В. И. Богачев
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ МЕРЫ
Том 1
Zy»«rt4 Москва ¦ Ижевск

Оглавление
Предисловие 7
Глава 1. Построение и продолжение мер 15
1.1. Измерение длин: вводные замечания 15
1.2. Алгебры и (Т-алгебры 18
1.3. Аддитивность и счетная аддитивность мер 25
1.4. Компактные классы и счетная аддитивность 30
1.5. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 34
1.6. Бесконечные и <т-конечные меры 43
1.7. Мера Лебега 47
1.8. Меры Лебега-Стилтьеса 55
1.9. Монотонные и сг-аддитивные классы множеств 56
1.10. А-операция и суслинские множества 58
1.11. Внешние меры Каратеодори 66
1.12. Дополнения и задачи 75
Операции над множествами G5). Компактные классы G7).
Метрическая булева алгебра (80). Измеримая оболочка,
измеримое ядро и внутренняя мера (83). Продолжения
мер (85). Некоторые интересные множества (89).
Аддитивные не счетно-аддитивные меры (95).
Абстрактные внутренние меры (98). Меры на решетках
множеств A04). Теоретико-множественные проблемы
теории меры A06). Инвариантные продолжения меры
Лебега A09). Разложение Уитни A11). Задачи A12).
Глава 2. Интеграл Лебега 131
2.1. Измеримые функции 131
2.2. Сходимость по мере и почти всюду 137
2.3. Интеграл для простых функций 145
2.4. Общее определение интеграла Лебега 148
2.5. Основные свойства интеграла 150

2.6. Интегрирование по бесконечным мерам 155
2.7. Полнота пространства L1 158
2.8. Предельный переход под знаком интеграла 161
2.9. Признаки интегрируемости 168
2.10. Связь с интегралом Римана 171
2.11. Неравенства Гель дера и Минковского 173
2.12. Дополнения и задачи 176
Порожденная классом функций сг-алгебра A76).
Борелевские отображения в И" A79).
Функциональная теорема о монотонных классах A80).
Бэровские классы функций A81).
Теоремы о среднем A84). Интеграл Стилтьеса A86).
Интегральные неравенства A87). Задачи A90).
Глава 3. Операции над мерами и функциями 207
3.1. Разложение знакопеременных мер 207
3.2. Теорема Радона-Никодима 210
3.3. Произведение пространств с мерами 213
3.4. Теорема Фубини 217
3.5. Бесконечные произведения мер 222
3.6. Образ меры при отображении 226
3.7. Замена переменных в IRn 231
3.8. Преобразование Фурье 234
3.9. Свертка 243
3.10. Дополнения и задачи 248
О теореме Фубини B48). Симметризация Штейнера B49).
Меры Хаусдорфа B53). Разложение функций
множества B56). Свойства положительно определенных
функций B59). Неравенство Брунна-Минковского и его
обобщения B62). Смешанные объемы B66). Задачи B67).
Глава 4. Пространства LP и пространства мер 287
4.1. Пространства LP 287
4.2. Приближение в LP 290
4.3. Гильбертово пространство L? 294
4.4. Двойственность пространств LP 304
4.5. Равномерная интегрируемость 310
4.6. Сходимость мер 318
4.7. Дополнения и задачи 323
Структурные свойства V и пространства мер C23).
Слабая топология в Lp C27). Равномерная
выпуклость C30). Равномерная интегрируемость и
слабая компактность в L1 C33). Топология сходимости
мер на множествах C38). Компактность по норме и

приближение в Lp C42). Слабая и сильная
сходимость в V C46). Интеграл Хеллингера и
расстояние Хеллингера C48). Аддитивные функции
множества C51). Задачи C52).
Глава 5. Связь интеграла и производной 375
5.1. Дифференцируемость функций на прямой 375
5.2. Функции ограниченной вариации 379
5.3. Абсолютно непрерывные функции 385
5.4. Формула Ньютона-Лейбница 390
5.5. Теоремы о покрытиях 395
5.6. Максимальная функция 400
5.7. Интеграл Хенстока-Курцвайля 406
5.8. Дополнения и задачи 416
Теоремы о покрытиях D16). Точки плотности и
точки Лебега D21). Дифференцирование мер на И" D23).
Аппроксимативная непрерывность D25). Производные
числа и аппроксимативная дифференцируемость D26).
Класс ВМО D29). Весовые неравенства D30). Меры со
свойством удвоения D31). Производная в смысле
Соболева D33). Формулы площадей и коплощадей и
замена переменных D36). Поверхностные меры D38).
Разложение Кальдерона-Зигмунда D40). Задачи D41).
Библиографические комментарии 459
Литература 491
Предметный указатель
533

Оглавление
Содержание тома 2
Глава 6. Борелевские, бэровские и суслинские множества.
6.1. Метрические и топологические пространства. 6.2. Борелевские
множества. 6.3. Бэровские множества. 6.4. Произведения топологических
пространств. 6.5. Счетно-порожденные «т-алгебры. 6.6. Суслинские множества и их
отделимость. 6.7. Множества в суслинских пространствах. 6.8. Отображения
суслинских пространств. 6.9. Теоремы об измеримом выборе. 6.10.
Дополнения и задачи.
Глава 7. Меры на топологических пространствах.
7.1. Борелевские, бэровские и радоновские меры. 7.2. т-аддитивные меры.
7.3. Продолжения мер. 7.4. Меры на суслинских пространствах. 7.5.
Совершенные меры. 7.6. Произведения мер. 7.7. Теорема Колмогорова. 7.8.
Интеграл Даниэля 7.9. Меры как функционалы. 7.10. Регулярность мер в
терминах функционалов. 7.11. Меры на локально компактных пространствах.
7.12. Меры на линейных пространствах. 7.13. Характеристические
функционалы. 7.14. Дополнения и задачи.
Глава 8. Слабая сходимость мер.
8.1. Определение слабой сходимости. 8.2. Слабая сходимость
неотрицательных мер. 8.3. Случай метрических пространств. 8.4. Некоторые свойства
слабой сходимости. 8.5. Представление Скорохода. 8.6. Слабая компактность и
теорема Прохорова. 8.7. Слабая секвенциальная полнота. 8.8. Слабая
сходимость и преобразование Фурье. 8.9. Пространства мер со слабой топологией.
8.10. Дополнения и задачи.
Глава 9. Преобразования мер и изоморфизмы.
9.1. Образы и прообразы мер. 9.2. Изоморфизмы измеримых пространств.
9.3. Изоморфизмы алгебр с мерами. 9.4. Индуцированные точечные
изоморфизмы. 9.5. Пространства Лебега-Рохлина. 9.6. Топологически
эквивалентные меры. 9.7. Непрерывные образы меры Лебега. 9.8. Продолжение мер
и отображения. 9.9. Абсолютная непрерывность образов мер. 9.10. Сдвиги
мер вдоль интегральных кривых. 9.11. Инвариантные меры и мера Хаара.
9.12. Дополнения и задачи.
Глава 10. Условные меры и условные ожидания.
10.1. Условное математическое ожидание. 10.2. Сходимость условных
математических ожиданий. 10.3. Мартингалы. 10.4. Регулярные условные меры.
10.5. Лифтинги и условные меры. 10.6. Дезинтегрирование мер. 10.7.
Переходные меры. 10.8. Измеримые разбиения. 10.9. Эргодические теоремы.
10.10. Дополнения и задачи.
Библиографические комментарии. Список литературы.
Предметный указатель.

Предисловие
В этой книге излагаются основы современной теории меры,
причем имеются три уровня изложения: стандартный учебный
курс, продвинутое изложение, содержащее как дополнения к
стандартному курсу, так и совершенно новые разделы (материал
этого уровня соответствует различным специальным курсам), и,
наконец, представленная более мелким шрифтом, а также в задачах
(которых более 750) многообразная специальная информация.
Первый том (главы 1-5) посвящен классической теории меры
и интеграла, построенной в основном А. Лебегом и развитой
многими другими математиками, в частности, Э. Борелем, Дж.
Витали, У. Юнгом, Ф. Риссом, Д.Ф. Егоровым, Н.Н. Лузиным, И.
Радоном, М. Фреше, Г. Ханом, К. Каратеодори, О. Никодимом,
результаты которых представлены в этих главах. Почти все
основные результаты глав 1-5 были получены еще в первой трети XX
века, но методика изложения и применяемая техника, конечно,
учитывают позднейшие достижения, а в дополнениях немало
современных результатов. Учебный материал первого тома
ориентирован на начинающих и в основных параграфах соответствует
семестровому университетскому курсу теории меры и интеграла,
который многократно читался автором на
механико-математическом факультете Московского государственного университета
им. М.В. Ломоносова. Для его изучения требуется лишь
знакомство с основами анализа (сходимость рядов и
последовательностей, непрерывность футщий, открытые и замкнутые множества
на прямой, интеграл Римана). Хотя формально знания интеграла
Римана можно было бы и не предполагать, я убежден, что именно
с римановского подхода надо начинать знакомство с
интегрированием; предварительное изучение основ римановской теории
позволяет оценить глубину и красоту создания Лебега. Небольшие

Предисловие
дополнительные сведения, нужные для чтения отдельных
параграфов, приводятся по ходу дела. К основному курсу относятся
примерно 100 страниц первых пяти глав (т.е. менее 1/4 этих глав)
и в него входят следующие параграфы: §1.1-1.8, §2.1-2.11, §3.2-
3.4, §3.8, §3.9, §4.1-4.3 и некоторые фрагменты §5.1-5.4. Реальный
список экзаменационных билетов по этому курсу приведен в
библиографических комментариях (он включает даже не все, что
есть в перечисленных параграфах). Естественно, классический
учебный материал первых пяти глав (без учета дополнений) мало
отличается от того, что изложено во многих известных
учебниках теории меры и интеграла или теории вероятностей, например,
Колмогоров, Фомин [95], Лоэв [110], Натансон [134], Неве [135],
Партасарати [144], Халмош [190], Ширяев [210], Bauer [247] и
других книгах как на русском, так и на иностранных языках.
Помимо мелких технических или методических отличий,
характерной особенностью нашего изложения учебного материала в
главах 1-5 является стремление сохранить лаконичность
лекционного курса. В результате в параграфах основного курса приведены
лишь те сведения, которые необходимы для сдачи экзамена по
прилагаемому довольно короткому списку билетов. В частности,
меньше внимания, чем обычно, уделяется мерам на
полукольцах и т.п. Вообще, техническая теоретико-множественная
компонента заметно сокращена. Однако соответствующие сведения
отнюдь не исключены: они просто перенесены в дополнения и
задачи (что оставляет возможность для ссылок во втором томе).
Таким способом удается существенно облегчить первоначальное
знакомство с предметом, когда обилие определений и
утверждений теоретико-множественного характера часто является
препятствием для понимания центральных идей. В то же время,
достигнутая экономия позволяет изложить в дополнительных
параграфах основного курса многие сведения, весьма полезные для
приложений, но редко включаемые в учебники. Правда, должен
оговориться, что экономичность изложения не была основным
приоритетом; более того, из-за описанной выше структуры книги
некоторые результаты рассказываются сначала в каких-то
основных частных случаях, а лишь позднее приводятся в общем
виде. Например, обсуждение мер и интегралов начинается с
конечных мер, поскольку привлечение бесконечных значений не
требует новых идей, но для начинающих затемняет существо дела
из-за достаточно искусственных хлопот с бесконечностями.
Вообще, даже там, где идет речь о бесконечных мерах, я старался

Предисловие
9
указывать способы сведения к конечным мерам (хотя в
принципе не всегда это необходимо). Развернутое оглавление позволяет
ограничиться здесь лишь краткими замечаниями о содержании
глав.
В главе 1 основные объекты — это счетно-аддитивные меры
на алгебрах и ег-алгебрах, а основные теоремы связаны с
построением мер, в частности, с их продолжением.
Глава 2 посвящена построению интеграла Лебега, для чего
предварительно изучаются измеримые функции. Основные
теоремы этой главы связаны с предельными переходами для
интегралов. Интеграл Лебега — один из основных объектов этой
книги — не является самым общим возможным типом интеграла. По-
видимому, его роль в современной математике определяется тем,
что он обладает достаточной и разумной общностью в сочетании
с эстетической привлекательностью.
В главе 3 рассмотрены важнейшие операции над мерами и
функциями: разложение Хана-Жордана знакопеременных мер,
произведение мер, умножение мер на функции, свертка функций
и мер, отображение мер и замена переменных. Подробно
обсуждаются конечные и бесконечные произведения мер.
Доказываются фундаментальные теоремы Радона-Никодима и Фубини.
Глава 4 посвящена пространствам интегрируемых функций и
пространствам мер. Обсуждаются геометрические свойства
пространств LP, изучается равномерная интегрируемость,
доказываются теоремы о сходимости и ограниченности
последовательностей мер. Значительное внимание уделено слабой сходимости и
слабой топологии в L1. Наконец, рассматриваются структурные
свойства пространств функций и мер.
В главе 5 исследуется связь интегрирования и
дифференцирования. Приведены классические теоремы о дифференцируемо-
сти функций ограниченной вариации и абсолютно непрерывных
функций и интегрировании по частям. Обсуждаются теоремы о
покрытиях и рассматривается максимальная функция.
Описывается интеграл Хенстока-Курцвайля.
Если в первом томе книги излагается преимущественно круг
идей, восходящих к Лебегу, то второй ее том (главы 6-10) в
значительной степени есть итог развития идей, высказанных уже в
30-50-х годах XX века рядом ученых, среди которых в первую
очередь следует указать А.Н. Колмогорова. Хотя теорем,
принадлежащих самому Колмогорову, здесь не так много, но
важнейшие вехи на пути развития теории меры за последние 70 лет

10
Предисловие
носят на себе печать колмогоровского гения. Центральные темы
здесь: преобразования мер, условные меры и слабая сходимость
мер. Эти три темы тесно переплетаются между собой, и вокруг
них вырастает здание современной теории меры. Типичные
пространства с мерами здесь бесконечномерны: даже меры на
отрезке нередко оказывается удобно моделировать как меры на
пространстве {0,1}°° всех последовательностей из нулей и единиц.
Дело в том, что, несмотря на изоморфность всякого
разумного измеримого пространства отрезку, здесь начинают играть
заметную роль многообразные дополнительные структуры на
пространствах с мерами: алгебраические, топологические,
дифференциальные. Отчасти это объясняется тем, что многие задачи
современной теории меры возникли под влиянием теории
вероятностей, теории динамических систем, теории информации,
теории представлений групп, нелинейного анализа, математической
физики. Все эти науки привнесли в теорию меры не только
постановки задач, идеи, методы и терминологию, но и присущие им
способы мышления. Отметим также, что наиболее плодотворные
направления теории меры сейчас находятся на стыке с какими-
нибудь другими областями математики.
В отличие от первого тома, значительная часть материала
глав 6-10 не излагалась столь подробно в учебной литературе.
Главы 6-10 предъявляют и больше требований к читателю.
Кроме знания основного курса, необходимо владение стандартным
университетским курсом функционального анализа с
элементами общей топологии (например, в объеме учебника А.Н.
Колмогорова и СВ. Фомина), а в некоторых разделах желательно
знакомство с основами теории вероятностей (для этой цели можно
порекомендовать небольшую книжку Ламперти [105]). Во втором
томе находят свое естественное развитие многие темы, начатые в
первом (например, преобразования мер, сходимость мер, суслин-
ские множества, связь меры и топологии).
Глава 6 играет важную техническую роль: в ней изучаются
свойства борелевских и суслинских множеств в топологических
пространствах и борелевских отображений суслинских множеств
(в частности, изложен ряд теорем об измеримом выборе и
неявной функции). Возникновение этого направления в большой
мере связано с работами Н.Н. Лузина и М.Я. Суслина. Изложение
здесь имеет теоретико-множественный и топологический
характер, а мер в этой главе почти нет. Основные результаты
весьма элегантны, но порой технически трудны, и эти трудности не
спрячешь в задачи. Однако эту главу можно рассматривать как

Предисловие
11
сводку результатов, к которым следует обращаться по мере
необходимости при чтении последующих глав.
В главе 7 обсуждаются меры на топологических
пространствах, их различные свойства регулярности, продолжения мер,
подробно анализируется связь мер с порождаемыми ими
посредством интегралов функционалами на пространствах функций.
Рассматриваемая здесь область теории меры выросла из
классических работ И. Радона и А.Д. Александрова, и на нее оказывали
и оказывают сильное влияние общая топология и дескриптивная
теория множеств. Центральным объектом главы являются меры
Радона. В ней изучаются меры на важнейших для приложений
классах топологических пространств, а помимо мер Радона
подробно рассматриваются совершенные и т-аддитивные меры.
Отдельный параграф посвящен методу Даниэля-Стоуна. Этот
метод вполне можно было бы изложить и в главе 2, но его соседство
с теоремой Рисса об интегральном представлении кажется более
естественным.
Кратко обсуждаются меры на локально выпуклых
пространствах и их характеристические функционалы (преобразования
Фурье).
В главе 8, непосредственно связанной лишь с главой 7,
изложена теория слабой сходимости мер. Здесь приведены
фундаментальные результаты А.Д. Александрова, Ю.В. Прохорова
и А.В. Скорохода, изучены свойства слабой топологии на
пространстве мер, рассмотрена слабая компактность.
Обсуждаются пространства мер на топологических пространствах,
наделенные слабой топологией. Слабая сходимость мер играет важную
роль во многих приложениях: стохастическом анализе,
математической статистике, естественных науках. Из дополнительных
результатов этой главы отметим подробное рассмотрение
вопроса о сходимости мер на открытых множествах и доказательство
теоремы Фихтенгольца-Дьедонне-Гротендика.
Глава 9 посвящена изучению преобразований мер. Здесь
обсуждаются свойства образов мер при отображениях,
существование прообразов, различные виды изоморфизмов измеримых
пространств (например, точечные, метрические, топологические),
абсолютная непрерывность преобразованных мер, в частности
(N)-cbouctbo Лузина, преобразование мер потоками,
порожденными векторными полями, меры Хаара на локально
компактных группах, существование инвариантных мер преобразований
и многие другие вопросы, важные для приложений.
Обсуждаемая здесь „нелинейная теория меры" возникла в 30-х годах XX

12
Предисловие
века в работах Д. Биркгофа, И. фон Неймана, Н.Н.
Боголюбова, Н.М. Крылова, Э. Хопфа и других исследователей по теории
динамических систем, причем на нее оказали заметное влияние
и другие направления, например, интегрирование на
топологических группах, развитое А. Хааром, А. Вейлем и другими.
Преобразования мер появляются почти во всех областях математики
и во многих прикладных задачах. Отдельный параграф
занимает изложение теории пространств Лебега, построенной В.А.
Рохлиным (такие пространства в книге называются пространствами
Лебега-Рохлина).
Глава 10 примыкает к главе 9 в идейном отношении.
Важнейшие идеи этой главы восходят к работам А.Н. Колмогорова,
И. фон Неймана, Дж. Дуба, П. Леви. В ней речь идет об условных
мерах — объекте, играющем исключительную роль как в самой
теории меры, так и во многих приложениях. Подробно описана
связь между условными мерами и условными математическими
ожиданиями, доказаны основные теоремы о сходимости условных
математических ожиданий, при широких условиях установлено
существование условных мер и выяснена их связь с лифтинга-
ми. Дано ориентированное на применение в теории меры
краткое изложение основ теории мартингалов. Отдельный параграф
посвящен введению в эргодическую теорию — плодотворную
область на стыке теории меры, теории вероятностей и
математической физики. Наконец, в этой главе продолжено изучение
пространств Лебега-Рохлина, в частности, обсуждаются измеримые
разбиения.
Обширный дополнительный материал изложен в
заключительных параграфах всех глав, где приведено и много задач с
полными решениями или указаниями. Формулировки некоторых
задач представляют собой просто набранные мелким шрифтом
теоремы из цитируемых источников и помещены там для
экономии места (так что отсутствие указаний к решению означает, что
у меня нет решения, отличного от данного в цитируемой
работе). Значком ° отмечены номера задач учебного характера.
Замечу, что многие приводимые решения взяты из цитируемых
работ (включение таких решений, надеюсь, является
дополнительным удобством для читателя), но иногда приводятся и более
простые по сравнению с оригинальными решения (но это не
отмечается). Необходимо подчеркнуть, что многие представленные без
указания источников задачи либо заимствованы из учебной
литературы, описанной в библиографических комментариях, либо

Предисловие
13
принадлежат „математическому фольклору". В таких задачах я
воздержался от цитирования источников заимствования (правда,
иногда источники упомянуты в указаниях к решениям),
поскольку они не являются первичными. Возможно, что какие-то задачи
даже являются новыми, но это нигде не отмечается по той
простой причине, что кажущаяся „новой" задача могла быть когда-то
виденной при просмотре огромной литературы или услышанной
от коллег, а позже пришедшей на память.
В книге приведена обширная библиография, снабженная
комментариями. Комментарии даны отдельно к каждому тому,
библиография первого тома содержит лишь цитируемые в нем
источники, а во втором томе приведена сводная библиография, в
которой цитируемые только в первом томе работы отмечены
звездочкой. Для всех источников указаны все номера страниц, на
которых они цитируются. В комментариях, помимо сведений исто-
рико-библиографического характера, даны ссылки на работы,
освещающие многочисленные специальные вопросы теории меры,
которые невозможно охватить в книге предлагаемого объема, но
информация о которых может быть полезна читателю.
Завершает книгу подробный предметный указатель (в первом томе дан
указатель лишь к этому тому, а во втором томе имеется сводный
указатель).
Для утверждений и формул используется тройная
нумерация: номер главы, номер параграфа, номер утверждения (причем
утверждения нумеруются подряд в пределах данного параграфа
независимо от их типа). Номера 4>ормул заключены в круглые
скобки.
По своему замыслу эта книга является дополнением к
существующей обширной учебной литературе и дает сведения из
многих разделов теории меры, которые не входят в стандартную
программу, но часто бывают необходимы для чтения специальной
литературы и ведения исследовательской работы. Современная
теория меры столь обширна, что ее невозможно изложить в
одной книге. Более того, по моему мнению, даже если попытаться
вместить всю эту теорию в единый курс, хотя бы и многотомный,
то это не принесет пользы читателю, ибо ориентироваться в таком
трактате будет трудно, а подлинной глубины охвата всех тем все
равно не удастся достичь из-за чрезмерного объема нужных для
этого сведений из других областей. Поэтому для углубленного
обсуждения гораздо более уместны не слишком объемистые
изложения специальных разделов. Такие изложения уже имеются
по ряду разделов (например, геометрическая теория меры, меры

14
Предисловие
Хаусдорфа, распределения на банаховых пространствах, меры на
группах, эргодическая теория, гауссовские меры). Естественно,
здесь обсуждение подобных направлений сведено к минимуму,
порой лишь к упоминанию об их существовании.
Материал книги излагался автором в лекциях в Московском
государственном университете им. М.В. Ломоносова, а
различные связанные с ним вопросы затрагивались также в лекциях и
докладах на научных семинарах и в беседах с коллегами в других
университетах и математических институтах, в том числе, в
Математическом институте РАН им. В.А. Стеклова в Москве и в его
Санкт-Петербургском отделении, в Киеве, Берлине, Бонне, Биле-
фельде, Обервольфахе, Париже, Страсбурге, Кэмбридже, Ворви-
ке, Риме, Пизе, Афинах, Беркли, Бостоне, Миннеаполисе, Хайфе,
Киото, Сиднее и многих других местах. Совершенно неоценимой
была возможность работать в библиотеках этих учреждений.
В течение долгих лет работы над книгой я получал от многих
лиц большую помощь в виде замечаний и исправлений по тексту,
дополнительных ссылок и материалов, исторических
комментариев и т.п. Не имея возможности перечислить здесь всех, кому
обязан, хочу особо поблагодарить Э. Берендса, П.А. Бородина,
М.И. Гордина, Дж. Да Прато, М. Закая, Н.В. Крылова, А.А. Лод-
кина, Э. Майер-Вольфа, П. Маллявэна, П.-А. Мейера, Л. Мей-
лбро, В.И. Пономарева, Ю.В. Прохорова, М. Рёкнера, В.В.
Сазонова, А.В. Скорохода, О.Г. Смолянова, А.М. Степина, В.Н. Су-
дакова, В.И. Тариеладзе, С.А. Теляковского, А.Н. Тихомирова,
Ф. Топсё, В.В. Ульянова, В.П. Хавина, А.Н. Ширяева, Э. Эро.
Несомненное влияние на характер изложения оказали
обсуждения с коллегами по кафедре теории функций и функционального
анализа механико-математического факультета МГУ,
возглавляемой членом-корреспондентом РАН П.Л. Ульяновым. За
проверку ряда предварительных версий книги, выявление
многочисленных недочетов и многообразную помощь я весьма признателен
B.C. Журавлеву, А.В. Колесникову, Е.П. Круговой, О-В.
Пугачеву, Т.С. Рыбниковой, Р.А. Троупянскому и Н.А. Толмачеву.
Окончательный вид книга приобрела после того, как с
рукописью ознакомился 3. Липецкий, приславший, помимо множества
поправок, еще и ряд труднодоступных для меня материалов.

Глава 1
Построение и продолжение мер
Ведомо же буди, яко количество есть та мера и число
мерящая и числящая; колика же — яже мере и числу
подлежащая, сиречь меримая и числимая.
Иоанн Дамаскин. Диалектика.
Я составил эти лекции, не предполагая у читателя
иных знаний, чем те, которые входят в программу
лиценциата всех факультетов; я могу даже сказать, что
не предполагая ничего, кроме знакомства с
определением и самыми элементарными свойствами интегралов
от непрерывных функций. Но если и нет
необходимости знать многое, прежде чем читать эти лекции, все
же необходимо иметь некоторый навык мысли в такого
рода вещах.
А. Лебег. Интегрирование и отыскание примитивных
1.1. Измерение длин: вводные замечания
Многие задачи, обсуждаемые в этой книге, выросли из
следующей проблемы: какие множества имеют длину? Этот понятный,
на первый взгляд, вопрос приводит к двум другим вопросам: что
такое „множество" и что такое „число" (ибо речь идет о
количественной мере длины). Мы будем считать далее, что какие-то
ответы на эти вопросы уже даны и не будем их далее
поднимать, хотя уже первые построения теории меры приводят к
ситуациям, требующим большей определенности. Мы условимся
считать известными те сведения о вещественных числах, которые
приводятся в обычных учебниках по анализу, а в качестве
„теории множеств" мы примем основные положения „наивной теории
множеств", также излагаемые в учебниках по анализу, а иногда

16 Глава 1. Построение и продолжение мер
будем привлекать и аксиому выбора. В заключительном
параграфе читатель найдет краткое обсуждение основных теоретико-
множественных проблем, связанных с теорией меры. Ниже
используются следующие теоретико-множественные отношения и
операции (в обычном их смысле): А С В (включение
множества А в В), а € А (принадлежность элемента а множеству А),
A U В (объединение множеств А и В), А Г) В (пересечение
множеств А к В), А\В (разность А к В или дополнение В в А, т.е.
множество всех точек из А, не лежащих в В). Наконец, через
А А В обозначается симметрическая разность множеств А и В,
т.е. А Л В = (Ли В)\(А П J5). В лемме 1.2.8 указаны некоторые
полезные соотношения, связывающие эти операции.
Если даны множества Ап, причем Ап С Ап+\, то будем
называть их возрастающими к А := U^Li Ап (обозначение: Ап | А), а
при An+i С Ап будем называть их убывающими к А := D^Li Ап
(обозначение: Ап I А).
Относительно множества ГО1 вещественных чисел
предполагаются известными следующие сведения.
1) Открытыми называются такие множества U С ГО. , что
всякая точка х из U входит в U с некоторым интервалом вида
(х — е, х + е), где е > 0; при этом всякое открытое множество
является объединением конечного или счетного набора попарно
непересекающихся интервалов или лучей. Пустое множество по
определению считается открытым.
2) Замкнутыми множествами называются дополнения к
открытым множествам; при этом множество А замкнуто в
точности тогда, когда оно содержит все свои предельные точки
(напомним, что точка а называется предельной для А, если во всяком
интервале с центром в а есть точка из А). Ясно, что любые
объединения и конечные пересечения открытых множеств открыты.
Таким образом, вещественная прямая оказывается
топологическим пространством (более подробные сведения о топологических
пространствах приведены в гл. 6).
Ясно, что любые пересечения и конечные объединения
замкнутых множеств замкнуты. Важное свойство ГО1 состоит в том,
что пересечение любой вложенной последовательности непустых
ограниченных замкнутых множеств непусто. В зависимости от
того, каким способом вводятся вещественные числа, это
утверждение оказывается либо аксиомой, либо выводится из других
аксиом. Считаются известными основные понятия, связанные со
сходимостью числовых последовательностей и рядов.

1.1. Измерение длин
17
Перейдем к собственно проблеме измерения длин. Поставим
себе целью задать длину Л подмножеств отрезка I = [0,1]. Для
промежутка J вида (а,Ь), [а,Ь), [а,Ь] или (а,Ь] полагаем A(J) =
\b—а\. Для конечного объединения непересекающихся
промежутков Ji,... ,Jn полагаем A(U?=1 J,) = Y17=i M^i)- Множества
указанного вида будем называть элементарными. Теперь предстоит
сделать нетривиальный шаг и расширить меру на
неэлементарные множества. Естественный способ, восходящий к античности,
состоит в том, чтобы приближать неэлементарные множества
элементарными. Но как приближать? Конструкция, приводящая к
так называемой мере Жордана (которую более правильно
называть мерой Пеано-Жордана по работам Реапо [681], Jordan
[513]), такова: считать множество А С I измеримым по
Жордану, если для всякого е > 0 найдутся такие элементарные
множества А? и В?, что Ае С А с В? и Х(Ве\А?) < е. Ясно,
что при е —> 0 длины А? и В? имеют общий предел, который
и выбирается в качестве \{А). Все ли множества получили
длины после этой процедуры? Нет, далеко не все. Например,
множество Q П I рациональных чисел отрезка неизмеримо по
Жордану. Действительно, в нем нет элементарных множеств
положительной меры. С другой стороны, все элементарные
множества, содержащие Q П I, имеют меру 1. Естественно, возникает
вопрос о продолжении Л на еще более широкую область
определения. При этом желательно сохранить хорошие свойства длины,
которыми она обладает на классе измеримых по Жордану
множеств. Важнейшими из этих свойств являются аддитивность (т.е.
Х(А U В) — \(А) + A(f?) для всяких непересекающихся множеств
А и В из области определения) и инвариантность
относительно сдвигов. Первое из этих свойств на самом деле выполняется
даже в следующей более сильной форме счетной аддитивности:
если непересекающиеся множества Ап вместе с их объединением
А = U^Li An измеримы по Жордану, то \(А) — Yln°=i М-^п)- Как
мы увидим далее, эта задача имеет решения. Наиболее важное из
них, предложенное Лебегом сто лет назад и приводящее к мере
Лебега, состоит в том, чтобы видоизменить способ приближения
элементарными множествами. А именно, сначала по аналогии с
античной конструкцией вводится внешняя мера А* для всякого
множества A<Z I как точная нижняя грань сумм мер
элементарных множеств, образующих счетные покрытия А. Затем
множество А называется измеримым по Лебегу, если выполнено
равенство А* (Л) + А*(/\А) = А(/), что можно выразить также в виде

18 Глава 1. Построение и продолжение мер
равенства А*(Л) = \*(А), где внутренняя мера А* определяется
не с помощью вписанных множеств, как для меры Жордана, а
равенством А* (Л) = A(J) — А*G\Л). Равносильное описание
измеримости по Лебегу в терминах приближений элементарными
множествами: для всякого е > 0 существует такое элементарное
множество Ае, что А* (А А Ае) < е. При этом в отличие от меры
Жордана не требуется никакой вложенности множеств, т.е.
допускаются „косые приближения". Эта небольшая тонкость
приводит к существенному расширению класса измеримых множеств.
Расширение столь велико, что вопрос о существовании множеств,
которым не приписана никакая мера, оказывается зависящим от
принятия или не принятия некоторых специальных теоретико-
множественных аксиом. Вскоре мы проверим, что совокупность
множеств, измеримых по Лебегу, замкнута относительно счетных
объединений, счетных пересечений и дополнений. Кроме того,
если меру множества А определить как предел мер
аппроксимирующих его в указанном выше смысле элементарных множеств, то
продолженная мера окажется счетно-аддитивной. Все эти
утверждения будут выведены из более общих результатов.
Из всего сказанного выше явствует, что при обсуждении мер
ключевую роль играют вопросы, связанные с областями
определения и продолжениями. Поэтому следующий параграф
посвящен обсуждению основных классов множеств, связанных с
областями определения мер. При этом обсуждении оказывается, что
специфика длины на подмножествах прямой не играет никакой
роли и потому с самого начала имеет смысл говорить о мерах
произвольной природы. Более того, такая точка зрения
становится необходимой для рассмотрения мер на пространствах общей
природы, например, многообразиях или функциональных
пространствах, что весьма важно для многих разделов математики
и теоретической физики.
1.2, Алгебры и сг-алгебры
Одним из основных понятий теории меры является алгебра
множеств.
1.2.1. Определение. Алгебра множеств А — это такой
класс подмножеств некоторого фиксированного множества X
(называемого пространством), что (i) 0,Х € A; (U) если А,
В е А, то АП В € A, AUВ € А, А\В б А.
В (ii) достаточно иметь лишь А\В € А, ибо АГ\В = А\(А\В)
и AUB = (Х\А) П (Х\В) = (Х\А)\((Х\А)\(Х\В)).

1.2. Алгебры и (т-алгебры
19
Достаточны и условия Х\А € А, А П В € А при А,В е А,
ибо Л\Я = АП (х\в):
Отметим, что иногда в определении алгебры вместо
включения X € А используется следующее более широкое условие:
существует такое множество Е 6 А, называемое единицей
алгебры, что А П Е — А при всех А € А. Ясно, что заменяя X на Е,
мы приходим к нашему определению на меньшем пространстве.
Следует иметь в виду, что не все приводимые ниже результаты
распространяются на указанное более широкое понятие.
1.2.2. Определение. Алгебра множеств А называется а-
алгеброй, если Ц?=1 Ап е А для всякой последовательности
множеств Ап из А.
1.2.3. Определение. Пара (X, А), состоящая из
множества X и а-алгебры А его подмножеств, называется измеримым
пространством.
Основное множество (пространство), на котором задана ст-ал-
гебра или мера, в этой книге чаще всего обозначается через X,
нередко встречаются и Е, М, S (от ensemble, Menge, set), а также
О, — общепринятый символ в теории вероятностей. Для
обозначения сг-алгебр традиционно используются заглавные рукописные
латинские буквы (например, А, В, S, Т, С, М., S), готические
буквы 21, 53, $, ?, ЯП, 6 (т.е. А, В, F, L, М и S) и греческие
буквы (например, Е, Л, Г, Е), хотя, конечно, при необходимости
используются и другие символы.
В последующих замечаниях и задачах упомянуты некоторые
другие классы множеств (полуалгебры, кольца, полукольца, а-
кольца и т.п.), немного отличающиеся теми операциями, которые
они допускают. Ясно, что в определении а-алгебры вместо
замкнутости относительно счетных объединений можно требовать
замкнутость относительно счетных пересечений. Действительно,
из формулы U^Li-^n = ^\n^Li(^\-^n) и из замкнутости
алгебры относительно дополнений видно, что эти свойства
равносильны.
1.2.4. Пример. Класс всех конечных объединений
промежутков вида [a,b], [a,b), (a,b], (а,Ь) из отрезка [0,1] (или только
вида [а, Ь) П [0,1]) является алгеброй, но не ст-алгеброй.
Ясно, что множество 2х всех подмножеств фиксированного
множества X является ст-алгеброй, как и класс, состоящий лишь
из X и пустого множества. Всякая другая сг-алгебра подмножеств
X заключена между этими двумя тривиальными примерами.

20
Глава 1. Построение и продолжение мер
1.2.5. Определение. Пусть Т — семейство подмножеств
пространства X. Наименьшая а-алгебра подмножеств X,
содержащая F, называется а-алгеброй, порожденной J2', и
обозначается символом а{Т). Алгеброй, порожденной Т, называется
наименьшая алгебра, содержащая Т.
Упомянутые в определении наименьшая а-алгебра и
наименьшая алгебра действительно существуют.
1.2.6. Предложение. Пусть X — некоторое множество.
Для любого семейства подмножеств X существует
единственная порожденная им а-алгебра. Существует и единственная
порожденная данным семейством алгебра.
Доказательство. Положим
*{Г) = П А,
F<zA
где пересечение берется по всем ег-алгебрам подмножеств
пространства X, содержащим систему множеств Т (такие сг-алгебры
существуют: например, 2х). По построению Т С а{Т). Если
дана последовательность множеств Ап е ст(Т), то их пересечение,
объединение и дополнения входят во всякую <т-алгебру А,
содержащую Т, а потому входят и в <т(^г), т.е. о{Т) — сг-алгебра.
Единственность очевидна из того, что существование сг-алгебры В,
содержащей F, но не содержащей <т(^г), противоречит
определению cr(.F), ибо В П a{F) содержит Т и является сг-алгеброй.
Случай алгебры аналогичен. ?
Отметим, что из определения вытекает, что класс множеств,
образованный дополнениями множеств из Т, порождает ту же
самую а-алгебру, что и Т. Ясно также, что счетный класс может
порождать несчетную ст-алгебру. Например, интервалы с
рациональными концами порождают сг-алгебру, содержащую все
одноточечные множества отрезка.
Алгебру, порожденную семейством множеств J7, легко
описать явным образом. Для этого добавим к F пустое множество
и обозначим через Т\ совокупность всех множеств этого
расширенного набора и их дополнений. Затем через ?i обозначим
класс всех конечных пересечений множеств из Т\. Класс Т% всех
конечных объединений множеств из Тъ и будет алгеброй,
порожденной Г. В самом деле, ясно, что Т С F\ С Тч С Tj, и что
0 € Т-А- Класс Tz допускает конечные пересечения, ибо если

1.2. Алгебры и сг-алгебры 21
А = U?=i At, В = Ц}=15,, где Ai, Bj € ^2, то имеем АПВ =
Ui^n,j^kAi n 5i и Ai n -^i G -^2- Кроме того, ^*з допускает
дополнения. В самом деле, если Е — Е\ U • • • U Еп, где Ei 6 .F2,
то Х\Е = (X=1(X\Ei). Поскольку Ei = EiA П ••• П ?iifei, где
?*j € Л, то ХЩ = \$=1(Х\Еи), причем Did := Х\Еи € .ft.
Итак, Х\Е = ПГ=х UiLi Ajj что входит в .ft ввиду замкнутости
ft относительно конечных объединений и пересечений. С другой
стороны, ясно, что ft входит в алгебру, порожденную Т.
Не следует пытаться представить себе элементы ст-алгебры,
порожденной классом множеств ft в каком-либо конструктивном
виде с помощью счетных объединений, пересечений или
дополнений элементов Т. Дело в том, что указанные операции можно
повторять неограниченное число раз в любом порядке.
Например, можно образовать класс Та счетных объединений
замкнутых множеств отрезка, затем класс Та& счетных пересечений
множеств из Та и индуктивно продолжить этот процесс. При этом
будут все время получаться новые классы, но даже их
объединение не исчерпывает сг-алгебры, порожденной замкнутыми
множествами (см. задачи 6.10.29, 6.10.30, 6.10.31 в гл. 6). Приведем
один пример, когда можно явно описать <т-алгебру, порожденную
классом множеств.
1.2.7. Пример. Пусть Ло — некоторая сг-алгебра
подмножеств пространства X и пусть множество S из X не входит в Ао-
Тогда cr-алгебра <т(.До U {5}), порожденная Ао и множеством S,
есть совокупность всех множеств вида
E = (AnS)u(Bn(X\S)), А,ВеАо. A.2.1)
Доказательство. Все множества вида A.2.1) входят в а-
алгебру а (Ао U {<?}) - С другой стороны, множества указанного
вида образуют ст-алгебру. Действительно,
Х\Е = ((Х\А) П S)U((X\B) П (X\S)),
ибо х не входит в Е в точности тогда, когда либо х входит в 5, но
не в А, либо х не входит ни в S, ни в В. Кроме того, если
множества Еп представлены в виде A.2.1) с некоторыми Ап, Вп Е Ао, то
njJLi Еп и Un^=i Еп также имеют вид A.2.1). Например, Пг5=1 Еп
имеет вид A.2.1) с А = f]n°=1 Ап и В = HnLi &п- Наконец,
множества из Ао получаются в виде A.2.1) при А = В, а для получения
S надо положить А = X, В = 0. ?

22 Глава 1. Построение и продолжение мер
В рассуждениях, привлекающих сг-алгебры, часто бывают
полезны следующие простые свойства теоретико-множественных
операций.
1.2.8. Лемма. Пусть (А*)аеА ~ любое семейство
подмножеств множества X, а /: Е —> X — произвольное
отображение множества Е в X. Тогда
х\ U 4* = П (*v«), х\ П А° = U (х\^)> (L2-2)
а€Л аеЛ абЛ абЛ
/_1(U А°) = U /"^а), /"'(П ^) = П /"'(A*)-
а€Л аеЛ а€Л а€Л
A.2.3)
Доказательство. Пусть х е X\\JqgAAq, т.е. х g А& при
всех а G Л. Последнее равносильно тому, что ж € Па€Л(Х\Аа).
Остальные соотношения доказываются аналогично. ?
1.2.9. Следствие. Пусть Л — некоторая о-алгебра
подмножеств множества X и f — произвольное отображение из
множества Е в X. Тогда класс всех множеств f~1(A), А € Л,
является о-алгеброй в Е.
На простых примерах легко убедиться, что класс множеств
вида д(А), А € А, где д — отображение из X в Е, не всегда
является алгеброй.
1.2.10. Определение. Ворелевской а-алгеброй Шп
называется о-алгебра B(JRn), порожденная всеми открытыми
множествами. Множества из В(Шп) называются борелевскими. Для
произвольного множества Е С Ю." через В(Е) обозначим класс
множеств вида ЕГ\В, Be В(Шп).
Класс В(Е) можно определить и как ст-алгебру, порожденную
пересечениями Е с открытыми в ГО.П множествами. Это ясно из
того, что если последнюю сг-алгебру обозначить через ?, то
семейство всех таких множеств В € В(Шп), что В П Е 6 ?, есть
«т-алгебра, содержащая все открытые множества, т.е. она
совпадает с В(Шп). Множества из В(Е) называются борелевскими
множествами пространства Е, а В(Е) называется борелевской а-
алгеброй пространства Е. Следует иметь в виду, что такие
множества могут не быть борелевскими с точки зрения Нп, если,
конечно, само Е не является борелевским в JR.". Например,
всегда Е е В(Е), ибо Е П Ш,п = Е.

1.2. Алгебры и а-алгебры
23
Ясно, что B(JRn) порождается и классом всех замкнутых
множеств.
1.2.11. Лемма. Борелевская а-алгебра прямой порождается
любым из следующих классов множеств:
(i) множество всех интервалов;
(И) множество всех интервалов с рациональными концами;
(iii) множество всех лучей вида (—оо,с), где с рационально;
(iv) множество всех лучей вида (—оо, с], где с рационально;
(v) множество всех лучей вида (с, +оо), где с рационально;
(vi) множество всех лучей вида [с,+оо), где с рационально.
Наконец, то же самое верно, если вместо рациональных чисел
брать точки какого-либо всюду плотного множества.
Доказательство. Ясно, что все указанные множества
являются борелевскими, так как они либо открыты, либо
замкнуты. Поэтому порождаемые такими классами множеств сг-алгеб-
ры входят в В(Ш,Х). Поскольку каждое открытое множество на
прямой есть объединение не более чем счетного набора
интервалов, то достаточно установить, что всякий интервал (а, Ь) входит
в (т-алгебры, соответствующие классам (i) — (vi). Это
вытекает из того, что (о, 6) есть объединение интервалов вида (ап,Ьп),
где ОпИ Ьп рациональны, а также объединение промежутков
вида [an, Ьп) с рациональными концами, а такие промежутки
входят в ег-алгебру, порожденную лучами (—оо, с), ибо записываются
как разности лучей. Аналогичным образом, разности лучей вида
(с, оо) дают промежутки (ап,6п], из которых с помощью
объединений строятся интервалы (а,Ь). D
Из доказательства ясно, что борелевская <х-алгебра
порождается отрезками с рациональными концами. Из этого, кстати,
видно, что непересекающиеся классы множеств могут порождать
одну и ту же (т-алгебру.
1.2.12. Пример. Класс всех одноточечных множеств
пространства X порождает ст-алгебру, состоящую из всех множеств,
которые либо не более чем счетны, либо имеют не более чем
счетные дополнения. В частности, эта а-алгебра меньше борелевской,
если X = Ш.1.
Доказательство. Обозначим через А семейство множеств
А С Ж1, таких, что либо А конечно или счетно, либо ГО,1\Л
конечно или счетно. Проверим, что А — <т-алгебра. Поскольку вся

24 Глава 1. Построение и продолжение мер
прямая входит в Л, причем А допускает взятие дополнения, то
нам достаточно проверить, что А := U^Li Ап ? А при Ап е А.
Если все множества Ап не более чем счетны, то это очевидно.
Предположим, что среди них имеется хотя бы одно множество
АП1 с не более чем счетным дополнением. Поскольку дополнение
А содержится в дополнении АП1, то оно также конечно или
счетно, т.е. A G Л. Так как точки входят в Л, то и порождаемая ими
<т-алгебра Ло содержится в Л. С другой стороны, ясно, что всякое
множество из А есть элемент Ао, откуда Ло = А. ?
Приведем определения еще нескольких классов множеств,
используемых в теории меры.
1.2.13. Определение, (i) Система 11 подмножеств
множества X называется кольцом, если она содержит пустое
множество и множества А П В, A U В и А\В входят в 1Z для
всех А, В еЧ;
(ii) Система S подмножеств множества X называется
полукольцом, если она содержит пустое множество, АпВб5
для всех A,BgSu для всякой пары множеств А,ВеИс
А С В множество В\А является объединением конечного
числа дизъюнктных множеств из S. Если X eS, то S называется
полуалгеброй;
(iii) Кольцо называется а-кольцом, если оно замкнуто
относительно счетных объединений. Кольцо называется 6-колъцом,
если оно замкнуто относительно счетных пересечений.
Все ограниченные множества на прямой образуют кольцо, но
не алгебру. Класс всех промежутков в отрезке дает пример
полукольца, не являющегося кольцом. Другой пример полукольца:
все промежутки вида [а, Ь) на прямой (а их пересечения с [0,1]
образуют полуалгебру в [0,1]). Согласно следующей лемме класс
всех конечных объединений элементов полукольца является
кольцом (называемым кольцом, порожденным данным полукольцом).
Ясно, что это — минимальное кольцо, содержащее данное
полукольцо.
1.2.14. Лемма. Для любого полукольца S совокупность
конечных объединений множеств из S образует кольцо V.. При
этом всякое множество из И является конечным объединением
попарно непересекающихся множеств из S. Если S —
полуалгебра, то Л — алгебра.
Доказательство. Ясно, что класс 1Z допускает конечные
объединения. Пусть А = А\ U • • • U Ап, В = В\ U • • • U Bk, где

1.3. Аддитивность и счетная аддитивность мер 25
Ai, Bj ? S. Тогда А П В = \Ji^n,j^k A^Bj е П. Кроме того,
Остается воспользоваться уже доказанным и тем фактом, что
множество Ai\Bj = Л,\(Д П jBj) есть конечное объединение
множеств из S. Ясно, что А можно записать в виде дизъюнктного
объединения множеств из <S ввиду замкнутости S относительно
пересечения. Последнее утверждение леммы очевидно. ?
1.3. Аддитивность и счетная аддитивность мер
Числовыми функциями будем называть функции со
значениями в (—со, +оо). В тех случаях, когда речь пойдет о функциях
со значениями из расширенной прямой [—со, +оо], это будет
специально оговариваться.
1.3.1. Определение. Числовая функция множества /л,
определенная на некотором классе множеств А, называется
аддитивной (или конечно-аддитивной), если
м(и*) = 1>(^) A-3-1)
для всех п и всех таких конечных наборов дизъюнктных
множеств Ai Е А, что иГ=1 А е А.
В случае, когда А замкнуто относительно конечных
объединений, конечная аддитивность равносильна равенству
ft(A\J В) = ц(А) + ц(В) A.3.2)
для всех непересекающихся множеств А, В € А.
Если область определения аддитивной числовой функции
множества /л содержит пустое множество 0, то fi@) = 0. В
частности, это верно для аддитивной функции на кольце или алгебре.
Полезно рассматривать и свойство субаддитивности
(называемое также полуаддитивностью):
г=1 t=l
для всех Ai ? А с U^Aj ? А. Аддитивная неотрицательная
функция множества на алгебре субаддитивна (см. ниже).

26
Глава 1. Построение и продолжение мер
1.3.2. Определение. Числовая функция множества fi на
некотором классе множеств Л называется счетно-аддитивной,
если
/*(СМ«)=Х>(^) A.3.4)
п=1 п=1
для всех таких попарно непересекающихся множеств Ап из Л,
что U?=i Ап€ Л. Счетно-аддитивная функция множества,
определенная на алгебре, называется мерой.
Из определения нетрудно усмотреть, что ряд A.3.4) сходится
абсолютно.
1.3.3. Предложение. Пусть /j, — аддитивная числовая
функция множества на алгебре (или кольце) множеств Л.
Тогда следующие условия равносильны:
(i) функция ц счетно-аддитивна,
(И) функция ц непрерывна в нуле в следующем смысле: если
А„, € A, An+i С Ап для всех nelNu C\n°=i Ai = 0> т°
Шо1л(Ап) = 0, A.3.5)
(Ш) функция ц непрерывна снизу, т.е. если Ап Е А таковы,
что Ап С Ап+х для всех neN« UnLi An € А, то
КU Ап) = ,И%о^(Ап). A.3.6)
71=1
Доказательство, (i) Пусть ц счетно-аддитивна, а
множества Ап € А монотонно убывают к пустому множеству. Положим
Вп = Ап\Ап+\. Множества Вп входят вДн дизъюнктны, а их
объединение есть А\. Поэтому сходится ряд X^iMAO- Тогда
Ylw=N М(^и) стремится к нулю при N —» оо, но сумма этого ряда
есть ц(Ам), ибо \Jn°=NBn = An- Итак, приходим к условию (ii).
Пусть теперь выполнено условие (ii) и Вп —
последовательность попарно непересекающихся множеств из А, объединение В
которых есть также элемент А. Положим Ап = B\Ufc=i -^fc-
Ясно, что {Ап} — последовательность вложенных множеств из Л с
пустым пересечением. По условию, ц(Ап) —> 0. Ввиду конечной
аддитивности это означает, что Ylk=i А*С^*) ~~* М-^) ПРИ п ~* °°-
Итак, ц счетно-аддитивна. Ясно, что (Ш) следует из (ii), ибо если
множества Ап € А монотонно возрастают и дают в объединении

1.3. Аддитивность и счетная аддитивность мер 27
множество А € А, то множества А\Ап € А монотонно убывают
к пустому множеству. Наконец, из (ш) ввиду конечной
аддитивности очевидным образом следует счетная аддитивность fi. О
1.3.4. Определение. Счетно-аддитивная мера /х на
а-алгебре подмножеств пространства X называется
вероятностной, если /л неотрицательна и /х(Х) = 1.
1.3.5. Определение. Тройка (Х,А,ц) называется
пространством с мерой, если ц — неотрицательная мера на о-алгебре
Л подмножеств множества X.
Аддитивные функции множества называют также
аддитивными мерами, но мы для упрощения терминологии мерами
будем называть только счетно-аддитивные меры на алгебрах или
кольцах. Счетно-аддитивные меры называют также сг-аддитив-
ными. Мера, определенная на борелевской ст-алгебре всего
пространства Шп или какой-либо его части, называется борелевской.
Ясно, что если А — алгебра, то аддитивность есть просто
равенство A.3.2) для всевозможных непересекающихся множеств
из А. Аналогично, если А — ст-алгебра, то счетная аддитивность
есть равенство A.3.4) для всевозможных дизъюнктных
последовательностей множеств из А. Приведенные выше формулировки
удобны по двум причинам: во-первых, справедливость
соответствующих равенств требуется проверять лишь для тех наборов
множеств, для которых обе части имеют смысл, а во-вторых, как
мы увидим далее, при естественных предположениях
аддитивные (или счетно-аддитивные) функции множества допускают
аддитивные (соответственно, счетно-аддитивные) продолжения на
более широкие классы множеств, замкнутые относительно взятия
объединения соответствующего типа.
1.3.6. Пример. Пусть А — алгебра таких множеств А С IN,
что либо А, либо JN\A конечно. Для конечных А пусть ц(А) = О,
а для А с конечным дополнением пусть ц{А) = 1. Тогда ц —
аддитивная, но не счетно-аддитивная функция множества.
Доказательство. Ясно, что А — действительно алгебра.
Соотношение A.3.2) очевидно для непересекающихся множеств
А и В, если А конечно. Наконец, А и В из А не могут быть
бесконечными одновременно в силу дизъюнктности. Если бы ц была
счетно-аддитивной, то мы бы имели //(IN) = 53raLi M{n}) = О- ?

Глава 1. Построение и продолжение мер
Существуют и аддитивные, но не счетно-аддитивные
функции множества на ст-алгебре (см. пример 1.12.28). Простейшая
счетно-аддитивная функция множества — тождественно нулевая.
Приведем чуть менее тривиальный пример.
1.3.7. Пример. Пусть А — сг-алгебра всех подмножеств IN.
Для каждого А = {nk} положим ц(А) = ?) 2~nfc. Тогда ц — мера
fc
на А.
Чтобы строить более содержательные примеры (скажем,
меру Лебега), нам понадобятся вспомогательные технические
средства, обсуждаемые в следующем параграфе.
Отметим несколько простых свойств аддитивных и счетно-
аддитивных функций множества.
1.3.8. Предложение. Пусть ц — неотрицательная
аддитивная функция множества на алгебре А.
(i) Если А, ВеАиАсВ,то ц(А) ^ ц(В).
(ii) Для всякого набора А\,..., Ап €Е А имеем
(iii) Функция ц счетно-аддитивна в точности тогда, когда
в дополнение к аддитивности она счетно-субаддитивна в
следующем смысле: для всякой последовательности {An} С А с
\Уп°=\ Ап?А имеем
/х@Ап)^Е^п).
п=1 п=1
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из
неотрицательности fj,(B\A). Утверждение (ii) очевидным образом
проверяется по индукции с учетом соотношения ц(А U В) = fi(A\B) +
ц(В\А) + ц(А П В) и неотрицательности /х.
Если ц счетно-аддитивна и объединение множеств An € А
также входит в А, то согласно предложению 1.3.3 имеем
кильки*).

1.3. Аддитивность и счетная аддитивность мер 29
что ввиду (ii) дает указанную в (ш) оценку. Наконец, такая оценка
в сочетании с аддитивностью дает счетную аддитивность.
Действительно, пусть Вп — попарно непересекающиеся множества
из Л, объединение В которых также входит в Л. Тогда для
всякого п G IN имеем
fc=l fc=l k=l
откуда вытекает, что Y^k=\ А*(Дь) = ^(В). П
1.3.9. Предложение. Пусть Ло — полуалгебра (см.
определение 1.2.13). Тогда всякая аддитивная функция множества р,
на Ло однозначно продолжается до аддитивной функции
множества на алгебре Л, состоящей из всевозможных конечных
объединений множеств из Ло (яь€^ алгебре, порожденной Ло)¦¦
При этом продолжение счетно-аддитивно, если ц
счетно-аддитивна на Ло. Это же верно и в случае полукольца Л и
порожденного им кольца.
Доказательство. Согласно лемме 1.2.14 совокупность всех
конечных объединений элементов из Ло является алгеброй (или
кольцом, когда Ло — полукольцо). Ясно, что при этом всякое
множество из Л можно представить в виде дизъюнктного
объединения элементов Ло- Положим
/i(A) = f>D),
i=l
если Ai € Ло попарно не пересекаются и в объединении дают А.
"Указанное продолжение очевидным образом аддитивно, но надо
проверить корректность его задания, т.е. независимость от
разбиения А на части из Ло- В самом деле, если В\,..., Вт — попарно
непересекающиеся множества из Ло, дающие в объединении А,
то в силу аддитивности р на алгебре Ло справедливы равенства
М^г) = Yl]Li ^(AidBj), n(Bj) = YZ=i 1*(А1ПВз)' откуда
вытекает требуемое. Проверим счетную аддитивности указанного
продолжения в случае счетной аддитивности на До- Пусть А, Ап е Л,
А = U^=i An, причем АпГ\Ак = 0 при пфк. Тогда
N Nn
A=\jBit An = \jBn,i,

30
Глава 1. Построение и продолжение мер
где Bj,Bnj е Aq. Положим Cn,i,j '•= Sn,t П Bj. Множества Cn^j
попарно не пересекаются, причем
S;=UUcw Bnti={Jcn>iJ.
n=lt=l j=l
В силу счетной аддитивности ц на Ло имеем
KBj) = ??м(Оцу), »(Bn,i) = f>(CW,
n=l i=l i=l
а по определению ц на Д справедливо равенство
Из этих соотношений получаем ц{А) = J^nii А*(^п)> ибо обе
величины равны сумме всех fi(Cn,i,j)- Законность перестановки
суммирования по га и по j очевидна из того, что ряды по п сходятся,
а суммы по j и г конечны. ?
1.4. Компактные классы и счетная аддитивность
В этом параграфе дано достаточное условие счетной
аддитивности, которому удовлетворяет большинство мер, встречающихся
в реальных задачах.
1.4.1. Определение. Семейство К подмножеств
множества X называется компактным классом, если для всякой
последовательности Кп его элементов с D^Li Кп — ®
существует такое N, что Пп=1 Кп = 0-
Название объясняется следующим основным примером.
1.4.2. Пример. Произвольное семейство компактных
множеств в Ю,п (более общим образом, в топологическом
пространстве) является компактным классом.
Доказательство. Действительно, пусть Кп — компактные
множества с пустым пересечением. Предположим, что для
каждого п множество Еп = Г)"=1 Ki содержит некоторый элемент хп.
Можно считать, что никакой элемент построенной
последовательности не встречается в ней бесконечно часто, ибо тогда он и будет
общим элементом. В силу компактности К\, существует точка х,

1.4. Компактные классы и счетная аддитивность 31
всякая окрестность которой содержит бесконечно много
элементов последовательности {хп}. Поскольку все множества Еп
компактны и Xi € Еп при г ^ п, то х принадлежит всем Еп —
противоречие. ?
Отметим, что некоторые авторы называют определенные
выше компактные классы счетно-компактными или
полукомпактными, а в определении компактного класса требуют выполнение
более сильного свойства: если пересечение какого-либо
(возможно, несчетного) набора множеств из К пусто, то пусто и
пересечение некоторого его конечного поднабора (в задаче 1.12.94 указан
интересный с точки зрения теории меры пример, различающий
эти два свойства). Хотя такая терминология более
последовательна с точки зрения связей с топологией (см. задачу 6.10.65 в гл. 6),
мы не будем ей следовать.
1.4.3. Теорема. Пусть ц — неотрицательная аддитивная
функция множества на алгебре Л. Предположим, что
существует компактный класс К,, приближающий ц в следующем
смысле: для всякого А € А и всякого е > 0 найдутся такие
Ке G К. и Ае € А, что Ае С К? С А и ц{А\Ае) < е. Тогда ц
счетно-аддитивна. В частности, это верно, если компактный
класс К, содержится в А и для всякого А € А справедливо
равенство
уь(А) = sup fJ-(K).
КсА, к&к
Доказательство. Предположим, что множества Д, е А
убывают и их пересечение пусто. Покажем, что ц{Ап) —> 0.
Зафиксируем е > 0. По условию, существуют такие Кп € К и
Вп € Л, что Вп с Кп с Ап и ц(А„\Вп) < е2~п. Ясно, что
(XiLi Кп С fln^=i А» = 0- По определению компактного класса,
найдется такое N, что D^Li Кп = 0. Тогда f)n=i Вп = &¦
Заметим, что справедливо соотношение
JV N
AN=(\Ana{J{An\Bn).
П=Ы п=1
Действительно, пусть х Е An, т.е. х € Ап для всех п ^ N. Если
х не входит в [Jn=i(An\Bn), то х ^ Ап\Вп при всех n ^ N. Тогда
ж € Вп для каждого n ^ N, откуда х € D^=i &п ~ противоречие.

32
Глава 1. Построение и продолжение мер
Из доказанного равенства вытекает оценка
N N
Итак, 1л{Ап) —у О, что влечет счетную аддитивность ц. О
1.4.4. Пример. Пусть / — отрезок в ГО,1, Л — алгебра
конечных объединений промежутков из I (замкнутых, открытых и
полуоткрытых). Тогда обычная длина Ах, приписывающая
значение Ь — а промежутку с концами а и Ъ и распространенная по
аддитивности на их конечные дизъюнктные объединения, счетно-
аддитивна на алгебре Л.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Конечные объединения замкнутых
промежутков образуют компактный класс и приближают изнутри
конечные объединения прочих промежутков. ?
1.4.5. Пример. Пусть I — куб в 1R" вида [а,Ь]п, Л —
алгебра конечных объединений параллелепипедов из J, являющихся
произведениями промежутков из [а,Ь]. Тогда обычный объем А„
счетно-аддитивен на Л. Будем называть Ап мерой Лебега.
Доказательство. Как и в предыдущем примере, конечные
объединения замкнутых параллелепипедов представляют собой
компактный приближающий класс. ?
В теореме 1.12.5 ниже показано, что свойство компактности
можно немного ослабить.
Предыдущие результаты оправдывают введение следующего
понятия.
1.4.6. Определение. Пусть т — неотрицательная
функция на некотором классе ? подмножеств множества X и V —
также некоторый класс подмножеств X. Будем говорить, что
V есть класс, приближающий т, если для всякого Е 6 € и
всякого е > О найдутся такие Ре EV и Ее € ?, что Ее С Р? С Е и
\т(Е) - т(Ее)\ < е.
1.4.7. Замечание. Рассуждения в теореме 1.4.3
фактически доказывают следующее утверждение. Пусть а —
неотрицательная аддитивная функция множества на алгебре Л и пусть
Ло — подалгебра Л. Предположим, что существует компактный
класс К, приближающий fi на Ло относительно Л в следующем
смысле: для всякого А €Е Ло и всякого е > О найдутся такие

1.4. Компактные классы и счетная аддитивность 33
К? € К и А? € А, что А? С К? С А и /х(Л\Ле) < е. Тогда д
счетно-аддитивна на До-
Заметим, что пока в рассмотренных примерах речь шла о
счетной аддитивности на алгебрах. Однако, как мы увидим ниже,
всякая счетно-аддитивная мера на алгебре автоматически
продолжается (причем единственным способом) до
счетно-аддитивной меры на ст-алгебре, порожденной этой алгеброй.
Мы увидим в главе 7, что класс мер, обладающих
компактным приближающим классом, весьма широк (так что даже не
очень просто построить пример счетно-аддитивной меры, для
которой нельзя найти компактный приближающий класс). Таким
образом, найденное нами достаточное условие счетной
аддитивности носит весьма универсальный характер. Пока мы приведем
лишь следующий результат.
1.4.8. Теорема. Пусть ц — неотрицательная
счетно-аддитивная мера на борелевской а-алгебре B(lRra) пространства JR.™.
Тогда для всякого борелевского множества В С Шп и всякого
е > О найдутся такие открытое множество U? и компактное
множество Ке, что Ке С В С Ue и n(U?\K?) < е.
Доказательство. Покажем, что для любого е > О найдется
такое замкнутое множество F? С В, что
H(B\F?) < е/2.
Тогда, в силу счетной аддитивности [г, само F? можно приблизить
изнутри с точностью до е/2 компактом Fe П U, где U —
замкнутый шар достаточно большого радиуса. Обозначим через А класс
всех таких множеств А € В(Шп), что для всякого е > 0 найдутся
замкнутое множество F? и открытое множество U?, для которых
Fe С А С U? и n(U?\F?) < е. Заметим, что всякое замкнутое
множество А входит в А, ибо в качестве F? можно брать само Л, а в
качестве U? можно взять некоторую открытую 6-окрестность As
множества А, т.е. объединение всех открытых шаров радиуса 8
с центрами в точках из А (при стремлении 6 к нулю открытые
множества А5 убывают к А, поэтому их меры стремятся к
мере А). Покажем, что А — сг-алгебра. Если это сделано, то теорема
доказана, ибо замкнутые множества порождают борелевскую а-
алгебру. По построению, класс А замкнут относительно операции
дополнения. Поэтому остается проверить замкнутость А
относительно счетных объединений. Пусть А}i € А и пусть е > 0. Тогда

34 Глава 1. Построение и продолжение мер
существуют такие замкнутые множества Fj и открытые
множества Uj, что Fj С Aj С Uj и fi(Uj\Fj) < e2~i, j € IN. Множество
U = (Jfci ^ открыто, а множество Zk = \Jj=i Fj замкнуто для
всякого fcelN. Остается заметить, что Zk С \JjLi Aj CU и при
достаточно большом к имеет место оценка fi(U\Zk) < е. Действи-
тельно, /*(U?i(tfi\*j)) < E?ie2-i = е * /x(Zfc) - ji(U?i*>)
при fe-+ooB силу счетной аддитивности. П
Доказанное утверждение показывает, что измеримость можно
определять (как и делается в ряде учебников) в духе
конструкции Пеано-Жордана через внутренние приближения
компактами и внешние приближения открытыми множествами. Для
этого надо, конечно, сначала задать меру открытых множеств (что
определит и меру компактов). На отрезке это не представляет
трудностей, ибо открытое множество слагается из дизъюнктных
интервалов, что при требовании счетной аддитивности
однозначно задает его меру через меры интервалов. Однако уже в случае
квадрата такого дизъюнктного представления открытого
множества нет, поэтому упомянутое построение здесь не столь
эффективно.
Наконец, стоит сказать, что рассмотренную выше меру
Лебега на алгебре, порожденной кубами, можно сразу задать на бо-
релевской ст-алгебре равенством \п(В) := inf 2fLi ^n(Ij), где inf
берется по всем не более чем счетным покрытиям В кубами Ij. На
самом деле, это и будет сделано ниже, однако обоснование того,
что указанное равенство дает счетно-аддитивную меру, не
тривиально и будет дано обходным путем, причем основную роль будут
играть идея приближения компактами и конструкция внешней
меры, которой посвящен следующий параграф.
1.5. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
В этом параграфе показано, как продолжать
счетно-аддитивные меры с алгебр на сг-алгебры.
Для всякой неотрицательной функции множества /х, которая
определена на некотором классе Л подмножеств пространства X,
содержащем само X, формула
и*(А) = mfjf^rOUn € А Л с (J А»}
^n=l n=l J

1.5. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 35
задает новую функцию множества, определенную уже для
каждого Ас X. Если X не входит в А, то fi* задается указанной
формулой на всех множествах А, которые можно покрыть счетной
последовательностью элементов А, а прочим множествам можно
приписать бесконечное значение (иногда им приписывают
значение, равное точной верхней грани значений /х* на содержащихся
в них множествах, которые покрываются последовательностями
из А). Функцию ц* называют внешней мерой, хотя она не
обязана быть даже аддитивной. Более подробно внешние меры Кара-
теодори, не обязательно происходящие из аддитивных функций
множества, обсуждаются ниже в §1.11.
1.5.1. Определение. Пусть fx — неотрицательная
функция множества на области определения А С 2*. Множество
А называется /л-измеримым (или измеримым по Лебегу
относительно ц), если для всякого е > 0 найдется такое А? € А,
что
ц*(АААе) <е.
Класс ц-измеримых множеств обозначается через Ац.
Нас будет интересовать случай, когда /х — счетно-аддитивная
мера на алгебре А.
Отметим, что определение измеримости, данное самим
Лебегом, состояло в равенстве fi*(A) + ц*(Х\А) = /jt(X) (для
отрезка X). Ниже будет показано, что для аддитивных функций
на алгебрах такое определение (возможно, интуитивно не столь
прозрачное) равносильно данному выше (см. теорему 1.11.8, а
также предложение 1.5.11 для счетно-аддитивных мер). Кроме
того, ниже мы обсудим определение измеримости по Каратеодо-
ри, которое также равносильно данному выше в случае, когда
речь идет о неотрицательных аддитивных функциях множества
на алгебрах, но гораздо более содержательно в общем случае.
1.5.2. Пример, (i) Пусть 0 Е Ли ц@) = 0. Тогда А С А»
(при А Е А можно взять Ае — А). Кроме того, всякое множество
А с /л*(А) = 0 является /х-измеримым (можно взять Ае = 0).
(ii) Пусть А — алгебра промежутков из примера 1.4.4 с
обычной длиной Л. Тогда Л-измеримость А равносильна тому, что для
всякого е > 0 можно найти множество Е, равное конечному
объединению интервалов, и множества А'е, А" с
А = (Е U А'е)\А'^, Х*(А'е)^е, Х*(А'^)^е.

36
Глава 1. Построение и продолжение мер
(Ш) Пусть X = [0,1], А = {0, X}, ц(Х) = 1, ц@) = 0. Тогда
ц — счетно-аддитивная мера на Л, причем Ац = А.
Действительно, fi*(E) — 1 для всякого Е ф 0. Поэтому из непустых множеств
лишь весь отрезок можно приблизить множеством из А с
точностью е < 1.
Отметим, что даже если /х — счетно-аддитивная мера на а-
алгебре А, соответствующая внешняя мера /х* может не быть
счетно-аддитивной на классе всех множеств.
1.5.3. Пример. Пусть X — это двух-точечное множество
{0,1} и А = {0,Х}. Положим fj,@) = 0, ц(Х) = 1. Тогда А
— ст-алгебра, а у, счетно-аддитивна на А, но /х* не является
аддитивной на <т-алгебре всех множеств, ибо ^*({0}) = 1, /х*({1}) = 1,
*«•({<» U {1}) = 1.
1.5.4. Лемма. Пусть ц — неотрицательная функция
множества. Тогда функция \х* счетно-субаддитивна, т.е.
//(LK)^i>*(Aj A.5.1)
для любых множеств Ап.
Доказательство. Пусть е > 0 и у*{Ап) < оо. Для всякого
п существует такой набор {Ai,*}]^ С А, что Ап С Ub=i A»,fc и
fc=l
Тогда U^=i Ап С U^Li Ufeli 5n,fc и потому
71=1 П=1 fc=l П=1
Ввиду произвольности е, приходим к A.5.1). ?
1.5.5. Лемма. Пусть ц — неотрицательная аддитивная
(или хотя бы субаддитивная) функция множества. Тогда для
всяких множеств А и В справедливо неравенство
|/х*(Л)-/х*(В)|^М*(ЛЛ?). A.5.2)

1.5. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 37
Доказательство. Заметим, что А с В и (А А В), откуда в
силу субаддитивности ц* получаем оценку
ц*(А)^ц*(В) + ц*(ААВ),
т.е. ц*(А)-ц*(В) ^ ц*(ААВ). Оценка ц*(В)-ft*(А) ^ ц*(ААВ)
получается аналогично. D
1.5.6. Теорема. Пусть ц — неотрицательная
счетно-аддитивная функция множества на алгебре А. Тогда
(i) А С Ац и внешняя мера р.* совпадает с ц на А;
(и) совокупность Ац всех ц-измеримых множеств является
о-алгеброй, причем ограничение ц* на Ац счетно-аддитивно;
(Ш) р.* —- единственное счетно-аддитивное продолжение ц
на а-алгебру а(А), порожденную А.
Доказательство, (i) Уже отмечалось, что А С Ац. Пусть
А е А и А С U?Li Ап, где Ап € А. Тогда А = \Jn=i(A П Ап).
Поэтому в силу предложения 1.3.8(ш) имеем
откуда р(А) ^ р>*{А)- По определению, p.* {A) ^ р>(А). Значит,
ц{А)=р*{А).
(ii) Сначала заметим, что дополнение измеримого множества
А измеримо. Это ясно из формулы (Х\А) А (Х\А?) = А А Ае.
Далее, объединение измеримых множеств А и В измеримо.
Действительно, пусть е > 0 и А?, В? € Л таковы, что р*(ААА?) < е/2
и [i*{B А Ве) < е/2. Поскольку
(А и В) А (А? U В?) с (А А А?) И (В А В?),
то
р* ((А 1) В) А (Ае U Ве)) ^ ц*((А Д Ае) U (В А Ве)\ < е.
Следовательно, АиВ € Ац. Кроме того, в силу уже доказанного,
А П В = Х\((Х\А) U (Х\В)) € А». Итак, Лм - алгебра.
Теперь установим два менее очевидных свойства внешней
меры. Сначала проверим ее аддитивность на А^. Пусть А, В € Ац,
причем АГ\В = 0. Зафиксируем е > О и найдем такие А?, В? € А,
что
р*(ААА?) <е/2 и р*(ВАВ?)<е/2

38 Глава 1. Построение и продолжение мер
По лемме 1.5.5 с учетом совпадения ц* на А с /z. имеем
ц*{AUB)^ ц(Ае UВе) -ц*{{AUВ) А (Ае UВ?)\. A.5.3)
Из включения (A U В) А (Ае U Ве) С (А Л А?) U (В А 5е) и
субаддитивности ц* вытекает неравенство
//((АиБ)Л(А?иЯ?)) ^*(АДЛ) + /(ВДВ?)^г. A.5.4)
Ввиду включения Ае П В? С (А А А?) U (В А Ве) получаем
/*(Ле П Ве) = ^*(Ле П Ве) ^(л*(АА А?) +ц*(ВА Ве) ^ е.
Поэтому из оценок (л(Ае) > А**(А) — е/2 и /iEe) ^ А»*(-В) — е/2
имеем
Ах(Ае U В?) = fi{Ae) + /t(Be) - ц(А? П Ве)
^/х*(А) + ах*(Б)-2?.
С учетом соотношений A.5.3) и A.5.4) это дает
ц*{А U В) > р*(А) + ц*(В) - Зе.
В силу произвольности е получаем /i*(A US) ^ М*(^) + №*(&)¦
Поскольку /г* (A UB)< ц*(А) + /х*(В), то
ЛАиВ) = м*(Л)+М*(В).
Следующий важный шаг состоит в проверке того, что
счетное объединение измеримых множеств измеримо. Достаточно
доказать это для непересекающихся множеств Ап б Ац.
Действительно, в общем случае можно положить Вп = An\Ufc=i А&.
Тогда множества Вп не пересекаются, по доказанному измеримы
и имеют то же объединение, что и множества Ап. Имея дело с
непересекающимися множествами, замечаем, что ввиду конечной
аддитивности /i* на Ац справедливы следующие соотношения:
Х>чл)=м*(и л*) < /**(U А*) < mw-
fc=l к=\ к=1
Итак, Yj Р*(Ак) < оо. Пусть е > 0. Выберем п так, что
fc=i
Ё /Л40 < f •
fc=n+l

1.5. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 39
Пользуясь измеримостью конечных объединений, найдем такое
множество В еЛ, что /**((Ufc=i Ак) АВ)< е/2. Поскольку
(U^)abc((U^)ab)u( U Ак),
fc=l fc=l fc=n+l
ТО
Jfc=l ib=l fc=n+l
<|+ S M*Dfc)<*
fc=n+l
Итак, (JfeLi -^fc измеримо. Тем самым, Ар — а-алгебра. Остается
заметить, что из аддитивности и счетной субаддитивности ц* на
Ац следует счетная аддитивность (см. предложение 1.3.8).
(Ш) Заметим, что (т(А) С Ац, ибо Ац — ст-алгебра,
содержащая А. Пусть и — какое-нибудь счетно-аддитивное продолжение
(л на а (А). Пусть A G а (А) и е > 0. По доказанному, А € Ац,
поэтому найдется В € А с fi* (А А В) < е. Это значит, что
существуют такие множества Сп € А, что А А В С (Jnii ^" и
1С fJ-(Cn) < ?• Тогда имеем
НА) - и{В)\ ^ и(ААВ) ^ f>(C„) = ^Г»(Сп) < е.
п=1 п=1
Поскольку i/(B) = ц(В) = (г*(В), то окончательно получаем
НА) - р*(А)\ = НА) - и{В) + ц*(В) - tf(A)\
*HA)-v(B)\ + \lf(B)-lf(A)\<2e.
В сипу произвольности е приходим к равенству v(A) = ц*{А). П
Контрольный вопрос: где в вышеприведенном доказательстве
использована счетная аддитивность /*?
1.5.7. Пример. Пусть А - алгебра конечных подмножеств IN
я их дополнений, а аддитивная функция множества ц равна 0 на
конечных множествах и 1 на их дополнениях. Тогда
одноточечные множества {п} покрывают IN, поэтому /i*(!N) = 0 < fi(JN).

40
Глава 1. Построение и продолжение мер
Важным частным случаем, к которому применима теорема
о продолжении, является ситуация примера 1.4.5. Поскольку а-
алгебра, порожденная кубами с ребрами, параллельными
координатным осям, есть борелевская сг-алгебра, то в результате
получаем счетно-аддитивную меру Лебега А„ на борелевской а-
алгебре куба (и даже на более широкой ст-алгебре),
продолжающую элементарный объем. Эта мера более подробно
рассматривается в §1.7. По теореме 1.5.6 мера Лебега любого борелевско-
го (как и любого измеримого) множества В в кубе есть А* (В).
Возникает вопрос, почему бы сразу не задать меру на сг-алгебре
борелевских подмножеств куба этой формулой. Дело в том, что
трудность состоит в проверке аддитивности полученной
функции множества. Эта трудность обходится рассмотрением
алгебры, порожденной параллелепипедами, на которой аддитивность
очевидна.
С помощью доказанной теоремы можно дать новое описание
измеримых множеств.
1.5.8. Следствие. Пусть /х — неотрицательная счетно-
аддитивная функция множества на алгебре А. Множество А
является fi-измеримым в точности тогда, когда существуют
такие множества А', А" € о-{А), что
А' С Ас А" и ц*(А"\А') = 0.
Доказательство. Пусть А € Ац. Тогда для всякого е > 0
найдется множество А? Е сг(А), для которого А с Ае и ц*{А) ^
ц*{Ае) — е. Действительно, по определению найдутся Ап € А с
А С U~=i An и /л*(А) ^ ? и(Ап) - е. Положим А? = (J~ i Ап.
n=l
Ясно, что А С А?, Ае 6 о(А) С А^ и в силу счетной аддитивности
ц* на Ар имеем fJ.*(Ae) ^ ^ ц(Ап). Положим
га=1
А"=Г)А1/п.
Тогда А С A" G о{А) С Ац, причем ц*(А) = ц*(А"), ибо /jl*(A) ^
H*(Ai/n) — 1/п ^ №*(А") — 1/п для всех п. Отметим, что для
построения А" измеримость А не нужна. Применим доказанное к
дополнению А и найдем содержащее Х\А множество В G о (А) С
Ац равной с Х\А внешней меры. Положим А' = Х\В. Тогда

1.5. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 41
получаем А' С А, причем в силу аддитивности ц* на сх-алгебре
Лц и включений А,В€ Ац имеем
ц*(А') = /i(A') - f(B) = /х(Х) - 1л%Х\А) = f(A),
что и требовалось. Обратно, пусть такие множества А' и А"
существуют. Поскольку А является объединением А' и части А"\А', то
достаточно проверить, что всякое множество С из А"\А' входит
в Ац. Это верно, ибо ц*{С) < ц*(А"\А') = fJ*{A") - ц*(А') = 0 в
силу аддитивности fi* на Ац и включений A", A' G а (А) С А^. П
Из единственности продолжения вытекает следующий
полезный результат.
1.5.9. Следствие. Для равенства неотрицательных боре-
левских мер ц, и v на прямой необходимо и достаточно, чтобы
они совпадали на всех отрезках (или на всех интервалах).
Доказательство. Поскольку отрезок есть пересечение
вложенной последовательности интервалов, а интервал есть
объединение возрастающей последовательности отрезков, то в силу
счетной аддитивности совпадение /х и v на отрезках равносильно
совпадению на интервалах и влечет равенство обеих мер на алгебре
промежутков в ГО,1. Поскольку эта алгебра порождает ^(ГО1), то
ввиду единственности счетно-аддитивного продолжения с
алгебры на порожденную «т-алгебру получаем доказываемое. ?
Описанное в теореме 1.5.6 счетно-аддитивное продолжение
называется лебеговским продолжением или лебеговским
пополнением меры ц, а измеримое пространство (Х,Ац,ц) называется
лебеговским пополнением (X, А, ц). Кроме того, А^ называют
лебеговским пополнением ст-алгебры А относительно \i. Такая
терминология связана с тем, что мера \i на Лм является полной в
смысле следующего определения.
1.5.10. Определение. Неотрицательная
счетно-аддитивная мера /л на а-алгебре А называется полной, если А содержит
все подмножества всякого множества из А, имеющего ц-меру
нуль. В этом случае говорят также, что о-алгебра А полна
относительно меры ц.
Из определения внешней меры ясно, что если А С В ? Аи. и
ц(В) — 0, то А е А^ и ц{А) = 0. Легко построить пример
неполной счетно-аддитивной меры на ст-алгебре: достаточно взять
равную нулю меру на а-алгебре, состоящей из пустого множества и

42 Глава 1. Построение и продолжение мер
отрезка [0,1]. В качестве более содержательного примера укажем
меру Лебега на ст-алгебре всех борелевских подмножеств отрезка,
построенную с помощью примера 1.4.4. Эта мера
рассматривается ниже более подробно; мы увидим, что существуют компактные
множества нулевой меры Лебега, содержащие неборелевские
подмножества. Множества меры нуль называют пренебрежимыми.
Отметим следующий простой, но полезный критерий
измеримости множества в терминах внешней меры (представляющий
собой, как уже отмечалось, исходное определение Лебега).
1.5.11. Предложение. Пусть ц — неотрицательная
счетно-аддитивная мера на алгебре А. Тогда множество А входит в
Afi в том и только том случае, когда ц* (А) + ц* (Х\А) = ц(Х).
Это равносильно также тому, что ц*(ЕС\А)+ц*{Е\А) = /л*(Е)
для всякого Е С X.
Доказательство. Проверим достаточность первого из
указанных условий (тем самым окажется достаточным и более
сильное второе). Найдем такие /х-измеримые множества В к С, что
А С В, Х\А С С, ц{В) = ц*(А), ц{С) = fi*(X\A).
Существование таких множеств было установлено в доказательстве
следствия 1.5.8. Ясно, что D = Х\С с Л и
М(Б) - /z(D) = м(В) + /*(С) - MX) = О-
Следовательно, /л* (А Д В) = 0, откуда вытекает измеримость А.
Теперь установим необходимость второго из упомянутых в
формулировке условий. В силу субаддитивности внешней меры
достаточно проверить, что ц*(Е Г\А) + ц*(Е\А) ^ у*(Е) для
всякого Е С X и всякого измеримого А. Из оценки A.5.2)
следует, что достаточно установить это неравенство для всех А € А.
Пусть е > 0 и Ап € А — такие множества, что Е С U^Li Ап
и ц*(Е) > ??LxM^n) - ?¦ ТогДа Е ПА С \Jn=i(An П А) и
Е\А С \Jn=i(An\A), откуда
M(s n а)+v?{e\a) ^ f; ma* n а)+f; МАЛА)
= 5>(Л») </**(#) +е.
В силу произвольности е утверждение доказано. ?

1.6. Бесконечные и сг-конечные меры 43
Данный критерий измеримости можно сформулировать как
равенство fi*(A) = [1*{А), если внутреннюю меру задать
равенством Ц*(А) := fi(X) — fi*(X\A), как и было фактически сделано
Лебегом. Следует только иметь в виду, что при этом нельзя
пользоваться определением внутренней меры в духе меры Жордана
как точной верхней грани мер множеств из Л, вписанных в А.
Ниже мы вернемся к обсуждению внешних мер и увидим, что
последнее свойство в предложении 1.5.11 можно взять в качестве
определения измеримости, что приводит к весьма интересным
результатам (при этом само предложение будет распространено на
конечно-аддитивные функции множества).
Завершим этот параграф доказательством следующего
свойства непрерывности снизу для внешней меры.
1.5.12. Предложение. Предположим, что ц —
неотрицательная мера на а-алгебре Л. Пусть множества Ап, п € 14,
таковы, что Ап С Ai+i при всех п. Тогда
H*(\jAn)=lim^*(An). A.5.5)
Доказательство. Согласно следствию 1.5.8 найдутся такие
/х-измеримые множества Вп, что Ап С Вп и ц{Вп) = [л*(Ап).
Положим
в=ип**-
n=lfc=n
Поскольку Ап С Bk при к ^ п, то Ап С В и потому (J^ii ^п С В.
Следовательно,
м* (О А") < №) = ги™о/*( П ?*)
п=1 ^°° к=п
^ limsupц{Вп) = lim ц*{Ап).
Поскольку верно и обратное неравенство, то предложение
доказано. ?
1.6. Бесконечные и а-конечные меры
До сих пор мы обсуждали конечные меры, но приходится
рассматривать и измеримые пространства с бесконечными мерами.
Простейший (и важнейший) пример: мера Лебега на Жп. Есть

44 Глава 1. Построение и продолжение мер
несколько способов введения функций множества с
неограниченными значениями. Первый способ состоит в том, чтобы
допустить к рассмотрению функции множества, принимающие
значения из расширенной числовой прямой. Ограничимся для
простоты неотрицательными функциями множества. Тогда можно
положить с+сю = оо для всякого с G [0, +оо]. После этого можно
определять конечную или счетную аддитивность функций
множества на алгебрах и «т-алгебрах (или кольцах, полукольцах,
полуалгебрах) так же, как это сделано выше. В частности,
сохраняются определения внешней меры и измеримости. В описанной
ситуации мы будем использовать термин „счетно-аддитивная
мера со значениями в [0,+оо]". Впрочем, совершенно аналогично
можно рассматривать и меры со значениями в (—оо, +оо] или
[—оо, +оо). Некоторым недостатком такого подхода является то,
что возникает „счетно-аддитивная мера", которая на всех
непустых множествах принимает значение +оо.
1.6.1. Определение. Пусть Л — а-алгебра в пространстве
X и ц — некоторая функция множества на Л со значениями
в [О, +оо], удовлетворяющая условию fi@) = 0 и счетно
аддитивная в том смысле, что /Лу^лЛ = J2 МА?) ^ля всех
попарно непересекающихся множеств Aj Е Л, где
допускаются и бесконечные значения. Тогда ц называется мерой со
значениями в [О, +оо]. Будем называть fj, а-конечной мерой, если
X = U?Li Хп, где Хп € Л, ц(Хп) < оо.
Желание рассматривать меры лишь с собственно числовыми,
хотя и не ограниченными в совокупности значениями, приводит к
изменениям требований на область определения меры: в этом
состоит второй способ. Здесь оказываются полезны понятия кольца
и й-кольца множеств, приведенные в определении 1.2.13.
Например, в качестве естественной области определения меры Лебега
на Шп можно взять совокупность ?° всех множеств конечной
меры Лебега, т.е. таких множеств Е С Шп, что меры множеств
Ek := Е П {х: \xi\ ^ k, i = 1,...,п} в кубах (на которых у нас
уже определена мера Лебега) ограничены равномерно по к.
Мера Лебега на С„ задается формулой An(.E) = lim Хп(Ек)- Ясно,
что класс ?п является 5-кольцом. Мера Лебега счетно-аддитивна
на ?° (см. ниже). Более подробно о свойствах меры Лебега на Ш,п
говорится в следующем параграфе.

1.6. Бесконечные и а-конечные меры 45
В дальнейшем при рассмотрении бесконечных мер всякий раз
будет оговариваться, какое определение имеется в виду.
Дополнительная информация о мерах со значениями в расширенной
прямой, их продолжениях и измеримости относительно таких мер
приведена в последнем параграфе и в задачах.
1.6.2. Лемма. Пусть И — некоторое кольцо подмножеств
пространства X (т.е. Л замкнуто относительно конечных
пересечений и объединений, причем 0 Е 1Z и А\В € TZ для всех
А, В Е 1Z). Пусть ц — счетно-аддитивная функция
множества на 1Z со значениями в [О, +оо], причем существуют такие
Хп Е 1Z, что X = Unli Хп и 1*{Хп) < оо. Обозначим через цп
лебеговское продолжение меры \х, рассматриваемой на
множестве U?_i Xj с алгеброй множеств, состоящей из пересечений
элементов TZ с этим множеством, а через ?Мп обозначим класс
всех [/„-измеримых множеств. Пусть
А={ас\Х: Ас\ \JXj e?Mn,Vn,
pZ(A) ~ lim Цп(АП \J xA < oo|.
Тогда A — кольцо, замкнутое относительно счетных
пересечений, а~Ц — а-конечная мера, ограничения которой на множества
Хп совпадают с р..
Доказательство. Пусть Ai Е А — попарно
непересекающиеся множества с объединением в А. Обозначим это объединение
через А, а множество U?=i Xj через Sn. Для каждого п
множества Ai П Sn также дизъюнктны и потому
M.4nSn) = f>n(^nSn).
Поскольку А € А, то левая часть этого равенства возрастает
к Ji(A). Поэтому 53 Цп{А{ П Sn) ^ ~Ц(А) для всех п, откуда
ввиду равенства lim p,n(Ai П Sn) = Ji(Ai) для каждого г получаем
53 Р(^4г) ^ Т^{А). Из этого вытекает, что /7 — счетно-аддитивная

Глава 1. Построение и продолжение мер
мера. Пусть Е € 1Z. Тогда множества Е П |J"=1 Xj входят в TZ и
возрастают к Е, откуда ц{Е) = ~р(Е). Остальные утверждения
очевидны. ?
1.6.3. Замечание. Пусть в ситуации леммы 1.6.2
пространство X представлено в виде объединения еще одной
последовательности множеств ??п из 7? конечной меры. Тогда, как явствует
из доказанной леммы, эта последовательность приводит к тому
же самому продолжению ц и тому же классу А.
1.6.4. Пример. Пусть Сп — класс всех множеств Е С Шп,
для которых все множества Ек := Е П{х: \xi\ < к, г = 1,..., п}
измеримы по Лебегу. Тогда Сп есть ег-алгебра, на которой
функция \П(Е) — lim \n(Ek) является сг-конечной мерой (называемой
*;—юо
мерой Лебега на Ж"). Класс Сп содержит рассмотренное выше 5-
кольцо ?^.
Помимо меры Лебега, сг-конечные меры возникают при
рассмотрении мер Хаара на локально компактных группах и
римановских объемов на многообразиях. Иногда в различных задачах
анализа, алгебры, геометрии и теории вероятностей бывает
нужно перемножать конечные и ст-конечные меры. Хотя список
бесконечных мер, возникающих в реальных задачах, невелик,
полезно иметь некоторую общую терминологию, позволяющую
единообразно рассматривать различные конкретные примеры. Многие
из доказанных ранее утверждений переносятся на бесконечные
меры. Мы приведем лишь следующий результат,
распространяющий теорему 1.5.6, который легко усмотреть из данных ранее
рассуждений (доказательство оставляется в качестве задачи 1.12.66);
этот результат вытекает также из теоремы 1.11.8 ниже.
1.6.5. Предложение. Пусть ц — счетно-аддитивная мера
на алгебре А со значениями в [0,+оо]. Тогда А^ — а-алгебра,
А С Ац, функция ц* является счетно-аддитивной мерой на Ац
со значениями в [О, +оо] и совпадает с ц на А.
Однако имеются и исключения. Например, для бесконечных
мер счетная аддитивность не означает, что меры множеств Ап,
убывающих к пустому множеству, стремятся к нулю (ибо меры
всех Ап могут быть бесконечны). Отметим, что во многих книгах
меры с самого начала определяются как функции со
значениями в [0, +оо]. Тогда в теоремах часто приходится накладывать

1.7. Мера Лебега 47
дополнительные условия (причем разные в разных теоремах;
читатель найдет множество тому примеров в задачах про
бесконечные меры из гл. 1-4). Мне кажется, что, по крайней мере, в
учебном курсе лучше установить все теоремы для ограниченных
мер, затем выяснить, что большинство из них остаются в силе для
сг-конечных мер, и, наконец, указать, что возможны и
дальнейшие обобщения, но они уже требуют дополнительных условий.
В соответствии с этим принципом и будет вестись дальнейшее
изложение.
1.7. Мера Лебега
Вернемся к ситуации, рассмотренной в примере 1.4.5 и
кратко обсужденной после теоремы 1.5.6. Пусть I — куб в IRn
вида [а, Ь]п, Ло — алгебра конечных объединений
параллелепипедов из / с ребрами, параллельными координатным осям. Как
мы знаем, обычный объем А„ счетно-аддитивен на Ло- Поэтому
можно продолжить \п до счетно-аддитивной меры, также
обозначаемой через А„, на сг-алгебре СпA) всех Ага-измеримых
множеств в /, содержащей борелевскую а-алгебру. Представим
теперь Ж" в виде объединения возрастающей последовательности
кубов Ik = {\x-i\ ^ к,г = 1,...,п} и обозначим через А„ а-
конечную меру, порожденную мерами Лебега на кубах 7*. в
соответствии со сказанным в предыдущем параграфе. Пусть
Cn = {EcJRn: ЕП1кеСп{1к),Ук}.
1.7.1. Определение. Указанная выше мера \п на Сп
называется мерой Лебега на Шп. Множества из Сп называются
измеримыми по Лебегу.
В тех случаях, когда подмножества Ип рассматриваются с
мерой Лебега, обычно используются термины „множество меры
нуль", „измеримое множество" и т.п. без явного упоминания меры
Лебега. Мы также будем следовать этой традиции.
Для задания меры Лебега множества Е € Сп можно
использовать как формулу
\п(Е) = lim \п{Е П Jfc),
так и формулу
K{E) = Y,\n{EnQj),

Глава 1. Построение и продолжение мер
где Qj — попарно непересекающиеся кубы, являющиеся сдвигами
[—1,1)п и дающие в объединении все П1п. Поскольку ст-алгебра,
порожденная параллелепипедами указанного выше вида, есть бо-
релевская сг-алгебра ВA) куба I, то все борелевские множества в
кубе J, а значит и в Шп, измеримы по Лебегу.
Меру Лебега можно рассматривать также на 5-кольце ?^ всех
множеств конечной меры Лебега.
1.7.2. Лемма. Пусть W С / — открытое множество.
Тогда существует такое не более чем счетное множество
открытых попарно непересекающихся кубов Qj С W вида Qj = Cjl+hj,
Cj > 0, hj G /, что множество W\ [J?Ll Qj имеет лебеговскую
меру нуль.
Доказательство. Воспользуемся задачей 1.12.48 и
представим W в виде W = US=i Wj, где Wj — открытые кубы, ребра
которых параллельны координатным осям и имеют длины q2~p с
натуральными р, q, а центры имеют координаты вида 12~т с
целыми I и натуральными т. Затем следующим образом
реструктурируем кубы Wj. Удалим все кубы Wj, принадлежащие W\ и
положим Qi — W\. Возьмем первый куб Wn2 из оставшихся и
внутренность тела Wn2\Qi представим в виде конечного
объединения открытых кубов Q2,..., Qm-t такого же вида, как и кубы Wj, а
также некоторых кусков границ этих новых кубов. Это возможно
в силу выбора исходных кубов. Затем удалим все Wj,
содержащиеся в объединении U2i Qi* возьмем первый куб из оставшихся
и измельчим указанным выше способом его часть, выступающую
за объединение ранее построенных кубов. Продолжая описанный
процесс, мы получим попарно непересекающиеся кубы,
покрывающие W с точностью до множества меры нуль, а именно,
счетного объединения границ этих кубов. D
В задаче 1.12.60 предлагается модифицировать приведенное
рассуждение для любой борелевской меры. Выше использовалось
лишь то, что границы кубов имеют меру нуль. Отметим, что
длины ребер построенных кубов рациональны.
1.7.3. Теорема. Пусть А — измеримое по Лебегу
множество конечной меры. Тогда
(i) Хп(А + К) = Хп(А) для всякого вектора h € ГОП;
(ii) Xn[U(A)) = Хп(А) для всякого ортогонального линейного
оператора U на ГО/1;
(ш) \п(аА) = |а|пА„(А) для всякого вещественного числа а.

1.7. Мера Лебега
49
Доказательство. Из определения меры Лебега явствует,
что достаточно доказать перечисленные свойства для
ограниченных измеримых множеств.
(i) Возьмем такой куб / с центром в начале координат, что
множества А и A+h содержатся в некотором кубе внутри /. Пусть
До — алгебра, порожденная кубами в I с ребрами,
параллельными координатным осям. При определении внешней меры А
можно рассматривать лишь такие множества В € Ло, что В + h (Z I.
Поскольку объемы множеств из Aq не меняются при сдвигах, то
множества A + h и А имеют одинаковые внешние меры. Для
каждого е > О найдется множество Ае Е Aq с А* (А Д Ае) < е. Тогда
А;((Л + К) Д (А? + h)) = Х*п({А Л As) + h) = Х*п(А А А?) < е,
откуда следует измеримость А + h и доказываемое равенство.
(ii) Как и в случае (i), достаточно доказать наше утверждение
для множеств из Aq. Поэтому остается показать, что для
всякого замкнутого куба К с ребрами, параллельными координатным
осям, справедливо равенство
Xn{U(K)) = Xn(K). A.7.1)
Допустим, что это неверно для некоторого куба К, т.е.
\n(U(K))=r\n(K),
где г ф\. Покажем, что тогда для всякого шара Q С / с центром
в начале координат справедливо равенство
Xn(U(Q)) = rXn(Q), если U(Q) С /. A.7.2)
Пусть d — длина ребра К. Возьмем произвольное натуральное
число р и разделим куб К на рп одинаковых меньших
замкнутых кубов Kj с равными ребрами длины d/p и
пересекающимися лишь по граням или ребрам. Кубы U(Kj) являются
сдвигами друг друга и по доказанному имеют одинаковые меры.
Легко видеть, что грани любых кубов имеют меру нуль. Поэтому
К{ЩК)) =pnXn(U(K1)). Следовательно, An(?/(#i)) - гАп(^).
Тогда A-7.2) имеет место для всякого куба вида qK + h, где q —
рациональное число. Из этого вытекает равенство A.7.2) для
шара Q. Действительно, по аддитивности это равенство переносится
на конечные объединения кубов с ребрами, параллельными
координатным осям. Далее, для всякого е > 0 можно найти два таких
объединения Е\ и Е2, что Е\ С Q С Е2 и Xn(E2\Ei) < е.
Чтобы этого добиться, надо взять такие шары Q' и Q" с центром в

50
Глава 1. Построение и продолжение мер
начале координат, что Q' С Q С Q" со строгими включениями и
мера Q"\Q' мала. Затем можно найти конечное объединение Е\
кубов указанного вида с Q' С Е\ С Q и аналогичное
объединение с Q С JS2 С Q". Остается заметить, что U(Q) = Q, и A.7.2)
приводит к противоречию.
(iii) Последнее утверждение очевидно для множеств из Ло и
потому, как и утверждения (i) и (И), переносится на произвольные
измеримые множества. ?
Стоит отметить, что свойство (Ш) меры Лебега является
следствием свойства (i), ибо из (i) оно следует для куба и а = 1/т,
где тп — натуральное, затем переносится на рациональные а, что
по непрерывности приводит к общему случаю. Как видно из
доказательства, свойство (И) также вытекает из свойства (i). При
этом свойство (i) характеризует меру Лебега с точностью до
множителя (см. задачу 1.12.62). Возможен и другой вывод
свойства (И) из свойств (i) и (iii), использующий инвариантность шара
относительно вращений и следующую теорему, которая весьма
интересна и сама по себе.
1.7.4. Теорема. Пусть W — непустое открытое
множество в Шп. Тогда существует счетное множество попарно
непересекающихся открытых шаров Uj С W, таких, что
множество W\ U^=i Uj имеет меру нуль.
Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае,
когда ЛП(И^) < оо (можно вообще считать, что W содержится в
кубе). Пусть К = (—1,1)" и пусть V — открытый шар,
вписанный в К. Ясно, что Xn{V) = а\п(К), где 0 < а < 1. Положим
q = 1 — а. Возьмем такое число @ > 1, что qfi < 1. По лемме 1.7.2
множество W можно представить в виде объединения множества
меры нуль и последовательности открытых попарно
непересекающихся кубов Kj вида Kj = CjK + hj, где Cj > 0 и hj Е Жп. В
каждый куб Kj вписан открытый шар Vj = CjV + hj. При этом
K(Vj)/\n(Kj) = а, откуда
\n(Kj\Vj) = Xn(Kj) - Xn(Vj) = qXn(Kj).
Поэтому
ЦЩ U Vi) = Е Xn(Kj\Vj) = qf^Xn(Kj) = qXn(W).
j=\ j=\ j=\

1.7. Мера Лебега
Найдем конечный набор построенных кубов, такой, что
A„(w\Uvs)</3gA„(W4
j=i
Положим Vj = Vj, j ^ N\. Повторим описанное построение
для открытого множества W\, полученного из W удалением
замыканий шаров Vi,... jV/Vj (заметим, что конечное объединение
замкнутых множеств замкнуто). Получим набор попарно непере-
N2
Xn(wl\ U VJ2>) < PqXniW!) ^ (pqJ\n(W).
По индукции получаем счетное семейство попарно
непересекающихся открытых шаров V, , j ^ N/g, со следуюпщм свойством:
если Zk есть объединение замыканий шаров V/ ,... ,V^- и Wk =
Wfc_i\Zfc, где Wo = W, то
A, [
«(Wik\ (J *f+1)) < (/?9)fe+1An(W).
Поскольку (/3g)fe —> 0, то множество W\ Ufcli \jf=i Vj имеет
меру нуль. ?
Ясно, что в формулировке доказанной теоремы можно
заменить шары Uj на множества, представляющие собой растяжения
и сдвиги произвольного фиксированного ограниченного
множества положительной меры. Действительно, при доказательстве
использовалась лишь инвариантность меры Лебега
относительно сдвигов и соотношение An(rA) = гпХп(А) при г > 0. В гла-
fce 5 (следствие 5.8.3) доказанная теорема будет распространена
на произвольные борелевские меры.
Отметим, что из доказанных выше теорем вытекает, что ле-
беговская мера всякого прямоугольного параллелепипеда Pel
(не обязательно с ребрами, параллельными координатным осям)
равна произведению длин его ребер. Ясно, что всякое счетное

52
Глава 1. Построение и продолжение мер
множество имеет лебеговскую меру нуль. Как показывает
следующий пример канторовского множества (названного в честь
выдающегося немецкого математика Георга Кантора), существуют
и несчетные множества лебеговской меры нуль.
1.7.5. Пример. Пусть / = [0,1]. Обозначим через «/1д
интервал A/3,2/3). Через J2,i, J%2 обозначим интервалы A/9,2/9) и
G/9,8/9), являющиеся средними третями отрезков, полученных
после удаления интервала J\t\. Продолжим индуктивно процесс
удаления средних интервалов. После n-го шага получим 2"
отрезков, а на следующем шаге удалим их средние трети Jn+i,ii
... ,,/„-1-1,2", после чего останется 2n+1 отрезков и процесс
продолжится. Множество С = I\ \Jn , Jnj называется канторовским.
Оно компактно, имеет мощность континуума, но лебеговскую
меру нуль.
Доказательство. Множество С компактно, ибо его
дополнение до отрезка открыто. Чтобы увидеть, что С имеет мощность
континуума, запишем точки отрезка [0,1] в троичной системе, т.е.
х = X)S=i •Tj3_J, где Xj принимает значения 0,1,2. Как и для
десятичных разложений, такое представление не однозначно, ибо,
например, последовательность A,1,2,2,...) соответствует тому
же числу, что и последовательность A,2,0,0,...). Однако
подобная неоднозначность возможна лишь для не более чем счетного
множества точек, которое мы обозначим через М. По индукции
проверяется, что после n-го шага удаления остаются точки х, для
которых Xj = 0 или Xj = 2 при j ^ п. Таким образом, С\М
состоит из точек, в троичном разложении которых участвуют лишь
О и 2, откуда следует, что С равномощно множеству
вещественных чисел. Наконец, чтобы показать, что С имеет нулевую меру,
остается проверить, что дополнение к С имеет меру 1. По
индукции проверяется, что мера множества Jn,i U • • • U Jn>2"-i равна
2„_i3_n При этом ?оо^ 2»-i3-n = 1. ' ?
1.7.6. Пример. Пусть е > О и пусть {г„} — множество всех
рациональных точек из [0,1]. Положим
К = [0,1]\ Q (гп ~ е4~п, гп + е4-").
п=1
Тогда К — компакт без внутренних точек с мерой Лебега не
меньше 1 — е.

1.7. Мера Лебега
53
Таким образом, положительность меры компактного
множества не означает, что у него есть внутренние точки. Аналогичный
пример (но с некоторыми дополнительными интересными
свойствами) можно построить, немного модифицируя конструкцию
канторовского множества. А именно, на каждом шаге следует
удалять не третьи части отрезков, а несколько меньше (чтобы
сумма длин удаленных интервалов оказалась 1-е).
В §1.12(vi) и в задачах можно найти другие примеры
множеств, интересных с точки зрения теории меры.
Отметим, что всякое подмножество канторовского множества
также имеет меру нуль. Из этого вытекает, что совокупность всех
измеримых множеств имеет мощность, равную мощности
класса всех подмножеств прямой. Как мы увидим ниже, борелевская
(Т-алгебра имеет мощность континуума. Поэтому среди
подмножеств канторовского множества имеются неборелевские
измеримые множества. Впрочем, существование неборелевских
измеримых множеств будет установлено ниже более конструктивным
способом с помощью операции Суслина.
Естественно возникает вопрос, сколь обширен класс
измеримых по Лебегу множеств и охватывает ли он все множества.
Оказывается, ответ на этот вопрос зависит от привлечения
дополнительных теоретико-множественных аксиом и принципиально не
может быть дан в рамках „наивной теории множеств" без
аксиомы выбора. Во всяком случае, как показывает следующий
пример, принадлежащий Витали, с помощью аксиомы выбора легко
строится пример неизмеримого по Лебегу множества.
1.7.7. Пример. Будем считать точки ж и у из [0,1]
эквивалентными, если число х—у рационально. Ясно, что полученное
отношение действительно является отношением эквивалентности,
т.е. 1) х ~ х, 2) у ~ х при х ~ у, 3) х ~ z при х ~ у и у ~ z.
Таким образом, возникают классы эквивалентности, объединяющие
точки, которые отличаются друг от друга на рациональное
число, причем разности между представителями различных классов
иррациональны. Выберем теперь из каждого класса ровно по
одному представителю и обозначим полученное множество через Е.
Возможность такого построения как раз и обеспечивается
аксиомой выбора. Множество Е не может быть измеримо по Лебегу.
Действительно, если его мера равна нулю, то мера [0,1] также
равна нулю, ибо [0,1] покрывается счетным множеством сдвигов
Е на всевозможные рациональные числа. Положительной мера
Е тоже не может быть, ибо для различных рациональных р ъ q

54
Глава 1. Построение и продолжение мер
множества Е + р и Е + q ке пересекаются и имеют равную
меру е > 0. Поскольку E + p<Z [0,2] при р G [0,1], то [0,2] получает
бесконечную меру.
Следует, однако, иметь в виду, что вместо аксиомы выбора
можно присоединить к стандартным теоретико-множественным
аксиомам такое предположение, что все подмножества прямой
окажутся измеримыми. Некоторые^ замечания об этом сделаны
в последнем параграфе.
Заметим еще, что даже если использовать аксиому выбора, то
все равно остается такой вопрос: существует ли какое-нибудь
продолжение меры Лебега до счетно-аддитивной меры на классе всех
подмножеств отрезка? Построенный выше пример говорит лишь
то, что такое продолжение нельзя получить с помощью лебегов-
ского пополнения. Ответ на поставленный вопрос также зависит
от привлечения дополнительных теоретико-множественных
аксиом (см. последний параграф). Во всяком случае, лебеговское
продолжение заведомо не является максимально возможным, ибо по
теореме 1.12.14 для каждого множества Е С [0,1], неизмеримого
по Лебегу, можно продолжить меру Лебега до счетно-аддитивной
меры на сг-алгебре, порожденной всеми измеримыми по Лебегу
множествами в [0,1] и множеством Е.
В завершение нашего обсуждения свойств меры Лебега
скажем несколько слов о мере Жордана (или Пеано-Жордана).
1.7.8. Определение. Ограниченное множество Е в Шп
называется измеримым по Жордану, если для всякого е > 0
существуют множества U? uVe, являющиеся конечными
объединениями кубов, такие, что U? С Е CV? и Xn(V?\U?) < е.
Ясно, что при е —> 0 существует общий предел мер U? и V?,
называемый мерой Жордана множества Е. Из определения
очевидно, что всякое измеримое по Жордану множество Е измеримо
и по Лебегу, причем его мера Лебега совпадает с мерой Жордана.
Обратное, однако, неверно: например, множество рациональных
чисел отрезка не измеримо по Жордану. Совокупность
измеримых по Жордану множеств представляет собой кольцо (см.
задачу 1.12.65), на котором мера Жордана совпадает с мерой Лебега.
Разумеется, мера Жордана счетно-аддитивна на своей области
определения, а ее лебеговское продолжение есть мера Лебега. В
задаче 3.10.63 можно найти полезное достаточное условие
измеримости по Жордану.

1.8. Меры Лебега-Стилтьеса 55
1.8. Меры Лебега—Стилтьеса
Пусть \i - неотрицательная борелевская мера на ГО.1. Тогда
функция
t~F(i) = M((-oo,t))
— ограниченная, неубывающая, непрерывная слева (т.е. F(tn) —>
F(t) при tn | t), что вытекает из счетной аддитивности /г,
причем справедливо равенство lim F(t) = 0. Эти условия
оказываются и достаточными для того, чтобы функция F порождалась
некоторой мерой по указанной формуле. Функция F называется
функцией распределения меры ц. Отметим, что часто функцию
распределения задают формулой F(t) — ц((—oo,i\), что
приводит к отличию в точках положительной //-меры.
1.8.1. Теорема. Пусть F — ограниченная, неубывающая и
непрерывная слева функция, причем lim F(t) = 0. Тогда
существует и единственна такая неотрицательная борелевская
мера наШ1, что F(t) = /*((—оо,*)) для всех t € И1.
Доказательство. Из курса анализа известно, что функция
F имеет не более чем счетное множество D точек разрыва.
Ясно, что в ]R1\D можно выбрать счетное множество S, которое
всюду плотно в ГО,1. Рассмотрим класс А всех множеств вида
А = (J"=1 ^> гДе Ji ~ промежуток одного из четырех типов (а, Ь),
[а, Ь], (а, Ь] или [а, Ь), причем а и Ь либо входят в S, либо совпадают
с — оо или +оо. Нетрудно проверить, что А — алгебра. Зададим
функцию множества р на А следующим образом: если А —
промежуток с концами в а и Ъ, причем а ^ Ь, то ц(А) = F(b) — F(a),
где F(—оо) = 0, F(+oo) = lim F(t), а если А есть конечное
объединение непересекающихся промежутков Jj, то ц{А) — YliViJi)-
Ясно, что функция \х корректно определена и аддитивна. Для
доказательства счетной аддитивности р на А достаточно
заметить, что класс конечных объединений компактных промежутков
компактен и является приближающим. Действительно, если J —
открытый или полуоткрытый промежуток, например, J = (а, Ь),
где а и Ь входят в S (или совпадают с точками +со, —оо), то
в силу непрерывности F в точках из S, имеем F(b) — F(a) =
lim [F(bi) - F(ai)], где a^ j a, fy | b, a*, h € S. Если a = -co,
то это же вытекает из условия lim F(t) = 0. Продолжим \i до

56 Глава 1. Построение и продолжение мер
меры на сг-алгебре ^(Ш,1), которая порождается алгеброй Л в
силу плотности S. Заметим, что F(t) = д((—oo,t)) для всех t, а
не только для t € S, ибо обе функции непрерывны слева и
совпадают на S. Единственность /i ясна из того, что F однозначно
задает значения /х на промежутках. В этом доказательстве
вместо Л ввиду предложения 1.3.9 можно было взять полуалгебру
промежутков вида (—оо,Ъ), [а,Ь), [а, +оо), где а,Ь € S. П
Мера /z, построенная по функции F указанным выше
способом, называется мерой Лебега-Стилтьеса с функцией
распределения F. Аналогично с помощью функций распределения п
переменных (представляющих меры множеств (—oo,a:i) х • • • х
(—оо,агп)) задаются меры Лебега-Стилтьеса на Шп.
1.9. Монотонные и ст-аддитивные классы множеств
В этом параграфе мы рассмотрим еще два класса множеств,
часто используемые в теории меры.
1.9.1. Определение. Семейство ? подмножеств
множества X называется монотонным классом, если U^li Еп е ? для
каждой возрастающей последовательности множеств Еп е ?
и D^Li Еп ? ? для каждой убывающей последовательности
множеств Еп Е ?.
1.9.2. Определение. Семейство ? подмножеств
множества X называется а-аддитивным классом, если
(i) Хе?,
(И) Е2\ЕХ е ? при условии, что Е\, Е2 € ? и Ei С Е2,
(iii) U^Li ЕпЕ? при условии, что Еп € ? — попарно
непересекающиеся множества из ?.
Отметим, что при выполнении условий (i) и (ii) условие (iii)
равносильно тому, что EiUE2 € ? для каждой дизъюнктной пары
Ei, Е2 € ? и U^Li Епе? при условии, что Еп е ? и Еп С Еп+Х
для каждого п G IN.
Для всякого класса ? подмножеств X существуют
минимальный монотонный класс, содержащий ? (называемый
монотонным классом, порожденным ?), и минимальный ст-аддитивный
класс, содержащий ? (называемый сг-аддитивным классом,
порожденным ?). Такими минимальными классами являются
соответственно пересечения всех монотонных и всех сг-аддитивных
классов, содержащих ?.

1.9. Монотонные и <т-аддитивные классы множеств 57
Следующий результат, называемый теоремой о монотонных
классах, часто используется в теории меры.
1.9.3. Теорема, (i) Пусть А — алгебра множеств. Тогда
а-алгебра, порожденная Л, совпадает с монотонным классом,
порожденным А.
(ii) Если класс ? допускает конечные пересечения, то а-ад-
дитивный класс, порожденный ?, совпадает с а-алгеброй,
порожденной ?.
Доказательство, (i) Обозначим через М(А) монотонный
класс, порожденный А. Поскольку о~{А) — монотонный класс,
то М{А) С о~(А). Докажем обратное включение. Для этого
покажем, что М(А) есть <т-алгебра. Достаточно установить, что
М(А) является алгеброй. Докажем сначала, что класс М{А)
замкнут относительно взятия дополнения. Пусть
М0 = {В: В,Х\ВеМ(А)}.
Класс Мо является монотонным, что очевидно из монотонности
класса М(А) и равенств
*\ Г)в» = 0 (*\ад *\ U вп = П <*\до-
п=1 п=1 п=1 п=1
Поскольку А С Мо С М(А), то Мо = М(А).
Проверим теперь замкнутость М(А) относительно конечных
пересечений. Пусть A G М(А). Положим
Ма = {В<еМ(А): АГ)ВеМ(А)}.
Если Вп € Ма — возрастающие множества, то А П (U^=i Д») —
Ц^=1(Л ПВП)€ М(А). Аналогично рассматривается случай,
когда Вп убывают. Поэтому Mа — монотонный класс. Если АбД,
то имеем А С Ма С М(А), откуда Ма — М(А). Пусть теперь
А е Аа В € М(А). Тогда согласно равенству М{А) = Ма
1шеем АГ\ В € М(А), что дает А € Мв- Таким образом, А С
Мв СМ{А). Следовательно, Мв — М(А) при всех В G М(А),
что означает замкнутость М(А) относительно взятия
пересечения двух множеств. Из доказанного следует, что М(А) — алгебра,
что и требовалось.
{ii) Обозначим через S сг-аддитивный класс, порожденный ?.
Ясно, что <S С о-(?), ибо а(?) — а-аддитивный класс. Докажем

58
Глава 1. Построение и продолжение мер
обратное включение. Для этого покажем, что <S — ст-алгебра.
Чтобы это установить, достаточно проверить, что класс «S замкнут
относительно конечных пересечений. Положим
So = {AeS: AHEeS для всех Е е ?}.
Заметим, что «So — ст-аддитивный класс. Действительно, X € «So-
Пусть А, В € So и А С В. Тогда для всякого Е € ? имеем
(В\А)Г)Е = (ВПЕ)\(АПЕ) е «S, ибо АПЕ, ВПЕ € S и «S является
(Т-аддитивным классом. Аналогично проверяется, что для
попарно непересекающихся множеств Ап € «So имеем U^Li А» € <^о-
Поскольку ? с «So, то «So = «S. Итак, А П Е € «S для всех А € «S и
Е € ?. Теперь положим
«Si = {Ae«S: AHBeS для всех В € S}.
Покажем, что «Si — сг-аддитивный класс. В самом деле, X е «Si.
Если Ах,А2 € «Si, А\ с А2, то -A2\Ai € «Si, ибо при всех Ве5
по определению «Si имеем (А2\Аг) ПВ= (А2 П B)\(Ai Г) В) е «S.
Аналогично проверяется, что UnLi ^n G «Si для всякой
последовательности дизъюнктных множеств из «Si- Поскольку ? С «Si по
доказанному выше, то «Si = «S. Доказанное означает, что АГ\В € «S
для всех А, В € «S. Итак, «S — <т-алгебра. D
В качестве иллюстрации возможностей теоремы 1.9.3
докажем следующую полезную лемму.
1.9.4. Лемма. Если две вероятностные меры /г и и на
измеримом пространстве (X, А) совпадают на некотором классе
множеств ? С А, замкнутом относительно конечных
пересечений, то они совпадают и на а-алгебре, порожденной ?.
Доказательство. Пусть В = {А е А: ц(А) — v(A)}. По
условию X € В. Если А, ВеВиАсВ,то В\А € В. Кроме того,
если множества Ai из В попарно не пересекаются, то их
объединение также входит в В. Итак, В — ст-аддитивный класс. Поэтому
G-аддитивный класс «S, порожденный ?, содержится в В. По
теореме 1.9.3(H) справедливо равенство «S = а(?). Следовательно,
о{?) С В, что и требовалось доказать. ?
1.10. А-операция и суслинские множества
Пусть В — борелевское множество на плоскости и А — его
проекция на одну из осей. Будет ли А также борелевским
множеством? Трудно поверить, что правильный ответ на этот
вопрос — отрицательный. Этот ответ был найден благодаря усилиям

1.10. А-операция и суслинские множества 59
нескольких выдающихся математиков, исследовавших
структуру борелевских множеств. Результатом этих исследований стало
создание дескриптивной теории множеств и, в частности,
изобретение А-операции. Было обнаружено, что непрерывные
образы борелевских множеств совпадают с результатом применения
А-операции к замкнутым множествам. Этот параграф является
введением в теорию суслинских множеств, более подробно
обсуждаемую в главе 6. Несмотря на вводный и достаточно
элементарный характер этого параграфа, в нем полностью доказаны два
глубоких факта теории меры: измеримость суслинских множеств
и, как следствие, измеримость множеств, полученных из
борелевских множеств при непрерывных отображениях.
Обозначим через ]№° множество всех бесконечных
последовательностей (щ) с натуральными компонентами.
1.10.1. Определение. Пусть X — непустое множество и
? — некоторый класс его подмножеств. Будем говорить, что
задана суслинская схема {или таблица множеств) \"щ,...,пк} с
значениями в ?, если каждой конечной последовательности
натуральных чисел (щ,... ,7ifc) поставлено в соответствие
множество АП1<„пПк € ?. А-операция (или операция Суслина) над
классом ? есть отображение, которое каждой суслинской
схеме {Ац,...,пк} со значениями в ? ставит в соответствие
множество
А= (J Г\АП1_Пк. A.10.1)
MeIN00 *=i
Множества описанного выше вида называются ?-суслинскими
или ?-аналитическими. Совокупность всех таких множеств
вместе с пустым множеством обозначается через S(?).
Конечно, если 0 ? ? (или в ? есть дизъюнктные множества),
то 0 € S(?) автоматически.
1.10.2. Пример. В виде результата применения А-операции
можно представить любые счетные объединения и счетные
пересечения элементов класса ?.
Доказательство. В самом деле, в первом случае
достаточно положить .Ani,...,nfc = An, а во втором Anit„.tnk = А^. ?
Суслинская схема называется монотонной (или регулярной),
если
Ani,...,nk,nk+1 С A»i,...,nfc-

Глава 1. Построение и продолжение мер
Если класс ? допускает конечные пересечения, то всякая суслин-
ская схема со значениями в ? может быть заменена монотонной,
дающей тот же самый результат А-операции. В самом деле,
положим
¦™ni,...,nfc = Лпг П -^*ni,7i2 П ¦ • • П Ащ,...,пц.-
Далее нам понадобится такое утверждение.
1.10.3. Лемма. Существуют биекции
0:lNx]N-»]N и Ф: IN00x(]N00H0^l№0
со следующим свойством: для всех т,п Е IN, о = (<Tj) Е 1№° и
(т*) € (IN00H0, где т* = (rj) € 1№°, наборы <7Ь -.., стт и rf,..., т™
однозначно определяются по первым /5(т, п) кол€понентал(
элемента Ф(сг, (г1)).
Доказательство. Положим 0(т,п) = 2то-1Bп- 1). Ясно,
что /? — биекция IN х IN на IN, ибо для всякого I Е IN существует
единственная пара натуральных чисел (т,п) с I = 2ш-1Bп — 1).
Положим также tp(l) := m, ip(l) := п, где E(m,ri) = Z. Пусть
а = (o-i) € 1№° и (т() G (IN00H0, где т* = G*) € 1№°. Положим
*(^(Ti)) = (i9(ailrJg)l...>/9(cn,Tj<J)>...).
Для каждого г] = (rji) Е 1№° уравнение Ф(а, (г1)) = г/ имеет
единственное решение <tj = ц>(щ), rj = ф(щ^))- Итак, Ф биективно.
Поскольку m ^ fi(m, п) и /3(т, к) ^ /?(т, п) при к ^ п, то из вида
решения следует также, что первые 0(т,п) компонент Ф(<т, (г*))
однозначно определяют первые m компонент о и первые п
компонент тт. ?
Следующая теорема описывает ряд важных свойств
аналитических множеств.
1.10.4. Теорема, (i) S(S{?)) = S{?). В частности, класс
S(?) допускает счетные объединения и пересечения.
(И) Если дополнение каждого множества из ? входит в S(?)
(например, является не более чем счетным объединением
элементов ?) и 0 Е ?, то о-алгебра сг(?), порожденная ?,
содержится в классе S{?).

1.10. А-операция и суслинские множества
Доказательство, (i) Пусть Л^,'.'.'.',п? € ? и
А — U | I Агц,...,пк, Aii,...,nfc = U [ J ^ni','.'.'.',uT-
Используя обозначения доказанной выше леммы, для всяких
натуральных 7^1,..., rji найдем такие а € 1№° и т = (тт) € (IN00H0,
что ?7i = Ф(сг, t)i, ... ,77г = Ф(сг, т)\. Разумеется, ант
определено
ФA)
>• • • X,
ны не однозначно, но по лемме наборы е\,... ,0<p(i) и т
однозначно определяются по числам гц,...,гц. Поэтому можно
положить
TV@ т?>(()
B(r]u...,Vl) = Aju..-it)w е?.
Тогда, обозначая через rj = (щ) и а = (ат) элементы 1№°, а через
(rm) с тга = (г™) элементы (IN00H0, имеем
Un*foi,...,»»)= U Г)в(*(а,(тт)I,...,*(е,(тт)I)
V 1=1 <г,(т™I=1
= U П<.Х(Г= и П л-.^
<7,(r™)J=l <r,(r™)m,n=l
= UfW.,-.=-4.
Итак, S(S(?)) С 5(?). Обратное включение очевидно.
(ii) Положим
T=\BeS{?): X\BeS(?)}.
Покажем, что Т — сг-алгебра. По построению Т допускает
взятие дополнения. Пусть Вп € Т. Тогда П^=1 Вп ? 5E) в силу
утверждения (i). Аналогично Х\П^=1 Вп — \J?=i(X\Bn) G S{?).
По условию 0 € .F. Следовательно, .F — а-алгебра. По условию
?СТ. Поэтому а{?) CfC 5E). ?

62
Глава 1. Построение и продолжение мер
Ясно, что условие Х\Е Е S(?) при Е € ? и необходимо для
того, чтобы а{?) С S{?). Класс S(?) может быть не замкнутым
относительно взятия дополнений даже в случае, когда ? — о-
алгебра. Как мы увидим позже, это происходит, например, в
случае ? = ^(К1). Если А-операцию применить к классу всех
компактных (или замкнутых) множеств в Шп, то будет выполнено
условие утверждения (И) доказанной теоремы, ибо всякое
непустое открытое множество в Кп является счетным объединением
замкнутых кубов. Ниже мы остановимся на этом примере более
подробно.
Следующий фундаментальный результат показывает, что А-
операция сохраняет измеримость. Это утверждение совсем не
очевидно и, более того, весьма удивительно: ведь при А-операции
производится несчетное объединение.
1.10.5. Теорема. Пусть ц — конечная неотрицательная
мера на а-алгебре М.. Тогда класс М.^ всех ^-измеримых
множеств замкнут относительно А-операции. Более того, если
некоторое семейство множеств ? С М. замкнуто
относительно конечных объединений и счетных пересечений, то
ц*(А) = sup{/i(?): ЕсА, Ees}
для каждого ?-суслинского множества А. В частности, каждое
?-суслинское множество ц-измеримо.
Доказательство. Первое утверждение является простым
следствием второго применительно к ? = М^. Поэтому будем
доказывать второе утверждение. Пусть множество А получено
с помощью монотонной таблицы множеств ?Vii,...,nfc € ?¦ Пусть
е > 0. Для каждого набора mi,..., т* обозначим через ?>mi,...,mfc
объединение множеств ??ni)...,nfc по всем п\ ^ mi,... ,п& ^ т&.
Положим
Мте1,...,тк := (J П^ь.-гъ-
(щ)еТ№°, ni<mi,...,nfc<mfcJ=1
Ясно, что при т —> оо множества Мт возрастают к А, а
множества MTOb..vmjfejrre с фиксированными mi,..., т& при т —> оо
возрастают к множеству Mmii...,mfc. Ввиду предложения 1.5.12
существует номер mi с fj,*(Mmi) > ц*(А)—е2~1. Затем найдется номер
гаг с ц*(Мт1<т2) > fi*(Mmi) — s2~2. Продолжим это построение

1.10. А-операция и суслинские множества 63
по индукции и получим последовательность натуральных чисел
mjt с таким свойством, что
Следовательно, для всех А; получаем
^*(Mmiim2>...)mfc) > ц*(А) - е.
Ввиду замкнутости ? относительно конечных объединений
имеем Dmi,...,mfc € ?, а замкнутость ? относительно счетных
пересечений дает включение Е := П/fcli Ai»i,...,mfc S ?.
Поскольку Mmi>... ,mfc С Dmi,...,mki т° из предыдущей оценки получаем
A**(Ani,m2,-,m*) > М*Й) -?•> откуда /г(?7) ^ /х*(А) - е, ибо
множества Umi,m2,...,mfc убывают К Е.
Остается доказать, что Е С А. Пусть х € Е. Тогда при всех
к имеем х € Мтх тк. Поэтому х € Enit,..,nk для некоторого
набора п\,..., Пк с щ ^ mi,... ,пь ^ т&. Такие наборы будем
называть допустимыми. Наша задача состоит в том, чтобы
построить такую бесконечную последовательность ni,ri2,..., что
все ее начальные отрезки п\,..., п^ являются допустимыми. В
этом случае будем иметь х € HfcLi-^ni .—,»»* с А. Чтобы
построить такую последовательность, заметим, что у нас для всякого
к > 1 имеются допустимые наборы из к чисел. Будем называть
допустимый набор п\,..., п& продолжающимся, если для всякого
I ^ к найдется допустимый набор р\,... ,pi с р\ = п\, ...,Рк = Щ-
Теперь заметим, что существует хотя бы один продолжающийся
набор п\ длины 1. Действительно, предположим противное.
Поскольку всякий начальный отрезок п\,..., п* всякого
допустимого набора щ,... ,Пк,... ,щ является допустимым в силу
включения -Eni,...,^ С JEni)...)flfc, то для каждого п ^ mi имеется
максимальная длина 1(п) допустимых наборов с п на первой позиции.
Значит, длины всех допустимых наборов равномерно ограничены
и мы приходим к противоречию. Аналогично, продолжающийся
набор п\ содержится в некотором продолжающемся наборе п\, пг
и т.д. Полученная последовательность обладает нужным
свойством. ?
В задаче 6.10.59 гл. 6 предлагается другой способ
доказательства этой теоремы. Подробное изучение суслинских множеств и
связанных с ними вопросов теории меры проведено в главах 6 и 7.
Однако уже сейчас мы можем вывести из теоремы 1.10.5 весьма
полезные следствия.

64
Глава 1. Построение и продолжение мер
1.10.6. Определение. Суслинскими множествами в
пространстве Нп называются множества, полученные в
результате применения А-операции к классу замкнутых множеств
изШп.
Ясно, что тот же самый результат дает и применение
А-операции к классу всех компактов в Жп. Действительно, если А
содержится в кубе К, то порождающие А замкнутые множества
Avxi—vk. можно заменить на компакты AVu^Vk П К.
Неограниченное суслинское множество А представим в виде объединения
последовательности его пересечений AnKj с возрастающими
кубами Кj. Остается воспользоваться тем, что класс множеств,
полученных А-операцией из компактов, допускает счетные
объединения. Аналогичным образом, класс суслинских множеств
получается А-операцией из открытых множеств.
Как было сказано выше, из теоремы 1.10.4 вытекает, что бо-
релевские множества в Шп являются суслинскими. Отметим еще,
что если L — линейное подпространство в Щ,п размерности к < п,
то пересечение L с произвольным суслинским множеством А из
Ю,п будет суслинским в пространстве L. Это вытекает из того,
что пересечение любого замкнутого множества с L замкнуто в L.
Обратно, всякое суслинское множество из L является суслинским
ивПГ.
1.10.7. Предложение. При непрерывном отображении из
К." в lRd образ суслинского множества является суслинским
множеством.
Доказательство. Пусть множество А имеет вид A.10.1),
где множества Апи...,пк компактны (как мы знаем, это возможно
для каждого суслинского множества). Как указано выше, можно
считать, что при всех к мы имеем Апи_>Пк,Пк+1 с АПъ_<Пк. Пусть
/: Шп —*• Kd — непрерывное отображение. Ясно, что
/w= и /(ги*. «О-
K)elN~ *=i
Остается заметить, что множества Bni)...infc = f(Anu_>nk)
компактны в силу непрерывности / и что
/(f)Au nk) = f\f(Anu...,nk).
fe=i fc=i

1.10. А-операция и суслинские множества 65
Действительно, левая часть этого равенства содержится в правой
для любых множеств и отображений. Пусть у € flfeLi /(An,-,nfc)-
Тогда для каждого к имеется Хк € -Anii...)flfc с f(xk) = у- Если
для бесконечного множества индексов к точки Хк совпадают с
одной и той же точкой х, то х Е f)T=i An,...,nfc в силу
вложенности множеств ЛПь...)Пк. При этом f(x) = у. Поэтому
остается рассмотреть случай, когда последовательность {х^ содержит
бесконечное число разных точек. Поскольку она содержится в
компакте АП1, то существует предельная точка х для {хк}.
Тогда х € -4щ,...,пк при всех к, ибо xj 6 АП1^..<Пк при всех j^ к и
АП1,...,Пк — замкнутое множество. Итак, х € HfcLi A»i пк- В силу
непрерывности / имеем f(x) = у. О
1.10.8. Следствие. Образ всякого борелевского множества
В с Жп при непрерывном отображении f: Шп —> Ш, является
суслинским множеством. В частности, множество f(B)
измеримо по Лебегу.
В частности, ортогональная проекция борелевского
множества является суслинским, а значит и измеримым, множеством.
В главе 6 мы увидим, что суслинские множества в Нп
совпадают с ортогональными проекциями борелевских множеств из
Шп+1 (тем самым, суслинские множества можно определить без
А-операции) и что существуют неборелевские суслинские
множества. Легко проверить, что произведение двух борелевских
множеств в И™ является борелевским в Ж2п.
1.10.9. Пример. Пусть А и В — непустые борелевские
множества в Ш.п. Тогда векторная сумма множеств А я В,
определяемая равенством
А + В:={а + Ь: а € А,Ь € В)
является суслинским множеством. Кроме того, суслинской
является и выпуклая оболочка convA множества А —
наименьшее выпуклое множество, содержащее А. Действительно, А + В
есть образ борелевского множества Ах В в Ш2п при
непрерывном отображении (х, у) •—> х + у. Выпуклая оболочка А состоит
из всех сумм вида Yli=i U<H, гДе U ^ 0, Ylt=i ** = 1, Oj G А,
к Е IN. При этом для каждого фиксированного к множество
S := {(ti,...,tfc) € !Rfc: E?=i*i = Mi > о} борелево,
поэтому множество Ак xS в (IRn)fc хШк также борелево, а его образ

Глава 1. Построение и продолжение мер
при отображении (<ц,..., а&, t\,..., tk) •-» $3t=i *»а» является су-
слинским.
1.11. Внешние меры Каратеодори
В этом разделе мы подробнее обсудим построение мер с
помощью так называемых внешних мер Каратеодори. С основной
идеей мы уже встречались при продолжении счетно-аддитивной
меры с алгебры на <х-алгебру, но теперь мы не будем
предполагать, что „внешняя мера" возникла из какой-то аддитивной меры.
Кроме того, будем рассматривать функции множества с
бесконечными значениями.
1.11.1. Определение. Функция множества т, заданная на
классе всех подмножеств множества X и принимающая
значения в множестве [0,+оо], называется внешней мерой на X
(или внешней мерой Каратеодори), если
(i) m@) = 0;
(ii) т(А) < т(В) при А С В;
(ш) m(lXli An) ^ E?=i т(Аг) для всех Д.С1.
Важный пример внешней меры Каратеодори — функция /х*,
обсуждавшаяся в §1.5.
1.11.2. Определение. Пусть т. — функция множества со
значениями в [0, +оо], определенная на классе всех подмножеств
пространства X, причем т@) = 0. Множество А С X
называется измеримым по Каратеодори относительно т [или т-из-
меримым по Каратеодори), если для всякого множества Е С X
справедливо равенство
т(Е ПА)+ т(Е\А) = т(Е). A.11.1)
Класс всех т-измеримых по Каратеодори множеств
обозначается через 9Лт.
Таким образом, измеримое множество разбивает любое
множество согласно требованию аддитивности m (по этому поводу
см. также задачу 1.12.145).
Сразу отметим, что в общем случае измеримость не вытекает
из равенства
т(А) + т(Х\А) = т(Х) A.11.2)
даже в случае внешней меры с т(Х) < оо. Рассмотрим
следующий пример.

1.11. Внешние меры Каратеодори
67
1.11.3. Пример. Пусть X = {1,2,3}, т@) = 0, т(Х) =
2 и т(Л) = 1 для всех прочих множеств А. Легко проверить,
что m — внешняя мера. В данном случае всякое подмножество
А С X удовлетворяет A.11.2), однако для А — {1} и Е = {1,2}
равенство A.11.1) нарушено (левая часть равна 2, а правая 1).
Из сказанного можно усмотреть, что m-измеримы лишь 0 и X.
В рассмотренном примере класс ЯИщ всех ю-измеримых по
Каратеодори множеств меньше класса Лт из определения 1.5.1,
ибо для внешней меры m на классе всех множеств семейство Ат
и будет классом всех множеств. Однако мы увидим далее, что
в случае, когда m = ц* — внешняя мера, порожденная счетно-
аддитивной мерой ц на сг-алгебре со значениями в [0, +оо], класс
9Ят может быть шире Аи (задача 1.12.115). С другой стороны,
при разумных предположениях классы 9Яи* и Аи равны.
Ниже будет выделен класс внешних мер, для которых
измеримость равносильна выполнению A.11.2). К таким внешним
мерам относятся, например, внешние меры, порожденные счетно-
аддитивными мерами на алгебрах (см. предложение 1.11.7 и
теорему 1.11.8).
1.11.4. Теорема. Пусть m — функция множества на
пространстве X со значениями в [О, +оо], причем т@) = 0. Тогда
(i) 9Лт — алгебра, а функция т аддитивна на ЗЯщ.
(и) Для всякой последовательности попарно
непересекающихся множеств At € Tim справедливы равенства
m(En{jAi) =Y^m(Er\Ai), VEcX,
i=l t=l
m(?n(j4j) ^Y^miEnA^+hm^mfEnijAiy VEcX.
»=1 i=l ~* i=n
(Hi) Если же функция m является внешней мерой на
множестве X, то класс Шт является а-алгеброй, причем функция т
со значениями в [0, +оо] счетно-аддитивна на ЯЛщ. Кроме того,
мера т полна на 9ЯТО.
Доказательство, (i) Из A.11.1) очевидно, что 0 € ЯЯщ и
что класс Т1т замкнут относительно дополнения. Пусть
множества А], А2 входят в 9Лщ и пусть Е С Х.В силу измеримости А\

Глава 1. Построение и продолжение мер
и А2 имеем
т(Е) = т(Е П Ах) + т(Е\Ах)
= т(Е П Ах) + т((Е\Ах) П А2) + т((Е\Ах)\А2)
= т(Е П i4i) + m((?V4i) П Л2) + m(?\(.Ai U А2)).
Поскольку ввиду равенства ЕГ\Ах = ЕГ\ {Ах U А2) П Лх и
измеримости А\ мы имеем
m(EC\{A1UA2j) = т{ЕпАх) + т({Е\Ах)пА2), A.11.3)
то
m(J5) = т(Е П (Ai U А2)) + m(E\(Ai U А2)).
Итак, А\ U Л2 € ЯЛт, т.е. ШТщ — алгебра. При этом для
дизъюнктных А\ и А2 при Е = X получаем равенство т(Ах U А2) =
т(Ах) + т(А2).
(ii) Пусть ylj € 9Km дизъюнктны. Положим
S„ = (jA, Rn=\jAi.
i=l i=n
Тогда ввиду равенства A.11.3) имеем
т(Е П 5„) = т(Е П Л„) + т(? П 5„_i).
По индукции получаем первое из равенств в утверждении (ii).
Далее, из равенств Rx П 5n_i = Sn-x и Rx\Sn-x = Rn получаем
m(?Tli?i) = m(??n5n-i)+m(Enfl») = 5^т(ЕПД) + т(ЕПД»),
i=l
что дает второе равенство в утверждении (ii), ибо
последовательность т(Е П Rn) убывает в силу равенства
т(Е П Rn) = т(Е П Rn+x) + т(Е П An),
вытекающего из измеримости Ап и соотношений Rn\An = Rn+x
TiRn^An = An.
(iii) Пусть теперь m еще и счетно-субаддитивна, а множества
Ai ? ЯЯщ дизъюнктны. Положим А = (JSa -^»- Из второго
равенства в (И) для всякого Е С X имеем т(Е П А) > j^ т(Е п А)>

1.11. Внешние меры Каратеодори
что с учетом счетной субаддитивности дает
т(ЯП4) = JTmtEnAi). A.11.4)
г=1
Поскольку мы уже знаем, что Sn = А\ U • • • U Ап Е 9Ят, то из
первого равенства в утверждении (И) следует, что
т{Е) = т(Е П S„) + m(E\Sn) ^ ? т(Е П At) + т{Е\А).
Из A.11.4) имеем т(Е) ^ т(ЕГ\А) + т(Е\А). В силу
субаддитивности верно и обратное неравенство, т.е. А € 9Jtm. Итак, ЯКт —
алгебра, замкнутая относительно счетных объединений
дизъюнктных множеств. Это означает, что Шт — ст-алгебра. Взяв Е = X
в A.11.4), получаем счетную аддитивность m на 9Ят. Проверим
полноту m на 9Лт. Пусть т(А) = 0. Тогда для всякого множества
Е имеем т(ЕПА)+т(Е\А) = т(Е), ибо 0 < т(ЕПА) ^ т(А) = 0
и т(Е\А) = т(Е). так как т(?'\Л) ^ т(Е'), причем в случае
строго неравенства мы бы пришли к противоречию с неравенством
т(Е)^т(Е\А)+т(А). ?
Отметим, что по счетно-аддитивной мере ц := т|отт на ЯПт,
где т внешняя мера, можно построить обычную внешнюю
меру (j,*, как мы делали ранее. Однако эта внешняя мера может
отличаться от исходной функции m (разумеется, на множествах
из 9Лт обе внешние меры совпадают). Скажем, в примере 1.11.3
получаем /л* (А) = 2 для всякого непустого множества А,
отличного от X. Дополнительную информацию можно найти в задачах
1.12.111, 1.12.112.
В приложениях внешние меры часто строятся с помощью так
называемого метода I, описанного в следующем примере и уже
использованного в §1.5, где в лемме 1.5.4 была установлена
счетная субаддитивность.
1.11.5. Пример. Пусть X — какое-нибудь семейство
подмножеств множества X, причем 0 Е X. Предположим, что задана
функция т: X —» [0, +оо] с т@) = 0. Положим
т(А) = inf{ JT т{Хп): Хп Е X, А С (J Х„}, A.11.5)
причем при отсутствии таких множеств Хп считаем хп(А) = оо.
Тогда m — внешняя мера. Ее обозначают через т*.

70
Глава 1. Построение и продолжение мер
Доказательство леммы 1.5.4 (где речь шла о конечных
функциях) очевидным образом применимо и здесь.
Указанная конструкция будет использована в §3.10(iii) для
введения так называемых мер Хаусдорфа. В задаче 1.12.141
описана модифицированная конструкция т, отличающаяся тем, что
при отсутствии покрывающих А последовательностей множеств
из X значение хп(А) задается как supm(A') по тем А' С А, для
которых такие последовательности имеются.
Обратим внимание на то обстоятельство, что в примере
выше не утверждается, что построенная внешняя мера продолжает
функцию т. В общем случае это и неверно. Кроме того,
множества исходного семейства X могут оказаться неизмеримыми
относительно т. Рассмотрим соответствующие примеры. В качестве
X возьмем IN, а в качестве X семейство всех одноточечных
множеств и все X. Положим т(п) = 2~п, т(Х) = 2. Тогда т(Х) = 1,
причем X измеримо относительно т. Если же в качестве X взять
[0,1], а в качестве г внешнюю меру Лебега, определенную на
классе X всех множеств, то построенная функция m будет совпадать
с исходной функцией т, а m-измеримыми будут обычные
измеримые по Лебегу множества, т.е. не все множества из X. В задаче
1.12.107 предлагается построить аналогичный пример с
аддитивной функцией т на ст-алгебре всех множеств отрезка.
Выделим теперь один важный класс внешних мер.
1.11.6. Определение. Внешняя мера m на X называется
регулярной, если для всякого множества A <Z X существует
такое т-измеримое множество В, что Ad В и т(А) = т(В).
Например, внешняя мера А*, построенная по мере Лебега на
отрезке, регулярна, так как в качестве В можно взять множество
f)n°=i An, где An измеримы, А С Ап и Х(Ап) < А*(Л) + 1/п
(такое множество называется измеримой оболочкой А, см. §1.12(iv)).
Ниже даны более общие примеры.
1.11.7. Предложение. Пусть т — регулярная внешняя
мера на X, причем т(Х) < оо. Тогда т-измеримостъ множества
А равносильна равенству
т(А) + т{Х\А) = т(Х). A.11.6)
Доказательство. Необходимость A.11.6) очевидна.
Проверим достаточность. Пусть Е — произвольное множество в X,
С € 3Jlm, Е С С, т(С) = т(.Е). Нам достаточно показать, что
т(Е) > т(Е Г\А)+ т(Е\А), A.11.7)

1.11. Внешние меры Каратеодори 71
ибо обратное неравенство следует из субаддитивности. Заметим,
что
т(А\С) + т((Х\А)\С) ^ т(Х\С). A.11.8)
В силу измеримости С имеем
т(А) = т(АпС) + т{А\С), A.11.9)
т(Х\А) = т(С П (Х\А)) + т((Х\А)\С). A.11.10)
Из A.11.6), A.11.9) и A.11.10) следует с учетом
субаддитивности т, что
т(Х) = т(А П С) + т(А\С) + т(С П (Х\А)) + т((Х\А)\С)
^ т(С) + т(Х\С) = т(Х).
Следовательно, неравенство в последней цепочке является
равенством. Вычитая из него A.11.8), что возможно, поскольку m
принимает конечные значения, приходим к оценке
т(С П А) + т(С\А) < т(С).
Наконец, из последней оценки с учетом включения Е С С и
монотонности m получаем
т(Е Г)А)+ т(Е\А) < т(С) = т(Е).
Итак, мы доказали A.11.7). ?
Пример 1.11.3 показывает, что метод I из примера 1.11.5 не
всегда приводит к регулярным внешним мерам. В задаче 1.12.108
предлагается доказать, что если X С 9Лт, то метод I дает
регулярную внешнюю меру. Еще один результат в этом направлении
содержится в следующей теореме.
1.11.8. Теорема. Пусть X, X, т ит — те же, что и в
примере 1.11.5. Предположим еще, что X — алгебра, а функция г
аддитивна. Тогда внешняя мера т регулярна, причем все
множества из класса X измеримы относительно т (а если т счетно-
аддитивна, то m совпадает с т на X). Наконец, если т(Х) < оо,
то ЭИщ — ХТ, т.е. в данном случае определение измеримости по
Каратеодори равносильно определению 1.5.1.
Доказательство. Достаточно проверить, что множества из
X измеримы относительно т, ибо тогда регулярность вытекает
из задачи 1.12.108. Пусть А € X. Чтобы доказать включение

72 Глава 1. Построение и продолжение мер
А € ЯЛщ, достаточно установить, что для каждого множества Е
с т(Е) < оо справедлива оценка
т(Е) ^ т(Е Г)А)+ т(Е П (Х\А)).
Пусть е > 0. Найдем Хп € X с Е С U?=i ^п и
fV(Xn)<m(?)+e.
n=l
В силу аддитивности т на X имеем для всех п
Т(Хп) = т(Хп ПА) + т(Хп П {Х\А}).
Поскольку
? Л А С Q (Х„ П А), ЕС\ (Х\А) cjj(lnn (Х\А)),
71=1 П=1
то получаем
ш(Е) + е > f; т(Хп) = f; r(Xn П Л) + ? r(Xn П (X\A))
^ JT m(Xn ПЛ) + ^ m(Xn Г) (Х\Л))
n=l n=l
^т(ЕПА)+та(ЕП(Х\А)).
В силу произвольности е нужное неравенство установлено. В
общем случае тп < т на X, но для счетно-аддитивной функции г
легко получить и обратное неравенство.
Проверим теперь, что в случае т(Х) < оо определение 1.5.1
приводит к тому же классу т-измеримых множеств, что и
определение 1.11.2 применительно к внешней мере m = г*. Пусть
А € 9Кщ и е > 0. Существуют множества An е X с А с U^=i -^п
и ш(Л) ^ |^ т(Ап) — е. Поскольку т(Лп) < т(Ап), то с учетом
п=1
счетной аддитивности m на ст-алгебре ЯЯщ, содержащей 3?,
получаем
m(A) > f>(An) - е > m((j Лп) - е.
п=1 п=1

1.11. Внешние меры Каратеодори
73
Следовательно, m(|J^=1 Ап\А) ^ е. Еще раз используя счетную
аддитивность ш, получаем, что для достаточно большого к
выполнено неравенство ml ((Jn=i ^") АА) ^ 2е, откуда в силу
произвольности е следует, что A G Хт. Обратно, если А е Хт, то
для всякого е > О существует множество А? Е X с т(Л А Ае) ^ е.
Поскольку JC С 9Ят, то в силу счетной аддитивности m на 9Лт
получаем, что А входит в лебеговское пополнение ЗДТт. Из полноты
fflm следует включение A G ЯТт. ?
Еще раз обратим внимание на то обстоятельство, что
внешняя мера m может отличаться от г на X (см. задачу 1.12.107).
Наконец, напомним, что если функция г на алгебре X счетно-
аддитивна, то построенная по ней внешняя мера m совпадает с г
на X. При этом для бесконечных мер может случиться, что класс
Хт строго содержится в 9ЯГ* (см. задачу 1.12.115).
В завершение нашего обсуждения внешних мер
Каратеодори докажем критерий m-измеримости всех борелевских множеств
для внешней меры на Шп. Напомним, что расстояние от точки а
до множества В есть число dist (а, В) — т1ьев \Ь — а\.
1.11.9. Теорема. Пусть m — внешняя мера Каратеодори
на Ш,п. Для того, чтобы все борелевские множества были т-
измеримы, необходимо и достаточно выполнение следующего
условия:
т(АиВ)=т(А) + т(В) при d(A,B) > 0, A.11.11)
где d(A, В) := infaGj4,beB \а — Ь\, причем d(A, 0) := +оо.
Доказательство. Если 9ЕПт содержит все замкнутые
множества и d(A, В) = d > 0, то возьмем непересекающиеся
замкнутые множества С\ = {х: dist (х, А) ^ d/4} D А и С2 =
{х: dist (х, В) ^ d/4} D В и заметим, что по теореме 1.11.4(H)
справедливо равенство
т((Л U В) П (Ci U С2)) = т((Л U В) П Сх) + т((Л U Б) Г) С2),
что дает A.11.11), ибо (^UB)nCi = Л, (A U В) П С2 = В,
{A U В) П (Сх U С2) = Л U Б.
Пусть выполнено A.11.11). Достаточно проверить тп-измери-
мость всякого замкнутого множества С С учетом
субаддитивности m проверка сводится к доказательству оценки
т(Л)^пг(ЛпС)+т(Л\С), У А с Шп. A.11.12)

74
Глава 1. Построение и продолжение мер
Если тл(А) = сю, то A.11.12) верно. Поэтому далее считаем, что
т(А) < оо. Множества Сп := {х: dist (ж,С) ^ п-1} убывают к С.
При этом d(A\Cn, А П С)~^п~1. Следовательно,
т(Л\С„) + т(АПС) = т((А\Сп) UDnС)) < т(А). A.11.13)
Покажем, что
Jim т(А\Сп) = т(А\С). A.11.14)
Рассмотрим множества
Z?fe :={ж€ Л: (А; + I) < dist (яг, С) < А;-1}.
Тогда А\С = Ufcln д* U(^\Cn)- Значит,
тп(Л\Сп) < т(А\С) ^ т(А\Сп) + ^m(Dk).
к=п
Теперь для доказательства A.11.14) достаточно заметить, что
сходится ряд с общим членом m(Dfe). Это видно из того, что
d(Dk,Dj) > 0 при j > к + 2, что в силу A.11.11) по
индукции дает соотношение X^fc=im(^2fc) = m(Ufc=i^2fc) ^ т(А) и
аналогичное соотношение для нечетных номеров. Из A.11.13) и
A.11.14) получаем
т{А\С) + т{А ПС)= 1пп^т(А\Сп) + т{АП С) < т(А),
т.е. A.11.12) доказано. ?
Из наших рассуждений видно, что они применимы к
любому метрическому пространству вместо IRn. Мы вернемся к этому
вопросу в §7.14(х) гл. 7.
Отметим, что для всякой внешней меры Каратеодори m класс
ЯЯщ замкнут относительно А-операции. Это доказывается с
помощью несложной модификации доказательства теоремы 1.10.5 (где
рассматривались конечные меры, но устанавливалось несколько
более сильное свойство); см., например, Сакс [160, с. 79].
В § 1.12(viii) обсуждаются абстрактные внутренние меры —
интересный объект, в идейном отношении близкий в внешним
мерам.

1.12. Дополнения и задачи 75
1.12. Дополнения и задачи
(i) Операции над множествами G5). (ii) Компактные классы G7).
(ш) Метрическая булева алгебра (80). (iv) Измеримая оболочка,
измеримое ядро и внутренняя мера (83). (v) Продолжения мер (85).
(vi) Некоторые интересные множества (89). (vii) Аддитивные не
счетно-аддитивные меры (95). (viii) Абстрактные внутренние
меры (98). (ix) Меры на решетках множеств A04). (х) Теоретико-
множественные проблемы теории меры A06). (xi) Инвариантные
продолжения меры Лебега A09). (xii) Разложение Уитни A11).
Задачи A12).
1.12A). Операции над множествами
Следующий результат В. Серпинского содержит ряд полезных
дополнений и вариантов теоремы 1.9.3 о монотонных классах.
Рассмотрим следующий список операций над множествами в
данном множестве X с указанием соответствующих обозначений:
конечное объединение U/, счетное объединение Uc, объединение
возрастающей последовательности множеств lim |, конечное
дизъюнктное объединение U/, счетное дизъюнктное объединение Uc, конечное
пересечение П/, счетное пересечение Пс, пересечение убывающей
последовательности множеств lim J., разность множеств \, вычитание из
множества его подмножества —.
Отметим, что символы / и с указывают на конечный и счетный
характер соответствующих операций, а при взятии разности А\В
множество В не обязано быть частью А в отличие от операции —. Для
каждой из перечисленных операций О имеется двойственная операция,
обозначаемая символом О4 и определяемая следующим образом:
(U/)d := П/, (Uc)d := Пс, (lim \)d := lim |, (U/)d := -, (Uc)d := -,
A.12.1)
(n/)d := U/, (nc)d := Uc, (lim |)d := lim |, (\)d := U/, (-)d := U/.
Замкнутость системы T подмножеств X относительно какой-либо
из введенных выше операций понимается естественным образом;
например, замкнутость относительно lim | означает, что если множества
JFt, € Т возрастают, то их объединение также входит в Т.
Непосредственно проверяется, что если даны класс Т подмножеств X и набор
операций из указанного списка, то имеется наименьший содержащий Т
класс множеств, замкнутый относительно данных операций.
1.12.1. Теорема. Пусть Т и Q — два класса подмножеств X,
причем Q С Т и класс J7 замкнут относительно некоторого набора
операций О = {0\, Ог,...) из A.12.1). Обозначим через То наименьший
Содержащий Q класс множеств, замкнутый относительно операций
того оке набора О. Тогда справедливы следующие утверждения:

76
Глава 1. Построение и продолжение мер
(i) если G П G' ? То для всех G,G' ? Q, то класс То замкнут
относительно конечных пересечений;
(ii) если Od ?й для каждой операции О ?0 и X\G ? То для всех
G ?Q,mo класс То замкнут относительно дополнения; в частности,
если О = (Uc, Лс), тоТ0 = o-(Q);
(Ш) если выполнены все условия в (i), (ii), mo алгебра,
порожденная Q, содержится в Т, а если О = (lim 1\um J.), mo То = o{Q).
Доказательство, аналогичное доказательству теоремы о
монотонных классах, предлагается в качестве задачи 1.12.92. Другой результат
Серпинского дает модификацию теоремы о сг-адлитивных классах.
1.12.2. Теорема. Пусть дан класс ? подмножеств
пространства X, содержащий пустое множество. Обозначим через ?u,s
наименьший класс множеств в X, содержащий ? и замкнутый
относительно счетных объединений попарно непересекающихся множеств
и любых счетных пересечений. Если Х\Е ? ?и s для всех Е ? ?, то
?и,б = о-(?).
Доказательство. Пусть Л:- {А ? ?u,s ¦ Х\А ? ?u,s}-
Достаточно показать, что класс Л замкнут относительно счетных объединений
попарно непересекающихся множеств и любых счетных пересечений,
ибо тогда он совпадет с классом ?u,s, который тем самым будет
допускать и дополнения, т.е. будет ст-алгеброй. Бели An ? Л
дизъюнктны, то их объединение входит в ?u,s по определению ?и,б, а
дополнение их объединения есть H^LiC-^A^n)) что также входит в ?uj, ибо
Х\Ап ? ?и,б- Значит, Л допускает счетные объединения дизъюнктных
множеств. Если Вп ? Л, то fl^Li &п ? ?и,б- Наконец, заметим, что
Х\ (XLi Вп можно записать в виде
(J (Х\Вп) = Q \(Х\Вп) П ( П Вк)], A.12.2)
71=1 П=1 fc=l
где Во := 0- Действительно, правая часть очевидным образом
входит в левую. Если х входит в левую часть, то для некоторого п имеем
х $ Вп. Если х не входит в правую часть, то х & Ofc=i Вк л х ? Bj.
Поэтому найдется такой номер т между 1 и п — 2, что х ? DtLi Bk и
х $ ПЙ1 вк- ТогДа х ? (Х\Вт+1) П (|X=i вк) > что входит в правую
часть A.12.2) вопреки нашему предположению. Ясно, что
объединяемые множества в правой части A.12.2) попарно не пересекаются и
входят в ?u,s, поскольку Х\Вп, Вк ? ?и,б- Таким образом, ?u,s допускает
счетные пересечения. D

1.12. Дополнения и задачи 77
1.12.3. Пример. Наименьший класс подмножеств прямой,
содержащий все открытые множества и допускающий счетные объединения
попарно непересекающихся множеств и любые счетные пересечения,
есть борелевская ст-алгебра. Это же верно, если вместо всех открытых
множеств рассматривать все замкнутые.
Доказательство. Если ? — класс всех открытых множеств, то
непосредственно применима теорема, ибо дополнение открытого
множества замкнуто и потому является счетным пересечением
последовательности открытых множеств.
Пусть теперь ? — класс всех замкнутых множеств. Проверим, что
дополнения множеств из ? входят в класс ?и,<5- Эти дополнения
открыты, т.е. являются дизъюнктными объединениями интервалов или
лучей. Поэтому остается показать, что всякий интервал (а, Ь) входит
в ?и,б- Это не вполне очевидно, ибо интервал нельзя представить в
виде дизъюнктного объединения последовательности отрезков.
Однако можно найти такую последовательность попарно
непересекающихся невырожденных отрезков /„ С (а, 6), что их объединение S всюду
плотно в (а, 6). Теперь установим, что В := (a,b)\S G ?и,б- Заметим,
что замыкание В множества В состоит из В и счетного множества
М — {xk}, образованного точками а и 6 и концами отрезков 1п.
Поэтому В = Пт=1 -*Л{хь • ¦ ¦ ixm}- Множество В — нигде не плотный
компакт. Это позволяет представить каждое из множеств В\{х\,..., хт} в
виде объединения дизъюнктных компактов. Сделаем это для В\{х^},
а для остальных множеств рассуждение аналогично. Поскольку В не
имеет внутренних точек, то в открытом дополнении В найдутся
возрастающая к х\ последовательность точек /_, и убывающая к х\
последовательность точек Tj. Можно считать, что 1\ < а, г\ > Ь. Множества
(lj,lj+i) П В и (rj+i,rj) Л В компактны, ибо точки lj,lj+i,rj+i,Tj
входят в дополнение В с некоторыми окрестностями. Эти множества дают
искомое разложение B\{xi}. ?
В главе 6 можно найти дополнительные сведения, связанные с
материалом этого раздела.
1.12(H). Компактные классы
1.12.4. Предложение. Пусть К — компактный класс
подмножеств множества X. Тогда минимальный класс ICss, который
содержит К. и замкнут относительно конечных объединений и
счетных пересечений, также компактен (более точно, /Css совпадает с
классом не более чем счетных пересечений конечных объединений
элементов 1С). Кроме того, если ? — компактный класс подмножеств
множества Y, то компактен класс произведений КхЕ, К ? 1С, Е € ?.

78
Глава 1. Построение и продолжение мер
Доказательство. Докажем сначала, что класс Кя конечных
объединений множеств из /С компактен. Пусть последовательность Ai =
1Х*=а К?-, гДе -К? е ?> такова, что П*=1 Ai Ф 0 при всех k G IN.
Обозначим через М множество всех последовательностей v = (щ), для
которых Vi < rrii при всех г > 1. Пусть Мк — совокупность таких
последовательностей v из М, что Пг=1 Щ? Ф 0- Заметим, что множества
Мк непусты для всех к. Это вытекает из соотношения
un*r=(W*.
i/€Mi=l i=l
которое легко усмотреть из того, что х G П»=1 -^» в точности тогда,
когда существуют такие t/j < m^, i = 1,... ,к, что a; G if,"*. Кроме того,
множества Мк убывают. Мы докажем, что существует
последовательность v в их пересечении. Это будет означать, что пересечение DnLi Ai
непусто, ибо оно содержит множество H^Li Кп" > которое непусто в
силу компактности класса К. и непустоты множеств f]n=1 К%" ¦
Для доказательства соотношения DfcLi ^k Ф ® выберем в каждом
множестве Мк элемент v^ = (ип '). Поскольку vn ' < mn для всех п
и к, то существует бесконечно много индексов к, для которых числа i/[k'
совпадают с одним и тем же числом v\. По индукции строится такая
последовательность натуральных чисел v — (i/j), что для каждого п
найдется бесконечно много индексов к с тем свойством, что и\ ' = щ
при всех i = 1,..., п. Это означает, что v G Мп, ибо принадлежность к
М„ определяется по первым п координатам последовательности, а при
к > п мы имеем i/fc) € М„ в силу включения i/fc) е М* с М„. Итак, v
принадлежит всем Мп.
Из компактности класса К.е очевидным образом вытекает
компактность класса Kss всевозможных не более чем счетных пересечений
множеств из K.s. Ясно, что это — наименьший класс, содержащий К и
замкнутый относительно конечных объединений и не более чем счетных
пересечений (заметим, что конечное объединение нескольких счетных
пересечений конечных объединений множеств из К можно записать как
счетное пересечение конечных объединений).
Наконец, если пересечения Г\п=Л^п>^Еп) с Кп е /С, Еп € ?
непусты, то непусты и П«=1 ^п> Пп=1 ^п, что в СИЛУ компактности К и ?
дает точки х G П^=1 кп и у € IXU En- Тогда (ж, у) € D^=i(^nX?„). ?
Последнее утверждение будет усилено в лемме 3.5.3. Класс
множеств вида КхЕ, где К € 1С, Е G ?, будем обозначать через /Сх?
(обычное понимание произведения множеств /С и ? как совокупности
пар (К, Е) в данном случае не приводит к недоразумениям).

1.12. Дополнения и задачи 79
Несколько более широким, чем компактность, является свойство
монокомпактности, рассматриваемое в следующей теореме из работы
МаДогу [619], усиливающей теорему 1.4.3.
1.12.5. Теорема. Пусть "R. — полукольцо и ц — аддитивная
неотрицательная функция на TZ, причем существует класс множеств
М С 7? со следующим свойством: если множества Мп € М непусты
и убывают, то H^Li М„ непусто (такой класс называется
монокомпактным). Предположим, что u(R) = sup{^(M): М е М, М С R}
для всех R?TZ. Тогда ц счетно-аддитивна на V,.
Доказательство. Пусть R = Ц^ Rn, где Д„ е 11. Достаточно
показать, что fj,(R) < ?} м(^п)- Предположим противное. Тогда
существует такое с, что ]П fi(Rn) < с < /х(Д). Возьмем MgjMcMc Ди
ц(М) > с. Запишем M\Ri в виде дизъюнктного объединения
mi
M\Ri = (J Rj, Rj е 7г.
Найдем Mb...,Mmi 6 М с М3- С ff и f; /ДМ,) + ^(i?i) > с. По
i=i
индукции строим множества Mj1^..jn ? М следующим образом. Если
Mj, j„ уже построены, то выбираем конечное число дизъюнктных
множеств яЛ.-vJW е 72, объединение которых есть М}1,...,_,„\Rn+i, а
также множества Mjlt...jnj € М с Af,-1;...jniJ С Д'1 -*"J и
? MM*,...^j) + f>(ib)>c.
Л Jn,j »=1
При этом X) /*(-^ji,....j»,i) > 0 в силу выбора с. Поэтому най-
iii—j'»j
дется такая последовательность индексов ji, что Mjlt...jk непусто для
всех к (такая последовательность находится по индукции путем выбора
Jii • • • ,Зк-\ с M-Mji,...,jfc_i) > 0). Таким образом, flfeli Щ1,-,Зк непусто,
откуда R Ф U^Li Rn — противоречие. П
В Fremlin [420] построен пример, различающий компактные и
монокомпактные меры, т.е. найдена вероятностная мера, обладающая мо-
иокомпактным приближающим классом, но не имеющая компактных
(^четно-компактных по терминологии цитируемой работы)
приближающих классов.

Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12(Hi). Метрическая булева алгебра
Пусть (Х,А,ц) — измеримое пространство с конечной
неотрицательной мерой fi. В этом пункте обсуждается естественная метрическая
структура на множестве всех /^-измеримых множеств.
Предположим сначала, что /х — ограниченная неотрицательная
аддитивная функция множества на алгебре А. Положим
d(A, В) = ц(ААВ), А,В€ А.
Функция d называется метрикой Фреше-Никодима. Введем на А
следующее отношение: А ~ В, если d(A, В) = 0. Ясно, что А ~ В тогда и
только тогда, когда А я В отличаются на множество меры нуль. Это
отношение является отношением эквивалентности:
1) А ~ А, 2) если А ~ В, то В ~ А, 3) если А ~ В и В ~ С, то
А~ С. Обозначим через А/ц множество всех классов эквивалентности
по этому отношению. Функция d имеет естественное продолжение на
А/цхА/ц:
d(A,B)=d(A,B),
если А и В — представители классов А и В соответственно. В силу
аддитивности ц приведенное определение корректно, т.е. не зависит от
выбора представителей в классах. Функция d превращает множество
А/ц в метрическое пространство. Неравенство треугольника вытекает
из того, что при всех А, В, С € А справедливо включение А А С С
(AAB)U(BAC), откуда ц(ААС) < ц(ААВ) + ц(ВАС). С помощью
перехода к представителям классов на А/ц вводятся операции
пересечения, объединения и дополнения. Метрическое пространство (А/ц, d)
называется метрической булевой алгеброй, порожденной (А,ц).
Отметим, что функция ц естественно определяется на А/ц и является
липшицевой на (A/n,d). Это вытекает из неравенства \ц(А) — ц(В)\ ^
lx{AAB)=d{A,B).
Мера ц называется сепарабельной, если сепарабельно метрическое
пространство (A/fi,d), т.е. в нем есть счетное всюду плотное
множество. Сепарабельность ц равносильна существованию такого не более
чем счетного набора множеств Ап € А, что для всяких А е А и е > 0
найдется п с ц(А А А„) < е. Последнее свойство можно взять в
качестве определения и для бесконечных мер. Мера Лебега и многие
другие встречающиеся в приложениях меры сепарабельны, но существуют
и несепарабельные меры. О сепарабельных мерах см. задачи 1.12.93,
4.7.47 и §7.14(iv).
1.12.6. Теорема. Пусть ц — ограниченная неотрицательная
аддитивная функция множества на алгебре А.
(i) Функция ц счетно-аддитивна тогда и только тогда, когда
d(An,0) ->0 приАп [0.

1.12. Дополнения и задачи
(ii) Если А — а-алгебра и ц счетно-аддитивна, то метрическое
пространство (A/fi,d) полно.
Доказательство, (i) Достаточно заметить, что Ап А 0 = Ап и
d(An,0) = /х(А„). (ii) Пусть {An} — фундаментальная
последовательность в (A/fi,d) и Ап — представитель класса Ап. Покажем, что
существует такое множество А € А, что d(An,A) —> 0. В силу
фундаментальности {Ап} достаточно показать, что имеет предел некоторая
подпоследовательность из {А„}. Поэтому, перейдя к
подпоследовательности, можно считать, что ц(Ак А Ап) < 2~п при всех п и к > п.
Положим
А = limsupАп := П U Ак'
Покажем, что d(An, А) —> 0. Пусть е > 0. В силу счетной аддитивности
ц существует такой номер N, что
цA)Ак\А)=ц(ГI)Ак\А)<е.
k=N n=lfc=n
Тогда при т ^ N имеем Ш UfcLm-^A-^) < ?- Так как (i(Am А Ак) ^
ц(Ак\Ат), то при всех достаточно больших го
»({jAk\Am)< ? ММА*Х ? 2-fc<5,
fc=m fc=m+l fc=m+l
откуда (i(Am AA)< 2e. Теорема доказана. ?
Пусть теперь А — «т-алгебра, а ц счетно-аддитивна.
1.12.7. Определение. Множество А е А называется атомом
меры ц., если ц(А) > 0 и всякое множество В (Z АшзА имеет меру либо 0,
либо ц(А).
Если атомы А\ и Ач, различны в том смысле, что d(A, В) > 0 (т.е. А
и В не эквивалентны), то fx(Ai П Лг) = 0. Поэтому может существовать
не более чем счетное множество {Ап} попарно неэквивалентных
атомов. Мера fj, называется чисто атомической, если ш Х\ U^Li ^п) =0.
Если же атомов нет, то мера /х называется безатомической (или
неатомической).
1.12.8. Пример. Мера Лебега А неатомична на всяком измеримом
множестве А С [а,Ь]. Более того, для всякого а е [0, Х(А)} существует
В С А с \(В) = а.

82
Глава 1. Построение и продолжение мер
Доказательство. Функция F(x) = \(А П [а, х)) непрерьшна на
[а,Ь] в силу счетной аддитивности меры Лебега. Остается применить
теорему о промежуточном значении. ?
1.12.9. Теорема. Пусть (Х,А,[м) — измеримое пространство с
конечной неотрицательной мерой ц. Тогда для каждого е > 0
существует конечное разбиение X на попарно непересекающиеся
множества Х\,.. .,Хп ? А со следующим свойством: либо n(Xi) < е, либо
Xi — атом меры больше е.
Доказательство. Имеется самое большее конечное число
неэквивалентных атомов А\,..., Ар меры больше е. Тогда пространство
Y = Х\ \J^=1'Ai не имеет атомов меры больше е. Покажем, что каждое
множество В ? А, содержащееся в У и имеющее положительную меру,
содержит такое множество С, что 0 < /х(С) < е. Действительно,
предположим, что существует множество В, для которого это неверно.
Тогда и(В) > е (иначе можно положить С = В) и потому В не есть атом.
Следовательно, существует множество Bi € А с е < ц(Вг) < ц(В).
Тогда (j,(B\B\) > е (иначе приходим к противоречию с выбором В) и
по той же причине в множестве С\ = В\В\ есть подмножество В2 € А
с е < ц(В2) < m(Ci)- При этом fj,(Ci\B2) > е. Полагаем С2 = С\\В2 и
в С2 находим множество Вз € А с е < ц(Вз) < ц(С2). Продолжая это
рассуждение по индукции, получаем бесконечную последовательность
попарно непересекающихся множеств Вп меры больше е, что
невозможно, поскольку /х(У) < оо.
Теперь для каждого А € А положим
Т){А) = вар{ц(В): ВС A, Be А, ц{В) < е}.
Из доказанного выше следует, что 0 < т)(А) ^ е, если Л С У и fi{A) > 0.
Найдем в У множество f?i 6 А с 0 < n(Bi) ^ r)(Y), что возможно, если
fi(Y) > е (если /х(У) < е, то доказательство завершено). Затем,
пользуясь доказанным выше свойством подмножеств У, по индукции
построим последовательность попарно непересекающихся множеств Вп ? А с
ВпсУи
|4(r\ljBi)</*(iW)<e.
Если на каком-то шаге дальнейшее построение невозможно, то
доказательство на этом завершается. Пусть Во = У\ Ui^i &i- Тогда
V(B0)<r1(Y\{jBi)^2n(Bn+1)
для всех п. Поскольку ряд из мер Вп сходится, то ц(Вп) —> 0, откуда
п(Во) = 0. Следовательно, ц(Во) = 0. Осталось взять такой номер к,

1.12. Дополнения и задачи
что J2 ц(Вг) < е. Множества Ai,...,Ap, Bi,...,Bk, U^U+i-^ U А)
образуют искомое разбиение. ?
1.12.10. Следствие. Пусть ц — безатомическая мера. Тогда для
всякого а ? [О,//(X)] существует такое множество А ? А, что
/х(Л) = а.
Доказательство. С помощью предыдущей теоремы можно
построить возрастающую последовательность множеств Ап ? А таких,
что ц(Ап) —> а. Действительно, а > 0. Для всякого к ? IN с \/к < а
можно разбить X на конечное число частей X, с n{Xj) < 1/fe. Возьмем
наибольшее т с т/к ^ а. Тогда мера Ujli ^з отличается от а не более
чем на 1/к. Теперь можно положить А = IJ^Li Ai- П
1.12(iv). Измеримая оболочка, измеримое ядро
и внутренняя мера
Пусть (X, В, ц) — измеримое пространство с конечной
неотрицательной мерой /х. Заметим, что ограничение \х на измеримое
подмножество А снова является мерой, определенной на следовой ег-алгебре
В а пространства А, состоящей из множеств вида А Г\ В, где В ? В.
Следующая конструкция позволяет ограничивать \i на произвольные
подмножества А, если Ва определить как и выше.
Для всякого множества А с X существует множество А ? В
(называемое измеримой оболочкой А) с
АсАиц{А)=ц*(А). A.12.3)
В качестве такого множества (которое не единственно) можно взять
А = Г?°=1 Ап, где Ап ? В, Ап э А и ц(Ап) < ц*(А) + 1/п. A.12.4)
Нестрого говоря, А — минимальное измеримое множество,
содержащее А.
Из A.12.3) и определения внешней меры вытекает, что если А с
В С А и В € В, то ц(А АВ) = 0.
1.12.11. Определение. Ограничение (или сужение) ua меры /х
на Ва определяется формулой
цА{ВпА) = ц{ВпА), В?В,
где А — произвольная измеримая оболочка А.
Легко видеть, что это определение не зависит от нашего выбора А
и что функция ца счетно-аддитивна. Если А ? В, то получаем обычное
ограничение.

84 Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12.12. Предложение. Мера ца совпадает с ограничением
внешней меры fi* на В а-
Доказательство. Пусть В е В. Тогда
ц*(ВП4)< ц*(ВГ) А) =ц(вГ\А)= fiA(BП А).
С другой стороны, если В П А с С, где С € В, то
АсА\(ВП(Л\С)).
Из определения измеримой оболочки получаем ц(В П (А\С)) = 0.
Поэтому имеем
ц(В ПА)< ц{В П С) + ц(В П (Л\С)) = ц(В П С) < /х(С),
откуда после перехода к inf по С получаем ц(В Л А) ^ М*(В П А). П
По аналогии с измеримой оболочкой определяется измеримое ядро
А произвольного множества А. А именно, сначала определим
внутреннюю меру множества А формулой
ц.(А) = sup-j^(B): ВсА,ВеВ\.
Назовем измеримым ядром множества А такое множество Ае В, что
Ас А и /i(A) = ц,(А).
В качестве А можно взять объединение последовательности таких
множеств Вп € В, что Вп с А и /x(Bn) ^ /х»(А) — 1/п. Разумеется,
измеримое ядро определено не однозначно, но если множество С из В
содержится в А, то n(C\A) = 0. Нестрого говоря, А — максимальное
измеримое подмножество А.
Внешнюю и внутреннюю меры обозначают также символами це и
(ii соответственно (от „mesure exterieure" и „mesure interieure").
Отметим, что построенное в примере 1.7.7 неизмеримое множество
обладает внутренней мерой 0 (в противном случае в Е нашлось бы
измеримое множество Eq положительной меры, что привело бы к
дизъюнктным множествам Ео+гп равной меры). Следующая модификация
этого примера приводит к еще более экзотическому множеству.
1.12.13. Пример. На отрезке [0,1] (или на прямой) с мерой Лебега
А есть такое множество Е, что
А*(?) = 0 и \*(ЕПА) = \(А) = \*(А\Е)
для всякого измеримого по Лебегу множества А.
Доказательство. Аналогично примеру 1.7.7, возьмем
множество Ео, содержащее ровно по одному представителю из каждого класса

1.12. Дополнения и задачи 85
эквивалентности по отношению, заданному следующим образом: х ~ у,
если х — у = п + т%/2, где т,п € Z. Положим
Е= le + 2n + mV2: eeE0,m,n?z\,
причем в случае отрезка множество Е еще пересечем с [0,1]. Пусть
А с Е — измеримое множество. Заметим, что множество А — А =
{а\ - о,-2: ai,a2 G А} не содержит точек вида 2п + 1 + т\/2 с
целыми п и т. Следовательно, А — А не содержит интервалов и потому
Х(А) = 0 (см. задачу 1.12.80). Итак, \*(Е) = 0. Заметим, что
дополнение к Е совпадает с? + 1. Действительно, всякая точка отличается на
число вида п + т\/2 от своего представителя из Eq. С другой стороны,
Е П (Е +1) = 0, ибо ?о содержит лишь по одному представителю
каждого класса. Следовательно, дополнение к Е также имеет внутреннюю
меру 0. Это означает, что А* (Л Л Е) = Х(А) для всякого измеримого по
Лебегу множества А, ибо
\*(А ПЕ) = А(А) - А*(Л\(Л п Е)) = \{А) - А»(Л\Е),
где число \*(А\Е) не превосходит внутренней меры дополнения Е, т.е.
равно нулю. Аналогично \*(А\Е) = Х(А). ?
1.12(v). Продолжения мер
Следующий результат показывает, что можно всегда продолжить
меру, область определения которой включает не все множества. Из
этого результата следует, что у меры нет максимального
счетно-аддитивного продолжения, если ее нельзя продолжить на все множества.
1.12.14. Теорема. Пусть ц — конечная неотрицательная мера
на а-алгебре В в пространстве X и пусть S — такое множество,
что /i»E) = q < n*(S) = 0, где /i*(S) = sup{/i(B): В с S, В е В}.
Тогда для всякого 7 € [а, 0] существует счетно-аддитивная мера и
на а-алгебре cr(B U S), порожденной В и S, такая, что v = /х на В и
»(S) = 7-
Доказательство. Пусть сначала д* E) =0и/х*E) = ц(Х).
Можно считать, что ц(Х) = 1. Положим
?s = {е = (S П A) U {(X\S) П В): А, В? В}. A.12.5)
Как мы видели в примере 1.2.7, ?s есть ст-алгебра, порожденная 5 и В.
Теперь положим
i/((S П A) U {(X\S) П В)) = 1Pl{A) + A - 7)М5).

86
Глава 1. Построение и продолжение мер
Покажем, что функция множества v корректно определена, т.е. если
Е = (S П A) U ((X\S) HB)={Sn Ао) U ((X\S) Г\В0),
где Ао,Во € В, то v{E) не зависит от того, какое из представлений
Е мы используем. Для этого достаточно заметить, что ц(Ао) = fi{A)
и д(Во) = ц(В). Действительно, мы имеем Лп5 = Ао П S. Тогда
измеримые множества А\Ао и Ао\А содержатся в X\S и имеют меру
нуль, ибо n*(S) = fi(X). Итак, fi(A Л Ао) = 0. Аналогично получаем
ц{В А Во) = 0, поскольку fi*(X\S) = ц(Х) в силу равенства /х*E) = 0.
По построению имеем v{S) — ~цл{Х) = -у. Если А = В е В, то v(B) =
7д(В) + A-7)д(В)=МВ).
Покажем, что i/ — счетно-аддитивная мера. Пусть ?„ — попарно
непересекающиеся множества из ?s, порожденные парами множеств
(Ап,Вп) € В согласно A.12.5). Тогда множества Ап Г\ S попарно не
пересекаются. Следовательно, при п ф к измеримые множества Ап П
Ак содержатся в X\S и потому имеют меру нуль. Таким образом,
М(Ш=1 А*) = ? МАО- АнаЛОГИЧНО (Ji(\Jn=lBn) = Е м(Яп)- Это
показьтает, что ^(U^°=i-^n) = j^ v(En). Итак, в рассмотренном
случае теорема доказана.
В общем случае возьмем измеримую оболочку S множества S (см.
A.12.4). Пусть 5 — измеримое ядро S. Тогда /j.(S) = /x*(S) = а.
Положим
Х0 = S\S, So = S\S.
Сужение меры /х на Хо обозначим через /хо. Заметим, что /Хо(^о) =
Мо(Хо) = /3 — а и (/io)*(So) = 0. По доказанному существует мера щ
на пространстве Хо с ст-алгеброй ?g0, порожденной множествами So
и В С Хо, В G В, такая, что fo(So) = 7 ~~ а и Щ совпадает с цо на
множествах В С Хо из В. Множества вида
Е = AU Е0 UB, А,ВеВ,Ас X\S,Bc S,E0 € ?So,
образуют cr-алгебру ?, порожденную 5 и В. Рассмотрим меру
и(Е) = ц(А) + и0{Е0) + »(В).
Легко видеть, что v — счетно-аддитивная мера на ?, совпадающая с ц
на В, причем i/(S) = /х@) + i>o(So) + КЮ = 7~<* + <* = 7-
Отметим, что, как можно проверить, формула
i/(?):=/x*(?nS)+/x,(?n(X\S)), Ee?s,
дает продолжение меры /х с v(S) = n*(S). Близкий способ Никодима
указан в задаче 3.10.31. ?

1.12. Дополнения и задачи 87
Утверждение о существовании продолжения можно
распространить на произвольные наборы попарно непересекающихся множеств.
Для счетных семейств дополнительных множеств это сделано в работе
Bierlein [261]; общий случай был рассмотрен в Ascherl, Lehn [225].
1.12.15. Теорема. Пусть (Х,В,ц) — вероятностное
пространство и пусть {Za} — семейство дизъюнктных подмножеств X.
Тогда существует вероятностная мера и, продолжающая ц на а-алгеб-
ру, порожденную В и {Za}.
Доказательство. Сначала мы рассмотрим счетное семейство
попарно непересекающихся множеств Zn. Выберем измеримые оболочки
Zn множеств Zn. Положим
Вг = Zu Вп = Zn\ \JZU п> 1.
Множества Вп входят в В и не пересекаются. Покажем, что множество
S = U^Li (Bn\Zn) имеет внутреннюю меру нуль. Заметим сначала, что
H,(Bn\Zn)^n.{Zn\Zn)=0
для всех п > 1, ибо Вп С Zn. Пусть теперь С € В, С С \Jn=i(Bn\zn)-
Тогда ц(С) = ? МС П Вп) = 0, ибо С П Вп с Bn\Zn. Итак, ju.(S) = 0.
По теореме 1.12.14 существует такое продолжение меры ц до счетно-
аддитивной меры vq на сг-алгебре Л, порожденной В и S, что uo(S) = 0.
Обозначим через и лебеговское пополнение щ. Все подмножества
множества S входят в AVo и на них мера v обращается в нуль. В частности,
v(Bn\Zn) = 0. Заметим, что
Zn\Bnc\J(Bi\Zi). A.12.6)
Действительно, если х € Zn\Bn, то х е Zn f| \J*~* Z^cZaf) [?~* Bt.
Тогда x e Bi для некоторого г < п. При этом х g Zi, ибо Zi П Zn = 0.
Значит, х G Bi\Zi. Из A.12.6) получаем i/(Zn\Bn) = 0. Итак, имеем
v(Bn Д Zn) = 0, что означает ^-измеримость всех множеств Zn.
В случае несчетного семейства положим
c = sup{^(S): S=\JZan],
где sup берется по всем счетным подсемействам {Zan } исходного
семейства множеств. Пользуясь счетной аддитивностью /х, легко проверить,
*гао существует такое счетное семейство N = {ап}, что fi*(S) — с, где

Глава 1. Построение и продолжение мер
S = U^Li %ап • Согласно доказанному выше, меру /х можно
продолжить до счетно-аддитивной меры vq на ст-алгебре А, порожденной В и
множествами Z„n. Обозначим через ? класс всех множеств вида
Е = ААС, А&А, Cc{JZffj, /3j<?N.
Непосредственно проверяется, что ? — сг-алгебра. Ясно, что А С ?
(ибо можно взять С = 0) и что Za € ? для всех а (ибо при а ? N
можно взять А — 0). Наконец, положим и(А Д С) := щ(А). Данное
определение корректно, что вытекает из установленной выше
корректности определения 1.12.11. Для этого надо, однако, проверить, что если
Е = А\ Л С\ есть иное представление указанного вида, то множество
А Л А\ имеет i/o-меру нуль. Поскольку оно содержится в некотором
счетном объединении множеств Z^., /3, ? N, то требуется показать,
что множество Z = U^Li Z&j имеет внутреннюю меру нуль
относительно щ. Это не вполне очевидно, ибо хотя оно и имеет нулевую
внутреннюю меру относительно /х, но в процессе продолжения меры
внутренняя мера может увеличиваться. Однако в данном случае этого не
происходит. Действительно, предположим, что в Z можно вписать
множество Е положительной fo-меры. Из построения щ (лебеговского
пополнения описанного выше явным образом продолжения) вытекает, что в
качестве Е можно взять множество вида Е = (A\C\S)\j{A.2C\{X\S)), где
Ai, Ay, е В, 5 = U^=i {Bn\Zan) с некоторыми Вп € В, построенными на
первом этапе доказательства. При этом vq(E) = ^(Аъ). Тогда равной с
Е 1/о-мерой обладает и его подмножество JSo = Ах П (X\S). Поскольку
множества Вп попарно не пересекаются, то X\S есть объединение двух
множеств U^Li(^n П Zan) и Х\\J?=l Вп. Однако Ai не пересекается с
множествами Zan, ибо содержится в Z. Следовательно, получаем, что
Ео = А2 Л (Х\ \J™=1 вЛ € В и потому ц(Ео) = МЕо) > 0. Это
противоречит равенству fi*(Z) = 0. Из сказанного следует также, что v —
счетно-аддитивная мера, продолжающая щ, а значит и /х. ?
Естественно возникает вопрос, сколь существенно предположение о
дизъюнктности добавленных множеств в доказанной теореме. В
предположении гипотезы континуума существует такое счетное семейство
множеств Ej С [0,1], что меру Лебега нельзя продолжить до счетно-
аддитивной меры на какой-либо ст-алгебре, содержащей все Ej. Это
утверждение восходит к Банаху и Куратовскому (см. задачу 1.12.133
и [236], а доказательство можно найти в задаче 6.10.75 гл. 6). Это
же верно и в предположении аксиомы Мартина, определяемой ниже
в §1.12(х), см. короткое рассуждение в Mauldin [629]. С другой
стороны, в Carlson [308] показано, что из непротиворечивости системы

1.12. Дополнения и задачи
аксиом ZFC (система Цермело-Френкеля с аксиомой выбора) следует
непротиворечивость ZFC с добавленным утверждением о возможности
продолжения меры Лебега на ег-алгебру, полученную присоединением
любой счетной последовательности множеств.
В работах Weber [859] и Lipecki [603] получены обобщения
теоремы 1.12.15, связанные с заменой дизъюнктных наборов вполне
упорядоченными наборами.
В главе 7 обсуждаются продолжения на ег-алгебры, которые не
обязательно порождены присоединением дизъюнктных семейств.
1.12(vi). Некоторые интересные множества
В этом разделе будут рассмотрены некоторые интересные примеры
измеримых и неизмеримых множеств на прямой.
1.12.16. Пример. Существует такое борелевское множество В на
прямой, что для каждого непустого интервала J множества В П J и
(К^-В) П J имеют положительные меры.
Доказательство. Пусть {/„} — все невырожденные отрезки в
[0,1] с рациональными концами. Найдем нигде не плотное компактное
множество А\ С 1\ положительной меры. Множество I\\Ai содержит
интервал и потому имеется нигде не плотный компакт В] С /i\Ai
положительной меры. Аналогично существуют нигде не плотные компакты
А2 С I2\(Ai UBj)hB2C J2\(j4i U Bj U А2) с А(Л2) > 0 и А(В2) > 0.
По индукции строим в [0,1] последовательность попарно
непересекающихся нигде не плотных компактов Ап и Вп положительной меры,
для которых Вп С /П\Л„. Если At и Bi уже построены при г ^ н, то
множество /n+i\ UiLi(^« U-Bj) содержит некоторый интервал, ибо
объединение конечного числа нигде не плотных компактов является нигде
не плотным компактом. В этом интервале можно найти дизъюнктные
нигде не плотные компакты Ап+\ и Вп+\ положительной меры и
продолжить построение. Пусть Е = tJ^Li Вп. Если дан интервал из [0,1],
то в нем содержится отрезок 1т для некоторого т. Согласно нашему
построению в 1т содержатся множества Am+i и Bm+i, т.е. 1т
пересекается с Е и [0,1]\Е по множествам положительной меры. Наконец,
положим В = \jt=-oc(E + z)- О
Приведем ряд понятий и фактов, связанных с упорядоченными
множествами и порядковыми числами. Подробное изложение этого
материала (включая трансфинитную индукцию) дано в книгах
Александров [5], Колмогоров, Фомин [95], Натансон [134]. Множество Г
называется частично упорядоченным, если на нем введен частичный
порядок, т.е. некоторые из пар t,s е Т связаны соотношением t ^ s,
удовлетворяющим условиям: 1) t ^ t, 2) если t ^ s и s < и, то ? < и для

90
Глава 1. Построение и продолжение мер
всех s, t, и G Т. Иногда такое отношение называют частичным пред-
порядком, а в определение частичного порядка включают требование
антисимметричности: если t$SH«<t, Tot = s. Будем писать t < s,
если t < s и t ф s. При этом Т называется линейно упорядоченным,
если все его элементы попарно сравнимы, причем если t < s и s ^ t,
то t = s. Элемент m частично упорядоченного множества называется
максимальным, если нет элементов х с х > т. Аналогично
определяется минимальный элемент.
Множество называется вполне упорядоченным, если оно линейно
упорядочено, а каждое его непустое подмножество имеет минимальный
элемент. Например, множества IN и К1 с их естественными порядками
линейно упорядочены, но IN вполне упорядочено, a JR.1 нет.
Интервалом (а, /?) во вполне упорядоченном множестве М
называется множество всех точек х с а < х < /3. Отрезок [а, /?] — это
интервал (а,/3) с добавленными к нему концами. Два вполне
упорядоченных множества называются подобными, если между ними существует
взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее порядок. Класс
подобных между собой вполне упорядоченных множеств называется
порядковым числом или ординалом. При этом порядковые числа,
отвечающие бесконечным множествам, называются трансфинитными
числами или трансфинитами. Если даны два вполне упорядоченных
множества An В, представляющие порядковые числа а и /3 и не являющиеся
подобными, то либо А подобно некоторому начальному отрезку в В,
либо В подобно некоторому начальному отрезку в Л. В первом случае
полагаем а < /?, а во втором /3 < а. Таким образом, из всяких двух
различных ординалов один меньше другого. Любое множество,
состоящее из порядковых чисел, также вполне упорядочено (в отличие от
подмножеств Ш1 с обычным порядком). Множество W(a) всех
порядковых чисел, меньших а, является вполне упорядоченным множеством
типа а. Если дано какое-либо множество X мощности к, то с помощью
аксиомы выбора его можно вполне упорядочить (теорема Цермело), т.е.
имеются ординалы, соответствующие множествам мощности к.
Следовательно, среди таких ординалов есть наименьший и(к). Аналогичным
образом определяется наименьшее несчетное порядковое число u>i
(наименьшее порядковое число, отвечающее несчетному множеству),
которое в теории меры нередко используется для построения разных
экзотических примеров. Наименьшая несчетная мощность обозначается
через Ki. Гипотеза континуума означает равенство Ni = с. Первый (т.е.
наименьший) бесконечный ординал обозначают символом шо-
1.12.17. Пример. Существует такое множество В С JR.
(называемое множеством Бернштейна), что оно само и его дополнение имеют
непустые пересечения с каждым несчетным замкнутым
подмножеством прямой. При этом пересечение В со всяким множеством
положительной меры Лебега неизмеримо.

1.12. Дополнения и задачи
91
Доказательство. Ясно, что имеется континуум замкнутых
множеств на прямой (ибо дополнение всякого замкнутого множества есть
счетное объединение интервалов), а также, что совокупность всех
несчетных замкнутых множеств имеет мощность континуума с.
Воспользуемся таким фактом: множество всех порядковых чисел, меньших
первого континуального порядкового числа ш(с), имеет мощность
континуума с. Поэтому множество всех несчетных замкнутых множеств на
прямой можно параметризовать бесконечными порядковыми числами,
меньшими ш(с), и представить его в виде {Fa,a < uj(c)} . С помощью
трансфинитной индукции из каждого Fa выберем по две точки ха и уа
так, что все выбранные точки различны. Множества Fa можно вполне
упорядочить. Используя полную упорядоченность множества
индексов q, выбираем первые (в смысле выбранного нами полного
упорядочения) элементы х\, у\ G F\ для первого элемента множества индексов.
Если 1 < а < с и попарно различные элементы х@,у0 уже выбраны
для всех /3 < а, то в качестве ха,уа берем первые элементы из
множества FQ\\J0<a{x0,y0}, которое бесконечно, ибо Fa имеет мощность
континуума в силу задачи 1.12.100, а мощность множества индексов, не
превосходящих а, имеет мощность меньше с. В силу принципа
трансфинитной индукции элементы ха,уа заданы для всех а < w(c). Остается
положить В = {ха,а < о>(с)}. Ясно, что тогда уа е Ш\В HiaeF0nB,
уа ? Fan (Ш\В). Последнее утверждение очевидно из того, что во
множестве положительной меры есть компакт положительной меры. ?
В гл. 6 (следствие 6.7.13) будет показано, что всякое несчетное
суслинское множество содержит несчетное компактное подмножество.
Поэтому множество Бернштейна не содержит несчетных суслинских
подмножеств. Это будет использовано в следующей лемме.
1.12.18. Лемма. Пусть Т — множество мощности
континуума, Е С Их Г, для всякого х сечение Ех = {t: (x.t) € Е} конечно, а
для всякого Г'сГ множество {х: ЕХПТ' ф 0} измеримо по Лебегу.
Тогда существуют такие множество Z лебеговской меры нуль и не
более чем счетное множество S СТ, что Ех С S при всех х ? TR\Z.
Доказательство. Не умаляя общности, можно взять в качестве
Г такое континуальное множество на прямой, что оно не содержит
несчетных суслинских подмножеств (например, множество
Бернштейна). Заметим, что существует такое борелевское множество N меры
нуль, что множество D := Е П ((IR\iV) хН) обладает следующим
свойством: для всякого открытого U множество {х: Dx Г) U ф 0} борелево.
В самом деле, пусть {Un} — последовательность всех интервалов с
рациональными концами. По условию имеем {х: UnC\Ex ф 0} = BnUNn,
где Вп € B(IR) и X(Nn) = 0. Найдем борелевские множества N^
нулевой меры с Nn С N„ и положим N = U^li ^п- Поскольку произвольное

92 Глава 1. Построение и продолжение мер
непустое открытое множество U является объединением конечного или
счетного числа Un, то для обоснования указанного свойства множества
N достаточно проверить, что множества {х: Dx C\Un ф 0} борелевы.
Для этого надо заметить, что {х: Dx Л Un Ф 0} = Вп U Nn\N = Bn\N.
Теперь установим борелевость D. Из условия следует, что множества
Dx конечны. Поэтому
D=f] \jUx,r): |r-rTO|<l/n, Dxn(rm-l/n,rm + l/n)^0},
где {г„} — все рациональные числа. Действительно, левая часть этого
соотношения всегда входит в правую, а если (х, г) не входит в D, то
при некотором п имеем \r-t\> Bп)~1 для всех t из конечного
множества Dx, поэтому (х, г) не входит и в правую часть указанного
соотношения. Таким образом, D есть счетное пересечение счетных
объединений множеств (гт - 1/п, гт + 1/п)х{х: Dx П (гт - 1/п, гт + 1/п) ф 0},
которые борелевы согласно доказанному выше. Итак, D — борелевское
множество. Пусть 5 — проекция D на второй сомножитель. Тогда S
есть суслинское множество. В силу выбора Г множество S не более
чем счетно. Ясно, что N и S — искомые. ?
Теперь мы можем доказать следующий любопытный результат.
1.12.19. Теорема. Пусть {At}teT — некоторое семейство
множеств нулевой меры, покрывающее прямую, причем каждая точка
покрыта лишь конечным числом множеств At. Тогда найдется
такое подсемейство Г'сТ, что мноэюество U^t7 -^-t не измеримо.
Доказательство. Пусть Е = {(x,t): t е Т,х е At}. Если для
всякого Г' С Г множество \JteT, At измеримо, то Е удовлетворяет
условиям доказанной леммы. Поэтому существуют такие множество
Z меры нуль и не более чем счетное множество S С Т, что Ех С S для
всех х G TB}\Z. Тогда TR}\Z с \JseS Aa — противоречие. D
Напомним, что базис Гамеля (или алгебраический базис) в
линейном пространстве L — это такой набор линейно независимых
векторов va, что всякий вектор из L можно представить в виде конечной
линейной комбинации va. Если Ш. считать линейным пространством
над полем вещественных чисел, то в качестве базиса можно взять
любой ненулевой вектор. Однако положение меняется, если рассмотреть
Ю. над полем Q рациональных чисел: конечного базиса теперь нет.
Однако известно (см. Колмогоров, Фомин [95]), что в этом случае также
существует базис Гамеля, причем всякие два базиса Гамеля равномощ-
ны и имеют мощность континуума. Любопытно, что метрические
свойства разных базисов Гамеля пространства Ш, над Q могут быть весьма
различны.

1.12. Дополнения и задачи
93
1.12.20. Лемма. Всякий базис Гамеля Ш, над Q имеет
внутреннюю лебеговскую меру нуль, причем существуют измеримые по
Лебегу базисы Гамеля.
Доказательство. Пусть Н — базис Гамеля и ft € if. В случае
А,(Я) > 0, где А — мера Лебега, множество Н содержит компакт
положительной меры. В силу задачи 1.12.80 множество {fti —/12, fti, hi € Н}
содержит непустой интервал. Значит, найдутся такие fti, ft-2 € Н и
ненулевое <7 € Q, что fti — ft-2 = qh, что противоречит линейной
независимости над Q векторов базиса.
Чтобы построить измеримый базис Гамеля, воспользуемся
задачей 1.12.57 и возьмем два множества А и В меры нуль, для которых
{о + b, a G A, b € В] = Ж. Положим М = A U В. Тогда М имеет
меру нуль. Остается заметить, что существует базис Гамеля, состоящий
из элементов М. Как и в доказательстве существования базиса Гамеля,
для этого достаточно взять максимальное (в смысле включения)
линейно независимое над Q множество Н с М; оно будет базисом Гамеля,
ибо линейная оболочка Н над Q содержит М, а потому и 1R. ?
1.12.21. Пример. Существует неизмеримый по Лебегу базис
Гамеля Ш. над Q.
Доказательство. Мы проведем доказательство в предположении
гипотезы континуума, хотя без нее можно обойтись (задача 1.12.138).
Возьмем какой-нибудь базис Гамеля Н и пользуясь тем, что он
континуален, установим взаимно-однозначное соответствие а \—> ha между
бесконечными порядковыми числами а < с и элементами Н. Для
всякого а < с и всякого ненулевого q € Q обозначим через Va,q совокупность
всех чисел вида <?iftai + • • ¦ + qnhan + qha, где qi € Q и ац < а. В
силу гипотезы континуума каждое из множеств Vatq счетно (ибо имеет
мощность менее с), а их объединение дает Ж\{0}. Запишем Va,q в
виде счетной последовательности {ft^,,} и для каждого k € IN положим
Mk,q = Ua<c ha,q- Если мы докажем, что множества Mk,q линейно
независимы, то их можно будет дополнить до базисов Гамеля iffc,9-
Объединение последних содержит объединение множеств Mk,q и потому равно
П1\{0}, откуда следует, что в счетном наборе базисов Hk,q есть
неизмеримые, ибо все они имеют внутреннюю меру нуль. Для доказательства
линейной независимости Мь,я рассмотрим набор различных элементов
Л*ьд,..., ft?„i9 е Mk,q, где oti < ¦ ¦ ¦ < ап < с. Пусть qi,..., qn € Q,
причем j^ 1 — наибольший из индексов ненулевых qi. Разложение g^ft*.i9
ПО базису Н содержит член qjqha^q, а разложения остальных qiqhauq
не используют haj, откуда следует, что <7ift?li9 + h Чп^пЧ Ф 0- П
Следующий пример представляет собой глубокую теорему А.С. Бе-
эиковича, компактное доказательство которой можно найти в книге

94
Глава 1. Построение и продолжение мер
Stein [791, гл. X]. Пусть R — прямоугольник на плоскости с большей
стороной 1. Обозначим через R его сдвиг на 2 в положительном
направлении параллельно большей стороне, т.е. если е — единичный вектор
из правой полуплоскости, задающий направление большей стороны, то
R = R + 2е. Известные методы построения множества Безиковича (см.
Stein [791]) основаны на следующих утверждениях.
1.12.22. Лемма. Для всякого положительного е найдутся
такие N = N? е IN и 2N прямоугольников R±,...,i?2" С Ж2, имеющих
большую сторону 1 и меньшие 2~N, что A2(UJ=i Rj) < ?> а
определенные выше прямоугольники Rj попарно не пересекаются, так что
^2 (L^=i Rj) = 1> где А2 - мера Лебега на Ж2.
1.12.23. Лемма. Пусть Р — параллелограмм на плоскости, две
стороны которого находятся на прямых у = 0 и у = 1. Тогда для
всякого е > 0 найдутся такие N — N? € М ы N параллелограммов
Pi,..., Pn в Р, у каждого из которых также находится по стороне
на прямых у = 0 и у = 1, A2([Ji=1Pi) < ?> причем каждый отрезок
с концами на прямых у = 0 и у = I, лежащий в Р, может быть
параллельно перенесен в один из Pi.
1.12.24. Пример. (Множество Безиковича) Существует
такое компактное множество К С ГО.2 меры нуль, что для всякой прямой
I в Ш2 множество К содержит целый отрезок единичной длины,
параллельный I.
Доказательство. Последовательно применяя предыдущую
лемму, получаем последовательность компактных множеств Кi 2> K-i Э
• • • э Kj Э • • •, где К\ — квадрат 0 < х, у ^ 1, со следующими
свойствами: MiKj) < l/j, причем для всякого отрезка I, соединяющего
горизонтальные стороны К\, в Kj имеется отрезок, полученный
параллельным переносом /. Множество Dili Kj имеет меру нуль и содержит
параллельный сдвиг всякого отрезка длины 1, имеющего угол с осью
ординат в пределах от —ж/'4 до 7г/4. Объединение двух множеств такого
типа дает нужный компакт. ?
Множество указанного типа дает решение так называемой
проблемы Какея: какова минимальная мера множества, в котором есть
единичные отрезки с любыми направлениями. Об этой проблеме см. Wolff
[874].
Наконец, упомянем следующий удивительный пример Никодима,
подробное построение которого весьма кропотливо и может быть
прочитано в книгах Гусман [55], Falconer [381].

1.12. Дополнения и задачи 95
1.12.25. Пример. (Множество Никодима) Существует такое
борелевское множество А с [0,1] х [0,1] лебеговской меры 1, что для
всякой точки х ? А существует прямая 1Х, пересекающая А ровно по
одной точке х.
Множество Никодима особенно удивительно в связи с обсуждаемой
в гл. 3 теоремой Фубини; см. также задачу 3.10.109, где речь идет о
любопытных множествах Дэвиса, родственных множеству Никодима.
1.12(vii). Аддитивные не счетно-аддитивные меры
В этом разделе рассказывается, как можно строить аддитивные
меры на сг-алгебрах, не являющиеся счетно-аддитивными. В отличие
от конструктивного примера на алгебре, здесь приходится привлекать
неконструктивные методы, основанные на аксиоме выбора. Точнее
говоря, нам понадобится следующая теорема Хана-Банаха, которая
доказывается в курсах функционального анализа, с помощью аксиомы
выбора (см. Колмогоров, Фомин [95]).
1.12.26. Теорема. Пусть L — вещественное линейное
пространство, на котором задана числовая функция р со следующими
свойствами: (а) р(ах) — ар(х) при всех а ^ 0 и х Е L;
(Ь) р(х + у) ^ р{х) + р{у) при всех х,у € L.
Предположим, что Lo — линейное подпространство L и I —
линейная функция на Lq, причем 1(х) < р(х) при всех х е Lo- Тогда I
можно продолжить до линейной функции I, на всем L с 1{х) ^ р(х)
при всех х G L.
Функции р со свойствами (а) и (Ь) называются сублинейными.
Например, норма на нормированном пространстве (см. гл. 4)
сублинейна. Приведем менее очевидные примеры, с помощью которых строятся
некоторые интересные линейные функции.
1.12.27. Пример. Следующие функции р сублинейны:
(i) L — пространство всех ограниченных вещественных
последовательностей х = (хп) с его естественной линейной структурой (операции
задаются покоординатно) и
р{х) = inf 5(х, аь.. .,а„), S(x,ai,... ,а„) := sup - У^ ifc+a ,
k>i п ~{
где inf берется по всем натуральным п и всем конечным
последовательностям а\,..., ап € ЕЧ.
(ii) L — пространство всех ограниченных вещественных функций
на прямой с его естественной линейной структурой,
p(/) = infS(/,oi,...,a„), S(/,a1,...,a„):=sup-V/(* + a!),
tern.*1 ~1

Глава 1. Построение и продолжение мер
где inf берется по всем натуральным п и всем конечным
последовательностям oi,...,o„6E.
(iii) L — пространство всех ограниченных вещественных функций
на прямой,
p(f) = inf (limsup - Y, f{t + аЛ,
{ t-+oo П f^ J
где inf берется по всем натуральным п и всем конечным
последовательностям <ц,..., ап € IR.
(iv) L — пространство всех ограниченных вещественных
последовательностей х = (хп) и
р(х) = inf S(x,ai,...,an), S(x,a,i,.. .,an) := lim sup - V^ Xk+ai,
где inf берется по всем натуральным n и всем конечным последователь-
iab...,anelN.
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из (ii), которое мы
и докажем. Ясно, что |р(/)| < оо и p(af) = ap(f) при a > 0. Пусть
f,g € L. Возьмем е > 0 и найдем такие а%,..., ап, fei,..., bm, что
sup - V f(t + <ц) < p(f) + e, sup — V g(t + bi) < p(g) + e.
tefR n ?-^ test m ^
Заметим, что
sup i Z) 5Z^+*x*+ai+^
^ sup г Ё ™ 51-ft'+°*+6j)+sup« ? ~ 515(*+ai+6-')-
t n ^ m " ten "г f—j n ?^
При фиксированных * и bj имеем n_1 J2 f(t + a,i+bj) ^ 5(/,ai,... ,an),
откуда
SUP^ ? ^E^* + a«+^)^5^'ai'- ••'"")•
Из аналогичной оценки для # получаем
Kf + д) ^ S(f, oi,..., a») + S{g, Ьх,..., 6m) < p(/) + p(g) + 2e,
что в силу произвольности е дает p(f+g) < р(/) +p(fl). Доказательство
(iii) аналогично, а (iv) вытекает из (iii). ?

1.12. Дополнения и задачи 97
Теперь применим доказанное для построения некоторых
любопытных функций множества.
1.12.28. Пример. На ст-алгебре всех подмножеств IN
существует неотрицательная аддитивная функция и, которая равна нулю на
всех конечных множествах и равна 1 на IN; в частности, v не счетно-
аддитивна.
Доказательство. В пространстве L всех ограниченных
последовательностей с функцией р из пункта (iv) предыдущего примера
возьмем подпространство Lq последовательностей, имеющих предел.
Положим l(x) = lim хп при х € Lq. Заметим, что 1(х) = р(х), ибо при
фиксированных аг и п имеем lim sup 7i-1 Y, хк+аг = Ит Xk-
Продолжим / до линейной функции I на L с I < р. Если х € L и хп ^ 0 для
всех п, то р(х) < 0 и потому 1(х) ^ 0. Значит, 1(х) ^ 0, если хп ^ 0. Если
х = (з:1,...,.-г„,0,0,...),тоГ(а:) = /(*) =0. Наконец, ГA,1,...) = 1. Для
каждого множества Е С IN положим v(E) := 1Aе), где 7д —
индикатор множества Е, т.е. последовательность, на n-м месте которой стоит
1 или 0 в зависимости от того, входит п в Е или нет. Конечным
множествам соответствуют конечные последовательности, поэтому на них
v обращается в нуль. На всем IN значение v равно 1, а аддитивность v
следует из аддитивности I и того, что Ieiue2 = Ie^ + ?е2 для
непересекающихся Е\ и E<i. Отсутствие счетной аддитивности очевидно. ?
Близким способом можно обосновать следующее утверждение
(доказательство перенесено в задачу 2.12.87 следующей главы, поскольку
оно естественно связано с понятием интеграла, хотя в принципе может
быть изложено и без него).
1.12.29. Пример. На ег-алгебре всех подмножеств [0.1)
существует такая неотрицательная аддитивная функция множества ?, которая
совпадает с мерой Лебега на всех измеримых по Лебегу множествах,
причем ((? + К) = ((E) для всех Е с [0,-1) и/iS {0,1), где при
образовании Е + h суммы е + h ^ 1 заменяются на е + h — 1.
Если не требовать, чтобы аддитивная функция продолжала меру
Лебега, то пример еще проще.
1.12.30. Пример. Существует такая аддитивная неотрицательная
функция множества ?, определенная на всех ограниченных множествах
прямой и инвариантная относительно сдвигов, что С([0,1)) = 1.
Доказательство. Пусть L — пространство ограниченных
функций на прямой с сублинейной функцией р из примера 1.12.27(ii). По
теореме Хана-Банаха существует линейная функция I на L с 1(f) < p(f)

Глава 1. Построение и продолжение мер
при всех / € L. Действительно, на Lq = 0 положим 1о@) — 0. Заметим,
что l(-f) = -1(f) < p(-f), откуда
-p(-f)<l(f)<p(f), V/6I.
Если / ^ 0, то р(—/) ^ 0 в силу определения р и потому /(/) > 0.
Далее, рA) = 1, р(—1) = -1, что дает Z(l) = 1. Ясно также, что |Z(/)| ^
sup \f(t)\, ибо p(f) ^ sup |/(t)|. Наконец, при всех h е Ш,1 имеем /(/) =
t t
l(f(-+h)) для всех f € L. Действительно, положим g(t) = f{t+h) — f(t)
и проверим, что 1(g) = 0. Пусть hk = (к — l)h при к = 1,...,п+1. Тогда
рЫ < S(g, Ль..., hn+1) = sup ^-[/(t + (n + 1)Л) - /(«)]
2sup|/(S)|
< — ,
n + 1
что стремится к нулю при п —> оо. Итак, р(д) ^ 0. Аналогично получаем
оценку р(—д) < 0. Следовательно, 1(g) = 0. Теперь остается положить
С(А) = 1A а) для всех А с [0,1), где 1а — 1-периодическое
продолжение 1а на прямую. Ввиду установленных выше свойств I получена
неотрицательная аддитивная функция множества на [0,1),
инвариантная относительно сдвигов, не выводящих за пределы [0,1). При этом
С([0,1)) = 1, ибо /[од) = 1. Для всякого ограниченного множества А
найдем псАс [—п, п) и положим
с(А)= т; d{An\j,j + i))-j).
j=-n v '
Легко проверить, что получена требуемая функция. ?
1.12(viii). Абстрактные внутренние меры
Рассмотрев внешние меры Каратеодори, естественно заняться
супераддитивными функциями. В этом разделе приведен ряд результатов
на эту тему.
Функция множества ту, определенная на множестве всех
подмножеств пространства X и принимающую значения в [0, +оо], называется
абстрактной внутренней мерой, если т?@) = 0 и
(a) т)(A U В) ^ г)(А) + г)(В) для всех дизъюнктных А и В (свойство
супераддитивности),
(b) i?(D^=i^n) = lim т)(Ап) для всякой убывающей
последовательности множеств с Tf(Ai) < оо,
(c) если ri(A) = оо, то для всякого числа с найдется такое В с А,
что с < Г)(В) < оо.

1.12. Дополнения и задачи
Из (а) следует, что щ U^Li Еп) ^ 53 v{En) для всех попарно
непересекающихся множеств Еп.
Если /и — счетно-аддитивная мера на ст-алгебре Л, то функция
/i, обладает свойствами (а) и (Ь), что без труда проверяется
(свойство (Ь) можно либо непосредственно проверить с помощью
измеримых ядер множеств Еп, либо сослаться на свойство /х* и равенство
/х*(А) = ц(Х) - (i*(X\A) для конечных мер). Для конечных (или
полуконечных) ц выполнено и свойство (с). Впрочем, это свойство будет
выполнено и для всякой меры, если /х» задать как
ц*{А) :=supLi(B): В С А, В Е А, ц{В) < оо}. A.12.7)
Пусть Т — некоторая система подмножеств множества X, причем
0 ? Т, и пусть т: J7 —> [0,+оо] — некоторая функция множества с
г@) = 0. Зададим функцию г» на всех множествах А с X формулой
t„(A) = SUP{X>(^), FjGT,
3 = 1
Fj дизъюнктны и \Jf=1 Fj с a\. A.12.8)
Отметим, что т, можно задать также формулой
т,(А) = sup{ ^r(Fj). n G K,Fj € T,
Fj дизъюнктны и U"=i ^ С Л|. A.12.9)
Это следует из того, что т@) = 0. Отметим также очевидную оценку
t„(F) ^ r(F), VF е .F.
Из определения ясно, что т* супераддитивна. Конечно, по этой
функции, как и по всякой другой, можно образовать класс 9ЛТ> (см.
определение 1.11.2), являющийся алгеброй, на которой г» аддитивна по
теореме 1.11.4. Возникает вопрос о счетной аддитивности функции т» на
этой алгебре и ее связи с т.
1.12.31. Предложение, (i) Пусть т — абстрактная внутренняя
мера на пространстве X. Тогда 9ЯТ — а-алгебра, а функция т счетно-
аддитивна на 9ЛТ.
(ii) Пусть на а-алгебре А задана мера /i со значениями в [0,+оо].
Тогда заданная формулой A.12.7) функция //* является абстрактной
внутренней мерой, причем если мера ц конечна, то мера /к„ с
областью определения 9ЯД, продолжает /х.

100
Глава 1. Построение и продолжение мер
Доказательство, (i) При условии (Ь) функция г
счетно-аддитивна на алгебре 971,- по теореме 1.11.4(ii) и для этого не требуется
условие (а). Проверим, что SDt,- — ег-алгебра. Для упрощения
рассуждений будем считать, что т принимает конечные значения (общий
случай аналогичен и использует условие (с)). Из условия (а) следует,
что т{В) ^ т(А), если В С А, т.е. т монотонна. Пусть Ап € 971,-
возрастают к А. Для всякого Е С X ввиду монотонности г и (Ь) имеем
т(Е Л Л) + т(Е\А) ^ Шт(ЕПАп)+ lim т(Е\Ап) = т{А).
Из (а) следует обратное неравенство, т.е. А € 971,-. Утверждение (Н)
уже пояснялось; здесь Л С 9ЯМ,, а если ц{Х) < со, то /х* Ц = \х. ?
Отметим, что для меры ц на алгебре Л, не являющейся ст-алгеброй,
функция /х* может не обладать свойством (Ь). Например, так обстоит
дело для длины на алгебре, порожденной промежутками в [0,1]:
множество "К иррациональных чисел имеет внутреннюю меру 0
(вычисляемую, разумеется, по Л!) и является пересечением убывающих
множеств с конечными дополнениями и внутренними мерами 1. Однако
внутренние меры также оказываются весьма эффективным средством
в задачах построения и продолжения мер. Здесь и в следующем пункте
мы рассмотрим довольно абстрактные примеры, которые наполняются
более конкретным содержанием при обсуждении внутренне
компактно регулярных функций множества на топологических пространствах
(см. гл. 7).
1.12.32. Предложение. Пусть на некоторой системе Т
подмножеств X задана функция множества /х: Т —> [0, +со], причем 0 G Т
и и@) = 0. Предположим, что
ц(А) = ц,(АГ)В) + ц*(А\В), VA,B?f,
и что существует компактный класс К, для которого
n(A)^sup{ii,(K): К е К, К с A}, VA е Т.
Тогда
(i) класс fXH/л, является алгеброй, Т С ЯЯд., функция ц* счетно-
аддитивна на 97tM<, и совпадет с ц ко Т;
(ii) lim ц*(Ап) — 0, если Ап С X, Ап | 0 и /x*(Ai) < со.
Доказательство, (i) Ясно, что /х* продолжает /х, ибо мы можем
взять А = В в условии предложения. Согласно задаче 1.12.113 имеем
Т С 97tM„. При этом по теореме 1.11.4 класс 971^, является алгеброй и
/i» аддитивна на 97tM.. Счетная аддитивность будет установлена ниже.
(ii) Пусть Ап I 0, (J.*(Ai) < со и е > 0. Можно считать, что класс
К. замкнут отвдсительно-ков?чиых-объединений.-и .счетных дересече-
ний, перейдя к наименьшему компактному классу с таким свойством.

1.12. Дополнения и задачи 101
Найдем Сп ? К, с
Сп С An, /i*(A») ^ Ц.{Сп) + еТп~х.
Для этого возьмем число с ? (/х»(Лп) — s2~n-1,/i*(yln)) и найдем такие
дизъюнктные множества Fi,..., Fm ? Т, что Fi U • • • U Fm с An и
с < /x(Fi) + ¦ • ¦ + ^(FTO). Затем найдем такие ЛГ^ с F7-, что с < ц(К\) +
h ц(Кт) и положим С„ = К\ U • • • U Кт. Аналогично проверяется,
что существуют множества Мп € УКу.. с
МпсСп и /i,(C„)^/i«(Mn)+e2-n-1.
Легко видеть, что
/х<.(ДДМ„) < е2"п.
Поскольку Сп С Ап, то D^Li С« — 0- Значит, fliUi С" = 0 Для
некоторого fc. ИСПОЛЬЗУЯ аДДИТИВНОСТЬ Д* И ТО, ЧТО Пп=1 ^" С Пц=1 ^™ = 0>
получаем
/х,(Л„) ^ м»(С„) + е2-"_1 ^ м,(Мп) 4- е2'п
= fi, (мп\ fl М{) + e2-n ^ ^2 /*.(M„\Mi) + e2"".
При n> k ^ i имеем
/х«(Мп\М4) ^ МАДМ*) ^ n.(Ai\Mi) ^ ?2~\
откуда /х»(Л„) < е.
Осталось показать счетную аддитивность /х, на 9ЛМ.. Для этого
достаточно проверить, что если М,Мп е 9ЛМ, и М с \J™=iMn, то
А**(-М) ^ ? М.(М„). Положим Bi = Ma и Вп = Afn\(M! U • • • U Mn_i),
п > 1. Тогда В„ ? 9ЛМ, дизъюнктны и М С U^Li -^«- Пусть Д„ =
Uiln-^j- Предположим, что ряд из д,(Мп) сходится к с < оо. Если
/х*(М) > с, то для всякого С С М с /и*(С) > с имеем ^«(С П Rn) = оо.
Это следует из уже доказанного, ибо в силу теоремы 1.11.4 имеем
V*(C) = JT ц*{С пВп) + Urn ц*{С П Я„),
причем Cni?.„ ]. 0. Как показано выше, можно найти Со ? К с Со С М
и /х*(Со) > с. Тогда /х»(Со П i?i) = оо. По индукции строим С„ ? К.
такие, что Cn+i сС„П Rn+i и //«(С„) > с. Это ведет к противоречию,
ибо Сп I 0 и потому для некоторого р имеем Ср = С\ П • • • П Ср = 0, в
то время как /х»@) = 0. ?

102
Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12.33. Теорема. Пусть /С — компактный класс множеств в X,
содержащий пустое множество и замкнутый относительно
конечных объединений и счетных пересечений, и пусть ц: /С —* [0, +оо) —
функция множества, для которой выполнено условие
ц(А) = 1ь(АпВ) + /ь(А\В), VA,Be/C,
или, что равносильно, условие
ti(A) = n(AnB) + sup{(i(K): К е К, К с А\В], VA,Be)C.
Тогда
(i) 9ЛМ„ — а-алгебра и /х* счетно-аддитивна на 9ЯМ, со значениями
в[0,+оо];
(И) К. С 9ЛМ. гх /х* продолжает /х;
(ffi) р.(А) = sap{n(K): KcA,K€lC}, Vic X;
(iv) M e ЯЛд. в точности тогда, когда М П К ? ЯЯД. для всех
К?)С;
(v) nUm /1.(Л.) = ц*(А), если \U« M^i) < оо.
Доказательство. Так как /х@) = 2/ч»@), то /х@) = /х,@) = 0.
В силу доказанного выше предложения с !F = К, получаем, что OTtM, —
алгебра, на которой /х» счетно-аддитивна, причем верно (ii). В
частности, \i аддитивна на /С, что дает (ш) (это следует и из задачи 1.12.110).
Проверим (v). Пусть е > 0. В силу (ш) можно найти К\ С А\ с К\ € К.
и ц*(А\) < ц{К\) + е/2. По индукции строим множества Кп ? К. с
Кп С Ап П АГП_Ь /х,(^п Л JCn-O ^ /х(АГ„) + е2~п.
Используя вложенность А, и включение К. С 971^., имеем
uMi+i) + Р(Ъ) < f(Kj+1) + n.(Aj\Ki) + №) + S2-*-1
^ »(Kj+1) + n.(Aj\Kj) + ^(Aj П Kt) + E2-1-1
^u{Kj+1) + fi*(Aj) + e2-i-1.
Положим К = П^=1 Kn. Тогда КсАиКеКс 0Л„,. Поскольку
Кп\К I 0, то в силу предложения выше имеем ii*(Kn\K) —> 0.
Следовательно,
МАО = uMi) + ?[МА+1) - МЛI
< ц{Кг) + | + $>.(*Я-1) - М*0) + ?2-^1]
^ /*(КП) + ? < /i*(A) + ц,(Кп\К) + е.
Поэтому fj,*(A) < lim ц*{Ап) < ц*(А).

1.12. Дополнения и задачи 103
Проверим, что 9ЯМ„ — сг-алгебра. Достаточно показать, что если
Мп е ЯЯ„. и Мп | М, то М е 9ЯМ,. Пусть А с X. Если К € ? и
К с А, то ц(К) = fit(K п М„) + ц*(К\Мп) ^ ц*(К П М„) + /i*(A\M).
Используя (v) с учетом того, что ц. конечна на АС, и переходя к пределу
при п —> оо, получаем
МЛ") ^^П М) + /!.(Л\М) ^/i,(inM) + /х,(Л\М).
По свойству (iii) имеем /х*(А) ^ /х*(АлМ) + д»(А\М). Поскольку верно
и обратное неравенство, то М € 9ЛЙ„. Итак, получено (i).
Осталось показать (iv). Ясно, что при М е 9ЛМ, и К ? 1С имеем
К Г) М G ЯЯ^,, ибо АС входит в алгебру 971^,,. Обратно, пусть К Л М €
9ЛМ. для всех К € К.. Для каждого id имеем при К С А и AT е АС
jx(iT) = /х» (Л" П (М П К)) + /i. (Х\(М П if))
^ /i,(A П М) + ц*(А\М) < д,(Л).
Взяв супремум по К, получаем ввиду свойства (iii), что М € 9ЯМ..
Равносильность второго из условий теоремы первому ясна из того,
что оно дает ц@) = 0, откуда ц(А) = sup{n(K): К € АС, К с А} при
А е АС и потому д(В U С) = /х(В) + /х(С), если В,СеАСиВпС = 0.
Поэтому /z* совпадает с /и на АС и вьтолнено (iii). ?
В доказательстве следующей теоремы, которое можно прочитать в
Fremlin [421, §413], сочетается использование функций v* и v*.
1.12.34. Теорема. Пусть 1Z — кольцо подмножеств
пространства X, К. — некоторый класс подмножеств X, замкнутый
относительно конечных пересечений и конечных дизъюнктных объединений
и v — конечная неотрицательная аддитивная функция на 1Z, причем
К. является приближающим классом для и. Тогда справедливы
следующие утверждения.
(i) Если каждый элемент К. содержится в некотором элементе
из 1Z, то v продолжается до конечной неотрицательной аддитивной
функции v, которая определена на кольце 1Z, содержащем 1Z.uK.,
причем АС является приближающим классом и для v, а для всяких R?lZ
и е > 0 найдется Re ell с v(R A Re) < е.
(И) Если 1Z — а-алгебра, v счетно-аддитивна, а К. допускает
счетные пересечения, то v продолжается до меры и, которая определена
на а-алгебре Л, содержащей И и К., причем К. остается
приближающим классом для и и для всякого R ?И найдется А ? Л с v(RAA) = 0.
Легко убедиться, что в отличие от супераддитивной субаддитивная
функция m не обязана быть монотонной, т.е. удовлетворять условию
т(Л) < т(В) при А с В. Субмерой называется конечная
неотрицательная монотонная субаддитивная функция m на алгебре 21 с
условием т@) = 0. Субмера т называется исчерпывающей, если для всякой

104
Глава 1. Построение и продолжение мер
последовательности дизъюнктных множеств Ап е 21 выполнено
равенство Urn т(Ап) = 0. Субмера m называется равномерно
исчерпывающей, если для всякого е > 0 существует такое п, что во всяком наборе
дизъюнктных множеств А\,..., Ап 6 21 найдется Ai с m(-Aj) < е.
Ясно, что равномерно исчерпывающая субмера является исчерпывающей.
Субмера m называется магарамовской, если lim т(Ап) = 0 при Ап [ 0,
Ап € 21. Известная открытая проблема (так называемая проблема
контрольной меры) состоит в следующем: для всякой ли магарамовской
субмеры m на <т-алгебре 21 существует конечная неотрицательная
мера fi с тем же классом нулевых множеств, что и т? Известно, что эта
проблема равносильна следующей: всякая ли исчерпывающая субмера
является равномерно исчерпывающей? Общий случай сводится к
случаю, когда 21 — алгебра открыто-замкнутых множеств в {0,1}°°.
1.12(ix). Меры на решетках множеств
В некоторых приложениях приходится иметь дело с функциями
множества, определенными не на алгебрах или полукольцах, а на
решетках множеств.
1.12.35. Определение. Решеткой множеств называется класс
9t подмножеств пространства X, содержащий пустое множество и
замкнутый относительно конечных пересечений и объединений.
В отличие от алгебры, решетка может не допускать дополнений.
Типичные примеры: а) совокупность всех компактов
топологического пространства X, б) совокупность всех открытых множеств данного
пространства X. Иногда в определение решетки включают требование
принадлежности X к *R. Конечно, этого всегда можно добиться,
просто присоединив X к 94, что не нарушает замкнутости относительно
объединений и пересечений.
Неотрицательная числовая функция множества /3 на решетке 9t
называется модулярной, если /3@) — 0 и
/3(Ri U Да) + 0(Ri П Да) = P{Ri) + /?№), V Д1? Д2 6 9fc A.12.10)
Если в A.12.10) заменить знак равенства на "<", то получится
определением субмодулярной функции, а замена "="на "^"приводит к
определению супермодулярной функции. Если 9Я — алгебра, то
модулярность равносильна аддитивности. Напомним, что функция множества
/3 называется монотонной, если 0(Ri) ^ /3(Дг) при i?i С Дг-
1.12.36. Предложение. Пусть /3 — монотонная субмодулярная
функция на решетке 94 и X € 94. Тогда существует такая
монотонная модулярная функция а на 94, что а < /3 и а(Х) = C(Х).
Доказательство вынесено в задачу 1.12.136.

1.12. Дополнения и задачи 105
1.12.37. Следствие. Предположим, что C — монотонная
супермодулярная функция на решетке 91 и X е 91. Тогда существует такая
монотонная модулярная функция 7 на 91, что 7 ^ Р и "/(X) = в{Х).
Доказательство. Рассмотрим функцию множества
Ро(С) = р(Х) - Р(Х\С)
на решетке 9*о = {С: Х\С € 91}. Легко проверить, что /?о монотонна и
субмодулярна. Согласно предложению выше, существует монотонная
модулярная функция е*о на 9to с ао ^ Ро и ао(А') = Ро(Х). Положим
теперь 7(Л) = а0(Х) - a0(X\R), Дёй. Тогда у(Х) = Р(Х) и 7(Д) >
/?(Д), ибо а0(Л-\Д) ^ Po(X\R). П
1.12.38. Лемма. Пусть /3 — монотонная модулярная функция на
решетке 91, Л" G 91 w /З(А') = 1. Гогда существует такая монотонная
модулярная функция С «a 9t, что C < С» С(-^0 = 1 и
С(Й) + С*(А'\Л) = 1, VileSR. A.12.11)
Доказательство. Множество Ф монотонных модулярных
функций ¦ф на 9Я, удовлетворяющих условиям ¦ф(Х) = 1 и -ф ^ /3,
частично упорядочено отношением ^. Всякая вполне упорядоченная часть Ф
имеет мажоранту в Ф, задаваемую как супремум этой части (свойство
модулярности этой мажоранты вытекает из полной упорядоченности
рассматриваемой части). По лемме Цорна в Ф существует
максимальный элемент ?. Из следствия 1.12.37 вытекает, что выполнено A.12.11),
ибо иначе функция ( не была бы максимальным элементом. П
1.12.39. Следствие. Пусть в условиях доказанной леммы 94
компактный класс, замкнутый относительно счетных пересечений.
Положим ? = {Е с X: С*(Е) + С*(Х\Е) = !}• Тогда ? - а-алгебра, а
сужение Q* на ? счетно-аддитивно.
Доказательство. Покажем, что ? — 9Л^Ф. Пусть Е е? н Ас X.
Тогда С(Л) > С*(^ П Е) + ?*(А\Е). Проверим обратное неравенство.
Пусть е > 0. Найдем такие ДЬД2,Д3 ? 91, что Ri с A, R2 С Е,
Дз С Х\Е и С*(А) $ <№)+*. С.(Я) < <(й2) +е, С.{Х\Е) < С(Дз) +е.
Тогда С.(ЛП?) ;> С№ П Д2), <.(Л\?) > C(-Ri ЛДз). Поскольку С(Д2) +
С(Дз) ^ 1 — 2е, то в силу модулярности С получаем
C.(i4 П ?) + С.(^\Я) > С№ П Д2) + С№ П Дз) = С(Й1 П (Д2 U Дз))
= С№) + С(Дг U Дз) - С(Й1 U Д2 U Дз) > <№) - 2е.
Поэтому Е е ЗЯ^. По теореме 1.11.4 получаем доказываемое. ?
Результаты этого раздела будут использованы в гл. 10 при
обсуждении дезинтегрирований.

106
Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12(х). Теоретике-множественные проблемы
теории меры
Мы уже видели, что для построения неизмеримых множеств
приходится привлекать какие-либо аксиомы теории множеств типа
аксиомы выбора. Возникает вопрос, насколько это необходимо и как
обстоит дело в рамках наивной теории множеств без аксиомы выбора.
Кроме того, можно поставить и такой вопрос: даже если есть
неизмеримые по Лебегу множества, нельзя ли меру Лебега продолжить
до счетно-аддитивной меры на всех множествах (т.е. не обязательно
с помощью лебеговского пополнения и не обязательно с условием
инвариантности при сдвигах)? Здесь приведен ряд результатов в этом
направлении. Сначала, при допущении аксиомы выбора, речь пойдет
о проблеме существования нетривиальных мер, определенных на
множестве всех подмножеств данного множества, а в заключение будет
сделано несколько замечаний о роли аксиомы выбора.
Пусть X — множество мощности N1; т.е. X равномощно
множеству всех порядковых чисел, меньших первого несчетного порядкового
числа. При этом X несчетно и его можно вполне упорядочить таким
образом, чтобы каждому элементу предшествовало не более чем счетное
множество элементов. Следующая теорема получена Уламом.
1.12.40. Теорема. Если конечная счетно-аддитивная мера \i
определена на всех подмножествах множества X мощности Ni и равна
нулю на всех одноточечных множествах, то она нулевая.
Доказательство. Достаточно рассмотреть лишь
неотрицательные меры. По условию X можно вполне упорядочить так, чтобы для
каждого у множество {х: х < у} было не более чем счетным. Найдется
взаимно-однозначное отображение х ь-> f(x, у) этого множества в ]N.
Таким образом, для всякой пары (х, у) с х < у определено натуральное
число f(x,y). Для каждого х G X и каждого натурального п задано
Al = {y&X: x<y,f(x,y) = n}.
При фиксированном п множества А%, х е X, попарно не
пересекаются. Действительно, если у € А™ П А™, где х ф г, то можно
считать, что^х < z. Это, однако^ невозможно, ибо х < t/, z < у и потому
f(x, у) ф f(z, у) в силу инъективности функции /(•, у). Следовательно,
в силу счетной аддитивности меры, для каждого п имеется не более чем
счетное множество таких точек х, что /л(А*) > 0. Поскольку X
несчетно, то найдется такая точка х ? X, что /х(А") = 0 для всех п. Значит,
множество А = U^Li -^х имеет меру нуль. Остается заметить, что
множество Х\А не более чем счетно, ибо оно содержится во множестве
{у: у ^ х), которое счетно по предположению. Действительно, если
у > х, то у G А™, где п — f(x, у). Итак, ц(Х\А) = 0, что и завершает
доказательство. ?

1.12. Дополнения и задачи
107
Напомним, что одной из форм гипотезы континуума является
утверждение, что мощность континуума с равна Кь
1.12.41. Следствие. Предположим, что верна гипотеза
континуума. Тогда конечная счетно-аддитивная мера, определенная на всех
подмножествах множества мощности континуум и равная нулю на
одноточечных множествах, тождественно равна нулю.
Еще одна теоретико-множественная аксиома, используемая в
данном круге вопросов, называется аксиомой Мартина. Говорят, что
топологическое пространство X удовлетворяет условию счетных цепей,
если каждое дизъюнктное семейство его открытых подмножеств не более
чем счетно. Аксиома Мартина (МА) может быть введена как
предположение, что в каждом непустом компактном пространстве,
удовлетворяющем условию счетных цепей, пересечение менее чем с открытых
плотных множеств непусто. Гипотеза континуума (СН) равносильна
тому же предположению, если при этом не ограничиваться
компактами, удовлетворяющими условию счетных цепей. Таким образом, СН
влечет МА. Известно, что каждая из аксиом СН, МА и МА-СН
(аксиома Мартина с отрицанием гипотезы континуума) совместима с
системой аксиом ZFC (так обозначается система аксиом Цермело- Френкеля
с аксиомой выбора), т.е. если ZFC непротиворечива, то она остается
непротиворечивой после добавления любой из этих трех аксиом. В этой
книге ни одна из этих аксиом не используется в основных теоремах,
однако иногда они оказываются полезными для построения экзотических
контрпримеров или играют роль в тех случаях, когда ставится вопрос
о справедливости тех или иных результатов в их максимальной
общности. О гипотезе континуума и аксиоме Мартина, см., например, Йсх
[81], Куратовский, Мостовский [102], Fremlin [417], Sierpiiiski [771].
Теорема Улама приводит к понятию измеримого кардинала.
Мощности или кардинальные числа будем для краткости называть
кардиналами. Кардинал к называется вещественно измеримым, если
существуют пространство мощности к и вероятностная мера г/,
определенная на семействе всех его подмножеств и обращающаяся в нуль на
всех одноточечных множествах. Если v принимает лишь значения 0
и 1, то к называется двузначно измеримым. Вещественно неизмеримые
(т.е. не являющиеся вещественно измеримыми) кардиналы называются
числами Улама. В отличие от измеримости множеств или функций, по
устоявшейся традиции неизмеримыми называются как раз „хорошие"
мощности. Ясно, что счетная мощность неизмерима. Так как
кардинал, меньший неизмеримого, также неизмерим, то в совокупности всех
кардинальных чисел неизмеримые кардиналы образуют некоторый
начальный отрезок (возможно, охватывающий все мощности, как видно
из сказанного ниже). Во всяком случае, этот отрезок весьма велик, что
ясно из следующей теоремы Улама-Тарского (доказательство см. в Ка-
новей [83, с. 25], Федерер [179, §2.1], Харазишвили [192]).

108 Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12.42. Теорема, (i) Если кардинал /? непосредственно следует
за неизмеримым кардиналом а, то /3 неизмерим, (ii) Если множество
М неизмеримых кардиналов имеет неизмеримую мощность, то
точная верхняя грань М также неизмерима.
Кардинал к называется недостижимым, если в классе всех
меньших кардинальных чисел нет наибольшего элемента и нет
подмножества мощности меньше к, точная верхняя грань которого равна к.
Предыдущая теорема означает, что если существуют измеримые
кардиналы, то наименьший из них недостижим. Мощность Ni в теореме 1.12.40
следует за счетной мощностью No, что и дает ее неизмеримость.
Двузначная неизмеримость мощности континуума доказывается и без
использования гипотезы континуума, что вытекает из задачи 1.12.97 или
из следующего результата (доказательство можно найти в Куратов-
ский, Мостовский [102, гл. ГХ, §3], Харазишвили [192], Jech [502]).
1.12.43. Предложение. Если кардинал к двузначно неизмерим,
то таков и кардинал 2К.
Из этого предложения следует, что мощность континуума с
двузначно неизмерима. Аксиома Мартина влечет, что кардинал с не
является вещественно измеримым. Если с не является вещественно
измеримым, то вещественно измеримые и двузначно измеримые кардиналы
совпадают. Следующая теорема (см. Jech [502]) суммирует основные
факты, относящиеся к измеримым кардиналам.
1.12.44. Теорема. Предположение о том, что измеримые
кардиналы не существуют, совместимо с ZFC. Кроме того, если какое-
нибудь одно из следующих утверждений совместимо с ZFC, то
таковы же и другие:
(i) двузначно измеримые кардиналы существуют;
(Ц) вещественно измеримые кардиналы существуют;
(ш) кардинал с вещественно измерим;
(iv) мера Лебега может быть продолжена до меры на а-алгебре
всех подмножеств [0,1].
Неизмеримые кардиналы еще встретятся в гл. 7 при обсуждении
носителей мер в метрических пространствах. Дополнительную
информацию об измеримых и неизмеримых кардиналах можно найти в Булды-
гин, Харазишвили [31], Харазишвили [191], [192], [193], [537], Fremlin
[417], [419], Jech [502], Solovay [784].
Напомним, что применение аксиомы выбора не исключает счетно-
аддитивных продолжений меры Лебега на все множества, а лишь
делает невозможным существование таких продолжений со свойством
инвариантности (в следующем разделе сделан ряд замечаний об
инвариантных продолжениях), в частности, не позволяет охватить все множества
с помощью лебеговского пополнения.

1.12. Дополнения и задачи
Теперь естественно обсудить, что произойдет, если ограничить
использование аксиомы выбора. При этом разумно не исключать
счетную форму аксиомы выбора, т.е. возможность выбора по
представителю из всякого счетного набора непустых множеств. По крайней
мере, без этого нет ни теории меры, ни даже теории рядов (см. Кановей
[83]). Оказывается, если разрешить счетную форму аксиомы выбора,
то, как установил Р. Соловей [783], существует такая модель теории
множеств, что все множества на прямой измеримы по Лебегу (см.
также Йех [81, §20]). Разумеется, полная аксиома выбора при этом
исключается. Другой интересный близкий результат связан с так
называемой аксиомой детерминированности. Для ее формулировки нужно
определить следующую игру Ga двух игроков / и II, задаваемую
каждым множеством А, состоящим из бесконечных последовательностей
а = (ao,a,i,,...) натуральных чисел а„. Игра развивается следующим
образом. Игрок I пишет число 60 € IN, затем II пишет число Ъ\ е IN
и т.д., причем игрокам известны все предыдущие ходы. Если
полученная последовательность Ь = (Ьо,Ь\,...) входит в А, то выиграл /, в
противном случае выиграл II. Множество А и игра Ga называются
детерминированными, если один из игроков / или // имеет
выигрывающую стратегию (т.е. правило выбора ходов в соответствии с ходами
противника, приводящее к победе). Например, если А состоит из
единственной последовательности а = (а*), то II имеет выигрывающую
стратегию: достаточно на первом же ходу написать Ь\ ф а\.
Аксиома детерминированности (AD) состоит в том, что всякое множество
А С 1№° детерминировано. В книге Кановей [83] можно прочитать
много замечательных следствий аксиомы детерминированности, из
которых наиболее для нас интересными являются а) измеримость всех
множеств действительных чисел по Лебегу и б) вещественная
измеримость кардинала Ni. Таким образом, с одной стороны, аксиома
детерминированности исключает некоторые парадоксальные множества, а с
другой дает объекты, невозможные при полной аксиоме выбора.
1.12(xi). Инвариантные продолжения меры Лебега
Мы уже знаем, что меру Лебега можно продолжить до счетно-
аддитивной меры на «т-алгебре, полученной присоединением к
измеримым по Лебегу множествам какого-нибудь неизмеримого множества.
Однако такое продолжение может быть не инвариантным относительно
сдвигов. Шпильрайн-Марчевский [809] доказал, что существует
продолжение меры Лебега А на прямой до счетно-аддитивной меры I,
определенной на некоторой а-алгебре ?, строго содержащей сг-алгебру
измеримых по Лебегу множеств, являющейся полной и инвариантной
относительно сдвигов (т.е. если А € ?,, то А + t € ? и l(A +1) = 1(A)

110
Глава 1. Построение и продолжение мер
для всех t). В Kodaira, Kakutani [547] показано, что существует
инвариантное относительно сдвигов счетно-аддитивное продолжение
меры Лебега, которое несепарабельно, т.е. не существует счетного набора
множеств, приближающих все измеримые множества в смысле меры. В
Kakutani, Oxtoby [520] установлено, что существуют и инвариантные
относительно движений несепарабельные продолжения меры Лебега.
Помимо счетно-аддитивных, рассматривались и
конечно-аддитивные продолжения, инвариантные относительно сдвигов или движений.
В этом направлении Банах [233] доказал, что на классе всех
ограниченных множеств в 1R и И существуют нетривиальные аддитивные
функции множества го, инвариантные относительно всех движений, т.е.
сдвигов и линейных изометрий (при этом можно добиться как
совпадения то с мерой Лебега на всех измеримых множествах, так и равенства
т{Е) = 1 для некоторого множества Е лебеговской меры нуль). На Ш.3
таких функций нет, что было впервые показано Ф. Хаусдорфом. Этот
отрицательный результат был исследован Банахом и Тарским [241],
установившими следующую теорему, подробное доказательство
которой можно найти в Stromberg [798], Wise, Hall [872, пример 6.1], а
также в книге Wagon [853].
1.12.45. Теорема. Пусть А и В — ограниченные множества в
Ж3 с внутренними точками. Тогда для некоторого п € IN можно
так разбить А на части А\,..., Ап и В на части Bi,...,Bn, что для
каждого i множество Ai конгруэнтно множеству Д.
Если А — единичный шар и В — два непересекающихся единичных
шара, то в этой теореме можно ограничиться числом п = 5, но п = 4
уже недостаточно.
Пусть Л„ — кольцо ограниченных измеримых по Лебегу множеств
в IRn. Банах [233] исследовал такой вопрос (автор вопроса — Рузе-
вич): всякая ли конечно-аддитивная мера на Ип, инвариантная
относительно изометрий, пропорциональна мере Лебега? Для п = 1,2 Банах
дал отрицательный ответ на этот вопрос. Г.А. Маргулис [626] доказал,
что при п ^ 3 ответ положителен. В. Серпинский поставил
следующий вопрос (см. Szpilrajn [809]): существует ли максимальное счетно-
аддитивное продолжение меры Лебега на П1п, инвариантное
относительно изометрий? Отрицательный ответ на этот вопрос был дан лишь
через полвека в работе Ciesielski, Рек [319] (см. также Ciesielski [317]),
где было показано, что для всякой группы G изометрий
пространства lRn, содержащей все параллельные переносы, можно представить
Ш,™ в виде объединения последовательности множеств Z„, каждое из
которых является абсолютно G-нулевым (ранее в предположении
гипотезы континуума решение было дано Ш.С.Пхакадзе и А. Хуланицким,
см. ссылки в [319]). При этом абсолютно G-нулевым называется такое
множество Z, что для всякой ст-конечной G-инвариантной меры т
существует G-инвариантное продолжение, определенное на Z, причем все

1.12. Дополнения и задачи 111
такие продолжения равны нулю на Z (счетно-аддитивная а-конечная
мера т называется G-инвариантной, если она определена на
некоторой (т-алгебре М, причем д(А) еХи т(д(А)) = т(А) для всех д € G,
А € М). Для группы параллельных переносов этот результат был
получен ранее А.Б. Харазишвили, доказавшим и общее утверждение в
предположении гипотезы континуума (см. [192]). По этой теме и
близким вопросам есть книги: Хадвигер [189], Харазишвили [192], [536],
Lubotzky [607], von Neumann [664], Sierpinski [772], Wagon [853].
1.12(xii). Разложение Уитни
В лемме 1.7.2 нам уже приходилось представлять открытые
области в виде объединения замкнутых кубов с дизъюнктными
внутренностями. Однако при этом поведение диаметров таких кубов могло быть
достаточно произвольным. Как заметил Уитни, можно добиться того,
чтобы эти диаметры были сравнимы с расстоянием до границы
области.
Для непустых множеств А и В через d(A, В), как и выше,
обозначается точная нижняя грань расстояний между точками из Л и В.
1.12.46. Теорема. Пусть ?1 — открытое множество в Ж™ с
непустым дополнением Z. Тогда существует не более чем счетное
множество замкнутых кубов Qk с ребрами, параллельными
координатным осям, таких, что
(i) внутренности Qk дизъюнктны и Q = \JkL1 Qk,
(ii) diamQfe ^ d{Qk,Z) ^ 4diamQfc.
Доказательство. В нижеследующем рассуждении будем
называть кубами замкнутые кубы с ребрами, параллельными
координатным осям. Пусть Sk — сетка кубов, полученных сдвигом куба [0,2~к]п
на векторы, координаты которых кратны 2~к. Кубы в Sk имеют ребра
2~к и диаметры у/п2~к. Положим
Пк:=1хеП: 2y/K2-k <dist(x,Z)^2yfH2-k+1Y keZ.
Ясно, что Q = Ujfcez^fc- Теперь мы выберем некоторый
предварительный набор J- кубов из построенных выше сеток. Для этого рассмотрим
кубы из Sk- Если куб Q ? Sk пересекает Q/t, то включаем его в Т. Итак,
Т= (j {QeSk: Qnnk^0}.
Ясно, что объединение кубов из Т покрывает Q. Покажем, что
d\amQ^d{Q,Z) ^ 4diamQ, WQeT. A.12.12)

112 Глава 1. Построение и продолжение мер
Куб Q из Т входит в Sk при некотором к. Значит, он имеет диаметр
у/п2~к и существует х GQn ilk- Поэтому
d(Q, Z) < dist (x, Z) ^ 2Vn2-fc+1.
С другой стороны, d(Q, Z) > dist (x, Z) - diamQ > 2yjn2~k - spal'*.
Из A.12.12) ясно, что кубы Q содержатся в il. Однако кубы из Т могут
не быть дизъюнктными. Поэтому требуется дальнейшая работа над Т.
Мы покажем, что для каждого куба Q ? JF существует
единственный содержащий его максимальный куб из Т (т.е. не содержащийся
в большем кубе из Т), причем такие максимальные кубы уже имеют
дизъюнктные внутренности. Тогда совокупность таких максимальных
кубов и будет искомой: они обладают всеми нужными свойствами, в
частности, их объединение равно объединению кубов из F, т.е. есть il.
Для доказательства существования нужных максимальных кубов
заметим, что кубы Q' € Sk и Q" ? Sm могут иметь общие внутренние точки
лишь в том случае, когда один из них целиком содержится в другом
(т.е. при наличии общих внутренних точек и к < т имеем Q" С Q').
Это ясно из построения Sk- Пусть теперь Q е Т. Если Q С Q' € Т,
то из A.12.12) имеем diamQ' ^ 4diamQ. Из сделанного выше
замечания следует, что для всяких двух содержащих Q кубов Q', Q" € J-
либо Q' с Q", либо Q" С Q'. Вместе с предыдущей оценкой
диаметра это доказывает существование и единственность максимального
куба K(Q) 6 Т, содержащего Q. По этим же причинам максимальные
кубы K(Qi) и K(Q2), соответствующие разным Qi,Q2 € Т либо
совпадают, либо имеют дизъюнктные внутренности. В самом деле, иначе
один из них строго входил бы в другой, скажем, K{Q{) с K{Q2).
Тогда Qi С K(Q2) вопреки единственности максимального куба для Q\.
Удалив из набора кубов K(Q) повторяющиеся (если разные Q' и Q"
дают один и тот же максимальный куб), получим нужную
последовательность. ?
Задачи
1.12.47? Пусть дано семейство открытых множеств в К". Доказать, что
из этого семейства можно выбрать не более чем счетное подсемейство с тем
же самым объединением.
Указание: рассмотреть счетное всюду плотное множество точек Хк в
объединении W данных множеств Wa, для каждой точки Хк взять все
открытые шары К (хк, Tj)c центром в Хк и рациональными радиусами г,-,
содержащиеся хотя бы в одном из Wa; для каждого и(хк,Г}) взять какое-нибудь
одно множество Wakj Э U{xk,Tj) и рассмотреть полученный набор.
1.12.48? Пусть W — непустое открытое множество в П1п. Доказать, что
W является объединением не более чем счетного набора открытых кубов,

1.12. Дополнения и задачи 113
ребра которых параллельны координатным осям и имеют длины вида р2 ч,
где р, д 6 14, а центры имеют координаты вида m2-k, где т ? Z, к € IN.
Указание: заметить, что объединение всех кубов указанного вида,
принадлежащих W, дает все W.
1.12.49.° Пусть fi — неотрицательная мера на кольце 72.. Доказать, что
класс всех множеств Z € TZ меры нуль является кольцом.
1.12.50.° Пусть ц — произвольная конечная борелевская мера на
отрезке /. Показать, что найдется такое множество Е первой категории (т.е.
счетное объединение нигде не плотных множеств), что fi(I\E) = 0.
Указание: достаточно для всякого п найти компакт Кп без внутренних
точек с ц(Кп) > ц{1) — 2~п. Пользуясь тем, что ц имеет не более чем счетное
множество точек a,j ненулевой меры, можно найти счетное всюду плотное
множество точек s3 нулевой д-меры. Вокруг каждой точки Sj можно описать
интервал Unj с fi(Unj) < 2~i~n. Компакт Кп = AUv==i Un,j — искомый.
1.12.51° Пусть m — аддитивная функция на кольце множеств 1Z.
Доказать следующую формулу Пуанкаре для всех А\,..., Ап € TZ:
m((jA,)=J2m^- ? гп(А<ПАЛ
+ Y1 гп(А*пА^Ак)--.. + (-1)п+1т(р\А{).
1.12.52.° Пусть <S — некоторый набор подмножеств множества А",
замкнутый относительно конечных объединений и конечных пересечений и
содержащий пустое множество (например, класс всех замкнутых множеств
или класс всех открытых множеств в [0,1]). Показать, что класс множеств
вида А\В, А, В € S, В С А, является полукольцом, а класс множеств вида
(Ai\Bi) U ¦ ¦ • U (А„\В„), Ап,В„ е S, Bt С Аг, п е IN, является кольцом,
порожденным S.
Указание: проверить, что
(A\B)\(C\D) = (Л\(ВU (АПС))) U {(A n D)\(BП D)),
если В С A, D С С; затем проверить, что класс указанных объединений
замкнут относительно пересечений.
1.12.53° Пусть Tei и 7г2 - полукольца множеств. Доказать, что TZixTZ2 =
[Ri хЯг : #i € TZi, Яг 6 72г} — полукольцо. Показать, что IZi xTZ2 может не
быть кольцом, даже если TZi и 72-г — алгебры.
1.12.54.° Пусть JF — некоторый набор множеств в пространстве X.
Доказать, что всякое множество А из «т-алгебры o(jF), порожденной Т,
содержится в (т-алгебре, порожденной некоторым не более чем счетным поднабо-
ром {Fn} С Т.
Указание: проверить, что объединение всех ег-алгебр a({Fn}),
порождаемых не более чем счетными поднаборами {F„} С F, является <т-алгеброй.

114
Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12.55? (Brown, Freilich [285]) Цель этой задачи — показать, что
предложение 1.2.6 перестает быть верным, если <т-алгебру определять в более
широком смысле, упомянутом в §1.2. Пусть дано множество X и набор S
его подмножеств, причем объединение всех множеств из S есть У С X.
Доказать, что следующие условия равносильны: (i) У является не более чем
счетным объединением множеств из S; (ii) существует наименьшая система
множеств А со следующими свойствами: А является сг-алгеброй на
некотором подмножестве Z С X (т.е. Z является единицей этой <т-алгебры) и S С А,
причем наименьшей называется система, содержащаяся во всякой другой
системе с перечисленными свойствами. Рассмотреть пример, когда X = [0,1],
У = [О,1/2], S — класс всех не более чем счетных подмножеств Y.
Указание: если Y не является счетным объединением элементов из S,
то У не входит в класс V всех таких множеств А С У, что А С U^Li &», где
Sn € <S. Зафиксируем z € X\Y и рассмотрим класс ? всех таких множеств
Е С YU{z}, что либо Е € V, либо (У U {z})\E 6 V. Проверяется, что ? - а-
алгебра. При этом У 0 ?. Если существует наименьшая система множеств А
с указанными в (ii) свойствами, то соответствующее множество Z не может
быть меньше У, т.е. Z = Y я потому У G А. Значит, А не входит в ?, что
дает противоречие.
1.12.56? Пусть С — множество Кантора в [0,1]. Показать, что множество
С + С := {ci + с2: ci,c2 G С} есть отрезок [0,2], а множество С - С :=
{а — сг: ci,C2 € С} есть отрезок [—1,1].
Указание: множества С + С и С — С компактны, поэтому достаточно
проверить, что они охватывают некоторые всюду плотные подмножества в
указанных отрезках, для чего можно использовать описание С через
разложение по степеням 1/3.
1Л2.57.° Привести пример двух замкнутых множеств А, В С И лебе-
говской меры нуль, для которых множество А + В := {а + Ь: а? Л,6б J3}
есть Го-
Указание: рассмотреть в качестве А канторовское множество, а в
качестве В объединение сдвигов А на всевозможные целые числа.
1.12.58. Пусть /3 ? @,1). Операция Т@) над конечным набором
дизъюнктных отрезков /i,... ,/„ ненулевой длины состоит в удалении из
каждого Ij открытого интервала с тем же центром, что и Ij и длиной 0\{lj)-
Для последовательности чисел /?„ 6 @,1) определим индуктивно компакты
Кп, получаемые последовательным применением операций T(/9i),... ,Г(/3П),
начиная с отрезка / = [0,1].
(i) Показать, что A(n^j Кп) = lim П^=1A — /3t). В частности, для /?„ =
1 _ a^+TJ, где а € @,1), имеем А(П~=1 Кп) = а.
(ii) Показать, что существует последовательность попарно
непересекающихся компактных нигде не плотных множеств Ап со следующими
свойствами: Х(Ап) = 2~п и всякий интервал, смежный с множеством |J?=i Aj<
пересекает An+i по множеству положительной меры.
(ш) Показать, что как множество А := \J^=1 А2П-1, так и его дополнение
пересекают по множествам положительной меры всякий интервал /С [0,1].
Указание: см. George [433, с. 62, 63].

1.12. Дополнения и задачи
115
1.12.59? Доказать, что лебеговская мера всякого измеримого множества
Е С Ж™ равна точной нижней грани сумм J2 An(fk) по всем
последовательностям открытых шаров Uk, покрывающих Е.
Указание: заметить, что достаточно доказать утверждение для
открытого -Бив этом случае использовать тот факт, что в Е можно вписать
дизъюнктный набор открытых шаров Vj, для которых множество Е\ (J^=i Vj
имеет меру нуль, а затем покрыть это множество последовательностью
шаров Wi, сумма мер которых оценивается заданным е > 0.
1.12.60. Предположим, что ц — счетно-аддитивная мера со значениями
в [0,+оо] на (т-алгебре борелевских множеств в IR", конечная на шарах, и
W — непустое открытое множество в ]Rn. Доказать, что существует не более
чем счетный набор диъюнктных открытых кубов Qj С W, ребра которых
параллельны координатным осям, причем l^[W\[JJL1 Wj) = 0.
Указание: можно считать, что W содержится в кубе I; в
доказательстве леммы 1.7.2 можно выбирать все кубы так, что их границы будут иметь
/х-меру нуль; для этого заметить, что не более чем счетное число
аффинных гиперплоскостей, параллельных координатным, имеют положительные
д-меры, а для счетного множества точек U на прямой множество точек вида
г-Иг, где 1— двоично-рационально, также счетно; поэтому можно подобрать
такое а ф 0, что искомые кубы будут иметь ребра длины т2~к, где m е Z,
к € IN, и центры с координатами вида а + т2~ .
1.12.61? Показать, что множество Е С К измеримо по Лебегу в
точности тогда, когда для каждого е > 0 существуют такие открытые множества
U и V, что Е С U, U\E С V и \(V) < е.
1.12.62? Пусть fi — вероятностная борелевская мера на кубе /
единичного объема, причем ц(А) = ц(В) для всяких борелевских множеств А, В С /,
отличающихся лишь сдвигом. Показать, что fi совпадает с мерой Лебега А„.
Указание: можно считать, что I = [0,1]™; заметить, что д совпадает с
Ап на всех кубах из / с двоично-рациональными центрами и ребрами,
параллельными осям и имеющими двоично-рациональные длины (границы таких
кубов имеют меру нуль относительно ц в силу счетной аддитивности и
условия). Из сказанного ясно, что ц совпадает с А„ на алгебре, порожденной
указанными кубами.
1.12.63° (i) Показать, что для счетно-аддитивной функции \х: 1Я —>
[0, +оо) на полукольце ЭТ и таких А, А„ € ЭТ, что Ап либо возрастают,
либо убывают к Л, справедливо равенство ц(А) = lim ц(Ап).
(ii) Привести пример, показывающий, что из указанных в (i) свойств не
вытекает счетная аддитивность для неотрицательной аддитивной функции
множества на полукольце.
Указание: рассмотреть полукольцо множеств вида Q П (a, b), Q П (а, Ь],
Q П [а, b), Q П [а, 6], где Q — множество рациональных чисел в [0,1]; на этих
множествах сделать fj, равной Ь — а.
1.12.64? Привести пример неотрицательной аддитивной функции
множества ii на полукольце Ь\, для которой ц(А) = lim 1л{Ап), если А,Ап € ЭТ

116
Глава 1. Построение и продолжение мер
и А„ либо возрастают, либо убывают к А, однако аддитивное продолжение
которой на кольцо, порожденное 9t, не обладает этим свойством.
Указание: см. задачу 1.12.63.
1.12.65.° (i) Показать, что ограниченное множество Е С И" измеримо
по Жордану в точности тогда, когда граница Е (множество точек, во всякой
окрестности которых есть точки из Е и из дополнения Е) имеет меру нуль,
(ii) Показать, что совокупность всех измеримых по Жордану множеств на
отрезке (или в кубе) (см. определение в §1.1) представляет собой кольцо.
1.12.66° Доказать предложение 1.6.5.
1.12.67° Показать, что ограниченная неотрицательная мера ц на а-
алгебре Л полна в точности тогда, когда Л — Л^; в частности, лебеговское
продолжение полной меры совпадает с ней самой.
1.12.68.° Привести пример ст-конечной меры на сг-алгебре, которая не
является (т-конечной на некоторой под-ст-алгебре.
Указание: взять меру Лебега на <х-алгебре множеств, которые либо не
более чем счетны, либо имеют не более чем счетные дополнения.
1.12.69° Пусть А„ — подмножества пространства X. Показать, что
{х: х € Ап для бесконечно многих п) = П°^=1 Ufcln ^к-
1.12.70° Пусть fi — вероятностная мера и А\,..., Ап — измеримые
множества с ?7=1 М-1*») > « - 1- Доказать, что м(П"=1 А) > 0.
1.12.71° (теорема Бэра о категории) Пусть М,, j ? IN, — замкнутые
множества в Ш*, объединение которых есть замкнутый куб. Докажите, что
хотя бы одно из множеств Mj имеет внутренние точки. Обобщите на случай,
когда Mj — замкнутые множества в полном метрическом пространстве X,
объединение которых есть X.
Указание: действуя от противного, постройте последовательность
вложенных замкнутых шаров Uj с радиусами, стремящимися к нулю, таким
образом, что UjHMj = 0.
1.12.72. Докажите, что Bt1 нельзя представить в виде объединения
семейства попарно непересекающихся невырожденных замкнутых отрезков.
Указание: проверить, что такое семейство счетно, рассмотреть
множество концов данных отрезков и воспользоваться тем, что замкнутое
множество без изолированных точек несчетно (см. предложение 6.1.17 в гл. 6);
можно также использовать теорему Бэра.
1.12.73. Покажите, что Rn при п > 1 нельзя представить в виде
объединения семейства замкнутых шаров с попарно непересекающимися
внутренностями.
Указание: воспользуйтесь задачей 1.12.72 применительно к прямой, на
которой нет точек касания данных шаров.
1.12.74? Показать, что ст-алгебра ^(И1) всех борелевских подмножеств
прямой является наименьшим классом множеств, содержащим все
замкнутые множества и допускающим счетные пересечения и счетные объединения.
Указание: воспользоваться тем, что указанный класс является
монотонным и содержит алгебру конечных объединений лучей и промежутков;

1.12. Дополнения и задачи 117
другой способ состоит в проверке того, что совокупность всех множеств,
входящих в упомянутый класс вместе с дополнением, является «т-алгеброй
и содержит замкнутые множества, более сильное утверждение есть в
примере 1.12.3.
1.12.75. (i) Доказать, что объединение произвольного семейства
невырожденных отрезков на прямой измеримо.
(ii) Доказать, что объединение произвольного семейства невырожденных
прямоугольников на плоскости измеримо.
(ш) Доказать, что объединение произвольного семейства
невырожденных треугольников на плоскости измеримо.
Указание: (i) достаточно проверить, что объединение семейства
отрезков 1а длины не меньше 1/к измеримо для каждого к; существует не более
чем счетное подсемейство /а„, объединение внутренностей которых равно
объединению внутренностей всех /а; множество Ua/C(\U^L1 Ia„ не более чем
счетно, ибо каждая его точка — изолированная (такая точка может быть
лишь концом отрезка 1а, причем интервал длины 1/к не может содержать
трех таких точек), (ii) Рассмотреть прямоугольники Еа с длиной меньшей
стороны не меньше 1/к; взять счетное подсемейство Еа„ с объединением
внутренностей, равным объединению внутренностей всех рассматриваемых Еа
и заметить, что круг достаточно малого радиуса может пересекаться лишь с
конечным числом сторон прямоугольников Еа, не покрытых
прямоугольниками Еап. (iii) Модифицировать доказательство (ii) для случая
треугольников, рассматривая подсемейства треугольников, у которых длины стороны
не меньше 1/к, а величины углов принадлежат [1/к,тг — 1/fc]. Отметим, что
эти утверждения выводятся из теоремы Витали о покрытии, доказываемой
в главе 5 (теорема 5.5.2).
1.12.76. (Nikodym [667]) Для всякой последовательности множеств Е„
положим
limsupЕа := П~=1 U?L„ Е«, U^ninf Еп := (J"=i ПГ=п Ek-
Пусть (А', А, /л) — вероятностное пространство. Доказать, что
последовательность множеств Ап € А сходится к множеству А € А в метрике Фреше-
Никодима d(Bi, В2) = t*(Bi Д Вг) в точности тогда, когда в каждой
подпоследовательности в {Ап} можно найти такую подпоследовательность {Еп},
что А = lim sup Еп = lim inf En с точностью до множества меры нуль.
Указание: см. теорему 1.12.6.
1.12.77? Пусть (X, А,ц) — пространство с вероятностной мерой, Ап —
/i-измеримые множества, В := {х: х е Ап для бесконечно многих п}.
(i) (Лемма Бореля-Кантелли) Показать, что если X^^Li м(^п) < °°>
то ц(В) = 0.
(ii) Доказать, что если ц(Ап) ^ ? > 0, то В измеримо и fi(B) ^ е.
Указание: В = f|itLi Оп°=к ^"> множества Вк := \Jn=kA™ убывают,
№) < ?~ *р(л„), МДО ^ М40-
1.12.78. (i) Найти такую последовательность множеств Еп С [0,1] меры
О > 0, что пересечение всякой ее подпоследовательности имеет меру нуль.

118
Глава 1. Построение и продолжение мер
(ii) Пусть (j, — вероятностная мера и Ап — измеримые множества с
ц(Ап) > е > 0 для всех п € IN. Показать, что fJ,(f)n=i UkLn Ак) > е. В
частности, найдется такая подпоследовательность Пк, что f]kxL1 АПк непусто.
(iii) (Erdfis, Kestelman, Rogers [374]) Пусть An — измеримые по Лебегу
множества в [0,1] с Х(Ап) ^ е > 0 для всех п € IN. Показать, что
найдется такая подпоследовательность п&, что HfcLi -А«* несчетно (см. усиление в
задаче 3.10.96).
Указание: (i) задать Еп индуктивно: Е\ = @,1/2), Ег = @,1/4) U
C/4,1) и т.д.; множество En+i состоит из 2П интервалов Jn,k, являющихся
левыми половинами интервалов Jn-i,k и левыми половинами дополнительных
к Jn-i,k интервалов, (ii) При каждом т множество ПГ=1 Uk=n Ак содержит
Ат и потому имеет меру не менее е.
1.12.79. Пусть функция a: IN —> [0,+оо) такова, что X)fclia(*0 < оо.
Доказать, что множество Е всех таких чисел х € @,1), что для
бесконечно многих натуральных чисел q найдется взаимно-простое с q натуральное
число р с \х — p/q\ < a(q)/q, имеет меру нуль. В задаче 10.10.44 гл. 10 см.
обратное утверждение.
Указание: для фиксированного q пусть Ея — множество тех х € @,1),
для которых при некотором р € IN верно неравенство \x—p/q\ < a(q)/q. Это
множество состоит из интервалов длины 2a(q)/q с центрами в точках p/q,
р = 1,..., q, откуда X(Eq) < 2a(q). По лемме Бореля-Кантелли Х(Е) = 0.
1.12.80.° (Steinhaus [793]) Пусть А — множество положительной меры
Лебега на прямой. Показать, что множество А — А := {ai — 02: 0,1,0,2 € А}
содержит некоторый интервал. Доказать аналогичное утверждение для И",
полученное в Rademacher [703].
Указание: для компактного А взять открытое множество U с К С U и
А({7) < 2Х(К) = Х(К) + Х(К + h) и заметить, что найдется такое е > 0, что
К + h С U при \h\ < е\ тогда Х(К U (К + h)) sj X(U) для таких ft, откуда
К П (К + ft) ф 0.
1.12.81.° Показать, что всякое множество положительной меры Лебега
содержит неизмеримое подмножество.
1.12.82. Показать, что в любом непустом совершенном множестве есть
непустое совершенное подмножество лебеговской меры нуль. В частности,
всякое множество положительной меры Лебега содержит компактное
множество меры нуль континуальной мощности.
Указание: достаточно рассмотреть компакт К положительной меры и
без изолированных точек, затем по аналогии с построением обычного кан-
торовского множества удалить из К счетное объединение множеств J„ Г) К,
где J„ — дизъюнктные интервалы, таким образом, что останется непустое
совершенное множество меры нуль.
1.12.83. (Wesler [862]; Мергелян [132] для п = 2) Пусть Uk -
дизъюнктные открытые шары радиусов г к в единичном шаре U в 1R™, причем
U\ UfcLi Uk имеет меру нуль. Показать, что X3fc°_i г?-1 = °о.
Указание: см. Crittenden, Swanson [326], Larman [565], Wesler [862].

1.12. Дополнения и задачи
119
1.12.84. (i) Пусть а = га \ где га 6 IN. Доказать, что для всяких
множеств Л и В в [0,1] положительной меры Лебега найдутся такие
точки х, у ? [0,1], что Х(А П [х, у}) = аХ(А) и Х{В П [х, у}) = аХ(В). (ii) Показать,
что если а € @,1) не имеет вид п-1 с га € IN, то утверждение (i) неверно.
Указание: см. George [433, с. 59].
1.12.85. (Sodnomov [782]) Пусть Е С И1 — множество положительной
меры Лебега. Тогда существует совершенное множество Р с Р + Р С Е.
1.12.86. (Gillis [435], [436]) Пусть Ек С [0,1] - измеримое множество
и Х(Ек) ^ а для всех к, где a G @,1). Доказать, что для всех р € IN и г > О
найдутся такие к\ < ¦ ¦ ¦ < кр, что Х(Ек1 П ¦ • • П Екр) > ар — е.
1.12.87. (i) Пусть Е С [0,1] — множество лебеговской меры нуль.
Доказать, что существует такой сходящийся ряд с положительными членами о„,
что для всякого е > 0 множество Е можно покрыть последовательностью
интервалов 1п длины не больше еап- (ii) Показать, что нельзя найти такой
ряд, чтобы он годился для всякого множества меры нуль.
1.12.88. Множество S С IR1 называется множеством Серпинского, если
S П Z не более чем счетно для каждого множества Z лебеговской меры нуль.
(i) В предположении гипотезы континуума доказать существование
множества Серпинского.
(ii) Доказать неизмеримость множества Серпинского.
Указание: см. Kharazishvili [537].
1.12.89. Пусть А — множество в Ш.л лебеговской меры больше 1.
Доказать, что найдутся две различные точки х, у е А, для которых вектор х — у
имеет целочисленные координаты.
1.12.90? Доказать, что всякое выпуклое множество в IRd измеримо по
Лебегу.
Указание: показать, что граница ограниченного выпуклого множества
имеет меру нуль.
1.12.91. Пусть А — ограниченное выпуклое множество в Etd и As —
множество всех точек, удаленных от А не более чем на е. Доказать, что
Xd(A?), где Xd — мера Лебега, есть многочлен степени d по е.
Указание: проверить утверждение для выпуклого многогранника.
1.12.92. Доказать теорему 1.12.1.
1.12.93° Пусть /1 — вероятностная мера на сг-алгебре Л. Предположим,
что Л является счетно-порожденной, т.е. порождается некоторым не более
чем счетным набором множеств. Показать, что мера /z сепарабельна.
Привести пример, показывающий, что обратное неверно.
Указание: если А порождается множествами Ап, то алгебра Ао,
порожденная этими множествами, не более чем счетна. Остается воспользо-
наться тем, что для всяких А € А и е > 0 найдется такое Ао Е Ао, что
ц(А Л Ао) < е. В качестве примера сепарабельной меры на ст-алгебре, не
являющейся счетно-порожденной, можно указать меру Лебега на сг-алгебре
измеримых по Лебегу множеств в отрезке (см. §6.5).

120
Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12.04.° Пусть А — класс всех подмножеств прямой, которые либо не
более чем счетны, либо имеют не более чем счетные дополнения. Если А € А
имеет не более чем счетное дополнение, то положим ц{А) — 1, а в
противном случае положим ц{А) = 0. Тогда А — ст-алгебра и ц — вероятностная
мера на А, причем совокупность К всех множеств с не более чем
счетными дополнениями является компактным классом, приближающим ц, однако
не существует никакого класса К' С А, приближающего ц и обладающего
тем свойством, что всякий (не обязательно счетный) набор из К.' с пустым
пересечением обладает конечным поднабором с пустым пересечением.
Указание: если бы такой класс К' существовал, то для каждого х € Ш1
нашлось бы множество Кх G 1С' такое, что Кх С К1\{а;} и ц(Кх) > 0. Тогда
ц(Кх) = 1 и потому всякое конечное пересечение таких множеств непусто,
однако пересечение всех Кх пусто.
1.12.95. (Broughton, Huff [284]) Пусть дана последовательность ст-ал-
гебр Ап в пространстве X, причем Ап строго содержится в An+i для
каждого п. Доказать, что U?°=i А» не является <т-алгеброй.
Указание: можно считать, что есть непустое В е Ai, отличное от X.
Если для некоторого п имеем В П An+i = ВПЛ. и это же верно для
Х\В, то Лп+i = Ап — противоречие. Поэтому найдется такое Е € А\, что
(Е П Ank+i)\(E П Апк) непусто для бесконечно многих п*. Тогда Е П АПк
являются строго возрастающими ст-алгебрами на Е. По индукции строим
подпоследовательность А^, А,2,... и множества Ег D Е2 Э ... с Ек € А,к
and Ek+i € {Ек П Ajk+1)\(Ek П Ajk). Получаем дизъюнктные множества
Fk := Ek\Ek+i, Fk ? Ak+i\Ak- Можно считать, что X = U*Li^fc- Пусть
7г: X —> IN, n(Fk) = к и пусть Ап := {А: тг_1(Л) 6 Ап}- Легко проверить,
что для каждого п имеется наименьшее множество Вп е А„ с п 6 Вп. Тогда
В„ С {Jfc ^ п), Вп ф {п}. Если т € Вп, то Вт С В„, ибо ВтПВ„ € -AJ». Пусть
щ := 1. По индукции находим nk+i € В„к, Пк+\ > Пк- Тогда ВП1 Э В„2 Э ...
Пусть Е := {п2,п4,Пб,---}- Если 7г-1(?) € Ап, т.е. Е € А„, то Е е А^2к
для некоторого к, откуда {п2к,П2к+2,-¦ ¦} € Лп2к и B„2fc С {га2ь,га2*+2,. • ¦}
ВОПреКИ ТОМу, ЧТО П2к+1 € B„2fc ¦
1.12.96. Пусть Q — множество всех рациональных чисел с <т-алгеброй 2Q
всех подмножеств, мера д на 2° со значениями в [0, +оо] задана как мощность
множества. Пусть v = 2ц. Показать, что не совпадающие меры /лжи равны
на всех открытых множествах из Q (с индуцированной топологией), а также
на всех множествах из порождающей 2" алгебры, состоящей из конечных
дизъюнктных объединений множеств вида Qn (о, Ь] и Qn (с, +оо), где а,Ь,се
Q или с = —оо.
Указание: непустые множества указанных типов бесконечны.
1.12.97. Доказать, что не существует счетно-аддитивной меры,
определенной на всех подмножествах пространства X = {0,1}°°, принимающей
лишь значения 0 и 1 и равной нулю на всех одноточечных множествах.
Указание: пусть Хп = {(ж<) € X: хп = 0}; если такая мера /х есть,
то для всякого п либо fi(X„) = 1, либо ц{Хп) = 0; обозначим через Yn то
из двух множеств Х„ и Х\Хп, которое имеет меру 1; тогда fl^Li Уп также
имеет меру 1 и является точкой.

1.12. Дополнения и задачи
121
1.12.98. Доказать, что для всякого борелевского множества Е С Ш.™
существует борелевское множество Е, которое отличается от Е лишь на
множество меры нуль и обладает следующим свойством: для каждой точки х
границы дЕ множества Е и каждого г > 0 справедливы неравенства
О < Хп(ЕПВ{х,г)) < w„rn,
где В(х, г) — шар с центром в х и радиусом г и ш„ — мера единичного шара.
Указание: пусть Ец — множество таких х, что А„ (Е П В(х, г)) = 0 при
некотором г > 0, а Е\ — множество таких х, что А„ (? П В(х, г)) = w„rn при
некотором г > 0. Рассмотреть Е — (Е U Ei)\Eo и воспользоваться тем, что
Ео и Ei открыты.
1.12.99. Доказать, что всякое несчетное множество G С JR.,
являющееся пересечением последовательности открытых множеств, содержит нигде
не плотное замкнутое множество Z лебеговской меры нуль, которое можно
непрерывно отобразить на [0,1].
Указание: см. Oxtoby [139, лемма 5.1] или гл. 6.
1.12.100. Доказать, что всякое несчетное множество GcR,
являющееся пересечением последовательности открытых множеств, имеет мощность
континуума.
Указание: применить предыдущую задачу (см. также гл. 6, §6.1).
1.12.101. (i) Докажите, что класс всех суслинских подмножеств
прямой получается в результате применения А-операции к совокупности всех
открытых множеств, (ii) Покажите, что в (i) можно ограничится
совокупностью интервалов с рациональными концами.
Указание: (i) воспользуйтесь тем, что всякое замкнутое множество есть
пересечение счетной последовательности открытых множеств, затем
примените теорему о замкнутости S(E) относительно А-операции.
1.12.102. Докажите, что классы всех суслинских и всех борелевских
множеств на прямой (или в И") имеют мощность континуума.
1.12.103. Пусть (X,A,fi) — пространство с конечной неотрицательной
мерой ц и пусть существует множество Е, не являющееся ^-измеримым.
Доказать, что найдется е > 0 со следующим свойством: если А и В измеримы,
ЕС А, Х\Е С В, то /i(A П В) > е.
Указание: предположить противное и найти измеримые множества Ап
и Вп с Е С Ап, Х\Е С Вп, ц(Ап П В„) < гГ1; пусть А = р?=1 Ап, В =
CC=i #»; тогда Е С А, Х\Е С В, ц(А П В) = О, откуда ц*(Е) + fi*(X\E) <
ц(Х) и потому f(E) + f(X\E) = »(Х).
1.12.104? Пусть m — внешняя мера Каратеодори на пространстве X.
Доказать, что множество А измеримо по Каратеодори в точности тогда, когда
для всяких В С А и С С Х\А справедливо равенство m(BuC) = т(В)+т(С).
Указание: если А измеримо по Каратеодори, то в определении
измеримости можно взять Е = В U С, а если выполнено указанное свойство, то
произвольное Е можно записать в виде Е = ВиС, В = ЕГ\А, С = Е\А.

122 Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12.105° (Young [879]) Пусть (X, Л, fi) — пространство с конечной
неотрицательной мерой. Доказать, что множество А С X входит в Ац в точности
тогда, когда для всякого множества В, не пересекающегося с А, справедливо
равенство ц*(А UB) = Ц*(А) + (г*(В).
Указание: для доказательства достаточности взять В = Х\А;
необходимость следует из предыдущей задачи.
1.12.106° Пусть m — внешняя мера Каратеодори на пространстве X.
Доказать, что для всякого Е С X функция тв(В) = ш(ВП-Б) является внешней
мерой Каратеодори, причем все ш-измеримые множества тв-измеримы.
1.12.107. Пусть г — аддитивная, но не счетно-аддитивная
неотрицательная функция множества, заданная на классе всех подмножеств отрезка
и совпадающая с мерой Лебега на измеримых по Лебегу множествах (см.
пример 1.12.29). Показать, что соответствующая внешняя мера m из
примера 1.11.5 тождественно равна нулю в предположении гипотезы континуума.
Указание: теорема 1.11.8 дает т-измеримость всех множеств, m счетно-
аддитивна на ЯЯт и т({х}) = 0 для всех х.
1.12.108? Доказать, что если X С 9Ят, то метод I из примера 1.11.5 дает
регулярную внешнюю меру.
Указание: в данном случае имеем IJ^Li ^« е ЯИт пРи ^« 6 ЭЕ.
1.12.109. Пусть S — некоторый набор подмножеств множества X,
замкнутый относительно конечных объединений и конечных пересечений и
содержащий пустое множество, т.е. решетка множеств (например, класс всех
замкнутых множеств или класс всех открытых множеств в [0,1]).
(i) Предположим, что на S задана модулярная функция множества т, т.е.
т(А U В) + т(А П В) = т{А) + т(В), A,BeS, m@) = 0.
Показать, что с помощью равенства т(А\В) = т(А) — тп(В), А, В 6 5,
В С А, функция m однозначно и корректно продолжается до аддитивной
функции множества на полукольце, образованном разностями элементов из S
(см. задачу 1.12.52), а затем однозначно продолжается до аддитивной
функции множества на кольце, порожденном S. (ii) Привести пример,
показывающий, что в (i) нельзя заменить модулярность на аддитивность даже при
условии, что тп неотрицательна, монотонна и субаддитивна на S.
Указание: (i) использовать задачу 1.12.52, предложение 1.3.9; для
проверки корректности задания го заметить, что если Ai\A[ = А2\А2, где
Аи A'i е S, A'i С Аи то m(Ai)+m(A'2) = тп(А2)+тп(А'1), ибо AiUA'2 = A2UA'1,
A\ C\A'2 = A'i П A2, что легко проверяется; подробности см. в Kelley, Srinivasan
[533, гл. 2, с. 23, теорема 2]. (ii) взять X = {0,1,2} и 5 в составе X, 0, {0,1},
{1,2}, {1} с тп(Х) = 2, т@) = 0 и го = 1 на остальных множествах из S.
1.12.110. Пусть Т — некоторая система подмножеств множества X,
0 € Т и пусть т: Т —» [0, +оо] — некоторая функция множества с т@) = 0.
Зададим г, на всех множествах А С X формулой A.12.8).
(i) Доказать, что если А\,..., Ап С X дизъюнктны и А\ U • ¦ • U Ап С А,
«>т.(Л)^??=1т.(Л,-).
(ii) Доказать, что т* совпадает стна^в точности тогда, когда для
всяких попарно непересекающихся Fi,..,F„ €fti всякого F е Т, содержащего
Uj=i Fji выполнено неравенство r(F) ^ X)"=i т№)-

1.12. Дополнения и задачи 123
(iii) Доказать, что если т удовлетворяет условию из (ii) и класс Т
замкнут относительно конечных объединений дизъюнктных множеств, то
т,(А) = sup{r(F), F 6 F, F С А}, V А С X.
Указание: (i) Пусть т,(А) < ос и е > 0. Для каждого г найдутся такие
дизъюнктные множества Ftj € Т, j ^ п(г), что \J]=l FH С Л и т,(Аг) ^
e2~l + ^2™=l T(Fij)- Все множества F,_, попарно не пересекаются и содержатся
в А. Поэтому ??=1 т„(А,;) ^ ЕГ=г е2-'+Е?=1 E"=i т(^) < е + т.(Л), откуда
ввиду произвольности е получаем требуемое.
(ii) Пз'сть Fj,F € J7, Fj С F, причем Fj дизъюнктны. Тогда неравенство
t(F) ^ X)"=i т№) Дает неравенство t(F) ^ r*(F). Поскольку обратное
неравенство очевидно из определения, получаем равенство т» = т на Т. С другой
стороны, это равенство очевидным образом влечет указанное неравенство.
(iii) Пусть Fi,..., F„ 6 Т дизъюнктны и F := (J"=1 ^ С А. Тогда по
условию имеем Е ? Т к ?"=1 r(F,-) «S ^(-Е) ^ sup{r(F): F € .F, F С А},
откуда т,(А) ^ sup{r(F): F ? J", F С Л}, а обратное неравенство очевидно.
1.12.111. Пусть .F и т — те же, что и в предыдущей задаче, (i) Доказать,
что внешняя мера т* совпадает с т на Т в точности тогда, когда функция т
счетно-субаддитивна на .F, т.е. имеем t(F) ^ ?^Li T~(Fn), если F, F,, € .F и
FclXLi*-
(ii) Доказать, что если выполнено условие из (i) и класс .F замкнут
относительно счетных объединений, то
t*(A) = M{t(F), Fef, AcF}, VAcX.
Указание: совершенно аналогично предыдущей задаче.
1.12.112. Пусть Т — некоторый класс подмножеств простреле тва Л',
0 € Т и т: Т —> [0, +оо] — некоторая функция множества с г@) = 0.
Доказать, что следующие условия равносильны: (i) т* совпадает с т на Т и
^СОТТ-:
(ii) т(Л) = т*(Л ПВ) + т*(Л\В), \/А,В G .F.
Указание: Из (i) следует (ii) ввиду аддитивности т* на 9ЯТ». Пусть
выполнено (ii). Полагая В = 0, получаем т(А) = т*(А), А е Т. Пусть F € Т
«ЕсХ. Пусть F, е .F и F С UJli Fi- ТогДа
ET=i r(^) = ??i т*(^' ^F) + T,T=i t(Fj\F) > r*(F П F) + r*(F\F).
Переходя к инфимуму по {Fj}, получаем т*(Е) ^ т*(Е П F) + r*(E\F), т.е.
FeOTT..
1.12.113. Пусть .F — некоторый класс подмножеств пространства X,
0 G .F, т: .F —> [0, +оо] — некоторая функция множества с т@) = 0, т» —
соответствующая внутренняя мера (см. формулу A.12.8)). Доказать, что
следующие условия равносильны: (i) т« совпадает с т на f и f С 9ЛГ,;
(ii) т(А) = т.(Л ПВ) + т.{А\В), Vл, В € JF
Указание: доказательство совершенно аналогично предыдущей задаче,
надо лишь брать конечное число дизъюнктных F, с А; см. также Глазков
|48], Hoffmanii-j0rgensen [490, 1.26].

124
Глава 1. Построение и продолжение мер
1.12.114. (i) Показать, что если в ситуации предыдущей задачи
выполнено одно из равносильных условий (i) и (ii), то на алгебре Аг,
порожденной Т, существует аддитивная функция множества то, совпадающая с
тна^.
(ii) Показать, что если дополнительно к предположениям в (i) известно,
что внутренняя мера т» счетно-субаддитивна на Аг в смысле, указанном в
задаче 1.12.111, то существует счетно-аддитивная мера ц. на <r(.F),
совпадающая стна/.
Указание: Согласно теореме 1.11.4 функция т. аддитивна на 9JtT.,
причем ЯЙт. является алгеброй. Поскольку алгебра Шт. содержит Т по
предположению, то она содержит и порожденную ? алгебру. Второе утверждение
также следует из цитированной теоремы.
1.12.115. Пусть (X,A,fi) — измеримое пространство, где А — «т-алгеб-
ра, а ц — счетно-аддитивная мера со значениями в [О, +оо]. Обозначим через
?м класс всех таких множеств Е С X, для которых существуют множества
Аи А2 6 А с А! С Е С А2 и /x(A2\/li) = 0.
(i) Показать, что ?м является ст-алгеброй, совпадает сД,и входит в
(ii) Показать, что если мера ц ст-конечна, то ?р совпадает с ЯЛД».
(iii) Пусть X = [0,1], А есть ст-алгебра, порожденная всеми
одноточечными множествами и мера /* со значениями в [0, +оо] задана так: ji( А) есть
мощность А, А € А. Показать, что ЯЯ„« содержит все множества, но [0,1/2] ? ?,,.
Указание: (Ш) Показать, что ц* (А) есть мощность А и что ?А = А,
пользуясь тем, что непустые множества имеют меру не меньше 1.
1.12.116. Пусть (X, А, ц) — измеримое пространство с конечной
неотрицательной мерой ц и А/ц — соответствующая метрическая булева алгебра с
введенной в §1.12(ш) метрикой d. Доказать, что отображение А ь-> Х\А из
А/ц в А/{л и отображения (А, В) >-> A U В, (А, В) н-> А П В из (А/цJ в A/fi
непрерывны.
1.12.117. Пусть /х — вероятностная сепарабельная мера на <т-алгебре А
и {Xt}ter — несчетное семейство множеств положительной меры. Показать,
что найдется такое счетное подсемейство {*„} С Т, что м(П^=1 xtn ) > 0.
Указание: в сепарабельной алгебре с мерой А/ц указанное семейство
имеет точку сгущения X' с ц(Х') > 0, ибо несчетное множество не может
иметь единственную точку сгущения, соответствующую классу множеств
меры нуль; найдутся ?„ с fi(X' Д Xt„) < fj,(X'J~n.
1.12.118. Пусть (Х,А,ц) — пространство с мерой ц со значениями в
[0, +оо]. Мера fi называется разложимой, если существует разбиение X на
попарно непересекающиеся множества Ха е А конечной меры,
индексированные элементами а некоторого множества Л, обладающее следующими
свойствами: (а) если АПХа ?А для всех а, то Е е А, (Ь) /л{Е) = ?>(?ПХа)
для всякого множества Е G А, где сходимость ряда Л2са, Са ^ 0, к
конечному числу означает по определению, что среди Са лишь не более чем
счетное число отлично от нуля и соответствующий ряд сходится, а
расходимость такого ряда к +оо означает расходимость некоторой его счетной части.

1.12. Дополнения и задачи 125
(i) Привести пример меры, не являющейся разложимой, (ii) Показать, что
мера д разложима в точности тогда, когда существует разбиение X на
дизъюнктные множества Ха положительной меры, обладающие свойством (а) и
свойством (Ь'): если Ае An д(А П Ха) = 0 для всех а, то д(Л) = 0.
1.12.119. Пусть (X, A, д) — пространство с мерой д со значениями в
[0, +оо]. Мера д называется полуконечной, если каждое множество
бесконечной меры имеет подмножество конечной положительной меры.
(i) Привести пример меры со значениями в [0, +оо], не являющейся
полуконечной.
(ii) Привести пример полуконечной меры, не являющейся сг-конечной.
(iii) Доказать, что для всякой меры д со значениями в [0, +оо] на а-
алгебре А формула До(А) := sup{^(B): В С А, В € Л, ц(В) < оо} задает
полуконечную меру со значениями в [0,+оо], причем д полуконечна в
точности тогда, когда д = до-
(iv) Показать, что разложимая мера полуконечна.
1.12.120. Пусть (Х,А, д) — пространство с мерой д со значениями в
[0, +оо]. Множество Е называется локально измеримым, если ЕГ\ А 6 А для
всякого А е А с д(А) < оо. Мера д называется насыщенной или
сатурированной, если всякое локально измеримое множество входит в А.
(i) Пусть X = IR, А = {IR,0}, д(К) = оо, д@) = 0. Показать, что д -
полная мера со значениями в [0, +оо], не являющаяся насыщенной.
(ii) Показать, что cr-конечная мера насыщенна.
(iii) Показать, что локально измеримые множества образуют <т-алгебру.
(iv) Показать, что всякая мера со значениями в [0, +оо] может быть
продолжена до насыщенной меры на <т-алгебре С, всех локально измеримых
множеств по формуле д(?) = д(Е), если Е е A, Ji{E) = +оо, если Е $ А.
(v) Построить пример, показывающий, что д может быть не
единственным насыщенным продолжением д на ст-алгебру ?.
Указание: (i) заметить, что всякое множество в X является локально
измеримым относительно д; (v) рассмотреть д0 с д0 (А) = 0, если А счетно,
цо(А) = оо, если А несчетно; заметить, что до является насыщенной.
1.12.121. Пусть (X, -4,д) — пространство с мерой д со значениями в
[0,+оо]. Мера д называется магарамовской (или локализуемой), если д
полуконечна и всякий набор множеств М С А имеет существенную верхнюю
грань в следующем смысле: существует такое множество Е € А, что все
множества М\Е, где М е М, имеют меру нуль, причем если Е' ? А —
другое множество с таким свойством, то Е\Е' имеет меру нуль, (i) Доказать,
что всякая разложимая мера является магарамовской. (ii) Привести пример
полной магарамовской меры, не являющейся разложимой.
Указание: (i) пусть множества Ха, а € Л, дают разложение
пространства с мерой (Х,А,ц) и М С А. Обозначим через Т семейство всех
множеств F е А с n(F П М) = 0 для всех М € М. Ясно, что Т содержит
пустое множество и допускает счетные объединения. Для каждого а положим
Со := вир{д(Е nXa),F eF} к выберем Fa?n е Т так, что lim д(^а,„) = са.
Пусть Fa := U^Li F«,n и Ф := UaeA(F<* П Ха). Тогда Ф П Ха = Fa и потому
¦ 6 А. Поэтому Е := Х\Ф € А. Для всякого М G М имеем

126 Глава 1. Построение и продолжение мер
ц(М\Е) = ц(М П Ф) = ?а ц{М Л Ф П Ха) = ?а М(М П Fa П Ха) = О
из определения Т. Если Е' — другое множество с таким свойством, то Х\Е' 6
5и*':= Фи(Х\?') е Т. Теперь легко вывести, что д(ФПХа) = /х(Ф'ПХа)
для всех о, откуда /х((Ф'\Ф) П Ха) = 0, т.е. /х(Ф'\Ф) = 0 и ц(Е\Е') = 0.
(ii) Примеры с различными дополнительными свойствами можно найти в
Fremlin [421, §216].
1.12.122. Пусть (Х,Л, /х) — пространство с мерой /х со значениями в
[0, +оо]. Мера /х называется локально определимой, если она полуконечна и
насыщенна. Пусть С^ — сг-алгебра локально измеримых множеств из Ац, т.е.
таких множеств L, что L П А € А» для всех А € Ац с /х(А) < схз. Положим
J1(L) = sup{/x(L П А): Ае А„,ц{А) < oo}, L ? С.
(i) Показать, что мера Д локально определима и полна, причем ji(A) =
fj.(A), если Л ? .Дм и /х(.А) < оо.
(ii) Показать, что если /х разложима, то такова и Д, причем в этом случае
/х совпадает с пополнением /х.
(Ш) Показать, что если /х — магарамовская, то такова и /х.
(iv) Показать, что мера /х полна и локально определима в точности тогда,
когда ц = /х.
Указание: подробную проверку этих простых утверждений можно
найти, например, в Fremlin [421].
1.12.123. Пусть (Х,А,ц) — пространство с мерой /х со значениями в
[0,+оо], причем /х полна и локально определима. Предположим, что
существует семейство V попарно непересекающихся множеств конечной меры
из А, причем если Е € А и ц(Е Г) D) = 0 для всех D е Х>, то ц(Е) = 0.
Доказать, что мера ц разложима.
Указание: см. Fremlin [421, §2130].
1.12.124. Пусть X — множество мощности континуума и У —
множество мощности больше континуума. Для всякого Е С X xY множества
{(«» У) С Е} с фиксированным a е X будем называть вертикальными
сечениями Е, а множества {(х, Ь) € Е} с фиксированным Ь ?Y — горизонтальными
сечениями Е. Обозначим через А класс всех множеств А С XxY, у которых
все горизонтальные и все вертикальные сечения либо не более чем счетны,
либо имеют не более чем счетные дополнения (иначе говоря, входят в а-
алгебру, порожденную конечными множествами). Пусть ~у{А) — количество
горизонтальных сечений дополнения А, которые конечны или счетны.
Аналогично с помощью вертикальных сечений зададим функцию v(A). Пусть
ц{А) = у(А) + v(A). (i) Доказать, что А — сг-алгебра,, а -у, v и /х — счетно-
аддитивные меры со значениями в [0, +оо].
(ii) Доказать, что ц полуконечна в смысле задачи 1.12.119.
(ш) Доказать, что /л не является разложимой в смысле задачи 1.12.118.
Указание: (ii) если (X х Y)\A имеет бесконечное число конечных или
счетных горизонтальных сечений, то для заданного N можно взять точки
tfi» • • • ,Vn ? Y, дающие такие сечения; возьмем множество В,
горизонтальные сечения дополнения которого в точках у< равны соответствующим
сечениям дополнения А, а все остальные сечения дополнения В совпадают с Хху;

1.12. Дополнения и задачи
127
тогда В С А и f{B) = N, v(B) = 0. (iii) Если множества Еа дают разбиение
XxY и ii(Ea) < со, то мощность этого семейства множеств не может быть
меньше мощности Y, ибо Еа содержится в конечном объединении множеств
вида axY и ХхЪ и потому нашлось бы множество Хху, пересекающее каждое
Еа по множеству с несчетным дополнением в Хху, откуда ц((Хху)пЕа) = 0
для всех а, хотя fi(Xxy) = 1; с другой стороны, для всякого х & X имеется
единственное множество Еах с fi((xxY)nEaT) = 1, а поскольку (xxY)ПЕах
имеет в х х Y не более чем счетное дополнение, то х х Y пересекается с не
более чем счетным семейством множеств Еа; поэтому мощность семейства
{Еа} континуальна — противоречие.
1.12.125. Пусть X = [0,1] х {0,1} и пусть А — класс всех таких
множеств Е С X, для которых сечения Ех := {у: (х,у) € Е} либо пусты, либо
совпадают с {0,1} для всех х, кроме, быть может, точек конечного или
счетного множества. Показать, что А — (т-алгебра и функция ц,
сопоставляющая множеству Е мощность пересечения Е с осью абсцисс, является счетно-
аддитивной мерой со значениями в [0,+оо], которая полна и полуконечна,
однако мера, порожденная внешней мерой /х*, не является полуконечной.
1.12.126. Пусть ?1 и ?2 — две алгебры подмножеств Q и пусть ti\,fx2
— две аддитивные вещественные функции на ?\ и ?2 соответственно
(либо jii, ц2 принимают значения в расширенной прямой и обращаются в нуль
на 0). (а) Показать, что равенство щ{Е) = ц2(Е) для всех Е е ?\ П ?2
необходимо и достаточно для существования аддитивной функции ц,
продолжающей ц\ и /Х2 на алгебру Т, содержащую ?\ и ?2. (Ь) Показать, что
если Hi,fi2 ^ 0, то существование общего неотрицательного продолжения
ц равносильно следующим соотношениям: щ(С) ^ Ц2{Г>) для всех С € ?\,
D е?2с DcC к щ{Е) ^ fj,2(F) для всех Е € ?u F € ?2 с Е С F.
Указание: см. Rao, Rao [710, §3.6, с. 82].
1.12.127. Построить пример такой сепарабельной вероятностной меры
ц на (т-алгебре Л, что для каждой счетно-порожденной сг-алгебры ? С А
пополнение ? относительно /л строго меньше А.
Указание: см. пример 9.8.1 в гл. 9.
1.12.128. (Zink [896]) Пусть (X,S,y.) — измеримое пространство с
полной конечной неатомической сепарабельной мерой \х и пусть fi*(E) > 0.
Тогда существуют такие неизмеримые множества Е\ и Е2, что Е\ П Е2 = 0,
Ei U Е2 = Е и n'(Ei) = fi*{E2) = ц*{Е).
1.12.129. Пусть (X,S,n) — измеримое пространство с конечной мерой
ц и пусть /j* соответствующая внешняя мера. Для множества Е С X
обозначим через тя сужение fi* на Е. Показать, что шв совпадает со внешней
мерой на Е, порожденной ограничением дна?в смысле определения 1.12.11.
В частности, тв — регулярная внешняя мера Каратеодори.
1.12.130. Пусть (Х,А,ц) — измеримое пространство с мерой ц,
принимающей значения в [0, +оо], ft* и ц» — соответствующие внешняя и
внутренняя меры и пусть m := (fi* + Д*)/2.
(i) (Каратеодори [305, с. 693]) Показать, что тп — внешняя мера
Каратеодори. Обозначим через v меру, порожденную т.

Глава 1. Построение и продолжение мер
(ii) Пусть X = {0,1}, А = {X, 0}, ц(Х) = 1. Показать, что ц ф v.
(iii) (Fremlin [418]) Доказать, что если ц — мера Лебега на [0,1], то ц = v.
1.12.131. Пусть m — внешняя мера Каратеодори на пространстве X и
tp: [0, +оо] —+ [0, +оо) — ограниченная вогнутая функция, причем <^>@) = О
и ip(t) > 0 при t ф 0. Пусть d(A,B) = ip(m(A А В)), А,В € Шт.
Обозначим через ЯЛц фактор-пространство .пространства 9Ит по кольцу т-нулевых
множеств. Показать, что (9ttM,d) — полное метрическое пространство.
1.12.132. (Steinhaus [793]) Пусть Е — множество положительной меры
на прямой. Доказать, что для всякого конечного множества F в множестве
Е есть подмножество, подобное F, т.е. имеющее вид с + tF, где t ф 0.
1.12.133. (Banach, Kuratowski [238]) Доказать, что в предположении
гипотезы континуума существует такая счетно-порожденная <т-алгебра S
подмножеств R1, что <S содержит все точки, но на S не существует
вероятностной меры, равной нулю на всех точках.
1.12.134. (Marczewski [621]) Доказать, что если вероятностная мера ц
безатомична, то существуют непустые множества /t-меры нуль.
1.12.135. (Kindler [541]) Пусть S — некоторое семейство подмножеств
множества П, 0 6 <S и а, /?: S —> (—со, +со] — функции множества,
равные 0 на 0. Доказать, что следующие условия равносильны: (i) существует
аддитивная функция множества ц на множестве всех подмножеств П,
принимающая значения в (—оо, +оо] и удовлетворяющая условию а ^ (j,\s ^ /?;
(И) если Аи Bi € S и ?^ IAi = ?™i 'в,, то ?**=1 a(At) < ?7=i /9(Bj).
1.12.136. Доказать предложение 1.12.36.
Указание: см. Fremlin [421], Kindler [540, предложение 3] (или Kelley
[532], где рассмотрен случай алгебры).
1.12.137. (Jones [510]) В этой задаче базисом Гамеля называется базис
Гамеля пространства JR.1 над полем рациональных чисел.
(i) Пусть М — множество на отрезке и А„(М — М) > 0. Доказать, что М
содержит базис Гамеля. Вывести из этого, что множество Кантора содержит
базис Гамеля и что всякое множество положительной меры содержит базис
Гамеля.
(ii) Доказать, что существует базис Гамеля, содержащий непустое
совершенное множество.
(iii) Пусть Я — базис Гамеля и DE = {ei - e2,ei,e2 G Е,ех > е2}
для всякого множества Е. Доказать, что А* (?>"#) > 0 для некоторого п
и \.(DnH) = 0 для всех п.
(iv) Пусть Н — базис Гамеля и ТЕ = {ei+e2—ез, е\, е2, ез ? Е} для
всякого множества Е. Доказать, что А*(Т"Я) > 0 для некоторого п я А«(Т"Я) = 0
для всех п.
1.12.138. Доказать существование неизмеримого по Лебегу базиса
Гамеля И1 над Q без использования гипотезы континуума (см. пример 1.12.21).
Указание: пусть шс — наименьшее порядковое число,
соответствующее мощности континуума. Множество всех компактов положительной
меры имеет мощность с и потому его можно поставить во взаимно-однозначное

1.12. Дополнения и задачи 129
соответствие а н-» Ка с порядковыми числами а < шс. С помощью
трансфинитной индукции находим семейство линейно независимых над Q элементов
ha ? Ка. А именно, если такие элементы hp уже найдены для всех /3 < а,
где а < с, то совокупность всех линейных комбинаций этих элементов с
рациональными коэффициентами имеет мощность меньше континуальной.
Поэтому в Ка существует элемент ha, не представимый в виде такой линейной
комбинации. Дополним построенное семейство {ha,a < с} до базиса Гаме-
ля. Получено неизмеримое множество, ибо если бы оно было измеримо, то
по доказанному ранее имело бы меру нуль, что невозможно, ибо выбранное
семейство пересекается с каждым компактом из [0,1] положительной меры.
1.12.139. Доказать, что существует такое ограниченное множество Е
меры нуль, что Е + Е неизмеримо.
Указание: пусть Н = {ha} — базис Гамеля над Q нулевой меры,
состоящий из точек [0,1], А = {rh: г € Qn[0, 1], h € #}. Положим J5i := А+А; легко
видеть, что Ei имеет внутреннюю меру нуль, ибо иначе Ег - Е\ содержало
бы интервал, что невозможно, ибо всякая точка из Е\ — Е\ разлагается по
четырем векторам из Н. Если Е\ неизмеримо, то берем Е = А; в противном
случае полагаем Ег := Е\Л-Е\ и индуктивно строим Еп+\ := Еп + Е„. Через
конечное число шагов получаем требуемое, ибо Еп — Еп не может содержать
целого интервала, а объединение всех Еп покрывает [0,1].
1.12.140. (Ciesielski, Fejzic, Freiling [318]) Показать, что во всяком
множестве Е С Несть подмножество А с А„(Л + А) = 0и \*{А + А) = Х'(Е+Е),
где А — мера Лебега.
1.12.141. Рассмотрим следующую модификацию примера 1.11.5. Пусть
X — какое-нибудь семейство подмножеств множества X, причем 0 ? X.
Предположим, что задана функция т: X —> [0, +оо] с т@) = 0. Положим
п»(Л) = inf{?^=1r(X„): Хп ? Х,А С ЦГ=1*п}. если такие множества
Хп существуют, а при их отсутствии полагаем т(А) = supm(A'), где sup
берется по всем А' С А, которые могут быть покрыты последовательностью
множеств из X. (i) Показать, что m — внешняя мера.
(ii) Пусть X = [0,1]х[0,1], X={[a,b)xt,a,b,t? [0,1],аО},
т([о, Ь) х ?) = b — а. Пусть m задается формулой A.11.5). Показать, что m
и in не совпадают, причем существует такое множество Е ? ЗЯт П 9Лд, что
ш(Я) Ф т(Е).
Указание: (i) проверяется так же, как и для m; (ii) в качестве Е
рассмотреть диагональ квадрата.
1.12.142. (Luther [613]) Пусть ц — мера со значениями в [0,-Изо] на
кольце TZ, ~р — сужение /х* на а-кольцо S, порожденное 72, Но и «So —
подклассы 72 и S, состоящие из множеств конечной меры. Положим
Ji(E) = limsup{M(Pn?;),P ? По}, Е ? S.
(i) Доказать, что следующие условия равносильны: (а) ц полуконечна,
(b) Ji является продолжением fj. на S, (с) всякая мера и на S со значениями
в [0, +оо], совпадающая с ц на Ко, совпадает с ц и на Л.
(ii) Показать, что всякая мера v на S со значениями в [0, +оо],
совпадающая с ц на 72о, совпадает с Д и д на So, причем Д ^ и ^ J1 на S.

130 Глава 1. Построение и продолжение мер
(iii) Доказать, что следующие условия равносильны: (а) Д полуконечна,
(Ь) ц полуконечна и имеет единственное продолжение на S, (с) J1 = Д, (d)
Д(?) = limsup{|I(P ПЕ),Р е Ко] для всех Е 6 <S.
(iv) Доказать, что если мера Д ст-конечна, то /х имеет единственное
продолжение на S.
(v) Привести пример, показывающий, что в (iv) не достаточно
существования какого-нибудь er-конечного продолжения /х.
1.12.143. (Luther [614]) Пусть ц — мера со значениями в [0, +оо] на а-
кольце TZ. Доказать, что /х = /xi + /Х2, где /xi — полуконечная мера на TZ, мера
Ц2 может принимать только значения 0 и оо, причем во всяком множестве
ReH найдется такое подмножество R' G "Я, что щ (Л') = рц (R) и /хг (Я') = 0.
1.12.144. Пусть (X, А, /х) — вероятностное пространство и S — такое
семейство подмножеств X, что fi, (U^Li &п) = 0 для всякого счетного набора
{Sn} С S. Доказать, что существует такая вероятностная мера /х,
определенная на некоторой «т-алгебре А, что А С A, Ji продолжает ц и обращается в
нуль на <S, причем для всякого А € А существует А' € А с J1(A А А') = 0.
Указание: пусть Z — класс всех подмножеств из X, которые можно
покрыть конечным или счетным подсемейством из S. Ясно, что ll*(Z) = 0
при Z е Z. Положим А := {A A Z, A G A, Z 6 Z}. Легко видеть, что А
является <7-алгеброй и содержит A, S. Положим ji(AAZ) := /х(Л) при А € А,
Z € Z. Определение корректно, ибо если AAZ = A'AZ', А, А' 6 .4, Z, Z' € 2,
то АЛЛ' = ZAZ', откуда ц{АА А') = n*{ZAZ') = 0, ибо ZAZ' е 2. При
этом ]1(Z) = 0 при Z & Z, ибо можно положить А = 0. Легко проверяется
счетная аддитивность /х.
1.12.145Р Пусть ц — неотрицательная ограниченная мера на сг-алгебре
А в пространстве X. Обозначим через ? класс всех таких множеств Е С X,
что ц*{Е) = (j,*(E\A) + ц*(Е Г) А) при всех Л ? А. Обязана ли функция д*
быть аддитивной на ? ?
Указание: Нет. Рассмотрим следующий пример О.В. Пугачева. Пусть
X = {1,— 1, i, — г} и ст-алгебра Л состоит из следующих 8 множеств с заданной
на них мерой /х: /*(вг) = 0, /хA) = /х(-1) = /i({*,-«}) = 1. MU.-1}) =
/х({1,», —г'}) = /х({—1,г, —г}) = 2, /х(Х) = 3. Легко видеть, что /х аддитивна,
а потому счетно-аддитивна. Для всякого Е С X имеем ц*(Е) = /л*(Е\А) +
ц*(ЕA А) при всех Л 6 А, однако ?х* не аддитивна на алгебре всех множеств.

Глава 2
Интеграл Лебега
Всякое измерение сопряжено с неизбежными погреш-
данного числа мельчайших капризных отдельностей, в
крупном же общем среднем все эти мелкие капризы
исчезают и тогда выступает основной, Божеский закон,
который один делает рабов действительными
господами предпринимаемого и предстоящего.
Д.И. Менделеев. Заветные мысли.
2.1. Измеримые функции
В этом параграфе изучаются измеримые функции. Несмотря
на свое название, понятие измеримости функций определяется в
терминах сг-алгебр и никак не связано с мерами. Связь с
мерами возникает тогда, когда в качестве соответствующей ст-алгебры
берется (т-алгебра всех множеств, измеримых относительно
фиксированной меры. Этот важный специальный случай рассмотрен
в конце параграфа.
2.1.1. Определение. Пусть (X, Л) — пространство с а-
алгеброй. Функция /: X —> И1 называется измеримой
относительно А (или А-измеримой), если {х: f(x) < с} <Е А для
каждого с € К1.
Простейший пример Л-измеримой функции — это индикатор
1а множества А е А, задаваемый так: 1а(х) = 1 при х € А и
1а(х) = 0 при х & А. Индикатор множества А называют также
характеристической функцией А или индикаторной функцией А.
Множество {х: /д(х) < с} пусто при с ^ 0. равно дополнению
А при с G @,1] и совпадает с X при с > 1. Ясно, что включение
А € А является и необходимым для А-измеримости 1а-

132
Глава 2. Интеграл Лебега
2.1.2. Теорема. Функция f измерима относительно
с-алгебры А в точности тогда, когда f~1(B) € А для всех
множеств В € В(Ш}).
Доказательство. Пусть / — .Д-измеримая функция.
Обозначим через ? совокупность всех таких множеств В е В(Ш}),
что /_1(J5) € А. Покажем, что ? — сг-алгебра. Действительно,
если Вп е ?, то (см. лемму 1.2.8)
r1(\jBn) = \Jr\Bn)€A,
п=1 п=1
г1(Пд.) = Пг1(д.)€л
п=1 п=1
Г\ш1\вп) = х\г1(вп)еЛ.
Поскольку ? содержит лучи (—оо, с), то получаем, что В(Ш}) С ?,
т.е. В(Ш}) = ?. Обратное утверждение очевидно, поскольку лучи
являются борелевскими множествами. ?
Запишем / в виде / = /+ — /_, где f+(x) := тах(/(ж),0) и
f~(x) := тах(—/(х),0). Ясно, что ,4-измеримость / равносильна
А-измеримости обеих функций /+ и /_. Например, при с > О
имеем {х: /(ж) < с} = {х: f+(x) < с}.
Часто бывает полезно следующее более общее определение.
2.1.3. Определение. Пусть (Xi,Ai) и (Х2,А2) —
пространства с а-алгебрами. Отображение /: Х\ —> Х2 называется
измеримым относительно пары (А\,А2) {или (Ах,
А2)-измеримым), если /-1(-В) Е А\ для всех В € А2.
В случае, когда (Х2,А2) = (Ю^ЩГО.1)), приходим к
определению Ai-измеримой функции. В другом частном случае, когда
Х\ и Х2 — метрические (или топологические) пространства с
борелевскими сг-алгебрами А\ = В(Х\) и А2 = В(Х2), приходим к
понятию борелевского (или измеримого по Борелю) отображения.
2.1.4. Пример. Любая непрерывная функция / является бо-
релевской, поскольку в этом случае множества {х: f(x) < с}
открыты, а значит, являются борелевскими.

2.1. Измеримые функции
133
Важным классом .А-измеримых функций являются простые
функции, т.е. такие Д-измеримые функции /, которые
принимают лишь конечное множество значений. Таким образом, всякая
простая функция / имеет вид f = Yl Q^Ai, где <ц ? Ж1, А{ G А,
т.е. является конечной линейной комбинацией индикаторов
множеств из А. Очевидно, что верно и обратное.
В следующей теореме описываются основные свойства
измеримых функций.
2.1.5. Теорема. Предположим, что функции f, g, fn, где
п € IN, измеримы относительно а-алгебры А. Тогда
(i) функция if о f измерима относительно А для всякой бо-
релевской функции <р: Ж1 —> И1; в частности, это верно, если
ip непрерывна;
(ii) функция af + f3g измерима относительно А для всех
а, /ЗеШ1;
(iii) функция fg измерима относительно А;
(iv) если g ф 0, то функция f/g измерима относительно А;
(v) если fo(x) = lim fn(x) при всех х, то функция /о
измерима относительно А;
(vi) если функции sup/„(я) и inf fn(x) конечны при всех х,
то они измеримы относительно А.
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из равенства
^oj)-\B) = rl{^-\B)).
Ввиду (i), для доказательства (ii) достаточно рассмотреть случай
а = 0 = 1 и заметить, что
{х: f(x) + g{x)<c} = {x: f(x)<c-g(x)}
= \j({x: f(x)<rn}f]{x: rn<c-g(x)}),
где объединение берется по всем рациональным числам г„.
Правая часть приведенного соотношения входит в А, ибо функции
/ и g измеримы относительно А. Утверждение (iii) вытекает из
равенства fg = [{f+gJ—/2—g2] /2 и доказанного выше (в
частности, квадрат измеримой функции измерим в силу (i)). Заметив,
что функция ip, заданная равенством <р(х) — 1/х при i/Ои

134 Глава 2. Интеграл Лебега
<р@) = О, является борелевской (несложная проверка этого
факта оставляется в качестве упражнения), получаем (iv).
Наименее очевидным из всех утверждений теоремы является
утверждение (v), которое, однако, вытекает из следующего легко
проверяемого соотношения:
{х: /oW<c}=UU П {ж: Мх)<с-\}.
к=\ п=1 т=п+1
Для доказательства (vi) заметим, что
sup/n(z) = lim max(/i(aj),..., fn(x)).
В силу (v), достаточно установить измеримость max(/i,...,/n).
По индукции это сводится к п — 2. Остается заметить, что
{х: max(/i(x),/2(x)) < с} = {ж: Д(ж) < c}f){x: f2(x) < с}.
Утверждение для inf проверяется аналогично (можно
воспользоваться и тем, что inf fn — — sup(—/„)). ?
2.1.6. Замечание. Для_ функций / со значениями в
расширенной числовой прямой ГО. = [—оо, +оо] мы определим -4-из-
меримость, потребовав включения /-1(—оо),/-1(+оо) еДиЛ
измеримость / на /_1(ГО). Это равносильно измеримости в
смысле определения 2.1.3, если на ГО. взять сг-алгебру В(Ш), состоящую
из борелевских множеств обычной прямой с возможным
добавлением точек —оо, +оо. Тогда для функций со значениями в ГО
остаются в силе утверждения (i), (v), (vi) доказанной теоремы, а
для справедливости утверждений (ii), (iii), (iv) следует
рассматривать функции / и д, принимающие значения либо в [—оо, +оо),
либо в (—оо, +оо], причем в (iii) и (iv) следует предполагать, что
д ф 0. Для таких значений операции определяются
естественным образом: +оо + с = +оо при с € (—оо, +оо], +оо -0 = 0,
+оо • с = +оо при с > 0, +оо • с = —оо при с < 0.
2.1.7. Лемма. Пусть fn — функции, измеримые
относительно а-алгебры Л в пространстве X. Тогда множество L
всех тех точек х € X, в которых существует конечный
предел lim fn{x), является элементом Л. То же самое верно для
множеств L~, L+ тех точек, где предел равен —оо и +оо.

2.1. Измеримые функции 135
Доказательство. Множество L совпадает со множеством
всех точек х, в которых последовательность {fn{x)}
фундаментальна, поэтому
L=f) О П {*¦ 1ш-ш^}^
fc=l m=l njjsm
Это равенство проверяется так: х входит в правую часть точно
тогда, когда для всякого к найдется такое га, что \fn(x) — fj(x)\ <
1/к при n,j ^ га, но это и есть фундаментальность {fn(x)}- Для
L~ w. L+ доказательство аналогично. ?
2.1.8. Лемма. Предположим, что Л — некоторая а-алгебра
подмножеств пространства X. Тогда для всякой ограниченной
Л-измеримой функции / найдется последовательность простых
функций fn, сходящаяся к f равномерно на X.
Доказательство. Пусть с = sup |/(х)| + 1. Для каждого
х&Х
п € IN разделим [—с, с) на п непересекающихся промежутков
Ij = \~с + 2c(j - l)n_1, -с + 2cjn~l\
длины 2сп-1 и положим Aj = f~1(Ij)- Ясно, что Aj € А и
U?=iA; = X. Пусть с, — середина /j. Зададим функцию fn
равенством fn(x) = Cj при х е Л,-. Тогда /п — простая функция,
причем
sup|/(x)-/n(o;)| ^сп'1,
хех
ибо функция / переводит Aj в Ij, а /п отображает Aj в
середину Ij, которая отстоит от любой точки Ij не более чем на спГ1. ?
2.1.9. Следствие. Предположим, что А — некоторая а-
алгебра подмножеств пространства X. Тогда для всякой А-
измеримой функции / найдется последовательность простых
функций fn, сходящаяся к f в каждой точке.
Доказательство. Рассмотрим функции дп, заданные
равенствами дп(х) = f(x) при f(x) Е [—п,п] и дп(х) = 0 в
противном случае. Найдем простые функции /п с \fn{x) — дп{х)\ ^ п-1.
Ясно, что lim /п(ж) = f(x) для всех х € X. ?

136
Глава 2. Интеграл Лебега
Еще раз обратим внимание читателя на то обстоятельство,
что пока при обсуждении измеримых функций не появлялись
меры. Предположим теперь, что на сг-алгебре А подмножеств
пространства X задана неотрицательная счетно-аддитивная мера //.
2.1.10. Определение. Пусть (Х,А,ц) — пространство с
неотрицательной мерой. Вещественная функция f на X
называется ц-измеримой, если она измерима относительно а-алгеб-
ры Л^ всех ^-измеримых множеств. При этом условимся
считать fi-измеримой также всякую такую функцию f, которая
не определена на некотором множестве Z ц-меры нуль или
равна бесконечности на Z, а на X\Z является Ац-измеримой:
Множество всех ^-измеримых функций обозначим через ?°(//)-
Итак, //-измеримость / означает, что {х: f(x) < с} € Ац для
всех с 6 Ш.1 и / п.в. определена. Ясно, что //-измеримых функций
может быть больше, чем Л-измеримых. Если //-измеримая
функция / не определена на множестве Z меры нуль, то при любом
доопределении ее на Z она будет //-измеримой в смысле первой
части данного определения. Из дальнейшего будет ясна
оправданность несколько более широкого понятия измеримой функции,
допускаемого второй частью определения. Когда в конкретных
ситуациях идет речь об измеримой функции, бывает ясно,
предполагается ли она определенной всюду или лишь почти всюду и
специально это не оговаривается. Однако иногда такое уточнение
необходимо. Например, если надо рассмотреть континуум
функций fa на [0,1], где а Е [О,1], причем функция /а не определена в
точке а, то с формальной точки зрения у этих функций вообще
нет ни одной общей точки области определения. В случае, когда
ясно, о какой мере // идет речь, //-измеримость называют
измеримостью. В частности, имея дело с мерой Лебега на Кп, говорят
об измеримости по Лебегу или просто об измеримости.
Для функций со значениями в [—оо, +оо] (уже не обязательно
конечных вне множества меры нуль) //-измеримость понимается
так: /-1(—оо),/_1(+оо) G Ар, а на множестве {|/] < со} функция
/ //-измерима. Такие функции мы не будем причислять к ?°(/х)
(да и вообще не будем их рассматривать); во избежание путаницы
их удобнее называть не функциями, а отображениями.
2.1.11. Предложение. Пусть ц — счетно-аддитивная мера
на с-алгебре А. Тогда для всякой fi-измеримой функции f
можно найти множество А € А и функцию д, измеримую
относительно А, такие, что f(x) = д(х) при х е А и ц(Х\А) = 0.

2.2. Сходимость по мере и почти всюду 137
Доказательство. В силу следствия 2.1.9 существует
поточечно сходящаяся к / последовательность //-измеримых простых
функций /„. Функция /п принимает конечное чисто различных
значений на //-измеримых множествах Ai,... ,Ак. В каждое из
множеств А можно вписать такое множество Д; из А, что fi(Bi) =
n(Ai). Рассмотрим функцию дп, совпадающую с fn на
объединении множеств Bi и равную 0 вне этого объединения. Ясно, что
дп — Л-измеримая простая функция, причем множество Хп =
{х: fn{x) ф gn(x)} имеет меру нуль. По лемме 2.1.7 множество
Хо всех точек х, в которых существует предел д{х) = lim дп(х),
входит в А. На дополнении к Хо положим д(х) = 0. Ясно, что
получим ^-измеримую функцию д. Пусть Y = X\\J^=lXn. Тогда
(j,(X\Y) = 0 и д(х) — lim fn(x) = f(x) для всех х € Y. Остается
найти такое множество А Е А, что А С Y и /j,(Y\A) = 0. ?
Из доказанного предложения вытекает, что для ограниченной
ц-измеримой функции / существуют такие функции f\ и /2,
измеримые относительно А, что
/i(x) ^ f(x) < f2(x) для всех х и М(х: f\(x) ф f2(x)) = 0.
Действительно, пусть f\ = /2 = д на А. Вне А можно положить
/i(x) = mf/, /2 = sup/.
2.2. Сходимость по мере и почти всюду
Пусть (X,A,fi) — пространство с неотрицательной мерой ц.
Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти
всюду (или д-почти всюду) на X, если множество Z точек в X, не
обладающих этим свойством, входит в Ац и имеет меру нуль
относительно /х. Мы будем использовать следующие сокращения
„почти всюду": п.в., /t-п.в. Из определения Ац ясно, что
существует такое множество Zq € А, что Z С Zq и /x(Zo) = 0, т.е.
соответствующее свойство выполняется вне некоторого
множества из А меры нуль. Это обстоятельство полезно иметь в виду,
имея дело с неполной мерой.
Например, можно говорить о сходимости п.в.
последовательности функций /п, о фундаментальности п.в. {/п}, о
неотрицательности п.в. некоторой функции и т.д. Ясно, что сходимость
и.в. {fn} вытекает из сходимости {fn(x)} для каждого х, а
последняя следует из равномерной сходимости {/«}¦ Более
глубокая связь сходимости почти всюду с равномерной сходимостью

138 Глава 2. Интеграл Лебега
описывается следующей теоремой замечательного русского
математика Д.Ф. Егорова.
2.2.1. Теорема. Пусть (Х,А,ц) — пространство с
конечной неотрицательной мерой ц, fn — Л-измеримые функции и
ц-почти всюду существует конечный предел /(х) = lim fn(x).
Тогда для всякого е > О существует такое множество Хе € Л,
что ц(Х\Х?) < е и функции fn сходятся к f равномерно на Хе.
Доказательство. Поскольку по лемме 2.1.7 множество L
тех точек ж, в которых последовательность {fn(x)} сходится,
является элементом Л, а по условию ц{Ь) = и(Х), то можно
перейти к новому пространству L вместо X. Поэтому утверждение
сводится к случаю, когда последовательность {/п(ж)} сходится в
каждой точке. Тогда
Х?:=р\{х: |/«(«)-/(*)|<1} €.4.
Заметим, что X™ С Х™+1 для всех т, п G IN, причем \J%Li X™ =
X, ибо при фиксированном га для всякого х существует такой
номер п, что \fi(x) — f(x)\ < 1/т при г > п. Пусть е > 0. В силу
счетной аддитивности ц для всякого тп существует номер k(m) с
и(Х\Х%-т)) < е2~т. Положим Хе = {)™=1 Х^т). Тогда ХееАъ
rtX\Xe) = p(\J(X\X%m)j)
т=1
<JT»(X\X%m))*:ejr2-™ = e.
m=l m=l
Наконец, при фиксированном т для всех х 6 Хе и всех г ^ к(тп)
имеем \fi(x)—f(x)\ < 1/m, что означает равномерную сходимость
последовательности {/„} к / на множестве Х?. ?
Простые примеры показывают, что теорема Егорова не
распространяется на случай е = 0. Например, последовательность
функций fn: х i-> хп на @,1) сходится в каждой точке к
нулю, но не может сходиться равномерно ни на каком множестве
Е С @,1) с лебеговской мерой 1, ибо во всякой окрестности
точки 1 найдутся точки из Е и потому sup fn(x) = 1 для каждого п.
хеЕ

2.2. Сходимость по мере и почти всюду 139
Свойство сходимости, установленное Д.Ф. Егоровым, называют
почти равномерной сходимостью.
Перейдем к рассмотрению еще одного важного вида
сходимости измеримых функций.
2.2.2. Определение. Пусть даны пространство (Х,Л,/л)
с конечной мерой ц и последовательность ц-измеримых
функций fn.
(i) Последовательность {fn} называется фундаментальной
по мере, если для каждого с > О
ton sup Jx: \fn(x) - fk(x)\ > с) = 0.
(ii) Последовательность {/„} сходится no мере к
^-измеримой функции f, если для каждого с > 0
ton^fz: |/(х)-/„(х)|^с)=0.
Отметим, что сходящаяся по мере последовательность
функций /п является и фундаментальной по мере. Это вытекает из
того, что множество {х: |/n(x) — /fc(x)| ^ с} очевидным образом
содержится в множестве
{*: |/(x)-/n(x)|^c/2}u{x: \f(x) - fk(x)\ > с/2}.
Отметим еще, что если последовательность {fn} сходится по
мере к функциям / и д, то / = д почти всюду, т.е. с точностью до
переопределения функций на множестве меры нуль может
существовать лишь один предел в смысле сходимости по мере.
Действительно, для каждого с > 0 имеем
/*(х: |/(*)-0(х)| ><:)</*(*: |/(х) -/п(х)| > с/2)
+ ц(х: |/пОг)-0(х)|^с/2)->О,
откуда ii(x: |/(х) — д(х)\ > 0) =0, ибо множество точек, где
функция |/ — д\ положительна, является объединением множеств
точек, где она не меньше п-1.
Выясним теперь связь между сходимостью по мере и
сходимостью почти всюду.

140 Глава 2. Интеграл Лебега
2.2.3. Теорема. Пусть (Х,Л,}л) — пространство с
конечной мерой. Если последовательность ц-измеримых функций fn
сходится почти всюду к функции /, то она сходится к f и по
мере.
Доказательство. Пусть о 0. Положим
Ап = {х: |/(х) - fi(x)\ < с, Уг ^ п}.
Множества An /х-измеримы иД,С Ап+х. Ясно, что множество
Uj^Lj-An содержит все точки, в которых {/п} сходится к /.
Поэтому ц(Х) = АЧ UnLi-^п) - В силу счетной аддитивности д
получаем fi(An) —> fi(X), т.е. р,(Х\Ап) —> 0. Остается заметить, что
(*: |/A)-Ш|^с)с1\4. П
Обратное к доказанной теореме утверждение неверно:
существует последовательность измеримых функций на [0,1], которая
сходится к нулю по мере Лебега, но не сходится ни в одной точке.
2.2.4. Пример. Для каждого nelN разделим [0,1] на 2п
промежутков 1П}р. = [(к — 1J~п, к2~п), к = 1,..., 2п, длины 2_п.
ПОЛОЖИМ fn,k(X) = 1 ПРИ х е 1п,к и fn,k(X) = ® ПРИ Х & ^"-,к-
Запишем функции /„*. в единую последовательность
/п = (/1,1, /1,2, /2,1, /2,2,.-.),
в которой функции fn+\tk следуют за функциями fnj.
Последовательность {/„} сходится к нулю по мере Лебега, ибо длина
промежутка, на котором функция /„ отлична от нуля, стремится к
нулю с ростом п. Однако сходимости нет ни в одной точке х,
поскольку в последовательности {/п(^)} бесконечно много нулей и
единиц.
Следующая теорема Ф. Рисса дает частичное обращение
теоремы 2.2.3.
2.2.5. Теорема. Пусть (X, Л, ц) — пространство с конечной
мерой.
(i) Если последовательность ^-измеримых функций fn
сходится к f по мере ц, то существует ее подпоследовательность
{fnk}, которая сходится к f почти всюду.
(ii) Если последовательность ^-измеримых функций fn
фундаментальна по мере ц, то она сходится по мере fi к некоторой
измеримой функции /.

2.2. Сходимость по мере и почти всюду 141
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {/п} фундаментальна по мере.
Покажем, что найдется возрастающая к бесконечности
последовательность натуральных чисел п^, для которой
м(х: |A(x)-/,(x)|^2-fc)^2-fc, Vn,j^nfc.
Действительно, найдем номер п\ с
ц(х: |/n(i) - fj(x)\ > 2-1) < 2, V?i, j > щ.
Далее найдем номер П2 > п\ с
/*(*: |/п(х) - /j(x)| > 2~2) < 2-2, Vn, j ^ п2.
Продолжая этот процесс, получаем нужную последовательность
{п/,-}. Покажем, что последовательность {fnk} сходится п.в. Для
этого достаточно установить, что она п.в. фундаментальна.
Положим
Ej={x: |/n,-+1(x)-/n,(x)|>2^}.
Поскольку
ц ( (J ЕЛ ^ JT 2_J' = 2~fc+1 -¦ 0 при Jfc -юс,
то множество Z = Dfcli Uj*U ^j имеет //-меру нуль. Если a; G
X\Z, то последовательность {/^(х)} фундаментальна.
Действительно, найдется к с х g Ufcfe -^j'> т-е- ж ^ Ej при всех j ^ к. Это
по определению означает, что \fnj+1(x) — fnj(x)\ < 2~i при всех
j ^ А:. Следовательно, для каждого фиксированного т ^ к для
всех i > j > т справедлива оценка
!/«,(*) -/п,-(*)| < !/»,(*) -/„^(х)! + !/„,_,(*) -/rai_2(x)| +...
+ |/„i+1(x) - /n,.(x)| < ?2-4 2"'+1 ^ 2—,
'=j
которая означает фундаментальность {fnk(x)}- Таким образом,
выделенная последовательность {/Пк} сходится почти всюду к
некоторой функции /. Тогда имеет место и сходимость по
мере, что дает утверждение (ii). Наконец, утверждение (i) вытекает

142
Глава 2. Интеграл Лебега
из отмеченного выше факта, что сходимость по мере влечет
фундаментальность по мере. При этом предел построенной
подпоследовательности совпадает почти всюду с пределом {/п} по мере
ввиду единственности предела по мере с точностью до
переопределения функции на множестве меры нуль. ?
2.2.6. Следствие. Пусть (X, ц) — пространство с конечной
мерой и пусть последовательности измеримых функций fn и дп
сходятся по мере ц к функциям fug соответственно.
Предположим, что Ф — непрерывная функция на некотором
множестве Y С ГО.2, причем (f(x),g(x)) € Y и {fn{x),gn{x)) € Y для
всех х и всех п. Тогда функции Ф(/П)<7п) сходятся по мере fi к
функции Ф(/,5)- В частности, fngn -»• fg и afn + /3gn -+af + /3g
по мере fi для всех а,/3& ГО1.
Доказательство. Согласно задаче 2.12.25 функции Ф(/,#)
и Ф(/П,5п) измеримы. Если доказываемое утверждение неверно,
то найдутся такие с > 0 и подпоследовательность jn, что
ц(х: \*{f(x),g(x)) -*{fjn{x),gjn(*))\ > с) > с B.2.1)
для всех п. По теореме Рисса в {jn} найдется
подпоследовательность {г„}, для которой fin(x) -»• f(x) и gin(x) -> д(х) п.в. В силу
непрерывности Ф получаем ^(f%n(x),gin(x)) —* Ф(/(ж),д(ж)) п.в.,
откуда Ф(/гп,ргп) —> Ф(/,<7) п0 мере, что противоречит B.2.1).
Оставшиеся утверждения вытекают из доказанного
применительно к функциям Ф(х, у) = ху и Ф(ж, у) = ах + (Зу. О
2.2.7. Замечание. Мы увидим далее, что сходимость по
мере можно задать метрикой (задача 4.7.46). Но и непосредственно
из определения можно усмотреть, что сходимость по мере
обладает следующим свойством: если функции /п сходятся по мере
fi к функции /, а при каждом фиксированном п функции /„_&
сходятся по мере и к функции /п, то найдутся такие номера
kn ^ п, что последовательность fn,kn сходится по мере /jk/.
Выбор кп осуществляется индуктивно. Сначала найдем номер к\
с fi(x: \fi,ki(x) — fi(x)\ ^ 2_1 J ^ 2_1. Если выбраны такие
возрастающие номера к\,..., fcn-ъ что kj ^ j и
и{х- \Ьь(х)-Ь(х)\>2-*)^2-* при, = 1,...,п-1,

2.2. Сходимость по мере и почти всюду 143
то можно найти кп > max(fcn_i,n) с
»(х: \1п,кЛх)-Ш\>2-п)^2-п-
Для доказательства сходимости {fn,kn } к / по мере /х достаточно
заметить, что при фиксированном с > 0 для всех та с 2~п < с/2
справедливо включение
{х: \и1кп{х)-Ох)\>с)
с{х: \fn,kn(x)-fn(x)\>2-n}\j{x: \fn(x) - f(x)\ > с/2},
причем мера множества в правой части стремится к нулю.
Интересно, что сходимость п.в. нельзя задать не только метрикой, но
и топологией (задача 2.12.62).
Сделанное замечание позволяет строить приближения по
мере функциями из заданных классов.
2.2.8. Лемма. Пусть К — компактное множество на
прямой, U — открытое множество, содержащее К, a f —
непрерывная функция на К. Тогда существует такая непрерывная
функция g на прямой, что g = / на К, <7 = О вне U и
sup \g(x)\ = sup |/(х)|.
хеш.1 хек
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда U
ограничено. Множество U\K представляет собой конечное или
счетное объединение попарно непересекающихся открытых
интервалов. Положим g = 0 вне U, g = f на К, а на каждом из
упомянутых интервалов (а, Ь) доопределим g с помощью линейной
интерполяции уже заданных значений в концах этого интервала:
g(ta+(l — t)b) — tg(a) + (l — t)g(b). Полученная функция обладает
всеми нужными свойствами. ?
2.2.9. Предложение. Для любой измеримой по Лебегу
функции f на отрезке I существует последовательность
непрерывных функций fn, сходящаяся к f по мере.
Доказательство. Функции дп, заданные равенством
9п(х) = f(x) при |/(х)| ^ п, дп{х) = nsign/(x) при \f(x)\ > та,
измеримы и сходятся к / поточечно, а значит, и по мере. Каждая
из функций дп есть равномерный предел простых функций.
Ввиду замечания 2.2.7 достаточно доказать наше утверждение для

144
Глава 2. Интеграл Лебега
функций вида / = Yl °i^Ai, где At — непересекающиеся
измеримые множества в I. Более того, можно считать, что Аг
компактны, поскольку каждое из Ai приближается изнутри
компактными множествами с любой точностью. Тогда для всякого т Е IN
найдутся непересекающиеся открытые множества U,
являющиеся конечными объединениями интервалов, такие, что At С U
и Af (JiLiC^AA)) < ггГ1. Пусть с = max|cj|. Согласно
лемме 2.2.8 существует такая непрерывная функция fm: / —> [—с, с],
что fm = f на U"=i ^ я fm = 0 вне Q"=1 Щ. Таким образом,
мера множества {fm ф /} не превосходит т-1, откуда вытекает
сходимость {fm} к / по мере. ?
Строение измеримых по Лебегу функций на отрезке
проясняет следующая классическая теорема Н.Н. Лузина.
2.2.10. Теорема. Функция f на отрезке I измерима по
Лебегу в точности тогда, когда для всякого е > 0 существуют
такие непрерывная функция f? и компактное множество К?,
что ХA\Ке) < е и f = f? на Ке.
Доказательство. Достаточность указанного условия ясна
из того, что при его выполнении множество {х: f(x) < с} с
точностью до множества меры нуль совпадает с борелевским
множеством Un^il^ е К\/п- fi/n(x) < с}- Проверим необходимость
этого условия. Пользуясь доказанным выше, выберем
последовательность непрерывных функций /п, которая сходится по мере
к /. Пользуясь теоремой Рисса и переходя к
подпоследовательности, можно считать, что /п —> / п.в. По теореме Егорова найдется
такое измеримое множество F?, что X(I\F?) < е/2 и /„ —> /
равномерно на F?. Далее найдем компакт К? С F? с \(F?\K?) < е/2
и заметим, что функция / на компакте К? непрерывна как
равномерный предел непрерывных функций. Остается заметить, что
по лемме 2.2.8 существует такая непрерывная на / функция f?,
что ее сужение на Ке совпадает с сужением /. ?
2.2.11. Замечание. Отметим, что предложение 2.2.9 и
теорема 2.2.10 вместе с приведенными доказательствами сохраняют
силу для произвольной ограниченной борелевской меры на
отрезке. В гл. 7 мы вернемся к теореме Лузина в случае мер на
топологических пространствах.

2.3. Интеграл для простых функций
2.3. Интеграл для простых функций
Пусть (X, А, р) — пространство с конечной неотрицательной
мерой. Для всякой простой функции /, принимающей значения
ct на непересекающихся множествах Ai, г = 1,...,п, интеграл
Jx
Лебега / f(x)p,(dx) зададим равенством
J^/(x)/x(^):=E
CiKA)-
Корректность данного определения ясна из аддитивности меры,
благодаря которой можно перейти к случаю, когда все q
различны.
Если А ? А, то интегралом / по множеству А назовем
интеграл простой функции IaI-, т-е.
//(*)М^) = 5>млпЛ).
JA ~{
Сокращенное обозначение интеграла функции / по множеству
относительно меры р: / f dp.
Ja
2.3.1. Определение. Будем говорить, что
последовательность {/„} простых функций фундаментальна в среднем (или
фундаментальна в Ll(p), что объяснено ниже), если для
каждого е > 0 найдется такой номер п, что
/ \fi(x) — fj(x)\fi(dx) < е при всех г, j ^ п.
Jx
Отметим, что фундаментальность в среднем — это
фундаментальность относительно метрики
Q(f,9)•:= 11/-<?1Ьы := Jx\f{x)-g{x)Mdx)
на множестве классов эквивалентности простых функций, где
эквивалентными считаются функции, совпадающие почти всюду. В
гл. 4 это обсуждается подробнее.
2.3.2. Лемма. На множестве простых функций интеграл
Лебега обладает следующими свойствами:

Глава 2. Интеграл Лебега
(i) если / ^ 0, то I f(x)fj.(dx) ^ О;
(и) I ! f(x)»(dx)\ ^ [ \f(x)\„(dx) < sup \f(x)\»(X);
Ux > Jx xex
(iii) если a, C € Ш,1, mo
/ [a/(x) + Pg(x)] n(dx) = a [ f(x) ц{йх) + C [ g(x) fi(dx).
JX JX JX
В частности, если AuB — непересекающиеся множества из А,
то
[ f{x) p(dx) = [ f(x) p(dx) + / fix) /*(ds). B.3.1)
JAUB JA JB
Доказательство. Утверждения (i) и (ii) очевидны из
определения. Кроме того, из определения следует равенство
/ a fix) nidx) =а
Jx Jx
fix) fiidx).
Поэтому утверждение (iii) достаточно проверить для а = /3 = 1.
Пусть / принимает различные значения Ci на множествах А{,
г = 1,..., n, а д принимает различные значения bj на множествах
Bj, j — 1,..., т. Тогда множества Ai DBj € А не пересекаются и
/ + д = a.i + bj на Ai Г) Bj. Поэтому
f[fix) + g(x)]ii{dx)= J2 ("i + bjMAiDBj)
= Jf(x)nidx) + Jgix)tiidx),
ает из равенства /al
i f и g — простые ф
f fix)fi{dx)^ [ gix)nidx).
Jx Jx
ибо J2^m № n Bi) = »Ш и X^n M^i П Bj) = niBj).
Последнее утверждение в (iii) вытекает из равенства Iaub = Ia+Ib- П
2.3.3. Следствие. Если fug — простые функции, причем
f ^ д почти всюду, то

2.3. Интеграл для простых функций
Доказательство. Пусть А = {х: f(x) ^ д(х)}. Тогда
имеем А е А, причем ц(Х\А) = 0. Пусть с = sup[|/(x)| + |#(х)|].
хех
Следовательно, имеем д — f + cIx\a ^ 0. По определению
интеграл функции с1х\а равен нулю. Поэтому доказываемое нами
неравенство вытекает из утверждений (i) и (Ш) леммы 2.3.2. ?
2.3.4. Лемма. Пусть последовательность простых
функций fn фундаментальна в среднем. Тогда
(i) последовательность / /n(x) p,(dx) сходится;
I fn(x
Jx
(ii) для каждого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для всякого
множества D с /x(-D) < S и всех п справедлива оценка
L
\fn(x)\p{dx)^?.
Доказательство, (i) Достаточно заметить, что в силу
доказанного ранее
\J fn(x)vL(dx)-J fk(x)p(dx)\ ^У \fn(x)-fk(x)\p(dx).
(И) Найдем N с
f l/n(x) - fj(x)\ p(dx) < |, Vn, j > N.
Пусть С = max |/;(x)| + 1 и S = eBC)_1. Если p(D) < 6 и
x?X,i^N
П ^ JV, TO
/ |/„(x)|M(dx)= /" \fn(x)-fN(x) + Mx)\»(dx)
JD JD
< / |/n(x)-Mz)IM^)+ / |/iv(x)|/x(^)
При n < N имеем
/ \fn(x)\fi(dx)<Cp(D)^e.
JD
Лемма доказана.

148
Глава 2. Интеграл Лебега
2.4. Общее определение интеграла Лебега
В этом параграфе тройка (X, Л, ц) обозначает пространство
X с ст-алгеброй А и конечной неотрицательной мерой ц на Л.
При определении интеграла удобно несколько расширить
понятие измеримой функции на X, как это было сделано в
определении 2.1.10, и допускать к рассмотрению такие функции,
которые определены почти всюду (т.е. возможно не определены на
множестве меры нуль или принимают бесконечные значения на
множестве меры нуль). Идея следующего определения —
получить интеграл с помощью процедуры пополнения, что созвучно
определению измеримых множеств через приближения
элементарными.
2.4.1. Определение. Пусть функция f определена и
конечна на некотором множестве из Л полной меры (при этом на
множестве меры нуль f может быть не определена или
принимать бесконечные значения). Функция f называется
интегрируемой по Лебегу относительно меры ц (или ^-интегрируемой),
если найдется такая последовательность простых функций fn,
что fn(x) —> f(x) почти всюду и последовательность {/„}
фундаментальна в среднем. Величину
lim / fn(x)n(dx),
существующую в силу леммы 2.3.4, назовем интегралом
Лебега функции f и будем обозначать ее через I f(x) fi(dx) или че-
Jx
рез j fdfi. Пусть Сх(ц) — совокупность всех ц-интегрируемых
Jx
функций.
Покажем, что значение интеграла не зависит от выбора
последовательности {fn}, участвующей в его определении. Отметим,
что в следующем параграфе приведено равносильное
определение интеграла, которое не требует обоснования его
корректности. В задачах 2.12.48, 2.12.49, 2.12.50 приведены и другие часто
используемые определения интеграла Лебега, равносильные
данному выше (см. также задачи 2.12.51, 2.12.52, 2.12.53). Наиболее
конструктивно определение из задачи 2.12.49: интеграл есть
предел сумм ^к™-оо?Ьр(х: ?к ^ f(x) < ?(к + 1)) (называемых ле-
беговскими) при е —> 0, причем требуется абсолютная сходимость
ряда при некотором е > 0 (можно брать е = 1/п, п 6 IN).

2.4. Общее определение интеграла Лебега
2.4.2. Лемма. Пусть {/п} и {дп} — последовательности
простых функций, которые фундаментальны в среднем и
сходятся почти всюду к одной и той же функции /. Тогда
интегралы от fn и дп сходятся к одному и тому же числу.
Доказательство. Пусть е > 0. По лемме 2.3.4 найдется
такое S > 0, что для всякого множества D с n{D) < 5 справедлива
оценка
\J fn(x)^(dx)\ + |jf <fc(x)/x(dx)| ^ е, У п. B.4.1)
По теореме Егорова существует такое множество Х& € Л, что
fi(X\Xs) < S и на множестве Х$ последовательности {/п} и {дп}
сходятся к / равномерно. Значит, найдется такой номер N, что
sup \fn(x) - дп(х)\ ^е, Vn ^ N. B.4.2)
xexs
Тогда ввиду B.4.1) и B.4.2) получаем при п^ N
\Jfn(x)i*(dx)-Jgn(x)vL(dx)\
X X
^\J[fn(x)-gn(x)]»(dx)+ J fn(x)»(dx)- j gn(x)fi(dx)\
*6 x\xs x\xs
<e/i(*) + | / fn(x)»(dx)\ + \ J gn(x)vL(dx)\
x\xs x\xs
<e(M*) + l),
что и доказывает наше утверждение. ?
2.4.3. Лемма. Предположим, что / — ц-интегрируемая
функция и A G Л. Тогда функция /1а также ц-интегрируема.
Доказательство. Пусть {/„} — фундаментальная в
среднем последовательность простых функций, сходящаяся к / почти
всюду. Тогда функции дп = /п1а также являются простыми,
сходятся к flj\ почти всюду, причем последовательность {дп}
фундаментальна в среднем, что вытекает из оценки \дп— дт\ ^ |/п — fm\
и следствия 2.3.3. П
Доказанная лемма подсказывает следующее определение.

Глава 2. Интеграл Лебега
2.4.4. Определение. Интегралом Лебега функции / по
множеству А € А называется интеграл функции /7д по всему
пространству, если последняя интегрируема.
Из сказанного явствует, что всякая интегрируемая функция
интегрируема по всякому множеству из А.
Интеграл функции / по множеству А мы будем обозначать
символами / f(x)n(dx) и / fdfi. В случае, когда интегриро-
Ja JA
вание ведется по всему пространству X, область интегрирования
иногда не указывается и используется обозначение / fdfi.B
случае меры Лебега на Ш,п будем писать также / f(x) dx.
J А
Отметим, что согласно определению две функции /ид,
равные почти всюду, одновременно интегрируемы или неинтегриру-
емы, причем в случае интегрируемости их интегралы равны. В
частности, по множеству меры нуль интегрируема и имеет
нулевой интеграл любая функция (в том числе, равная
бесконечности). Часто бывает полезно не различать функции, равные почти
всюду. Такие функции называются эквивалентными. Для этого
вместо пространства СУ{р) рассматривают пространство Ьг(ц)
(альтернативное обозначение: 1}(Х,ц)), элементами которого
являются классы эквивалентности в СУ{р), состоящие из почти
всюду равных функций. К этому вопросу мы вернемся в §2.11 и гл. 4.
Выше мы не предполагали полноту меры ц, но ясно, что в
качестве А можно взять и Ар.
2.5. Основные свойства интеграла
Как и в предыдущем параграфе, (Х,А,ц) обозначает
измеримое пространство с конечной неотрицательной мерой ц.
2.5.1. Теорема. Интеграл Лебега, определенный в
предыдущем параграфе, обладает следующими свойствами:
(i) если / — интегрируемая функция и / ^ 0 п.в., то
//(х)м(сЬ)^0;

2.5. Основные свойства интеграла
(И) если функция f интегрируема, то функция |/| также
интегрируема, причем
\J f(x)p(dx)\^J \f(x)\n(dx);
(Ш) всякая Л-измеримая ограниченная функция f
интегрируема, причем
IX
f(x)ti(dx)\^Sup\f(x)\p(X);
1 хех
(iv) если функции fug интегрируемы, то для всех а, /3 € 1R1
функция af + Cg интегрируема, причем
f [af{x) + 0g{xj\ p(dx) = af f{x) n{dx) + /3 J g(x) p(dx).
В частности, если А и В — непересекающиеся множества из Л,
то для всякой интегрируемой функции f справедливо равенство
I f{x) /z(dx) = / f{x) /x(dx) + / f{x) pidx)-
JAuB Ja Jb
(v) если fug- интегрируемые функции, причем f(x) ^ gix)
n.e., mo I f dp, ^ / gdp.
Jx Jx
Доказательство, (i) Существует последовательность
простых функций fn, которая фундаментальна в среднем и сходится
к / почти всюду. Тогда функции |/п| — простые, |/п| —> |/| п.в.,
что ввиду неотрицательности / п.в. влечет |/„| —> / п.в. При этом
f\\fnix)\-\fm(x)\\pidx)^ [ \fn(x)-fm{x)\»(dx),
Jx Jx
ибо |t| — \s\\ ^ \t — s\ для всех t, s G Ш,1. Остается воспользоваться
неотрицательностью интегралов функций \fn\.
Утверждение (ii) явствует из рассуждений в (i).
(iii) Если измеримая функция / принимает значения в [—с, с],
то в силу леммы 2.1.8 можно взять последовательность простых
функций fn со значениями в [—с, с], равномерно сходящуюся к /.
Остается воспользоваться утверждением (ii) леммы 2.3.2.

152
Глава 2. Интеграл Лебега
(iv) Если две фундаментальные в среднем
последовательности простых функций fn и дп таковы, что /п —» / и #п —> <? п.в.,
то hn = afn + Рдп —» af + /Зд п.в., причем
Г \hn-hm\dfi^\a\ [ \fn-fm\dti+\/3\ [ \gn-9m\dv,
Jx Jx Jx
что означает фундаментальность {hn} в среднем. Остается
воспользоваться линейностью интеграла на простых функциях.
Утверждение (v) вытекает из линейности интеграла и
утверждения (i), поскольку д(х) — f(x) ^ 0 почти всюду. ?
Приведем теперь равносильное определение интеграла
Лебега, используемое во многих книгах. Достоинством такого
определения является несколько ббльшая конструктивность, а
недостатком — необходимость сначала рассматривать неотрицательные
функции. Если приводимую ниже характеризацию
интегрируемости взять в качестве основного определения, то также можно
доказать линейность интеграла.
2.5.2. Теорема. Неотрицательная ^-измеримая функция f
интегрируема в точности тогда, когда конечно число
1(f) := sup< / ipdu: tp ^ f,ip — простая >.
В этом случае 1(f) совпадает с интегралом f.
Интегрируемость знакопеременной измеримой функции f равносильна
тому, что I(f+) и I(f~) конечны, причем тогда I(f+) — I(f~)
совпадает с интегралом /. Здесь /+ = max(/,0), /~ = тах(-/,0).
Доказательство. Пусть / ^ 0 и fn(x) = Ы~п при /(ж) е
[Ы"п, (к + 1L-"), к = О,... ,8П - 1, fn(x) = 2П при f(x) > 2п.
Тогда /п — простые функции, /п ^ /, /n+i ^ /п и /п —» /.
Интегралы от fn не убывают. Если / интегрируема, то эти
интегралы ограничены интегралом от / и потому сходятся к
некоторому числу / < 1(f)- Ясно, что /(/) < / fdfi. С учетом оценки
fn ^ fm при п^т это дает фундаментальность {/„} в среднем.
Поэтому / совпадает с интегралом от /, что дает и равенство
/ = /(/). Обратно, если /(/) конечно, то опять получаем
фундаментальность {/„} в среднем, что дает интегрируемость /.
Случай знакопеременной функции сводится к рассмотренному ввиду
установленной выше линейности интеграла. П

2.5. Основные свойства интеграла
Простым следствием свойства (v) из теоремы 2.5.1 является
следующее часто используемое неравенство П.Л. Чебышёва.
2.5.3. Теорема. Для всякой ц-интегрируемой функции f и
всякого R > 0 справедливо неравенство
/x(s: \f(x)\^R)^-J \f(x)\^dx). B.5.1)
Доказательство. Положим Ar = <х: |/(х)| ^ R>. Ясно,
что R-Iar{x) ^ \f{x)\ для всех х. Следовательно, интеграл
функции R • Iar мажорируется интегралом |/|, что дает B.5.1). ?
2.5.4. Следствие. Если I |/| d/л = О, то / = О п.в.
2.5.5. Предложение. Неотрицательная А-измеримая
функция f интегрируема относительно /х в точности тогда, когда
2i Jх
sup / min(/, n) d/i < oo.
Доказательство. Функции fn := min(/, n) ограничены и
^-измеримы. Пусть их интегралы равномерно ограничены.
Существует такая простая функция дп, что \fn(x) — дп(х)\ ^ п-1
для всех х. Поскольку fn(x) —> f(x), то дп{х) —> f(x). При п ^ к
имеем |/„ - /fe| = fn - fk и потому
/ \9п ~ 9к\ а1ц= \дп - fn + fn- fk + fk-9k\dfi
< J\9n~ fn\dfi + j\fn- fk\dfi + f \fk~9k\dfx
<i/x(X) + J fndfi~ J fkdfi+^(X).
Остается заметить, что последовательность / fnd\i
фундаментальна, ибо она не убывает и ограничена. Итак,
последовательность {дп} фундаментальна в среднем. Обратное очевидно. ?
2.5.6. Следствие. Пусть функция f A-измерима и \f{x)\ ^
д(х) п.в., где g — ^-интегрируемая функция. Тогда функция f
также ^-интегрируема.

Глава 2. Интеграл Лебега
Доказательство. Функции /+ и /~ измеримы
относительно Л, min(/+,n) < min(<7,n) и min(/~,n) ^ vain(g,n). Итак,
функции /+ и /~ интегрируемы, следовательно, интегрируема
и их разность, т.е. функция /. ?
Из доказанного следствия вытекает интегрируемость
измеримой функции /, для которой функция |/| интегрируема.
Разумеется, предположение об измеримости / нельзя отбросить, так как
существуют неизмеримые функции /, для которых |/(ж)| = 1.
В следующей теореме установлено очень важное свойство
абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
2.5.7. Теорема. Пусть дана ц-интегрируемая функция /.
Тогда для каждого е > О найдется такое 5 > 0, что
/ |/(х)| ii{dx) < е, если fj,(D) < S.
JD
Доказательство. Существует фундаментальная в среднем
последовательность простых функций /п, сходящаяся к |/| почти
всюду. По лемме 2.3.4 существует такое 5 > 0, что
\L>
/n(z)/z(dx)|<-, Vn€lN,
для всякого множества D с fi(D) < 5. Остается заметить, что
/ \f(x)\ti(dx)= Km [ fn(x)ti(dx),
JD n->°° JD
ибо fnlD —*¦ \I\Id п.в. и последовательность {/п-Го}
фундаментальна в среднем. ?
Рассмотрим функции со счетным множеством значений.
2.5.8. Пример. Пусть функция / принимает счетное
множество значений Сп на непересекающихся /z-измеримых
множествах Ап. Тогда интегрируемость / относительно /х равносильна
сходимости ряда ? ЫМ^п)- При этом / /d/x = ^с„хх(Лп).
//dM = f>
JX ~у
Доказательство. Ясно, что функция / измерима.
Рассмотрим простые функции /„ = ^27=1^Ai- Тогда |/п| < |/|. Если

2.6. Интегрирование по бесконечным мерам 155
функция / интегрируема, то интегралы функций \fn\
мажорируются интегралом |/|, откуда supn Х!Г=1 \ci\p,(Ai) < оо, что и
означает сходимость указанного выше ряда. Если же этот ряд
сходится, то последовательность {/„}, как легко видеть,
фундаментальна в среднем, что влечет интегрируемость /, ибо fn(x) —> f(x)
для каждого х. При этом получаем и указанное выражение для
интеграла /. ?
2.6. Интегрирование по бесконечным мерам
В этом параграфе мы обсудим интегрирование по
пространству с бесконечной мерой. Пусть (X, Л, р) ~ измеримое
пространство со счетно-аддитивной мерой р, определенной на сг-алгебре Л
и принимающей значения в [0, +ос].
2.6.1. Определение. Если р, — бесконечная мера, то будем
называть простыми такие Л-измеримые функции f, которые
принимают лишь конечное множество значений и
удовлетворяют условию р(х: f(x) ф 0) < оо. Интегрируемость и
интеграл относительно бесконечной меры определим точно так же,
как и в случае пространства с конечной мерой, т.е. с помощью
определения 2.4.1, причем если f — простая функция, то
полагаем О • р(х: /(ж) = 0) = 0.
При этом определении остаются в силе многие основные
свойства интеграла (хотя есть и исключения, например, нет
интегрируемости ограниченных функций). Интеграл для бесконечных
мер можно определить и в духе теоремы 2.5.2.
Следующий результат показывает, что интеграл по
произвольной бесконечной мере сводится к интегралу по сг-конечной
мере (полученной сужением исходной меры), а последний при
желании можно свести и к интегралу по некоторой конечной мере.
В частности, из этого утверждения вытекает корректность
определения интеграла по бесконечной мере и сохранение для него
основных свойств интеграла, установленных в предыдущем
параграфе.
2.6.2. Предложение, (i) Если функция f интегрируема по
счетно-аддитивной мере \х со значениями в [0,+оо], то мера р
Является а-конечной на множестве \х: f(x) ф О}.

Глава 2. Интеграл Лебега
(И) Пусть fj. — а- конечная мера на пространстве X,
являющемся объединением возрастающей последовательности ц-из-
меримых подмножеств Хп конечной меры. Тогда функция f
интегрируема относительно ц в точности в том случае, когда
интегрируемы сужения f на Хп и sup / \f\dfi <оо. При этом
1 Jxn
[fdfi=]im[ fdn = f][ fdn, Xo = 0. B.6.1)
Jx n~"x> JXn ~y Jxn\xn-!
(iii) Для всякой а-конечной меры ц существует строго
положительная ^-интегрируемая функция g со счетным
множеством значений. При этом функция f интегрируема
относительно ц в точности тогда, когда функция f/g интегрируема
относительно ограниченной меры v = q ¦ ц, задаваемой
равенством
и{А):= I g{x)n(dx), А е Л.
J А
Кроме того,
[ fd/t= [ *-dv. B.6.2)
Jx Jx Q
Доказательство, (i) Возьмем последовательность простых
функций /п, сходящуюся почти всюду к / и фундаментальную в
среднем. Множество Xq = UnLii2^ /п(ж) Ф 0} является счетным
объединением множеств конечной меры. Поскольку / = lim fn
п.в., то / = 0 п.в. на множестве Х\Хо.
(н) Пусть функция / интегрируема. Как и в случае конечной
меры, из этого вытекает интегрируемость |/|. Тогда, как легко
видеть, интегрируемы сужения |/| на Хп. Поэтому интегралы от
|/| по Хп (которые корректно определены согласно
доказанному ранее для конечных мер) оцениваются через интеграл от |/|
по X. Более того, если {fj} и {gj} — фундаментальные в среднем
последовательности простых функций, почти всюду сходящиеся
к /, то ограничения fj и gj на всякое множество Хп сходятся в
среднем к ограничению / на Хп. Для заданного е > 0 можно
найти такой номер N, что
J \fj ~ fk\dfi + J^ \9j -gk\dti ^ e, Vj,k > N.

2.6. Интегрирование по бесконечным мерам
Затем можно найти такое п, что
[\/n\ + \9n\] dn ^ е.
Jx\
Jx\xn
Тогда при j ^ N имеем
/ \fj ~9j\dn= j \fj -gj\dfi+ / \fj -9j\dfj,
Jx Jxn Jx\xn
^ / \fj ~9j\dn+ / [\fj -fN\ + \fN-9N\ + \9N - 9j
Jxn Jx\xn
< / \fj~9j\dfi
d\i
+ 2e.
Из этого вытекает, что интегралы от fj и gj сходятся к общему
пределу, что означает корректность определения и для
бесконечных мер.
Обратно, если интегралы от |/| по множествам Хп
ограничены в совокупности, то в силу возрастания Хп существует
конечный предел lim / |/| йц. Выберем числа Cnj > 0 гак, что
"-*°° Jxn
|/|d/i<2-J.
U
J\>cn<i
Нетрудно построить последовательность простых функций fj со
следующими свойствами: при п = 1,..., j на каждом из множеств
-Xnj = {х ? Xn\Xn_i: \f(x)\ ^ Cnj} выполняется неравенство
\fj — /| ^ 2_J2_ri(l + /х(Х„)) , а вне объединения этих
множеств fj = 0. Ясно, что последовательность {fj}
фундаментальна в среднем и сходится почти всюду к /. Из этого рассуждения
вытекает также соотношение B.6.1).
(Hi) Заметим, что если Ап — попарно непересекающиеся
множества конечной //-меры с объединением X, то функция д, равная
2~п(ц(Ап) + l) на Ап, интегрируема относительно ц. Положим
"И) = / g(x)n{dx),
АеЛ.
Пользуясь тем, что для каждого фиксированного п функция А ь-+
ц(А П Ап) является счетно-аддитивной мерой, легко проверить,

158
Глава 2. Интеграл Лебега
что и v есть ограниченная счетно-аддитивная мера. Равенство
B.6.2) верно для индикаторов множеств из Л, содержащихся в
одном из Ап. Поэтому оно остается в силе для всех //-простых
функций, а затем и для всех //-интегрируемых функций. Из этого
ясно, что интегрируемость / относительно /х равносильна
интегрируемости f/g относительно i/. Действительно, если
последовательность простых функций fj сходится к / fi-п.в. и
фундаментальна в L1(/x), то {fj/g} сходится к f/g 1/-п.в. и фундаментальна
в Lx(v). Обратно, если f/g € JO1 (и), то есть фундаментальная в
Ll{v) последовательность простых функций gj, и-п.в. сходящаяся
к f/g. Пусть Xn = UiLi -^i- Тогда gjglx, — простые функции,
которые /i-п.в. сходятся к / и образуют фундаментальную в Ь1(ц)
последовательность. П
2.6.3. Замечание. Если дана последовательность /л-интег-
рируемых функций fj, то упомянутое в (i) множество Xq можно
выбрать так, что fj = 0 почти всюду вне Xq для каждого j.
2.6.4. Замечание. Измеримость и интегрируемость
комплексных функций / относительно меры ц будем понимать
соответственно как измеримость и интегрируемость вещественной Re/
и мнимой Im/ частей /. Положим
\fd\i:= /Re/d\i + г / Im/йц.
Для отображений со значениями в Шп измеримость и
интегрируемость будем понимать аналогично, т.е. покоординатно. Таким
образом, интеграл отображения / = (/ь • - -, fn) с
интегрируемыми компонентами /» есть вектор, координатами которого
являются интегралы от /j. Обратим внимание на то обстоятельство, что
покоординатная измеримость отображения / = (/i,..., /„)
относительно о--алгебры Л равносильна тому, что f~x(B) е Л для
всех В € В(ЯГ) (см. лемму 2.12.5).
2.7. Полнота пространства L1
В этом параграфе мы установим, что пространство
интегрируемых по Лебегу функций обладает свойством полноты, т.е.
фундаментальные в среднем последовательности сходятся в
среднем (этого важного свойства нет у интеграла Римана). Как и в
случае простых функций, введем соответствующее определение.

2.7. Полнота пространства L1 159
2.7.1. Определение, (i) Последовательность функций fn,
интегрируемых по мере ц (возможно, со значениями в [0,+оо]),
называется фундаментальной в среднем, если для всякого е > О
найдется такой номер N, что
( |/n0r)-A(*)|/x(dx)<e, Vn,fc^iV.
Jx
(ii) Будем говорить, что последовательность /л-интегрируе-
мых функций fn сходится к ^-интегрируемой функции f в
среднем, если
lim / |/(x)-/„(s)|/x(dx)=0.
Фундаментальность или сходимость в среднем будем также
называть, соответственно, фундаментальностью или
сходимостью в Ll(ii).
Такая сходимость — это просто сходимость по естественной
норме пространства Ll(jj), о чем подробнее говорится в гл. 4.
Сначала мы рассмотрим случай, когда // ограниченная
мера, а потом распространим доказанное на меры со 'значениями
в [0,+ос].
2.7.2. Лемма. Пусть последовательность простых
функций ifj фундаментальна в среднем и сходится п.в. к ip. Тогда
lim Г \<р(х) - <pj(x)\n(dx) = 0. B.7.1)
3-*°°Jx
Доказательство. Пусть е > 0. В силу леммы 2.3.4
применительно к последовательности {<fj} и теоремы об абсолютной
непрерывности интеграла Лебега, существует такое 5 > 0, что
при всех п
f [\Ф)\ + Ы*I] М(<&) < ^
JD
для всякого множества D меры меньше 5. По теореме Егорова
найдется такое множество Х$, что ц(Х\Х$) < S и на Х$
последовательность {<Рп} сходится к tp равномерно. Значит, найдется
такой номер N, что
sup \ipj{x) - <р(х)\ < е, Vj ^ N.
xexs

Глава 2. Интеграл Лебега
Тогда при n ^ N имеем
/ \<p(x)-<pn{x)\it(dx)
Jx
< / Ых) - <рп(х)\ n{dx) + I \<р(х) - <рп(х)\ n(dx)
Jxs Jx\xs
что доказывает B.7.1). ?
2.7.3. Теорема. Если последовательность
^-интегрируемых функций fn фундаментальна в среднем, то она сходится
в среднем к некоторой /л-интегрируемой функции f.
Доказательство. Из определения интегрируемости
функций fn и леммы 2.7.2 следует, что для каждого п можно найти
такую простую функцию дп, что
/ \fn(x)-gn(x)\^dx)^-. B.7.2)
Jx п
Тогда последовательность {дп} фундаментальна в среднем, ибо
/ \3n(x)-gk(x)\ii(dx)
Jx
^ J [\дп(х) - fn(x)\ + |/„(х) - Д(*)| + \fk(x) - gk(x)\] /x(dx)
<l~ + l+ [ \fn(x)-fk(x)\n(dx).
n k Jx
Кроме того, в силу неравенства Чебышёва
ц(х: \дп{х) - дк(х)\ ^ с) < с-1 / \дп(х) - дк(х)\ fi(dx),
последовательность {дк} фундаментальна по мере,
следовательно, сходится по мере к некоторой функции /. По теореме Рисса
существует подпоследовательность {дПк}, сходящаяся к / почти
всюду. По определению функция / интегрируема. Из
соотношений B.7.1) и B.7.2) вытекает сходимость {/п} к / в среднем, ибо
fx |/(х) -Ш\р(<Ь) < Jx [\f(x)-gn(x)\ + \дп(х) - fn(x)\] /x(dx).
Теорема доказана. D

2.8. Предельный переход под знаком интеграла 161
По терминологии, вводимой в гл. 4, доказанное означает
полноту нормированного пространства Ll(p).
2.7.4. Следствие. Если фундаментальная в среднем
последовательность ^-интегрируемых функций fn сходится почти
всюду к функции f, то функция f интегрируема и
последовательность {/„} сходится к ней в среднем.
Из предложения 2.6.2 и замечания 2.6.3 явствует, что
результаты этого параграфа остаются в силе и для неограниченных
счетно-аддитивных мер.
2.7.5. Следствие. Утверждения теоремы 2.7.3 и
следствия 2.7.4 верны и в случае, когда р — счетно-аддитивная мера
со значениями в [0, +оо].
2.8. Предельный переход под знаком интеграла
В этом параграфе приведены три основные теоремы о
сходимости интегрируемых функций, носящие имена Лебега, Беп-
по Леви и Фату. Как обычно, сначала мы предположим, что
р — ограниченная неотрицательная мера на пространстве X с
G-алгеброй Л. Важнейшей в теории интеграла является
следующая теорема Лебега о мажорированной сходимости.
2.8.1. Теорема. Пусть р-интегрируемые функции /„
сходятся почти всюду к функции /. Если существует такая fi-
интегрируемая функция Ф, что
|/п(ж)| ^ Ф(х) п.в. для каждого п,
то функция f интегрируема, причем
[ /(х) p(dx) = lim [ fn(x)p(dx). B.8.1)
Кроме того, lim / \f(x) — fn(x)\p(dx) = 0.
Доказательство. Функция / измерима, поскольку
является пределом почти всюду- сходящейся последовательности
измеримых функций. Интегрируемость / следует из оценки |/| ^ Ф
II.в. Пусть е > 0. В силу абсолютной непрерывности интеграла
Лебега найдется такое S > 0, что
/ Ф(х)р,(Aх) < - при p,(D) < S.
Jd 4

Глава 2. Интеграл Лебега
По теореме Егорова есть такое множество Xg, что fi(X\Xg) < 8
и функции /п сходятся к / равномерно на Xg. Значит, найдется
такой номер N, что \fn(x) — f(x)\ < 2и(х)+\ для всех п ^ ^-
Следовательно, при п~^ N получаем
[ №x)-fn(z)\vL(dx)
Jx
< / 1/0*0 - fn(x)\fi(dx) + f \f(x) - /n(x)| /i(dx)
< 2/^.Wrt*) + ад^Т^ЗД < I +1 - «•
Теорема доказана. ?
Следующий важный результат — теорема Беппо Леви о
монотонной сходимости.
2.8.2. Теорема. Пусть fn — ц-интегрируемые функции и
fn(x) ^ /п+х(ж) п.в. для каждого п. Предположим, что
sup / fn{x)ii{dx) < сю.
п Jx
Тогда функция /(ж) = lim fn(x) почти всюду конечна и
интегрируема. Кроме того, справедливо равенство B.8.1).
Доказательство. При п^т имеем
dfi.
J \fm~fn\dn = Jx(fm-fn)dfl = J fmdn- J fn
Поскольку последовательность интегралов функций fn не
убывает и ограничена, то она сходится. Следовательно,
приведенное выше равенство влечет фундаментальность
последовательности {/„} в среднем, а значит, ее сходимость в среднем к
некоторой интегрируемой функции д. Из сходимости в среднем
следует сходимость по мере (неравенство Чебышёва). В силу
теоремы Рисса некоторая подпоследовательность {fnk} С {/„}
сходится к д почти всюду. Ввиду монотонности, вся
последовательность fn(x) сходится к д(х) для почти всех х, откуда
вытекает равенство f{x) = д(х) почти всюду. В частности, f(x) < ос
п.в. Последнее утверждение вытекает из теоремы Лебега, ибо
|/„(х)| < |/(х)| + |/i(a;)| п.в. для каждого п. ?

2.8. Предельный переход под знаком интеграла 163
Приведем еще один часто используемый результат теории
интеграла, который называется теоремой Фату (иногда его
называют леммой Фату).
2.8.3. Теорема. Пусть {/п} — последовательность
неотрицательных /л-интегрируемых функций, которая сходится к
функции f почти всюду, причем
sup / fn(x) n{dx) ^ К < оо.
п Jx
Тогда функция f ^.-интегрируема и I /(ж) fi(dx) ^ К.
Jx
Более того, / f(x)/j,(dx) ^ liminf / fn{x) ji{dx).
Jx n~*°° Jx
Доказательство. Положим gn{x) = inffe^n Д.(х). Тогда
O^gn^fn-. 9n^gn+i.
Поэтому функции gn интегрируемы и образуют монотонную
последовательность, а их интегралы ограничены числом К. По
теореме Беппо Леви почти всюду существует конечный предел
д{х) = \\и^дп{х),
причем функция д интегрируема и ее интеграл, равный пределу
интегралов функций дп, не превосходит К. Остается заметить,
что f(x) — д(х) п.в. в силу сходимости {fn{x)} п.в. Последнее
утверждение следует из доказанного путем перехода к
подходящей подпоследовательности. ?
2.8.4. Следствие. Пусть {/„} — последовательность
неотрицательных ^-интегрируемых функций, причем
sup / fn{x) p,(dx) ^ К < оо.
п Jx
Тогда функция lim inf fn ^-интегрируема и
[ liminf fn(x)n(dx) ^ liminf / fn(x) fx(dx) < К.
Jx n-+oo n-+oo Jx
Доказательство. Заметим, что
liminf fn(
H применим теорему Фату.

164 Глава 2. Интеграл Лебега
2.8.5. Теорема. Теоремы Лебега, Веппо Леей и Фату
остаются в силе, если вместо сходимости почти всюду в их
условиях потребовать сходимость {/„} к f по мере ц.
Доказательство. Поскольку {/„} имеет
подпоследовательность, сходящуюся к / почти всюду, то сразу получаем аналоги
теорем Беппо Леви и Фату для сходимости по мере, а также
заключение теоремы Лебега для выбранной
подпоследовательности. Остается заметить, что тогда утверждение верно и для всей
последовательности {/п}, ибо в противном случае нашлась бы
такая подпоследовательность /nfc, что
/ |/пк-/|Ф^с>0
Jx
для всех к, а это невозможно в силу доказанного, ибо из {/nfc}
можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся п.в. П
Теперь распространим доказанное на меры, которые
принимают значения в [0, +оо].
2.8.6. Следствие. Теоремы Лебега, Беппо Леви и Фату, а
также следствие 2.8.4 и теорема 2.8.5 остаются в силе и в
случае, когда ц — неограниченная счетно-аддитивная мера со
значениями в [О, +оо].
Доказательство. Для распространения этих теорем на
неограниченные меры можно воспользоваться предложением 2.6.2
и замечанием 2.6.3. Действительно, пусть fj, — неограниченная
мера и fn{x) —> f{x) п.в., где /п интегрируемы. Согласно
замечанию 2.6.3, найдется такое измеримое множество Хо, что мера ц на
Хо ст-конечна, т.е. Xq есть счетное объединение попарно
непересекающихся множеств Хп G А конечной меры, а каждая из
функций /п и / почти всюду равна нулю на дополнении Хо- Возьмем
построенную в предложении 2.6.2 строго положительную на Хо
и интегрируемую относительно ц функцию g со счетным
множеством значений и рассмотрим ограниченную меру v = g-ц.
Функции Fn = fn/g и F = f/g интегрируемы относительно и, причем
Fn —> F и-п.в. Если /п имели /i-интегрируемую мажоранту Ф, то
функция Ф = Ф/g окажется г/-интегрируемой мажорантой для
последовательности {Fn}. Ввиду теоремы Лебега для меры и и
функций Fn получим соответствующее утверждение для /j, и /п.
Аналогично переносятся на случай бесконечной меры и
остальные утверждения этого параграфа. ?

2.8. Предельный переход под знаком интеграла 165
Если вводить интеграл согласно теореме 2.5.2, то можно сразу
доказать теорему Б. Леви, а затем вывести из нее теоремы Лебега
и Фату.
С помощью теоремы Лебега о мажорированной сходимости
доказывается следующее утверждение о непрерывности и диф-
ференцируемости интеграла по параметру.
2.8.7. Следствие. Пусть и — неотрицательная мера
{возможно, со значениями в [О, +оо]) на пространстве X и функция
/: X х (а. Ь) —у Ж1 такова, что при каждом а 6 (а. Ь) функция
х н-> f(x,a) интегрируема.
(i) Пусть при п.в. х функция а н-* f(x. а) непрерывна, причем
существует такая интегрируемая функция Ф, что для каждого
фиксированного а п.в. имеем |/(х,а)| ^ Ф(.г)- Тогда функция
J: a» J f(x,a)ii(dx)
непрерывна.
(ii) Пусть для п.в. х функция а i—> f(x.a)
дифференцируема, причем существует такая и-интегрируемая функция Ф,
что при п.в. х имеем \df(x,а)/да\ ^ Ф(х) сразу для всех п.
Тогда функция J (а) := I f(x,a)u(dx) дифференцируема, причем
Jx
, Г df(x,a)
J (<*)=/ да V(dx).
Доказательство. Утверждение (i) ясно из теоремы Лебега,
(ii) Пусть q фиксировано и tn —> 0. Тогда по теореме о среднем
для п.в. х существует такое ? = ?(х, а,п), что
\t~x (/(я, а + tn) - f{x, а)) | = \df(x, ?)/да\ ^ Ф(х).
Указанное разностное отношение сходится к df(x.a)/da. По
теореме Лебега предел lim t~l(j(a + tn) — J(a)) равен интегралу
mdf{x,a)/da. "^ П
В задаче 2.12.57 указана модификация утверждения (ii),
дающая дифференцируемость в отдельной точке.
Отметим, что рассмотрение функций /п(ж) = и/@д/п](х),
поточечно сходящихся к нулю на @,1], показывает, что в теореме
Лебега нельзя отказаться от наличия интегрируемой мажоранты,

Глава 2. Интеграл Лебега
а в теореме Фату не всегда можно переставлять предел и
интеграл. Интересное следствие отсутствия интегрируемой
мажоранты указано в задаче 10.10.31 гл. 10. Однако может случиться, что
функции fn сходятся к / в среднем и без общей интегрируемой
мажоранты (задача 2.12.34). Кроме того, не требовать наличие
интегрируемой мажоранты можно в следующей любопытной
теореме Юнга (см. Young [884, с. 315]).
2.8.8. Теорема. Пусть даны три последовательности
^-интегрируемых функций {fn}, {9п} « {hn} {где ц принимает
значения в [0,+оо]), причем п.в. дп{х) < /га(ж) ^ hn(x) и
lim fn(x) = f(x), lim gn(x) = g(x), lim hn(x) = h{x).
Предположим, что g и h интегрируемы и
lim / hndfj,= / hdp,, lim / gndfj,= I gd\i.
n-^°°Jx Jx n-^oojx Jx
Тогда f интегрируема и
lim / fndfi= I f dp.
n-*°° Jx Jx
Доказательство. Ясно, что функция / интегрируема, ибо
g(x) < f(x) ^ h(x) п.в., откуда |/(х)| ^ \д(х)\ + |ВД| п.в. Из
теоремы Фату получаем соотношения
/ fd/j,- / gdn= \ \un(fn-gn)dn
Jx Jx Jx n~"x
^liminf / (/n — gn)d(j, = liminf / /nd/x — / gdfi,
n—°° Jx n_*°° Jx Jx
откуда / fdfi^ lim inf / fn d\i. Аналогично с использованием
Jx n^°° Jx
hn получаем / /ф^ lim sup / /„cfyx. Можно было бы также
Jx n—oo Jx
воспользоваться понятием равномерной абсолютной
непрерывности (см. §4.5 и аналогичную задачу 4.7.60). ?
В теореме Юнга функции /п могут не сходиться к / в
среднем, однако если дп ^ 0 ^ hn, то сходимость в среднем есть, что
сразу следует из этой теоремы и оценки 0 ^ \fn — f\ < hn—gn+\f\-

2.8. Предельный переход под знаком интеграла 167
Простым следствием теоремы Юнга является следующий
полезный факт, полученный в работах Витали (а также Юнга и Фих-
тенгольца) для меры Лебега, а позднее переоткрытый Шеффе в
общем случае (и по этой причине называемый в литературе
теоремой Шеффе; видимо, более уместно наименование „теорема
Витали-Шеффе").
2.8.9. Теорема. Если неотрицательные ^-интегрируемые
функции fn почти всюду сходятся к ^-интегрируемой функции
f (где /л — мера со значениями в [0, +оо]), причем
о lim [ |/
lim / fndp,= I fdfi,,
n^°° Jx Jx
-fn\dii = 0.
Доказательство. Поскольку 0 ^ |/n - /| < /„ + /, то
применима теорема Юнга. ?
Интересное усиление доказанного результата содержится в
предложении 4.7.29 гл. 4.
Все результаты данного параграфа имеют исключительное
значение в теории меры и интеграла, в чем мы многократно
убедимся ниже. Поэтому в качестве иллюстрации применения этих
результатов мы рассмотрим лишь один, но довольно характерный
пример использования теоремы Фату.
2.8.10. Пример. Пусть дана последовательность
интегрируемых функций /п на пространстве с вероятностной мерой /х,
причем существует такое М > О, что для всех п € IN имеем
/ \fn(x) - ffn(y)»(dy)\ fi(dx) < М [ \fjx)\»(dx)
Jx\ J I Jx
Тогда либо lim sup / \fn\d^i < oo и liminf |/n(x)| < сю п.в.. ли-
n^oo Jx n^°°
6o lim sup / \fn\dn = oo и limsup|/n(x)| = сю п.в. В частности,
n—oo Jx n^oo
осли для п.в. x последовательность чисел fn(x) ограничена, то
Интегралы от |/„| ограничены в совокупности.

Глава 2. Интеграл Лебега
Доказательство. Заметим, что
/||/п(*)|- / \fn(v)\l*(dy)\ ti{dx)
Jx\ Jx I
= f \fn(x)\2n(dx)-\[ \fn(y)\n(dy)\2
Jx \Jx I
^ [ fn(xJ»{dx)-\[ fn(y)n(dy)\
Jx \Jx I
= / \fn{x) - I fn{y)n{dy)\ »{dx) < M / \fn(x)\n(dx),
Jx\ Jx I Jx
ибо модуль интеграла от fn не превосходит интеграла от |/п|.
Полученным более слабым, чем в условии, неравенством мы и будем
пользоваться. Пусть Jn — интеграл от |/п|. Если числа Jn
ограничены, то по теореме Фату liminf l/nf^^oon.B^-B противном
случае, переходя к подпоследовательности, можно считать, что
Jn —> оо. Из полученного выше неравенства получаем
[\\fn{x)\/y/jn-yfa\ /i((te)<M.
Jx\ I
По теореме Фату liminf\\fn{%)\l\/~Jn — \fJn\ < °o п.в., откуда
lim |/n(a;)| = оо п.в. П
В задаче 2.12.91 указано небольшое обобщение
рассмотренного примера. В гл. 4 и в задачах к этой главе приведен ряд других
полезных результатов, связанных с предельным переходом под
знаком интеграла.
2.9. Признаки интегрируемости
Определение интеграла почти никогда не используется для
установления интегрируемости конкретных функций. Весьма
эффективные и часто используемые на практике достаточные
условия интегрируемости даются теоремами Беппо Леви и Фату. В
реальных задачах часто применяется и один из самых очевидных
критериев интегрируемости измеримой функции:
мажорирование по абсолютной величине заведомо интегрируемой функцией.
В этом параграфе из этого тривиального критерия мы выведем

2.9. Признаки интегрируемости
ряд менее очевидных следствий и получим признаки
интегрируемости в терминах сходимости рядов или римановских интегралов
по прямой.
2.9.1. Теорема. Пусть (Х,Л.р) — пространство с
конечной неотрицательной мерой и f — р,-измеримая функция.
Тогда интегрируемость функции f относительно р равносильна
сходимости ряда
Тпр(х: n^ j/(.,:)l <n + l), B.9.1)
71.= 1
а такж;е равносильна сходимости ряда
?>(*: |/',r)|^n). B.9.2)
Доказательство. Пусть А0 = |.тт: |/(.r)| < l|. Положим
Ап = {х: п < |/(л)| < п + l} для п € IN. Тогда Ап р-
измеримые непересекающиеся множества, дающие в объединении
все пространство. Функция д, заданная равенством а\л„ - ",
п — 0,1,..., очевидным образом /(-измерима, причем д(х) ^.
\f(x)\ < д{х) + 1. Следовательно, функция у интегрируема в
точности тогда, когда интегрируема функция /. Согласно
примеру 2.5.8 интегрируемость д равносильна сходимости ряда B.9.1).
Остается заметить, что ряды B.9.1) и B.9.2) сходятся или
расходятся одновременно. Действительно, 1х: |/(.х)| ^ п\ = [J^=nAk,
откуда
/,(.r: j/H|^n)=f>(A,).
k=n
Таким образом, при суммировании по п число р'\Ап) входит в
правую часть п раз. ?
2.9.2. Пример, (i) Функция /, измеримая относительно
ограниченной неотрицательной меры /а, интегрируема во всякой
степени р € @. сю) в точности тогда, когда р(х: \f(x)\ > i)
убывает быстрее любой степени t при t —> +оо.
(ii) Функция | log х\р на @,1) интегрируема по Лебегу при всех
р > —1, а функция ха интегрируема при а > — 1.

170
Глава 2. Интеграл Лебега
Для бесконечных мер указанные признаки не годятся, так как
они не учитывают множества малых значений |/|. Их можно
модифицировать и для бесконечных мер, но вместо этого мы
приведем универсальный критерий, одно из достоинств которого
состоит в сведении проблемы к некоторому римановскому интегралу.
2.9.3. Теорема. Пусть ц — счетно-аддитивная мера со
значениями в [0, +оо] и f — ц-измеримая функция. Тогда
интегрируемость / по мере ц равносильна интегрируемости функции
t н-»- и(х: \f(x)\ > t) на @, +оо) по мере Лебега. При этом
Jx \f(x)\ ti{dx) = J™ м(х: |/(x)| > t) dt. B.9.3)
Доказательство. В этой книге имеются три разных
доказательства B.9.3): см. теорему 3.4.7 в гл. 3, где дано простое
геометрическое рассуждение, использующее двойные интегралы, и
задачу 5.8.102 в гл. 5, где еще более короткое рассуждение
основано на интегрировании по частям. Здесь же никаких
дополнительных знаний не требуется. Пусть / интегрируема. Тогда при любом
п интегрируема и функция /„, равная \f{x)\ при n-1 ^ \f{x)\ ^ п
и 0 в противном случае. Если доказать B.9.3) для Д вместо /,
то при п —* оо получим это же равенство и для /, ибо
интегралы от /„ сходятся к интегралу от |/|, а множества {х: fn(x) > i)
возрастают при каждом t к {х: |/(х)| > ?} и можно применить
теорему о монотонной сходимости. Функция fn отлична от нуля на
множестве конечной меры. Итак, общий случай сведен к случаю
конечной меры и ограниченной функции. Следующий очевидный
шаг — сведение к простым функциям — осуществляется путем
выбора равномерно сходящейся к / последовательности простых
функций дп. При этом и(х: |/(ж)| > t) = lim ц(х: 1^(^I > *)
при каждом t, кроме не более чем счетного множества таких t, что
fi{x: \f{x)\ = i) > 0 (это легко проверяется). Поэтому остается
получить B.9.3) для простых функций. Этот случай проверяется
непосредственно: если |/| принимает значения с\ < ¦ • ¦ < Сп на
множествах А\,..., Ап, то на [cj-\,Cj) функция fi{x: \f{x)\ > t)
равна n(Bn+i-j), где Bj := An+i-j U • • • U An при j = 1,... ,n.
Читатель легко восполнит детали.
Если же интегрируема функция и[х: \f{x)\ > i) на полуоси,
то интегрируемы и аналогичные функции для /„ вместо /, где
/п определены выше. Ясно, что множество {|/| ^ 1/"} имеет

2.10. Связь с интегралом Римана
конечную меру. Поэтому ограниченные функции /п
интегрируемы. В силу B.9.3) интегралы /„ оцениваются через интеграл от
ц{х: |/(ж)| > t) по полуоси, что по теореме Фату дает
интегрируемость /. ?
2.10. Связь с интегралом Римана
Мы будем считать известным определение интеграла
Римана (см., например, Архипов, Садовничий, Чубариков [16], Зорич
[77], Рудин [157], Фихтенгольц [184]). В частности, интеграл
Римана индикаторной функции промежутка равен длине этого
промежутка, поэтому для кусочно-постоянных функций на отрезке
римановский интеграл совпадает с лебеговским.
2.10.1. Теорема. Если функция f интегрируема на отрезке
I = [а, Ь] по Риману в собственном смысле, то она
интегрируема на I и по Лебегу, причем ее римановский и лебеговский
интегралы равны.
Доказательство. Можно считать, что b — а = 1. Для
каждого ?г G IN разделим отрезок / = [а, Ь] на непересекающиеся
промежутки {а,а + 2~п),..., [Ь — 2~~п,Ь] длины 2"п. Эти
промежутки обозначим через Д,..., /гп- Пусть m*. = infTe/А. /(.г), Л/д. -
supx6/jt f(x). Рассмотрим ступенчатые функции /„ и д„. заданные
следующим образом: /п = т^ на Ik, дп = М*. на If,., к = 1,..., 2".
Ясно, что fn(x) ^ f(x) ^ дп(х)- Кроме того, /п(.г-) ^ /,,+ |(х),
дп+\(х) ^ дп{х)- Поэтому существуют пределы ip(x) = lim fn(x),
ф(х) = lim дп(х), причем tp(x) < f(x) < Ф(х). Как известно из
курса анализа, интегрируемость / по Риману влечет равенство
Jiirn^ I fn{x)dx = lim^ I gn{x)dx = R[f), B.10.1)
где R(f) обозначает римановский интеграл / (при этом мы
используем отмеченное выше совпадение римановского и лебегов-
ского интегралов для кусочно-постоянных функций). Функции </?
И ф ограничены и измеримы по Лебегу (как поточечные пределы
ступенчатых), поэтому они интегрируемы по Лебегу. Ясно, что
/b rb rb rb
fn{x)dx^ / p(x)dx^ / ф(х)ёх^ / gn{x)dx

172
Глава 2. Интеграл Лебега
для всех п. Из B.10.1) вытекает, что интегралы функций ip и ф
равны R(f), откуда (р(х) = ф(х) п.в., ибо ip(x) ^ ф(х). Поэтому
tp = f = ф п.в., что дает доказываемое утверждение. П
Существуют несобственно интегрируемые по Риману
функции, которые не интегрируемы по Лебегу (см. задачу 2.12.30).
Однако существование абсолютного несобственного интеграла Ри-
мана влечет интегрируемость по Лебегу.
2.10.2. Теорема. Предположим, что функция /
интегрируема на промежутке I (ограниченном или неограниченном) по
Риману в несобственном смысле вместе с функцией |/|. Тогда /
интегрируема на I и по Лебегу, причем ее несобственный
римановский интеграл равен лебеговскому.
Доказательство. Мы рассмотрим случай, когда
промежуток I = (а, Ь] ограничен, причем функция / интегрируема по
Риману в собственном смысле на всяком отрезке [а + е,Ь]. Случай,
когда а = — оо, аналогичен, а общий случай разбивается на
конечное объединение рассматриваемых. Пусть /п = / на [а + п_1,6],
/ = 0 на (а, о + п-1). В силу интегрируемости по Риману,
функция / измерима по Лебегу на [a+n~l, Ь], следовательно, функция
/„ измерима. Ясно, что fn—*f поточечно, поэтому /
измерима на (а, Ь]. В силу несобственной интегрируемости |/|, функции
l/n| ^ 1/1 имеют равномерно ограниченные интегралы Лебега
(совпадающие с их римановскими интегралами по предыдущей
теореме). По теореме Беппо Леви (или по теореме Фату)
функция |/| интегрируема по Лебегу. По теореме Лебега интегралы
функций fn по (а, Ь] стремятся к лебеговскому интегралу /,
откуда вытекает его совпадение с несобственным римановским. ?
В заключение обсуждения связи между интегралами Римана
и Лебега отметим, что лебеговский интеграл функции
действительного переменного может быть выражен посредством
некоторых обобщенных римановских сумм, хотя и не столь
конструктивно, как римановский. Например, если функция / имеет период
1 и интегрируема по периоду, то ее интеграл по [0,1] равен пре-
2"
делу сумм 2~п ^Г, f(xo + k2~n) для п.в. Xq. Этот вопрос рассмот-
fe=i
рен в задаче 2.12.104, задаче 4.7.90 гл. 4, разделе об интеграле
Хенстока-Курцвайля в гл. 5 и примере 10.3.16 гл. 10.

2.11. Неравенства Гёльдера и Минковского 173
2.11. Неравенства Гёльдера и Минковского
Пусть (X, Л, //) — пространство с неотрицательной мерой //
(конечной или со значениями в [0,+оо]) ир€ @, +ос).
Обозначим через ?р(//) множество всех /i-измеримых функций /, для
которых |/|р — //-интегрируемая функция. В частности, С1{ц) —
множество всех //-интегрируемых функций. Через ?°(/j)
обозначим класс всех //-п.в. конечных ^-измеримых функций. Будем
говорить, что две //-измеримые функции fag эквивалентны,
если / = д //-п.в. Обозначение: / ~ д. При этом fug называются
модификациями или версиями друг друга. Ясно, что если / ~ д
и д ~ h, то / ~ h и д ~ /. Кроме того, / ~ /. Поэтому
получено отношение эквивалентности и совокупность ?°(//) всех
измеримых функций разбивается на дизъюнктные классы попарно
эквивалентных функций. Обозначим через ?°(//) и LP(ii) фактор-
пространства пространств ?°(//) и ?р(//) по этому отношению
эквивалентности. Итак, Lp(fi) есть множество классов
эквивалентных //-измеримых функций /, для которых |/|р интегрируема.
Эти же обозначения используются для комплексных функций. В
случае меры Лебега на К" или на множестве Е с IR"
используются символы ?Р(ЕГ), ?Р(ПГ), СР(Е) и LP(E) без указания меры.
Иногда бывает нужно явно указать пространство А' во
введенных обозначениях и тогда используются символы ??'(Х,//),
Lp(X,fi). Часто в книгах и статьях допускается сознательная
неточность обозначений в выражениях типа „функция / из Lp", в
которых следовало бы говорить „функция / из ?р" или „класс
эквивалентности функции / в Lp". Обычно такое смешение не
приводит к недоразумениям, а иногда и способствует сокраще-
. нию формулировок, неявно указывая на то, что какое-либо
утверждение верно не только для отдельной функции, но и для всех
представителей ее класса. Мы также не всегда будем строго
проводить указанное разделение. Тем не менее, надо помнить, что с
формальной точки зрения выражение типа „непрерывная
функция / из Lp" не вполне точно, хотя трудно рекомендовать точное
„в классе эквивалентности / G LP есть непрерывная функция".
Конечно, можно сказать „непрерывная функция / € ?р(//)".
При 1 ^ р < сю положим
ll/llP := И/Ьм == (Jx 1/№I/Р, / € ?"(//)•
Эти же обозначения используются для элементов LP{j.l).

174
Глава 2. Интеграл Лебега
Наконец, пусть С°° (ju) — множество всех конечных всюду
определенных /^-измеримых функций. При / € ?°°(м) положим
ll/IU°°M == 11/Цоо := inf sup |/(х)|. Функцию / называют суще-
ственно ограниченной, если она /х-п.в. равна ограниченной
функции. Тогда величина ||/||оо задается, как и выше. Альтернативные
обозначения: esssupj/|, vraisup|/|.
При рассмотрении пространств Ср((л) и соответствующих
нормированных пространств I?(it), изучаемых в гл. 4, нам
понадобится следующее неравенство Гёльдера, которое имеет большое
самостоятельное значение: это одно из наиболее употребительных
неравенств теории интеграла.
2.11.1. Теорема. Пусть 1 < р < оо, q = р(р — I)-1 и пусть
f € 0>{ц), д € ?«(/i). Тогда fg € Cx(ji) и \\fgh ^ \\/Ш\9, т.е.
Jx \f9\dn ^ (jx \f№)l/P(Jx \9\qdn)l'q. B.11.1)
Доказательство. Функция fg определена п.в. и измерима.
Нетрудно показать (см. задачу 2.12.80), что для всех
неотрицательных а и Ь справедливо неравенство аЪ ^ ^ + ^. Тогда
1/0*01 Щ\ < 1 1/(*Ж . 1 |g(*)lq
И/Ир Ыя ^ р 11/11? ч ИИ "
Правая часть этого неравенства интегрируема, причем ее
интеграл равен 1, поэтому левая часть также интегрируема и ее
интеграл не превосходит 1, что равносильно B.11.1). D
2.11.2. Следствие. При условиях доказанной теоремы
Jxf9d»^(jx\f\*dli)V\JxWdv)Xlq. B.11.2)
В задаче 2.12.82 выясняются условия равенства в
неравенстве 2.11.2.
Непосредственным следствием неравенства Гёльдера
является следующее неравенство Коши-Буняковского, которое, однако,
можно легко доказать непосредственно (см. гл. 4, §4.3).
2.11.3. Следствие. Если f,ge С2{ц), то fg е Сг(ц) и
J fgdp^ (^|/|2d/xI/2(j^|5|2dMI/2. B.11.3)

2.11. Неравенства Гёльдера и Минковского
Полезно следующее обобщенное неравенство Гёльдера,
частный случай которого с г = 1, р\ = р, рч = q мы доказали.
2.11.4. Следствие. Пусть 1 ^ г,р\,... ,рп < оо, где 1/р\ +
1- 1/Рп = \/г, и пусть /i Е ?Р1(ц),..., fn Е СРп{ц). Тогда
/[••¦/п,е ^-г{р) и справедливо неравенство
(/^ Lf. - - - Л.Г <м)ж^ *= (_/^. 1Л1« **.)*л~ - - - (j^ 1ЛГ- -ЧмIЛ^-
B.11.4)
Доказательство. Можно считать, что г = 1, перейдя к
новым показателям р\ = pi/r. Поскольку при п = 2 неравенство
B.11.4) уже установлено, мы воспользуемся индукцией по п и
предположим, что нужное неравенство известно для п — 1.
Применим обычное неравенство Гёльдера с показателями р\ и q,
заданными равенством 1/<7 = 1/ргН \-1/рп, к интегралу от
произведения |/i||/2"--/n| и оценим его через ||/i||pill/2 ¦ ¦ • /п||9- Теперь
используем индуктивное предположение и получим
ll/2-"/n||,^||/2||P2-"||/nlk,
что и завершает доказательство. ?
Теперь обратимся к следующему неравенству Минковского.
2.11.5. Теорема. Пусть р Е [1,+оо) и f,g Е Ср{ц). Тогда
f + g Е Ср{ц), причем
(Jx\f + g\pd^ P<(fx\f\pd») P+(JxWPdfx) "• B-П-5)
Доказательство. Функция f + g определена п.в. и
измерима. При р = 1 неравенство B.11.5) очевидно. При р > 1 имеем
|/ + д\Р ^ 2Р(|/|р + \д\р), поэтому |/ + д\р Е С1{ц). Заметим, что
\f{x)+g(x)\" ^ \f(x)+g(x)r1\f(x)\ + \/(х)+д(х)Г1\д{х)\.
B.11.6)
Поскольку \f + g\p~l Е &t<*-V(fi) = ?"М, то в силу неравенства
Гёльдера
Jx\f + 9r1\f\d»<(Jx\f + g\pd»y/9(J^f\pdt?I/P.

176 Глава 2. Интеграл Лебега
Оценивая аналогичным образом интеграл от второго слагаемого
в правой части B.11.6), приходим к оценке
Jx\f + g\*d„
Заметив, что 1 - 1/q = 1/р, получаем ||/ + д\\р < ||/||р + ||^||р. ?
Хотя функции из пространств Ср(ц) можно складывать и
умножать на числа (на множествах полной меры), эти
пространства не являются линейными, ибо указанные операции не
ассоциативны: например, если функция / не определена в точке х, то
такова и / + (—/), но эта функция должна быть всюду равна
нулю, ибо в линейном пространстве лишь один нулевой элемент.
Конечно, можно было бы взять в ?р(/х) подмножество всюду
определенных конечных функций, которое уже является линейным
пространством, но целесообразнее перейти к пространству ^(/х).
2.12. Дополнения и задачи
(i) Порожденная классом функций ст-алгебра A76). (н) Ворелев-
ские отображения в Ш." A79). (ш) Функциональная теорема о
монотонных классах A80). (iv) Бэровские классы функций A81). (v)
Теоремы о среднем A84). (vi) Интеграл Стилтьеса A86). (vii)
Интегральные неравенства A87). Задачи A90).
2.12(i). Порожденная классом функций ст-алгебра
Пусть Т — некоторый класс вещественных функций на
множестве X.
2.12.1. Определение. Наименьшая а-алгебра, относительно
которой измеримы все функции из J-, называется а-алгеброй,
порожденной классом Т, и обозначается символом о-{Т).
Ясно, что ct(.F) есть ст-алгебра, порожденная всеми множествами
вида {/ < с}, / € Т, с G К1. Действительно, порожденная этими
множествами ст-алгебра входит в ст(^") и относительно нее измеримы
все функции из Т.
Простейший пример ст-алгебры, порожденной классом функций,
возникает, когда класс Т состоит из одной функции /. В этом случае
*({/}) = {Г\ву. BeBiM1)}.

2.12. Дополнения и задачи 177
Обозначим через В(Ж°°) ст-алгебру подмножеств счетного
произведения прямых Ж°°, т.е. пространства всех вещественных
последовательностей х = (xi), порожденную множествами вида
d,t = {х& Ж°°: xt < t}, i <Е IN, t G IR1.
Множества из В(Ж°°) будем называть борелевскими в IR°°. Функции
на Ж°°, измеримые относительно В(Ж°°), называются борелевскими.
2.12.2. Лемма. Пусть Т — некоторый класс функций на
непустом множестве X. Тогда порожденная им а-алгебра a{!F) совпадает
с классом множеств вида
E(fi),B = {x: (/1Й,.,Ш,-)ев}, B-12.1)
2f)e/i€f, ВеВ(Ж°°).
Доказательство. Ясно, что множества указанного вида
образуют ст-алгебру, которую мы обозначим через ?. Эта ст-алгебра содержит
множества {/ < с}, где / 6 J-, с G Ж1. Действительно, если взять все
/„ равными / и положить В = С\ t, то -Е(/) в = {/ < *}¦ Поэтому
а(Т)с?.
С другой стороны, ?(/,),в € а{Т) при В G В(Ж°°). Действительно,
как легко проверить, при фиксированных /ь .. .,/п, • • • класс множеств
В0 = {ВеВ(Ж°°): %,,ве?(Л}
образует гг-алгебру. Множества Citt входят в Во по определению ст{Т).
Значит, В(Ж°°) С Во, что и утверждалось. Из доказанного следует, что
? С о{Т), откуда получаем, что ? = и(^г). D
2.12.3. Теорема. Пусть J- — некоторый класс функций на
непустом множестве X. Тогда функция g на X измерима относительно
c(.F) в том и только том случае, когда у имеет вид
fl(x) = ^(/i(x),...,/n(x),...), B.12.2)
где fi ? J- игр — борелевская функция наЖ°°. ЕслиТ является
конечным набором {/ь ..., /„}, то в качестве ф можно взять борелевскую
функцию на Жп.
Доказательство. Если функция g является индикатором
множества Е, то наше утверждение вытекает из доказанной выше
леммы: записав Е в виде B.12.1) с некоторыми ft ? Т и В е В(Ж°°),
положим ф = 1в- Если функция g есть конечная линейная
комбинация индикаторов множеств Ei,...,Ek с коэффициентами с\,..., с*, то
функции f\3 , участвующие в представлении Ej, можно расположить
в одну последовательность {/J таким образом, что функциям /г- ,

178 Глава 2. Интеграл Лебега
j — 1,...,&, будут соответствовать подпоследовательности j| .
Положим <fj(xi,X2,---) = i/>j(Xjij),Xjij),...). Ясно, что y>j — борелевские
функции на Ж°°. Тогда # можно записать в виде
к
9 = СцМ/ji./ji, ¦ ••) + •¦• + CfcVfc(/jf ,/j*. ¦ • •) = I>j<M/b/2,- • .)¦
J'=l
Наконец, в общем случае существует последовательность простых
функций дк, поточечно сходящаяся к д. Представим каждую из этих
функций в виде B.12.2) с некоторыми функциями />' € Т и бо-
релевскими функциями фк на В(ГО.°°). Расположим функции f> ' в
единую последовательность {ft}- Как и выше, можно записать дк =
<?*(/ъ /2, • • •), где ipk — борелевские функции на JR°° (являющиеся
композициями фк с проекциями на часть координат). Обозначим через Г2
множество тех (х») е Ш°°, для которых существует ф(х) = lim <рк{х).
Тогда fl G В(Ш.°°). Положив ф = 0 вне fi, получаем борелевскую
функцию на Ш,00. Остается заметить, что д(х) = ф(/1(х),/2(х),...).
Действительно, для всякого х ? X последовательность <pk(fi{x), /г(х),...)
сходится к д(х). Следовательно,
(/1(х),/2(х),...)€П и ф(/1(х),Мх),...)=д(х).
В случае, когда семейство Т состоит из п функций, можно
ограничиться функциями ф на Ш.п. ?
Легко видеть, что ег-алгебра, порожденная семейством множеств,
совпадает с <т-алгеброй, порожденной индикаторными функциями этих
2.12.4. Пример. Пусть {Ап} — счетный набор подмножеств
пространства X. Тогда ег-алгебра, порожденная {Л„}, совпадает с <т-алгеб-
рой, порожденной функцией
V(x) = ]Гз-п1а„(х),
и представляет собой класс всех множеств вида ф~х{В), В € В(Ш}).
Доказательство. Ясно, что функция ф измерима относительно
ст-алгебры <т({Ап}). Поэтому сг-алгебра &({ф}) входит в <т({Ап}).
Обратное включение вытекает из того, что 1ап = #п ° Ф, где 6п — бо-
релевская функция на [0,1), определенная следующим образом: если
число z представлено в виде ряда z = Y1 СпЗ-", где с„ = 0,1,2, то

2.12. Дополнения и задачи 179
в„(г) = с„. При этом для точек z, допускающих различные
представления в троичной системе (таких точек счетное множество), в
качестве представителей берутся конечные суммы (например,
последовательность @,2, 2,2,...) отождествляется с A,0,0,0,...)). Ясно, что
ступенчатые функции вп являются борелевскими. ?
2.12(H). Борелевские отображения в Ш™
Как и в случае числовых функций, отображение /: Ж" —* Ш.
называется борелевским, если оно (B(TRn), B(JR ))-измеримо, т.е.
прообраз всякого борелевского множества из Ш, является борелевским в Ш™.
Если записать / в координатном виде / = (/х,..., Д), то борелевость /
равносильна борелевости всех координатных функций /*. Это вытекает
из следующего общего утверждения.
2.12.5. Лемма. Пусть (Х,ВХ), (Vi,Si),... ,{Yk,Bk) - измеримые
пространства и пространство Y = Ух х- • -xYk наделено о-алгеброй By,
порожденной множествами В\Х- ¦ -хВк, Bi € Bi. Тогда отображение
f = (/х,...,Д): X —> Y является (Вх,By)-измеримым в точности
тогда, когда все функции /, являются (Вx,Bi)-измеримыми.
Доказательство. Если отображение / измеримо относительно
указанных ег-алгебр, то каждая его компонента /, измерима
относительно (Bx,Bj) в силу измеримости проекции (у\ yk) ь-> у,
относительно (By,Bi), что непосредственно вытекает из определения By.
Пусть теперь каждая функция ft измерима относительно (Вх,Вг).
Тогда f~l{Bi х • • • х Bk) = n*Li /ГЧД) е Вх для всех Вг е Вг. Класс
всех множеств Е С Y, для которых f~x(E) G Вх, является ст-алгеброй.
Поскольку он содержит произведения В\х- ¦ хВк, порождающие By,
то он содержит и всю ст-алгебру By. О
Легко видеть, что композиция двух борелевских отображений
является борелевским отображением и что всякое непрерывное
отображение /: И" —> Ш.к — борелевское.
2.12.6. Предложение. Пусть /: ГО™ —> К* — борелевское
отображение. Тогда его график Tf — < (x,f(x)): х е Ш™ > является
борелевским подмножеством IR™ хЕ .
Доказательство. Из предыдущего предложения вытекает, что
отображение (х,у) >-> (f(x),y) из ]RnxIRfc в ]Rfcx]Rfc является
борелевским. В силу непрерывности функции (г, у) i—> \\у — z\\ оказывается
борелевской и функция д: (х,у) н-+ \\у - f(x)\\. Остается заметить, что
имеет место равенство Tf = #_1@). ?

180 Глава 2. Интеграл Лебега
2.12.7. Следствие. Пусть /: ГО,™ —> Ш.к — борелевское
отображение и В с ГО," — борелевское множество. Тогда f(B) — суслинское
множество. В частности, f(B) измеримо относительно всякой бо-
релевской меры.
Доказательство. По доказанному, график отображения /
является борелевским подмножеством в пространстве ГО™ х Mfe. Остается
заметить, что проекция этого графика на ГО* есть f(B). П
В гл. 6 показано, что всякое суслинское множество является
непрерывным образом борелевского множества, откуда вытекает, что
следствие 2.12.7 остается в силе и для суслинских множеств В.
2.12.8. Следствие. Пусть f — борелевская функция на ЖпхШк.
Тогда функция g(x) = supyglRi. /(х, у) измерима относительно всякой
борелевской меры на ГО.".
Доказательство. Достаточно заметить, что при всяком сеЕ1
множество {х € ГО.": д(х) > с} совпадает с проекцией на IR™
борелевского множества {(х, у) G ГО" х Ш.к: /(х, у) > с}. D
Отметим, что рассмотренная функция д может не быть
борелевской (см. задачу 6.10.40 в гл. 6).
2.12(ш). Функциональная теорема о монотонных
классах
Следующая теорема созвучна теореме о монотонных классах. Из
нее следует, например, равенство двух вероятностных борелевских мер
на И™, по которым равны интегралы ограниченных гладких функций
(надо взять Но = C?°(IR.n), Н — ограниченные борелевские функции с
равными интегралами по этим мерам).
2.12.9. Теорема. Пусть Н — некоторый класс вещественных
функций на множестве П, содержащий 1, и пусть Но —
подмножество Н. Тогда любое из следующих условий влечет, что Н
содержит все ограниченные функции, которые измеримы относительно
а-алгебры ?, порожденной Но'-
(i) Н — замкнутое линейное подпространство в пространстве
всех ограниченных функций на П с нормой ||/|| := supn |/(w)|,
причем lim /„ € Н для каждой возрастающей равномерно ограниченной
последовательности неотрицательных функций fn^H, а кроме
того, Но замкнуто относительно произведений {т.е. fg € Но для всех
функций f, g€H0).
(ii) Н замкнуто относительно равномерных пределов и
монотонных пределов и Но — алгебра, содержащая 1.

2.12. Дополнения и задачи 181
(ш) Н замкнуто относительно монотонных пределов и Но —
линейное пространство, содержащее 1, такое, что imn(f,g) ? Но для
всех U деН0.
Доказательство, (i) Обозначим через Hi линейное
пространство, порожденное 1 и Но- Из условия (i) вытекает, что класс Hi
состоит из функций вида со + cih\ + ¦ ¦ ¦ + Cnhn, Ci е К1, hi G Но,
причем он является алгеброй функций, т.е. линейным пространством,
замкнутым относительно умножения. По лемме Цорна существует
максимальная алгебра функций Hi, заключенная между Н\ и Н. Ясно,
что в силу максимальности алгебра Н2 замкнута относительно
равномерных пределов. Тогда |/| е Hi при f ? Hi, ибо функция |/|
является равномерным пределом последовательности функций вида Pn(f),
где Рп — многочлены. Тогда /+ = max(/,0) = (/ + |/|)/2 € Н2 при
/ € Hi. Аналогично min(/, 0) S Hi. Следовательно, Hi допускает
операции max и min. Наконец, заметим, что если {дп} — ограниченная
возрастающая последовательность неотрицательных функций из Hi, то
д = lim дп GHi- Действительно, функции вида 5Z Фк9к, гДе Фк €Hi,
п—00 к=0
образуют алгебру Нз- При этом Нз С Н, ибо фдк G Н для всех ф €Hin
к е IN. В самом деле, ф+дк и ф~дк являются монотонными пределами
Ф+9п-Ф^9п € ^2- В силу максимальности Hi имеем Нз = Н-г-
Предположим теперь, что функция / измерима относительно ?.
Поскольку она является равномерным пределом последовательности
? -измеримых функций с конечными множествами значений, то для
доказательства включения f ?Н достаточно установить, что J а ?Н при
A G ?. Пусть S = {В С О: /в € Hi}. Класс В замкнут относительно
конечных пересечений и дополнения, поскольку 1апв = IaIb и 1 ? Hi-
Более того, В — ст-алгебра, ибо Hi допускает монотонные пределы.
Поскольку ? — ст-алгебра, порожденная множествами {tp > с}, где -ф € Но
и с € Ш,1, то остается проверить, что А = {ф > с} € В. Это вытекает
из того, что 1а является поточечным пределом возрастающей
последовательности функций фп = min(l,n(^ — с)+). По доказанному выше,
¦фпеН2, откуда 1а&Н2.
Утверждения (ii) и (ш) доказываются аналогично с помощью
небольших модификаций изложенных выше рассуждений. ?
2.12(iv). Бэровские классы функций
Поточечный предел последовательности непрерывных функций на
отрезке является борелевской функцией, хотя и не обязательно
непрерывной. Мы знаем, что всякая борелевская функция почти всюду
является поточечным пределом последовательности непрерывных
функций. Можно ли в этом утверждении вместо „почти всюду" сказать

182
Глава 2. Интеграл Лебега
„всюду"? Нет, поскольку у поточечного предела непрерывных
функций обязательно есть точки непрерывности (задача 2.12.65). Р. Бэр [36]
ввел классы борелевских функций, позволяющие получить из
непрерывных функций все борелевские, последовательно применяя
операцию предельного перехода. Нулевым классом Бэра Во объявим класс
всех непрерывных функций на отрезке [0,1]. Классы Бэра Вп при п =
1,2,..., определим индуктивно: Вп состоит из всех функций /, которые
не входят в Вп-1, но имеют вид
f(x) = lim fj(x), х € [0,1], B.12.3)
где fj € Вп-\. Однако, как мы увидим ниже, и классы Вп не
исчерпывают всей совокупности борелевских функций. Если функция / не
входит ни в один класс Вп, но представима в виде B.12.3) с некоторыми
fj G Bnj, то будем писать / € Вш.
Чтобы получить все борелевские функции, следует вводить классы
Бэра Ва с трансфинитными номерами, отвечающими счетным
множествам. А именно, с помощью трансфинитной индукции для каждого
порядкового числа а (см. §1.12(vi))), которое отвечает некоторому
счетному вполне упорядоченному множеству, обозначим через Ва класс всех
функций /, которые не входят ни в один из классов Вр при /3 < а, но
имеют вид B.12.3), где /, е В^ и /3, < а.
Точно так же определяются классы Бэра функций на
произвольном метрическом (или топологическом) пространстве. Ниже нам
понадобятся классы Бэра функций на плоскости.
Нетрудно проверить, что если / — функция из некоторого класса
Бэра Ва и ц> — непрерывная функция на прямой, то функция <ро/
входит в класс Бэра не выше а. Кроме того, равномерньш предел
последовательности функций, входящих в бэровские классы не выше а, также
принадлежит классу Бэра не выше а (см. задачи 2.12.67 и 2.12.68).
2.12.10. Предложение. Объединение всех классов Бэра Ва
совпадает с классом всех борелевских функций.
Доказательство. Пусть В — класс всех бэровских функций.
Ясно, что класс В является линейным пространством и замкнут
относительно поточечных пределов. Так как В содержит непрерывные
функции, то по теореме 2.12.9 класс В содержит все ограниченные функции,
которые измеримы относительно а-алгебры, порожденной
непрерывными функциями, т.е. все ограниченные борелевские функции. Из
этого вытекает, что В содержит все борелевские функции. С другой
стороны, функции всех бэровских классов являются борелевскими, что
вытекает из принципа трансфинитной индукции и того факта, что класс
борелевских функций замкнут относительно поточечных пределов. ?
Доказательство следующей теоремы Лебега можно прочитать в
книге Натансона [134].

2.12. Дополнения и задачи 183
2.12.11. Теорема. Для всякого порядкового числа а ^ 1, которое
либо конечно, либо отвечает счетному вполне упорядоченному
множеству, существует такая функция Fa на [О,1] х [0,1], что Fa
является функцией некоторого класса Бэра (как функция на плоскости),
причем для всякой функции f класса меньше а существует такое
t G [0,1], что f(x) = Fa(x,t) для всех х G [0,1].
2.12.12. Следствие. Все классы Бэра Ва непусты.
Доказательство. Если некоторый класс Ва пуст, то пусты и все
следующие классы и потому всякая бэровская функция входит в класс
Бэра не выше а. Возьмем функцию Fa из предыдущей теоремы и
положим F{x,t) = max(Fa(x,t),0) и
. nF(x,t)
*X't)=?Ll + nF{x,ty
Ясно, что функция if принимает лишь значения 0 и 1. Согласно
задаче 2.12.69 функция ip(x,x) является бэровской. Тогда такова и
функция 1 - tp(x,x). Следовательно, для некоторого ?0 имеем 1 - if(x,x) -
Fa(x,to) = F(x,to) при всех х G [0,1]. Это приводит к противоречию,
ибо если ip(to,t-o) = 0, то F(to,to) = 1, откуда ff(Ut,U)) "- 1, а если
ifi(t0,to) = 1, то F{t0,t0) = 0 и потому ip(t0,t0) = 0. П
Функция Дирихле, равная 1 в рациональных точках и 0 в
иррациональных, принадлежит второму классу Бэра, но не входит в
первый (см. задачу 2.12.70), однако ее можно сделать непрерывной,
переопределив на множестве меры нуль. Существуют измеримые по Лебегу
функции на [0,1], которые нельзя сделать функциями первого
класса Бэра исправлением на множестве меры нуль (задача 2.12.71). Как
показал Витали (см. [844]), для второго класса положение иное.
2.12.13. Пример. Всякая измеримая по Лебегу функция / на
отрезке [0,1] почти всюду совпадает с некоторой функцией g не выше
второго класса Бэра.
Доказательство. Перейдя к функции arctg/ и применив
задачу 2.12.68, можно считать, что функция / ограничена. Найдется такая
последовательность непрерывных функций /„, что f(x) = lim fn(x)
для почти всех х. Ясно, что при этом можно выбрать равномерно
ограниченную последовательность с таким свойством. При
фиксированном п функции fUtk = max(/„,..., fn+k) непрерывны, ограничены в
совокупности и /„,fc < fn,k+i- Поэтому функции дп(х) = Hm fn,k(x)
входят в нулевой или первый бэровские классы. Эти функции
также ограничены в совокупности и gn+i ^ дп- Следовательно, функция

Глава 2. Интеграл Лебега
д(х) = lim дп(х) входит в класс Бэра не выше 2. Ясно, что д(х)
совпадает с пределом fn{x) всюду, где этот предел существует, т.е. почти
всюду. Итак, д = f п.в. ?
2.12(v). Теоремы о среднем
Из курса анализа известно, что интеграл от непрерывной функции
по отрезку равен произведению длины отрезка на некоторое значение
функции на этом отрезке. Здесь мы обсудим аналогичные утверждения
для интеграла Лебега. Если функция / интегрируема по Лебегу на [а, Ь]
и т < / < М, то интеграл / заключен между т(Ь — а) и М(Ь - а) и
потому равен с(Ь — а) для некоторого с 6 [т,М]. Однако с может не
входить в множество значений /. Поэтому первой теоремой о среднем
для интеграла Лебега чаще называют следующее утверждение.
2.12.14. Теорема. Если функция / ^ 0 интегрируема на [a,b], а
функция д непрерывна, то существует такое ? е [а,Ь], что
J №g(t)dt=g(Z)J f{t)dt.
Доказательство. Пусть I — интеграл от / по [а,Ь]. Тогда
интеграл от fg заключен между Iming и I max д. П
Докажем еще одно полезное утверждение, часто называемое
второй теоремой о среднем.
2.12.15. Теорема. Пусть функция f интегрируема на (a,b), а
функция ip ограничена на (а, Ь) ине убывает. Тогда существует такая
точка ? е [а, Ь], что
( tp(x)f(x) dx = <р(а + 0) J f(x) dx + <р(Ь - 0) / f(x) dx, B.12.4)
p(b — 0) обозначают пределы с
же ip еще и неотрицательна,
юй
j\(x)f(x)dx = <p(b-0)Jb.
Предположим сначаи
>ункции на [а,Ь]. Пш
F(x) = J*f(t)dt.
где <р(а + 0) и (р(Ь — 0) обозначают пределы справа и слева
соответственно. Если же ц> еще и неотрицательна, то найдется точка г) 6
[о, Ъ], для которой
o(x)f(x) dx = <р(Ъ - 0) / f(x) dx. B.12.5)
Доказательство. Предположим сначала, что <р и / —
непрерывно дифференцируемые функции на [а,Ь]. Положим

2.12. Дополнения и задачи
По формуле Ньютона-Лейбница имеем
J ф)/(х) dx - <p(b)F{b) - <p{a)F(a) - J p'(x)F(x) dx. B.12.6)
Поскольку if' ^ 0, то
[ininF(i)] J <p'{x)dx < J <p'(x)F(x)dx < [maxF(x)] J <ff{x)dx.
По теореме о среднем существует точка f € [а, 6], для которой
J p'(x)F(x)dx = F(oj ?/(*)<& = F@b(b)-v>(a)].
Подставляя это равенство в B.12.6), приходим к B.12.4).
В общем случае можно найти такие последовательности
непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций fn и у>„, что функции /„
сходятся к / в среднем, <рп не убывают, sup|v?„(x)| < оо и ^„(ж) —» ip(x)
во всех точках непрерывности <р. В качестве ^п можно взять
ipn{x) = / у>(ж - n~1y)p(y) dy,
где р — неотрицательная гладкая функция, равная нулю вне [0,1] и
имеющая интеграл 1, причем при х ^ а полагаем ip(x) — if(u-tО). Ясно,
что Lp„(a) ¦= <f(a + 0), \ipn(x)\ < sup|<p(?)|, <рп не убывают и iienp<,]>biBiio
дифференцируемы. Последнее вытекает из равенства
¦•Рп (х) = п I ip(z)p(nx -nz)dz,
получаемого заменой переменных, и теоремы о дифференцировании
интеграла Лебега по параметру. Из теоремы Лебега о мажорируемой
сходимости следует, что ipn(x) —> (р(х) во всех точках х, в которых
>р непрерывна слева, в частности, <рп(Ь) —» р(Ь — 0). Поскольку
множество точек разрыва ip не более чем счетно, то уп(х) —> tp(x) почти
всюду. Значит, интегралы от <pnfn сходятся к интегралу от ipf. Пусть
?п 6 [a, Ь] — какие-нибудь точки, соответствующие <рп и /п в B.12.4).
Последовательность ?п имеет предельную точку ? G [а, Ь). Переходя к
подпоследовательности, можно считать, что ?п —> ?. Чтобы увидеть,
что ? — искомая точка, остается заметить, что
J " }п{х) dx - j f{x) dx = J" [fn(x) - f(x)} dx + j " /(*) dl - 0,

Глава 2. Интеграл Лебега
ибо fn —> / в среднем на [а, Ь], а интеграл функции |/| по отрезку длины
|?„ —?| стремится к нулю при п —> оо в силу абсолютной непрерывности
интеграла Лебега.
В случае, когда tp ^ 0, достаточно убедиться, что правая часть
B.12.4) принадлежит отрезку значений непрерывной функции
ФИ- ^(b-O)jT f(t)dt
на [а, Ь]. Например, если интеграл / по [а,?] неотрицателен, то
ср(Ь-0) [ f(x)dx<<p{a + 0) f f(x)dx + <p(b-0) f f(x)dx
^<p(b~0) f f(x)dx,
откуда вытекает сказанное. ?
2.12(vi). Интеграл Лебега—Стилтьеса
В гл. 1 были определены меры Лебега-Стилтьеса на прямой:
каждой непрерывной слева неубывающей функции F, имеющей предел 0 на
—оо и предел 1 на +оо, была сопоставлена вероятностная борелевская
мера /х с F(t) — /х((—oo,t)). Пусть д — //-интегрируемая функция.
2.12.16. Определение. Положим
Г g(t) dF{t) := [ g(t) fi{dt) B.12.7)
J-oo JM
и будем называть это число интегралом Лебега-Стилтьеса функции
f по функции F.
Это определение легко расширить, включив функции F вида F =
c\F\ + C2F2, где Fi,i<2 — функции распределения вероятностных мер
F\ и J<2, a ci,C2 — постоянные. Тогда в качестве fx надо брать меру
cifii 4- C2/J2 (знакопеременные меры обсуждаются в гл. 3). Аналогично
определяется интеграл Лебега-Стилтьеса по отрезку или интервалу. В
некоторых приложениях бывает известна именно функция
распределения F, а не сама мера /л, поэтому обозначение интеграла посредством
левой части B.12.7) оказывается довольно полезным и наглядным в
выкладках. Если g принимает конечное число значений с* на промежутках
[ai, bi) и обращается в нуль вне этих промежутков, то
Jg(t)dF(t) = J2ci[F(bi)-F(ai)}.

2.12. Дополнения и задачи 187
Для непрерывных функций д на [а, Ь] интеграл Лебега-Стилтьеса
можно получить в виде предела таких сумм римановского типа. Отметим,
что в этом духе можно развивать и интеграл Римана-Стилтьеса, но мы
не будем этим заниматься. В задаче 5.8.102 гл. 5 приведены формулы
интегрирования по частям для интеграла Лебега-Стилтьеса.
2.12(vii). Интегральные неравенства
В теории меры и интеграла и в их приложениях большую роль
играют разнообразные интегральные неравенства. Например, мы уже
встречались с неравенством Чебьппёва и неравенствами Гёльдера и
Минковского. В этом параграфе мы выведем еще несколько часто
используемых неравенств. Первое из них — неравенство Йенсена.
Напомним, что вещественная функция Ф, определенная на
интервале Бот(Ф) = (а, 6) (возможно неограниченном), называется
выпуклой, если
Ф(*х+A-*)у) ^ *Ф(ж) + A-<)Ф(у), Vx,y € Бот(Ф), We [0,1].
На практике часто используется такое достаточное условие
выпуклости: Ф дважды дифференцируема и Ф" ^ 0. Доказательство сводится
к случаю х = 0, у = 1. Переходом к Ф(х) - хФA) - A - х)Ф(О) сводим
дело к случаю Ф@) = ФA) = 0. Теперь требуется проверить, что Ф ^ 0.
Если это не так, то найдется точка максимума ? е @,1) с Ф(?) > 0.
Тогда Ф'(?) = 0, откуда Ф'(?) ^ 0 при t > ? в силу Ф" > 0. Следовательно,
ФA) ^ Ф(?) > 0 — противоречие.
Характерные примеры выпуклых функций: ех, |x|Q с а ) 1.
Отметим, что для всякой точки хо е Оот(Ф) существует такое
число Х(хо), что
Ф(х) >Ф(х0)+А(х0)(х-х0), Vx е Бош(Ф). B.12.8)
В качестве А(хо) можно взять любое число между нижней
производной Ф'_(хо) = liminf/j^o /1_1(Ф(хо + h) - Ф(хо)) и верхней производной
Ф'+(яо) = Ит8ирл_0/1-1(Ф(х0 + /г.) - Ф(х0)) (см. задачу 2.12.81).
Из этого свойства выпуклых функций (которое можно взять за
определение) вытекает следующее неравенство Йенсена.
2.12.17. Теорема. Предположим, что \х — вероятностная мера
на пространстве (X,Л). Пусть f — такая fi-интегрируемая
функция со значениями в области определения выпуклой функции Ф, что
функция Ф(/) интегрируема. Тогда
*(jf. fix) /i(dx)) ^ jx *(/(*)) u(dx). B.12.9)

Глава 2. Интеграл Лебега
Доказательство. Пусть х0 = fd/j.. Тогда х0 е Бот(Ф).
Подставим f(x) вместо х в B.12.8) и получим
*(/(аО)>*(*о)+АЫ[/(аО-*о].
Интегрируя это равенство и замечая, что интеграл от второго
слагаемого в правой части равен нулю, приходим к B.12.9). ?
Ряд полезных неравенств получается путем выбора конкретных
функций Ф в общем неравенстве Йенсена. Их доказательства сводятся
к проверке выпуклости соответствующих функций.
2.12.18. Следствие. Пусть ц — вероятностная мера на
измеримом пространстве (X, Л). Пусть / — такал /л-интегрируемая
функция, что функция ехр / интегрируема. Тогда
ехрG /(*)ft(dx)\ < j ехрf{x)^dx). B.12.10)
Взяв Ф(?) = \t\a с а > 1, получаем следующее неравенство
Ляпунова.
2.12.19. Следствие. Пусть ц — вероятностная мера на
измеримом пространстве iX,A). Пусть f — такая функция, что функция
\f\p интегрируема при некотором р ^ 1. Тогда для всякого г е @,р]
функция |/|г также интегрируема, причем
(Jx |/(х)|г nidx)J Г < f^ |/(*)|*pidx). B.12.11)
Следующие интегральные неравенства используются в теории
информации и теории вероятностей (см. Liese, Vajda [600]).
2.12.20. Теорема. Пусть fug— положительные
интегрируемые функции на пространстве X с неотрицательной мерой ц. Тогда
j /log/d/x- J fdJlogj fd^j B.12.12)
> J floggdu- j fdJ log J gdA,
при условии, что /log/ и flogg интегрируемы. Кроме того,
равенство возможно лишь тогда, когда / = eg п.в. для некоторого числа с.
Доказательство. Предположим сначала, что /ид имеют
равные интегралы. Из неравенства logx < х — 1 на @, со) следует оценка

2.12. Дополнения и задачи
/log5 - /log/ = flog(g/f) ^ д- / (достаточно взять z = g/f).
Интегрируя, получаем неравенство
/ /log/d/O / floggdn-
Ясно, что равенство возможно лишь в том случае, когда почти всюду
/log(<?//) = g — f, что равносильно тому, что f = д п.в. В общем случае,
записав последнее неравенство для функций f\\f\\Zhp) и PlI^IIZ^) с
равными интегралами, приходим к оценке B.12.12). ?
Величина / / log / dfx называется энтропией /. Следующая оценка
носит название неравенства Пинскера-Кульбака-Чизара (в книге Пин-
скер [146] оно было получено с некоторой константой, а затем Чизар и
Кульбак обосновали его в указанном виде, см. Csiszar [328]).
2.12.21. Теорема. Пусть /х и и — вероятностные меры на
пространстве X и v = / - /х, где / > 0. Тогда
Нм-И|2:=(^_|/-1|4") ^ 2 jf^/log/d/i,
где в правой части допускается и бесконечность.
Доказательство. Пусть Е := {/ ^ 1}, v(E) = a, t = ц(Е). Ясно,
что а ^ t. Справедливы равенства
/ |/-1|ф= /A-/)ф+ / (/-l)d/i = 2(t-a).
Jx Je Jx\e
Если a = 1 или t = 1, то / = 1 п.в. Поэтому считаем далее, что
a,t ? @,1). Кроме того, считаем, что функция /log/
интегрируема, ибо иначе в правой части стоит +оо ввиду ограниченности
функции /log/ на множестве Е. Применяя неравенство B.12.12) к
вероятностной плотности д, равной a/t на Е и A —a)/(l —t) на Х\Е, получаем
/ /log/ф S*alog^ + (l-a)logy—|.
Теперь достаточно заметить, что при а < t < 1 выполняется
неравенство ipa{t) :=2(t — аJ — a log —Ь A — a) log ^ 0, которое следует
из того, что ф'а(Ь) = (a-t)D-t-1(l-t)~1) ^Onpnt^ аифа(а) = 0. П
Другие важные интегральные неравенства будут получены в §3.10.

190
Глава 2. Интеграл Лебега
Задачи
2.12.22° Пусть измеримые функции /„ на [0,1] почти всюду сходятся к
нулю. Доказать, что существуют такие числа Сп > О, что lim Сп = оо, но
последовательность С„/п также почти всюду сходится к нулю.
2.12.23° Пусть измеримые функции /„ на [0,1] почти всюду сходятся к
нулю. Доказать, что существуют такие числа е„ > 0 и измеримая конечная
функция д, что lim еп = 0 и |/т»(ж)| ^ sng(x) почти всюду для каждого п.
Указание: в задаче 2.12.22 взять е„ = С^1.
2.12.24° Построить такое измеримое множество в [0,1], что всякая
функция на [0,1], почти всюду равная его индикаторной функции, разрывна почти
всюду.
Указание: взять такое множество, что оно само и его дополнение
пересекаются со всяким интервалом по множеству положительной меры.
2.12.25.° Предположим, что функции /ид измеримы относительно ет-
алгебры Л, а функция Ф непрерывна на подмножестве плоскости,
образованном значениями отображения (/, д). Показать, что функция Ф(/, д) измерима
относительно А.
2.12.26. (Davies [339]) Пусть ц — конечная неотрицательная мера на
пространстве X. Доказать, что функция /: X —» И11 измерима относительно
ц в точности тогда, когда для всякого /х-измеримого множества А с ц(А) > 0
и всякого ? > 0 найдется такое //-измеримое множество В С А, что ц{В) > 0
HjniPB|/(s)-/(v)|?e.
Указание: необходимость этого условия ясна из того, что А покрыто
множествами 1х ? А: пе ^ f(x) < (п + 1)е|. Для доказательства
достаточности можно построить последовательность д-измеримых счетно-значных
функций /„, равномерно сходящуюся к / на множестве полной меры. С
этой целью для фиксированного е > 0 и всякого множества Е
положительной меры рассмотрим класс В(Е,е) всех измеримых множеств В С Е
с ц(В) > 0 и sup |/(х) — /(у)| < е (этот класс непуст по условию) и по-
х,Уев
ложим Si = sup{/*(B): В ? В(Х,е)}; выберем Bi е В{Х,е) с ц(В{) > <5i/2.
Повторим описанное построение для множества X\Bi и найдем В2 С X\Bi
с /х(Вг) > <5г/2, где Si — sup{/x(B),В ? B(X\Bi,e)}. По индукции
получаем ^-измеримые множества В„ с В„ С X\(Bi U • • • U B„_i), /х(В„) > 6п/2,
5п = sup{p(B), В е B(X\(Bi U • • ¦ U Bn-i),?)}. Этот процесс будет конечным
лишь в случае, когда X окажется покрытым конечным числом Вп с
точностью до множества меры нуль. В общем случае получаем
последовательность множеств Вп, покрывающих X с точностью до множества меры нуль.
В самом деле, в противном случае найдется множество E С Х\ U^Li Вп с
(м(Е) = «5 > 0 и sup \f(x) — /(у) | $ е. Ясно, что 6п —> 0 и потому найдет-
х,у€Е
ся Sk < 5/2. Это приводит к противоречию, ибо Е С -XAUlUi ^«> откуда
ц(Е) ^ Sk < S. Остается в каждом множестве В„ выбрать по точке хп и
положить д\в„ = f(xn). Тогда \д{х) - f(x)\ ^ е для всех х ? \J^=i в»-

2.12. Дополнения и задачи
2.12.27.° (М. Фреше) Пусть последовательность измеримых функций
/п на вероятностном пространстве (X, ц) сходится п.в. к функции / и для
каждого п есть последовательность измеримых функций fn,m, п.в.
сходящаяся к /„. Доказать, что найдутся такие подпоследовательности Пк и mk, что
/nt.mt-/n.B.
Указание: воспользоваться замечанием 2.2.7 (или метризуемостью
сходимости по мере) и теоремой Рисса.
2.12.28.° Выяснить, при каких вещественных а и C функция ха sin(:r'3)
интегрируема по Лебегу на а) @,1), б) @, +оо), в) A, +оо). Ответить на тот
же вопрос для собственной и несобственной интегрируемости по Риману.
2.12.29.° Выяснить, при каких вещественных а и /3 функция xa(loga;)'3
интегрируема по Лебегу на а) @,1), б) @, +оо).
2.12.30° Пусть Jn — последовательность непересекающихся отрезков в
[0,1], сходящихся к началу координат, \Jn\ = 4_п, и пусть / = п*1 /\J?n\ на
Ji-a, f = —n-1/|J2n+i| на J2n+i, а в остальных точках равна нулю. Показать,
что / интегрируема по Риману в несобственном смысле, но не интегрируема
по Лебегу.
2.12.31. (i) (А. Лебег, Дж. Витали) Показать, что ограниченная
функция интегрируема по Риману на отрезке (или кубе) в точности тогда, когда
множество ее точек разрыва имеет меру нуль.
(ii) Доказать, что функция / на [а, Ь] интегрируема по Риману в точности
тогда, когда для всякого е > 0 найдутся такие ступенчатые функции д и h,
что |/(аг) - д(х)\ ^ h(x) и J h(x) dx < е.
Указание: (i) см. Архипов, Садовничий, Чубариков |16, с. 586]; (ii)
применить (i) и неравенство Чебышёва.
2.12.32.° Пусть последовательность /х-интегрируемых функций /„
сходится к / в Lx(/i), а последовательность ^-измеримых функций <рп сходится
к if ц-п.ъ. и равномерно ограничена. Показать, что функции <pnf„ сходятся
к Vf в L1^).
2.12.33° Пусть функция / ^ 0 интегрируема относительно меры /i.
Доказать равенство fdfj, = lim ^2 rnfi(x: rn ^ /(ж) < r"+1).
Указание: пусть /г = E,Z=-00rnif-1[r»,r»+i), тогда Л ^ / ^ г/г-
2.12.34.° (i) Построить последовательность неотрицательных функций
/п на [0,1], интегралы которых стремятся к нулю и которые стремятся к нулю
в каждой точке, но функция Ф(х) = sup/„(x) не интегрируема. В частности,
функции /„ не имеют общей интегрируемой мажоранты.
(ii) Построить последовательность функций /„ ^ 0 на [0,1], интегралы
которых стремятся к нулю, но sup/„(x) = +оо для каждого х.
Указание: (i) взять fn(x) = "-f[n-i,(n+1)-ij, х 6 [0,1]; (ii) взять функции
/п,ц из примера 2.2.4 и рассмотреть га/„,ь

Глава 2. Интеграл Лебега
2.12.35. Пусть ц — вероятностная мера на пространстве X и {fn} —
последовательность //-интегрируемых функций, /i-п.в. сходящаяся к /х-ин-
тегрируемой функции /, причем интегралы от /„ сходятся к интегралу от /.
Доказать, что для всякого г > 0 найдутся измеримое множество Е и число
N е IN, такие, что при всех га ^ N имеем
|/ /»**|*
¦\^е и |/.(i)K|/(i)| + 1 прихеЕ.
Указание: найдется такое S > О,
> \f \f\*>\-
?)<би сход
[га^ N
p|/»(i)-/(*)|<|min(l,?) и [?(/»"/)<fc|*
Существует такое множество Д, что ц(Х\Е) < 6 и сходимость /п к /
равномерна на В. Теперь берем такое JV, что при п^ N
\f Efnd»\ = \Jxfnd»- Jxfd» + J Jndn + jU-fn)d»\
л л JX\B
2.12.36. Пусть /i — вероятностная мера на пространстве X и /„ — ц,-
измеримые функции. Доказать, что следующие условия равносильны: (i)
существует подпоследовательность /Пк, сходящаяся п.в. к 0, (ii) существует
такая последовательность чисел t„, что lim sup \tr. | > 0 и J2™=i fnfn(x) сходится
п.в., (Ш) существует такая последовательность чисел tn, что Yl™=\ |t„| = оо
и E~=i !*»/»(*) I < °° п.в.
Указание: по теореме Егорова из (i) получаем (ii), (iii). Если верно (iii),
l Хн ~ U е X: ?~ , 1*»/»(*I ^ N\ имеем
У^ \tn\ I \fn\dfi ^ iV, откуда liminf / \fn\dfj, = 0. Из этого следует (i),
ибо h(Xn) —* 1, Наконец, из (ii) также следует (i), ибо ?„/„(х) —> 0 п.в. и
достаточно взять га* с lim inf |*nfc | > 0.
2.12.37.° Показать, что последовательность измеримых функций /п на
пространстве с вероятностной мерой /у. сходится почти равномерно в смысле
теоремы Егорова к измеримой функции / в точности тогда, когда
Km ?( U {*: IW*) - W*)! > ?}) = о.
П_,ОС mjm
2.12.38. Доказать следующий аналог теоремы Егорова для пространств
с бесконечной мерой: пусть /u-измеримые функции /„ сходятся /х-п.в. к
функции /, причем |/„| ^ д ju-п.в., где функция д интегрируема относительно /л;
тогда для всякого е > 0 существует такое множество Ае, что функции /„
сходятся к / равномерно на А€, а дополнение А? имеет /х-меру х

2.12. Дополнения и задачи 193
Указание: множества G := {д > 1} и G* := {2~к~г ^ д < 2~к} имеют
конечные меры в силу интегрируемости д, поэтому в них найдутся
измеримые подмножества А С G, Ак С Gk, на каждом из которых сходимость
равномерна, причем fi(G\A) < е/2, fi(Gk\Ak) < е4~к. В качестве Ае можно
взять объединение всех множеств А и Ак с множеством всех х, где fn{x) = О
2.12.39. (Толстое [175]) (i) Пусть / - борелевская функция на [О, I]2,
уо — фиксированная точка из [0,1] и lim f(x,y) = f{x,y0) для всякого
х ? [0,1]. Доказать, что для каждого е > 0 существует такое измеримое
множество АЕ С [0,1]2, что А2(^4Е) > 1 - е и lim f(x,y) = f(x,yo) равномерно
по х е Ае.
(ii) Построить ограниченную измеримую по Лебегу функцию / на [0,1]2,
которая является борелевской по каждому переменному раздельно, причем
lim f(x, у) = 0 для всякого х € [0,1], однако ни на каком множестве
положительной меры нет равномерной сходимости.
Указание: (i) Пусть
5п(х) := sup{<5: 1/A,1,) - f(x,yo)\ < l/п при d(x,y) < б}.
По условию 6п(х) > 0 для всякого х. Легко видеть, что при фиксированных
n е IN и С > 0 множество
М(п,С) := {(x,y)\f(x,y)~ }{х,у0)\ > l/n,d(x,y)<C\
является борелевским. В силу предложения 1.10.7 проекция М{п,С)
является суслинским множеством и потому измерима. Ясно, что чта проекция
есть {х: Sn(x) < С}, что дает измеримость функции 6п. Теперь для
заданного е > 0 и каждого п находим такое измеримое множество Ап С [0,1],
что Xi(An) > 1 — с2~п и 6п\лп 7? In, где у„ > 0 — постоянные. Положим
А = П^=1 An- Если п~1 < е, то при d(y, уо) < 7п для всех х € А С Ап имеем
\f{x,y) - f(x,y0)\ < n_1 < е. (ii) Существует разбиение [0,1] на
дизъюнктные множества Еп с \*(Еп) = 1. Пусть f{x,n~xx) = 1 при х в Е„, п € IN,
в остальных точках пусть / = 0. Функция / отлична от нуля лишь в
точках множества, покрытого счетным числом прямых вида у = пх. Ясно, что
/ измерима по Лебегу и борелева по каждому переменному отдельно. Если
Х(Е) > 0, то для всякого п в Е найдутся точки из Еп, поэтому для всякого
? > 0 существуют х?Ену<ЕС f(x, у) = 1.
2.12.40. (Фрумкин [188]) Пусть / — функция на [0,1]2, причем при
каждом фиксированном t функция s н-> f(t, s) п.в. конечна и измерима.
Предположим, что lim f(t, s) = /@, s) для п.в. s. Показать, что для всякого <5i > 0
существует такое измеримое множество Е^1 с \(Е^) > 1 — Ei, что по заданному
с > 0 можно найти такое 6 > 0, что при t < 6 неравенство |/(/, s) - /@, s)\ < е
имеет место для всех s, кроме точек некоторого множества Et меры нуль.
2.12.41. (Stampacchia [790]) Дана последовательность функций fn на
[0,1] х [0,1], измеримых по х и непрерывных по у. Известно, что для всякого

Глава 2. Интеграл Лебега
у € [0,1] последовательность {fn(x, у)} сходится при п.в. х и что для п.в. х
последовательность функций у ь-» fn(x, у) равностепенно непрерывна.
Доказать, что для каждого е > 0 найдется такое измеримое множество Ес С [0,1]
лебеговской меры не менее 1-е, что последовательность {fn(x,y)}
равномерно сходится на множестве Е€ х [0,1].
2.12.42. Пусть дана последовательность чисел 7 = {7fc}- При х 6 [0,1]
положим /-у(х) = 0, если х иррационально, /7@) = 1, /-у (х) = 7fc. если
х = т/к является несократимой дробью. Доказать, что функция /7
интегрируема по Риману в точности тогда, когда lim 7* = 0.
Указание: см. Benedetto [253, предложение 3.6, с. 96].
2.12.43.° Пусть функция / на прямой периодична с периодом Г > 0 и
интегрируема на отрезках. Показать, что интегралы / по [0, Т] и [а, а + Т)
равны при всех о.
2.12.44. Найти множество Е С [0,1] с лебеговской мерой а С @,1), для
которого функция \х—с|-1 имеет бесконечный интеграл при всех с € [0,1]\Е.
2.12.45. Пусть функция / интегрируема на [0,1] и /(х) > 0 для всех х.
Показать, что для всякого е > 0 найдется такое 6 > 0, что / /(х) rfx ^ 5 для
всякого множества А меры не менее е.
Указание: взять такое с > 0, что мера множества {/ ^ с} больше 1—е/2
и оценить интеграл / по А П {/ ^ с} для множества А меры е.
2.12.46. (М.К. Гавурин) Пусть функция / интегрируема на [0,1] и а €
@,1). Предположим, что интеграл / по всякому множеству меры а равен
нулю. Доказать, что / = 0 почти всюду.
Указание: сначала показать, что / /(х) dx = 0, взяв такие
натуральные числа пит, что число п — та неотрицательно и не превосходит
заданного малого е, продолжив / периодически на [0, п] и заметив, что интеграл
/ по [0, та] равен нулю; затем свести утверждение к случаю а ^ 1/2,
пользуясь тем, что min(a, 1 — а) ^ 1/2; в последнем случае заметить, что если
мера множества {/ ^ 0} не меньше а, то согласно условию и примеру 1.12.8
мера множества {/ > 0} равна нулю, а затем рассмотреть {/ ^ 0}.
2.12.47. Пусть Е С [0,27г] — множество конечной меры d и n € IN.
Доказать неравенство / | cos(nx)| dx ^ — sin —.
Je 2 8
Указание: заметить, что в точках из Е, не входящих в интервалы длины
d/Dn) с центрами в 7г/Bп) + kn/n, имеет место оценка | cos(rax)| ^ sind/8, а
сумма мер этих интервалов не превосходит d/2.
2.12.48.° Пусть (I — ограниченная неотрицательная мера на <г-алгеб-
ре А. Доказать, что рассмотренное нами определение интеграла Лебега
равносильно следующему определению. Для простых функций сохраняем
прежнее определение, для ограниченных измеримых / полагаем
Г fdn= Um f fndfi,
Jx n-^°°Jx

2.12. Дополнения и задачи
где {/п} — произвольная последовательность простых функций, равномерно
сходящаяся к /, для неотрицательных измеримых функций / полагаем
/ fd/j,= lim / п
а в общем случае считаем / интегрируемой, если интегрируемы обе функг
/+ = тах(/, 0) и /~ = - min(/,0), причем полагаем
j /dM = y /+dM-j j-dfx.
2.12.49.° Цель этой задачи — показать, что использованное нами опре-
ление интеграла Лебега равносильно следующему определению самого
Лебега. Пусть ц — ограниченная неотрицательная мера на ег-алгебре Л и / —
измеримая функция. Зафиксируем е > 0 и рассмотрим разбиение Р прямой
на промежутки [j/i, г/i+i), i € Z, yi < yt+i, с длинами не больше е. Пусть
6(Р) = sup|j/i+1 - уг\. Положим 1(Р) := ? уф(х: Уг ^ /(х) < Vi+l).
Предположим, что при некоторых е и Р такой ряд сходится (т.е. сходятся
ряды по положительным и отрицательным г). Показать, что тогда этот ряд
сходится для всякого разбиения и для всякой последовательности разбиений
Рк с 6(Рк) —» 0 существует конечный предел lim 1(Рк), не зависящий от
выбора последовательности разбиений, причем функция / оказывается
интегрируемой в смысле нашего основного определения и ее интеграл равен
указанному пределу. Показать, что в приведенном определении можно было
бы ограничиться точками у, = ег.
Указание: ясно, что из основного определения вытекает
сформулированное выше. Если упомянутый в определении ряд сходится, то он сходится
абсолютно и потому функция др, принимающая значения yi на множествах
{у% ^ / < Уг+i} интегрируема. Поскольку |/ — др\ ^ б(Р), то / также
интегрируема и интеграл от др стремится к интегралу от /.
2.12.50? Пусть / — ограниченная функция на пространстве X с
ограниченной неотрицательной мерой /х. Для каждого разбиения X на
дизъюнктные измеримые части A'i,..., Х„ положим
Нижний интеграл 7, функции / равен точной верхней грани сумм L({Xi})
по всевозможным конечным разбиениям, а верхний интеграл /* функции /
равен точной нижней грани сумм U({Xi}). Функцию / назовем
интегрируемой, если /* = /*. Доказать, что интегрируемая в указанном смысле функция
/i-измерима, причем ее лебеговский интеграл равен /» = /*. Кроме того,
показать, что если / ограничена и д-измерима, то / интегрируема в указанном
смысле.
Указание: если / интегрируема в указанном смысле, то можно найти
последовательности простых функций <рп и фп с <рп{х) ^ f(x) ^ грп(х) и
||^>п— Фп\\ьЦц) ^ l/n> а если / измерима и ограничена, то следует рассмотреть

Глава 2. Интеграл Лебега
разбиения на множества вида / 1((a«,ai+i]), где a,+i — at = 1/га i
число промежутков [ai,a.i+i) покрывает образ /.
2.12.51. (MacNeille [616], Mikusinski [648]) Пусть К - алгебра (или
полуалгебра) множеств пространства Хи/i- вероятностная мера на Л =
о(И). Доказать, что функция / интегрируема относительно (л тогда и
только тогда, когда существует последовательность таких 72-простых функций
фк (т.е. конечных линейных комбинаций индикаторов множеств из 7?.), что
и
\фк\<1ц < оо и f(x) = 5Z Фк(х) для всякого такого х, что указанный
ряд сходится абсолютно. При этом / /йц = ^ / фк d/j,.
Указание: данное условие влечет интегрируемость /, поскольку по
теореме Фату ряд из l^fcl сходится п.в. Если / интегрируема, то найдется
последовательность 72.-простых функций <рк, которая сходится к / п.в. и
II/ - Ч>к\\ьЦр.) < 2~к~1. Тогда \\tpk - <Рк+1\\ь^м < 2_*- Пусть дк = <fk - <fik-i-
Ясно, что $3 9к —* / п.в. и YI \дк\ < оо п.в. Рассмотрим множество Е
нулевой меры, на котором сумма ряда из дк не равна /, а ряд сходится абсолютно.
Если Е пусто, то пусть фк = дк- Если Е не пусто, то можно найти м
Rk € 72, для которых ? n(Rk) < оо и каждая точка из Е принадлежит
бесконечно многим Rk. Для этого при каждом j покрываем Е
последовательностью множеств Rjm € 1Z с суммой мер меньше 2_J, а затем располагаем Rjm
в одну последовательность. Наконец, образуем последовательность функций
9l,lR1,-lR1,g2,lRi,-lRt,..; ПОЛЬЗУЯСЬ праВИЛОМ фзк-2 = дк, Фзк-1 = lRk,
фзк = —lRk- При х € Е ряд из |V>k(a;)| расходится, ибо в нем бесконечно
много единиц. Если же этот ряд сходится, то х ? Е, причем ряды из |gfc(a;)| и
lRk (х) также сходятся. Поэтому f(x) = ]? 9к(х), что равно X) Фк(х), так как
Ir* (х) = 0 для всех достаточно больших к ввиду сходимости ряда. Остается
вспомнить, что ряд из мер Rk сходится.
2.12.52. (Ф. Рисе) Обозначим через Со класс всех ступенчатых функций
на [0,1], т.е. функций, постоянных на промежутках, образующих конечные
разбиения [0,1]. Через С\ обозначим класс всех таких функций / на [0,1], для
которых найдется такая неубывающая последовательность функций /„ ? Со,
410 fn(x) —> f(x) п.в. и римановские интегралы от fn равномерно
ограничены. Предел римановских интегралов от /„ обозначим через L(f). Наконец,
через Съ обозначим класс всех разностей / = Д — Д с Д, Д ? С\ и
положим L(f) = L(fi) — L(f2). Доказать, что класс Сг совпадает с классом
интегрируемых по Лебегу функций, причем L(f) есть интеграл Лебега.
Указание: в одну сторону утверждение очевидно, а обоснование
обратного можно найти в Рисе, Секефальви-Надь [153, гл. 2].
2.12.53? Определим интеграл от ограниченной измеримой функции / на
[0,1] следующим образом. Сначала зададим интеграл непрерывной функции

2.12. Дополнения и задачи
197
д по замкнутому множеству Е как разность между интегралом д по [0,1] и
суммой ряда интегралов д по конечному или счетному набору дизъюнктных
интервалов, составляющих [0,1]\Е. Интегралом по замкнутому множеству Е
от функции tp, непрерывной на Е, назовем интеграл по Е от ее непрерывного
продолжения (любого) на [0,1]. Далее берем последовательность замкнутых
множеств Еп с \(Еп) —> 1, на которых / непрерывна, и задаем интеграл / по
[0,1] как предел интегралов / по множествам Еп- Доказать, что указанный
предел существует и равен лебеговскому интегралу от /.
2.12.54. Показать, что в [0,1] существует такое борелевское множество,
что его индикаторная функция не может совпадать п.в. с пределом
возрастающей последовательности неотрицательных ступенчатых функций.
Указание: пусть Е — такое борелевское множество, что Е и [0,1]\Е
пересекают все интервалы по множествам положительной меры. Если {/п} —
возрастающая последовательность неотрицательных ступенчатых функций,
п.в. сходящаяся к /в, то найдутся такие интервал I и номер п\, что fni(x) ^
1/2 для всех хе I. Тогда IE(x) Js 1/2 п.в. на /, т.е. А(/ П Е) = \A).
2.12.55.° Пусть / — измеримая функция на прямой, равная нулю вне
некоторого отрезка. Показать, что если е„ —> 0, то функции х н-> f(x + еп)
сходятся к / по мере.
Указание: для непрерывных функций утверждение очевидно, а в
общем случае надо взять последовательность непрерывных функций,
сходящуюся к / по мере. Другое решение можно извлечь из задачи 4.7.93 главы 4.
2.12.56. Пусть / ограниченная измеримая функция на прямой,
(i) Верно ли, что f(x + п'1) —¦ f(x) для п.в. х?
f{x + п^х) -+ f(x) для п.в. х.
Указание: (i) нет; рассмотреть индикатор компакта К С [0,1], который
строится следующим образом. Для каждого п разделим [0,1] на 22
промежутков In,k равной длины еп = 2-2 , из каждого такого промежутка удалим
интервал Un,k длины еп, примыкающий к правому концу 1„,к, и обозначим
полученное замкнутое множество через Кп. Положим К = [\^=1 Кп. Тогда
\{К) > 0 и для всякого х € К Г) [0,1) найдутся сколь угодно большие номера
т с х + т-1 0 К. Это проверяется с помощью следующего простого
утверждения: если интервал U длины е2 лежит в отрезке [0, е], то в U найдется
точка вида n_1, п G IN. Для доказательства сформулированного
утверждения достаточно рассмотреть наименьшее к 6 ЕЧ с к~* < е; для некоторого
I 6 IN получим (к + I)'1 € U. (ii) Достаточно проверить утверждение для
функций с ограниченным носителем, а тогда ввиду задачи 2.12.55 функции
/(ж + 1/п) сходятся к / по мере, поэтому остается выбрать п.в. сходящуюся
подпоследовательность.
2.12.57? Пусть (X, А,ц) — пространство с неотрицательной мерой,
функция /: Хх(а,Ь) —* Ш} при всех t интегрируема по х, при каждом х
дифференцируема по t в фиксированной точке to € (а, 6), причем существует
такая /^-интегрируемая функция Ф, что для всякого t найдется множество

Глава 2. Интеграл Лебега
Zt с fi(Zt) = 0 и |/(х, t) - f(x, to)\ < Ф(х)|* -10| при х 0 Zt. Показать, что
интеграл от f(x, t) по мере ц дифференцируем по t в точке to и его производная
есть интеграл от df(x, to)/dt.
Указание: для всякой последовательности tn объединение множеств
Ztn имеет меру нуль, далее применимо рассуждение из следствия 2.8.7.
2.12.58.° Пусть д — вероятностная мера и / — такая неотрицательная
/х-интегрируемая функция, что In/ € •С1(д). Доказать, что
ton f И—ldp= Лп/ф.
P-.0+ J p J
Указание: воспользоваться неравенством \tp — l|/p ^ \t — 1| + | lnt| при
t > 0, p € @,1) и теоремой Лебега.
2.12.59° Пусть fi — вероятностная мера и / — неотрицательная /х-ин-
тегрируемая функция. Доказать, что
А (/^4*) " = exp/ln-''d'x-
Указание: в случае, когда интеграл In/ конечен, воспользуйтесь
предыдущей задачей.
2.12.60? Пусть fi — вероятностная мера и / € Ь1(м). Доказать, что
1 + (J |/| dM) < (J y/l + WФ»)\(l + J\f\ dMJ-
Указание: применить неравенство Йенсена к функции <p(t) = VI +12 и
оценку VI + I/I2 < 1 + 1/1-
2.12.61. Доказать, что произвольную функцию /: [0,1] —> Ш, можно
представить в виде /(ж) = ф(>р(х)), где ?>: [0,1] —» [0,1] — борелевская
функция, а ^Ь: [0,1] -+ Ш — измеримая по Лебегу функция.
Указание: записав х € [0,1] в виде х = Y??=i хп2~п, х„ = 0 или 1,
положить ip(x) = 2 X}^°=i х„3_п; заметить, что ip инъективно отображает [0,1] на
подмножество канторовского множества меры нуль и определить ф нужным
образом на образе ip и нулем вне этого образа.
2.12.62. Показать, что сходимость почти всюду на отрезке I с мерой
Лебега нельзя задать никакой топологией, т.е. не существует такой
топологии на множестве всех измеримых функций на I (или на множестве всех
непрерывных функций на /), что последовательность функций сходится в
этой топологии в точности тогда, когда она сходится почти всюду.
Указание: воспользоваться тем, что сходимость, задаваемая
топологией, обладает следующим свойством: если всякая подпоследовательность
последовательности {/„} содержит подпоследовательность, которая сходится к
некоторому элементу /,«>/„—¦/; найти последовательность непрерывных
функций, которая сходится по мере, но не сходится ни в одной точке.

2.12. Дополнения и задачи
2.12.63. (Marczewski [621]) Пусть ц — такая вероятностная мера, что
сходимость по мере для последовательностей измеримых функций
равносильна сходимости почти всюду. Доказать, что мера /х является чисто
атомической.
2.12.64? Докажите, что функция / на отрезке [а, Ь] непрерывна в точке х
в точности тогда, когда в х равно нулю ее колебание, определенное формулой
LOf(x) := lim sup{|/(z) - f(y)\: \z - x\ < e, \y - z\ < e).
2.12.65.° (теорема Бэра) Пусть /„ — непрерывные функции на [а, Ь]
и для каждого х G [а,6] существует конечный предел f{x) = lim fn(x).
Докажите, что множество точек непрерывности / всюду плотно в [а,Ь].
Указание: к множествам {a;: u>f(x) ^ J1} применить теорему Бэра о
категории.
2.12.66.° (i) Постройте пример такой последовательности непрерывных
функций /„ на [0,1], что для каждого х е [0,1] существует конечный предел
f(x) = lim fn(x), но множество точек разрыва / всюду плотно в [0,1].
(ii) Постройте пример, показывающий, что функция / в (i) может быть
разрывна почти всюду.
2.12.67. Доказать, что равномерный предел последовательности
функций из классов Бэра не выше а также входит в класс Бэра не выше а.
2.12.68. Доказать, что если функция if> непрерывна на прямой, а
функция / входит в класс Бэра не выше а, то такова же и функция у> о /.
2.12.69. Доказать, что если функция / входит в класс Бэра не выше а
на плоскости, то функция <р(х) = f(x,x) входит в класс Бэра не выше а на
прямой.
2.12.70. Доказать, что функция Дирихле (индикатор множества
рациональных чисел) входит во второй класс Бэра, но не входит в первый.
2.12.71. Построить измеримую функцию на [0,1], которую нельзя так
переопределить на множестве меры нуль, чтобы она стала функцией первого
класса Бэра.
Указание: воспользоваться тем, что функция первого класса Бэра
имеет точки непрерывности.
2.12.72. Пусть функция / на плоскости непрерывна по каждому
переменному при фиксированном другом. Показать, что в некоторой точке /
непрерывна по совокупности переменных.
2.12.73. Пусть / — измеримая числовая функция на измеримом
пространстве (X, А, д) с положительной мерой рь. Доказать, что найдется такое
число у, что
L\fd^v\»idx)=+0°-
Указание: переходя к подмножеству X, можно считать, что функция
/ ограничена, а мера ц конечна (если мера бесконечна на множестве, где /
ограничена, то утверждение очевидно); поэтому считаем, что 0^ /< 1и

200 Глава 2. Интеграл Лебега
что fi(X) = 1; прообраз при / хотя бы одного из отрезков [0,1/2] или [1/2,1]
имеет меру не меньше 1/2; обозначим этот отрезок через Ii и по индукции
построим последовательность вложенных отрезков /„ с /х(/_1(/„)) ^ 2~п;
существует у 6 fl^Li ^п; тогда ц(х: \f(x) - у\~г ^ 2П) ^ 2~п.
2.12.74.° Пусть (Х,.А, //) — измеримое пространство с конечной
положительной мерой (j, и / — /t-измеримая функция со значениями в И или
в С. Точка у называется существенным значением /, если для всякого е > 0
множество {х: \f(x) — у\ < е) имеет положительную //-меру.
(i) Показать, что функция / не обязана принимать каждое существенное
значение и что не всякое фактическое значение / является существенным.
(ii) Показать, что множество существенных значений / имеет непустое
пересечение с f(X).
(iii) Показать, что множество существенных значений замкнуто и
совпадает с пересечением замыканий множеств f(X) по всем функциям /, п.в.
равным /.
2.12.75. Пусть ц — неотрицательная мера и / — /t-измеримая функция,
обладающая ограниченной по абсолютной величине модификацией. Такие
функции называются существенно ограниченными. Существенный супремум
esssup / и существенный инфимум essinf / функции / определяются
следующим образом:
esssup / := infj М: f(x) ^ М //-п.в.|, essinf / := supj m: f(x) ^ m /t-п.в. \.
Ограниченная измеримая функция / на [о, Ь] называется приведенной, если
для каждого отрезка [а, /3] С [о, 6] справедливы равенства
inf [а,0]/ = essinf [a,/3]f, sup [а,д/ = esssup[a3]/.
Доказать, что всякая ограниченная измеримая функция / на [а, Ъ] обладает
приведенной модификацией.
2.12.76. Пусть (л — вероятностная мера, еп > 0, ^2 еп < оо ж fn —
такие /г-измеримые функции, что ^ Мх: \fn(x)\ > ?п) < оо. Доказать, что
EJ/n(*)|<oon.B.
Указание: пусть Е = fl^Li \Jm=nix: !/"•(*) I > е™}; так как
то ц(Е) = 0; если х & Е, то найдется п с х ? {\f™\ > ?m} при всех т ^ п,
т.е. |/т(а;)| ^ ет, что дает сходимость ряда.
2.12.77? Пусть /, д: [0,1] —> [0,1], причем / непрерывна, а д
интегрируема по Риману. Показать, что композиция до/ не обязана быть интегрируемой
по Риману.

2.12. Дополнения и задачи
2.12.78. Доказать, что функция / на кубе в М" интегрируема по Риману
в точности тогда, когда она ограничена и множество ее точек разрыва имеет
меру нуль.
Указание: см. Зорич [77, гл. XI, § 1].
2.12.79? Пусть мера р, неотрицательна, / € jC1 (//), / ^ 0, причем
f fdp = Jfndp, VnelN.
Доказать, что п.в. f(x) ? {0,1}.
Указание: заметить, что ц,({/ ^ с}) = 0 для всякого с > 1, ибо сп —> оо
при п —> оо; это дает / ^ 1 п.в.; множество {0 < / < 1} имеет меру нуль,
ибо /и/" имеют равные интегралы по этому множеству, причем интеграл
от /" стремится к нулю при п —» оо по теореме Лебега о мажорированной
2.12.80? Пусть 1 < р < оо, р +<j =1. Показать, что для всех
неотрицательных а и Ь справедливо неравенство ab ^ —¦ + ^-, причем равенство
Указание: рассмотреть график функции у = хр_1 на [0, а] и заметить,
что площадь области между ним и осью абсцисс равна а? /р, а площадь
области между ним и прямой у = b равна Ья/q; воспользоваться тем, что сумма
указанных площадей не меньше ab, причем равенство возможно лишь при
Ь = а"-\
2.12.81? Обосновать соотношение B.12.8).
2.12.82? Пусть 1 < р < оо, р + q~l = 1, / ? ?р(р), д € С (р.), причем
//з^=ШР|Ы|,.
sign/ ¦ I/I" П.В.
Указание: из доказательства неравенства Гёльдера и задачи 2.12.80 за-
Ы = l/lP_1! откуда вытекает требуемое.
сех неотрицательных
целых к. Показать, что / = 0 п.в
Указание: взять равномерно ограниченную последовательность многс
членов Pj с pj(t) — sign/@ п.в.
2.12.84. (Г. Харди) Пусть / — неотрицательная измеримая функция н
[0, +оо) и1^<?<оо, 0<г<оо. Показать, что
13? Пусть feC1 [а, Ь] и Г tkf(t) dt = 0 д
/"(pw^V-1**^)'/"
Указание: при q > 1 взять р = q/(q - 1), положить о¦ = A - r/q)/p и
применить неравенство Гёльдера к интегралу от f(s)s°s~a по [0,t], оценив
его через интегралы от f(s)9saq и s~ap в соответствующих степенях.

202 Глава 2. Интеграл Лебега
2.12.85. (i) Пусть Е — частично упорядоченное вещественное векторное
пространство, причем если х ^ у, то tx ^ ty для всех (^0hi + z$i/ + 2
для всех z € Е. Предположим, что Ео — такое линейное подпространство в
Е, что для всякого х € Е найдется элемент хо е Ео с х ^ хо- Пусть Lo —
линейная функция на Ео, причем Lo(v) ^ 0, если v 6 Ео и v ^ 0. Доказать,
что Lo можно продолжить до такой линейной функции L на Е, что L(x) ^ 0
при х ^ 0.
(ii) Вывести из (i) существование неотрицательной конечно-аддитивной
функции на классе всех подмножеств [0,1], продолжающей меру Лебега.
(ш) Вывести из (i) существование обобщенного предела на пространстве
т всех ограниченных последовательностей, т.е. такой линейной функции Л
на т, что Л(х) ^ 0 для всех х = (х„) с х„ ^ 0 и Л(х) = lim хп для всех
х = (хп), имеющих предел.
Указание: (i) к функции р(х) = inf{Lo(v): v е Ео,х < v} применить
теорему Хана-Банаха 1.12.26; (ii) взять в качестве Е пространство всех
ограниченных функций на [0,1], а в качестве Ео — подпространство, состоящее
из измеримых функций, a Lo на Ео задать как интеграл Лебега; (Ш) взять в
качестве Ео подпространство всех последовательностей, имеющих предел.
2.12.86. (С. Банах) (i) Доказать, что на пространстве L всех
ограниченных функций на [0,1) существует линейная функция Л со следующими
свойствами:
(а) если / G L интегрируема по Лебегу, то Л(/) совпадает с интегралом
Лебега / по [0,1), (Ь) если / е L и / > 0, то А(/) ^ 0, (с) Л(/( • + «))= А(/)
для всех / е L и s е [0,1], где /(* + s) = /(fr(t + s)), fr(s) — дробная часть s.
(ii) Построить линейную функцию на L, совпадающую с интегралом на
множестве всех интегрируемых по Риману функций, но отличную от
интеграла Лебега на некоторой интегрируемой по Лебегу функции.
Указание: (i) рассмотреть функцию р из примера 1.12.27 на
пространстве L всех ограниченных функций на прямой с периодом 1; на линейном
подпространстве Lo в L, образованном интегрируемыми функциями, положить
Ло(/) = / f dx; показать, что Ло(/) ^ р(/), используя для периодических
функций равенство / f(t + a)dt= I f(t) dt; продолжить Ло до линейной
функции ЛнаЬсЛ^ри проверить требуемые свойства, используя, что
р(/) ^ 0 при / < 0 и что р(/( • + Л)) = р(/). В (ii) применимы аналогичные
соображения.
2.12.87. (С. Банах) Доказать, что меру Лебега на [0,1] можно
продолжить до аддитивной, но не счетно-аддитивной неотрицательной функции
множества v на классе всех подмножеств [0,1], которая обладает также
следующим свойством инвариантности: v(E + ft) = v(E) для всех Е С @,1] и
ft € @,1], причем при образовании суммы Е + ft числа е 4- ft > 1 заменяются
на е + ft — 1 (в этом и предыдущем примере вместо @,1] можно иметь дело
с окружностью и поворотами вместо сдвигов).
Указание: рассмотреть v(E) = А(/я), где Л — линейная функция на
пространстве всех ограниченных функций на @,1] из задачи 2.12.86.

2.12. Дополнения и задачи
2.12.88. Пусть / 6 ^(Ш1) и а > 0.
(i) Показать, что ряд J2 /(« + а_1.т) абсолютно сходится для п.в. х.
(ii) Пусть д(а;) = ]Р /(п + а-1 ж), если ряд сходится и д(х) = 0 в
противном случае. Показать, что / д(х) dx = о / Дх) dx.
(iii) Показать, что для п.в. х при каждом а > 0 имеем lim n~af(nx) = 0.
Указание: (i) заметим, что ? j" \f{n +a^x^dx = a J+°° \J(x)\dx;
(ii) использовать теорему о монотонной сходимости; (iii) з
ё»-/:
\f(nx)\dx < оо,
сделав замену у = пх (про замену переменных см. гл. 3).
2.12.89° Пусть /, <? ^ 0 -— интегрируемые функции на пространстве с
вероятностной мерой /х и /д ^ 1. Показать, что I f dfj, I gdfi}? \.
. что y/Jy/g ^ 1 и применить неравенство Коши-
2.12.90. Пусть д — счетно-аддитивная мера со значениями в [0, +оо] и
/ € Сх{ц), причем / - 1 € ?"(/*) для некоторого р € [1, оо). Доказать, что
мера fj, конечна.
Указание: заметить, что множества {/ ^ 1/2} и {/ ^ 1/2} имеют
конечные меры из-за интегрируемости |/ — 1|р и /.
2.12.91. Пусть ц — вероятностная мера, {fn} С ?1(м), In — интеграл
от /„, причем найдется такое с > 0, что
H/n-ZnllS^cli/niii, VneiN.
Доказать, что либо lim sup ||/„||i < оо и liminf \fn(x)\ < оо п.в.,
либо limsup||/„||i = оо и lim sup |/n(x)| = оо п.в.
Указание: пусть ||/n||i —> оо; если последовательность {In/\\fn\\\/p}
ограничена, то получаем равномерную ограниченность 11 Л. 11J /11 /n 111, что в си-
ду неравенства Гёльдера дает равномерную ограниченность чисел ||/n||p-1, а
ЭНачит, и чисел ||/n||i, что является противоречием. Теперь можно с
ЧТО С„ := 1п/Ш\\'р - +оо. Тогда umud\fn(x)/\\fn\\\/p - С„| < оо
теореме Фату, откуда lim sup \fn{x)\ = оо п.в.

Глава 2. Интеграл Лебега
2.12.92. (П.Ю. Глазырина) Пусть / ^ 0 — д-измеримая функция.
Доказать неравенство
J f*d*j fS~P d»^Jf>dfif Г'9 dM
в предположении, что p,q,s — такие вещественные числа, что \р — s/2\ <
\q — s/2\ и указанные интегралы существуют.
Указание: пусть г = (s — 2q)/(p — q), t = (s — 2q)/(s — p — q). Тогда в
силу нашего условия получаем г > 1, г-1 +t_1 = 1 и t > 1. Положим а = q/t,
0 = q/r. Поскольку at = q, (p-a)r = (p-q/t)r= (p-q + q/r)r = s-2q + q =
s — q, то по неравенству Гёльдера
J> d/« < (У Г* d/x) V* (| f(p~a)r d/i) Vr
= (/r^)Vt(/r-^MI/r.
Аналогично получаем
/r-^^(/r^I/r(/r-^IA.
Остается перемножить полученные неравенства.
2.12.93. Пусть / ? ?1(П11). Доказать равенство
i/(x + Zj)| dx\, где inf берется по всем чис-
лам Xi € ГО1, n G IN и сц ^ 0 с ai + • ¦ • + an = 1.
Указание: пусть интеграл от / неотрицателен; тогда правая часть
доказываемого равенства не меньше левой, ибо интеграл от ]fj aif(x+Xi) равен
интегралу от /; обратное неравенство легко проверяется с помощью
римановских сумм в случае непрерывной функции / с ограниченным носителем;
в общем случае можно приблизить / в среднем непрерывной функцией с.
ограниченн
2.12.94. Пусть Е С 1R — множество конечной меры Лебега. Найти
предел lim / B — sinfcx)-1da;.
fc—°° Je
Указание: \{Е)/л/%\ достаточно найти ответ для конечного числа
отрезков; рассмотреть сначала случай Е = [0,6]; пусть / — интеграл от B—sins)
по [0,27г]; тогда при Ь € @,2ж) интеграл от n_1Bsinx)_1 по [0, nb] равен
[пЬ/Bтт)]1 + 0(га-1), где [г] — целая часть г, что в пределе дает 1Ь/Bп).
2.12.95. (Frechet [414], Slutsky [779]) Пусть fi — вероятностная мера на
пространстве Хи/ — /i-измеримая функция. Назовем число m медианой /,
если fi(f < с) < 1/2 при с > m и д(/ < с) ^ 1/2 при От.
(i) Доказать, что медиана / существует, но может быть не единственной,
(ii) Доказать, что медиана единственна, если / имеет непрерывную
строго возрастающую функцию распределения.

2.12. Дополнения и задачи
(iii) Пусть измеримые функции /„ сходятся к / по мере ц. До*
множество медиан функций /п ограничено, причем если тп„ — некоторая
медиана /n, am — предельная точка {m„}, то га — медиана /.
Указание: (i), (ii) в качестве медианы можно взять любое чисто из
отрезка между sup{c: /i(/ < с) < 1/2} и supjc: ц(/ < с) ^ 1/2}. (Hi) Возьмем
отрезок [а, 6], содержащий все медианы /; тогда легко проверить, что для
всех достаточно больших п медианы /„ содержатся в [а— 1, Ь+1]; если с > тп,
но fi(f < с) > 1/2, то найдется такое a G (т,с), что /х(/ < а.) > 1/2;
тогда при всех достаточно больших п имеем с > тп и /J.(fn < с) > 1/2 —
противоречие; аналогично проверяем, что /j,(f < с) ^ 1/2 при с > т.
2.12.96. Пусть / — неотрицательная непрерывная функция на [0,+оо)
с бесконечным интегралом по [0, +оо). Показать, что найдется такое а > О,
нто ?~=1 /(па) = оо.
Указание: см. Садовничий, Григорьян, Конягин [159, гл. 1, §4,
задача 46] и комментарии в Buczolich [289].
2.12.97. (Buczolich, Mauldin) Доказать, что существуют такие открытое
множество Е С @,+оо) и интервалы h и /2 в [1/2, 1), что ?~=] 1Е(пх) = оо
для всякого х € 1\ и Yl^Li 1е{пх) < оо для всякого .т е 1г-
Указание: см. ссылки и комментарии в Buczolich [289].
2.12.98. На окружности длины 1 даны измеримые множества А и В с
лебеговскими мерами о и /3 соответственно. Пусть /^ результат поворота
множества В на угол <р против часовой стрелки. Показать, что при некотором
р множество АП В^ имеет меру не менее аC.
Указание: заметить, что интеграл от Х(А П В^) по р ранен <\I, см.
Садовничий, Григорьян, Конягин [159, гл. 4, §3, задача 11].
2.12.99. Функция д на lRd со значениями в [—ос, +оо] называется
полунепрерывной снизу, еспи для каждого с 6 [—оо, +оо] множество {ж: д(х) > с}
открыто. Пусть Е С Hd — измеримое множество и функция /: Е —> IR1
интегрируема. Доказать, что для всякого е > 0 найдется такая
полунепрерывная снизу функция д на IRd, что д(х) ^ f(x) при х ? Е, д\Е интегрируема и
интеграл от д — f по Е не превосходит е.
Указание: найдем 5 > 0 с / \f\d\< г/2 при Л С Е и А(Л) < 5.
Выберем 6п > 0 так, что ?~=1 <5П < 6 и ??°=1 <5„|9п| < е/2, где {gn} = Q. Пусть
Вп — шар радиуса п с центром в нуле и Gn — такое открытое множество,
содержащее Е„ := ВпП{ж 6 ?: /(ж) ^ <?п}, что X(Gn) < X(En)+Sn. Положим
д{х) = sup{</n: 2- € G„} и D := U?=i((? П С„)\Я„). Для всякого с G К1
имеем {(? > с} = \Jn. qn>cGn, т.е. д полунепрерывна снизу. Если х 6 Е и
Г > 0, то найдется п с /(ж) - г ^ <?„ ^ /(ж) и х € В„. Тогда ж ? ?п и потому
д(х) ^ 9п ^ f(x)—r. В силу произвольности г получаем у(ж) ^ /(ж). Наконец,
убеждаемся, что интеграл от д — f по Е не превосходит е. Действительно,
пусть h := ?~ j |9„|/(впоя)\я„- Заметим, что 3(ж) ^ /(ж) + /г(ж) + |/(ж)|Ь(ж)
при х ? Е. Это вытекает из того, что при ж ? EnGn либо 1?Ёпи тогда <?„ ^
/(ж), либо х ? Еп и тогда qn{x) ^ /г(ж). Остается заметить, что интегралы
от к и \f\Ii? оцениваются через е/2.

Глава 2. Интеграл Лебега
2.12.100. Пусть / — интегрируемая комплексная функция на
пространстве X с вероятностной мерой ц. Доказать, что / fd/i — Oa точности тогда,
Г
когда / |1 + zf(x)\dx ^ 1 для всех комплексных z.
Jx
Указание: при выполнении этого неравенства воспользоваться тем, что
|1 + гехр(г0)/(х)|-1 _ г, ...... ч1
величина J " v " стремится к Re[(exp(i0)/(z)J при г —> 0+
для всех в € И1 и оценивается через |/(х)|, а затем взять в так, что
екр(*){ fdn=-\f fdp\.
2.12.101. Пусть /„ — последовательность интегрируемых комплексно-
значных функций на [0,1], причем
Yia^ [ |Re/„(a;)|dx = 1, Ym^ f |l - |/„(x)|| dx = 0.
Показать, что lim / |Im/„(a;)|dar = 0.
"—ooJ„
Указание: cm. George [433, с 250].
2.12.102. (Kakutani [518]) Пусть fug — неотрицательные измеримые
функции на [0,1] со следующим свойством: если интеграл / по какому-либо
измеримому множеству Е конечен, то конечен и интеграл д по Е. Доказать,
что найдутся такие постоянная К и неотрицательная интегрируемая
функция ft, что д(х) ^ Kf(x) + h(x).
2.12.103. (Lovasz, Simonovits [606]) Пусть даны полунепрерывные снизу
интегрируемые функции щ и ui на И". Доказать, что найдутся такие а, 6 €
И" и аффинная функция L: @,1) —» @, +оо), что
f ui((l-t)a + tb)L(t)n-1dt>0, г = 1,2.
Указание: см. [606], а также Kannan, Lovasz, Simonovits [525].
2.12.104. (Hahn [460]) Пусть / 6 С1 [0,1], / - интеграл /, {П„} -
последовательность вложенных конечных разбиений [0,1] на промежутки Jn,k
(к ^ Nn) с A(J„,fc) ^ ($„ —> 0, где А — мера Лебега. Показать, что найдутся
такие точки ?п,к е Jn,k, что |??=i /(?n,fc)A(Jn,k) - /| - 0 при п -> оо.
Указание: возьмем непрерывные fp с ||/р - f\\Li ->0и А(/р Ф /) -> 0.
Найдем возрастающие номера pi с |/j(i) — fi(s)\ ^ 1/1 при |? — s| < SPt. При
pi ^ п < pi+i (пусть pi = 1) возьмем любые ?„,* е Jn,k П {/i = /}, а если
Л,*П{/| = /} = 0, то возьмем ?„,* ? Jn.it так, что |/(&»,*)| ^ inf j„ t \f(t)\ + l.
Остается заметить, что интеграл |/| + |/j| по множеству {/ / /;} стремится
к нулю, а римановская сумма fi по разбиению Пт при то ^ pi отличается от
интеграла fi не более чем на 1/1.

Глава 3
Операции над мерами и функциями
Теряя форму, гибнет красота,
А форма строго требует закона.
В. Солоухин. Венок сонетов.
3.1. Разложение знакопеременных мер
В этом параграфе мы рассмотрим знакопеременные меры.
Следующая теорема позволяет во многих случаях свести
знакопеременные меры к неотрицательным.
3.1.1. Теорема. Пусть \х — счетно-аддитивная числовая
мера на измеримом пространстве (X, А). Тогда существует
такое множество X" G А, что, полагая Х+ = Х\Х~", для всех
А € А получаем
/|(АПГ)<0 и ^(АпХ+)^0.
Доказательство. Будем называть множество Е е А
отрицательным, если 1л{А П Е) ^ 0 при всех А е А.
Аналогично определим положительные множества. Пусть а = inf ц{Е),
где нижняя грань берется по всем отрицательным множествам.
Пусть Еп — последовательность отрицательных множеств, для
которых lim ц(Еп) = а. Ясно, что Х~ = U^Li En ~
отрицательное множество, причем ц{Х~) — а, ибо а ^ fJ-(X') ^ ц(Еп).
Покажем, что Х+ = Х\Х~ — положительное множество.
Предположим противное. Тогда существует такое А0 G Л, что А0 С Х+
и [i{Ao) < 0. Множество Aq не может быть отрицательным, ибо
тогда было бы отрицательным и множество Х~ U An, для
которого ц(Х~ U Ло) < а, что невозможно. Поэтому найдутся
такие множество А\ С An и натуральное число fci, что А\ е Л и

Глава 3. Операции над мерами и функциями
ц{А\) ^ 1/fci, причем к\ — наименьшее возможное из
натуральных чисел к, для которых в Aq найдется подмножество с мерой не
меньше 1/fc. Заметим, что ц(Ао\А\) < 0. Повторяя рассуждение,
проведенное для Aq, применительно к Aq\A\, получаем
множество А2 С A0\Ai из А, для которого ц{А2) ^ 1/к2 с наименьшим
возможным натуральным к2. Продолжим этот процесс
индуктивно. В результате получим попарно непересекающиеся множества
Ai € А с таким свойством: An+i С -<4о\иГ=1 -^ и м(-^п) ^ 1/^п;
где кп — наименьшее из натуральных чисел к, для которых в
Ao\U?=i А{ есть подмножество меры не меньше 1/fc. Заметим,
что кп —> +оо, ибо иначе в силу дизъюнктности множеств Ап мы
бы получили, что /х(Ао) = +оо. Пусть В — AoWJ^L-l А{. Заметим,
что ц(В) < 0, ибо /л(Ао) < 0, /x(U~Hi) > 0 и USHi с Ао-
Более того, В — отрицательное множество. Действительно, ес-
ли С С В, С е А и /i(C) > 0, то найдется натуральное число
к с /х(С) > 1/fc, что при fcn > к противоречит выбору fcn, ибо
С С A)\U"=i^i- Таким образом, присоединив В к X",
приходим к противоречию с определением а. Следовательно,
множество Х+ положительно. ?
Построенное в доказанной теореме разложение пространства
X в дизъюнктное объединение X = Х+ U Х~ называется
разложением Хана. Ясно, что разложение Хана может быть не
единственным, так как добавление множества, все подмножества
которого имеют меру нуль, не влияет на свойство множества быть
отрицательным. Однако если X = X+UX~ — другое разложение
Хана, то для всех А € А имеем
fi(ADX-) = fi(AnX-) и fi(AnX+)=fj,(AnX+). C.1.1)
Действительно, всякое множество В из А, входящее в Х~ П Х+
или в Х+ П Х~, имеет меру нуль, ибо fi(B) одновременно
неотрицательно и неположительно.
3.1.2. Следствие. При условиях теоремы 3.1.1 положим
ц+(А)=ц(АГ\Х+), fT(A) = -ii(AnX-), А € А. C.1.2)
Тогда ц+ и ц~ — неотрицательные счетно-аддитивные меры,
причем /х = ц+ — fi~.
Ясно, что ц(Х+) — наибольшее значение, принимаемое
мерой у, а — р(Х~) — ее наименьшее значение.

3.1. Разложение знакопеременных мер 209
3.1.3. Следствие. Если ц: А —> ГО1 — счетно-аддитивная
мера на а-алгебре А, то множество значений ц ограничено.
3.1.4. Определение. Меры pf и ц~, построенные выше,
называются соответственно положительной и отрицательной
частями /х. Мера
И = /х+ + ц~
называется полной вариацией /х. Величина
Ы\ = Н(*)
называется вариацией меры it.
Разложение /х — /х+ — if называется разложением Жордана
или Жордана-Хана.
Отметим, что меры /х+ и if обладают следующим свойством,
которое можно было бы взять в качестве их определения:
/х+(А) = sup{/x(?): ВС A, Be А},
ц-(А)=вщ>1-ц(В): ВсА,В<еА\
для всех А € А. Кроме того,
н(л) = 8ир{^;ил1)|}. C.1.3)
где верхняя грань берется по всем не более чем счетным
разбиениям А на попарно непересекающиеся части из А. Можно было
бы брать только конечные наборы и вместо sup поставить max,
поскольку верхняя грань достигается на разбиении А\ = А П
Х+, А<2 = АГ\Х~. Отметим, что ||/х|| не совпадает с величиной
sup< |м(Л)|, A G А\, если обе меры /х+ и /л~ отличны от нуля, но
справедливо неравенство
|Ы| < 28ир{иЛ)|, А € А) < 2||м||. C.1.4)
Все эти соотношения очевидны из разложения Хана.
3.1.5. Замечание. Из доказательства теоремы 3.1.1 видно,
что она остается в силе и в том случае, когда /х —
счетно-аддитивная функция множества на А со значениями в (—оо, +оо]. В этом
случае мера if ограничена, а мера if принимает значения в
[0,+оо]. Таким образом, в рассматриваемом случае
ограниченность /х равносильна тому, что ц(Х) — конечное число.

Глава 3. Операции над мерами и функциями
В случае, когда /х — знакопеременная мера, полагаем по
определению Ll(fi) := L1(|/i|). Для / е ^(Н) полагаем
[ fdfji := f f(x)»(dx) := f f{x)n+{dx) - f f{x)pT(dx).
JX JX JX JX
Вводя функцию ?, равную 1 на Х+ и —1 на Х~, получаем
[ f(x)»(dx) = //(*)?(*) Шх).
JX Jx
Ясно, что при таком определении многие доказанные выше
утверждения о свойствах интеграла переносятся на случай
знакопеременных мер. Разумеется, есть и утверждения, которые для
знакопеременньгх мер неверны. Например, из того, что / ^ д не
вытекает, что / fdfj, ^ / gd\i.
3.2. Теорема Радона-Никодима
Пусть / — функция, интегрируемая относительно меры ц на
пространстве (X, Л). Тогда определена функция множества
и{А)= [ fd».
Ja
C.2.1)
Из теоремы Лебега вытекает, что v счетно-аддитивна на Л.
Действительно, если множества Ап ? Л попарно не пересекаются,
то ряд Y1 1ап(х)/(х) сходится для каждого х к 1д(х)/(х), ибо в
п=\
этом ряду лишь один из членов может быть отличен от нуля в
силу дизъюнктности Ап. При этом
|f>J*)/(z)|^0r)|/(*)|.
п=1
Поэтому этот ряд допускает почленное интегрирование.
Будем обозначать и через / • ц. Функция / называется
плотностью меры v относительно р, (или плотностью
Радона-Никодима) и обозначается символом dv/dp. Ясно, что мера и абсолютно
непрерывна относительно ц в смысле следующего определения.

3.2. Теорема Радона-Никодима
3.2.1. Определение. Пусть р и и — счетно-аддитивные
меры на пространстве (Х,Л).
(i) Мера v называется абсолютно непрерывной
относительно р, если \v\(A) = 0 для всякого множества А с \р\(А) = 0.
Обозначение: v <С р..
(ii) Мера v называется сингулярной относительно р, если
существует такое множество & € А, что
Н(П)=0 и Н(Х\П) = 0.
Обозначение: v JL р..
Отметим, что если мера v сингулярна относительно р., то р
сингулярна относительно и, т.е. р JL и. Поэтому меры р и v
называют взаимно-сингулярными. Если i/ < /i и д < f, то меры р
и v называются эквивалентными. Обозначение: р ~ v.
Следующий результат, называемый теоремой Радона Нико-
дима, является одним из ключевых в теории меры.
3.2.2. Теорема. Пусть puv — конечные меры на
пространстве (X, А). Мера v абсолютно непрерывна относительно меры
р в точности тогда, когда существует такая р-интегрируемая
функция f, что и задается формулой C.2.1).
Доказательство. Поскольку р = fi\p\ и v = /гН, ГД°
|/i(a;)| = |/2(ж)| = 1, то достаточно доказать теорему для
неотрицательных мер р и v. Пусть
Т := |/ € Cl{p): f^0,ffdp^ v(A) для всех А 6 А.\
{//*./€ 4
М := sup'
Покажем, что в Т есть функция /, на которой достигается этот
супремум. Найдем последовательность функций /п € Т,
интегралы которых стремятся к М. Пусть gn(x) = max(/i(a;),..., fn(x)).
Заметим, что дп € Т. Действительно, множество А € А можно
Представить в виде А = (Jfe=i Ak, где Ak € А попарно не
пересекаются и дп(х) = fk(x) при х € Ak- Тогда
gndp = ^2 gndp^^2 и(Ак) = V(A)-
J А ._, JAk и—i

212 Глава 3. Операции над мерами и функциями
Последовательность {дп} возрастает и интегралы дп ограничены
числом v{X). По теореме о монотонной сходимости функция / :=
lim дп интегрируема. Ясно также, что / € Т и интеграл / по
мере ц равен М. Покажем, что / удовлетворяет C.2.1). Функция
множества
V(A):=u(A)-jjdti
является неотрицательной мерой в силу выбора / и
абсолютно непрерывна относительно /л. Нам надо показать, что т] = 0.
Предположим, что это не так. Рассмотрим знакопеременные
меры т\ — п_1/х и возьмем для них разложения Хана X = Х? — Х~.
Пусть Xq := Пя^=1 -^п • Тогда из определения Х~ имеем t)(Xq) ^
п~1и(Х^) для всех п, откуда tj(Xq) = 0. Поэтому найдется
такое п, что 7/(Х+) > 0, ибо в противном случае rf(X) = г](Х~)
для всех п и тогда rj(X) = t)(Xq) = 0. Для всякого измеримого
множества Е С Х+ имеем п~1ц(Е) ^ г){Е). Поэтому, положив
h(x) := f(x) + п~11х+(х), получим для всякого А 6 А
/ Лф= J fdfj, + n-lfi(AnX+)^ J fdn + ri(AnX+)
= f fdfx + v(AnX+) < v(A\X+) + v{A ПX+) = u{A)
Ja\x?
Таким образом, h e T вопреки тому, что интеграл h по мере /х
больше М, ибо ц(Х+) > 0. Итак, г] = 0. П
Ясно, что функция dv/dfi определена однозначно с точностью
до множества меры нуль, ибо функция с нулевым интегралом по
каждому множеству п.в. равна нулю.
В гл. 4 (пример 4.3.3) будет приведено другое доказательство
теоремы Радона—Никодима.
Отметим, что если меры /ihi/ конечны и неотрицательны,
причем v <С /i, то v ~ \х в точности тогда, когда dvjd\i > 0 п.в.
относительно /х. Легко проверить (задача 3.10.30), что если даны
три меры /ii, /12, А^з с Hi <С /12 и /i2 <S Цз, то ц\ <С /^з и
dni/dfi3 = (dni/diJ,2)(dn2/dn3)-
Условие принадлежности плотности Радона-Никодима
пространству LP{n) можно найти в задаче 4.7.91.

3.3. Произведение пространств с мерами 213
Из теоремы Радона-Никодима можно получить следующее
разложение Лебега.
3.2.3. Теорема. Пусть /х и v — конечные меры на а-алгеб-
ре А. Тогда существуют такие мера /хо на Ли [i-интегрируемая
функция f, что и = / ¦ ц + /хо, цо _L /х.
Доказательство. Рассмотрим меру А := |/х| + \v\. По
теореме Радона-Никодима получаем /х = /Й ¦ X, и = fu ¦ А, где
UJu € L^iX). Пусть Y = {х: f^x) ф 0}. При х G Y положим
/(*) = U(x)/fn(x)- Наконец, положим /х0(Л) := i/(An (X\Y)).
Для ограничений /ху и vy мер диг/на множество У очевидным
образом имеем щ- = / • /л у. Поэтому получено искомое
разложение. D
Отметим, что если ц — конечная неотрицательная мера на
ст-алгебре А в пространстве X, то всякая (не обязательно
интегрируемая) измеримая неотрицательная функция / задает <т-
конечную меру v := f ¦ ц по формуле C.2.1). Действительно, А'
является объединением множеств {х: f(x) ^ и} конечной меры.
В задаче 6.10.71 гл. 6 есть полезное утверждение об измеримой
зависимости плотности Радона-Никодима от параметра.
3.3. Произведение пространств с мерами
Пусть (X\,Ai,fii) и {X2,A-2,IJ.2) — пространства с
конечными неотрицательными мерами. На множестве Х]ХХ2 рассмотрим
множества А\хА2, Ai € Ai, называемые измеримыми
прямоугольниками. Положим /j.\X/j,2(AixA2) := /xi(Ai)/X2(^2)- Распространив
функцию /xi х ii2 по аддитивности на конечные объединения
попарно непересекающихся измеримых прямоугольников, получим
конечно-аддитивную функцию на алгебре TZ, порожденной
такими прямоугольниками. Отметим, что корректность такого
определения /xi х /12 на 1Z (независимость от разбиения множества на
попарно непересекающиеся измеримые прямоугольники)
очевидна из аддитивности /xi и /Х2- Наконец, через А\®А2 обозначим
ст-алгебру, порожденную указанными выше прямоугольниками и
называемую произведением ег-алгебр А\ и A%.
3.3.1. Теорема. Функция /Х1Х/Х2 счетно-аддитивна на
алгебре, порожденной всеми измеримыми прямоугольниками, и
однозначно продолжается до счетно-аддитивной меры /xi®/i2 не
лебеговском пополнении указанной алгебры, обозначаемом через
А\®А2.

214 Глава 3. Операции над мерами и функциями
Доказательство. Предположим сначала, что С = 1X11 Сп,
где С = АхВ, Сп = АпхВп, А, Ап € Аи В, Вп € Л2,
причем множества Сп попарно не пересекаются. Положим
/п(ж) = fi2(Bn), если х € Ап, /п(ж) = 0, если х 0 Ап.
Ясно, что /„ — лЧ-измеримая функция и J^lx /п(ж) = №(В)
для всех х € А. По теореме Беппо Леви получаем
У" / fndfii= / H2{B)d(i1=mXfX2(C).
Поскольку
у fndm = ц2(вп)т(Ап) = ftixpiiCn),
то утверждение доказано в обсуждаемом частном случае. Пусть
теперь С = Un^=i ^»> причем С = Uj=i Cj> гДе Cj — попарно непе-
ресекаюпщеся измеримые прямоугольники, и Dn = U^" Dn<i, где
Dn)j — попарно непересекающиеся измеримые прямоугольники.
Положим Dn>itj = Dnti П С,. Тогда Dn^j — дизъюнктные
измеримые прямоугольники и Cj = (Jn Ц Dn,ij, A»,* = Uj Amj- В силу
доказанного получаем
n i j
Поскольку
щхц2{С) = ^2mxn2(Cj), /лх/х2(?>„) = ^/z1x/i2(Dn,i),
j i
то из предыдущего равенства получаем /xiX/i2(C) = Yl М1хМг( Ai)-
Утверждение о продолжении следует из доказанного в гл. 1. D
Полученная выше мера /ii®/X2 называется произведением мер
Н\ и \i2- По построению мера Ц\®Ц2 полна. Произведения мер
иногда называют продакт-мерами.
Отметим, что лебеговское пополнение а-алгебры Ai<gA2,
порожденной всеми прямоугольниками А\хА2, А± € А\, Лг € Лг, как
правило, шире самой этой ст-алгебры. Например, если А\ = Лг —
борелевская ст-алгебра отрезка [0,1], а в качестве ц\ = Ц2
берется мера Лебега, то ЛЧ®Л2 совпадает с борелевской а-алгеброй

3.3. Произведение пространств с мерами 215
квадрата (всякое открытое в квадрате множество является
счетным объединением открытых квадратов). При этом, конечно,
существуют измеримые неборелевские множества в квадрате. Не
исправит положение и замена борелевских сг-алгебр отрезка на
сг-алгебры измеримых по Лебегу множеств. В этом случае, как
видно из следующего утверждения, в А\ ® -^2 не будет входить
неизмеримое подмножество отрезка, рассматриваемое как
подмножество квадрата (оно очевидным образом имеет меру нуль
в квадрате и входит в пополнение А\®А2)- Разумеется, меру
ц\(&Ц2 можно рассматривать и на не обязательно полной ст-ал-
гебре А\®Аъ-
Следующий результат является довольно типичным
применением теоремы о монотонных классах.
3.3.2. Предложение, (i) Пусть (Х\,А\) и (Хэ, Дг) ~
измеримые пространства и А\®А% — а-алгебра, порожденная всеми
множествами А\ х Лг, А\ € А\, А2 € А2- Тогда для всякого
A G А\®А2 и всякого х\ G Х\ множество
АХ1 := {х2 € Х2: (xi,x2) € ^}
содержится в «4г- Кроме того, для всякой А\ <8> А2-измеримой
функции f при каждом х\ € Х\ функция Х2 •—> f(x],X2)
является А2-измеримой.
(И) Если на А2 задана конечная мера и, то функция х\ i—>
и{АхА является А\-измеримой.
Доказательство, (i) Если А является произведением
множеств из А\ и Ач. то утверждение верно. Обозначим через ? класс
всех множеств А ? А\<?)А2, для которых оно верно. Поскольку
пересечениям, объединениям и дополнениям множеств
соответствуют такие же операции над их сечениями в точке х\, то класс
? очевидным образом является сг-алгеброй. Поэтому ? = А\®А2-
Измеримость функции Х2 *—> /(жъ^г) вытекает из доказанного
применительно к множествам {x2~- f(x\,X2) < с}.
(ii) Функция /а{х\) = v{AXl) корректно определена согласно
утверждению (i). Обозначим через ? класс множеств А б А\®А2,
для которых она .ДЧ-измерима. Этот класс содержит
прямоугольники А\*хА2 с Ai Е Ai. Далее, ? — монотонный класс, что следует
из теоремы Лебега и того обстоятельства, что если множества А>
возрастают к А, то А°Х1 возрастают к АХ1. Аналогично
проверяется, что ? — (Т-аддитивный класс, т.е. ? допускает дизъюнктные
счетные объединения, а также Е\\Е2 € ?¦, если Е\,Е2 € ? и

216 Глава 3. Операции над мерами и функциями
Еч С Е\. Поскольку класс прямоугольников указанного вида
замкнут относительно пересечений, то согласно утверждению (и)
теоремы 1.9.3 класс ? совпадает с А\^А2- Й
3.3.3. Следствие. В ситуации утверждения (ii)
предложения выше для всякой ограниченной Ai<g>А2-измеримой функции
f на Х\хХ2 определена и Л\-измерима функция
xi*-+ / f(xl,x2)v(dx2).
Jx2
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда /
есть индикатор множества A G А\®А.2, ибо линейными
комбинациями таких индикаторов можно равномерно приблизить всякую
ограниченную .Д^Лг-измеримую функцию, причем
соответствующие интегралы будут равномерно сходиться. Таким образом,
утверждение является прямым следствием предложения. ?
Произведение мер можно строить и с помощью метода Кара-
теодори: см. §3.10A) ниже.
С помощью разложения Жордана-Хана естественно
определяется произведение знакопеременных мер (впрочем, это можно
сделать непосредственно). Пусть р = р+ — р~, v — и+ — и~,
X = Х+ U Х~, У = У+ U У- — разложения Жордана-Хана двух
мер и и v на пространствах X и У соответственно. Положим
p®v :~ p+®v+ + p~®v~ — p+®v~ — p~§t>v+. Ясно, что меры
p+®v+ + p~®v~ и p+®v~ + p~®v+ взаимно-сингулярны, ибо
первая сосредоточена на множестве (Х+ хУ+) U (Х~ хУ~), а вторая
сосредоточена на множестве (X+xY~) U (Х~ хУ+).
По индукции определяется произведение конечного числа мер
рп на пространствах (Хп, An), п = 1,..., N. При этом такое
произведение ассоциативно, т.е. справедливо равенство
?*1<8>(М2<8>Мз) = (А*1®Д2)®МЗ-
Наконец, определим произведение ст-конечных
неотрицательных мер р n v и& (т-алгебрах Aw. В. Пусть X является
объединением возрастающей последовательности множеств Хп
конечной /х-меры, а У является объединением возрастающей
последовательности множеств Уп конечной f-меры. Формула р®и{Е) =
lim p\xn®v\Yn(E П (XnxYn)) задает сг-конечную меру на А®В.
Можно было бы сразу свести дело к конечным мерам, выбрав
такие конечные меры ро и щ, что р = ?>м • /xq, v = gv ¦ щ, где д^ и

3.4. Теорема Фубини
217
qv положительные измеримые функции. Тогда можно положить
\i<S§v := (Qp,Qv) ¦ ho<&vq. Нетрудно проверить, что это дает ту же
меру, что и выше.
3.3.4. Предлозкение. Пусть (X, А) и (Y,B) — измеримые
пространства и f: X —> Ш. , д. Y —> IR — измеримые функции.
Тогда отображение (f,g): XxY —у Ж2 измеримо относительно
Л®В и BAR2). В частности, график функции / и множества
{(я,у): у ^ /(ж)} и {(ж, у): у > f(x)} входят в А^В^1).
Доказательство. Применима лемма 2.12.5, но легко дать и
непосредственное обоснование. А именно, для каждого
открытого прямоугольника П = IxJ множество {(х,у): (/(х),</(у)) G П}
есть произведение элементов Ли В и входит в А<&В. Класс
множеств Е G В(Ш2), прообразы которых относительно
отображения (/,<?) входят в А® В, является а-алгеброй. Так как этот
класс содержит прямоугольники указанного вида, то он
содержит и порожденную ими сг-алгебру, т.е. В(Ш2). В случае, когда
(У, Б) = (И1, ЩИ1)) и д{у) = у, получаем измеримость
отображения (х, у) н-+ (/(ж), у) из ХхИ1 в Ж2, что дает принадлежность
к Л&В(Ш}) прообразов борелевских множеств. Например, график
/ есть прообраз прямой у = х, а два других указанных в
формулировке множества являются прообразами полуплоскостей. ?
К этой теме примыкают также задачи 3.10.44 и 3.10.45.
3.4. Теорема Фубини
Предположим, что д и v — конечные неотрицательные
меры на пространствах (X, А) и (У, В) соответственно. Для всякого
множества А С XxY определены сечения
Ах = {у: {х,у)еА}, Ау = {х: {х,у) € А}.
3.4.1. Теорема. Пусть множество А С X х Y измеримо
относительно меры \i<&v, т.е. входит в {А^В)^и. Тогда для
fi-n.e. х множество Ах и-измеримо и функция х н-> v(Ax) д-
измерима, а для и-п.в. у множество Ау /л-измеримо и функция
у *-* ц(Ау) v-измерима, причем справедливо равенство
»®v(A) = J и(Ах) fi(dx) = J ц(Ау) u(dy). C.4.1)

Глава 3. Операции над мерами и функциями
Доказательство. Если А = ВхС, где В е А, С е В, то
наше утверждение справедливо. Значит, оно верно и для всех
множеств из алгебры TZ, порожденной измеримыми
прямоугольниками. В силу предложения 3.3.2(ii) для всякого А €Е А®В функции
х н-> и(Ах) иун» ц(Ау) измеримы относительно Л и В
соответственно. Поэтому на А® В определены функции множества
СМ)
:= Jx u(Ax) „(dx), B(А) := jf ц(Ау) u(dy).
При этом для попарно непересекающихся множеств Ап с
объединением А множества Ах попарно не пересекаются и дают в
объединении Ах для всякого х, откуда v{Ax) = Yl u(Ax)-
Интегрируя этот ряд почленно по мере ц с помощью теоремы
Лебега, получаем счетную аддитивность Ci- Аналогично проверяется
счетная аддитивность ?г- Из совпадения мер d, ?2 и /i(8)i/ на
алгебре К следует их равенство на А®В.
Остается заметить, что доказываемая теорема верна и для
всякого множества Е, имеющего /х<8>^-меру нуль. Действительно,
найдется множество Е € А&В, которое содержит Е и имеет n®v-
меру нуль. Тогда Ех С Ех, причем v(Ex) = 0 для /х-п.в. х в силу
уже установленного равенства
/ v(Ex) n(dx) = 0.
Jx
Аналогичным образом, ц(Еу) = ц{Еу) = 0 для v-п.ъ. у. П
3.4.2. Следствие. Предыдущая теорема верна в случае,
когда ц u v — а-конечные меры, если множество А имеет
конечную меру.
Доказательство. Запишем X и Y в виде X = \J™=1Xn,
Y = U^Li ^1 гДе Хп и Yn — возрастающие множества конечной
меры, а затем воспользуемся доказанным выше для Хп х Yn и
теоремой Беппо Леви. ?
3.4.3. Следствие. Пусть Y = Ж1, Л — мера Лебега на ГО.1,
/ — неотрицательная интегрируемая функция на
пространстве (X, A, fi) с а-конечной мерой. Тогда
J fdn = /*®А({(ж,у): 0 < у ^ /(*)}). C.4.2)

3.4. Теорема Фубини 219
Доказательство. Множество А = {(х,у): О ^ у ^ f(x)}
измеримо относительно /х<8>А в силу предложения 3.3.4. Остается
заметить, что Х(АХ) = f(x). ?
Следующее утверждение называется теоремой Фубини.
3.4.4. Теорема. Пусть /i и и — а-конечные
неотрицательные меры. Пусть функция f интегрируема относительно p,®v.
Тогда для и-п.в. х функция у i-> f{x,y) интегрируема
относительно v, для и-п.в. у функция х ь-> f(x,y) интегрируема
относительно и, функции х н-> / f(x, у) u(dy) и у >—> / /(?, у) u(dx)
Jy Jx
труемы на соответствующих пространстс—
[ fd(u®v) = [ I f(x,y)a(dx)u(dy)
Jxxy Jy Jx
-a
f{x,y)v{dy)ii{dx). C.4.3)
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать теорему
для неотрицательных функций /. Рассмотрим пространство Хх
Ух К1 и меру и®и<&\, где А — мера Лебега. Положим
A = {(x,y,z): 0^z^f(x,y)}.
Тогда в силу следствия 3.4.3 получаем
/ /d(/i®i/) = /*®i/®A(A).
JxxY
Применяя теорему 3.4.1 и еще раз используя следствие 3.4.3,
приходим к равенству
/*®1/<8»Л(Л) = / v®\{Ax)u{dx) = l(f f{x,y)v{dy)\ Kdx)-
При этом получаем и интегрируемость всех входящих в эти
соотношения функций. Второе равенство в C.4.3) доказывается
аналогично. ?
В задаче 3.10.37 предлагается построить примеры,
показывающие, что существование и равенство повторных интегралов в
C.4.3) не гарантирует и ® ^-интегрируемость измеримой
функции /. Кроме того, может случиться так, что оба повторных
интеграла существуют, но не равны. Наконец, существуют и такие

Глава 3. Операции над мерами и функциями
измеримые функции /, что один из повторных интегралов
существует, а второй не существует. Имеется, однако, один важный
частный случай, когда существование повторного интеграла
влечет интегрируемость функции на произведении. Этот результат
называют теоремой Тонелли.
3.4.5. Теорема. Пусть / — неотрицательная ц®и-измери-
мая функция на XxY. Тогда / € ^{fi^v), если
J J f(x,y) fj,(dx) v(dy) <оо.
Доказательство. Достаточно доказать наше утверждение
для конечных мер. Положим fn = min(/, п). Тогда функции /п
ограничены и измеримы относительно ц0и, а потому
интегрируемы. Ясно, что /п —> / в каждой точке. Остается заметить, что
по теореме Фубини, применяемой к fn, справедлива оценка
fx^ fndfa®v) = JY[Jxfn<*A*) d"^JY(fxf d/*) du>
ибо fn(x,y) < f(x,y). По теореме Фату / интегрируема. ?
Отметим, что из существования повторных интегралов
функции / на XxY не следует ее измеримость (задача 3.10.42).
Приведем еще одно полезное следствие теоремы Фубини.
3.4.6. Следствие. Пусть функция f на XxY измерима
относительно n®v, где обе меры а-конечны. Предположим, что
для [л-п.в. х функция у »-»¦ f(x, у) интегрируема относительно и.
Тогда функция
\>: а;н / f(x,y)v{dy)
измерима относительно /х.
Доказательство. Допустим сначала, что меры цш и
ограничены. Пусть fn{x,y) = f(x,y) при \f(x,y)\ ^ n, fn(x,y) = п
при f(x,y) ^ n, fn(x,y) = — п при f(x,y) < —п. Тогда функции
/„ измеримы относительно р&>1/ и ограничены, а потому
интегрируемы. По теореме Фубини функции
*n0«0 = JYfn(x,y)u(dy)
/i-измеримы. Поскольку /ге —>¦ / поточечно и |/„| < |/|, то по
теореме Лебега получаем, что Фп(х) —> Ф(ж) для всех тех х, для

3.4. Теорема Фубини
которых функция у i-> |/(ж, у)| интегрируема относительно v, т.е.
для /х-п.в. х. Следовательно, Ф — ^-измеримая функция. В общем
случае найдем такую возрастающую последовательность
измеримых множеств XnxYn с X xY конечной ^®1/-меры, что мера
[i®v сосредоточена на их объединении. Затем воспользуемся
доказанным для функций Фп(х) = I f(x,y)i/(dy) и заметим, что
Фп{х) —* Ф(ж) для //-п.в. х в силу теоремы Лебега о
мажорированной сходимости. ?
В качестве применения теоремы Фубини выведем полезное
тождество, выражающее интеграл Лебега по абстрактному
пространству через интеграл Римана по полуоси и в случае р = 1
уже непосредственно проверенное в теореме 2.9.3.
3.4.7. Теорема. Пусть / — измеримая функция на
измеримом пространстве (X,A,fi) с мерой ц со значениями в [0, -Изо].
Пусть 1 ^ р < оо. Функция \f\p интегрируема по мере ц в
точности тогда, когда функция t н-> tp~ln{x: \f(x)\ > t)
интегрируема на [О, +оо) по мере Лебега. При этом
I |/|рФ = Р fVV(z: \f(x)\>t)dt.
Jx Jo
C.4.4)
Доказательство. Пусть p = 1. Предположим, что
функция / интегрируема. Тогда утверждение сводится к случаю а-
конечной меры, ибо такова мера ц на множестве {/ ф 0}. Далее с
помощью теоремы о монотонной сходимости можно
ограничиться случаем конечной меры. Обозначим через Л меру Лебега на
[0,+ос) и положим S = Ux,y) € Хх[0,+оо): у ^ \f(x)\\.
Интеграл |/| совпадает с мерой множества S относительно д<8>А,
как уже было показано (следствие 3.4.3). Вычислим эту меру по
теореме Фубини. При фиксированном t имеем
St = {x: (x,t) Е S} = {х: t<|/(x)|}.
Поскольку интеграл от n(St) по переменной t по [0, +оо) дает
интеграл от |/|, то приходим к C.4.4) с {х: |/(ж)| ^ i)
вместо [х: \f{x)\ > t). Однако при почти всех t эти два
множества имеют равные /г-меры, поскольку множество таких t, что
fi{x: \f(x)\ = t) > 0, не более чем счетно. Действительно,
если бы оно было несчетно, то для некоторого k G IN имелось бы

222
Глава 3. Операции над мерами и функциями
бесконечное множество точек Ьсц(х\ |/(ж)| = t) ^ к х, что
противоречит интегрируемости /.
Обратно, если интеграл в правой части C.4.4) конечен, то
множества (ж: |/(ж)| > t) имеют конечные меры при всех t > 0.
Поэтому для каждого натурального п функция /п, равная |/| при
п~1 ^ |/| < п и 0 в противном случае, интегрируема. Поскольку
1*{я- \fn(x)\ > t) ^ fj,(x: \f(x)\ > t), то в силу уже
доказанного функции /п имеют равномерно ограниченные интегралы. По
теореме Фату функция / интегрируема. Случай р > 1
сводится к случаю р = 1 заменой переменного t = sp ввиду равенства
(х: \f(x)\p > t) = (ж: |/(ж)| > t1^). Здесь достаточно формулы
замены переменных в интеграле Римана, но можно применить и
аналогичную формулу для интеграла Лебега; см. C.7.6). ?
3.5. Бесконечные произведения мер
Пусть (Ха,Ла,ца) — семейство измеримых пространств с
вероятностными мерами ца, индексируемое элементами
некоторого бесконечного множества 21. Цель этого параграфа —
определить бесконечное произведение мер ца на пространстве X =
ПаХа, состоящем из всех наборов х = (жа)а€а, где ха € Ха.
Обозначим через <§?>Аа наименьшую ст-алгебру, содержащую все
произведения вида ПаА*1 гДе А* € Аи причем лишь
конечное число сомножителей Аа может быть отлично от Ха. Иначе
говоря, ® А* есть ст-алгебра, порожденная множествами вида
^xflagw...,<*„}-^*> гд-е ^ € Ац®"-®А«„- Множества такого
вида называются цилиндрическими или цилиндрами.
Мы начнем со счетного произведения вероятностных мер р,п
на пространствах (Xn,Ai)- Пусть А = ф^Аг — ст-алгебра,
порожденная множествами вида А\ х • • • х Ап х Хп+\ х Хп+2 х ¦ ¦ •,
где Ai € А- Ясно, что А есть наименьшая сг-алгебра, содержащая
все ст-алгебры ?п := {А = С х Xn+i х Хп+2 х • • • : Се <8)"=i Ai}.
Объединение ?п есть алгебра А0. На А0 определена функция
ц: A = CxXn+1xXn+2x---»m®---®»n(C), Ае?п.
Данное определение корректно: если А рассматривать как
элемент ?]с с к > п, то значение /л(Е) не изменится. Это легко
усмотреть из того, что цп(Хп) = 1. Из уже доказанной счетной
аддитивности конечных произведений следует конечная
аддитивность /л. На самом деле, имеет место и счетная аддитивность,
что не очевидно и составляет содержание следующей теоремы.

3.5. Бесконечные произведения мер 223
3.5.1. Теорема. Функция ц на алгебре Л°
счетно-аддитивна и потому однозначно продолжается до счетно-аддитивной
меры на о--алгебре А.
Доказательство. Пусть Ак — убывающие множества из Л°
с пустым пересечением. Нам надо показать, что ц{Ак) —> 0.
Предположим, что fi(Ak) > е > 0 для всех п и приведем это
предположение к противоречию, показав, что пересечение множеств
Ak непусто. Через Ап обозначим алгебру множеств в П^п+i -^«»
определяемую аналогично А0, а через //") — функцию
множества на Ап, соответствующую произведению мер Цп+ii Мп+2>- • и
задаваемую аналогично \i. Из доказанного для конечных
произведений следует, что для всякого множества А € А0 и всяких
фиксированных (х\,..., хп) € ПГ=1 ^i сечение
Л*1--*» = {(^+i, zn+2,...) € {J Хг. (хъ...,хп,гп+1,...)еА}
*=п+1
является элементом Ап, причем функция
(хи...,хп)~цЫ(Ах*>~>х")
измерима относительно ®"=1 А- Обозначим через В\ '
множество тех х\, для которых ^{А*}) > е/2. Тогда В\ ' € Ai и
Hi(b[ ') > е/2, что вытекает из теоремы Фубини для
конечных произведений и неравенства (i(Ak) > е. В самом деле, Ак =
Ст х Xm+i х ¦ • • при некотором т, откуда ц{Ак) = ®™ i Vi(Cm)-
Из теоремы Фубини получаем
е < M4k) < /*i(s?>) + ^(хлвР) < /,!(<) + §,
что дает нужную оценку. Последовательность множеств В^убы-
вает при возрастании к и имеет непустое пересечение В\,
поскольку щ — счетно-аддитивная мера и ^\(В\ Л > е/2.
Зафиксируем какую-нибудь точку х\ € В\ и повторим описанную
процедуру для убывающих множеств А^1 вместо Ак- Это
возможно, ибо fiV-'^Afc1) > е/2. Получим точку Х2 € Аг, для которой
l№{AxkuX2) > е/4 при всех к. Продолжим этот процесс
индуктивно. После n-го шага получим набор (х\,... ,хп) 6 П?=1 %и А*151

224 Глава 3. Операции над мерами и функциями
которого [ft*'(АЦ.1' -,Xn"j > е2~п для всех к. Следовательно,
построение можно продолжать неограниченно, что дает точку х =
(xi,..., хп,...), принадлежащую всем А^. В самом деле,
зафиксируем А; и запишем Ak в виде А/. = Ст х Хт+\ х • • •. Множество
дХ1,...,хт неПуСТО) те существует такая точка (zm+i,zm+2,...) е
П?т+1^ь ЧТО (^i,.-.,a;TO,2m+i,2;m+2,---) е Ак. Тогда имеем
{х\,...,хт, xm+i,xm+2,...) е Ак, что очевидно из указанного
выше представления Ak- ?
Распространим доказанное на произвольные бесконечные
произведения. Это оказывается совсем просто ввиду следующей
леммы. Для упрощения обозначений будем отождествлять
множества из произведения Пя^=1 -^а„ части пространств Ха с
подмножествами из произведения всех Ха, дописывая в качестве
сомножителей по недостающим индексам а' 6 21 пространства Ха>.
3.5.2. Лемма. Объединение а-алгебр (^'^=iAan по
всевозможным не более чем счетным наборам {ап} С 21 совпадает
с а-алгеброй ®Q Аа ¦
Доказательство. Ясно, что указанное объединение (с
учетом произведенного выше отождествления) входит в (g)Q Aq.
Поэтому достаточно заметить, что оно является <т-алгеброй. Это
видно из того, что всякое счетное семейство множеств в этом
объединении определяется не более чем счетным набором индексов и
потому полностью входит в одну из объединяемых ст-алгебр. ?
Из доказанной леммы ясно, что на <^)а Аа корректно
определена счетно-аддитивная мера /х, которая множеству А,
входящему в некоторую ст-алгебру ^)^=iAan, ставит в соответствие его
уже определенную меру относительно (S^Li Ма„- Лебеговское
пополнение этой меры мы и будем называть произведением мер ца
и обозначать символом ®a/iQ. Из определения легко вывести,
что если индексирующее множество 21 разбить на две части 2li и
212 и образовать произведения ц\ = ®а&щ Да и /i,2 = ®аеа2 Да,
то//1<8>/х2 = ®а6а/^-
Мы видели, что произведение произвольного набора
вероятностных мер счетно-аддитивно. В случае, когда перемножаемые
меры обладают компактными приближающими классами, этот
факт может быть установлен еще проще, если
воспользоваться следующей леммой, которая представляет и самостоятельный

3.5. Бесконечные произведения мер 225
интерес. Эта лемма показывает, что произведение мер на
алгебре цилиндрических множеств имеет компактный
приближающий класс, состоящий из конечных пересечений конечных
объединений цилиндров с „компактными" основаниями, а потому
согласно теореме 1.4.3 является счетно-аддитивным.
3.5.3. Лемма. Предположим, что для каждого a G 21
задан некоторый компактный класс К.а подмножеств
пространства Ха. Тогда компактен и класс счетных пересечений
конечных объединений цилиндрических множеств вида
KaxY[ Xfit Ка € К,а-
Доказательство. Согласно предложению 1.12.4
достаточно проверить, что компактным является класс цилиндров вида
С = Ка х Пз^а -^/3> К а € ^а- Пусть имеется счетное
семейство таких цилиндров Ci с основаниями Ка? G JCQi. Их
пересечение имеет вид (HaeSQa) х (Цз^-*/*), где S = {а'}> Ф" =
Hi: ai=a ^а* ¦ Если это пересечение пусто, то пусто одно из
множеств Qa. В силу компактности класса Ка существует такое п,
что Ка1] П • • • П Кап) = 0. Тогда Сх П • • • П Сп = 0. D
3.5.4. Следствие. Предположим, что для каждого а € 21
вероятностное пространство (Ха,Ла,^а) имеет
приближающий компактный класс К.а. Тогда мера ®аеа А*« на алгебре
цилиндрических множеств приближается компактным классом,
указанным в лемме 3.5.3.
Доказательство. Ввиду доказанной выше леммы
достаточно проверить, что для всякого множества вида А\ х • • -хАп, где
А{ € Асц, и всякого е > 0 найдутся такие множества Ki € K.ai,
что Ki С Ai и (iai(Ai\Ki) < е/п. Тогда
/,(П(М^)х п Х")
<Е®^((м^)х П ^) = EwWi)<v
г=1 г=1 j^nj^i г=1
что доказывает наше утверждение. ?

Глава 3. Операции над мерами и функциями
3.6. Образ меры при отображении
Пусть даны пространства X и У с ег-алгебрами Ли В и (Л, В)-
измеримое отображение /: X —*Y. Тогда для всякой
ограниченной (или ограниченной снизу) меры ц на Л формула
1лоГ\в) = »(гЧв)), в ев,
задает меру на В, называемую образом меры ц при
отображении /. Счетная аддитивность ц о /_1 вытекает из счетной
аддитивности /л.
3.6.1. Теорема. Пусть /л — неотрицательная мера.
Измеримая относительно В функция д на Y интегрируема
относительно меры ц о /_1 в точности тогда, когда функция g о /
интегрируема относительно /х. При этом
Jy 9(У) /1 о f-\dy) = Jx g(f(x)) fi(dx). C.6.1)
Доказательство. Докажем сначала C.6.1) для /х
о/^-интегрируемых В-измеримых функций д. Для индикаторов
множеств из В эта формула есть определение образа меры, поэтому
по линейности она распространяется на простые функции. С
простых функций эта формула распространяется на ограниченные
В-измеримые, поскольку такие функции являются
равномерными пределами простых. Если д — неотрицательная В-измеримая
функция, которая интегрируема относительно р, о /-1, то для
функций дп = тт(д,п) равенство C.6.1) уже доказано. Из
теоремы Беппо Леви вытекает его справедливость для д, ибо
интегралы функций дп о / по мере р равномерно ограничены. В силу
линейности C.6.1) по д получаем общий случай. Из приведенных
рассуждений вытекает и необходимость /^-интегрируемости до f
для интегрируемости д относительно /to/-1. ?
Ясно, что равенство C.6.1) остается в силе для всякой
функции д, которая измерима относительно лебеговского пополнения
меры /ю/-1 и /го/_1-интегрируема. Это вытекает из того, что
всякая такая функция эквивалентна В-измеримой функции. Условие
В-измеримости можно заменить измеримостью относительно о-
алгебры
Af = {EdY: Г\Е)ЕЛ},

3.6. Образ меры при отображении 227
если на ней задать меру ц о /_1 той же формулой, что и на В.
Однако следует иметь в виду, что сг-алгебра А* может быть
строго больше лебеговского пополнения В относительно ц о /-1. Мы
обсудим этот вопрос при изучении совершенных мер в гл. 7.
В случае знакопеременной меры \i равенство C.6.1) остается
в силе, если функция д о f интегрируема относительно [л (это
ясно из разложения Жордана для ц). Однако интегрируемость д
относительно меры до/-1 уже не влечет интегрируемость до f
(задача 3.10.56).
Если дана ^-измеримая числовая функция ф, то по формуле
C.6.1) интеграл от функции вида чр о f представляется в виде
интеграла от ф по мере /л о /_1 на прямой. Например,
/ |/0r)|*/x(dr)= / \t\P»of-\dt).
Jx Jn
Введем функцию распределения функции /:
Ф№ := р(х: f(x)<t), teJR1. C.6.2)
Ясно, что Ф/(?) = /хо/-1((—оо,<)), т.е. Ф/ совпадает с функцией
распределения F^f-i меры ц о /-1. В случае, когда /х —
вероятностная мера, функция Ф/ является неубывающей, непрерывна
слева, имеет пределы справа в каждой точке, причем
lim Ф, (<) = 0, lim Ф/(*) = 1.
*->-00 J V ' t—00 J V '
Вспоминая определение интеграла Лебега-Стилтьеса (см.
формулу B.12.7) в §2.12(vi)), можно записать
Jxff,(f(x))rtdx)=J^m**f(t)-
Интересно следующее наблюдение А.Н. Колмогорова.
3.6.2. Пример. Предположим, что ii — вероятностная мера
и / — /^-измеримая функция с непрерывной функцией
распределения Ф/. Тогда образ меры it при отображении Ф/ о / есть мера
Лебега А на [0,1]. Иначе говоря, (// о /_1) о Ф71 = А.
Доказательство. Второе утверждение равносильно
первому по определению ц о /-1. Его мы и проверим, ибо теперь все
свелось к случаю, когда ц — мера на прямой, не имеющая
атомов. Достаточно показать, что /ioF~1(@,t]) = t для всех t € [0,1),

228 Глава 3. Операции над мерами и функциями
где Ffj, — функция распределения ц. Заметим, что i?/71({0,i]) =
(—00, s], где s — точная верхняя грань таких z, что /г((—оо, z]) = t.
Если F^ не является строго возрастающей, то множество таких z
может быть промежутком. Однако /х((—оо, s]) = t, что и
доказывает наше утверждение. ?
В частности, всякую вероятностную меру /х на прямой, не
имеющую точек положительной меры, можно с помощью
непрерывного преобразования F^ перевести в меру Лебега на [0,1].
Более того, из наших рассуждений видно, что если F^ строго
возрастает, т.е. нет интервалов нулевой /х-меры, то JF1^ — гомеоморфизм.
В гл. 9 подобные вопросы обсуждаются более подробно.
При рассмотрении образов мер часто возникает вопрос об
измеримости образов множеств. Как мы увидим ниже, этот вопрос
оказывается довольно тонким. Приведем сначала один простой
результат о достаточных условиях измеримости.
3.6.3. Лемма. Пусть F: ГО™ —> ГО,™ — отображение,
удовлетворяющее условию Липшица, т.е. \F(x) — F(y)\ ^ L\x — у\ при
всех х, у ? ГО/1, где L — постоянная. Тогда для всякого
измеримого по Лебегу множества А С ГО™ множество F(A) измеримо
по Лебегу.
Доказательство. Достаточно доказать эту лемму для
ограниченных множеств. Заметим, что А можно представить в
виде А = {JjLiKj\jB, где Kj компактны, а множество В
имеет меру нуль. Поскольку множество F(\JJ^=lKjJ = IJ'jLiF(Kj)
является борелевским, будучи объединением компактов F(Kj),
то достаточно проверить измеримость F(B). Пусть е > 0.
Покроем В последовательностью кубов Qj с ребрами длины tj и
суммой мер менее е. В силу лишшщевости F множество F(Qj)
содержится в шаре радиуса Ly/nrj, а значит в кубе с длиной
ребра ILy/пГу Поэтому мера объединения F{Qj) не превосходит
\р i,nnn/2rn < iinnn/2? Итак, F(B) имеет меру нуль. ?
3.6.4. Следствие. Всякое линейное отображение L в ГО™
переводит измеримые по Лебегу множества в измеримые по
Лебегу множества, причем \n{L{Aj) = |detL|An(yl) для
всякого измеримого множества А конечной меры. При обратимом

3.6. Образ меры при отображении
229
линейном отображении прообраз всякого измеримого по Лебегу
множества измерим по Лебегу.
Доказательство. Утверждения об измеримости вытекают
из леммы 3.6.3. Если detL = 0, то образ всего Шп является
собственным подпространством и имеет меру нуль. Пусть det L ф 0.
Из линейной алгебры известно, что L записывается в виде
композиции L = ULq, где U — ортогональный линейный оператор,
a Lq задается диагональной матрицей с числами Oj > 0 на
диагонали. Поскольку | det L\ = «i ¦ • • ап и отображение U
сохраняет меру Лебега, то остается рассмотреть отображение Lq. Если
А — куб с ребрами, параллельными координатным осям, то
равенство \n(Lo(A)) = detLoA„(j4) очевидно. Затем это равенство
переносится на конечные объединения таких кубов, откуда легко
вытекает его справедливость для всех измеримых множеств. ?
В теореме 3.7.1 следующего параграфа будет выведена
формула замены переменных для нелинейных отображений.
Доказанная выше лемма 3.6.3 не переносится на
произвольные непрерывные отображения. Чтобы рассмотреть
соответствующий пример, определим сначала функцию Кантора,
интересную и в других отношениях (она понадобится ниже при
обсуждении связей между интегралом и производной).
3.6.5. Предложение. Существует такая непрерывная
неубывающая функция Со на [0,1] (функция Кантора или канто-
ровская лестница), что Со@) = 1, СЬA) = 1 и Со = к2~п на
интервале Jjtn из дополнения к множеству Кантора С,
описанному в примере 1.7.5.
Доказательство. Определив Со указанным образом на
дополнительных к С интервалах, получим неубывающую функцию
на [0,1]\С. Пусть Со@) = 0 и С0(х) = sup{C0(t), t # С, t < х)
при х G С. Получим неубывающую функцию, которая принимает
все значения вида к2~п. Поэтому функция Со не имеет скачков
и непрерывна на [0,1]. ?
3.6.6. Пример. Пусть /(ж) = —Ц^ , где Со — функция
Кантора на [0,1]. Тогда / — непрерывное и взаимно-однозначное
отображение отрезка [0,1] на себя, причем существует такое
множество меры нуль Е в канторовском множестве С, что f(E)
неизмеримо по Лебегу.

230 Глава 3. Операции над мерами и функциями
Доказательство. Ясно, что / — непрерывное и
взаимнооднозначное отображение отрезка [0,1] на себя. На каждом
интервале дополнения к С функция / имеет вид х/2 + const (где
const зависит, конечно, от рассматриваемого интервала) и
потому переводит такой интервал в интервал вдвое меньшей длины.
Следовательно, дополнение к С переходит в открытое множество
U меры 1/2. Множество [0,1]\?7 меры 1/2 имеет неизмеримое по
Лебегу подмножество D. Ясно, что Е = f~1{D) С С имеет меру
нуль и f(E) = D. ?
3-6.7. Замечание. Пусть д — функция, обратная к
функции / из предыдущего примера. Тогда множество д~1(Е)
неизмеримо, хотя Е имеет меру нуль ид — борелевская функция.
Это показывает, что в определении измеримой по Лебегу
функции требование измеримости прообразов борелевских множеств
не влечет измеримость прообразов произвольных измеримых по
Лебегу множеств.
Ниже мы убедимся, что при изучении измеримости образов
множеств решающее значение имеет измеримость образов
множеств нулевой меры.
3.6.8. Определение. Пусть F: (X,A,fi) -> (Y,B,v) -
измеримое отображение пространств с мерами. Будем говорить,
что F обладает свойством Лузина (N) (или удовлетворяет
условию Лузина (N)) относительно пары {fi,v), если v(F(A)) = 0
для всякого множества Ае А с рь(А) = 0.
В случае (X, А, /х) = (Y, В, и) будем говорить, что F
обладает свойством Лузина (N) относительно ц.
3.6.9. Теорема. Пусть F: Нп —> Ш,п — измеримое по
Лебегу отображение. Тогда F обладает свойством Лузина (N)
относительно меры Лебега в точности в том случае, когда F
переводит измеримые по Лебегу множества в измеримые по Лебегу
множества.
Доказательство. Пусть А с Ш" — измеримое по Лебегу
множество. В силу теоремы Лузина существует такая
последовательность компактных множеств Kj С А, что F непрерывно на
каждом из Kj и множество В = A\\J?1 Kj имеет меру нуль.
Тогда множество \JftLi F(Kj) — борелевское. Поэтому измеримость
F{A) равносильна измеримости F(B), для чего достаточно
свойства Лузина. Необходимость этого свойства ясна из того, что если

3.7. Замена переменных в Ж." 231
В — множество меры нуль, a F(B) не имеет меру нуль, то в F(B)
найдется неизмеримое подмножество D, а тогда Е = BnF~l(D)
имеет меру нуль и неизмеримый образ. П
Свойство Лузина (N) рассматривается далее в задачах гл. 5,
а также в гл. 9.
3.7. Замена переменных в Ип
Выведем теперь формулу замены переменных для
нелинейных отображений в Ш.п. Предположим, что U — открытое
множество в Шп и отображение F: U —> Шп непрерывно
дифференцируемо. Производная F'(x) отображения F в точке х по
определению есть линейное отображение в lRn. Определитель матрицы
этого отображения называется якобианом F в точке х. Якобиан
будем обозначать через JF(x). Итак, JF(x) = AetF'{x).
3.7.1. Теорема. Если отображение F инъективно в U, то
для всякого измеримого множества А С U и всякой борелевской
функции g € ^(Ю,™) справедливо равенство
[ g(F(x))\JF(x)\dx= [ g(y)dy. C.7.1)
J A JF{A)
Доказательство. Как показано выше, множество F(A)
измеримо, ибо отображение F локально лшшшцево. Ясно, что
достаточно доказать C.7.1) в случае, когда функция g является
индикатором борелевского множества В. В силу инъективности F
это сводится к доказательству равенства
\n{F(E))= f \JF(x)\dx C.7.2)
JE
для всех борелевских множеств Е С U. Пусть Е — замкнутый
куб внутри U. Без ущерба для общности можно считать, что
||F'(x)(/i)|| ^ \\h\\ при всех х € Е и h € И™. Зафиксируем е €
@,1). Из непрерывной дифферешщруемости F следует, что
существует такое 8 > 0, что при ж, у € Е и ||ж — у\\ ^ 8 имеем
F(y)-F(x)-F'(x)(y-x) = r(x,y), \\r(x,y)\\ ^ е\\у-х\\. C.7.3)
Разделим Е на тп равных кубов Ej с длиной диагонали d < 8.
Пусть Xj — центр Ej. Положим Lj(x) = F'(xj)(x — Xj) + F(xj)

232 Глава 3. Операции над мерами и функциями
при х е Ej. Тогда можно записать Aj := Xn(F(Ej)) — Xn[Lj(Ej))
и в этих обозначениях
\n(F(E))=f2*n{F(Ej))
3=1
= :?[xn(Lj(Ej)) + Aj]
3=1
= f^\detF'(Xj)\Xn(Ej) + f2^r
j=i j=i
Ясно, что при возрастании т первая сумма в правой части
написанного равенства стремится к интегралу \JF\ по Е. Оценим Д.,-.
В силу C.7.3) при х € Ej имеем
\\F(x) - Lj(x)\\ ^ е\\х - xj\\ ^ ей.
Тогда F[Ej) входит в окрестность радиуса ed множества Lj(Ej).
Поскольку мы считаем, что Lj липшицево с константой 1, то
обозначив через Сп количество граней n-мерного куба, получаем с
помощью теоремы Фубини, что мера erf-окрестности множества
Lj(Ej) отличается от меры Lj(Ej) не больше чем на 2СпеАп(?^).
Таким образом, Д^ = Xn(F(Ej)) - Xn(Lj(Ej)) ^ 2CneXn(Ej),
откуда
J2Aj^2CnXn(E)e.
3=1
Теперь покажем, что для некоторой постоянной Кп
Y,Aj>-KnXn{E)Ve-.
3=1
Для этого получим оценку
Xn{Lj{Ej))-Xn{F{Ej))^Kn^sXn{Ej), j = l,...,mn. C.7.4)
Если \detF'(xj)\ < у/ё, то C.7.4) выполнено с Кп = 1.
Рассмотрим случай, когда | det F'(xj)\ > -у/е. Тогда оператор F'(xj) имеет
обратный Gj, причем
ЦСЭДК е-1/2||Л||, VfcelR". C.7.5)

3.7. Замена переменных в Ш." 233
Действительно, F'(xj) = TL, где Т — ортогональный оператор,
а оператор L задается диагональной матрицей с
положительными числами «1,..., ап на диагонали. В силу нашего
предположения «j ^ 1. Поэтому с*1 > у/ё, откуда а^1 < е~1//2, что
доказывает C.7.5). Из C.7.3) и C.7.5) следует, что F(Ej) содержит
Lj(Qj), где Qj — куб с тем же центром, что и Ej, но диаметром
A — y/e)d. Действительно, пусть у € Ej. Можно считать, что 5 > О
столь мало, что ||(/ - GjF'(x))h\\ < ||Л||/2 при х G Ej и \\h\\ ^ 1.
Такой выбор возможен, поскольку отображение F' непрерывно и
GjF'(xj) = I. Уравнение F(x) = Lj(y) равносильно уравнению
х — GjF{x) + GjLj{y) — х. Из приведенной выше оценки следует,
что отображение
Щх) = х- GjF{x) + GjLjiy)
удовлетворяет условию Липшица с константой 1/2. Заметим, что
Ф(ж) - х - GjF{x) + y-xj + GjF(xj)
= у + (х - xj) + Gj (F(Xj) - F(x)) = y + Gj (r(x, Xj))•
Поэтому ||Ф(ж) - y|| ^ е~^2е\\х - Xj\\ и-потому Ф(x) € Ej. Итак,
отображение Ф: Ej —> Ej является сжимающим. Как известно,
существует х € Ej с Ф(ж) = х, т.е. F(x) = Lj(y). Таким образом,
в рассматриваемом случае получаем
Xn(Lj(Ej)) - K(F(Ej)) < Xn(Lj(Ej)) - Xn{Lj(Qj))
= \detF'(xj)\[Xn(Ej)-Xn(Qj)}
= |detF'(x,)|(l - A - ^)n)Xn(Ej),
что приводит к C.7.4). Таким образом, формула C.7.1) доказана
для кубов. Из этого легко выводится общий случай. ?
3.7.2. Следствие. Пусть F — строго возрастающая
непрерывно дифференцируемая функция на конечном или бесконечном
интервале (а, Ь). Тогда для всякой борелевской функции д,
интегрируемой на (F(a),F(b)), справедливо равенство
гЬ fF(b)
g{F(t))F'(t)dt= g(s)ds. C.7.6)
Ja JF(a)
В гл. 5 мы докажем формулу замены переменных для более
широкого класса функций F.

234 Глава 3. Операции над мерами и функциями
Из доказательства теоремы 3.7.1 легко усмотреть следующее
полезное неравенство Сарда (которое на самом деле верно при
более широких предположениях, см. гл. 5).
3.7.3. Предложение. Пусть F: U —* Шп — непрерывно
дифференцируемое отображение. Тогда для всякого измеримого
множества А справедливо неравенство
Xn{F(A)) ^ f \JF(x)\dx. C.7.7)
Из C.7.7) вытекает, что образ множества {х: JF(x) = 0}
при отображении F (называемый множеством критических
значений F) имеет меру нуль. Это утверждение — простейший
случай теоремы Сарда. Отметим, что если сначала доказать, что
множество критических значений имеет меру нуль, то
неравенство C.7.7) легко вывести и из утверждения теоремы, не
обращаясь к ее доказательству. Для этого надо рассмотреть интеграл по
множеству, где JF ^0и воспользоваться теоремой об обратной
функции, которая утверждает, что всякая точка х с JF(x) ф 0
обладает окрестностью, в которой F инъективно.
3.8. Преобразование Фурье
В этом параграфе мы рассмотрим преобразование Фурье
функций и мер: один из важнейших инструментов анализа.
3.8.1. Определение, (i) Преобразованием Фурье функции
f € ?1(lRn) (возможно, комплекснозначной) называется ком-
плекснознанная функция
Преобразованием Фурье элемента f € L1AR1) называется
функция f для любого представителя класса эквивалентности /.
(И) Характеристическим функционалом (или
характеристической функцией) ограниченной борелевской меры ц на Шп
называется комплексная функция
Ш= I е*<»>*)/,(<**)•

3.8. Преобразование Фурье
235
Необходимость проведения различия между версиями
интегрируемой функции при рассмотрении преобразования Фурье
будет ясна из дальнейшего, когда пойдет речь о восстановлении
значений / в отдельных точках по функции /. Ясно, что если
мера ц задается плотностью / относительно меры Лебега, то ее
характеристический функционал лишь множителем отличается
от преобразования Фурье ее плотности с обращенным
аргументом. Данное выше определение согласуется с принятым в
теории вероятностей определением характеристического
функционала вероятностной меры, применимым и в бесконечномерных
пространствах. С другой стороны, при выбранном нами
множителе преобразование Фурье функций задает унитарный оператор
в 1?(Шп) (см. C.8.3)). Наконец, выбор знака минус в экспоненте
связан лишь с тем, что такова традиция. Как мы увидим ниже,
замена минуса на плюс дает определение обратного
преобразования Фурье.
В некоторых случаях удается явно вычислить преобразование
Фурье. Рассмотрим один из важнейших примеров.
3.8.2. Пример. Пусть а > 0. Тогда
Щ& L ехрН(У'Х)] ехр["а|а:|2] ^ = B^7* ехр ["? И •
Доказательство. Вычисление этого интеграла по теореме
Фубини сводится к одномерному случаю, причем после
очевидной замены переменной достаточно рассмотреть случай а = 1/2.
В этом случае обе части доказываемого равенство являются
аналитическими функциями у, совпадающими при у = it, t G М, что
следует из задачи 3.10.39. Поэтому эти функции совпадают и при
всех у € Ш. О
3.8.3. Определение. Функция (р: Нп —> С называется
положительно определенной, если для всех yi G JRn, с, € С, i =
l,...,k, имеем
к
]С c&jViVi ~ Уз) > °-
Из примера выше следует, что функция ехр(—/3|у|2) на Ш.п
положительно определена при всех 0^0. Отметим, что функция

236 Глава 3. Операции над мерами и функциями
при всяком а > 0 имеет интеграл 1. Вероятностная мера с
плотностью ра имеет характеристический функционал ехр(—о~\у\2/2).
Вероятностная мера с плотностью р\ называется стандартной га-
уссовской мерой на Шп. Теория гауссовских мер подробно
изложена в книгах Богачев [25], [270].
Свойства положительно определенных функций
обсуждаются ниже в §3.10(v).
3.8.4. Предложение, (i) Преобразование Фурье
интегрируемой функции f является ограниченной равномерно непрерывной
функцией, причем lim f(y) = 0.
Ы—°°
(ii) Характеристический функционал ограниченной меры fi
является равномерно непрерывной ограниченной функцией. Если
мера ц неотрицательна, то функция ц — положительно
определенная.
Доказательство, (i) Ясно, что |/(у)| ^ B7r)~n/2||/||Li.
Если / является индикатором куба с ребрами, параллельными
координатным осям, то / легко вычислить явно с помощью теоремы
Фубини и убедиться в справедливости доказываемого
утверждения. Поэтому это утверждения остается в силе для линейных
комбинаций индикаторов таких кубов. Теперь остается взять
последовательность fj указанных линейных комбинаций, сходящуюся
к / в L1(lRn), и заметить, что функции fj равномерно сходятся
к/.
(ii) Первое утверждение доказывается аналогично (i). Второе
вытекает из равенства
Y, ЪЧЯУг - Уз) = / ll^-e^^l ц{йх).
?
Рассмотрим еще несколько полезных свойств преобразования
Фурье.
3.8.5. Предложение. Если непрерывно дифференцируемая
и интегрируемая функция f-обладает интегрируемой частной
производной dXjf, то
dXjf(y) = iy3f(y).

3.8. Преобразование Фурье
237
Доказательство. Если / имеет ограниченный носитель, то
доказываемое равенство следует из формулы интегрирования по
частям. Чтобы свести к этому общий случай, достаточно взять
последовательность гладких функций ^ на Ж™ со следующими
свойствами: 0 < С* ^ 1, suPfe |Фг7С*1 ^ С, С&(ж) = 1 при \х\ ^ к.
Тогда функции ?fc/ сходятся в Lx(]Rn) к /, а функции сЦ.@ь/)
сходятся к dXjf, ибо dXj?kf —+ 0 в Lx(]Rn) в силу теоремы Лебега
о мажорируемой сходимости. ?
Из доказанного вытекает, что если / — гладкая функция с
ограниченным носителем, то ее преобразование Фурье убывает
на бесконечности быстрее любой степени.
3.8.6. Предложение. Если две ограниченные борелевские
меры имеют равные преобразования Фурье, то они совпадают.
В частности, две интегрируемые функции с равными
преобразованиями Фурье равны почти всюду.
Доказательство. Достаточно показать, что ограниченная
мера /j, с нулевым преобразованием Фурье равна нулю. В свою
очередь, для этого достаточно установить, что всякая
ограниченная непрерывная функция / имеет по мере ц нулевой интеграл
(см. задачу 3.10.27). Можно считать, что ||/i|| ^ 1 и |/| < 1. Пусть
е G @,1). Возьмем непрерывную функцию /о с ограниченным
носителем, для которой |/о| ^ 1 и
/ \Пх)-ШШдх)^е.
Найдем такой куб К = [—2wk, 27гк]п, содержащий носитель /о,
что |/х|(ГО,п\А") < е. По теореме Вейерштрасса найдется
функция g вида д(х) = 5Z cjexp[i(yj,a;)], где yj — векторы с целыми
j=i
координатами, такая, что \fo(x) — д(х)\ < е при х Е К. В силу
периодичности д имеем \д(х)\ ^ 1 + е ^ 2 при всех х е Шп. При
этом интеграл от д по мере /л равен нулю ввиду равенства Д = 0.
Окончательно получаем
\[ /d/ike+l/ /о«*/*|<е+|/ [fo-g]dfi\
^2е+ [ \g\d\fi\^4e.

238 Глава 3. Операции над мерами и функциями
В силу произвольности е утверждение доказано. Отметим, что
можно было бы применить теорему 2.12.9, взяв в качестве Но
алгебру линейных комбинаций функций вида sin(y, х) и cos(y, х), а
в качестве Л пространство ограниченных борелевских функций
с нулевым интегралом по мере ц. Второе утверждение
вытекает из первого, поскольку мы получаем совпадение почти всюду
рассматриваемых функций с обращенными аргументами. П
3.8.7. Следствие. Ограниченная борелевская мера на ГО,"
переходит в себя при отображении х •->• —х в точности тогда,
когда Ji — вещественная функция. В частности,
интегрируемая функция симметрична (т.е. f(x) = f(—x) п.в.) в точности
тогда, когда ее преобразование Фурье вещественно.
Доказательство. Необходимость указанного условия
очевидна из нечетности sin ж. Достаточность ясна из того, что
характеристический функционал меры i/, являющейся образом ц
при центральной симметрии, равен комплексно-сопряженной ц
функции, т.е. совпадает с этой функцией ввиду ее
вещественности. Из совпадения характеристических функционалов следует
совпадение самих мер. ?
Естественно возникает вопрос как восстановить функцию / по
ее преобразованию Фурье, определяющему эту функцию с
точностью до модификации. Для этой цели используется обратное
преобразование Фурье. Для интегрируемой функции / обратное
преобразование Фурье задается формулой
]{х) = B7Г)-"/2 Г e^^f(y)dy.
Мы увидим, что если прямое преобразование Фурье /
интегрируемо, то его обратное преобразование дает исходную
функцию /. На самом деле это верно и без предположения об
интегрируемости /, если определить обратное преобразование Фурье
для обобщенных функций. Мы не будем этим заниматься,
однако приведем одно достаточное условие восстановления функции
в фиксированной точке по ее преобразованию Фурье, а затем
докажем равенство Парсеваля, служащее основой определения
преобразования Фурье обобщенных функций.
3.8.8. Теорема. Пусть функция f интегрируема на прямой,
причем в некоторой точке х она удовлетворяет условию Дини:

3.8. Преобразование Фурье
239
функция t н-> [/(ж + t) — f(x)]/t интегрируема в окрестности
нуля. Тогда справедлива следующая формула обращения:
f(x) = -1= Urn Г e^f(y)dy. C.8.1)
V27T Д->+00 7_д
В частности, указанная формула верна во всех точках диффе-
ренцируемости /.
Доказательство. Положим
\/2тг J-R
где R > 0. По теореме Фубини получаем
1 г+оо rR
Из анализа известно, что
lim / dt = it.
Т->+оо J_T t
Пусть е > 0. Поскольку интеграл от sin(Rt)/t по [—Т,Т] равен
интегралу от sint/t по [—RT,RT], то существует такое Т\ > 0,
что при всех Т > Т\ и R > 1
|/МЛ-ЕИ«(В_/(х)|<?.
I Л" У_у t I О
В силу интегрируемости / найдется такое Гг > Ti, что
По условию теоремы функция [f(x + t) — f(x)]/t интегрируема по
t на [—Т2,Тг]. Следовательно, существует такое Ri > 1, что при
всех R> Ri
\Г*у*)Пх+,)-тм<'.
Ч-т2 * '

Глава 3. Операции над мерами и функциями
С учетом трех произведенных выше оценок при R> R\ получаем
U«(*)-/MI
I 7Г J_T2 t I I 7Г J_T2 t I
ф_трмтл^
I 7Г J-T2 * ' A
1| /*+°° *„ ,sin(ffi) ^ f^ ., .sin(itt) _j e
Г 2 r,, ч 41sin(itt) , I
,l± .sin(Rt)
Теорема доказана. П
3.8.9. Следствие. Пусть f — бесконечно дифференцируемая
функция на Шп с ограниченным носителем. Тогда
f(x) = Bтг)-"/2 /" jMf(y)dy. C.8.2)
Доказательство. Напомним, что функция / убывает на
бесконечности быстрее любой степени и потому интегрируема.
Поэтому в случае п = 1 равенство C.8.2) следует из C.8.1). По
теореме Фубини это равенство переносится на функции на ГО.™.
Для упрощения обозначений рассмотрим случай п — 2. Тогда при
фиксированном жг имеем
f(xux2) = -j=?™eixwgi(y1,x2)dy1,
где у\ и-> gi(y\,X2) — преобразование Фурье функции одного
переменного х\ i-> f(x\,X2). При фиксированном у\ функция
%2 *-+ 9i(yiix2) бесконечно дифференцируема и имеет
ограниченный носитель. Поэтому
1 Г+ОО 1 /-+0О

3.8. Преобразование Фурье
Подставив
г+оо
<ПЫ,Ъ) = ^J_ °°e-iy^f(z1,z2)dzu
приходим к C.8.2). П
3.8.10. Теорема. Для всех <р, ф 6 //Х(П1") верны равенства
/ (pipdx= I tpip dx, I iplpdx= J ффдх.
Jm.n Jm.n Jmn -m*
Доказательство. Применив теорему Фубини к равенству
/ 0$dx = . I \ e-l(x<y)<p(y)ip(x)dydx,
получим первую формулу, а вторая аналогична. ?
3.8.11. Следствие. Пусть <р G Z^IR"). Тогда для всякой
бесконечно дифференцируемой функции ф с ограниченным
носителем справедливо равенство Парсеваля
I ф)ф(х)дх= I ф{у)ф{у)ду. C.8.3)
Jm.n JjR.n
Доказательство. Как отмечалось выше, функция f := ф
убывает быстрее любой степени и потому интегрируема. Остается
применить формулу обращения ф = /. ?
Равенство Парсеваля позволяет определить преобразование
Фурье и в L2 (см. задачу 3.10.64).
3.8.12. Следствие. Пусть f € Cl(Rn) ufe С1^). Тогда
/ имеет непрерывную модификацию /о, причем
/о(х) - B7r)-"/2 [ e^fiy) dy, \/х е Шп.
?во. По условию функци
ратное преобразование Ф;
/о почти всюду. Для это
й гладкой вещественной с
/ f<pdx = / fo<pdx.
JJRn JVC1
Доказательство. По условию функция g := f
интегрируема. Поэтому ее обратное преобразование Фурье /о непрерывно.
Проверим, что / = /о почти всюду. Для этого достаточно
показать, что для всякой гладкой вещественной функции ip с
ограниченным носителем

Глава 3. Операции над мерами и функциями
В силу равенства Парсеваля имеем I fipdx = If (pdx. С другой
стороны, I g<pdx= J fo<p dx, откуда вытекает доказываемое. ?
Теорему Фубини можно применять и к произведению двух
ограниченных борелевских мер р, и v на ГО™. Это дает следующее
утверждение.
3.8.13. Предложение. Пусть ц и v — ограниченные боре-
левские меры на ГО™. Тогда
/ А*(У) vWl = / »
Jm.n Jwin
'•(x)ii(dx). C.8.4)
3.8.14. Следствие. Пусть ц иг/ — вероятностные борелев-
ские меры на ГО™. Если функция v вещественна, то
и(х: V(x) ^ t) < -±- I [1 - м(у)] v(dy), Vt € @,1), C.8.5)
где правая часть вещественна.
Доказательство. Левая часть равна/х(х: 1 — и(х) ^ 1—t),
что по неравенству Чебышёва не превосходит
J-J^ll-Цх)]^).
Остается применить C.8.4), что показывает также и
вещественность правой части C.8.5). ?
Подчеркнем, что сама функция р. не обязана быть
вещественной; вещественным является лишь ее интеграл по мере v.
3.8.15. Следствие. Для всякой вероятностной борелевской
меры fi на ГО" справедливо неравенство
fi(x: \х\ ^ t) < -0^ J^n [1 -Kv/t)} lW, Vt > 0, C.8.6)
где 7 — стандартная гауссовская мера на ГО™.
Доказательство. Мы знаем, что *у(х) = е_'х' /2. Пусть 7t
есть образ 7 при отображении х \-> x/t. Тогда
7t(aO=eXP(-t-2N2/2).

3.9. Свертка 243
Следовательно, в силу C.8.5) получаем
fi(x: \х\ ^ t) = »(х: jt(x) ^ е/2)
Правая часть этого неравенства равна правой части C.8.6) по
определению 7t- О
3.8.16. Следствие. Пусть г > 0 и ц вероятностная мера
на ПГ. Тогда
Jx: \х\ > r~2) ^ бгаг2 + 3 sup |1 - /x(z)|. C.8.7)
V } \А<?
Доказательство. Левая часть C.8.7) не превосходит
интеграла 3I - Д(г2у)| по мере 7, ибо у/ё(у/ё~— I)-1 < 3. Интеграл по
шару радиуса г-1 не превосходит 3 sup |1—/x(z)|, так как |r2y| ^ г
при \у\ < г-1. В силу неравенства Чебышёва
-у(у: \у\ > г) ^ г2 / \y\2l{dy) = пг2.
Остается заметить, что |1 — Д| < 2. П
3.9. Свертка
В этом параграфе в качестве применения теоремы Фубини
и неравенства Гёльдера мы рассмотрим свертку интегрируемых
функций.
3.9.1. Лемма. Пусть функция f на Шп измерима по Лебегу.
Тогда функция (х, у) >-> f(x — у) измерима по Лебегу на Ш2п.
Доказательство. Положим g(x,y) = f(x — у) и
рассмотрим обратимое линейное преобразование F: (х,у) •—> (ж — у, у).
Тогда д(х,у) = fo(F(x,y)), где fo(x,y) = f(x) — измеримая по
Лебегу функция на Ш2п. В силу следствия 3.6.4 функция д также
измерима. ?
3.9.2. Теорема, (i) Пусть f,g€ /^(IR"). Тогда функция
f*g{x)= f f{x-y)g{y)dy, C.9.1)
Jm.n

Глава 3. Операции над мерами и функциями
называемая сверткой fug, определена для почти всех х и
интегрируема, причем
и*9\\ьч*.») < II/IIli(r»)IMIl4r")- C-9-2)
Кроме того, f *g = g* f почти всюду.
(ii) Пусть f Е C°°{JRn), g E ?1(H"). Тогда функция
f * g(x) = f(x- y)g{y) dy
Jm.n
определена для всех x, причем
ll/*0lU~(R») < H/IU«»(R-)|blUl(R-). C.9.3)
Кроме того, f * g(x) — g * f(x).
Доказательство, (i) Как мы знаем, функция
гр: (x,y)*-+\f(x-y)g{y)\
измерима на Ш,2п. Поскольку
/ / \f(x-y)\\g(y)\dxdy= [ (Г \f{z)\dz\\g{y)\dy<^
Jm.n Jnn JMn \Jm.n /
то в силу теоремы 3.4.5 функция ф интегрируема на Ш.2п и
Ы\щк?") < \\/\\ьч*.")\\9\\щп"У
По теореме Фубини функция ср: х н-> / гр(х, у) dy определена для
почти всех х и интегрируема, а потому интегрируема и функция
f*g, ибо \f*g(x)\ ^ <р(х), а измеримость f*g вытекает из леммы
3.9.1 и утверждения об измеримости в теореме Фубини. Для тех х,
для которых функция f(x — y)g(y) интегрируема по у, заменой
переменной z = х — у убеждаемся в равенстве / * д(х) = д * f(x).
Утверждение (ii) очевидно, ибо функция у н-> д(х — у)
интегрируема при всех х. ?
3.9.3. Следствие. Если f,gE C^JEC1), то
J7g{y) = №)п/2Т(у)Ш

Доказательство. Мы уже знаем, что / * д е L^H"). По
теореме Фубини имеем
Bтг)-п/2 / Г e-^>^f(x-z)g(z)dzdx
Jvu1 Jm.n
= {2тх)-п'2 f f e~i^'^e-i^'^f(u)g(z)dzdx,
откуда следует доказываемая формула. ?
Следующая теорема обобщает предыдущую и содержит
важное неравенство Юнга.
3.9.4. Теорема. Предположим, что
l^p^q^oo, 1 = 1 + 1-1.
q г р
Тогда для всяких функций f Е /7(К") ug Е Cr(JRn) функция f*g
определена почти всюду (всюду, если q = оо), входит в Cq(TRn),
причем / * g = g * f почти всюду и
II/ * 0||ы(ц«) < Н/Ь(и-)||«7||ьгA1-). C-9.4)
Доказательство. Рассмотрим случай 1 < р < q, г < q.
По лемме 3.9.1 и теореме Фубини, для почти всякого х функция
у I—у f(x — y)g(y) измерима. Тогда при фиксированном х с таким
свойством к функции
|/(* - У)9(У)\ = (|/(* - У)РШ\ГУ/Ч\П* - y)\l-p/q\9{y)\l-rlq
аргумента у применимо обобщенное неравенство Гёльдера с
показателями
Pi = Я, Р2 = ~л Г, Рз = 1 Р , ,
l-r/q l-p/q
ибо Pi1 +Р21 +Р3 Х = 1- Действительно,
1 | g-r | q-p = pg + rq-rp _ 1 1 _ 1
q rq pq rpq r p q
Следовательно,
\f*g(*)\ < 11/11Гр/91Ь11Г/9(^п1/(з-у)|рЬЫГ^I/9.

246 Глава 3. Операции над мерами и функциями
Таким образом, функция у н-> f(x — y)g(y) интегрируема для всех
тех точек х, для которых она измерима и определена функция
|/|р* |<?Г> те- в СИЛУ предыдущей теоремы для почти всех х. При
этом / * д{х) = д * f(x), что доказывается с помощью той же
замены переменных, что и в предыдущей теореме. Аналогично
получаем, что функция / * д измерима. Окончательно получаем
U*g\\l < 11/11Гр11»НГр / / \f(x-y)\p\g(y)\rdydx = шцу?.
MnJun
Оставпшеся случаи l=p<q = rvip = q, г = 1 вытекают из
предыдущей теоремы и неравенства Гёльдера, примененного к
функции у н-> /(ж — у)д(у) при фиксированном х. В частности,
при q = оо интеграл от |/(х — у)д(у)\ по у оценивается с помощью
неравенства Гёльдера через ||/||р||з||г, ибо в этом случае имеем
р-1 + г-1 = 1. П
3.9.5. Следствие. Пусть д G ?1(Шп) и функция,/
ограничена и непрерывна. Тогда функция f*g также ограничена и
непрерывна. Если же f имеет непрерывные и ограниченные
производные до порядка к, то такова же и f *g, причем
dXil...dXim(f*g) = (dXii...dx.mf)*g
для всех т < г.
Доказательство. Непрерывность / * g следует из теоремы
Лебега. Если / имеет ограниченные и непрерывные частные
производные, то из теоремы о дифференцировании интеграла Лебега
по параметру (см. следствие 2.8.7) следует, что и функция f * g
имеет частные производные, причем dXi(f * g) — dXif * g и эти
частные производные непрерывны и ограничены. По индукции
наше утверждение распространяется на производные высших
порядков. ?
3.9.6. Следствие. Пусть f € ?P{Rn), g € Ся(Ш,п), где р и
q таковы, что р~г + q~1 = 1. Тогда функция f * д, задаваемая
равенством C.9.1), непрерывна и ограничена.
Доказательство. При любом фиксированном х функция
у н-» f(x — у) входит в Ср(Ш,п), поэтому в силу неравенства
Гёльдера интеграл в C.9.1) существует при каждом х и является
ограниченной функцией. Для / G Co°(]Rn) непрерывность f * g
очевидна. В общем случае при р < оо возьмем последовательность

функций fj € Co°(IRra), сходящуюся к / в 1^A1"). Ввиду оценки
\fj*9{*) ~ f*9(x)\ < \\fj - /IUP(]R")Nb(lR"), Vx € Шп.
функции fj * g равномерно сходятся на Шп к f * д. Если р — оо,
то q = 1 и рассуждения аналогичны. ?
3.9.7. Пример. Пусть А и В — множества положительной
меры Лебега в ГО/1. Тогда множество
А + В:={а + Ь: аеА,Ъ<ЕВ)
содержит открытый шар.
Доказательство. Достаточно рассмотреть ограниченные
множества. В силу непрерывности 1а * 1в множество
U={x: 1А*1в(х)>0}
открыто. Интеграл 1а * 1в равен произведению мер А и В и
потому отличен от нуля. Значит, U непусто. Наконец, U С А + В,
ибо для всякого х € U найдется у G В, для которого х — у € А
(иначе 1а(х — уIв{у) = 0 для всех у и тогда 1а * 1в(х) = 0),
откуда х = х — у + уеА + В. D
В задаче 3.10.85 предлагается несколько усилить предыдущий
пример.
Кроме свертки функций можно рассмотреть и свертку мер.
3.9.8. Определение. Пусть \iuv — ограниченные борелев-
ские меры на Шп. Их сверткой ц * v называется мера на ГО™,
являющаяся образом меры p,®v на ]RnxlRn при отображении
(ж, у) \-* х + у.
Из определения и теоремы Фубини следует, что для всякого
В € B(JRn) справедливо равенство
ц*и(В)= [ IB{x + y)n{dx)v{dy) C.9.5)
JR"xlR"
= / fi(B - у) u(dx) = f v{B- y) /i(dx).
Правую часть этого равенства можно было бы взять за
определение свертки. Отметим, что функция х t-> ц(В — х) является
борелевской для каждого В G В(Ю,П). Это следует из
предложения 3.3.2.

248 Глава 3. Операции над мерами и функциями
Ясно, что [i*i/ = v * //и что ц * v — fj,v, ибо
[ е*№ц * u(dx) = I [ ^u+v^{du)v{dv),
Jun ./го." Уго."
что по теореме Фубини дает указанное равенство.
Наконец, рассмотрим свертку функции и меры.
Доказательство следующего утверждения аналогично рассуждениям выше и
потому отнесено в задачу 3.10.86. Если /л абсолютно непрерывна,
то оно охватывается неравенством Юнга с г = 1, р = q.
3.9.9. Предложение. Пусть f — борелевская функция из
Cp(TRn) и fi — ограниченная борелевская мера на JRn. Тогда
функция f * fj,(x) := I f(x — у) n(dy) определена при почти всех х
jRn
относительно меры Лебега и ||/ * ^\\ьр(ш.п) ^ Н/1кр(К.пI1м||-
3.10. Дополнения и задачи
(!) О теореме Фубини B48). (Н) Симметризация Штейнера B49).
(iii) Меры Хаусдорфа B53). (iv) Разложение функций
множества B56). (v) Свойства положительно определенных
функций B59). (vi) Неравенство Брунна Минковского и его
обобщения B62). (vii) Смешанные объемы B66). Задачи B67).
3.10(i). О теореме Фубини
При использовании теоремы Фубини важно иметь в виду, что в
ней речь идет о множествах в произведении пространств (и о
функциях на них), про которые заранее известно, что они измеримы
относительно произведения мер. Существует неизмеримое по Лебегу
множество в квадрате, все пересечения которого с прямыми, параллельными
координатным осям, состоят не более чем из одной точки (см.
задачу 3.10.41). В задаче 3.10.42 предлагается построить пример
неизмеримой неотрицательной функции на квадрате, для которой повторные
интегралы существуют и равны нулю. Наконец, задача 3.10.43
приводит к ограниченной функции (индикатору множества), для которой
один из повторных интегралов равен 0, а другой 1. Правда, построение
существенно использует гипотезу континуума. Более того, в Friedman
[422] доказано, что со стандартной теорией множеств с аксиомой
выбора (ZFC) совместимо утверждение, что если для ограниченной (не
обязательно измеримой) функции / на квадрате оба повторных
интеграла существуют (т.е. для п.в. х функция f(x, у) интегрируема по у,

3.10. Дополнения и задачи J4U
функция / f(x,y)dy интегрируема пог и так же обстоит дело при
рассмотрении переменных в другом порядке), то они равны.
Существуют и довольно экзотические измеримые множества.
Согласно теореме Фубини, для всякого множества А меры 1 в квадрат»'
[0,1]х[0,1] почти всякое его сечение прямой, параллельной оси абсцисс,
имеет линейную меру 1. Удивительный пример Никодима 1.12.25
показывает, что в этом утверждении нельзя отказаться от рассмотрения
прямых, параллельных заранее фиксированным осям: существует
множество полной меры на плоскости, через всякую точку которого можно
провести прямую, пересекающую это множество лишь в данной точке.
Отметим еще, что произведение неотрицательных мер ц и и
можно определять таким способом, что исходное равенство ii<8>v(A х В) *
ц(А)и(В) перестанет быть очевидным и потребует доказательства, но
при этом меры можно не считать конечными или ст-конечными. Этот
способ основан на внешних мерах Каратеодори (см. §1.12) и состоит
в следующем. Пусть даны две внешние меры Каратеодори fi* н/и
смысле определения 1.11.1 (т.е. они не обязательно построены с
помощью обычных мер). Через /х и v будем обозначать их сужении на
(Т-алгебры 9ЛМ. и Ш„. (которые, как было показано, уже являются
счетно-аддитивными мерами). Сначала задаем функцию д*хь>* на
множестве всех подмножеств X х У формулой
м*х1/*(я) = Ц5~>(л01/(во},
где inf берется по всем At € 9ЛМ., Bi 6 Ш„- с Е С U~iMt х в«). л
если таковых нет, то полагаем fj,*xv*(E) = оо. Затем доказывается
следующая теорема (см., например, Bruckner, Bruckner, Thomson B87,
теорема 6.2]).
3.10.1. Теорема. Функция /i* х и* является регулярной внешней
мерой Каратеодори на X х Y, причем для всяких A G 9ЛМ- и В € 9Л„.
имеем Ах Be 9ПД.>^- и n*xv*{AxB) = ц* (А)и* (В).
Однако без дополнительных предположений типа <т-конечности
дальнейшее развитие такого подхода не очень плодотворно. Например,
здесь может нарушаться теорема Фубини (см. задачи 3.10.51, 3.10.52,
3.10.53,3.10.54,3.10.55, иллюстрирующие возникающие здесь нюансы),
3.10(ii). Симметризация Штейнера
В этом разделе мы рассмотрим одно интересное преобразоинние
множеств, сохраняющее меру Лебега Ап. Пусть а, Ь € Ш.™ и \а\ — 1.11ри-
мая La(b) с направляющим вектором а, проходящая через Ь, задастей

250 Глава 3. Операции над мерами и функциями
равенством La(b) = {b+ta: t € И}. Через Па обозначим ортогональное
дополнение прямой Ша.
3.10.2. Определение. Для множества А в Ш™ его
симметризацией Штейнера относительно гиперплоскости П,, называется
множество
Sa(A):= (J {b + ta: |«|< \к(АП La(b))},
Ь€П„,ЛП?о(Ь)^0
где Ai — естественная мера Лебега на прямой La(b).
Для примера возьмем в качестве а вектор ег в IR2, а в качестве А —
множество под графиком положительной измеримой функции / на
отрезке [0,1]. Симметризация Sa переводит А в множество, ограниченное
графиками функций //2 и —//2, поскольку при b € Па = IRei сечение
А прямой La(b) есть отрезок длины f(b). Из теоремы Фубини ясно, что
А и Sa(A) имеют равные площади.
В общем случае на множестве На '¦= {b G П0: La(b) П А ф 0}
можно ввести функцию f(b) = Aj(AD-La(b)). Тогда Sa(A) есть множество,
заключенное между графиками функций //2 и —//2 на множестве На-
Если А измеримо, то из теоремы Фубини следует, что измеримо и На
относительно естественной меры Лебега Апа на п — 1-мерном
подпространстве Па, причем функция / измерима на На и для Апа -почти всех
be На множество AC\La{b) измеримо относительно Ai- Это показывает
измеримость Sa(A).
Диаметром непустого множества А называется число diam А,
равное точной верхней грани расстояний между точками множества А.
3.10.3. Предложение. Для всех А имеем di&m Sa{A) < diam Л.
Если А измеримо, то X„(Sa{A)) = Х„(А).
Доказательство. Поскольку замыкание А имеет тот же диаметр,
что и А, то при доказательстве первого утверждения А можно
считать замкнутым. Более того, можно считать А ограниченным
(иначе утверждение очевидно). Возьмем е > 0 и выберем х,у € Sa(A) с
diamSa(A) < \х — у\ + е. Положим b = х — (х, а)а, с — у — (у, а)а. Тогда
6,се По. Пусть
mb = {t: b + tae А}, Мь = sup{t: b + ta? А},
тс = {t: c + tae А}, Мс = sup{t: с + ta € А}.
Можно считать, что Мс — ть~^Мь — тс. Тогда
Мс-ть> Мъ~ть + Mc~Wc ^ Ах (Л П La(b)) + Ai(A П La{c)).

3.10. Дополнения и задачи 251
Заметим, что |(х,а)| < Ai(AnXeF)). Это следует из определения Sa(A)
и равенствах = b+(x,a)a G Sa(A). Аналогично |(у,а)| ^ Ai(AO La(c)).
Следовательно, Мс-тъ> \(х,а)\ + \(у,а)\ > |(х - у,а)\, откуда
|diamSa(A) - е\2 ^ |х - у\2 = \Ь - с\2 + |(х - у, а)\2
= \Ь- с\2 + \МС - mb\2 = |(Ь + тьа) - (с+ Мса)\2 ^ (diamAJ,
ибо 6 + тьа, с + Мса € А в силу замкнутости А. Поскольку е было
произвольным, получаем diamSe(.A) ^ diam А
При доказательстве второго утверждения ввиду инвариантности
меры Лебега относительно вращений можно считать, что а = еп =
@,...,0,1). Тогда По = ]Rn_1. Выше уже была обоснована
измеримость S(A). По теореме Фубини функция f(b) = Ai(AnLaF))
измерима на Жп_1, а ее интеграл равен мере А. Этот же интеграл получается
при вычислении меры Sa(A) по теореме Фубини, поскольку для
всякого b G Ж™-1, для которого La(b) С\Аф0, сечение множества Sa(A)
прямой b + Шеп есть отрезок длины f(b). О
Следующий результат показывает, что среди множеств
фиксированного диаметра наибольшим объемом обладает шар. Это совсем не
очевидно, так как множество диаметра 1 может не содержаться в шаре
диаметра 1. Например, треугольник диаметра 1 может не покрываться
шаром диаметра 1.
3.10.4. Следствие. Для всякого множества А С Щ" справедливо
неравенство
K(A)<Xn(U)(^)n, C.10.1)
где U — единичный шар.
Доказательство. Достаточно рассмотреть замкнутые
множества, поскольку замыкание множества имеет такой же диаметр. Будем
считать, что А ограничено. Возьмем стандартный базис ei,...,e„ и
рассмотрим последовательные симметризации А\ = Sei (А),... ,Ап =
Sen{An-i). Как мы знаем, А„(А„) = А„(А) и diamA, ^ diam А.
Поэтому достаточно показать, что C.10.1) верно для Ап. Если мы
покажем, что Ап центрально-симметрично, то C.10.1) будет тривиальным
следствием того, что Ап содержится в шаре радиуса diam Ai/2.
Действительно, в этом случае для всякого х € Ап имеем — х € Ап, откуда
|х| ^ diam Ад/2.
Итак, осталось показать, что Ап центрально-симметрично. Для
этого проверим, что А» симметрично относительно плоскостей Пе^. Ясно,
что А\ симметрично относительно Пв1. Предположим, что 1 < k < п и
Ак симметрично относительно Uei, j < к. Множество Ak+i = Sek+1(Ak)

252 Глава 3. Операции над мерами и функциями
симметрично относительно nejt+1. Пусть j ^ к и Rj — отражение
относительно П^. Возьмем Ь G Пе4+1. Пользуясь тем, что Rj(Ak) = Ак,
получаем Ai (Ак П Lek+l (b)) = Ai (Ак П Lek+1 (Rj F))). Это дает равенство
{«: 6 + tefc+1 G Afe+1} = {t: Я, F) + tejt+i G Afe+i}.
Поэтому Rj(Ak+i) = Ak+i, т.е. Ak+i симметрично относительно Ilej.
По индукции получаем нашу утверждение. ?
М.С. Мельников [130] доказал, что предыдущий результат остается
в силе для произвольного (не обязательно евклидового)
конечномерного пространства, причем данное им доказательство следующей
теоремы совершенно элементарно (используется лишь теорема Фубини) и не
намного длиннее приведенного выше рассуждения.
3.10.5. Теорема. Пусть множество А в пространстве Мп с
некоторой нормой р имеет диаметр 2 относительно нормы р. Тогда
А* (А) < А„({7), где U — единичный шар по норме р.
Близким к симметризации Штейнера понятием является
симметричная перестановка множества или функции. Симметричной
перестановкой измеримого множества А С Ш.™ называется множество А* с
Ш.™, представляющее собой открытый шар с центром в начале
координат и объемом, равным объему А. Симметричной перестановкой
функции 1а называется функция 1а-, обозначаемая через 1А. Теперь для
произвольной измеримой функции / на Шп ее измеримая перестановка
определяется формулой
/•(*)= Г I{m>t}(x)dt.
JO
Ясно, что функция /* зависит только от |х|. В задаче 3.10.90
указан близкий эквивалентный способ определения перестановок
функций, при котором перестановка является функцией на прямой, рав-
ноизмеримой с данной функцией на 1R". Ясное изложение основных
свойств симметричных перестановок дано в книге Lieb, Loss [599].
Поэтому здесь будут приведены без доказательства лишь некоторые
ключевые факты. Для всякого t > 0 имеет место равенство
{х: f(x)>t} = {x: |/(z)|>i}\
Поэтому для меры Лебега Ап имеем
An(x: r(x)>t)=An(x: |/(a:)|>t).
Из этого равенства получаем ||/*||х,р = ||/||р- Кроме того, ||/*— 9*\\lp =
||/— g ||р. Последнее неравенство является частным случаем более
общего факта. А именно, пусть Ф — неотрицательная выпуклая функция на

3.10. Дополнения и задачи
прямой, причем Ф@) = 0, и пусть /ид — неотрицательные измеримые
функции на Жп с ограниченными носителями. Тогда
/ *(r(x)-fl*(x))dx^ / *(f(x)-g(x))dx.
кже такое неравенство для неотрица!
ограниченными носителями:
/ /(xM(x)dx< / Г(х)д*(х)±с.
^окий результат получен Ф. Риссом. /
;меримых функций /, д, h на Шп имеем
/ / /(x)g(x-y)h(y)dxdy< [ [ Г(х)д*(х- y)h'(v)dr<tV,
Справедливо также такое неравенство для неотрицательных иэмсри
мых функций с ограниченными носителями:
Следующий глубокий результат получен Ф. Риссом. Для псиких н«л-
рицательных измеримых функций /, д, h на Шп имеем
JWLn ./ГО."
В цитированной выше книге, помимо доказательств и ссылок, можно
найти и другие интересные результаты на эту тему.
3.10(iii). Меры Хаусдорфа
В этом разделе речь пойдет об одном интересном классе мер, нклю
чающем меры Лебега: мерах Хаусдорфа. Через diamC будем оГмкша-
чать диаметр множества С, т.е. точную верхнюю грань расстояний
между точками С. Напомним, что гамма-функция определяется фор
мулой
з>0.
Положим a(s) = 7г*/2/ГA + s/2). При а = п число а(п) равно объему
единичного шара в Ш.п.
3.10.6. Определение. Пусть s 6 [0,+оо) и 6 € @,+оо). Для
о множества А С Ш,а положим
Г(в) = / е-'х"-1 dx,
Jo
/2/ГA + s/2). При а = г>
Шп.
еление. Пусть s 6 [0,
i А С Ш,а положим
Щ(А) = ш{1^а(з)(^^±у-. Ac U^dtamC,* Л,
м=1 j=\ >
Отметим, что второе равенство в определении Я*
тому, что Н\ ^ Щ, при 0 < S < S'. i
Ясно, что Щ есть внешняя мера Каратеодори, соответствующая
функции т(С) = a(sJ_s(diamC)s на классе всех множеств диаметра не
более 6 (см. пример 1.11.5). Поэтому функция Н% счетно-субаддитивна

254 Глава 3. Операции над мерами и функциями
3.10.7. Предложение. Функция Я® — регулярная внешняя
мера Каратеодори, причем все борелевские множества измеримы
относительно Я®. Кроме того, функция Я® инвариантна относительно
сдвигов и ортогональных линейных преобразований.
Доказательство. Счетная субаддитивность Я® следует из
счетной субаддитивности Щ при 6 > 0. Пусть А, В с Жп и dist(A, В) > 0.
Выберем положительное S < dist(.<4, Я)/4 и рассмотрим множества Cj
диаметра не больше 6, покрывающие A U В. Тогда это покрытие
распадается в покрытие А множествами Cj и покрытие В множествами Cj
с (U,°li Cj) n(U~ i q) = 0- Значит,
Щ{А) + Щ(В) < ^a(eJ-'(diamC.j)' + JTa(aJ-e(diamC;)e,
j=i j=i
откуда Щ(А) + H${B) ^ Н$(А U Я), что при 6 -> 0 дает Н'{А) +
Я®(Я) ^ Я® (A U Я). В силу субаддитивности Я® (A U Я) = Я® (А) +
Я®(Я). Согласно теореме 1.11.9 борелевские множества Я®-измеримы.
Теперь заметим, что в определении Я| можно использовать лишь
замкнутые множества, ибо диаметр замыкания С равен диаметру С.
Если Я® (А) < оо, то для каждого к € IN можно найти покрытие А
замкнутыми множества С* диаметра не больше fc_1 с
^a(sJ-s(diamCi)s ^ Н°/к(А) + к'1.
Множество Я = f\™=l U?Li Cj
является борелевским и
Щ/к(В) < f>EJ-8(diam С;)® < Щ/к{А) + к~\
откуда Н"(В) < Я® (А) < Н3(А). Последнее утверждение очевидно из
определений. ?
Будем называть Я® s-мерной мерой Хаусдорфа. Из определений
ясно также, что
Я®(АА) = А®Я®(А), VA>0.
Кроме того, Н°(А) есть просто мощность множества А (конечная или
бесконечная).
Легко проверить (задача 3.10.92), что если s < t и Ha(A) < оо, то
Я*(А) = 0. Если Щ(А) = 0 для некоторого 6 > 0, то Я®(Л) = 0.
Если А — ограниченное множество в Ип, то А содержится в
некотором кубе с ребром С в потому может быть покрыто (С/г)" кубами
с ребром г, а значит и пп/2(С/5)п шарами диаметра 8. Следовательно,

3.10. Дополнения и задачи 255
Нп(А) < оо (ниже показано, что Нп есть внешняя мера Лебега). Ясно
также, что Н"(А) = 0 при s > п.
Хаусдорфовой размерностью А называется число
dimH(A) := Ы{з € [0, +оо): Н*(А) = 0}.
3.10.8. Лемма. Если s = п = 1, то функции Н1 и Щ равны при
всех д > 0 и совпадают с внешней мерой Лебега.
Доказательство. Если множество А покрыто замкнутыми
множествами Cj диаметра не больше 6, то его внешняя мера не
превосходит сумму диаметров Cj, откуда ХЦА) < Н\{А). С другой стороны,
А можно покрыть последовательностью дизъюнктных интервалов Cj с
диаметрами меньше 6, сумма которых сколь угодно близкой к внешней
мере А, откуда следует неравенство Aj(A) ^ Н$(А). О
3.10.9. Предложение. Если s = п, то функция Нп совпадает с
внешней мерой Лебега.
Доказательство. В силу регулярности обеих внешних мер
достаточно проверить их равенство на борелевских множествах. Таким
образом, далее можно рассматривать меры Я" и А„ на борелевских
множествах. Согласно задаче 1.12.62 инвариантность относительно
сдвигов дает равенство Нп = сА„ для некоторого с > 0. Покажем, что
с ^ 1. В противном случае для открытого единичного шара U имеем
Hn{U) > \n(U). Найдем 5 > 0 с Щ{Щ > А„(Г7). Из теоремы 1.7.4
следует, что найдутся дизъюнктные шары Uj; С U с радиусами не более 6,
для которых *n(u\\J°°=1Uj)=0. Тогда
H?(u\{JUj)<H"(u\\JUj)=0.
i=i j=i
Поэтому
Щ(Ц) = ?;*№) < jr\n(Uj) = An(f/).
j-1 j=l
Полученное противоречие показывает, что с < 1. С другой стороны,
согласно теореме 3.10.1, если U покрыто замкнутыми множествами Cj
диаметра не более S, то
**(U) < ]>^An(C;) < ^a(nJ-n(diamCj)n
j=i j=i
и потому An(E/) < Щ{и) < Hn{U). D

256 Глава 3. Операции над мерами и функциями
В задаче 3.10.93 предлагается построить множества Ва с [0,1] с
На(Ва) = 1 при всех а G @,1) и показать, что множество Кантора
имеет конечную положительную На-меру при а = log 2/ log 3.
3.10.10. Лемма. Пусть отображение /: Ж™ —» Шт
удовлетворяет условию Липшица с константой А, т.е. \f(x) — f{y)\ < Л|х — у\
для всех х,у е IRn. Тогда для всякого О0м всякого А с Жп имеем
H'{f(A))^A>H'(A).
Доказательство. Можно считать, что Л > 0, иначе утверждение
очевидно. Пусть А покрыто множествами Cj диаметра не более 8 > 0.
Тогда diam/(Cj) ^ AdiamCj < Кб и множества f(Cj) покрывают f(A).
Поэтому
H'M{f(A)) < Asf;a(SJ-s(diam^r,
j=i
откуда йд^ (/(j4)) ^ A.'Hg(A). При 5 —> 0 получаем доказьтаемое. ?
Отметим, что, в частности, при ортогональном проектировании
меры Хаусдорфа не увеличиваются.
3.10.11. Следствие. Пусть А — множество в Ш"
положительной внешней меры, и /: Ш.™ —> Htm. Обозначим через G(f,A) график
/ на А, т.е. G(f,A) = {(x,f(x)),x G А}. Тогда хаусдорфова
размерность G(f, А) не меньше п, а если f липшицево, то в точности п.
Доказательство. В силу доказанной леммы хаусдорфова
размерность не возрастает при проектировании, а проекция множества
G(f,A) на Жп есть множество А, по условию имеющее хаусдорфову
размерность п. Если же / липшицево, то G(/, А) есть образ А при
липшицевом отображении х н-> (а;, /(#)), откуда с учетом равенства
Hs(JRn) = 0 при s > п из леммы вытекает и второе утверждение. ?
Некоторые обобщения мер Хаусдорфа на общих метрических
пространствах будут рассмотрены в гл. 7.
3.10(iv). Разложение функций множества
В этом разделе будет показано, что аддитивную функцию
множества можно представить в виде суммы счетно-аддитивной меры и
такой аддитивной функции, из которой уже нельзя выделить счетно-
аддитивной компоненты. Пусть далее X — непустое множество.
3.10.12. Теорема. Пусть 7с — кольцо подмножеств
пространства X и т: 1Z —> [0, +оо] — функция со следующим свойством
супераддитивности: m{Ai U • • • U Ап) ^ т{А\) -\ h т(Ап) для любых
дизъюнктных Аг,..., Ап G 7с.

3.10. Дополнения и задачи 257
(i) Для всех А G TZ положим
raadd(-A) := inf{ /Jm(Aj), А = М Aj,Aj G TZ, Aj дизъюнктные.
j=i i=i
Тогда m^d — аддитивная функция, madd ^ m, причем rriadd ^ i> ^ля
всякой аддитивной функции v. TZ —> [0, +oo] cc^m.
(ii) Положим
ma(A) := inf{53 m(A_,), A = |J A,-, Aj G ft, Aj дизъюнктны}, A G 71.
Тогда та — счетно-аддитивная функция, та ^ т, причем та ^ v
для всякой счетно-аддитивной функции и: 1Z —* [0, +оо] с v ^т.
Доказательство, (i) Пусть Ei,E2 G 1Z, Ех Л Е2 = 0. Покажем,
что maddC^i U Е2) ^ madd(-Ei) + ТОымСЕг)- Можно считать, что правая
часть конечна. Зафиксируем е > 0 и найдем дизъюнктные Е\,..., Е* G
ТС и дизъюнктные Е\,...,Щ G 71 с #i = ULi-^i» ?2 = \Jj=iEL
Etim(?i) < ^add(^i) + e, E"=i"»(^) < ™add(?2) + е. Тогда Ej
и E\ дизъюнктны и потому
A; n
madd(Ei U ?*) < JT m(Ei) + J2m(Ei) < "»add(^i) + rriadd^) + 2e-
Остается воспользоваться тем, что е было произвольным. Докажем
противоположное неравенство. Теперь можно считать, что madd{Ei U
Е2) < оо. Для фиксированного е > 0 представляем Ei U Е2 в виде
дизъюнктного объединения множеств Aj & TZ, j — 1,... ,п, для
которых E"=i rn(Aj) < madd(EiUE2)+e. Затем полагаем Е{ = -EiflAj G ft,
Е\ = Е2 Л Aj G ft и в силу супераддитивности m получаем
m^d^i U Е2) + е > Y^m(Aj) > ^[т{Е{) + т{Е32)}
> madd(?i) + madd(-E2).
Наконец, если v: ft —> [0, +оо] — аддитивная функция и v ^ т, то для
всяких дизъюнктных Ei,...,En GTZ имеем
Х>(^)>]?1/(Я*) = "(?»,
откуда madd > »>¦

Глава 3. Операции над мерами и функциями
Доказательство (ii) совершенно аналогично. Надо лишь в случае
счетного дизъюнктного набора множеств En€TZ для получения
оценки ¦m(T(\J^=1 Еп\ ^ Z)^Li 1Па(Еп) при фиксированном е брать
разбиение Еп на Е3п € И так, что Х)°1х т(Е3п) < та(Еп) + е2~п. При
доказательстве противоположной оценки надо заметить, что конечная супер-
аддитивность очевидным образом влечет счетную супераддитивность:
TillJ^lj АЛ ^ X) m(Aj) для дизъюнктных А}; € 72. с объединением
в П. ?
Будем называть т в ситуации доказанной теоремы чисто
супераддитивной, если m^d = 0 и чисто аддитивной, если т = madd и тст — О-
3.10.13. Следствие. Пусть функция т из доказанной теоремы
принимает лишь конечные значения. Тогда т = то + mi + та, где
функция то :— га - madd чисто супераддитивна, а функция mi :=
madd — in<T чисто аддитивна. Если т = т'0 + тп\ + тг, где т'0 ^ 0
чисто супераддитивна, т\ ^ 0 чисто аддитивна итг^О
счетно-аддитивна, то т0 = то, та\ = mi, тг = таа.
Доказательство. Если то не является чисто супераддитивной,
т.е. (mo)add ф 0, то madd + ("io)add < т. Поскольку функция madd +
(n*o)add аддитивна, то madd ^ "tadd + (mo)add- Так как m принимает
конечные значения, то такова и madd- Поэтому (mo)add = 0 —
противоречие. Аналогично проверяем, что mi чисто аддитивна. Если ra'0, ra'y и
ТП2 — упомянутые в формулировке функции, что несложная проверка
показывает, ЧТО madd = ("*o)add + ("li)add + (m2)add = "*i + m2 и что
m, = (wadd)ff = (m'lia + "i2- Это показывает, что m0 = mo, m^ = mi,
rri2 = ma. D
В частности, всякая неотрицательная числовая аддитивная
функция множества та на кольце И представляется в виде та = тп,\ + тг, где
тг счетно-аддитивна, a mi чисто конечно аддитивна, т.е. не
существует ненулевой счетно-аддитивной меры, мажорируемой mi. Отметим,
что функция множества на N из примера 1.12.28 является ненулевой
чисто аддитивной функцией.
Ранее мы рассматривали полные вариации мер. Это понятие имеет
смысл и для общих функций множества. Пусть F — некоторый класс
подмножеств пространства X, содержащий не только пустое
множество. Для функции та на Т со значениями в расширенной прямой
положим
v(m)(A) = sup< У^ |m(A,)|: n е IN, Aj G T дизъюнктны иА3 с A \.

3.10. Дополнения и задачи 259
Если таких Aj нет, то полагаем v(m)(A) = 0. Будем называть \т\
полной вариацией т. Функция v(m) определена на всех множествах Ad X
и принимает значения в [0,+оо]. Заметим, что если т@) = 0, то в
определении v{m) можно брать счетные объединения. Ясно, что v(m)
является супераддитивной функцией и т < v(m). Аналогичным
образом определяется вариация функции множества т на Т со значениями
в нормированном пространстве Y: в определении v(m) под |m(Aj)|
следует понимать ||m(Aj)||y.
3.10.14. Предложение. Пусть 7с — кольцо подмножеств X и
т — аддитивная функция на 7с со значениями в (—оо, сю]. Тогда
функция v(m) со значениями в [0, +оо] аддитивна на 7с.
Доказательство оставляется в качестве задачи 3.10.78.
3.10.15. Следствие. Если в ситуации предложения 3.10.14
функция v(m) конечна на 7с, то т = v(m) - [v(m) — т], где v(m) и v{m) - т
являются конечными неотрицательными аддитивными функциями
наП.
Указанное разложение m называется разложением Жордана.
3.10(v). Свойства положительно определенных функций
В главе 7 (§7.13) будет доказана теорема Бохнера, согласно которой
класс всех положительно определенных непрерывных функций на ГО."
совпадает с совокупностью характеристических функционалов
ограниченных неотрицательных борелевских мер. В этом разделе отмечены
некоторые общие свойства положительно определенных функций.
3.10.16. Предложение. Пусть ц> — положительно определенная
функция на IRn. Тогда
(i) V@) > 0;
(И) <р(-у) = ч>{у) и \у>{у)\ ^ <р@);
(Ш) Функции (р и Reip положительно определены;
(iv) \<р{у) - <p(z)\2 ^ М0)Ш - Ве<р(у - г)];
(v) сумма и произведение положительно определенных функций
являются положительно определенными; кроме того, ехр<р —
положительно определенная функция.
Доказательство. Утверждение (i) получается при i = 1, с\ = 1.
Первое утверждение в (ii) можно усмотреть из неравенства
|ci|V@) + |c2|V@) + с1С-5<р(у) + c2cl^(-u) > 0
для всех ci,C2 € С, ибо при <р(—у) ф tp{y) можно подобрать а и с2 так,
что получится число с ненулевой мнимой частью. Второе утверждение
в (ii) следует из первого, если взять с± и Сч так, что |ci| = Сг = 1 и

Глава 3. Операции над мерами и функциями
LL
с1<Р{у) = ~~ lv(y)|- Утверждение (v) и положительная определенность Тр
очевидны из определений. Поэтому положительно определена и
функция Re <р. В задаче 3.10.79 предлагается доказать (iv). ?
3.10.17. Лемма. Пусть ip — измеримая положительно
определенная функция на Ш". Тогда для всякой интегрируемой по Лебегу
неотрицательной функции / имеем
в ф - y)f(x)f(y) dxdy > 0. C.10.2)
Если же функция / четна, то
[ *>(*)/*/(*) dO 0. C.10.3)
В частности, при всех а > 0 имеем
[ y>(x)exp(-a|x|2)dx>0. C.10.4)
Jm."
Доказательство. Пусть к > 2. Тогда для всех у$ е IRn, j =
1,..., к, имеем к<р@) + Х^г^? ^(У*— Уз) ^ 0- Пользуясь ограниченностью
и измеримостью <р, проинтегрируем это неравенство по мере
f(yi)---f(yk)dyi---dyk.
Обозначив интеграл / по мере Лебега через /(/) (можно считать, что
/(/)> 0), получаем
kl(f)k + k(k-l)l(f)k-2 [ [ ф
-y)f{x)f(y)dxdy^0.
Поделив на к(к — 1) и устремляя к к бесконечности, приходим к
нужному неравенству. Если функция / четна, то левая часть C.10.2)
равна левой части C.10.3). Наконец, функция д(х) = ехр(—а|х|2)
записывается в виде / * /, где /(ж) = сехр(—2а|х|2) и с —
положительное число. Это следует из равенств д(у) = Ba)~n/2exp[— |j/|2/Dq)] и
/1/ = BтгГ/2(/J. ?
3.10.18. Теорема. Пусть <р — измеримая по Лебегу
положительно определенная функция на IR™. Тогда ip почти всюду совпадает с
непрерывной положительно определенной функцией.
Доказательство. Предположим сначала, что функция ip
интегрируема. Положим / = Bж)~п<р. Функция / ограничена и
непрерывна. Покажем, что / > 0. Рассмотрим функции
pt{x) = Bтг*)-п/2exp[-|x|2/B*)], t > 0.

3.10. Дополнения и задачи
Заметим, что при фиксированном х функция у ь-+ ехр[—i(y,x)} равна
характеристическому функционалу меры в точке — х и потому является
положительно определенной (конечно, это легко проверить
непосредственно). В силу равенства Парсеваля и примера 3.8.2 получаем
Pt * fix) = / f(y)Pt(x - у) dy
= Bтг)-п / <p(z) exp[-i(z, x)} ехр[-ф|2/2] dz ^ 0.
JTRn
В силу непрерьшности / имеем / * Pi/k{x) —> fix). Поэтому / ^ 0.
Теперь покажем, что функция / интегрируема. Для этого возьмем
последовательность функций ф^х) = ехр[—fc_1|a;|2/2] и заметим, что
равенство выше с х = 0nt = к дает
[ f(x)Mx) dx = Bтг)-п [ ф)р!/к(х) dx < Bтг)->@),
ибо pt — вероятностная плотность. Поскольку ф^х) —* 1 Для
каждого х, то по теореме Фату функция / интегрируема. Согласно следствию
3.8.12 преобразование Фурье / почти всюду равно Bтг)п/2<^.
В общем случае функция <?>(х) ехр(—|х|2) положительно определена
(как произведение положительно определенных функций) и
интегрируема. По доказанному она почти всюду равна непрерывной функции.
Следовательно, функция <р имеет непрерывную модификацию ф.
Покажем, что ф — положительно определенная функция.
Действительно, в силу непрерывности Фix) = Ит^> *pt(x) для каждого х. Однако
¦ф*рь(х) — <p*ptix) при всех х и t > 0. Остается заметить, что <p*pt —
положительно определенная функция. В самом деле,
Ч> * Ptix) = lim ipE * pt(x),
где fE{x) = (р(х)ехр(—е\х\2). Мы уже знаем, что ipE почти всюду
совпадает с преобразованием Фурье некоторой неотрицательной
интегрируемой функции дЕ. Значит, <рЕ *pt есть преобразование Фурье
неотрицательной функции Bтг)п/2gEpt, т.е. является положительно
определенной. Итак, ф — непрерывная положительно определенная функция,
почти всюду равная ip. ?
Доказанная теорема не означает, конечно, что измеримая
положительно определенная функция автоматически непрерывна. Например,
если i^@) = 1 и <р(х) = 0 при х ф 0, то ц> — разрывная борелевская
положительно определенная функция.
Следует иметь в виду, что существуют неизмеримые по Лебегу
положительно определенные функции на прямой (задача 3.10.105).

Глава 3. Операции над мерами и функциями
3.10(vi). Неравенство Брунна-Минковского и его
В этом пункте речь пойдет о ряде классических неравенств, в
которых красиво переплетаются идеи теории меры, геометрии и анализа.
3.10.19. Теорема. Предположим, что u,v,w —
неотрицательные интегрируемые по Лебегу функции на Жп, причем для некоторого
t 6 [0,1] справедливо неравенство
w(tx + A - t)y) 2* uixfviyI-*, Vx,y? ЕГ. C.10.5)
J^ w(x) dx > Qf^ u(x) dx) (J^ v(y) dy}
C.10.6)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n = 1.
Многомерный случай сводится к одномерному с помощью теоремы Фубини.
Для этого рассмотрим функции
wi(x') = I w(x',xn)dxn, i' ? R",
и «i,i>i, определяемые аналогично, где функции на Жп записаны как
функции на Нп_1хШ,1. Тогда эти функции также удовлетворяют
условию теоремы. Действительно,
J w(tx' + (l-t)y',xn)dxn
в силу одномерного случая, ибо при фиксированных х',у' G Ш."-1
имеем w(tx' + A - t)y', txn + A - t)yn) > u{x', хп)гу(у', j/„I_f. Итак, будем
считать, что п = 1. Кроме того, достаточно рассматривать
ограниченные функции и и v, так как сначала можно установить нужное
неравенство для срезок min(w, N) и min(u, N), которые также
удовлетворяют условию. Из соображений однородности можно перейти к случаю
sup u = sup и = 1 (если одна из этих функций почти всюду равна нулю,
то утверждение очевидно). Положим при s е [0,1]
A(s) := {х: и(х) ^ s}> B(s) := {х: v{x) ^ s},
C(s) := {х: w(x) > s}.

3.10. Дополнения и задачи
Тогда, обозначая через Ai меру Лебега, по теореме 2.9.3 имеем
fu(x)dx = f Ai(A(e))de, fv(x)dx = f X1(B(s))ds,
fw(x)dx=f Ai(C(e))de.
Из условия следует, что tA(s) + A - t)B(s) С C(s) для всех s е @,1).
Из этого вытекает оценка
tAi (A(s)) + A - t)Aa (J3(s)) < Ai (C(s)). C.10.7)
Действительно, достаточно проверить, что для произвольных
компактов Jf С tA(s) и К' с (l-t)B(s) мы имеем Xi(K)+Xi(K') < Х^К+К').
При этом ввиду инвариантности меры Лебега относительно сдвигов
можно считать, что точка 0 является точной верхней гранью для К
и точной нижней гранью для К', а тогда К U К' С К + К' и потому
Ai(A') + Ai(tf') = Xi(K U AT') < А^АГ + #')• Оценка C.10.7) доказана.
Из этой оценки окончательно получаем
fw(x)dx = f Ai (C{s))ds
>t I Ai(A(«))de + (l-t) / Ai(B(s))ds
Jo Jo
= t j u{x) dx + A - t) J v(y) dy > (J u{x) dx) (J v(y) dy\ ,
где использовано неравенство из задачи 2.12.80. D
3.10.20. Следствие. Пусть fug— неотрицательные
интегрируемые борелевские функции на Ш.я и пусть а € @,1). Положим
yew
Тогда h(f,g) — измеримая функция, причем
h(f,g)(x):= sup /(^У-М1 ".
V?iR" V q / Vl —a/
- измеримая функция, причем
J ft(/,g)(х) dx > (J f{x)dx^j (f g{x)dx\ C.10.8)
Доказательство. Для всех x, z e Kn при у = A - a)z имеем
M/,g)(ax+(l-a)z)>/(ttg + ^1;a>'-y)ttg(r^I-tt
= /(*)eiK*I-e.

264 Глава 3. Операции над мерами и функциями
Чтобы применить доказанную теорему, остается заметить, что
измеримость h(f, д) вытекает из следствия 2.12.8. Если при этом функция
h(f, д) не интегрируема, то доказываемое неравенство тривиально. ?
Напомним, что для любых непустых борелевских множеств А, В в
Шп и чисел а, /3 > 0 множество аА + /ЗВ := {аа + 0b,a G A,b е В}
является суслинским и потому измеримо.
3.10.21. Следствие. Пусть ц — вероятностная мера на Шп с
плотностью д, причем существует такое а G @,1), что
д(ах + A - а)у) > д{х)а g{yf~a, Vx, у е Ж".
Тогда для всех борелевских множеств А и В справедливо неравенство
ц(аА + A - а)В) > ц(А)ац(В)х-а. C.10.9)
Доказательство. Положим
и = д1л, v = gIB, w = gIaA+(i-a)B-
Пусть x G А, у G В. Тогда ах + A - а)у € аА + A - а)В и потому
w(ax + A - а)у) = д(ах + A - а)у) > д{х)°'д{уу-а = u{x)av(y)l~a.
Во всех остальных случаях u(x)av{y)l~a = 0. Остается применить
теорему 3.10.19. ?
Функция V, определенная на выпуклом множестве D(V) С Шп
называется выпуклой, если она выпукла на каждом отрезке в D(V). Ясно,
что условие доказанного следствия выполнено, если плотность ц, имеет
вид д(х) = e~v(~x\ где V — выпуклая функция на JR.". Например, в
качестве V можно взять V(x) = Q(x) + с, где Q — квадратичная
форма с положительными собственными числами и с G Ш,1. Более общий
пример: V(x) = 9(Q{x)) + с, где в — неубывающая выпуклая функция
на [0,+оо).
Следующий результат — классическое неравенство Брунна-Мин-
ковского.
3.10.22. Теорема. Пусть А„ — мера Лебега в Ш™. Тогда для
всяких непустых борелевских множеств А, В С 1R" справедливо
неравенство
\п(А + ВI'*1 > \п{АI'п + А„(ВI/". C.10.10)
Доказательство. Будем считать, что оба множества имеют
положительные меры, ибо в противном случае утверждение очевидно.
Положим Aq = А„(А)_1/,ПА, Во = А„(В)_1/ПВ и применим
неравенство C.10.5) к функциям и = IAo, v = IBo, w = ItA0+(i-t)B0 и числу
¦ _ AW(A)V"
An(^)Vn + An(B)Vn-

3.10. Дополнения и задачи
Тогда Л„(Л)) = A„(S0) = 1, и мы получаем неравенство
Xn(tAo + A - t)Bo) Z А„(Л,)*Ап(ВоI-' = 1,
левая часть которого равна (\n{A)l/n + A„(J5I/n) А„(А + В), откуда
следует C.10.10). ?
Отметим, что простой одномерный случай неравенства Брунна-
Минковского был получен и использован нами при доказательстве
теоремы 3.10.19. Еще одно полезное неравенство вьшуклости дается
следующей теоремой Т. Андерсона.
3.10.23. Теорема. Пусть А — ограниченное
центрально-симметричное выпуклое множество в Ш" и f — неотрицательная локально
интегрируемая функция на Ж™, причем f(x) = f{-x) и для всякого
с > 0 множество {х: f(x) ^ с} выпукло. Тогда для всякого h ? IRn и
всякого t е [0,1] справедливо неравенство
f f(x + th) dx^ f f(x + h) dx. C.10.11)
Доказательство. Положим Ba(z) - {x: f(x) ^ z} П (A - sh),
O0,s6 [-1,1]. Тогда по теореме 2.9.3
f f{x + th)dx= f f{x)dx= ( Xn(Bt(z))dz.
J A JA-th JO
Поэтому доказываемое неравенство сводится к следующему
неравенству для мер множеств:
Xn(Bt{z))^Xn(B1{z)), V*>0. C.10.12)
Положим а = (t + 1)/2 и заметим, что
aBi(z) + A - а)В-г(г) С Bt{z).
Действительно, если х € А — h, f[x) ^ z, у 6 А + h, f(y) ^ z, то
ах + A — а)у € А — th и f(ax + A — а)у) > z в силу вьшуклости А,
равенства 2а - 1 — t и выпуклости {/ ^ г}. Из этого соотношения и
неравенства Брунна-Минковского получаем
Xn(Bt(z)I/n > aXn(B1(z)I/n + A - а)Ап(В_!(г)I/п.
Множества B\(z) и B-i(z) переходят друг в друга при центральной
симметрии и потому их меры равны, что дает C.10.12). ?
3.10.24. Определение. Вероятностная борелевская мера на Шп
называется логарифмически вогнутой или выпуклой, если
ц(аА + A - а)В) > ц{А)а/х(ВI_а
для всех борелевских множеств А и В и всех а € [0,1].

Глава 3. Операции над мерами и функциями
3.10.25. Теорема, (i) Вероятностная мера ц на Шп с
плотностью д является выпуклой в точности тогда, когда существует
такая выпуклая функция V с областью определения D(V), что g =
ехр(—V) на D(V) и g = 0 вне D(V). (ii) Вероятностная мера /х на
Нп является выпуклой в точности тогда, когда она представляет
собой линейный образ некоторой абсолютно непрерывной
вероятностной меры на Ш. , где k ^ п.
Доказательство можно найти в Borell [276].
3.10(vii). Смешанные объемы
Пусть Аи В — ограниченные непустые выпуклые борелевские
множества в Ж". Функция Хп{аА+0В) аргументов а, /3 > 0, где А„ — мера
Лебега, представляет собой многочлен вида
Хп(аА + 0В) = J2an-k0kvn-k,k(A, В),
fc=0
где коэффициенты vn-k,k{A, В) не зависят от а, /? (задача 3.10.89). Эти
коэффициенты называются смешанными объемами Минковского. При
этом !)„,о(А,В) = А„(А), v0,n(A,B) = Хп(В).
Для смешанных объемов справедливо следующее неравенство
Минковского.
3.10.26. Теорема. Пусть А и В — выпуклые компакты
положительной меры в Шп. Тогда
vn-lA(A,B)n^Xn(A)Xn(B)n-1,
причем равенство возможно лишь в случае, когда А и В гомотетич-
Доказательство. Положим Bt — A - t)A + tB. В силу
неравенства Брунна-Минковского функция An(J5tI/n вьшукла. Значит,
выпукла и неотрицательна функция
F(t) = XniBtI^ - A - *)An(AI/n - tXn{B)Vn
на [0,1]. При этом F@) = F(l) = 0. Поэтому F'@) $s 0 и F'@) = 0
только тогда, когда F = 0. Из формулы
An№) = pV-t)n-ktkJ^^Vn-bAA,B)
можно вывести, что
F'@) = [vn.ltl(A,B) - А„(А)]Ап(Л)A-")/п + Xn(A)Vn - А^ВI'",

3.10. Дополнения и задачи
267
откуда следует доказываемое неравенство. Равенство возможно лишь
в случае, когда F = 0, т.е. когда имеет место равенство в неравенстве
Брунна-Минковского, что влечет гомотетичность А и В. ?
Про смешанные объемы см. Бураго, Залгаллер [32].
Задачи
3.10.27.° Пусть fj. — знакопеременная борелевская мера на Шп,
ограниченная на ограниченных множествах. Доказать, что если интеграл по мере
ц от всякой непрерывной функции с ограниченным носителем равен нулю,
то /* = 0.
Указание: заметить, что fi{U) = 0 для всякого ограниченного
открытого множества U, ибо функция 1и является поточечным пределом
равномерной ограниченной последовательности непрерывных функций fj, равных
нулю вне U (рассмотреть компакты Kj = {х G Un: dist (х, dU) > j'1} и взять
такие непрерывные функции fj, что fj = 1 на Kj, fj =0 вне U и 0 ^ /,- ^ 1).
3.10.28. Пусть А — алгебра всех конечных подмножеств IR и их
дополнений. Если А конечно, то положим
fi(A) := Card(An (-оо,0]) - Card(AП @,+оо)),
где Card(M) — мощность М, а если А имеет конечное дополнение, то
положим ц(А) := —^(M1\J4). Показать, что fi является счетно-аддитивной
знакопеременной мерой на алгебре А, причем ft не имеет счетно-аддитивных
продолжений на <т-алгебру а(А) (даже если допускать меры со значениями
в[-оо,+оо)или(-оо,+оо]).
Указание: см. Dudley [362] или Wise, Hall [872, пример 4.17]. Счетная
аддитивность проверяется непосредственно. Отсутствие счетно-аддитивных
продолжений на (т(А) следует из того, что множество значений ц на А не
ограничено ни снизу, ни сверху.
3.10.29. Пусть (j. — конечная неотрицательная мера на сг-алгебре А в
пространстве X и v — счетно-аддитивная мера на А со значениями в [0, +оо],
причем v <С ц. Показать, что найдется такое множество S € А, что мера v\s
принимает только значения 0 и +оо, а мера f|x\s <т-конечна.
Указание: рассмотреть класс S всех множеств из А, у которых нет
подмножеств конечной ненулевой 1/-меры; заметить, что множества бесконечной
1/-меры из S имеют положительные р-меры и показать, что найдется такое
множество S ? А, что в X\S нет множеств из S бесконечной 1/-меры;
проверить, что мера b<|x\s ст-конечна, пользуясь тем, что ц не обращается в нуль
на множествах положительной 1/-меры.
3.10.30? Пусть даны три ограниченные меры щ, Ц2, Мз на сг-алгебре А с
fii <С Ц2 и ц2 -С А*з- Показать, что /л -С цз и dfj.i/dfi3 = (dfii/dfj,2){dtJ.2/dfi3).
3.10.31. (Nikodym [668]) Пусть fi — ограниченная неотрицательная
мера на сг-алгебре А в пространстве X и G — неизмеримое множество. Пусть
а(А U G) — (т-алгебра, порожденная А и G, a G и G — измеримое ядро и
измеримая оболочка G. Обозначим через 71 и 72 плотности Радона-Никодима

Глава 3. Операции над мерами и функциями
мер А н-> fi(AC\G) ejIh ц(А П G) относительно fi. Показать, что для всякой
^-измеримой функции у с 71 ^ 7 ^ 72 формула
и(Е) = J у(х) „(ds) + J A - 7(х)) M(efa),
где ? = (.А П G) U (В Л (X\G)), Л, В € Л, задает счетно-аддитивное
продолжение fj, на a(AUG), причем всякое счетно-аддитивное продолжение ц имеет
такой вид.
3.10.32? Пусть (X, А) и (У, В) — пространства с ст-алгебрами. Показать,
что всякое множество из Л® В содержится в «т-алгебре, порожденной
множествами Ап х В„ для некоторых не более чем счетных наборов {А„} С Л и
{вп} с в.
Указание: см. задачу 1.12.54.
3.10.33.° Пусть функция / на [О, I]2 измерима по Лебегу, причем для
п.в. х и п.в. у функции z >-* f(x, г) и z <—> /(г, у) постоянны. Показать, что
/ = с п.в. для некоторой постоянной с.
Указание: в противном случае найдется такое г, что меры множеств
{/ < г} и {/ ^ г} положительны. Из условия и теоремы Фубини ясно, что
эти множества содержат горизонтальные и вертикальные отрезки единичной
длины и потому пересекаются, что дает противоречие.
3.10.34. Пусть цпи — конечные неотрицательные меры на измеримых
пространствах (Х,А) и (У, В), А С X, В С У. Показать, что справедливо
равенство (ji®v)*(AxB) = ц*(А)и'(В).
Указание: из рассмотрения измеримых оболочек ясно, что
(»®v)'(AxB)<tS(A)u'(B).
Если p'(A)v*(B) = 0, то утверждение очевидно. Общий случай легко
сводится к случаю ц*(А) = v*(B) = 1; если (fj.®v)m(AxB) < 1, то существует
Е € А®В с Ах В С Е и n®v(E) < 1. По теореме Фубини найдется у 6 У
с fi(Ev) < 1, и остается заметить, что А С Еу, откуда цт{А) < 1 —
противоречие. Можно было бы использовать также теорему 1.12.14 и продолжить
меры ц и v на множества А и В так, что продолжения принимают на них
значения fi*(A) и и* (В) соответственно.
3.10.35. Пусть (X, А) и (У, В) — пространства с <т-алгебрами. Показать,
что для всякого Е € А®В среди сечений Ех = {у е У: (ж,у) € Е} имеется
не более континуума различных множеств.
Указание: в силу задачи 3.10.32 множество Е входит в а-алгебру,
порожденную множествами АпхВп для некоторых не более чем счетных наборов
{Ап} С А и {Вп} С В; для каждого х € X рассмотреть последовательность
{1л„(х)} и проверить, что если /a„(xi) = 1ап(хз) для всех п, то ЕХ1 = ЕХ2;
поэтому мощность множества различных сечений Е не превосходит
мощности множества всех последовательностей из нулей и единиц.
3.10.36. Пусть (X, А) — измеримое пространство мощности более
континуума. Показать, что диагональ D = {(х,х),х € X} не входит в А® А.
Указание: использовать задачу 3.10.35.

3.10. Дополнения и задачи
3.10.37.° Построить примеры, показывающие, что (а) существование и
равенство повторных интегралов в C.4.3) не гарантирует fi <g>
^-интегрируемость измеримой функции /; (Ь) может случиться так, что оба повторных
интеграла существуют для измеримой функции /, но не равны; (с)
существуют такие измеримые функции /, что один из повторных интегралов
существует, а второй не существует.
3.10.38. (Неравенство Минковского для интегралов) Пусть (X, Л, fi) и
(У, В, и) — пространства с неотрицательными ст-конечными мерами и / —
.4®23-измеримая функция. Доказать, что при 1 < р < q < со
Шх \h*>vW №)L'* »т *k (J (J l/(*.»)l« "(<&))" %(<**))' "¦
Указание: достаточно рассмотреть случай р = 1, q > 1; тогда интеграл
в левой части доказываемого равенства по теореме Фубини можно записать
LIyUxl^'W)!^^)" l/(*.«)!"(<*«)/*(«**),
что с помощью неравенства Гёльдера с показателями q/(q — 1) и q
(применяемого к внутреннему интегралу по и) оценивается через
L [L (X|/(х'w)| M(dx))" v{dv)\" " \Ll/(z'w)l' u{dy)] * Mdz)
= [jY(Lmx'v)w{dx)Lv{dy)Y "lx\Lmz,v)]qv{dy)\4(i{dz)'
3.10.39° Доказать равенства
-^/_~ехР(-|<>=1, ^/_J2exp(-|^)^ = l.
Указание: вычислить интеграл / / ехр(—х2 — y2)dxdy двумя
способами: по теореме Фубини и в полярных координатах. Второе равенство вывести
из формулы интегрирования по частям, заметив, что производная ехр(—t2/2)
есть -texp(—12/2).
3.10.40° Пусть ei,... ,е„ — базис в IR". Доказать, что измеримое по
Лебегу множество А С ГО." имеет меру нуль в точности тогда, когда его можно
представить в виде А = А\ U • • • U Ап, где множества Aj измеримы, причем
для каждого j и каждого х € ГО.™ множество {t 6 ГО.: х +1е j ? A j } имеет
меру нуль на прямой (иначе говоря, сечения Aj прямыми, параллельными ej,
имеют нулевые линейные меры).
Указание: достаточность этого условия следует из теоремы Фубини.
При доказательстве необходимости можно считать, что {е,} — стандартный
базис; далее можно применить индукцию по п. По теореме Фубини
множество В тех точек у 6 И"-1, для которых множество {t е ГО: у + te„ € А}
неизмеримо или имеет ненулевую меру, имеет меру нуль в И"-1. В качестве
Ai возьмем А П ((Шп~1\В) х ГОе„), а В представим в виде Bi U ¦ ¦ ¦ U Bn-i,

Глава 3. Операции над мерами и функциями
a Bj прямыми, параллельными ej5 имеют нулевые меры. Наконец,
положим Aj := А П (Bj xRe„) при j ^ п — 1.
3.10.41. (Sierpinski [764]) (i) Показать, что существует неизмеримое по
Лебегу множество в квадрате, все пересечения которого с прямыми,
параллельными координатным осям, состоят не более чем из одной точки.
(ii) Показать, что в квадрате есть также неизмеримое множество, что
всякая прямая пересекает его не более чем в двух точках.
Указание: (i) воспользоваться тем, что семейство компактов
положительной меры на плоскости имеет мощность континуума и записать его в
виде {Ка,а < ш(с)}, где а — порядковые числа, а ш(с) — наименьшее
порядковое число мощности континуума; построить искомое множество А по
трансфинитной индукции, выбирая из каждого Ка точку (ха,уа) так:
если точки (хр,ур) е Кр при 0 < а < ш(с) уже выбраны, причем никакие
две из них не лежат на одной прямой, параллельной одной из осей, то в
к<*\ Ц8<а{(х0, Ур)} найдется такая точка (ха,уа), что прямые хахЮ. и JR^xj/a
не содержат точек из {Jg<a{(xpi УрУ\ (иначе Ка имело бы меру нуль по
теореме Фубини, поскольку множество {0 < а} менее чем континуально);
полагаем А = {(ха,уа),а < ш(с)}. Пример (ii) аналогичен, см. цитированную
работу Серпинского.
3.10.42. Показать, что существует такая неизмеримая по Лебегу
ограниченная неотрицательная функция / на [0,1]х[0,1], что существуют конечные
и равные нулю повторные интегралы
J J f(x,y)dxdy и J J f(x,y)dxdy.
Указание: см. предыдущую задачу.
3.10.43. (Sierpinski [765]) (i) С помощью гипотезы континуума
построить такое множество S С [О, I]2, что все его вертикальные сечения не более
чем счетны, а все горизонтальные сечения имеют не более чем счетные
дополнения. Заметить, что повторные интегралы от Is существуют и различны.
(ii) Без использования гипотезы континуума построить измеримое
пространство X с вероятностной мерой ц и множество S € X2, для индикатора
которого повторные интегралы
[ [ Is(x,y)n(dxMdy) и [ [ Is(x,y)rtdyMdx)
Jx Jx Jx Jx
существуют и различны.
Указание: (i) с помощью гипотезы континуума можно так упорядочить
[0,1], что для всякой точки будет не более чем счетное множество
предшествующих. Пусть S — класс таких пар (х, у) е [О, I]2, что у предшествует х.
(ii) Взять в качестве X множество всех порядковых чисел, меньших первого
несчетного порядкового числа, рассмотреть «т-алгебру А всех множеств,
которые либо не более чем счетны, либо имеют такие дополнения, а меру /х на
А задать так: ц(А) = 0, если А не более чем счетно, и ц(А) = 1 в противном
случае. В качестве S взять множество таких пар (х, у), что х < у.

3.10. Дополнения и задачи
3.10.44? Доказать, что график измеримой числовой функции на
измеримом пространстве (X, А, ц) с конечной мерой — измеримое множество меры
нуль относительно fi®\, где Л — мера Лебега.
Указание: утверждение сводится к случаю ограниченной /, тогда при
каждом п график / покрывается конечным набором множеств вида
Г1 ([,4 - п~\ г, + п-1)) х [г, - п-\ тч + О,
суммарной меры не более 2||/*||п-1.
3.10.45? Пусть (X, Ах) и (Y,Ay) — измеримые пространства и /: X —>
Y — некоторое отображение. Построить примеры, показывающие, что
(i) / может быть (Ах, Ду)-измеримым, но его график может не входить
в Ах®Ау;
(ii) график / может входить в Ах®Ay, но / может при этом быть не
измеримым.
Доказать, что если {(у,у),у G V} входит в Ay®Ay, то график всякого
(Ах,.Ду )-измеримого отображения входит в Ах® Ay-
Указание: (i) рассмотреть тождественное отображение из [0,1] с а-ал-
геброй, порожденной одноточечными множествами, в это же пространство;
(ii) рассмотреть тождественное отображение из [0,1] со стандартной боре-
левской ст-алгеброй в [0,1] с <т-алгеброй измеримых по Лебегу множеств.
Последнее утверждение следует из измеримости отображения (а;, у) i-> (f(x), у)
относительно пары Ах®Ay и Ay®Ay-
3.10.46. Показать, что в предположении гипотезы континуума
плоскость можно покрыть счетным набором графиков функций у = у(х) и х =
х(у). В частности, среди них найдется неизмеримый график.
Указание: рассмотреть множество S из примера 3.10.43(i); для каждого
у есть не более чем счетное множество точек дп(у) с (дп(у),у) € S, для
каждого х есть не более чем счетное множество точек fn(x) с (х, fn(x)) $. S.
Если (х, У) С S, то (х, у) лежит на графике х = дп(у) для некоторого n, а
если (х, У) $¦ S, то (х, у) лежит на графике у = fn(x) при некотором п.
3.10.47. (Фихтенгольц [389]) Существует такая измеримая функция /
на [0,1]2, что / не интегрируема, хотя для всех измеримых множеств А, В С
[0,1] повторные интегралы / / f(x, у) dxdy и / / f(x, у) dydx
существуют, конечны и равны.
3.10.48. Пусть / — функция на [0,1]2, интегрируемая по Риману.
(i) Доказать, что при почти каждом х е [0,1] функция у >-* f(x, у)
интегрируема по Риману, причем функция (р аргумента х, равная интегралу
Римана / f(x, у) dy, если таковой существует, и нижнему интегралу Рима-
Уо
на, если интеграл Римана не существует, интегрируема по Риману.
(ii) Доказать, что если в точках х, где нет интеграла Римана по у,
доопределять ip нулем, то полученная функция может уже не быть интегрируемой
по Риману (хотя останется интегрируемой по Лебегу, причем ее лебеговский
интеграл от этого не изменится).
Указание: см. Зорич [77, гл. XI, §4].

272 Глава 3. Операции над мерами и функциями
3.10.49. (Фихтенгольц [385], Lichtenstein [598]) Пусть / —
ограниченная функция на [0,1]х[0,1], причем для каждого фиксированного у функция
х \-* /(х, у) интегрируема по Риману, а для каждого фиксированного х
функция у и-> /(х, у) интегрируема по Лебегу.
(i) Доказать, что функция Fi(x) = / f(x, у) dy интегрируема по Рима-
Jo
ну, функция F2(y) = I f(x, у) dx интегрируема по Лебегу, а их
соответствующие интегралы равны.
(ii) Доказать, что если функция у h-* f(x,y) интегрируема и по Риману
для каждого х, то повторные римановские интегралы от / существуют и
равны. При этом / может не быть интегрируемой по Лебегу по квадрату.
Указание: функция F2(y) есть поточечный предел функций Sn{y) =
га-1 j^ f(k/n, у) и потому измерима; пусть J — ее интеграл Лебега; для
всякого разбиения [0,1] на конечное число промежутков [ai,aj+i) и всякого
выбора точек Xi G [ai,a,i+i) функции Тп(у) = ? f(xk, y)(ak+i - ак) сходятся к
Fz(y) при niax(ai+i — at) —> 0, значит, по теореме Лебега
J|im 53Fi(xk)(ak+1 - ак) = Van^ J Тп{у) dy = J;
итак, Fi интегрируема по Риману и J есть ее интеграл; последнее
утверждение вытекает из доказанного. Индикатор множества из задачи 3.10.41 дает
пример неизмеримой функции со всеми перечисленными свойствами.
3.10.50. Пусть Т = {(х,у) е [0,1]2: х-у е Q}. Показать, что Г имеет
меру нуль, но пересекается с каждым множеством вида Ах В, где А я В —
множества положительной меры в [0,1].
Указание: воспользоваться тем, что А — В содержит интервал.
3.10.51. Пусть X = Y = [0,1], А* — внешняя мера Лебега, и* —
мощность множества. Показать, что диагональ D квадрата [0,1]2 измерима
относительно A*xi/* в смысле теоремы 3.10.1, в то время как повторные интеграл
от Id по du*d\* и d\*du* дают соответственно 1 и 0.
Указание: для проверки измеримости использовать то, что по теореме
3.10.1 измеримы открытые прямоугольники.
3.10.52. Пусть (Х,А,ц) и (Y,B,v) — пространства с мерами,
принимающими значения в [0,+оо]. Обозначим через Хтах меру, соответствующую
внешней мере Каратеодори, порожденной функцией множества т{А х В) =
(t(A)i/(B), определенной на классе множеств АхВ, А € А, В 6 В. Пусть А —
область определения Хтах в соответствии с конструкцией Каратеодори.
Далее через Xmin обозначим функцию множества на Л со значениями в [0, +оо],
заданную формулой
Xmin(L) =sup{xmax(Lr\(AxB)): АеА,»(А) < оо,В 6 В,и(В) < оо}.
(i) Показать, что А®В € Л и Хтах(АхВ) = fj,{A)v(B) при А € Л В е В.

3.10. Дополнения и задачи 273
(ii) Показать, что Xmin(AxB) = ц(А)и(В), если А 6 Л, В € В, причем
li{A)v{B) < оо.
(Ш) Показать, что Xmin(E) = Хтах{Е), если Хтах(Е) < оо.
(iv) Пусть Л — мера на А®В со значениями в [0, +оо], причем Х(АхВ) =
у.{А)и{В) для всех А ? А, В е В. Показать, что Xmin(E) < Х(Е) ^ Хтах{Е)
для всех Е € -4®В.
(v) Показать, что меры Хтт и Хтах обладают одинаковыми запасами
интегрируемых функций, причем соответствующие интегралы совпадают.
Указание: см., например, Fremlin [421, §251].
3.10.53. Пусть ц, и, Хтт, Хтах — те же, что и в задаче 3.10.52. Показать,
что следующие условия равносильны: (i) Amin = Хтах, (ii) Хтах подуконечна,
(ш) Хтах локально определима.
3.10.54. Пусть ц,, и, Xmin, Хтах — те же, что и в задаче 3.10.52.
(i) Пусть р, и v — разложимые меры. Доказать, что мера Ат*„ разложима,
(ii) Показать, что существуют такие магарамовская мера ц и
вероятностная мера v, что мера Хтгп не является магарамовской.
Указание: см. Fremlin [421, 251N, 254U].
3.10.55. (Luther [613]) Пусть X = Y = [0,1], А — борелевская ст-алгебра
и мера fi = и со значениями в [0, +оо] задана так: Е — фиксированное небо-
релевское множество, точке х приписывается мера 2 или 1 в зависимости
от того, входит ли она в Е, затем мера естественным образом продолжается
на все борелевские множества (все бесконечные множества получают
бесконечную меру). Пусть 7Г — продолжение Каратеодори меры fx®u. Доказать,
что мера 7Г полуконечна, д и v полуконечны и полны, но для диагонали D в
[0,1] х [0,1] функция u(Dx) = 1в{х) + 1 не измерима относительно \i.
3.10.56? Построить такие знакопеременную ограниченную меру ц на IN,
отображение /: IN —»IN и функцию д на IN, что цо/_1 = 0, а функция до f
не интегрируема относительно ft (хотя д интегрируема по мере ц о /_1).
Указание: пусть ц{2п) = п~2, цBп - 1) = -п~2, /Bп) = /Bтг - 1) = п,
д(п) = п.
3.10.57. Пусть / € ?1(К1). Доказать, что функция f(x — ж-1)
интегрируема и
f °° f(x-x~1)cLc = J °°f(x)dx.
Указание: сделать замену у = —ж-1 и заметить, что удвоенный
интеграл в левой части равен интегралу функции /(ж — ж_1)A + ж-2), а затем
сделать замену z = ж — ж-1, что даст интеграл в правой части.
3.10.58. Доказать, что существует такая непрерывная функция / на
[0,1], что / не постоянна ни на каком интервале, но /(ж) — рациональное
число для п.в. ж.
Указание: пусть ц, — вероятностная мера на [0,1], сосредоточенная
на множестве рациональных чисел. Легко проверить, что существует
такая непрерывная функция /: [0,1] —> [0,1], что \х = А о /_1 (в §9.7
доказан значительно более общий факт). Поэтому непусто множество F таких

274 Глава 3. Операции над мерами и функциями
непрерывных /: [0,1] —> [0,1], что fj, = Хо /-1. Это множество замкнуто в
пространстве С[0,1] всех непрерывных функций, которое полно с метрикой
d(y>,t/>) = sup|v?(<) — rp(t)\. Поэтому F само является полным метрическим
пространством с указанной метрикой. Если в F не найдется функции, не
постоянной ни на каком интервале, то F является объединением счетного
набора множеств Fn, каждое из которых состоит из функций, принимающих
некоторое рациональное значение г на некотором интервале (р, q) с
рациональными концами. По теореме Бэра (задача 1.12.71) существует Fn, содержащее
шар U с некоторым центром /о и радиусом d > 0. Это приводит к
противоречию, ибо в U можно найти функцию ф € F, не постоянную на (р,д). Для
этого достаточно найти такую непрерывную функцию ф: [0,1] —» [0,1], что
Ф(*) = /о(*) при * ? |р—<5,р+<$] для достаточно малого 8 > 0, \ф(Ь) - f0(t)\ < d
для прочих t, ф(р) < г, причем ф переводит меру Лебега на [р — 6, р + 6] в ту
же меру, что и /0.
3.10.59.° Пусть Е — множество конечной меры на прямой и ап —» +оо.
Доказать, что
lim / (sin antJdt = X(E)/2.
Указание: 2(sina„tJ = 1 — cos2a„t, а интегралы от cosBa„t)/g
стремятся к нулю.
3.10.60? Пусть последовательность чисел а„ такова, что предел f(x) =
lim sin(anx) существует на множестве Е положительной меры. Доказать,
что {а„} имеет конечный предел.
Указание: рассмотреть случай, когда мера Е конечна и {an} имеет две
конечные предельные точки а и /3 и заметить, что функции sinaa; и sin/3x
не могут совпадать на несчетном множестве; показать, что {an} не может
стремится к +оо или — со, ибо тогда / = 0 п.в. на Е, поскольку интеграл от
p(x)sin(a„a;) стремится к нулю для всякой интегрируемой функции д; тогда
предел интегралов от (sina„xJ по Е должен быть равен нулю, хотя этот
предел равен Х(Е)/2.
3.10.61? Доказать, что существует такое измеримое по Лебегу
взаимнооднозначное отображение / прямой на себя, что обратное отображение не
измеримо по Лебегу.
Указание: дополнение к множеству Кантора С можно борелевским
инъективным отображением перевести в [0, оо), а С можно так инъектив-
но отобразить на (—оо,0), что некоторая компактная часть С перейдет в
неизмеримое множество. Поскольку С имеет меру нуль, то получилось
измеримое отображение.
3.10.62. Доказать, что существует такая борелевская
взаимно-однозначная функция /: [0,1] —* [0,1], что /(х) = х для всех х, кроме точек счетного
множества, но обратная функция разрывна во всех точках @,1].
Указание: см. Sun [803, пример 27].
3.10.63. (Александров [4], Иванов [78]) Пусть К — компакт в Ш",
пересечение которого с каждой прямой представляет собой конечное число
отрезков (возможно, вырожденных в точки). Доказать измеримость К по Жор-
дану, т.е. равенство Х„(дК) = 0, где А„ — мера Лебега.

3.10. Дополнения и задачи 275
3.10.64? Пусть / € Ь2(Ш.п), где рассматривается пространство
комплексных функций. Положим fj(x) = f(x) при \xi\ < j, i = 1,... ,n, /j(x) = 0 в
остальных точках. Л
(i) Показать, что последовательность функций fj сходится в Ь2(Шп) к
некоторой функции, называемой преобразованием Фурье / в L2(Rn) и
обозначаемой через /.
(ii) Показать, что отображение / i-> / является биекцией Ь2(Шп), причем
/ f(x)gjx)dx = / f(xj§(xjdx
для всех /,деЬ2{Шп).
(Ш) Показать, что описанное в (i) преобразование Фурье однозначно
определено тем, что на L2(]R")nL1(lRn) оно совпадает с ранее определенным
преобразованием Фурье и удовлетворяет указанному в (ii) равенству.
(iv) Показать, что существует такая последовательность jk —* оо, что
fjk(x)-*f(x) п-в-
Указание: воспользоваться равенством Парсеваля и полнотой lA
Отметим, что в (iv) на самом деле сходимость п.в. имеет место для всей
последовательности (см., например, Fremlin [421, §286U]).
3.10.65? Привести пример функции / € L1(R1), преобразование Фурье
которой не входит ни в L1(M1), ни в Ь2(Шг), а также пример функции д €
-L2(IR1), преобразование Фурье которой не входит в L1(]R1).
3.10.66. Найти равномерно непрерывную функцию / на К1, которая
удовлетворяет условию lim f(x) = 0, однако не является преобразованием
Фурье никакой функции из Ь1(П11).
Указание: рассмотреть нечетную функцию, равную 1/logx при х > 2;
см. Стейн, Вейс [166]. Само существование такого рода функций можно
установить без построения конкретных примеров, применив теорему Банаха об
обратном операторе, которая утверждает, что оператор, обратный к
непрерывной линейной биекции банаховых пространств, непрерывен (в данном
случае в качестве пространств надо взять L1 и пространство непрерывных
комплексных функций, стремящихся к нулю на бесконечности).
3.10.67° Для / из комплексного С2(Ш}) положим
Показать, что при е —> 0 в L2 существует предел Hof := lim H?f,
называемый преобразованием Гильберта /. При этом Но = Jr~1MJr, где Т —
преобразование Фурье в I? и Мд(х) = iBir)~1^2(sigax)g(x).
Указание: пусть де(у) = ъ~ху1(у2 + е2), тогда FHef = gif;
воспользоваться тем, что Т — изометрия I? и де(х) = iBir)~1/2(sigax)exp(—\ex\).

Глава 3. Операции над мерами и функциями
3.10.68. Пусть / е /^(Ю.1), tp ? ?°°(И1) и для некоторого /3 > 0 при
всех х имеем tp(x + /?) = — р(х). Показать, что
Jirn^ Г °°
Указание: заметить, что достаточно доказать утверждение для
функций /, являющихся конечными линейными комбинациями индикаторов
отрезков, что сводит все к случаю, когда / — индикатор отрезка [0, а]. Так как
/ <p(nx)dx = — I <fi{y)dy, то правая часть есть 0A/п), ибо интеграл (р
Jo п Jo
по всякому отрезку длины 20 равен нулю, что легко увидеть из равенства
интегралов <р(х) и -ip(x + 0) по [Г, Г + 0].
3.10.69. Стандартную поверхностную меру <rn-i на единичной сфере
S"-1 в Ш." зададим равенством
tr„_i(B) := Хп(х: 0 < \х\ ? 1,х/\х\ €В), Be В^1).
Показать, что an-i — единственная борелевская мера на S™-1,
удовлетворяющая равенству rn_1dr®<7n-i = А„ оф-1, где Ф: Кп\{0} —» @,ao)xSn~1,
Ф(х) = (|x|,z/|z|). В частности, если / — интегрируемая по Мп функция, то
справедлива формула
[ f(x) dx = J~ J г" Дгу) vn-i(dy) dr.
Указание: проверить совпадение мер rn~1dr<g><rn-i и А„ о Ф-1 на
множествах вида (а,Ь]хЕ, Е € BEn_1).
3.10.70.° (i) Показать, что Оп-^'1) = 2жп'2/Г(п/2).
(ii) Пусть Cfc — объем шара радиуса 1 в IRfe. Показать, что
с„ = 7г"/2/ГA + „/2), С2к = жк/к\, с2к+1 = 22к+1Шк/Bк + 1)!.
Указание: ответы в (i) и (ii) легко выводятся один из другого. Для
получения, например, (ii) можно применить теорему Фубини, которая дает
соотношение с„ = c„_ibn, где Ьп — интеграл по [—1,1] от A — ж2)(п_1'/2 или
же удвоенный интеграл по [0,7г/2] от sin" 9.
3.10.71. (Schechtman, Schlumprecht, Zinn [752]) Пусть a —
вероятностная мера на единичной сфере S в Ип, пропорциональная стандартной
поверхностной мере, и пусть и — вероятностная мера на @, +оо). Рассмотрим
меру ц = i/®a на ГО.™ (точнее говоря, ц — образ и®а при отображении
(*>3/) 1—* ty)- Пусть Ып — группа всех ортогональных матриц п х п с
естественной борелевской <г-алгеброй и борелевской вероятностной мерой тп со
следующим свойством: для всякого борелевского В С Ып и всякого U € Un,
обозначив через Lu и Ни умножения в ?/„ на U слева и справа, имеем
m(Lu(B)) = m(Ru(B)) = m(B) (существование такой меры — меры Хаа-
ра — доказано в гл. 9). Доказать, что для всяких центрально-симметричных

3.10. Дополнения и задачи
выпуклых борелевских множеств Л и В в ГО" справедливо неравенство
[ ц(А П U(B)) m(dU) Z Ц{А П В).
В частности, если В сферически симметрично, то /л(АГ\В) ^ ц(А)ц(В). Эти
неравенства верны для меры ц со сферически симметричной плотностью.
Указание: проверить, что для всякого ф е S образ меры т при
отображении U н-> 17ф совпадает с а ввиду задачи 9.12.43 гл. 9; показать, что
ц{А) = j „(АО <*№), ц{В) = js и{Вф) а(йф),
J р(А П ЩВ)) m{dU) = J J v(A„ Г) Вф) a(dip) а(йф),
где Av = {г > 0: пр € А}; наконец, v(Av П Вф) > i/(A^)i/(B,(,), ибо Av П В^,
есть либо Av, либо В^,.
3.10.72. (теорема Сарда) Пусть U С ГО." открыто и F: U -> ГО."
непрерывно дифференцируемо. Доказать, что образ множества тех точек,
где производная F необратима, имеет меру нуль.
Указание: более общее утверждение можно извлечь из теоремы 5.8.28.
3.10.73. Пусть / — непрерывная функция на К", равная нулю вне
шара U, причем / /(ж) dx = 0. Показать, что существуют такие непрерывно
Ju
дифференцируемые функции /i,..., fn, что fi = 0 вне U и f — ]C»=i &ч/«-
Указание: сначала заметим, что достаточно доказать утверждение для
куба вместо шара, например, для куба [0,1]п. Проведем индукцию по п. Бели
утверждение верно для п, то для функции / аргумента х = (у, t), у е ГО",
t € ГО1, положим д(у) = / /(у, t) dt. Интеграл от д равен нулю, поэтому д =
527=1 dy,9i, гДе функции gt на ГО." непрерывно дифференцируемы и равны
нулю вне n-мерного сечения исходного куба. Пусть
/„+!(»,*) :=/*с
[f{y,s)-a*My)}ds, fi(y,t) :=да(»)С(«),
где С — гладкая функция с носителем в [0,1] и интегралом 1. Непосредственно
проверяется, что получены искомые функции.
3.10.74. Пусть U — замкнутый шар в ГО" и F: U —* ГО." — непрерывное
отображение, непрерывно дифференцируемое внутри U. Предположим, что
у 0 F(dU), где dU — граница U. Пусть W — окрестность у, не
пересекающаяся с FCU). Показать, что величина, называемая степенью отображения F
я формулой
d(F,U;y):= J e(F(x))JF(x)dx,
где JF = det F' и g — неотрицательная гладкая функция с интегралом 1 и
д = 0 вне W, не зависит от выбора функции д с указанными свойствами.

278
Глава 3. Операции над мерами и функциями
Указание: воспользоваться задачей 3.10.73 и формулой интегрирования
по частям.
3.10.75. Показать, что если точка у в предыдущей задаче такова, что
Р~Ъ) = {*i. ¦ • -,**}, где JF(Xi) ф 0, то
d(F, U; у) = ^2 sign JF(Xi).
Указание: воспользоваться теоремой об обратной функции и формулой
замены переменных для достаточно малой окрестности W.
3.10.76. (i) Показать, что в задаче 3.10.74 число d(F, U; у) является
целым для всех у 0 F(dU), причем это число локально постоянно. Вывести
из этого, что степень отображения в у не меняется при замене F на Fi с
\\F(x) - Fi(x)\\ + \JF(x) - JFi(s)\ ^ e при достаточно малом e > 0. (ii) Пусть
F: U —>U непрерывно. Доказать, что найдется х eU с F(x) = х.
Указание: (i) воспользоваться теоремой Сарда, теоремой об обратной
функции и предыдущей задачей, (ii) Если F непрерывно дифференцируемо,
но не имеет неподвижных точек, то для G{x) =х — F(x) имеем d(G, U; 0) = 0
вопреки (i), ибо для Gt(x) := х - tF(x), 0 ^ t < 1, имеем 0 ? Gt(dU),
d(Go, U; 0) = 1. Для непрерывных F находим гладкие F*: U —> U,
равномерно сходящиеся к F. Найдутся хь с Fk(xk) = хь Предельная точка х* —
искомая.
3.10.77. (Faber, Mycielski [378]) (i) Пусть PcRn- компакт, равный
конечному объединению компактных n-мерных симплексов, /: Р —> Ш —
гладкая функция в окрестности Р, равная нулю вне Р. Показать, что
f det(-^-) dx = 0.
Jp \dxidxj/i,j^n
Построить пример, показывающий, что аналогичное утверждение для
шара Р может быть неверным.
(ii) Пусть В С Ш." — компакт, F: В -+ К." — гладкое отображение в
окрестности В, причем F(dB) имеет меру нуль и связное дополнение.
Показать, что
/ det(F'(x)) dx = 0.
3.10.78. Доказать предложение 3.10.14.
3.10.79. Доказать, что если функция ф положительно определена, то
Ш - Ф(*)\2 < 2ф@)[ф@) -Ввф(у- z)].
3.10.80. Доказать, что если функция ф на К™ положительно определена
и непрерывна в нуле, то она непрерывна всюду.
Указание: применить предыдущую задачу.
3.10.81. Доказать, что комплексная функция <р равна
характеристическому функционалу неотрицательной абсолютно непрерывной меры в
точности тогда, когда существует такая комплексная функция ф G L2(JRn), что
?»(*)= / Ф(х + у)Ф(у)йу.

3.10. Дополнения и задачи 279
Указание: если / е I^QR") и / ^ 0, то h := yf] € L2(JRn), откуда
/= Bn)~n/2h * h, причем h(—x) = h(x); обратное утверждение доказывается
аналогично с учетом того, что \д\2 6 ЬХ(П1П) и \д\2 > 0.
3.10.82. Пусть ц — вероятностная мера на прямой с
характеристическим функционалом Д, F^it) :— /i((—oo,t)].
(i) Доказать, что для всякого t предел
1 ГТ
существует и равен скачку функции F„ в точке t.
(ii) Пусть {tj} — все точки разрыва FM и d, — величина скачка в ?,-.
Доказать равенство
Вывести из этого равенства, что необходимым и достаточным условием
непрерывности Рц является равенство нулю предела в левой части равенства.
Указание: см. Лукач [115, §§3.2, 3.3].
3.10.83.° Пусть / — интегрируемая по Лебегу функция на Ю", причем
для каждого ортогонального линейного оператора U на 1R" функции / и
/of/ равны почти всюду. Доказать, что найдется такая функция д на [0, оо),
что f(x) = д(\х\) для почти всех х.
Указание: пусть gs{y) = е~пф{\у\/е), где ф — гладкая функция на
прямой с ограниченным носителем и ^(|у|) имеет интеграл 1; проверить, что
гладкие функции / * де(х) инвариантны относительно вращений и потому
/ * gt{x) — SeG^I) Для некоторых функций gs на [0, +оо). Теперь можно
воспользоваться тем, что функции / * д?к сходятся к f почти всюду для
подходящей последовательности е* —> 0, что дает сходимость функций д€к почти
всюду на [0, +оо) к некоторой функции д. См. также задачу 9.12.42 гл. 9.
3.10.84. Доказать, что ограниченная борелевская мера на К."
сферически инвариантна в точности тогда, когда ее характеристический функционал
является функцией от |ж|.
3.10.85. Пусть А и В — множества положительной меры в Ю.™ и С —
множество в К2п, с точностью до множества меры нуль совпадающее с АхВ.
Показать, что множество D := {х + у: i,j/6 Rn, (я,у) G С} с точностью до
множества меры нуль совпадает с множеством, содержащим открытый шар.
Указание: из равенства 1с(х,у) = 1л(хIв(у) п.в. вывести, что для
п.в. х имеем 1а * 1в(х) = / 1с(х — у,у) dy; если такая точка х входит в
непустое открытое множество U = {1а * 1в > 0}, то х € D.
3.10.86. Доказать предложение 3.9.9.
3.10.87. Пусть / € jC^IR1). Доказать равенства
\[ °°f(x)dx = lim f °°|BГ)-1 / f(x + t)dt\dx,

Глава 3. Операции над мерами и функциями
?\ ?; /(x + n)|<ir = Nlimo|+00|BAr+l)-1 ? f(x + n)\dx.
Указание: если / имеет носитель в отрезке [—fc, к], то первое равенство
проверяется непосредственно, ибо интегрирование по х в правой части
ведется по [—Г —к,Т + к], причем при х е \—Т + к, Т — к] интеграл f(x +1) по t
от — Т до Т дает модуль интеграла /, а интеграл по отрезку длины 2к,
умноженный на Г-1, стремится к нулю при Т —» +оо. Общий случай сводится к
доказанному с помощью приближения / функциями с ограниченными
носителями, если заметить, что в правой части доказываемого равенства стоит
интеграл от |/ * фт\, где фт = BT)~1/[_t,t]i причем ||^t||li = 1. Второе
равенство доказывается аналогично.
3.10.88. Пусть (X, Л, fi) — вероятностное пространство и и —
ограниченная неотрицательная мера на Л. Доказать, что для всякого е > 0 в семействе
Ле := {А е A: fi(A) ^ е} найдется такое множество Ае, что v(Ae)
максимально в следующем смысле: если ВбЛи ц(В) ^ ц(А?), то и(Ае) ^ v(B).
Указание: Rao [712, предложение 7, с. 266].
3.10.89. Пусть А и В — ограниченные непустые выпуклые борелевские
множества в К". Показать, что функция Хп(аА + ДВ) аргументов а,/3 > О
представляет собой многочлен вида
Хп{аА + РВ) = ^2 an-k0kvn-k,k(A, В),
к=о
где коэффициенты Vn-k,k(A,B) не зависят от а, 13.
Указание: см. Бураго, Залгаллер [32, гл. 4].
3.10.90. Пусть (X,(i) — пространство с неотрицательной мерой /jb/-
ц-измеримая функция. Невозрастающей перестановкой функции /
называется функция /* на [0, +оо) со значениями в [0, +оо], заданная равенством
/•(*) = inf{O0: ц{х: |/(*)| > в) < «},
причем полагаем inf 0 = +оо.
(i) Показать, что если / принимает конечное множество значений 0 <
ci < • • • < Сп на множествах А\,...,Ап положительной конечной меры, то
/*(о = Х>/Ыв„_,),,<<в„+1^>>(') = X>W(i»i))(*),
7=1 7=1
где Bj = An+i-j U ¦ - - U Ап, Во = 0, Ь,- = K+i-j + • • ¦ + К, Ьо = 0.
(и) Показать, что /*(*) = sup{s>0: ц(х: \f(x)\ > s) > *}.
(iii) Показать, что если измеримые функции /„ монотонно возрастают
к |/|, то функции /^ монотонно возрастают к /.
(iv) Показать, что функции / и /* равноизмеримы, т.е.
ф: \f(x)\>s) = X(t: /*(*)>«),
где Л — мера Лебега.

3.10. Дополнения и задачи
(v) Доказать следующее неравенство Харда и Литтлвуда:
Г |/9|ф< Г r(t)g'(t)dt,
Jx Jo
где /ид — измеримые функции.
Указание: см. Харди, Литтльвуд, Полна [195, гл. X].
3.10.91. Пусть (X, ц) — пространство с неотрицательной мерой д и / —
д-измеримая функция. При t > 0 зададим функцию /~ со значениями в
[0, +оо] формулой
Г(«) = *-1 f П')<Ь.
Доказать, что (f + д)~ ^ /~ + <?~ для всяких /х-измеримых функций fug.
3.10.92. Рассмотрим #| и На из §3.10(Ш). Проверить, что если s < t
и Н*(А) < оо, то Я'(Л) = 0, а если Щ(А) = 0 для некоторого S > 0, то
Я* (Л) = 0.
3.10.93. (i) Показать, что для каждого а е @,1) в [0,1] найдется
множество Ва, у которого хаусдорфова мера порядка а равна 1.
(ii) Показать, что для множества Кантора С при а = log 2/ log 3 имеем
0 < На{С) < оо.
Указание: см. Федерер [179, 2.10.29], Falconer [381, §2.3].
3.10.94. Пусть Н" — мера Хаусдорфа на Ш™. Доказать, что Я"-мера
всякого борелевского множества В С К" равна точной верхней грани Я*-
мер компактов, вписанных в В.
Указание: если Н"(В) < оо, то это общее свойство борелевских мер на
пространстве И", а при Н°(В) = оо для всякого С > 0 можно найти S > 0
с Н$(В) > С; в В можно найти ограниченное множество В' с Щ(В') > С, а
затем в В' найти компакт К с Щ{К) > С, что дает Н*(К) > С.
3.10.95. Пусть Я8 — мера Хаусдорфа на Шп и К С Шп — компакт с
HS(K) = оо. Доказать, что есть такой компакт С С К, что 0 < Я" (С) < оо.
Указание: см. Федерер [179, теорема 2.10.47].
3.10.96. (Erd6s, Taylor [376]) Пусть Ап — измеримые по Лебегу
множества в [0,1] с Х(Ап) ^ е > 0 для всех п € IN. Показать, что для всякой
непрерывной монотонно возрастающей функции tp с у@) = 0 и lim <p(t)/t = +оо
найдется такая подпоследовательность Пк, что множество DfcLi АПк имеет
бесконечную меру относительно меры Хаусдорфа, порожденной функцией <р.
3.10.97. (Darst [336]) Доказать, что существуют такие бесконечно
дифференцируемая функция / на прямой и множество Z лебеговской меры нуль,
что множество f~x{Z) не измеримо по Лебегу.
3.10.98. (Kaufman, Rickert [529]) (i) Пусть ц — комплексная мера
полной вариации 1 (см. определение перед предложением 3.10.14). Док
найдется такое измеримое множество Е, что |/u(.E)| ^ 1/7Г.

282 Глава 3. Операции над мерами и функциями
(ii) Доказать, что в (i) множество Е можно взять так, что |/х(.Е)| > 1/я-
в точности тогда, когда для плотности Радона-Никодима / меры /х
относительно |/х| выполнено равенство
Jmkw(dt)=o
для всех к € {-1,1, -2п, 2п}, п ? IN.
(iii) Пусть ц — мера со значениями в Шп полной вариации 1. Доказать,
что найдется такое измеримое множество Е, что
КЯ)| > Г(п/2)B^Г((п+ 1)/2))~\
3.10.99. (Ptak, Tkadlec [702]) (i) Пусть /х и и — две вероятностные бо-
релевские меры на Мп, равные на всех открытых шарах, границы которых
содержат начало координат. Доказать, что хх = i/.
(ii) Доказать такое же утверждение для замкнутых шаров.
Указание: (i) пусть f(x) = х/\х\2, \х\ > 0, /@) = 0; меры /ю/ и
v о /_1 совпадают на образах открытых шаров с нулем на границе, т.е. на
всех открытых полупространствах, замыкания которых не содержат нуля.
Значит, хх о /_1 = v о /_1, откуда /х = v. (ii) Заметить, что /х@) = i/@) и
использовать то же рассуждение.
3.10.100? Пусть Ф — строго возрастающая непрерьшная на отрезке
функция. Доказать, что для всякой ограниченной борелевской функции /
/ /(*)«№(х) = / /(Ф_1(У))*,
JO ^Ф(О)
где слева стоит интеграл Лебега-Стилтьеса, а справа интеграл Лебега.
3.10.101. Пусть xt — борелевская (возможно, знакопеременная) мера на
[0,1] со следующим свойством: если непрерывные функции /„ равномерно
ограничены и сходятся к нулю почти всюду относительно меры Лебега Л, то
/ /n dp. —> 0. Доказать, что хх < А.
Указание: пусть К — компакт с Х(К) = 0. Возьмем равномерно
ограниченную последовательность непрерывных функций /„, сходящуюся к 1к
почти всюду по мере |/х| + А. Тогда /„ —¦ 0 Л-п.в. и /„ —> 1к /х-п.в., откуда
rtK)=tongfudii = 0.
3.10.102. (i) Пусть (X,A,fi) и (Y,B,u) — полные вероятностные
пространства, Ас X — неизмеримое относительно /х множество и В С Y — такое
множество, что Ах В измеримо относительно p®v. Доказать, что v(B) = 0.
(ii) Пусть (Х„,Ап, fin), n G IN, — полные вероятностные пространства и
Ап С Х„ таковы, что fELi -^" измеримо относительно ®^Li А4»- Доказать,
что либо каждое Ап измеримо относительно xin, либо /х(П^=1 -А») = 0 и
тогда lim niLiMiC-^») = О-

3.10. Дополнения и задачи
Указание: (i) по теореме Фубини множество С всех точек у, для
которых (АхВ)у не измеримо относительно ц, имеет г/-меру нуль, причем В С С,
ибо (АхВ)у = А при у € В. (ii) Если среди Ап есть измеримые и их
произведение имеет ненулевую меру, то в силу (i) измеримо произведение всех
неизмеримых Ап- Поэтому далее можно считать, что все Ап неизмеримы. Их
произведение имеет меру нуль, ибо в силу (i) таково произведение всех Ап с п > 1.
Тогда получаем lim ПГ=1 А4* (А) = 0- Действительно, по теореме 1.12.14
существуют такие вероятностные меры ип на ег-алгебрах А„, полученных
присоединением множеств Ап к Ап, что vn{An) = ц„(Ап) и |/п|д„ = цп.
Рассмотрим меру v := ®^Lj :'п на ф^ AV Существует множество Е G ®^Li А.,
для которого fi(E) = 0 и П^=1 А» с ^- Тогда i/(J5) = ц(Е) = 0, ибо v
совпадает с A на ®^Li А- Значит, JJ^Li vn{An) = "(iI^Li A») =0.
3.10.103. Пусть (Ха,Ла,Ца), где а ? Л и Л ^ 0, — измеримые
пространства с полными вероятностными мерами яЕа С Ха — такие множества,
что Е = ПабЛ Еа измеримо относительно C>а На, но не входит в C)а Да-
Доказать, что Пс€ЛVa(Ea) — 0) те- найдется не более чем счетное множество
индексов а„, для которых произведение чисел Ца„ (А*„) расходится к нулю.
Указание: Пусть Ai = {а: Ца(Ба) = 1}, Лг = A\Ai. Если Лг несчетно,
то при некотором q < 1 найдется бесконечно много индексов а с ца(Еа) < q,
что доказывает утверждение. Пусть Лг конечно или счетно. Положим Щ =
ПаеЛ! Е<*> Пг = Пс.ел2 ^а- Можно считать, что Еа ф Ха для всех а. То же
рассуждение, что и в утверждении (ii) предыдущей задачи, показывает, что
П1 не может иметь меру нуль относительно тс\ := ®aeAl /Ха- Поэтому в силу
утверждения (i) предыдущей задачи множество Пг измеримо. Если его мера
равна нулю относительно 7Гг := ®аеАз Мс то по предыдущей задаче
произведение fia(Ea) по а € Лг расходится к нулю. Если же тг2(Пг) > 0, то все Еа,
а € Лг, измеримы, а также 7Г1-измеримо множество Пь Как уже отмечалось,
7ri(ni) > 0, откуда следует, что Лх не более чем счетно, поскольку иначе в
III не содержалось бы непустых множеств из ®«ел A*j ибо таковые зависят
лишь от счетного числа индексов. Тогда по предыдущей задаче при а ? Ai
каждое Еа На -измеримо, что ведет к противоречию ввиду полноты мер ца-
3.10.104.° Пусть Ц — борелевская вероятностная мера с плотностью Q
на ГО.2, (i) Показать, что случайная величина f(x,у) = х + у на (Ж2, и) имеет
плотность распределения Qi(t) = / g(i — s,s) ds.
(ii) Показать, что случайная величина д(х,у) = х/у на (JR2,fi) имеет
плотность распределения g^(t) = / |s|^(ts,s)ds.
Указание: проверить, что для всякой ограниченной борелевской
функции ip имеем
J °°<p(t)Ql(t)dt = J J °° Q(x + y)e(x,y)dxdy.
Для рг проверка аналогична.

284 Глава 3. Операции над мерами и функциями
3.10.105. Пусть <р(х) = ехр(г/(а;)), где I — неизмеримая аддитивная
функция на прямой (такая функция легко строится с помощью базиса Гаме-
ля). Показать, что ip является положительно определенной и tp@) = 1.
Указание: Пусть с, е С, ij € В1 и aj :- Cj e*p(il(xj)). Тогда получаем
CjcHyixj - хк) = a-jOk", ибо ip(xj - хк) = exp(i/(x,)) exp(-il(xk)).
3.10.106. (i) Пусть /x — вероятностная мера на JR™. Доказать, что
0^1-RepBj/)^4(l-ReMC/))) у е ПГ.
(ii) Показать, что если Д(у) = 1 в некоторой окрестности нуля, то /х —
дираковская мера в нуле.
Указание: (i) заметить, что l-cos2t = 2(l-cos2 t) ^ 4(l-cos?); вьшести
из (i), что Jl(y) = 1 для всех у.
3.10.107. (Gneiting [440]) Пусть Е С И — замкнутое множество,
симметричное относительно начала координат, причем 0 € Е. Показать, что
найдутся такие вероятностные меры ц и v на И, что Jl(t) = v(t) при t € Е и
y.(t) ф v(t) при t (? Е.
3.10.108. Пусть fi и v — борелевские вероятностные меры на прямой.
Доказать, что / / (ж + уJ /x(cte) u{dy) < оо в точности тогда, когда
Jx2^dx) + Jy2 v(dy) < оо.
Указание: если двойной интеграл конечен, то найдется такое у, что
J(x + yJn(dx)<oo,
откуда следует ^-интегрируемость х2.
3.10.109. (i) (Davies [338]) Пусть Е СШ2 — измеримое по Лебегу
множество конечной меры. Тогда существует такое семейство L прямых в И2,
что объединение всех этих прямых измеримо и имеет равную с Е меру,
причем через каждую точку Е проходит хотя бы одна прямая. Многомерный
аналог получен в Falconer [380].
(ii) (Csornyei [329]) Доказать, что аналогичное (i) утверждение верно
для всякой <т-конечной борелевской меры на плоскости.
3.10.110. (Falconer [380]) Пусть А — множество лебеговской меры нуль
в Ип и 1 < к < п. Обозначим через G„,fc пространство всех fc-мерных
линейных подпространств в К", наделенное естественной мерой (см. Федерер
[179]; для данной задачи достаточно просто вложить Gn,k в Жкп и
рассматривать соответствующую меру). Доказать, что для почти всех П € Gn,k все
сечения А плоскостями, параллельными П, имеют fc-мерную меру нуль.
3.10.111. (Talagrand [811, с. 115]) Пусть (Х,А,ц) и (У,В,и) -
вероятностные пространства, Е € Л® В, fi®v{E) = е > 0. Показать, что
существует такое множество А е Л, что ц(А) > 0 и для всякого fc ? IN
найдется такое Sk > 0, что "(HiLi^i) ^ е* Дл* всех х\,...,хк € А, где
Ех:={у: {х,у)еЕ}.

3.10. Дополнения и задачи
3.10.112. (Erd6s, Oxtoby [375]) Пусть (Xi,Ai,m) и (Л^Аг, Ы ~
вероятностные пространства с безатомическими мерами. Показать, что
существует такое множество А € АгйЛг, что ц\®Ц2(А) > 0, причем если А, е А
и fj.i{Ai)fi2(A2) > 0, то т®Ц2{(А1хА2)\А) > 0.
3.10.113. (Gromov [451]) Пусть в И" дано к ^ п + 1 шаров B(xi,n) с
центрами Xi и радиусами г* и к шаров B{yi,ri) с центрами в yt и
радиусами п, причем ]xi - Xj\ ^ \yi - у,-1 для всех i,j. Тогда A„(f)*L1 B(xi,n)) ^
Лп(П<=1 B(yi, Г{)), где А„ — мера Лебега.
Насколько мне известно, остается открытым следующий вопрос,
поставленный в 50-х годах рядом авторов (М. Kneser, Е.Т. Poulsen, Н. Hadwiger, см.
Meyer, Reisner, Schmuckenschlager [644]): пусть в Ип даны к шаров В(хг,г)
радиуса г с центрами в точках х\,..., Хк и к шаров B(yi,r) радиуса г с
центрами в точках yi,...,ук, причем \xi — Xj\ ^ \yt — у,| для всех i,j; верно ли,
что An(U-=1 B(x4,r)) ^ A»(U!U B(yur))?
3.10.114. (i) Пусть (Xi, /Xi), i = 1,..., n, — пространства с
неотрицательными ст-конечными мерами и /j — неотрицательная функция на ПГ=1 -^«> не
зависящая от г-ой переменной. Доказать неравенство
(fh-fnd^-dfiS ^п//г1П<^-
V ' i=lJ ]фг
(ii) Пусть Е — борелевское множество в 1R3 и Ei — его ортогональная
проекция на плоскость Xi = 0. Доказать неравенство
Аз(ЯJ < \2{Е1)\2{Е2)\2(Е3).
Указание: (i) используется индукция по п; пусть
9i= ffr'dm, /< = //Г'П^
J J ж
ш I — интеграл от /i • • • /„ no /xi • • • (in- Применяя обобщенное неравенство
Гёльдера и обычное неравенство Гёльдера ср = п-1 и q = (га — 1)/(га — 2),
</**<-»"
(»-2)/(п-1)
Остается применить предположение индукции и тот факт, что
=/*.п.
(ii) Заметить, что /e(xi,x2,x3) ^ 1ез{х1,Х2Iе1(х2,хзIе2(х1,хз)-

Глава 3. Операции над мерами и функциями
3.10.115. (i) (Т. Карлеман) Пусть дана последовательность чисел <т„,
причем 5^Li а2пп = °°- Доказать, что если две вероятностные меры ц и и
на прямой таковы, что они имеют равные моменты
jT^° tn n{dt) = j*°° tn V(dt) = <r„
то при всех n
Г xn exp(-a:1/4) sin(x1/4) dx = 0.
Jo
w
Вывести из этого существование двух различных вероятностных мер на
прямой, имекщих равные моменты для всякого п.
(Ш) (М.Г. Крейы) Показать, что вероятностная плотность д на прямой
не определяется однозначно своими моментами в классе вероятностных мер
в точности тогда, когда функция A + ж2)-1 min(log д(х),0) имеет конечный
интеграл.
Указание: см. Ахиезер [18].
3.10.116. Пусть В — открытый шар в 1R" и /: В —> Ш — такая
измеримая функция, что
\Х - J/|"+!
Доказать, что f = с п.в., где с — постоянная.
Указание: утверждение сводится к случаю гладких функций, ибо если
/е := / * де, де{х) = е~пд(х/е), то для /е в меньшем шаре также выполнено
указанное условие. Функция \f(x) — f(y) — f'(y)(x — у)|/|х — J/|"+1 в случае
гладкой / интегрируема ввиду формулы Тейлора. Поэтому интегрируема
функция \f'(y)(x — y)\/\x — y\n+1. Если / не является постоянной, то найдется
точка у, для которой /'(у) Ф 0 и функция х >-* \f'(y)(x - у)\1\х - j/|n+1
интегрируема, что неверно (можно считать, что у = 0 и перейти к полярным
координатам). Доказательство, основанное на теории пространств Соболева,
см. в Брезис [29].
3.10.117. (Колмогоров [552]) Пусть Е — измеримое по Лебегу
множество на прямой. Положим Ь(Е) равным точной верхней грани длин отрезков,
на которые Е можно отобразить с помощью нерастягивающего (т.е. лишпи-
цевого с постоянной 1) отображения. Показать, что Ь(Е) совпадает с мерой
Лебега Е.
Указание: пусть f(x) = Х(ЕП (—оо,а;)). Тогда / — нерастягивающее
и f(E) = [0,Х(Е)], откуда L(E) ^ А(?). Обратное неравенство следует из
рассмотрения покрытий Е последовательностями дизъюнктных интервалов.

Глава 4
Пространства LP и пространства мер
Сообщая наши сведения другим, мы делаем одно из
трех: или мы, владея хорошо сведением, извлекаем из
него для других только то, что принимаем за самое
существенное; или, по пословице: „Что есть в печи, все
на стол мечи", спешим изложить все, что знаем; или,
наконец, мы сообщаем не только то, что знаем, но и то,
чего не знаем.
Н.И. Пирогов. Письма из Гейдельберга.
4.1. Пространства IP
В этом параграфе мы изучим некоторые нормированные
пространства интегрируемых функций. Напомним, что линейное
пространство L над полем вещественных или комплексных чисел
с заданной на нем функцией х •->• ||ж||ь > 0 называется
нормированным пространством с нормой || • ||ь, если
(i) IWL = 0 в точности тогда, когда х = 0;
(ii) ЦАжИь = |А| ||ж||ь для всех х € L и всех скаляров А;
(iii) ||х + y\\L ^ \\x\\L + \\y\\L для всех х, у € L.
Если выполнены лишь условия (ii) и (iii), то || ¦ ||L называется
полунормой. Например, тождественно нулевая функция является
полунормой (но не нормой, если пространство L отлично от
нуля). Легко проверить, что функция d(x,y) := ||ж — y\\L
превращает нормированное пространство L в метрическое пространство.
Если это метрическое пространство полно (т.е. всякая
фундаментальная последовательность имеет в нем предел), то и
нормированное пространство L называется полным. Полные
нормированные пространства называются банаховыми пространствами
в честь выдающегося польского математика Стефана Банаха.
Пусть (X, Л, ц) — пространство с неотрицательной мерой
(которая может принимать значения и в [0, +оо]) и р б [1,+оо).

Глава 4. Пространства Lp и пространства мер
Как и в §2.11 выше, через ?р(//) обозначается множество всех
//-измеримых функций /, для которых |/|р — //-интегрируемая
функция. Для того, чтобы превратить эти множества в
нормированные пространства с интегральными нормами, приходится
отождествлять //-эквивалентные функции (без такого
отождествления задаваемые ниже нормы не будут удовлетворять
условию (i) выше, а сами ?р(/х) не будут линейными пространствами,
как уже пояснялось в §2.11). На множестве ?р(//) имеется
естественное отношение эквивалентности: / ~ д, если / = д /t-п.в.,
уже упоминавшееся в §2.11.
Обозначим через -^(/х) фактор-пространство Ср(/л) по
указанному отношению эквивалентности. Таким образом, №{ц) есть
множество классов эквивалентных между собой //-измеримых
функций /, для которых |/|р — интегрируемая функция. В
случае меры Лебега на Ш," используется обозначение LP(IRn), а в
случае подмножества. Е С Шп — обозначение LP{E).
Часто, допуская некоторую вольность речи, говорят об LP(n)
как о множестве всех функций, интегрируемых в степени р. При
этом подразумевается, что функции, совпадающие почти всюду,
рассматриваются как один элемент. Из неравенства Минковского
следует, что функция || • ||р (см. §2.11) задает норму на 1Р(ц).
Эти же обозначения используются для комплексных
функций, но мы каждый раз будем оговаривать рассмотрение
комплексных пространств.
Особым образом определяются пространства ?°°(/z) и L°°(//).
Множество ?°°(//) состоит из ограниченных всюду
определенных //-измеримых функций. Через Ь°°(ц) обозначается фактор-
пространство ?°°(//) по указанному отношению эквивалентности.
Однако на Ь°°(ц) нельзя взять в качестве нормы supx \f(x)\ с
произвольным представителем / класса эквивалентности, так как
в отличие от интегральной нормы sup-норма зависит от выбора
такого представителя. Поэтому норма || • ||оо на Ь°°{ц) вводится
следующим образом:
ll/l|oo:=||/||L-(M):-mfsuP|/(x)|,
f~fxex
где inf берется по всем представителям класса эквивалентности /.
На пространстве ?°°(/х) тем самым получена полунорма || - ||оо.
Отметим, что ту же самую полунорму можно переписать в виде
H/IU := esssupx6Jr|/(x)| := inf sup |/(*)|, / € C°°(ji).
CI: ц(Х\П)=0 x(zQ

4.1. Пространства Lp
Число esssupl€x|/(a;)| называют также существенным
супремумом функции |/|. Таким образом, ||/||оо = esssuPiexl/(x)l) гДе /
есть произвольный представитель класса /.
4.1.1. Лемма. Для всех А € ГО,1, f,g € Ср(ц) имеем
ЦА/||р = |А|||/||р, U + g\\p<\\f\\p+\\g\\p.
Доказательство. Если / е &>{ц) и А € ГО1, то А/ е Ср(ц)
и \Ш\\р = W 11/11р- Пусть д € ?р(м). При р = оо неравенство
II/ + fl'lloo ^ ||/||оо + Hslloo очевидно. При р G [1,+оо) остается
воспользоваться неравенством Минковского из §2.11. ?
Если в пространстве есть непустое множество меры нуль, то
функция || • ||р не является нормой на линейном пространстве
конечных всюду определенных функций из ?р(/х), ибо она
обращается в нуль на индикаторе этого множества.
Для каждого / € 1Р(ц) положим ||/||р = ||/||р, где / —
произвольный представитель класса эквивалентности /. Очевидно,
что ||Л|р не зависит от выбора такого представителя.
Пространство LP^i) обладает естественной структурой
линейного пространства: в качестве суммы классов эквивалентности с
представителями fug берется класс с представителем / + д.
Ясно, что это определение не зависит от выбора представителей
в классах, содержащих /ид. Аналогично определяется
умножение на скаляры. Возникает вопрос, нельзя ли вместо
перехода к фактор-пространству просто выбрать по представителю из
каждого класса эквивалентности так, чтобы поточечные суммы
и умножения на скаляры соответствовали указанным операциям
над классами. Оказывается, это возможно лишь при р = оо (см.
теорему 10.5.4 о лифтинге и задачу 10.10.40 гл. 10).
4.1.2. Следствие. Функция \\ • \\р является нормой на
пространстве Ьр(р,).
4.1.3. Теорема. Пространства U'in) полны, т.е. являются
банаховыми пространствами.
Доказательство. Предположим сначала, что мера /х
конечна. Пусть {/„} — фундаментальная по норме || • ||р
последовательность. Мы будем через /п обозначать также
произвольные представители классов эквивалентности и далее иметь
дело с индивидуальными функциями. В случае р = оо положим

290 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
?n,k — ||/п — /fclloo и получим множество
П = [){х: \fn(x)-fk(x)\^en,k}
п,к
полной меры. На П последовательность {/„} равномерно
фундаментальна и потому равномерно сходится. Пусть р < оо. Из
неравенства Чебышёва
ц(х: \fn(x) - Д(*)| > с) < с-Ци - Д||?
вытекает, что последовательность {/п} фундаментальна по
мере, а значит сходится по мере к некоторой функции /. Заметим,
что фундаментальность по норме || • ||р влечет ограниченность
по этой норме. Поэтому из теоремы Фату для сходимости по
мере (см. теорему 2.8.5) вытекает включение / € Cp(fi).
Покажем, что ||/ — /п||р —> 0. Пусть е > 0. Найдем такой номер N,
что ||/п — Л||р < ? при п, к ^ N. При каждом фиксированном
к ^ N последовательность |/„ — Д| сходится по мере к \f — fk\
при п —> оо. Это вытекает из оценки |/п — Д | — |/ — Д | < |/п — /|.
Еще раз применяя теорему Фату, получаем ||/ — Д||р < е. Случай
бесконечной меры сразу сводится к случаю ст-конечной меры,
который в свою очередь легко сводится к случаю конечной меры,
как объяснено в §2.6. ?
Отметим, что пространства LP(pJ) можно рассматривать и при
0 < р < 1, но они не имеют естественной нормы, хотя и обладают
метрикой (см. задачу 4.7.85).
4.2. Приближение в LP
Полезно уметь приближать функции из LP функциями из
более узких классов. Сначала мы докажем один простой общий
результат, который часто используется как первый этап построения
более тонких приближений.
Напомним, что метрическое пространство называется сепара-
бельным, если в нем есть счетное всюду плотное множество.
4.2.1. Лемма. Множество простых функций всюду плотно
в каждом пространстве LP{p), 1 ^ р ^ оо.
Доказательство. В случае р = оо уже известным из §2.1
способом строим равномерные приближения простыми
функциями. Пусть / € LP(fj,) и р < со. По теореме Лебега функции

4.2. Приближение в LP
291
fn = fl{_n<^f^ny сходятся к / в LP{n). Поэтому достаточно уметь
приближать ограниченные функции из L?(fi). В случае конечной
меры остается равномерно приблизить ограниченную функцию
простыми. В общем случае сделаем промежуточный шаг:
приблизим ограниченную функцию / € 1Р{^) функцией вида /^{п-1^!/!}
с некоторым п € Ш, что также возможно по теореме Лебега.
Теперь все сводится к случаю конечной меры, ибо мера множества,
где новая функция отлична от нуля, конечна. ?
В §4.7(vi) приведены дополнительные сведения о
приближении в IP для общих мер. Во многих случаях простые функции
можно приближать разными другими функциями (не
обязательно простыми). Скажем, в случае, когда ц — борелевская мера
на Шп, ограниченная на ограниченных множествах, измеримые
множества конечной /х-меры приближаются (в смысле меры
симметрической разности) множествами из алгебры, порожденной
кубами с ребрами, параллельными координатным осям. Это
означает, что линейные комбинации индикаторов множеств из этой
алгебры плотны в 1Р{ц). В свою очередь, такие функции легко
приблизить в LFifi) непрерывными функциями с
ограниченными носителями (достаточно уметь приближать индикатор всякого
открытого куба К, что легко делается путем построения
непрерывных функций, равных нулю вне К, единице в близком
меньшем кубе и заключенных между нулем и единицей). Наконец,
непрерывные функции с ограниченными носителями равномерно
приближаются гладкими. Это приводит к следующему выводу.
4.2.2. Следствие. Пусть ц — неотрицательная
борелевская мера на Ш,п, ограниченная на ограниченных множествах.
Тогда класс Со°(Ш,п) гладких функций с ограниченными
носителями всюду плотен в 1Р(ц), 1 < р < оо. В частности,
пространства LP{n), 1 ^ р < оо, сепарабельны.
В случае меры Лебега (и некоторых других мер) весьма
эффективный метод приближения функций основан на
использовании свертки. Пусть g — интегрируемая по lRn функция и
/ g(x) dx — 1.
Положим g?(x) = e~ng(x/e), е > 0.

292 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
4.2.3. Лемма. Пусть f € Ср(Шп), 1 ^ р < оо. Тогда
отображение
Г,: Ив -* Ц>(Шп), ЗД(х) = /(а: + «),
непрерывно и ограничено.
Доказательство. Для всякого v € Шп имеем
ЦГ/(»)||?= / № +«Ж& = ц/115.
Если функция / непрерывна и вне некоторого шара равна нулю,
то при Vj —* v имеем
||2>(^)-ЗД||Р= [ \f(x + Vi)-f(x + v)\*dx-*0,
Jm.n
ибо функции х н-> f(x + Vj) обращаются в нуль вне некоторого
шара и равномерно сходятся к функции х *-> /(ж + v). В общем
случае существует последовательность непрерывных функций Д
с ограниченными носителями, сходящаяся к / в 1Р(Шп). По
доказанному отображения Тд непрерьшны. При этом они равномерно
на Ш™ сходятся к Ту, ибо
\\Tf(v)-Tfk(vWp= [ \f(x + v)-fk(x + v)ydx
= [ \№-fk(x)\pdx=\\f-fkrp.
JJRn
Поэтому отображение Tf также непрерывно. ?
4.2.4. Теорема. Пусть f € Cp(TRn), 1^р<оо. Тогда
Km\\f*oe-f\\p = 0.
В частности, на каждом шаре функции f * ge сходятся к / по
мере.
Доказательство. Пусть
G(y)= [ \f(x)-f(x-y)\*dx.
JJRn

4.2. Приближение в IP
По лемме 4.2.3 функция G ограничена и G(ey) —> 0 при е -
для всех у. Заметим теперь, что
Н/*&-/||?= /" I/ [f(x)-f(x-ey)}g(y)dy\Pdx
Jm,n\Jm.n I
< / / \f(x)-f(x-eyW\g(y)\dydx
G(sy)\g(y)\dy.
-L
По теореме Лебега правая часть стремится к нулю при е —» 0. ?
4.2.5. Следствие. Если / — ограниченная измеримая
функция, то на каждом шаре функции / * g? сходятся к / в среднем
и по мере.
Доказательство. Если / обращается в нуль вне некоторого
шара, то применима доказанная выше теорема. Можно считать,
что |/| ^ 1. Обозначим через Bj шар радиуса j с центром в нуле.
Пусть даны шар В = В^ и 6 > 0. Положим /,• = /1вг Найдем
такое т, что интеграл о по JRn\Bm меньше S/4. При j^ т + к и
всех е € [0,1] имеем fj(x + еу) = f(x + еу), если х € В, у € Вт.
Поэтому
II/ - / * 9е\\ьЦВ) = ll/j - / * Qe\\tA(B)
^ \\fj-fj*Qe\\L4B) + \\(fj-f)*Qe\\Li(B) ^ Wfj ~ fj * 9е\\ьЦВ) + ?•
Остается применить теорему к функции fj. ?
Из сходимости по мере следует существование
последовательности Ek —> 0, дающей сходимость почти всюду. При некоторых
дополнительных условиях на g сходимость почти всюду имеет
место вообще при е —> 0 (см. гл. 5).
Взяв в качестве g гладкую функцию с ограниченным
носителем и единичным интегралом, мы получаем конструктивные
приближения функций из ЬР^ШГ1) гладкими функциями с
ограниченными производными (см. следствие 3.9.5).
В заключение этого параграфа отметим, что существуют
ограниченные меры /i, для которых пространства IJ'(fi) несепара-
бельны. В качестве примера укажем произведение континуума
экземпляров единичного отрезка с мерой Лебега. В этом случае
имеется континуум координатных функций, расстояние между

294 Глава 4. Пространства W и пространства мер
которыми в Ь1(ц) — одно и то же положительное число. Это
дает континуум дизъюнктных шаров, что исключает
существование счетного всюду плотного множества. Пространства Ь°°(ц)
несепарабельны (за исключением тривиальных случаев) и для
хороших мер. Например, пространство L°°[0,1], где отрезок
наделен мерой Лебега, несепарабельно, так как расстояния между
функциями 7[0а] и I[otp] при 0 < а < /3 ^ 1 равны 1.
4.3. Гильбертово пространство L2
Пусть /1 — мера со значениями в [0, +оо]. Пространство Ь2(ц)
выделяется среди прочих ^(/х) тем, что оно является
евклидовым: его норма порождается скалярным произведением
(/,<?)= f fgdfi.
Jx
Ясно, что fg € Ьх(ц) при /, д е Ь2(ц), поскольку \fg\ ^ /2 + д2.
В случае комплексного пространства Ь2(ц) скалярное
произведение задается формулой
(/,<?)= f fgdfi.
Jx
Чтобы не забывать ставить знак комплексного сопряжения
над д, полезно помнить, что скалярное произведение в С
задается выражением Z1Z2, а не z\Z2, что при Z\ = 22 может быть и
отрицательным.
Напомним, что линейное пространство L называется
евклидовым, если на нем задано скалярное произведение, т.е. функция
(•, ¦) на L х L со следующими свойствами:
1) (х, х) ^ 0, причем (ж, х) — О в точности, когда х = 0;
2) (ж, у) = (у, х) в случае вещественного L и (ж, у) = (у, х) в
случае комплексного L;
3) функция х I—> (х,у) линейна при каждом фиксированном
векторе у.
Всякое евклидово пространство L имеет естественную норму
11*11 = V(x,x).
Тот факт, что это действительно норма, легко проверяется с
помощью следующего неравенства Коши-Буняковского:
|(х,у)|<И||у||. D.3.1)

4.3. Гильбертово пространство L2
295
В свою очередь, для доказательства D.3.1) достаточно заметить,
что дискриминант неотрицательного многочлена второго
порядка t н-> (х + ty, х + ty) неположителен (в комплексном случае
можно заменить х на вх с \в\ — 1 так, что (Ох, у) вещественно).
Векторы х и у в евклидовом пространстве называются
ортогональными, что обозначается посредством х ± у, если (х, у) = 0.
Полное относительно своей естественной нормы евклидово
пространство называется гильбертовым в честь выдающегося
математика Давида Гильберта. Таким образом, Ь2(ц) —
гильбертово пространство. Ниже показано, что всякое
бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство изоморфно L2[0,1].
Конечномерные евклидовы пространства тоже изоморфны
пространствам ?2(/х), но в этом случае в качестве // надо брать меру,
сосредоточенную на конечном множестве точек.
4.3.1. Предложение. Предположим, что Hq — замкнутое
линейное подпространство в гильбертовом пространстве Н и
v & Hq. Тогда существует единственный вектор h € Hq, для
которого v — h J_ х для всех ж € До- При этом
||i7-fe||=inf[||t;-x||: жеЯ0}.
Доказательство. Положим
d = inf{||u-a:||: х <Е Н0\.
Тогда для всякого п € IN существует такой вектор хп € Hq, что
\\v — хп\{2 ^ d2 + п-1. Покажем, что последовательность {хп}
фундаментальна. Для этого достаточно заметить, что
Действительно, найдется такое t, что v— (xn+t(xk—xn)) ± хп—х^.
Положим р = хп + t(xk — хп). Тогда
И^-рКИ^-хпИ, И«-р11<11«-**1|.
Остается применить оценку
IK - ж*|| ^ \\*п - р\\ + \\Хк ~ Р\\ < \\хп - v\\ + \\х$ - v\\,
вытекающую из равенства (теорема Пифагора)
||г;-хп||2 = ||г;-р||2 + ||Жп-р||2

296 Глава 4. Пространства IP и пространства мер
и аналогичного равенства для к. В силу полноты Н и
замкнутости Щ последовательность {хп} сходится к некоторому
элементу h Е Н0. При этом \\v — h\\2 ^ сР, откуда ||и — h\\ = d. Ясно, что
v — h 1.x для всех х € Щ, ибо в противном случае можно взять
вектор р = h + (h — v,x)x с \\v — р\\ < \\v — h\\. Единственность
указанного вектора h очевидна из соотношения v — h _L Щ. ?
Вектор h, построенный в предыдущем предложении,
называется ортогональной проекцией вектора v на подпространство Hq.
В качестве следствия получаем теорему Рисса о представлении'
линейных функционалов на гильбертовом пространстве. Эта
теорема задает естественный изоморфизм между гильбертовым
пространством Н и его сопряженным Н*, т.е. пространством
непрерывных линейных функций на Н.
4.3.2. Следствие. Пусть f — непрерывная линейная
функция на гильбертовом пространстве Н. Тогда существует такой
вектор v, что
f(x) = (ж, v) для всех х Е Н.
Доказательство. В силу непрерывности и линейности /
множество Щ = {х: f(x) = 0} является замкнутым линейным
подпространством в Н. Поскольку для тождественно нулевого
функционала утверждение очевидно, можно считать, что
существует такой вектор, и, что /(it) = 1. Пусть h — ортогональная
проекция и на if о- Положим
v=\\u-h\\-\u-h).
Покажем, что f(x) = (x,v) для всех х G Н. Действительно, х =
f(x)u + z, где z = х — f(x)u G Я0, т.е. z ±u — h. Поэтому (х, v) =
f{x)(u,v) = f{x),v6o
(u,v}=\\u --Л|Г2(«Т« -h) =..||« --Л|Г2(« -h,u -h) = 1
в силу ортогональности и — h и h. ?
Теорему Рисса можно применить к доказательству теоремы
Радона—Никодима.
4.3.3. Пример. Пусть fj, л и — конечные неотрицательные
меры на измеримом пространстве (Х,Л) и v <С /i. Рассмотрим
еще одну меру А = fx + v. Тогда всякая функция ф,
интегрируемая относительно А, интегрируема и относительно ц, причем

4.3. Гильбертово пространство L2
ее интеграл по мере ц не изменится при переопределении ф на
множестве Л-меры нуль. Кроме того,
/ иф< / щах.
Jx JX
Следовательно, линейная функция
L(tp) = / ipdn
Jx
корректно определена на L2(X) (не зависит от выбора
представителя <р), причем в силу неравенства Копш-Буняковского
|ьык^|И^а^||1||ь2(л)|ИЬ(а).
Из оценки \L(ipi - <р2)\ < ||lj|x,2(A)||yPi - ??2||l2(A) очевидна
непрерывность L. По теореме Рисса существует такая .Д-измеримая
функция ф € L2(X), что
/ ipdn= I Фч>й\ D.3.2)
Jx Jx
для всех <р € L2{\). Следовательно, /х = фХ, и = A — ф)Х, ибо
можно взять <р = /д, А Е А. Покажем, что функция A — ф)/ф
подходит в качестве du/dfi. Пусть П = {х: ф(х) < 0}. Тогда П
входит в Л. Подставив в D.372) функцию <р = Iq, получаем
,л(П) = [ ф
Jo.
dX^O,
откуда ц{$1) = 0. Пусть fii = {х: ф(х) > 1}. Пользуясь тем, что
/x(f2i) < A(fii), аналогично получаем, что множество fii имеет
/х-меру нуль, ибо
ц(Ц1)= [ фаХ>Х(Пг).
Ja.i
Тогда функция /, заданная равенством
/(g) = l~fw приж^П, /(ж) = 0 при ж eft,
ф[х)
неотрицательна и Л-измерима. Заметим, что функция /
интегрируема относительно меры ц. Действительно, функции fn =

Глава 4. Пространства IP и пространства мер
/1{ф^>1/п} ограничены и возрастают поточечно к /, причем
f fndl* = J W/«}A - VOd\ = У /да/n} Л/ < К*).
Поэтому остается воспользоваться теоремой Беппо Леви, которая
дает также сходимость {/„} к / в Ь1(/х). Наконец, для каждого
А € Л имеем 1а1{ф^1/п) —»¦ /д /i-п.в., а следовательно, и i^-п.в.
(лишь в этом месте используется абсолютная непрерывность v
относительно ц). Поэтому
"^ = ,Ё5о / IAI{*>i/n}dv
= n^oj 1л1ШУп}/A(г = J fdfx
в силу сходимости {/„} к / в Ьх(ц).
Обратимся теперь к ортонормированным базисам.
4.3.4. Следствие. Существует такое семейство взаимно-
ортогональных векторов еа единичной длины в Ь2(ц), что
всякий элемент f из L2(u) представляется в виде сходящегося в
Ь2(ц) ряда
/ = ?>QeQ, D.3.3)
где лишь счетное число коэффициентов са может быть
отлично от нуля. При этом
ca = (f,ea), ||/||2 = ?>а|2. D.3.4)
Семейство {еа} называется ортонормированным базисом
пространства L2(fi). Если L2(fi) сепарабельно, то его ортонорми-
рованный базис конечен или счетен.
Доказательство. Предположим сначала, что в Ь2(ц) есть
счетное всюду плотное множество {/п}- Пусть /i — ненулевой
вектор и е\ = /i/||/i||. Выберем первый вектор /*2, линейно
независимый с ei, и обозначим через д2 ортогональную проекцию /i2
на линейную оболочку е\. Положим ег = (fi2 — 52)/||/i2 — 02II-
Продолжим описанный процесс по индукции и предположим, что
мы построили конечный набор е\,..., еп взаимно-ортогональных

4.3. Гильбертово пространство L2
векторов единичной длины. Если линейная оболочка Ln этих
векторов содержит {/п}, то она совпадает с ?2(/х), ибо в противном
случае нашелся бы ненулевой вектор h, ортогональный всем /n, а
такой вектор не приближается элементами /п в силу соотношения
\\h-fn\\2 = И2 + Ш|2 > \\h\\2. Если же Ln не содержит {/„}, то
возьмем первый вектор /i„+1 ^ Ln, обозначим через <7n+i
ортогональную проекцию /in+1 на Ln (которая существует, ибо L„
конечномерно) и положим en+i = (/in+1 -5n+i)/||/in+1 -дп+\\\- В
результате получится либо конечный базис, либо счетная ортонор-
мированная последовательность {еге}, линейная оболочка L
которой совпадает с линейной оболочкой {/п}- Покажем, что для всех
/ е L2(fi) ряд 53 (/:еп)еп сходится к /. Пусть е > 0. Существует
функция /п, удовлетворяющая неравенству ||/—/п|| < е. Пусть N
выбрано так, что /п содержится в линейной оболочке е\,..., е^.
к
Пусть к ^ N. Легко видеть, что вектор hk = / — Х!(/> ег)е»
ортогонален векторам ej при i ^ к. По теореме Пифагора ||/ — /п||2 =
ll^fell2 + ll^fc — /п||2, откуда \\hk\\ < е. Это показывает, что суммы
к
XX/, ^i)^ сходятся к / в L2(fJ,).
г=1
Если в пространстве L2(fi) нет счетного всюду плотного
множества, то существование ортонормированного базиса
устанавливается с помощью леммы Цорна. Рассмотрим множество ЛА,
состоящее из всех ортонормированных систем. На М. имеется
отношение частичного порядка U ^ V, состоящее в том, что ор-
тонормированная система U не превосходит ортонормированную
систему V, если U есть часть V. Ясно, что U ^ U и что U < W,
если U ^ V и V ^ W. Кроме того, U = V при U ^ V и V ^ */.
Предположим, что Л1о — вполне упорядоченная часть М. (т.е.
всякие два элемента из M.Q сравнимы). Тогда система,
составленная из всех векторов, входящих в системы из Мо, является
ортонормированной. Действительно, если вектор и взят из
системы U, а вектор v из системы V, то одна из них входит в другую
(например, U С V) и потому и J_ v. В силу леммы Цорна
существует максимальная ортонормированная система {еа}, т.е.
система, к которой нельзя добавить никакого единичного вектора,
ортогонального всем ее векторам. Из предложения 4.3.1 следует,
что линейная оболочка векторов еа всюду плотна в Ь2(ц) (иначе

300 Глава 4. Пространства IP и пространства мер
существовал бы единичный вектор, ортогональный ее
замыканию). Пусть теперь / G L2(fi). Тогда существует
последовательность конечных линейных комбинаций векторов еа, сходящаяся
к /. Значит, / входит в замыкание линейной оболочки
некоторого не более чем счетного набора eQn. Из доказанного выше
в случае счетного базиса следует, что / = ^ (/> еа„ )еа„ • Ясно,
п=1
что изложенное рассуждение применимо ко всякому гильбертову
пространству. П
Из доказательства видно, что в наиболее важном для
приложений сепарабельном случае ортонормированный базис
получается с помощью ортогонализации произвольной
последовательности с плотной линейной оболочкой. Если {еа} —
ортонормированный базис в Ь2(ц), то числа са = (<?>, еа) называются
коэффициентами Фурье функции if € Ь2(ц). С помощью ортонормирован-
ного базиса всякое сепарабельное бесконечномерное гильбертово
пространство можно отождествить с пространством I2
последовательностей х — (хп) с Xmli 1жп|2 < оо, причем в
вещественном случае (х, у) := ^2™=1хпУп- Тем самым, все такие
пространства оказываются изоморфными пространству L2[0,1], где под
изоморфизмом понимается существование линейного
взаимно-однозначного отображения, сохраняющего скалярное произведение.
Очевидным следствием полноты Ь2([г) является следующая
теорема Рисса-Фишера.
4.3.5. Теорема. Для всякой ортонормированной системы
{<рп} в 1?(ц) и всякой последовательности {с,,,} 6 I2 ряд Y1 Cnfn
сходится в Ь2(ц).
Из сказанного выше читатель без труда извлечет еще один
простой, но важный результат.
4.3.6. Теорема. Пусть {ipn} — ортонормированная
последовательность в L2(/x). Тогда для всех f € L2(n) справедливо
неравенство Бесселя
Ек/,ы12^11/иьы-

4.3. Гильбертово пространство L2
301
Если при этом f принадлежит замкнутой линейной оболочке
{<Рп} (и только для таких /) верно равенство Парсеваля
?iu>n)i2 = imi!2w.
В частности, это равенство верно, если {<рп} — ортонормиро-
ванный базис.
Отметим, что приведенные результаты верны и для
комплексных функций. В следующем примере речь идет о вещественных
пространствах.
4.3.7. Пример, (i) Последовательность 1/v^r, cos(rax)/\[ъ,
sm(nx)/y/TT, где n G IN, — ортонормированный базис в L2[0,27г] (в
комплексном случае ортонормированный базис образуют
функции ехр(гпх)/у/2к, n G Z).
(ii) Ортогонализация функций 1,х,х2,... в L2[0,1] приводит
к многочленам Лежандра Ln{x) = Сп^:{х2 — 1)™, где Сп —
нормирующие множители и Lq = 1.
(iii) В пространстве L2^), где 7 — стандартная гауссовская
мера на прямой с плотностью ехр(—х2 /2) / у/Ъ:,
ортонормированный базис образуют многочлены Чебышёва-Эрмита
Hn{x) = (^e^iHe-*»/*.
y/n\ ахп
(iv) Функции Bтг)~1^4Нп(х)ехр(—х2/А) образуют полную ор-
тонормированную систему в Ь2(Ш ).
Доказательство, (i) Непосредственно проверяется орто-
нормированность тригонометрической системы, а ее полнота, т.е.
тот факт, что ее линейная оболочка плотна, следует, например,
из того, что по теореме Вейерштрасса конечными линейными
комбинациями можно равномерно приблизить любую
непрерывную функцию, (ii) Полнота системы функций Лежандра также
вытекает из теоремы Вейерштрасса, а указанную формулу для
них предлагается проверить в качестве задачи 4.7.115. (iii) Ор-
тонормированность многочленов Чебышёва-Эрмита проверяется
по индукции с помощью формулы интегрирования по частям. Из
того, что Нп имеет степень га, следует, что именно эти
многочлены (с точностью до знака) получаются при ортогонализации хп.

302 Глава 4. Пространства IP и пространства мер
Полнота {Нп} в L2G) доказывается так. Пусть / € L2{^) и / ± хп
для всех п. Функция
/+оо
exp(izx)f(x) ехр(—ж2/2) dx
голоморфна в комплексной плоскости (ее можно
дифференцировать по г с помощью теоремы Лебега). Тогда ^(^(О) = 0 для
всех п = 0,1,,..., откуда <p(z) = 0 для всех z. Следовательно,
f{x) ехр(—ж2/2) = 0 п.в. Наконец, (iv) следует из (ш). П
Если {ipn} — ортонормированный базис в ?2(//), то ряды ip =
S(v>?>n)?>ni Ч> € L2(n), называемые ортогональными, сходятся
п=1
в L2(p). Естественно возникает вопрос о сходимости такого ряда
почти всюду. По теореме Рисса можно найти
подпоследовательность частичных сумм, сходящуюся почти всюду. Однако весь
ряд может и не быть почти всюду сходящимся для какой-либо
функции ip € L2(fj,). Как доказал Л. Карлесон (L. Carleson), в
случае тригонометрической системы в L2[0,2л-] сходимость почти
всюду все же имеет место для всех <р € L2{0,27г] (позже Р.А. Хант
распространил теорему Карлесона на 1Р[0,27г] с р > 1).
Подробное доказательство можно прочитать в Лукашенко [116], J0rboe,
Mejlbro [512]. С другой стороны, ряды Фурье по
тригонометрической системе можно рассматривать и для функций if € Ьх[0,27г].
Положим
1 г27Г 1 л2зг
On := — / <р(х) cosnxdx, bn:=— ip(x) sinnxdx. D.3.5)
7Г Jo 7Г Jo
Тогда формальный ряд
— + ^[an cos nx + bn sin nx]
n=l
называется рядом Фурье функции tp по тригонометрической
системе. Как показал А.Н. Колмогоров, существует такая функция
(р € ^[0,27г], что ее ряд Фурье по тригонометрической системе
расходится в каждой точке. Как мы увидим в гл. 5, если такой ряд
суммировать не в обычном смысле, а по Чезаро или по Абелю (см.
ниже), то почти всюду его сумма совпадет с (р. Для исследования

4.3. Гильбертово пространство L2
сходимости тригонометрических рядов Фурье полезно следующее
представление частных сумм, получаемое с помощью тождества
1 п , ятЩ^г
— + cos z + cos 2z Н h cos kz = n . ,
2 2sin§
и элементарных преобразований:
Sn(x) : = — + У^[а*: cos kx + 6* sin kx]
У(*) ol-, <**•
= l Г ip{t) \\ + JT cos k(t - x)} dt D.3.6)
тгУо
Эта формула лежит в основе различных достаточных признаков
поточечной сходимости рядов Фурье (например, признака Дини,
задача 4.7.57). Для улучшения сходимости рядов часто
используется суммирование по Чезаро, т.е. переход от ряда с общим
членом ап и частичными суммами sn = Yl ak к последователь-
к=\
ности ап := (s\-\ 1- sn)/n. Если ряд ^3 ап сходится к числу s,
п=1
то к s сходится и последовательность ап, но указанное
преобразование может дать сходящуюся последовательность из
расходящегося ряда (например, ап = (—1)"). Еще один способ
суммирования рядов называется суммированием по Абелю. Он состоит
в рассмотрении степенного ряда S(r) := ^ апгп при г € @,1).
п=1
Если суммы S(r) определены и имеют конечный предел s при
г —> 1, то s называется суммой ряда Х)ап п0 Абелю. Если ряд
суммируем к числу s по Чезаро, то он суммируем к s и по Абелю
(задача 4.7.119). Применительно к рядам Фурье суммирование
п-1
по Чезаро с помощью равенства Yl sinBA; + l)z = sin2 nz/ sin z
fe=o
приводит к следующим суммам Фейера (см. теорему 5.8.5):
:= дьц + -+з.м _ I- + z)itn(z)dZi
п Jo

304 Глава 4. Пространства V и пространства мер
где функция
называется ядром Фейера. Про тригонометрические и
ортогональные ряды см. книги Ахиезер [17], Бари [21], Зигмунд [76],
Кашин, Саакян [84], Суэтин [168], Харди, Рогозинский [196],
Эдварде [212], где можно найти дополнительные ссылки.
4.4. Двойственность пространств IP
Напомним, что норма линейной функции Ф на
нормированном пространстве Е определяется так: ||Ф|| = sup |Ф(«)|. Про-
странство Е* всех непрерывных линейных функций на Е
называется сопряженным к Е. Легко проверить, что Е* полно
относительно указанной нормы. Общий вид непрерывной линейной
функции на IP описывается следующей теоремой Ф. Рисса.
4.4.1. Теорема. Пусть неотрицательная мера ц на а-ал-
гебре Л в пространстве X конечна или о-конечна, 1 ^ р < оо.
Тогда общий ъид непрерывной линейной функции на LP{fi)
задается формулой
*(/)= f fgdpi, D.4.1)
Jx
где g е Щц), р'1 + q'1 = 1. При этом ||Ф|| = \\g\\q.
Доказательство. Пусть р > 1 и g е ?9(м)- В силу
неравенства Гёльдера правая часть равенства D.4.1) задает линейную
функцию Ф на LP(fi), причем |Ф(/)| < ||/||р||<?||9, откуда вытекает
непрерывность Ф и оценка ||Ф|| ^ \\g\\q- Если \\g\\q = 0, то Ф = 0. В
случае ||5||9 > 0 положим / = signg\g\i/P/\\g\\qq/p. Тогда ||/||р - 1
*(/) = Ш?" jx \g\q dp = \\g\\qq/p\\g\\q = \\g\\q.
Следовательно, ||Ф|| = \\g\\g. При p = 1 получаем q = оо. В этом
случае очевидно неравенство ||Ф|| ^ ||</11оо- С другой стороны, в
случае ненулевой меры ц (для ц = 0 утверждение очевидно) при
всяком е > 0 множество Е := {х: \g(x)\ ^ \\д\\оо — е} имеет
ненулевую меру, что позволяет построить неотрицательную функцию
/ с ll/lli = 1> равную нулю вне Е. Тогда ^(fsigag) ^ ||ff||oo ~ ?•
Поскольку H/sign^lli = 1, то получаем ||Ф|| > ||з||оо-

4.4. Двойственность пространств LP
Пусть теперь Ф — непрерывная линейная функция на ЬР{ц).
Предположим сначала, что мера ц конечна. Положим
и{А) = Щ1А), А€А.
Если множества Ап из А попарно не пересекаются и дают в
объединении А, то ряд Y1 ?Ап сходится в 1Р(ц) к 1а- Это выте-
п=\
N
кает из того, что J2 1ап(х) —> /а 0*0 для каждого ж, причем
I N I
J2 Ia„(x)\ ^ |-ГаОе)|- Таким образом, v — счетно-аддитивная
мера. Поскольку ||/л||р = л*(.АI/р, то из оценки
\V{A)\ ^ №ШI/Р
вытекает абсолютная непрерывность v относительно /л. По
теореме Радона-Никодима существует такая интегрируемая
функция д, что
Щ1а) = jA
gd/л, VAeA
Это означает, что равенство D.4.1) справедливо для всех простых
функций /. Поскольку всякая ограниченная измеримая
функция является равномерным пределом последовательности
простых функций, то указанное равенство остается в силе и для всех
ограниченных измеримых функций /. Покажем, что д € Lq(n).
Действительно, пусть q < оо и Ап = {\д\ < п). Положим /п =
\g\q^plAnsigag. Тогда fn — ограниченная измеримая функция и
потому
jf ывФ=Ф(/в)<||ФЦ||/п||р = ||Ф||(^ ы^мIр.
Следовательно, ||^л„||д ^ ||Ф||- По теореме Фату д G Lq(n) и
\\g\\q < ||Ф||. При q = оо множество А := {х: д(х) > ||Ф||} имеет
меру нуль, ибо в противном случае Ф(/д//х(Л)) > ||Ф||.
Аналогично множество А := {х: д(х) < — ||Ф||} имеет меру нуль. Остается
заметить, что непрерывный линейный функционал, задаваемый
функцией д на LP^i), совпадает с Ф на всюду плотном множестве
простых функций, откуда вытекает равенство обоих
функционалов на всем LP(fi). Случай а-конечной меры без труда выводится
из доказанного. ?

306 Глава 4. Пространства № и пространства мер
Доказанная теорема не распространяется на случай р — оо.
Например, на L°°@,1], где отрезок наделен мерой Лебега,
существует непрерывная линейная функция Ф, которую нельзя
представить в виде D.4.1). Для этого достаточно задать Ф на
пространстве С[0,1] непрерывных функций с нормой ||/|| = sup \f(t)\
по формуле Ф(/) = /@), а затем продолжить Ф до непрерывной
линейной функции на L°°[0,1] по теореме Хана-Банаха 1.12.26.
Ясно, что даже на непрерывных функциях Ф не может
задаваться формулой D.4.1). На самом деле, и без построения конкретных
примеров существование такой функции Ф вытекает из того, что
L°°[0,1] — несепарабельно, а пространство Ьг[0,1] — сепарабель-
но. В задаче 4.7.76 намечен другой способ доказательства
теоремы 4.4.1 для произвольных бесконечных мер при 1 < р < оо.
Однако при р = 1 в указанной формулировке эта теорема на
произвольные меры не распространяется: достаточно рассмотреть
меру fi на классе всех множеств [0,1], равную нулю на пустом
множестве и бесконечности на всех непустых множествах. Тогда
интегрируема лишь нулевая функция и сопряженным к Ь*(р)
будет {0}. В этом примере единственная непрерывная линейная
функция на L1(/x) все же задается в виде D.4.1). В задаче 4.7.78
предлагается построить пример, когда и это невозможно. В
задаче 4.7.82 речь идет о сопряженном к L1(/i) для бесконечных мер.
Из данного выше доказательства вытекает следующее
утверждение.
4.4.2. Предложение. Пусть ц — конечная
неотрицательная мера. Непрерывная линейная функция Ф на Ь°°(ц) имеет вид
D.4.1), где g € Ьг(ц), в точности тогда, когда функция
множества А н-> Ф(-Га) счетно-аддитивна.
Напомним известную теорему Банаха-Штейнгауза („принцип
равномерной ограниченности"), которую мы приведем вместе с ее
следствием.
4.4.3. Теорема, (i) Пусть Е — банахово пространство и
множество М С Е* таково, что sup \1{х)\ < оо для всех х € Е
1ем
(для вещественного Е это равносильно тому, что sup 1(х) < оо
1ем
для всех х G Е). Тогда М ограничено по норме.
(И) Множество в нормированном пространстве ограничено,
если на нем ограничен каждый непрерывный линейный
функционал.

4.4. Двойственность пространств LP 307
Доказательство, (i) Предположим, что утверждение
неверно. Тогда для всякого шара К(а, г) с центром ва € Е и
радиусом г > 0 имеем sup sup \l(y)\ = со. Действительно, поскольку
1€М УеК(а,г)
при ||ж|| ^ 1 имеем rx + аЕ К(а, г), то
sup ||/|| = sup sup \l(x)\ = sup sup г~г\1(гх + a) — l(a)\
leM leM ||x||^i leM \\x\\^i
^ r_1 sup sup \l(y)\ + sup \l(a)\.
1емуеК(а,г) leM
Возьмем l\ € M с ||Zi|| > 1. Существует x\ € E с |Zi(zi) > 1. В
силу непрерывности /i можно найти замкнутый шар U\ с центром
х\ G Е радиуса г\ < 1 с |/i(a;)| > 1 при i е [/!. По доказанному
найдется Ц € М с sup I^C^OI > 2. Поэтому существует замкнутый
шар 17г С U\ радиуса гг < 2-1 с |22(х)| > 2 при х € С^. По
индукции находим замкнутые шары Un С Е с радиусами гп <
п-1 и элементы номера 1п € М с t/n+i С С/п и |Zn0*0| > п при
i ? {/„. В силу полноты Е существует ж G fl^Li Un. Ясно, что
sup |Zn(x)| = со — противоречие.
(ii) Легко проверить, что пространство Е* непрерывных
линейных функций на нормированном пространстве Е является
банаховым пространством с нормой
H/II := sup |/(х)|.
Каждый вектор х € Е задает непрерывную линейную функцию
Fx на Е* по формуле Fx(l) :— 1(х). При этом ||FX|| = ||ж||, ибо
||х|| = sup \f(x)\ согласно известному следствию теоремы
Хана-Банаха. Остается применить первое утверждение к
функционалам Fx, где х пробегает заданное множество. ?
Применяя эту теорему к пространствам LP (для
определенности, вещественным), получаем следующий результат.
4.4.4. Предложение. Пусть ц — неотрицательная
конечная или а-конечная мера на пространстве X. Множество Т
ограничено в L?(n), где р € [1,+со), в точности тогда, когда
sup / fgdu < со для всех g € LP^'^di).
f€FJX

Глава 4. Пространства IP и пространства мер
4.4.5. Следствие. Пусть /л — неотрицательная конечная
или а-конечная мера, р~1 + g_1 = 1, 1<р<оои измеримая
функция f такова, что fg Е Ьх{ц) для всех g Е Lq(n). Тогда
имеем f?D>([i).
Доказательство. Положим fn{x) = f(x) при \f(x)\ < п и
fn(x) = 0 при |/(ж)| > п. Для всех g ? Lq(fi) имеем \fng\ <: \fg\
и fg ? L}{n). Поэтому интегралы от fng сходятся к интегралу
от fg. Как доказано выше, это означает равномерную
ограниченность интегралов от |/п|р, т.е. / € 1Р{ц). ?
Следующая теорема представляет собой усиление принципа
равномерной ограниченности для пространства L1. Предыдущее
предложение говорит, что множество Т С L1 (р,) ограничено, если
sup / fgdp < оо для каждой функции g Е С°°(р,). Оказывается,
ferJx
в данном случае ограниченность обеспечивается еще более
слабым условием: достаточно в качестве g брать лишь индикаторы
множеств. Как обычно, рассмотрим вещественный случай.
4.4.6. Теорема. Семейство Т С Ll{p), где мера р
принимает значения в [0,+оо], ограничено по норме Ьг(ц) в точности
тогда, когда для каждого А Е А
sup / f dp< оо.
fefJA
Доказательство. Сначала предположим, что мера р
конечна. Необходимость указанного условия очевидна. Его
достаточность будет установлена, если мы покажем, что
sup sup / f dp < оо.
AeAfeFJA
Предположим, что это не так, т.е. существуют две последова-
I [ I
тельности Ап Е А и {/„} С Т с / fndp\ > п. Приведем это
УАп I
предположение к противоречию. Идея рассуждения состоит в
применении теоремы Бэра о категории к полному
метрическому пространству А/р (см. §1.12(Ш)). Согласно этой теореме, если
А/р = U^=i Мп, где Мп — замкнутые множества, то хотя бы

4.4. Двойственность пространств IP
одно из Мп содержит шар положительного радиуса. Положим
Мп = <А€ A: IffM^n, Vtj.
При этом множества из А отождествляются с их классами
эквивалентности. Ясно, что множества Мп замкнуты в А/ц и их
объединение есть А/ц. По упомянутой теореме Бэра существуют
такие т, е > 0 и В Е А, что
I f I
/ fid^\ ^ тп, для всех г, если /х(Л Л В) ^ е. D.4.2)
\Ja I
Воспользуемся теоремой 1.12.9 и разложим X на измеримые
множества Х\,.... Хк, такие, что p.{Xj) ^ е при г = j,... ,р, а
множества -Xp+i,..., Х/с —- атомы меры больше е. На атомах функции /j
п.в. совпадают с постоянными, поэтому существует такое С > О,
что для всех j — 1,... ,к — р и всех п справедливо неравенство
/ \fi\dfx=\f fidfil
. . I < С.
JXp+j
Пусть теперь A — произвольное множество из А и Aj = А П Xj.
При j = 1,..., /с — р имеем для всех г
/" /4dM</ l/i|dM<C-.
JAv+i JXp+j
Пусть ji = 1,... ,p. Заметим, что
^¦ = (Ви^)\(ВЦ-)- D-4-3)
Поскольку В A (BU Aj) = Aj\B ъ В Д (B\Aj) = ВГ\Ау,то
ц(В А (В U Aj)) ^ fi(Aj) < е, ц(В A (B\Aj)) ^ д(Л,-) < е.
Согласно D.4.3) и D.4.2) для всех г и j — 1,... ,р получаем
\1 fidn\ = \f hdn- I fidJ
\JAj I \JBuAj JB\Aj I
< / fidfj\ + \[ /idJ<2m.
Таким образом, / /jd/z ^ 2mp + C(k — p) для всех i и Л € A.
\Ja I
В частности, эта оценка верна для А = Ai — противоречие.

Глава 4. Пространства V и пространства мер
Осталось свести общий случай к случаю ограниченной меры.
Заметим, что мера ц ст-конечна на множестве
X0={J{x: |/„(х)|/0}.
71=1
Таким образом, Xq = UnLi Хп, где ц{Хп) < со и Хп попарно не
пересекаются. Теперь заменим меру /х конечной мерой /^о = Q • (л,
где q = 2_n(l + ц(Хп)) на Хп и д = О вне Хо- Положим дп =
fn/Q- Тогда для всякого А Е А имеем
/ 9ndno= fn dfi.
При этом Hsnllz,1^) = ll/nlU1^)- Итак> Функции дп на (Х,Л,цо)
удовлетворяют тем же условиям, что и функции /п на (X, Л,ц).
Из доказанного выше мы получаем, что теорема справедлива и в
общем случае. ?
4.5. Равномерная интегрируемость
В этом параграфе мы обсудим свойство равномерной
интегрируемости, тесно связанное со свойством абсолютной
непрерывности и предельным переходом под знаком интеграла.
Пусть (X, Л, ц) — измеримое пространство с неотрицательной
мерой \i (конечной или со значениями в [0, +оо]).
4.5.1. Определение. Множество функций Т С С1(ц) {или
Т С Ll(n)) называется равномерно интегрируемым, если
lim sup / \f\dn = 0. D.5.1)
с->+°°/eW{|/|>c}
Множество, состоящее лишь из одной интегрируемой
функции, равномерно интегрируемо в силу абсолютной
непрерывности интеграла Лебега. Поэтому для всякой интегрируемой
функции /о множество всех измеримых функций / с |/| ^ |/о|
является равномерно интегрируемым. В литературе можно
встретить другие определения равномерной интегрируемости,
равносильные данному для ограниченных мер (см., например,
задачу 4.7.71). Ясно, что в случае бесконечной меры ограниченная
измеримая функция не обязана быть интегрируемой, хотя для
таких функций D.5.1) выполнено.

4.5. Равномерная интегрируемость
4.5.2. Определение. Множество функций Т С Сх(ц) (или
Т С Ll(n)) имеет равномерно абсолютно непрерывные
интегралы, если для всякого е > О существует такое S > 0, что
I |/| dfi < е для всех / € Т, если р.(А) < 5.
4.5.3. Предложение. Пусть р, — конечная мера.
Множество Т р-интегрируемых функций равномерно интегрируемо в
точности тогда, когда оно ограничено в L1^) и имеет
равномерно абсолютно непрерывные интегралы. Если же мера р не
имеет атомов, то равномерная интегрируемость равносильна
равномерной абсолютной непрерывности интегралов.
Доказательство. Предположим, что Т равномерно
интегрируемо и пусть е > 0. Найдем такое С > 0, что
J{\f
\f\dp<-, V/€JF.
J{\f\>C) 2
Положим 8 = еBС)-1. Пусть ц(А) < 5. Тогда для всех / € Т
имеем
. Се
2С + 2=?-
f\f\dp=f 1/1Ф+/ |/| Ф
JA JAn{\f\^C} JAn{\f\>C}
Кроме того,
[ |/| dp < Ср(Х) + I |/| dp < Cp(X) + ?-.
Jx J{\f\>c} z
Предположим теперь, что множество Т ограничено в Ьг(р) и
имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы. Пусть е > 0.
Возьмем 6 из определения равномерной абсолютной
непрерывности интегралов и заметим, что по неравенству Чебышёва
существует такое С\ > 0, что
K{\f\>c})<c-1\\fh4fi)<6
при всех / € Т и С > С\. Наконец, если р не имеет атомов, то
равномерная абсолютная непрерывность интегралов влечет
ограниченность в Ьг(р), ибо для е = 1 пространство можно разбить
на конечное число множеств (скажем, NE)) с мерой меньше
соответствующего 6, что дает Ц/Цх,!^) ^ N(S) для всех / € Т. П

312 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
Если [I имеет атом (скажем, является вероятностной мерой в
точке 0), то равномерная абсолютная непрерывность интегралов
не влечет ограниченность в L1(//), ибо значения функций из Т
на этом атоме могут быть сколь угодно велики.
Следующий важный результат называется теоремой Лебега-
Витали.
4.5.4. Теорема. Пусть ц — конечная мера. Предположим,
что f — ц-измеримая функция и {/„} — последовательность
ц-интегрируемых функций. Тогда следующие утверждения
равносильны:
(i) последовательность {/„} сходится к f по мере и
равномерно интегрируема;
(ii) функция f интегрируема и последовательность {/„}
сходится к f в Ьг{р).
Доказательство. Пусть выполнено условие (i). Тогда
множество {/„} ограничено в L1^). В силу теоремы Фату,
примененной к функциям |/п|, функция / интегрируема. Для
доказательства сходимости {fn} к / в L1(^) достаточно показать, что
всякая подпоследовательность {#„} в {/„} содержит
подпоследовательность {дПк}, сходящуюся к / в L1(/i). В качестве {дПк}
возьмем подпоследовательность {дп}, сходящуюся к / почти всюду,
что возможно по теореме Рисса. Пусть е > 0. В силу
предложения 4.5.3 существует такое 5 > 0, что
jT|/„|dM<e
для всякого п и всякого множества А с fi(A) < S. Применяя
теорему Фату, получаем, что
при fi(A) < 6. По теореме Егорова существует такое множество А
с ц(А) < S, что сходимость {дПк} к / на Х\А равномерна. Пусть
N таково, что sup^\A \дПк — /| < е при к^ N. Тогда
/ \дпк - /| Ф < е^Х) + [ \дПк | dn + / |/| ф < еB + //(X)),
JX J A J А
откуда вытекает сходимость {дПк} к / в Ь1{ц).

4.5. Равномерная интегрируемость 313
Если выполнено условие (ii), то последовательность {/„}
ограничена в L1{ij) и сходится по мере к /. Ввиду предложения 4.5.3
остается заметить, что последовательность {/„} имеет
равномерно абсолютно непрерывные интегралы. Это вытекает из оценки
/"|/п|Ф< [\fn-f\d»+ [ |/|d/*
J A J A J А
и абсолютной непрерывности интеграла Лебега. ?
Теперь легко перенести доказанную теорему на бесконечные
меры, что предлагается сделать в виде задачи 4.7.56.
4.5.5. Следствие. Пусть \х — мера со значениями в [0, +оо]
и fn, / € ?1{№)у причем fn{x) —> f(x) п.в. Тогда сходимость {/„}
к / в Ll(fi) равносильна тому, что
lim sup / |/„|du = 0
u(E)^0 n Je
чйдется такое из.
sup/ \fn\dn<
n Jx\xe
Чусть мера \i кош
:ледовательность
ля всякого ц-измек
ществует lim / /п d/л. Тогда последовательность {/„} ограни-
n-*°°JA
чена в Ь1{ц) и имеет равномерно абсолютно непрерывные
интегралы (а в случае конечной меры и равномерно интегрируема).
Кроме того, существует такая интегрируемая функция f, что
указанный предел совпадает с I f dfi для всякого множества А
A JA
из А.
Доказательство. Сначала заметим, что общий случай, как
и в теореме 4.4.6, сводится к случаю конечной меры.
Действительно, как и в упомянутой теореме, мера ц сг-конечна на множестве
-^о = U^=i{a;: l/nO^)! Ф О}- Таким образом, Xq — UfcLi-^fc» гДе
и для всякого е > 0 найдется такое измеримое множество Хе,
что fi(Xe) < со и
4.5.6. Теорема. Пусть мера р, конечна или принимает
значения в [0,+оо], а последовательность ^.-интегрируемых
функций fn такова, что для всякого ^-измеримого множества А су-

Глава 4. Пространства LP и пространства мер
/x(Xfc) < оо и Хк попарно не пересекаются. Теперь заменим меру
ft конечной мерой /io = Q • /*, где
q = 2~*A + /i(Xfe))-1 на Хк и q = 0 вне Х0.
Положим дп = fn/Q- Тогда для всякого АеА имеем
9ndfio= fn dfi.
При этом \\дп\\ьЧн,) = WfnWvbi)- Поэтому функции дп на (Х,цо)
удовлетворяют тем же условиям, что и функции fn на (X, /х).
Доказав наше утверждение для дп, мы тем самым докажем теорему
и в общем случае. В частности, если д G Ь1()и0) и
/ gdno = lim / дпйцо,
J A n-+°° J А
то в качестве / мы возьмем функцию / = дд. Итак, будем
предполагать далее, что мера /х ограничена. По теореме 4.4.6
последовательность {/„} ограничена по норме в L1(/x). Покажем, что
функции fn имеют равномерно абсолютно непрерывные
интегралы. Как и в доказательстве теоремы 4.4.6, рассмотрим полное
метрическое пространство A/fi и для заданного е > 0 положим
МКгп=\а<еА: /"(/fc-/m)d/J<e, ?,тек).
Соответствующие множества классов эквивалентности в А/ц
будем обозначать также через Mk,m. Ясно, что эти множества
замкнуты в А/ц. Следовательно, множества Мп = Г\кт>п^к,т
замкнуты. Из условия теоремы вытекает, что
A/f*=\jMn,
ибо для каждого Ае А интегралы функций Д по А отличаются
не более чем на е, начиная с некоторого номера. По теореме Бэра
(см. задачу 1.12.71) некоторое Мп содержит шар, т.е. существуют
такие В € А и г > 0, что при всех к,т'^ п имеем
\fifk- fm) dfj\ ^ е, если ц(А ?В)^г. D.5.2)

4.5. Равномерная интегрируемость
Выберем положительное S < г так, что при ц (А) ^ 6 справедливо
неравенство
/ fjdn\ ^ е, j = l,...,п.
\Ja I
Заметим, что при этом
ц(ВА{АиВ)) = v{A\B) ^ 6 < г, D.5.3)
fi(BA(B\A)) = ц(АПВ)^5<г. D.5.4)
При j > п имеем
J fjdn = f fndn + f Ui~ U)dn
= f fndfi+ f Uj-fn)dii-f (/j-/„)d/x.
J A JAUB Jb\a
Из D.5.3), D.5.4), D.5.2) получаем / fjdm < Зе для всех j,
откуда следует равномерная абсолютная непрерывность {/п}- В
случае ограниченной исходной меры согласно предложению 4.5.3
получаем равномерную интегрируемость.
Рассмотрим теперь функцию множества
и(А) = ton Г fndn,
n-^°°JA
АеА.
Покажем, что v — счетно-аддитивная мера, абсолютно
непрерывная относительно /х. Из аддитивности интеграла вытекает
конечная аддитивность v. Пусть Ап G A, An+i С Ап и f]n<L1 Ап — 0-
Пусть г > 0. Найдем такое S > 0, что
\[ fndfjl
\Jb I
^ е для всех п при ц(В) < 6.
Затем выберем такое N, что ц{Ап) < 8 при п ^ N. Тогда при
п ^ N получаем |г/(Лп)| ^ е, откуда следует счетная
аддитивность v (см. предложение 1.3.3). Абсолютная непрерывность v
относительно ц очевидна. По теореме Радона-Никодима v = f-fj,,
где feL1^). ?
4.5.7. Следствие. Если в ситуации доказанной теоремы
функции fn сходятся п.в., то их предел п.в. равен f и
Нт ||/п - /||Li(/i) = 0.

Глава 4. Пространства Lp и пространства мер
Доказательство. Утверждение сводится к случаю ст-конеч-
ной меры, а затем стандартным образом к случаю ограниченной
меры. В этом случае для функции д(х) = lim fn(x) в силу
равномерной интегрируемости получаем lim ||/„ — дЦь1^) = О, откуда
д(х) = f(x) п.в. ?
Здесь уместно отметить, что согласно одной замечательной
теореме Г.М. Фихтенгольца, если интегрируемые функции / и
/„, п € IN, на отрезке [а, Ь] таковы, что lim / fndx = I f dx
n~>°° Ju J и
для всякого открытого множества U С [а, 6], то это равенство
верно и для всякого измеримого множества в [а,Ь]. Различные
обобщения этой теоремы обсуждаются в §8.10(х).
4.5.8. Следствие. Предположим, что мера /х на а-алгебре
всех множеств счетного пространства X = {xk} конечна или
принимает значения в [0, +оо], а последовательность функций
fn € Lx{u) такова, что для всякого А С X существует
конечный предел интегралов fn по А. Тогда последовательность {/п}
сходится в Ьг(ц). В частности, если для каждого п дан
абсолютно сходящийся ряд Yl'jLi an,j, причем для всякого А С IN
существует конечный предел lim Yl anj, то найдется такой
n^°°jeA
абсолютно сходящийся ряд с общим членом ctj, что
lim ^2 \an,j — Oij\ = 0.
Доказательство. Следует рассмотреть меру /х на IN,
приписывающую 1 каждой точке. Тогда абсолютно сходящиеся ряды
становятся функциями из Ьх(/х), а сходимость на одноточечных
множествах А превращается в поточечную сходимость.
Следовательно, мы получаем не только сходимость интегралов на каждом
множестве, но и поточечную сходимость, откуда следует
сходимость в!1. ?
Докажем теперь следующий полезный критерий равномерной
интегрируемости, принадлежащий Ш.-Ж. де ла Валле-Пуссену.

4.5. Равномерная интегрируемость
4.5.9. Теорема. Пусть \i — конечная неотрицательная
мера. Семейство Т ^-интегрируемых функций равномерно
интегрируемо тогда и только тогда, когда существует такая
неотрицательная возрастающая функция G на [0,+оо), что
t-^+oo
Р [ G(\f(x)\) ti(dx) < оо. D.5.5)
г J
При этом функцию G можно взять выпуклой.
Доказательство. Пусть выполнено условие D.5.5) и число
М мажорирует интегралы функций Go |/|, / б Т. Для
заданного е > 0 найдем такое С, что G(i)/t ^ М/е при t ^ С. Тогда
для всех / € Т имеем \f(x)\ ^ eG(\f(x)\)/M при \f(x)\ ^ С.
Следовательно,
/ I'l^Xf/ Go\f\dn<±-M = e.
J{\f\>C} М J{\f\2C} М
Итак, семейство Т равномерно интегрируемо.
Докажем обратную импликацию. Функцию G будем искать в
виде
G(t)
= / 0(e) de,
Jo
где g — неубывающая неотрицательная ступенчатая функция,
стремящаяся к +оо при t —> +оо и принимающая значения ап
на интервалах (п, п + 1], где п = 0,1, Чтобы подобрать числа
ап нужным образом, положим для / € F
/хп(/) = ^(х: |/(*)|>п).
В силу равномерной интегрируемости Т существует
возрастающая к бесконечности последовательность натуральных чисел Сга,
для которых
sup / |/| dfx ^ 2~п. D.5.6)
ferJ{\ftecn}
[ \f\dp2 JT,Mx: j<|/(x)Ki + l)^ f w(/).

318 Глава 4. Пространства Lp и пространства мер
Из D.5.6) следует, что ? ? Wfc(/) < 1 при / е Т. Теперь по-
п=1 к=сп
ложим ап = 0 при п <С\. При п ^ С\ положим
а„ = max{fc € IN: Ск ^п}.
Ясно, что ап —> +оо. При / € .F имеем
|с(|/0г)|)М<Ь0
^а1М(х: l<|/(a;)|^2) + (a1+a2)M(a:: 2 < |/(х)| < 3) + ...
= |>пм«(я = ?!>*(/).
n=l n=l k=Cn
Остается заметить, что функция G неотрицательна, возрастает,
выпукла и G(t)/t —* +оо при t —> +оо. П
4.5.10. Пример. Семейство .F интегрируемых относительно
конечной неотрицательной меры д функций является равномерно
интегрируемым, если
sup / |/|log|/|d/i<oo,
где мы полагаем 0 log 0 := 0. Чтобы применить критерий Валле-
Пуссена, следует взять функцию G(t) = tlogt при t ^ 1, G(t) = 0
при t < 1, и заметить, что <2(|/|) ^ |/| log |/| + 1. Другое
достаточное условие: при некотором р > 1
sup / \f\pdn <оо.
ferJ
4.6. Сходимость мер
Есть несколько видов сходимости мер, часто используемых в
приложениях. Основными из них являются сходимость по
вариации, сходимость на каждом множестве и, в случае, когда
пространство X — топологическое, слабая сходимость. В этом
параграфе обсуждаются первые два вида сходимости.
Пусть (X, Л) — пространство с сг-алгеброй и пусть Л4(Х, Л) —
пространство всех числовых счетно-аддитивных мер на А. Ясно,
что это — линейное пространство. Заметим, что вариация меры
(см. определение 3.1.4) является нормой на Л4(Х,А). Это
очевидно из выражения C.1.3) для ||/х||.

4.6. Сходимость мер
4.6.1. Теорема. Пространство М(Х, А) с нормой /z ь-» \\ц\\
является банаховым пространством.
Доказательство. Если последовательность мер /хп в
пространстве М(Х, А) фундаментальна по вариации, то для
каждого A G А последовательность {цп(А)} фундаментальна и потому
имеет предел /х(А). Покажем, что функция А н-> р(А) счетно-
аддитивна, причем ||/х„ — ^|| —>• 0. Аддитивность fj, очевидна из
аддитивности мер цп. Заметим, что
Швир{\1х{А) - цп(А)\,А(Е А} = 0. D.6.1)
Действительно, пусть е > 0 и пусть щ таково, что ||дп — /х^|| ^ е
при всех и, к ^ по. Пусть А € А. Найдем такое к ^ по, что
\ц(А) - iik{A)\ ^ е. Тогда при п ^ по получаем
НА) - ^{А)\ ^ НА) - рк{А)\ + ЫА) - цп{А)\
<е + ||м*-/^||<2е,
что и доказывает D.6.1). Пусть теперь {AJ —
последовательность попарно непересекающихся множеств из А и пусть е > 0.
Найдем такое по, что sup< \(i(A) — fxn(A)\,A ? А > ^ е при всех
п ^ п0. Найдем такое ко, что Uno(U?fc+i-^*) ^ е при всех
к ^ ко- Тогда ^(USfe+i-^i) ^ 2е при к ^ ко- В силу
аддитивности fi окончательно получаем
KU*)-Ert*)| = KU *)|<*.
t=l г=1 i=fc+l
что доказывает счетную аддитивность р. Из D.6.1) получаем, что
H/x-MnlHO. П
Отметим, что на М(Х, А) можно рассматривать и норму
/л-> sup\n(A)\,
АеЛ
эквивалентную вариационной норме (см. C.1.4)).
Перейдем теперь к рассмотрению сходимости мер на
множествах. Это более слабый вид сходимости, чем сходимость по
вариации. Например, последовательность мер цп на отрезке [0,27т],

Глава 4. Пространства V и пространства мер
заданных плотностями sin пх относительно меры Лебега,
сходится на каждом измеримом множестве к нулю. Это вытекает из
теоремы Римана-Лебега, согласно которой
Г*
Km /
f (х) sin nxdx = О
для каждой интегрируемой функции / (задача 4.7.68).
4.6.2. Определение. Пусть М — семейство числовых мер
на о-алгебре А. Это семейство называется равномерно
счетно-аддитивным, если для всякой последовательности попарно
непересекающихся множеств Ai ряд ^2 ц{Аг) сходится
равномерно по ц € М, т.е. для всякого г > 0 найдется такое пе, что
Y2 МА) < е для всех п^ пе и всех ц ? М.
Следующий важный результат объединяет два
замечательных утверждения теории меры: теорему Никодима о сходимости
и теорему Витали-Лебега-Хана-Сакса.
4.6.3. Теорема. Пусть последовательность мер \in в
пространстве Л4(Х,А) такова, что lim цп(А) существует для
каждого множества А € Л. Тогда
(i) формула ц(А) = lim Цп{А) задает меру ц € М(Х, А);
(П) существуют неотрицательная мера и € М.(Х, А) и
ограниченная неубывающая неотрицательная функция а на [О, +оо),
такие, что lim a(t) =0u
Bup\nn(A)\^a(v(A)), VAeA. D.6.2)
В частности, supn ||/xn|| < oo и последовательность {цп}
равномерно счетно-аддитивна;
(Ш) если неотрицательная мера А € М(Х, А) такова, что
Рп <С Л при всех п, то
Доказательство. В качестве и возьмем меру ]Г] Сп|/^п|, где
п=1
Сп = 2~пA + ||Мп||)-1- Ясно, что Hn^v при всех п. По теореме

4.6. Сходимость мер 321
Радона-Никодима /% = fnv, где /n € L1^). При этом ||//„|| =
II/tiIIlHm)- ^° теоРеме 4.5.6 последовательность {/п} ограничена
в L1^!/), причем существует такая функция / € Ьг(и), что
lim [ fndis= f fdv, VAeA.
n^°° J A J A
Положим (i = f -и и получим меру со свойством, указанным в (i).
Согласно теореме 4.5.6 функции /„ имеют равномерно абсолютно
непрерывные интегралы, откуда вытекает, что
a(t) = sup j J \fn\ dv: u(A) < t, n € IN 1
стремится к нулю при i —> 0. Ясно, что а — неотрицательная
неубывающая ограниченная функция. Таким образом,
утверждение (ii) доказано. Равномерная счетная аддитивность fin вытекает
из (ii). Наконец, для доказательства (ш) остается заметить, что
предыдущее рассуждение остается в силе для Л вместо и. О
4.6.4. Следствие. Пусть меры \in € М.{Х, А) таковы, что
sup|/in(A)| < оо для каждого множества А € А. Тогда
sup||/in|| < оо.
Доказательство. В противном случае можно взять
подпоследовательность и считать, что ||/хп|| ^ п. Меры цп/у/п сходятся
к нулю на каждом множестве из А. По доказанной выше
теореме они имеют равномерно ограниченные вариации —
противоречие. ?
Некоторые условия, равносильные равномерной счетной
аддитивности, собраны в следующей лемме.
4.6.5. Лемма. Пусть М — некоторое семейство
ограниченных мер на о-алгебре А. Следующие условия равносильны:
(i) М равномерно счетно-аддитивно;
(ii) lim sup \fj,(Ai)\ = 0 для всякой последовательности по-
парно непересекающихся множеств Ai Е А;
(Ш) для всякой убывающей последовательности множеств
Ai е А с П^1 Ai = 0 имеем lim fJ,(Ai) — 0 равномерно по /г € М;

322 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
(iv) если ограниченная неотрицательная мера v такова, что
/х„ <С v для всех п, то
lim sup{//(A): ц € М, А Е A, v{A) sC t} = 0.
Доказательство. Равносильность условий (i) и (iii)
проверяется так же, как и для одной меры с учетом того, что для
вложенных множеств А\ множества Ai+i\Ai дизъюнктны. Ясно,
что (i) влечет (И). Кроме того, из (iv) следует (ii) и (iii).
Проверим, что (ii) влечет (iv). Если это не так, то существует
такая ограниченная неотрицательная мера и, относительно которой
абсолютно непрерывны все меры /х„, что при некотором с > 0
для всякого е > 0 найдутся индекс т? и множество Ае G А с
v{Ae) < е и |дте(А?)| > с. Построим дизъюнктные множества
Bi € А и индексы к\ с \ц^{В^\ > с/2, что приведет к
противоречию с (ii). Для этого полагаем B\tx — Ai и fci = ттц. Затем
находим столь малое ?\ > 0, что Ifi^KE) < с/4 для всех Е € А
с v{E) < 5. Полагаем fc2 •'= rn?l, B2,i := Bxti\A?l, #2,2 := A?l.
Тогда |/ifei(^2,i)| > с—с/4. Пусть при каждом г ^ п уже выбраны
индексы ki и множества Bij с j = 1,..., г так, что Bij С St-ij
при j ^ г — 1, jBjj П Bi,k = 0 при j фкъ
1^.E^I > с-с/4 с/4*
при j < г. Находим столь малое ?п > 0, что j/x^ | (Е) < с/4"+1 для
всех г ^ п, если »>(?) < ?п- Затем полагаем
kn+i := т?п, Бп+1)П+1 := А?п, Дг+ij := Bnj\A?n.
Множества Д- := fl^Li Дм — искомые. ?
Интересное обобщение этой леммы будет дано ниже в
теореме 4.7.26.
Из доказательства теоремы 4.6.3 можно извлечь несколько
более сильное утверждение (полученное Саксом [751]), а именно,
что заключение теоремы остается в силе, если сходимость цп{Е)
имеет место для всех множеств Е из некоторого класса S
множеств, образующих множество второй категории в пространстве
А/и, где v — такая конечная мера, что цп <С г/, /х <С и. Как уже
отмечалось выше, Г.М. Фихтенгольц [182], [388] доказал, что из
сходимости к нулю интегралов функций /п € L1 [0,1] по каждому
открытому множеству следует сходимость к нулю их
интегралов по всякому измеримому множеству (в гл. 8 см. обобщение

4.7. Дополнения и задачи
323
этого результата на топологические пространства). Г.М. Фихтен-
гольц поставил вопрос о характеризации классов S множеств с
тем свойством, что из сходимости к нулю интегралов по
множествам из S следует сходимость к нулю интегралов по всем
измеримым множествам. Эта задача изучалась в Gowurin [447], где
было выяснено, что S может быть и множеством первой
категории в метрическом пространстве всех измеримых множеств в
[0,1] (см. задачи 4.7.130, 4.7.131).
4.7. Дополнения и задачи
(i) Структурные свойства L" и пространства мер C23). (ii) Слабая
топология в IP C27). (III) Равномерная выпуклость C30). (iv)
Равномерная интегрируемость и слабая компактность в L1 C33).
(v) Топология сходимости мер на множествах C38). (vi)
Компактность по норме и приближение в LP C42). (vii) Слабая и сильная
сходимость в V C46). (viii) Интеграл Хеллингера и расстояние
Хеллингера C48). (ix) Аддитивные функции множества C51).
Задачи C52).
4.7(i). Структурные свойства IP и пространства мер
Напомним, что мажорантой множества F в частично
упорядоченном множестве (Е, <) называется такой элемент т € Е, что / < т
для всех f € F (о частично упорядоченных множествах см. §1.12(vi)).
Мажоранта го называется верхней гранью F, если т ^ го для всякой
другой мажоранты т множества F. Аналогично определяются
термины миноранта и нижняя грань. Частично упорядоченное множество
(Е, <) называется структурой (или решеткой), если для каждой пары
элементов х,у е Е имеется верхняя грань, обозначаемая через iVy,
и нижняя грань, обозначаемая через х Л у. Структура Е называется
полной, если в ней каждое множество, имеющее мажоранту, имеет и
верхнюю грань. Если же указанное условие выполняется для счетных
множеств, то Е называется «т-полной структурой. Верхняя грань
множества F в решетке Е обозначается через V F-
Множество С°(ц) вещественных /х-измеримых функций является
структурой с естественным отношением порядка: / < д, если f(x) ^
д(х) /х-п.в. В качестве / V д и / Л д следует взять тах(/, д) и min(/, д)
соответственно. Ясно, что структурами с тем же отношением порядка
являются классы вещественных функций Ср(ц), р € @, оо], а также
соответствующие пространства IP(ii) классов эквивалентности.
4.7.1. Теорема. Пусть (X,A,fi) — измеримое пространство с а-
конечной мерой ц. Тогда множества С°(ц) и Х°(/х) являются полными
структурами с указанным выше отношением порядка. Кроме того,

Глава 4. Пространства IP и пространства мер
если множество Т С C°(fi) имеет мажоранту h, то существует
такое не более чем счетное множество {/„} С Т, что f < sup/„ < h
при всех f € Т.
Доказательство. Достаточно рассмотреть конечные меры.
Первое утверждение является следствием последнего, которое мы и
будем доказывать. Сначала предположим, что найдется такое число М,
что 0 < / ^ М для всех / G Т. Добавим к Т все функции вида
max(/Ql,... ,fak), где /Qi € Т. Полученное семейство обозначим
через Q. Ясно, что max(pi,... ,gk) € ? для всех gt е Q. При этом
мажоранта семейства J7 является мажорантой и для Q. Поэтому достаточно
доказать наше утверждение для Q. Интегралы функций из Q имеют
конечную точную верхнюю грань I. Далее можно считать, что
семейство Q бесконечно. Возьмем последовательность функций дп € G,
интегралы которых стремятся к /. Можно считать, что дп(х) ^ 9n+i{x),
перейдя к новой последовательности д'п = max(^n,g^_1), д[ = д±.
Положим д*(х) — lim дп(х) = supgn(x). Тогда интеграл д* равен /.
Покажем, что д(х) < д*{х) п.в. для всех д € Q (тогда д* ^ h для всякой
верхней грани h семейства Q). Действительно, в противном случае
найдется д G Q с д(х) > д*(х) на множестве Е положительной меры. Тогда
/ gdfj,^ I д* dfx + е, где е > 0. Возьмем такое га, что / дпй(л> I — е.
Для ф := тах(дп,д) е Q имеем
/ V dfi ^ / gndfj.+ I g*dfi + e^ I gndn + e > I
Jx Jx\e Je Jx
вопреки определению /. В случае, когда функции из Т
неотрицательны, достаточно при каждом фиксированном п применить доказанное к
семейству функций min(n,/), / G Т. Ясно также, что вместо
неотрицательности достаточно при некотором С иметь оценку / ^ С, / € Т.
Наконец, в общем случае зафиксируем /о ? Т и разделим X на
дизъюнктные множества Xk := {х: к < fo(x) ^ к + 1}, к € Z. На
каждом Хк утверждение верно, ибо можно применить доказанное к
семейству тах(/,/о), / € Т. Если Д,„, п G IN, — последовательность из Т,
соответствующая множеству Хк, то счетное множество функций /*,„,
к, п ? IN, является искомым для всего X. D
4.7.2. Следствие. Множества Ср(ц) и и{ц), где мера ц а-
конечна, при всех р € [0, +оо] являются полными структурами с
указанным выше отношением порядка. Кроме того, если множество
Т С CP{pi) имеет мажоранту h, то его верхняя грань в ?р(ц)
совпадает с верхней гранью в С°{ц), причем существует такое не более чем
счетное множество {/п} С Т, что f < sup/n ^ h при всех f € Т.

4.7. Дополнения и задачи 325
Доказательство. Случай р = 0 уже рассмотрен. Из этого случая
и теоремы Фату вытекает утверждение для р € @, +ос). Утверждение
для р = оо вытекает непосредственно из утверждения для р = 0. ?
4.7.3. Следствие. Пусть ц — конечная неотрицательная мера
на пространстве (Х,А) и At, t € Г, — некоторое семейство
измеримых множеств. Тогда в нем найдется такое не более чем счетное
подсемейство Atn, что [л( At\ (J^Li -^t„) = 0 для каждого t.
Доказательство. Функция 1 мажорирует индикаторы At. В силу
доказанной теоремы найдется не более чем счетное множество
индексов tn, для которых при каждом t имеем /д4 ^ sup/^ п.в. Поэтому
п.в. точка х из At содержится в \J^=1 At„ • ?
Отметим, что верхняя грань \J F множества Т в Ср(ц) может не
совпадать с поточечно определяемой функцией sup/6-F f(x). Например,
пусть F — множество в [0,1]. При t ? F положим ft(s) = 1, если s = t,
ft(s) = 0, если s ф t, где s 6 [0,1]. Тогда supteF ft(s) = If(s), хотя
верхняя грань семейства {ft} в ?р[0,1] есть нулевая функция. Если F —
неизмеримое множество, то функция supteF ft(s) = If(s) вообще
неизмерима. В качестве примера неполной структуры укажем
пространство С[0,1] непрерывных функций с естественным порядком / ^ д. В
этой структуре множество всех непрерывных функций, равных нулю
на [0,1/2) и не превосходящих 1 на [1/2,1], имеет мажоранту 1, но не
имеет верхней грани. Если на множестве измеримых функций на [0,1]
вместо сравнения почти всюду (как было сделано выше) ввести
порядок, порожденный неравенством /(х) < д(х) для каждого х, то также
получится неполная структура.
Укажем также, что приведенные результаты не распространяются
на произвольные бесконечные меры, хотя бывают не ст-конечные меры,
для которых они верны (см. задачу 4.7.80).
В качестве применения полученных выше результатов докажем
следующее полезное утверждение из Halmos, Savage [468].
4.7.4. Теорема. Пусть fit, t &Т, — некоторое семейство
вероятностных мер на а-алгебре А, абсолютно непрерывных относительно
некоторой фиксированной вероятностной меры ц на А. Тогда
существует такое не более чем счетное множество индексов tn, что все
меры fit абсолютно непрерывны относительно меры ?3 2_n//t„-
Доказательство. По условию д4 = ft-fi, где /( е i1(/x).
Рассмотрим //-измеримые множества Xt = {х: ft(x) Ф 0} и применим
теорему 4.7.1 к семейству индикаторов I\t (они мажорируются функцией 1).

326 Глава 4. Пространства IP и пространства мер
По этой теореме существует такое не более чем счетное множество
индексов ?„, что для каждого t имеем Ixt(x) ^ suPlxtn(x) /*-п.в. Это
означает, что на множестве <х: Yl 2~nftn(x) = 0> имеем ft(x) = О
для /х-п.в. х. Следовательно, мера nt абсолютно непрерьшна
относительно меры ^2 2_n/xt„- ?
Теперь покажем, что пространство М(Х,Л) всех ограниченных
знакопеременных мер на Л также является полной структурой. На
М(Х, Л) есть естественный порядок: /х ^ v тогда и только тогда, когда
fi(A) < v{A) для всех АбЛ Если /х,v € М{Х,Л), то положим
/х V v = /х + (у - /х)+, ц,/\и = ц-{и- ц)~.
Если хх и i/ заданы плотностями /ид относительно некоторой
неотрицательной меры А (например, Л = |хх| + И), то /х V v = max(/,g) • А,
/xAi/ = min(/, д)-А. Легко видеть, что /xVi/ является наименьшей мерой,
мажорирующей /jej/. Действительно, если мера ц такова, что /х < т] и
у ^ г/, то выберем неотрицательную меру А так, что /х = f ¦ A, v = д ¦ А,
77 = ft • А. Тогда ft > / и ft ^ р А-п.в., откуда ft ^ тах(/, </) А-п.в.
Итак, Л4(Х,Л) является структурой.
4.7.5. Теорема. Структура ЛЛ(Х, Л) полна.
Доказательство. Пусть множество Мс М(Х,Л)
мажорируется мерой [1. Покажем, что М имеет верхнюю грань. Предположим
сначала, что все меры из М неотрицательны. Тогда для всякого m ? М
имеем т <С /х и по теореме Радона-Никодима m = /m хх, где fm G Ьх{ц).
Условие т < /х означает, что fm^l /х-п.в. Таким образом, семейство
{fm} мажорируется функцией 1 и по доказанному выше имеет верхнюю
грань / в Ьг(ц). Ясно, что мера / • /х является верхней гранью для М.
Случай, когда существует такая мера /хо, что цо ^ тп для всех m € М,
сводится к доказанному, ибо множество М — /хо состоит из
неотрицательных мер и мажорируется мерой ц—(м>- Если v — верхняя грань для
М — /хо, то v+Цо есть верхняя грань для М. Рассмотрим общий случай
и зафиксируем mo € М. Мноисество Мо = {тп V mo, тп € М} состоит
из мер, мажорирующих меру то- Кроме того, mVmo</i при me М,
ибо то ^ ц и т =$ ц. По доказанному, Mq имеет верхнюю грань и.
Покажем, что v является верхней гранью и для М. Действительно,
тп <, m V mo < v для всех т е М. Предположим, что ц — такая мера,
что m < т) при всех m ? М. В частности, mo < T), откуда т) V то = т].
Тогда тп V то < т? v ^о = *7 Для всех т 6 М, т.е. т? естъ мажоранта
для Мо, откуда v < ц. Итак, v является наименьшей мажорантой, т.е.
верхней гранью. ?

4.7. Дополнения и задачи
327
4.7(H). Слабая топология в LP
В приложениях часто используются элементарные свойства
слабой топологии в пространствах V, которые мы здесь кратко
обсудим. Напомним, что последовательность векторов хп в
нормированном пространстве Е называется слабо сходящейся к вектору х, если
1{%п) —* Кх) Для всех I € Е*, где Е* — пространство всех непрерывных
линейных функций на Е. Если же для всякого I € Е*
последовательность 1(хп) фундаментальна, то {хп} называется слабо
фундаментальной. Указанная сходимость задается так называемой слабой
топологией на Е, в которой по определению открытыми являются всевозможные
объединения множеств вида
U{a, h,..., ln, еь... ,en) = {х: \h(x - а)\ < еь..., \ln(x - а)\ < ?„},
а € Е, he Е*, ?t>0, п € IN,
а также пустое множество. Из определения видно, что в
бесконечномерном пространстве Е всякое непустое открытое в слабой топологии
множество содержит бесконечномерное линейное подпространство, ибо
U (a, li,...,ln,ei,...,En) содержит пересечение гиперплоскостей /~1@).
Поэтому такое множество не может быть ограниченным, откуда
следует, что в бесконечномерном Е слабая топология строго слабее
топологии, порожденной нормой. При этом, однако, может случиться, что
запас сходящихся (счетных) последовательностей — один и тот же в
слабой топологии и топологии нормы. В качестве примера укажем
пространство I1 числовых последовательностей х = (хп) с конечной
нормой ||х|| = 5Z 1хп|- Это пространство можно считать пространством
LJ(IN,i/), где v — мера на IN, приписывающая каждой точке
значение 1. Тот факт, что из слабой сходимости последовательности в I1
следует сходимость по норме, ясен из следствия 4.5.8. Однако во всех
пространствах 1Р[а, Ь], 1 < р ^ оо, можно найти последовательность,
которая сходится слабо, но не по норме. Например, если {е„} — орто-
нормированный базис в L2[a, Ь], то еп —> 0 в слабой топологии, но при
этом нет даже сходимости по мере.
Отметим, что слабая топология является частным случаем
топологии cr(E, F), где Е — линейное пространство (не обязательно
нормированное) и F — некоторое линейное пространство линейных функций
на Е, разделяющее точки Е (т.е. для всякого х Ф О существует /6F
с 1[х) Ф 0). Топология о(Е,Р) называется топологией, порожденной
двойственностью с F, а задается она посредством таких же множеств
U(a,li,...,ln,?i,...,?n), как и выше, с той лишь разницей, что теперь
li G F. Выбор F = Е* в случае нормированного пространства Е
приводит к слабой топологии. Легко проверить, что если линейная функция

328 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
I на Е непрерывна в топологии a(E,F), то I € F (детали можно
найти в Шефер [206, гл. IV]). Таким образом, сопряженное (т.е.
множество непрерывных линейных функций) к пространству Е с топологией
a(E,F) есть в точности F. В частности, несмотря на то, что слабая
топология нормированного пространства слабее топологии нормы, она
приводит к тому же самому запасу непрерывных линейных функций.
Пусть \i — неотрицательная (возможно, бесконечная) мера на
пространстве (И,Л). Из уже упоминавшейся теоремы Банаха-Штейнгауза
(см. §4.4) следует такое утверждение.
4.7.6. Предложение. Всякая слабо сходящаяся
последовательность в иЧц) ограничена по норме.
Мы знаем, что всякая непрерывная линейная функция на Ьр(ц) с
1 < р < оо задается элементом из Lq(fj), где q = р/(р — 1) (выше был
рассмотрен случай конечной или <т-конечной меры, а случай
произвольной меры рассмотрен в задаче 4.7.76). Поэтому слабая сходимость
последовательности функций /п к функции / в слабой топологии LP{^),
1 < р < оо, есть просто соотношение
lim / Ugdti = f fgdfi, V<? € L9(/x).
n_>°° Jn Ja
Свойства слабой топологии в L1 и I/ с p > 1 существенно
отличаются. Здесь мы приведем ряд результатов для случая р > 1, а случай
р = 1 будет рассмотрен отдельно.
Из сказанного следует, что при 1 < р < оо пространство L^di)
рефлексивно в смысле следующего определения.
4.7.7. Определение. Банахово пространство Е называется
рефлексивным, если для всякого непрерывного линейного функционала
f на Е* существует такой вектор v € X, что f(l) = l(v) для всех
lex*.
Рефлексивность пространства Е коротко записывают в виде
равенства Е** — Е. Следует иметь в виду, что это равенство — не то же
самое, что изометричность Е** и Е\
4.7.8. Теорема. Любое из следующих условий равносильно
рефлексивности банахова пространства Е:
(i) замкнутый единичный шар пространства Е компактен в
слабой топологии;
(ii) каждый непрерывный линейный функционал на Е достигает
своего максимума на замкнутом единичном шаре.
Доказательство см. в Дистель [59].

4.7. Дополнения и задачи 329
4.7.9. Следствие. В пространстве V(fi) с 1 < р < оо замкнутые
шары компактны в слабой топологии. Кроме того, из всякой
ограниченной по норме последовательности функций /„ можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся в слабой топологии к некоторой
функции f € Lp(fi).
Отметим, что для сепарабельного пространства Lp(/j.) последнее
утверждение доказывается очень просто: можно взять счетное всюду
плотное множество функций gt в Ья(ц) и выбрать
подпоследовательность fnk, для которой сходятся интегралы от fnk9i при каждом г.
К этому можно свести и общий случай (перейдя к ст-алгебре,
порожденной {/„}), но можно сослаться и на следующую общую теорему
Эберлейна-Шмульяна (доказательство см. в книге Данфорд, Шварц
[56, гл. V, §6]), которая нам понадобится и в случае р = 1.
4.7.10. Теорема. Пусть А — множество в банаховом
пространстве Е. Тогда следующие условия равносильны: (i) А имеет
компактное замыкание в слабой топологии; (И) всякая последовательность в
А имеет подпоследовательность, слабо сходящуюся в Е; (Ш) всякая
последовательность из А имеет в Е предельную точку в слабой
топологии.
Еще один полезный общий результат о слабой сходимости —
приводимая ниже теорема Крейна-Шмульяна (см. Данфорд, Шварц [56,
гл. V, §6]).
4.7.11. Теорема. Пусть множество А в банаховом
пространстве Е компактно в слабой топологии. Тогда замкнутая выпуклая
оболочка А (т.е. пересечение всех замкнутых выпуклых множеств,
содержащих А) также компактна в слабой топологии.
Следующий результат характеризует слабую сходимость в Lp
последовательности, сходящейся почти всюду или по мере. Подчеркнем,
однако, что из слабой сходимости в IP не следует сходимость по мере.
4.7.12. Предложение. Пусть функции fn € Cp(fi) с 1 < р < оо
сходятся почти всюду (или по мере) к функции /. Тогда необходимым
и достаточным условием сходимости {/„} к f в слабой топологии
1Р(р) является ограниченность {/„} по норме в 1Р(ц).
Доказательство. Ограниченность по норме следует из слабой
сходимости. Пусть {/„} ограничена в IJ'(n). В силу задачи 4.7.65
достаточно проверить сходимость интегралов от fng к интегралу от fg
для каждой простой /х-интегрируемой функции g (функция g отлична
от нуля лишь на множестве конечной меры). Такая сходимость имеет
место в силу сходимости fng к fg почти всюду (или по мере), ибо все
эти функции отличны от нуля лишь на множестве конечной меры и
равномерно интегрируемы ввиду ограниченности {/„#} в 1?(ц.). О

330
Глава 4. Пространства IP и пространства мер
В случае р = 1 сходимость почти всюду и ограниченность по норме
не дают слабой сходимости. Действительно, в противном случае мы
получили бы и равномерную интегрируемость /„, а тогда и сходимость
по норме, но легко видеть, что функции /n(x) = n/@)i/„] (х) имеют
единичные нормы в Lx[0,1] и сходятся поточечно к нулю.
В связи с доказанным предложением см. также предложение 4.7.29
ниже.
При р — 1 слабая сходимость в Ьг(ц) вместе со сходимостью почти
всюду влечет сходимость по норме в силу следствия 4.5.7. При р > 1
это уже не так (задача 4.7.67).
Еще одно интересное свойство слабой сходимости в IP указано в
следствии 4.7.16 ниже.
Другим важным частным случаем топологии вида a{E,F)
является *-слабая топология на сопряженном пространстве Е* к
нормированному пространству Е. Эта топология обозначается через а(Е*,Е)
и определяется как топология на Е*, порожденная двойственностью с
пространством Е, рассматриваемым как пространство линейных
функций на Е*: каждый элемент х € Е задает линейную функцию на Е* по
формуле I н-> 1(х). Сходимость функционалов в *-слабой топологии —
это просто сходимость на каждом векторе из Е. Для рефлексивного
банахова пространства Е *-слабая топология на Е* совпадает со слабой
топологией банахова пространства Е*. Важное свойство *-слабой
топологии дается следующей теоремой Банаха-Алаоглу (см., например,
Данфорд, Шварц [56, гл. V, §4]).
4.7.13. Теорема. Пусть Е — нормированное пространство.
Тогда замкнутые шары в Е* компактны в *-слабой топологии.
Если Е сепарабельно, то замкнутые шары в Е* являются метризуе-
мыми компактами в *-слабой топологии. В этом случае из всякой
ограниченной последовательности в Е* можно выделить *-слабо
сходящуюся подпоследовательность (впрочем, это последнее утверждение легко
доказывается непосредственно). Однако в общем случае это неверно.
Таким образом, для *-слабой топологии (в отличие от слабой
топологии) компактность не равносильна секвенциальной компактности.
4.7(ш). Равномерная выпуклость LP
4.7.14. Определение. Нормированное пространство Е с нормой
|| • || называется равномерно выпуклым, если для всякого е > 0
существует такое 6 > 0, что
если 11*11 = 1,111,11 = 1 и ||?±»|>1-*, то \\х-у\\^е.
Пусть fi — неотрицательная мера (возможно, принимающая
значения в [0, +оо]) на измеримом пространстве (X, Л).

4.7. Дополнения и задачи 331
4.7.15. Теорема. При 1 < р < оо пространство L"(fj,) равномерно
выпукло.
Доказательство. Заметим, что для всякого е > 0 существует
такое 5 = 6(р, е) > О, что для всех a,b^JR имеем
<НЧ|«Г + Ю < 4|а - ф* |^[ < A - S)W±Wm D.7Л)
Действительно, достаточно показать, что такое 6 найдется для всех
(а, Ь) с 1 < а2 + б2 < 2, ибо для ненулевого вектора (а, 6) можно
найти такое t > О, что вектор (to, tft) попадет в указанную область, а оба
неравенства в D.7.1) при этом умножатся на tp. Из соображений
компактности ясно, что при отсутствии нужного 8 найдется вектор (a, ft),
для которого справедливы неравенства
1<а2 + 62<2,?Р(К + |&Г)<4|а-ЬГ, |?±*|%НЩ*?
Последнее неравенство возможно лишь при a = b, что очевидно из
рассмотрения графика функции |х|р при р > 1. Теперь первые два из
указанных неравенств невозможны. Полученное противоречие
доказывает D.7.1).
Пусть е > О, функции / и д имеют единичные нормы в IJ'(n) и
II/ — 9\\lp((i.) ^ ?- Рассмотрим множество
П = {*: ер(|/(х)|" + |5(х)П < 4|/(х) - д(х)\>}.
Из D.7.1) получаем
|/(»)+g(x)|><A_,)|/(x)l> + |g(g)r> уяеп> D?2)
Ясно, что
/x\nl/_9|P^^TX[l/|P + l5|P]d/i<T'
откуда
С учетом оценки (|/|р + |5|р)/2 - |(/ + д)/2\р > 0 и неравенства D.7.2)
получаем
X(™-l^l>>/„F^-l^l>

332 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
Следовательно,
что и означает равномерную выпуклость LP^ii). ?
4.7.16. Следствие. Пусть последовательность функций fn
слабо сходится к функции f в 1Р(ц), где 1 < р < ос. Пусть, кроме того,
JBm И/пНыоо = ||/|Up(m). Тогда Jim ||/„ - f\\LP(ll) = 0.
Доказательство. Если сходимости по норме нет, то, переходя к
подпоследовательности, можно считать, что ||/ — fnWbpfa) ^ е > 0.
Кроме того, можно считать, что /„ имеют единичные нормы. В силу
равномерной выпуклости V^i) существует такое 6 > 0, что для всех п
имеем Wfn + fWbpfr) < 2A-5). Пусть g_1+p_1 = 1. Найдется g е Lq(n)
с ||$||l»(m) = 1 и / /#d/x = 1. Тогда
что ведет к противоречию, ибо в силу неравенства Гёльдера получаем
Из доказательства видно, что указанное свойство выполняется для всех
равномерно выпуклых пространств. ?
Доказанное следствие теряет силу при р = 1 (задача 4.7.69).
4.7.17. Следствие. При 1 < р < оо пространство Ьр(ц)
обладает свойством Банаха-Сакса, т.е. из всякой ограниченной по норме
последовательности fn в LP{p) можно извлечь такую
подпоследовательность fnk, что последовательность
/пх +••• + /»>
к
сходится по норме.
Доказательство. Свойство Банаха-Сакса имеют все равномерно
выпуклые банаховы пространства: см. Дистель [59, гл. 3, §7]. ?
Свойство Банаха-Сакса влечет рефлексивность банахова
пространства Е по теореме 4.7.8. Поэтому ?х[0,1] этим свойством не обладает
(что, впрочем, очевидно из рассмотрения ni[o,i/n]). Частичная
компенсация дается теоремой 4.7.23.

4.7. Дополнения и задачи 333
4.7(iv). Равномерная интегрируемость и слабая
компактность в!1
В пункте рассматриваются только неотрицательные меры на
измеримом пространстве (X, Л).
4.7.18. Теорема. Пусть ц — конечная мера и Т — некоторое
множество ^-интегрируемых функций. Тогда множество Т равномерно
интегрируемо в точности в том случае, когда оно имеет компактное
замыкание в слабой топологии L1(/x).
Доказательство. Пусть Т равномерно интегрируемо. Тогда оно
ограничено в Ьх{ц). Обозначим через Н замыкание Т в пространстве
(L°°(/i)) , наделенном *-слабой топологией <r(L00(/i)*,L00(/i)). По
теореме Банаха-Алаоглу 4.7.13 множество И компактно. Так как i1(/i)
изометрично подпространству в Ь°°(ц)* (напомним, что всякое
банахово пространство Е изометрично подпространству в Е** при
естественном вложении в это пространство, см. доказательство теоремы
4.4.3), то топология <t(L00(^)*,L00(/x)) индуцирует на Ьх{ц) топологию
<r(L1(/Lt),Ь°°(ц)). Покажем, что Н С Ь1^). По построению всякий
элемент F еН есть непрерывный линейный функционал на i°°(/i),
являющийся пределом некоторой направленности функционалов
Fa(g)= f fagdn, 9€i~M,
Jx
где fa € J-, т.е. есть такое частично упорядоченное множество Л, что
для всяких а, /3 € Л найдется 7€Лса^7и/3^7> причем для любых
g 6 Ь°°(м) и ? > 0 найдется 7 € Л с \Fa{g) — F(g)\ < е при а ^ 7-
Множество Т имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы
(предложение 4.5.3). Поэтому для всякого ? > 0 найдется такое S > О,
что
F(IA) ^ limsupFa(/A) < limsup / |/Q| ф < е
a a Ja
при ц(А) < 6. Согласно предложению 4.4.2 функционал F задается
функцией / € Ьх(ц).
Предположим теперь, что Т имеет компактное замыкание в
указанной топологии, но не является равномерно интегрируемым. Тогда
найдутся такие ))>0и последовательность {/„} С Т, что
¦41/-1>п}
при всех п ^ 1. По теореме Эберлейна-Шмульяна 4.7.10 из
последовательности {/„} можно выделить подпоследовательность {/nt},
сходящуюся к некоторой функции / € Ьх(ц) в слабой топологии a(L},L°°).

334 Глава 4. Пространства IP и пространства мер
В частности, для каждого д-измеримого множества А имеем
lim / fnkdn= / fdfi,
fc—00 J A J A
что приводит к противоречию с теоремой 4.5.6. ?
4.7.19. Следствие. Предположим, что {/„} — равномерно
интегрируемая последовательность на пространстве с конечной мерой /х.
Тогда существует подпоследовательность fnk, которая сходится в
слабой топологии L1^) к некоторой функции f € 1}{ц), т-е-
tim^J fnkgdn = J fgdfi, VgeL°°(ii).
Доказательство. По доказанному последовательность {/п}
обладает компактным замыканием в слабой топологии, а по
цитированной выше теореме Эберлейна-Шмульяна из нее можно выделить слабо
сходящуюся подпоследовательность. ?
4.7.20. Теорема. Пусть (X,A,(j) — измеримое пространство с
мерой ц со значениями в [0,+оо] и Т С Ь1{ц). Следующие условия
равносильны:
(i) Т имеет компактное замыкание в слабой топологии Ь1(/и);
(ii) Т ограничено по норме и меры f/j.,f€^F, равномерно счетно-
аддитивны в смысле определения 4.6.2;
(ш) множество {\f\,f G Т} имеет компактное замыкание в
слабой топологии Lx(fi);
(iv) Т ограничено по норме, функции из 7- имеют равномерно
абсолютно непрерывные интегралы и для всякого е > О найдется такое
измеримое множество ХЕ, что fi(Xe) < оо и I |/| dfi < е для всех
Jx\x,
f€F;
(v) для всякого е > 0 существует такая ^-интегрируемая
функция д, что I |/| dfi ^ ? для всех f € J-.
J{\f\>9)
Доказательство. Для ограниченных мер равносильность
перечисленных условий следует из теоремы 4.7.18, предложения 4.5.3 и
леммы 4.6.5. Из теоремы Эберлейна-Шмульяна и определения
равномерной счетной аддитивности ясно, что достаточно доказать
равносильность (i)-(iii) для счетного множества Т = {/п}- Поэтому общий
случай сразу сводится к случаю, когда мера ц является <т-конечной, ибо
найдется такое множество Xq € А, на котором наша мера сг-конечна,
а все /„ п.в. равны 0 вне Xq (см. предложение 2.6.2). Далее находим

4.7. Дополнения и задачи
такую конечную меру ^о,'
ц{А) = I gdfM), А е Л
где q > 0 — измеримая функция. Теперь все сводится к конечной мере
Но и функциям дп = f„/g. Действительно, последовательность
функций дПк € Ьг(но) слабо сходится в Lx(/io) к 9 в точности тогда, когда
последовательность дПк/д слабо сходится к д/д в ?1(/х). Аналогичным
образом дело обстоит с модулями указанных функций. Условие (ii) для
функций /„ и меры fi переписывается как такое же условие для
функций дп и меры цо- Из сказанного видно также, что (iv) влечет (i)-(iii)
и в общем случае. Теперь проверим, что (iv) вытекает из (i)-(iii) для
бесконечных мер. Ясно, что ввиду уже доказанного для конечных мер
надо установить лишь второе условие в (iv). Если оно не выполнено, то
для некоторого е > 0 можно построить последовательность
возрастающих измеримых множеств Хп и последовательность функций /n е Т,
для которых /„ = 0 п.в. вне множества Y — U^=i -^n» А*(-^п) > п и
/ |/n| dp ^ е. Рассмотрев меры цп := /п • /х, приходим к противо-
речию с леммой 4.6.5. Равносильность (v) остальным условиям следует
из задачи 4.7.71. ?
В условии (iv) в случае, когда конечная мера и не имеет атомов,
ограниченность Т по норме автоматически вытекает из равномерной
абсолютной непрерывности (предложение 4.5.3).
В отличие от случая р € A,+оо), пространства Ь^{ц) не имеют,
вообще говоря, того свойства, что из ограниченной
последовательности можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность (см.
следствие 4.7.9 и задачу 4.7.66). Следующие утверждения дают частичную
компенсацию.
4.7.21. Лемма. Пусть (Х,А,ц) — пространство с конечной
неотрицательной мерой, {/„} С Ьг(ц) и sup||/n||/,i(M) < оо. Тогда для
всякого е > О можно найти измеримое множество Ее, число S > 0 и
бесконечное множество 5 С IN, такие, что ц(Е?) < е и для всякого
множества А С Х\ЕЕ с ц(А) < $ справедливы неравенства
J\fk\dii<e, VfceS.
Доказательство. Предположим противное. Тогда для
некоторого е > 0 при любом выборе множества Е с ц(Е) < е, числа S > 0 и
бесконечного множества 5 С IN найдутся А С Х\Е и к G S, для
которых ц(А) < 6 и / \fk\d/j, ^ е. Покажем, что тогда для всякого С

336 Глава 4. Пространства IP и пространства мер
с ц{С) < е и всякой бесконечной части 5 С IN найдутся множество
А С Х\С и бесконечное подмножество Г С 5 с ц{А U С) < е и
[ \fk\dn>e, УкеТ.
Для этого положим Si = S и возьмем положительное ($i < (е—/х(С))/2.
Затем находим i?i С Х\С с ц{В\) < 5\ и fci € Si, для которых
/ |Лх1Ф>е.
Далее продолжаем этот процесс индуктивно, так, что 5» < ^i-i/2 и
Si := {А; € Sj_i: к > fci_i}. Положим А = (JSi ви Т = {fcj} и получим
нужные объекты.
Теперь с помощью доказанного вспомогательного утверждения мы
придем к противоречию. Проведем еще одно индуктивное построение:
применим доказанное кС = 0и5 = И. Получим множества А\ с X
и 7i с IN с n(Ai) < е и
/ \fk\dfi>e, V*€Ti.
Затем применим наш вспомогательный результат к С — А\ и S = Т\.
Получим бесконечную часть Гг С Т\ и множество Аг С -X\Ai, для
которых /j(j4i U Л2) < ? и
/ 1Л1Ф = / 1Л1 dfi + [ |Д| d/i > 2е, Vfc е Г2.
¦Miua2 JAi Ja2
Далее переходим kC = ^iU^2hS = Тъ- Пусть N > е-1 sup H/nlU1^)-
Через N шагов придем к дизъюнктным множествам А\,..., An и
некоторому номеру к, для которого интеграл |Д| по А\ U • • • U An
превысит НЛИьЧ/*)- Возможность продолжения построения обеспечивается
тем, что n(Ai U • • • U Ап) < е на всех предыдущих шагах. ?
Теперь мы можем доказать теорему В.Ф. Гапошкина о
подпоследовательности, которая сходится „почти слабо в L1".
4.7.22. Теорема. Пусть (Х,А,ц) — пространство с конечной
неотрицательной мерой, {/п} С Ьг(р) и sup H/nllt1^) < 00- Тогда
можно найти подпоследовательность {пк} и функцию f € Ь1{ц), такие,
что {/„*} сходится почти слабо в L'((j) к / в следующем смысле:
для всякого е > О существует такое измеримое множество Хе, что
ц(Х\Х?) < е и функции fn\xc сходятся к f\xe в слабой топологии
пространства Ll(ii\xc).

4.7. Дополнения и задачи 337
Доказательство. Мы применим доказанную выше лемму для
выделения подпоследовательности fnj, для которой найдутся
множества Yn с fj,(X\Yn) < 2~п, на каждом из которых последовательность
{fnj} имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы. Тогда из
нее можно будет выделить еще одну подпоследовательность, которая
будет уже слабо сходящейся в L1 на этих множествах. В качестве Уп
возьмем множество Х\ UbU Ее(п,к), где е{п, к) > О выбираются так:
е(п, к) = minB-fe-", 8(п, к - 1)),
а число 6(п, к-1) найдено по лемме для е(п, к— 1), причем е(п, 1) = 2~п.
С помощью леммы получаем бесконечную часть Тп С {/п}>
имеющую равномерно абсолютно непрерывные интегралы на Уп. Более
того, из наших рассуждений ясно, что эти части можно выбрать так, что
J-n+i С ТП1 откуда легко усмотреть существование
подпоследовательности с равномерно абсолютно непрерывными интегралами на каждом
из У„. ?
Отметим еще одно замечательное свойство ограниченных
последовательностей в L1, установленное Комлошем [554]. В гл. 10, где дано
доказательство первой части следующей теоремы, упомянуты и
дополнительные результаты.
4.7.23. Теорема. Пусть (Х,А,ц) — пространство с конечной
неотрицательной мерой, {/„} С L1^) и sup ||/n.||z,i(^) < оо. Тогда
можно найти такие подпоследовательность {дп} с {/„} и
функцию д € bJ(/i), что для всякой последовательности {/in} С {дп}
средние арифметические (Л-i Ч \-hn)/n сходятся почти всюду к д. При
этом можно добиться следующего: для всякого в > 0 существует
такое множество Х?, что ц(Х\Х?) < е и функции (hi Н Ь hn)/n
сходятся к g по норме Ьх(Хе,ц).
Доказательство. Наиболее трудная часть теоремы Комлоша —
существование подпоследовательности, у которой средние
арифметические дальнейших подпоследовательностей п.в. сходятся к некоторой
функции g € L1^), — будет доказана в гл. 10 (см. §10.10) с
помощью обсуждаемой там техники условных математических ожиданий.
Если эта часть уже известна, та мы применяем ее к указанной в
теореме 4.7.22 подпоследовательности {/nfc}, которая почти слабо сходится
в Lx[p) к некоторой функции /. Ясно, что средние арифметические
всякой подпоследовательности {hn} в /nfc сходятся в этом же смысле
к тому же самому пределу /. Остается заметить, что если эти
средние арифметические сходятся почти всюду к некоторой функции д, то
f = д п.в. Действительно, из того, что последовательность функций

338 Глава 4. Пространства Ь? и пространства мер
п~1 (hi Н h h„) почти слабо сходится в!1 (fi), следует, что для
заданного е > 0 существует такое множество Х?, что и(Х\Хе) < е и на Х?
эта последовательность равномерно интегрируема. По теореме Лебега-
Витали она сходится на Хе к д по норме i1(Xe, ц), а потому и в слабой
топологии. Значит, / = д п.в. на Хе, откуда вытекает равенство / = д
п.в. на X. При этом доказана и сходимость в Х1(Хе,/х). ?
4.7(v). Топология сходимости мер на множествах
Сходимость мер на множествах, рассмотренную в теореме 4.6.3,
можно задать топологией. А именно, такая сходимость — это в
точности сходимость в топологии а(М, Т), где М = М(Х,А) —
пространство всех ограниченных счетно-аддитивных мер на А и Т — линейное
пространство всех простых Л-измеримых функций. Фундаментальная
система окрестностей точки ца в этой топологии состоит из множеств
вида
WAl,...,AnM = {»eM(X,A): Ш<)-щ>(Аг)\<?, г = 1,...,п},
где Ai € А и ? > 0 (см. §4.7(ii) по поводу определения этой
топологии). Если сг-алгебра А бесконечна, то топология а(М,Р) не
задается никакой нормой (задача 4.7.105). Еще одна естественная топология
на М задается двойственностью с пространством В(Х, А)
ограниченных А-измеримых функций, т.е. это — топология а(М, В(Х, А)). Если
ст-алгебра А бесконечна, то эта топология строго сильнее топологии
а(Л4, !F). Правда, как вытекает из теоремы 4.6.3, для счетных
последовательностей сходимость в топологии о(ЛЛ,?:) равносильна
сходимости в топологии о~(М,В(Х,А)) (для доказательства надо еще
воспользоваться тем, что каждая функция из В(Х,А) равномерно
приближается простыми функциями).
Наконец, поскольку /Л — банахово пространство, то на нем можно
рассмотреть и обычную слабую топологию о~(М,АЛ*) банахова
пространства (см. §4.7(ii)), которая в нетривиальных случаях строго
сильнее топологии а(М, Т), но строго слабее топологии, порожденной
вариационной нормой (задача 4.7.106). Как мы сейчас увидим, сходимость
счетных последовательностей в топологии а(М.,М.*) — такая же, как
и в топологии сходимости на каждом множестве. Кроме того, в обеих
топологиях одни и те же компактные множества.
4.7.24. Теорема. Для множества М С Л4(Х, А) следующие
условия равносильны, (i) Множество М имеет компактное замыкание в
топологии о(ЛЛ,М*).
(ii) Множество М ограничено по вариации и существует такая
вероятностная мера v G М(Х,А), что семейство М равномерно и-
непрерывно, т.е. для всякого е > 0 найдется 6 > 0 с тем свойством,

4.7. Дополнения и задачи
339
что
\ц(А)\ < е для всех /ieM, если Ае А и v(A) ^ 8.
При этом меры из М абсолютно непрерывны относительно v, а
замыкание множества {dfi/dv: ц 6 М} компактно в слабой
топологии Ьх{и). Кроме того, в качестве и можно выбрать меру ?) Cnl/^nl
для некоторого конечного или счетного набора {fin} С М и чисел
Сп>0.
(ш) Множество М ограничено по вариации и равномерно счетно-
аддитивно.
(iv) Множество М имеет компактное замыкание в топологии
сходимости на каждом множестве из А. Это равносильно и
компактности его замыкания в топологии сходимости на каждой А-
измеримой функции.
(у) Из всякой последовательности в М можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся на каждом множестве из А.
Доказательство. Заметим сначала, что для всякой
неотрицательной меры v на А пространство Ьх(у) вкладывается в качестве
замкнутого линейного подпространства в М{Х,А), если отождествить
/ € Ll(v) с мерой / • v. При этом топология а{М,ЛЛ*) индуцирует
на Ll{v) топологию o-{L},L°°). Это вытекает из теоремы Хана-Банаха
(или из того, что сопряженным к банахову пространству L1 {v) являет-
ся L°»).
Пусть выполнено (i). Покажем сначала, что для всякого е > О
существуют S > 0 и конечный набор /ii,..., fin ? М, такие, что
\ц{А)\ ^ е для всех /х € М, если АеАи \fii\(A) < 6 для всех i < п.
Предположим противное. Тогда по индукции можно построить
последовательность мер цп из М и последовательность множеств Ап из А,
таких, что
\цп+1{Ап)\>е, |Mi|(An) < 2-", Уг^п.
Положим fi = ^2 2_п||Мп||-1|Мп|- Меры /хп задаются плотностями /„ ?
L1 (/*) относительно ц. Из сделанного выше замечания ясно, что
последовательность {/„} имеет компактное замыкание в слабой топологии
а{1}{ц), L°°(u)). По теореме 4.7.18 и предложению 4.5.3 эта
последовательность имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы, что
противоречит тому, что ц(Ап) < п2~п + ?) 2-* —* 0 и /х„+1(Лп) > е.
Итак, сделанное утверждение доказано.

340 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
Теперь для каждого п найдем число 5п > 0 и меры /i™,... ,^JJn,
соответствующие е = п. Выберем числа cnj > 0 так, чтобы мера
v = "?2 ^2 Cnjlttf] была вероятностной (если все меры ц* нулевые, то
n=l }=\
М состоит лишь из нуля). Пусть е > 0. Найдем такое п, что п-1 < е.
Существует такое достаточно малое 8 < 0, что |/г"|(А) < <Jn при j =
1,..., кп, если v(A) < 5. Тогда по нашему построению |/х(А)| < п~1 < е.
Итак, выполнено (ii).
Пусть вьшолнено (ii). Если (ш) не вьшолнено, то для
некоторого s найдутся такие возрастающие номера Пк и меры ць е М, что
53 A*fe(^j) ^ ? Для всех к. Поскольку /х& = Д ¦ v, где Д € iJ(^), то
'.;'="* '
приходим к противоречию с тем, что согласно теореме 4.7.18 и
предложению 4.5.3 функции Д имеют равномерно абсолютно непрерывные
интегралы.
Пусть вьшолнено (ш). Покажем, что из всякой
последовательности {fin} С М можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в
топологии а(Л4,Л4*). Тогда по теореме Эберлейна-Шмульяна мы
получим (i), что дает и (iv), ибо топология а{М,М*) сильнее топологии
сходимости на множествах из Л. Зафиксируем какую-нибудь
положительную меру v с цп = fni/, fn G Ьг(и). В силу уже доказанного
достаточно проверить, что меры /in равномерно ^-непрерывны. Однако
это сразу следует из леммы 4.6.5. Поскольку топология сходимости на
ограниченных .А-измеримых функциях также слабее а{М,М*), то в
ней такие же компактные множества.
Пусть дано (iv). Так как каждая ограниченная Л-измеримая
функция равномерно приближается простыми функциями, то ввиду
ограниченности множества М по вариации на нем совпадают топологии
сходимости на множествах из А и на ограниченных „4-измеримых функциях.
Пусть дана последовательность {//„} С М. Возьмем такую
вероятностную меру v на Л, что fin = fn • v, где /n € L1^). С учетом того, что
всякий непрерывный линейный функционал на Lx(v) задается
ограниченной .Д-измеримой функцией, получаем на основании сказанного, что
множество {/п} имеет компактное замыкание в слабой топологии L1^).
По теореме Эберлейна-Шмульяна это дает (v).
Наконец, импликация (v) =$¦ (i) следует из теоремы Эберлейна-
Шмульяна. В самом деле, пусть дана последовательность мер дп G М.
Как и выше, возьмем меру и > 0, для которой цп = /„ • v, fn € Lx(v).
Ясно, что М ограничено по вариации. Тогда из {/„} можно выделить
подпоследовательность, слабо сходящуюся в L1^). Из сказанного в
начале доказательства видно, что тогда соответствующая
подпоследовательность мер в {цп} сходится в топологии а(М,М*). ?

4.7. Дополнения и задачи
341
Еще одно условие компактности в топологии сходимости на
множествах дано в задаче 4.7.127.
4.7.25. Следствие. Последовательность мер \хп 6 Л4(Х, А)
сходится в топологии а(М.,М.*) тогда и только тогда, когда она
сходится на каждом множестве из А.
Отметим, что если в (ii) мера v не имеет атомов, то
ограниченность М по вариации автоматически вытекает из равномерной
^-непрерывности. В самом деле, для всякого е > 0 найдем такое 6 > О,
что \/л(Е)\ < е при и(Е) < 6, Е € А. Ясно, что тогда \fi\(E) ^ 2е,
ибо \fi(E')\ ^ е при Е' С Е, Е' ? А. Остается заметить, что все
пространство можно разделить на конечное число частей меры меньше
6 (см. теорему 1.12.9). Следовательно, если все меры из М не имеют
атомов, то в (ii) можно не требовать ограниченность по вариации. В
общем случае это не так. Например, если X состоит из единственной
точки 0 и 6@) = 1, то меры пб равномерно 5-непрерывны и равномерно
счетно-аддитивны, но не ограничены в совокупности.
Еще раз напомним, что на более общих множествах мер все три
рассмотренные в доказанном следствии топологии различны.
В связи с теоремой Витали-Лебега-Хана-Сакса и леммой 4.6.5
возникает вопрос о том, нельзя ли ограничиться проверкой выполнения
необходимых условий не для всех множеств из А, а лишь для множеств
какой-либо алгебры, порождающей А. Например, имея дело с кубом
в И™, в качестве такой алгебры хотелось бы взять алгебру
элементарных множеств. Простые примеры показывают, что это возможно не для
всех условий, равносильных в случае сг-алгебры. Тем более удивителен
следующий результат, найденный Арешкиным [14] для
неотрицательных мер, распространенный В.Н. Алексюком на знакопеременные меры
и приводимый здесь с доказательством из работы Арешкин, Алексюк,
Климкин [15].
Пусть 94 — некоторое кольцо подмножеств пространства Хиб-
порожденное им сг-кольцо.
4.7.26. Теорема. Пусть дано семейство счетно-аддитивных мер
ца, а е Л, ограниченной вариации на G. Тогда следующие условия
равносильны.
(i) Меры ца равномерно аддитивны на 94 в следующем смысле: для
всякой последовательности попарно непересекающихся множеств Rn
из 94 имеем lim J2 Va{Rk) = 0 равномерно относительно аеА.
(ii) Для всякой последовательности {ца„} С {ца} « всякой
последовательности попарно непересекающихся множеств Rn € 94 имеем
limo(*aJRn)=0.

Глава 4. Пространства Lp и пространства мер
(Ш) Семейство {/*<*} равностепенно непрерывно на 94 в следующем
смысле: для всякой последовательности множеств Я„ € 9* с Rn+i С
Rn и H^Li Rn = & имеем lim n<*{Rn) = 0 равномерно по а € А.
(iv) Условия (i)-(iii) («ли какое-либо из этих условий)
выполняются на &.
Доказательство. Равносильность условий (i)-(iii) в случае,
когда © — ст-алгебра, уже была нами установлена (см. лемму 4.6.5).
Случай о-кольца аналогичен (вообще это доказывается весьма
элементарными рассуждениями и без применения категорных соображений). В
частности, равносильность (i) и (ii) для кольца проверяется в
задаче 4.7.132. Равносильность (i) и (ш) очевидна. Покажем теперь, что из
(ii) следует (iv). Предположим, что это не так. Пусть, скажем, (ii) не
выполняется для & вместо 94. Тогда найдутся такие меры /tn в данном
семействе и такие дизъюнктные множества Sn G 6, что \fin\(S„) ^ е > 0.
Согласно задаче 4.7.133(ii) найдутся такие множества Я„ G 94, что
\Hk\(Sn A Rn) < e2"n/4, к е IN. D.7.3)
Тогда |мп|(Дп) > Зе/4. Положим Ех = Дь Еп = Д«\ U^i1 #»•
Множества Еп дизъюнктны. При этом для разных к и j в силу дизъюнктности
Sk и Sj имеем Rk Л Я, С {Sk A Rk) U (Sj A Rj), откуда \fin\(Rk П Rj) ^
ЫE* А Я*) + |/хп|E7ДД,). Поэтому |/x„|(i?fc\(fiiU- -иЛ^)) < е/2,
откуда |/in|(^fc A Rk) < е/2. Итак, \цп\(Еп) > е/4, что приводит к
противоречию со свойством (ii) для 9Я. ?
4.7(vi). Компактность по норме и приближение в IP
Пусть (X, A, (i) — пространство с неотрицательной мерой
(возможно, со значениями в [0, +оо]) и П — множество всех конечных наборов
7Г = {Ei,..., Еп} дизъюнктных множеств конечной положительной
меры. Множество П вполне упорядочено отношением ж\ < яг,
означающим, что каждое множество из ж\ с точностью до множества меры
нуль является объединением множеств из 7Г2- При этом для всяких
7Г1,7Г2 € П найдется 7Гз € П с ж\ < 7Гз, 7Г2 < 7Гз, т.е. П — направленное
множество и можно рассматривать направленности функций,
индексированные элементами П. Для всякой функции /, интегрируемой на
множествах конечной /х-меры, положим
Шп/(х) = -^- / /d/x, если х е Ei, JE*f(x) = 0, если х <? (Р, ?<.
Ясно, что
VrfW^rtEj)-1^ fd^IEj(x).

4.7. Дополнения и задачи 343
Отметим, что в случае вероятностной меры Е*/ является условным
математическим ожиданием / относительно конечной «т-алгебры,
порожденной разбиением 7г (см. гл. 10 про это понятие).
Следующий критерий компактности предложен М. Риссом [730].
4.7.27. Теорема. Пусть \i — счетно-аддитивная мера на
пространстве X со значениями в [0,+оо] и 1 ^ р < оо. Множество
К С Х^(^) имеет компактное замыкание по норме в LPdi) в
точности тогда, когда оно ограничено и
limsup||lErr/-/|Up(/i)=0. D.7.4)
В частности, если мера ц конечна и F С L1 (fj) — ограниченное
множество, то F компактно по норме в Iffa) в том и только том
случае, когда для всякого е > 0 найдется конечное разбиение X на
дизъюнктные множества А\,...,Ап положительной меры, такие, что
для каждой функции / G F имеем
Wf-K{Ai}fh4M)<e- D-7-5)
Доказательство. Легко проверить, что ||Е*/||^(М) ^ ||/IUp(m)
для всех / € 1^(м) и что для всякой простой интегрируемой функции /,
постоянной на дизъюнктных множествах Ei,...,En, имеем JE?f = f
при 7г ^ 7Го, 7Го = {Ei,...,En}- Из этого легко вывести необходик ость
указанного условия. Если К имеет компактное замыкание, то для
заданного е можно найти функции Д,..., fm, образующие е/4-сеть в К,
т.е. всякая точка из К удалена не более чем на е/4 от некоторой из
точек fj. Затем найдем простые функции (fij € 1?(ц) с ||Д — Vj||lp(^) <
е/4. Возьмем набор яо = (Ai,...,Ап) € П, на элементах которого
постоянны все <fj. Пусть 7Г ^ 7Го. Для каждой функции / € К находим j
с II/ — VjIUp(m) < е/2 и с учетом равенства E'Vj — if] получаем
II/ - evIIlpo.) < ||/ - 4>j\\uW + l|Vi - eVjIIl-go
+ ||E*^ - Ew/|UpW ^ 2||/ - vjhrM < e.
Ясно, что в случае, когда мера ц конечна, в качестве наборов 7Г можно
брать разбиения X на дизъюнктные множества положительной меры.
Достаточность указанных условий следует из того, что E,r(Lp(;u)) —
конечномерные линейные подпространства, поэтому их ограниченные
подмножества имеют компактные замыкания. ?
Построенные выше операторы Е* являются линейными и
непрерывными на IJ'(fi) и имеют конечномерные образы, на которых они
являются тождественными отображениями, поэтому их уместно
называть конечномерными проекторами (в случае р = 2 они являются
ортогональными проекторами). Полезное свойство таких проекторов

344 Глава 4. Пространства Lp и пространства мер
состоит в том, что они обеспечивают приближения простыми
функциями сразу всех функций из данного компакта, а не только
приближения каждой отдельной функции, как это было в §4.2. Правда, эти
проекторы все еще зависят от данного компакта, но в случае сепара-
бельного иЧц) легко избавиться от этой зависимости. А именно,
считая для простоты, что ц(Х) < оо, возьмем счетное семейство
измеримых множеств Aj, конечные линейные комбинации которых плотны
в LPip) (что возможно ввиду сепарабельности Ьр(ц)). Рассмотрим
теперь измельчающиеся разбиения 7г„, порожденные Ai,..., Ап;
элементы 7г„ являются дизъюнктными конечными пересечениями множеств
Ai, г < тг, и их дополнений. Из данного выше доказательства ясно,
что Ew"/ —> / равномерно по / из всякого компакта в Ц'(ц). Еще
один способ приближения в сепарабельном Win) состоит в
использовании базисов Шаудера. Напомним, что базисом Шаудера в банаховом
пространстве Z называется такая последовательность векторов еп, что
для всякого х G Z существует единственная последовательность
чисел х„ с х = lim 53"=1 Xjej. Известно, что сепарабельное Ьр(ц) имеет
базис Шаудера; это ясно из следствия 9.12.18 гл. 9 об изоморфизме
пространств Lp, если заметить, что в lp = Lp(JN,u), где и{п) = 1 при
всех п, естественный базис Шаудера состоит из функций hn = /{„}, а
в L"[0,1] базис Шаудера образуют функции Хаара (задача 4.7.114).
Пусть /х ^ 0 — конечная мера на измеримом пространстве (Х,Л),
/ € ?x(/i) и пусть А — множество положительной /х-меры. Величина
osc/U := V(A)-1 I \f(x) - /х(А)-1 / f(y)n(dy)\ ц{6х)
J л] Ja I
называется средним колебанием функции / на А.
4.7.28. Теорема. Пусть множество F в Ь1{рь) имеет
компактное замыкание в слабой топологии. Тогда замыкание F компактно
по норме в Ьх{^) в том и только том случае, если F
удовлетворяет следующему условию (G): для каждого е > О и каждого
множества А положительной ц-меры найдется конечный набор множеств
Ai,...,An С А положительной меры, таких, что каждая функция
f 6 F имеет среднее колебание меньше е хотя бы на одном из Aj.
Доказательство. Если замыкание F компактно по норме, то оно
слабо компактно и выполнено D.7.5). Ясно, что при / € F-из D.7.5)
следует, что / имеет среднее колебание меньше е хотя бы на одном из
множеств Aj.
Обратно, пусть выполнено условие (G). Можно считать, что ц —
вероятностная мера. Сначала мы заметим, что для всякой
фиксированной функции h G Ьх{ц) множество F + h = {/ + h: f G F} также
удовлетворяет условию (G). Действительно, пусть е > 0 и ц(А) > 0.

4.7. Дополнения и задачи
Ясно, что найдется такое множество В с А положительной меры, что
функция h равномерно ограничена на В. Далее найдем такую простую
функцию д, что supxeX \к{хIв{х) — д(х)\ < е/4. Какое-то из конечного
числа множеств, на которых д постоянна, пересекает В по множеству
С положительной меры. Поскольку F удовлетворяет условию (G),
найдется конечный набор таких множеств Cj С С положительной меры,
что всякая функция / € F имеет среднее колебание меньше е/2 на
хотя бы одном из этих множеств, скажем, Ст- Остается заметить, что
поскольку д постоянна на Ст и \h(x) — д(х)\ < е/4 на Ст С В, то
[ \(f + h)~ ( U + h)dix\dti
JCmI JCm I
</ !(/ + </)- / (f + g)dti\dti+ f \(h-g)- f (/i-g)dJd/x
Jcm\ Jcm I Jcm\ Jcm I
</ \f- f fdfi \dli + 2li(Cm) sup \h{x) - g{x)\ < ец(Ст).
JCm\ JCm I x€Cm
Теперь предположим, что замыкание F не компактно по норме. Тогда
существует слабо сходящаяся последовательность {/„} с F, которая
не имеет подпоследовательностей, сходящихся по норме. Согласно уже
доказанному, можно сдвинуть множество F и считать, что {/„}
слабо сходится к 0. Более того, переходя к подпоследовательности, можно
считать, что {|/п|} также слабо сходится к некоторой функции /. Ясно,
что / ^ 0 п.в. и а := ||/j|?,i(M) > 0, ибо в противном случае мы бы
получили сходимость по норме. Пусть е := а/4 и А = {х: f(x) > За/4}.
Тогда fi(A) > 0. Предположим теперь, что Ai,...,Ak —
произвольные подмножества А положительной меры. Мы покажем, что в нашей
последовательности найдется функция fpf, среднее колебание которой
больше е на каждом Aj. Для этого, используя слабую сходимость {/„}
к 0 и слабую сходимость {|/п|} к /, выберем такое N, что
|jf /wd/i|<eM(A), |jf fdti-J \fN\dJ<eix(A), Vj = l,...,fc.
Тогда для каждого Aj получим
KAj)'1 \fN-KAj)'1 I /Ndnldfi
JAj I JAj I
> fiiAj)'1 f |/jv| dM - MA*)-11 / /n dpi
JAj \JAj I
>H{A,)-1 I fdfi-e-e^e,
JAj

Глава 4. Пространства LP и пространства мер
ибо / / йц ^ 3efj,(Aj) ввиду оценки / > Зе на Aj с А. Итак, приходим
к противоречию с условием (G). ?
В задаче 4.7.126 приведены также условия компактности в
пространстве L°(/i) всех измеримых функций с топологией сходимости по
мере.
4.7(vii). Разные виды сходимости в LP
Приведем несколько полезных результатов, связывающих разные
виды сходимости в LP.
4.7.29. Предложение. Пусть fi — неотрицательная мера
(возможно, со значениями в [0, +оо]) и последовательность функций /„
ограничена по норме в 1Р(ц), где 1 < р < оо, а также сходится почти
всюду к функции /. Тогда
Jim (Ш|?Р(„) - II/» - /IIW)) = Н/НW <4-7-6)
Если, кроме того, ||/„||lp(m) -» ll/IU»(M)> то ||/n - f\\LP(li) -> 0.
Доказательство. Легко проверить, что для всякого е > 0
существует такое С(р, е) > 0, что
\\a + bf-\a\p\^?\a\p + C(p,e)\b\p, Va,b€ JR. D.7.7)
Положим
gn,e = max(| |/n|p - \fn - /|p - |/|p| - e\fn - /|p, o).
Тогда lim gn,e(x) = 0 пв- ^ СИЛУ D-7.7) ca = fn-f,b — / имеем
gn,e < max(||/n|p - |/ - /„|p| + |/|p - e\fn - /|p,o)
< max(e|/n - /Г + C(p, e)|/|p + |/|" - e|/„ - /|p, o)
< [C(p,e)+ 1]|/|".
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости получаем, что при
фиксированном е интегралы от дп<? сходятся к нулю при п —> оо.
Следовательно, найдется такое N, что ||«;n,e||i,>(/0 < ? для всех n ^ N. Тогда
при п~^ N получаем
/||/п|р - |/„ - /Г - 1/1Р| <*М ^ e\\fn - /||рр(м) + е.
В силу ограниченности /п в Ьр(ц) и произвольности е получаем
сходимость последовательности функций |/п|р - |/п - /|р — |/|р к нулю
в L1 (/-*)> что дает сходимость к нулю интегралов от этих функций. ?

4.7. Дополнения и задачи
4.7.30. Предложение. Пусть ц — вероятностная мера и
{Wci'M, H6.IU1&0 < С, VneiN.
Предположим, что для каждого фиксированного целого k ^ 0
функции ?n,k(x) := ?n{x)I[-k,k] (€п(х)) при п—юо слабо сходятся в Ь2(ц) к
функции щ. Тогда найдется такая функция г) € Ьг(р), что
k^L Щк^ = ^ Пв' U /Й?> "% ~~ ihn») = 0.
Доказательство. Пусть щ = 0 и ?„ := rfn - »m-i- Тогда 7?,, =
5^ Cfc- Мы покажем, что
fe=i
fe=i
По теореме Фату из этого следует сходимость п.в. ряда ?2 ICtO15)!» ч™
к=1
дает и сходимость п.в. последовательности г)п(х). Кроме того, из
сходимости ряда ^ ICfel в -^1(м) следует, что последовательность {т}п}
фундаментальна в Ьг(ц) и потому сходится в Ьг{ц) к той же функции, к
которой она сходится почти всюду. Для доказательства D.7.8)
достаточно установить оценку
f>mmf Un,k - ?»,*-1||ыоо < С + L D-7-9)
ибо общий член ряда в D.7.8) мажорируется общим членом ряда в
D.7.9) в силу задачи 4.7.74 и того факта, что функции ?„,* — ?n,fc-i
слабо сходятся к щ — Щ-i = Cfc Щ>и п —> оо. Зафиксируем N е IN.
Ясно, что найдется такое m = m(N) 6 IN, что
JV N
J2 bnm inf Un,k - Cn,k-i ||l4m) < E И6».* - &»-*-1 Ь10.) + L D-7-10)
Правая часть D.7.10) не превосходит ||?m||i,»(ft) + 1- Действительно,
|M*)l = EKm,*(*)-6»,fc-l(*)l.
fc=l
ибо при |?т(я)| > 0 найдется такое целое число к = к(х) > 0, что
к < |6»(«)| < k + 1, а это дает ?т,,(ж) = 0 при j < к и ?mj(a:) = ?m(x)
при j'^ А: + 1. П

348 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
Доказательство следующего утверждения можно найти в Saadoune,
Valadier [749].
4.7.31. Теорема. Пусть /х — вероятностная мера на
пространстве (X, Л) и {/„} — последовательность fi-измеримых функций.
Тогда найдутся такие подпоследовательность {/П|с} и измеримое
множество Е, что {fnic} сходится по мере на Е, но для всякого
множества А с Х\Е положительной меры в {fnk} нет
подпоследовательностей, сходящихся по мере на А.
Следующий результат получен в Visintin [838].
4.7.32. Теорема. Пусть ц — а-конечная мера на пространстве
X и последовательность {/„} сходится к f в слабой топологии Ьх{ц).
Если для п.в. х точка f(x) — крайняя в замкнутой выпуклой оболочке
последовательности {fn(x)}, то lim ||/ —/nllt1^) = 0.
4.7(viii). Интеграл Хеллингера и расстояние Хеллингера
Пусть ц и v — вероятностные меры на пространстве (Х,Л).
Возьмем какую-нибудь конечную или ст-конечную неотрицательную меру Л
на Л, для которой /г <С А и и «С Л. Ясно, что такие меры существуют.
Например, можно взять А = ц + и.
4.7.33. Определение. Пусть а € @,1). Интегралом Хеллингера
порядка а пары мер ц и v называется число
4.7.34. Лемма. Величина Ha{n,v) не зависит от выбора меры А,
относительно которой \i uv абсолютно непрерывны. При этом
О < На(р, v) = Hi-a(u,ц) < 1. D.7.11)
Доказательство. Оценка Ha(fi,v) ^ 1 следует из неравенства
Гёльдера (см. B.11.1)):
Равенство в соотношении D.7.11) также очевидно из определения.
Рассмотрим меру Ао = /i + v. Тогда Ао <К А для всякой меры А,
относительно которой /х и v абсолютно непрерывны. Следовательно,
дщ, _ d\i dAo dv _ dv dAo
dX d\o dX dX dAo dX

4.7. Дополнения и задачи
Поэтому
что доказывает независимость от выбора А. ?
Заметим, что если взять разложение ц — цо + fj,', где до "^ v и
// ± и, то выбрав А = v + //, получим
*.<*»)-./;(?)¦*
Более часто используется интеграл Хеллингера порядка 1/2.
Положим Н{р, и) := Я1/2(/х, v). Ясно, что Я(/х, i/) = H{v,p). Пусть
r2(/i,i/):=(l-#(/i,i')) . D.7.12)
Используя меру А, относительно которой /х и v абсолютно непрерывны,
можно записать
r2(/x, vf = | /" | Л/5м7^ - >/<W<**| dA. D.7.13)
4.7.35. Лемма. Функция r2, заданная равенством D.7.12) (или
D.7.13)), — метрика на множестве всех вероятностных мер на Л.
Доказательство. Равенство r2(/x, f) = r2(i/,/i) очевидно. Если
r2 {\i,v) = О, то взяв меру А = (л + i/, замечаем, что скалярное
произведение функций т/dn/dX и y/df/dX в L2(\) равно 1. Поскольку эти
функции имеют единичные нормы, то они пропорциональны, откуда
следует, что они А-почти всюду равны. Значит, /х — v. Неравенство
треугольника для г2 следует из неравенства треугольника в L2(\) с
учетом того очевидного факта, что для трех мер /х, v и ц можно найти
общую доминирующую меру А (например, их сумму). ?
Метрику Г2 называют расстоянием (метрикой) Хеллингера. Как
мы сейчас увидим, интегралы Хеллингера связаны с расстоянием по
вариации.
4.7.36. Теорема. Для произвольных вероятностных мер fi и и на
пространстве (X, Л) справедливы следующие неравенства:
2[1 - Я(/х, и)) < \\ц - i/|| < 2y/l-H((i,vJ, D.7.14)
2rl(/x, v) ^ ||// - HI ^ V8r2(», и), D.7.15)
2[l-Ha<ji,v)]^\\v-v\\^ca,/l-Ha<ji,V), а €@,1). D.7.16)

Глава 4. Пространства L" и пространства мер
Доказательство. Неравенство D.7.15) вытекает из D.7.14)
согласно определению и оценке 1 + # (м, v) < 2. Пусть / = dfi/dX, д =
dv/dX, где А = ц+v. Для доказательства первого неравенства в D.7.14)
достаточно сложить неравенство
1-Я(/1,«/)= / Vf(Vf-y/9)dX^ [ \f-g\dX
и симметричное неравенство
1-Я(/*,1/)</ |fl-/|dA.
Такое же рассуждение доказывает первое неравенство в D.7.16).
Второе неравенство в D.7.14) выводится из неравенства Коши-Буняковс-
кого (см. B.11.3)) следующим образом:
/ \f-g\dX= f \Vf-V9\(Vf + V9)dX
Jx Jx
< B-2 f v/T^a) ^2 + 2 J ^fTgdx\ .
Чтобы получить второе неравенство в D.7.16), заметим, что для а €
@,1/2) можно взять р = р(а) = Bа)-1 > 1 и затем ка > 0 такое, что
1 — з1^ ^ каA — s) при всех s € [О,1]. Тогда с помощью неравенства
Гельдера, применяемого к мере д ¦ А, с учетом равенства ра — 1/2
получаем
^/V-erfA<(^/1/291/2dAI/P,
откуда
1 - jx Гд1'" dX>ka(i-Jx f^g1'2 dX^,
что ввиду D.7.14) приводит к D.7.16) с са = у/8ка. ?
Интеграл Хеллингера Ha(fi,f) можно рассматривать и при а > 1,
однако это выражение может быть бесконечным. Случай, когда при
а = 2 оно конечно, был рассмотрен самим Хеллингером [477], что и
привело к исследованию всех понятий данного пункта. Абстрактное
определение интеграла Хеллингера для а = 2 таково. Пусть v — мера
на пространстве (X, Л), абсолютно непрерывная относительно
вероятностной меры /х на (Х,Л) и пусть / = dv/dfi. Точная верхняя грань
величин J2 v(AkJ/ц{Ак) по всем конечным разбиениям пространства

4.7. Дополнения и задачи
на дизъюнктные измеримые множества положительной и-меры назы-
/iM(dx)
—у-т-т-. Этаве-
fj.(dx)
личина конечна тогда и только тогда, когда / е Ь2{ц) и в этом случае
она совпадает с ||/||5,2(„) (см. задачу 4.7.91). Согласно этой же задаче,
принадлежность / к 1^{ц) с некоторым р > 1 характеризуется
ограниченностью аналогичных сумм ^ v(Ak)pfi(Ak) ~р.
к=1
Наконец, укажем на соотношение между расстоянием Хеллингера
H(fi,i/) и расхождением Кульбака, которое определяется следующей
формулой в случае эквивалентных вероятностных мер /х и v.
Здесь, как и выше, А — произвольная вероятностная мера, для которой
ц -С А и v <С А, например, А = (/х 4- /2, причем, как легко видеть,
от выбора А значение выражения не зависит. Согласно B.12.20) имеем
К (/u, v) ~? 0, где допускается и +оо. Заметим, что К(ц, и) не обязано
быть симметричным.
4.7.37. Предложение. Для эквивалентных вероятностных мер
/х и v имеем гг(/х, vJ ^ K{fi, v), ||/х — i/||2 ^ 2К(ц, v).
Доказательство. Пусть / = du/dfi. Поскольку log(l 4- х) ^ х, то
log/ = 21og(l + V? - 1) < 2(v7- 1M те- log/-1 ^ 2 - 2V7, что после
интегрирования по мере ц, дает первое неравенство. Второе следует
из теоремы 2.12.21 (с константой 4 вместо 2 оно следует из первого
неравенства). ?
4.7(ix). Аддитивные функции множества
Пусть А — некоторая <г-алгебра подмножеств пространства X и
Ьа(Л) — пространство всех конечно-аддитивных ограниченных
функций т: А —> Ж1 с нормой ||m||i := |то|(Х), где для всякого А С А
|т|(Л):=8ир{]ГМЛ)|}
причем sup берется по всем конечным разбиениям А на дизъюнктные
множества Ai € А. Легко проверить, что Ьа(Х,А) — банахово
пространство с указанной нормой. Пусть В(Х, А) — пространство всех А-
измеримых ограниченных функций с нормой ||/||оо := sup |/(ж)|. Ин-
хех
теграл функции / € В(Х,А) по функции множества то € Ьа(Х,А)

Глава 4. Пространства IP и пространства мер
определяется так: для простой функции / = ?3 Cj/a;, где Л* не пересе-
каются, полагаем / / dm := V^ Cim(Ai). Полученный интеграл линеен
Jx ~{
и оценивается по абсолютной величине через ||/||oo||"i||i- Теперь
интеграл продолжается по непрерывности на все функции / € В(Х, А) с
сохранением указанной оценки и линейности. Простые детали
проверки вместе с доказательством следующего утверждения мы оставляем
читателю в качестве задачи 4.7.111.
4.7.38. Предложение. Пространство Ьа(Х, Л) можно
отождествить с пространством, сопряженным к В(Х,Л), с помощью отоб-
Jx
f dm, причем ||m||i = \\lm\\.
Отметим следующую лемму Розенталя [741], доказательство
которой вынесено в задачу 4.7.112.
4.7.39. Лемма. Пусть {тп} С Ьа(Х, А) — равномерно
ограниченная последовательность. Тогда для всякого е > 0 и всякой
последовательности дизъюнктных множеств At С А найдется такая
последовательность индексов кп, что \mkn\\[J^n АкЛ < е для всех п.
Наконец, упомянем еще лемму Филлипса [687] (задача 4.7.113).
4.7.40. Лемма. Пусть А — а-алгебра всех подмножеств IN и
{тп} С 6a(lN,А), причем lim тп(А) = 0 Л/и» всех А с IN. Тогда
п11т?|тп(Ш)|=0.
Задачи
4.7.41.° Пусть / 6 L^JR1) и / € L^JR1), где р ^ q. Доказать, что / €
ЬГ(Ш}) для всех г е \p,q].
Указание: рассмотреть множества {|/| ^ 1} и {|/| ^ 1}.
4.7.42° Пусть / — ограниченная измеримая функция на пространстве с
неотрицательной мерой /4. Доказать, что
И/Иь-о,, = inf{a ^ 0: ц(х: \f(x)\ > a) = о}.
4.7.43.° Показать, что ||/||z,°°(n) = К™ ll/IU»>(/»)i если меР* Д
/ е L°°(/i).

4.7. Дополнения и задачи
353
Указание: проверить утверждение для простых функций, приблизить
/ равномерно сходящейся последовательностью простых функций /,¦ и
заметить, что ||/ - /,-|Ur(A0 ^ ||/ - /,-|U~(M).
4.7.44° Пусть ц — вероятностная мера и / — такая измеримая функция,
что Slippy H/Hlpoo < со. Доказать, что / 6 L°°(/x).
Указание: рассмотреть функции /jv = \f\I\f\^N и заметить, что имеет
место оценка ||/jv|Up(„) ^ ||/||lp(m)-
4.7.45° Пусть А С IR1 — множество положительной меры
Лебега.-Доказать, что пространства IP на множестве А, наделенном мерой Лебега,
бесконечномерны.
Указание: построить счетную последовательность попарно
непересекающихся интервалов, пересечения которых с А имеют положительные меры.
4.7.46.° Пусть (I — конечная неотрицательная мера на пространстве X.
Для f,g ? Ь°((х) положим
Mf'9) '^Jxi + lf-gl*" Mf,9) :=i?min(l'-9l'1>*1-
Доказать, что do и d\ — метрики, относительно которых Ь°(ц) полно, причем
последовательность сходится по какой-либо из этих метрик в точности тогда,
когда она сходится по мере (аналогично для фундаментальности).
Указание: неравенство треугольника следует из неравенства
треугольника для метрик \t — s\/(l + \t — s\) и min(|< — в|,1) на прямой. Из неравенства
Чебышёва имеем м(|/ - д\ Р е) ^ »(\f - д\/A + I/ - я\) > е) < ^-^4(/,я).
Наконец, do(f,g) ^ E(i(X)/2 + /л(\/ — д\ ^ е)/2. Для d\ оценки аналогичны.
4.7.47? Показать, что вероятностная мера ц на <т-алгебре А сепарабель-
на, если и только если все пространства Lp(jj,), р 6 [1,+оо), сепарабельны,
причем достаточна сепарабельность любого из этих пространств.
Указание: воспользоваться тем, что множество простых функций
всюду плотно в каждом из указанных пространств и что подпространство сепа-
рабельного метрического пространства сепарабельно.
4.7.48. Пусть А — счетно-порожденная ст-алгебра (т.е. порожденная
счетным набором множеств) и /м, t 6 Т, — некоторое семейство
вероятностных мер на А. Доказать, что это семейство сепарабельно по вариации в
точности тогда, когда существует такая вероятностная мера ц на А, что /М <К ц
для всех t € Т.
Указание: в случае счетно-порожденной «т-алгебры ?*(/*) сепарабельно;
если последовательность мер /it„ всюду плотна в данном семействе мер по
вариации, то можно взять меру ц = J^ 2~"/xt„.
4.7.49° Пусть ц — вероятностная мера и / G Lp(fj.). Показать, что
функция в: г I-» log ||/||2r(/i) выпукла на [1,р], т.е. e(tr+(l-t)s) s$ te(r) + (l-t)9(s)
при 0 < t < 1.
Указание: применить неравенство Гёльдера с числами 1/< и 1/A — t).

Глава 4. Пространства V и пространства мер
4.7.50. Пусть -ф — положительная функция на [1,+оо), возрастающая
к бесконечности. Доказать, что найдется такая положительная измеримая
функция / на [0,1], что ||/||р ^ ф(р) для всех р^1и lim ||/||р = оо.
Указание: см. George [433, с. 261].
4.7.51? Пусть Y1 ап = оо. Доказать, что существуют такие числа /3„,
что ? Pi < °° и ? anj3n = оо.
4.7.52? Пусть ал Hв ^ ап = оо. Доказать, что существуют такие
числа с ^ 0, что Y1 апСп = оои ? <*„<% < оо.
Указание: в случае ограниченной последовательности а„ разбить IN
на конечные промежутки 4 с. 2 ^ ? а< < 2 и при п 6 /* положить
Сп = 2~к; для возрастающей {аПк} взять Спк = a^fc-1.
4.7.53? Пусть А С И1 — множество бесконечной меры Лебега. Доказать,
что существует функция / G L2(RX), которая не интегрируема по А.
Указание: обозначить через а„ меру множества АП[п,п+ 1), n 6 Z,
применить задачу 4.7.52 и на указанном множестве положить f = Сп.
4.7.54? Пусть / 6 ^(Ш), / > 0. Доказать, что 1// ? ^(Ш).
Указание: рассуждая от противного, применить неравенство Копш-Бу-
няковского к f-1/2^/2,
4.7.55. Доказать, что множество неотрицательных функций является
замкнутым и нигде не плотным в пространстве //[0,1].
4.7.56. Доказать следствие 4.5.5.
4.7.57? Пусть функция / € ?г{0,2ir] удовлетворяет в точке х условию
Дини из теоремы 3.8.8. Доказать, что ее ряд Фурье в х сходится к f(x).
Указание: применить формулу D.3.6).
4.7.58. (В. Орлич) Пусть {е„} — ортонормированный базис в
пространстве L2[a,b]. (i) Доказать, что 2_] I \en(x)\ dx = оо для всякого множества
А С [о,Ь] положительной меры, (ii) Доказать, что >~J kn(x)| = оо п.в.
Указание: (i) взять бесконечный ортонормированный базис {<?„} в
пространстве L2(A) (задача 4.7.45), показать, что (/де„,/де„) = "%2(еп,<ркJ,
используя соотношения /ле„ = ? (JAen,?>fc)yjfc и 1л<Рк = fk- (ii) Применить
(i) к множествам, на которых ? |е„(а;)|2 < М.

4.7. Дополнения и задачи
4.7.59. Пусть 9t — полукольцо в «т-алгебре А с вероятностной мерой ц.
Показать, что множество линейных комбинаций индикаторных функций
множеств из SR всюду плотно в Ьг(ц) тогда и только тогда, когда для всяких
А е А и ? > 0 существует такое множество В, являющееся объединением
конечного числа множеств из 94, что ц(А Д В) < е.
4.7.60. Пусть последовательность //-интегрируемых функций /п (где /х
принимает значения в [0, +оо]) сходится почти всюду к функции /, причем
существуют такие интегрируемые функции дп, что |/„| ^ дп почти всюду.
Доказать, что если последовательность {дп} сходится в L1^) (или мера /i
конечна и {дп} равномерно интегрируема), то / интегрируема и {/п}
сходится к / в Ь1(ц).
Указание: в случае конечной меры заметить, что последовательность
{/„} равномерно интегрируема; общий случай сводится к случаю <т-конечной
меры ц, а затем к случаю конечной меры /ю с положительной плотностью q
относительно /*. Можно также применить теорему Юнга 2.8.8.
4.7.61? Пусть (Х,ц) — пространство с вероятностной мерой и
интегрируемые функции /п сходятся по мере к интегрируемой функции /, причем
n-oo Jx Jx
Доказать, что /„ —» / в Ьх{ц).
Указание: применить теорему Юнга 2.8.8 и оценку |/„| ^ у/\ + /2-
4.7.62. (Klei, Miyara [545]) Пусть (Х,А,ц) — вероятностное
пространство и М С L1 (ц) — ограниченное множество. Модулем равномерной
интегрируемости М называется функция
ip{j[j/l**:
feM,A€A,ix(A)^e\
Положим г](М) := lim77(M,e). Ясно, что равенство г](М) = 0 равносильно
равномерной интегрируемости М. Пусть /„ 6 Ьг(ц), /„ ^ 0, причем
последовательность интегралов от /„ имеет предел. Доказать, что
/ Urn inf /„ dfj. < Um / /„ йц - r,({fn}).
Jx n^oo n-.ooyx
Показать также, что при указанных условиях равенство выполняется в
точности тогда, когда в {fn} есть подпоследовательность, сходящаяся п.в. к
функции lim inf /n.
4.7.63. (Farrell [382]) (i) Пусть (X,A,(i) — вероятностное пространство,
T — некоторая алгебра ограниченных измеримых функций, причем для
всякого измеримого множества А существует / 6 Т с / > 0 п.в. на А и / < О
п.в. на Х\А. Доказать, что для всех р ? [1, оо) алгебра Т плотна в Ьр{ц).
(ii) Пусть ft — вероятностная борелевская мера на прямой и / —
строго возрастающая ограниченная функция. Показать, что алгебра функций,
порожденная / и 1, плотна в ?р(/х), 1 < р < оо.

356 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
Указание: пусть А е Л и |/| < N для соответствующей / € Т\
найдется такая равномерно ограниченная последовательность многочленов Р„, что
Шп P„(i) = 1 при t € (О, N] и lim Pn(t) = 0 при t е [-N, 0]; тогда Р„о/ е Т,
Kof - Ia п.в. и в L"(M).
4.7.64. (Г. Харди) Пусть / G Lp@, +оо), где р > 1. Показать, что функ-
„(*) = ^^ Л*) ^ *(*) = /°° ^ Л'
также входят в Lp@, +оо).
Указание: см. Титчмарш [173, с. 405]
4.7.65.° Пусть G — всюду плотное множество в L4{fi), р~г + g_1 = 1,
q > 1, а последовательность {/„} ограничена по норме в Lp(fj.). Доказать,
что эта последовательность слабо сходится к / € Lp(fj) в точности тогда,
когда для каждого д eG интегралы от fng сходятся к интегралу от fg.
4.7.66.° Привести пример последовательности функций / € ?*[0,1],
которая ограничена по норме L1[0,1] и сходится к 0 п.в., но никакая ее
подпоследовательность не сходится в слабой топологии ?*[0,1].
Указание: рассмотреть функции /«(?) = nl[0,i/n]-
4.7.67? Пусть 1 < р < со. Построить пример последовательности
функций f„, которая слабо сходится к нулю в пространстве Lp[0,1] и сходится к
нулю почти всюду в [0,1], но не сходится по норме Lp[0,1].
Указание: рассмотреть fn(x) = n1/p/[0,i/„](x); воспользоваться задачей
4.7.65 применительно к G = L°°[0,1].
4.7.68? (i) Показать, что lim / f(x) sin пх dx = 0 для всякой
интегрируемой функции /.
(ii) Пусть /л — вероятностная мера, {<рп} — ортонормированная система
в L2(fi), причем \ip„\ ^ М, где М — число. Показать, что lim / fipn d\i = 0
для всякой /^-интегрируемой функции /.
Указание: (i) заметить, что это верно для кусочно-постоянных
функций, а затем приблизить / такими функциями. Можно просто сослаться на
предложение 3.8.4. (ii) Для ограниченных функций / утверждение следует из
неравенства Бесселя, а в общем случае следует приблизить / ограниченными
функциями по норме Lx{p).
4.7.69. Привести пример последовательности неотрицательных
функций /„, которая слабо сходится в La[0,1] к функции /, причем ||/n||z,i —>
ll/lli1» но / не является пределом /п по норме Ьх[0,1].
Указание: рассмотреть функции fn(x) — 1 + sm(nx) и f(x) = 1.
4.7.70. Показать, что найдется такая последовательность
положительных непрерывных функций /„ на [0,1], что для некоторой непрерывной

4.7. Дополнения и задачи 357
функции / при всех а,Ь € [0,1] выполнено lim / fn{t)dt= I f(t)dt, но
сходимость интегралов имеет место не для каждого измеримого°множества.
4.7.71. Пусть fi — мера на пространстве (X, А) со значениями в [0, +оо].
В книге Bauer [247] множество М С L1^) называется равномерно
интегрируемым, если
V?>0 33e?1(M): Г
•/{1/1
При таком определении всякая интегрируемая функция по определению
равномерно интегрируема.
(i) Показать, что из D.7.17) следует существование такого измеримого
множества Е, что мера ц на Е является а-конечной, а каждая из функций
/ € М равна нулю п.в. вне Е.
(ii) Показать, что для конечной меры D.7.17) равносильно равномерной
интегрируемости.
(ш) Показать, что D.7.17) равносильно тому, что множество М
ограничено по норме в L1^) и для всякого е > 0 найдутся такие неотрицательная
интегрируемая функция h и число S > 0, что если А € А и / h d\i ^ <5, то
/ |/| d\i^e для всех f е М.
(iv) Пусть мера ц является сг-конечной и h > 0 — /^-интегрируемая
функция. Показать, что D.7.17) равносильно тому, что для всякого е > 0 найдется
такое С > 0, что
f |/|d/*<e, v/ем.
J{\f\>Ch}
Кроме того, D.7.17) равносильно тому, что множество М ограничено по
норме в /у*(д) и для всякого е > 0 найдется такое число 5 > 0, что если А € А и
Г hdn^S, то J |/| Лц <
I,
е для всех / е М.
(v) Доказать, что D.7.17) равносильно тому, что М ограничено в Lx(/i),
функции из М имеют равномерно абсолютно непрерывные интегралы и для
каждого е > 0 найдется такое измеримое множество Хе, что ц(Хе) < оо и
|/| d/j, < е для всех / е М.
х\хс
Указание: (i) взять функции дп, соответствующие е„ = п-1, и
множество Е = U^LiiS" > 0}- (и) Воспользоваться равномерной
интегрируемостью д. (Ш) Для вывода D.7.17) из (iii), заметить, что на множестве {h = 0}
каждая функция / € М п.в. равна нулю, поэтому можно перейти к
пространству Хо := {h > 0} с конечной мерой v:=hfi; функции f/h, / € М, из
L1 (v) имеют равномерно абсолютно непрерывные интегралы, следовательно,
образуют равномерно интегрируемое множество в Ьг{и). Это показывает, что
в качестве д можно взять Ch с некоторым С. Это же рассуждение
доказывает (iv), a (v) легко сводится к случаю конечной меры.

358 Глава 4. Пространства LP и пространства мер
4.7.72. Пусть 0<p<q<ooafj, — счетно-аддитивная мера со
значениями в [0,-foo]. (i) Доказать, что Lp(jt) <jL L4((i) в точности тогда, когда
существуют множества сколь угодно малой положительной /и-меры.
(ii) Доказать, что L9(fi) 0 Lp(n) в точности тогда, когда существуют
множества сколь угодно большой конечной /х-меры.
Указание: (i) заметить, что если ряд из с„ > 0 сходится, то можно
найти такие Ьп —* +оо, что ряд из Cnt% сходится, а ряд из СпЬ* расходится;
(ii) аналогично; см. Romero [736], Subramanian [801], а также Miamee [645].
4.7.73. Пусть /ид интегрируемы на [0,1] и |/(а;)| ^ д(х). Доказать, что
существует такая последовательность интегрируемых функций /„, что для
всякого измеримого множества Е С [0,1] справедливы равенства
lim [ fndx= Г fdx, lim f \fn\dx= f gdx.
™-*°°JE JE n-*°°JE JE
Указание: cm. Zaanen [892, 45.6].
4.7.74.° Пусть функции /„ слабо сходятся в Ьр(ц) к функции / при
некотором р ^ 1. Показать, что ||/||р < liminf ||/п||Р.
4.7.75.° Пусть 1 < р < оо, р-1 -I- <?-1 = 1, ц ^ 0 — cr-конечная мера
и Ф — непрерывная линейная функция на Lp(^i). Пусть / ? Ьр(ц) — такая
функция, что ||/||р = 1 и Ф(/) = ||Ф||. Доказать, что Ф задается функцией д =
sign/ • |/|p_1 6 Lq(n) по формуле D.4.1), причем д — единственная функция,
задающая Ф.
Указание: взять функцию д е Ь"(ц), задающую Ф по формуле D.4.1) и
заметить, что fgdp= Ф(/) = ||Ф|| = \\д\\я = ||/||Р||з||„ откуда утверждение
вытекает согласно задаче 2.12.82.
4.7.76. Пусть ц — счетно-аддитивная мера со значениями в [0, +оо] на
<т-алгебре. (i) Показать, что для всякой непрерывной линейной функции Ф
на Ь"(ц) при К р < оо найдется / € Lpfji) с ||/||р = 1 и 9(f) = ||Ф||.
(ii) Доказать, что при 1 < р < оо сопряженное к Ьр(ц) отождествляется
с L4(fx), q = р/(р — 1), в том же смысле, что и в теореме 4.4.1.
(iii) Распространить утверждение задачи 4.7.75 на случай произвольной
(не <7-конечной) счетно-аддитивной меры со значениями в [0, +оо].
Указание: (i) использовать равномерную выпуклость Ьр(ц) и
вытекающее из нее свойство Банаха-Сакса или рефлексивность равномерно
выпуклых пространств, (ii) Если Ф — непрерывная линейная функция на Lp(fi)
и ||*|| = 1, то в силу (i) имеется / € Щ») с ||/||р = 1 и Ф(/) = 1.
Тогда д = sign(/)|/|p-1 G Ья(ц) и Hsll, = 1. Проверить, что ф-х@) = L,
L — lh: I hgdn = 0>. Для этого заметить, что если имеется h е /ДФ-1@),
то можно взять измеримое множество Q, вне которого / и h равны нулю,
а сужение меры ц на П является «т-конечной мерой. При этом сужение Ф
на ?р(/х) представляет собой непрерывный линейный функционал с
единичной нормой, который в силу задачи 4.7.75 задается функцией д, что дает
Ф_1@) Г) Lp(U,n) = L П Lp(Q,n).

4.7. Дополнения и задачи
4.7.77. Пусть ц — неотрицательная мера, l^p^oonL — такая
линейная функция на Lp(n), что L(f) > 0 при / ^ 0. Доказать непрерывность L.
Указание: если L разрывна, то найдется такая последовательность /„,
410 11/п||р -»0и L(fn) ^ 1. Можно считать, что ||/n||P ^ 4~", перейдя к
подпоследовательности. Пусть р < оо. Ряд ^ 2пр|/„|р сходится п.в. к
интегрируемой функции д. Тогда G := д1/р € Lp(fi), причем для всякого А;
iji/ni=E2-"i/»i ^(х>--I/р',
откуда вытекает равномерная ограниченность чисел ^ ^(|/т»|), что
приводит к противоречию. При р = оо рассуждение аналогично.
4.7.78. Построить пример такой счетно-аддитивной меры /х со
значениями в [0, +оо] на (т-алгебре А, что на L1 (ц) существует непрерывная линейная
функция Ф, которую нельзя задать в виде, указанном в теореме 4.4.1.
Указание: пусть X = [0,1] с <7-алгеброй А всех множеств, которые
либо не более чем счетны, либо имеют не более чем счетные дополнения;
пусть fi — считающая мера на А, т.е. р(А) — мощность А; тогда всякая
функция / € Ll{n) отлична от нуля на не более чем счетном множестве {tn}
и функционал / >-* ?n; t„^1/2/(*'») непрерывен, однако его нельзя задать
никакой функцией из L°°(fi), ибо такая функция будет равна /[o,i/2]; см.
также Федерер [179, пример 2.5.11].
4.7.79. (i) Построить пространство (X, А, д) со счетно-аддитивной
мерой fi со значениями в [0, +оо] и Л-измеримую функцию /, которая не
входит ни в одно Ьр(ц) с р 6 [1,+оо), однако fg € L^fjt) для всякой функции
(ii) Показать, что если пространство (Х,А,ц) со счетно-аддитивной
мерой fj. со значениями в [0, +оо] и ^-измеримая функция / таковы, что ц
является <т-конечной на множестве {/ ф 0} и fg (Е 1>1(д) для всякой функции
д ? L"(fi), где К q < оо, то / € Ьр(р), где р + q'1 = 1.
(Ш) Пусть (Х,А,ц) — пространство с полуконечной в смысле задачи
1.12.119 мерой ц, f — Д-измеримая функция и р-1 +<?-1 = 1, где 1 ^ р < оо.
Предположим, что fg € Ьх(ц) для всякой функции д 6 Lq((j.). Показать, что
/ е VUi).
Указание: (i) рассмотреть меру ц, приписывающую +оо каждому
непустому множеству из [0,1] и / = 1; (ii) применить следствие 4.4.5; (iii)
показать, что n(\f\ ^ с) < оо для всех с > О; для этого доказать, что в противном
случае, пользуясь тем, что мера полуконечна, можно найти такую функцию
д € Ьч(ц), что р/{|/|>с} не входит в Ь1(ц).
4.7.80. (Segal [758]) (i) Пусть ц — мера со значениями в [0, +оо].
Доказать, что ц полуконечна в точности тогда, когда вложение L°°(fj,) —* (L1 (//))*
инъективно.

Глава 4. Пространства IP и пространства мер
(ii) Пусть \i — полуконечная мера. Доказать, что д является магарамов-
ской (или локализуемой) в смысле задачи 1.12.121 в точности тогда, когда
для всякого L € L1^)* существует единственный элемент дь е L°°(fi) с
L(f) = J fgbdfj, при всех / е ?1(д). В этом случае L >-> gL — изометрия
между 1}{ц)* и Ь°°(ц).
Указание: (i) если ц полуконечна и f,g € L°°(/x) различны, то
найдется множество конечной положительной меры, на котором /ид различны;
обратно, если есть измеримое множество Е без подмножеств конечной
положительной меры, то все функции //е, / € L°°(/x), задают нулевой
функционал на Ьх(ц). (ii) см. Fremlin [416, гл. 6], Rao [712, с. 288], Zaanen [892].
4.7.81. Пусть X = Ш2, ц{А) = +оо, если А несчетно, ц(А) = ё0(А),
если А не более чем счетно, где <5о — мера Дирака в нуле. Показать, что
ц — счетно-аддитивная мера со значениями в [0, +оо], не являющаяся ни
локализуемой, ни полуконечной. Проверить, что Ь1(ц) = Lp{p) ^ Loc(/x) для
всех р € [1,+оо) и H/Ilipo.) = |/@)| при / € С»(ц).
4.7.82. Пусть (X, А, /л) — пространство с полной счетно-аддитивной
мерой fi со значениями в [0, +оо]. Обозначим через Nioc(n) класс локально
нулевых множеств, т.е. таких множеств Е, что ц{Е П А) = 0 для всех А € А
с ц(А) < сх>. Обозначим через Ь™с{ц) класс всех /х-измеримых функций /
с ||/||оо,1ое < оо, где H/lloo.ioc = inf{a: {х: \f{x)\ > a} G ЛМм)}, причем
функции, отличающиеся лишь на множестве из .Мос(м)> отождествляются.
(i) Доказать, что Lf%c(n) — банахово пространство с нормой || • ||c»,ioc-
(ii) Доказать, что при всех / € Ц^.{ц) имеем
41/.
H/IUioe = вирЛ / fgdf,l\\g\\LHtl) = l\
причем отображение Lj^c(/i) —> (L1(/i))* инъективно и сохраняет расстояния,
(iii) Пусть V — класс всех простых /х-интегрируемых функций, а ц-
измеримая функция / такова, что fg е L*-(ji) для всех д е V, причем
supjи fgdfilg € V, \\g\\L4l±) = 1} < со.
Доказать, что / ? L^c(/x).
(iv) Пусть (i — разложимая мера в смысле задачи 1.12.118. Доказать, что
всякий непрерывный линейный функционал на Ь1^) задается функцией из
Ц%с(ц), т.е. (L1(/u))* естественным образом изоморфно L^c{fi).
4.7.83. Пусть /х и 7 — меры со значениями в [0, +со] из задачи 1.12.124
и '(/) = I fdf, f ? Ll(v). Доказать, что I —- непрерывный линейный
функционал на L1(/x), причем не существует такой функции д € Lj^c(/x), что
/ fgd/i для всех / € ?г(м)-
*(/) = //:

4.7. Дополнения и задачи
4.7.84. (Nikodym [670]) Доказать, что на пространстве L°[0,1]
измеримых по Лебегу функций с метрикой d(f, д) — I |/ - д\/A + |/ - д\) dx,
задало
ющей сходимость по мере, не существует непрерывных линейных функций,
отличных от тождественно равной нулю. Распространить это утверждение
на случай произвольной безатомической вероятностной меры.
Указание: если L — такая функция, то множество V := L~~l(—1,1)
отлично от всего пространства и содержит некоторый шар U радиуса г > О
по указанной метрике с центром в нуле. Множество V выпукло и потому
содержит выпуклую оболочку U. Противоречие возникает из-за того, что
выпуклая оболочка U равна L°[0,1]. Действительно, пусть / — произвольная
измеримая функция. Тогда для всякого га имеем /=(/! + Ь fn)/n, где
fk(t) = nf(t)I[(k-i)/,k/n){t)- Из определения метрики d ясно, что при га-1 < г
все функции fit оказываются в шаре U.
4.7.85. Пусть ц, — неотрицательная мера, 0 < р < 1 и пусть Ьр{ц) —
множество классов эквивалентности д-измеримых функций / с |/|" € L1(m)-
(i) Доказать, что функция dp(f,g) := / \f - д\р d/j. превращает Win) в
полное метрическое пространство.
(ii) Доказать, что Ьр(ц) — линейное пространство, причем операции
сложения и умножения на число непрерывны при наделении Lp(fi) метрикой dp
(т.е. Ьр(ц) — полное метризуемое топологическое векторное пространство).
(iii) Доказать, что в случае, когда ц — мера Лебега на отрезке, на
пространстве Ь"{ц) нет ненулевых линейных функций, непрерывных
относительно метрики dp. В частности, сходимость в метрике dp нельзя задать
никакой нормой.
4.7.86? Пусть /„,/ е L°°[a,b]. Доказать, что следующие условия равно-
) J fn(x)g(x)dx-^ J f
(i) / fn(x)g{x)dx-^ J f(x)g(x)dx, VgeL^b};
(ii)
(ii) sup ||/„ И*- <оои|г /„(*) dx - j' f{x) dx, V z e fa, b].
Указание: воспользоваться теоремой Банаха-Штейнгауза и тем, что
линейное пространство, порожденное индикаторами отрезков, плотно в L1 [а, Ь].
4.7.87? Пусть / — измеримая функция на прямой с периодом 1.
(i) Доказать, что если / € ?*[(), 1], то
hmo?g(x)f(nx)dx = ?g(x)dx?f(x)dx D.7.18)
для всех д е С[0,1] (здесь га € IN).
(ii) Доказать, что если / ограничена, то указанное соотношение верно
для всех 9?^[0,1].
Указание: вычитая из функции / ее интеграл по отрезку, можно
считать, что этот интеграл равен нулю; заметить, что тогда / f(nx) dx = 0 для

362 Глава 4. Пространства IP и пространства мер
всех п € IN и вывести из этого, что
jf * /(пх) <?r = n-1 ^ /(у) dy -О, V2 е [0,1].
Наконец, заметить, что D.7.18) для гладких д следует теперь с помощью
интегрирования по частям, а в общем случае следует рассмотреть
соответствующие приближения (равномерные и в Ьг[0,1]).
4.7.88? Пусть / — ограниченная измеримая функция на прямой с
периодом 1. Показать, что если последовательность функций f(nx) имеет
подпоследовательность, сходящуюся на множестве положительной меры, то / п.в.
равна некоторой постоянной.
Указание: применить предыдущую задачу.
4.7.89. Доказать, что для всякого иррационального числа а
существует бесконечно много таких рациональных чисел p/q, где р, q — целые, что
выполнено неравенство \а — p/q\ < q~2.
Указание: Рассмотрим п+1 число 0, а— [а], ...,п— [па], где [х] — целая
часть х, а также п интервалов [j/n, (J+l)/n), j = 0,1,..., n— 1. Тогда в одном
из этих интервалов найдутся хотя бы два из указанных чисел та — [та] и
та — [п2<х], т < пг. Положим q = пг — «i, р = [та] — [та]. Тогда ^лв
\qa —р[ = \п2а - [п2а] - та + [та]\ < 1/п,
т.е. [а — p/q\ < (nq) < q~2. Если бы таких рациональных чисел было лишь
конечное число pi/qi,... ,pm/qm, то взяв е = min |а — Pi/q%\, можно было бы
найти такое п, что 1/п < е. Затем в силу доказанного можно было бы найти
p/q с?^пи [a — p/q[ < (ng)-1, что оценивается как через е, так и через q~2,
что противоречит выбору е.
4.7.90. Пусть / — измеримая функция на [0,1), периодически
продолженная на всю прямую и имеющая интеграл /(/) по [0,1]. Для каждого п G IN
рассмотрим римановскую сумму
Snf(x):=n-1^2f(x + k/n), *€[0,1).
fc=0
(i) Доказать, что Ц&,/Hlp[o,i> < ll/lk"[o,D Для всех / € ЩО, 1), р е
[1,оо), причем ||/(/) — Snf[\bP[o,i) —* 0 при п -+ оо.
(ii) Показать, что для каждой функции / € L1 [0,1) найдется такая
последовательность tim -too, что S„m/(x) —» /(/) для почти всех X € [0,1).
(На самом деле можно взять rim = 2 , см. пример 10.3.16 в гл. 10.)
(iii) Привести пример интегрируемой периодической с периодом 1
функции /, для которой Snf(x) —+ 1(f) лишь на множестве меры нуль. Проверить,
что если f(x) = х~Т при х € @,1), где г € A/2,1), то почти всюду выполнено
равенство linisup,,..,^ S„f(x) = +оо.
(iv) Показать, что в (iii) в качестве / можно даже взять индикатор
открытого множества.

4.7. Дополнения и
Указание: (i) воспользоваться тем, что / |/(х + h)\dx = I \f(x)\dx,
Jo Jo
если / имеет период 1, а затем проверить сходимость для непрерывных
функций; (ii) воспользоваться теоремой Рисса; (iii) воспользоваться задачей 4.7.89
и заметить, что Sqf(a) ^ g2r_1; (iv) см. Besicovitch [257], Rudin [747].
4.7.91. Пусть ft — вероятностная мера и / е ^(ц). Доказать, что /
входит в Ьр(ц) при некотором р € A, оо) в точности тогда, когда существует
такое С > 0, что
t*M)'"\L
fm ^с
для всякого конечного разбиения пространства на дизъюнктные измеримые
множества Ак положительной меры. При этом наименьшая возможная
константа С равна Ц/Ц*.
Указание: если / G Lp(n), то левая часть указанного неравенства
оценивается через Ц/Ир* с помощью неравенства Гёльдера. Обратно, если
существует такое С, то утверждение сводится к / > О (по отдельности
рассматриваются множества, где / ^ 0 и / < 0). Соответствующая оценка верна
для каждой функции /n = min(/, JV). Выбирая в качестве Ак множества
{ск ^ /jv < Ск + е} при достаточно малом е > 0, можно получить в
левой части данного нам неравенства сколь угодно близкие значения к ||/jv||p;
поэтому ||/jv||p ^ С при всех N, откуда |]/||J ^ С.
4.7.92. Пусть / € Ьг{0, 1] и F{x) = j f(t)dt. Доказать, что / € Lp[0,1],
где 1 < р < оо, в точности тогда, когда существует такое С > 0, что
^ \F(xk) - F(xk-i
(Zfc-Xfc-l)P-
-<С
для всякого конечного разбиения 0 = хо < xi < • • • < х„ = 1, причем
наименьшее возможное С совпадает с ||/||р.
Указание: если / € Lp[0,1], то указанная оценка является частным
случаем задачи 4.7.91; с другой стороны, наличие такой оценки показывает,
что / /я^я ^ С1 IIpII» Для всякой функции д, принимающей значения Ск
на промежутках [хк, Xk+i), что следует из неравенства Гёльдера. По теореме
Рисса найдется функция /о € Lp[0,1], для которой / fogdx = I fgdx для
Jo Jo
всех g указанного вида; тогда / = /о п.в.
4.7.93? Пусть / е L^R1). (i) Показать, что если еп —> 0, то
Jta^y °°|/(x+en)-/(x)|dx = 0.
(ii) Показать, что lim / |/(x + t) - /(x)| dx = 2 / |/(x)| dx.

Глава 4. Пространства LP и пространства мер
(ш) Пусть /„ -> / в L^fft1) и ап -> а в Ж.1. Показать, что
JBm У °°|/„(x + an)-/(x + a)|dz = 0,
Jim ?2 \Мх + an)\dx = ?~ \f(x + a)\dx.
Указание: в (i) и (ii) проверить утверждения для / б Со^М1) и взять
fj € Co°(lR1), сходящиеся к / в L1(H1); (iii) применить (i) к е„ = ап — а и
воспользоваться инвариантностью меры Лебега при сдвигах.
4.7.94? (Young [885]) Пусть интегрируемые функции /„ на пространстве
с конечной мерой ц. п.в. сходятся к функции /, причем / /„ d/x —> О при
п —> оо, ц(Е) —> 0. Доказать, что / интегрируема.
Указание: заметить, что данное условие влечет равномерную
абсолютную непрерывность интегралов от /„.
4.7.95. Построить последовательность интегрируемых функций /„ на
[0,1] с ||/ti||l1[o,i] ^ 1| которая не является равномерно интегрируемой ни на
каком множестве Е положительной меры (в частности, не является
относительно слабо компактной в L:(?)).
Указание: см. Ball, Murat [232].
4.7.96? Пусть ц — вероятностная мера на пространстве X. Доказать, что
множество функций F С L1(fj,) равномерно интегрируемо в точности тогда,
когда
lim sup f max(|/| - M, 0) dfx = 0. D.7.19)
Указание: из D.7.19) имеем
lim sup / max(|/| - М, 0) dfi = 0,
откуда lim sup Мд(|/| > 2M) = 0. Из D.7.19) получаем
lim sup /
М^+оо/6РУ{|/|
Ясно, что из равномерной интегрируемости следует D.7.19).
4.7.97. (см. Bourgain [277]) Показать, что множество F С -L^O, 1]
относительно слабо компактно, если и только если для всякого е > 0 существует
такое число С, что для каждой функции / € F найдется такое измеримое
Sf С [0,1], что f \f(t)\ dt^en |/(t)| ^ С для всех t € [0,1]\S/.
Указание: заметить, что F с указанным свойством ограничено и
равномерно интегрируемо.

4.7. Дополнения и задачи
4.7.98. Пусть ц — ограниченная неотрицательная мера и множество
М С Lx(n) ограничено по норме. Доказать, что замыкание М в слабой
топологии компактно тогда и только тогда, когда для всякой последовательности
измеримых множеств Ап с Ап+\ С Ап и D^=i ^« = 0 справедливо равенство
lim sup / |/| dp, = 0.
п-,°°/ем7д„
4.7.99. Пусть А — непустое множество и для всяких леМиоеЛ дана
функция fn,a G L2 [0,1], причем для каждой функции д из I? [0,1] равномерно
по а е Л имеем lim (fn,a,g) = 0. Доказать, что для всяких д е L2[0,1] ие > 0
найдется такое N, что для всякого отрезка / С [0,1]
\Jg(x)fnAx)dx\<E, Vn^7V,aeA.
Доказать аналогичное утверждение для функций на кубе в 1R".
Указание: по теореме Банаха-Штейнгауза получаем sup||/„,c«||2 < со;
поэтому в силу неравенства Коши-Буняковского и абсолютной
непрерывности интеграла Лебега найдется такое 6 > 0, что
|^9(x)/„,a(x)dx|<e/4
для всякого множества / меры меньше <5; теперь остается разделить [0,1]
i равные промежутки J\,..., Jk длины меньше S и взять такое N, что
I/.
fn,agdx\ < е/{2к) при всех г = l,...,fc, п ^ N и а е А; интеграл с
/n.aff по любому отрезку / слагается вз m О интегралов по Ji и двух
интегралов по отрезкам с длинами меньше 6. Случай куба аналогичен (ср.
Гапошкин [43, лемма 1.4.1]).
4.7.100.° Пусть (Х,А,ц) — пространство с конечной неотрицательной
мерой и 1 ^ р < оо. Доказать, что множество К С Lp{p) имеет компактное
замыкание в Ьр(р) в точности тогда, когда множество {|/|р,/ 6 К}
равномерно интегрируемо и из всякой последовательности в К можно выбрать
подпоследовательность, сходящуюся по мере.
Указание: использовать теорему Лебега-Витали.
4.7.101. Пусть 1 ^ р < оо и ? — ограниченное множество в Ьр(Шп).
(i) (А.Н. Колмогоров; для р = 1 А.Н. Тулайков) Доказать, что /С имеет
компактное замыкание в Lp(IRn) в точности тогда, когда выполнены следующие
условия:
(a) sup lim / |/(x)|pdx = 0,
feicc^c*, J |ж1 >c
(b) для каждого e > 0 найдется такое г > 0, что sup ||/ — Sr/||p ^ е, где
feic
Srf — функция Стеклова, задаваемая равенством
Srf(x) := А„(В(х,г))'1 J /(у)dy,

Глава 4. Пространства LP и пространства мер
В(х,г) — шар радиуса г с центром х.
(ii) (М. Рисе) Показать, что компактность замыкания АС равносильна
также тому, что выполнено (а) и
(Ъ') sup lim / \f(x + ft) - f(x)\p dx = 0.
(iii) (B.H. Судаков) Показать, что из условий (а) и (Ъ) (или (а) и (Ъ'))
автоматически следует ограниченность АС в LP(K") и потому ее можно не
требовать заранее.
Указание: (i) если АС имеет компактное замыкание, то АС ограничено и
для всякого е > 0 имеет конечную е-сеть; поэтому необходимость (а) и (Ъ)
следует из того, что оба условия выполнены для каждой отдельной
функции /. Для доказательства достаточности следует заметить, что ST(JC) имеет
компактное замыкание. Действительно, Sr есть оператор свертки с
ограниченной функцией д = /в<о,г) An {В@, г)). Для всякого <5 > 0 имеется функция
gs € Со°(Жп) с ||fl*—ff||i < 5, что ввиду неравенства Юнга сводит все к
оператору свертки с gs, а тогда функции gs */, f € АС, оказываются равностепенно
непрерывными на шарах, откуда нетрудно усмотреть, что всякая
последовательность в этом множестве имеет сходящуюся в L" подпоследовательность.
Из условия (Ь') следует (Ъ), поэтому (ii) следует из (i). Наконец, (iii)
проверено в Судаков [167] с помощью следующего соображения: если линейный
оператор S компактен (или имеет компактную степень) и 1 не является его
собственным значением, то / — S обратим, т.е. из оценки ||/ — Sf\\ ^ 1, / е АС,
следует ограниченность АС. В данном случае проверка сводится к
доказательству того, что если интегрируемая функция / с носителем в шаре U совпадает
на U с Srf, то / = 0.
4.7.102. Пусть ц — такая знакопеременная мера на измеримом
пространстве (Х,Л), что ц(Х) = 0. Доказать, что ||д|| = 2 sup |д(А)|. В
частности, для вероятностных мер /xi и Ц2 имеем \\ц\ — рг|| = 2 sup |(/ii — fi2)(A)\.
Указание: рассмотреть разложение Хана X = Х+ U Х~ и
воспользоваться тем, что Ы\ = М*+) - КХ-) и (г(Х+) = -^Х~).
4.7.103. Построить такую последовательность ограниченных
знакопеременных счетно-аддитивных мер на некоторой алгебре, что эта
последовательность равномерно ограничена на каждом фиксированном множестве из
этой алгебры, но не ограничена по вариации.
Указание: рассмотреть алгебру конечных подмножеств IN и
подмножеств 14 с конечными дополнениями и меры fMn(A) = ^2 с„к, где
пк€АП[1,...,п]
С — члены ряда, который сходится, но не абсолютно.
4.7.104. Найти последовательность счетно-аддитивных мер, которая
сходится на каждом множестве из некоторой алгебры А, однако не сходится
на некотором множестве из <т(А).
4.7.105. Доказать, что если «т-алгебра А бесконечна, то топология
сходимости мер на множествах из Дне задается нормой.
Указание: воспользоваться тем, что сопряженное к пространству мер с
топологией сходимости на множествах совпадает с линейным пространством

4.7. Дополнения и задачи
367
L простых функций; сопряженное к банахову пространству банахово, если
А бесконечна, то L не может быть банаховым относительно какой-либо
нормы q, ибо тогда для всех А„ 6 А функция ?} 2~пя(^лп)~11лп входит в L,
что невозможно, ибо найдутся такие Ап, что эта функция принимает счетное
множество значений.
4.7.106. Пусть А — борелевская <т-алгебра на [0,1]. Показать, что на
пространстве М всех счетно-аддитивных мер на .4 все три топологии,
рассмотренные в §4.7(v), т.е. топология сходимости на множествах из А,
топология, порожденная двойственностью с пространством всех ограниченных
^-измеримых функций, и топология а(М.,М*) различны, хотя наборы
сходящихся счетных последовательностей для них совпадают.
Указание: сопряженные к М с первыми двумя топологиями
отождествляются, соответственно, с пространствами всех простых функций и всех
ограниченных А-измеримых функций, а эти два пространства различны для
любой бесконечной <т-алгебры. Если теперь взять неборелевское суслинское
множество А, то функционал ц \-> ц{А) входит в Л4*, но не задается никакой
.Д-измеримой функцией.
4.7.107. Пусть А — алгебра множеств и {цп} — равномерно счетно-
аддитивная последовательность ограниченных мер на порожденной ст-алгеб-
ре <т(А). Доказать, что если конечный предел lim fin{A) существует для
каждого А е А, то это же верно и для каждого А € сг(А).
4.7.108. (Drewnowski [359]) (i) Пусть А — «т-алгебра и ц: А -» R1 —
ограниченная аддитивная функция. Предположим, что Ап & А —
дизъюнктные множества. Доказать, что найдется такая последовательность {п*}, что
ц счетно-аддитивна на «т-алгебре, порожденной {.Ant}.
(ii) Показать, что если в (i) дана последовательность ограниченных
аддитивных функций щ на Л, то {пк} можно выбрать общей для всех /л.
Указание: см. Drewnowski [359], Swartz [805, §2.2].
4.7.109. (П. Антосик и Я. Микусинский) Пусть при всех i,j G IN даны
числа Xij, причем для каждого j существует число Xj = lim Xij, а каждая
последовательность натуральных чисел raj обладает
подпоследовательностью kj, для которой последовательность 5^°lj Xikj сходится при г —» оо.
Доказать, что Xj = lim х^ равномерно по j е IN, lim х^ = 0 равномерно по
г е IN и lim Xjj = 0.
Указание: см. Swartz [805, §2.8].
4.7.110. (i) Вывести теорему 4.6.3 из задачи 4.7.109.
(ii) Доказать, что следствие 4.6.4 остается в силе и в том случае, когда
Цп — ограниченные конечно-аддитивные функции на ст-алгебре А-
Указание: (ii) использовать задачу 4.7.108; см. Diestel [349, с. 80].
4.7.111. Доказать предложение 4.7.38.
4.7.112. Доказать лемму 4.7.39.
Указание: см. задачу 4.7.108 или Diestel [349, с. 82].

Глава 4. Пространства LP и пространства мер
4.7.113. Доказать лемму 4.7.40.
Указание: использовать задачи 4.7.110 и 4.7.112 и рассуждать от
противного; см. Diestel [349, с. 83].
4.7.114. Доказать, что функции Хаара hn образуют базис Шаудера в
Lp[0,1] при всех р € [1,+оо). Функции Хаара hn задаются так: при п^1и
1 «С i ^ 2™ полагаем
U2»+i(t) = -f[Bi-2)/2"+l,Bi-l)/2"+l] W - J(Bi-l)/2"+l,2i/2»+l](*)-
Указание: см. Кашин, Саакян [84, гл. 3].
4.7.115? Доказать формулу для многочленов Лежандра в примере 4.3.7.
4.7.116. (Теорема Мюнца) Пусть дана последовательность
вещественных чисел pi > —1/2 с lim рг = +оо. Доказать, что J2 1/Р» = °° в тон'
ности тогда, когда линейная оболочка функций xPi всюду плотна в L2[0,1].
Указание: см. Ахиезер [17, гл. 1].
4.7.117.° Доказать, что функции yV/2 sin rat, га е IN, образуют орто-
нормированный базис в L2[0,1]. Доказать это же утверждение для функций
у/Щ, у/^/2 cos nt,ne IN.
4.7.118° Пусть /t — мера на @,+оо) с плотностью е~х относительно
меры Лебега. Доказать, что многочлены Лагерра, полученные ортогонали-
зацией функций 1,х,х2,..., образуют базис в L2(fi).
4.7.119? Доказать, что если ряд суммируем к числу s по Чезаро, то он
суммируем к s и по Абелю (см. §4.3).
4.7.120. Пусть {у>п} — ортонормированный базис в L2[0,1].
(i) Доказать, что найдутся такие числа Сп, п ^ 2, что суммы j^ Cnip„(x)
сходятся к ipi по мере.
(ii) Доказать, что для всякого е > 0 найдется такое множество Ее меры
больше е, что линейная оболочка функций tpn, п ^ 2, всюду плотна в L2(EE),
где Е? наделяется мерой Лебега.
(ш) Доказать, что найдется такая положительная ограниченная
измеримая функция в, что линейная оболочка функций 6(рп, п ^ 2, всюду плотна в
пространстве L2[0,1].
Указание: (i) достаточно показать, что для всякого fc множество
конечных линейных комбинаций функций <р„, п ^ к, всюду плотно в
пространстве L°[0,1] с метрикой, задающей сходимость по мере. В противном случае
в L°[0,1] существовало бы замкнутое по указанной метрике линейное
подпространство конечной коразмерности, что невозможно ввиду задачи 4.7.84.
(ii) С помощью (i) и теорем Рисса и Егорова можно найти множество Ее
меры больше е, на котором tpi является равномерным пределом
последовательности конечных линейных комбинаций функций (рп, п ^ 2. Тогда ЕЕ —
искомое множество, ибо в противном случае нашлась бы функция д € L2(Ee)

4.7. Дополнения и задачи
с / gipn dx = 0 для всех п ^ 2. Поскольку tp\ на 2?е есть равномерный предел
линейных комбинаций <рп, п ^ 2, то получаем / gy>i da; = 0, т.е. положив
д = 0 вне jEe, получим функцию, ортогональную всем ipn, откуда g = О п.в.
(ш) Найдется такая положительная ограниченная функция в, что функция
ip^/в не входит в L2[0,1]. Если бы существовала функция д е L2[0,1],
ортогональная всем в<рп, п ^ 2, то мы бы получили дв = ар\ для некоторого
числа с. Тогда с = 0 в силу выбора в, откуда р = 0 п.в.
4.7.121. (Kaczmarz, Nikliborc [515]) Пусть (р — непрерывная
симметричная функция на прямой со следующим свойством (a): <p(t) > 0 при t ф О,
причем существуют такие А я а, что <p(t) ^ А при |(| ^ а. Пусть /„ — цг
измеримые функции, где ц — вероятностная мера на (X,Л).
(i) Предположим, что / <?>(/„ — /m)d/x —* 0 при п,то —> оо. Доказать,
что существует такая ^-измеримая функция /, что / tp(f — /„) d\i —> 0.
(ii) Пусть <р удовлетворяет также условию (/3): (p(t + s) ^ Afy>(?) -)- Nip(s)
при некотором N. Пусть функции у о /п интегрируемы. Показать, что в (i)
выполнено / <p(fn) йц-* I <p(f) dfi.
Jx Jx
(iii) Пусть /„ п.в. сходятся к некоторой функции / и существует функция
<р со свойствами (а), (/3), для которой конечны интегралы ср о /„. Показать,
что найдется другая непрерывная симметричная функция ф со свойствами
(а), (/?), для которой il>(t)/<p(t) — 0 при \t\ -> оо и [ ф(/- /„) ф -» 0. В
частности, в качестве <р всегда можно взять ограниченную функцию, поэтому
найдется и неограниченная ф.
4.7.122. Пусть <р: [0, оо) —* [0, оо) — либо возрастающая вогнутая
функция с tp@) = 0, либо выпуклая функция с ipBx) ^ С<р(х). Пусть ц —
вероятностная мера на (Х,Л) и измеримые функции /„ сходятся по мере к /.
Предположим, что ц> о \f\,<po |/n| е L1^) и / ipo |/„|dju -+ / <fio\fn\dfi.
Доказать, что / ip о \fn — f\ dfi —> 0 и функции <ро |/„| равномерно
интегрируемы.
Указание: заметить, что <р(х + у) ^ Ci[^(x) + ip(y)], С\ = max(C/2,1);
тогда C\[ip о |/„| + <р о |/|] — у о |/„ — /| ^ 0; перейти к п.в. сходящейся
подпоследовательности и заметить, что в первом из указанных случаев по
теореме Фату
2Ci [ y>o|/|d/xsJliminfCi f [^ol/nl+vjol/lld^-limsup f <po \fn - /|d/i.
Jx Jx Jx
Второй случай аналогичен.
4.7.123. Пусть (j, — неотрицательная мера и tp: [0,+оо) —> [0,+оо) —
непрерывная неубывающая выпуклая функция, ip@) = 0, <р(х) > 0 при х > 0.

370 Глава 4. Пространства IP и пространства мер
Для измеримой функции / положим
||/||v:=inf{a>0: J v(\f\/a) d» < l}
и обозначим через Cv(n) множество всех / с \\f\\v < оо. Показать, что
(i) С — линейное пространство, причем соответствующее линейное
пространство Lv(n) классов эквивалентности полно относительно нормы || ¦ \\v
(пространство Орлича); (ii) если /ид равноизмеримы, то \\f\\v = \\д\\<р-
Указание: см. Красносельский, Рутицкий [97], Rao [712].
4.7.124. Пусть (X, fj.) — пространство с конечной неотрицательной
мерой. Для всякой измеримой функции / положим
/•(*) = inf{S ^ 0: М(ж: |/(а:)| > в) ^ t]
и для всяких р, q ? [1, оо) назовем классом (пространством) Лоренца Lp'q(n)
множество классов эквивалентности таких измеримых функций /, что
^°°fi/P-i[r(t)]<Mt<oo
Показать, что Lp,p(/x) = Lp(/x). Про классы Лоренца см. Стейн, Вейс [166],
Nielsen [665], Zaanen [892].
4.7.125.° (Тагамлицкий [169]) Пусть ц — вероятностная мера и
последовательность /х-интегрируемых функций /„ сходится к функции / по мере.
Доказать равносильность следующих условий: (i) / е Ь1(р) и /п —* / в
Lx{(j); (ii) для каждой подпоследовательности /„к найдется такая функция
Ф ? Ь1(р), что для бесконечно многих значений к имеем |/nfc(a;)| ^ <р(х) п.в.
Указание: если /„ - / в Ь1{ц), то |Д„| s? |/|+ ? |Л, -/I, где kj выбра-
ны так, что Ц/fcj — /||i,i(M) ^ 2--7; для подпоследовательности рассуждения
аналогичны; (i) следует из (ii) по теореме Лебега.
4.7.126. (Frechet [410], Veress [836]) Пусть /х — вероятностная мера на
пространстве X и М — некоторое множество /х-измеримых функций.
Доказать равносильность следующих условий:
(i) множество М содержится в множестве, которое компактно в метрике
сходимости по мере (задача 4.7.46).
(ii) из всякой последовательности в М можно выделить п.в. сходящуюся
подпоследовательность;
(Ш) для всяких е > 0 и а > 0 найдется такой конечный набор измеримых
функций i>i,.. .,фп, что для каждой функции / е М существует i < п с
р(х: |/(х)-4ч(*)|?е)<а.
(iv) для всякого е > 0 найдутся такие число С > 0 и конечное разбиение
пространства на дизъюнктные измеримые части Е\,..., Еп, что для всякой
функции / € М существует измеримое множество Ef с fJ.(Ef) < е, для
которого sup |/(ж)| < С и sup |/(ж) — f(y)\ < е при всех / е М и
xex\Ef x,yeBi\Ef
i= l,...,n.
Указание: см. Данфорд, Шварц [56, теорема IV.11.1].

4.7. Дополнения и задачи
4.7.127. Пусть Л — (Т-алгебра подмножеств пространства X. Доказать,
что множество М в пространстве всех ограниченных мер на Л имеет
компактное замыкание в топологии сходимости на множествах из Л в точности
тогда, когда для всякой равномерно ограниченной последовательности Л-
измеримых функций /„, поточечно сходящейся к 0, имеем lim / /„ dfi = О
теорему 4.7.24 и лемму 4.6.5.
4.7.128. (Арешкин [10]) Пусть ограниченные счетно-аддитивные
знакопеременные меры fin на ст-алгебре Л в пространстве X сходятся к мере ц на
каждом множестве из Л. Пусть X = Х+ U Х~, X = Х„~ U Х„ —
разложения Жордана для fi и цп. Доказать, что меры \fin\ сходятся к |/х| на каждом
множестве из Л в точности тогда, когда
lim цп(Х+ П Х~) = lim цп(Х~ П Х+) = 0.
4.7.129. (Арешкин [12]) Пусть ограниченные неотрицательные счетно-
аддитивные меры fin на ст-алгебре Л в пространстве X сходятся к мере /х на
каждом множестве из Л и пусть даны измеримые относительно Л функции
/»и/.
(i) Предположим, что функции /„ сходятся к / /i-п.в. Доказать, что для
всякого 6 > 0 справедливо равенство lim finlx: |/(х) — fn(x)\ ^ <5J = 0.
(ii) Предположим, что выполнено указанное в (i) равенство, причем
функции /„ равномерно ограничены. Доказать, что
lim / /„ dfin = / f d/л.
n—oo jx jx
(iii) Предположим, что fn(x) —> f(x) /х-п.в., /„ € ?*(/*п) и Для всякого
е > 0 существует такое 5 > 0, что
/ /n dA»n < ? при ЕеДи ^п(-Б) < 5.
Доказать, что / ? I^Oi) и выполнено заключение утверждения (ii).
4.7.130. (Gowurin [447]) Пусть X — пространство классов
эквивалентности измеримых по Лебегу множеств в [0,1] с метрикой d(A, В) = \(А Д В),
где А — мера Лебега, и S(Eo,r) = {Е 6 X: d(E,Eo) = г} — сфера радиуса
г е @,1) с центром в Ео € X. Предположим, что эта сфера не содержит
элемент, соответствующий пустому множеству. Доказать, что если /„ € L1 [0,1]
и lim / /„ dx — 0 для всех Е € S(Eo, г), то это же верно для всякого
измеримого множества Е С [0,1].
4.7.131. (С. Сакс, см. [447]) Доказать, что класс всех открытых
множеств является множеством первой категории (счетным объединением нигде
не плотных множеств) в пространстве X из предыдущей задачи.

372 Глава 4. Пространства V и пространства мер
Указание: пусть {Un} — все промежутки из [0,1] с рациональными
концами. Всякое открытое в [0,1] множество есть конечное или счетное
объединение дизъюнктных промежутков из {Un}. При фиксированных А;, т € IN
рассмотрим класс Мк<т всех таких открытых в [0,1] множеств U, что
найдутся Uni ,¦¦¦, иПк с ХШ\ U*=i Uni J ^ то-1. Множество Мк,т нигде не
плотно в X. Действительно, нетрудно проверить, что в любом шаре пространства
X с радиусом г > 0 и центром в точке С, представляющей собой конечное
объединение элементов {Un}, найдется элемент Е, также являющийся
конечным объединением множеств Un, достаточно малая окрестность которого не
пересекается с Мк,т- Для этого каждый из составляющих С промежутков Up
следует разделить на достаточно большое число последовательных равных
промежутков Up,..., Щ, из каждого Щ удалить достаточно малый отрезок
и в качестве Е взять оставшееся от С множество.
4.7.132. Проверить равносильность (i) и (ii) в теореме 4.7.26.
Указание: Пусть (i) выполнено, a (ii) нет. Тогда найдутся
дизъюнктные множества Rn 6 ОТ и меры цп из данного семейства с |/и„(Д„)| > е > 0.
Положим Sn = UfcLn В-к • Тогда можно найти такую возрастающую
последовательность номеров Пк, что \fJmk\(Snk+1) < е/2. Поэтому
|?мпЛДО| > КЛДпЛ - kj( и *¦*<) > ?/2'
i=k i=k+l
вопреки условию (i). Обратно, если выполнено (ii), a (i) нет, то найдутся
дизъюнктные Rn ? ОТ и е > 0, такие, что для всякого к найдется п(к) с
?2 A*fc№) > е. Пользуясь тем, что \Hn\\\J^=m Rj\ —» 0 при т —> оо,
находим строго возрастающие последовательности номеров тк, Пк и рк, для
которых Шк <Рк < тпк+i и \иПк (U^imfc ^з) > г/2> что противоречит (ii).
4.7.133. Пусть 1лп — вещественные меры ограниченной вариации на а-
кольце 6, порожденном кольцом ОТ, причем для всякой дизъюнктной
последовательности Rn € ОТ имеем lim u„(Rn) = 0.
(i) Пусть Ак = Ujli А) 1 ^* = Ujii Bj i гДе ^i > #i e ^> причем
множества Ek = Ak\Bk попарно не пересекаются. Доказать, что lim |/и„|(?„) = 0.
(ii) Для всяких S € 6 и е > 0 найдется такое множество R вида Я =
U?Li Ri с Я; ? ОТ, что |At„|E Д Я) < е для всех п.
Указание: (i) предположив противное, можно считать, что \цп\{Еп) ^
е > 0. Множества Ак можно сделать дизъюнктными при фиксированном к.
Аналогично поступим с множествами В*. В силу задачи 4.7.132 найдутся
такие номера Рк, что |Mn|(U~Pt+i -А*) < е2"*/», |m»|(U?p»+i в*) < е2"*/8
для всех п. Положим Ск = U*=i Aj\U*=i Bj. Тогда
С*еОТ, СкАЕкС Q 4\ Q В*,
j=Pfc+i i=Pk+i

4.7. Дополнения и задачи
откуда \Цп\(Ск А ?*) < е2 fc/4. Из определения С* ясно, что
dnCjC (d А ?<) U (С, А ?у).
Следовательно,
|/*»|(С< П С,) < |B~* + 2"'). D.7.20)
Рассмотрим множества Dn = Cn\{J"~l С,-, где Со = 0. Тогда Сп A Dn =
\J]Zl(cn П С,-) и с помощью D.7.20) получаем \цп\(Сп A ?>„) < е/2. Это
дает \цп\(Еп A Dn) < Зе/4. Следовательно, \n„\(Dn) > е/4, что приводит к
противоречию с утверждением задачи 4.7.132.
(ii) Положим i/„ = |/л | Ч h |Мп|. Найдутся множества ?„ е SR с
i/„(S A ?„) < e2~n/4, п е N.
Пусть А. = Ujln ^»- Множества Dn убывают, а множества Dn\D„+i
дизъюнктны, причем они имеют вид, указанный в (i). Из утверждения (i)
рассуждением от противного легко вывести, что найдется такое р, что
|/хп|(АДА,)<е/2
для всех п>р. При п^тп имеем \fin\{EADm) < е/4. Поэтому \nn\(SADp) <
е/4 при п ^ р, а при п > р получаем
|Мп|E А Д.) ^ l/^KS А ?>„) Ч- |/x„|(Lln A Dp) < е.
Множество Dp имеет нужный вид.
4.7.134. (Дубровский [72]). Пусть <ра — равномерно ограниченное
семейство счетно-аддитивных мер на <т-алгебре М, зависящее от параметра
а из некоторого множества А. Для всякой последовательности
дизъюнктных множеств Ет 6 М положим 6({Еп}) = lim sup|?>Q|(lJ?Ln+1l?kJ .
Обозначим через Д точную верхнюю грань чисел 6({Еп}) по
всевозможным последовательностям указанного типа. Предположим, что существует
такая неотрицательная мера ц на АЛ, что у« « /i для всех а. Положим
fa := dtpa/dfi. Доказать, что Д совпадает с числом
lira sup /
iV-»ooLa€Ay{|
[|/a|-iV]dJ.
{|/«.1>АГ} J
4.7.135. (M.H. Бобынин, Э.Х. Гохман) Пусть А — сг-алгебра, Ап е А,
An+i С Ап и (X?=i А* = 0- Предположим, что /х„ — такие меры на А
(возможно, знакопеременные или даже комплекснозначные), что fin(An) ф 0 для
всех п. Доказать, что найдется такое множество А Е А, что для бесконечно
многих п справедливо неравенство |а»п(Л)| > ||ju„(>ln)|.
Указание: см. Бобынин [24, лемма 1].
4.7.136. Пусть ц и v — ограниченные меры на «г-алгебре А Показать,
М V и{А) = sup{M(B) + v(A\B), ВеА,ВсА}, VА € А,
ц Л v(A) = inf{/u(B) + v(A\B), Be А, В С А}, V А € Д.

374 Глава 4. Пространства V и пространства мер
Указание: пусть /х = f • A, v = д ¦ А, где А — неотрицательная мера;
тогда интеграл тах(/, д) по А относительно А равен сумме интеграла / по
-А п {/ ^ 9} и интеграла д по А П {/ < д}; аналогично для /х Л i/.
4.7.137. Пусть /х — неотрицательная мера и f,g ? Lp(fj,), 1 < р < оо.
Показать, что функция F(<) = / |/ + ig|pd/x дифференцируема и
^'@)=р/|/Г2/5Ф-
4.7.138. Пусть 1 < р < оо. Показать, что для всякого е > 0 найдется
такое <J > 0, что если f,g е L"[0,1], ||9||, = 1, Jf(x)dx = 0 и ||/||р ^ J, то
jf \f(x)+g(y)\"dxdy *J 1 + e\\f\\P.
Указание: см. Fremlin [421, §273М].
4.7.139. Доказать следующие неравенства Кларксона для /,д? Ьр(ц):
Указание: см. Соболев [164, гл. III, §7], где можно найти интересное
обобщение, и Hewitt, Stromberg [485, гл. 4, §15].
4.7.140. (Douglas [357]) Предположим, что (Х,Л) — измеримое
пространство, ЛЛ+(Л) — множество всех конечных неотрицательных мер на А,
Т — некоторое линейное пространство вещественных .А-измеримых
функций. Пусть /х е М(А) и Т С ?*(а0- Положим
Е»:={иеМ+(А): FcC\v),ffdv = jfdn для всех / 6 ^.}
(i) Доказать, что Т плотно в L1 (it) в точности тогда, когда xt является
крайней точкой в Е1*, т.е. в Е* нельзя найти t 6 @,1) и отличные от /х меры
/J.1 и ХХ2 с ц = tfj,l + A - t)/X2.
(ii) Пусть В — под-сг-алгебра в А. Доказать, что /х является крайней
точкой в множестве таких мер v е М+(А), что v\b = /x|bi в точности тогда,
когда для всякого А ? А найдется В еВ с ц(А Д В) — 0.
Указание: (i) если Т не плотно, то найдется д 6 Ь°°{ц) с 0 < \\д\\ <1и
I gfdn = 0 для всех f е F. Тогда /t = (xti + /х2)/2, где /л := A + д) ¦ /х € Е*,
/хг := A — д) ¦ Ц ? jEm. Обратно, пусть /х = t/xi + A — <)/Х2, где t € @,1),
/х» е Е*. Тогда /х4 < /х и потому щ = д, ¦ /х> fl« ? ?* (/¦*)• Так как интегралы
функций (gi — 1)/ по мере хх равны нулю, то легко проверить, что pi — 1
входит в замыкание Т лишь в случае д\ = 1. Тогда и рг = 1- (ii) Можно
взять в качестве Т пространство всех ограниченных В-измеримых функций.
Оно плотно в Ь1(хх) в точности тогда, когда В плотно в алгебре с мерой Л//х.

Глава 5
Связь интеграла и производной
Все, кто писали по теории функций действительного
переменного, все те хорошо знают, как трудно в такого
рода вещах быть одновременно и строгим и кратким.
Н.Н. Лузин. Интеграл и тригонометрический ряд.
5.1. Дифференцируемость функций на прямой
Напомним, что функция /, определенная в окрестности
точки а; € ГО,1, называется дифференцируемой в этой точке, если
существует предел
„_/(* + *)-/(»)
который называется производной / в точке х и обозначается
через f'(x). Возникновение и развитие математического анализа, в
частности, теории интегрирования, тесно связано с задачей
восстановления функции по ее производной. Основная формула
анализа — формула Ньютона-Лейбница — следующим образом
выражает функцию / на [а, Ь] через ее производную /':
>?*
f(x) = f(a) + / f'(y)dy. E.1.1)
Для непрерывно дифференцируемых функций / интеграл в
формуле E.1.1) существует в смысле Римана, поэтому никаких
проблем с интерпретацией этого равенства не возникает.
Проблемы появляются при попытке распространить формулу Ньютона-
Лейбница на более широкий класс функций. Проблем,
собственно говоря, три: в каком смысле существует производная, в каком
смысле она интегрируема и, наконец, если она в каком-то смысле

376 Глава 5. Связь интеграла и производной
существует и интегрируема, то верно ли равенство E.1.1).
Чтобы пояснить характер возникающих здесь трудностей, мы
рассмотрим несколько примеров. Сначала мы построим функцию /,
которая в каждой точке прямой дифференцируема, но /' не
интегрируема на [0,1] ни в смысле Лебега, ни в несобственном смысле
Римана.
5.1.1. Пример. Пусть f(x) = х2 sin 4? при х ф 0 и /@) = 0.
Тогда функция / всюду дифференцируема, но функция /' не
интегрируема по Лебегу на [0,1].
Доказательство. Дифференцируемость / вне нуля
очевидна, а равенство /'@) = 0 следует из определения в силу
ограниченности sin. При этом
f'(x) = 2xsin —z - 2- cos —^
x2 x x2
при x ф 0. Достаточно показать, что функция
ф(х) = - COS -х
X х'
не интегрируема по Лебегу на [0,1]. Предположим противное.
Тогда интегрируема и функция ^ cos ^т> чт0 проверяется с
помощью замены у = у/2х (замена переменных в интеграле Лебега
обсуждается ниже, но в данном случае достаточно простейшего
варианта этой формулы, причем для римановского интеграла).
Следовательно, интегрируема функция
/ ч * 2 1
^) = xcos Ъ?'
Так как ip(x) = 2ip(x) — ж-1, то получаем интегрируемость х~г —
противоречие. ?
В рассмотренном примере функция /' несобственно
интегрируема по Риману. Однако теперь легко испортить и это свойство.
Возьмем компактное множество К С [0,1] положительной меры
Лебега, не имеющее внутренних точек (см. пример 1.7.6).
Множество [0,1]\К имеет вид U^=i(ani bn), где интервалы (an, bn)
попарно не пересекаются. Возьмем такую дифференцируемую
функцию 0, что 6{х) = 1 при х ^ 1/2 и в(х) = 0 при х ^ 1. Положим
д(х) = 6(x)f(x) при х ^ 0 и д(х) = 0 при х < 0. Заметим, что
д^О) = д'A) = 0 и \д(х)\ ^ Спшф;2, A - жJ} при некотором С.

5.1. Дифференцируемость функций на прямой
5.1.2. Пример. Зададим функцию F формулой
Пг) = ?(Ьп-аЛ(^^У
Г
Функция F всюду дифференцируема, а ее производная F' не
интегрируема по Лебегу на [0,1] и разрывна в каждой точке
множества К (в частности, не интегрируема по Риману в несобственном
смысле).
Доказательство. Ясно, что ряд, задающий функцию F,
сходится равномерно, так как функция д ограничена. Достаточно
показать, что F'(x) = 0 в каждой точке х Е К, ибо в интервале
(ап,Ьп) функция F равна (Ьп — onJp(x — On/{bn — On)). По
построению, F(x) = 0 при х Е К. Пусть h > 0. Если х + к Е К, то
F(x + h) — F(x) = 0. Если х + h # К, то найдем интервал (ап, Ьп),
содержащий x + h. Тогда x + h — an<hvi потому
\F(x + h)-F(x)\_\F(x + h)\_fu _ ^lijx + h-anW
h
= (Ъп
-*№г-
h (bn - o„J
что стремится к нулю при h —> 0. Случай h < 0 аналогичен.
Очевидно, что функция F' не ограничена в правой окрестности
точки ап, ибо F на {ап,Ьп) представляет собой аффинное
преобразование д на @,1). Следовательно, F' имеет разрыв в каждой
точке из замыкания {ап}. Указанное замыкание совпадает с К
ввиду отсутствия внутренних точек у К. ?
Можно построить всюду дифференцируемую функцию / с
разрывной почти всюду производной (задача 5.8.37). Однако /'
не может быть разрывна всюду (задача 5.8.37). Наконец,
отметим, что всюду существующая /' не может быть неинтегрируе-
мой на каждом отрезке, ибо найдется отрезок, на котором она
ограничена по абсолютной величине (задача 5.8.36).
Таким образом, ни интеграл Лебега, ни несобственный
интеграл Римана не решают задачу восстановления всюду
дифференцируемой функции по ее производной. В §5.7 можно найти
сведения о более общих (не абсолютных) интегралах, решающих
указанную задачу. Отметим, однако, что в приложениях теории

Глава 5. Связь интеграла и производной
интеграла гораздо более типичной является задача
восстановления функции, которая имеет производную лишь почти всюду.
Конечно, без дополнительных предположений такое
восстановление невозможно. Например, обсуждавшаяся выше функция
Кантора (предложение 3.6.5) почти всюду имеет производную,
равную нулю, хотя и не является постоянной. Лебегом был описан
класс всех функций, которые почти всюду дифференцируемы и
восстанавливаются по своей производной с помощью формулы
Ньютона-Лейбница для интеграла Лебега. Оказалось, что это —
абсолютно непрерывные функции. Прежде чем начать их
обсуждение, мы рассмотрим более широкий класс функций, которые
также почти всюду дифференцируемы, хотя и не обязательно
являются первообразными.
При изучении производных полезно рассмотреть так
называемые производные числа функции /, которые принимают
значения из расширенной числовой прямой и определяются
следующими равенствами:
D+Hx) = lunsuPf(x + h)-nx)
D+f(x) = liminf
D~ f{x) = limsup
h—о
?>_/(x) = liminf
Если D+f(x) = D+f(x), то говорят, что / имеет в точке х
правую производную f'+(x) := D+f(x) = D+f(x), а если D~f(x) —
D-f(x), то говорят, что / имеет в точке х левую производную
fL(x) := D~f(x) = D^f{x). Ясно, что существование конечной
производной / в точке х равносильно тому, что в этой точке
правая и левая производная совпадают и конечны.
Определим также верхнюю и нижнюю производные Df{x) и
Df(x) как, соответственно, точную верхнюю и точную нижнюю
грани отношений [f(x + К) — f(x)]/h при h —> 0, h ф 0.
5.1.3. Лемма. Для всякой функции f на отрезке [а, Ъ]
множество всех точек, в которых правая и левая производные f
существуют, но различны, конечно или счетно.
h
f(x + h)-
h
f(x + h) -
h
. f{x + h) -
-/(*)
-fix)
-fix)

5.2. Функции ограниченной вариации
379
Доказательство. Пусть D := {х: fL(x) < Д(ж)} и пусть
{гп} — множество всех рациональных чисел. Для всякого х € D
существует такой наименьший номер к, что fL{x) < Гк < /+(%)¦
Далее, существует такой наименьший номер т, что тт < х и при
всех t ? (гт,х) справедливо неравенство
t — х
Наконец, существует такой наименьший номер п, что rn > х и
при всех t € (х,гп) справедливо неравенство
/(*)-/(*К г
В силу нашего выбора тип получаем
/(f) - /(z) > rfc(t - х), если t/inte (rTO,r„). E.1.2)
Таким образом, каждой точке х Е D сопоставлена тройка
натуральных чисел (к,т, п). При этом разным точкам отвечают
разные тройки. Действительно, пусть точкам х и у сопоставлена
одна и та же тройка (к, т, п). Положим t = у в E.1.2) и получим
/(у) — f(x) > Гк{у — х). Если же в E.1.2) вместо х взять у и
положить t = х, то получится обратное неравенство. Итак, D не более
чем счетно. Аналогично доказывается, что множество {f'+ < f'_}
не более чем счетно. П
В заключение этого параграфа отметим следующую
замечательную теорему Н.Н. Лузина (см. доказательство в Лузин [111],
[112], [611], Сакс [160, гл. VII, §2]).
5.1.4. Теорема. Пусть f — измеримая п.в. конечная
функция на [0,1]. Тогда найдется такая непрерывная функция F, что
F п.в. дифференцируема и F'(x) = f(x) п.в.
5.2. Функции ограниченной вариации
5.2.1. Определение. Будем говорить, что функция f на
множестве Т С Ж1 имеет ограниченную вариацию, если
V(f,T) := sup? |/(ti+1) - f(ti)\ < oo,
где sup берется no всем наборам t\ ^ *2 ^ • • • ^ *n+i «з Т. Если
T = [а, Ъ], то положим V?(f) := V(f, [a, b]).

380 Глава 5. Связь интеграла и производной
Если функция / имеет ограниченную вариацию, то она
ограничена, причем для всякого to € Т
sup\f(t)\^\f(t0)\ + V(f,T).
t€T
Нас в основном будет интересовать случай, когда Т —
промежуток [а, Ь] или (а, Ъ) (возможно неограниченный).
Простейший пример функции ограниченной вариации — это
неубывающая на [а, Ь] функция / (в случае неограниченного
промежутка при этом требуется, чтобы пределы в концах были
конечны). Действительно, имеем V^f(/) = V(f, [a,b]) = f{b) — f(a).
Ясно, что ограниченную вариацию имеет также и всякая невоз-
растающая функция. Таковой оказывается и разность
неубывающих функций, ибо пространство BV[a, b] всех функций
ограниченной вариации линейно. При этом
К?(«/ + 0д) ^ \a\VZ(f) + ЩУ^{д) E.2.1)
для любых двух функций / и д ограниченной вариации и
произвольных скаляров а и /3. Это очевидно из оценки
\af(ti+1) + Pg(ti+1) - af(U) - Cg(U)\
^ \a\ \f(ti+1) - f(U)\ + \C\ \g(ti+l) - g(ti)\.
5.2.2. Предложение. Пусть функция f на [a, b] имеет
ограниченную вариацию. Тогда
(i) функции V: х ¦—> V(f,[a,x]) и U: х ¦-> V{x) — f(x) —
неубывающие на [а,Ь];
(и) функция V непрерывна в точке xq € [a,b] в точности
тогда, когда в этой точке непрерывна функция /;
(ш) для всякого с € (а, Ь) справедливо равенство
V(f, [а, Ъ]) = V(f, [а, с]) + V(f, [с, &]). E.2.2)
Доказательство. Поскольку при добавлении новой точки
в разбиение [а, Ь] соответствующая сумма абсолютных величин
приращений функции не уменьшается, при вычислении V?(f)
можно рассматривать разбиения, содержащие точку с. Тогда
V(/,[a,b]) = sup[?|/(tm)-/(*i)l+ ? \f(ti+i)-f(ti)\],
i=l i=k+l
где sup берется по разбиениям с tk+i = с. Из этого равенства
получаем E.2.2), откуда вытекает, что V — неубывающая функция.

5.2. Функции ограниченной вариации 381
Функция U = V — f — также неубывающая, ибо при х ^ у имеем
V(x) - V(y) = V*(f) > |/(х) - f(y)\ > f(x) - /(у).
Тогда \V(x) — V(y)\ ^ \f(x) — f{y)\, откуда сразу вытекает
непрерывность / в точке х, если в этой точке непрерывна функция V.
Осталось проверить непрерывность V в тех точках х, где
непрерывна /. Пусть е > 0. Выберем <50 > 0 с |/(х + h) - /(х)| < е/2
при |/i| < 5о- По определению существуют такие разбиения а =
t\ < • • • < *n+l = xhx = Si^---^ sn+i = b, что
|n/,[a^D-El/(<m)-/(*i)l|
i=l
+ |v(/,[*.4)-El/(«H-i)-/(ei)l|<|-
Пусть |/i| < 6 := min(<$o, ж — tn, s% — x) и h > 0. Тогда
V(x + h)- V(x) = V?+h{f) = V(f, [x, b]) - V(f, [x + h, b])
^ |/(x) - /(x + /01 + |/(x + h) - f(s2)\
+ J2 l/(*+i) - /(*)l + I - V(f, [x + h, b])
i=2 l
<|/(x)-/(x + Л)| + |<е,
ибо |/(х+Л)-/(в2)| + Е |/(si+1)-/(Si)| < ^6+ft(/). Аналогичная
i=2
оценка имеет место при h < 0. П
Вариация функции / не всегда является аддитивной
функцией множества. Например, V(f, [а, Ь]) = 1 > V(f, [а, 6)) = 0, если
/(ж) = 0 на [0,1) и /A) = 1.
5.2.3. Следствие. Непрерывная функция ограниченной
вариации есть разность двух непрерывных неубывающих функций.
5.2.4. Следствие. Всякая функция ограниченной вариации
имеет не более чем счетное множество точек разрыва.

382 Глава 5. Связь интеграла и производной
Доказательство. В силу доказанного выше предложения,
достаточно рассмотреть неубывающую функцию /. В этом случае
точки разрыва — это такие точки х, что
lim fix - h) < lim fix + h).
/1-0+ ' />-o+ v ;
Ясно, что их число не более чем счетно. ?
В доказательстве следующей важной теоремы нам
понадобится техническая лемма, которую легко извлечь из значительно
более общих результатов §5 этой главы. Чтобы не нарушать
порядок изложения, мы приведем непосредственное доказательство
нужной леммы.
5.2.5. Лемма. Пусть Е — множество в @,1).
Предположим, что задано некоторое семейство X интервалов, которое
для каждого х € Е и каждого 8 > О содержит некоторый
интервал (х,х + h) с h < S. Тогда для всякого е > 0
можно выбрать конечное подсемейство дизъюнктных интервалов
Ii,...,Ik в этом семействе таким образом, что
\((Iз)<У(Е) + е и Х*[Е(](I^>Х*(Е)-е.
i=\ j=i
При этом для заданного открытого множества U,
содержащего Е, эти интервалы можно взять внутри U.
Доказательство. Найдем открытое множество G э Е, для
которого X(G) < Х*(Е) + е. Если дано открытое U D Е, то G
берем в U. Удалив из I все интервалы, не содержащиеся в G, можно
считать, что с самого начала все интервалы I лежат в U. Поэтому
мера их объединения не превосходит Х*(Е) + е. Пусть Еп — все
точки из Е, для которых в X есть интервал (х, х + К) с h > 1/п.
Поскольку Е есть объединение возрастающих множеств Еп, то
существует п с Х*(Еп) > Х*(Е) — е/2. Пусть 5 = е/Bп + 2). Пусть
а\ — нижняя грань Еп. Возьмем точку х\ € Еп в [ai,ai + 6].
Пусть 7i = (xi, х\ + hi) G X — интервал ch\> 1/п. Если
множество Еп П (xi + h\, 1) непусто, то пусть аг — его нижняя грань.
Возьмем точку хг € Еп в [аг, аг+6] и найдем h = (хг, Х2 + /12) € X
с &2 > 1/п. Продолжая этот процесс, получим k ^ п интервалов
Ij = (xj,Xj + hj) с hj > 1/п, причем справа от Xfc -(- hk нет
точек Еп, Xj € [aj, aj+6], где a,- — нижняя грань Enn(xj-i+hj-i, 1).

5.2. Функции ограниченной вариации
383
Ясно, что точки из Еп, не покрытые Ui=i-0'> содержатся в
объединении отрезков [aj,a,j+S\,j = l,...,к. Поэтому внешняя мера
множества таких точек не превосходит п8 < е/2. Следовательно,
в силу субаддитивности внешней меры
к к
Х*(Е(]1}1^Х*(Еп)-Х^Еп\[]1^>Х*(Е)-е.
3=1 J=l
При этом a(L)*=i тз) < X(G) < У(Е) + е. ?
5.2.6. Теорема. Пусть f — функция ограниченной вариации
на [а,Ь]. Тогда f почти всюду на [о, Ь] имеет конечную
производную /'.
Доказательство. Достаточно дать доказательство для
неубывающей функции /. Пусть S = {х: D+f(x) < D+f(x)}.
Покажем, что X(S) = 0. Для этого достаточно показать, что для
всякой пары рациональных чисел и < v множество
S{u,v) = {х: D+f(x) <u<v< D+f(x)}
имеет меру нуль. Предположим, что А*E(«, v)) = с > 0. Каждая
точка х множества S(u, г;) является левым концом сколь угодно
малых интервалов (х,х + h) с f(x + h) — f(x) < hu. По
лемме 5.2.5 для фиксированного е > 0 существует такой конечный
набор попарно непересекающихся интервалов (х{, Xi+hi), что для
их объединения U справедливы оценки
X*(UnS(u,v))>c-s, Х(и) = ^2Ы<с + е.
Ясно, что ^2[f(xi + hi) — f(xi)] < Ylhiu < u(c + e)- С другой
стороны, каждая точка у € U П S(u, v) является левым концом
сколь угодно малых интервалов (у, у + г) с f(y + г) — f(y) > rv.
Поэтому по той же лемме 5.2.5 можно найти конечный набор
попарно непересекающихся интервалов (yj, yj+rj), лежащих в U,
для объединения W которых справедлива оценка
A* (W П S(u, v)) >X*(Un S(u, v))-e>c- 2e.
Тогда ^2[f(yj + rj) - f(yj)] >vY^Tj> v(c - 2e). Поскольку / не
з з
убывает, а каждый из интервалов (yj,yj + rj) лежит в одном из

Глава 5. Связь интеграла и производной
интервалов (ж*, Xi + hi), то
?[/(% + г,-) - /(у;)] ^ ?[/(х4 + Л*) - /(*«)] •
j *
Таким образом, v(c — 2е) < и(с + е). В силу произвольности
е > О получаем г; < и — противоречие. Следовательно, с = О,
и правая производная / существует почти всюду. Аналогично
доказывается, что левая производная / существует почти
всюду. При этом множество Е тех точек х, где f'{x) — +00,
имеет меру нуль. В самом деле, для всяких е > 0 и N € IN
найдется h(x) > 0 с f(x + h) - f(x) > Nh при 0 < h < h(x).
По лемме 5.2.5 имеется конечный набор дизъюнктных
интервалов (xi,Xi + hi) общей меры L не менее Х*(Е) — е. Интервалы
(/(zj),/(xi + hi)) дизъюнктны и мера их объединения не
меньше NL, откуда Х*(Е) < е + L ^ е + V(f, [a, b])/N. Теперь
доказываемое следует из леммы 5.1.3. ?
5.2.7. Следствие. Всякая неубывающая функция f на
отрезке [а, Ь] почти всюду на [а, Ь] имеет конечную производную /',
причем функция f интегрируема на [а, Ь] и
/:
f'(x)dx<№-f(a). E.2.3)
Доказательство. Положим f(x) = f(b) при х ^ Ь. Пусть
h» = п-1 и fn{x) = Я* + М-/(*) Тогда и ^ 0 и /п(ж) _^
«¦п
/'(ж) п.в. Кроме того,
rb 1 rb+hn 1 /•*>
/ fn{X)dx=± f(y)dy- f(x)dX
J а К Ja+hn hn Ja
1 rb+hn 1 ra+hn
= -jb f(x)dx--Ja f(x)dx^f(b)-f(a),
ибо / = b на [6, b + hn] и / ^ /(а) на [a, a + /ц»]. Остается
воспользоваться теоремой Фату. ?
Из доказанного следствия вытекает интегрируемость
производной всякой функции ограниченной вариации. Функция
Кантора С (см. пример 3.6.5) показывает, что в E.2.3) может не
быть равенства даже для непрерывных функций. Действительно,

5.3. Абсолютно непрерывные функции 385
С'(х) — 0 почти всюду, но С(х) ф const. В следующем параграфе
мы рассмотрим подкласс пространства функций ограниченной
вариации, приводящий к равенству в E.2.3).
Отметим один интересный результат (малая теорема Фубини
[425]), который предлагается доказать в качестве задачи 5.8.41.
5.2.8. Предложение. Пусть fn — неубывающие функции
на [а,Ь], причем ряд f(x) — ^ fn(x) сходится для всех х € [а,Ь].
п=1
Тогда /'(ж) = ? fn(x) п.в.
5.3. Абсолютно непрерывные функции
В этом параграфе рассматриваются функции на
ограниченных промежутках.
5.3.1. Определение. Функция f на отрезке [а,Ь]
называется абсолютно непрерывной, если для всякого е > О найдется
такое 5 > О, что для каждого набора попарно непересекающихся
интервалов (ai,bi) в [а,Ь] с Yl \h ~ ai\ < & справедливо неравен-
г=\
ство E\f(h) -/(oi)|< е.
i=l
Из определения очевидно, что абсолютно непрерывная
функция равномерно непрерывна. Обратное неверно: например,
функция / на [0,1], равная п~1 в Bп)~2, обращающаяся в нуль в
Bп + I)-2 и доопределенная по непрерывности линейным
образом между этими точками, не является абсолютно непрерывной.
Это явствует из расходимости ряда ]Г) |/(Bп)_1)| и стремления
к нулю величин Y1 [Bп)-1 — Bп + I)-1].
Обозначим через АС[а, Ь] класс всех абсолютно непрерывных
функций на отрезке [а,Ь].
5.3.2. Лемма. Пусть функции /i,...,/n абсолютно
непрерывны на отрезке [а, Ь], а функция tp определена и удовлетворяет
условию Липшица на множестве U С ГО/1, причем для всех х €
[а, Ь] имеем (fi(x),...,fn(x)) € U. Тогда функция ip(fi,... ,fn)
абсолютно непрерывна на отрезке [а, Ь].

Глава 5. Связь интеграла и производной
Доказательство. По условию при некотором С > О для
всех х, у € U имеем \<р(х) — <р(у)\ ^ С\\х — у\\. Кроме того, для
заданного е > 0 найдется такое S > 0, что
к
Е ШЬ) - /i(«i)l < еп~\С + I), V j < п,
г=1
для всякого набора попарно непересекающихся интервалов
к
(ai,b\),..., (ak,bk) в [a,b] с ?^ |bj — щ\ < S. Теперь утверждение
t=i
вытекает из оценки
к
г*
Е \ш - fM)\2 < сЕЕ №(*) - /i(«*)i <?-
t=ij=i
п
5.3.3. Следствие. Если функции fug абсолютно
непрерывны, то таковы же fg и f + д, а если д~^ с > 0, то и f /д.
5.3.4. Предложение. Всякая функция f, которая
абсолютно непрерывна на отрезке [а,Ь], имеет на этом отрезке
ограниченную вариацию.
Доказательство. Возьмем S, соответствующее е = 1 в
определении абсолютно непрерывной функции. Возьмем теперь
натуральное М > \Ь — а|<$-1. Пусть задано разбиение а = t\ ^ • • • ^
t„ = b. Добавим к точкам U все точки вида Sj = a + (b — a)jM~l,
j = 0,..., М. Элементы полученного разбиения обозначим
через Zi, г — 1,..., к. Тогда
Е \№+1) - №\ < Ё 1/(«й-1) - /(*)!
j=l i: Zi+ieCsj-i.s,]

5.3. Абсолютно непрерывные функции 387
ибо сумма длин интервалов (z{,Zi+i) с zi+\ Е (sj-i,Sj] не
превосходит Sj — Sj_i — \b — a\M~l < 8. Итак, V(/, [a, b]) ^ M. D
5.3.5. Следствие. Пусть функция f абсолютно
непрерывна на отрезке [а,Ь]. Тогда функция V: х *-*¦ V(f, [а, х\) также
абсолютно непрерывна и потому f есть разность неубывающих
абсолютно непрерывных функций V uV — /.
Доказательство. Пусть е > 0. Найдем такое 8 > 0, что
сумма абсолютных величин приращений / на всяком конечном
наборе непересекающихся интервалов (ai,bi) суммарной длины
менее 8 оценивается через е/2. Остается заметить, что сумма
абсолютных величин приращений V на интервалах (a,;, bi)
оценивается через е. Действительно, пусть дан такой набор из к
интервалов (a*, bi). Для каждого г можно найти такое разбиение [aj,bi]
точками ai = t\ ^ • • ¦ ^ tlN. = bi, что
v(f, KM) < ? l/(<5+i) - /(*})! + е4"-
i=i
Тогда
к к
?|У(Ь)-П<чI = 2>(/Л*Л])
г=1 г=1
<EEi/^+i)-/D)i + |<e.
г=1 j=l
ибо интервалы (ft, ft+1) попарно не пересекаются и сумма их длин
не превосходит 8. ?
Для всякой интегрируемой по Лебегу функции / на [а,Ь] и
всякой постоянной С можно рассмотреть функцию
F{x) = C + Г f(t)dt,
которая называется неопределенным интегралом /. Оказывается,
что функции такого вида — это в точности абсолютно
непрерывные функции.

388 Глава 5. Связь интеграла и производной
5.3.6. Теорема. Функция / абсолютно непрерывна на [а, Ь]
тогда и только тогда, когда существует такая интегрируемая
на [а, Ь] функция д, что
f(x) = f(a) + JXg(y)dy, Vx6[a,b]. E.3.1)
Доказательство. Если / имеет вид E.3.1), то в силу
абсолютной непрерывности интеграла Лебега для всякого е > О
найдется такое 6 > О, что
/ \g{x)\dx<e
Jd
для всякого множества D меры меньше S. Остается заметить, что
Е №) - /(°*I = Е|/" ^(x)Н < fv №)\dx < ?
для всякого объединения U = UiLiK'^i] попарно
непересекающихся отрезков суммарной длины меньше S.
Докажем обратное утверждение. Достаточно доказать его для
неубывающих функций /, ибо в силу следствия 5.3.5 функция /
есть разность неубывающих абсолютно непрерывных функций.
Согласно теореме 1.8.1 существует такая неотрицательная боре-
левская мера ц на [а, Ь], что f(x) — /x([a, ж)) для всех х € [а, Ь].
Теперь достаточно установить, что мера fj, задается некоторой
интегрируемой плотностью д относительно меры Лебега Л, что в силу
теоремы Радона-Никодима равносильно абсолютной
непрерывности меры ц относительно меры Лебега. Пусть Е — борелевское
множество лебеговской меры нуль в [а,Ь]. Нам надо проверить,
что fi(E) = 0. Зафиксируем е > 0. По условию существует такое
6 > 0, что сумма абсолютных величин приращений / на всяких
непересекающихся отрезках суммарной длины менее 6
оценивается через е. В силу теоремы 1.4.8 существует такое открытое
множество U, содержащее ?, что fi(U\E) < е. Уменьшая U, можно
добиться оценки \{U) < S. Множество U представляет собой
конечное или счетное объединение попарно непересекающихся
интервалов (dj, bi). В силу выбора S для каждого конечного
объединения (ai,bi) имеем
m(U(°-4)=?№) -/(«01 <*,
i=i t=i

5.3. Абсолютно непрерывные функции
откуда в силу счетной аддитивности ц получаем n(U) < е.
Следовательно, fi(E) < 2е и потому ц(Е) = 0. ?
5.3.7. Следствие. Если выполнено соотношение E.3.1), то
V(f,[a,b])=J \g(x)\dx. E.3.2)
Доказательство. Поскольку для каждого отрезка [s,t] с
[а, Ь] справедливо неравенство
\f(t)-m\ = \fg(x)dx\^J \g(x)\dx,
MMXjf
V(f,[a,b])^J \g(x)\dx.
Докажем обратное неравенство. Можно считать, что /(а) = 0.
Зафиксируем е > 0. Пользуясь абсолютной непрерывностью
интеграла Лебега, найдем такое S > 0, что
J \g(x)\dx<-e
для всякого множества D меры меньше S. Положим
П+ = {х: g(x)^0}, fi_ = {х: д{х) < 0}.
Затем найдем в [а, Ь] конечный набор попарно непересекающихся
интервалов (аг,6i), ... ,(an,bn), для которых
А(П+ Д Q(щ,h)) < 5. E.3.3)
Далее выберем в [a,b]\ (J (щ, Ь{) конечный набор попарно
непересекающихся интервалов (c\,di), ... ,(с?,<4), для которых
А(П_ Д U(Ч, *))<*•

Глава 5. Связь интеграла и производной
Положим Aj = (ai,bi)\{g > 0}. Тогда
№ - /(*) = ?'д{х)dx = р \g{x)\dx + ? [д(х) - \д(х)\] dx
= j%\g{x)\dx-2J \g(x)\dx.
С учетом оценки E.3.3), показывающей, в частности, что сумма
мер множеств Д* меньше 6, получаем
? №) - /Ml > ? f \9{x)\dx ~\е> J \9{*)\dx - \е.
Аналогично получаем
к .
Е IM)-/(<=*)! ^уп \9{x)\dx--e.
Итак,
V(/,[«,4) > ?|/(М-/Ы|+?|/D)-/(с0| > [b\9(x)\dx-e,
что завершает наше доказательство. D
5.4. Формула Ньютона—Лейбница
5.4.1. Лемма. Пусть f — такая интегрируемая на [а,Ь]
функция, что
[Xf{t)dt = 0, \fxe[a,b].
Jo
Тогда / = 0 почти всюду.
Доказательство. Из равенства нулю интеграла с
переменным верхним пределом вытекает, что интеграл / по каждому
интервалу в [а,Ь] равен нулю, откуда следует равенство нулю
интегралов / по конечным объединениям интервалов. Тогда
обращается в нуль и интеграл / по множеству Я = {х: /(ж) > 0}.
Действительно, пусть е > 0. В силу абсолютной непрерывности
интеграла Лебега существует такое 5 > 0, что / \f\dx < е для вся-
JD
кого множества D меры меньше 5. Найдем множество А, равное

5.4. Формула Ньютона-Лейбница
конечному объединению интервалов, для которого А(Г2 А А) < 6.
Тогда
[ fix)dx^ I f{x)dx+ [ \f(x)\dx ^ f f{x)dx + e = ?.
Jn J A JSIAA J A
В силу произвольности e > 0 левая часть этого неравенства
обращается в нуль, т.е. Q имеет меру нуль. Аналогично множество
{/ < 0} имеет меру нуль. ?
5.4.2. Теорема. Пусть функция f интегрируема на [а,Ь].
Тогда
d_
dx J
f rx
- / fit)dt = fix) почти всюду на [а,Ь].
Доказательство. Положим fix) = О при х g [a,b]. Пусть
F(x) = J*f{t)dt.
Предположим сначала, что |/(ж)| < М < ос. Пусть hn —> 0. Как
показано выше, функция F абсолютно непрерывна,
следовательно, имеет ограниченную вариацию и потому почти всюду ди4>-
Fix + h ) — Fix)
4>еренцируема на [a,b]. Тогда lim ^ = F'ix) для
п—к» пп
п.в. х € [а, Ь]. Поскольку
| Fjx + hn) - Fjx) ¦ i 1 r*+h»
то по теореме о мажорированной сходимости получаем
iim r?(V + K)-F(y) Г
п-*°° J а К J а
для каждого х € [а, Ь]. Заметим, что
rFk±^-mdy ip i гF(y)dy
Ja hn hn Ja+hn hn J a
1 rx+hn i ra+hn
= Yn\x F{y)dy~VnJa F(y)dy'
Л, I 1 р+Пп I

Глава 5. Связь интеграла и производной
что стремится к F(x) — F(a) при п —> со в силу непрерывности F.
Итак, F(x) - F(a) = f F'(y) dy, т.е.
X[F'(y)-f(y)]dy = 0, Vx6[a,b].
D
В силу леммы 5.4.1 это означает, что F'{x) — f{x) — 0 п.в. на [а, 6].
Перейдем к общему случаю. Можно считать, что / ^ О, ибо /
есть разность неотрицательных интегрируемых функций. Пусть
/„ = min(/, п). Поскольку / — /„ ^ 0, то функция
J\f(t)-fn(t))dt
не убывает, следовательно, ее производная почти всюду
существует и неотрицательна. Таким образом,
-^1 f(y)dy^faj fn{y)dy п.в.
Ввиду ограниченности /п и доказанного выше, получаем F'(x) >
fn(x) п.в. Значит, F'(x) ^ f(x) п.в., откуда
Г F'(x)dx^ f f{x)dx.
в силу следствия 5.2.7 имее
Г F'(x)dx ^ F(b) - F(a) = Г f(x)dx,
С другой стороны, в силу следствия 5.2.7 имеем
j\F'(x)-f(x)]dx = Q,
что возможно лишь при F'{x) — f(x) = О п.в. ввиду
установленного выше неравенства F'(x) — f(x) ^ 0 п.в. ?
Из доказанной формулы Ньютона-Лейбница вытекает
следующая формула интегрирования по частям.
5.4.3. Следствие. Пусть fug — абсолютно непрерывные
функции на отрезке [а,Ь]. Тогда
J f'(x)g(x) dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - J f(x)g'(x) dx. E.4.1)

5.4. Формула Ньютона-Лейбница
Доказательство. Поскольку функция fg абсолютно
непрерывна, то к ней применима формула Ньютона-Лейбница.
Остается заметить, что (fg)' = fg + fg' почти всюду (т.е. во всех
точках, где /ид дифференцируемы). ?
Еще одно полезное следствие формулы Ньютона-Лейбница —
формула замены переменных.
5.4.4. Следствие. Пусть F — монотонная абсолютно
непрерывная функция на отрезке [c,d] и [a,b] — F([c,d\). Тогда для
всякой функции f, интегрируемой по Лебегу на отрезке [а,Ь],
функция f(F)F' интегрируема на [c,d] и справедливо равенство
J f{x) dx = j f(F(y))F'(y) dy. E.4.2)
Это утверждение остается в силе и для промежутков вида
(—oo,d], [с,+оо), (—оо, +оо).
Доказательство. Можно считать, что F не убывает, т.е.
с ^d. Поскольку функция F' интегрируема на [с, d], то
определена конечная неотрицательная борелевская мера ц = F'-A, где А —
мера Лебега на [с, d]. Обозначим через v борелевскую меру /xoF-1
на [а,Ь], т.е. v(B) = n(F~l(B)). В силу общей формулы замены
переменных (см. теорему 3.6.1) равенство E.4.2) для всех
борелевских интегрируемых функций / равносильно тому, что мера и
совпадает с мерой Лебега Ai на [а, 6]. Поэтому для доказательства
в случае борелевских / достаточно установить совпадение и и Ai
на каждом отрезке [а, /3] из [а, Ь] (см. следствие 2.7.4).
Существует такой отрезок [у,6} С [c,d], что [*у,6] = ^-1([а,/3]) и ^G) = а,
F(8) — C. Остается заметить, что
и{[а, /3]) = /*([7,6}) = f F'{y) dy = F(S) - F{<y) = C - a.
Чтобы перенести доказанное равенство с борелевских функций
на любые измеримые по Лебегу, достаточно проверить, что мера
v абсолютно непрерывна, т.е. для всякого множества Е лебегов-
ской меры нуль множество F~l(E) в [c,d] имеет /i-меру нуль.
Это равносильно тому, что множество F~1(E)f]{y: F'(y) > 0}
имеет лебеговскую меру нуль. Поскольку Е покрывается боре-
левским множеством лебеговской меры нуль, то можно само Е
считать борелевским. Тогда остается применить равенство E.4.2)

Глава 5. Связь интеграла и производной
к функции / = 1е- Случай бесконечного промежутка вытекает
из доказанного. ?
Отметим, что формулу замены переменных можно доказать
иначе. Для этого, как явствует из данного выше обоснования,
достаточно установить E.4.2) для непрерывных /. Для
непрерывных / нужная формула сразу следует из формулы Ньютона-
Лейбница применительно к функции Ф(.Р), где Ф(ж) = / /(?) dt.
В силу непрерывной дифференцируемости Ф эта функция
абсолютно непрерывна и (Ф о F)'{x) = $'{F(xj)F'{x) почти всюду
на [c,d]. Однако для разрывных / подобное обоснование хотя и
возможно, но требует дополнительной работы, так как равенство
(Ф о F)' = Ф'^)Р' может выполняться не во всех точках
дифференцируемости F. Г.М. Фихтенгольц показал (см. задачу 5.8.77),
что формула E.4.2) остается в силе и без предположения об
абсолютной непрерывности F, если композиция Ф о F абсолютно
непрерывна (в нашем случае это условие выполнено
автоматически в силу задачи 5.8.53); см. также Morse [655].
В качестве следствия установленных фактов получаем
следующее разложение Лебега монотонной функции.
5.4.5. Предложение. Пусть F — неубывающая
непрерывная слева функция на отрезке [а,Ь]. Тогда F — F^ + FSing, где
Fac — абсолютно непрерывная неубывающая функция и -FSmg —
неубывающая непрерывная слева функция с Fs'j(t) — 0 п.в. При
этом FSing(x) = Fa + Fc, где Fc — непрерывная неубывающая
функция и F& — функция скачков, т.е. Fa постоянна на
интервалах, на которых нет скачков.
Доказательство. Мы знаем, что F' существует п.в.,
интегрируема, причем F(y) — F(x) > / F'ifjdt при а < х < у ^ Ъ.
Поэтому функция FSing(a;) := F(x) — / F'(t)dt возрастает.
Ясно, что Fging(x) = 0 п.в. Положим F^x) := / F'(t)dt. Функция
Fsing имеет не более чем счетное множество точек разрыва tn.
Скачок в tn обозначим через hn. Положим Fa(t) := ^ '1«-
п: tn<t

5.5. Теоремы о покрытиях
Непосредственно проверяется, что получена возрастающая
непрерывная слева функция, причем функция Fc := -FSing — F&
возрастает и непрерывна. D
На разложение Лебега можно смотреть также с другой
стороны (что дает и другое его обоснование). Если F — функция
распределения ограниченной неотрицательной борелевской
меры ц на [а, Ь] (всякая непрерывная слева возрастающая функция
имеет такой вид), то разложение Лебега для мер дает равенство
^ = Mac + Msing, где /iac — абсолютно непрерывная мера, a /iSing —
мера, сингулярная относительно меры Лебега. Тогда F^ и Fging —
соответствующие функции распределения. Далее в сингулярной
мере Msing можно выделить чисто атомическую (сосредоточенную
в счетном числе точек) и безатомическую компоненты, что дает
соответствующее разложение FSing.
Применение формулы Ньютона-Лейбница к
дифференцированию по параметру см. в задаче 5.8.124.
5.5. Теоремы о покрытиях
В этом параграфе мы обсудим несколько важных теорем,
позволяющих из покрытий множеств отрезками, шарами или кубами
выбирать дизъюнктные подпокрытия с точностью до множеств
меры нуль. Сначала мы докажем следующую теорему Витали для
прямой с мерой Лебега А.
5.5.1. Теорема. Пусть Е с М1 — произвольное
множество и для всяких х € Е и е > 0 задан отрезок 1(х,е)
положительной длины меньше е, содержащий х. Тогда существует
такое не более нем счетное множество дизъюнктных отрезков
I, = I{xj,ej), что А(я\и~гIj) = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что множество Е
ограничено. Можно считать, что Е С @,1). Удалив отрезки
покрытия, не лежащие в @,1), можно считать, что все отрезки
покрытия содержатся в @,1). Обозначим совокупность всех этих
отрезков через S. Найдем отрезок I\ € S, для которого
выполнено неравенство A(ii) > |sup{A(J): J € S}. Обозначим через Si
совокупность всех отрезков, оставшихся после удаления из S всех
отрезков, пересекающихся с 1\ (в частности, самого 1\). В S\
найдем отрезок 12 с А(/2) > ^sup{\(J): J € Si}. Продолжим этот

Глава 5. Связь интеграла и производной
процесс индуктивно: если класс Sn отрезков не пуст, то берем в
нем отрезок In+i, для которого
A(/n+1)>isup{A(J): JeSn}.
Удаляя из Sn все отрезки, которые пересекаются с 1п, получаем
класс Sn+i. Ясно, что в результате получится конечное или
счетное множество попарно непересекающихся отрезков начального
покрытия. В частности, ^ М-О') ^ ¦*¦¦ Покажем, что выполнено
3=1
неравенство ME\\J°fL1lA = 0. Поскольку
Е\1)^СЕП:=Е\(I^
j=i j=i
то достаточно проверить, что Х*(Еп) —> 0. С этой целью
обозначим через Tj отрезок с тем же центром, что и /,, имеющий меру
X(Tj) = 5AGj). Из сходимости ряда с общим членом AGj)
следует, что Yl'jLn -Ч^)) ~~* 0 при п —> оо. Таким образом, нам остается
проверить, что множество \J*LnTj покрывает Еп. Заметим, что
отрезки семейства Sn покрывают множество Еп. Всякий отрезок
I € S удаляется на некотором шаге к, ибо
sup{A(J): JeSn}< 2X(In+l) -> 0.
При этом I € Sk-i\Sii и / пересекается с /&. Поэтому
ХA) ^ sup{A(J): J € 5fc-i} < 2АD).
Следовательно, / С Т&. Из сказанного явствует, что все
отрезки из Sn покрыты множеством Тп U Тп+\ U • • ¦, а значит в этом
объединении содержится и Еп.
В случае неограниченного множества Е выделяем
подпокрытия множеств ЕГ\(к, к+1) отрезками, содержащимися в (к, к+1),
и применяем доказанное утверждение к каждому из указанных
пересечений отдельно. ?
Обобщим теперь теорему Витали на многомерный случай.
Естественно возникает вопрос, какие множества можно брать
вместо отрезков. Вопрос этот довольно тонкий и мы не будем его
обсуждать. По этому поводу см. Гусман [55]. Будем обозначать
меру Лебега на JRn также через А.

5.5. Теоремы о покрытиях
397
5.5.2. Теорема. Пусть Е с Шп — произвольное
множество, причем для каждого х € Е и всякого ? > О задан
замкнутый шар BXi? положительного диаметра меньше е,
содержащий точку х. Тогда из этого набора шаров можно выделить
такой не более чем счетный поднабор попарно
непересекающихся шаров В}., что
\(E\\jBk)=0.
fc=i
То же самое верно, если вместо шаров брать замкнутые кубы
с ребрами, параллельными координатным осям.
Доказательство. Будем действовать по тому же плану, что
и в предыдущей теореме. Сначала рассмотрим случай, когда
множество Е ограничено. Поэтому без потери общности можно
считать, что все шары нашего покрытия, обозначаемого через S,
содержатся в некотором шаре. Как и в одномерном случае,
индуктивно определим последовательность попарно непересекающихся
шаров Вк с помощью формулы
\(Bk)>±sup{\(B): BeSfc_i}, к > 1, E.5.1)
Sk-i~{BeS: Bn(BiU---UBk-i) = 0}.
В качестве В\ возьмем какой-нибудь шар, мера которого больше
\ящ>{\{В): В е S}. Если этот индуктивный процесс конечен,
то получается конечный набор шаров, покрывающих Е. Будем
считать далее, что получена бесконечная последовательность
попарно непересекающихся шаров Вк.
Теперь докажем, что внешняя мера множества Е\ (J^Li Вк
стремится к нулю при т —> оо. Мы покажем, что
\*(Е\[)Вк)<A + 2^пГ ? х{Вк)
fc=l fc=m+l
Правая часть этого неравенства стремится к нулю ввиду
сходимости ряда из мер дизъюнктных подмножеств шара. Нужная
оценка будет установлена, если мы докажем, что Е\ (JfcLi Вк
содержится в объединении множеств Тт, Тт+\, ..., где
Tj = /объединение всех BeSj-. Х(В) < 2A(Bi+i), BnBj+t Ф&\.

Глава 5. Связь интеграла и производной
Действительно, \*(Tj) ^ A + 21+1/")«А(^+1),ибо lj содержится
в шаре с тем же центром, что и Bj+i, и радиусом (l + 21+1/n)rJ+i,
где Tj+i — радиус Bj+\. Это видно из того, что радиус шара В
не превосходит nrj+\, если его мера не больше 2\{Bj+\) (при
растяжении шара в q раз его объем умножается на qn).
Итак, проверяем включение Е\ UfcLi Bk С Ujlm %¦ Пусть х €
Е\U^=i Bk- Поскольку объединение шаров В\,..., Вт замкнуто,
существует окрестность точки х, не имеющая общих точек с этим
объединением. Следовательно, найдется шар В € S, для которого
х € .В и В П Bk = 0, к = 1,..., т. По построению шаров Bk
имеем Х(Вт+1) ^ |А(В). Если В П Bm+i непусто, то Б С Тт. В
противном случае возьмем наименьшее число I > т, для которого
В Г) Bi непусто. Такое число существует, ибо иначе ввиду E.5.1)
меры Bk не могли бы стремиться к нулю. Тогда В П Bj_i = 0,
откуда \{В{) ^ \Х{В). Значит, В € Tj_i, что доказывает нужное
включение.
В случае неограниченного множества Е делим ]Rn на
единичные кубы с попарно непересекающимися внутренностями Qj
и применяем доказанное утверждение к каждому пересечению
EDQj и его подпокрытию, полученному после удаления всех
шаров исходного покрытия, не содержащихся в Qj. В случае кубов
вместо шаров рассуждения аналогичны. ?
Некоторые обобщения доказанной теоремы и родственные
результаты можно найти в последнем параграфе и задачах.
Близкими рассуждениями доказывается и следующее
утверждение, в котором более слабое заключение компенсируется
менее ограничительными требованиями на исходное покрытие.
5.5.3. Предложение. Предположим, что измеримое
множество Е в JRn покрыто набором замкнутых шаров, у которых
радиусы положительны и ограничены в совокупности. Тогда из
этого покрытия можно выбрать такое не более чем счетное
семейство дизъюнктных шаров Bk, что
A(Qs*)Mi + 21+1/nrnA(s).
fc=i
Доказательство. Шары Bk строятся точно также, как и
в теореме 5.5.2 (независимо от того, ограниченно ли Е или нет).
Если ряд из их мер расходится, то доказываемая оценка очевидна.

5.5. Теоремы о покрытиях
Если этот ряд сходится, то берем замкнутые шары VJt с теми же
центрами, что и ??*, но радиусами, умноженными на 1 + 21+1/п.
Остается показать, что Е С U?Li Vk- Для этого берем шар В из
исходного покрытия и проверяем, что В С Ufcli Vfc- Если шар В
вошел в {Вк}, то это очевидно. В противном случае для одного
из построенных шаров Bj имеем
ВуПВф0 и X(Bj) ^ ^А(Б).
Действительно, если построенная последовательность
бесконечна, то \(Вк) -> 0 и берем первое / с X(Bi) < ?А(В). Тогда В
пересекает хотя бы один из шаров В\,..., 2Jj-i, ибо иначе
получилось бы противоречие с выбором В\. Итак, В пересекается с Bj
для некоторого j ^1 — 1. При этом радиус В не превосходит 21/пг,
где г — радиус Bj, так как иначе X(Bj) < \Х(В) вопреки
выбору I. Поэтому В входит в Vj. Если же последовательность шаров
Вк конечна и номера с X(Bi) < ^Х(В) нет, то A(J3j) ^ ^Х(В) для
всех j. Но в этом случае В пересекается с одним из построенных
шаров Bj, ибо в противном случае построение
последовательности шаров не было бы закончено. Как и выше, получаем, что
BcVj. П
В качестве применения теорем о покрытии докажем
следующее полезное утверждение.
5.5.4. Предложение. Пусть f — функция на прямой, Е —
измеримое множество, причем в каждой точке Е функция f
дифференцируема. Тогда
A(/(S))< [\f(x)\dx. E.5.2)
Je
В частности, f на Е имеет свойство Лузина (N). Если же для
всех хЕЕ имеем |/'(ж)| < L, то X(f{E)) < LX(E).
Доказательство. Ясно, что достаточно рассмотреть
случай, когда Е с [0,1]. Кроме того, заметим, что достаточно
доказать последнее утверждение. Действительно, если функция |/'|
имеет конечный интеграл по множеству Е, то для заданного е > О
разобьем [0, оо) на дизъюнктные промежутки Ij = [Lj, Lj+i)
длины ? и положим Ej := {ж € Е: f'(x) € Ij}- Тогда справедливы

400 Глава 5. Связь интеграла и производной
неравенства
X(f(Ej)) ^ Lj+1X(Ej) < / \/'(х)\<Ь + е\(Е1),
что после суммирования по j дает оценку E.5.2) с
дополнительным слагаемым е в правой части.
Итак, считаем далее, что |/'(ж)| < L при х € Е. Пусть е > 0.
Существует открытое множество U, содержащее Е, для
которого X(U) < Х(Е) + е. Для каждого х ? Е найдется такое hx > 0,
что \f(x + h)- f(x)\ < (L + e)\h\ при \h\ ^ hx. Если f(x) > 0,
то hx можно выбрать так, что f(x + h) ^ f(x) при 0 < /i < hx,
если /'(ж) < 0, то выбираем hx так, что f(x — h) ^ /(ж) при
0 < Л < hx, а если /'(ж) = 0, то возможен такой выбор hx, что
\f(x + h) — f(x)\ ^ е/2 при |/i| < hx. Наконец, дальнейшее
уменьшение hx во всех трех случаях позволяет добиться включения
(х — hx, х + hx) С U. В итоге каждой точке fix), где х Е Е,
сопоставлена стягивающаяся к ней система отрезков вида [f(x), f(y)]
или [/(у), f{x)], причем |/(у) - /(ж)| ^ (L + е)|у - х\. Выберем из
этой системы конечную или счетную подсистему дизъюнктных
отрезков Ij с концами в точках fixj) и /(%), которая покрывает
fiE) с точностью до множества меры нуль. При этом отрезки
Aj с концами в Xj и yj дизъюнктны, содержатся в U, причем
\Ij\ ^ (L + e)|Aj|. Следовательно,
A*ifiE)) ^ (L + e)\(U) < (L + е)А(Я) + e(L + е).
Устремив е: к нулю, получаем A* ifiE)) < LA(E'). В частности, это
показывает, что / на Е обладает свойством (N), ибо доказанное
применимо и к подмножествам Е. Наконец, fiE) оказывается
измеримым (что заранее не очевидно). Действительно, Е = N U S,
где JV — множество меры нуль, a S является объединением
последовательности компактов Sn. Множества fiSn) также компактны
ввиду непрерывности / на Е, a /(iV) имеет меру нуль. ?
5.6. Максимальная функция
Пусть / — измеримая функция, которая интегрируема на
каждом шаре. Обозначим через -В(ж, г) замкнутый шар
радиуса г с центром в ж, а через А меру Лебега в Шп (опуская индекс

5.6. Максимальная функция
401
п для упрощения записи). Положим
Mf{x) = sup / |/(у)| dy.
r>0 \{B(x,r)) JB{x,r)
Функция Mf называется максимальной функцией для /. Эта
функция играет большую роль в анализе, в частности, в теории
сингулярных интегралов. Отметим, что функция Mf может
обращаться в +оо как в отдельных точках, так и всюду. Кроме
того, даже для ограниченной интегрируемой функции / функция
Mf не обязана быть интегрируемой. Например, если / —
индикатор [0,1], то Mf(x) = Bх)-1 при х > 1. В следующей теореме
описаны основные свойства максимальной функции.
5.6.1. Теорема, (i) Если f е 1^A1™) при некотором р ^ 1,
то функция Mf почти всюду конечна.
(ii) Если f Е L1(H"), то для всякого t > 0
Л(х: (М/)(х) > t) < ^ / \f(y)\dy, E.6.1)
где Сп зависит лишь от п.
(ш) Если f € L^ffi/1), где 1 < р ^ оо, то Mf € LP(Rn) u
ИМ/" ||lp ^ Cnip||/||?,p, где Сп,р зависит лишь от пир.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем утверждение (ii).
Положим Et = {x: (Mf)(x) > t}. По определению Mf для каждого
х € Et существует такой шар Вх с центром в х, что
/ \f(y)\dy>t\(Bx).
Jbx
Когда х пробегает множество Et, то семейство всех шаров Вх
покрывает Et- При этом \(ВХ) < t_1||/||i,i, т.е. радиусы этих шаров
ограничены. В силу предложения 5.5.3 существует не более чем
счетное множество попарно непересекающихся шаров ВХк этого
семейства, обладающее тем свойством, что f^ Х(ВХк) ^ CX(Et),
где С — некоторая константа, зависящая лишь от п. В силу
выбора шаров ВХк получаем
/ \f{y)\dy >tf]\(BXk) > Ct\{Et).

Глава 5. Связь интеграла и производной
Левая часть этого неравенства не превосходит ||/||x,i-
При р — 1 утверждение (i) вытекает из уже доказанного, а
при р = оо оно очевидно. При доказательстве (i) для р € A, оо)
положим /i = //|/|>i и /2 = fl\f\^i- Тогда |/| < Д + 1 и М/ ^
Mfi + 1, что сводит утверждение к случаю, когда функция /
интегрируема на всем пространстве, ибо f\ е L1(lRra).
Докажем утверждение (Ш). При р — оо функция Mf
ограничена и можно взять C„,iP = 1. Пусть 1 < р < оо. Возьмем
функцию д, совпадающую с / при \f(x)\ ^ ?/2 и равную 0 в
противном случае. Ясно, что д € L1(K") и \f(x)\ ^ |<7(z)| + ?/2,
откуда (Mf)(x) ^ (Мд)(ж) +1/2. Поэтому
Ek := {х: (М/)(Ж) > ?} С {х: (М?)(:г) > t/2},
что в силу утверждения (ii) дает оценку
X(Et)^X(x: (Mg)(x)>t/2)
f \f(y)\dy. E.6.2)
•4l/l>t/2}
,2Cn„ „ 2Cn
J{\f\>t/*}
Пусть F(t) = A(jB(). Согласно теореме 3.4.7 и E.6.2) имеем
/ \(Mf)(x)\pdx = p [ *р-^(*)dt
да Jo
<рГ^(т / l/0/)lVU-
7o V * -/{|/|>t/2} /
Двойной интеграл в правой части этого неравенства вычисляется
с помощью теоремы Фубини. Для этого достаточно заметить, что
интегрирование по t при фиксированном у дает
2CnP\f(y)\ / iP~2dt
Jo
= 2Cnp\f(y)\l2f^lP1 = УСп^Ш?.
Таким образом, указанный двойной интеграл равен
По теореме 3.4.7, получаем, что Mf € ^(Щ."). При этом верно и
нужное неравенство. D

5.6. Максимальная функция
При обсуждении теории дифференцирования мы видели, что
интегрируемая функция / для почти всех х восстанавливается по
своим усреднениям по отрезкам [х — h, х+h] с помощью формулы
Л')=гзж?Г/м*-
Эта формула имеет важное многомерное обобщение, которым мы
сейчас займемся.
5.6.2. Теорема. Пусть функция f интегрируема на каждом
шаре в Ш.та. Тогда для почти всех х справедливо равенство
tojjsbfilw™-'™*'0-
E.6.3)
Для таких точек х, называемых лебеговыми точками (точками
Лебега), имеем
f(y)dy = f(x). E.6.4)
I [
(*,г))Ув(х,г)
-ОЛ(В(:
Доказательство. Докажем сначала, что E.6.4) имеет
место для почти всех х. Можно считать, что / обращается в нуль
вне некоторого шара U (общий случай из этого вытекает
очевидным образом). Тогда / € L1(lRn). Мы хотим доказать, что
множество О тех точек х € U, для которых существует
последовательность таких радиусов rk = rk(x) —> 0, что величины
~~i vT / /(у) dy не стремятся к fix), имеет меру нуль.
\(В(х,Гк)) JB(x,rk)
Докажем, что для каждого натурального m имеет меру нуль
множество Е всех таких точек х € U, для которых
limsup 1 ^ / f(y) dy > f(x) + -. E.6.5)
'-' ' -М JB(x,rk- ~
*->oo \{В(х,Гк(х))) JB(x,rk{*))
Пусть e > 0. Существует непрерывная функция g с ||/ —<7||x,i < ?•
Поскольку для непрерывной функции g равенство E.6.4) верно
для каждого ж, то для всякого х 6 Е соотношение E.6.5) будет
выполняться для функции --/i-¦=¦-/ — g вместо ¦¦/-. Множество Е
содержится в множестве Eq = {ж € U: (Mfi)(x) ^ /i(x) +т~1}.

Глава 5. Связь интеграла и производной
Мера .ЕЬ следующим образом оценивается с помощью
неравенства Чебышёва и E.6.1):
Х(Е0) ^ х(х е Е0: fi(x) ^-^j + \(х Е Е0: fox) > -^)
<2т\\Ш+\(хеЕо: (МД)(х) ^ ^)
< 2гпШУ + 2mC„||/i||Li ^ 2те(Сп + 1).
В силу произвольности е > 0 получаем Х(Е) = 0. Заменяя / на
—/ получаем, что имеет нулевую меру и множество тех х, где
liminf
(В(х,гк(х))) Щх,гкы)
В силу произвольности т получаем, что A(fi) = 0, что и
требовалось.
По доказанному, для каждого с € Ж1 имеется множество Ес
меры нуль, такое, что при х & Ес
Umn ТТШПл\ I 1/(») -с\аУ = I/O*) - с1- E-6-6)
Пусть {cj} — все рациональные числа и Е = \JJLiECj. Пусть
х 0 Е. Тогда E.6.6) выполняется для х и всех рациональных с.
Из оценки |\f(y) — с\ — \f(y) — к\\ ^ \с — к\ вытекает, что равенство
E.6.6) остается в силе для всех вещественных с. Полагая с = /(ж),
завершаем доказательство. П
Множество всех лебеговых точек функции / называется ее
лебеговым множеством или лебеговским множеством.
Отметим, что в силу доказанного для всякой интегрируемой
на каждом шаре функции / имеем Mf(x) ^ \f(x)\ п.в.
Свойства максимальной функции и теорема о
дифференцировании остаются в силе и для многих других семейств множеств
вместо шаров. Например, теорема 5.6.2 верна, если В(х, г) — куб
с ребром г и центром х.
5.6.3. Следствие. Пусть /С — некоторое семейство
измеримых множеств в ГО/1, удовлетворяющее следующему условию:
имеется такое число с > 0, что для всякого К Е 1С
существует открытый шар К@,г), для которого К С К@,г) и
Х(К) ^ сХ(К@,г)). Пусть функция f интегрируема на каждом

5.6. Максимальная функция
шаре в Шп. Тогда для всякой точки х из лебегова множества f
справедливо равенство
*e8fo*mfK тх ~у) ~Ях)Ыу - °- <6-64
В частности,
K^K)^mLj{y)dy=m- E'6-8)
Доказательство. Первое утверждение ясно из оценки
\f(x-y)-f(x)\dy.
K{0,r)) JK(o,r)
Для доказательства второго заметим, что
w)Lnx-y)dy-f{x)=w)L[,{x-y}-'(x)]dy
и что семейство множеств —К, К € /С, удовлетворяет тем же
условиям, что и К.. ?
Однако кубы нельзя заменить на произвольные
параллелепипеды с ребрами, параллельными осям. Точнее говоря,
справедливо следующее утверждение. Пусть 7?о — семейство всех
центрально-симметричных параллелепипедов со ребрами, параллельными
координатным осям, а 72. — семейство всех
центрально-симметричных параллелепипедов.
5.6.4. Теорема, (i) Существует функция f € ЬХ(Ш?), для
которой
limsup / f(x — y)dy = +оо для п.в. х.
fioe72o,diam(Ho)-»0 -Ч-Ко) Уяо
(ii) Существует такое компактное множество К С Ж2
положительной меры, что
liminf / IK(x — y)dy = 0 для всех х.

Глава 5. Связь интеграла и производной
(iii) Если f € ЬР(КГ), где р>1,то
lim / f(x -y)dy = f(x) для п.в. х.
Дое7го,<иат(йо)-о Л(До) Удо
Доказательства можно найти в Гусман [55], Stein [791], где
подробно обсуждаются такого рода вопросы.
5.7. Интеграл Хенстока—Курцвайля
Напомним, что интеграл Римана функции / на [а, Ь]
определяется как предел сумм Y2?=i f(ci)(xi~xi-i)i который должен
существовать при стремлении к нулю параметра S := max \xi—X{-i\,
причем допускаются любые конечные разбиения отрезка [а, Ь]
последовательными точками Xi и любые точки с* € [aJi,Xi+i].
Такой произвол в выборе точек разбиения и точек Cj сильно сужает
класс функций, для которых существует предел. Например, если
допускать лишь разбиения на равные промежутки, а в качестве
С{ брать центры этих промежутков, то класс „интегрируемых"
в таком смысле функций будет существенно шире
римановского. Однако такое прямолинейное обобщение не приводит к
содержательной теории. Более плодотворный подход был развит в
работах Я. Курцвайля, Р. Хенстока, Э. Макшейна и других
исследователей. В этом разделе мы обсудим основные определения
и результаты в этом направлении. Значительно более подробное
изложение можно найти в книгах Gordon [445] и Swartz [806].
5.7.1. Определение. Пусть б(-) — положительная
функция на [a,b]. (i) Отмеченным отрезком (промежутком) будем
называть пару (ж, [с, d]), где [c,d] С [а, Ь], с < d и х € [c,d].
Свободным отмеченным промежутком называется пара (х, [c,d]),
где [c,d] С [а, Ь] и х € [а, 6] (т.е. здесь не требуется включение
xe{c,d]).
(ii) Отмеченный промежуток (х, [с, d]) подчинен S, если
имеем [с, d] С (х — 5(х),х + 8(х)). Аналогично определяется
подчиненность для свободных отмеченных промежутков.
Число х будем называть меткой отрезка [с, d]. Будем
рассматривать конечные наборы V = {(ж», [ci,dj]),i = 1,...,п},
состоящие из отмеченных промежутков [cj,<2j], попарно не
имеющих общих внутренних точек. Такие промежутки будем
называть неперекрывающимися. Набор V называется подчиненным

5.7. Интеграл Хенстока-Курцвайля 407
функции 5, если каждый из отмеченных промежутков V
подчинен S. Если [a, b] = |Jj=i[cj) dj], то V называется размеченным
разбиением (tagged partition). Аналогичная терминология вводится
для наборов свободных отмеченных промежутков; такие наборы
будут обозначаться через Р, чтобы отличать их от наборов V.
Набор неперекрывающихся свободных отмеченных промежутков,
объединение которых есть [а,Ъ], будем называть свободным
размеченным разбиением.
5.7.2. Лемма. Для произвольной положительной функции
S существует подчиненное S размеченное разбиение [а,Ь].
Доказательство. Пусть М — множество всех таких х е
(а, Ь], что наше утверждение верно для отрезка [а,х].
Поскольку 5(a) > 0, то (а, а + S(a)) С М. Непустое множество М имеет
точную верхнюю грань т. Ясно, что т € М. Действительно,
5(т) > 0 и потому существует точка x€Mcx>m — S(m).
Поэтому к размеченному разбиению отрезка [а,х], подчиненному 5,
можно добавить пару (т, [х,т]). Наконец, замечаем, что m = Ъ.
В противном случае существует точка х € (тга,Ь) с х — m < 6(тп),
откуда следует, что х € М, так как к размеченному
разбиению [а, гп], подчиненному S, можно добавить пару (т, [т, х]). ?
Если / — функция на [а, Ь], то всякому набору V
неперекрывающихся отмеченных промежутков сопоставим суммы
Ш,Г) :=?/(*<)(* - <*), /х(Я) := f> - <н).
i=l t=l
Аналогичные суммы /(/, V) и ii(V) сопоставим всякому
свободному набору Р. Если V — разбиение отрезка, то /(/, V) —
римановская сумма; числа /(/, V) называют обобщенными римановскими
суммами.
5.7.3. Определение, (i) Функция / на [а,Ь] называется
интегрируемой по Хенстоку-Курцвайлю, если существует число
I со следующим свойством: для всякого е > 0 найдется такая
функция 6: [а,Ь] —> @,+оо), что \I(f,T) — I\ < е для
каждого размеченного разбиения V отрезка [а,Ь], которое подчинено
функции 8. Число I называется интегралом
Хенстока-Курцвайля функции f и обозначается символом (f-ДС) I /.

Глава 5. Связь интеграла и производной
Функция f называется интегрируемой по Хенстоку-Курцвайлю
на измеримом множестве Е с [а, Ь], если функция /1е
интегрируема по Хенстоку-Курцвайлю.
(ii) Функция f на [а,Ь] называется интегрируемой по Мак-
шейну, если в определении (i) в качестве V можно брать
свободные размеченные разбиения V. Соответствующее число I
называется интегралом Макшейна функции /.
Ясно, что из интегрируемости по Макшейну следует
интегрируемость по Хенстоку-Курцвайлю и равенство обоих интегралов,
поскольку размеченное разбиение является свободным
размеченным разбиением. Как мы увидим далее, интеграл Макшейна
совпадает с интегралом Лебега, что ввиду леммы 5.7.2 дает описание
интеграла Лебега посредством римановских сумм (правда,
неконструктивное; ср. задачу 2.12.104). Интеграл Хенстока-Курцвайля
на отрезке оказывается более общим, чем интеграл Лебега, но
совпадает с последним для неотрицательных функций (или
функций, ограниченных с одной стороны). Ясно, что интегрируемая
по Риману функция интегрируема по Хенстоку-Курцвайлю, ибо
в качестве 8 можно брать положительные постоянные. Подобно
римановскому определению, определения Хенстока-Курцвайля и
Макшейна можно сформулировать без явного упоминания
значений интегралов. Доказательство следующей леммы отнесено в
задачу 5.8.91.
5.7.4. Лемма. Функция f интегрируема на [а, Ь] по
Хенстоку-Курцвайлю в точности тогда, когда для всякого е > 0
наймется такая положительная функция S на [а,Ь], что для
всяких размеченных разбиений V\ иТ>2, подчиненных S, справедливо
неравенство \I(f,V\) — I(f,T>2)\ < е. Аналогичное утверждение
с заменой размеченных разбиений на свободные размеченные
разбиения верно для интеграла Макшейна.
Рассмотрим следующий полезный пример вычисления
интеграла Хенстока-Курцвайля, из которого видна роль функций S.
5.7.5. Пример. Если / = 0 п.в. на [а, 6], то функция /
интегрируема по Макшейну и по Хенстоку-Курцвайлю и
соответствующие интегралы равны нулю.
Доказательство. Пусть е > 0. Положим
Ег = lx: 0 < |/(х)| < 1}, En = lx: п - 1 < |/(ж)| < п}, п > 1.

5.7. Интеграл Хенстока-Курцвайля
Множество Еп имеет меру нуль и обладает окрестностью Un меры
меньше еп~12~п. Множества Еп дизъюнктны. Пусть
г/ч_/1. еслихб [o,b]\U^Li-En,
д[Х) ~ \dist(s, [a, b]\Un), если ж € ?„.
Предположим, что V — свободное размеченное разбиение [а,Ь],
подчиненное 6. Через Vn обозначим поднабор в V, состоящий из
пар (x,[c,d\) с х Е Еп. Ясно, что при этом [c,d] С Un для всякой
такой пары, ибо числа \х — с\ и \х — d\ меньше 8(х), в то время
как 6(х) ^ \х — у\ для всех у € [a,b]\Un. Тогда
т,ю\ < Е |/(/Л)| < f;nA(t/n) < f>2- = ?.
п=1 п=1 п=1
Поэтому интегралы Макшейна и Хенстока-Курцвайля функции
/ равны нулю. ?
Доказательство следующего простого технического
утверждения оставляется в качестве задачи 5.8.92.
5.7.6. Предложение, (i) Если f интегрируема по
Хенстоку-Курцвайлю на [а,Ь], то f интегрируема в этом же смысле
и по всякому отрезку [а,/3] С [о, Ь].
(ii) Если f интегрируема по Хенстоку-Курцвайлю на [а, с]
и [с,Ь], где с € (а, Ь), то / интегрируема в этом же смысле и
по [a,b], причем (Ж) jf f = (Ж)? f + {Ж) ? /.
(Ш) Множество Снк[о-,Ц всех функций на [а,Ь],
интегрируемых по Хенстоку-Курцвайлю, является линейным
пространством, на котором интеграл Хенстока-Курцвайля линеен.
(iv) Если f,g € Снк[а,Ь] и f ^ g п.в., то
(Ж)! f < (Ж) J g.
Из сказанного ясно, что если / интегрируема по Хенстоку-
Курцвайлю на [а, Ь], то для всякого х € [а, 6] определена функция
F(x) = {'HC)JXf. E.7.1)
Мы знаем, что функция f(x) = a;2sin(a;-4) на прямой,
доопределенная равенством /@) = 0, дифференцируема в каждой

410
Глава 5. Связь интеграла и производной
точке, но /' не интегрируема по Лебегу на [0,1]. Следующий
важный результат показывает, что функция /' на всяком отрезке
интегрируема по Хенстоку-Курцвайлю.
5.7.7. Теорема. Пусть f — непрерывная функция на [а,Ь],
которая дифференцируема по всех точках, кроме точек
некоторого не более чем счетного множества С = {с„}. Тогда функция
? {доопределенная, например, нулем в точках С), интегрируема
по Хенстоку-Курцвайлю на [а, Ь], причем
(WC)jfV = /(*)-/(«), V*€[a,b].
Доказательство. Пусть е > 0. Зададим функцию 5 так:
если х $ С, то в силу дифференцируемое™ / в х существует
такое 8(х) > 0, что
|/(и) - f(x) - f'(x)(u - х)\ < е\и - х\, E.7.2)
Vue (х-6(х),х + 5(х))п[а,Ь].
Если х = Сп, то из непрерывности / следует существование такого
6(х) > 0, что
|/(u) - f(v)\ < е2~п, Vu, ve(x- S(x), х + S(x)) П [a, b]. E.7.3)
Пусть V — {(xi,[ai,bi]),i ^ n} — размеченное разбиение [a, 6],
подчиненное 5, Jo — совокупность индексов г с Xi € С, J\ —
совокупность оставшихся г, а Vq и V\ — поднаборы в V,
соответствующие Jo и J\. Тогда для i € J\ из E.7.2) имеем
|/(bi) - П<н) - f{xi){bi - сч)| ^ e(fc - сц).
Заметим, что Stgj0 l/C*») — /С0»)! ^ ^?- Если все ж» с г е Jo
различны, то это сразу следует из E.7.3), причем с е вместо 1с. В
общем случае одинаковые ж, могут появиться лишь как концы
двух смежных промежутков [aj,bj] и [oj, bj] с bi = a.j = Xi = Xj.
Поэтому с учетом нашего соглашения, что /' = 0 на С, получаем
|/(/',7>) - № - /(о)]| ^ |/(/',Pi) - ?[/(*) - /(«*)]|
+ ?|/&)-я«01^ ?(*-«)+&,
i€Jo
что доказывает наше утверждение для z = b, а значит, и для всех
точек z € [а, Ь]. ?

5.7. Интеграл Хенстока-Курцвайля 411
В частности, интеграл Хенстока-Курцвайля в отличие от ле-
беговского решает задачу восстановления всюду
дифференцируемой функции / по /' (хотя отнюдь не так конструктивно, как
интеграл Лебега для абсолютно непрерывных /). Приведем без
доказательства (которое можно прочитать в Gordon [445, гл. 9])
теорему, показывающую, в частности, что интеграл Хенстока-
Курцвайля охватывает несобственный интеграл Римана.
5.7.8. Теорема. Пусть заданная на [а,Ь] функция f
интегрируема по Хенстоку-Курцвайлю на каждом отрезке [c,d\, где
с > a, d < Ь, причем интегралы (WZ) I f имеют конечный
предел при с —> a, d —> Ь. Тогда интеграл Хенстока-Курцвайля
функции f по отрезку [а,Ь] существует и равен упомянутому
пределу.
Ниже нам понадобится следующая лемма, часто
используемая в теории интеграла Хенстока-Курцвайля. Ее доказательство
отнесено в задачу 5.8.93.
5.7.9. Лемма. Предположим, что функция f на [а,Ь]
интегрируема по Хенстоку-Курцвайлю и F задана посредством
равенства E.7.1). Пусть е > О и 8 — такая положительная
функция, что \I(f,V) — F(b)\ < е для всякого размеченного
разбиения V отрезка [о, 6], подчиненного S. Тогда для всякого
конечного набора Vq = {(xi,[ci,di\),i = 1,...,п} неперекрывающихся
отмеченных промежутков, подчиненного S, справедливы
неравенства
\l(f,V0)-J2[F(di)-F(ci))\^e,
i=l
J2\f(xi№ -at)- [F(di) - F{ci)]\ < 2e.
Следующая важная теорема показывает, в частности,
измеримость интегрируемых по Хенстоку-Курцвайлю функций, что
отнюдь не очевидно из определения.
5.7.10. Теорема. Пусть функция f на [а,Ь] интегрируема
по Хенстоку-Курцвайлю, а функция F задана посредством
равенства E.7.1). Тогда F непрерывна на [а,Ь] и почти всюду
имеет производную F'(x), равную f{x). В частности, функция f
измерима.

412 Глава 5. Связь интеграла и производной
Доказательство. Пусть с € [а, Ь] и е > 0. Возьмем
положительную функцию S, соответствующую е в определении
интеграла. Пусть
i/^nun^^l + l/Cc)!)-1).
Если \х — с\ < 77, то пара (с, [ж, с]) подчинена S. Из второй оценки
леммы 5.7.9 получаем
\F(c) - F(x)\ < \F(c) - F(x) - f(c)(c - x)\ + |/(c)(c - x)\ < 3e.
Непрерывность F доказана. Докажем теперь, что D+F(x) = f(x)
почти всюду. Прочие производные числа рассматриваются
аналогично. Положим А := {х € [a, b): D+F(x) ф /(#)}• Для каждого
х € А найдется г(х) > 0 со следующим свойством: для всякого
h > 0 существует ух^ Е (х, х + h) П [а, Ь) с
Иу*,л) - F{x) ~ /(*)(к»,Л - х)\ > r(x)(yXth - х).
Пусть Ап = {х € A: r(x) ^ 1/п}. Нам достаточно проверить, что
\*(Ап) = 0 для каждого п ? IN. Зафиксируем а > 0 и найдем
положительную функцию S, соответствующую числу е — аDп)-1 в
определении интеграла Хенстока-Курцвайля. Поскольку
промежутки [х, yx,h], х € Ап, 0 < h < 6(х), покрывают Ап в смысле
Витали, то из них можно выбрать конечный набор дизъюнктных
промежутков [cj,diL I ^г ^ к, для которых
к
X*(An)<^2(di-ci)+a/2.
По построению набор (с*, [cj,dj]) подчинен функции 5 и
\F(di) - F{a) - /fox* - а)\ > rMidi - а).
Из полученных оценок и леммы 5.7.9 получаем
?> -<*)<;? ^№) - ад - /мм, - ч)|
^ п?|/(<*)D -с,) - [F(di) -F(«)]|< n^ = |.
Итак, A*(An) < а. Окончательно получаем Х(Ап) = 0. ?

5.7. Интеграл Хенстока-Курцвайля
413
5.7.11. Следствие. Если функция f на [а,Ь] интегрируема
по Хенстоку-Курцвайлю и ограничена сверху или снизу, то она
интегрируема и по Лебегу.
Доказательство. Можно считать, что / ^ 0. Функция F,
заданная формулой E.7.1), возрастает. Следовательно, она почти
всюду имеет производную F', которая интегрируема по Лебегу.
Из доказанной теоремы следует, что F'(x) = f{x) почти всюду.
Итак, / интегрируема по Лебегу. ?
5.7.12. Следствие. Если функция f интегрируема по
Хенстоку-Курцвайлю на каждом измеримом множестве Е С [а,Ь],
то она интегрируема и по Лебегу.
Доказательство. Поскольку функция / измерима по
доказанной выше теореме, то в силу условия функции fI{f^o} и
fl{f<0} интегрируемы по Хенстоку-Курцвайлю. Согласно
предыдущему следствию эти функции интегрируемы и по Лебегу, что
дает наше утверждение. ?
Любопытно, что если функция интегрируема по Хенстоку-
Курцвайлю, то функции S из определения 5.7.3 можно всегда
взять измеримыми (см. Gordon [445, теорема 9.24]).
Заметим, что из сказанного пока не очевидно, что
одновременное существование интегралов Лебега и Хенстока-Курцвайля
влечет их равенство. Один из способов установить это — сравнить
оба интеграла с интегралом Макшейна, к рассмотрению которого
мы и переходим.
5.7.13. Лемма. Если функция f на [а,Ь] интегрируема по
Макшейну, то такова же и функция |/|.
Доказательство. Для е > 0 выберем положительную
функцию 6, для которой \I(f,V) — I{f,V)\ < е для всяких
свободных размеченных разбиений ?иР', подчиненных 8. Пусть
V\ = {(xiJi),i ^ JVi} и V2 = {(yj,Kj),j ^ N2} — свободные
размеченные разбиения, подчиненные 6. Взяв невырожденные
промежутки вида Ii<~\Kj, получаем подчиненные 5 свободные
размеченные разбиения
V[ = {(хи1г П Kj),i < JVi, j < N2},
V,2 = {iyiJi^KjIi^Nuj^N2}.

414 Глава 5. Связь интеграла и производной
При этом /(|/|,?0 = /(|/|, Pi), /(|/|,^) = I{\f\&). Следова-
тельно,
\т\Л) - тлЩ = \щяг[) - т\Л)\
^EEli/(^)i-i/(%)ilA№n^)
i=l j=l
Наконец, заметим, что правая часть этого неравенства меньше е.
Действительно, рассмотрим два свободных размеченных
разбиения V и V', подчиненных 6 и заданных так: если f(xi) ^ f(yj), то
относим (xiy IiC\Kj) kV,& (j/j, IiHKj) к V'\ если же /(xj) < f(yj),
то относим (yj, It C\Kj) к V, {xi, IiHKj) кР'. При этом
ATi N2
/(/, P) - /(/, V') = E E i/(*«)" /(W) W* П A»,
что и завершает доказательство. П
5.7.14. Теорема. Функция / интегрируема на [а,Ь] по Мак-
шейну в точности тогда, когда она интегрируема по Лебегу.
При этом оба интеграла совпадают.
Доказательство, (i) Мы можем считать, что [а, Ь] = [0,1].
Пусть / интегрируема на [0,1] по Лебегу и 0 < е < 1. Найдем
такое положительное г] < е/3, что лебеговский интеграл |/| по
множеству А меньше е, если \(А) < ц. Пусть
Еп = {ж: (п - 1)е/4 < /(ж) ^ era/4}, п € Z.
Множества ,ЕП измеримы, дизъюнктны и покрывают [0,1].
Найдем открытые множества UnD Епс \(Un\En) < т/2~1п1C|п|-|-3)-1.
Теперь рассмотрим функцию S, заданную так: при х € Еп
5(х) = dist{x,[0,l]\Un).
Предположим, что V = {(xi,[ai,bi]),i ^ к} — свободное
размеченное разбиение [0,1], подчиненное S. Для каждого г имеется
единственный номер щ с гс» € Ещ. Положим Ai = [a^bi] П Ещ,

5.7. Интеграл Хенстока-Курцвайля
Bi = [ai,bi]\Eni. При х € Ai имеем \f(xi)—f(x)\ ^ е/4. Далее, для
каждого п положим J„ := {j: щ = п} и Сп := \Jiejn Bi. Тогда из
определения 5 получаем
Сп= Ц([<нМ\Еп)сип\Еп,
ieJn
что с учетом включения Xi 6 Еп при г G Jn дает
^ Ё Je(|n| + l)A(^»\^)<|.
Наконец, поскольку множество С = {JneZ Сп имеет меру не боль-
meJ2neZ\(Un\Cn)<T,,TO
к . -
"?jB\f(t)\dt^Jc\f(t)\dt<?-.
Остается воспользоваться следующей оценкой для сумм и
интегралов Лебега, где мы используем также то, что интеграл |/(х») —
f(x)\ по Ai не превосходит еА(^)/4:
\l(f,r) - ff(x)dx\ = |? fbt[f(Xi) - f(x)]dx\
I JO I \jr{ Jai I
< E^ i/(^)-/wi^+E 1/(**)|адо+Е Xl/0r)|d:c <?-
Итак, интеграл Макшейна функции / существует и равен ее
интегралу Лебега.
(ii) Пусть / интегрируема по Макшейну. По лемме 5.7.13 в
этом же смысле интегрируема и функция |/|. Поскольку / и |/|
интегрируемы и по Хенстоку-Курцвайлю, то получаем
интегрируемость / по Лебегу. ?

416 Глава 5. Связь интеграла и производной
5.8. Дополнения и задачи
(!) Теоремы о покрытиях D16). (ii) Точки плотности и точки
Лебега D21). (Hi) Дифференцирование мер на К" D23). (iv)
Аппроксимативная непрерывность D25). (v) Производные числа и
аппроксимативная дифференцируемость D26). (vi) Класс ВМО D29).
(vii) Весовые неравенства D30). (viii) Меры со свойством
удвоения D31). (ix) Производная в смысле Соболева D33). (х) Формулы
площадей и коплощадей и замена переменных D36). (xi)
Поверхностные меры D38). (xii) Разложение Кальдерона-Зигмунда D40).
Задачи. D41)
5.8(i). Теоремы о покрытиях
Следующая интересная теорема о покрытиях получена А.С. Бези-
ковичем.
5.8.1. Теорема. Для каждого п е IN существует такое
число Nn € IN, что для всякого набора Т невырожденных замкнутых
шаров в П1п с равномерно ограниченными радиусами можно найти
поднаборы J7!,...,Рып С Т, каждый из которых состоит из не более
чем счетного множества дизъюнктных шаров, причем множество
центров шаров из Т покрыто шарами из Т\ U • • ¦ U Tn„ ¦
Доказательство. Шары из Т будем обозначать через B(a,r), а
множество их центров через А. Сначала предположим, что А
ограничено. Пусть R = sup{r: В(а,г) € Т]. Найдется Вг = В{а1,п) € 7 с
г\ > ЗД/4. Шары Bj, j > 1, выберем индуктивно следующим образом.
Положим А5 = A\l%ZlBi. Если множество Aj пусто, то построение
закончено и, полагая J := j — 1, мы получаем J шаров Bi,...,Bj. Если
же Aj непусто, то выбираем Bj = B(aj,Tj) G Т так, что
а, е Aj и гj > - supjr: В(а,г) ?f,a€ Aj\.
В случае бесконечной последовательности Bj положим J = оо.
Отметим следующие свойства построенных объектов:
(a) при j > i имеем rj ^ 4rj/3,
(b) шары B(aj,rj/3) дизъюнктны и при J = оо имеем г^ —> О,
(c)Ac\JJj=1B(aj,rj).
Свойство (а) следует из определения г* и включения aj ? Aj С Ai.
Теперь (b) видно из того, что при j > г имеем uj g Bt, откуда |сц — а,| >
П > n/3 + rj/Z согласно (а). В силу ограниченности А получаем Tj —> О
в случае бесконечной последовательности. Наконец, (с) очевидно при
J < оо. Если J = оо и В(а, г) ? Т, то найдется Tj с Tj < Зг/4, откуда
а € Ц?~ * Bi по построению г,.

5.8. Дополнения и задачи 417
Зафиксируем к > 1 и положим
h := {j: j<k, Bj ПВкф0}, Мк := 1к П {j: г,- < 3rfe}.
Покажем, что
Card(Mfc) < 20". E.8.1)
Действительно, если j € Мк и а; € B{a.j,Tj/Z), то шары Bj и В&
пересекаются и г,- ^ дгк, что дает
|ж - ак\ < |х - aj| + |а,- - afc| < -^- + rj + rfc ^ 5rfe,
т.е. B(a,j,rj/3) С S(a/t,5rfc). В силу дизъюнктности B(a.j,rj/3) и
свойства (а) получаем
An(B(afc,5rfc)) > ? Xn(B(aj,rj/3))= ? <?nr?3-"
i?Mfc jeAffc
> Л спгк±~п = Card(Mfc)Cnr^4-n,
jeM„
где An(S(a, г)) = Cnrn. Поэтому из полученных оценок следует
неравенство 5" ^ Card(MfeL-n.
Оценим теперь мощность ЛДМ*. Рассмотрим два различных
элемента i,j G h\Mk. Тогда 1 ^ i,j < к, В,Г\Вк ф 0, B,-nBfc ф0,п> Згк,
Tj > Згк. При этом \<ц\ < г г + г к и |oj| < г,- + rfc. Пусть в € [0,7г] — угол
между at — afc и а7 — ajt- Наш следующий шаг — доказательство оценки
в > в0 := arccos 61/64 > 0. E.8.2)
Для упрощения обозначений будем считать, что а* = 0. Тогда 0 = а.к &
BiUBj и и < \di\, rj < \uj\. Кроме того, можно считать, что \<ц\ ^ |а,-|.
Таким образом,
Згк <г{< |<ц| ^rt+ гк, Згк < г6 < \a.j\ < Tj + гк, \ai\ < |а,-|.
Заметим, что если cos в > 5/6, то <ц € Bj. Действительно, если имеем
\Oi - Oj\ ^ \а,\, то
COS°- 2\ai\\aj\ <2|e,|<2<6-

Глава 5. Связь интеграла и производной
Если же \щ — aj\ ^ \a,j\, но а, ^ Bj, то Tj < \<ii — dj\ и потому
2|ai|K|
[ail (|aj|-|o<-Oj|)(lajl + |ai-ajl)
" 2K| + 2|<ц||а,|
1 rJ+rfc-rj,5
где было использовано неравенство \a,j\ + \сц — a,j\ < 2\a,j\.
Докажем теперь следующее утверждение:
0< |ai -Oj| + |ai| -\a,j\ ^ -(I-cos 6)\a,j\, если a€ 6 ?,. E.8.3)
Действительно, поскольку щ € Bj, то i < j. Значит, Oj ? Bj и потому
\сч - a,j\ > r-j. Тогда (соглашение, что |aj| < |a,| остается в силе)
Q < lai-oji + lml-lajl < \<ц - a,j\ + \<н\ - |oj| |<ц - о,| - \щ\ + |qj|
|a,-| ^ |a,-| |ai-aj|
_ |fli - flj|2 - (jgjl - |Qi|J = 2\at\(l - cosfl)
Ml«4-aj| |a«-aj|
^(ri + rk)(l-coS0)^S s9)
п з
Теперь мы получаем E.8.2). В самом деле, если cos# < 5/6, то тем более
cos в ^ 61/64. Бели же cos в > 5/6, то по доказанному имеем a* € Bj.
Тогда г < j и потому a, ^ Bj. Значит, г* < |aj - a,-| ^ Tj. Кроме того,
Tj < 4rj/3. Следовательно, ввиду оценки г^ > Згк, получаем
|<ц - aj\ + \oi\ - |о,-| >и+п-г,-гь>Ц-гк7* |(г, + г*) > ||а^|,
что дает |а,-|/8 ^ |A - со8 0)|а,-| ввиду E.8.3). Итак, cos0 < 61/64.
Из доказанного следует, что существует такое число Кп е IN,
зависящее лишь от п, что
CardGk\Mfc) ^ Кп. E.8.4)
В самом деле, зафиксируем такое S > 0, что если х — вектор с |х| = 1
и у, г € В(х,5), то угол между у и z меньше 90 = arccos61/64. Пусть
Кп — наименьшее натуральное число из таких чисел I, что единичная
сфера может быть покрыта I шарами радиуса 8 с центрами на этой
сфере. Тогда сфера дВк может быть покрыта Кп шарами радиуса Srk
с центрами на дВк. Согласно E.8.2) для всех различных i,j € h\Mk
угол между а» и а,- (мы считаем, что ак = 0) не меньше во, откуда
видно, что лучи, порожденные векторами а* и а,, не могут пересекать

5.8. Дополнения и задачи
один и тот же шар радиуса S с центром на дВк, в частности, они не
могут пересекать один и тот же шар из взятого выше покрытия Кп
шарами. Из этого следует E.8.4).
Теперь положим Ln = 20" + Кп + 1, Nn = 2Ln. Тогда
CardGfc) = Card(Mfc) + CardGfc\Mfc) < 20" + Kn < Ln.
Перейдем к выбору J-г. Зададим отображение
а: {1,2,...}-»{1,...,?„}
следующим образом: <т(г) = г при 1 < г ^ L„. При k ^ Ln задаем
а{к + 1) так: согласно сказанному выше,
Card{j: 1 < j < fc, В,- Г) Вк+1 ф 0} < Ln,
т.е. найдется наименьший номер I S {1,..., Ln} с Bk+i Г\ Bj = 0 для
всех таких j € {1,..., к}, что a(j) = I. Полагаем <т(к + 1) = I. Наконец,
ГГ.= {Вц a(i)=j}, J < Ln.
Из определения «г ясно, что каждый набор J-j состоит из дизъюнктных
шаров. Легко видеть, что каждый шар В* попадает в какой-нибудь
набор Tj, откуда
Осталось рассмотреть случай неограниченного множества А. Положим
Ai = An{x: 6i?(Z-l) ^ |х| < 6RI}, а через J7'обозначим семейство всех
шаров из J7, центры которых лежат в Ai. По доказанному, для каждого
Z найдется не более чем счетный поднабор .Fj, j ^ Ln, дизъюнктных
шаров, объединение которых покрывает Aj. Поскольку радиусы всех
шаров не превосходят Д, то никакой шар из набора Т1 не может
пересекаться с каким-либо шаром из набора Т1+2. Остается для каждого
j < Ln взять набор Tj = |J~i 7f~x и набор .Fj = |J~i .Ff, что
завершает доказательство. ?
5.8.2. Следствие. Пусть m — некоторая внешняя мера Каратео-
дори на Ж", причем В(Ш.п) С 9Ят. Предположим, чтоТ — некоторый
набор невырожденных замкнутых шаров, центры которых образуют
множество А, причем т(А) < оо и для каждого а е А и каждого
е > 0 в Т найдется шар К(а, г) с г < е. Тогда для всякого непустого
открытого множества U С И" можно найти не более чем счетный
набор дизъюнктных шаров Bj € Т, для которых
[JBjCU и т((АлС0\рВ,-)

Глава 5. Связь интеграла и производной
Доказательство. Пусть Nn — константа из теоремы выше.
Зафиксируем а € A - l/Nn, 1). Покажем, что в Т существует конечный
набор дизъюнктных шаров В\,..., Вкг со следующим свойством:
fcl / fel ч
(J Bj С U, хл({А П U)\ (J Bj) < олп(А П U). E.8.5)
Для этого обозначим через Т1 часть J7, состоящую из шаров радиуса не
больше 1, лежащих в U. По теореме Безиковича существуют наборы
Т\,..., .Fj\r„> каждый из которых состоит из дизъюнктных шаров из
Т*, причем
N„
AnUc [J (J В.
Я=1 ват)
Поэтому
т(Ап?/)<?>((Лп[/)п(и В)).
j=i ^ ват) '
Значит, найдется j € {1,..., Nn} с
тЦА П С/) л ( (J в) J > jj-m(A П ?/)•
^ ват) ' п
Следовательно, существует конечный набор J5i,..., В^ € Fj, для
которого
т((А П U) П (Q Д)^ > A - а)т(Л П *7),
что дает E.8.5), ибо
т{Апи) = т((Апи)п(^ВгУ\+т((Апи)\(^В^
в силу тп-измеримости множеств Bj.
Теперь положим [72 := I7\ Ujii &j и рассмотрим семейство .F2 всех
шаров из Т с радиусом не более 1, содержащихся в TJi- Множество СГ2
открыто, и, по доказанному, найдется конечный набор дизъюнктных

5.8. Дополнения и задачи
шаров JBfel+i,..., Вк2 из Т2 с UjUi+i Вз с и* и
fc2 к2
m((AnU)\[JBj)=m((AnU2)\ \J Bj)
j=i i=fci+i
< ат(А Л Е/2) < а2т(А Г) ?/).
По индукции получаем такую последовательность дизъюнктных шаров
Bj из J", что
кР
т((Л П ?/)\ |J В,-) < арт(^ П G).
Поскольку т(Л) < оо и ар —» 0, то получаем требуемое. D
Отметим, что множество А не обязано быть т-измеримым.
5.8.3. Следствие. Пусть т — внешняя мера Каратеодори на Ю.™
и B(JRn) С Шт. Тогда для всякого непустого открытого множества
U С Шп с m(U) < оо существует не более чем счетный набор таких
невырожденных открытых шаров Bj С U с попарно
непересекающимися замыканиями, что m.(ll\U^li В Л = 0.
Доказательство. Для каждой точки о € U возьмем все
замкнутые шары В(а,г) С U с г > 0 и т(дВ(а,г)) = 0. В силу счетной
аддитивности m на 9Лт и условия m(U) < оо среди континуума
множеств дВ(а, г), г > 0, не более чем счетное число имеют положительные
меры. Поэтому можно найти числа Tj(a) —> 0 с т(сШ(а, J"j(a))) = 0.
Остается заметить, что множество центров наших шаров совпадает с
U и применить предыдущее следствие. ?
Последнее следствие очевидным образом распространяется на
множества U, которые можно представить в виде счетного объединения
дизъюнктных открытых множеств и множества меры нуль.
5.8(ii). Точки плотности и точки Лебега
Пусть А — измеримое множество в Ж" с мерой Лебега А„. Точка
х ? К™ называется точкой плотности А, если
а л„(вA,г)) -1-
Точка плотности множества может не содержаться в этом
множестве. Поскольку почти каждая точка х является точкой Лебега
функции 1а, то почти всякая точка х € А является точкой плотности для А.

Глава 5. Связь интеграла и производной
В частности, всякое множество положительной меры имеет точки
плотности. Если указанный выше предел существует (но не обязательно
равен 1), то говорят, что в точке х множество А имеет плотность.
Укажем некоторые применения точек Лебега.
5.8.4. Теорема. Пусть д — интегрируемая функция,
ограниченная на шарах, I g{y)dy = 1, де(у) = ?~пд(у/е), е > 0 и / — ограни-
ченная измеримая функция. Предположим, что хо — точка Лебега
функции /. Тогда
f(x0) = Urn / * Qs(xo). E.8.6)
Доказательство. Пусть |/| ^ С. Можно считать, что f(x0) = 0.
Зафиксируем S > 0. Существует такое R > 0, что
J\y\2R /С + 1
Положим М = Rn sup |p(.z)|. Поскольку хо — точка Лебега и f(xo) = 0,
\zKR
то существует такое го > 0, что при всех г € @, го)
Пусть теперь е < ГоД-1. Тогда г := eR < го и потому с учетом оценки
Rn\g(y/e)\ < М при |у| ^ г получаем
I/ f(x0-y)ge(y)dy\^ [ \f(x0-y)\\ge(y)\dy
< / |/(х0 - У)Ы(У)\ dy+ [ C\ge(y)\ dy
J\vKr J\y\>r
- I r~n\f(x0 - y)\Rn\g(y/e)\ dy + C f \g(z)\ d
\<s.
. . )\dz
J\y\>R
. 5M 6C
s 2M + 1 + 2C + 1
что доказывает наше утверждение. ?
Аналогичное утверждение справедливо и при некоторых других
условиях на д, что обсуждается в книгах Стейн [165], Stein [791].

5.8. Дополнения и задач!
5.8.5. Теорема. Пусть f — 2п-периодическая функция,
интегрируемая на [0,27г]. Тогда для всякой ее точки Лебега справедливы
равенства
f(x) = lim <т„(о;) = — + lim Vj[ancosnx + 6nsinnx]r™,
где оп(х) — сумма Фсйера D.3.7), о числа а„ и Ьп определены, равен-
ством D.3.5).
Доказательство вынесено в задачу 5.8.83.
5.8(iii). Дифференцирование мер на И™
Пусть finv — неотрицательные борелевские меры на Ж", конечные
на шарах. Для х € Ш,™ положим
причем в случае, когда ц{В{х, г)) = 0 для некоторого г > 0, полагаем
D^ix) = D^u(x) =+оо.
5.8.6. Определение. Если D^vix) = D^i/fa) < +оо, то число
Dpi/ := ?>д1/(ж) = D^ulx) будем называть производной v
относительно у, в точке х.
5.8.7. Лемма. Пусть 0 < с < оо. Тогда
(i) Если А С {х: D^x) ^ с}, то v*{A) < сц*(А),
(ii) Если А с {ж: D^x) > с}, то и*(А) ^ сц*(А).
Доказательство, (i) В силу свойств внешней меры достаточно
доказать наше утверждение для ограниченных множеств А. Пусть А С
{х: Dflv{x) ^ с}, е > 0 и U — открытое множество, содержащее А.
Обозначим через Т класс всех замкнутых шаров В(а, г) с U с г > О,
a G А и i/(l?(a,r)) < (с + e)^(S(a,r)). Из определения D^i/ следует,
что inf{r: В(а,г) G J-} = О для всех a G А В силу следствия 5.8.2
найдется не более чем счетное семейство дизъюнктных шаров Bj € Т
с "(^\ U^Li Bi) = °. откуда
v*{A) < ?>ф) ^ (c + ?)f>(B,-) ^ (с + е)м(^).

424 Глава 5. Связь интеграла и производной
В силу произвольности U Э А получаем нужную оценку. Аналогично
доказывается утверждение (Н), надо лишь в качестве Т брать класс
шаров с v(B(a,r)) > (с - е)ц(В(а,г)). П
5.8.8. Теорема. Пусть ц uv — неотрицательные борелевские
меры на Ш", конечные на шарах. Обозначим через иас абсолютно
непрерывную компоненту меры v относительно /х (т.е. v = vac + vs, где
Vac <- Ц « vs ± /х). Тогда функция D^v определена и конечна ц-почти
всюду. Кроме того, эта функция ц-измерима и служит плотностью
Радона-Никодима меры vac относительно /х.
Доказательство. Ясно, что теорема легко сводится к конечным
мерам. Мы проверим сначала, что функция D^v существует и конечна
^-п.в. Пусть S = {х: D^x) = +оо}. Из доказанной выше леммы 5.8.7
вытекает, что xx(S) = 0. Пусть 0 < а < b и
S(a,b) = {х: D^vix) <a<b< D^x) < +оо}.
По этой же лемме 6xx*(S(a,6)) ^ u*(S(a,b)) < а/х*(S(a,Ь)), откуда
fi*(S(a,b)) = 0, ибо а < Ь. Поскольку объединение множеств S(a,b)
по всем положительным рациональным а и b имеет /z-меру нуль, то
первое утверждение доказано.
Заметим, что функции х н-> ц(В(х, г)) и х •—> i/(i3(x,r)) —
борелевские (это видно, например, из задачи 5.8.90). Поэтому /х-измеримы
функции Д, заданные так: Д(ж) = v{B(x,l/k))/pi(B(x, 1/fc)), если
fi(B(x, 1/fc)) > 0 и fk{x) = +оо в противном случае. Значит, /х-измери-
ма и функция DpV = lim Д.
Перейдем ко второму утверждению. Предположим сначала, что
v -С /х. Из леммы 5.8.7 ясно, что множество Z = {х: Dfli/(x) = 0}
имеет /х-меру нуль. Значит, v(Z) = 0. Пусть А — борелевское
множество и t > 1. Положим
Am:=Af){x:tm^Dliu(x)<tm+1}, т € Z.
Множества Ат покрывают А с точностью до множества 1/-меры нуль,
ибо 1/-п.в. имеем Dfli/(x) > 0. Поэтому с учетом леммы получаем
+оо +оо
V{A)= Yl "Мт)< ? *т+1мдп)
+°° Г г

5.8. Дополнения и задачи
425
Эта оценка верна для всякого t > 1. Поэтому v{A) ^ / D^udfj,. Ввиду
оценки v(Am) > Ьтц(Ат) аналогично получаем, что v{A) > / D^t/dfi.
Итак, DpV — плотность Радона-Никодима меры v относительно \i.
Для завершения доказательства остается проверить, что D^v^ = О
/х-п.в. Возьмем борелевское множество В, для которого v8(B) = 0 и
ц(Шп\В) = 0. Пусть с > 0 и Вс = В П {х: D„va(x) ^ с}. Тогда
сц(Вс) ^ vs(Bc) = 0, откуда fi(Bc) = 0. Следовательно, D^Va = 0
/х-п.в. на В. ?
5.8(iv). Аппроксимативная непрерывность
Пусть функция / задана на измеримом множестве Е С Ш.п. Будем
говорить, что / аппроксимативно непрерывна в точке х € Е, если
существует такое измеримое множество Ех С Е, что х является точкой
плотности Ех и lim f(y) — f(x). Это свойство можно
сформулировать (задача 5.8.81) в виде равенства aplim f(y) = f(x), где аппрок-
у->Х
симативный предел aplim f(y) определяется как такое число р, что при
всяком е > 0 множество {у G Е: \f(y) — р\ < е} имеет х точкой
плотности.
5.8.9. Теорема. Всякая конечная измеримая функция на
измеримом множестве Е почти всюду на Е аппроксимативно непрерывна.
Доказательство. По теореме Лузина для всякого е > 0
существует непрерывная функция д, для которой мера тех точек и:» Е, где
/ ф д, меньше е. Удалив из множества {х € Е: f(x) = д{х)} все точки,
не являющиеся его точками плотности, получим множество А такой
же меры. Поскольку / = д на А и всякая точка из А является точкой
плотности для Л, то с учетом указанного выше равносильной)
описания аппроксимативной непрерывности / аппроксимативно иепрерыпна
в каждой точке из А. В силу произвольности е теорема доказана. D
Другое доказательство получается из задачи 5.8.80. Оказывается,
что предыдущую теорему можно обратить. Предварительно докажем
следующий любопытный факт.
5.8.10. Лемма. Пусть {Еа} — произвольное семейство шмери-
мых множеств в Жп. Обозначим через Е* множество точек
плотности Еа. Тогда множество Е = Ц» Е% измеримо.
Доказательство. Можно считать, что все множества Е„
содержатся в одном кубе, перейдя к их пересечениям с фиксированным
открытым кубом. Найдем такие борелевские множества А с Е и И > Е,

426 Глава 5. Связь интеграла и производной
что Х*(Е) = Х(А) и Х*(Е) = Х(В), где А — мера Лебега. Предположим,
что Е неизмеримо. Тогда A(J3\A) > 0 и Х*(Е\А) > 0. Поскольку почти
всякая точка множества В\А является его точкой плотности и Е\А с
В\А, то среди таких точек найдется х ? Е\А, ибо в противном случае
мы бы имели Х(Е\А) = 0. Следовательно, х ? Е% для некоторого а.
Тогда х является и точкой плотности множества Еа П (В\А) = Еа\А.
Это означает, что Х(Еа\А) > 0. Поскольку Еа\А с Е\А, то приходим
к противоречию с тем, что Х(А) = Х»(Е). ?
5.8.11. Теорема. Предположим, что Е С Нп — измеримое
множество и функция f:E—*JR почти всюду на Е аппроксимативно
непрерывна. Тогда f измерима.
Доказательство. Пусть г € Ш и А = {х е Е: f(x)<r}.
Обозначим через С множество всех точек, в которых / аппроксимативно
непрерывна. Пусть х ? АПС. По определению, существует такое
измеримое множество Сх С Е, что точка х входит в множество Сх и
является его точкой плотности, а функция / непрерывна на Сх.
Поскольку f(x) < г, то можно найти такой открытый шар Ux с центром
в х, что f(y) < г для всех у € Ux П Сх. Положим Ех = Ux П Сх. Ясно,
что х входит в множество Е* всех точек плотности множества Ех, так
что множество А' = UxeAnc ^х содержит А П С. Итак, А П С С А' С А,
что дает равенство А = A' U (А\С). По лемме А' измеримо. Поскольку
А\С имеет меру нуль, то А измеримо, что означает измеримость /. П
5.8(v). Производные числа и аппроксимативная
дифференцируемость
Как известно, бывают нигде не дифференцируемые функции.
Следующий неожиданный результат (его первая часть — теорема Данжуа-
Юнг— Сакса) показывает, в частности, что множество точек дифферен-
цируемости произвольной функции измеримо.
5.8.12. Теорема. Пусть f — произвольная функция на [а,Ь].
Тогда для п.в. х ? [а, Ь] либо (a) f'(x) существует и конечна, либо
(b) -оо < D+f(x) = D-f(x) < +оо, D~f(x) = +оо, D+f(x) = -со,
либо
(c) -оо < D-f(x) = D+f(x) < +оо, D+f(x) = +оо, D-f(x) = -оо,
либо
(d) D+f(x) = D~f(x) = +co, D+f(x) = D-f{x) - -co.
При этом верхняя производная Df и нижняя производная DJ
измеримы как отображения со значениями в [—оо,+оо].
В частности, измеримо множество D всех точек, в которых f
имеет конечную производную, причем функция f на D измерима.
Более того, D — борелевское множество и f'\o — борелевская функция.

5.8. Дополнения и задачи 427
Доказательство. Проверим, что п.в., где ?>/_(ж) > — оо,
выполнено равенство Df- (х) = D+f(x) < +00. Остальные комбинации
производных чисел сводятся к этой после перехода к функциям —/(ж),
/(—х), — /(—х). Положим Е = {ж: D/_(x) > —00}. Множество Е
является объединением множеств
Егп := {xeE:x>r, /W ~ /Ы > -n,V» € (г,х)}
I х-у а ')
по всем рациональным г € (о, Ъ) и всем целым п > 0. Проверим наше
утверждение для п.в. х из фиксированного -EViTl. Переход к функции
/(ж — г) + пх сводит проверку к случаю одного ?b,o- Заметим, что /
на Enfi монотонна и потому может быть продолжена до монотонной
функции на интервале, содержащем Еп$. Из теоремы о дифференци-
руемости монотонной функции почти всюду следует, что множество
тех точек х 6 Еп,о, в которых не существует конечного предела
разностного отношения [f(y) — f(x)]/(y - х) при у —> х, у G J3o,o, имеет
меру нуль. Удалив из -Е0,о это множество и множество точек Е, не
являющихся точками плотности замыкания Еп?, получим множество En,
отличающее от Ео,о на множество меры нуль. Пусть х € Еп. Если у —> х
и у € Еп, то [/(у) - f(x)]/(y — х) имеет конечный предел L{x) в силу
выбора Еп. Тогда ?)/_(ж) ^ L(x) ^ D+f(x). Пусть уп —» х и уп ? Еп.
Так как х есть точка плотности Еп, то найдутся zn 6 Еп с z„ > уп,
такие, что \zn - х\/\уп -х\ < (п + 1)/п. Тогда f(zn) > f(yn) и потому
при уп> х имеем
[/Ы - /(х)]/(у« -*)<(» + ljn-1!/^) - /(*)]/(*» - х),
откуда D+f(x) ^ L(x). Аналогично проверяем, что ?)_/(х) ^ L(x).
Итак, D+f[x) = D-fJx).
Пусть А = {х: Df(x) > 0}. Точка х € А тогда и только тогда,
когда можно найти теКи последовательность hn —> 0 с /in ф 0 и
/(ж + /in) - /(х) ^ m_1|/i„|. Для каждой пары fc,m ? IN обозначим
через Jk,m объединение всех таких отрезков [х, х + h] (по всем х, для
которых они есть), что \h\ ^ к~* и /(ж + h) — f(x) ^ m_1|/i|. Тогда
А = Um=i Hfcli Л,т- Это следует из упомянутой характеризации А и
того, что если
xe[z,z + h], 0<ft<fc-1, f(z + h) - f(z) ^ m_1A,
то |x—2J ^ fc_1, |г+/г—x| ^ А;-1 и выполнено хотя бы одно из неравенств
f(z + h)- f{x) > rrrx{z + h-x), f{x) - f(z) > m-^x - z).
Множество Jk,m измеримо в силу задачи 1.12.75(i). Поэтому А
измеримо, что дает измеримость Df, ибо можно перейти к функции /(х) — сх.
Переход к —/ показывает измеримость Df. Поэтому измеримы D и

Глава 5. Связь интеграла и производной
f'\o- На самом деле они борелевы. Для этого заметим, что множество
С точек непрерывности / (оно содержит D) есть счетное пересечение
открытых множеств, ибо оно состоит из точек, где колебание /
равно нулю (задача 2.12.64), а множество точек, где колебание / меньше
? > 0, открыто. Значит, для фиксированных тДеК множество Ст,к
таких х € С, что при некотором у ? [а,Ь] с 0 < |а; — у\ < к-1 имеем
{/{у) — КХ))/(У — х)> m_1, является борелевским (как открытое
подмножество С). Тогда борелево и множество В = {х е С: Df(x) > 0},
ибо В = \Jm=if)kLiCm,k- Применяя это соображение к функциям
f(x) -пита- f(x), получаем борелевость {х € С: Df(x) > г} и
{х € X: Df(x) < г}. Из этого следует, что D — борелевское
множество и J'\d — борелевская функция. ?
В теореме Данжуа-Юнг—Сакса можно вместо отрезка взять любое
множество А и рассматривать соответствующие производные по А. Об
измеримости производных чисел см. Сакс [160, §IV.4].
5.8.13. Лемма. Пусть f — функция на [а, Ь] и Е — множество
всех точек, в которых f имеет ненулевую производную. Тогда для
всякого множества Z меры нуль множество f~1(Z)nE имеет меру
нуль.
Доказательство. Множество Е измеримо по теореме 5.8.12, а
функция / непрерывна на Е, значит, / измерима на Е. Теперь
достаточно доказать наше утверждение для множеств вида Ef){f > п-1} и
EC\{f < — п-1}. Поэтому достаточно вместо Е рассмотреть множество
А = {х: f'(x) > I}. Далее сводим все к множествам
АГ = Ап{х: /(x)-/(y)>l,Vye(r,*)}, r€Q.
( х -у )
Теперь можно ограничиться множеством Aq. Удалив из Aq все
точки, не являющиеся точками плотности, получаем множество В той же
меры. При этом функция / на В оказывается возрастающей. Теперь
возьмем е > 0 и найдем открытое множество U D Z меры меньше е.
Каждая точка х G В Л f~1(Z) обладает последовательностью
стягивающихся окрестностей Ux<n = (х — rn,x + r„), гп = гп(х), для которых
x-rn,x + rn е В, f(x + rn)-f(x-rn) > 2г„ и (/(ж-гп),/(х + г„)) С U.
По теореме Витали 5.5.1 в наборе всех таких окрестностей,
покрывающих В, можно найти не более чем счетный поднабор дизъюнктных
окрестностей (х„ — гп, хп + гп), который покрывает В Г) f~1(Z) с
точностью до множества меры нуль. Остается заметить, что интервалы
(f(x—rn), f(x+rn)) дизъюнктны в силу возрастания / на В, а сумма их
длин меньше е, ибо они входят в U. Поскольку 2rn < f(x+rn)—f(x—rn),
то сумма длин интервалов (хп — гп,хп + гп) также меньше е. ?

5.8. Дополнения и задачи 429
Пусть Е С Жп. Отображение /: Е —> Ш называется
аппроксимативно дифференцируемым в точке хо ? Е, если существует такое
линейное отображение L: Шп —* Et , что
арЦш^-^-Дх-х0)|=0
х-*хо \Х — Xq\
Отображение L назьтается аппроксимативной производной / точке хо
и обозначается через ар/'(хо). Аналогично определяются
аппроксимативные частные производные apdXj/(xo), для чего / рассматривается
на прямых хо + Ьвг. Существование аппроксимативных частных
производных существенно слабее существования обычных частных
производных.
Отметим следующую важную теорему Уитни [865] (доказательство
можно найти также в Федерер [179, §3.1]).
5.8.14. Теорема. Пусть f:E—> Ш1 — измеримая функция на
измеримом множестве Е С Ш." с мерой Лебега А. Тогда следующие
условия равносильны:
(i) / п.в. на Е аппроксимативно дифференцируема,
(ii) / п.в. на Е имеет аппроксимативные частные производные,
(ш) для всякого е > 0 найдутся замкнутое множество Ее С Е и
функция f? е Cx(IRn), для которых Х(Е\Е?) < е и f\Bs = Л|ве-
5.8(vi). Класс ВМО
Рассмотрим одно интересное пространство функций, связанное с
максимальной функцией. Будем говорить, что локально интегрируемая
функция / принадлежит пространству функций ограниченной средней
осцилляции ВМО(Н™) (сокращение от "bounded mean oscillation"), если
для некоторого А > 0 для всех шаров В выполнено неравенство
j±jj/bi/W-w*<4
где /в := Х(В) I f(y)dy и А — мера Лебега. Наименьшее возмож-
Jb
ное А обозначается через ||/||вмо- После факторизации по константам
ВМО(Нп) с нормой || • Цвмо превращается в банахово пространство.
Примеры неограниченных функций из BMO(]Rn) приведены в
задаче 5.8.88. Если / € ВМО(ПГ), то функция |/(х)|A + N)-"-1
интегрируема. Отметим следующие важные оценки Джона-Ниренберга.

Глава 5. Связь интеграла и производной
5.8.15. Теорема. Пусть f G BMO(lRn). Тогда для всех р > О
функция |/|р локально интегрируема, причем для некоторой
константы Сп,р, не зависящей от f, имеем
щ^ l/-/B|*dr<cn>p||/||SMO
для всякого шара В. Кроме того, существуют такие числа ki(n) и
А^г(п), что для всех t > О и всех шаров В имеем
Х(х G В: |/(х) - fB\ > t) < *1(п)А(В)еч>(-*2(п)«/||/||вмо).
Из последнего неравенства следует, что при с < к^п) имеем
/ exp(c|/-/B|)dx<oo.
Jb
Доказательства упомянутых фактов можно найти в Stein [791].
5.8(vii). Весовые неравенства
Обозначим через Ар, 1 ^ р < оо, класс всех локально
интегрируемых неотрицательных функций ш на Ж", для которых при некотором
С > 0 для каждого шара В выполнено условие
где р1 = р/(р — 1) и А — мера Лебега. Принадлежность ш к Ар
равносильна тому, что при некотором С > 0 для всех неотрицательных
ограниченных / и всех шаров В выполнено неравенство
Ш)р ^ ^(J^dx)'1 J fudx. E.8.7)
Класс Ар следующим образом связан с пространством ВМО(Жп).
5.8.16. Теорема, (i) Пусть ш G Ар. Тогда logo; G BMO(lRn).
(ii) Пусть f G ВМО(Ш.п) up> 1. Тогда f — clogw для некоторых
с G В и ш G Ар.
Классы Ар можно описать еще и таким способом.
5.8.17. Теорема. Пусть ц — неотрицательная борелевская мера
на Ж™ с ц — w(x) dx и 1 < р < оо. Тогда ш G Ар в точности тогда,
когда при некотором А > 0 для всех f G Ьр(ц) справедлива оценка
М(х: Mf{x) >*)^?f l/1'Ф. V* > О-

5.8. Дополнения и задачи
5.8.18. Теорема. Пусть 1 <р <оо и и € Ар. Тогда существует
такая константа А, что для всех / € 1Р(ш dx) имеем
[ \Mf(x)Pu>(x)dx^A[ \f(x)\pu(x)dx.
Обозначим через А^ объединение всех классов Ар, р < оо. Класс
Аоо допускает следующие характеризации.
5.8.19. Теорема. Пусть со — неотрицательная локально
интегрируемая функция на Ж". Тогда следующие условия равносильны:
(i) и, G Аоо;
(Н) для всякого a G @,1) существует такое C G @,1), что если
В — шар и Е С В — измеримое множество с \{Е) ^ а\{В), то
[ u(x)dx>/3 f u(x)dx;
(Ш) существуют такие г € A, оо) и с> 0, что
для всякого шара В;
(iv) существует такое А > 0, что
Доказательства и дополнительные сведения по материалу этого
раздела можно найти в книгах Garcia-Cuerva, Rubio de Francia [428],
Stein [791].
5.8.20. Замечание. Пусть fj, и v — ограниченные
неотрицательные борелевские меры на Ж". Рассмотрим следующее отношение для
них: ц ¦< и, если для всякого е > 0 существует такое 6 > О, что для
всякого шара В и всякого борелевского Е С В с u{E)/v(B) < S,
выполняется неравенство [л(Е)/ц(В) < е. Отношение < является
отношением эквивалентности. Если v — мера Лебега и /л = ш(х) dx, то условие
IX <v равносильно тому, что ш € Д». Детали можно найти в Coifman,
Feffermann [321].
5.8(viii). Меры со свойством удвоения
Многие результаты о максимальной функции переносятся на
случай, когда вместо меры Лебега рассматривается мера ц с так
называемым свойством удвоения: при некотором с > 0 справедливо
неравенство
ц(В{х,2г)) <с/х(В(ж,г)), Vz,Vr>0,

432 Глава 5. Связь интеграла и производной
где В(х, г) — шар радиуса г с центром в х. Меры с таким свойством
рассматриваются и на более общих метрических пространствах.
Известно, что если G — многочлен степени d на Ж1, то мера ц = \G\a dx
обладает свойством удвоения при а > —l/d. С другой стороны, мера
[1 = ехр \x\dx таким свойством не обладает. Существуют сингулярные
меры со свойством удвоения, например, мера ц, получаемая как
слабый предел мер FI^iI1 + acosCk2irx)] dx, где а 6 @,1), см., например,
книгу Stein [791, с. 40]. Наконец, существуют абсолютно непрерывные
меры \i = f dx со свойством удвоения, не эквивалентные мере Лебега
(т.е. / обращается в нуль на множестве положительной меры). В
задаче 5.8.89 предлагается проверить, что если ш G Ар, то мера u>(x)dx
обладает свойством удвоения.
Дополнительную информацию о мерах со свойством удвоения и
ссылки можно найти в Heinonen [476], Stein [791]. Когда на данном
пространстве есть положительная мера со свойством удвоения?
Приведем несколько интересных результатов в этом направлении,
полученных в работах Вольперта и Конягина [40], [41].
Будем говорить, что неотрицательная борелевская мера \i на
метрическом пространстве X с фиксированной метрикой д удовлетворяет
условию D-y, где 7^0, если ц конечна на шарах и существует такое
С > 0, что
(i(B(x,kR)) ^C^^B^R)), Vx G X,VR > 0,V& G IN,
где B(x,r) — замкнутый шар радиуса г с центром в х. Если на X
существует положительная мера /х, удовлетворяющая условию D1, то
будем говорить, что X входит в класс Ф7. Заметим, что существование
на X меры со свойством удвоения равносильно тому, что X входит в
некоторый класс Ф7, т.е. тому, что &{Х) := inf{7: X € Ф7} < оо.
Введем теперь метрическую характеристику X, которая
оказывается ответственной за существование мер со свойством удвоения.
Будем говорить, что X входит в класс Ф7, где j ^ 0, если существует
такое число N, что для всякого х € X и всех R > 0, к € IN в шаре
В(х, kR) существует не больше JVfc7 точек со взаимными
расстояниями не меньше R. Положим а(Х) — m?{j: X G Ф7}. Ясно, что все
введенные объекты зависят от метрики д.
5.8.21. Теорема, (i) Если X G Ф7, то X ? Фу при всех j' > 7-
(ii) а(Х) = fi{X).
(iii) Всякий непустой компакт X С IR" с индуцированной
метрикой входит в класс Ф„ « потому является носителем вероятностной
меры со свойством удвоения.
- Ъ\4Л\ тгостроелг пример, показывающий, что утверждение (i)
может быть неверным для 7' = 7- Из результата о существовании меры

5.8. Дополнения и задачи 433
со свойством удвоения в [41] выведено следующее интересное
утверждение о кратности покрытий.
5.8.22. Теорема. Для каждого п € XV существует число С(п)
со следующим свойством: пусть B{x\,R\),... ,B(xn,Rn) — конечный
набор замкнутых шаров в Ж™, N, = ]Cj=i-^B(*j.Hj)(a:*) ~ кратность
покрытия точки xt этими шарами, а JV/ = J^Li lB(xj,2Ri)(xt) ~
кратность ее покрытия шарами удвоенных радиусов. Тогда при некотором
г0 е {1,..., N} имеем Що ^ C(n)Nio.
В работе Kaufman, Wu [530] показано, что если безатомическая
вероятностная мера Радона \i на метрическом компакте К обладает
свойством удвоения, то на К можно построить и сингулярную
относительно /х вероятностную меру Радона v с этим же свойством. Про меры
со свойством удвоения см. также Luukkainen, Salesman [615].
5.8(ix). Производная в смысле Соболева
С.Л. Соболевым был открыт новый вид производной, который
оказался весьма полезным в современном анализе и во многих
приложениях. Подход С.Л. Соболева был развит Л. Шварцем, который ввел
понятие обобщенной производной не только для функций, но и для
объектов более общего вида (обобщенных функций). Здесь мы
кратко поясним основную идею теории обобщенных производных
применительно к мерам.
5.8.23. Определение. Пусть Q С Шп открыто и f G L1(fi).
Будем говорить, что функция gi ? L1^) является обобщенной частной
производной / по аргументу Xi, если для каждой гладкой функции ip
с компактным носителем в О. справедливо равенство
[ dXi^(x)f(x) dx = - [ i>{x)gi{x) dx. E.8.8)
В этом случае gi обозначаем через dXif.
5.8.24. Определение. Пусть ц — ограниченная борелевская мера
на открытом множестве Q С Шп. Будем говорить, что
ограниченная мера v наП является обобщенной производной меры ц по
направлению вектора h, если для каждой гладкой функции гр с компактным
носителем в Q справедливо равенство
[ днф(х) fi(dx) = - Г ф{х) v{dx). E.8.9)
Jq Jii
Аналогичные определения вводятся для локально конечных мер.
Ясно, что если мера ц задается гладкой плотностью g относительно
меры Лебега, то мера v задается плотностью dhQ ~ частной
производной q вдоль вектора h, если последняя интегрируема. В задаче 5.8.72

434 Глава 5. Связь интеграла и производной
предлагается доказать, что если мера fj, имеет обобщенные производные
по направлениям п линейно независимых векторов, то она абсолютно
непрерывна относительно меры Лебега. Согласно задаче 5.8.73, в
случае, когда п — 1 и Q = (а, Ь), мера ц имеет обобщенную производную v
вдоль 1 в точности тогда, когда /х имеет плотность д относительно меры
Лебега на (а, 6), причем в качестве д можно взять функцию
ограниченной вариации. Таким образом, для общих функций ограниченной
вариации (в отличие от абсолютно непрерывных функций) естественными
производными являются меры, а не функции. Более того, абсолютно
непрерьтные функции выделяются среди прочих функций
ограниченной вариации как раз тем, что их производные — это меры, задаваемые
плотностями относительно меры Лебега.
Определим пространство С.Л. Соболева W^iQ), р е [1,оо), как
множество всех функций / € 1^@), у которых обобщенные частные
производные dXif также входят в L?{Sl). Отображение
v/ = (axi/,...,ax„/)
называется обобщенным градиентом /. Пространство WP'1(Q) является
банаховым относительно нормы
И/Ии^ := \\Дьнп) + II |V/| Ь(П).
Эквивалентная норма: ||/||ii>(n) +5X=i ЦФг</11х>(п)-
В приложениях большое значение имеет следующее неравенство
Соболева: существует такая константа с„, зависящая лишь от п > 1,
что для всех / G W1'1{Rn) имеем
(/ n !/(aOln/(n_1) dx)(П_1)/П ^ Сп J |V/(x)| dx. E.8.10)
Еще одно полезное неравенство, связывающее интеграл от функции
с интегралом от ее производной, называется неравенством Пуанкаре.
Приведем его в следующей формулировке.
5.8.25. Теорема. Для каждого п и каждого р € [1,р)
существует такая константа С(п,р), что для всякой функции / е Шр'г(Жп)
и всякого шара U справедливо неравенство
"" <C(n,p)QT |V/|*ds) \
где fu ¦= А„(С/)-1 / fdx,\n— мера Лебега.
Ju
Класс W^1'1AR1) совпадает с пространством интегрируемых
абсолютно непрерывных функций с интегрируемой на всей прямой
производной.
(/I/-AI**)

5.8. Дополнения и задачи 435
Имеется естественный многомерный аналог функций
ограниченной вариации. Обозначим через BV(Q) класс всех таких функций /
из Х1(П), что обобщенные частные производные меры fdx (в смысле
определения 5.8.24) являются ограниченными мерами на П. Эти
меры обозначим через Dfi. Тогда задана ограниченная векторнозначная
мера Df(B) := (Df^B),.. .,Dnf(B)). Положим
ii/iiBv = ii/iiL4n) + над
где \\Df\\ — вариация меры ?>/, определяемая как sup^i^! ||{е,?>/)||.
Эквивалентная норма: \\f\\Bv = II/IU»(n) + ]C?=i IIAf.ll-
Следующий результат получен Е.П. Круговой [98].
5.8.26. Теорема. Пусть ц — выпуклая мера на И" с
плотностью д. Тогда g € BV(JRn). Если g(x) > О п.в., то g е \?1Л(Шп).
Функции из BV(il) называются функциями ограниченной
вариации на П. Будем говорить, что ограниченное измеримое множество Е
имеет конечный периметр, если его индикаторная функция 1е входит
в BV(JRn). Положим
Р(?) := \\DIE\\.
Множество Е с Ж" называется множеством Каччопполи, если его
пересечение с каждым шаром имеет конечный периметр. На функции
ограниченной вариации переносится неравенство Соболева:
OL l^^)l"/(n_1) ^)(П_1)/П < cnll^/ll. v/ е BV(mr). E.8.П)
Из E.8.11) вытекает следующее изопериметрическое неравенство: для
всякого ограниченного множества Каччопполи Е С Шп имеем
АпСЕ)*"-1^" < СпР(^).
Приведем еще один полезный результат о структуре Соболевских
функций, напоминающий классическую теорему Лузина о структуре
измеримых функций. Доказательство и ссылки можно найти в Evans,
Gariepy [377, гл. 6].
5.8.27. Теорема. Пусть / G ВУ(Ш.п). Тогда для всякого е > О
существует такая непрерывно дифференцируемая функция fE, что
Ап^бПГ: /е(яг)^/(*))< е.
Если же f G Wp'1(JRn), где р е [1,+оо), то /е можно выбрать так,
чтобы еще и выполнялось неравенство \\f — /e||wp.i(R") ^ ?•
Через W??(Mn) обозначается класс всех таких функций /, что ?/ €
И^'ЧНГ) для всех С G C?°(lRn).

436 Глава 5. Связь интеграла и производной
Через ИЛР'1(Ш.П,И ) обозначим Соболевские классы отображений
этом классе вводится
естественная норма: сумма Соболевских норм компонент ft.
Аналогично определяется класс WQ. (Шп,Ш ).
Обширную дополнительную информацию о пространствах
Соболева можно найти в Бесов, Ильин, Никольский [22], Гольдштейн,
Решетник [52], Мазья [118], Стейн [165], Adams [215], Evans, Gariepy [377],
Ziemer [895] и в указанных там источниках. Про пространства BV
и множества Каччопполи см. Джусти [58], Федерер [179], Giaquinta,
Modica, Soucek [434]. Ряд интересных фактов собран также в задачах
этой главы.
5.8(х). Формулы площадей и коплощадей и замена
переменных
Для / е W^.1(lRn,]Rfe) через \Jf\ обозначим модуль fc-мерного
якобиана /, т.е. fc-мерный объем параллелепипеда, порожденного
векторами V/i, i = l,...,fc. В частности, при п = к число \Jf(x)\
равно \ det(dXifj)ij^n\. Через CardM будем обозначать мощность
множества М. Меры Хаусдорфа, как и выше, обозначаются через На.
Компактное и ясное доказательство следующего результата (так
называемых формул площадей и коплощадей) можно найти в книге Chavel
[313, IV.2] (см. также Федерер [179, §3.2]).
5.8.28. Теорема. Пусть /: Шп —> lRfc — липшицево
отображение, А с Шп, В С Ж* — измеримые множества. Тогда
(i) если п < /с, то
[ \Jf(x)\dx = [ Card (An Г\у)) Hn(dy), E.8.12)
JAnf-1(B) JB
(ii) если n> к, mo
f \Jf(x)\ dx= f Hn~k(A П f-\y)) dy. E.8.13)
JA JjRk
При n = к в случае взаимно-однозначного отображения / мы
получаем формулу замены переменных при условиях, значительно более
слабых, чем в §3.7. С помощью теоремы 5.8.14 в работе Hajlasz [467]
доказана следующая еще более общая формула замены переменных
(ранее эта формула бьша получена в работе Кудрявцев [99] при
дополнительном предположении существования п.в. обычного
дифференциала). При этом используется рассмотренное в §3.6 свойство Лузина (N).

5.8. Дополнения и задачи
437
5.8.29. Теорема. Пусть A С Е" - открытое множество и
/: Ш." —¦ Ш" — измеримое отображение, п.в. в И имеющее
аппроксимативные частные производные. Обозначим через \Jf\ модуль
определителя матрицы, составленной из аппроксимативных частных
производных функции /. Предположим дополнительно, что f
обладает свойством Лузина (N). Тогда для всякого измеримого множества
Е С П и всякой измеримой функции и: Htn —> JR. функции
u(f(x))\Jf(x)\IE(x), и(у)Сахб(Г1(у)ПЕ)
измеримы, где мы полагаем u(f(x))\Jf(x)\ = О, если функция и(/(ж))
не определена. Если одна из этих функций интегрируема, то такова
и вторая, причем
[ «(/(*)) \Jf{x)\ dx= [ u(y)Card(/-1(y) П E) dy.
Отметим, что функция /, п.в. имеющая аппроксимативные
частные производные, обладает и версией со свойством Лузина (N) (это
ясно из теоремы 5.8.14). Однако следует иметь в виду, что даже когда /
непрерывна, эта версия может не быть непрерывной. Известны
примеры непрерывных отображений класса Wf^. ср^п без свойства (N); см.
Решетняк [152], Vaisala [834]; при р < п известны даже такие
гомеоморфизмы (Пономарев [148]). Для таких непрерывных отображений
указанная выше формула неверна, ибо она влечет свойство (N).
В теории меры много задач, связанных с Соболевскими функциями.
Приведем теорему из Александрова, Богачев, Пилипенко [7] о
сходимости образов меры Лебега при дифференцируемых отображениях.
5.8.30. Теорема, (i) Пусть отображения Fj: Ш™ —> Ш."
непрерывны и сходятся равномерно на компактах к непрерывному
отображению F: Шп —> Ш.п, причем Fj и F обладают (N)-свойством Лузина
и почти всюду имеют частные производные dXiFj и dXiF, такие, что
dXiFj сходятся по мере на некотором множестве Е конечной меры
Лебега к dXiF. Предположим, что JF фО на Е, где JF —
определитель матрицы из частных производных, и что на каждом
компакте последовательность {JFj} равномерно интегрируема. Тогда меры
Me ° F~* сходятся по вариации к мере \\е ° F-1. Кроме того,
если ц — абсолютно непрерывная вероятностная мера на IRn, то меры
А*|в ° F~x сходятся по вариации к мере ц\е° F~l.
(ii) Пусть Fj,F G И^1(ШП,П1П), гдер ^ п, и пусть отображения
Fj сходятся kF по Соболевской норме || • ||рд на каждом шаре.
Предположим, что Е — измеримое множество конечной лебеговской меры,
причем JF ф О на Е. Тогда меры Х\е ° F~x сходятся по вариации к
мере \\е о F~l.

Глава 5. Связь интеграла и производной
Ю. Мозер [657] доказал существование бесконечно
дифференцируемого диффеоморфизма куба в IRn с заданным бесконечно
дифференцируемым строго положительным якобианом. Таким образом, что
меру Лебега на единичном кубе с помощью гладкого
диффеоморфизма можно перевести в заданную вероятностную меру с положительной
гладкой плотностью. См. также Riviere, Ye [731], где речь идет об
аналогичных задачах для отображений из классов Соболева.
Перед формулировкой следующей теоремы из МсСапп [634]
(усиливающей близкий результат из работы Brenier [281]), напомним, что
всякая выпуклая функция -ф на Жп локально лшшшцева и п.в.
дифференцируема.
5.8.31. Теорема. Пусть ц и и — борелевские вероятностные
меры на Ш,п, причем мера fi абсолютно непрерывна. Тогда существует
такая выпуклая функция гр на Шп, что v — (ло Vt/'-1. При этом
отображение V^ единственно ц-п.в.
Фактически от ц требуется даже меньше, а именно, обращение в
нуль на всех борелевских множествах хаусдорфовой размерности d— 1.
Связанные с этой теоремой результаты получены в CafareUi [299], где
имеются также применения к интегральным неравенствам.
5.8(х1). Поверхностные меры
Элементарной поверхностью S в ]Rn+1 будем называть множество,
которое с помощью ортогонального линейного преобразования можно
перевести в график липшицевой функции /, суженной на ограниченное
измеримое множество D С Ш.п. Множество S С IRn+1 будем называть
поверхностью, если оно является счетным объединением элементарных
поверхностей Sj. Мы ограничимся рассмотрением лишь элементарных
поверхностей, представляющих собой графики липшицевых функций,
поскольку построение поверхностной меры на более общих
поверхностях сводится к этому случаю.
Поверхностной мерой <т§ на поверхности S С Щ"+1 будем называть
сужение хаусдорфовой меры Нп на борелевскую а-алгебру в 5.
Из построения вытекает, что мера as является ст-конечной, ибо на
элементарных поверхностях она конечна.
Следующий результат выражает поверхностную меру через меру
Лебега на 1R".
5.8.32. Предложение. Пусть f — липшицева функция на Ш,п,
D С И" — ограниченное измеримое множество и S с П1п+1 — график
f на D. Тогда
<ts(E) = f y/l + WWdx E.8.14)
Je
для всякого измеримого множества Е С D.

5.8. Дополнения и задачи
439
Доказательство. Достаточно рассмотреть борелевские
множества D и Е. Положим F(x) = (x,f(x)), х € Е. По формуле E.8.12)
имеем
/ \JF(x)\ dx = f Card (E П F-\y)) Hn(dy) = Hn(S).
Je Js
Остается заметить, что \JF(x)\2 = 1 + |V/|2, что вытекает из
определения модуля якобиана отображения F: Шп —» Hn+1. П
Если функция / — аффинная, т.е. f(x) — (х, К) + с, где h —
постоянный вектор, а с — константа, то n-мерная мера множества F(E)
(графика / на Е) есть -^1 + \h\2\n(E). Формула E.8.14) для гладких
функций может быть выведена из этого соображения. Отметим также,
что эта формула может быть использована как определение
поверхностной меры для поверхности, локально представимой в виде графика
функции.
Аналогично доказывается, что если множество 5 С Htn+1 задано
параметрически в виде S — F(D), где F = (Fi,..., Fn+i) — липшицево
отображение из П1п в Etn+1 и D — ограниченное измеримое множество
вЕп,то
Яп+1 ч 1/2
^Dfc(xJJ dx,
где Dk(x) — модуль якобиана отображения
(.Fi,... ,Fk-i,Fk+u... ,Fn+1): Шп -»IRn.
Такое множество 5 может не быть элементарной поверхностью, но
можно показать, что с точностью до множества Яп-меры нуль S является
не более чем счетным объединением элементарных поверхностей. При
рассмотрении поверхностей полезно помнить, что для всякой липшице-
вой функции / можно найти борелевские множества Bj и непрерывно
дифференцируемые функции fj, для которых /|вз. = Jj\bj и
дополнение к объединению Bj имеет меру нуль.
Меры Хаусдорфа можно привлекать и для определения длины
кривой. Если кривая С с ГО.™ задана как образ отрезка [а, 6] при липшице-
вом отображении /: [а, Ь] —* Шп, то
Hl(C) = ?\f'(t)\dt,
что также вытекает из формулы площадей.
Следующий результат, доказательство которого отнесено в
задачу 5.8.94, позволяет вычислять объемные интегралы с помощью
поверхностных.

440 Глава 5. Связь интеграла и производной
5.8.33. Предложение. Пусть функция f липшицева на Шп,
причем |V/(a;)| ^ с > 0 п.в. Если функция д интегрируема на Ш™, то
[ д(х) dx = Г I JjOL Hn-\dy) ds
J{f>t} Jt J{f=s} |V/(y)|
для всех t ?Ш.
Следующий классический результат также связан с
поверхностными мерами.
5.8.34. Теорема. Пусть А — выпуклый компакт положительной
меры Лебега Хп в И". Если поверхностная мера его границы равна
поверхностной мере шара В, то А„(В) ^ Х„(А), причем равенство
возможно только, если А — шар.
Доказательство. Можно считать, что В — единичный шар с
центром в нуле. Пусть г > 0. В силу неравенства Брунна-Минковского
Хп(А + rB) > (\n(A)Vn + гХп(В)^пу.
Разлагая правую часть по степеням г, получим
^Xn(A + rB)-Xn(A) > пХп(А)(п-1)/пХп{вI/п.
В силу задачи 5.8.97 левая часть этого неравенства равна
поверхностной мере Нп~1(дА) границы А. При А = В это неравенство
превращается в равенство, ибо Нп~1(дВ) = пХ„(В), что проверяется
непосредственно. Если теперь Нп~1(дА) = Нп~1(дВ), то получаем нужное
неравенство Хп(А) ^ АП(Я).
Рассмотрим случай равенства. Из задачи 5.8.97 следует, что в этом
случае и„_1д(Л,Я) = АП(А)П_1А„(Я) (смешанные объемы
определяются в §3.10(vii)), что дает равенство в неравенстве Минковского.
Следовательно, А и В гомотетичны, т.е. А — тоже шар. ?
5.8(xii). Разложение Кальдерона Зигмунда
5.8.35. Теорема. Пусть f — неотрицательная интегрируемая
функция на Ш™. Тогда для всякого числа а > 0 можно найти
последовательность дизъюнктных открытых кубов Qk с ребрами,
параллельными координатным осям, со следующими свойствами:
(i) для каждого к выполняется оценка
а < Т7гГ\ I № ** ^ 2"а; E"8Л5)
K{Qk) jQk
(ii) f(x) ^адля почти всех х € lRn\ U?li Qk-

5.8. Дополнения и задачи
Доказательство. Возьмем куб Q = [-2fc, 2к]п с таким к е IN, что
интеграл от / не превосходит а2кп. Куб А порождает разбиение 1R" на
конгруэнтные замкнутые кубы с длиной ребра 2к+1 и дизъюнктными
внутренностями. Возьмем произвольный куб Q' этого разбиения и
проделаем над ним следующую операцию. Разделим Q' на 2П
конгруэнтных кубов делением пополам ребер. Для каждого куба Q" полученного
ч возможны два случая:
/ fdx>a\n(Q") или / fdx
JQ" Jq"
^ aXn(Q").
В первом случае объявляем внутренность Q" одним из искомых
кубов Qk- Отметим, что выполнение E.8.15) следует из соотношений
Во втором случае разбиваем Q" на 2™ конгруэнтных кубов делением
ребер пополам. Описанную операцию проделываем над всеми
кубами первого набора и над всеми кубами получающихся подразделений,
причем в случае достижения первого из двух указанных случаев
внутренность соответствующего куба зачисляется в набор {Qk} и далее
он исключается из рассмотрения. Пусть D — дополнение полученной
последовательности кубов Qk- Ясно, что D — замкнутое множество.
Покажем, что f(x) ^ а для почти всех х € D. Действительно, для
почти всякого х € D найдется последовательность замкнутых кубов Кj,
которые содержат х, имеют стремящиеся к нулю ребра и
соответствуют второму из указанных выше двух случаев, т.е. / fdx^a\n(Kj).
По следствию 5.6.3 для почти всех х € D имеем
J — оо Xn{Kj) JK.
откуда следует доказываемое. ?
Задачи
5.8.36.° Доказать, что если функция / имеет в каждой точке прямой
конечную производную, то найдется отрезок, на котором функция |/'|
ограничена. В частности, на этом отрезке / липшицева.
Указание: к множествам М„,т ={х: |/(х + 1/fc) - f(x)\ ^ mk,k ^ п}
применить теорему Бэра.
5.8.37. Построить всюду дифференцируемую функцию / на прямой,
производная /' которой разрывна почти всюду и показать, что /' не может
быть разрывна всюду.

442 Глава 5. Связь интеграла и производной
5.8.38. Доказать, что если производная функции / всюду конечна и
почти всюду равна некоторой непрерывной функции, то она равна ей всюду
и / непрерывно дифференцируема.
5.8.39.° (i) Построить непрерывную строго возрастающую функцию /
на прямой, для которой f'(x) = 0 п.в.
(ii) Показать, что в качестве такой функции можно взять
т = р{ш-. f)e»(WJ-»<«),
где ?„ — независимые случайные величины (см. гл. 10) на вероятностном
пространстве (П, Р), причем Р(?„ = 1) = р, Р(?„ = 0) = 1 - р, где р е @,1)
ир/1/2.
5.8.40? (Riesz [728]) Доказать, что неотрицательная функция / на [а, Ь]
интегрируема по Лебегу в точности тогда, когда существует такая
неубывающая функция F на [а,Ь], что F(x) = f(x) п.в. При этом интеграл / равен
точной нижней грани чисел F(b) — F(a) по всем таким F.
5.8.41? Доказать предложение 5.2.8.
Указание: ясно, что / является неубывающей и потому f'(x)
существует п.в. Поскольку [fn(x+h)-fn(x)]/h ? 0 при h > 0, то ? /4(х) ^ f'{x) п.в.,
откуда следует сходимость ряда ]?^ fn(x) п.в. к некоторой функции д.
Можно считать, что /п@) = 0, перейдя к /п(ж) — /п(а)- Для каждого к найдется
Пк с 52 /nfc(b) < 2_fe, откуда в силу возрастания имеем ?3 fnk{x) < 2~к
для всех х. Значит, ряд из неубывающих функций fk(x) := f(x) — ?3 fn(x)
сходится. По доказанному п.в. сходится ряд из ф'к(х), откуда f'k(x) —> 0 п.в.,
что дает f'(x) = д(х) п.в., ибо если д(х) < f'(x), то и йа^^х) > 0.
5.8.42. Построить такую непрерывную функцию F на отрезке [0,1],
что в каждой точке отрезка она имеет конечную или бесконечную
производную /, которая почти всюду конечна и интегрируема, однако функция
Ф(х) = F@) + I f(t) dt не имеет конечной или бесконечной производной в
Jo
точках бесконечного множества (в частности, Ф не совпадает с F).
Указание: см. Лузин [112, с. 392].
5.8.43. Если Е С [0,1] и Х(Е) = 0, то существует непрерывная
неубывающая функция ip на [0,1] с ф'(х) = +оо для всех х € Е.
Указание: существуют открытые Gn Э Е с X(Gn) < 2_п. Пусть tpn(x) =
\{G„ П [0, а:]). Тогда <р„ < 2_п и можно положить ф(х) = $^ <рп(х). Если
хо 6 Е, то при фиксированном га имеем [а:о,хо + h] С Gn для достаточно

5.8. Дополнения и задачи
443
малых ft > О, откуда <рп(хо + ft) = <рп(хо) + ft. Поэтому при фиксированном
к и всех достаточно малых ft получаем
ф(х0 + ft) - ф(х0) > у^ у?п(жо + ft) - ?>„(з:о) > ,
Л ^^ ft ^
Аналогично рассматривается ft < 0. Итак, V'fao) = +оо.
5.8.44. Построить пример непрерывной функции / на @,1), которая ни
в одной точке не имеет обыкновенной производной, но почти всюду имеет
аппроксимативную производную.
Указание: см. пример Г.П. Толстова в Лузин [112, с. 448].
5.8.45. (Лузин [112, §46]) (i) Пусть ф — непрерывная функция на [0,1],
причем ф'(х) = 0 п.в. Тогда в [0,1] существует такое множество Е меры 1,
что ф(Е) имеет меру нуль.
(ii) Пусть ф — непрерывная функция на [0,1], отличная от постоянной,
причем ф'(х) = 0 п.в. Тогда существует такое множество М меры нуль, что
ф(М) имеет положительную меру.
5.8.46.° Показать, что всякая абсолютно непрерывная функция имеет
свойство Лузина (N), т.е. отображает множества меры нуль в множества
меры нуль.
5.8.47. Пусть функция / на [о, Ь] дифференцируема в точках некоторого
множества Е. Показать, что f(E) имеет меру нуль в точности тогда, когда
f'(x) = 0 п.в. на Е.
Указание: см. лемму 5.8.13.
5.8.48. (С. Банах, Дж. Витали, М.А. Зарецкий) Доказать, что функция
/ на [0,1] абсолютно непрерывна в точности тогда, когда она непрерывна,
имеет ограниченную вариацию и обладает свойством Лузина (N).
Указание: если / имеет ограниченную вариацию, то /' существует п.в.
и интегрируема. Пусть D — множество точек дифференцируемости /. Для
всех а,Ь € @,1) ввиду непрерывности и свойства (N) из предложения 5.5.4
получаем оценку
I/W - /(о)| < А(/([а,о])) = А(/([а,Ц П D)) ^ J* \f'{x)\ dx,
дающую абсолютную непрерывность /.
5.8.49. Пусть / — непрерывная функция на [0,1] и D — множество всех
точек дифференцируемости / на @,1). Доказать, что / абсолютно
непрерывна в точности тогда, когда /' интегрируема по D и /([0,1]\D) имеет
меру нуль.
Указание: если / абсолютно непрерывна, то /' существует п.в. и / имеет
свойство (N). Обратно, если выполнено указанное условие, то применимо то
же рассуждение, что и в задаче 5.8.48.
5.8.50. (М.А. Зарецкий) Пусть / — непрерывная строго возрастающая
функция на [a, b]. (i) Доказать, что / абсолютно непрерывна в точности тогда,
когда / отображает множество {х: f'(x) = +00} в множество меры нуль.

444 Глава 5. Связь интеграла и производной
(ii) Пусть д — обратная к / функция. Доказать, что д абсолютно
непрерывна в точности тогда, когда множество {х: f'(x) = 0} имеет меру нуль.
Указание: проверить, что / обладает свойством (N) на множестве Е тех
точек, в которых не существует ни конечной, ни бесконечной производной,
модифицируя предложение 5.5.4 для различных производных чисел.
5.8.51. (i) Пусть / — непрерывная функция на [а, Ь] со свойством (N),
a д — интегрируемая функция, причем f'(x) ^ д(х) в почти всякой точке х,
в которой существует f'(x). Тогда / абсолютно непрерывна.
(ii) Показать, что непрерывная функция / на [а, Ь] абсолютно
непрерывна в точности тогда, когда она обладает свойством (N) и функция f'(x)
интегрируема по множеству Р всех точек, в которых она существует, конечна
и неотрицательна. В частности, если / непрерывна, обладает свойством (N),
п.в. дифференцируема и /' интегрируема, то / абсолютно непрерывна.
(iii) Показать, что всякая непрерывная функция / на [а, Ь] со свойством
(N) дифференцируема на множестве положительной меры (но не всегда п.в.).
Указание: (i) показать, что / имеет ограниченную вариацию, см. Сакс
[160, с. 407]; (ii) следует из (i), если положить д(х) = f'(x) на Р и д(х) = 0
вне Р. Последнее утверждение в (ii) следует из предложения 5.5.4 ввиду той
же оценки, что и в задаче 5.8.48.
(Ш) Если множество точек дифференцируемости / имеет меру нуль, то
множество Р в (ii) также имеет меру нуль и потому / должна быть абсолютно
непрерывной, что дает противоречие.
5.8.52. (Меньшов |641]) Пусть ф — непрерывная функция на [0,1],
отличная от постоянной, причем ф'{х) = 0 п.в. Тогда для всякой абсолютно
непрерывной функции tp на [0,1] функция гр + ip не обладает свойством (N).
Указание: см. [641, с. 645].
5.8.53? Пусть / — абсолютно непрерывная монотонная функция на
отрезке [а,Ь], а <р — абсолютно непрерывная функция на отрезке [с, d],
содержащем f([a,b]). Показать, что v>(/) абсолютно непрерывна на [а,Ь].
Указание: считая / неубывающей, для заданного е > 0 взять <5 > 0
из определения абсолютной непрерывности для <р, взять такое т > 0, что
12 1/(Ь») — /(«*)| < S для всякого набора попарно непересекающихся
интервалов (а,А) с ?1Ь - Oil < г; ввиду монотонности / при /(<*) ф /(Ь) и
/(а,-) ф f(bj) интервалы (/(а^),/F<)) и (f{aj),f{bj)) не пересекаются.
5.8.54? Найти две абсолютно непрерывные функции f,g: [0,1] —> [0,1],
композиция которых не является абсолютно непрерывной.
5.8.55.° (Г.М. Фихтенгольц) Пусть функция F на [а,Ь] такова, что
композиция F о / абсолютно непрерывна для всякой абсолютно непрерывной
функции / со значениями в [а, Ь]. Доказать, что F липшицева.
5.8.56. (Г.М. Фихтенгольц) Пусть / — абсолютно непрерывная функция
на [а, Ь], а <р — абсолютно непрерывная функция на отрезке [с, d], содержащем
/([о,6]). Показать, что <p(f) абсолютно непрерывна на [а,Ь] в точности тогда,
когда она имеет ограниченную вариацию.
Указание: функция у(/) имеет свойство (N) и применима задача 5.8.48.

5.8. Дополнения и задачи
445
5.8.57. (i) (Лебег [579]) Показать, что существуют две функции со
свойством (N), сумма которых не обладает этим свойством.
(ii) (Мазуркевич [633]) Существует такая непрерывная функция / со
свойством (N), что /(ж) + еж не обладает свойством (N) ни при каком с ф 0.
(ш) Построить на [0,1] две такие непрерывные функции / и д со
свойством (N), что их произведение fg не обладает свойством (N).
Указание: (i) Пусть С — множество Кантора меры нуль. Легко
проверить, что существует непрерывное отображение ф = {ф\,ф2) множества С
на С2. Положим /(ж) = ipi(x), д(х) = фг(х) при х ? С, а затем доопределим
/ и д до непрерывных функций на [0,1], распространив их по линейности
на смежные с С интервалы. Тогда /(С) = д(С) = С и потому продолжения
имеют свойство (N). Однако / + д не имеет этого свойства, ибо образом С
оказывается целый отрезок ввиду того, что С + С есть отрезок. Переходом
к ехр/ и ехр<? получаем (iii).
5.8.58. (Буренков [34], [35]) (i) Построить пример абсолютно
непрерывной функции Ф на прямой и бесконечно дифференцируемой функции /
таких, что функция Ф(/(ж)) не является абсолютно непрерывной на [0,1].
(ii) Пусть Ф — функция ограниченной вариации на [с, d] и пусть / —
дифференцируемая функция на [а, 6], причем /' имеет ограниченную вариацию
и f([a,b]) С [c,d\. Доказать, что функция Ф(/(ж))/'(ж) имеет ограниченную
вариацию на [а,Ь].
(iii) Пусть Ф — абсолютно непрерывная функция на [с, d] и пусть / —
дифференцируемая функция на [а,Ь], причем /' абсолютно непрерывна и
/([а,Ц) С [c,d]. Доказать, что функция Ф(/(х))/'(ж) имеет свойство (N) и
абсолютно непрерывна на [а, Ь].
Указание: (i), (ii) см. [34]; (iii) множество {/' = 0} переходит в 0, а
всякая точка х из его дополнения обладает окрестностью, в которой непрерывно
дифференцируемая функция / монотонна, поэтому в этой окрестности
функция Фо/ абсолютно непрерывна (см. задачу 5.8.53), откуда ввиду абсолютной
непрерывности /' следует абсолютная непрерывность в этой окрестности и
функции (Ф о /)/', дающая свойство (N), что вместе с (ii) влечет
абсолютную непрерывность (Фо/)/' на [а, Ъ]. Отметим, что ввиду предыдущей задачи
здесь нельзя сослаться лишь на (N)-cbohctbo обоих сомножителей, как это
сделано в [34], [35].
5.8.59. (i) (Банах, Сакс [239], Бари, Меньшов [246]) Непрерывная
функция / представима в виде / = <р о ф, где <р и ф — абсолютно непрерывные
функции, в точности тогда, когда / обладает следующим свойством (S): для
всякого е > 0 найдется такое 6 > 0, что мера множества f(E) не
превосходит е, если мера Е не превосходит 8.
(ii) (Бари, Меньшов [246]) Непрерывная функция / является
композицией двух абсолютно непрерывных функций в точности тогда, когда /
переводит множество тех точек х, где не существует конечной /'(ж), в множество
нулевой меры.
Указание: см. Сакс [160, гл. IX, §8].
5.8.60. (i) (Фихтенгольц C90]) Показать, что свойство (S) из
предыдущей задачи не вытекает из свойства (N).

446 Глава 5. Связь интеграла и производной
(ii) (Banach [234]) Доказать, что непрерывная функция / на отрезке
обладает свойством (S) в точности тогда, когда она обладает свойством (N)
и почти всякое свое значение принимает лишь конечное число раз.
Указание: см. Сакс [160, с. 410].
5.8.61° (i) Показать, что если последовательность возрастающих
функций фп на прямой сходится к возрастающей функции ф в точках всюду
плотного множества, то она сходится к ф в каждой точке непрерывности ф.
(ii) Пусть {фп} — равномерно ограниченная последовательность
возрастающих функций на [а, Ь]. Показать, что из {^п} можно выделить поточечно
сходящуюся подпоследовательность.
Указание: (i) пусть т — точка непрерывности ф и е > 0. Найдем такой
отрезок [а, /?] с концами из всюду плотного множества точек сходимости, что
\ф(Ь) — ф(з)\ < е при (,s? [а,0\. Найдется такое т, что \ф(а) — фп(а)\ < е и
\ф@) -фп@)\ < е при п > т. Тогда \ф(т)-фп(т)\ < Зе, ибо фп(а) ^ фп(т) <
фп@) и ф(а) < ф(т) ^ ф@).
(ii) С помощью диагонального метода выделим сходящуюся в
рациональных точках подпоследовательность {V't»*}- Предельную функцию ф можно
доопределить до возрастающей функции на [а, ft], которая имеет не более
чем счетное множество S точек разрыва. Согласно (i) вне S имеет место
поточечная сходимость {фпк } к ф. Теперь осталось выбрать из {фпк }
подпоследовательность, сходящуюся в каждой точке S.
5.8.62.° Пусть /i,..., /п — функции ограниченной вариации на отрезке
[а,Ь], причем (fi(x),...,fn(x)) € U С К™ при всех х € [a,ft]. Предположим,
что функция ip: U —> IR1 удовлетворяет условию Липшица. Показать, что
композиция <p(fi,... ,/п) — функция ограниченной вариации на [а,Ь].
5.8.63° Пусть / и д — функции ограниченной вариации на [а,Ь].
Показать, что fg — функция ограниченной вариации на [a, ft], а если j > о 0 то
такова же и функция f/g.
Указание: воспользоваться задачей 5.8.62 применительно к функциям
<р(х,у) = хуя <р(х,у) = х/у.
5.8.64? Показать, что пространство BV[a, ft] всех функций ограниченной
вариации на [a, ft] является банаховым пространством относительно нормы
ll/l|BV = |/(a)| + Va°(/)-
5.8.65? (i) Показать, что всякая ограниченная неубывающая функция /
на множестве Т С Ш1 имеет ограниченную вариацию, причем выполняется
неравенство V(f,T) < 2sup|/(t)|.
(ii) Пусть / — функция ограниченной вариации на множестве Т С К.1 и
пусть V{x) = V(f, (-оо, х] П Т), х е Т. Показать, что V и V - f -
неубывающие функции на Т, причем множество точек непрерывности V совпадает
с множеством точек непрерывности /.
(iii) Показать, что если функция / имеет ограниченную вариацию на
множестве Т С К1, то существуют две неубывающие функции /i и /2 на
всей прямой, такие, что / = /i - /2 на Г и V(f,T) = V(fi,R}) + V^/b.Hl1).

5.8. Дополнения и задачи
447
5.8.66.° Пусть на множестве Т С ГО.1 вариация функции / ограниченна.
Показать, что / можно продолжить на 1R1 так, что V(/,1R1) = V(f,T).
5.8.67.° Пусть / — функция ограниченной вариации на отрезке [а,Ц.
Переопределим / в точках разрыва, сделав ее непрерывной слева (пользуясь
тем, что / имеет только разрывы первого рода). Показать, что полученная
функция /о имеет ограниченную вариацию, причем V(/o, [a, b]) < V(f, [а, Ц).
5.8.68. Пусть /„ — такие функции на [а, Ь], что supn V^ (/„) ^ С < оо
и /п —> f в Ьх[а,Ъ]. Показать, что / совпадает почти всюду на [о,6] с
функцией ограниченной вариации. В этом случае будем говорить, что / имеет
существенно ограниченную вариацию, задаваемую формулой
||/||Bv:=mfV0b(fl),
где inf берется по всем функциям д ограниченной вариации, почти всюду
равным /.
Указание: взять подпоследовательность f„k, сходящуюся на множестве
Т полной меры в [а, Ь], положить д = lim f„k на Т, заметить, что V(g,Т) ^ С
и продолжить д до функции ограниченной вариации на [а, Ь] согласно
задаче 5.8.66. Другой способ: задача 5.8.73.
5.8.69. Показать, что функция / на [а, Ь] имеет существенно
ограниченную вариацию, если конечна величина
essVt(f) := 8ир{? \f(U) - f{U-i)\],
где sup берется по всем m 6 IN и всем точкам о < to < h < ... < tm < Ь,
являющимся точками аппроксимативной непрерывности /.
5.8.70. (i) Показать, что функция / совпадает почти всюду на [а, Ь] с
некоторой функцией ограниченной вариации в точности тогда, когда
j \f(x + h)-f(x)\dx = 0(h) при h - О,
где / вне [а, Ь] полагаем равной нулю.
(ii) Показать, что если / |/(х + h) — f(x)\dx = o(h) при h —> 0, то /
почти всюду на [а, Ь] совпадает с постоянной.
Указание: (i) проверить сначала необходимость этого условия для
неубывающих функций. Для доказательства достаточности рассмотреть
функции Д = f * дн, где дк(х) = h~1g(x/h) яд — гладкая вероятностная
плотность с носителем в [0,1], затем применить задачу 5.8.68, проверив, что при
h —» 0 функции fh имеют равномерно ограниченные вариации на [а,Ь] и
||/ — fhWb1 ~* 0. Можно также вывести требуемое из задачи 5.8.73. Другое
решение см. в Титчмарш [173, глава XI, задача 10]. (ii) См. Титчмарш [173,
глава XI, задача 4].
5.8.71. Пусть / — функция ограниченной вариации на [а,6], a д —
неотрицательная измеримая функция на прямой с единичным интегралом.

Глава 5. Связь интеграла и производной
Показать, что функция
f*g(x) = ?°° f{x-y)g(y)dy,
где /(ж) = /(а) при х ^ а и. f(x) = f(b) при х ^ Ь, имеет ограниченную
вариацию, причем V(f * д, К1) ^ V(f, [а, Ь]).
5.8.72. Доказать, что если мера ц на Шп имеет обобщенные
производные по направлениям п линейно независимых векторов, то она абсолютно
непрерывна относительно меры Лебега.
5.8.73. Доказать, что мера ц на (а, Ь) имеет меру и в качестве
обобщенной производной вдоль 1 в точности тогда, когда ц имеет плотность д
относительно меры Лебега на (а, 6), причем в качестве д можно взять
функцию ограниченной вариации д(х) — i/((a,a;]).
5.8.74. Пусть F = (F\,..., F„): Шп —» Шп — непрерывное отображение.
Предположим, что функции Fi принадлежат классу Соболева Wp'r(lRn), где
рг > п. Доказать, что F обладает свойством Лузина (N), т.е. переводит
множества меры нуль в множества меры нуль.
Указание: пусть г = 1; по теореме вложения Соболева для
фиксированного открытого куба К имеется такая константа С, что для всякого куба
Q С К при х,у € Q справедливо неравенство
\F{x)-F{y)\^C\\DF\\LnQ)\x-y\a,
где С — постоянная и а = 1 — п/р. Если множество Е С К имеет меру
нуль, то для заданного е > 0 его можно покрыть такой последовательностью
замкнутых кубов Qj С К с ребрами г., и попарно непересекающимися
внутренностями, что 5^ г™ < е. Множество F(Qj) содержится в шаре радиуса
C\\DF\\LP{Qi)Jfir?, откуда X*n{F(E)) ^ Сппп/2 ? \\DF\\lnQ.)rfn, что
оценивается через const ?-(р-п>'Р с помощью неравенства Гёльдера с показателем
t = р/п. В случае г > 1 рассуждение аналогично.
5.8.75. (Sierpinski [770]) Пусть /: И —» И — произвольная функция и
{hn } — последовательность ненулевых чисел, стремящаяся к нулю. Доказать,
что существует такая функция F: Е-»К, что lim [F(x + hn) — F(x)]/hn =
f(x) для всех x.
Указание: cm. Bruckner [286] или Wise, Hall [872, пример 3.14].
5.8.76. Доказать, что для всякой последовательности чисел hn > 0,
убывающей к нулю, существует такая непрерывная функция F: [0,1] —> Й, что
для каждой измеримой по Лебегу функции / на [0,1] найдется
подпоследовательность h„k с
,. F(x + hnk) - F(x) ,. , гл ,.
hm —^ ^ *-i = f(x) п.в. на [0,1].
Указание: cm. Bruckner [286] или Wise, Hall [872, пример 3.15].

5.8. Дополнения и задачи
5.8.77. (Фихтенгольц [183], [387]) Пусть F — неубывающая на [c,d]
функция, а = F(c), b = F(d), а функция / интегрируема на отрезке [а,Ь].
Пусть Ф(х) = / /(f) d(. Предположим, что функция Ф о F абсолютно
непрерывна. Доказать равенство
У* /(*) dx = J* f(F(y))F'(y) dy.
Указание: пусть Ei = {х: F'(x) > 0}, Е0 = {х: F'(x) = 0}, D -
множество точек дифференцируемости Ф, в которых Ф' = /. Вывести из леммы
5.8.13, что F(x) ? D для п.в. ж € Fi и потому по правилу
дифференцирования композиции (Ф о F)'(x) = f(F(x))F'(x). Поскольку левая часть
доказываемой формулы равна Ф(^(й)) — Ф^(с)), то в силу формулы Ньютона-
Лейбница для Ф о F достаточно проверить, что интеграл от (Ф о F)' равен
интегралу от f(F)F', что ввиду сказанного сводится к проверке равенства
интегралов этих функций по Ео, т.е. к равенству / (Ф о F)' dy = 0. Пусть
JEo
е > 0. Возьмем открытое множество U D Ео с / |(Ф о F) | dx < е, а затем
JU\E0
для данного ? возьмем S > 0 из определения абсолютной непрерывности для
Ф и с помощью теоремы Витали выберем счетный набор попарно
непересекающихся интервалов (a,i,bi) С U так, что Ео покрыто этими интервалами с
точностью до множества меры нуль и F(bi) — F(at) ^ 5(bi — cn)/(d - с)
(каждая точка и € Ео содержится в сколь угодно малом интервале (и — г, и + г)
с F(u + г) - F(u - г) ^ 2Sr/(d - с), ибо F'{a) = 0). Тогда сумма длин
(F(bi),F(a,i)) не превосходит 5 и потому E^i|$(^(*>i)) - Ф(Е(а<))| < е,
откуда JT / '^oF)'dx^?, что дает |/ (ФоЕ)'<?г| < 2е.
а JT f\<boF)'dx^e, что дает I /" (ФоР)'
5.8.78. Доказать следующее обобщение теоремы Витали 5.5.2,
указанное Лебегом. Пусть А — множество в ГО,™ и Т — некоторое семейство
замкнутых множеств со следующим свойством: для каждого х € А найдутся число
а(х) > 0, последовательность множеств F„(x) G Т и последовательность
кубов д„(х), такие, что х € Q„(x), Fn(x) С Q„(x), An(Fn(x)j > a(x)A„(Q„(x))
и diamQ„(x) —> 0. Тогда F содержит не более чем счетное подсемейство
попарно непересекающихся множеств F„, объединение которых покрывает А с
точностью до множества меры нуль.
5.8.79. Пусть (X, Л, ц) — пространство с конечной неотрицательной
мерой. Семейство ТУ С А называется системой Витали, если выполнены
следующие условия: а) 0, X 6 ТУ, непустые множества из ТУ имеют положительные
меры, Ь) если какое-либо множество А С X покрыто набором ? С ТУ таким
образом, что каковы бы ни были хеАяВеТУсхеВ, существует D € ?
с х € D С В, то найдется не более чем счетный поднабор дизъюнктных
i Еп ? ? с Ш-AXU^lj Еп) =0. Предположим, что Л содержит все

Глава 5. Связь интеграла и производной
одноточечные множества и \л. обращается в нуль на них. Пусть задана
последовательность счетных разбиений П„ пространства X на измеримые
дизъюнктные части, причем Пп+1 является измельчением Пп. Наконец,
предположим, что набор П = U^Li Пт» плотен в алгебре с мерой А/ц, причем для
всякого множества Z меры нуль и всякого е > 0 существует такое Е? Е П,
что Z С Ее и /j,(E?) < е. Доказать, что П — система Витали. Показать также,
что если мера v абсолютно непрерывна относительно fi, то
d»M iim "(**(*))
где Вк(х) € П выбраны так, что х € Дь(х), 0 < ц(Вк(х)) < к-1.
Указание: см. Rao [712, §5.3], Шилов, Гуревич [209].
5.8.80. (i) Пусть / — ограниченная измеримая функция на кубе в И"
с мерой Лебега А. Доказать, что точки аппроксимативной непрерывности /
совпадают с ее точками Лебега. В частности, если / — ограниченная
измеримая функция на [0,1], то производная функции / f{t)dt равна f(x) во
всякой точке х аппроксимативной непрерывности /.
(ii) Доказать, что для интегрируемой на кубе функции всякая точка
Лебега является точкой аппроксимативной непрерывности, но обратное
неверно.
Указание: можно считать, что /(хо) = 0. Если для некоторых е > 0
и q < 1 и последовательности шаров Вк с центром в хо и убывающими к
нулю радиусами имеем А({|/| < е} Г) Вк) ^ qX(Bk), то интеграл |/| по Вк
не меньше, чем A — q)s\(Bk), т.е. Хц не является точкой Лебега. Если хо
есть точка аппроксимативной непрерывности и |/| ^ 1, то для всякого е > 0
интеграл |/| по Вк не превосходит еХ(Вк) + А(В*\{|/| < е}), а последняя
мера оценивается через еХ(Вк) для всех Вк достаточно малого радиуса, т.е.
хо — точка Лебега.
5.8.81. Доказать, что аппроксимативная непрерывность функции / на
1R" в точке х равносильна равенству aplim f(y) = f(x).
Указание: это равенство сразу следует из аппроксимативной
непрерывности; для доказательства обратного, считая, что х = 0, /(х) = 0, взять
множества Ек - {у- |/(з/)| < 1/fc} и множество Е = UfcLi(?*\l-e*>?*r)> гле ?*
достаточно быстро стремятся к нулю.
5.8.82. Рассмотрим в [0,1] класс Д всех измеримых множеств, каждая
точка которых является точкой плотности, а также пустое множество.
(i) Доказать, что Д — топология, строго более сильная, чем обычная
топология отрезка. Эта топология называется плотностной топологией.
(ii) Показать, что числовая функция непрерывна в топологии Д в
точности тогда, когда она измерима по Лебегу.
5.8.83. Доказать теорему 5.8.5.
Указание: доказать первое равенство с помощью представления D.3.7)
ь задачу 4.7.119.

5.8.84. Доказать, что пространства Илр1(П) и BV(?l) с указанными
нормами — банаховы.
5.8.85. Доказать, что / 6 BV(Rn) в точности тогда, когда существует
такая последовательность функция fj € Co°(]R.n), что /,¦ —> / в L1(IRn) и
sup„|||V/i|||Li(Iln) <оо.
5.8.86. Доказать, что / ? BV(lRn) в точности тогда, когда для каждого
г ^ п функции
&(Х1, . . . ,Xn-l)(t) = /(XI, . - .,Xi-Ut,Xi, ... ,X„-l)
для п.в. (xi,... ,xn-i) G Rn_1 имеют ограниченные существенные вариации
||tMxi,...,x„_i)(-)||bv (см. задачу 5.8.68) и
/ \\1>i(xi,..-,x„_i)(-)||flvdxi---dxn_i < оо.
5.8.87. Пусть компактное множество Е имеет гладкую границу с
внешней нормалью п. Показать, что DIe = падЕ, где ове — поверхностная мера
на границе Е. При этом периметр Е равен поверхностной мере границы Е.
5.8.88. (i) Проверить, что log |х| € ВМО(Ш.п);
(ii) Доказать, что log|G(x)| €Е ВМО(Кп) для всякого многочлена G на
К" степени d ^ 1.
(ш) Доказать, что для каждого положительного числа а < d_1 найдется
такая константа ca,<j, что для всякого многочлена G на П1п степени d ^ 1 и
единичного шара В выполнено неравенство
J \G(x)\-adx < с*,лу \G(x)\dx)
Указание: см. ссылки в Stein [791, §V.6].
5.8.89. Проверить, что если ш ? Ар, то мера ш(х) dx обладает свойством
удвоения.
Указание: применить E.8.7) к В = В(хо,2г) и / = /вA0,Г).
5.8.90. Пусть д — неотрицательная ограниченная борелевская мера на
И" и В(х, г) — замкнутый шар радиуса г > 0 с центром в х. Доказать, что
limsup/i(B(j/,r)) ?/i(B(x,r)).
Указание: заметить, что ц(В(х,г + 1/к)) —* fi{B(x,rj) и что В(у,г) С
В(х,г + 1/к) при |х - у\ < 1/к.
5.8.91? Доказать лемму 5.7.4.
5.8.92? Доказать предложение 5.7.6.
5.8.93.° Доказать лемму 5.7.9.
Указание: пусть Ki = [ai,bi],...,Km = [am,bm] — отрезки в [a,b],
смежные с промежутками из Vo- Пусть е\ > 0. Для каждого j = 1,...,т
найдется такое размеченное разбиение Vj отрезка Kj, что Vj подчинено 8 и

452 Глава 5. Связь интеграла и производной
\F(b,) - F(a,j) - I(f,Vj)\ < ei/m. Тогда наборы Vh j = 0,...,т, образуют
размеченное разбиение V отрезка [а, Ь], откуда
\l(f,-Po) - Х>№) - Па)]\ < \Hf,V) - ?>D) - F(a)]-
- ?№) - F(oj)]| + f) \F{bi) - F(aj) - I(f,Vi)\ < e + ?l,
что ввиду произвольности Ei доказывает первое неравенство. Второе
неравенство доказывается аналогично с помощью первого.
5.8.94. Доказать предложение 5.8.33.
Указание: использовать E.8.13).
5.8.95° Пусть F — замкнутое множество в К". Доказать, что если х
является точкой плотности множества F, то lira dist (х + у, F)/\y\ — 0.
5.8.96. Пусть ZcR1- множество меры нуль. Показать, что
существует такое измеримое множество Е, что ни в какой точке г из Z не
существует плотность Е, т.е. при г —» 0 не существует предела отношения
Х„(Е П K(z, r))/Xn(K(z, г)), где K(z,r) — шар радиуса г с центром в z.
Указание: см. Gofiman [441, с. 175], Kannan, Krueger [524, с. 41].
5.8.97. Пусть А — выпуклый компакт положительной меры в lRn иВ-
замкнутый единичный шар. (i) Доказать, что предел
lim г_1[А„(Л + гВ) - Хп(А)]
существует и равен поверхностной мере границы множества A. (ii) Доказать,
что этот же предел равен смешанному объему vn-i,i(A,В).
5.8.98. Вывести теорему 5.8.22 из теоремы 5.8.21.
5.8.99.° (Burstin [295]) Пусть / — п.в. конечная измеримая по Лебегу
функция, имеющая периоды пп —> 0 (хотя бы f(x+irn) = f(x) п.в.). Показать,
что / п.в. совпадает с постоянной.
Указание: переходя к arctg/, можно считать, что / ограничена;
положив /е(х) = / f(x — sy)g(y)dy, где д — гладкая функция с носителем в
[0,1], имеющая интеграл 1, заметить, что /е — гладкая функция с
периодами 7г„, откуда /е(х) = 0, т.е. fe — постоянная; воспользоваться тем, что при
е —¦ 0 функции /е сходятся к / по мере на каждом отрезке.
5.8.100° (Лузин [112]) Пусть Е — измеримое множество на единичной
окружности S с мерой Лебега, имеющее бесконечное множество центров
симметрии, т.е. таких точек с € S, что вместе со всякой точкой е ? Е в Е входит
и точка е' 6 S, симметричная е относительно прямой, проходящей через с и
начало координат. Доказать, что мера Е равна 0 или 2я\
Указание: заметить, что композиция двух симметрии указанного вида
является сдвигом и потому индикатор Е имеет сколь угодно малые периоды.
Другое решение дано Н.Н. Лузиным [112, с. 195].

5.8. Дополнения и задачи
5.8.101. Показать, что функция / на (а, Ь) выпукла в точности тогда,
когда для всякого [с, d] С (а, Ь) справедливо равенство f(x) = /(с) + / g(t) dt,
х € [с, d], где д — неубывающая на [с, d] функция.
Указание: проверить сначала, что / локально лшшгацева; см.
Красносельский, Рутицкий [97, §1] или Натансон [134, Дополнение 3].
5.8.102? Пусть / — абсолютно непрерывная функция на [а, Ъ], ц —
ограниченная борелевская мера на [о, Ь] и Фц(*) = fi([a,t)).
(i) Доказать равенство
J f(t) л(Л) = /(Ь)ФМ(Н-) - Г №*»{*) dt.
J[a,b] Ja
(ii) Пусть v — ограниченная борелевская мера на [а, 6] и функция &v{t) =
u(Ja,t)) непрерывна. Доказать равенство
/ Ф„(«)/*(Л) = Ф|,(И-)Ф4Ь)- /" Ф^МЛ).
J[a,b] J[a,b]
(iii) Пусть ц — вероятностная мера на [0, +оо), Фм(*) = fi([t, +оо)) и
функция / абсолютно непрерывна на всех отрезках, /@) = 0 и /' ^ 0.
Доказать равенство
/ f(t)n(dt)= [+°°' f(t)*^t)dt.
J[0,+oo) JO
Доказать это же равенство, если вместо условия /' ^ 0 дано, что / € Ll(n),
/'*„ € //(Ж1).
Указание: (i) с помощью свертки построить последовательность таких
равномерно ограниченных мер щ с гладкими плотностями р3, равными 0 вне
[а — j_1, Ь + j-1], что Ф|li (?) —» Ф,»(?) для всех точек t непрерывности Ф^ (т.е.
всюду, кроме не более чем счетного множества) и интегралы от всякой
ограниченной непрерывной функции д по \ij стремятся к интегралу от д по ц.
(ii) Использовать те же меры fij и заметить, что Фм>(() -+ Ф^(<) для 1/-п.в. t,
поскольку v не имеет атомов. Теперь достаточно рассмотреть меры fij.
Поэтому нужное равенство вытекает из (i), где надо взять / = Ф^ и и вместо ц.
(iii) Взять о = 0 и в (i) сначала для ограниченных / перейти к пределу при
Ь->оос учетом равенства Ф^*) + Фм(*) = 1.
5.8.103. (i) (Лузин [112]) Построить такое измеримое множество Е С
[0,1], что для / = 1е получим
Г |/(ж + <)~/(ж~<)| dt = оо для почти всех х € [0,1].
(ii) (Titchmarsh [821]) Пусть <р > 0 — непрерывная функция на @,1),
причем функция \/<р имеет бесконечный интеграл. Доказать, что (а)
существует такая непрерывная функция /, что
r\f{x + t)-f{x~t)\ _
к W)

Глава 5. Связь интеграла и производной
для п.в. х; (Ь) существует такая непрерывная функция д, что интеграл от
\д(х -М) - g(x)]/<p(t) расходится для п.в. х.
Указание: (i) см. Лузин [112, с. 464], где отмечено, что такие примеры
строились Е.М. Ландисом, В. А. Ходаковым и другими.
5.8.104. Построить такую непрерывную функцию /, что для всякой
точки х из некоторого всюду плотного множества в [0,1] континуальной
мощности не существует конечного предела
Указание: см. Лузин [112, с. 459].
5.8.105. (Rubel [745]) Пусть / — конечная вещественная измеримая
функция на прямой. Рассмотрим следующие функции со значениями в
множестве [0,+оо]:
ф) = sup \f(x +1) - f(x)\, V\x) = sup |/(x + t)-f(x-t)\,
.. ч \f(x + t)-f(x)\ ... , \f(x + t)-f(x-t)\
Ф(х) = supp '-—J-^-\, Ф (x) = sup ^ '—-ii Ц.
Показать, что функции tp* и Ф* не обязаны быть измеримыми, хотя у? и Ф
всегда измеримы.
Указание: для построения примера взять такое множество Е с [0,1]
меры нуль, что Е + Е неизмеримо (задача 1.12.139), и положить /(ж) = 1
при х € Е, /(х) = —1 при х € Е + 2, /(ж) = 0 в остальных случаях.
5.8.106. (Н.Н. Лузин, Д.Е. Меньшов) Пусть Е С К" — множество
конечной меры и К С Е — такой компакт, что Е имеет плотность 1 в каждой
точке из К. Доказать, что найдется такой компакт Р без изолированных
точек, что К С Р С Е и Р имеет плотность 1 в каждой точке из К.
Указание: см. Bruckner [286, с. 26-28].
5.8.107. Пусть / — функция ограниченной вариации на [а,Ь], причем
/ь
\f'(i)\ dt. Доказать, что / абсолютно непрерывна.
Указание: представить / в виде / = /i + /г, где /i — абсолютно
непрерывная функция, /г=0 п.в. и проверить, что V(f,[a,b]) = V(fi,[a,b]) +
V(/a»[°>4)> откуда V(f2,[a,b\) = 0 и /2 = 0. Другой способ: заметить, что
V(f, [а, с]) совпадает с интегралом |/'| по [а, с] для всех с € [о, Ь], ибо V(f, [с, Ь])
оценивается через интеграл |/'| по [с,Ь\. Поэтому функция V(f, [а,х])
абсолютно непрерывна, что влечет и абсолютную непрерывность /.
5.8.108. (i) (Лузин [111], [611]) Доказать, что не существует
непрерывной функции / на [0,1], для которой /'(ж) = +оо на множестве
положительной меры.
(ii) Вывести из теоремы 5.8.12, что нет вообще никакой функции со
свойством из (i).

5.8. Дополнения и задачи
455
5.8.109. (Лузин [112]) Доказать, что существует такая непрерывная
функция / на [0,1], что f'(x) существует п.в. и f'(x) > 1 п.в., однако /
не является возрастающей ни в каком интервале.
Указание: построить такую измеримую конечную функцию д > 1, что
д не интегрируема ни в каком интервале, а затем по теореме 5.1.4 найти
непрерывную функцию / с /' = д п.в.
5.8.110. (Hahn [458], Лузин [112, с. 92-94]) Построить пример двух
различных непрерывных функций F и G на [0,1] с -F(O) = С?@) = 0, для которых
F'(x) = G'(x) в каждой точке х € [0,1], где, однако, допускается и
бесконечное значение производной.
5.8.111. (Толстое [176]) Пусть D — ограниченная область в ГО,2 с
простой кусочно гладкой границей dD и ip — непрерывно дифференцируемое в
окрестности замыкания D отображение, причем f взаимно-однозначно
отображает 8D на контур Г, ограничивающий область G. Доказать, что для
всякой ограниченной измеримой функции / на G справедливо равенство
[ fdx = k [ f(<p(y))det<p'(y)dy,
Jg Jd
где к — знак / detip'(y)dy (при этом к автоматически отлично от нуля).
5.8.112? Пусть функция / интегрируема на [0,1], а функция <р: [0,1] —+
[0,1] непрерывно дифференцируема. Верно ли, что функция f(<p(x))(p'(x)
интегрируема?
Указание: нет; рассмотреть /(ж) = ж_1/2 и такую гладкую функцию <?,
что <?>(п-1) = 0, f(cn) — п~2, где Сп — середина [(п + 1)-1,п-1], причем <р
возрастает на [(п 4- 1)-1,с„].
5.8.113. (i) Пусть Е С ГО.1 — множество положительной меры Лебега.
Доказать, что ro1\U^Li(^ + rn), где {rn} = Q, имеет меру нуль.
(ii) Пусть А С ГО,1 — множество положительной внешней меры и В —
всюду плотное множество в ГО1. Доказать, что для всякого интервала / верно
равенство А* ((Л + В)Г\1) = А(J), где А — мера Лебега.
(Ш) Пусть даны множества Л, В С ГО1 положительной внешней меры.
Доказать, что существует такой интервал /, что А*((Л + В) П /) = A(J).
(iv) Построить два множества А и В положительной внешней меры на
прямой, для которых А + В не содержит никакого интервала.
(v) Пусть даны два множества А и В положительной внешней меры на
прямой, причем хотя бы одно из них измеримо. Доказать, что А+В содержит
некоторый интервал.
Указание: (i) легко выводится из существования точки плотности у Е.
По поводу остальных утверждений см. Miller [650]. Отметим, что (ii)
называется леммой Смитала (Smftal).
5.8.114. Пусть Е С ГО,1 и х € Е. Обозначим через \(Е,х,х + h) длину
наибольшего открытого интервала в (х,х + А), который не содержит точек

Глава 5. Связь интеграла и производной
Е (при h < 0 рассматривается интервал (х — |/г|,а;)). Положим
р(Е,х) = limsupA(?,a:,z + h)/\h\.
л—о
Будем называть Е пористым в ж, если р(Е,х) < 1. Если Е — пористое в
каждой точке, то будем называть Е пористым множеством. Наконец, счетное
объединение пористых множеств будем называть cr-пористым (это понятие
ввел Е.П. Долженко [60]).
(i) Доказать, что пористое множество имеет лебеговскую меру нуль и
нигде не плотно.
(ii) Построить пример компактного множества меры нуль, которое не
является сг-пористым.
(iii) Построить борелевскую вероятностную меру на прямой,
сингулярную относительно меры Лебега, но равную нулю на всяком <т-пористом
множестве.
(iv) Построить такой компакт на прямой, на котором всякая борелевская
мера сосредоточена на сг-пористом множестве.
Указание: см. Thomson [820, §А11], Tkadlec [822], Humke, Preiss [494],
Zajfcek [894].
5.8.115. Доказать, что всякое множество положительной меры Лебега
в И2 содержит вершины некоторого правильного треугольника.
Указание: можно считать, что начало координат входит в данное
множество Е и является его точкой плотности. Выберем круг U с центром в
нуле и радиусом г, удовлетворяющий условию Аг(?/ П Е) > 10Аг(?/)/11
Можно считать, что г = 1. Обозначим через Ф множество всех таких
точек ip е [0,27г), что / rdr ^ 2/5, где Ev — множество таких t 6 @,1],
что точка с полярными координатами (t, <р) входит в Е. Тогда 107г/11 >
А(Ф)/2 + 2B7г — А(Ф))/5, откуда А(Ф) > 7г; поэтому найдется такой угол
(р е Е, что ф := ip + 7г/6 6 Ф, где сложение производится по mod 2л\ Остается
заметить, что множества Ev и Еф пересекаются (ибо интеграл от г по их
объединению не превышает 1/2), и, взяв точку t из их пересечения,
получаем в Е точки (t,if>) и (t,ip) в полярных координатах, образующие вместе с
началом координат вершины правильного треугольника.
5.8.116? (Fischer [395]) Пусть функция F непрерывна на [0,1], F@) = 0.
Доказать, что F является неопределенным интегралом функции из L2[0,1] в
точности тогда, когда разностные отношения n(F(x + n_1) — F(x))
образуют фундаментальную в L2[0,1] последовательность, где при а; > 1 полагаем
F(x) = F(l).
Указание: если указанная последовательность фундаментальна, то она
сходится в L2 [0,1] к некоторой функции /, а тогда
nUm ? n{F(x + я) - F(x)) dx = ? f(x) dx
для всех t e [0,1]. В силу непрерывности F левая часть, как легко видеть из
ft ,t+l/n
равенства / F(x + 1/п) dx = F{y) dy, равна F(t) - F@) = F{t).

5.8. Дополнения и задачи
5.8.117. (Denjoy [344]) Пусть функция / дифференцируема на @,1),
причем для некоторых а и /3 множество {ж: а < f'(x) < /?} непусто.
Доказать, что это множество имеет положительную меру.
Указание: см. Kannan, Krueger [524, §5.4].
5.8.118. Привести пример измеримой функции на [0,1], которая
обладает свойством Дарбу, т.е. на каждом отрезке [а, Ь] С [0,1] принимает все
значения между /(а) и /(b), но не имеет свойства Данжуа из предыдущей
задачи, т.е. есть такие с и d, что множество {ж: с < /(ж) < d} непусто и
имеет меру нуль.
Указание: пусть С — канторовское множество, ф: С —> [О,1] — биек-
ция, {Un} — дополнительные к С интервалы в [0,1]. Возьмем
непостоянные аффинные функции дп с р„([0,1]) С Un и положим /(х) = ф(дп1(х))
при х € дп(С), /(ж) = х при х е С и /(ж) = 1 в остальных точках. Тогда
/_1A/2,1) непусто, но имеет меру нуль. Если а < 6, то в (а,Ь) есть
некоторый интервал Un из указанной последовательности, поэтому (а, Ь) содержит
множество дп(С), на котором / принимает все значения из [0,1].
5.8.119. (Davies [339]) Пусть функция / на [О, I]2 аппроксимативно
непрерывна по каждому переменному в отдельности, (i) Доказать, что /
измерима по Лебегу, (ii) Доказать, что / даже входит во второй класс Бэра.
5.8.120° Доказать следующее неравенство Чебышёва: если tp и ф —
неубывающие конечные функции на [0,1], a Q — вероятностная плотность
на [0,1], то / <р(х)ф(х)о(х)с1х'^ I tp(x)g(x)dx I ф(х)д(х)с1х.
Jo Jo Jo
Если же tp возрастает, а ф убывает, то верно противоположное неравенство.
Указание: вычитая из ф постоянную, можно считать, что ф имеет
нулевой интеграл. Тогда для Ф(ж) = / ф(t)Q(t)dt имеем Ф@) = ФA) = О,
откуда Ф(х) ^ 0 ввиду монотонности ф. Если <р непрерывно
дифференцируема, то tp' ^ 0 и потому / 1р(х)ф(х)е(х) dx = - / <р(ж)'Ф(х) dx^O. Общий
Jo Jo
случай сводится к рассмотренному, ибо найдется равномерно ограниченная
последовательность гладких неубывающих функций tpn п.в. сходящаяся к tp.
Например, можно взять tpn = tp * fn, где fn(t) = nf(t/n), f — гладкая
вероятностная плотность с носителем в [0,1] и tp продолжается постоянными на
[—1,0] и [1,2]. Если же ф убывает, то переходом к 1 — ф получаем обратное
неравенство.
5.8.121. Пусть /: [0, оо) —* [0, оо) — локально интегрируемая функция.
(i) Пусть / f(x) dx < т/МЕ) для всякого ограниченного измеримого
Je
множества Е. Доказать, что / —-^—?- dx < / ——
Jo 1 + * Jo
A+хР 2-
/(*)
1 + х2
интегрируема.
' /Т/0
(ii) Пусть / /(ж) dx ^ Г для всех Т. Показать, что функция -

Глава 5. Связь интеграла и производной
Указание: (i) пусть F(x) — I f(y) dy, тогда F(x) ^ у/х и потому
J0 l + x^-l + t+J0 A +*)***** l + t+J0 (l+xy"*-
Остается устремить t к бесконечности. Утверждение (ii) аналогично.
5.8.122. (Gordon [446]) По аналогии с определениями §5.7 будем
рассматривать размеченные разбиения Р = {(xi,Ei)} отрезка [а,Ь] на конечное
число попарно непересекающихся измеримых множеств Ei с х« 6 Е,. Такое
разбиение Р будем считать подчиненным положительной функции 5, если
Ei С (xi — S(xi),Xi + S(xi)) для-ясех-».-Доказать, что
(i) функция / на [а, Ь] интегрируема по Риману в точности тогда, когда
существует число Я со следующим свойством: для всякого е > 0 найдется
такое число 6 > О, что JZ /(Х«)А(^«) — Я < е для всякого подчиненного 6
размеченного разбиения отрезка на измеримые множества Ei;
(ii) функция / на [а, Ь] интегрируема по Лебегу в точности тогда, когда
существует число L со следующим свойством: для всякого е > 0 найдется
функция <5( •), что J^ f(xi)X(Ei) - L\< е для всяко-
5.8.123. Индикатрисой Банаха функции / на [а, Ь] называется
функция JV/: Ш,1 —» [0, +оо], значение которой в точке у равно количеству точек
в /_1(у). (i) Доказать, что индикатриса непрерывной функции измерима.
(ii) (С. Банах) Доказать, что непрерывная функция / имеет
ограниченную вариацию в точности тогда, когда функция N/ интегрируема. При этом
?2 NS{y) dy = V(f, [a, b}). E.8.16)
В частности, Nj(y) < оо п.в.
(iii) (Н. Kestelman) Доказать, что для общей функции / ограниченной
вариации разность между левой и правой частями E.8.16) равна сумме
абсолютных величин всех скачков /.
(iv) Доказать, что если функция / непрерывна и Nf(y) < оо для всех у,
то / дифференцируема почти всюду.
Указание: (i), (ii) см. в Натансон [134, гл. \Ш, §5]; (iii) см. в Kannan,
Krueger [524, §6.1]; (iv) см. в van Rooij, Schikhof [737, §21].
5.8.124.° Пусть ц — мера на пространстве X и функция / на X х [а, b]
такова, что функции х ь-> f(x, t) интегрируемы, а функции t н-> /(ж, t)
абсолютно непрерывны, причем функция df/dt интегрируема относительно //®А,
где А — мера Лебега. Доказать, что функция t >—> / f(t, х) (i(dx) абсолютно
f df(x,t)X .. .
непрерывна и ее производная п.в. равна / — ' ц(ах).
Jx т
Указание: применить формулу Ньютона-Лейбница и теорему Фубини.

Библиографические комментарии
Странное чувство испытываешь, видя одни и те же
чертежи, как будто начерченные одной рукой в трудах
четырех ученых, работавших совершенно независимо
друг от друга. Невольно приходишь к мысли, что такая
поразительная, загадочная деятельность человечества,
длящаяся несколько тысячелетий, не может быть
случайной, должна иметь какую-то цель. А признав это,
мы с необходимостью приходим к вопросу: в чем состо-
в своих контактах с американскими шекс-
пироведами я ограничивался конкретными проблемами
моих исследований: датировка, идентификация
прототипов, направленность некоторых аллюзий. Проблемы
личности Великого Барда, „шекспировского вопроса" я
старался не касаться; также я не слышал, чтобы эти
шекспироведы обсуждали подобный вопрос между
собой.
И.М. Гилияов. Игра об Уильяме Шекспире или
Тайна Великого Феникса.
Включенный в книгу обширный список литературы охватывает,
конечно, меньшую часть огромной имеющейся литературы по теории
меры; в частности, многие авторы представлены минимальным числом
наиболее характерных работ. Руководствуясь предлагаемыми
краткими комментариями и этим неполным списком, читатель с помощью
современных электронных баз данных может существенно расширить
представление об опубликованных работах. Более полным является
список книг (хотя и он не может претендовать на абсолютную
полноту). Для удобства читателя в список литературы включены
собрания сочинений С. Банаха [237], Э. Бореля [274], Р. Бэра [231], Н.
Винера [868], Дж. Витали [848], А. Данжуа [345], С. Какутани [519],

460 Библиографические комментарии
К. Каратеодори [307], А.Н. Колмогорова [94], А. Лебега [586], Н.Н.
Лузина [114], Э. Марчевского [622], Дж. фон Неймана [136], [663], И.
Радона [706], Ф. Рисса [729], В.А. Рохлина [156], В. Серпинского [773],
М. Фреше [415], Г. Хана [465], Г. и У.Г. Юнгов [877], где можно найти
как многие из цитируемых работ этих авторов, так и другие их
работы, имеющие отношение к теории меры. Многие работы из списка
литературы упоминаются лишь в основном тексте в связи с
конкретными результатами (включая задачи и указания к ним). Некоторые
центральные результаты снабжены достаточно развернутыми
комментариями, во многих других случаях упомянуты лишь завершающие
работы, к которым следует обращаться относительно
предшествовавших публикаций или истории вопроса. Десятки частных результатов,
упомянутых в книге, имеют интереснейшую историю, которая
открывается при чтении старых журналов и от изложения которой здесь с
большим сожалением приходится отказаться.
Русское написание иностранных фамилий приведено лишь в
немногих случаях, причем я не пытался изменить устоявшуюся традицию
неверной передачи ряда иностранных фамилий. Мне кажется более
уместной существовавшая прежде традиция при цитировании писать
фамилии иностранных авторов латиницей (это особенно удобно при
большом объеме цитирования). В последние десятилетия более
распространенной стала транскрипция, обладающая несомненным
эстетическим преимуществом, но имеющая и серьезные недостатки. Во-первых,
трудно (а порой и невозможно) адекватно передать все иностранные
фамилии (по принятым правилам многие из них заведомо передаются с
серьезными искажениями). Тем более, что часто транскрипция одной и
той же фамилии зависит от того, к какому иностранному языку
делается привязка (этого недостатка лишена транслитерация, т.е. буквальное
воспроизведение кириллицей, что также практиковалось в прошлом;
мне кажется, что в целом транслитерация соединяет скорее
недостатки, нежели достоинства двух других возможных способов — прямого
включения и транскрипции). Во-вторых, для многих наших читателей
даже и правильное воспроизведение может сослужить плохую службу,
ибо естественный ,рбратный перевод" может не иметь ничего общего с
исходным написанием фамилии (подобное явление нередко случается
в английских переводах статей иностранных авторов в отечественных
журналах). Поэтому, сознательно допуская небольшой разнобой, я
приводил русское написание фамилий лишь небольшого числа
иностранных ученых (в основном, тех, чьи работы переводились на русский
язык). Впрочем, с некоторыми фамилиями не все просто и в
иностранных языках, например, во многих (но не во всех) иностранных
библиотеках, в частности, во Франции, книги Валле-Пуссена (de la Vallee
Poussin) расположены на букву L, объяснение чему можно найти в
заметке Burkill [294]. Этому правилу я следую в иноязычной части списка

Библиографические комментарии
литературы. По-русски эту фамилию также надо было бы давать как
Ла Балле Пуссен (так, кстати, делал А.Н. Колмогоров).
Теперь несколько замечаний о книгах, в той или иной мере
излагающих теорию меры и интеграла Лебега. Первое систематическое
изложение теории было дано самим Лебегом в первом издании его лекций
[574] в 1904 г. (русский перевод [106] второго издания вышел в 1934 г.).
В 1907 г. появилось первое издание фундаментального учебника Гоб-
сона [488], в который вошли некоторые простейшие элементы теории
Лебега (в последующих изданиях соответствующие разделы были
существенно расширены), вышли книги Валле-Пуссена [567] (русский
перевод [37] сделан с 3-го и 2-го французских изданий; в последующих
французских изданиях значительная часть теории интеграла Лебега
исключена) и [569] и Каратеодори [305]. Эти четыре книги часто
цитируются во многих работах первой половины XX века. Отметим также
обширный труд Pierpont [691]. Элементы лебеговской теории меры
были изложены в книге Хаусдорфа [471] (в последующих изданиях этот
материал был исключен). Некоторые начальные сведения давались в
книге Schonflies [757]. В 20-е годы XX века выпустили свои книги Хан
(Hahn) [462], Kamke [522], van Os [676], Schlesinger, Plessner [754]. В
1933 г. вышло первое французское издание классического труда
Сакса [750] (второе издание на английском языке вышло в 1937 г.). В 30-
е годы были опубликованы и более учебные книги: Титчмарш [173]
(первое английское издание), Kestelman [535]. Основные результаты
теории меры были изложены и в книге Tornier [829], недостатком
которой является отсутствие каких-бы то ни было указаний на авторство
приводимых теорем теории меры. В те годы существовали и курсы
лекций, опубликованные позже (например, von Neumann [662], Vitali,
Sansone [849]). Отметим также книгу Stone [797], содержащую
материал по теории интеграла. В книге McShane [637] в изложении теории
интеграла применен подход Даниэля, а затем представлен стандартный
курс, включающий главу про интеграл Лебега-Стилтьеса. Из ранних
обзоров теории Лебега отметим работы La Vallee Poussin [568], Bliss
[264], Hildebrandt [486] и серию статей Borel, Zoretti, Montel, Frechet
[275], опубликованных под редакцией Бореля в энциклопедии
математических наук и параллельно с некоторой переработкой изданных
также по-немецки в Rosenthal [740]. В послевоенное время публикация
книг по теории меры заметно активизировалась, так как этот
предмет стал частью университетской программы. Ниже приведен довольно
полный список этих книг.
На русском языке отдельные элементы теории меры Лебега
обсуждались в книге В.Л. Некрасова [137], вышедшей в 1907 г. В
монографии Н.Н. Лузина [112], первое издание которой вышло в 1915 г. и
представляло собой его магистерскую диссертацию (на защите Ученый
совет единогласно постановил присудить Н.Н. Лузину сразу степень

462
Библиографические комментарии
доктора чистой математики), основы лебеговской теории
предполагались известными (давались ссылки на книги Лебега и Валле-Пуссена),
а предметом изучения были весьма тонкие свойства интегралов (не
только лебеговских, но и более общих), первообразных и
тригонометрических рядов. Обстоятельное изложение лебеговской теории
интеграла (вероятно, первое столь подробное изложение на русском языке)
было дано в магистерской диссертации Г.М. Фихтенгольца [182]
(который широко известен как автор выдающегося курса анализа [184])
завершенной в феврале 1918 года. К сожалению, по известным
обстоятельствам того времени этот замечательный рукописный труд не был
опубликован и был доступен немногим1. Между тем, диссертация
Фихтенгольца — подлинное произведение искусства, а многие ее результаты
и ныне представляют несомненный интерес, оставаясь
малоизвестными. Эта рукописная работа представляет собой 340 страниц,
заполненных убористым каллиграфическим почерком в дореформенной
орфографии (титульный лист можно посмотреть на сайте Петербургского
математического общества). Во Введении (с. 1-58) изложен курс
интеграла Лебега. Основные оригинальные результаты Г.М.
Фихтенгольца из его диссертации связаны с предельным переходом под знаком
интеграла. Библиография включает 177 работ. В работе имеется
множество комментариев (помимо исторических сведений приведены
замечания об ошибочных результатах или пробелах в доказательствах
в немалом числе классических работ). Затем основы теории меры и
интеграла Лебега (для ограниченных функций) были изложены в
книге П.С. Александрова и А.Н. Колмогорова [в], первое издание
которой вышло в 1932 г. (в 3-м изд. 1938 г. интеграл Лебега изложен и
для неограниченных функций). Вскоре на русский язык были
переведены упоминавшиеся выше книги Лебега и Валле-Пуссена, в 1941 г.
небольшим тиражом вышла превосходная книга И.П. Натансона [133]
(И.П. Натансон был учеником Г.М. Фихтенгольца и в его учебнике
ощутимо влияние диссертации последнего). С 1946 г. теория меры и
интеграла стала частью обязательного курса Анализ-Ш, введенного на
механико-математическом факультете МГУ по инициативе А.Н.
Колмогорова, который и был первым лектором этого курса. Студенты
имели размноженные на гектографе записи лекций А.Н. Колмогорова [91].
Впоследствии такой курс читался многими другими лекторами
(среди которых были И.М. Гельфанд, СВ. Фомин, Г.Е. Шилов); в 1954 и
1960 гг. соответственно двумя отдельными выпусками было
опубликовано первое издание широко известного учебника А.Н. Колмогорова и
СВ. Фомина [95] (теория меры излагалась во втором выпуске); этот
*Я весьма благодарен В.П. Хавину, хранителю рукописи, за
разрешение снять с нее копию, а М.И. Гордину и А.А. Лодкину за многообразные
хлопоты в этой связи.

Библиографические комментарии
учебник многократно переиздавался с некоторыми исправлениями и
переработкой, был переведен на многие языки и, по моему мнению,
является лучшим учебным пособием по курсу теории функций и
функционального анализа для студентов университетов. Интересно отметить,
что, как сообщил мне Ю.В. Прохоров, бывший одним из слушателей
курса А.Н. Колмогорова в 1946/47 учебном году, книга [95] не
полностью покрывает содержание тех лекций (хотя, конечно, содержит и
много дополнений). В то время А.Н. Колмогоров планировал
написание книги по теории меры (предполагавшаяся книга даже упомянута
в списке литературы в [50], где на с. 19 „к этой книге читатель
вообще отсылается за всеми разъяснениями, относящимися к теории меры
и интеграла Лебега"). См. также Колмогоров [92]. Однако в 1950 г.
вышло первое издание книги П. Халмоша [190] на английском
языке (русский перевод появился в 1954 г.), и А.Н. Колмогоров оставил
свой замысел, говоря, по свидетельству Ю.В. Прохорова, что „писать
хуже Халмоша не хочется, а написать лучше нет времени". Кстати,
по той же причине не была завершена и книга Марчевского,
объявленная в 1947 г. в Colloq. Math., т. 1. Теория меры и интеграла была
весьма широко представлена в известном курсе В.И. Смирнова [162].
Курс В.И. Смирнова и цитированная книга И.П. Натансона —
первые обстоятельные отечественные изложения этой теории. В 1949 г.
вышел русский перевод [160] уже упоминавшегося фундаментального
труда С. Сакса, а в 1950 г. было опубликовано первое издание
весьма удачно написанной книги И.П. Натансона [134] (представлявшей
собой переработку его уже цитированной книги [133]), которая и
спустя полвека остается одним из основных учебных пособий по теории
меры и интеграла, давая при этом подробное изложение ряда
разделов, существенно выходящих за пределы учебных курсов. В 1951 г. на
русском языке появилось еще одно богатое материалом классическое
сочинение по теории функций — книга Е. Титчмарша [173], а в 1954 г.
вышел перевод лекций Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя [153]. Обе эти
книги вполне могут быть рекомендованы и сейчас. Наконец,
необходимо упомянуть публикацию на русском языке известной монографии
Н. Данфорда и Дж. Шварца [56], являющейся полнейшей
энциклопедией функционального анализа и подробно излагающей многие
разделы теории меры и интеграла. В последующие годы отечественная
литература по теории меры и интеграла заметно расширилась (в основном
за счет появления книг отечественных авторов, но также и ряда
переводов), так что нет даже возможности перечислить все имеющиеся книги
и учебные пособия (скажем, во многих университетах и педагогических
институтах появились свои учебные пособия, часто изданные
небольшим тиражом ротапринтным способом, с ориентацией на специфику
конкретного учебного заведения и связи с другими учебными
курсами). Добавлю, что многие современные книги по теории вероятностей

Библиографические комментарии
и математическому анализу включают полноценные курсы теории
меры и интеграла. Из книг на русском языке, оказавшихся доступными
и учитывавшихся в той или иной мере при работе над этой книгой,
отмечу (помимо уже упомянутых выше) следующие: Акилов,
Макаров, Хавин [1], Боровков [27], Бурбаки [33], Вулих [42], Гихман [46],
Гихман, Скороход [47] A-е изд.), Грауэрт, Либ, Фишер [54], Дорогов-
цев [62], Дьяченко, Ульянов [74], Заманский [75], Камке [82],
Кириллов, Гвишиани [85], Клементьев [86], Кованько [88], Кованько, Соколов
[89], Колодий [96], Лаврентьев, Савельев [104], Макаров, Флоринская
[119], Меленцов, Байдосов, Змеев [129], Партасарати [144], Порошкин
[149], Пугачев [150], Решетняк [151], Ротарь [155], Садовничий [158],
Соболев [163], Терехин [171], Толстов [177], Федерер [179], Федоров
[180], Флоринская, Хавин [185], Цецохо [201], Шварц [204], Шерстнев
[205], Шилов [207], Шилов, Гуревич [209]. Весьма подробное
изложение теории меры и интеграла дано в следующих книгах по теории
вероятностей: Лоэв [110], Неве [135], Хеннекен, Тортра [198], Ширяев
[210]. В частности, в этих книгах (а также в Мейер [128]) освещены
темы, существенно выходящие за пределы учебного курса.
Есть также ряд учебников и пособий, излагающих отдельные
разделы теории Лебега или теории функций действительного
переменного, например, Брудно [30], Ильин, Позняк [80], Лузин [113], Макаров
[121], Никольский [138], Окстоби [139], Рудин [157], Фролов [187].
В послевоенное время учебники и монографии по лебеговской
теории меры и интеграла выходили во многих странах и на многих
языках. Причем эта теория излагалась как в книгах под
соответствующим названием, так и в книгах под названием "Real analysis",
"Abstract analysis", как часть курса функционального анализа или
теории вероятностей и т.д. Следующий список содержит лишь книги
на английском, французском и немецком языках и несколько книг
на итальянском и испанском языках (без повторения
упоминавшихся выше книг и без упоминания иностранных переводов
отечественных изданий), оказавшиеся мне доступными в совокупности
библиотек нескольких десятков крупнейших университетов и математических
институтов мира (как правило, каждая отдельная библиотека
содержит заметно менее половины книг этого списка): Adams, Guillemin
[214], Aliprantis, Burkinshaw [218], Amann, Escher [220], Anger, Bauer
[221], Arnaudies [223], Artemiadis [224], Ash [226], [227], Asplund,
Bungart [228], Aumann [229], Aumann, Haupt [230], Barner, Flohr
[242], de Barra [243], Bartle [244], Bauer [247], [248], Bear [249],
Behrends [250], Belkner, Brehmer [251], Bellach, Franken, Warmuth,
Warmuth [252], Benedetto [253], Berberian [254], [255], Bichteler
[259], [260], Billingsley [262], Bouziad, Calbrix [278], Brehmer [280],
Briane, Pages [282], Bruckner, Bruckner, Thomson [287], Burk [291],
Burkill [293], Cafiero [300], Capinski, Kopp [303], Carothers [309], Chae

Библиографические комментарии
465
[311], Chandrasekharan [312], Choquet [315], Chow, Teicher [316], Cohn
[320], Constantinescu, Filter, Weber [322], Constantinescu, Weber [323],
Courrege [324], Craven [325], Deheuvels [340], DePree, Swartz [347],
Descombes [348], Dieudonne [351], Dixmier [355], Doob [356], Dshalalow
[360], Dudley [362], Durrett [367], Edgar [368], Elstrodt [372], Filter,
Weber [393], Floret [397], Folland [398], Foran [399], Forster [400],
Fremlin [421], Fristedt, Gray [423], Galambos [426], Ganssler, Stute
[427], Garnir [429], Garnir, De Wilde, Schmets [430], Gaughan [431],
Gleason [439], Goffman [441], Gofbnan, Pedrick [442], Goldberg [443],
Gramain [448], Graves [450], Giinzler [453], de Guzman, Rubio [456],
Haaser, Sullivan [457], Hartman, Mikusinski [469], Haupt, Aumann, Pauc
[470], Henstock [478], [479], [481], Henze [482], Heuser [484], Hewitt,
Stromberg [485], Hildebrandt [487], Hoffman [489], Hoffmann-J0rgensen
[490], Hu [492], Ingleton [495], Jacobs [496], Jain, Gupta [497], Janssen,
van der Steen [499], Jean [501], Jeffery [504], Jones [511], Jost [514],
Kallenberg [521], Karr [528], Kelley, Srinivasan [533], Kingman, Taylor
[542], Klambauer [544], Konigsberger [556], Korevaar [557], Krieger [558],
Kuller [559], Lang [563], [564], Leinert [590], Letta [592], Magyar [617],
Malliavin [618], Marie [627], Maurin [630], Mawhin [631], Mayrhofer
[632], McDonald, Weiss [635], McShane [638], McShane, Botts [639],
Metivier [643], Michel [647], Mikusinski [649], Mukherjea, Pothoven [659],
Munroe [661], Nielsen [665], Pallu de la Barriere [677], Panchapagesan
[678], Pfeffer [684], Phillips [686], Picone, Viola [688], Pitt [693], [694],
Pollard [697], Priestley [701], Rana [707], Randolph [708], Rao [711],
[712], Ray [713], Revuz [714], Richter [715], Rosenthal [742], Rogosinski
[734], van Rooij, Schikhof [737], Royden [744], Rudin [748], Schmitz,
Plachky [755], Segal, Kunze [759], Sikorski [774], Simonnet [775], Sion
[776], Spiegel [786], Stromberg [799], Stroock [800], Swartz [805], Sz.-
Nagy [807], Taylor A.E. [813], Taylor J.C. [816], Taylor S.J. [817], Temple
[818], Thielman [819], Toralballa [826], Torchinsky [828], Tortrat [830],
Townsend [831], Verley [837], Vogel [850], Vo-Khac [851], Wagschal
[854], Walter [856], Weir [860], [861], Wheeden, Zygmund [864], Widom
[866], Wilcox, Myers [869], Williams [870], Williamson [871], Yeh [875],
Zaanen [891], [892], Zahn [893].
Разделы, посвященные лебеговскому интегралу, есть и в ряде
зарубежных учебников анализа, например, см. Fleming [396], James [498],
Sprecher [787]. Разные интересные примеры, связанные с теорией мет
ры, можно найти в книгах Гельбаум, Олмстед [45], Wise, Hall [872].
Разнообразная информация представлена в серии обзоров Рар [680].
Перечисленные книги покрывают (или почти покрывают)
стандартный курс теории меры, но, конечно, существенно разнятся как
объемом материала, так и методическими принципами. Некоторые

466
Библиографические комментарии
(например, [362], [372], [421], [485], [490], [496], [712], [744], [830],
[892]), отличаются широтой охвата многих тем, в других
акцентируются какие-либо отдельные направления. Я не стал их классифицировать
по признаку „учебники" и „монографии", так как во многих случаях
было бы затруднительно провести такую грань, но ясно, что многие из
этих книг нельзя рекомендовать в качестве пособий для студентов, а
некоторые имеют в основном исторический интерес. С другой стороны,
хотя бы просмотр таких книг весьма полезен для преподавания,
ибо помогает по-новому взглянуть на хорошо известное, дает новые
упражнения и т.п. В частности, знакомство с указанными книгами
несомненно повлияло на изложение в этой книге. Из популярных в
зарубежных университетах учебников отмечу Bauer [247], Cohn [320],
Munroe [661], Royden [744], Rudin [748].
Многие из перечисленных книг включают обширные подборки
упражнений и задач, но есть и собственно задачники, частично или
полностью посвященные теории меры и интеграла: Дороговцев [61],
Кириллов, Гвишиани [85], Кудрявцев, Кутасов, Чехлов, Шабунин [101],
Леонтьева, Панферов, Серов [109], Макаров, Голузина, Лодкин, Подко-
рытов [120], Очан [140], [142], Теляковский [170], Aliprantis, Burkin-
shaw [219], Gelbaum [432], George [433], Letac [593], Wagschal [855].
В этих задачниках можно найти много простых учебных
упражнений, число которых в нашей книге относительно невелико (для
самостоятельной подготовки я бы особо рекомендовал компактный
задачник С.А. Теляковского). В настоящее время теория меры и интеграла
(или отдельные разделы этих теорий) читаются в виде курсов „Мера
и интеграл", .Действительный анализ" и т.п. или как части курсов по
функциональному анализу, математическому анализу, теории
вероятностей. На механико-математическом факультете МГУ в последние
годы в четвертом семестре (второй год обучения) имеется обязательный
курс .Действительный анализ" (около 28 лекционных часов и столько
же упражнений) с последующими зачетом (решение задач) и
экзаменом (программа курса, читаемого автором, приведена в Приложении
ниже). Кроме того, ряд связанных с теорией интеграла вопросов
излагается в читаемом на третьем курсе функциональном анализе.
Во многих книгах из приводимого списка литературы имеются
историко-библиографические комментарии; особо отметим Данфорд,
Шварц [56], Anger, Portenier [222], Benedetto [253], Cafiero [300], Chae
[311], Dudley [362], Elstrodt [372], Harm, Rosenthal [466], Rosenthal
[740]. В этих книгах имеются и некоторые биографические сведения;
биографический материал представлен в [26], [372], [635].
Жизнеописания наиболее известных математиков и воспоминания о них можно
найти также в упомянутых выше собраниях сочинений и в
журнальных статьях, связанных с различными памятными датами; см. также
Демидов, Левшин [57], Меньшов [131], Полищук [147], Тумаков [178],

Библиографические комментарии
467
сборник [642], Szymanski [810], Taylor [814], Taylor, Dugac [815]. В
1988 г. были обнаружены 232 письма Лебега к Борелю за период около
20 лет (писем Бореля не удалось найти); они опубликованы в [587]
с подробными комментариями (этот машинописный труд имеется в
библиотеке университета Paris-VT в Париже; выдержки
опубликованы в номерах более доступного журнала Revue des mathematiques de
l'enseignement superieur). В письмах Лебега, написанных весьма живым
языком и большей частью имеющих конфиденциальный характер,
отразились многие любопытные реалии научной и университетской
жизни того времени (впрочем, хорошо понятные и нынешним ученым),
пути становления анализа XX столетия, а также личные
взаимоотношения Лебега с другими учеными.
История развития теории меры и интеграла в конце XIX — начале
XX века освещена достаточно подробно. Последующий же период пока
не получил должного освещения (по нему имеются лишь разрозненные
комментарии и отдельные замечания такого рода, как в этой книге).
Возможно, это связано с тем, что наиболее подходящее время для
первого основательного исторического анализа какого-либо периода в
науке — спустя 50-100 лет после анализируемого периода, когда, с одной
стороны, еще достаточно свежи сведения о нем, особенно те,
носителями которых являются живые свидетели эпохи, а с другой стороны,
новый уровень знания и ретроспективный взгляд могут способствовать
более объективному анализу (а также ослабло влияние конъюнктуры
или каких-либо мафиозных групп). Если такие предположения верны,
то сейчас наступает время углубленного исторического анализа
развития теории меры до середины XX века.
Глава 1.
§§1.1 - 1.8. Здесь нет возможности обсуждать работы
непосредственных предшественников Лебега (Бореля, Вейерштрасса, Вольтер-
ра, Дарбу, Дини, Жордана, Ганкеля, Гарнака, Кантора, Пеано, Рима-
на, Стилтьеса и других), оказавшие значительное влияние на развитие
теории меры и интеграла; по этому вопросу см. книги: Медведев [122]-
[127], Песин [145], Michel [646], [690], а также старую энциклопедию
[740]. В конце ХГХ и начале XX века часто цитируемыми источниками
по теории функций были книги Дини [354] и Жордана [513].
Основные идеи излагаемой в этой главе теории меры принадлежат
французскому математику Анри Лебегу (Henri Lebesgue); поэтому
часто эта теория называется „лебеговской теорией меры". Показателен тот
факт, что почти все содержание современного университетского курса
меры и интеграла покрывается лекциями Лебега [574] (русский
перевод второго издания в [106]), написанными на основе его докторской
диссертации [571] (основные идеи изложены в 1901 г. в [570]). Редкий

Библиографические комментарии
пример в истории науки! Из основополагаюпщх работ Лебега укажем
также [576], [579], [581], [583], [585] (см. собр. соч. [586]).
Как отмечал Лебег, на его построения оказали влияние идеи Э. Бо-
реля [271]. Впоследствии между Лебегом и Борелем даже возникла
некоторая дискуссия о приоритетах, достаточно объективное
освещение которой можно найти в обзорных статьях самого Лебега [585] и
работах [123], [145], [178]. Отметим также, что практически
одновременно с Лебегом к ряду важных положений его теории пришли Юнг
[879] (см. также работы в [877]) и Витали [839], [840], [841] (см.
также [848]), но все же по широте охвата и стройности созданной
теории вклад Лебега значительно превосходил совокупный вклад других
исследователей. Лебеговская теория быстро получила широкую
известность и признание; математики многих стран включились в разработку
нового направления и его приложений, что привело к возникновению
целых научных школ. Одна из самых известных таких школ была
создана в России Н.Н. Лузиным, который был учеником замечательного
отечественного математика Д.Ф. Егорова (открывшего теорему,
которая входит теперь в университетский курс).
В тексте книги и комментариях в связи с конкретными
результатами и идеями встречаются имена многих математиков, обогативших
лебеговскую теорию меры. Среди исследователей, работы которых в
первой четверти XX века особенно сильно повлияли на последующее
развитие лебеговской теории меры, следует упомянуть Дж. Витали,
У. Юнга, И. Радона, К. Каратеодори, Ф. Рисса, М. Фреше, Н.Н.
Лузина, М.Я. Суслина, Ш. Валле-Пуссена, Г. Хана, П. Даниэля, В. Сер-
пинского, А. Данжуа. Во второй четверти XX века громадное влияние
на развитие теории меры оказали идеи А.Н. Колмогорова,
относящиеся как к самой теории меры, так и к сопредельным областям:
теории вероятностей, теории случайных процессов, теории динамических
систем, теории информации. Среди других математиков, существенно
повлиявших на современный облик теории меры, сформировавшийся
к концу 50-х годов XX века, следует упомянуть А.Д. Александрова,
С. Банаха, Н. Винера, Дж. фон Неймана, О. Никодима (польский
математик О. Никодим писал свое имя как О. Nikodym, а позже после
войны в эмиграции как О.М. Nikodym), Ю.В. Прохорова, В.А.
Рохлина, С. Сакса, А. Хаара, Г. Шоке. В последующие годы прогресс в
теории меры был связан с развитием ряда более специальных
направлений, таких, как интегрирование на топологических пространствах
(особенно бесконечномерных), геометрическая теория меры,
пространства Соболева и дифференцируемые меры, а также с исследованиями в
смежных областях: теории вероятностей, теории динамических систем,
функциональном анализе, теории представлений, математической
физике: Яркие результаты были получены и в тех вопросах теории меры,
которые относятся к теории множеств и логике. Краткие комментарии

Библиографические комментарии
м
к соответствующим результатам даны ниже. Дополнительные СИОДЭ*
ния о становлении теории меры можно найти в Медведев j 133), Пегим
A45], Тумаков [178], van Dalen, Monna [330], Hawkins D74), MlcM
[646], Pier [689], [690].
Незадолго до Лебега свойство аддитивности для объемом изучали
Пеано, Жордан, Штольц, Гарнак, Кантор (см. ссылки в [122], [123],
[462], [690]). Хотя понятие счетной аддитивности уже рассматривалось
Борелем, определение измеримости (напомним, что лебеговское
определение измеримости множества Е в интервале / было дано в форме
равенства Х*(Е) = \{1) - Х*A\Е)) и распространение меры на все
измеримые множества было весьма значительным достижением. Борель
использовал следующий процесс: исходя из интервалов, с помощью
взятия дополнений и дизъюнктных счетных объединений строятся
расширяющиеся классы множеств, на которые линейная мера продолжается
естественным образом в соответствии с требованием счетной
аддитивности. Отметим, что фактическое обоснование построения Бореля (т.е.
то, что в итоге получается счетно-аддитивная мера на сг-алгебре) было
дано лишь через подход Лебега (правда, впоследствии было показано,
что возможно и непосредственное обоснование с помощью
трансфинитной индукции, см., например, Арешкин [11]). Критерий измеримости
множества А в форме равенства \*(Al)B) = \*(А) + \*(В) для всех В,
не пересекающихся с А (задача 1.12.105), был указан Юнгом [879],
который в качестве исходного определения использовал свойство,
равносильное лебеговскому определению (существование для всякого е > 0
такого открытого множества U, содержащего данное множество Е, что
внешняя мера U\E меньше е). В работах Каратеодори [304], [305]
определение измеримости, совпадающее с критерием Юнга, но
называющееся теперь измеримостью по Каратеодори, применялось к более
широкому классу функций множества, чем мера Лебега, хотя в первых
работах речь шла все же о множествах в Ш." (одной из первых работ об
измеримости по Каратеодори была статья Rosenthal [739]). То определение
измеримости, которое является основным в этой книге, возникло под
влиянием идей Никодима и Фреше, которые рассматривали
метрическое пространство измеримых множеств с метрикой d(A, В) = fi(AAB),
что равносильно рассмотрению пространства индикаторных функций
с метрикой из i1(/x). В известных мне работах первое явное
упоминание этой конструкции с некоторыми применениями встречается в
работе Wazewski [858] в 1923 г., причем автор указывает, что идея
подобного рассмотрения принадлежит О. Никодиму (это
обстоятельство указано и в работе Никодима [669]). В очень близких по времени
работах Фреше [406], [409] имеется ряд замечаний дискуссионного
характера относительно приоритета в этом вопросе со ссылками на его
более ранние статьи (в частности, [404]), где рассматривались
различные метрики на пространстве измеримых функций, однако в них но

470
Библиографические комментарии
было явного выделения пространства измеримых множеств с
указанной метрикой. Интересное применение этого пространства к вопросу о
сходимости функций множества дано Саксом [160] (см. §4.6).
Метрика d иногда называется метрикой Фреше-Никодима. Упомянутая идея
Никодима использовалась им самим [674], а также А.Н.
Колмогоровым (например, в [91]) для определения измеримых множеств (как это
делается и в данном курсе).
В первые годы развития теории меры изучали собственно меру
Лебега на прямой и в 1R", а также более общие борелевские меры на Жп.
Укажем здесь работы Лебега [583] и Радона [705], особо выделив
последнюю (ставшую одной из основополагающих и наиболее
цитируемых работ по теории меры). Однако вскоре было осознано еще одно
принципиальное достоинство лебеговского подхода — возможность его
распространения на весьма абстрактную ситуацию. Одним из первых
это сделал Фреше [402], [403], [405], [407], [408], а затем это стало уже
общим местом, так что в 20-30-х годах XX века термин „мера"
прилагался к совершенно абстрактным функциям множества (это видно по
работам Хана, Никодима, Серпинского, Банаха, Колмогорова и многих
других исследователей того времени). Тогда же задачи теории
вероятностей и функционального анализа привели к рассмотрению мер на
бесконечномерных пространствах (Даниэль, Винер, Колмогоров, Йес-
сен, П. Леви, Улам), см. Daniell [331], [332], [333], [335], Jessen [506],
Levy [597], Lomnicki, Ulam [604], Wiener [867], [868]. Особую роль
сыграли работы Колмогорова [90] (см. также [94]) и [93],
положившие теорию меры в фундамент теории вероятностей. Общее число
работ, посвященных мерам на абстрактных пространствах, весьма велико
(скажем, автором работы Ridder [716] написана целая серия статей),
и здесь нет возможности их анализировать. Дополнительные ссылки
можно найти в Медведев [123] и Hahn, Rosenthal [466].
Теорема о продолжении счетно-аддитивной меры с алгебры на
порожденную ей (т-алгебру (обычно называемая теоремой Каратеодори)
была получена в работе Фреше [408] без использования конструкции
Каратеодори. Тот факт, что последняя дает очень короткое
доказательство теоремы о продолжении, был скоро замечен; по крайней
мере, Колмогоров [90], [93] упоминает его как хорошо известный, а Хан
применяет его в [464]. Доказательство с помощью метода
Каратеодори было дано также Хопфом [491], [200], а теперь является
стандартным. Различным вопросам, связанным с продолжениями мер,
посвящено много работ; некоторые из них цитируются ниже в связи с мерами
на решетках (см. также Srinivasan [789]). В гл. 7 (том 2) обсуждаются
продолжения мер на топологических пространствах.
Роль свойства компактности в теории меры была ясна давно
(например, для общих борелевских мер на Etn существование
приближений вписанными компактами отмечалось Радоном [705, с. 1309] и

Библиографические комментарии
471
Каратеодори [305, с. 279]), но удобное и очень простое абстрактное
определение в терминах компактных классов (обсуждаемых в §1.4) дал
Марчевский [620] в 1953 г. Компактные классы не обязаны состоять из
компактных множествах даже в том случае, когда рассматривается
топологическое пространство (в книге рассматриваются такие примеры, в
частности, классы цилиндров с компактными основаниями). Не
удивительно, что понятие компактного класса вошло в учебную литературу.
Обсуждение компактных классов см. в Pfanzagl, Pierlo [683].
Первые множества канторовского типа построил Смит [781],
который рассматривал континуальные компакты нулевой меры и компакты
положительной меры без внутренних точек и изучал интегрируемость
по Риману их индикаторов. Тот факт, что открытое множество в Шп
с точностью до множества меры нуль является объединением
последовательности открытых непересекающихся шаров, известен давно, со
времени появления теоремы Витали о покрытии (в частности, он
упоминается как известный факт в Wolff [873]).
Первый пример неизмеримого множества построен Витали [843].
§1.9. Большинство наиболее употребительных в теории меры
результатов о ст-алгебрах было получено В. Серпинским в 20-30-е годы
XX века (см. Sierpiriski [768], [769], [773]), однако позже часть из них
была переоткрыта другими математиками, что привело в ряде случае
и к неоправданным названиям теорем. Поскольку было бы технически
неудобно называть все такие результаты теоремами Серпинского,
имеет смысл употреблять термины типа „теорема о монотонных классах".
Теорема 1.12.2 получена (в равносильной формулировке) в Sierpiuski
[769], а приведенное нами несколько более короткое доказательство
предложено в Jayne [500].
§1.10. Первоначально А-операция появилась в 1916 г. в работах
П.С. Александрова [217] и Ф. Хаусдорфа [472] (в которых была
доказана справедливость гипотезы континуума для борелевских
множеств) как средство представления борелевских множеств. Первое же
исследование А-операции было предпринято М.Я. Суслиным [785] под
руководством Н.Н. Лузина. Большую стимулирующую роль сыграл
здесь трактат Лебега [575], в котором, с одной стороны, был
получен ряд фундаментальных результатов, но, с другой стороны,
содержалось ошибочное утверждение, что проекция всякого борелевского
множества борелева. Анализ доказательства этого ошибочного
утверждения оказался весьма плодотворным. М.Я. Суслин получил, в
частности, следующие замечательные результаты: все борелевские
множества на прямой являются суслинскими (А-множествами по его
терминологии), существуют не борелевские суслинские множества, причем
суслинское множество оказывается борелевским в точности тогда,
когда его дополнение — тоже суслинское. Кроме того, суслинские
множества были описаны им как проекции ^-множеств на плоскости.

472
Библиографические комментарии
Измеримость суслинских множеств была установлена Лузиным (см.
[610]), а первое опубликованное доказательство приведено Лузиным и
Серпинским [612]. Шпильрайн-Марчевский [808] получил весьма
общий результат о сохранении некоторых свойств типа измеримости А-
операцией (см. задачу 6.10.59 гл. 6). Об истории открытия А-множеств
см. Тихомиров [174]. В. Серпинский, который не только был
очевидцем первых открытий этой теории, но и одним из ее создателей, писал:
„Некоторые авторы называют аналитические множества суслинскими;
правильнее было бы называть их множествами Суслина-Лузина".
§§1.11,1.12. Общие внешние меры и соответствующая измеримость,
введенные Каратеодори [305] в случае JR", но точно таким же
образом определяемые в случае абстрактных пространств, являются весьма
эффективными средствами теории меры. Отметим, что в данном
Каратеодори определении внешней меры (Mafifunktion) было включено
требование аддитивности для пар множеств, находящихся на
положительном расстоянии друг от друга ([305, с. 239, свойство IV]). Такие
внешние меры на метрических пространствах теперь называют
метрическими внешними мерами (см. §7.14(х) гл. 7). Однако при этом в §238
цитированной книги Каратеодори рассмотрел вопрос о независимости
введенных свойств и построил пример внешней меры (по современной
терминологии) без свойства IV; кроме того, он построил пример
нерегулярной внешней меры. Иногда внешние меры определяются несколько
модифицированным способом, описанным в задаче 1.12.141 (см.,
например, Порошкин [149], Srinivasan [788]). Во многих учебниках с
самого начала вводятся абстрактные внешние меры и измеримость
определяется по Каратеодори. Мне кажется, что для первого знакомства
с предметом предпочтительнее выбранный здесь порядок изложения.
Метод I, как можно догадаться, — не единственный способ построения
внешних мер. В литературе встречаются более тонкие методы П, Ш и
IV (см. Munroe [661], Bruckner, Bruckner, Thomson [287] и §7.14(x)).
Теорема 1.12.9 восходит к С. Саксу, хотя еще Фреше [407,
теорема 47] доказал, что для безатомической меры ц и всякого е > 0
существует конечное разбиение пространства на множества меры менее е.
Про алгебры с мерами в контексте теории булевых алгебр и близкие
вопросы см. Биркгоф [23], Владимиров [39], Данфорд, Шварц [56],
Сикорский [161], Caratheodory [306], Kappos [526], [527], Lacey [562],
где обсуждаются и другие связи с теорией меры.
В работе Nikodym [675] был построен пример несепарабельной
меры на <т-алгебре в [0,1]. В работах Kodaira, Kakutani [547], Kakutani,
Oxtoby [520] построены несепарабельные продолжения меры Лебега.
Внутренние меры помимо Лебега рассматривали Young [879], La
Vallee Poussin [567], Rosenthal [739], Caratheodory [305], а затем
многие другие авторы, в частности, Hahn [462], Hahn, Rosenthal [466],

Библиографические комментарии
473
Srinivasan [788]. Из более современных работ см. Глазков [48], Fremlin
[421], Hoffmann-j0rgensen [490], Tops0e [825].
Измеримая оболочка и измеримое ядро рассматривались в книге
Caratheodory [305, §§255-257]. В Blumberg [265] по аналогии с
измеримым ядром и измеримой оболочкой множества для произвольной
функции / рассмотрены в некотором смысле максимальная и
минимальная измеримые функции I и и с I ^ / < и п.в. Тот факт, что
меру всегда можно продолжить на ст-алгебру, полученную
присоединением одного неизмеримого множества, был отмечен впервые,
видимо, Никодимом (см. [668] и задачу 3.10.31). Детальное
исследование этого вопроса проведено в Ьой, Marczewski [605], а затем
продолжено в Bierlein [261], Ascherl, Lehn [225], Lembcke [591] и других
работах.
Множества Безиковича и Никодима были построены в работах
[256] и [666]; первоначальные построения упрощались многими
авторами, но все еще остаются довольно сложными. В работе Falconer [380]
построены многомерные аналоги множества Никодима.
Лемма 1.12.18 взята из работы Brzuchowski, Cichon, Grzegorek, Ryll-
Nardzewski [288]. Теорема 1.12.19 доказана в Bukovsky [290] и в [288].
Ряд результатов и примеров, связанных с измеримостью, взят из
работ Серпинского [773]. В работе [767] им построен пример
измеримого множества А с Ж, для которого А — А не измеримо. Он также
поставил вопрос о существовании борелевского множества В С И1,
для которого В - В не является борелевским. Лебег отмечал в [585]
без доказательства, что такое множество существует. Впоследствии
такие примеры строились рядом авторов (см. задачу 6.10.55 гл. 6). Сер-
пинский исследовал измеримость базиса Гамеля [762]; этот вопрос
рассмотрен также в Jones [510]. В [766] доказана теорема о
промежуточных значениях для аддитивных функций множества на IRn. В книге
Sierpiriski [771] можно найти много вопросов из теории меры, ответы
на которые зависят от гипотезы континуума.
В Ulam [832] построен пример аддитивной, но не
счетно-аддитивной, функции на множестве всех подмножеств IN, а в Tarski [812]
построена неотрицательная ненулевая аддитивная функция на
множестве всех подмножеств прямой, принимающая значения в {0,1} и
равная нулю на всех конечных множествах.
Хаусдорф [471, с. 451, 452] построил продолжение модулярной
функции множества с решетки множеств на порожденную ей алгебру.
Позже этот результат был передоказан рядом авторов в связи с
различными задачами (см., например, Smiley [780], Pettis [682], Kisynski
[543], Lipecki [602]). Подробное изложение теории функций множества
на решетках множеств, включая теоремы продолжения, дано в
книге Konig [555], см. также книги Filter, Weber [393], Kelley, Srinivasan
[533], Rao, Rao [710] и статьи Kindler [539], [540], Rao, Rao [709].

474
Библиографические комментарии
Вопрос о возможных продолжениях меры Лебега весьма
интенсивно обсуждался в 20-30-е годы XX века. Использование теоремы Хана-
Банаха — одно из стандартных средств в этом круге вопросов,
применявшееся, в частности, самим Банахом (см. [20], [233], [235]). См.
также Hulanicki [493]. Отметим, что при п ^ 3 мера Лебега является
единственной с точностью до множителя аддитивной мерой на сфере
в К™, инвариантной относительно вращений. Положительный ответ на
этот вопрос, долго остававшийся открытым, был дан в работах Margulis
[625], Sullivan [802] для п ^ 5 и в Дринфельд [63] для п = 3,4. О
единственности инвариантных средних см. также Rosenblatt [738].
В книге Роджерс [154] можно найти обсуждение некоторых
вопросов дискретной геометрии, связанных с мерой Лебега. В связи с задачей
1.12.83 см. также Larman [566]. О замощениях пространства гладкими
телами см. Gruber [452].
В связи с задачей 1.12.132 отметим, что множество Е
называется множеством Эрдеша, если существует множество М положительной
меры Лебега, которое не имеет подмножеств, подобных Е (т.е. образов
Е при невырожденных аффинных отображениях). Проблема Эрдеша
состоит в выяснении того, всякое ли бесконечное множество
является множеством Эрдеша. Эта проблема открыта даже для счетных
последовательностей, убывающих к нулю (даже для последовательности
{2_п}). Обзор по этой проблеме дан в Svetic [804].
Заметное влияние на теорию функций множества оказало
обширное исследование А.Д. Александрова [3]. Дополнительные
сведения об аддитивных функциях множества можно найти в Данфорд,
Шварц [56], Ченцов [203], Rao, Rao [710]. Имеется много работ о
более общих функциях множества (не обязательно аддитивных), см.,
например, Алексюк [8], Климкин [87], Denneberg [346], Drewnowski
[358], Pap [679] и имеющиеся там ссылки. Естественными
примерами неаддитивных функций множества являются внешние меры и
емкости; неаддитивные функции интервала рассматривались давно, см.
Burkill [292].
Нестандартный анализ применяется к теории интеграла в Riecan,
Neubrunn [717]. Теория меры с точки зрения нечетких множеств
рассмотрена в Wang, Klir [857]. Идеи конструктивной математики
применительно к теории меры можно найти в Bishop [263]. О
применении концепций теории меры в описании моделей экономики см.
Faden [379].
Весьма обширна и литература о векторных мерах, которые у нас
не рассматриваются, см., например, Данфорд, Шварц [56], Кусраев,
Малюгин [103], Эдварде [211], Bichteler [259], Diestel, Uhl [350], Dincu-
leanu [352], [353], Kluvanek, Knowles [546], Sion [777]. В Jefferies, Ricker
[503] рассмотрены векторные „полимеры" (например, бимера — это
функция ц(А,В), являющаяся мерой по каждому аргументу).

Библиографические комментарии
475
Глава 2.
§§2.1. — 2.4. Лебеговский интеграл является одним из важнейших
достижений математики XX века. Первоначальное определение Лебега
описано в задаче 2.12.49. Это определение было уже в работе [570], а
в лебеговской диссертации [571] оно было приведено как
„аналитическое определение" после „геометрического определения", согласно
которому интеграл / есть разность площадей под графиками /+ и /~
(в этом духе можно определять интеграл и по общим внешним
мерам Каратеодори, см. [712, §2.2], [776]). Наконец, аналитическое
определение является основным и в [574]. Позже Лебег отмечал и
другие эквивалентные способы определения своего интеграла. Близкие в
идейном отношении равносильные определения приведены в задачах
2.12.48, 2.12.49, 2.12.50. Определение интеграла Лебега с помощью
теоремы Лузина (задача 2.12.53) давалось, например, в ТопеШ [824], Ко-
ванько [88]. Подход, основанный на монотонных пределах, развивался
Юнгом (см. [878], [880], [881], [883], [886]), Риссом (см. [724], [725]
и задачу 2.12.52) и Даниэлем [331], [332], [335], метод которого
(позже развитый Стоуном) привел к новому взгляду на интеграл. Метод
Даниэля-Стоуна обсуждается в гл. 7 (том 2) ввиду его связей с
интегрированием на топологических пространствах, хотя как с идейной,
так и с технической стороны соответствующий параграф мог быть
помещен и в гл. 2. Банах [19] рассмотрел аксиоматический подход к
определению интеграла без использования теории меры, при котором
постулируются теоремы о мажорируемой и монотонной сходимости. В
задаче 2.12.51 указан способ введения интеграла без использования
сходимости п.в., примененный в MacNeille [616], Mikusinski [648], [649].
Данное в тексте определение использовалось многими авторами, а
идея его восходит, по-видимому, к ранним работам Ф. Рисса. В
работе Dunford [363] такой подход использовался для определения
интеграла векторных функций. Наиболее распространенным в учебной
литературе является определение, даваемое теоремой 2.5.2, так как оно
открывает кратчайший путь к теореме о монотонной сходимости, а
затем и к остальным основным теоремах о свойствах интеграла.
Правда, выигрыш оказывается микроскопическим. Другое достоинство
такого определения — его конструктивность и наглядность (этим
достоинством обладает и первоначальное определение Лебега); недостатком
является то, что приходится отдельно рассматривать неотрицательные
функции, так что определение дается в два этапа. Существенным
достоинством определения из текста является его применимость к век-
торнозначным отображениям и ясно выраженная идея пополнения, а
его недостаток — неконструктивность. Именно для компенсации этого
недостатка почти сразу дается равносильное конструктивное
определение в виде теоремы 2.5.2 (в принципе его можно было бы привести
непосредственно после основного определения, но тогда обоснование

476
Библиографические комментарии
равносильности было бы несколько длиннее). В настоящее время,
помимо эквивалентных лебеговскому, имеется множество более широких
понятий интеграла, используемых в различных специальных
ситуациях. Из других наглядных и естественных равносильных определений,
рассмотренных в задачах, отметим возможность определять интеграл
через верхние и нижние обобщенные суммы Дарбу. Юнг в работе [881]
определял интеграл с помощью нижних и верхних сумм Дарбу,
соответствующих счетным разбиениям на измеримые множества. В этой же
работе выведены следующие равенства для ограниченной функции /
на измеримом множестве S, выражающие лебеговский интеграл /
через интеграл Римана от функции распределения. Пусть к ^ f(x) < к',
I(t) := А({/ > t}), J(t) := А({/ < t}). Тогда число /*' I{t) dt + kX{S)
равно верхнему интегралу, а число k'\(S) — fk J(t) dt равно нижнему
интегралу. Для измеримой функции оба числа равны ее интегралу.
Одним из важных факторов, способствовавших быстрому
распространению интеграла Лебега, стало то, что с его помощью удалось
преодолеть многие накопившиеся к тому времени трудности римановской
теории интеграла. Например, Вольтерра [852] построил пример всюду
дифференцируемой функции на [0,1] с ограниченной, но не
интегрируемой по Риману производной /'. Довольно сложный характер носили
и условия возможности предельного перехода под знаком интеграла.
Наконец, для интеграла Римана совсем не просто сведение кратного
интеграла к повторным (см. гл. 3). Со временем выявлялись все новые
достоинства интеграла Лебега. Особенно ярко они проявились, когда
Фреше [402], [403] развил лебеговскую теорию для совершенно
общих пространств с мерами. В частности, это распространение имело
фундаментальное значения для построения современной теории
вероятностей. При этом важную роль сыграл тот факт, что в лебеговскую
теорию удалось включить интеграл Стилтьеса в той же степени, что
и интеграл Римана. Стилтьес (используется также написание Стиль-
тьес) ввел свой интеграл в работе [796] как вспомогательное средство
решения некоторых задач. Затем этот интеграл, обобщающий
интеграл Римана, применялся и другими исследователями (см. Медведев
[123, гл. УП]), но возможность связать этот интеграл с лебеговским
не сразу была обнаружена Лебегом. Одним из стимулов для
выявления такой связи стала работа Рисса [721], в которой было
установлено, что общий вид непрерывной линейной функции на пространстве
С[0,1] есть интеграл Стилтьеса по функции ограниченной вариации,
т.е. 1(f) = J f(x)dip(x). Ввиду непрерывности / для определения
такого интеграла достаточно рассмотрения сумм типа римановских,
поэтому здесь не возникает проблем, типичных для интегрирования по
Лебегу. Однако указанный интеграл в общем случае не может быть
представлен в виде f f(x)g(x) dx. Поэтому задача включения
интеграла Стилтьеса в новую теорию совсем не проста. Лебег занялся этой

Библиографические комментарии
477
задачей в работе [584] и дал несколько искусственное решение, более
полно изложенное им в [106, гл. XI] и указанное в задаче 3.10.100.
В случае многомерного интеграла такого явного способа нет (хотя и
здесь, как мы увидим в гл. 9, можно выделить атомическую часть
меры, а непрерывную часть преобразовать в меру Лебега). Стоит
отметить, что вскоре после появления интеграла Лебега выяснилось
(укажем, например, работы Young [881], Van Vleck [835]), что его в свою
очередь можно представить через интеграл Стилтьеса и даже интеграл
Римана (см. теорему 2.9.3), хотя отнюдь не всегда это бывает
удобно. Однако дальнейшие исследования показали, что интеграл
Стилтьеса можно естественным образом включить в лебеговскую теорию,
надо лишь последнюю развить для общих мер, а не только
классической меры Лебега. Подробности читатель найдет в Медведев [123,
гл. VII], а здесь упомянем две сыгравшие в этом большую роль
работы: Young [888] и Radon [705], особенно выделив последнюю. Про
интеграл Стилтьеса см. Гливенко [49], Гохман [53], Камке [82], Лянце
117], Медведев [123], Смирнов [162], Хахубия [197], Carter, van Brunt
310], Gunther [454]. Весьма велико число статей, в которых
обсуждаются модификации или обобщения интеграла Стилтьеса; см. ссылки
в Медведев [123].
Сходимость по мере (или сходимость по вероятности,
называвшаяся в ранних работах асимптотической сходимостью) встречалась уже
в работах Бореля и Лебега, но систематически была рассмотрена Рис-
сом [720] и Фреше [404], [410], [411], а затем и другими авторами (см.,
например, Slutsky [779], Veress [836]). В заметке Лебега [582]
восполняется допущенный в его книге [576] пробел в обосновании того, что
сходимость п.в. влечет сходимость по мере (на что было указано в
цитированной выше работе Рисса), причем Лебег добавляет: „Поздравляю
себя с тем, что мои работы читаются столь тщательно, что
вскрываются даже ошибки такого рода, о котором здесь идет речь". Важная
теорема о выделении п.в. сходящейся подпоследовательности из
сходящейся по мере последовательности была доказана Риссом в [720], а в
специальном случае последовательности, сходящейся в L2, эта теорема
была получена и Вейлем [863] (отметим, что Вейль выделил
специальный подкласс „почти равномерно" сходящихся последовательностей
в классе всех п.в. сходящихся последовательностей, но вскоре Егоров
установил, что этот класс совпадает с классом всех п.в. сходящихся
последовательностей). Фреше и Слуцкий показали, что если ?„ —> ? по
мере, то <p(fn) —> ?>(?) по мере для непрерывных ср (Фреше установил
этот факт и для функций <р двух переменных). Фреше (см. [404], [406],
[409], [411], [413], [414], [415]) рассматривал различные метрики для
сходимости по мере, в частности, inf {ц(\/ — д\ ^ е) + е}, а Ки Фань
(Ку Fan) ввел метрику inf {n(\f — д\ ^ е) ^ е}. Фреше [404] показал,

478
Библиографические комментарии
что сходимость п.в. нельзя задать метрикой. Для бесконечных мер
также можно рассматривать сходимость по мере, понимая под этим
сходимость по мере на множествах конечной меры. Ясно, что в случае
ст-конечной меры такая сходимость задается метрикой.
Теоремы Лузина и Егорова были высказаны Лебегом без
обоснования в [572]. Затем первая из них была доказана в работе Витали [842],
которая, однако, некоторое время оставалась неизвестной широкому
кругу специалистов. Эта теорема была передоказана Лузиным [111],
[609], после чего результат стал широко известен и весьма популярен
(кстати, Витали в своем учебнике [849] также называет его теоремой
Лузина). Перед этим Егоров [370] получил свою замечательную
теорему, ставшую одним из стандартных средств теории меры. Отметим,
что в работе Severini [760] аналогичное утверждение было доказано в
некотором частном случае, но при этом не было замечено то наиболее
существенное обстоятельство, что результат остается в силе и в общем
случае, причем с весьма близким доказательством. История открытия
теоремы Егорова прослеживается по интереснейшим письмам Егорова
к Лузину (см. Медведев [126]). Укажем также, что в работе Бореля
[272] без доказательства был высказан ряд утверждений, близких к
будущей теореме Лузина, в частности, было отмечено, что если
функции fn на [0,1] сходятся поточечно к функции / и для каждой из них
. и-всякого ? > й„найдется, множество меры.не менее 1 — е, на котором
fn непрерывна, то и / обладает таким свойством, однако из этого был
сделан неверный вывод, что всякая измеримая функция непрерывна на
множестве полной меры. Лебеговская формулировка из цитированной
выше работы [572] такова: „Sanf pour les points d'un certain ensemble
de mesure nulle, toute fonction mesurable est continue quand on neglige
les ensembles de mesure e, e etant aussi petit que Ton veut", т.е. „за
исключением точек некоторого множества меры нуль, всякая измеримая
функция непрерывна, если пренебрегать множествами меры с, где е
сколь угодно мало". В подстрочном примечании Лебег указал, что е
нельзя сделать нулем, тем самым исправив неверную формулировку,
ранее сообщенную Борелю (см. [272]). Правда, чтобы от приведенной
не совсем четкой формулировки перейти к собственно теореме Лузина,
надо еще продолжить непрерывную на компакте функцию до функции,
непрерывной на отрезке. Лебег не публиковал никакого доказательства
этого утверждения, а впоследствии, когда через 9 лет вышла заметка
Лузина, стал называть этот результат теоремой Лузина. Аналогичным
образом обстоит дело и с теоремой Егорова. Лебег [572]
сформулировал такое утверждение: "toute serie convergente de fonctions mesurables
est uniformement convergente quand on neglige certains ensembles de
mesure e, б etant aussi petit que 1'on veut", т.е. „всякий сходящийся ряд
измеримых функций сходится равномерно, если пренебрегать
множествами меры б, где е сколь угодно мало". Учитывая, что Лебег никогда
не оставлял без внимания какие-либо посягательства на его приоритет

Библиографические комментарии
479
(о чем свидетельствуют масса полемических замечаний в его работах
и немалое число специальных заметок, призванных внести ясность в
обсуждения такого рода), можно предположить, что первоначально он
недооценил полезность высказанных им в [572] соображений и, может
быть, даже забыл о них (во всяком случае, не держал их „в
оперативной памяти"), а позже не счел возможным ссылаться на не развитое им
самим замечание, ибо невозможно представить себе, чтобы Лебег при
желании не смог доказать в свое время такие утверждения. Об этом
свидетельствует и письмо Лебега к Борелю (см. [587, с. 299]), в котором
он пишет: „Я весьма мало в курсе того, что Вас, по-видимому,
беспокоит до расстройства. Я хорошо знаю, что когда-то была одна Ваша
заметка и одна моя в каком-то из декабрьских номеров. Но у меня
никогда не было текста этих заметок, я никогда к этому не возвращался,
и все это очень далеко. Что касается меня, я, должно быть, указал там
некоторое свойство сходимости, не знаю какое, но непосредственное и
которое никогда мне не было полезно. Единственное, что я когда-либо
действительно использовал, так это тот факт, что при заданном е для
п > N имеем |Д„| < е во всех точках, кроме точек некоторого
множества меры т](е), стремящейся к нулю вместе с ^. Очевидно, что можно
это трансформировать многими способами, но я этого не делал, этим
не занимаюсь и не видел в этом интереса... Честное слово, я никого не
могу читать и не удивлен, что и меня нельзя читать без скуки."
Серпинский [761] заметил, что измеримая функция от
непрерывной не всегда измерима. В [768] им доказана непрерывность
измеримых функций, которые выпуклы в смысле неравенства /((ж + у)/2) <
/(х)/2 + f(y)/2, что слабее обычной выпуклости.
§§2.5 - 2.10. Основные результаты этих параграфов принадлежат
Лебегу. Теоремы Фату и Б. Леви найдены соответственно в [383] и
[594] (в первом издании лекций Лебега в теореме о монотонной
сходимости предполагалась интегрируемость предельной функции, а Б.
Леви заметил, что она вытекает из равномерной ограниченности
интегралов). Теорема Лебега о мажорируемой сходимости в общем случае
(с интегрируемой мажорантой) была указана им в [580]. Доказанная
Юнгом теорема 2.8.8 позже переоткрывалась, в частности, она
была доказана в Pratt [699]. Теорема 2.8.9, называемая обычно
теоремой Шеффе, была открыта еще Витали [845], доказавшим, что если
/n —* f п.в. и /п > 0, то необходимым и достаточным условием
равенства lim f fndx = f fdx является равномерная абсолютная
непрерывность интегралов от /п (что по другой теореме Витали,
обсуждаемой в гл. 4, равносильно сходимости в среднем). Тот факт, что из
сходимости fn—*f п.в. и сходимости интегралов от |/„| к
интегралу от |/|, следует равномерная абсолютная непрерывность
интегралов от /„ (равносильная сходимости в среднем при сходимости п.в.),

Библиографические комментарии
доказывали также Юнг, Фихтенгольц, Валле-Пуссен (см. [882], [884],
[386], [182], [568]). В Hahn [461, с. 1774] показано, что для
сходящейся по мере последовательности сходимость в среднем равносильна
равномерной абсолютной непрерьшности интегралов. В указанных
работах речь шла, естественно, о мере Лебега, но в доказательстве это не
играет роли. В работе Scheffe [753] теорема 2.8.9 была переоткрыта и
приведена для произвольных вероятностных мер. В журнале Annals of
Mathematical Statistics можно найти немало примеров подобных
переоткрытий. Часто это бывает полезно, ибо мало кто читает старые
работы. Тривиальное, но весьма полезное, неравенство, называемое обычно
в курсах теории интеграла неравенством Чебышёва, представляет
собой простейший частный случай одного несколько менее очевидного
неравенства для сумм независимых случайных величин, которое
получили еще в XIX веке сначала Бьенэме (Bienayme), а позже Чебышёв.
§§2.11 - 2.12. Неравенства Копш-Буняковского и Гёльдера имеют
длинную историю и первоначально были установлены для
римановских интегралов или даже конечных сумм. Их перенос на случай
интеграла Лебега не составил затруднений и соответствующие „новые"
неравенства сохранили старые имена (отметим, что в зарубежной
литературе неравенство Коши-Буняковского называют обычно
неравенством Шварца, который вывел его много позже Буняковского).
Неравенство Йенсена было получено им в [505]. Классическая книга по
теории неравенств — Харди, Литтльвуд, Полна [195]. Современный обзор
см. в Mitrinovic, Pecaric, Fink [652]. Неравенствам посвящены также
§3.10(vi) и §4.7(viii).
Глава 3.
§§3.1 - 3.2. Разложение конечно-аддитивных мер на
положительную и отрицательную части восходит к Жордану. Фреше в работе [403]
указал, что знакопеременная счетно-аддитивная мера на ст-алгебре
ограничена и разлагается в разность двух неотрицательных мер. Для мер
на Ш." это было уже известно из работы Радона [705] (некоторые
понятия типа полной вариации имелись у Лебега [583]). Доказательства
были даны в Frechet [407], где была рассмотрена также полная
вариация знакопеременной меры и установлена ее счетная аддитивность.
Теорема о разложении была получена также Ханом [462]. В
некоторых работах знакопеременные меры называют зарядами, однако здесь
не употребляется этот термин (отчасти потому, что в немалом
количестве работ он прилагается не только к счетно-аддитивным функциям,
например, так делается в Александров [3], где введен этот термин).
Важный частный случай теоремы Радона-Никодима (абсолютная
непрерывность относительно меры Лебега) был найден еще Лебегом,
случай борелевских мер на Шп был рассмотрен Радоном [705] (а позже

Библиографические комментарии
481
Даниэлем [334]), общий результат установлен Никодимом [669].
Приведенное доказательство теоремы Радона-Никодима традиционно, а
другое доказательство (из примера 4.3.3) предложено фон Нейманом.
§§3.3 - 3.5. Теорема о сведении кратного интеграла к повторному
была установлена для ограниченных функций Лебегом, а общее
утверждение принадлежит Фубини [424]. Важное дополнение дано Тонелли
[823]. Бесконечные произведения пространств с мерами рассматривали
Даниэль [332] (произведение отрезков), Колмогоров [93] (произведение
прямых), а затем в общем случае Йессен [506], Хопф [491]
(отметивший, что по-существу идея доказательства общего случая есть в работе
Колмогорова), Какутани [517], [519], van Kampen [523], фон Нейман
[662] и другие авторы (в Jessen, Wintner [509] и van Kampen [523]
можно найти ссылки на работы того времени). Конечно, неявно счетные
произведения вероятностных мер присутствовали в различных задачах
теории вероятностей, связанных с бесконечными
последовательностями случайных величин (см. Borel [273], Cantelli [302]). Явным образом
подобные конструкции рассматривались в Steinhaus [794].
§§3.6 - 3.7. Формула замена переменных для меры Лебега в
случае гладкой замены сразу вытекает из соответствующей теоремы для
интеграла Римана. Более общие формулы замены переменных
обсуждаются в гл. 5. Комментарии к теореме 3.6.9 и ее обобщениям см. в
комментариях к §9.9 в томе 2.
§§3.8 - 3.9. Ряд важных результатов о преобразованиях и рядах
Фурье получил Планшерель [695], [696].
Аналогичное теореме Бохнера утверждение для рядов Фурье
ранее было получено в Herglotz [483], Riesz [723]. Кроме теоремы,
носящей его имя, С. Бохнер получил и другие результаты, связанные с
преобразованием Фурье (см. [28], [269]). Ф. Рисе [727] доказал, что
положительно определенная измеримая функция (р почти всюду равна
некоторой непрерывной положительно определенной функции ф, а в
Cram [327] показано, что функция <р — ф также положительно
определена. О преобразовании Фурье и характеристических функционалах
см. книги Бохнер [28], Винер, Пэли [38], Лукач [115], Стейн, Вейс [166],
Титчмарш [172], Kawata [531], Lukacs [608].
Свертка вероятностных мер часто применяется в теории
вероятностей (начиная с работ П.Л. Чебышёва). Она нередко используется и в
интегрировании на группах.
§3.10. Меры Хаусдорфа введены в работе Hausdorff [473]. В книгах
Федерер [179] и Rogers [732] дано подробное изложение этой теории.
Различные обобщения см. в Rogers, Sion [733], Sion, Willmott [778].
Разложения аддитивных функций множеств на счетно-аддитивную
и чисто аддитивную компоненты строились в работах Александров [3]
и Yosida, Hewitt [876]. В 3.10(iv) даны более поздние обобщения.

482
Библиографические комментарии
Равноизмеримые перестановки функций подробно
рассматриваются в Chong, Rice [314], Lieb, Loss [599] и многих других книгах.
Интересный класс мер на Ж", связанных с симметриями,
обсуждается в обзоре Misiewicz, Scheffer [651].
В связи с материалом §3.10(vi) см. Богачев [25], [270], Булдыгин,
Харазишвили [31], Бураго, Залгаллер [32], Лейхтвейс [107], Хадви-
гер [189], Bobkov [266], Bobkov, Gotze [267], Bobkov, Ledoux [268],
Brascamp, Lieb [279], Ledoux [588], Lieb, Loss [599], Pisier [692],
Schneider [756], где можно найти недавние результаты и
дополнительные ссылки.
В работе Александров [2] получены важные интегральные
представления смешанных объемов. В их основе лежит интересное и само
по себе понятие сферического отображения поверхности,
сопоставляющее посредством единичной нормали точкам на поверхности точки
на единичной сфере. Интересными свойствами обладает и задаваемое
этим отображением преобразование мер.
Преобразование Фурье переводит L1 в L°° и L? в L2. С помощью
метода интерполяции доказывается (см. Стейн, Вейс [166, гл. V]), что
при 1 < р < 2 преобразование Фурье на L1 П LP продолжается до
ограниченного оператора из LP в L9, где q = р/(р — 1).
Глава 4.
§§4.1 - 4.4. Результаты о пространствах L2 и LP, включаемые в
учебные курсы, восходят к работам Рисса [718], [719], Фреше [401],
Фишера [394]. Полные евклидовы пространства называются
гильбертовыми в честь Д. Гильберта, рассматривавшего конкретные
пространства такого рода в работах по интегральным уравнениям. Сначала
имели дело лишь сРи L2[a,b], а абстрактные понятия появились позже.
Рисе и Фреше указали сопряженное к I2 или L2[a, Ъ], а сопряженные к
пространствам LP[a, b] при р > 1 описаны Риссом [722] (для общих мер
на Нп это было сделано Радоном [705]). Сопряженное к Ьг[а, Ь]
найдено Штейнгаузом [792], а случай произвольной ограниченной меры
рассмотрен в Nikodym [670] и позже в Dunford [364].
Интересно, что первые доказательства теоремы Рисса-Фишера
были мало похожи на излагаемые в современных учебниках. Ф. Рисе
сначала рассмотрел частный случай, когда ортонормированная система —
классическая система sinnx, cos па:, а потом сводил к этому общий
случай. Э. Фишер выводил теорему из предварительно доказываемой
полноты L2[a, b], которая обосновывалась с помощью рассмотрения
первообразных, что также привязывало утверждение к отрезку с мерой
Лебега. Вообще многие рассуждения в работах того периода сейчас могли
бы показаться странными и весьма не рациональными. Однако не стоит
удивляться, ведь в тот период не были известны не только некоторые

Библиографические комментарии
483
считающиеся сейчас классическими теоремы, но и не выработались еще
многие приемы, ставшие впоследствии стандартными. В качестве
примера укажем на опубликованные в Taylor, Dugac [815] письма Лебега
к Фреше, в которых Лебег предлагает два различных доказательства
того факта, что для всякой измеримой по Лебегу функции на [0,1]
найдется последовательность многочленов /„, сходящаяся к / почти
всюду. Фреше установил этот факт для борелевских функций, а затем
обсуждал с Лебегом возможность перенесения его на общие
измеримые функции. Сейчас нам может показаться странным предмет
обсуждения, настолько привычным стал тот факт, что всякая измеримая
функция почти всюду равна борелевской. Тогда это не было еще общим
местом, и Лебег в четырех письмах излагал два разных доказательства,
причем неточности в рассуждениях побуждали его делать исправления
в очередном письме. Первое доказательство такое. Пусть функция /
интегрируема (например, ограничена). Тогда ее можно представить в
виде предела почти всюду сходящейся последовательности
непрерывных функций, причем двумя способами: либо воспользоваться тем, что
/(х) = lim n(F{x + \/п) — F(x)) п.в., где F — первообразная /,
либо п.в. приближать / последовательностью тригонометрических сумм
Фейера (см. теорему 5.8.5), сходимость которой Лебег уже установил
ранее (Лебег даже предполагал приближать просто частичными
суммами ряда Фурье, но затем отметил, что не располагает обоснованием
этого). Далее общий случай сводится к рассмотренному с помощью
такого доказанного Фреше результата (см. задачу 2.12.27): если функции
fn,m при m —> оо сходятся п.в. к функциям /„, а последние при п —> оо
сходятся п.в. к /, то можно найти подпоследовательности Пк и тп*,
дающие п.в. сходимость /nfc,mfc к / (Фреше рассматривал борелевские
функции, но его доказательство годилось и для измеримых). Ввиду
теоремы Вейерщтрасса и упомянутого результата Фреше таким способом
можно получить приближения многочленами, а не только
непрерывными функциями. Второе доказательство Лебега также опиралось на
последний результат Фреше, а дополнительно использовало то
обстоятельство, что всякая измеримая функция почти всюду равна функции
второго класса Бэра (сначала Лебег ошибочно утверждал, что можно
даже обойтись первым классом Бэра). При чтении писем Лебега может
вызвать недоумение то, что он не воспользовался объявленной им еще в
работе [572] 1903 г. формулировкой фактически будущей теоремы
Лузина (о чем говорилось выше). Для современного преподавателя весьма
поучителен тот факт, что в период становления теории меры даже ее
основным создателям какие-то элементарные вещи не были очевидны.
§§4.5 - 4.6. Основные результаты о свойствах равномерно
интегрируемых последовательностей получены Лебегом, Витали, Юнгом,
Фихтенгольцем, Валле-Пуссеном, Ханом, Никодимом. Формулировки
утверждений из §4.5 представляют собой этих результатов.

484 Библиографические комментарии
Теорема 4.6.3, в которую внесли вклад Витали, Лебег, Хан,
Никодим и Сакс, является одной из важнейших в общей теории меры.
Иногда ее называют теоремой Витали-Хана-Сакса, что менее точно
отражает историю получения этого замечательного результата.
Витали [845] рассмотрел частный случай, в котором интегрируемые
функции /„ сходятся почти всюду, а их интегралы сходятся на каждом
множестве. Весьма существенный шаг был сделан Лебегом [581],
который без предположения о сходимости п.в. вывел равномерную
абсолютную непрерывность интегралов от /п из сходимости этих
интегралов к нулю на каждом множестве. Затем Хан [463] установил, что
достаточно потребовать лишь существование предела интегралов по
каждому множеству. Никодим [671], [672], [673] доказал
равномерную ограниченность последовательности мер, ограниченной на
каждом множестве, а также счетную аддитивность предела в случае,
когда эта последовательность сходится на каждом множестве. Второе
утверждение независимо доказал и Сакс [751], который с помощью
категорных соображений получил даже несколько более сильный
результат (до этого использовался метод „скользящего горба"),
однако это утверждение в силу теоремы Радона-Никодима (уже
известной в то время) сводится к рассмотренному Ханом случаю
функций. Г.М. Фихтенгольц исследовал интегралы, зависящие от
параметра, и получил ряд тонких результатов; эти исследования были
изложены им в уже упоминавшейся диссертации в 1918 г. (см. его статьи
[181], [385], [386], [388], [391]). В частности, еще в 1916 г. Г.М.
Фихтенгольц доказал удивительный результат (покрывающий полученный
позже результат Хана, упомянутый выше) о том, что для
сходимости интегралов функций /„ на каждом множестве и их
равномерной абсолютной непрерывности достаточно сходимости на каждом
открытом множестве (этот результат обсуждается в гл. 8). В
диссертации Фихтенгольца указано, что соответствующая статья была
принята к печати в 1916 г. (Изв. Физ.-мат. общества при Казанском
университете), но, видимо, журналы перестали выходить и тот же
материал был позже опубликован в [388]. Ряд новых наблюдений о
сходимости мер принадлежит Г.Я. Арешкину [9], [12], [13], [14] и
В.М. Дубровскому [64]-[73]. В этих работах изучались также
такие свойства, как равномерная счетная аддитивность, равномерная
абсолютная непрерывность (такого рода свойства рассматривали и
Caccioppoli [297], [298], Cafiero [300]). Вообще, весьма важному для
приложений вопросу о предельном переходе под знаком интеграла и
связанным с ним свойствам последовательностей функций или мер
было посвящено очень много работ; дополнительные ссылки
можно найти в книге Cafiero [300]. Имеется много работ о сходимости
и ограниченности на множествах более общих функций множества,
см. Алексюк [8], Арешкин, Алексюк, Климкин [15], Климкин [87],

Библиографические комментарии
485
Drewnowski [359]. В большинстве таких работ более полезным
оказывается „метод скользящего горба", использовавшийся еще Лебегом
и Никодимом.
§4.7. Свойство Банаха-Сакса пространств V, 1 < р < оо,
установлено в Banach, Saks [240]. Более подробно об этом см. весьма
информативные книги Дистель [59] и Diestel [349]. В этих книгах и в
Lindenstrauss, Tzafriri [601] можно найти сведения о геометрии IP.
Теорема 4.7.18 об условиях слабой компактности в L1 приобрела
современную форму после появления результата Эберлейна о
равносильности слабой компактности и слабой секвенциальной
компактности в общих банаховых пространствах (последний результат обычно
называется теоремой Эберлейна-Шмульяна, так как одна из
импликаций была ранее доказана Шмульяном, см. Данфорд, Шварц [56],
Diestel [349]). То, что слабая секвенциальная компактность в L1
равносильна равномерной интегрируемости следует фактически из
упомянутого выше результата Лебега [581], но в явном виде было
указано Данфордом и Петтисом (см. [365], [366]); в то время под
компактностью подразумевалась именно секвенциальная компактность. В
Young [889], [890] показано, что из равномерно интегрируемой
последовательности функций /„ на [о, 6] (фактически наложено условие
ограниченности интегралов от Q(/„), где Q — первообразная
положительной функции, монотонно возрастающей к +оо) можно выделить
подпоследовательность функций, первообразные которых сходятся
поточечно к первообразной некоторой функции /, причем функция Q(f)
интегрируема. Отметим, что теорему об описании слабой компактности
через равномерную интегрируемость можно доказать и без
использования теоремы Эберлейна-Шмульяна, хотя такой способ заметно
длиннее (см. Fremlin [421, §247С]). В книге Diestel [349] дано компактней!
и ясное изложение основ слабой топологии в L1 в связи с изучением
геометрии банаховых пространств. Результаты о слабой компактности
в L1 находят много приложений и вне теории меры (см., например,
Леман [108]).
Следствие 4.7.16 было доказано Радоном [705, с. 1362, 1363] и
переоткрыто Риссом [726].
Теорема 4.7.22 найдена В.Ф. Гапошкиным (см. [43, лемма 1.2.4],
[44, лемма С]) в следующей равносильной формулировке: найдутся
такие /nfc, gk,$k € Ьг{ц), что функции дк слабо сходятся в Ь1(ц) к
некоторой функции д и X)feli /*(Vte Ф 0) < сю. Ясно, что это влечет
утверждение в тексте, если взять Ак = {фк =0], а обратное следует,
если положить V/ь = Iok, Dk = Х\Х2-н. Позже аналогичный результат
в терминах мер был получен в Brooks, Chacon [283].
Дополнительные замечания к теореме Комлоша см. в т. 2.

486 Библиографические комментарии
Компактность в LP по норме изучалась многими авторами, среди
которых Фреше [401], [412] (случай р = 2), М. Рисе [730],
Колмогоров [551]; см. ссылки в Данфорд, Шварц [56] и Судаков [167]. Теорема
4.7.28 взята из Girardi [437], [438].
В связи с последним утверждением предложения 4.7.29, которое
было получено в Radon [705, с. 1363], отметим, что при р = 1 оно было
доказано в Fichtenholz [386] в следующей эквивалентной форме: если
последовательность интегрируемых (на отрезке) функций /п сходится
к интегрируемой функции / по мере, то для сходимости
соответствующих интегралов по каждому измеримому множеству необходима и
достаточна сходимость ||/„||li к ||/||li.
Интеграл Хеллингера, рассмотренный в §4.7(viii), был введен в
работе Hettinger [477] (для функций на прямой) и оживленно обсуждался
многими авторами первой половины XX века (см., в частности,
Смирнов [162]); Хан в [459] выяснил его связь с интегралом Лебега.
Утверждение задачи 4.7.91 есть в Radon [705, §УШ], Кудрявцев [99].
Упомянем весьма общий интеграл Колмогорова [550] (см.
также Kolmogoroff [548], [549]), обобщавшей, в частности, работу Moore,
Smith [653]. Пусть &t — полукольцо подмножеств пространства X и
(р — многозначная числовая функция на 91. Будем рассматривать
конечные разбиения 7г = {?*} пространства X на множества Rk € 94,
к ^ п, и (многозначные) суммы S(k) := $Z?=1 'fi(Ek), где
многозначность связана с выбором разных значений из <?(?*)• Число I = I(ip)
называется интегралом ip, если для всякого е > 0 найдется такое
конечное разбиение 7ге, что |/ — S(n)\ < е для всякого разбиения 7Г,
более мелкого, чем 7Го, причем для всякого возможного выбора
значений многозначных сумм. Основной пример здесь: однозначная
функция множества щ, числовая функция / на X и многозначная функция
ср(Е) := f(E)ip0(E), где f(E) = {f(x),x € Е}. Об интеграле
Колмогорова см. Гогуадзе [51], Колмогоров [94], Смирнов [162].
Интегрирование по аддитивным мерам без предположения счетной
аддитивности начало развиваться в 30-е годы XX века (см., например,
известную работу Fichtenholz, Kantorovitch [392] и ссылки в Данфорд,
Шварц [56]); хотя это направление имеет много точек соприкосновения
с обычной теорией меры, оно не обсуждается в этой книге.
Лебег [581] показал, что его интеграл может быть получен в виде
предела некоторых сумм типа римановских. В задаче 4.7.90(ii)
указано простое доказательство. Йессен [506, с. 275] с помощью теоремы
о сходимости мартингалов получил красивый результат, что в
утверждении этой задачи всегда можно взять пт = 2т (см. пример 10.3.16
гл. 10), а затем в [507] дал другое доказательство. Им же был
поставлен вопрос о справедливости аналогичного утверждения для точек
х + кп~х вместо х + к2~п. Марцинкевич и Зигмунд [624] и Ursell [833]

Библиографические комментарии 487
построили контрпримеры из задачи 4.7.90(ш). Более тонкий
контрпример из задачи 4.7.90(iv) был построен Безиковичем [257],
показавшим, что такое утверждение может быть неверно даже для
индикаторов открытых множеств. Аналогичный пример с более
коротким обоснованием дал Рудин [747], видимо, не знавший о работе [257].
Близкие вопросы изучались в работах Панников [143], Фоминых [186],
Akcoglu et als. [216], Dubins, Pitman [361], Hahn [460], Kahane [516],
Marcinkiewicz, Salem [623], Mozzochi [658], Ross, Stromberg [743], Ruch,
Weber [746].
Пространства Орлича, введенные в задаче 4.7.123 и обобщающие
пространства V, обсуждаются во многих книгах, например, в
Красносельский, Рутицкий [97], Edgar, Sucheston [369], Rao [712].
Глава 5.
§§5.1 - 5.4. Функции ограниченной вариации изучались (в
частности, Жорданом, который их ввел) еще до появления интеграла Лебега.
Абсолютно непрерывные функции были введены Витали. В первом
издании лекций Лебега его теорема о дифференцировании первообразной
интегрируемой функции была указана без доказательства в
подстрочном примечании (в тексте был рассмотрен лишь случай ограниченной
функции). Доказательство было дано Витали, а затем Лебегом.
Лебегом было показано (см. [573], [574], [577], [578]), что если
непрерывная функция имеет ограниченную вариацию и одно из ее
производных чисел всегда конечно, то она абсолютно непрерывна. Лебег
установил также, что если / имеет конечную производную в каждой
точке, причем эта производная интегрируема, то / абсолютно
непрерывна (он доказал даже более общее утверждение для одного из
производных чисел). Последние две работы фактически посвящены
устранению пробелов, указанных в работах Levi [595], [596] (где также были
предложены доказательства упомянутых фактов). Значительную часть
работ [577], [578] занимает полемика Лебега с Леви относительно
обоснованности критических замечаний последнего и строгости его
собственных рассуждений. Позже Юнг и Каратеодори показали, что если
/ непрерывна и имеет конечную производную всюду, кроме не более
чем счетного множества точек, то / абсолютно непрерывна при
условии интегрируемости /' (в Young [887] аналогичные утверждения
получены и для нижней производной).
В заметке Grave [449] построены примеры непрерывных строго
возрастающих функций / с /' = 0 п.в.
Углубленное изложение теории функций действительного
переменного дано в Натансон [134], Benedetto [253], Bruckner [286], Bruckner,
Bruckner, Thomson [287], Carothers [309], Ene [373], Kannan, Krueger
[524], van Rooij, Schikhof [737], Thomson [820].

Библиографические комментарии
§§5.5 - 5.6. Теоремы о покрытиях, важнейшая из которых была
получена Витали [846], играют большую роль в теории функций.
Различные обобщения получили Лебег [583], Безикович [258], Морс [656]
и другие авторы (см. книги Гусман [55], Харазшшзили [194], Mattila
[628], Стейн [165], Стейн, Вейс [166], Stein [791]). В этих же книгах,
а также в Guzman [455], Torchinsky [827] можно найти
дополнительную информацию о максимальной функции, сингулярных интегралах
и некоторых других близких объектах. Из классических работ о
сингулярных интегралах отметим СаЫегбп, Zygmund [301].
§5.7. Хотя в этой книге рассматривается лишь интеграл Лебега,
здесь дано краткое изложение интеграла Хенстока-Курцвайля,
введенного в 50-60-х годах XX века Я. Курцвайлем (Kurzweil) и Р. Хенсто-
ком (Henstock). Этот интеграл совпадает с введенным еще в 1912 г.
узким интегралом Данжуа и эквивалентным интегралом Перрона (см.
Gordon [445]), но выгодно отличается своей элементарностью.
Отметим, что нередко фамилия Kurzweil передается на русский язык как
„Курцвейль" в соответствии со старой традицией применительно к
именам и фамилиям немецкого происхождения. Здесь избран вариант,
отвечающий как фактическому произношению фамилии указанного
математика из Праги, так и современной тенденции более точной
передачи. Среди многих исследователей обобщенных интегралов следует
упомянуть Данжуа (чья работа [341] повлекла за собой
многочисленные публикации), Перрона, П.С. Александрова, Лузина, Хинчина, Ха-
ке, Ломана, Бёркила, Колмогорова, Гливенко, Романовского, Немыцко-
го, Толстова, Макшейна, Курцвайля, Хенстока. Ряд любопытных
замечаний о расширении интеграла сделал Егоров [371]. По этим вопросам
имеется обширная литература научного и исторического характера; см.
Гогуадзе [51], Лузин [112], Натансон [134], Медведев [123], Песин [145],
Сакс [160], Челидзе, Джаваршейшвили [202], Bartle [245], Bruckner
[286], DePree, Swartz [347], Gordon [445], Henstock [478], [479], [480],
[481], Kestelman [535], Kurzweil [560], [561], Lee, Vyborny [589], Mawhin
[631], McLeod [636], Muldowney [660], Swartz [806], где можно
найти дополнительные ссылки. См. также работу Romanovski [735],
положившую начало построениям обобщенных интегралов на абстрактных
множествах. Более подробно, чем в стандартных учебниках анализа,
о римановском подходе (и мере Жордана) написано в книгах Очан
[141], Шилов [208], Gomes [444], Pfeffer [685]. Интегралы Хенстока-
Курцвайля и Макшейна можно рассматривать, конечно, и до изучения
интеграла Лебега, хотя это создает весьма искаженное представление о
последнем (не говоря уже о том, что студенты после подобных курсов
анализа в результате, как правило, не знают уже никаких интегралов).
Краткое же знакомство с ними после освоения лебеговского интеграла
может быть довольно поучительно, несмотря на то, что в реальных
приложениях они встречаются редко. Разумеется, имея дело с различными

Библиографические комментарии
обобщениями интеграла Лебега, не следует слишком буквально
понимать утверждение о том, что они охватывают интеграл Лебега: в
действительности речь идет о конструкциях, обобщающих какие-то
частные случаи интеграла Лебега (скажем, на прямой или на кубе). Кроме
того, каждое обобщение достигается ценой потери каких-то свойств
интеграла Лебега, а именно совокупностью всех своих свойств он и
оказался столь полезен в приложениях. Напомним также, что из
рассмотренных нами интегралов лишь лебеговский допускает конструктивное
определение (как в задаче 2.12.49); задание интеграла по римановским
суммам либо требует априорного знания интегрируемости по Риману,
либо (как в определении 5.7.3) привлекает неизвестные функции S без
какого-либо способа их нахождения.
§5.8. Приведенное доказательство теоремы Безиковича взято из
Evans, Gariepy [377]. Ряд включенных в этот параграф результатов
(типа формул площадей и коплощадей, понятия поверхностной меры и
др.) являются типичными представителями так называемой
геометрической теории меры, различным аспектам которой посвящены многие
работы: Иванов [79], Федерер [179], David, Semmes [337], Edgar [368],
Evans, Gariepy [377], Falconer [381], Mattila [628], Morgan [654], Preiss
[700], Rado [704]. Теорема 5.8.28 и соответствующая формула замены
переменных для липшицевых отображений были получены Федерером
в [384]; для всюду дифференцируемых взаимно-однозначных
отображений эту формулу получили Кудрявцев, Кащенко [100].
Дифференцируемость мер на IRn начали изучать Витали [846] (он
вернулся к этим вопросам в [847]), Лебег [583] и Радон [705], а затем
продолжили многие авторы, в том числе Saks [750], Buseman, Feller
[296], Jessen, Marcinkiewicz, Zygmund [508]. Абстрактные теоремы о
дифференцировании мер и теоремы о покрытиях см. в Сакс [160],
Шилов, Гуревич [209], Юнович [213], Bruckner, Bruckner, Thomson [287],
Edgar, Sucheston [369], Hayes, Pauc [475], Kolzow [553], Kenyon, Morse
[534], Mejlbro, Tops0e [640], Possel [698], Zaanen [892].
Данжуа [342], [343] и Хинчин [538], [199] ввели и исследовали
аппроксимативную непрерьтность и дифференцируемость. Степанов
[795] дал характеризацию измеримости через аппроксимативную
непрерьтность.
Свойство Лузина (N), упоминавшееся в этой главе, изучается в
более широком контексте в гл. 7. До Лузина это свойство рассматривал
Б. Леви в [595] в связи с задачей описания первообразных. Отметим,
что Б. Леви ошибочно указал, что сумма функций со свойством (N)
также имеет это свойство (Лебег построил контрпример, приведенный
в задаче 5.8.57) и использовал это утверждение для доказательства
абсолютной непрерывности непрерывной функции / со свойством (N) и
п.в. существующей интегрируемой производной. Позже корректное
доказательство дали Банах, Витали и Зарецкий (см. задачу 5.8.48).

Библиографические комментарии
ПРИЛОЖЕНИЕ
Программа курса „Действительный анализ"
1. Кольца, алгебры и ст-алгебры множеств; существование <т-алгебры,
порожденной классом множеств. Структура открытых множеств на
прямой. Борелевская ст-алгебра. §§1.1, 1.2.
2. Функции, измеримые относительно сг-алгебры. Свойства измеримых
функций. §2.1.
3. Аддитивные и счетно-аддитивные меры. Свойство счетной
полуаддитивности. Критерий счетной аддитивности. §1.3.
4. Компактные классы. Счетная аддитивность меры, имеющей
приближающий компактный класс. §1.4.
5. Внешняя мера. Определение измеримого множества. Теорема Лебега
о счетной аддитивности внешней меры на ст-алгебре измеримых
множеств. Единственность продолжения. §1.5.
6. Построение меры Лебега на прямой и в Rn. Основные свойства меры
Лебега. §1.7.
7. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова. §2.2.
8. Сходимость по мере и ее связь со сходимостью почти всюду.
Фундаментальность по мере. Теорема Рисса. §2.2.
9. Теорема Лузина. §2.2.
10. Интеграл Лебега для простых функций и его свойства. §2.3.
11. Общее определение интеграла Лебега. Корректность
определения. §2.4.
12. Основные свойства интеграла Лебега (линейность, монотонность).
Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. §2.5.
13. Неравенство Чебышёва. Критерий интегрируемости / в терминах
множеств {|/| > га}. §2.9.
14. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости. Теорема Лебега-
Б. Леви о монотонной сходимости. Теорема Фату. §2.8.
15. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и
несобственным). §2.10.
16. Неравенство Гёльдера. Неравенство Минковского. §2.11.
17. Пространства ^(/х) и их полнота. Связь различных видов
сходимости измеримых функций. §4.1.
18. Теорема Радона-Никодима. §3.2.
19. Произведение пространств с мерами. Теорема Фубини. §§3.3, 3.4.
20. Свертка интегрируемых функций. §3.9.
21. Функции ограниченной вариации. Абсолютно непрерывные
функции. Абсолютная непрерывность первообразной. Связь абсолютно
непрерывных функций с первообразными интегрируемых функций (без
доказательства). Формула Ньютона-Лейбница и формула
интегрирования по частям для абсолютно непрерывных функций. §§5.1-5.4.

Литература
[1] Акилов Г.П., Макаров Б.М., Хавин В.П. Элементарное введение в
теорию интеграла. Изд-во ЛГУ, Л., 1969; 348 с. [464]1
[2] Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел.
Матем. сб. 1937. Т. 2, N 5. С. 947-972. [482] 2
[3] Александров А.Д. Additive set functions in abstract spaces. Матем. сб.
1940. Т. 8E0). С. 307-348; ibid. 1941. Т. 9E1). С. 563-628; ibid. 1943.
Т. 13E5). С. 169-238. [474, 480, 481}
[4] Александров А.Д. О мере, внутренности и границе. Сиб. матем.
журн. 1983. Т. 24, N 5. С. 12-14. [274]
[5] Александров П.С. Введение в общую топологию и теорию множеств.
Наука, М., 1977; 368 с. [8%
[6] Александров П.С, Колмогоров А.Н. Введение в теорию функций
действительного переменного. ГТТИ, М., 1932; 270 с. C-е изд.: М., 1938).
[462]
[7] Александрова Д.Е., Богачев В.И., Пилипенко А.Ю. О сходимости
индуцированных мер по вариации. Матем. сб. 1999. Т. 190, N 9. С. 3-20.
[437]
[8] Алексюк В.Н. Функции множества. Ленинградский пед. ин-т им. А.И.
Герцена, Л., 1982; 78 с. [474, 484]
[9] Арешкин Г.Я. Вполне аддитивные функции множества и интеграл
Лебега-Радона. Тр. Тбилисского матем. ин-таим. A.M. Размадзе. 1946.
Т. 14. С. 173-213. [484]
[10] Арешкин Г.Я. К вопросу о возможности перестановки знаков
предела и полной вариации в теории вполне аддитивных дЪункций
множества. Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, N 3. С. 134-135. [371[
[11] Арешкин Г.Я. К теории меры В-множеств. Сообщ. АН ГССР. 1949.
Т. 7, N 8. С. 505-506. [46$
[12] Арешкин Г.Я. О переходе к пределу под знаком интеграла Лебега-
Радона. Сообщ. АН ГССР. 1949. Т. 10, N 2. С. 69-76. [371, 484]
1В квадратных скобках курсивом указаны номера страниц, на которых
цитируется данная работа.
¦^Названия статей набраны курсивом в отличие от названий книг.

492
Список литературы
[13] Арешкин Г.Я. О сходимости кривых по длине и о криволинейном
интеграле Лебега. ДАН СССР. 1950. Т. 72, N 5. С. 821-824. [484]
[14] Арешкин Г.Я. О компактности семейства вполне аддитивных функ-
ций множества. Ученые зап. Ленинградского пед. ин-та им. А.И.
Герцена. 1962. Т. 238. С. 102-118. [341, 484]
[15] Арешкин Г.Я., Алексюк В.Н., Климкин В.М. О некоторых свойствах
векторнозначных мер. Ученые зап. Ленинградского пед. ин-та им.
А.И. Герцена. 1971. Т. 404. С. 298-321. [341, 484]
[16] Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по
математическому анализу. Высш. шк., М., 2000; 696 с. [171, 191]
[17] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. ГИТТЛ, М.-Л., 1947;
324 с. [304, 368]
[18] Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы
анализа, связанные с нею. Физматлит, М., 1961; 310 с. [286]
[19] Банах С. Интеграл Лебега в абстрактном пространстве.
Приложение П к [160]. С. 463-477. [475]
[20] Банах С. Теория линейных операций. НИЦ „Регулярная и хаотическая
динамика", Ижевск, 2001; 262 с. [474]
[21] Бари Н.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, М., 1961; 936 с. [304]
[22] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский СМ. Интегральные
представления функций и теоремы вложения. Наука, М., 1975; 480 с. [436]
[23] Биркгоф Г. Теория решеток. Мир, М., 1984; 568 с. [472]
[24] Бобынин М.Н. Об одной теореме теории вполне аддитивных функций
множества. Успехи мат. наук. 1952. Т. 7, N 3. С. 113-120. [373]
[25] Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997; 352 с. [236, 48$
[26] Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биогр. справ. Наукова
Думка, Киев, 1983. [466]
[27] Боровков А.А. Теория вероятностей. Наука, М., 1986; 432 с. [464]
[28] Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. ГИФМЛ, М., 1962; 360 с. A-е
нем. изд.: Leipzig, 1932). [481]
[29] Брезис X. Как распознать постоянные функции. Связь с
пространствами Соболева. Успехи матем. наук. 2002. Т. 54, N 4. С. 59-74. [286]
[30] Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. Наука,
М., 1971; 120 с. [464]
[31] Булдыгин В.В., Харазишвили А.Б. Неравенство Брунна-Минковского
и его приложения. Наукова думка, Киев, 1985; 197 с. [108, 482]
[32] Бураго Д.М., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Наука, Л.,
1980; 288 с. [267, 280, 482]
[33] Бурбаки Н. Интегрирование. Наука, М., 1967, 1970, 1977; 396 с, 320 с,
600 с. A-е фр. изд.: Bourbaki N. Integration. Ch. I-IV, V, VI, VH-VIII.
Hermann et Cie, Paris, 1952, 1956, 1959, 1963; ii+237+v p., ii+131 p.,
108 p., 222 p.) [464]
[34] Буренков В.И. О суперпозиции абсолютно непрерывных функций и о
суперпозиции функций с ограниченной вариацией. ДАН СССР. 1969.
Т. 189, N 2. С. 234-236. [445]

Список литературы
493
[35] Буренков В.И. Об интегрировании по частям и возникающей в связи
с этим задаче о суперпозиции абсолютно непрерывных функций. Тр.
Матем. инст. им. В.А. Стеклова АН СССР. 1975. Т. 134. С. 38-46. [445]
[36] Бэр Р. Теория разрывных функций. ГТТИ, М.-Л., 1932; 133 с. A-е
фр. изд.: Baire R. Lecons sur les fonctions discontinues, Gauthier-Villars,
Paris, 1904). [182]
[37] Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых. Т. 1,2. Госте-
хиздат, М.-Л., 1933; 464 с, 470 с. [461]
[38] Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.
Наука, М., 1964; 268 с. [481]
[39] Владимиров Д.А. Булевы алгебры. Наука, М., 1969; 319 с. [472]
[40] Вольберг А.Л., Конягин СВ. На любом компакте в Ш,п существует
однородная мера. ДАН СССР. 1984. Т. 278, N 4. С. 783-786. [432]
[41] Вольберг А.Л., Конягин СВ. О мерах с условием удвоения. Известия
АН СССР. 1987. Т. 51, N 3. С. 666-675. [432]
[42] Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной.
Наука, М., 1973; 352 с. [464]
[43] Гапошкин В.Ф. Лакунарные ряды и независимые функции. Успехи мат.
наук. 1966. Т. 21, N 6. С. 3-83. [365, 485]
[44] Гапошкин В.Ф. Сходимость и предельные теоремы для
подпоследовательностей случайных величин. Теория вероятн. и ее примен. 1972.
Т. 17, N 3. С 401-423. [485]
[45] Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. Мир, М., 1967;
252 с. [465]
[46] Гихман И.И. Введение в общую теорию меры и интеграла. Донецкий
гос. ун-т, Донецк, 1971; 171 с. [464]
[47] Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов.
Физматгиз, М., 1965. [464]
[48] Глазков В.Н. О внутренних и внешних мерах. Сиб. матем. журн. 1988.
Т. 29, N 1. С. 197-201. [123, 473]
[49] Гливенко В.И. Интеграл Стильтьеса. ОНТИ, М.-Л., 1936; 216 с. [477]
[50] Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин. ГИТТЛ, М., 1949; 264 с. [463]
[51] Гогуадзе Д.Ф. Об интегралах Колмогорова и их некоторых
приложениях. Мецниереба, Тбилиси, 1979; 288 с. [486, 488]
[52] Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с
обобщенными производными и квазиконформные отображения. Наука, М.,
1983; 285 с. [436]
[53] Гохман Э.Х. Интеграл Стилтьеса и его применения. Физматгиз, М.,
1958; 192 с. [477]
[54] Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное
исчисление. Мир, М., 1971. 680 с. [464]
[55] Гусман М. Дифференцирование интегралов в К™. Мир, М., 1978; 200 с.
[94, 396, 406, 488]
[56] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. L Общая теория. ИЛ,
М., 1962; 896 с. [329, 330, 370, 463, 466, 472, 44, 485, 486]

494 Список литературы
[57] Демидов С.С., Левпшн Б.В. Дело академика Николая Николаевича
Лузина. Русский Христианский Гуманитарный институт,
С.-Петербург, 1999; 312 с. [466]
[58] Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной
вариации. Мир, М., 1989; 240 с. [436]
[59] Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Вища школа, Киев,
1980; 216 с. [328, 332, 367, 485]
[60] Долженко Е.П. Граничные свойства произвольных функций. Изв. АН
СССР. 1967. Т. 31, N 1. С. 3-14. [456]
[61] Дороговцев А.Я. Математический анализ. Сборник задач. Вища
школа, Киев, 1987; 408 с. [466]
[62] Дороговцев А.Я. Элементы теории меры и интеграла. Вища школа,
Киев, 1989; 152 с. [464]
[63] Дринфельд В.Г. Конечно аддитивные меры но S2 uS3, инвариантные
относительно вращений. Функц. анал. и его прилож. 1984. Т. 18. С. 77.
[474]
[64] Дубровский В.М. О некоторых свойствах вполне аддитивных
функций множества и переходе к пределу под знаком интеграла. Изв. АН
СССР. 1945. Т. 9, N 4. С. 311-320; Замечание, ibid. 1947. Т. 11. С. 101-
104. [484]
[65] Дубровский В.М. О некоторых свойствах вполне аддитивных
функций множества и их применении к обобщению одной теоремы
И. Lebesgue'a. Матем. сб. 1947. Т. 20. С. 317-330. [484]
[66] Дубровский В.М. О базисе семейства вполне аддитивных функций
множества и о свойствах равномерной аддитивности и
равностепенной непрерывности. ДАН СССР. 1947. Т. 58. С. 737-740. [484]
[67] Дубровский В.М. О свойствах абсолютной непрерывности и
равностепенной непрерывности. ДАН СССР. 1948. Т. 63. С. 483-186. [484]
[68] Дубровский В.М. О некоторых условиях компактности. Изв. АН
СССР. 1948. Т. 12. С. 397-410. [484]
[69] Дубровский В.М. О равностепенно суммируемых функциях и о
свойствах равномерной аддитивности и равностепенной непрерывности
семейства вполне аддитивных функций множества. Изв. АН СССР.
1949. Т. 13. С. 341-356. [484]
[70] Дубровский В.М. О непрерывности определенных интегралов,
зависящих от параметра. ДАН СССР. 1949. Т. 66. С. 149-152. [484]
[71] Дубровский В.М. О свойстве равностепенной непрерывности
семейства вполне аддитивных функций множества относительно
собственного и несобственного базисов. ДАН СССР. 1951. Т. 76. С. 333-
336. [484]
[72] Дубровский В.М. Об одном свойстве формулы Никодима. ДАН СССР.
1952. Т. 85. С. 693-696. [573, 4Н]
[73] Дубровский В.М. О наилучшей мажоранте семейства вполне
аддитивных функций множества. Уч. зап. МГУ. 1952. Т. 163 F). С. 89-98.
[Ш]
[74] Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. Факториал, М., 1998;
160 с. [464]

Список литературы
[75] Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ. Наука, М.,
1974; 487 с. ЦбД
[76] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. Мир, М., 1965; 616 с,
538 с. [S04]
[77] Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1,2. Наука, М., 1981, 1984;
544 с, 640 с. [171, 201, 271]
[78] Иванов В.В. Геометрический признак измеримости по Жордану.
Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24, N 5. С. 48-49. [274]
[79] Иванов Л.Д. Вариации множеств и функций. Наука, М., 1975; 352 с.
[№
[80] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. П.
Наука, М., 2000; 448 с. [Щ\
[81] Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. Мир, М., 1973; 150 с. [107,
109]
[82] Камке Е. Интеграл Лебега-Стилтьеса. ГИФМЛ, М., 1959; 328 с. [Щ,
477]
[83] Кановей В.Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. Наука,
М., 1984; 65 с. [107, 109]
[84] Кашин B.C., Саакян А. А. Ортогональные ряды. Наука, М., 1984; 496 с.
[304, 368]
[85] Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального
анализа. Наука, М., 1979; 384 с. [464, 466]
[86] Клементьев З.И. Курс лекций по теории функций действительного
переменного. Томск, 1968; 251 с. [464]
[87] Климкин В.М. Введение в теорию функций множества. Изд-во
Саратовского гос. ун-та, Куйбышев, 1989; 210 с. [474, 484]
[88] Кованько А.С. Интеграл Лебега. Книжно-журн. изд-во, Львовский
_ гос. ун-т, Львов, 1951; 204 с. [464, 4Щ
[89] Кованько А.С, Соколов И.Г. Теория функций действительного
переменного и основы функционального анализа. Изд. Львовского ун-та,
Львов, 1961; 404 с. [464]
[90] Колмогоров А.Н. Общая теория меры и исчисление вероятностей.
Тр. Коммун, акад. Разд. мат. 1929. Т. 1. С. 8-21 (см. [94]). [470]
[91] Колмогоров А.Н. Лекции по курсу Анализ-Ш. МГУ, М., 1946-1947.
[462, 4Щ
[92] Колмогоров А.Н. К изложению основ лебеговской теории меры.
Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, N 1. С. 211-213. [46S]
[93] Колмогоров А.Н. Основы теории вероятностей. 2-е изд. Наука,
М., 1964; 120 с. (пер. с нем.: Kolmogoroff A. Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, Berlin, 1933). [470, 481]
[94] Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика.
Теория вероятностей и математическая статистика. Наука, М., 1985, 1986.
[460, 470, 486]
[95] Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и
функционального анализа. 4-е изд. Наука, М., 1976; 544 с. ]8, 89, 92, 95, 462]
[96] Колодий A.M. Основы общей теории меры и интеграла.
Волгоградский гос. ун-т, Волгоград, 1999; 135 с. [464]

Список литературы
[97] Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и
пространства Орлича. ГИФМЛ, М., 1958; 272 с. [370, 453, 487]
[98] Кругова Е.П. О дифференцируемости выпуклых мер. Мат. заметки.
1995. Т. 57, N 6. С. 51-€1. [435]
[99] Кудрявцев Л.Д. О р-вариации отображений и суммируемости
степеней производной Радона-Никодима. Успехи мат. наук. 1955. Т. 10,
N 2. С. 167-174. [436, 486]
[100] Кудрявцев Л.Д., Кащенко Ю.Д. О замене переменных в интеграле
Лебега. ДАН СССР. 1952. Т. 84, N 5. С. 869-871. [48$
[101] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник
задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных.
Наука, Физматлит, М., 1995; 496 с. [466]
[102] Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. Мир, М., 1970;
416 с. [107, 108]
[103] Кусраев А.Г., Малюгин С.А. Некоторые вопросы теории векторных
мер. Ин-т матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1988; 182 с. [474]
[104] Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные
задачи. Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, 1999; 702 с. [464]
[105] Ламперти Дж. Вероятность. Наука, М., 1973; 184 с. [10]
[106] Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций. ГТТИ,
М.-Л., 1934; 324 с. [461, 467, 477]
[107] Лейхтвейс К. Выпуклые множества. Наука, М., 1985; 336 с. [48Щ
[108] Леман Э. Проверка статистических гипотез. Наука, М., 1964; 500 с.
[485]
[109] Леонтьева ТА., Панферов B.C., Серов B.C. Задачи по теории
функций действительного переменного. Изд-во МГУ, М., 1997; 208 с. [466]
[110] Лоэв М. Теория вероятностей. ИЛ, М., 1962; 720 с. [8, 464]
[111] Лузин Н.Н. К основной теореме интегрального исчисления. Матем.
сб. 1912. Т. 28. С. 266-294. [579, 454, 4Щ
[112] Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М., 1915 B-ое изд.
с коммент.: ГИТТЛ, М., 1951; 551 с; 1-е изд. опубл. также в Матем.
сб. 1916. Т. 30, N 1. С. 1-242). [379, 44%, 452, 455, 461, 488]
[113] Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. 2-е изд.
Учпедгиз, М., 1948; 319 с. [464]
[114] Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. 1-3. Физматгиз, М., 1953, 1958,
1959. [460]
[115] Лукач Е. Характеристические функции. Наука, М., 1979; 424 с. [279,
481]
[116] Лукашенко Т.П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций,
суммируемых с квадратом. Изд-во МГУ, М., 1978; 111 с. [302]
[117] Лянце В.Э. Интеграл Лебега-Стильтьеса. Львовский гос. ун-т, Львов,
1973; 120 с. [477]
[118] Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1985; 416 с.
[436]

Список литературы
497
[119] Макаров Б.М., Флоринская Л.В. Теория меры и интеграла. Вып. 1:
Мера. Измеримые функции. Вып. 3: Несобственные интегралы и
интегралы, зависящие от параметра. Изд-во ЛГУ, Л., 1974, 1977; 138 с,
108 с. [464]
[120] Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н.
Избранные задачи по вещественному анализу. Наука, М., 1992; 432 с. [466]
[121] Макаров И.П. Теория функций действительного переменного.
Учпедгиз, М., 1958; 176 с. [464]
[122] Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX веке. Наука, М., 1965;
232 с. \461\
[123] Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. Наука, М., 1974; 423 с.
[467, 468, 470, 477, 488)
[124] Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного
переменного. Наука, М., 1975; 248 с. [467]
[125] Медведев Ф.А. Французская школа теории функций и множеств на
рубеже XIX-XX веков. Наука, М., 1976; 232 с. [467]
[126] Медведев Ф.А. Письма Д.Ф. Егорова к Н.Н. Лузину. Истор.-матем.
исслед. 1980. Т. 25. С. 335-361. [478]
[127] Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора. Наука, М., 1982;
304 с. [467]
[128] Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. Мир, М., 1973; 326 с. [464]
[129] Меленцов А.А., Байдосов В.А., Змеев Г.М. Элементы теории меры и
интеграла. Уральский гос. ун-т, 1980; 100 с. [464]
[130] Мельников М.С. О зависимости между объемом и диаметром
множеств в n-мерном банаховом пространстве. Успехи мат. наук. 1963.
Т. 18, N 4. С. 165-170. [252]
[131] Меньшов Д.Е. Воспоминания о молодых годах и о возникновении
Московской школы теории д5ункций. Ист.-матем. исслед. 1983. N 27.
С. 312-333. [466]
[132] Мергелян С.Н. Равномерное приближение функций комплексного
переменного. Успехи мат. наук. 1952. Т. 7, N 2. С. 31-122. [118]
[133] Натансон И.П. Основы теории функций вещественной переменной.
ЛГУ, Л., 1941; 296 с. [462, 463]
[134] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. ГТТИ, М.-
Л., 1950; 399 с. C-е изд.: Наука, М., 1974; 480 с). [8, 89, 182, 453, 458,
463, 488]
[135] Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. Мир, М., 1969;
310 с. [8, 464]
[136] фон Нейман Дж. Избранные труды по функциональному анализу.
Т. 1,11. Наука, М., 1987. [460]
[137] Некрасов В.Л. Строение и мера линейных точечных областей.
Томский Технологический ин-т, Томск, 1907; viii+254 с. [461]
[138] Никольский СМ. Курс математического анализа. Т. 1,2. Наука, М.,
1975; 432 с, 408 с. [464]
[139] Окстоби Дж. Мера и категория. Мир, М., 1974; 158 с. [121, 464]
[140] Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций
действительного переменного. Просвещение, М., 1965; 231 с. [466]

Список литературы
[141] Очан Ю.С. Интеграл. МГПИ, М., 1973; 313 с. [488]
[142] Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Просвещение,
М., 1981; 271 с. [466]
[143] Пашшков Б.В. Пример расходимости римановских сумм. Сиб. матем.
журн. 1988. Т. 29. N 3. С. 208-210. [487]
[144] Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. Мир,
М., 1983; 344 с. [8, 464]
[145] Песин И.Н. Развитие понятия интеграла. Наука, М., 1966; 207 с. [467,
469, 488]
[146] Пинскер М.С. Информация и информационная устойчивость
случайных величин и процессов. Изд-во АН СССР. М., 1960; 204 с. [189]
[147] Полшцук Е.М. Эмиль Борель A871-1956). Наука, Л., 1980; 168 с. [466]
[148] Пономарев СП. О свойстве N для гомеоморфизмов класса Wp. Сиб.
матем. журн. 1987. Т. 28, N 2. С. 140-148. [437]
[149] Порошкин А.Г. Теория меры и интеграла. Сыктыврский гос. ун-т,
Сыктывкар, 1996; 172 с. [464, 47%
[150] Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. Изд-во МАИ, М.,
1996; 744 с. [464]
[151] Решетняк Ю.Г. Введение в теорию интеграла Лебега. НГУ,
Новосибирск, 1975; 203 с. [464]
[152] Решетняк Ю.Г. N-свойство для пространственных отобраокений
класса W*tloc. Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, N 5. С. 149-153. [437]
[153] Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.
М., 1954 B-е изд.: Мир, М., 1979; 589 с; 1-е фр. изд.: Budapest, 1952).
[196, 463]
[154] Роджерс К. Укладки и покрытия. Мир, М., 1968; 135 с. [474]
[155] Ротарь В.И. Теория вероятностей. Высш. шк., М., 1992; 368 с. [464]
[156] Рохлин В.А. Избранные работы. МЦНМО, М., 1999. [460]
[157] Рудин У. Основы математического анализа. Мир, М., 1976; 320 с. [171,
464]
[158] Садовничий В.А. Теория операторов. Высш. шк., М., 1999; 368 с. [464]
[159] Садовничий В.А., Григорьян А.А., Конягин СВ. Задачи студенческих
математических олимпиад. Изд-во МГУ, М., 1987; 312 с. [203]
[160] Сакс С. Теория интеграла. ИЛ, М., 1949; 495 с. [74, 379, 428, 463, 470,
488]
[161] Сикорский Р. Булевы алгебры. Мир, М., 1969; 376 с. [472]
[162] Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. Гостехиздат, М.-Л.,
1947; 584 с. B-е изд. М., 1959). [463, 477, 486]
[163] Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического
анализа. Наука, М., 1968; 288 с. [464]
[164] Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. Наука, М., 1974;
808 с. [374]
[165] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства
функций. Мир, М., 1973; 344 с. [422, 436, 488]
[166] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах. Мир, М., 1974; 332 с. [275, 370, 481, 488]

Список литературы
[167] Судаков В.Н. К вопросу о критериях компактности в
функциональных пространствах. Успехи матем. наук. 1957. Т. 12, N 3. С. 221-224.
[366, 486]
[168] Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. Наука, М.,
1976; 328 с. [304]
[169] Тагамлицкий Я.А. Об интегрировании последовательностей
функций. ДАН СССР. 1947. Т. 57, N 1. С. 17-19. [370]
[170] Теляковский С.А. Сборник задач по теории функций действительного
переменного. Наука, М., 1980; 112 с. [466]
[171] Терехнн А.П. Лекции по теории функций действительного
переменного. Саратовский гос. ун-т, Саратов, 1972; 215 с. [464]
[172] Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. ГИТТЛ, М.-Л.,
1948; 479 с. [481]
[173] Титчмарш Е. Теория функций. 2-е изд. переработ. Наука, М., 1980;
464 с. A-е изд.: М., 1951; 1-е и 2-е англ. изд.: Oxford, 1932, 1939). [356,
447, 461, 463]
[174] Тихомиров В.М. Открытие А-множеств. Истор.-матем. исслед.
1993. N 34. С. 129-139. [47%
[175] Толстое Г.П. Замечание к теореме Д.Ф. Егорова. ДАН СССР. 1939.
Т. 22, N 6. С. 309-311. [193]
[176] Толстое Г.П. К замене переменных в кратном интеграле. Успехи мат.
наук. 1950. Т. 5, N 4. С. 162-169. [455]
[177] Толстое Г.П. Мера и интеграл. Наука, М., 1976; 392 с. [464]
[178] Тумаков И.М. Анри Леон Лебег A875-1941). Наука, М., 1975; 119 с.
[466, 469]
[179] Федерер Г. Геометрическая теория меры. Наука, М., 1987; 760 с. [107,
281, 359, 429, 436, 464, 481, 489]
[180] Федоров В.М. Теория функций и функциональный анализ. Ч. 1, 2.
МГУ, М., 2000; 184 с, 192 с. ЦС4]
[181] Фихтенгольц Г.М. Определенные интегралы, зависящие от
параметра. Матем. сб. 1913. Т. 29. С. 1-14. [484]
[182] Фихтенгольц Г.М. Теория простых определенных интегралов,
зависящих от параметра. Петроград, 1918; vii+ЗЗЗ с. [322, 462, 480]
[183] Фихтенгольц Г.М. Об абсолютно непрерывных функциях. Матем. сб.
1924. Т. 31. С. 286-296. [449]
[184] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Т. 1-3. 7-е изд. Наука, М., 1970. [171, 462]
[185] Флоринская Л.В., Хавин В.П. Теория меры и интеграла. Вып. 2:
Интеграл. Изд-во ЛГУ, Л., 1975; 214 с. [464]
[186] Фоминых М.Ю. О сходимости почти всюду сумм Римана. Вестник
МГУ. Сер. матем. 1987. N 6. С. 67-70. [487]
[187] Фролов Н.А. Теория функций действительного переменного. 2-е изд.
Учпедгиз, М., 1961; 172 с. A-е изд. М., 1953). [464]
[188] Фрумкин П.Б. К теореме Д.Ф. Егорова об измеримых функциях.
ДАН СССР. 1948. Т. 60, N 6. С. 973-975. [193]
[189] Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изоперимет-
рии. Наука, М., 1966; 416 с. [111, 482]

500
Список литературы
[190] Халмош П. Теория меры. ИЛ, М., 1954; 292 с. [8, 463]
[191] Харазишвили А.Б. Некоторые вопросы теории множеств и теории
меры. Тбил. гос. ун-т, Тбилиси, 1978; 178 с. [108]
[192] Харазишвили А.Б. Инвариантные продолжения меры Лебега. Тбил.
гос. ун-т, Тбилиси, 1983; 204 с. [107, 111]
[193] Харазишвили А.Б. Топологические аспекты теории меры. Наук,
думка, Киев, 1984; 120 с. [108]
[194] Харазишвили А.Б. Теорема Витали и ее обобщения. Тбил. гос. ун-т,
Тбилиси, 1991; 108 с. [488]
[195] Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полна Г. Неравенства. ИЛ, М., 1948; 456 с.
[281, 480]
[196] Харди Г.Г., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. Физматгиз, М., 1959; 156 с.
[304]
[197] Хахубия Г.П. Обобщенный интеграл Стилтьеса-Гюнтера и его
применения к некоторым задачам математической физики. Груз, политехи,
ин-т, Тбилиси, 1965; 120 с. [477]
[198] Хеннекен П.Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее
приложения. Наука, М., 1974; 472 с. [464]
[199] Хинчин А.Я. Исследование о строении измеримых функций. Матем.
сб. 1924. Т. 31. С. 265-285, 377-433. [489]
[200] Хопф Э. Эргодическая теория. Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, N 1.
С. 113-182 A-е немецкое изд.: Hopf Е. Ergodentheorie. Springer, Berlin,
1937). [470]
[201] Цецохо В. А. Теория меры и интеграл Лебега. Новосибирский гос. ун-т,
Новосибирск, 1974; 112 с. [464]
[202] Челидзе В.Г., Джаваршейшвили А.Г. Теория интеграла Данжуа и
некоторые ее приложения. Тбил. ун-т, Тбилиси, 1978; 363 с. [488]
[203] Ченцов А.Г. Конечно-аддитивные меры и релаксация экстремальных
задач. УИФ „Наука", Екатеринбург, 1993; 233 с. [474]
[204] Шварц Л. Анализ. Т. 1,2. Мир, М., 1972; 824 с, 528 с. [464]
[205] Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. Уни-
пресс & Казанское матем. об-во, Казань, 1998; 489 с. [464]
[206] Шефер X. Топологические векторные пространства. Мир, М., 1975;
359 с. [328]
[207] Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. Физматлит,
М., 1961; 436 с. [464]
[208] Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких
вещественных переменных. Наука, М., 1972; 624 с. [488]
[209] Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. 2-е изд.
Наука, М., 1967; 220 с. [450, 464, 48%
[210] Ширяев А.Н. Вероятность. 2-е изд. Наука, М., 1989; 640 с. [8, 464]
[211] Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. Мир, М.,
1969; 1071 с. [474]
[212] Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1,2. Мир, М.,
1985; 262 с, 400 с. [304]
[213] Юнович Б.М. О дифференцировании абсолютно аддитивных функций
множества. ДАН СССР. 1941. Т. 30, N 2. С. 112-114. [489]

Список литературы
501
[214] Adams М., Guillemin V. Measure theory and probability. Birkhauser,
Boston, 1996; xvi+205 p. [464]
[215] Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975; 268 p. [436]
[216] Akcoglu M., Bellow A., Jones R.L., Losert V., Reinhold-Larsson K.,
Wierdl M. Tbe strong sweeping out property for lacunary sequences,
Riemann sums, convolution powers, and related matters. Ergodic Theory
Dynam. Systems. 1996. V. 16, N 2. P. 207-253. [481]
[217] Alexandroff P. Sur la puissance des ensembles mesurables В. C. R- Acad.
Sci. Paris. 1916. T. 162. P. 323-325. [471]
[218] Aliprantis Ch.D., Burkinshaw O. Principles of real analysis. 3d ed.
Academic Press, San Diego, California, 1998; xii+415 p. [464]
[219] Aliprantis Ch.D., Burkinshaw O. Problems in real analysis. A workbook
with solutions. 2nd ed. Academic Press, San Diego, California, 1999;
viii+403 p. [466]
[220] Amann H., Escher J. Analysis Ш. Birkhauser, Basel - Boston - Berlin,
2001; 480 S. [464]
[221] Anger В., Bauer H. Mehrdimensionale Integration. Eine Einfuhrung in
die Lebesguesche Theorie. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1976;
188 S. [464]
[222] Anger В., Portenier C. Radon integrals. Birkhauser Boston, Boston, 1992;
332 p. [466]
[223] Arnaudies J.-M. L'integrale de Lebesgue sur la droite. Vuibert, Paris, 2001;
320 p. [464]
[224] Artemiadis N.K. Real analysis. Southern Illinois University Press,
Carbondale; Feffer & Simons, London - Amsterdam, 1976; xii+581 p.
1464]
[225] Ascherl A., Lehn J. Two principles for extending probability measures.
Manuscr. Math. 1977. V. 21. P. 43-50. [81]
[226] Ash R.B. Real analysis and probability. Academic Press, New York -
London, 1972; xv+476 p. [464]
[227] Ash R.B. Measure, integration, and functional analysis. Academic Press,
New York - London, 1972; xiii+284 p. [464]
[228] Asplund E., Bungart L. A first course in integration. Holt, Rinehart and
Winston, New York - Toronto - London, 1966; xiii+489 p. [464]
[229] Aumann G. Reelle Funktionen. Springer-Verlag, Berlin - Gottingen -
Heidelberg, 1954; 2e Aufl., 1969; 418 S. [464]
[230] Aumann G., Haupt O. Einfuhrung in die reelle Analysis. III. 3e Aufl.
Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1983; 297 S. [464]
[231] Baire R. CEuvres scientifiques. Gauthier-Villars, Paris, 1990. [450]
[232] Ball J.M., Murat F. Remarks on Chacon's biting lemma. Proc. Amer.
Math. Soc. 1989. V. 107, N 3. P. 655-663. [364]
[233] Banach S. Sur le probleme de la mesure. Fund. Math. 1923. V. 4. P. 7-23.
[110, 414]
[234] Banach S. Sur une classe de fonctions continues. Fund. Math. 1926. V. 7.
P. 225-237. [446]
[235] Banach S. Uber additive Massfunktionen in abstrakten Mengen. Fund.
Math. 1930. V. 15. P. 97-101. [414]

502
Список литературы
[236] Banach S. Sur les suites d'ensembles excluant I'existence d'une mesure.
Colloq. Math. 1947-1948. V. 1. P. 103-108. [88]
[237] Banach S. (Euvres, Vol. I, П. PWN-Editions Scientifiques de Pologne,
Warszawa, 1967, 1979. [4Щ
[238] Banach S-, Kuratowski K. Sur une generalisation du probleme de la
mesure. Fund. Math. 1929. V. 14. P. 127-131. [128]
[239] Banach S., Saks S. Sur les fonctions absolument continues des fonctions
absolument continues. Fund. Math. 1928. V. 11. P. 113-116. [445]
[240] Banach S., Saks S. Sur la convergence forte dans les champs Lp. Studia
Math. 1930. V. 2. P. 51-57. [485]
[241] Banach S., Tarski A. Sur la decomposition des ensembles de points en
parties respectivement congruentes. Fund. Math. 1924. V. 6. P. 244-277.
[1Щ
[242] Barner M., Flohr F. Analysis. П. 2e Aufl., Walter de Gruyter, Berlin, 1989;
449 S. [464]
[243] de Barra G. Measure theory and integration. Ellis Horwood Ltd.,
Chichester; John Wiley & Sons, New York, 1981; 239 p. [464]
[244] Bartle R.G. The elements of integration and Lebesgue measure. John
Wiley & Sons, New York, 1995; xii+179 p. Ast ed.: 1966). [464]
[245] Bartle R.G. A modern theory of integration. Amer. Math. Soc.,
Providence, Rhode Island, 2001; xiv+458 p. [488]
[246] Bary N., Menchoff D. Sur I'intigrale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions
absolument continues de fonctions absolument continues. Ann. Mat. Рига
Appl D). 1928. T. 5. P. 19-54. [445]
[247] Bauer H. Mafi- und Integrationstheorie. Walter de Gruyter, Berlin, 1992,
2e Aufl., 260 S. [8, 464]
[248] Bauer H. Probability theory and elements of measure theory. Bnd ed. of
the translation from the 3d German ed.) Academic Press, London - New
York, 1981; xiii+460 p. [464]
[249] Bear H.S. A primer of Lebesgue integration. Academic Press, San Diego,
1995; xii+163 p. [464]
[250] Behrends E. Mafi- und Integrationstheorie. Springer-Verlag, Berlin - New
York, 1987; 260 S. [464]
[251] Belkner H., Brehmer S. Lebesguesche Integrate. VEB Deutscher Verlag
Wiss., Berlin, 1984; 151 S. [464]
[252] Bellach J., Franken P., Warmuth E., Warmuth W. Mafi, Integral und
bedingter Erwartungswert. Vieweg, Braunschweig, 1978; 145 S. [464]
[253] Benedetto J.J. Real variable and integration. With historical notes.
B.G. Teubner, Stuttgart, 1976; 278 p. [Щ, 464, 466, 48T\
[254] Berberian S.K. Measure theory and integration. Macmillan, New York,
1965. [464]
[255] Berberian S.K. Fundamentals of real analysis. Springer-Verlag, New York,
1999; xii+479 p. [464]
[256] Besicovitch A.S. On Kakeya's problem and a similar one. Math. Z. 1928.
B. 27. S. 312-320. [473]
[257] Besicovitch A.S. On a problem concerning Lebesgue integrals. Math. Ann.
1938. B. 115. S. 613-618. [363]

Список литературы
[258] Besicovitch A.S. A general form of the covering principle and relative
differentiation of additive functions. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1945.
V. 41. P. 103-110; 1946. V. 42. P. 1-10. [488]
[259] Bichteler K. Integration theory (with special attention to
vector-measures). Lecture Notes Math. V. 315. Springer-Verlag, Berlin - New York,
1973; vi+357 p. [Щ, 474]
[260] Bichteler K. Integration - a functional approach. Birkhauser, Boston -
Berlin, 1998;_ viii+193 p. [464]
[261] Bierlein D. Uber die Fortsetzung von Wahrscheinlichkeitsfeldern. Z. Wahr.
theor. verw. Geb. 1962. B. 1. S. 28-46. [87, 4Щ
[262] Billingsley P. Probability and measure. 3d ed. Wiley, New York, 1995;
593 p. [464]
[263] Bishop E. Foundations of constructive analysis. McGraw-Hill Book Co.,
New York - Toronto, 1967; xiii-l-370 p. [474]
[264] Bliss G.A. Integrals of Lebesgue. Bull. Amer. Math. Soc. 1917. V. 24.
P. 1-47. [461]
[265] Blumberg H. The measurable boundaries of an arbitrary function. Acta
Math. 1935. V. 65. P. 263-282. [473]
[266] Bobkov S.G. Isoperimetric and analytic inequalities for log-concave
probability measures. Ann. Probab. 1999. V. 27, N 4. P. 1903-1921. [482]
[267] Bobkov S.G., Gotze F. Exponential integrabUity and transportation cost
related to logarithmic Sobolev inequalities. J. Funct. Anal. 1999. V. 163,
N 1. P. 1-28. [482]
[268] Bobkov S.G., Ledoux M. From Brunn-Minkowski to Brascamp-Lieb and
to logarithmic Sobolev inequalities. Geom. Funct. Anal. 2000. V. 10, N 5.
P. 1028-1052. [48%
[269] Bochner S. Monotone Funktionen, Stieltjessche Integrate und harmonische
Analyse. Math. Ann. 1933. B. 108. S. 378-410 (пер. в [28]). [481]
[270] Bogachev V.I. Gaussian measures, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode
Island, 1998; 433 p. [236, 482]
[271] Borel E. Lecons sur la theorie des fonctions. Gauthier-Villars, Paris, 1898.
De ed. 1950; xii+295 p.) [468]
[272] Borel E. Un theoreme sur les ensembles mesurables. C. R. Acad. Sci. Paris.
1903. T. 137. P. 966-967. [478]
[273[ Borel E. Les probabilites denombrables et leurs applications arithmetiques.
Rend. Circ. Mat. Palermo. 1909. T. 27. P. 247-271. [481]
[274] Borel E. (Euvres de Emile Borel. T. I-IV. Editions du Centre National de
la Recherche Scientifique, Paris, 1972. [45%
[275] Borel E., Zoretti L., Montel P., Frechet M. Recherches contemporaines sur
la theorie des fonctions. Encyclopedic des sciences mathematiques pures
et appliquees. Tome П, V. 1. P. 113-241. Gauthier-Villars, B.G. Teubner,
Paris, Leipzig, 1912. [461]
[276] Borell C. Convex measures on locally convex spaces. Ark. Math. 1974.
V. 12, N 2. P. 239-252. [266]
[277] Bourgain J. An averaging result for I1-sequences and applications to
weakly conditionally compact sets in Lxx. Israel J. Math. 1979. V. 32,
N 4. P. 289-298. [364]

504 Список литературы
[278] Bouziad A., Calbrix J. Theorie de la mesure et de l'integration. Publ. de
l'Univ. de Rouen, Mont-Saint-Aignan, 1993; 254 p. [464]
[279] Brascamp H., Lieb E.H. On extensions of the Brunn-Minkowski
and Ргёкора-Leindler theorems, including inequalities for log concave
functions, and with an application to the diffusion equation. J. Funct.
Anal. 1976. V. 22. P. 366-389. [482]
[280] Brehmer S. Einfuhrung in die Mafitheorie. Akademie-Verlag, Berlin, 1975;
186 S. [464]
[281] Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector-
valued functions. Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 375-417. [438]
[282] Briane M., Pages G. Theorie de l'integration. 2e ed. Vuibert, Paris, 2000;
304 p. [464]
[283] Brooks J.K., Chacon R.V. Continuity and compactness of measures. Adv.
in Math. 1980. V. 37, N 1. P. 16-26. [485]
[284] Broughton A., Huff B.W. A comment on unions of sigma-fields. Amer.
Math. Monthly. 1977. V. 84, N 7. P. 553-554. [120]
[285] Brown A.B., Freilich G. A condition for existence of a smallest Borel
algebra containing a given collection of sets. Enseign. Math. B). 1967.
V. 13. P. 107-109. [1Ц]
[286] Bruckner A.M. Differentiation of real functions. Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg, 1978; 246 p. [448, 454, 488]
[287] Bruckner A.M., Bruckner J.B., Thomson B.S. Real analysis. Prentice-Hall,
1997; 713 p. [249, 44, 472, 487, 489]
[288] Brzuchowski J., Cichon J., Grzegorek E., Ryll-Nardzewski С On the
existence of nonmeasurable unions. Bull. Acad. Pol. Ser. Sci. Math.,
Astron., et Phys. 1979. V. 27, N 6. P. 447-448. [473]
[289] Buczolich Z. Birkhoff sums and zero-one law. Real Anal. Exchange.
Denton Symp. 2000. P. 13-21. [205]
[290] Bukovsky L. Any partition into Lebesgue measure zero sets produces a
nonmeasurable set. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. 1979. V. 27,
N 6. P. 431-435. [473]
[291] Burk F. Lebesgue measure and integration. An introduction. John Wiley
& Sons, New York, 1998; xvi+292 p. [464]
[292] Burkill J.C. Functions of intervals. Proc. London Math. Soc. 1924. V. 22.
P. 275-310. №74
[293] Burkill J.C. The Lebesgue integral. Cambridge University Press,
Cambridge, 1951; viii+87 p. [464]
[294] Burkill J.C. Charles-Joseph de la Vallee Poussin. J. London Math. Soc.
1964. V. 39. P. 165-175. [460]
[295] Burstin C. Uber eine spezielle Klasse reeller periodischer Funktionen.
Monatsh. Math. Phys. 1915. B. 26. S. 229-262. [452]
[296) Buseman H., Feller W. Zur Differentiation des Lebesgueschen Integrate.
Fund. Math. 1934. V. 22. P. 226-256. [489]
[297] Caccioppoli R. SuU'integrazione delle funzioni discontinue. Rend. Mat.
Palermo. 1928. T. 52. P. 1-29. [484]
[298] Caccioppoli R. Integraii impropri di Stieltjes. Estensione del teorema di
Vitali. Rend. Ace. Sc. Fis. Mat. Napoli C). 1929. T. 35. P. 34-40. [484]

Список литературы
)9] Cafarelli L. Monotonicity properties of optimal transportations and the
FKG and related inequalities. Comm. Math. Phys. 2000. V. 214, N 3.
P. 547-563. [438]
H] Cafiero F. Misura e integrazione. Edizioni Cremonese, Roma, 1959; 451 p.
[464, 466, 484]
I] СаИегбп A.P., Zygmund A. On the existence of certain singular integrals.
Acta Math. 1952. V. 88. P. 85-139. [488]
32] Cantelli F.P. La tendenza ad un limite net senso del calcolo delle
probability Rend. Ore. Mat. Palermo. 1916. T. 41. P. 191-201. [481]
33] Capinski M., Kopp E. Measure, integral and probability. Springer-Verlag
London, London, 1999; xii+227 p. [464]
34] Caratheodory С Uber das lineare Mafi von Punktmengen - eine
Verallgemeinerung des Langenbegriffs. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen
Math.-Phys. Kl. 1914. S. 404-426. [469]
M] Caratheodory C. Vorlesungen uber reelle Funktionen. B.G. Teubner,
Leipzig - Berlin, 1918; 704 S. Be Aufl. 1927; 718 S.) [127, 461, 469, 471,
472]
N] Caratheodory C. Mafi und Integral und ihre Algebraisierung. Basel, 1956;
English transl.: Algebraic theory of measure and integration. 2nd ed.
Chelsea, New York, 1986; 378 p. [472]
O] Caratheodory С Gesammelte mathematische Schriften. C.H. Beck,
Miinchen, 1954. [460]
)8] Carlson T. Extending Lebesgue measure by infinitely many sets. Pacif. J.
Math. 1984. V. 115, N 1. P. 33-45. [88]
)9] Carothers N.L. Real analysis. Cambridge University Press, Cambridge,
2000; xiv+401 p. [464, 487]
10] Carter M., van Brunt B. The Lebesgue-Stieltjes integral. A practical
introduction. Springer-Verlag, New York, 2000; x+228 p. [477]
LI] Chae S.B. Lebesgue integration. 2nd ed. Springer-Verlag, New York, 1995;
xiv+264 p. [465, 466]
12] Chandrasekharan K. A course on integration theory. Hindustan Book
Agency, New Delhi, 1996; viii+118 p. [465]
L3] Chavel I. Isoperimetric inequalities. Differential geometric and analytic
perspectives. Cambridge University Press, Cambridge, 2001; xii+268 p.
[436]
L4] Chong K.M., Rice N.M. Equimeasurable rearrangements of functions.
Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, No. 28. Queen's
University, Kingston, Ontario, 1971; vi+177 p. [482]
L5] Choquet G. Lectures on analysis. V. I: Integration and topological vector
spaces. W.A. Benjamin, New York - Amsterdam, 1969; xx+360 p.-t-xxi.
[465]
L6] Chow Y.S., Teicher H. Probability theory. Independence, interchangeabi-
lity, martingales. 3d ed. Springer-Verlag, New York, 1997; xxii+488 p.
[465]
L7] Ciesielski K. Isometrically invariant extensions of Lebesgue measure. Proc.
Amer. Math. Soc. 1990. V. 110. P. 799-801. [1Щ

506
Список литературы
{318] Ciesielski К., Fejzi6 Н., Freiling С. Measure zero sets with non-measurable
sum. Real Anal. Exchange. 2001-2002. V. 27, N 2. P. 783-793. [120]
[319] Ciesielski K., Pelc A. Extensions of invariant measures on Euclidean
spaces. Fund. Math. 1985. V. 125. P. 1-10. [110]
[320] Cohn D.L. Measure theory. Birhauser, Boston - Basel - Stuttgart, 1980;
ix+373 p. [465]
[321] Coifinan R.R., Feffermann C. Weighted norm inequalities for maximal
functions and singular integrals. Studia Math. 1974. V. 51. P. 241-250.
[431]
[322] Constantinescu C, Filter W., Weber K. Advanced integration theory.
With the collaboration of Alexia Sontag. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht, 1998; x+861 p. [465]
[323] Constantinescu C, Weber K. Integration theory. V. I. Measure and
integral. In collaboration with Alexia Sontag. John Wiley & Sons, New
York, 1985; xiii+520 p. [465]
[324] Courrege P. Theorie de la mesure. Les cours de Sorbonne. 2e ed. Centre
de Documentation Universitaire, Paris, 1965; 233 p. [46S\
[325] Craven B.D. Lebesgue measure & integral. Pitman, Boston - London,
1982; ix+221 p. [465]
[326] Crittenden R.B., Swanson L.G. An elementary proof that the unit disc is
a Swiss cheese. Amer. Math. Monthly. 1976. V. 83, N 7. P. 552-554. [118]
[327] Cram M.M. On positive definite functions. Proc. London Math. Soc. C).
1956. V. 6. P. 548-560. [481]
[328] Csiszar I. Information-type measures of difference of probability
distributions and indirect observations. Studia Sci. Math. Hung. 1967.
V. 2. P. 299-318. [18%
[329] Csdrnyei M. How to make Davies' theorem visible. Bull. London Math.
Soc. 2001. V. 33, N 1. P. 59-66. [284]
[330] Dalen D. van, Monna A.F. Sets and integrationr an outline of the
development. Wolters - Hoordhoff, Groningen, 1972; 162 p. [460]
[331] Daniell P.J. A general form of integral. Ann. Math. B). 1917-1918. V. 19.
P. 279-294. [470, 47b]
[332] Daniell P.J. Integrals in an infinite number of dimensions. Ann. Math.
B). 1918. V. 20. P. 281-288. [470, 475, 481]
[333] Daniell P.J. Functions of limited variation in an infinite number of
dimensions. Ann. Math. B). 1919-1920. V. 21. P. 30-38. [470]
[334] Daniell P.J. Stieltjes derivatives. Bull. Amer. Math. 1919. V. 26. P. 444-
448. [481]
[335] Daniell P.J. Further properties of the general integral. Ann. Math. B).
1920. V. 21. P. 203-220. [470, 475]
[336] Darst R.B. C°°-functions need not be bimeasurable. Proc. Amer. Math.
Soc. 1971. V. 27. P. 128-132. [281]
[337] David G., Semmes S. Analysis of and on uniformly rectifiable sets. Amer.
Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1993; xii+356 p. [489\
[338] Davies R.O. On accessibility of plane sets and differentiation of functions
of two real variables. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1952. V. 48. P. 215-
232. [Щ]

Список литературы
507
[339] Davies R.O. Separate approximate continuity implies measurability. Math.
Proc. Camb. Phil. Soc. 1973. V. 73. P. 461-465. [190, 457]
[340] Deheuvels P. L'integrale. Presses Universitaires de France, Paris, 1980;
229 p. [465]
[341] Denjoy A. Une extension de l'integrale de M. Lebesgue. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1912. T. 154. P. 859-862. [488]
[342] Denjoy A. Memoire sur les nombres derivees des fonctions continues. 3.
Math. Pures Appl. G). 1915. V. 1. P. 105-240. [489]
[343] Denjoy A. Sur les fonctions derivees sommables. Bull. Soc. Math. France.
1915. V. 43. P. 161-248. [489]
[344] Denjoy A. Sur une propriete des fonctions derivees. Enseign. Math. 1916.
T. 18. P. 320-328. [457]
[345] Denjoy A. Articles et memoires. П. Le champ reel. Notes. П. Le champ
reel. Gauthier-Villars, Paris, 1955, 1957. [459]
[346] Denneberg D. Non-additive measure and integral. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht, 1994; x+178 p. [474]
[347] DePree J., Swartz C. Introduction to real analysis. John Wiley & Sons,
New York, 1988; xii+355 p. [465, 488]
[348] Descombes R. Integration. Hermann, Paris, 1972; 208 p. [465]
[349] Diestel J. Sequences and series in Banach spaces. Springer, Berlin - New
York, 1984; xi+261 p. [485]
[350] Diestel J., Uhl J.J. Vector measures. Amer. Math. Soc., Providence, 1977;
xui+322 p. [474]
[351] Dieudonne J. Elements d'analyse. Tome П: Chapitres ХП a XV. Gauthier-
Villars, Editeur, Paris, 1968; x+408 p. [465]
[352] Dinculeanu N. Vector measures. Pergamon Press, Oxford - New York
- Toronto, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1967;
x+432 p. ]474]
[353] Dinculeanu N. Vector integration and stochastic integration in Banach
spaces. Wiley-Interscience, New York, 2000; xvi+424 p. [474]
[354] Dini U. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali. Pisa,
1878 (нем. пер.: Grundlagen fur eine Theorie der Functionen einer
veranderlichen reellen Grosse. Teubner, Leipzig, 1892; xviii+554 S.). [467]
[355] Dixmier J. L'integrale de Lebesgue. "Les cours de Sorbonne",
Mathematique I. Centre de Documentation Universitaire, Paris, 1964;
93 p. [465]
[356] Doob J.L. Measure theory. Springer-Verlag, New York, 1994; xii+210 p.
[465]
[357] Douglas R.G. On extremal measures and subspace density. Michigan
Math. J. 1964. V. 11. P. 243-246. [374]
[358] Drewnowski L. Topological rings of sets, continuous set functions.
Integration I, II. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Sci. Math. Astron. Phys.
1972. V. 20. P. 269-286. [474]
[359] Drewnowski L. Equivalence of Brooks-Jewett, Vitali-Hahn-Saks, and
Nikodym theorems. Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Math. Astronom. Phys.
1972. V. 20. P. 725-731. [367, 485]

Список литературы
[360] Dshalalow J.H. Real analysis. An introduction to the theory of real
functions and integration. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida,
2001; xiv+567 p. [465]
[361] Dubins L.E., Pitman J. A pointwise ergodic theorem for the group of
rational rotations. Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 251. P. 299-308.
\m
[362] Dudley R.M. Real analysis and probability. Wadsworth & Brooks, Pacific
Grove, California, 1989; xii+436 p. [267, 465, 466]
[363] Dunford N. Integration in general analysis. Trans. Amer. Math. Soc. 1935.
V. 37. P. 441-153. [475]
[364] Dunford N. Uniformity in linear spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 1938.
V. 44. P. 305-356. [482]
[365] Dunford N. A mean ergodic theorem. Duke Math. J. 1939. V. 5. P. 635-
646. [485]
[366] Dunford N., Pettis B.J. Linear operations on summable functions. Trans.
Amer. Math. Soc. 1940. V. 47. P. 323-392. [485]
[367] Durrett R. Probability. Theory and Examples. 2nd ed., Duxbury Press,
Wadsworth Publ., Belmont, 1996; xiii+503 p. [465]
[368] Edgar G.A. Integral, probability, and fractal measures. Springer-Verlag,
New York, 1998; 286 p. [465, 489]
[369] Edgar G.A., Sucheston L. Stopping times and directed processes.
Cambridge University Press, Cambridge, 1992; 428 p. [489]
[370] Egoroff D.-Th. Sur les suites de fonctions mesurables. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1911. T. 152. P. 244-246. [478]
[371] Egoroff D.-Th. Sur I'integration des fonctions mesurables. C. R. Acad.
Sci. Paris. 1912. T. 155. P. 1474-1475. [488]
[372] Elstrodt J. Mass- und Integrationstheorie. Springer-Verlag, Berlin - New
York, 1996; xv+398 S. [465, 4Щ
[373] Ene V. Real functions: current topics. Lecture Notes Math. V. 1603.
Springer, Berlin - New York, 1995; xi+310 p. [487]
[374] Erdos P., Kestelman H., Rogers C.A. An intersection property of sets with
positive measure. Colloq. Math. 1963. V. 11. P. 75-80. [118]
[375] Erdos P., Oxtoby J.C. Partitions of the plane into sets having positive
measure in every non-nuU measurable product set. Trans. Amer. Math.
Soc. 1955. V. 79. P. 91-102. [285]
[376] Erdos P., Taylor S.J. The Havsdorff measure of the intersection of sets of
positive Lebesgue measure. Mathematika. 1963. V. 10. P. 1-9. [281]
[377] Evans C, Gariepy R.F. Measure theory and fine properties of functions.
CRC Press, Boca Raton - London, 1992; viii+268 p. [435, 436, 489]
[378] Faber V., Mycielski J. The vanishing of certain integrals. Houston J. Math.
1990. V. 16, N 3. P. 313-316. [278]
[379] Faden A.M. Economics of space and time. The measure-theoretic
foundations of social science. Iowa State University Press, Ames, Iowa,
1977; xiii+703 p. [474]
[380] Falconer K.J. Sections of sets of zero Lebesgue measure. Mathematika.
1980. V. 27, N 1. P. 90-96. [284, 4Щ

Список литературы
Falconer К. Fractal geometry. John Wiley & Sons, New York, 1990;
xxii+288 p. [94, 281, 489]
Farrell R.H. Dense algebras of functions in IP. Proc. Amer. Math. Soc.
1962. V. 13. P. 324-328. [355]
Fatou P. Series trigonometric et series de Taylor. Acta Math. 1906. V. 30.
P. 335-400. [479]
Federer H. Surface area. II. Trans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 55. P. 438-
456. [489]
Fichtenholz G. Un theoreme sur I'integration sous le signe integrate. Rend.
Circ. Mat. Palermo. 1913. T. 36. P. 111-114. [272, 484]
Fichtenholz G. Notes sur les limites des fonctions representees par des
integrates definies. Rend. Circ. Mat. Palermo. 1915. T. 40. P. 153-166.
integral
Ш4]
Fichtenholz G. Note sur les fonctions absolument continues. Bull. Acad.
Belgique E). 1922. V. 8. P. 430-443. [449]
Fichtenholz G. Sur les suites convergentes des integrates definies.
Bull. International de PAcademie Polonaise des Sciences et des Lettres.
Classe des Sciences Mathematiques et Naturelles. Ser. A: Sciences
Mathematiques. Annee 1923. P. 91-117. Cracovie, 1924. [322, 484]
Fichtenholz G. Sur une fonction de deux variables sans integrate double.
Fund. Math. 1924. V. 6. P. 30-36. [271]
Fichtenholz G. Sur un probleme de M. Banach. Fund. Math. 1927. V. 10.
P. 302-304. [446]
Fichtenholz G. Sur I'integration des suites des fonctions sommables. C. R.
Acad. Sci. Paris. 1927. T. 184. P. 436-438. [48j[
Fichtenholz G., Kantorovitch L. Sur les operations lineaires dans I'espace
de fonctions bornees. Studia Math. 1936. V. 5. P. 68-98. [486]
Filter W., Weber K. Integration theory. Chapman & Hall, London, 1997;
xii+294 p. [465, 473[
Fischer E. Sur la convergence en moyenne. C. R. Acad. Sci. Paris. 1907.
T. 144. P. 1022-1024. [482]
Fischer E. Applications d'un theoreme sur la convergence en moyenne. C.
R. Acad. Sci. Paris. 1907. T. 144. P. 1148-1151. [456]
Fleming W. Functions of several variables. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin
- New York, 1977; xi+411 p. [465]
Floret K. Mafi- und Integrationstheorie. B.G. Teubner, Stuttgart, 1981;
360 S. [465]
FoUand G.B. Real analysis: modern techniques and their applications. 2nd
ed. Wiley, New York, 1999; xiv+386 p. [465]
Foran J. Fundamentals of real analysis. Marcel Dekker, New York, 1991;
xiv+473 p. [465\
Forster O. Analysis. B. 3. Integralrechnung im IRn mit Anwendungen.
Vieweg, Braunschweig, 1999; vii+285 S. [465]
Frechet M. Sur les ensembles de fonctions et les operations lineaires. C.
R. Acad. Sci. Paris. 1907. T. 144. P. 1414-1415. [482, 486[
Frechet M. Definition de I'integrale sur un ensemble abstrait. C. R. Acad.
Sci. Paris. 1915. T. 161. P. 839-840. [470, 476]

510
Список литературы
[403] Frechet М. Sur I'integrale d'une fonctionnelle etendue a un ensemble
abstrait. Bull. Sci. Math. France. 1915. V. 43. P. 249-265. [470, 476, 480]
[404] Frechet M. Sur divers modes de convergence d'une suite de fonctions d'une
variable. Bull. Calcutta Math. Soc. 1921. V. 11. P. 187-206. [469, 477, 477\
[405] Frechet M. Families additives etfonctions additives d'ensembles abstraits.
Enseignement Math. 1922. V. 22. P. 113-129. [470]
[406] Frechet M. Sur la distance de deux ensembles. C. R. Acad. Sci. Paris.
1923. T. 176. P. 1123-1124. [469, 477]
[407] Frechet M. Des families etfonctions additives d'ensembles abstraits. Fund.
Math. 1923. V. 4. P. 329-365. [470, 472, 480]
[408] Frechet M. Des families etfonctions additives d'ensembles abstraits. Suite.
Fund. Math. 1924. V. 5. P. 206-251. [470]
[409] Frechet M. Sur la distance de deux ensembles. Bull. Calcutta Math. Soc.
1924. V. 15. P. 1-8. [469, 477]
[410] Frechet M. Sur les ensembles compacts de fonctions mesurables. Fund.
Math. 1927. V. 9. P. 25-32. [370, 477]
[411] Frechet M. Sur la convergence en probabilite. Metron. 1930. V. 8. P. 3-50.
[477]
[412] Frechet M. Sur les ensembles compacts de fonctions de carris integrables.
Acta Sci. Math. (Szeged). 1937. V. 8. P. 116-126. [486]
[413] Frechet M. Les elements aleatoires de nature quelconque dans un espace
distancie. Ann. Inst. H. Poincare. 1948. V. 10. P. 215-310. [477]
[414] Frechet M. Generalites sur les probabilites. Elements aleatoires. 2d ed.
Gauthier-Villars, Paris, 1950; xvi+355 p. [204, 477]
[415] Frechet M. Pages choisies d'analyse general. Gauthier-Villars, Paris, 1953;
213 p. [460, 471]
[416] Fremlin D.H. Topological Riesz spaces and measure theory. Cambridge
University Press, London, 1974; 266 p. [360]
[417] Fremlin D.H. Consequences of Martin's Axiom. Cambridge University
Press, Cambridge, 1985; xii+325 p. [107, 108]
[418] Fremlin D.H. On the average of inner and outer measures. Fund. Math.
1991. V. 139, N 1. P. 9-15. [128]
[419] Fremlin D. Real-valued-measurable cardinals. Set theory of the reals
(Ramat Gan, 1991), pp. 151-304; Israel Math. Conf. Proc. 6, Bar Ilan
Univ., Ramat Gan, 1993. [108]
[420] Fremlin D.H. Weakly a-favourable measure spaces. Fund. Math. 2000.
V. 165, N 1. P. 67-94. [75]
[421] Fremlin D. Measure theory. V. 1-5. University of Essex, Colchester, 2001,
2002. [103, 126, 128, 273, 275, 374, 465, 473, 485]
[422] Friedman H. A consistent Fubini-Tonelli theorem for nonmeasurable
functions. Illinois J. Math. 1980. V. 24. P. 390-395. [248]
[423] Fristedt В., Gray L. A modern approach to probability theory. Birkhauser
Boston, Boston, 1997; xx+756 p. [465]
[424] Fubini G. Sugli integrali multipli. Atti Accad. Lincei Rend., CI. sci. fis.,
mat. e natur. Roma. E). 1907. V. 16, Sem. 1. P. 608-614. [481]

Список литературы
511
[425] Fubini G. SuUa derivazione per serie. Atti Accad. Lincei Rend., CI. sci.
fis., mat. e natur. Roma. E). 1915. V. 24, Sem. 1, f. 3. P. 204-206. [385\
[426] Galambos J. Advanced probability theory. Marcel Dekker, New York,
1988; viii+405 p. [465]
[427] Ganssler P., Stute W. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, Berlin
- New York, 1977; xii+418 p. Ц65]
[428] Garcfa-Cuerva J., Rubio de Francia J.L. Weighted norm inequalities and
related topics. North-Holland, Amsterdam, 1985; x+604 p. [431]
[429] Garnir H.G. Fonctions de variables reelles. T. 2. Louvain, Libr. Univ.,
Gauthier-Villars, 1965; 560 p. [466]
[430] Garnir H.G., De Wilde M., Schmets J. Analyse fonctionnelle. Tome П.
Measure et integration dans l'espace euclidien En. Birkhauser Verlag,
Basel - Stuttgart, 1972; 287 p. [465]
[431] Gaughan E. Introduction to analysis. Brooks/Coole, Belmont, 1968;
viii+310 p. [465]
[432] Gelbaum B. Problems in real and complex analysis. Springer, New York,
1992; x+488 p. Ц66]
[433] George C. Exercises in integration. Springer-Verlag, Berlin - New York,
1984; 550 p. [1Ц, 119, 206, 354, 466]
[434] Giaquinta M., Modica G., Soucek J. Cartesian currents in the calculus
of variations. V. I, П. Springer, Berlin - New York, 1998; xxiv+711 p.,
xxiv+697 p. [436]
[435] Gillis J. Note on a property of measurable sets. J. London Math. Soc.
1936. V. 11. P. 139-141. [1Щ
[436] Gillis J. Some combinatorial properties of measurable sets. Quart. J. Math.
1936. V. 7. P. 191-108. [1Щ
[437] Girardi M. Compactness in L\, Dunford-Pettis operators, geometry of
Banach spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. Ill, N 3. P. 767-777.
I486]
[438] Girardi M. Weak vs. norm compactness in L\: the Bocce criterion. Studia
Math. 1991. V. 98. P. 95-97. [48b]
[439] Gleason A.M. Fundamentals of abstract analysis. Reading, Addison-
Wesley, Massachusetts, 1966; xi+404 p. [465]
[440] Gneiting T. Curiosities of characteristic functions. Exposition. Math.
2001. V. 19, N 4. P. 359-363. [284]
[441] Goffman C. Real functions. Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1953;
xii+263 p. [452, 465]
[442] Goffman C, Pedrick G. First course in functional analysis. Prentice-Hall,
~ Englewood CTiffs, 1965; xi+282 p. [465]
[443] Goldberg R.R. Methods of real analysis. 2nd ed. John Wiley & Sons, New
York - London - Sydney, 1976; x+402 p. [465]
[444] Gomes R.L. Integral de Riemann. Junta de Investigao Matematica, Porto,
1949; viii+309+i p. [488]
[445] Gordon R.A. The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock.
Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1994. [406, 411, 413, 488]
[446] Gordon R.A. Some comments on the McShane and Henstock integrals.
Real Anal. Exchange. 1997-1998. V. 23. N 1. P. 329-342. [458]

512
Список литературы
[447] Gowurin М.К. On sequences of indefinite integrals. Bull. Amer. Math.
Soc. 1936. V. 42, N 12. P. 930-936. [323, 371)
[448] Gramain A. Integration. Hermann, Paris, 1988; x+229 p. [465]
[449] Grave D. Sur les lignes composees de parties rectilignes. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1898. T. 127. P. 1005-1007. [487]
[450] Graves L.M. The theory of functions of real variables. McGraw-Hill, New
York, 1946. [465]
[451] Gromov M. Monotonicity of the volume of intersection of balls.
Geometrical aspects of functional analysis A985/86), pp. 1-4, Lecture Notes
Math., V. 1267, Springer, Berlin, 1987. [285]
[452] Gruber P.M. How well can space be packed with smooth bodies? Measure-
theoretic results. J. London Math. Soc. B). 1995. V. 52, N 1. P. 1-14.
[474]
[453] Gunzler H. Integration. Bibliogr. Inst., Mannheim, 1985; 392 S. [465]
[454] Gunther N.M. Sur les integrates de Stieltjes et leur application aux
problemes de la physique mathematique. Тр. физ.-мат. ин-та им. В.A.
Стеклова. М., 1932; 494 p. Bе ed.: Chelsey, New York, 1949). [477]
[455] de Guzman M. Real variable methods in Fourier analysis. North-Holland,
Amsterdam, 1981; 392 p. [488]
[456] de Guzman M., Rubio B. Integraci6n: teorfa у tecnicas. Editorial
Alhambra, Madrid, 1979; x+171 p. [465]
[457] Haaser N.B., Sullivan J.A. Real analysis. Dover Publications, New York,
1991; x+341 p. [465]
[458] Hahn H. Uber den Fundamentalsatz der Integralrechnung. Monatsh. fur
Math, und Phys. 1905. B. 16. S. 161-166. [455]
[459] Hahn H. Uber die Integrale des Herrn Hettinger und die Orthogonal-
invarianten der quadratischen Formen von unendlich vielen Verander-
lichen. Monatsh. fur Math, und Phys. 1912. B. 23. S. 161-264. [486]
[460] Hahn H. Uber Annahrung an Lebesgue 'sche Integrale durch Riemann 'sche
Summen. Sitz. Akad. Wiss. Wien, Math.-naturwiss. Kl. Ha. 1914. B. 123,
H. 4. S. 713-743. [206, 487]
[461] Hahn H. Einige Anwendungen der Theorie der singularen Integrale. Sitz.
Akad. Wiss. Wien, Math.-naturwiss. Kl. Ha. 1918. B. 127, H. 9. S. 1763-
1785. [480]
[462] Hahn H. Theorie der reellen Funktionen. B. I. Springer, Berlin, 1921;
vii+614 S. [461, 469, 472, 480]
[463] Hahn H. Uber Folgen linearer Operationen. Monatsh. fur Math, und Phys.
1922. B. 32. S. 3-88. [484]
[464] Hahn H. Uber die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen. Annali
Scuola Norm. Super. Pisa B). 1933. V. 2. P. 429-452. [470]
[465] Hahn H. Gesammelte Abhandlungen/Collected works. V. 1, 2. With
biographical sketches by K. Popper, L. Schmetterer, K. Sigmund, and
commentaries on Hahn's work by H. Heuser, H. Sagan, L. Fuchs,
W. Frank, D. Preiss, and A. Kluwick. Springer-Verlag, Vienna, 1995, 1996.
[460]

Список литературы
513
[466] Hahn Н., Rosenthal A. Set functions. Univ. New Mexico Press,
Albuquerque, New Mexico, 1948; 324 p. [466, 470, 4Щ
[467] Hajlasz P. Change of variables formula under minimal assumptions.
Colloq. Math. 1993. V. 64, N 1. P. 93-101. [486]
[468] Halmos P.R., Savage L.J. Applications of the Radon-Nikodym theorem to
the theory of sufficient statistics. Ann. Math. Stat. 1949. V. 20. P. 225-241.
[325]
[469] Hartman S., Mikusinski J. The theory of Lebesgue measure and
integration. Pergamon Press, New York, 1961; 176 p. [465]
[470] Haupt O., Aumann G., Pauc Ch.Y. Differential- und Integralrechnung
unter besonderer Benicksichtigung neuerer Ergebnisse. Bd. Ш.
Integralrechnung. 2e Aufl. Walter de Gruyter, Berlin, 1955; xi+320 S.
[465]
[471] Hausdorff F. Grundzuge der Mengenhlehre. Leipzig, 1914; 476 S. [461,
473]
[472] Hausdorff F. Die Machtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Ann. 1916.
B. 77, N 3. S. 430-437. [471]
[473] Hausdorff F. Dimension und ausseres Mass. Math. Ann. 1919. B. 79.
S. 157-179. [481]
[474] Hawkins T. Lebesgue's theory of integration. Its origins and development.
University of Wisconsin Press, Madison - London, 1970; xv+227 p. [469]
[475] Hayes C.A., Pauc C.Y. Derivation and martingales. Springer, Berlin -
New York, 1970; vii+203 p. [489]
[476] Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. Springer, New York,
2001; x+140 p. [438]
[477] Hellinger E. Neue Begrundung der Theorie quadratischer Formen von
unendlichvielen Veranderlichen. J. Reine Angew. Math. 1909. -В.136т—
S. 210-271. [350, 486]
[478] Henstock R. Theory of integration. Butterworths, London, 1963; ix+168 p.
[465, 488]
[479] Henstock R. Lectures on the theory of integration. World Sci., Singapore,
1988; xiv+206 p. [465, 488]
[480] Henstock R. A short history of integration theory. Southeast Asian Bull.
Math. 1988. V. 12, N 2. P. 75-95. [488]
[481] Henstock R. The general theory of integration. The Clarendon Press,
Oxford University Press, New York, 1991; xii+262 p. [465, 488]
[482] Henze E. Emfuhrung in die Mafitheorie. 2e Aufl. Bibliogr. Inst.,
Mannheim, 1985; 235 S. [465]
[483] Herglotz G. Uber Potenzreichen mit positiven reellen Teil im Einheits-
kreis. Leipziger Berichte. 1911. B. 63. S. 501-511. [481]
[484] Heuser H. Lehrbuch der Analysis. B. 2. lie Aufl., Teubner, Stuttgart,
2000; 737 S. [465]
[485] Hewitt E., Stromberg K. Real and abstract analysis. Englewood Springer,
Berlin - New York, 1975; x+476 p. [374, 465]
[486] Hildebrandt Т.Н. On integrals related to and extensions of the Lebesgue
integrals. Bull. Amer. Math. Soc. B). 1917. V. 24. P. 113-144, 177-202.
[461]

514
Список литературы
[487] Hildebrandt Т.Н. Introduction to the theory of integration. Academic
Press, New York - London, 1963; ix+385 p. [465]
[488] Hobson E.W. The theory of functions of a real variable and the theory of
Fourier's series. Cambridge, 1907; 2d, 3d ed. 1926-1927. [461]
[489] Hoffman K. Analysis in Euclidean space. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
1975; 432 p. [465]
[490] Hoffmann-j0rgensen J. Probability with a view toward statistics. V. I, II.
Chapman & Hall, New York, 1994; 589 p., 533 p. [123, 465, 473]
[491] Hopf E. On causality, statistics and probability. J. Math. Phys. 1936. V. 13.
P. 51-102. [470, 481]
[492] Hu S. Elements of real analysis. Holden-Day, San Francisco, 1967;
xii+365 p. [465]
[493] Hulanicki A. Invariant extensions of the Lebesgue measure. Fund. Math.
1962. V. 51. P. 111-115. [474]
[494] Humke P.D., Preiss D. Measures for which a-porous sets are null. J.
London Math. Soc. B). 1985. V. 32, N 2. P. 236-244. [456]
[495] Ingleton A.W. Notes on integration. Mathematical Institute, Oxford
University, Oxford, 1972; i+90 p. [465]
[496] Jacobs K. Measure and integral. Academic Press, New York, 1978; 575 p.
[465]
[497] Jain P.K., Gupta V.P. Lebesgue measure and integration. Wiley Eastern,
New Delhi, 1986; viii+260 p. [465]
[498] James R.C. Advanced calculus. Wadsworth, Belmont, 1966; x+646 p.
[465]
[499] Janssen A.J.E.M., van der Steen P. Integration theory. Lecture Notes
Math. V. 1078. Springer-Verlag, Berlin - New York, 1984; ii+224 p. [465]
[500] Jayne J. Generation of a-algebras, Baire sets, and descriptive Borel sets.
Mathematika. 1977. V. 24, N 2. P. 241-256. [471]
[501] Jean R. Mesure et integration. Les Presses de l'Universite du Quebec,
Montreal, 1975; 305 p. [465]
[502] Jech T. Set theory. Academic Press, New York, 1978; xi+621 p. [108]
[503] Jefferies В., Ricker W.J. Integration with respect to vector valued Radon
polymeasures. J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1994. V. 56, N 1. P. 17-40.
[474]
[504] Jeffery R. The theory of functions of a real variable. 2nd ed., University
of Toronto Press, 1953; xi+232 p. [465]
[505] Jensen J.L.W.V. Sur les fonctions convexes et les inegalites entres les
valeurs moyennes. Acta. Math. 1906. V. 30. P. 175-193. Ц80]
[506] Jessen B. The theory of integration in a space of an infinite number of
dimensions. Acta Math. 1934. V. 63. P. 249-323. [470, 481, 486]
[507] Jessen B. On the approximation of Lebesgue integrals by Riemann sums.
Ann. Math. B). 1934. V. 35. P. 248-251. [486]
[508] Jessen В., Marcinkiewicz J., Zygmund A. Note on the differentiability of
multiple integrals. Fund. Math. 1935. V. 25. P. 217-234. [489]
[509] Jessen В., Wintner A. Distribution functions and the Riemann zeta
function. Trans. Amer. Math. Soc. 1935. V. 38. P. 48-88. [481]

Список литературы
Jones F.B. Measure and other properties of a Hatnel basis. Bull. Amer.
Math. Soc. 1942. V. 48. P. 472-481. [128, 473]
Jones F. Lebesgue integration on Euclidean space. Jones and Bartlett,
Boston, 1993; xvi+588 p. [465]
J0rboe O.G., Mejlbro L. The Carleson-Hunt theorem on Fourier series.
Lecture Notes Math. V. 911. Springer-Verlag, Berlin - New York, 1982;
123 p. [302]-
Jordan C. Course d'analyse de l'Ecole polytechnique. T. 1-3. 2e ed. Paris,
1893-1896; 612 p., 627 p., 542 p. [17, 467]
Jost J. Postmodern analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1998; xviii+353 p.
[465]
Kaczmarz S., Nikliborc L. Sur les suites des fonctions convergentes en
moyenne. Fund. Math. 1928. V. 11. P. 151-168. [369]
Kahane C.S. Evaluating Lebesgue integrals as limits of Riemann sums.
Math. Japon. 1993. V. 38. P. 1073-1076. [487]
Kakutani S. Notes on infinite product measures, I, II. Proc. Imperial
Acad. Tokyo. 1943. V. 19. P. 148-151, 184-188. [481]
Kakutani S. Notes on divergent series and integrals. Proc. Imper. Acad.
Tokyo. 1944. V. 20. P. 74-76. [206]
Kakutani S. Selected papers. V. 2. Birkhauser, Boston, 1986. [459, 481]
Kakutani S., Oxtoby J.C. Construction of a nonseparable invariant
extension of the Lebesgue measure space. Ann. Math. B). 1950. V. 52.
P. 580-590. [110]
Kallenberg O. Foundations of modern probability. Springer-Verlag, New
York, 1997; xii+523 p. [465]
Kamke E. Das Lebesguesche Integral. Eine Einfuhrung in die neuere
Theorie der reellen Funktionen. Teubner, Leipzig, 1925; 151 S. [461]
van Kampen E.R. Infinite product measures and infinite convolutions.
Amer. J. Math. 1940. V. 62, N 2. P. 417-448. [481]
Kannan R., Krueger C.K. Advanced analysis on the real line. Springer,
New York, 1996; ix+259 p. [452, 457, 458, 487]
Kannan R., Lovasz L., Simonovits M. Isoperimetric problems for convex
bodies and a localization lemma. Discrete and Comput. Geom. 1995. V. 13.
P. 541-559. [206]
Kappos D.A. Strukturtheorie der Wahrscheinlichkeitsfelder und -raume.
Springer, Berlin, 1960; 136 S. [472]
Kappos D.A. Probability algebras and stochastic spaces. Academic Press,
New York, 1969; x+267 p. [472]
Karr A.F. Probability. Springer-Verlag, New York, 1993; xxii+282 p. [466]
Kaufman R.P., Rickert N.W. An inequality concerning measures. Bull.
Amer. Math. Soc. 1966. V. 72. P. 672-676. [281]
Kaufman R., Wu J.-M. Two problems on doubling measures. Rev. Mat.
Iberoamer. 1995. V. 11. P. 527-545. [433]
Kawata T. Fourier analysis in probability theory. Academic Press, New
York, 1972; xii+668 p. [481[
Kelley J.L. Measures on Boolean algebras. Pacif. J. Math. 1959. V. 9, N 4.
P. 1165-1177. [128]

516
Список литературы
[533] Kelley J.L., Srinivasan Т.Р. Measure and integral. V. 1. Springer-Verlag,
New York - Berlin, 1988; x+150 p. [122, 465]
[534] Kenyon H., Morse A.P. Web derivatives. Mem. Amer. Math. Soc., No. 132.
Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1973; xiii+177 p. [48Щ
[535] Kestelman H. Modern theories of integration. Oxford, 1937. 2nd revised
ed. Dover Publications, New York, 1960; x+309 p. [461, 488]
[536] Kharazishvili A.B. Transformation groups and invariant measures. Set-
theoretical aspects. World Sci., River Edge, 1998; viii+260 p. [Ill]
[537] Kharazishvili A.B. Strange functions in real analysis. Marcel Dekker, New
York, 2000; viii+297 p. [108, 1Щ
[538] Khintchine A. Sur la derivation asymptotique. C. R. Acad. Sci. Paris. 1917.
T. 164. P. 142-144. \48$[
[539] Kindler J. A Mazur-Orlicz type theorem for submodular set functions. J.
Math. Anal. Appl. 1986. V. 120, N 2. P. 533-546. [473]
[540] Kindler J. Supermodular and tight set functions. Math. Nachr. 1987.
B. 134. S. 131-147. [128, 473]
[541] Kindler J. Sandwich theorems for set functions. J. Math. Anal. Appl. 1988.
V. 133, N 2. P. 529-542. [128[
[542] Kingman J.F.C., Taylor S.J. Introduction to measure and probability.
Cambridge University Press, London - New York - Ibadan, 1966; x+401 p.
146$
[543] Kisynski J. Remark on strongly additive set functions. Fund. Math. 1968.
V. 63. P. 327-332. [473]
[544] Klambauer G. Real analysis. American Elsevier, New York, 1973; 436 p.
[465]
[545] Klei H.-A., Miyara M. Une extension du lemme de Fatou. Bull. Sci. Math.
1991. V. 115, N 2. P. 211-221. [355]
[546] Kluvanek I., Knowles G. Vector measures and control systems. North-
Holland, Amsterdam - Oxford; American Elsevier, New York, 1976;
ix+180 p. [474]
[547] Kodaira S., Kakutani S. A nonseparable translation-invariant extension
of the Lebesgue measure space. Ann. Math. B). 1950. V. 52. P. 574-579.
[1Щ
[548] Kolmogoroff A. La definition axtomatique de I'integrale. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1925. T. 180. P. 110-111 (пер. в [94, кн. 1, с. 19-20]). [486]
[549] Kolmogoroff A. Sur les bornes de la generalisation de I'integrale. Рукопись
1925 г., опубл. в пер. в [94, кн. 1, с. 21-38]). [486]
[550] Kolmogoroff A. Untersuchungen fiber den Integralbegriff. Math. Ann.
1930. B. 103. S. 654-696 (пер. в [94, кн. 1, с. 96-136]). [486]
[551] Kolmogoroff A. Ueber Kompaktheit der Funktionenmengen bei der
Konvergenz im MitteL Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. 1931. B. 9. S. 60-
63 (пер. в [94, кн. 1, с. 139-141)). [486]
[552] Kolmogoroff A. Beitrage zur Mafitheorie. Math. Ann. 1933. B. 107. S. 351-
366 (пер. в [94, кн. 1, с. 150-166]). [286]
[553] Kolzow D. Differentiation von Mafien. Lecture Notes Math. V. 65.
Springer, Berlin - New York, 1968; 102 p. [48$

Список литературы 517
[554] Koml6s J. A generalization of a problem of Steinhaus. Acta Math. Acad.
Sci.Hungar.J967. V. 18. P. 217--229.-[A?7]
[555] Konig H. Measure and integration. An advanced course in basic procedures
and applications. Springer-Veriag, Berlin, 1997; xxii+260 p, [473]
[556] Konigsberger K. Analysis. Springer, Berlin, 2000; x+458 S. [465]
[557] Korevaar J. Mathematical methods. V. I: linear algebra, normed spaces,
distributions, integration. Academic Press, London, 1968; x+505 p. [465]
[558] Krieger H.A. Measure-theoretic probability. University Press of America,
Lanham, 1980; xi+382 p. [465]
[559] Kuller R.G. Topics in modern analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
1969; vii+296 p. [465]
[560] Kurzweil J. Nichtabsolut konvergente Integrale. B.G. Teubner
Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1980; 184 S. [488]
[561] Kurzweil J. Integration between the Lebesgue integral and the Henstock-
Kurzweil integral. Imperial College Press, London, 2002; 140 p. [488]
[562] Lacey H.E. The isometric theory of classical Banach spaces. Springer-
Veriag, Berlin - New York, 1974; x+270 p. [472]
[563] Lang S. Real analysis. 2nd ed. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts,
1983; xv+533 p. [465]
[564] Lang S. Real and functional analysis. 3d ed. Springer, New York, 1993;
xiv+580 p. [465]
[565] Larman D.G. On the exponent of convergence of a packing of spheres.
Mathematika. 1966. V. 13. P. 57-59. [118]
[566] Larman D.G. On packings of unequal spheres in Rn. Canad. J. Math.
1968. V. 20. P. 967-969. [474]
[567] La Vallee Poussin Ch.J. de. Course d'analyse mfmitesimale. T. 1,2. 2e ed.
Paris, 1909, 1912; xi+423 p., xi+464 p. [461, 472]
[568] La Vallee Poussin Ch.J. de. Sur I'integrale de Lebesgue. Trans. Amer.
Math. Soc. 1915. V. 16. P. 435-501. [461, 480]
[569] La Vallee Poussin Ch.J. de. Integrates de Lebesgue, fonctions d'ensemble,
classes de Baire. Gauthier-Villars, Paris, 1916; 154 p. Be ed., 1934,193 p.).
[461]
[570] Lebesgue H. Sur une generalisation de I'integrale definie. С R. Acad. Sci.
Paris. 1901. T. 132. P. 1025-1028. [467, 473]
[571] Lebesgue H. Integrale, longueur, aire. Ann. di Matem. C). 1902. T. 7.
P. 231-359. [467, 475]
[572] Lebesgue H. Sur une propriety, des fonctions. C. R. Acad. Sci. 1903. T. 137,
N 26. P. 1228-1230. [478, 483]
[573] Lebesgue H. Sur I'existence des derivees. C. R. Acad. Sci. Paris. 1903.
T. 136. P. 659-661. [487]
[574] Lebesgue H. Lecpns sur l'integration et la recherche des fonctions
primitives. Paris, Gauthier-Villars, 1904; 2e ed., Paris, 1928; xii+340 p.
[461, 467, 475, 487]
[575] Lebesgue H. Sur les fonctions representables analytiquement. J. Math.
Purees Appl F). 1905. V. 1. P. 139-216. [471]
[576] Lebesgue H. Lecons sur les series trigonometriques. Paris, 1906; 138 p.
[468, 477]

518
Список литературы
[577] Lebesgue Н. Sur les fonctions derivees. Atti Accad. Lincei Rend. CI. sci.
fis., mat. e natur. Roma. E). 1906. V. 15, Sem. 2, f. 1. P. 3-18. [487]
[578] Lebesgue H. Encore une observation sur les fonctions derivees. Atti Accad.
Lincei Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. Roma. E). 1907. V. 16, Sem. 1.
P. 92-100. U81\
[579] Lebesgue H. Sur la recherche des fonctions primitives par I'integration.
Atti Accad. Lincei Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. Roma. E). 1907. V. 16.
P. 283-290. [445, 468]
[580] Lebesgue H. Sur la methode de M. Goursat pour la resolution de I'equation
de Fredholm. Bull. Math. Soc. France. 1908. V. 36. P. 3-19. [47%
[581] Lebesgue H. Sur les integrates singulieres. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse
C). 1909. V. 1. P. 25-117. [468, 44, 48d]
[582] Lebesgue H. Sur les suites de fonctions mesurables. C. R. Acad. Sci. Paris.
1909. T. 149. P. 102-103. [477]
[583] Lebesgue H. Sur I'integration des fonctions discontinues. Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. 1910. V. 27. P. 361-450. [468, 470, 480, 488, 48%
[584] Lebesgue H. Sur I'integrale de StieUjes et sur les operations fonctionnelles
lineaires. C. R. Acad. Sci. Paris. 1910. T. 150. P. 86-88. [477]
[585] Lebesgue H. Remarques sur les theories de la mesure et de I'integration.
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1918. V. 35. P. 191-250. [468, 473]
[586] Lebesgue H. (Euvres scientifiques. V. 1-5, L'Enseignement Mathematique,
Universite de Geneve, Geneve, 1972. [460, 468]
[587] Lebesgue H. Lettres d'Henri Lebesgue a Emile Borel. With an afterword
by Bernard Bru and Pierre Dugac. Cahiers du Seminaire d'Histoire des
Mathematiques, 12, P. 1-511, Univ. Paris VI, Paris, 1991. [467, 47%
[588] Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Amer. Math. Soc.,
Providence, Rhode Island, 2001. x+181 p. [48%
[589] Lee P.Y., Vyborny R. Integral: an easy approach after Kurzweil and
Henstock. Cambridge University Press, Cambridge, 2000; xii+311 p. [488]
[590] Leinert M. Integration und Mafi. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig,
1995; xii+208 S. [465]
[591] Lembcke J. On a measure extension theorem of Bierlein. Lecture Notes
Math. 1980. V. 794. P. 45-48. Ц73]
[592] Letta G. Teoria elementare dell'integrazione. Editrice Tecnico Scientifica,
Pisa, 1973; vii+204 p. [465]
[593] Letac G. Exercises and solutions manual for "Integration and probability"
by Paul Malliavin. Springer-Verlag, New York, 1995; viii+142 p. [466]
[594] Levi B. Sopra Vintegrazione per serie. Rend. 1st. Lombardo B). 1906.
T. 39. P. 775-780. [47%
[595] Levi B. Ricerche sopra le funzioni derivata. Atti Accad. Lincei Rend. CI.
sci. fis., mat. e natur. Roma. E). 1906. V. 15, Sem. 1, f. 12. P. 674-684.
[487, 48%
[596] Levi B. Ancora alcune osservazioni sulle funzioni derivate. Atti Accad.
Lincei Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. Roma. E). 1906. V. 15, Sem. 2,
f. 6. P. 358-368. [487]

Список литературы
519
[597] Levy P. Theorie de l'addition des variables aleatoires. Gautier-Villars,
Paris, 1937 Be ed., 1954; 385 p.). [47(Ц
[598] Lichtenstein L. Ueber die Integration eines bestimmten Integrals in Bezug
auf einen Parameter. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. 1910.
S. 468-475. [272]
[599] Lieb E.H., Loss M. Analysis. 2nd ed. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode
Island, 2001; 346 p. [252, 482]
[600] Liese F., Vajda I. Convex statistical distances. BSB B.G. Teubner Verlag,
Leipzig, 1987; 224 p. [188]
[601] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. V. 1,11. Springer,
Berlin - New York, 1977, 1979; xiii+190, x+243 p. [485]
[602] Lipecki Z. On strongly additive set functions. Colloq. Math. 1971. V. 22.
P. 255-256. [473]
[603] Lipecki Z. Unique extensions of positive set functions. Arch. Math. 1983.
B. 41. S. 71-79. [80]
[604] Lomnicki Z., Ulam S. Sur la theorie de la mesure dans les espaces
combinatoires et son application au calcul des probabilites I. Variables
independentes. Fund. Math. 1934. V. 23. P. 237-278. [470]
[605] Los J., Marczewski E. Extensions of measure. Fund. Math. 1949. V. 36.
P. 267-276. [473]
[606] Lovasz L., Simonovits M. Random walks in a convex body and on improved
volume algorithm. Random Structures Algorithms. 1993. V. 4, N 4. P. 359-
412. [206]
[607] Lubotzky A. Discrete groups, expanding graphs and invariant measures.
Birkhauser, Basel - Boston, 1994; 195 p. [Ill]
[608] Lukacs E. Developments in characteristic function theory. Griffin, London,
1983; viii+182 p. [481]
[609] Lusin N. Sur les proprietes des fonctions mesurables. C. R. Acad. Sci.
Paris. 1912. T. 154. P. 1688-1690. [478]
[610] Lusin N. Sur la classification de M. Baire. С R. Acad. Sci. Paris. 1917.
T. 164. P. 91-94. [472]
[611] Lusin N. Sur la notion de I'integrale. Ann. Mat. Рига Appl. C). 1917.
V. 26. P. 77-129. [379, 454]
[612] Lusin N., Sierpinski W. Sur quelqv.es proprietes des ensembles (A). Bull.
Acad. Sci. Cracovie, Ser. A. 1918. N 4-5a. P. 35-48. [472]
[613] Luther N.Y. Unique extension and product measure. Canad. J. Math.
1967. V. 19. P. 757-763. [129, 273]
[614] Luther N.Y. A decomposition of measures. Canad. J. Math. 1968. V. 20.
P. 953-959. [ISO]
[615] Luukkainen J., Saksman E. Every complete doubling metric space carries
a doubling measure. Proc. Amer. Math. Soc. 1998. V. 126, N 2. P. 531-534.
[433]
[616] MacNeille H.M. A unified theory of integration. Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A. 1941. V. 27. P. 71-76. [196, 475]
[617] Magyar Z. The Lebesgue integral. Akademiai Kiad6, Budapest, 1997;
x+106 p. [465]

520
Список литературы
[618] Malliavin P., Airault H., Kay L., Letac G. Integration and probability.
Springer-Verlag, New York - Berlin, 1995; 322 p. [465]
[619] Mallory D. Extension of set functions to measures and applications to
inverse limit measures. Canad. Math. Bull. 1975. V. 18, N 4. P. 547-553.
m
[620] Marczewski E. On compact measures. Fund. Math. 1953. V. 40. P. 113-
124. [471]
[621] Marczewski E. Remarks on the convergence of measurable sets and
measurable functions. Colloq. Math. 1955. V. 3. P. 118-124. [128, 1Щ
[622] Marczewski E. Collected mathematical papers. PAN, Warszawa, 1996.
[4Щ
[623] Marcinkiewicz J., Salem R. Sur les sommes riemanniennes. Compositio
Math. 1940. T. 7. P. 376-389. [487]
[624] Marcinkiewicz J., Zygmund A. Mean values of trigonometrical
polynomials. Fund. Math. 1937. V. 28. P. 131-166. [486]
[625] Margulis G.A. Some remarks on invariant measures. Monatsh. Math.
1980. B. 90, N 3. S. 233-235. [474]
[626] Margulis G.A. Finitely additive invariant measures on Euclidean spaces.
Ergodic Theory Dynam. Syst. 1982. V. 2. P. 383-396. [1Щ
627] Marie C.-M. Mesures et probabilites. Hermann, Paris, 1974; 474 p. [465]
628] Mattila P. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge
University Press, Cambridge, 1995; 343 p. [488, 48Щ
[629] Mauldin R.D. Countably generated families. Proc. Amer. Math. Soc. 1976.
V. 54. P. 291-297. [88]
[630] Maurin K. Analysis. Part П. Integration, distributions, holomorphic
functions, tensor and harmonic analysis. Reidel, Dordrecht, 1980;
xvii+829 p. [465]
[631] Mawhin J. Analyse. Fondements, techniques, evolution. De Boeck
Universite, Brussels, 1992; iv+808 p. [465, 488]
[632] Mayrhofer K. Inhalt und Mafi. Wien, 1952; vii+265 S. [465]
[633] Mazurkiewicz S. Sur les fonctions qui satisfont a la condition (N). Fund.
Math. 1930. V. 16. P. 348-352. Щ5]
[634] McCann R.J. Existence and uniqueness of monotone measure-preserving
maps. Duke Math. J. 1995. V. 80. P. 309-323. [438]
[635] McDonald J.N., Weiss N.A. A course in real analysis. Biographies by
C.A. Weiss. Academic Press, San Diego, 1999; xx+745 p. [465, 466]
[636] McLeod R.M. The generalized Riemann integral. Mathematical
Association of America, Washington, D.C., 1980; xiii+275 p. [488]
[637] McShane E.J. Integration. Princeton, 1944; viii+394 p. [461]
[638] McShane E.J. Unified integration. Academic Press, New York - London,
1983; xiii+607 p. [465]
[639] McShane E.J., Botts T.A. Real analysis. Van Nostrand, Princeton, 1959;
ix+272 p. [465[
[640] Mejlbro L., Tops0e F. Vitali systems in R" with irregular sets. Math.
Scand. 1996. V. 79, N 1. P. 86-100. [489]
[641] Menchoff D. Sur la representation conforme des domaines plans. Math.
Ann. 1926. B. 95, N 5. S. 641-670. [444]

Список литературы
521
[642] Message d'un mathematicien: Henri Lebesgue. Pour le centenaire de sa
naissance. Introductions et extraits choisis par Lucienne Felix. Librairie
Scientifique et Technique Albert Blanchard, Paris, 1974; ix+259 p. [467\
[643] Metivier M. Notions fondamentales de la theorie des probabilites: maitrises
de mathematiques. 2e ed., Dunod, Paris, 1972; xi+334 p. [465]
[644] Meyer M., Reisner S., Schmuckenschlager M. The volume of the
intersection of a convex body with its translates. Mathematika. 1993.
V. 40, N 2. P. 278-289. [285]
[645] Miamee A.G. The inclusion Ьр{ц) С L4(v). Amer. Math. Monthly. 1991.
V. 98, N 4. P. 342-345. [358]
[646] Michel A. Constitution de la theorie moderne de l'integration. Mathesis.
Librairie Philosophique J. Vrin, Paris, 1992; 338 p. [467, 46$
[647] Michel H. Mafi- und Integrationstheorie. I. VEB Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin, 1978; 204 S. [465]
[648] Mikusinski J. Sur une definition de I'integrale de Lebesgue. Bull. Acad.
Polon. Sci. 1964. V. 12. P. 203-204. [196, 415]
[649] Mikusinski J. The Bochner integral. Birkhauser Verlag, Basel - Stuttgart,
1978; sdi+233 p. [465, 475]
[650] Miller H.I. A theorem connected with results of Steinhaus and Smital. J.
Math. Anal. Appl. 1987. V. 124. P. 27-32. [455]
[651] Misiewicz J.K., Scheffer C.L. Pseudo isotropic measures. Nieuw Arch.
Wisk. D). 1990. V. 8, N 2. P. 111-152. [482]
[652] Mitrinovic D.S., PeCaric J.E., Fink A.M. Classical and new inequalities in
analysis. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1993; xviii+740 p. [480]
[653] Moore E.H., Smith H.L. A general theory of limits. Amer. J. Math. 1922.
V. 44. P. 102-121. [486]
[654] Morgan F. Geometric measure theory. A beginner's guide. 3d ed. Academic
Press, San Diego, 2000; 226 p. [489]
[655] Morse A.P. Convergence in variation and related topics. Trans. Amer.
Math. Soc. 1937. V. 41. P. 48-83. [394]
[656] Morse A.P. Perfect blankets. Trans. Amer. Math. Soc. 1947. V. 61. P. 418-
442. [488]
[657] Moser J. On the volume elements on a manifold. Trans. Amer. Math. Soc.
1965. V. 120. P. 286-294. [438]
[658] Mozzochi C.J. Or» a Riemann sum construction of Rudin. Proc. Amer.
Math. Soc. 1969. V. 22. P. 718. [487]
[659] Mukherjea A., Pothoven K. Real and functional analysis. Plenum Press,
New York, 1978; x+529 p. [465]
[660] Muldowney P. A general theory of integration in function spaces, including
Wiener and Feynman integration. Longman Scientific, Wiley, New York,
1987; viii+115 p. [488]
[661] Munroe M.E. Measure and integration. 2nd ed. Addison-Wesley, Reading,
Massachusetts - London - Don Mills, 1971; xii+290 p. [465,472]
[662] von Neumann J. Functional Operators. I. Measures and Integrals. Annals
of Mathematics Studies, no. 21. Princeton University Press, Princeton,
1950; vii+261 p. [461, 481]

Список литературы
[663] von Neumann J. Collected works. V. 1-4. Pergamon Press, New York,
1961. [460]
[664] von Neumann J. Invariant measures. Amer. Math. Soc., Providence,
Rhode Island, 1999; xvi+134 p. [Ill]
[665] Nielsen O.A. An introduction to integration and measure theory. John
Wiley & Sons, New York, 1997; xvi+473 p. [370, 465]
Nikodym O.2 Sur la mesure des ensembles plans dont tous les points sont
rectilineairement accessibles. Fund. Math. 1927. V. 10. P. 116-168. [473]
[667] Nikodym O. Sur une propriete de la mesure generalisee des ensembles.
Prace Matem.-Fiz. 1928-1929. T. 36. P. 65-71. [117\
[668] Nikodym O. Sur les fonctions d'ensemble. Comptes Rendus du I Congres
des Math, des Pays Slaves, Varsovie, 1929 A930), pp. 304-313. [267, 473]
[669] Nikodym O. Sur une generalisation des integrates de M. J. Radon. Fund.
Math. 1930. V. 15. P. 131-179. [469, 481]
[670] Nikodym O. Contribution a la theorie des fonctionnelles lineaires
en connexion avec la theorie de la mesure des ensembles abstraits.
Mathematica (Cluj). 1931. V. 5. P. 130-141. [361, 48%
[671] Nikodym O. Sur les suites defonctions parfaitement additives d'ensembles
abstraits. C. R. Acad. Sci. Paris. 1931. T. 192. P. 727. [484]
[672] Nikodym O. Sur les families bornees de fonctions parfaitement additives
d'ensemble abstrait. Monatsh. fur Math, und Phys. 1933. B. 40. S. 418-
426. [484]
[673] Nikodym O. Sur les suites convergentes de fonctions parfaitement
additives d'ensemble abstrait Monatsh. fur Math, und Phys. 1933. B. 40.
S. 427-432. [484]
[674] Nikodym O. Sur la mesure vectorielle parfaitement additive dans un corps
abstrait de Boole. Mem. Acad. Roy. Belg. 1938. T. 17. F. 7. P. 1-40. [470]
[675] Nikodym O. Sur I'existence d'une mesure parfaitement additive et поп
separable. Mem. Acad. Roy. Belg. 1938. T. 17. F. 8. P. 1-29. [472]
[676] van Os C.H. Moderne integraalrekening. Noordhoff, Groningen, 1925;
204 p. [461]
[677] Pallu de la Barriere R. Integration. Ellipses, Paris, 1997; 208 p. [465]
[678] Panchapagesan T.V. Medida e integracidn. Parte I. Teori'a de la medida.
V. 1,11. Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias, Departamento de
Matematicas, Merida, 1991; xviii+344 p., 345-708 p. [465]
[679] Pap E. Null-additive set functions. Kluwer Academic Publ., Dordrecht,
1995; xii+315 p. [474]
[680] Pap E. (ed.) Handbook of measure theory. V. 1,2. North-Holland,
Amsterdam, 2002. [465]
[681] Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. Torino, 1887.
[17]
Pettis J. On the extension of measures. Ann. Math. 1951. V. 54. P. 186-
197. [473]
Pfanzagl J., Pierlo W. Compact systems of sets. Lecture Notes Math. 1966.
V. 16. Springer, Berlin; 48 p. [471]
2Иное возможное (более позднее) написание: Nikodym О.М.

Список литературы
523
[684] Pfeffer W.F. Integrals and measures. Marcel Dekker, New York, 1977;
ix+259 p. [465]
[685] Pfeffer W.F. The Riemann approach to integration. Local geometric
theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1993; xvi+302 p. [488]
[686] Phillips E.R. An introduction to analysis and integration theory. Dover
Publications, New York, 1984; xxviii+452 p. [465]
[687] Phillips R.S. On linear transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 1940.
V. 48. P. 516-541. [35%
[688] Picone M., Viola T. Lezione sulla teoria moderna dell'integrazione.
Einaudi, Torino, 1952; 404 p. [465]
[689] Pier J.-P. Integration et mesure 1900-1950. Development of mathematics
1900-1950. Ed. by J.-P. Pier. Birkhauser, Boston - Basel, 1994, pp. 517-
564. [469]
[690] Pier J.-P. Histoire de l'integration. Vingt-cinq siecles de mathematiques.
Culture Scientifique. Masson, Paris, 1996; xii+307 p. [467, 469]
[691] Pierpont J. Lectures on the theory of functions of real variables. V. 1,2.
Ginn & Co., Boston, 1905, 1912; xvi+250 p., xiii+645 p. [461]
[692] Pisier G. The volume of convex bodies and Banach space geometry.
Cambridge University Press, Cambridge, 1989; xvi+250 p. [48%
[693] Pitt H.R. Integration, measure and probability. Oliver fc Boyd, Edinburgh
- London, 1963; viii+110 p. [465]
[694] Pitt H.R. Measure and integration for use. Oxford University Press,
London - New York, 1985; xii+143 p. [465]
[695] Plancherel M. Contribution a I'itude de la representation d'une fonction
arbitraire par des integrates definies. Rend. Circ. Mat. Palermo. 1910.
T. 30. P. 289-335. [481]
[696] Plancherel M. Demonstration du theoreme de Riesz-Fischer et du
theoreme de Weyl sur les suites convergentes en moyenne. Bull. Sci. Math
B). 1923. V. 47. P. 195-204. [481]
[697] Pollard D. A user's guide to measure theoretic probability. Cambridge
University Press, Cambridge, 2002; xiv+351 p. [465]
[698] Possel R. de Sur la derivation abstraite des fonctions d'ensembles. J. Math.
Pures Appl. 1936. V. 15. P. 391-409. [489]
[699] Pratt J.W. On interchanging limits and integrals. Ann. Math. Stat. 1960.
V. 31. P. 74-77. [479]
[700] Preiss D. Geometry of measures in Rn: distribution, rectifiability, and
densities. Ann. Math. B). 1987. V. 125, N 3. P. 537-643. [489]
[701] Priestley H.A. Introduction to integration. Clarendon Press, Oxford
University Press, New York, 1997; xii+306 p. [465]
[702] Ptak P., Tkadlec J. A note on determinacy of measures. Casopis Pest.
Mat. 1988. V. 113, NIP. 435-436. [28%
[703] Rademacher H. Uber eine Eigenschaft von mefibaren Mengen positiven
Mafies. Jahr. Deutsch. Math. Verein. 1921. B. 30. S. 130-132. [118]
[704] Rad6 T. Length and area. Amer. Math. Soc., New York, 1948; v+572 p.
[489]

524
Список литературы
[705] Radon J. Theorie und Anwendungen der absolut additiven
Mengenfunktionen. Sitz. Akad. Wiss. Wien, Math.-naturwiss. Kl.
Па. 1913. В. 122. S. 1295-1438. [470, 477, 480, 482, 485, 486, 48%
[706] Radon J. Gesammelte Abhandhmgen, V. 1,2. Birkhauser, Basel - Boston,
1987. [460]
[707] Rana I.K. An introduction to measure and integration. 2nd ed. Amer.
Math. Soc., Rhode bland, Providence, 2002; 459 p. [465]
[708] Randolph J.F. Basic real and abstract analysis. Academic Press, New
York, 1968, 504 p. [465]
[709] Rao K.P.S. Bhaskara, Rao B.V. On extensions of measures. Colloq. Math.
1987. V. 53, N 1, P. 43-47. [473]
[710] Rao K.P.S. Bhaskara, Rao M. Bhaskara. Theory of charges. A study of
finitely additive measures. Academic Press, New York - London, 1983;
x+315 p. [127, 474]
[711] Rao M.M. Probability theory with applications. Academic Press, New
York, 1984; 495 p. [465]
[712] Rao M.M. Measure theory and integration. John Wiley & Sons, New York,
1987; xiv+540 p. [280, 360, 370, 450, 465, 475]
[713] Ray W.O. Real analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
1988; xii+307 p. [465]
[714] Revuz D. Mesure et integration. Hermann, Paris, 1997. [465]
[715] Richter H. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin, 1966; xii+462 S.
[465]
[716] Ridder J. Integration in abstrakten Raumen. Fund. Math. 1935. V. 24.
P. 72-117. [470]
[717] Riecan В., Neubrunn T. Integral, measure, and ordering. Kluwer
Academic Publ., Dordrecht; Ister Science, Bratislava, 1997; xiv+378 p.
1474]
[718] Riesz F. Sur les systemes orthogonaux de fonctions. С R. Acad. Sci. Paris.
1907. T. 144. P. 615-619. [482]
[719] Riesz F. Sur une espe.ee de geometrie analytique des systemes de fonctions
sommables. С R. Acad. Sci. Paris. 1907. T. 144. P. 1409-1411. [482]
[720] Riesz F. Sur les suites de fonctions mesurables. С R. Acad. Sci. Paris.
1909. T. 148. P. 1303-1305. [477]
[721] Riesz F. 5мг les operations fonctionnelles lineaires. С R. Acad. Sci. Paris.
1909. T. 149. P. 974-977. [476]
[722] Riesz F. Untersuchungen uber Systeme integrierbarer Funktionen. Math.
Ann. 1910. B. 69. S. 449-497. [482]
[723] Riesz F. Sur certains systemes singuliers d'equations integrates. Ann.
Ecole Norm. Sup. C). 1911. V. 28. P. 33-62. [481]
[724] Riesz F. Sur quelques points de la theorie des fonctions sommables. С R.
Acad. Sci. Paris. 1912. T. 154. P. 641-643. [475]
[725] Riesz-FV?ur4ntegrale de Lebesgve.Acta Math. 1920. V, 42. P. 191-205.
[475]
[726] Riesz F. Sur la convergence en moyenne, 1,11. Acta Sci. Math. 1928-29.
T. 4. P. 58-64, 182-185. [485]

Список литературы
525
[727] Riesz F. Uber Satze von Stone und Bochner. Acta Univ. Szeged. 1933.
V. 6. P. 184-198. [481]
[728] Riesz F. Sur I'integrale de Lebesgue comtne I'operation inverse de la
derivation. Ann. Scuola Norm. Super. Pisa B). 1936. V. 5. P. 191-212.
[4Щ
[729] Riesz F. (Euvres completes, V. 1,П. Acad. Sci., Budapest, 1960. [460]
[730] Riesz M. Sur les ensembles compacts de fonctions sommables. Acta Sci.
Math. Szeged. 1933. V. 6. P. 136-142. [343, 486]
[731] Riviere Т., Ye D. Resolutions of the prescribed volume from equation.
Nonlinear Diff. Eq. Appl. 1996. V. 3. P. 323-369. [438]
[732] Rogers C.A. Hausdorff measures. Cambridge University Press, London,
1970; viii+179 p. [481]
[733] Rogers C.A., Sion M. On Hausdorff measures in topological spaces.
Monatsh. Math. 1963. B. 67. S. 269-278. Ц81]
[734] Rogosinski W.W. Volume and integral. Oliver and Boyd, Edinburgh and
London; Interscience Publishers, New York, 1952; x+160 p. [46S[
[735] Romanovski P. Integrate de Denjoy dans les espaces abstraits. Mat.
Sbornik USSR. 1941. T. 9 E1). N 1. P. 67-120. [488]
[736] Romero J.L. When is L"(fi) contained in Ь"{ц)? Amer. Math. Monthly.
1983. V. 90. P. 203-206. [358]
[737] van Rooij A.C.M., Schikhof W.H. A second course on real functions.
Cambridge University Press, Cambridge, 1982; xiii+200 p. [458, 465, 487]
[738] Rosenblatt J. Uniqueness of invariant means for measure-preserving
transformations. Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V. 265, N 2. P. 623-636.
Ш4]
[739] Rosenthal A. Beitrage zu Caratheodory's Messbarkeitstheorie. Nachr. Ges.
Wiss. Gottingen. 1916. S. 305-321. [469, 4Щ
[740] Rosenthal A. Neuere Untersuchungen uber Funktionen reeller
Veranderlichen. Nach den Referaten von L. Zoretti, P. Montel
und M. Frechet bearbeiten von A. Rosenthal. Encyklopadie der
Mathematischen Wissenschaften. Т. Ш, H. 2. S. 851-1187. Verlag, B.G.
Teubner, Leipzig, 1923-1927. [461, 466]
[741] Rosenthal H.P. On relatively disjoint families of measures, with some
applications to Banach space theory. Studia Math. 1970. V. 37. P. 13-
36. [358]
[742] Rosenthal J.S. A first look at rigorous probability theory. World Sci.,
Singapore, 2000; xiv+177 p. [465]
[743] Ross K.A., Stromberg K. Jessen's theorem on Riemann sums for locally
compact groups. Pacific J. Math. 1967. V. 20. P. 135-147. [481]
[744] Royden H.L. Real analysis. 3d ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, 1988; 444 p. Ast ed.: Macmillan, 1963). [465]
[745] Rubel L.A. A pathological Lebesgue-measurable function. J. London Math.
Soc. 1963. V. 38. P. 1-4. [454]
[746] Ruch J.-J., Weber M. Quelques resultats dans la theorie des sommes
riemanniennes. Exposition. Math. 1997. V. 15, N 3. P. 279-288. [48l\
[747] Rudin W. An arithmetic property of Riemann sums. Proc. Amer. Math.
Soc. 1964. V. 15. P. 321-324. [363]

526
Список литературы
G48] Rudin W. Real and complex analysis. 2nd ed., McGraw-Hill, New York,
1974; xii+452 p. [465]
[749] Saadoune M., Valadier M. Extraction of a "good"subsequence from a
bounded sequence of integrable functions. J. Convex Anal. 1995. V. 2,
N 1-2. P. 345-357. [34$
[750] Saks S. Theorie de l'integrale. Warszawa, 1933; vii+290 p. (англ. пер. с
испр. и доп.: Theory of the integral. Warszawa, 1937). [461, 48$
[751] Saks S. On some functional. Trans. Amer. Math. Soc. 1933. V. 35, N 2.
P. 549-556; Addition: ibid., N 4. P. 965-970. [322, 484]
[752] Schechtman G., Schlumprecht Th., Zinu J. On the Gaussian measure of
the intersection of symmetric, convex sets. Ann. Probab. 1998. V. 26.
P. 346-357. [276]
[753] Scheffe H. A useful convergence theorem for probability distributions. Ann.
Math. Statist. 1947. V. 18. P. 434-438. [48$
[754] Schlesinger L., Plessner A. Lebesguesche Integrale und Fouriersche
Reihen. De Gruyter, Berlin - Leipzig, 1926; 229 S. [461]
[755] Schmitz N., Plachky D. Vorlesungen uber Wahrschemhchkeitstheorie. I.
Verlag Anton Hain, Meisenheim am Glan, 1976; vi+216 S. [465]
[756] Schneider R. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. Cambridge
University Press, 1993; xiii-l-490 p. [482]
[757] Schonflies A. Entwickelung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen.
Leipzig, Berlin, 1913; 388 S. [461]
[758] Segal I.E. Equivalences of measure spaces. Amer. J. Math. 1951. V. 73.
P. 275-313. [35$
[759] Segal I., Kunze R.A. Integrals and operators. Springer, Berlin - New York,
1978; xiv+371 p. [465]
[760] Severini C. Sopra gli sviluppi in series di funzioni ortogonali. Atti Ace.
Gioenia di Catania E). 1910. T. 3, Mem. XIII. P. 1-7. [47$
[761] Sierpiiiski W. Sur une propriety generate des ensembles de points. C. R.
Acad. Sci. Paris. 1916. T. 162. P. 716-717. [47$
[762] Sierpinski W. Sur la question de la mesurabilite de la base de M. Hamel.
Fund. Math. 1920. V. 1. P. 105-111. [473]
[763] Sierpinski W. Sur les fonctions convexes mesurables. Fund. Math. 1920.
V. 1. P. 125-129. [47$
[764] Sierpinski W. Sur un probleme concernant les ensembles mesurables
superficieUement. Fund. Math. 1920. V. 1. P. 112-115. [27$
[765] Sierpinski W. Sur les rapports entre Vexistence des integrates f? f(x,y)dx,
Jof(x,y)dy et /„ dx J,,1 f(x,y)dy. Fund. Math. 1920. V. 1. P. 142-147.
[27$
[766] Sierpinski W. Sur les fonctions d'ensembles additives et continues. Fund.
Math. 1922. V. 3. P. 240-246. [473]
[767] Sierpinski W. Sur I'ensemble de distances entre les points d'un ensemble.
Fund. Math. 1925. V. 7. P. 144-148. [47$
[768] Sierpinski W. Sur les ensembles boreliens abstracts. Ann. Soc. Polon. Math.
1927. T. 6. P. 50-53. [471]

Список литературы 527
[769] Sierpinski W. Un theoreme general sur les families des ensembles. Fund.
Math. 1928. V. 12. P. 206-210. [471]
[770] Sierpinski W. Sur une propriete de fonctions quelconques d'une variable
reelle. Fund. Math. 1935. V. 25. P. 1^4. [448]
[771] Sierpinski W. Hypothese du continu. 2nd ed. Chelsea, New York, 1956;
xvii+274 p. [107, 47S\
[772] Sierpinski W. On the congruence of sets and their equivalence by finite
decomposition. New York, 1967; 115 p. [Ill]
[773] Sierpinski W. (Euvres choisies. Т. I-Ш. PWN-editions Scientifiques de
Pologne, Warsaw, 1974, 1975, 1976. [460, 471, 473]
[774] Sikorski R. Advanced calculus: functions of several variables. Polish Sci.
Publ., Warszawa, 1969; 460 p. [465]
[775] Simonnet M. Measures and probabilities. Springer-Verlag, New York,
1996; xiv+510 p. [465[
[776] Sion M. Introduction to the methods of real analysis. Holt, Rinehart and
Winston, New York - Montreal - London, 1968; x+134 p. [465, 475]
[777] Sion M. A theory of semigroup valued measures. Lecture Notes Math.
V. 355. Springer-Verlag, Berlin - New York, 1973; iv+140 p. [474]
[778] Sion M., Willmott R.C. Hausdorff measures on abstract spaces. Trans.
Amer. Math. Soc. 1966. V. 123. P. 275-309. [481]
[779] Slutsky E. Uber stochastische Asymptoten und Grenzwerte. Metron. 1925.
V. 5. P. 3-89. [204, 471]
[780] Smiley M.F. An extension of metric distributive lattices with an
application in general analysis. Trans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 56, N 3.
P. 435-447. [473]
[781] Smith H. J.S. On the integration of discontinuous functions. Proc. London
Math. Soc. 1875. V. 6. P. 140-153. [471]
[782] Sodnomov B. On a property of sets of positive measure. Fund. Math. 1967.
V. 60. P. 187-190. [119]
[783] Solovay R. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue
measurable. Ann. Math. 1970. V. 92. P. 1-56. [109]
[784] Solovay R. Real-valued measurable cardinals. In: Axiomatic Set Theory
(Proc. Sympos. Pure Math., V. ХШ, Part I), pp. 397-428. Amer. Math.
Soc., Providence, Rhode Island, 1971. [103]
[785] Souslin M. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombres
transfinis. C. R. Acad. Sci. Paris. 1917. T. 164, N 2. P. 89-91. [471]
[786] Spiegel M.R. Theory and problems of real variables: Lebesgue measure
and integration with applications to Fourier series. MacGraw-НШ, New
York, 1964; 194 p. [465]
[787] Sprecher D.A. Elements of real analysis. 2nd ed. Dover Publications, New
York, 1987; viii+343 p. [465]
[788] Srinivasan T.P. On measurable sets. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 1954.
V. 18. P. 1-8. [472]
[789] Srinivasan T.P. On extensions of measures. J. Indian Math. Soc. (N.S.)
1955. V. 19. P. 31-60. [470]

528
Список литературы
[790] Stampacchia G. Sulla successioni di funzioni continue rispetto ad una
variabile e misurabili rispetto ad un'altra. Atti Accad. Lincei. Rend. CI.
sci. fis., mat. e natur. Roma. (8). 1949. V. 6. P. 198-201. [193]
[791] Stein E.M. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and
oscillatory integrals. Princeton University Press, Princeton, New Jersey,
1993; xiii+695 p. [94, 406, 422, 430, 432, 451, 488]
[792] Steinhaus H. Additive und stetige Funktionaloperationen. Math. Z. 1919.
B. 5. S. 186-221. [482]
[793] Steinhaus H. Sur les distances des points des ensembles de mesure positive.
Fund. Math. 1920. V. 1. P. 93-104. [118, 128]
[794] Steinhaus H. Les probabUites denombrables et leur rapport a la theorie de
la mesure. Fund. Math. 1923. V. 4. P. 286-310. [481]
[795] Stepanoff W. Sur une propriete caracteristique des fonctions mesurables.
Матем. сб. 1924. Т. 31. С. 487-489. [489]
[796] Stieltjes T.J. Recherches sur les fractions continues. Ann. Fac. Sci.
Toulouse A). 1894. V. 8. P. J.1-J.122. [476]
[797] Stone M.H. Linear transformations in Hilbert space and their applications
to analysis. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., V. 15, New York, 1932;
viii+622 p. [461]
[798] Stromberg K. The Banach-Tarskii paradox. Amer. Math. Monthly. 1979.
V. 86 (March). P. 151-161. [110]
[799] Stromberg K. An introduction to classical real analysis. Wadsworth,
Belmont, 1981; ix+575 p. [465]
[800] Stroock D.W. A concise introduction to the theory of integration. 3d ed.
Birkhauser Boston, Boston, 1999; xiv+253 p. [465]
[801] Subramanian B. On the inclusion Ьр(ц) С Ья(ц). Amer. Math. Monthly.
1978. V. 85, N 6. P. 479-181. [358]
[802] Sullivan D. For n > 3 there is only one finitely additive rotationally
invariant measure on the n-sphere defined on all Lebesgue measurable
sets. Bull. Amer. Math. Soc. 1981. V. 4. P. 121-123. [474]
[803] Sun Y. Isomorphisms for convergence structures. Adv. Math. 1995. V. 116,
N 2. P. 322-355. [274]
[804] Svetic R.E. The Erdos similarity problem: a survey. Real Anal. Exchange.
2000-2001. V. 26 B). P. 525-539. [474]
[805] Swartz Ch. Measure, integration and function spaces. World Sci., River
Edge, New Jersey, 1994; xii+277 p. [367, 465]
[806] Swartz Ch. Introduction to gauge integrals. Singapore, World Sci., 2001;
x+157 p. [406, 488]
[807] Sz.-Nagy B. Introduction to real functions and orthogonal expansions.
Oxford University Press, New York, 1965; xi+447 p. [465]
[808] Szpilrajn E. Sur certains invariants de I'operation (A). Fund. Math. 1933.
V. 21. P. 229-235. [472]
[809] Szpilrajn E. Sur I'extension de la mesure lebesguienne. Fund. Math. 1935.
V. 25. P. 551-558. [109]
[810] Szymanski W. Who was Otto Nikodym? Math. InteU. 1990. V. 12, N 2.
P. 27-31. [467]

Список литературы
529
[811] Talagrand М. Pettis integral and measure theory. Mem. Amer. Math. Soc.
1984. V. 51, N 307. P. 1-224. [284]
[812] Tarski A. Une contribution a la theorie de la mesure. Fund. Math. 1930.
V. 15. P. 42-50. [473]
[813] Taylor A.E. General theory of functions and integration. 2d ed. Dover
Publ., New York, 1985; xvi+437 p. Ast ed. Blaisdell, 1965). [46S\
[814] Taylor A.E. A study of Maurice Frechet. 1-III. Arch. Hist. Exact Sci.
1982. V. 27, N 3. P. 233-295; ibid., 1985. V. 34, N 4. P. 279-380; ibid.,
1987. V. 37, N 1. P. 25-76. [467]
[815] Taylor A.E., Dugac P. Quatre lettres de Lebesgue a Frechet. Rev. Histoire
Sci. Appl. 1981. V. 34, N2. P.U&=W9:[46T,483]
[816] Taylor J.C. An introduction to measure and probability. Springer-Verlag,
New York, 1997; xviii+299 p. ]465]
[817] Taylor S.J. Introduction to measure and integration. Cambridge
University Press, London, 1973; 266 p. [465]
[818] Temple G. The structure of Lebesgue integration theory. Clarendon Press,
Oxford, 1971; 184 p. [465]
[819] Thielman H. Theory of functions of a real variable. Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1953; 209 p. [465]
[820] Thomson B.S. Real functions. Lecture Notes Math. V. 1170. Springer,
Berlin - New York, 1985; vii+229 p. \456, 487]
[821] Titchmarsh E.C. The convergence of certain integrals. Proc. London
Math. Soc. B). 1926. V. 24. P. 347-358. [453]
[822] Tkadlec J. Construction of a finite Borel measure with a-porous sets as
null sets. Real Anal. Exchange. 1986-1987. N 1. P. 349-353. {456}
[823] Tonelli L. Sull'integrazione per parti. Rend. Accad. Lincei Rend. CI. sci.
fis., mat. e natur. Roma. E). 1909. V. 18. P. 246-253. [481]
[824] Tonelli L. Sulla nozione di integrale. Ann. Mat. Рига Appl. D). 1923. T. 1.
P. 105-145. [475]
[825] Tops0e F. On construction of measures. Proc. Conf. Topology and
Measure. I (Zinnowitz, 1974), part 2, pp. 343-381, Ernst-Moritz-Arndt-
Universitat, Greifewald, 1978. [473]
[826] Toralballa L.V. Theory of functions. Charles Merill Books, Ohio, 1963;
671 p. [465]
[827] Torchinsky A. Real variable methods in harmonic analysis. Academic
Press, New York, 1986; 462 p. [488]
[828] Torchinsky A. Real variables. Addison-Wesley, New York, 1988; 403 p.
[465]
[829] Tornier E. Wahrscheinlichkeitsrechnung und allgemeine Integrationstheo-
rie. Teubner, Leipzig, 1936; 160 S. [461]
[830] Tortrat A. Calcul des probabilites et introduction aux processus aieatoires.
Masson, Paris, 1971; xiv+303 p. [465]
[831] Townsend E.J. Functions of real variables. Henry Holt, New York, 1928;
ix+405 p. [465]
[832] Ulam S. Concerning functions of sets. Fund. Math. 1929. V. 14. P. 231-
233. [473]

530
Список литературы
[833] Ursell H.D. On the behaviour of a certain sequence of functions derived
from a given one. J. London Math. Soc. 1937. V. 12. P. 229-232. [486]
[834] Vaisala J. Quasiconformal maps and positive boundary measure. Analysis.
1989. V. 9. P. 205-216. [437\
Vallee Poussin Ch.J. de la: см. La Vallee Poussin Ch.J. de.
[835] Van Vleck E.B. Haskin's momental theorem and its connection with
Stieltjes problem of moments. Trans. Amer. Math. Soc. 1917. V. 18.
P. 326-330. [477\
[836] Veress P. Uber Funktionenmengen. Acta Sci. Math. Szeged. 1927. V. 3.
P. 177-192. [370, 477]
[837] Verley J.-L. Theorie elementaire de l'integration. "Les cours de Sorbonne".
2e ed. Centre de docum. Universite Paris-V, Paris, 1968; 185 p. [465]
[838] Visintin A. Strong convergence results related to strict convexity. Comm.
Partial Differential Equations. 1984. V. 9, N 5. P. 439-466. [348]
[839] Vitali G. Sulle funzioni integrali. Atti. R. Accad. sci. Torino. 1904-1905.
T. 40. P. 1021-1034. [468]
[840] Vitali G. Sull'integrabuita delle funzioni. Rend. 1st. Lombardo B). 1904.
T. 37. P. 69-73. [468]
[841] Vitali G. Sui gruppi di punti. Rend. Circ. Mat. Palermo. 1904. T. 18.
P. 116-126. [468]
[842] Vitali G. Una proprieta delle funzioni misurabili. Rend. R. 1st. Lombardo
B). 1905. T. 38. P. 600-603. [478]
[843] Vitali G. Sul problema della misura dei gruppi di punti di une retta.
Bologna, Tipogr. Gamberini e Parmeggiani, 1905. [471]
[844] Vitali G. Sulle funzioni ad integrate nullo. Rend. Circ. Palermo. 1905.
T. 20. P. 136-141. [183]
[845] Vitali G. SuU'integrazione per serie. Rend. Circ. Mat. Palermo. 1907.
T. 23. P. 137-155. Ц79, 484]
[846] Vitali G. Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali. Atti. R.
Accad. sci. Torino. 1908. T. 43. P. 75-92. [488, 489]
[847] Vitali G. Sulle funzioni continue. Fund. Math. 1926. V. 8. P. 175-188.
[489]
[848] Vitali G. Opere sull'analisi reale e complessa. Carteggio. Edizioni
Cremonese, Bologna, 1984. [459, 468 ]
[849] Vitali G., Sansone G. Moderna teoria delle funzioni di variabile reale. Parte
1,П (Parte I: GTVitali, Parte II: G. Sansone). 3a ed. Zanichelli, Bologna,
1951, 1952; 222 p., 614 p. (la ed.: Bologna, 1935) [461, 478]
[850] Vogel W. Wahrscheinlichkeitstheorie. Vandenhoeck & Ruprecht, Gottin-
gen, 1970; 385 S. [465]
[851] Vo-Khac Kh. Mesure, integration, convolution, & analyse de Fourier.
Interpretation dans le langage des probability. Ellipses, Edition
Marketing, Paris, 1984; 256 p. [465]
[852] Volterra V. Sui principii del calcolo integrate. G. Battaglini. 1881. T. 19.
P. 333-372. [476]
[853] Wagon S. The Banach-Tarski paradox. Cambridge University Press,
Cambridge, 1993; xviii+253 p. [110, 111]

Список литературы
531
[854] Wagschal С. Derivation, integration. Hermann, Paris, 1999; viii+472 p.
[465]
[855] Wagschal C. Integration. Exercices et problemes corriges. Hermann, Paris,
1999; vi+130 p. [466]
[856] Walter W. Analysis. Springer, Berlin, 1995, xiv+397 S. [465]
[857] Wang Z.Y., Klir G.J. Fuzzy measure theory. Plenum Press, New York,
1992; x+354 p. [474]
[858] Wazewski T. Sur les ensembles mesurables. С R. Acad. Sci. Paris. 1923.
T. 176. P. 69-70. [469]
[859] Weber H. Ein Fortsetzungssatz fur gruppenwertige Mafie. Arch. Math.
1980. B. 34. S. 157-159. [89]
[860] Weir A.J. Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press,
London - New York, 1973; xii+281 p. [465]
[861] Weir A.J. General integration and measure. Cambridge University Press,
London - New York, 1974; xi+298 p. [46$
[862] Wesler O. An infinite packing theorem for spheres. Proc. Amer. Math.
Soc. 1960. V. 11. P. 324-326. [118]
[863] Weyl H. Uber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunktionen
fortschreiten. Math. Ann. 1909. B. 67. S. 225-245. [477]
[864] Wheeden R.L., Zygmund A. Measure and integral. Marcel Dekker, New
York - Basel, 1977; 274 p. [465]
[865] Whitney H. Totally differentiable and smooth functions. Pacif. J. Math.
1951. V. 1. P. 143-159. [429]
[866] Widom H. Lectures on measure and integration. Van Nostrand Reinhold,
New York, 1969; viii+166 p. [465]
[867] Wiener N. Differential space. J. Math. Phys. 1923. V. 2. P. 131-174. [470]
[868] Wiener N. Collected works. V. 1-3, The MIT Press, Cambridge, 1976-
1981. [459, 4Щ
[869] Wilcox H.J., Myers D.L. An introduction to Lebesgue integration and
Fourier series. Dover Publications, New York, 1994; viii+159 p. ]465]
[870] Williams D. Probability with martingales. Cambridge, Cambridge
University Press, 1994; xv+251 p. [465]
[871] Williamson J.H. Lebesgue integration. Holt, Rinehart and Winston, New
York, 1962; viii+117 p. [465]
[872] Wise G.L., Hall E.B. Counterexamples in probability and real analysis.
Oxford University Press, New York - Oxford, 1994; xii+211 p. [110, 267,
448, 465]
[873] Wolff J. Sur les series Ei4^- C. R. Acad. Sci. Paris. 1921. T. 173.
P. 1056-1057. [471]
[874] Wolff T. Recent work connected with the Kakeya problem. Prospects in
Mathematics, pp. 129-162, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island,
1999. [94]
[875] Yeh J. Lectures on real analysis. World Sci., River Edge, New Jersey,
2000; xvi+548 p. [465]
[876] Yosida K., Hewitt E. Finitely additive measures. Trans. Amer. Math. Soc.
1952. V. 72. P. 46-66. [481]

532
Список литературы
[877] Young G.C., Young W.H. Selected papers. Presses Polytechniques et
Universitaires Romandes, Lausanne, 2000; x+870 p. [460, 468]
[878] Young W.H. The general theory of integration. Proc. Royal Soc. London.
1904. V. 73. P. 445-449. [475]
[879] Young W.H. Open sets and the theory of content. Proc. London Math.
Soc. B). 1905. V. 2. P. 16-51. [122, 468, 469, 4Щ
[880] Young W.H. Upper and lower integration. Proc. London Math. Soc. B).
1905. V. 2. P. 52-66. [475]
[881] Young W.H. On the general theory of integration. Phil. Trans. Royal Soc.
London (A). 1905. V. 204. P. 221-252. [475, 476, 477]
[882] Young W.H. On parametric integration. Monatsh. Math. 1910. B. 21.
S. 125-149. [480]
[883] Young W.H. On a new method in the theory of integration. Proc. London
Math. Soc. B). 1911. V. 9. P. 15-50. [475]
[884] Young W.H. On semi-integrals and oscillating successions of functions.
Proc. London Math. Soc. B). 1911. V. 9. P. 286-324. [166, 480]
[885] Young W.H. On successions of integrals and Fourier series. Proc. London
Math. Soc. 1913. V. 11. P. 43-95. [364]
[886] Young W.H. On the new theory of integration. Proc. Royal Soc, Ser. A.
1913. V. 88. P. 170-178. [475]
[887] Young W.H. On derivatives and their primitive functions. Proc. London
Math. Soc. 1913. V. 12. P. 207-217. [487]
[888] Young W.H. On integration with respect to a function of bounded
variation. Proc. London Math. Soc. 1914. V. 13. P. 109-150. [477]
[889] Young W.H. Note on the existence of converging sequences in certain
oscillating successions of functions. Proc. Royal Soc. (A). 1915. V. 92.
P. 353-356. Ц85]
[890] Young W.H. On successions with subsequences converging to an integral.
Proc. London Math. Soc. B). 1926. V. 24. P. 1-20. [485]
[891] Zaanen A.C. Linear analysis. Measure and integral, Banach and Hilbert
space, linear integral equations. Interscience, New York; North-Holland,
Amsterdam; P. Noordhoff N.V., Groningen, 1953; vii+601 p. [465]
[892] Zaanen A.C. Integration. North-Holland, Amsterdam, 1967; xiii+604 p.
[358, 360, 370, 465, 489]
[893] Zahn P. Ein konstruktiver Weg zur Masstheorie und Funktionalanalysis.
Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt, 1978; 350 S. [465]
[894] ZajfCek L. Sets of о-porosity and sets of a-porosity (q). Casopis Pest. Mat.
1976. V. 101. P. 350-359. [456]
[895] Ziemer W. Weakly differentiable functions. Springer-Verlag, New York -
Berlin, 1989; xvi+308 p. [436]
[896] Zink R.E. On the structure of measure spaces. Acta Math. 1962. V. 107.
P. 53-71. [127]

Предметный указатель
А + В, 65
АС[а,Ь], 385
Ах, 217
Ап Т А, 16
Л„ 1 Л, 16
А,, 35
Д/М, 80
Ai®A*, 213
Hi®^2, 213
aplim, 425
В(Х,Д), 338
ВМО(Кп), 429, 430
BV[a,b], 380
B(E), 22
B(lRn), 22
В(Ш°°), 177
C§°(lRn), 291
сопуЛ, 65
dist (a, B), 73
du/dn, 210
?*, 304, 327, 330
E", 328
essinf, 200
esssup, 174, 200, 289
/, 234
/, 238
/ * g, 243, 244
f*fi, 248
/ • ц, 210
/ ~ 9, 173
H(jjl, v), 349
H", 254
#f, 253
Ha(ji,v), 348
/л, 131
L°(/i), 173
1/(Х,/х), 150, 173
l4m), 150, 173
L°°(/i), 288
Lp(?), 173, 288
Lp(X,ii), 173
Lp(m), 173, 288
^"сЫ» 360
C°{X,n), 173
?°(/i), 136, 173, 323
&(?), 148, 173
?°°(/z), 174, 288
C(E), 173
?"(Х,ц), 173
?Р(М), 173
?„,47
Л^(Х,Л), 318
SDtra, 66
IN00, 59
R°°, 177
S(?), 59
V(/,[o,b]),379
V;b(/), 379
vraisup, 174
WPll(fi), 434
И^ООЕГ.К*), 436
Wg*(mn,WLk), 436
X+, 208
X~, 208
x V y, 323

Предметный указатель
ж Л у, 323
5-кольцо множеств, 24
Л„, 32, 40, 44, 46
^-измеримая
функция, 136
^-измеримое
множество, 35, 40
^-измеримость, 35
/*-п.в., 137
/х-почти всюду, 137
А**, 34
ц~, 208
&234
Ш ® Ц2, 214
M*i/, 247
At о/-1, 226
/i ~ i/, 211
i/ < А», 211
v JL /*, 211
(Т-аддитивность, 27
(т-аддитивный класс, 56
<т-алгебра, 19
борелевская, 22
полная относительно ц, 41
порожденная функциями,
счетно-порожденная, 119
сг-кольцо множеств, 24
(т-конечная мера, 156
G-полная структура, 323
<t(E,F), 328
<т(Я, 20, 176
т.,'99
«(к), 90
wo, 90
И/О., 174, 288
II/IU 173
И/Иь-О.). 173
IMI, 209
И, 209
V F, 323
jAf(x)^{dx), 145, 150
/A/(x)dx,150
/д/ф, 145, 150
liminf?„, 117
limsup.E„, 117
А-операция, 59, 471
Андерсона неравенство, 265
абсолютная непрерывность
интеграла Лебега, 154
мер, 211
интегралов, 311
абсолютно непрерывная
мера, 211
функция, 385
абстрактная внутренняя мера, 99
аддитивная функция
множества, 25, 256
аддитивное продолжение
меры, 110
аддитивность
конечная, 25, 352
счетная, 26
аксиома Мартина, 107
алгебра
булева метрическая, 80
множеств, 18
порожденная множествами, 20
аналитическое множество, 59
аппроксимативная
дифференцируемость, 429
непрерывность, 425
производная, 429
аппроксимативный предел, 425
атом, 81
атомическая мера, 81
Банаха-Алаоглу теорема, 330
Банаха-Сакса свойство, 332
Банаха-Тарского теорема, 110
Банаха-Штейнгауза теорема, 307
множество, 94
пример, 94
теорема, 416
Беппо Леви теорема, 162
Бернштейна множество, 90
Бесселя неравенство, 301
Бореля-Кантелли лемма, 117
Бохнера теорема, 259
Брунна-Минковского

Предметный указатель
535
неравенство, 264
класс, 182
теорема, 116, 199
базис
Гамеля, 92, 129
Шаудера, 344
ортонормированный, 298
банахово пространство, 287
рефлексивное, 328
безатомическая мера, 81
бесконечная мера, 44, 125, 273
интеграл Лебега, 155
бесконечное произведение мер, 222
борелевская
ст-алгебра, 22
мера, 27
функция, 132
борелевское
отображение, 132, 179
булева алгебра
метрическая, 80
Валле-Пуссена критерий, 316
Витали, 183
пример, 53
система, 450
Витали-Лебега-Хана-Сакса
теорема, 320, 484
Витали-Шеффе
теорема, 167
вариация
меры, 209
функции, 379
функции множества, 259
вероятностная мера, 27
верхняя грань, 323
весовое неравенство, 430
вещественно измеримый
кардинал, 107
взаимно-сингулярные меры, 211
внешняя мера, 35, 66
Каратеодори, 66
непрерывность снизу, 43
регулярная, 70
внутренняя мера, 84, 99
абстрактная, 99
вполне упорядоченное
вторая теорема о среднем, 184
выпуклая
мера, 265, 435
оболочка множества, 65
функция, 187
Гёльдера неравенство, 174
обобщенное, 175
Гамеля базис, 92, 129
Гапошкина теорема, 336, 485
гильбертово пространство, 295
гипотеза континуума, 107
Данжуа-Юнг-Сакса теорема, 426
Дини условие, 239
двузначно измеримый
кардинал, 107
диаметр множества, 250
дифференцирование мер, 423
дифференцируемая функция, 375
дифференцируемость
аппроксимативная, 429
Егорова теорема, 138, 478
евклидово пространство, 294
единица алгебры, 19
Жордана
мера, 17, 54
разложение, 209, 259
Жордана-Хана разложение, 209
замена неременных, 231, 393
замкнутое множество, 16
знакопеременная мера, 207
значение существенное, 200
измеримая
оболочка, 70, 83
функция, 131
относительно сг-алгебры, 131
измеримое
множество, 40, 66
отображение, 132
пространство, 19
ядро, 84
измеримость
критерий, 42
относительно сг-алгебры, 132
относительно меры, 136
по Борелю, 132

536
Предметный указатель
по Жордану, 17
по Каратеодори, 66
по Лебегу, 18
измеримый
кардинал, 107
прямоугольник, 213
изопериметрическое
неравенство, 435
индикатор множества, 131
индикаторная функция
множества, 131
интеграл
Колмогорова, 486
Лебега, 148
простой функции, 145
Лебега-Стилтьеса, 186
Макшейна, 408
Римана, 171
несобственный, 172
Хеллингера, 348, 486
Хенстока-Курцвайля, 407, 488
комплексной функции, 158
неопределенный, 387
отображения в lRn, 158
интеграл Лебега
абсолютная непрерывность, 154
по бесконечной мере, 155
интегрирование по частям, 392
интегрируемость
Макшейна, 408
Хенстока-Курцвайля, 407
критерий, 169
равномерная, 333
Йенсена неравенство, 187
Какея проблема, 94
Кантора
множество, 52
функция, 229
Каратеодори
внешняя мера, 66
измеримость, 66
Карлесона теорема, 302
Каччопполи множество, 435
Ки Фаня метрика, 477
Кларксона неравенство, 374
Колмогорова
интеграл, 486
пример, 303
Комлоша теорема, 337
Коши-Буняковского
неравенство, 174, 294
Крейна-Шмульяна
теорема, 329
канторовская лестница, 229
канторовское множество, 52
кардинал
вещественно измеримый, 107
двузначно измеримый, 107
измеримый, 107
недостижимый, 108
неизмеримый, 107
класс
ст-адцитивный, 56
Бэра, 182
компактный, 30, 77, 225
монокомпактный, 79
монотонный, 56, 75
приближающий, 31, 32, 33
компактный, 31, 33
класс Лоренца, 370
класс множеств
компактный, 30
кольцо множеств, 24
кольцо, порожденное
полукольцом,24
компактность
в L°(/i), 370
в L", 343, 366
слабая в L1, 333
слабая в Lp, 329
компактный класс, 30, 77, 225
комплексная функция, 158
конечно-аддитивная
функция множества, 25, 352
коэффициент Фурье, 300
критерий
Валле-Пуссена, 316
измеримости, 42
интегрируемости, 169
компактности
в L", 343
равномерной
интегрируемости, 316
слабой компактности, 333
Лагерра многочлены, 368
Лебега
измеримое множество, 35

Предметный указатель
537
измеримость, 18
интеграл, 145, 148
мера, 32, 40, 44, 46, 47
пополнение меры, 41
продолжение меры, 41
разложение, 213
теорема
о классах Бэра, 182
теорема о мажорированной
сходимости, 161
точка, 403, 421
Лебега-Витали теорема, 312
Лебега-Стилтьеса
интеграл, 187
мера, 55, 56
Лежандра многочлены, 301
Лоренца класс, 370
Лузина
свойство (N), 443, 489
теорема, 144, 478
лебеговское
пополнение меры, 41
продолжение меры, 41
лемма
Бореля Кантелли, 117
Розенталя, 352
Фату, 163
Филлипса, 352
лестница канторовская, 229
логарифмически вогнутая
мера, 265
локализуемая мера, 126, 360
локально измеримое
множество, 125
локально определимая мера, 126
Макшейна
интеграл, 408
интегрируемость, 408
Мартина аксиома, 107
Минковского
неравенство, 175, 266, 269
Мюнца теорема, 368
магарамовская
мера, 126, 360
субмера, 104
мажоранта
упорядоченного множества, 323
мажорированная сходимость, 161
максимальная функция,401, 429
мера, 26
<т-конечная, 156
Жордана, 17, 54
Лебега, 32, 40, 44, 46, 47
Лебега-Стилтьеса, 56
Пеано-Жордана, 17
Хаусдорфа, 254
абсолютно непрерывная, 211
абстрактная внутренняя, 99
атомическая, 81
безатомическая, 81
бесконечная, 44, 125, 161, 273
интеграл Лебега, 155
счетно-аддитивная, 44
борелевская, 27
вероятностная, 27
внешняя, 35, 66
Каратеодори, 66
регулярная, 70
внутренняя, 84, 99
абстрактная, 99
выпуклая, 265, 435
знакопеременная, 207
логарифмически вогнутая, 265
локализуемая, 126, 360
локально определимая, 126
магарамовская, 126, 360
насыщенная, 125
неограниченная, 44, 161
поверхностная, 438
стандартная на сфере, 276
полная, 41
полуконечная, 125, 360
разложимая, 125, 273, 360
сатурированная, 125
сепарабельная, 80, 119, 353
сингулярная, 211
со значениями в [0, +оо], 44, 161
со свойством удвоения, 432
стандартная гауссовская, 236
счетно-аддитивная
бесконечная, 44
меры
аддитивное продолжение, 110
взаимно-сингулярные, 211
эквивалентные, 211
меры Лебега
продолжение, 110
метод построения мер, 69

538
Предметный указатель
метрика
Ки Фаня, 477
Фреше-Никодима, 80, 470
Хеллингера, 349
сходимости по мере, 353, 477
метрическая булева алгебра, 80
миноранта
упорядоченного множества, 323
многочлены
Лагерра, 368
Лежандра, 301
Чебышёва-Эрмита, 301
множество
^-аналитическое, 59
?-суслинское, 59
/1-измеримое, 35, 40
Безиковича, 94
Бернштейна, 90
Кантора, 52
Каччопполи, 435
Никодима, 94, 95
Серпинского, 119
Эрдеша, 474
аналитическое, 59
борелевское, 22
вполне упорядоченное, 90
замкнутое, 16
измеримое, 35, 40
относительно ц, 35
по Жордану, 17
по Каратеодори, 66
по Лебегу, 18, 35
канторовское, 52
лебеговское, 404
локально измеримое, 125
неизмеримое, 53
ограниченного периметра, 435
открытое, 16
суслинское, 59, 64, 472
упорядоченное, 90
цилиндрическое, 222
частично упорядоченное, 90, 323
модулярная функция
множества, 104
монокомпактный класс, 79
монотонная сходимость, 162
монотонная функция
множества, 104
разложение Лебега, 394
монотонный класс, 56, 75
Никодима
множество, 94, 95
пример, 249
теорема, 320
Ньютона-Лейбница формула, 392
насыщенная мера, 125
невозрастающая перестановка, 280
недостижимый кардинал, 108
неизмеримое множество, 53
неизмеримый кардинал, 107
неограниченная мера, 44
неопределенный интеграл, 387
непрерывность
аппроксимативная, 425
непрерывность меры в нуле, 26
непрерывность снизу
внешней меры, 43
неравенство
Андерсона, 265
Бесселя, 301
Брунна-Минковского, 264
Гёльдера, 174
обобщенное, 175
Йенсена, 187
Кларксона, 374
Копш-Буняковского, 174, 294
Минковского, 175, 266, 269
Пинскера-
Кульбака-Чизара, 189
Пуанкаре, 434
Сарда, 234
Соболева, 434, 435
Харди, 356
Харди-Литтлвуда, 281
Чебышёва, 153, 457
Юнга, 245
весовое, 430
изопериметрическое, 435
нижняя грань, 323
норма, 287
линейной функции, 304
нормированное пространство, 287
равномерно выпуклое, 330
Орлича пространство, 369
обобщенная производная, 433
обобщенное неравенство
Гёльдера, 175

Предметный указатель
оболочка
выпуклая, 65
замкнутая выпуклая, 329
измеримая, 70, 83
образ меры, 226
обратное преобразование
Фурье, 238
объем
смешанный, 266
шара, 276
ограничение меры, 83
ограниченная средняя
осцилляция, 429
операция
Суслина,-59
теоретико-множественная, 16
ординал, 90
ортонормированный базис, 298
осцилляция
ограниченная средняя, 429
открытое множество, 16
отмеченный промежуток, 406
отображение
борелевское, 132, 179
измеримое, 132
Парсеваля
равенство, 241, 301
Пеано Жордана мера, 17
Пинскера-Кульбака-Чизара
неравенство, 189
Пуанкаре
неравенство, 434
формула, 113
п.в., 137
первая теорема о среднем, 184
периметр, 435
плотностная топология, 450
плотность
Радона-Никодима, 210
меры, 210
поверхностная мера, 438
поверхностная мера на сфере, 276
покрытие, 395
полная
(т-алгебра, 41
мера, 41
структура, 323
полная вариация, 259
полная вариация меры, 209
полное метрическое
пространство, 287
полное нормированное
пространство, 287
положительно определенная
функция, 235, 259
полуаддитивность, 25
полуалгебра множеств, 24
полукольцо множеств, 24
полуконечная мера, 125, 360
полунорма, 287
пополнение
<г-алгебры, 41
меры, 41
порожденная <т-алгебра, 20, 176
порожденная алгебра, 20
порядковое число, 90
последовательность
слабо сходящаяся, 328
сходящаяся
в iMji), 159
в среднем, 159
по мере, 139
фундаментальная
bL'M, 145, 159
в среднем, 145, 159
по мере, 139
почти всюду, 137
почти равномерная
сходимость, 139
почти слабая сходимость в L1, 336
предел аппроксимативный, 425
предельный переход
в интеграле, 161
преобразование Фурье, 234
обратное, 238
приближающий класс, 31, 33
пример
Безиковича, 94
Витали, 53
Колмогорова, 303
Никодима, 249
Фихтенгольца, 271
проблема Какея, 94
продакт-мера, 214
продолжение
меры, 37, 41, 85
лебеговское, 41
меры Лебега, 110

540
Предметный указатель
произведение
ег-алгебр, 213
мер, 214
бесконечное, 222
производная, 375
Соболева, 433
аппроксимативная, 429
верхняя, 378
левая, 378
меры относительно меры, 423
нижняя, 378
обобщенная, 433
правая, 378
производные числа, 378
промежуток, 17
отмеченный, 406
свободный, 406
простая функция, 133
пространство
ВМО(И"), 429
L", 361
Лоренца, 370
Орлича, 369
Соболева, 434
банахово, 287
рефлексивное, 328
гильбертово, 295
евклидово, 294
измеримое, 19
мер, 318
метрическое
полное, 287
сепарабельное, 290
нормированное, 287
полное, 287
равномерно выпуклое, 330
с мерой, 27
сопряженное, 296, 304, 328, 330,
358, 360
прямоугольник измеримый, 213
Радона-Никодима
плотность, 210
теорема, 211, 481
Римана интеграл, 171
несобственный, 172
Римана-Лебега теорема, 320
Рисе М., 343
Рисса теорема, 140, 296, 304
Рисса-Фишера теорема, 300
Розенталя лемма, 352
равенство Парсеваля, 241, 301
равноизмеримые функции, 280
равномерная
абсолютная непрерывность
интегралов, 311
интегрируемость, 310, 333
счетная аддитивность, 320
равномерная вьгауклость Lp, 330
равномерная интегрируемость
критерий, 316
равномерно выпуклое
пространство, 330
равномерно интегрируемое
множество, 310
разбиение размеченное, 407
разложение
Жордана, 209, 259
Жордана-Хана, 209
Лебега, 213
Лебега монотонной
функции, 394
Уитни, 111
Хана, 208
функции множества, 256
разложимая мера, 125, 273, 360
размерность Хаусдорфа, 255
размеченное разбиение, 407
свободное, 407
расстояние до множества, 73
регулярная
внешняя мера, 70
рефлексивное банахово
пространство, 328
решетка, 323
множеств, 104
Сарда
неравенство, 234
теорема, 277
Серпинского
множество, 119
теорема, 75, 471
Соболева
неравенство, 434, 435
пространство, 434
Стилтьес, 55, 186
Суслина
операция, 59
схема, 59

Предметный указатель
541
сатурированная мера, 125
свертка
интегрируемых функций, 244
мер, 247
функции и меры, 248
свободное
размеченное разбиение, 407
свободный
отмеченный промежуток, 406
свойство
(N), 443, 489
Банаха-Сакса, 332
удвоения, 432
сепарабельная
мера, 80, 119, 353
сепарабельное метрическое
пространство, 290
сечение множества, 217
симметризация Штейнера, 250
сингулярная мера, 211
сингулярность мер, 211
система Витали, 450
скалярное произведение, 294
слабая
компактность в L1, 333
компактность в L», 329
сходимость, 328
сходимость в IP, 329
топология, 327
слабо сходящаяся
последовательность, 328
смешанный объем, 266
гоболовская производная, 433
сопряженное
к L\ 360, 482
к L", 358, 482
сопряженное пространство, 296,
304, 328, 330, 358, 360
стандартная гауссовская мера, 236
степень отображения, 277
структура, 323
сг-полная, 323
субаддитивность, 25
субаддитивность счетная, 28
сублинейная функция, 95
субмера, 104
магарамовская, 104
субмодулярная функция
множества, 104
сумма Фейера, 303
сумма множеств, 65
супераддитивная функция
множества, 98
супермодулярная функция
множества, 104
суслинская схема, 59
монотонная, 60
регулярная, 60
суслинское множество, 64, 472
существенно ограниченная
функция, 174
существенное значение
функции, 200
схема суслинская, 59
монотонная, 60
регулярная, 60
сходимость
bL'W, 159
в Lp, 346
в среднем, 159
мер на множествах, 320, 338
по мере, 139, 353
почти всюду, 137
почти равномерная, 139
почти слабая в L1, 336
слабая, 328
слабая в L", 329
счетная аддитивность, 44
равномерная, 320
счетная субаддитивность, 28
счетно-порожденная
(т-алгебра, 119
Тонелли теорема, 220
таблица множеств, 59
теорема
Ванаха-Алаоглу, 330
Банаха-Тарского, 110
Банаха-Штейнгауза, 307
Безиковича, 416
Веппо Леви
о монотонной сходимости, 162
Бохнера, 259
Бэра, 116, 199
Витали о покрытии, 395
Витали-Лебега-
Хана-Сакса. 320. 484

542
Предметный указатель
Витали-Шеффе, 167
Гапошкина, 336, 486
Данжуа-Юнг-Сакса, 426
Егорова, 138, 478
Карлесона, 302
Комлоша, 337
Крейна-Шмульяна, 329
Лебега о классах Бэра, 182
Лебега о мажорированной
сходимости, 161
Лебега-Витали, 312
Лузина, 144, 478
Мюнца, 368
Никодима, 320
Радона-Никодима, 211, 481
Римана-Лебега, 320
Рисса, 140, 296, 304
Рисса-Фишера, 300
Сарда, 277
Серпинского, 75, 471
Тонелли, 220
Улама, 106
Фату, 163
Фихтенгольца, 316, 484
Фубини, 219, 249
малая, 385
Хана-Банаха, 95
Шеффе, 167, 479
Эберлейна-Шмульяна, 329
Юнга, 166, 479
о дифференцировании, 403
о монотонных классах, 57
функциональная, 180
о покрытии, 416
о среднем
вторая, 184
первая, 184
теоретико-множественная
операция, 16
проблема, 106
топология
<t(E,F), 328
¦-слабая, 330
плотностная, 450
порожденная
двойственностью, 328
слабая, 327
сходимости на множествах, 338
Лебега, 403, 421
плотности, 421
трансфинит, 90
Уитни разложение, 111
Улама теорема, 106
удвоения свойство, 432
упорядоченное множество, 90
условие Лини, 239
Фату теорема (лемма), 163
Фейера сумма, 303
Филлипса лемма, 352
Фихтенгольца
пример, 271
теорема, 316, 484
Фреше-Никодима метрика, 80, 470
Фубини
малая теорема, 385
теорема, 219, 249
Фурье
коэффициент, 300
преобразование, 234
формула
Ньютона-Лейбница, 392
Пуанкаре, 113
замены переменных, 393
интегрирования по частям, 392
коплощадей, 436
обращения, 239
площадей, 436
фундаментальная
последовательность
в среднем, 145, 159
в L1^), 145, 159
фундаментальность
в Ь\ц), 145, 159
в среднем, 145, 159
функции
Хаара, 344, 368
равноизмеримые, 280
эквивалентные, 150, 173
характеристический, 234
функциональная теорема
о монотонных классах, 180
функция
^-измеримая, 136
Кантора, 229
абсолютно непрерывная, 385
борелевская, 132

Предметный указатель
543
выпуклая, 187
дифференцируемая, 375
измеримая, 131
относительно ц, 136
относительно (т-алгебры, 131
индикаторная множества, 131
комплексная, 158
максимальная, 401, 429
множества
аддитивная, 25, 256
конечно-аддитивная, 25
модулярная, 104
монотонная, 104
субаддитивная, 25
субмодулярная, 104
супераддитивная, 98
супермодулярная, 104
счетно-аддитивная, 26
счетно-субаддитивная, 28
чисто аддитивная, 258
ограниченной
вариации, 379, 435
определенная, 235, 259
простая, 133
распределения меры, 55
со значениями в [0, +оо], 134
сублинейная,95
существенно ограниченная, 174
характеристическая
меры, 234
множества, 131
числовая, 25
Хаара функции, 344, 368
Хана разложение, 208
Хана-Банаха теорема, 95
Харди неравенство, 356
Харди-Литтлвуда
неравенство, 281
Хаусдорфа
мера, 254
размерность, 255
Хеллингера
интеграл, 348, 486
метрика, 349
Хенстока-Курцвайля
интеграл, 407, 488
интегрируемость, 407
характеристическая функция
меры, 234
множества, 131
характеристический
функционал, 234
цилиндрическое
множество, 222
Чебышёва неравенство, 153, 457
Чебышёва-Эрмита
многочлены, 301
частично упорядоченное
множество, 90
порядковое, 90
числовая функция, 25
чисто аддитивная
функция множества, 258
Шаудера базис, 344
Шеффё теорема, 167, 479
Штейнера симметризация, 250
Эберлейна-Шмульяна
теорема, 329
Эрдеша множество, 474
эквивалентность
мер, 211
функций, 173
эквивалентные
меры, 211
функции, 150, 173
Юнга
неравенство, 245
теорема, 166, 479
ядро измеримое, 84
якобиан, 231, 436

УДК 517.5
Интернет-магазин ,
• физика
http: / /shop-rcd.ru
• математика
• биология
• техника
Богачев В. И.
Основы теории меры. Том 1. — Москва-Ижевск: НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», 2003, 544 стр.
Дается систематическое изложение современной теории меры,
включающее стандартный учебный университетский курс теории меры и
интеграла в соответствии с традициями механико-математического
факультета Московского государственного университета им. М.В.
Ломоносова, более специальный материал, не входящий в обязательный курс,
но необходимый для чтения научной литературы и ведения
исследовательской работы, а также обширную справочную информацию по
многообразным вопросам теории меры и ее связям с другими областями.
Приведено 460 задач с решениями или указаниями и даны подробные
историко-библиографические комментарии.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников
физико-математических специальностей.
Библ. 896.
ISBN 5-93972-195-8
© В. И. Богачев, 2003
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003
http://rcd.ru

Богачев Владимир Игоревич
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕРЫ
том 1
Авторская редакция
Технический редактор А. В. Широбоков
Подписано в печать 20.04.03. Формат 60 х 84У16.
Усл.печ.л. 31,62. Уч. изд. л. 31,88.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1.
Печать офсетная. Заказ №107.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru