Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
В ТРЕХ ТОМАХ
Том 3
Издание второе,
переработанное и дополненное
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
физико-математических и инженерно-физических
специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1989
ББК 22.16
К88
УДК 517(0.75.8)
Рецензент: проф. В. А. Ильин (зав. кафедрой общей матема-
тики факультета вычислительной математики и кибернетики Москов-
ского государственного университета им. М. В. Ломоносова)
Кудрявцев Л. Д.
К88 Курс математического анализа: Учеб, для студентов
университетов и вузов. В 3 т. Т. 3.— 2-е изд., перераб. и
доп.— М.: Высш, шк., 1989.— 352 с.: ил.
ISBN 5 06 001516 5 (т. 3)
В третьем томе излагаются элементы гармонического анализа: сначала
основы теории тригонометрических рядов и преобразование Фурье абсолютно
интегрируемых функций, а затем теории разложений по ортонормированным
системам в гильбертовых пространствах и преобразования Фурье обобщенных
функций. Ряд теорем классического анализа обобщается на случай различных
пространств: метрических, нормированных и линейных со скалярным про-
изведением.
1702050000(4309000000) —042	ББК 22.16
К-------------------------38 — 88	_
001(01)—89	517.2
ISBN 5—06—001516—5 (т. 3)				с' Издательство 1981	«Высшая школа».
ISBN 5	-06	-000444-	-9	© Издательство	«Высшая школа».
1989, с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 5
ГЛАВА VII
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье ................................ 6
55.1.	Определение ряда Фурье. Постановка основных задач.....	6
55.2.	Стремление коэффициентов Фурье к нулю ................ 11
55.3.	Интеграл Дирихле. Принцип локализации .................. 16
55.4.	Сходимость рядов Фурье в точке ......................... 22
55.5*	. Сходимость рядов Фурье для функций, удовлетворяющих
условию Гёльдера ............................................ 35
55.6.	Суммирование рядов Фурье методом средних арифмети-
ческих ...................................................... 38
55.7.	Приближение непрерывных функций многочленами ........... 44
55.8.	Полнота тригонометрической системы и системы неотри-
цательных целых степеней х в пространстве непрерывных
функций ..................................................... 47
55.9.	Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство
Бесселя и равенство Парсеваля ............................... 50
55.10.	Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференци-
рование рядов Фурье ......................................... 54
55.11.	Почленное интегрирование рядов Фурье .................. 58
55.12.	Ряды Фурье в случае произвольного интервала ........... 62
55.13.	Комплексная запись рядов Фурье ........................ 63
55.14.	Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной
области ..................................................... 65
55.15.	Суммирование тригонометрических рядов ................. 66
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье ....................... 69
56.1.	Представление функций в виде интеграла Фурье ........... 69
56.2.	Различные виды записи формулы Фурье .................... 78
56.3.	Главное значение интеграла ............................. 79
56.4.	Комплексная запись интеграла Фурье ..................... 81
56.5.	Преобразование Фурье ................................... 81
56.6.	Интегралы Лапласа ...................................... 84
56.7.	Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых
функций ..................................................... 86
56.8.	Преобразование Фурье производных ....................... 88
56.9.	Свертка и преобразование Фурье ......................... 90
56.10.	Производная преобразования Фурье функции ............ 93 §
ГЛАВА VIII
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 57. Метрические пространства ................................... 96
57.1.	Определения и примеры ................................. 96
57.2.	Полные пространства ................................. 101
57.3.	Отображения метрических пространств .................. 107
57.4.	Принцип сжимающих отображений ....................... 111
57.5.	Пополнение метрических пространств ................... 116
57.6.	Компакты ............................................ 120
57.7.	Непрерывные отображения множеств ..................... 132
57.8.	Связные множества ................................... 133
57.9.	Критерий Арцела компактности систем функций .......... 134
§ 58. Линейные нормированные и полунормированные пространства 137
58.1. Линейные пространства ............................... 137
58.2. Норма и полунорма ................................... 148
58.3. Примеры нормированных и полунормированных пространств 150
3
58.4	. Свойства полунормированных пространств ............
58.5	. Свойства нормированных пространств ................
58.6	. Линейные операторы ................................
58.7	.	Билинейные отображения нормированных	пространств	...
58.8	.	Дифференцируемые отображения	линейных	нормированных
пространств .........................................
58.9	.	Формула конечных приращений	..............
58.10	.	Производные высших порядков	..............
58.11	. Формула Тейлора ..............................-....
§ 59.	Линейные пространства со скалярным произведением .........
59.1.	Скалярное и почти скалярное произведения ............
59.2.	Примеры линейных пространств со скалярным произведением
59.3.	Свойства линейных пространств со скалярным произведением.
Гильбертовы пространства ..................................
59.4.	Пространство L2 .....................................
§ 60.	Ортонормироваиные базисы и разложения по ним .............
60.1.	Ортонормироваиные системы .........................
60.2.	Ортогонализация ...................................
60.3.	Полные системы. Полнота тригонометрической системы и
системы полиномов Лежандра ................................
60.4.	Ряды Фурье ........................................
60.5.	Существование базиса в сепарабельных гильбертовых про-
странствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых про-
странств ..................................................
60.6.	Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд
Фурье .....................................................
60.7.	Ортогональные разложения гильбертовых пространств в
прямую сумму ..............................................
60.8.	Функционалы гильбертовых пространств ..............
60.9*	. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций.
Теорема Планшереля ........................................
§ 61.	Обобщенные функции .......................................
61.1.	Общие соображения ...................................
61.2.	Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Со-
пряженные пространства ....................................
61.3.	Определение обобщенных функций. Пространства D и D'
61.4.	Дифференцирование обобщенных функций ................
61.5.	Пространство основных функций 5 и пространство обобщен-
ных функций S' ............................................
61.6.	Преобразование Фурье в пространстве 5 ...............
61.7.	Преобразование Фурье обобщенных функций .............
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 62.	Некоторые вопросы приближенных вычислений ................
62.1.	Применение формулы Тейлора для приближенного вычисле-
ния значений функций и интегралов .........................
62.2.	Решение уравнений ...................................
62.3.	Интерполяция функций ................................
62.4.	Квадратурные формулы ................................
62.5.	Погрешность квадратурных формул .....................
62.6.	Приближенное вычисление производных .................
§ 63.	Разбиение множества на классы эквивалентных элементов ....
§ 64.	Предел по фильтру ........................................
64.1.	Топологические пространства .........................
64.2.	Фильтры .............................................
64.3.	Предел фильтра ......................................
64.4.	Предел отображения по фильтру .......................
Предметно-именной указатель ....................................
Указатель основных обозначений .................................
156
161
168
176
181
185
187
189
191
191
195
197
202
220
220
224
226
230
240
244
249
255
258
268
268
285
289
292
295
305
305
309
316
318
321
326
329
331
331
333
337
338
344
351
ПРЕДИСЛОВИЕ
В первой половине третьего тома «Курса математичес-
кого анализа» излагается теория тригонометрических рядов
Фурье: сначала изучается их поточечная сходимость и
сходимость в среднем, а затем классическая теория преобра-
зования Фурье абсолютно интегрируемых функций. Изложе-
на также теория интегралов, зависящих от параметра
(собственных и несобственных) и рассматривается вопрос о
вычислении определенных интегралов с помощью диф-
ференцирования и интегрирования интегралов по параметру.
Во второй половине третьего тома изучаются некоторые
вопросы теории метрических, нормированных, гильбертовых
пространств и пространств обобщенных функций, идейно
связанные с задачами классического анализа. Эта часть курса
существенно расширена по сравнению с первым изданием
«Курса». В ней, в частности, установлен ряд свойств
отображений метрических пространств, обобщающих свой-
ства числовых функций, получена формула Тейлора для
отображений нормированных пространств, изложены основы
теории разложений элементов гильбертовых пространств в
ряды Фурье по ортогональным системам и дана теория
преобразования Фурье обобщенных функций.
В конце тома имеется «Дополнение», в котором рас-
смотрены некоторые вопросы численных методов анализа
(приближенное вычисление значений функции, ее производ-
ной и интеграла от нее, приближенное решение уравнений) и
теория предела отображения по фильтру, которая включает в
себя как частный случай пределы, изучавшиеся в «Курсе»
ранее.
Нумерация глав, параграфов и рисунков продолжает
нумерацию первых двух томов курса.
ГЛАВА VII
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 55.	ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
55.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЯДА ФУРЬЕ.
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Определение 1. Ряд вида
-7+ Е апcosnx + bn sinпх	(55.1)
2 п= 1
называется тригонометрическим рядом.
Его частичные суммы являются линейными комбинациями
функций, входящих в систему
cosx, sinx, cos2x, sin2x, .... cosnx, sin их... .	(55.2)
Определение 2. Множество функций (55.2) называется три-
гонометрической системой.
Лемма 1. Тригонометрическая система (55.2) обладает
следующими свойствами:
1) интеграл по отрезку [ — л, л] от произведения двух
различных функций, входящих в нее, равен нулю (это свойство
называется ортогональностью*^ системы (55.2)), т. е.
п
j cosпх cosтх dx = 0, п^т,
— л
л
[ sinпх sinтх dx = 0,	п^т,	(55.3)
— л
л
j cosnx sinwx dx = Q, т, n = 0, 1, 2, ..., ;
— л
л	л
2) j cos2nxdx — j sin2пх dx = n, п=1, 2, ... . (55.4)
— Я	—л
Доказательство. При любых целых неотрицательных т,
п, таких, что т^п, имеем
Л	J л
[ sin пх sin тх dx = - J [cos (и — т) х — cos (п + т) х] dx =
— п	— л
_sin(fi — т)х "	sin(n + w)x"
2(п-т) _л 2(л + /и)
*’ Происхождение термина «ортогональность» будет разъяснено в
п 58.1.
6
Аналогично доказываются и два других равенства (55.3).
Докажем теперь (55.4):
л	л
J cos2пх dx=^ J (1 +cos2nx)(Zx = n,
— л	— л
Л	1 л
J sin2nxdx = ~§ (1 — cos2«x)t/x = n. □
“Л	— л
Теорема 1. Пусть
f(x) = ~+ £ а„cosnx+b„sinпх	(55.5)
2 И= 1
и ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится
равномерно на отрезке [ — л, л]. Тогда
1 л
а0 = ~ f f(x)dx,
— л
1 n	j Л
а„ = - f f(x)cosпхdx, bn=- f f(x)smnxdx, n=l, 2, ... .(55.6)
Л —Л	К —Л
Доказательство. Поскольку ряд, стоящий в правой ча-
сти равенства (55.5), сходится равномерно на отрезке [ — л, л], а
все его члены являются непрерывными на этом отрезке функ-
циями, то и его сумма Дх) непрерывна на отрезке [ — л, лф а Сам
ряд можно почленно интегрировать (см. п. 36.4) от —л до л:
Л	Л /	СО	\
j f(x)dx= f (у+ £ a„cosnx+b„smnx\dx =
— л	—л \“ л— 1	/
л	ОС	л	л
= у J dx+ £ ап j cosnxdx+b„ J sinnxdx = na0.
“Л	n=1	—л	—я
Отсюда следует первая из формул (55.6).
Если ряд (55.5) почленно помножить на cos их и sin их
(л=1, 2, ...), то полученные ряды будут также равномерно
сходиться на отрезке [ — л, л] (см. свойство 2° в п. 36.3)
Интегрируя почленно эти ряды и используя свойство
ортогональности (55.3) тригонометрической системы и равен-
ства (55.4), будем иметь
Л	л
J Дх) cos nxdx= J а „со?,2 nxdx = na„,
— п	“Л
л	л
J Дх) sin пх dx = J b„ sin2 пх dx = nb„.
-п	— л
7
Из полученных соотношений непосредственно вытекают
формулы (55.6). □
Теперь заметим, что интегралы (55.6) имеют смысл не
только для функций, непрерывных на отрезке [ — л, л], а также,
например, и для функций, интегралы от которых абсолютно
сходятся на этом отрезке.
Напомним, что понятие абсолютно сходящегося интеграла
(как и просто сходящегося интеграла) было введено для
функций, определенных на некотором промежутке с концами а
и Ь, —оо^а</>^+оо, для которых существует такое конечное
множество точек х,, z = 0, 1, ..., к,
a^x0<x1<...<xk^b,
что функция f интегрируема по Риману на любом отрезке
[£,, тн, лежащем в заданном промежутке и не содержащем ни
одной из точек х0, хк, ..., хк. При этом если а= — со, то
х0= — оо, а если Ь= + со, то хк= + оо.
Всякое конечное множество точек z = 0. 1, ..., к, обла-
дающее указанными выше свойствами, будем называть пра-
вильным разбиением промежутка интегрирования функции f
Очевидно, что если к правильному разбиению рассматривае-
мого промежутка добавить любое конечное множество то-
чек, являющихся внутренними или концевыми точками этого
промежутка, и расположить точки получившегося множест-
ва в порядке возрастания, то получится снова правильное
разбиение.
х0	Ь	xj
Если все интегралы	$f(x)dx,	$f(x)dx,	J f(x)dx,	z=l, 2, ...
a	x.	xf_,
b
..., к, сходятся, то можно определить интеграл §f(x)dx. Он
а
определяется равенством
b	Xq	к xi	b
\f(x)dx= \ f(x)dx+f f{x)dx+ Jf(x)dx
a	a	i= 1 xf_ t	xk
и называется сходящимся интегралом,
b
Отметим, что значение интеграла \f(x)dx не зависит от
выбора правильного разбиения промежутка интегрирования.
b	ь
Если сходится интеграл J |/(х)| dx, то интеграл £/'(х)с/х
а	а
также сходится и называется абсолютно сходящимся (см. п.
33.5), а функция f—абсолютно интегрируемой на рассматривае-
мом промежутке.
Отметим, что если функция интегрируема по Риману на
некотором отрезке, то ее абсолютная величина также интег-
8
рируема по Риману на нем (см. п. 28.1) и, следовательно,
функция, интегрируемая по Риману на отрезке, абсолютно
интегрируема на нем.
Если интеграл от функции f абсолютно сходится на отрезке
[ — л, л], то для нее все интегралы (55.6) также сходятся, так как
они представляют собой интегралы от произведения абсолютно
интегрируемой функции /(%) на ограниченную (синус или
косинус), а такие интегралы абсолютно сходятся (см. лемму 2 в
п. 33.5).
Определение 3. Пусть функция f абсолютно интегрируема на
отрезке [ — л, л]. Тригонометрический ряд (55.1), коэффициенты
которого задаются формулами (55.6), называется рядом Фуръе*}
или, более подробно, тригонометрическим рядом Фурье, а числа
ап и Ьп — коэффициентами Фурье функции f.
В этом случае пишут
/(х)~—+ Y, апcosпх + bnsinпх.
Частичные суммы порядка п этого ряда будем обозначать через
5„(х, /) или, короче, 5„(х) и называть суммами Фурье порядка п
функции f.
Подчеркнем, что здесь знак ~ обозначает не асимптоти-
ческое равенство, а просто соответствие: функции сопоставля-
ется ее ряд Фурье.
Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следую-
щим образом:
всякий равномерно сходящийся тригонометрический ряд
является рядом Фурье своей суммы.
Упражнения. 1. Пусть функция / абсолютно интегрируема на отрезке
[ —л, л] и пусть
/(.т)~у+ £ a’ncosnx + /’„sinnx.
п = 1
Тогда если функция /—четная, то Ь„ = 0, л=1, 2, .... если же /—нечетная
функция, то а„ = 0, л = 0, 1, 2, ... .
I
2. Является ли тригонометрический ряд £ ^2 рядом Фурье?
п- 1
В этом параграфе будут изучаться периодические функции /,
для каждой из которых существует число Г>0 такое, что при
всех х, принадлежащих области определения функции f,
значения х+Т и х— Т также принадлежат этой области и
выполняется равенство
	/(х+Г)=/(х).
*’ Ж. Фурье (1768—1830) — французский физик и математик.
9
Такие функции называются Т-периодическими.
Пусть f абсолютно интегрируема на отрезке [ — л, л] и,
следовательно, ей можно сопоставить ряд Фурье. Если он
сходится на некотором множестве, то сходится к 2л-периоди-
ческой функции, так как все его члены 2л-периодичны. Поэтому
бывает удобно и саму функцию f «периодически продолжить» с
периодом 2л. Кавычки поставлены потому, что в действитель-
ности функцию f можно продолжить периодически только в
случае, когда /(—л)=/(л).
Если это условие не выполнено, то продолжением функции f
назовем 2л-периодическую функцию / которую получим,
полагая для любой точки хе [—л, л), в которой определена
функция f (напомним, что, в силу абсолютной интегрируемости
функции f на отрезке [ — л, л], она определена во всех его
точках, кроме, быть может, конечного их множества);
/(х+2л&)=/(х), А: = 0, +1, +2, ....
Такое продолжение в случае, когда /( —л)#=/(л), приводит к
несовпадению значений функций f и f при х = л. Однако,
поскольку коэффициенты Фурье функции определяются с
помощью интегралов (55.6), это не приведет к их изменению щ
следовательно, ряды Фурье данной функции/и продолженной/
совпадают.
Отметим, что при указанном периодическом продолжении
функция / может не быть непрерывной в точках 2лл, k = Q, +1,
+ 2, ..., даже если функция / непрерывна при х=—л и х = п.
Продолженная функция / будет непрерывной в точках 2пк, если
/ непрерывна в х= — л и х = л, причем /( — л)=/(л). Непрерыв-
ность в других точках при периодическом продолжении
сохраняется: если / непрерывна в точке хе ( — л, л), то /
непрерывна в любой точке х + 2£л, А; = 0, +1, +2, ....
Часто продолженную функцию / будем обозначать тем же
символом / что и продолжаемую.
Если функция / 2л-периодична, то при вычислении ее
коэффициентов Фурье (см. (55.6)) интегрирование можно выпол-
нять по любому отрезку длины 2л, например по отрезку [0, 2л]:
2л
«о = -
л
О
2 л
Jf (х) cos nxdx, bn=-
о
2л
/(х) sin пх dx.
о
Действительно, если какая-либо функция ср имеет период,
равный Т, и для некоторого числа aeR интегрируема на
ю
отрезке [а, а + Т], то при любом выборе beR она интегрируема
и на отрезке \Ь, 6+Т], причем
Ь+Т	а + Т
f ф(.х)(/х = J ф(х)<7х,
b	а
а+Т
т. е. интеграл j ф(х)й?х не зависит от выбора числа aeR.
а
В § 60 мы обобщим понятие тригонометрического ряда
Фурье, а именно: определим и изучим ряды Фурье по
произвольной ортогональной системе функций. В настоящем же
параграфе будем изучать лишь тригонометрические ряды Фурье
абсолютно интегрируемых функций (см. также п. 60.6).
Прежде всего будет рассматриваться вопрос об условиях,
гарантирующих сходимость ряда Фурье. В случае же сходи-
мости ряда Фурье данной функции /(х) при определенных
условиях мы выясним, чему равна его сумма S'(x), в частности,
когда она совпадает с функцией ,/'(х). Будет изучаться «ско-
рость» сходимости рядов Фурье и условия, от которых она
зависит. Будет показано, что и в том случае, когда ряд Фурье
непрерывной функции расходится в некоторых точках (при-
меры таких рядов существуют), по нему можно восстано-
вить саму функцию во всех точках. Мы увидим, наконец,
что с определенной точки зрения сходимость рядов Фурье
естественно рассматривать не только в обычном смысле (как
сходимость последовательности частичных сумм в точке или
равномерную сходимость), но и совершенно по-другому, а
именно, в смысле среднего квадратичного (см. п. 55.7, 55.8
и 55.9).
55.2. СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
Большую роль в теории тригонометрических рядов играет
тот факт, что коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой
функции стремятся к нулю при л-»оо. Он вытекает из
доказываемого ниже несколько более общего утверждения,
часто применяемого в исследованиях, относящихся к рядам
Фурье и смежным вопросам.
Теорема 2 (теорема Римана). Если функция f абсолютно
интегрируема на промежутке (а, Ь), конечном или бесконечном,
то
ь	ь
lim J / (х)cos vx dx = lim J./ (х) sin vx dx = 0.
v-»x a	V->X a
Следствие. Коэффициенты Фурье (55.6) абсолютно интег-
рируемой функции стремятся к нулю при п->сс>.
Рис. 246
Рис. 247
Прежде чем доказывать эти утверждения, введем ряд понятий,
которые будут неоднократно использоваться в дальнейшем.
Определение 4. Для всякой функции f определенной на всей
числовой оси, замыкание множества точек, в которых /(х)/0,
называется ее носителем и обозначается через supp/*’.
Определение 5. Функция f, определенная на всей числовой оси,
называется финитной, если ее носитель содержится в некото-
ром конечном отрезке.
Определение 6. Для всякого множества Е, лежащего на
числовой прямой, функция
называется характеристической функцией множества Е.
На рис. 246 изображена характеристическая функция полу-
интервала- вида [а, Ь}.
Определение 7. Функция f, определенная на всей числовой оси,
называется финитной ступенчатой функцией, если она являет-
ся линейной комбинацией конечного числа характеристических
функций попарно не пересекающихся полуинтервалов [о,, b,), i = 1,
2, ..., т, т. е. если она представима в виде
т
i~ 1
(55.7)
(рис. 247), где /,(х)— характеристическая функция интервала
[«;, ЬД а Х;, i = 1, ..., /л,--некоторые действительные числа.
Нетрудно убедиться, что если не требовать, чтобы полуин-
тервалы [я,, ЬД /=1, 2, ..., т, попарно не пересекались, то
получится равносильное определение. Это следует из того, что
пересечение конечного числа рассматриваемых ограниченных
полуинтервалов является также полуинтервалом того же вида.
Очевидно, всякая функция вида (55.7) финитна.
*’ От лат. supportus - опора.
12
Финитная ступенчатая функция / интегрируема на всей
числовой оси, при этом если она задана формулой (55.7), то
4- х	т	+ со	mb-	т
f f(x)dx=YXi f lAx)dx= £ \$dx = £ Xf(Z>; —a,).
- X	1=1 X	1=10,	1=1
Упражнение 3. Доказать, что всякая непрерывная на отрезке функция
является пределом равномерно сходящейся последовательности финитных
ступенчатых функций, носители которых принадлежат тому же отрезку.
Лемма 2. Для любой функции f, абсолютно интегрируемой
на конечном или бесконечном промежутке с концами а и Ь,
— оо^а<Л^ + оо, существует последовательность таких фи-
нитных ступенчатых функций <р„, п = 1, 2, ..., что:
Г) supp(p„c(a, Ь),
2°) lim J|/(x)-(p„(x)|rfx = O.
" а
Доказательство. Пусть функция /' абсолютно ин-
тегрируема на промежутке с концами а и Ь. Допустим
для определенности, что она интегрируема на любом от-
резке
[£,, тд], —со^а<£,<т|</)^+оо
(общий случай абсолютно интегрируемой функции, см. п. 55.1,
легко сводится к этому). Тогда, согласно определению несобст-
венного интеграла, для любого фиксированного числа е>0
существуют такие числа и гр что
с	b
|/(х)|(/х+ |/(л-)| <7х<^.	(55.8)
J	J
а	11
Функция / интегрируема по Риману на отрезке [£,, г|]
и, следовательно, если обозначить через .vT нижнюю сум-
му Дарбу функции f соответствующую разбиению т отрезка
[Л П], то
п
lim s = f f(x}dx,
|тНО 4
где |т| — мелкость разбиения т. Поэтому существует разбие-
ние To = {-Yf}i=i отрезка [с, д] такое, что если 5— нижняя
сумма Дарбу для функции f, соответствующая разбиению
т0, т. е.
13
к
лТо= £ m^Xi, mt = inf /(х), Ах; = х; — х;_,, /=1, 2, к,
|=1	V,
то
п
/*
Дх)(/х-5То<|,
t,
где е— фиксированное выше число.
Положим
, . ( Ш:, если xi_1^x<x;, i= 1, 2, ..., к,
Ф И =) п	(55.9)
(0, если х<с, или х^Г].
Очевидно ф(х)— финитная ступенчатая функция,
п	к
f Ф (х) dx= £ Axf
supp <Р CZ [£,, Т]]с(д, ь) И
’о'
Следовательно,
п	п
[/(х)-ф
«.
п
/*
dx — ф(х)<7х =
£

П
/(x)rfx-5IO<|, (55.10)
J
£
при этом поскольку ф(х)^/(х), £,^Х<Г], то
/(х) - ф (х) = |/(х) - ф (х)| 0.
Из неравенств (55.8) и (55.10) имеем
Ъ	П	b
f 1/(*)- ф (х)I б/х = f IУ(х)I dx + J [/(х)- ф (х)] dx + JI/(х)I dx < е.
a	at,	г)
Полагая, например, е=- и обозначая соответствующие финит-
ные ступенчатые функции ф через ф„, н=1, 2, ..., получим
последовательность финитных ступенчатых функций ф„, для
которой выполняется утверждение леммы. □
Замечание 1. Заметим, что из определения ступенчатой
функции ф, построенной при доказательстве теоремы 2 (см.
(55.9)), следует, что если для всех хе[^, ц] выполняется
неравенство
|/(х)| ^С,
14
то выполняется и неравенство
|(р(л)|^С.
Действительно, если — с^/(х)^с,
х,], i = 1, 2,	i0, имеем
то для любой точки
— c^m;= inf /(x)
с.
 [ х( _ j, х;) выполняется
с на всех полуинтервалах
Поэтому (см. (55.9)) для всех
неравенство — с^ф(х)<с, т. е. | ср(. z, .
[х,_1; х,). а следовательно, и на отрезке [£,, р] (заметим, что
(p(p) = °).
Замечание 2. Отметим, что из условия supp/c(n, b)
следует, что функция f равна нулю в некоторых окрестностях
точек а и Ь. Действительно, носитель supp/ функции / является,
согласно определению, замкнутым множеством, и так как точки
а и b ему не принадлежат, то они не являются его точками
прикосновения. Поэтому у них существуют окрестности, не
содержащие точек множества suppf, и во всех точках этих
окрестностей функция / равна, очевидно, нулю.
Доказательство теоремы. Пусть тЦх)— характеристи-
ческая функция полуинтервала [£, г|). Тогда для любого
интервала (а,	ц] будем иметь
ь	Ч
,	cos vE—cos vn _
sin vx dx = hm-------' = 0,
V
lim
х(х) sin vxdx = lim
V— X *
ибо
cos vE, — COS V4
V
| cos vE,| +1 cos vn I
00.
Так как любая финитная ступенчатая функция является
линейной комбинацией конечного числа характеристических
функций полуинтервалов рассмотренного вида, то утверждение
теоремы справедливо и для любой финитной ступенчатой
функции.
Если теперь функция f является абсолютно интегрируемой
на промежутке с концами а и Ь, — оо^а<Ь^ +оо, то для
любого числа с > 0, согласно лемме существует финитная
ступенчатая функция ср, такая, что
ь
| /(х) —<р(х)| б/х<|.
15
Для этой ступенчатой функции (поскольку для ступенчатых
функций теорема уже доказана) существует такое v£, что при
<р(х) sinvxdx
Поэтому, используя тождество /(х) = [/(х) —<р(х)] + (р(х), при
|v]> v£ получим
ь
£/(х) sin vxt/x < f [/(х) — <р (%)] sin vxdx +
+ Jср(х) sin vxdx J |/(x) — <p(x)| dx+ <p(x) sin vxdx <| + |=c.
J
a
b
Это означает, что lim j/(x)sinvxt/x = O.
Аналогично доказывается, что
lim J/(x)cosvxdx = Q. □
55.3. ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ
Пусть функция /(х) абсолютно интегрируема на отрезке [ — л,
л]. Найдем удобное для исследований выражение частичной
суммы 5„(х; /) ряда Фурье функции f, называемой также просто
суммой Фурье п-го порядка п = 0,1,2,.... этой функции. Подставив в
^„(х; /) выражения для коэффициентов Фурье (55.6), получим
S„ (х; /) = ^~+ £ ak cos кх + bk sin кх =
2 к = 1
2л
*/
f(t)dt+ £ - f (?) (cos kt cos kx + sin kt sin kx)dt =
к=1П J
/0) y+ Ё cos£(z-x) dt.
1,-1
(55.11)
16
Положим
D„(z) = |+ £ coskt, n — Q, 1, 2,
t, — 1
(55.12)
тогда формула (55.11) перепишется в виде
S„(x; /)=! Dn(t-x)f(t)dt.
(55.13)
Функция £)„(/) называется ядром Дирихле, а интеграл, стоящий
в правой части равенства (55.13),— интегралом Дирихле.
Лемма 3. Ядро Дирихле-.
1) четная непрерывная 2п-периодическая функция, причем
Л(о)=«+|;
2) удовлетворяет условию
Dn(t)dt= 1;
(55.14)
3) при	k = Q, +1, +2,
(55.15)
Доказательство. Непрерывность, четность и существо-
вание периода, равного 2л, для ядра Дирихле Dn(t) непосредст-
венно следует из его определения, т. е. из формулы (55.12). Из
этой же формулы следует и равенство (55.14): чтобы его
получить, достаточно проинтегрировать по отрезку [ — л, л] обе
части равенства (55.12):
J
— л
D„(t)dt=l- dt+ £
Ь — 1
J
~ Л
fc= 1 J
cos ktdt = n,
ибо при k=\, 1, ...: j cosA7<7/ = 0.
17
Докажем теперь формулу (55.15). Имеем
1	п	] /	п
£>„(/)=-+ £ coskt =-----------1 sin-+ £ 2sin-cosA:/
2	*=1	2sin-	2 "=1	2
2
1 Г . t , Л ( . 2А + 1	. 2Ar—1 \
=------ sin + > sin-----------1 — sin-----t =
. . t 2 k = i \	2	2 J
2sm-L- K 1
2
( 1
sin n+-
\ 2
t
-, t=£2nk, k = Q, + 1, +2, ....
. . t
2 sin -
2
По существу, эта формула была нами уже доказана (см.
формулу (34.89) в первом томе). Мы воспроизвели здесь
доказательство лишь для удобства читателя. Отметим, что, в
силу четности ядра Дирихле,
О	я
f D„(t)dt=\D„(t)dt,
— л	О
поэтому
f Dn^dt = 2.]Dn^dt.
-л	О
Отсюда и из свойства 2° ядра Дирихле следует, что
л
л
- D„(t)dt=\.	(55.16)
л J
о
Заметим еще, что правая часть равенства (55.15) имеет
смысл лишь при t^lnk, к — целое. Но так как
/ 1\
sin I П-\-~ I t
lim —А—2J_= Пт Dn(t)=n + 1,
t-*2kn 2 sin-	t^>2kn
t
- можно доопределить при t = 2nk, к = 0.
то функцию ----------
2 sin -
2
±1. + 2, ... , считая ее значение в каждой из этих точек по
is
определению равным л + ~. Доопределенная указанным спосо-
бом функция непрерывна при t = 2nk для всех целых к.
Вернемся к рассмотрению функции f абсолютно интегри-
руемой на отрезке [—л, л]. Нас будет интересовать, в частности,
предел последовательности частичных сумм S„ (х; /) ее ряда
Фурье. Заметим, что непосредственно перейти к пределу при и->оо
в правой части равенства (55.13), т. е. перейти к пределу под знаком
интеграла, нельзя, так как предел ядра Дирихле при и->оо не
существует. Продолжим функцию f с полуинтервала [ — л, л) в
2л-периодическую функцию и обозначим ее также через f
(подробнее о периодическом продолжении см. в п. 55.1).
Периодическую с периодом 2л функцию, абсолютно интегри-
руемую на отрезке [ — л, л], будем называть для краткости 2л-
периодической абсолютно интегрируемой (на периоде) функцией.
Докажем следующую лемму.
Лемма 4. Для частичной суммы Фурье S„ (х; /) 2п-периодиче-
ской абсолютно интегрируемой функции f справедливы формулы
Sn{x-J) = -] Dn(t)f(x + t)dt	(55.17)
и
п
Sn (х; /)=1 Dn (/) [/(х+ /) +/(х - /)] dt. (55.18)
о
Следствие. Для любых 8е(0, л), хе[—л, л]
Следствие. Для любых де(0, л), хе|_ —л, nJ частичная
сумма Sn(x; f) ряда Фурье 2п-периодической абсолютно интегри-
руемой функции f обладает следующим асимптотическим инте-
гральным представлением:
6
S„(x;/) = 1 Dn(i} [/(х+О+/(х-?)]Л + 0(1), п->оо.(55.19)
о
Доказательство леммы. Выполним в интеграле Дирихле
(55.13) замену переменной интегрирования u=t—х:
п
л
D„ (u\f\x + u) du.
I
(55.20)
19
Мы снова воспользовались здесь тем обстоятельством, что
интеграл от периодической функции по отрезку, длина которого
равна ее периоду, не зависит от положения этого отрезка на
действительной оси (см. п. 55.1), и применили это свойство к
2я-периодической по и функции D„ (u)f(x+u). Итак, формула
(55.17) доказана.
Для доказательства формулы (55.18) представим правую
часть равенства (55.20) в виде суммы двух интегралов с
промежутками интегрирования [ — я, 0] и [0, л]; в первом
интеграле выполним замену переменной и=-/и воспользуемся
четностью ядра Дирихле:
(см. лемму 3). В результате будем иметь

п
Dn {u)j\x + u)du = ^
— п
О
л
D„ (u)f(x+u)du+
+ ~ JDn (u)f(x + и) du = 1JD„ (t) f(x - z) dt + JD„ (и) j\x + u)du =
ooo
Jt
=7 Dn (z) U\x+0 +/(x - 0]dt-
0
Формула (55.18) также доказана. □
Доказательство следствия. Зафиксируем число 8,
0 < 5 < к, и представим правую часть (55.18) в виде суммы двух
интегралов следующим образом:
б	п
О 5
(55.21)
Поскольку функция --------- непрерывна, а следовательно, и
2 sin -
2
ограничена на отрезке [8, л] (именно, для всех Ze [8, я]:
20
функция f (х+1) +f(x—t) при любом фикси-
рованном хе[ — я, я] 2я-периодична по t и абсолютно интегри-
руема на отрезке [ — л, л], то на [8, я] абсолютно интегрируемо
f(x + t) +/'(.<-г)
и их произведение —--------——---'. Поэтому, согласно теоре-
2 sin —
2
ме Римана (см. теорему 2 в п. 55.2), второй интеграл в пра-
вой части равенства (55.21) стремится к нулю при н-юо,
т. е.
Подставляя это выражение в (55.21), получим формулу
(55.19). □
Из формулы (55.19) следует одно важное свойство рядов
Фурье, называемое принципом локализации. Сформулируем его
в виде теоремы.
Теорема 3 (принцип локализации). Если f— 2п-периодиче-
ская абсолютно интегрируемая функция, то существование и
значение предела последовательности ее частичных сумм Фурье
Sn (х; /') в любой точке х0 е R зависит только от существования
и значения предела при п-юо интеграла
8
~ Dn (0 [/ (хо + 0 +^(х0 - /)] dt,
о
где 8 — сколь угодно малое положительное число.
Подчеркнем, что в подынтегральное выражение указанного
интеграла входят лишь значения функции f на отрезке
[х0 — 8, х0 + 8] и тем самым существование и значение предела
частичных сумм ряда Фурье функции /' зависит только от ее
свойств в окрестности точки х0, или, как говорят, от ее
локальных свойств вблизи точки х0.
Из принципа локализации следует, что если в любой, сколь
угодно малой окрестности точки х0 функции f и g совпадают,
то пределы lim Sn (х0; /) и lim Sn (х0; g) одновременно су-
И->СС	/7->СС
шествуют или нет, причем если эти пределы существуют, то они
21
равны. Это тем более интересно, что ряды Фурье таких
функций, вообще говоря, различны, ибо в формулы для
коэффициентов Фурье входят значения функции по всему
отрезку [ — л, л].
55.4. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
Далее понадобится следующая простая лемма.
Лемма 5. Для lit-периодической абсолютно интегрируемой
на отрезке длины 2л функции f интегралы
6	п
0 <8^ л, и dt	(55.22)
\	у 2 sin -
О	0	2
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Действительно, для любого 8, 0<8<л,
, 1
функция ------- непрерывна, а поэтому и интегрируема по
2 sin -
2
Риману на отрезке [8, л]. Функция же /(f) абсолютно интегри-
/'(/)
руема на этом отрезке, следовательно, и их произведение —---
2 sin -
2
абсолютно интегрируемо на отрезке [8, л], т. е. при любом 8,
О < 8 < л, интеграл
п
(55.23)
2 sin -
а 2
сходится (см. лемму 2 в п. 33.5).
Выберем теперь 8>0 так, чтобы существовало правильное
разбиение (см. п. 55.1) отрезка [0, л], для которого отрезок
ГО, 8] не содержал бы ни одной точки этого разбиения, кроме,
быть может, точки ? = 0. Возможность этого следует из самого
определения абсолютной интегрируемости функции / на отрезке
(см. п. 55.1). В этом случае для любого е такого, что 0<е<8,
функция f будет интегрируема по Риману на отрезке [е, 8], а
следовательно, интегрируемы по Риману на этом отрезке и
,	/(/)	/(/) ,
функции —, •	. Кроме того, эти функции эквивалентны
2 sin -
2
22
при z—*0, так как
2 sin-
lim---2- = 1;
/->0	'
поэтому по признаку сходимости интегралов, называемому
признаком сравнения (см. следствие из теоремы 1 в п. 33.3),
примененному к абсолютным величинам рассматриваемых
функций, инте! ралы
8	8
Ил,
"	" 2 sin -
о	0	2
одновременно сходятся или расходятся. В силу сходимос-
ти интеграла (55.23), отсюда сразу следует, что интегра-
лы (55.22) также будут одновременно сходиться или расхо-
диться. □
В дальнейшем в этом пункте будут рассматриваться
2л-периодические абсолютно интегрируемые на отрезке длины
2л функции, которые имеют только точки разрыва первого
рода, вследствие чего в каждой точке л0 числовой оси
существуют односторонние пределы:
lim f(xo + h)=f(xo + 0), lim f(x0-h) =f(x0-0).
Л^+°	/г-»+0
Определение 8 (Лебег). Точка л0 называется регулярной
точкой функции f если
(%о + 0) +/(т0 — 0)
Очевидно, каждая точка непрерывности функции является ее
регулярной точкой.
Если х()— точка разрыва первого рода функции f, то под ее
односторонними производными Z+fx) и f — (л) будем здесь
понимать пределы
/Ч(л) = Нт Л-^-Д-г+О),
h-> +0 h
/-(%) = Пт Л^-Дх-О)
й-з-о h
В том случае, когда функция непрерывна в точке х и,
следовательно, f(x+0)=f(x— 0) = /(x), сформулированное опре-
23
деление односторонних производных совпадает с данным
раньше (см. п. 9.1).
Для удобства формулировки теоремы о сходимости ряда
Фурье введем обозначение
Л(0 =7(х+0 +f(x-t) —/(л + 0) -Дх-0).	(55.24)
Очевидно, что в регулярной точке х функция f* (?) имеет вид
Л (0 =f(x +t) +f(x -t)~ 2f{x).
Ясно также, что если функция f 2л-периодична и абсолютно
интегрируема на периоде, то и функция f* (?) (л фиксировало)
также является 2л-периодической и абсолютно интегрируемом
функцией.
Заметим, что если функция f 2л-периодична и абсолютно
интегрируема на периоде, то сходимость интеграла dt при
некотором 8>0 равносильна его сходимости при любом
конечном 8>0, так как, в силу периодичности и абсолютной
интегрируемости функции f на периоде, при любом 8г>0
интеграл
Теорема 4 (признак Дини). Пусть f— 2п-периодичес-
кая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке дли-
ны 2л.
Тогда если х является точкой непрерывности или точкой
разрыва первого рода функции f и при некотором 8, 0<8<л,
интеграл
(55.25)
сходится, то ряд Фурье функции f сходится в точке х к
значению
/(.Y+0) +./(х-0)
(55.26)
Следствие 1. Если условия теоремы выполнены, то в
любой регулярной точке функции f (в частности, во всех ее
24
точках непрерывности) ряд Фурье этой функции сходится к ее
значению в рассматриваемой точке.
Следствие 2. Если f—lit-периодическая функция, аб-
солютно интегрируемая на отрезке длины 2л, и в точ-
ке х существуют Дх + О), f(x — 0), /'+(х) и	то ряд
Фурье функции сходится в этой точке к значению (55.26).
Следствие 3. Ряд Фурье кусочно дифференцируемой на
отрезке [ — л, л] функции f сходится в каждой точке интервала
( —л, л) к значению (55.26), а в точках х=—к и х = л— к
значению
Следствие 4. Ряд Фурье непрерывной кусочно дифференци-
руемой на отрезке [—л, л] функции сходится в любой точке
интервала ( — л, л) к значению функции в этой точке, а в точках
х=— л и х = л— к значению (55.27).
Доказательство теоремы. Используя формулы (55.18)
и (55.16), будем иметь

п
/(х+0)Д~0)=7	(') № + 'I +^л' - Л -
(55.28)
Пусть интеграл (55.25) сходится при некотором 8>0; тогда
он очевидно сходится и при некотором 8 таком, что 0<8<л;
тогда, согласно лемме 5, примененной к функции /* (см.
(55.24)), сходится и интеграл
п
I
\ 2 sin -
о 2
/’* (?)
иначе говоря, функция х абсолютно интегрируема
2 sin -
2
на отрезке ГО, л]. Поэтому, согласно теореме Римана (см.
п. 55.2),
25
lim — I ?  — sin ( n + - 11 dt = 0,
n t \	2/
«->00	( 2 sin- 4 z
2
следовательно, в силу (55.28),
lim 5п(л;/) = Лх+0)+Дх20) d
и-»оо
Следствие 1 непосредственно вытекает из теоремы в силу
определения регулярной точки функции.
Докажем следствие 2. Согласно теореме 4, достаточно показать,
что если существуют пределы/(л + 0),/(л —0) и односторонние про-
изводные (%),/- (х), то интеграл (55.25) сходится при некотором
8>0. Прежде всего, в силу существования конечного предела
lim = lim Pfo+O-/(-г-ь0) ! /(-г-0-/(х-О)
г->+0 г	z^ + oL	'	1
=f+ (2с) -f-(4
f* (Л
функция ограничена в некоторой окрестности точки t = 0.
Поэтому существует такое 8, 0<8<л, что на отрезке [0, 8]
f*(t)
функция ~у~- ограничена и, следовательно, она интегрируема по
Риману на этом отрезке (см. п. 33.1, а также замечание 4 в п.
44.7). Функция, интегрируемая по Риману, абсолютно интегри-
руема, поэтому интеграл (55.25) конечен. □
Для доказательства следствия 3 функцию /, заданную на
отрезке [ — я, л], продолжим периодически с периодом 2 л с
полуинтервала [ — л, л) на всю числовую ось и обозначим
полученную функцию через f В силу определения кусочной
дифференцируемости (см. определение 1 в п. 30.2) функция f
удовлетворяет условиям следствия 2. Согласно этому следствию
ряд Фурье функции /, очевидно совпадающий с рядом Фурье
для f сходится в каждой точке х к
7(.х+о) +/(л-о)
2
Если хе(-л, л), то /(х±0)=/(х±0) и, следовательно,
7(лч 0) +f(x—0) Дх + О) +/(.<— 0)	„
------------ — ------------  При х = — л	указанный ряд
сходится
7(-л+о) +7(-л-о)
а при х = л— к значению
26
/(л + О) +/(л-О) о	,	7
—---. В силу периодичности функции /,
7( - я - 0) =7(я - 0) =/(л - 0), 7(д + 0) =7( -п+0) =/( - п + 0).
Поэтому
 /(- л + 0) +7( - л - 0) _/(л+0) +/(л - 0) _/(- л + 0) +/(л - 0) п
2	2	2
Следствие 4 непосредственно вытекает из следствий 1 и 3.
Заметим, что в формулах (55.26) и (55.27) сумма ряда Фурье фун-
кции /выражена через саму функцию f заданную на отрезке [—п,
л], а не через ее периодическое продолжение/на всю числовую ось.
Если функция / удовлетворяет условиям следствия 4, т. е.
непрерывна и кусочно-дифференцируема на отрезке [ — л, л] и,
кроме того,/( — л) = /(л) (т. е. ее периодическое продолжение на всю
числовую ось совпадает с ней всюду на [ — л, л], включая концы), то
на всем отрезке [ — л, л] функция/равна сумме своего ряда Фурье:
f(x) = — + £ ап cos пх + bn sin пх.
2 п= 1
Поэтому такая функция в каждой точке отрезка [ — л, л]
может быть представлена с любой степенью точности частич-
ной суммой ее ряда Фурье, т. е. линейной комбинацией синусов
и косинусов кратных дуг (говорят также, что указанная функция
аппроксимируется суммой простых гармоник*’). То, что в
рассматриваемом случае период равен именно 2л не существен-
но: случай произвольного периода Т>0 легко сводится к
рассмотренному простой заменой переменного (см. п. 55.12).
При практическом разложении функций в ряд Фурье полезно
иметь в виду, что если абсолютно интегрируемая функция
/— четная, то функция /(х) cos пх также четная, а функция
/ (х) sin пх — нечетная, поэтому в этом случае
— п
п
/(х) sin пх dx = 0,
 п=\, 2, ... ,
*' Простой гармоникой называют (преимущественно в физике) выражение
вида A cos пх + В sin пх, где А и В — постоянные.
27
и, следовательно, для четной функции f ее ряд Фурье имеет вид
а0 + ап cos пх.
п = 1
Если функция f— нечетная, то /(х) cos пх также нечетная
функция, a /(x)sinwx — четная, поэтому
«о =
«и = -
Я
dx = О,
— п
п
л
/(x)cos nxdx=0,
— п
Ьп = -
Я
7
/(х) sin пх dx = —
/(х) sin пх dx,
77= 1, 2, ... .
Следовательно, для нечетной функции f ее ряд Фурье имеет
вид
X
£ Z>„sinnx.
п~ 1
Примеры. 1. Найдем ряд Фурье функции chx, — л^х^л.
Вычислим ее коэффициенты Фурье. Коэффициент а0 находится
легко:
1	,	, sh .v л
= сп х dx = —
nJ	пл
— п
2 sh я
я
Коэффициенты а„ находятся интегрированием по частям (см. п.
26.4):
п
а„ = ~ ch х cos пх dx = (— 1)" ^sh^~ , и=1, 2, ... .
" л J	'	’ л(1+п2)
Из четности функции chx следует, что для нее bn — Q,
л=1,2,.... Функция chx непрерывно дифференцируема и,
следовательно, удовлетворяет условиям следствия 4 из теоремы
4; кроме того, она принимает одинаковые значения на концах
28
отрезка [ — л, л], поэтому ее ряд Фурье во всех точках отрезка
[ —л, л] сходится к самой функции
chx = — fl+2 У (— 1)"—*—cosnxV
п 1+й /
Этот ряд сходится равномерно, что следует из его сравнения со
сходящимся числовым рядом £ —~.
п — О
Г рафики функции ch х и суммы .S (х) его ряда Фурье
изображены на рис. 248.
2. Найдем ряд Фурье функции shx, — л^х^л.
В силу ее нечетности, имеем
а„ = 0, п = 0, 1, 2, ... ;
далее,
п
b„ = — sh х sin пх dx = (— 1)" “1 2.” sh * ,
"nJ	'	7	7t(l+«2)’
п — 1, 2, ... .
Функция shx непрерывно дифференцируема и удовлетворяет
условиям следствия 4 из теоремы 4, но sh( — л)/зЬл; поэтому
во всех точках интервала ( — л, л) ряд Фурье функции shx
сходится к самой функции:
shx = ^-^ У (—I)"-1—У-гsinпх, — л<х<л,
sh ( —л) +sh л л
а в точках х= — л и х = л — к значению —-— -------= 0.
2
Ряд Фурье функции shx уже не сходится равномерно к ней
на всем отрезке [—л, л] (действительно, в противном случае его
29
сумма должна была бы быть
непрерывной на отрезке [ — л, л],
а она имеет разрывы на его
концах). Графики функций sh х
и суммы .S (л) ее ряда Фурье
для сравнения изображены на
рис. 249.
3. Разложим в ряд Фурье
функцию
=	, 0^х^2л.
Рис 249	Хотя функция /' выглядит не-
ис	сколько искусственно, ее ряд
Фурье имеет очень простой вид и позволяет получить ряд
интересных формул.
Продолжим функцию f 2л-периодически с полуинтервала
[О, 2л) на всю числовую ось и переопределим ее значения в точках
х = 2кп.положив их равными нулю, к = 0, +1, +2,... В результате
получится нечетная функция, в силу чего все ее коэффициенты
Фурье ап будут равными нулю: а„ = 0, и = 0, 1, 2, ... .
Вычислим коэффициенты Ьп. Интегрируя по частям, получим
2л
Ь	—х-кт пх dx =
" nJ 2
о
1
2лл
2п
, 1
cos пх ах = —.
J п
о
Итак,
(55.29)
В силу следствия 4 теоремы 4 для
равенство
л — х _	sin пх
, п ’
п = 1
0<х<2л имеет место
(55.30)
При х = 0 это равенство, очевидно, несправедливо, так как
сумма получившегося ряда при х = 0 равна нулю, а /(0)#0.
Г рафик суммы ряда (55.29) изо-
бражен на рис. 250. Заметим, что
этот ряд заведомо не сходится ра-
вномерно на отрезке [0, 2л], так
как его сумма не является на нем
непрерывной функцией (равно-
мерная сходимость ряда (55.29)
была исследована в п. 36.3).
Рис. 250
30
Заменив в (55.30) х через 2х и деля обе части получившегося
равенства на 2, получим
.V	sin 2кх
^ = ^Г2Г
0<х< я.
Вычтем это равенство из (55.30)
л _ sin (2^—1 ).v
4 “Д 2^-1
0<х<л.
(55.31)
(55.32)
л
7
Подставив получившееся выражение для ~
в (55.31), полу-
Чим
(55.33)
х = 2 £ (-
л = 1	П
Эт1о равенство верно уже и при х = 0, а в силу нечетности обеих
частей равенства и при — л<х<0, т. е. на всем интервале ( — л, л),
но|, конечно, не на его концах, в которых сумма ряда равна нулю.
Отметим еще, что, положив в (55.32) х = у, получим так
называемый ряд Лейбница
2=1_1 + 1_1 + ...,
4	3	5	7	’
который нам уже встречался раньше (см. п. 37.7, пример 2).
4.	Разложим в ряд Фурье периодическую периода 2л
функцию /, если /'(х) = х при |х|<л.
Заданная функция нечетная, поэтому ее коэффициенты Фурье
при косинусах равны нулю, а для коэффициентов при синусах
имеем
я	я
,	2 f .	,	2 Г ,	cos ли (-1)”+1	1 -
Ьп = — х sin пх ах =---\ха cos пх =-------=5—-—, п = 1, 2, ... .
л J	ли J	п п
о	о
Поэтому
/(х) = 2 £ (-l)n+1 —, И<л	(55.34)
.. — 1	и
(выше, см. (55.33), это разложение было получено косвенным
путем).
5.	Разложим в ряд Фурье неограниченную периодическую
функцию
31
/'(.т) = 1п 2 cos |
x^(2m+l)n, m — 0, +1, + 2, ... .
Эта функция четная, поэтому bn~0, и =1,2, ... ,
0	0п
2
(так как cosy>0 при 0^л<я,
то знак абсолютной величины
cos у можно не писать).
Сделав во втором интеграле замену переменного х = п — t,
убедимся, что а0 = 0.
Для вычисления коэффициентов ап, п=1, 2, ... , произведем
интегрирование по частям и сделаем . замену переменного
л = л — Г.
Представив подынтегральную функцию в виде суммы
sin пх cos —
2
sin
sin —
2
х
2 sin —
2
и использовав для вычисления интеграла от каждого слагаемого
тождества (см. тождество (55.15) в п. 55.3)
sin
2 sin —
2
1
—Ь £ coskx,
2 к = 1
2 sin —
2
п- 1
cos кх,
к- 1
будем иметь
32
«„ = ——, п = 1, 2, ... ,
п
и, таким образом,
ln(2cos-^= У (-1)"1УтУ.	(55 35)
Метод нахождения ряда Фурье заданной функции непосред-
ственным вычислением его коэффициентов приводит иногда к
необходимости проведения большого объема сложных вычисле-
ний. Иногда удается обойти эти затруднения, сведя задачу о
разложении функции в ряд Фурье функций к задаче разложения
функции в степенной ряд, и воспользоваться для этого
разработанной в теории степенных рядов техникой.
В основе этого лежит то обстоятельство, что степенной ряд
00
п = 0
на окружности \z\ = 1 сводится к рядам Фурье своей действи-
тельной и мнимой части. Действительно, при |z| — 1 имеем
z = е 1ф, zп = е 1"ф = cos лер + i sin лф, и если ап = bn + ic„,
то
ОС	00	00
£ anz”= £ (/?„ + zc„)(cos лф + isin лф) = £ (bncos nx — cn sin лф) +
и = 0	n — Q	n—0
00
+ ' E (Cn COS И(Р + S’n Л(Р) •
n “ 0
6.	Разложим в ряд Фурье периодическую функцию
г + COS X
1 + 2 г cos х + г2 ’
н<1.
(55.36)
Эта функция непрерывна при любом re( —1, 1), так как ее
знаменатель не обращается в нуль:
1 + 2 г cos х + г2 1 — 2 |г 11 cos х | + г2 1 — 2 |г | + г2 =
= (1—|г|)2>0.	(55.37)
Сделав в (55.36) подстановку
е« + е~«	,2+)
РАС V — _______
где
t = e'x,	(55.38)
33
будем иметь
r + cosx _	12+2r l+l _ t (zt~r) 4- (1 +r t) _ 1 / t 1 \
l+2rcosx + r2 2 [/ 12+ (1 + r2) Z + r] 2(z + r)(l+r/)	2\l+r/	t + r J '
(55.39)
Так как |z| = |e ,x| = 1, a |r|< 1, то по формуле для суммы
я ^(55 38)
бесконечно убывающей геометрической прогрессии получим
-^. = 1-^ = 1 У	(гЛ",
1 + г t г 1 + г t г _ ,	'
п — 1
и, следовательно,
___Г+СО5Л___ = —f У (— I)"”1 — + У (- 1)"“1 г” t п>) =
14-2rcosx4-r 2(55 3g)2r\n“1 V 7 tn ,,-j '	7	J
] 00	. n_|_ t -n	.00
= - £ (-l)"-iL-tL_ r« = 1 £ (-If'r’cosnx (55.40)
r„=l	2	(55.38) '„=1
Полученный ряд равномерно сходится, например, по призна-
00
ку Вейерштрасса, ибо |( — I)"1 г"cosих|<|га ряд £ |г|",
п~ 1
|г|<1, сходится. Следовательно, ряд (55.40) является рядом
Фурье заданной функции f (см. теорему 1 в п. 55.1).
7.	Разложим в ряд Фурье периодическую функцию
Г1 \	г sin X	. . ,
14<1.
Снова использовав формулы Эйлера, сделаем подстановку:
+	/2+1	. е'х— e~ix t2— 1
COS X =-----=----, sin X =------=------,
2	2/	2i 2ti
где t = elx. Рассуждая аналогично предыдущему примеру, полу-
чим
г sin л _	r{t2— 1)	_(1 +г t) t— (t + r)_
l+2rcosx + r2 2/(r + r)(l +r/)	2/(z + r)(l +r r)
4U -	w)=
34
= £ (—1)" —'—r”= Z (“0” ^"sinnx. (55.41)
n=l	2'	n=l
8.	Разложим в ряд Фурье периодическую функцию
. г sin Л . _	. .
причем при г=1 выполняется неравенство х/(2т+ 1)л, zn = 0,
+1, + 2, ... .
Функция f нечетная, следовательно, ее коэффициенты Фурье
при косинусах равны нулю. Вычислим ее коэффициенты Фурье при
синусах в случае, когда |r | < 1. Интегрируя по частям, получим
г sm х \ .	,	2 cos пх	г sin х
arctg---------- sin nxdx =-------------arctg----------
1 + r cos xj	пл	1 + r COS X
я
О
о
n
2r r+cosx	,
— --------------r cos nx dx =
nnj l+2rcosx + r	(5540)
0
rk cos kx cos nx dx =
cos kx cos nx dx =
Таким образом, если |г|<1, то
arctg
г sin х
1 +r cos x
(55.42)
Если же г=1, но x/(-2m+1)л, т — 0, +1, +2, ... , то
х г sin х	„ sin х , . х
arctg --------	= arctg -------= arctg tg -
l+rcosxr=1	1+cosx	2
X = £	sin их
2 (55.34) „ =1	«
т. e. разложение (55.42) остается верным и при г=1.
55.5*. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ГЁЛЬДЕРА
В этом пункте мы укажем более слабое достаточное условие,
чем условие односторонней дифференцируемости (см. след-
35
ствие 2 теоремы 4 в п. 55.4), также обеспечивающее сходимость
интеграла (55.25) и, следовательно, сходимость ряда Фурье
2тг-периодической абсолютно интегрируемой на отрезке длины,
равной периоду, функции / к значению (55.26).
Определение 9. Функция /’ определенная на интервале (,х0, Л),
называется функцией, удовлетворяющей справа условию Гёльдера
степени ос в точке х0, если существуют конечный правосторонний
предел f(x0 + 0) и такие постоянные М>0 w 8 > 0, что для любого И,
удовлетворяющего условию 0</;<8, выполняется неравенство
|/(а-0 + /7) -/(хо + 0)|<Ш“.	(55.43)
Функция f, определенная на интервале (а, Л'ц), называется
функцией, удовлетворяющей слева условию Гёльдера степени ос в
точке х0, если существуют конечный левосторонний предел
ф(х0 — 0) и такие постоянные М>0 и 8>0, что для любого h,
удовлетворяющего условию 0</г<8, выполняется неравенство
\f(xo — h)—f(xo—0)\<Mha.	(55.44)
Функция f удовлетворяющая в точке х0 условию Гёльдера
некоторой степени как справа, так и слева, называется
функцией, удовлетворяющей условию Гёльдера данной степени в
рассматриваемой точке.
Функция, определенная на некотором отрезке, называется
функцией, удовлетворяющей условию Гёльдера данной степени
на этом отрезке, если в каждой его точке она удовлетворяет
условию Гёльдера указанной степени, причем в каждой внутрен-
ней точке отрезка как справа, так и слева: в левом конце
отрезка — справа, а в правом — слева.
Отметим, что так называемое классическое условие Гёльдера
данной степени состоит в следующем. Функция / называется
удовлетворяющей в точке .v классическому условию Гёльдера
степени ос>О, если существуют такие 8>0 и Л/>0, что для всех
Л, |/?| < 8, выполняется неравенство
\f(x+h)-f(x)\<M\h\*.
Очевидно, что в этом случае благодаря условию ос > 0 функция /
всегда непрерывна в точке .г: из lim /г = 0 и ос >0 следует, что
Л—о
lim j\x+h)=f\x).
Аналогично определяются односторонние классические усло-
вия Гёльдера.
Таким образом, отличие рассматриваемого условия Гёльде-
ра от классического состоит, в частности, в том, что, согласно
нашему определению, функция, удовлетворяющая условию
Гёльдера в некоторой точке, может быть разрывной в ней.
36
Условие Гёльдера степени единица обычно называется
условием Липшица*).
Упражнения. 4. Доказать, что если функция удовлетворяет в некоторой
точке условию Гёльдера степени а, то при 0<Р<а она удовлетворяет в этой
точке и условию Гёльдера степени р.
5.	Доказать, что если функция имеет на отрезке ограниченную производ-
ную, то она удовлетворяет на нем условию Липшица с одной и той же
постоянной М.
6.	Доказать, что если функция удовлетворяет на некотором отрезке
классическому условию Гёльдера степени а>1, то она постоянна на этом
отрезке.
7.	Доказать, что функция /’(л,) = х1. л>0, 0<а^1. удовлетворяет в точке
,у = 0 условию Гёльдера степени а и не удовлетворяет в ней никакому условию
Гёльдера степени Р>а.
Теорема 5. Пусть функция f абсолютно интегрируема на
отрезке [ — л, л]. Если она удовлетворяет в точке хе ( — л, л)
условию Гёльдера степени ос, а>0, то ее ряд Фурье сходится в
этой точке и его сумма равна
Ду + О) +/'(¥ —0) .
2	’
в частности, если функция, кроме того, непрерывна в точке
х.е( —л, л), то ее ряд Фурье сходится к значению функции в этой
гйочке:
lim 5п(х;/)=/(х).
w-+x
Если функция f удовлетворяет условию Гёльдера справа в
точке х= — л и слева в точке х = л, то ее ряд Фурье сходится в
этих точках и его сумма в них равна
+/(л)
2
Доказательство. Выберем 8, 0<8<л, так, чтобы во-
первых, на любом отрезке [с,, 8], 0<^<8, функция /*(/), а
поэтому и были интегрируемы по Риману, а во-вторых,
чтобы при всех h, lh | < 8, функция / удовлетворяла условиям
Гёльдера (55.43) и (55.44) в точке х. Тогда, в силу формулы
(55.24), для функции f* (?) будем иметь
./’? (О
-/(л -0)
2М
С 1-> ’
+
t

6
Так как интеграл а>0, сходится, то в силу признака
о
*’ Р. Липшиц (1832- 1903)- немецкий математик.
37
-ЛИ <1,
сравнения сходится в нашем случае и интеграл (55.25). Поэтому
теорема 5 следует из теоремы 4. □
В заключение заметим, что если функция f в точке х имеет
правостороннюю производную f'+, то f удовлетворяет в этой
точке справа условию Гёльдера степени 1. В самом деле, из
существования конечного предела
h^O h
следует, что найдется такое 8>0, что для всех h, |А| < 8, будет
справедливым неравенство
f(x + h) —/’(х + О)
h
откуда, положив М Л \f+ (х)| + 1, получим
-М</(х+/,)~Лу+0)<Л/;
h
следовательно,
\f(x+h)-f(x + 0)\^M\h\, |Л|<8.
Аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для
левосторонних производных.
Задача 36. Функция /, определенная на отрезке [а, называется функцией
класса Гёльдера На(М) на этом отрезке, если для каждой пары точек х и x + h
этого отрезка, хер, Z>], .r+/ie[a, 6], выполняется неравенство
|/(х+/0-/(х)|«:М |ЛГ,
иначе говоря, если функция / удовлетворяет классическому условию Гёльдера
одной и той же степени а и с одной и той же постоянной М во всех точках
отрезка [а, 6].
Доказать, что если 2п-периодическая абсолютно интегрируемая на отрезке
длины 2л функция принадлежит на некотором отрезке [а, /)] классу Гёльдера
ГГ(М), 0<а^1, М>0, то на всяком отрезке [a', Z/J, содержащемся в интервале
(а, Ь): 0<а<а'<Ъ'<Ь<2л — ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно.
55.6. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ МЕТОДОМ
СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
Пусть функция / абсолютно интегрируема на отрезке
[ — л, л] и удовлетворяет условию /( —л) =/(л), а следовательно,
2л-периодически продолжаема на всю вещественную ось. Пусть
S„(x) — ее суммы Фурье, а Z)„(x)— ядра Дирихле, и = 0, 1, 2, ...
(см. (55.11) и (55.12)).
Рассмотрим средние арифметические:
38
(*) =
Sq (x) + Sl(x) +... + S„(x)
n +1
ф (,v) = D°(v)+дi(v) +   +д»(x)	и = 0, 1, 2, .... (55.45)
"	и+1
Сумма о„(х) называется суммой Фейера*} п-го порядка
функции /, а Фп (х) — ядром Фейера п-го порядка.
Из формулы
2Я
п
J Dn (и) f(x +и) du
(см. (55.17)) получаем
2Я
Ф„ (u)f(x + u)du.
(55.46)
Будем исследовать поведение сумм а„(х) при и->оо, т. е.
рассмотрим суммирование ряда Фурье методом средних
арифметических (см. п. 34.15).
Изучим прежде всего свойства ядра Фейера.
Лемма 6. Ядра Фейера имеют следующие свойства:
1°. Они являются непрерывными, четными, 2п-периодичес-
кими функциями и	ф„(о)="41-	(55.47)
2°. I	п	п 2 Ф„(г)Л = - ФИ(?)Л=1.	(55.48)
Л	Я J л	0	
3°. При	т = 0, +1, +2, ... , справедлива формула
• 21*
sin -t
Ф„(?) =-----2---•	(55.49)
2(м+ I) sin2 (
Следствие 1. Ядро Фейера неотрицательно при любом
t<= R:
Ф„(г)^0.	(55.50)
*’ Л. Фейер (1880—1959) — венгерский математик.
39
Следствие 2. При любом 8, 0<8^л, имеет место ра-
венство
lim max Ф„(() = 0.
и—*оо 5 < |t| < л
(55.51)
Доказательство леммы. Свойства Г вытекают из
соответствующих свойств ядер Дирихле, например
1	"	1	" / А
— У DД0) = —— У Л + - =
(л+1)к4Д 2J
Фи(0) = - .
(55.45) И + 1
(« + 1)
п (п + 1) п 4-
2	~2
Свойство 2е
ядра Дирихле:
Л
также вытекает из соответствующего свойства
ф„(0Л = 4т £ - |\('М=4т £ 1 = 1-
(55.45) л+1 к% П J	«+4 = 0
Я
— л
Второе равенство (55.48) сразу следует из четности ядер Фейера.
Докажем свойство У. Пусть г/2лт, т = 0, +1, ±2, ...; тогда
ф"(')=4 X
1к = 0
/ 1\
п sin /с 4— I z
= 2_ £	К 2'
(55.15)Л4-1 к = 0	2sjn£
к
2
sin
4sin2-
2
---------- Z [cos/с? —cos(/c+1)/] =
4(7/4- l)sin2A = 0
. ,//4-1
sm*-----1
1 - cos (и 4-1) t __	2
, t	, t
4(w4-l)sin2—	2(//+l)sin2-
Следствие 1 вытекает из формул (55.47) и (55.49).
Докажем следствие 2. При любом 3, 0<8^л имеем
.	1 " Т 1
sin2-------1
2
О
max Ф„(/) = max
«|t|s:n	(55.49) 8$ |l| «я ,	• 2* э/ , п • 2*
2(«4-l)smz—	2 (?7 4-1) sin2 —
40
Отсюда при /г-юосразу сле-
дует (55.51). □
Примерный вид графика яд-
ра Фейера изображен на рис.
251. Образно говоря, ядра Фей-
ера представляют собой такие
неотрицательные функции, «су-
щественные значения» которых
при возрастании п все больше
сосредоточиваются в окрест-
ности нуля в том смысле, что
при любом 8, 0<8^л, их
значения вне 3-окрестности равномерно стремятся к нулю (см.
(55.51)), а интегралы от этих функций все время сохраняют
постоянное значение (см. (55.48)), к которому стремится интеграл
по 3-окрестности нуля при 8->0.
Подобные последовательности функций называются 8-после-
довйтельностями, и мы встретимся еще с ними в параграфе
«Обобщенные функции» при изучении 3-функции Дирака.
В этом пункте будем рассматривать только непрерывные на
отрезке [ — л, л] функции /' принимающие на его концах равные
значения: /(—л)=/(л). Очевидно, каждую такую функцию можно
продолжить 2л-периодически с отрезка { — л, л] на всю
числовую ось R. Полученная функция, которую обозначим через/,
будет непрерывна на всей оси R.
Исходная функция /, как всякая непрерывная на отрезке
функция, ограничена, т. е. существует постоянная М> 0 такая, что
\f(x)\^M, xe[-ir, л]. Ясно, что тогда
\Дх)\^М.
\ R.
т. е. функция f ограничена на всей оси R.
Кроме того, функция f равномерно непрерывна на всей оси
R. В самом деле, будучи непрерывной на любом конечном
отрезке, например, на [0, 4л], она равномерно непрерывна на
нем (см. теорему 5 в п. 19.6). Это означает, что для любого г. >0
существует такое 8. 0<8<2л, что для всех xtf=[0, 4л],
х2(=[0, 4л], \х2 — xj<3, выполняется неравенство
!Г(^2)—/"(-Y1) |<е.
Но для произвольных х\ и х2 таких, что |х2 —x't | <8, найдется
целое число п, для которого Xj =Xi —2лне[0, 4л], х2=f'X'2 — 2лпе
е=[0, 4л] и поэтому |х2 — x-j | = |х2 — х'Д<8, а поскольку в силу
2л-периодичности /(хД^Дх!),/(х2) = /(х2), то
41
1Ж ) -Ж ) Н |/(х2) -Ж) I < 8.
Это и означает равномерную непрерывность функции f на всей
числовой оси R.
В дальнейшем будем периодически продолженную функцию
обозначать тем же символом /, что и продолжаемую.
Теорема 6 (теорема Фейера). Если функция непрерывна на
отрезке [ — л, л] и принимает на его концах равные значения, то
последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на
этом отрезке к самой функции.
Следствие 1. Если ряд Фурье непрерывной на отрезке
[ — л, л] функции, принимающей на его концах равные значения,
сходится в некоторой точке, то он сходится к значению
функции в этой точке.
Следствие 2. Если все коэффициенты Фурье функции,
непрерывной на отрезке [ — л, л] и принимающей на его концах
одинаковые значения, равны нулю, то сама функция тождествен-
но равна нулю на этом отрезке.
Доказательство. Пусть функция /непрерывна на отрезке
[ —л, л] и /( —л)=/(л). Продолжим ее 2л-периодически на всю
числовую ось R. Оценим разность /(х) —ст„(х) между функцией /
и ее суммой Фейера о„, используя представление суммы Фейера
в виде (55.46) и свойства ядра Фейера, доказанные в лемме 6 и
ее следствии.
Зафиксируем точку хе[-л, л] и зададим произвольное
8>0. Имеем
с
Ф„(0 [Ж-./Ж?)] Л
Фп(0 1Ж-/Ж0Ж
-8	6
(55.52)
п
где 8>0 выбрано так, что значение модуля непрерывности
со (8; /) функции / удовлетворяет неравенству
со(8; /)<|.
Это возможно, ибо функция f равномерно непрерывна на всей
числовой оси R. Поэтому для любого x<=R:
42
(55.53)
Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым спосо-
бом: функция f ограничена на всей числовой прямой, т. е.
существует такая постоянная Л/>0, что для всех xeR имеет
место неравенство
Следовательно, для любого xeR:
п	л
Г	f
1 Ф„(Г) \f(x)-f(x+t)\dt^'-
Л I	л
6	8
2М f
Л
8
2 Л/
— max Ф„(?)
Л 8<:<л
v 7 max Ф„(0<2М max Ф„(г).
Л	8 < t < л	6 < I < л
Согласно следствию из леммы 6, правая часть полученного
неравенства стремится к нулю при и->оо, поэтому существует
такое п0, что при всех п>п0 выполняется неравенство
Л
1 Ф„(01/«-/(х + 0|Л<|-	(55.54)
л J	3
8
Аналогично, для любого x^R и всех и>и0:
-8
/»
1	Ф„(Г)\f(x)-f(x + t)\dt<l .	(55.55)
Л	3
~п
Из (55.52), (55.53), (55.54) и (55.55) для произвольного xexR и
всех п>п0 имеем
|/(х)-Ои(х)|<| + | + | = Е,
43
и так как выбор номера п0 не зависит от выбора точки
хе[-л, л], то последовательность {а„} сходится равно-
мерно на всей числовой оси R к функции f. □
Доказательство следствия 1. Всякий сходящийся ряд
суммируется методом средних арифметических к своей сумме
(см. п. 34.15). Поэтому если ряд Фурье непрерывной на отрезке
[—л, л] функции, принимающей на его концах одинаковые
значения, сходится в некоторой точке к какому-то числу А, то
предел последовательности средних арифметических частичных
сумм. т. е. сумм Фейера, также равен А: если lim S„(x0; f) — A,
Ц—-X
то lim стп(х0) = /1.	Но, согласно доказанной теореме,
И— У
lim o„(.v0) = /'(.v0); следовательно, и lim 5n(x0;	□
п—‘X	n—х
Подчеркнем, что ряд Фурье функции, непрерывной на
отрезке [ — л, л] и принимающей на его концах одинаковые
значения, может расходиться в ряде точек. Однако, согласно
доказанному, если он сходится в некоторой точке, то обязатель-
но к значению самой функции в этой точке.
Доказательство следствия 2. Если функция / непре-
рывна на отрезке [ — л, л], принимает одинаковые значения на
его концах и все ее коэффициенты Фурье равны нулю, то и ее
суммы Фурье всех порядков тождественно равны нулю, а тогда
тождественно равны нулю и все суммы Фейера функции f Эти
функции равномерно сходятся к /, поэтому и сама функция f
тождественно равна нулю. □
В заключение заметим, что для непрерывной на отрезке
функции, принимающей на его концах одинаковые значения,
ряд Фурье, независимо от его сходимости или расходимости в
отдельных точках, позволяет однозначно восстановить указан-
ную функцию: достаточно образовать из его частичных сумм
суммы Фейера — их последовательность уже сходится, и притом
равномерно, к самой функции. Таким образом, даже изучение
расходящегося ряда может оказаться полезным.
55.7.	ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
Определение 10. Функции вида
А "
-- + £ /((.cosA-.v + ^sinkx, A^ + B„>Q,
2 k= 1
называются тригонометрическими многочленами (полиномами)
степени п, п = 0, 1, 2,...
*’ Здесь считается, что Во = 0.
44
Теорема 7 (теорема Вейерштрасса). Если функция f непре-
рывна на отрезке [ — я, л] а./'( —л)=/'(л), то для каждого числа
£>0 существует такой тригонометрический многочлен Т(х}.
что
|/(х)—Г(х)|<е,	— л^х^л.
Доказательство. Очевидно, что все частные суммы
Фурье, а следовательно, и суммы Фейера абсолютно интегри-
руемых на отрезке [ — л, л] функций являются тригонометричес-
кими многочленами. Поэтому в качестве искомого тригономет-
рического полинома Г(х) можно взять, например, соответст-
вующую сумму Фейера о„(х), являющуюся, очевидно, тригоно-
метрическим полиномом порядка не выше п. □
Теорема 8 (теорема Вейерштрасса). Если функция f не-
прерывна на отрезке [a, Z>], то для каждого е>0 существует
алгебраический многочлен Р(х) такой, что
\Дх)-Р(х)\<е, а^х^Ь.
Доказательство. Отобразим отрезок [0, л] линейно на
отрезок [а, />]:
Ь —а	п _	.
х = ад---t,	0^/^л,
л
и пусть /*(?) = /( а+^—-z). Функция /'* определена этой
\ л ]
формулой на [0, л]. Продолжим ее четным образом на отрезок
[ — л, 0], т. е. положим
./’* (Z) =./*(—-Z), если ze [ — л, 0].
Полученная таким образом функция /* непрерывна на [ — л, л]
(почему?) и ./'*( — л) =/'*( — л). Поэтому, согласно теореме 7, для
любого числа е>0 существует тригонометрический полином
T(z) такой, что
|./*(z)-T(z)|<|.
Как мы знаем, cos kt и sin kt, £=1, 2, ..., а поэтому,
и тригонометрический полином Т(z) являются аналитичес-
кими функциями и поэтому разлагаются в степенные ря-
ды, сходящиеся на всей действительной прямой и, следо-
вательно, равномерно сходящиеся на каждом конечном отрезке
(СМ. § 37):
T(t)= f сД.
к —О
45
Если Pn(t) суть частичные суммы этого ряда, то, в силу его
равномерной сходимости на отрезке [ — я, л], существует такой
номер пЕ, что при н>лЕ
|T(z)-P„(Z)|<|,
Беря для определенности и = иЕ+1 и полагая P(t) = Pn +1 (/),
имеем
I/-* (Z) - Р (t) I I/* (?) - T(t) I +1 T(t) - Р (t) I < | +1 < E.
Возвращаясь к переменной x, т. e. полагая t =
b — a
получим
/'(.г) — Pin —- ) < e, a x < b,
\ b — a /
n I x — a \	,
где P n-- — очевидно, многочлен. □
\ b — a /
Замечание. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[а, 6]. Возьмем какую-либо последовательность чисел £„>0,
1 э	(Л
и=1, 2, ..., стремящуюся к нулю (например, е„ = -1; тогда,
согласно теореме 8, для каждого п = 1, 2, ... существует
многочлен Р„ (х) (здесь п порядковый номер, а не степень
многочлена) такой, что
|./(лс) —/>„(х)|<е„, а^х^Ь.
(55.56)
Очевидно, при п->оо имеем Р„(х)=?/(х) на отрезке [а, />].
Итак, всякая непрерывная на отрезке функция является
пределом равномерно сходящейся на этом отрезке последова-
тельности многочленов. Обратное, т. е. что всякая функция,
являющаяся пределом равномерно сходящейся на некотором
отрезке последовательности многочленов (и, более того, после-
довательности любых непрерывных функций), непрерывна на
этом отрезке, уже доказано (см. теорему 8' в п. 36.4).
Таким образом, теорема Вейерштрасса устанавливает харак-
теристическое свойство непрерывных и только непрерывных
функций.
Весьма любопытно отметить, что первоначально понятие
непрерывности функции было введено нами в абстрактной
общей форме, оно никак не было связано с конкретными
классами элементарных функций, в частности — с многочле-
нами, и тем самым ни с какими аналитическими представлени-
ями функций через многочлены.
46
Теорема Вейерштрасса показывает, что введенный таким
образом класс непрерывных функций в известном смысле не
очень далек от класса многочленов! Именно, какова бы ни была
непрерывная на отрезке функция f и как мало бы ни было
заранее заданное число а > 0, всегда существует многочлен,
отличающийся на всем отрезке от функции f не более чем на е,
т. е. аппроксимирующий (приближающий) ее с любой, наперед
заданной степенью точности! Нетрудно получить и аналитичес-
кое представление в виде ряда многочленов для непрерывной на
отрезке функции. Из (55.56) имеем
/(x)=lim РДх), я^х^й,	(55.57)
и—
ИЛИ
Дх) = Р1(х) + f [Р„+1(х)-ед]	(55.58)
п 1
(Р„(х)— многочлены), причем стремление к пределу в (55.57) и
сходимость ряда (55.58) происходят равномерно на отрезке
[я, />]. При этом, как существование предела (55.57), так и
существование разложения (55.58) являются необходимым и
достаточным условием непрерывности функции /’ на рассматри-
ваемом отрезке. Это оправдывает интуитивное представление о
функции как об аналитическом выражении, составленном из
независимой переменной и постоянных посредством алгебраи-
ческих и аналитических операций.
Аналогичные замечания можно сделать и по поводу первой
теоремы Вейерштрасса (теорема 7).
55.8. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
И СИСТЕМЫ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ СТЕПЕНЕЙ х
В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
В этом пункте мы перефразируем доказанные выше теоремы
и выведем из них некоторые простые следствия.
Определение 11. Пусть X — некоторое множество функций,
определенных на отрезке [я, Ь]. Система функций
Фо ф2> > Ф„. •••	(55.59)
называется полной для множества X в смысле равномерного
приближения, если, какова бы ни была функция f е X, для каждого
£>0 существует такое конечное число функций фП1, (р„2, .... (рПкиз
системы (55.46) и такие числа Х1; Х2, .... что
|/(х) - рс,срИ1 (х) + Х2<р„2 (х) + ... + Xky)„k (х) ] I < £
для всех хе[а, Ь].
47
Иначе говоря, система функций (55.46) образует полную
систему для множества X, если любую функцию из X можно
сколь угодно точно приблизить конечными линейными комби-
нациями функций системы (55.59).
Используя понятие полноты системы, теоремы 7 и 8
предыдущего параграфа можно перефразировать соответствен-
но следующим образом.
Теорема 7'. Система тригонометрических функций (55.2)
полна, в смысле равномерного приближения, для множества
непрерывных на отрезке [ — я, л] функций, принимающих на его
концах равные значения.
Теорема 8'. Система целых неотрицательных степеней х,
т. е. система
1, х, х2, .... х".	(55.60)
полна в смысле равномерного приближения для множества всех
непрерывных на любом заданном отрезке функций.
Определение 12. Пусть функции fug определены на отрезке
[а, />]. Число
~ь
J[/W-g(X>]2dx
называется средним квадратичным отклонением на отрезке
[а, Л] функции f от функции g*\
Определение 13. Система функций (55.59) называется полной
в смысле среднего квадратичного приближения для некоторого
множества X функций, определенных на отрезке [а, 6], если,
какова бы ни была функция f^X, для каждого £.>() существует
такая конечная линейная комбинация функций системы (55.59),
что ее среднее квадратичное отклонение на отрезке [а, 6] от
функции f меньше Е.
Теорема 9. Система тригонометрических функций (55.2)
полна в смысле среднего квадратичного приближения во мно-
жестве непрерывных на отрезке [ — л, л] функций, принимающих
в точках пи —л одно и то же значение.
Доказательство. Пусть f—непрерывная на отрезке
[ — л, л] функция, причем/(л) =/( — л). Согласно теореме 7', для
любого е>0 существует такой тригонометрический полином
Т(х), что
72л
*’ Можно сказать и «отклонение функции g от функции /», поскольку
рассматриваемое выражение не меняет своего значения, если f и g поменять
местами.
48
Отсюда для среднего квадратичного отклонения этого поли-
нома от функции f имеем
J] lAx)~T(x)Ydx<^J ] dx=E- □
V -П	\/2л V -п
В дальнейшем мы увидим (см. п. 58.6), что ограничение
/(л)=/( —я), использованное нами при доказательстве теоремы 9
(только в этом случае можно было сослаться на теорему 7'), не
является существенным. Именно, тригонометрическая система
(55.2) полна в смысле среднего квадратичного во всем
множестве непрерывных на отрезке [ — я, л] функций и, более
того, можно показать, что она полна в смысле среднего
квадратичного и во множестве всех функций с интегрируемым
на отрезке [ — л, л] квадратом.
Заметим, что тригонометрическая система (55.2) заведомо не
полна во множестве всех непрерывных на отрезке [ — л, л] функций
в смысле равномерного приближения, т. е. в смысле определения
11. Действительно, если функция f такова, что для любого е>0
существует такой тригонометрический полином Те, что
1/'М-Гс(х-)|<Е,	-л^х^л,
то из условия Г£(л) = Тг(— л) при в—>0 следует, что /'(л)=/( —л).
При приближении функций в смысле среднего квадратичного
тригонометрическими полиномами особую роль играют частич-
ные суммы ряда Фурье приближаемой функции. В следующем
пункте будет показано, что частичная сумма п-го порядка имеет
наименьшее среднее квадратичное отклонение от данной функ-
ции по сравнению с любым тригонометрическим полиномом
степени п.
Наконец, можно показать, что если функция f обладает
интегрируемым квадратом на отрезке [ — л, л], то отклонение
от нее в смысле среднего квадратичного ее частичных сумм
Фурье S„(.v) стремится к нулю, когда н-+оо, или, как говорят,
функция f с интегрируемым квадратом является пределом в
смысле среднего квадратичного своих частичных сумм Фурье
(см. об этом в п. 58.6). Все эти обстоятельства говорят в пользу
изучения приближения функций в смысле среднего квадра-
тичного отклонения.
Аналогично теореме 9 доказывается следующая теорема.
Теорема 10. Система неотрицательных целых степеней х,
т. е. система (55.47), полна в смысле среднего квадратичного
приближения во множестве непрерывных на любом заданном
отрезке функций.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на неко-
тором отрезке [a, Тогда для каждого е>0, согласно теореме
8', существует такой полином Р, что
49
|./ (х)-Р(х)| <
фЬ-а
откуда
2 dx
55.9. МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ.
НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ
В этом пункте мы рассмотрим ряды Фурье для интегрируе-
мых функций, квадрат которых также интегрируем (здесь
интегрируемость понимается, вообще говоря, в несобственном
смысле) на отрезке [—л, л]. Существенно заметить, что если
функция f такова, что для нее существует правильное разбиение
отрезка Г —л, л! (см. п. 55.1), и ее квадрат /2 интегрируем на
отрезке [ — л, я], то из неравенства
и 1	2
следует, что функция |/'| интегрируема на этом отрезке.
Обратное, вообще говоря, неверно. Существуют положительные
функции (например, функция - ;1—), интегрируемые на отрезке
Ун
[ — л, л], квадрат которых, однако, уже не интегрируем на нем.
Таким образом, указанное множество функций с интегрируе-
мым на отрезке [ — л, л] квадратом составляет собственное
подмножество множества всех абсолютно интегрируемых на
отрезке [ — л, л] функций.
Заметим, что аналогично вводится понятие функции с
интегрируемым квадратом и для любого конечного проме-
жутка.
Теорема 11. Пусть квадрат функции f интегрируем на
отрезке [ — л, л]. Тогда если 5„(х) — ее сумма Фурье порядка п,
то
J [/’(*)-5ЛХ)]2 ^ = min J [/(x)-T„(.v)]2 dx, (55.61)
"	ТП{Х} -n
где минимум в правой части равенства берется по всем
тригонометрическим многочленам Т„ степени не выше п.
Если а0, ап, Ьп, п=\, 2, ..., суть коэффициенты Фурье функции
ф, то справедливо неравенство
50
ft
(55.62)
называемое неравенством Бесселя **.
Доказательство. Пусть
Т„(х) = ~+ £ /l^cos^x + ^sin^x,
2 k= 1
тогда, открывая квадратные скобки в выражении
f [/(х)-Т„(х)]2</х	(55.63)
и используя лемму 1 из п. 55.1 (в частности, ортогональность
тригонометрической системы), получим
Т„(х)]2й?х =
л г
f(x)dx + У Ак f(x)coskx dx +
к = 1 J
t (A-a.T+W-*.)2
k=l
Из полученного выражения видно, что величина (55.63) при-
нимает наименьшее значение, когда А0 = а0, Ак = ак, Вк = Ьк,
к=\, 2, ..., т. е. тогда, когда Т„(х) является суммой Фурье S„(x)
порядка и функции f Первое утверждение теоремы до-
казано.
Если Тп (х) = S„ (х)— сумма Фурье порядка п, то из (55.64)
следует, что *
*’ Ф. Бессель (1784—1846) — немецкий астроном и математик.
51
[Я*)-5п(л-)]2<7х =
f2(x)dx-n £ al+bl ,(55.65)
is — 1
откуда
f2(x)dx-n ~+ £ al + bl
_ k=l
Это неравенство справедливо при любом натуральном п.
Переходя в нем к пределу при л->оо, получим неравенство
f2(x)dx-n
очевидно, равносильное неравенству (55.62). □
Из неравенства Бесселя следует, что для функции с
интегрируемым квадратом ряд
сходится. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю,
поэтому в рассматриваемом случае lim а„ = lim bn = 0.
Таким образом, мы еще раз установили стремление к нулю
коэффициентов Фурье (см. п. 55.2), однако на этот раз для более
узкого (как это отмечалось в начале этого пункта) класса
функций, чем раньше, а именно для класса функций с
интегрируемым квадратом.
В п. 60.6 будет показано, что на самом деле соотношение
(55.62) справедливо со знаком равенства. Здесь мы
докажем этот факт лишь для случая, когда функция /
непрерывна и 2л-периодична.
Теорема 12. Пусть f непрерывна на отрезке [ — л, л],
f( — л)=/(л) w а0, а„, Ьп, н = 1, 2, ...,— ее коэффициенты Фурье.
Тогда справедливо равенство
if	2	30
-	/2(х)б/.х = ^+ £ а2 + Ь2,
71 J	1	П=1
называемое равенством Парсеваля **.
*’ М. Парсеваль (1755 1836 г.) — французский математик.
52
Доказательство. Для каждого е>0, в силу пол-
ноты в смысле среднего квадратичного приближения си-
стемы, тригонометрических функций (55.2) в классе непре-
рывных функций, принимающих одинаковые значения на
концах отрезка [ — л, л], для функции f существует три-
гонометрический полином Т(л) некоторого порядка к та-
кой, что
Я
J [/(%)-T(.v)]2tZx<e.
— л
(55.66)
Согласно же теореме 11 (см. (55.61)), для суммы Фурье Sjx)
того же порядка к выполняется неравенство
f [/'(*) - sk (О2 dx «С J [/(х) - Т(х)] 2 dx.
Отсюда и из формул (55.65) и (55.66) получим:
л
- f/’2(.v)tZx- Y ai+bn <
"J L2 n=i J
— я

Поскольку это неравенство справедливо при любом е>0, то его
левая часть равна нулю. □
Следствие. Если выполнены предположения теоремы,
то
lim j [/(x)-S„(x)]2t/x = 0.
n->oc
Действительно, в силу теоремы 12, при и->со правая часть
равенства (55.65) стремится к нулю. □
53
55.10. ХАРАКТЕР СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ.
ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Изучим связь рядов Фурье функции и ее производ-
ной.
Теорема 13. Пусть функция f непрерывна на отрезке [ — л,
л], Д-л)=Дл) и пусть
оо
Дх)—5-|- £ ап cos nx+bn sin пх.
2 п= 1
Если функция / кусочно-непрерывно дифференцируема на
отрезке [ — л, л] {см. определение 1 в п. 30.2), то
f'{x}~ £ — па„ sin пх + nbn cos пх,
п= 1
т. е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье самой
функции формальным почленным дифференцированием **.
Доказательство. Пусть
оо
/'(х)~—+ £ a„cos«x+p„sin«x.
2 П = 1
Тогда, замечая, что Дл)=Д—л), и интегрируя по частям,
получим:
Я
г*
/' (?) cos ntdt = - Дz) cos nt
Я
л n i
+- I f(t) sin ntdt = nb„,
n
P„ = - /' (z) sin ntdt =f(t) sin nt
n
J f(t) cos ntdt = —na„,
«=1, 2, ... . □
Перейдем к изучению скорости сходимости ряда Фурье в
зависимости от гладкости функций. Предварительно докажем
лемму.
*’ При этом без каких-либо предположений о сходимости ряда Фурье
производной.
54
Лемма 7. Пусть функция f имеет на отрезке [—л, л]
непрерывные производные до порядка k— 1 включительно и
кусочно-непрерывную производную порядка k(k~^A}*\ причем
j=Q, 1, ..., k-\,
тогда коэффициенты Фурье функции f удовлетворяют нера-
венствам
1«л1
«=1, 2,
где е„>0 и ряд сходится.
п= 1
Доказательство. Применяя последовательно теорему 13
к раз, получим
/w(x)~ £ а„ cos пх + Р„ sin пх,
И=1
где либо	чп=+пкап, ^>„-+пкЬп,	(55.67)
либо	а.„=+пкЬп, ^П=±пка„,	(55.68)
причем, по	неравенству Бесселя, Л	
	п = 1	1 J — п	(55.69)
Положим £„ = ^/«„ + 3^. В силу неравенства (55.69), ряд £ е^
сходится.	n=1
Если справедливо (55.67), то
2
и
Аналогично,
к=\, 2,
*’ Мы говорим, что некоторая функция имеет кусочно-непрерывную
производную на данном отрезке, если эта функция является кусочно-непрерывно
дифференцируемой функцией на указанном отрезке (см. определение 1 в п. 30.2).
Тем самым если функция имеет кусочно-непрерывную производную на каком-то
отрезке, то может случиться, что в конечном числе точек этого отрезка она
вовсе не имеет производной. Например, функция /(.г) = |х| на отрезке [—1, 1]
имеет кусочно-непрерывную производную, а в точке х = 0 не имеет производной.
55
Подобным же образом эта оценка получается и в случае
(55.68). □
Теорема 14. Пусть функция f имеет на отрезке [—л, л]
непрерывные производные до порядка к—\ включительно и
кусочно непрерывную производную порядка к (к^Л), причем
(— л) =/(Л (л), у = 0, 1, ..., к—\. Тогда ряд Фурье функции f
равномерно и абсолютно на всем отрезке [ — л, л] сходится к
самой функции f и
где lim Т]„ = 0 ({г|п}— числовая последовательность), a Sn{x; f) —
n—>00
сумма Фурье порядка п функции f.
Таким образом, можно сказать, что на отрезке [ — л, л]
равномерно выполняется оценка
Предварительно заметим, что если {ип} и {т„}—последова-
тельности неотрицательных чисел таких, что
X U2< + со и £ v2n< +со,
п ~ 1	п = 1
ТО
Е	/е u\l Е	(55.70)
„=1	Vп=1 VП=1
Действительно, это неравенство сразу получается предель-
ным переходом из неравенства Коши — Шварца
N	pV pS?
Е unvn^j Е J Е при N~* со (см. п. 18.1 и 35.8*)
n= 1	\ п=1	уп=1
Отметим, что неравенство (55.70) является частным случаем
неравенства (35.33) из п. 35.8* при p = q = 2.
Доказательство теоремы 14. Пусть
/(х)~у + £ amcosmx + bmsinmx,	(55.71)
2 т= 1
п
S„(x; ,f) = y + Е amcosrnx+bmsinmx.
2 m = l
По лемме,
56
тк
тк
где вт таковы, что ряд

сходится.
Применяя неравенства (55.70)
Применяя неравенства (55./0) и
оценим остаток г„(х) ряда (55.71):
(55.72)
(55.73)
(55.72),
Положим
У ат cos mx + bm sin тх
2 '
т =
х„= £ е£.
т = п + 1
т
(55.74)
В силу сходимости ряда (55.60), имеем
lim х„ = 0.
(55.75)
Далее заметим, что на отрезке [т — 1,
неравенство	(рис. 252) и, следовательно,
т ] выполняется
т
dx
Zn-
Поэтому
т
т = п+ 1 1 m = л + 1 J ’ J
т — 1	л
Таким образом, из (55.74) вытекает оценка
(2/с— 1)и2'
’ х. 1
2£—1
(55.76)
п	2 г-
Положим, наконец, т|„=	— ,/х„; в си.
х/2*-1
Поэтому из неравенства (55.76) получаем
п-
-^т = <4—г), н=1,-2, ..
П к ~ 2 \пк 2/
при этом бесконечно малая т|„ не зависит от точки х.
Согласно следствию 4 из теоремы 4 п. 55.4, ряд (55.71)
сходится к функции /(х); следовательно, гп (х) =/(х) — Sn (х, /) и,
таким образом, равномерная сходимость ряда Фурье с указан-
ной оценкой доказана.
Его абсолютная сходимость также доказана, так как мы
получили оценку (см. (55.74))
Е Kl + I^ml
= п + 1
из которой следует, что ряд Фурье функции f не только
абсолютно сходится, но и что ряд, составленный из абсолют-
ных величин его членов, и даже, более того, ряд
Е l«ml + |6m|
1
сходится с той же «скоростью» □
пк'2
Теорема 14 показывает, что чем глаже функция f, т. е. чем
больше она имеет производных, тем быстрее сходится к ней ее
ряд Фурье. При этом неравенство (53.76) дает возможность
оценивать погрешность, получающуюся при замене ряда Фурье
его «-частичной суммой.
Из этой теоремы следует, в частности при к = 1, что ряд
Фурье всякой периодической периода 2л непрерывной и
кусочно-непрерывно дифференцируемой функции (см. п. 30.2)
равномерно на всем периоде сходится к самой функции.
Упражнения. 8. Будет ли ряд Фурье функции /(.v) = |.v|, — л^х^л,
сходиться равномерно? Будет ли равномерно сходиться ряд, полученный
почленным дифференцированием ряда Фурье этой функции?
9. Показать, что ряд Фурье непрерывной периодической кусочно-линейной
функции (определение кусочно-линейной функции см. в упражнении 6 в п. 19.6)
сходится к ней равномерно.
10. Используя результат предыдущего упражнения и результат упраж-
нения 6 из п. 19.5, доказать теорему 7 из п. 55.7 о равномерной ап-
проксимации непрерывных периодических функций тригонометрическими по-
линомами.
55.11. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
В этом пункте покажем, что ряды Фурье можно почленно
интегрировать.
Теорема 15. Пусть / — непрерывная на отрезке [ — л, л]
функция и
у+ Е апcos пх + bn sin пх	(55.77)
2	Л=1
58
— ее ряд Фурье. Тогда
t	t	t
*	/*	ос Г
f(x)dx = ру—+ £ (a„cosnx+bnsinnx)dx =
V	V	п = 1 J
ООО
= — + У — sinn/ + —(1 — cosnt)	(55.78)
2 П= 1 ”	п
и ряд, стоящий справа, сходится равномерно.
Отметим, что утверждение о сходимости (и даже равномер-
ной) ряда (55.78) имеет место без каких-либо предположений о
сходимости исходного ряда (55.77).
Доказательство. Рассмотрим функцию
(55.79)
Она непрерывна на отрезке [ — л, л], имеет на этом отрезке
непрерывную производную F' (/)=/(?) — у и
Л
F(n) — F( — л)= f(x)dx—яйо = 0.
Поэтому, в силу теоремы 14, ее ряд Фурье сходится к ней, и
притом равномерно. Обозначим ее коэффициенты Фурье через
А„, Вп, п=1, 2, .... Тогда, в силу сказанного,
F(z)=—+ У Ancosnt-y B„sinnt.	(55.80)
2	п = 1
Найдем коэффициенты этого ряда. Интегрируя по частям,
получим
Л
^l„ = i J F(z)cosH?tF = ^F(?)^-^
— я
sinntdt= n=I, 2, .
2
Аналогично, В = —, п=1, 2, ... .
п
59
Чтобы найти Ао, положим в (55.80) t = Q. Тогда, заметив, что
F(0) = 0, получим
4р+ £ Л„ = 0, откуда Z -•
2	,	2	_ . п
п = I	и = 1
Итак,
F(r)= £ — sin /?/ + — (! —cos nt),
п- 1 П	11
Отсюда и из (55.79) и следует формула (55.78); равномерная
же сходимость ряда (55.65) следует из равномерной сходимости
ряда (55.80). □
Задача 37. Доказать, что сходящимся тригонометрический ряд	нс
п = 2
является рядом Фурье никакой абсолютно интегрируемой функции,
л
Отметим, что если f f(x) dx = 0 и, следовательно, = то в
результате почленного интегрирования ряда Фурье функции /
снова получается ряд Фурье некоторой первообразной F
функции /' а именно, как следует из доказанного, первообразной
о
Для любой первообразной Ф непрерывной на отрезке
[ — л, л] функции f справедлива формула Ньютона — Лейбница
Ф (л) — Ф (— л) = J /(х) dx,
— п
л
поэтому условие J f(x)dx = 0 равносильно тому, что все
— я
первообразные функции / принимаю!’ на концах отрезка
[ —л, л] одинаковые значения.
Рассмотрим более подробно вопрос о первообразных функ-
ции /' в этом случае. Пусть функция / непрерывна на отрезке
Л
[ —л, л] и ]' f(x)dx = 0; следовательно,
— я
У. «„ cos «л +/>„ sin/tv.	(55.81)
л= 1
Если Ф — какая-либо первообразная функции f то так как
t
она отличается от функции F(t) = $f(x)dx лишь на постоянную,
о
60
то ее ряд Фурье отличается от ряда Фурье функции только на
постоянную. Согласно доказанному,
F(f) = У —+ У У sinnz —— cosh/;
' /(5 5.78) п	П	П
п = 1 п = 1
следовательно, ряд Фурье функции Ф имеет вид
с+ У У sin иг ——cosh/,
_1	п
п = 1
т. е. получается формальным интегрированием (в смысле
неопределенного интеграла) из ряда (55.81), причем так как
Ф( — л) = Ф(л) и производная Ф'(х)=/(х) непрерывна на отрезке
[ — л, л], то
Ф(х) = с + У --‘sin и/ —— cosh/, — л^х^л. (55.82)
'	,11	п '
п= 1
Для определения постоянной с в этом равенстве выбирают
какое-либо значение х, при котором удается найти сумму
стоящего в правой части равенства (55.82) ряда.
Теоремы о почленном дифференцировании и почленном
интегрировании рядов Фурье помогают находить разложение в
ряд Фурье функции, если известно разложение в ряд Фурье ее
первообразной или производной.
Пример. Разложим в ряд Фурье периодическую функцию
/(х) = 1п(1+2rcosx + r2), |г|<1.
Так как при |г|<1 справедливо неравенство (см. (55.37))
1+2rcosx + r2 >0, то функция / непрерывна на всей действи-
тельной оси и, следовательно, у нее существует ряд Фурье.
Производная функции f
(In (1 + 2r cos x + г2)) 'x = - -—2'sm л—-
' '	”	1+2rcos.v + r2
также является непрерывной на всей действительной оси
функцией и для нее нам уже известно ее разложение в ряд
Фурье (см. (55.41)):
(1п(1 +2rcosx + r2))x= — 2 £ (— I)"-1 г "sin их.
п= 1
Отсюда, согласно теореме 15, следует, что
ln(l +2rcosx + r2) = 2 £ (—1)"“1 Усоэих+С.
п = 1	П
61
Положив х = 0, получим
1п(1+г) = 2£ (^|)"-1^ + С,
откуда, согласно разложению логарифма в ряд Тейлора при
|г|<1, имеем С=0.
Таким образом, мы получили разложение
ln(l +2rcosx + r2) = 2 £ (— 1)" cosnx, |г|<1. (55.83)
» — 1 и
Заметим, что эта формула справедлива и при г = 1, если
только х/(2«+1)р и = 0, +1, +2, ..., ибо
ln(l + 2rcosx+r2)
= In 2(1 +cosx) = 21n2 cos |
а для этой функции было получено раньше разложение (см.
(55.35)), совпадающее с (55.83) при г=1.
В случае г = — 1 ряд, стоящий в правой части формулы
(55.83), расходится при х = 0.
55.12.	РЯДЫ ФУРЬЕ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА
Теория тригонометрических рядов Фурье 2я-периодичес-
ких функций легко переносится и на случай периодических
функций с любым периодом 21. Для этого достаточно отрезок
[ — /, /] отобразить на [—я, я] с помощью линейного
отображения:
тогда вопрос сведется к уже рассмотренному случаю. Рядом
Фурье функции f с периодом 21 по исходной переменной х
называется ряд
где
«о = 7 Д'И’
«п=7 f(t) cos ~dt,
62
I
b„=X- j f(t) sin ~dt, n=l, 2,
-1
В частности, если функция /' четная, то
/7 \ йл V	ИЛЛ’
,/(х)~у + £ «„cos — ,
п = 1
где
i
ап=- f^cos^-dt, п = 0, 1, 2, ...,
о
а если f—нечетная, то
л=1	1
где
bn = j /(г)Sindt, п=\, 2,
о
55.13.	КОМПЛЕКСНАЯ ЗАПИСЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
В заключение отметим еще так называемую комплексную
запись рядов Фурье, часто используемую в математике и ее
приложениях. Пусть
/(х)~—+ £ ап cos пх + hn sin пх.	(55.84)
п = 1
Как известно (см. п. 37.6),
cosnx = ^(e"x‘ + e -пх'),	(55.85)
sin пх = 1 (еnxi - e~"xi) = ^e~nxi- e nxi).	(55.86)
Подставив (55.85) и (55.86) в (55.84), получим
./(•v)~y+ i l(a„-bni)enxi + l(an + bni)e-"xi.
n = L
63
Полагая
с0 = у, c„ = ]-(an-b„i), c_„=^(a„+b„i),
имеем
/(*)~ Е спе‘пх'
(55.87)
п— — ОС
где, очевидно, с_„ = с„, п=\, 2, ... . Вспомнив, что cosa+
+ fsina = e±,a (см. п. 37.6), будем иметь
с=-(а„ — b„i} = —
" 2' п> 2л
/'(х) (cos пх — i sin пх) dx =
= J f(x) e ,nx dx, *’
— Л
Л
C-„ =^(a„ + b„i) =	^f(x)einxdx, n=l, 2, ... .
— Л
или, объединив обе формулы и добавив случай н = 0,
Л
Сп = 1 f(x)e~inxdx, п=0, ±1, ±2, ... .	(55.88)
— л
Подставив (55.88) в (55.87), получим
Л
Л*)~^ Е е‘"х f/(t)e~in'dt.	(55.89)
п = — до J
— л
Итак, мы записали ряд Фурье в комплексной форме и нашли
соответствующие выражения для его коэффициентов.
Требует разъяснения лишь понятие сходимости ряда вида
(55.87).
Частичной суммой порядка п ряда
Е	(55.90)
п = — х.
*1 Определение интеграла от комплекснозначной функции действительного
аргумента см. в п. 54. 6.
64
п
называется сумма Sn = £ zk.
к — ~п
Ряд (55.89) называется схо-
дящимся, если существует
S— lim S„, при этом 5 называют
п—
суммой ряда и пишут
Рис. 253
55.14.	РАЗЛОЖЕНИЕ ЛОГАРИФМА В СТЕПЕННОЙ РЯД
В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
С помощью разложений в ряды Фурье функций 1п(1 +
i ^Sln(p (см. (55.83) и (55.42)) можно получить
4- 2r cos х + г2) и arctg
разложение функции In (1+z), |z|^l, z/ —1, в степенной ряд в
комплексной области, которое было приведено в п. 37.6 без
доказательства:
ln(l+z)= £ (-1)и1Ч |z|^l, Z/-1.
и — 1	И
(55.91)
Действительно, в п. 37.6 было показано, что из опре-
деления логарифма как функции, обратной показательной
функции е\ следует, что при условии |z|^l, z/ —1, имеет
место равенство
ln(l + z) = ln 11 +z| + zarg(l +z),	(55.92)
где — rt<arg(l+z)O-
Ясно, что все точки 1+z лежат в правой полуплоскости
комплексной плоскости и z+1+О, поэтому значение arg(1+z)
находится в интервале I —(рис. 253), т. е.
arg(l + z) = arctg-,	(55.93)
если 1 +z = x + iy.
Положим
г = ге‘ф = г(со8(р + /5Щ(р);	(55.94)
тогда из условий | z | 1, z / — 1 следует, что 0 + г < 1, причем если
г=1, то (p+(2w+l)n, m = 0, + 1, + 2, ... .
65
Заметив, что
| 1 + г (cos (р + i sin (р) | = у/1 + 2r cos ip + г2	(55.95)
и что
arg(l +r(cos<p + <sin <p))(S5= ,	(55.96)
из (55.92) получим
ln (1 + z)(5 =92)ln 11 + r (cos ip + z sin ip) | +
+ i arg (1 + r (cos ip + i sin ip))(5 =
(55^96)
1 , /,	-	. rsin ip
= -ln (1 +2rcos(p + r +zarctg---— c ,
2 '	7	6 1+2COS<p <55.42
( J J.O J)
= £ (— I)"-1 — cos nip+ z £ (— I)"-1 — sin nip =
n=l	n	л=1	n
= i (-l)"’1^(cosnip + zsinnip)= X (-l)"-1^' =
n=l	n	n=l	n ’	’
= X(-1)"-17.
n= 1
Формула (55.91) доказана.
55.15. СУММИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
До сих пор мы для заданной функции находили ее
разложение в тригонометрический ряд — ряд Фурье. Рассмот-
рим теперь обратную задачу: найти сумму заданного тригоно-
метрического ряда. Иногда это удается сделать, сведя заданный
тригонометрический ряд к степенному, сумма которого уже
известна. Идея этого метода состоит в следующем: если ряды
р0+ Е cosnx, £ p„sinnx	(55.97)
п= 1	п= 1
сходятся на отрезке [ — л, л], кроме, быть может, конечного
множества точек, то тем же свойством обладает и степенной ряд
Ро + Е pncosnx + i f p„sinnx=/z0+ f pnzn, (55.98)
n=1	n= 1	n=1
z = cos x + z sin x = e'x.
Из того, что этот ряд сходится в некоторых точках
единичной окружности |z| = l, следует, в силу первой теоремы
66
Абеля, что он сходится в открытом круге |z|< 1 (см. и. 3-7.1), а
поэтому его сумма
./(-)=./(re-)=/70+ f pnz”, z =	(55.99)
n= 1
при |z| = r<l является аналитической функцией.
Для тех точек .хе[ — л, л], в которых ряды (55.97) сходятся,
положим
и(л) = /20+ £ pncosnx, г(х)= £ p„sinnx. (55.100)
п = 1	и = 1
Согласно второй теореме Абеля, для указанных х ряд (55.99)
равномерно сходится при 0^г<1, и, следовательно, функция
7(ге1Л), 0^г<1, как функция переменного г непрерывно про-
должаема на весь отрезок [0, 1], т. е. для нее существует предел
lim f(re'x); обозначив этот предел f(elx), получим
/•-.1-0
u(x) + iv(x)=p0 + £ p„einx= lim f(re‘x)=f(eix). (55.101)
n=l	/-.1-0
Когда удается найти функцию / в явном виде, т. е. выразить
ее через элементарные функции, и вычислить ее значение,
стоящее в правой части равенства (55.101), то тем самым
удается найти и суммы рядов (55.100). Действительно, суммой
первого ряда является действительная часть правой части
равенства (55.101), а суммой второго ряда — его мнимая часть.
Пример. Найдем сумму ряда
У	(55.102)
-л
п = 1
Этот ряд сходится для всех х#2ллг и расходится при
х = 2пт, т = 0, +1, + 2, ... (см. (34.88) в п. 34.13). Все его члены,
а следовательно, и его сумма — периодические периода 2л
функции, поэтому достаточно сумму ряда (55.102) найти только
для х е (0, 2л).
Наряду с рядом (55.102) рассмотрим ряд
f “.	(55.103)
п = 1 П
Этот ряд сходится на всей числовой оси (см. (34.87) в п. 34.13).
В данном случае для функции (55.99) имеем
/(z)= У - = —In(1 —с) = 1п —, |Д<1.
' '	„“j П (55.91)	'	’	1--’ 1 1
67
Следовательно, обозначая сумму ряда (55.102) через ы(х), а
сумму ряда (55.103) через г(х), получим при z = e'x\
»(х) + и-(х) = 1п [ 1 [Ч, 0<х<2л.	(55.104)
Заметив, что е'х = cos х + z sin х, преобразуем выражение,
стоящее под знаком логарифма, следующим образом:
1 1 1
1— е,х (1 — cos jv ) — / sin jv ,х х х
2sin—2/sin-cos -
2	2	2
2sin - sin — /cos -
2	2	2
1 / . x . x
---- Sin—Hcos-
x\ 2	2
2sin- v
2
1
x
2sin-
2
-V \	. .	/ Л
2 +‘Sln 2
(55.105)
Из неравенства 0<х<2я следует, во-первых, что
0< —< тс, а
2
поэтому
sin
0, и, во-вторых, что
Л Л X л
-<-----<-: следовательно,
2 2 2 2
—U =——, arg—*^ =—, 0<х<2л.	(55.106)
1—х 61-с“	2	v ’
2sin-
2
Таким образом,
1	1	1	1	. .	1	. _ . X .Л —X
In----- = ln --г- + zarg--г- = —ln2sm- + z------.
!-<?“	1—е	61—(55.106)	2	2
Из (55.105) и (55.106) имеем
M(x) + zv(x)(55=o4) - In 2sin |+ z^.
Отсюда сразу находится сумма ряда (55.102):
у cos их _ ц /. 1 _ _ in2sin—, х#2лш, ш = 0, ±1, +2, ... .
п =1	«	2
Заметим, что заодно мы доказали, что
sinnx	z х л—х „	_
> ----= г(х) =-----, 0<х<2л.
п	' 7	2
п = 1
Это разложение было получено нами раньше другим способом
(см. (55.30)).
68
§ 56. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
56.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Пусть функция f абсолютно интегрируема на всей действи-
тельной оси. Напишем для нее интеграл, соответствующий в
определенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по
индексу п заменено интегрированием по некоторому параметру:
+ 00
J [a(y)cosxy + Z>(y)sinxy] dy,	(56.1)
о
где

/(l)cosyl dt,
(56.2)
(56.3)

Формулы (56.2) и (56.3) напоминают формулы для коэф-
фициентов Фурье.
Определение 1. Интеграл (56.1) называется интегралом
Фурье функции f
Подставляя (56.2) и (56.3) в интеграл (56.1), преобразуем его
следующим образом:
J [a(y)cosxy+/>(y)sinxy]dy —
о
1
cos ty cos xy + sin ty sin xy) dt =
о
+ GO + 00
/* /*
=- dy f(t)cosy(x — t)dt.	(56.4)
0	— oo
Подобно тому, как сумма ряда Фурье функции при
определенных условиях равна самой функции, интеграл Фурье
также представляет исходную функцию.
Прежде чем это доказывать, докажем два вспомогательных
утверждения.
69
Лемма 1. Для любой функции/, абсолютно интегрируемой
на конечном или бесконечном промежутке с концами а и Ь,
— со ^а<Ь^ + со, и для любого е>0 существует такая финит-
ная непрерывная функция g, что
ь
f |./(x)-g(x)|tZx<£, suppg(x)c(a, b\ (56.5)
a
Доказательство. Нам уже известно (см. лемму 2 в
п. 55.2), что для любой функции f, указанной в формулировке
леммы, и для любого е>0 существует такая ступенчатая
функция tp, что
h
f I ./(х) — (p(x)l dx<&, supp ср с (a, b\	(56.6)
a
Как всякая ступенчатая функция, она является конечной
линейной комбинацией характеристических функций X; полуин-
тервалов [с,;, г|,)с(а, />), /=1, 2, ..., п:
ф(х)= Е	(56.7)
i=i
где — числа.
Поэтому если мы докажем, что для каждой функции х,
существуют такие непрерывные финитные функции g;, что
	suppgfc(^,., Г|;)с(а, Ь)		(56.8)
и	j 1 Xi(x)- g,(x)|	<Е, г=1, 2, ..., п,	(56.9)
то, положив			
	/ \ def g(X) =	Ё \g;(x), i = 1	(56.10)
	х=	i iu i = 1	(56.11)
будем	иметь		
	Ь	ь fl<p(x)-g(x)|rfx = f а	(56.7) а (56.10)	X	E ^(x) i = 1	i=l	dx^
	и	П/	л X И,1 f lz,W-g,(x)|<;xs<	J |Х,|(5 = 11ХЕ. 1	1	t;(-	i 1		(56.12)
70
Из неравенств (56.6) и (56.12) следует, что
ь	ь
f l/(x) -g (х) I dx = f I [/(х) - Ф (х)] + [<p (х) -g (х)] I dx <
а	а
Ъ	Ъ
^Л/(х)~ф(х)1^х+1 1ф(х)-£(х)|</х < (х+1)е.	(56.13)
а	а	(56.6)
(56.12)
Кроме того, из соотношений (56.8) и (56.10) вытекает, что
suppga(a, Z>).	(56.14)
Ввиду произвольности чис-
ла 8>0 условия (56.13) и (56.14)
равносильны условиям (56.5).
Итак, достаточно доказать
утверждение леммы для харак-
теристических функций конеч-
ных полуинтервалов.
Пусть 8 > 0, х — характерис-
тическая функция полуинтерва-
ла [£,	Т|),	— 00^Ж^<Т|<
<Z>^ + oo. Рассмотрим непре-
рывную на всей числовой оси
функцию g(x), график которой
Рис. 254
изображен на рис. 254:
o,
g(x)= <
T|— X
“V’
Для этой функции
если х^^ или х^т],
если ^<х<^ + 8,
если ^ + 8<х^т|—8,
если г] — 8<х<т|.
suppgc(^, г|),	(56.15)
т. е. функция g — финитная с носителем в интервале (^, т|) и для
всех хе Л выполняется неравенство
0<х(х)-#(хН1-	(56.16)
Выберем 8>0 так, чтобы
8<min^|,	(56.17)
тогда получим
Ь	Л	£ + 8
flz(x)-g(x)|</x = f|x(x)-g(x)|</x= f (x(x)-g(x))<£x+
a	(	15'$	S
71
П	^ + 8 П
+ f (х(Д “AHxW.v f dx+ f dx = 28 < e.
n-6	<56.16) t n-6	56.1,7
Лемма доказана. □
Лемма 2. Если функция fix) абсолютно интегрируема на
всей числовой оси, а функция ф(х, у) непрерывна и ограничена в
полосе
П = {(х, у): — оо<х< + оо, c^y^rf}, (56.18)
то:
1) интеграл j Дх)ф(х, y)dx является непрерывной на
отрезке [с, б/] функцией параметра у,
2)
J Дх)ф(х, y)dx = J Дх)1/х|ф(х, y)dy. (56.19)
Доказательство. Покажем непрерывность интеграла
Ф (У) = ТЛ*) <Р (*’ У)	(56-2°)
зависящего от параметра уе[с, d\. Зададим произвольно е>0.
В силу ограниченности функции ф(х, у), в полосе П существует
такая постоянная М>0, что для всех (х, у)еП выполняется
неравенство
|ф(х, у)|^М
(56.21)
и, следовательно,
|/(х)ф(х, y)\^M\f(x)\.
Согласно условию леммы, функция Дх) абсолютно ин-
тегрируема на всей числовой оси, поэтому, по признаку
Вейерштрасса, интеграл (56.20) равномерно сходится на от-
резке [с, <Д. Отсюда вытекает существование такого чис-
ла т]Е, что для всех точек уе[с, d] выполняется неравен-
ство
т)1 dx
(56.22)
Функция ф(х, у), будучи непрерывной функцией на конечном
прямоугольнике
П£ —{(х, у): -г^х^ть с^у^Д,
72
равномерно непрерывна на нем. Поэтому существует такое
3t>0, что для всех 3, удовлетворяющих неравенству 0<3<3Е,
будет выполняться неравенство
ю(3: ф)< -т^------,	(56.23)
3 f |Дх)|Дт
где го(3; ф)— модуль непрерывности функции (р на прямоу-
гольнике Пе. Зафиксируем какое-либо 3>0, удовлетворяющее
условию (56.23).
Теперь при произвольно выбранных уе[с, сГ\ и у + Дуе
е[с, </], лишь бы выполнялось условие
|Aj’l<3,	(56.24)
будем иметь
|Ф(у + Ау)-Ф(у)|(5«;^ f |/(х)[<р(х, у+Ду)-ф(х, y)]|tZr=
= f 1ДГ)1 | ф(.х, у + Ду)-ф(х, у)|Дх+
-ne
+ f |./(лс)| |ф(.х, у+Ду)-ф(х, y)|t/x^
МИ
s$co(3; ф) J |/(x)|tZx+ f |/(х)|[|ф(х, у + Ду)| +
пЕ
+ |ф(х, у)|]<£v = co(6; ф) j |/(x)|</x +
“ПЕ
+ f |/(х)ф(х, у + Ду)|</х+
+ f 1/Д)ф(х, y)|t/x < | + | + | = е.
(PJIP 3 3
(56.22)
Это и означает, что функция Ф(у) непрерывна на отрезке [с, с/].
Докажем теперь формулу (56.19). Прежде всего заметим,
что, в силу доказанной непрерывности функции (56.20), интег-
рал в левой части равенства (56.19) существует (как интеграл от
непрерывной функции по отрезку). Существование интеграла в
правой части равенства (56.19) следует из того, что функция
d
Ч'(л) =/(-*) f ф(х, y)dy
73
является произведением абсолютно интегрируемой на всей
числовой оси R функции /(х) на непрерывную ограниченную на
R функцию
d
f<p(x, y)dy
параметра х (см. п. 33.5).
Далее, в силу леммы 1, для произвольного 8>0 существует
такая непрерывная финитная функция /Е, что
f \ft(x)-f(x)\dx<E.
(56.25)
Для этой функции /£, согласно теореме 3 п. 53.1, справедлива
формула
d 4- оо	4- оо	d
f<fy f Л(*)ф(*, y)dx = f yE(x)(Zxf<p(x, y)dy (56.26)
(здесь, в силу финитности функции /Е, можно бесконечные
пределы заменить конечными, поэтому здесь и применима
теорема 3 из п. 53.1).
Покажем, что предел левой части равенства (56.26) при 8->0
d + оо	+ оо	d
равен \dy J /(х)ф(х, y)dx, а правой J /(x)tZxJcp(х, y)dy.
Для этого оценим отклонения левой и правой частей ра-
венства (56.26) от их предполагаемых предельных значений.
Имеем
d 4- оо	d 4- оо
Ш Л(*)ф(*> y)dx-$dy f /(х)ф(х, y)dx
d 4-со
f IЛ (*)-/(*)! I ф(*, y)\dx <
c —co	(56.21)
d 4-oo
J |/s(x)-/(x)|<Zx=
c - oo
= M(d— c)
f |/E(x)-/(x)|(/x <
-on	(56.25)
<M(d— с)б.
(56.27)
Соответственно для правой части имеем
4-оо	d	4-оо	d
f Л(х)(7х|ф(х, y)dy— f /(х)(7х(ф(х, y)dy
74
f 1Л(л)—/(x)l tZxJ|q>(x, y)\dy <
_x	c	(56.21)
M f 1Л(^)-/(л')|<7л-|Л' =
= M(d—c) j' |/E(x) —/(x)| dx < M(d—c)t. (56.28)
Полагая в (56.26) e-»0, получим, в силу (56.27) и (56.28),
равенство (56.19). □
Теорема 1. Если функция f абсолютно интегрируема на
всей числовой оси R, то в каждой точке xeR. в которой
существуют /'(х + 0), /(х—0), /Д (х) и ./-(х), имеет место
равенство
" /	°)'	(56.29)
Эта формула называется формулой Фурье.
Доказательство. Зафиксируем произвольно точку хеR,
в которой существуют /(х + 0), /(х —0), ./’+(х), /'-(х), и
рассмотрим интеграл
5(т)) —- ^У f(t)cosy(x — t)dt.
(56.30)
Функция 5(г]) является для интеграла Фурье аналогом
частичной суммы ряда Фурье периодической функции.
Так как функция cosy(x — t) непрерывна и ограничена на всей
плоскости переменных у и t, то, согласно формуле (56.19), в
интеграле (56.30) можно поменять порядок интегрирования.
Проделав это, получим
/•(Л- + м)2^^.	(56.31)
и
Получившаяся формула является аналогом формулы, вы-
ражающей частичную сумму ряда Фурье с помощью интеграла
Дирихле (см. (55.17)). Поэтому естественно попробовать про-
75
вести дальнейшие рассуждения по той же схеме, которая
применялась в рядах Фурье при доказательстве теоремы 4 в
п. 55.4.
Представив интеграл
5(т|) = “ f f(u+x)^^-du
' 17 <5 6.31) nJ'	’ и
в виде суммы двух интегралов:
+ со 0	+ 00
f = f + f
- х - X О
— и выполнив в первом из них замену и= — Z, получим
г*
5’(п)=^ [/'(*+О+/(*-0] ^~dt.
О
Вспоминая (см. п. 54.4), что при г] > О
+ х
sin и/ . л
J '	2
о
получим
+ 00
s(n)_<te±21±fc2»_! J №+/)+/(х-г)]^1:л-
О
+ х
-[./( v+0)+/(x-0)]^ J =
О
+ х	+ х
I f /(.v + f) —/(.v + 0) •	,	1 f /(.V—<)—/(% —0) •	,,	,r/ oo,
= -	---—p------sinrp<fr+- --------------sinrpdz. (56.32)
о	0
Рассмотрим, например, первый интеграл, стоящий в правой
части этого равенства. Разобьем его на два интеграла:
76
Поскольку
г /(-V+Z)—/(.V + О) г, / \
lim -----——----------- =/ + (х),
/^+0	<
/'(л'+?) —/'(л+ 0)	..	,
то  --------—---- является кусочно-непрерывной функцией
переменной t на отрезке [0, 1], поэтому в силу теоремы 2 из
п. 55.2,
1
f/(.v + z)-/'(.v + O) .	. п
lim ----------——------------- sin n t dt = 0.
t
(56.33)
Функция —------ также кусочно-непрерывна на любом отрезке
полуоси Г^\ и так как

то
f 1/(5)! ds< +со,
/'(.y + z)	~
т. е. —------- абсолютно интегрируема на этой полуоси и,
следовательно, в силу той же теоремы,
(56.34)
Наконец, из сходимости интеграла
*^-dt (см. п. 33.6),
J Л
о
выполняя замену переменного u = r\t, получаем
77
lim —----------sinr|?r/z=/(x-|-O) lim ------du = Q. (56.35)
П- + Х J '	П^ + х J "
1	n
Из (56.33), (56.34) и (56.35) следует, что
..	1 f f(x + t)-f(x + 0) . t . A
lim -   —— -sinriZ<ft = O.
n-+x* J	'
0
Аналогично доказывается, что
..	1 f /’(л-г)-У(х-О) .	, n
lim - -2    sin -q t dt = 0.
П^+хл J	1
О
Отсюда, в силу (56.32), получаем
lim s(r|) = Z('Y+0)+/(A^0).
~+ X.	2
Предел, стоящий в левой части равенства, равен интегралу
Фурье (56.4), поэтому равенство (56.29) доказано. □
Требования, накладываемые на функцию в этой теореме,
можно ослабить, потребовав, например, чтобы функция была
абсолютно интегрируемой на всей числовой оси и удовлетво-
ряла в каждой точке обобщенному условию Гельдера. Мы не
стали этого делать ради некоторого упрощения доказательства
(ср. с доказательством теоремы 4 и ее следствий в п. 55.4).
Упражнение 1. Доказать, что если функция / в дополнение к
наложенным на нее в теореме 1 ограничениям является четной или нечетной, то
справедливы формулы: для четной функции
+ = £ cos>,v(/>. /(г)с05ХЛ,
О	о
для нечетной
о	о
56.2. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ЗАПИСИ ФОРМУЛЫ ФУРЬЕ
В дальнейшем для простоты записи будем считать, что
функция f абсолютно интегрируема на всей числовой оси R и во
всех ее точках непрерывна и имеет односторонние производные.
78
В этом случае для всех xeR, согласно теореме 1, справедлива
формула Фурье
cosy(x— t) dt,
о
и так как подынтегральная функция четная относительно
переменной у, то
cosy(x—t)dt.
(56.36)
В силу очевидного неравенства
\f(t) siny(x-r)|^ |/(z)|,
при ограничениях, наложенных на функцию f существует также
интеграл
+ оо
j /(?)siny(x— dt,
причем, в силу признака Вейерштрасса (см. и. 54.1), он
равномерно сходится на всей числовой оси переменного у и,
следовательно, является непрерывной функцией от у. Поэтому
для любого числа г] существует интеграл
f dy j /(/)siny(x— r)dt,	(56.37)
-I,	- 00
причем в силу нечетности подынтегральной функции от-
носительно переменной у этот интеграл равен нулю. Од-
нако при сделанных предположениях относительно функ-
ции f нельзя гарантировать существование несобственного
интеграла
j dy j /(z)siny(x—t)dt.	(56.38)
Чтобы получить нужные формулы, нам придется ввести еще
одно обобщение понятия интеграла.
56.3. ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
Введем следующее определение.
Определение 2. Пусть функция <р интегрируема на любом
конечном отрезке. Если существует конечный предел
79
л
lim f <p (x) dx, t) > 0,
1--+/ -n
+ 00
то он называется главным значением интеграла j (р (xj dx и
обозначается буквами v. р. *’
+ «3	п
v. р. f ф(х)б/х = lim J ф(хр/х.	(56.39)
- оо	П-» + ® л
Подчеркнем, что отличие этого определения от определе-
ния несобственного интеграла j <y(x)dx, и. 33.1, состоит в том,
что там для функции <р, интегрируемой на любом конечном
отрезке, интеграл j <р (х) dx определялся как предел интегралов
п
J ср (х) dx при независимом стремлении с, к — со и т| к + со. Здесь
i,
же требуется существование лишь предела указанных ин-
п
тегралов J ф(х)</х для частного случая, когда с,= — г| и г|-> + со.
Подобным же образом определяется и главное значение
несобственного интеграла в точке: пусть асссб и функция ср
при любом £>0 интегрируема, по Риману, на отрезках [а, с —е]
и [с + е, 6] (естественно, предполагается также, что а<с — е и
c+e<Z>); тогда главное значение интеграла |ф(х)<:/х в точке с
а
определяется формулой
с — е
b
V. р. J <p(x)t/x = lim
j ф(х)</х + J ф(х)</х
а	с + г
Иногда, там, где это не может привести к недоразумениям,
интеграл в смысле главного значения обозначается просто
символом интеграла без букв v. р.
Если для некоторой функции существует несобственный
интеграл, то у этой функции существует и главное значе-
ние интеграла и оно совпадает с ее несобственным ин-
тегралом. Обратное неверно: у функции может существо-
вать (и, следовательно, быть конечным) главное значе-
ние интеграла, а несобственный интеграл быть расходя-
щимся.
*' Главное значение — от франц, valeur principale.
80
1
Например, интегралы j xdx и
-1
несобственные, однако существуют в смысле главного значения,
которое в обоих случаях равно нулю.
56.4.	КОМПЛЕКСНАЯ ЗАПИСЬ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
— не существуют как
Вернемся к формуле Фурье (56.29) и запишем ее, используя
понятие главного значения интеграла, в другом виде. В силу
нечетности по у подынтегральной функции в интеграле (56.38)
имеем, согласно сформулированному определению главного
значения интеграла
+ 00	+ 00
V. р. j dy J /(z)siny(x — t)dt — 0.	(56.40)
Умножив обе части этого равенства на —
интегралом (56.36), получим
eiy(x~,}dt,
и сложив с
(56.41)
где внешний интеграл понимается в смысле главного значения.
Формула (56.19) и называется комплексной записью интеграла
Фурье.
56.5.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Если положить
Ф
е iyt dt,
то формула (56.19) примет вид
2л
Q(y)eixydy.
(56.42)
Определение 3. Функция Ф, которая ставится в соответ-
ствие функции f формулой
81
(56.43)
называется „преобразованием Фурье функции f и обозначается
F [/] или f.
В этом определении /(?), вообще говоря, комплекснозначная
функция действительного аргумента. Отметим, что функция Ф =
= F [/] может принимать существенно комплексные значения и
в том случае, когда функция f принимает только действитель-
ные значения.
Преобразование Фурье определено, в частности, для всех
абсолютно интегрируемых функций. Употребив, например, для
преобразования Фурье функции /' обозначение У формулу
(56.42) можно записать в виде
+ GO
У(х) = г. р. ~	f(y)eixydy.	(56.44)
Эта формула позволяет восстановить саму функцию У, если
известно ее преобразование Фурье у. Она называется формулой
обращения.
Определение 4. Функция Т, которая ставится в соответст-
вие функции У формулой
Т(у) = г. р. ~
f(t)eiy'dt,
(56.45)
называется обратным преобразованием Фурье функции f и
обозначается F ~1 [У].
Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье
определены на множестве функций, для которых интегралы
(56.43) и (56.45) существуют в смысле главного значения. Это
множество содержит в себе, в частности, множество всех
абсолютно интегрируемых на всей вещественной оси функций,
для которых интегралы в формулах (56.43) и (56.45) можно
понимать как обычные несобственные интегралы, а не только
как интегралы в смысле главного значения. Термин «обратное
преобразование Фурье» оправдывается тем, что преобразование
F-1 обращает преобразование Фурье F. Более точно, справед-
лива следующая лемма.
Лемма 3. Если непрерывная абсолютно интегрируемая на
всей оси функция f имеет в каждой точке конечные односто-
ронние производные, то
S2
Доказательство. Первая формула обращения, т. е. фор-
мула F ~1 [F[/] ] =/, является просто другой записью уже
доказанной формулы (56.41).
Покажем справедливость второй формулы обращения. По-
скольку косинус — четная функция, то в (56.36) можно переста-
вить местами t и х:
dy	f(t)cosy(t — x)dt,
в силу же нечетности синуса (ср. (56.40))
v.p. j dy j /(z)siny(z —х)<7/ = 0.
Поэтому наряду с формулой (56.41) имеем также
dy f(t)eiy{t х) dt,
или
2л ,
f{t)e“ydt e~ixydy,
где внешний интеграл понимается в смысле главного значения.
Эта формула может быть переписана в виде
[/]]=/ □
Отметим, что справедливость формул обращения может
быть доказана и при более слабых ограничениях на функцию,
чем существование у нее в каждой точке односторонних
производных.
Лемма 4. Пусть для функций и f2 существует
преобразование Фурье {соответственно обратное преобразование
Фурье). Тогда, каковы бы ни были числа и Х2, для функции
^ifi + ^2/2 также существует преобразование Фурье {соответ-
ственно обратное ему), причем

{соответственно F1 [Xj/j + ^XjF-1 ] + X2F [/2]).
Это свойство называется линейностью преобразования Фурье
(соответственно обратного преобразования Фурье). Оно непо-
средственно следует из линейности интеграла и из формул
(56.43) и (56.45).
83
Следствие. F [0] = F 1 [0] = 0.
Действительно, например
F[0] = F[00] = 0F[0] = 0.
Впрочем, это свойство следует, конечно сразу и из формул
(56.43) и (56.45).
Лемма 5. Преобразование Фурье F, так же как и обратное
преобразование Фурье F~\ являются линейными взаимно одноз-
начными отображениями множества непрерывных абсолютно
интегрируемых на всей вещественной оси функций, имеющих в
каждой точке односторонние производные, во множество
функций, для которых интегралы (56.43) и (56.45) существуют в
смысле главного значения.
Доказательство. Достаточно доказать лишь взаимную
однозначность отображений F и F ~1 — остальное уже доказано
выше. Докажем, например, взаимную однозначность отображе-
ния F. Пусть F[J\ ] = ^’[/2]; тогда
Отсюда согласно лемме 1, следует, что
Л=Л- □
Преобразование Фурье во всяком случае определено для
абсолютно интегрируемых функций. В следующих пунктах
будут изучаться свойства этого преобразования. В дальнейшем
же будет показано, как преобразование Фурье обобщается на
более широкие классы функций, а именно на функции с
интегрируемым квадратом (п. 60.9*) и на так называемые
обобщенные функции (п. 61.7).
56.6.	ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА
Найдем преобразование Фурье / четного продолжения
функции е~ах, а>д, с полупрямой х^О на всю числовую
прямую, т. е. попросту говоря, преобразование Фурье функции
дх) = е~в|*1, — оо <х< + оо:
е а|х|е lxy dx =
о
1
84
—	e~(a~iy)xdx+-4= e~(a+iy}xdx =
J	-/2л J
о	о
Применение обратного преобразования Фурье к полученной
функции дает исходную функцию
е~ах =
___-__eixydv.
а2+у2
Вспоминая, что e1JC}, = cosxy + zsinxy
нечетности подынтегральной функции
и замечая, что в силу
sin ху ,	„
—^dy = Q, получим
а + v
cos ху , 2а
-y-^dy^—
СГ+у1	я
cos XV »
Найдем теперь преобразование Фурье / нечетного продол-
жения функции е~ах, а>0, с положительной полуоси х>0, т. е.
преобразование Фурье функции
/7 \ J е“х х>0,
Лх)~] -еах х<0.
Имеем
О	-Ь со
"*	Г
i-e^\e-ixydx+_L= e~axeixydx =
J	x/2i J
— co	0
a — iу	a + iy
л
Применив снова формулу обращения преобразования Фурье,
получим
е”ЙХ = —— [ (- ^^—2i\eixydy = - [ ^^-dy, х>0.
J \ V я а2+у2 J	я J а2+у2
- со	О
85
Итак, нам не только удалось найти преобразование Фурье
рассматриваемых функций, но и получить сразу из формулы
обращения (56.44) значения двух интегралов:
c-^dy^e~ax, х^О,
а2+у2 7 2а
о
ysinxy , я _ау Л
~—^dy——e ах, х>0.
J а2+у2 J 1
о
Эти интегралы называются интегралами Лапласа.
56.7.	СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ АБСОЛЮТНО
ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
В этом и следующих пунктах будут рассмотрены некоторые
свойства преобразования Фурье функции /, которое, как и выше,
будет обозначаться через f или F [/]. При этом будет
предполагаться, что функция f принимает, вообще говоря,
комплексные значения, а ее аргумент, как всегда, действителен.
Теорема 2. Если функция f абсолютно интегрируема на
всей числовой оси R, то ее преобразование Фурье Ff ограничено и
непрерывно на R, причем
4-	оо
Vye/?,	(56.46)
lim f (у) =0.	(56.47)
Следствие. Если последовательсность {/„} абсолютно
интегрируемых на всей числовой оси R функций и абсолютно
интегрируемая функция f таковы, что
lim 1/п(х) —Дх)| dx=0,	(56.48)
И->00 *
— оо
то последовательность образов Фурье {/„} сходится равномерно
на всей числовой оси к f— образу Фурье функции ф.
86
Доказательство теоремы. Заметим, что рассматри-
ваемые в теореме функции принимают, вообще говоря, ком-
плексные значения.
Для доказательства неравенства (56.46) заметим, что
= и потому

Неравенство (56.46) доказано.
Для доказательства свойства (56.47) обозначим через и и v
соответственно действительную и мнимые части функции f
/(x) = w(x) + /г(х). Имеем
f{t)e~iytdt =
2л
(u(t) + iv (z)) (cos yt — i sin yz) dt =
(u (z) cos yt + v (t) sin yz) dt —
sin yt — v (z) cos yt) dt.
Каждый из интегралов
f (w (z) cos yz + и (z) sin yz) (7z, j (u (z) sin yz — v (t) cos уt)dt,
в силу леммы 2 (см. п. 56.1), является непрерывной функцией
(так как функции «(z) и v(t) абсолютно интегрируемы, а
функции cos yt и sin yt ограничены и непрерывны) и стремится к
нулю в силу теоремы Римана (см. теорему 2 в п. 55.2) при
у->00.
87
Таким образом, мнимая и действительная части функции f
непрерывны и стремятся к нулю при j->oo; следовательно, эти
свойства присущи и самой функции /. Теорема доказана. □
Следствие вытекает из неравенства (56.46):
(56.46)
5= —L	(х) -Дх)| dx.
(56.49)
Правая часть этого неравенства по условию стремится к нулю
при и->оо (см. (56.48)), поэтому и левая его часть стремится к
нулю. При этом, поскольку правая часть неравенства (56.49) не
зависит от у, стремление к нулю разности (F[/„] )(у) — (F[/])(у)
происходит равномерно на R, а это и означает равномерную
сходимость на R последовательности {F[/„]} к функции
56.8.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Теорема 3. Пусть абсолютно интегрируемая на всей
числовой оси функция f имеет п абсолютно интегрируемых и
непрерывных на всей оси производных. Тогда
F (/<*>] = ((y)*F[/], k = Q, 1, ... , и,	(56.50)
и существует постоянная М>0 такая, что
(56.51)
Доказательство. Пусть сначала функция f принимает
только действительные значения. Если f абсолютно интегри-
руема на всей оси вместе со своей производной f' и эта
производная непрерывна, то
/(х)=/(0) + ]f'(t)dt.
О
Интеграл J \f (?)| dt по условию теоремы сходится, значит,
сходится и интеграл j f'(t)dr, поэтому, в силу определения
сходимости интеграла, существуют пределы lim j f (/) dt и,
± ОС 0
88
следовательно, пределы lim f(x). При этом из сходимости
‘	+ ос	Х-> ±00
интеграла J f(t) dt следует, что указанные пределы равны
нулю: lim /'(х) = 0. Применив интегрирование по частям к
х-> + СО
формуле преобразования Фурье, получим
f(x)eixy dx = iyF[f] .
Таким образом, дифференцирование функции приводит к
умножению ее преобразования Фурье на множитель iy.
Если теперь f=u+iv, где и и v — вещественные функции, и
снова f абсолютно интегрируема вместе со своей производной
f' = u' + iv' и эта производная непрерывна, то
F[/'] = F[u' + zv'] = F[u'] + iF [ v'] = iyF [и] —yF[u] =
= iyF\u+iv\ = iyF\f\.
Формула (56.50) при и=1 доказана.
Для произвольного п она получается отсюда по индукции.
Функция	] ограничена (см. теорему 2), поэто-
му верхняя грань М= sup F[/(n)] конечна и, следо-
вательно, оценка (56.51 У ^следует0 из формулы (56.50) при
к = п. □
Итак, чем больше абсолютно интегрируемых производных
имеет функция f тем быстрее стремится к нулю на бесконеч-
ности ее преобразование Фурье.
Заметим, что теорема 2 вместе с ее доказательством
остается справедливой и в случае, когда производная и-го
порядка рассматриваемой функции является не непрерывной, а
имеет конечное число разрывов первого рода (см. п. 5.13) при
сохранении остальных предположений. Действительно, в этом
случае указанная производная на любом конечном отрезке
является кусочно-непрерывной функцией (см. п. 27.10*) и
89
поэтому проводимое в доказательстве интегрирование по
частям законно (см. п. 30.2 и 33.2).
Упражнение 2. Доказать, что преобразование Фурье F(i') функции
. . . 1	/ 1 \
/И । |3 ₽авн0 ° Т п₽и Т-*1-0-
1+М	\у J
56.9.	СВЕРТКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Пусть функции (риф определены на всей действительной
оси. В различных вопросах математики часто используется так
называемая свертка функций (риф, которая обозначается ф*ф,
или, если х — аргумент свертки, через (ф*ф)(х), и определяется
равенством
(ф*ф)(х) = J ф(1)ф(х—t) dt.
(56.52)
Для простоты в этом пункте будем предполагать, что
рассматриваемые функции ф(/), ф (/), /(() принимают только
действительные значения. Интеграл (56.52) заведомо сущест-
вует, если обе функции ограничены и абсолютно интегри-
руемы**. При этом интеграл (56.52) и, более того, интеграл
f |ф(г)ф(х-/)| dt
равномерно сходятся на всей действительной оси. В самом деле,
в силу ограниченности функции ф, имеем |ф|^М, где М—
постоянная, поэтому для всех х и t
|ф (0 ф (х— r)| 5= М |ф (z)|
и сделанное утверждение в силу абсолютной интегрируемости
функции ф вытекает из признака Вейерштрасса равномерной
сходимости интегралов (см. п. 54.1). Из приведенных рассужде-
ний следует также, что если функции ф и ф ограничены,
абсолютно интегрируемы и непрерывны, то и их свертка f также
непрерывна, ограничена и абсолютно интегрируема. Действи-
тельно, непрерывность функции f следует из равномерной
*’ Существование интеграла (56.52) можно гарантировать и при бо-
лее общих условиях, однако мы на этом не будем здесь останавли-
ваться.
90
сходимости интеграла (56.52), а ограниченность — из оценки
+ оо	+ со
|(ф*ф)(х)| < J	J |ф(г)|Л.
— оо	— оо
Докажем абсолютную интегрируемость свертки. Пусть /=ф*ф;
имеем
+ со	+ со
J [/'(х)|б/х = J dx
— оо	— оо
+ оо
j ф(г)ф(х — z) dt
— oo
+ co	+ oo
«S J dx j |ф (z) \|/(x—z)[ dt=
— co	— co
+ oc	+ oo
= j |cp(z)|tZZ j |ф(х-z)| dx =
— oc	— oo
+ oo	+ oo
= f l<p(Ol<* J 1Ф (*)!<&•
— oo	— co
(56.53)
Перестановка порядка интегрирования здесь возможна в силу
того (см. теорему 7 п. 54.3), что интеграл j |ф(г)ф(х — z)| dt
— co
+ co
равномерно сходится на всей оси, интеграл J |ф (z)\|/(x —z)| dx =
4- оо
= |ф (z)| j |ф(х—t)\dx равномерно сходится на любом конеч-
— ОС
+ СО	+ 00
ном отрезке, а повторный интеграл f dx J |ф(г)ф(х — z)| dt,
как это следует из последнего равенства формулы (56.53),
существует.
Таким образом, при сделанных предположениях к функции
/=Ф*ф можно в свою очередь применять операцию свертки с
некоторой непрерывной ограниченной и абсолютно интегри-
руемой функцией (причем снова получится функция того же
класса) или преобразование Фурье.
Операция свертки функций коммутативна и ассоциативна в
рассматриваемом классе функций. Действительно, выполнив в
интеграле (56.52) замену переменного х— t = s, получим
+ со	+ со
Ф*ф= J ф (z) \|/(х — Z) dt = J ф(х —^)\|/(5)б/5 = \|/*ф.
— со	— со
Далее, производя в ниже написанном интеграле замену
переменного t=y — меняя порядок интегрирования и делая
91
замену х—у + ^ = г|, получим
(ф*ф)*Х = J lAy-xjdx f q(t)^(x-t)dt =
= f l(y-x)dx f ф(у-^)ф(х-у+^)^ =
= f ф(у-^)«^ f \|/(x-y + ^)x(y-x) Jx =
= f <s?(y-^d^ f Ф(т|)х(^-п)^П = ('к*х)*Ф = Ф*(Ф*х)-
Возможность перестановки порядка интегрирования и в
этом случае следует из теоремы 7 п. 54.3. Действительно,
исследуем на равномерную сходимость интегралы
+ оо
Х(у-х) f ф(у-^)Ф(х-у + ^)^,	(56.54)
— оо
+ 00
ф(у-£) f ф(х-у+^)х(у-х) cfx.	(56.55)
— оо
В силу ограниченности функций ф и х, имеем |ф| < М, |xl М,
где М — постоянная, и поэтому
1х(у-х)ф(у-^)ф(х-у+^НМ2|ф(у-^)|,
1ф(з'-^)'к(х-у + ^)х(>'-х)|^М2|х(у-х)|.
Из этих неравенств и абсолютной интегрируемости функций ф и х
следует, согласно признаку Вейерштрасса, что интегралы (56.54) и
(56.55) равномерно сходятся соответственно относительно пере-
менных х и Е, (переменная у фиксирована) на любом конечном
отрезке (почему?). Наконец, существует повторный интеграл
f dx f |х(у-х)ф(у-^)ф(х-у + ^)|^ = (|ф| ♦ |Ф1)*1х1-
— оо	— со
Таким образом, все условия указанной теоремы 7 из п. 54.3
выполнены.
Следует заметить, что при рассмотрении сверток функций
можно существенно ослабить ограничения, накладываемые на
свертываемые функции. Однако доказательство свойств сверток
в этом случае потребовало бы прежде всего более тонких
теорем о перемене порядка интегрирования. Для простоты
изложения мы не стали этого делать.
Займемся теперь изучением преобразования Фурье сверток
двух функций. Для удобства видоизменим определение свертки
92
ф * ф, добавив дополнительный множитель
. 1
ф * ф = ^^=
х/2л
Ф (?) ф (х — /) dt.
Теорема 4. Пусть функции <р и ф ограничены, непрерывны и
абсолютно интегрируемы на числовой оси. Тогда
Г[ф * ф] = Г[ф] Г[ф].
Доказательство. Функции ф и ф ограничены, непре-
рывны и абсолютно интегрируемы, поэтому функция ф * ф
обладает теми же свойствами, в частности, она абсолютно
интегрируема, и для нее можно рассматривать преобразование
Фурье
F[\p *ф]=^
е ixy dx ф(?)ф(х — t)dt.
Меняя здесь порядок интегрирования (что возможно в силу
теоремы 7 п. 54.3) и производя замену переменного х = 1+х,
получим
/г[ф*ф]=^- ф(/)гй ф(х— t)e lxy dx —
I ф(/)е itydt—^=
— оо	\/ 2л
Ф0е isy =
т. e. преобразование Фурье свертки двух функций равно
произведению преобразований Фурье этих функций. □
Теорема 4 также может быть доказана при более слабых
ограничениях на рассматриваемые функции, но мы не будем на
этом останавливаться.
56.10. ПРОИЗВОДНАЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ
Теорема 5. Если функция /(х) непрерывна, а функции /(х),
х/(х), ... , хп/(х) абсолютно интегрируемы на всей числовой оси,
то преобразование Фурье функции f является п раз дифференци-
93
руемой на всей числовой прямой функцией и
= £ = (), 1; ? п
Доказательство. Пусть сначала функция f принимает
только действительные значения. Формально дифференцируя по
параметру у интеграл
+ со
/•
f[x)e~ixydx
с
и замечая, что |х/(х) е~ ,Лу| = |х/(х)|, получим абсолютно и
равномерно сходящийся интеграл
+ со
— i j х/(х) e~lxy dx, — оо<у< + оо.
Следовательно (см. п. 54.3, теорема 8), в этом случае
преобразование Фурье F[/] функции f является дифференци-
руемой функцией и
zF'[/] = F[x/].
Если теперь f=uyiv, где и и v — действительные функции, то
F' [/] = f' [«+zt’] = №] +^М}' = ^'М + ^'[r]=-zF[xw] +
+ F [хг] = — iF [хи+zxr] = — iF [х/].
Далее по индукции получаем, что преобразование Фурье
/’Ey] функции f имеет производные до порядка п включительно
и (‘Ew[/] = F[x7], k = Q, 1,...,п. □
Следствие. Если предположения теоремы выполнены, то
все производные F(k> [/], k = Q, 1, ... , п, непрерывны и стремятся
к нулю при стремлении их аргумента к бесконечности.
В силу теорем 2 и 5, следствие непосредственно вытекает из
того, что производные F(k) [/] являются преобразованиями
Фурье абсолютно интегрируемых функций.
Можно показать, что если произведения вида еа^ f(x)
абсолютно интегрируемы при определенных ограничениях,
налагаемых на а>0 и а>0, то это приводит к еще большей
гладкости преобразования Фурье, а именно оказывается, что оно
принадлежит к тем или иным классам аналитических функций.
94
Формула, задающая обратное преобразование Фурье, отли-
чается от формулы, задающей прямое преобразование Фурье
(см. (56.43) и (56.45)), лишь тем, что в показателе степени у
числа е под интегралом z заменено на — I, поэтому для
обратного преобразования Фурье справедливы свойства, ана-
логичные доказанным нами для прямого преобразования
Фурье.
Упр
1
1+Х4
а ж н е н и я. 3. Доказать, что
дважды дифференцируемо на
преобразование
всей числовой
Фурье функции Дх)=
прямой.
4. Доказать, что преобразование Фурье функции /”(х) =
= хе бесконечно дифференцируемо на всей числовой прямой.
ГЛАВА VIII
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 57.	МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
57.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
Определение 1. Множество Х={х, у, z, ...} называется мет-
рическим пространством X, если на совокупности упорядоченных
пар (х, у) элементов этого множества определена неотрицатель-
ная функция р (х, у), называемая расстоянием (или метрикой)
такая, что:
1°. р(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х=у;
2°. р(х, у) = р(у, х), хеХ, уеХ;
3°. р (х, у) < р (х, z) + р (z, у), хеХ, уеХ, zeX.
Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами расстояния.
Элементы метрического пространства называются точками.
Примеры. 1. Совокупность всех действительных чисел R,
если расстояние между действительными числами определить
как абсолютную величину их разности: р(х, у) = |х —у\, xeR,
yeR, образует метрическое пространство.
2.	Множество комплексных чисел С, расстояние между
элементами которого задается по формуле p(z, z')=\z—z'\,
zeC, z'eC также образует метрическое пространство.
3.	Евклидово пространство R” размерности п (см. п. 18.1)
является метрическим пространством, если расстояние между
его точками х = (х1( ... , х„) и у = (у1, ... , у„) определить по
формуле (см. (18.1))
р(%> y)=Ji (xi-y^2 
V i= 1
4.	Пусть Е — некоторое множество. Рассмотрим множество
всех ограниченных на Е функций, принимающих действитель-
ные (или комплексные) значения. Для двух таких функций <р и ф
положим
р(ф, ф) = sup [ср(?) —ф(/)|.	(57.1)
teE
Легко проверяется, что функция р (<р, ф) является метрикой.
Справедливость свойств расстояния Г и 2° ясна непосредствен-
96
но. Проверим справедливость свойства 3°. Пусть ф, ф и
% — ограниченные функции, определенные на множестве Е. Для
любого элемента /е£ имеем
1ф (0 -хО)1=1[ф(0 -'НО] + [Ф(0 -х(0]1^
-ф(/)| + |ф(г) - х (/)|,
поэтому
|ф (0 - X (Ol «s sup |ф (0 - ф (01 + sup |ф (0 - X (0Ь
Е	Е
откуда
sup|<p(0 - х(01 sup |ф (0 -'KOI + SUP I'KO — X (0Ь
Е	Е	Е
т. е.
р(ф, хНр(ф, 'к) +р(ф, х)-
5.	Пусть G — измеримое по Жордану открытое множество
и-мерного евклидова_пространства R". Множество X непрерыв-
ных на замыкании G множества G функций образует метриче-
ское пространство, если расстояние между функциями <реА" и
феУ определить по формуле
р(ф, ф) = | |ф(х) — ф(х)| dG.
Действительно, если р (ф, ф) = 0, т- е- ]1Ф(х) — ф(х)| JG = 0, то
в силу следствия из свойства 9 кратных интегралов (см. п. 44.6)
ф(х) = ф(х) для всех xeG щ следовательно, для всех xeG.
Свойство 2° расстояния в этом случае очевидно, а свойство 3°
легко проверяется: если <р, ф и х непрерывны на G, то
р(ф, ф)=| |ф(х) — х(х)|	= j |[ф (х) -ф(х)] + [ф(х) -х(х)]| сЮЧ
«К|ф(х) -ф(х)| dG + ||ф (х) -х(х)|Л?=р(ф, Ф) +р(ф, х)-
В случае и=1, G = [a, й] введенная метрика для непрерыв-
ных на отрезке [а, Л] функций имеет вид
р (ф, ф) = f |ф (х) - ф (х)| dx.	(57.2)
а
Естественным образом аналогичное пространство вводится
и для функций, определенных на бесконечном промежутке.
Например, в случае а—— со, Ь=+со для двух непрерывных
абсолютно интегрируемых на всей числовой оси функций ф и ф
расстояние определяется по формуле
р(ф, Ф)= j |ф(х) —ф(х)|dx.	(57.3)
6.	Рассмотрим множество всевозможных последовательнос-
тей х = {х„} действительных чисел, для которых
97
co
К<+Х.
п = 1
(57.4)
Каждая такая последовательность будет называться точкой
пространства, а числа х„, л = 1,2, ...,— ее координатами. Рас-
стояние между двумя такими точками х = {х„} и у = {у„}
определим по формуле
р (х>	. / Е (*п-л)2 •	(57.5)
V П=1
Это определение имеет смысл, так как из сходимости рядов
£ х„ и £ у следует сходимость ряда, стоящего в правой
п = 1	л = 1
части формулы (57.5).
В самом деле, при любом натуральном т в пространстве Rm
для точек (х1; ..., хт), (у1; ..., ут), (z15 ..., zm), справедливо нера-
венство треугольника
/ т	I т	I т
J Е (хи-л)2 / Е к-^„)2 + Е (2л~л)2 • (57.6)
V л = 1	V п — 1	у п~ 1
Перейдя в этом неравенстве к пределу при т-юо и положив
zm = 0, m = l,2, ..., получим, что ряд (57.5) сходится и, более
того, что
7оо	/ оо	Г оо
Е(х,.-л)2^ JEx„2 + /Е^2-
Л”1	V л=1	V Л=1
Свойства расстояния для функции р (х, у), определенной
формулой (57.5), легко проверяются. Например, неравенство
треугольника для нее следует из неравенства (57.6): достаточно
в нем перейти к пределу при т-юз.
Метрическое пространство всех действительных последова-
тельностей, удовлетворяющих условию (57.4), с метрикой (57.5)
называется гильбертовым ** пространством последовательно-
стей и обозначается 12.
Упражнения. 1. Проверить аксиомы расстояния для функции р(ф, ф),
определенной формулой (57.3) дл^ пространства абсолютно интегрируемых
непрерывных на всей числовой оси функций.
2.	Привести пример последовательности непрерывных функций, сходя-
щейся на некотором отрезке в смысле расстояния (57.2), но не сходя-
щейся на этом отрезке в смысле точечной сходимости (т. е. в смысле
определения 3 п. 36.1).
3.	Привести пример последовательности, сходящейся на некотором отрезке
в смысле точечной сходимости, но не сходящейся на этом отрезке в смысле
метрики (57.2).
** Д. Гильберт (1862—1943) — немецкий математик.
98
4.	Пусть X—метрическое пространство. Определим отклонение между его
двумя подмножествами У и Z согласно формуле
р(У, Z)=f inf p(y, z).
re Г. -eZ
Будет ли метрикой функция р(У, Z) на множестве всех подмножеств
метрического пространства Х'1
Всякое подмножество метрического пространства X, в свою
очередь, является метрическим пространством относительно той
же метрики и называется подпространством пространства X.
Определение 2. Два метрических пространства X и X’
называются изометричными, если между их точками су-
ществует взаимно однозначное соответствие f сохраняющее
расстояние, т. е. такое, что если
х'=/(х), y'=f(y), хеХ, уеХ, х'еХ’, у'еХ',
то
р(х, у) = р(*', v')
(такие соответствия также называются изометричными).
Иногда бывает удобно «отождествить» элементы пространств
X и X', соответствующие друг другу при изометричном соответ-
ствии пространств X и X'. Поясним более подробно операцию ото-
ждествления элементов двух изометрических пространств: X и Y.
Пусть X и У* — метрические пространства, Y<= Y*,f: У-+У—изо-
метричное отображение. Рассмотрим множество X * = A3J (У * \ У),
получающееся из пространства X присоединением к нему множе-
ства У * \ У. Таким образом: X * \У = У * \ У. Определим для точек
хеХ*иуеХ* понятие расстояния рх* (х, у). Для удобства введем
отображение F: У*-» У*, задаваемое формулой
„/ \def I /(%)', если хеХ,
1 х, если х е X * \У.
Ясно, что F является взаимно однозначным отображением
(биекцией) множества X* на У*
Теперь для любых хеХ* и уеУ* положим
рх*(х, у) = р(Г(х), У (у)).
Легко проверить, что определенная таким образом функция
Рх* у) удовлетворяет трем аксиомам расстояния и, следова-
тельно, X* является метрическим пространством, а отображе-
ние F изометрично отображает пространство X * на У *, причем
при этом отображении множество X переходит в У.
Под утверждением «отождествим в пространстве У* мно-
жество X с изометричным ему пространством У» и понимается
рассмотрение пространства X* вместо У*.
99
Определение 3. Пусть X—метрическое пространство; после-
довательность его точек [хп} называется сходящейся к точке
хеХ, если lim р(х, х„) = 0, т. е. если для любого числа е>0
п—
существует такой номер пг, что для всех номеров п>щ
выполняется неравенство р(х, х„)<£. В этом случае пишется
х = lim х„ или хп—>х при п-^со и говорится, что точка х
и—» ос
является пределом данной последовательности.
Например, в случае примеров 1 и 2 сходимость в рассматри-
ваемых там метрических пространствах означает обычную
сходимость числовых (соответственно действительных или
комплексных) последовательностей. В примере 3 сходимостью
последовательности является сходимость последовательности
точек в и-мерном пространстве, встречавшаяся нам раньше (см.
п. 18.1). В метрическом пространстве функций, определенных и
ограниченных на некотором множестве, расстояние между
которыми определяется формулой (57.1), последовательность
функций {<р„} сходится к функции ф, если
lim sup | ср (Г) — ф„(/)| = 0,
п—’оо
т. е. если последовательность {ф„} равномерно на множестве Е
сходится к функции ф (см. т. I, п. 36.2).
Наконец, пример 5 дает вид сходимости последовательности
функций в смысле некоторой интегральной метрики. В случае
л= 1 подобная сходимость уже встречалась в п. 55.2 (лемма 2) и
в п. 56.7 (следствие леммы 4).
Для всякого метрического пространства X естественным
образом вводится понятие е-окрестности U(x, е) точки хеX,
£>0: t/(x, Е) = {у:уеХ, р(у, х)<е}, а затем дословно, так же
как для и-мерного пространства R" (см. п. 18.2), вводятся
понятия точки прикосновения множества, предельной и изоли-
рованной точки, граничной и внутренней точки, замыкания А
множества А, понятие замкнутого и открытого множества.
Справедливы для произвольных метрических пространств и
леммы 3, 4, 5 и 6, доказанные в п. 18.2 для открытых и
замкнутых множеств n-мерных евклидовых пространств, причем
доказательства, приведенные в п. 18.2, сохраняют свою силу и в
общем случае.
Нетрудно убедиться, что у последовательности метрического
пространства может быть только один предел. Допустим
противное: пусть у последовательности точек х„, л=1, 2, ...,
метрического пространства X точки аеХ и ЬеХ являются ее
пределами и а^Ь. Тогда, выбрав £ так, что 0<£^р(а, Ь),
100
получим, что окрестности U(a, £ ) и U(b, е) не пересекаются и в
каждой из них должны лежать все точки данной последователь-
ности, кроме конечного их множества, а это невозможно.
Всякое подмножество метрического пространства является
метрическим пространством, поэтому в нем также имеются
открытые и замкнутые относительно него множества. Связь
между открытыми и замкнутыми множествами всего простран-
ства и открытыми и замкнутыми множествами его подпрост-
ранства устанавливается следующим предложением.
Лемма 1. Множество замкнуто (открыто) в подпростран-
стве метрического пространства тогда и только тогда, когда
оно является пересечением подпространства с замкнутым
(соответственно открытым) множеством всего пространства.
Доказательство. Пусть Е—подпространство простран-
ства X и F—замкнутое подмножество пространства X. Пока-
жем, что тогда пересечение Е QF замкнуто в Е. Действительно,
каждая точка прикосновения множества Ef^F, содержащаяся в
Е, является и точкой прикосновения множества F. Поэтому (в
силу замкнутости F) она одновременно содержится и в F, т. е.
содержится в пересечении Е(~]Е. Это и означает замкнутость
множества E(~}F в подпространстве Е.
Наоборот, пусть Е^Х и множество Fc.E замкнуто в Е. Если
F — замыкание множества F во всем пространстве X, то F
является замкнутым в X множеством, а пересечение EQF
состоит из точек прикосновения множества F, содержащихся в
Е, которое, в силу замкнутости F в Е, совпадает с множеством
F, т. е. F=EQE
Если теперь G— открытое в пространстве X множество, то,
в силу леммы 6 п. 18.2, его дополнение F=X\G является
замкнутым, а так как E(~]G = E\(EP|F). где, согласно уже
доказанному, пересечение Е QF замкнуто в Е, то, в силу той же
леммы, его дополнение в множестве Е, т. е. пересечение EQG,
является открытым в подпространстве Е множеством.
Наконец, если G — открытое в подпространстве Е множест-
во, то его дополнение F=E G замкнуто в этом подпространст-
ве и поэтому, согласно выше доказанному, F=Ef)F, тогда
G=E(y\(X\F), где, все в силу той же леммы, множество X\F
является открытым в пространстве X множеством. □
57.2. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
На метрические пространства обобщается понятие фунда-
ментальной последовательности (см. определение 10 в п. 3.7).
Определение 4. Последовательность {х„} точек метрического
пространства X называется фундаментальной (или последова-
тельностью Коши), если для любогд числа е > 0 существует
такой номер пг, что для всех номеров п>пе и т>п( выполняется
неравенство р(х„, хт)<Е.
101
Лемма 2. Если последовательность {%„} сходится, то она
фундаментальная.
Доказательство. Пусть lim хп = х. Тогда для любого
п—► со
числа £>0 существует такой номер п£, что для всех номеров
п>п£ справедливо неравенство р(х, х„)<|. Следовательно, если
п>пг и m>nf, то
Р(*п, Хт) < Р (*», х) + р(х, Хш;<| + |<£. □
Определение 5. Метрическое пространство называется пол-
ным, если всякая фундаментальная последовательность его
точек сходится к его же точке.
Очевидно, что метрическое пространство, изометричное
полному пространству, также является полным метрическим
пространством.
Примеры. 1. Метрические пространства действительных и
комплексных чисел являются примерами полных метрических
пространств. Полным является и «-мерное евклидово простран-
ство Rn (см. п. 18.1). Рациональные числа дают пример
неполного метрического пространства.
2. Рассмотрим метрическое пространство функций, опреде-
ленных и ограниченных на множестве Е, расстояние между
которыми определено формулой (57.1). В этом пространстве
последовательность функций фп, л=1, 2, ..., является фунда-
ментальной, если для любого числа £ > 0 существует такой номер
пЕ, что для всех номеров п > «Е и т > тг выполняется неравенство
Р(<Р„, <PmJ=SUp|(p„(x)-(pm(x)| <£,
Е
т. е. если последовательность {ф„} удовлетворяет критерию
Коши равномерной сходимости последовательности на мно-
жестве Е (см. п. 36.2). В силу этого критерия, последователь-
ность {фп} равномерно на множестве Е сходится к некоторой
функции ф, т. е.
lim sup | ф (х) — фи (х )| = 0.	(57.7)
и—► х> Е
Покажем, что эта функция ф также ограничена и, следова-
тельно, принадлежит рассматриваемому пространству. Действи-
тельно, в силу (57.7), для любого числа е>0, в частности для
£ = 1, существует такой номер л15 что для всех п>пг и всех хеЕ
выполняется неравенство
I <р(*) - <рп(*) I <1;
102
поэтому
I ф(х)I < |ф(х)-ф„1+1(х)| + |ф„1+1(х)| < 1 + sup | фП1 +1 (х) I .
Так как функция фп +1 ограничена, то ограничена и функция
ф.
Мы доказали тем самым, что рассматриваемое пространст-
во функций является полным.
Можно показать, что метрическое пространство функций,
рассмотренных в примере 5, не является полным.
Упражнение 5. Доказать, что пространство непрерывных на отрезке
[а, b ] функций, расстояние между которыми определяется по формуле (57.2), не
является полным.
3. Докажем полноту гильбертова пространства /2 (см-
пример 6 в п. 57.1).
Пусть последовательность точек
х™ = (х^, х^, ..., х?’, ...), £=1, 2, ...,	(57.8)
является фундаментальной последовательностью пространства
/2. Тогда из неравенства
/—
р(х<*+'>, х№))= / Y (х(к+Р}_хт)2>
V л = 1
^х'^-хП
к=1, 2, ..., р = 0, 1, 2, ..., н=1, 2, ...,
и фундаментальности последовательности (57.8) следует, что
при любом фиксированном п числовая последовательность х®,
к=1, 2, ..., удовлетворяет критерию Коши (см. п. 4.7) и,
следовательно, сходится. Пусть lim X и •— Хп. В силу фундамен-
тальности последовательности (57.8), для любого £>0 сущест-
вует такой номер к£, что при любом номере к>кг и любом
натуральном р выполняется неравенство
p(x('t + ₽>, XW)<E,
т. е.
/00
/ Z (хГр)-х^)2<г.
У п=1
Отсюда для любого фиксированного натурального числа т и
подавно
т
£ (хГР)-Х(„к>)2<82.
п= 1
Переходя здесь к пределу при р->х. получим
103
т
Е (х„-Х(к}У^Е2,
п—1
и так как это верно при любом т—1, 2, то
Е (хп-х(к))^Е2, к>ке.	(57.9)
п= 1
Таким образом, точкау(к) = (хг —х}к>,хп — х(к>,...), к>кг, при-
надлежит пространству /2, но тогда и точка х = (х15	х„, ...) =
= xw+j’('‘) также принадлежит пространству /2. В самом деле,
J Е *«= / Е [(A-„-x<k))+4k,]2<
V и—1	V п—1
< / Е (х„-х^)2 + / Е х(к} < +оо, к>кг,
У п=1	У п=1	(57.9)
ибо точка xw принадлежит пространству /2 и, следовательно,
Е Х(к) < + оо.
п — 1
Условие (57.9) означает, что
lim х1к> — х,
К—»00
т. е. что последовательность (57.8) сходится. Следовательно,
пространство /2 полное. □
Согласно определению, фундаментальная последователь-
ность — это такая последовательность, у которой члены неогра-
ниченно сближаются при возрастании их номеров. С такой
ситуацией часто приходится встречаться при численном реше-
нии математических задач: последовательно получающиеся
решения все больше приближаются друг к другу и, какое бы
положительное число ни было задано, на достаточно большом
шаге их разность сделается и будет оставаться меньше этого
числа. Если в пространстве, к которому принадлежат рассмат-
риваемые приближенные решения, они накапливаются около
некоторой точки этого пространства, иначе говоря, последова-
тельность этих решений оказывается не только фундаменталь-
ной, но и сходящейся, то ее предел, как правило, оказывается
точным решением задачи. Этим объясняется, что пространства,
в которых каждая фундаментальная последовательность схо-
дится, играют большую роль в математике.
Для того чтобы показать, что не всегда фундаментальные
последовательности сходятся, рассмотрим следующую задачу.
Найти в пространстве гладких кривых, лежащих на заданной
104
плоскости и проходящих через ее точки А,	В
В, С, не лежащие на одной прямой, кривую	st
наименьшей длины (рис. 255). Нетрудно
видеть, что эта задача не имеет решения,
хотя и можно построить фундаментальную	i J
последовательность гладких кривых, длины	у
которых стремятся к нижней грани длин	/
всех гладких кривых, проходящих через	/
точки А, В, С. Для этого достаточно,	/
приближаясь к вершине В угла L ABC,	Jc
гладко скруглять стороны угла (см. рис.
255). Однако полученная таким образом	Рис- 255
фундаментальная последовательность не
имеет предела в множестве гладких кри-
вых. Это связано с тем обстоятельством, что в данном случае
кривой наименьшей длины является не гладкая кривая, а
ломаная с вершинами в точках А, В, С.
Рассмотрим некоторые свойства полных метрических про-
странств. Прежде всего ясно, что каждое замкнутое подмно-
жество полного метрического пространства также является
полным пространством.
Для описания следующего свойства полных пространств
введем понятия диаметра подмножества метрического про-
странства и последовательности Коши его подмножеств.
Для подмножества Е метрического пространства X величина
diam(£)=f sup p(.v, у)	(5.7.10)
.v е Е, ye Е
называется его диаметром.
Множество метрического пространства называется ограни-
ченным, если его диаметр конечен.
Упражнения. 6. Доказать, что если Ё есть замыкание множества Е в
метрическом пространстве, то
diam(£ ) = diam(£).
7. Доказать, что всякая сходящаяся последовательность метрического
пространства ограничена.
Последовательность {£„} непустых множеств метрического
пространства называется последовательностью Коши, если они
последовательно содержат друг друга и их диаметры стремятся
к нулю.
Таким образом, последовательность множеств {Еп} является
последовательностью Коши, если:
1)	Еп^0,	(57.11)
2)	£п + 1с£„, п—\, 2, ...,	(57.12)
105
3)	lim diam(£'n) = O.	(57.13)
n—* 00
Если последовательность {x„} точек метрического простран-
ства является фундаментальной последовательностью (последо-
вательностью Коши) и Е„ = {х„, хп+1, л = 1, 2, ..., то
последовательность множеств (£„} является последовательнос-
тью Коши.
Теорема 1. В полном метрическом пространстве всякая
последовательность Коши замкнутых множеств имеет непус-
тое пересечение, состоящее из одной точки.
Следствие. Всякая последовательность Коши множеств
полного метрического пространства имеет, и притом единст-
венную, точку, являющуюся точкой прикосновения для всех
множеств последовательности.
Доказательство теоремы. Пусть {£„} — последова-
тельность Коши замкнутых множеств Fn полного метрического
пространства X. Выбрав в каждом множестве Fn по точке х„
(это возможно в силу выполнения условия (57.11)),
xneF„, п=1, 2, ...,	(57.14)
получим фундаментальную последовательность {х„} в прост-
ранстве X. В самом деле, для любого е>0, в силу выполнения
условия (57.13), существует такой номер п0, что для всех п>п0
выполняется неравенство
</(Ги)<8.
Поэтому если п>п0, т>п0 и, например, п>т, то xmeFm,
x„eFn <=. F а следовательно,
(57.12)
P(*m, Хп)<Е-
В силу полноты пространства X, последовательность {х„}
сходится, т. е. существует точка x=limx„. Для любого п = 1,
л-»оо
2, ..., в силу выполнений условий (57.12) и (57.14), все члены
последовательности {х„, хл+1, ...} принадлежат множеству F„, а
так как эта последовательность сходится к точке х и
Fn — замкнутые множества, то хеГ„ при любом п, т. е.
хе Г) F„.
п—1
Если уе П Fn, то для каждого и = 1, 2, ... будем иметь
п~ 1
xeF„, yeFn
106
и поэтому
р(х, y)<diam(£„).
Перейдя здесь к пределу при и->оо, в силу условия (57.13),
получим р(х, j) = 0 и, следовательно, х=у, т. е. пересечение
(3 Fn состоит из единственной точки х. □
И = 1
Доказательство следствия. Если {£„}— последова-
тельность Коши полного метрического пространства, то после-
довательность {£„} замыканий Е„ множеств Е„ является
последовательностью Коши замкнутых множеств. Согласно
теореме, существует, и притом единственная, точка хеЕп, л = 1,
2, ... . □
Заметим, что в доказанной теореме условие о стремлении к
нулю диаметров замкнутых множеств существенно: если это
условие не будет выполнено, то пересечение последовательности
непустых замкнутых множеств, последовательно содержащих
друг друга, может оказаться пустым.
Например, последовательность лучей Fn = {x : х>и} на
прямой R образует последовательность последовательно вло-
женных друг в друга замкнутых множеств
со
пересечение которых пусто: Q £„ = 0.
Л — 1
57.3. ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Пусть f : X->Y—отображение метрического пространства X
в метрическое пространство Y.
Точка yoeY называется пределом отображения f в точке х0,
если
lim р(/(х), То) = 0.
р(.г. .го)-*О
В этом случае пишут
lim/(x)=j0-
A'—».v0
Если lim/(x)=/(x0), то отображение f называется непрерыв-
Л'—».vn
ным в точке х0.
Это определение равносильно следующему определению,
формулируемому в терминах последовательностей.
107
Отображение/: У-»У называется непрерывным в точке хоеХ,
если для любой последовательности точек хпеХ, «=1. 2,
такой, что lim.v„ = x0, имеет место
я-» а-
lim/(x„)=/(.v0).
X
Как обычно, является верным и равносильное определение
непрерывности в терминах окрестностей.
Отображение / : X-+Y называется непрерывным в точке
хоеХ, если для любой окрестности V точки /(х0) существует
такая окрестность U точки л0, что
На «б-Е-языке» определение непрерывности в точке выглядит
следующим образом.
Отображение / : X-+Y называется непрерывным в точке
хоеХ, если для любого е>0 существует такое 5>0, что для
любой точки хеХ, для которой р(х, х0)<5, выполняется
неравенство
р(./(л), /(х0))<Е.
Доказательство эквивалентности всех приведенных выше
определений непрерывности проводится аналогично случаю
числовых функций.
Отображение / : У-»У называется непрерывным отображе-
нием пространства X в пространство Y, если оно непрерывно в
каждой точке х е X.
Если для любого е>0 существует такое 5>0, что для любых
точек хеХ, х'еХ, для которых p(.v', л)<6, выполняется
неравенство
р(./(л'), ./Ъ'))<е,
то отображение / называется равномерно непрерывным на
пространстве X.
Равномерно непрерывное отображение метрического прост-
ранства в другое метрическое пространство очевидным образом
непрерывно в каждой точке.
Последовательность отображений fn : X->Y называется
сходящейся к отображению f ; X-+Y, если для каждого леУ
последовательность точек {./„(-*)} метрического пространства Y
сходится к точке /(.v):
lim/„(.x)=/(.v).
II -* 7.
108
Последовательность отображений f„ : Х-* Y, сходящаяся к
отображению/: X-+Y, называется равномерно сходящейся, если
для любого е>0 существует такой номер п0, что для всех
номеров п>п0 и всех точек хеХ выполняется неравенство
р(Ш, /(%))<£•
Упражнения. 8. Сформулировать и доказать критерий Коши, явля-
ющийся необходимым и достаточным условием равномерной сходимости
отображений метрического пространства в полное метрическое пространство.
9. Доказать, что предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных отображений одного метрического пространства в другое также
является непрерывным отображением.
Пример. Рассмотрим метрическое пространство ограничен-
ных и непрерывных на некотором метрическом прост-
ранстве X функций / расстояние между которыми определя-
ется по формуле (57.1). Так как фундаментальность последо-
вательности {/„} в смысле метрики (57.1) означает, что
последовательность {/„} удовлетворяет условию Коши равно-
мерной сходимости на множестве X, то всякая фундаменталь-
ная последовательность непрерывных функций {/„} равномерно
сходится к некоторой функции f Эта функция / как отмечалось
выше, непрерывна и, как было доказано несколько раньше в
этом пункте, ограничена на X, т. е. принадлежит рассматривае-
мому пространству функций.
Таким образом, пространство ограниченных и непрерывных
на метрическом пространстве X функций является полным
метрическим пространством. Оно обозначается С(А')*’ и являет-
ся, очевидно, подпространством всех ограниченных на прост-
ранстве X функций с расстоянием, определенным той же
формулой (57.1).
В том случае, когда пространство X является отрезком
числовой оси: Х=[а, /?], вместо С ([а, />]) будем писать короче
С [а, />].
В частности, так как всякая функция, непрерывная на
некотором компакте А, лежащем в /7-мерном евклидовом
пространстве Я", ограничена (см. п. 19.4), то пространство
функций, непрерывных на компакте А, с расстоянием, опреде-
ленным по формуле (57.1), является полным. В дальнейшем
будет показано, что это верно для любых компактов (см. далее
определение 10 в п. 57.6), а не обязательно для лежащих в
конечномерном пространстве Rn.
Лемма 3. Отображение f : X^»Y метрического прост-
ранства X в метрическое пространство Y непрерывно тогда и
только тогда, когда прообраз каждого открытого множества
пространства Y является открытым множеством пространст-
ва X.
*’ С первая буква латинского слова continuum непрерывный.
109
Доказательство проводится аналогично доказательству лем-
мы 2 п. 41.4. Пусть f : X->Y непрерывное отображение,
V—открытое подмножество пространства Y и U=f~x{V)—
прообраз V при отображении f Тогда если х е U, то для
окрестности V точки Дх), согласно определению непрерывности
в точке, существует такая окрестность Uo, что f(U0)c; V и,
следовательно, С'ос1'. Таким образом, для каждой точки хе(7
существует ее окрестность (70, содержащаяся в U. Это и
означает, что U — открытое множество.
Пусть при отображении f : X-+Y прообраз каждого
открытого в Y множества является открытым в X множеством,
тогда для любой точки хеХ и любой окрестности V точки Дх)
прообраз U =f ~1 (И) открытого множества V также открыт,
т. е. является окрестностью точки х. Таким образом, для любой
окрестности V точки Дх) существует такая окрестность U точки
х, что f(U)= V. Это и означает непрерывность отображения/ в
точке хе л. □
Лемма 4. Отображение f:X->Y метрического пространст-
ва X в метрическое пространство Y непрерывно тогда и только
тогда, когда прообраз каждого замкнутого множества прост-
ранства Y является замкнутым множеством пространства X.
Доказательство. Так как открытые и замкнутые мно-
жества являются взаимно дополнительными (см. лемму 6 в
п. 18.2) и прообраз дополнения множества является дополнени-
ем прообраза множества, то условие, что прообраз каждого
замкнутого множества является замкнутым множеством, явля-
ется равносильным тому, что прообраз каждого открытого
множества является открытым. Поэтому лемма 4 сразу следует
из леммы 3. □
Теорема 2. Композиция непрерывных отображений метри-
ческих пространств является непрерывным отображением.
Доказательство. Если X, Y и Z — метрические прост-
ранства, /: Х-» Y и g : T-»Z — непрерывные отображения, то,
согласно лемме 3, для любого открытого в Z множества G
множество g ~1 (G) является открытым в Y множеством, а
f1 (s~r	-1(Д)— открытым в X множеством. Таким
образом, прообраз любого открытого множества при компо-
зиции gof является открытым множеством, что, в силу той же
леммы 3, и означает непрерывность этой композиции. □
В дальнейшем нам понадобится еще понятие непрерывности
отображения (функции) /=Дх, у), хеХ, yeY, произведения
X х Y метрических пространств X и Y (в частности, может быть
X— }') в метрическое пространство Z.
Прежде всего заметим, что произведение X х Y метрических
пространств X и Y превращается также в метрическое прост-
ранство, если в нем ввести метрику р по формуле
но
р((х', у'), (х, у)) = Vp2(x', х)+р2(у',у)	(57.15)
(аксиомы метрики для р легко проверяются).
Отображение f:XxY->Z называется непрерывным в точке
(х0, J'o)e^x ¥> если оно непрерывно на метрическом простран-
стве Ух У с метрикой (57.15), т. е. если
lim f(x,g)=f(x0,y0).
Р((*.>’). (ло..Уо))-»0
57.4. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Докажем теорему о существовании неподвижной точки у
одного класса отображений метрических пространств в себя.
Эта теорема имеет много разнообразных применений при
доказательстве существования решений и их приближенного
вычисления для тех или иных уравнений.
Определение 6. Отображение f : Х->Х метрического прост-
ранства X в себя называется сжимающим, если существует
такое число q, 0<<?<1, что для любых точек хеХ, ye Y
выполняется неравенство
р(/(х), /(у))<?р(х, у).	(57.16)
Из выполнения этого условия следует, что если для любого
£>0 взять 5 = е, то для любых двух точек хе У, уеУ, для
которых р(х, у)<5, выполняется неравенство
Р(./М /(у)) < ЧР{х, y)<q&<£,
(57.16)
т. е. сжимающее отображение равномерно непрерывно, а
следовательно, и непрерывно в каждой точке х пространства У:
lim/(y)=/(x).	(57.17)
Определение 7. Точка хе У называется неподвижной точкой
отображения f:X-»X, если /(х) = х.
Теорема 3 (принцип неподвижной точки Пикара-Банаха**).
Сжимающее отображение полного метрического пространства
в себя имеет, и притом единственную, неподвижную точку.
Более того, если f : У—>У—сжимающее отображение
полного метрического пространства X в себя и а — его
неподвижная точка: f(a)—a, то для любой точки хоеУ
итеррационная последовательность
*’ Ш. Э. Пикар (1856 1941)—французский математик; С. Банах (1892 —
1945) — польский математик.
111
x0, x^f^Xo), х2=Ж)’ ..., х„ + 1=Ж)> ...	(57.18)
сходится к точке а, причем если отображение f удовлетворяет
условию (57.16), то имеет место следующая оценка сходимости
последовательности (57.18):
р(х„, fl)^JL.p(x0, Ж))-	(57.19)
Доказательство. Пусть для отображения f-.X-^X
полного метрического пространства X в себя выполняется
условие (57.16). Выберем произвольно хоеХ и покажем,
что соответствующая итеррационная последовательность [ х„}
(см. (57.18))
хи+1=Ж), «=0, 1, 2, ...,	(57.20)
является фундаментальной.
Действительно,
Р(*п, ^+i)(5 = 0)P№„-i), /(х„))(57^6)9Р(ли_1. х„)(5 = о)
= <7Р(Ж-г), Дхл_3))(5<б^2р(хп_2, х^)^
= ...	^”р(х0, хх) = о"р(х0, /(х0)).	(57.21)
(57.16)	(57.20)
Поэтому
р(*„> *я + »)Ж *п+1)+р(х„+1, Хи + 2) + ...
- + P(X» + m-l’ Xn + m) < (7" + 7"1+...+l/""m ')p(-V0. /(XO)) =
(57.21)
/Т XT ft ftl	ft ft
= q-^p(xo, /(х0))<-Ж(х0, Ж)).	(57.22)
* я	* я
Так как 0<<?<1, то
lim-^--p(.x0, Ж))=°
1 'Я
и, следовательно, для любого е>0 существует такое п0, что для
всех п > п0
Жр(х0, /(х0))<е,	(57.23)
а тогда для всех п>п0 и всех т^О будем иметь
112
p(*n, Xn + m) < E,
(57.22)
(57.23)
т. e. последовательность {x„} фундаментальная. В силу полноты
пространства X, отсюда следует, что она сходится, т. е. что
существует
lim xn + 1 —аеX.
Л-+ОО
Поэтому, в силу непрерывности отображения /,
Итак, Дд) = а, т. е. а — неподвижная точка отображения /.
Перейдя к пределу в неравенстве (57.22) при т->х, получим
р(х„, й)^_1_р(х0, Дх0)).
Все утверждения теоремы доказаны. □
Отметим, что для приложений существенным является тот
факт, что принцип сжимающих отображений дает возможность
не только доказать существование решения уравнения, но и
найти его с любой точностью при помощи итерационной
последовательности (57.18) и оценки (57.19).
Замечание. Если некоторая степень отображения полного
метрического пространства в себя является сжимающим отоб-
ражением, то само отображение имеет, и притом единственную,
неподвижную точку.
В самом деле, если отображение /: Х-+Х полного метриче-
ского пространства X в себя таково, что его и-я степень
n^l, является сжимающим отображением, то у нее
п раз
существует неподвижная точка хеХ, т. е. /"(х) = х; тогда
/(x)=/(/"(x))=/”(/(x)),
т. е. Дх)— также неподвижная точка отображения Но такая
точка, согласно доказанной теореме, единственная, следова-
тельно,
Дх) = х.
Пример. Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра*’
*’ В. Вольтерра (1860	1940) — итальянский математик.
ИЗ
x(r) = X|Ai(r, 5)х(5)ds+f(t},	(57.24)
а
где K(t, 5) и f(t} — заданные непрерывные функции: функция f
на отрезке [а, р], а функция К на квадрате Q = [a, />Jx[a, b\,
л— некоторое число.
Оператор А (х), определяемый формулой
A(x)^X$K(t, s)x(s)ds+f(t),	(57.25)
а
отображает полное пространство непрерывных функций С [а, Л]
(см. пример в п. 57.3) в себя. В самом деле, пусть функция х(г)
непрерывна на отрезке [п, />]. Имеем
| А (х)(г + Аг) — A (х)(г)|
(57.25)
b
<|Х| f|^(r + Ar, s)-K(t, 5)| I x(s)| ds+\f(t + At}~
a
<|X|<o(tf; I Ar I) sup |x(x)| (Z?-a) + |/(r + Ar)-/(r)|,
[«.*]
te[a, />], r + Are[a, />],	(57.26)
где	I Ar I) — модуль непрерывности функции К на квадрате
Q. В силу непрерывности функции x(s) на отрезке [а, />], она
ограничена на нем:
sup |x(s)| < + оо,	(57.27)
[о.Ь]
а в силу непрерывности функции K(t, s) на квадрате Q, она
равномерно непрерывна на нем:
|АГ|) = О.	(57.28)
Д/->0
Наконец, в силу непрерывности функции /,
lim |/(r + Ar)-/(r)| = O.	(57.29)
Д/-*0
Поэтому
lim [А (х)(г + Аг) — Л(х)(г)] = О,
Д/—*0
т. е. функция Л(х)(г) непрерывна на отрезке [а, й].
114
Таким образом, действительно, если хе С Га, />], то и
Л(х)еС[а, />].
Оценим расстояние между образами двух функций при
отображении А. Напомним, что расстояние в пространстве
С [а, 6] определяется по формуле
p(xj, л?2) — max I-Yi(^)—'v2(?)Ь xteC[a, Z?], х2еС[а, £].
[«• Л1
Пусть
c = max|A?(z, s)|,
Q
(57.30)
тогда
|Л(х1)(/)-Л(х2)0)|(5 = 5)
^|X|c(?-a)p(x1,
X\K(t, s) [xj(?)-x2(r)] dt
a
(57.30)
(57.31)
Поэтому

(57.25)
= ^K(t, s)(A(x1)(s)-A(x2)(s))ds
(57.30)
|X| c j max | A (xj) (.?) — A (x2) (s)| ds
a [u,b]	(57.31)
1,
^Ph.
a^t^b.
Аналогично,
| J"(Xi)(l)-/l"(x2)0)|^^r^p(x1, X2)
---L_^p(x1,x2), и = 1, 2, ... .
Выбрав n так, чтобы
/."("(Л и)"
и!
115
получим, что для этого п отображение А" будет сжимающим
отображением пространства С [а, Ь~] в себя, а поэтому
уравнение Вольтерра (57.24) при любом X имеет, и притом
единственное, непрерывное решение.
Упражнение 10. Привести пример такого отображения f полного
метрического пространства X в себя, у которого для любых двух точек хеХ,
yeY выполняется условие p(/(.v),/(y))<p(.v, у), но нет неподвижной точки.
57.5.	ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Полные метрические пространства благодаря наличию у них
доказанных выше свойств играют важную роль в математике.
Поэтому весьма существенным является то обстоятельство, что
всякое метрическое пространство содержится, как это будет
сказано, в полном метрическом пространстве.
Определение 8. Множество А метрического пространства X
называется плотным в пространстве X, если замыкание А
множества А совпадает с пространством X: А = X.
Например, множество рациональных чисел плотно в мно-
жестве действительных чисел.
Очевидно, что свойство множества быть плотным в прост-
ранстве, сохраняется при изометрических отображениях этого
пространства.
Определение 9. Полное метрическое пространство X* назы-
вается пополнением метрического пространства X, если X
содержится в X* и плотно в нем'.
Х^Х*. х=х*.
Например, множество действительных чисел является попол-
нением множества рациональных чисел.
Отметим, что если метрическое пространство X' изомет-
рично пространству X и X имеет пополнение X*, то и
пространство X' имеет пополнение. Чтобы убедиться в этом,
достаточно произвести отождествление соответствующих при
изометрическом отображении элементов пространств X' и X
(см. п. 57.1).
Покажем, что для всякого неполного метрического про-
странства существует его пополнение, т. е. покажем, что всякое
неполное метрическое пространство является плотным под-
множеством в некотором полном метрическом пространстве.
Теорема 4. Для всякого метрического пространства сущест-
вует его пополнение.
Доказательство.
I.	Конструкция пополнения X* заданного мет-
рического пространства X.
Две последовательности {.т,,} и {уД элементов пространства
X назовем эквивалентными, если
116
lim p (x„, y„)=0.	(57.32)
n—*00
Эквивалентность двух последовательностей {x„} и {у„}
обозначается символом {хи} ~ {у„}; она обладает следующими
свойствами:
Г. Всякая последовательность {х„} эквивалентна сама себе:
{А'„} ~ {Х„}.
2\ Если {х„} ~ {у„}, то {у„} ~ {х„}.
3°. Если {х„} ~ {у„}, а {у„} ~ {?„}, то {х„} ~ {z„}.
Нас будут интересовать только фундаментальные последо-
вательности пространства X. Их множество распадается на
непересекающиеся классы эквивалентных между собой последо-
вательностей. Обозначим эти классы через х*, у*, z*, .... а их
совокупность — через X*. Если фундаментальная последова-
тельность {х„} содержится в классе х*, то будем, как обычно,
это записывать следующим образом: {хи} <= х*.
II.	Определение расстояния р*(х*, у*) в X*.
Пусть {х„} и {уп}— две фундаментальные последователь-
ности метрического пространства X. Тогда числовая последова-
тельность р(хп, уп) также фундаментальна, т. е. удовлетворяет
условию Коши (см. п. 3.7). Действительно, для любых номеров
п и т
Р(хи> К) < р(х„, хт) + p(xm, ут) + р(уш, у„)
откуда, в силу симметрии индексов пит,
I р(х„> J’n)-p(*m, Jm)l < р(Х„ Хт) + р(л> Ут)- (57.33)
Из фундаментальности последовательностей {х„} и {у„}
следует, что для любого числа е > 0 существует такой номер лЕ,
что для всех номеров я > и,, и m > и£ выполняются неравенства
Р	р(у„, Ут)< 1-	(57.34)
Из (57.33) и (57.34) для л>лЕ и т>пг получаем
lp(-v„, >’„)-p(-vm, ym)| < е.
Следовательно, числовая последовательность {р (х„, у„)}
является фундаментальной, т.е. удовлетворяет условию Коши,
поэтому сходится.
Пусть {х„} «= х*, {у„} «= у*. Положим, по определению,
def
Р*(х*, у*) = limp(x„, у„).	(57.35)
п—»х
В силу доказанного, указанный предел существует. Покажем,
что так определенная функция р*(х*, у*) не зависит от выбора
117
фундаментальных последовательностей {х„} «= х* и {у„} е= у* и
удовлетворяет аксиомам расстояния.
Пусть {x„} е X*, {х„} «= х*. {у„} е у*, {у„} <= у*. Тогда
рХ.. лНрХ- Х) + р(х„, уи) + р(у„, К)
и потому
I р(х„, у„) - р(хп, у„) I р(х„, х„) + р(у„, у„).
В силу эквивалентности последовательностей {хп}, {хи} и
соответственно {у„}, {у„}, получим (см. (57.5))
lim р (х„, х„) = lim (у„, у„) = О
п—► сс	п—► со
и, следовательно,
lim р(х„, у„) = lim р(х„, у„).
и—►оо	п—>ос
III.	Проверка аксиом расстояния для р*(х*, у*).
Пусть {х„} е X*, {у„} е у*, {zn} ez z*.
Прежде всего так как р(х„, у„) О, п = 1, 2, ..., то, перейдя к
пределу в этом неравенстве при и -> оо, согласно определению
(57.35), получим р*(х*, у*) 0.
Если р* (х*, у*) = 0, то lim (х„, у„) = 0, т. е. последователь-
И—►ОО
ности {х„} и {у„} эквивалентны, что означает совпадение
элементов х* и у*:х*= у*. Из равенства р(х„, у„) = р(у„, хп),
перейдя к пределу при п-»оо, получим р*(х*, у*) = р*(у*, х*), а
из неравенства р(х„, 1„)<р(хя, z„) + p(z„, у„) получим
р*(х* у*)^р*(х*, z*)+p*(z*, у*).
Итак, X* является метрическим пространством.
IV.	Построение подпространства пространства
X*, изометричного пространству X.
Пусть х е X. Стационарная последовательность х„ = х,
п = 1, 2, ..., очевидно, фундаментальная. Поставим в соответ-
ствие каждому х е У точку х* «= X* такую, что {х} <= х*. Если
при указанном соответствии точке х соответствует точка х*, а
точке у — точка у*, то, очевидно, при х#у будем иметь
х* у*, причем р*(х*, у*) = lim р(х, у) = р(х, у), т. е. указанное
п—»ос
соответствие осуществляет взаимно однозначное изометричес-
кое соответствие между пространством X и некоторым под-
множеством X пространства X*.
Точку х* пространства X*, соответствующую при рассмат-
риваемом соответствии точке х е X, мы будем для простоты
118
обозначать также через х, а пространство X’ — через X. Можно
считать, что мы просто отождествили соответствующие точки
пространств X и X' (см. замечание после определения 2). В этих
обозначениях имеет изометрическое включение
Х^Х*.
V.	Доказательство плотности X в X*.
Покажем, что каждая точка х* пространства X* является
точкой прикосновения множества X. Для этого достаточно
показать, что для любой точки х* «= X* существует последова-
тельность х„ «= X, п = 1, 2, ..., сходящаяся к х*.
Пусть х* е= X* и {хп} е= х*, х„ е X. Точку пространства X*,
содержащую фундаментальную последовательность, все члены
которой равны одной и той же точке х„, будем обозначать,
согласно сделанному выше соглашению, также через х„.
Докажем, что последовательность {х„}, х„ е X*, сходится к
точке х* е X*.
В формуле (57.35) расстояния р*(х*, х„) возьмем для точки
х„ <= X* стационарную последовательность {х„, х„, ..., х„, ...}, а
для точки X* — данную последовательность {х„}, в которой для
удобства индекс п заменим на т: {хш} е х*. Тогда
р*(х*, х„) = lim p(xm, x„).
m—*оо
Выберем произвольно е > 0. Из фундаментальности после-
довательности {х„} следует, что существует такой номер нЕ, что
для всех номеров п > пс и т > пг выполняется неравенство
р(*т> Х»)<|
Перейдя в этом неравенстве к пределу при т-»оо, получим
р*(х*, х„)^|<е,
т. е. lim р* (х*. х„)= 0, что означает, что х* является точкой
и—*оо
прикосновения множества X. Итак, X = X*.
VI.	Доказательство полноты пространства X*.
Пусть {х*}—фундаментальная последовательность точек
пространства X*, х„ «= X и р*(х*, х„) <-, п = 1, 2, ... . Такие
точки х„ существуют в силу плотности X в X*.
Последовательность {х„} фундаментальная. Действительно,
замечая, что
Р* (х„, х„,)^р*(х„. х*) + р*(х*, х*) + р*(х*, хт) <
119
выберем номер пс так, чтобы для всех номеров п > пг и т > ns
выполнялись неравенства
Тогда для указанных номеров будем иметь
рК- *ш) = р*(х„, хи)<| + | + | = е, (57.36)
т. е. последовательность {х„} — фундаментальная.
Обозначим через х* класс эквивалентных последовательнос-
тей, которому принадлежит последовательность {х„}. Очевидно,
Но из (57.36) при т-»оо и п>п!. получим
р*(х*, х„)= lim р(хш, х„)^е.
и—ос
Следовательно,
lim р*(х*, хп) = 0,
и—>со
поэтому и
limp*(x*, х*) = 0.
п—»00
Таким образом, мы доказали, что данная фундаментальная
последовательность {х*} сходится в X*. Полнота X* дока-
зана. □
Замечание. В применении к пространству рациональных
чисел X—Q доказательство теоремы 1 дает метод построения
множества X* = R действительных чисел исходя из множества
рациональных чисел.
Упражнение 11. Доказать, что с точностью до изометрических про-
странств пополнение метрического пространства единственно.
57.6.	КОМПАКТЫ
По аналогии со случаем евклидовых пространств (см.
определение 29 в п. 18.3) дадим следующее определение.
Определение 10. Множество метрического пространства
называется компактом, если из любой последовательности его
120
точек можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к
его точке.
Ясно, что компакт является замкнутым множеством в
любом содержащем его метрическом пространстве Действи-
тельно, если ЕсХ, X—метрическое пространство, L компакт
и х— его точка прикосновения, то существует такая последова-
тельность хп^Е, л = 1, 2, ..., что limx„ = x. Согласно определе-
И~*00
нию компакта, из этой последовательности можно выделить
сходящуюся к некоторой точке компакта Е подпоследователь-
ность. Так как этой точкой может являться только х, то х^Е.
Это и означает замкнутость компакта Е в пространстве X.
Очевидно также, что всякое замкнутое подмножество ком-
пакта является компактом.
Упражнение 12. Доказать, что два непустых непересекающихся замкну-
тых множества метрического пространства, из которых хотя бы одно является
компактом, находятся на положительном расстоянии (определите понятие
расстояния между двумя множествами метрического пространства).
Определение 11. Пусть Е—подмножество метрического
пространства X и е>0. Множество АсгХ называется &-сетью
для множества Е, если для любой точки х^Е существует
такая точка у^А, что
р(х, у) <е.
Определение 12. Множество Е метрического пространства X
называется вполне ограниченным, если для него при любом е>0 в
пространстве X существует конечная г-сеть.
Упражнение 13. Доказать, что если множество вполне ограничено в
некотором метрическом пространстве, то для этого множества при любом е>0
существует конечная е-сеть, состоящая только из его точек.
Легко убедиться, что всякое вполне ограниченное множество
является ограниченным. Действительно, если Е — вполне огра-
ниченное множество, то для него, например при с=1, суще-
ствует конечная е-сеть at, а2, , ап. Поэтому, каковы бы ни
были точки х,е Е и х2е£, для них существуют такие а„ и ап ,
что	1	2
р(хх, аП1)<1, р(х2, л„2)<1.
Следовательно,
р(*> У)<р(-У лП1) + р(яП1> «П2)+р(ал_, х2)<2+ max р(Я;, л,.)
z	i, j = 1, 2, и
и, таким образом, диаметр diam(E) множества Е не превосхо-
дит конечной величины 2+ max р(а-, а,).
2, ...,п
121
Обратное неверно: существуют ограниченные множества, не
являющиеся вполне ограниченными.
Пример 1. Рассмотрим множество Е точек е„ = (0, 0, О, 1,
О, ...) гильбертова пространства 12 (см. пример 6 в п. 57.1), т. е.
точек (хь ..., х„, ...), £ xj; < + оо, у которых п-я координата равна
единице, а все остальные равны нулю. Очевидно,
р(е„, ет) = \/2, п^т, п, т = \, 2, ...,	(57.37)
и, таким образом, diam(£) = 5/2 и, следовательно, множество Е
ограничено.
Вместе с тем из выполнения условия (57.37) следует, что для
множества Е нет конечной е-сети ни при каком а:
/2
0<e<Y-	(57.38)
В самом деле, если бы нашлась такая е-сеть: А = ^1, «2> •••< akh
го для каждого еп, п—\, 2, ..., нашелся бы такой элемент а,
этой е-сети, что
Р(е„,
Так как число элементов е-сети А конечно, а число элементов мно-
жества Е бесконечно, то найдется номер i0, для которого суще-
ствуют по крайней мере два таких различных элемента еп и ет, что
p(*n, %)<е, Р(ет, %)<£•
Поэтому
р(е„, em)<p(e„,	) + р(а,. em)<2e < ^2,
0	0	(57.38)
а это противоречит равенству (57.37).
Отметим, что из элементов множества Е={е„} нельзя
составить никакой фундаментальной последовательности, кроме
стационарных с некоторого номера. Это сразу следует из
выполнения равенства (57.37). Поэтому последовательность {е„}
не содержит сходящихся подпоследовательностей (так как
всякая сходящаяся последовательность фундаментальная) и,
следовательно, множество Е не является компактом.
Вместе с тем множество Е представляет собой замкнутое
множество: если бы нашлась какая-либо точка прикосновения х
множества Е, не содержащаяся в нем, то нашлась бы
последовательность, состоящая из различных точек множества
Е={е„} и сходящаяся к точке х. Эта последовательность была
бы фундаментальной, что противоречит сказанному выше.
Итак, множество Е={еп} является ограниченным замкнутым
множеством, которое не есть компакт. Этот пример показывает,
122
что теорема о том, что в конечномерном пространстве /?"
свойство множества быть компактом равносильно ограничен-
ности и замкнутости множества (см. теорему 3 в п. 18.3), не
имеет прямого аналога в случае произвольных метрических
пространств. Кроме того, этот пример показывает, что гиль-
бертово пространство /2 не изометрично никакому конечно-
мерному пространству, так как в последнем из ограниченности
и замкнутости множества следует, что оно является компактом.
Примером вполне ограниченных множеств являются все
конечные подмножества метрических пространств, а также все
ограниченные множества в конечномерных евклидовых про-
странствах.
Упражнение 14. Доказать, что всякое ограниченное в Rn множество
является и вполне ограниченным.
Нетривиальным примером вполне ограниченного множества
в бесконечномерном пространстве является так называемый
гильбертов кирпич.
Пример 2. Множество QJ точек х = (х1, ..., хп, ...) гильбертова
пространства 12, координаты которых удовлетворяют условию
н=1, 2, ...,	(57.39)
п
называется гильбертовым кирпичом.
Иногда гильбертовым кирпичом называют множество таких
точек х = (х15 ..., х,„ ...)е/2, для координат которых выпол-
няются неравенства |х„|^~, п=1, 2, ..., поскольку у обычного
кирпича длина в два раза больше ширины, а ширина в два раза
больше толщины. Мы будем придерживаться условия (57.39).
Докажем, что гильбертов кирпич Q' является вполне
ограниченным множеством. Каково бы ни было е>0, выберем п
так, чтобы
(57.40)
и обозначим через Qn «-мерный параллелепипед, являющийся
проекцией гильбертова кирпича g® в Rn, иначе говоря, Q” — это
множество тех точек Qx, у которых все координаты начиная с
(лгН-1)-й равны нулю: х = (х15 ..., х„, ..., 0,...). Множество Qn
ограничено в /?" и поэтому у него имеется конечная |-сеть:
A = {at, а2, ak}. Выберем произвольно точку х = (хр ..., х„, ...)е
eg® и обозначим через х(п) ее проекцию в пространство Rn:
123
x'"’^,	х„, 0, О,	(57.41)
Так как x(n)<^Qn, то для нее существует такая точка |-сети
А, что
р(х(и),	(57.42)
а тогда
р(х, а^ р(х, х(п)) + р(х(п), а) <
(57.41)
_______ (5 7.42)
<J х ^+| < J i л+| < е,
Vm = n+1	~ (57.39) V m-"+1 т 2 (57.40)
т. е. множество А является Е-сетью и для гильбертова кирпича.
Нетрудно убедиться, что из того, что гильбертов кир-
пич задается нестрогими неравенствами (57.39), следует,
что он является замкнутым множеством. Таким образом,
он представляет собой замкнутое вполне ограниченное мно-
жество.
Лемма 5. Множество вполне ограничено тогда и только
тогда, когда каждая последовательность этого множества
содержит фундаментальную подпоследовательность.
Доказательство. 1) Пусть Е—вполне ограниченное
подмножество метрического пространства X и задана последо-
вательность хп <= Е, п= 1, 2, .... Зафиксируем произвольно е>0;
для него существует j-сеть A = {at, ..., ak}, ар^Х, z'=l, 2, ..., k,
множества Е. Согласно определению | -сети, имеет место
включение
Ec:\JU{ait |).
Поэтому найдется такая точка д;, в |-окрестности которой
содержится бесконечно много членов последовательности {х„},
тогда существует и подпоследовательность х„ е U(at, |), т = 1,
2, ... ; для нее
х„ ,	ад + р (а^	х„ )	< I	+ I	= е,
1 "mi	г \ 1	пт2' 2	2
р (х„ , хп )	р (
х пц	"m2'	'
124
т. е. диаметр множества значений последовательности не
превышает е.
Возьмем теперь е = 1 и из заданной последовательности
выделим подпоследовательность
х1Р х12, .... х1ш...	(57.43)
диаметр множества значений которой не превышает 1 (здесь
х1ш = х„ в смысле предыдущей записи). Из последовательности
(57.43) выделим подпоследовательность
х21, х22, ..., х2„„ ...,
1 гг
диаметр множества значении которой нн превышает -. Про-
должая этот процесс, получим последовательность
xpi, хр2, ..., хрт, ..., р=1, 2, ...,
диаметр множества значений которой не превышает и т. д.
р
Составим диагональную последовательность
ХП' Х22> •••> Xm»r ••• •	(57.44)
В силу своего построения, она является подпоследователь-
ностью каждой из построенных выше последовательностей.
Поэтому, каково бы ни было е > 0, выбрав т0 так, чтобы
1 -
— <е, получим, что для любых тх>т0 и т2>т0 выполняется
»70
неравенство
'11	2 2х /и0
т. е. последовательность (57.44) фундаментальная.
2) Пусть множество Е метрического пространства X не
вполне ограничено. Это означает, что существует такое е>0,
что для множества Е в пространстве X не существует конечной
£-сети. Выберем произвольно точку xY е Е. По предположению,
она не образует для множества Е е-сети. Поэтому существует
такая точка х2 е Е, что р(хр х2)> е. Пусть в множестве Е уже
выбраны такие точки x1F х2, ..., х„, что р(х„ xj^e,
j = l, 2, ..., п. Так как множество этих точек не является г-сетью
для множества Е, то в нем существует такая точка (обозначим
ее х„+1), что р(х;, х„+1)^е, /=1, 2, ..., п. Продолжая этот
процесс, получим последовательность таких точек х„ е Е, п= 1,
2, ..., что р(х„, хт)> с, п^т, п, т=\, 2, .... Ясно, что эта
последовательность не содержит фундаментальной подпоследо-
вательности. □
Лемма 6. Полное вполне ограниченное подмножество ме-
трического пространства является компактом.
125
Доказательство. Если подмножество Е метрического
пространства вполне ограничено и полно (будучи подмножест-
вом метрического пространства, оно само является метричес-
ким пространством, к которому здесь и применяется понятие
полноты, см. определение 5 в п. 57.2), то из всякой последова-
тельности его точек, в силу его вполне ограниченности, можно
выделить фундаментальную подпоследовательность (лемма 5),
а всякая его фундаментальная последовательность, в силу его
полноты, сходится к некоторой его точке, т. е. множество Е
является компактом. □
Теорема 5. Метрическое пространство является компак-
том тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и полно.
Следствие. Компакт является ограниченным множеством
в любом содержащем его метрическом пространстве.
Доказательство. Если метрическое пространство X
является компактом, то, какова бы ни была фундаментальная
последовательность {х„} его точек, из нее, как и вообще из
всякой последовательности компакта, можно выделить сходя-
щуюся подпоследовательность. К пределу этой подпоследова-
тельности будет сходиться и вся последовательность {%„} в силу
своей фундаментальности. Тем самым доказано, что в про-
странстве X сходится любая фундаментальная последователь-
ность, т. е. что оно является полным метрическим простран-
ством.
Далее, так как всякая последовательность точек компакта Xсо-
держит сходящуюся, а следовательно, и фундаментальную подпо-
следовательность, то, по лемме 5, компакт X вполне ограничен.
Обратное утверждение является частным случаем леммы 6,
когда подмножество метрического пространства совпадает со
всем пространством.
Следствие вытекает из того, что всякое вполне ограниченное
множество является ограниченным.
Теорема 6. Для того чтобы подмножество полного
метрического пространства было компактом, необходимо и
достаточно, чтобы оно было замкнутым и вполне ограниченным.
Доказательство. Действительно, замкнутое подмноже-
ство полного пространства также является полным метриче-
ским пространством. Поэтому достаточность условия замк-
нутости и вполне ограниченности подмножества полного
метрического пространства для того, чтобы оно являлось
компактом, сразу следует из теоремы 5.
Наоборот, если подмножество полного метрического про-
странства является компактом, то оно замкнуто в этом
пространстве, так как (это было показано выше, сразу после
определения 10) оно замкнуто в любом содержащем его
метрическом пространстве. Кроме того, из той же теоремы 5
следует, что оно и вполне ограничено. □
126
Теорема 6 является обобщением теоремы 3 из п. 18.3: в
критерии компактности подмножества произвольного полного
метрического условие ограниченности этого подмножества,
имевшее место при X = R", заменяется условием вполне
ограниченности.
Пример 3. Гильбертов кирпич Q’ (см. пример 2) является
компактом. Действительно, гильбертово пространство /2 явля-
ется полным (см. пример в п. 57.2), а выше было показано, что
множество Q00 вполне ограничено и замкнуто (см. пример 2),
поэтому то, что оно является компактом, сразу следует из
теоремы 6.
Определение 13. Метрическое пространство называется
сепарабельным, если оно содержит счетное плотное в себе
множество.
Теорема 7. Компакт является сепарабельным метрическим
пространством.
Доказательство. Пусть Апс^Х является конечной --сетью
п
компакта X, и = 1, 2, ..., и
00
Л=иЛ-	(57.45)
п= 1
Тогда множество А как счетная сумма конечных множеств
является счетным множеством. Очевидно А представляет собой и
всюду плотное в X множество. В самом деле, какова бы ни была
точка х е X и число & > 0, выбрав п так, чтобы - < а, и точку а е Ап
так, чтобы р(х, а)<- (возможность такого выбора следует из
определения --сети), получим р(х, а)<г, где а^А. □
Если Е — подмножество некоторого множества X, то
всякая система множеств Еа<^ X, а е 91 (91 — некоторое мно-
жество индексов а) такая, что
U £а>
•;е'Л
называется покрытием множества Е.
Если покрытие {£а} множества X состоит из конечно-
го, соответственно счетного, множества множеств Еа, то
оно называется конечным, соответственно счетным, по-
крытием.
Лемма 7. Из всякого покрытия сепарабельного метричес-
кого пространства открытыми множествами можно выделить
счетное покрытие.
127
Доказательство. Пусть {GJ— покрытие сепарабельного
метрического пространства X открытыми множествами Ga,
осе 91, {ап} — счетное всюду плотное в пространстве X множе-
ство и {rm} — каким-либо образом занумерованное множество
всех рациональных чисел. Так как {Ga}— покрытие простран-
ства X, то для любой точки хеХ существует содержащее ее
множество Gae{Gj:xeGa. Из открытости множества Ga сле-
дует существование такого 8>0, что
U(x, 8)<=Ga.	(57.46)
В силу плотности множества {ап} в пространстве X, найдется
такое п, что
р(х, а„)<~.
Выберем какое-либо рациональное число гт так, чтобы
р(х, я„)<гт<|,	(57.47)
тогда
U(an, rm)c:Gx.
В самом деле, если
y^U(an, гт),	(57.48)
то
р(у,	л„)+р(л„, л) < гт + гт < 8,
(57.47)	(57.47)
(57.48)
т. е.
y^U(x, 8) с Ga.
(47.46)
Таким образом, каждой точке х^Х и каждому такому
множеству Gae{Ga}, что х^Сл, соответствует пара натуральных
чисел [т, п), для которой
х е U(a„, гт]сб,.	(57.49)
(57.47)
Выберем для каждой из указанных окрестностей U (а„, гт) по
одному содержащему ее множеству Ga и обозначим его Gmn
(среди множеств Gmn с разными индексами могут оказаться
множества Ga с одинаковыми индексами, в таком случае
выберем одно из них). Система {Gm„} счетная, является
подсистемой данной системы {Ga} и, в силу соотношения
(57.49), образует покрытие пространства X. □
Лемма 8. В компакте любая последовательность непустых
замкнутых множеств, последовательно вложенных друг в друга,
имеет непустое пересечение.
128
Доказательство. Пусть X—компакт и {F„} — такая
последовательность его замкнутых множеств, что
F^F2^...^Fn^...	(57.50)
Выберем в каждом Г„ по точке х„:
x„eF„.	(57.51)
Из того, что X— компакт, следует, что последовательность
{%„} содержит сходящуюся подпоследовательность
lim х —х.
к--, к
Для любого к=\, 2, ..., в силу условий (57.50) и (57.51), все
члены последовательности {х х , •••} принадлежат множе-
ству а так как эта последовательность сходится к х и
F„k — замкнутое множество, то x^F„k при любом п, т. е.
к = 1	*
Но, в силу условия (57.50), имеет место равенство
ЛА- ОД
к= 1 к п= 1
и, следовательно, хе Q F„. О
и - 1
Лемма 9. Пусть X—метрическое пространство и
п = 1, 2, ...,— его счетное покрытие открытыми множествами:
Х= (J Gn.	(57.52)
п- 1
Положим
def „
G*~U<A,	(57.53)
Fn = X\G*,	(57.54)
тогда {G*} будет открытым покрытием пространства X:
Х= Q G*,	(57.55)
И = 1
множества G* будут последовательно содержаться друг в
друге:
G*^G* g ... <z G*c. G*+1 с ... ,	(57.56)
/•„ будут замкнутыми множествами, последовательно вложен-
ными друг в друга:
Д1оД2о...о£поДп+1о...,	(57.57)
129
причем их пересечение пусто:
ПГ„ = 0.	(57.58)
п= 1
Следствие 1. Если в метрическом пространстве пересе-
чение любой последовательности непустых замкнутых мно-
жеств, последовательно вложенных друг в друга, не пусто, то
из любого счетного покрытия этого пространства открытыми
множествами можно выделить конечное покрытие.
Следствие 2. Если в сепарабельном метрическом про-
странстве пересечение любой последовательности непустых
замкнутых множеств, последовательно вложенных друг в друга,
не пусто, то из любого покрытия этого пространства
открытыми множествами можно выделить конечное покрытие.
Доказательство. Множества G* (см. (57.53)) являются
открытыми множествами, так как они представляют собой
сумму конечной совокупности открытых множеств Gr, G2, ...
..., Gn. Поэтому из формулы (57.54) следует, что множества Fn
являются замкнутыми. Из формул (57.53) следуют также
соотношение
GC	GC П	00
UG* = и JGS=UG„ = У
п=1	(57.53) n=l t = l п=1	(57.52)
(это означает, что система {GJ} образует покрытие простран-
ства X) и включения (57.56). Из определения множеств Fn (см.
(57.54)) и вложений (57.56) следуют включения (57.57). Наконец,
Г}Еп = П(х\с*)=х\ и 6* = ^U=0- □
п = 1	(57.54) В=1	л = 1	(57.55)
Доказательство следствия 1. Если {G„}—счетное
покрытие пространства X открытыми множествами и пересече-
ние любой последовательности непустых замкнутых множеств,
последовательно вложенных друг в друга, не пусто, то
равенство (57.58) возможно только в том случае, если суще-
ствует такой номер п = пд, что множество Fng является пустым:
Е„о = 0. В силу формул (57.54) это означает, что X=G*, т. е.
что	0
п
х= (J Gk-
k= 1
Таким образом, любое счетное покрытие {G„} пространства
X содержит конечное {G1( G2, ..., G„o). □
Доказательство следствия 2. Если метрическое про-
странство сепарабельно, то из любого его покрытия открытыми
множествами можно, согласно лемме 7, выделить счетное
покрытие, а из него по следствию 1 — конечное. □
130
Теорема 8. Для того чтобы метрическое пространство
было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого
его покрытия открытыми множествами можно было выделить
конечное покрытие.
Доказательство. Необходимость сразу следует из тео-
ремы 7, леммы 8 и следствия 2 леммы 9. Докажем достаточ-
ность.
Пусть из любого покрытия метрического пространства X
открытыми множествами можно выделить конечное покрытие.
Допустим, что X не является компактом, т. е. что существует
последовательность хпеХ, п=1, 2, ..., из которой нельзя
выделить сходящуюся подпоследовательность. Следовательно,
какова бы ни была точка х^Х. она не является частичным
пределом последовательности {.vj. Поэтому у каждой точки
хеХ найдется окрестность (обозначим ее через Gx), содержа-
щая лишь конечное множество элементов последовательности
Таким образом, каждая точка хе\' принадлежит соответ-
ствующему открытому множеству Gx, а это означает, что
система всех множеств Gx образует покрытие пространства X:
IJG, = T
№ Л'
Согласно предположению, из этого покрытия можно выде-
лить конечное покрытие пространства X. Пусть его образуют
множества
GX1, GX2, .... GXn.	(57.59)
Каждое множество этой системы содержит лишь конечное
множество членов последовательности {х„}. Следовательно, и
все множества этой системы содержат только конечное множе-
ство членов рассматриваемой последовательности. Это, однако,
невозможно, так как, покрывая пространство X, множества
(57.59) должны содержать все элементы последовательности
которых бесконечно много. Полученное противоречие
доказывает, что множество X является компактом. □
Заметим, что так как для всякого подмножества X метриче-
ского пространства Y множество G<^X открыто в X тогда и
только тогда, когда оно является пересечением с X открытого в
У множества, то в лемме 7 и в теореме 8 рассматриваемые там
метрические пространства X могут являться подпространствами
других метрических пространств Y и элементы покрытий {Ga}
пространств X могут быть открытыми в У (а не в X)
множествами.
Теорема 9. Для того чтобы сепарабельное метрическое
пространство было компактом, необходимо и достаточно,
чтобы любая последовательность его непустых замкнутых
131
множеств, последовательно вложенных друг в друга, имела
непустое пересечение.
Доказательство. Необходимость выполнения условий,
сформулированных в теореме, для компактов составляет со-
держание леммы 8, а достаточность вытекает из следствия 2
леммы 9 и теоремы 8. □
57.7	НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ
Теорема 10. Непрерывный образ компакта является ком-
пактом.
Следствие. При непрерывном отображении компакта
образ каждого его замкнутого подмножества является замк-
нутым множеством.
Доказательство. Пусть f:X->Y—непрерывное отобра-
жение компакта X в метрическое пространство Y и {Va} — по-
крытие образа f(X) пространства X открытыми в Y множест-
вами Ид, ае$1. Тогда для любого множество =
согласно лемме 3, открыто, а так как {ИД — покрытие
множества ф(Х), то {Ua} является покрытием компакта X. В
силу теоремы 8, из покрытия {С/Д можно выделить конечное
покрытие С\, U2, ..., Un, а тогда множества Yi=f(Ul),
И2 =f(U2), ..., Vn=f(Un) будут образовывать конечное покрытие
множества f(X). Таким образом, из любого покрытия множе-
ства f(X) открытыми множествами можно выделить конечное
покрытие, а это означает (см. теорему 8), что множество f(X)
является компактом. □
Следствие вытекает из того, что всякое замкнутое подмно-
жество компакта является компактом и из того, что компакт
всегда является замкнутым множеством.
Теорема 11. Непрерывное отображение компакта равно-
мерно непрерывно.
Эта теорема доказывается дословно так же, как равномерная
непрерывность непрерывного отображения компакта, лежащего
в конечномерном пространстве (см. лемму 4 в п. 41.4).
Аналогично конечномерному случаю взаимно однозначное
непрерывное отображение одного метрического пространства на
другое называется гомеоморфизмом (см. определение 5 в
п. 41.4), если обратное отображение также непрерывно.
Теорема 12. Взаимно однозначное и непрерывное отобра-
жение компакта является гомеоморфизмом.
Доказательство. Если f:X->Y—непрерывное взаимно
однозначное отображение компакта X в метрическое простран-
ство Y, то для любого замкнутого множества fcl его образ,
f(F), т. е. прообраз F при обратном отображении /-1, является
компактом (теорема 10) и, следовательно, замкнутым множе-
ством. Таким образом, при обратном отображении f~l
132
прообраз каждого замкнутого множества есть замкнутое
множество, а поэтому, согласно лемме 4, отображение /-1
непрерывно. □
Теорема 13. Если f:X->R — непрерывная действительно-
значная функция, определенная на компакте X, то она ограни-
чена на X и принимает на нем наибольшее и наименьшее
значения.
Доказательство. Действительно, образом компакта X
при отображении /является компакт f{X), лежащий на числовой
оси. Как и всякий компакт, он является, во-первых, ограничен-
ным множеством, а во-вторых, замкнутым. В силу последнего,
его верхняя и нижние грани, будучи его точками прикосновения,
принадлежат ему. □
57.8.	СВЯЗНЫЕ МНОЖЕСТВА
Введем теперь понятие связности в метрических простран-
ствах.
Определение 14. Метрическое пространство называется
связным, если его нельзя представить в виде объединения двух
непустых непересекающихся замкнутых множеств.
Если пространство X несвязно, т. е.	где А{\В=0,
А^0, В^0, А и В — замкнутые множества, то так как А = X\ В и
В — Х\А, то А и В одновременно и открытые множества.
Примером связного множества является любой промежуток
конечный или бесконечный числовой оси. Примером несвязного
множества является объединение двух непересекающихся отрез-
ков.
Упражнения. 15. Доказать, что всякое линейно связное множество
является связным.
16.	Доказать, что объединение двух связных пересекающихся множеств
является связным множеством.
17.	Доказать, что еСли множество Е метрического пространства связно и
ЕсЕ^Е, то множество Е. также связно.
18.	Связный непустой компакт называется континуумом. Доказать, что
пересечение последовательности континуумов, последовательно вложенных друг
в друга, является континуумом.
Теорема 14. Непрерывный образ связного множества свя-
зен.
Доказательство. Пусть /—непрерывное отображение
связного метрического пространства X на метрическое про-
странство У и пусть Y=A\JB, где А и В — непересекающиеся
замкнутые множества. Тогда Т=/-1 (/l)(J/~1 (В), где /-1(Д) и
/“1 (В) также непересекающиеся замкнутые множества (см. лем-
му 4). Так как X—связное множество, то это возможно только
в том случае, когда одно из множеств/-1 (А) или/-1 (В) пусто,
а тогда пусто и одно из множеств А или В. Это и означает
связность пространства У. □
133
57.9.	КРИТЕРИЙ АРЦЕЛА КОМПАКТНОСТИ СИСТЕМ
ФУНКЦИЙ
Если замыкание множества метрического пространства
является компактом, то само множество называется предком-
пактным.
Предкомпактность множества означает, что из всякой его
последовательности точек можно выделить сходящуюся подпос-
ледовательность, но, быть может, не к точке самого множества.
Очевидно, что, в силу теоремы 5, для того чтобы множество,
лежащее в полном метрическом пространстве, было пред-
компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне
ограничено.
Задача о выяснении предкомпактности того или иного
множества, лежащего в некотором заданном метрическом
пространстве, часто встречается в математическом анализе.
Поэтому большой интерес представляют критерии компактно-
сти или предкомпактности множеств для различных конкретных
метрических пространств. Рассмотрим вопрос о предкомпакт-
ности множеств для одного из важнейших пространств С [а, Ь],
состоящего из непрерывных на отрезке [я, 6] функций, для
которых введена метрика
р(/; g) = max |/(A-)-g(.v)|, /еС[а, />], g^C[a, />]
[a, t>]
(57.60)
(см. пример 4 в п. 57.1 и пример в п. 57.3).
Определение 15. Семейство S={f} функций f, принадлежа-
щих пространству С [а, 6], называется равномерно ограничен-
ным, если существует такая постоянная с>0, что для всех feS
и всех	6] выполняется неравенство
|/(х)Кс	(57.61)
Согласно определению (57.60), это равносильно тому, что
р(/, ОК с, f&S,
что, в свою очередь, равносильно тому, что множество S
ограничено в метрическом пространстве С [а, 6].
Определение 16. Семейство S={f} функций f^S[a, 6] назы-
вается равностепенно непрерывным, если для каждого е>0
существует такое 5>0, что для всех f<^S и всех .v,e[a, 6],
х2е[а, Ь\, для которых |л*2 —-Vil<S, выполняется неравенство
1./К2)-/К1)|<е.	(57.62)
Теорема 15 (теорема Арцела*’). Для того чтобы семей-
♦’ Ч. Арцела (1847- 1912)—итальянский математик.
134
ство S = {f} непрерывных на отрезке [а, 61 функций было
предкомпактно в пространстве С [а, 6], необходимо и достаточ-
но, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и
равностепенно непрерывным.
Доказательство. Необходимость. Если множество
ScC[a, 6] предкомпактно, то его замыкание S' является
компактом, а следовательно, ограниченным множеством (см.
следствие теоремы 5). Поэтому ограниченным множеством
является и само множество S, иначе говоря, семейство S
равномерно ограничено.
Кроме того, так как замыкание S множества S является
компактом, то оно вполне ограничено; следовательно, вполне
ограничено и само множество S, а это означает, что для любого
е>0 в пространстве С [а, 6] для него существует конечная
е
- -сеть,
з
Пусть ее образуют функции
Л (х), ..., ф„(х).	(57.63)
Каждая из них, будучи непрерывной на отрезке [a, Z>], является
на нем и равномерно непрерывной, и так как функций (57.63)
лишь конечное множество, то существует такое 8>0, что для
всех хе [a, 6], х'е[а, 6], для которых |х'—х|<8, и всех
i=l, 2, ..., п выполняется неравенство
1Л(х')-/г(х)|<|.	(57.64)
В силу определения |-сети, для любой функции feS
существует такая функция (х), что
Р (/. f0) (57=60) max |/(х)-fio(х) | <|.	(57.65)
Поэтому если |х'—х|<8, то для любой функции feS имеем
I Дх') ~f(x) I I/(V)-f0 (X') I + |/i0 (X') -f0 (X) I + L4 (X) -/(x) I <
?	1
<2max 1Лх)-Л0(х)| + |/;. (x')-/f (x)| < -e+-e = e.
[a. b]	0	(5 7.64) 3	3
(57.65)
Это и означает, что семейство S равностепенно непрерывно.
Достаточность. Пусть семейство функций S равномерно
ограничено и равностепенно непрерывно. Пространство С [а, Ь]
полное, поэтому, для того, чтобы доказать, что семейство S
135
предкомпактно, достаточно показать, что оно вполне ограни-
чено, ' т. е. что для множества S в пространстве С [а, Ь\ при
любом е>0 существует конечная е-сеть. Построим ее. Пусть все
функции f<=S удовлетворяют условию  (57.61), и для произ-
вольно фиксированного е>0 выбрано 8>0 так, что для любых
точек хе[в, Ь], х'е[а, />], для которых |х' —х|<8, выполняется
неравенство
(57.66)
|/(х')-/(х)|<|.
Возьмем какое-либо разбиение {х,}-=о отрезка [а, 6] мел-
кости, меньшей 8, и разбиение {yJjZo отрезка [ — с, с]
« £
мелкости, меньшей -:
a-xQ <хх <... <х;<... <xn = b, X; — х,_1<8, /=1, 2, ..., и:
- с =	<...<yJ,<...<ут = с,	7=1, 2, ..., т.
(57.67)
Через точки (х,, 0), / = 0, I, ..., п, проведем прямые, парал-
лельные оси Оу, а через точки (0, jj), у = 0, 1, ..., т,— прямые,
параллельные оси Ох. Тогда получится разбиение т прямоу-
гольника {(х, у): а^х^Ь, — с^у^с], в котором лежат графики
всех функций семейства S, на прямоугольники с длинами
сторон, параллельными оси Ох, меньшими 8, и параллельными
Рассмотрим множество А всех непрерывных на отрезке
[а, Ь] функций, графиками которых являются ломаные, верши-
ны которых лежат в вершинах (х,-, jj) прямоугольников
разбиения т. Множество А, очевидно, конечное, так как конеч-
ным является множество всех вершин (х;, г;), 1 = 0, 1, ..., и,
7 = 0, 1, ..., т.
Докажем, что множество А является е-сетью для мно-
жества s.
Выберем произвольно функцию f^S. Для этой функции и
для каждого х,, 1 = 0, 1, ..., п, обозначим через (х,, г;.)
ближайшую к точке (х;, ,/'(х;)) точку вида (х;, у,), лежащую на
прямой х = х,; тогда
|./(х;)-д.|<|.	(57.68)
Сопоставим функции / непрерывную функцию f(l^=A,
графиком которой является ломаная, проходящая через вер-
шины (х0, г/о), (хп гЛ), ,..(х;, уЛ), ... (х„, yjn), т. е. (рис. 256)
136
(57.69)
Оценим разность значений функции /0 для соседних вершин:
i./o(+)-/o(+-i )1^
!./о (-V.)-/(-*,) I + 1/(т) -/(Л-, -01 + |/(+-	(+• - 1)1	<
(57.66), (57.68),
(57.69)
<| + | + | = |С-	(57.70)
В силу линейности
/0 на отрезке [х, _ t,
любой точки хе[,Г)-1,
ет место неравенство
функции
х<], для
х;] име-
~/о(+-1)| < |е.(57.71)
(57.70) ->
Теперь оценим расстояние
р (/', /0) между функциями /
и /0 в пространстве С Гц, Ь[.
Для каждой точки хефа, о]
найдется содержащий ее отре-
зок [х;_ 1, . Ф
Рис. 256
X;], а для каждой точки этого отрезка имеем
l/(.v) -./о (-V) I < I / ( v)	-1)1 + \f(Xi - 1) -f0 (х, -01 +
+ 1./о(-Т-1)—,/o(-v)l	< т + т + т6 —£-
(57.66)	->	->
(57.68), (57.69)
(57.71)
Отсюда
Р (.А ./о ) ,5=601 тЯХ 1/(^) “/О (*) I <
(5 . -60)
т. е. действительно множество А является Е-сетью для S. П
Теорема Арцела обобщается на случай отображения компак-
тов в метрические пространства.
§ 58.	ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ
И ПОЛУНОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
58.1.	ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 1. Множество Т={х, у, z, ...] называется дей-
ствительным линейным пространством (или векторным про-
странством над полем действительных чисел), если:
137
каждой упорядоченной паре (х, у) элементов хеХ и у^Х
поставлен в соответствие единственный элемент пространства
X, называемый суммой х и у и обозначаемый х+у;
каждому элементу хеХи каждому действительному числу
X поставлен в соответствие единственный элемент пространст-
ва X, называемый произведением X на х и обозначаемый Хх.
При этом выполняются следующие группы аксиом'.
1.	а) х+у=у + х для любых х^Х и у^Х\
б)	x+(y+z) = (x+y)+z для любых хеХ, уеХ и z<=Jf;
в)	в X существует элемент, называемый нулевым и
обозначаемый 0, такой, что х+О = х для любого хеА';
г)	для каждого х е X существует элемент множества X,
называемый противоположным элементу х, обозначаемый через
— х и такой, что х+( —х) = О.
2.	а) 1х = х для любого х е X;
б)	Х(|лх) = (Хц) х для любого хе X и любых действитель-
ных чисел X и ц;
в)	(Х+ц)х = Хх + |лх для любого х^Х и любых действи-
тельных чисел X и ц;
г)	Х(х+у) = Хх+Ху для любых хеХ. уеУ и любого
действительного числа X.
Для каждой пары элементов хе! и yeY элемент х + (— у)
называется разностью элементов х и у и обозначается через
x-j^.
Если в приведенном определении действительного линейного
пространства всюду заменить действительные числа комплекс-
ными: X, ц е С, то получится определение комплексного линейно-
го пространства
Примеры. 1. Множество всех действительных (комплексных)
чисел образует действительное (комплексное) линейное про-
странство.
2.	Пусть Е—некоторое множество. Совокупность F(E) всех
функций f:E->R (соответственно f:E-+C) при естественном
определении их сложения и умножения на действительное
(комплексное) число:
def	dp£
(A +f2) (х) = /1 (х) +/2 (х),	(X/) (х) = X (f (х)),
f\<^F(E),	f2^F(E),	f<=F(E), Хе/? или Хе С
является действительным (комплексным) линейным простран-
ством.
3.	Множество всех многочленов от одной переменной с
действительными (комплексными) коэффициентами является
линейным действительным (комплексным) пространством.
4.	Множество всех многочленов степеней, не превышающих
заданного натурального числа п, от одной переменной с
138
действительными (комплексными) коэффициентами является
действительным (комплексным) линейным пространством.
5.	Пространство всевозможных числовых последовательно-
стей {х„}, х„е(? (или x„eC), n^N, при естественном определе-
нии операций их сложения и умножения на число (см. п. 4.8)
также является линейным пространством.
Если X—линейное пространство и xteX к = 1, 2, , ..., п, то
всякий элемент вида XjXj +... + Х„х„, где кк— действительные
числа в случае действительного пространства и комплексные —
в случае комплексного пространства, называется линейной
комбинацией элементов хг, ..., х„.
Определение 2. Множество X', содержащееся в линейном
пространстве X {действительном или комплексном), называется
подпространством этого пространства, если все линейные
комбинации элементов множества X’ содержатся в нем.
Иначе говоря, множество Х’схХ является подпространством
пространства X, если для любых двух элементов ve.Y', у^Х' и
любых чисел Ле/?, ре/? (соответственно /.еС, цеС) имеет
место включение
лх + цг е X'.
Очевидно, что подпространство X' линейного пространства
X, в свою очередь, является линейным пространством. Если
X—линейное пространство и х(=Х, то совокупность всех
элементов пространства X вида Хх, где X — всевозможные
числа, служит примером подпространства пространства X.
Множество функций, действительнозначных и непрерывных на
некотором множестве EcxRn, является подпространством про-
странства всех действительнозначных функций, определенных на Е.
Элементы линейных пространств обычно называются точ-
ками или векторами.
Определение 3. Конечная система векторов xt......... х„
линейного пространства X (действительного или комплексного) на-
зывается линейно зависимой, если существуют такие числа Х1Л ...
.... Х„ (соответственно действительные или комплексные), не все
равные нулю, что
Х1х1+... + Х„х„ = 0.	(58.1)
В противном случае, т. е. когда из равенства (58.1) следует, что
все числа Х1( Х2, ..., Х„ равны нулю, система векторов х,, .... х„
называется линейно независимой.
Определение 4. Система векторов x.t 7.е'Л (Л --некоторое
множество индексов) линейного пространства X называется
линейно независимой, если любая ее конечная подсистема х„ , х„ ,...
“Г “2
.... х„ линейно независима.
Упражнения. 1. Доказать, что если система л,, 7^'11, линейно независи-
ма, то л-,^0 для всех те'Д
139
2. Доказать, что, для того чтобы конечная система векторов была линейно
зависимой, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из них
являлся линейной комбинацией остальных.
Определение 5. Совокупность всевозможных линейных ком-
бинаций элементов, принадлежащих некоторому заданному
множеству, называется линейной оболочкой этого множества.
Определение 6. Пространство (действительное или комп-
лексное), в котором имеется система п линейно независимых
векторов, линейной оболочкой которых оно является, называ-
ется п-мерным.
Всякая упорядоченная система п-линейно независимых век-
торов, линейной оболочкой которых является п-мерное про-
странство, называется его базисом.
Иначе говоря, векторы ег, е2, .... е„ образуют базис «-мер-
ного пространства X, если:
1) векторы е1г е2,  еп линейно независимы;
2) для каждого хе/?" существуют такие числа X,, Х2, ..., Х„,
что
х = Х1е1+ Х2е2 +...+ Х„ел.	(58.2)
Элементы п-мерного пространства называются п-мерными
векторами (соответственно действительными или комплекс-
ными ).
Каждое п-мерное пространство называется конечномерным.
Упражнения. 3. Доказать, что в и-мерном пространстве каждая система
линейно независимых векторов, линейной оболочкой которых является все
пространство, состоит из п векторов.
4. Доказать, что каждая система из п линейно независимых векторов в
и-мерном пространстве является его базисом.
Примером «-мерного действительного пространства
является «-мерное арифметическое векторное пространство
(см. п. 18.4).
Аналогично этому пространству может быть построе-
но комплексное арифметическое п-мерное пространство
С". Его точками называются упорядоченные системы п
комплексных чисел: х = (х], ..., х„), х-еС, 7=1, 2, ..., п. При
этом если х е С", X е С, то
, def п	а 3
Лх = (Хх1( ..., Хх„)
и для х=(хр .... Х„)<=С" и у = (у1: ..., у„)^сп
def Z
Х + у = (Xj+yp ..., х„+у„).
Базисом в этом пространстве являются векторы e,- = {8i, ..., 8,‘,},
где 8) — так называемый символ Кронекера*);
*’ Л. Кронекер (1823— 1891) — немецкий математик.
140
1, если i = j,
<
О, если i / j.
п
Очевидно, что х=(хх, .... хп) = £ х;е;, т. е. выполняется
i=i
условие (58.2).
Другим примером конечномерного линейного пространства
является пространство У" многочленов, имеющих действитель-
ные коэффициенты и степени, не превышающие некоторого
натурального п, к которым добавлен нулевой многочлен. Для
краткости будем называть пространство 3?" просто простран-
ством действительных многочленов степеней, не превышающих п.
Покажем, что оно является (« + 1)-мерным.
Каждый его элемент имеет вид
р (х) = а0 + a j х +... + апх",
т. е. является линейной комбинацией п +1 степеней переменной х,
т. е. функций х°=1, х, х2,	х". Докажем, что эти функции
образуют базис в пространстве S3". Для этого надо убедиться, что
они линейно независимы. Пусть в пространстве S3" некоторая
линейная комбинация рассматриваемых степеней равна нулю:
ао + а1х + ... + апхп = 0,	(58.3)
т. е. многочлен /?(х) = а0 + а1х + ... + а„хп тождественно равен
нулю и, следовательно, во всех точках числовой оси принимает
те же значения, что и нулевой многочлен:
р0 (х) = 0 + 0х + ...+0х",
а в этом случае (см. п. 13.2) коэффициенты этих многочленов
равны, т. е.
ао = 0,	«! = (), ..., ап = 0,	(58.4)
что и означает линейную независимость степеней 1, х, х2, .... х".
Отметим, что из того, что два многочлена, принимающих
одинаковые значения на каком-нибудь интервале числовой оси,
имеют одинаковые коэффициенты (см. п. 13.2), следует, что
степени 1, х, х2, х" линейно независимы на любом
промежутке числовой оси, не вырождающемся в точку.
Впрочем, то, что из выполнения условия (58.3) на некотором
промежутке числовой оси, не вырождающемся в точку, следуют
равенства (58.4), легко показать и непосредственно. Для этого
можно, например, продифференцировать тождество (58.3) п раз;
тогда получим
141
nlan = О,
откуда а„ = 0.
Если уже доказано, что для некоторого к, 0<к<п имеют
место равенства ак + 1 = ... = а„ = 0, то тождество (58.3) примет вид
яо + я1х+... + «11х'‘ = 0.
Продифференцировав его к раз, получим ак = 0. Таким образом,
выполняются все равенства (58.4).
Будем говорить, что векторы у,, .... у„ линейного прост-
ранства X выражаются через векторы хг, ..., х„ того же
пространства с помощью матрицы (д0), (=1, 2, ..., ц,у=1, 2 , ...
..., п, если
Л = «и^1 + - + а1Л *=h 2, —
Если векторы ..., х„ образуют базис пространства и
матрица (а,7) невырожденная, т. е. det(«;j)/0, то векторы yt, ...
..., уп также образуют базис.
В самом деле, если
Vi + ... + Xnj’„ = O,
то
Х1(«)1л-1 + ...П1„л-„) + ... + Хп(а„1х1 + ...+ап„х„) = 0,
т. е.
(Х1<7ц + ... + Х„«п1)х1 + ... + (Х1а1„ + ... + Х„а„л)х„ = 0;
отсюда, в силу линейной независимости векторов хр ..., л„,
следует, что
+ ... + Х„«п1 = 0,
Х1я1и + ... + Хиа„л = 0,
определитель этой однородной системы линейных уравнений
относительно неизвестных X,, ..., Х„ по условию не равен нулю:
det(<7,J/0. Следовательно, эта система имеет единственное
решение X] =Х2 = ... = Хп = 0, что означает линейную независи-
мость векторов yt, ..., ул. Поэтому они являются базисом
рассматриваемого пространства.
В частности, если векторы yt, ..., уп выражаются через базис
.Vj, ..., л;, с помощью треугольной матрицы, т. е. матрицы (ау)
вида
/	«и	0	...	0	\
(	п21	а22	...	0	j	(5g5)
ап\	ап2		апп
142
(если j>i, то a;j = 0) с диагональными элементами а115 ап„, не
равными нулю, то векторы у15 у„ также являются базисом,
ибо в этом случае
det (aij) = a11a22'  '^пп^О.
В качестве примера рассмотрим (и+1)-мерное пространство
многочленов степеней, не превышающих натурального числа
п. Как было выше показано, степени 1, х, х2, х" образуют
базис этого пространства. Рассмотрим произвольную систему
многочленов
рк(х) = ак0 + ак1х + ...у-аккхк е^п, к = 0, 1, ..., п,
где многочлен рк(х) имеет точно степень k: akk/0, к = 0, 1, п.
Тогда очевидно, что эти многочлены выражаются через степени
1, х, х2, ..., х" с помощью треугольной матрицы (58.5),
диагональные элементы акк которой не равны нулю. Поэтому
каждая указанная система многочленов линейно независима и
образует базис в пространстве ^>п.
Отметим, еще, что так как линейная зависимость многочле-
нов означает наличие соответствующих линейных соотношений
между их коэффициентами, то она не зависит от того, на каком
промежутке (не вырождающемся в точку) числовой оси меня-
ются аргументы этих многочленов. Поэтому линейная зависи-
мость многочленов в пространстве равносильна их линейной
зависимости на любом из указанных промежутков.
В качестве конкретных примеров рассмотрим некоторые
часто встречающиеся в анализе специальные многочлены.
Примеры. 6. Многочлены
г> / \	1 D i \	1 dn{xz-1)"	,	_
Ро х =1, Р„(х =----------п=1, 2, ...,
I п\ I 2"п! dx"	’
называются многочленами Лежандра.
Легко убедиться, что
где многоточие обозначает члены более низкого, чем п, порядка
многочлена Р„(х). Следовательно, полином Лежандра Р„(х)
имеет степень п, поэтому полиномы Лежандра Р0(х), Рк (х), ...
..., Рп(х) образуют базис в пространстве Это, в частности,
означает, что всякий многочлен степени, не превышающей п,
является их линейной комбинацией.
7. Многочлены
Г0(х)=1, Tn(x) = ^-i-cos(«arccosx), и=1, 2, ...,
называются полиномами Чебышева.
143
Прежде всего убедимся, что Гп(х) является многочленом
степени п.
Из формулы Муавра (см. п. 23.1) следует, что
cos п <р + i sin mp = (cos ф + i sin ф)" =
= cos" ф + iC 1 cos" “1 ф sin ф + z2 C 2 cos" - 2 ф sin2 ф +
+ z3C3cos"~3ф8Ш3ф + z4C4cos"-4ф 8т4ф + ... .
Приравняем действительные части получившегося равенства
cos иф = cos" ф — С2cos"- 2 ф sin2 ф + С4 cos"-4ф sin4ф —(58.6)
в зависимости от четности п последним слагаемым будет либо
sin" ф (если и четное), либо С"-1 cosф sin"-1 ф (если п нечетное).
Заметим, что в правую часть равенства (58.6) входят только
синусы в четных степенях и поэтому, применив подстановку
sin2 ф = 1 — cos2 ф для каждого слагаемого правой части, получим
С2к cos"- 2к ф sin2k ф = С2k cos"- 2к ф (1 — cos2ф)к =
= (— l)k С„к СО8пф + ...,
где многоточие означает, что в остальных слагаемых cos ф
имеет меньшую, чем и, степень.
В результате из (58.6) будем иметь
cos иф = (1 + С2 + С4 + ...)со5"ф + ... = 2"-1 со8"ф +..., (58.7)
где справа многоточие означает линейную комбинацию степе-
ней косинусов со5п-1ф, со8л-2ф, ..., 1 (мы воспользовались тем,
что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных
местах, равна 2"-1). Положив в равенстве (58.7) ф = агссо5х, а
следовательно, со8ф = х и разделив обе части равенства на 2"-1,
получим ^-j-cos«arccosx= Г„(х), где, в силу доказанного, в
правой части стоит многочлен степени п с коэффициентом,
равным 1, при х". Итак, Г„(х)— многочлен степени п. Поэтому,
согласно доказанному выше, многочлены Чебышева Г0(х),
Tj(x), ..., Г„(х) образуют базис в пространстве J*".
Если Y и Z — подмножества линейного пространства X, то
через Y-yZ обозначается множество всех элементов х прост-
ранства X, представимых в виде x=y+z, yeY, zeZ.
Множество Y+Z называется (алгебраической) суммой мно-
жеств Y и Z.
Если множества Y и Z являются подпространствами
пространства X, то множество Y-yZ также является под-
пространством пространства X. Действительно, путь x^YyZ,
x2&Y-yZ и л2— числа. Согласно определению суммы
множеств, элементы xt и х2 представимы в виде х1=у1 + г1 и
144
x2 =у2 + z2, Vi,у2 eY,zr, z2eZ. Поэтому X^ + X2x2 = Xi (yt + zt) +
+ ©(.1'2 + -2)Н'и.1'|+'4.'’2) + ('4-i+©+) Так как Z и У—под-
пространства, то X^j + X^e У, X1z1 + X2z2eZ. В силу определе-
ния суммы У+Z, отсюда следует, что XjXj+ Х2х2 е У+Z. Это и
означает, что множество У+Z является подпространством.
Сумму двух подпространств У и Z называют прямой и пишут
y©z,
если пересечение kQZ подпространств У и Z состоит только из
нулевого элемента. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
каждый элемент хе У+Z был единственным образом предста-
вим в виде х = у+z, у е У, z е Z.
В самом деле, ecjwY(^Z={0} и y1 + z1=y2 + z2, где у1г
у2еУ, z2eZ, то Ji —y2 = z2 —zP Так как У и Z — подпро-
странства, то yl—y2eY, z2 — zreZ, т. е. элемент yt — y2 — z2 — Zj
принадлежит одновременно к У и к Z и поэтому равен нулю:
y1~y2 = z2 — z1=0. Отсюда следует, что у1=у2, z1=z2.
С другой стороны, если xeYflZ, х/0, то х=х+0 = 0+х,
т. е. элемент х имеет не единственное представление в виде
x=y + z, где yeY, zeZ.
Определение 7. Отображение f линейного пространства X в
линейное пространство У называется линейным отображением
(или, что то же, линейным оператором), если для любых двух
элементов хеХ. уеХ и любых чисел X и ц справедливо равенство
,/'(Хх + цу) = Х/'(х) + ц/(у).
Множество линейных операторов f:X-+Y, отображающих
линейное пространство X в линейное пространство У, обозна-
чается через £(Х, У). Легко непосредственно проверить, что
множество £(Х, У) при естественном определении сложения его
элементов и умножения их на число, т. е. при определении этих
операций по формулам
(./1+/2)М=Л(х) + /2(х), ,f\e£(X, Y),f2e2(X, У),
(Х/')(х) = Х(/(х)), /е£(Х У), Хе R или Хе С, хеХ
образует также линейное пространство (действительное, если
пространства X и У были действительными линейными прост-
ранствами, и комплексное, если они были комплексными).
Определение 8. Если f:X^Y, X и У—линейные простран-
ства, то множество {х:/(х)=0}с1 называется ядром отобра-
жения f и обозначается через ker/*’:
ker/= {х:/'(х) = 0}.
*’ От англ, kernel - ядро.
145
Отметим, что нуль всегда входит в ядро линейного
отображения. Действительно, если f : X-+Y—линейное отоб-
ражение, то нуль пространства X отображается в нуль
пространства У:
/(0) =/(0-0) = 0/(0) = О,
т. е. 0 е кег/
Лемма 1. Для того чтобы линейное отображение f'.X^Y
линейного пространства X в линейное пространство Y было
взаимно однозначным отображением X в У, т. е. было инъекцией,
необходимо и достаточно, чтобы его ядро состояло только из
нулевого элемента".
кег/=0.	(58.8)
Доказательство необходимости. Выше было пока-
зано, что любой линейный оператор / переводит нуль в нуль.
Поэтому если /—инъекция, то не существует х/0 такого, что
/(х) = 0. Это и означает, что ker/=0.
Доказательство достаточности. Пусть выполняется
условие (58.8) и /(х)=/(у). Тогда, в силу линейности отображе-
ния / имеем /(х—у)=/(х)—/(у) = 0, т. е. х —уекег/ и так как
ker/=0, то х—у = 0. Следовательно, х=у. Это и означает, что
/—инъекция. □
Примером линейных взаимно однозначных отображений
являются црямое и обратное преобразования Фурье в соот-
ветствующих линейных пространствах функций (см. леммы 3 и
4 в п. 56.5).
Лемма 2. Ядро всякого линейного отображения одного
линейного пространства в другое является подпространством
отображаемого пространства.
Доказательство. Если /—линейное отображение линей-
ного пространства X в некоторое другое линейное пространст-
во, то для любых элементов е кег/ х2 е кег/ и любых чисел
Х1; Х-2 имеем
/(^Л + Х2х2) = Х/(х) + V(x2)=0
и, следовательно, X1xi +Х2х2екег/ а это и означает, что ядро
кег/ является подпространством пространства X. □
Определение 9. Пусть X и У—линейные пространства.
Линейное взаимно однозначное отображение пространства X на
пространство У называется изоморфным отображением или
изоморфизмом линейных пространств.
Если для линейных пространств X и У существует изо-
морфное отображение X на Y, /по они называются изоморф-
ными.
Два изоморфных пространства могут отличаться лишь
природой своих элементов, а не свойствами линейного прост-
ые
ранства как такового, поэтому в дальнейшем часто мы не
будем различать изоморфные линейные пространства.
Упражнение 5. Доказать, что все «-мерные линейные действительные
пространства изоморфны между собой.
Определение 10. Линейное пространство, не являющееся
конечномерным, называется бесконечномерным.
Очевидно, что линейное пространство является бесконечно-
мерным тогда и только тогда, когда оно не имеет конечного
базиса.
Примером бесконечномерного пространства является ли-
нейное пространство всех многочленов от одной переменной.
Действительно, это пространство заведомо не имеет конечного
базиса: любая линейная комбинация заданной конечной систе-
мы многочленов является многочленом степени не выше
степени старшего многочлена из указанной системы, и поэтому
многочлены больших степеней не могут быть получены
указанным способом.
Попытка обобщить понятие базиса в случае бесконечномер-
ных пространств приводит к бесконечным суммам, т. е. рядам
вида £ Х„е„. Для того чтобы имело смысл говорить об их
п = 1
сумме в пространстве X, в нем должно быть определено
понятие сходимости последовательностей. Рассмотрению одно-
го такого вида пространств посвящен п. 58.2.
Определение 11. Произведением Z=X'/ Y линейных прост-
ранств X и Y называется линейное пространство Z, элементами
которого являются элементы z = (x, у) теоретике-множествен-
ного произведения множеств X и Y (т. е. множество всевоз-
можных пар (х, у), где хеХ, yeY (см. п. 1.2), для кото-
рых определена линейная операция ’klzl + ’k2z2,	yt)eZ,
z2 = (x2, y2)eZ, Xj и Л2 — числа (действительные или комплекс-
ные ), по формуле
+ ^“2~2 = (М-’Ч “Ь^2-^2, ^tJ’i + ^-гЗ’г)-
Выполнимость аксиом линейного пространства при таком
определении линейной операции легко устанавливается непос-
редственной проверкой.
Аналогично понятию произведения двух линейных прост-
ранств определяется понятие произведения п линейных прост-
ранств для любого натурального п.
Отметим еще один нужный для дальнейшего тип отобра-
жений произведений линейных пространств.
Определение 12. Отображение z=j\x, у), хеХ, yeY, zeZ,
произведения X х Y линейных пространств X и Y в линейное
147
пространство Z называется билинейным, если при фиксировании
одной из переменных х, у оно линейно относительно другой
переменной.
Таким образом, если z=f{x, у)— билинейное отображение,
то для любых чисел Xi и Х2, действительных или комплексных,
имеют место равенства
/(M*i + Х2х2, у) = Х1/(х1, у)+Х2/(х2, у), ххеХ, х2еХ, yeY,
f(x, Х1у1 + Х2у2) = Х1/(х, yJ+X^jx, у2), хеХ, yteY, y2eY.
Отсюда следует, что для любых чисел Х15 Х2, щ, ц2
/(Mi + ^2*2, PiTi + Ц2Т2) =	У1) +
+ MPj /(х2, У1) +	’ У 2) + Х2Ц2/(*2, У 2)	(58.9)
Примеры. 8. Скалярное произведение (х, у) в «-мерном
линейном пространстве R” является билинейным отображением
Rn х R" в R.
9.	Векторное произведение трехмерных векторов является
билинейным отображением R3 х № в R3.
п
10.	Билинейная форма А(х, у)= £ ЯуХ^-, х = (х15 ..., хп),
i,2= 1
У = (у'1> > Jn)> является билинейным отображением RnxRn в R.
Билинейные отображения f'.XxY^Z образуют линейное
пространство при естественном определении линейных операций
над этими отображениями: если Д :Хх Y^>Z и f^XxY-Z—
два билинейных отображения, то для любых хеX, уе У и
любых чисел Х2 билинейное отображение Х1/1 + Х2/2
определяется равенством
(Х1/1 + Х2/2)(х, у) = Xi/j (х, у)+Х2/2(х, у),
т. е. согласно общему правилу арифметических действий над
функциями.
По аналогии с билинейными отображениями вводится
понятие мультилинейных отображений: если Х19 Х2, ..., Х„, Y—
линейные пространства, то отображение /(х15 х2, ..., х„), х^Х{,
г=1, 2, ..., п, произведения Хг х Х2 х ... х Х„ в У называется
мультилинейным, если оно линейно относительно каждой
переменной х;, когда остальные п— 1 переменных фиксированы.
58.2.	НОРМА И ПОЛУНОРМА
Определение 13. Линейное пространство X {действительное
или комплексное) называется полунормированным, если на мно-
жестве его точек определена действительная функция, называе-
148
мая полунормой, обозначаемая ||х||х, или ||х||, хе У, и имеющая
следующие свойства.
1° (неотрицательность). Для всех хеХ выполняется
неравенство ||х||^0.
2° (однородность). Для всех хеХ и всех чисел X имеет
место равенство ||Хх|| = |Х.|||х||.
3° (неравенство треугольника). Для всех хеХ и уе У
выполняется неравенство ||х+.у||^||х|| + ||у ||.
Из свойства 2° полунормы следует, что ||0|| =0 (здесь в левой
части равенства стоит нуль пространства X, а в правой — нуль
множества действительных чисел). В самом деле, фиксируя
произвольно элемент хеХ, получим
||0|| = ||0-х|| = 0||х||=0.
Полунорма, удовлетворяющая условию:
4° (невырожденность) если ||х|| = 0, то х = 0, называет-
ся нормой.
Линейное пространство, в котором задана норма, называет-
ся нормированным.
Согласно определению 13, норма является и полунор-
мой.
Из свойства 3° полунормы легко следует, что для любых
двух элементов х и у линейного полунормированного прост-
ранства выполняется неравенство
11|х||-||у|||^||х-у||.	(58.10)
В самом деле,
1|х|| = ||(х-у)+у||	1|х—у|| +1|у ||,
поэтому
1|х||-||уК1|х-у||.
Аналогично,
Ну II- 1|х|| ^||у-х|| = || х-у||.
2°
Из последних двух неравенств и следует неравенство (58.10).
Отметим, что всякое подмножество линейного полунорми-
рованного (в частности, нормированного) пространства, явля-
ющееся подпространством линейного пространства, в свою
очередь, является линейным полунормированным (соответствен-
но нормированным) пространством.
ь
Упражнение 6. Выяснить, будут ли выражения sup	f |/w(()|
a^t^b	a
нормой; полунормой; для каких функций; для каких п.
149
58.3.	ПРИМЕРЫ НОРМИРОВАННЫХ
И ПОЛУНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
1.	Множество действительных чисел и множество комплекс-
ных чисел, если в них за норму взять абсолютную величину
чисел, образуют линейные нормированные пространства.
2.	Если в действительном арифметическом «-мерном прост-
ранстве Rn норму вектора х=(хь ..., xn)eR” определить как его
длину (см. п. 18.4)
II X II - Iх | = х/л'Н- + х^,
то R" будет линейным нормированным пространством.
3.	Комплексное арифметическое «-мерное пространство С”
(см. п. 57.2) будет нормированным, если положить
1|х|| = х/|Х112 + ... + |хп|2, x = (xt, ..., х„)еСп.
4.	В действительном арифметическом «-мерном пространст-
ве R" можно ввести не только норму, совпадающую с длиной
|х| его элементов х=(х15 .... x„)eR”. Например, положим
||x||/^f(|x1|'’ + ... + |xn|'’)1/'’, 1^< + О),
l|x|L = шах |х;|.
i= 1.2.п
Очевидно, длина вектора совпадает с нормой ||х||2. Проверим
выполнение аксиом норм для ||x||r, +оо. При г=1 по
свойству абсолютной величины чисел
IIх+уIL = Ё Iх<+у,-1< Ё |xj+ £ |у;| = ||хHi + ||уНр
i = 1	i = 1	i=l
При 1<р< + со применим неравенство Минковского (см.
п. 35.8*):
(п	\1/Р	/ п	\1/р	/ п	\1/р
Е |х;+у.1р Е 1*.1₽ + Е 1>’;Г =
/ = 1	/	\ i = 1	/	\ i = 1	/
= 1|х||р+||у||р.
Для НхН^ имеем
IIх+у||л. = max IXj+yJ^ max (|х;| + |у;|)«$
max |х,| + max |у; | = || х||,,+ ||у ||а.
/—1.2..п /=1.2.......п
150
Остальные свойства норм для ||х||г, 1<г^ + оо, проверяются
еще проще.
Упражнение 7. Доказать, что ||х||ж = lim xeR".
Определение 14. Две нормы ||х|| и ||х||* в линейном
пространстве X называются эквивалентными, если существуют
такие постоянные сд >0 и с2>0, что для всех х&Х выполняется
неравенство
q ||хК1И|*^2||х||.	(58.11)
Теорема 1. В конечномерном линейном пространстве все
нормы эквивалентны.
Доказательство. Пусть X—конечномерное действитель-
ное линейное пространство (случай комплексного пространства
рассматривается аналогично). Следовательно, в нем существует
базис {ср ..., е„}, состоящий из некоторого числа neN его
элементов, и для любого хеХ имеется и притом единственное
разложение
х = х1е1 + ... + хпе„.
Пусть ||х|| — некоторая норма в пространстве X. Покажем,
что она эквивалентна квадратичной норме
IWI2 = v//xi + - + x"-
Поскольку две нормы, каждая из которых эквивалентна
третьей, также эквивалентны между собой, то из этого и будет
следовать, что все нормы любого конечномерного пространства
эквивалентны.
Прежде всего заметим, что q = ||ej || + ... + ||е„||>0, ибо для
всех к=\, 2, ..., п имеет место неравенство q/О, и,
следовательно, ||efc||>0. Далее, из очевидного неравенства
+ +	= ||х||2,	2, ..., п,
получим, используя свойство нормы, неравенство
||х|| = ||Х1С1 + ... + х„е„||^|Х1|||С1|| + - + |хл| ||е„К
^(lkil| + -. + ||en||)||x||2 = c1 ||х||2.
Итак, существует такое сд >0, что для любого хеХ
||хКС1||х||2.
Докажем теперь, что существует такое с2>0, что
||Х||>С2||Х||2.
151
Поскольку в случае х = 0 это неравенство очевидно выполняется
при любом с2>0, то его достаточно доказать лишь для х#0.
Выберем базис {<?],	<?„} в пространстве X так, чтобы он
состоял из единичных в смысле квадратичной нормы векторов
Це1||2 = ... = ||ея||2= 1.
Это всегда возможно, так как если {е^, еп}— какой-то базис
линейного пространства, а || • ||-какая-либо норма в этом
пространстве, то
f g) е„ 1
(11^ 1Г	lle„IIJ
также будет его базисом, причем норма всех его элементов
будет равна 1:
||ej|=l, £=1, 2, ..., п.
Пространство X с выбранным базисом можно рассматри-
вать как арифметическое «-мерное пространство (см. п. 18.4).
Для этого достаточно каждому его вектору	+... + х„ея
сопоставить упорядоченный набор п чисел (х'р ..., х„) - его
координат относительно указанного базиса. При этом квадра-
тичная норма ||-X||2 является длиной вектора х:
II -V || 2 = УхТ+T+xJ = | X |.
Единичная сфера 5"“1 = {x:xf+ ... + х,^= 1] этого пространст-
ва является, как известно (см. и. 18.3 и п. 18.4), компактом.
Рассмотрим на ней функцию
./(*)-INI-
Из неравенства
l/NNO’)| = |||x|H|j’||N||x-y|N
^<'1 II -V—J-||2 = q |х-у|, хе У, геУ,
следует, что эта функция непрерывна на всем пространстве X и,
следовательно, на сфере
Поскольку для любой точки хе S'"-1 имеем ||х||2 = 1, то х/0.
поэтому, в силу свойства 4 нормы, функция / удовлетворяет на
сфере Sni неравенству / (х) = || х || >0. Согласно теореме Вейер-
штрасса, всякая непрерывная на компакте функция достигает на
нем своего минимального значения. Пусть функция / достигает
свой минимум на сфере S"-1 в точке х0е5"-1. Положим
с2= min У(х) = /(хо)>0.
152
Тогда для любого хе S" 1 будем иметь
1|х||=/(х)^/(х0) = с2.
Теперь, заметив, что для каждого хеХ, х^О, точка —— лежит
IWI2
на сфере 5"-1:
и, следовательно, для нее
> с2 получим
||х||2>С2||х||2,
т. е.
Цх||^с21|х||2, хеХ, х/0.
Эквивалентность норм ||х|| и ||х||2 доказана. □
Примеры. 5. Пусть снова 1^р< + оо. Рассмотрим линейное
подпространство всех последовательностей х = (х15 ..., х„, ...),
х„ е R (или х„ е С), состоящее из таких последовательностей, для
которых
W/=f f |хпиУ< + да.	(58.12)
\п=1.	/
Функция ||х||р является нормой, что проверяется аналогич-
но конечному случаю (см. пример 4), так как, в частнос-
ти, неравенство Минковского справедливо и для бесконечных
сумм.
В том случае, когда все элементы рассматриваемых после-
довательностей--действительные числа, их пространство с
нормой (58.12) обозначается через 1р.
Соответствующее метрическое пространство в случае р = 2
было рассмотрено в примере 6 п. 57.1.
6.	Линейное пространство всех ограниченных действитель-
ных функций, определенных на произвольном множестве Е,
являющееся подпространством пространства F(E) всех действи-
тельных функций E->R (см. п. 57.1), превращается в норми-
рованное, если в нем ввести норму по формуле
||./1L = sup 1.Д01-	(58-13)
/е£
Обозначим это пространство через 5(f)**. В том случае, когда
Е является метрическим пространством, подпространство про-
странства В(Е). состоящее из непрерывных на Е функций /
*’ В — первая буква английского слова bounded — ограниченный.
153
обозначим через С(£), а норму (58.13) в этом пространстве
будем обозначать также и через ||/||с.
Если Е является компактом в Rn, то (см. теорему 3 в п. 19.5)
ll/llc = sup |//)| = max |//)|.
re£	н=Е
В частности, это верно для пространства С [а, Ь] функций,
непрерывных на отрезке [а, числовой прямой.
7.	Пусть фиксировано число р, 1^/х+оо. Рассмотрим
множество функций / заданных на некотором конечном или
бесконечном интервале (а, Ь), — со ^а<Ь^ + со, для каждой из
которых существует правильное разбиение этого интервала (см.
п. 55.1) и интеграл
j |/(х)|;Э/х
сходится. Это множество образует, как легко проверить,
линейное пространство и обозначается RLp(a, b)*\
Положим
Г ь	~|1
н/||/= р
(58.14)
Покажем, что (58.14) является полунормой в RLp[a, />].
Из формулы (58.14), очевидно, сразу следует, что ||/|L^0.
При этом из условия ||/р|| = 0 не следует, что /=0. В
самом деле, пусть —оо<а<6<+оо; рассмотрим, например,
функцию
J 1 при х = а,
( 0 при хе(а, 6].
Ясно, что ||/р|| = 0, но функция /не равна тождественно нулю на
отрезке [а, и поэтому не является нулем линейного
пространства RLp[a, ft].
Проверим однородность выражения (58.14): для всех
f&RLp(a, b) и любого keR (или Хе С) имеем
Р/Нр= WWM P = N fl/('M ₽ = NII/II
Докажем для (58.14) неравенство треугольника. Для любых
feRLp(a, b) и geRLp(a, b), согласно неравенству Минковского
*’ R — первая буква фамилии Б. Римана (В. Riemann), a L — первая буква
фамилии А. Лебега (Н. Lebesque).
154
для
интегралов (см. п. 28.3*), получим
ь
ll./+gii„= ji/(O+gO)i₽^
_ а
Итак, действительно, ||/||р является полунормой (не являющей-
ся нормой) в линейном пространстве RLp(a, b).
8.	Рассмотрим множество всех непрерывных на отрезке
[а, функций. Оно является линейным пространством. Мы
уже знаем, что в нем можно ввести норму ||/||с, определенную в
примере 6 этого пункта. Можно в нем рассмотреть и полунорму
(58.14), причем в этом пространстве полунорма (58.14) является
уже нормой.
Действительно, если функция / непрерывна на отрезке [а,
и 11/11^ = 0,1 </>< +оо, и, следовательно,
ь
]|/(х)|₽<7х = 0,
а
то из неотрицательности и непрерывности функции |/(х)|р,
хе Га, следует (см. свойство 9° интеграла в п. 28.1), что
/(х) = 0 на [а, 6].
Пространство непрерывных на отрезке [а, ft] функций с
нормой (58.14) обозначается через CLp\a, ft].
Подобным же образом строятся аналогичные пространства
для функций, заданных на промежутках других типов, в том
числе и на бесконечных промежутках, например, пространства
CLp(a, b), — oo^a<ft^ + oo, 1^/><+оо,
которые состоят из непрерывных функций, заданных на
интервале (a, ft), и для которых конечен интеграл (58.14).
Если одно и то же множество функций принадлежит
различным линейным нормированным или полунормирован-
ным пространствам (например, пространства С [a, ft] и
CLp[a, ft] состоят из одних и тех же функций), то часто бывает
полезным оценить одну норму (полунорму) этих функций через
другую. Теоремы, выражающие подобные оценки, называются
обычно теоремами вложения.
Поясним сказанное на примере, сформулированном в виде
леммы.
Лемма 3. Пусть — oo<a<ft<+oo, 1</?< + оо. Если
feRLp[a, ft], то
||/||1^(ft-a)l||/||p, V=l,	(58.15)
155
а если feRLp[a, 6] QB [a, Z>], mo
ll/ll^-aR/lloo-
(58.16)
Доказательство. Принимая во внимание, что полунорма
||/||р определяется по формуле (58.14), получим, используя
неравенство Гельдера (см. п. 28.3*),
тем самым (58.15) доказано. Неравенство (58.16) также сразу вы-
текает из определений (58.13) и (58.14) соответствующих норм:
НЛ1,
la [a,b]
1
b ”1?
Замечание. Отметим, что неравенство (58.15) справедливо
очевидным образом и без предположения, что feRLp[a, 6], так
как если f$RLp[a, Z>], то ||Л1р=4-оо (см- (58.14)) и поэтому
неравенство (58.15) выполняется очевидным образом. Анало-
гично, неравенство (58.16) тривиально в случае, когда /ф
фВ[а, 6], так как тогда ПУПоо= + °°; конечно, как обычно, здесь
предполагается, что для рассматоиваемых функций существует
правильное разбиение отрезка [а, 6] (см. п. 55.1).
Упражнение 8. Обозначим через C‘L2[a, ft] подмножество пространства
CL2[a, ft], состоящее из непрерывно дифференцируемых на отрезке [«, ft]
функций. Доказать, что множество C’L2[a, ft] является линейным нормиро-
ванным пространством, если под нормой функции feC‘L2[a, ft] понимать ее
норму в пространстве CL2[a, ft].
58.4.	СВОЙСТВА ПОЛУНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
В полунормированных пространствах можно ввести понятие
сходящейся последовательности и ее предела.
Определение 15. Если последовательность {х„} элементов
полунормированного (в частности, нормированного) линейного
пространства X такова, что существует элемент хеХ такой,
что lim ||хп — х || = 0, то последовательность {%„} называют
156
сходящейся по полунорме (соответственно по норме) к элемен-
ту х и пишут x=limx„.
п->х
Вводя в каком-либо линейном пространстве функций раз-
личные полунормы (в частности, нормы), будем получать
различные понятия сходимости последовательностей функций.
Например, сходимость в смысле нормы (57.13) означает
равномерную сходимость; сходимость в смысле полунормы
(57.14) является уже сходимостью другого рода: она называется
сходимостью в среднем, или, подробнее, в смысле р-среднего
(иногда говорят и просто о сходимости в смысле простран-
ства £р). Мы уже встречались с частным случаем сходимости
такого рода при р= \ (см. лемму 2 в п. 55.2, следствие теоремы
2 в п. 56.7 и метрику (57.2)) и при р = 2 (в следствии из теоремы
12 п. 55.9). При р = 2 сходимость в среднем называется также
сходимостью в смысле среднего квадратичного.
Неравенства (58.15) и (58.16) между различными полунор-
мами функций позволяют установить связь между различными
видами сходимостей функций.
Например, пусть последовательность функций fn, п=1, 2, ...,
и функция f таковы, что:
1°. Последовательность {fn} сходится равномерно на отрезке
[а, к функции f
2°. При всех п — \, 2, ... fn—f&RLp\a, (>].
Тогда последовательность {/„} сходится к функции f на
отрезке [а, и в смысле р-среднего, 1<р<+оо.
В самом деле, в силу равномерной сходимости последо-
вательности {/„}, последовательность {fn—f} ограничена и,
следовательно, jn—feB[a, b]f)RLp[a, Z)J. Поэтому, согласно
(58.16), справедливо неравенство
ПЛ-Zlloo-
Равномерная сходимость последовательности {/„} к функции f на
отрезке [a, Z)] означает, что
lim ||/„-/IL = 0.
я—»х
Следовательно,
lim ||/n-/llP=0.
n—»x
Упражнение 9*. Построить пример последовательности непрерывных
неотрицательных на отрезке функций, сходящейся в среднем, но не сходящейся
ни в одной точке.
Следует обратить внимание на то, что в полунормирован-
ном пространстве у сходящейся последовательности предел,
157
вообще говоря, не единствен. При этом если lim х„=а и lim x„=b,
fl-* f.
то полунорма разности двух пределов равна нулю: ||« —/>|| = 0.
Это сразу следует из неравенства
||а-6||^||а-хл|| + ||хл-А||.
Верно и обратное: если a = limx„ и ||« — Z>|| = 0, то и b = lim х„. В
л->х
самом деле, из неравенства
1кл-Л|| = ||(хл-п) + (а-Л)||^||хл-а|| + ||п-6|| = ||хл-й||
вытекает, что если lim ||(хл — а)|| = 0, то и lim ||хл —/>|| = 0.
п -• •/.	п -> Л
Определение 16. Пусть X—линейное полунормированное (в
частности, нормированное) пространство. Множество ЕсХ на-
зывается ограниченным или, подробнее, ограниченным по полунорме
(соответственно по норме), если существует такая постоянная
М>0, что для всех хеЕ выполняется неравенство ||х||^Л/.
Лемма 4. Если последовательность {л„} сходится по
полунорме в X, то она ограничена.
Доказательство. Пусть x=limx„; в силу сходимости
п-* к
последовательности, существует такое п0, что если п>п0, то
||хл —х||^1 и, следовательно,
||х|| = ||(хл-х) + х||^||хп-х|| + ||х||^Нх|| + 1.
Положим Л/=max {||Xj ||, ||х2||, 	||х ||, ЦхЦ + 1}; тогда,
очевидно, для всех и=1, 2, ... справедливо неравенство ||х„||^
^М. □
Для линейного пространства с полунормой можно опреде-
лить понятие непрерывности его отображения в другое полу-
нормированное пространство.
Определение 17. Отображение f .X-*Y полунормированного (в
частности, нормированного) пространства X в полунорми-
рованное (нормированное) пространство Y называется непрерыв-
ным в точке хоеХ, если для любой последовательности {х„},
сходящейся к х0 по полунорме (норме) пространства X.
Птхл = х0, последовательность {/(х„)} сходится к ,/(х0) по
П-*7.
полунорме (норме) пространства Y: lim/(x„)=/(x0).
158
В случае нормированных пространств непрерывность отоб-
ражения в смысле норм равносильна его непрерывности в
смысле метрик, порожденных этими нормами.
В терминах неравенств непрерывность в точке х0 отобра-
жения f полунормированного пространства X в полунормиро-
ванное пространство Y формулируется следующим образом:
для любого 8>0 существует такое 5>0, что для всех хеХ, для
которых ||х —х0||<5, выполняется неравенство ||/(х)—/(х0)||<8.
Эквивалентность двух сформулированных выше определений
непрерывности доказывается по той же схеме, что и в случае,
когда X и Y—множества действительных чисел (см. п. 4.5).
Лемма 5. Полунорма ||х|| является непрерывной функцией
на полунормированном пространстве X.
Доказательство. Пусть заданы элемент х0&Х и число
8>0. Тогда для всех таких х, что ||х—х0||<8, в силу не-
равенства (58.10), имеем | ||х|| — ||х0|| |<||х—х0||<8, т. е. условие
непрерывности функции на X выполняется при выборе 5 = 8. □
Определение 18. Пусть X и Y—линейные полу нор мированные
(в частности, нормированные) пространства. Отображение f,
изоморфно отображающее пространство X как линейное прост-
ранство на пространство Y (см. определение 9) и такое, что для
любого хеХ справедливо равенство
1М1х = 11ЖН1г,
называется изоморфным отображением или изоморфизмом
линейных полунормированных (нормированных) пространств.
Если для линейных полунормированных (нормированных)
пространств X и Y существует изоморфное отображение X на
Y, то они называются изоморфными.
Например, если (а, Ь) — конечный интервал, то соответствие,
при котором каждой функции полунормированного простран-
ства ЛСДа, Л] ставится в соответствие ее сужение на интер-
вал (а, о), является линейным отображением пространства
RLp[a, на пространство RLp(a, b} (сюръекцией), сохраняю-
щим полунорму. Последнее следует из того, что значение
интеграла от а до b от функции не зависит от значений этой
функции или от их отсутствия в точках х = а и х = Ь. Ядро
отображения состоит не только из нуля, а из всевозможных
функций, равных тождественно нулю на интервале (а, Ь) и
принимающих на его концах произвольные значения (отсюда
следует, что эта сюръекция не является биекцией).
Сужение на интервал (а, Ь) непрерывных на отрезке [а,
функций отображает нормированное пространство CLp[a, />] не
на пространство, а только в пространство CLp(a, b) (не каждую
непрерывную на интервале (а, Ь) функцию можно продолжить с
сохранением непрерывности на отрезок [а, 6], но зато в этом
случае указанное сужение является взаимно однозначным
159
отображением (инъекцией), поскольку оно сохраняет значение
нормы). Оно является изоморфным отображением пространства
С£р[«, на его образ в пространстве CLp(a, b) (всякая
инъекция является биекцией при отображении множества на
образ).
Два изоморфных полунормированных (нормированных) про-
странства могут отличаться друг от друга только природой сво-
их элементов, а не свойствами пространства. Поэтому в даль-
нейшем мы часто не будем различать изоморфные полунорми-
рованные (нормированные) пространства, состоящие из различ-
ных элементов: такие пространства можно «отождествлять».
Поясним это подробнее. Пусть X и Y — линейные полу-
нормированные пространства, У<= Y*, a f-.X^Y—изоморфное
отображение. Рассмотрим множество У* = Х(ДУ*\У), получа-
ющееся из пространства X присоединением к нему множества
У*\У. Таким образом, У*\У=У*\У. Определим для элементов
множества X* операции сложения и умножения на число, а
также норму — они будут снабжаться индексом X*. Для
удобства введем отображение F : X*—>Y*, задаваемое фор-
мулой
е(/М.=слИл-еУ	?)
(	.г, если хел*\л.
Ясно, что F является взаимно однозначным отображением
(биекцией) множества X* на У*.
Теперь для любых хе У*, уеХ* и любых чисел X, ц
положим
(Хх + цу)х* У-1 [ХУ(х) + цУ(у)],
||x||x* = ||У(х)||.
Так, определенное пространство X* является линейным полу-
нормированным (нормированным), изоморфным пространству
У* и содержащим X в качестве своего подмножества. Под
утверждением «отождествим в пространстве У* множество У с
изоморфным ему пространством X» и понимается рассмотрение
указанного выше пространства X* (сравните с отождествлением
изометрических метрических пространств п. 57.1).
Упражнения. 10. Пусть X — линейное полунормированное пространство.
Элементы .rex' и ye Y называются эквивалентными, если 1|х—у||=0. Обозначим
через X множество, элементами которого являются классы эквивалентных
элементов пространства X. Пусть хеХ,__ уеХ, хех, yey, X— число.
Определим х+у как элемент множества X, содержащий х+у, а /,х как
элемент из X, содержащий Хх. Положим ||х ||у = ||х||х. Доказать, что данные
определения корректны, т. е. не зависят от выбора элементов хех и yey, и что
X является линейным нормированным пространством с нормой ||х ||у.
160
11.	Доказать, что функции х+г и л.у непрерывны на всяком линейном
полунормированном пространстве X (v и г элементы этою пространства, а
Л число), иначе говоря, что операции сложения и умножения на число
непрерывны в указанном пространстве.
58.5.	СВОЙСТВА НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
В линейном нормированном пространстве X можно
естественным образом ввести расстояние между элементами
этбго пространства. Именно: справедливо следующее утвержде-
ние.
Лемма 6. Линейное нормированное пространство X .чв./.чет-
ен метрическим пространством с метрикой
р(х, г) = Ii-V—г|| ,	(58.18)
при этом сходимость последовательностей в пространстве X по
этой метрике совпадает со сходимостью по норме.
Доказательство. Функция p(.v. г), определенная форму-
лой (58.18). действительно является расстоянием: свойства
расстояния (см. п. 57.1) вытекают из свойств нормы 1	4
(проверьте это). Второе утверждение леммы очевидно. Я.
Будем говорить, что метрика (58.18) порождается заданной
нормой пространства X. Например, метрика, порожденная
нормой ||х|| =x/.v 1 + ...+-V„ в арифметическом линейном про-
странстве н-мерных вещественных векторов a=(.Vj,x2,....
является метрикой евклидова пространства Л", определенной
формулой (18.1).
Не всякое метрическое пространство является нормирован-
ным, например пространство, состоящее из двух точек v и г
(двоеточие) с метрикой р(.с, у)= 1, не есть линейное, а поэтому и
нормированное пространство.
Последовательность точек пространства У, фундаментальная
относительно метрики (58.18) (см. и. 57.2), называется также
фундаментальной относительно нормы, заданной в простран-
стве X.
Упражнение 12. Доказать, что множество в линейном нормированном
пространстве ограничено по норме (см. определение 16 в п. 58.4) тогда и юлько
тогда, когда оно ограничено как множество метрическою пространства в
смысле метрики (58.18).
Пример. Рассмотрим пространство / последовательностей
действительных чисел с нормой (58.12). Обозначим через е„
последовательность, у которой л-й член равен единице, а все
остальные -- нули. Очевидно, что при п^т.
1 1
Р Р
+ =2 •
161
Поэтому последовательность элементов с„=1, 2, ... , простран-
ства /р не может содержать фундаментальной, а следовательно,
и сходящейся подпоследовательности.
Последовательность {еп} ограничена, ибо для всех п имеем
||е„|| = 1. Она образует замкнутое множество в 1р, так как
множество [enJ не имеет предельных точек в /р (в противном
случае в ней нашлась бы сходящаяся подпоследовательность).
Таким образом, в бесконечномерном линейном нормирован-
ном пространстве существуют ограниченные последователь-
ности. из которых нельзя выделить сходящуюся, а также
ограниченные замкнутые множества, у которых не из всякой
последовательности их точек можно выделить сходящуюся.
Замечание 1. Если в линейном пространстве X введены
две нормы элементов I) • ||п ’ и || • ||,2\ причем они эквивалентны
(см. определение 14 в п. 58.3), то последовательность ,v„eX
/г=1, 2, ... , сходится к элементу ле! в смысле нормы || • Ц*11
тогда и только тогда, когда она
сходится к д' в смысле нормы
Действительно, в силу эквивалентности норм II • Ц’1* и || • ||<2’.
существуют такие постоянные С|>0 и с2>0, что выполняются
неравенства
с. ||Л„-Л-||,2Ч ilA^-A-lp1^^ ||л-п-Л-||’2' .
Из этих неравенств сразу и следует эквивалентность сходи-
мостей последовательности !.т I к .г в смысле норм || • |]П) и
II • II’2’.
Из доказанной в теореме 1 п. 58.3 эквивалентности всех
норм в конечномерном пространстве следует, что сходимости
последовательностей его точек по всем нормам эквивалентны.
Сходимость по квадратичной норме ||л||2 равносильна покоор-
динатной сходимости (см. и. 18.1 и 18.4), поэтому сходимость
последовательности точек в конечномерном пространстве по
любой норме равносильна сходимости числовых последова-
тельностей координат рассматриваемых точек относительно
произвольного базиса.
Замечание 2. Отметим, что в случае, когда полунорма
не является нормой, даже такая простая функция, как линей-
ная на конечномерном линейном полунормированном про-
странстве, может оказаться не непрерывной. Рассмотрим,
например, двумерное арифметическое пространство X векто-
ров д' = (л'р л'2) с полунормой 11л'|| =|.Vj|. Это действительно
полунорма, так как j>v|| = j.Vj|Кроме того, для любого
числа X имеем	Хл,) и поэтому ||Хл’|| =|X.v1| = |X| |л-(| =
= |Х| ||л'||. Наконец, если г = (,Г1,.г2) также является элементом из
X, то л'+.г —(-V! + Гр д-2 + г2); следовательно, ||л’+_г|| = |л'! -НД <
^1Л'11 + 1.Г|| = ||.v|! + ||г||. Таким образом, все свойства полунор-
мы выполнены.
162
Покажем, что линейная функция /(х)=х2 не непрерывна на
X. Действительно, для последовательности хм — (-, 1) любая
\л /
точка вида х = (0, х2) (х2 произвольно) является ее пределом в
смысле рассматриваемой полунормы:
lim ||х<я)—х|| = lim - = 0.
п
п->сс	п—>^с
В частности точка 0 = (0, 0) является пределом последователь-
ности {х(я)}. Однако
lim f(xM) = 1 /0=/(О).
и-»оо
Это и означает, что функция /(х) = х2 не является непрерывной
по полунорме ||х|| =|лс1|.
Подчеркнем, однако, что если в конечномерном простран-
стве полунорма является нормой, то всякая линейная функция
будет непрерывна относительно этой нормы. Действительно,
пусть X—н-мерное линейное нормированное пространство и
f—линейный функционал на X. Пусть {с15 ... , еп} — базис в X и,
следовательно, любой элемент х&Х представим и притом
единственным образом в виде х = х1е1 +...+х„еп. Поскольку
f— линейный функционал, то
Дх)=/(Х1С1 +... + х„е„) = х1/(е1) + ... + хп/(с„) = а1х1 +... + апхп,
где ak=f(ek), к=\, 2, ... , и,— фиксированные для f числа. Вспо-
миная, что сходимость последовательности точек по любой
норме в конечномерном пространстве эквивалента ее покоорди-
натной сходимости, сразу убеждаемся, что из полученной
формулы /(х) = а1х1 + ... + а„х„ действительно следует непрерыв-
ность функции f
Лемма 7. Норма является непрерывной функцией на линей-
ном нормированном пространстве в смысле метрики (58.18).
В силу равенства (58.18) это следует из того, что полунорма
непрерывна по полунорме (см. лемму 5 в п. 58.4).
Определение 19. Линейное нормированное пространство на-
зывается полным, если оно является полным метрическим
пространством в смысле метрики, порождаемой нормой данного
пространства.
Полное линейное нормированное пространство называется
банаховым пространством.
Линейное нормированное пространство С [а, непрерыв-
ных на отрезке [а, Л] функций с нормой (58.13) является
163
банаховым пространством. Мы в этом убедились в и. 57.1,
когда рассматривали метрическое пространство непрерывных
на отрезке [а, функций с расстоянием (57.1), которое как
раз порождается нормой (58.13). Мы видели, что полнота
пространства С [а, следует из того, что сходимость последо-
вательности в этом пространстве означает ее равномерную
сходимость на отрезке [а, 6].
Теорема 2. Всякое линейное нормированное пространство
содержится и плотно в некотором банаховом пространстве.
Доказательство. Согласно теореме 4 п. 57.5, достаточно
показать, что на пополнение X* линейного нормированного
пространства X, рассматриваемого как метрическое с метрикой
(58.18), можно продолжить с X алгебраические операции и
норму. Это можно сделать с помощью предельного перехода.
Как и при доказательстве теоремы 4, будем считать, что
Хс:Х*, иначе говоря, отождествим пространство X с изомет-
ричным ему подпространством построенного там пополнения
X*.
Пусть, например, х&Х* и уеХ*. В силу плотности X в X*,
существуют последовательности х„еХ и у„еХ, и =1,2, ... ,
такие, что lim х„=х, lim уп=у.
п—>с£>	п->х
Покажем, что последовательность {х„+у„} сходится. Дей-
ствительно,
р(х„+у,Р хт+ут)= ||(хи+у„) - (*т+Л.)Н <
+ ИЛ.” Лп11 = Р (*„, *т)+р(Уи, Ут)'
Из сходимости последовательностей {хя} и {у„} следует, что они
фундаментальные, поэтому последовательность {х„+у„} также
фундаментальная и, следовательно, в силу полноты X*,
сходящаяся.
Положим, по определению,
х+у= lim (х„+у„).
п->со
Аналогично с помощью предельного перехода определяется и
Хх, хеХ*.
Легко проверить, что определенные так алгебраические
операции х+у, Хх для элементов пополнения У* не зависят от
выбора последовательностей {хД и {уп} таких, что х„->х, у„->у,
х„еХ, у„еХ, п=1, 2, ... . Также легко убедиться, что в случае,
когда элементы принадлежат исходному пространству X,
определенные нами алгебраические операции совпадают с
заданными.
Определим теперь норму для хеХ*. Пусть хпеХ, п —
= 1, 2, ... , и limx„ = x. Покажем что последовательность {||х„||}
164
фундаментальная. В самом деле, из неравенства (58.10) для всех
натуральных п и т имеем
Н1*п|| - ll*mllK ll*n—-Xmll = р(*„, Xm). (58.19)
Последовательность {%„}, будучи сходящейся, является и фун-
даментальной, поэтому из неравенства (58.19) следует, что и
числовая последовательность {||х„||} фундаментальна, а значит,
сходится.
Положим, по определению,
11*11 = lim ||х„II •
«->оо
Так определенная норма ||х||, хеХ*, не зависит от выбора
последовательности х„еХ, и = 1, 2, ... , такой, что хп—>х. Легко
проверить также, используя предельный переход, что для
функции ||х||, хеХ*, выполняются свойства нормы 1° — 4° и что
в случае хеХ мы получаем прежнюю норму. □
В качестве примера отметим линейное нормированное
пространство CLp\a, Z>] непрерывных на отрезке [а, функций
с нормой (58.13). Эта норма при р= 1 порождает метрику (57.2).
Можно показать, что метрическое пространство непрерывных
функций с метрикой (57.2) не является полным. Согласно
доказанной теореме, рассматриваемое линейное нормированное
пространство непрерывных на отрезке [a, Ь] функций можно
дополнить до полного пространства. Это банахово про-
странство обозначается L [а, />].
Определение 20. Система элементов ха, a G 21 (21 — некоторое
множество индексов) линейного полунормированного простран-
ства X называется полной в этом пространстве, если для
каждого элемента хеХ и любого числа £>0 существуют такие
элементы ха , ... , ха данной системы и такие числа Х1( ... , Х„,
что выполняется неравенство
II*- (^i*a1 + - + Van)ll<£-	(58.20)
Сформулируем это определение несколько иначе, введя
предварительно еще одно понятие.
Определение 21. Множество АсХ называется плотным в
полунормированном пространстве X, если для любого элемента
хеХ и любого 8>0 найдется такой элемент а&А, что
II*-а\\ <е-
Если X—нормированное и, следовательно, метрическое
пространство, то определение 21, в силу (58.18), приводит к
тому же понятию плотности множества, что и определение 8 из
и. 57.5. Теперь можно сказать:
система {ха}, ае21 — полна в пространстве X, если множе-
ство конечных линейных комбинаций ее элементов, т. е. ее
165
линейная оболочка {см. определение 5 в п. 58.1) образует плотное
в X множество.
Если X является нормированным пространством, то в нем,
как во всяком метрическом пространстве, имеет смысл понятие
замыкания множества, а поскольку плотность некоторого
множества в метрическом пространстве означает, что замыка-
ние этого множества совпадает с самим пространством (см.
определение 8 в п. 57.5), то в этом случае определение 21 можно
перефразировать и таким образом:
система элементов хЛ, аеЭД (s2l — некоторое множество
индексов), линейного нормированного пространства X называется
полной, если замыкание ее линейной оболочки (см. п. 58.1)
совпадает со всем пространством X.
С частным случаем понятия полноты для системы функций
мы уже встречались в п. 55.8.
Определение 22. Если в линейном нормированном простран-
стве X существует счетное множество элементов, образующее
полную систему пространства X, то пространство X назы-
вается сепарабельным.
Заметим, что если пространство X сепарабельно как
линейное нормированное пространство, то оно сепарабельно и
как метрическое пространство с метрикой (58.18). В самом деле,
если в линейном нормированном пространстве X существует
счетная полная система, то это означает, что замыкание
множества конечных линейных комбинаций элементов этой
системы совпадает со всем пространством, а тогда, как в этом
нетрудно убедиться, со всем пространством совпадает
и множество конечных линейных комбинаций элементов
рассматриваемой системы только с рациональными коэф-
фициентами, а таких линейных комбинаций лишь счет-
ное множество (см. следствие теоремы 10 в п. 4.11*). Таким
образом, в пространстве X имеется счетное плотное в нем
множество.
В заключение этого пункта введем понятие базиса, а
предварительно — понятие ряда в пространстве X.
Определение 23. Пусть х„, п = 1, 2, ... ,— последовательность
элементов линейного нормированного пространства X. Положим
sn = xl +... + хп, н=1,2, ... ; пара последовательностей {%„}, {$„}
называется рядом (с общим членом хп) и обозначается
(58.21)
п= 1
элементы s„ называются п-ми частичными суммами ряда
(57.21).
Если последовательность sn, и=1,2, ... , сходится в про-
странстве X, то ряд (58.21) называется сходящимся. В этом
166
случае предел 5 = lims, последовательности л„, и =1,2, ... ,
называют суммой ряда (58.21) и пишут
Z Л-„ = 5.
»= 1
Таким образом, как и в случае числовых рядов, мы будем
одним и тем же символом £ х„ обозначать как сам ряд, так и
п~ 1
его сумму, если он сходится.
Как и для числовых рядов, для рядов в линейных
нормированных пространствах справедливы следующие утверж-
дения.
Если ряд (58.21) сходится, то сходится и ряд £ Хх„. причем
j	"= 1
если £ хя=5, то £ Хх„ = Хх.
п = 1	п - 1
Если в пространстве X сходятся два ряда, то сходится и
ряд, общий член которого равен сумме их членов с одинаковыми
номерами, и его сумма равна сумме сумм данных рядов.
Определение 24. Последовательность элементов е„, п= 1, 2, ...
... , линейного нормированного пространства X называется его
базисом, если, каков бы ни был элемент хеХ, существует, и
притом единственная, последовательность чисел д=1, 2, ... ,
такая, что
А = £	(58.22)
п = 1
Таким образом, если последовательность {е„} является
базисом пространства X, то для каждого элемента хеХ
существует, и притом единственная, последовательность чисел
{Хп} такая, что для каждого о О существует такой номер лЕ, что
при всех п>п1. выполняется неравенство
||Л--	+... + VJII<е-	(58.23)
Формула (58.22) называется разложением элемента х по
базису {е„}.
Нетрудно убедиться, что если система элементов ’{еп}
образует базис, то она линейно независима. Это сразу следует
из единственности разложения элементов пространства по
базису. В самом деле, если бы элементы еп, н=1,2, ... ,
оказались линейно зависимыми, то среди них нашлось бы
конечное множество таких е,еП. что для некоторых чисел
X.J. ... ,ХЛ, которые не все ‘равны 1 нулю, имело бы место
167
равенство +...+лкс„ = 0, т. е. получилось бы разложение
нуля по элементам базиса с коэффициентами, которые не все
равны нулю. Для нуля же имеется тривиальное разложение
X.
0= £ 0е„, поэтому было бы нарушено условие единственности
п = 1
разложения элементов по базису.
Если линейное нормированное пространство имеет базис,
состоящий из конечного или счетного множества элементов, то
это пространство сепарабельно. Действительно, нетрудно про-
верить, что множество всех конечных линейных комбинаций
элементов указанных базисов с рациональными коэффициента-
ми счетно и плотно во всем пространстве.
Замечание. Подчеркнем отличие между последователь-
ностью элементов, образующих полную систему, и после-
довательностью элементов, образующих базис. В первом случае
коэффициенты Хк, Л =1,2, ... , и, в неравенстве (58.20) зависят,
вообще говоря, не только от выбора элемента хеХ, но и от
выбора числа е. Во втором же случае коэффициенты Хк,
А=1,2. ... , в неравенстве (58.23) определяются только самим
элементом (они называются коэффициентами разложения эле-
мента х по данному оазису или координатами элемента х при
данном базисе) и лишь их количество, т. е. число нс, зависит от
выбора е.
Существуют сепарабельные банаховы пространства, в кото-
рых нет базиса.
В следующем параграфе будет рассмотрен более узкий класс
пространств, в которых базис всегда существует.
58.6.	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Изучим теперь некоторые свойства линейных отображений
одного линейного нормированного пространства в другое.
Такие отображения, как и в конечномерном случае, называют
обычно линейными операторами. Мы будем обозначать их
буквами А, В ... и для краткости часто вместо A (х) будем
писать просто Ах.
В п. 41.6 для линейного оператора А : R”->Rm была введена
норма по формуле (см. (41.41))
||Л||= sup |Лх|, хе Я".
I.vl!С 1
Это действительно норма, в смысле определения п. 58.2, в
линейном пространстве У (Я". Я"1). что будет следовать из
дальнейшего рассмотрения.
Пусть X и Y - произвольные линейные нормированные
пространства и А:Х-> Y—линейный оператор. Положим
168
IIЛII = sup II Лх||,	(58.24)
1НЮ
где .||х|| = ||.х-||х и ||Лл-|| = ||Эх||у.
В случае произвольно выбранных линейных пространств X и
Y может оказаться, что верхняя грань ||Л||, определяемая
равенством (58.24), не будет конечной для всякого линейного
оператора А : Х-> Y.
Пусть £(Х У), как всегда (см. п. 58.1), множество всех
линейных Операторов Л, отображающих пространство X в
пространство Y, а Т (X, У) — множество тех из них, для
которых [|Л||< + «. Покажем, что ^(Х. Y) также является
линейным пространством, а ||Л|| — нормой в нем. Если
Ле^(Х У) и Ве^(Х, У), то
||Л + В||= sup ||(Л + В) х)|| = sup || А.х + 5х||
ll-vll	ILvii5?!
< sup (||Л.т|| + ||.S.v||)^ sup |1Лд-|| + sup ||Ях|| =
= ||Л|| + ||B|| < + oc
и, следовательно, A + В е У ( X, У). Для любого Xe J? (или Хе С в
случае комплексных пространств)
||ХЛ||= sup ||ХЛх|| = sup |Х| ||Эх|| =|Х| sup ||Лд-|| = |Х| ||А||< + оо
и, следовательно, ХЛе^(Х У). Таким образом ^(Х, У) дей-
ствительно является линейным пространством.
Далее, очевидно, что из (58.24) непосредственно следует, что
||Л||^0. При этом, если ||Л||=0, т. е. sup !|Лх||=0, то для всех
UB < I
л- таких, что ||х||^1, имеет место равенство ||Ла|| = 0, а
следовательно, и Ла = 0. Но тогда и вообще для всех хеХ также
имеем Лх = 0. Действительно, если х такой элемент простран-
ства X. что ||х[|>1, то заведомо х/0, а значит.
Поэтому, в силу уже Доказанного, A = Отсюда ™Лх = 0
и, следовательно, для любого хеХ: Лх = 0. Это означает,
что А—0. Итак, ||Л||—действительно норма в пространстве
tf(X, У).
Если значение ||Л||, определяемое формулой (58.24), бесконеч-
169
но: ||А|| = + ос, то будем говорить, что «норма оператора А
бесконечна».
Норму ||Л || (как конечную, так и бесконечную) можно
получить и несколько другим способом. Именно, оказывается,
что
МП = sup^, леТ	(58.25)
.v/0 IW!
Для доказательства этой формулы заметим, что
sup ЦЛл'Ц = sup ||Лг|| .	(58.26)
UK1 b.v!i = l
В самом деле, с одной стороны, очевидно, что
sup МЛ'1М sup || А г || ,
ибо при увеличении числового множества его верхняя грань
может только увеличиваться. С другой стороны, для любого
элемента хеХ такого, что 0<||л'||М, положим уd=^-7; тогда
Отсюда
sup IIА А-|М sup IIА у II .
Из полученных неравенств и вытекает равенство (58.26).
Теперь имеем
sup sup Л~-= sup ||Лу||= sup Mi’ll = МП,
х/0 11x11	.v/0 W М = 1
т. е. формула (58.25) также доказана. Из нее, очевидно, следует,
что для любого хеХ. л/0,
Мл-ll/1НМ мн.
и, следовательно, для любого хеХ имеет место неравенство
Мл-IMIMII ll.vll,	(58.27)
где ||х||—норма в пространстве X, ||Лл'||—норма в про-
странстве У, а МИ норма в пространстве (£ (X, У). Это
неравенство, очевидно, является обобщением неравенства (41.42)
в п. 41.6.
Существует еще один подход к понятию нормы оператора,
связанный с понятием гак называемых ограниченных операторов.
170
Определение 25. Оператор A : X-^Y называется ограничен-
ным, если существует такая постоянная о О, что для всех
элементов х е X выполняется неравенство
Мх||^С||х||.
Если А — линейный ограниченный оператор, то все постоян-
ные о 0, обладающие указанным свойством, ограничены снизу
нулем, и поэтому их множество имеет конечную нижнюю грань.
Обозначим ее через с0:
c0 = inf {с: ||Лх||	||х|| , хеХ}.	(58.28)
Покажем, что
с0=М1|.	(58.29)
Прежде всего заметим, что справедливо неравенство
||Л*||^с0 М 
В самом деле, если бы нашелся такой элемент х0 е X, что
||Лх0|| >с0 ||х0||, то нашлось бы число е>0, для которого
выполняется неравенство ||Лх0|| >(с0 + е) ||х0||. Однако это невоз-
можно, так как, согласно определению нижней грани, су-
ществует такое число с>0, что с<с0 + е и для всех хеХ
выполняется неравенство ||Тх||	||х||. В частности, ||Тх0||
||х0|| <(с0 + е) ||х0||. Таким образом, нижняя грань с0 также
удовлетворяет неравенству, с помощью которого определяется
ограниченность оператора А. Поэтому в определении постоян-
ной с0 можно заменить нижнюю грань минимумом:
с0 = min {с: ||Тх||	||х|| , хеХ}.
Из неравенства ||Лх||^с0 ||х|| при х^О имеем
Мх|| / ||х|| ^с0 ,
откуда
Мх||	v
supT~^- хеХ-
11 11
Случай строгого неравенства
невозможен, так как тогда нашлось бы такое число е>0, что
||Л.х||
и, следовательно, для любого хеХ, х=£0, тем более было бы
справедливо неравенство
171
1Их||
INI
<с0 —е, или ||т4х|| <(с0 —е)
||х|| , хеХ,
что противоречило бы выбору с0 как минимальной постоянной,
обладающей свойством ||Лх|| <с ||х||, хеХ.
Итак,
c0 = sup^~=IMII •
Образно говоря, это равенство означает, что оператор А
ограничен тогда и только тогда, когда он имеет конечную
норму. Таким образом, множество ограниченных операторов
составляет пространство N’ (X, Y).
В п. 41.6 было показано, что всякий линейный оператор
А : Х-* Y в случае, когда линейные нормированные пространства
X и Y конечномерны и в качестве норм в них взяты
квадратичные нормы ||х||2 и ||у||2, хеХ. yeY, имеет конечную
норму. В конечномерных линейных пространствах все нормы
эквивалентны (см. теорему 1 в п. 58.3), поэтому отсюда следует,
что любой линейный оператор А, отображающий конечномерное
линейное пространство X в конечномерное же линейное про-
странство Y, ограничен при любом выборе норм в этих
пространствах, т. е. в этом случае
2(Х, Y) = ^(X, У).
Упражнение 13. Доказать, что если X и Y—линейные нормированные
пространства, причем У—банахово пространство, то пространство линейных
ограниченных операторов (X, Y) также банахово.
Так как всякое линейное нормированное пространство
является метрическим пространством, то можно говорить о
непрерывности отображения одного линейного нормированного
пространства в другое. Оказывается, что понятие ограничен-
ности линейного оператора тесно связано с его непрерыв-
ностью.
Теорема 3. Пусть X и Y—линейные нормированные
пространства. Для того чтобы линейный оператор А : Х-* Y был
ограничен, необходимо и достаточно, чтобы он был непрерывен.
Доказательство. Если А — ограниченный линейный опе-
ратор, то из неравенства
||Лх-Лх0|| = ЦТ (х-х0)|| Mil h-*oil
(58.27)
сразу следует, что
lim Ах = Ах0.
х-»х0
172
Если же А — непрерывный линейный оператор, то из
непрерывности его в нуле следует, что, например, для е=1
существует такое 8>0, что из условия ||х||<8 следует, что
||Лх||<1-
Зафиксируем какое-либо р, 0ср<8. Так как для любого
хеХ, х =£0, выполняется неравенство
П-У
IWI
= — ||х|| =р <8,
IWI 11 11	1
то для любого хеХ, х^О, согласно выбору числа 8, будем
иметь
лМ<1.
(58.30)
Но, в силу линейности оператора А, имеет место равенство
лМ = 2Ъл(х).
М IW! v ’
Следовательно, для любого хеХ, х^О, справедливо нера-
венство
йМх||<1-
т. е. неравенство
IMxll < 1
IMI п ’
что и означает ограниченность оператора А. □
Задача 38. Построить пример линейного разрывного оператора на
некотором линейном нормированном пространстве.
Рассмотрим теперь композицию линейных операторов.
Теорема 4. Если X, Y и Z — линейные нормированные
пространства, a A'.X->Y и B:Y—>Z— линейные ограниченные
операторы, то для нормы композиции Во А операторов А и В
выполняется неравенство
И°Л|Ы|5|| И1-	(58.31)
Следствие. Композиция ограниченных линейных операторов
также является ограниченным линейным оператором.
Доказательство. В самом деле, для любого хеХ имеем
\\(В° А)(х)\\ = \\В(Ах)\\ А ||5||Мл-||	||5|| МП ||х||.
(58.27)	(58.27)
173
В силу свойства (58.28) — (58.29) нормы линейного оператора,
отсюда сразу следует неравенство (58.31). □
Произведением X х Y линейных нормированных пространств
X и Y называется линейное пространство X х Y (см. определе-
ние 11 в и. 58.1), в котором задана норма формулой
ll(x, у)|| =fVlWI2+ 1Ы12 ,	(58.32)
где ||х||—норма элемента х в пространстве X, а ||у||—норма
элемента у в пространстве Y.
Выполнимость аксиом нормы для ||(х, у)|| легко устанавли-
вается непосредственной проверкой.
Упражнения. 14. Доказать, что если
||(х, Д||* =*тах {||х||, 11>’1|} и ||(х, Д||** =f IWI + IItII ,
где (х, у)еХ х Y, X и У — линейные нормированные пространства, то ||(х, >’)||* и
||(х, г)||** являются нормами, эквивалентными норме (58.32).
15. Доказать, что произведение банаховых пространств также является
банаховым пространством.
Теорема 5. Если А:Хх Y->Z — линейный ограниченный
оператор, отображающий произведение X х Y линейных норми-
рованных пространств X и Y в линейное нормированное
пространство Z, то существуют, и притом единственные,
такие линейные ограниченные операторы Ap.X->Z и Ap.Y-^Z,
что для любого элемента (х, у) е X х Y имеет место равенство
Л(х,у) = Л(х)+Л2(у).	(58.33)
При этом для норм операторов А, Ах и Аг выполняются
неравенства
IIAIIAIA, ПАИ Mil •	(58.34)
Обратно: если Ap.X-^Z и Аг: Y-^Z — линейные ограниченные
операторы, то оператор А: X х Y->Z, определенный формулой
(58.33), является линейным ограниченным оператором и для него
имеет место неравенство
IIAAIAII + ПАИ-	(58.35)
Доказательство. Если задан линейный ограниченный
оператор А'.Хх Y-XZ, то для любого хеХ положим
Аг (х) = Я (х, 0)	(58.36)
и для любого yeY—
А2(у) = А(0,у).	(58.37)
Как легко убедиться непосредственной проверкой, опера-
торы А и А линейны. Докажем их ограниченность:
174
IIAWll = у (Л-, 0)11	у||||(л-, 0)11 = МII INI-(58.38)
(58.36)	(58.27)	(58.32)
Аналогично,
М2(.г)1ММ11 11.1’11-	(58.39)
Из неравенств (58.38) и (58.39) сразу следует ограниченность
операторов Аг и Л2, а также неравенство (58.34).
Докажем формулу (58.33):
Л (л-, г) = А ((л-, 0) + (0, г)) = А (л-, 0) + А (0, г) (5 = 6) А, (х) + А 2 (р).
(58.37)
Если B}:X->Z и В2: Y->Z — два таких линейных ограничен-
ных оператора, что
Л(х, гЬМх) + В2(р),	(58.40)
то, заметив, что В2(0) = 0, будем иметь для любого хеХ
равенство
Bt(x) = В^х) + В2(0) = Л (х, 0) = Л Дх).
(58.40)	(58.36)
Аналогично, для любого ре Y имеет место
52(.г) = Л2(р),
г. е. В1 = А1, В2 = А2, иначе говоря, линейные операторы Ах и
Л2, для которых имеет место формула (58.33), единственны.
Наконец, если At :X-*Z, Л2: F->Z — линейные ограниченные
операторы и оператор А :Х х Y^Z определен формулой
(58.33), то, очевидно, А—линейный оператор и, кроме того,
ограниченный, ибо
м (-V, р) || = ||Л! (А-) + А2 (р)|| IIЛ, (х)|| + ||Л2(р)||
(58.33)	(58.27)
< М11I II-X-II + \\А2|| ||р||
и поэтому
^1212	M.IMp^^-- + IIЛ 2II
4л*з) j58J2)	ук||*+||.г!Г	у Ba-Ц + ||.г||“
Mill + М2||-
Отсюда сразу следует ограниченность оператора Л и
неравенство (58.35). □
Аналогично понятию произведения двух линейных нормиро-
ванных пространств определяется понятие произведения п
линейных нормированных пространств при любом натуральном
п и для него доказывается теорема, аналогичная теореме 5.
175
58.7. БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
Введем понятие ограниченного билинейного отображения
(см. определение 12 в п, 58.1).
Определение 26. Билинейное отображение f X х y->Z (X. Y u
Z - . шнейные нормированные пространства) называется ограни-
ченным, если существует такая постоянная о О, что для
любых хеХ, ye Y выполняется неравенство
r(-v. y)il м llj’ll -	(58.41)
Нетрудно убедиться, что множество ограниченных билиней-
ных отображений /': X х y->Z образует подпространство линей-
ного пространства всех билинейных отображений X х Y->Z (см.
п. 58.1).
Если /(.V, у)--ограниченное билинейное отображение, го
нижняя грань всех постоянных о О, для которых выполняется
неравенство (58.41), называют нормой билинейного отображения и
обозначают У\\:
|l/]|=inf[c: И(.т, у)||	||.v|H!y||} •	(58.42)
Аксиомы нормы для |[/]| на линейном пространстве всех
ограниченных билинейных отображений f:X х E->Z легко уста-
навливаются непосредственной проверкой.
Из неравенства (58.41) и определения (58.42) следует, что для
всякого ограниченного билинейного отображения / выполняется
неравенство
ll/-(-v, у)К 11/11 W ИЛ.	(58.43)
Линейное нормированное пространство ограниченных били-
нейных отображений /: X х Y~>Z обозначается через (X, У; Z).
Теорема 6. Для того чтобы билинейное отображение
z =j\x. у), л* е X, у е Y, zeZ. произведения X х Y линейных
нормированных пространств X и Y в линейное нормированное
пространство Z было непрерывным, необходимо и достаточно,
чтобы оно было ограниченным.
Доказательство. Если билинейное отображение f.X х
х E->Z ограничено, то для любых xQ еХ,хе X, у0 е У, у е У, имеем
П/'(л-, у) -f(x0, у0)|| = |[/’(х, у) -/'(х0, у) +./'(л-0, у) -/(.т0, у0)|| У
< l[/'(-V--A'o< у)!1 + 11/(*о, У -Уо)11
(58.41)
^(ll-V-Xoll Hyll + ll-Voil ||У-Уо11)
±Уо
^с[||л--л-0||(||у0|| + ||у-уо11)+ 1|л-0|| Ну—уо!1] -
176
Очевидно, что из этого неравенства сразу следует непрерыв-
ность отображения /’ в точке (,г0, у0):
lim /(х, у)=./(х0, у0).	(58.44)
4.V. г) - (л0. г0)|| ->О
Если, наоборот, билинейное отображение /: X х K->Z не-
прерывно на X х У, то, в частности, оно непрерывно в нуле и,
следовательно, например для е=1, существует такое 5>0, что
как только ||х||<8, ||у||<8, то выполняется неравенство
\\f\x, у)II < 1.	(58.45)
Зафиксируем какое-либо г|, 0<ту<8. Тогда для любых хеХ
и уе У, aVO, у^О, будут выполняться неравенства
Отсюда. использовав билинейность отображения получим
у)|| <-^ ||х|| ||у|| , х^О, у^О.
При х = 0 или у = 0 это неравенство также справедливо, ибо
/(О, у) = /’(х, 0Ь= 0. Таким образом, отображение / действительно
ограничено. П
Упражнение 16. Доказать, что если Z банахово пространство, то
пространство билинейных ограниченных отображений (X. У; Z) также
банахово (X и Y линейные нормированные пространства).
Пусть /: X х T-+Z--билинейное отображение произведения
линейных нормированных пространств X и У в линейное
нормированное пространство Z. При фиксированном элементе
хеХ отображение / задает некоторое линейное отображение
(обозначим его /х) пространства У в пространство Z:
А(.Ф =7(ху), У 6 У.	(58.46)
При этом если /— ограниченное билинейное отображение,
то
11Ш1 = ll/U y)ll 11/11 ||л'1! Ilyll;
(58.46)	(58.43)
(58.47)
177
поэтому fx также является ограниченным отображением и,
согласно определению нормы линейного оператора,
IAIN 11/11 INI-
Таким образом, для каждого билинейного отображения
/£^2 (X, У; Z) отображение
F.x^fx	(58.48)
отображает пространство X в пространство 4? (У, Z).
Из формул (58.46) и (58.48) следует, что
(F(.v))(y) = А О’) = ЛМ-	(58.49)
(58.48)	(58.46)
Лемма 8. Отображение F (см. (58.48)) является линейным
ограниченным оператором, отображающим пространство X в
пространство Z'(Y,Z}, т. е. Fe if (X, У(Х, Z)), и
11ЛНШ-	(58.50)
Доказательство. Пусть л^еУ, х2еХ, Xt и Х2— числа,
тогда для любого ге У имеем
(^(Х,.¥1+Х2л-2))(}') = ./'(Х^ + ХгЛ-о, у) =
(58.49)
= Х1/(д-1, г) + Х2/(х2, у) = (МЛиШ + (Х2Г(х2))(у) =
(58.49)
= (X,F(.y1) + X2F(x2))(y),
и так как эго верно для каждого уе У, то
F(X1.v1 + X2x2) = X,F(x1) +X2F(x2),
т. е. F- линейный оператор.
Ограниченность оператора F следует из неравенства
F(-v)ll = Ю У\\ IWI •
(58.48)	(58.47)
Более того, из этого неравенства вытекает, что
IIWI-	(58.51)
С другой стороны, ограниченность оператора F означает,
что для любого хеХ выполняется неравенство
№)1Ы|Л INL	(58.52)
поэтому
1А(л-..г)|| = 11№))(У)11<И(л-)|Н1г|| IIл IN П^Н (58.53)
(58.49)	(58.52)
178
Из неравенств (58.51) и (58.53) следует равенство (58.50). □
Определение 27. Отображение одного линейного нормирован-
ного пространства на другое называется изоморфизмом или
изоморфным отображением, если оно взаимно однозначно,
линейно и сохраняет норму.
Два линейных нормированных пространства, для которых
существует изоморфное отображение одного на другое, назы-
ваются изоморфными.
Пример. Пространство У (R, X) для любого линейного
нормированного пространства X изоморфно с X.
Поставим в соответствие каждому элементу хеХ оператор
Ах:	teR. Очевидно, что оператор Ах линеен и ограничен:
||Л|| = ||х||. Легко убедиться, что соответствие xi—>Ax является
изоморфизмом между X и if (R, X).
Теорема 7. Если X, Y и Z — линейные нормированные
пространства, то пространства if г (Т, Y; Z) и Jf (X, if(Y, Z))
являются изоморфными пространствами, причем изоморфным
отображением пространства if г (У, Y; Z) на пространство
if(X, if (Y, Z)) является отображение
f^F	(58.54)
(см. (58.46) и (58.48)).
Доказательство. Обозначим отображение (58.54) через
Ф:
Ф(/) = Г.	(58.55)
Согласно определению, отображение Ф(/) является таким
отображением пространства X в пространство Jf (Y, Z), что для
любого хеХ элемент (Ф (/))(%) является отображением Y в Z и
для него выполняется равенство
(ф(./'»й„,=„Ж58=48Л-	(58.56)
(Эо.ЗЭ)	(Do. 4-о)
Поэтому для любого yeY выполняется соотношение
((Ф(/))Н)Ы,88=;б|Л«(5!йб/Р. Л- <58.57)
Докажем линейность отображения Ф: пусть /, ge
eif2(X, Y; Z), Хх, Х2 — числа, тогда
((Ф (Z/+ pg)) (х)) (у\5 = ?)(V + pg) (х, у) =
= Х/(х, y) + pg(x, Д58=57)Х((Ф(/))(х))(у)+р((Ф(^))(х))(у) =
=((^ф (/)) (*)+(мф U)) (х)) W
(мы здесь использовали обычное правило сложения функций и
умножения их на число). Так как это равенство верно для
любых yeY, то
179
(Ф (Х/+ pg)) (x) = (/.Ф (/)) (x) + (цф (g)) (x)=(ХФ (/)+цФ (g)) (x),
и так как это верно для любых хеХ, то
ф (V+ Pg) = А.Ф (/)+цф (g),
что и означает линейность оператора Ф.
Если Е=Ф(/), то ||/|| = || F|| (см. (58.50)), т. е. оператор Ф
действительно сохраняет норму. Поэтому если //0, а следова-
тельно, и ||/||/0, то ||Ф(/)||/0, откуда Ф(/)/0, т. е. ядро
отображения Ф состоит только из нуля, что означает взаимную
однозначность (инъективность) отображения Ф.
Наконец покажем, что отображение Ф отображает простран-
ство Y; Z) на все пространство JF(X, ^(Y, Z)) (сюръек-
тивность отображения Ф).
Пусть F—линейный ограниченный оператор, отображаю-
щий пространство Хв JF(Y, Z), тем самым для каждого хеХ
элемент F(x) является ограниченным линейным оператором,
отображающим пространство Y в Z. Это означает, что для
каждого yeY элемент (F(x))(y) принадлежит пространству Z.
Положим
def
/(х, y) = (F(x))(y).	(58.58)
Из линейности операторов F и F(x) следует, что /(х, у)
является билинейным отображением X х Y в Z, а из неравенства
IIЖ у) II = II (F(x)) (у) II < II F(x) II II у II < II F\\ II X II II у II
(58.58)	(58.27)	(58.27)
— его ограниченность, т. е. feJF2{X, Y; Z). При этом
((ф(/))№Ц58=57/(*’ y\5S=4F^
и так как это неравенство верно для любых х е X, у е Y, то
Ф(/) = Е. □
По аналогии с ограниченными билинейными отображениями
вводится понятие ограниченных мультилинейных отображений
(см. и. 58.1) произведения линейных нормированных про-
странств Хк, Х2, ..., Х„ в линейное нормированное пространство
Y и определяются их нормы. Линейное нормированное про-
странство мультилинейных ограниченных отображений /: Xt х
х Х2 х ... х Y обозначается	Х2,	Х„; У).
Имеет место теорема, аналогичная теореме 8. Пространства
^(Х^ &(Х2, ..., ^(Х„, У))) и ^„(Xk, Х2, ..., Х„; У) изоморфны
между собой, при этом существует такой изоморфизм этих
пространств, что для элементов FeXf(X1, XF(X2, ..., ./(А/ у))) и
fe^F„(X1, Х2, ..., Хп; У), соответствующих при нем друг другу,
для любых хкеХк, /с=1, 2, ..., п, имеет место соотношение
180
(,..((F%i)x2)...)%„=/(%!, xz,	x„).	(58.59)
В заключение отметим, что когда Х1=Х2 = ... = Хп — Х, то
вместо ^„(Х, X, ..., X; Y) пишут ^п(Хп; Y).
58.8.	ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
Определению понятия дифференцируемости отображения
множества, лежащего в одном линейном нормированном
пространстве, в другое такое пространство предпошлем, как
всегда, несколько замечаний о символе «о малое» для рассмат-
риваемого случая.
Пусть X и Y—линейные нормированные пространства,
Е<=Х и хоеХ.
Отображение а: Е-+ Y назовем бесконечно малым при х-^х0
по сравнению с отображением ||х —х0||" и будем писать
а(х) = о((х-х0)"),
если существует такое отображение e:E^>Y, что для всех
точек из множества Е, принадлежащих некоторой фиксирован-
ной окрестности точки х0, имеет место равенство
а(х) = Е(х) || х—х0 ||п	(58.60)
и
lim е(х) = 0.	(58.61)
х~*ло
Если отображение а(х) определено в точке х0, т. е. хоеХ, то
и отображение е(х) также определено в этой точке, а
следовательно, согласно определению предела, и непрерывно в
ней: в(хо) = 0.
, Определение 28. Отображение f открытого множества G
линейного нормированного пространства X в линейное нормиро-
ванное пространство Y называется дифференцируемым в точке
х е G, если существует такой линейный ограниченный оператор
A;X-*Y, что имеет место равенство
/(х + /г)=/'(х) + Л (/г) + о(/г), heX, h-+Q.	(58.62)
Линейный оператор А называется дифференциалом отобра-
жения f в точке х и обозначается Df(x) (или, более подробно,
(£>/)(х)). Дифференциал Df(x) называется также дифференциалом
Фреше *\
Используя обозначение дифференциала, определение (58.62)
можно записать в виде
*’ М. Фреше (1878	1973)—французский математик.
181
f(x + h)=f(x) + Df(x)h + o(h), h-^Q	(58.63)
(здесь для краткости написано Df(x)h вместо (£>/(х)(/г)).
Дифференциал Фреше Д/(х) называют также производной
Фреше и обозначают /'(х). В конечномерном случае (см.
и. 41.7), по аналогии со случаем числовых функций, мы
называли производной отображения матрицу дифференциала
(матрицу Якоби) в некотором заданном базисе. В бесконечно-
мерном случае нет прямого аналога этого определения хотя бы
потому, что не во всяком линейном нормированном про-
странстве имеется базис. В том случае, когда в рассматривае-
мых пространствах существуют базисы, линейные операторы, в
частности дифференциалы, можно задавать их бесконечными
матрицами, но мы на этом не будем здесь останавливаться.
Отметим, что если отображение F:G^»Y, GcX, дифферен-
цируемо в точке xeG, то оно и непрерывно в этой точке. Это
сразу следует из формулы (58.63):
Пт/(х + /г)=/(х).
Пример 1. Если X—линейное нормированное пространство,
хоеХ, аеХ и f(t) = x0 + ta, — оо<Г<+оо, то отображение
f-.R-^X дифференцируемо во всех точках и
f (x() + ta) = a.	(58.64)
Действительно, здесь /(? + а)=/(г) + а/г, т. е. условие (58.63)
выполняется при о(/г) = 0 (напомним, что каждый элемент аеХ
можно рассматривать и как элемент пространства JF (R, X), см.
пример в п. 58.8).
Ниже формулируемые теоремы 8 —10 доказываются дослов-
но так же, как аналогичные теоремы 3 — 5 в п. 41.7 для
отображений множеств, лежащих в конечномерных простран-
ствах, так как в приведенных там доказательствах нигде не
использовалась конечномерность рассматриваемых пространств
(длины |х| векторов евклидовых пространств надо заменить,
конечно, нормами || х || элементов линейных нормированных
пространств). Поэтому здесь мы не будем приводить доказа-
тельства указанных теорем.
Теорема 8. Если отображение f:G->Y (G — открытое
множество, GcX, X и Y—линейные нормированные простран-
ства) дифференцируемо в точке xeG, то его дифференциал в
этой точке определен однозначно.
Следствие. Дифференциал линейного отображения совпа-
дает с самим отображением.
Теорема 9 (линейность дифференциала). Если отображения
f.G-^Y и g:G->Y (G — открытое множество в X, X и
Y—линейные нормированные пространства) дифференцируемы в
182
точке х е G, то для любых чисел Л и ц линейная комбинация
Yf+\).g также дифференцируема в этой точке и
D (Х/+ pg) (х) = Х£>/(х) + pDg (х).
Теорема 10. Пусть G и D — открытые множества
соответственно в X и Y, а X, Y и Z — линейные нормированные
пространства. Если отображение f'.G-^D дифференцируемо в
точке xeG, а отображение g.D^Z в точке f(x), то композиция
g-ф дифференцируема в точке х и ее дифференциал в этой точке
равен композиции дифференциалов отображений / и g:
D (g;/) (х) = D (g (/(х)))ор/(х).	(58.65)
Если X—линейное нормированное пространство, лое1,
хе У, то множество всех точек из X вида
х0 (1 — f) + tx, 0 t 1.
называется отрезком [х0, х], а множество всех точек вида
х0 (1 — z) + tx, 0 < t < 1,
— интегралом (х0, х) в пространстве X. Точки х0 и х
называются концами указанных отрезка и интервала.
Пример 2. Если отображение f-.G->Y (G— открытое в X
множество) дифференцируемо в точке x + toh, 0</о<1. интер-
вала (х, х+Л)с6, то отображение g(t)=f(x +th), Oerel,
дифференцируемо в точке toe{0, 1) и
<?'(zo)=/’' (x+toh)h.
Это сразу следует из формул (58.64) и (58.65).
Наряду с понятием дифференцируемости отображения в
смысле определения 28 бывает полезным понятие дифференци-
руемости отображения в данном направлении, к рассмотрению
которого мы и перейдем.
Определение 29. Пусть X и Y—линейные нормированные
пространства, хе Ес У, Л^О, и отображение f:E-*Y определено
на элементах вида x+th при достаточно малых />0.
Отображение / называется дифференцируемым в точке х по
направлению вектора h, если существует такой элемент
tDhfKx)eY’ 11то
f\x + th) = f\x) + (Dhf)(x)t + o(t),	z->0.	(58.66)
Это условие равносильно условию существования в про-
странстве Y предела
Нт'11±^ЬГИ=(/>Л(4
t—0	!
Элемент Dhf\x) = (phf)(x) называется производной по направле-
нию h (или производной Гато*} по направлению й). **
** Р. Гато (ум. 1914) французский математик.
183
Производная Фреше Df(x) и производная Гато Dhf(x) имеют
разную природу: производная Фреше — элемент пространства
£(Х У), а производная Гато — элемент пространства У.
Упражнения. 17. Доказать, что отображение х-»||х||, .reX (X линей-
ное нормированное пространетво), имеет в точке л = 0 производную по любому
направлению и не дифференцируемо по Фреше.
18.	Доказать, что если отображение f:G->Y (GaX, X и Y линейные
нормированные пространства, G открытое в X множество) дифференцируемо
в точке деС по Фреше, то оно в этой точке имеет производную по любому
направлению.
Если у отображения f:G-> У, G^X, в точке хеб существует
производная по любому направлению, т. е. при любом
существует £>Л/'(х)еУ, то, вообще говоря, этот элемент нели-
нейно зависит от h. Если же существует такой линейный
ограниченный оператор, обозначаемый обычно £)с„/(х):.¥-> У,
что
(DeJ(x))(h) = Dhf(x),
то этот оператор называется слабым дифференциалом, слабой
производной или дифференциалом Гато.
В этом случае равенство (58.66) имеет вид
/(х+th)=/'(х) + tDCJIf(x) (h) + о (г),	7->0
(вместо (£>сл/(х))(/1) пишут короче: £>сл/'(х) (/?)) и оно уже имеет
смысл для всех h<sX.
Дифференциал Фреше называют также сильным дифферен-
циалом.
Очевидно, что если у отображения f:G-> У, G^X. в точке х
существует сильный дифференциал, то в ней существует и
слабый дифференциал, причем они совпадают. В самом деле,
если имеет место равенство (58.63), то при любом фиксирован-
ном h^Q и достаточно малом t>0 будем иметь
,/'(х + th) =/ (х) + Df(x) (th) + о (th) =
=/(х) + 7£>/(х)(/г) + о(/),	7—>0,
ибо
o(th)=o( || th || ) = о(г||Л||) = o(t).	t->0
(h — фиксированный элемент пространства X, не равный нулю).
Это и означает, что сильный дифференциал является и
слабым.
Упражнение 19. Привести пример отображения, имеющего в некоторой
точке слабый дифференциал и не имеющего в ней сильного.
Указание: см. п. 20.7.
Можно показать (см.: Ильин В. А., Садовничий В. А.. Сеи-
дов Бл. X. Математический анализ.— М.: Наука, 1979, с. 617),
что если у отображения f:G-+ У, GcX. в некоторой окрестности
184
точки xeG существует слабая производная Dejlf[x\, непрерывная
в точке л (это означает, что отображение xi—>(.Осл / Дх) е <£ (X, Y),
т. е. отображение вида Х^>.¥(Х, Y), непрерывно), то в этой
точке существует сильная производная DДх), причем она
совпадает со слабой.
58.9.	ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ
Получим теперь для дифференцируемых отображений ли-
нейных нормированных пространств аналог формулы конечных
приращений Лагранжа для числовых функций (см. п. 102 и
15.2). Предварительно докажем следующее вспомогательное
утверждение.
Лемма 9 (лемма Л. Шварца**). Пусть ф— отображение
отрезка [0, 1 ] в линейное нормированное пространство Y, а
ф— действительная функция, заданная также на отрезке
[0, 1 ], причем ф и ф непрерывны на этом отрезке и диффе-
ренцируемы в его внутренних точках.
Если для всех /ДО, 1) выполняется неравенство
||ф(/)||^ф'(/),	(58.67)
то имеет место неравенство
||ф(1)-ф(0)||^ф(1)-ф(0).	(58.68)
Доказательство. Зафиксируем произвольно е>0 и обо-
значим через £Е множество точек отрезка [0, 1 ], для которых
выполняется неравенство
||ф(/) —ф(0)|| Д/Дф(0) + £/ + Е.	(58.69)
В силу непрерывности ф и ф, множество £Е, как определен-
ное нестрогим неравенством, замкнуто: в самом деле, если
/„е£Е и lim t„ = fn, то, перейдя к пределу при и->оо в
л—* се
неравенстве
ll<p(U — ф(°)П	Ф(°) + Ч. + е-
в силу непрерывности ф, ф и нормы, получим
IIФ (to) ~ Ф (0)11 < ДД - Ф(0)++ е-
Это означает, что /ое£е, т. е. что множество £с замкнуто.
Множество £Е не пусто, так как неравенство (58.69) заведомо
справедливо для достаточно малых /, ибо предел его левой
части при /->0 равен нулю, а правой равен е->0.
Положим
a = sup £е.	(58.70)
♦’Л. Шварц (род. в 1915 г.) - французский математик.
185
Из замкнутости множества Е, следует, что аеЕ,. Покажем,
что «=1. В самом деле, пусть
а<\.	(58.71)
В силу дифференцируемости отображения ф, для достаточно
малых А > 0 имеем
II ф(«+Л)-ф(а) || = || ф'(a)h+o(h) || + || ф'(«) || h + ~h. (58.72)
Из неравенства (58.67) следует, что ф'ф)^О и, следовательно,
функция ф не убывает, а поэтому
|ф(« + А)-ф(а)| = ф(а + А) — ф{<т), А>0.	(58.73)
В силу же дифференцируемости функции ф, для достаточно
малых Л>0 получим
|ф(а+/?)-ф(а)| = |ф' (a) h + o(h) (> | ф' (с/) | А-1 о (А) |
^ф'(а)А-|А.	(58.74)
Поэтому
II ф(<7 + А)-ф(т/) II < II ф'(</) II А + |А < ф'(<7) + |А
(58.72)	2 (58.67)	2 (58.73)
(58.74)
<ф(а + А) — ф(«) + еА.	(58.75)
Заметив, что
|| ф(«)—Ф(0) || + ф(<т) —ф(0) + еа + Е,	(58.76)
(58.69)
для всех достаточно малых А>0 будем иметь
|; ф(п + Л)-ф(0) || = || ф(« + А)-ф(н) + ф(с/)-ф(0) || <
< II Ф(«+/?) — Ф(«) || + || ф(п)-ф(0) 1|
(58.75)
(58.76)
ф («+Л) - ф (0)+е (« + А) + Е.
Таким образом, для числа a+h при указанных Л выпол-
няется неравенство (58.69), что противоречит (58.70), ибо А>0.
Итак, а = supЕ(= I. Это означает, что неравенство (58.69)
справедливо при 7=1 и любом е>0:
' || ф(1)-ф(0) Кф(1)-ф(0)+2с.
Перейдя в этом неравенстве к пределу при е-> + 0, получим
неравенство (58.68). О
Теорема 11. Если отображение f: G -> Y (G — открытое в X
множество, X и У линейные нормированные пространства)
186
непрерывно на отрезке [х0, х] с G и дифференцируемо на
интервале (х0, х), то
||/(х0+/г)-/(х0) КII h || sup \\f® ||.	(58.77)
^e(.v0,.v)
Доказательство. Если sup \\f (^) || = + со, то неравенство
Мч>-'1
(58.77)	очевидно, если же производная f ограничена:
def
с= sup ||/'(^)||< +со,
?e(.v0..v)
то рассмотрим функции ср (/) = /(х0 + th) и ф (?) = с || h || t, 0 t 1.
Функции ф и ф непрерывны на отрезке [0, 1 ] и дифференци-
руемы на интервале (0, 1) (для отображения это следует из того,
что оно является композицией отображений x = x0 + th и /). Так
как (см. пример 2 в. п. 58.8)
ф'(г)=/'(х0 + ?/г)/г,
то
1|ф'(011<11/'Н1|йКс||й||=ф'(г), 0<1<1,
и, следовательно, (риф удовлетворяют условию леммы 10, а
неравенство (58.68) превращается в рассматриваемом случае в
неравенство (58.77). □
58.10. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть f—отображение открытого множества G линейного
нормированного пространства X в линейное нормированное
пространство Y. Если это отображение дифференцируемо во
всех точках xeG, то его производная f'{x)p,X)(X, У) задает
отображение f: х \-*f' (х) множества G в линейное нормирован-
ное пространство У{х, Y). Если это отображение, в свою
очередь, дифференцируемо в точке xeG, то его производная
(/')'(х) обозначается /"(х), т. е.
def
/" (х) = (/')'(х),	(58.78)
и является элементом пространства .^(Х, ^(Х, У)).
Оператор f" (х) называется второй производной отображения
f в точке х.
Если отображение f имеет в точке х вторую производную,
то оно называется дважды дифференцируемым в этой точке.
Пусть h е X, ке Х, тогда /" (х) h е (X, У) и (f" (х) /г) к е Y.
Отображение
(h, k)^(f"(x)h)k
187
является, как легко видеть, билинейной формой, т. е. элементом
пространства X’2 (У2; У) (см. п. 58.7).
Таким образом, вторую производную можно рассматривать
как билинейную форму, определяемую равенством
/"(х)(й, к) = (f"(x)h)к, heX, кеХ. (58.79)
Задача 39. Билинейная форма f(x, >), хеХ, уеХ (X—линейное нормирован-
ное пространство), называется симметричной, если для любых элементов хеХ и
у&Х выполняется равенство /’(х, y)=j\y, х).
Доказать, что если отображение f открытого множества Gci в простран-
ство Y дважды дифференцируемо в точке хеб, то вторая производная /"(х)
является билинейной ограниченной симметричной формой из JZ',(X2; У) (X и
У — линейные нормированные пространства).
Аналогичным образом определяются последовательно и
производные высших порядков рассматриваемого отображения
f:G-*Y, G<=X:
Г(х)-(ГУ(х)
и, вообще,
def
/<">(х) = (/("-1))'(х), п= 1, 2, ...	(58.80)
(как обычно /<0) (х) = /(х)).
При фиксированном xeG производная /'"(х) является ото-
бражением X в (X, <£\Х, У)), т. e./"'(x)eS’(y, S’(У, S’(У, У))).
Подобным образом
/(я)(х)е^(У, S’(У S’(У, У)...)).	(58.81)
ХТГраз
Так как пространство S’(У, S’(У, ..., ^(Х, И--)) изоморфно
пространству «-линейных форм S',, (У"; У), то производную
/'"’(х) можно рассматривать как полилинейную форму
def
/<"’(x)(/;1, ..., h„)	=	(...(/‘"’(х)/!!)..(58.82)
hkeX, к = 1,2,...,«.
Отсюда следует, что
..., An) = ((/<n'1))'WA1)(A2’	<58-83)
В самом деле, согласно (58.81),
f^(x\h^(X, S’(У, ..., S’(У,	У)...)), !ЧеХ,
п— 1 раз
но пространство S’(У, S’(У, ..., S’(У, У)...И изоморфно
пространству полилинейных функций S’(У"”1, У), причем при
описанном выше их изоморфизме оператору f(n)(x)h1 соответ-
ствует («— 1 )-линейная форма, определяемая равенством (см.
(58.59))
(fn(x)hl)(h2, ..., йи) = (...(/<"’(х)й1)й2...)Ал.	(58.84)
188
Таким образом,
/(n)0#i> hn) =	•••> hn).
(58.82)
(58.84)
Отсюда, в силу формулы (58.80), сразу следует равенство
(58.83).
По индукции доказывается формула
..., /z„_m))(/zn_m+ls ..., йп) =
=/<и)М(/гь •••> О^т^п.	(58.85)
В том случае, когда h2 =h2 =... = hn — h, вместо /(п)(х)(/г, ..., /г)
будем писать /*л)(х)/г". Таким образом,
Г’(л-)/7" = (...(/"(х)/7...)/г.	(58.86)
58.11. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Докажем теперь справедливость формулы Тейлора для
отображений линейных нормированных пространств.
Теорема 12. Если отображение f.G-^Y (G — открытое в X
множество, X и Y—линейные нормированные пространства)
имеет на отрезке [х0, хДсС п непрерывных производных и на
интервале (х0, х,) производную порядка п + 1, то
||/(х + /г)-/(х)-/'М^-“/г2- •••
SUP 11/<Л + 1)(Ш-	(58.87)
(л+1)! ^„.ч)
Следствие. Если в предположениях теоремы производная
порядка и+1 ограничена на интервале (х0, xj
с= sup ||/л+1(ф<+®,	(58.88)
^epo.-v)
то
f(x + h) =/(х) +/' (х) h +f-^ h2 + ...
-+f^~hn + o(hn), h^Q.	(58.89)
Доказательство. При и = 0 неравенство (58.87) уже
доказано: оно превращается в формулу конечных приращений
(см. п. 58.9). В общем случае его доказательство проведем по
индукции. Пусть теорема справедлива для всех к, 0^к<п.
Заметим, что
189
k=\, 2, ..., n, (58.90)
(□ o.o 2>)
и рассмотрим вспомогательную функцию
def	f(n) t v\
g (z) =f{x + th) -f{x) -f (x) {th)-... —{th)n,
отображающую отрезок [0, 1 ] в пространство Y. Очевидно, что
g{l)-g{O)=f{x+h)-f{x)-f{x)h-...-f-^h”	(58.91)
и что g{t) имеет на отрезке [О, 1] производную, для которой
справедлива формула
И/) = f,{x + th)h-f{x)h-...-7^-fM{x)hn =
6 V 458.64/ V 7 J V 7	(n-1)!	V 7 (58.90)
(58.65)	'
= /'(x + rA)-/'W-...-^(/')(',’1,W(^)'’-1 h, (58.92)
где выражение в квадратных скобках является элементом
пространства {X, Y). Оценим норму этого элемента, применив
к отображению /': Х->.'Х'(Х, У) неравенство (58.87) (это возмож-
но в силу индуктивного предположения: производная f имеет и
производных):
«V1 S“P 11{Г),"’К)11 =	(58.93)
п- ;e(x0..v) v	(58.80)	п\
(58.86)
(58.88)
где с= sup ||/(п+ п(^) || < + оо. Следовательно,
5e(.v0..v)
(58.93)
_	_	,	/ . i \	\ ct" || h ||"+1
Применив лемму 2 к функциям ip(z)=g(z) и ф(г)=	;—,
получим
что, в силу (58.91), и означает справедливость формулы
(58.87). □
190
Формула Тейлора (58.89) является обобщением формул
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, полученные
ранее как для скалярного случая (см. п. 13.2 и п. 39.1), так и для
векторного (см. п. 15.2 и 50.1).
§ 59.	ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
59.1.	СКАЛЯРНОЕ И ПОЧТИ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В этом параграфе будут изучены более узкие, чем изучав-
шиеся раньше, типы пространств, содержащие в себе как
частный случай нормированные (соответственно полунормиро-
ванные) пространства.
Определение 1. Действительная функция, определенная на
множестве упорядоченных пар элементов действительного
линейного пространства X и обычно обозначаемая (,v, г), .ve.-V.
уеХ. называется скалярным произведением, если она для любых
точек х<гХ. уеХ, сеХ и любых чисел kgR, \ie R удовлетворяет
следующим условиям:
1	(коммутативность). (х, _г) = (.г, х).
2	(линейность). (Хх+цг, с) = Х.(х, Д + ц(г, с).
3	(х, л)>0.
4	. Если (х, х) = 0, то х = 0.
Свойства 3 и 4 называются положительной определен-
ностью скалярного произведения.
Определение 2. Действительная функция, обозначаемая так-
же обычно (х, г), определенная на множестве упорядоченных пар
зле ментов действительного линейного пространства X, хеХ,
уеХ, и удовлетворяющая условиям Г, 2 , 3 , называется почти
скалярным произведением.
Согласно этому определению, скалярное произведение яв-
ляется, конечно, и почти скалярным.
Свойство 3 почти скалярного произведения называется его
по. южите. /ыюй по. tyonpede. юнностыо.
В силу свойств 1 и 2 почти скалярного произведения, оно
является билинейным отображением пространства У2 = .¥хА в
пространство действительных чисел R.
Из свойства 2 почти скалярного произведения следует, что
для любого элемента хеХ выполняется равенство
(л.0) = 0
(здесь нуль в левой части равенства - нуль пространства А', а
нуль в правой части — нуль действительных чисел).
В самом деле, (х, 0) = (.v, 0-0) = 0(х. 0) = 0.
191
Аналогично вводится понятие и почти скалярного (в
частности, скалярного) произведения в комплексном линейном
пространстве X. В этом случае комплекснозначная функция (х,
у) называется почти скалярным (соответственно скалярным)
произведением, если она удовлетворяет свойству 2 для любых
комплексных чисел X и р. свойству 3 и свойству
Г. (х. у) = (у, х), хеХ, уеХ.
где, как всегда, черта над числом обозначает сопряженное ему
комплексное число.
В этом случае скалярное произведение уже не является
билинейным отображением в смысле определения 12 п. 58.1, так
как оно не линейно по второму аргументу:
(х. Ху) = (Ху. х) = Х(у, х) = Х(у. -v) = X(x, у).
В дальнейшем под линейным пространством будем пони-
мать действительное линейное пространство, если не оговорено
что-либо другое.
Линейные пространства, для элементов которых определена
операция скалярного (почти скалярного) произведения, назы-
ваются линейными пространствами со скалярным (почти ска-
лярным ) произведением.
Лемма 1 (неравенство Коши — Буняковского). Если (х, у) —
почти скалярное произведение в линейном пространстве X, то
для любых хеХ и уеХ справедливо неравенство
|(х, у)|^7С^Гх)	(59.1)
Следствие 1 (неравенство треугольника). Для любых хеX и
уеХ имеет место неравенство
Д(х+у, х+у) ^х/(х, х) + х/(у, у). 
Следствие 2. Если (х, у) — почти скалярное (ска.серное)
произведение в линейном пространстве X, то функция
def -----
||x|i=v'T^)	(59.2)
является полунормой (соответственно нормой) в этом про-
странстве, а неравенство Коши—Буняковского (59.1) можно
записать в виде
|(а-. у) l^ilxll lij'il-	(59.3)
Доказательство леммы. В силу свойства 3 почти
скалярного произведения, для любого действительного числа X
имеем
(Лх+у, ^.х+у) 0.
192
Применив свойства 1° и 2° почти скалярного произведения,
получим
Х2(х, х) + 2Х(х, у) + (у, уДО.
Если (х, х) = 0, то 2Х(х, у)+(у, уДО. Так как это справедливо
для любого действительного числа X, то (х, у) = 0 (действи-
тельно, при (х, у) ф 0 на X будет иметь место ограничение
Х> —	). Следовательно, неравенство (59.1) справедливо —
(х, у))
обе его части обращаются в нуль. Если же (х, х)#0, то
дискриминант получающегося квадратного относительно X
трехчлена неположителен
(х, у)2-(х, х)(у, уКО,
а это равносильно неравенству (59.1). □
Докажем теперь следствие 1.
(х+у, х+у)2= |(х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у)|^
^(х, х) + 2|(х, у)| + (у, у)(5^1}
< (х, х) + 2 ч/(х, х) Су, у) = (V(%, X) + у/(у, у))2. □
Свойства полунормы (соответственно нормы) для функции
(59.2) (следствие 2) проверяются непосредственно:
О 1|х11(5=2)У(хГ^0;
2)	|| Хх |||5=2)Х/(ХхГ1х) == Д2 (х, х) = | X | J(х, х) = | X | || х ||;
3)	1|х+у|1(5=2)У(х+У,	+	х)(5=2)Цх|1 + IIУII-
Если (х, у) — скалярное произведение и || х || =0, т. е. х/Сс х)=0,
то, согласно свойству 4° скалярного умножения, х = 0. □
Из доказанного непосредственно вытекает следующее
утверждение.
Л е м м а 2. Каждое линейное пространство со скалярным (соот-
ветственно почти скалярным) произведением является нормиро-
ванным (соответственно полунормированным) пространством с
нормой (соответственно полунормой), определяемой формулой
(59.2), а следовательно, линейное пространство со скалярным
произведением есть метрическое пространство с метрикой (58.18).
Полунорму (59.2) будем называть полунормой (соответствен-
но нормой), порожденной заданным почти скалярным (скаляр-
ным) произведением. Расстояние (58.18), порожденное нормой
(59.2) линейного пространства со скалярным произведением,
будем также называть расстоянием, порожденным заданным
скалярным произведением.
193
Неравенство Коши — Буняковского в виде (59.3) справедливо
и для комплексных линейных пространств (для них, как и для
действительных пространств, || х || = ч/(х, х)), только доказы-
вается оно несколько сложнее. Пусть X—комплексное линейное
пространство с почти скалярным произведением. Для любых
х е X, у е Y и комплексного числа X е С, в силу свойства 3° почти
скалярного произведения, имеем
(Хх+у, Хх+у)^0.	(59.4)
Раскрывая скобки согласно свойствам 1° и 2°, получим
0<(Хх+у, Хх+у) = ХХ(х, х)+Х(х, у)+
+ Х(х, у) + (у, у).	(59.5)
Пусть t — произвольно выбранное действительное число.
Выберем теперь Хе С так, чтобы
Х(х, у) = /|(х, у) |	(59.6)
(подробнее: если
Х = /). Тогда
'х, у) ф 0, то X =1	', а если (х, у) = 0, то
Х(х, у) = г|(х, у)|.	(59.7)
Перемножив равенства (59.6) и (59.7), получим
XX(х, у) (х, у) = | (х, у)|2;
отсюда при (х, у)# 0 имеем
XX = t2,
(59.8)
а в силу того, что Х = Г при (х, у) = 0, равенство (59.8) имеет
место всегда.
Далее,
Х(х, у)+Х(х, у) = 2t|(х, у)|.	(59.9)
(59.6)
(59.7)
Поэтому
(Хх+у, Хх+у) = г2 (х, у)+2г|(х, у)| + (у, у) 0.
(59.5)	(59.5)
(59.8)
(59.9)
Следовательно, дискриминант получившегося квадратичного
трехчлена неположителен:
|(х, у)|2-(х, х)(у, у)<0,
а это равносильно неравенству (59.3). □
194
Существуют нормированные пространства, в которых нельзя
ввести скалярные произведения, порождающие нормы, эквива-
лентные соответствующим заданным в них нормам. Можно
показать, что примером такого пространства является про-
странство С[а, /?] непрерывных на отрезке функций.
59.2.	ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
1.	В множестве действительных чисел R обычная операция
умножения является и скалярным умножением в смысле
определения 1.
В множестве комплексных чисел С скалярным произведением
чисел х и у является произведение ху.
2.	Действительное арифметическое «-мерное векторное про-
странство R", в котором скалярное произведение векторов
x=(xj, ..., xn)eRn И у = (У1, ..., yn)eRn определяется по формуле
(см. (18.32) в п. 18.4)
(х, у) = х1У1 + ...+х^„,
является линейным пространством со скалярным произведением
в смысле определения 1 п. 59.1. В этом случае норма элемента
xeR" совпадает с его длиной |х| (см. п. 58.3, пример 2):
II X II = I х I = у/х21 + ... + х1,
а соответствующая метрика с расстоянием в «-мерном арифме-
тическом точечном пространстве:
р(х, у) = II х-у II = 7(%1-3;1)2 + -- + (лп-3;п)2-
Напомним, что для этого пространства неравенство Коши —
Шварца было доказано нами раньше (см. лемму 1 в п. 18.1 и
неравенство (18.39) в п. 18.4).
В арифметическом комплексном пространстве С" (см. п.
58.1) скалярное произведение вводится по формуле
(х, у) = Х1У1 + ...+хХ х=(хп ..., х„)еС", У = (Уп -> к)еС".
3.	Рассмотрим линейное полунормированное пространство
RL2 [а, 6] из примера 7, п. 58.3, состоящее из функций с
интегрируемым (вообще говоря, в несобственном смысле) на
отрезке [а, 6] квадратом, т. е. из таких функций f для которых
ь
$f2(t)dt<+<x>.
а
Пусть feRL2[a, 6] и gERL2[a, Z>]. Вспомним, что произведение
функций, интегрируемых по Риману на некотором отрезке,
195
также интегрируемо по Риману на этом отрезке. Поэтому на
любом отрезке |/, т|] с [а, Ь], на котором функции fug
интегрируемы по Риману, будет интегрируемо по Риману и их
произведение и, следовательно, имеет смысл рассматривать
несобственный интеграл
ь
(59.10)
а
Кроме того, в любой точке t, в которой определены функции f и
g, справедливо неравенство
поэтому интеграл (59.10) сходится, и притом абсолютно.
Почти скалярное произведение в этом пространстве опреде-
ляется формулой
ь
(f, =	(59-11)
а
Свойства 1°, 2°, 3° почти скалярного произведения лег-
ко проверяются. Полученное пространство с почти скаляр-
ным произведением (59.11) будем также обозначать через
RL2[a, Б].
Заметим, что неравенство (59.2) в этом случае может быть
записано следующим образом:
(Ь	\2 b	b
]f(t)g(t)dtj ^jf2(t)dtjg2(t)dt;
а	/а	а
оно является частным случаем неравенства Гёльдера (см. п.
28.4*) при p = q = 2. и называется неравенством Коши — Буняков-
ского.
Полунорма, порожденная почти скалярным произведением
(59.11), имеет, очевидно, вид
/ь “
11/11= И/2 (?) dt,	(59.12)
V а
т. е. совпадает с полунормой (58.14), рассмотренной в примере 7
п. 58.3 при р = 2. Отсюда следует, что почти скалярное
произведение (59.11) не является скалярным, так как в п. 58.3
было установлено, что полунорма (58.14) не является нормой
при всех р 1.
♦’ Оно следует из очевидного неравенства (1/(01 — <?(г)|)2>0.
196
Однако в подпространстве CL2£a, Z>] пространства JiL2
а, Z>], состоящем только из функции, непрерывных на отрезке
а, Z>], почти скалярное произведение (59.11) является уже
скалярным, ибо, как было показано в примере 8 п. 58.3, в этом
случае
11/112 = 70, fzCL2\a, Z>]
является не только полунормой, но и нормой.
Для расстояния между двумя непрерывными функциями f и
g в этом пространстве получаем формулу
1
(Ь	) 2
Р(А g)=ll/-gll=)f[/(O7x)]20 •	(59.13)
ча	J
Мы уже встречались со сходимостью функций в смысле этой
метрики (см., например, следствие теоремы 12 в п. 55.9).
Все сказанное естественным образом распространяется и на
функции, определенные на любом бесконечном промежутке, в
частности на всей оси.
Упражнение 1. Пусть X—линейное пространство с почти скалярным
произведением. Элементы хеХ и уеХ называются эквивалентными, если
|| х—у ||2 = (х —у, х —у)=0. Обозначим через X множество, элементы которо-
го — классы эквивалентных элементов пространства X. Пусть х еХ, у еХ, хех,
уеу, Хи ц — числа. Определим лх + ру как элемент множества X. содержащий
Хх+ру, и положим (х, у)=(х, у). Доказать, что эти определения корректны, т. е.
не зависят от выбора элементов хех и уеу, и что X является линейным
пространством, а (х, у) — скалярным произведением в нем.
59.3.	СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.
ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Линейное пространство с почти скалярным произведением
является, согласно (59.2), и полунормированным. Поэтому для
него определены понятие сходящейся последовательности, ее
предела и понятие непрерывной функции (см. п. 58.4).
Лемма 3. Почти скалярное произведение (х, у) является
непрерывной функцией (см. п. 58.4) своих аргументов х и у на
множестве Хх,Х, на котором оно задано: хеХ, у е X.
Доказательство. В самом деле, для любых хоеХ, уоеХ,
хеХ и уеХ выполняется неравенство
1(*о> То) “7 у) I = I (*о - х, У0)+(х, у0-у)1<
<1|А0-х|| || у0 11 + 11 X II IIу—у0 II,	(59.14)
из которого сразу следует указанная непрерывность почти
скалярного произведения. Действительно, если xeU(x0, 5),
ye U\y0, 5), то, заметив, что || х ||< || х — х0 || + || х0 || < || х0 || + 8, из
197
(59.14) получим
1(^0» Jo)-(x’ J;)l<8llj;oll+(lkoll+8)8-
Отсюда следует, что при любом фиксированном числе г>0
всегда можно выбрать 8 = 8(e)>0 так, что при хе(7(х0, 8),
уеС7(у0, 8) выполняется неравенство |(х0, у0) —(х, у)|<е; для
этого достаточно выбрать 8>0 так, чтобы 81|у0 || + (|| х0 || +
+ 8)8<г; это, очевидно, всегда возможно. □
В пространстве X с почти скалярным произведением можно
говорить о сходимости рядов по полунорме, порожденной
ОС
почти скалярным произведением: ряд Е х„, х„еУ, х=1, 2, ...,
п = 1
называется сходящимся, если последовательность его частичных
п
сумм sn= Е х„ сходится по указанной полунорме к некоторому
к = 1
элементу seX, который называется суммой ряда: s — Е х„.
п= 1
Отметим, что сумма ряда в пространстве с почти скалярным
произведением определена неоднозначно. Однако, если х = Е х„
п = 1
оо
и х* = £ хп, т. е. х и х* суть суммы одного и того же ряда, то
п= 1
|| х* — х || =0 (см. п. 58.4), и поэтому для любого элемента аеХ
имеет место равенство (х*, а) = (х, а). Действительно, в силу
неравенства Коши — Шварца для почти скалярного произведе-
ния,
|(х*, а)-(х, а)| = |(х*-х, а)|< || х*-х|| || а || =0.
Из непрерывности почти скалярного произведения во всем
пространстве следует, например, что ряды в пространстве с
почти скалярным произведением можно умножать почленно не
только на числовые множители, но и на элементы самого
пространства. Докажем это.
Лемма 4. Пусть в пространстве X с почти скалярным
произведением задан сходящийся ряд
Y, x„ = s, хпеХ, п=1, 2, ... .
п= 1
Тогда для всякого элемента аеХ числовой ряд, получающийся из
данного ряда почленным умножением его на а, также сходится и
00
Е (х„, a)=(s, а),
п — 1
198
oo
Иначе говоря, для сходящегося ряда £ хп и любого
п= 1
элемента аеХ справедливо равенство
оо	/ оо	\
X (ХП’ «) = ( Z Хп’ а1-
п-1	\и=1	/
Доказательство. Так как
п
s = lim хк>
п— оо к = 1
ТО
Е (х„, а)= lim £ (хь а)= lim ( £ хк, а) =
п= 1	н—*00 к = 1	п—*оо \fc = 1	/
(п	\
lim £ хк, а I = (5, а).
л—*00 к = 1	/
Пример. Рассмотрим пространство RL2 [а, 6] из примера 3
п. 59.2. Пусть ряд £/„(/) функций fneRL2[a, 6] сходится в
п ~ 1
этом пространстве к функции feRL2[a, /)]:
00
ЕЛ(')> te[a, b],
n=l
т. e. последовательность частичных сумм
е aw
этого ряда сходится к функции f в смысле среднего квадра-
тичного:
ъ
lim j[/(z)-sn(/)]24* = °.
и—*00 а
Тогда для любой функции <р (х) е RL2 [а, Ь], согласно лемме 4,
00
(А ф)= Е (fn’ ф),
п= 1
т. е.
b	оо b
jf(x)<p(x)dx= f/n(x)(p(x)tZx.
• а	п= 1 а
199
В частности, при <р = 1
b	ь
f(x)dx= £ fn(x)dx.
J	п - 1 I
а	а
Иначе говоря,
ь
ZA(-x)
J Ln“ 1
dx= £
п= 1
b
л
f„(x)dx.
Итак, если ряд функций с интегрируемым квадратом на
отрезке [а, b ] сходится на нем в смысле среднего квадратичного
к некоторой функции также с интегрируемым квадратом на
[а, b ], то ряд можно почленно интегрировать.
Из равномерной сходимости последовательности непрерыв-
ных функций вытекает сходимость этой последовательности к
той же функции и в смысле среднею квадратичного (см. п. 58.3),
поэтому из доказанного здесь утверждения следует, что если ряд
непрерывных функций сходится на отрезке равномерно, то его
можно почленно интегрировать.
Этот результат был получен ранее другим путем в главе о
рядах (см. теорему 9 в п. 36.4). Все сказанное переносится
естественным образом на бесконечные промежутки.
Определение 3. Два линейных пространства X и Y со
скалярным (почти скалярным) произведением называются изо-
морфными, если они изоморфны как линейные пространства, и
отображение f, отображающее пространство X на пространст-
во Y и осуществляющее этот изоморфизм, сохраняет скалярное
произведение (почти скалярное произведение), т. е. для любых
двух элементов хеХ и уеХ выполняется равенство
(х, У)=Ц\х), f(y)).
Два изоморфных линейных пространства со скалярным
(почти скалярным) произведением могут отличаться лишь
природой своих элементов, а не метрическими свойствами,
поэтому в дальнейшем изоморфные линейные пространства со
скалярным (почти скалярным) произведением часто не будут
различаться.
Поясним это на примере. Пусть X и Y*—линейные
пространства со скалярным (почти скалярным) произведением и
пусть f— изоморфное отображение пространства X на множест-
во Ус У*. Тогда, «отождествляя» элементы пространства X с
соответствующими им элементами множества У, можно рас-
сматривать пространство X как подпространство пространства
У*. Под этим понимается (сравните с соответствующими
200
конструкциями в п. 57.1 и 58.4) рассмотрение линейного
пространства I*, состоящего из элементов пространства X и
элементов множества У*\У. При этом в пространстве X*
операции сложения элементов и умножения их на число
вводятся так же, как это было сделано после определения 18 в
п. 58.4, а скалярное (почти скалярное) произведение (х, у)х*,
хеХ*, уеХ*, определяется в пространстве через скалярное
(почти скалярное) произведение в пространстве У* с помощью
биекции F:X*->Y*, задаваемой формулой (58.17), следующим
образом:
(х, y)xt = (F(x), F(y)),
где в правой части стоит скалярное (почти скалярное) произве-
дение в пространстве У*. Легко проверить, что пространство
X* изоморфно пространству У*.
Упражнения. 2. Доказать, что при фиксированном п все действительные
и-мерные линейные пространства со скалярным произведением изоморфны
между собой.
3. Доказать, что всякое конечномерное линейное пространство со скаляр-
ным произведением полно в смысле метрики, порожденной скалярным
произведением.
Определение 4. Линейное пространство со скалярным произве-
дением, полное в смысле метрики, порожденной заданным
скалярным произведением, называется гильбертовым простран-
ством.
Просто же линейное пространство со скалярным произведе-
нием называют также предгильбертовым пространством.
Это название оправдывается следующей теоремой.
Теорема 1. Всякое предгильбертово пространство X
содержится, и плотно, в некотором гильбертовом пространстве
X*.
Доказательство. Согласно теореме 4 п. 57.5 и теореме 2
п. 58.5, достаточно показать, что на пополнение X* линейного
нормированного пространства X можно продолжить с X
скалярное произведение с сохранением свойств 1° — 4°. Это
можно сделать с помощью предельного перехода. Действитель-
но, так как Х=Х*, то для любой пары точек хеХ* и уеХ*
существуют последовательности точек х„еХ, у„еХ, п=1, 2, ... ,
такие, что
lim х„ = х, lim у„=у.
и—и—►ОС
Покажем, что существует lim (х„, уп). В самом деле, из
неравенства (59.14) следует, что для всех натуральных тип
!(*«. Ут)-(х„, у„) I II xm — x„ || || ут ||+||хп || ||ут—у„ ||.
201
Так как, в силу сходимости, последовательности {х„} и {у„}
ограничены по норме и являются фундаментальными, то из
этого неравенства следует, что числовая последовательность
{(х„, у„)} также фундаментальная и, следовательно, сходится.
Положим, по определению, (х, у)= lim (х„, у„). Легко
проверить, используя предельный переход, что это опреде-
ление не зависит от выбора последовательностей {х„} и {у„}
таких, что хп-+х, уп-+у и что для таким образом определенной
функции (х, у) выполняются свойства Г — 4° скалярного про-
изведения. □
Полученное гильбертово пространство называется пополне-
нием исходного предгильбертова пространства.
Примером гильбертова пространства является п-мерное
евклидово пространство (см. п. 18.4). Другие примеры будут
рассмотрены далее.
Упражнение 4. Доказать, что предгильбертово пространство, изоморф-
ное гильбертову пространству, само является гильбертовым.
59.4. ПРОСТРАНСТВО L2
Напомним (см. пример 3 в п. 59.1), что линейное пространст-
во непрерывных на отрезке [а, b ] функций со скалярным
произведением, определенным по формуле (59.11), обозначается
через CL2 [а, b ].
Норма в пространстве CL2 [а, b ] определяется формулой
(59.12).
Лемма 5. Пространство CL2 [а, b ] не является гильберто-
вым.
Доказательство. Чтобы убедиться, что всякое прос-
транство CL2 [а, b ] не является полным, достаточно рассмо-
треть пространство CL2 [а, b ] для некоторого фиксирован-
ного отрезка (почему?). Возьмем для определенности отрезок
[—1, 1] и приведем пример фундаментальной в пространстве
CL2 [—1,1] последовательности функций, не сходящейся в этом
пространстве.
Положим
Л(Х) =
Г 1	,	1
— 1, если — 1 < х < —,
п
1	\
< пх, если —<х<~,
п	п
,	1	1
1, если - < х < 1,
п
и = 1, 2, ...(59.15)
(рис. 257). Очевидно, что функции/„(х), и=1, 2, ... , непрерывны
на отрезке [ — 1; 1 ]. Замечая далее, что \fn(х)|< 1, имеем для
т>п
202
Рис. 257
Рис. 258
1
1	»
Г	Г
НА-/Л2= J |/„(x)-/m(xj|2^= J |/„(x)-/m(x)|2^<
-1 1
откуда, очевидно, следует, что последовательность (59.15) —
фундаментальная в пространстве CL2 [а, b ].
Действительно, если задано е>0, то, выбирая и0 так, что
g
8/н0<е для всех п>п0 и всех т>п, будем иметь ||/„—/т||<-<
8
— <е.
«о
Поскольку
lim ./„(%) =
п—►GO
— 1 при — 1^х<0,
<	0 при х = 0,
1 при 0 < х < 1,
то естественно ожидать, что если последовательность {/„}
сходится в смысле среднего квадратичного, то она сходится к
той же функции, к которой она сходится поточечно, т. е. к
функции (см. рис. 258):
Л<) =
— 1 при — 1 < х < О,
<	0 при х = 0,
1 при 0<х< 1.
Однако эта функция f разрывна и поэтому f$CL2 [0, 1 ].
Следовательно, естественно ожидать, что последователь-
203
ность {/„} не имеет предела в пространстве CLz[a, b ].
Покажем это.
Нетрудно убедиться, что последовательность (59.15) сходит-
ся на отрезке [—1, 1] в смысле полунормы (59.12) к функции /.
Действительно,
1	1/п
Г	г
\f(x)-fn(x)\2dx =	|/(х)-/„(х)|2^<
V	*
-1	-1/п
при и—>оо,
ибо
|/(х)|<1, |/„(х)|<1, хе[-1, 1].	(59.16)
Предел по полунорме не единствен и поэтому возникает
вопрос: не существует ли еще и непрерывной функции, которая
также является пределом последовательности {/„} в смысле
среднего квадратичного. Покажем, что такой функции не
существует. Допустим противное. Пусть существует такая
непрерывная на отрезке [—1, 1] функция g(x), что
lim ||g-/„|| = 0.
(59.17)
Тогда
ll/-glHI(/-/„)+(/„-g)ll <ll/-/„ll + ll/„-gll,
где оба слагаемых правой части, в силу (59.16) и (59.17),
стремятся к нулю при п->со, а левая часть не зависит от п,
следовательно,
f I/O) - g (*) I2 dx= ||/- g ||2 = 0;
-1
тем более
о	1
j \f(x)-g(x)\2dx=0, j|/(x)-g(x)|2^x = 0.	(59.18)
-1	о
Рассмотрим, например, случай х^О. Поскольку функции /и
g непрерывны на интервале (0, 1), то, в силу (59.18), они
совпадают на этом интервале (см. свойство 9° определенного
*’ Так как f—f„ уже не является непрерывной функцией, то здесь символ
|| ip || обозначает уже полунорму (52.12) функции ф. Это следует иметь в виду и в
дальнейших рассмотрениях.
204
интеграла в п. 28.1). Поэтому
g(+0) = lim g(x)= lim/(x)=l.
х — + 0	х—+ 0
Аналогично из рассмотрения случая х<0 будем иметь
g(-0)= lim /(х) = -1,
х —-О
т. е. g— разрывная функция.
Полученное противоречие и доказывает утверждение. □
Итак, линейное пространство CL2 [а, b ] не полно. Однако
мы знаем, что всякое предгильбертово пространство можно
дополнить до полного, в частности это можно сделать и с
рассматриваемым пространством. Мы вернемся к этому вопро-
су несколько позже, а сейчас рассмотрим еще одно пространст-
во.
Попробуем взять более широкий класс функций, чем
непрерывные, а именно рассмотрим линейное пространство
RL2 [а, b ] функций с интегрируемым на некотором отрезке
[а, Ь ] квадратом (см. пример 3 в п. 59.2) с почти скалярным
произведением, задаваемым формулой (59.11), и сконструируем
из этого пространства пространство со скалярным произведени-
ем.
Определение 5. Две функции f и g с интегрируемым на
отрезке [а, b ] квадратом назовем эквивалентными, если
полунорма (59.12) их разности равна нулю:
Гь
\\f~g\\= $ [/(x)-g(x)]26/x = 0.	(59.19)
V а
Эквивалентность функций в смысле этого определения будем
обозначать символом
/~g.	(59.20)
Употребление в этом случае того же символа, что и для
асимптотического равенства функций, т. е. для обозначения их
эквивалентности в смысле порядка их изменения (см. определе-
ние 3 в п. 8.2), не приведет к недоразумению, так как всегда
будет ясно, о какой эквивалентности функций идет речь.
Отношение эквивалентности (59.20) обладает следующими
свойствами:
1°)
2°) если /~g, то g
3°) если f ~g и g~h, то f ~h.
Разобьем множество всех функций с интегрируемым на
отрезке [а, b ] квадратом, т. е. пространство RL2 [а, b ] на
классы эквивалентных между собой функций. Эти классы будем
205
называть классами эквивалентности и ооозначать заглавными
латинскими буквами F, G, Н, а их совокупность — через $.
Каждую функцию /, принадлежащую классу эквивалентности F,
будем называть его представителем. Кратко выражая процесс
построения множества говорят, что оно получается из
множества всех функций с интегрируемым квадратом «отожде-
ствлением» его эквивалентных элементов. Итак, теперь каждое
множество эквивалентных функций рассматривается как один
элемент множества $•
Для каждого Fe g и каждого действительного числа X
элемент XF определяется следующим образом. Выберем како-
го-либо представителя feF, тогда функция X/ является также
функцией с интегрируемым на отрезке [а, b ] квадратом и,
следовательно, принадлежит некоторому классу эквивалентнос-
ти, т. е. является представителем некоторого элемента из
который и определяется как элемент XF.
Чтобы показать, что это определение корректно, надо дока-
зать, что элемент XFне зависит от выбора функции feF. Действи-
тельно, еслиfeFиfreF, то Д т. е. ЦД —/|| = 0. Следовательно,
11^/1 — VII = IVl/i~/II= 0’ а эт0 означает> чт0 WV Поэтому
функции X/j и X/ принадлежат одному и тому же классу
эквивалентности, т. е. одному и тому же элементу множества g.
Определим теперь операцию сложения элементов множества
Пусть Fe 5 и G е $. Выберем какие-либо функции feFvtgeG.
Элемент F+G определим как класс эквивалентности, содержа-
щий элемент f+g. Это определение однозначно, так как если
feF, fteF, geG, gxeG
и, следовательно,
/i ~/ gi~g,
то
НЛ-/1Н0, ||^-g||=0.
Поэтому
o^ll(/1+g1)-(/+g)ll^ll/1-/ll+llg1-g|l=o,
т. е.
fi+gi~f+g
и, таким образом, функция /j +gj принадлежит тому же классу
эквивалентности, что и функция f+g.
Итак, для того чтобы сложить элементы из множества 5 или
умножить их на число, надо выбрать их представителей и
проделать над ними указанную операцию; в результате получится
некоторая функция; класс эквивалентности, представи-
телем которого является эта функция, и будет результатом
рассматриваемой операции.
206
Множество J с введенными в нем операциями XF и F+G
образует линейное пространство. Действительно, для этих
операций выполняются свойства 1°, 2°, 3° определения 1 в п.
58.1. Проверим, например, что для любых Feg, Gejy и
любого числа X справедливо равенство
X(F+G) = XF+XG.	(59.21)
Если fsF и geG, то, согласно определению сложения
элементов из множества 5, получим f+geF+G,
X(/+g)sX(F+G). Поскольку f и g— элементы линейного
пространства, то X(/+g) = X/+Xg. В силу же правила умноже-
ния элементов из $ на число и сложения этих элементов,
X/eXF, XgeXG, Kf+Kg^'kF+KG.
Таким образом, классы эквивалентности X(F+G) и XF+XG
содержат общий элемент X(/'+g) = X/+Xg и, следовательно,
совпадают. Равенство (59.21) доказано.
Аналогично проверяется и выполнение остальных свойств
линейных пространств (см. определение 1 в п. 58.1) для
операций сложения и умножения на число элементов из
множества $.
Отметим, что нулем полученного линейного пространства 5
является класс эквивалентности, содержащий функцию, тож-
дественно равную нулю на отрезке [а, 6]. Этот класс состоит из
тех и только тех функций f которые эквивалентны нулю, иначе
говоря, для которых полунорма (59.12) равна нулю: Ц/Н —0, т. е.
ъ
\f~ (х)<А = 0.
а
Определим теперь в линейном пространстве J скалярное
умножение. Пусть Feg, Ge5; выберем из классов F и G
каких-либо представителей f&F и geG и положим
(F, G)d=(/ g).	(59.22)
Таким образом, для того чтобы скалярно перемножить
элементы пространства надо выбрать их представителей и
скалярно умножить их друг на друга (в смысле почти
скалярного произведения (59.11)). Полученный результат и
будет равен скалярному произведению рассматриваемых эле-
ментов из множества g.
Определение (59.22) также не зависит от выбора функций из
классов эквивалентности. Действительно, если
f^F, fi^F, geG, gi^G,
207
то
и, следовательно,
НА -/Н=о, 11^1-^11=0.
Поэтому, используя неравенство Коши — Шварца (59.1), полу-
чим
0^|(/1’	£)М[(/1- gi)] + [(/ <?i)-(/ £)]1
<1(Л-/ gJI + K/i- gi-gHlI/i-ZlllgJI + ll/lll^-^HO.
Таким образом, (j\, gi) = (J, g).
Функция (59.22) удовлетворяет всем свойствам скалярного
умножения. Действительно, пусть/sFe 3, geGeJ, heHefy X
и ц — числа, тогда
(XF+pG, tf) = (X/+pg, А) = Х(Л A) + p(g, A) = X(F, H) + p(G, Н),
(F	S) = (S. /) = (G. F).
(F, F)-(f. /)го.
Наконец, если (F, F) = 0, то это означает, что для любой
функции f<=F имеем (/ /) = ||/||2 = 0, т. е. /~0, а это, как
отмечалось выше, и означает, что элемент F является нулевым
элементом пространства 3-
Определение 6. Линейное пространство 3 со скалярным про-
изведением (59.22) называется пространством RL2 = RL2 [а, Ь].
Отметим, что норма ||F|| ~ элемента F в пространстве
RL2 [а, b ], согласно (59.2) и (59.22), определяется через
полунорму ||/||к/ функции f&F по формуле
11Л^=11/11кг2 =
ь
]f{x)dx
1/2- /еА
(59.23)
причем, в силу доказанной однозначности определения скаляр-
ного произведения, это определение однозначно, т. е. не зависит
от выбора функции f&F.
Замечание 1. Элементами пространства RL2[a, b ] явля-
ются классы эквивалентных функций, однако в математической
литературе часто встречается выражение «функция из прос-
208
транства RL2». Это условное выражение означает просто, что
речь идет о функции с интегрируемым квадратом и, следова-
тельно, принадлежащей одному из рассматриваемых классов
эквивалентных функций, т. е. являющейся его представителем.
Это выражение удобно, так как операция сложения, умножения
на число й операция скалярного умножения классов эквива-
лентных функций сводятся к соответствующей операции над их
представителями, причем результат не зависит от выбора
указанных представителей. Это обстоятельство в известном
смысле оправдывает также и часто употребляющееся условное
выражение «пространство RL2 [а, b ] состоит из функций с
интегрируемым квадратом»; в этом случае пространство RL2
нередко обозначается просто через RL2.
Каждая непрерывная на отрезке [а, b ] функция, будучи
функцией с интегрируемым квадратом на этом отрезке,
принадлежит некоторому классу эквивалентности, т. е. некото-
рому элементу пространства RL2 [а, b ]. При этом в указанном
классе нет другой непрерывной функции, ибо если непрерывные
функции эквивалентны, то они равны.
Изучим отображение, ставящее в соответствие каждой
непрерывной функции f е CL2 [а, b ] класс эквивалентности
F<=RL2 [а, b ], к которому она принадлежит: f^F. Это
отображение называется естественным отображением
CL2 [а, Ь] в RL2 [а, Ь ]. В силу самого определения операций
сложения элементов (являющихся классами эквивалентности),
умножения их на число и их скалярного произведения в
пространстве RL2 [а, b ], сводящихся к таким же действиям над
представителями классов эквивалентности, естественное отоб-
ражение является линейным и сохраняет скалярное произведе-
ние. Оно является взаимно однозначным отображением (инъек-
цией) пространства СЬ2 [я, Ъ ] в пространство RL2 [а, b ], так
как если бы при этом отображении две непрерывные функции
отобразились в один и тот же элемент пространства RL2 [а, b ],
т. е. в один и тот же класс эквивалентности, то они
обе принадлежали бы этому классу. А это, как было отмечено
209
выше, возможно только в случае, если они являются одной и
той же непрерывной функцией.
Для изучения свойств пространства RL2 предварительно
докажем три леммы об аппроксимации функций. В них вместо
1Н1й1 будем для краткости просто писать ||-||.
Лемма 6. Пусть квадрат функции f интегрируем на
конечном или бесконечном промежутке с концами а и Ь,
— оо<а<й< + оо. Тогда для любого £>0 существует такая
финитная ступенчатая функция (р (см. п. 55.2), равная нулю вне
указанного промежутка, что
II/—ф11<£-
Доказательство. Предположим для простоты, что функ-
ция f интегрируема по Риману на любом отрезке [£, г] ],
a<’t)<v\<b (см. п. 55.1). Общий случай легко сводится к
этому.
Пусть задано £>0. Зафиксируем так S, и Г), чтобы
]f2[x)dx+\f2{x)dx<-.	(59.24)
а	И
Это возможно в силу того, что интеграл на отрезке [a, й] от
функции f2 сходится. Функция f, будучи интегрируемой по
Риману на отрезке [!;, т| ], ограничена на нем:
|/(х)|<М, ^х<р,	(59.25)
М— постоянная.
Согласно лемме 2 в п. 55.2, для данного £>0 существует
такая финитная ступенчатая функция ф, что ее носитель supp ф
содержится в отрезке [^, т| ], т. е. supp фс[^, т)],
|ф(х)|<А/, .ге[^, т|]	(59.26)
(это следует из замечания 1 п. 55.2) и
п	р2
||/(х)|-ф(х)|</х<^.	(59.27)
Применив последовательно неравенства (59.24), (59.25),
(59.26) и (59.27), получим
ь	$	ь
II/- ф II2 = /[/(*) - ф (x)]2dx = j/2 (x)dx+f/2 (x)dx +
a	a	r|
+ f[/W - Ф (x)]2(lx < у+f[l/(x)l + 1ф (* )l] /(x) - Ф	<
e2 1	p2 f2
<-+2Mf|/(x) - Ф (x)\dx <-+2M— = £2.
210
и и."гц	ц-ц и	а.
Рис. 259
Отсюда следует, что ||/— ф|]<е. □
Лемма 7. Пусть ф — финитная ступенчатая функция,
равная нулю вне отрезка [а, b ]; тогда для любого е>0
существует такая финитная непрерывная на всей числовой оси
функция g, также равная нулю вне указанного отрезка, что
Плг—ф|| <е.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай харак-
теристической функции полуинтервала, ибо всякая финитная
ступенчатая функция является конечной линейной комбинацией
подобных функций (см. п. 55.2). Итак, пусть задана функция
. , fl для а-^х<Ь,
X (^) = 1
' 7 (0 для х<а и х^Ь,
и задано е>0. Возьмем какое-либо ц>0 так, чтобы выполня-
лись неравенства
и рассмотрим функцию g(x), график которой изображен на
рис. 259. При желании ее можно аналитически описать следую-
щим образом
О для х<а и х>Ь,
х—а	-
--- для	+
п
1 для а + х\ <х<Ь — т|,
Ь —х	,	, , ,
--- ДЛЯ о —
п
Очевидно, что g(x) является финитной непрерывной на всей
числовой оси функцией. Поскольку |х(х)|^1,	|g(x)|^l,
— ОО <Х< + ОО, то
211
b	я + t]
HX-gll2 = f[x(x)-g(x)]2(Zx = f [x(x)-g(x)]2<Zx+
a	a
b	a + f]
+ j [x(x)-g(x)]2rfx< f [lx(x)| + |g(x)|]2c?x+
Ь~П	a+	£
+ f [lx(x)| + |g(x)|]2dx<4 f dx+4 f </x<8t|<e2,
6-q	a	t>~n
t. e. ||%-g||<£. □
Лемма 8. Если f является функцией с интегрируемым
квадратом на отрезке [а, b ], то она на этом отрезке является
пределом в смысле среднего квадратичного некоторой последо-
вательности непрерывных на всей числовой оси финитных
функций fn, п=\, 2,..., носители которых лежат на отрезке
{а, Ь]\
Ит ||/„-/||2= limj[/„(x)—/(х)]2<Ух = 0.	(59.28)
п—»С0	п—►ООд
всей числовой оси и равная
Доказательство. Каково
бы ни было е>0, в силу леммы
6, существует такая финитная
ступенчатая функция <р, равная
нулю вне отрезка [а, b ], что
г-ф||<|,
а в силу леммы 7, для этой
ступенчатой функции (р найдется
такая функция g, непрерывная на
нулю вне отрезка [а, b ], что
Il4>-g||<f
и, следовательно (рис. 260),
ll/’-g||^ll/-q>ll + llq>-gll<e.
Выбирая теперь некоторую числовую последовательность
Еп-> + 0 при п->оо, п—1, 2,..., и обозначая через /„ соответст-
вующую числу е„, в силу указанной конструкции, функцию,
непрерывную на всей числовой оси и равную нулю вне от-
резка [а, Ь], получим искомую последовательность {/"„},
удовлетворяющую условию (59.28) (определение предела по-
следовательности функций в смысле среднего квадратич-
ного см. в п. 58.4), и такую, что supp f„^[a, b ] для всех
п=1, 2,... . □
212
Определение 7. Подмножество пространства CL2 [а, b ],
состоящее из функций f обращающихся в нуль на концах отрезка
[a, b ]: f(a) =f(b) = 0, называется пространством (?£2[а, Ь].
Очевидно, что лемма 16 означает, что любую функцию с
интегрируемым на отрезке [а, й] квадратом можно сколь
угодно точно в смысле среднего квадратичного приблизить
функциями из (?L2[a, Z>]. Ясно, что CL2[a, b] является
линейным предгильбертовым пространством и
CL2[a, b]cCL2[a, Z>],	(59.29)
Вернемся теперь к естественному отображению CL2 [а, й] ->
-> RL2[a, />].
Теорема 2. Естественное отображение СЬ2[а, &]->
—> AL2 [а, й], т. е. отображение, ставящее в соответ-
ствие каждой непрерывной на отрезке [а, й] функции
класс эквивалентности, к которому она принадлежит,
является изоморфным отображением пространства СЬ2 \а, й] в
RL2 \а, й], причем образ пространства CL 2 [а, й] (а сле-
довательно, в силу (59.29) и всего пространства CL2\a, />])
плотен в RL2\a, й].
Доказательство теоремы 2. Обозначим через Ф
естественное отображение пространства CL2\_a, й] в простран-
ства RL2 [а, &], т. е. отображение, ставящее в соответствие
каждой непрерывной на отрезке [а, функции f класс
эквивалентных функций с интегрируемым на этом отрезке
квадратом, которому она принадлежит, иначе говоря, класс
эквивалентности, представителем которого она является. Таким
образом, если
f е CL2 [а, b] и f <= F <= RL2 [а, й],
то Ф (/) = F.
Пусть Т’=Ф(/') = 0; тогда 11^11 = 0, но f е F, поэтому и ||/|| = 0.
По свойству нормы отсюда следует, что /=0, т. е. ядро
отображения Ф состоит только из нулевого элемента. По-
скольку естественное отображение Ф линейно, то оно вза-
имно однозначно отображает пространство CL2 [а, й] в
пространство RL2[a, 6] (см, лемму 1 в п. 58.1).
213
Покажем, что образ пространства СЬ2 [а, ft] при этом
отображении является плотным в пространстве 7?L2 [а> ^]
множеством. Пусть F е RL2 [а, 6] и функция f является
представителем элемента F, т. е. /<= F. Поскольку f является
функцией с интегрируемым на отрезке [a, ft] квадратом, то,
согласно лемме 8, она является пределом в смысле среднего
квадратичного некоторой последовательности непрерывных на
отрезке [а, Л] функций fn, обращающихся в ноль на его концах
(см. (59.28)), т. е. fn е СЬ2 [а, ft], п = 1, 2, ... Если fn^Fn^
е RL2 [а, ft], то, согласно определению полунормы в простран-
стве RL2 [а, ft], получим
где справа, как обычно, стоит полунорма (59.12). Отсюда, в
силу равенства (59.28), получаем
lim ||F„-F|| = 0.	(59.30)
И—»OG
Поскольку класс эквивалентности F являлся произвольно фик-
сированным элементом пространства RL2 [а, ft], а Е„ = Ф (fn), где
/„ — непрерывная на отрезке [а, 6] функция, обращающаяся в нуль
на его концах и, следовательно, F„ е Ф(С£ 2 [а, ft]), п=1, 2, ...,то
равенство (59.30) и означает плотность образа множества
CL 2 [а, в пространстве RL2 [a, ft] при отображении Ф.
Для доказательства же плотности образа множества CL2 [a, ft]
при его естественном отображении в пространство RL2 [a, ft] за-
метим, что из включения (59.29) следует очевидным образом, что
Ф(С£2[а, />])сФ(С£2[я, ft]) с RL2 [a, ft],
А если в каком-либо метрическом пространстве X плотно
множество А, т. е. А = Х и А с В сУ, то, конечно, множество В
214
также плотно в X, ибо А с В с X и так как А = X, то и В = X.
Поэтому из плотности множества Ф(С£2[а, ^]) в пространстве
RL2 [a, й] следует и плотность в нем множества Ф (CL2 [а, Ь]). □
Если отождествить каждую непрерывную функцию
f е СЬ2[а, Л] с классом эквивалентных функций FRL2 [а, &],
которому она принадлежит: f е F, т. е. отождествить f с ее
образом при естественном отображении Ф, то получим, что
CL2 [а, й] является подмножеством пространства RL2 [a,	:
CL2[a, ft] с RL2[a, £»].	(59.31)
Это включение называется естественным вложением про-
странства СЬ2 в пространство Л£2.
Итак, в силу (59.29) и (59.31), справедливы включения
CL2 [a, й] с СЬ2 [а, й] с RL2 [a, Z>],
причем, согласно теореме 2,
CL2[a, b]= RL2[a, Ь]
— множество CL2[a, Z>], а следовательно, и CL2[a, &], плотны
в пространстве RL2 [а, 6].
Можно показать, что пространство RL2 [а, й] не является
полным, т. е. не является гильбертовым пространством.
Задача 40. Доказать, что пространство RL2 [a, ft] не является полным.
Выше было показано (см. п. 59.3), что всякое предгильбер-
тово пространство можно дополнить до полного, т. ё. до
гильбертова пространства. В частности, это можно сделать и с
пространством RL2[a, &].
Определение 8. Пополнение предгильбертова пространства
RL2= RL2[a, й] называется пространством L2 = L2\a,
215
В силу определения пополнения,
RL2 [a, b] а Ь2 [а, 5]	(59.32)
и RL2 [a, й] плотно в пространстве L2 [а, &], т. е.
RL2[a, b\ = L2[a, Ь].
В силу включений (59.29), (59.31) и (59.32), имеют место
естественные вложения
CL2 [a, й] с CL2 [a, й] с RL2 [a, й] с Ь2 [а, 6]. (59.33)
Оказывается, что не только RL2 плотно в пространстве Ь2,
но и СЬ2 плотно в Ь2-
Теорема 3. Пространство CLz [a, Z>] плотно в простран-
стве Ь2 [а, />].
Следствие. Пространство СЬ2 [а, плотно в простран-
стве Ь2 [а, />].
Доказательство теоремы 3. Пусть f <= Ь2 [а, й] и пусть
произвольно фиксировано е > 0. Для простоты все элементы про-
странства Ь2 [а, Ь] будем также обозначать строчными латински-
ми буквами, хотя они, вообще говоря, и не являются функциями.
Так как пространство Ь2 [а, й] является пополнением простран-
ства RL2[a, Z>], то существует такой элемент ge RL2[a, .&], что
2	2
Согласно включению (59.33) и плотности множества
°	ъ
CL2 [а, А] в пространстве RL2 [а, й], существует такой элемент
h е CL2 [а, &], что
2	2
Поэтому
Н/-/г|1т2 < ll/-gllL2 + llg-/2 IIc2<l+l=t-
216
Это и означает, что множество СЬ2 [а, fe] плотно в
пространстве L2 [а, fe]. □
Следствие очевидным образом вытекает из теоремы, так как
(как это было показано при доказательстве теоремы 5) если
подмножество А некоторого множества В, А с В, плотно
в каком-то метрическом пространстве X => В, то и само
множество В тем более плотно в X. В данном случае
CL2[a, b\^CL2[a, b]cL2[a, Ь\ и CL2[a, fe] плотно в
Ь2[а, fe]. Поэтому CL2\a, fe] также плотно в L2[a, fe].
Упражнение 5. Доказать, что если X — метрическое пространство,
А с В с X, множество А плотно в множестве В, а множество В плотно в
пространстве X, то и множество А плотно в пространстве X.
Замечание 2. Если рассматривать пространство L2[a, fe]
как пространство, получающееся из пространства RL2 [a, fe]
конструкцией пополнения пространств, описанной в теореме 1
настоящего параграфа, то его элементами будут являться
классы эквивалентных фундаментальных последовательностей,
составленные из классов эвивалентных функций с интегриру-
емым квадратом. Если при этом произвести отождествление
пространства CL2 и RL2 с их образами в L2, как это
указывалось выше, а тем самым считать, что
СЬ2 с RL2 с L2,
то окажется, что пространство L2 состоит из непрерывных
функций, из классов эквивалентных функций с интегрируемым
квадратом, не содержащих непрерывных функций, и из «аб-
страктных элементов», представляющих собой указанные клас-
сы фундаментальных последовательностей. Можно, далее,
условно в смысле замечания 1 «заменить» все элементы из
пространства RL2 функциями — произвольно выбранными их
представителями. Тогда пространство Ь2 окажется состоящим
из функций с интегрируемым квадратом и тех же абстрактных
элементов, необходимо возникающих при процессе пополнения
пространства RL2 ввиду его неполноты. Эта «условная замена»
элементов пространства RL2 [a, fe] их представителями отража-
ет точное утверждение, что операции над классами эквивалент-
ных функций сводятся к соответствующим операциям над их
представителями в вышеуказанном смысле.
Оказывается, и это очень интересно и важно, что указанные
абстрактные элементы можно рассматривать не как классы
217
фундаментальных последовательностей классов эквивалентно-
сти, а как некоторые функции, точнее как классы эквивалентных
функций в смысле определения 5, причем скалярное произведе-
ние для них также определяется формулами (59.11) и (59.22),
только интеграл в этих формулах следует понимать не в смысле
собственного или несобственного интеграла Римана, а в более
общем смысле, в смысле так называемого интеграла Лебега.
Рассмотрение этого вопроса выходит, однако, за рамки
рассматриваемых методов и поэтому не будет излагаться в
настоящем курсе. Его изложение можно найти, например, в
замечательном учебнике: Никольский С. М. Курс математичес-
кого анализа, т. I, II, 3-е изд., М., 1983.
Замечание 3. Определение пространства L2[a, естест-
венным образом обобщается и на случай бесконечного проме-
жутка. Рассмотрим для определенности всю числовую ось. Для
двух непрерывных интегрируемых в квадрате на всей действи-
тельной оси функций ф и ф скалярное произведение определим
по формуле:
(ф, ф) =	ф(х)ф(х)</х.	(59.34)
— оо
Это определение корректно, ибо интеграл, стоящий
справа, при сделанных относительно функций ф и ф пред-
положениях сходится, и даже абсолютно. Это сразу следует из
неравенства
Свойства скалярного произведения для (59.34) легко прове-
ряются. Можно показать аналогично случаю конечного проме-
жутка, что получившееся при этом метрическое пространство
непрерывных интегрируемых в квадрате функций, так же как и
предгильбертово пространство, получающееся «отождествлени-
ем» эквивалентных функций с интегрируемым на всей числовой
оси квадратом, не является полным в метрике, порожденной
скалярным произведением (59.34). Пополнения этих пространств
совпадают с точностью до изоморфизма и обозначаются через
Е2(— оо, +оо).
Упражнения. 6. Доказать, что функция /(х) = — на отрезке [О, 1] не
является пределом в смысле среднего квадратичного последовательности
непрерывных функций.
7.	Доказать неэквивалентность понятий сходимости в среднем в смысле Li
и в смысле L2 для последовательности функций.
218
8.	Доказать, что если последовательность интегрируемых на некотором
отрезке функций равномерно на этом отрезке сходится к некоторой интегри-
руемой на нем функции, то указанная последовательность сходится в той же
функции на рассматриваемом отрезке и в среднем как в смысле так и в
смысле L2.
9.	Построить пример последовательности непрерывных на некотором
отрезке функций, сходящейся на нем к некоторой непрерывной функции в
среднем в смысле L2, но не сходящейся равномерно на этом отрезке.
10.	Построить пример последовательности неотрицательных непрерывных
на отрезке функций, сходящейся на нем в среднем, но не сходящейся в смысле
среднего квадратичного.
Задача 41. Доказать, что для любого р, 1^р^ + оо, и любого промежутка
с концами в точках а и b, — ао^б</>^4-оо, множество непрерывных на нем-
функций плотно в пространстве RLp[a, b).
Мы описали различные типы пространств. В анализе в
основном изучаются пространства, элементами которых яв-
ляются функции. Такие пространства называются функциональ-
ными.
Для простоты в примерах рассматривались функции одного
переменного. Подобным же образом, если взять линейное
пространство функций, непрерывных на замыкании некоторого
измеримого по Жордану множества G^Rn, ввести скалярное
произведение по формуле (ф, ф) = ]'ф ф r/G и пополнить полу-
чившееся пространство, то получим гильбертово пространство,
которое обозначается L2(G).
При этом можно показать, что все таким образом получен-
ные пространства £2 (G) будут сепарабельными бесконечномер-
ными гильбертовыми пространствами.
Бесконечномерность пространства L2 [a, й] будет установ-
лена в п. 60.2, а его сепарабельность — в п. 60.3 (теорема 2).
В дальнейшем (см. п. 60.5, теорему 10) будет доказано, что
все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства
изоморфны между собой. Таким образом, изучив определенные
свойства функций одной или многих переменных, удается из
некоторых их множеств образовать пространства Ь2. Однако,
превратившись в точки этого пространства, функции утрачи-
вают многие свои индивидуальные свойства. В частности,
пространства L2 неотличимы друг от друга по числу перемен-
ных, от которых зависят функции, из которых образованы эти
пространства. Это, конечно, нисколько не мешает применять
функциональные пространства с большим успехом как в чисто
теоретических вопросах, так и в приложениях математики.
Введенные в § 57, 58 и 59 многочисленные определения
будут применяться в дальнейшем для описания определенных
свойств различных классов функций в привычных и наглядных
геометрических терминах (пространство, точка, расстояние,
219
вектор, базис и т. п.); они помогут установить аналогии,
имеющиеся между обычными «-мерными пространствами и
пространствами функций, и выяснить специфические свойства
бесконечномерных функциональных пространств.
§60. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
И РАЗЛОЖЕНИЯ ПО НИМ
60.1. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
Определение 1. Пусть X—линейное пространство с почти
скалярным произведением. Элементы х <= X и у <= X называются
ортогональными, если (х, у) = 0, в этом случае пишется также
х Ху.
Определение 2. Система элементов {ха, а <= ЭД} (ЭД — неко-
торое множество индексов) линейного пространства X с почти
скалярным произведением называется ортогональной, если каж-
дые ее два элемента ортогональны. Если, кроме того, норма ее
любого элемента равна единице, т.е. Цха|| = 1, а е ЭД, то она
называется ортонормированной.
Очевидно, если система ха, а е ЭД, ортогональна и ха^0
для всех а е ЭД, то ее можно «нормировать». Действи-
тельно, поделив каждый элемент на его норму, т. е. умно-
жив ха на число 1/||ха||, получим ортонормированную си-
стему
Напомним, что если X—пространство со скалярным произ-
ведением, то условие ||х||/0 равносильно тому, что х/0.
Лемма 1. Если система {ха, а е ЭД} элементов линей-
ного пространства X с почти скалярным произведением орто-
гональна и ||ха||/0 для всех а е ЭД, то она линейно незави-
сима.
Доказательство. Пусть для некоторых элементов
xafc, <= ЭД, k=l, 2, ..., п,
имеем
XjXai + Х.£Ха2 + ... + ^„ха„ = 0.
Умножим скалярно обе части этого равенства на xajk, к — фик-
сировано (к=\, 2, ..., п), получим
^•к	^«к) = 0,
220
ибо в силу ортогональности системы (хз;, xajl) = 0, j^k. Замечая
далее, что, по предположению, хак^0 и, следовательно,
(хч, xajl)/0, получим Хк = 0, к=\, 2, ..., п.
Линейная независимость системы ха, а е 21, доказана. □
Докажем еще одну лемму, выражающую критерий линейной
независимости функций через скалярные произведения.
Лемма 2. Если для системы элементов хр .... х„ простран-
ства X со скалярным произведением определитель
G(xp ..., х„) =
(*р Xj) (хр х2) ... (Хр х„)
(х2, хД (х2> х2) ... (х2 х„)
(х„, хД (х„, х2) ... (х„, х„)
равен нулю, то система линейно зависима.
Определитель G(xt, х„) называется определителем
Грама*} данной системы.
Доказательство. Рассмотрим систему п линейных урав-
нений с п неизвестными X,, г = 1, 2, ..., п:
(к1х1 + ... + Х„х„, х;) = 0,
i= 1, 2, ..., п,
(60.1)
или
ХДхр х;) + ... + Х„(хп, х;) = 0,
*=1, 2, ..., п.
Определителем этой системы является транспонированный
определитель Грама, который по условию леммы равен нулю.
Следовательно, система (60.1) имеет нетривиальное решение
Хр ...,	(т. е. такое, что не все /=1, 2, ..., п, равны нулю).
Умножим равенство (60.1) на X, и просуммируем по i от 1 до л:
(Xjхх-Ь ... + Х„х„, Х1х1 + ... + Хпх„) = 0.
Отсюда Х1х1 + ... + Х„хп = 0, что означает линейную зависи-
мость системы Хр ..., х„. □
Упражнения. 1. Доказать, что если конечная система элементов пред-
гильбертова пространства линейно зависима, то ее определитель Грама равен
нулю.
2. Доказать, что если {со,} — ортонормированная система, то для любых
двух ее элементов со, и со,, имеет место равенство
|| со,.-со, II = 72, а'/а,
3. Доказать, что функции sinx, sin3x, sin5x, sin7x, sin9x линейно
независимы.
*’ И. Грам (1850—1916)—датский математик.
221
Примеры. 1. Тригонометрическая система функций
1, cosx, sin.r, cos2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx, ... (60.2)
ортогональна в пространстве L2[ — тс,, л] (см. п. 57.10). Это бы-
ло доказано в лемме 1 п. 55.1.
Из формул (55.4) следует, что || sinлглг|| = ^/тг, ||COS«XII = V^’
и = 1, 2, ..., поэтому ортонормированная система, соответствую-
щая системе (60.2), имеет вид
11	1 . 1	1 .
---, --COS X, —-=sinx, ..., —— cosnx, --zSinnX, ... .
у/2п y/n	y/n	y/n	y/n
2. Рассмотрим полиномы Лежандра (см. п. 58.1)
Р0(х) = 1, Р„(х) = ^^Л,	« = 1,2......... (60.3)
Покажем, что система (60.3) ортогональна в пространстве
£2[- 1, 1]. Для этого докажем более общее утверждение, а
именно что полином Лежандра Р„(х) ортогонален любому
многочлену Qm(x) степени т<п. Заметив предварительно, что
выражение
с/Дх2-!)"
dx~k
при к = 0, 1, 2, ..., п — 1, обращается в нуль в точках х= —1 и
х=1, имеем, последовательно интегрируя по частям,
к
= (-l)me^(x)	}dx=
-1
Таким образом,
1
Qm(x)P„(x)dx=Q, т<п-
в частности,
222
1
Рт (х) Рп (х) dx = 0,	т / п.
-1
Подсчитаем теперь норму полиномов Лежандра. Заметив, что
где 2„-i(x) — многочлен степени не выше п — 1, и использовав
ортогональность Р„(х) ко всем многочленам меньшей степени,
получим

Интегрируя последовательно по частям, будем иметь
х d(x2 —1)" =
(2и)!! .
|В-1(2»-1)!!	/
-1
1
z y-tfo-l)!!!
'	'	(2и-2)!!3
1
=	|(х2-1Г2х^х =
-1
х2" dx — 2
2п+ 1
Таким образом,

Система полиномов Лежандра, как и всякая ортогональная
система ненулевых элементов, линейно независима (см. лемму
1) в пространстве L2[—l, 1].
223
Впрочем, как это было показано раньше, они линейно
независимы и вообще на любом промежутке числовой оси, не
вырождающемся в точку (см. п. 58.1).
Из линейной независимости полиномов Лежандра следует,
что любой многочлен степени, не большей п, является линейной
комбинацией полиномов Лежандра Р0(х),	Р„(х). Дейст-
вительно, в (и+1)-мерном пространстве многочленов степеней,
не превышающих п, любая система п +1 линейно независимых
многочленов, в частности указанная система полиномов Ле-
жандра, образует базис. Поэтому всякий многочлен рассматри-
ваемой степени является линейной комбинацией элементов
указанной системы.
3. Система функций	п = 0, +1, ±2,..., ортогональна на
отрезке [ — л, л].
В самом деле
п	п
einx7^dx= J el(nm,xdx.
— п	-п
Отсюда, вспоминая, что период функции ех равен 2ni (см. п.
37.6), при пТт получим
п
Г —	1
einxeimxdx = —1—=0.
I	/(и-m)
Упражнение 4. Доказать, что последовательность функций sin (2п— 1)-,
п=1, 2,..., образует ортогональную систему на отрезке [0, л].
60.2. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ
Пусть снова X—предгильбертово пространство. Рассмотрим
следующую задачу. Пусть дана линейно независимая счетная си-
стема элементов хп, п=1, 2,..., пространства X. Требуется с помо-
щью конечных линейных комбинаций получить из нее ортогональ-
ную систему. Оказывается, эта задача всегда имеет решение.
Теорема 1. Пусть
х„, ??=1, 2, ...	(60.4)
— линейно независимая система элементов пространства X.
Тогда существует ортогональная система элементов уп, у„#0,
п=1, 2, ..., этого пространства такая, что каждый ее элемент
у„, п—1, 2, ..., является линейной комбинацией первых п
элементов системы (60.4):
224
Уп = ^п,1Х1+ап,2Х2 + - + ап,ПХп-	(60.5)
Построение ортогональной системы {уп} вида (60.5) из
линейно независимой системы {%„} называется обычно процес-
сом ортогонализации системы {%„}.
Доказательство. Положим у1=х1. Так как система
(60.4) линейно независима, то >^#0 (почему?).
Пусть существуют попарно ортогональные элементы у„/0,
и=1, 2, ..., к, к^Л, удовлетворяющие условию (60.5). Будем
искать элемент ук+1, ортогональный всем у1; ..., ук, в виде
А+1 = Р|1+1,1Т1 + - + ₽* + 1дЛ-^+1-	(60.6)
Из условий ортогональности
(Ь, Л + 1) = - = (л, Л + 1) = 0	(60.7)
получаем
(Тп Т1)&+1,1 = (Т1’ xk + i)’	л)Рк+1д = (Л’xfc+i)- (60-8)
Отсюда однозначно определяются коэффициенты Pfc + 1 ,, i= 1, 2, ...
..., к. Элемент ук + 1, задаваемый представлением (60.6) с
найдейными коэффициентами	z=l, 2, к, т. е.
_ у h,xt+i)
Л + 1“А (Т,уг) fe+1’
удовлетворяет условиям (60.7).
Подставим в (60.6) выражения для уп, п=1, 2, к,
записанные в виде (60.5); после приведения подобных членов
получим
Л+1=«1+1.Л + -+аш,Л-^н-	(60.9)
Отсюда следует, что ук +, # 0, ибо в противном случае элементы
..., хк+1 оказались бы линейно зависимыми. □
Замечание. Отметим, что если какая-либо ортогональная
система элементов zn, zn/0, п=1, 2, ..., пространства X такова,
что каждый элемент z„ также является линейной комбинацией
первых п элементов системы (60.4):
2п = ЧпЛХ1 + -+Ъ,пХП’ п=\, 2, ...,	(60.10)
то элемент zn отличается от элемента уп лишь некоторым
числовым множителем \,#0:
?п = КУп, п=\, 2, ... .
Докажем это. Обозначим через £(п1, ..., и„) линейную
оболочку системы элементов ик, ип (см. п. 58.1); L(xr, х„)
является n-мерным пространством, в котором элементы х1, ...,х„
образуют базис (см. п. 58.1). Элементы г=1, 2, ..., п
(соответственно zh z = l, 2, ..., п), линейно независимы и
225
содержатся в £(хх,	х„); следовательно, элементы yt, i= 1, 2, ...
..., п, и элементы zt, z'=l, 2, ..., п, также образуют базис в
пространстве L{xx, ..., х„). Таким образом, L(x1; ..., х„) =
= £(у15 ..., y„) = Z(z1, ..., z„) п = 1, 2, ....
Элемент y„eL(xl, ..., х„) ортогонален подпространству
£(у15 ..., y„_1) = L(x1, ..., x„_J, т. е. ортогонален каждому
элементу этого подпространства. Элемент же zneL(xt, ..., х)
ортогонален подпространству L(z1; ..., z„_1) = L(x1, ..., х,,^).
Итак, элементы у„ и zn «-мерного пространства Z(x15 ..., х„)
ортогональны одному и тому же (н — 1)-мерному подпространст-
ву £(х1? ..., x„_!) и, следовательно, пропорциональны: zn = X„y„,
W0, н=1, 2, ... (почему?)
Отметим еще, что из
L(xi, ..., х„) = £(у1; ..., у„), п=1, 2, ...,
вытекает совпадение линейных оболочек бесконечных сис-
тем (60.4) и (60.5).
Рассмотрим теперь систему степеней х:
1, х, х2, ..., х", ... .	(60.11)
В п. 58.1 было показано, что эта система линейно
независима на любом промежутке числовой оси, не вырожда-
ющемся в точку, и так как входящие в нее функции,
рассматриваемые на некотором отрезке [а, 61, принадлежат
пространствам С(а, 6) (см. пример 6 в п. 58.3), СЬ2 [а, 6] и
L2 [а, 6] (см. п. 59.4), то в этих пространствах имеются
бесконечные линейно независимые системы. Следовательно,
указанные пространства бесконечномерны, т. е. заведомо не
имеют базиса, состоящего из конечного числа элементов.
Если систему (60.11) взять на отрезке [—1, 1] в качестве
исходной системы (60.4) и применить к ней процесс ортогонали-
зации (см. (60.5)) в пространстве L2[—l, 1], то получим
последовательность ортогональных многочленов соответствен-
но степеней 0, 1, 2, .... Из сделанного выше замечания следует,
что эти многочлены могут отличаться от многочленов Лежанд-
ра (60.3), которые также ортогональны, лишь постоянным
множителем.
60.3. ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ И СИСТЕМЫ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
Напомним (см. п. 58.5), что система элементов Q = (xa},
аеОД, называется полной в полунормированном пространстве X,
если множество всех конечных линейных комбинаций ее
элементов плотно в пространстве X в смысле заданной в нем
полунормы. Иначе говоря, система полна, если для каждого
226
хеХ и любого 8>0 существуют такие элементы и числа
Хк, к—\, 2, т, что
т
к= 1
8.
Определение 3. Полунормированное пространство X назы-
вается вложенным в полунормированное пространство Y, если:
1°) X^Y;
2°) существует такая постоянная о0, что для любого хеХ
имеет место неравенство
||х||у<с||х||х.	(60.12)
Постоянная с>0 называется константой вложения. Вложе-
ние пространства X в пространство Y обозначается символом
Х<& Y.
Легко проверить, что если X<qY и Yё Z, то Х<& Z. Из
леммы 3, п. 58.3 следует, что для любого отрезка имеют место
вложения
RLp[a, /)]ёЛ£1[а, />],
RLp[a, Z>]Q5[a, b ] € RLp [a, Z>], l<p<+oo.
Здесь во втором вложении пространство RLp[a, Z>]Q5[a, />]
рассматривается с нормой ||-Ц^, т. е. с нормой пространства
В\а, Z>J. Если ограничиться только одними непрерывными
функциями, то из второго вложения следует вложение
С[а, b\<&CLp[a, Z>], 1<д<+оо.	(60.13)
Отсюда, вспоминая, что при р = 2 пространство CL2 [a, Z>]
изометрически вкладывается в пространство L2 [а, b ] (см.
(59.33)), получаем еще вложение
С[a, b]^L2[a, />].	(60.14)
Обратим внимание на то, что во вложениях (60.13) и (60.14)
вкладываемые пространства плотны в пространствах, в которые
они вкладываются: в случае (60.13) это следует просто из того,
что множества точек обоих пространств совпадают, а в случае
(60.14) это следует из теоремы 3 п. 59.4.
Лемма 3. Если система П = {ха}, осе ОД, полна в полунорми-
рованном пространстве X, пространство X вложено в полунор-
мированное пространство Y и множество X плотно в прост-
ранстве Y по полунорме этого пространства, то система Q
полна в пространстве Y.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент yeY и
любое 8>0. В силу плотности множества X в пространстве Y,
найдется такой элемент хеХ, что
227
Ilj’-x||r <|
Поскольку система Q полна в пространстве X, то существует
конечное множество таких элементов х^еОи чисел Хк, к= 1, 2, ...
..., т, что
т
х— У 7-кх	<—,
La К
к=1	X
где о 0 — константа вложения Х<& Y. В силу этого вложения
(см. определение 3),
т
X- X
к = 1
т
X- X
k= 1
Поэтому для первоначально выбранного нами элемента у
получим
т
у- X
/с= 1
Y
т
X— X	<- + - = £.
La * «к ?	?
к = 1	у z z
Это и означает плотность системы Q в пространстве Y. □
Примеры. 1. Система степеней
1, х, х2, хп, ...	(60.15)
полна в пространствах С [а, />], CLp[a, />], 1 </>< + ®и£2 [а, />]
для любого отрезка [а, ЬД. Действительно, в силу теоремы
Вейерштрасса (см. теорему 8 в п. 55.8), указанная система степеней
полна в пространстве С [а, Ь ], которое, согласно (60.14), вложено в
пространство L2 [а, 6] и плотно в нем. Поэтому по лемме 3
этого пункта система степеней (60.15) полна в пространстве
L2[a, ЬД. По той же лемме эта система полна и в про-
странстве CLp\a, 6] при любом р>1, ибо С [a, вло-
жено в CLp\a, £] и плотно в нем (см. (60.13)).
Обратим внимание на то, что всякий базис в линейном
нормированном пространстве является, очевидно, полной ли-
нейно независимой системой. Обратное неверно. Например,
система степеней (60.15) хотя и образует полную линейно
независимую систему в банаховом пространстве С [а, />],
однако не является в нем базисом: если в пространстве С [а, ЬД
некоторая функция/раскладывается по системе степеней (58.15),
т. е. /(х)= X апхп, то это означает, что написанный степенной
и = 0
ряд сходится равномерно на отрезке [a, £], и, следовательно,
функция / аналитическая на интервале [а, b ]. Поэтому заведомо
228
любая непрерывная на отрезке [а, />] функция не может быть
представлена в указанном виде.
2. Система полиномов Лежандра (см. (60.3))

> М- 1 <г(х2-\у
' 2"п! dx"
полна в пространствах С [a, Z>], CLp\a, />], 1<р<+оо, и
L2[a, b\ для любого отрезка [а, о]. Это сразу следует из того,
что любой многочлен Q (х) является линейной комбинацией
полиномов Лежандра (см. п. 58.1):
е(*)= X v*(4	(60.16)
к = 0
Поэтому, если в каком-то полунормированном пространстве X
полна система степеней (60.15), т. е. для любого элемента feX
и любого 8>0 существует такой многочлен Q = Q(x\, что
II/— 2 II <8, то в силу (60.16),
/- X ЧЛ <8-
к = 0
Это и означает полноту системы полиномов Лежандра в
пространстве X.
3. Обозначим через С* [ — л, л] подпространство пространст-
ва непрерывных функций С [ — л, л], состоящее из функций,
принимающих на концах отрезка [—л, л] одинаковые значения:
/(-л)=/(л).	(60.17)
Тригонометрическая система (60.2)
1, cosx, sinx, ..., cos их, sinnx, ...,
полна в пространствах С* [ — л, л] и Z2[ —л, л]. Полнота
тригонометрической системы в пространстве С*[ — л, л] была
доказана раньше: см. теорему 7' в п. 55.8.
Обозначим через 2 [ — л, л] подпространство пространства
С* [ — л, л], состоящее из таких функций f, которые принимают
на концах отрезка [—л, л] значения, равные нулю: /( —л) =
=/(л) = 0. Согласно теореме 3, п. 59.4 множество 2 [ — л, л], а
следовательно, и пространство С* [ — л, л]эС[-л, л], плот-
но в пространстве £2Г —л, л]. Поэтому, в силу вложения
(см. (60.14))
С* [ — л, л]<§£2[ —л,
и леммы 3 этого пункта тригонометрическая система (60.2)
полна в пространстве £2[ —л, л].
Отметим, что поскольку условие (60.17) сохраняется при
229
равномерной сходимости, и каждый тригонометрический мно-
гочлен ему удовлетворяет, то тригонометрическая система
заведомо не полна в пространстве С [ — л, л], так как в нем
заведомо есть функции, не удовлетворяющие условию (60.17).
Из рассмотренных примеров как простое следствие вытекает
следующее утверждение.
Теорема 2. Банахово пространство С\а, 6] и гильбертово
пространство L2 [а, b ] являются сепарабельными пространст-
вами.
Действительно, сепарабельность пространства означает (см.
определение 22 в п. 58.5) наличие в нем счетной полной
системы. В указанных пространствах таковой системой являет-
ся, например, система (60.15) целых неотрицательных степеней
переменной х.
60.4.	РЯДЫ ФУРЬЕ
Пусть, как и раньше, X—предгильбертово пространство.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть задана система п
линейно независимых векторов ег, е2, ..., е„ пространства X и
фиксирован некоторый вектор хеХ. Требуется найти линейную
комбинацию вида
а2е2 + ... + апеп,	(60.18)
которая дает наилучшее приближение в пространстве X
элемента х, т. е. осуществляет минимум выражения
||х —(а1е1 + ...+а„е„)||,	(60.19)
или, что то же, минимум функции
х~ X аА =( х- X акек- х- X акек )	(60.20)
к=1	\	к=1	к=1	/
от переменных ак, а„.
Геометрически это означает, что в «-мерном пространстве
..., е„), натянутом на векторы екеХ, ..., е„еХ, ищется
элемент, наименее удаленный от заданного элемента хеХ.
Если пространство X—«-мерное и, следовательно, векторы
ег, ..., е„ образуют базис, то всегда можно подобрать такие
коэффициенты ак, к=1, 2, ..., «, что будет выполняться
равенство
х = а1е1 + ... + а„е„	(60.21)
и, следовательно, выражение (60.19) обратится в нуль. Если же
X не конечномерно, или конечномерно, но имеет размерность,
большую, чем «, то равенство (60.21), вообще говоря, осущест-
вить невозможно и задача состоит в отыскании линейной
230
комбинации (60.18), дающей мини-
мальное значение выражению (60.19).
Мы покажем, что сформулирован-
ная задача всегда имеет и притом
единственное решение х0, кроме того,
выясним некоторые свойства этого
решения (см. рис. 261, на котором
схематически изображена рассматри-
ваемая задача). Применяя, если надо,
процесс ортогонализации (см. п. 60.2),	рис 261
систему ек, ..., е„ всегда можно заме-	ис'
нить ортогональной системой не равных нулю векторов.
Поэтому будем предполагать, что ек^0, (ек, <?7) = 0, k^j, j, /с = 1,
2, ..., п. Пользуясь условием ортогональности, преобразуем
функцию (60.20) следующим образом:
п
X- X акек
к= 1
2 / п	п	\
= X- у акек, х- X а}е, = (х, х) +
\	k=l	j=l	/
п п	п
+ X X акаА?к, е^-2 X ак(х, ек) =
к=1 J=1	к=1
= ||х||2+ X а?Цек112-2 X ак(х, ек) =
к=1	к=1
= 1|х||’ + |(«.||.1||-^)1-Ё^.	(60.22)
Отсюда следует**, что минимум выражения (60.19) достигается,
когда
ЯкИН-^ = 0, к=1, 2, ..., п,
II "к II
т. е. когда
а
(X ек)
Iktll2 ’
(60.23)
Числа ак, определенные по формуле (60.23), называются
коэффициентами Фурье элемента х по системе ек, ..., е„.
Если система ек, ..., еп ортонормированная, то формулы
(60.23)	принимают более простой вид:
ак=(х, ек).	(60.24)
В случае «-мерного пространства, когда в качестве векторов
*’ Очевидно, что это рассуждение является непосредственным обобщением
доказательства теоремы 11 из п. 55.9.
231
ек, ..., e„ выбран базис пространства, коэффициенты Фурье
вектора х являются его коэффициентами разложения по
указанному базису, т. е. координатами элемента х относительно
этого базиса. В этом легко убедиться, умножив скалярно
равенство (60.21) на ек, к=1, 2, ..., п; в результате получится
(60.23).
Вернемся теперь к выражению (60.22). Если в нем в качестве
«5, ..., ап взять коэффициенты Фурье (60.23), то, заметив, что
будем иметь
ИМ2 =• ai Il^ll2,
(ом.23)
1И12- Е ак 1Ы|2 =
к = 1
х~ Е акек
к= 1
(60.25)
откуда, в частности, следует, что
Е ак HIIMWI2-
/с=1
(60.26)
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть ек, et#0, k = i, 2, ..., п,— ортогональная
система векторов предгильбертова пространства X. Наилучшее
приближение в пространстве X вектора хеХ линейными
п
комбинациями вида Е &kek осуществляется, когда <хк, к=\, 2, ...
к = 1
... , п, суть коэффициенты Фурье'.
^к=»к
(это свойство называется минимальным свойством коэффициен-
тов Фурье).
При этом
2
inf
квк
п
х- Е акек
к- 1
2	п
=INI2- Е ак II <эД2 >о.
к= 1
Следствие 1. Элемент х0 = Е а/е,- является элементом
7= 1
наилучшего приближения элемента хеХ в подпространстве
L{ek, ..., е„) тогда и только тогда, когда элемент х—х0
ортогонален L(ek, ..., е„), т. е. х — х01£(е1, ..., е„).>
Действительно, условие х—х0±£(е,, ..., е„) равносиль-
но условию: для всех к=1, 2, ..., п имеет место равенство
(х —%ц, ек) = 0. Это, в свою очередь, эквивалентно условию
(х, ек) = (х0, ек) или, поскольку
232
(x0, ej= X ek	ekh
\j=i	/
условию (x, c\) = 7k(ek, ek). Таким образом, условия
। , /	\	(x, cj
x—x0±Z(e1,	e„) и ak = ^-^
равносильны. Но второе условие означает, что числа ak
являются коэффициентами Фурье элемента х0, т. е. что х0
является элементом наилучшего приближения. □
Пусть теперь задана последовательность (а не конечная
система, как выше) элементов
е„(е„/0), л-1, 2, ...,	(60.27)
образующих ортогональную систему в пространстве X. Числа ак,
к=\, 2, ..., определяемые по формуле (60.23), и в этом случае
называются коэффициентами Фурье элемента у по системе (60.27).
Определение 4. Ряд
X апеп^
п=1
(60.28)
где а„, л—1, 2, ...,— коэффициенты Фурье (60.23) элемента х по
системе' (60.27), называется рядом Фурье элемента х по этой
системе. .
Если ряд (60.28) является рядом Фурье элемента х, то
пишется
X а„еп.
п — 1
Определение 5. Пусть задана ортогональная система (60.27)
и элемент хеХ. Наилучшим приближением элемента х с
п
помощью линейных комбинаций вида X (л — фиксировано)
k= 1
называется число Е„(х), определяемое равенством
Еп{х} = inf
п
X "ел
к= 1
л—1, 2,
где нижняя грань берется по всевозможным коэффициентам аь ...
..., а„, или, что то же, по всевозможным линейным комбинациям
п
вида X akek-
k= 1
Поскольку всякая линейная комбинация элементов ек, ..., еп
может .также рассматриваться и как линейная комбинация
элементов е15 ..., еп, еп + 1, то, очевидно,
233
Ел+1(х)^Еп(х).	(60.29)
Из теоремы 3 следует, что рассматриваемая нижняя грань
достигается, если в качестве коэффициентов ак взять коэффици-
енты Фурье, и что
Е„(х)= inf
п
Wk
к = 1
п
X- Е акек
к = 1
ак = Э^4, к=\, 2, ....	(60.30)
(ек, ек) ’ ’
Полученный результат сформулируем в виде следствия 2 из
теоремы 3.
Следствие 2. Частичные суммы
sB= X Wk
к= 1
ряда Фурье элемента хеХ осуществляют наилучшее в прост-
ранстве X приближение элемента хеХ с помощью линейных
комбинаций вида a t е t +... + а„е„.
Отметим еще несколько следствий теоремы 3.
Следствие 3. Если sn — частичная сумма ряда Фурье
элемента хеХ, то числовая последовательность ||х—5„|| убы-
вает'.
Цх-5п+1||<||х-5„||, л = 1, 2, ...	(60.31)
В самом деле, согласно (60.30),
||х-5п|| = Е„(х), п = 1, 2, ...
Поэтому неравенство (60.31) является неравенством (60.29),
записанным в других обозначениях.
Следствие 4. Для коэффициентов Фурье ап, п = 1, 2, ...,
каждого элемента хеХ справедливо неравенство
00
Е «п2||е„||Ч||х||2,	(60.32)
п= 1
называемое неравенством Бесселя.
Неравенство (60.32) непосредственно следует из неравенства
(60.26) при н-юо (ср. с неравенством (55.49) в п. 55.9)).
Следствие 5. Если существует постоянная с>0 такая,
что ||ея||>с при п=1, 2, ..., в частности, если система (60.27)
ортонормированная (в этом случае можно взять с=1), то
234
коэффициенты Фурье любого элемента хеХ стремятся к нулю
при п-юо
lim ап = 0.
и-»х
(60.33)
Это следует из сходимости ряда
п—1 С п=1	С
ибо общий член сходящегося ряда стремится к нулю.
Естественно возникает вопрос: при каких условиях ряд
Фурье элемента х сходится?
Теорема 4. Если пространство X гильбертово (т. е. полно),
то ряд Фурье (60.28) любого элемента хеХ по любой
ортогональной системе (60.27) сходится в пространстве X. Если
х0 его сумма:
х0= X ап^
п = 1
(60.34)
то элемент х — х0 ортогонален ко всем элементам системы
(58.27).
Доказательство. Пусть sn= £ akek, п = 1, 2...,— частич-
k = 1
ные суммы ряда Фурье (60.28) элемента х по системе (60.27);
тогда
К + р- •S'nll2 =
п + р	2
X акек
к = п + 1
п + р
X
п + р
X
к = п + 1
Wk
а^к.
п + р
= X ^1\\ек\\2,	2, ..., р=\, 2,...	(60.35)
к = п+ 1
В силу неравенства Бесселя (5.32) ряд
00
X «21к,Н2
п= 1
сходится, и, следовательно, в силу критерия Коши для
сходимости числового ряда, для каждого числа 8>0 существует
такой номер лЕ, что при n>nz и р>0 выполняется неравенство
п + р
X ак\\ек\\2<^2,
к = п+ 1
поэтому, согласно неравенству (5.35) при n>nz и р>0, имеем
235
т. е. последовательность {.?„} является фундаментальной в
пространстве X и вследствие полноты последнего сходится.
В условиях теоремы последовательность sn сходится, вообще
говоря, не к элементу х. Пусть ее пределом является элемент х0,
т. е. х0= X апеп, тогда, используя непрерывность скалярного
И = 1
произведения (см. п. 59.3) и формулу (60.23), получим
(х-х0, ек) = (х, ек)—(х0, ек) =
(ОС	\	00
X апеп, ек =(х, ек)~ X а„(еп, ек) =
п = 1	/	п = 1
= (х, ек) —ак ||<\||2 = 0, /с=1, 2, ... □
Что же касается условия сходимости ряда Фурье некото-
рого отдельного элемента к самому этому элементу, то
его можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 5. Ряд Фурье (60.28) элемента х предгильбертова
пространства сходится к этому элементу тогда и только
тогда, когда для него выполняется равенство
00
Н*112= X а2п\\еп\\2,
п = 1
(60.36)
где а„ — коэффициенты Фурье элемента х по системе (60.27).
Равенство (60.36) называется равенством Парсеваля — Стек-
лова
В случае, когда система (60.27) ортонормирована, равенство
Парсеваля принимает более простой вид
оо
1И12= X й"2’ йп = (х>	2, ...,
п = 1
и представляет собой обобщение теоремы Пифагора на
бесконечномерные пространства.
Доказательство теоремы 5. Мы имели (см. (60.25))
м2	п
x~Yakek =IWI2- X a2||ej|2.
k~l	k-1
Переходя здесь к пределу при п->оо, получим эквивалент-
ность условия
lim
л-» ос
п
х~ X akek
k= 1
(60.37)
= 0
*’ В. А. Стеклов (1864—1926) — русский математик.
236
и условия
lim (||х||2- Y «л ||efc||2 ) = 0,
к=1	/
т. е. условия
INI2 = lim X	п
">х к=1
(60.38)
Напомним теперь понятие полной системы (см. п. 58.5)
применительно только к случаю счетных систем. Система
элементов епеХ, и = 1, 2, ..., называется полной, если множество
конечных линейных комбинаций элементов этой системы
плотно в пространстве X. Это означает, что для каждого
элемента хеХ и каждого числа 8>0 существуют такой номер
п = п(у, х) и такие числа Х15 ..., Х„, что выполняется неравенство
||х-(7.1е1 + ... + Х„е„)||<8.	(60.39)
Полнота ортонормированной системы является условием,
обеспечивающим сходимость ряда Фурье любого элемента
пространства к самому этому элементу. Сформулируем это
условие в виде теоремы.
Теорема 6. Ряд Фурье по ортогональной системе (60.27)
любого элемента предгильбертова пространства сходится к
самому этому элементу тогда и только тогда, когда система
(60.27) является полной.
Следствие. Для того чтобы ортогональная система
(60.27) предгильбертова пространства X была полной в прост-
ранстве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого
элемента хеХ выполнялось равенство Парсеваля (60.36).
Доказательство теоремы 6. Пусть X—предгильбер-
тово пространство и система (60.27) является ортогональной
системой этого пространства. Если для любого хеХ его ряд
Фурье по системе (60.27) сходится к х, т. е.
x=iane„ где =	«=1, 2, ..,	(60.40)
n = l	IIhiII
то
lim
п—»00
п
X- X «А
к = 1
= 0.
(60.41)
Следовательно, для каждого числа 8>0 существует такая
п
частичная сумма sn= X акек ряда Фурье (60.28), что
* = 1
||Х-5И||<8,
т. е. выполняется условие (60.39).
(60.42)
237
Обратно, если условие (60.39) выполняется при каких-то
коэффициентах Х15	л„, то оно заведомо выполняется согласно
теореме 3 и в случае, если взять к1 = а1, ..., Х„ = ап, т. е. в этом
случае для заданного 8>0 выполняется условие (60.42) при
некотором п, а значит, и при всех т>п (см. (60.31)), а это
равносильно выполнению условия (60.41). □
Следствие непосредственно вытекает из теорем 5 и 6.
Выясним теперь вопрос о единственности элемента, имеюще-
го данный ряд £ апеп своим рядом Фурье.
п~ 1
Теорема 7. Если ортогональная система (60.27) предгиль-
бертова пространства X полная, то элемент х^Х, у которого
все коэффициенты Фурье по системе (60.27) равны нулю, сам
равен нулю.
Следствие. Из равенства всех коэффициентов Фурье у двух
элементов пространства X по полной ортогональной системе
(60.27) вытекает равенство самих элементов.
Доказательство теоремы 7. Если система (60.27) —
полная, то согласно теореме 6 любой элемент х<=Х является
суммой своего ряда Фурье: х= ^апеп. Поэтому, если а„ = 0,
п—1
п=1, 2,..., то и х=.0.
Доказательство следствия. Если Xj<sX, х2еХ и их
коэффициенты Фурье равны между собой:
(*г е„)_(х2, е„) ^=1 2
1Ы12 IKII2 ’	’
то для элемента х = х1—х2 все коэффициенты Фурье равны
нулю:
(х, е„)_(Х1-х2, е„) (х,, е„) (х2, е„) „	-
1Ы12 IKII2 Ikll2 j|e„||2	’	’
и, следовательно, согласно теореме, х = 0, т. е. х1=х2. □
Замечание. Следует отметить, что если в предгильбер-
товом пространстве X задана некоторая ортогональная система
{еп}, и для некоторого хеХ существует его представление
в виде
х= £>„?„.
п—1
то оно единственно и коэффициенты х„, и=1, 2,..., являются
коэффициентами Фурье. В самом деле, если указанное пред-
ставление существует, то -для любого т=1, 2,..., в силу
ортогональности системы {еп}, получим
238
(ОС	\	QO
ет =	ет) = хт(ет, ет),
п —1	/ п-1
откуда
Это означает, что коэффициенты хп, и=1, 2,..., в рассмат-
риваемом представлении являются коэффициентами Фурье
элемента х по системе {еп} и, следовательно, такое разложение
единственно. □
Объединив утверждение с теоремой 7, получим, что два эле-
мента линейного пространства со скалярным произведением
равны тогда и только тогда, когда они имеют равные коэффи-
циенты Фурье по некоторой полной ортогональной системе.
Итак, если в предгильбертовом пространстве имеется полная
ортогональная система, то всякий элемент этого пространства
раскладывается в ряд по этой системе (теорема 6), и притом
единственным образом, согласно сделанному замечанию. Иначе
говоря, (см. определение 24 в п. 58.5) всякая полная ортого-
нальная система {е„}, е„ = 0, п = \, 2,..., в частности всякая
полная ортонормированная система предгильбертова прост-
ранства, является его базисом.
Например, согласно результатам п. 60.3, полиномы Лежанд-
ра (60.3) образуют базис в гильбертовом пространстве
Е2[ — 1, 1], а тригонометрическая система (60.2) — базис в
гильбертовом пространстве Z2[ — л, л].
Рассмотрим теперь еще один подход к понятию полноты
ортогональной системы в полном пространстве.
Определение 6. Ортогональная система (60.27) называется
замкнутой, если в пространстве X не существует элемента,
отличного от нуля и ортогонального каждому из элементов
этой системы.
Теорема 8. Если пространство X полное, то ортогональная
система (58.27) полна тогда и только тогда, когда она
замкнута.
Доказательство. Если система (60.27) полная, х<=Х и х
ортогонален всем элементам системы (60.27), то все его
коэффициенты Фурье по системе (60.27) равны нулю (см.
(60.23)); следовательно (теорема 7), х = 0.
Обратно: пусть система (60.27) замкнутая, хе1и У апе„.
п = 1
Согласно теореме 4, ряд Фурье элемента х сходится, и если
х() = £ а„е„, то х — х0Хеп, п=1, 2, ... . Поэтому, в силу замкну-
п = 1
тости системы (60.27), х — хо = 0, т. е. х=х0 и, следовательно,
239
х= £ а„еп. Так как х— произвольный элемент пространства х, то
отсюда, в силу теоремы 6, и следует полнота системы (60.27). □
Задача 42. Выяснить, эквивалентны или нет понятие полной ортогональной
системы и понятие замкнутой ортогональной системы во всяком предгиль-
бертовом пространстве.
60.5. СУЩЕСТВОВАНИЕ БАЗИСА В СЕПАРАБЕЛЬНЫХ
ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
ИЗОМОРФИЗМ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Теорема 9. Во всяком сепарабельном линейном прост-
ранстве со скалярным произведением существует ортонорми-
рованный базис.
Доказательство. В том случае, когда пространство X
«-мерное, теорема очевидна (см. п. 18.4 и 59.2), поэтому будем
рассматривать только случай, когда пространство X бесконеч-
номерно. Поскольку пространство X сепарабельно, то в нем
существует последовательность элементов
<Р„, « = 1, 2,...,
образующих полную систему. Отбрасывая последовательно те
из элементов, которые являются линейной комбинацией осталь-
ных, получим последовательность элементов
\|/„, п=1, 2,...,
имеющих ту же линейную оболочку, что и исходная система
{<р„}, и линейно независимых (почему?). Применив к полученной
системе процесс ортогонализации (см. п. 60.2) и нормирования
(см. п. 60.1), получим ортонормированную систему
ek, lkj|=l, к=\, 2,...,
имеющую ту же линейную оболочку, что и система {х|/„}, а значит,
ту же, что и система {<р„}- Поскольку в силу полноты системы {<р„}
эта линейная оболочка плотна в X, то система {еп} полная. В пре-
дыдущем же пункте (см. замечание после теоремы 7) было показа-
но, что всякая полная ортонормированная система элементов
предгильбертова пространства является его базисом. □
Теорема 10. Все сепарабельные бесконечномерные гильбер-
товы пространства изоморфны между собой*\
Предварительно докажем две леммы. Первая из них
обобщает равенство Парсеваля (60.36).
Лемма 4. Пусть X—предгильбертово пространство,
е„(еп#0), п=], 2,...,— полная ортогональная система в X, х^Х,
*’ Определение бесконечномерное™ пространства см. в п. 58.1, а изомор-
физма пространств — в п. 59.3 (определение 3).
240
у е X, и пусть
х~ Е а»е„, у~ Y Ь»еп,
п = 1	п=1
тогда
(*, >’)= ЕЙД Ik. IIЕ 2-	(60.43)
П=1
в частности, если дополнительно предположить, что ||е„|| = 1,
п=\, 2,..., то
к j)= Е йЛ-
п= 1
Формула (60.43) обобщает, очевидно, формулу для скаляр-
ного произведения в конечномерном пространстве (см. п. 18.4).
Доказательство. По определению коэффициентов Фурье,
поэтому имеем
п	п \	п
х~ Yakek> у- =(х’ ЕМх>
fc = l	fc=l /	/( — 1
п	п	п
-^ак(У’ ек)+ ЦакЬк(ек, ej = (x, у)- Е акЬк ||<?Д|2. (60.44)
к=к	к = 1	к=1
Из полноты системы еп, п=1, 2,..., имеем
lim х-ЕйЛ =0, lim у-Е^Л =0,
00 \	*=1	/	Г>—ОО \ ч = 1	/
поэтому в силу непрерывности скалярного произведения при
п->со левая часть равенства (60.44) стремится к нулю, следова-
тельно, это имеет место и для правой части, т. е.
lim ЕйЛ1Ы2 = (х- У’)-
n^°°k = i
Это равносильно равенству (60.43). □
Лемма 5. Пусть X—гильбертово пространство, ек, к=1,
2,...— ортонор мированный базис в X и ак, к = 1, 2,...— последова-
тельность чисел таких, что ряд £ ак сходится. Тогда ряд
к = 1
Е акек сходится в пространстве X, и если х= Е ЙА> то ак>
к=1	к=1
/г=1, 2,...— коэффициенты Фурье элемента х.
241
п
Доказательство. Если sn—^akek, то
к= 1
(п + р	Л + р \
Е акек- X акек =
к~п+1	fc—л+1	/
п + р
= Е ai, п=\, 2,..., р=\, 2,....
к = п+ 1
и в силу сходимости ряда Е й« он удовлетворяет критерию
п = 1
Коши для сходящихся рядов. Отсюда следует, что последова-
тельность {.$„} является фундаментальной в пространстве X и,
следовательно, сходится.
Пусть
x=lim s„, т. е. х=^апеп',
„ = 1
тогда, в силу единственности разложения элемента пространст-
ва по базису (см. замечание к теореме 7),
(х, е„) = а„, п=1, 2,...,
т. е. ап коэффициенты Фурье элемента х. □
Доказательство теоремы 10. Пусть X и Y—два
сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространства.
Согласно теореме 9, в них существуют ортонормироваиные
базисы, соответственно е„, и=1, 2,..., и fn, и=1, 2,....
Пусть хе А' и х = Е апеп:> тогда а„ — коэффициенты Фурье
п= 1
элемента х и, следовательно, по равенству Парсеваля, ряд Е й«
п — 1
сходится. Положим у = Е anfn- Согласно лемме 5, это имеет
п= 1
смысл.
Отображение пространства X в пространство Y, ставящее в
соответствие каждому элементу х е X указанный элемент yeY,
и осуществляет изоморфизм этих пространств. Действительно,
при этом соответствии в силу единственности разложения
элемента по базису разным элементам пространства X соот-
ветствуют разные элементы пространства Y. Далее, всякий
элемент пространства Y поставлен в соответствие некоторому
элементу пространства X (т. е. указанное отображение является
отображением на пространство У); в самом деле, если у <= У, то,
разложив его в У по базису, получим
242
у— Е V-
п — 1
Пусть х = Е Ьпеп (такой элемент существует, см. лемму 5).
п= 1
Очевидно, что элементу х и соответствует при установленном
соответствии элемент у. Покажем, наконец, что при этом
соответствии сохраняется скалярное произведение. Это сразу
следует из леммы 4. Действительно, если
х = ^а„е„, х'= ^Ьпеп, у= f ajn, у' = Е b„fn,
п — 1	п = 1	и = 1	п ~ 1
то, в силу указанной леммы,
(х, х') = Е а„Ь„ = (у, у'). □
п= 1
В качестве модели сепарабельного бесконечномерного гиль-
бертова пространства можно взять пространство, элементами
которого являются последовательности действительных чисел
х = (х1( х2,..., х„,...), для которых ряд Е Хк сходится, т. е.
к= 1
пространство /2 (см. примеры 6 в п. 57.1 и пример 5 в п. 58.3).
Скалярное произведение в этом пространстве вводится по
следующему правилу:
если х = (х1л..„ х„,...) и у = (у1,..., у„,...), то
(х, у)= Е хкУк-	(60.45)
1
ос
Это определение имеет смысл, ибо из сходимости рядов Е Х1 и
к = 1
^Ук вытекает и сходимость ряда ЕХ&Л- Это, например,
n=i	t=i
следует из неравенства Гёльдера для рядов при р = 2 (оно в
этом случае часто называется неравенством Коши — Шварца),
но может быть получено и из элементарного неравенства
Хк Ук^
Хк+Ук
2
Норма в пространстве /2 определяется согласно общему
правилу по формуле
/1х
V t = i
(60.46)
243
Теорема 11. Пространство 12 является сепарабельным
гильбертовым пространством.
Доказательство. Пространство /2 сепарабельно, ибо
последовательности ек, к=\, 2,..., у которых на всех местах
стоят нули, кроме k-vo, где стоит единица, образуют ортонор-
мированный базис и, следовательно, их конечные линейные
комбинации с рациональными коэффициентами образуют счет-
ное плотное в пространстве /2 множество (почему?).
Полнота пространства /2 была доказана раньше (см. пример
3 в п. 57.2). □
В силу теоремы 10, пространство 12 изоморфно каждому
сепарабельному гильбертову пространству.
В п. 60.3 было показано, что пространство L2 (а, b ] сепара-
бельно (см. там теорему 2) для любого отрезка [а, b ],
следовательно, оно также изоморфно пространству 12. Можно
показать, что и пространство L2(G), где G — измеримое
положительной меры множество «-мерного пространства, также
сепарабельно и, следовательно, изоморфно /2. Таким образом,
все гильбертовы пространства интегрируемых в квадрате
функций независимо от числа переменных, от которых зависят
эти функции, изоморфны между собой.
60.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ
С ИНТЕГРИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ В РЯД ФУРЬЕ
В § 55 изучались классические ряды Фурье, т. е. ряды Фурье
по тригонометрической системе функций, для абсолютно
интегрируемых функций. В этом пункте будет получен ряд
следствий из общей теории рядов Фурье в гильбертовых
пространствах и из свойства полноты системы тригонометри-
ческих функций в пространстве L2 [ — л, л ] для тригонометри-
ческих рядов Фурье более узкого класса функций, чем абсолют-
но интегрируемые, а именно для функций с интегрируемым на
отрезке [ — л, л] квадратом, т. е. для функций пространства
7?£2[ —л, л] (см. пример 3 в п. 59.2).
Прежде всего заметим, что если в гильбертовом прост-
ранстве L2 [ — тс, л ] за ортогональную систему взять тригоно-
метрическую систему
1, cos х, sin х, cos пх, sin пх, ...,	(60.2)
то коэффициенты Фурье элемента /<=£2[ — л, л] по этой
системе будут определяться, согласно (60.23), по формулам
ао = ^(/> 0, a* = ~U’ cos пх)> = sin пх), «=1, 2, ... ,
(60.47)
ибо ||1|| £,2 = х//2л^ ||cos nx||t = ||sin «x||L = ^/л (см. п. 60.1).
244
Если f—непрерывная на отрезке [—л, л ] функция, то
/еС£,[-л, л]с£2[ —л, л]. Сравнивая формулы (60.47) для
коэффициентов Фурье функции f с формулами (55.6) (скалярное
произведение, как обычно, задается формулами (59.11)), видим,
что все они совпадают, кроме формулы для коэффициента а0,
которая в (60.47) отличается от формулы в (55.6) множителем
1/2. Отдавая дань традиции, будем в дальнейшем придержи-
ваться формулы (55.6) для а0, т. е. считать, что
йо = “(/> 1)	(60.48)
и записывать тригонометрический ряд Фурье в виде
00
—+ X an cos Hx + /\sin пх.
2	п=1
Применяя теорему 6 к тригонометрической системе (60.2), в
силу полноты этой системы в пространстве Ь2 [ — п, л ] (см.
пример 3 в п. 60.3), получим следующую теорему.
Теорема 12. Каждый элемент /е£2[ —л, л] расклады-
вается в этом пространстве в ряд Фурье по тригонометричес-
кой системе
f——+ X ап cos nx+bnsin пх,	(60.49)
2	п—1
причем справедливо равенство Парсеваля
I	2 =0
1И/1Г-?+ L °i+bl.
71	2 п=1
Следствие 1. Каждая функция f(x) с интегрируемым на
отрезке [ — л, л] квадратом'.
1) является пределом в смысле среднего квадратичного (см.
п. 58.4) своих частичных сумм Фурье Sn(x) по тригонометричес-
кой системе функций при и->оо, т. е.
lim j [Дх) — S„(x)]2<7x = 0;	(60.50)
п—СО _л
2) и для нее справедливо равенство Парсеваля
Л
if	2 00
- Д(х)(/х = у+X «п+^п-	(60.51)
Л J	2 п=1
— л
Следствие 2. Если функция f с интегрируемым на отрезке
[ — л, л] квадратом и все ее коэффициенты Фурье по тригоно-
245
метрической системе (60.2) равны нулю, то она эквивалентна нулю.
Здесь везде коэффициенты Фурье при п = 1, 2,... определяют-
ся по формулам (60.47), а коэффициент а0 — по формуле (60.48).
Поскольку сама теорема 12 вытекает из теоремы 6, то
нуждаются в доказательстве только ее следствия.
Итак, пусть функция /(х) есть функция с интегрируемым
квадратом на отрезке [ — л, я], т. е. f(x)^RL2 [ — л, л] (см.
пример 7 в п. 58.3 и пример 3 в п. 59.2). Прежде всего заметим,
что любая ей эквивалентная функция g(x) (см. определение 5 в
п. 59.4) имеет те же коэффициенты Фурье и, следовательно, тот
же ряд Фурье. Это следует из того, что почти скалярное
произведение в пространстве Т?С2[ —л, л] не меняется, если его
сомножители заменить им эквивалентными (см. формулу
(59.22)), и потому, если f~g, то
йо = -(/> 1)кь2 = л^’
cos nx)RL =Ug, cos nx)RL
Д	71
b»='-(f sin	sinHx)RL2, n=l, 2,...*\
Следовательно, если через F обозначить класс эквивалент-
ных функций, содержащий функцию /, то в силу определения
(59.22) скалярного произведения классов эквивалентных функ-
ций, т. е. скалярного произведения в пространстве 7?L2[ —л, л]
(см. п. 59.4), будем иметь
a^(F> a^F’ COS	bn=^F Sin	2’-’
т. e. ряд Фурье элемента F^RL2[ — л, л]с£2[ —л, л] совпадает
с рядом Фурье каждой функции f^F. Согласно теореме 12, в
пространстве £2[ —л, л] имеет место разложение
ХйпСО8 nx + bnsin пх,	(60.52)
п= 1
и равенство Парсеваля
1	2 00
’ин(2=?+ z а2 + Ь2.	(60.53)
л	2
п = 1
*> Индекс у скалярных и почти скалярных произведений указывает, в каких
пространствах берутся рассматриваемые произведения.
246
п
Если S„(x) = ^+ £ ак cos kx + bk sin kx — частичная сумма
2	* = i
ряда Фурье (60.52), то сходимость этого ряда в пространстве
£2[ —л, л] к элементу F означает, что
lim ||F-S'„(x)||L =0.
п—*00
(60.54)
Если теперь f^F, то (см. (59.23))
\\F-Sn(x)\\L2 = \\f(x)-Sn(x)\\RL2= f [/(х)-ЗД]2</х, (60.55)
V «-я
где |[/’(x)-S’n(x)||KL2 — полунорма функции f(x)-Sn(x) в про-
странстве RL2 [ — л, л], что имеет смысл, ибо
/(x)-S„(x)eF-5„(x). Из (60.54) и (60.55) следует, что
lim J [/(x)-5„(x)]2tZx= lim ||/(x)-5„(x)||RL =0,
и—*oo _п	н—*оо	z
т. е. равенство (60.50) доказано.
Далее, так как, в силу той же формулы (59.23), имеют место
равенства
\\F\\L2 = \\f\\RL2 = J]f(x)dx
V —Я
и так как коэффициенты Фурье у F и f одинаковы, то (60.51)
следует непосредственно из (60.53).
Для доказательства следствия 2 заметим, что если все
коэффициенты Фурье функции /ей£, [-л, л] по тригономет-
рической системе равны нулю, то из равенства Парсеваля
(60.51) следует, что
II/IIkl2= J /2(х)йГх = 0,
— я
а это, согласно определению 5 из п. 59.4 эквивалентных
функций, и означает, что /~0.
Итак, обратим внимание на то, что если у функции с
интегрируемым квадратом все коэффициенты Фурье равны
нулю, то она не обязательно является тождественным нулем, а
только эквивалентна ему.
Оба следствия доказаны.
Из равенства Парсеваля (60.51) еще раз (независимо от
теоремы 2 п. 55.2) следует, что коэффициенты Фурье функции
247
/(х) стремятся к нулю (ибо общий член сходящегося ряда
(60.51) всегда стремится к нулю), однако лишь для функций с
интегрируемым на отрезке [ — л, я] квадратом. Так как всякая
функция, непрерывная на отрезке [ — л, л], является и функцией
с интегрируемым квадратом, то для нее также справедливо
утверждение первого следствия теоремы 12: она раскладывается
в ряд Фурье, сходящийся к ней в смысле среднего квадратич-
ного, и для нее справедливо равенство Парсеваля (60.51).
Второе же следствие для непрерывных функций может быть
существенно усилено. Сформулируем его в виде отдельной
теоремы.
Теорема 13. Если все коэффициенты Фурье непрерывной на
отрезке [ — л, л] функции равны нулю, то сама эта функция
тождественно равна нулю.
Этот факт был установлен нами уже раньше (см. в п. 55.6
следствие из теоремы 6). Здесь мы докажем его еще раз, исходя
из теории рядов Фурье в гильбертовом пространстве.
Следствие (теорема единственности разложения непрерыв-
ной функции в ряд Фурье). Если две непрерывные функции имеют
одинаковые коэффициенты Фурье, то они тождественно равны.
Доказательство. Если функция /(х) непрерывна на
отрезке [ — л, л ] и все ее коэффициенты Фурье равны нулю, то
из равенства Парсеваля (60.51) имеем |[/)Irl2 = 0. Но полунорма
пространства RL2 [—л, л ] на множестве непрерывных функций
является нормой (см. пример 8 в п. 58.3), поэтому /(х) = 0 для
всех хе [ —л, л].
Следствие вытекает из того, что разность двух функций, у
которых одинаковые коэффициенты Фурье, имеет коэффици-
енты Фурье, равные нулю, и потому является тождественным
нулем. □
Замечание 1. Теоремы 12 и 13 были сформулированы
применительно к тригонометрической системе функций. Подоб-
ные утверждения справедливы, конечно, для любой полной
ортогональной системы функций, т. е. системы, образующей
ортогональный базис в пространстве L2 [а, b ]. В частности,
аналогичные утверждения справедливы для разложений функ-
ций по полиномам Лежандра (см. пример 2 в п. 60.3) в
пространстве L2[— 1, 1]. Например, если все коэффициенты
Фурье непрерывной на отрезке [ — 1, 1 ] функции по системе
полиномов Лежандра равны нулю, то эта функция равна нулю
во всех точках отрезка [—1, 1]. Доказательства подобных
утверждений могут быть проведены по той же схеме, что и
выше.
Замечание 2. Основным и существенным фактом, позво-
лившим доказать теорему 12, является полнота тригонометри-
ческой системы в пространстве L2[ —л, л], которая в свою
очередь основывается на возможности сколь угодно точно в
248
смысле среднего квадратичного приблизить на отрезке [ — л, л ]
всякую функцию с интегрируемым на этом отрезке квадратом
непрерывной, периода 2л, функцией (см. лемму 8 из п. 59.4).
Использование же общей теории о разложении по ортогональным
системам в гильбертовом пространстве носило по существу лишь
терминологический характер и позволило более кратко и наглядно
проводить и записывать рассуждения. В качестве примера понятия,
которое весьма удобно при рассмотрении изучаемых вопросов, от-
метим прежде всего понятие линейного нормированного прост-
ранства (в частности, предгильбертова пространства), а значит, и
понятие нормы. Введение этих понятий позволило изложить тео-
рию разложений по ортонормированным системам вне зависимос-
ти от их конкретного вида. Эти понятия имеют разнообразное
применение и в различных других разделах математики.
В заключение, используя полученные результаты, докажем
еще одну теорему.
Теорема 14. Пусть функция f непрерывна на отрезке
[ —л, л ]. Если ее ряд Фурье сходится равномерно на отрезке
[ — л, л ], то его сумма равна функции f.
Доказательство. Пусть
/(х)~—+ £ а„cosпх + bnsinпх
2 п= 1
и
Н=1
— сумма ряда Фурье функции /.
Прежде всего функция S(x), как сумма равномерно сходя-
щегося ряда непрерывных функций, также непрерывна. Далее? в
силу теоремы 1 п. 55.1, коэффициентами Фурье функции S(x)
являются числа а0, ап, Ь„, п = 1, 2, ....
Таким образом, две непрерывные на отрезке [ — л, л]
функции f и S' имеют одинаковые коэффициенты Фурье, и
поэтому в силу сказанного выше они совпадают во всех точках
отрезка [ — л, л]: /(x) = S(x), —л^х^л. □
60.7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ В ПРЯМУЮ СУММУ
Определение 7. Подмножество линейного пространства X со
скалярным произведением называется его подпространством,
если оно является подпространством X как линейного прост-
ранства и является, кроме того, замкнутым множеством.
249
Примером подпространств линейных пространств со ска-
лярным произведением являются ядра ограниченных линейных
операторов.
В самом деле, пусть А — линейный ограниченный оператор
на предгильбертовом пространстве X и
kerA = {xeX: Ax = Q};	(60.56)
тогда, как мы уже знаем (см. лемму 2 в п. 58.1), ядро кегЛ
является подпространством линейного пространства X. Замк-
нутость ядра кегЛ следует из непрерывности оператора Л (см.
п. 58.6); если
у„екегЛ, т. е. Л(у„) = 0,
и
lim уп—у,
П—>:£>
ТО
Л (у) = Л (lim у„) = lim Л (у„) = lim 0 = 0,
п—► оо	п—> со	п—► 00
т. е. уекегЛ, что и означает замкнутость ядра кегЛ. □
Определение 8. Если X—линейное пространство со скаляр-
ным произведением и Y—его подмножество, то множество У1
всех элементов пространства X, ортогональных всем элементам
множества У:
y±d={x6Х:(х, у) = 0, yeY},	(60.57)
называется ортогональным дополнением множества У.
Легко видеть, что
Лемма 6. Если У—подпространство линейного простран-
ства X со скалярным произведением, то У1 также является
подпространством пространства X.
Доказательство. Если z1eY1, z2eY1, то для любых
чисел У2 и любого yeY имеем
(X1Z1 + X2z2, y) = X1(z1, у)+ X2(z2, у) = 0
и, следовательно, k1z1 + X-2z2e Y1, т. е. Y1 является подпрост-
ранством линейного пространства X.
Замкнутость множества У1 следует из непрерывности
скалярного произведения: если zneY1 и limz„ = z, то для
п—*00
250
любого у е Y имеем
(z, y) = (limz„, y)=lim(z„, y)=lim0 = 0,
n—x	и—*00	и—*oo
т. е. zeY1, а это и означает замкнутость множества Yv. □
Теорема 15. Если Y—подпространство гильбертова прост-
ранства X и хоеХ, то существует такой единственный элемент
у0 е Y, что
IK-Л) 11= inf ||х0-J7 II-	(60.58)
Элемент у0 называется ортогональной проекцией элемента х0
в подпространство Y. Очевидно, эта теорема является в
некотором смысле обобщением теоремы 3 п. 60.4 на слу-
чай, когда подпространство Y не является обязательно ко-
нечномерным.
Доказательство. Пусть X—гильбертово пространство,
хоеХ, и Y—подпространство пространства X. Положим
<7 == inf ||х0 —у ||2.
Выберем последовательность точек уп е У, так, чтобы
lim || х0-уп ||2 = d.
(60.59)
Заметим, что для любых элементов и и v какого-либо
линейного пространства со скалярным произведением имеет
место тождество
Чтобы в этом убедиться, достаточно записать это равенство
через скалярные произведения
м) + ^(г, г)
и произвести соответствующее умножение, воспользовавшись
дистрибутивностью скалярного произведения. Положив в
тождестве (60.60) и = х0 — у„, v = x0—ym, получим
Уп+Ут
Х°
2	1	1	1
+^||У„-Уш1|2 = |||хо-Уп112+^||х0-уш||2. (60.61)
251
Так как У’‘+Утеу то
2
2
v Уп+Ут
х° ~Г
d.
(60.62)
В силу условия (60.59), для произвольно заданного 8>0
существует такой номер п0, что для всех номеров л>«0
выполняется неравенство
||х0-уп||2<</+^.	(60.63)
Поэтому если п>«0 и т>п$, то из равенства (60.61), в силу
неравенств (60.62) и (60.63), следует, что
II J'n-J'm II2 +	+
т. е. при п>п0 и т>п0 выполняется неравенство
II К- Ут II <£-
Это означает, что последовательность {у„} фундаментальная, а
поэтому, в силу полноты пространства X, она сходится.
Пусть
Уо = lim Уп-	(60.64)
п—*оо
Отсюда, в силу непрерывности нормы, следует, что на элементе
у0 достигается минимум отклонения ||х0 — у|| элемента х0 от
подпространства У, т. е. выполняется условие (60.58). В самом
деле,
11*о~.Уо11 = 1ко-lim^ll= I™ ||xo-yj| = ^/d = inf || x0-y ||.
n—►oo	n—►00	(60.59)	yey
(60.65)
Таким образом, так как нижняя грань достигается, то ее можно
заменить минимумом
II *о - Уо II = min ||х0 - у||.	(60.66)
Покажем, что элемент у0, обладающий этим свойством,
единствен. Действительно, если yreY,
||х0-у1||2 = 4/,	(60.67)
то, положив в тождестве (60.60) и — х0— у0, v = x0—y1, получим
252
v J'o+J'l
x°
2	1	1	1
+ 411л~Ух II2 = 2Hxo~Уо II2 + 2II xo~УхII2-
(60.68)
Так как ^---^еУ, то, в силу (60.59), выполняется неравенство
V -’'o+Tl
Л -т-
^d,
а так как, кроме того,
II*о ~Уо II2 =	II хо~Ух II2 =
то из (60.68) следует неравенство
d+- Уо~Ух
2
^d,
т. е. ||у0— У1||Ч0, что возможно лишь тогда, когда y()~yi □.
Замечание 1. Из доказательства теоремы 15 видно, что
полнота пространства X использовалась лишь для существова-
ния ортогональной проекции элемента в подпространство, а не
для ее единственности. Таким образом, если у элемента
линейного пространства со скалярным произведением существу-
ет ортогональная проекция в некоторое подпространство, то
она единственна.
В рассматриваемом случае имеет место и обобщение
следствия 1 теоремы 3 п. 60.4.
Теорема 16. Для того чтобы элемент у0 был ортогональ-
ной проекцией элемента х0 гильбертова пространства X в его
подпространство Y, необходимо и достаточно, чтобы для всех
у е У выполнялось условие
(хо~То> т) = 0,	(60.69)
т. е. чтобы х0—у0_1_У.
Доказательство необходимости условия (60.69). Пусть эле-
мент х0 удовлетворяет условию (60.66). Выберем произвольно
элемент yeY и рассмотрим вспомогательную функцию
def
ДО = II хо -То + {У II2 = (хо -То - О', Л -То + О') =
=(*о-То» хо —То) + 2/(хо —То> т) + Лт, т),
— 00 <t< +00.
Найдем ее производную:
/'(/) = 2 ((х0-То, т)+'(т, т))-	(60.70)
253
Так как y0 + tyeY, то, в силу (60.66), функция f достигает
наименьшего значения при t = Q. Следовательно,/'(0) = 0, или, в
силу формулы (60.70),
(*о-.Уо> y) = Q
(для произвольного yeY), т. е. выполняется условие (60.69).
Доказательство достаточности условия (60.69). Пусть хоеХ,
y^eY и для всех элементов уеУ0 выполняется условие
(*о~Уи у) = в-	(60.71)
Покажем, что элемент у15 удовлетворяющий этому условию,
единствен. Действительно, пусть элемент у2 е Y таков, что для
всех yeY также выполняется условие
(х0-у2, ^) = 0;	(60.72)
написав тождество
у1-у2 + (*о-.У1)-(хо-.}'2) = 0	(60.73)
и заметив, что уг — у2 е Y, умножим скалярно равенство (60.73)
на уг— у2. Тогда, в силу (60.71) и (60.72), будем иметь (yj — у2,
У1~У2) = °^ т- е-
IIУ1-У2 11=0,
а из этого следует, что У1=у2- Выше было доказано, что
элемент у0, удовлетворяющий условию (60.66), удовлетворяет и
условию (60.69). Следовательно, в силу единственности такого
элемента, ух =у0, т. е. элемент уг является ортогональной
проекцией элемента х0 в пространстве Y. □
Замечание 2. Отметим, что для любого билинейного
функционала А(х, у) (билинейного отображения, см. п. 58.7)
имеет место тождество, аналогичное тождеству (60.60):
А [а (-—= - А (и) + - А (г),
\ 2 J \ 2 J 2 К 2	’
где А (х) = А (х, х).
Поэтому метод, примененный в доказательствах теорем 16 и
17, является типичным для решения задач на экстремум
квадратичных функционалов А (х) в бесконечномерных про-
странствах.
Теорема 17. Линейное пространство X со скалярным
произведением является прямой суммой всякого своего подпро-
странства Y и его ортогонального дополнения Y1:
X=Y®Y\	(60.74)
Доказательство. Согласно определению прямой суммы
(см. п. 58.1), надо доказать, что каждый элемент хеХ
254
представим в виде x=y+z, yeY, zeY1, и при этом един-
ственным образом.
Пусть х е X; обозначим через у е Y его ортогональную
def
проекцию на пространство Y и положим z = x—у. Тогда,
очевидно,
x=y + z	(60.75)
и, согласно теореме 15, имеет место равенство (х—у, у) = 0, или
(z, у) = (х—у, у) = 0,
т. е. элемент z ортогонален элементу у и, следовательно, ze У1.
Докажем единственность разложения элемента х в сумму
элементов, принадлежащих ортогональным подпространствам
X и Y. Хотя она следует и из предыдущих результатов, для
наглядности приведем ее прямое доказательство.
Если x=y1+z1 (уге Y, zYe У1), то, вычитая это равенство из
равенства (60.75), получим
(У- У1) + (г~ zi) = 0-
Так как y—yreY, z — zxeYl и, следовательно, y—ylXz — z1, то
из теоремы Пифагора имеем
IIУ~У1 ll2+ll z-Zj ||2 = 0,
откуда y=ylt z = z1. □
Упражнение 5. Доказать, что если X— линейное пространство со
скалярным произведением и Y — его подпространство, то
(у±)±=у-
60.8. ФУНКЦИОНАЛЫ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
При изучении линейных нормированных пространств и
пространств других типов большую роль играют так называе-
мые линейные функционалы на этих пространствах, с которыми
мы встречались в случае конечномерных пространств в (см. п.
41.6). В дальнейшем мы убедимся в существенном значении
линейных функционалов на примере теории обобщенных функ-
ций, а теперь сформулируем их определение для случая
линейных нормированных пространств.
Определение 9. Линейное отображение линейного нормирован-
ного пространства в множество действительных чисел назы-
вается линейным функционалом на этом пространстве (или над
этим пространством).
Очевидно, что линейные функционалы линейного нормиро-
ванного пространства X являются частным случаем операторов
ЛГ->У, когда линейное нормированное пространство У является
255
множеством действительных чисел, и поэтому для линейных
функционалов справедливы все понятия, введенные для линей-
ных операторов, например их ограниченность, непрерывность,
норма, и имеют место все их свойства, доказанные выше (см.
п. 58.6). В частности, непрерывность и ограниченность линей-
ного функционала эквивалентны между собой. Функционалы
линейного нормированного пространства также (как и вообще
операторы) образуют линейное нормированное пространство,
которое называется сопряженным данному.
В случае конечномерных пространств было показано, что все
функционалы порождаются скалярным произведением; пока-
жем, что аналогичное утверждение верно и для гильбертовых
пространств.
Теорема 18. Для всякого линейного ограниченного функцио-
нала f действительного гильбертова пространства X существу-
ет единственный элемент аеХ такой, что для всех х&Х
выполняется равенство
/(х) = (х, а),	(60.76)
причем \\f\\ = || а ||. Обратно: если аеХ, то отображение
def
/(х) = (а, х), хеХ,	(60.77)
является непрерывным линейным функционалом и ||/|| = || а ||.
Следствие. Гильбертово пространство изоморфно со своим
сопряженным пространством.
Доказательство. Прежде всего очевидно, что функцио-
нал /(х) = (х, а) линейный и ограниченный. Последнее следует из
неравенства Коши — Шварца
|/(х)| = |(х, а)|< || х || || а ||.
Так как при х = а это неравенство превращается в равенство, то
(см. п. 58.6)
11/11 = il а ||.
Пусть f—линейный ограниченный функционал на гильберто-
вом пространстве X, а У—его ядро:
def
y=ker/={xeA':/(x) = 0}.	(60.78)
Тогда, как это было показано в п. 60.7, множество Y является
подпространством пространства X. Обозначим через Z ортого-
нальное дополнение в X подпространства У, т. е. Z = У1.
Если /=0 на X, что равносильно равенству X=Y, то
формула (60.76) очевидна, так как для любого хеХ имеем
/(х) = (0, х) = 0, т. е. а = 0.
256
Пусть/00 на X и, следовательно, X^Y. Поэтому существу-
ет такой элемент хоеХ, что хофУ и, следовательно, /(хо)/О.
Согласно теореме 16, имеет место разложение
Хо=Уо + ?о, УоеУ,
Так как /(хо)/0, ,/\уо) = 0 (ибо уое У=кегД то
f(xo) =/(j’o + z0) =/(у0) +/(*о) =Ж)
и, следовательно,
def
a=/(zo)/0.	(60.79)
Положим z, =—.	Тогда
а
=>»)='
Выберем произвольно элемент хеХ и пусть
/(х) = р;	(60.80)
тогда
/(x-Pz1)=/(x)-p/(_-1) = 0.
Поэтому элемент х —pzt принадлежит пространству Y:
def
y = x-pz16T.	(60.81)
Таким образом,
x=y + pZf, ye Y, flz^EZ.	(60.82)
Так как y-Lz^ то
(* -У	<60-83’
Положим
def
(60.84)
1-1- z\)
тогда
/(х) = р =	J = (х, а).
/(б0.80)г(60.83)(г1. Zj) \	(z,. zj/(60.84)'	'
Таким образом, искомый элемент а найден и формула (60.76)
доказана.
257
Покажем, что такой элемент а единственный. Если элемент
ЬеХ таков, что для всех хеХ выполняется равенство f(x)=
=(х, Ь), а следовательно, и (х, Ь — а) = 0, то, положив х = Ь — а,
получим || 6 — а ||= 0 и, следовательно, а = Ь. □
Замечание 3. Изоморфизм гильбертова пространства с
ему сопряженным имеет место и для комплексных гильберто-
вых пространств.
60.9*. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ
В КВАДРАТЕ ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМА ПЛАНШЕРЕЛЯ
Если квадрат функции f интегрируем на всей действительной
оси, то сама функция f, вообще говоря, не абсолютно
интегрируема на всей оси, как это видно на примере функции
v 1+А'
Поэтому, на основании теории преобразования Фурье, изложен-
ной в § 56, нельзя утверждать существование преобразования
Фурье для функций из пространства £2( —оо, оо). Покажем, что
в этом случае можно определить преобразование Фурье в
некотором обобщенном смысле. Предварительно остановимся
на определении пространства £2(—оо, +со) для комплексно-
значных функций.
Пусть f и g— две непрерывные функции с интегрируемым
квадратом модуля на всей оси и принимающие, вообще говоря,
комплексные значения. Их скалярное произведение определяется
в этом случае по формуле
g)= J /(x)g(x)<Zx.
Легко проверяется, что все свойства, которыми должно
обладать скалярное произведение в комплексном линейном
пространстве (см. п. 59.1), в этом случае выполняются.
Пространство £2(— оо, со), которое мы будем рассмат-
ривать в этом пункте, определим как пополнение предгиль-
бертова пространства непрерывных и с интегрируемым на
всей оси квадратом модуля комплекснозначных функций с
указанным скалярным произведением (ср. с теоремой 3 в
п. 59.4).
Через ||/|| в настоящем параграфе обозначается норма
элемента /«=/2( —оо, 4-оо), т. е.
н/н=л/л
а также и полунорма
258
+ 00	___
11/11=,/ J f(x)f(x)dx
у — 00
для функций f с интегрируемым на всей оси квадратом модуля.
Выше для случая действительных функций отмечалось без
доказательства (см. п. 59.4), что каждый элемент пространства
к2 можно рассматривать как класс функций. Аналогичный факт
справедлив и для пространства £2 комплекснозначных функций,
причем полунорма ||/|| функций f совпадает с нормой элемента
пространства /2, которому принадлежит (в смысле, аналогич-
ном указанному в п. 59.4) функция /. Мы не будем останавли-
ваться на доказательстве этих фактов и не будем их ис-
пользовать в дальнейшем.
Комплекснозначную функцию /(х) = ср (х) + /ф (х), где <р(х)
и ф (х) — действительные функции, — оо < х < + оо, назовем
финитной ступенчатой функцией, если финитными ступен-
чатыми функциями являются функции ф(х) и ф(х) (см.
определение 7 в п. 55.2). В дальнейшем для краткости финитные
ступенчатые функции будем называть просто ступенчатыми
функциями.
Любые две ступенчатые функции ср (х) и ф (х) можно
представить в виде конечной линейной комбинации одних и тех
же одноступенчатых функций (см. п. 55.2), принимающих
значения 1 и 0. Для этого достаточно взять всевозможные
непустые пересечения полуинтервалов постоянства функций
ср(х) и ф(х). Эти пересечения также являются полуинтервалами
[хк_р хк), к=\, 2,..., п, на которых постоянны одновременно
функции <р(х) и ф(х). Поэтому если
ю лдД 1, если хк^х<хк,
к' ' (О, если х<хк_к или х^хк,
к~\, 2, ..., п,
— соответствующие одноступенчатые функции, то существуют
такие действительные числа кк, цк = 1, 2, ..., п, что
п	п
ф(*)= Е ^®Дх), ф(х)= Е иа(4
к= 1	к=1
Отсюда следует, что любая комплекснозначная ступенчатая
функция /(х) = ф(х)-Н’ф(х) представима в виде
/(*)= Е	(60.85)
к= 1
где = +	к—\, 2, ..., п— комплексные числа.
Лемма 7. Пусть f—комплекснозначная ступенчатая функ-
ция и F[/] — ее преобразование Фурье, тогда
259
I|F[/]|| = ||/||.
Доказательство. Если функция / задана формулой
(60.85), то
Дх)Дл')Дг =
(60.86)
Пусть теперь 0<г|< + оо; тогда
П	Т|	+ X	+ X
J	j dy | /(.V)e dx	d^ =
-7]	-I]	-X	-X'
+ x +x	n
= “	./'(4Ж) dx dt, eiy^~x)dy =
- X - X	-7]

(60.87)
Все преобразования здесь законны, так как на самом деле все
интегралы берутся в конечных пределах.
Поскольку действительная и мнимая части функции /(.г)
удовлетворяют условиям теоремы о представлении функций с
помощью интеграла Фурье (см. теорему 1 в п. 56.1), то для всех
л-, кроме х=хк, А = 1, 2, ..., п, имеем (см. доказательство
указанной теоремы)
lim 1 Г ДН sin у)Д-/(д).
г|—► + х Я	С, Л
Оказывается, что в силу этого, при наших предположениях в
последнем интеграле (60.87) можно перейти к пределу под
знаком интеграла при р-> + оо. Однако соответствующая
теорема не была доказана в настоящем курсе, и потому нам
придется сделать несколько дополнительных вычислений. Подс-
тавляя (60.85) в (60.87), получим
260
n
rWWj
-11
— 1 V r '
i.k= 1
sin rj (£.—-v)
Cl<^
(60.88)
Рассмотрим поведение каждого слагаемого получившейся
суммы при р-> + эо. Если J=k, то, меняя порядок интегрирова-
ния (рис. 262) и производя интегрирование по переменной х,
получим:
dx
Т| (хк - X)
п
п<-ч- 1”х»
+
n (xk хк- 1 ’
/*
/	f. sin t ,
о
sin t ,	1
-----dt = -
t л
-nUfc-Xfc-i )

+ cos ,l -'Vi )]•
Поскольку
sin t . л
-----dt = ~
J '	2
о
261
(см. п. 54.4), то
^хк~хк-О
sin t i
—dt = xk-xk_l
lim |(хк-хк_1)
о
Далее, очевидно,
2
lim —[1 — cos г] (хк — xk_t)] = 0,
поэтому
lim
П— + =о
П.
Покажем теперь, что при j=£k
xj	ч (xfc - х>
lim dx I ^-^dt = Q.
n—+ ® J J z
xj l nUfc-t-x)
Пусть для определенности xj_1 <xJ^xk_1 <xk. При других
расположениях полуинтервалов постоянства [x._15x )h [хЬ1,Х;, )
доказательство аналогично. Меняя снова порядок интегрирования
и производя интегрирование по х (рис. 263), с помощью
аналогичных рассуждений получим
XJ п<х* х)
dx J *FLLdt = J ^x^^dt+
Ъ'-i n<xk-i~x)	n(x)t“xj)
n(xk“xj)
,	\ sin t ,
(xj~xj-i) — dt +
при
T)—+00.
Теперь из (60.88) имеем
И[/]П2 =
F[/]F[/]i/x= lim
Г|—+x
J F[f}F[f}dy =
262
= ixi2(^-^-i)=ii/ii2- □
к —1
Лемма 8. Пусть f—комплекснозндчная функция, непрерыв-
ная на отрезке [а, Ь] и равная нулю вне его, тогда существует
последовательность таких ступенчатых функций <ря, п=1, 2,
что
lim ||(р — (р„|| = 0.
п—*оо
Доказательство. Для действительных функций это сле-
дует из леммы 6 и. 59.4. Пусть теперь <p = u + iv— комплексно-
значная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь]; тогда действи-
тельные функции и и v также непрерывны на отрезке [а, 6].
Поэтому существуют такие последовательности ступенчатых
функций {и„} и {и„ }, что ||u — w„||—>0 и ||v—г„||—>0 при п^>оо. Если
(p„ = i/„ + w„, то ||<р — ф„||^||и-w„|| + ||г-г„||, отсюда ||ф — Ф„||-0
при и—>сс. □
Лемма 9. Пусть комплекснозначная функция ср непрерывна
на отрезке [а, А] и равна нулю вне его, тогда
114ф]|Н|Ф||.
Доказательство. Пусть ф„— последовательность ступен-
чатых функций таких, что
lim Цф-ф„|| = О
Л—00
(см. лемму 8), тогда в силу непрерывности нормы,
Нт ||фи|| = ||ф||.	(60.89)
Л—► GO
Из неравенства же Коши — Буняковского получим
ь	fb \	(ъ	\
J 1ф„(*)-Ф(*)l dx^( рх )1/2Ц|ф„(х)-ф(х)|2</х 11/2 =
а	\ а /	\а	/
/Ь	\
= (6-а)1/2И|ф„(х)-ф(х)|2й?х )1/2
\а	/
и, следовательно,
ь
Нт /|ф„(х)-ф(х)|</х = 0,
т. е. последовательность {ф„} сходится в среднем к функции ф и
в смысле ЕР Поэтому если
263
I|/ = f[(p], Ф„ = £[ф„], n=l, 2,
то последовательность непрерывных (см. следствие теоремы 2 в
п. 56.7) функций {фп} равномерно сходится к функции ф,
которая в силу этого непрерывна на всей числовой оси. Кроме
того, в силу леммы 7,
11Ф„Н = 11фп||.	(60.90)
Отсюда следует, в частности, что непрерывные функции ф„
являются функциями с интегрируемым квадратом модуля, т. е.
принадлежат пространству £2( —со, +оо). Далее, функции ф„,
п=1, 2, ..., образуют фундаментальную последовательность в
пространстве £2( —оо, +оо). Это следует из сходимости в
среднем в смысле L2 последовательности {ф„} и из равенства
4- СО	-+ X
f 1Фл(у)-KWl2 dy= J 1фл(>')~
которое также вытекает из леммы 6, ибо разность ступенчатых
функций также является ступенчатой функцией.
Покажем, что последовательность {ф„} сходится к функции
ф и в пространстве L2. Действительно, пусть фиксировано е>0,
тогда, в силу фундаментальности последовательности {ф„},
существует такой номер пг, что для всех n>ns и m>nt
выполняется неравенство
Ж~фга112= f	— К(>’)Рdy<z.
Тем более, для любого числа с>0 будем иметь
f 1Фя(т)- Фи(т)12 dy <е.	(60.91)
— с
При фиксированных п и с при щ->оо подынтегральное
выражение в (60.91) равномерно стремится к функции
|ф„(у) — ф(у)|2. Поэтому в неравенстве (60.91) можно перейти к
пределу под знаком интеграла при w->oo. В результате будем
иметь
j 1Фи(т)- ФО’)!2 dy^.
“С
Устремляя теперь с к +оо, получим, что при п>пг
выполняется неравенство
f 1ФЛт)~ Ф(у)12 dy^,	(60.92)
264
что и означает сходимость в среднем в смысле Ь2 последова-
тельности {ф„ | к функции ф.
Из доказанного следует также, что фе£2( —оо, + оо).
Действительно, в силу (60.90) и (60.92),
11Ф11^11Ф-Ф„11+11Фп|1<+оо.
Наконец, из неравенства (58.10) и того что lim || ф„ — \|/1| = 0,
п—►ОС
получим
lim ||ф„|| = ||ф||.	(60.93)
Из (60.89), (60.90) и (60.93) следует, что
НФ11 = 11ф||- □
Теорема 19 (теорема Планшереля**). Пусть функция ср
непрерывна и с интегрируемым квадратом модуля на всей
числовой оси и пусть
м
фмО) = -4=	ф(х)е“1Х>’ dx, М>0.
Д" J
-м
Тогда:
1)	функция фм(у) также непрерывна и с интегрируемым на
всей числовой оси квадратом,
2)	при М—> + оо функции фм сходятся в пространстве
L,( — oo, + оо) к некоторому элементу феС2( —оо, +оо) и
‘ 3) IIФ11 = НФЛ-
Доказательств о. Если
	ф (*),	если х е [—М, М],
<PmW= <	0,	если %(£[ — М, М\,
то, очевидно,		
Фм = ^[фл1]- lim ФЛ1 = Ф в С2( —оо, 4-оо), М—* + х>		(60.94)
Согласно лемме 8,	lim II Флг II = IIФII- М— + оо	(60.95)
	11Фм11 = 11ф.Д	м>0,	(60.96)
*’ М. Планшерель (1855—1967) -швейцарский математик.
265
||\|/м1-'км211 = 11фм1-фм211, Afi>0, Л/2>0. (60.97)
Из (60.94) и (60.97) следует, в силу полноты пространства
£2( —оо, 4-оо), что существует предел (почему?)
lim фм = ф в £2( —оо, 4-оо).
W—+ оо
В силу непрерывности нормы,
Нт ||фм11 = 11ФН	(60.98)
М—+ оо
из (60.95), (60.96) и (60.98) имеем
НФ11 = 11ф||. □
Полученный в процессе доказательства элемент ф<=
е£2( —оо, 4-оо) мы будем также называть преобразованием
Фурье заданной непрерывной функции ф<=£2( — со, 4-со) и
писать
ф = £[ф].	(60.99)
Эта запись естественна, так как если функция <р, кроме того, и
абсолютно интегрируема, то lim фм совпадает с обычным
М->+оо
преобразованием Фурье. Действительно, в этом случае
lim j |фм(х)-ф(х)|</х = 0.
М—* + со — оо
Следовательно, функции фм = С[фм] при М->оо равномерно
сходятся к преобразованию Фурье F[ф] функции ср. Как мы
видели, фм сходится в среднем в смысле £2 к функции ф;
отсюда нетрудно убедиться, что ф = £[ф] (сравните аналогичное
рассуждение в доказательстве леммы 9).
Преобразование Фурье (60.99) определено пока лишь для тех
элементов фе£2( — оо, 4-оо), которые являются непрерывными
функциями с интегрируемым квадратом, однако по непрерыв-
ности оно может быть распространено на все пространство
£2( —оо, 4-оо). Действительно, пусть ф— произвольный эле-
мент из пространства L2( — оо, 4-оо). Согласно определению
пространства £2( —оо, +оо), множество непрерывных функций
плотно в нем. Следовательно, существует последовательность
непрерывных функций
Ф„е=£2(— оо, 4-оо), п = \, 2, ...,
такая, что lim ф„ = ф, т. е. lim ||ф„ —ф|| = 0.
266
Пусть £[фи] = фи, п=\, 2, .... В силу теоремы Планшереля
НФ„-КН = 11фи-Фт1Ь «. ^=1, 2, ...,
поэтому последовательность {\|/„} фундаментальна в £2 и,
следовательно, сходится. Пусть ф = lim ф„. По определению
п—*оо
полагаем
Ф = £[ф].	(60.100)
Если ф*е£2(—оо, +оо),	и=1, 2, ...,— какая-либо другая
последовательность непрерывных функций, сходящаяся в
£2(—оо, +оо) к элементу <р, и если ф* = Е[ф*]> то из ра-
венства
11ф„—Ф*П=П'кя—'k*ll
имеем 1ппф* = ф. Таким образом, определение (60.100) не
п—*со
зависит от выбора последовательности непрерывных функций,
сходящейся к элементу ср.
Для любого фе£2(—оо, + оо) справедливо равенство
И[ф]11 = 11фЦ,
что сразу следует из того, что это равенство имеет ме-
сто для непрерывных функций ф«=£2( —оо, +оо) и непре-
рывности нормы.
Далее, легко проверить, что преобразование Фурье F
линейно на £2( —оо, +оо), т. е.
£[X^i + Х2ф2] =	+ Х2£[ф2]
для любых ф( и ф2 из £2(—оо, + оо) и любых чисел Xj и Х2.
Это верно для ступенчатых функций. Они образуют плотное в
£2( —оо, + оо) множество. Отсюда предельным переходом
указанное равенство получается для любых элементов про-
странства £2( —оо, +оо).
Наконец, преобразование Фурье отображает пространство
£2( —оо, +оо) на себя, т. е. каков бы ни был элемент
фе£2( —оо, + оо), существует такой элемент фе£2 (—оо, +оо),
что £[ф] = \|/. Для того чтобы это показать, следует тем же
методом, как это было сделано для преобразования Фурье,
определить на пространстве £2( —оо, +оо) обратное преобразо-
вание Фурье F~1 и показать, что для любого элемента
фе£2( —оо, + оо) справедливо равенство ЦТ17-1 [\|/] || = ||\|/||. За-
тем можно показать, что
£[£-1[ф]] = ф и £-![£[ф]]=ф
267
для всех фе£2( — оо, 4-ос), исходя из того, что это верно
на множестве ступенчатых функций, образующих плотное в
L2( — оо, +со) множество. Если теперь для элемента фе
е£,( —оо, 4-со) взять элемент ф = Е-1[ф], то получим
£’[ф] = ф, что и означает, что преобразование F отображает
все пространство Л2( —оо, +оо) на себя.
Суммируя все сказанное, получим следующую теорему.
Теорема 20 (теорема Планшереля). Преобразование Фурье F
линейно и взаимно однозначно отображает пространство
L2( — cc>, +оо) на себя, при этом для любого элемента
фе£2 (— оо, + оо) справедливо равенство
114ф]Н=11ф11-
§ 61. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
61.1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
В этом параграфе мы рассмотрим одно обобщение класси-
ческого понятия функции, а именно понятие обобщенной
функции. Оно возникло при решении некоторых физических
задач и в последние годы быстро и прочно вошло в
математику. С помощью этого понятия можно распространить
преобразование Фурье на существенно более широкий класс
функций, чем абсолютно интегрируемые или интегрируемые в
квадрате функции. Оно позволяет сформулировать на матема-
тическом языке такие идеализированные понятия, как, напри-
мер, плотность точечного заряда, плотность материальной
точки, мгновенный импульс и т. п.
Поясним это подробнее. При изучении физических явлений
с помощью математического аппарата нам неизбежно при-
ходится пользоваться различными математическими абстрак-
циями, в частности понятием точки. Мы говорим, например,
о массе, сосредоточенной в данной точке пространства, о
силе, приложенной в данный момент времени (т. е. в дан-
ной точке оси отсчета времени), о точечном источнике то-
го или иного физического поля и т. п. Это удобно при
использовании математического аппарата, хотя при этом мы
воспроизводим не вполне точную реальную картину: всякая
масса имеет определенный объем, всякая сила действует
определенный промежуток времени, всякий источник поля
имеет определенные размеры и т. д. Оказывается, что при
таком подходе к изучению физических явлений недостаточно
методов классической математики. Иногда приходится вводить
новые математические понятия, создавать новый математи-
ческий аппарат.
268
Рассмотрим в качестве примера действие «мгновенной»
силы. Пусть в момент времени / = 0 на тело массы т=£()
подействовала сила, сообщившая ему скорость после чего
действие силы прекратилось. Обозначая через F(z) силу,
действующую на тело в момент времени t, получим F(/) = 0 при
1 /0. Попытаемся найти, чему же равна сила F(t) при ( = 0. По
второму закону Ньютона сила равна скорости изменения
количества движения относительно времени
v 7 dt
и, следовательно, для любого момента времени т, 0<т<+ос,
имеем
j F(t)dt = mv.	(61.1)
В качестве нижнего предела интегрирования взята — оо. можно,
конечно, вместо нее взять и любое число й<0, поскольку до
момента времени / = 0 тело находилось в покое.
Обратим внимание на то, что с точки зрения классической
математики, т. е. с точки зрения того понятия интеграла,
которое было нами изучено, равенство (61.1) лишено смысла:
функция F(t) равна нулю во всех точках, кроме ( = 0, и потому
стоящий в левой части формулы (61.1) интеграл, рассматрива-
емый как несобственный, равен нулю, в то время как правая
часть этого равенства не равна нулю. Вместе с тем, исходя из
физических соображений, естественно ожидать, что написанное
равенство имеет определенный смысл. Это противоречие озна-
чает, что мы оказались за пределами возможности использова-
ния известного нам математического аппарата, что необходимо
ввести какие-то новые математические понятия.
Предположим, для простоты, что количество движения,
которое получило тело, равно единице, т. е. что mv = 1. В этом
случае силу F(t), действующую на тело, будем обозначать через
5(z), следовательно, формула (61.1) будет теперь иметь вид
j 5(?)Л=1, т>0.	(61.2)
Функция 5 (г) называется обычно дельта-функцией (5-функци-
ей), или функцией Дирака*’.
Чтобы лучше вникнуть в сущность вопроса, предположим,
что на тело действует не мгновенная сила, а что в течение
промежутка времени от — е до 0 (е > 0) на тело действует
некоторая постоянная сила, которую мы обозначим через 5£(().
*’ П. Дирак (род. 1902 г.)- английский физик.
269
Предположим также, что эта сила сообщает нашему телу то же
самое количество движения, равное единице. Короче говоря,
распределим искомую силу 8(z) на интервал длины 8. Найдем
силу 5е (/).
По закону сохранения времени для любого времени ОО
имеем
j SE(Z)zZz=l.
- 00
Поскольку сила SE(Z) равна нулю вне отрезка [ — 8, 0], а на этом
отрезке постоянна, то
т	0
1= J <\(t)dt = j SE(?)dt = 8§е(Z), — e^z^O.
— ОС	~ £
Поэтому
5Д?) =
-, если — e^Z^O,
< е
О, если ?<—8 или z>0.
(61.3)
Естественно предположить, что мгновенная сила 5 (z) получа-
ется из «распределенной силы» 8Е (г) предельным переходом при
8—>0, т. е.
8 (Z) = lim SE(Z),
£—►О
тогда
8(0 =
+ оо, если z = О,
О, если z^O.
(61.4)
Эта формула не дает нам возможности, используя известные
определения интеграла (собственного или несобственного),
получить формулу (61.2). Равенство нулю функции во всех
точках, кроме одной, где она равна бесконечности, и одновре-
менное равенство интеграла от этой функции единице противо-
речат друг другу в рамках той математики, которая в
настоящее время называется классической. Это приводит к
мысли о необходимости введения нового определения — опреде-
ления «интеграла» (61.2).
Физически естественно считать, что количество движения,
приданное телу мгновенной силой 8(Z), т. е. интеграл (61.2)
270
является пределом количества движения, приданного телу
распределенными во времени силами бЕ (/), когда время их
действия стремится к нулю, т. е. когда £->0. Поэтому положим,
по определению,
J 8(/)Л = 1ш1 J 8Е(/)<7/,	т>0.
- X	- 00
Отсюда, в силу равенства J 8е (z) dt = 1, т > 0 для всех £ > 0 и
следует непосредственно равенство (61.2).
Таким образом, когда говорится, что интеграл (61.2) от
дельта-функции равен единице, то этот интеграл следует
понимать как предел соответствующих обычных интегралов от
8Е-функций при £—>+0.
Оказывается полезным дать аналогичным образом опре-
деление и более общих «интегралов», а именно интегралов
вида
f 8(r)/(z)A, -оо<т< + оо,	(61.5)
— оо
где /(?)— некоторая непрерывная функция. Именно, определим
символ (61.5) равенством
J 8(т)//)А = 1ш1 } 8Е/)/(г)Л.	(61.6)
— ОС	8 *0 — 00
Чтобы доказать, что это определение корректно, надо
доказать, что предел (61.6) всегда существует. Покажем, более
того, что
lim 8e(z) f(t) dt = <
8-0 J
Пусть сначала т^О. Используя
т
8е(г)/(0Л-/(0) =1
— оо
О
^7 1Л0-
f (0) при т > О,
(61.7)
О при т<0.
(61.3), получим
о	о
f{t)dt-f-^ dt
£
— £	—£
-/(0)1 dt.	(61.8)
271
В силу непрерывности функции /'(х) при х = 0, для любого г| >0
существует такое 8п>0, что для всех t, удовлетворяющих
условию |z|<8n, выполняется неравенство
1/(0-/(0)1<п.
Поэтому для всех 8<8П из неравенства (61.8) следует, что
8е (г) f(t) dt- ДО)
Л = г|.
Равенство (61.7) при t>0 доказано. Еще проще оно
доказывается при т<0. Итак, из определения (61.6) следует, что
для любой непрерывной функции /(Z) справедлива формула
8(z)/(z)z/z = <
f (0) при т > 0,
0 при т<0.
(61-9)
Формула (61.2) следует отсюда при
Если положить
0(0 =
1 при Z^O,
0 при Z<0,
(61.10)
то формула (61.9) при /(z)=l перепишется в виде
0(т)=	8(z)A.
(61.11)
Функция 9 (Z) имеет специальное название — она называется
функцией Хевисайда*’. Вычисляя производную функции 9(z)
согласно классическому определению производной, из (61.10)
получим
На основании этого было бы неверно утверждать, что 9' (Z)
является дельта-функцией, так как одной лишь формулой (61.4)
функция 8(Z) не определяется, поскольку даже физически ясно,
что только из этой формулы не может следовать, что сила 8 (Z)
*’ О. Хевисайд (1850—1925) — английский физик.
272
сообщает рассматриваемому телу именно единичное количество
движения. Однако, удобно положить, по определению,
6' (0 = 8(0.
Это помимо равенства (61.12) оправдывается тем, что в этом
случае сохраняется основная формула интегрального исчисле-
ния. восстанавливающая функцию по ее производной — фомула
Ньютона — Лейбница. Действительно, теперь формула (61.11)
может быть переписана в виде
т
0(т) =	0'(ОЛ,	— со <т < + со
(отметим, что 0( — оо) = 0).
Заметим, что мы не дали четкого математического определе-
ния самой функции 8(1) как функции точки (выше отмечалось,
что формула (61.4) не является таким определением); это
вообще невозможно сделать, так как дельта-функция является
понятием другой природы. Мы же определили не функцию 8(1),
а «интеграл» (61.5). Это не случайно. Характерным для многих
задач физики является то обстоятельство, что вводимые для
описания того или иного объекта функции имеют смысл лишь
постольку, поскольку непосредственный физический смысл
имеют некоторые интегралы от этих функций. Обобщенные
функции и возникают как некоторое обобщение семейств
интегралов от произведения двух функций, одна из которых
фиксирована, а другая может выбираться произвольно из
некоторой совокупности.
Итак, нами определено новое понятие — понятие интеграла
от дельта-функции (и даже более общее понятие интеграла от
произведения непрерывной функции на дельта-функцию). Это не
обычный интеграл, т. е. не предел интегральных сумм, а предел
соответствующих интегралов, или, образно выражаясь, «предел
пределов интегральных сумм». Иначе говоря, для определения
интеграла J 8 (х) /(х) dx надо к предельному переходу, дающе-
му значение интеграла j 8Е(х)/(х)«?х, добавить еще один
предельный переход при 8-+0. Здесь наблюдается своеобразная
аналогия с определением несобственного интеграла исходя из
известного определения интеграла, мы с помощью дополни-
тельного предельного перехода получаем новое математическое
понятие. Конечно, дополнительные предельные переходы в этих
случаях различны, это приводит к различным понятиям.
273
При новом определении символа (61.5) мы находимся в
круге привычных нам математических определений, расши-
ряющих запас понятий, с которыми имели дело раньше;
нам удалось выявить одно интересное свойство дельта-
функции 8(/) (см. (61.9)): она ставит в соответствие каж-
дой непрерывной функции /(?) число /(0), т. е. дельта-функ-
цию можно рассматривать как функцию, определенную на
множестве всех непрерывных функций. Отображения, облас-
ти определения которых представляют собой некоторые мно-
жества функций, называются функционалами. Дельта-функция
является одним из простейших примеров функционалов. Обоб-
щенными функциями, которые упоминались в начале это-
го пункта, называются функционалы определенного вида
(см. п. 61.2).
Как мы видели, свойства дельта-функции определяются
свойствами функций ЗХт). Если взять £ = -, п=\, 2, ..., то
п
получится последовательность функций, которая, как и анало-
гичные ей в определенном смысле, называется дельта-образной
последовательностью (точное определение дельта-образных пос-
ледовательностей будет дано ниже: см. упражнение 7 в п. 61.3).
Всякая дельта-образная последовательность может служить для
определения свойства (61.9) дельта-функции. Следует отметить,
что мы уже встречались раньше с дельта-образными последова-
тельностями: примером такой последовательности является
последовательность ядер Фейера Ф„(п), п=\, 2, .... Однако мы
не акцентировали внимания на последовательностях такого
рода, поскольку они, не являясь самостоятельным объектом
изучения, играли вспомогательную роль.
Теперь мы перейдем к систематическому изучению обоб-
щенных функций. Отдельные обобщенные функции «возникли
первоначально в работах П. Дирака и других физиков в
качестве символического способа описания определенных физи-
ческих явлений. Для использования этих понятий в качестве
метода теоретического исследования возникла необходимость
создания теории обобщенных функций, что и было сделано.
Теория обобщенных функций является весьма полезным мате-
матическим аппаратом. С ее помощью удалось решить ряд
задач, не поддававшихся решению старыми методами. Ныне
обобщенные функции широко применяются как в прикладных,
так и в чисто математических исследованиях.
В следующих пунктах этого параграфа мы изложим основы
общей теории обобщенных функций, построенной С. Л. Собо-
левым и Л. Шварцем*1.
*’ С. Л. Соболев (род. в 1908 г).- советский математик.
274
61.2.	ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СХОДИМОСТЬЮ.
ФУНКЦИОНАЛЫ. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 1. Пусть X—некоторое множество и пусть в
совокупности всех последовательностей {х„} его элементов,
х„еХ, выделен некоторый класс последовательностей, названных
сходящимися, и каждой сходящейся последовательности постав-
лен в соответствие элемент х^Х, называемый ее пределом.
Если при этом выполняются три условия:
1)	каждая последовательность элементов множества X
может иметь не более одного предела;
2)	всякая последовательность вида {х, х, х, ..., х, ...} явля-
ется сходящейся, и ее пределом является элемент х;
3)	всякая подпоследовательность сходящейся последователь-
ности также является сходящейся и имеет тот же предел,
что и вся последовательность;
то множество X называется пространством со сходи-
мостью.
Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами Фреше.
Если х является пределом последовательности {%„}, то, как
обычно, пишется
х= lim х„.
и—*00
Определение 2. Линейное пространство X называется линей-
ным пространством со сходимостью, если оно является
пространством со сходимостью, относительно которой опера-
ции сложения элементов пространства и умножения их на число
являются непрерывными.
Это означает, что для любых сходящихся последователь-
ностей {х„} и {у„} элементов из X, имеющих своими пределами
соответственно хеХ и уеХ, и любых чисел лиц последова-
тельность {Ххи + цу„} также сходится и
lim (лх„ + цу„) = лх + цу.
П—Ъ.
Кроме того, если {Х„} — числовая последовательность и
lim л„ = л, то lim /.„х = Ах для любого хеХ.
и—* ос	п—*00
Примером линейных пространств со сходимостью являются
нормированные линейные пространства; однако существуют
линейные пространства со сходимостью, в которых нельзя
ввести норму, порождающую заданную сходимость последо-
вательностей.
Важным для дальнейшего является понятие линейного
функционала на пространстве со сходимостью, с которым мы
275
встречались в частном случае линейных нормированных про-
странств (см. п. 41.6 и 60.8).
Определение 3. Отображения линейного пространства X во
множество действительных чисел R (или во множество
комплексных чисел С) называются функционалами, определен-
ными на этом пространстве, или функционалами над этим
пространством.
Значение функционала f в точке х линейного пространства X
обозначается через (/', х), т. е. так же как скалярное произве-
дение элементов / и х в линейном пространстве X со скалярным
произведением. Это обозначение оправдывается, в частности,
тем, что скалярное произведение (у, х) при фиксированном
элементе у является функционалом, определенным на указанном
пространстве X.
Определение 4. Пусть X—линейное пространство. Функцио-
нал f, определенный на этом пространстве, называется линейным
(точнее, линейным однородным), если для любых элементов
х^Х, уеХ и любых чисел X, ц выполняется условие
(f> Хх + ру) = Х(/, х) + р(/ у).
Определение 5. Функционал /, определенный на линейном
пространстве X со сходимостью, называется непрерывным, если
для любой сходящейся последовательности хп^Х, lim х„ = х,
п—~* 00
выполняется условие
lim ( Л х„) = (/; х).
л—»00
Функционалы, как и всякие числовые функции, можно
складывать, умножать друг на друга, в частности на число.
Например, если / и g—функционалы, то значение функционала
a/’+Pg (а и р— числа) определяется в точке хеЛ по формуле
(a/+Pg, х) = а(./; x)+p(g, х).
Лемма 1. Линейные непрерывные функционалы образуют ли-
нейное пространство.
Доказательство. Пусть / и g — линейные функционалы,
а и р — числа. Покажем, что ot/+pg— также линейный функцио-
нал:
(a/+Pg. Хх + цу) = а(/; Xx + gy) + p(g, Хх + цу) =
= а[Х(/; х) + ц(/: y)] + P[X(g, x) + p(g, у)] =
= Х[а(/; x)+p(g, х)] + ц[а(/; y)+P(g, у)] =
= X(a/+Pg, х) + ц(а/’+pg, у),
т. е. a/+pg — линейный функционал.
276
Пусть теперь f и g — непрерывные функционалы. Покажем,
что тогда и q/'+Pg— также непрерывный функционал. Пусть
limxn = x. Тогда
lim (a/+pg, х„) = lim [а(/, x„) + p(g, %„)] =
п—►ос	И—* ОС
= alim(/, x„)+plim(g, л„) = а(/, x) + P(g, x) = (a/+Pg, х).
п—*со	п—*сс
Таким образом, во множестве линейных непрерывных
функционалов естественным образом определены операции их
сложения и умножения на число. Выполнение для этих операций
аксиом линейного пространства проверяется безо всякого
труда. □
Любой функционал /, как и всякий линейный оператор
(см. п. 58.1), отображает нуль в нуль.
Функционал, принимающий на всех точках пространства
значение нуль, называется нулевым функционалом.
Отметим, что если линейный функционал принимает на всех
точках пространства одно и то же значение, то это значение
равно нулю. Иначе говоря, кроме нулевого, не существует
никакого другого линейного функционала, принимающего одно
и то же значение на всех точках пространства.
В самом деле, если для всех х<=Х имеет место равенство
f(x) = c, то, в частности, с=/(0) = 0.
В линейном пространстве линейных непрерывных функцио-
налов пространства X понятие сходимости последовательностей
определяется следующим образом.
Определение 6. Последовательность функционалов fn, п = 1,
2, ..., называется сходящейся к функционалу f если последова-
тельность значений функционалов fn сходится в каждой точке
хеХ к значению в ней функционала f, иначе говоря, если для
любого элемента х^Х числовая последовательность {{fn, х)}
сходится к числу (f, х).
Таким образом, утверждение lim /„=/ равносильно утверж-
И—*00
дению
lim (/„, x) = {f, х) для всех хеХ.
п—*ао
При таком определении сходимости функционалов операции
их сложения и умножения на число непрерывны (это непосред-
ственно следует из линейности функционалов и из свойств
пределов числовых последовательностей), и, следовательно,
277
если внести'понятие сходимости функционалов согласно опреде-
лению 6, то будет справедливым следующее утверждение,
которое мы сформулируем в виде отдельной леммы.
Лемма 2. Линейные непрерывные функционалы, определенные
на пространстве со сходимостью, также образуют линейное
пространство со сходимостью.
Определение 7. Линейное пространство со сходимостью,
элементами которого являются линейные непрерывные функ-
ционалы, определенные на пространстве X, называется прост-
ранством, сопряженным X.
Как мы знаем, в случае гильбертовых пространств (см.
п. 60.8) сопряженное пространство изоморфно самому прост-
ранству. В общем случае это не имеет места.
Пусть X и Y—линейные пространства со сходимостью,
причем каждый элемент пространства X является элементом
пространства Y, и пусть всякая последовательность хп<^Х,
п = 1, 2, ..., сходящаяся в X к элементу х, сходится к х и в Y.
В этом случае будем писать
Xg> Y.
Определение 8. Говорят, что линейный непрерывный функ-
ционал f, определенный на пространстве Xc,Y, продолжаем на
пространство Y в линейный непрерывный функционал, если
существует такой линейный непрерывный функционал F, опреде-
ленный на пространстве Y, что [F, х) = (/, х) для всех хеХ [т. е.
F=f на А). В этом случае функционал F называется продол-
жением функционала f.
Упражнение 1. Пусть X и Y — линейные пространства со сходимостью.
Доказать, что если Уд У и множество X плотно в пространстве У (т. е. каждый
элемент из пространства У является пределом в этом пространстве последова-
тельности элементов из X), то всякий линейный непрерывный функционал
пространства X, продолжаемый в линейный непрерывный функционал про-
странства У, продолжаем единственным образом.
Как и для отображений любых линейных пространств,
для пространств со сходимостью имеет смысл понятие ли-
нейного отображения (линейного оператора) одного прост-
ранства со сходимостью в другое такое же пространство (см.
определение 7 в п. 58.1). Введем еще понятие непрерывного
отображения одного линейного пространства со сходимостью в
другое.
Определение 9. Пусть Xt и Х2 — два линейных пространства
со сходимостью. Отображение Ф пространства Xt в Х2
называется непрерывным в точке xQ^XY, если, какова бы ни
была последовательность х„еХ1, п—1, 2, ..., сходящаяся в
пространстве Xt к точке х0, последовательность Ф(х„)еХ2,
«=1, 2, ..., сходится в Х2 к элементу Ф(х0).
278
Инача говоря, отображение Ф является непрерывным в точке
х0, если из limX„ = x0 следует, что ПтФ (х„) = Ф (х0).
п—* ос	п—* X
Л е м м а 3. Если линейное отображение Ф линейного пространст-
ва со сходимостью Хг в линейное пространство со сходимостью Х2
непрерывно в нуле пространства Xt, то оно непрерывно и всюду в Xt.
Доказательство. Пусть хоеА" и limx„ = x0; тогда
п—►00
lim (х„ — х0) = 0. В силу непрерывности отображения Ф в нуле
и—»ос
ПтФ(х„ —хо) = 0.
п—’ОС
Поскольку отображение Ф линейно, то
Ф(х„-х0) = Ф (х„)-Ф(х0)
и, следовательно,
Нт[Ф(х„)~ Ф(хо)] = 0, откуда 1йпФ(хи) = Ф(х0).
п—► X	и—* X
Таким образом, отображение Ф непрерывно в каждой точке
х0 е Х1. □
Определение 10. Отображение Ф линейного пространства со
сходимостью Xt в линейное пространство со сходимостью Х2
называется непрерывным на Xt, если оно непрерывно в каждой
точке пространства Х}.
Для всякого линейного пространства X со сходимостью
имеют смысл понятие ряда У ип, ипеХ. п = 1, 2, ..., сходящегося
л= 1
ряда и его суммы. Эти понятия вводятся аналогично случаю
линейных нормированных пространств. Это возможно, по-
скольку в соответствующих определениях из свойств нормы
используется лишь то, что во всяком нормированном про-
странстве определено понятие сходящейся последовательности.
Примеры линейных и непрерывных отображений прост-
ранств со сходимостью будут даны в п. 61.6 и в п. 61.7.
61.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ.
ПРОСТРАНСТВА D И D'
Определим прежде всего основное для нас линейное про-
странство функций D. Для этого рассмотрим функции, заданные
на множестве действительных чисел R и принимающие комп-
лексные значения.
279
Интересующее нас пространство D состоит из бесконечно
дифференцируемых финитных функций (определение финитных
функций см. в п. 55.2). Все финитные функции при естественным
образом определенных операциях их сложения и умножения на
число образуют линейное пространство, а бесконечно диф-
ференцируемые финитные функции (которые мы будем назы-
вать здесь основными) — его подпространство. Введем в этом
подпространстве понятие сходимости последовательностей.
Определение И. Последовательность бесконечно дифферен-
цируемых финитных функций ср„, п = 1,2,..., называется сходящейся
к бесконечно дифференцируемой финитной функции ср, если:
1)	существует отрезок [а, 6], вне которого все функции <р„,
п=1, 2, ..., и ср обращаются в нуль*);
2)	на этом отрезке последовательность функций сри, п = 1,
2, ..., и последовательности всех их производных cpv, п=1, 2, ...,
равномерно сходятся соответственно функции ср и к ее производ-
ным ср***, к=\, 2, ....
Совокупность бесконечно дифференцируемых финитных
функций с введенной операцией предельного перехода является
линейным пространством со сходимостью. Это непосредственно
следует из свойств пределов функций и свойств равномерно
сходящихся последовательностей.
Определение 12. Пространство бесконечно дифференцируемых
финитных функций с введенной сходимостью называется про-
странством D основных функций.
Очевидно, что если tpeD, то и любая производная функция
ср принадлежит пространству D.
Заметим еще, что если {ср„} сходится к ср в D, то и по-
следовательность {ср(^} производных любого порядка к=\, 2, ...
сходится к ср№) в D. Это непосредственно следует из определения
сходимости в пространстве D.
Тривиальным примером функции пространства D является
функция, равная
ция (рис. 264)
нулю на всей оси, менее тривиальным — функ-
е “ ', если | л* [ < а,
О , если | х | > а,
(61.13)
Упражнения. 2. Доказать, что функция (61.13) бесконечно дифферен-
цируема на всей числовой оси (ср. с (37.25)).
3.	Доказать, что, для того чтобы для функции о ей существовала функция
такая, что р = ф', необходимо и достаточно, чтобы J ср(/)Л = 0.
*’ Отрезок [а, Ь] содержит носители всех функций <р, <р„, п=1,2, ... .
280
Определение 13.
Всякий линейный не-
прерывный функционал
/, определенный на D,
называется обобщен-
ной функцией.
Определение 14.
Функция f определен-
ная на всей действи-
тельной оси, называет-
ся локально интегриру-
емой, если она абсо-
лютно интегрируе-
ма на любом конечном отрезке.
Если f—локально интегрируемая функция, a <peD, то
произведение /ср абсолютно интегрируемо на всей оси. Дейст-
вительно, пусть supp ср с [а, /?] (определение носителя supp ср
функции ср см. в п. 55.2); функция ср, очевидно, ограничена:
| ср (х) | С, — 00 < X < + оо, поэтому
+ зс	b	b
J |/(х) ф (х) Idx=J \ДХ) ф (х) Idx< сJ |./'(х) Idx-
— ос	а	а
Определим для локально интегрируемой функции /' функ-
ционал (ф, ср) на D равенством
(Лф) = I / (*) Ф (х) dx.	(61.14)
Этот функционал линеен и непрерывен. Линейность его
очевидна; докажем его непрерывность. Пусть limcp„ = cp в D.
Тогда существует такой отрезок [а, Ь], что для всех п=1, 2, ...
имеют место включения suppcp„c[a, Л] и supp ср с [я, Ь];
поэтому
I(А ф)-(Л фи)1< J l/'Ni 1ф(х)~ф„(х)1^х=
ь	"	ъ
= f I/W 11 Ф (х)-ср„(х) I dx^ sup I ср (х)-ср„(х) I f |/(х) | 6?Х-»О
а	(а, Ь]	а
при п->оо.
Таким образом, всякой локально интегрируемой функции
Дх) соответствует обобщенная функция (f, ср)*’; в этом смысле
всякую локально интегрируемую функцию можно рассматри-
вать как обобщенную функцию.
*’ В этом случае говорится также, что обобщенная функция (/’, <р) по-
рождается функцией f
281
KdKkмик' знаем; не существует линейного функционала,
принимающего одно и то же значение, не равное нулю, на всех
точках пространства (см. п. 61.2). Постоянной обобщенной
функцией с (в частности, нулевой) называется обобщенная
функция, порожденная локально интегрируемой функцией
Дх) = с, — оо<х<+оо. Таким образом, для любой основной
функции ср имеет место равенство
+ X	+ X
(с, ср) = J сф (х) dx = с J ф (х) dx.
Упражнение 4. Доказать, что две непрерывные на числовой оси функции
различны тогда и только тогда, когда различны порожденные ими обобщенные
функции.
Иногда обобщенные функции обозначаются символом /(х).
Это обозначение чисто символическое; оно отнюдь не обозна-
чает значения обобщенной функции в точке хей, а отражает
лишь тот факт, что обобщенные функции являются в указанном
выше смысле обобщением обычных (локально интегрируемых)
функций; никакое значение обобщенной функции в точке х здесь
не подразумевается.
Для обозначения значения обобщенной функции f в точке
ф = ф(х) пространства D наряду с записью (/) ф) употребляется
также запись
J / (х) ф (х) dx.	(61.15)
Таким образом, по определению,
f /(х)ф(х)б/х = (/; ф).
Это равенство является определением символа (61.15), который
формально читается как «интеграл от произведения f на ф».
Эта запись отражает собой тот факт, что обобщенные функции
являются обобщением функционалов (61.14), где f—локально
интегрируемая функция.
Упражнение 5. Доказать, что функционал v.p. j ‘^dx, tpeZ), является
обобщенной функцией (она обычно обозначается З1’-).
В качестве другого примера обобщенной функции рас-
мотрим функционал, обозначаемый 8 = 8(х) и называемый
8-функцией (см. п. 61.1).
Определение 15. Функционал, определяемый формулой
(8, ф) = ф(0), фей.
называется Ъ-функцией.
282
Его линейность и непрерывность легко проверяются. Он не
может быть представлен в виде (61.14) ни при какой локально
интегрируемой функции f. Действительно, если бы нашлась
такая локально интегрируемая функция f, что
(8, ср) = j f (х) ф (х) dx, ф е D,
то для этой функции f и для функции ф, заданной формулой
(61.13), мы имели бы
+ ОС	1
f /(х)ф(х)Дх=ф(0) = -.
— оо
(61.16)
Но, в силу абсолютной интегрируемости функции f
lim J |/ (х) \dx = О
а—0 -а
(почему?).
а2
Далее, замечая, что е “	— а^х^а, получим
f (х) ф (х) dx
поэтому левая часть равенства (61.16) при а-»0 стремится к
нулю, а правая нет. Полученное противоречие и доказывает
наше утверждение. Таким образом, запас обобщенных функций
в указанном смысле больше, чем запас обычных.
Определение 16. Функционал, ставящий в соответствие
каждой функции ф е D число ф (х0), где х0 фиксировано,
называется д-функцией и обозначается 8(х —х0).
Применяя запись (59.15), можно написать
J 8 (х — х0) ф (х) dx = ф (х0), фе£).
— со
Определение 17. Совокупность обобщенных функций, как и
всякая совокупность функционалов, определенных на линейном
пространстве со сходимостью (см. п. 61.2), образует линейное
пространство со сходимостью, сопряженное к D. Оно называ-
ется пространством обобщенных функций и обозначается D'.
Таким образом, сходимость последовательности обобщен-
ных функций f„, п=1, 2, ..., к обобщенной функции f
283
означает, что
ф) = (Л <р)
и—*ос
для любой функции фбО.
Задача 43. Пусть fn^D', п=\. 2. и пусть для любой функции
существует предел числовой последовательности (/„, (р). Положим, Т(<р) =
= lim (/„, <р). Доказать, что Т (<р) является обобщенной функцией.
п—- X
В п. 61.1 мы рассматривали функции 8Е(х), которые,
очевидно, локально интегрируемы. Мы видели, что они
обладают тем свойством, что для любой непрерывной на всей
оси функции ф и, следовательно, для любой функции феО
lim (8е, ф)= lim j" 8Е(х)ф(х)с/х = ф(0)= (8, ф).
>:• + <)	с— + 0 - оо
С точки зрения обобщенных функций это означает, что в D'
lim 8Е = 8.**
Е—► + О
Таким образом, 5-функция в пространстве D' является
пределом последовательности обобщенных функций, порожден-
ных локально интегрируемыми функциями.
Упражнения 6. Найти предел limcosдх в пространстве D'.
в-—X
7.	Пусть последовательность абсолютно интегрируемых функций /„ (х), п = 1,
2, .... такова, что:
а)	каково бы ни было число М>0 при \а\<М, \h\<M, величины
ь
|£/„(х)б/х|, я=1, 2, ...,
а
ограничены постоянной, не зависящей от а, Ь, п (она зависит только от .И);
б)	при любых фиксированных а и Ь, отличных от нуля,
limf/„(x)rfx=(? п₽и ^<^<0и0<ц<Л,
у '	11 при а<О<Ь.
Такие последовательности /п(х) (рис. 265) называются дельта-последователь-
ностями.
Доказать, что для любой непрерывной функции <р и любой дельта-последо-
вательности /„(х), п=1, 2, ....
lim J f„ ( v) <р (х) dx = <р (0);
И—-Ул _
иначе говоря, lim (/„, <р) = (5, <р).
*’	Как и для обычных функций, символ е-> +0 означает, что указанное
предельное соотношение имеет место для любой последовательности е„>0,
п = 1. 2, ... , стремящейся к нулю.
284
8.	Пусть f(x) = —-__е '.
yjni
Доказать, что в пространстве
D' справедливо равенство
lim /, (х) = 5(х).
г- о
9.	Доказать, что в прост-
ранстве D' существует предел
lim —— (он обозначается —!— )
„-v + V	л±/0
у—О	J
и что справедливы формулы
+ /я5+^-
Л'
(они называются формулами Сохоцкого*’).
Задача 44. Доказать, что всякая обобщенная функция является пределом
обобщенных функций, порожденных локально интегрируемыми функциями. В
этом смысле пространство обобщенных функций является «пополнением»
пространства обычных (локально интегрируемых) функций.
Как мы видели, понятие обобщенной функции не сводится к
понятию функции точки, и поэтому говорить о значении
обобщенной функции в данной точке, в частности обращении
ее в нуль в этой точке, вообще говоря, не имеет смысла. Однако
можно ввести естественное понятие обращения в нуль обоб-
щенной функции на интервале.
Определение 18. Будем говорить, что обобщенная функция f
обращается в нуль на интервале (а, Ь), если (f, ср) — 0 для всех
(pel), которые имеют носитель, содержащийся в интервале
(а, Ь).
Упражнение 10. Доказать, что для того чтобы непрерывная функция
обращалась в нуль в каждой точке интервала, необходимо и достаточно, чтобы
она обращалась в нуль на этом интервале как обобщенная функция.
Определение 19. Обобщенные функции fug называются
равными на интервале (а, Ь), если f—g = 0 на (а, Ь).
61.4 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Определим теперь производную обобщенной функции.
Выясним прежде всего, что представляет собой производ-
ная обычной непрерывно дифференцируемой на всей число-
вой оси функции f рассматриваемая как функционал (f', ср)
на D. Это имеет смысл, поскольку производная f, будучи
непрерывной на всей числовой оси, является локально интег-
рируемой функцией.
*’ Ю. В. Сохоцкий (1842—1929) — русский математик.
285
Интегрируя по частям, в силу финитности функции сре£>,
получим
(Л ф) = J f(x}q>(x)dx=- f Дх)ф'(х)Дх =
= -(/; Ф')5	(61.17)
причем, как известно, ф'е£>. Таким образом, производная f
является функционалом на D, значения которого выражаются
через значения функции f рассматриваемой как функционал, с
помощью формулы (61.17). Это делает естественным следующее
определение.
Определение 20. Производной обобщенной функции / назы-
вается функционал на D, обозначаемый f и определяемый
равенством
(f, <р)=-(/; ф'), фе£>.	(61.18)
Иначе говоря, значение функционала f в любой точке ф
пространства D равно значению функционала f в точке ф'еД
взятому с противоположным знаком.
Таким образом, любая обобщенная функция имеет про-
изводную. Отсюда следует, что и любая локально интег-
рируемая функция имеет в смысле определения 20 произ-
водную!
Из формулы (61.17) следует, что производная в обычном
смысле непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси
функции, рассматриваемая как функционал над D, совпадает с
ее производной в смысле обобщенных функций.
Операцию вычисления производной обобщенной функции
называют по аналогии со случаем обычных функций дифферен-
цированием.
Лемма 4. Функционал /' является линейным непрерывным
функционалом и, следовательно, обобщенной функцией.
Доказательство. Проверим линейность:
(/', /.ф + цф)= -(/, (Хф + цф)')= -(/, Хф' + щ|/') =
= -Х(/, ф')-р(Л Ф') = Х(/'’ ф) + м(Л И <ре£), фе£).
Для того чтобы проверить непрерывность функционала /,
вспомним, что если фе£>, фке£>, к=\, 2, ..., и lim ф/с = ф в D, то
к—*оо
в силу определения сходимости в пространстве D, и lim ф1 = ф'
в D; поэтому, если ф&-*ф в D, то lim (/', фк)= — lim (/, фК) =
= -(/ ф') = (Л ф)-
Таким образом, если feD', то /' всегда существует и
f’eD’. □
286
Производные высших порядков обобщенной функции , опре-
деляются последовательно, как и для обычных функций:
вообще
k=U 2,	f^=f.
По индукции легко проверить, что
(/(к), ф)=( — 1)Л(/, ф(к>), феО, к = 0, 1, ... .
Согласно этому определению, обобщенные функции имеют
производные любых порядков, или, как иногда говорят,
бесконечно дифференцируемы.
Примеры. 1. Пусть
е(х)=Г’если х^°-
10,	если х<0.
Функция 9(х) называется функцией Хевисайда (см. (61.10))
или единичной функцией. Она локально интегрируема и
поэтому может рассматриваться как обобщенная функция.
Найдем ее производную. Согласно определению (61.18),
(О', ср)=—(0, ср') = J 9(х)ср'(х)dx = — J cp'(x)dx =
-ос	О
= <р(0) = (8, ср), (реО,
т. е. 9' = 8.
В смысле обычной производной при любом х/0 имеет
место 9'(х) = 0, а при х = 0 производная функции 9(х) беско-
нечна: 9'(0)=+оо. Поэтому, согласно равенству 0' = о, иногда
говорят, что функция 8 равна нулю всюду на числовой оси,
кроме точки х = 0, где она равна +оо (ср. с п. 61.1). Хотя это
высказывание не является логически строгим, так как функция
Дирака 8 не есть обычная функция и поэтому нельзя говорить о
ее значениях в отдельных точках, оно бывает иногда удобным
при правдоподобных рассуждениях.
2.	В качестве другого примера вычислим производные
8-функции:
(8(*>, ср) = (—l)fc(S, <p<fc>) = ( — 1)*<plt)(0).
Упражнения. 11. Пусть / и g - обобщенные функции, к и р— числа.
Доказать, что
(¥+W?)'= ¥' + «?'•
12.	Доказать, что в пространстве обобщенных функций:
а) | х |' = sign х;
287
б) |х + |'=0, где х+
х, если х>0,
О, если х<0.
13.	Доказать, что I-—Н /. 10 (х) е х* = 8(х).
(d2 ,\0(x)sinwx
14.	Доказать, что —у + (о------= 8 х).
\dx ) ш
<1	е
I-	при I х|<-,
15.	Если 6£(х)=лс	то в пространстве обобщенных функций
[О при |х|>-
/ е\ I е\
6\" + 2 /”б\Х 2 /
lim5c(x)=8(x) и 8'(х)=-----------------
Е—о	'	8
16.	Пусть /(х) =	Р Л °- где фуИКЦИИ у М и Л (х) непрерывны и
(/Дх) при х>х0,	' 7 •
кусочно-непрерывно дифференцируемы на всей числовой оси R (следовательно,
в частности, существуют пределы /'(хо + 0)). Найти производную /'(х) в
пространстве D'.
17.	Пусть функция /(х) непрерывно дифференцируема на всей числовой оси.
Найти производную (0/)' в пространстве D'.
18.	Доказать, что если f—кусочно-гладкая функция, имеющая в точках
хн ..., х„ разрывы первого рода со скачками ..., р„, то
/'М = -^+ X АЗ(х-хД
ИХ Е -|
где f — обобщенная, а-----обычная при x/xt производная, /г=1, 2, ..., п.
dx
Лемма 5. Пусть fneD', feD' и
(61.19)
И-*00
тогда и
lim/«=/',	(62.20)
т. е. для любой сходящейся в D' последовательности обобщен-
ных функций производная предельной функции равна пределу
последовательности производных.
Доказательство. Для любой функции (реО
(/', ф)~(Л, ф)=-[(/ Ф')~(Л’ Ф')]"*° ПРИ ибо cp'eZ). □
Последовательно применив лемму 5, получим, что из
сходимости последовательности обобщенных функций следует
сходимость последовательностей производных всех порядков
обобщенных функций рассматриваемой последовательности.
288
Можно рассматривать и ряды обобщенных функций
Е ип,	(61.21)
п= 1
где uneD'. п = 1, 2, .... Сумма
s„= Е ик
к = 1
называется частичной суммой п-го порядка (л=1, 2, ...) ряда
(61.21). Ряд (61.21) называется сходящимся, если в D' существу-
ет предел
lim sn = s.
п—►ос
Обобщенную функцию 5 называют суммой ряда (61.21); при
этом пишут
s= Е ип-
п= 1
Лемма 6. Сходящийся ряд обобщенных функций можно
почленно дифференцировать любое число раз:
sw = Е к=\, 2, ... .
п~ 1
Это еле (ует из леммы 5.
Упражнения. 19. Доказать, что в пространстве обобщенных функций D'
справедливо равенство
/ “ sin пх\	*	1	’’
I ) ---I = У. cosnx=----|-я У, о(х — 2кп).
\п=1 П / n = 1	к~-х
Указание. Воспользоваться формулой (см. пример 3 в п. 55.4)
v sin пх я — х п ,
У -----— - , 0<х<2я.
п 2 ’
п = 1
20. Доказать, что в пространстве D' справедлива формула & = (In | х|)' (см.
упражнение 5).
61.5. ПРОСТРАНСТВО ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ S
И ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ S'
Обозначим через £ множество всех бесконечно дифференци-
руемых на всей числовой оси комплекснозначных функций,
которые вместе со всеми своими производными стремятся к
289
нулю при х->оо быстрее любой степени Иначе говоря,
множество 5 состоит из тех и только тех бесконечно
дифференцируемых функций ср, для которых при любых целых
неотрицательных п и т выполняется условие
lim х" ср <т)(х) = 0.	(61.22)
Условие принадлежности функции ср к множеству 5 можно
сформулировать и несколько иначе: бесконечно дифференцируе-
мая функция ср принадлежит 5 тогда и только тогда, когда для
любых целых неотрицательных пит имеем
sup I хп ср(х) I = сп т < со.	(61.23)
Действительно, если это так, то, заменяя в (61.23) п на и + 1,
получим |x"+1 cp(m)(x)|sSc„ + 1 ш, поэтому
откуда и следует (61.22).
Наоборот, если выполнено условие (61.22), то функция
х" ср’"0 (х), имея конечный предел в бесконечной удаленной точке
со, будет ограничена на некоторой ее окрестности С/(оо) =
= {х: | х|>а>0}. Будучи же непрерывной, функция х"ср(т)(х)
ограничена и на отрезке [ — a, aJ = A\J7(oo). Таким образом,
функция х"ср('")(х) ограничена на всей числовой прямой R и,
следовательно, для нее существует постоянная с„ т, удовлетво-
ряющая условию (61.23).
Очевидно, что множество 5 является линейным простран-
ством. При этом если ере 5, то и любая производная функции ср
принадлежит пространству 5.
Определение 21. Последовательность функций <рДх)е.8', k=\,
2, ..., называется сходящейся в S к функции ср(х)е5, если для
всех целых неотрицательных пит каждая последовательность
х"ср^'")(х), k= 1, 2, ..., равномерно на всей оси сходится к функции
хпф(т,(х).
Очевидно, что lim cpk = ср в 5 тогда и только тогда, когда при
к—* ос
любых целых неотрицательных п и т
lim sup	|xn[(p^m)(x) — cp(m)(x)] | = 0.	(61.24)
к—ос - ос <х< + ос
Отметим, что если срк->ср в 5, то для производных любого
порядка ср[m)-*<р(т) в 5, т=\, 2, ... . Линейное пространство 5 с
введенной операцией предельного перехода является линейным
пространством со сходимостью.
290
Очевидно, что D<^ S, в частности, последовательность функций
<pt е D, к = 1,2,..., сходящаяся в D к функции <р, сходится к функции <р
и в S. Вместе с тем D=£S, ибо е~х eS, но е X^D.
Задача 45. Доказать, что пространство D плотно в 5. т. е. что любая
функция (ре5 является пределом в S некоторой последовательности функций
(pteD, /< = 1. 2, ... .
Определение 22. Линейный непрерывный функционал, опреде-
ленный на пространстве S, называется обобщенной функцией
медленного роста. Множество всех таких функционалов назы-
вается пространством обобщенных функций медленного роста и
обозначается S'.
Каждый функционал feS', рассматриваемый только на
множестве D, является обобщенной функцией, следовательно,
элемент множества S' можно интерпретировать как продолже-
ние некоторого линейного непрерывного функционала с мно-
жества D на S (см. и. 61.2). Например, функционал 5,
определенный нами в и. 61.3 на пространстве D формулой
(5, <р) — ср (0), <peZ>, может быть продолжен с помощью той же
формулы на пространство S.
Можно показать, что не всякая обобщенная функция из D'
продолжаема на S, в этом смысле можно сказать, что S'
составляет строгую часть D'.
Упражнение 21. Доказать, что обобщенная функция, порожденная
локально интегрируемой функцией ех, не продолжаема в элемент пространства
S'.
Всякая локально интегрируемая функция f(x), для которой в
некоторой окрестности оо справедлива оценка
|/(х)|^Л|х|к	(61.25)
(А и к — неотрицательные постоянные)*1, в частности любой
многочлен порождает функционал пространства D, продолжае-
мый в линейный непрерывный функционал на S. Он опреде-
ляется формулой
(f, ф)= f f(x)<p(x)dx, (peS.	(61.26)
Действительно, из условий (61.22) и (61.25) следует, что
/(х)<р(х)—>0 при х->оо быстрее любой степени - и, следова-
тельно, интеграл (61.26) существует.
Заметим еще, что всякая абсолютно интегрируемая на
всей числовой оси функция /(х) также порождает по
*’ Такие функции называются функциями медленного роста, откуда и
термин «обобщенные функции медленного роста».
291
формуле (61.26) линейный непрерывный функционал над S.
Действительно, так как всякая функция <ре5 ограничена, то в
этом случае существование интеграла (61.26) следует из
неравенства
+ 00	+ 00
j |/(х)ф(х)|</х^ sup I<p(x)| j \f(x)\dx.
— 00	— 00 < X < + 00	— ОС
Упражнения. 22. Доказать, что функционал (61.26) линеен и непрерывен
на пространстве .S’ (как в случае, когда функция f медленного роста на
бесконечности, так и в случае, когда она абсолютно интегрируема на всей
числовой оси).
23. Доказать, что обобщенная функция ----eD' (см. упражнение 9)
х + /О
продолжаема в элемент пространства S'.
Множество S' образует линейное пространство со сходи-
мостью, сопряженное с 5 (см. п. 61.2).
Так как для любой функции <ре-5' будем иметь <р' е S, то для
обобщенных функций пространства S', как и для обобщенных
функций из D', можно определить производную /' по формуле
(Л ф)=-(/ Ф')’ Фе5-
Таким образом, для любой обобщенной функции f&S'
производная /' всегда существует и f'eS'. При этом на
элементе ср е D производные обобщенной функции /, рассматри-
ваемые соответственно как производные в пространствах D' и
S', совпадают. Как и в случае пространства D', в пространстве
S' производная от предела всегда существует и равна пределу
производных.
61.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ S
Каждая функция ере5 абсолютно интегрируема. Более того,
если (ре 5, то при любом к=\, 2, ... функция хк<р(х) также
абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Действительно,
так как для функции tpeS выполняется условие (61.23), то
| XW<p(x) I ^Ck.o,
х2|х(к’ф(х)| = |хк+2<р(х)|^ск + 2,0
и поэтому
I х k <р (х) |
Q. o + Ot + 2,0
1 + л2
(61.27)
292
Здесь справа стоит абсолютно интегрируемая на всей числовой оси
функция; следовательно, по признаку сравнения для несобствен-
ных интегралов, функция х,к> <р (х) также абсолютно интегрируема
при всех к — 0, 1, 2, ... . Отсюда следует, что для функций <реЗ
сущее । вует классическое преобразование Фурье
<p=f[<p]=4=
,/2л
<р (х) е lxy dx, <р е S,
(61.28)
а также обратное преобразование Фурье
^Ч<Р] = ^
<р(у)е‘хз,(/у, <реЗ.
Классичность преобразования Фурье здесь понимается в том
смысле, что написанные интегралы являются обычными абсо-
лютно сходящимися интегралами, а не интегралами в смысле
главного значения (см. п. 56.3). При этом на S справедливы
формулы обращения для прямого и обратного преобразования
Фурье (см. п. 56.5):
F[F“1[<p]] = <p, F’1[F[<p]] = <p, <реЗ. (61.29)
Отметим, что, например, вторая из этих формул в интег-
ральной форме принимает вид
Теорема 1. Преобразование Фурье и обратное преобразова-
ние Фурье отображают взаимно однозначно, линейно и непре-
рывно пространство S на себя.
Доказательство. Покажем, что если <ре5, то и феЗ1.
Прежде всего, из того, что для каждой функции <реЗ при
любом Zr = O, 1, 2, ... функция xt<p(x) является, как показано
выше, абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, следует
согласно теореме 4 из п. 56.10, что преобразование Фурье
ф = F [<р] функции <р существует и представляет собой беско-
нечно дифференцируемую функцию.
Оценим теперь функцию |у"ф<т)(у)|, где п и т — целые
неотрицательные числа. Применяя формулы для производной
преобразования Фурье (см. п. 56.10) и для преобразования
293
Фурье производной (см. п. 56.8), получим
I уп <Р <m) WI = I ynF{m} [ф] I = I ynF[_xm <р] I =
= |F[(xm<p)(")]| = —=
2л
j |(xm<p(x))(")|tZx.
— 00
Заметим, что выражение [хт<р(хЦ(п) в силу правил дифферен-
цирования представляет собой линейную комбинацию выраже-
ний вида х₽<р<9’(х), где р и а — неотрицательные целые и, как
это было отмечено выше, <p(e’eS. Поэтому (см. (61.27)) функции
(1+х2)х₽<р(в)(х) ограничены на всей числовой оси, следователь-
но, ограничена и функция (1+x2)[xm<p(x)](n), т. е.
sup (l + x2)|[xm<p(x)](n)|< + оо.
— оо < х < + х
Разделим и умножим теперь получившееся выше подынтеграль-
ное выражение на 1+х2, тогда, принимая во внимание, что
dx
2 = п, получим
| у "ф(т) (у) | < -4= sup (1 + X2) I (х т<р (х))<"> I	^~2 =
y/2lt X	J
— оо
= sup(l +х2)|(хт<р(х))(")|.	(61.30)
Поскольку справа стоит конечная величина, то фс5.
Итак, преобразование Фурье отображает S в S, при этом это
отображение взаимно однозначно (см. лемму 3 п. 56.5).
Аналогично доказывается и то, что обратное отображение
Фурье F~1 отображает 5 в S и притом взаимно однозначно.
Легко убедиться, что на самом деле эти отображения происхо-
дят на пространство S’, т. е. являются биекциями. Это сразу
следует из формул взаимности (61.29) для прямого и обратного
преобразований Фурье *’.
*’ Заметим еще, что из того, что F(S) = F~1 (S) = S, следует, что в
формулах (61.29) интегралы существуют в обычном смысле, а не только в
смысле главного значения (ср. с п. 56.5).
294
Действительно, покажем, что F(S) совпадает со всем
пространством S. Пусть \|/eS, положим <р = F~1 [ф].
Тогда
т[<р] = т[т-1Щ] = ф.
Подобным же образом доказывается и то, что
J”1(S) = S.
Линейность преобразования Фурье отмечалась раньше (см.
лемму 2 в п. 56.5).
Докажем теперь непрерывность отображения F.
Сначала докажем его непрерывность в нуле. Пусть lim <pk = О
к— оо
в S. Тогда из (61.30) следует, что
sup(l + x2)|(xm<p/1(x))<",|, к=\, 2,
Но из (61.24) (при <р(х) = О) имеем
lim sup(l + x2)|(x'"<pk(x))("> | = 0;
k—» X X
поэтому
lim sup |	(д’) | = 0, т. e. lim<pfc = 0 в S.
k-X у	/с—►x
Поскольку преобразование Фурье является линейным ото-
бражением линейного пространства S’ в себя, непрерывным в
нуле, то оно непрерывно и во всех точках этого пространства
(см. лемму 3 в п. 61.2).
Таким образом, преобразование Фурье F непрерывно ото-
бражает S на S.
Совершенно аналогично доказывается непрерывность обрат-
ного преобразования Фурье F-1. □
61.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Предварительно докажем одно интегральное равенство.
Пусть функция f непрерывна и абсолютно интегрируема на всей
числовой оси и пусть <р е S, тогда
+ оо	+ со	+ 00	+ 00
f <p(x)dx f f(y)e~ixydy= f f(y) dy f <р(х)е“(хуДх.(61.31)
295
Это следует из теоремы 7 п. 54.3. Действительно, повторный
интеграл, стоящий слева, существует, ибо существует интеграл
ф(х) f ЛУ)е ixydy
dx^ f |<р(х)|Дх f l/(y) I <4’-
Если [a, />]— произвольный отрезок, то функция f, в силу ее
непрерывности ограничена на [a, b\ : |/(г) | < М; поэтому
|/(y)<p(x)e“ixy|^M|(p(x)|, a^y^b.
+ к
Отсюда в силу сходимости интеграла J | ср (у) | dx следует
+ 00
равномерная сходимость интеграла Ду) J <p(x)e~‘xydx на от-
резке [а, 6].
Далее, |<р(х)|^с00, — оо<х< + ос (см. (61.23)); поэтому
1<Р(4/'(з’)е“'х>'1^с0.01/(з')1’ и так как интеграл f \f(y}\dy схо-
дится, то интеграл
ф(х) J f{y)e~ixydy
равномерно сходится на всей оси.
Наконец, интеграл
+ 00	+ оо	+ СО	+ 00
J dx f | <р (x}f(y)eixy | dy = j |ф(х)|«1х f |/(y)\dy
— 00“ oo	—00	“00
конечен, поэтому в рассматриваемом случае выполнены все
условия торемы 7 п. 54.3 и, следовательно, можно переставить
порядок интегрирования. Равенство (61.31) доказано.
Если функция £[/] порождает некоторый функционал на S’
(например, удовлетворяет условию (61.25) или абсолютно
интегрируема на всей числовой оси), то, умножив равенство
(61.31) на —}=, получим
(Ш ф) = (Л ^[ф]). Ф^.	(61.32)
Эту формулу и примем за определение преобразования Фурье
обобщенных функций из пространства S'.
296
Определение 23. Преобразованием Фурье обобщенной функции
feS' называется функционал F[/], определяемый формулой
(61.32).
Итак, для любой обобщенной функции / из S' определено ее
преобразование Фурье F[/]: значение функционала Г[/] в
любой точке <р пространства S равно значению функционала /в
точке F[(p]eS. Преобразование Фурье обобщенной функции /
будем, как и в случае обычных функций, обозначать также и
символом /
Пример 1. Найдем преобразование Фурье единицы, рас-
сматриваемой как обобщенная функция. Очевидно, leS'.
Имеем
ф(х)е,><1 X}dx
=	1(^(ф))|, = о = У2лф(г)|1=0 = х/2лф(0)=ч/2л(8, ф)
(мы воспользовались здесь леммой 1 и. 56.5). Таким образом,
1=72^8.
Отметим, что преобразование Фурье £[ф] функции фе/),
вообще говоря, не принадлежит пространству D, поскольку
ф] не всегда является финитной функцией. Поэтому формула
(61.32) имеет смысл не для всех feD'. Из-за этого обстоятель-
ства при рассмотрении преобразования Фурье обобщенных
функций нам и пришлось сузить класс обобщенных функций,
введенных раньше, ограничившись только обобщенными функ-
циями медленного роста.
Преобразование Фурье F[/] обобщенной функции / будем
обозначать также символом
е lxy dx.
Таким образом, равенство
/2я
/(x)e-^'T/A- = F[/]
(61.33)
297
в случае, когда /'— обобщенная функция, является определением
символа, стоящего в левой части этого равенства.
Определив преобразование Фурье для всех обобщенных
функций из S', мы, в частности, определили и преобра-
зование Фурье для обычных функций f удовлетворяющих
условию (61.25), т. е. функций существенно более широкого
класса, чем это было сделано раньше (см. п. 56.5 и 60.9*). Это
является одним из весьма существенных обстоятельств, оправ-
дывающих целесообразность введения понятия обобщенных
функций.
Покажем, что преобразование Фурье обобщенных функций
обладает рядом свойств, аналогичных свойствам классического
преобразования Фурье, т. е. преобразования Фурье абсолютно
интегрируемых функций.
Лемма 7. Преобразование Фурье F[/l обобщенной функ-
ции feS' также является обобщенной функцией класса S',
т. е. F[/]—линейный и непрерывный функционал над простран-
ством S.
Доказательство. Проверим линейность преобразования
Фурье, т. е. покажем, что, какова бы ни была обобщенная
функция feS', для любых функций <ре5, фе.5’ и любых чисел X
и (1 справедливо равенство
(£[/], Х<р + цф) = X(/"[У], <р) + ц(Г[/], ф).
Действительно,
(£[/], Х<р + цф) = (/, Г[Х<р + цф]) =
= (у ХГ[<р] + ц^[ф]) = Х(/, F[cp]) + n(y ^[ф]) =
= X(F[/], <р) + ц(Г[/], ф).
Проверим непрерывность преобразования Фурье. Пусть feS',
<peS, <p„eS, п=\, 2, ..., lim <р„ = <р и, следовательно (см. теорему
1 п. 61.6),
limF[<pn] = F[<p],
И—*00
Тогда, в силу непрерывности функционала f на S, получим
!im (F[/], <p„)=lim(/; F[<pJ) = (/; F[<p]) = (F[/], <р).
И—ОС	п—*00
Итак, мы показали, что если feS', то и F[/]eS". □
Естественно определяется и обратное» преобразование Фурье
F-1[/] элемента фё S' как функционал пространства S ', задава-
298
емый формулой
<р)=(/; ^“1[<рК а 5.
Если /'—абсолютно интегрируемая непрерывная функция,
это равенство выполняется для нее в обычном смысле. Это
проверяется так же, как и в случае формулы (61.31). По
определению, полагается также (ср. (61.33))

/’(.v) elxy dx = F 1 [/].
(61.34)
Как и в случае прямого преобразования Фурье F, показы-
вается, что если feS', то и Е“1[/]б5'.
Теорема 2. Преобразование Фурье F и обратное преобразо-
вание Фурье F~x отображают линейно, взаимно однозначно и
непрерывно пространство S' на себя; при этом для любого
элемента fe S' справедливы равенства
[/]]=/•	(61-35)
Доказательство. Докажем сначала формулы (61.35). Для
любого элемента <рб5 имеем
(F-1[F[/]], <р) = (ЛЛ F~' [ф]) = (Л Л77”1 [ф]]=(А ф)-
Аналогично,
ф)=(77-1[/], 4ф])=(/; ^'ИфЛИ/; ф).
Покажем теперь, что преобразование Фурье F отображает
пространство 5' на все пространство S': F(S') = S'. Пусть geS’,
тогда если /=F-1[g], то F[/] = F[F-1jg]]=g, т- е- в любой
элемент из S' при преобразовании Фурье F отображается
некоторый элемент из S'.
Покажем, что F взаимно однозначно. Если Д е S', А е S' и
F[/i] = Ff/2]v то и F [F[Л]] = Е“1 [Е[/2]], откуда, в силу
(61.35), имеем /1=/2.
Покажем, что отображение F линейно, т. е. для любых
обобщенных функций feS’, geS' и любых чисел X и ц
справедливо равенство
F [ V+ ЕЯ] = М7 [/] + pF [g].
299
Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, проверим
его для любого, но фиксированного элемента фе-S:
(Ffv+wrb ф)=(¥+н^ 77[(р])==х-(Л ^[<p])+h(&, ^[ф])=
= A.(F[/], tp) + p(F[g], <p)=(^F[/] + pF[g], <p).
Наконец, докажем, что F является непрерывным ото-
бражением. Действительно, пусть feS', fneS', п=\, 2, ...,
limfn = f и, следовательно, для любого ф е S справедливо
равенство lim (Д, <р) = (Д ф). Тогда
Л—*00
Нт (£[/„], ф)=Пт(/„, Г[ф]) = (/; Т[ф]) = (Г[/], ф).
л—*00	л—*00
Аналогично доказывается, что и F-1 непрерывно взаимно
однозначно отображает S' на^ S'. □
Пример 2. Найдем F[8] = 8. Имеем
поэтому £[§] = —== и, следовательно, F 1 [1] = х/2л§ (заметим,
что обратное классическое преобразование Фурье F 1 [1], так
Же как и прямое F[l], не существуют). С помощью интегралов
(61.33) и (61.34) эти формулы можно переписать в виде
4-оо	4-оо
8(x)e~ixydx= 1,	elxydx = t>(y).
— 00	— 00
Подобным же образом находится и обратное преобразо-
вание Фурье 8-функции:
х/2л
отсюда
F[1] = F"1 [1] = х/2л8.
300
Используя способ записи, основанный на равенствах (61.33)
и (61.34), эти формулы можно переписать в виде
+ 00	+ оо
~ e~ixy dx=b{y), t>(x}eixydx=\.
V	*
Вычислим, далее, преобразование Фурье производной обоб-
щенной функции и производную от преобразования Фурье.
Предварительно нам придется ввести понятие произведения
обобщенной функции ft S' на обычную бесконечно дифференци-
руемую функцию ф(х), обладающую тем свойством, что для
любой ее производной ф<п)(х) существуют постоянные Р„>0 и
ап>0, и = 0, 1, ..., такие, что для всех х справедливо неравенство
|ф(п)(х)|^Р„(1+|х|)Ч и = 0, 1, 2, ...*>.	(61.36)
Заметим, что все многочлены удовлетворяют этому усло-
вию.
Если функция ф типа (61.36) и ере S', то ф ере S'. Если функция
f локально суммируема и удовлетворяет условию (61.25), а
функция ф — условию (61.36), то ф/ также удовлетворяет
условию (61.25) и
(Л Фф) = f /(х)ф(х)(р(х)(7х=(ф/, ф).
Пусть ф удовлетворяет условию (61.36), a ft S'. Определим
теперь функционал на S, равный произведению ф/, формулой
(ФЛ ф) = (Л Фф), феЯ.
Легко проверить, что ф/'eS' **\ т. е. что ф/ является линейным
непрерывным функционалом, определенным на пространстве S.
Упражнение 24. Пусть функция ф = ф(х) удовлетворяет условию (61.36),
а обобщенная функция feS'. Доказать, что ty/eS'.
Докажем в заключение формулы
F[/('I’] = (zx)"F[/],	(61.37)
z"F(n»[/] = F[x"/], feS'.	(61.38)
*| В силу этого условия (при и = 0), можно рассматривать ф(х) как
обобщенную функцию пространства S' (см. (61.25).
**’ Затруднения при определении произведения обобщенных функций
связаны с тем, что произведение линейных функционалов в обычном смысле как
произведение функций (т. е. как произведение значений сомножителей в каждой
точке) не является линейным функционалом.
301
Имеем (см. п. 56.8)
(F[/'">], ф)==(/<”\ ^[ф])=(-1)"(А ^(п)[<р]) =
=(-1)"(/,	ф), фб£.
Формула (61.37) доказана.
Докажем (61.38) (см. п. 56.10):
(^(П>[Д ф)=(-1)"(4Л ф(п,)=(-!)"(/, Лф(п)])=
= (-!)"(/; H"F[(p]) = l(x"/; F[(p]) = fiF[xV], ф\ □
Пример 3. Найдем преобразование Фурье функции f(x) = x.
Заметив, что F(l) = 84/2a (см. пример 1), получим
F[x] = F[x-l] = zF'[l] = z72n8'-
Упражнение 25. Найти преобразование Фурье многочлена.
При вычислении преобразования Фурье обобщенных фун-
кций иногда удобно выбрать последовательность обычных
функций стремящихся в пространстве S' к заданной (обобщен-
ной) функции, найти преобразование Фурье членов этой
последовательности, а затем вычислить искомое преобразова-
ние Фурье заданной функции с помощью предельного перехода,
используя непрерывность преобразования Фурье. Так, напри-
мер, для того чтобы вычислить преобразование Фурье F[0]
функции Хевисайда 6(х), найдем сначала преобразование Фурье
функции 0(.v)e-IX (г>0).
F[e(.v) ?-'*]=~
e^x(t + iy)dx = -
х/2л(»+'>) y/2n(y-it)
(61.39)

Покажем теперь, что в S'
lim 6(х)е <х = 0(х).
г—* + 0
(61.40)
302
Действительно, для каждой функции фе5 и любого числа А
имеем:
|(е(х), ф (х)) - (0 (х) е tx, ф(х))| =
J (1 — е '*) ф (х) dx
о
А
f (1 — е”1х)ф(х)<7х
о
(61.41)
Зафиксируем функцию фе5 и какое-либо число е>0. В силу
абсолютной интегрируемости функции ф, существует число
А>0, такое, что
| ф (х) | dx
тогда
Выберем теперь 1о>0 так,
справедливо неравенство
А
(*
(1 — е-,л)
(61.42)
чтобы при 0<f</o было
|ф(х)|б/х<|
о
и, следовательно,
Тогда при 0<t<to из (59.41), (59.42) и (59.43) получим
l(e(4 <PWH6We~tx, ф(х))|<| + | = е.
Формула (61.40) доказана.
В силу непрерывности преобразования Фурье,
lim F[0(x)e’tx] = F[0(x)];	(61.44)
/— + о
303
отсюда и из (61.39) имеем
F[0(x)]=—-L lim
v2n г- + о У "
причем из (61.44) следует, что предел, стоящий в правой части,
существует (в пространстве 5'), он обычно обозначается ——
у—/О
(см. упражнение 9).
Таким образом,
ме(х)>—U-^-.
Упражнение 26. Найти преобразование Фурье функций л‘0(х),
к=\, 2, ... .
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 62. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
62.1. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО
ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛОВ
Для вычисления значений функций очень удобно пользо-
ваться формулой или рядом Тейлора. Поясним это на
примерах.
1. Вычисление значения синуса.
Формула Тейлора для функции sin.v имеет вид
"	v24-l
где
г„(*) = (- 1)"sin(2n+Ох, 0<в<1
(мы взяли остаточный член в форме Лагранжа). Поэтому
| (х) |	—у.	(62.1)
1	(2и+1)!	v 7
Пусть требуется найти sin 20° с точностью до 10-3.
В радианной мере 20° соответствует поэтому выберем номер
п так, чтобы
(62.2)
тогда значение многочлена Тейлора порядка п в точке х = - и
даст нам искомое приближение sin 20°. В силу неравенства
(62.1), для выполнения условия (62.2) достаточно, чтобы
выполнялось неравенство
.	/ \2п + 1
(Б^Ш <)¥
305
При п = 1 это неравенство не выполняется
1 ЛУ 1 1 _ 1 1
3!у9у >6 35-Тб2>105’
но уже при п = 2 оно выполняется
1лу 1 1 _ 1 1
5! \9J < 120 2?~3840 НР'
Поэтому sin 20° с точностью до 10-3 находится по формуле
, / \ 3 *)
sin 20°	.	(62.4)
9 б\9/	3	’
Беря значение л из таблиц с точностью до 10-4, подставляя в
формулу (62.4), произведя указанные там действия и округляя
результат с точностью до К) 3, получим искомое приближение
sin 20°:
sin 20° %0,343**1.
При вычислении значений синуса можно воспользоваться не
формулой, а рядом Тейлора, который для действительного
аргумента является знакочередующимся и поэтому допускает
простую оценку остатка: он не превышает по абсолютной
величине абсолютной величины первого члена остатка (см.
п. 34.9). Это дает, естественно, тот же результат, что и выше,
так как приводит к оценке (62.3), которую мы получили из
других соображений.
2. Вычисление значений натуральных логарифмов.
Ряд Тейлора для логарифма
GO	„
1п(1+х)= £ (-1)"+1~, -1<х<1,	(62.5)
п—1	W
может быть непосредственно использован лишь для вычисления
логарифмов чисел, не превышающих двух. Однако из ряда
(62.5) можно получить другие разложения, позволяющие вычис-
лить логарифмы любых чисел. Заменяя в (62.5) х на —хи
*’ Знаком а; обозначается приближенное равенство с указанной степенью
точности.
**’ Заметим, что в нашем случае легко устанавливается и более сильное
неравенство r2|°j < I0 3, а при указанном выборе числа знаков л ошибка при
вычислении правой части формулы (62.4) во всяком случае не будет превышать
-- К) 3, поэтому суммарная ошибка и будет не больше 10 ’3.
306
вычитая получившийся ряд из (62.5), получим
1п1±^ = 2л- f |х|<1.	(62.6)
'~Л	„о2"+1
Когда х изменяется от —1 до 1, то ^2 принимает все
положительные значения. Поэтому формула (62.6) может быть
использована для вычисления логарифмов любых чисел. Есте-
ственно, возникает вопрос о том, сколько надо взять членов в
ряде (62.6), чтобы получить логарифм числа с заданной
точностью. Для этого надо оценить остаток ряда (62.6). Имеем
00 v2fc	|2л+1	00	91	|2л+1
l-.MI = 2|.v|	И<‘-
k = п 2А + 1	2/7+1 k = 0	(2/7 + 1) (I — х )
(62.7)
Применим эту оценку для вычисления 1 п 2 с точностью 10 3
Решая уравнение
находим х = ~. Полагая в (62.6) х — находим
In2 = 7 f ---'-2.
3+О(2»+1)32"
(62.8)
Оценка же (62.7) в этом случае дает
2	1 _	1
(2/14 1) 32" + 1	1 ~4(2п+1)32"-1’
9
Отсюда при п = 3 имеем
/1 \ 1 1 1
\3 J 4-7-35 28-243 103
Поэтому для вычисления In2 с точностью до 10-3 достаточно
взять первые три члена ряда (62.8):
1 п2«21 1 +-L+-L )«0,693.
3\ З3 534 J
При более грубых вычислениях значений функции с по-
мощью формулы Тейлора
/(х)=/'(х0)+/'(х0)(х-х0) + ...+ f—^(х-х0)п + г„(х)
п\
часто бывает достаточно ограничиться лишь ее линейной
307
частью, т. е. первыми двумя членами
Л*) =/(х0) +/' (х0) (х - х0X
иначе говоря, заменить приращение функции ее дифференциа-
лом
by =Дх) —f(x0) xf (х0) (х - х0) =/' (х0) Ах,
где Ах = х —х0.
Формула Тейлора позволяет приближенно вычислять и
значения определенных интегралов. Рассмотрим один пример
такого рода.
3. Вычисление с точностью до 0,0001 интеграла f^^Jx.
о х
Напишем для подынтегральной функции формулу Тейлора.
Для этого воспользуемся известной нам формулой Тейлора для
функции sinx (см. (62.1)), тогда получим
sinx= У х2к 2 _l'"У-
]	(2А	1)! f Л- ’
поэтому
1 1 1
fsinx , Л ( —1)‘~l f 211-2 J , frn(*) ]
----dx= )	х dx+ -^х-^-dx.
J x ^(2^-1)! J	J x
0	0	0
В силу оценки (62.1),
Поскольку при и = 3
-----------=—=-J— <110“4,
(2л+1)! (2л+1) 7! 7 35 280 3
то с точностью до 0,0001 имеем
О	0	0
*’ При переводе простых дробей в десятичные была сделана ошибка, не
превышающая 10 4. поэтому суммарная ошибка при выполненном прибли-
женном вычислении рассматриваемого интеграла действительно не превышает
10"4.
308
Отметим, что на практике для приближенного вычисления
интегралов применять формулу Тейлора обычно оказывается
нецелесообразным, поскольку в нее входят производные задан-
ной функции и их вычисление приводит к дополнительному
накоплению ошибок. Целесообразнее применять приближенные
формулы интегрирования, в которые входят только значения
самой функции. Подобные методы приближенного интегрирова-
ния будут рассмотрены в п. 60.4.
Замечание. Для проведения фактических вычислений зна-
чений функций или интегралов от них с помощью разложений
функций в ряды годятся далеко не всякие разложения рассмат-
риваемых функций в ряды. Может случиться, что полученный
ряд будет сходиться столь «медленно», что практически он либо
совсем будет не пригоден для вычислений, либо потребует
неоправданно большого их объема (образно говоря, в этом
случае ряд «практически расходится», хотя и «теоретически
сходится»). В такой ситуации надо попытаться получить
какой-то другой ряд, который будет сходиться достаточно
быстро («улучшить сходимость ряда», как обычно говорят) и
сумма которого позволит найти значения рассматриваемой
функции. Именно так и было сделано выше при рассмотрении
метода вычисления логарифмов. Было бы, например, нецелесо-
образно вычислять даже значение 1п| с помощью ряда (62.5),
1
хотя ряд и сходится при х = ~, а следует для этого воспользо-
ваться рядом (62.6) при х = р так как этот ряд сходится быстрее.
62.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим задачу решения уравнения
/(х) = 0.	(62.9)
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b ] и принимает на
концах отрезка значения разного знака, то метод, которым в п.
6,2 была доказана теорема о существовании в этом слу-
чае точки х0, в которой функция обращается в нуль,
дает и приближенный метод вычисления этого значения
хи, т. е. корня уравнения (62.9). Для этого достаточно
последовательно делить отрезок [а, b ] пополам, выби-
рая каждый раз тот отрезок, на концах которого функ-
ция / принимает значения разного знака (если, конечно,
не случится, что в одном из получившихся концов функция
f обратится в нуль — в этом случае искомый корень бу-
дет уже найден). Если требуется найти корень уравнения
309
(62.9)	с точностью до заданного s>0, то после п шагов
таких, что
концы получившегося отрезка и будут давать искомое прибли-
жение некоторого корня уравнения (62.9) (левый — с недостат-
ком, правый — с избытком). Такой способ приближенного
решения уравнения (62.9), носящий название «метода вилки»,
принципиально очень прост, хотя и достаточно трудоемок. Он
большей частью применяется лишь для «грубой прикидки»
результата, т. е. для «грубого» определения интервала, на
котором лежит искомый корень рассматриваемого уравнения, а
затем на этом интервале для отыскания «более точного»
значения корня используются другие, быстрее сходящиеся
методы; обычно применяется нижеописанный метод касатель-
ных («метод Ньютона»). Как правило, по такой схеме
действуют при проведении вычислений на быстродействующих
вычислительных машинах. Конечно, такой путь целесообразен и
при проведении вычислений «вручную», в частности при
помощи логарифмической линейки или миникомпьютера.
Мы рассмотрим методы решения уравнения, носящие
названия метода хорд и метода касательных. Пос-
ледний из них хорошо обобщается и на случай систем
уравнений.
В дальнейшем будем всегда предполагать, что функция f
непрерывна на отрезке Га, b ] и имеет на этом отрезке первую и
вторую производные *’, причем обе они знакопостоянны (в
частности, отличны от нуля).
Мы будем предполагать также, что функция f принимает на
концах отрезка значения разного знака. В силу знакопостоян-
ства первой производной функция /строго монотонна, поэтому
при сделанных предположениях уравнение (60.9) имеет в
точности один корень на интервале (а, 6).
Метод хорд
Этот метод состоит в следующем. График функции /
заменяется его хордой, т. е. отрезком соединяющим концевые
точки графика функции/: точки (a, f{a\) и (b,f(b)). Абсцисса xt
точки пересечения этой хорды с осью Ох и рассматривается как
первое приближение искомого корня (рис. 266). Далее -берется
тот из отрезков {a, xt ] и [xj, b ], на концах которого функция /
принимает значения разного знака (далее будет показано, что
*’ Для метода хорд достаточно требовать существования первой и второй
производных лишь на интервале («, Ь). Существование производной в концах
отрезка [а, b ] будет использовано только в методе касательных.
310
при сделанных предполо-
жениях f(x1)^= 0 и, сле-
довательно, такой отрезок
всегда существует), и к
нему применяется тот же
прием; получается второе
приближение корня х2
и т. д. В результате об-
разуется последователь-
ность хп, п=1, 2,
которая, как это будет
показано, при сделанных
ограничениях на функцию f сходится к корню уравнения (62.9).
Легко получить рекуррентные формулы для указанных чисел
хп, п—\, 2, ... . Уравнение прямой, проходящей через крайние
точки графика функции f, имеет вид
f(a}(x-a)+f(a).	(62.10)
Обозначим его правую часть через /(х), т. е. запишем уравнение
(62.10) в виде
>’ = /(%).
Найдем абсциссу х± точки пересечения прямой (62.10) с осью
Ох, т. е. решим уравнение /(х) = 0; получим
Легко убедиться, что
а<хг<Ь	(62.12)
(это, например, следует из строгой монотонности и непрерыв-
ности функции /(х) и того, что на концах отрезка [а, 6] она
принимает значения разного знака: l(a)=f(a) и 1(b) =/(/>)).
Аналогично находим
”=1'2....... <б213)
Покажем, что последовательность {хп} стремится к корню
уравнения (62.9) монотонно. Предположим для определенности,
что f' (х)>0, f" (х)>(). а<х<Ъ (см. рис. 265). В этом случае
функция f строго монотонно возрастает и строго выпукла вниз.
Следовательно, любая внутренняя точка хорды, соединяющей
крайние точки графика функции /, лежит над соответствующей
точкой графика функции f т. е. l(x)>f(x), a<x<b.
В частности, если х0— корень уравнения (62.9): f(xo) = 0, то
отсюда следует, что /(хо)>0.
зи
Имеем (см. (62.11) и (62.12)): /(x1) = 0, a<xY<b.
Таким образом,
/(х1)</(х0),	(62.14)
но линейная функция 1(х) строго монотонно возрастает, ибо
1(b) =f(b) >f(a) = l(a),
поэтому из (62.14) следует Xj<x0.
Заменяя теперь отрезок [а, 6] отрезком [х1Л Ь] и замечая, что
/(хД<0, аналогично докажем, что х1<х2<х0.
Далее по индукции получим xt <х,<... <хп<... <х0.
Таким образом, последовательность {хп}, будучи монотонной и
ограниченной, сходится. Пусть lim хп — с. Переходя к пределу
при и->оо в равенстве (62.13), получим /(с) = 0, т. е. последова-
тельность {хп} сходится к корню уравнения (62.9).
Если [/'(х)| ~^т>0, а<х<Ь, то нетрудно получить оценку
скорости сходимости последовательности {хп} через значения
самой функции f в точках хп. Действительно,
/W =f(x„) -f(x0) =f (£„ )(х„ - х0),
хп<^„<х0,	2, ...;
отсюда
к„-х0|<М, « = 1, 2, ... .
Остальные случаи, т. е. случаи
/'(х)>0, /"(х)< 0,
/'(х)<0, /"(х)> 0,
/'(х)< о, г(х)<0,
рассматриваются аналогично разобранному (рис. 267).
Метод касательных (метод Ньютона)
Будем предполагать, что функция f удовлетворяет тем же
условиям, что и при рассмотрении метода хорд. Проведем
312
касательную к графику функции f в одной из его концевых
точек, например, в точке (b, f(b)). Абсцисса точки ее
пересечения с осью Ох и считается первым приближением корня
уравнения (62.9). Далее, если xte(a, b) (а это всегда имеет
место для одной из касательных в концевых точках графика см.
ниже), то из двух отрезков [a, xt] и [xj, b] выбирается тот, на
концах которого функция f принимает значения разного знака
(далее будет показано, что /(хД/О). Затем проводится каса-
тельная к графику функции f в точке (xv /(хД): точка ее
пересечения с осью Ох обозначается х2 и т. д. (рис. 268).
Легко получаются рекуррентные формулы для указанных
чисел х„, п=\, 2, ... . Уравнение касательной, проходящей через
точку (b, fib)), имеет вид
y=f'(b)(x-b)+f(b).
Обозначим его правую часть через £(х), т. е. запишем это
уравнение в виде
y — L (х).
Найдем абсциссу xt точки пересечения этой касательной с осью
Ох, т. е. решим уравнение £(х) = 0; по-
лучим
х -6-Ж
1 Ш
Точка Xj может лежать, вообще говоря, вне
отрезка [а, Ь], т. е. вне области опреде-
ления функции /. Однако если f(b) одного
знака с f", то х1е(а, Ь). Рассмотрим
подробно, как и для метода хорд, случай, когда /'>0,/">0 на
[а, />]. В этом случае функция f строго монотонно возрастает,
следовательно, f (b) > 0; кроме того, функция f выпукла вниз на
(а, Ь), следовательно,
£(х)</(х)
(см. п. 14.3).
Если Дхо) = 0, а<х0<Ь, то
•^'(Ло)<'0,
но L (Ь) =/(/>)> 0, следовательно,
x0<Xj <b.
При этом /(хД>£(хД = 0.
Применяя те же рассуждения к отрезку [а, хД, получим
точку х2 такую, что
313
Рис. 269
/(%! )
=	Х0<Х2<Х1,
и, далее,
J \лп>
Следовательно, последовательность {хп} монотонна и огра-
ничена, а потому сходится. Пусть lim х„ = с. Переходя к пределу
п—”00
в (62.15), получим /(<?) = О, т. е. последовательность (62.15)
сходится к корню уравнения (62.9).
Когда [/'(х) | т>0, а<х<Ь, то тем же способом, что и в
случае метода хорд, получаем оценку
|Л	2, ... .
т
Подобным же образом разбираются и оставшиеся случаи
различных комбинаций знаков первой и второй производных
(рис. 269).
Дадим еще одну оценку скорости сходимости метода
касательных, из которой будет хорошо видно достоинство этого
метода. Пусть для функции f на рассматриваемом интервале
выполняются неравенства
\f' (х)\^т>0, |/"(х)|<М, а<х<Ь.
Разложим функцию f в окрестности точки хп по формуле
Тейлора, например, с остаточным членом в форме Лагранжа
/(•*) =/(х„) +/' (*„ )(*-*„)+\f"	2 >
где ^ = х„ + 0(х — х„), О<0<1. Если/(с) = 0, то, подставляя х = с в
написанную формулу, получим
314
Отсюда
Z(-v„) , f"ft)
или, в силу формулы (60.15),
Следовательно,
М
2т
откуда
М
2т
М
2т
2
п=\, 2, 3, ..
Применяя последовательно это неравенство, будем иметь
м.	. f м
— х„ —с < —
2т	у 2т
2“|2
М.
2т1%"-2
М lb I
\Ь-с|
2т
2"
Если выбрать первоначальное приближение b так, чтобы
def Л/
q=—\b— с|<1, то получим
2т
2т ->п
т. е. скорость сходимости приближенных решений хп к корню
х = с значительно превышает скорость убывания геометрической
прогрессии со знаменателем по абсолютной величине, меньшим
единицы.
Пример. Применим метод Ньютона для приближенного
вычисления корня к-й степени из числа а > 0, к — целое
положительное. В этом случае речь идет о приближенном
решении уравнения х* — а = 0, т. е. формулу (62.15) следует
применить к функции f(x) = хк — а.
Имеем f (х) = кхк ~1, и потому для последовательных приб-
лиженных значений х„ корня k-Jx имеем рекуррентную формулу
315
или
В случае к —2 мы встречались с этой формулой в п. 4.9.
62.3.	ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
Пусть на отрезке [я, 6] задана функция f и пусть
фиксированы л +1 значений аргумента xt, /=1, 2, ..., /? + 1:
а^хк <х2 <... <хп+1 ^6.	(62.16)
Одна из простейших интерполяционных задач состоит в
отыскании многочлена Р(х) не выше некоторой данной степени
т, который при значениях аргумента х = х;, z=l, 2, ..., п + 1,
называемых узлами интерполяции, принимает те же значения,
что и данная функция, т. е. имеют место равенства
/(х;) = Р(х;), z= 1, 2, ..., л+1.	(62.17)
Такой многочлен Р(х) называется интерполяционным много
членом, интерполирующим функцию f в данных узлах интерпо-
ляции.
Для того чтобы исследовать вопрос о существовании
интерполяционного многочлена Р(х), удовлетворяющего усло-
виям (62.17), запишем его с неопределенными коэффициентами
ар ,/ = (). 1, ..., т;
Р (х) = а0 + at х + а2х2 +... + атхт
и подставим его в систему (62.17). Получим систему из (л + 1)-го
линейного уравнения с т +1 неизвестными а0, ак, ат:
а0-|-а1х1-Н.. + атхТ=/(х)
................................... (62.18)
П0 + й1Х „+ ! + ... + атх™+ ! =/(х„+ 1).
Определитель, составленный из коэффициентов этой систе-
мы, стоящих в первых к строчках и первых к столбцах,
к < min {т + 1, п +1} (число строчек равно п + 1, число столбцов
т+1), является так называемым определителем Вандер-
монда, известным из курса алгебры:
= П (х7-х,).
^(Xj... xj =
1 х2...х2 1
1 xk...xkk~l
316
Здесь этот определитель не равен нулю, ибо все узлы
интерполяции различны. Поэтому ранг матрицы коэффициентов
системы (62.18) равен наименьшему из двух чисел т + 1 и п + 1.
Если п>т, то система (62.18), вообще говоря, не имеет
решения. Если п^т, то решение системы (62.18) всегда
существует, причем в случае п = т решение единственно, а при
п<т решений бесконечно много. Таким образом, какие бы ни
задать значения в (и+1)-лг узлах (62.16), всегда существует и
притом единственный многочлен степени не выше чем п,
принимающий в этих узлах заданные значения.
Для отыскания интерполяционного многочлена Р(х) можно
решить систему (62.18). Однако можно найти его и другим,
более коротким путем. Рассмотрим многочлен
‘	(x,-x1)...(x,-xi_1) (Х(-Х(+1)...(Л,—х„+1)’
Очевидно, что РДх)— многочлен степени п и что
Pi(x ,.)=!,	Л(хД=0,
i = l, 2, ..., n+1, j=l, 2, ..., 1—1, /4-1, ..., п+1. (62.19)
Поэтому искомый интерполяционный многочлен может быть
записан в виде
Р(х) = "f/(%_.) Л (х).	(62.20)
i= 1
Действительно, написанное выражение является многочленом
степени не выше пив силу (62.19) удовлетворяет условиям
(62.17).
Интерполяционный многочлен, записанный в виде (62.20),
называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Исследуем теперь разность между функцией и интерполяци-
онным многочленом
Л(х)=/(х)-Р(х),
называемую остаточным членом интерполяции. Предпо-
ложим, что функция / п + 1 раз дифференцируема на отрез-
ке [а, 6]. Тогда этим же свойством обладает и остаток Л(х),
причем
Л*" + 1)(х)=/(" + !)(Л),	а^х^Ь,	(62.21)
ибо Р(п+1)(х) = 0. Положим
ю(х) = (х-х1) (х-х2)...(х-х„+1),
зафиксируем хе[а, 6] и рассмотрим вспомогательную функ-
цию
317
ср (z) = R(t) — co (z),	a + t + b.
w(.v)
Функция ср (zY, очевидно, также n +1 раз дифференцируема на
отрезке [а, Ь], причем из (62.21) и того, что со(п+1)(z) = (n +1)!,
имеем
cp("+1>(Z)=/("+1,(z)-(n+l)! —•	(62.22)
w(x)
Далее, функция ср (z) обращается в нуль в п + 2 точках х, хг,
х2, , х„+1, поэтому, в силу теоремы Ролля, ее производная
обращается в нуль по крайней мере в п + 1 точке отрезка [я, />],
вторая производная — в п точках и т. д. По индукции получим,
что (и+1)-я производная функции ср обращается по крайней
мере один раз в ноль внутри отрезка [а, Ь]. Пусть cp*" + 1)(Q = O,
a<t,<b, тогда из (62.22) получим
Я(х) = -^/'" + 1,О
(и+ 1)!
или, подробнее,
R(Х) =(*~) (х-х2)...(х-Х„+,)/(„+,,	а^х^ь, а<(,<Ь.
(и+ 1)!
Отсюда следует оценка остаточного члена
max (х-х2)...(л--х„+1)| sup |/(п + 1)(л-)1-
Заметим, что, вообще говоря, даже для аналитических на
отрезке [а, 6] функций остаточный член интерполяции не
стремится к нулю на отрезке [а, />] при п-»оо, т. е. интерполя-
ционные полиномы не сходятся к самой функции. Построение
соответствующих примеров достаточно громоздко, поэтому мы
не будем на этом останавливаться.
62.4.	КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Рассмотрим теперь некоторые способы приближенного ин-
тегрирования функций. Формулы для приближенных значений
интегралов называются квадратурными формулами.
Пусть на отрезке [а, 6] задана функция / Разобьем отрезок
[а, />] на п равных частей точками хк, к=\, 2, ..., п—\:
а = х0<х1<...<х„-1<хп = Ь; хк-хк-! =	к=\, 2, ..., п.
318
Квадратурные формулы, которые мы рассмотрим, будут
получаться посредством замены при интегрировании функции /
на каждом отрезке лу] интерполяционным многочленом
степени п. Мы изучим случаи и = 0, 1, 2. Соответствующие
приближенные значения интеграла от функции f будем обозна-
чать символом L„(f), п = 0, 1, 2. В первом случае (при и = 0)
соответствующая квадратурная формула называется формулой
прямоугольников, во втором (при «=!)— формулой трапеций, в
третьем (и = 2) — параболической формулой или, чаще, формулой
Симпсона*}.
Формула прямоугольников
Для интерполяции функции / на отрезке [xk_1( л\], k=\,
2, и, многочленом нулевой степени достаточно задать лишь
один узел. Возьмем в качест-
ве узла середину отрезка
[лк_1, xj:
е _xk-l+-¥k
Sfc 2	‘
Интерполяционным много-
членом является постоянная
k= 1, 2, ..., п.
При такой интерполяции мы
заменяем данную функцию f «ступенчатой функцией», точнее
набором функций, постоянных на каждом отрезке jxk-1, xk] и
равных значению функции f в центре отрезка (рис. 270). Вместо
*к
интеграла j /(xjdx возьмем интеграл j Pk(x)dx, т. е.
хк - 1	хк - 1
заменим площадь криволинейной трапеции площадью соответ-
ствующего прямоугольника.
Напишем теперь квадратурную формулу прямоугольников
хк	хк
А>[/] = Z	| Pk(x)dx = £	| f(J^k)dx = -~—- f/(U(62.23)
к = 1 J	к= 1 J	” к= 1
хк-1	хк-1
*’ Т. Симпсон (1710—1761) — английский математик.
319
Формула трапеций
На каждом отрезке [xt
интерполяционный многочлен
Рис. 271
xt], к=\, 2, п, возьмем
Рк(х) первой степени, определя-
емый узлами интерполяции хк -!
и хк. Полагая yi=f(xi), z = 0, 1,
п, получим (см. (62.20))
к= 1, 2, ..., п.
Таким образом, мы заменяем
данную функцию f кусочно-ли-
нейной функцией. Вместо интег-
хк
рала J /(х) dx возьмем ин-
теграл
j Pk(x)dx, т. е. заменим площадь криволинейной
хк — 1
трапеции соответствующей площадью обыкновенной трапеции
(рис. 271).
Замечая, что
получим квадратурную формулу трапеций
п	хк	п
к = 1 Xfc — 1	к= 1
(62.24)
или
L1 /м±ж+/(Л1)+/(Л2)+...+Ж)
Формула Симпсона
На каждом отрезке [xt-t, xt], к=\, 2, ..., п, возьмем
интерполяционный многочлен Рк(х) второй степени, определяе-
мый узлами интерполяции хк-к,	и хк. Тогда
320
р Ж А 	Xfl^ Р’( A i (** -vk-l) (*' хк) fct- \ j
Л (х) “	(х* -1}++
(x-Xt-i) (х-^) г, ч
(xk-xk-^(xk-^JV к)-
Непосредственным вычислением убеждаемся, что
хк
(Х-^)(х-хк)	_____v \_^b~a
-----------——----------- ах — ~ \хк — хк _ i) —  -,
J (Xfc-1-U (Xfc-1-Xfc) 6	6 п
хк — 1
хк
(-<->.-.) (>-х.)/х=2 (
J &к~хк-1) (£>к~хк)	3	3 п
хк- 1
Хк
' (x-xt_1)(x-U dx = [(
J (Xfc-Xfc-1) (хк-£к)	64	6 п
Хк-1
поэтому
Хк
pk(x)dx=-~-- |Яхк-1)+|ли+|Ж) .
хк-1
Теперь нетрудно написать квадратурную формулу Симп-
сона:
п Хк	п
мл=^ j	^-1)+!/^)+^),
/с=1х/(—1	к — 1
(62.25)
или
Li [Л = Ь~£ {Ж +Ж + 2|Ж) +... +f{xn-1)] +
+4[л^)+...+Ли]}.
62.5.	ПОГРЕШНОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ*)
Мы видели, что во всех трех рассмотренных нами случаях
квадратурные формулы (см. (62.23), (62.24), (62.25)) имеют вид
*’ В этом пункте мы следуем идеям, развитым в монографии: Никольс-
кий С. М. Квадратурные формулы М., 1974.
321
L(f)- Z W),	(62.26)
k — 1
где
E pj^n,	(62.27)
" i = 0
•Ч-i	k=\, 2, ..., n, i = 0, 1, •••, m,
a Pi — некоторые числа.
В случае формулы прямоугольников мы имели
т = 0, р0 = Ь, ^к0 = ^^.
в случае формулы трапеций
w=h Ро=Р1 ^кО = Хк-Г, ^к1=Хк;
в случае формулы Симпсона
"? = 2, Р0=Р2=\, Pi=l, ^о = л-1.	*, ^к2 = хк,
о 3	2
к — I, 2, ..., п.
Пусть теперь заданы какие-либо числа pit называемые
весами, и пусть на отрезке [0, 1] задана какая-либо система
точек / = 0, 1, ..., т, называемых узлами. Пусть, как и
раньше, отрезок [а, 6] разделен точками хк, к —О, 1, ..., п, на п
равных отрезков [xfc_1( xj, /г=1, 2, ..., п, и пусть точки ук1
получаются из узлов при линейном отображении отрезка
[О, 1] на отрезок [xk_b xk], при котором точка ноль переходит в
точку т. е. при отображении х=(хк — хк-1)1+хк-к, 0^/^1.
Формула (62.26) в этом случае называется квадратурной
формулой, соответствующей узлам и весам р{, i = 0, 1, ..., т.
Всякая квадратурная формула (62.26) обладает свойством
линейности: для любых двух функций fag, определенных на
отрезке [а, 6]. и для любых двух чисел к и ц, очевидно,
справедливо равенство
L(V+Bg) = W)+^(g).
п
Определение. Формула L(f)= £ 4(/) называется точной для
И = 1
многочленов степени г, если для любого многочлена Р(х) степени
не выше чем г, для любого отрезка [а, 61 и для любого числа п
(щ. е. для любого разбиения отрезка [а, о] на равные отрезки)
справедливо равенство
L(P(x)) = [P(x)dx.
322
Упражнение. Доказать, что, для того чтобы квадратурная формула
L [/], соответствующая узлам и весам p-t, i — (). 1, ..., т, была точной для
многочлена степени г, необходимо и достаточно, чтобы для любого многочлена
Р(х) степени не выше г было справедливо равенство
1	т
[P[x)dx — £
о	< = 0
Поскольку интерполяционный многочлен порядка г совпада-
ет для многочлена степени г с самим
ратурные формулы прямоугольников,
трапеций и Симпсона точны соответст-
венно для многочленов нулевой, первой и
второй степени.
Однако, более того, квадратурная
формула прямоугольников точна для
многочленов первой степени, а формула
Симпсона — для многочленов третьей
степени. Докажем это. Действительно, в
случае формулы прямоугольников (см.
(62.23) и (62.27))
многочленом, то квад-
х^+х,, xt
2
Рис. 272
4 (/)	(хк - - t ).
Простой подсчет дает, что для любой линейной функции
справедливо равенство
хк
/к[Ах+ В)= j +	(62.28)
хк-1
Это наглядно видно и на рис. 272. Суммируя равенства (62.28)
по к от 1 до п, получим
ъ
Lo [Ах + В) = ( [Ах + B )dx,
а
что и означает точность квадратурной формулы прямоуголь-
ников для многочленов первой степени.
В случае формулы Симпсона (см. (62.25) и (62.27))
4 (/) =	-1) •	(62.29)
Достаточно показать, что для любого многочлена третьей
степени Р(х) в этом случае
хк
lk[P[x)) = ( P[x)dx, к=], 2, ..., п. (62.30)
хк-1
323
В самом деле, если эти равенства будут доказаны, то, суммируя
их по к от 1 до п, получим
ъ
L2(P^=\P{x)dx,
а
т. е. что формула Симпсона точна для многочленов третьей
степени.
Пусть P(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D. Положим Q (х) = Вх2 + Сх +
+ D, тогда Р(х) —Ах3+ Q(x). Поэтому
4(р(х))=^/Дх3)+4(е«
j P(x)dx = A ) х3 dx + j Q(x)dx, k=\, 2, ..., n. (62.31)
xk-l	xk — l	xk—1
В силу того, что формула Симпсона точна для многочленов
второй степени, имеем
хк
lk(Q(x))= f Q(x)dx, к=\, 2, ..., п.
xk-i
С другой стороны, непосредственным вычислением убеждаемся,
что
Это и доказывает равенство (62.30).
Порядок погрешности квадратурных формул оказывается
связан со степенью многочленов, относительно которых точна
рассматриваемая квадратурная формула.
Теорема. Пусть функция f г раз непрерывно дифферен-
цируема на отрезке [«, 6] и пусть число М>0 таково, что
\f(r\x)\^M, a^x^b.
Если квадратурная формула (62.26) точна для многочленов
степени г—1 (г=1, 2, ...), то существует постоянная сг>(). не
зависящая от функции f, такая, что
]f(x)dx-L(f) ^гМф-аГ'	(62.32)
Доказательство. Представим функцию f на каждом
отрезке	хк ], согласно формуле Тейлора, в виде
Дх) = Рк(х) + гк(х)' к=1, 2, ..., п,
324
где
рк (х) = Y (х - Хк _ ! ) j
j = 0 J-
— многочлен Тейлора степени г— 1, и, следовательно,
гк(л) — остаточный член формулы Тейлора, который мы запи-
шем в форме Лагранжа:
0<ек<1, к=\, 2, ..., п;
(62.33)
тогда
\f(x)dx-L(f)= £	f f(x)dx- £ 4(/) =
n	xk
+ X	f rk(x)dx-lk(rk(x))
k=l\-xk-i
(62.34)
В силу того, что данная квадратурная формула точна для
многочленов степени г — 1, справедливо равенство

к=\, 2, ...,
п*\
xk-i
Поэтому из (62.34) следует, что
ь
\f(x)dx-L(f)
а
п хк	п
<Х f Ы*)1^+ X 1Ш(х))|- (62.35)
/с = 1 — 1	к — 1
Далее, из (62.33) имеем
hWI«"(V)'- ‘=1- 2- ’ "
*’ Действительно, это следует из определения точности квадратурной
формулы относительно многочленов данной степени, приведенного на с. 322,
если в этом определении в качестве отрезка [а,Ь] взять отрезок [лу.и
положить п = 1.
325
Применяя это неравенство, получим
хк	хк
' \rk(x)\dx<	f
r\nr	r\n
xk-l	xk-1
Полагая max |/>f| (cm. (62.27)), имеем
i=0. 1, m
i Ip,I
n i = 0	rn
Подставляя эти оценки в (60.35) и введя обозначение
_ 1+(/и+1)р
r г!
мы и получим неравенство (62.32). □
Из формулы (62.32) следует, в частности, что при вычисле-
нии интегралов с помощью квадратурных формул прямоуголь-
ников и трапеций (они, как мы знаем, точны для многочленов
первого порядка, и потому для них можно взять г = 2) ошибка
1А
имеет порядок СИ -у I, а при вычислении интегралов с помощью
формулы Симпсона (она точна уже для многочленов третьего
порядка и можно взять г = 4) ошибка составляет уже всего лишь
1 А
величину и 1 — 1.
Отметим, что при приведенном подсчете постоянных сг мы
не получили для них минимальных значений. Этого можно
достичь, усовершенствовав методы их подсчета.
Задача 46. Доказать, что для формулы прямоугольников можно взять
1 1 1
—, для формулы трапеций с2 = —, а Для формулы Симпсона =
62.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Приближенное вычисление производных производится на
основе формул, которыми они определяются Например, по-
скольку
Г, I \	,. f(x + h )-/(х)
j (x) = hm--------	,
л—о	h
326
то так называемое разностное отношение
/(х + /i)-/(x)
h
(62.36)
дает приближенное значение производной. При этом эта
формула позволяет вычислить производную с любой степенью
точности за счет выбора соответствующего h — это следует из
определения предела.
Оценим порядок приближения производной, вычисляемой по
формуле (62.36), относительно h. Предположим, что функция f
имеет в окрестности точки х ограниченную вторую производ-
ную. Тогда по формуле Тейлора
Дх+h) =Дх) +f (х) h + у/" (х + 0Й), О < 0 < 1;
отсюда
Zi2±^_ZW=/'(%) + ^"(x+o//), О<0<1,
т. е.
/(х + /0 /(х) =у>(л) + б>(/г^	D
Очевидно, что если в точке х существует производная, то
f(x+h)- f(x — h)	ч
hm'--------------=f W-
h—О	2/1
Оказывается, что приближенное вычисление производной в
точке по приближенной формуле
/(x + /i)-/(x-/i)
2/1
(62.37)
обеспечивает более высокий порядок малости погрешности
относительно h. Покажем это. Пусть функция f имеет в
окрестности точки х третью ограниченную производную. Тогда
по формуле Тейлора
,/(х+h) =Дх) +/' (х) h + x-f" (х) h2 + -f"’ (X+0! A) A3, 0 < 0! < 1,
2	и
327
у, ~f(x + h)-f(x)
f(x - h) =f(x)-f' (x) h+\f' (x) h2--Г (x + 02Л) hf 0 < 02 < 1.
2	0
Вычитая второе равенство из первого и деля на 2h, получим:
=/' (х) + J [/'" (X + 0^) +/'" (X + 02Л) ] h2 =
=/'(х) + О(А2), А->0.
Таким образом, разностное отношение (62.37) аппроксимирует
производную на порядок лучше, чем (62.36).
Для приближенного вычисления второй производной в точке
х можно поступить следующим образом: приближенно вычис-
лить первую производную в точках х и x + h, например, по
формулам (62.36):
~ftx+2h)-f(x+h).
h ’
тогда
Г (л + h) -f (л) ~f(x + 2/1) - 2f(x + h) +f(x)
h ~	Л2
Разностное отношение, стоящее в правой части полученной
формулы, и принимается за приближенное значение второй
производной в точке х.
В том случае, когда у функции f в окрестности точки х
существует третья ограниченная производная, раскладывая
числитель по формуле Тейлора, получим
f(x + 2h)-2f(x + h)+f(x) =	+ Q h^Q (62.38)
Аналогично случаю первой производной можно показать (в
предположении ограниченности четвертой производной в
окрестности точки х), что
f(x+/1) - 2/(х) + f(x- h) =f„	(62.39)
т. e. у приближенной формулы (62.39) для вычисления второй
производной погрешность на порядок лучше, чем у формулы
(62.38).
Подобным же образом вычисляются производные более
высоких порядков и частные производные функций многих
переменных.
328
§ 63.	РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ
ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Много раз в нашем курсе мы сталкивались с понятием
эквивалентности: эквивалентные бесконечно малые и бесконечно
большие функции (п. 8.3), эквивалентные отображения отрезка
(п. 16.2) и области (и. 50.2), эквивалентные фундаментальные
последовательности метрических пространств (п. 57.5), эквива-
лентные функции при построении пространства RL2 (п. 59.4)
и т. д. Во всех этих случаях отношение эквивалентности обладало
следующими тремя свойствами: (если элементы рассматривае-
мого множества обозначить буквами х, у, г, ..., а эквивалентные
элементы х и у обозначить символом х — у, то:
1.	Каждый элемент рассматриваемого множества эквива-
лентен самому себе: х~х (рефлексивность).
2.	Если х~у, то у~х (симметричность).
3.	Если х~т и y~z, то x~z (транзитивность).
Всегда предполагалось само собой разумеющимся, что
множество тех или иных элементов, в котором введено понятие
эквивалентности, обладающее свойством рефлексивности, сим-
метричности и транзитивности, распадается на непересекающиеся
классы эквивалентных элементов. В действительности так и есть.
Сформулируем и докажем это утверждение в общем случае.
Пусть задано множество А = {х, у, z, ...} и некоторое под-
множество множества его упорядоченных пар, обладающее
следующими свойствами: если пара (х, у) принадлежит этому
подмножеству, то элементы х и у называются эквивалентными
и пишется х~у, при этом выполняются условия рефлек-
сивности, симметричности и транзитивности. В этом случае
говорится, что в множестве А задано отношение эквивалент-
ности.
Теорема. Если в некотором множестве задано отношение
эквивалентности, то это множество является суммой своих
попарно не пересекающихся подмножеств эквивалентных между
собой элементов.
Доказательство. Пусть А = {х, у, z, ...}—множество, в
котором задано отношение эквивалентности. Для каждого
элемента х е А через Ах обозначим множество всех элементов
множества А, эквивалентных элементу х. Покажем, что
А = U Ах	(63.1)
и что это представление множества А в виде суммы под-
множеств Ах является искомым, т. е. что слагаемые Ах попарно
не пересекаются.
329
Прежде всего, в силу рефлексивности отношения эквива-
лентности, для каждого х е А имеем х~х и, следовательно,
х <= Ах, т. е. каждый элемент множества А принадлежит
некоторому Ах, поэтому
Л С и Л-	(63.2)
уе А
С другой стороны, каждый элемент множества Ах, в силу самой
конструкции, является элементом множества А. Следовательно,
А х<= А и потому
U АхсА.	(63.3)
X® Л
Из включений (63.2) и (63.3) вытекает равенство (63.1).
Докажем теперь, что любые два элемента каждого из
множеств Ах эквивалентны между собой. В самом деле, пусть
уеАх, z <= Ах; это означает, что у~х и z~x. В силу
симметричности отношения эквивалентности, отсюда следует,
что x~z, откуда, согласно транзитивности,— y~z.
Покажем, наконец, что слагаемые в правой части равенства
(63.1) попарно не пересекаются. Именно, покажем, что для
любых двух элементов х' и х" множества Ах- и Ах- либо
совпадают, либо не пересекаются. В самом деле, пусть у
множества Ах- и найдется хотя бы один общий элемент:
у <= АХ-(^АХ' и пусть z «= АХ'. Поскольку было доказано, что для
каждого множества Ах любые два его элемента эквивалентны,
то z~y, у~х" и, следовательно, z~x", т. е. z <= Ах„. Элемент z
являлся произвольным элементом из множества Ах>, поэтому
Ах. с Ах..-	(63.4)
аналогично
АХ^АХ..	(63.5)
Из (63.4) и (63.5) следует, что
Ах' = ^х"'
Таким образом, если у множеств Ах- и АХ" имеется
хотя бы один общий элемент, то они совпадают; если же
такового элемента нет, то эти множества, очевидно, не
пересекаются.
Итак, представление (63.2) действительно обладает всеми
сформулированными в теореме свойствами. □
330
§ 64.	ПРЕДЕЛ ПО ФИЛЬТРУ
При изучении курса анализа нам встретились два понятия
предела: предел функции, частным случаем которого является
предел последовательности, и предел интегральных сумм.
Оказывается, что существует более общее понятие предела,
называемое пределом по фильтру, которое содержит в себе оба
указанные понятия предела как частные случаи. Существование
такого понятия доставляет, безусловно, эстетическое удовлетво-
рение, поэтому в настоящем параграфе будет дано его
определение. Однако для изучения математического анализа
введение этого понятия не дает, по существу, никаких преиму-
ществ, чем и объясняется, что оно помещено в конце курса.
64.1.	ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 1. Пусть X—некоторое множество и в нем
задана система Q = {G} подмножеств, удовлетворяющих следую-
щим условиям:
1°. Пересечение конечной совокупности множеств системы Q
принадлежит этой системе.
2°. Объединение любой совокупности множеств системы Q
принадлежит этой системе.
3°. X е Q, 0е Q.
Тогда множество X называется топологическим простран-
ством, система Q — его топологией, а множества системы
£2 — его открытыми подмножествами.
Для любой точки х «= X каждое содержащее ее множество
6 е О называется ее окрестностью.
Если у любых двух точек топологического пространства
существуют непересекающиеся окрестности, то пространство
называется хаусдорфовым*\
Примером хаусдорфова топологического пространства явля-
ется всякое метрическое пространство, так как его открытые
множества образуют систему, удовлетворяющую условиям
1°, 2°, 3° определения 1 (см. п. 57.1). Существуют и так
называемые неметризуемые топологические пространства (см.
об этом в кн.: Александров П. С. Введение в теорию множеств
и общую топологию. М., 1977).
Для любой точки х <= X всякая ее окрестность заведомо не
является пустым множеством, так как она содержит по крайней
мере один элемент — саму точку х.
Определение 2. Всякая подсистема 33 системы О открытых
множеств топологического пространства называется базой
топологии этого пространства, если любое непустое открытое
*’ Ф. Хаусдорф (1868—1942)- немецкий математик.
331
множество пространства (т. е. непустое множество из систе-
мы Q) является объединением некоторой совокупности мно-
жеств из 33.
Так, в метрическом пространстве базой топологии является
множество 33 всех в-окрестностей всех точек этого простран-
ства. Действительно, каково бы ни было непустое открытое
множество G данного метрического пространства, для каждой
его точки х <= G существует такое в > 0, что ее в-окрестность
содержится в (7: U(x, &)<^G. Выберем и зафиксируем для
каждой точки х <= G одну из таких окрестностей; тогда
множество G очевидно будет являться их объединением:
G = (J U(x, в).
x^G
Упражнение 1. Доказать, что в любом метрическом пространстве
множество всех g-окрестностей с рациональным s всех точек этого пространства
образует его базу топологии.
Топологию можно задавать с помощью базы топологии.
Именно: если 33 = {Л} — база топологии Q пространства X, то,
согласно определению 2, Q является системой всех подмножеств
пространства X, каждое из которых либо является объедине-
нием некоторой совокупности множеств из 33, либо пусто.
Определение 3. Система 33 (х) окрестностей точки х топо-
логического пространства X называется локальной базой топо-
логии в этой точке, если, какова бы ни была окрестность V
точки х в пространстве X, существует такая окрестность
J7 «= 33 (х), что
U с V.
Очевидно, что совокупность всех окрестностей данной точки
образует ее локальную базу топологии. Для любой точки
метрического пространства ее локальную базу топологии
с-	1
образуют также, например, все ее в-окрестности радиусов в = -,
п
п=1, 2, ... .
Объединение локальных баз топологии во всех точках
образует базу топологии всего пространства, ибо каждое
непустое открытое множество можно представить как объедине-
ние входящих в него окрестностей его точек, где указанные
окрестности берутся из рассматриваемых локальных баз топо-
логии. Тем самым топологию во множестве можно задавать,
определяя локальные базы топологии в каждой из его точек.
С помощью понятия окрестности для топологических
пространств дословно, так же как для метрических (см. п 57.1 и
п. 18.2), вводятся понятия точек прикосновения, предельных и
изолированных, а также понятие замкнутого множества.
332
64.2.	ФИЛЬТРЫ
В дальнейшем через ф(Х) будем обозначать множество всех
подмножеств множества X.
Определение 4. Пусть X—непустое множество. Множество
(усфДл) называется фильтром (или, подробнее, фильтром на
множестве X), если:
1°. Для любых т4'е5 и А"е$ существует такое Ае$, что
Ас=АГЛ".
2°. 0<£%, $^0.
Из свойств 1° и 2° вытекает, что пересечение любого
конечного числа множеств, принадлежащих фильтру, непусто.
Примеры. 1. Пусть Х^0, Х=>Ао=£0. Тогда множество
5= (А: Аос:Ае^(Х)} является фильтром на X. Действительно,
очевидно, что Лое$, а если и A" eft, то А’С]А"=>Ао^=0,
т. е. оба условия 1° и 2° определения 4 выполнены.
2.	Пусть хеХ. Тогда множество 3 = хеЛеф(Х)} есть
фильтр на X. Этот фильтр является частным случаем фильтра,
рассмотренного в предыдущем примере, когда множество Ао
состоит из одной точки х.
3.	Пусть X=N- множество натуральных чисел и
Ап = {т: meN, т>п}, п~0, 1, 2, ... .	(64.1)
Тогда множество всех А„ образует фильтр, обозначаемый
FN = {An} и называемый натуральным фильтром.
Проверим, что Fn — фильтр. Действительно, NeFn, и следо-
вательно Fn=£0, все Ап=£0, а если т<п, то A„C\Am = AneFN.
4.	Пусть снова X=N. Система подмножеств jjy множества
7V, каждое из которых является дополнением к конечному
подмножеству множества N, также образует фильтр на N,
называемый фильтром Фреше и содержащий в себе натураль-
ный фильтр Fn.
Покажем, что 5^ действительно фильтр. Пусть А е
(NV^IJpV —BJ/0 и neX—наибольшее из чисел,
входящих в множество (7V\	В). Такое число существует,
так как указанное множество в силу определения состоит
лишь из конечного множества чисел. Тогда множество AneFN
(см. (64.1)) содержится в Далее, поскольку множество
натуральных чисел N счетно, a 1У\А, где А е по определению
множества конечно, то А^0. Наконец, Ne^n и, следова-
тельно, ^/0. Таким образом, — фильтр.
5.	Пусть X—топологическое пространство и хеХ. Локаль-
ная база топологии 33 (х) образует фильтр. Действительно,
прежде всего, очевидно, что для каждой окрестности U е 33 (х)
имеем хе U и поэтому J7/0. Далее, для любых t/e33(x) и
ИеЗЗ(х) пересечение J7QK является открытым множеством,
333
содержащим точку х, поэтому по определению локальной базы
топологии существует такая окрестность РИе 93 (лс), что
IVc C7Q V.
6.	Пусть X—топологическое пространство, х— предельная
точка пространства X, ®(х)— локальная база топологии в этой
точке и ® (х) — множество всех «промолотых окрестностей» этой
локальной базы топологии, т.е. ®(х) состоит из множеств
о	def
U (х) = U(х)\{х}, U(x)е ® (х).
Тогда ®(х) образует фильтр. В самом деле, если U ей (х),
то, поскольку точка х является предельной для пространства л,
существует точка yeU и, следовательно, U^0. Далее, для
любых U е ®,(х) и V е 33 (х) имеем, согласно их определению,
17=(7\{х}, Е=Е\{х}, С7е$(х), ЕеВ(х). Пересечение
является окрестностью точки х, поэтому существует такая
окрестность И/е®(х), что FEct/flE и поэтому ИЛ=И/\{х}<=
Итак, Й (х) действительно фильтр.
7.	Множество X называется упорядоченным множеством или
направлением, если для любых двух его элементов х и у
определено транзитивное отношение порядка. Иначе говоря, из
любых двух его элементов х и у один из них «следует» за
другим. Если элемент у следует за элементом х, то пишут х^Зу.
При этом если х^Зу и y-3z, то x-3z, х, у, zeX.
Всякая непустая система f = {^a} непустых подмножеств Аа,
ae9I, некоторого множества X такая, что для любых двух Лае|,
Яа-е(, Аа^Аа,, имеет место либо включение Ах<^Аа., либо
является фильтром. Этот фильтр представляет собой
упорядоченное множество, если в нем за отношение порядка
Ла-ЗЛа, взять включение AaczAa..
Определение 5. Фильтр = {И} на множестве X называется
фильтром, который сильнее фильтра J2 = {B} на т°м же
множестве, если для любого множества Ве$2 существует
такое HeJj, что А^В.
Определение 6. Если фильтр Ji сильнее фильтра J2, a Jy2
сильнее то фильтры и J2 называются эквивалентными.
Пример 8. Пусть ®(х) — локальная база топологии точки х
метрического пространства, состоящая из всех ее н-окрестно-
стей, а 330(х)— ее локальная база топологии, содержащая
только окрестности радиуса £ = -, п=\, 2, ... . Фильтры 33 (х) и
п
® 0 (х) эквивалентны.
Упражнение 2. Доказать, что фильтры в примерах 3 и 4 эквивалентны.
Определение 7. Фильтр называется подфилътром фильтра
52, если каждый элемент фильтра является и элементом
фильтра $2, т- е- если 51е 5г-
334
Очевидно, что фильтр сильнее всякого своего подфильтра.
Определение 8. Каждый подфильтр фильтра, эквивалентный
самому фильтру, называется его базой.
Например, в примере 8 фильтр ®0(х) является базой
фильтра ® (л), а натуральный фильтр FN — базой фильтра
Фреше построенного в примере 4.
Иногда бывает удобно рассматривать фильтры, удовлетво-
ряющие еще одному дополнительному условию.
Определение 9. Фильтр 5 на множестве X называется
полным, если из условий
Ле£, йеф(А’) и АсВ
следует, что
Ве%.
В рассмотренных выше примерах 1, 2 и 4 фильтры являлись
полными. Например, в примере 4 (фильтр Фреше) это вытекает
из того, что если AeffN и, следовательно, его дополнение в
множестве натуральных чисел N конечно, то любое подмно-
жество натуральных чисел В, которое содержит А, также имеет
конечное дополнение в N, ибо, если А с В с Л, то
Фильтры же, рассмотренные в примерах 3, 5 и 6, уже не
являются полными. В примере 3 натуральный фильтр FN не
является полным, поскольку не всякое подмножество А мно-
жества натуральных чисел, содержащее множество вида Ап
(см. (64.1)), само имеет такой вид, т. е. принадлежит на-
туральному фильтру FN. Фильтры, рассмотренные в примерах 5
и 6, не являются полными, так как не всякое множество,
содержащее открытое множество, является обязательно само
открытым.
Иногда в математической литературе полный фильтр назы-
вается просто фильтром, а фильтр в смысле определения 4
базисом (или базой) фильтра. Это оправдано тем, что
справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. Всякий фильтр является базой некоторого
полного фильтра.
Доказательство. Пусть 5 = {Л}— фильтр на множестве
X. Определим множество (5, как множество всех таких
подмножеств В множества X, что каждое из них имеет в
качестве своего подмножества некоторый элемент фильтра g.
Короче, Be (5 тогда и только тогда, когда существует такое
А с 5, что АсВ. Покажем, что (5 является полным фильтром, а
фильтр g — его базой.
Если В'е®, В"е®, то существуют такие А'е^ и А"е^, что
А с В', А"с В". Поскольку J — фильтр, то найдется такое Ле^,
что А с А 'ПЛ". Заметив, что А'ПА"с В'(~]В", получим Ас
сВ'(]В" и, следовательно, согласно определению ® множество
335
B'f]B" является его элементом: В'(}В"е(5. Тем самым выпол-
няется условие 1° определения 4.
Если бы 0е®, то снова, согласно определению ®,
нашлось бы такое А е 5, что Л с 0, но тогда А = 0, т. е.
пустое множество оказалось бы элементом что про-
тиворечило бы тому, что J — фильтр. Следовательно, 0^®.
Кроме того, так как Л<=Л, то каждое множество Ae^f
является и элементом ®, т. е.	а поскольку как
всякий фильтр, не пуст: 5^0, то не пусто и множе-
ство ®: ®/0. Таким образом, ® удовлетворяет всем
условиям определения 4, т. е. является фильтром. Его пол-
нота тоже сразу вытекает из его определения. В самом
деле, если Be®, то существует такое Ле5, что А с В. Поэ-
тому для каждого множества В', такого, что ВсВ’сУ,
также справедливо включение Лей', которое и означает,
что В'е®.
Наконец, 5 является базой полного фильтра ®. Действи-
тельно, с одной стороны, как было показано, 5с®, т. е. фильтр
5 является подфильтром ®; а выше отмечалось, что всякий
фильтр сильнее любого своего подфильтра. С другой стороны,
определение фильтра ® как раз и означает, что фильтр 5
сильнее фильтра ®: каково бы ни было Be® существует такое
А e J, что Ас В (см. определение 5). Итак, фильтры R и ®
эквивалентны. □
Лемма 2. Пусть 5i — фильтр на множестве Xt, $2 —
фильтр на множестве Х2 и
def
5 = К: С=ЛхВ, Ле 0г,, Beg2};	(64.2)
тогда 5 является фильтром на произведении Хг х Х2 множеств
Xt и Х2.
Фильтр 5, определенный равенством (64.2), называется
произведением фильтров 5i и §2- Если § является произведе-
нием фильтров и 5г, то пишется 3 = 3ix32-
Доказательство. Пусть CjeJi и С2е$2, тогда, согласно
определению (64.3), существуют такие	Л2е51 и В1б52,
B2e5i> что С1=А1хВ1, а С2 = Л2хВ2. Поскольку 51 и
52 — фильтры, то найдутся такие Ле®! и Ве%2, что
AcAt(}A2, B^Bi(}B2.	(64.3)
В силу того же определения (64.2), Л хВе5> причем из (64.3)
следует, что
А х Вс^ х Bj)n^2 х В2),
ибо, если (х, у)еЛхВ, то хе А, уеВ. Следовательно, в
336
силу (64.3), леЛ1Р|Л2, уеВ^В2, поэтому (х, y)siAixBi и
(х, у)еА2хВ2, т. е.
(х, у)е(А1хВ1)^(А2хВ2).
Наконец, каждое С=АхВ^=0, Ае^1, Ве^2, ибо, в силу
определения фильтра, А=£0, В^0. Из того, что 5^0 и
52^0, следует, что и ^ = ^гх%2^0.
Таким образом, 8 = Six52 удовлетворяет определению
фильтра. □
Лемма 3. Пусть X и Y—некоторые множества,
f\X-*Y—отображение X в Y и 5 = {А} — фильтр на мно-
жестве X. Тогда совокупность всех образов f(A) множеств из
фильтра J является фильтром на множестве Y.
Фильтр {/(Я)}, A eft, называется образом фильтра J при
отображении f и обозначается через
Ж) = {/И)}, Ае%.	(64.4)
Докажем, что /(5) действительно является фильтром. Пусть
/(Л)е/(5), /(B)eF(5), Ае^, Be 5- Тогда существует такой
элемент С фильтра CeJ, что	Поскольку
и по определению системы /(5) имеем
/(С)еЯ5), то первое условие определения фильтра (см. опреде-
ление 4) выполнено. Второе условие также выполнено, посколь-
ку ./(5) состоит только из элементов вида f(A), где Ае$.
Следовательно, /'(Д)/0, поскольку А^0. Наконец, из того,
что 5=^0, следует, что и /(5)/0. □
64.3.	ПРЕДЕЛ ФИЛЬТРА
Определение 10. Пусть X—топологическое пространство,
хеХ, и 5 —фильтр на X. Точка х называется пределом фильтра
J или его предельной точкой, если фильтр 5 сильнее фильтра
®(х), являющегося локальной базой топологии в этой точке.
Если точка х является пределом фильтра то пишут
x = lim 5-
Примеры. 1. Пусть X=N—множество натуральных чисел,
рассматриваемое, как обычно, с дискретной топологией: каждая
точка neN считается открытым множеством (иначе говоря,
каждая точка является изолированной точкой); тогда натураль-
ный фильтр Fn (см. пример 3 в п. 64.2) не имеет предела в N.
Действительно, никакое число neN не является пределом
фильтра Fn, ибо у любого числа п0 е N существует локальная
база топологии, состоящая только из этого числа п0, и не
существует А е FN, содержащегося в одноточечном множестве
337
{л0}, поскольку любое AeFN содержит бесконечно много
элементов. Таким образом, фильтр FN не сильнее локальной
базы топологии любого числа п0 е N.
2.	Пусть X=A(J{ + oo}, т. е. множество X получено добавле-
нием к множеству натуральных чисел N «бесконечно удаленной
точки» +оо, причем локальная база топологии ®( + со) состоит
из всевозможных множеств Ап (см. (64.1)), а локальные базы
®(и), neN, по-прежнему из одной точки п. База топологии в X
определяется как объединение локальных баз всех его точек.
В пространстве + натуральный фильтр FN имеет
своим пределом +оо. Действительно, для любой окрестности
Д„е®(+оо) в качестве элемента AeFN такого, что АсАп (см.
определение 10), можно взять само А„, ибо AneFN.
Задача 47. Доказать, что, для того чтобы любой фильтр топологического
пространства имел не более одного предела, необходимо и достаточно, чтобы
пространство было хаусдорфовым.
Теорема 1. Для того чтобы точка х являлась пределом
фильтра 3 топологического пространства X, необходимо, чтобы
эта точка являлась пределом каждой его базы, и достаточно,
чтобы она являлась пределом по крайней мере одной его базы.
Доказательство необходимости. Пусть подфильтр
50 является базой фильтра 3 пространства X и
л = Нт 5,
т. е. фильтр J сильнее локальной базы топологии ® (л) в точке
х. Это означает, что для любой окрестности Се® (.у) суще-
ствует такое А е 3, . что А с U. Поскольку Зо является базой
фильтра $, то для указанного Ае^ найдется такое BeJ0, что
Вс А и, следовательно, BcU, т. е. подфильтр Зо также сильнее
локальной базы топологии ®(х), и потому x = lim$0-
Доказательство достаточности. Пусть подфильтр
30 фильтра 3 является его базой и x = lim30, т. е. Зо сильнее
локальной базы топологии ®(х), тогда сам фильтр 3 тем более
сильнее ® (л), ибо каждый элемент подфильтра является и
элементом фильтра. Следовательно, ,x = limj. □
64.4.	ПРЕДЕЛ ОТОБРАЖЕНИЯ ПО ФИЛЬТРУ
Общее понятие предела дается следующим определением.
Определение 11. Пусть X—некоторое множество, У—то-
пологическое пространство, /: X->Y—отображение X в Y,
3 — фильтр на X.
Точка be Y называется пределом отображения f по фильтру
3 и пишется
lim й/(а) = Ь,
338
если фильтр ./(5) имеет своим пределом в пространстве Y
точку Ь.
Таким образом
def
lim~J(x) = lim/(5).	(64.5)
Примеры. 1. Пусть X=N — множество натуральных чисел,
У—топологическое пространство, f-.N-+Y, yn=f\n), neN, и
пусть FN— натуральный фильтр, построенный в примере 3,
п. 64.2, т. е. Fn состоит из множеств (64.1). Тогда предел ото-
бражения f по фильтру Fn совпадает с обычным пределом по-
следовательности {у„} в У. Действительно, условие limF Ни) = 6
равносильно, согласно (64.5), условию lim/(Fv) = Ь, где/(гД =
= {/'(Д,)}, f[A^ = {ym.m>n}. Равенство предела фильтра f\FN)
точке b означает, что для любой окрестности t/e33(Z>), где
®(6) — локальная база топологии в точке Ь, существует
содержащийся в U элемент ф\Ап) фильтра f(FN): f(A„^ci U.
Поскольку при п>п0 выполняется включение пеАПо, а следова-
тельно, и включение уп =/(и) еДЛ ), то при п>п0 имеет место
включение уп е U. Это и означает, что lim у„ = Ъ.
«—►со
2.	Пусть Х= Nx JV, Fn — натуральный фильтр, J = FN х FN (см.
(64.2)),	У—топологическое пространство, /: Nx У, ym„==f(m,
п), meN, neN; тогда предел	п) совпадает с обычным
пределом двойной последовательности {>’„]: точка b называется
пределом lim утп последовательности {ут„}, если для любой
(ш.н)--л
окрестности U точки b существуют такие пг0 и п0, что при т>п0 и
п>п0 выполняется включение ymneU. Таким образом,
НтяДт, п) = lim ут„.
(т, п)~*со
3.	Если система 5 = {т4а}, т4а<=Х, ае®, является направле-
нием (см. пример 7 в п. 64.2), а У—метрическое пространство,
то существование предела lim5/(%) = Z> отображения f:X-»Y
означает, что для любого в>0 существует такое множество
Лае5, что для всех хеЛв выполняется неравенство рДх), Ь)<е.
В этом случае предел НтдДх) называют также пределом по
направлению.
4.	Пусть Е—измеримое по Жордану множество в /?",
т — какое-либо его разбиение: т = {£(}-=1,	z=l, 2, ..., к.
Пусть элементами множества X являются, в свою очередь,
всевозможные множества вида
Х={т,	..., у.	(64.6)
339
Для любого т| > 0 обозначим через Ац подмножество множества
X, состоящее из всех таких элементов х, у которых мелкости | т |
входящих в них разбиений т меньше г), т. е. |т|<т|.
Система 5 = {т4л} является фильтром на X. Более того,
система 5 представляет собой направление, если в ней за
отношение порядка Ац-ЗАп взять включение 4, ^ .
Всякая действительная функция f'.E^R порождает отобра-
жение qf-.X-+R по формуле
def
i= 1
Таким образом, Фу(х) является значением соответствующей
интегральной суммы Римана функции f
Предел отображения фг: X-*R по фильтру 3 = {^л} совпада-
ет с обычным пределом интегральных сумм Римана функции f
при условии, что мелкости рассматриваемых разбиений стре-
мятся к нулю:
к
Птэф/(х)=Вт
|T|->0i=l
Очевидно, что этот предел является пределом по направлению.
5.	Пусть X и Y—топологические пространства, /:Х-> Y,
аеХ, и 5 — такой фильтр на X, что limg = a (т. е. фильтр
3 сильнее некоторой локальной базы топологии ®(п) в точ-
ке а).
Предел Пшя/(х) в данном случае называется пределом
отображения f по фильтру 3 в точке а.
При соответствующих выборах фильтров 3 будут полу-
чаться, в частности, пределы в данной точке по различным
множествам. Например, если фильтр 3 состоит из окрестностей
некоторой локальной базы топологии ® (п) точки а, то
существование предела lim~v/'(x) в точке а по такому фильтру
означает непрерывность отображения f в точке а, причем
lims/(x) = lim/(x) =f(a).
х—+а
Если точка а является предельной точкой множества X, а
фильтр 3 состоит из проколотых окрестностей некоторой
локальной базы топологии в этой точке (см. пример 6 в п. 64.2),
то предел lims/(x) совпадает с пределом lim/(x), x/a.
х—»a
Если X и Y—подмножества соответственно метрических
пространств X' и Y', аеХ', beY', то существование предела
lim/(x) = Z>, означает существование предела функции f по
х—*а
направлению 3, состоящему из пересечений множества X со
всевозможными 8-окрестностями точки х = а (см. пример 3).
340
Это равносильно тому, что для всякого е>0 существует такое
5> 0, что для всех точек хеХГ\и(а; 5) выполняются неравенства
р(/(х), Ь)<г.
Заметим, что раньше символ х-»а, хеЕ не имел для нас
самостоятельного смысла: было определено лишь все обозна-
чение lim /(х) в целом. Теперь, в конце курса, мы видим, что
л-»а, хеЕ
символ х-*а, хеЕ, можно рассматривать как обозначение
фильтра (например, фильтра ®(я) или фильтра ®(а)), по
которому берется предел отображения.
Итак, действительно все встретившиеся нам раньше понятия
предела являются частным случаем предела отображения по
фильтру.
Для отображений в полное метрическое пространство,
в частности для всех функций, принимающих числовые зна-
чения, имеется критерий существования предела по филь-
тру, формулируемый в терминах самого фильтра, без ис-
пользования значения самого предела, т. е. критерий, обоб-
щающий разнообразные критерии Коши, встречавшиеся нам
раньше.
Определение 12. Фильтр в метрическом пространстве назы-
вается фильтром Коши, если он содержит сколь угодно малые
по диаметру множества.
Теорема 2. Для того чтобы отображение f\X-*Y про-
извольного множества X в полное метрическое пространст-
во Y имело предел по некоторому фильтру g множества
X, необходимо и достаточно, чтобы образ /(g) фильтра %
при отображении f был фильтром Коши в пространст-
ве Y.
Доказательство. Необходимость. Если сущест-
вует предел НгпдДх) = 6, то, согласно определению 10, для
любой Е-окрестности U (Ь, е) точки b е Y существует та-
кое множество Л eg, что f(A}<xU(b, е) и, следователь-
но, diam (/'(Л)) < 2е. Это и означает, что фильтр /(g) содержит
сколь угодно малые по диаметру множества, т. е. является
фильтром Коши.
Достаточность. Пусть фильтр /(g) является фильтром
Коши. Выберем какое-либо множество Л16g так, чтобы
diam (/(Л J) < 1, а затем множество Bteg так, чтобы diam (/(Вг)) <
Согласно определению фильтра, существует такое множество
Л26g, что Л2с:Л1 и А2<хВг, а следовательно, б1ат(Л2)<-.
Если выбраны множества Лji6g так, что б!ат(/(Лк))<|,
Л=1, 2, ..., п, и
341
то найдется множество для которого diam (Д £,,))<'-. а
затем и такое множество Лп+1е5, что
+	Ап+1<=В„,
а следовательно,
МД+1))<^-
Продолжая этот процесс, получим последовательность таких
множеств Anef, п—1, 2, что для нее будут выполняться
условия:
1)	./W0,	2, ...;
2)	f(A1)zDf(A2)zD...zjf(A„)zD...-,
3)	lim diam(/(Tn)) = 0.
и—* co
Это означает, что последовательность множеств f(A„), п—1,
2, ..., метрического пространства Y является последователь-
ностью Коши.
В силу полноты пространства У, согласно следствию
теоремы 1 п. 57.2, существует точка beY, являющаяся точкой
прикосновения для всех множеств ДЛ„). Выберем произвольно
£>0. В силу выполнения условия 3, существует такое п0, что
имеет место неравенство
diam(/(A0))<|.	(64.7)
Так как точка b является точкой прикосновения множества
ДЛ„), то найдется такая точка yef(A ), что
Р(6, у)<|-	(64.8)
Из неравенств (64.7) и (64.8) следует, что для любой точки
геДЛ ) выполняется неравенство
p(z, b)^p(z, Д + р(ь Z>)(6<8diam(/(T„o))+|( <7)
s , Е
<2 + 2"8’
Это означает, что ДЛ )<= U(b, е).
342
Таким образом, в любой окрестности точки b имеется
элемент фильтра /(§), т. е., согласно определениям 10 и 11,
имеем
lims/(x) = Z>. □
В заключение отметим, что на пределы по фильтру
отображений в числовые множества очевидным образом обоб-
щаются свойства классических конечных пределов функций,
например возможность предельного перехода в неравенствах,
и свойства, связанные с арифметическими свойствами над
функциями.
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно интегрируемая функция 8
—	сходящийся интеграл 8
Аксиомы расстояния 96
—	Фреше 275
Алгебраическая сумма подмножеств
линейных пространств 144
Арцела Ч. 134
База топологии пространства 331, 332
— фильтра 335
Базис пространства 140, 167
Банах С. 111, 163
Банахово пространство 163
Бесконечномерное линейное простран-
ство 147
Бессель Ф. 51
Билинейное отображение 147, 148
Буняковский В. Я. 192
Вандермонд А. Т. 316
Вектор 139
Вес 322
Вложение пространств 227
Волыперра В. 113
Вполне ограниченное множество ме-
трического пространства 121
Гато Р. 183
Гёльдер О. Л. 36, 38
Гильберт Д. 98, 201
Гильбертов кирпич 123
Гильбертово пространство 97, 98, 201
Главное значение интеграла 79,80
Гомеоморфизм 132
Грам И. 221
2л-периодическая абсолютно интегри-
руемая функция 19
344
Действительное линейное простран-
ство 137, 138
Дельта-последовательность 41, 284,
285
Дельта-функция 269, 282, 283
Диаметр подмножества 105
Дини У. 24
Дирихле Л. 17
Дирак П. 269, 274
Дифференциал Гато 184
— отображения 180
— Фреше 180
Дифференцируемое в точке отобра-
жение 180
-------по заданному направлению
отображение 183
Единичная функция 287
Естественное вложение 215
— отображение 209
£-окрестность 100
£-сеть 121
Замкнутая ортогональная система 239
Изометричное соответствие 99
Изометричные пространства 99
Изоморфизм 146, 159, 179
Изоморфное отображение 146, 159,
179
Изоморфные линейные пространства
146, 159, 179, 200
Интеграл Дирихле 17
— Фурье 69
— — в комплексной форме 81
Интегральное уравнение Вольтерра
113, 114
Интегралы Лапласа 86
Интервал в линейном нормированном
пространстве 183
Интерполяционный многочлен 316
----Лагранжа 317
Квадратурная формула 318, 322
----, точная для многочленов дан-
ной степени 322
Класс эквивалентности 205, 206
Компакт в метрическом простран-
стве 120, 121
Комплексное линейное пространство
138
Конечное покрытие 127
Конечномерное линейное простран-
ство 140
Константа вложения 227
Континуум 133
Коши О. 101, 105, 109, 192, 243, 341
Коэффициенты разложения элемента
по данному базису 168
— Фурье 9, 231, 233
Критерий линейной независимости
элементов 221
Кронекер Л. 140
Кусочно-непрерывная производная 55
Лагранж Ж.-Л. 317
Лежандр А. М. 143
Лаплас П. 86
Лебег А. 23, 154
Лейбниц Г. 31
Лемма Л. Шварца 185, 186
Линейная комбинация элементов про-
странства 139
—	оболочка множества 140
Линейно зависимая система векторов
139
—	независимая система векторов 139
Линейное отображение 145
— пространство 192
— — с почти скалярным произведе-
нием 192
-----со скалярным произведением
192
-------сходимостью 275
Линейность дифференциала 182
— квадратурной формулы 322
— преобразования Фурье 83
Линейный оператор 145
— функционал 255, 276
Липшиц Р. 37
Локальная база топологии простран-
ства 332
Локально интегрируемая функция 281
Метод «вилки» 309
— касательных (метод Ньютона)
312—315
— хорд 310—312
Метрика 96
—, порожденная заданной нормой
пространства 161
Метрическое пространство 96
Минимальное свойство коэффициен-
тов Фурье 232
Многочлены Лежандра 143
— Чебышева 143, 144
Мультилинейное отображение 148
Наилучшее приближение элемента с
помощью линейных комбинаций
233
Направление 334
Натуральный фильтр 333
Неподвижная точка отображения 111
Непрерывное отображение в точке
107, 108, 111
----- пространства в пространство
108, 158, 159, 278, 279
345
Непрерывный функционал 276
Неравенство Бесселя 51, 234
— Коши — Буняковского 192, 194
— Коши — Шварца 243
— треугольника 149, 192
n-мерное пространство 140
«-мерный вектор 140
Норма 149
— билинейного отображения 176
—, порожденная скалярным произве-
дением 193
Нормированное линейное простран-
ство 149
Носитель функции 12
Нулевой функционал 277
— элемент 138
Ньютон И. 312
Обобщенная функция 281
-----медленного роста 291
Образ фильтра 337
Обратное преобразование Фурье 82
Обращение в нуль обобщенной функ-
ции на интервале 285
Ограниченное билинейное отображе-
ние 176
— множество 105, 158
— по полунорме (по норме) мно-
жество 158
Ограниченный оператор 171
Окрестность точки топологического
пространства 331
Определитель Вандермонда 316
— Грама 221
Ортогонализация 225
Ортогональная проекция элемента в
подпространство 251
— система элементов 6, 220
Ортогональное дополнение множе-
ства 250
Ортогональные элементы 220
346
Ортонормированная система элемен-
тов 220
Остаточный член интерполяции 317
Открытое подмножество топологичес-
кого пространства 331
Отношение эквивалентности 205, 329
Отрезок в линейном нормированном
пространстве 183
Парсеваль М. 52, 236
Периодическое продолжение функции
10
Пикар Ш. Э. 111
Планшерель М. 265
Плотное множество в пространстве
116, 165
Подпространство 98, 139, 249
Подфильтр 334
Покрытие множества 127
Полная система функций в смысле
равномерного приближения 47
----- ------- среднего квадратично-
го приближения 48
-----элементов пространства 165,
166, 226, 227, 237
Полное линейное нормированное про-
странство 163
— метрическое пространство 102
Полный фильтр 335
Положительная определенность ска-
лярного произведения 191
— полуопределенность почти скаляр-
ного произведения 191
Полунорма 148, 149
—, порожденная почти скалярным
произведением 193
Полунормированное линейное про-
странство 148, 149
Пополнение пространства 116, 120,
164, 202, 285
Последовательность Коши 101, 105,
106
Постоянная обобщенная функция 282
Почти скалярное произведение 191,
192
Правильное разбиение 8
Предгильбертово пространство 201
Предел отображения 107
---по направлению 339
-------фильтру 338 — 340
— последовательности точек метри-
ческого пространства 100
— фильтра 337
Предкомпактное множество 134
Преобразование Фурье 81, 82, 266
---обобщенной функции 297
Признак Дини 24 — 26
Принцип неподвижной точки Пика-
ра — Банаха 111 — 113
— локализации 21
— сжимающих отображений 111 -
113
Продолжение функционала 278
Произведение линейных пространств
147, 174
— фильтров 336
— элемента линейного пространства
на число 138
Производная Гато 183
— я-го порядка 187, 188
—	обобщенной функции 286
—	по направлению 183
—	Фреше 182
Простая гармоника 27
Пространство обобщенных функций
283
-------медленного роста 291
—	основных функций D 280
-	— — .8 289. 290
-	со сходимостью 275
См. также Указатель основных обо-
значений
Противоположные элементы 138
Прямая сумма подпространств 145
Равенство обобщенных функций 285
— Парсеваля 52
— Парсеваля — Стеклова 236
Равномерно непрерывное отображение
108
- ограниченное семейство функций
134
— сходящаяся последовательность
отображений 109
Равностепенно непрерывное семейство
функций 134
Разложение логарифма в степенной
ряд в комплексной области 65, 66
— элемента пространства по базису
167
Разность элементов линейного про-
странства 138
Расстояние 96
—, порожденное заданным скаляр-
ным произведением 193
Регулярная точка 23
Риман Б. 11, 154
Ряд в линейном нормированном про-
странстве 166
— Лейбница 31
— обобщенных функций 289
— Фурье 9, 62, 233
-----в комплексной форме 64
— — для нечетной функции 28, 63
--------четной функции 27, 28, 63
Свертка функций 90
Связное метрическое пространство
133
Сепарабельное пространство 127, 166
Сжимающее отображение 111
Сильный дифференциал 184
Символ Кронекера 140, 141
Симметричная билинейная форма 188
Симпсон Т. 319
Скалярное произведение 191, 192
Слабая производная 184
Слабый дифференциал 184
347
Соболев С. Л. 274
Сопряженное пространство 256, 278
Сохоцкий Ю. В. 285
Среднее квадратичное отклонение 48
Стеклов В. А. 236
Ступенчатая функция 259
Сумма ряда 65, 167, 198
— Фейера 39
— Фурье 9, 16
— элементов линейного пространства
138
Сходящаяся по полунорме (по норме)
последовательность элементов про-
странства 156
— последовательность отображений
108
— — точек метрического простран-
ства 99
----- функционалов 277
-----функций 280, 290
Сходимость в смысле р-среднего
157
-------- среднего квадратичного 157
Сходящийся интеграл 8
-- ряд 65, 166, 198, 289
Счетное покрытие 127
Теорема Арцела 134—137
— о замкнутых и полных системах
239, 240
-----композиции непрерывных ото-
бражений метрических пространств
НО
-----конечных приращениях отобра-
жений линейных нормированных
пространств 186, 187
-----линейных функционалах гиль-
бертовых пространств 256—258
-----неподвижной точке сжимающих
отображений 111 —113
-----пополнении линейного норми-
рованного пространства 164, 165
348
----------- пространства со скаляр-
ным произведением 201, 202
-------- метрического пространства
116 — 120
--------пространства СЬ2 216, 217
-----порядке приближения интегра-
лов с помощью квадратурных фор-
мул 324—326
-----последовательности Коши под-
множеств полного метрического про-
странства 106, 107
-----почленном дифференцировании
тригонометрического ряда Фурье 54
--------интегрировании тригономе-
трического ряда Фурье 58 — 60
-----пределе отображения по филь-
тру 341 —343
-------- фильтра 338
-----представлении функции инте-
гралом Фурье 75 — 78
-----преобразовании Фурье в про-
странстве 5 293—295
----------------5' 299
— — разложении множества на под-
множества, состоящие из эквива-
лентных элементов 329, 330
--------пространства в прямую сум-
му его ортогональных подпро-
странств 254, 255
-----существовании ортонормиро-
ванных базисов 240
-----сходимости тригонометрическо-
го ряда Фурье в данной точке 37, 38
— об изоморфизме гильбертовых про-
странств 240, 242, 243
----- ортогонализации 224, 225
-----эквивалентности нормирован-
ных конечномерных линейных про-
странств 151 —153
— Римана о коэффициентах ряда Фу-
рье абсолютно интегрируемой функ-
ции 11, 15, 16
— Фейера 42 — 44
Теоремы Вейерштрасса о приближе-
нии непрерывных функций триго-
нометрическими и алгебраическими
многочленами 45, 46, 48
— о единственности рядов Фурье 238,
248
-----компактах в метрическом про-
странстве 126, 127, 131 — 133
-----линейных ограниченных опера-
торах 172 —175
— — минимальном свойстве коэффи-
циентов Фурье 50 — 52, 230—232
-----непрерывных отображениях ме-
трических пространств 132, 133
— — полноте тригонометрических и
алгебраических многочленов в про-
странствах непрерывных функций
48 — 50
-----преобразованиях Фурье абсо-
лютно интегрируемых функций
86 — 89, 93, 94
-----производных отображений в ли-
нейных нормированных простран-
ствах 182, 183
-----равномерно сходящихся триго-
нометрических рядах Фурье 7, 8,
56 — 58, 249
-----сходимости рядов Фурье 52, 53,
235 — 238, 245
— об ограниченных билинейных ото-
бражениях 176, 177, 179, 180
-----ортогональных проекциях 251 —
254
— Планшереля 265 — 268
Топологическое пространство 331
Топология пространства 331
Точка пространства 96, 139
Г-периодическая функция 9, 10
Треугольная матрица 142
Тригонометрическая система функций
6
Тригонометрический многочлен 44
— ряд 6
---Фурье 9
Узел 322
—	интерполяции 316
Упорядоченное множество 334
Условие Гёльдера 36
—	Липшица 37
Фейер Л. 39, 41
Фильтр 333, 335
—	, более сильный по сравнению с
данным 334
—	Коши 341
—	Фреше 333
Финитная ступенчатая функция 12, 259
—	функция 12
Формула обращения 82
—	прямоугольников 319
—	Симпсона 319 — 321
—	Тейлора для отображений линей-
ных нормированных пространств
189
—	трапеций 319, 320
—	Фурье 75
Формулы Сохоцкого 285
ФрешеМ. 180, 275, 333
Фундаментальная относительно нор-
мы последовательность точек про-
странства 161
—	последовательность точек метри-
ческого пространства 101
Функционал 274
—	над линейным пространством 276
Функциональное пространство 219
Функция Дирака 269
—	класса Гёльдера 38
—	медленного роста 291
—	, удовлетворяющая классическому
условию Гёльдера 36
—	, — условию Гёльдера 36
—	,------слева, справа 36
—	Хевисайда 272, 287
349
Фурье Ш. 9, 16, 69, 82, 231, 233 Характеристическая функция множе- ства 12 Хаусдорф Ф. 331 Хаусдорфово топологическое простран- ство 331 Хевисайд О. 272 Частичная сумма ряда 64, 65, 166, 289 Чебышев П. Л. 143 Шварц Г. 243 Шварц Л. 185, 274	Эквивалентные нормы 151 — последовательности элементов ме- трического пространства 116, 117 — фильтры 334 — функции с интегрируемым квадра- том 205 — элементы 160, 197, 329 Ядро Дирихле 17 — Фейера 39, 41 — отображения 145
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
X
/(х)~у + £ a„cosHx+Z>„sinHx—функции f(x) сопоставляется ее ряд Фурье
Л = 1
supp/—носитель функции /
х(х), Х(;(т) — характеристическая функция множества Е
v. р.— главное значение интеграла
Е[/], /—преобразование Фурье функции /
F~1 [/] — обратное преобразование Фурье функции /
ср*ф, (ср*ф)(х)—свертка функций <р и ф
8)—символ Кронекера
Р„ (х) — многочлены Лежандра
Г„(х)—многочлены Чебышева
р (х, у) — расстояние между точками х и у метрического пространства
||х||; ||х||х, хеХ—полунорма, норма
X + Y— алгебраическая сумма подмножеств X и К линейного пространства
XQ)Y—прямая сумма линейных пространств X и У
XxY—произведение линейных (нормированных) пространств X и Y
kerf—ядро отображения /
Ах, А (х), А—линейный оператор
xly—элементы х и у ортогональны
х±У—элемент х^Х ортогонален подпространству Y<=X
Y1 — ортогональное дополнение множества У
Х<И У—вложение пространства X в пространство У
X<^Y—линейные пространства со сходимостью Хи У, Xс У, обладают тем
свойством, что всякая последовательность х,еХ (и = 1, 2, ...), сходящаяся
в X к элементу х, сходится к х и в У
Df(x), (Df)(x)—производная Фреше
Dif(x), (Z>fc/)(x) — производная Гато по направлению h
(•Осл/(х))(й), £>сл/(х)(й)—слабый дифференциал
£(Х, У) — множество линейных операторов, отображающих линейное про-
странство X в линейное пространство У
У(Х, У)—множество ограниченных линейных операторов, отображающих
линейное пространство X в линейное пространство У
х„)—линейная оболочка элементов хр .... х„
Z'-fX, Y; Z)—линейное нормированное пространство ограниченных билиней-
ных отображений f:XxY-*Z
^„(Xi, Х2, .... Х„; У)—линейное нормированное пространство ограниченных
мультилинейных отображений /• Xt х Х2х ...х X„->Y
С"—n-мерное комплексное арифметическое пространство
12 — гильбертово пространство последовательностей (х1; х2, .... х„, ...),
£ х?< + со, х„>0
п= I
1р, 1^р< + со — банахово пространство последовательностей (хп х2, .... х„, ...),
X xj< + co, х„>0
п— 1
351
&п — линейное пространство, состоящее из множества всех многочленов,
степень которых не превышает п, дополненного нулевым многочленом
F(E)—линейное пространство функций, заданных на множестве Е
В(Е)—пространство функций, ограниченных на множестве Е
С(.¥)— пространство функций, ограниченных и непрерывных на метрическом
пространстве X
С [a, Z>]—пространство функций, непрерывных на отрезке [a, Z>]
RLp— пространство функций с интегрируемой р-й степенью модуля, 1^р< + оо
CLp—пространство непрерывных функций с нормой пространства RLP,
~	1	+ со
RL2 — пространство, получающееся из RL2 отождествлением эквивалентных
функций	~
L2—лебегово пространство, получающееся пополнением пространства RL2
D—пространство основных бесконечно дифференцируемых финитных функций
5—пространство основных бесконечно дифференцируемых функций, которые
вместе со своими производными стремятся к нулю при х-»оо быстрее
любой степени 1/х'
D' — пространство обобщенных функций над пространством D основных
функций
S'— пространство обобщенных функций над пространством S’ основных
функций
(f х)—значение функционала f в точке х
25— база топологии
25 (х)—локальная база топологии в точке х
ф(х)—множество всех подмножеств множества X
8—фильтр
lim 5—предел фильтра
limg/(x) — предел отображения f по фильтру 8
Учебное издание
Кудрявцев Лев Дмитриевич
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Том 3
Зав. редакцией учебно-методической литературы по физике и математике
Е. С. Гридасова. Редактор Ж. И. Яковлева. Художник В. И. Казакова. Худо-
жественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор А. К. Несте-
рова. Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 8542
Изд. № ФМ-890д. Сдано в набор 21.12.87. Подп. в печать 10.10.88. Формат
60х88'/16. Бум. оф е. № 2. Гарнитура тайме. Печать офсетная. Объем 21,56 усл.
печ. л. + форзац 0,25 усл. печ. л. 22.05 усл. кр.-отт. 19,23 уч.-изд. л. + форзац 0,41
уч.-изд. л. Тираж 65 000 экз. (2-й завод 30 0ОI — 65 000(	Зак. №46
Цена 95 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО
«Первая Образцовая типография» им. А. А. Жданова Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 113054, Москва, Валовая, 28."