Автор: Рогулева А.В.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа геометрия топология математика аналитическая геометрия высшая математика издательство саратов
ISBN: 5-8053-0415-5
Год: 2005
Текст
УДК 373.167.1:514*10
ББК 22.151я721
Р599
Автор : учитель математики высшей категории А.В. Рогулева.
Рогулева А.В.
Р599 Геометрия. 10 класс. Рабочая тетрадь: В 2 ч. —
Саратов: Лицей, 2005. — Ч. 1. — 80 с.
ISBN 5-8053-0415-5
Рабочая тетрадь с обучающими и проверочными работа-
ми по геометрии для учащихся 10-х классов ориентирована
на учебник «Геометрия» Атанасяна Л.С., но может исполь-
зоваться и для работы по другим учебным пособиям.
Предназначена для учащихся общеобразовательных
школ, гимназий и лицеев.
УДК 373.167.1:514*10
ББК 22.151 я721
ISBN 5-8053 0415-5
© Издательство «Лицей», 2005
Аксиомы стереометрии
Задания по теме
1. Допишите определение:
Геометрия в пространстве —
2. Подпишите названия пространственных геометри-
ческих тел (рис. 1):
Рис. 1
В стереометрии на рисунке изображаются и плоские,
и пространственные фигуры.
Плоскость изображается в виде параллелограмма или про-
извольной области (рис. 2).
Рис. 2
1
Параллельные прямые изображаются параллельными от-
резками, Основные фигуры — точки, прямые, плоско-
сти. Тела являются комбинацией основных фигур.
3. Закончите фразу:
Аксиома — утверждение,
Аксиома 1
4. Сформулируйте аксиому 1 по рис. 3:
5. Вписав необходимые слова, сформулируйте след-
ствия из аксиомы 1:
а) В пространстве точек_______________________
6) Для каждой плоскости есть точки,
и ей.
в) Через каждую точку, через две точки проходит
г) В пространстве через каждые две точки прохо-
дит—
6. Впишите необходимые слова, выполните задания:
а) Через точку В проведены следующие---------
плоскости :_____,,(рис. 4).
6) Через точки D. и D проходят
2
плоскости __________
в) Через точки A, A., Bt
проходит_______________
К
плоскость.
Рис. 4
7. Определите, верны ли утверждения:
а) Любые три точки лежат в одной плоско- да
сти. нет
б) Любые четыре точки лежат в одной плос- да
кости. нет
в) Через любые три точки проходит плос- да
кость, и притом единственная. нет
Аксиома 2
8. Рассмотрите рис. 5 и выполните задания:
Рис. 5
а) Сформулируйте аксиому 2 (рис. 5 а)
3
б) На рис. 9 найдите две плоскости, которым при-
надлежит точка F. ______________________________
в) Рассмотрев рис. 11, впишите в рассуждения нуж-
ные слова.
Рис. 11
Точка К лежит на
точка К лежит на
Линия пересечения плоскостей
Точка К лежит на;
Прямая QR (рис. И) — линия пе-
ресечения ______________________
АР — общая прямая
г) Сделайте выводы, дописав предложения.
Если две плоскости имеют общую точку, то они
Если две плоскости не имеют общей точки, то
они___________________________________
Рис. 12
14. Через точку D на рис. 12
проведите плоскость, не
имеющую общих точек с
плоскостью ARQ. Полу-
ченная плоскость и плос-
кость ARQ___________________
15. Выполните задания (рис. 12):
а) Найдите точку пересечения прямой FN с плос-
костью ABCD.
6
6) Найдите точку пересечения прямой FN с плос-
костью
в) Постройте плоскость, проходящую через точки
В., А, С? Найдите периметр полученного тре-
угольника, если ABCDAtBiC.Dl — куб с дли-
ной ребра 5 см.
Самостоятельная работа
Вариант I
1. Впишите пропущенные сло-
ва и сделайте рисунок:
а) Если прямая пересекает
две стороны треугольни-
ка, то она_______________
в плоскости треугольника.
б) Если плоскости имеют
одну общую точку, то они
Есть ли еще общие
точки у этих плос-
костей?
да
нет
2. Изобразите на рисунке три точки К, F, N, которые
не лежат на одной прямой. Соедините их попарно
отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в од-
ной плоскости:
7
3. Найдите площадь полученной в предыдущем зада-
нии фигуры, если KF- 13 см, FN= 12 см, KN =
= 5 см.
Вариант II
1. Впишите пропущенные слова и сделайте рисунок:
а) Если прямая пересекает
одну сторону треугольника,
то в плоскости треугольни-
ка она может________________
_____________или__________
6) Если плоскости имеют одну
общую прямую, то они
Может ли еще быть
другая общая пря-
мая?
да
нет
2. Изобразите на рисунке четы-
ре точки А, В, С и D, кото-
рые не лежат в одной плос-
кости. Могут ли три из них
лежать на одной прямой?
• • » j . j
— ч . г ' • 1 • • • .4. • а
—ч ~! - — %- _ t
J —т——— > ч . г-—• L •
— • • • « » • • • • • 4
Д » • 4 » • —f - f -
• k
3. Три точки А, В, С из четырех не лежат на да
одной прямой. Лежат ли они в одной пл ос- нет
кости?
Найдите длины отрезков образовавшейся фигуры,
если АВ больше ВС на 4 см, разность их квадратов
равна 64.
Самостоятельная работа
1. Через одно из оснований тра-
пеции проведена плоскость,
не совпадающая с плоско-
стью трапеции (рис. 13). Ка-
кое положение занимает эта
плоскость относительно вто-
рого основания трапеции?
Рис. 13
2 Рогулева, часть 1
9
Рис. 14
2. Плоскости параллелограмма
ABCD и трапеции АВКЕ раз-
личны (не совпадают), АВ || ЕК
(рис. 14). Каково взаимное
расположение:
а) Стороны CD и трапеции
АВКЕ?
б) Стороны ЕК и параллелог-
рамма АВ CD?
в) Стороны CD и ЕК?
Дайте ваше обоснование.
Рис. 15
3. Проведите плоскость через точ-
ки — середины AD, DC и
Л1£>1 в кубе (рис. 15). Прове-
дите в кубе диагональное се-
чение. Как эти плоскости рас-
положены относительно друг
друга?
Найдите площадь диагонального сечения, если длина
ребра куба — 10 см.
4. Через точку F (рис. 16) проведите сечение, парал-
лельное основанию; F — середина бокового ребра
10
PC. Стороны получившегося се-
чения оказались равны 40 см,
41 см, 9 см.
а) Определите периметр треу-
гольника АВС.
Рис. 16
б) Докажите подобие треуголь-
ников и найдите коэффици-
ент подобия.
Самостоятельная работа
1. Подчеркните пространственные фигуры из перечис-
ленных: 1) окружность; 2) квадрат; 3) куб; 4) шар;
5) параллелограмм; 6) прямоугольный параллеле-
пипед; 7) ломаная; 8) угол; 9) объединение трех
лучей, имеющих общее начало.
2. Плоскости а принадлежат три вершины паралле-
лограмма АВ CD. О четвертой вершине можно ска-
зать:
3. Две точки окружности и ее центр принадлежат плос-
кости а. Принадлежит ли плоскости а любая дру-
гая точка окружности?_________________________
11
4. Рассмотрите фигуру на рис. 17 и выполните зада-
ния:
а) Запишите все плоскости гра-
ней тетраэдра.
6) В плоскости АВС прямая
АВ_______________________
в) Содержится ли MD в плоскости АВС?
г) Содержится ли СМ в плоскости АВС?
д) Запишите линии пересечения плоскостей попар-
но.
Образец: АС — линия пересечения плоскостей
ACD и АСВ.
е) Постройте плоскость а через точки С, D, М. По
каким линиям плоскость а пересекает грани тет-
раэдра DABC?
5. По рис. 18 выполните задания-:
а) Постройте сечение через точки А., С., D. Опре-
делите вид фигуры.
12
6) Найдите площадь сече-
ния, если длина ребер
параллелепипеда равна
8 см.
в) Постройте сечение че-
рез точки А, С, В,.
Рис. 18
г) Найдите периметр сечения, если длина ребер па-
раллелепипеда равна 10 см.
д) Постройте сечения через точки А, С, С. и точки
В, D. Закрасьте сечение.
Сделайте общий вывод: построенные сечения от-
носительно друг друга расположены
Линия их пересечения:_________________________
Найдите длину линии пересечения, если ребро
АА. = 9 см.
6. Решите задачи:
а) Даны две прямые, пересе-
кающиеся в точке А. До-
кажите, что все прямые,
пересекающие данные и
не проходящие через точ-
ку А, лежат в одной плос-
кости. Выполните рису-
нок.
13
6) Докажите, что все прямые,
пересекающие прямую а и
проходящие через точку А,
не принадлежащую данной
прямой, лежат в одной плос-
кости. Выполните рисунок.
в) Докажите, что все прямые,
пересекающие две данные
параллельные прямые, ле-
жат с ними в одной плоско-
сти. Выполните рисунок.
г) Можно ли через точку пе-
ресечения двух данных пря-
мых провести третью пря-
мую, не лежащую с ними в
одной плоскости? Ответ обо-
снуйте. Выполните рисунок.
Домашняя контрольная работа №1
1. Точки А и В лежат в плоскости а, точка D не ле-
жит в плоскости а (рис. 19). Л£)=ЛВ = 10 см,
DB = 4V5 см. Найдите расстояние от точки D до
прямой АВ, выполнив следующие действия:
а) Определите плоскость, заданную точками A, D,
В____________________________________________
14
6) Постройте в треуголь-
нике ADB отрезок, вы-
ражающий расстояние
от D до отрезка АВ.
_______________DK
в) Найдите отрезок DK из
двух треугольников по
теореме Пифагора.
Рис. 19
AADK
ADKB
АК — х
DK* 2 =
KB = \Q — x
DK2 =
г) Составьте уравнение и решите его.
д) Найдите DK.
DK=_____________________________________
е) Подчеркните правильный ответ:
a) 8V2 см; б) 6д/3 см; в) 6 см; г) 8 см.
2. Через каждые две из прямых про-
ведены плоскости. Сколько раз-
личных плоскостей на рис. 20?
Рис. 20
15
3. Заполните кроссворд по изученному материалу.
По горизонтали: 3. Раздел науки, изучающий про-
странственные фигуры. 5. Пространственная фигура
(в детстве все с ней играли). 6. Отрезок, соединяющий
две вершины куба или тетраэдра. 9. Геометрическая
фигура, форму которой имеют многие здания. 11. Она
соединяет любые две точки пространства. 12. Вам при-
ятно слышать такую оценку ваших знаний. 13. Набро-
сок чертежа.
По вертикали: 1. Геометрическая фигура, составлен-
ная из треугольников. 2. Геометрическая... . 4. В рус-
ской пословице говорится: «Без ... не вынешь и рыбки
из пруда». 7. Можно построить в геометрической фи-
гуре. 8. Изображение фигуры в учебнике. 10. Утвер-
ждение, принимаемое без доказательства.
16
Построение линий пересечения
Задания по теме
1. На рис. 21 постройте линии
пересечения плоскостей, если
точка М е АВ, N е AD:
1) ABD и CMN;
2) CMN и ЛВС;
3) CMN и ADC.
2. На грани ABCD (рис. 22) про-
извольно взяты две внутрен-
ние точки М и N. Найдите
точки пересечения прямой
МЫ со всеми гранями куба:
3. Выполните задания и ответьте на вопросы:
а) Постройте пересечение ос-
нования KNCF пирамиды
PKNCF (рис. 23) с плос-
костями, проходящими че-
рез ребра FP и PC; РЫ и
PF. Какими тремя спосо-
бами можно задать плоско-
сти?
Рис. 23
17
б) Постройте пересечение ос-
нования АВ CD пирамиды
SABCD (рис. 24) с плоско-
стями, проходящими через
ребра SA и SC; SB и SD.
Напишите аксиомы, которые
вы использовали при пост-
роении.
Домашняя контрольная работа №2
Вариант I
1. В пространстве даны три точки М, N, Р, расстоя-
ния между которыми равны: MN — 14 см, NP —
16 см и МР — 18 см. Лежат ли они в одной плоско-
сти? Вычислите площадь треугольника MNP. Под-
черкните правильный ответ.
Ответ: а) 32-V3 см* 2; 6) 48-75 см2; в) 36-?2 см2;
г) 54-УЗ см2.
2. Сформулируйте утверждение, вписав необходимые
слова:
18
Плоскости МАВ и МDC
J
так как__________________________________________
Вариант II
1. В пространстве даны три точки А, В, С, расстоя-
ния между которыми равны: АВ — 13 см, АС —
14 см и ВС — 15 см. Лежат ли точки в одной плос-
кости? Найдите площадь треугольника АВС. Под-
черкните правильный ответ.
Ответ: а) 42 см* 2; 6) 42-У2 см2; в) 84 см2;
г) 42-ТЗ см2.
2. Сформулируйте утверждение, вписав необходимые
слова:
Линией пересечения плоскостей АВС и ABD явля-
ется ,
так как______________________________________
19
Построение сечений многогранника
Многогранник — геометрическая фигура (тело), поверх-
ность которого состоит из многоугольников (граней).
Примеры — куб, тетраэдр, параллелепипед.
На рис. 25 рассмотрим возможные варианты пересече-
ния тетраэдра РАВС и плоскости а.
Пересечение тетраэдра
и плоскости а — пустое
множество точек.
Пересечение тетраэдра
и плоскости а — един-
ственная точка.
Пересечение тетраэдра
и плоскости а — отрезок.
Пересечение тетраэдра
и плоскости а — много-
угольдик (в данном слу-
чае — треугольник).
Рис. 25
20
Рассмотрим пример задачи на построение.
Рис. 26
Дано: DAB С — тетраэдр, М е АВ, N е AD, Р е CD,
причем NP и АС не параллельны (рис. 26).
Постройте сечение тетраэдра плоскостью а,
проходящей через заданные точки М, N, Р.
Решение
Для построения сечения надо найти прямые пере-
сечения плоскости а с гранями тетраэдра.
По аксиоме АЗ, плоскость а и пересекаемая ею грань
должны иметь две общие точки, по которым и пройдет
прямая пересечения.
Плоскость а и грань ADB такие точки имеют: М
и N. Проведем прямую MN. Плоскость а и грань ADC
тоже имеют две общие точки: N, Р. Линия пересече-
ния плоскости а и грани ADC определяется прямой
NP.
Найдем еще одну точку, общую для плоскостей ADC
и АВС, продолжив прямую NP и линию пересечения
этих граней — прямую АС.
Тогда плоскость а будет иметь с гранью АВС уже
две общие точки: X и М. Через них проведем прямую
MX, которая пересечет прямую ВС в точке F.
21
Таким образом, на грани BDC находится уже две
точки (Р и F), принадлежащие секущей плоскости а.
Осталось построить сечение — четырехугольник
MNPP.
Проведенный этап решения задачи называется ана-
лизом.
Задания по теме
1. Ответьте на вопросы (правильные ответы обведите):
а) У тетраэдра четыре грани. Сколько сторон мо-
жет иметь сечение плоскостью а?
1) две
2) три
3) четыре
4) не знаю
6) У треугольной призмы пять граней. Сколько сто-
рон может иметь сечение плоскостью а?
1) три
2) четыре
3) пять
4) шесть
2. Рассмотрите рисунки. Правильно ли построены се-
чения?
а) В кубе (рис. 27).
да
нет
нет
Рис. 27
22
б) В треугольной призме (рис. 28).
да
нет
да
нет
Рис. 28
в) В тетраэдре (рис. 29).
нет
да
нет
Рис. 29
3. Постройте сечения:
а) Дано: &ABCD — тет-
раэдр (рис. 30), AD =
= DB = DC=AC=AB =
= ВС, MgAD, АМ =
= MD, Ng АВ, AN =
= NB, К е АС, АК =
= КС.
Найдите площадь се-
чения, если все ребра
тетраэдра равны 6 см.
23
б)Дано: прямоугольный па-
раллелепипед
ABCDAiBlC[Di, у которо-
го все ребра равны. Через
концы трех ребер, выходя-
щих из одной вершины, про-
ведите сечение. Найдите
площадь полученного сече-
ния, если ребро куба равно
4 см. Выполните рисунок.
Домашняя контрольная работа №3
1. В прямоугольном параллелепипеде постройте сече-
ние.
Вариант I
Рис. 31
Дано: К е AtBv F е В^.,
AtK = KBv В^ = ВСр
AtBt = 6 см, BjCj = 8 см,
AAt = 10 см (рис. 31). Най-
дите площадь полученного
сечения KFF^K..
24
Вариант II
Дано: М е BjCp N е DjCp
BXM = MCV DlN = NCv
= 16 см, BjCj = 12 см,
DD{ = 20 см (рис. 32). Най-
дите площадь полученного
сечения NMM.N..
Рис. 32
2. Нарисуйте на поверхности куба (рис. 33), но
не в одной его грани:
а) равнобедренный треугольник;
б) равносторонний треугольник;
в) разносторонний треугольник.
Рис. 33
3. Сформулируйте утверждения:
В пространстве задать прямую можно
3 Рогулева» часть 1
25
В пространстве задать плоскость можно:
а) ------------------------------------------
6)
в)______________________________________________
4. Прямая в пространстве относительно плоскости:
а) б) в)
Рис. 34
Запишите:
5. Выполните задания:
а) Постройте сечение куба
(рис. 35) плоскостью,
проходящей через B.D.
и точку О — пересече-
ние BD и АС (диаго-
налей нижнего основа-
ния).
6) Установите вид сечения,
найдите его периметр
и площадь, если ребро
куба равно 3^2 см.
26
в) На рис. 35 точка М е ЛА1 и делит АА. в отноше-
нии 1 : 4. К е ВВ^ и В^К : КВ = 2:3. Определи-
те положение прямой МК по отношению к каж-
дой грани. Если МК пересекает грань, найдите
пересечение прямой МК и грани. Сформулируйте
вывод:
АА.В.В-----------------------
AAJ^D_______________________
ВВ^С_______________________,_
ABCD_________________________
DDXCXC__________________;____
• • * 1 » • 1 ♦ 4- i 4 1 » • 4 в • 1 • а • «Г • 4 . • . • • • *g . • . • . a a ag . • а а а а а . . а а а « а а а а^ а а а • а а а .. а а а а а а а « . а а а а а 4 -4 4 *4>——4 4 ......4.......4..а....Ла...-—4 —..-4——• ..4--1 В В . ...... 4. ...а.а 4-*- •• — 9 0 • » а а а а а .ф а а а а а а • В « • а 1 L-
4 • а • • • а а >4...а..-4 • а В « .......4. .. ....4..... Г f i j ♦ I i : ; рваеава |а*.аава^ ♦ 1 J 1 1 г j
• 4 а • • » • а • 4.-аа.-.4 а . в В В В В В В В • В ......4......а4.......4..а.«ч*4*'*»^4>*^«..4а--*«Я - 1 •
• а • в • • .....4.......4..... • а •4«а.а..а4 а.а...4.....аа4..... .. 4.... —4... — . 4 а • а • а 4 а. а . г 1 L. 1 > 1 1 1 в a f a
• • • 4 • • * ( • • • • • • 4 4 • « В В • • • • 4 • 4«...«аа4 В В В В В В 4.......4 4 4 4-—-—-1 в ♦ • В в а 4 4 4 1 4 в « В В В В > L _ _ _ 1. 1 1 в в ...... .4.а...а.4..... « a .4...a.a.4...a...«,
« а 1 В • В .а.в.««4вв»в*в»4».»в. a • в .4.......4..a....a.
• а • • • в а В a • a В a al., .a. a. al.
; • а .а. •• • а а. а а *4^ а а а а а • • • • • 4 4 « • • • • в • • .4...... «4 в в в в • ......4. ..••••4.......4.......4......*4 * а В в В В В В а в
а в » а • 4- В • • а * в • • • • а в • а в а в а а а...а.4.....а.4.а.а..«4.......4.......4 • в в .•••.•4...а...П в в « а .•••••-4.......4..... в в а
* 1 • » • • а а • В В а. а а..4. а. а. а. А. а.а.а. Л...а ..«Д.ааа.ааД 1 а а а а
• • •л .. а а.. а лал, • 9 4 • 0 4- 4 1 1 1 В В В В В • в • в а 4—- * - • • 4 • ......4.......J а в в • а в .......а!.. .....4 а. а.. В в . 4а.аааа.4а.а.аа •
а В • 1 в ...... 4«..а ...4*а...а. 4...а...4«...ааа4 В ......4 ....... .Д В ——*4 -.4 а в а в • а
• • • • • » Д......аЛ.а«««а*Д»>.аа • « В ♦ в • > В В ... ...4- а в в а .4.......4--**»*>4
1 • а • .Д.......4 В В * * • .....»4.......4...«...4-..а...4—— ...4 В а В в а .......4а ... .. а 4 - - — • а -4 4 а а • в в а
• 4 4 4 а а • а а а • .4...... .4 в в » в в а в • « а а а а а • ••.••.Ав.аааа.а4в.ааа
_____ • в • а в В в В в а • а а • а “ а В ‘я В а • вааа..^а..аа*авг*“** В • в в
27
Параллельность прямых и плоскостей
Задания по теме
1. Вставьте в рассуждения о взаимном расположении
точек, прямых и плоскостей необходимые слова
(рис. 36):
Рис. 36
Все пары вершин куба опре-
деляют _________________
различных прямых.
Все тройки вершин куба.
определяют_____________
различных плос-
костей.
С ребром АВ пересекаются
прямые_________________
Прямой АВ параллельны
прямые__________________
Две прямые в пространстве называются параллель-
ными, если они_________________________________
На рис. 36 AD || B'CV DD{ || BBV DiCi ||
DC ||_______
АВ || DC
АВ II г
АВ || А&
в пространстве одной прямой
параллельны прямых.
2. Выполните доказательства:
а) Дано: А АВС и &ABD (рис. 37). В каждом тре-
угольнике соединены середины боковых сторон.
28
Докажите, что полученные прямые параллельны,
продолжив начатые размышления.
Рис. 37
Me АС, N е ВС,
AM = МС, BN = NC
б) Дано: ABCD — прямоугольник,
ABMN — прямоугольник,
F е AD, AF = FD, Р е ВС,
BP = PC, К е ВМ, ВК = КМ,
Q е AN, AQ = QN (рис. 38).
Рис. 38
29
Докажите, что FPKQ — параллелограмм, про-
должив следующие размышления.
FP_______________________________________
FP || QK, FP = QK___________________
3. Выполните задания:
Рис. 39
в) Дано: а || b, с || a, d || Ь. До-
кажите, что с || d. Выполни-
те рисунок.
а) Постройте сечение парал-
лелепипеда (рис. 39) плос-
костью MNP, если
Me АВ, АМ = МВ,
N eAAvAN = NAv
Ре CD, CP^PD.
6) Найдите периметр сече-
ния, если АВ = 10 см,
ВС =12 см, А41 = 14 см.
30
Тетраэдр называется правильным, если его ребра имеют
равную длину.
4. РАВС — правильный тетраэдр (рис. 40). Точка К
лежит на РВ. Нарисуйте отрезки, удовлетворяю-
щие условиям:
а) проходит через точку
К и параллелен АВ;
6) проходит через точку
К и параллелен ВС;
в) проходит через точку
К и параллелен РА;
г) проходит через точку
К и параллелен PC;
Рис. 40
д) проходит через точку
К и параллелен ВВ.,
где В1 — середина АС.
Определите, какой из этих отрезков самый корот-
кий. ________________________________________
31
Скрещивающиеся прямые
Задания по теме
1. На рис. 40 найдите прямые, которые не пересека-
ются и не параллельны:
АС и, АР и____________________
2. Запишите определение:
Скрещивающимися прямыми называются
3. На рис. 41 установите пары скрещивающихся пря-
мых:
Рис. 41
4. Прямые AD и ВВ} — скрещивающиеся прямые.
В каких они лежат плоскостях?
AD лежит____________________
BBt лежит__________________г______________
5. Установите признак скрещивающихся прямых, про-
должив начатые размышления:
32
а лежит в плоскости а, b
пересекает плоскость а,
Kta (рис. 42). Докажем,
что а и b — скрещиваю-
щиеся прямые.
Доказательство (исполь-
зуем метод от противно-
го):
Предположим, что b || а, .
Рис. 42
Предположим, что Ьг\а,
Мы получили противоречие с условием:
Вывод: ___________________________________
Запомните! Через скрещивающиеся прямые нельзя про-
вести плоскость!
6. Выполните задания:
а) Докажите, что в четырехугольной пирамиде
SABCD (рис. 43) AS и ВС — скрещивающиеся
прямые; АС и SD — скрещивающиеся прямые.
б) Определите, можно ли
найти точку пересечения
SC и AD.
1)
2) ___________________
3) ___________________
33
7. Выполните задания:
Точка К не принадлежит плоскости АВС (рис. 44).
а) Докажите, что АК и ВС —
скрещивающиеся прямые;
КС и АВ — скрещиваю-
щиеся прямые.
6) Найдите площадь треугольника АКС, если АС =
= 7 см, АК = 5 см, КС = 6 см. Для решения вспом-
ните формулу Терона.
5 =_______________________________________
в) Найдите косинус угла между прямыми АК и АС.
Для решения вспомните формулу косинусов.
КС2=_____________________________________
8. На рис. 45 BN || МС, К е MN, KF = 10 см, NK=КМ,
5 см, BN = 6 см, АВ = 9 см.
F 6 AC, AF = FC, МС
Докажите, что N, М при-
надлежат плоскости тре-
угольника АВС, доказав сна-
чала, что К, М, С, F при-
надлежат одной плоскости:
Рис. 45
34
Угол между двумя скре-
щивающимися прямыми.
Представьте, что в произ-
вольной точке W про-
странства проведены пря-
мые Ь. | b и а. | а. Угол
между пересекающимися
прямыми и а( и дает
угол между скрещиваю-
щимися прямыми b и а
(рис. 46).
Рис. 46
9. Выполните задания (рис. 47):
а) Определите величину
угла между скрещи-
вающимися прямыми
ВВ{ и DC
б) Продолжите размыш-
ления: величина угла
между скрещивающи-
мися прямыми АВ.
и D.C^ равна
Рис. 47
_______________, так как____________________
в) Определите косинус угла между скрещивающи-
мися прямыми АА^ и B.D.
35
Домашняя контрольная работа №4
—i 4 - т ... - — ....... • • > J- » » • 4- i >—.-4 4- » а L .. - _ -• - . • « ». >... —j 4 • • • • 4--- -4- — 4 + • • V • ; i- ) 1 — • • • • а • 9 а а • • • • • • • а • • J - 1 - - -1 -
Р•* • 'Т ит " “5 • 1 i • 1 1 _ - Л1 •- - - 9 ' 9- г • • • • • а а а а а а а _ -,|г т -Г -<Г. --f-n- |-Г- --Г
' ' 1 • ' « 1 № ИЦ • г , • «, ’ * • • • • • * • Л Л .•
. 9 • • • . а « • 9 • • _1
1 а а • . а а • « t - • * - * 1 « • 1-
t • 1 1 1 а а а а а JL- _ *. -i • *
• а • • • . а » • * . 1 Л. . 9 Л _ _1 9 « L -- *
f “"Г'' "1** ‘ > । у > ч • а а а а . • а а а ...—t- - -* 1 1 у 1 9 • 4 • ..
Р — - -а 1 F '• ' 1 '( . а • а а а а а — 1 - _ А - • • 1 ь
: : : : : : : 1 г -
а • • е • ‘ а* К Л J • л. ...... J
1. Прямые MN и K.F — скре-
щивающиеся прямые. Дока-
жите, что МК и NF — тоже
скрещивающиеся прямые.
Выполните рисунок.
2. Точки А, В, С, D не лежат
в одной плоскости. Опреде-
лите скрещивающиеся пря-
мые. Выполните рисунок.
3. Допишите каждое высказывание, чтобы оно стало
истинным:
а) Если две прямые лежат в одной плоскости, то
или________________________________________
б) Если две прямые не лежат в одной плоскости, то
в) Если две прямые параллельны третьей прямой,
то________________________________
г) Если две прямые не скрещиваются, то
36
Параллельность прямой и плоскости
Задания по теме
1. Допишите высказывания:
Возможны несколько случаев расположения пря-
мой и плоскости:
а) прямая и плоскость имеют две общие точки, пря-
мая ;
6) прямая и плоскость имеют только одну общую
точку, прямая;
в) прямая и плоскость не имеют общих точек, пря-
мая ________________________________________
2. Сформулируйте определение:
Прямая и плоскость параллельны, если
3. Выполните доказатель-
ство:
Дана плоскость а и пря-
мая а на плоскости. Вне
плоскости проведена
прямая Ь, параллельная
а (рис. 48).
Докажите, что прямая Ь
параллельна плоскости
а. Для этого докажите, что Ь || а, предположив про-
тивное: b а = X.
37
4. Сформулируйте признак параллельности прямой
и плоскости, дописав предложение:
Прямая параллельна плоскости, если прямая
5. Выполните задания (рис. 49):
Рис. 49
а) Докажите, что СС. парал-
лельна плоскости АА.В..
б) Найдите прямые, параллель-
ные закрашенной плоскости
и докажите, что они парал-
лельны.
6. Выполните задания (рис. 50):
а) Даны треугольник АКБ и
трапеция ABCD. Докажите,
что DC || плоскости АКВ.
6) Найдите площадь треуголь-
ника, если АВ = 12 см,
ААКВ = 60°, АК = КВ.
38
7. Ответьте на вопрос:
а) Если прямая параллельна плоскости, па-
раллельна ли она любой прямой, лежащей
в этой плоскости?
да
нет
б) Может ли данная прямая пересечь хотя да
бы одну из таких прямых? нет
8. Ответьте на вопрос:
Сколько проходит прямых, параллельных выбран-
ной в пространстве плоскости, через данную точку
пространства?
а) одна;
б) две;
в) бесконечное множество;
г) не знаю.
9. Ответьте на вопрос:
Каким может быть взаимное расположение двух пря-
мых, из которых одна параллельна некоторой плос-
кости, а другая пересекает эту плоскость?
а) параллельны;
б) пересекаются;
в) скрещиваются;
г) не знаю.
10. Решите задачу:
Дан треугольник MNK;
плоскость а пересекает сто-
роны МК в точке А и NK
в точке В, причем MN || АВ,
MN = 2Q см, KB:KN = 2:6
(рис. 51).
а) Найдите АВ, доказав что
А АКБ и A MKN
Рис. 51
39
6) Найдите MN, если АВ = 8 см, КА : AM = 3:7,
Самостоятельная работа
1. Решите задачу и выполните рисунок:
Вариант I
Плоскость у пересекает стороны АВ и ВС треуголь-
ника в точках М и N соответственно, причем AM: МВ =
= 4:5, АС =18 см. Найдите MN.
i j-i--i-i--i-i---i-:
н--i-4--j-i--i——i--i-i — - .... . „ ......
> i-i--i——i-i-r-i-j-:
* : : : : : i ------------------------------
i--i-i--j-«--4-i-i---:
• •* ••
i 4 4. 4 4——4 "i ----- - ..... •
> i i i i i i i i
> —- • I ——5» —5— -fr- 4— —4— -.
Вариант II
Плоскость p пересекает стороны треугольника MN К,
МК в точке Р, NK в точке F, причем PF = 21 см
и MP : РК = 3 : 4. Найдите MN.
40
Если плоскость проходит че-
рез данную прямую, парал-
лельную другой плоскости
и пересекает эту плоскость,
то линия пересечения плоско-
стей параллельна данной пря-
мой.
Если одна из двух параллель-
ных прямых параллельна дан-
ной плоскости, то другая пря-
мая либо также параллельна
данной плоскости, либо ле-
жит в этой плоскости.
2. Выполните задания:
Точки М и N лежат в плос-
кости а, а точка К не лежит
в этой плоскости (рис. 54). Че-
рез середины отрезков МК и
NK проведите прямую. Докажи-
те, что эта прямая параллельна
плоскости а.
Рис. 53
Самостоятельная работа
Вариант I
1. Докажите, что если пря-
мая ВВ^ || NN^ и ВВХ п
п а = Вр то точки Nv А,
В. лежат на одной пря-
мой (рис. 55):
Рис. 55
41
2. На рис. 55 отрезки AN : NB = 3:7 и ВВ^ = 30 см.
Найдите NN(:
Вариант II
1. Докажите, что если прямые ММ. || FF. и ММ. п
па = М(, то точки К, F., М. лежат на одной пря-
мой (рис. 56):
2. На рис. 56 отрезки MF: FK - 2 : 11 и FF{ = 26 см.
Найдите :
Самостоятельная работа
Вариант I
1. Дан отрезок, пересекающий плоскость. Из концов
отрезка на плоскость проведены параллельные пря-
мые (рис. 57).
42
а) Докажите, что точки
Av О, лежат на
одной прямой.
Рис. 57
б) Докажите, что если О — середина отрезка АВ,
то О — середина отрезка А{В{.
в) Найдите площади треугольников, если АВ =
= 20 см, А^В{ = 16 см, ZBOBl = 60“.
Вариант II
1. Дан отрезок, пересекающий плоскость. Из концов
отрезка на плоскость проведены параллельные пря-
мые (рис. 58). _
а) Докажите, что точки //
Mt, О, Nj лежат на \----------X /------7
одной прямой.
М
43
6) Докажите, что если О — середина отрезка MN,
то О — середина отрезка M.N..
в) Найдите площади треугольников, если MN =
= 40 см, M1NJ = 24 см, ZNON} = 45’.
Задания по теме
1. Закончите фразу:
Прямые называются скрещивающимися, если
2. Докажите теорему:
Рис. 59
Через каждую из скре-
щивающихся прямых
можно провести плос-
кость, параллельную дру-
гой прямой, и притом
только одну.
Для доказательства, че-
рез точку К проведите
прямую ах а
(рис. 59).
44
Углы с ^направленными сторонами
Задания по теме
1. Выполните рисунок и закон-
чите фразу: ? ] ГГТ 1 I F
Любая прямая плоскости де- l__L. J I i i i I
лит плоскость на две части. ;—i—;—s—i—i—i—i
Каждая часть I—L_j—|—j—;
i—-—«-i--i--.....-» •
i-——i-i--i-->-i-i--i-
2. Рассмотрите рис. 60 и выполните задания:
Рис. 60
а) Закончите фразы.
Отрезок АВ лежит в________________________
Отрезок МК лежит в________________________
б) Постройте отрезок CD, лежащий в одной (пра-
вой) полуплоскости; отрезок PF, лежащий в раз-
ных полуплоскостях.
в) Определите, как расположены отрезки по отно-
шению к прямой а.
АВ, PF____________________________________
МК, CD____________________________________
45
3. На рис. 61 обозначьте сонаправленные лучи: ОА,
О .Л. и допишите начатые фразы:
Рис. 61
а) МВ и ОА
б) Сонаправленные лучи лежат на прямых
4. В точках О и О. постройте углы с сонаправленны-
ми сторонами (рис. 62).
Рис. 62
Докажите равенство этих углов, выполнив следую-
щие действия:
а) На сторонах угла с вершиной в точке О отметь-
те точки А и В.
б) На сторонах угла с вершиной в точке О. отло-
жите OtAt = ОА и = ОВ.
46
в) Рассмотрите четырехугольники, полученные
в плоскости аир, опишите их.
г) Рассмотрите четырехугольник АА^В^В и опиши-
те его.
д) Сравните треугольники АОВ и AiOiBv
Раскрасьте полученные четырехугольники и выде-
лите в них равные элементы.
47
Угол между прямыми
Задания по теме
Найдите угол между скре-
щивающимися прямыми
а и b (рис. 64), объясняя
последовательность своих
действий:
2. На рис. 65 изображен куб MNKPM^N ^К.Р..
Рис. 65
а) Определите, какой угол об-
разуют прямые с гранями:
MZVj с гранью MNKP',
РК{ с гранью
MN} с гранью ММ^Р;
N}P с гранью MNKP',
PPj с гранью MNKP?
48
6) Определите угол между выделенными прямыми
а и b на рис. 65.
3. Решите задачу:
На рис. 66 точка К не принад-
лежит плоскости треугольни-
ка АВС. Точки Лр Bv С| —
середины отрезков АК, КВ,
КС соответственно. Углы тре-
угольника АВС находятся в
отношении 2:5:11. Найдите
углы треугольника А^С,.
Домашняя контрольная работа №5
Вариант I
1. Выполните задания:
а) По описанию сделайте рисунок: через концы от-
резка CD и его середину К проведены парал-
лельные прямые, пересекающие плоскость а
49
в точках Сг Кр Dp Извест-
но, что отрезок CD не имеет
общих точек с плоскостью а.
6) Докажите, что точки Ср
и D. лежат на одной пря-
мой.
в)Найдите КК., если CCt +
+ DDi = 42 см.
2. Запишите и покажите на рисунке признак скрещи-
вающихся прямых.
Вариант II
1. Выполните задания:
а) По описанию сделайте рисунок: через конец от-
резка MN и его середину F проведены прямые,
параллельные между собой, и пересекающие
плоскость р в точках , Л/р F.. Известно, что
MN не пересекает р.
50
6) Докажите, что точки М
N. и F. лежат на одной
прямой.
а х. _ -1- t а ,
i— К-—-i • 4 - —— -I - _ l„.t а. . .
i——— к— -Ч • а • • • •
— * “ • *
• • 1 — . .-4.———-к- --1 • ......
“ 'у v ‘Ч*- г 1 “ ,и,|^> • • • : _д._ • « . 1 .. ..
• • • а • • • • • . -Л Л J.
в) Найдите ММ v если FF^ = 12 см, = 28 см.
2. Запишите и покажите на рисунке признак парал-
лельности прямой и плоскости.
• • • *-.. . -» • । • «(•в к « 1 » . Ж л-
₽1,1111 ' 1 *" • • . » . •' • "* • • » а • • • а 1 « 1 1 V. «
• • | к а а • • v • • • 9 • _а_ А к
• • • • • » « • е в » < • * • - -- - Л- . .. - 1
• J —| • • ♦ • • • • • • • • - • • • а । • 1
а » 1 -1 - 1 • • - - "fi • 1 . »_ л а
-т 1 * , J i—?. л •.
51
Параллельность плоскостей
Задания по теме
1. Закончите фразы. Выполните рисунки к ним:
а) Плоскости аир имеют общую точку,
б) Плоскости а и р не имеют общих точек, такие
плоскости называются________________________
2. Даны плоскости аир, где аоЬ, аса, Ьса,
r\bv а || av Ь || Ьх (рис. 67). Докажите, что а || р,
используя данный ход рассуждений:
а) а || р ________________
Рис. 67
МР--------------
б) Допустим, что a-ltp,
тогда а г» р = X и х —
прямая, на которой и
лежит точка X. Тогда
52
3. Выполните задания:
а) Найдите на рис. 68 и запишите
плоскость, пересекающую обе
выделенные плоскости.
6) Обозначьте, по каким линиям
эта плоскость пересекает аир.
в) Сделайте вывод о линиях пересечений.
г) Впишите подходящие по смыслу слова, чтобы
получилось верное высказывание.
Если две плоскости пересе-
чены третьей, то линии их пересечения
д) Найдите на рисунке и запишите отрезки парал-
лельных прямых, заключенные между параллель-
ными плоскостями._____________________________
е) Сделайте вывод о длине этих отрезков.
ж) Впишите подходящие по смыслу слова, чтобы
получилось верное высказывание.
Отрезки параллельных прямых, заключенные
между плоскостями,
53
4. Дано: а || р, у п а = а, у о р = Ь.
а) Сделайте вывод: а Ь, а Ь.
6) Докажите, что выделенные плоскости прямоу-
гольного параллелепипеда параллельны (рис. 68).
в) Поставьте обозначения.
5. Выполните задания:
а) По данному описанию
сделайте рисунок: а || р,
точки А, В, С лежат на
плоскости а; точки М, N,
К лежат на плоскости р.
AM, BN, СК — парал-
лельные отрезки между
параллельными плоско-
стями аир.
6) Докажите, что ABNM, BCKN, АСКМ — па-
раллелограммы .
Треугольники АВС и MNK равйй.
в) Найдите cos Л и cos В, если АВ = 40 см, АС = 9 см,
ВС = 41 см, применив теорему косинусов.
г) Определите вид треугольника АВС (остроуголь-
ный, прямоугольный, тупоугольный).
54
Самостоятельная работа
1. Выполните задания:
а) Нарисуйте прямоугольный параллелепипед. Обо-
значьте ABCDA .
6) Постройте сечение этого параллелепипеда, если
М — середина В., N — середина ОtС,. Сече-
ние должно пройти через вершины В и D, М
и N.
в) Определите вид полученного сечения.
2. Найдите площадь полученного в предыдущем зада-
нии сечения, если АВ = AD = 8 дм, ААХ = 2 дм.
Подчеркните правильный ответ:
а) Зл/15 дм2; б) 12-Тб дм2; в) 6>/б дм2; г) 15->/3 дм2.
3. В прямоугольном параллелепипеде (задание 1) по-
стройте диагональное сечение и определите его пе-
риметр по тем же данным (задание 2).
4. Выполните задание:
Постройте сечение тетраэдра плоскостью (рис. 69).
Сечение должно пройти через точку М и быть па-
раллельным грани КВС. Запишите построение.
55
Рис. 69
а) Постройте сечение тетра-
эдра плоскостью (рис. 70).
Сечение должно пройти
через точку N и быть па-
раллельным основанию
АВС. Запишите построе-
ние.
б) Докажите подобие полученного треугольника
и грани.
в) Определите коэффициент подобия, если точка
N — середина AD.
г) Найдите периметр сечения тетраэдра (рис. 69),
если периметр основания 70 см.
56
Задания по теме
1. На рис. 71 найдите все три положения прямых
в пространстве; прямые, непараллельные плоско-
сти; прямые, параллельные плоскости. Запишите:
Рис. 71
2. Решите задачу:
В треугольной пирамиде
SABC (рис. 72) проведено
сечениеА. В.С. параллель-
но плоскости основания.
Определите длину ребер
SB и SC, если AS = 12 см,
AjS = 3 см, CCj+SB^
= 19 см, ВВ. + SC< = 17 см.
Рис. 72
57
Тетраэдр
Задания по теме
1. Впишите необходимые данные в рассуждение:
£> В тетраэдре ABCD (рис. 73)
/V\ точка D не принадлежит плос-
/ \ \ кости АВС.
/ \ \ Все треугольники (,
A ’ ») называ-
ются гранями.
С Все отрезки прямых (,
Рис. 73 -----> ----’ ----) называ-
ются ребрами.
Все точки (, ,
, ) называются
вершинами.
У тетраэдра вершин, ребер,
граней.
Грань АВС — основание тетраэдра;,,
_____ — боковые грани.
Все скрещивающиеся ребра тетраэдра:
2. Выполните задания на построение:
i— —>.—.—.—< _ —1 • • . • • Ь
!•«••• • . а. а а а а • • . . 1
г- ' • f п • У 1 Л . .1 .. а- 1.. .. _а " 1 ' 1 а
•••«• L. -*- > 1———- » • - • • • •
г 11 ' 1 W 1V • - .«•••»« • —-4- Г * - а . . _ а. _ .
* -1 » ...... а. ... . л.^ . . ' Г ♦ i .. а
9 - > । । у “ •* 1 1 Г “ Vе» ' ' " ( i - _> . I ц а. . . * - • 1 « L 1 а а
.«•••» 4 • *•••• 1 «••••« у. _ .а. а •
а)ДЛВС, MgDB, FeDC,
Kg ВС. 6 * * *
6) Постройте точки пересече-
ния прямой MF и плоско-
сти АВС’, прямой FK
и плоскости ABD.
58
в) Постройте сечение через точку М параллельно
плоскости основания АВС.
Самостоятельная работа
Найдите длину ребер основания тетраэдра MNKP,
площади его боковых граней NMK и КМР, проде-
лав следующие действия:
а) Постройте тетраэдр |
MNKP, если известно, = | I 1 I | | | i
i-i-i 4--4-i-
что: H N i H M
ANMK = 50’, АРМ К = 68’, НН ; ИН
АКРМ = 90’, MN = 12 см, И Н j И Н
МР = 15 см, МК = 20 см, Н Н И I N
М- вершина. LLJ_L_L-1_L_U
б) Для нахождения длины ребер используйте тео-
рему косинусов (а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos а) и теоре-
му Пифагора (с2 = а2 + Ь2).
в) Для вычисления площади боковых граней исполь-
зуйте формулу S = 4 ab sin у.
Отметьте, верны ли утверждения:
а) Прямые параллельны, если они не имеют да
общих точек. нёт
59
6) Прямая а пересекает плоскость а; есть ли Да
прямая на плоскости, параллельная а? нет
в) Если две прямые параллельны плоскости а, да
то они параллельны друг другу. нет
г) Две скрещивающиеся прямые параллель- да
ны одной прямой. нет
д) Если прямая а параллельна плоскости а,
то все прямые плоскости а параллельны
г нет
Прямой а.
е) Прямая а может быть параллельна плос-
кости а и не параллельна ни одной пря-
мой, лежащей в плоскости а.
ж) Два непараллельных отрезка, заключен-
ные между параллельными плоскостями,
равны.
3. Выполните построение сечений в тетраэдре (рис. 74):
В В
в) через D, А, О г) К е АРС,
через К и РМ
Рис. 74
60
4. Выполните задания:
а) Найдите периметр полученного сечения
(рис. 74 в), если длина всех ребер тетраэдра равна
8 см.
б) Найдите площадь полученного сечения (рис. 74 г),
если длина всех ребер тетраэдра равна 10 см.
5. Составьте задачу на построение. Сделайте рисунок.
• t
Л 1 1 i i
i 1 • —i 1 .a_
1 4 •
к 1 1 a
к а а а
а 1 I a
а а • I a
* < а — -1 * -
1
а а • a
* » I а • • a
Л- — -Л- I— a. -a - -
Г-**
• • • а a a 4 a
• • а a *
. В • • - • »- - a -
4
• • a
• 1 . а . * 1 —I ’* ♦
1 f 1 1 • 1 • n - - • V - - f
* а а 4
В • а l I • 4
а • » а l a a a
• • • t - .. _ —1 | -1-
1 1 a a a «
- а а л a a a
в а а 4
: а а 4
В а a
. л.. . - . -<- _ . - _ . а --- I • 1 i
J"""- —фа fa • Т ““ * 1 1 1 • 1 1- - • w
I 1 а a 1 1
а а f
• а а • a a a 4
а..Л... а..Л..а ..Л... ...A... ...A.-a
61
Параллелепипед
Задания по теме
1. По рис. 75, где плоскость а || 0, произведите следу-
ющие действия:
а) Начертите в плоскости
а параллелограмм
AiBiCiDi и в плоско-
сти 0 равный ему па-
раллелограмм АВ CD.
Соедините вершины со-
ответственно.
б) Докажите, что получен-
ные четырехугольники
будут параллелограм-
мами.
2. Впишите необходимые слова в формулировку:
Поверхность, образованная из равных па-
раллелограммов и параллелограммов
называется параллелепипедом.
3. Впишите необходимые данные в рассуждения:
Все точки параллелепипеда (рис. 75) (,,
, ---------, ----,------,-----1 „—,) назы-
ваются вершинами.
Все прямые (, , , , ,
-----, —.—,-------,------1-----,------,-----)
называются ребрами.
62
Все плоскости ( --,-----,,,,
) называются гранями.
Равные параллелограммы (, ) называ-
ются основаниями.
Боковые грани, имеющие общее ребро (и;
и;и;и), называются
смежными гранями.
Боковые грани, не имеющие общих ребер (
и;и), называются противоположны-
ми гранями.
4. Постройте диагонали параллелепипеда, соединив
противоположные вершины оснований и запишите
их:___________________________________________
5. Рассмотрите внимательно построенную вами фигу-
ру и докажите, что:
а) Противоположные грани параллелепипеда
б) Диагонали параллелепипеда пересекаются в
точке и делятся этой точкой
6. Изобразите на рисунке параллелепипед
MNKPM^N^K^P. и выполните следующие задания:
а) Назовите его параллель-
ные грани. _____________
Скрещивающиеся ребра:
63
6) Проведите диагонали граней. Их количество:
7. Выполните задания:
1) Постройте сечение, проходящее через выделен-
ные элементы.
Рис. 76
2) На рис. 76 б, найдите периметр сечения, если три
ребра, выходящие из одной вершины, имеют раз-
меры 8 см, 10 см, 12 см.
64
3) На рис. 76 в, найдите периметр сечения, если реб-
ра, выходящие из одной вершины, имеют разме-
ры 6 см, 7 см, 10 см.
8. Определите площадь основания, площадь всех бо-
ковых граней прямого параллелепипеда, если его
основанием является ромб с диагоналями 6 см и
8 см, диагональ боковой грани равна 13 см.
9. Пользуясь предложенным ходом решения найдите
площадь основания, площадь всех боковых граней
параллелепипеда (рис. 77), если ABCD — парал-
лелограмм, АВ = 3 м, АС = 5 м, ZA = 60’, площадь
диагонального сечения (большего) равна 63 м2:
а) Найдите АС по теоре-
ме косинусов.
ZB=_____________
cos 120’ = cos (180°-
-60’)= _________
Рис. 77
65
6) Постройте диагональное сечение через АС иА.С..
в) Докажите, что сечение — прямоугольник. Най-
дите АА ._____________________________________
г) Площадь основания найдите по формуле.
д) $аа{в{в ~ -------------------------------------------
Домашняя контрольная работа №6
2. Выполните задания:
Рис. 78
1. Изобразите на рисунке тет-
раэдр SABC, все ребра ко-
торого равны. Постройте се-
чение параллельно ребру АВ
через точки К и Р, где Р —
середина SC, а К лежит на
грани SAB.
а) Постройте сечение прямо-
угольного параллелепипеда
ABC£>A1B1C1jD1 (рис. 78)
через вершины A, D и В..
б) Найдите площадь сече-
ния, если АВ ~ 4 см, АА. =
= 4>/2 см, AD - 2-УЗ см.
Подчеркните правильный ответ:
а) 28-Уз см2; 6) 24 см2; в) 36 см2; г) 30-J2 см2.
66
Перпендикулярность прямой и плоскости
Задания по теме
1. Сформулируйте определение перпендикулярности
прямой и плоскости, проделав следующие действия:
а) Рассмотрите прямую, пересекающую плоскость
(рис. 79), и укажите рисунок, где прямая а пер-
пендикулярна плоскости а
Рис. 79
б)
б) Рассмотрите положение двух пересекающихся
и скрещивающихся прямых (рис. 80) и впищите
в рассуждения подходящие по смыслу слова.
ABoAD, ZBAD =
= 90°, прямые АВ и
AD__________
NB и CD — скрещи-
вающиеся прямые,
угол между ними 90е,
прямые NB и CD
67
Две прямые в пространстве называются перпен-
дикулярными, если___________________________
МА и NB____________________
MA1AD, значит,________________________________
в) На рис. 79 б на плоскости а проведите несколь-
ко прямых, проходящих через точку А и сфор-
мулируйте определение.
Прямая а перпендикулярна к плоскости, если
она к любой прямой
в этой плоскости.
Дополнительная часть
а ж а а а • в в • а ж а • а а в • •• • а- жа.а». а а а а а а - ааа-.-а^в в а - в а - — • в - в - в ж -• в в в в в в в • • • • ’••• жааавжМ* • ♦♦ •
ж а а » » ж а а а ж в в в а в а а
а а а а а а а ж а в a а а а а в а
* а я а Л 9 а а в а а а в а
ж а а а в а а а в а в • а в а а
• А 1 • ж 1 • •
• • *р 1 « • В •
— а а ж в в а в в а в а • а а В в
а а а в а а а а в в а в в
ж а а — а а а — в а • в в I в •
а а а а а в в • а в в а в в а в
—Д-.-ж. _.А_ ..А ж а - — -в- >- .—••4* а ••••••4» 1 •••«•4—••• •4—••—
•••••••ЯР* ««“ • «••р* • "l"
а • а • Ct а а в . а 1 в в а а в
а а а а в в а в в а • в в
а а 9 ж а • а 9 в в в в в в —
а а а в а а в а в в а а а в в в в
1_ 9 • * • вЛ. • • ••—•4* ••••••4* а -4а-«.«-«
• **г Г • 9 •
а а а а в в а а в в в а в в а □ в
а а а — ж а а в а а ж а □ а
а а « • в в а ж в в в а а в 1 в а
а а а а а в в и в в в в а в а и я
а - а в а а _____ _ А- •••.••4«— •4*—*—< >-1в ------А- 4 ••••••4« •••—•4-.
_ г- - 4 ”«г • ••••«••у* ••••-••яу**
а а а а в а .W • । в • • а Я
ж ж а а а ж а в • в а * в •
а а а а а в а в в в в в а 0 Я <
» • л_ А--- - а Л- ) ж ...Д.а • • 4 а •••••«Да • Де. 4.---
• •••р» яр«**-* • • ж—»««»а^>- « 1 В V • ••в«« яр*
ь а Я в
а . а а а а а — • а в а а а И в
а а а а ж в ь ж Cl а а а а а а в в в
• _______ Д.-.к. а 4 • 1 Г • • •••••4* • а В •
• Г
» • • • • • Г • В "в • • • • •
• а ж • » • • • • 3 в • • » • •
-------А- ..da, _д 4—• -- >4« ж • • D
•• • • • - а яр* •• •• •—*р— В
а а • а в 1 • в В • в • в а
ж а — в а в а в а в в ж (
а а 1 а в а 1 в а 1 в ж « 4 в я а в
а а а а — в в а в в в а а а а а а
• _-А жаш.ж.^ -—^ж-ЖЖ л. ------А. • -••••4«*«*** >4* а • -«.4« ——ж-4-. ——-А---.—
««•••^•••< ------ •
а ж а а а а а а а в а в а я > а
а а а а а В а в а • В а • • я в а
а а в а а а а а • а в в в » в
а ж а а в В а В В « • Ж в а
• ••••••• аД • •••• л___ 4 ---А---- В а >4« |>_ • • а4.а..аж.
• ••у* • **•••••
а а а а в а « а Ь я а •
а — ж ж а а а а а в • в а я в ж
а ж а а В в в а • в р в
а ж а а В в в ж в в в в а а
» 1 • —в—-• •!«-•••• » • а • •
———•••— 4* • • •• ж—ж -*«J • •••W *••« • ••••• ЯГ* — •••• • ••«••«•у»*
• • 4 • ___ — _жД_ в » • 4- • — ••—4. • • • •
• • • •яг • « в « • • « а
• а i ж а в в в а • ж ж а
а Ж а в в а В — в а В а в
_______ Л - а -А. _ » • • • 4* •-••••>• ..••••4- • ••••4***>* 0
*••*•*** • а « Яг *
В о • • в • • • в • • в в •
ж ж а а а а ж в в в ж в в я • ж
Я а а а а ж а • « а в В в в
-жж1- -А------ .._ .-..J, • •в}.... 4-ж-в... 1 _ ••••••4. --.---А.- • А.«...В-
***** •у •••-•• • ••••••у* в • ••••«•у — •••••••у*« • •у ••••••
Я а а ж — а а « в в в. в а в п
а ж — а — а в в а ж а а а в а
а а • а а в в в* а а в •
а ж а а в в а . — ь в । а а а
_______ JL__. а • . л ... - • « 1 * * •••«••4*-***«* _ • • »
•*>***•-• • «Р » в -•В-в—ву*
ж а а — в » в а в • в а а — ж
а а Л а В а ► в а а
а а а а — в в а ж в в а а а
• L • • al. * • • - — -La. « « — — .4—--.- • •4 • 9 ••••.«4. • ••••••!• а -•-•••А- • • - . А-.-.- •
••••••••»►••••• • яр • ••^« в — • “••••» В « • •••••^•а • ••а • -р»«*а —
• » а • • • • 1 • • • • • •
а а а — а а Ж ж а а В а Л а а а — —
• ___ • ♦ “ *1 .....аДваж — -4—-••• • • • • -----А- • Л__ • • • ^^•• —— — — —
•- • •••••'♦• — •---•у- •••••^•«
а а а ж — • а • а а а а а а
Я ж а а а ж Ж Ж а в I а а я я а
Л . а а а ж в — а а а а ж •
а а а а а — В 1 а я а — а
_____ 1 • А _ в i- -.-А_ • ...••«4 9 •••••«4. •••••4. а • « -4-ЖЖ...-
•*•••- “ •“•г* •«• • а "f
а а а — • • в • • а • ь а а в
а а а а а « » в в а в в В
J а . а — а а а в • в 1 а а в я а а
а а а ж а а в в В ж в а а в в В а в
а а а — • а а в ж в в в а в в
--JL- в а^Д. . ..А---_ __ _А_ —-4. 4. "В —' — -•-_-.4" • ••••А— —
«реев•• ••ЯР* • •*•• — ••• • • •••••^••••«
а > в В а а • а а а а я а в
в а а а а а а а В в а в в я я
а а а ж а » • а а а в в в я в
а а а ж а а в а в а а а я я П
А-—-- ♦_ л « 1 ••••••Л~ _| _ • ______ А- -А. •—••4— -4 — -..-•
«•••••• •••• ••г------ в —•———•яр*
а ж а а ж в в а а в • а а в
а а а а а в ж • в • а а а а в а а
а а а а • а • в в в а а а а а в
а а а а а в в в в в • в я а а я
• • •
68
Связь между параллельностью прямых
и их перпендикулярностью к плоскости
Задания по теме
1. Выполните доказательства:
а) Теорема 1.
Докажите, что если а || Ь,
а ± а, то b ± а (рис. 81).
Рис. 81
6) Теорема 2.
Докажите, что если а ± а,
Ь ± а, то а || b (рис. 81).
2. Запишите формулировки:
Теорема 1____________________________________
Теорема 2__________________________________
3. Выполните задания по рис. 82:
а) Рассмотрите призму и впишите необходимые зна-
ки.
ВХВ ccv
69
’
CCj ABC,
AAt 1ABC,
CCt J. ABC,
AtA CCr
6) Постройте сечение призмы че-
рез точку К параллельно ос-
нованию.
в) Найдите углы треугольника, полученного в се-
чении, если ZA в два раза больше ZC и на 30°
больше Z.B.
4. Постройте сечение прямоугольного параллелепипе-
да плоскостью, проходящей через точки Р и Е пер-
пендикулярно плоскости ABCD.
Рис. 83
70
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Задания по теме
1. Пользуясь предложенным ходом рассуждений,
сформулируйте признак перпендикулярности пря-
мой и плоскости:
На рис. 84 изображе-
ны плоскость а, пря-
мая а, апа = А, пря-
мые b и с лежат в
плоскости а, b п с = А,
alb, ale. Докажем,
что ala.
Для этого проведем
любую прямую х на
плоскости а, пусть
х Ь = В, х г\ с = С; от
точки А отложим
AO=AOV
Рис. 84
Сначала докажем, что aid, выбранной произволь-
но.
Для этого рассмотрим последовательно ряд треу-
гольников.
ОАС и OtAC_____________________________
ОБА и АВО{_____________________________
ОВС и OiBC_____________________________
ODA и OtDA_____________________________
ОО. 1AD, a id => ala, т. к. d — произвольная
прямая х.
Сформулируем и запишем признак параллельнос-
ти прямой и плоскости.
71
2. С помощью рис. 85, на котором изображен прямоу-
гольный параллелепипед, выполните следующие за-
дания:
Рис. 85
Рис. 86 •
а) Докажите равенство его диагона-
лей, для чего достройте треуголь-
ники, соединив В и D, и дока-
жите, что ВВ. ± a, DD. ± а.
б) Найдите длину диагонали парал-
лелепипеда, если д = 6 см, Ь =
= 8 см, с= 12 см.
3. С помощью рис. 86, на кото-
ром изображена правильная
пирамида SABCD, выполните
следующие задания:
а) Учитывая, что SA=SB-
= SC = SD, ABCD — квад-
рат, докажите, что
SOLABCD.
72
6) Найдите площадь сечения ASC, если АВ - 4 см,
SA= 10 см.
4. С помощью рис. 87, на котором изображена призма
ABCA,BtCv выполните следующие задания:
а) Постройте сечение, прохо-
дящее через точку К на АА t
и перпендикулярное ребру
AAV
б) Докажите, что полученный
треугольник равен основа-
нию призмы.
Рис. 87
Самостоятельная работа
Вариант I
1. Пользуясь рис. 88, на котором изображен квадрат
MNKF, найдите EN, если EN1 (MNKF), MN =
= 4 см, EF = 12 см:
73
2. Определите, верно ли высказывание:
а) Прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна:
— двум диаметрам круга, лежащего в да
этой плоскости; нет
— двум сторонам треугольника, лежаще- да
го в этой плоскости; нет
— двум сторонам трапеции, расположен- да
ной в этой плоскости. нет
б) Через заданную точку пространства к выб-
ранной плоскости проходит несколько пер-
г i г нет
пендикуляров к этой плоскости.
Рис. 89
3. Пользуясь рис. 89, на кото-
ром PKFN — прямоуголь-
ник, выполните следующие
задания:
а) Докажите, что FN ± плос-
кости MPN.
74
6) Найдите KF, если ZMPN = 90°, MP = РЛ/, MN =
= 10 cm.
Вариант II
1. Пользуясь рис. 90, на кото-
ром изображен квадрат
PSRQ, найдите KS, если
KQJAPQRS), SR = 5 см, р
KQ=12cm: х
Рис. 90
2. Определите, верно ли высказывание:
а) Две стороны треугольника могут быть перпен-
дикулярны к одной плоскости.
6) Через точку пространства к плоскости
можно провести только один перпендику-
ляр. нет
3. Пользуясь рис. 91, на котором ABCD — да
прямоугольная трапеция, выполните задания: нет
а) Докажите, что BALFD. р г
б) Найдите CD, если AF =
= FD = AD = 6 см, АВ = 1 см,
ВС = 4 см.
Рис. 91
75
Домашняя контрольная работа №7
Вариант I
1. Выполните задания:
Рис. 92
а) Изобразите на рисунке па-
раллелограмм АВ CD ', О —
точка пересечения его диа-
гоналей. Точка К вне плос-
кости параллелограмма.
КА = КС и KB = KD.
б) Докажите, что
KOI (АВCD).
2. Определите вид треугольника
АВС, КАС и КВС, если АК ±
плоскости круга, АВ — диа-
метр круга, ВС — произволь-
ная хорда (рис. 92):
76
3. Сделайте рисунок и ответьте на вопрос:
Прямые а, Ь, с лежат в плос- i ;| ] i
кости а. Прямая т перпен- j Т~ I f | | \
дикулярна а и Ь, но не пер- ; 1 Г Т П = I I
пендикулярна прямой с. Ка- i I Г“| | | Г~|
ково взаимное положение a i I I I I >
и ь? г~ггI’ тТ+~!
!---F-!-!-j "* ~ ! — -*
>--. | | | I-I
« •••«••
4. Из центра О правильного треугольника к его плос-
кости проведен перпендикуляр. Всякая ли точка пер-
пендикуляра равноудалена от сторон треугольни-
ка?
Вариант II
1. Выполните задания:
а) Из точки пересечения диагоналей прямоуголь-
ника О к его плоскости проведите перпендику-
ляр.
6) Докажите, что любая
точка этого перпендику-
ляра равноудалена от
вершины прямоугольни-
ка (прямоугольник изоб-
ражен в виде паралле-
лограмма, но вспомните
его особое свойство).
• • в • • 11— -4 • В • • • • L - а е • .« _
• • ♦ fr- Т 1, - - - Г 1 е • • • -1 -4 * * 1 Л
• в ;—— з- — l • • • В -В— -А В
• • • • В I 1- 1 1 IT— в • в •ее | 1— |
• • j— — | 4 : : : i ; : : i : : : t и -- - f ~ t • • -J-
Zee : : t а в A _J • • • » BABB l_ - A A . _ *
• • • Zee — 1 - - - л -1 • • • • : : : i » - A _ A .
f. f ч в « •. А J : : : i i. к....../.......}.
77
3. Сделайте рисунок
1 1 1 1 А 1 1
» w— ——• г « - Л < 1
. -.1 - -- 1 т V 1 ' • 1* ♦ 1 1
• • • « • • • • 4 А 4 • - • * -Я - . . 1
" 1 - ' 1 !- - *— Г *- 1
у- * ггл-пт Г - .j Г V • • • • • • • • • 4 1 1 А— - 1 • а.
" 11 * • • w- - -1 - У 1 -- - • Г »«••••• 1 * - - - - А 1 £
2. По рис. 93 найдите ВК, КС,
если АК X плоскости круга,
R = 2 см, АК = 1 см,
Z АВС = 45°.
и ответьте на вопрос:
Прямая а параллельна плоско-
сти а, прямая b перпендику-
лярна прямой а. Каково вза-
имное положение а и Ь?
Из центра О правильного треугольника к его плос-
кости проведен перпендикуляр. Всякая ли точка пер-
пендикуляра равноудалена от вершин треугольни-
ка?
78
Содержание
Аксиомы стереометрии.........................1
Построение линий пересечения................17
Построение сечений многогранника............20
Параллельность прямых и плоскостей..........28
Скрещивающиеся прямые.......................32
Параллельность прямой и плоскости...........37
Углы с сонаправленными сторонами............45
Угол между прямыми..........................48
Параллельность плоскостей...................52
Тетраэдр....................................58
Параллелепипед..............................62
Перпендикулярность прямой и плоскости.......67
Связь между параллельностью прямых
и их перпендикулярностью к плоскости........69
Признак перпендикулярности прямой
и плоскости.................................71
79
Для записей
Альбина Викторовна Рогулева
Геометрия. 10 класс. Рабочая тетрадь
Часть 1
Гл. редактор Э.Г. Донецкая. Вып. редактор С.В. Лихобаба.
Худ. редактор, дизайн обложки Ю,В. Межуева.
Тех. редактор Ю.В. Зуйкина. Комп, верстка Л.Л. Палин.
Корректор Л. В. Коротченкова.
Диапозитивы предоставлены издательством.
Лицензия ИД № 01856 от 25.05.2000. Подписано в печать 06.12.2004.
Формат 60x90/16. Гарнитура Kudrashov. Бумага тип. №2. Печать
офсетная. Усл. печ. л. 5,0. Заказ № 14187. Доп. тираж 25000 экз.
ОАО «Издательство “Лицей”»
Тел./факс: (845-2) 27-26 44, 27-10-62. http://www.licey.net
Государственное унитарное предприятие
ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Министерства Российской Федерации по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.