые в про¬
странстве Li и L2 заданы своими каноническими уравнениями
x_^ = iLzy1_==z_-z1_ и	Тогда за_
/1	Wj	/21	/2	т2	П2
дача определения угла между этими прямыми сводится к опре¬
делению угла ф между их направляющими векторами:
qi = {/i, nJ и q2 = {Z2, ^2, "2}.
Пользуясь определением скалярного произведения qiq2 =
—	l4i I | Ч21 cos ф и выражением в координатах указанного ска¬
лярного произведения и длин векторов qi и q2, мы получим
для определения угла ф следующую формулу:
		М? +	+ п}п2
COS ф — ,— — 	 У			—
V l'i + mj + zif • У /2 + «2 + П2
(5.55)

ПРЯМАЯ линия в ПРОСТРАНСТВЕ
137
§ 4]
Условие параллельности прямых L\ и Ь2, эквивалентное
условию коллинеарности векторов qi и q2, заключается в про¬
порциональности координат этих векторов, т. е. имеет вид*)
ljl2 — mjnu = njn2.	(5.56)
Условие перпендикулярности прямых L\ и Ь2 может быть
извлечено из формулы (5.55) (при cos ср = 0) или выражено
равенством нулю скалярного произведения qiq2. Оно имеет вид
Ц12 + пгуп2 + пуг2 = 0.	(5.57)
5.	Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
Две прямые в пространстве L\ и Ь2 могут: 1) пересекаться,
2) быть параллельными, 3) скрещиваться. В первых двух слу¬
чаях прямые Li и L2 лежат в одной плоскости.
Установим условие принадлежности одной плоскости двух
прямых, заданных каноническими уравнениями
X — xt
 У —
_ 2 — 2]	гт X — Х2
 г/ — #2
 z — г2
И	/
«1	/2
/712
п2
Очевидно, что для принадлежности двух указанных прямых
одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора
MiM2 = {х2 —*1, У2 — У\, г2 —21}, qi = {/1, /И1, п}} и q2 =
= {/2, пг2, п2} были компланарны, для чего в свою очередь не¬
обходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение указан¬
ных трех векторов равнялось нулю. Записывая смешанное про¬
изведение указанных трех векторов в координатах (см. п. 7
§ 3 гл. 2), приходим к следующему необходимому и достаточ¬
ному условию принадлежности двух прямых L\ и Ь2 одной пло¬
скости
х2 — X,
У 2 ~ У1
?2 —
1,
= 0.
1г
т2
П2
(5.58)
Если прямые L\ и Ь2 удовлетворяют условию (5.58), то они
либо пересекаются, либо параллельны. Так как условие па¬
раллельности прямых L\ и L2 имеет вид (5.56), то для пересе¬
чения прямых L\ и L2 необходимо и достаточно, чтобы они
удовлетворяли условию (5.58) и чтобы нарушалась хотя бы
одна из пропорций l\/l2 = m\lm2 = п\)п2.
6.	Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельно¬
сти и перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим пло¬
скость л, заданную общим уравнением Ах + By + Cz -}- D = 0,
*) Как и всюду выше, любую пропорцию a/b = c/d понимаем в смысле
равенства ad = be.

138
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
и прямую L, заданную каноническими уравнениями - х *■ ■ ==»
о=	— _£zz£i
т	п
Поскольку угол ф между прямой L и плоскостью л является
дополнительным к углу ф между направляющим вектором пря¬
мой q = {/, m, п} и нормальным вектором плоскости п —
= {А,В,С} (рис. 5.10), то из определения
скалярного произведения qn = |q| |n]cosи
из равенства со5ф = этф мы получим
определения угла ф между прямой L и
скостью л следующую формулу:
Al -I- Btn -j- Сп
sin ф
для
пло-
^А2 + В2 + С2 • л/l2 + пг2 + не¬
прямой L и
себя принадлеж-
условию перпен-
равенством нулю
ПЛО-
Условие параллельности
скости л (включающее в
ность L к л) эквивалентно
дикулярности векторов и и q и выражается
скалярного произведения этих векторов:
Al + Bm + Cn = Q.	(5.59)
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости л экви¬
валентно условию параллельности векторов п и q и выражается
пропорциональностью координат этих векторов *):
А11 = В1ш = С1п.
7.	Условия принадлежности прямой ——- = •
к плоскости Ах + By + Сг + В = 0. Эти условия
двумя равенствами:
AXi + Ву[ + Czi + D — 0,
А1 Вт -|- Сп = 0,
первое из которых означает, что точка Mi (xi, yi, zj, через ко¬
торую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе есть
условие параллельности прямой и плоскости (5.59) .
8.	Связка прямых. Совокупность всех прямых, проходящих
через данную точку Mi (xi, yif zi), называется связкой пря¬
мых (с центром в точке Mi). ~
уравнения связки
Mi(xi,yi,zi) имеют вид
X —
/
У-У{
т	п
: выражаются
(5.60)
Легко убедиться в том, что
прямых с центром в точке
У— У\ = г — ?!
m	п
(5.61)
*) Как всегда, всякую пропорцию a[b ==c)d понимаем в смысле равен¬
ства ad = be.

§ 5]
ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
139
где /, т и п— какие угодно числа, не равные одновременно
нулю.
В самом деле, всякая прямая, определяемая уравнениями
(5.61), проходит через точку TWJxi, r/i, zj. С другой стороны,
если L — наперед заданная прямая, проходящая через точку
М1(Х1, г/1, 21), то эта прямая однозначно определяется заданием,
кроме точки Mi (%1, г/!, 21), еще направляющего вектора q =
= {/, m, п} и потому определяется каноническими уравнениями
(5.51), совпадающими с уравнениями (5.61).
§ 5. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве
1.	Условие пересечения трех плоскостей в одной и только в
одной точке. Для того чтобы три плоскости, соответственно оп¬
ределяемые уравнениями
А^х + В{у + C{z + £>i = О,
А2х + В2у + C2z О2 = 0у	(5.62)
А3х + В3у + С3г + £>з = О,
пересекались в одной и только в одной точке, необходимо и до¬
статочно, чтобы был отличен от нуля определитель
Л1	Cj
А2 В2 С2
A3 В3 С3
(5.63)
В самом деле, в этом и только в этом случае система (5.62)
имеет единственное решение (см. Дополнение к главе 1).
2.	Нахождение биссектральных плоскостей двугранного угла,
образованного двумя данными плоскостями. Запишем уравне¬
ния двух данных плоскостей в нормированном виде. Пусть это бу¬
дут: X COS СС1 + у COS Pl + Z COS Y1 — pl = О И X COS CC2 + у COS p2 +
’+ z cos y2 — p2 — 0.
Левые части этих уравнений соответственно равны отклоне¬
ниям 61 и 62 точки М (х, у, z) от первой и от второй плоскостей.
На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому
двугранному углу, в котором лежит начало координат) эти от¬
клонения равны и по модулю, и по знаку, на другой биссек-
тральной плоскости отклонения 61 и 62 равны по модулю и про¬
тивоположны по знаку.
Таким образом, уравнения искомых биссектральных плоско¬
стей имеют вид
(х cos aj + у cos Pi + z cos Yi — Pi) —
— (x cos a2 + у cos p2 + 2 cos y2 — p2) ~ 0,
(x cos cq + у cos Pi + 2 cos Yi — pj) +
+ (x cos a2 + у cos p2 + z cos Y2 — P2) = 0.

140
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
3.	Условия, при которых данная плоскость пересекает дан¬
ный отрезок АВ. Записав уравнение данной плоскости в нор¬
мированном виде и подставив в левую часть последнего
уравнения сначала координаты точки А, а затем координаты
точки В, найдем отклонения бд и точек А и В соответственно
от данной плоскости.
Для того чтобы данная плоскость пересекала отрезок АВ,
необходимо и достаточно, чтобы точки А и В лежали по разные
стороны от плоскости, т. е. необходимо и достаточно, чтобы от¬
клонения бд и бв имели разные знаки.
4.	Определение местоположения двух данных точек А и В
относительно двугранных углов, образованных данными плоско
стями. Пусть заданы две пересекающиеся плоскости и требуется
определить, в одном, в смежных или в вертикальных углах,
образованных двумя данными плоскостями, лежат две данные
точки А и В.
Записав уравнения данных плоскостей в нормированном
виде, вычислим отклонения бд* и б(д точки А от первой и вто¬
рой плоскостей и отклонения б/Р и бв} точки В от первой и
второй плоскостей. По знакам этих четырех отклонений заклю¬
чаем, по одну или по разные стороны от каждой из плоскостей
лежит каждая из точек А и В. Очевидно, если точки А и В ле¬
жат по одну сторону от первой плоскости и по одну сторону от
второй плоскости, то эти точки лежат в одном углу, обра¬
зованном данными плоскостями. Если точки А и В лежат по
одну сторону от одной плоскости и по разные стороны от дру¬
гой плоскости, то эти точки лежат в смежных углах. Если,
наконец, точки А и В лежат по разные стороны и от той, и от
другой плоскости, то эти точки лежат в вертикальных
углах.
5.	Уравнения прямой, проходящей через данную точку
г/1, 21) и перпендикулярной данной плоскости АхBy +
+ Cz + L) = 0. Эти уравнения имеют вид —,
ибо направляющим вектором искомой прямой служит нормаль¬
ный вектор плоскости п = {А, В, С}.
6.	Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
Mq(xq, у0, 2о) и параллельной заданной плоскости А\Х + В\у +
'+ CiZ-|-Di=0. Это уравнение имеет вид Ai (х—х0) + Bi (у—uQ) J-
+ Ci (z — z0) = 0. В самом деле, искомая плоскость принадле¬
жит связке плоскостей (5.50) и имеет тот же нормальный век¬
тор и = {Ai, Bi, Ci}, что и данная плоскость.
7.	Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
X — Xj
AIo(xo, уо, 20) и перпендикулярной заданной прямой

JL—=	Это уравнение имеет зид /(х— хо)+
< 5J	ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ	141
+ т(г/ — //о) + ^(^ — 2о) = 0. В самом деле, искомая плоскость
принадлежит связке плоскостей (5.50) и имеет в качестве нор¬
мального вектора направляющий вектор заданной прямой q =
= {/, m, п}.
8.	Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
Х-Х{	у-Ух	Z-Z^
	j   ——— = — и через заданную не лежащую на
этой прямой точку Л40(х0, уо, z0). Искомая плоскость принад¬
лежит связке плоскостей (5.50), т. е. определяется уравнением
А(х — х0)А- В(у — у0) + C(z — 2о) = 0. Используя условия (5.60)
принадлежности данной прямой к искомой плоскости, получим
следующие равенства:
А (Хх — х0) + В (ух — Уо) А~С (^i — г0) = 0,
л + в,» + сл = о. (5'64)
Точка Mq (х0, уо, г0) по условию не лежит на данной прямой.
Это означает, что нарушается хотя бы одна из пропорций
7—~~ r?i"==~n—и П0ЭТ0МУ из системы (5.64) два
из коэффициентов Л, В, С можно определить через третий. Вы¬
брав затем произвольно этот третий коэффициент (например,
положив его равным единице), мы получим уравнение искомой
плоскости.
9.	Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую
Х —	У -Ух	Z—Zx
—-—- =	— = -	—и параллельной другой данной прямой
х — х9	у — у9	z — Z9
—7-^-=-—i2-==	-*). Пусть Ax + By + Cz + D = Q-
*2 ^2 ^2
уравнение искомой плоскости. Используя условия (5.60) при¬
надлежности данной прямой к искомой плоскости, получим
Ахх 4~ Вух 4~ Czx -j- D = 0, Alx -J- Btn\ 4~ Сп\ = 0. Кроме того,
используя условие (5.59) параллельности искомой плоскости и
второй данной прямой, получим А12 + Вт2 + Сп2 = 0. В ре¬
зультате получим систему трех уравнений
Ахх -р Вух 4~ Cz\ 4~ В) ==
А1\ 4~ Впгх 4~	,== 0,
А1>2 + Btn2 4- б?/22 == 0,
из которой три из коэффициентов Л, В, С, D могут быть выраже¬
ны через четвертый (в силу того, что две данные прямые не па¬
раллельны и нарушается хотя бы одна из пропорций 1х/12 =
rs т\1т2 = /11//г2, получим, что хотя бы один из определителей
) Предполагается, что две данные прямые не параллельны.
142
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗЫ
[ГЛ. 5
третьего порядка матрицы
|| *1 У1 21	1
li mi ni О
|| li ftl2 ^2	0	I
отличен от нуля, и поэтому какие-то три из коэффициентов Л,
В, С, D можно выразить через четвертый). Положив указанный
четвертый коэффициент равным единице, мы получим уравне¬
ние искомой плоскости.
10.	Уравнение плоскости, проходящей через заданную пря¬
мую Li и перпендикулярной заданной плоскости л. Эта задача
сводится к предыдущей. Чтобы убедиться в этом, мы сначала
через точки Mi прямой Li проведем прямую L2, перпендикуляр»
ную плоскости л (такая задача решена в п. 5), и затем через
прямую Li проведем плоскость, параллельную прямой L2.
11.	Уравнения перпендикуляра, опущенного из заданной
точки Mq на данную прямую Lu Искомый перпендикуляр пред¬
ставляет собой линию пересечения двух плоскостей: 1) плоско¬
сти, проходящей через точку Af0 и прямую Li (такая плоскость
найдена в п. 8), 2) плоскости, проходящей через точку Mq и
перпендикулярной к прямой L\ (такая плоскость найдена в
п. 7).
12.	Нахождение расстояния от данной точки Af0 до данной
прямой Li. В предыдущем пункте найдены уравнения перпенди¬
куляра £2, опущенного из точки MQ на прямую Li. Решая сов¬
местно уравнения прямых Li и Л2, мы найдем точку Mi осно¬
вания указанного перпендикуляра, а затем и искомое расстоя¬
ние, равное длине отрезка MqMi.
13.	Нахождение общего перпендикуляра к двум скрещиваю¬
щимся прямым Li и £2. Проведем через прямую Li плоскость ло,
параллельную прямой L2 (эта задача решена в п. 9). После
этого проведем две плоскости Л1 и л2, перпендикулярные пло¬
скости ло и проходящие через прямые Li и L2 соответственно
(см. п. 10). Искомый перпендикуляр представляет собой линию
пересечения плоскостей Л1 и л2.
14.	Нахождение кратчайшего расстояния между двумя дан¬
ными скрещивающимися прямыми Li и £2. Для решения этой
задачи достаточно построить плоскость ло, указанную в преды¬
дущем пункте, и найти расстояния от любой точки прямой L2
до плоскости Ло-

ГЛАВА 6
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА’
В этой главе изучаются геометрические свойства эллипса,
гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересе¬
чения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через
его вершины. Эти линии часто встречаются в различных вопро¬
сах естествознания. Например, движение материальной точки
под воздействием центрального поля силы тяжести происходит
по одной из этих линий. В главе также исследуются кривые
второго порядка, т. е. линии, определяемые в декартовых коор¬
динатах, алгебраическими уравнениями второй степени. В част¬
ности, выясняется, что эллипс, гипербола и парабола являются
такими линиями и что этими тремя линиями и изученными в
предыдущей главе линейными образами исчерпываются все
линии, определяемые алгебраическими уравнениями второй
степени.
§ 1. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы
В начале этой главы мы говорили о том, что эллипс, гипер¬
бола и парабола представляют собой линии пересечения круго¬
вого конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.
Именно, если секущая плоскость пересекает все прямолиней¬
ные образующие одной полости конуса, то в сечении получится
линия, называемая эллипсом (рис. 6.1, а). Если секущая пло¬
скость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в се¬
чении получится линия, называемая гиперболой (рис. 6.1,6).
И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из об¬
разующих конуса (на 6.1, в — это образующая АВ), то в сече¬
нии получится линия, называемая параболой. Рис. 6.1 дает чи¬
тателю наглядное представление о форме рассматриваемых
линий.
В этом параграфе даются специальные определения эллип¬
са, гиперболы и параболы, основанные на их фокальных свой¬
ствах, и выводятся так называемые канонические уравнения
этих кривых. Ниже, в п. 4 § 3, будет установлена равносиль¬
144
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. G
ность этих специальных определений и определений эллипса,
гиперболы и параболы как конических сечений.
1.	Эллипс.
Определение. Эллипсом называется геометрическое ме¬
сто точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух
Эллипс
а)
Рис. 6.1
фиксированных точек Fi и F2 этой плоскости, называемых фо¬
куса м и, есть величина постоянная *).
При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Оче¬
видно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой
окружность.
Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на¬
чало О декартовой системы координат в середине отрезка FiF2,
а оси Ох и Оу направим так, как ука¬
зано на рис. 6.2 (если фокусы F\ и F2
совпадают, то О совпадает с Л и F2,
а за ось Ох можно взять любую ось,
проходящую через О).
Пусть длина отрезка F{F2 равна
2с. Тогда в выбранной системе коор¬
динат точки Fi и F2 соответственно
имеют координаты (—с, 0) и (с, 0).
Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в опре¬
делении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т.
точка плоскости с координатами (х, у)
через г\ и г2 расстояния от точки М до
е. а > с. Пусть М —
(рис. 6.2). Обозначим
точек F[ и F2 соответ-
*) Если М. — точка эллипса (см. рис. 6.2), то |Л4Д1| -Р || = 2а, а так
как сумма двух сторон MFi и MF2 треугольника MFiF2 больше третьей сто¬
роны F\F2 = 2с, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как
тогда точка М располагается на отрезке F{F2 и эллипс вырождается в от¬
резок,

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
145
ственно. Согласно определению эллипса равенство
г 1 + г2 — 2а
(6.1)
является необходимым и достаточным условием расположения
точки М (х, у) на данном эллипсе.
Используя формулу расстояния между двумя точками (см.
формулу (1.8) п. 2, § 3 главы 1), получим
Г1 = V(X + с)2 + у2, г2 = V(x — с)2 + у2.	(6.2)
Из (6.1) и (6.2) вытекает, что соотношение
д/(х + с)2 + г/2 + V(x — с)2 + Z/2 = 2а	(6.3)
представляет собой необходимое и достаточное условие распо¬
ложения точки М с координатами х и у на данном эллипсе.
Поэтому соотношение (6.3) можно рассматривать как уравне¬
ние эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радика¬
лов» это уравнение приводится к виду
где
I HL — I
а2 Ь2
Ь2 = а2 — с2 *).
(6.4)
(6.5)
Так как уравнение (6.4) представляет собой алгебраическое
следствие уравнения эллипса (6.3), то координаты х и у любой
точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (6.4). По¬
скольку при алгебраических преобразованиях, связанных с из¬
бавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы
должны убедиться в том, что любая точка Л4, координаты ко¬
торой удовлетворяют уравнению (6.4), располагается на данном
эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что вели¬
чины г\ и Г2 для каждой точки удовлетворяют соотношению
(6.1). Итак, пусть координаты хну точки М удовлетворяют
уравнению (6.4). Подставляя значение у2 из (6.4) в правую
часть выражения (6.2) для и, после несложных преобразова-
/7 с	с
ний найдем,что rt = -yj (^а + —xj • Так как а + — х > 0 **), то
г, = а + — х. Совершенно аналогично найдем, что г9 = а —- х.
Таким образом, для рассматриваемой точки М
1\ — а-[~х, г2 — а — ^х,	(6.6)
*) Напомним, что а > с, и поэтому а2 — с2 > 0.
Поскольку |х| а и с/а < 1. Заметим, что неравенство |х| а
непосредственно вытекает из уравнения (6.4), из которого ясно, что x2/a2s^l.

146
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. G
т. е. /*14“	= 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе.
Уравнение (6.4) называется каноническим уравнением эллипса.
Величины а и b называются соответственно большой и малой
полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объ¬
ясняется тем, что а > Ь) .
Замечание. Если полуоси эллипса а и & равны, то эл¬
липс представляет собой окружность, радиус которой равен
Я — а = Ь, а центр совпадает с началом координат.
2.	Гипербола.
Определение. Гиперболой называется геометрическое
место точек плоскости, для которой абсолютная величина раз¬
ности расстояний до двух фиксированных точек F\ и F2 этой
плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная*).
Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем
начало координат в середине отрезка FiF2, а оси Ох и Оу на¬
правим так, как указано на рис. 6.2. Пусть длина отрезка F\F2
равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F\ и F2
соответственно имеют координаты (—с, 0) и (с, 0). Обозначим
через 2а постоянную, о которой говорится в определении ги¬
перболы. Очевидно, 2а < 2с, т. е. а < с **).
Пусть М — точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6.2)'.
Обозначим через г\ и г2 расстояния MF\ и MF2. Согласно опре¬
делению гиперболы равенство
ki — r21 = 2а	(6.7)
является необходимым и достаточным условием расположения
точки М на данной гиперболе.
Используя выражения (6.2) для г\ и г2 и соотношение (6.7),
получим следующее необходимое и достаточное условие распо¬
ложения точки М с координатами х и у на данной гиперболе:
| V(x + с)2 + у2 — V(x — с)2 + г/2 | = Ча.	(6.8)
Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», при¬
ведем уравнение (6.8) к виду
*)/ Фокусы F\ и Е2 гиперболы естественно считать различными, ибо если
указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни
одной точки плоскости при совпадении F± и Г2, которая бы удовлетворяла
требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и
Fi совпадает с Е2, то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям
определения гиперболы.
**) Если М — точка гиперболы, то (Л477! | — |AfF2| = 2а, а так как раз¬
ность двух сторон MFi и MF2 треугольника MFpF2 меньше третьей стороны
FiF2 = 2с, то 2а >► 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как
тогда точка М располагается на прямой FiF2 вне отрезка FiF2 и гипербола
вырождается в два луча.

§ 1]	КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	147
где
Ь2 = с2-а2.	(6.10)
Мы должны убедиться в том, что уравнение (6.9)1, получен¬
ное путем алгебраических преобразований уравнения (6.8), не
приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что
для каждой точки М, координаты хну которой удовлетворяют
уравнению (6.9), величины и и г2 удовлетворяют соотношению
(6.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были
сделаны при выводе формул (6.6), найдем для интересующих
нас величин г\ и г2 следующие выражения *):
— а + х при х > 0,
а — — х при х < 0.
(6.11)
Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем [и—г2\ =
*— 2а, и поэтому она располагается на гиперболе.
Уравнение (6.9) называется каноническим уравнением ги¬
перболы. Величины а и b называются соответственно действи¬
тельной и мнимой полуосями гиперболы.
3.	Парабола.
Определение. Параболой называется геометрическое
место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой
фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до
некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рас¬
сматриваемой плоскости.
Указанная в определении точка F называется фокусом па¬
раболы, а фиксированная прямая — директрисой **) параболы.
Для вывода канонического уравнения параболы выберем
начало О декартовой системы координат в середине отрезка
FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фо¬
куса F на директрису***), а оси Ох и Оу направим так, как
указано на рис. 6.3. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда
в выбранной системе координат точка F имеет координаты
(р/2,0). Пусть М — точка плоскости с координатами (х,у).
Обозначим через г расстояние от М до F, а через d — расстоя-
*) При этом мы должны учесть, что ]х| а и с]а> 1. Заметим, что
неравенство |х| а непосредственно вытекает из уравнения (6.9).
**) Слово директриса означает направляющая.
***) Естественно считать, что фокус F не лежит на директрисе, ибо в
противном случае точки плоскости, для которых были бы выполнены условия
определения параболы, располагались на прямой, проходящей через F пер¬
пендикулярно директрисе, т. е, парабола выродилась бы в прямую.

148
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
ние от М до директрисы
раболы равенство
(рис. 6.3). Согласно определению па-
г = d
(6.12)
является необходимым и достаточным условием расположения
точки М на данной параболе. Так как
д/(* — у)2 + #2, d = -^ + x*),	(6.13)
то, согласно (6.12J, соотношение
представляет собой необходимое и достаточное условие распо¬
ложения точки М с координатами х и у на данной параболе.
Поэтому соотношение (6.14) можно
рассматривать как уравнение па¬
раболы. Путем стандартного при¬
ема «уничтожения радикалов» это
уравнение приводится к виду
у2 = 2рх.	(6.15)
Убедимся в том, что уравнение (6.15),
полученное путем алгебраических
преобразований уравнения (6.14),
не приобрело новых корней. Для
этого достаточно доказать, что для
каждой точки Л4, координаты х и у
которой удовлетворяют уравнению (6.15), величины г и d равны
(выполнено соотношение (6.12)).
Из соотношения (6.15) вытекает, что абсциссы х рассматри¬
ваемых точек неотрицательны, т. е. х 0. Для точек с неотри¬
цательными абсциссами d — ~ х. Найдем теперь выражение
для расстояния г от точки М до F. Подставляя у2 из выраже¬
ния (6.15) в правую часть выражения для г (6.13) и учитывая,
что х 0, найдем, что г = -у + х..Таким образом, для рассмат¬
риваемых точек г = d, т. е. они располагаются на параболе.
Уравнение (6.15) называется каноническим уравнением па¬
раболы, Величина р называется параметром параболы.
*) Эта формула верна лишь для точек с неотрицательными абсцисса¬
ми х. Для точек с отрицательными абсциссами, как легко видеть, выполняется
соотношение г > и поэтому такие точки можно исключить из рассмотрения.

§ 2]
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
149
§ 2. Исследование формы эллипса, гиперболы
и параболы по их каноническим уравнениям
Мы уже имеем наглядное представление о форме эллипса,
гиперболы и параболы (рис. 6.1). Исследование канонических
уравнений этих линий позволяет выяснить свойства, более точно
характеризующие их форму.
1. Исследование формы эллипса. Для удобства запишем еще
раз каноническое уравнение эллипса (6.4):
При этом будем считать а > Ь.
1°. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси сим¬
метрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эл¬
липса)*). Действительно, в уравнении (6.4) величины х и у
фигурируют в четных степенях. Следовательно, если коорди¬
наты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.4) (т. е.
точка М. располагается на эллип-
се), то этому уравнению удовле¬
творяют координаты (—х, у) и
(х, —у) симметричных ей точек
относительно осей координат и
координаты (—х,—у) точки, сим¬
метричной А4 относительно на¬
чала координат (рис. 6.4).
Таким образом, если эллипс
задан своим каноническим урав¬
нением (6.4), то главными осями
этого эллипса являются оси ко¬
Рис. 6.4
ординат, а центром эллипса —
начало координат. Точки пересечения эллипса с главными ося¬
ми называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, D на
рис. 6.4 — вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют со¬
ответственно координаты (—гг,О), (0,6), (а, 0), (0,—Ь).
Замечание 1. Очевидно, длины отрезков, образованных
пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 26. Так
как 2а > 26, то главная ось, образующая в пересечении с эл¬
липсом отрезок 2а, называется большой осью эллипса. Другая
главная ось называется малой осью эллипса.
Если эллипс задан уравнением (6.4), то при а > b большой
осью будет ось Ох, а малой — ось Оу. При 6>а большой
осью будет ось Оу, а малой — Ох.
*) Если эллипс представляет собой окружность, то любая прямая, прохо¬
дящая через центр окружности, является осью симметрии. Отметим, что цен¬
тром эллипса является точка пересечения главных осей.

150
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
Замечание 2. Очевидно, фокусы эллипса располагаются
на его большой оси.
2°. Весь эллипс содержится внутри прямоугольника |х| а,
1у|< b (на рис. 6.4 этот прямоугольник не заштрихован).
В самом деле, из канонического уравнения (6.4)' вытекает, что
неравен-
неравен-
У,
■—-^,1/}
j\\
1	N
1	л
А	|	ч,—
1 0
х2/а2	1 и у2/Ь2	1. Эти
ства, очевидно, эквивалентны
ствам | х | а и | у | Ь.
3°. Эллипс может быть
посредством равномерного
окружности. Рассмотрим окружность
(рис. 6.5), заданную уравнением
г2 ,,2
получен
сжатия
(6.16)
а2 1 а2
Произведем теперь
сжатие плоскости к оси
кое преобразование, при
ка с координатами (х, у) перейдет в
точку с координатами (х, у), причем
Очевидно, при этом преобразовании окруж-
равномерное
Ох, т. е. та-
котором точ-
х = х, а у =
кость (6.16) перейдет в кривую, определяемую уравнением
у 2
-о- + -fo- = 1, т. е. в эллипс.
2. Исследование формы гиперболы. Обратимся к канониче¬
скому уравнению гиперболы (6.9)
х2	у2 	1
а2 Ь2
1°. Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гипер¬
болы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна
из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые
называются вершинами гиперболы. Эта ось называется действи¬
тельной осью гиперболы.
Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому
называется мнимой осью гиперболы.
Таким образом, мнимая ось гиперболы разделяет плоскость
на правую и левую полуплоскости, в которых расположены
симметричные относительно этой оси правая и левая ветви ги¬
перболы.
Справедливость указанного свойства симметрии гиперболы
вытекает из того, что в уравнении (6.9) величины х и у фигу¬
рируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х
и у точки М удовлетворяют уравнению (6.9) (т. е. точка М
располагается на гиперболе), то этому уравнению удовлетво¬
ряют координаты (—х, у\ и (х, —у) симметричных ей точек

§ 2] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
151
относительно осей координат и координаты (— х, —у) точки,
симметричной М относительно начала координат (рис. 6.6).
Таким образом, если гипербола задана своим каноническим
уравнением (6.9), то главными осями этой гиперболы являются
оси координат, а центром гиперболы — начало координат.
Убедимся теперь, что ось Ох является действительной осью
гиперболы, точки Л(—а,0) и В(а,0)—вершинами гиперболы
и ось Оу является мнимой
осью гиперболы. Для этого до¬
статочно доказать, что ось Ох
пересекает гиперболу в точ¬
ках Л и В, а ось Оу не имеет
общих точек с гиперболой.
Так как ординаты точек оси
Ох равны нулю, то для выяс¬
нения величины абсцисс то¬
чек пересечения этой оси с ги¬
перболой нужно в уравнении
(6.9) положить у = 0. После
этого мы получим уравнение
х2/а2=1, из которого нахо¬
дятся абсциссы точек пересе¬
чения оси Ох с гиперболой,
решения х — —а и х — а. Следовательно, ось Ох пересекает
гиперболу (т. е. является ее действительной осью) в точках
Д(—а,0) и В(а,0) (т. е. эти точки и есть вершины гиперболы).
Поскольку абсциссы точек оси Оу равны нулю, то для ординат
точек пересечения этой оси с гиперболой получаем из (6.9)
уравнение —y2/b2 = 1, которое не имеет действительных реше¬
ний. Следовательно, ось Оу является мнимой осью гиперболы.
Замечание. Фокусы гиперболы располагаются на ее дей¬
ствительной оси.
2°. Рассмотрим область О, которая получена объединением
прямоугольника D, координаты х и у точек которого удовлетво¬
ряют неравенствам |х| < а, |у|<&, и тех двух углов, образо¬
^^7^^777
Ш\
777В (а, 0)
777/
/777/.
Полученное уравнение имеет
ванных диагоналями этого прямоугольника, в которых распола¬
гается мнимая ось гиперболы (на рис. 6.6 эта область заштри¬
хована). Убедимся, что в области G нет точек гиперболы.
Разобьем область G на две части Gi и G2, где G\ представ¬
ляет собой полосу, абсциссы х точек которой удовлетворяют
неравенству |х| < a, a G2— остальная часть области G*). Оче¬
видно, в полосе Gi нет точек гиперболы, так как абсциссы х
*) Область Gi представляет собой, очевидно, полосу, заключенную между
безгранично продолженными вертикальными сторонами прямоугольника £),
Область Ga состоит из четырех частей, каждая из которых располагается
в одном из координатных углов.

152
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
точек, расположенных на гиперболе, удовлетворяют неравенству
|х|^ а*). Обратимся теперь к точкам области G2. Заметим,
что каждая точка G2 либо лежит на диагонали прямоугольника
D, либо за его диагональю* **). Поскольку диагонали D опре-
b	b
деляются уравнениями у = — х и у =	х, то координаты х
и у точек G2 в силу их расположения удовлетворяют неравен¬
ству b/а ^\у\/\х\ ***). Из этого неравенства вытекает нера¬
венство \х\/а ^\у\/Ь, из которого в свою очередь следуют не-
равенства	—р"^0<1, а так как для точек гиперболы
х2 и2
	^2= 1, то в области G2 кет точек гиперболы.
3°. Установим важное свойство гиперболы, связанное с ее
расположением относительно диагоналей прямоугольника D, о
котором говорилось выше.
В общих чертах это свойство заключается в том, что ветви
гиперболы приближаются к диагоналям прямоугольника D.
В силу симметрии гиперболы это свойство достаточно выяс¬
нить для части гиперболы, расположенной в первой четверти.
Координаты х и у точек гиперболы, расположенных в первой
четверти, удовлетворяют условиям х^а, г/^0****). Обра¬
щаясь к уравнению (6.9), мы видим, что при указанных условиях
это уравнение эквивалентно соотношению
<617>
Иными словами, рассматриваемая часть гиперболы представ¬
ляет собой график функции (6.17)*****). Легко убедиться, что
эта функция может быть представлена в следующей форме:
(6.18)
Обратимся теперь к диагонали прямоугольника D, располо¬
женной в первой четверти. Она определяется уравнением
(6.19)
у 2
*) Из канонического уравнения гиперболы вытекает, что = 1 + -р-,
т. е. x2ja2 1. Последнее неравенство эквивалентно неравенству |х| а.
**) Будем говорить, что точка М плоскости лежит за диагональю пря¬
моугольника D, если перпендикуляр, опущенный из М на ось Ох, пересекает
эту диагональ.
***) Абсциссы х точек б2 не равны нулю.
****) в силу свойства 2° гиперболы (6.9) абсциссы ее точек удовлетво¬
ряют условию |х | а. Для точек первой четверти это условие может быть
записано в виде х а.
.****♦) По П0В0Ду понятия график функции см. выпуск 1, главу 1, § 2, п. 4.

§21
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
153
Сравним величины ординат У и у рассматриваемой диагонали
и части гиперболы для одного и того же значения х, т. е. рас¬
смотрим разность У — у (рис. 6.7, а). Используя соотношения
(6.18) и (6.19), получим
b
x + ^jx2 — а2
У _
(6.20)
Из соотношения (6.20) следует, что при х->оо разность У — у
стремится к нулю. Абсолютная величина |У — у\ равна длине
отрезка MN (рис. 6.7, а). Так как расстояние МР от точки М
гиперболы до рассматриваемой диагонали не превышает длины
отрезка MN, то при удалении точки М гиперболы в бесконеч¬
ность (т. е. при х->оо) расстояние МР стремится к нулю. Сле¬
довательно, рассматриваемая часть ветви гиперболы прибли¬
жается к соответствующей диагонали прямоугольника D. В силу
симметрии аналогичным свойством обладают и другие части
гиперболы, расположенные во второй, третьей и четвертой чет¬
вертях.
Диагонали прямоугольника D обычно называются асимпто¬
тами гиперболы. Отметим, что асимптоты гиперболы опреде¬
ляются уравнениями
У=-|х и у = — ух.	(6.21)
4°. Наряду с гиперболой (6.9) рассматривают так называе¬
мую сопряженную по отношению к ней гиперболу. Сопряжен¬
ная гипербола определяется каноническим уравнением
£-£ = -1*). (6.22)
:}) Чтобы убедиться, что уравнение (6.22) определяет гиперболу, доста¬
точно положить х = у, у — х и умножить обе части этого уравнения на — 1.

154
ЛИНИИ ВТОРОГО порядка
[ГЛ. 6
мом деле, так как
На рис. 6.7, б изображены гипербола (6.9) и сопряженная ей
гипербола (6.22). Очевидно, что сопряженная гипербола имеет
те же асимптоты, что и данная. Иными словами, асимптоты со¬
пряженной гиперболы определяются уравнениями (6.21). Заме¬
тим, что гипербола (6.9) в свою очередь является сопряженной
по отношению к гиперболе (6.22).
3. Исследование формы параболы. Обратимся к канониче¬
скому уравнению параболы (6.15):
у2 = 2рх.	(6.15)
Г. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка
пересечения параболы с осью называется вершиной параболы.
Действительно, в уравнении (6.15) ве¬
личина у фигурирует в четной степени.
Следовательно, если координаты х и у
точки М удовлетворяют уравнению (6.15)
(т. е. точка М располагается на парабо¬
ле), то этому уравнению удовлетворяют
координаты (х, —у) симметричной ей
точки относительно оси Ох (рис. 6.8).
Таким образом, если парабола задана
своим каноническим уравнением (6.15),
то осью этой параболы является ось Ох.
Очевидно, вершиной параболы является
начало координат.
2°. Вся парабола расположена в пра¬
вой полуплоскости плоскости Оху. В са-
>0, то уравнению (6.15) удовлетворяют
координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Та¬
кие точки располагаются в правой полуплоскости.
3°. Из рассуждений п. 3 § 1 этой главы вытекает, что ди¬
ректриса параболы, определяемой каноническим уравнением
(6.15), имеет уравнение
у = — р[2.	(6.23)
4°. Любые две параболы подобны друг другу. Пусть у2 =
= 2рх и у2 = 2р*х — канонические уравнения этих парабол
в декартовой системе Оху, y = kx — уравнение произвольной
прямой, проходящей через О, а (х, у) и (х*,г/*)—координаты
точек пересечения этой прямой с параболами. Используя кано¬
нические уравнения, получим х = Ър/k2, у — ±2p/k, х* = 2р*/А2,
р* = ±2p*/k. Из последних формул вытекает, что р- = р/р*,
^г = р/р*. Но эти равенства означают подобие рассматриваемых
парабол относительно точки О.

§ 3]
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
155
5°. Отметим, что кривая у2 = 2рх при р < 0 также является
параболой, которая целиком располагается в левой полупло¬
скости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно за¬
менить х на —х и — р на р.
§ 3. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы
Определение параболы, данное в п. 3 § 1 этой главы, бази¬
ровалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фоку¬
сом и директрисой. Это свойство можно сформулировать также
и следующим образом: парабола есть геометрическое место то¬
чек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса
к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть
величина постоянная, равная единице.
Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола
обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса*) эл¬
липса или гиперболы можно указать такую прямую, называе¬
мую директрисой, что отношение расстояния от точек этих
кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу
директрисы есть величина постоянная.
Данный параграф посвящен выяснению этого свойства эл¬
липса и гиперболы.
1.	Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллип¬
су (гиперболе). Пусть с — половина расстояния между фоку¬
сами эллипса**) (гиперболы), а — большая полуось эллипса
(действительная полуось гиперболы).
Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы)
называется величина е, равная с/а\
е = фа.	(6.24)
Замечание 1. Учитывая связь величины с с длинами а
и Ъ большой и малой полуосей эллипса (с длинами действи¬
тельной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (6.5) и
(6.10)), легко получить следующие выражения для эксцентри¬
ситета е\
ь2"
1 —	,	(6.25)
/ ь2
для гиперболы е= а / 1	.	(6.25 )
Из формул (6.25) и (6.25х) вытекает, что эксцентриситет эл¬
липса меньше единицы, а эксцентриситет гиперболы больше
единицы ***).
*) Напомним, что отличный от окружности эллипс и гипербола имеют
по два фокуса.
**) Если эллипс представляет собой окружность, то с — 0.
***) Напомним, что величина Ь как для эллипса, так и для гиперболы
Не равна нулю.

156
ЛИНИИ ВТОРОГО порядка
[ГЛ. 6
Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для
окружности Ь = а).
Замечание 2. Два эллипса (две гиперболы), имеющих
одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из фор¬
мулы (6.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (6.25х)
для эксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с оди¬
наковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь/а
малой и большой полуосей (гипербо¬
лы с одинаковым эксцентриситетом
имеют одинаковое отношение b/а мни¬
мой и действительной полуосей). Та¬
кие эллипсы (гиперболы) подобны*).
Замечание 3. Эксцентриситет
эллипса можно рассматривать как
меру его «вытянутости»: чем больше
эксцентриситет е (см. формулу (6.25)),
тем меньше отношение b/а малой по¬
луоси эллипса Ь к его большой полу¬
оси а. На рис. 6.9 изображены эллип¬
сы с разными эксцентриситетами, но
с одинаковой большой полуосью а.
Замечание 4. Эксцентриситет
гиперболы можно рассматривать как
числовую характеристику величины раствора угла между ее
асимптотами.
В самом деле,
отношение b/а равно тангенсу
половины угла между асимптота¬
ми гиперболы.
2.	Директрисы эллипса и ги¬
перболы.
Г. Директрисы эллипса. Мы
выяснили, что любой, отличный
от окружности эллипс имеет
большую и малую оси и центр —
точку пересечения этих осей (см.
п. 1 § 2 этой главы). Обозначим
через с половину расстояния
между фокусами F\ и F2 эллипса, через а его большую полу¬
ось и через О его центр (рис. 6.10).
Пусть е — эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс от¬
личен от окружности, то е =# 0) и л — плоскость, в которой рас¬
положен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость
*) Чтобы убедиться в этом, достаточно расположить эти эллипсы (соот¬
ветственно гиперболы) так, чтобы их центры и одноименные главные оси
совпадали. Тогда из канонических уравнений легко следует подобие кривых
с равными отношениями Ь/а.

§ 3]
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
157
на две полуплоскости. Обозначим через л/ (/= 1, 2) ту из этих
полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i = 1, 2).
Определение. Директрисой Di (i = 1, 2) эллипса, отве¬
чающей фокусу Fi (i — 1,2), называется прямая, расположен¬
ная в полуплоскости л/ (J, = 1, 2) перпендикулярно большой оси
эллипса на расстоянии а/е от его центра.
Замечание 1. Выберем начало декартовой прямоугольной
системы координат в середине отрезка F\F2, а оси Ох и Оу на¬
правим так, как указано на рис. 6.10. Тогда, очевидно, уравне¬
ния директрис Di (i = 1,2) эллипса можно записать следую¬
щим образом'.
уравнение директрисы Dx\ х = — а!е,
уравнение директрисы D2. x = aje.	(6.26)
Замечание 2. Директрисы эллипса расположены вне эл¬
липса. Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике
|х|^а,	(см. п. 1 § 2 этой главы и рис. 6.4), стороны
которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса.
Из определения директрис вытекает, что они параллельны
двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого
прямоугольника. Поскольку упомянутые стороны отстоят от
центра эллипса на расстоянии а, а директрисы — на расстоянии
а/е > а (0 < е < 1), то директрисы расположены вне пря¬
моугольника, а следовательно, и вне эллипса.
Замечание 3. Мы только что выяснили, что директрисы
расположены вне эллипса. Отсюда вытекает, что точки эллипса
и его центр расположены по одну сторону от каждой из его
директрис.
Замечание 4. Обозначим через р расстояние от фокуса
эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы. По¬
скольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно
а/е, а расстояние от центра эллипса до фокуса равно с, то р
равно- с*). Так как с = ае, то для р получаем следующее
выражение:
Р = а(/ =а ' 1 ~ 6 .	(6.27)
Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного
от окружности эллипса и его директрис.
Теорема 6.1. Отношение расстояния п от точки М эллипса
до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей
*) Напомним, что центр эллипса и его фокусы расположены на большой
оси, которая перпендикулярна директрисам. Поэтому с учетом расположения
центра, фокуса и отвечающей ему директрисы (рис. 6.10) р равно ale —с.

158
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
этому фокусу директрисы Di равно эксцентриситету е этого эл¬
липса.
Доказательство. Пусть Fi и F2—фокусы эллипса*).
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, как
это указано в замечании 1 этого пункта (рис. 6.10). В п. 1 § 1
этой главы мы выяснили, что при таком выборе системы коор¬
динат расстояния и и г2 от точки М(х,у) эллипса до фокусов
Fi и F2 определяются формулами (6.6). Так как отношение с/а
равно эксцентриситету е этого эллипса, то для ri и г2 мы полу¬
чим выражения
г{ — а + ех, г2-а — ех.	(6.28)
Найдем теперь расстояния di от точки М эллипса до директрис
Di. Используя уравнения директрис Di (см. формулы (6.26)),
легко убедиться в том, что нормированные уравнения дирек¬
трис имеют вид (см. п. 7 § 1 главы 5):
нормированное уравнение директрисы Dy. — х — ~ = 0,
а	<6-29)
нормированное уравнение директрисы Dy. х — — =0.
М(х, у) эллипса и начало
координат находятся
Так как точка
по одну сторону от каждой из директрис (см. замечание 3 этого
и d2 от точки М (х, у) до директрис
Di и D2 равны соответствующим от*
клонениям М(х,у) от Di и D2, взя*
тым со знаком минус, и мы полу¬
чим (в силу (6.29) и теоремы 5.1):
1 —	» d2 —
1	е	£	е
а — ех
(6.30)
Используя формулы (6.28) и (6.30),
найдем, что
rt/dt = е,
Теорема доказана.
2°. Директрисы гиперболы. Обо¬
значим через с половину расстоя-
и F2 гиперболы, через а ее дей-
i= 1, 2.
фокусами
полуось и через О ее центр (рис. 6.11). Пусть
F\
ния между
ствительную
е — эксцентриситет этой гиперболы и л — плоскость, в которой
расположена гипербола. Мнимая ось гиперболы разбивает эту
плоскость на две полуплоскости. Обозначим через л, (i = l, 2)
ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i — 1, 2).
*) Так как эллипс отличен от окружности, то его фокусы не совпадают.

ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
159
§
Определение. Директрисой Di (/=1, 2) гиперболы, от¬
вечающей фокусу Fi (/ = 1, 2), называется прямая, располо¬
женная в полуплоскости Ki (i = 1, 2) перпендикулярно действи¬
тельной оси гиперболы на расстоянии а/е от ее центра.
Замечание 5. Выберем начало декартовой прямоуголь¬
ной системы координат в середине отрезка а оси Ох и Оу
направим так, как указано на рис. 6.11. Тогда, очевидно, урав¬
нения директрис Di (f = l, 2) гиперболы можно записать сле¬
дующим образом:
уравнение директрисы D{: х = — а/е,
уравнение директрисы D2: х = а/е.	'
Замечание 6. Директрисы гиперболы целиком располо¬
жены в области G, не содержащей точек гиперболы (см. 2° п. 2
§ 2 этой главы и рис. 6.6). В самом деле, в 2° и. 2 § 2 этой
главы мы убедились, что полоса G\, определяемая в выбранной
в замечании 5 системе координат Оху неравенством |х|< а,
содержится в области G. Но эта полоса содержит директрисы
гиперболы, так как, согласно (6.31), для точек директрис
]х| = -|-<а/ ибо для гиперболы е > 1. Расположение дирек¬
трис гиперболы указано на рис. 6.11.
Замечание 7. Только что сделанное замечание позволяет
обосновать расположение директрис гиперболы, указанное на
рис. 6.11. Именно, очевидно, что точки левой (правой) ветви
гиперболы и ее центр О расположены по разные стороны от
директрисы D\ (D2), а точки правой (левой) ветви гиперболы
и ее центр О расположены по одну сторону от директрисы
Dx (D2).
Замечание 8. Обозначим через р расстояние от фокуса»
гиперболы до соответствующей этому фокусу директрисы. По¬
скольку расстояние от центра гиперболы до директрисы равно
а/е, а расстояние от центра гиперболы до фокуса равно с, то
р — с—2.*). Так как с = ае, то для р получаем формулу
р = а(е —	(6-32)
Докажем теорему, выясняющую важное свойство гиперболы и
ее директрис.
Теорема 6.2. Отношение расстояния а от точки М гиперболы
до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей
*) Напомним, что центр гиперболы и ее фокусы расположены на дей¬
ствительной оси, которая перпендикулярна директрисам. Поэтому с учетом
расположения центра, фокуса и отвечающей ему директрисы (см. рис. 6.11)
а
р равно с

160
ЛИНИИ ВТОРОГО порядка
[ГЛ 6
этому фокусу директрисы Di равно эксцентриситету е этой ги¬
перболы.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы нуж¬
но рассмотреть следующие четыре случая: 1) точка М находит¬
ся на левой ветви гиперболы, исследуется фокус Fi и дирек¬
триса Dr, 2) точка М находится на правой ветви гиперболы, ис¬
следуется фокус Fi и директриса Dr 3) точка М на левой ветви,
фокус F2, директриса D2; 4) точка М на правой ветви, фокус F2i
директриса Ь2. Так как рассуждения для каждого из случаев
однотипны, то мы ограничимся лишь первым случаем.
Расположим систему координат так, как это указано в за¬
мечании 5 этого пункта. Так как абсцисса х любой точки
М(х,у) левой ветви гиперболы отрицательна, то расстояние г\
от этой точки до фокуса Fi, согласно формулам (6.11), равно
— а —Так как с/а — е, то для г\ получим выражение
гх = —- а — ех.
(6.33)
Директриса Di определяется первым из уравнений (6.31). Со
гласно п. 7 § 1 главы 5 нормированное уравнение этой дирек¬
трисы имеет вид
(6.34)
Так как точка М левой ветви гиперболы и начало координат
находятся по разные стороны от директрисы D\ (см. замеча¬
ние 7 этого пункта), то расстояние d\ от точки М до директри¬
сы Di равно отклонению М от и мы получим (в силу (6.34)
и теоремы 5.1)
— а — ех
е
(6.35)
Используя формулы (6.33) и (6.35), найдем, что r\/d\ = е.
Для первого случая теорема доказана. Остальные случаи рас¬
сматриваются аналогично.
3.	Определение эллипса и гиперболы, основанное на их свой¬
стве по отношению к директрисам. Теоремы 6.1 и 6.2, доказан¬
ные в предыдущем пункте, выясняют свойство отличного от
окружности эллипса и гиперболы, связанное с директрисами
этих кривых. Убедимся в том, что это свойство эллипса и ги¬
перболы может быть принято в качестве их определения. Рас¬
смотрим в плоскости л точку F и прямую D (рис. 6.12). Будем
предполагать, что точка F не лежит на прямой D. Докажем
следующее утверждение.
Теорема 6.3. Геометрическое место {А1} точек М плоскости
л, для которых отношение е расстояния г до точки F к расстоя¬
нию d до прямой D есть величина постоянная, представляет со¬
бой эллипс (при е < 1) или гиперболу (при е > 1),

§ 3J
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
161
При этом точка F называется фокусом, а прямая D —
директрисой рассматриваемого геометрического места.
Доказательство. Убедимся, что в некоторой, специаль¬
но выбранной системе координат геометрическое место точек,
удовлетворяющее требованиям сформулированной теоремы,
определяется при е < 1 уравнением + -р- = 1 (т. е. является
эллипсом), а при е>1—уравнением^—'fr= 1 (т. е- яв'
ляется гиперболой)*). Пусть R— точка пересечения прямой D
И прямой А, проходящей через F перпендикулярно D (рис. 6.12).
На прямой А выберем положительное
направление от F к R при е < 1 и
от R к F при е> 1 (на рис. 6.12 по¬
казан случай е<1). Так как даль¬
нейшие рассуждения для случая е>1
и е<?1 идентичны, мы проведем их
подробно для е 1, т. е. для случая,
определяющего эллипс. Обозначим че¬
рез р расстояние между точками F
и R. Вспоминая расположение дирек¬
трисы эллипса относительно его цен¬
тра (см. п. 2 этого параграфа), есте¬
ственно выбрать начало О координат
на прямой А слева от точки R на расстоянии a/в. При задан*
ных е и р величина а/е может быть определена при помощи
формулы (6.27) (см. также замечание 4 п. 2 этого параграфа).
Иными словами, естественно положить
а 	 р
е 1 — е2
(6.36)
Будем теперь считать прямую А с выбранным началом О
и направлением от F к R осью абсцисс. Ось ординат направим
так, как указано на рис. 6.12. В выбранной системе координат
фокус F имеет координаты (с, 0), где
С = РТТ77Г**).	(6.37)
а директриса D определяется уравнением
(6.38)
*) Эти уравнения, как было выяснено в § 1 этой главы, являются урав¬
нениями эллипса и гиперболы.
**) Формула (6.37) вытекает из формулы c^RO—RF и формул RF.^p
и RO
а
е
6 В. А. Ильин, Э. Г. Позняк

162
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
Перейдем теперь к выводу уравнения рассматриваемого гео¬
метрического места точек. Пусть М— точка плоскости с коор¬
динатами (х,у) (рис. 6.12). Обозначим через г расстояние от
точки М до фокуса F и через d расстояние от точки М до ди¬
ректрисы Z). Соотношение
rjd — e	(6.39)'
является необходимым и достаточным условием расположения
точки М на геометрическом месте {714}.
Используя формулу расстояния между двумя точками М и
F (см. формулу (1.8) п. 2 § 3 главы 1) и формулу для
ния от точки М до прямой D (см. п. 7 § 1 главы 5),
г = л/(х — с)2 + у2,
d — — — х *).
Из (6.39), (6.40) и (6.41) вытекает, что соотношение
расстоя-
получим
(6.40)
(6.41)
>-c)2 + j/2
(6.42)
представляет собой необходимое и достаточное условие распо¬
ложения точки М с координатами х и у на геометрическом ме¬
сте {AI}. Поэтому соотношение (6.42) является уравнением гео¬
метрического места {Л4}. Путем стандартного приема «уничто¬
жения радикалов», а также используя формулы (6.36) и (6.37),
это уравнение легко привести к виду
^- + -^=1,	(6.43)
где Ь2 = а2 — с2.
Для завершения доказательства нам нужно убедиться в том,
что в процессе преобразования уравнения (6.42) в уравнение
(6.43)	не появились «лишние корни».
Рассуждая, как и в п. 1 § 1 этой главы, мы убедимся в том,
что расстояние г от точки М, координаты х и у которой удов¬
летворяют уравнению (6.43), до точки F(c, 0), может быть вы¬
числено по формуле г = а — -^-х. Используя соотношение (6.37)’
и формулу а =	, получим для г следующее выражение;
г = а — ех.	(6.44)
Так как точка 714, координаты х и у которой удовлетворяют
(6.43)	, расположена слева от прямой D (для таких точек
*) Формула (6.41) верна лишь для точек М(х, у), расположенных слева
от прямой D. Однако точки, расположенные справа от прямой D, равно как
и точки прямой D, можно исключить из рассмотрения, так как для этих то¬
чек r/d > 1, а мы рассматриваем точки, для которых r/d = е < 1,

§3]
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
163
х а, а для точек прямой D. х = а/е, где е < 1), то для рас¬
стояния d от М до b справедлива формула (6.41). Отсюда и
из формулы (6.44) вытекает, что для рассматриваемых точек М
выполняется соотношение r/d = е, т. е. уравнение (6.43) яв¬
ляется уравнением геометрического места {7И}, Аналогично
рассматривается случай е > 1.
Замечание. Используя доказанную теорему и определе¬
ние параболы, мы можем сформулировать следующее определе¬
ние отличного от окружности эллипса, гиперболы и параболы.
Определение. Геометрическое место {714} точек М плоскости
л, для которых отношение е расстояния г до точки F этой пло¬
скости к расстоянию d до прямой D, расположенной в плоско¬
сти л, есть величина постоянная, представляет собой либо эл¬
липс (при 0<е< 1), либо параболу (при е= 1), либо гипер¬
болу (при е> 1). Течка F называется
D — директрисой, а е — экс¬
центриситетом геометриче¬
ского места {714}.
4. Эллипс, гипербола и парабола как
конические сечения. В начале этой гла¬
вы указывалось, что эллипс, гипербола
и парабола представляют собой линии
пересечения кругового конуса с плоско¬
стями, не проходящими через его верши¬
ну. В этом пункте мы докажем теорему,
обосновывающую справедливость этого
утверждения.
Теорема 6.4. Пусть L — кривая,
являющаяся эллипсом*), гиперболой или
параболой. Можно указать такой круго¬
вой конус К и такую плоскость л, что
линия пересечения плоскости я с кону¬
сом К представляет собой кривую L.
Прежде чем перейти к доказатель¬
ству этой теоремы, сделаем следующее
замечание.
Замечание. Пусть L* — линия
пересечения конуса К с некоторой пло¬
скостью л*, не проходящей через верши¬
ну конуса, a L — линия, подобная L*.
Найдется плоскость л, линией пересече¬
ния которой с Л будет линия L.
Существование такой плоскости оче¬
видно, ибо параллельные плоскости пе¬
ресекают конус К по подобным линиям, коэффициент подобия которых равен
отношению расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.
Доказательство теоремы 6.4. Очевидно, линия пересечения конуса К
с плоскостью, перпендикулярной его оси и не проходящей через его вершину,
представляет собой окружность, т. е. эллипс, эксцентриситет е которого равен
нулю.
Рассмотрим плоскость л*, не перпендикулярную оси АВ конуса К и не
проходящую через его вершину О (рис. 6.13). Пусть £* —линия пересечения
*) При этом эллипс может представлять собой окружность,
фокусом, прямая
6*

164
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
этой плоскости и конуса. Впишем в конус сферу S, касающуюся плоскости л*
в точке F. Пусть со — плоскость окружности R, по которой сфера S касается
конуса К, и D — прямая, по которой пересекаются плоскости л* и о. Убе¬
димся, что L* удовлетворяет требованиям определения, сформулированного
в предыдущем пункте, т. е. является либо отличным от окружности эллипсом,
либо параболой, либо гиперболой. В процессе рассуждений выясним, что
в зависимости от наклона плоскости л* и от величины угла, который со¬
ставляют образующие конуса с его осью, кривая L* может иметь любой
положительный эксцентриситет е. Этим, очевидно, и будет завершено доказа¬
тельство теоремы, так как любые две кривые второго порядка *) с одинако¬
вым эксцентриситетом подобны (см. пп. 3 и 4.§ 2 этой главы и замечание 2
п. 1 § 3 этой главы), а согласно сделанному перед доказательством теоремы
замечанию, любая кривая L, подобная линии L* пересечения конуса К с пло¬
скостью л*, также представляет собой линию пересечения этого конуса с не¬
которой плоскостью л.
Пусть М — произвольная точка кривой £*, МР — перпендикуляр из этой
точки "на плоскость со, MQ — перпендикуляр из М на прямую D, MF — от¬
резок, соединяющий точки М и F, MN — отрезок образующей конуса (эта
образующая проходит через точку М, а W— точка пересечения с окруж¬
ностью /?). Так как MF и MN — касательные к сфере S из одной точки М,
то \MF\ = \MN\.
Обозначим через р угол, который составляет образующая конуса К с его
осью, а через а — угол между плоскостями л* и со. Очевидно, значения (3
заключены в пределах 0 < (3 < л/2, а значения а — в пределах 0 < а С
л/2 **).
Йз рассмотрения треугольников MPN и MPQ, а также из равенства
|A1W| = |Л4Д| вытекает, что'
\ MF \ = \ MP [/cos р, | MQ | = | MP [/sin а.
Таким образом, для любой точки М кривой L* справедливо равенство
| MF |/| MQ | = sin a/cos р.
Поскольку для заданного конуса К и фиксированной плоскости л* отношение
sin a/cos р не зависит от точки М, то для кривой L* выполнены условия оп¬
ределения предыдущего пункта, т. е. эта кривая L* является либо отличным
от окружности эллипсом, либо гиперболой, либо параболой. При этом эксцен¬
триситет е кривой L* может быть вычислен по формуле
е = sin a/cos р.	(6.45)
Докажем, что путем выбора углов аир можно получить для е любое
положительное значение. Выберем, во-первых, р так, чтобы величина ecosp
была меньше 1. Такой выбор р возможен, так как р — любое число из интер¬
вала (0, л/2). Остается выбрать а так, чтобы выполнялось равенство sin a =
= ecos р (эта формула представляет собой записанную иначе формулу (6.45)),
Очевидно, достаточно положить a = arcsin(e cos Р). Теорема доказана.
5.	Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Об¬
ратимся сначала к окружности радиуса R. Если полюс поляр¬
ной системы поместить в центр окружности, а полярную ось—
произвольно в плоскости окружности, то, очевидно, искомое по¬
лярное уравнение будет иметь вид
р = Я.	(6.46)
*) То есть эллипс, гипербола или парабола.
**) а 0, так как плоскость л* не перпендикулярна оси конуса.

§ 3]
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И 11Д А Г, о Л Ы
155
F— один из ее фоку-
Рассмотрим теперь кривую L, представляющую собой отлич¬
ный от окружности эллипс или параболу. Пусть F — фокус кри¬
вой L, D — отвечающая этому фокусу директриса, р— расстоя¬
ние от F до D и е— эксцентриситет L. Пусть полюс полярной
системы координат совпадает с F, а полярная ось перпендику¬
лярна D и направлена так, как указано
на рис. 6.14. Пусть М — любая точка L.
Согласно определению L (см. п. 3 этого
параграфа)
= е	(6 47)
|/ИР|	'
Так как | FM | = р, а |МР| = |P/V-Н
’+АМ'1| = р-\- р cos ср*), то из (6.47) на¬
ходим следующее выражение для р:
р = т—.	(6.48)
Соотношение (6.48), представляет со¬
бой полярное уравнение отличного от
окружности эллипса или параболы.
Обратимся теперь к гиперболе. Пусть
сов, D — отвечающая этому фокусу директриса, р— расстояние
от F до D, е — эксцентриситет гиперболы. Пусть Wi — ветвь ги¬
перболы, отвечающая фокусу F,
а И72 — другая ветвь гиперболы
(на рис. 6.15 F — правый фокус
гиперболы и Wi — правая ее
ветвь).
Рассуждая, как и в случае
эллипса или параболы, легко
убедиться, что полярное уравне¬
ние ветви W[ гиперболы имеет
вид (6.48). Для ветви W2 поляр¬
ное уравнение имеет иной вид.
Заметим, во-первых, что для то¬
чек М ветви W2 справедливо соотношение (6.47). Выражения
для | FM | и |МР| имеют следующий вид:
| FM | = р, | МР | = | MN - PN | = - р cos qp - р **). (6.49)
Используя формулы (6.49), найдем из (6.47) следующее по¬
лярное уравнение ветви W2.
— ре
о =		——.
r 1 + е cos ф
*) Эта формула верна и в случае, когда М находится левее FN, ибо в
этом случае cos ф < 0.
**) Так как для ветви W2 угол ф тупой, то cos ф < 0, и поэтому
MN == —р cos ф.

166
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
Таким образом, полярное уравнение гиперболы имеет вид
——	 для ветви
1 — е cos ф	u
{-г-;——— для ветви IF2.
1 + £ COS ф	2
(6.50)
Замечание. Знаменатель в правой части соотношений (6.48) и (6.50)'
не обращается в нуль. В случае эллипса, когда 0 < е < 1, это очевидно. Для
параболы е = 1, но ф изменяется па интервале (0,2л), и поэтому | е cos ф | <
t< 1. В случае гиперболы легко убедиться, что для ветви угол ф изме¬
няется на интервале ^arccos—, 2л—arccos—и поэтому произведение
е cos ф либо заключено между нулем и единицей, либо отрицательно. Для
ветви 1^2 угол ф изменяется
Для этих значений ф выражение е cos ф отрицательно, но больше 1 по аб¬
солютной
на ^arccos	2 л — arccos
величине.
§ 4. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе
1. Уравнения касательных к эллипсу, гиперболе и параболе. Убедимся,
что каждая из кривых L, являющаяся эллипсом, гиперболой или параболой,
представляет собой объединение графиков двух функций. Рассмотрим, на¬
пример, каноническое уравнение эллипса (6.4). Из этого уравнения следует,
что часть эллипса, точки которой имеют неотрицательные ординаты у, есть
график функции
/

у = & А/1—ПРИ —	(6.51)
а часть эллипса, точки которой имеют неположительные ординаты, есть гра¬
фик функции
при
(6.52)
Обращаясь к каноническому уравнению гиперболы (6.9), найдем, что
гипербола представляет собой объединение графиков функций
при х а и х < — а, (6.53)
а из канонического уравнения параболы (6.15) вытекает, что эта кривая
есть объединение графиков функций
у = V2рх	и у = — V2рх	при х > 0.	(6.54)
Рассмотрим теперь вопрос о касательных к эллипсу, гиперболе и пара¬
боле. Естественно, что касательные к этим кривым будут также касательными
к графикам функций (6.51) — (6.54). Вопрос о касательных к графикам функ¬
ций подробно рассмотрен в выпуске 1 настоящего курса (см. выпуск 1, гла¬
ву 5, § 1, п. 4). Найдем., например, уравнение касательной к эллипсу в его
точке М(х, у), считая при этом у Ф 0 (пусть ради определенности у > 0).
Пусть X, У — текущие координаты точки касательной, Так как ее угловой

§4]
КАСАТЕЛЬНЫЕ К ЭЛЛИПСУ, ГИПЕРБОЛЕ И ПАРАБОЛЕ
167
коэффициент k = где у' =	==	производная функции
(6.51), вычисленная в точке х, то уравнение касательной имеет вид*)
Y~y
xb
(X - х).
(6.55)
1 Ь2 ’	'
гиперболы и параболы, получим следую-
кривым:
Учитывая, что точка М(х, у) лежит на эллипсе (т. е. ее координаты х и у
удовлетворяют уравнениям (6.51) и (6.4)), получим после несложных пре¬
образований уравнение касательной к эллипсу в следующей форме:
ZRKR'
Рассуждая аналогично для случая
щие уравнения касательных к этим
для гиперболы	—~-==1,	(6.57)
для параболы	Yy = p(X + x).	(6.58)
За меча и ие 1. В предыдущих рассуждениях был исключен случай
у — 0. В соответствующих точках эллипса, гиперболы и параболы касатель¬
ные вертикальны. Легко убедиться, что
уравнения (6.56) — (6.58) справедливы и в
этом случае.
Замечание 2. Отметим, что каса¬
тельная к эллипсу имеет с ним только одну
общую точку — точку касания. Аналогич¬
ным свойством обладают касательные к ги¬
перболе и параболе.
2. Оптические свойства эллипса, гипербо¬
лы и параболы. Установим следующее оп¬
тическое свойство эллипса: лучи света, ис¬
ходящие из одного фокуса F\ эллипса,
после зеркального отражения от эллипса
проходят через второй фокус Р2 (рис. 6.16).
Геометрически указанное свойство означает, что отрезки MFi и MF2 образуют
с касательной в точке М эллипса равные углы.
Допустим, что эллипс не обладает указанным свойством, т. е. ai=#a2
(рис. 6.16). Пусть F{ — зеркальное отражение фокуса Р1 относительно каса¬
тельной К в точке М. Соединим F{ с М и F2, Так как (Xj ф а2, то точка
Л1* пересечения прямой FYF2 с касательной К не совпадает с точкой М,
Поэтому
|FXI + |^XI4fXI <ifiMl+lf2Mi=2fl! (6-59>
(а— длина большой полуоси эллипса). Будем теперь перемещать точку Л1*
по касательной К от точки М. При таком перемещении сумма | FXM* | +1F2M* |
неограниченно увеличивается. В начальный момент перемещения эта сумма,
согласно (6.59), была меньше 2а. Поэтому в некоторый момент эта сумма
будет равна 2а, а это означает, что на касательной А, кроме точки М, будет
еще одна точка А4* эллипса, отличная от М. Согласно замечанию 2 предыду¬
*) См. главу 5, уравнение (5.10),

168
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
щего пункта этого не может быть. Таким образом, указанное выше свойство
эллипса действительно справедливо.
Совершенно аналогично устанавливаются следующие оптические свойства
гиперболы и параболы:
Г. Лучи света, исходящие из одного фокуса Fi гиперболы, после зеркаль¬
ного отражения от гиперболы кажутся исходящими из другого ее фокуса F2
(рис. 6.17).
2°. Лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отра¬
жения от параболы образуют пучок, параллельный оси параболы (рис. 6.18).
Замечание 1. Оптические
свойства эллипса, гиперболы и пара¬
болы широко используются в инже¬
нерном деле. В частности, оптическое
свойство параболы используется при
конструировании прожекторов, антенн
и телескопов.
Замечание 2. Назовем фронтом волны точечного источника света F
линию, для всех точек Q которой путь, проделанный световым лучом, при¬
шедшим из источника F в точку Q, одинаков. Если волна, вышедшая из
точечного источника F, не претерпевает отражений, то фронт ее, очевидно,
будет представлять собой окружность. Если же указанная волна отражается
от некоторой кривой L, то форма ее фронта меняется в зависимости от вида
кривой L. Парабола обладает следующим замечательным свойством: фронт Ф
отраженной от параболы волны при условии расположения источника света
в фокусе F параболы представляет собой прямую, параллельную директри¬
се D этой параболы (рис. 6.18).
В самом деле, рассмотрим прямую Ф, параллельную директрисе D. Пусть
Q — произвольная точка этой прямой. Из оптического свойства параболы вы¬
текает, что если FM — падающий луч, приходящий после отражения в .точ¬
ку Q, то отраженный луч MQ перпендикулярен директрисе D. Обозначим
через Р точку пересечения луча MQ с директрисой D. Очевидно, сумма
|QM| + IM77! равна |QM + |МР| *). Так как |QM| + |Л4Р| = d, где d —
не зависящее от точки Q расстояние между прямыми Ф и D, то для любой
точки Q линии Ф сумма QM | + (AIZ7! одна и та же (равна d), т. е. Ф —
фронт отраженной волны.
§ 5. Кривые второго порядка
Обращаясь к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы
и параболы (см. уравнения (6.4), (6.9) и (6.15) этой главы),
мы видим, что перечисленные кривые представляют собой ал¬
гебраические линии второго порядка (см. главу 4, § 1, п. 5).
*) Согласно определению параболы (см. п. 3 § 1 этой главы),

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
169
§ 5]
Естественно поставить вопрос о том, какие еще линии являются
алгебраическими линиями второго порядка. Этот вопрос и рас¬
сматривается в настоящем параграфе.
Рассмотрим общее алгебраическое уравнение второго по¬
рядка
анх2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а2зУ + а33 = 0.	(6.60)
Линия L, определяемая этим уравнением (т. е. алгебраиче¬
ская линия второго порядка), рассматриваемая как геометри¬
ческий объект*), не меняется, если от данной декартовой пря¬
моугольной системы координат перейти к другой декартовой си¬
стеме координат.
Отметим, что исходное уравнение (6.60) и уравнение, полу¬
ченное после преобразования координат, алгебраически эквива¬
лентны (см. п. 5 § 1 главы 4). Можно ожидать, что при спе¬
циальном выборе декартовой системы координат уравнение
(6.60)	примет настолько простой вид, что геометрическая ха¬
рактеристика линии L не будет представлять затруднений.
Этим методом мы воспользуемся для выяснения всех типов
линий второго порядка. В процессе рассуждений мы укажем
правила, с помощью которых выбирается система координат, в
которой уравнение линии L выглядит наиболее просто. Мы
сформулируем также признаки, позволяющие узнать тип линии
второго порядка по ее исходному уравнению.
1.	Преобразование коэффициентов уравнения линии второго
порядка при переходе к новой декартовой системе координат.
Так как переход от одной декартовой прямоугольной системы
координат на плоскости к другой декартовой прямоугольной си¬
стеме координат может быть осуществлен путем некоторого па¬
раллельного переноса системы координат и последующего по¬
ворота (включая в поворот и зеркальное отражение (см. § 1
главы 3)), мы рассмотрим отдельно вопрос о преобразовании
коэффициентов уравнения (6.60) при параллельном переносе
и при повороте. При этом, конечно, будем считать, что в урав¬
нении (6.60) по крайней мере один из коэффициентов ап, а\2
или а22 отличен от нуля.
Условимся о следующей терминологии: группу слагаемых
апх2+ %а\2хиа22у2 левой части (6.60) будем называть груп¬
пой старших членов этого уравнения, а группу слагаемых
2^13* + 2а2зУ + Лзз будем называть линейной частью уравнения
(6.60)	. При этом коэффициенты Яц, Щг, а22 будем называть
*) Может оказаться, что уравнение (6.60) не определяет линии: этому
уравнению могут удовлетворять координаты лишь одной точки или не най¬
дется ни одной точки, координаты которой удовлетворяют (6.60). Однако и
в этом случае мы будем говорить о геометрических объектах, определяемых
уравнением (6.60), называя эти объекты вырожденными или мнимыми. По¬
дробнее об этих вопросах см. в главе 4.

170
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
коэффициентами группы старших членов, а коэффициенты а 13,
«2з и «зз — коэффициентами линейной части (6.60). Коэффи¬
циент «зз обычно называется свободным членом уравнения
(6.60).
1°. Преобразование коэффициентов при параллельном пере¬
носе. Пусть декартова прямоугольная система координат О'х'у'
получена параллельным переносом системы Оху вдоль вектора
00'. Как известно, старые и новые координаты точки связаны
соотношениями
х = х' + хо, у = у' + у0,	(6.61)
где Xq, уо— координаты начала О' в системе Оху (см. главу 3,
§ 1, формулы (3.12)). Подставляя выражения (6.61) для х и у
в левую часть (6.60), мы получим уравнение L в системе О'х'у'.
Очевидно, это уравнение имеет вид
«пл/2 + 2ai2x'y' + «22/2 + 2«;Х + 2«'3/ + «33 = 0,	(6.62)
где
«13 = «и^0 4“ а[2Уо "Ь ^13»
^23 = ^12^0	^22^0	^23»	(6.63)
^33 “ ^11^0 + 2«12^о#о 4" ^22% “J" 2^13^0 + 2^23^0 + ^33*
Обращаясь к уравнению (6.62), мы можем сделать следую¬
щий важный вывод: при параллельном переносе системы ко¬
ординат коэффициенты группы старших членов не изменяются,
а коэффициенты группы линейных членов преобразуются по
формулам (6.63).
Замечание 1. Используя первую и вторую из формул
(6.63), можно, очевидно, выражению для «зз придать следую¬
щий вид:
«33 = («13 4“ «13) Xq 4" (^23 + ^23) Уо “Ь азз*	(6.64)
2°. Преобразование коэффициентов при повороте. Пусть де¬
картова прямоугольная система координат Ох'у' получена по¬
воротом системы Оху на угол ср (при этом не исключается по¬
ворот на угол <р, равный нулю). Как известно, старые и новые
координаты точки связаны соотношениями
х = х' cos ф — у' sin ф, у = х' sin Ф 4- / cos ф (6.65)
(см. главу 3, § 1, формулы (3.13) J. Подставляя выражения
(6.65) для х и у в левую часть (6.60) и группируя коэффи¬
циенты при различных степенях х' и у', мы получим уравнение

§ 5]
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
171
L в системе Ох'у'. Очевидно, это уравнение имеет вид
а\\х'2 + 2а\2х'у' + а'22у' + 2а'3л/ + %а'23у' + а33 = 0,
где *)
(6.66)
(6.67)
'22
Мы можем сделать следующий важный вывод:
При повороте системы координат коэффициенты a'[V а'2, а‘
группы старших членов уравнения (6.66) выражаются лишь че¬
рез угол ср поворота и через коэффициенты ан, ai2, а22 группы
старших членов уравнения (6.60); коэффициенты а'3 и а'93 урав¬
нения (6.60) выражаются лишь через угол ф и коэффициенты
а\з и а2з уравнения (6.60); свободный член не изменяется (т. е>
^зз= азз)-
Замечание 2. Обозначим через Л, В и С соответственно
величины
а	у (а11 “ а22)
Введем, далее, угол а, считая cosa=-~^, sina =

при А =И= 0 и а = 0 при А = 0, и угол 0, считая cos 0 = а2з/С,
sin 0 = ais/C при С=#0 и 0 = 0 при С = 0 **). Тогда, очевид¬
но, выражения (6.67) для коэффициентов а'и можно переписать
*) При выводе этих формул использовались равенства 2 sin ф cos ф =*
.	. 9	1 — cos 2ф 2	1 + cos 2<р
= sin 2ф, sin2 ф =	g	, cos2 ф «=	g	•
**) Известно, что, каковы бы ни были величины Р и Q, удовлетворяющие
Р
условию Р2 + Q2 # 0, можно найти такой угол у, что cos у = —	.	_=. и

172
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
и следующей форме:
ar[x = A sin (2qp + ct) + Д
Пр = A cos (2ср ct),
. а'22 = — A sin (2ф + а) + В,
= С sin (<р + ₽),
а23 = С cos (ф А- ₽),
(6.68)
Отметим, что величины Д, В и С и углы а и р не зависят от ф.
2.	Инварианты уравнения линии второго порядка. Понятие
типа линии второго порядка. Назовем инвариантом уравнения
(6.60)	линии второго порядка относительно преобразований де¬
картовой системы координат такую функцию /(пн, #12, ...» Пзз)
от коэффициентов п,/ этого уравнения, значения которой не ме¬
няются при переходе к новой декартовой прямоугольной си¬
стеме координат. Таким образом, если f(an, ai2, .Пзз) —
инвариант и а'. — коэффициенты уравнения линии второго по¬
рядка в новой системе декартовых координат, то
а12,
a33) f (а11> °12’ •••’ азз)‘
Докажем следующую теорему.
Теорема 6.5. Величины
I! — Пц + П22,
Оц «12 I
| «12 а22 I ’
«11
<^12
«13
«12
«22
«23
«13
«23
«33
(6.69)
являются инвариантами уравнения (6.60) линии второго по¬
рядка относительно преобразований декартовой системы коор¬
динат.
Доказательство. Очевидно, инвариантность величин /ь
/2, h достаточно доказать отдельно для параллельного переноса
системы координат и для поворота.
Рассмотрим сначала параллельный перенос системы коор¬
динат. Мы установили в Г предыдущего пункта, что при этом
преобразовании координат коэффициенты группы старших чле¬
нов не изменяются. Поэтому не изменяются и величины 1\ и /2.
Займемся величиной /3. В новой системе координат О'х'у' ве*
личина /3 равна
/
а11	а12	П13
<212	а22	а23	•
г г г
а13	а23	а33

$ 5]
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
173
Вычитая из последней строки этого определителя первую стро¬
ку, умноженную на х0, и вторую, умноженную на у0 (*о и —
координаты нового начала О'), и используя при этом выраже¬
ния для а']3 и а'23 из формул (6.63) и выражение (6.64) для a3V
найдем, что этот определитель равен *)
«и
«12
«13
«12
«22
«23
«13
«23
«13*0 + «23//0 + «33
Если теперь вычесть из последнего столбца полученного опре.дс<
лителя первый столбец, умноженный на х0, и второй, умножен¬
ный на г/о, и использовать при этом выражения для a'i3 и а'23 из
формул (6.63), то в результате получится определитель, стоя¬
щий в правой части выражения для /3 в формулах (6.69). Итак,
инвариантность /3 при параллельном переносе системы коорди¬
нат доказана.
Рассмотрим теперь поворот декартовой системы координат.
В 2° предыдущего пункта мы нашли, что при этом преобразо¬
вании коэффициенты a'if уравнения линии L в новой системе
связаны с коэффициентами aij уравнения этой линии в старой
системе с помощью формул (6.68) (см. замечание 2 предыду¬
щего пункта). Докажем теперь инвариантность Л, /2 и /3.
Имеем, согласно (6.68),
= а\\ + а22 = 2В =	+ я22,
/2 = ^и^22	^i2 ==	=- &Ц&22	^12*
Таким образом, инвариантность Ц и /2 доказана. Обратимся
теперь к
/ / /
а11
«12
«13
7
7
7
«12
«22
«23
7
7
7
«13
«23
«33
Разлагая этот определитель по элементам последнего столбца,
учитывая только что доказанную инвариантность /2, т. е. ра¬
венство
«11
7
«12
7
—
«11
«12
«12
«22
«12
«22
*) Напомним, что при указанных преобразованиях значение определителя
не меняется (см. Дополнение к главе 1).

174
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
и равенство ^33 = ^33 (см. последнюю
лучим
формул
(6.67)), по
из
Г = а'
23	U13
/
г
л
г
а12
а22
а11
а\2
/
/
^23
/
г
й13
а23
^13
а23
(6.70)
Согласно формулам (6.68)’ первое слагаемое-в правой части
(6.70) может быть преобразовано следующим образом:
Совершенно аналогично получается равенство
С|2
/
й23
= С2 cos (<р -{- р) (A sin (ф + а — р) + В cos (ф + р)}.
(6.72)
Из соотношений (6.70) — (6.72) получаем
= AC2 sin (2р - а) - ВС2 + а33/2.	(6.73)
Так как величины Л, В, С, углы а, р и /2 не зависят от угла ф
(это вытекает из инвариантности /2 и замечания 2 предыдущего
пункта), то из (6.73) следует, что /3 также не зависит от угла
Ф, т. е. при любом значении ф имеет одно и то же значение.
Но a'i}. = aif, при ф = 0, и поэтому /3 = /3. Таким образом, ин¬
вариантность /3 также установлена. Теорема доказана.
Геометрические характеристики линий второго порядка и их
расположение вполне определяются значениями инвариантов /ь
/2 и /3. В зависимости от знака инварианта /2 эти линии раз¬
деляют на следующие три типа:
эллиптический тип, если /2 > О,
гиперболический тип, если /2 < 0,
параболический тип, если /2 = 0.
Очевидно, тип линии не меняется при изменении декартовой си¬
стемы координат. Ниже мы дадим полную классификацию ка¬
ждого из указанных типов линий.
3.	Центр линии второго порядка. В предыдущем пункте мы
установили, что при параллельном переносе декартовой систе¬
мы изменяются лишь коэффициенты группы линейных членов
уравнения линии второго порядка.
Попытаемся найти такую декартову систему координат
О'х'у' (полученную параллельным переносом системы Оху), в
которой уравнение (6.62) данной линии L второго порядка не
содержало бы слагаемых 2а'3хл и 20^/» т. е, коэффициенты
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
175
§ 5]
й1з и «2з были бы равны нулю. Пусть и z/o — координаты
начала О' искомой системы. Обращаясь к формулам (6.63),
найдем, что величины х0, у0 представляют собой решение сле¬
дующей системы линейных уравнений:
«11*о + «12% + «13 = 0,	«12*0 + «22% + «23 = 0.	(6-74)
Уравнения (6.74) называются уравнениями центра линии вто¬
рого порядка, а точка О' с координатами (х0, %), где xQ и yQ —*
решения системы (6.74), называется центром этой линии.
Поясним смысл наименования «центр» линии. Пусть начало
координат перенесено в центр О'. Тогда уравнение линии L
примет вид
а{Хх' ^a{2xfу' ~Т а22у' +«зз = 0-	(6.75)
Пусть точка Л4(х', у') расположена на L. Это означает, что ее
координаты х' и у' удовлетворяют уравнению (6.75). Очевидно,
точка ЛГ* (—х', — у'), симметричная с М относительно О', также
расположена на L, ибо ее координаты также удовлетворяют
уравнению (6.75). Таким образом, если у линии L существует
центр О', то относительно центра точки L располагаются сим¬
метрично парами, т. е. центр линии L является ее центром
симметрии.
Замечание 3. Если линия L второго порядка имеет центр,
то инварианты /2, h и свободный член а'3 в уравнении (6.75)
связаны соотношением
Л = Т«зз-	(6.76)
В самом деле, в силу инвариантности /3 получим в системе
координат О'х'у'
ап а12 0
# 12 ^22 0
0	0	а33
Из последней формулы и вытекает соотношение (6.76).
Наличие центра у линии второго порядка связано с разре¬
шимостью уравнений центра (6.74). Если уравнения центра
имеют единственное решение, то линию L второго порядка бу¬
дем называть центральной*). Так как определитель систе¬
мы (6.74) равен /2, а необходимым и достаточным условием
существования единственного решения этой системы является
неравенство нулю ее определителя, то мы можем сделать сле¬
дующий важный вывод: линии эллиптического типа (Z2 > 0) и
гиперболического типа (/2 < 0)’ и только эти линии являются
центральными.
*) Таким образом, центральная линия имеет единственный центр.

176
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 6
Замечание 4. Если начало координат перенесено в центр
О' центральной линии L второго порядка, то уравнение этой
линии будет иметь вид
аих'2 + Ча^х'у' + а22у'2 + -Д == 0.	(6.77)
Действительно, после переноса начала в центр уравнение линии
примет вид (6.75). Так как для центральной линии /2.=#0, то
из формулы (6.76) найдем, что я'3 = /3//2. Подставляя это вы¬
ражение для в формулу (6.75), мы получим уравнение
(6.77).
4,	Стандартное упрощение любого уравнения линии второго
порядка путем поворота осей. Докажем, что любое уравнение
(6.60)	линии L второго порядка путем специального поворота
координатной системы может быть приведено к уравнению, в
котором не будет содержаться слагаемое 2а'* х'у', т. е. ко¬
эффициент а'2 будет равен нулю. Такое упрощение уравнения
второго порядка мы будем называть стандартным.
Естественно, мы будем предполагать, что в исходном урав¬
нении (6.60) коэффициент а\2 не равен нулю, ибо в случае
6Z12 = 0 поставленный вопрос является решенным.
Пусть ф — угол поворота искомой повернутой системы ко¬
ординат. Обращаясь ко второй из формул (6.67), найдем, что
искомый угол ф является решением следующего тригонометри¬
ческого уравнения:
— у (аи “ я22) sin 2ф + а12 cos 2ф = 0,	(6.78)
в котором, по предположению, ai2=^=0. При этом предположе¬
нии очевидно, что (6.78) имеет следующее решение:
ctg 2ф = (ан — а22)/2а12.	(6.79)
Итак, если мы повернем систему координат на угол ф, опреде¬
ленный из равенства (6.79), то в повернутой системе координат
уравнение линии L не будет содержать слагаемого 2а'2х'у' и,
кроме того, согласно формулам (6.67), #33=я33, Иными слова¬
ми, это уравнение будет иметь следующий вид:
а'^х'2 + a'2iy'2 + 2a'3Z + 2а'3/ + а33 = 0.	(6.80)
5к Упрощение уравнения центральной линии второго порядка
(/2==£0). Классификация центральных линий. Выводы, сделан¬
ные в предыдущих двух пунктах, позволяют решить вопрос о
классификации всех центральных линий второго порядка. Ре¬
§ 5]	ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ	177
шение этого вопроса мы проведем по следующей схеме. Во-пер¬
вых, путем переноса начала координат в центр линии (6.60) мы
приведем ее уравнение к виду (6.77). После этого произведем
стандартное упрощение уравнения (6.77):
1)	если ai2 = 0, то оставим систему координат О'к'у' неиз¬
менной и изменим лишь обозначение хг на х", у' на у”, ау
на а"-
2)	если ai2=/=0, то перейдем к повернутой системе коорди¬
нат О'х"у", вычисляя угол поворота ср по формуле (6.79) и ис¬
пользуя при этом формулы (6.67) (с заменой а'ц на а") и фор¬
мулу (6.80). В обоих указанных случаях найдем, что уравнение
любой центральной линии L в системе координат О'х"у"
имеет вид
a"x"2+42z/"2 + -yi = °.	(6.81)
Дальнейшая классификация линий основывается на анали¬
зе уравнения (6.81). При этом используется связь коэффициен¬
тов а"} и а"2 с инвариантами 1\ и 12.
Рассмотрим отдельно линии эллиптического типа и линии
гиперболического типа.
1°. Линии эллиптического типа (/2>0). Обратимся к ис¬
ходному уравнению (6.60) линии L эллиптического типа. Так
как /3 = а{ ха22 — а\2 > 0, то ана22>0, т. е. коэффициенты а\\ и
€122 оба отличны от нуля и имеют одинаковый знак, совпадаю¬
щий со знаком /1, поскольку 1\ — а\\-\-а22. Без ущерба для
общности можно считать оба эти коэффициента положитель¬
ными (этого всегда можно добиться нормировкой исходного
уравнения (6.60), т. е. умножением его на —1 (при такой нор¬
мировке знак инварианта /1 станет положительным, знак ин¬
варианта 12 не меняется).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 6,6. Пусть уравнение (6.60) линии L эллиптического
типа (12 > 0) нормировано так, что Ц > 0. Тогда при /3 < 0
это уравнение представляет собой эллипс. При /3 = 0 уравне¬
нию (6.60) удовлетворяют координаты лишь одной точки. При
h > 0 уравнению (6.60) не удовлетворяют координаты никакой
точки плоскости.
При /3 = 0 уравнение (6.60) называется уравнением выро¬
жденного эллипса. При /3 > 0 (6.60) называется уравнением
мнимого эллипса.
Доказательство. Так как для уравнения (6.81)' Ц =
= а"+а22, а 12 — а^а"2, то из условия Л>0 и /2 > 0 вы¬
текает положительность а"{ и а"2, Поэтому уравнение /6.81^

178
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. &
линии L может быть записано следующим образом:
при /3 < О
при /3 = 0
при /3 > О
(V ) (лА)
Ш' ЧУ2
X"2	.	у"2
Очевидно, уравнение (6.82), отвечающее случаю /3 < 0, пред-*
ставляет собой каноническое уравнение эллипса с полуосями
V—и г*/""--"- Уравнению (6.83), отвечающему случаю
/2ац	у 12а22
1з — 0, удовлетворяют координаты лишь одной точки х" = О,
у" = 0. Уравнению (6.84) не удовлетворяют координаты ника¬
кой точки плоскости, ибо левая часть этого уравнения не от¬
рицательна, а правая отрицательна. Для завершения доказа¬
тельства теоремы достаточно заметить, что каждое из уравне¬
ний (6.82), (6.83), (6.84) эквивалентно исходному уравнению
{6.60) соответственно для случаев /3	0, /3 = 0, /3 > 0, и по¬
этому сделанные выше геометрические выводы для уравнений
(6.82), (6.83) и (6.84) справедливы и для уравнения (6.60).
Теорема доказана.
Замечание 5. Остановимся подробнее на случае, когда
уравнение (6.60) эллиптического типа определяет эллипс. При
этом мы будем считать, что это уравнение нормировано так,
что /1 > 0. Координаты (х0, Уо) центра этого эллипса представ¬
ляют собой решение системы (6.74). Так как новая ось О'х"
является одной из главных осей эллипса (это вытекает из того,
что в системе О'х"у" уравнение эллипса имеет канонический
вид, и поэтому оси координат О'х" и О'у" совпадают с глав¬
ными осями эллипса (см. п. 1 § 2 этой главы)), то угол наклона
ср этой оси со старой осью Ох может быть найден по формуле
(6.79). Наконец, из уравнения (6.82) вытекает, что полуоси эл¬
липса равны л /-7"и л /, причем коэффициенты
V ^2а11 V ^2а22
а"{ и а"2 выражаются через коэффициенты ац исходного урав¬
нения (6.60) (см. первую и третью формулы (6.67); при этом
нужно ПОЛОЖИТЬ	и ^22 = а22)'

§ 51
ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
179
Итак, зная инварианты и формулы преобразования коорди¬
нат, можно вычислить полуоси эллипса и выяснить его распо¬
ложение относительно исходной системы координат Оху.
2°. Линии гиперболического типа (/2<0). Справедливо
следующее утверждение.
Теорема 67. Уравнение (6.60) линии L гиперболического
типа при /з ¥= 0 представляет собой гиперболу, а при /3 = 0 —
пару пересекающихся прямых.
Доказательство. Так как для уравнения (6.81)	12 —
= ан^22’ то из условия /2 < 0 вытекает, что а"{ и а"2 имеют
разные знаки. Для определенности будем считать а"{ > 0,
а" < 0 (случай < 0, а" > 0 рассматривается аналогично).
Тогда уравнение (6.81) может быть записано следующим об¬
разом:
при 13 < 0
при 73 = 0
при 13 > 0
(6.85)
(6.86)
(6.87)
Очевидно, уравнение (6.85), отвечающее случаю /3	0,
ставляет собой каноническое уравнение гиперболы, для
рой ось Оу является действительной осью, а ось Ох — мнимой
осью, причем мнимая и действительная полуоси этой гиперболы
Уравнение
V ^2Й11 V 12^а22)
(6.87), отвечающее случаю h > 0, также представляет собой
каноническое уравнение гиперболы, для которой ось Ох яв¬
ляется действительной осью, а ось Оу — мнимой
мнимая и действительная полуоси этой гиперболы
но
соответственно равны а / ~
V 72й11
(6.87), отвечающее случаю h >
" V <2 (-4) ■
равны а / г / "3/7V и а/т-тг-
V ^2 ( a22J V ^2Л11
Уравнение (6.86), отвечающее случаю Z3 = 0,
сать в виде
пред-
кото-
осью, причем
соответствен-
можно зашь
= 0.

'80
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. &
Этому последнему уравнению удовлетворяют лишь координаты
точек, расположенных на прямых
//
= 0.
1
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить,
что каждое из уравнений (6.85) — (6.87) эквивалентно исход¬
ному уравнению (6.60) соответственно для случаев /3 < О,
/з — 0, /3 > 0, и поэтому сделанные выше геометрические вы¬
воды для уравнений (6.85) — (6.87) справедливы и для уравне¬
ния (6.60). Теорема доказана.
Замечание 6. Остановимся подробнее на случае, когда
уравнение (6.60) гиперболического типа определяет гиперболу,
т. е. когда /3 #= 0.
Координаты (*о, !/о) центра этой гиперболы представляют
собой решение системы (6.74). Угол наклона ср оси Ох' (яв¬
ляющейся либо действительной, либо мнимой осью гиперболы)
со старой осью Ох может быть найден по формуле (6.79). На¬
конец, в процессе доказательства теоремы были указаны вели¬
чины действительной и мнимой полуосей гиперболы. Их значе¬
ния вычисляются через /9, /3, а"х и «". Коэффициенты а"{ и a"z
выражаются через коэффициенты ссц исходного уравнения
(6.60)	(см. первую и третью формулы (6.67); при этом нужно
положить а”х=а\л и «X = «'2). Уравнения асимптот гиперболы
без труда могут быть найдены по ее каноническим уравнениям
(6.85) или (6.87).
Итак, зная инварианты и формулы- преобразования коорди¬
нат, можно вычислить действительную и мнимую полуоси ги¬
перболы и выяснить ее расположение относительно исходной
системы координат Оху.
6.	Упрощение уравнения линии параболического типа (/2 = 0)в
Классификация линий параболического типа. Заметим, во-пер¬
вых, что для уравнения (6.60) параболического типа инвариант
/1 отличен от нуля. В самом деле, если Л = ац + а22 = 0, то
2 ~2
1[ = a2, + а222 + 2alla22 — 0, т. е. aIta22 =		. Так как
12 — а[{а22 — а22 =	0,	то,	используя только	что	полученное	выра-
9	9
а11	а22
жение для	аиа22,	найдем	что		2"	—а12’	0ТКУДа	следует,
что «в = «22 = «12 = 0. Но, по предположению, по крайней
меое один из коэффициентов «и, «22, «12 отличен от нуля. Итак,
/ =й= 0.
Произведем стандартное упрощение уравнения (6.60):
1) если «12 = 0, то оставим систему координат Оху неизменной
§ 5]
ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
181
и изменим лишь обозначение х на х', у на у', aij на aijy 2) если
^12=7^0, то перейдем к повернутой системе координат Ох'у',
вычисляя угол поворота по формуле (6.79) и используя при
этом формулы (6.67). В обоих указанных случаях уравнение
(6.60)	примет вид (6.80). Так как для уравнения (6.80) Ц =
= «^4-^, Л = Я|]Я22, т0 из условия /1=7^0, /2 = 0 вытекает, что
один из коэффициентов а'п и а)2 равен нулю, а другой, не равен
нулю.
Для определенности будем считать 0^ = 0, а'„ у= 0 (случай
а', #= 0, а'„ = 0 рассматривается аналогично). При этом пред¬
положении Ц = a')V так как I,=	Итак,, уравнение ли¬
нии (6.60) параболического типа после стандартного упроще¬
ния может быть записано в следующей форме*):
Цу' -Г- 267i3%z 4~ 2&2зул "Т Язз= 0.	(6.88)
Дальнейшее упрощение уравнения (6.88) может быть достиг¬
нуто путем специального параллельного переноса системы ко¬
ординат Ох'у\ Предварительно перепишем (6.88) в следующей
форме:-
Ц (/ +	+ 2а'3х' + а33	-ц- — 0.	(6.89)
Вид уравнения (6.89) подсказывает, как выбрать специальный
параллельный перенос системы координат Ох'у'. Нам нужно,
( ,	«23 Y
чтобы первое слагаемое Ц уу + ~j— J в левой части (6.89)
имело вид Цу"2, а остальные слагаемые сохранили свой вид.
Поэтому следует положить у" равным у + у—, а х" равным х'.
Итак, перейдем теперь, к новой системе координат, полученной
путем следующего параллельного переноса:
х" = х', у" = у' + ^.	(Ъ.Ы)
Введем обозначения
/2
а1з ~ ^13’ йзз ~ ^зз ТЦ •	(6.91)
В силу соотношений (6.89), (6.90) и (6.91) уравнение линии L
параболического типа в новой системе координат О"х"у"
*) Если а'^0, а'2 = 0, то Ц = а[{ и вместо уравнения (6.88) мы полу¬
чим уравнение Цх'2 + 2П13х/ + a-rfj + а33 = 0, которое путем изменения обо¬
значений х' на у', у на к t а'п на и а2з на «13 пеРех°Дит в уравнение (6.88).

182
ЛИНИИ ВТОРОГО порядка
[ГЛ. 6
примет вид
Л#,/2 + 2а ей/' + Язз = 0.
(6.92)
Докажем теперь следующее утверждение.
Теорема 6.8. Уравнение (6.60) линии L параболического
типа при 1з =# 0 представляет собой параболу, а при /3 = 0 —•
либо пару параллельных действительных прямых {которые мо-
гут быть слившимися), либо пару мнимых параллельных пря¬
мых*).
Доказательство. Выясним вопрос о связи между ве¬
личинами а" и /3. Для уравнения (6.92) имеем
(6.93)
Так как Л=#0, то при /3=0=О и a"3=£=Q, если же /3==0, то и
а"3 = 0. Используя этот вывод, мы можем записать уравнение
<6.92) следующим образом:
при /3#=0 (т. е. при а" Ф 0)	/(у"2 + 2а" f х" +== 0,
(6.94)
при /3 — 0 (т. е. при а" = 0)	1{у"2 + а" = 0.	(6.95)
Очевидно, уравнение (6.94), отвечающее случаю /3 =# 0, пред¬
ставляет собой параболу. Чтобы убедиться в этом, совершим
следующий параллельный перенос системы координат:
Х = х" + -^-, Y = y",	(6.96)
2“13
и введем обозначение
Р = Кз/Л|‘	(6.97)
Тогда вместо (6.94) мы получим уравнение У2 = 2рХ или У2 =
= —2рХ, которое является каноническим уравнением пара¬
болы.
Уравнение (6.95), отвечающее случаю /3 = 0, может быть за¬
писано так:
y"2 = -a"3/Iv	(6.98)
Если —а"//1 >0. то уравнение (6.98)' представляет собой пару
параллельных прямых у" —	и У" ~ ~ V-а'зз1Ч>
*) Термин «мнимые параллельные прямые» будет разъяснен в процессе
доказательства,

§ б]	ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ	183
если —	— то (6.98J представляет собой ось Ох",
уравнение которой у" = 0 (это уравнение можно рассматривать
как предельный случай при а"3—>0, т. е. как пару слившихся
прямых). Если, наконец, —a'g/Zj < 0, то уравнению (6.98) не
удовлетворяют координаты никакой точки плоскости, т. е. гео¬
метрический образ является мнимым. Обычно говорят, что в
последнем случае уравнение (6.98) определяет пару мнимых
параллельных прямых. Теорема доказана.
Замечание 7. Для случая /3 =/= 0, когда уравнение (6.60)
параболического типа определяет параболу, читатель без труда
найдет параметр р этой параболы и ее расположение относи¬
тельно исходной координатной системы Оху. Для этого нужно
использовать переход от уравнений (6.60) к уравнению (6.88),
описанный в начале этого пункта, и формулы (6.90), (6,91),
(6.96), (6.97),
7. Распадающиеся кривые второго порядка. Линию L второго порядка,
определяемую уравнением (6.60), будем называть распадающейся, если левая
часть этого уравнения может быть представлена в виде произведения двух
многочленов первой степени. Очевидно, если в данной декартовой прямо¬
угольной системе координат линия L является распадающейся, то она будет
распадающейся в любой другой декартовой прямоугольной системе координат:
при преобразовании координат многочлен первой степени остается многочле¬
ном первой степени и каждый многочлен-сомножитель преобразуется незави¬
симо от других сомножителей. Это свойство многочленов позволяет сформу¬
лировать необходимое и достаточное условие распадения кривой второго по¬
рядка.
Теорема 6.9. Для того чтобы линия L второго порядка была распа¬
дающейся, необходимо и достаточно обращение в нуль инварианта 73.
Доказательство. Мы доказали (см. теоремы 6.6—6.8), что уравне¬
ние любой линии L второго порядка может быть приведено к одному из
видов (6.82) — (6.87), (6.94) и (6.95).
Распадающимися среди этих линий являются лишь те, для которых
/3 — 0 и, наоборот, если h = 0, то уравнение линии приводится к виду, из
которого, очевидно, следует свойство распадения. Теорема доказана,

Г ЛАВА 7
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе мы познакомимся с понятием и основными ти¬
пами поверхностей второго порядка. Кроме того, будут указаны
способы исследования таких поверхностей.
§ 1. Понятие поверхности второго порядка
В силу определений 1 и Зиз п. 5§2гл. Ь поверхностью
S второго порядка будем называть геометрическое место
точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовле¬
творяют уравнению вида
апх2 + а22у2 + йзз^2 + 2ai2xy + 2a23yz + 2a13xz + 2а14х +
4" 2а24у 2^34^ 4~ ^44=	(7.1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов а^, а22, а^,
Я12, ^23, <^1з отличен от нуля.
Уравнение (7.1) будем называть общим уравнением поверх¬
ности второго порядка.
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая
как геометрический объект*), не меняется, если от данной де¬
картовой прямоугольной системы координат перейти к другой
декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне¬
ние (7.1) и уравнение, полученное после преобразования коор¬
динат, алгебраически эквивалентны.
Ниже мы убедимся, что для каждого уравнения (7.1) можно
указать такую специальную систему координат, в которой урав¬
нение (7.1) примет столь простой вид, что геометрическая ха¬
рактеристика поверхности S не будет представлять затруднений.
Используя этот метод, мы дадим полное описание всех типов
поверхностей второго порядка.
*) Может оказаться, что уравнение (7.1) не определяет поверхности:
этому уравнению могут удовлетворять лишь координаты точек, расположен¬
ных на прямой линии, или координаты лишь одной точки, или не найдется
ни одной точки, координаты которой удовлетворяют (7.1). Однако и в этих
случаях мы будем говорить о геометрических объектах, называя их соответ¬
ственно вырожденными или мнимыми.

§ 1]	ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	185
1.	Преобразование коэффициентов уравнения поверхности
второго порядка при переходе к новой декартовой системе коор¬
динат. Рассмотрим отдельно параллельный перенос и поворот
координатных осей.
Условимся о следующей терминологии: группу слагаемых
«п-^2 + а22у2 + «33г2 + 2ах2ху + 2«23//z + 2a13xz
левой части (7.1) будем называть группой старших членов
этого уравнения, а группу слагаемых
2«14х + 2а24у + 2«34г + «44
будем называть линейной частью уравнения ' (7.1). При этом
коэффициенты ап, а22, а3з, <212, «23, «13 будем называть коэф¬
фициентами группы старших членов, а коэффициенты а 14, а24,
а34, а44 — коэффициентами линейной части (7.1). Коэффициент
а44 обычно называется свободным членом уравнения (7.1).
Рассмотрим сначала параллельный перенос декарто¬
вой системы координат. Как известно, старые и новые коор¬
динаты точки связаны соотношениями
X = х' + х0,	у = у' + у0,	z = z' + z0,	(7.2)
где х0, yQ, z0 — координаты нового начала О' в старой системе
Oxyz (см. главу 3, формулы (3.20)). Подставляя выражения
(7.2) для х, у, z в левую часть (7.1), получим уравнение S
в новой системе O'x'y'z'. Это уравнение имеет вид
«цХ/2 + а22у'2 + а3зг'2 + 2аХ2х'у' + 2а23у'г' + 2а)3х'г/ +
+ 2«'4х' + 2а'4У + 2a'^z' + «44 = 0,	(7.3)
где
aJ4 = «нх0 4“ «1270 + ^13^0	^14»
«24 = «12*0 + «22% + «23% + «24’
«34 = а 13Х0 + «23% + «33% + «34’	(7-4)
«44 = «ц'^О Н" «22^0 + «33^0	2«j2%% +
4~ 2«2з7о^о “Г 2«13хог0 4" 2«14х0 + 2«24у0 + 2«34г0 4~ «44*
Обращаясь к уравнению (7.3), мы можем сделать следующий
важный вывод: при параллельном переносе системы координат
коэффициенты группы старших членов не изменяются, а коэф¬
фициенты группы линейных членов преобразуются по форму¬
лам (7.4).
Рассмотрим теперь поворот декартовой системы коор¬
динат.

186
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО порядка
[ГЛ. 7
Как известно, старые и новые координаты точки связаны
соотношениями (см. главу 3, формулы (3.20))
х — тпх' + т{2у' +
У = m2lx' + tn22y' + m^z',	(7.5)
z = m31x' + т22у' + m33z',
где тц = тц суть косинусы углов, которые составляют друг с
другом старые и новые координатные оси. Подставляя- выраже¬
ния (7.5) для х, у и z в левую часть (7.1) и группируя коэффи¬
циенты при различных степенях х', у' и z', мы получим уравне¬
ние S в системе Ox'y'z'.
Это уравнение имеет вид
а'их'2 + а'22у'2 + a'3z'2 + 2a'i2x'y' + 2a23y'z' +
+ 2a'3x'z' + 2а'4х' + 2а'4/ + 2a'4z' + а44 = 0.	(7.6)
Легко убедиться в справедливости следующего важного вывода
о структуре коэффициентов а'у: при повороте системы коорди¬
нат коэффициенты группы старших членов уравнения (7.6) вы¬
ражаются лишь через величины тц, фигурирующие в соотно¬
шениях (7.5), и через коэффициенты группы старших членов
уравнения (7.1); коэффициенты a'i2A, а'?4 уравнения (7.6) вы¬
ражаются лишь через величины тц и коэффициенты «н, а24, Дз4
уравнения (7.1); свободный член не изменяется (т. е. а44 = а44).
При этом, если в исходном уравнении все коэффициенты аи,
а2д, Яз4 были равны нулю, то все коэффициенты а'4, а'4, а'4 так¬
же будут равны нулю. Из выводов этого пункта следует, что
путем параллельных переносов можно упроищть группу линей¬
ных членов уравнения (7.1), не меняя при этом коэффициентов
группы старших членов, а путем поворотов системы можно
упрощать группу старших членов этого уравнения.
2. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.
Справедливо следующее утверждение:
Величины
11 = «11 + «22 + «33
«и
«12
«13
/з =
«12
«22
«23
«13
«23
«33
/2=
«и
«12 I
+
«12
«22 1
«11
«12
«13
II
«12
«22
«23
«13
«23
«33
«14
«24
«34
«22
«23
+ г33
1	1 «13
«13
«23
«33 1
«и
014
«24
«34
«44
являются инвариантами уравнения (7.1) поверхности второго
порядка относительно преобразований декартовой системы ко¬
ординат.
Доказательство этого утверждения приведено в выпуске
«Линейная алгебра» настоящего курса,

§ 11	ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	187
3.	Центр поверхности второго порядка. Попытаемся найти
такую декартову систему координат O'x'y'z' (полученную па¬
раллельным переносом системы Oxyz)', в которой уравнение (7.3)'
данной поверхности S второго порядка не содержало бы слагае¬
мых 2а,4х', 2а'4/ и 2a'4z', т. е. коэффициенты я'4, а'п и я34
были бы равны нулю. Пусть х0, Уо и г0— координаты начала О'
искомой системы. Обращаясь к формулам (7.4), найдем, что
величины х0, у0, г0 представляют собой решение следующей си¬
стемы линейных уравнений:
ЯцХ0 + Я12Уо Я" ^13^0 + ^14 — О,
<212^0 + а&л + ^0 -г а24 = 0,.	(7.7)
я13х0 + я23у0 + я33г0 + я34 = 0.
Уравнения (7.7) называются уравнениями центра поверхно¬
сти второго порядка, а точка О' с координатами (х0, уо, г0), где
х0, уо и Zq — решения системы (7.7), называется центром этой
поверхности.
Допустим, что поверхность S второго порядка имеет центр
О' (т. е. система (7.7) имеет решение (х0, у$, г0)). Перенесем
начало координат в центр О'. Так как при параллельном пере¬
носе коэффициенты группы старших членов не изменяются и
начало координат переносится в центр, то уравнение поверх¬
ности S в системе O'x'y'z' примет вид
апх'2 + а22у'2 + a33z'2 + 2а'[2х'у' + Za23y'z' + 2я'3х'/ + я'4 = 0.
(7.7')
Очевидно, если точка М(х',у',?') расположена на поверхности
S (т. е. ее координаты х', у', z' удовлетворяют уравнению
(7.7')), то и точка М* (—х', —у', —z'), симметричная с М отно¬
сительно О', также расположена на S. Таким образом, если
у поверхности S существует центр О', то относительно центра
точки S располагаются симметричными парами, т. е. центр по¬
верхности является ее центром симметрии.
Наличие центра у поверхности второго порядка связано с
разрешимостью уравнений центра (7.7). Если уравнения центра
имеют единственное решение, то поверхность S второго порядка
будем называть центральной*).
Отметим, что центральными поверхностями являются лишь
те, для которых инвариант /3 отличен от нуля, ибо этот инва¬
риант равен определителю системы (7.7) уравнений центра.
4.	Стандартное упрощение любого уравнения поверхности
второго порядка путем поворота осей. Докажем, что в некоторой
декартовой прямоугольной системе координат уравнение данной
*) Таким образом, центральная поверхность имеет единственный центр5

188
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 7
поверхности S второго порядка не содержит слагаемых
2a'i2x'y', 2a^y'z' и 2a'3x'z', т. е. в уравнении поверхности S ко¬
эффициенты а'[2, а'^ и а'3 равны нулю.
Обозначим через F группу старших членов уравнения (7.1 У
F = апх2 + а22у2 + Язз^2 + 2^i2xz/ + 2tz23yz + 2a13xz (7.8)
и рассмотрим значения F в точках сферы л радиуса 1 с цент¬
ром в начале координат. Иными словами, рассмотрим значения
F(x,y,z) для всех тех значений х, у и г, которые связаны со¬
отношением *)
х2+г/2 + г2=1.	(7.9)
Пусть Р — та точка сферы л, в которой значение F(x,y,z) яв¬
ляется максимальным**). Направим новую ось Oz' из начала
координат в точку Р, а оси Ох' и Оу' перпендикулярно оси Oz'.
Очевидно, в системе координат Ox'y'z' точка Р имеет координа¬
ты (0, 0, 1).
Так как в новой системе координат Ox'y'z' выражение для
F имеет вид ***)
F = а'^х'2 + а22у'2 + n33z'2 + 2а'[2х'у' + 2a'23y'z' + 2a'^x'zr,	(7.10)
а сфера л определяется уравнением
x'2 + /2 + z'2=l,	(7.11)
то значения F в точках л могут быть получены с помощью
(7.10)	для всех тех значений (х', у', z'), которые связаны соот¬
ношением (7.11). В частности, максимальное значение F будет
в точке (0, 0, 1).
Убедимся, что в выражении (7.10) группы старших членов
в системе Ox'y'z' коэффициенты а'^ и aj3 равны нулю. Дока¬
жем, например, что а'3 = 0 (доказательство равенства а'3 = 0
проводится аналогично). Для этой цели рассмотрим значения F
в точках окружности L, являющейся линией пересечения сферы
(7.11)	с плоскостью у' = 0, т. е. с плоскостью Ox'z'. Пусть 0 —
угол, который образует радиус-вектор точки М на окружности
L с осью Oz'. Координаты х', у', z' точки М, очевидно, равны
х' = sin 0, у' = 0, z' = cos 0.	(7.12)
*) Соотношение (7.9) представляет собой уравнение сферы радиуса 1
с центром в начале координат.
**) Сфера л является замкнутым ограниченным множеством и служит
областью задания непрерывной функции F трех переменных х, у и г. Отсюда
следуег существование на сфере л такой точки Р, в которой F имеет макси¬
мальное значение (см. выпуск 1 курса, главу 14, теорему 14.7).
***) Напомним, что при повороте коэффициенты группы старших членов
выражаются лишь через величины т//, фигурирующие в соотношениях (7.5),
и через коэффициенты группы старших членов в выражении (7.8) (см. п. 1
этого параграфа),

§ 2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
189
Подставляя эти значения х', у' и z' в (7.10), получим следую¬
щее выражение для F в точках L:
F = а'п sin2 0 + а'^ cos2 6 + 2а'3 sin 0 cos 0 =
/ /
!эз~а“- cos 20 + а'3 sin 20.	(7.13)
Таким образом, значения F в точках L могут быть представле¬
ны в виде функции (7.13) угла 0. Эта функция имеет при 0 = 0
максимальное значение (из формул (7.12) следует, что значе¬
нию 0=0 отвечает точка с координатами (0,0,1), в'которой
значение F максимально). Отсюда вытекает, что производная
функции (7.13) равна нулю в точке 0=0. Дифференцируя
(7.13)	по 0 и полагая в полученном выражении 0=0, получим
равенство 2а'3 = 0, из которого вытекает равенство нулю коэф¬
фициента а'3. Для доказательства равенства а'3 = 0 нужно рас¬
смотреть значения F на окружности Af, являющейся линией пе¬
ресечения сферы (7.11) с плоскостью х' — 0, и повторить про¬
веденные выше рассуждения. Итак, в системе координат Ox'y'z'
группа F старших членов уравнения поверхности S второго по¬
рядка имеет вид
F = а\{х'2 + 2а'2х'г/' + а'^у'2 -И a33z'\	(7.14)
причем на выбор осей Ох' и Оу' не накладывалось никаких
требований, кроме требований перпендикулярности оси Oz'.
Иными словами, при повороте системы Ox'y'z' вокруг оси Oz'
на любой угол группа F старших членов будет иметь вид (7.14).
При этом координаты х' и у' преобразуются по формулам по¬
ворота системы координат на плоскости, а координата z' не
меняется. Поэтому можно выбрать такую систему координат,
в которой коэффициент a'i2 при произведении х'у' будет равен
нулю.
Итак, мы убедились в том, что существует такая система
прямоугольных декартовых координат Ox'y'z', в которой урав¬
нение поверхности S имеет вид
а'их'2 + а'^у'2 + <3г/2 + 2<х' + 2а'иу' + 2а'3/ + <4 = 0.	(7.15)
Приведение уравнения (7.1) поверхности S к виду (7.15) мы
будем называть стандартным упрощением уравнения поверх¬
ности.
§ 2. Классификация поверхностей второго порядка
1.	Классификация центральных поверхностей. Пусть S —
центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало
координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан¬
190
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 7
дартное упрощение уравнения этой поверхности. Используя вы¬
воды пп. 1, 3 и 4 § 1 этой главы, легко убедиться, что в резуль¬
тате указанных операций уравнение поверхности примет вид*)
«цХ2 “Ь 4“ а3322 + ^44 = 0.	(7.16)
Так как инвариант /3 для центральной поверхности отличен от
нуля и его значение, вычисленное для уравнения (7.16), равно
ап-«22-^зз, то коэффициенты ац, а22 и а33 удовлетворяют
условию
ап^О, <722=7^=0,	а33	0.	(7.17)
Возможны следующие случаи.
Г. Коэффициенты ац, а22, «зз одного знака, а коэффициент
а^ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется
эллипсоидом.
Если коэффициенты ац, а22, а33, а^ одного знака, то левая
часть (7.16) ни при каких значениях х, у, z не обращается в
нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди¬
наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется
мнимым эллипсоидом.
Если знак коэффициентов ац, а22, «зз противоположен знаку
коэффициента а44, то поверхность S называется вещественным
эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» будем на¬
зывать лишь вещественный эллипсоид.
Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической
форме. Очевидно, числа — а^/ац, — awja22, —аы/аы положи¬
тельны **). Обозначим эти числа соответственно а2, Ь2, с2. После
несложных преобразований уравнение эллипсоида (7.16) мож¬
но записать в следующей форме:
Ь2 с2
(7.18)
Уравнение (7.18) называется каноническим уравнением эллип¬
соида,
Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением
(7.18), то оси Ох, Оу и Oz называются его главными осями.
2°. Из четырех коэффициентов ац, «22, «зз, ац два одного
знака, а два других — противоположного. В этом случае поверх¬
ность S называется однополостным гиперболоидом.
Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают
в канонической форме. Пусть, ради определенности, ац > 0,
«22 > 0, а33 < 0, а44 < 0. Тогда числа —a44/«ii, —ац/а22,
а^/а^з положительны. Обозначим эти числа соответственно а2,
*) При этом окончательную систему координат мы обозначим Oxyz,
**) Согласно (7.17) и определению эллипсоида коэффициенты ац, a22ta33t
ац не равны нулю и знак ац противоположен знаку ац, агг, азз.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
191
62, с2. После несложных преобразований уравнение (7.16) одно¬
полостного гиперболоида можно записать в следующей форме:
*2 I У2	*2
а2 Ь2	с2
(7.19)
Уравнение (7.19) называется каноническим уравнением одно*
полостного гиперболоида.
Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим
уравнением (7.19), то оси Ох, Оу и Oz называются его глав*
ными осями.
Замечание 1. Если знаки коэффициентов ац, а22, «зз,
распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то канониче¬
ское уравнение (|7.19) легко может быть получено путем пере¬
именования осей координат.
3°. Знак одного из первых трех коэффициентов ап, а22, азз,
а44 противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом
случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.
Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канони¬
ческой форме. Пусть ради определенности ап < 0, а22 < О,
азз > 0, а44 < 0. Тогда а44/ап > 0, а44/а22 > 0, —а^/азз > 0.
Обозначим эти числа соответственно через а2, Ь2, с2. После не¬
сложных преобразований уравнение (7.16) двуполостного ги¬
перболоида можно записать в следующей форме:
(7.20)
Уравнение (7.20) называется каноническим уравнением двупо¬
лостного гиперболоида.
Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим
уравнением, то оси Ох, Оу и Oz называются его главными
осями.
Замечание 2. Если знаки коэффициентов ац, «22, «зз, а44
распределены иначе, чем в рассмотренном случае, то канони¬
ческое уравнение (7.20) легко может быть получено путем пе¬
реименования осей координат.
4°, Коэффициент а44 равен нулю. В этом случае поверхность
S называется конусом второго порядка.
Если коэффициенты ап, а22, азз одного знака, то левая часть
(7.16) обращается в нуль (а44 = 0) лишь для х = у — z =
т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты
только одной точки. В этом случае поверхность S называется
мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты ап, а22,
а33 имеют разные знаки, то поверхность S является веществен*
ным конусом второго порядка.
Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за¬
писывают в канонической форме. Пусть ради определенности
«п > 0, а22 > 0, а33 < 0. Обозначим 1/«п, \/а22, — 1/а33 со-

192
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 7
ответственно через а2, Ь\ с2. Тогда уравнение (7.16) можно за¬
писать в виде
у2
=	(7.21)
Уравнение (7.21) называется каноническим уравнением веще¬
ственного конуса второго порядка.
Замечание 3. Если знаки коэффициентов ап, а22, &зз рас¬
пределены иначе, чем в рассмотренном случае, то каноническое
уравнение (7.21) легко может быть получено путем переимено¬
вания осей координат.
Замечание 4. В следующем параграфе мы докажем, что
вещественный конус второго порядка образован прямыми ли¬
ниями, проходящими через фиксированную точку.
2.	Классификация нецентральных поверхностей второго по¬
рядка. Пусть S— нецентральная поверхность второго, порядка,
т. е. поверхность, для которой инвариант /3 равен нулю (см.
п. 3 § 1 этой главы). Произведем стандартное упрощение урав¬
нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности
примет вид (7.15). Так как инвариант /3 = 0 и его значение,
вычисленное для уравнения (7.15), равно а'[{ • а22 • то один
или два из коэффициентов a\v а^, а'33 равны нулю*). В соот¬
ветствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.
Г. Один из коэффициентов а\[У a2V а'3 равен нулю. Ради
определенности будем считать, что а33 = 0 (если равен нулю
какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно пе-f
рейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей
координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым коорди¬
натам х, у, z по формулам
х = хл + —у—,	Р = / + ^, z = z'.	(7.22)
ан	а22
Подставляя х', у' и г', найденные из (7.22), в левую часть (7.15)
и заменяя затем а'} на а1Р а22 на а22, а'д на р и а'4 на q,
получим следующее уравнение поверхности S в новой системе
координат Oxyz\
апх2 + а2%у2 + 2рг + 7 = 0.	(7.23)
(1)	Пусть р = 0, 7 = 0. Поверхность S распадается на пару
плоскостей
х ± V—a22/an t/ = 0.
*) Все перечисленные коэффициенты не могут быть равны нулю, так как
при преобразовании координат порядок уравнения ие изменяется (см, гла-
ву 4).

§ 21
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
193
При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки
а\\ и а22 одинаковы, и вещественными, если знаки а\\ и а22
различны.
(2)	Пусть р = 0, q^O. Уравнение (7.23) принимает вид
а,1Х2 + а,2у2 + <7 = 0.
(7.24)
Известно (см. п. 3 § 2 главы 4), что уравнение (7.24) является
уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Oz.
При этом, если а\\, а22 и q имеют одинаковый знак, то левая
часть (7.24) отлична от нуля для любых х и у, т. е. цилиндр
будет мнимым. Если же среди коэффициентов ап, а22 и q
имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет веще¬
ственным. Отметим, что в случае, когда ац и а22 имеют оди¬
наковые знаки, a q — противоположный, то величины —q/aw
и —qla^i положительны.. Обозначая их соответственно через а2
и 62, мы приведем уравнение (7.24) к виду
*2	| У2 _
а2 '* Ь2 ~
(7.25)
Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический
цилиндр. В случае, когда ац и а22 имеют различные знаки, по¬
лучим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравне¬
ние гиперболического цилиндра может быть приведено к виду
^--£=1.	(7.26)
(3)	Пусть р=^=0. Произведем параллельный перенос систе¬
мы координат, выбирая новое начало в точке с координатами
(о, 0, —	. При этом оставим старые обозначения координат
х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверх¬
ности S в новой системе координат, достаточно заменить в урав¬
нении (7.23) z на г —Получим следующее уравнение:
ацх2 + а22г/2 + <lpz = 0.	(7.27)
Уравнение (7.27) определяет так называемые параболоиды.
Причем, если ац и а22 имеют одинаковый знак, то параболоид
называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического
параболоида записывают в канонической форме:
Уравнение (7.28) легко получается из (7.27). Если ац и а22
имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболиче¬
ским. Каноническое уравнение гиперболического параболоида
7 В. А, Ильин, Э. Г. Позняк

194
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА'
[ГЛ. 7
имеет вид
(7.29)
Это уравнение также легко может быть получено из (7.27)'.
2й, Два из коэффициентов а'и, а'22, а'3 равны нулю. Ради
определенности будем считать, что «„ = 0 и а'22 = $ (если рав¬
ны нулю какие-либо другие два из указанных коэффициентов,
то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переиме¬
нования осей координат). Перейдем от л/, у', г’ к новым коор¬
динатам х, у, z по формулам
/
г	г	г \	^34
х = х , у = у , Z = Z +— •
азз
(7.30)
Подставляя хт, у' и z', найденные из (7.30) в левую часть (7.15)1
и заменяя затем а33 на а33, а'4 на р, а'^ на 7 и а44 на г, по¬
лучим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко¬
ординат Oxyz\
a^z2 + 2рх + 2qy + г = 0.	(7.31)
(1) Пусть р = 0, q — О. Поверхность S распадается на пару
параллельных плоскостей
(7.32)
При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки
Озз и г одинаковы, и вещественными, если знаки п33 и г различ¬
ны, причем при г = 0 эти плоскости сливаются в одну.
(2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля.
В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так,
чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх +
+ 2qy + г = 0. Легко убедиться, что при таком выборе системы
координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для
новых'координат точек, уравнение (7.31) примет вид
a33z2 + 2q'y = 0,
(7.33)
которое является уравнением параболического цилиндра с об¬
разующими, параллельными новой оси Ох.
§ 3. Исследование формы поверхностей
второго порядка по их каноническим уравнениям
1. Эллипсоид. Для исследования формы эллипсоида обра¬
тимся к его каноническому уравнению (7.18) (см. п. 1 преды¬
дущего параграфа)
(7.18)
§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
195
Из уравнения (7.18) вытекает, что координатные плоскости яв¬
ляются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коорди¬
нат— центром симметрии. Числа а, Ь, с называются полуосями
эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала
координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат.
Эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, за¬
ключенную, как это видно из (7.18), в параллелепипеде |х|^ а,
|г/|=С b, |z|^ с. Чтобы более наглядно представить себе форму
эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостя¬
ми, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.
Ради определенности рассмотрим линии Lh пересечения эл¬
липсоида с плоскостями
z = h,	(7.34)
параллельными плоскости Оху. Уравнение проекции Lh линии
Lh на плоскости Оху получается из уравнения (7.18), если по¬
ложить в нем z — h. Таким образом, уравнение этой
имеет вид
х2 L у2 _ .	h2
а2 1 б2 “ 1	с2 ’
Если положить
проекции
(7.35)
(7.36)
то уравнение (7.35) можно записать в виде
у 2
+	(7.37)
т. е. Lh представляет собой эллипс с полуосями а* и 6*, кото¬
рые могут быть вычислены по формулам (7.36). Так как Lh
получается «подъемом» Lh на высоту h по оси Oz (см. (7.34)),
то и Lh представляет собой эллипс.
Представление об эллипсоиде можно получить следующим
образом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов
(7.37) (рис. 7.1), полуоси а* и которых зависят от h (см.
(7.36)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указываю¬
щей, на какую высоту по оси Oz должен быть «поднят» этот
эллипс. Мы получим своего рода «карту» эллипсоида. Исполь¬
зуя эту «карту», легко представить себе пространственный вид
эллипсоида. На рис. 7.2 изображен эллипсоид.
Эллипсоид может быть получен равномерным сжатием сфе¬
ры относительно двух перпендикулярных плоскостей. Именно,
если а — наибольшая полуось эллипсоида, то он может быть
получен из сферы *)
*) Очевидно, сфера представляет собой эллипсоид с равными полуосями.

196
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 7
равномерным сжатием ее сначала относительно плоскости Оху
с коэффициентом сжатия b/а, а затем относительно плоскости
Oxz с коэффициентом сжатия с/а.
В заключение отметим, что линии пересечения
эллипсоида
с плоскостями представляют со¬
бой эллипсы.
В самом деле, такая линия
представляет собой ограничен¬
ную линию второго порядка *)
(ограниченность линии вытекает
из ограниченности эллипсоида), единственной же ограниченной
линией второго порядка является эллипс.
2.	Гиперболоиды.
Г. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническо¬
му уравнению (7.19) однополостного гиперболоида
£ +	(7.19)
Из уравнения (7.19) вытекает, что координатные плоскости яв¬
ляются плоскостями симметрии, а начало координат — центром
симметрии однополостного гиперболоида.
Рассмотрим линии Ln пересечения однополостного гипербо¬
лоида плоскостями z = h. Уравнение проекции Lh такой линии
на плоскость Оху получается из уравнения (7.19), если поло¬
жить в нем 2 = h. Полагая
=	=	(7.38)
*) Преобразуем систему координат так, чтобы в новой системе коорди¬
нат Ох'у'г' секущая плоскость определялась уравнением z' = 0. После та¬
кого преобразования эллипсоид будет определяться уравнением второго по¬
рядка. Полагая в этом уравнении г' = 0, мы получим уравнение второго
порядка линии пересечения эллипсоида и плоскости г' = 0.

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
197
найдем, что уравнение этой проекции имеет вид
a*2^Z>*2	’
(7.39)
т. е. Lh представляет собой эллипс с полуосями а* и Ь\
Рассмотрим «карту» расположенной над плоскостью Оху
части однополостного гиперболоида*), т. е. семейство эллип¬
сов (7.39), каждый из которых снабжен отметкой ft, указываю¬
щей, на какую высоту по оси Oz
должен быть поднят этот эллипс
(рис. 7.3). Обращаясь к карте одно¬
полостного гиперболоида, мы видим,
что наименьший из рассматривае¬
мых эллипсов (7.39) получается для
ft = 0 (см. также формулы (7.38)).
Этот эллипс называется горловым. С увеличением ft размеры
эллипса (7.39) неограниченно увеличиваются. Таким образом,
однополостный гиперболоид представляет собой поверхность,
состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно
расширяющейся в положительном и отрицательном направле¬
нии по оси Oz (рис. 7.4). Отметим, что сечения однополостного
гиперболоида плоскости Oyz и Oxz представляют собой гипер¬
болы, определяемые соответственно уравнениями
Эти гиперболы изображены на рис. 7.4.
2°. Двуполостный гиперболоид. Из канонического уравнения
(7.20)
X2 | у2	г2
а2 1 Ь2	с2
(7.20)
*) Расположенная под плоскостью Оху часть однополостного гипербол
лоида симметрична рассматриваемой части относительно эГой плоскости,

198
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
(ГЛ Ъ
двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные пло¬
скости являются его плоскостями симметрии, а начало коорди¬
нат — его центром симметрии.
Линии Lh пересечения двуполостного гиперболоида плоско¬
стями z — h представляют собой эллипсы, уравнения проекций
которых на плоскость Оху имеют вид
^ + ^Г=>.	(7.40)
где
=	=	.	(7.41)
секущая плоскость z = h на-
гиперболоид
Из формул (7.41) вытекает, что
чинает пересекать двуполостный
Иными словами, в слое между
плоскостями z = —с и z = с не со¬
держится точек рассматриваемой по¬
верхности; в силу симметрии относи¬
тельно плоскости Оху она состоит из
двух полостей, расположенных вне
указанного выше слоя.
На рис. 7.5 изображена «карта»
верхней полости двуполостного гипер¬
болоида. Из формул (7.41) следует,
что при увеличении h эллипсы (7.40)
неограниченно увеличиваются, так что
полости двуполостного гиперболоида
лишь при | h |
представляют собой бесконечные чаши. На рис. 7.6 изображен
двуполостный гиперболоид. Отметим, что сечения двуполостно¬
го гиперболоида плоскостями Оуг и Охг представляют собой
гиперболы (см. рис, 7.6),
*) При \h\г< с подкоренное выражение в формулах (7,41) отрицательно.

§3] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
199
3.	Параболоиды.
Г. Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому
уравнению (7.28) эллиптического параболоида
z =	+	(7.28)
мы видим, что для него Oxz и Oyz являются плоскостями сим¬
метрии. Ось Ог, представляющая линию пересечения этих пло¬
скостей, называется осью эллиптического параболоида. Из
уравнения (7.28) вытекает, что эллиптический параболоид рас¬
положен в полупространстве г 0. Линии Lh пересечения эл¬
липтического параболоида плоскостями z = й, h > 0, представ-
ляют собой эллипсы
[, проекции Lh
кото-
рых на
плоскости Оху определяются
урав-
нением
*2 - I
J^-=l
ь*2	’
(7.42)
а*2	1
где
а* — а л/h,
b* = b'\/h.
(7.43)
Из формулы (7.43)
следует, что при уве-
личении
п эллипсы
(7.42) неограниченно
раболоида
плоско-
коорди-
увеличиваются, так что эллиптический па¬
раболоид представляет собой бесконечную
чашу. На рис. 7.7 изображен эллиптический
параболоид.
Обратимся к сечениям эллиптического г
стями у = h и x — h, параллельными соо
натным плоскостям Oxz и Oyz.
Плоскость х = й, например, пересекает эллиптический пара¬
болоид по параболе
Д2	.,2
=	x = h.	(7.44)
Очевидно, парабола (7.44) получается таким параллельным
переносом параболы
z — у2/Ь2, х = 0,
(7.45)
представляющей собой сечение эллиптического параболоида
плоскостью х = 0, при котором ее вершина, имеющая коорди¬
наты (0, 0, 0), переходит в точку с координатами (х = Н,
у = 0, z = h2/a2). Иными словами, эллиптический параболоид
образуется путем параллельного перемещения параболы (7.45),
когда ее вершина движется вдоль параболы z = x2/a\ у = 0,
представляющей собой сечение эллиптического параболоида
плоскостью у = 0,

200
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 7
Совершенно аналогично можно убедиться в том, что эллип¬
тический параболоид может быть получен путем параллельного
перемещения параболы, представляющей собой сечение пара¬
болоида плоскостью у = 0 вдоль сечения плоскостью х = 0.
2°. Гиперболический параболоид. Из канонического уравне¬
ния (7.29)
Y 2	, .2
2===^2-	-£2	(7.29)
гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Oxz и
Линии z = h пересечения гиперболического параболоида
с плоскостями z = h представляют собой при h > 0 гиперболы
■у 2	£.2
^-^=1	<7-46)
с полуосями
а* = ад//2, tf — b'yjh)	(7.47)
а при й < 0— сопряженные гиперболы для гипербол (7.46)
х2	=
а*2	Ь*2
с полуосями
a-a^j-h) b^ = b^—h.
(7.48)
(7.49)
Используя формулы (7.46) — (7.49), легко построить «карту»
гиперболического параболоида (рис. 7.8). Отметим еще, что
плоскость z — 0 пересекает гиперболический параболоид по
двум прямым
(7.50)
Из формул (7.47)' и (7.49) вытекает, что прямые (7.50) яв¬
ляются асимптотами гипербол (7.46) и (7.48),

§ 3] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 201
Карта гиперболического параболоида дает представление
о его пространственной форме (рис. 7.9). Как и в случае эл¬
липтического параболоида, можно убедиться в том, что гипер¬
болический параболоид может быть получен путем параллель¬
ного перемещения параболы, представляющей собой сечение
плоскостью Oxz (Oyz), когда ее вершина движется вдоль пара¬
болы, являющейся сечением параболоида плоскостью Oyz
(Oxz).
4.	Конус и цилиндры второго порядка.
Г. Конус второго порядка. В предыдущем параграфе мы
назвали вещественным конусом второго порядка поверхность S,
определяемую уравнением (7.21):
у2	//2	~2
__L Д	— = 0
а2	Ь2	с2
Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми ли¬
ниями, проходящими через начало О координат. Естественно
называть точку О вершиной конуса.
Для доказательства сформулирован¬
ного утверждения, очевидно, достаточно
установить, что прямая L, соединяющая
произвольную, отличную от начала ко-
ординат точку 7И0(х0, #о,-?о) конуса (7.21)
в начало координат О (рис. 7.10), цели¬
ком располагается на конусе, т. е. коор¬
динаты (х, у, z) любой точки М прямой
L удовлетворяют уравнению (7.21).
Так как точка Ж (х0, у0, zQ) лежит на
конусе (7.21), то
2 2 2
1 А —п
а2 И" b2 С2 —V.
(7.51)
Координаты (х, у, z) любой точки М пря¬
мой L равны соответственно txQ, tyQ, tzo,
где t — некоторое число. Подставляя эти
значения для х, у и z в левую часть (7.21), вынося t2 за скоб¬
ки и учитывая (7.51), мы убедимся в том, что М лежит на
конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление
о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко
убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляют
собой эллипсы с полуосями =	&* = -уЛ.
2°. Цилиндры второго порядка. В процессе классификации
поверхностей второго порядка нам встретились эллиптический,
гиперболический и параболический цилиндры. Уравнения этих
202
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА'
[ГЛ. 7
поверхностей соответственно имеют вид
^- + <=1,	у2 = 2рх*).	(7.52)
Рис, 7.11 дает представление о форме этих цилиндров.
Заметим, что цилиндры (7.52) состоят из прямых линий, па¬
раллельных оси Oz.
5.	Прямолинейные образующие поверхностей второго по¬
рядка. Кроме конуса и цилиндров, поверхностями второго по¬
рядка, состоящими из прямолинейных образующих, являются
однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.
Более точно, справедливо следующее утверждение.
Через каждую точку однополостного гиперболоида и гипер¬
болического параболоида проходят две различные прямые ли¬
нии, целиком располагающиеся на указанных поверхностях.
Таким образом, однополостный гиперболоид и гиперболиче¬
ский параболоид покрыты двумя различными семействами пря¬
молинейных образующих. На рис. 7.12 и 7.13 показано распо¬
ложение прямолинейных образующих соответственно на одно¬
полостном гиперболоиде и гиперболическом параболоиде.
Рассмотрим сначала однополостный гиперболоид, заданный
своим каноническим уравнением
(7.19)
Очевидно, любая прямая Г%, определяемая как линия пересе¬
чения плоскостей
(7.53)
*) Уравнение параболического цилиндра у2 = 2рх легко получается из
уравнения (7.33) путем переименования осей координат и простых арифмети¬
ческих операций.

§ 3]
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
203
при любом отличном от нуля значении X целиком располагается
на гиперболоиде (7.19), ибо уравнение (7.19) представляет
собой алгебраическое следствие уравнений (7.53) (уравнение
(7.19) получается из уравнений (7.53) путем их перемножения).
Прямая Г^: 1 — у = 0, у + '7==0 соответствует уравнениям
Рис. 7.12
(7.53) при X = оо. Точно так же легко убедиться, что любая
прямая Г л, определяемая как линия пересечения плоскостей
2
ь ’
куда включается прямая Г^>: 1+4- = О, -~- + -|- = 0, соответ¬
ствующая X = оо, при любом значении X располагается на ги¬
перболоиде (7.19).
Нетрудно заметить, что прямые 1\ и Г\ различны. Таким
образом, на однополостном гиперболоиде имеются два различ¬
ных семейства прямых Г\ и К. Для завершения доказатель¬
ства утверждения достаточно убедиться, что через любую точку
гиперболоида проходит некоторая прямая семейства Г\ и неко¬
торая прямая семейства П. Мы ограничимся доказательством
этого лишь для семейства Гл, ибо для семейства П доказа¬
тельство аналогично.
Пусть точка Мо (%о, Уо, £о) находится на гиперболоиде (7.20) ,
так что
4 , Уо	2о .
а2 ' b2	с2 — 1
(7.51)

204
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 7
Если точка 7И0 лежит на прямой Гоо или Го, то утверждение
очевидно. В противном случае выберем такое значение чтобы
числа хо, Уо, го удовлетворяли первому из уравнений (7.53), и
обозначим его через %0. Таким образом,
(7.55)
Убедимся, что при выбранном значении X = Хо числа х0, уо, г0
удовлетворяют и второму из уравнений (7.53), что означает,
что точка 7Ио(%о, */о, го), принадлежащая гиперболоиду, принад¬
лежит также и прямой (7.53). Допустим, что это не так. Тогда
+ <7-56>
Перемножая (7.55) и (7.56), получим неравенство
2	2 2
а2	с2 ~Г^	£2 >
которое противоречит соотношению (7.54). Таким образом, пря¬
мая 1\0 располагается на гиперболоиде и проходит через за¬
данную его точку Л4о(хо, Уо, г0).
Совершенно аналогично рассуждая, можно убедиться, что
д;2	jj 2
гиперболический параболоид, z==-^ — покрыт двумя семей¬
ствами прямых Щ и III, которые соответственно задаются урав¬
нениями
к а 1 b /	а b
г = %(т~т)’	% = v +	где Л е (-ОО, оо).

ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
И ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ
§ 1. Аксиомы элементарной геометрии
Будем рассматривать три множества объектов лю¬
бой природы: объекты первого множества будем именовать
точками и обозначать большими латинскими буквами Л, В,
С, ..., объекты второго множества будем именовать прямыми
и обозначать малыми латинскими буквами а, &, с, ..., объекты
третьего множества будем именовать плоскостями и обозна¬
чать греческими буквами а, |3, у, ...
Будем считать, что в рассматриваемых множествах каким-
либо способом определены соотношения между объектами,
выражаемые тремя терминами: принадлежит, лежит между и
конгруэнтен*). Например, точка А принадлежит прямой а или
плоскости а; точка В, принадлежащая прямой а, лежит между
принадлежащими той же прямой точками А и С; отрезок пря¬
мой а, ограниченный принадлежащими этой прямой точками А
и В, конгруэнтен отрезку прямой Ь, ограниченному принадле¬
жащими этой прямой точками С и D.
Будем требовать, чтобы указанные соотношения удовлетво¬
ряли формулируемым ниже двадцати аксиомам**)'.
Все аксиомы разделяются на пять групп.
Группа I содержит восемь аксиом принадлежности.
Группа II содержит четыре аксиомы порядка.
Группа III содержит пять аксиом конгруэнтности.
Группа IV содержит две аксиомы непрерывности.
Группа V содержит одну аксиому параллельности.
Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновре¬
менно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие
из формулируемых аксиом. Это поможет нам выяснить основ-».
*) То есть «равен».
**) Во всем остальном как природа самих объектов, так и способ зада-*,
ния соотношений между этими объектами являются произвольными.

206
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
ные принципы логического развертывания геометрии и обосно¬
вать возможность установления взаимно однозначного соответ¬
ствия между множеством всех точек прямой и множеством всех
вещественных чисел, т. е. обосновать метод координат.
1.	Аксиомы принадлежности.
1.1.	Каковы бы ни были две точки А и В, существует пря¬
мая а, которой принадлежат обе эти точки.
1.2.	Каковы бы ни были две различные точки А и В, суще¬
ствует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.
1.3.	Каждой прямой а принадлежат по крайней мере две
точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежа¬
щие одной прямой.
Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принад¬
лежности планиметрии. Следующие пять аксиом вместе с ука¬
занными тремя аксиомами завершают список аксиом принад¬
лежности стереометрии.
1.4.	Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадле¬
жащие одной прямой, существует плоскость а, которой принад¬
лежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы
одна точка.
1.5.	Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадле¬
жащие одной прямой, существует не более одной плоскости, ко¬
торой принадлежат эти точки.
1.6.	Если две принадлежащие прямой а различные точки А
и В принадлежат некоторой плоскости а, то каждая принадле¬
жащая прямой а точка принадлежит указанной плоскости.
1.7.	Если существует одна точка А, принадлежащая двум
плоскостям а и р, то существует по крайней мере еще одна
точка В, принадлежащая этим плоскостям.
1.8.	Существуют по крайней мере четыре точки, не принад¬
лежащие одной плоскости.
С целью использования привычной для нас геометрической
терминологии договоримся отождествлять между собой следую¬
щие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой а (плоскости
а)»; 2) «прямая а (плоскость а) проходит через точки А»,
3) «точка А лежит на прямой а (на плоскости а)»; 4) «точка А
является точкой прямой а (плоскости а)» и т. п.
С помощью указанных аксиом уже могут быть доказаны
некоторые теоремы. Так, из аксиомы 1,2 непосредственно выте¬
кает следующее утверждение.
Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше
одной общей точки.
Предоставляем читателю доказательство следующих утвер¬
ждений, вытекающих из аксиом I, 1—8*).
*) В случае возникновения затруднений отсылаем читателя к книге
Н. В. Ефимова «Вмещая геометрия», — М,: Наука, 1978,

§ И	АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ	207
Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих то¬
чек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их об¬
щие точки.
Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут
иметь больше одной общей точки.
Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку или
через две различные прямые с общей точкой проходит одна и
только одна плоскость.
Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере
три точки.
2.	Аксиомы порядка.
11.1.	Если точка В прямой а лежит между точками А и С
той же прямой, то А, В и С — различные точки указанной пря¬
мой, причем В лежит также и между С и А.
11.2.	Каковы бы ни были две различные точки А и С, на
определяемой ими прямой существует по крайней мере одна
точка В такая, что С лежит между А и В.
11.3.	Среди любых трех различных точек одной прямой
существует не более одной точки, лежащей между двумя дру¬
гими.
Сформулированные три аксиомы относятся к расположению
геометрических объектов на прямой и поэтому называются ли¬
нейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя
аксиома порядка относится к расположению геометрических
объектов на плоскости. Для того чтобы сформулировать
эту аксиому, введем понятие отрезка.
Пару различных точек А и В назовем отрезком и будем
обозначать символом АВ или ВА. Точки А и В будем называть
концами отрезка АВ. Точки прямой, определяемой А и В, лежа¬
щие между А и В, будем называть внутренними точками или
просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой
будем называть внешними точками отрезка АВ.
11.4.	(аксиома Паша). Если А, В и С — три точки, не лежа¬
щие на одной прямой, и а — некоторая прямая в плоскости,
определяемой этими точками, не содержащая ни одной из ука¬
занных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ,
то эта прямая проходит также либо через некоторую точку от¬
резка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС.
Подчеркнем, что из одних аксиом порядка II, 1—4 еще не
вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако,
привлекая еще аксиомы принадлежности I, 1—3, можно дока¬
зать следующее утверждение.
Теорема 6. Каковы бы ни были две различные точки А
и В, на прямой, ими определяемой, существует по крайней мере
одна точка С, лежащая между А и В,

208
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ
Предлагаем читателю, опираясь на аксиомы I, 1—8 принад¬
лежности и аксиомы II, 1—4 порядка, последовательно доказать
следующие утверждения *).
Теорема 7. Среди любых трех различных точек одной пря¬
мой всегда существует одна точка, лежащая между двумя
другими.
Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежат одной пря¬
мой и если некоторая прямая а пересекает **) какие-либо два
из отрезков АВ, ВС и АС, то эта прямая не пересекает третий
из указанных отрезков.
Теорема 9. Если В лежит на отрезке АС и С — на отрезке
BD, то В и С лежат на отрезке AD.
Теорема 10. Если С лежит на отрезке AD, а В —на отрезке
АС, то В лежит также на отрезке AD, а С — на отрезке BD.
Теорема 11. Между любыми двумя различными точками
прямой существует бесконечно много других ее точек.
Теорема 12, Пусть каждая из точек С и D лежит между
точками А и В. Тогда если М лежит между С и D, то М лежит
и между А и В.
Теорема 13. Если точки С и D лежат между точками А и В,
то все точки отрезка CD принадлежат отрезку АВ (в этом слу¬
чае мы будем говорить, что отрезок CD лежит внутри отрез¬
ка АВ).
Теорема 14. Если точка С лежит между точками А и В, то:
1)	никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка СВ,
2)	каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо
отрезку АС, либо отрезку СВ.
Указанные утверждения позволяют упорядочить множество
точек любой прямой и выбрать на этой прямой направление.
Будем говорить, что две различные точки А и В прямой а
'лежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О
той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А и В.
Из указанных выше утверждений вытекает следующая теорема.
Теорема 15. Произвольная точка О каждой прямой а раз¬
бивает все остальные точки этой прямой на два непустых класса
так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному
и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые две
точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные сто¬
роны от О.
Таким образом, задание на любой прямой двух различных
точек О и Е определяет на этой прямой луч или полупрямую
ОЕ, обладающую тем свойством, что любая ее точка и точка Е
лежат по одну сторону от О.
*) Впрочем, доказательство всех приводимых ниже утверждений можно
найти в книге Н. В. Ефимова «Высшая геометрия» (цит. на с. 206).
**) Под термином «прямая пересекает отрезок» мы подразумеваем, что
.указанная прямая содержит некоторую внутреннюю точку этого отрезка.

§ 1]	АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ	209
Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем
теперь определить порядок, следования точек на прямой по
следующему правилу: 1) если А и В — любые точки луча ОЕ,
то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между
О и В; 2) будем говорить, что точка О предшествует любой
точке луча ОЕ\ 3) будем говорить, что любая точка, не принад¬
лежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой
точке, принадлежащей лучу ОЕ\ 4) если А и В — любые точки,
не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А пред¬
шествует В, если В лежит между А и О.
Легко проверить, что для выбранного порядка следования
точек прямой а справедливо свойство транзитивно¬
сти: если А предшествует В, а В предшествует С, то А пред¬
шествует С.
Аксиомы, приведенные выше, позволяют упорядочить и точки,
принадлежащие произвольной плоскости а. Предлагаем чита¬
телю доказать следующее утверждение*).
Теорема 16. Каждая прямая а, принадлежащая плоскости а,
разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два не¬
пустых класса так, что любые две точки А и В из разных клас¬
сов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а лю¬
бые две точки А и А' из одного класса определяют отрезок АА',
внутри которого не лежит ни одна точка прямой а.
В соответствии с утверждением этой теоремы мы будем го¬
ворить, что точки А и А' (одного класса) лежат в плоскости а
по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов^
лежат в плоскости а по разные стороны от прямой а.
3.	Аксиомы конгруэнтности.
111,1. Если А и В — две точки на прямой а, А' — точка на
той же прямой или на другой прямой а', то по данную от точ¬
ки А' сторону прямой а' найдется, и притом только одна, точ¬
ка В' такая, что отрезок А'В' конгруэнтен отрезку АВ. Каждый
отрезок АВ конгруэнтен отрезку В А **).
И1,2. Если отрезки А'В' и А"В" конгруэнтны одному и тому
же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой.
III,	3. Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой а, не имеющие
общих внутренних точек, А'В' и В'С' — два отрезка той же пря¬
мой или другой прямой а', также не имеющие общих внутрен¬
*) В случае затруднений см. книгу Н. В. Ефимова «Высшая геомет¬
рия» (цит. на с. 206).
**) Из этой аксиомы вытекает возможность перемещения отрезка АВ
вдоль прямой, на которой он лежит (с сохранением его длины и направле¬
ния). Будем говорить, что направленный отрезок CD получен в результате
перемещения направленного отрезка АВ, если отрезок CD конгруэнтен от¬
резку АВ и если либо отрезок AD лежит внутри отрезка ВС, либо отрезок ВС
лежит внутри отрезка ADt

210
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ
них точек. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В',
а отрезок ВС конгруэнтен отрезку BfС', то отрезок АС конгруэн¬
тен отрезку А'С'.
Сформулированные три аксиомы относятся к конгруэнтности
отрезков. Для формулировки двух следующих аксиом нам по¬
надобится понятие угла и его внутренних точек.
Пара полупрямых h и k, выходящих из одной и той же точ¬
ки О и не лежащих на одной прямой, называется углом и обо¬
значается символом Z (й, k) или Z (й, h).
Если полупрямые h и k задаются двумя своими точками
ОА и ОВ, то мы будем обозначать угол символом ZAOB или
ЛВОА.
В силу теоремы 4 любые два луча h и й, составляющие угол
Z (й, k), определяют, и притом единственную, плоскость а.
Внутренними точками Z (й, k) будем называть те точки пло¬
скости а, которые, во-первых, лежат по ту сторону от прямой,
содержащей луч й, что и любая точка луча й, и, во-вторых,
лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч k, что и любая
точка луча й.
III,	4. Пусть даны Z (й, й) на плоскости а, прямая а' на этой
же или на какой-либо другой плоскости а' и задана определен¬
ная сторона плоскости а' относительно прямой а'. Пусть й7—-
луч прямой а', исходящий из некоторой точки О'. Тогда на
плоскости а' существует один и только один луч й7 такой, что
конгруэнтен A{h',k'), и при этом все внутренние точки
Z (й7, й7) лежат по заданную сторону от прямой а'. Каждый
угол конгруэнтен самому себе.
1П,5. Пусть А, В и С — три точки, не лежащие на одной пря¬
мой, А', В' и С'— другие три точки, также не лежащие на
одной прямой. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку
А'В', отрезок АС когруэнтен отрезку А'С' и Л В АС конгруэнтен
ZВ'А'С', то Л АВС конгруэнтен ЛА'В'С' и ЛАСВ конгруэнтен
ЛА'С'В'.
Договоримся теперь о сравнении неконгруэнтных отрезков
и углов.
Будем говорить, что отрезок АВ больше отрезка А'В', если
на прямой, определяемой точками А и В, найдется лежащая
между этими точками точка С такая, что отрезок АС конгруэн¬
тен отрезку А'В'. Будем говорить, что отрезок АВ меньше от¬
резка А'В', если отрезок А'В' больше отрезка АВ.
Символически тот факт, что отрезок АВ меньше отрезка
А'В' (конгруэнтен отрезку А'В'), будем записывать так:
АВ < А'В' {АВ = А'В').
Будем говорить, что Z.AOB больше ЛА'О'В', если в пло¬
скости, определяемой Л АО В, найдется луч ОС, все точки ко-

§ 1]	АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ геометрии	211
торого являются внутренними точками ZAOB, такой, что /А ОС
конгруэнтен Z.A'0'B'. Будем говорить, что Z.AOB меньше
ЛА'О'В', если ^А'О'В' больше ZAOB.
С помощью аксиом принадлежности, порядка и конгруэнт¬
ности можно доказать целый ряд классических теорем элемен¬
тарной геометрии. Сюда относятся: 1) три широко известные
теоремы о конгруэнтности (равенстве) двух треугольников;
2) теорема о конгруэнтности вертикальных углов; 3) теорема
о конгруэнтности всех прямых углов; 4) теорема о единствен¬
ности перпендикуляра, опущенного из точки на прямую; 5) тео¬
рема о единственности перпендикуляра, восстановленного из
данной точки прямой; 6) теорема о внешнем угле треугольника;
7) теорема о сравнении перпендикуляра и наклонной.
Предлагаем читателю самому последовательно доказать
только что перечисленные теоремы.
4. Аксиомы непрерывности. С помощью аксиом принадлеж¬
ности, порядка и конгруэнтности мы произвели сравнение отрез¬
ков, позволяющее заключить, каким из трех знаков <, == или
>* связаны данные два отрезка.
Указанных аксиом, однако, недостаточно: 1) для обоснова¬
ния возможности измерения отрезков, позволяющего поставить
в соответствие каждому отрезку определенное вещественное
число; 2) для обоснования того, что указанное соответствие яв¬
ляется взаимно однозначным.
Для проведения такого обоснования следует присоединить
к аксиомам I, II, III две аксиомы непрерывности.
IV,	1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD — произвольные
отрезки. Тогда на прямой, определяемой точками А и В, суще¬
ствует конечное число точек Аь А2, .Ап, расположенных так,
что точка Ai лежит между А и А2, точка А2 лежит между Ai
й Аз, ..., точка An-i лежит между Ап_2 и Ап, причем отрезки
AAi, AiA2, ..., Ап-1Ап конгруэнтны отрезку CD и точка В ле¬
жит между А и Ап.
IV, 2 (аксиома линейной полноты). Совокупность всех точек
произвольной прямой а нельзя пополнить новыми объектами
(точками) так, чтобы: 1) на пополненной прямой были опреде¬
лены соотношения «лежит между» и «конгруэнтен», определен
порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнт¬
ности III, 1—3 и аксиома Архимеда IV, 1; 2) по отношению
к прежним точкам прямой определенные на пополненной прямой
соотношения «лежит между» и «конгруэнтен» сохраняли ста¬
рый смысл.
Мы сейчас докажем, что присоединение к аксиомам I, I—3,
II и III, 1—3 аксиомы Архимеда IV, 1 позволяет поставить в со¬
ответствие каждой точке произвольной прямой а определенное
вещественное число х, называемое координатой этой точки,
а присоединение еще и аксиомы линейной полноты IV, 2 позво-

212
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ
ляет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчер¬
пывают множество всех вещественных чисел.
5. Обоснование метода координат. Прервем на время изло¬
жение аксиом геометрии, чтобы на основании уже изложенных
аксиом дать обоснование метода координат на прямой.
Сначала докажем следующее утверждение.
Первая основная теорема. Аксиомы I, 1—3, II, III, 1—3 и
аксиома IV, 1 Архимеда позволяет ввести на любой прямой а
координаты так, что выполнены следующие требования'. .
1°. Каждой точке М прямой а соответствует определенное
вещественное число х, называемое ее координатой.
2°, Разным точкам соответствуют разные координаты, при¬
чем точка М2 лежит между М\ и М3 тогда и только тогда, когда
либо Xi < х2 < х3, либо Xi > х2 > х3 (здесь xj, х2 и х3— коор¬
динаты точек Mi, М2 и М3 соответственно).
3°. Отрезки MiM2 и М[М2 конгруэнтны тогда и только тогда,
когда х2 — х\ — х2— х{ (здесь хь х2, х{ и х2 — координаты точек
Mi, М2, Mi и М2 соответственно).
4°. Если вещественные числа Xi и х2 представляют собой ко¬
ординаты некоторых точек, то и вещественное число хц ± х2
представляет собой координату некоторой точки.
Доказательство. Выберем на прямой а произвольную
точку О в качестве начала координат и произвольную отличную
от О точку Е в качестве точки с координатой единица. Пусть
М — произвольная точка прямой а. Ради определенности пред¬
положим, что М лежит с той же стороны от О, что и Е (аксио¬
мы I, 1—3, II и III, 1—3 обеспечивают возможность установле¬
ния порядка следования точек на прямой а). Каковы бы ни
были целое положительное число п и целое неотрицательное
число т, мы можем, откладывая отрезок ОМ в одном и том же
направлении последовательно п раз, построить отрезок п-ОМ
и аналогично построить отрезок т-ОЕ (возможность отклады¬
вать конгруэнтный отрезок в любом направлении и брать сумму
конгруэнтных отрезков, не имеющих общих внутренних точек^
вытекает из аксиом I, 1—3, II и III, 1—3).
В силу только что упомянутых аксиом любые два отрезка
мы можем сравнивать. Стало быть, и отрезки п-ОМ и т-ОЕ
при различных п и т будут связаны либо знаком <, либо
знаком
Рассмотрим все возможные рациональные числа т/п. Их
можно разбить на два класса, относя к верхнему классу те из
них, для которых
п - ОМ < т • ОЕ,	(П.1)
и к нижнему классу те, для которых
п • ОМ^пг • ОЕ.	(П.2)

§ 11	АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ	213
Убедимся в том, что эти два класса однозначно определяют
вещественное число х, которое мы и поставим в соответствие
точке Л1 и назовем ее координатой.
Сначала убедимся в том, что любое рациональное число из
верхнего класса больше любого рационального числа из ниж¬
него класса. Приводя любые два рациональных числа из раз¬
ных классов к общему знаменателю и обозначая последний че¬
рез п, мы из (П.1) и (П.2) получим, что числитель числа из
верхнего класса больше числителя числа из нижнего класса.
Отсюда и вытекает, что число из верхнего класса больше числа
из нижнего класса.
Далее заметим, что оба класса не являются пустыми', ниж¬
нему классу заведомо принадлежит рациональное число нуль,
а для установления непустоты верхнего класса достаточно по¬
ложить п = 1 и заметить, что аксиома Архимеда IV, 1 гаран¬
тирует существование такого натурального числа т, что при
п = 1 справеливо неравенство (П.1).
В силу теоремы о точных гранях непустого ограниченного
сверху (снизу) множества *) существует точная верхняя грань
х рациональных чисел нижнего класса и точная нижняя грань
х рациональных чисел верхнего класса.
Убедимся в том, что эти грани х_ и х заключены между как
угодно близкими рациональными числами и поэтому совпа¬
дают**). Достаточно доказать, что существуют как угодно
близкие числа разных классов, а это вытекает из того, что для
как угодно большого номера п найдется номер пг такой, что ра¬
циональное число (т + 1)/п приналежит верхнему классу, а ра¬
циональное число m/п принадлежит нижнему классу***).
Положим теперь х = х — х и поставим вещественное число х
в соответствие точке М, назвав его координатой этой точки. Тре¬
бование 1° обосновано.
Пусть теперь и М2— какие угодно две точки, лежащие
по ту же сторону от О, что и Е, и такие, что Mi лежит между О
и М2, т. е. ОМ2 > OMi. Докажем, что если Xi и х2 — координаты
точек Mi и М2 соответственно, то х2> Xi.
Выберем номер п настолько большим, чтобы разность отрез¬
ков ОМ2 и OMi, повторенная п раз, превзошла отрезок ОЕ (это
можно сделать в силу все той же аксиомы Архимеда IV, 1).
(Тогда, обозначая через m наибольшее целое число, для кото¬
рого
п - OMi^m • ОЕ,
*) См. выпуск 1, теорему 2.1.
**)• См. выпуск 1, лемму на с.
***) Тот факт, что для любого номера п найдется указанный номер m
(такой, что справедливо (П.1)), снова вытекает из аксиомы Архимеда IVt 1Х

214
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
мы получим, ЧТО
п- ОМх<(т+\)-ОЕ,	(П.З)
и в силу сделанного выше выбора номера п
п- ОМ2> (tn+ 1)-О£.	(П.4)
Из (П.З)' заключаем, что рациональное число (m^lj/n отно¬
сится к верхнему классу по отношению к точке Mi, т. е. (т +>
(4-1)//2^%i, а из (П.4) заключаем, что то же самое рацио¬
нальное число (т+ 1)/и относится к нижнему классу по отно¬
шению к точке М2, и поэтому х2 > (tn +Д) /п. Тем самым не¬
равенство х2 > Xi доказано.
Если теперь мы имеем на прямой а какое угодно число то¬
чек, идущих в порядке О, Mb М2, ..., Мп (в сторону Е*)),
то из только что доказанного утверждения для координат этих
точек получим О < хх < х2 < ... < хп.
Тем самым для случая расположения точек по ту же сторону
от О, что и £*, требование 2° доказано. Для точек М, лежащих
на прямой а по другую сторону от О, совершенно аналогично
вводятся отрицательные координаты и повторением тех же рас-
суждений мы устанавливаем требования Г и 2° в общем виде.
Для установления требований 3° и 4° мы сначала докажем,
что если на прямой а в положительную сторону от О взяты
точки Mi, М2 и М, причем Мх лежит между О и М и отрезки
МХМ и ОМ2 конгруэнтны, то х = Xi + х2 (здесь х, xi и х2 —
координаты точек М, Мх и М2 соответственно).
Возьмем из нижних классов, отвечающих координатам Xi
и х2, два произвольных рациональных числа, обозначив их (пос¬
ле приведения к общему знаменателю п) соответственно через
пц/п и m2/n. Тогда
п • ОМХ пгх • ОЕ, п • ОМ2 пг2 • ОЕ.
Складывая последние два неравенства, получим
п • ОМ (tnx + т2) • ОЕ.	(П.5)
Точнее говоря, в левой части (П.5) мы получим сумму п раз
отложенного отрезка ОМХ и п раз отложенного отрезка ОМ2,
но после перегруппировки слагаемых мы и получим п раз по*
вторенную сумму отрезков ОМХ и ОМ2, т. е. п-ОМ **).
*) В дальнейшем эта сторона именуется положительной.
**) То, что в геометрической сумме отрезков мы можем, не меняя суммы,
переставлять слагаемые, вытекает из следующих соображений. Достаточно
убедиться в возможности перестановки для двух слагаемых, а это непосред¬
ственно вытекает из аксиомы III, 3, в формулировке которой ничего не ска¬
зано о порядке, в котором «приставляются» друг к другу слагаемые отрезки
Л'В' и В'С'. При любом их порядке сумма А'С' конгруэнтна отрезку АС,

5 П	АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ	215
Из неравенства (П.5) заключаем, что рациональное число
I т2
пРинаДлежит нижнему классу, отвечающему ко¬
ординате х.
Совершенно аналогично, взяв любые рациональные числа
т\!п и m2/n из верхних классов, отвечающих координатам
и х2, мы убедимся в том, что рациональное число ~" +
принадлежит верхнему классу, отвечающему координате х.
Но тогда из определения суммы вещественных чисел и из
того, что рациональные числа как из верхнего, так и из ниж¬
него классов как угодно точно приближают соответствующую
координату, мы получим, что вещественное число х равно сум¬
ме Xi + х2.
Тем самым нами доказано, что отложить от точки Мх с ко¬
ординатой xi (в положительную сторону) отрезок ОМ2 — это
все равно, что построить точку М с координатой х, удовлетво¬
ряющей условию х = Xi + х2, где х2> 0 — координата точки М2.
Это утверждение мы доказали для случая Xi > 0, но легко
распространить его и на общий случай (предоставляем это чи¬
тателю). Из доказанного утверждения сразу же вытекает тре¬
бование 4°, а для доказательства утверждения 3° достаточно
заметить, что откладывание данного отрезка равносильно до¬
бавлению к координате точки постоянного слагаемого. Первая
основная теорема полностью доказана*).
Замечание. Особо подчеркнем, что в первой основной тео¬
реме не утверждается, что каждому вещественному числу х со¬
ответствует определенная точка на прямой (т. е. не утверждает¬
ся, что соответствие между точками прямой и вещественными
числами является взаимно однозначным).
Мы сейчас увидим, что это невозможно доказать, опираясь
только на аксиомы I, 1—3, II, III, 1—2 и IV, 1 и не привлекая
аксиому линейной полноты IV, 2.
Вторая основная теорема. Пусть справедливы аксиома I,
1—3, II, III, 1-3, IV, 1 и на прямой а введены координаты.
Тогда, для того чтобы каждому вещественному числу х отвечала
некоторая точка прямой а, т. е. для того, чтобы между всеми
точками прямой а и всеми вещественными числами существо¬
вало взаимно однозначное соответствие, необходимо и достаточ¬
но, чтобы была справедлива аксиома линейной полноты IV, 2.
Доказательство. 1) Достаточность. Докажем, что
если существуют вещественные числа х, которым не отвечает
никакая точка прямой а, то аксиома IV, 2 заведомо несправед¬
лива.
*) Подчеркнем, что при доказательстве первой основной теоремы аксио¬
мы I, 1—3 и II использовались лишь для установления порядка следования
точек на прямой.

216
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
Пусть существуют указанные вещественные числа х. Каж¬
дое из них мы назовем новой точкой и присоединим все новые
точки к совокупности прежних точек прямой а.
На пополненной прямой (назовем ее а) уже каждому ве¬
щественному числу отвечает точка, и обратно.
Определим на а соотношения «лежит между» и «конгруэн¬
тен». Будем говорить, что точка М2 прямой а лежит между М{
и Л4з, если либо Х[ < х2 < х3, либо Xi > х2 > *з, где под Xi,
х2 и Хз нужно понимать координату соответствующей точки
М2 и М3, если эта точка прежняя, и самую эту точку, если она
новая. Очевидно, что в применении к прежним точкам опреде¬
ленное на а соотношение «лежит между» сохраняет старый
смысл.
Будем говорить, что отрезок М]М2 прямой а конгруэнтен
отрезку той же прямой М\М'2, если х2 — xt = х2 — х', где под
хр х2, х' и х' нужно понимать координату соответствующей
точки Mi, М2, М\ и М2, если эта точка прежняя, и самую эту
точку, если она новая. Снова очевидно, что в применении к
прежним точкам определенное на а соотношение «конгруэнтен»
сохраняет старый смысл.
Очевидно также, что для точек пополненной прямой а опре¬
делен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнт¬
ности III, 1—3 и аксиома Архимеда IV, 1.
Тем самым мы установили возможность пополнения прямой,
противоречащую аксиоме линейной полноты IV, 2.
Достаточность доказана.
2.	Необходимость. Докажем, что если аксиома линей¬
ной полноты IV, 2 не имеет места, то координаты всех точек
прямой а не исчерпывают всех вещественных чисел.
Если аксиома VI, 2 не имеет места, то существует пополнен¬
ная новыми точками прямая а, для всех точек которой опреде¬
лены соотношения «лежит между» и «конгруэнтен», определен
порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнтности
III, 1—3 и аксиома Архимеда IV, 1. В силу первой основной
теоремы на пополненной прямой а можно ввести координаты
(в этой теореме аксиомы 1,1—3 и II использовались лишь в
форме возможности установления на данной прямой порядка
следования точек).
Мы получим, что каждой точке пополненной прямой а отве¬
чает определенное вещественное число, причем разным точкам
отвечают различные вещественные числа. Но отсюда следует,
что те вещественные числа, которые отвечают точкам, произво¬
дящим пополнение, не будут соответствовать ни одной точке
исходной прямой а. Необлходимость доказана. Вторая основная
теорема полностью доказана.

§ 21	НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА	217
6. Аксиома параллельности. Самая последняя аксиома
играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделе¬
ние геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно
исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову
геометрии.
В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так:
V.	Пусть а — произвольная прямая и А — точка, лежащая
вне прямой а, тогда в плоскости а, определяемой точкай А и
прямой а, существует не более одной прямой, проходящей че¬
рез А и не пересекающей а.
Долгое время геометры выясняли вопрос о том, не является
ли аксиома параллельности V следствием всех остальных
аксиом I, И, III, IV. Этот вопрос был решен Лобачевским*),
который доказал, что аксиома V не является следствием аксиом
I —IV.
По-другому результат Лобачевского можно сформулировать
так: если к аксиомам I—IV присоединить утверждение, отри¬
цающее справедливость аксиомы V, то следствия всех этих по¬
ложений будут составлять логически непротиворечивую систему
(неевклидову геометрию Лобачевского).
Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лоба¬
чевского излагается в § 3 настоящего Приложения.
Здесь же мы отметим, что систему следствий, вытекающих
из одних только аксиом I—IV, обычно называют абсолютной
геометрией. Абсолютная геометрия является общей частью как
евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложе¬
ния, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом
1—IV, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Ло¬
бачевского (примеры таких предложений читатель найдет в
предыдущих пунктах).
§ 2. Схема доказательства непротиворечивости
геометрии Евклида
Наметим схему доказательства непротиворечивости всех пяти
групп аксиом геометрии Евклида.
Ради простоты ограничимся доказательством непротиво¬
речивости планиметрии Евклида, т. е. установим не¬
противоречивость системы аксиом I, 1—3, II—V.
Для доказательства достаточно построить какую-нибудь кон¬
кретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих
всем указанным аксиомам.
Мы построим так называемую декартову или арифметиче¬
скую реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих
*) Николай Иванович Лобачевский — великий русский математик (1793—-
,1856).

218
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
"аксиомам планиметрии. Тем самым вопрос о непротиворечиво¬
сти планиметрии Евклида будет сведен к вопросу о непротиво¬
речивости арифметики.
Назовем точкой любую упорядоченную пару вещественных
чисел (х, у), а прямой — отношение трех вещественных чисел
(и : v : w) при условии, что и2 4- о2 =/= 0 *).
Будем говорить, что точка (х, у) принадлежит прямой
(и :v : w), если справедливо равенство
их + vy + w = 0.	(П.6)
Докажем справедливость аксиом I, 1—3.
Каковы бы ни были две различные точки (хь г/i) и (х2, у2),
прямая **) (yi — у2 : х2 —• Xi : Xij/2 — x2yi), как легко убедиться,
содержит эти точки (аксиома I, 1) .
Далее из уравнений
«Xi + vy{ + w = 0, их2 + vy2 + w = О
вытекает, что и : v : w = (t/i — у2): (х2 — хх): (xjf/2 — x2r/i), так
что точками (xi,z/i) и (х2, у2) определяется только одна пря¬
мая (и : v : w) (аксиома I, 2).
Наконец, справедливость аксиомы 1,3 вытекает из того, что
уравнение (П.6) с двумя неизвестными х и у всегда имеет бес¬
численное множество решений и не всякая пара х и у есть ре¬
шение уравнения (П.6).
Теперь определим соотношение «лежит между». Так как
и2 + о2 ф 0, то либо и 0, либо v ф 0.
Если v #=0, то будем говорить, что точка (х2, у2) лежит ме-
жду (xi, г/i) и (х3, г/з), если либо х\ < х2 < х3, либо Х\ > х2 >
х3. Если же t; = 0 (при этом заведомо ц#=0), то будем го¬
ворить, что точка (х2, t/2) лежит между (xi, z/i) и (х^, если
либо V1 < У2 < #3, либо У1 > у2 > £/з-
Справедливость аксиом II, 1—3 проверяется тривиально.
Несколько кропотливую проверку аксиомы Паша 11,4 мы опу¬
стим.
Обратимся теперь к определению соотношения «конгруэн¬
тен». С этой целью рассмотрим так называемое ортогональное
преобразование. Преобразование
х' = а{х + 1\у + clt у' = а2х + Ь2у + с2,	(П.7)
*) Отношением (и: v: w) называется совокупность трех вещественных
чисел и, v, w при условии, что при любом А, =?£ 0 совокупности и, V, W И
Х«, Ху, Хку рассматриваются как тождественные.
**) Так как точки (хь ух\ и (х2, Уъ) различны, то (xi — x2).2+(«/i—^г)2=^
¥= 0.

§ 2]	НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА	219
переводящее произвольную точку (х, у) в определенную точку
(х', у'), называется ортогональным, если выполнены соотно¬
шения
а2 + 62=ь а2 + 62=1> ал + &1&2 = 0.	(П.8)
Легко доказать, что всякое ортогональное преобразование
Г(П,7), (П.8) можно представить в одной из следующих форм:
либо в виде
х' = ах — Ру 4- сь у' = рх + ау + с2,	(П.9)
либо в виде
x' = ax+pr/ + q, / = ₽х —ш/ + с2,	(П.10)
причем в обоих случаях а2 + ₽2 = 1- Преобразования (П.9) и
(П.10) обычно называют ортогональными преобразованиями со¬
ответственно первого и второго рода.
Пусть даны произвольная прямая (uw\w\ и на ней неко¬
торая точка (х0, //о) > так что uxQ + vyo +	= 0.
Легко убедиться в том, что совокупность точек (х, у), где
x = xQ + vt, y = yQ — ut,	(П.11)
принадлежит прямой (и : v : w) для любого вещественного чис¬
ла t. Далее ясно, что при t > 0 все указанные точки (х, у) ле¬
жат по одну сторону от точки (х0, г/о), при t <0 эти точки
лежат по другую сторону от (х0, */о) -
Иными словами, уравнения (П.11)’ при всевозможных поло¬
жительных t определяют все точки полупрямой, исходящей из
точки (хо, г/о) и лежащей на прямой (и : v : w). Эту полупрямую
мы будем обозначать символом (х0, уо, v, —и).
Оказывается, всякое ортогональное преобразование (как
первого, так и второго рода) переводит любую полупрямую
снова в полупрямую. Более точно, справедливо следующее
утверждение: ортогональное преобразование (П.9) или (П.10)
переводит полупрямую (х0, у&, vy —и) в полупрямую
(х', У& v'* ““ где для случая преобразования (П.9)
хо = ахо — $У0 + cv	У'о = ₽*0 + аУо + с2;
v' = av +	и' = — 4~ an,
и для случая преобразования (П.10)
х£ = ах° + р#0 + Cjj	y'Q = рх0 — ау0 + с2;
v' = av — $u-	и' = — ро — аи.
Теперь назовем отрезок АВ конгруэнтным отрезку А'В', если
существует ортогональное преобразование, которое переводит
220
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
точку А в точку А', а точку В в точку В'. Угол Z_(/i, й) назо¬
вем конгруэнтным zL (//,/?'), если существует ортогональное
преобразование, переводящее полупрямую h в полупрямую К'
и полупрямую k в полупрямую k'.
Далее нужно перейти к проверке аксиом III, 1—5. Аксиома
III, 2 вытекает из групповых свойств ортогонального преобра¬
зования, в силу которых как последовательное проведение двух
ортогональных преобразований, так и преобразование, обрат¬
ное к ортогональному, снова являются ортогональными преоб¬
разованиями. Проверка остальных аксиом группы III требует
кропотливой техники и использования указанного выше утвер¬
ждения, и мы ее опустим.
Что же касается аксиом непрерывности, то аксиома Архи¬
меда IV, 1 проверяется непосредственно, а справедливость
аксиомы полноты IV, 2 вытекает из того, что между всеми точ¬
ками любой прямой и всеми вещественными числами можно
установить взаимно однозначное соответствие (см. вторую
основную теорему из п. 5 § 1).
Нам остается еще проверить справедливость аксиомы па¬
раллельности V. Пусть (u : v : w)—произвольная прямая и
(х0, Уо) —точка вне ее, так что uxQ + vyQ -f-	=/= 0.
Пусть (и': v': w') —прямая, проходящая через точку
(х0, уо), т. е. удовлетворяющая условию
u'x0 + v'yQ + w' = 0.	(П.12)
Поскольку эта прямая не пересекает прямую (u:v:w), долж¬
на быть несовместна система уравнений
и'х + v'y A-w'— 0, их + иуА-ю = 0.	(ПЛЗ)
Из несовместности системы (ПЛЗ) заключаем, что и': и =
= v' : v, или, что то же самое, и' = Xu, v' = Ху, где X — неко¬
торое число. Но тогда из (П.12) получим wr = — X(ux0 + иу$),
т. е. и' w' : w' = и : v : — (ихо + vy0). Итак, отношения и' : v' : w'
однозначно определены, т. е. существует единственная прямая
(u'-.v':w')t проходящая через (хо, Уо) и не пересекающая пря¬
мой (и : v : w).
Тем самым доказательство непротиворечивости планиметрии
Евклида завершено.
Замечание. Аналогично доказывается непротиворе¬
чивость стереометрии Евклида. Для этого мы назы¬
ваем точкой любую упорядоченную тройку вещественных чисел
(х, у, z), прямой — совокупность всех троек (х, у, г), элементы
х, г/, z которых связаны системой двух линейных уравнений,
плоскостью — совокупность всех троек (х, у, г), элементы х, yt z
которых удовлетворяют одному линейному уравнению.

§ 3]	НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО	221
§ 3. Схема доказательства непротиворечивости
геометрии Лобачевского
Для простоты ограничимся доказательством непро¬
тиворечивости планиметрии Лобачевского, т. е.
построим конкретную реализацию совокупности объектов, удов¬
летворяющих аксиомам I, 1—3, II—IV и аксиоме, отрицающей
справедливость V. Для построения указанной реализации мы
будем опираться на уже установленную нами непротиворечи¬
вость планиметрии Евклида, т. е. сведехМ вопрос о непротиворе¬
чивости планиметрии Лобачевского к вопросу о непротиворечи¬
вости планиметрии Евклида. Излагаемая в этом параграфе мо¬
дель принадлежит А. Пуанкаре*).
Рассмотрим на евклидовой плоскости горизонтальную пря¬
мую х и опирающуюся на нее верхнюю полуплоскость.
Все точки этой верхней полуплоскости мы назовем неевкли¬
довыми точками, а все лежащие в верхней полуплоскости полу¬
окружности с центром па прямой х и все вертикальные полу¬
прямые, исходящие из точек прямой х, назовем неевклидовыми
прямыми (кстати, указанные полупрямые удобно рассматривать
как полуокоужности бесконечно большого радиуса).
Мы определим между неевклидовыми точками и неевклидо¬
выми прямыми соотношения «принадлежит», «лежит между» и
«конгруэнтен» и убедимся в справедливости всех аксиом
абсолютной геометрии (т. е. аксиом 1,1—3, II—IV).
После этого мы покажем, что в построенной модели справед¬
лива аксиома параллельности Лобачевского (т. е. отрицание
аксиомы V Евклида).
Мы будем говорить, что неевклидова точка А принадлежит
неевклидовой прямой а, если точка верхней полуплоскости А
лежит на полуокружности а.
Справедливость аксиом I, 1—3 устанавливается тривиально.
Так, аксиомы 1,1 и 1,2 эквивалентны утверждению, что через
две точки верхней полуплоскости можно провести только одну
окружность, имеющую центр на прямой х. Аксиома I, 3 эквива¬
лентна утверждению, что на любой полуокружности имеются по
крайней мере две точки и имеется хотя бы одна точка вне этой
полуокружности.
Перейдем к установлению соотношения «лежит между».
Пусть А, В, С — три точки неевклидовой прямой, изображаемой
полуокружностью а. Будем говорить, что точка В (в неевкли¬
довом смысле) лежит между А и С, если В на полуокружности
а лежит между А и С (в евклидовом смысле).
При таком определении соотношения «лежит между» легко
устанавливается справедливость аксиом II, 1—3. Впрочем, по- •*)
•*) Анри Пуанкаре — французский математик (1854—1912).

222
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИЙ ГЕОМЕТРИИ
рядку следования точек на неевклидовой прямой, изображае¬
мой полуокружностью а, можно придать и более наглядный
вид. Выпуская из центра О полуокружности а всевозможные
лучи, мы с помощью этих лучей можем взаимно однозначно
спроектировать все точки полуокружности а на все точки не¬
которой прямой у, параллельной х и лежащей выше полуокруж¬
ности а.
Тогда порядок следования точек неевклидовой прямой а со¬
ответствует порядку следования образов этих точек на прямой
у. Попутно докажем, что все точки любой неевклидовой прямой
а находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством
всех вещественных чисел.
Нам еще следует проверить аксиому 11,4 Паша, но доказа¬
тельство этой аксиомы является наглядно вполне очевидным,
и мы его опустим.
Теперь мы перейдем к определению соотношения «конгруэн¬
тен». В надлежащем его определении и состоит остроумие мо¬
дели Пуанкаре. Не вдаваясь в детали, остановимся на основных
идеях определения этого соотношения.
Введем в рассмотрение специальное преобразование евкли¬
довой плоскости, известное под названием инверсии. Пусть фик¬
сирована произвольная окружность радиуса г с центром в точ¬
ке А. Инверсией относительно указанной окружности называет¬
ся такое преобразование точек плоскости, при котором любая,
отличная от А точка плоскости М переходит в точку М', лежа¬
щую на одном с точкой М луче, выходящем из А, и такую, что
выполнено условие AM7-AM = г2.
Назовем неевклидов отрезок АВ конгруэнтным неевклидову
отрезку А'В', если существует такая последовательность инвер¬
сий, что их произведение отображает евклидову круговую дугу
АВ в круговую дугу А'В'.
Неевклидовым углом будем называть совокупность двух не¬
евклидовых полупрямых, исходящих из одной точки.
Назовем неевклидов угол Z_(//, k') конгруэнтным неевкли¬
дову углу Z_(/i, £), если существует такая последовательность
инверсий, что их произведение отображает стороны первого
угла на стороны второго.
После принятых определений проверка аксиом конгруэнтно¬
сти III, 1—5 превращается в техническую работу, которую мы
можем опустить.
Проверка аксиомы Архимеда IV, 1 также не вызывает ни¬
каких трудностей и использует лишь свойства инверсий.
Последняя аксиома абсолютной геометрии — аксиома полно¬
ты IV,2 справедлива вследствие того, что (как это установлено
выше) между всеми точками любой «неевклидовой прямой» и
всеми вещественными числами можно установить взаимно одно¬
значное соответствие (см, вторую основную теорему из п, 5 § 1).

§ 41	ЗАМЕЧАНИЯ О ПРОБЛЕМАХ АКСИОМАТИКИ	223
Итак, для нашей модели справедливы все аксиомы абсолют¬
ной геометрии (I, 1—3, II —IV)5
Как же обстоит дело с аксиомой параллельности V? Возь¬
мем любую «неевклидову прямую», изображаемую полуокруж¬
ностью а, и любую точку Л, ей не принадлежащую. Легко про¬
верить, что через точку А проходит бесконечно много различ¬
ных полуокружностей, имеющих центры на прямой х и не имею¬
щих общих точек с полуокружностью а.
Это означает, что в рассматриваемой нами модели справед¬
лива аксиома параллельности Лобачевского.
Тем самым мы завершили доказательство непротиворечиво¬
сти планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что
аксиома параллельности V Евклида не является следствием
аксиом I, 1—3, II—IV абсолютной геометрии*
§ 4. Заключительные замечания о проблемах аксиоматики
При изучении любой системы аксиом естественно возникают
следующие три проблемы: 1) проблема непротиворечивости си¬
стемы аксиом; 2) проблема минимальности системы аксиом
(выясняющая вопрос о том, не является ли каждая из рассмат¬
риваемых аксиом следствием остальных); 3) проблема полноты
системы аксиом (принято систему аксиом называть полной,
если между элементами двух любых ее реализаций можно уста¬
новить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее уста¬
новленные между элементами соотношения).
В § 3 и 4 мы установили непротиворечивость системы аксиом
как геометрии Евклида, так и геометрии Лобачевского.
Проблема минимальности системы аксиом геометрии являет¬
ся очень трудоемкой и требует обстоятельного исследования.
Примером такого исследования является установленный нами
факт, что аксиома параллельности V не является следствием
остальных аксиом.
Полнота системы аксиом геометрии устанавливается посреди
ством введения для любой реализации координатной системы и
последующего установления взаимно однозначного соответствия
(с сохранением всех соотношений) между точками, прямыми и
плоскостями данной реализации (в координатной записи) и де¬
картовой реализации, изученной в § 2.

Владимир Александрович Ильин
Эдуард Генрихович Позняк
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Серия «Курс высшей математики
и математической физики»
Выпуск 5
Редактор М. М. Горячая
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры И. Я. Кришталь, Н. Д. Храпко
ИБ № 32401
Сдано в набор 25.03.87. Подписано к печати 16.09.87. Формат 60X90/16. Бумага тип. № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 14. Усл. кр.-отт. 14. Уч.-изд. л. 14,76.
Тираж 48 000 экз. Заказ № 530. Цена 80 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знаме¬
ни Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполи-
графпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли, 198052, г, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.