Геометрия. Сборник задач на геометрические преобразования - Саранцев Г.И.

Автор: Саранцев Г.И.

Теги: геометрия топология задачи по геометрии

Год: 1981

Похожие

Сборник задач на геометрические преобразования

Теоремы и задачи школьной геометрии

Геометрия в задачах

Теоремы и задачи школьной геометрии

Текст

Г. И. Саранце»
СБОРНИК
ЗАДАЧ
НА
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
_______________________
Г. И. Саранцев
СБОРНИК
ЗАДАЧ '
НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ В ЗАДАЧАХ
Пособие для учащихся
2-е издание, переработанное н дополненное
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1981
ББК 22.151.0
С20
Рецензенты: Доктор пед. наук Ю. М. Калягин (НИИ школ
МП РСФСР), заведующий кафедрой математического анализа, доктор
физ.-мат. наук И. М. Матвеев (ЛГПИ им. И. А. Герцена)
1981.— 112 с., ил.
представляет собой дополнительный набор зада^ к учебному пособию по
для 5 — 8 классов. Она предназначена для учащихся 5—8 классов,
закрепить и углубить свои знания по геометрическим преобразованиям.
Саранцев Г. И.
С20 Сборник задач на геометрические преобразования: Посо-
бие для учащихся.— 2-е изд., доп. и перераб.— М.: Просве-
щение,
Книга
геометрии
желающих ________г____ .. ____ ____________ ____г........г___г____
Сборник задач может быть использован также учителями для организации самосто-
ятельной работы школьников.
60601 — 417 „ ББК 22.151.0
"103(03)—81" И нф. письмо—81, доп. №1 4306010400 513
© Издательство «Просвещение», 1975 г.
© Издательство «Просвещение», 1981 г., с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дорогие школьники!
Эта книга является дополнительным сборником задач по гео-
метрии для тех учащихся 5—8 классов, кто интересуется
математикой и ее приложениями, кто желает развить у себя
умения и навыки самостоятельного решения геометрических
задач, она будет полезным и интересным пособием.
В курсе геометрии вссьмилетней школы вы знакомитесь с таки-
ми геометрическими преобразованиями, как поворот, центральная
и осевая симметрия, параллельный перенос, гомотетия, подобие.
Приведенные в книге задачи помогут вам сознательно усвоить свой-
ства и признаки этих преобразований.
Эти задачи помогут вам также овладеть методом геометрических
преобразований, который является ключом к решению большого
класса задач на доказательство, построение и вычисление. В ряде
случаев он дает наиболее простые и изящные решения задач (по
сравнению с методами, основанными на признаках конгруэнтности
и подобия треугольников).
Задачи каждого параграфа расположены группами по нарастаю-
щей степени сложности. Задачи повышенной трудности отмечены
звездочкой.
Каждая группа задач предназначена для формирования опреде-
ленных умений и навыков, необходимых для овладения методом
преобразований. Так, в процессе решения первой группы задач вы
научитесь строить образы различных фигур. Следующая серия за-
дач научит вас «видеть» соответственные элементы на заданных со-
ответственных при том же преобразовании фигурах. Задачи третье-
го вида формируют умения в построении элементов, определяю-
щих данное преобразование,— ось симметрии, центр поворота
и т. д. Задачи четвертого вида предназначены для формирования уме-
ния строить соответственные точки на произвольных фигурах.
К указанным видам задач относятся задачи 1—118, 171—234,
286—352, 410—483. Решение задач 1—118 сопровождает изучение
п. 21 «Осевая симметрия», задачи 171—243 и 410—483 вы можете
рассмотреть при изучении п. 19 «Поворот» и п. 20 «Центральная
симметрия». Задачи 286—352 вы можете решить при изучении п. 36
3
«Параллельный перенос». Первые пятьдесят задач из параграфов,
посвященных осевой симметрии, центральной симметрии, парал-
лельному переносу могут быть решены учащимися пятых классов.
Задачи из раздела «Гомотетия и подобие» могут быть рассмотрены
при изучении пп. 62—63 «Гомотетия», «Свойства гомотетии» и по-
следующих разделов.
При изучении различных фигур и их свойств вы можете решать
задачи, в которых обоснование различных соотношений осуществ-
ляется с помощью перемещений и гомотетии. Так, при изучении тра-
пеции (п. 48) мы можете решать задачи №№ 154—161, 365—371;
при изучении квадрата (п. 46)— задачи №№ 149, 494, 496—500,
503, 507, 514 и т. д.; построение треугольников может быть допол-
нено решением задач 140—147 и т. д.
Среди задач на перемещение и подобие вы найдете такие, кото-
рые помогут вам усвоить взаимосвязи между отдельными видами пе-
ремещений, а также перемещений и гомотетии. В сборник включе-
ны и задачи, решаемые с помощью подобий.
В конце каждого параграфа даются рекомендации, где говорится
о месте данных задач в школьном курсе геометрии, подчеркиваются
наиболее важные выводы, даются образцы решения задач.
В конце сборника приведены ответы, а к отдельным задачам да-
ны либо указания к их решению, либо решения. Однако знакомить-
ся с ними желательно либо после того, как задача решена, либо пос-
ле того, как вы убедитесь, что задачу сами решить не сможете. В
случае особых затруднений не стесняйтесь обращаться к учителю.
Хотелось бы, чтобы эта книга была для всех вас интересной и
еще более развивала бы ваш интерес к изучению геометрии.
Книга может быть использована и учителями для организации
самостоятельной учебной работы школьников. (Первое издание этой
книги, вышедшей в 1975 году, было адресовано только учителям.)
Редакция и автор признательны всем, кто принял участие в обсуж-
дении книги. Все советы и замечания читателей были учтены при
работе над вторым изданием, увеличено число задач на преобразо-
вание подобия, выделен параграф, посвященный понятию переме-
щения, заменены некоторые задачи. .
§ 1. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
1. Постройте прямоугольник, не являющийся квадратом. Про-
верьте с помощью перегибания листа бумаги, будет ли прямая, со-
держащая диагональ прямоугольника, являться его осью симмет-
рии.
2. Установите перегибанием листа бумаги число осей симметрии
квадрата.
3. -
4.
5.
6.
7.
Сколько осей симметрии имеет окружность?
Имеет ли угол ось симметрии?
Имеет ли оси симметрии прямая? Если имеет, то сколько?
Сколько осей симметрии имеет отрезок?
Назовите известные вам предметы из окружающей обстанов-
ки, изображение которых на бумаге будет иметь ось симметрии.
8. Какие из следующих букв: {ДБВГДЕК) имеют ось сим-
д)
Рис. 1
5
Рис. 2
метрик? Укажите несколько слов, запись которых
имеет ось симметрии.
9. Выберите из множества букв (задача 8) те
буквы, осью симметрии которых является гори-
зонтальная прямая, вертикальная прямая.
10. Написаны два слова: КОФЕ ЧАЙ
Посмотрите на эти слова через стеклянную про-
бирку, заполненную прозрачной жидкостью. По-
чему буквы в слове ЧАЙ оказались перевернуты-
*

Рис. 3
Рис. 4
ми, в слове КОФЕ нет?
11. Используя бумагу и ножницы, вырежьте
несколько фигур, имеющих: а) одну, б) две, в)*
три, г)* четыре оси симметрии.
12. Симметричны ли фигуры, изображенные
на рисунке 1? Достройте фигуру, изобретенную
на рисунке 1, а так, чтобы она имела одну, две,
четыре оси симметрии.
13. Прямая s является осью симметрии тре-
угольника, изображенного на рисунке 2. Какие
стороны треугольника можно убрать, чтобы остав-
шаяся фигура также имела прямую s своей осью
симметрии?
14. Прямые Si и s2 являются осями симметрии
прямоугольника (рис. 3). Какие стороны прямо-
угольника можно убрать, чтобы оставшаяся фигу-
ра также имела прямые % и s2 своими осями сим-
метрии?
15. Перерисуйте рисунок 4 в свою тетрадь и
достройте фигуру, изображенную на рисунке, так,
чтобы прямая s была ее осью симметрии. Выпол-
полннте построение с помощью копировальной бу-
маги.
16. Начертите на листе бумаги произвольную
прямую s и отметьте точку А, не принадлежащую
прямой s. Постройте (проколом) точку, симметрич-
ную точке А относительно прямой s. Где располо-
жена полученная точка?
17. Точка А симметрична сама себе относи-
тельно прямой I. Как расположена эта точка по
отношению к прямой /?
18. Отметьте на листе бумаги две точки и с по-
мощью перегибания листа бумаги постройте пря-
мую, относительно которой отмеченные точки бу-
дут симметричными.
6
19. ABD = DBC (рис. 5). Симметричны ли
лучи ВА и ВС относительно прямой BD?
20. Постройте два луча О А и ОБ. Возьмите
на луче ОА произвольную точку К. Постройте
с помощью перегибания листа бумаги ось сим-
метрии лучей ОА и ОБ и точку М, симметрич-
ную точке К относительно построенной оси
симметрии. Где будет находиться точка М?
Равны ли длины отрезков ОК и ОМ?
21. Z_ АОС^ Z_ СОВ; | ОМ |= | О/(| (рис. 6).
Докажите, что точки Л1 и /( симметричны от-
носительно прямой ОС.
22. Проведите на листе бумаги прямую s и от-
метьте точку А, не принадлежащую этой прямой.
Перегните лист по этой прямой и проколите его
в точке А. Разверните лист и установите, что
прямая s перпендикулярна отрезку А А' (А'—по-
лученная точка) и делит его пополам.
23. Начертите прямую I и постройте с
помощью перегибания бумаги прямой угол,
одна из сторон которого принадлежала бы I.
24. (ЛО) ± (СО); АЖ АЖ); | АО\ =
= | ОА' | (рис. 7). Симметричны ли точки А и
А' относительно прямой CD? Измените усло-
вие задачи так, чтобы точки А и А' были сим-
метричны относительно прямой CD.
25. Л и А' лежат на одном и том же
перпендикуляре к прямой s. Можно ли считать
эти точки симметричными относительно пря-
мой s?
26. | ЛО|= | ОА' |; АОВ^ BOA' (рис. 8). Сим-
метричны ли точки Л и А' относительно прямой
ВС? Как надо изменить условие, чтобы точки А
и Л' были симметричны относительно пря-
мой ВС?
27. На клетчатом листе бумаги изобразите
оси координат так, чтобы оси Ох и Оу совпали с
горизонтальной и вертикальной линиями. При-
мите сторону квадратика за единичный отрезок
и отметьте точки Л (3; 2) и В (7; 6). Постройте
ось симметрии точек Л и В одной линейкой.
28. Постройте точки, симметричные точкам
Л (2; —3); В (5; 0); С (0; —7) относительно:
а) оси Ох; б) оси Оу; в) биссектрисы I и III
координатных углов. Запишите координаты
построенных точек.
Л
В
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
• Р
S
Рис. 9
7
Рис. 11
Рис 12
29. Известно, что некоторая точка А (х; у) отображается осевой
симметрией с осью Ох на точку А'(2;—5). Определите координаты точ-
ки А.
30. Точка В’, симметричная точке В относительно биссектрисы
I и III координатных углов, имеет координаты (—3; 7). Какие коор-
динаты имеет точка В?
31. Точки А (5; ...) и В (... ; —2) симметричны относительно
оси Ох. Запишите их пропущенные координаты.
32. Точки А (...; 7) и В (3; ...) симмет-
ричны относительно осп Оу. Восстановите
пропущенные координаты точек.
33. Определите пропущенные коорди-
наты точек С (—2; ...) и В (4; ...), если
известно, что эти точки симметричны отно-
сительно биссектрисы I и III координатных
углов.
34. Точка А имеет координаты (а; Ь).
Какие координаты имеют точки, ей сим-
метричные относительно оси Ох, оси Оу,
биссектрисы I и III координатных углов?
Какие координаты имеет точка, симметрич-
ная точке А относительно биссектрисы 11
и IV координатных углов?
35. Определите на глаз, какая из точек
Р' или Р" симметрична точке Р относи-
тельно прямой s (рис. 9). Проверьте пра-
вильность ответа с помощью инструментов.
36. Постройте прямые, симметричные
8
данным прямым (рис. 10) относительно
прямой s.
37. Верно ли высказывание: «Если
а П b — О, где О С I, то S, (а) = Ь». До-
полните условие так, чтобы прямые а и b
были симметричны 'относительно прямой I.
38. Постройте отрезки, симметричные
данным (рис. 11) относительно прямой s.
39. Постройте лучи, симметричные
данным относительно прямой s (рис. 12).
Сделайте так, чтобы число построений бы-
ло возможно меньшим.
40. Постройте углы, симметричные дан-
ным углам относительно прямей s (рис. 13).
Сделайте так, чтобы число построений
было возможно меньшим.
41. Sp ([ВС)) = ГДС') (рис. 14). По-
стройте образ угла АВС с помощью
транспортира и линейки.
42. ABC =DB^C =СЧУЕ (рис. 15).
Симметрия с осью s отображает [ВС) на
[В'С'). На какой угол (DB'C' или С'В'Е)
отобразит эта симметрия А ЛВС?
43. Sp ([ЛС]) = [DE], ВАС = DEF,
ВС А — EDF, ВАС ф ВС А. Симметричны
ли треугольники ЛВС и DEF относитель-
но прямой р (рис. 16)?
44. Постройте фигуры, симметричные
данным относительно прямой s (черт. 17).
Какой фигурой является образ полуплоско-
сти с границей s при симметрии с осью $?
Чем является объединение (пересечение)
дангой полуплоскости и ее образа.
45. Точка Р перемещается по окружно-
сти по часовой стрелке. Какую фпгуру
9
Рис. 17
Рис. 18
опишет точка Р', симметричная
точке Р относительно некоторой
прямой? В каком направлении
будет перемещаться точка Р'?
46. Постройте окружность,
радиус которой равен 3 см, и
проведите прямую s, пересека-
ющую окружность. Постройте
окружность, симметричную дан-
ной относительно прямой s. По-
стройте фигуру, являющуюся
объединением (пересечением)
данной окружности и ее образа.
47. Постройте треугольник
АВС, у которого | АВ\ = 7 см,
| ВС\ — 6 см, | А С ] = 5 см. От-
метьте на [Л В] точку X (|ВХ | =
= 2 см) и на [Л С] точку
Y (| CY\ = 3 см). Постройте об-
раз треугольника АВС при сим-
метрии с осью XY. Укажите
фигуру, являющуюся пересече-
нием (объединением) данного
треугольника и его образа.
48. Симметричны ли фигу-
ры, изображенные на рисунке
18, относительно прямой s?
49. На клетчатой бумаге ука-
жите образы фигур (рис. 19)
при симметрии с осью s. Можно
ли указать образы точек при
симметрии с осью /, не выполняя
никаких построений (рис.19, в)?
Рис. 19
10
50. Нарисуйте в своих тетрадях фигуры, являющиеся объеди-
нением фигур, изображенных на рисунке 20, а, б, в, и их образов
при симметрии с осью s (прямая s не принадлежит данным фигурам).
51. Фигура F, изображенная на рисунке 20, г, д, е, отобра-
жается симметрией с осью рг на фигуру Ft. Затем фигура F2 =
= Fj (J F отображается симметрией сосьюр2. Нарисуйте фигуру,
являющуюся объединением фигур F2 и ее образа.
52. Отметьте две произвольные точки и постройте на глаз пря-
мую, относительно которой эти точки будут симметричны.
53. Фигуры F и F' (рис. 21) симметричны относительно неко-
торой прямой. Скопируйте рисунок 21 на прозрачную бумагу и
постройте на глаз ось симметрии этих фигур.
54. Докажите, что точки А (о; Ь) и А’ (с; —Ь} можно получить
одну из другой осевой симметрией с осью Ох, а точки В (с; d) и
В' (—с; d)— осевой симметрией с осью Оу.
55. Относительно какой из координатных осей симметричны
точки: а) А (7; 2) и А’ (—7; 2); б) В (—3; —2) и В' (—3; 2)?
56. Выберите из данного множества точек {(1; 5), (3; —2),
(-1; 5), (0; —7), (5; -1), (0; 7), (-2; 3), (4; 0), (0; 4), (2; 1),
(1; —10)} точки, попарно симметричные относительно оси Ох, оси
Оу, биссектрисы I и III координатных углов.
57. На рисунке 22 изображена __________
сеть правильных треугольников. Не Хр
выполняя никаких построений, ука- ( f
жите: I f f1
а) точки, симметричные точкам В4, \ I
В5, D3 относительно прямой Л4£>2;
б) образ отрезка В2С2 в результа- J \
те последовательного отражения его J
от осей B3D2 и B^Bs, \. ./
в) ось симметрии отрезков ЛаВ4 и
BtB3; Рис. 21
11
Рис. 22
г) две прямые, последовательным отражением от которых от-
резок С3В3 совмещается с отрезком В4В5 (С3 -> В4, В3 -> В5);
д) две прямые, последовательным отражением от которых луч
B3D1 совмещается с лучом С4С5.
58. Какие из треугольников В3В4С3, В4Л4В5 и AtB3A5 (рис. 22)
можно отобразить друг на друга одной осевой симметрией? Укажи-
те оси симметрий.
59. На отрезках, симметричных относительно прямой s, от-
метьте по точке и постройте с помощью циркуля их образы при сим-
метрии относительно оси s.
60. Постройте квадрат ABCD со стороной 3 см. На стороне ВС
квадрата отметьте точку К так, чтобы |ВК| = 0,8 см. Постройте
при помощи одной масштабной линейки образ точки К при симмет-
рии относительно оси АС.
61. Отметьте на симметричных относительно оси s лучах (зада-
ча 39) по точке и постройте при
помощи угольника и линейки их
образы при симметрии относитель-
но той же оси.
62. Известно, что (F) = F'
(рис. 23). Постройте с помощью
угольника идинейки образы точек
А и В при симметрии относитель-
но оси s.
63. Отметьте на сторонах тре-
угольника ЛВС по точке (задача 47)
и постройте с помощью циркуля
их образы при симметрии относи-
тельно прямой XY.
64. Известно, что Sp (Л) = Л'
(рис. 24). Постройте с помощью од-
ной линейки прямую,симметричную
прямой а относительно прямой р.
Рис. 24
12
65. A’ — Sp (A), B' = Sp (В). Назовите все пары прямых,
проходящих через эти точки и симметричных относительно оси р.
66. Известно, что Sp (Л) — А'. Как построить точку, симметрич-
ную произвольной точке В (В £ (ДД')), с помощью одной линейки?
67. Дан Д АВС. Постройте треугольник, симметричный дан-
ному относительно прямой, содержащей биссектрису угла ВАС.
68. С помощью осевой симметрии постройте разность сторон
АВ и ВС треугольника АВС.
69. Постройте произвольный треугольник и его образ при сим-
метрии относительно прямой, содержащей биссектрису одного из
его внешних углов.
70. С помощью осевой симметрии постройте сумму сторон ВС
и АС треугольника АВС.
71. Можно ли с помощью осевой симметрии построить разность
двух углов треугольника?
72. Sp (а) — a', Sp (b) = Ь' (рис. 25). Назовите все пары сим-
метричных относительно прямой р точек, образованных пересече-
нием этих прямых.
73. На сторонах угла АОВ от его вершины отложены конгру-
энтные отрезки ОМ и ON; ОК и OL (К =?= М, К £ СОД), Al Q [ОД)).
Докажите, что a) I ML| — \NK\; б) Е — [ML] f] [Л’М] принадле-
жит биссектрисе угла АОВ.
74. Постройте биссектрису угла
с помощью одной линейки.
75. [ОС) — биссектриса угла
ВОА; |О£| = | OF|; (К£) 1 (ОВ);
(FL) _L (ОД), (рис. 26). Докажите,
что (КЕ) и (FL) пересекаются в
точке, принадлежащей [ОС).
76. Начертите 2 конгруэнтных
треугольника АВС и АВ'С (В и
В', С и С— соответственные вер-
шины), чтобы «обходы» их границ
были противоположными. Докажи-
те, что Д ДВС можно отобразить
на Д АВ'С осевой симметрией.
77. Прямая задана уравнением
Ах + By + С = 0. Запишите урав-
нение линии, симметричной дан-
ной прямой относительно оси Ох;
оси Оу; биссектрисы I и III коор-
динатных углов.
78. Постройте прямые, симмет-
ричные прямой у = 2х + 3 отно-
сительно оси Ох; оси Оу; биссек-
трисы I и III координатных углов.
Запишите уравнения полученных
прямых.
Рис. 26
13
ч
Рис 28
79. Прямые у = 2x4- ... и у = ... х—7
симметричны относительно оси Оу. Допи-
шите уравнения этих прямых.
80. Прямые у=... х 4-3 и у——5x4-...
симметричны относительно оси Ох. По-
ставьте пропущенные коэффициент и сво-
бодный член в их уравнениях.
81. Прямая у = Зх 4- 7 отображается
симметрией относительно оси Ох на некото-
рую прямую. При этом точка А, принадле-
жащая прямой у = Зх 4- 7, отображается
на точку А' (1; а). Определите координаты
точки А.
82. Прямая I перпендикулярна биссек-
трисе угла АВС и пересекает ее. Дока-
жите, что [ВЛ4]аг[В/<], где М=1(][ВА),
а К = I П [BQ.
83. Отрезок А'В' получен из отрезка
АВ осевой симметрией (рис. 27). Как с
помощью одного циркуля построить образ
точки К при симметрии, отображающей
[АВ] на [А'В']?
84. Начертите две окружности, радиусы которых 2 см. Отметьте
точку, не принадлежащую окружностям, и постройте ее образ при
симметрии, отображающей одну из этих окружностей на другую, не
выполняя построения ее оси.
85. Постройте точку, равноудаленную от точек А и В. Принадле-
жит ли эта точка оси симметрии точек А и В?
86. Верно ли высказывание: «Если | АС\ = | ВС|, то точки А и В
симметричны относительно любой прямой, проходящей через точ-
ку С?»
87. С помощью циркуля постройте несколько точек, принадлежа-
щих одной прямой.
88. | АВ| = |ВС|, |AD\ = |DC|, BAD = 20° (рис. 28). Найти
BCD.
89. Окр. (Ох; г) (] Окр. (Ог; г) = {А; В}. Докажите, что
SOlo. (А) = В.
90. Докажите, что прямая, подмножеством которой является
медиана равнобедренного треугольника, содержащая его вершину,
является осью симметрии этого треугольника. Какие свойства
равнобедренного треугольника следуют из этого?
91. В четырехугольнике ABCD | АВ\ = | AD |, | ВС| =|СО|.
Докажите, что 5(ЛС) (В) — D.
92. Верны ли утверждения:
а) если М € Фх П Ф2, то S (М) € S„ (Ф^ f) S„ (Ф2);
б) если К £ Ф, U Ф2. то Sp (К) б Sp (Фх) U Sp (Ф2)?
14
93. Две окружности с равными радиусами пересекаются в точ-
ках А и В. Докажите, что (ЛВ)— ось симметрии фигуры, являю-
щейся объединением данных окружностей.
94. Известно, что перемещение L отлично от тождественного
отображения и оставляет точки Л и В на месте.*Является ли это
перемещение осевой симметрией?
95. Каким перемещением является композиция трех осевых
симметрий относительно прямых, содержащих биссектрисы углов
треугольника?
96. Постройте острый угол и на его сторонах возьмите две про-
извольные точки Л и В. Постройте равнобедренный треугольник
АВС так, чтобы все его вершины принадлежали сторонам угла.
97. Дана прямая а и отрезок АВ. Постройте равнобедренный
треугольник с основанием АВ, чтобы его вершина лежала на а.
98. [ОЛ) (J [ОВ) = О. Постройте ось симметрии, отображающей
[ОЛ) на [ОБ), используя циркуль и линейку.
99*. Каким перемещением является композиция трех осевых сим-
метрий относительно срединных перпендикуляров треугольника?
100. Постройте образ данной прямой а при осевой симметрии,
отображающей данную точку А (А £ а) на данную точку В.
101. Постройте образ данного пятиугольника ABCDE при осе-
вой симметрии, отображающей точку Л на точку D.
102. На сторонах угла отложены конгруэнтные отрезки, при-
чем расстояния от вершины угла до отрезков различны. Постройте
оси двух симметрий, последовательное использование которых ото-
бразит один из отрезков на другой.
103. Установите, какие из графиков функций симметричны отно-
сительно оси Оу: у = | х|, у = х, у = х2, у — х2 + 1, у = (х — I)2,
у = х3 + 2, у = х2 + х, у = | х — 21.
104. Как с помощью осевой симметрии получить графики функ-
ций: у = | х|, у = | 2х' + 31, у — | ах2 4- Ьх + с| соответственно из
графиков функций: у = х, у — 2х + 3, у = ах2 + Ьх + с?
105. Четырехугольник ABCD имеет прямую АС осью симметрии.
Какие пары его сторон должны быть конгруэнтными? Могут ли
все его стороны быть конгруэнтными? Дополните условие так, что-
бы это предложение не имело места.
106. Начертите четырехугольник ABCD так, чтобы прямые,
которым принадлежат диагонали этого четырехугольника, были
его осями симметрии. Если четырехугольник имеет и другие оси
симметрии, то каково их взаимное расположение?
107. Начертите четырехугольник, который имеет только одну
ось симметрии, причем ни одна из диагоналей не принадлежит оси.
108. Начертите четырехугольник с двумя осями симметрии,
причем диагонали не принадлежат осям. Будут ли оси симметрии
взаимно перпендикулярными?
109. Прямые AC, BD и т являются осями симметрии четырех-
угольника ABCD. Каково взаимное расположение прямой т и
сторон четырехугольника? Имеет ли он другие оси симметрии?
15
110. Даны прямая I и отрезки АВ и CD, расположенные в раз-
личных полуплоскостях с границей I. Постройте на этих отрезках
такие точки X и Y, что S, (X) = Y.
111. Постройте на данных окружности и прямой точки, являю-
щиеся соответственными при симметрии с заданной осью I. Найдите
такое расположение окружности и прямой, чтобы задача имела
0, 1, 2 решения.
112. Даны прямая I и две окружности, расположенные в раз-
личных полуплоскостях с границей /. Постройте точки, симметрич-
ные относительно прямой I и принадлежащие данным окружностям.
113. Постройте такие множества точек, которые симметричны
относительно данной прямой и являются соответственно подмно-
жествами данных окружности и треугольника.
114. Дан угол АВС и прямая s, пересекающая стороны угла
АВС (В £ s). Постройте точки, симметричные относительно прямой
s и принадлежащие лучам ВА и ВС.
115. Не строя самих прямых, определите координаты точек,
симметричных относительно оси- Ох и принадлежащих прямым у =
= 2х Д 3 и у — —Зх Д 1.
116. Запишите координаты точек, симметричных относитель-
но оси Оу и лежащих на прямых у = — Зх Д 5 и у = 7х — 4.
117. Найдите на прямых у = 2х — 1 и у = —5х + 3 точки,
симметричные относительно биссектрисы I и III координатных
углов.
118. Запишите координаты точек, симметричных относительно
оси Ох (оси Оу) и принадлежащих прямой у = 2х Д 5 и кривой
у = х2 + Зх — 1.
119. Даны две окружности и прямая. Постройте равносторон-
ний треугольник так, чтобы две его вершины принадлежали окруж-
ностям, а одна из высот — данной прямой.
120. Дан треугольник АВС и внутри него точка М. Постройте
равнобедренный треугольник с вершиной в точке М, основанием,
параллельным (АВ), и двумя другими вершинами, принадлежащи-
ми [ЛС] и [ВС].
121. Даны прямая I, прямая а и окружность F. Постройте квад-
рат так, чтобы две его вершины принадлежали прямой I, а две
другие — прямой а и окружности F.
122. Постройте произвольную прямую и отметьте две точки, не
лежащие на ней. Найдите на прямой такую точку, чтобы разность
расстояний от этой точки до двух данных точек была бы наибольшей.
Указание. Сначала рассмотрите случай, когда точки лежат
по одну сторону от прямой, затем — по разные.
123. На данной прямой найдите такую точку, чтобы сумма рас-
стояний от этой точки до данных двух точек была бы наименьшей.
124. Дана прямая и две точки Л и В, расположенные по одну
сторону от нее. Найдите на прямой такую точку С, чтобы треуголь-
ник ЛВС имел наименьший периметр.
125. Дан угол и точка М, не принадлежащая углу. Проведите
16
прямую, которая содержала бы jr «
точку М и отсекала от сторон угла •
конгруэнтные отрезки.
126. На рисунке 29 изображен
пруд, ширина АВ которого равна *5 ‘Г
10 м. Какую часть (в метрах) от- . о
ражения в пруду фабричной тру- 7______________X
бы увидит наблюдатель, находя-
щийся в точке S? Рис. 29
127. Точки А, В, С принадле-
жат внутренней области полосы с краями /х и /2. Постройте замк-
нутую ломаную AKBCLA наименьшей длины (К € llt L € 1^).
128. Впишите в данный острый угол треугольник наименьшего
периметра так, чтобы две его вершины были на сторонах угла, а
третья — в данной точке внутренней области угла.
129. Дан угол АВС и внутри него точка М (АВС = 30°, | ВЛ! | =
= 10 см). Впишите в данный угол треугольник наименьшего пери-
метра с вершиной в точке М и вычислите периметр этого треуголь-
ника.
130* . Дан угол АОВ и внутри него точки М и К. Соедините эти
точки ломаной линией наименьшей длины так, чтобы две ее верши-
ны лежали на сторонах угла АОВ.
131* . Дана выпуклая ломаная линия Л0Л1Л2 ... Ап и точки Л и
В, расположенные в той же полуплоскости с границей (ЛП_1Л,,),
что и-данная ломаная. Постройте вписанную ломаную АВХВ2 ...
ВпВ наименьшей длины (точки В1г В2, ... , Вп лежат на звеньях
данной ломаной линии).
132. На биссектрисе внешнего угла ВСК треугольника АВС
взята произвольная точка Сх. Докажите, что | С А | + |СВ| <
<| СХЛ | +| СХВ|.
133* . Докажите, что из всех равновеликих треугольников с
общим основанием наименьший периметр имеет равнобедренный
треугольник.
134. Известно, что р ± I, Sp (Л) = Ль S, (Л^ = Л2. Докажи-
те, что прямая Л Л 2 содержит точку О, где О = р (] I.
135. Окружность, центром которой является точка биссектрисы
данного угла, пересекает стороны этого угла в точках Л, В и С, D.
Докажите, что [ЛВ] [СО], [ЛО] [ВС], (ЛС) || (ВО).
136*. Дан угол с вершиной в точке Л и точка М, принадлежа-
щая одной из его сторон. Найдите на другой стороне этого угла
такую точку В, что сумма расстояний от точки Р до точек М и А
равна длине данного отрезка.
137. На высоте ВО треугольника ЛВС имеется точка /С такая,
что | А/fl = 17<С|. Докажите, что треугольник ЛВС равнобедрен-
ный.
138. Фигура F является объединением равнобедренного тре-
угольника АВС (| ЛВ| =| ВС|) и равносторонних треугольников
17
АВР и BCQ (Д АРВ П А АВС = [ЛВ], Д BCQ П Д АВС =
= [ВС]). Докажите, что: a) (PQ) перпендикулярна биссектрисе
угла В; б) [PC] s [СИ].
139*. Дана одна из вершин треугольника и две прямые, кото-
рым принадлежат биссектрисы_этого треугольника, не содержащие
данной вершины. Постройте этот треугольник.
140. Постройте равнобедренный треугольник по углу при вер-
шине и разности боковой стороны и основания.
141. Постройте треугольник по разности двух его Сторон и
углам, противолежащим им.
142. Докажите, что треугольники конгруэнтны, если сторона,
прилежащий к ней угол и разность двух других сторон одного
треугольника конгруэнтны соответствующим элементам другого.
143. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сум-
ме катетов.
144. Докажите, что два прямоугольных треугольника кон-
груэнтны, если сумма гипотенузы и катета и угол между ними од-
ного треугольника конгруэнтны соответствующим элементам друго-
го треугольника.
145. Постройте треугольник по стороне, сумме двух других
сторон и углу, противолежащему одной из них.
146. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней
углу и разности двух других углов.
147. Докажите, что треугольники конгруэнтны, если две сто-
роны и разность противолежащих им углов одного треугольника
конгруэнтны соответствующим элементам другого треугольника.
148. Замените многоточие фразами: «необходимо и достаточно»,
«необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо».
Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником ... , чтобы
прямые, содержащие середины противоположных сторон четырех-
угольника, были его осями симметрии.
149. Верны ли утверждения:
а) для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходи-
мо, чтобы его диагонали принадлежали биссектрисам его углов;
б) для того чтобы четырехугольник был квадратом, достаточ-
но, чтобы его диагонали принадлежали биссектрисам его углов;
в) для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходи-
мо и достаточно, чтобы его диагонали были конгруэнтны и при-
надлежали биссектрисам его углов.
150. Будет ли четырехугольник ромбом, если диагонали этого
четырехугольника принадлежат прямым, являющимся его осями
симметрии.
151. Докажите, что параллелограмм, диагонали которого вза-
имно перпендикулярны, есть ромб. Верно ли обратное утвержде-
ние? Сформулируйте теорему с использованием слов: «необходимо»
и «достаточно».
152. Верны ли утверждения:
а) для того чтобы параллелограмм был квадратом, необходимо
18
и достаточно, чтобы диагонали параллелограмма были взаимно
перпендикулярны;
б) для того чтобы параллелограмм был прямоугольником,
необходимо и достаточно, чтобы прямая, содержащая середины
двух противоположных сторон параллелограмма, была его осью
симметрии.
153. Постройте четырехугольник, если известны его четыре
стороны и что диагональ принадлежит биссектрисе его угла.
154. Докажите, что прямая, содержащая перпендикуляр, про-
веденный к основанию равнобочной трапеции через ее середину,
является осью симметрии этой трапеции.
155. Докажите, что прямая, содержащая середины оснований
равнобочной трапеции, перпендикулярна основаниям. Верно ли
обратное утверждение: прямая, перпендикулярная основаниям рав-
нобочной трапеции, содержит середины этих оснований?
156. Докажите, что если прямая, содержащая середины осно-
ваний трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равно-
бочная. Верно ли обратное утверждение? Сформулируйте теорему
с использованием слов «необходимо» и «достаточно».
157. Докажите, что точка пересечения прямых, которые содер-
жат боковые стороны равнобочной трапеции, точка пересечения
ее диагоналей и середины оснований трапеции принадлежат одной
прямой.
158. На боковых сторонах АВ и CD равнобочной трапеции
ABCD вне ее построены равносторонние треугольники АВМ и
CDK. Докажите, что а) (МК) || (ЛВ),[Л4В] ~ [Л7<]; б) Е = (МА) П
п (KD), Р = (АВ) (] (CD), О = [ЛС] (] [ВО] принадлежат одной
прямой.
159. Докажите, что прямая, содержащая середины двух парал-
лельных хорд окружности, проходит через ее центр.
160. Докажите, что всякая трапеция, вписанная в окружность,
равнобедренная.
161. Пересечением окружности с центром О и трапеции ABCD
([Л В] и [CD]— ее боковые стороны) является {Л; В; С; D}. До-
кажите, что (АВ) (] (DC), [ЛС] (] [BD] и точка О принадлежат
одной прямой.
162. В окружности, центр которой не указан,
проведены две параллельные, но не конгруэнтные |Л
хорды. Пользуясь только одной линейкой, разделите
эти хорды пополам. ----*
163. Докажите, что три окружности, центры ко- [
торых не принадлежат одной прямой, могут иметь не I , )
более'одной общей точки. V О J
164. С помощью одного циркуля постройте точки
пересечения прямой АВ с окружностью (рис. 30).
165*. Даны две точки Л и В и прямая I, разделяю- I
щая их. Проведите прямые а и b так, чтобы угол меж-
ду ними делился бы прямой I пополам и Л € «, В С Ь. рис. 30
19
166*. Даны две прямые а и b и на одной из них (прямой а) точ-
ка А. Найдите на тон же прямой такую точку С, чтобы расстояние
от нее до прямой b было равно | ЛС|.
167. Каким перемещением является композиция двух осевых
симметрий с общей осью?
168*. Даны три точки А, В, С и три точки А', В', С, такие, что
| АВ\ — | А'В’ |, |ЛС| = | А'С\ и | £?С| = | В'С' |. Существует ли
перемещение, являющееся композицией осевых симметрий, при
котором А -> Д', В -> В', С —> О'?
169*. Докажите, что отображение: (х; у) -> (х; —у) является
перемещением.
170*. Докажите, что отображение: (х;у)->(х;—у) переводит
окружность в окружность.
* * *
Для решения первых 70 задач достаточно тех знаний, которые
получены при изучении курса математики V класса. При решении
задач 1—15 устанавливается, какие из рассматриваемых фигур
имеют оси симметрии и сколько. Причем при решении первых двух-
трех задач наличие у фигур осей симметрии устанавливается с по-
мощью перегибания листа бумаги, при решении последующих задач
следует давать ответы, не прибегая к непосредственному перегиба-
нию, а производить эту операцию мысленно.
Полезна задача 12, где требуется сначала распознать среди мно-
жества фигур симметричные фигуры, а затем достроить указанную
фигуру так, чтобы она имела одну, две, четыре оси симметрии.
В качестве осей симметрии можно выбирать различные прямые,
достраивание осуществляется на основе зрительных представлений
о симметричных фигурах.
При решении последующих задач (16—31) выявляют некоторые
свойства осевой симметрии и создается база для определения осе-
вой симметрии. Так, при решении задач 16—17 устанавливается,
что точки оси симметрии симметричны .сами себе, две симметричные
относительно прямой р точки лежат в различных полуплоскостях
с границей р. Решения последующих задач позволяют сделать вы-
воды, что точка пересечения двух прямых, симметричных относи-
тельно некоторой прямой, принадлежит этой прямой; биссектриса
угла принадлежит его осн симметрии; ось симметрии перпендику-
лярна прямой, содержащей симметричные относительно этой оси
точки, и делит отрезок, определяемый симметричными точками,
пополам. Последнее свойство используется при построении образов
фигур при осевой симметрии.
Задачи 28—34 имеют целью привлечение координатного метода
к изучению осевой симметрии. Задача 34 является обобщением ука-
занных задач, при ее решении подводится итог: симметрия с осью
Ох отображает точку А (а\ Ь) на точку А' (а; —Ь), симметрия с
осью Оу отображает точку В (х; у) на точку В' (—х; у).
20
Следующая серия задач предназначена для формирования уме-
ния строить образы различных фигур при осевой симметрии.
При решении этой серии задач следует обращать внимание на
рационализацию построений. Например, при построении образов
углов можно выполнить построение образа вершины этого угла и
использовать свойство точек оси симметрии. При построении обра-
зов углов полезно обратить внимание на следующий факт: осевая
симметрия изменяет «обход» сторон угла. Этот вывод справедлив
для всех фигур. Усвоение этого свойства осевой симметрии осуще-
ствляется при решении задач 41—43, 45.
Задачи 49—51 решаются на клетчатой бумаге, причем в задачах
50—51 требуется только нарисовать фигуру, всякие же построения
осуществляются мысленно.
Задача 54 позволяет утверждать, что любые две точки Л (а; Ь)
и А’ (а; —Ь) являются симметричными относительно оси Ох (ре-
зультат, обратный результату задачи 34). Полученный результат
используется при решении задач 55,- 56. Из решения задач 34 и 54
следует, что симметрия с осью Ох есть отображение плоскости:
X (х> У) -*• X' (х; —у), а симметрия с осью OY есть отображение:
X (х; у) -> X' (—х; у).
Координатная запись осевой симметрии используется при реше-
нии задач на композицию перемещений.
Следующая группа задач (59—85) способствует развитию умения
«видеть» соответственные элементы на соответствующих образах.
Причем решение подобных задач способствует и воспитанию идеи
отображения плоскости на себя. Это весьма важная группа задач,
решению которых следует уделить самое серьезное внимание.
В процессе решения этих задач должен быть усвоеи следующий
факт: если Sp (Ф) = Ф' и А С Ф, то А' С Ф', где А' = Sp (Л).
Эта идея проводится при решении последующих задач. При этом
осуществляется знакомство с новыми фактами, например с построе-
нием суммы, разности двух сторон треугольника с помощью осевс й
симметрии, которые, в свою очередь, используются в дальнейшем.
Идея координатного метода получает дальнейшее развитие при
решении задач 77—81. При решении задачи 77 устанавливается,
опираясь на решение задачи 54, что образом прямой при осевой сим-
метрии является прямая. Задачи 78—80 готовят учащихся к реше-
нию задачи 81, которая подчинена той же идее, что и предыдущие
задачи.
Задачи 86—104 предназначены для формирования умения
строить ось симметрии и дальнейшего развития представления о
свойствах оси симметрии. Задачи этого вида являются обратными
задачам на построение образов фигур, причем в эту группу включе-
ны и задачи, для решения которых используются «прямые» и «об-
ратные» действия.
Следующая группа задач предназначена для формирования
умения строить симметричные точки на произвольных фигурах.
При решении этой группы задач используются умения, приобретеи-
'21
ные при решении задач предыдущих групп. В качестве примера
рассмотрим решение задачи 111. Оно заключается в следующем:
1) строим прямую а', такую, что а' = S, (а)-, 2) находим точки
пересечения данной окружности и прямой а'; 3) строим точки, сим-
метричные найденным точкам относительно прямой I. Пункт (1)
включает в себя умение строить образы фигур, пункт (3)— умение
строить симметричные точки на симметричных фигурах, весьма
важным является и умение «видеть» ось симметрии.
Задачи этого вида способствуют и развитию исследовательских
навыков: изменяя расположение данных фигур, будем получать
различное число решений.
При решении* задач 115—118 координаты симметричных точек,
принадлежащих данным фигурам, находятся аналитически.
Задачи 119—168 решаются с использованием свойств осевой
симметрии при изучении различных тем. Например, при изучении
темы «Окружность» решаются задачи, связанные с доказательством
свойств окружности, т. е. задачи 159—165. Полезны задачи, при
решении которых используются как свойства осевой симметрии,
так и признаки конгруэнтности треугольников (задачи 142—147).
Задача 94 знакомит учащихся с характеристическим признаком
осевой симметрии, который используется при решении задач 95, 99.
Задача 170 является упражнением на применение координатной
записи осевой симметрии.
§ 2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
171. Каким отображением является отображение, обратное
центральной симметрии?
172. Постройте точки, симметричные точкам А (3; —2), В (0; 5)
и С (—2; —4) относительно начала координат. Запишите их коор-
динаты.
173. Известно, что точка А отображается симметрией относи-
тельно начала координат на точку А' (—3; 4). Каковы координаты
точки А?
174. Точки В (3; ...) и В' (... ; —1) симметричны относительно
начала координат. Восстановите пропущенные координаты точек.
175. Точка А имеет координаты (а; Ь). Какие координаты
имеет точка, симметричная точке А относительно начала коор-
динат?
176. Точка А (—3; 4) отображается осевой симметрией с осью
Оу на точку А', которая, в свою очередь, отображается осевой сим-
метрией с осью Ох на точку А". Запишите координаты точек
177. Докажите, что точки А (а; Ь) и А' (—а; —Ь) можно отобра-
зить друг на друга центральной симметрией с центром в начале
координат.
22
178. Выберите из данного множества точек {(—1; 5),
(3; —2), (0; 0), (5; 1), (1; —5), (7; 0), (—3; 2)} такие точки, кото-
рые попарно симметричны относительно начала координат.
179. Точка А имеет координаты (а; Ь). Запишите координаты
точки, симметричной точке А относительно начала координат, и
точки, полученной из точки А в результате композиции симметрий
относительно осей Ох и Оу. Сравните полученные результаты.
180. Отметьте произвольную точку О и постройте А' = Zo (А).
Проведите через точку О произвольную прямую и постройте
Л = 5/, (А).
Что вы можете сказать о расположении прямой и оси симмет-
рии точек А’ и Лг?
181. Можно ли центральную симметрию представить компози-
цией двух осевых симметрий? Сколькими способами это можно
сделать?
182. Точка Р перемещается по окружности по часовой стрелке.
В каком направлении будет перемещаться Р’ = Zo (Р)?
183. Постройте образ данного отрезка при симметрии с центром
* в заданной точке О (рассмотрите случаи, когда точка О не принад-
лежит отрезку; является внутренней точкой отрезка; является од-
ним из концов отрезка).
184. Дана прямая а. Постройте а' = Zo (а) (точка О принадле-
жит прямой; не принадлежит прямой).
185. Существуют ли прямые, отображающиеся центральной сим-
метрией на себя?
186. Постройте образ данного луча при симметрии с центром в
заданной точке О.
187. Существуют ли лучи, отображающиеся центральной сим-
метрией на себя? А точки?
188. Постройте угол, симметричный данному углу относительно
точки О (рассмотрите случаи, когда точка О является вершиной
угла; принадлежит стороне угла; не принадлежит углу; является
внутренней точкой угла).
189. Луч В'С симметричен лучу ВС относительно точки О.
Как построить с помощью транспортира и линейки угол, симметрич-
ный углу АВС относительно точки О?
190. Укажите (рис. 22):
а) точки, симметричные точкам Аг и В3 относительно точки
В3;
б) отрезок, на который отображается отрезок в результате
последовательного отражения его от точек В3 и С4;
в) центр симметрии отрезков A4A2 и С2С3.
191. Какие из отрезков С2С3, B3Bit А2В3 можно отобра-
зить друг на друга центральной симметрией? Укажите центры сим-
метрий (рис. 22).
192. Какие из треугольников В3В.гС3, А^В5А5 и В4Д4В5 (рис. 22)
можно отобразить друг на друга центральной симметрией? Ука-
жите центры этих симметрий.
23
В 193. Сколько существует центральных спм-
метрий, отображающих прямую АХА5 на пря-
/ \ мую CXCJ Чем является множество центров
/ } с симметрий (рис. 22)?
194. Постройте треугольник, симметрич-
но , иый данному относительно точки пересечения-
I -—-''П'*' его медиан (высот). Покажите: фигуру, явля-
/ ющуюся объединением данного треугольника
и его образа; фигуру, являющуюся пересече-
д* нием данного треугольника и его образа.
с 195. Zo ([ДС]) = [Д'С'] (рис. 31), X- ВАС
p,ic 31 Z. В'С'А', 2_ ВСА Z-B'А'С. Симметрич-
ны ди треугольники АВС и А'В'С относитель-
но точки О? Будут ли они конгруэнтными?
195. Постройте произвольный прямоугольник и его образ при
симметрии с центром в точке пересечения его диагоналей. Какая
фигура является пересечением (объединением) данного прямо-
угольника и его образа?
197*. Является ли тождественное отображение центральной
симметрией?
198. Какие фигуры, изображенные на рисунке 1, имеют центр
симметрии?
199. Достройте фигуру, изображенную на рисунке 1, а, так,
чтобы опа имела центр симметрии.
200. Достройте фигуры, изображенные на рисунке 32, так,
чтобы точка О была их центром симметрии. Выполните построения
с помощью одной линейки. Какие из полученных в результате до-
страивания фигур имеют оси симметрии?
201. Фигура, изображенная на рисунке 33, имеет точку О цент-
ром симметрии. Какие линии можно убрать, чтобы оставшаяся
фигура также имела точку О своим центром симметрии?
202. Нарисуйте фигуры, являющиеся объединением данной
фигуры (рис. 34) и ее образа при симметрии с центром в точке О.
Какие из полученных фигур имеют оси симметрии?
Рис. 32
24
203. Выберите из множества цифр {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
те, которые имеют центр симметрии.
204. Известно, что фигура имеет две перпендикулярные оси
симметрии. Следует ли из этого, что фигура имеет и центр симмет-
рии? Верно ли обратное утверждение?
205. Постройте круг радиуса Зсм с центром в произвольной
точке О и его образ при симметрии с центром Р (точка Р принадле-
жит кругу; не принадлежит кругу; является его центром). В каж-
дом случае выделите фигуры, являющиеся пересечением (объедине-
нием) данного круга и его образа.
206. В каких парах фигур, изображенных на рисунке 35, можно
одну фигуру получить из другой симметрией относительно точки О?
207. Известно, что [А'В'] = Zo ([ЛВ]) (рис. 36). Как построить
точки, соответствующие точкам Л4 и А/', с помощью одной линейки,
одного циркуля?
208. Отметьте на центрально-симметричных лучах (задача 186)
по точке и постройте их образы при данной симметрии.
209. Zo (I) — /' (рис. 37). Укажите образы точек А и В; про-
образы точек 7И и К.
210. Zu (а) — а’. Каково взаимное расположение прямых а и а'?
211. Отметьте на центрально-симметричных окружностях
25
Рис. 38
(задача 205) по точке и постройте точки, им
соответствующие при данной симметрии.
212. Отметьте на сторонах центрально-
симметричных треугольников (задача 194) по
точке и постройте образы этих точек при дан-
ной симметрии.
213. Отрезок А'В' является образом от-
резка АВ при симметрии, центр которой не
указан (рис. 38). Как построить образ точ-
ки К при симметрии, отображающей [ДВ] на
[Д'В'] с помощью: а) циркуля, б) транспорти-
ра и линейки?
214. Постройте [ДБ] и его образ при
центральной симметрии, отображающей точ-
ку А на данную точку А'. Отметьте точку К,
не принадлежащую [ДВ), и постройте ее об-
раз с помощью линейки и угольника.
215. Постройте две конгруэнтные окруж-
ности й найдите центр симметрии, отобража-
ющей одну из них на другую. Отметьте точ-
ку, не принадлежащую построенным окруж-
ностям, и постройте ее образ с помощью од-
ной линейки.
216. Zo (Л АВС) = Л А'В'С (рис. 39). Как с помощью одной
линейки построить точку пересечения высот треугольника А'В'С,
если М есть точка пересечения высот треугольника АВС?
217. Прямая задана уравнением Ах -ф By + С = 0. Запишите
уравнение линии, симметричной данной прямой относительно нача-
ла координат.
218. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой у =
= 2х + 5 относительно начала координат.
219. Известно, что прямые у = Зх + ... и у = ... х + 4 сим-
метричны относительна начала координат. Поставьте пропущен-
ный коэффициент и свободный член в их уравнения.
220. Установите, что прямые у = ах + b и у = ах — b можно
отобразить друг на друга симметрией относительно начала коор-
динат.
221. Выберите из множества прямых {у = Зх + 1; у = —у+1;
у = J-x — 4; у = 5; у = —5; у = —2х + 3; у =-^-х + 4) пары
5 5 J
прямых, симметричных относительно начала координат.
222. Прямая у — —2х + 3 отображена симметрией с центром
в начале координат на некоторую прямую. При этом точка М, при-
надлежащая прямой у = —2х + 3, отображена на точку М' (—3; Ь).
Определите координаты точки М.
223. Скопируйте рисунок 40 на прозрачную бумагу и укажите
центр симметрии фигур F и F' на глаз.
26
224. Сколько центров симметрий имеет прямая,
отрезок, луч, две пересекающиеся прямые, полоса?
225. Даны две прямые а и Ь. Как установить, па-
раллельны ли они?
226. Будет ли фигура, являющаяся объедине-
нием полосы и прямой, не принадлежащей ей, иметь
центр симметрии?
227. Постройте два отрезка АВ и CD, таких, что
[ЛВ] || [CD], | АВ\ = |CD|. Найдите центр симмет-
рии, отображающей один из этих отрезков на другой.
228. Какому условию должны удовлетворять два
луча, чтобы один из них можно было бы получить
из другого с помощью центральной симметрии?
Начертите два луча, удовлетворяющих этому ус-
ловию, и постройте их центр симметрии.
229. Начертите два угла, таких, что один из них
может быть получен из другого с помощью цептраль-
F'
Рис. 40
ной симметрии, и постройте центр симметрии.
230. Четырехугольник ABCD является пересечением двух по-
лос. Верно ли утверждение: середина отрезка АС является центром
симметрии четырехугольника ABCD?
231. В каком случае имеет центр симметрии фигура, являющаяся
объединением окружности и точки?
232. Начертите [ЛВ] и из его концов проведите [ЛХ) и [ВУ) так,
чтобы фигура F = [ЛВ] U [ЛХ] J [ВУ] имела: а) центр симмет-
рии; б) центр симметрии и ось симметрии.
233. Отметьте три точки Л, В и С. Дополните это множество
четвертой точкой D так, чтобы фигура F = {Л; В; С; D} имела
центр симметрии. Рассмотрите все возможные случаи.
234. Может ли треугольник иметь центр симметрии?
235. Постройте произвольный шестиугольник, который имел
бы центр симметрии. Что вы можете сказать о сторонах этого ше-
стиугольника?
236. Установите, какие из графиков функций симметричны от-
носительно начала координат: у = х + 3; у = х2; у = (х + I)2;
у = х2 — 3; у = х3; у = х3 — 2; у ~ х.
237. Даны прямые а, р и точка О. Постройте на данных прямых
такие точки X и У, что Zo (X) = У.
238. Даны прямая, отрезок и точка О. Постройте отрезок так,
чтобы его концы принадлежали данным прямой и отрезку, а точка О
была бы его серединой.
239. На данных луче и отрезке постройте такие точки, которые
отображаются друг на друга симметрией с центром в данной точ-
ке О. Найдите такое расположение фигур, чтобы задача имела бес-
численное множество решений.
240. Даны окружность, прямая и точка О. Укажите точки,
симметричные относительно центра О и принадлежащие данным
окружности и прямой.
27
241. На сторонах данного треугольника и данном отрезке по-
стройте такие точки, которые могут быть получены одна из другой
симметрией относительно данной точки. Укажите такое располо-
жение фигур, чтобы задача имела одно решение.
242. Даны две окружности и точка О. Найдите на этих окруж-
ностях точки, симметричные относительно центра О.
243. Постройте точки, симметричные относительно данного
центра и принадлежащие сторонам данного треугольника и данной
окружности. Найдите такое расположение фигур, чтобы задача
имела наибольшее число решений.
24 4.. Постройте произвольный угол и отметьте какую-либо точ-
ку О этого угла, не принадлежащую его сторонам. На сторонах
угла найдите такие точки X и Y, что [OX) (J [ОУ) = (ХУ) и
|ОХ| = |ОУ |.
245; {А, В)— пересечение двух окружностей. Проведите пря-
мую AM так, чтобы | AD | = | С А |, где D и С — точки пересечения
(АЛ1) с данными окружностями.
246. Верно ли утверждение: если прямая, пересекающая кон-
груэнтные окружности с центрами (R и О2, содержит середину
отрезка (\О2, то окружности высекают на этой прямой конгруэнтные
хорды?
247. На одном пз краев полосы взята пара точек А и В, а на
другом — пара точек С и D так, что | АВ\ = | CD| и [АВ) ft [CD).
Докажите, что О — [AD] (~| [ВС] является серединой каждого из
этих отрезков.
248. В треугольнике АВС проведены медианы AAlt ВВ± и CClt
пересекающиеся в точке М. Точки Р, Q и R являются соответствен-
но серединами отрезков AM, ВМ и СМ. Докажите, что Д А^^ Qi
& Д PQR.
249. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане к
третьей стороне. В каких пределах может изменяться длина медиа-
ны, если длины сторон треугольника равны а и Ь?
250. Точки М, N, К являются серединами отрезков, одним кон-
цом которых является вершина треугольника АВС, а другим —
течка пересечения его медиан. Докажите, что треугольник, верши-
нами которого являются точки пересечения прямых, содержащих
течки М, N и К и параллельных соответствующим сторонам тре-
угольника АВС, конгруэнтен треугольнику АВС.
251. Для того чтобы четырехугольник был...................
необходимо и достаточно, чтобы он имел центр симметрии. Вместо
многоточия поставьте вид четырехугольника.
252. Верны ли высказывания: а) чтобы четырехугольник был
ромбом, необходимо, чтобы он имел центр симметрии;
б) чтобы четырехугольник был ромбом, достаточно, чтобы он
имел центр симметрии;
в) чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточ-
но, чтобы он имел центр симметрии.
Дополните утверждение в) так, чтобы оно было верным.
23
253. Даны две окружности и точка Р. Постройте параллело-
грамм так, чтобы его вершины принадлежали данным окружностям,
а точка Р являлась пересечением диагоналей параллелограмма.
254. Прямая, содержащая точку пересечения диагоналей па-
раллелограмма A BCD, отсекает на его сторонах отрезки BE и DF.
Докажите, что эти отрезки конгруэнтны.
255. Разделите параллелограмм на две равновеликие части.
256. Две прямые, содержащие точку пересечения диагоналей
параллелограмма, пересекают его стороны соответственно в точках
М и L, N и К- Докажите, что четырехугольник MNLK — парал-
лелограмм.
257. Через противоположные вершины параллелограмма ABCD
проведены две пары взаимно параллельных прямых, которые обра-
зуют новый параллелограмм. С полученным параллелограммом
вновь производят такое же построение и т. д. Докажите, что все
полученные таким образом параллелограммы имеют один и тот же
центр симметрии.
258. В параллелограмме ABCD проведены прямые AAi и ССХ
так, что/МД = (ДСВ (Д С [CD], Сг € [ЛВ]). Докажите, что четы-
рехугольник ДДСД— параллелограмм.
259. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены
равносторонние треугольники так, что пересечением каждого из
них с параллелограммом является соответственно [Л В] и [CD].
Докажите, что вершины треугольников и точка пересечения диаго-
налей параллелограмма принадлежат одной прямой. Будет ли это
утверждение справедливо, если треугольники будут разносторон-
ними и конгруэнтными?
260. Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелограм-
ма ABCD. Докажите, что четырехугольник, вершинами которого
являются точки пересечения медиан треугольников О АВ, О ВС,
OCD и ODA, есть параллелограмм.
261. На сторонах угла от его вершины О отложены отрезки О А
и ОВ равной длины, серединами которых являются соответственно
точки (Д и 02. Zo, (М) = АД, Zo, (М) = М2, где М — точка угла
АОВ. Докажите, что [ЛДЛД] [ЛВ]. Будет ли утверждение спра-
ведливо, если точка /И не принадлежит углу АОВ?
262. Olt О2 и О3 — середины сторон треугольника ABC. Zo, (М)=
= Zo, (М) — М2, Zo, (М) = Л13, где М — произвольная точка.
Будет ли треугольник ЛДАДЛД конгруэнтен треугольнику АВС?
Можно ли А ЛДАДЛД отобразить на А АВС центральной симмет-
рией? Если да, то найдите центр этой симметрии.
263. Справедливо ли утверждение: точки, симметричные произ-
вольной точке М относительно середин сторон четырехугольника,
являются вершинами параллелограмма?
264. Дан треугольник АВС и точка М. Olf О2, 03 — середины
отрезков АВ, ВС и AC. Zo, (М) — АД, ZB, (ЛД) = Л12, Zo, (АД) —
= Л13. Докажите, что Za (Ms) = М.
. 29
265. Постройте треугольник, зная середины его сторон.
266*. Постройте пятиугольник, зная середины его сторон.
267. Замените многоточие словами: «необходимо и достаточно»,
«необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо».
Для того чтобы замкнутая линия была окружностью..., чтобы она
имела центр симметрии.
268. Прямая, содержащая точку К» в которой касаются две
конгруэнтные окружности, пересекает окружности в точках А и В.
Докажите, что | Д/<| = |/<В|.
269. Две конгруэнтные окружности касаются в точке К. Цве
прямые, содержащие точку К, пересекают первую окружность,
кроме точки К, в точках А и С и вторую — в точках В и D. Дока-
жите, что (ДО) || (BD) и [ДО] = [ВО].
270. Из концов диаметра АВ окружности с центром О проведены
противоположно направленные лучи, касающиеся окружности.
На этих лучах отмечено по точке К и Мтак, что | Д/<| = | ВМ\.
Докажите, что [О/<] J [ОЛ4) — (КМ).
271. Две конгруэнтные окружности Ох и О2 касаются в точке /<.
Три прямые, содержащие точку К, пересекают окружности OL и
О2, кроме точки К, соответственно в точках А, В, С и D, Е, F. До-
кажите, что треугольники АВС и DEF конгруэнтны.
272. Из концов диаметра ВС окружности с центром О проведены
две хорды В А и CD так, что (В A) f] (CD) = 0. Докажите, что
[ОД) ’U [ОО) = (ДО) и |О0| - | О А |.
273. Около окружности описан шестиугольник с параллельны-
ми противоположными сторонами. Докажите, что противополож-
ные стороны этого шестиугольника конгруэнтны.
274*. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
ABCDEF попарно параллельны и конгруэнтны. Какую часть
площади шестиугольника составляет площадь треугольника ДС£?
275*. На окружности даны точки Д и В, на прямой I дана точ-
ка 7И. Найдите па окружности такую точку X, чтобы прямые АХ
и ВХ пересекали прямую I в точках, находящихся на равных рас-
стояниях от точки М.
276*. Через точку М угла АВС, не принадлежащую его сторо-
нам, провести секущую так, чтобы получился треугольник наи-
меньшей площади.
277. Известно, что перемещение, отличное от тождественного
отображения, оставляет точку А на месте, а прямые, содержащие
точку Д, отображает на себя. Является ли это перемещение цент-
ральной еимметрией?
278. Верно ли утверждение Zo ° Zo ~ Е?
279. Докажите, что SOx ° Zo = SOy , где (Ох) ± (Оу).
280. Докажите, что перемещение, отображающее всякий луч
на противоположно направленный с ним луч, есть центральная сим-
метрия.
281*. Докажите, что композиция трех центральных симметрий
есть центральная симметрия. Запишите этот факт в обозначениях.
30
282. Три различные конгруэнтные окружности Ох, О2 и О3
касаются попарно друг друга: Ot касается О2 в точке А; О2 касается
О3 в точке В; О3 касается Oj в точке С. Прямая /ь содержащая точ-
ку А, пересекает окружности Ot и О2 соответственно в точках Мг и
Л42. Прямая 12 содержит точку В и пересекает окружности О2 и О3
в точках М2 и М3. Прямая 13 содержит точку С и пересекает окруж-
ности О3 и Ох в точках Л13 и M'x. Докажите, что Л4Х и М\— концы
диаметра окружности Ох.
283. Верны ли утверждения: a) Sa ° Zo = Zo о Sa, где 0 € а;
б) Zo, ° Zo, = Zo, ° Zo,?
284. Докажите, что отображение: X (х; у) -> X' (—х\ —у) есть
перемещение.
285. Запишите векторное равенство, задающее центральную
симметрию.
* * *
Задачи 171—196 в основном предназначены для формирования
умения строить образы фигур при центральной симметрии. По-
строение образов фигур основывается на следующем свойстве цент-
ральной симметрии: если Zo (Д) = А', то | ОА | = | ОА' | и А' € (ОА).
Указанное свойство непосредственно следует из определения сим-
метрии относительно точки О как поворота около точки О на 180°.
Задачи 172—175 знакомят с тем фактом, что симметрия с цент-
ром в начале координат есть отображение: X (х; у) -> X' (—х; —у)
и обратно, всякое отображение плоскости на себя: X (х; у)
-> X’ (—х; —у) есть симметрия, центром которой является начало
координат (задачи 177—178). Использование координатной записи
центральной симметрии позволяет легко установить ее связь с осе-
вой симметрией, а именно: центральная симметрия есть компози-
ция двух осевых симметрий, оси которых перпендикулярны и со-
держат центр симметрии (задачи 176, 179—181).
Задачи 182, 185, 187, 190—193 могут быть использованы для
устного решения.
При решении задач 197—203 учащиеся знакомятся с фигурами,
имеющими центр симметрии. Полезны задачи на достраивание фи-
гур до фигур, имеющих центр симметрии, на распознавание цент-
рально-симметричных фигур (задачи 199, 200, 201, 202, 206). Не-
которые из этих задач решаются на клетчатой бумаге.
Следующая серия задач (207—214) предназначена для форми-
рования умения строить соответственные точки на заданных соот-
ветственных фигурах. Это важная группа задач, на которую сле-
дует обратить серьезное внимание.
В некоторых задаиах указаны средства построения, при реше-
нии других задач учащиеся могут сами выбирать средства построе-
ния. Следует обратить внимание на рациональность решения. На-
пример, образ данной точки (задача 211) получим как пересечение
образа окружности и прямой, содержащей центр симметрии и дан-
ную точку. При решении этих задач практически используются
31
изученные свойства симметрии. Например, выполняя построение
образа точки М (задача 207) с помощью линейки, учащиеся поль-
зуются следующими свойствами центральной симметрии: а) М и
Л4Х = Zo (А4) принадлежат одной прямой; б) Мх б [Л^], где
= Zo ([ЛВ]).
Последующая группа задач предназначена для формирования
умения строить центр симметрии данных фигур (задачи 223—236).
Решение некоторых задач включает выполнение построения как
образов фигур, так и центра симметрии (например, задачи 232, 233).
Решение таких комбинированных задач желательно.
Задачи 217—222 предназначены для использования координат-
ной записи центральной симметрии. Задача 217 позволяет утверж-
дать, что центральная симметрия отображает прямую на парал-
лельную ей прямую, причем результат получен аналитически.
При решении задач 238—243 формируется умение отыскивать
симметричные точки на произвольных фигурах.
Задачи 244 и далее решаются с использованием свойств цент-
ральной симметрии.
В конце параграфа приведены задачи на композицию несколь-
ких центральных симметрий (задачи 279, 280, 281,282, 283).,
Задача 284 решается с использованием формулы расстояний
между двумя точками координатной плоскости. Эта задача позво-
ляет аналитически показать, что отображение X (х; у) -> X' (—х,
—у), т. е. центральная симметрия, есть перемещение.
§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
286. Перечислите известные вам способы задания параллель-
ного переноса.
287. Постройте образы точек А (2; 5), В (0; —7), С (3; 0) при
параллельном переносе в направлении оси Ох на 3 ед. Запишите
координаты построенных точек.
288. Постройте точки, соответствующие точкам А (0; 2),
С (—3; 4), О (0; 0) при параллельном переносе в направлении оси
Оу на расстояние 5 ед. Запишите их координаты.
289. Параллельный перенос задан парой точек: О (0; 0)
-> М (—2; 0). Запишите координаты образов точек А (—3; 2),
В (4; 1), С (0; —3).
290. Известно, что образом точки А при параллельном перенос
се, отображающем О (0; 0) на Л( (3; 0), является точка А' (—5; 4).
Определите координаты точки А.
291. Точка М' (—2; 4) является образом точки М при парал-
лельном переносе, отображающем точку О (0; 0) на точку В (0; 2)-
Запишите координаты точки М.
292. Точка А (...; 4) отображается параллельным переносом
в направлении оси Ох на 1 ед. на точку А' (—3; ...). Восстановите
пропущенные координаты.
293. Точка В' (...; —3) является образом точки В (5; ...) при
32
параллельном переносе, отображающем точку О (0; 0) на точку
М (0; 2). Восстановите пропущенные координаты.
294. Установите, что одну из двух точек с одинаковыми орди-
натами можно отобразить на другую параллельным переносом в
направлении оси Ох.
295. Верно ли высказывание: «Одна из двух точек с одинаковы-
ми абсциссами может быть отображена на другую параллельным
переносом в направлении оси Оу»?
296. Дано множество точек {(1; 3), (—3; 7), (0; 2), (—2; 4),
(1; 4), (0; 7), (3; 2), (—2; 0)}. Выберите такие пары точек, что одна
точка пары может быть отображена на другую точку этой же пары
параллельным переносом в направлении оси Ох на 3 ед.
297. Из множества точек {(2; 0), (3; —1), (—5; 1), (0; 0), (—5; 3),
(0;—2), (I;—1), (3; 2)} выберите пары, в которых одна точка
может быть отображена на другую параллельным переносом в на-
правлении оси Оу на 2 ед.
298. Каким параллельным переносом можно отобразить точку
М (—3; 4) на точку М' (2; 4)? А точку М' на точку Л4?
299. С помощью какого параллельного переноса можно полу-
чить точку А (—3; —5) из точки В (—3; —7)? Запишите формулы
этого параллельного переноса.
3Q 0. Назовите несколько пар точек, в которых одну точку мож-
но отобразить на другую параллельным переносом: а) О (0; 0) ->
-> М (4; 0); б) О (0; 0) (—2; 0).
301. Сколько существует параллельных переносов, отображаю-
щих прямую на себя?
302. Расстояние между точками А и В равно 5 см. Чему равно
расстояние между точками А' и В', где А' = Т (А), В' = Т (В)?
303. Постройте множество точек {Ах, Blt Сх, ...}, симметричное
данному множеству точек {А, В, С, ...} относительно данной пря-
мой /х. Проведите прямую /2, параллельную прямой /х (/2 р /х =
— 0), и постройте {А2, В2, Сг, ...}, симметричное {Ах, Вх, Си ...}
относительно прямой /2. а) Равны ли |АА2|, | ВВ2|, | СС21 и т. д.?
б) Можно ли множество точек {А, В, С, ...} отобразить на множе-
ство точек {А2, Вг, С2, ...} параллельным переносом?
304. Известно, что Т (А) = А'. Постройте Ад = S/, (А), где
4 ± (АА')- Как расположены по отношению друг к другу прямая
/д и прямая /2, являющаяся осью симметрии точек Ах и А'? Чему
равно расстояние между прямыми /х и /2, если | АА'| = 10 см?
305. Можно ли параллельный перенос представить композицией
двух осевых симметрий? Сколькими способами это можно сделать?
306. Известно, что ДАХВХСХ = Т (Л АВС). Запишите соот-
ношения между соответственными основными элементами треуголь-
ников АВС и АХВХСХ.
307. Параллельный перенос задан парой точек: А -> А' (рис. 41).
Постройте образы данных отрезков при указанном переносе.
308. При каком условии можно отобразить один отрезок на дру-
гой при помощи параллельного переноса?
2 Заказ 431
33
Рис. 42
309. Задайте параллельный перенос парой точек и постройте
образы данных лучей при заданном параллельном переносе.
310. Даны два сонаправленных луча. Можно ли один из этих
лучей отобразить на другой параллельным переносом?
311. Постройте образы прямых (рис. 42) при параллельном
переносе, заданном парой точек: А -> А'.
312. Даны две параллельные прямые. Можно ли с помощью
параллельного переноса отобразить одну из них на другую?
313. Что можно сказать о параллельном переносе, отображаю-
щем отрезок АВ на себя? Будет ли этот вывод правильным, если
параллельный перенос отображает прямую Л В на себя?
314. Постройте образы углов (рис. 43) при параллельном пере-
носе, отображающем А -> А'.
315. Каким условиям должны удовлетворять два угла, чтобы
один из них можно было бы получить из другого при помощи парал-
лельного переноса?
316. Начертите произвольный треугольник АВС. Постройте
образ этого треугольника при параллельном переносе В Е,
где Е — середина медианы BD. Покажите фигуры, являющиеся
пересечением (объединением) данного треугольника и полученного.
34
317. Постройте квадрат со сто-
роной 5 см и его образ при парал-
лельном переносе в направлении
диагонали квадрата на 5 см. Ука-
жите фигуры, являющиеся объеди-
нением (пересечением) данного £
квадрата и полученного.
318. Постройте образ прямо-
Рис. 44
угольника ABCD при параллель-
ном переносе в направлении от точ-
ки А к точке D на расстояние,
равное | CD |. Полученную фигуру
отобразите параллельным перено-
сом в направлении от точки С к
точке А на расстояние, равное
— | СЛ|. Какой фигурой будет пе-
Рис. 45
ресечение (объединение) данного
прямоугольника и полученного в
результате двух переносов?
319. Задайте параллельный пе-
ренос парой точек. Начертите про-
извольную окружность и ее образ
при заданном параллельном пере-
носе.
320. При каком условии мож-
но отобразить окружность на ок-
ружность параллельным перено-
сом?
321. Известно, что треугольник
АВС является образом фигуры,
являющейся подмножеством фигу-
ры EFKLM при параллельном
переносе (рис. 44). Достройте треугольник АВС до образа фигуры
EFKLM.
322. На рисунке 45 изображены пары фигур. В каких парах
одна фигура может быть отображена на другую параллельным пере-
носом в указанном направлении?
323. На рисунке 22 задана сеть правильных треугольников.
Будем рассматривать параллельные переносы на расстояние, рав-
ное длине стороны треугольника,.в направлении линий сети.
а) На какие отрезки можно отобразить отрезок С2С3 указанны-
ми переносами? б) На какой отрезок отобразится отрезок В1В2 в
результате двух последовательных параллельных переносов в од-
ном направлении? в) Можно ли параллельным переносом отобра-
зить отрезок на отрезок Л3В3? г) Существует ли параллель-
ный перенос, отображающий треугольник С^В^ на треугольник
ЛдЛ 2^2?
2*
35
324. [В'С'] является образом [ВС] при параллельном переносе.
Как построить при помощи циркуля: а) образ точки М (М С [ВС]);
б) точку, образом которой является точка М' (N' С [В'С'])?
325. Отметьте на данных лучах (задача 309) по точке и построй-
те их образы при указанных параллельных переносах.
326. Отметьте на данной окружности (задача 319) точку и по-
стройте ее образ при помощи линейки и циркуля.
327. Постройте произвольный треугольник АВС. Отметьте ка-
кую-либо точку К и постройте образ треугольника АВС при парал-
лельном переносе А -> Д. При помощи транспортира и линейки
постройте образ точки пересечения медиан треугольника АВС.
328. Начертите [Л В]. Отметьте точку С (С £ [Л В]) и постройте
образ отрезка АВ при параллельном переносе А -> С. Возьмите
точку D, не принадлежащую прямой АВ, и постройте ее образ с
помощью циркуля (транспортира и линейки).
329. Существует ли параллельный перенос, при котором: а) од-
на сторона квадрата отобразится на другую его сторону; б) одна
сторона треугольника отобразится на другую его сторону?
330. Известно, что Т ([ЛВ]) = [СО]. Какая из точек А, В
(рис. 46) является образом точки С? Покажите направление и рас-
стояние переноса.
331. Сколькими переносами можно отобразить прямую на па-
раллельную ей прямую? Отметьте точку, не принадлежащую этим
прямым, и постройте ее образ при одном из возможных переносов.
332. Пересечением квадрата ABCD и квадрата A'B'CD', по-
лученного из квадрата ABCD параллельным переносом, является
квадрат. Определите направление параллельного переноса.
333. При каком условии можно отобразить параллельным пере-
носом данный параллелограмм на другой данный параллелограмм?
Какой фигурой может быть пересечение (объединение) данного па-
раллелограмма и его образа?
334. Даны две конгруэнтные окружности, а) Укажите направ-
ление и расстояние переноса, отображающего одну окружность на
другую, б) Отметьте точку, не принадлежащую окружностям, и
постройте ее образ с помощью циркуля и линейки.
335. Треугольники I, II, III, IV, V конгруэнтны (рис. 47). Ка-
кие из этих треугольников можно совместить с помощью парал-
лельного переноса, осевой симметрии, центральной симметрии?
В каждом случае, где имеют место названные перемещения, по-
кажите направление переноса, ось симметрии и центр симметрии.
336. Отрезок АВ отображается параллельным переносом на
отрезок 'А'В', который другим параллельным переносом отобра-
жается на отрезок А"В". Можно ли [/В] отобразить на [А"£Г]
одним параллельным переносом? Сделайте соответствующий чертеж
и покажите направление этого переноса.
337. Известно, что перемещение отображает луч Л В на сона-
правленный ему луч А'В'. Следует ли из этого, что указанное пере-
мещение является параллельным переносом?
36
с
в
Рис. 47
Рис. 46
338. Прямая а параллельна прямой а', прямая b параллельна
прямой Ь' (черт. 48). Укажите направление переноса, отображаю-
щего а на а', b на Ь'.
339. Дано множество точек {А (5; 1), В (1; 4), С (—3; 1), D (0;
2)}. Постройте точки, являющиеся образами данных точек при
параллельном переносе: О (0; 0) -> М (2; 3). Запишите их коорди-
наты.
340. Запишите координаты точек, на которые отображаются
точки А (—2; 4), В (3; —5), С (2; 7) .параллельным переносом:
а) М (1; 2) -> М' (5; 4); б) Мг (2; 1) -> М\ (—3; —1).
341. Запишите формулы преобразования координат точек пло-
--------------------------------> -----------
скости под действием вектора: a) MN (2; 3); б) М-^ (—1; —2).
Какой вид будут иметь формулы,‘если координаты вектора MN —
- (а; Ь)?
342. Дана система координат. Отметьте точки А и В. Запишите
формулы параллельного переноса, отображающего точку А на
точку В.
343. Запишите уравнение прямой, на которую отображается
прямая у = 2х— 1,5 под действием' вектора: а) ОМ (0; 3);
б) ОМ' (—2; 5); в) ОМ" (3; —4).
344. Запишите уравнение ли-
нии, являющейся образом пара-
болы у = х2 при параллельном пе-
реносе: х' — х + 2, у' = у.
345. Как получить график функ-
ции у = (х— З)2 из графика функ-
ции у = х2?
346. Запишите уравнение пара-
болы, на которую отображается
парабола у = х2 параллельным пе-
реносом: а) х' = х — 3, у' — у;
б) х' - х — 3, у' = у + 1.
Рис 48
37
D 4 347. Как получить график функ-
—* / ции у = (х+1,5)2 из графика
I функции у = х2?
• / х 348. Запишите формулы парал-
• / лельного переноса, который ото-
_____ / бражает график функции у = х2на
X '—-- / график функции
“*• / у = х2 — 2х—3.
в ' 349. Запишите формулы парал-
рис 49 лельного переноса, отображающе-
го график функции у = х2 на гра-
фик функции у = х2 — 4х + 10.
350*. Дано множество функций: {у = х2 + 1; у = х2; у = х;
У = (х + 5)2; у = (х — З)2; у = х3; у = |х|; у = —1; у = |х+31).
Выберите из данного множества такие пары функций, в которых
график одной функции можно отобразить на график другой функ-
ции параллельным переносом в направлении оси Ох (в направле-
нии оси Оу).
351. Перерисуйте рисунок 49 в тетради. Найдите на отрезках
АВ и CD такие точки, которые могут быть отображены одна на
другую параллельным переносом в направлении I на расстояние 2 см.
352. Даны прямая а и отрезок CD ([CD] q. а). Постройте на
прямой и отрезке такие точки, которые параллельным переносом в
заданном направлении на данное расстояние отображаются одна
на другую.
353. Постройте множество всех отрезков данной длины, чтобы
концы их принадлежали соответственно данным окружности и
прямой и чтобы они были параллельны некоторой прямой.
354. Даны треугольник и луч. Постройте множество всех от-
резков данной длины, чтобы они были параллельны некоторой пря-
мой и концы их принадлежали бы лучу и сторонам треугольника.
Расположите треугольник и луч так, чтобы задача имела единствен-
ное решение.
355. Даны окружность и отрезок. Постройте множество отрез-
ков данной длины так, чтобы они были параллельны некоторой
прямой и концы их принадлежали данным окружности и отрезку.
Расположите фигуры так, чтобы задача имела наибольшее число
решений.
356. На прямых у — Зх + 2 и у = 5х + 5 найдите такие две
точки, которые находятся одна от другой на расстоянии 5 ед. и
принадлежат прямой, параллельной оси Ох. Решите задачу ана-
литически.
357. Два неконгруэнтных равнобедренных треугольника рас-
положены так, что их основания принадлежат одной прямой I.
Проведите прямую параллельную прямой I, так, чтобы отрезки,
являющиеся пересечением прямой Г и треугольников, были кон-
груэнтны.
358. Даны два круга с центрами Ot и О2. Проведите прямую,
38
параллельную данной прямой т, так, чтобы
отрезки, являющиеся пересечением этой пря-
мой с данными кругами, были конгруэнтны.
359. Даны круг и угол. Проведите пря-
мую, перпендикулярную биссектрисе угла,
так, чтобы отрезки, полученные в резуль-
тате пересечения этой прямой соответствен-
но с кругом и углом, были конгруэнтны.
360. Фигура, изображенная на рисунке
50, образована двумя полуокружностями ра-
диусов 2 см, параллельными отрезками АВ
и CD, длина каждого из которых равна 1 см,
и частью плоскости, ограниченной этими по-
луокружностями и отрезками. Вычислите
площадь этой фигуры.
361. На стороне АС треугольника АВС
(рис. 51) построен прямоугольник ACDE, а
на сторонах АВ и ВС параллелограммы
AFLB и BLKC, причем (AF) ± (ЛС) и
1ЛК| = | АЕ|. Докажите, что площадь по-
строенного прямоугольника равна сумме пло-
щадей построенных параллелограммов.
362. На рисунке 52 изображены участки
шоссейной и железной дорог. Какая часть
участка шоссейной дороги более чем на 2 км
севернее железной дороги? (Железная дорога
обозначена сплошной линией, а шоссейная —
пунктирной.)
363. Постройте треугольник, конгруэнт-
ный данному, так, чтобы основание его при-
надлежало данной прямой т, а вершина —
данной прямой I.
364. Даны две параллельные прямые а и
b (a f| b = 0) и прямая с, имеющая с пря-
мой а одну общую точку. Постройте равносто-
ронний треугольник с данной стороной так,
чтобы его вершины принадлежали прямым а,
b и с.
365. Постройте полосу и отметьте точку
М, принадлежащую этой полосе (М не при-
надлежит краям полосы). Постройте такую
окружность, которой принадлежала бы точка
Рис. 50
1км
Рис. 52
которая каса-
N
м
и
лась бы краев полосы.
366. В равнобедренной трапеции длина большего основания
равна 20 см, длина боковой стороны равна 8 см, а величина одного
из углов 60°. Вычислите длину меньшего основания трапеции.
367. Сумма длин оснований трапеции равна 21 см, а длины
диагоналей равны 13 см и 20 см. Вычислите площадь трапеции.
39
368. Дана трапеция. Установите зависимость между разностью
длин оснований и разностью длин боковых сторон.
369. Докажите, что две трапеции конгруэнтны, если стороны
одной из них соответственно конгруэнтны сторонам другой.
370. Докажите, что две трапеции конгруэнтны, если основания
и диагонали одной из них соответственно конгруэнтны основаниям
и диагоналям другой.
371. Постройте трапецию ABCD, если известны длины ее осно-
ваний ВС и AD и величины углов CAD и BDA.
372. Прямые, которым принадлежат боковые стороны трапеции,
перпендикулярны. Докажите, что длина отрезка, концами которого
являются середины оснований трапеции, равна полуразности длин
оснований.
373. - Прямая, параллельная прямой, содержащей центры (\ и
О2 двух конгруэнтных окружностей, пересекает первую окружность
в точках А и В, а вторую — в точках С и D. Определите |ЛС|, если
|ОХО2| = 5 см и [ЛВ) Ц ECO).
374. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены
квадраты, причем квадрат со стороной АВ и параллелограмм ле-
жат в различных полуплоскостях с границей АВ, а квадрат со
стороной CD принадлежит той же полуплоскости с границей CD,
что и параллелограмм. Докажите, что расстояние между центрами
квадратов равно длине стороны ВС.
375. На стороне АВ прямоугольника ABCD построен треуголь-
ник АВЕ. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров,
проведенных из точки D на (BE) и из точки С на (АЕ), принадле-
жит прямой, подмножеством которой является высота EF тре-
угольника АВЕ.
. 376. Постройте две полосы с непараллельными сторонами. От-
метьте точку К и проведите прямую так, чтобы ей принадлежала
точка К и пересечением ее с полосами-были конгруэнтные отрезки.
377. Постройте четырехугольник ABCD, если |ЛВ| = 5 см,
| AD) = 4 см, |ОС| = 3 см, | СВ| = 2 см и угол между отрезками
АВ и DC равен 30°.
378. Если в треугольнике две медианы конгруэнтны, то тре-
угольник равнобедренный. Докажите.
379. На берегу реки должна быть построена фабрика (рис. 53).
Расстояние от фабрики до железной дороги должно не превышать
1 км. На каком участке берега может быть построена фабрика?
Рис. 53 Рис. 54
40
380. На рисунке 54 изображен участок морского побережья
вместе с дорогой (сплошная линия) и железной дорогой (пунктир-
ная линия). Покажите на рисунке те части побережья, которые
расположены более чем на 1 км от дороги и в пределах 1 км от
железной дороги.
381. Населенные пункты А и В разделены каналом с параллель-
ными берегами. Где следует устроить переправу через канал (пер-
пендикулярно его берегам), чтобы пункты А и В были соединены
кратчайшим путем?
382*. Населенные пункты А и В разделены двумя каналами,
каждый из которых имеет параллельные берега. Где следует уст-
роить переправу через эти каналы, чтобы пункты А и В были соеди-
нены кратчайшим путем?
383. Солдат, совершающий марш со скоростью 5 км/ч, определил
с помощью компаса, что азимут1 направления его движения равен
65°, а азимут направления на вершину горы равен 25°. Получасом
позже он снова измерил азимут направления на вершину горы,
который оказался равным 290°. Как далеко был солдат от вершины
горы, когда брал первое показание компаса?
384. Азимут направления движения баржи по каналу с прямо-
линейными берегами равен 27°. Скорость баржи равна 80 м в ми-
нуту. Наблюдатель установил, что за 4 минуты азимут направления
на баржу изменился с 156° до 56°. Как далеко находился наблюда-
тель от канала?
385. Судно идет точно на восток и делает 12 узлов в час. В
13 ч 10 мин азимут направления на маяк был равен 70°, а в
13 ч 40 мин — 20°. Как далеко маяк находился от судна во вре-
мя второго показания?
386. Азимут направления корабля, плывущего со скоростью
18 узлов в час, равен 145°. В 7 ч 30 мин корабль находился от маяка
точно на востоке, через 20 мин азимут направления на маяк стал
равным 20°. На каком расстоянии от маяка находился корабль в
7 ч 30 мин?
387* . Даны прямая / и окружность. На окружности взяты точ-
ки А и В. Найдите на этой окружности такую точку М, чтобы отре-
зок PQ, где Р = (ВМ) Г) I, Q = (А7И) П Л был бы конгруэнтен
данному отрезку.
388. Докажите, что композиция двух симметрий относительно
точек Ох и О2 есть параллельный перенос. Укажите направление
и расстояние этого переноса.
389. Задайте параллельный перенос и представьте его компо-
зицией двух центральных симметрий.
390*. Докажите, что композиция двух параллельных переносов
есть параллельный перенос.
391. Верно ли утверждение: АВ (BA (X)) = X?
1 Азимут — угол между направлением на север и направлением движения или
направлением на какой-либо предмет.
41
392*. Докажите, что композиция четного числа центральных
симметрий есть параллельный перенос. В каком случае это переме-
щение будет тождественным отображением?
393*. Каким перемещением является композиция четырех цент-
ральных симметрий относительно середин сторон четырехугольни-
ка?
394*. Каким перемещением является композиция центральной
симметрии и параллельного переноса?
395*. Каким перемещением является композиция нечетного
числа центральных симметрий?
Отображение плоскости на себя, являющееся композицией осе-
вой симметрии и параллельного переноса в направлении оси сим-
метрии, называется скользящей симметрией. Ось
симметрии называется осью скользящей симметрии, направление
переноса называется направлением скользящей симметрии.
396. Существуют ли точки, отображающиеся скользящей сим-
метрией на себя?
397. Как можно задать скользящую сймметрию?
398. Задайте скользящую симметрию парой соответствующих
точек и направлением переноса. Отметьте точку М и постройте ее
образ.
399. Сохраняет ди скользящая симметрия «обход» фигуры?
400. Даны две пары точек {Д, В} и {Д', В'}, где| АВ | =| А'В'\.
Постройте ось скользящей симметрии, отображающей А Д',
В’.
401. Даны две окружности: (О^, г) и (О2; г). Существует ли
скользящая симметрия, отображающая одну из данных окружно-
стей на другую? Отметьте на окружностях соответственно по точке
Д и В. Укажите скользящую симметрию, отображающую окруж-
ность (Ох; г) на окружность (О2; г), так, чтобы Д В.
402*. В треугольниках АВС и А'В'С1 | АВ |= | А'В' |; |ВС| =
= | В'С | и | ДС| = | Д'С'|. При каком условии треугольник АВС
можно отобразить на треугольник А'В'С скользящей симметрией?
403*. Треугольники АВС и А'В'С1 конгруэнтны и противопо-
ложно ориентированы. Докажите, что середины отрезков ДД',
ВВ' и СС принадлежат одной прямой.
404. Докажите, что в скользящей симметрии композиция осе-
вой симметрии и параллельного переноса переместительна.
405*. Докажите, что скользящую симметрию можно представить
композицией центральной симметрии и осевой симметрии, ось ко-»
торой не содержит центр симметрии.
406*. Докажите, что композиция трех осевых симметрий, оси
которых непараллельны и не имеют общей точки, скользящая сим-
метрия .
407*. Каким перемещением является композиция двух сколь-
зящих симметрий с параллельными осями?
408*. По одну сторону от железной дороги расположены две
деревни А и В. Где надо расположить на железной дороге плат-
42
форму МК данной длины а, чтобы длина дороги AMRB была наи-
меньшей?
409. Запишите формулы скользящей симметрии, являющейся
композицией симметрии с осью Ох и вектора MN (а; 0).
* * *
Задачи 287—300 предназначены для формирования умения
строить образы точек при параллельном переносе. Большая часть
этих задач решается на координатной плоскости. Задачи 287—294
способствуют усвоению того факта, что параллельный перенос в
направлении оси Ох есть отображение: X (х; у) -+ X' (х + а; у),
где | а\ — расстояние параллельного переноса, и параллельный
перенос в направлении оси Оу есть отображение: X (х; у)
-> X' (х; у + Ь), где |Ь|— расстояние, на которое осуществляется
перенос. Этот вывод можно использовать при решении задач 296—
300.
Задачи, решаемые с привлечением координатного метода, по-
лезны и тем, что они способствуют формированию умения и навы-
ков в использовании параллельного переноса при построении гра-
фиков различных функций.
Задачи 303—305 подготавливают учащихся к следующему вы-
воду: параллельный перенос есть композиция двух осевых симмет-
рий, оси которых параллельны.
Задачи 307—323 предназначены для формирования умений
строить образы различных фигур при параллельном переносе.
При решении этих задач полезно обратить внимание на то, что па-
раллельный перенос сохраняет «обход» (ориентацию) фигуры.
Полезна задача 323, которую можно использовать для устного ре-
шения. Поучительна и задача 313, при решении которой учащиеся
знакомятся с фигурами, которые отображаются сами на себя парал-
лельным переносом. Полезно сопоставить эти фигуры с фигурами,
которые отображаются сами на себя осевой (центральной) сим-
метрией.
При решении задач 325—331 у учащихся развивается «видение»
соответствующих при параллельном переносе точек на заданных
соответственных при этом же переносе фигурах. Построение этих
точек осуществляется с использованием заданных фигур. Некото-
рые из этих задач могут быть решены и учащимися V класса.
Последующая серия задач (330—338) предназначена для фор-
мирования умения выделять элементы, определяющие параллель-
ный перенос: направление и расстояние переноса. Решение задач
336—337 подготавливает учащихся к пониманию того факта, что
композиция двух параллельных переносов есть параллельный пере-
нос, причем эта композиция переместительна.
Задачи 339—350 предназначены для вывода формул параллель-
ного переноса и использования их. Задачи 339—340 являются про-
педевтическими, в результате решения задачи 341 учащиеся зна-
43
комятся с формулами параллельного переноса: 0(0; 0) ->• М (о; Ь):
х’ == х + а, у' = у + Ь, где (х; у)— координаты данной точки,
а (х'; у')— координаты ее образа. Решение задач 343—350 основано
на использовании координатной записи параллельного переноса.
Задачи 351—356 предназначены для отыскания соответствен-
ных при параллельном переносе точек на заданных произвольных •
фигурах. Интересна задача 356. Подобные задачи можно исполь-
зовать на уроках алгебры при решении систем уравнений.
Решения последующих задач осуществляются методом парал-
лельного переноса. Решение задач 369, 370 основано на использо-
вании параллельного переноса и признаков конгруэнтности
треугольников. Полезны задачи 383—396, для решения которых
используется не только параллельный перенос, но и масштаб и
некоторые географические понятия.
В задачах 388—395 рассматриваются композиции параллельного
переноса и других перемещений. '
Задачи 396—409 служат для ознакомления учащихся со свой-
ствами скользящей симметрии и цх использованием в конкретных
ситуациях.
§ 4. ПОВОРОТ
410. Отметьте несколько точек. Постройте их образы при пово-
роте вокруг заданной точки на 60°, 90°, 120° по часовой стрелке (про-
тив часовой стрелки).
411. Каково соотношение между | ДВ| и |Л'В'|, где А' и В'—
образы точек А и В при повороте? Откуда это следует?
412. Начертите отрезок и постройте его образ при повороте
вокруг заданной точки на 45°, 60°, 180° против часовой стрелки;
на 30°, 90°, 180° по часовой стрелке (возьмите за центр поворота
внутреннюю точку отрезка; точку, не принадлежащую данному
отрезку).
413. Постройте образ данного луча при повороте вокруг данной
точки на заданный угол (возьмите за центр поворота начало луча;
точку луча; точку, не принадлежащую лучу).
414. Постройте образ прямой при заданном повороте (за центр
возьмите точку прямой; точку, не принадлежащую прямой).
415. Постройте образ угла (рис. 55) при повороте вокруг точки
О на 55° против часовой стрелки. Укажите фигуру, являющуюся
пересечением (объединением) данных углов и их образов.
416. Используя решение предыдущей задачи (рис. 55, б), по-
стройте образ прямой при повороте вокруг точки, не принадлежа-
щей этой прямой.
417. Постройте образы точек А (3; 0), В (—2; 0), С (5; 2),
(—1; —3) при повороте вокруг начала координат на 90° по часо-
вой стрелке (против часовой стрелки). Запишите координаты об-
разов точек.
418. Точка М (2; .,.) отображается поворотом вокруг начала
44
1
Рис. 55
координат на 90° против часовой стрелки на точку М' (—5; .. ).
Определите пропущенные координаты.
419. Восстановите пропущенные координаты точек М (—3;...)
и М' (5; ...), если известно, что М' — образ точки М при повороте
вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке.
420. Постройте треугольник и его образ при повороте вокруг
данной точки на заданный угол (за центр поворота возьмите точку
пересечения медиан "треугольника; его вершину; точку, принадле-
жащую какой-либо стороне треугольника; точку, не принадлежа-
щую треугольнику). Покажите пересечение (объединение) треуголь-
ника и его образа.
421. Начертите квадрат, длина стороны которого равна 4 см.
Постройте образ квадрата при повороте против часовой стрелки
вокруг точки пересечения его диагоналей на 60°, 90°, 180°. Покажи-
те фигуры, являющиеся объединением (пересечением) квадрата и
его образа.
422. Выполните поворот окружности (0; 2 см) вокруг данной
точки на заданный угол (возьмите за центр поворота центр окруж-
ности; точку, принадлежащую окружности; точку, не принадле-
жащую окружности).
423. Фигура, изображенная на рисунке 56, является объедине-
нием круга и треугольника. Постройте ее образ при повороте во-
круг точки Р на 10° по часовой стрелке. Будет ли образ точки, при-
надлежащей пересечению круга и треугольника, принадлежать
пересечению их образов?
424. Начертите полуплоскость с границей а и постройте ее образ
при повороте вокруг заданной точки на заданный угол. Что пред-
ставляет собой пересечение данной полуплоскости и ее образа?
425. Дан прямоугольный треугольник
АВС. Простройте его образ при повороте
вокруг вершины В прямого угла на 90°
по часовой стрелке. Определите угол между
(ЛС) и (А'С), где [Л'С] — образ [ЛС] при
указанном повороте. Чему будет равен этот
угол, если Д АВС вы повернете на угол
а? Изменятся ли ответы, если Д АВС не
будет прямоугольным?
426. Фигура ABCDE (рис. 57) пово-
Рис. 56
45
о •
Рис. 58
ротами вокруг центра О на х°, 2х°, Зх°,
4х°, 5х° отображается на себя. Чему равен
х? Назовите образ отрезка АС при пово-
роте на х°. Какова величина угла АКБ?
427. Сколько существует поворотов,
отображающих квадрат на себя? Укажи-
те центр этих поворотов.
428. Начертите фигуру, отличную от
квадрата, которая отображается поворота-
ми на 90°, 180°, —90° на себя.
429. Можно ли из равносторонних кон-
груэнтных треугольников составить фигу-
ру, имеющую центр поворота?
430. Вычислите площадь фигуры, яв-
ляющейся пересечением прямоугольника,
длины сторон которого равны 5 см и 8 см,
и его образа при повороте вокруг точки пе-
ресечения его диагоналей на 90°.
431. [Л4М] является подмножеством об-
раза фигуры, изображенной на рисунке 58,
при повороте вокруг точки О. Достройте
отрезок MN до образа данной фигуры.
Выполните построение с помощью линей-
ки и циркуля.
432. В каких парах фигур (рис. 59) од-
ну фигуру можно отобразить на другую
О?
поворотом вокруг точки
433. На рисунке 22 изображена сеть правильных треугольников.
Будем рассматривать повороты вокруг точек, являющихся узлами
сети, на 60° по часовой стрелке и против часовой стрелки.
Рис. 59
46
1
а) На какие отрезки отображает-
ся [В2В3] поворотами вокруг точкиС2?
б) Отобразите [Л1Л2] поворотом
вокруг точки А2 на 60° против ча-
совой стрелки, полученный отрезок
отобразите поворотом вокруг точки
В2 на 60° по часовой стрелке. Каким
известным вам перемещением можно
отобразить данный отрезок на полу-
ченный? в) Отобразите отрезок В2ЛХ
на отрезок ВГСХ двумя поворотами.
Каковы углы этих поворотов? г) Можно ли отрезок С1В1 отобразить
на отрезок В3Сг с помощью параллельного переноса? поворота?
Укажите центр поворота. Чему равен угол поворота?
434. Начертите треугольник АВС. Постройте треугольник, на
который отображается Д АВС в результате последовательного ис-
пользования поворотов вокруг точек А, В и С по часовой стрелке
на величины соответственных углов.
435. Прямая а' является образом прямой а при повороте вокруг
точки Р на угол а (рис. 60). Как построить с помощью циркуля
(транспортира и линейки): а) образы точек М, и К; б) точку, образом
которой является точка К?
436. Отметьте точку, принадлежащую данному отрезку (задача
412), и постройте ее образ при указанных поворотах с помощью цир-
куля.
437. Отметьте на построенных вами образах лучей (задача 413)
по точке и постройте те точки, образами которых они являются.
438. Постройте равносторонний треугольник АВС. а) Отметь-
те на [Л В] точку К и постройте ее образ при повороте около цент-
ра О треугольника на 120° по часовой стрелке, б) Отметьте на [ВС]
и [СЛ] соответственно такие точки М и Р, что | ВМ | = | СР |. Какова
величина угла /ИОВ?
439. а) Отметьте точку, прйнадлежащую данной окружности
(задача 422), и постройте ее образ при указанном повороте с помощью
циркуля (линейки и транспортира), б) Как расположены точка, ее
образ при повороте вокруг точки окружности и точка пересечения
окружности и ее образа, не являющаяся центром поворота?
440. Постройте квадрат и возьмите на его сторонах по точке.
Постройте образы этих точек при повороте вокруг центра квадрата
на 90° по часовой стрелке.
441. Даны две точки, а) Найдите множество точек, повороты
вокруг которых отображают одну из них на другую. 6) Постройте
точку, поворот вокруг которой на 60° отображает одну из них на
другую.
442. Дан треугольник ЛВС и точка М, не принадлежащая ему.
Постройте на сторонах треугольника точки, повороты вокруг ко-
торых отображают точку М на точку Л.
47
At чС 443. На рисунке 61 изображены пары лучей.
В каких парах один луч можно отобразить на дру-
гой поворотом? Определите центры и углы поворо-
тов.
444. Отрезок CD является образом отрезка АВ
при некотором повороте. Какая из точек С, D яв-
ляется образом точки В (рис. 62)? Чему равен угол
fl! , jj поворота? Можно ли [ЛВ] отобразить на [CD]
известным вам перемещением, кроме поворота?
Рис. 62 445. На рисунке 63 изображены фигуры и их
образы при поворотах. Определите углы поворо-
48
тов, не пользуясь транспортиром. Перерисуйте несколько пар в
свою тетрадь и постройте центры поворотов.
446. Установите, что точка В (—3; 2) может быть получена
из точки А (2; 3) поворотом вокруг начала координат на 90° про-
тив часовой стрелки.
447. Каковы формулы поворота вокруг начала координат на 90°
против часовой стрелки?
448. Запишите формулы поворота вокруг начала координат на
90° по часовой стрелке.
449. Дано множество точек {(3; 1), (—2; 5), (7; 1), (1; 3), (—1; 7),
(—2; 0)}. Выберите из данного множества такие пары точек, в кото-
рых одна точка может быть отображена на другую поворотом вокруг
начала координат на 90° против часовой стрелки.
450. Выберите из множества точек {(0; —1), (3; 1), (2; 0),
(—7; —3), (—5; —2), (—1; 0), (1; —3), (—3; 7)} такие пары, в ко-
торых одна точка пары может быть отображена на другую поворо-
том вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке.
451. Запишите уравнение прямой, полученной из прямой у =
— 2х — 1 поворотом вокруг начала координат на 90° по часовой
стрелке (против часовой стрелки).
452. Найдите координаты точки пересечения прямой у = 5х—1
и образа прямой у = Зх + 2 при повороте вокруг начала координат
на 90° против часовой стрелки.
453*. Выведите формулы поворота вокруг начала координат
на угол а.
454*. Запишите, используя формулы поворота, координаты то-
чек, являющихся образами точек А (3; —2), В (0; —7), С (—5; —1)
и D (4; 0) при повороте вокруг начала координат на 60°; 100°; —60°.
455. На рисунке 64 изображены отрезки и их образы при пово-
ротах. Постройте центры поворотов от руки. В каких парах угол
поворота будет одним и тем же?
456. Известно, что [Л'В']— образ [ЛВ] при повороте (р_ис. 65).
Как построить образ точки К с помощью одного циркуля?
457. Точка О — центр поворота, отображающего треугольник
ЛВС на треугольник А'В'С. а) Равны ли величины углов А'ОА,
В'ОВ, С'ОС? б) Отметьте точку Р, принадлежащую внутренней об-
ласти треугольника ЛВС, и постройте ее образ с помощью транс-
портира и линейки.
458. Фигура Л (рис. 66) является образом фигуры В при пово-
роте. Постройте центр этого поворота.
49
459. Что представляет множество точек, повороты вокруг кото-
рых отображают данную прямую а на данную прямую Ь?
460. Начертите две прямые, пересечением которых является
точка. На третьей прямой, не содержащей эту точку, найти такую
точку, поворот вокруг которой отображает одну из данных прямых
на другую.
461. Постройте прямые х = 3 и у = 2. Найдите на осях Ох и
Оу точки, повороты вокруг которых отображают одну из прямых
на другую. Запишите их координаты.
462. Проведите прямые /х и /2 так, чтобы /х 0 /2 = О. Отметьте
какую-либо точку А и постройте А" = S( (S; (Л)). Можно ли ком-
позицию данных осевых симметрий заменить поворотом вокруг точ-
ки О?
463*. Докажите, что поворот вокруг точки О является компо-
зицией двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в точ-
ке О.
464. Докажите, что центр поворота, угол которого отличен от
0° и 180° и при котором А -> А', В -> В’, есть общая точка окруж-
ностей, которым принадлежат соответственно точки К, А, А' к
К, В, В', где К = (АВ) П (А'В').
465. Известно, что поворот вокруг точки О (угол поворота от-
личен от 0° и 180е) отображает [ДВ] на [Д'В']. Докажите, что точка
О является центром окружности, которой принадлежат точка
К = (АВ) П (А'В'), ее образ и точка, образом которой является
точка К-
466. Начертите два непараллельных отрезка АВ и CD, длины
которых равны. Постройте центр поворота, отображающего [ДВ]
на [СО] (Д С, В -> D). Сколько существует поворотов, отобра-
жающих [ДВ] на [СО]? А если отрезки АВ и CD параллельны?
467. Даны два луча. Всегда ли существует поворот, отобра-
жающий один из лучей на другой? Начертите два луча, чтобы один
из них можно было бы отобразить на другой поворотом, и постройте
его центр.
468. Даны две окружности, радиусы которых равны, а) Сколь-
ко существует поворотов, отображающих одну из окружностей на
другую? б) Укажите точку, поворот вокруг которой на 45° отобра-
зит одну из окружностей надру-
гую. Отметьте точку, не принад-
D CI у лежащую окружностям, и по-
\. \ стройте ее образ с помощью
\ 'К \ одного циркуля.
\ / \ 469. Даны две конгруэнтные
\ / N окружности и на каждой из них
\ I Р соответственно точки А и В. По-
у стройте центр поворота, отобра-
f жающего одну окружность на
другую, чтобы при этом точка А
Рис. 67 перешла в точку В.
50
470. Треугольники, изображенные на рисунке 67, конгруэнтны.
Какие из этих треугольников можно отобразить друг на друга
поворотом? Скопируйте рисунок в свою тетрадь и постройте цент-
ры возможных поворотов.
471. Постройте два конгруэнтных квадрата. Найдите центры
поворотов, отображающих один из квадратов на другой.
472. Даны два конгруэнтных прямоугольника. Укажите цент-
ры поворотов, отображающих один из данных прямоугольников на
другой.
473. Дан параллелограмм ABCD. Постройте точку, поворот во-
круг которой отображает прямую АС на прямую BD и точку С на
точку D.
474. Постройте произвольную прямую а и отметьте точки О и
А (А $ а, О а). Рассмотрите поворот вокруг точки О, при котором
образом прямой а является прямая, содержащая точку А.
475. Дан прямоугольник ABCD. Постройте центр поворота,
при котором образом прямой АВ будет прямая AD, а образом точ-
ки В — точка D. Чему равен угол поворота?
476. На рисунке 68 изображены фигуры и их образы при неко-
тором отображении. Какое из перемещений: осевая симметрия (S),
поворот (/?), параллельный перенос (71)—может быть использо-
вано для перевода фигуры в ее образ? Таблицу ваших результатов
S R Т
составьте так: а) нет нет да
б)
В каких парах можно использовать несколько перемещений?
477. Перерисуйте фигуры, изображенные на рисунке 68, и в
каждом случае, где имеет место осевая симметрия, поворот или
0)
I
С
51
перенос, укажите ось симметрии, центр поворота, направление
переноса.
478. На данных пересекающихся прямых а и b найдите такие
пары точек (одна точка пары принадлежит прямой а, другая — пря-
мой Ь), что одна точка может быть получена из другой поворотом
вокруг данной точки Р на 60° (Р Ф а П Ь).
479. Запишите координаты точек А и В, если известно, что они
принадлежат соответственно прямым у = 2х + 3иу = —Зх + 1,
и поворот вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке отоб-
ражает точку А на точку В.
480. Запишите координаты точек С и D, которые принадлежат
соответственно прямым у = 2х + 3 и у = —Зх + 1 и являются
соответственными при повороте вокруг начала координат на 90°
против часовой стрелки.
481. На двух данных отрезках найдите такую пару точек, что
поворот вокруг данной точки на 45° отображает одну точку пары на-
другую.
482. Укажите соответственно на данных прямой и отрезке та-
кие две точки, чтобы одну из них можно было бы отобразить на дру-
гую поворотом вокруг данной точки на 30°.
483. На данных окружности и прямой найти такие пары точек,
что одна точка является образом другой при повороте вокруг данной
точки на 72°.
484. Дана полоса с краями а и b и точка Р, принадлежащая этой
полосе (Р £ а, Р $ Ь). Найдите на ее краях а и b соответственно
такие точки А и В, чтб | РА 1 = | РВ\ и АРВ = 90°.
485. Даны окружности (0т; 3 см), (02; 4 см) и точка М. Найдите
на данных окружностях соответственно точки А и В такие, чтобы
|ДМ|= |МВ| и АМВ = 60°.
486. На прямых у = Зх + 1 и у = — 2х + 3 найдите соответ-
ственно точки А и В, чтобы они находились на одинаковом расстоя-
нии от начала координат и АОВ = 90°.
487. Даны окружность и треугольник. Постройте такой отре-
зок, чтобы концы его принадлежали данным окружности и сторонам
треугольника, находились на одинаковом расстоянии от данной
точки и «видны» из нее под углом 120°.
488. Начертите произвольный треугольник АВС и отметьте точ-
ку Р, принадлежащую внутренней области треугольника. Укажите
на сторонах ВС и Л С соответственно точки К и М такие, что | Р/<| =
= |км\ и КРМ = 45°.
489. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы одной
его вершиной была данная точка Р, другая принадлежала данной
прямой а, третья— прямой Ь.
490. Дан угол и точка А внутри него. Постройте равнобедрен-
ный прямоугольный треугольник, вершиной прямого угла которого
52
является точка А, а две другие вершины принадлежат сторонам
данного угла.
491. Даны окружность, квадрат и точка Р. Постройте равнобед-
ренный треугольник РАВ (|РД| = | вершины А и В которого
принадлежат окружности и стороне квадрата, а АРВ = 45°.
492. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его
вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.
493. Дана полоса с краями о и с и прямая Ь, принадлежащая
полосе. Постройте ромб ABCD так, чтобы его вершины А, В и С
принадлежали соответственно прямым a, b и с, а АВС = 60°.
494. Постройте квадрат так, чтобы три его вершины принадле-
жали трем данным прямым.
495. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник
так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окруж-
ностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.
496. В данный квадрат впишите равносторонний треугольник
так, чтобы одна из его вершин совпала с вершиной квадрата, а две
другие принадлежали сторонам квадрата.
497. На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены квад-
раты ABNM и ACQP, расположенные с треугольником АВС в
различных полуплоскостях соответственно с границами АВ и АС.
Докажите, что: а) |Л4С| = |б) (Л'1С) ± (ВР).
498. Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены
две взаимно перепендикулярные прямые, отличные от прямых АС
и BD. Докажите, что фигуры, являющиеся пересечением этих пря-
мых с квадратом, конгруэнтны.’
499* . Отрезки, концами которых служат внутренние точки
противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Докажите,
что эти отрезки конгруэнтны.
500* . Земельный участок квадратной формы был огорожен.
От изгороди сохранились четыре столба на сторонах квадрата. Вос-
становите границу участка.
501. Через центр- равностороннего треугольника проведены две
прямые, угол между которыми равен 60° и которые не содержат
вершин треугольника. Докажите, что отрезки этих прямых, заклю-
ченные между сторонами треугольника, конгруэнтны.
502. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квад-
раты ABMN и BCPQ, причем квадрат ABMN и трегольник АВС
принадлежат различным полуплоскостям с границей АВ, а квадрат
BCPQ и треугольник АВС — одной полуплоскости с границей ВС.
Докажите, что [MQ] ± [ДС] и | = | ЛС|.
503. На сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD от вершин
А, В, С и D отложены конгруэнтные отрезки AAlt BBlt ССг и DDV.
Докажите, что четырехугольник A^B^D^— квадрат.
504. Хорды одной и той же окружности находятся на одинако-
вом расстоянии от центра окружности. Докажите, что они конгру-
энтны.
53
505. На окружности, центром которой является точка О, от-
мечены в одном направлении последовательно точки А, В, С и D
так, что АОВ = COD. Докажите, что |ДС| = [ВО|.
506. На сторонах равностороннего треугольника вне его построе-
ны квадраты. Докажите, что: а) фигура, являющаяся объединением
треугольника и квадратов, отображается на себя поворотом вокруг
точки пересечения медиан треугольника; б) треугольник, верши-
нами которого являются центры построенных квадратов, равносто-
ронний.
507. На сторонах квадрата построены равносторонние треуголь-
ники так, что пересечением каждого из них и квадрата является
сторона квадрата. Докажите, что четырехугольник, вершинами
которого являются центры построенных треугольников, является
квадратом.
508. Через центр правильного шестиугольника проведены две
прямые, угол между которыми равен 60°. Докажите, что отрезки
этих прямых, заключенные между сторонами шестиугольника,
конгруэнтны.
509. Пересечением отрезков АВ и ВС является точка В, а объе-
динением — отрезок АС. На отрезках АВ и ВС построены равно-
сторонние треугольники АВЕ и BFC так, что они принадлежат
одной полуплоскости с границей АС. Докажите, что а) =
s[£C]; б) &BMN—равносторонний (Л4 и W—середины [Я В] и [С£]).
510. На сторонах СА и СВ равностороннего треугольника АВС
отложены отрезки СМ и CN, сумма длин которых равна длине
стороны треугольника. Определите M0N, где О — точка пересече-
ния медиан треугольника АВС.
511. Четырехугольник ABCD — ромб, у которого BDA = 60°.
На сторонах АВ и ВС ромба отмечены соответственно точки М и N,
так что | ЛЛ1| = | BN |. Докажите, что Д MDN — равносторонний.
512. [ЛВ] и [£>/<]— два взаимно перпендикулярных диаметра
окружности. На дуге AD отмечена точка М. Прямая, перпендику-
лярная прямой МО (О — центр окружности) и содержащая точку
О, пересекает дугу DB в точке В, Докажите, что Д AMD = Д DPB.
513. На продолжении, катетов АС и АВ прямоугольного тре-
угольника АВС отложены отрезки AD и АЕ, конгруэнтные соот-
ветственно катетам АВ и АС. Докажите, что прямая, подмножеством
которой является медиана AM треугольника АВС, перпендикуляр-
на отрезку ED.
514. На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены квад-
раты АВМК и ACPQ, причем квадрат АВМЕ и треугольник АВС
принадлежат различным полуплоскостям с границей АВ, а квадрат
ACPQ и треугольник АВС — различным полуплоскостям с гра-
ницей АС. Докажите, что медиана АЕ треугольника АВС перпен-
дикулярна отрезку KQ и | АЕ\ — — | KQ].
54
515. Впишите в окружность два кон-
груэнтных треугольника с соответствен-
но перпендикулярными сторонами.
516*. Дан равносторонний треуголь-
ник АВС и произвольная точка М. До-
кажите, что длина любого из трех отрез-
ков МА, МВ и МС не больше суммы
длин двух других отрезков. В каком
случае длина отрезка равна сумме длин
двух других отрезков?
517*. Середины сторон квадрата ABCD
соединены с его вершинами так, как
показано на рисунке 69. Докажите, что
пересечение полос NCLA и BMDR является квадратом.
518*. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС построены
равносторонние треугольники А'ВС, В'СА и С АВ так, что пере-
сечением данного "Треугольника и построенных являются стороны
треугольника АВС. Докажите, что а) [АА'] ^£ВВ'] s [СС'];
б) [Д/Г], [ВВ'] и [СС] пересекаются в одной точке.
519. Докажите, что R^ = R^+^.
520*. Докажите, что композиция двух поворотов вокруг раз-
личных центров есть поворот или параллельный перенос.
521*. Установите, какими перемещениями являются следующие
отображения: а) Ro° ° Ro°, , б) Rof ° Ro,", в) Rof° ° Ro° ;
г) Ro°° ° Ro°° ° Ro? • Постройте элементы, определяющие переме-
щения.
522*. Докажите, что композиция поворота и параллельно-
го переноса есть поворот. Запишите это утверждение в обозначе-
ниях.
523*. Каким перемещением является: а) 0г02 о R^; б) ОгО2 о
° Rlo20° ° В™ ? Постройте элементы, определяющие перемещения.
524*. Верны ли утверждения: a) Ro ° Ro = Ro 0 Ro",
6) Rot о Rot = Ro, о Rg2?
525*. На сторонах произвольного треугольника ABC построены
равносторонние треугольники АВС, ВСА', АВ'С так, что вершины
А', В' и С принадлежат внешней области треугольника АВС.
Докажите, что треугольник, вершинами которого являются центры
построенных треугольников, равносторонний.
526*. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены
квадраты так, что вершины их, отличные от вершин А, В, С, при-
надлежат внешней области треугольника АВС. Докажите, что
треугольник, вершинами которого являются центры построенных
квадратов и середина отрезка АС, прямоугольный и равнобед-
ренный.
527*. Можно ли отобразить центральной симметрией Д АВС на
Д А'В'С, полученный из Д АВС в результате композиции пово-
ротов вокруг вершин А, В и С соответственно на величины углов
А, В, Спо часовой стрелке? Если да, то постройте центр симмет-
рии.
* * *
Задачи 410—434 предназначены для формирования умений и
навыков в построении образов различных фигур при повороте.
Построение образов фигур осуществляется с помощью транспор-
тира, циркуля и линейки на основе определения поворота. Задача
410 дает новый способ построения образа прямой. Ранее построение
образа прямой осуществлялось по двум точкам. Здесь же предпо-
лагается использование перпендикуляра, проведенного к данной
прямой из центра поворота: вместо прямой «поворачивают» фигуру,
являющуюся объединением данной прямой и проведенного к ней из
центра поворота перпендикуляра.
Задачи 418—420 подготавливают к пониманию координатной
записи поворота на 90° по часовой стрелке и на 90° против часовой
стрелки. При решении задачи 418 следует обратить внимание на то,
что поворот вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки
отображает точку X (х; у) на точку X' (х'; у'), гДе х' — —У> У' ~ х-
Аналогично поворот вокруг начала координат на 90° по часовой
стрелке отображает точку X (х; у) на точку Х‘ (х'; у'), где х' = у;
у' = —х. Полученный результат используется при решении задач
419—420.
В результате решения задачи 425 должен быть сделан следую-
щий вывод: угол между соответственными при повороте прямыми
(отрезками, лучами) равен углу поворота. Этот вывод используется
при решении многих последующих задач.
Задачи 426—429 знакомят с фигурами, которые поворотом ото-
бражаются на себя. Полезны задачи 431 (на достраивание фигуры),
432 (на распознавание фигур) Задача 433 является хорошим мате-
риалом для последовательного выполнения нескольких поворотов
(композиции поворотов). При решении задач этой группы следует
обращать внимание на логическое обоснование выполняемых по-
строений, на рационализацию построений.
При решении задач 434—440 формируется умение отыскивать
соответственные при повороте элементы на заданных соответствен-
ных фигурах. Решение этих задач осуществляется указанными в
задачах средствами с привлечением самих фигур. Рассмотрим в
качестве примера задачу 439 а). Образ точки К (К принадлежит
данной окружности) с помощью циркуля может быть найден сле-
дующим образом: 1) проводим дугу радиуса, равного | ОК\, с цент-
ром в точке О (О — центр поворота); 2) отмечаем точку пересечения
дуги и образа данной окружности. Таких точек будет две. Выбор
из этих двух точек образа точки К может быть осуществлен с при-
влечением следующих свойств поворота: угол между лучом ОК
и соответствующим ему лучом ОК' равен углу поворота или пово-
рот сохраняет «обход» фигур. Использование первого из указанных
56
свойств осуществляется путем наглядного сравнения углов КОК'
и POP', где Р и Р' — центры данных окружностей.
Задачи 441—477 предназначены для формирования умения
выделять элементы, определяющие поворот: центр поворота, угол
поворота. При решении этой весьма важной группы задач форми-
руются «обратные» связи. В этой группе содержатся и комбини-
рованные задачи, для решения которых используются различные
умения: строить образы фигур, «видеть» соответственные элементы
на соответственных фигурах, выделять элементы, определяющие
поворот (задачи 469, 473—475). При решении задач 446—452 пред-
полагается познакомить учащихся с координатной записью пово-
рота на 90° по часовой стрелке и против часовой стрелки и ее ис-
пользованием. Задача 453 знакомит учащихся с формулами поворота
вокруг начала координат на а°.
Решения задач 441, 464, 465 дают способы отыскания центра
поворота. Полезны задачи на клетчатой бумаге. Они способствуют
развитию пространственного воображения учащихся. Рассмотрим
задачу 445 (рис. 63, в). Интересно ее решение без использования ин-
струментов. В этом случае ученик должен рассуждать примерно
следующим образом: а) так как (MN)A-(M'N'), то угол поворота
равен 90°; б) так как N -* К', то центр поворота принадлежит оси
симметрии точек N и N'. Значит, отрезок NN' «виден» из центра
под углом 90°. Используя клетчатую бумагу, можно указать центр
поворота, не выполняя при этом никаких построений. Точек, кото-
рые принадлежали бы оси симметрии и такие, что отрезок NN’
«виден» из них под углом 90°, две. Для того чтобы указать из них
ту, которая является центром поворота, ученик должен мысленно
совершить поворот отрезка MN вокруг каждой из этих двух точек.
В задачах 478—483 осуществляется построение соответственных
при повороте точек на произвольных фигурах. Задачи 479—480,
486 решаются с привлечением формул поворота.
Решение задач 484—519 основано на использовании свойств
поворота.
В задачах 521—523 рассматривается композиция поворотов,
а также композиция поворота и параллельного переноса. Резуль-
таты этих задач используются при решении задач 524—527.
§ 5. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
528. Верно ли утверждение: отображение f перемещение, если
оно: а) отображает плоскость на себя; б) отображает прямую на себя
и сохраняет расстояния; в) отображает фигуру Фт на фигуру Ф2 и
сохраняет расстояния; г) отображает плоскость на себя и сохраняет
расстояния?
529. Ф = {Д; В; С; D} — множество вершин квадрата, f —
отображение множества Ф на себя, при котором А -> В, В -> С,
С-+ D, D -> А. Является ли оно перемещением?
57
530. О—данная точка плоскости. Каждой точке Х=А О соот-
ветствует такая точка X', что X' € [ОХ) и 10Х'|= 2 • |0Х|, точка
О соответствует сама себе. Является ли данное отображение пере-
мещением?
531. Начертите два отрезка АВ и так, что | АВ\ = | Д^Д.
а) Установите с помощью прозрачной бумаги, что существует пере-
мещение, при котором [ДВ] -> [Д1ВХ]. б) Сколькими способами мож-
но совместить отрезок АВ с отрезком AyBJ в) Отметьте точку С
и постройте точки, на которые отобразится точка С при перемеще-
ниях, переводящих А в А' и В в В'.
532. Постройте треугольники АВС и А'В'С так, что | ДВ| =
= |Д'В'|, | ВС| = | В'С |, |ДС|=|Д'С'|. а) Докажите, используя
прозрачную бумагу, что существует перемещение, переводящее
А АВС в А А'В'С'. б) Отметьте точку D и постройте точку, на
которую отобразится точка D при данном перемещении.
533. Начертите два луча I и т с общим началом О и луч ис-
ходящий из точки О. Используя прозрачную бумагу, постройте луч
т', на который отобразится луч т, при перемещении, переводящем
луч I в луч Однозначно ли определяется положение луча т'?
534. Докажите, что перемещение — обратимое отображение.
535. Докажите, что перемещение сохраняет отношение «лежать
между»
536. Докажите, что перемещение сохраняет пересечение (объеди-
нение) фигур.
537. Докажите, что перемещение отображает отрезок на отре-
зок, луч на луч, прямую на прямую, полуплоскость на полуплос-
кость, выпуклую фигуру на выпуклую фигуру.
538. Известно, что перемещение отображает А АВС на
А А'В'С. Как построить образ медиан треугольника АВС при
этом перемещении?
539. Докажите признаки конгруэнтности треугольников.
540. Докажите, что А АВС Л Д1В1С1, если |ДВ| = |Д1В1|,
А =ДХ, | AD | — | ADJ, где [ДО] и [Д^]— биссектрисы треуголь-
ников АВС и А^В^Су.
541. Докажите, что в равнобедренном треугольнике, а) медианы,
проведенные к сторонам, длины которых равны, конгруэнтны;
б) биссектрисы углов при основании конгруэнтны.
542. В А ДВС величины углов Д и С равны. Точки Е и D взяты
так, что | ДО| = |£С|, причем точка В лежит как между точками Е
и С, так и между точками А и D. Доказать, что А ABE A CDB.
543. [ДО] и [Д^Д]— биссектрисы треугольников АВС и Д1В1С1.
Доказать, что А АВС А Д^Ср если | ДВ] = | Д1В1|, |ВО| =
= IBiOJ и I ДО| = 1ДЛ1.
544. Даны два конгруэнтных треугольника АВС и Д1В1С1.
На сторонах ДВ и ДхВг отмечены точки О и Ох так, что | AD| =
= HjOxl. Доказать, что А ДОС А Д1О1С1.
58
545. При перемещении две точки А иВ неподвижны. Докажите,
что любая точка прямой АВ неподвижна.
546. Докажите, что если при перемещении три точки, не принад-
лежащие одной прямой, неподвижны, то и любая точка плоскости
неподвижна.
547. Каким множеством может быть множество неподвижных
точек плоскости?
548. Известно, что |ДВ| = |Л'В'|, |ВС| = | В'С |, |ЛС| =|Д'С'|
и точки А, В, С не принадлежат одной прямой. Доказать, что су-
ществует единственное перемещение, при котором А -> А', В -> В',
С -> С.
549. Точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, при пере-
мещении отображаются на точки А', В', С. Известно, что | AD| =
= |Д'Е>'|, | BD| = | B'D' |, |СО| = |С'£)'|. Доказать, что при рас-
сматриваемом перемещении точка D отобразится на точку D'.
550. Докажите, что всякое перемещение либо осевая симметрия,
либо композиция двух осевых симметрий, либо композиция трех
осевых симметрий.
551. Всякое перемещение либо поворот, либо параллельный
перенос, либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия. До-
казать.
552. Докажите, что: а) композиция двух перемещений есть пере-
мещение; б), композиция перемещений обладает ассоциативным
свойством.
553. Заполните таблицу:
Вид перемещения Род Количество неподвижных точек Количество неподвижных прямых
Параллельный перенос Поворот Тождественное отображение Осевая симметрия Скользящая симметрия
Используя заполненную таблицу, установите, в каком случае:
а) перемещение I рода является поворотом, параллельным пере-
носом, тождественным отображением; б) перемещение II рода
является осевой симметрией, скользящей симметрией.
554. Известно, что Za ° f = f ° Za, где f — перемещение вто-
рого рода. Докажите, что f — осевая симметрия и точка А при-
надлежит оси симметрии.
555. Докажите, что координатные формулы перемещения име-
ют вид:
а) х' = х cos а — у sin а + а,
у' = х sin а + У cos а -j- b, если перемещение I рода;
59
б) х' = х cos а + у sin а + а,
у' = х sin а — у cos а ф- Ь, если перемещение II рода.
Задачи 528—530 предназначены для усвоения определения пе-
ремещения, при решении задач 531—533 используется прозрачный
материал, с помощью которого обосновываются требуемые утверж-
дения. В процессе решения таких задач вырабатывается интуиция
в использовании перемещений для доказательства конгруэнтности
фигур (задачи 539—544). В других задачах обсуждаются свойства
перемещения, способы его задания, структура перемещений, их
классификация по числу неподвижных элементов, координатные
формулы перемещения I рода, т. е. перемещения, не изменяющего
ориентацию плоскости, и координатные формулы перемещения II ро-
да, т. е. перемещения, изменяющего ориентацию плоскости.
Композиция двух перемещений является перемещением; отображе-
ние, обратное перемещению, есть перемещение (задача 552). Мно-
жество G преобразований множества М называется группой пре-
образований множества М, если оно обладает свойствами: 1)
если Л С G, f2 € G, то /2 ° € О; 2) если f € G, то f-1 € G.
Группу преобразований плоскости образует множество перемещений,
множество параллельных переносов, множество поворотов вокруг
одной и той же точки. Группой преобразований является множество
перемещений I рода. Группу преобразований образует множество
перемещений, отображающих равносторонний треугольник на
себя (проверьте это!).
В целях обеспечения более четкого представления о взаимо-
связи между отдельными видами перемещений приведем следующую
«таблицу»:
1. Композиция двух осевых симметрий, оси которых пересе-
каются, есть поворот вокруг точки пересечения осей.
. 2. Композиция двух осевых симметрий, оси которых перпен-
дикулярны, есть центральная симметрия относительно точки пере-
сечения осей.
<3. Композиция двух осевых, симметрий, оси которых параллель-
ны, есть параллельный перенос.
4. Композиция двух осевых симметрий относительно прямой
(или совпавших прямых) есть тождественное отображение.
5. Композиция трёх осевых симметрий, оси которых различные
параллельные прямые или прямые, имеющие только одну общую
точку, есть осевая симметрия.
6. Композиция трех осевых симметрий, оси которых не пересе-
каются в одной точке и непараллельны между собой, есть сколь-
зящая симметрия.
7. Композиция четного числа осевых симметрий есть либо
поворот, либо параллельный перенос, либо тождественное отобра-
жение.
8. Композиция нечетного числа осевых симметрий есть либо
осевая симметрия, либо скользящая симметрия.
60
9. Композиция двух скользящих симметрий, оси которых парал-
лельны, есть либо параллельный перенос, либо тождественное ото-
бражение.
10. Композиция двух центральных симметрий с различными
центрами есть параллельный перенос.
11. Композиция двух центральных симметрий с общим цент-
ром есть тождественное отображение.
12. Композиция трех центральных симметрий с различными
центрами есть центральная симметрия.
13. Композиция нечетного числа центральных симметрий есть
центральная симметрия.
14. Композиция четного числа центральных симметрий есть
либо параллельный перенос, либо тождественное отображение.
15. Композиция двух параллельных переносов есть параллель-
ный перенос.
16. Композиция параллельного переноса и поворота есть по-
ворот.
17. Композиция двух поворотов вокруг различных центров
есть поворот или параллельный перенос.
18. Композиция двух поворотов вокруг одного центра есть
поворот.
§ 6. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ
556. а) Отметьте точки А и В (А =^= В). Постройте: а = 2 АВ
b = —ЗАВ. > >
б) Дан CD. Постройте СХ = kCD, где k = -у; 1; —у Как
расположены точки X и D по отношению к точке С, если k > О,
k <0, k = 1?
в) Отметьте произвольную точку О и множество точек
{Л, В, С, D}. Постройте такое множество точек {А', В', С', D'),
что ОА' = 2ОА, OB' = 2ОВ, ОС' = 2ОС, OD' = 2OD.
г) Каждой точке X плоскости ставится в соответствие такая
'—1—► — > ___________
точка X', что ОХ' = kOX (k=A 0). Является ли это соответствие
отображением плоскости на себя?
557. Постройте образы данных точек при гомотетии с центром
13
в данной точке О и k = —1; I; — Какая зависимость между
гомотетией и центральной симметрией? При каких значениях k
гомотетия является перемещением?
558. Докажите, что гомотетия является обратимым отображе-
нием.
559. Существуют ли точки, которые отображаются гомотетией
сами на себя?
560. Назовите известные вам способы задания гомотетии.
61
561- Начертите произвольный отрезок АА' и отметьте точку О
такую, что О € [ЛД']. Считая, что Д' = (Д), вычислите коэф-
фициент гомотетии. Чему равен коэффициент гомотетии, отобра-
жающей точку Д' на точку Д?
562. Отметьте две точки А и В. Укажите такую точку О, чтобы
HI (Д) = В.
563. Известно, что (Д) = Дх и (Л1) = Л11. Верно ли
утверждение: прямая А1М1 параллельна прямой AM?
564. Известно, что гомотетия с центром О отображает точку А
на точку Д', точку В на точку В'. Где расположен: а) образ точки С,
принадлежащей прямой АВ', б) образ точки К, лежащей между точ-
ками А и В?
565. При гомотетии фигуры Ф и L перешли соответственно в
фигуры Ф' и L'. Какие из следующих утверждений истинны: а) лю-
бая точка К С Ф П В переходит в точку, принадлежащую множе-
ству Ф' П L'; б) для любой точки /<' С Ф' П В' найдется точка
К С Ф П В, которая при данной гомотетии переходит в ВС'; в) су-
ществует точка М' С Ф' П В', которая при данной гомотетии пере-
ходит в точку, принадлежащую множеству Ф П L; г) любая точка
N <z Ф U В переходит в точку, принадлежащую множеству Ф' U L';
д) любая точка К С Ф П В переходит в точку, принадлежащую
множеству Ф' U L'?
566. Постройте образ данной прямой при гомотетии с центром
3 1
в данной точке и k =---; — (за центр гомотетии возьмите точку,
принадлежащую прямой; точку, не принадлежащую прямой).
567. Существуют ли прямые, отображающиеся гомотетией на
себя?
568. Постройте образы точек А (—3; 2), В (0; 5), С (3; 4) и
D (—2; —3) при гомотетии с центром в начале координат и /г = 2;
з
—1; —Установите координаты образов и их связь с координа-
тами данных точек.
569. Запишите координаты образа точки А (а; Ь) при гомотетии
с центром в начале координат и коэффициентом k.
570. Верно ли утверждение: «Точка М' (ka\ kb) может быть
получена из точки М (а; Ь) гомотетией с центром в начале коорди-
нат и коэффициентом k».
571. Вершины треугольника АВС имеют координаты: А (0; 2),
В (—2; 3), С (—5; 4). Чему равны координаты вершин треугольни-
ка, являющегося образом треугольника АВС при гомотетии с цент-
ром в начале координат и k — 2?
572. Запишите коэффициенты гомотетий, отображающих:
а) А (2; 3) на Д' (4; 6); б) В (0; —2) на В' (0; 4); в) С (—3; 4)
на С (у; —2); г) D (—1; —2) на D' (— — 1).
573. Точка М1 (...; 2) является образом точки Л4 (—3; ...) при
62
гомотетии с центром в начале координат и k = —. Восстановите
пропущенные координаты.
574. Дано множество точек {(1; -2), (0; 5), (-3; 1), (7; 0),
(0; 10), (2; —4), (—6; —2)}. Выберите из данного множества такие
пары точек, в которых одна точка может быть получена из другой
гомотетией с центром О и k — 2.
575. Постройте образы данных лучей при гомотетии с центром
„ , 3 1
в данной точке и k = —;-----.
576. Постройте образы данных углов при гомотетии с центром
в данной точке и k = — (за центр гомотетии возьмите точку, при-
3
надлежащую углу; вершине угла; точку, не
углу).
577. Постройте образы данных отрезков при
принадлежащую
гомотетии с цен-
тром в данной точке и k = —
2
2
578. Постройте образ данного треугольника при гомотетии с
1
центром в точке пересечения его медиан и k =------.
579. Постройте треугольник и его
являющемся композицией гомотетии с
центром в данной точке и поворота вокруг
вершины данного треугольника на 45°.
580. Начертите квадрат ABCD. От-
метьте произвольную точку О и построй-
те образ квадрата при отображении
Р = Щ ° soc.
581. Постройте образ фигуры (рис. 70)
при гомотетии с коэффициентом, рав-
ным ,2. За центр гомотетии возьмите:
а) точку О; б) точку Е. Каково взаим-
ное расположение полученных фигур?
582. Известно, что ломаная АСВ яв-
ляется подмножеством образа фигуры
MPQDF при гомотетии с центром в
точке О (рис. 71) Достройте ломаную
АСВ до образа фигуры MPQDF.
583. Постройте образ окружности
при гомотетии с k = 1,5. За центр го-
мотетии возьмите: а) точку окружности;
б) центр окружности; в) точку, не при-
надлежащую окружности.
584. Начертите произвольный четы-
рехугольник ABCD. Отметьте произ-
вольную точку и постройте образ
образ при отображении,
Рис. 71
63
Ct a‘
к'
о
и
Рис. 72
этого четырехугольника при гомотетии, отобра-
жающей точку А на точку Alt с k — —1,5.
585. Прямая а' является образом прямой а
при гомотетии с центром в точке О. Как Построить
образ точки М; точку, образом которой является
точка К' (рис. 72)?
586. Постройте прямую а и отметьте точки О
и А (О $ а, А £ а). Отобразите прямую а гомотети-
ей с центром О так, чтобы точка А принадлежа-
ла прямой, являющейся образом прямой а. Вы-
числите коэффициент гомотетии.
587. Отметьте на данном луче точку (задача
575) и постройте ее образ при указанной гомотетии.
588. Отметьте на данном отрезке (задача 577) точку и постройте
ее образ при указанной гомотетии.
589. Известно, что гомотетия с центром О отображает точку А
на точку А'. Как построить образ точки М при данной гомотетии
(М £ (ЛЛ')) ПРИ помощи транспортира и линейки?
590. На данной окружности (задача 583) отметьте точку и по-
стройте ее образ при указанной гомотетии. Постройте образ точки,
не принадлежащей окружности. Выполните построение с помощью
одной линейки.
591. На рисунке 73 изображено несколько треугольников.
Какие треугольники гомотетичны? Постройте центры гомотетий и
определите коэффициенты гомотетий.
592. Отрезок А'В' является образом отрезка АВ при некото-
рой гомотетии (рис. 74). Постройте образ точки М при гомотетии,
отображающей [Л В] на [Л'В']. Выполните построение с помощью
линейки и транспортира.
593. Точка пересечения прямых а и b «недоступна». Постройте
прямую, содержащую данную точку М и «недоступную» точку
пересечения прямых а и Ь.
594. Известно, что (Л) = А’ и HkQ (В) = В'. Как построить
точку О? Рассмотрите случаи, когда точки Л, Л', В, В' принад-
лежат различным прямым; одной прямой.
В
Рис 74
595. Даны две параллельные прямые. Можно ли одну из них
отобразить на другую гомотетией? Сколько существует таких гомо-
тетий? Где располагаются центры этих гомотетий?
596. Даны две параллельные прямые а и b (a f] b = 0). Найти
множество центров гомотетий, отображающих прямую а на пря-
мую Ь, с k = 2 (Л — —1,5).
597. Прямые а и b пересекаются в некоторой точке.. Существует
ли гомотетия, отображающая прямую а на прямую Ь?
598. Даны два параллельных отрезка разной длины. Сколько
существует гомотетий, отображающих один из этих отрезков на
другой?
599. а) Лучи I и Г сонаправлены. Что представляет собой мно-
жество центров гомотетий, отображающих один из лучей на другой?
б) Лучи тит' противонаправлены; Существует ли гомотетия,
отображающая один из лучей на второй? Если да, то что представ-
ляет множество центров гомотетий.
600. Сколько центров гомотетий имеют: а) два угла с сонаправ-
ленными сторонами; б) два угла с противонаправленными сторона-
ми? Каковы коэффициенты гомотетий в обоих случаях?
601. Сколько существует гомотетий, отображающих окружность
на неконгруэнтную ей окружность? При каких условиях центры
этих гомотетий совпадают?
602. Что является центром гомотетии, отображающей один из
вертикальных углов на другой? Каковы коэффициенты этих гомо-
тетий?
603. Стороны треугольника А'В'С являются средними линиями
треугольника АВС. Постройте центр гомотетии, отображающей
треугольник АВС на треугольник А'В'С', и вычислите ее коэф-
фициент.
604. Треугольники, изображенные на рисунке 75, гомотетичны.
Постройте центр гомотетии. •
605. При каком условии один треугольник может быть отобра-
жен на другой гомотетией?
606. На рисунке 76 изображены два прямоугольника, длины
сторон которых соответственно равны 3 см и 2 см; 2 см и —' см.
3
Можно ли один их этих прямоугольников отобразить на другой
w U1
Рис. 75 Рис. 76
3 Заказ 431
65
гомотетией? Если да, то постройте центры
гомотетий и определите ее коэффициенты.
607. Всегда ли гомотетичны два прямо-
угольника с соответственно параллельны-
ми сторонами?
608. При каком условии можно отобра-
зить гомотетией квадрат на квадрат; пря-
моугольник на прямоугольник; параллело-
грамм на параллелограмм?
609. Перерисуйте фигуры (рис. 77) на клетчатую бумагу, а) По-
стройте образ треугольника АСВ при гомотетии, отображающей
точку А на точку D, точку В на точку Е. б) Постройте образ тре-
угольника АСВ при гомотетии: Д->£, B-+D. Каково взаимное
расположение полученных треугольников?
610. На прямой последовательно отложены отрезки: [ЛВ]
= [ВС] [CD] [D£]. а) Известно, что Нв (Л) — Е. Чему рав-
но /г? б) Укажите такую точку, что гомотетия с центром в этой точке
и k = —2 отображает точку В на точку £.
611. Начертите параллелограмм ABCD. Сколько существует
гомотетий, отображающих Z~BCD на ADXB? Где расположены
центры и каковы коэффициенты этих гомотетий? Постройте такую
точку О, что Н~т BCD) = /CDАВ.
о
612. Запишите уравнение прямой, на которую отображается
прямая у = —2х + 1 гомотетией с центром в начале координат
и k = 3.
613. Запишите координаты точек пересечения прямой у =>
= —5х + 1,5 и образа прямой у — х — 1 при гомотетии с центром
, 2
в начале координат и k = —у'
614. Дана система координат и точка А. Постройте точку А'
так, чтобы она лежала между точкой А и точкой О (0; 0). Запишите
формулы гомотетии с центром в точке О, отображающей А на А'.
615. Дана система координат и две па-
раллельные прямые I и /'(/(]/' = 0).
Запишите формулы гомотетии с центром в
начале координат, отображающей пря-
мую I на прямую V.
616. Точка А, принадлежащая прямой
у=2л'+1, отображается гомотетией с
центром в начале координат и k — —3 на
точку А’ (а; 5). Найдите координаты А.
617. Перерисуйте рисунок 78. Найдите
на прямых а и b соответственно такие
точки А нВ, чтобы точку В можно было
бы получить из точки А гомотетией с цент-
ром О и k = 2.
Рис. 78
6G
618. На данных прямой и отрезке найдите соответственно такие
точки С и D, чтобы точку С можно было получить из точки D гомо-
тетией с центром в данной точке и k = —2.
619. Даны прямая и луч. Постройте на прямой и луче соответ-
ственно такую пару точек, чтобы одну точку пары можно было ото-
бразить на другую гомотетией с центром в данной точке и k —
620. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС постройте соот-
ветственно точки Е и М так, чтобы Bfy5 (М) = Е, где О — точка
пересечения высот треугольника АВС.
621. На прямой и окружности постройте соответственно такие
пары точек, чтобы одну точку пары можно было отобразить на
другую гомотетией, центром которой является центр окружно-
. 3
сти, a k — —.
2
622. На прямых у = Зх + 2 и у = —2х + 4 найдите соответ-
ственно точки А и В, такие, что Н~2 (Л) = В. Решите задачу ана-
литически.
623. На прямых у = х — 1 и у = Зх + 2 найдите соответствен-
но точки М и К, такие, что Щ5 (М) = К-
624. Дан угол АВС и точка Р, принадлежащая этому углу
(Р $ [ВЛ), Р $ [ВС)). Провести через точку Р прямую так, чтобы
|МР|: | PN | = 1:2, где М и N — точки пересечения прямой со
сторонами угла ЛВС.
625. Даны две окружности и точка М. Постройте на окружнос-
тях соответственно точки Л и В, чтобы [Л/И] (J [МВ] = [ЛВ] и
| АМ\: | МВ\ = 2:3.
626. Треугольник А'В'С гомотетичен треугольнику ЛВС с
коэффициентом гомотетии, равным 1,5. Периметр треугольника
ЛВС равен 30 см. Чему равен периметр треугольника А’В'С?
627. Через середину Е высоты BD равнобедренного треугольни-
ка ЛВС параллельно боковой стороне АВ проведена прямая, пе-
ресекающая стороны АС и ВС треугольника ЛВС соответственно в
точках М и К- Вычислите периметр треугольника МКС, если пери-
метр треугольника ЛВС- равен 36 см.
628. Пересечением треугольника ЛВС и прямой, параллельной
(АВ), является [BF]. Докажите, что точка О пересечения [СО] и
[BF], где [С£>]— медиана треугольника ЛВС, делит |BF| пополам.
629. Длины отрезков, одним концом которых является точка Л,
а другим — точки прямой, разделены в одном и том же отно-
шении. Докажите, что точки деления принадлежат одной
прямой.
630. Точки Л, В, С, D не принадлежат одной прямой и (ВС) ||
|| (AD). Докажите, что О = [ЛС] П [В£>] является пересечением
окружностей, содержащих соответственно точки Л, О, D и В, О, С.
631. На основаниях ВС и AD трапеции ABCD построены квад-
раты BCMN и ADEF, вершины М, N, Е, F которых принадлежат
3*
67
внешней области трапеции. Докажите, что [AZE] П [MF] = О
где О = [AC] fl [BD].
632. Если на основаниях трапеции во внешней ее области по-
строены прямоугольники, то какому условию должны удовлетворять
стороны прямоугольников, чтобы имело место утверждение преды-
дущей задачи?
633. Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD продолжены
до взаимного пересечения в точке О. Точки Ей F — середины осно-
ваний трапеции. Докажите, что точки Е, F, О принадлежат одной
прямой.
634. Около окружности описана трапеция ABCD, меньшее осно-
вание ВС которой касается ее в точке F. Прямая MF, где М =
= (АВ) П (CD), пересекает [Л£>] в точке К- Докажите, что К —
точка касания отрезка AD и окружности, вписанной в фигуру, яв-
ляющуюся объединением основания AD и продолжений сторон
ВА и CD.
635. Докажите, что прямая, содержащая середины оснований
трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей и точку
пересечения боковых сторон. Верно ли обратное утверждение?
636. С помощью одной линейки разделите трапецию ABCD на
две равновеликие части.
637. Точки Р и Q — середины сторон ВС и CD выпуклого че-
тырехугольника ABCD. Прямые АР и AQ делят [BD] на три кон-
груэнтных отрезка. Докажите, что [£Р] = [PQ] = [Q-SJ, где /?
и S — точки пересечения прямой PQ с лучами А В и AD.
638. Параллельные прямые /г и /2 пересекают сторону ВА угла
АВС соответственно в точках Е и К, а сторону ВС — в точках F
и М. Через точки Е и К проведены прямые, перпендикулярные
стороне ВА, а через точки F и М — прямые, перпендикулярные
стороне ВС. Докажите, что точка пересечения прямых, проходя-
щих через Е и F, точка пересечения прямых, проходящих через К
и М, и вершина угла принадлежат одной прямой.
639. Пересечением двух окружностей является точка М. Че-
рез точку М проведены две прямые, которые пересекают окружно-
сти, кроме точки М, соответственно в точках А и В, С и D. Докажи-
те, что (АВ) Н (CD).
640. Даны две параллельные прямые 1Х и /2 (lx f] /2 = 0) и
точка О (О i 1Х, О $ 12). Через точку О проведена прямая, пересе-
кающая прямые /х и /2 соответственно в точках L и М. Докажите,
что отношение j не зависит от выбора секущей.
641. Даны две окружности, радиусы которых равны 6 см и
4 см. Через точку пересечения внутренних касательных к окруж-
ностям проведена прямая, пересекающая окружности в точках А,
В и С, D. Определите । •
642. Впишите в данный треугольник другой треугольник, сто-
роны которого были бы параллельны трем данным прямым.
68
643. Впишите в данный треугольник квадрат, две вершины ко-
торого лежат на основании треугольника, а две другие — на боко-
вых сторонах.
644. Постройте треугольник:
а) но двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего
угла;
б) по углу, противолежащей ему стороне и отношению длин
двух других сторон;
в) по стороне и отношению длин трех сторон.
645. Постройте прямоугольник по диагонали и отношению длин
его сторон.
646. Даны две прямые и окружность. Постройте окружность,
которая касалась бы данных прямых и окружности.
647*. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника,
точка пересечения его высот и центр окружности, описанной около
этого треугольника, лежат на одной прямой.
648*. Две окружности касаются внутренним образом в точке О
В произвольной точке М внутренней окружности проведена к ней
касательная, которая пересекает вторую окружность в точках А и
В. Докажите, что АОЛ! — МОВ.
649. Гомотетичны ли параболы у = х2 и у = 8х2? Если да,
то чему равен коэффициент гомотетии?
650. а) Гомотетичны ли кривые у = х2 и х = у2? Будут ли
они подобны?
б) Подобны ли кривые у = х2 и х = —у2?
4
651. Можно ли гомотетией отобразить график функции у — —
X
на график функции у = —?’Если да, то определите коэффициен-
ты гомотетий.
652. Как получить график функции у = 4х2 из графика функ-
ции у = х2?
653. Докажите, что композиция двух гомотетий с общим цент-
ром и коэффициентами и k2 есть гомотетия с центром в той же
точке и коэффициентом k = kt • k2.
654. Каким отображением является Zo о //g?
655*. Докажите, что композиция двух гомотетий с различными
центрами есть гомотетия или параллельный перенос.
656*. Каким отображением является: а) Н2О^Н2О\ б) 7/^ °
о /7*/3? Постройте элементы, определяющие отображения.
657*. Известно, что ZB (Д) = Аъ Zc (В) = Въ ZD (С) ~ Ci,
ZA (D) = Дх. Постройте четырехугольник ABCD, считая точки
Дх, Въ Ci, Di данными.
658*. Пусть М и К — две точки на сторонах АВ и ВС треуголь-
ника АВС, а Е — точка, принадлежащая прямой АС. Докажите,
69
I AM I |BK| |C£| , .. c
что если 7—— • '-—j • Ьтт = 1, ТО точки М, К и Е принад-
| Вт I |Сл | |At |
лежат одной прямой.
659. Верны ли утверждения:
а) Любые две конгруэнтные фигуры подобны, б) любые две по-
добные фигуры конгруэнтны, в) любые две гомотетичные фигуры
подобны, г) любые две подобные фигуры гомотетичны?
660. Докажите, что отображение, обратное подобию с коэффи-
циентом k, есть подобие с коэффициентом —
k •
661. Докажите, что композиция двух подобий есть подобие
с коэффициентом, равным произведению коэффициентов данных
подобий.
662. Верны ли утверждения: a) Fj о F2 = F2 о б) F3 °
о (F2 о FJ = (Fs о F2) о F,?
663. Образует ли множество подобий группу геометрических
преобразований?
664. Докажите, что три точки А, В, С, не принадлежащие
одной прямой, и три точки А', В', С такие, что | А'В'| = k | ДВ|,
\В'С| = k |ВС|, |Д'С'| = k |ДС|, определяют единственное по-
добие, при котором А -> А', В-¥ В', С -> С.
665. а) Докажите, что любое подобие представимо в виде ком-
позиции гомотетии и перемещения. Какие свойства подобий следуют
из этого? б) Докажите, что если F — подобие, Фг и Ф2 — какие-
либо фигуры, то F (Фх f| Ф2) = F (Qi) П F (Ф2).
666. Начертите треугольник АВС и постройте треугольник,
подобный ему с k — 2. Проведите медиану AM треугольника АВС
и отметьте на ней точку К. Постройте образ точки К-
667. Даны лучи ОД, ОВ и О'А'. Известно, что подобие с k = 3
переводит луч ОД в луч О'А'. Постройте луч, в который перейдет
луч ОВ. Однозначно ли определяется положение луча О'В"> По-
чему?
668. Верно ли высказывание: а) все квадраты подобны; б) все
равнобедренные треугольники подобны?
669. Точки Д, В и С, не лежащие на одной прямой, при подо-
бии с k = 3 переходят в точки Д', В’ и С1. Известно, что | A'D' | =
= 3 • |ДД>|, = 3 • [BD| и |С'£)'| = 3 • |С£>|. Докажите,
что при рассматриваемом подобии точка D переходит в точку D'.
670. Начертите два неконгруэнтных квадрата. Отобразите один
из этих квадратов на другой при помощи гомотетии и перемещения.
671. Даны две неконгруэнтные окружности и на каждой из них
соответственно точки А и В. Отобразите одну из этих окружностей
на другую при помощи гомотетии и перемещения так, чтобы точка
А перешла в точку В.
672*. Дана система координат. Отображение плоскости каждую
точку М (х; у) переводит в точку М' (2х; —2у). Докажите, что дан-
ное отображение есть подобие. Отметьте на координатной плоско-
сти несколько точек и постройте их образы.
70
673. Даны два непараллельных и неконгруэнтных отрезка АВ
и Около треугольников Р/1/li и PBBlt где Р = (ЛВ) П
П (AtBJ, описаны окружности, пересекающиеся, кроме точки Р,
в точке О. Докажите, что отрезок АВ можно отобразить на отре-
зок Л1В1 с помощью гомотетии с центром О и поворота вокруг точ-
ки О.
674*. Даны две окружности. Какую фигуру образует множе-
ство точек, являющихся центрами подобий, отображающих одну
окружность на другую?
675*. Докажите, что подобие I рода, отличное от перемещения,
есть композиция гомотетии с центром в некоторой точке и поворо-
та вокруг этой же точки.
676*. Докажите, что подобие II рода, отличное от перемещения,
есть композиция гомотетии с центром в некоторой точке и симмет-
рии относительно прямой, содержащей эту точку.
677. Подобие I рода отображает точки Л и В соответственно
на точки Л! и ВР Докажите, что: а) центр этого подобия есть вто-
рая точка пересечения окружности, определяемой точками Л, В,
N, и окружности, содержащей точки Лх, Blt N, где N — (ЛЛО П
fl (BBJ; б) прямая, определяемая соответственными при данном
подобии точками указанных окружностей, содержит точку N.
678. Даны два непараллельных отрезка АВ и Л^, причем
HBI^^iBJ, Р = (ЛВ)ПИ1В1) и N = (ЛЛП П (BBJ. До-
кажите, что окружности, описанные около треугольников РЛЛр
РВВр ABN, A&N, имеют общую точку.
679. Окружности R и S пересекаются в двух точках. Прямая,
содержащая одну из точек пересечения окружностей, пересекает
их в точках А и Л!. Доказать, что угол между касательными, про-
веденными к окружностям в точках А и Лъ не зависит от выбо-
ра секущей.
680. В треугольнике АВС С = 90°, [CD] — высота. Доказать,
что медианы AM и CN треугольников ADC и DBC перпендику-
лярны.
681. Докажите, что композиция гомотетии и поворота с общим
центром коммутативна. Обладает ли этим свойством композиция
гомотетии и поворота с различными центрами?
682. Докажите, что композиция гомотетии, центр которой при-
надлежит прямой /, и симметрии с осью / коммутативна.
683. Если h — подобие второго рода с коэффициентом k, то
h2 — гомотетия с коэффициентом k2.
684. Окружности Й! и (о2 с центрами (\ и О2 касаются окружно-
сти to в точках Л! и Л2. Через точку М окружности to проведены
прямые MAl и МА2, пересекающие и со2, кроме точек Л! и Л2,
в точках Вг и В2. Доказать, что прямые Л^, ВХВ2 и О±О2 пере-
секаются в одной точке или параллельны.
685*. Квадрат Л1В1С1Д1 является образом квадрата ABCD
(Л -> Лг, В —> Br, С -> Clt D -> DO при повороте вокруг центра
71
квадрата на угол а (а=$£ 180°). Докажите, что точки пересечения
прямых АВ и AiBlf ВС и BjC^ CD и С^, AD и AyDr являются
вершинами квадрата. Найдите обобщения этой задачи.
686*. Выведите координатные формулы подобия.
687. Докажите, что композиция гомотетии и параллельного
переноса является гомотетией с тем же коэффициентом. Является
ли гомотетией композиция параллельного переноса и гомотетии?
688. Окружности (Oj, го2, о>3 касаются попарно внешним обра-
зом. Пусть А — точка касания окружностей а>х и ы2; В — точка
касания окружностей а>2 и со3; С — точка касания окружностей
со3 и (i)v Докажите, что композиция гомотетий с центрами А, В, С,
при которых сох отображается на ш2, ы2 па w3, a ю3 на <о1, есть цен-
тральная симметрия. Всегда ли композиция трех гомотетий явля-
ется центральной симметрией?
689. Можно ли с помощью одной линейки построить центры
трех попарно касающихся внешним образом окружностей?
690*. Известно, что при подобии, являющемся композицией го-
мотетии и поворота с общим центром, существует прямая, отоб-
ражающаяся на себя. Чему равен угол поворота?
691*. Доказать, что при подобии первого рода все углы между
прямыми и их образами равны.
692*. На плоскости даны точки А и В, которые в некоторой
прямоугольной системе координат Оху имеют координаты: А (3; 5),
В (—2; 1). Постройте оси Ох и. Оу этой системы координат.
693*. Точка Р принадлежит отрезку Л В. В одной из полупло-
скостей с границей (АВ) построены квадраты ALMP и РКСВ.
Доказать, что угол между прямыми А К и LC равен 45°. Вычисли-
те угол между прямыми А К и МВ. Найти: a) |ВС| : |Л/<|;
б) ]АК\ : |МВ|.
694*. Четыре различные прямые a, b, с, d имеют общую точку.
Точки В и С являются проекциями точки А € а соответственно
на прямые b и с, точки BL и CY — проекциями точки D € d на те
же прямые. Доказать, что угол между прямыми ВС и В,С2 не за-
висит от выбора на прямых а и d соответственно точек А и D.
695*. Отрезок Л^ является образом отрезка ЛВ при повороте
вокруг точки О на 120°. Доказать, что расстояние между середи-
нами отрезков ЛЛГ и ВВ± равно -i- |ЛВ|.
696*. Треугольник Л1В1С1 является образом равностороннего
треугольника ЛВС при повороте вокруг его центра на угол а.
Вычислите стороны треугольника Л2В2С2, где Л2 — точка пере-
сечения прямых ВС и BjCj, В2 — точка пересечения прямых АС
и А1С1 и С2 — точка пересечения прямых ЛВ и Л1В1, зная, что
сторона треугольника ЛВС равна а.
* * *
Задача 556 является вводной. При ее решении следует обратить
внимание на то, что равенство ОХ' — k • OX (k =А= 0) любой точке
72
плоскости ставит в соответствие точку той же плоскости и, обратно,
каждая точка плоскости является образом некоторой точки этой
же плоскости, т. е. в этом случае мы имеем новый вид отображения
плоскости на себя, называемый гомотетией.
Задачи 557—584 предназначены для выявления некоторых
свойств гомотетии и формирования умения строить образы различ-
ных фигур при гомотетии. Некоторые из этих задач решаются на
координатной плоскости. Задачи 563—564 способствуют усвоению
следующего факта: образом прямой при гомотетии является пря-
мая, причем при решении этих задач используется аксиома парал-
лельности. Результат решения задачи 565, заключающийся в том,
что гомотетия сохраняет пересечение и объединение фигур, широ-
ко используется при построении образов различных фигур. По-
лезны для овладения свойствами гомотетии задачи 561—562,
задачи на достраивание, задачи на распознавание гомотетичных
фигур. Следует обратить внимание и на решение задач, в которых
требуется выполнить композицию гомотетии и перемещений (задачи
579, 580). Решение этих задач дает способ построения подобных
фигур.
При решении задач этой группы следует обратить внимание
учащихся на существование фигур, переходящих в себя при гомо-
тетии с k ф 1. Такими фигурами могут быть только неограниченные
фигуры. К ним относятся прямая, луч, угол.
Задачи 568—575 предназначены для усвоения координатной
записи гомотетии.
При решении задачи 568 учащиеся устанавливают, что коорди-
наты образа точки при гомотетии с центром в начале координат и
коэффициентом k получаются умножением координат данной точки
на k. Этот факт и результат решения задачи 570 позволяют утверж-
дать, что гомотетия с центром в начале координат есть отображение:
X (*; У) X' (х'< /)» гДе х' = ^0 У' = ky (k — коэффициент го-
мотетии). Формулы гомотетии используются при решении задач
571—574, 575, 622, 623, 649—654.
Решения задач 582—590 способствуют развитию «видения»
соответственных при гомотетии точек на соответственных фигурах.
Эти задачи несложные, но пренебрегать ими не следует. Решение
подобных задач осуществляется с помощью указанных инструмен-
тов и с привлечением образов данных фигур.
Следующая группа задач (591—611) предназначена для форми-
рования умения выделять элементы, определяющие гомотетию.
Следует подчеркнуть способы задания гомотетии: а) центром и
коэффициентом; б) парой соответственных точек и центром; в) дву-
мя парами соответственных точек; г) парой соответственных точек
и коэффициентом.
В задачах 617—622 требуется отыскать на заданных фигурах
соответственные при гомотетии точки. Решение этих задач опира-
ется на предыдущие задачи и непосредственно готовит к решению
73
последующих задач Решение задач 622 и 623 осуществляется ана-
литически, с использованием формул гомотетии.
Задачи 624—648 решаются на основе свойств гомотетии. В ка-
честве примера рассмотрим решение задачи 637. Так как [PQ] —
средняя линия треугольника BCD, то |PQ| = — | BD | и (PQ) ||
|| (BD). Пусть L = [ДР) f| [BD], а М = [ДQ) П [ВО]- По усло-
вию | BL\ =| LM| = | М£>|. Тогда |PQ| = у |£М|. Рассмотрим
з
гомотетию с центром в точке Auk — —. Эта гомотетия переведет
точку L в точку Р, а точку М в точку Q. Эта же гомотетия отобра-
зит точку В в точку Р и точку D в точку S. Итак, отрезки РР,
PQ и QS при гомотетии являются образами конгруэнтных отрез-
ков BL, LM и MD.
Следовательно, | РР| = | PQI = [ QS |.
Задачи 653—655 знакомят'учащихся с композицией гомотетий.
Результаты этих задач используются при решении задач 656—658.
Задачи 659—673 предназначены для усвоения свойств преобра-
зований подобия. В большинстве своем эти задачи способствуют
уяснению взаимосвязи подобия с гомотетией и перемещениями.
Композиция гомотетии и перемещения есть подобие. Любое
подобие представимо композицией гомотетии и перемещения. Вся-
кое перемещение является подобием с коэффициентом подобия,
равным 1. Таким образом, множество перемещений есть подмноже-
ство множества преобразований подобия. Любая гомотетия с коэф-
фициентом k является преобразованием подобия с коэффициен-
том |&|, т. е. гомотетия есть частный случай подобия. Гомотетия с
k = ±1 является перемещением, причем гомотетия с k — 1 есть
тождественное отображение.
Множество преобразований подобия плоскости образует груп-
пу геометрических преобразований плоскости. В 1872 г. Ф. Клей-
пом была высказана мысль о том, что каждая группа преобразова-
ний определяет свою геометрию. Геометрия, определяемая группой
преобразований подобия, и является предметом изучения в сред-
ней школе.
Изучение преобразования подобия в Средней школе занимает
незначительное место. Учебное пособие «Геометрия, 6—8» ограни-
чивается рассмотрением подобия треугольников и многоугольни-
ков. С целью расширения знаний о преобразовании подобия и
формирования умения в его применении включены и более трудные
задачи. Это задачи 674—696. В познавательном отношении важны
задачи 675 и 676. Они знакомят с поучительными фактами: а) по-
добие первого рода (не изменяющее ориентацию плоскости), отлич-
ное от перемещения, есть композиция гомотетии с центром в некото-
рой точке и поворота вокруг этой же точки; б) подобие второго ро-
да (изменяющее ориентацию плоскости), отличное от перемещения,
есть композиция гомотетии с центром в некоторой точке и симметрии
74
относительно прямой, содержащей эту точку. Решения этих задач
дают способ построения центра подобия и оси симметрии. Указан-
ные факты используются при решении последующих задач. Реше-
ния многих из этих задач довольно-таки сложные, поэтому они при-
ведены полностью.
В заключение хотелось бы обратить ваше внимание на следую-
щее. Вы уже оценили «силу» метода геометрических преобразова-
ний и научились использовать его при решении различных задач.
Однако даже после этого у вас могут возникнуть трудности с вы-
бором преобразования, посредством которого можно получить наи-
более простое решение данной задачи. В книге задачи, решаемые
каким-либо методом, объединены в отдельный параграф. Его на-
звание уже подсказывает выбор нужного вида преобразования. Го-
товых «рецептов», которые всегда приводили бы к нужному резуль-
тату, нет. Однако (может быть, вы это заметили и сами) особенно-
сти условия и требования задачи могут указать на выбор пре-
образования. Доказать некоторое соотношение в равнобедренном
треугольнике, равнобедренной трапеции, прямоугольнике, ромбе
часто удается с помощью осевой симметрии. При установлении за-
висимостей в равностороннем треугольнике, квадрате, окружнос-
ти, при доказательстве перпендикулярности прямых эффективно
использование поворота. Метод параллельного переноса дает жела-
емый результат при доказательстве различных соотношений в па-
раллелограмме, трапеции, а также при построении этих фигур.
Применение гомотетии возможно в тех случаях, когда в условии
задачи даны параллельные отрезки разной длины, окружности с
неравными радиусами. Поэтому не спешите с выбором преобразо-
вания, прежде проанализируйте условие и требование задачи:
выделите фигуры, о которых идет речь в задаче, отношения, кото-
рыми они связаны; вспомните признаки понятий, содержащихся
в требовании задачи и выраженных через перемещения или гомо-
тетию; рассмотрите связь фигур, заданных в условии, с выделенны-
ми перемещениями или гомотетией. Только после этого приступай-
те к использованию конкретного вида преобразования. Проиллю-
стрируем сказанное на задаче: «Дан квадрат ABCD. Через центр
этого, квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые,
отличные от прямых АС и BD. Доказать, что отрезки, являющиеся
пересечением этих прямых с квадратом, конгруэнтны». Для дока-
зательства конгруэнтности отрезков может быть использовано либо
перемещение, либо один из его частных видов. Поскольку в усло-
вии задачи заданы квадрат и взаимно перпендикулярные прямые,
содержащие центр квадрата (поворот вокруг центра квадрата на
90° отображает его на себя), предпочтительно использование пово-
рота вокруг центра квадрата на 90°. Теперь откройте любую стра-
ницу, выберите задачу и попробуйте решить ее с использованием
приведенных рекомендаций. Повторите это еще несколько раз.
75
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ
§ 1. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
1. Нет. 2. Четыре. 3. Бесконечно много. 4. Да (прямая, которая содер-
жит биссектрису угла) 5. Бесконечно много (сама прямая и прямые, перпен-
дикулярные к ней). 6. Две. 10. Запись слова «КОФЕ» имеет ось симметрии.
21. Прямая ОС является осью симметрии угла АОВ. 22. Пусть О — точка
пересечения прямой s и отрезка АА'. Тогда | АО | = | ОА' | и АОК = А'ОК,
где К — точка прямой s, отличная от точки О (при перегибании листа бума-
ги точка А совпадает с точкой Л', а точка О остается на месте). 23. Восполь-
зуйтесь результатом предыдущей задачи. 24. Нет; А'ОС — A'OD. 25. Нет.
26. Нет; АОВ = ВОА'. 28. а) А' (2; 3), В' (5; 0), С (0; 7); в) At (—3; 2),
Bi (0; 5), Ci (—7; 0). 29. А (2; 5). 30. В (7; —3). 31. А (5; 2), В (5; -2).
32. А (—3; 7), В (3; 7). 33. С (—2; 4), В (4; —2) 34. Пусть At,
As, А3, At—точки, симметричные точке А относительно оси Ох,
оси Оу, биссектрисы 1 и III координатных углов и биссектрисы II и
IV координатных углов соответственно Тогда At (а; —Ь), А2 (—а; Ь),
А3 (Ь; а) и Л4 (—Ь; —а). 35. Правильность ответа можно проверить так:
а) соединить точку Р с точками Р' и Р", далее выясните, какая из прямых
РР' или РР" перпендикулярна прямой s, затем сравните расстояние от
точки Р до прямой s и от точек Р' или Р" до прямой s; б) отметьте на прямой
s две точки 01 и О2 и постройте две окружности с центрами в точках О{ и О2
и соответственно радиусами, равными | О±Р | и | О2Р |. Точка, симметричная
точке Р относительно прямой s, является второй точкой пересечения окруж-
ностей. 37. Нет. Прямая I должна содержать биссектрису одного из углов,
образованных при пересечении прямых а и Ь. 39. Используйте свойство точек
оси симметрии. 41. Постройте [В'Л') так, чтобы А'В'С = АВС и «обход»
сторон угла А'В'С' был противоположен «обходу» сторон угла АВС.
42. /С'6'Е,(см. решение предыдущей задачи). 43. Нет. 45. Окружность. Про-
тив часовой стрелки. 54. Точки А (а; Ь) и А' (а; —Ь) принадлежат различ-
ным полуплоскостям с границей Ох, а также прямой, содержащей точку
С (а; 0) и перпендикулярной к прямой Ох, и находятся от точки С на одина-
ковом расстоянии. 55. а) Оу; б) Ох. 57. а) В4, Л8, С2; б) (В4Л8); в) (Л4О2);
г) (В8С4) и (В4ОЯ) или (Л3Д4) н (В6Л8); д) (Л4О2) и (Л8О4). 59. Пусть К Е [ЛВ],
тогда К' £ [Л'В'] и | А'К' | = | АК |. 60. Используйте тот факт, что (АС) —
76
ось симметрии квадрата. 64. Постройте прямую, содержащую точку Д’ и
С — р (] а 66. Пусть М = (ДВ) (] р, К = (6Д')П Р. тогда В' = (Д'Л1) f|
П ИЛ).
68. Отобразить Д ABG симметрией относительно прямой, которая содер-
жит биссектрису угла АВС. 71. Можно. Отобразите треугольник симметрией
относительно срединного перпендикуляра той стороны треугольника, при
которой расположены данные углы. 73. Точки М и К симметричны точкам N
и L относительно прямой, которая содержит биссектрису угла АОВ. 74. Ис-
пользуйте результат предыдущей задачи. 75. Прямыё КЕ и FL симметричны
относительно прямой ОС. 76. Рассмотрите симметрию относительно прямой,
содержащей биссектрису угла В А В' При указанной симметрии В -> В’ и
С-+С. Если бы С->С’, отличную от точки С, то мы имели бы, что тре-
угольники АВ'С и АВ'С имеют одинаковые «обходы» сторон, конгруэнт-
ны и различны 77. Используя формулы осевой симметрии с осью Ох: х' = х
и у' = —у, получим уравнение линии, симметричной прямой Ах -f- By +
+ С = 0 относительно оси Ох: Ах' — By' + С = 0. Таким образом, пря-
мая Ах + By + С = 0 отображается осевой симметрией относительно оси
Ох на прямую Ах— By + С = 0. 81. Образом прямой у — Зх + 7 являет-
ся прямая у = —Зх — 7. Используя тот факт, что точка Д' (1; а) принадле-
жит прямой у = —Зх — 7, найдем, что а = —10, отсюда А (1; 10). 82. Точ-
ки пересечения прямой I со сторонами угла АВС симметричны относительно
прямой, которая содержит биссектрису угла АВС. 83. Образ точки К принад-
лежит окр. (Д'; | АК |) и окр. (S'; | ВК |). 85. Да. 86. Нет. 87. Воспользуйтесь
результатом задачи 85. 88. BCD = 20°; (ВО) — ось симметрии четырехугольни-
ка ABCD 89. Воспользуйтесь результатом задачи 85. 90. Пусть пря-
мая содержит вершину А и точку Е — середину стороны ВС. Так
как | АС | = | АВ | и | СЕ ( = | BE |, то (ДЕ) — ось симметрии треугольника.
91. Точка Д находится на одинаковом расстоянии от точек В' и О; далее
смотрите задачу 85. 92. а) Верно; б) верно. 93. Решается аналогично
задаче 91. 94. Да. Данное" перемещение оставляет на месте все точки
прямой АВ. Пусть М g [ДВ], т. е. | AM ] + | МВ | = | ДВ |, тогда | AM' | +
+ | М'В | = | ДВ |, где М' — образ точки М при данном перемещении Та-
ким образом, М' Е [ДВ], а так как она должна находиться от точек Д и В
на расстояниях, равных] AM | и | ВМ |, то М'— М. Аналогично доказывается,
что и всякая точка прямой ДВ, не лежащая между точками Д и В, остается
на месте. Далее, указанное перемещение отобразит полуплоскости с границей
ДВ одну на другую Предположим, что некоторая точка К отображается на
точку К’, принадлежащую той же полуплоскости, что и точка К\ тогда треуголь-
ники АКК' и ВКК' — равнобедренные, (ДО) ± [КА'] и (ВО) ± [КА'],
где О—середина отрезка КК', т. е. через точку D проходят два
перпендикуляра к прямой КК'. 95. Пусть О — точка пересечения бис-
сектрис углов треугольника, а Of, О2, Оя — основания перпендикуляров,
опущенных из точки О на стороны треугольника. Указанное перемещение
оставляет на месте точку О и одну из точек Olt О2, Оя. Используя резуль-
тат предыдущей задачи, получим, что данное перемещение является осевой
симметрией 96. Точка С есть пересечение оси симметрии точек Д и
В и стороны угла. Задача может иметь одно или два реше-
77
иия. 97. Решается аналогично задаче 96. 98. Постройте биссектрису
угла АОВ. 99. Осевая симметрия. Данное перемещение оставляет на месте
одну из вершин треугольника и точку пересечения его срединных и перпенди-
куляров (см. задачу 94). 100. Постройте ось симметрии точек А и В, затем об-
раз прямой а. 101. Смотрите решение предыдущей задачи. 102. Пусть на
сторонах угла отложены отрезки АВ и CD. Постройте ось симметрии, отобра-
жающей точку А на точку С (или D), затем — ось симметрии угла DCB',
где В' — образ точки В относительно первой оси. 103. у = | х |, у = х2;
у = х2 +’ 1. 105. [ЛВ] = [АО]; [ВС] = [ОС]. Могут. <Четырехугольник
ABCD имеет прямую АС осью симметрии и только ее>. 106. Содержат точку
пересечения диагоналей четырехугольника. 109. Четырехугольник ABCD —
квадрат. Прямая, содержащая точку пересечения прямых АС и ВО и пер.
пендикулярная прямой т, также является осью симметрии четырехугольни-
ка ABCD. ПО. Пусть X Е [АВ] и S/ (X) = Y. Тогда точка Y должна при-
надлежать отрезку А'В', являющемуся образом отрезка АВ при симметрии
относительно оси I. Точка Y должна принадлежать и данному отрезку CD,
т. е. Y Е[А'В'] П [CD], Задача имеет единственное решение, если пересече-
нием отрезков А'В' и СО является точка; не имеет решений, если отрезки
А'В' и CD не пересекаются, и имеет бесконечно много решений, если один
нз отрезков А'В' или СО является подмножеством другого. 111. Решается
аналогично предыдущей задаче. 113. Задача имеет решение в том случае,
если образ данной окружности при симметрии относительно данной прямой имеет
общие точки с данным треугольником. Каждое из искомых множеств
точек может состоять либо из одной точки, либо из дуги (или дуг). 114. Пусть
точки М и К симметричны относительно прямой s (Al Е [ВА], К Е [ВС)),
тогда К Е[В'А'), где [В'А')—образ [ВА) при симметрии с осью s и К =
= [В'А') П [ВС). Отсюда следует построение; строим [В'А') = Ss([BA)),
находим точку пересечения лучей В'А' и ВС и строим точку, ей сим-
метричную. Задача имеет единственное решение, если [В'А') пересекает [ВС)
и не имеет решений, если [В'А') не пересекает [ВС). 115. Пусть точки
А (а; Ь) и А' (а; —Ь) симметричны относительно оси Ох и принадлежат соот-
ветственно прямым у = 2х + 3 и у = —Зх + 1. Тогда Ь = 2а + 3 и —b =
— —За+ 1. Решая полученную систему уравнений, найдем а и Ь. 116. Решает-
ся аналогично предыдущей задаче. 119. Постройте, окружность, симметрич-
ную данной окружности относительно данной прямой. Одна из вершин тре-
угольника есть точка пересечения второй данной окружности и построен-
ной 120. Пусть AKA1D — искомый (К Е [AC], D Е [ВС]), тогда прямая,
содержащая точку А! и перпендикулярная прямой АВ, является осью сим-
метрии треугольника KMD. Для построения искомого треугольника по-
ступаем следующим образом: проводим прямую I, содержащую точку А1,
перпендикулярно прямой АВ. Затем на сторонах АС и ВС строим точки,
симметричные относительно прямой I. Для этого построим образ одной из
сторон АС или ВС относительно прямой I. Положим для определенности,
что [В'С7] является образом [ВС]. Тогда точка пересечения (если она суще-
ствует) отрезков АС и В'С и является одной из вершин искомого треугольника.
Если точка А1 принадлежит оси симметрии отрезка АВ, то искомым треуголь-
ником будет ДАА1В. Если точка М не принадлежит оси симметрии
отрезка АВ, то задача имеет решение в том случае, если [АС] и [В'С'] пересе-
78
каются. Если А ЛВС—равносторонний или равнобедренный с основанием
АВ и точка М принадлежит оси симметрии отрезка АВ, то задача имеет бес-
конечно много решений. 121. Пусть вершины В и D искомого квадрата при-
надлежат соответственно прямой а и окружности F, тогда S/ (В) = D. Точка
D является пересечением прямой а = S{ (а) и окружности. Если прямая а'
пересекает окружность F, то задача имеет решение (одно или два). Если пря-
мая а' не пересекает окружности F, то задача не имеет решения.
122. В случае, когда данные точки А и В лежат по одну сторону от данной пря-
мой о и на разных расстояниях от нее, искомой точкой является точка X =
= (ЛВ) Г) о; в случае, когда точки А и В лежат по разные стороны от пря-
мой а, замените точку В точкой В' = Sa (В). Задача не имеет решения,
если расстояния от точек Л и В до прямой а равны. 123. Замените одну из
данных точек ее образом при симметрии относительно данной прямой. 124.
Воспользуйтесь результатом решения предыдущей задачи. 125. Смотрите ре-
шение задачи 82. 126. Постройте образ отрезка ТХ при симметрии относи-
тельно прямой АВ. Лучи SA и SB будут высекать на отрезке Т'Х ту часть,
которую увидит наблюдатель. 127. Постройте точку В', симметричную точке
В относительно прямой Zlt и точку С, симметричную точке С относительно пря-
мой /2, далее смотрите решение задачи 123. 128. Постройте точки Afj и М2,
симметричные точке М (М — данная точка) относительно прямых, содержа-
щих стороны даииого угла. Точки пересечения отрезка MiM2 со сторонами
угла являются вершинами искомого треугольника. Периметр полученного
треугольника равен длине отрезка MiM2, периметр любого другого тре-
угольника, одной из вершин которого является точка М, а две другие принад-
лежат сторонам данного угла, равен длине ломаной, соединяющей точки Mi
и М2. Задача имеет единственное решение. Построим окружность с центром
в середине отрезка ОМ (рис. 79), эта окружность пересечет стороны дан-
ного угла в точках Ко и Lo, [KoLel — средняя линия ЛМ1ММ2. Так как
I D±M | < | OtM | и Z_KBMLB — тупой, то и | D2M | < 2 • | OiM | = | ОМ [, т. е.
пересечет [ОМ], а, следовательно, пересечет и стороны данного угла.
129. Периметр искомого треугольника равен длине отрезка MjMj, где М± ~
= S(BA)(M) и М2~ S(BC}(M) (смотрите решение предыдущей задачи);
A ВМХМ2 — равносторонний (| BMt | = | ВМ2 | = | ВМ | = 10 см, МгВМ2 —
= 2 • 30ч = 60°), следовательно, | МХМ2 | = 10 см. 130. Рассмотрите компо-
зицию двух осевых симметрий относительно прямых
ОА и ОВ. Пусть точка М под действием указанного
перемещения переходит в точку М2 и (М2К) пересе-
кает (ОВ) в точке L; ломаная MDLK, где D =»
= [ОЛ) Л [MiL] (Mj = В(0Л) (М)), — искомая, ее
периметр равен длине отрезка М2К. 131. Пусть точ-
ка А' симметрична точке А относительно прямой
ABAi, точка А" симметрична точке А' относительно
прямой Л1Ла и, наконец, точка Л(л) симметрична точ-
ке Л”-1 относительно прямой AnAn-i. Сначала за-
мените точку Л точкой Л', затем точку Л' точкой
Л" и т. д. (рис. 80). 132. Построим точку В1г симмет-
ричную точке В относительно прямой, содержащей
Рис. 79
79
Рис. 80
Рис. 82
биссектрису угла ВС К'. [ ABt |< | ACt | + | CiBt | или | АС | + | СВ, | < |4Ci|+
+ I С1В11. Учитывая, что | CBt | = | СВ |, | CjBi | = | BCj |, получим | СА | 4-
+ | СВ | <| С1Д |+ | С±В |. 133. .Вершины равновеликих треугольников с общим
основанием принадлежат прямой, параллельной основанию. Пусть [А В]—осно-
вание треугольников и С—вершина равнобедренного треугольника с основанием
АВ. Построим точку Aj, симметричную точке А относительно прямой ССу, где
Ci — вершина произвольного треугольника, равновеликого треугольнику
АВС Тогда 1 = 2, 2=3 (рис. 81), следовательно, 1 = 3 и [AtC] U [СВ] =
= [А1В]. Сумма длин боковых сторон треугольника АВС равна длине отрезка
AjS, а сумма длин боковых сторон треугольника ACtB равна длине ломаной,
соединяющей точки Aj и В. 134. AOAx+AiOA3 = 2- 90g = 1809.
135. Точки С н D симметричны точкам А и В относительно прямой, содержащей
биссектрису угла. 136. Отложите иа стороне угла, не содержащей точ-
ку М, отрезок АЛ]^, длина которого равна длине данного отрезка, и по-
стройте ось симметрии точек М и Му. Точка пересечения построенной оси и отрез-
ка А Му — искомая. Задача имеет решение в том случае, если длина данного
отрезка не меньше | АЛ1.|. 137. Прямая BD является осью симметрии треуголь-
ника АВС. 138. Точки Р й Q симметричны относительно прямой, содержащей
биссектрису угла АВС. 139. Обозначим данную вершину буквой А.
Пусть А АВС — искомый. Тогда точки, симметричные точке А относительно
данных прямых, принадлежат прямой ВС 140. Воспользуйтесь решением
задачи 68. Задача имеет единственное решение, если длина боковой стороны
больше длины основания. 142. Построим точки Су и Су, симметричные соот-
ветственно точкам С и С относительно прямых, содержащих биссектрисы уг-
лов В и В' (рис. 82). Тогда AACyCs &А'С[С (|ДС|= |Д'С'|, |ACi| =
= |Д'Сх'|, LA £ ZA'). Так как A ACiC £ А А'С/С', то существует
80
перемещение, при котором А -* А', С-*-С и С,С, . Указанное переме-
щение отобразит точку D на точку D’ (D и D' —середины соответственно
отрезков CjC и С/С'), прямую т на прямую т’ и прямую ACj нв прямую
Д'Ср Точка В при этом перемещении перейдет в точку В' (В = (ACt) П т-
В’ — (А'С/) П т’). Таким образом, при указанном перемещении ДАВС->
-> А А'В'С', следовательно, /САВС ~ Д'В'С. 143. Используйте реше-
ние задачи 70. 144. При помощи симметрии относительно прямой, со-
держащей биссектрису внешнего угла треугольника, постройте сумму ги-
потенузы и катета (задача 70). Дальнейшее решение аналогично решению
задачи 142. 145. Смотрите решение задачи 70. 146. Используйте решение за-
дачи 71. 147. С помощью симметрии относительно серединных перпендику-
ляров сторон, к которым прилегают углы, разность которых известна, по-
стройте конгруэнтные треугольники (задача 71). Далее рассмотрите пере-
мещение, отображающее один из полученных треугольников иа другой
(см. - решение задачи 142). 148. Необходимо и достаточно. 149. а) Верна;
б) нет; в) верно 151. Установите, что прямые, содержащие диагонали
параллелограмма, являются его осями симметрии. 152. а) Нет; б) верно.
153. Пусть четырехугольник ABCD — искомый ([АС) — биссектриса угла А) и
В' — точка, симметричная точке В относительно прямой АС. Тогда треугольник
В'CD можно построить. 154. Пусть прямая т перпендикулярна основанию ВС
трапеции ABCD и проходит через середину отрезка ВС. Тогда симметрия о
осью т отобразит точку В на точку С и точку А на точку D (в противном случав
оказалось бы, что через точку С можно было провести два перпендикуляра
к отрезку AD). 155. Прямая, содержащая середины оснований трапеции,
является ее осью симметрии В противном случае, используя результат пре-
дыдущей задачи, получим, что одно из оснований трапеции имеет две середи-
ны. 156. Установите, что данная прямая является осью симметрии трапеции.
157. Воспользуйтесь результатом решения задачи 155. 158. Точки М и К
симметричны относительно прямой, содержащей середины оснований трапе-
ции. 159. Установи те, что прямая, содержащая середины параллельных хорд,
является осью симметрии окружности. 160. Воспользуйтесь результатом
решения предыдущей задачи. 161. Прямая, содержащая точки пересече-
ния продолжений боковых сторон трапеции и ее диагоналей, является осью
симметрии окружности 162. Воспользуйтесь решением предыдущей задачи.
163. Две окружности могут иметь не более двух общих точек. Пусть О,. Оа,
О8 — центры окружностей, а А и В — точки пересечения окружностей а
центрами О, и Оа. Точки А и В симметричны относительно прямой 0,0».
Предположим, что точки А и В принадлежат также и окружности с центром
О3, тогда | АОа| = I О3В|, и точка О3 принадлежит оси симметрии точек А и В.
т. е. прямой ОгОг, однако по условию точки О,, Ог, 03 не принадлежат одной
прямой. 164. Предположим, что точки К и М являются искомыми. Симмет-
рия относительно прямой АВ точки К и М оставит на месте, а данную окруж-
ность О отобразит на окружность О'. Так как точки Л и Л4 принадлежат ок-
ружности О, то их образы, г. е. эти же точки, при симметрии относительно
прямой АВ, будут принадлежать и окружности Ох. Таким образом, К и М —
точки пересечения данной окружности и ее образа при симметрии относитель-
но прямой АВ. Указанным способом нельзя решить задачу в том
случае, если прямая АВ содержит диаметр окружности. Однако в дан-
4 Заказ 431 Ы
s. д ной задаче речь идет о конкретном расположении ок-
Тк V) ружности н прямой. 165. Предположим, что прямые
[ х. / а и Ь — искомые (рис. 83). Симметрия относительно
I прямой I отобразит а на Ь (прямая I содержит бис-
| секгрису угла АОВ), при этом А -* А'. Точки Д' и
В определяют прямую Ь. Отсюда вытекает построение:
5 1, строим Д' = Si (Д), отметим О — (А'В) f| I, tipo-
А ведем прямую ДО. Задача имеет единственное реше-
ние, если точки Д и В находятся на различных
Рис- 83 расстояниях от прямой I и не принадлежат прямой,
перпендикулярной I; не имеет решения, если точки
Д и В находятся на одинаковых расстояниях; от прямой /, но не принадле-
жат прямой, перпендикулярной I, или принадлежат прямой, перпендикулярной
I, и находятся на различных расстояниях от нее, и имеет бесконечное множество
решений, если [АВ]±/ и [ДВ] делится прямой I пополам. 166. Предположим, что
точка С—искомая (рис. 84). Так как | СА|=( СВ| (В£ 6), то точки В и Д симмет-
ричны относительно прямой, содержащей биссектрису угла АСВ. Пусть ось сим-
метрии точек А н В пересекает прямую Ь в точке М, тогда М АС=90°. Отсюда вы-
текает построение: из точки А восстанавливаем перпендикуляр к прямой а, отме-
чаем точку пересечения этого перпендикуляра с прямой Ь; строим биссект-
рису угла AM К, где К £Ь. Точка пересечения построенной биссектрисы
угла и прямой а является .искомой. Построив биссектрису угла, внешнего
углу AM К, получим вторую точку С, удовлетворяющую требованию зада-
чи. 167. Тождественным отображением. 168. Рассмотрим симметрию, при
которой А -> А' (прямая а — ось этой симметрии). Пусть (В) = Blt Sa(C) =
= Cf. Может случиться, что Bi~ В' и Cj = С', тогда симметрия относитель-
но прямой а отобразит А -> Д', В -> В', С -> С. Если В<#= В', то рассмот-
рим симметрию относительно прямой Ь, при которой Bj -> В' (рис. 85). Так
как |А'В'| = |A'Bj|, то прямая b содержит точку Д': 5Л(Д') = Д'; Sb(Bi) =
= В' и Sb (Ci) = С2. Если С2=С', то перемещение, являющееся компози-
цией указанных осевых симметрий, отобразит точки А, В, С соответственно
иа точки Д', В', С. Если С2=А= С, то рассмотрим симметрию относительно пря-
мой с, при которой Са -> С. Так как | Д'С2 I = | А'С'| и | В'С2| = | В'С'|, то
прямая с содержит точки А' и В'. Таким образом, перемещение, являющееся
композицией трех осевых симметрий с осями а, Ь, с, отобразит точки А, В, С со-
ответственно на точки .Д', В', С', т. е. Sc ° Sb о Sa (А) = Д', 8С о Sb о Sa (В)=
= В', Sc ° Sb ° Sa (С) = С. 169. Определите расстояние между точками
82
Afa, £»i) и В (а2, Ь2) и расстояние между их образами A'(ai, —bj и В'(а->, —Ь2)<
170. Используйте уравнение окружности.
§ 2. ЦЕНТРА ЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
172. А' (—3;.2), В' (0; —5), С (2; 4). 173. А (3; —4). 174. В (3; 1),
В' (—3; —1). 175. А’ (—а; —Ь). 176. А" (3; —4). 177. Симметрия относитель-
но начала координат отобразит М (а; 0) на М' (—а\ 0), [МД] на [А^Дг] и
точку А на точку Дг 179. Центральная симметрия есть композиция двух
осевых симметрий. 180. Так как | ОД'| = | OAL |, го О £ 12, где /2—ось сим-
метрии точек Д' и Дъ кроме этого, прямая 12 содержит биссектрису угла А’ОА1.
Прямая содержит биссектрису угла AOAt. Углы AOAi и AiOA' — смеж-
ные, поэтому l2 J. lt. 181. Используйте результат предыдущей задачи.
185. Прямые, содержащие центр симметрии. 187. Нет. Центр симметрии.
189. Используйте свойство центральной симметрии не изменять «обход»
(ориентацию)фигуры. 195. Нет. Да. 204. Да. Нет. 207. М' = (МО) П [Д'В'],
где М'—образ точки М; М' 6[Д'В'], | Д'ЛГ| = | ДМ|. 208. Воспользуйтесь
решением предыдущей задачи. 210. а II а'. 211. Смотрите решение задачи 207.
212. Решается аналогично задаче 207. 213. а) Воспользуйтесь тем, что цент-
ральная симметрия сохраняет расстояние между точками, б) Используйте
свойство центральной симметрии не изменять ориентацию фигуры 214. Вос-
пользуйтесь тем, что: 1) точка, ее образ и центр симметрии принадлежат
одной прямой; 2) центральная симметрия отображает угол на конгруэнтный
ему угол 215. Центром симметрии является середина отрезка, концы кото-
рого— центры окружностей. 216. Смотрите решение задачи 207. 217. Ах ф-
ф- By — С — 0 (используйте формулы центральной симметрии). 218. у =
= 2х — 5. 219. у = Зх — 4, у = Зх ф- 4. 220. Указанные прямые параллель-
ны, и точка О является серединой отрезка, концами которого являются точки
пересечения прямых с осью Оу. 222. М (3; —3). 224. Бесконечно много;
один; ни одного; один; бесконечно много 225. Отметьте на прямых а и b по
точке. Примите середину полученного отрезка за центр симметрии и постройте
образ прямой а. Если прямая Ь и образ прямой а совпадут, то а || Ь.
226. Центр симметрии — середина отрезка, концами которого являются точки
пересечения прямой с краями полосы. Если прямая параллельна краям по-
лосы, ю указанная фигура не имеет центра симметрии. 228. Лучи должны быть
противонаправлены. 229. Воспользуйтесь решением предыдущей задачи.
239. Используйте решение задачи 224. 231. В том случае, если точка явля-
йся центром окружности или принадлежит ей. 232. Воспользуйтесь
решением задачи 228. 234. Нет. 235. Противоположные стороны шести-
угольника попарно параллельны и конгруэнтны. 236. у = х3; у = х.
237. Одной из искомых точек является точка пересечения прямой
b и So (а) Для нахождения второй точки воспользуйтесь решением за-
дачи 207. В зависимости от расположения прямых So (а) и b зада-
ча может иметь единственное решение, бесконечное множество решений и
не иметь решений. 238. Решается аналогично предыдущей задаче. 244. Ис-
пользуйте симметрию относительно точки О. 245. Используйте симметрию
относительно точки А. 246. Верно; середина отрезка О1р2 является центром
4*
83
симмегрии, отображающей одну из окружностей на другую. 247. Установи-
те, что О = [ЛД] Г! [ВС] — центр симметрии, отображающей отрезок АВ
на отрезок CD 248. Треугольники Л^С] и PQR симметричны относительно
точки М 249. Рассмотрите симметрию относительно середины той стороны,
длина которой неизвестна, тогда треугольник, длины сторон которого равны
о, 6 и 2т, можно построить;
а 4- Ь
2 ’
а — b
2
< m <
где т — длина данной ме-
дианы. 250. Установите, что точка пересечения медиан треугольника АВС
является центром симметрии, отображающей треугольник АВС на треуголь-
ник построенный. 251. Параллелограмм. 252. а) Верно, б) Нет. в) Утвержде-
ние будет верным, если его дополнить так: «... и диагонали были перпендику-
лярными» или . . и прямая, содержащая его диагональ, была бы его осью
симметрии». 253. Рассмотрите симметрию относительно точки Р. 254. Вос-
пользуйтесь тем фактом, что точка пересечения диагоналей параллелограмма
является его центром симметрии. 255. Проведите прямую через центр сим-
метрии параллелограмма. 256. Установите, что точка пересечения диагоналей
данного параллелограмма есть центр симметрии четырехугольника MNLK.
257. Используйте тот факт, что середина отрезка, концы которого принадле-
жат различным сторонам полосы, является ее центром симметрии и пересе-
чением полос является параллелограмм 258. Точки CL и симметричны от-
носительно точки пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. 259. Вер-
шины построенных треугольников симметричны относительно точки пере-
сечения диагоналей параллелограмма 260. Точка О — центр симметрии
полученного четырехугольника. 261. Каждый из отрезков АВ и ЛДЛД па-
раллелен отрезку OtO2, а | Г= 2 . | OiO.2 | и | АВ) = 2j О,О2 |. 262. Вос-
пользуйтесь решением предыдущей задачи. 263. Да (используйте решение
задачи 261). 264. Так как ZOt ([ЛМ]) = [ВМ,], Zo (IBMJi = [СМ2],
ZOa ([CMJ) = [ЛМ3], то [ЛМ] || [ЛМ3] и | ЛЛ1 | = | ЛМ3 |, т. е. точки М
и М3 симметричны относительно точки Л. 265. Воспользуйтесь решением
предыдущей задачи. 266. Решается аналогично предыдущей задаче. 267. Не-
обходимо, но недостаточно. 268. Центральная сим-
метрия с центром К отображает точку Л на точку
В. 269. Точки В н D симметричны точкам Л и С
относительно точки К. 270. Центральная симмет-
рия с центром О отобразит точку А на точку В, луч
ЛК на луч ВМ (КАО = ОВМ) и точку К на точку
М (| АК | = | ВМ |). 271. Точки D, Е, F симметрич-
ны точкам Л, В, С относительно точки К. 272. Вос-
пользуйтесь тем, что центр окружности является ее
центром симметрии, соответствующие при централь-
ной симметрии прямые параллельны. 273. Центр ок-
ружности является центром симметрии описанного
шестиугольника. 274. Установите, что точка О
пересечения диагоналей AD и BE является
центром симметрии шестиугольника ABCDEF-
Далее, 5дсол=5аолд> 5ДСО£=5дО£Г, 5д£0Л=
=5доо£- Складывая почленно эти равенства, по-
84
лучим SACE~ — SABCDEF 275. Пусть точка Д' симметрична точке Д относи-
тельно точки М (рис 86) Тогда величина угла ВКА' известна (К—точка пере-
сечения прямой ВХ с прямой Z) Отсюда следует построение: иа отрезке А'В, где
А = ZM(A), постройте сегмент, вмещающий угол, равный (180°—а).
К —точка пересечения дуги сегмента и прямой I. Задача имеет два решения.
276. Искомая прямая т проходит через точки, симметричные относительно точ-
ки М и принадлежащие сторонам угла АВС. Для доказательства этого факта
установите, что площадь треугольника, отсекаемого некоторой прямой Z,
содержащей точку М и отличной от прямой т, больше площади треугольни-
ка, отсекаемого прямой т. 277. Да (точка X, ее образ Y при данном переме-
щении и точка А лежат на одной прямой и |ХД| = |ДК|). 278. Верно.
279. Представив центральную симметрию в виде композиции осевых симметрий
с осями Ох и Оу (задача 179), получим S0(/ о SOx ° SOx == SOy, так как
SOx ° SCx ° = Е. Данное утверждение можно доказать с использованием фор-
мул симметрий:
60х- = _у; ° SOx • у» = т е Zo ° SCx - SOy
280. Пусть перемещение L отображает всякий луч иа противонаправленный
л>ч. Отметим точку Д, пусть L (Д) = Д'. Возьмем точку М =# Д, тогда пе-
ремещение L отобразит точку М иа точку М' (| А'М' | = | AM | и [Д'ЛГ) f |
ГФ [ЛМ)). Рассмотрим центральную симметрию, при которой А -* Д'.
При этой симметрии М М'. Значит, L = Zo, где О — середина отрезка ДД'.
281. Первое решение. Композиция указанных симметрий отоб-
ражает всякий луч на противонаправленный луч. Следовательно, композиция трех
центральных симметрий есть центральная симметрия (задача 280).
Второе решение. Пусть центрами симметрий служат точки О1я
О2, Os. Если О„ Оа, Оя не принадлежат одной прямой, то указанный
результат можно получить так: существует треугольник АВС, для ко-
торого точки От, Оа, Оя являются серединами сторон (задача 265).
Пусть Ot — середина [ДВ], Оа — середина [ВС], Оя — середина [ДС],
тогда ZO3 (ZOj (ZO( (Д))) = Д, а всякую прямую, содержащую точку Д,
композиция указанных симметрий отображает на себя. Следовательно, дан-
ное перемещение — центральная симметрия (задача 277). 282. | MtA | =
= |ДМа|, | М2В | = | ВЛ13|, | Л43С| = | См{ | (см. задачу 268). Композиция
трех центральных симметрий с центрами Д, В, С отображает точку Mt на точ-
ку М^. Следовательно, точку М1 можно отобразить иа точку Alj одной централь-
ной симметрией, а так как Л1, и М{ принадлежат окружности с центром О1я то
Zo (Mj) = Мр Значит, точки ЛЦ и Л1( служат концами одного диаметра.
283. а) Верно, б) Нет 284. Используя формулу расстояний между точ-
ками координатной плоскости, докажите, что расстояние между любыми двумя
точками равно расстоянию между их образами. 285. ОХ' = —ОХ.
85
§ 3. параллельный перенос
2S7. А’ (5; 5), В' (3; —7), С (6; 0). 288. А' (0; 7), В' (—3; 9), С (0; 5).
289. А' (—5; 2), В' (2; !), С (—2; —3). 290. А (-8; 4). 291. Л1 (—2; 2).
292. А (—4; 4), А' (—3; 4). 293. В (5; —5), В' (5; —3). 294. Сказанные точкп
принадлежат прямой, параллельной оси Ох. 295. Верно. 298. Параллельным
переносом в направлении оси Ох на 5 ед., на —5 ед. 299. х' = х; у' = У + 2.
301. Бесконечно много. 302. 5 см. 303. а) | АА2 | = [ ВВ2 | = | СС2 | = 2а, где
а — расстояние между прямыми Zj и /»; б) Да. 304. 5 см. 305. Да (оси симмет-
рий перпендикулярны прямой АА , расстояние между осями равно
— | АА' |), где А' = Т (А). 308. Отрезки должны быть параллельны и иметь оди-
наковую длину. 310. Да. 312. Да. 313. Параллельный перенос, отображающий
[АВ] на себя, есть тождественное отображение. Во втором случае любой па-
раллельный перенос в направлении прямой АВ отображает эту прямую на себя.
315. Величины углов равны и лучи, являющиеся сторонами углов, сонаправ-
лепы. 320. Радиусы окружностей должны быть равными. 324. а) На отрезке
В'С отметить точку М' так, чтобы | В'АГ | = | ВМ |; б) на отрезке ВС от-
метить точку N так, чтобы | ВЛ7 | = | В'N' |. 326. С помощью линейки пост-
ройте образ точек окружности, принадлежащих линии центров данной ок-
ружности и ее образа. Затем, используя циркуль, постройте образ данной
точки (рис. 87). 327. Используйте свойство параллельного переноса отобра-
жать угол на конгруэнтный ему угол 328. Постройте углы с вершинами в
концах отрезка, являющегося образом отрезка АВ, и конгруэнтные углам BAD
и ABD, так, чтобы «обход» треугольника ABD и «обход» его образа были оди-
наковыми 329. а) Да, б) нет. 332. Направлением параллельного переноса
является одно из направлений диагоналей квадрата ABCD. 333. Соответст-
венные стороны параллелограммов должны быть параллельными и кон-
груэнтными. 334. а) Перенос определяется центрами данных окружнос-
тей; б) используйте решение задачи 326. 336. Параллельный перенос; А -> А"
отобразит [А В] на [А"В"]. 337. Нет (перемещение является параллельным пере-
носом, если оно любой луч отображает на сонаправленЪый ему луч). 378. Парал-
лельный перенос определяется точками пересечения прямых а н Ь; а и Ь'
339. А' (7; 4), В' (3; 7); С (—1; 4), D' (2; 5). 340. а) А' (2; 6), В' (7;—3),
С (6; 9); б) А" (—7; 2), В" (—2; -7), С" (—3; 5). 341. а) х' = х + 2, у'=у + 3;
б) х — х — 1, у' = у — 2; х' = х + а, у' = у + Ь. 343. а) у = 2х + 1,5;
б) у — 2х + 7,5; в) у = 2х — 11,5. 344. у = (х — 2)2. 345. Параллельным
переносом в направлении оси Ох на 3 ед. (х' = х + 3, у' — у). 346. а) у =
= (х + З)2; б) у = (х + З)2 + 1 347. Параллельным нереносом; х' = х — 1,5,
У = у. 348. х' = х + 1, у' = у — 4. 349. х'= х + 2, у' = у + 6. 350. у =
= (х + 5)2 и у = (х — З)2; у = х2 и у = (х — З)2; у = | х | и у = | х +31;
У = х2 и у = (х + 5)2; (у = х2 + 1 и у = х2). 351. Так как одна из
искомых точек (обозначим ее через Л)
принадлежит отрезку АВ, то ее образ
(вторая искомая точка Л1) принадлежит
отрезку А'В', являющемуся образом от-
резка АВ при указанном параллельном
переносе. Кроме того, точка М по усло-
вию принадлежит отрезку CD. Следова-
Рис. 87
86
как отрезок CD имеет
тельно, М = [А'В'] f] [С£>]. При заданном распо-
ложении фигур задача имеет единственное реше-
ние. 352. Пусть параллельный перенос задан
парой точек: М -* N (рис. 88). Тогда точка F
пересечения образа прямой а и отрезка CD и ее
прообраз Е определяют искомую пару точек. Ес-
ли а" — образ прямой а при параллельном пере-
носе N -* М, то точка К пересечения прямой а" и
отрезка CD и ее прообраз L определяют еще
одну пару точек, удовлетворяющих требованию
задачи. Если отрезок CD является подмножест-
вом прямой а' или прямой а", то задача имеет
бесконечное множество решений. В остальных
случаях задача имеет не более двух решений, так
не более одной точки пересечения с прямой а' и не более одной точки пере-
сечения с прямой а", Случай, когда задача имеет два решения, показан на
рисунке 88. 353. Анализ. Предположим, что задача решена и [АВ] —
искомый отрезок (точка А принадлежит данной окружности /?, точка В —
данной прямой о) Тогда точка А отображается иа точку В либо при парал-
лельном переносе М -> N, либо при параллельном переносе N -+ М. Пусть,
например, точка А отображается на точку В при параллельном переносе M-+N
(рис. 89). Так как точка А принадлежит окружности то точка В должна
принадлежать окружности R', являющейся образом окружности R при том
же параллельном переносе. Кроме того, точка В по условию принадлежит
прямой а Поэтому В есть точка пересечения окружности R' и прямой а.
Если точка А отображается на точку В при параллельном переносе N -> М
(рис 90), го В есть точка пересечения прямой а и окружности R", являющей-
ся образом окружности R при параллельном переносе N -> М. Пост-
роение. Строим образ окружности R при параллельном переносе М -> N.
Пусть В — одна из точек пересечения окружности R' и прямой а. Если точ-
ка А — прообраз точки В при параллельном переносе М -> N, то [АВ] — иско-
мый. В этом построении параллельный перенос М -> N может быть заменен
параллельным переносом N -> М. Доказательство. Так как при па-
раллельном переносе М -> N А -> В, то [АВ] || [A4/V] и | АВ | = | MN |.
Исследование. Задача имеет не более четырех решений, так как
прямая а имеет не более двух точек пересечения с окружностью R' и не более
87

Рис. 91
двух точек пересечения с окружностью R". Случай, когда задача имеет четыре
решения, показан на рисунке 91. 354. Решается аналогично задаче 353.
Задача имеет единственное решение, если стороны треугольника и образы луча
при параллельных переносах М -*• N или N -*• М имеют одну общую точку,
где (MN) —данная прямая, а | MN | —данная длина отрезка. 355. Наиболь-
шее число решений равно четырем. В этом случае отрезок, имеет две точки
пересечения с окружностью R' и две точки пересечения с окружностью R",
где R' — образ дайной окружности R при параллельном переносе М -> /V
и R" — образ данной окружности при параллельном переносе N-*M, где
(Л1Л')—данная прямая, а |Л1 Л/1—данная длина отрезков. 356. Пусть точка
А (а, Ь) принадлежит прямой у = Зх + 2, тогда координаты точки А',
принадлежащей прямой у — —5х -J- 5, суть ’ (о + 5; Ь)
Следовательно, b = За + 5 и b = —5 (о + 5) + 5. Решив эту
систему уравнений, найдем координаты искомых точек. 357. Обозна-
чим через Ей М основания высот данных треугольников (Е и М
принадлежат прямой /). Рассмотрите параллельный перенос, при котором
t -* М (или М -* Е); точки пересечения равнобедренного треугольника с
образом другого равнобедренного треугольника прн указанном параллель-
ном переносе определяют искомую прямую. 358. Рассмотрите параллель-
ный перенос, определяемый основаниями перпендикуляров, опущенных из
центров данных окружностей иа данную прямую (рис. 92). 359. Рассмотрите
параллельный перенос в направлении, перпендикулярном биссектрисе угла
так,
образ центра
чтобы
круга принадлежал прямой, подмножеством которой
является биссектриса угла. Задача имеет решение,
если диаметр круга не меньше длины отрезка, явля-
ющегося пересечением угла и прямой, перпендику-
лярной биссектрисе угла и содержащей центр дан-
ного круга. Задача имеет не более двух решений.
360«4см2. Рассмотрите параллельный перенос, при
котором центр верхнего полукруга отображается
на центр нижнего полукруга. 361. Рассмотрите па-
раллельный перенос, при котором точка F отобра-
жается на точку А. При указанном переносе
ДFLK-+&ABC, SAF^B + SLBKC= SAFKC. 362.
Постройте образ линии, изображающей участок
£8
железной дороги, при параллельном переносе в
указанном направлении на 2 масштабные еди-
ницы. 363. Постройте треугольник, конгруэнт-
ный данному, так, чтобы его основание при-
надлежало прямой т. Затем рассмотрите парал-
лельный перенос в направлении т, при кото-
ром вершина треугольника отобразится на точ-
ку прямой I. 364. Постройте равносторонний
треугольник АВС с заданной длиной его сто-
роны так, чтобы две его вершины А и В при-
надлежали соответственно прямым а и Ь. Иско-
мым треугольником является образ треуголь-
ника АВС при параллельном переносе в на-
правлении прямой а и отображающем верши-
ну С иа точку прямой с. 365. Постройте ок-
ружность, касающуюся краев полосы. Затем
постройте образ этой окружности при параллельном переносе в направ-
лении краев- полосы, отображающем одну из точек окружности на точку М. За-
дача имеет два решения. 366. Рассмотрите параллельный перенос в направле-
нии оснований трапеции, при котором одна из ее боковых сторон отображается
на отрезок, имеющий с другой ее боковой сгороной общий конец. Образовавший-
ся при этом треугольник — равносторонний. Длина меньшего основания тра-
пеции равна 12 см. 367. Пусть в трапеции ABCD | AD | + | ВС | = 21 см,
| АС | = 13 см, | BD | = 20 см. Постройте образ [BD] при параллельном переносе
В -* С. Площадь образовавшегося треугольника ACD', где D' — Т (£>),
равна площади'трапеции. 368. | е — d | < | о — b \ <в + d, где a кЬ — дли-
ны оснований трапеции, end — длины ее боковых сторон (см. решение зада-
чи 366). 369. Пусть в трапециях ABCD и A'B'C'D' | АВ | = | А’В' |,
| ВС |=| В'С |, | CD | = | CD' | и | DA | = | D' А' |. Построим образ [Аб] при
параллельном переносе В -> С и образ | А'В' | при параллельном переносе
В’ -> С. Треугольники AjCD и Ai'Cj'D' конгруэнтны (Ат — образ точки А и
А/ — образ точки А') и, следовательно, существует перемещение, при котором
&A1CD-* /\AiCD'.
При этом перемещении [DA) -> [D'A'), А -> А' (| DA | =
= | D'A’ |) и В -> В'. 370. Даны трапеции ABCD и A'B'C'D' ([AD] и [6С],
[A'D'] и [б'С'] — основания трапеций), [CDt] — образ [BD] при параллель-
ном переносе В -> С и [C'D/] — образ [B'D'] при параллельном переносе’
В'-* С', тогда AACDj s AA'C'D/. Перемещение, при котором AACDj->
-> A A’Ci'Di, отобразит точку D на точку D' и точку В на точку В', т. е. тра-
пецию ABCD на трапецию A'B’C’D'. 371. Пусть [CD'] — образ [BD] при па-
раллельном переносе В -> С, тогда A ACD' можно построить. 372. Перене-
сите параллельно каждую нз боковых сторон в направлении оснований так,
чтобы их общим концом была середина меньшего основания. Далее рассмот-
рите образовавшийся при этом прямоугольный треугольник. 373. | АС | =•
= 5 см. Точки А и С являются соответственными при параллельном пере-
носе -> Оа. 374. Рассмотрите параллельный перенос В -* С. 3^5. Точка
пересечения перпендикуляров является образом точки пересечения высот
треугольника АВЕ при параллельном переносе В -> С. 376. Прямая MQ.
89
параллельная прямой BD, искомая (рис. 93). Действительно, при параллель-
ном переносе М -* В [Л1£] -> [В£>], при параллельном переносе Р В
[PQ] -> [В£>]. Задача имеет два решения. 377. Рассмотрите параллельный
перенос С -> В, тогда треугольник AD'В, где D' — образ точки D, мож-
но построить. 378. Пусть в треугольнике АВС медианы АЛ4 и CD конгруэнтны.
Параллельный перенос D -> М отобразит [ПС] на [Л4С'], тогда ДАМС'—
равнобедренный. Далее установите конгруэнтность отрезков СМ и AD.
379. Постройте образ линии, изображающей железную дорогу, при
параллельном переносе в направлении, перпендикулярном ей на
указанное расстояние. 380. Постройте образ каждого луча при параллельном
переносе в направлении, перпендикулярном ему, на указанное расстояние.
381. Замените точку В точкой В{, полученной из В при параллельном
переносе в направлении, перпендикулярном берегам канала, на ширину
канала. 382. Постройте образ точки В при параллельном перено-
се, отображающем точку М на Р, затем образ точки В' при параллельном пе-
реносе, отображающем К на L (рис. 94). Путь ACDEFB — искомый. 383. S —
вершина горы. Когда солдат брал первое показание компаса, он находил-
ся на луче SE (рис. 95). Получасом позже он находился на луче SM. Пост-
ройте на лучах SE и SM такие точки М' и N', чтобы отрезок М'N' был па-
раллелен и конгруэнтен отрезку ОВ. 384. N — место наблюдателя. При пер-
вом наблюдении баржа находилась на луче NE, при втором — на луче
NK (рис. 96). Постройте отрезок с концами на лучах NE и Л’К, параллель-
ный и конгруэнтный отрезку ОВ. 385. Смотрите решение предыдущей задачи.
386. Смотрите решение задач 383, 384. 387. Пусть
А'—образ точки А при параллельном переносе
в направлении I на расстояние, равное длине дан-
ного отрезка (рис. 97). Тогда угол А'РВ можно
построить (А'РВ = АМВ). Так как точки А и
В заданы, то величина угла АМВ, опирающе-
гося на дугу АВ, известна. Точка Р являет-
ся точкой пересечения прямой I и дуги сегмента,
вмещающего угол а н построенного на отрезке А В
90
(а = ЛЛ16). 388. Первое решение. Центральная симметрия отображает
любой луч на противонаправленный луч (задача 280), следовательно, компози-
ция двух центральных симметрий отобразит любой луч на сонаправленный луч.
Значит, композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос
Пусть Т (Л) = А , тогда А А' = 2 • OOf. Второе решение.
-О, ~ $12 ° ~ $1, ° $1,< го, ° %О, = $1, ° $i, ° »S('= Sj, °
о Sz = Т, где 1г = (0,0s), a lj || Zg. 390. Композиция двух параллельных пере-
носов отобразит любой луч на сонаправленный луч, следовательно, компози-
ция двух параллельных переносов есть параллельный перенос. Это ут-
верждение можно доказать и аналитически. Пусть 7\: х' — х + af,
У' — У + tf. Т2: к" = к' + а2, у" — у' + Ьг, тогда Т2 о 7, : х" = х + (а(+а2),
у" = у + (&! + 42), т. е. Г2 о 7\- — параллельный перенос. 391. Вер-
но. 392. Используйте результат решения задач 388 и 390 393. Композиция четы-
рех, центральных симметрий либо параллельный перенос, либо тождественное
отображение (задача 392). При данной композиции центральных симмет-
рий имеется неподвижная точка (одна нэ вершин), следовательно, эта компо-
зиция — тождественное отображение (параллельный перенос на нулевое рас-
стояние). 394. Данное перемещение отображает любой луч на противо-
направленный луч, следовательно,- оно — центральная симметрия. Центром
симметрии яиляется середина отрезка, концами которого служит пара соот-
ветствующих при данном перемещении точек. 395. Центральной симметрией
(используйте решение задач 280). 396. Нет. 397. а) Осью, направлением и
расстоянием параллельного переноса; б) парой соответствующих точек и
направлением; в) двумя парами соответствующих точек. 398. Пусть I —
ось скользящей симметрии и S/ (Л) = Af, Т (Л 2) = А3, г. е.
скользящая симметрия отображает точку А иа точку Л2. Тогда 1II (Л(Л2),
а так как I содержит середину отрезка AAf, то I содержит середину
отрезка АА3. Используя это свойство оси, постройте ось скользя-
щей симметрии, которая принадлежит данному направлению и содер-
жит середину отрезка, концами которого являются данные гочкн. За-
тем определите расстояние переноса. 399. Нет. 400. Ось скользящей сим-
метрии содержит середины отрезков АА' и ВВ' (см. вадачу 398). Если
середины отрезков АА' и ВВ’ совпадают, то осью скользящей симметрии явля-
ется прямая, содержащая середину отрезков АА' и ВВ" и перпендикулярная
прямой АВ. 401. Скользящая симметрия должна отобразить точку Of в точ-
ку ©2 и точку А в точку В. Для построения оси этой скользящей симмет-
рии используйте решение’ задачи 400. 402. Ориентация («обход» сторон)
треугольников должна быть различной (задача 399). 403. Середины отрезков
АА', ВВ' и СС принадлежат оси скользящей симметрии, при которой А ->
->А',В-+ В' ,и С -+ С. 404. Пусть St (Л) = А', Т (Л') = Л", а Т (Л) =
= Af и S; (ЛJ = Л2, тогда | AtA31 = | Л,Л" | и (Л2Лs) II (Л,Л"), т. е. А" =
= Л2. 405. Заменим параллельный перенос композицией двух осевых сим-
метрий с осями 13 и 13, тогда скользящую симметрию с осью If можно предста-
вить как композицию .осевых симметрий ° , но SZj о Sz —цент-
ральная симметрия относительно точки О пересечения прямых If я !3, тогда Sz> о
о Sz ° St = Slf о Zo, причем О (£ Zg. Если скользящая симметрия
91
Рнс.
98
Т’а ° T'it
представлена композицией центральной симметрии
с центром О и осевой симметрии с осью I, ю осью
скользящей симметрии служит прямая, содержа-
щая данную точку О и перпендикулярная данной
прямой I. Расстояние переноса равно | OOj |, где
01 = Si (О). 406. Рассмотрим наиболее общий
случай, когда никакие две из осей непараллельны
Пусть осями указанных симметрий являются пря-
мые а, Ь, с. Представим St, о Sa композицией
S„ ° Sm, где л || с и тОп = аОЬ (О = а f| Ь), тогда
Sc ° Sb о Sa=Sco S„'o Sm. Учитывая, что Sf о Sn==
—Т, получим Sc ° Sb ° Sa => Т о Sm. Далее, пред-
ставим параллельный перенос Т композицией
где 1\ — параллельный перенос в направлении, перпендикулярном т,
Т2 — параллельный перенос в направлении т. Тогда Sc ° S* ° Sa=T2 ° Л“5т.
Параллельный перенос 7\ можно представить композицией двух осевых симмет-
рий с осями k и I (k || I, k f| I = 0): T±— Si о S/;. Данное перемещение
Sc о Sb о Sa = Т2 о St ° S* о Sm, но St о S* ° Sm = Sd (m II k II l), тогда Sc о
о Sb о Sfl = Т2 о Sd, [т. е. скользящая симметрия (рис. 98). 407. Представим
первое перемещение композицией центральной симметрии и осевой симметрии,
а второе перемещение — композицией осевой симметрии с той же осью и
центральной симметрии. Тогда композиция указанных скользящих симметрий
будет представлена композицией двух центральных симметрий. Отсюда следует,
что композиция указанных симметрий есть параллельный перенос. 408. По-
стройте образ А' точки А при скользящей симметрии, осью I которой слу-
жит прямая, изображающая железную дорогу, а расстояние переноса равно
а. Точка пересечения отрезка ВА' с прямой I совпадает с искомой точкой К.
Точка L является прообразом точки К, при указанной скользящей симмет-
рии. 409. х' = х + а, у' = —у.
§ 4. ПОВОРОТ
416. Опустите из точки О перпендикуляр на прямую. 417. А' (0; —3),
В' (0; 2), С (2; —5), D' (-3, 1); А" (0; 3), В" (0; -2) С, (-2; 5), D" (3; —1).
418. М (2; 5), М' (—5; 2). 419. М (—3;
5), М' (5; 3). 425. 90°; а; Нет. 426. х=
=72°fe, где k = 0, ±1, ±2; 729. 427. Че-
тыре, точка пересечения диагоналей; ес-
ли угол поворота равен 0ч, то центром
может быть любая точка плоскости. 430.
25 см’. 435. а) М' € а Г|Окр. (Р, | РМ |);
М' - а' П [PL), где MPL = а. 436. Ис-
пользуйте результат решения предыду-
щей задачи. 438. 120°. 439. а) Решается
аналогично задаче 435. б) Пусть поворот,
центром которого является точка Р
данной окружности, отображает точку А
на точку А' Тогда РМА' + РМА —
92
= 180° (Л1 — вторая точка пересечения окружностей); /_РМА' измеряется поло-
виной дуги А'Р, /_РМА измеряется половиной дуги АР, но ^АР = ^РМА’
(^РА' — образ ^РД). 441. Ось симметрии данных точек; далее, можно вос-
пользоваться угольником с углом в 60° или построить при луче АВ угол, вели-
чина которого была бы равна 60°. 445. Воспользуйтесь тем, что угол по-
ворота равен углу между соответственными отрезками. 446. Образом точки
А (2; 3) является точка А' (—3; 2), т. ег точка В (задача 417). 447. к' = —у;
у' = х, где (х; у) — координаты данной точки, а (х'; у') — координаты ее
1 1 / 1 1\
образа. 448. х'= у, у — —х. 451. у = — —х — — ly = —~x-i- — I.
— - _ —
16’ У ~ 16‘
452. х =
453. Пусть точка А отображается поворотом
вокруг
начала координат на угол а на точку Аг. Если полярные координаты точки А
суть (г; aj, тогда координаты точки Да будут (г; cq + а). Переходя к де-
картовым координатам, получим: к' — г cos (cq -)- а) и у' = г sin (aj + a),
где x' и у' — декартовы координаты точки Д2. Используя тригонометрические
формулы, получим: х' = х cos а — у sin а и у' = •* sin а + у cos a. 456.
Используйте тот факт,, что поворот не изменяет расстояния между двумя точка-
ми и ориентацию фигуры. 457. а) Величины углов равны. 458. Используйте тот
факт, что центр поворота, при котором А -* В, принадлежит оси симметрии
точек А и В. 459. Если прямые имеют только одну общую точку, то искомым
множеством точек является объединение биссектрис углов, стороны которых
принадлежат прямым а и Ь. Если а || Ьиа f] b—0, то искомым множеством
является прямая, принадлежащая полосе с краями а и b и пересекающая
любой отрезок с концами на прямых а и b в его середине. Если a l| b и
a f| b^f= 0, то искомое множество точек есть прямая а (или Ь). 460. Вос-
пользуйтесь результатом решения предыдущей задачи. 462. Да. Компози-
ция двух осевых симметрий, угол между осями которых равен а, есть поворот
около точки пересечения осей на 2a. 463. Используйте результат задачи 462.
464. ВКВ' — а, где а — угол поворота, отображающего точку А на А', точ-
ку В на В' (рис. 99). Тогда АКВ’ = 1809 — a, AKA' = 2a и ~ВВ' = 2a.
Следовательно, точка О, центр поворота, принадлежит как окружности, со-
держащей точки А, К, А', так и окружности, содержащей точки В, К, В'.
465. | ОК | = | ОК' | = |OKi |, где К' — образ точки К, а Kj — точка, образом
которой является точка К- 466. Центр по-
ворота есть точка пересечения осей симмет-
рии точек Д, С и В, D', общая точка окруж-
ностей (задача 464). Центр поворота может
быть найден и при помощи комбинаций
указанных способов. Два (Д -► С, В -+• D
и Д—D, В->С), если [Дй]-Ц. [CD],
Один (центральная симметрия), если [ДВ] ||
|| [CD]. 467. Всегда, за исключением слу-
чая, когда лучи сонаправлены. Далее мож-
но использовать результат решения пре-
дыдущей задачи . 468. Центром поворота
может быть любая точка оси симметрии
93
центров окружностей, далее воспользуйтесь решением задачи 441. 469. Смот-
рите решение задач 466 и 468. 473. Центры поворотов являются
пересечением биссектрис углов, стороны которых принадлежат прямым
АС и BD, и оси симметрии точек С и D. 474. Найдите на прямой о точку А',
образом которой является точка A (A' £ окр. (О, | ОА |) f| а), тогда угол между
лучами ОА и ОА' есть угол поворота. Задача имеет два, одно решение или
не имеет его. 475. Решается аналогично задаче 473; а = 90°. 478. Построй-
те образ прямой а при повороте вокруг точки Р на 60° против часовой стрел-
ки. Одной из искомых точек является точка пересечения прямой b и прямой
а’. Для нахождения второй точки воспользуйтесь, решением задачи 435.
Построив образ прямой а при повороте вокруг точки Р на 60° по часовой
стрелке, получим еще одну пару точек (рис. 100). Задача имеет два решения,
если угол между прямыми а и Ь не равен 60 ; задача имеет одно решение, ес-
ли угол между прямыми а и b равен 60°. 479. Если координаты точки А суть
(а; Ь), то точка В имеет координаты (Ь; —а). Так как А принадлежит прямой
у = 2х + 3, то b = 2а + 3. Так как В принадлежит прямой у = —Зх~Н,
то —а = —3b + 1.
Решив систему ( Ь = 2а + 3,
( 36 = а + 1,
найдем а и Ь. 480. Решается аналогично предыдущей задаче. 481. Постройте об-
раз одного из отрезков при повороте вокруг данной точки на 45° по часовой
стрелке (против часовой стрелки). Точка пересечения образа отрезка с другим
данным отрезком (если она существует) является искомой. Второй точкой яв-
ляется прообраз построенной точки. 482. Решается аналогично предыдущей
задаче. 483. Решается аналогично задаче 481. 484. Постройте образ прямой
а при повороте вокруг точки Р на 90° по часовой стрелке (против часовой
стрелки). Точка В является точкой пересечения прямой Ь и образа прямой а.
Задача имеет два решения. 485. Постройте образ одной из данных окружностей
при повороте вокруг точки М на 60° по часовой стрелке (против часовой
стрелки). 486. Решается аналогично задаче 479. 487. Рассмотрите поворот
вокруг данной точки на 120° по часовой стрелке (против часовой стрелки).
488. Постройте образ одной из указанных сторон треугольника при пово-
роте вокруг точки Р на 45' по часовой стрелке (против часовой стрелки). 489.
Пусть А АРВ — искомый (А £ а, В ( Ь). Так как | Р4| = | PBI и АРВ =
= 60°, то точка А отображается на точку В при повороте вокруг точки Р на
60° по часовой стрелке (или против часовой стрелки). Пусть, например, точка
А отображается на точку В при повороте вокруг точки Р на 60° по часовен
стрелке. Так как А £ а, то В £ а', где а' — образ прямой а при повороте
вокруг точки Р на 60° по часовой стрелке. Кроме того, точка В принадлежит
прямой Ь. Поэтому В = а' Q Ь. Проведенный анализ указывает по-
строение. Построим образ прямой а при повороте вокруг точки Р на 60° по
часовой стрелке, тогда В = а' (~| Ь. Точка А получается из точки В поворо-
том вокруг точки Р на 60° против часовой стрелки. Другое построение полу-
чим, заменяя поворот вокруг точки Р на 60° по часовой стрелке поворотом
вокруг точки Р на 60° против часовой стрелки. Если точка Р не является точ-
кой пересечения прямых а и b и угол между прямыми а и Ь отличен от 60°,
то задача имеет два решения. Если угол между прямыми а и Ь равен 60° и
94
точка Р отлична от точки их пересечения, то задача имеет одно решение (щШ
одном из поворотов вокруг точки Р на 60’ по часовой стрелке или иа 60° про-
тив часовой стрелки прямая а' не пересечет прямую Ь, так как один из
углов между прямыми а' н а равен 60 ). Задача имеет бесконечное множество
решений, если точка Р = а П Ь, и угол между прямыми а и b равен
60 . Если же Р = а b и угол между прямыми а и Ь не равен 60’, то задача
не имеет решений. 490. Смотрите решение предыдущей задачи. 491. Рас-
смотрите поворот вокруг точки Р на 45° по часовой стрелке (против часовой
стрелки). 492. Примите какую-либо точку данных прямых за вершину равно-
стороннего треугольника и рассмотрите поворот вокруг этой точки на 60’
по часовой стрелке (против часовой стрелки). Выбирая точку прямой и при-
нимая ее за центр поворота, получаем два конгруэнтных треугольника. При
выбранной точке прямой задача имеет два решения. 493. Примите точку В за
центр поворота, далее смотрите* решение предыдущей задачи. При выбранной
юрке В задача имеет два решения. 494. Решается аналогично задаче 492.
495. Постройте образ одной из окружностей при повороте вокруг данной точ-
ки на 90° и найдите точки ее пересечения с другой окружностью. Задача мо-
жет иметь одно, два или ни одного решения. 498. Рассмотрите поворот вок-
руг вершины квадрата на 69’. 497. Поворот вокруг точки А на 90’ отобра-
жает [Л1С] на [ЕР]. 498. Используйте поворот вокруг центра квадрата на
90’. 499. При помощи параллельных переносов отобразите данные отрезки
так, чтобы их образам принадлежал центр квадрата. Затем рассмотрите по-
ворот около центра квадрата на 90’. 500. Пусть А и С — точки, принадлежа-
щие паре противоположных сторон, В и D то.чки, принадлежащие дру-
гой паре сторон. Постройте [ВВ'] так, чтобы [ВВ'] _L [ЛС] и |ВВ'| = |ЛС|.
Точки В' и D определяют одну из сторон квадрата (см. решение задачи 499).
Если B'=D, то задача имеет бесконечно много решений. 501. Используйте по-
ворот вокруг центра треугольника на 120’. 502. Поворот вокруг точки В на 90’
отображает отрезок A4Q на отрезок АС. 503. Поворот вокруг центра квадра-
та ABCD на 90’ отображает четырехугольник A1BlClDl на себя. 504. Поворот
вокруг центра окружности, отображающий основание перпендикуляра, прове-
денного из центра окружности к одной из хорд, на основание перпендикуляра,
проведенного из центра окружности к другой хорде, отобразит одну хорду
на другую. 505. При повороте вокруг центра окружности на угол АОС
А -* В, С D. 506. б) Поворот вокруг центра данного равностороннего тре-
угольника на 120° отображает треугольник, -вершинами которого служат
центры построенных квадратов, иа себя. 507. Поворот вокруг центра
квадрата на 90’ отобразит четырехугольник, вершинами которого .являются
центры построенных треугольников, на себя. 508. По-
ворот вокруг центра шестиугольника на 60’ отобра- В
зит один из полученных отрезков на другой. 509. По-
ворот вокруг точки В на 60’ по часовой стрелке ото- / \
бражает [ЛЕ] на [ЕС]. Этот поворот переведет точ- И \
ку М в точку N (|ЛЛ4| = | EN\). 510. Поворот о/ \
вокруг центра данного треугольника на 120° ото-
бражает точку N на точку М, следовательно, Р'
|СМ!| = |6WV| и M0N = 120’. 511. Точки М и N
являются соответственными при повороте вокруг рис щ]
95
точки D на 60°. 512. Поворот вокруг точки О на 90’ отображает треуголь-
ник AMD на треугольник DPB. 513. Постройте образ треугольника АВС
при повороте вокруг точки А на 903 по часовой стрелке или против ча-
совой стрелки. Пусть при этом повороте М -> ЛГ. Далее, используя
свойство средней линии треугольника, докажите, что [АМ'] || [ОЕ]. Так-
как [АЛ1] ± [АЛТ], то [АЛ1] ± [ДЕ]. 514. Постройте образ треугольника
АВС и образ медианы АЕ при повороте вокруг точки А на 90° по часовой
стрелке или против часовой стрелки. Далее используйте свойство средней
линии треугольника. 515. Впишите в окружность произвольный треугольник
и постройте его образ при повороте вокруг центра окружности на 90°.
516. Пусть при повороте вокруг трчки А на 60° ДАВЛ1->- ЛАСЛГ
(рис. 101). Тогда | М/И'| = | АЛ1|, | ЛГС| = | ВЛД. Но | Л1С| < | УИЛГ] +
-Ь I М'С | и, следовательно, |Л1С| < |АЛ4| + |ЕЛ1|; |Л1ЛГ| < I Л1С|-|-
+ I М'С |. Поэтому |.4Л1| < |Л4С| + |6Л1|; |ЛГС| < |МЛ4'|+ |Л1С| и,
следовательно, |ВЛ1| < | АЛ1| + | МС |. При этом | Л4С| = | АЛ1| 4- | ВМ\,
если точка М' принадлежит отрезку МС. В этом случае АММ' = 60°; это
означает, что точкаМ принадлежит дуге АВ описанной около треугольника
АВС окружности. Аналогично доказывается, что |АЛ4| = | МС | + |ВЛ4|
(| ВМ | = ]ЛЛ1| + |7ИС|) в том случае, когда точка М принадлежит дуге ВС
(дуге АС) описанной около треугольника АВС окружности. 517. Поворот во-
круг центра квадрата на 90° отобразит полосу ANCL на полосу BKDM. Так
как при повороте пересечение фигур переходит в пересечение их образов,
то четырехугольник, образованный пересечением полос при указанном пово-
роте, отобразится на себя. 518. а) Используйте поворот вокруг вершин тре-
угольника на 60°; б) так как ([С'С]) = [BB'J, то С'ЕВ = 60°; В’ЕС =
= 60° и ВЕС — 120°, где Е = [С'С] П [ВВ']. Точка Е принадлежит окруж-
ностям, описанным около треугольников АС'В, АВ'С и ВА'С. Далее, ис-
пользуя свойство вписанных углов, покажите, что АЕА' = 180°. 519. Спра-
ведливость утверждения следует из определения поворота, оно может быть
доказано и представлением поворота в виде композиции двух осевых симмет-
рий. Пусть Eg = SZj о S(j, где 1х012 = Е^ = о S,., где Цр13 = у.
Тогда Rq о Е™ = S(о ° о S= Eq^. 520. Пусть
W = А' и Eot(A') = A" (рис. 102). Представим Е^ композицией
А'
Рис 102
Sb
двух осевых симметрий с осями Zt и
-z*^4s* Ct \ п
ZjOjOa = — I, а 7?^ композицией
= $0,0, °$ I,’
— Sj2 ° S/ . Ком-
двух осевых симметрий с осями OtOs и Za ^О1О2/а= —j:
£о,= £/3 ° $0,0,' Тогда Z?^o Rgt~ S’, о •Sqiqj ° $о,о,° $i
позиция двух осевых симметрий относительно различных прямых есть
либо поворот, либо параллельный перенос, следовательно, композиция двух
поворотов вокруг различных центров есть либо поворот, либо параллельный
перенос. Рассмотрим два случая, а) Если р = —а (рис. 103), то прямые li
и Za параллельны. В этом случае SZjo — Т, а следовательно, и 7?^ о 7?^ =
= Т. Для определения направления и величины параллельного переноса
а Р
проводят прямые Zj и /а так, что 110,02 = — и OxOaZa= —. Направление,
перпендикулярное прямым Zj и Za, является направлением параллельного пе-
реноса, а расстояние параллельного переноса равно удвоенному расстоянию
между I, и Za. б) Если р =И= —а, то прямые и /а пересекаются (рис. 102).
В этом случае SZj о Sz = /?0 , а следовательно, и 7?^ о /?“ = /?0, Для
построения точки О и угла поворота следует построить прямые Zj и Za так, что-
а В
бы ZjOjOj = — и OjOaZa = —. Точка пересечения прямых Zj и /а есть
центр поворота, угол поворота равен удвоенному углу между прямыми Zj
и Za. Очевидно, что угол поворота равен а+р, если |а + р | 180°,
нравен (ct+P)± 360°, если |а+р| > 180°. 521. а) Поворот на 90°. На
рисунке 104 показано построение центра этого поворота; б) поворот на 180°
(центральная симметрия). Центр симметрии, кроме указанного способа,
может быть построен и так: отметить некоторую точку Л и построить ее образ
А' при /?о5° ° Z?q5 > середина отрезка АА' является центром поворота;
в) параллельный перенос; г) 7?^° о 7?^° = 7?д,120 , Др о 7?q,120 = Т,
следовательно, 7?q° о Т?^20" о 7?q°’ = Т (в частности, если 03 — О', то
Ro°° ° Ro,‘° ° Rof = £)- ' 522-" Пусть Ro (71).= А', а Т (7Г) = А".
Представим поворот вокруг точки О на а композицией двух осевых симметрий
а
с осями Zj и Za, где Za перпендикулярна направлению переноса и liOl2 = —,
параллельный перенос — композицией двух осевых симметрий с осями Za
н Z3 (рис. 105). Тогда Т о R^ = SZj ° Sz о S^o = St □ Sz<; прямые
Zx и la пересекаются, следовательно, композиция двух осевых симмет-
рий с осями Zj и 73 — поворот. Цент-
ром этого поворота служит точка О,
пересечения прямых Zz и Z3, а угол пово-
рота равен а. Таким образом, Т о 7?^ =
= Др . Для построения центра поворо-
та следует построить прямые Zj, Za, Z3
(их построение описано выше), точка
пересечения прямых Zz и Z3 совпадает с
центром поворота. 523. а) Поворот на
90°; б) центральная симметрия. 524.
97
а) Верно; б) нет. 525. Пусть О,, О2, О3 — соот-
ветственно центры равносторонних греуголь-
ников, построенных на сторонах АВ, ВС и АС
треугольника АВС. Тогда Rq20 (Л) = В,
Rq° (S) = С и R*20 (С) = А, т. е. точка А
неподвижна при композиции указанных
поворотов. R120 о Rp® о R'20 = Т (см.
задачу 522), а так как точка А отображается
на себя, то данный параллельный перепое
есть тождественное отображение. Далее
Rp0 о Rq° = Rq ’20J, причем точка О сов-
падает с точкой О31 ибо в противном
rnvuap Р'20° „ Р120’— Р,20“„ Р-,20°=
случае кОг ° Kq* ° ROj — ROa ° Rq
= 7’ gt E. Так как О = Оя, то треугольник
OjOoOg—равносторонний (O3(\d2 =
=60°). 526. Пусть Oj—центр квадрата, построенного на стороне АВ, а О2—центр
квадрата, построенного на стороне ВС треугольника АВС. Тогда R'q (A) ~
— В, R^’(B) = С, т. е. Z0(A)= С (R^oR^ = Rj,80°). ЦеНтром О
симметрии служит середина отрезка ЛС.
Следовательно, 00^ — 45°, OtO2O = 45° (см. решение задачи 521), т.е.
ЛО]ОО2— прямоугольный и равнобедренный (| 00,| = | 0102|, 0,0да = 90°).
527. Композиция поворотов вокруг вершин А, В и С является центральной
симметрией. Центр этой симметрии — середина отрезка XX’, где X — любая
точка, а X'— точка, полученная из точки X в результате композиции трех
поворотов вокруг вершин треугольника (в качестве точки X удобно взять
точку Л).
§ 5. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
540. Используйте перемещение, при котором А -> Л,, В -> Вх, а полуплос-
скость с границей АВ, содержащая точку С, отображается на полуплоскость
страницей Л1В1, содержащую точку Сх. 541. Рассмотрите перемещение, при ко-
тором Л -> С, С -> Л, В -> В, где В — вершина треугольника. 542. Рассмотри-
те перемещение, при котором А С, С -* А. 543. Перемещение, при котором
А At, В -> Въ отобразит точку D на точку и луч BD на луч BlDi. Сле-
довательно, BAD — B^AiDi, ио тогда А = At. Указанное перемещение отобра-
зит [ЛС) на МЛ) и точку С на точку Сх. Значит, Ал АВС ~ ДЛХВ1С1. 544. Рас-
смотрите перемещение, при котором Л -г Л1, В Bt, С -> Сх. 547. Пустым мно-
жеством, точкой, прямой, плоскостью. 548. Воспользуйтесь тем, что Л -> А’,
В -+ В', а а', где | A'B'f = | АВ\, а а и а' — полуплоскости с границами
98
АВ и А' В', можно отобразить единственным перемещением, а также тем фактом,
что в полуплоскости с границей А'В' содержится единственная точка, находящая-
ся от точек А' и В' на заданных расстояниях. 549. Воспользуйтесь предыдущей
задачей. 550. Воспользуйтесь задачами 168 и 548. 551. Воспользуйтесь предыду-
щей задачей и задачами 301, 404, 460. 552. Покажите, что: а) композиция пере-
мещений отображает плоскость па себя и сохраняет расстояния; б) (£3 ° (Е2 о
о Lt)) (X) == ((L3 о L2) ° Li) (X). 553. Перемещение I рода есть: а) поворот, если
оно имеет единственную неподвижную точку; б) тождественное отображение, ес-
ли оно имеет две неподвижные точки; в) параллельный перенос, если оно не имеет
неподвижных точек. Перемещение II рода есть: а) осевая симметрия, если оно
имеет неподвижную точку; б) скользящая симметрия, если оно не имеет непод-
вижных точек. Перемещение, имеющее неподвижную прямую, является тождест-
венным отображением, если оно I рода, и осевой симметрией, если оно II рода.
(Неподвижной прямой перемещения считают прямую, каждая точка которой
неподвижна при этом перемещении.) 554. ZA (Д) = A, f (А) = В, тогда ZA (б) =
= В, т. е. В = А. Значит, f (Л) = А, а потому f— осевая симметрия. 555. а)
Пусть перемещение I рода L отображает точки А и В соответственно на точки
А' и В’. Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ее началом слу-
жила точка А, а положительное направление оси Ох определялось направлен-
ным отрезком АВ. Композиция поворота RA, где a — величина ориентированно-
го угла BABi ([ДВХ) ff [Д'в'), | ДВ11 =| Д'В'|, и параллельного переноса Т:
Д -> Д1 отобразит А -> Д', В -> В'. Так как существует единственное перемеще-
ние I рода, при котором А -> Д', В -> В', то L = То /?“. Далее воспользуйтесь
координатными формулами поворота вокруг начала координат и параллельного
переноса (задачи 453 и 342). б) Пусть L (Д) = Д', L (В) = В'. Выберем систему
координат так же, как в первом случае. Тогда L — Т о RA о SOx.
§ 6. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ
557. Н~ 1 = Zo\ й= ±1. 558. Докажите, что две различные точки гомотетия
переводит в две различные точки. 559. Центр гомотетии, если k^=\. При
о о 10Л'1
k = 1 гомотетия есть тождественное отображение. 561. k = . 563. Верно.
I О А |
554. С Е (Д'В'); К’ лежит между Д' и В'. 565. а) Да; б) да; в) нет;
г) да; д) да. 567. Если k 1, то это прямые, содержащие центр гомотетии. 569.
Д' (ka; kb). 570. Верно; используйте решение предыдущей задачи. 571.
1
Д'(0;4), В'(—4; 6), С'(—10; 8). 572. a) k = 2; б) k = — 2; в) Л = ——;
г) k = —. 573. М (—3; 4), М’ — —; 2j. 584. Воспользуйтесь решением
задачи 562. 558. М' = а' [ОЛ1), К = а ("| [ОК'). 586. Используйте тот
факт, что гомотетичные прямые параллельны.
585. 589. Л1'=[ОЛ1)П[Д'К), где OA'K^OAM.
587. Смотрите решение задачи
590. Пусть окружность F' —
99 ‘
Рис. 107
образ данной окружности F при гомоте-
тии с центром в точке О (рис. 106). Отме-
тим произвольную точку М, не при-
надлежащую данной окружности F, и
построим ее образ при указанной гомо-
тетии с помощью одной линейки. Для
этого возьмем некоторую точку К данной
окружности F и построим ее образ
К' (К' 6 ОК П F'). Пусть прямая КМ
пересекает окружность F в точке С, об-
разом которой является точка С'. Образ
М' точки М принадлежит прямой К'С'
и прямой МО, т. е. М' = (K'C')Q (МО).
592. Воспользуйтесь тем, что гомотетич-
ные прямые параллельны. 593. Восполь-
зуемся тем, что гомотетия отображает
прямую на параллельную ей прямую.
Любые две параллельные прямые, пере-
секающие данные прямые а и Ь, мож-
но рассматривать как соответственные при
гомотетии с центром в точке пересечения
прямых а и Ь. Пусть прямая т пересе-
кает прямую а в точке А, а прямуюЬ—в
точке В (рис. 107). Прямая п, парал-
лельная прямой т, пересекает прямую
а в точке А' и прямую b в точке В'.
Пары точек А и А', В к В’ являются
соответственными при гомотетии. По-
строим точку М', соответственную точке М. Для этого проведем прямую,
содержащую точку А’ и параллельную прямой AM, и прямук), содержа-
щую точку В' и параллельную прямой ВМ. Точка пересечения построенных
прямых и является образом точки М. Следовательно, прямая ММ'и будет
содержать «недоступную» точку пересечения прямых а и b (центр гомотетии).
594. О=[АА']() [ВВ'], если А, А’, В, В' не принадлежат одной пря-
мой. Если точки А, А', В, В' принадлежат одной прямой, отметьте
точку К (АВ) и постройте образы прямых КА и ВК. 595. Да; бесконечно
много; центром гомотетии может быть любая точка плоскости, не принадле-
жащая данным прямым. 596. Прямая, параллельная прямой а и отстоящая
от нее на расстоянии, равном расстоянию между прямыми а и Ь. 597. Нет.
598. Две гомотетии. Обозначим концы первого отрезка А и В, второго — С
и D, тогда Of = (АС) (BD), О2 = (AD) ["] (ВС), где Oj и 02 — центры
гомотетии. 599. а) Центром гомотетии может быть любая точка прямой, про-
ходящей через начала лучей, за исключением точек отрезка, концами кото-
рого являются начала лучей, б) Центром гомотетии может быть любая внутрен-
няя точка отрезка, концами которого являются начала данных лучей.
600. а) Бесконечное множество (центром гомотетии может быть любая точка
прямой, содержащей вершины углов, за исключением точек отрезка, копнами
100
когорого служат вершины углов, k > 0).
б) Бесконечное множеово (центром го-
мотетии может быть любая внутренняя
точка отрезка, концами которого служат
вершины углов, k < 0). 601. Две (коэф-
фицпенты гомотетии равны ±—, где rlt
гя
г2 — радиусы окружностей). Центры го-
мотетий совпадают в случае совпаде-
ния центров окружностей. В этом случае центрами гомотетий является центр
окружностей. Построение центров гомотетий показано на рисунке 108. 6О2.Цент-
ром гомотетии является вершина вертикальных углов, k < 0. 603. Цент-
ром гомотетии является точка пересечения медиан .треугольника АВС, k =
• 1 2 (
— — 605. Если стороны треугольника параллельны. 606. Да; k = ±— (или
|. 607. Если соответственные стороны прямоугольников пропорциональ-
ны. 608. Если стороны квадратов параллельны; если соответственные сторо-
ны параллелограммов параллельны и пропорциональны. 610. a) k = —3; б) точ-
ка С. 611. Бесконечное множество; центрами гомотетий являются внутренние
точки отрезка
У = —5х 4-
2
£
з:
как А € а, то
принадлежит прямой Ь. Поэтому В
но задаче 615. 622. При гомотетии с центром в начале координат и k =
А (а, Ь) -> В (—2а, —2Ь). Так как точка А (а, Ь) принадлежит прямой
у = Зх 4* 2, то b = За + 2, а так как В (—2а; —25) принадлежит прямой
у = —2x4*4, то—25= 4а 4-4 или — 5 = 2а 4-2. Решив систему уравне-
ний
k
AC-,k <0. 512. y= — 2л+3. 613. Решите систему уравнений
614. А
5 \
— —615. Предположим, что Hq(A) = В(А £а, В £Ь). Так
О J
В £ а', где а’ = Н^(а). Кроме того, точка В по условию
Ь П «.'• 618—621. Решаются аналогии-
2
2х + 4, то —25 = 4а + 4 или — Ь
b — За + 2, найдем, что а = —0,8, b = —0,4.
—Ь = 2а 4- 2. О т в е т. А (-0,8; —0,4); В (1,6; 0,8).
623. Решается аналогично предыдущей задаче. 624. Анализ. Предполо-
жим, что задача решена и прямая MN — искомая (рис. 109). Так как точка
Р лежит между точками М и N и | Л1Р|: | PN\ = 1 i 2, то точка N отображает-
ся на точку М при гомотетии с центром Р
и k =----Но точка N принадлежит лучу
ВС. Следовательно, точка М принадлежит лу-
чу В'С', на который отображается луч ВС при
1
гомотетии с центром Р и k — — —. Кроме того,
точка М по условию принадлежит лучу ВА.
Поэтому М = [ВА) f|[В'С'). Построение.
Строим [В'С') = Нр 2 ([ВС)). Обозначим точ-
101
ку пересечения лучей В'С и ВА через М. Прямая МР— искомая. Дока-
зательство. Обозначим точку пересечения луча ВС и прямой МР че-
рез N. Пря гомотетии с центром Р и k =----------(ВС)-*- [В'С'), N-+ М. Сле-
довательно, |Л4Р|: |P/V|= 1 : 2, Исследование. Проведем произволь-
ный отрезок KL (К Е [6А), L Е [6С)), содержащий точку В'. Точки К
и L принадлежат различным полуплоскостям с границей (В'С'). Точка
б лежит в одной полуплоскости с точкой L, ибо в противном случае (В'С')
пересекла бы отрезок BL, но (BL) || (В'С'). Значит, точки К н В лежат
в различных полуплоскостях с границей (В'С). Поэтому прямая В’С’
имеет с отрезком КВ единственную общую точку. Следовательно, задача
всегда имеет единственное решение. 625. Анализ. Предположим,
что задача решена и прямая Аб—искомая (рис. НО). Так как точка
М лежит между А и б ([AM] "(J [Мб] = [Аб]) и |АМ|: | Д4б|=
М и k — — —
3
= 2:3, то
гомотетия с центром
отобразит точку А на точку б.
Но точка А принадлежит окружности (обозначим ее через Ft). Следовательно,
точка В принадлежит окружности Ft, на которую отображается окружность
Ft при рассматриваемой гомотетии. Кроме того, точка б по условию принадле-
жит другой данной окружности (обозначим ее через б2). Поэтому б — точка пе-
ресечения окружностей F2 и Fj. Построение. Строим образ окружности
2
Fr при гомотетии с центром М и k = ——. Обозначим точку пересечения окруж-
V
ностей fj и F2 (если она существует) через б. Построим точку А, являющую-
ся прообразом точкя В пря рассматриваемой гомотетии. Точки А и б— ис-
комые. Доказательство. Так как точка В принадлежит окруж-
2
ности F., то ее прообраз А принадлежит окружности Ft. Далее, Н з (А)=б,
1 м
следовательно, [А/И] (J [Мб] = [Аб] и | АМ|: | Мб| = 2:3. Иссле-
дование. Задача может иметь два решения, если окружности F[
и б2 пересекаются в двух точках (рис. ПО), одно решение, если окружности
б] и б2 имеют только одну общую точку; не иметь решения, если эти
окружности не пересекаются. Задача может иметь и бесконечное множество
Рис. 1Ю
совпадают.
3
626. 45 см. 627. 27 см, Н* (ЛАВС) =
= £±МКС. 628. [£Р]— образ отрезка
А б при гомотетии с центром С, далее вос-
пользуйтесь свойством гомотетии сохра-
нять отношение расстояний. 629. Точ-
ки деления принадлежат образу дан-
ной прямой при гомотетии с центром в
точке А и коэффициентом, равным дан-
102
ному отношению. 630. Точка О является центром гомотетии, отображаю-
“ 1ВС|
щей [ВС] на [ЛВ]. 631. Рассмотрите гомотетию с центром О и k= — j.
612. Соответственные стороны прямоугольников должны быть пропорцио-
нальны. 633. Рассмотрите гомотетию с центром О, отображающую [ВС] на
[ЛВ]. 634. Гомотетия с центром М, при которой [ВС] -> [ЛВ], отобразит ок-
ружность, вписанную в трапецию ABCD на окружность, вписанную в
фигуру, являющуюся объединением основания ЛВ и продолжений сторон
В А и СВ. Действительно, так как первая окружность касается лучей МА,
MD и отрезка ВС, то ее образ прн рассматриваемой гомотетии должен касать-
ся образов лучей МА, MD и отрезка ВС, т. е. лучей МА, MD и отрезка ЛВ.
Первая окружность касается отрезка ВС в точке F, тогда точкой касания ее
образа (второй окружности) с отрезком ЛВ служит точка пересечения прямой
MF с отрезком ЛВ, т. е. точка К. 635. Пусть’ Е и F — соответственно середи-
ны оснований ВС и ЛВ, О = [ЛВ) (] [СВ) и М = [ВВ] [) [ЛС]. Так как го-
мотетия с центром О, при которой [ВС]->-[ЛВ], отображает точку Е на точку
F, то точки О, Е, F принадлежат одной прямой. Гомотетия с центром М,
при которой [ВС] [ВЛ], также отображает точку Е на точку F, следова-
тельно, точки М, Е, F принадлежат одной прямой. 636. Воспользуйтесь реше-
3
нием предыдущей задачи. 637. Рассмотрите гомотетию с центром Л и k = —.
638. Используйте гомотетию с центром в точке В, отображающую на /2.
639. Гомотетия с центром М, отображающая одну окружность на другую,
отобразит (ЛВ) на (СВ). 640. При гомотетии с центром О -> /2, L -> М.
|ОМ| 3
Следовательно, । = k. 641. —. 642. Вначале постройте треугольник так,
чтобы его стороны были параллельны данным прямым, а две вершины при-
надлежали сторонам данного треугольника. Затем отобразите построенный
треугольник гомотетий с центром в вершине данного треугольника так,
чтобы все вершины оказались на сторонах треугольника. 643. Обозначим
вершины данного треугольника через Л, В, С, ([ЛС]— основание). Из про-
извольной точки N' стороны Л В проведите перпендикуляр N' К' к основанию
ЛС и па отрезке N'К' постройте квадрат N'K'L'M'. Затем рассмотрите го-
мотетию с центром Л, при которой М' М (М £ [ВС]). Данная гомотетия
отобразит квадрат N'К'L'М' на квадрат NKLM, вершины N и М которого
принадлежат боковым сторонам ЛВ и ВС треугольника ЛВС, а сторона KL —
основанию АС. Задача имеет единственное решение, если ни один из углов Л
и С треугольника ЛВС не будет тупым, и не имеет решения, если одйн из
углов Л и С—тупой. 644. а) Постройте вначале треугольник ЛВС так,
чтобы его углы СЛВ и ЛВС были конгруэнтны данным углам, затем рассыот-
| СВ |
рите гомотетию с центром в точке С и k= —-—, где [СО] — высота треуголь-
ника ЛВС, a h—длина высоты искомого треугольника; в) постройте тре-
угольник с заданным отношением длин его сторон и преобразуйте его гомо-
тетией с центром в одной из вершин треугольника. 646. Предполо-
жим, что окружность У7!—искомая, Ох — ее центр. Так как окружность
Fl касается данных прямых /х и /2, то точка Ох принадлежит биссектри-
103
Рис. 112
се угла, стороны которого принадлежат прямым Zj и 1г (рис. 111). Кро-
ме того, точки Ot и О (центр данной окружности F) являются соответст-
венными при гомотетии с центром в точке М касания окружностей Ft и F.
Эта гомотетия отобразит прямые /t и Z2 на прямые Z, и /2, которые касаются
окружности F и параллельны прямым Zj и Z2. Точке Р пересечения прямых
11 и Z2 соответствует точка Р' пересечения прямых Z, и Z2, следовательно,
Л1 G (РР')- Отсюда вытекает построение: проводим к данной окружности
касательные, параллельные данным прямым; прямая, содержащая точку их
пересечения и данную точку Р, пересекает данную окружность в искомой
точке касания. Центр искомой окружности есть точка пересечения прямой
ОМ • биссектрисой угла между данными прямыми, параллельной прямой Р'О.
Так как существуют две касательные к окружности F, параллельные
прямой Zj, и две касательные, параллельные прямой Z2, то точка Р' может за-
нимать на плоскости четыре различных положения. Прямая может пересе-
кать окружность в двух точках, следовательно, наибольшее число решений
задачи равно восьми. 647, Используйте гомотетию ~с центром в точке пересе-
1
чения медиан треугольника и k = ——. 648. Гомотетия с центром О (рис.
112), при которой окружность F отображается на окружность Z?, отобразит
точку А на точку А', точку В на точку В' (образ точки А принадлежит ок-
ружности Z? и лучу 04). Следовательно, (Л'В') || (АВ), тогда
---- х-\ 1 '--- 1
ОЛЫ = ОМ'А’-, ОМА = — ОА'М = — (ОА' + Л'УИ), а
ОЛТА' = (0Л' + МВ'). Значит, ~ (ОА' + ДЧИ) = ^(РА' + Л1В),
откуда Л'М = МВ' Из последнего следует, что А'ОМ = МОВ' (величина
вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опи-
1
рается). 649. k = —. 650. а) Нет; да. б) Да. Композиция гомотетии с центром в
8
начале координат и k — 2 и осевой симметрии относительно биссектрисы 1 и 111
111 координатных углов отобразит кривую у = х1 на кривую х — — у®.
104
решена и
653. H^(X) = Xt, Hko' (X,) = Xa, тогда OX, = kt OX, OX, = k20~x{ или
0X2 = (kt • fea) OX, t. e. X2=/7q1*’ (X). Задача может быц>
аналитически. Приведем решение.
НК,. Л1 = ktX,
П°‘ У1= k2y,
^о^Н^-.
х2 — k2 •
0 ’ >2 = k2 • yj
*2 = (kt k2)x,
ya =? (kt k2)y.
композиция
свойством:
ком-
она определяется согласно (3) соотно-
При 1, вычитая почленно
Таким образом, если fef fea = 1, то
О, и 02 и коэффициентами kt и k2
Это значит, что Нког о Hq' = Hq11- Из доказанного следует, что
двух гомотетий с общим центром обладает переместительным
/ф о H*f = Hk0> о Hkj.
654. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 655. Пусть Hq< (X) = Х<
и //q'(X1)= Х2. Тогда QtX^kt • О2Х и 02Х2 = k2 • O2Xt (1). Используя свойство
> > > — >
векторов, получим: 0аХа = OjX, — 0,0а (2). Поставим в (1) вместо 02Х, его
> > 1 *
значение из (2): 02Х2 = fe2 (kt • OtX — OjOa) (3). а) Если k± • k2 = 1, то
— ' >
ХХ2 = (1 — Л2) 010а. 6) Если существует точка О, отображающаяся
позицией данных гомотетий на себя, то
шением: 020 = k2 (fejOtO — ОгОг) (4).
(4) из (3), получим 0Х2 = №i&a) ОХ.
композиция двух гомотетий с центрами
есть параллельный перенос в направлении О2О2 на расстояние, равное длине
>
вектора (1 —k2) • 0,02 Если kt • fea=/= 1, то композиция двух гомотетий с
центрами Oj и 02 и коэффициентами fej и k2 есть гомотетия с коэффициентом
kt - k2. ‘Центр О гомотетии определяется равенством (1 — ktk2) • OtO —
> ►
= (1 — k2) • OtO2 (5), которое получается из равенства (4) заменой 020
* > э»
на 020г + OtO = 020. Из равенства (5) следует, что точки Of, 02 и О при-
надлежат одной прямой. 656. а) Композиция двух гомотетий с центрами Ог и
02 и коэффициентами, равными соответственно 2 и 3, есть гомотетия с коэффи-
циентом, равным 6. Для построения центра О гомотетии воспользуемся
равенством (5) из задачи 655: (1 — 2 • 3) • OtO = (1 — 3) OjO2 или О, =
2—> ,
= —ОгО2. Центр О гомотетии Hq
5 *
2
мотетии с центром Oj и k — —. б)
о
Hq является образом точки О2 при го-
Композиция гомотетии с центром О2 и
с центром О2 и коэффициентом ka — 3
1
коэффициентом = — и гомотетии
W
есть параллельный перенос (вектор а= —2 • OtO2). 657. Гомотетия с цент-
ром и й = ~ отображает точку А на точку В, гомотетия с центром В± и
105
при композиции указанных
и k =
1
й = — отображает точку В на точку С, гомо-
1
тетия с центром Сх и й= — отображает точ-
ку С на точку D и, 'наконец, гомотетия с
1
центром Di и fe = — отображает точку D на
точку А Композиция четырех гомотетий с цент-
рами Аъ Въ Съ Di и k = ~ есть гомотетия
1
с коэффициентом, равным —Эта гомотетия ото-
О
Сражает точку А на себя, следовательно, точка
А совпадает £ центром гомотетии. Для построе-
ния точки А следует взять две произвольные
точки X и К и построить их образы X' н У'
четырех гомотетий, тогда А — (XX') Q (У У'). 658. Го-
| МВ I
мотетия е центром М и й = -—— отображает точку А на точку В, гомоте-
| МА |
I КС I I МВ I
тия с центром К и k= - отображает точку В на точку С. Так как х
IКо МА I
| КС | ,
У #= 1, то композиция указанных гомотетий есть гомотетия с центром О
I кв I
|Л1В| [КС I „ |ИЛ4| IBKI |С£| . .
Т^П х iw ₽авенства W ‘ 1^7“ 1 наидем’что
|Л1В| |Л'С| |С£| |С£| |С£|
[W w = iW iW гомо1е1ИЯ е цен1ром 7^7
также отображав! точку А на точку С. Следовательно, точка О совпадает с точ-
кой £. 1 аким образом, точки М, К и'Е принадлежат Одной прямой 659. а) Да;
б) йет; в) да; г) нет 660. | А'В' |= k | АВ | Значит, | АВ | = — | Л'В'|. 661.
k
Композиция двух подобий отображает плоскость на себя и сохраняет от-
ношение расстояний; если | А'В' | = йх | АВ |, | А'В' | = й2 | А’В' |, то
| А ’’В" | = й2йт | АВ | 662. Да. 663. Да. 664. Покажите, что существует
единственное отображение F = L, при котором А-+А', В -> В', С -*С.
Далее воспользуйтесь задачей 661 665. F = Е о F = (Hko °HlQk) о F = Hq о
о (Н1* о F) = Hq о L, где k — коэффициент подобия F, в О — произвольная
точка плоскости. 666. Постройте медиану ALMt треугольника и от-
метьте на ней такую точку Ki, что = 2- |ДХ| 668. а) Да; б) нет.
659. Подобие определяется заданием трех различных точек, не принадле-
жащих одной прямой, и их образов. 671. Пусть при гомотетии, отображающей
одну из окружностей на другую, точка А перейдет в точку Лх. Далее рассмо-
трите поворот, центром которого является центр окружности, содержащей точ-
ки и В, и при котором Ai~>-B 673. Данное отображение F= Hq°SOx.
673. Пусть ЬРВ1 = а (рис. 113), гот да Л0Л1=60В1=а. Поворот вокруг
106
точки О иа а отображает [Л В] на [ЛаВ2]. Следовательно, LK.B2 = « п (Л2В2) ||
|| Cdjflj). Далее рассмотрите гомотетию с центром О и Ze = ' 674. Два центра
I ЛВ I
Л и В гомотетии можем найти (задач 601). Пусть точка М является центром
подобия, отображающего одну окружность на другую. Тогда |A70jj : |/ИО2| = Ze,
где От и О2 — центры данных окружностей, т. е. [МЛ) является биссектрисой
угла ОГМО2 (по свойству биссектрис углов треугольника). Аналогично [МВ) —
биссектриса угла, внешнего по отношению к углу ОХЛ/О2. Угол между [МВ)
и [МЛ) равен 90°, поэтому точка М принадлежит окружности с диаметром АВ.
Любая точка этой окружности есть центр подобия, отображающего одну из ок-
ружностей на другую. 675. Преобразование подобия называется подобием I
рода, если оно не изменяет ориентацию плоскости. Подобие 1 рода определяется
заданием двух пар соответственных точек. Действительно, пусть при подобии с
коэффициентом k А -> А', В-*-В', тогда образом произвольной точки X является
точка X' ё окр. (Л'; #г-|ЛХ|) f| окр. (В'; /г-|ВХ|) такая, что треугольники
АХВ и А'Х'В' одинаково ориентированы. Пусть подобие F определяется дву-
мя парами соответственных точек Л, Л' и В, В', тогда |Л'В'| |ЛВ|, ибо в про-
тивном случае подобие F являлось бы перемещением I рода, т. е. поворотом вок-
руг точки или параллельным переносом. Если (АВ) Ц (Л'В'), то подобие явля-
|Л'В'|
ется гомотетией, центром которой служит О = (ЛЛ ) (ВВ ) и k = .
I АВ |
В этом случае подобие можно рассматривать как композицию гомотетии с цент-
ром О и поворота вокруг точки О на 0°. Рассмотрим случай, когда прямые АВ
и Л'В' пересекаются в некоторой точке М. Используя результат решения задачи
673, получим, что точки Л и В можно отобразить соответственно на точки Л' и
В' композицией гомотетии с центром О и поворота вокруг той же точки О. Точ-
ка О есть точка пересечения окружности, содержащей точки М, А, А', и окруж-
ности, содержащей точки М, В, В'. В этом случае подобие есть композиция го-
мотетии с центром в некоторой точке и поворота вокруг той же точки. Заметим,
что теорема имеет место, если подобие является поворотом вокруг точки. В этом
случае это подобие можно рассматривать как композицию гомотетии с k = 1 и
поворота. Вместе с тем доказано, что при всяком подобии I рода, отличном от
параллельного переноса, существует единственная неподвижная точка. 676.
Предположим, что О — центр искомого подобия, а I — ось симметрии, содер-
жащая точку О (рис. 114), тогда прямая
ОА' должна быть симметрична прямой О А
относительно оси Z, а прямая ОВ' — пря-
мой ОВ, и оси I принадлежит биссектриса
угла О в треугольниках ЛОЛ' и ВОВ'.
Следовательно, ось / должна содержать
точки Р и Q, делящие соответственно от-
резки ЛЛ' и ВВ' в отношении, равном
коэффициенту подобия k:
\,А'Р\_ \ ОА' |_ |Л'В'| _
|РА | |ОЛ | | АВ |
I g <21 == I ов' | = |л'в'| =
| QB | |ОВ| |ЛВ| k Рис. 114
Л
107
(свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника). Точка О является точ-
кой пересечения оси I с прямой AfA', где Л! = Si (А).
Из сказанного следует способ построения центра подобии и оси симмет-
рии, содержащей центр подобия Пусть А -> Д', В->В'. Находим точку Р,
яя, L M'pl М'В'1
делящую отрезок А А в отношении k= — ———, и точку Q, делящую
I РА [ | АВ |
отрезок ВВ' также в отношении k. Прямая PQ является осью симмет-
рии. Далее строим отрезок BjAj, симметричный отрезку АВ относительно
оси PQ. Точка О = (A'At) Q (PQ) — центр подобия. Композиция гомотетии
с центром О и осевой симметрии с осью PQ, содержащей точку О, отобразит
А -э- Д', В -> В'. Ясно, что прямая, содержащая точку О и перпендикуляр-
ная прямой PQ, так же как и прямая PQ, отображается при найденном по-
добии на себя. Таким образом, при подобии II рода существует неподвижная
точка и пара взаимно перпендикулярных прямых, отображающихся при этом
подобии на себя.
677. а) Воспользуйтесь тем, что центр М подобия обладает свойствами;
AMAf = BMBi и | AM |: | AjM | = | ВМ |: | BiM | б) Пусть Р и Pt—точки пе-
ресечения произвольной прямой I 6 окружностями, тогда ДРМРг по ДАУИАр
Значит, данное подобие отобразит точку Р на точку Pj. 678. Воспользуйтесь ре-
шением задачи 673 и решением предыдущей задачи 679. Точки А и At являются
соответственными при подобии с центром в другой точке пересечения окруж-
ностей Р и S. Давиое подобие отобразит касательную к окружности R в точке
А на касательную к окружности S в точке Af, а потому угол между касательны-
ми равен углу поворота. 680. Воспользуйтесь тем, что
I ЛС |
Н J СВ 1 ° R^°(£DCB) = ADCA
683. ft2 = h о h = (Hk0 о Si) о (Hk0 о Si) = (Hq о Si) о (Si о Hk0)=Hk0 о нк0=Н%.
684. Композиция гомотетий с центрами А] и Д2, при которых
u>i -> w, w -> ш2, отобразит точку Ot на точку О2, а точку Bi на точку В2. По-
скольку композиция гомотетий с различными центрами либо гомотетия, либо
параллельный перенос (см задачу 655), го прямые AjAa, OtO2, BjB2 соответст-
венно либо пересекаются в одной точке, либо параллельны 685. Покажите, что
।
//,CqS“/2|o/?“/2 (Д') = Ао, где Д'—середина стороны АВ, а Ао = (АВ)
Г1 (/iSj) Тогда квадрат A’B'C'D' указанным подобием отобразится на четы-
рехугольник А0В0С0О0, а поэтому последний является квадратом.
686 F I х' = k cos “ — У sin “) + а>
I у' = fe (х sin а 4- у cos а) + Ь, если
F - подобие I рода, F I < = k ? cos.« + ? si" + «•
| у = k (—х sin а + у cos а) -f- b,
если F — подобие II рода. Воспользуйтесь тем, что F = Lo ° Hq.
687. Пусть Н% (X) = X', Hq (Y) = Y’, Т (X) = X” , Т (Y') = У", тогда
Х7?^ kXY. X"Y" = хТ'. Следовательно, х'ЧГ = kXY, а потому X" = Нко (X).
У" = Hq (У), где Oi = (XX") Q (УУ). Рассуждая аналогично, получим, что
композиция параллельного переноса и гомотетии есть гомотетия.
1С8
688. По условию <в2 — (wt), w3 = Hkl{’ (co2), co, = (<в3), тогда kt -*•
^2 r3
—-------, k2 = — — и k3 =------, где r2, r2, r3— радиусы окружностей соъ w2,
''l r, r3
со3. Композиция двух гомотетий с различными центрами и коэффициентами kr
и ka есть гомотетия с коэффициентом k = k2, если kt k2=/= 1, или парал-
лельный перенос, если kt - k2 = 1 (задача 655). Композиция гомотетии и парал-
лельного переноса есть гомотетия с тем же коэффициентом (задача № 687). Поэтому
композиция трех указанных гомотетий есть гомотетия, ее коэффициент равен
1г2 \ / г3 \ / Г1 \
— I — . I— —I • — —I = —1, следовательно, эта гомотетия есть централь-
\Т1/ \ г2/ \ г3/
пая симметрия.
689. Обозначим указанные окружности через wx, <в2, <в3. Окружность ю2
гомотетична окружности сох при гомотетии с центром в точке Р касания этих
г2
окружностей и kx -------, где г2 й гх— радиусы окружностей ю2 и <Bj. Окруж-
ri
ность w3 гомотетична окружности со2 при гомотетии с центром в точке М каса-
гз
ния окружностей со2 и со3 н k2 = — —Окружность гомотетична окружности
Г1
со3 при гомотетии с центром в точке L касания этих окружностей и k9 = — —.
гз
Композиция указанных гомотетий есть центральная симметрия (задача 688).
Следовательно, образом некоторой точки Л окружности wx при гомотетии
Н^оН^о Нр' будет точка той же окружности, симметричная ей относитель-
но центра этой окружности. Образ точки А при композиции гомотетий можно
построить с помощью одной линейки. Построением двух диаметров окружности
<»! определится ее центр. Аналогично построение и центров двух других окру-
жностей.
690. Угол поворота равен 180°.
691. Любое подобие первого рода, отличное от перемещения, представимо
в виде композиции гомотетии с центром в некоторой точке и поворота вокруг этой
же точки (задача 675). Угол между прямой и ее образом при данном подобии ра-
вен углу поворота (задачи 673 и 677). Если подобие — параллельный перенос или
поворот на 180°, тогда а' || а, где а' — образ прямой а при подобии. В этом слу-
чае будем считать угол между прямой и ее образом равным 0°.
692. Выберем произвольную систему координат OjXjyj и построим точки
At и Bt так, чтобы их координаты в этой системе были равны данным координа-
там точек А и В. Треугольник АВО подобен треугольнику A1S1O1. Существуют
два подобия, отображающие точку Аг на точку А и точку бх на точку В. Одно
из них сохраняет ориентацию плоскости (подобие первого рода), другое меняет
ориентацию плоскости (подобие второго рода). При этих подобиях точка Ot
отображается па точку О и на точку О', а оси Otxt и Огуг — на оси Ох, Оу и О' х',
О'у'. Построим треугольник АОВ так, чтобы он был одинаково ориентирован с
треугольником Аур^ и подобен ему. Для этого нужно построить углы АВО
и ВАО, величины которых соответственно равны углам A^fij и б1А1О1. Затем
строим ось Ох так, чтобы углы АОх и AjO^j были одинаково ориентированы и
величины их равны. После этого строим ось Оу. Аналогично можно построить си-
стему координат О'х'у', соответствующую подобию второго рода.
109
693. Рассмотрим подобие, являющееся композицией поворота У?р45° и гомо-
тетии Н^. При указанном подобии Л -» L, К-* С, следовательно, [ЛК1-*
->[ЕС], а потому угол между прямыми А К и LC равен 45°. Из рассмотренного
также следует, что |ВС| :_|Л/<| = }л2. Очевидно, что подобие, являющееся ком-
позицией гомотетии Нр12 и поворота /?р45°, отобразит [ЕС] на [МВ]. При ком-
позиции указанных подобий [ЛК]-»-[МВ]. Композиция же указанных подо-
бий есть подобие с коэффициентом k = 1, т. е. перемещением /?р90°. Значит
|ЛК| = |МВ| и (ЛК) ± 1МВ).
694. Пусть О — общая точка прямых а, Ь, с и d. Так как ОВА = ОСА = 90°,
то точки О, Л, В, С принадлежат окружности со, диаметром которой является
[ОЛ]. Аналогично точки О, Вь Съ D принадлежат окружности сох с диаметром
OD. Пусть N — вторая точка пересечения окружностей со и cot. Примем ее за
центр подобия первого рода, при котором со -> сох (задача 679). При указанном
подобии В -> Въ С -> Cf, следовательно, (ВС) -> (BjC^. Углы между соответ-
ственными прямыми при подобии первого рода равны (задача 691). В данном слу-
чае угол между прямой и ее образом равен углу мейсду лучами NP и NPlt где
Р и Pj — центры окружностей со и coj соответственно, а последний равен углу
между прямыми and.
695. Пусть точки М и Р— соответственно середины отрезков ЛЛ( и BBt.
Так как Лг = Р?о°° (Л), Bj = (В), то треугольники AOAt и BOBt равно-
1_ £
бедренные. #2 ° RGq° (Л) = М, //2
|ВО||ЛО|
7?0 ° (В) = Р (ВОР = ЛОМ = 60°,
1
| ОР | | ОЛ11=2)‘ ^так’ поД0бие с коэффициентом — отображает [ЛВ] на [МР],
следовательно, |ЛВ| = 2 |МР| или |МР| = — |ЛВ|.
696. Пусть О— центр равностороннего треугольника ЛВС, а Со—проек-
, -*XXs-‘ f Ct
ция точки О на сторону Л В. Если Со = R° (Со), то С0ОС0 = а, тогда СоОС2=—.
Рассмотрим композицию поворота Рд/г и гомотетии с центром О и коэффициентом
1 . а
k —-----При указанном подобии Со -* С2 (Со ОС2 = ~, |0С2| .- |ОС0|=
cos а/2 2
ОС \
= 1 : cos —1, Ло-►Л2, Во -> В2, где Ло и Во— проекции точки 'Она стероны ВС
и АС соответственно. Следовательно, треугольник Л2В2С2 подобен треугольнику
А0В0С0 с коэффициентом -———Треугольник Л0В0С0 подобен треугольнику
cos а/2
ЛВС с коэффициентом —. Используя транзитивность отношения подобия, по-
лучаем, что треугольник Л2В2С2 подобен треугольнику ЛВС с коэффициентом,
равным произведению коэффициентов указанных подобий. В данном случае
k=—-—. Так как треугольник ЛВС равносторонний, то подобный ему тре-
ст
2 cos—
2
угольник Л2В2С2 также равносторонний. Если сторона треугольника ЛВС
а
равна а, то сторона треугольника Л2В2С2 равна------
2 cos—
ПО
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................... 3
§ 1. Осевая симметрия • 5
§ 2, Центральная симметрия . • 22
§ 3. .Параллельный перенос • 32
§ 4. Поворот . 44
§ 5. Перемещение .... . . 57
§ 6. Гомотетия и подобие . . 61
Ответы и указания к решению задач ... 76
Геннадий Иванович Саранцев
СБОРНИК ЗАДАЧ
НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ В ЗАДАЧАХ
Пособие для учащихся
Редактор Э. К. Викулина
Художественный редактор Е И. Карасик
Технические редакторы Л £. Пухова и М. И. Смирнова
Корректор Р. Б. Штутман
И Б № 5606
Сдано в набор 17.07.80 Подписано к печати 06.02.81. 6Пх90*/ц’
Бум типограф. №3. Гари, литер. Печать высокая. Усл. печ. л. 7.
Уч.-изд. л. 7,78. Тираж 256000 экз. Заказ 431. Цена 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Проевеще-
ние> Государственного комитета РСФСР по делам издательств,
полиграфия и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфи-
ческий комбинат Росглавполиграфпрома Государственного ко-
митета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.