УЗБЕКИСТОН ССР ФАНЛАР АКАДЕМИЯСИ
АБУ РАИ^.Н БЕРУНИИ НОМИДАГИ ШАРДШУНООТИК ИНСТИТУТИ
-
АБУРАИ^ОН
БЕРУНИИ
ختا(973٠1048)ىع
VII
نجمشسعمسد
ТОШКЕНТ
УЗБЕКИСТОН ССР «ФАН» НАШРИЕТИ . 1987


АКАДЕМИЯ НАУК УЗБЕКСКОЙ ССР ИНСТИТУТ ВОСТОКОВЕДЕНИЯ им. АБУ РАИХАНА БЕРУНИ
Ir
АБУРАИХАН
БЕРУНИ
دئلإ8 104-973يمد
VII
ТАШКЕНТ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ФАН» УЗБЕКСКОЙ ССР ٠ 1987


в издание вошли трактата, написанные Беруни в Газне в 20-х годах XI в.: «Обособление ؟актования проблемы теней», известный под названием «Гномоника», «Об определении хорд в круге при помощи ломаной линии-, вписанной в него» и «Об уравнении Солнца», в них содержатся ценные сведения по средневековой ма- тематике и астрономии, истории естественнонаучной и общественной мысли народов Востока.
Для востоковедов и ис.ториков на^и и культуры Востока.
ПЕЧАТАЕТСЯ
по РЕШЕНИЮ ПРЕЗИДИУМА АН УзССР и КОМИТЕТА по ИЗУЧЕНИЮ И ПОПУЛЯРИЗАЦИИ НАУЧНОГО НАСЛЕДИЯ ЛБУ РАЙХАНА БЕРУНИ
55.87 (g) Издательство «фан* Узбекской ССР, 1987
17.100000-3445 ٠87ل06)355 ٨


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ТРАКТАТЫ
Предисловие, перевод и комментарии я. Г. БУЛГАКОВА и Б. А. РОЗЕНФЕЛЬДА


Ответственный редактор
член-корр&спондент АН УзССР,
ДОКТО'Р физик.-математических наук г. п. МАТВИЕВСКАЯ Рецензенты:
кандидаты физико-математических наук А. АХМЕДОВ) А. АБДУРАХМАНОВ


ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1973 г. по решению ЮНЕСКО мировая научная общественность торжественно отметила тысячелетие со дня рождения великого хорез- мийского ученого-энциклопедиста Абу Райхана Мухаммада ибн Ахмада Беруни. В связи с этой знаменательной датой был опубликован ряд но- вых исследований, посвященных жизни и деятельности гениального сред- невек'ового мыслителя, анализу еГо богатого многогранного научного наследия!, а также науч.но комментированных переводов отдельных его трудов с исследовательскими введениями^ Широкое освещение в научной литературе ЖИЗ'НИ и творчества Беруни и,збавляет нас от необходимости приведения здес.ь подробных биографических сведений о нем, и мы ограничимся кратким упоминанием ОСНОВ'НЫХ этапов его долгого творческого пути.
Абу Райхан Беруни родился 4 сентября 973 г. в древней столице Хорезма — г. Кяте (ныне г. Беру'НИ). Данными о его родителях мы не располагаем. Видимо, в са^ом раннем детстве он остался сиротой, и за- боту о его воспитании и образовании взял на себя известный хорезмий- ский астроном и математик того времени Абу Наср Мансур ибн ‘Али ибн ‘Ирак. Пройдя основательную астрономическую и математическую подготовку, Беруни с шестнадц-атилетнего возраста начал вести само- стоятельные астрономические наблюдения. Около 995 г. он одним из первых в мире создал глобус Земли с целью определения на нем гео- графических координат и расстояний между населенными пунктами.
После взятия Кята в 995 г. эмиром Гурганджа Беруни переезжает в Рей — крупнейший город средневекового Ирана. Там он знакомится с талантливым среднеазиатским астрономом и математиком, изобретите- лем подземного (траншейного) секстанта Абу Махмудом Ходженди, уроженцем г. Ходже.нта (ныне г. Ленинабад), в 997 г. Беруни по возвра- щении в РОД'НОЙ Кят вступает в длительную и плодотворную переписку по вопросам натурфилософии и физики с юным Ибн Синой (род. в 980 г.), находившимся в то время в Бухаре..
В конце 998 г. Беруни переезжает в Гурган по приглашению пра- вителя этой области Кабуса ибн Вушмагира, где находится до середи- ны 1004 г. В Гург-ане Беруни занимается интенсивной научной деятель- ностью, создав около пятнадцати сочинений преимущественно астроно- мо-математического и исторического содержания, в том числе известную
1 См.: ؛Булгаков. Жизнь и труды Беруни؛ .розенфельд, Рожанекая и Соколов ,ска я. Абу-р-Райхан ал-Бируни; Шарипов. Беликий мыслитель Бе- руни. (Здесь и далее 'С'СЫЛКИ на литературу даются в )сокращениях, которые рас- крыты в указателе библиографических сокращений).
2 Бе.руни. Фармакогнозия؛ Б е'РУ ни. Канон МаСуда. Кн. 1-11؛ Беруни, Книга вразумления.


п. Булгаков, Б. Розенфельд
8
«Хронологию» («Памятники, оставшиеся от минувших поколений») и оригинальный труд по астролябии «Исчерпание методов, возможных при конструировании астролябии»..
В конце 1003 — начале 1004 г. Беруни возвращается на родину, в Хо- резм, в его новую столицу Гургандж и до 1018 г. занимается в основ- ,Ном коррекцией ,наиболее авторитетных астрономических таблиц (зид- жей), а также вопросами движения светил.
В. 1018 г. после взятия Хорезма газнийским султаном Махмудом Беруни по его приказу был вынУжден переехать 5 Газну, где и проЖил д٠0 Конца своих дней. Умер он в 1048 г. в Газне Беруни создает наибо- лее крупные свои произведения, в том числе «Геодезию» (1025 г.) , «Таф- ХИМ»3 (1029 г.), «Индию» (1030 г.), «Канон Мас‘уда» (около 1037 г.), «Минералогию» (середина 4.0-х годов XI в.) и «Фармакогнозию» (по- смертный незавершенный труд).
В ؛научном наследии величайшего ученого с-редневековья около i50 работ, практически охватывающих все науки, однако ОСНОЕНЫМИ (направлениями его деятельности были астроно'мия и математика. Наря- ду с фундаментальными в этих областях работами широкого профиля Беруни оставил после себя и ряд трактатов, посвященных частным, но весьма актуальным вопросам. Некоторые, из них и входят в данный том произведений.
Публикуемый трактат «Об определении хорд в круге посредством .ломаной линии в нем», сокращенно называемый нами ؛ниже «Об оп- ределении хорд», дошел до нас в Лейденской (Cod, or, 513/5), Стамбульской (Мурад Мулла № 1396/14) и Банкипурской (Индия, БанкиПурская ЕосТОчная публичная библиотека в Патне № 2648/42) рукописях. Последняя рукопись, представляющая собой сборник мате- матических и астрономических трудов средневековых ученых Востока, содерягат следующие трактаты Беруни: «Об анализе и определении
частНых значений уравнения [Солнца]», «Гномонику» («Обособление трактования проблемы теней»), трактат «Подготовка надежной основы для уточнения понятия прохождения [светила]» и «Книгу об индийских рашиках». Указанные сочинения Беруни были изданы в 1948 г. в Хай- дарабаде (Деккан)4٠
Текст трактата «Об определении хорд» в Банкипурской рукописи, некритически .воспроизведенный в Хайдарабадском издании, оказался настолько искусно составленной контаминацией из нескольких трудов (причем, как удалось установить, трудов ؛не только одного Беруни), что он является одной из самых запутан'нейших текстуальных метамор- фоз в рамках всей средневековой арабоязычной письменности.
При первом знакомстве с Банкипурской рукопис.ью создается впе- чатление, что в ней содержится большое сочинение Беруни, состоящее из четырех глав под общим названием «Об определении хорд в круге посредством свойств ломаной линии в нем». Сочинение с тем же назва- нием в Лейденской рукописи целиком содержит первую главу Банки- пурской версии, вслед.ствие чего создается впечатление, что в Лейден- ской рукописи сохранился лишь :начальный раздел данного трактата, а в Банкипурской он приведен В' более полном виде. Это впечатление У'силива.ется еще и от того, что перед второй главой в Банкипурской рукописи, в которой, как и в третьей, речь идет об определении уравне- ния Солнца, содержится небольшое предисловие, где говорится о свойствах ломаной линии в круге, кроме того, во второй и третьей  3 43 т. е. «Книгу вразумления на'Чаткам науки о звездах».
4 Библиографию см. 'В конце данного,предисловия под сиглом и.


9
Пре0исАОвие
главах Банкипурской рукописи многие методы определения уравнения Солнца опираются на те же свойства ломаной линии в круге. Начало четвертой главы в Банкипурской рукописи по своему содержанию при- мыкает ко второй и третьей главам, поскольку в нем также говорится об уравнении Солнца. Дальнейший текст четвертой главы, испорченный переписчиками и переплетчиками, представляет собой хаотический, на- бор разрозненных и местами перепутанных фрагментов (иногда без начала и конца) из какого-то сборника геометрических задач вперемеш- ку с отрывками, связанными с проблемой уравнения Солнца, а завер- шается четвертая глава фрагментом из трактата об определении хорд и указанием на время написания данного сочинения.
Таким образом, создается полная иллюзия того, что данный трактат дошел до ؛нас в наиболее полном виде только в Банкипурской рукописи, что* состоял он как ми.нимум из четырех глав (геометрической, двух астрономических с исполь.зованием свойств ломаной линии, и послед- не.й — смешанной, астрономо-геометрической), и что в Лейденской РУ- кописи (как и в Стамбульской) сохранилась лишь первая глава этого 'Грактата, хотя и ^несколько иной редакции, о чем мы скажем ниже.
Так полагали не только издатели Банкипурской рукописи, но и переиздавший в 1965 г. в Каире ее арабский текст А. с. ад-Дамердаш, который также принял Банкипурскую редакцию за одно сочинение Бе- РУНИ —трактат об определении хорд. Одно время данную точку зрения разделяли и мы5  *.
Некоторые исследователи полагали, что в Банкипурской редакции воедино соединены два сочинения Беруни: трактат «Об определении хорд» и «Трактат об уравнении Солнца»5. Как установлено позднее, они были ближе к истине, хотя их ВЫ.В0Д не совсем точен. Лишь в про- цессе работы над переводом текста؛ изданного в Каире и в Хайдарабаде по Банкипурской рукописи, нам удалось выяснить, что мы имеем здесь не одно сочинение Беру.ни и контаминацию не из двух его трудов, а из четырех, при том, что один из них не принадлежит Беруни.
Разгадка началась с четвертой главы, с этого беспорядочного набо- ра разро.зненных ф'рагментов из сборника геометрических задач и от- рывков, связанных с уравнением Солнца. Последние оказались фрагмен- тами из введения и первой главы самостоятельного трактата Беруни, посвященного проблеме определения уравнения Солнца. Тогда стало ясно, что «внутреннее» предисловие ко второй главе в Банкипурской рукописи является концовкой первой главы этого трактата об уравне- НИИ Солнца, а вторая, третья и начало четвертой главы — соответствую- щие главы И.З этого трактата, перевешанные с трактатом об определе- НИИ хорд.
Далее следовало установить, кому принадлежал сборник геометри- 4ÇCKHX ^дач, отрывки из которого составляют большую часть четвер- той главы. А. С. ад-Дамердаш вслед за издателями Хайдарабадского издания 'Отнес эти отрывки к трактату об определении хорд Беруни.
Ключ к разгадке мь.؛ обнаружили в обрывке предисловия к дан- ному сборнику, оказавшемся почти в самом конце четвертой главы Банкипурской редакции, в этом отрывке говорится: «... и предложил я [здесь] учащемуся, который уже прочитал мою книгу <06 анализе., построении и других геометрических действиях» и мою книгу «о сопри- касающйхся кругах», подумать над каждой из этих [задач] ...» (etc.).
5 	Булгаков. Ж'ИЗНЬ и труды Беруни, с. 146147.
٥ Розенфельд, Краснова и Рожанская. о математических работах ал-Бируни, с. 91-92.


п. Булгаков, Б. Розенфельб
10
Работ с такими названиями у Беруни нет, однако они значатся в списке трудов арабского математика X в. Ибрахима ибн Синана — внука знаменитого ؛астронома и математика Сабита ибн Курры?. Более того, автор сборника называет в одном месте Сабита ибн Курру «моим дедом»8٠ И, наконец, известно, что Ибрахиму ибн Синану действительно принадлежит сборник из 41 «труднейших геометрических задач>>9, часть которого и оказалась в Ба؛нкипурской рукописи в составе псевдочетвер- той главы трактата о хордах Беруни.
В той же главе Банкипурской рукописи содержится еще один ано؛нимный фрагмент, не относящийся по своему содержанию ни к трактатам Беруни об определении хорд и об уравнении Солнца, ни к сбор,нику геометрических задач Ибрахима ибн Синана. в отличие от задач из данного сборника, носящих конкретный характер, в этом фраг- менте содержатся теоретические расс.уждения о параллельных. Анализ всех дошедших до нас данных о трудах Ибрахима ибн Синана показал, что у ؛него не было сочинений, связанных с теорией параллельных. Меж- ду тем в «Фихристе» Беруни, в котором содержится список его трудов, значится считавшийся полностью утерянным трактат под названием «О том, что свойства величин не делиться до конца подобны положению двух линий, которые сближаются, ,но не встретятся при продолжении [их] вдаль»1٥. Именно об этом идет речь в да'нном фрагменте, что и по- служило нам основанием считать его отрывком из названного труда Беруни.
Что касается точного названия трактата Беруни об уравнении Солнца, то в «Фихристе» упомянута только одна его работа по данной тематике, а именно: «Об анализе и определении частных значений урав- нения [Солнца]»11.
Все сказанное можно представить в следующем виде:
Банкипурская версая трактата об определении хорд12
I гла.ва (с. 1 — 108)
Предисловие ко II главе
(с. 109.114)
II глава (с. 115133)
III глава (с. 133—178).
IV глава
а) с. 179180
б) с. 180.184  7 * 9 10 11 12De facto
Собственно трактат «Об определении хорд в круге посредством ломаной линии IB нем» Заключительная чисть I главы трактата «Об анализе и определении частных значений урав- нения [Солнца]»
II глава вышеназванного трактата об уравне- НИИ Солнца
_111 глава из того же трактата об уравнении Солнца
Начало IV главы из того же трактата О'б уравнении С'Олнца
Фрагмент из трактата Беруни «о том, ЧТ'0 свойства 'Величин не делиться до конца подоб'НЫ положению двух линий, которые сближаются, но не В'Стретятся при продолжении [их] вдаль»
7 Suter. Die Mathematiker, s. 53—54؛ s e Z g i n, V. s. 292—295؛ MP, II, c. 134—136. g
؛ Tf, c. 286. Сиглы раскрыты нами в конце'данного преди'Словия.
9 Кадри, с. 2'53.
10 Chronologie, Einleitung, ,s. XXXXIV؛ B O i 10 t, P. 198, N 67؛ Suter und Wie- demann, s. 86, V؟II, N. 7..
11 Chronologie, Einleitung, s. XXXXI؛ B O i 101, P. 180, N٠ 11. Ранее мы (Б y л-
гаков. Жизнь ,и.труды Беруни, 'С. 147 и Д'р.) переводили название этого т^аКта- та менее точно: «Об анал'.изе и детализации [энициКлического] уравнения». КаК нам удалось позднее установить, слово наряду с обычным значением «де-
тадизация» ,имеет и специфическое «определение частных значен.ий».
12 Ссылки на страницы даются пО Хайдарабадскому изданию.


11
ПреОисловие
Фрагменты из сборника геометрических задач Ибрахима ибн Синана
Отрывок из I главы вышеназва.нного трактата Беруни об уравнении Солнца ? (отрывок без начала и конца с испорчен- ным текстом астрономического ;
Фрагмент из введения Ибрахима ибн Синана к сборнику ,геометрических задач Фрагменты из его сборника геометрических задач
Отрывок из введения Беруни к вышеназванно- му трактату О'б ура,внении Солнца Концовка вышеназванного трактата Беруни об определении хор.д с датой написания этого соч؛инения؛з
в) с. 184—206
г) с. 206—209
д) с. 209—214
е) с. 214—215
ж) с. 215-219
з) с. 2.19—224
и) с. 2226—24؛
Перейдем к характеристике каждого из публикуемого нами в пе٠. реводе трактатов Беруни.
Трактат «Об определении хорд» был завершен, как указано в Бан- кипурской рукописи, в Газ'не в месяце раджаб 418/августе 1027 г.
В основу трактата положены различные виды доказательств и при- меры по практическому применению теоремы Архимеда о свой- ствах ломаной, вписанной в круг.
Согласно данной теореме, если на ло- маную АВС опустить перпендикуляр DE из с'ередины дуги АВС, то всегда АЕ =
=ЕВл-ВС٠
Беруни приводит в трактате 21 дока- зательство этой теоремы, в том числе 5 собственных, 3 принадлежащих Архимеду и 13'— ученым средневекового Востока (Абу Са‘ид ад-Дарир ал-Джурджани, ал- Хубуби, аш-Шанни, ас-Сиджизи, ИбнПрак,
Азархур ибн Ушт^ Джашнас, Ибн ал-Хай- сам). Эту теорему он называет первым ут- верждением14.
Согласно второму утверждению,
AB ٠ BCiBD2=AD2. Беруни приводит 11 доказательств этого утверждения, в том числе 3 собственных.
Для доказательства 'третьего утве.рждения берется произвольная дуга CG и соединяются: с с D, с с G, G с D■и с А. Согласно этому утверждению, AG ٠ CG-tCD2:DG2. три приведенные им доказательства принадлежат Абу-Л-Хасану Ибн Бамшазу, Абу Дж؛а‘фару ал-Хазину и неизвестному ученому.
По четвертому утверждению s AADC ~~~s ЬАВС :DE •ЕВ.
В трактате содержатся три доказательства этого утверждения: однО, принадлежащее самому Беруни, второе -- его учителю Ибн ‘Ира- ку и третье — аш-Шанни.
После расс.мотрения этих четырех утверждений Беруни приводит ряд задач, решение которых связано со свойствами ломаной, вписан'ной в круг. В их числе: проведение двух линий в круге через две заданные точки, заключенные в заданный угол, с тем, чтобы сумма или разность, произведение или отношение величин этих линий были равны заданной величине؛ построение тре.угольника в заданном круге, сумма сторон которого равна заданной величине: определение площади четырех-  * 14Рис. I.
3؛ Подробнее о Банкипурской рукописи 2468 CM: H о g е п d i j к. Reapranging the manuscript Bankipore 2468.
14 	См.: Сиро ж идд и нов, Матвиевская, Ахмедов. Беруний — мате- матиклс 17-20.


п. Будгаксв١ Б. Розенфельб
12
угольника, вписанного в круг, и др. Некоторые из этих задач связаны с вопросами астрономии, в том чис.ле с определением угла наклона плос- кости эклиптики к плоскости небесного экватора, -положения апогея Солнца, площа.ди затмевающегося при затмениях сегмента небесного тела и другие.
В заключительных разделах трактата рассматриваются задачи на определение хорд в круге, в их числе: определение хорды '1/10 и 1/8 окруЖ'НОСти, а также хорд дополнения всякой дуги с известной хордой до полукруга, удвоенной дуги с известной хордой, половины дуги с известной хордой, суммы, полусуммы или разности двух дуг с известны- ми хордами и др.
Комбинируя эти задачи, отмечает Беруни, можно, например, опре- делить хорды дуги 3. окружности, в заключительном разделе трактата Беруни рассматривает- один из методов трисекции угла в целях опреде- ления хорды трети дуги с известной хордой, т. е. х'орды 1٠ окружности.
Многие решения вышеупомянутых задач принадлежат самому Бе- руни, а некоторые из них — его предшественникам и современникам؛ мы не будем здесь их перечислять, поскольку в тексте Беруни скрупу- лезно отмечает, кому принадлежит тот или иной метой решения задачи.
Актуальность трактата «Об определении хорд» для времени Беру- ни бесспорна. На множестве примеров он показывает, сколь эффектив- но и широко могут быть использованы свойства ломаной линии в круге и как определить хордьт для решения не только отв)Леченных математи- ческих задач, IHO и жизненных проблем астрономии его времени. «Со- вершенно очевидно,— пишет он,— что познание хорд дуг окружности является для астрономии тем же, что для вещества такая стадия со- стояния, когда оно переходит от потенции к действию>>15. Разработка и уточнение методов определения хорд в средние века были основным способом совершенствования тригонометрических таблиц. Работу в этом направлении Беруни продолжил позднее в «Каноне Мас.уда», и не случайно тригонометрические таблицы ученого, включенные им в СВ'ОЙ последний труд, были наиболее точными в его эпоху.
Большое З'Начение имеет дан؛ный трактат и для истории астрономии. В нем приведены цитаты или выдержки из трудов самого Беруни и других ؛не дошедших до нас сочинений («Шахский альмагест» Ибн‘Ира- ка, «Восполнение зиджа Хабаша .[теоретическими] обоснованиями и очищение его действий от ошибок», «Опровержение лжи путем приведе- ния доказательств к действиям ал-Хорезми в его зидже» Беруни и др.). Особенно ценные сведения в трактате содержатся о деятельности ученых-математиков, сведениями о которых мы почти или совсем не располагаем (ал-Хубуби, Абу Са‘ид ад-Дарир ал-Джурджани, Абу-Л_ Хасан ибн Ба^шаз, АЗарХур Ибн Уштаз ДжаШКас и др.).
Трактат «Об определении хорд» дошел до нас в двух редакциях. Одна И.З них отражена в Лейденской рукописи, другая — в Банкипур- С.К0Й. Обе редакции —не авторские. ЭтО доказыв؛аеТСя тем, что в перЕОй из них отдель'ные разделы приведены в более развернутом виде, с пря- мыми цитатами, а во второй — в сокращении (хотя и умелом) и с пе- ресказами вместо цитат. Од'нако Банкипурская рукопись содержит ряд разделов, отсутствующих в Лейденской и, следовательно, полнее.
Анализ обеих редакций показал, что редакция ۶ — Банкипурской рукописи ближе к авторскому тексту, чем редакция Л —Лейденской. !Томимо этого в р содержатся разделы, вообще отсутствующие в л, где  1515 	См. ниже, с. 64.


13
Предисловие
материал изложен в строгой логической последовательности, присущей Беруни. В р сначала рассматриваются все доказательства теоремы Архимеда (первого утверждения), затем ее следствий (второе, третье И четвертое утверждения), и в конце приводятся задачи, в л весь ма- териал произвольно сгруппирован по формальному приЗ'Наку: вначале даются все задачи и доказательства, принадлежащие одному ученому, затем— другому и т. д. в результате доказательства второго утверж- дения оказались при первом и т. д. Более того, в р приводится чье-то основное решение задачи и вс.лед за зтим варианты ее решения других ученых, при этом закономерно опускаются общие ؛начальные этапы ре- шения, а излагаются лишь дейс.твия с момента их расхождений. По- скольку в Л материал расположен по авторскому признаку, и варианты вследствие этого оказались оторванными от основного решения, редак- тор был вынужде؛н каждый раз заново повторять все с самого начала. Всякому, кто знаком с науч؛ной методологией Беруни, ясно, что ему был присущ только первый путь.
Что касается конкр’етНого расхождения редакций в отношении полноты материала, его расположения и формулировки, то дать здесь какое-нибудь схематичное сопоставление или конкорданс невозможно и нецелесообразно, поскольку они слишком велики и многочисленны, а в примечаниях они оговорены.
Стамбульской рукописью трактата мы не располагали, но, судя по отдельным фрагментам, опубликованным А. с. ад-Дамердашем при издании текста Банкипурской рукописи, ее редакция совпадает или очень близка с л.
Первым из европейс.ких ученых, обратившим серьезное внимание на данный трактат Беруни, был известный ؛немецкий историк математи- ки Востока Г. Зутер, кот'Орый в 1911 г. опубликовал его немецкий пе- ревод с краткими примечаниями^. Перевод г. Зутера надежен, а от- дельные мелкие ошибки и опечатки не лишают его авторитетности.
В 1948 г. текст трактата был опубликован в Хайдарабаде (Дек- кан)17 вмест-е с некоторыми другими произведениями Беруни. Практи- чески никакой критики текста осуществлено ؛не было, и публикация изобилует ошибками, особенно в буквенньгх обозначениях при чертежах, где очень часто смешиваются графически близкие буквы (ح и ؟ ؟ и د
ИТ. п.).. (٠’٠ ح
В 19Ö1 1١. на страницах ^ипетского журнала «Рисалат ал-‘илм>> А. С. ад-Дамердаш опубликовал неполный те.кст трактата с математи- ческими примечаниями и приложением фотокопий соответствующих ра,зделов Банкипурской рукописи^, в 1965 г. им же был издан араб- ский текст всей сводной редакции по Банкипурской рукописи (т. е. трак- тат «Об определении хорд», трактат об уравнении Солнца и фрагменты из сборника геометрических задач Ибрахима ибн Синана), который был им ошибочно принят за одно сочине-ние Беруни —трактат «Об опреде- лении хорд»19. В отдельных случаях он параллелЬ'Но приводит фрагмен- ты из Стамбульской рукописи трактата. Текст даН'Ного издания значи- тельно точнее Хайдарабадского, но также содержит отдельные ошибки и опечатки. Вперемешку с текстом Беруни А. с. ад-Дамердаш приводит свои математические примечания, не всегда выделяя их ДОЛЖ'НЫМ обра- зом. Произвольно он включил в текст отрывки из «Канона Мас.уда» Бе- руни, также не всегда их выделяя. Словесные рассуждения Беруни А. с. ад-Дамердаш нередко передает сокращенно посредством современной  16 17 18 *16 Полную библиографию (ОМ. в конце данного предисловия под сиглом 3.
17 Idem. Сигл и.
18 Idem. Сигл д.
1٥ Idem. Сигл т.


п. Булгаков, Б. РозенфельО
14
математической символики, что не соответствует требованиям современ- 'НОЙ текстологии, поскольку это может ввести в заблуждение неискушен, ного читателя. Тем не менее данный текст при критическом подходе к нему может служить основой для перевод؛а трактата.
В 1963 г. был опубликован русский перевод трактата с. А. красно- вой и л. А. Карповой по Хайдарабадскому изданию؟., к сожалеНию, и филологичес.ки, и математически перевод весьма неточен؟!, кроме того, переводчиками не учтены дополнения и вариа؛нты по Лейденской руко- писи. Крайне краткие и общие примечания содержатся в переводе Б. А. Розенфельда и с. А. Красновой, занимающие всего шесть страниц и состоящие из 68 номеров. Все это обусловило необходимость нового перевода трактата, тем более, что попытка положить в его основу свОдный текс.т (по Банкипурской и Ле.йденской рукописям) еще никем не была предпринята.
В основу настоящего перевода положен текст Банкипурской руко- писи по Каирскому изданию и текст Лейденской рукописи, при необхо- димости мы обращались к опубликованным в «Рисалат ал-Илм» разде- лам факсимиле Банкипурс.кой рукописи и Хайдарабадскому .изданию последней. Текст Стамбульской рукописи, за исключением отдельных разделов, опубликованных в Каирском издании, к сожалению, был для нас недоступным.
Перейдем к характеристике BTOpoi'o из публикуемых в нашем пере- воде произведений Беруни.
Точное время написания трактата Беруни «Об анализе и опреде- лении частных значе.ний уравнения [Солнца]», который в дальнейшем мы будем сокращенно называть «Об уравнении Солнца», не известно. Можно предположить, что он был завершен до августа 1027 г., т. е. до окончания трактата «Об определении хорд», ибо в последнем БерУ'НИ ؛..поминает о своей книге, специально посвященной проблеме определе- ния уравнения Солнца (Г, с. 123)22, ١а в собственном списке своих тру- дов по данной тематике он указы'вает лишь 0ДИ؛н этот трактат؟з, однако такому предположению мешает то обстоятельство, что в трактате «Об уравнении Солнца» Беруни, в свою очередь, ссылается на трактат «Об определении хорд» (т, с. 173). Данный парадокс нетрудно объяснить: Беруни не.редко возвращался к своим трудам и добавлял в них ссылки ؛на позд'нее написанные работы. Но какой из этих двух трактатов был написан раньше, остается неизвестным.
Дошедшие до нас части тр'актата позволяют предположить, что он состоял из введения и, как минимум, четырех глав.
Во введении, дошедшем в отрывках., Беруни сообщает, что 'Некое лицо не смогло разобраться в величинах уравнения Солнца, составлен- ных по зиджу (т. е. астрономическим таблицам), мервского ученого IX в. Хабаша ал-Хасиба, и обратилось к нему за помощью. Изучая этот вопрос, Беруни выявил метод Хабаша ал-Хасиба определения уравнения Солнца, апробировал его и решил обосновать его собствен- ными геометрическими доказательствами. Затем, по его словам, OIH «по- грузился в мЫсли о доказательстве других методов», «и открылись мне,—  20 21 22 *20 Idem. Сигл п.
21 См., в частности, тике, комментарий к переводу трактата «Об определении хорд», прим. 20,(30, 35, 36, 46, 50, 58, 66, 67, 80, 85, 95. •10?, 128 ,123 .115 .111 03٠اء, 12167 ,166 ,3ة1 ,158 ,143 ,ؤ, lés, 169, 170, 172, 183, 184, 186, 187, 190, 191, 195, 202, 2'1279 ,7آ2 ,273 ,248 ,245 ,244 .,242 ,241 ,237 ,236 ,234 ,233 ',230 ,229 ,228 ,١224 212 ;ا, 284, 295, 299, 31418 ,406 ,396 ,389 ,387 ,373 ,367 ,'366 ,356 ,352 ,ة34 ,ة33 ,331 ;ا и др.
22 Указатель' сиглов см. в .конце данного предисловия.
2® Chronologie, Einleitung, s. XXXXI: Bol lot, p, 180, N 11.


15
Пребисловие
пишет далее Беруни,— способы познания их всех, и стали освещаться благодаря !настойчивости пути к их доказательствам в мгновенье взгляда в них. Вследствие их множества стало возможным,уделить им отдельную книгу, которая содержала бы ис.кусство великой трудности в астрономии, тренируя бегущего от одичалости традиций в зиджах (по направлению] к исследованию остальных присущих ей проблем, и вот эта книга»24.
Во введении Беруни излагает сущность проблемы, непосредственно связанной с эксцентрической гипотезой движения Солнца Клавдия Птолемея, и знакомит читателя с обозначениями величин, кото- рые могут быть использованы для определения уравнения Солнца.
Согласно данной гипотезе.
Солнце (5?) движется П'О кругу ABD, именуемому эксцентриче- ской орбитой или орбитой апогея, где А — точка апогея, а ٥ — пе- ригея (рис. II). Центр этой ор- биты (С) не совпадает с центром мира (£), являющимся и цент- ром парэклиптики, т. е. круга, концентричного с эклиптикой (круг AMS). Дуга )орбиты апо- гея от Солнца до ближайшей к нему Т0Ч1КИ апогея или перигея (в данном случае иАВ) называ- ется аргументом Солнца. Угол АВС называется углом аргумен- та или «углом среднего аргумента» {X ■—I средняя долг'ота апогея Солн- ца); угол АВЕ — «углом исправленного аргумента» или «углом наблЮ' дения аргумента» (А, — истинная долгота апогея Солнца).
Угол EBF, измеряемый дугой парэклиптни NM, и есть искомое уравнение Солнца (©). Следовательно, в = Х—Х. Для определения уравнения СоЛ'Нца используются СЕ, эксцентриситет солнечной орбиты, который Беруни называет «основой», ЕЕ — что Беруни именует «сторо- ной», ЕВ, условно называемая им «гипотенузой» и другие линии, о ко- торых подробнее сказано ниже во введении к трактату Беруни и в прим. 38 к его переводу.
УравПение Солнца Беруни рассматривает в пределах половины эксцентрической орбиты (ABD) и парэклиптики (ANS) в пяти вариан- тах, связанных с различным положением Солнца: ة — когда Солнце не доходит до четверти круга ABD, ß\ —когда аргумент (иАВ) равен 90٠, ви —когда Солнце не доходит до линии EG, ограничивающей квадрант парэклиптики, вш — когда Солнце на линии EG, т. е. урав- нение Солнца максимальное, и ٧لة —когда Солнце за линией EG, и аргумент измеряется от точки перигея D. Поскольку основной задачей в трактате является определение не максимального уравнения Солнца., являющегося постоянной величиной, а частных его значений, Беруни в дальнейшем опускает четвертый вариант.
В первой главе, также дошедшей лишь фрагментарно, Беруни рас- сматривает некоторые общие и вспомогательные вопросы. Он доказы  24А
24 	См. ниже, с. SI.


п. Булгаков, Б. Розенфелъб
16
вает, п.чему уравнение Солнца в четвертом из вышеупомянутых вари- антов является максимальным. Далее он доказывает равносильность определения уравнения Солнца в пределах одной половины эксцентри- ческой орбиты (т. е. орбиты апогея) для другой ее половины.
Затем Беруни рассматривает .теорему Архимеда о ломаной в круге с ее следствиями, которой он посвятил трактат «Об определении хорд», считая ее весьма полезной для определения уравнения Солнц'а.
Далее Беруни разъясняет, как переводить величи؛ны в мерах диа- метра эксцентрической орбиты в меры диаметра парэклиптики и нао- борот.
В конце первой главы Беруни останавливается на определении сто- рон прямоугольного треугольника, если известны одна из его сторон и ОДИ'Н из острых углов.
Вторая и третья главы трактат-а, являющиеся основными, сохрани- лись полностью; в 15-ти разделах второй главы Беруни приводит 15 ме- тодов определения частного уравнения Солнца с примерами на вычисле- ние уравнения по каждому методу для одного и того же конкретного аргумента. Из этих 15 методов 8 принадлежат самому Беруни, 1 - Птолемею, 1 — популяризатору индийс.кой астрономической традиции ал-Фазари (VIII в.}, 1 —извССтному среднеазиатскому астроному IX в. Абу-Л-Аббасу Ахмаду ибн Мухаммаду ал-Фергани, 1—Хабашу ал- ХаСибу (IX Е.), 1 — Сулайману ибн‘Исме ас-Самарканди (IX в.),1- ал-БаТтани (X в.) и 1 ٠- неизвестному ученому, в 16-м разделе второй главы о-н выявляет ошибки в определении уравнения Солнца ал-Хорез- ми и некоторых других ученых.
В тре.тьей главе, также состоящей из 15-ти разделов, посвященных тем же Самым методам определения уравнения Солнца, Беруни приводит Г'еометрические обоснования этих методов, а в 16-м разделе — обосно- вания критики невер'ных методов.
От Че.твертой гЯавы сохранилось лишь ее начало. Судя по названию и дошедшему до нас отрывку, она представляла собой свод задач на определение по двум заданным величинам третьей: наибольшего урав- нения — по частному уравнению и аргументу (сохранился только.этот раздел), аргумента0ة'ا наибольшему и частному уравнениям Солн- ца и т. п.
Данный трактат Беруни был весьма актуальным для своего времени поскольку определение положения Солнца путем наблюдения с Земли его годичного неравномерного движения являлось теоретической базой для уточнения календаря и совершенствования службы времени. Трактат имеет и большое историко-познавательное значение. Он позволяет рас- ширить наши знания Об астрономических исследованиях самого Беру- ни и его предшественников, в том числе Сулаймана ибн ‘Исмы ас-Самар- канди и других.
Этот т.рактат не был предметом специального изучения. Иссле- дователи рассматривали его только в связи с характеристикой творчест- ва Беруни и библиографией его работ, о нем упомянуто лишь в крат- кой Статье э. Кеннеди и А. Мурувва, посвященной м.атематическому выражению действ,ий по определению уравнения Солнца25٠ Данная статья была впоследствии использована м. м. Рожаиской в специальной моно- графии, в которой рассматриваются вопросы развития механики на средневековом Востоке2б. Ни на один из языков мира этот трактат до сих пор не переведен. Hain перевод основан на каирском издании  25 2625 Kennedy and Muruwwa. Biruni on the ا solar equation.
26 Рож а H CK а я. Механика на средневековом Востоке, с. 241-242.


17.
Предисловие
А. С. ад-Дамердаша с привлечением фрагментов из Хайдарабадского издания, отсутствующих в его пе-реводе.
Судьба Трактата Беруни «Обособление речи о проблемах теней.» («ИфГад ал-макал фи амр аз-зилал»), именуемого нами длякраткости < Гно^оникой», отлиЧна оТ большинства известных сочинений ученого. Сохранился лишь один список этого трактата в Банкипурской рукописи (лл. 194 0238ذ.ة об. и 125—130 об.) : последние ли؟тыоказались в «Кни- понижении Солнца» Ибрахима ибн Синана ибн Сабита ибн Ку؟ры. Первая грУППа листов была издана Осман^йским университетов (Ха؛- да^абад, Индия) в составе «Трактатов ٩Л-Бируни» из указанной ؟УК؟- пиСи27, вторая—в составе «Трактатов Ибн Сина؟а» 3؟ той же рукопи- си27  28. 1976 ة г. в Алеппо был опубликован английский перевод «Гном؟- ники», осуществленный э. с. Кеннеди29  * 31 * 33 34, к сожалению, не совсем точный Одновременно им же был опубликован обстоятельный комментарий к переводуЗ..
Общий обзор «Гномоники» и анализ отдельных частных вопросов приведены в рабОтах и. Г Бу^гакораЗ! А Абдурахманова3؛, э. G Кен- нСди38, м. Л. Давидян3*, м. Лесли35  36 37, г. Херменлинка85 и Б. А. Розен- фельда (отдельно, а также совместно с л. г. Уцехой и н. к. Марупо- вым)37.
«Гномоника» была написана Беруни в период между 1022—1030 гг., т. е. после его первой поездки в Индию и до завершения «Индии». Первая хронологическая граница написания этого труда определяется широким использованием в ؛нем материалов, связанных с развитием ؛наУки в Индии, вторая тем, что в «Индии» эти материал؟ уже изложены Б Уточненном и исправленном варианте. Так, если в «Гномонике» гео- графическая широта Лахора дана приблизительно ذ «около 32 граду- сов», то в «ИндИи» она указана конкретно —34.1038.
«Гномоника» —энциклопедический труд, который в композицион- ном плане может быть сопоставлен с «Минералогией» Беруни. в «Ми- нералогии» основной тематикой является описание, классификация и определение удельного веса минералов, а также указание места и спо- соёов их добычи. Наряду с этим Беруни приводит самые раЗ'НОобразные сведения, касающиеся минералов — сказки, легенды, суеверия, данные экономического характера, фрагменты из арабской поэзии и др. Основ- ное содержание «Гномоники» — общая характеристика и анализ, мето- дов использования тени от гномона, т. е. шеста, установленного на го- ризонтальной или вертикальной плоскости и используемого д^я опреде- ^ения тригонометричес.ких величин, време.ни и положения Солнца в системе горизонтальных координат. Здесь же Беруни рассма.тривает с точки зрения филолога различные оттенки значения слова «тень», при-
27 Б.иблиографию см. в конце данного предисловия под сиглом и.
28 Библиографию см. там же под сиглом с.
29 Библиографию см. там же под сиглом к.
3٥ К е п п е d у. Commentary.
31 Булгаков. Жизнь и труды Беруни, с. 1'55—159؛ Его же. «Гномоника» Беруни.
зяАбдура^монов. Берунийнинг'«Соялар» р)исоласи.
33 К е п п е d у. Al-Biruni’s book about shadows.
34 D a V i d i a n. Al-Biruni on the time ot day.
35 L e s 1 y. Biruni on rising time.
36 H e Г m e 1 i n k. Bestimmung der Himmelrichtungen.
37 Розенфельд, у цех а. Астрономический трактат ал-Беруни؛ Розен- ф е л ь д. Некоторые вопросы математики؛ utsheda. Some mathematical and phy- sical discoveries.
38 Подробнее о датировке написания «Гномоники» со ссылками на источники см: Булгаков. Жизнь и труды Беруни, с. 154.
2- 11


п. Булгаков, Б. Розенфельд
18
ВОДИТ примеры разнообразного его употребления, описывает различные оптические явления свет'а и тени в природе и, так' же, как и в «Минера- логии», приводит фрагменты из поэтических произведений, в которых фигурирует «тень» в переносном или прямом значении.
«Бномоника» была написана по просьбе или по заказу некоего шейха Абу-Л-Хасана Мусафира, интересовавшегося вопросами 'астро- иомии, астрологии и определения моментов времени. Для этого же лица он написал еще две не дошедшие до 'Нас работы: «Исправление [«трид- цати] разделов» ал-Фергани» и «Книгу об использовании кругов азиму- тов для определения центров ؛[астрологических] домов».
«Гномоника» состоит из введения Беруни и 30-ти глав. Свое введе- ние Беруни начинает с теории зрительного восприятия человеком объ- екта виде)ния. Он справедливо отмечает, что восприятие происходит в пределах конуса, вершина которого находится в глазу человека, а осно- вание охватывает объект видения. Далее Беруни пишет, что существуют две точки зрения относительно сущности процесса зрительного восприя- тия: одни считают, что этот конус образуется из лучей, исходящих из глаза к объекту зрения, другие — из луче.й, образующих образ вещей, цвет их и отражение в стекловидной жидкости глаза. Ниже, в первой главе, Беру.ни высказывается в пользу теории отражения. Интересно отметить, что примерно в это же времля АбуАли ибн Сина и Ибн ал- Хайсам также решили этот вопрос в пользу отражения предметов в глазу человека.
Далее Беруни отстаивает право математики на су.ществова'ние пе- ред теми, кто считал ее «греховной наукой». Кое-кто,— пишет он,— «убежден, 4'го математика противоречит религии, расходится с шариа- том, и что она —дело нечистое, коего следует избегать и отменить вовсе. К такому убеждению его привела лишь далекость его ума от сущности того, что действительно противоречит вере»29.
В первой главе речь идет о том, что смена дня и ночи определяется т. н. «первым движение*.؛ неба» — видимым суточ'НЫм движением не- босвода. Определяя промежуток времени, Беруни сравнивает его с рас- стоянием между двумя точками и отмечает, что эти расстояния уста- навливаются с помощью движения. Он также приводит деление движе- ний !на равномерные и смешанные, а ؛неравномерные, в свою 04'ередь,— состоящие из замедленных и ускоренных, о «первом движении» Беруни говорит, что это наиболее усТойчИвое. из существующих движений. Ин- тересно также высказывание ученого о том, что ускоренное движение «в принципе не ограничено по величине, на которой оно закончилось бы: оно может быть [ограничено] в реальности, хотя потенциально оно МО- жет увеличиваться подоб'НО числу в сторону его роста»4٥.
Во второй главе даетс.я определение тени, основанное на дан'ных геометрической оптики, а также говорится о сущности света и тьмы, затенении и освещенности на Земле, о Солнце, как источнике света, ко- торое «светится само по себе и освещает другие тела лучами, исходящи- ми из него во всех направлениях». Здесь же Беруни рассматривает зна- пения двух основных арабских слов, обозначающих «тень», — зцлл и фай9. Вопреки мнению некоторых языковедов, утверждающих, что зилл — это «тень» вообще, а фаСС — только «послеполуденная тень», Беруни, опираясь ؛на стихотворные цитаты из произведений Абу Зу’айба, Абу-н-Наджма и Зу-Р-Руммь1١ пишет, что такое разграничение поня- тий — искусственное ة ошибочное, в этой же главе Беруни останавли-  39 4039 См. ниже, с. 122.
40 См. ниже, с. 125,


19
Предисаовие
вается на различных значениях слова «тень», употребляющихся в Ко- ра؛не.
Примечательны рассуждения Беруни о том, что воздух, пропуская через себя свет, при абсолютной своей чистоте сам не освещается. Если мы видим луч света в воздухе, особенно если он проникает через отвер" стие в темное помещение, то это еще не значит, что освещается сам воздух: освещаются лишь мельчайшие пылинки, витающие в нем.
Весьма интересна полемика Беруни с ученым IX в. Ахмадом ибн ат-Таййибом ас-Серахси. Беруни обвиняет ас-Серахси в том, что в сво- их «Основах философии» он сильно преувеличивает мнение Аристотеля о том, что на вершинах высоких гор воздух в силу его чистоты — тем- ный. Это мнение Беруни опровергае'г словами самого Аристотеля. Бе- руни пишет: «...гора Кавказ, без сомнения,—исключительно высокая, как об этом свидетельствует Аристотель в книге «о высших явлениях»^!. Он там приводит доводы в пользу большой ее высоты и утверждает, что туман не поднимается до нее, и не достигают ее ветры. Последнее он доказывает тем, что линии и знаки, сделанные [на ее вершине) на золе [сожженных] жертв и заколотых животных, остались в своем виде, и не стер их ветер и не смыл их дождь, и он не упоминает при этом ничего о черноте воздуха там. Если бы она там была, то [люди, приносившие жертвы в период] их раннего язычества, не смогли бы ориентироваться ни в их следовании на гору, ни в тех действиях, котор؛ые они там совер- шали. Россказни об этой темноте, которая чудеснее, чем что-нибудь другое,—это сказки, которые сочинялись для того, чтобы укрепить ре- лигиозные представления тех, кто поднимался [на гору с жертвами], у того, кто слушал их по их возвращении»^.
Вместе с тем Беруни высказывает резкую критику в адрес тех, кто считает Арис.тотеля совершенно непогрешимым и в своих попытках скрыть его ошибки готов пойти на подлог. Он пишет: «Беда таких ЛЮ- дей заключается в том, что они слишком рьяно защищают любое мне- ние Аристотеля, исключая возможность его ошибок, хотя они знают, что он —один из усерднейших [в науке], но не непогрешимый столп. А усердие, даже если оно самое великое,— не панацея от опасности заблуждений... Они считают себе дозволенным отстранить всю «Книгу о высших явлениях» от [авторства] Аристотеля из-за упоминания в ней зрительных лучей... и приписать ее другому автору, дабы обелить Арис- тотеля. п если кто-нибудь, кто представляет себе систему мира в ИСТИ'Н- 'НОМ ее виде, будет порицать такую чудовищную ошибку в этой книге, что, де, обитаемая часть суши кончается под кругом летнего солнце- стояния, [т. е. на тропике Рака], и невозможна за ним в сторону юга, они потребуют обвинить [этого человека] во лжи за его справедливое порицание, в своих попытках очистить имя Аристотеля от ошибок они стали посмешищем, я этому посвятил [особую] работу, которую назвал «Выяснение признанной концепции»4з.
Доказав ؛Неправильность еще двух частных высказываний Аристо- теля в области физики, Беруни в заключение говорит: «я знаком с
()дним из достойНейших сторонников Аристотеля. Он сказал мне: «Если бы даже [факты], опровергающие отдельные мнения Аристотеля, оказа- лись верными, убытка тому, что мы знаем из естественных наук, не бы- ло бы». Я ответил ему: «Убыток будет принципам, на которых вы основы- ваетесь, и будет такой, что они рухнут. Познание же ТОГ'О, что неверно.  41 42 4341 т. е. в «Метеорологике»
42 См. ниже, с. 134—135.
43 См. ниже, с. 135.


п. Булгаков, Б. Розенфельд
20
не называется ؛наукой. Что же касается течения обстоятельств в приро- де, то оно соответствует (законам], согласно которым О.НО существует. И если достигнуто дейс.твительное познание этих законов, они обретаю'г название естественных наук, и не правда ли, что З'нания человека при его практике —лишь частицы, мера которых несоизмерима с абсолют- ؛ным знанием? Ведь оно — как горы, а зна'ния человека — лишь как прикидка на глаз»44.
Третья глава начинается с определения положения источника света в небесной сфере с помощью трех координат по трем взаимно перпен- дикулярным диаметрам сферы и с помощью двух сферических коорди- нат —высоты и азимута. Первый из этих спос.обов является первым в истории случаем применения прямоугольных координат в пространстве. Здесь Беруни вновь возвращается к анализу слов, обозначающих тень, к образному употреблению понятия тень в Коране, хадисах. Евангелии и в аоабской поэзии.
В четвертой главе говорится, что конец тени гномона описывает на горизонтальной плоскости одно из конических сечений — эллипс, пара- болу или гиперболу. Здесь же Беруни разъясняет, что причина того, что тени, отбрасываемые солнечным светом, размыты по краям, состоит в' том, что Солнце не является точечным источником света, в связи с этим Беруни вновь рассматривает эффект камеры обскуры и, полемизи- руя с одним утверждением Сабита ибн Курры в его «Занимательных вопросах», впервые описывает явления диффракции, пытаясь дать им объяснение с помощью геометрической оптики.
В пятой главе продолжают рассматриваться случаи, когда тень имеет размытые и резкие края. Здесь же упоминается не известный из других источников трактат прогрессивного философа и естествоведа конца IX — начала X в. Абу-л-‘Аббаса ал-Ираншахри «Вопросы приро- ды», посвященный двойной тени, в этой же главе Беруни впервые опи- сывает явления интерференции и критикует высказывания Платона в его «Тимее» о сущности тени.
В шестой главе излагается материал о двух видах теней, применяе- мых в тригонометрии: а) «распростертая» или «плоская» тень, отбра- сываемая гномоном, перпендикулярным к горизонтальной плоскости, которая является линией котангенса؛ б) «обращенная» тень, отбрасы- ваемая гномоном, перпендикулярным к вертикальной плоскости. Это — линия тангенса.
В седьмой главе описываются основные системы деления гномона на части. Птолемей и другие греческие ученые, как и их последователи, делили Г'НОМОН на 60 частей, индийские ученые —на 12, ученые мусуль- майского Востока — на 7 или шес.ть с половиной частей, в конце главы отмечается, какой вид деления гномона использовали Абу МаШар (ум. 886), ан-Найризи (ум. 922). ал-Хашими (X в.), ал-Хасан ибн ас- Саббах (IX в.) и некоторые индийские астрономы.
В восьмой главе Беруни излагает методы перехода от одной систе- мы в другую, т. е. преобразования одних мер в другие.
В девятой главе устанавливается связь между ли'Нией котангенса («плоской тенью»), линией косеканса («диагональю плоской тени» — диагональю прямоугольника, построе.нного на «плоской тени» и гномо- не), и линией синуса одной и той же высоты, а также приводятся методы вычисления «плоской тени» по высоте и высоты по «плоской тени» в зид.жах.  4444 	См. ниже, с. 136,


21
ripeouaoeUe
В десятой главе решаются аналогичные задачи для «обращенной тени» (линии тангенса).
В одиннадцатой главе доказывается, что гномон — среднее пропор- циональное между двумя тенями, одна из которых плоская, а другая— обращенная, т. е. что тангенс и котангенс взаимообратны.
В двенадцатой главе приведены таблицы «плоских» и «обращен- пых» теней в «пальцах», двух видах «стоп» и в «частях» через г. Здесь Беруни как и в «Каноне Мас‘٠уда»45 говорит о «всех таблицах», т е. о любых функциях, заданных таблицами: в ОД'НОМ месте Беруни называет отрезок «числом» и говорит об умножении и делении линий, т. е. фактически О.Н пользуется расширением понятия чисЯа до положи- тельного вещественного действительного числа, идея которого нашла продолжение в «Каноне Мас‘уда»46٠
Далее рассматривается характер изменения «плоской тени» вблизи 0٥ и «обращенной тени» вблизи 90٥, вследствие чего первыми рекомен- дуется пользоваться при высоте > 45٥, а вторыми — при высоте < 45٥٠ Доказывается также Обратная пропорциональность «плоских теней» дуг «обращенным теням» тех же дуг, а также «диагоналей обращенных теней» дуг их «синусам дополнения» (косинусам), а «диагоналей плос- ких теней» дуг — их синусам.
В трина.дцатой главе Беруни излагает способ определения «теней» с помощью астролябии пу'гем соответственной градуировки ее обода؛ тогда при измерении высоты алидадой астролябии другой ее конец сра- зу указывает «тень» этой высоты.
В четырнадцатой главе Беруни описывает тангенс-квадранты на спинках астролябий — своеобразные (номограммы для определения тан- генсов и котангенсов в «пальцах» и «стопах» по дугам, отсчитываемым на ободе астролябии от некоторой начальной точки алидадой. Отмечает- ся, что изобретателем «тангенс-квадрантов» был Мухаммад ал-Хорезми, указываются конструкции ал-Хасана ал-Ахвали, упоминаемого только здесь, и ас-Сиджизи. Здесь также Беруни говорит о числе, представляю- щем линию, т. е. вновь возвращается к идее расширения понятия о числе.
В пятнадцатой главе излагается метод Хабаша ал-Марвази опред-е- ления высоты по тени с помощью геометрического построения, исполь- зующего тригонометрический круг, метод ИаКуба ибн Тарика, при котором тень гномона отбрасывается на наклонную плоскость, а также метод Мухаммада ибнОмара ибн Фаррухана, согласно котором.у тень гномона отбрасывается на сферу, причем гномон может быть располо- жен B'He или внутри с.феры.
В шестнадцатой главе излагаются правила определения полуден- ной тени гномона в зависимости от географической широты и времени года؛ наряду с точными правилами приводятся и приближенные прави- ла индийцев и АбуАсима ‘Исама (IX в.), основанные на замене функции тангенса линейной функцией или комбинацией из двух линей- ных функций.
В семнадцатой главе излагаю'гся правила определения полуденнной тени в день весеннего равноденствия по ан-Найризи и йа'кубу ибн Та- рику и, более подробно, по ал-Кинди.
В восемнадцатой главе излагаетс.я зависимость азимута в данном городе в данный день от высоты Солнца, а также аналогичная зависи-  4545 	Беруни. Канон МаСуда, I, с. 304-300.
45 Там же, с. 271.


п. Булгаков, Б. Розенфельб
22
мость между высотой и гороскопом (точкой пересечения эклиптики с восточной половиной горизонта), а также метод определения направле- ния меридиана с помощью «индийского круга», в одном месте для обоз- начения алгебраической суммы отрезков Беруни употребляет термин «сумма», что можно объяснить тем, что здесь Беруни рассматривает эти отрезки как ориентированные. Здесь Бе.руни отвечает, что величина теНи гномона «изменяется по величине высоты» (Солнца), т. е. тень он рассматривает как функцию высоты.
В девятнадцатой главе изложен метод уточ'Нения определения ли- НИИ меридиана, предложенный индийским астрономом V в. Пулисой.
В двадцатой главе изложен метод Брахмагупты (VI в.) определения линии меридиана по трем наблюдениям высоты Солнца в течение одно- го Д'НЯ, а также метод решения задачи, предложенный в «Аналемме» Диодора (I. дон. э.). что, по существу, является одним из ранних при- меров применения методов начертательной геометрии؛ Беруни подроб- но доказывает правильность метода Диодора.
В двадцать первой главе излагается оригинальное решение задачи определения линии меридиана с помощью методов начертательной гео- метрии. Наряду с применявшимся .Диодором и Птолемеем методом сов-
. плоскостей проекции здесь описывается оригинальный метод вращения проекций, в данной главе Беруни вновь употребляет термин «؛число» применительно к непрерывной величине, а также вновь рассмат- ривает пространственные координаты.
В двадцать второй главе изложены решения задачи определения долготы дня и ночи в книгах индийских астрономов Брахмагупты, Вид- жаянандина и других, в «Шахском зидже», в зиджах ал-Хорезми, йа٤ку- ба ибн Тарика. Наибольший интерес предста'вляет решение Э٤Г0Й задачи с помощью линейных зигзагообразных функций, применявшихся астро- номами древнего Вавилона.
В двадцать третьей главе изложены методы определения времени в *косых часах» (равных 1/12 светлого или тем'НОго времени суток), а также приведены стихотворные изложения этих методов Мухаммадом ал-Фазари, составленных по аналогии с индийскими стихотворными со- чинениями по астрономии, в данной главе Беруни употребляет выра- жение «сумма двух движений», предвосхищая, тем самым, идею сложе- ния или умножения операций, лежащую в основе одной из важнейших современных математических теорий — теории груп’п.
В двадцать четвертой глазе решаются задачи определения азимута по .высоте и высоты по азимуту в данный момент времени, а также МО- мента времени по азимуту и высоте с помощью сферической теоремы синусов.
В двадцать ПЯТ'ОЙ главе излагаются гниения авторитетных мусуль- маиских богословов о мусульманских молитвах, а также приводятся сведения о молитвах евреев, христиан, манихеез и зороастрийцев. Да- лее описываются способьг определения времени для молитвы, в этой главе Беруни сравнивает «моменты времени» с точками линий, однако его высказывание о том, что «моменты времени не настолько обширны» свидетельствуют о склонности Беруни к математическому атомИзму, поскольку и моменты времени, и точки линии он считал хоть и неболь- шими, но конечными размерагги. Данная мысль выражена в его фило- с'офской переписке с Ибн Синой.
В двадцать шестой главе описываются «часовьге линии» — линии на тимпанах астролябий, определяющие вреьгя молитв, и способьг опре- деления времени с помощью астролябий, линии для определения времени молитв в одном из квадрантов спинки астролябий, спецг-гальньгй прибор


3ه
пребисдовие
ДЛЯ определения времени по Солнцу, «полуцилиндрическая алидада» и различные виды солнечных часов.
В двадцать седьмой главе доказывается теорема тангенсов, кото- рая выводится из сферической теоремы Менелая («предложение о се- кущих»). Данная теорема применялась для решения задач определения склонения Солнца и «дневной дуги» (дуги малого круга небесной сфе- ры, описываемой Солнцем в течение одного светлого дня).
В двадцать восьмой главе излагаются методы определения рассто- яний, в том числе расстояний до недоступных предметов, с помощью теорем плоской тригонометрии, причем ,необходимые углы измеряются с помощью астролябии, а их тангенсы находятся с помощью тангенс- квадрантов астролябии.
В двадцать девятой главе рассматривается измерение расстояний между небесными телами: определение расстояния до Солнца с помощью прохождения пучка лучей через небольшое круглое отверстие؛ определе- ние того же рас.стояния по Птолемею, определение расстояния до Луны по методам, предложенным Синаном иб'Н ал-Фатхом (X в.) и ал-Кинди, а также с помощью наблюдения лунных затмений.
В тридцатой заключительной главе рассматриваются различные задачи: индийская задача о том, нас.колько высоко следует поднять зонт, чтобы его тень совершен'НО исчезла؛ попытка определения расстоя- ния до Солнца؛ правило ал-Фазари определения площади освещенной части Земли؛ определение координат Купола Земли и некоторых горо- дов в «Синдхинде» — арабской обработке индийских сиддхант. в конце данной главы Беруни подвергает резкой критике сочинения астрологов, начиная с приписываемых мифическому Гермесу «Восьмидесяти пяти глав». Оговорившись, что он не будет злословить по поводу Гермеса, которому приписывается перенесение «халдейской науки в Египет» (т. е. ознакомление ؛александийских ученых с астрономией древних ва- вилонян), Беру.ни все же сраВ'НИвает сочинения астрологов с книгами алхимиков и с талисманами, в которых имеются серьезные заблужде- кия, дающие пищу многочисленным шарлатанам. Беруни считает, что его книга о тенях будет полезна для тех, кто хочет получить истинные зна؛ния по вопросам ,астрономии и измерения времени, основанных на тенях.
«Гномоника» Беруни содержит ряд замечательных открытий Беру- ни в математике (исследование неравномерного движения, пространст- венные координаты, расширение понятия числа и идея сложения опера- ций, принятие радиуса тригонометрического круга за 1, доказательства теорем сферической тригонометрии и их применение к задачам астро- номии, разработка методов начертательной геометрии) и физике (опи- сацие камеры-обскуры и явлений диффракции и интерференции света).
Создавая «Гномонику», Беруни использовал большое количество источников.
В филологических разделах, особенно при анализе образных зна- чений понятия «тень», Беруни, помимо Корана, Евангелия и хадисов, приводит фрагменты из стихотворений Абу Зуайба, Абу-н-Наджма, Зу-Р-Руммы, ал-Хали‘ аш-Ша’ми, Ибн Хузайлы, Абу-Л-Фараджа ибн Хинду, Абу-Л-Фатха ал-Бусти, а т.акже несколько анонимных цитат. В числе греческих ученых, на которых ссылается Беруни, можно назвать имеНа Гиппократа, Аристотеля, Платона и Птолемея؛ в числе индий ских — Ариабхату, Пулису, Брахмагупту؛ Виджаянандина, йалтабана, Ваттешвару и пртхудакасвами؛на. Обшире.н перечень ученых различных стран халифата, трудами которых пользовался Беруни при написа؛нии «Гномоники»: ал-Фазари, йа‘куб ибн Тарик, Мухаммад ибн ‘Омар


п. Булгаков, Б. Розенфельд
24
ибн Мухаммад ал-Хорезми, Хабаш ал-Хасиб, Ахмад, ас-
Серахси, Сабит ибн Курра. ал-Кинди, ал-Джахиз, Абу МаШарал- Балхи, Ибн ас-Саббах, ал-ИраншахрИу Ибрахим ибн Синаи,-ан-Найри- зи, ал-Хашими, ал-Баттани, ал-Ахвази, Си'нан ибн Фатх, Хамза ал-؛Ис- фахани, Абу-Л-К.асим ал-Ахвал, Абу Зайд ал-Балхи, алЕузджани, Ку- Hffiap ибн Лаббан, ас-Сиджизи. Немало привнес Беруни в книгу-И соб- ственного материала.
'При п-ереводе ' публикуемых тракта-тов Беруни мы придерж-ивались тех же установок что и при переводе его «Канона Мас‘уда»47., Издания текстов и переводы, привлекаемые нами наибО'лее часто, обозначаются следующими сиглами:
Д— ،].دذذراج ]لاو نار ذى اوواءرة وخواص ]وخط )دذحذى ]لو.]قع ف٠يها ذ'الادف ]وى ل وو دعءان مح.هل ون ]٠هؤد ]زددروذى، ذط؛ق ]لادناذ ]هؤد سهيل ونادرة، ١٩٦١.[ ،Г — ج ٣ (JjJI لت Lj ،اك مرد]ش
3 —Das Buch der Auffindung der Sehnen im Kreise von Äbu’l-Rai- han Muh. el-Biruni. Ubersetzt und mit Kommentar v.ersehen von H. Suter. Bibliotheca Mathematica, F. 3, Bd. XI, 1911.
И— . ردا نل ]زددروذى، د] ل.ا ة ]وعارنى ]لعذ.ه٠اليق، ه؛لر واد، ١٩٤٨٠
K —The exhaustive treatise on shadows by Abu al-'Rayhan Muham- mad. b. Ahmad al-Biruni. Translation and commentary by E. s. Kennedy. Vol. I, Translation, Aleppo, 1976.
Л —Лейденская рукопись трактата «Об определении хорд». Cod. or. 513/5.
п — Трактат об определении хорд в круге при помощи ломаной линии, вписанной в круг, Абу-Р-Райхана Мухаммада ибн Ахмада ал- Беруни./Пер. с. А. Красновой и л. А. Карп0В0Й//Пз истории науки и техники в странах Востока. Вып. III. м., 1963, с. 93—141.
р — Банкипурс.кая рукопись — сборник астрономических и матема- тических трактатов разных авт'Оров № 2648.
С— . واول ]ون دنان، د]ذرة ]لخ.عارنى ]زءدؤاندذ، ءددرواد، ١٩٤٨ Т— ءدذذراج ]لاونار ؤى ]لل]لرة وذو] ص ]وت ] ونحس ف٨ها، ول ]وى ٩٦ ١ ٠۵ لر؛ءان٠.. ]ل؛؛رؤ'دى، تحقدؤ٠إ]لادداذ ] دءدد ]لو درد؛ش، ]زنادرة
На полях перевода цифры без сиглов обозначают страницы т (для трактатов «Об определении хор.д» и «Об анализе и определении частных значений уравнения Сол'Нца») и стра.ницы и (для «Гномоники»). Когда текст для перевода взят из иных источников, то перед цифрами на по- лях ставится соответствующий сигл.
Многие страницы в т заняты комментариями издателя или иным посторонним материалом, поэтому цифры «а ПОЛЯХ перевода иногда «пе- рескакивают» с пропуском одной и более страниц т.
Выражаем благодарность кандидату физико-математических наук А. Ахмедову за отдельные ценные сове'ты при подготовке данной р.уко- писи к печати.
п. Булгаков, Б. Ровенфелъа  4747 См.: Беруни. Канон Мас.уда, I, е. 47—49.


ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ХОРД в КРУГЕ ПОСРЕДСТВОМ СВОЙСТВ ЛОМАНОЙ ЛИНИИ В НЕМ


узнал, что ты! хотел выяснить у меня причину, побудив- 32 Шую меня [в прошлом] увлеченно заниматься доказа- тельством истинности утверждения древних греков о раз- делении ломаной линии во всякой дуге пополам перпен- дикуляром, опушенным на нее из середины {дуги], и уклоняться [при этом] от [анализа] свойств сей [ломаной линии]2٠ Из-за этого ты даже приписал мнеЗ, что я занимаюсь тем же, что упоминает Мухаммад ибн Закарийа ар-Рази* относительно достоинств геометрии, не ведая истинной сущности достоинств, коей является прибавление к достаточному в чем бы то ни было٥. Если бы он [ар-Рази] знал эту [истинную сущность], он нашел бы свою душу за- путавшейс.я в «достоинствах» искушения, которыми он портит сердца, делая их отчуждающимися от веры и, благодаря [наличию] «до- стоинств» бренн.0Г0 мира, алчущими могущества и господстваб. Мера достаточности в геометрии ء не то, что думает ар-Рази и на что он указывает в своей философии, враждуя затем со всем остальным*.
А люди — всегда враги того, в чем они невежды. Ведь сказал всевыш- ний Аллах: «И если они не нашли пути с ним, они скажут: «Это — давняя ложь!»8.
Если бы ты досконально разобрался [в вопросе], что есть геомет- рия, ,[ты узнал бы], что она — [путь] определения отношения друг к другу родов, подпадающих под [категорию] количества, и что она — то [средство], коим может быть достигнуто определение величины все- го, в чем нуждаются., относящееся к тому, что измеряется!., [отмери- вается] объемными мерами!! и взвешивается, на расстоянии от центра мира и до крайних пределов ощущаемого, и узнал бы ты [также], что с помощью геометрии познаются формы, лишенные материального содержкания, и представляется ист'инность доказательства столь четко, что ценности [достижений] в ней — не преходящ؛?., как преходящи они в логике у многих, постигающих их, как бы [последние] ؛؛؛-؛ придер- живались стези искусства логики!2٠
Далее, ты поднялся!з бы посредством тренировки в геометрии от естественных объектов познания к божественным объектам. Вследст- вие неясности их смысла, трудности их восприятия, тонкости их ме- тодов, огромности их сущности и отдаленности [четкого] их представ- ления не всякому дано [познать] их, как и постичь их тому, кто укло- нится от законов доказательств по тем же ؛[причинам], по которым и ты отклоняешь меня от ЭТ0Г0'!4. Ведь дело заключается в том, что если 'не удалось получить искомое, ты должкен действовать путем, ведущим к нему, не тратя зря время на поиски иных путей. Затем, не следует
а


Математические и астрономические трактаты.
Ё
недооценивать в конечной стадии результаты, являющиеся опорой нау- ки о сфере,15.
Что же касаетс.я множественности методов |[в этой книге], то при- чиной, побудившей меня собрать их '[здесь], является тренировка обу-
33 чающегося через их разнообразие, а затСм — объединение؛ II [Я соб- рал их также] и потому, что они бы,ли мне любезны на чужбине, и дабы побеседовать |[на страницах], с друзьями, с которыми я разлу- чился, в знак памяти [о них])1б. я изложил их для тебя, дабы ты изу- чил их и узнал, как все они сводятся к одному пункту, и как плодо- творна польза от сего впоследствии, и да будет уготовано у тебя извинение меня за те мои упреки, коими я окружил сие*7. Ведь часто порицающий [сам] заслуживает порицания. Нет содействия в успехе ни от КОГО', кроме как от всевышнего Аллаха.
УТВЕРЖДЕНИЕ
Если в какой-нибудь дуге окружности прямая линия переломлена не на равные части и на нее опуще.н18 из середины ЭТ'ОЙ дуги перпен- дик.уляр, то она разделится им на две П0.Л0ВИНЫ.
Пример: на ломаную линию АС19 из середины дуги АС, а это — D, опущен перпендикуляр DE. я утверждаю, что ломаная линия АС разделилась пополам, T. е. АЕ равна сумме ЕВ и ВС (рис. 1).
Что2٥ касается разнО'Образия положений при этом, то если дуга ABD Превосходит2! половину окружности, то дуга ВС неизбежно бу- дет либо короче дополнения [дуги ADB] до [полного] круга, и тогда ЭТ'ОТ вопрос будет в том же, [т. е. уже разобранном], положении, а
34 чертеж этого —подобен [изображенному], II либо эта дуга, [т. е. ВС],
в
Превосходит؛ дополнение [дуги ADB] до [полного], круга, как, например дуга BAF22 на вто؟؟м Чертеже ؛Рис. 2. Е я этот чертеж точГх^больттТ^Г^т :™я !> ٠ Тогда серединой дуги лове23 'будет точка X, большей из двух часте'й ломаной линии — FB, а не24 AB. и ^О^вдикуляро؟, .пущенным на нее-АО. По данному утверждению FO будет равноИ сумме OB и ВС. у у р ٠٠
[полно. ]Карается .равенства |[дуги ВС] дополнению [дуги ЛОВ] 0؛ .ПОЛНОГО круга; то это от_падаеТ из данного подраЗделеНия [ва؛иаН тов].благодаря тому, [что ломаная лин’ия перело^ЯеНа1 не На равные


29
Об опребелениа хорб в круге
части, поскольку при этом исчезнет изображение ломаной линии, и останется лишь [одна) линия л.25.
Что касается того, что точка Е на хорде AB не оказывается вне круга, то это станет ясным, если мы опустим из точки м, являющейся “ дуги ADB, перпендикуляр мк на линию AB. ТОгда КЕ не- обходимо будет равной половине хорды ВС. Поскольку дуга MD рав- на половине дуги ВС26, а вся [дуга) ВС короче, чем AB, то половина [ВС] короче, чем кв. Поэтому точка ء — между точками ٠ и ج в любом случае. II
36
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этого,
принадлежащее азархуру ибн уштазу ДЖАШНАСУ»?
Он говорит؛«: продолжим СВ в ее направлении и опустим на нее перпендикуляр DG из D. Соединим А с ٥ (ри^з), а ٥ с с. Поскольку в Треугольниках DGC и DEA углы DGC и DEA прямые, а углы GCD и ÉAD равные, ибо они [опираются] на одну дугу, эти два треуголь-
ника подобные. AD равна DC, ..'равна DE, CG равна АЕ. Сторона BD квадрирует؛з ٠٠ и,. ٠»٠٠, также, как она квадрирует ٠٠ и ЕВ31. Однако ٥٠ равна DE, |ا и потому квадрату ٠٠ остЗеТСя быть равным 37 квадрату ... Следовательно, обе [эти линии, т. е. ٠٠ и ٠٠] равны и по длине. Однако вся ٠٠ равна АЕ. Следовате.льно, линии ٠٠ и ٠٠, равные в св-оей сумме линии ٠٠, равны линии АЕ. Это и есть то, что мы хотели разъяснить. II
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭТОГО ИЗ «КНИГИ КРУГОВ» АРХИМЕДА»» 38
и книги «НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ» СЕРЕНА ФИВСКОГО»»
Он го؟орита отделим дугу ٥٠ рав'Ную дуге ٥٠ (рис. 4),||соеди- 39 НИМ ٠ с ٠, а ٠ с ٠, построИм £٠, равНую ЕВ, и соединим ٥ с ٠, а De А. Тогда в силу того, что перпендикуляр ٠٠ общий«4٠ линии ٠٠ к .. — равные. Поскольку дуга ٥٠ раЗна дуге DH, а оставшаяся дуга НА3! равна дуге ٠٠ УГНЫ HDA и ٠Л٠36 равны углу, DBA, т. е. углу .... Однако угол ٠٠-٠ равен [сумме]. уГлов ٠л٥ и GDA, и, следовательно, углы ٠٥л и ٠٥л — равные. .. равна ؛٥٠ a DA — ٩б^ая [сторона], по-этому основания Л٠иЛ٠ _ равные. Но АН равна ٠٠, следонательно и л٠: равна ..,- поскольку Же ٠٠ равна ..; Л. вместе с ٠٠ равна ٠٠ вместе с ... II


Математические и астрономические трактата
30
40 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АБУ СА.ИДА АД-ДАРИРА АЛ-ДЖУРДЖАНИ3?
Абу Са'ид доказывал сие подобно этому38 и исходил в د НИИ3 из равенства сторон треугольника AHD сторонам треугольника ADG (рис. 4), но -только он начинал с того, что откладывал дугу АН, равную дуге ВС. в силу равенства этих двух дуг у него оставались равными дуги DH и DB, а ,это обуславливает равенство углов HAD и GAD. Затем он откладывал*, (линию] AG, равную линии АН, и тогда будут равными основания #٥ и GD. Однако HD и DB — равные*!, следовательно, и DB и ٥G —равные. Перпендикуляр DE делит ос- нование GB пополам, поэтому AG [в сумме] с. GE равна ЕВ в сум- ме с ВС.
Подобное этому самому ![доказательству] встречается и у меня в моей книге «Ошибки передаваемого относительно широты и дол- готы»*2.
АБУ ،АЛ14 АЛ-ХАСАН ИБН АЛ-.ХАСАН АЛ-БАСРИ3؛
Абу 'Али стремился {доказать это] подобным же образом — по равенству треугольников AHD и AGD (рис. 4), однако он разъяснил сие другим путем**, а именно: он откладывал дугу DH, равную дуге DB, вследствие чего будут равны углы HAD и GAD. Затем он отло- жил ؛[линию] EG, равную линии ЕВ, и соединил D с G; отсюда ста- новится ясным равенство DG и DB.
Затем он утверждал, что фигура AHDB в этом круге — четырех- угольник*3, и, следовательно, углы AHD*6 и ABD [вместе] соответст- вуют двум прямым углам. Однако углы DGB и ٥ßG —равные, следо- вательно, углы AHD и DGB соответствуют [вместе] .двум прямым уг- лам, а углы AHD и AG٥ —равные. Остальное - так же, как раньше*?. АБУ САИД АХМАД ИБН МУХАММАД ИБН ‘АБДАЛДЖАЛИЛ АС-СИДЖИЗИЗ Другие шли*, иным путем в откладывании дуги DH и откладыва- ли ее равную дуге ВС (рис. 5). Абу Са'ид ас-Сиджизи провел DH па- 41 раллельно AB и HF параллельно DE. |ا при этом отделялись дуги АН
С
Рис٠5. Рис. 6.
iRB, £٣ые друг другу в силу равенства углов ADH и BAD, а дуги ءه_لل_.س остаются от каждой из двух_половин равных дуг равными аГ месте с FeÜ FrI/J: a Rri[ ٠هقجي Следовательно,
AF вместе c FE равна ЕВ вместе с ВС51,


31
Об опребелении хорб 8 круге
[МОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО]
Вследствие частого применения этой предпосылки в моих рассуж- дениях [я привожу здесь) этот путь, )показывающий], как я поступал в некоторых из них52. Я прово-дил диаметр DKO (рис. 6), продолжал DE в ее направ,лении до L, и проводил он параллельно DL.
Эти две [линии он и DL] отделяют равные дуги DCL и ОАН٥٥.
Я соединил H с D; тогда угол FHD будет прямым, так как он ,[вписан] в полукруг, II а плоскость, [т. е. плоская фигура], DEFH — прямоуголь- 42 ник, и, следовательно, она — с параллельными сторонами. HD в ней равна FE. я провел из центра к линию кх параллельно ED. Она рас- секла каждую из хорд AB и HD пополам, так как она перпендику- лярна к ним обоим, их равна XD, FM равна ME, а оставшиеся AF и ЕВ равны друг другу. HD, равная FE, равна и ВС. Поэтому AF вмес- те с FE равна ЕВ вместе с ВС54.
АБУ 'АБДАЛЛАХ МУХАММАД ИБН АХМАД АШ-И1АННИ55
Его метод близок к этому, а именно: он соединял 0сЬ,и тогда плоскость, [т. е. плоская фигура], FELO (рис. 7) — прямоугольна вследствие равенства перпендикуляров LE и OF при равенстве AF и
д
ЕВ Диаметр DO рассекает хордуг АС пополам. Поэтому угол 5 — 0>DL°H а треугольники ASP и DPE ^одобн؟. Следовательно, углы ODL я ВАС — равные, ХОРДЫ OL и ВС — равные и OL и EF — рав- ные. Отсюда ЕЕ и 5С —равные, а остальные —так же, как раньше.56. II
СУДЬЯ АБУ ‘АЛИ АЛ-ХАСАН ИБН АЛ-ХАРИС АЛ-ХУБУБИ57 44
Подобным этому путем шел судья Абу ‘Али ал-Хубуби. Он отде.- лил {дуп^ ^^٠؛ равную дуге DB, соединил D с в и опустил перпенди- куляр #مل на AB (рис. 8). Он доказывает равенство тре؛голыникОв АНЕ и DEB через, равенство углов F и Е, поскольку они прямые, углоЕ HAF и DBE, поскольку оба, они опираются на раЕные дуТи HDB и AHD ^раненстш сторон АН и DB. Отсюда он получает равенство AF и ЕВ) а также перпендикуляров НЕ и DE. [‘Линии], концы
равных параллельных линий,— равные. Следовательно, #٥ равна FE.


Математические и астрономические трактата
52
HD и 5С —хорды двух равных дуг, следовательно они равны друг другу. Тогда AF вместе с FE равна ЕВ вместе с ВС.
Если ОТЛОЖИТ'Ь линию EG, р.авную ЕВ) и соединить D с G, D с А и ٥ с С, стороны' треугольника ADG58 'будут равны сторонам треуголь- ника DBC. Вследствие этого, будут равными AG и BG) и подтвердит- ся59 истинность данного утверждения...
АБУ НАСР МАНСУР ИБН' АЛИ ИБН ‘ИРАК,
КЛИЕНТ ПОВЕЛИТЕЛЯ ПРАВОВЕРНЫХб!
Некоторые стремились доказать это ؛[утверждение].* различными путямибз, не откладыная ничего на дуге А.63.
Что-касается Абу Насра ал-Джа‘ди, то он откладывал EG, рав- ную ЕВ (рис. 9), соединял ٠ с. 64٠ى и утверждал, что линия GA не может быть большей или меньшей, чем ВС. Если бы это было воз-
можным, пусть она будет сначала ббль- шей. Построим АН, равную ВС, [как] ес.ли бы было это возможным. Тогда ли- НИИ АН и AD, каж.дая [в,отдельности, т. е. не в сумме], будут [соответственно] раВ'Ны линиям ВС и CD, каждой [в.от- дельности, т. е. не в сумме], и углы ЛиС будут равными друг другу. Поэтому и основания DB и DH будут равн٠ыми друг другу. Однако EG равна ЕВ, а перпен- дикуляр ED — общий: следовательно,
DG равна DB. Но тогда DG и DH в тре- равными, *ибо. если углы ЯиСв нем равные, то и стороны DG и ٥Я —равные. Углы в и я65 в треугольнике 46 BDH равные. II Следовательно, внешний угол DGH треугольника DBG равен внутреннему углу DBG, противолежащего ему, а это :невероятно.
Подобным же образом доказывается, что [GA] 'Не может быть меньше lise]66. Следовательно, GA равна 5С...7. Оста.льное —как раньше.
угольнике GDH должны быть
[МОИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА]
Я следовал при доказательстве равенства AG и ВС в другом месте, )[т. е. в другой работе], путембз, суть которого следующее: угол DGB (рис. 10) равен [сумме] углов GDA и GAD. Однако углы DBG и ٠Gß—равные. Поэтому и угол DBG раве.н [сумме], углов GDA и GAD. УТол DGB опирается на ПОЛОВИН'У данной ‘[нам] дуги, а угол 47 GAD — на дугу DB Из другой половинЫ [данноИ нам дуги]. II Следо- вательно, остается угол GDA величиной в дополнение данной [нам дуги]., T. е.- BCi Поэтому углы ADiG и CDB равны, и углы, АиС рав- ны. Следовательно, треугольники AGD и CBD подобны, а поскольку в них-стороны AD и DC равны, то и ء эти 'треуголЬ'Ники равны, и AGpaB- на ВС69:
В' книге «Получение успокоения?, благодаря уточнению обмера площадей»?! я нуждался?2 в разъяснении- подобного же положения при наложении ПОЛ'ОСТИ дуги?з на ИЗЛОМ'ломаной линии, когда обе-'ОНИ., [т. е. дуг'а и ломаная линия], ,не противолежат' дру-г другу,74 т. е. в ' случае делени.я пополам [ломаной] ЛИ.НИИ при делении пополам и дуги. Я. откладывал угол ADG ра.в.н.ым углу ß.G с тем, чтобы* стали равными углы треугольников ADG и BDC с тупыми углами ى и ß?5 и


33
Об определении хорд 6 нруее
С равными сторонами ^٥ и DC76. Тогда AG становится рав'Ной ВС) и получается искомое.
Если же будут ломаная линия и полость дуги ADB противолежать друг другу, {а не совмещаться), а я имею в виду [полость), образуемую при дополнении данной дуги до полной окружности,{т.е. полость дуги АА\С1 перпендикуляр DE не разделит эту ломаную линию пополам, а разделит ее пополам перпендикуляр [противолежащей] дуги, т. е. опущенный из конца диаметра, другим концом которого является точка ٥77.
٠ В моем78 «Обосновании зиджа Хабаша»79 я говорил: отложим EG равной ЕВу и соединим D с G и D с в. Эти две ,[линии DG и DB] будут равными. Затем соединим AcDeDcCe продолжим СВ в ее направлении до н. Поскольку угол DBC опирается на дугу DACy до- полнение его80 до двух прямых, а это — угол DBH, будет по величине
Рис. 11.
Рис. 10.
48 '-DAB и DCB :Равные? DG равна DBy II и, следо لآللألخ٠ء؟_ غ؛_ت:بيه ТаГГобра^мГ^^Навн Äßgx и DCB при их подобностЕ —равные, есть ؛но и так сказать: дополнение уг^а DBC до двух прямы;؟ г он — по величине дуги ВВС Поэтому.угльГмве и ؛ гол DBC будеТ؛ ВВА ;равные Если угол ЕВС возьмем как общНИ то равен ^лу ЕВМ. Однако угол ЕВМ — вертикальный82 по отнесению к углу DGASS г.рый Равен углу BGA. Следовательно, угол DBC равен
АБУ ‘АБДАЛЛАХ АШШАННИ 49
حح:جلآ٠ К выяснению правильности8*. этого путем того, что откла- ür EG, равнуюЕВ (рис. п), соединял ٥٠с٥иЛсСи утверждал: дП٥с?к٥льку в равнобедренных треугольниках DGB и ADC88 углы СиВ :?и с٥й будут равными. СтороныADИуД G треугольнрь ۶؛ب [соответственно]^ равнь! стороНм сд и ررج треугольника CDB.
СледоватЕ^ЕНО^ основание AG равно основанию ВС87. РУ
АБУ ‘АЛИ АЛ-ХУБУБИ
لاه шел здесь п^тем дополнения [дуги] до полной окружности88 и Гапоол лЦРПП }2JciiBuEy^JB-l^TeMloHcoemKLiD 5؟ и ٥ с G. продолжал. DG в ее НапраЕлении до н и соедиНЯЯ^
3.11


Математические и астрономические трактата
34
Далее он говорил, что углы AGH и DGE) будучи вертикальными,— равные, и углы AHG и DBG) опирающиеся на одну дугу,— равные. Следовательно, углы AHG и A G# —равные. Отсюда АН рав.на AG. Углы AHG и ٥#С —равные, поскольку они опираются на рав,ные д٠уги٠ Поэтому и углы DHC и д.#—равные. Но они—накрестлежащие, и потому AB параллельна #с. Следовательно, дуги АН и ВС равны Друг другу, но тогда и хорды АН и ВС равны друг другу. Таким обра- зом, AG равна ВС 89. II
51 АРХИМЕД В «КНИГЕ КРУГОВ»
Среди них ؛[ученых] есть и такие, кто доказывал истинность этого с другой стороны, иным способом, чем тот, о котором мы рассказывали, как, ,[например]., Архимед в «Книге кругов» и Серен в «Началах гео- метрии»9٥. Суть сего в том, что он !Архимед], продолжал AB (рис. 13)
Рис. 12. Рис. 13.
в ее направлении, откладывал EG, равную АЕ) и соединял De А) DcC, DcGkDcB. Поскольку хорды DA и ٠с-равные, и DG и DC — равньте, то и AD и DC — равные, будучи боковыми сторонами9! [равнобедренного треугольника]!?. Следовательно, углы DAG, DGB и 2ج DCB равНы друг другу. Поскольку дуга DA равНа дуге DC) II примем дугу АНС за общую, так как дуги DAHC и ٥С#А—равные. Однако угол DBC опирается на дугу DAHC) а угол DAB вместе с углом ADB — на дугу DCHA. При этом угол DAB опирается ؛на дугу DB, а угол ADB — на дугу ВСА. Поэтому угол DBC равен ,[сумме] углов DAB и ADB. Угол DBG) являющийся внешним углом треугольника ADB) равен [сумме] углов DAB и ADB) которые не смежны с ؛ним: поэтому углы DBC и
DBG равны друг Другу98٠ Но уже было установлено, что углы DGB и DCB — равные. Поэтому углам CDB и GDB остается быть равными. Но DG равна DC) а ٥ß —общая; следователь'Но, основания СВ и BG — равные. Таким образом, линии СВ и BE [вместе] равны линии GE, т. е. ßA94،
АЗАРХУР ИБН УШТАЗ ДЖАШНАС
Он шел иным путем в доказательстве равенства треугольнико'В DCB и DGB. Он соединял с с G (см. выше рис. 13. в п это доказа- ٠ тельство ошибочно связано с рис. 14) и доказывал равенство линий AD, DG и DC и равенс.тво углов A, G и с так же, как это было раньше. Затем он говорил, что треугольник ٥CG-с. равными боковыми сто-


35
Об определении хорд б круге
ронами DC и DG, и поэтому углы DCG и .GC —равные. Если мы вычтем из ؛[каждого], из них равные углы DCB и DGB, оставшиеся углы BCG и BGC будут равными. Отсюда BG равна ВС. BG вместе с BE равны ЕА) и поэтому ВС вместе с BE тоже равны ЕА%. II
АРХИМЕД И НЕКОТОРЫЕ ГРЕКИ 53
У Архимеда в «Книге кругов» и у Серена^ есть третье доказатель- ство. Его же я нашел среди задач, принадлежащих грекам, возмож- но — Аполлонию.7, которые перевел йуханна ибн Йусуф98٠
Он [Архимед^, г0В0рил:99 поскольку ٠С —хорда в круге, [а не диа- метр] (С.М. выше рис. 13) сегмент DBC будет меньше полукруга:!., он не может быть болыпе полукруга, поскольку дуга AD равна дуге ВСЮ 1, а невозможно отделить от окружности две равные дуги, каждая из них больше ПОЛОВИ'НЫ окружности, если только они не имеют об- шей части.
Противолежащий (хорде DC] угол ٥5С —тупой!٥2. Поскольку А٥—хорда, [а не диаметр] в круге, то сегмент ACD\0'6 будет больше полукруга. Противолежащий '[хорде AD] угол DBA — острый: следова- тельно, угол ٥5G —тупой. Углы DGB и ٥С5 —равные, и линии DC и .G —равные. II Отношение их обоих к обшей линии DB одинаковое. 54 Следовательно, в треугольниках DBG и DCB угол одного из них, а именН'О с, равен углу другого, а именно. G, а стороны, охватываю- щие два других угла, пропорциональны. Каждый из углов DBC и DBG больше прямого, а остальные углы '[этих треугольников] — равные. Следовательно, эти два треугольника — подобные, и 01-1И также — равные!.*.
[!МОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО]
Я говорил в моей книге «Полезные вопросы и верные ответы»1٥5 о теоретических обоснованиях зиджа ал-Хорезми:!.. продолжим AB в ее направлении (см. рис. 14. в ^ с этим доказательством ошибочно
связан нижеследующий рис. 15), по- строим BG, равную ВС, соеди'Ним с
GB{o7, Треугольники FCB и FBG будут равными, и их углы, соответ- ственно друг яругу,—[равными]. Поскольку внешний угол ABF тре- угольника равен двум внутренним углам BFG и BGF) а внешНий
угол DBC треуГольника BFC равен двУм внутренним углам BCF и


Математические и астрономические Трактаты,
36
CFB, и сумма углов BFG и BGF равна сумме углов BCF и CFB, то углы ABF и ВВС также равны друг другу. Однако сумм^ углов ABF И FBG равна сумме углов ВВС и СВР. Так как сумма углов ABF и FBG раЗна двум прямым, то и сумма углов ВВС и CBF также равна двум прямым. Поэтому линия BBF — одна прямая линия, и_она — высота треугольника BGC, делящая его основание пополам, в силу этого ВС и BG равны, и AB и ВС равны. AB равна BG. Перпрндику- ляр BE делит пополам AG, поэтому АЕ рав'На ЕВ ؟месте с BG Однако BG была задана равной ВС. Следовательно, АЕ равна ЕВ вместе с ВС 108. II
56 АБУ СА.ИД АС-СИДЖИЗИ
Что касается Абу СаИда, то он продолжал AB в ее направлении (см. рис. 15. В п это доказательство ошибочно связано с нижес٩еяую- щим рис. 16), пока вв не стала равной ВС, и дрстиг того, чего*٥9 мы достигли раньше. Вследствие равенства ВС и BG будут также рарны- ми углы BCG и BGC, а внешний угол АВС будет равен им обоим
[вмеСте]؛ следовательно, oнهاأ вдвое больше каждого из них. Угол А.с
равен углу АВС, который больше угла BGC. Поэтому круг, проверен- Ный из центра в на расстоянии BÄ, пройдет через точки с и G. Угол АВС будет при центре этого [круга], а угол AGC — при его окружности, ,[приче^] оба эти [угла] накладываются на один ее сегмент, [т. е. опира^ юТся на одну дугу, ограничивающую этот сегмент]. равна BG
[через их общее равенстЕо ВС], и [потому] углы ВАЕ и BGE — равные, перпендикуляр, опущенный на AEG. Поэтому А£ равна
57 вместе с BG, т. е. с ВС. II
Другие доказывали равенство AB и BG тем, что углы ВАС и ВСА равны؛ а сумма углов BBCWX и ВАС равна рвум прямым. Также и Сумма углоЗ BBG и ВВА равна двум прямым. [Углы ВВА и ВАС рав- ны, как опирающиеся на равные дуги ВА и ВС]. Поэтому угол BBG равен углу ВВС. Ст'Ороны GB и вв [в треугольнике GBB] соответствен- но равны сторонам ВС и вв [в треугольнике СВВ]. Поэтому основания BG и ВС равны, но ВС раЗна AB; следовательНо, BG р.авна AB 112.
АБУ СА.ИД АЛ-ДЖУРДЖАНИ
Абу Са‘ид ад-Дарир шел путем продолжения AB в ее направлении до тех пор, пока вн не станет равной AB (см. рис. 16. в п данное до- казательство ошибочно связано с нижеследующим рис. 17) и описы- вал из центра в на расстоянии вн половину окружности, которая не- обходимо пройдет через точки А и я. Затем он продолжал AB в ее направлении до окружности этого [полукруга] и соединял G с с и ٥ с С. Подобно тому, как было раньше, он доказывал, что BG равна BC;XXZ — а справедливо для всякой прямой, проведенной из А и Пересе- кающей круг АВВ, что если соединить точку пересечения и с, то эта соединяющая линия будет равна расстоянию, оказавшемуся между двумя кругами '[и измеряемому по продолжению линии АВ]. Затем он принимал )[отрезок] ЕВ за общий, и получалось, что СВ вместе с BE ' р.авны GE. Но ٠£ —перпендикуляр, опущенный из центра круга AGH 58 На хорду в нем AG; поэтому он рассекает ее пополам. II Следовательно, АЕ равна ЕВ вместе с BG, т. е. с ВС. II


37
Об определении йорб б нруее
АБУ СА‘ИД АС-СИДЖИЗИ 59
Он тоже поступал так же, как [это делали] раньше, а [зате^] 0؟ИСЫ" вал на ه4ير половИну окружности AED (рис. 17) и соединял G с с Он говорил, что круги АСН и ADE касаютСя в ٨ и ^٥ оиоси^ся к DH, к^к АЕ к EG, по той причине, что в треугольниках AED и AGH углы AED и л G# —прямые, и эти треугольники, подобны следовательно,
АЕ равна EG, а угол ADC равен углу АВС.. [Угол ADC] при центре.
а угол ^GC —при окружности. Поэтому угол АВС равен удвоенному углу AGC. Однако он, [т. е. угол АВС], равен сумме углов BGC и BCG. Поскольку два ؛[последних угла], равны, ВС равна ßGn4. Остальное — так же, как раньше. II
ВТОРОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ ,0 ЛОМАНОЙ линии 60
Когда мы разъяснили относительно ломаной линии то, что имеет место с ней в круге, то если мы скажем, что при делении дуги попо- лам и на две неравные части произведение хорд различных частей друг на друга вместе с квадратом хорды разности между половиной [дуги], и одной из неравных частей [дуги] равно квадрату хорды ПО.ЛО- вины дуги, это будет [еще одно] хорошее и полезное свойство. Все, что предшествО'Вало в первом утверждении, является предпосылкой для данного, второго [утверждения], хотя каждое из них может пред- шествовать другому, '[т. е. и второе утверждение может быть предпо- сылкой для первого].
Это свойство, [т. е. второе утверждение], может быть выражено через хорды!15, и тогда мы скажем: произведение хорды AB на хорду ВС вместе с квадратом хорды DB равно квадрату хорды AD (рис. 18).
Но оно может быть выражено также и через синусы, являющиеся по- ловинами хорд удвоенных дуг, и тогда мы скажем: произведение СИ- нуса дуги AB на синус дуги ВС вместе с квадратом синуса дуги DB равно квадрату синуса дуги AD.
Что касается предпосылки, известной у всех, [которую обычно формулируют] после предшествующего изложения первого '[утвержде- ния],, то она следующая^: если ломаная линия, [рассматривае-
мая] как одна прямая, разделена в Е пополам и в ß на две неравные части, то произведение ^ß на ВС вместе с квадратом ßß равно квад- рату ^ß. II
Примем квадрат ßß за общий ,[член]. Тогда произведение ^ß на 61 ВС вместе с квадратом ßß, т. е. с ؛[суммой] квадратов ßß и ßß, равно квадрату ^ß, т. е. [сумме] квадратов ^ß и ßß. '
Справед.ливость этого утверждения выявлялась у них, [т. е. у уче- ных, формулировавших это утверждение], благодаря пятому предло-


Математические и астрономические трактата
38
жению второй книги «Начал»!!?, ао это ^ожно доказать и с помощью [другого], предложения из этой же [книги].
ЯснО, Что AG равна ВС, если 0тделить118 GE, равную ЕВ (рис. 19). Это объясняется Тем, что линия BG делится по-полам в точке Е, а к ней, .؛T. е. к BG]) добавляется ٠ؤ!!ةو Следовательно ^оизведение ВА на AG Еместе с квадратом GE равно квадрату АЕ примем квадрат DE за общий [член]. Тогда произведениена AG вместе с квадра- том GD, т. е. !؛суммой] квадратов GE и ED, равно квадрату AD, т. е.
Рис. 18. Рис. 19.
[сумме] квадратов АЕ и ED. Но DB равна DG. Поэтому произведение ВА на AG, т. е. на ВС, вместе с квадра'гом DB, равно квадрату AD Это и есть то, что мы отели доказать؟؛.. II
ОДИН ИЗ ГРЕКОВ, [А ТАКЖЕ] АБУ САИД АС-СИДЖИЗИ И АБУ ‘АЛИ АЛ-БАСРИ
Среди достойнейших [ученых] есть такие, кто облегчил вес этой леммы, |[т. е. упростил ее], а есть и такие, кто удлинил ее краткость, [т. е. усложнил ее], благодаря чему она обрела различные виды!21. Я нашел ее122 в задачах, которые перевел с греческого на арабский йуханна ибн йусуф. с ней в точности совпала такая же, имеющаяся у Абу ‘Али ал-Басри и Абу Са‘ида ас-Сиджизи. Доказывалась она
ъ
Рис. 21.
ОДНИМ И тем же путем, а именно: в произвольном равнобедренном
треугольнике проводится линия из угла к основанию, которая делит еГо на две неравные части: тогда произведение одной из неравных частей на другую вместе с квадратом этой линии равно квадрату ОД" ной из боковых СТ'ОрОН.
Пусть треугольник ADG (рис. 20) будет с равными роковыми стороНами DA и DG. Проведем в нем к основанию линию DB на ЛЮ¬


39
Об определении хорд ج круге
бом расстоянии, лишь бы только она не была перпендикуляром к нему.
Я утверждаю, что произведение AB на BG вместе с квадратом DB равно квадрату AD. Для доказательства опишем около треугольника ADB окружность и О'Пустим перпендикуляр ED. Поскольку линия AG делится пополам в точке ء и на неравные части в точке В) квадрат АЕ будет равен произведению AB на BG вместе с квадратом ЕВ. II
Примем кЕадрат DE за общий ,[член и будем поступать], как мы 64- поступали раньше, пока [наши действия] не приведут к равенству квад- рата AD квадрату jBD вместе с произведением AB на BG12Z, Если провести ВС равной BG, дело возвратится к тому, что у нас было, и произведение AB на ВС вместе с квадратом DB станет равным произ- ведению AD на DC.
[МОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО]
Мы можем доказать это путем ПЛОСКИХ фигур, наглядных для [восприятия через] 0щущение124. Продолжим перпендикуляр DE (рис. 21) в его направлении до тех пор, пока EG не станет равной ЕА) и дополним ,[построение], плоской фигуры AG с параллельными сторо- нами. Это будет квадрат ЛИНИИ125 АЕ. На линии ЕВ построим квад- рат EF. Продолжим F к в ее направлении до L, сделаем ЕМ равной ЕВ, проведем MSO параллельно EG и дополним [построение] плоской фигуры АВРН126 с параллельными сторонами, в силу первой предпо- сылки MA будет равна ВС, являющейся разностью между ЕВ и ЕА — двумя частями основания^, ([разделенного] перпендикуляром. ES и 5#- квадраты, II поэтому AM равна KG, и плоские фигуры AS, SG 65 и G۶ —равные. Поэтому плоская фигура FH равна квадрату AG без квадрата EF, T. е. ES. Однако ,[площадь] ПЛО'СКОЙ фигуры FH - это произведение LF, равной AB, на FP, равную MA, которая равна ВС. Поэтому, если мы прибавим к ней квадрат BE12S) будет то же самое, что если мы прибавим к ней квадрат MK, т. е. ,[квадрат] кв. Таким образом, квадрат AG дополнится благодаря восполнению в нем не- Д0статка129. Затем прибавим к сумме квадрат ED. Однако сумма квадрата линии ED и квадрата AG, который был восполнен^., равна квадрату ^٥. Следовательно, квадрат BD вместе с произведением AB на ВС равен квадрату Л.131. اا
АБУ НАСР АЛ-ДЖА'ДИ 66
Его доказательство таково: он продолжа,л СВ в ее направлении и опускал на нее перпендикуляр DG (рис. 22). Поскольку угол ADC— по величи.не дополнения дуги ADC до полного круга, [т. е. равен ве- личине половины дополнения дуги ADC]) то угол ABG — по величине дуги ADC, (т. е. равен величине половины дуги ADC] 132. в силу этого углы EBD и BDG равные. Поскольку ,[угол]. EBD [опирается] на поло- вину дуги ADC, углы Е и G — прямые, а сторона DB — общая, тре-- угольники [BDE и 5.G].—равные, и BG равна ЕВ. DC в квадрате равна сумме квадратов CG и GD, a BD в квадрате равна сумме квад- ратов BG и GD. Следовательно, CD в квадрате равна квадрату BD и избытку квадрата CG над квадрат'Ом BG. Этот избыток - квадрат СВ вместе с (произведением], удвоенной BG на ВС. Однако АЕ равна сумме ЕВ и ВС, а было доказано, что ЕВ равна BG. Поэтому AB равна ВС вместе с удвоенной BG. Следовательно, квадрат ВС равен квадрату BD вместе с произведением AB на 5С٤зз. II


Математические и астрономические трактаты.
40
67 АБУ СА‘ИД АС.СИДЖИЗИ
Он сказал: продолжим AB в ее направлении до тех пор, пока не получится треугольник ADG с равными боковыми сторонами ^٥ и DG (рис. 23). Опишем вокруг этого треугольника окружность, которая
68 	заключит его в себя, продолжим DB в ее направлении II до окруж- ности этого ؛круга]. Соединим ff с G. Тогда произведение AB на BG будет равно произведению DB на вн. Но произведение DB на вн вместе с квадратом DB равно произведению DB на DH. Углы DGA и DHG в треугольниках DBG и DHG равны, так как они опираются на равные дуги AD и DG. Поскольку один угол этих двух ,؛треуголь- ников DBG и DHG] общий, они подобны. Поэтому DH относится к DG так, как DG к DB; отсюда произведение DH на DB равно .квадрату DG. Но ؛[произведение] DH на DB равн٠0 [произведенИю] AB на BG вместе с квадратом DB. Поэтому [произведение] AB на BG, которая, как это было доказано раньше, равна ВС, вместе с квадратом DB равно квадрату AD, равной 34٠اةه
Таковы методы, которые они [ученые] основывали при доказатель- стве этого утверждения на первой предпосылке. Но у них есть здесь и другие методы, не нуждающиеся в ней. Эти [последние методы] по- добны посылкам, а те — следствиям^, к ним относится метод, при- надлежащий Абу Насру ". II
69 МЕТОД АБУ НАСРА ......
Он продолжал здесь СВ в ее ,направлении (см. рис. 24. Так в 7 (рис. 25)آ в п этот чертеж неверен), опускал н.а нСе перпендикуляр DU, строил HG, равную вн, и соединял ٥ с G. Поскольку DC в квад- рате равна сумме квадратов DH и си, a DB в квадрате равна сумме квадратов DU и ив, квадрат DC равен ,[сумме] квадратов DB и ВС вместе с удвоенным прои.зведением ив на ВС. Но HG равна нв. Сле- довательно, квадрат DC равен квадрату DB вместе с произведениемЗб GC 1 СВ.
Угол С равен углу А, линия BD делит угол ABG пополам, а угол G равен углу DBH. Поэтому угол ABD равен углу HGD. Но уже было [раньше объяснено, что] угол с равен Углу А, а сторона DC равна стороне AD. Поэтому CG равна AB. Квадрат DC равен квадрату DB вместе с произведением^? GC на СВ. Следовательно, квадрат AD ра- ген квадрату DB вместе с произведением AB на вс]33. II


41
Об определении хорд в круге
АБУ 'АБДАЛЛАХ АШ-ШАННИ 70
Он откладывал дугу AF, равную .дуге ВС (см. рис. 25. в п этот чертеж пропущен и дан.ное доказательство ошибочно связано с ниже- ^ис. 26), соединял с с F, продолжал СВ в ее направлении до тех пор. Пока CG не становилась равн؟й линии CF, опускав на нее перпендикуляр DH, и соединял D с G. Каждая из линий FC и AD
Рис. 24. Рис. 25.
соответственно равна одной из линий GC и CD. Углы FCD и GCD [опираются] на равные дуги. Следовательно, основания DG и DF рав- ны друг другу. Но DG равна DB, поэтому DF равна DB. Линия GB разделена перпендикуляром DH пополам, а .с— прибавление к ней. Поэтому произведение GC на СВ вместе с квадратом .£>9ةا равно квадрату DC 140.ا| Но AB равна CGر T. e. CF. Таким образом, произве- 71 дение AB на ВС вместе с квадратом DB равно квадрату CD) т. е. 4.141.11
[МОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО] 72
Когда я нуждался в [доказательстве] этого в некоторых из моих книг, я говорил: проведем DG параллельно AB и соединим 4 с رى 4с٥, 0сЛи.с.٥ (см. рис. 26. В . это доказательство ошибочно связано с нижеследующим рис. 27). Поскольку дуга 4٥ равна дуге DC) а дуги 4ى и — равные, оставшаяся дуга DG равна дуге .رى
и их х.рды будут равными. Так как четырехугольник AGDB вписан ;;р;; : جه قلا٠اي р؟٥н٥ сумме произведения ..;на
AB и произведения AG на |42 Но 0.143 равна ة£ a AD : GB. По- квадо T0M؟P..I1٥|| Равен произведению AB на ВС, т. е; ٥٥ вместе с ؤ говорил в другом песте, не прибегая к книге * 73
опустим перпендикуляр ٥. на AB (рис. 27), соединим А с ٥, Прове؛


Математические и астрономические трактата
42
дем ٥٠ параллельно AB, a DF параллельно GA. Тогда [DF] будет равной GA и DB. Угол DFA -тупой. Квадрат AD превосходит [сумму) квадратов AF и FB на произведение A F на F в, т. е. [на произведение AF] на удвоенную FE. Но произведение A F на FB вместе с квадратом AF равно произведению ВА на AF. Следовательно, квадрат AD равен сумме квадрата DB, а ةه]ا] равна DF, ,[и квадрат DB] равен произве- дению DB на GA) с произведением ВА на AF, ибо ؛[это произведение ВА на AF] равно квадрату A F вместе с удвоенным произведением FE на FA. AF равна DG, a GD равна ВС. Поэтому квадрат ^٥ равен квадрату DB вместе с произведением AB на вене, II 74 СУЛАЙМАН ИБН ‘ИСМА АС-САМАРКАНДИ47؛
У него есть трактат об ([определении] площадей фигур, в нем он проводил (рис. 28), [строя], трапецию с двумя параллельными и двумя другими равными сторонами, .[линию] DG параллельно AB, отклады- вал BF равную GD и соединял G с F148. [GF] оказа.лась равной DB,
ъ
которая [в свою очередь] равна GA149. Он проводил [далее] высоту -треугольника AGF, котО'рая делит AF* в [точке], н пополам. Fß — пре- вышение AF. Поэтому произведение AB на BF вместе с квадратом FIF равно квадрату #ß. Далее., примем квадрат GH за общий [член]: тог- да получится, что произведение AB на BF, т. е. на GD, вместе с квад- ратом GF, т. е. [с квадратом]. DB, равно квадрату GB0٠ةا II
75 АБУ-Л-ХАСАН ‘АЛИ ИБН 'АБДАЛЛАХ ИБН БАМШАЗ١51
Он шел путем подобным тому, которым Птолемей д.оказывал свой, ство четырехугольника, вписанного в круг. Он говорил: углы BDC и BCD опираются ,[вместе] на дугу DBC, и поэтому эти два угла вместе равны углу DBA (рис. 29). Затем он выделял из уг.ла DBA угол, рав- ный углу DCB, а это —угол DBF. в треугольнике DBF он!52 равен углу DCB треугольника DCB. Угол CDB — общий у обоих треуголь- ников, следовательно, они подобны. Тогда CD ОТНО'СИТСЯ к DB, как DB к DF, а поэтому произведение CD на DF равно квадрату BD.
Так как угол DBA равен )[сумме] углов BDC и BCD, а (от него] был отделен угол DBF, равный углу BCD, ТО' оставшийся угол FBA равен углу BDC. Углы АВС и ADC равны друг другу. Поэтому весь угол ADB равен все.?١٩у углу FBC, а треугольник ADB подобен тре-
76 ؛-.гольнику FBC. Следовательно, AB относится к FC, как AD к ВС, II а произведение AB на ВС равно произведению DC на CF. Уже было [доказано, что], произведение CD на DF равно квадрату BD, а произ-


43
Об определении хорд ج круге
ведение DC на каждую из частей I[DC:] DF и FC, !(взятых вместе], это— квадрат DC, равный квадрату А.153. Следовательно, квадрат AD ра- вен квадрату DB вместе с произведением AB на ВС 154.
АБУ-Л-ХАСАН АЛ-МИСРИ АС-САМАРКАНДИ155
То, что передают, возводя это к нему, является частным случаем., и похоже, что его потребность ограничивалась им. Краткая же суть того, что передают, такова^б: он предполагал угол ADB прямым и гово'рил, что II к.вадрат DC равен квадрату AB и произведению AB на 77
ВС (рис. 30). Затем [для доказательства] он дополнял круг, проводил в нем диаметр DF и опускал на него перпендикуляр вн, а из ٥ на" ßC —перпендикуляр DE. Тогда DH и ЕВ равны друг другу. Он продолжал ВС в ее
Рис. 30. Рис. 31.
направлении, пока СК не становилась вдвое больше ЕВ.
Известно, что вк равна диаметру DF. Поскольку угол DBC тупой, квадрат DC равен сумме квадратов DB и ВС вместе с y^ßoeHH^i^ произведение^ ВС на ЕВ, т. е. вместе с произведением ßC на СК. *Однако квадрат ВС вместе с произведением ВС на СК157 равен про- изведению ВС на BK, т. е. на диаметр AB. Поэтому произведение диаметра AB на ВС равно квадрату ВС вместе с произведением ВС на СК. Следовательно, квадрат DC равен квадрату DB вместе с произ- ведением AB на ВС.
В силу частного характера этого [доказательства] ВКу [которая строится] путем прибавления удвоенной ЕВ к ВС) может быть равна дИаметрУ в том случае, если дуги DB и CF будут равными. Уклонение всей этой версии от истины, [если таковое имеет место], должно быть поставлено в вину передатчику, II а не ؛самому] Абу-Л-Хасану158. Можег 78 быть забывчивость привела к тому, что что-то выпало из этого [доказа- тельства], благодаря чему и отошло сие дело от истины159.
ДОПОЛНЕНИЕ ЭТОГО БТОРОГО УТВЕРЖДЕНИЯ ВТОРЫМ ДЕЛЕНИЕМ [ДУГИ), ИЗ-ЗА ЧЕГО ВОЗНИКАЕТ ТРЕТБЕ УТВЕРЖДЕНИЕ Аналогично тому, как деление дуги пополам и на две неравные части обуславливает для хорд свойс.тва, подобные свойствам, обретае- мым прямой линией, разделенной так же, то и данная нам дуга, если она разделена пополам, и к ней прибавлена какая-то дуга ее круга, [обуславливает то], что хорды этих частей [окружности] также обрета- ют свойства, подобные тем, что присущи прямой линии, [с которой поступили] так же, а именно: произведение хорды данной дуги совмест-


Математические и астрономические трактата
44
НО с прибавленной [дугой] на хорду прибавленной дуги [в сумме] с квад- ратом [хорды] половины данной дуги равно квадрату хорды суммы этой половины [данной дуги] с прибавленной ,[дугой].
Пример: если данная дуга —(рис. 31), середина которой — D, а к ней прибавлена дуга СВ, то я утверждаю, что произведение [хорд] AB и ВС вместе с квадратом [хорды] DC равно квадрату [хор- ды] لء6اةه.
АБУ-Л-ХАСАН ИБН БАМШАЗ
Он соединял [линией] л с с, пересекая DB в f, и дополнял круг (см. рис. 32. В п чертеж неверен: ٥ не делит дугу ADC пополам и пропущена хорда ВС). Углы ABD и —равные вследствие равен- ства дуг AD и DC, а углы CDB и САЙ —равные, как опирающиеся
В
80 на одну дугу. II Следовательно, треугольники CDB и BFA — подобные. Поэтому AB относится к BF, как DB к^с ؛лагодаря чему п؟оизве٤ние AB на ВС равно произведению BF на DB. А также: углы рве и ACD — равные, а угол CDB — общий у треугольникови FCD; следователи. Но, они подобные. Поэтому ß٥ относится к DC, как DC к DF, вследствие чего произведение BD на DF равно квадрату DC. Но раньш؟^было до- казано, что произведение AB на ВС равно произведению BFpHa DB. ПроизЕедение DB на каждый из двух члено^, т. е. на DF и FB есть квадрат DB. Следовательно, произведение AB ؛на ВС вместе с квадра-
81 том CD равно квадрату DB: а это и есть то, что мы утверждали*.!. II
АБУ ДЖА'ФАР АЛ-ХАЗИН162
У Абу Джа‘фара ал-Хазина подобное же [доказательство], но только он получал равенство произведения вр на DF произведению AB на ВС из подобия треугольников ЙСЙ*.3 и Ай^ (рис 33) в силу равенства угл.ов CBF и DBA и равенства углов FCB и ADB. РавенСтЕо же проИзведения BD на DF квадрату DC, равной AD, он получал из по^бия треугольников AFD и ABD в )силу..равенства углОв DAF и DBA и тогО, что угол ADF в них обоих общий*.4.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОЕГО '[УЧЕНОГО], имя КОТОРОГО НЕ УПОМЯНУТО
Он откладывал вк равной ВС (рис.33), соединял к с D и опускал перпендикуляр DE. Вследствие равенства углов CBD и DBA при равен-


45
Об опребелении хорб 8 круге
стве сторон КВ и ВС основания KD и DC T. е. AD165 будут равными.
Поскольку боновые стороны DK и ده— равные, Е будет серели ز .ной AK, а ح —добавлением к ней. ПоэтомуПроизведение AB на вк вместе с квадратом ЕК равно квадрату ЕВ. Пусть будет к^а^рат DE общим [члено^]'1٩ Тогда произведеНие AB на КВ) т. е. на ВС) вместе с квадратом DK, т. е. DC) ^авнО' квадрату BD) равного [сумме], квадра- Эти два [рассмотренных нами] свойства взаимосвязаны и одно из 82 них может доказывать другое, как и доказываться. сам۶ в отдельности.
Для ,[доказательства] предшествующего [свойства], а это второе утверждение, продолжим DB (рис. 34) в ее направлении до тех пор. Пока она не всТретится с АС в точке F. Поскольку произведение FA на FC ؟авно произведению : на FB, то AF относится к FB, как DF к FC.
Треугольники AB F и DCF подоб؟؟, и п^эТому углы ABF и DCF — равные^ равенства углов DAC и DBC двум прямым и равенства уг- лов И C5f им же, [т. е. двум
Прямым], угол CBF ра^ен углу DAF, равному углу DBA. ؟^؟овательно,
|قج1ء
83
Рис. 34.
Л
Рис. 36.
D
НО произведению DB ؛на в F вместе с квадратом DB.
Поскольку каждый из углов ADB и BCF вместе с углом ВСА [равен], двум прямым, то эти два угла — равные. Поэтому треуго.льники ADB и —подобные, и AB относится к BD) как FB к ВС. Поэтому произведение AB на ВС равно произведению FB на BD. Если мы при- мем квадрат DB за общий [член], произведение AB на ВС вместе с квадратом DB будет равно произведению FB на BD вместе с квад- ратом DB. Но уже было доказано, что это, [т. е. произведение FB на BD вместе с квадратом DB]) равно квадрату DC. Следовательно, произ- ведение AB на ВС вместе с квадратом BD равно квадрату DC) т. е. квадрату ^٠. II
Второе утверждение уже было доказано, и если желательно дока- 81 зать с его помощью третье [утверждение], то отделяется дуга АН 168. равная дуге СВ (см. предыдущий рис. 34), и соединяется с с #ة6ل. Известно,- что . — середина дуги #70لق, а добавлением к ней, [т. е.


Математические и астрономические трактаты.
46
К дуге ЯВ], является дуга ВС. Следовательно, произведение؛?! ЯС172, равной AB, на СВ вместе с квадратом BD равнО квадрату CD, т. е. !квадрату) AD, а это и есть то, ЧТО'- мы хотели {доказать].
Если второе утверждение [рассматривается]. отде,льно, и еГ'0 свой- ства являются предпосылкой, то методом, подобным'Предыдущим мето- дам, легко из него доказать третье72؛ [утверждение].. Связь существа -,[третьего утверждения] с существом ([второго утверждения], при кото- 85 рой [можно обойтись] без того, что упоминает II Абу-Л-Хасан ибн Бам- шаз и другие, такова4?؛: прибавим؛™ к дуге ADC (рис. 35) дугу AF) рав- ную дуге ВС, и соединим. А с F, Тогда вся [получившаяся] дуга FDB будет разделена пополам в точке ٥ и на две неравные части — в А. Поэтому произведение؛؛™ ВА на AF, т. е. на ВС вместе с квадратом AD, т. е. с ,[квадратом] DCد равно квадрату DB. Перпендикуляр DE делит ломаную линию BAF в точке. Е пополам. Поэтому ВЕи7 равна АЕ [в сумме] с AF. Линия BAF равна линии АВС. Следовательно, линия؛™ ЕВ равна сумме лв и вс7٩؛
ЧЕТВЕРТОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ о ЛОМАНОЙ линии Есть у этого вида еще одно полезное свойство, а именно: разность между равнобедренным треугольником ACD (рис. 36) и разносторон- ним треугольником АСВ равна произведению DE на ЕВ.
Доказывая это утверждение, отбросим общий треугольник AFC. Затем отделим™. EG, равную ЕВ, и соединим ٥ с G. Ранее из равен- ства треугольников DGA и DBC было доказано, что углы DGA и DBC равны друг другу. Выделим из угла DGA угол AGH, равный углу CBF.
86 آ| Тогда треугольники AGH и ВЕС будут равными. Отбросим йх обоих, вырезав [их].؛8؛. 'Гогда останется треугольник DGH, р.авный треуголь- нику DFB. Примем треугольник DEF за обший™2. Тогда треугольники DGH и DEF будут [вместе] равны треугольнику DEB. Следовательно, косой [четырехугольник] DFGH, являющийся избыткО'М треугольника ADC [над треугольником АВС], равен треугольнику DGB, а это, [т. е. площадь DGB], -произведение высоты DE на половину основания ЕВ.
Кроме того, поскольку треугольники AGDI83 и ВВС184 равны, избы- ток треугольника AGD над треугольником ЯЕС — треугольник DBF. Следовательно, избыток треугольника ADF над ![треугольником]. BFC — это треугольник DGB, равный |[по своей площади], произведению DE на ЕВ. Но избыток треугольника ADF над треугольником ВЕС —это избыток треугольника ADC над треугольником АВС, поскольку тре- угольник AFC — общий٤85.
АБУ НАСР АЛ-ДЖАДИ
Он откладывал АН, равную ЕС (см. предыдущий рис. 36), и соеди- нял Я с G. Треугольники AHG и СЕВ равнь^ друг другу, и остав- шиеся треугольники DGH и ВЕВ86؛- равные. Следовательно, треуголь- ники вес; BFD и DFG [в сумме их площадей] равны треугольнику ADF. Треугольник ЛЕС он принял за общий ,[член]. Тогда треугольники ADF и ЛЕС будут равны [в сумме] треугольникам AFC, BFC BFD и BEG87؛. ТаКи^ образом, разность ^ежду треуго,льниками ЛВС и ЛВС— это треугольники BFD и DFG, а их сумма равна произведению DE на вв88؛. II


47
Об опребелеяии хорЭ 6 круге
87
АБУ 'АБДАЛЛАХ АШ-ШАННИ
Он соединил А с с и опускал на нее, {т. е. на линию АС]у псрпен- дикуляр DH) а на ٥я_ перпендикуляр BF (см. рис. 37. Чертеж дан по Я; в Г он менее точен. Отрезок EG\ дан по ٤٠, в я и г он отсутству- ет). Треугольники АКНу KBF и — подобные'139, поэтому АН ОТ'НО-
сится к ED) как BE к FD.
Следовательно, произведение АН на DF равно произведению ED
на BEу lia произведение АЯ на ///! W \ 89
DF есть избыток произведения ٥я на яс над произведением FH на FCу т. е. избыток тре- угольника ADC над треугольни- ком АВС.
Эти свойст'ва тесно связаны друг с другом, и одно из них до- называется при помощи доказа- тельства другого. Если установле- но, что разность между треугольниками ADC и АВС равна произведению DE на ЕВ) отложим EG) равную ЕВ. Затем отбросим общий треуголь- ник АМСу и тогда избыток треугольника ADM над треугольником ßMC —это прОизведение DE на ЕВ) т. е. треугольник DGB. II Вслед- 90 ствие этого избыток треугольника ADM над треугольником DBC — это треугольник DGM. Таким образом, треугольник ADG равен треуголь- нику DBC, и стороны AD и DG [треугольника ADG190] равны сторонам CD и DB [треугОльника DBC]. в силу этого третья сторона AG ра؟на стороне ВС. Мы отложили EGy равную لول5ء, поэтому сумма ^٠ и GE равна сумме ЕВ и ВС.
Отсюда становится ясным, что если хорда дуги является основа- нием двух треугольников, один из которых равнобедренный, а дру- гой — разносторонний, то периметр первого больше периметра второ- го, таК как AD больше АЕ, и DC также больше суммы ЕВ и ВС. Примем АС за общий [член]. Тогда сумма AD) DC и АС больше сум- мы АЕ) ЕВ) ВС и АС. Следовательно, стороны треугольника ADC) взятые в сумме, больше сторон треугольника АВС) взятых в сумме.
А это то, что мы хотели доказать.
Все эти свойства, которые мы изложили выше, причисляются к основам геометрии. Поэтому мы обращаемся к ним при частых по- требностях, разрешаемых с их помощью. Некоторые из них я упомяну [ниже]. Те же ![вопросы]., которые удалось [решить] кому-нибудь дру- гому, кроме меня, я отнесу на имя того, [кто их решил], и назову его [имя] с соизволения Аллаха всевышнего и с помощью Его192.
ПРОВЕДЕНИЕ ДВУХ .линии ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ точки, ЗАКЛЮЧЕННЫЕ в ЗАДАННЫЙ УГОЛ, ПРИ том, что СУММА [ВЕЛИЧИН] ЭТИХ ДВУХ ЛИНИИ РАВНА ЗАДАННОЙ линии Менелай!93 хотел показать во втором предложении третьей книги его сочинения «Начала геометрии», как вписать в заданный полукруг ломаную линию, равную заданной линии. Он шел к этому 'очень дол- гим путем. Затем это сделал Сабит ибн Курра194, когда комментиро- вал эту книгу, столь же длинным действием, что и Менелай. Однако после предпослания вышеизложенных ؛[нами] свойств ломаной линии, вписанной в произвольную дугу, то, что хотел [доказать] Менелай,


Математические и астрономические трактата
48
облегчается и становится [к тому же] общим для любых дуг данной окружности, а не только для полуокружности^.ا|
91 Абу-Л-Джуд Мухаммад ибн ал-Лайс190 посвятил этому вопросу специальную статью, однако он решил его путем, превосходящим все [предыдущие] долготой и трудностью. Когда же стал заниматься им
Абу Са‘ид ас-£иджизи*97, он
р. 1 решил его крайне легким пу-
тем. И мы не пренебрегаем им, приводя [нижеследующее до- казательство] с помощью од- ؛ного из рассмотренных выше свойств.
Итак мы скажем: мы хотим провести из двух известных то- чек АиС (рис. 38) две прямые линии, соединяющиеся в ка- К0Й-Т0 точке и заключающие угол, равный данному углу 5, так, чтобы их сумма была рав- ؛на данной линии HF.
Соединим А с С и построим на этой ,[линии, т. е. на АС], сегмент дуги, вмещающий198 угол, равный углу 5, а это - сегмент ADC, и пусть будет точка ٠ серединой его [дуги]. Соединим А с ٥. Для того, чтобы можно было получить искомый результат, необходимо, чтобы данная линия #۶ была больше АС, но не больше удвоенной AD. Затем опишем на А. полуокружность AKED и найдем в ней хорду АЕ) равную половине линии HF. Далее продолжим ее в ее направле- НИИ до 5 и соединим в с с. я утверждаю, что мы построили то, что хотели!99.
Доказательство. Если мы соединим D с Е, то [линия DE] будет перпендикуляром к АЕ, опущенным из середины [дуги], данного сег-
92 мента. Поэтому АЕ равна сумме ЕВ и ВС. II Однако АЕ задана рав- ной половине HF; поэтому сумма ЕВ и ВС равна другой ее половине. Следовательно, сумма линий AB и ВС равна всей линии HF, а угол АВС равен углу 5, поскольку он в сегменте, вмещающем угол, рав- ный ему. Это и есть то, что мы хотели2٥٥.
ПРОВЕДЕНИЕ ДВУХ ЛИНИЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ точки, ЗАКЛЮЧЕННЫЕ в ЗАДАННЫЙ УГОЛ, ПРИ том,
ЧТО РАЗНОСТЬ ИХ РАВНА ЗАДАННОЙ линии Если мы хотим провести их таким образом, будем поступать, как упоминалось, пока не будет построен сегмент на линии АС291. Допол- ним его в G (см. рис. 39. в # и т ошибочно_ к на месте L и наобо- рот. Нами чертеж, дан по Л) до П0лукруга2٥2. Соединим А с ٥ ,٠ с G и А с G. Возьмем GK, равную половине линии HF, и опустим перпен- дикуляр /([203 на AG. Затем найдем хорду DB, равную GL, и соеди- 93 ним А с 5 и ß с С. II Я утверждаю, что разность [между]. AB и ВС равна линии HF.
Доказательство. Опустим перпендикуляр DE на AB. Тогда вслед- ствие равенства углов DBE и DGA, опирающихся на дугу АД и углов DEB и KL G) являющихся прямыми, треугольники DEB и KLG будут подобными. Но мы приняли DB равной GL, и поэтому эти два тре-


49
Об определении хорд в круге
угольника, при том, что они подобны, равнял друг Аругу. Поэтому KG ^авна ٥٥; а мы приняли KG равной ПолоНине ff(. Из предшествую- Ujero известно, что ЕВ равна половине разности ^5 и ВС. Следова-
тельно, удвоенная {ЕВ] равна всей этой разности. Если половина раз- ности равна половине رس то вся она равна всей
Здесь необходимо условие, чтобы LG была бы не больше ^٥. В противном случае искомое не будет найден٠2٥٩ II
94
ДРУГОЙ МЕТОД, ПРИНАДЛЕЖАЩИЙ МНЕ205
Если нам угодно, опустим из [точки], ره являющейся серединой [дуги] ADC (см. рис. 40. В ٥ в этом чертеже пропущена линия ВС; в т (рис. 41) ٥٥ не равна хотя это — условие доказательства), перпе.ндикуляр ٥^ на АС206, Отло- жим KL, равную половине HF.
Проведем LM параллельно ٥^ и МО параллельно КС. Построим хорду رهه равную وئ и соединим 4د с ٥ и ٥ с с. Тогда мы получим то, что хотели.
Доказательство. Опустим пер- пендикуляр ٥٥ на AB. Тогда тре- угольники ٥٥٥ и ٥٥٥ будут по- добными, и подобным им обоим бу- д.ет треугольник ٥МО вследствие параллельности ом и КС. Однако DM равна رهه поэтому МО равна رهه но МО равна и KL, следовательно, ٥٥ равна ^ره которая равна половине ٥٥ .٥٥ равна половине раз- ности AB и ВС, и, следовательно, удвоенная ٥٥ есть вся эта разность, которая равна ٥٥. II
[МЕТОД] ПРОВЕДЕНИЯ ДВУХ ЛИНИЙ из ДВУХ ЗАДАННЫХ ТОЧЕК, 95 ЗАКЛЮЧЕННЫХ В ЗАДАННЫЙ УГОЛ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ одной ИЗ КОТОРЫХ НА ДРУГУЮ .'РАВНО ЗАДАННОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЕ,
ПРИНАДЛЕЖАЩИЙ МНЕ^7
Если мы хотим провести их так, чтобы они заключали )[угол], по- добный углу 5 (рис. 41), и чтобы произведение одной из ؛них на дру- гую было бы равно плоской фигуре ره пусть будет линия к в квадра- 4 — 11


Математические и астрономические трактаты.
50
5
те равна плоской фигуре ٥. Построим на АС сегмент, вмещающий угол 5. Соединим А с [точкой) وه серединой [дуги АС]. Опишем на ^٥ половину окружности ^٥٥. Отыщем в этом [полукруге], хорду ля, равную линии К) и соединим ٠ с ٥. Затем построим хорду وجه рав-
ную хорде ٥٥, соединим А ٦٦ с ج и ٥ с 0و и получится то,
что мы хотели.
Доказательство. Квадрат ^٥, как [доказывалось] вы- ше, равен квадрату ٠٥ вмест'е с произведением ^٥ на ВС. Следовательно, квад- рат ^٥, из которого вычтен квадрат ٥٥, равен произве- дению ^٥ на 5С. Но квад- рат ^٥, из которого вычтен квадрат ٥٥, равен квадра- ту ЛЯ, так как мы приня- ли, что ٠٥ равна ٥я. Сле- довательно, квадрат ля ра- Рис. 41. вен произведению л٥ на
ВС. Однако квадрат АН) т. е. квадрат линии К) был при.нят ранее равным плоскости ٥. Отсюда произведение л٥ на ВС равно плоскости F208. II
97 ДРУГОЙ МЕТОД, ПОДОБНЫЙ ЭТОМУ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЙ
АБУ ؛АБДАЛЛАХУ АШ-ШАННИ209
Соединим ЛсС (рис. 42) и построим на этой )[линии], сегмент, вмещающий угол, равный углу 5. Построим линию К) равную в квад- рате заданной плоской фигуре وه и проведем хорду л٥ к середине
Рис. 42.
К. Соединим Л с ٥ и ٥ с С Я утверждаю, что произ- ведение л٥на٥с равно заданной плоскости ٥211.||
98 Доказательство этого. Примем точку ٥ за центр и опишем [вокруг нее] на расстоянии ٥л сегмент Кру- га ALHC. Продолжим ли- НИИ Л٥ и л٥ в их направ- лении до окружности этого сегмента. Соединим ٥ с с. Ясно, что [DC] будет равна ٥л.
Проведем و٠ه равную وهه и ясно, что AG равна ВС. Угол AGD— тупой. СледО'ВательНо, Квадрат л. равен квадрату л. вместе с квад- ратом ٠٥ и однократным произведением л. на ٠٥. Однако ٥٠ рав-


51
Об опребелении хорб S круге
на DB) и квадрат AG вместе с произведением на GB равен произ- ведению ВА на AG212, т. е. произведению AB на вн. Следовательно, кв.адрат AD равен квадрату DB вместе Ç произведением ^5 ؟а вн. Ранее мы приняли разность квадрата ^٥ и квадрата к равной кващ- рату DB. ТаКи^ образо^, произведение AB на вн равно квадрату К) т. е. заданной [площади] плоской фигуры Я13. Затем Пр0ведем214, ли- НИИ CH, CL и HD. Угол ADC равен углу АВС) *поскольку оба они в одном сегменте, [т. е. по величИне хорды АС) ограничивающей данный сегмент]23. Следовательно, углы LDC и равные. Поскольку
углы ALC и АНС опираются на одну дугу* они также равные2!6. По- ؛тому треугольники LDC и нвс217 подобные, треугольник LDC рав- нобедренный, и треугольник нвс также равнобедренный, нв равна ВС. и, следовательно, произведение AB на ВС равно [площащ؟] задан- ной' плоской фигуры F, а это —то, что мы хотели разъяснить23.ا|
ПРОВЕДЕНИЕ ДВУХ ЛИНИЙ из ДВУХ ЗАДАННЫХ ТОЧЕК 99
заклДающих заданный угол, отношение одНой 99
из КОТОРЫХ к ДРУГОЙ —КАК ЗАДАННОЕ ОТНОШЕНИЕ
Если мы хотим, чтобы отношение одной [линии) к другой было бы как заданное отношение, пусть, [например], как отношение ЬкК (рис. 43), построим линии FG и дН) заключающие угол, равный углу S) и возьмем GF равной к, a Gtf —равной L. Соединим н с F и по-
строим на АС сегмент, вмещающий L а угОл S. Построим угол САВ, равный
углу GHF, и соединим в с с. Тогда мы получим то, что хотели.
Б
Доказательство этого. Угол FGH равен углу АВС. Угол FHG ра- вен углу САВ. Следовательно, треугольники АВС и Gf^ — подобные, и AB относится к ВС) как HG к GF. Но отношение HG к GF мы при- няли соответствующим отношению L к к. Поэтому AB относится к ВС, YIL L YL кл
Данное последнее {доказательство] не связано, с предыдущими 100 свойствами [ломаной линии], которыми мы [занимаемся]. Однако оно, будучи связано с этим искусством, следует [стезе] его', дабы послед- нее поднялось благодаря ему вьпне, к тому, что завершает его. к тому же, нашей целью при упоминании предыдущего не являлось полное из- ложение всего, к чему приводят [частные] подразделения и варианты ос- новного вида {проблем], я излагаю [здесь] лишь те [вопросы], резуль- тат {решения], которых может быть получен и из упомянутых свойств [ломаной линии, вписанной в круг)23.


Математические и астрономические трактаты
52
ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА в ЗАДАННОМ КРУГЕ,
СУММА СТОРОН КОТОРОГО РАВНА ЗАДАННОЙ линии Пусть будет заданной линией HF (см. рис. 44. в т (рис. 45) ошибочно вмес.то «А» вторично «D»). Необходимо, чтобы она не была большей, чем сумма сторО'Н равнобедренного треугольника, вписанного в этот круг. Отметим на линии HF произвольную точку {/؟]. Отыщем в круге хорду АС) равную НК. Разделим дугу АС пополам в [точке] ٠. Соединим А с D. Построим на AD полукруг AED. Отыщем в нем хор- 101 ду АЕ, равную половиНе KF. ПродолжИм АЕ в II ее направлении до в. СоедИ'Ним 5 с С. Тогда сумма сторон треугольника АВС будет равна линии HF, поскольку АС равна НК) ٠а АЕ, являющаяся половиной лома- ной линии ABC, paB'Ha половине линии KF. Значит вся [АВС] равна всей [ЛВ], и треугольник АВС —ИСК0МЬ1Й22٥.
МОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЕЙСТВИЙ АРХИМЕДА для ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫСОТ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ИЗВЕСТНЫМИ ؛СТОРОНАМИ И «МЕСТАМИ ПАДЕНИЯ КАМНЯ»221
Архимед сказал: отнимем квадрат одной из двух сторон (тре- угольника] от квадрата другой, разделим остаток на основание, и тог- да, если мы прибавим частное к основанию и возьмем ПО'ЛОВИНУ сум- мы, то бблыная из двух частей основания и будет [от'деляться] высо- той, т. е. [будет отделяться] «местом падения камня» .[высоты]. Если же мы вычтем ![частное] из него, ,[т. е. из основания], и возьмем поло- вину остатка, получится меньшая из этих двух частей ؛[основания].
Пусть будет '[дан] треугольник ADB и высота fero] DE (рис. 45). Опишем вокруг него круг. Отделим от него ![дугу] DC, равную DA.
102 Соединим 5 и с и построим на АЕ квадрат AG и на II BE222 —квад- рат EF. Отложим ЕМ, рав؛ную ЕВ. проведем МО параллельно EG и FLK параллельно AB и дополним плоскую фигуру АР. Поскольку квадрат DB равен сумме квадратов DE и ЕВ, а квад-рат — сумме квадратов DE и ЕА, квадрат DE является общим ؛[членом] двух этих [равенств сумм] квадратов. Поэтому, если мы вычтем квадрат BD из квадрата DA, получится то же, что и при вычитании квадрата BE из квадрата ЕА. Видно, что этот остаток будет ГН0М0Н0М223, вокруг которого — ١لآلالآ QZN.
Вследствие равенства линий FK) KS224 и SM и равенства [линий]. FP, KG и MA, являются равными плоские фигуры FG, ко и ML. Поэтому плоская фигура FH равна гномону [в д.уге] QZN225. Однако FP) т. е. AM) равна ВС) поскольку ли؛нии AM и ME равны линиям ЕВ и ВС. СледоНательно, плоская фигура FH есть произведение AB на ВС. Если мы разделим ее на основание [AB], в частном получится ВС. При прибавлении ؛[ВС к основанию AB] получится ломаная линия АВС, половина которой АЕ226 — большая часть основания [ABI. при вычитании же [ВС из AB] останется МВ, половина которой вв будет меньшей частью основания ДО' «места падения камня»227.
Если угодно, сократим это долгое .[доказательство], отделив EG, равную ВВ (рИс. 46). Поскольку квадрат AD равен квадрату ß.228 вместе с произведением AB на ВС и если мы вычтем квадрат BD из квадрата AD, останется произведение AB на ВС. Если мы разделим
103 ؟го на II основание [AB]) в частном получился ВС. при прибавлении [ВС] к AB получится ломаная линия АВС, п0Л0вина229 которой — AB230. Если же мы вычтем [ВС] из AB) останется GB, середина кото- рой ВВ231.


53
Об определении хорб в круге
Продолжим AD в ее направлении Д.0 н, так, чтобы DH была рав- ной ٥٥. Отложим DF подобной же ,[величины],. AF и AG являются прибавлениями [соответственно] к линиям FH и ٠٥, деляиимся232 ,[Точками], ٥ [и] £ пополам. Поэтому произведение НА на AF вместе
Рис. 46.
D
с квадратом FD равно квадрату ^٥. (Также] и произведение ВА на AG вместе с квадратами GE и ED равно квадрату А٥. Квадраты ٥٠ и DF равн؟. Вычтем их обоих (из уравнений]2؛з, чтобы осталОсь произведе- ние НА на AF равным произведению AB на AG, т. е. на ВС. Тогда произведение НА на А٥234, будет произведением суммы сторон AD и DB на их разность: следовательно, оно равно разности квадратов сто- рон Л. и ٥٥. II
ف
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЕЙСТВИЯ АРХИМЕДА для [ОПРЕДЕЛЕНИЯ) ’площадей треугольников по д
[,ВЕЛИЧИН ИХ СТОРОН) 235
Архимед сказал: половина суммы трех сторон треугольника умно- жается на ее избыток над одной 3؟ сторон؛ произведение умножается на избыток этой ,[половины суммы], над второй [из сторон], и (послед- нее] произведение умнржа؟тся на избыток Этой (половИны сум^ы] над третьей ؛[из сторон]. Из (последнего], произведения извлекается корень, и получится площадь данного треуголь- ника.
Сказал Абу ‘Абдаллах [аш-Шан- ни]: доказательство этого - '[возьмем] треугольник АВС (рис. 47) и опишем около него круг [ADBC]. Опустим из середины дуги АВС, а это-[точка] ٥, перпендикуляр ٥£ на AB и перпенди- куляр ٥٠ —на АС. Соединим ٥ с А,
٥ с ٥ и ٥ с ٠. Опишем из центра А ؛на расстоянии AG дугу GHF, принадлежа- и؛؟ую к окружности, которая пересекает линию AB ج точке н, а линию AD в точке F. Линии AF и AG равны друг другу. Поскольку AD в квад- рате равна сумме квадратов ٥٠ и GA, квадрат DF вместе с (удвоен- ным], произведением DF на FA и квадратом FA равен ,[сумме] квадра- TOß236 ..237 и GA, (при том, что GA] равна FA. Если мы вычтем рав- ные квадраты AF и AG, останется: квадрат DF вместе с удвоенным произведением DF на FA равен квадрату ٥٠.
а
Рис. 47.


Математические и астрономические трактаты.
54
Точно так же, ^٠ в квадрате равна сумме квадратов DE и ЕА. Следовательно, ؛сумма] квадратов DF и FA вместе с удвоенным про- изведением DF на FA равна квадрату DE вместе с ؛суммой] квадра- тов ЕН и НА и удвоенным произведением ЕН на НА. Однако НА равна AF, и если мы отбросим их равные квадраты, останется: квад- рат DF вместе с удвоенным произведением DF на FA равен ؛сумме] квадратов DE и ЕН вместе с удвоенным произведением ЕН на НА, а это, ؛т. е. квадрат DF вместе с удвоенным произведением DF на FAI равно также квадрату DG.
Треугольник DGA подобен треугольнику DEB) II поскольку угол DCG, равный углу DA G, равен и углу DBE, опирающемуся на одну и ту же дугу [AD]. Поэтому DE относитс.я к ЕВ, как DG к GA. Но DG относится к GA, как квадрат DG к произведению DG на GA и как произведение DG на GA — к квадрату GA. А так же: квадрат DE относится к произведению DE на ЕВ, как произведение DE на ЕВ к квадрату ЕВ.
Если отнять от пропорциональных величин пропорциональные величины, находящиеся в том же отношении, отношение остатков бу- дет тем же. Поэтому если отнять квадрат DE от квадрата DG, оста- ток будет равен квадрату ЕН вместе с удвоенным произведением ЕН на НА, т. е._ произведению ЕН на сумму ЕН и удвоенной238 НА. Отнимем произведение DE н^ ЕВ от произведения DG на GA. Остат- ком будет площадь треугольника АВС, что вытекает из равенства треугольника ADC сумме треугольников АВС и BDM, ؛؛если линия ЕМ равна линии 9٠ة2[ا£لثم
Пусть будет GK равной ЕВ. Если мы вычтем квадрат GK, т. е. ؛квадрат] ЕВ из квадрата GA, то .остаток будет равен произведению ск на КА. Эти остатки [в предыдущем и предшествующем ему дей- ствиях] — пропорциональные величины, т. е. произведение ЕН на сум- му ЕА и A G относится к площади треугольника АВС, ؛как послед- няя] — к произведению ск на КА. АЕ — половина !؛суммы] сторон AB и ВС. AG —половина стороны АС, поэтому сумма ЕА и AG есть половина суммы сторон треугольника [АВС].
££_ избыток суммы ЕА и AG, т. е. половины суммы сторон тре- угольника [АВС]) над суммой НА и AG, т. е. над АС. Это — один из избытков.
Вследствие равенства G к и ЕВ сумма АЕ и GK равна стороне AB. —избыток суммы ЕА и AG над ؛[суммой] ЕА и KG, т. е. над AB. Это—второй избыток.
Так как ЕВ вместе с ВС равны АЕ, то [сумма] ЕВ, ВС и AG рав- на половине суммы сторон [треугольника АВС]. Поэтому избыток пос- ледней над £С_ это ЕВ [в сумме] с AG. Но KG равна ЕВ, a GC равна AG. II Отсюда АС240 —избыток полусуммы сторон [треугольника АВС] над ВС. Это — третий избыток.
Если мы умножим плоскую фигуру, [равную произведению] ЕН на ؛сумму] ЕА и А.241, т. е. '[умножим], один из двух крайних членов [про- порции] на плоскую фигуру, '[равную произведению] ск на КА, т. е. на другой крайний член, получится квадрат среднего члена [пропорции], т. е. площади треугольника [АВС], и какое бы из двух действий мы не сделали: — [а)] умножим ЕН, первый избыток, на сумму ЕА и AG242, т. е. на половину суммы сторон треугольника؛ .[затем] умножим АК, второй избыток, на с^ —третий избыток, и затем умножим одно из этих произведений на второе؛ или же: [6)î умножим ЕА [в сумме] с AG, т. е. полусумму сторон треугольника, на КА, [полученное] произведение умножив На ЕН и [последнее] произведение умНожим на СК) — Оба
105
106


55
Об определении хорд ج круге
результата будут одинаковыми, а именно - [получится؛ квадрат пло- щади треугольника [АВС]. Если мы извлечем из него корень, получит- ся искомОе,' [т. е. плОщадь треугольника АВС].ا|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АБУ АШ-ШАННИ ДЕЙСТВИЙ
ИНДИЙЦЕВ длд [ОПРЕДЕЛЕНИД]_ПЛ01ДАЯИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ؛[ВПИСАННОГО] В КРУГ
На этом же основывается Абу ‘Абдаллах аш-Шаини при доказа- тельстве метода индийцев [определения] площади четырехугольника, [вписанного؛ в Kpy٢243. А этот [метод] заключается в том, что он؟ Умножают друг на друга избытки полусуммы его сторон над каждой его стороной, извлекают [из пр'Оиз- ведения] корень, и он и будет пло- щадью данного четырехугольника.
Пусть ABCF - [четырехугольник вписанный в круг]. (См. рис. 48. в п (рис. 47) пропущены линии DA и С К)• Соединим А с с. Проведем из середины дуги АВС) а это - [точка]
٥, диаметр ٥GA и на [линии] Aß и Aß-перпендикуляры DE и ßß. Тог- да треугольники DEB и DGC будут под'оёными. Недостатком DB до DC будет CG) т.е. AG, [которая] больше ßß244٠ AG, половина стороны АС,— меньше, чем АН, половина суммы сторон Aß245 и FC. АН намного боль- ше ßß. Та؛ким же образом доказыва- ется, что и АЕ больше, чем ßß246.||
Отложим [линию] EL, равную HF, и нм, равную ßß. Известно, что избыток плоской фигуры ADCK247 над плоской фигурой ABCF равен произведению ßß на ßß [в сумме] с произведением KFI на ßß. Треугольник DAK подобен каждому из треугольников ßßß и ^ßß. Поэтому DA относится к АК248, как ßß к ßß и как ßß к ßß. [Кроме того], DA относится к АК, как квадрат DA к произведению DA на АК. Произведение DA на АК равно удвоенному треугольнику DAK, а это [и есть] плоская фигура ADCK. Следовате,льно, это, [то есть плоская фигура AßCß], — средний член в пропорции, находящийся между произведением Aß на DC и произведением АК на КС.
Сумма величин, находящихся в определенном пропорциональном отношении, с другими величинами, находящимися в своем пропорцио- нальном отношении, или же их разность,— каждого ,[члена, взятого], с соответствующим ему членом,— также будут пропорциональными. Поэтому сумма квадратов ßß и ßß ОТНОСИТС'Я к сумме произведения ßß на ßß и произведения ßß на ßß, как сумма этих двух плоских фигур249 к сумме квадратов ßß и ßß. Поэтому, если отнять сумму квадратов ßß и ßß, т. е. ,[квадратов ßß и] ßß от квадрата Aß, сум- му II произведения ßß на ßß и произведения ßß на ßß — от плоской фигуры AßCß и сумму квадратов ßß и ßß— от квадрата Aß, остатки будут пропорциональны.
Что касается первого остатка, то им будет произведение Aß на сумму ßß и ВС. Это — потому, что если вычесть из квадрата Aß квад- рат ßß, останется квадрат Aß, и если отнять от него квадрат25٥ [линии], ßß, равной ßß, останется квадрат Aß вместе с удвоенным произведе- нием Aß на ßß, а это равно произведению Aß на сумму Aß и ßß, т. е.
Б
Рис. 48.


Математические и астрономические трактаты.
56
Произведению AL на сумму СВ и اة2]ة, равную [сумме]. АЕ и EL.
Что касается второго остатка, то им будет четырехугольник ABCF) а третий остаток, [что можно доказать] тем же [путем], как это было выше для первого остатка2^2, есть произведение AM на сумму MF и FC. Следовательно, четырехугольник —средний член в пропорции
между [крайними членами, являющимися] плоскими фигурами, ,'[равны- ми произведению] AL .[на сумму] LB и ВС и [произцедению] AM на [сумму] MF и FC.ا|
и АН над стороной AB) т. е. над ؛[суммой] АЕ и НМ) есть AM) а это — первый избыток. Таким же образом ؛[определяется, что] ^£253, второй избыток, есть избыток [полусуммы сторон четырехугольника] над СТО" роной Л/7254.
Кроме того, сумма линий ЕВ) ВС) CF и ۶^ — это тоже полусумма сторон четырехугольника. Ее избыток над стороной ВС есть сумма CF) FH и НМ при равенстве [НМ] и ЕВ. Это — третий избыток. Подобным же образом [определяется], что избыток [полусуммы сторон четырех- угольника], над стороной CF есть сумма LB и ВС) а это—четвертый избыток.
Однако, как говорилось выше, четырехугольник2^^ ABCF есть сред- ний член в пропорции между произведением второго ,[избытка] AL на сумму LB и ВС) [т. е. на] четвертый [избыток], и произведением AM) 118 первого избытка, на II сумму MF и FC) [т. е. на] третий [избыток]. Поэто- му умножим ли мы одно из этих двух произведении на другое, или же умножим первый избыток на второй, их произведение — на третий, а их произведение — на четвертый, в обоих случаях мы получим квадрат среднего члена [пропорции, т. е. площади] четырехугольника. Если мы извлечем из него корень, будет искомое25б. II
119 УСТАНОВЛЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ДЕЙСТВИЙ МУХАММАДА ИБН АС-САББАХА257 по ОПРЕДЕЛЕНИЮ288 НАИБОЛЬШЕГО СКЛОНЕНИ^259  УУ этого Мухаммада есть трактат, посвященный данной проблеме, с вычислением без теоретического доказательства2б٥, и я укажу [здесь] на основную суть сего. Дело в том, что он определял наблюдением азимут восхода ,[Солнца] трижды в течение одного из сезонов года на границах двух равных отрезков времени2б!. Необходимым условием его расчетов было то, что он брал окружность, проведенную на рас- стоянии синуса полного азимута восхода2б8, как например, [окружность] АВС (см. рис. 49. В т (рис. 51) пропущена линия НА)) в кото-рой находятся параллельные известные хорды LD) KF и AB) являющиеся удвоенными синусами трех азимутов восхода. Требуется [определить] диаметр этого круга.
В соответствии с требованием его вычислений соединим ^ с ٥. Тогда ![^٥], будет равна хорде KF) так как дуга LD вместе с равными дугами LK и DF) которые приняты [за равные] вследствие равенства двух отрезков времени,— хотя это не установлено точно, а лишь при- ближенное допущение со стороны [Ибн ас-Саббаха],— равна дуге LD вместе с равными дугами LK и КА. Отложим дугу DC) равную дуге ^٥ и соединим В с С. [ВС] будет равна LD.
Поскольку квадрат AD) который мы назовем вторым запоминае- мым, равен квадрату хорды DB вместе с произведением третьего за-
120 поминаемого AB на первое запоминаемое ВС) II хорда DB известна.


57
Об определении хорд в круге
Проведем перпендикуляр DE [к АВ]. Он будет извест^ы^, так как хорда DB известна, а قء - половина [-разности) АВ и LD, [поскольку
LD равна ВС].
Проведем диаметр ٥^. Соединим А с н. Тогда треугольники DEB и DAH подобны, и хорда DB ОТНОС.ИТСЯ к пер- пен.дикуляру DE, как диаметр DH ко второму запоминаемому ^٥. Соотв^с؟- зенНо '(подобному решеНию Пбн ас-Саб- баха] Данного вопроса диаметр ٥^ ста^ новиТся известный, а он — [Удвоенный] синус полного азимута восхода. Из него узнается наиболыпее склонение, ибо СИ- нус азимута восхода относится к синусу сКлонениЯ в одной суточной параллели26з, как ПОЛ'НЫЙ синус к синусу дополнения пшроты данного города. Это отношение — едино и неизменно для ЛЮ- боГо города в одном виде264. [Однако], если вместо наблюдаемых азиму- тов восХода были бы полуденные высоты [Солнца], сия задача была бы более легкой, и дело — ближе к установлению истины266.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ АПОГЕЯ266 СОЛНЦА и РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ٠ ЦЕНТРАМИ [ЭКСЦЕНТРИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ и ПАРЭКЛИПТИКИ]
ПО НАБЛЮДЕНИЮ ТРЕХ ТОЧЕК, [РАССТОЯНИЕ] МЕЖДУ КОТОРЫМИ В [МОМЕНТЫ],' НАБЛЮДЕНИЯ; ЧЕТВЕРТИ ОКРУЖНОСТИ, [ВЗЯТОЕ]
ИЗ МоЕи КНИГИ «УКАЗАНИЕ ПУТИ к УТОЧНЕНИЮ ДВИЖЕнИя СОЛнПа»^7 Пусть - эксцентрическая орбита с центром Е (рис. 50), а центр эклиптики,. потенциально2б8 являющийся местом наблюдения,— н. Наблюдаемые точки эклиптики — те, в которых оканчиваются линии АН, нв и НС. II Ясно, что АН и НС соединены в [одну] прямую ؛[линию], 121
а НВ — перпендикулярна к ней, будучи под прямым, углом. Поскольку среднее деферентное2^ движение Солнца до [времени определения] сего искомого было дугой AB, а 5С —средняя [часть], его пути между временами, длительность которых [ограничена] точками, отмеченными при наблюдении, то обе эти ([дуги, то есть ^ß и ВС],— известны2?.. Отделим дугу BCS, равную дуге ß^. Соединим с с 5 и опустим на АС перпендикуляр ЕМ. Соединим АсЕпЕсНи опишем окружность


Математические لا астрономические трактаты
58
вокруг треугольника АЕН. 0тделим271 от нее дугу ЕНО) равную дуге АЕ, и соединим Но, о. Известно272۶ что если мы разделим разность между квадратами AB и ВС на АС273у получим в частном CS. Полови- на суммы [CS], с АС27А — АН) которая [теперь] известна. Половина разности между CS и АС — это сн) равная ^0.
Если м.ы вычтем произведение АН на но из квадрата полного синуса, то есть АЕ) останется квадрат ,[линии] ЕН) являющейся [иско- мым] расстоянием между двумя центрами [Е и Я], которое, с.ледова- тельно, известно. [ЕН] относится к ЕМ) как синус прямого угла м в треугольнике ЕМН к синусу угла ЕНМ в нем же. Отсюда этот [угол] известен, а он275 - по величине расстояния точки апогея на эклиптике от точки, в которой оканчивается определенная наблюдением линия НА. Следовательно, положение апогея известно27б. |ا
ОПРЕДЕЛЕНИЕ того ЖЕ по ДВУМ ТОЧКАМ НА ЭКЛИПТИКЕ, МЕЖДУ КОТОРЫМИ - ПОЛОВИНА ОКРУЖНОСТИ и по РАССТОЯНИЮ от них ТРЕТЬЕЙ точки, каким бы оно ни было Пусть расстоянием между точками ЛиС (см. рис. 51. в т (рис. 53) пропущена линия ВС) а в я — линия ОН) будет половина окружности, так, что они будут диаметрально противоположными. ЯЯ —не перпендикулярна к линии АНС. в треугольнике АНВ угол ВАН) соответствующий величине половины среднего движения [Солнца между точками я и с рав-ной] углу вне) известен؛ дело в том, что угол ВАН — при окружности, [то есть вписанный], и путем де,ления пополам он будет приведен к центру, [то есть станет центральным],277٠ Угол ВНА — дополнение [угла ЯЯС], до двух прямых. Отсюда остав- шийся угол АВН известен и, следовательно, треугольник АВН - с из- вестными углами. Хорда ^я, [дуги], среднего движения ؛[Солнца] между точками Л и Я, относится к ля, как синус угла ляя к синусу угла ляя. Поэтому АН известна. Если мы вычтем ее из лс, хорды средне- го движения Солнца между точками л и с, остаток ся будет извест- ным, а он равен яо. Если же мы вычтем произведение ля на яо из квадрата полного синуса Л£278, останется квадрат ,[линии], ЯЯ —рас- С'ГОЯНИЯ между центрами ,[эксцентрической орбиты и парэклиптики]. Остальное действие по определению апогея — в том же виде, [как было выше]25٥. II
РЕШЕНИЕ [ЗАДАЧИ] ОПРЕДЕЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА]28٥ ДЛЯ ПОЛОВИНЫ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКОЙ орбиты, [ВЗЯТОЕ] из МОЕЙ книги, СПЕЦИАЛЬНО ПОСВЯЩЕННОЙ этому вопросу
Пусть будет круг FAG эксцентрической орбитой с центром ٥. (См. рис. 52. в т (рис. 54) пропущена линия AD). Пусть будет я цент- ром круга, воспроизводящего эклиптику, а ЯЯЯС —[диаметром], про- ХОДЯ1ЦИМ через оба [центра]. Тогда F будет апогеем, a G — перигеем. Предположим, что Солнце находится в точке л. Тогда FA будет аргу- ментом '[Солнца]. Опустим перпендикуляр ля на диаметр؛ [ЛЯ] будет синусом аргумента, а я. его косинусом. Соединим л с ٥ и л с я.
Известно, что угол FDA — по величине [среднего], аргумента, а угол яял - по величине его наблюдения, а это — исправленный аргумент. Угол FDA) внешний угол треугольника ляя, равен [сумме] углов яял и DAB.
Угол ЯЛЯ —разность между углами FDA и FBA. Однако разность между средним и исправленным аргументами есть уравнение. Поэтому
122
123


59
Об определении йорд 6 нруее
угол DAB — по величине уравнения [Солнца при], аргументе ۶٨ II и 124 мы хотим определить его.
Опустим перпендикул.яр DE на AB, опишем вокруг треугольника ADB круг, который окружит его [и пересечет круг AFG в С], и соеди- ним в с с. Поскольку угол ADB — тупой, квадрат AB Превышает281 [сумму] квадратов ^٥ и DB на ,[величину], удвоенного произведения DB на DH282. И если мы умножим косинус аргумента, T. е. DH, на удвоенную DB, т. е. на [удвоенный] синус наибольшего уравнения [Солнца], и прибавим произведение к сум- ме квадратов AD “ полного синуса и DB — синуса наибольшего уравнения [Солнца], получится квадрат ^5. Если мы извлечем из него корень, получится ^5.
Так как линия ломаная, [вписан-
ная] в дугу АВС, и ее разделил пополам перпендикуляр DE, то если мы вычтем квадрат DB, синуса наибольшего ура'Вне- ния [Солнца], из квадрата ^٥, полного СИ- нуса, останется произведение AB на ВС.
Если мы разделим это [произведение] на AB, в частном получится ВС. Если мы при- бавим [ВС] к AB и возьмем половину суммы, будет ^۶. Разностью между квад- ратом [АЕ] и квадратом AD, полного сину- са, будет квадрат 283٠ءه [Или же], если мы вычтем ВС из AB, остатком будет квадра.т BE. Разностью между квадратом BE и квадратом DB, синуса наибольшего уравнения, также будет квадрат DE. Следователь- но, DE известна, а 0؛на — синус угла уравнения ![Солнца] в круге, диа- метр которого AD. Однако, если мы проведем DK параллельно AB и AM перпендикулярно к ней, плоская фигура AEDM будет с параллель- ными [противолежащими] сторонами. AM, являющаяся синусом угла ADK) равна DE, а накрестлежащие углы ADK и ة4ده — равные.
DE — синус уравнения [Солнца] в эксцентрической орбите при аргументе F А; АЕ — его К0синус284. Если аргументом будет GC, синусом его будет GS. Угол С5٥ —тупой. Поэтому, если мы вычтем квадрат DB из квадрата DC, останется удвоенное произведение DB на BS [и квадрат СВ]. 55—разность между косинусом аргумента и синусом наибольшего уравнения [Солнца]. Если мы вычтем удвоенное285 произ- ведение DB на 55 из [последнего] остатка, останется квадрат CS. Если мы разделим на него разность между квадратами AD и DB, в частном получится ;45 вместе с половиной суммы AB и 5С, то есть ,[вместе с] АЕ, а ПОЛОВИН'ОЙ разности [между AB и 5С] будет 5286٠ء Следовательно, [из треугольников ADE или DEB] DE известна.
Она является синусом угла DAE, но этот угол равен углу ВСЕ. II Но 125 DE также—синус уравнения при аргу.менте GC, то есть FAC.
Подобный же [метод применяется] и в эпициклах. Это действие также производится и там, если перенести туда эти величины обдуман- но и осмотрительно287.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАТМЕВАЕМОГО СЕГМЕНТА одного из ДВУХ СВЕТИЛ, [СОЛНЦА ИЛИ ЛУНЫ], ИЗ МОЕЙ книги «ПОЛЕЗНЫЕ ВОПРОСЫ и ВЕРНЫЕ ОТВЕТЫ», [НАПИСАННОЙ] в ОБОСНОВАНИЕ ЗИДЖА АЛ-Х0РЕЗМИ288 Пусть будет круг DFGL — затмевающим [телом] с центром А (см. рис. 53. В т (рис. 55) пропущена линия 5G), а круг —затмевае-
F
Рис. 52.


Математические а астроиомические. трактата
мым С центром в. Были получены из зиджа диаметры обоих кругов в мерах больших кругов, т. е. при которых большой круг на сфере -- триста шестьдесят градусов. Мы хотим узнать площадь сегмента DKGL, который затмевается кругом DFGL в круге DKGH в мерах, в которых площадь всего круга двенадцать !؛неких мер؛. II
Соединим В с ا9ة2ى в с Dy А с D и А с G. проведем линию, про- ходящую через оба цетра; на ней будут ؛точки] Fy Ay By н. Все эти ؛линии, будучи на сферах, фактически] —дуги, но мы принимаем их за прямые вследствие малости их величины при затмении по сравнению с окружностью круга, на котором [предполагается дуга] FABH.
Опишем вокруг треугольника ADB круг, который окружит его, 0Т.Л0ЖИМ от него дугу DBCy равную дуге ADy и соединим в с с. Тогда
линия —ломаная, ,[вписанная] в дугу
ADBC, а перпендикуляр к ней DE делит ее по- полам. Если мы вычтем квадрат BDy половины величины ؛диаметра] круга ؛[.затмеваемого! све- тила, из квадрата половины величины
[диаметра] круга затмевающего [тела], останет- ся произведение AB на ВС. Если мы разделим это [произведение] на АВу т. е. на «свободную» [или «абсолютную»] широту Луны при ее затме- НИИ,— а видимая широта ее при солнечных зат- мениях называется «закрепленной»29٥,_ в част- ном получится ВС. Половина суммы ВС с AB есть АЕ.
Таким образом, как АЕу так и ЕВ известны. Произведение ا29ءلم на EF292 равно квадрату ED. Но EDy если она определится у нас '[отсю- да], получится в мерах, в которых получены диаметры затмевающего и затмеваемого [тел!, а у нас нет синусов с частными значениями в этих мерах, с помощью которых мы могли бы определить дугу DL. Для этого нам необходимо перевести это, т. е. '[величину] EDy в такие меры, в которых BD — полный синус. [Это достигается] тем, что мы умножаем [ED] на AL и делим произведение на полный синус. Тогда получится ED в искомых мерах. Определим далее для этого [синуса] дугу по таблицам синусов, и у нас получится дуга DL в мерах, в кото- рых окружность затмевающего ؛[тела] — триста шестьдесят градусов [с известной величиной].
Когда мы узнаем отношение дуги DL к окружности круга затме- вающего [тела], в этих мерах, нам будет необходимо узнать велич-ину этой ؛окружности] в первых мерах, в которых мы раньше узнали величину диаметра затмевающего [тела], |[а это] —путем умножения. FL на три с одной седьмой, поскольку отношение диаметра к окруж- ности есть отношение е.диницы к трем с одной седьмой, в произведении получится окружность затмевающего [тела] DL в этих мерах, являю- щаяся искомой, которая относится к окружности затмевающего тела в этих же мерах, как она же, .[т. е. DL]y относится ко всей окружности затмевающего тела в мерах, в которых эта окружность — триста шесть- десят градусов [с известной величиной].
Если ؛из известной теперь DL в искомых мерах] известна искомая DGy умножим ее на АЕу и в произведении получится площадь сект'Ора ADLG. Если же мы умножим АЕ на EDy в произведении получится площадь треугольника ADG. Разность между нею и между площадью того сектора будет площадью сегмента DLGE. Затем, подобным же
126


61
06 определении хорд ج круге
образом, произведем предыдущее действие с дугой KD, сектором DKGB и треугольником DBGу дабы получилась у нас площадь сегмен- тов затмевающего II и затмеваемого ,[кругов тел]. Таким образо.м опре- 127 делится площадь затмеваемого сегмента, но только в мерах, в которых НК, диаметр затмеваемого [тела],— первое число, полученное нами из зиджа. Нам необходимо перевести его в меры, в которых вся пло- щадь затмевающего тела — двенадцать [неких мер]. Поскольку часть одного круга относится к подобной ему части другого круга, как весь первый круг' ко всему второму кругу, а круги от؛носятся друг к другу как квадраты их диаметров, то площадь затмеваемого сегмента в мерах, в которых она бьгла получена у нас, относится к его же пло- щади в мерах, в которых площадь [всего], затмевающего тела — двенад- цать ؛'[неких мер], как квадрат дггаметра затмеваемого [тела в величи- нах], полученных нами из зиджа, к ста сорока четырем. Отсюда пло- гцадь затмеваемого тела известна в соответствии с тем, что нам требовалось29з.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДУГИ попятного ДВИЖЕНИЯ ПЛАНЕТЫ из МОЕЙ книги «ОПРОВЕРЖЕНИЕ ЛЖИ ПУТЕМ ПРИВЕДЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ К ДЕЙСТВИЯМ ал-хорезми в его зидже»294 Пусть будет SOD (рис. 54) эпициклом светила с центром By II 128 а А — центром мира. П'Оловина ODy то есть FDy относится к ADy как Д.ОЛГОТНЫЙ путь движения [светила] к аномальному пути [его движения], то есть как путь движенггя центра эпицикла по окружности деферента к пути движения тела светила по окруж'Ности эпи- цикла. D — место остановки светила, a KD — по- ловина дуги попятного движения.
Птолемей, после того, как определил ^٥ и DF295 в гпестидес.ятьгх долях AB) следовал при оп- ределении угла DBK своему методу, которьгй [он приме.нял] во всех действиях в книге «Альмагест».
Мьг же опишем вокруг треугольника ADB круг и отделим в нем [дугу] DC, равную AD. Соединим ВсСи опустим перпендикуляр DE. Поскольку AßC —ломаная [линия] в дуге ADC) квадрат ADf который известен29б, равен квадрату BD, то есть ПОЛОВИ'НЫ диаметра эпицикла, и произведению ABر то есть шестидесяти, на неизвестную [линию] ВС.
И если мы вычтем квадрат BD из квадрата AD, в остатке останется произведение AB на ВС. Разде- ЛИМ его на AB) и в частном будет ВС. Половина ее суммы с AB— это АЕ. جء — известна, DE —
[также] известна, но в час.тях AB. DE в этих' мерах относится к DB в этих же мерах, как DE в мерах, в которых DB — полный синус, к DB — полному синусу. Если мы переведем DE [в пос- ледние меры] и определим дугу [синуса DE]y получится искомая [дуга]
DK. А это — то, что мы хотели297.
Рис. 54.
ЗАДАЧА, В КОТОРОЙ НУЖДАЮТСЯ для ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЙ [СОДЕРЖАЩАЯСЯ! В МОЕЙ СТАТЬЕ «ОБ УКАЗАНИИ НЕБЕСНЫХ ЯВЛЕНИЙ
НА ЗЕМНЫЕ СОБЫТИЯ»298
Треугольники GAB (см. рис. 55. в т (рис. 57) пропущена линия DA) и BDG — с прямыми углами А и ٥٠, оба они - на [одном] основа- НИИ ٠٥. Из точки пересечения ٠٥ и AB был опущен перпендикуляр


Математические и астрономические трактаты
62
FH на GB. Как узнать FH по известным сторонам этих двух треуголь- ников?
Соединим А с Z);. [AD] будет известна, поскольку четырехугольник A DBG — ю тех, которые вписываются в круг, так как [линия] BG стя- гивает оба прямых угла этих двух треугольников, и, следовательно, 129 она —диамеТр круга, описанного вокруг каждого иЗ них, !ا ПрОиЗвС-
дение известной AB на известную DG равно сумме произведения из- вестной AG на известную DB и произведения известной BG на неиз- вестную AD, (которая отсюда становится известной].
Затем опишем вокруг треугольника ADB круг, который окружит его. Отложим дугу DBC равную дуге ^٠. Опустим перпендикуляр DE ؛на AB; тогда линия АВС будет ломаной в дуге АВС, на середину которой опущен перпендикуляр DE. AD в квадрате равна квадрату BD вместе с произведением AB на неизвестную 50299 Следовательно, [ВС] известна, а потому АЕ и ЕВг٥٥ [также] известны. II 130 Поскольку уГол BDF прямой, a DE — перпендикуляр к BF, то произведение BE на EF равно квадрату DE. Поэтому, если мы разде- ЛИМ квадрат DE на ЕВ) в частном получится EF. Отсюда вся ‘[линия] BF становится известной. Известная FB относится к искомой FH, как известная GB к известной دى Поэтому FH известна, а это и есть то, что мы хотелиЗО!.
ЗАДАЧА О ПАЛЬМЕ302, УПОМИНАЮЩАЯСЯ в «КНИГЕ303 АЛГЕБРЫ
И АЛ-МУКАБАЛЫ»304
Если имеется деревянная палка известной длины, установленная на земле перпендикулярно к ее поверхности, которая сломалась и пере- гнулась так, что (верхний конец ее] достиг земли, а расстояние от мес- та (этого], конца ее на земле до ее основания известно, и мы хотим узнать место ее переломаЗО, умножим половину расст'ояния от места вершины ее на земле до ее основания на себя же и разделим произ- ведение на половину длины палки. Если вычест’ь полученное частное из половиныЗОбдлины палки, останется оставшаяся ее часть, стоящая пер- .пендикулярно на поверхности зем,ли, а если прибавить его к половине длины палки, П'Олучится величина сломанной и наклоненной к земле |[ее части].


63
Об определении хор٠д 8 круге
Пусть будет КС палкой, стоящей перпендикулярно к —поверх- ности земли (рис. 56). Когда она сломалась в [точке] в и наклонилась, причем одна из ее двух частей не отделилась от другой, вершина ее достигла земли в (точке] А. —известна, и мы хотим узнать величи- ВС.
Опишем вокруг треугольника АВС с прямым углом с окружность. Опустим перпендикуляр DE на AlB из середины дуги АВС и перпен^ику- ляр DF на АС. Поскольку [последний], опуцщн из середины дуги [АВС]) он необходимо разделит пополам хорду АС и будет отрезком диаметра данного круга, {другим! диамет'ром которого является ^5. Тогда цент- ром обязательно будет точка н.
Треугольники DEH и AFH — противолежащие [ с равными вер- тикалНными углами и], с прямыми углами Е и F. Поэтому они подобны.
DH равна НА и, следовательно, DE равна A F. АЕ, половина длины палки, относится к ED) равной л/7307. как DE к искомой ЕВ. Следова- тельно, она, ,[т. е. ЕВ]) иЗвестна. Если мы прибавим ее к АЕ) получится в сумме AB) сломанная часть палки. II Если же мы вычтем [BE] из АЕ, 131 'ГО есть из суммы ВС и BE) останется ВС) оставшаяся {часть палки], стоящая перпендикулярно к землеЗ٥8٠
о ДВУХ ПТИЦАХ и РЫБЕ, ВСТРЕЧАЮЩАЯСЯ В «КНИГЕ АЛГЕБРЫ и АЛ-МУКАБАЛЫ»310 Две пальмы BG и л язи с известными высотами ![растут] на двух берегах реки, ширина которой AB (рис. 57). II На пОверХнОсти воЯы 132 в ней появилась рыба: на (нее бросились с вершин двух пальм две
птицы и схватили ее вместе в одно вре- мя. Мы хотим узнать расстояние от мес- та появления рыбы до обоих берегов ре- ки, и сколько пролетели обе птицы.
Умножим каждую из высот двух пальм на с.ебя. Разделим разность между обоими произведениями ؛на ширину реки.
Частное прибавим к делителю. Возьмем половину полученной суммы, и это будет расстоянием от места появления рыбы до корня более короткой пальмы. Если же мы [частное] вычтем из ширины реки и возьмем половинуЗ!2 [разности], полу- чится расстоя'ние этого [места] от корня, высокой пальмыЗ!з. Если мы умножим длину пальмы на себя, умножим расстояние между корнем этой [паль- мы] и местом рыбы на себя и извлечем корень из суммы двух прои,зве- де.ний, это будет [расстоянием], которое пролетела каждая из двух птиц.
Пусть будет более высокая из двух пальм GB) более короткая из них АН) а место появления рыбы на [поверхности] воды Е. Соединим GcEnHcE. ge и не будут равными, ибо они — расстояния, которые покрыли обе птицы за одно и то же время. Поэтому сумма ква.атов GB и BE равна сумме квадрат.ов НА и АЕ, а превышение квадрата BG над квадратом АН равно превышению квадрата АЕ над квадратом BE. Затем постр'Оим Т'реугольник ABD) в котором возьмем AD равной BG) a BD — равной АН. Соединим ٥ с я. II я утверждаю, что DE nepneiH- 33 ا дикулярна к AB и невозможен иной перпендикуляр [к AB из D] кроме
Рис. 57.


Математические и астрономические трактаты.
64
этой (линии]. Если же возможен ,[другой перпендикуляр], то тогда [DE] никак не будет перпендикуляром к AB.
Опустим '[другой преполагаемый] перпендикуляр. Пусть он будет ٠۶. Тогда разность квадратов 5٥ и ٠^ была бы равна разности квад- ратов BF и FA. Но разность квадратов ٠٥ и ٥А, то есть [квадратов] АН и BG, равна разности квадратов АЕ и. ... [Получается, что] каждая из '[линий] ٥۶и ٣ .٥ перпендикуляр к ^5, а в треугольнике ٠۶. два кроме третьего угла - прямые. Это — абсурд. Следовательно, ٠., а не ٥۶ — перпендикуляр к ^٠.
Затем опишем вокруг треугольника ^٥٥ окружность, которая окружит его, и отложим дугу DBCj равную дуге ^٥. Тогда квадрат AD будет превосходить квадрат ٠٥ на произведение AB на ВС. и если мы разделим разность квадратов ^٥ и ٠٥, то есть квадратов 5G и АН, на ^٠, в частном получится ٠с. АЕ, расстояние места рыбы от пальмьг А٥,_ полОвина суммы [AB и ВС], а .٠, расстояние этого [места], до пальмы BG — половина их разности.
В предшествовавших задачах можно найти более, легкие пути к достижению искомого, чем те, которые оказались в данное время. Однако цель [наша] — направить их на одну проблему, а именно — выявить „ свойства данного предложения, относящегося к сему искус- ству, и [дать], руководство, как пользоваться ими”5.
УПОМИНАНИЕ о ХОРДАХ КРУГА
Совершенно очевидн'О, что познание хорд дуг окружности является для астрономии тем же, что для вещества такая стадия состояния, когда оно переходит от потенции к действию. Свойства же данного [Архимедова], предложения ;[таковы, что]в большинстве своем они могут быть приравнены к движению духа в теле.
Отметив это, скажем, что обязательно одна из хорд круга д.олжна быть известной для того, чтобы получить остальные [хорды], через нее и определить их величины по со(отношению с ней.
Ясно, что хорды — различны, благодаря различию их дуг313. Одна из них — меньше других, наподобие дробей, которые существуют таким же образом: они двигаются в сторону уменьшения, не останавливаясь у каК'ОГО-нибудь ограниченного предела. Ведь то, что неограничено, никогда не может б.ыть остановлено на каком-то своем [пределе], если не будет причины, обуславливающей эту остановку.
Однако, если мы рассмотрим другую сторону [изменения величин хорд], а именно — увеличение, мы найдем ее ограниченн'ОЙ диаметром, который является наибольшей из хорд. Он относительно них — то же, что единица относительно дробей, с.ледовательно, О.Н и должен быть известен — либо по соизмерению с окружностью, а тогда он будет семью двадцать вторыми окружности, либо ,[сам по себе], по условному определению. [Последнее предпочтительнее]؛ ведь мы нуждаемся в со- отнесении хорд с диаметрами, а не с окружностями.
Уже было доказано, что хорда одной шестой [окружности], равна по,ловине диаметра. Это - первая хорда, которую мы узнали в круге, и 01на [пока для нас единственная] «говорящая»317 среди других
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Х0РДЫ31Э ОДНОЙ ДЕСЯТОЙ [ОКРУЖНОСТИ]
В КРУГЕ
Пусть будет ٠٠ хорД'ОЙ одной десятой [окружности] в круге ... (рис. 58). Я утвер.ждаю, что она известна.
134


65
Об определении хорд 6 круге
Доказательство этого: проведем диаметр DAG. Пусть центр —л. Соединим А с В. Опишем вокруг II треугольника ADB круг. Отложим 135 на нем дугу DBC, равную дуге ^٠. Соединим в с с. Так как угол DAB при центре А опирается на одну десятую окружности круга BDG, то в круге ADB он опирается на вдвое большую .[дугу], то есть на одну пятую этого [малого), круга. Линия AD равна линии AB. Каждая из дуг AD и AB ؛[равна] двум пятым окружности [ADB]. Ясно, что DB [в круге д٥5]. — одна пятая окружности, и, следовательно, дуги DB и 5С —равные. Линия Л5С —ломаная в этом круге. Поэтому квадрат AD равен квадрату DB вместе с произведением AD на DB, то есть с произведением AB на ВС.
Линия ADB — как одна прямая [линия], раз- деленная в точке ٥ в среднем и крайнем отно- !пениях. Ббльшая ее часть, полудиаметр ADr известна. Значит и меньшая часть — известна, а это — DB, хорда одной десятой [окруж- ности Л]320٠
Вычисление этого: ,к произведению полудиа- метра на себя прибавляется четверть этого [про- изведения]؛ из корня суммы вычитается четверть Рис. 58.
диаметра, и в остатке остается хорда одной де-
сятой [окружности]. Это — соответственно32! одиннадцатому предложе- нию второй книги «Начал»з22.
[Таким образом], получена вторая Х0рда32з. Что касается других хорд, то из этой определяется хорда дополнения ее дуги до полу- круга. II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ ДОПОЛНЕНИЯ ВСЯКОЙ дуги с ИЗВЕСТНОЙ - 137 ХОРДОЙ ДО ПОЛУКРУГА
Пусть будет известной хорда ВС, а диаметром круга' —Л5 (рис. 59). Разделим дугу АВС пополам в [точке] ٥. Опустим перпенди- куляр DE на AB и перпендикуляр DF на АС. Как говорилось раныпе в задаче о пальме32*, мы разделили пополам хорду АС перпендику- ляром DHF, а н будет центром круга. Подобные треугольники EDH и FAH равны друг другу. Следовательно, ED и ^۶ —равные. АЕ, полусумма хорды и диаметра, относится к ED, равной FA, как ED к ЕВ, являю- щейся избытком полусуммы хорды и диаметра над диаметром, и AF, половина искомой [хорды],— известна. II
Вычисление этого: полусумма хорды и диамет- 138 ра умножается на избыток диаметра над этой по- лусуммой. Корень из произведения удваивается, и это будет хордой дополнения дуги с известной хордой до половины окруЖ'Ности. Это вычисление— легче, чем извлечь корень из разности квадратов AB и ВС, поскольку здесь отпадает [необходимость] одного из двух возведений в квадрат325.
Таким образом, по первым двум хордам325 [могут быть] получены другие две хорды. II
Рис. 59.
5.11


Математические и астрономические трактата
66
139 ОПРЕДЕЛЕИИЕХОРДЫ ЛЮБОЙ УДВОЕННОЙ ДУГИ с ИЗВЕСТНОЙ
؛؟؟м и определение хорды Половины )дуги с Известной ХОРДОЙ, хотя ЗДЕСЬ ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ПрОявлЯЕтся влиЯНиЕ ДАННЫХ СВОЙСТВ [ЛОМАНОЙ линии в КРУГЕ]
Пусть AB будет известной хордой в круге с известным диаметром, (см. рис. 60 g g(pHC. 63) пропущено обозначение точки G) Дуга ВС равна дуге AB. Соединим л с с, и это, ؛то есть л С], и есть искомое. Опустим из центра перпендикуляр ЕН на AB. Тогда углы BAG и ВЕН будут ^авнь^ при том, что угл٩1 # и G — прямые. ПоЭтому треугольни- ки ABG и —подобные. AB относится к AG, как BE к ЕН. Отсюда AG известна, а удвоенная ее [величина] —это хорда лс.
Вычисление этого: умножим известную
хорду на корень из четверти разности ее
Рис. 60а.
Рис. 60.
квадрата и квадрата диаметра. Разделим произведение на полудиаметр и удвоим частное, полученное от этого деления. Получится хорда удво- енной [дуги]327.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ половины ВСЯКОЙ ДУГИ с ИЗВЕСТНОЙ ХОРДОЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩЕЕ МНЕ٥28||
Л) 256
,؛Если дана] любая дуга с известной хордой в круге с известным диаметром, то хорда половины ее известна.
Пример этому: хорда АС извес.тна (рис. 60^)320. Дуга AB равна дуге ВС. Я утверждаю, что хорда ؛дуги] AB известна. Это ؛доказывается так:] проведем полудиаметр BGE и соединим л с £. Поскольку квадрат искомой !؛линии] Л меньше, чем ؛сумма] квадратов известных АЕ и ЕВ на [величину] удвоенного произведения известной BE на EG, [равную] половине Х'Орды [CD] дополнения [дуги] лс до полуокружности, то AB будет известной.
Вычисление этого: умножим известную хорду на себя и вычтем произведение из произведения диаметра, [умноженного] на себя. Из- влечем корень из четверти остатка, умножим его на диаметрззо, выч- тем произведение из половины квадрата диаметра, извлечем корень из 140 ос.татка, и он будет хордой половины дуги с известной хордой. II Если известная хорда-лс, а мы хотим [определить] Л5 — хорду половины ее дуги, то GE —половина хорды дополнения дуги АВС до полукруга (.рис. 60)١ a BG будет остатком полудиаметраЗЗ!. Квадрат [гипотенузы] AB равен с.умме квадратов AG и BG332. Отсюда AB известна.
Вычисление этого: известная хорда умножается на себя: полу-
ченное произведение вычитается из произведения диаметра, [умножен- ного] на себя: корень из остатка вьшитается из диаметра: половина того, что останется [при последнем вычитании], умножается на равное этому: !؛последнее] произведение прибавляетс.я к произведению поло- вин.ы известной хорЯы на себя: из этой суммы извлекается корень, который и будет хордой искомой половины [дуги]333.


67
Об определении, хорд е круге
;؛Итак,) стали известными хорда одной шестой и одной трети [ок- ружности], а пути деления пополам .[стали известными) из ؛хорды) одной шестой окружности хорды половины и четверти ОД1-ЮЙ шестой [окружности, то есть хорды 1/12 и 1/24 окружности). Стали [также] известными хорды одной десятой и хорды четырех десятых окруж- ностей, а [также] хорда одной пятой—либо путем удвоения .[дуги хор- ды одной десятой], либо путем деления пополам [дуги хорды четырех десятых окружности]. Из Х0рд.ы одной десятой [окружности стали из- вестными] хорда половины и четверти одной десятойзз* [окружности, то есть хорды 1/20 и 1/40 окружности).
Из [хорды] половины круга ,؛определяется] хорда четверти [круга], поскольку она в квадрате равна половине квадрата диаметра. Хорда одной восьмой [окружности] определяется либо путем деления ПОПО" лам ,[дуги одной четвертой окружности], либо путем, подобным пред- шествующему при [опр.еделении] хорды одной дес.ятой [окружности]зз5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ одной ВОСЬМОЙ [ОКРУЖНОСТИ]
Пусть будет BD одной восьмой окружности круга DBG с извест- ным диаметром (рис. 61). Соединим в с D) и тогда [BD] будет хордой одной восьмой ,[окружности]. Я утверждаю, что она известна.
Доказательство ЭТ؟Г0. проведем диаметр DA G, и пусть будет центром А. Соединим А с в. Опустим перпендикуляр DE на ^5. Опи- шем вокруг треугольника ADB круг и отложим на, нем дугу DBC, рав- ную дуге Л.336. Соединим в с с. По- скольку DE является половиной хорды удвоенной одной восьмой [окружности], то она, следовательно,— половина |ا хор- ды четверти [окружности]. Угол DAB ؛равен) одной восьмой четырех прямых углов. Значит он — половина прямого.
Угол AED — прямой, и потому остав- шийся угол —половина прямого.
Следовательно, линии АЕ и ED — рав- ные, и каждая из них —половина хорды четверти [окружности].
Продолжим AB в ее направлении, по- ка ЕН ,не станет равной Известно,
что вн и ВС равны, так как перпенди- куляр DE делит пополам и ломаную АВС, и прямую АВН. Квадрат AD равен квадрату искомой DB вместе с произведением известной AB на ВС, т. е. на вн. Следовательно, DB извесТ'На.
Вычисление этого: вычитаем половину диаметра из Х0рды337 чет- верти круга.- Остаток умножаем на половину диаметра. Данное произ- ведение вычитаем из произведения половины диаметра на себя. Из- влекаем корень из остатка, и получится хорда одной восьмой [круга]238.
Что касается половины хорды одной восьмой ,[круга] и, если по- требуется, [последующих] дробей, [получаемых делением на два], то это [находится] путем деления на два. II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ СУММЫ ДВУХ ДУГ с ИЗВЕСТНЫМИ
Х0РДАМИ339
Если каждая из двух дуг —с известной хордой, то хорда их сум- мы будет известна. Пусть [этими дугами] будут ^5 и ВС (см. рис. 62. В т чертеж (рис. 65) неточен).
Рис. 61.


Математические и астрономические трактаты.
Опустим перпендикуляр ٥٥ из середины дуги АВС на AB. про- ведем ٥٠ параллельно АВЗЮ. проведем из центра круга н перпен- дикуляр HFK к ٠٥. Понятно, что разность дуг AB и ВС, т. е. ؛раз- ность дуг AB и] ٥٠, есть сумма дуг ٥٥ и GA. Поскольку НК, половина хорды дополнения ٠٥ или ؛ ٥٠до полукруга)؛ известна, a HF есть половина хорды дополнения ,[известной дуги AB], их разность, а это — ٥٥,- [тоже] известна. ٥٥ равна ^٥. л٥ в квадрате равна квадрату ٥٥؛], тТ е. разности между [НК и KF] вместе с квадратом АЕ, являю-
Рис. 62. Рис. 63.
щейся полусуммой двух данных хорд [AB и ВС], и если AD станет известной, то и АС, хорда удвоенной ее дуги, станет известной. II
Вычисление этого: произведение каждой из двух хорд на себя вьтчтем [по отдельности] из произведения диаметра на себя. Извле- чем корень- из четверти каждого из двух остатков. Умножим раз- ность этих двух корней на себя, к этому '[произведению] прибавим произведение полусуммы Х0рд341 на себя. Разделим (полученное] на диаметр и вычтем частное Из половины диаметра. Остаток удвоим II и умножим это удвоенное на себя. [Полученное] вычтем из произведения диаметра на себя. Извлечем корень из остатка: он и будет хордой
суммы двух ду٢342.
МОЕ343 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ половины СУММЫ ДВУХ ١ДУГ С ИЗВЕСТНЫМИ ХОРДАМИ
Если известна хорда их суммы, можно предшествующим .[мето- дом] деления пополам определить хорду половины их суммы. Мы можем пояснить это. Пусть AB и ВС будут двумя ؛[известными хорда- ми], (см. рис. 63. В /7 он не верен: в 7 (рис. 66) правилен), проведем из центра н перпендикуляры НК и HF к AB и DEF. Поскольку НК — половина хордЫ дополнения [дуги] AB до полуокружности344, a FE равна [НК]) то —половина суммы хорд. КЕ равна половине ВС, так как она равна половине хорды, проведенной из точки о парал- лельно AB. Продолжим HFL в ее направлении. Ясно, что произведе- ние LF на остаток, :[полученный при вычитании LjF] из диаметра, ра- вен квадрату FD. Если вычесть FE из FB) оставшаяся ED будет из- вестной. АЕ известна, поэтому и AD известна.
Вычисление этого: Прибавим345 половину меньшей из двух хорд к половине диаметра, а также вычтем ее34б из нее. Результат прибав- ления умножим на результат вычитания347. Запомним348 корень из этого произведения. ВычТем произведение большей из двух хОрд на себя из произведения диаметра на себя. Извлечем корень из четверти ос- татка и вычтем его из запомненного. Затем остаток умножим на себя
143
144


69
Об определении хорд 0 круге
И прибавим это к произведению349 п؟ловины сумм؟ двух хорд на себя. Извлечем корень из суммы, ؟то и будет хорда^ половины суммы двух дуг с известНыми хордамиЗО. II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ РАЗНОСТИ ^ВУХ ДУГ с ИЗВЕСТНЫМИ
О ع ع ХОРДАМИ
Пусть эти !хорды] будут AB и ВС. (См. рис. 64. в п он опущен); ПроведемЗЗ! DG из середины дуги АВС параллельно AB и из центра яр перпендикуляр [к%٠] HFK قخ;ئئجة ة؟ قجئ٠:لقش[هي7ئ: ностьюРдуг ВС, т. е. ٥٠ и AB. Раньше уже было, что KF становится " ذ جء избыток большей Х0рды352 над половиной ее суммы с меньшей [хордой]. DB, которая в квадрате равна сумме квадратов
Л
Рис. 65.
[ЕВ и KF, т. е. ЕВ и ٠£] —известна. Следовательно, хорда удвоенной [дуги DB, т. е. хорда суммы дуг DB и GA, являющаяся искомой хор- дой разности дуг AB и в С] : известна. II
ЕычисленИе этого: сделаем точно то же, что раньше при [опреде- 146 лении] хорды суммы ,[дуг], п؛ока не получится разность двух корней. Умножим ее на себя, произведение прибавим к произведению избыт ка большей из хорд над полусуммой хорд, [умноженного] на себя. Разделим сумму на диаметр, а частное вычтем из [П0Л0ВИНЫ]353 диа. метра. Затем умножим остаток на себя354 и вычтем это из произведе- ния диаметра на себя. Извлечем корень из остатка, и это будет хорда разности .[двух дуг]355.
У хорды суммы двух дуг и у хорды их разности есть [соучаствую- щая в их определении] общая по названию [хорда], а именно — DB, которая является хордой разности дуг AD и ^356ج, и она же, T. е. DB, является хордой разности дуг ^٥ и СВ. Поэтому обе эти [хорды, т. е. хорды суммы или разности] П'Омогают друг другу в получении [иско- мого]. II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ СУММЫ ДВУХ ДУГ с ИЗВЕСТНЫМИ ХОРДАМИ 147 И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ их РАЗНОСТИ с помощью ПЕРЕХ0ДА357
МОИМ СП0С0Б0М358
Пусть будут двумя [хордами] AD и DB. (см. рис. 65. в п (рис. 63) пропущена линия BD). Предположим, что дуга AD рав'На [дуге] DC. Понятно, что хорда суммы [дуг] —а хорда разности —
Проведем из центра н перпендикуляр HG на AD и соединим А с н. Поскольку угол AHG опирается на половину дуги, на которую опирается угол DBA, эти два ,[угла] равны друг другу, треугольники AGH и — подобные. Поэтому АН, половина диаметра, относится к HG, половине хорды дополнения дуги AD до полукруга, как DB к


Математические и астрономические трактата
70
BE. Отсюда BE известна. BD в квадрате равна сумме квадратов BE и ED. Поэтому ED также известна. AD в квадрате равна сумме квад- paT'OB АЕ и ED. Отсюда АЕ известна, и если мы сложим АЕ и ЕВ, получится хорда суммы [дуг], а если вычтем ЕВ из АЕ, получится в остатке хорда разности ([дуг]. II
143 Вычисление этого: умножим меньшую Х'Орду на половину хорды дополнения дуги большей хорды до полукруга. Разделим произведение на половину диаметра, получится запоминаемое, а именно — ءج. у.м- ножим это запоминаемое на себя и меньшую хорду —на себя. Раз- ность двух [полученных] произведений вычтем из произведения боль- шей хорды, [умноженной] на себя. Извлечем из остатка корень, и если мы прибавим запоминаемое к этому корню, получится хорда суммы [двух дуг]. Если же мы вычтем его, останется в остатке хорд.а разности [двух дуг]359. II
МОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ СУММЫ и ХОРДЫ РАЗНОСТИ [ДВУХ ДУГ С ИЗВЕСТНЫМИ ХОРДАМИ] В «ОБОСНОВАНИЯХ К ЗИДЖУ ХАБАША»
Л1276
[Ес.ли даны] любые две дуги с известными хордами в круге с из- Л128авестным диаметром, то как хорда суммы этих [дуг], так и хорда II их разности известны.
Пример этому: дуги AD и BD — с известными хордами в круге с известным диаметром (рис. 65). Соединим А с В; [AB] будет хордой суммы этих двух ![дуг]. Отложим дугу DC, равную дуге AD, и соединим В с С. [ВС] будет хордой разности дуг AD и DB. я утверждаю, что и AB, и ВС известны.
Доказательство ЭТ'ОГО: проведем из центра н перпендикуляр GH к AD и из ٥ — перпендикуляр DE к AB. Соединим А с н. Поскольку [центральный] угол AHG [опирается] на половину дуги [AD]) на кото- рую '[.опирается] угол DBE, оба они равны. Поэтому прямоугольные треугольники AGH и — подобные. AG относится к АН, как DE к DB. Отсюда DE известна. DB равна в квадрате квадратам DE и ЕВ. Следовательно, ЕВ известна. AD равна в квадрате квадратам DE и
Следовательно, ЕА известна. [Значит], AB, равная сумме АЕ и ЕВ, известна.
DE делит пополам ломаную линию АВС. Следовательно, разность между АЕ и BE, а это —ВС, известна.
Вычисление ЭТ'ОГО: умножим меньшую хорду на половину боль- шей хорды и разделим прои.зведение на половину диаметра. Получит- ся перпендикуляр [DE]. Вычтем произведение этого перпендикуляра на се^я, по. отдельности, из произведения каждой из двух [известных] хорд .на себя. Извлечем корни из обоих остатков. Если же сложить, получится хорда суммы двух дуг, а если взять их разнос.ть, она будет равна хорде их разностиЗб!.
149 ИНОЙ СПОСОБ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЙ НЕ МНЕ362
Близок к этому ,[метод], на основании которого действовал Абу Наср Мансур ибн ‘Али ибн ‘Ирак в его книге, озаглавленной «Шах- ский Альмагест»збз. Он. заключается в том, что [Ибн ‘Ирак] продолжал СВ в ее направлении и опускал на нее перпендикуляр ... (с^.
рис. 66. ЧертСж в п не. полный: нет линий DS и SA). DB известнаЗб4. DB относиТся к BG, как диаметр к хорде дополнения AD до полукру-
150 га, так как угол DBG — по величине дуги AD, II а угол DGB — прямой.


71
Об опребелении хорЭ S круге
п.этому, если провести диаметр круга из ٥ и соединить А с егокон цом, вЫявится Подобие этого треугольника [DAS] треугольнику DGB. ОтсЮда отношение диаметра к BG становится известным. Отношение квадрата CD к квадрату BD известно. Следовае^ьно, отношение ؛квадрата CD] к [его] превышению [над ква^атом BD тоже] известно.
Но п^евышенИе квадрата CD 'Над квадратом BD есть превышение квадра- та CG над квадратов ٠ة6قىج Таким образом, отношение квадрата С.366 и к квадрату CG367, и к квадрату BG известно. Отношение диаметра к BD известнО. Следовательно, оставшаяся ة36ءة известна, li
Затем он С'Оединил АсВк опустил на AB перпендикуляр Так как AD относится к АЕ, как диаметр к хорде дополнения [до 151 полукруга]зб9, отношение AD к АЕ известно. BD относится к ЕВ, как
диаметр к хорде дополнения AD[т. е. к А5]; [пОэтому] отношение BD к ЕВ изве-
Рис. 66. Рис. 67.
сумме. Раныпе же разъяснялось, что разность АЕ и ВА равна ВСر [ко- торая определена выше].
Вычисление хорды разности [дуг] из этого [действия]: умножим
меньшую хорду на хорду дополнения до полукруга дуги большей [хорды]. Разделим произведение на диаметр и получим в частном пер- вое запоминаемое. Умножим его на подобное себе и прибавим произ- ведение к разности произведений каждой из хорд, .[умноженной] на себя. Извлечем из суммы корень, вычтем из него первое запоминае- мое, и останется хорда разности ,[дуг].
Вычисление хорды суммы [дуг] из этого [действия]: умножим ббль- шую хорду на хорду дополнения- до полукруга [дуги] меньшей хорды. Разделим произведение на диаметр и получим в частном второе за- поминаемое. Если мы сложим первое и второе запоминаемое, сумма будет хордой суммы двух дуг. Если же мы вычтем меньшее из них из большего, останется хорда разности этих двух [дуг]37٥.ц
ЕМУ ЖЕ ПРИНАДЛЕЖИТ другой МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ одной из ЭТИХ ДВУХ [ЗАДАЧ] из ДРУГОЙ, который он ПРИВЕЛ [В ТОЙ ЖЕ] УПОМЯНУТОЙ ١(НИГЕ371 Если известна ВС (рис. 67) — хорда разности [дуг], а желательно [определить] AB — хорду [их] суммы, то квадрат известной AD равен произведению искомой AB на известную ВС вместе с квадратом изве- сТной DB. Поэтому если мы вычтем квадрат DB из квадрата AD, ос-


Математические и астрономические трактата
72
танется произведение AB на ВС. Но ßC —известна; следовательно, и AB известна.
Вычисление этого: умножим каждую из двух хорд на себя. Раз- ность этих двух произведений разделим на хорду разности двух дуг. Получится Х'Орда ؛[их] суммы.
Если же известна ^ß —хорда суммы [дуг], а желательно ,[опре- делить] ВС, хорду [их] разнОсти, то квадрат ^٥ равен квадрату DB вместе с произведением AB на неизвестную ВС.
Вычисление этого: разделим разность квадратов дв.ух хорд на -хор. ду суммы [дуг], и получится в частном хорда ؛[их] разности372. ا|
153 ДРУГОЙ метод определения этого, принадлежащий мне.
я говорил в некоторых трактатах, в которых я нуждался при ре- тении этих проблем: опустим перпендикуляр DE (рис. 68) на AB, если AB, хорда суммы [дуг], известна, а мы хотим ؛'[определить] ВС, хорду '[их] разности. Поскольку квадрат AD меньше [суммы] квадратов DB и 5^373 на удвоенное произведение AB на BE, то, если половину разности между [суммой] квадратов AB и BD и между квадратом AD разделить на AB, в частном получится ßß374 — половина разности между хордой суммы и хордой разности '[двуХ дуг]. II
Вычисление этого: умножим каждую из двух хорд на себя, выч- тем меньшее из произведений из большего и разделим половину ос-
татка на хорду суммы [двух дуг]. Удво- енное частное вычтем из хорды суммы [двух дуг], и останется хорда [их] раз- ности.
Если же извест.на ßC_ хорда разно- сти двух дуг, а желательно определить —хорду суммы двух дуг, то мы от- ложим EG, равную ßß, и соединим ٥ с G. Тогда DG и DB будут равньГми друг другу. Квадрат AD превосходит [сумму] квадратов DG и 0^375 на [величин-у] про- изведения AG на GB, то есть ؛на удвоен-
fl
Рис. 68.
кое произведение AG на GE. Но AG равна ВС, и поэтому GB известна.
Вычисление этого: умножим [по отдельности] меньшую хорду и
хорду разности ؛[двух дуг] на себя. Сложим оба [произведения]. Выч- те^ су^му из произведения большей хорды на равное себе. Остаток разделим на хорду разности [двух дуг], прибавим полученное частное К хорде разноста [дЕух дуг], и п.олучится хорда [их] суммы37б٠ II
154
155 МОЕ377 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ ДОПОЛНЕНИЯ дуги с ИЗВЕСТНОЙ
ХОРДОЙ до ПОЛУКРУГА, КОГДА СУММА ДИАМЕТРА КРУГА И ХОРДЫ ЭТОГО ДОПОЛНЕНИЯ ИЗВЕСТНА, .١ А КАЖДОЕ ИЗ НИХ ПО ОТДЕЛЬНОСТИ НЕИЗВЕСТНО Это ВОСХОДИТ к предшествующей задаче о пальме. Пусть будет АС [дугой с] известной хордой (рис. 69). Сумма СВ, хорды ее дополнения до полуКруга и диамеТра ВА — известны, а каждая из ؛[линий] ^ß и ВС по-отделЕности не известны. Разделим дугу АВС пополам в ٥. Опус- ТИМ перпендикуляр DE на ^ß и перпендикуляр DHF на АС Из пред- шествовавшего ясНо, что точка ß - центр круга, *и чт'0 AF равна
٥ß378٠
АЕ, полусумма диаметра ^ß и хорды ВС, относится к DE, равной
156 половине АС, как DE к ЕВ. II [Отсюда ßß известна, и если прибавить


73
Об определении хорд ج круге
ее] к АЕ, получится диаметр, а если вычесть .ее из нее, получится [ис- Вычисление этОго: умножим половину известной хорды на себя. Произведение ра.зделим на половину суммы диаметра и хорды ДО", полнения؛ дуги с извес.тной хордой. Ёсл.и частное ,мы прибавим -К ЭТ.0Й половине [суммы, т. е. к] делителю, полу- чится диамСтр. ЕСли же мы вы؟тем [ча- стное] из негО, [т. е. из делителя], полу- чится хорда дополнения дуги с извест- ной ХОр٠ДОЙ279. II
Уже было доказано, что если В-Круге 157
с неизвес.тным диаметр0м38٥ известны две хорды и известна сумма хорд дополне- ниИ их дуг [до полукруга], и если разде- лить разнос.ть квадратов этих ДЕух изве^ стных хорд н-а сумму -хорд дополнении их дуг до полукруга, а затем прибавить ча- стное к этой сумме и взять полови,ну [последней суммы], то получится хорда дополнения [до полукруга] дуги 'Меньш-ей из двух известных хорд. Если же част-
؛ное от этого деления вычесть из этой суммы и взять половину остатка, получится хорда Д'ополнения [до полукруга] дуги 'большей из тех двух хорд.
Диаметр в квадрате равен сумме квадратов хорды любой дуги и хорды ее дОполнениЯ ,[до полукруга]. Поэтому он [будет здесь] извес* теН. Все это аналогично задаче о двух пальмах и птиде381٠
Рис. 6.9.
МОЕ382 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХОРДЫ ДУГИ и ХОРДЫ ЕЕ ДОПОЛНЕНИЯ ДО ПОЛОВИНЫ КРУГА С ИЗВЕСТНЫМ ДИАМЕТРОМ,
КОГДА ЭТИ ДВЕ ХОРДЫ в СУММЕ ИЗВЕСТНЫ, А ПО-ОТДЕЛЬНОСТИ
НЕИЗВЕСТНЫ
Пусть диа٠метр АС (ри.с٠ 70) известен, и сумма хорд AB и ВС из- вестна. Мы хотим узнать каждую из них по-отдельности.
Разделим д.угу АВС в ٥ пополам и опустим [перпендикуляр] DE на AB. Поскольку линия —ломаная, разделенная пополам в Е и на две различные части в в, сумма квадратов AB и ВС равна уд- военному квадрату АЕ вместе с удвоенным квадратом ЕВ. Но АС в квадрате равна сумме квадратов AB и ВС. Если мы ,'Вычтем из квад- рата АС половину его, остаток будет равен сумме квадратов АЕ и £5.11 Но квадрат АЕ известен, так Как — половина известной 158 [АВС]. И если мы из эт'ого остатка вычтем [АЕ]) останется в остатке квадрат ЕВ.
Следовательно, ЕВ известна. Если мы прибавим ее к АЕ, то е.сть к половине суммы AB и ВС, .получится AB. Если же .мы вычтем' [£ß из АЕ], останетс.я в остатке 5£383.
ДРУГОЙ ПУТЬ, ПРИНАДЛЕЖАЩИЙ МНЕ384 Или же, если мы хотим, отложим EG (см. рис.'70), .равную ЕВ. Тогда остающаяся [от AB] AG 'будет -равной ВС. Линия ..BG .раз- делена подолам в Е, а к ней 'Добавлена AG. Поэтому .сумма квадра- TOB ВА и AG равна [сумме] удвоенных квадратов BE и JEA. Тогда, если вычесть из квадрата АС, [равного сумме квадратов ВА ц AG,


Математические и астрономические трактата
74
п.скольку AG равна ВС], удвоенный квадрат £^385. ЕВ будет извеет- ной. Она —уравнитель, посредством которого уравниваются обе [AdH- ные] хордыЗЗб.
Использование половин этих величин облегчает действие, ибо ко- ловины так же соотносятся, как удвоенные ![величины]. Поэтому вы- числение этого таково: умножим половину суммы данных двух хорд на себя. Вычтем полученное в د из половины произве-
дения диаметра на себя и возьмем корень из ,остатка. Если мы хотим получить большую из двух хорд, прибавим этот корень к полусумме двух хорд. Если же мы хотим получить меньшую из них, вычтем этот корень Из их полусуммы, и получи.тся искомое. II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАЖДОЙ из двух хоря С^Е}КНЬ1Х двух дуг, КОГДА ИЗВЕСТНЫ ОтаОШЕНИЕ одной из них к ^ругои,
٥ ди ИЗВЕСТНА ХОРДА СУММЫ этих ДВУХ [ДУГ]388
159
Пусть будет хорда АС известна и известно отношение хорды AB к хорЯе ВС (рис. 71). Мы хотим определить каждую из двух ,[послед-
них хорд! по отдельности. ٠. длол
- п.ополам угол АВС линией 5/7.389. проведем диаметр
GKD. Он будет перпендикуляром к АС. Опустим на него, [т. е. на диа- метр], перпендикуляр вмн. Каждая из линий aAF и FC известна, поскольку они находятся в заданном отношении AB к 160 ВС. II [Следовательно], известна. KG, остаток [продолжения] стрелы DK) [до-
ъ
Рис. 71.
Рис. 70.
полняющей ее] до полудиаметра известенЗо. Следовательно, треугольник FGK известен. Треугольники BGD и BFX подобны ему391; следователь- но, оба они —с известными сторонами. [Отсюда] каждая из ؛[сторон] AB и ВС становится известной, и произведение АС на ВС, то есть на CL, известно. Разность между эТим )[произведением] и квадратом AB есть квадрат ВС. Следовательно, каждая из хорд AB и ВС известна, а это — то, что мы хотели. II
161 А также: треугольники FKG и А٥5 — подобные. AD, хорда поло- вины дуги АВС, известна. Следовательно, треугольник ADE — с изве- стными сторонами. Поэтому АЕ известна, как известна и удвоенная ее [величина], то есть совокупность [линий],ASC. Части этой [совокупно- сти] AB и ВС, находящиеся в известном отношении, известны, а это и есть наша цель.


7Ь
Об определении хорд Ö круге
УПОМИНАНИЕ О ХОРДЕ одного из ТРЕХСОТ ШЕСТИДЕСЯТИ ГРАДУСОВ 0КРУЖН0СТИ3.2
С помощью вышеизложенных основ, ,[пользуясь] разностью и де. лением пополам [дуг], можно дойти до [дуги] трех градусов окружно- сти круга, разделенной на триста шестьдесят градусов, и определить ее хорду- Дальнейшее, что за этим — будет дробными [выражениями значений дуг?93.
До сих пор еще абсолютно не известен ни один метод определе- ния [хорды] трети дуги с известной хордой. [Ученые] лишь бродят в [поисках] искомого вокруг истины, и в том, что им удается здесь най- ти, допускают погрешность ا| в приближенности [вычислений], [доходя) 162
Рис. 72. Рис. 73.
до тех долей [шестидесятеричных] долей, которые ими [далее] не ис- пользуются.
По этой причине остаются с неизвестными хордами дуги, превы- . три градуса, или полтора градуса, или три четверти градуса на избытоК39^, равный этому, [т. е. трети любой из этих дуг]393.
Пусть будет ADB дугой с известной хордой (рис. 72), а треть ее,
[т. е. Ауги],—٥٥. Построим DC, равную ده Тогда ВС будет равной ٥٥. Построим BG, равную ВС, и соединим G с ٥. Тогда произведение AG на ٥٥, т. е، на ٥с, будет равным квадрату А٥393. А также: если ٥ —середина дуги AD; а ٥٥--добавление к дуге Аوزر то произведете А\В на ٥٥ вмеСте с квадратом ٥٥. то есть [вместе с квадратом] FD, равно квадрату AD, то есТь [квадрату] ٥٥.
Поэтому, если было бы можно увеличить линию AB таким об- разом, что если провести 1-13 середины полученного целоро^ [т. е. увели- Ченной линии AB], перпендикуляр, как перпендикуляр ٥٥, и отделен- ная [им] хорда, а именно —٥٥, была бы равной этому увеличению, то эта добавка [к AB] и была бы искомым в том, чем мы занимаемся. II
Или же, если было бы можно провести прямую линию касательно 163 к этому кругу, встречающую AB в G397, и опустить перпендикуляр, падаюнщй из точки касания ٥ на середину линии AG398, то это было бы одним из способов [достижения], искомого. Дело в том, что линия, соединяющая Gc٥ — касательная к кругу по той причине, что угол ABD есть удвоенный угол ٥А٥. Однако углы А и G— равные, поэтому угол ^رهه равный [сумме] углов ٥G٥ и ٥٥G есть удвоенный угол BDG. Следовательно, угол BDG равен углу G, то есть уГлу А в сегЮен- те DAB.399 Но угол ٥٥G '[опирается] на хорду этого сегмента и [обра- зован] линией, исходящей из ٥4٥٥. Следовательно, линия ٥G —каса- тельная к кругу и параллельна ٥٥.


Математические и астрономические трактаты.
76
Но все это, [то есть решение данной проблемы с помощью циркуля и линейки}, невозможно. II
171 УХИЩРЕНИЕ для ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРЕТИ ХОРДЫ дуга
С ИЗВЕСТНОЙ ХОРДОЙ«!
Наиболее подобающим для нас (здесь] — идти по следам {наших] предшест-венников в ’[поисках], ухищрения для определения хорды трети дуги с известной хордой, дабы восполнить благодаря этому возможность подразделить хорды в таб'лицах.
Пусть будет AB дугой с известной хо'рдой (рис. 73). проведем из двух ее концов два диаметра — AG и BD, которые пересекутся в [топке] Е, и поэтому она будет центрО'М. Дуги AB и CD будут равными, про- должим неограниченно [линию] СА в ее направлении в сторону А. про- ведем DG параллельно СА и ЕН перпендикулярно -к ней. Затем прове- дем DMFK так, ч'тобы FK была равной полудиаметру круга. :[Однако] э'то до сег.0 наШего времени нцКому не удалось [Осуществить] с по؛ мощью геометрических принципОвОз. и нИкто не Е состоянии решить эт.0, кроме как посредством приближенных ухищрений, отклоняющихся от геометрического метода. Так, осуществили это ал-Кинди4٥2 и древние [ученые] с помощью [измерительного], инструмента и передвижения [линейки] и решили эту [проблему] учены'е нового времени ٠с помощью свойств гиперболы, принадлежащей к коническим сечениям, и пока пут'Ь к этому остается таким, никогда не удастся в вычислениях перей- ти от потенции к действию404.
[Но] отвлечемся от того, что с этим так обстоит, [и закончим рас- суждение],. Если мы проведем ЕО параллельно этой проведенной [ранее] линии, [т. е. DK\) то дуга АО будет половиной дуги OB.
Доказательство этого. Соединим EcF. Тогда углы FEK и FKE будут равными, как будут равными и углы EFD и EDF. Угол EFD равен '[сумме], равных углов FEK и FKE*05. Следовательно, угол EDF [равен], удвоенному углу FKE. Но угол FKE — накрестлежащий для угла GDK. Поэтому угол EDF [равен], удвоенному углу FDG. Угол BDG опирается на дугу GB, а угол АЕВ равен ему в силу параллель-
172 ности АЕ406 и DG. Следователи., дуги AB и —равные. II Если мы проведем ЕО параллельно DK, то получится внешний угол ВЕО, рав- ный внутреннему углу BDK [в треугольнике EDKI Тогда оставший- ся ,[искомый] угол ОЕА будет равен известному углу [DFGfoi.
И 224 [ПРОДОЛЖЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЭТОГО] 408
[Мы доказали, чта] ДО —половина дуги OB (рис. 74). Вследствие равенства дуг FA и од, [перпендикуляр АС] рассекает [пополам] хорду FO. Начертим [снова] это. Следовательно, она перпендикулярна к нему, как перпендикулярна к нему же [линия] ЕН. Значит они, [FO и EFI]r параллельны409. ЕО параллельна MF. Следовательно, [EOFM] — парал- лелограмм, и MF равна полудиаметру ЕО.
В целях попытки определить хорду трети дуги (рис. 74) опишем из центра D на расстоянии DM дугу LMS. Тогда ЕМ относится к МН) как треугольник 1[#]41٥ к треугольнику МО#. Отношение ЕМ к МН — ббльшее, чем отношение сектора DLM к сектору DMS, которое является отношением удвоения. Следовательно, линия ЕМ больше, чем удвоенная МН.
£#—половина хорды ßG4n, [являющейся хордой] удвоенной данной


77
Об определении хорд ج круге
286
287
[нам] дуги [АВ]. примем, что ЕМ больше двух тре.тей ЕН на какую-то величину. Умножим [ЕМ] на равное себе и умножим HD) т. е. половину хорды дополнения [дуги] GB до полукруга, на равное себе412. Сложим оба призведения и извлечем корень из суммы. Это будет DM. приба- вим [к DM] MFK, равную диаметру круга413; в сумме получится ٥^.
Вследствие подобия треугольников DHM и КЕМ ЕМ относится к МН) как KM к DM. При присоединении отноше-ния ЕН относится к НМ) как DK к |414٠ Умножим ЕН на DM и сопоставим это [произ- ведение] с произведением KD на НМ) которую мы взяли меныпей, чем треть ЕН. Если оба (произведения], будут равными, то так оно и будет, а если нет—увеличим или убавим ؛[взятую априорно величину ЕН]) в зависимости от того, что требуют обстоятельства, пока межд,у ними не получится равенство.
Величина, взятая (и уточненная] для ЕМ) и будет искомой.
Однако ЕМ относится к FP как AK к KF, —удвоенная KF415. Поэтому ЕМ —также удвоенная jPjP4i6٠ a [jFjPJ равна РО) а ЕО —половина хорды удвоенной ؛[дуги] АО) [тогда как].0ة-[искомая] треть данной '[нам] Х0рды417. ЕР - известна, АР — известна. СА от- носится к АО) как Л0418 к ОР. Следовательно, АО) хорда трети дуги АВ) известна, а это —то, к чему мы стремились.
При определении хорды од- кого градуса я следовал в моем комментарии к обоснованию зид- жа Хабаша419 другим путем. За- тем прибавил это IK тому, что принадлежит древним и новым ,[ученым] в книге, которую я сос- тавил для учета употребитель- ных мет'одов для определения хорд круга42٥.
И поразмысли ты,— да под- держит тебя Аллах! — над тем, что II я собрал ![здесь] для тебя, и исследуй это, дабы открылись для тебя источники разумения, и сошла благодаря этому с твоего разума ржавчина, [покрывшая] прО'НИцатель- ность, и дабы достиг ты посредством этого того, что тоньше понимания простого люда, и дабы исчезли между мной и между тобой основания для упреков. Хвала Аллаху за его великие благодеяния и благослове- ние пророку, лучшему из людей, и роду его чистому!
кНига, хвала Аллаху! Абу-р-райхан, да будет мило- сердным к нему Аллах, завершил это сочинение в раджабе чет'ыреста восемнадцатого года хиджры421.
Рис. 74.


ОБ АНАЛИЗЕ И ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ УРАВНЕНИЯ
[СОЛНЦА]


И219
[Из введения}
[... Некто обнаружил список],... содержащий величины уравнения Солнца по зиджу Хабаша...2 [Многое ему оказалось неясным].. и спро- сил он меня о сущности дела... II [Я стал выяснять ее, используя].... 1220 вычислительные методы, к которым привели меня размышления над этим, хотя некоторые из них оказались близкими, а некоторые —Дале- кими ÏOT цели]. Но ни один из них не дал никакого результата для вопросов, о которых он спрашивал, и я было совсем решил считать виной этих !неясностей] упрощение Хабаша при вычислении данных таблиц, или ошибки, допущенные их переписчиками. Но когда я вновь обратился к упоминавшимся ныше перемешанным обрывкам [списка], я обнаружил в них метод Хабаша для определения [полного] уравнения Солнца и частных его значений — ив простом, и в детальном [видах].
Когда я испытал его, он привел меня точно к таким же [результатам] для данного места, какие были в таблицах, и я узнал, что [Хабаш], а не кто-нибудь другой пользовался этим [методом].
Затем я стал думать о доказательстве этого метода и погрузи.лся в мысли о доказательстве других [методов], и открылись мне способы познания-их всех, и стали освещаться благодаря Настойчивости-З пути к их доказательствам в мгновенья взгляда в них. Вследствие их мно- жества стало возможным уделить им отдельную книгу, которая содер- жала бы искусство великой Т'РУДНОСТИ в астрономии, тренируя бегущего от одичалости традиций в зиджах [по направлению], к исследованию остальных присущих ей проб.лем. и вот эта книга.
Я вынужден прибегнуть в ней к именованию понятий^ сокращен- ными названиями, дабы облегчить их упоминание при их повторении, и представить [некоторые] другие [понятия], о которых не говорится в К'Нигах на٠чал [астрономии], дабы указать [читателю] на них.
Пусть будет круг AMS (см. рис. 75, первый вариант, в и ЭТ.0Т чертеж на с. 206) кругом, воспроизводящим эклиптику, центр которо- го — точка Е. Пусть будет круг ABD эксцентрической орбитой, по ко- торой происходит среднее движение Солнца, с центром с. проведем через оба эти центра диаметр II ACES; тогда точка А будет самым И221 дальним расстоянием [Солнца], которое называется апогей, а точка ده самым близким расстоянием, которое называется перигей. Предполо- жим, что расстояние Солнца от апогея — дуга AB; она в некоторых зиджах называется <<xacca»s Солнца, а в большинстве их — его «хИс- ca»6, !т. е. аргумент]. Соединим в с с и в с Е. Тогда угол АСВ. будет по величине ЭТОГ'О аргумента, а угол АЕВ—углом наблюдения этого [аргумента]. Угол СВЕ — угол уравнения {Солнца} поскольку он ب разность углов [А СВ и АЕВ]) ибо, если мы проведем сн параллельно 611


Математические и астрономические трактата
82
ЕВ, то угол [АСН будет равным углу ВЕС], и оставшийся угощ #ءء будет разностью углов [A]C[ß] и [С]ВЕ, (а он равен углу СВЕ] как накрестлежащий.
Опустим перпендикуляр CG {на اءج, а он - то же, что перпенди. куляр [BZ], {падающий} ؛на '[линию) сн, ибо обе линии, сн и BEرا— параЯлельНые, a. [CG] — перпендикуляр [к линии, параллельной СН; значит перпендикуляры CG и BZ]7 — равные.
CG— синус УраНнения в круге, [на окружности которого] точк-а в И222и полудиаметр которого ВС, II но тогда эта '[линия] CG8 — синус уран-
Рис. 75.
нения в эксцентрической орбите, a GB9, [равная CZ], — синус дополне- ния этого уравнения.
Продолжим جء в ее направлении и опустим ,[перпендикуляр] АР10 на диаметр AS. Опустим на этот [диаметр] также перпендикуляры МО и BL. Тогда BL будет синусом аргумента, ااء٤“ синусом дополнения его, МО синусом, угла наблюдения [аргумента], а АР — «обращенной тенью», [т. е. тангенсом] угла наблюдения [аргумента].
А также: всякая линия, касающаяся одного из концов данной [нам] дуги, оказывается [отграниченной] двумя линиями, образующими угол, стягиваемый этой да'нной дугой, и полудиаметр ؛[круга] относится к этой [касательной], как косинус этой дуги к ее синусу. На '[нашем] данном примере это так: ЕА относится к АР, как ЕО к МО.
[АР] называется «обращенной тенью» этой дуги [AM], [т. е. ее тан- г'енсом]. Проведем перпендикуляр СК к ВС; он бу.дет «обращенной тенью» угла уравнения, потом) чТо полудиаметр ВС относитСя к этой [линии СК], как косинус уравнения BG к синусу уравнения GG.
Продолжим ВС в ее направлении и опустим на нее перпендикуляр ءء. Затем [для всех дальнейших работ] назовем в качестве терминов BL — синусом аргумента, ВС — синусом его дополнения, [т. е. его коси- нусом], угол AG^-углом аргумента, МО — синусом наблюдения [аргу- мента], угол АЕМ — углом наблюдения [аргумента], АР —«тенью», [т. е. тангенсом] аргумента, отбросив от этого [названия слово] «обращенной», ибо в том,чем мы занимаемся, не употреб,ляется «прямая [тень»]. Назо- вем [далее} ءء — «основой», ибо на этой [величине] и будет [строиться]


83
Об уравнении Солнца
круг действий в данных работах, и величины уравнений (при любых] ар- гументах изменяются при. е.е изменении II
[Назовем также] угол С55 —углом уравнения с.лнца], CG — СИ- И223 кусом уравнения, ск — тангенсом уравнения, ЕВ . «гипотенузой»
[в прямоугольном треугольнике BFE], EF - «стороной» и ED — «до- полнением» основы [д.о полудиаметра].
Далее следует знать, что одному и тому же действию в половине [эксцентрической] орбиты, ограниченной апогеем и перигеем, присущи различные условия соответственно определенному по количеству, огра- ниченному числу вариантов.
Что касается первого из них (см. рис. 75, первый вариант), то в нем '[дуга] ،45 меньше четверти окружности. LE будет суммой [LC]) СИ- нуса дополнения (дуги] AB) и СЕ) «основы»؛ мы ؛назовем ее [«вспомога- тельной] С.УММОЙ». 55 (здесь] будет боль.ше, чем ПОЛ'НЫЙ синус ВС) и мы назовем [55] «избыточным синусом».
Что касается второго ؛[варианта] (см. рис. 75, второй вариант.
В И этот чертеж переместился на с. 2Ö8), то (дуга] AB будет полным квадрантом. Тогда LE, (вспомогательная] сумма» —это сама «основа», а 5512, «избыточный синус», — это полный синус.
Что касается третьего [варианта] (см. рис. 75, третий вариант.
В И этот чертеж ؛на' с. 208؛ далее, соответстве'нно, см. четвертый и пя- тый варианты), то [там] AB больше, чем квадрант, и меньше, чем сум- ма [дуг, сос.тавляющая] «большой квадрант»1з, который называется «пояс»14. LE (там] будет разностью между основой [ЕС] и между сину- сом дополнения ؛[аргумента, т. е. между LC]) и, таким образом, [LE бу- дет] избытком («основы» ؛над LC]. 55 будет меньше, чем полный син؛с ВС) и мы назовем [55] «'Недостаточ.ным синусом».
(Что касается че.твертого варианта, то там дуга] AB равна «поясу», к .[синус] угла уравнения есть сама «основа». БлагОдаря этому даннЫй [вариант] не нуЖдается в остальных (элементах] данной четверти ؛[круга], и мы поставим на его место пятый, а за ؛[пятым] — [этот] четвертый, «пояс».
.[В пятом варианте косинус аргумента LC больше «основы»]15, и LEI6 — его избыТок. 55 — «недостаточный синус». Точкой отсчет^ tap- г؛'мента] в этом послед؛нем варианте являе'гся D. II
Это -- то, о чем мы хотели сообщить!?. И224


[Из главы первойةال
И206 ... Что касается (вопроса], почему угол уравнения в [четвертом],
исключенном {из дальнейших наших действий] варианте, является наи- И207 большим из yr٩0B II ура؟нений, то мь؛ возобновим его изображени؟ и возьмем в 'Нем {сначала] аргумент АК меньшим, чем аргумент AB. Соединим КсСиКсЕ. я утверждаю, что угол ЕКС меньше, чем ز-гол £5С(рис.76).
Доказательство этого. Опустим перпендикуляр сн на ЕК. Посколь- к-y угол СНЕ — прямой, {линия] ЕС больше,, чем сн. Однако две окруж-
ности19, окружающие треуголь'НИки снк и СЕВ)— равные вследствие равеис.тва их диаметров, а 0'НИ — ск и СВ. Хорда СН [в 0Д1Н0Й из этих окружностей] меньше, чем хорда ЕС {в другой, равной окруж- ности]. Следовательно, угол (см.
D
Рис. 76. Рис. 77.
рис. 76. B # ОН ؟казался на с. 213), который стягивает [хорда] СН) а Именно-—{угол] СКЕ меньше, чем угол2٥, который стягивает .[хорда] СЕ) а именно — [угол] СВЕ.
Зате^ возьмем аргумент AG ббльшим, чем аргумент Соединим G с ح и ٠21 с Е. Я утЕерждаю, что угол EGC меньше, чем угол ЕВС. II И208 Доказательство этОго. Опустив перпендикуляр CF22 На [продолже- ние] GE. Поскольку угол CFE — прямой, [линия] CF меньше, чем СЕ. Две окружности, окружающие треугольники СЕВ и CGF) — равные нс^едствие равенства их диаметров, а они — СВ и CG. Поэтому хорда CF меньше, чем хорда СЕ, и угОл, который стягивает ,[хорда] CF, а именно — угол CGF) меньше, чем [yгoлآ, который стягивает ЕС) а именно — У.Г0Л СВЕ.
Итак выяснилось, что всякий аргумент, будь он меньше аргумента AB) или превосходи 0؛н его, {таков. Что] его уравнение [всегда] будет
А


Об уравнении Солнца
меньше, чем уравнение при аргументе AB. Следовательно, последнее — наибольшее из уравнений, а синус его, а именно —وءه—то, что мы назвали «основой». Это и есть то, что мы хотели разъяснить.
В дальнейшем мы ؛намерены ограничиться одной из двух половин эксцентрической орбиты при [приведении] примеров действий и их до- казательств, поскольку углы уравнений для [равных] аргументов, взя- тых от одной из точек апогея или перигея, в двух разных сторонах, |ا —
Возобновим для разъяснения этого [изображение] эксцентрической^؛., орбиты и возьмем равные аргументы DA и DB (см. рис. 77. в и этот чертеж ؛на с. 109). Соединим в с с, в с Еу ة с ٠, А с с, А с Е и А с D. Поскольку углы BCD и ACD — равные и линии CA, CD и СВ — равные, треугольники BCD и А с٥ —равные с равными соответствующими друг другу углами. -Поэтому углы CBD и CAD -- равные. А также: посколь- ку линия BD равна линии DA, линия ٥٥ — общая, а угол BDE23 равен углу ADE, треугольники AED и BED24 — равные с равными соответ- ствующими один другому углами. Поэтому угол EBD равен углу EAD25,
... Поскольку это стало яснымЗб, мы ؛нуждаемся в разъяснении двух 173 предпосылок, одна из которых связана с другой. Хотя я и уделил спе- циально свойствам, которые обуславливаются ими, достаточную книгу.27, нам необходимо [еще раз] указать на них. Первая из них такова: если дуга разделена пополам и на две ,неравные части, то, если соединить [каждый из] двух концов ЭТОЙ'28 [дуги] с двумя точками ее разделения, произведение хорд двух равных [ее] частей, II умноженных друг на дру- 174 га, будет превосходи'ть произведение хорд двух неравных ,[ее] частей на квадрат хорды, [лежащей] между двумя точками разделения [дуги].
Пример этого. Дуга АС (рис. 78) разделена пополам в '[точке] ٥ и на две нерав'Ных час.ти — в в. Соединены А с в, в с с, А с. D, D с с и D с В. Я утверждаю, что прои.зведение AD на DC превосходит произве- дение AB на ВС на [величину] квадрата DB.
Доказательство этого, проведем DG параллельно AB и соединим А с G и G с ß. Тогда дуги AG и DB будут равными, и оставшиеся дуги GD и ВС тоже будут равными. [Дуга] GB будет равной DCر и будут равны- ми их хорды.
Поскольку четырехсторонник AG.ß — вписанный в круг, а из пер- вой макалы29 книги «Альмагест»зо явствует, что произведение двух про- тиволежащих сторон подобной [фигуры] в их сумме равны произведению одной из диагоналей на другую, то произведение AD на GB, т. е. на DC, равно произведению AB на GD, т. е. на ВС, в сумме с произведе- нием равных AG на DB, т. е. — с квадратом DB.
Следовательно, превьнпение произведения AD на ВС над произве- дением AB на ВС есть квадрат DB, а это — то, что мы и хотели разъ- яснить.
Вторая предпосылка. Если в дуге «перегнута» прямая линия, и эта дуга разделена [ее частями] на две неравные части, то перпендикуляр, опущенный из середины данной дуги на эту перегнутую, [т. е. лома:ную], линию؛ делит ее пополам.
Пример Э'ГОГО. В дуге АС (см. рис. 79. в # и ^ пропущена линия BD) перегнута прямая линия ABCi Затем дуга разделе؛на пополам в точке وه из которой опущен на лолданую линию перпендикуляр ٥٥.
Я утверждаю, что АЕ рав,на сумме ЕВ и ВС. II
Доказательство этого. Соединим А с ٥ и ٥ с 5. Из первой предпо- 175 сылки явствует, что произведение AB на ВС вместе с квадратом ٥٥ равно квадрату AD. Но квадрат AD раве.н сумме квадратов ٥٥ и ٥٨ а квадрат ٥٥ равен сумме квадратов ٥٥ и ٥٥. Поэтому произведение


Математические и астрономические трактаты
AB на ВС вместе с квадратами DE и ЕВ равно [сумме] квадратов DE и ЕА. Если исключить квадрат DE, обший [член уравнения], то останет- ся, что произведение AB на ВС вместе с квадратом ЕВ равно квадрату ЕА. Следовательно, линия АВС разделена пополам в ٥ и на две нерав- ные части в ß, а это — то, что мы и хотели разъяснить.
К тому, в чем мы будем нуждаться в будущем, относится следую- шее: если будут два круга, различных [по величине], и каждый из их диаметров разделен на равные части, и, кроме того, будет известна раз- ность их диаметров в частях одного из них, то, если известно отноше-
Рис. 79.
ние любой ЛИ'НИИ к одному из этих [диаметров], будет известно .ее отно- шение и к другому.
Для примера вернемся к эксцентрической орбите, [т. е. - орбите ,апогея Солнца], и к кругу, воспроизводящему [эклиптику]. Известно, что полудиаметр каждого из' них разделен на части полно'го синуса. Рас- стояние между их центрами, «основа», [т. е. СЕ] (рис. 80), известно в частях, в которых [ЛС] —полный синус. Предположим, что линия EG также известна в этих мерах. |ا я утверждаю, что она известна и в ме- * рах, в которых полный синус. Дело
в тОм, что величина EG в мерах диаметра эксцентрической орбиты, [т. е: AAll отно- сится к [линии] ЕА, когда она - сумма пол- ного синуса АС и «основы» СЕ, так, как
величина EG в мерах диаметра [круга], воспроизводящего '[эклиптику, т. е. AB],— а она [т. е. EG в этих мерах], и есть искомая,— к ЕА, когда она — П0Л؛НЬ1Й синус. Поэтому, если мы умножим любую линию, извест- ную в мерах диаметра экс.центрической ؛[орбиты], на полный синус и разделим произведение на сумму полного синуса и «основы», [величина этой линии] будет переведена в меры диаметр؛а [орбиты], воспроизводя- щей [эклиптику].


87
Об уравнении Солнца
И наоборот-: если [эта линия] известна в мерах диаметра [круга], воспроизводящего [эклиптику], то, если мы умножим ее [величину] на сумму полного сИ'Нуса и «основы» и разделим произведение на полный синус, она будет переведена в меры эксцентрической орбиты. Это — то, что мы хотели разъяснить.
К тому, в чем мы также нуждаемся, относится следующее: если
есть прямоугольный треугольник, и у него известна одна из сторон вместе с одним из углов, кроме прямого, то весь этот треугольник ста. новится известным.
Пусть, ؛например, таким треугольником будет треугольник АВС с прямым углом в (рис.. 81). Пусть в .нем угол ВАС и сторона АС будут иЗвестны؛ ПродолЖим АС и AB в их 'направлении и отделим AD, рав- .ную удвоенному3* [количеству] частей полного синуса, в которых из- вСстна сторона л С32. Опишем на диаметре АЕ Кру T AED и соедИним Е
с. 	٥. Видно, что треугольники АВС и AED — подобные, а соответ- ствующие их стороны — пропорциональные. Угол ВАС был известен в частях, в которых че.тыре прямых угла — триста шестьдесят частей. Но мы увеличили ‘[части его измерения] вдвое и потому он стал [известным] в мерах, в которых два прямых угла ؛[в преобразованных мерах] — триста шестьдесят [прежних] частей33. Дело в том, что если есть два равных угла, и один из них — при центре, а другой — при окружности, то тот, который при окружности, отделяет в круге вдвое большую [дугу], чем тот, который при центре. Следовательно, дуга ED величиной в уд- военный угол ВАС. [Поскольку она известна, то] и ее хорда ED извест- на, а [также] известна и л.34, ибо она — хорда дополнения дуги ED до полукруга.
Известная £٥ относится к известной AD, как неизвестная ВС к известной ЛС. Следовательно, ВС известна. А также: известная £>Л35
относится к неизвестной ВА, как известная £Л36 к известной сл. [Отсю- да] ВА также известна. Следовательно, весь треугольник Л£С —с ИЗ", вестными сторо'нами, а это — то, что мы и хотели разъяснить.
Это — то, что нам было необходимо предпослать, и да завершим м.ы этим первую главу. II


Глава вторая
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ВЫЧИСЛЕНИИ.
ДЛЯ ВЫЯСНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА]
С МНОГОЧИСЛЕННЫМИ ИХ ПРИМЕРАМИ БОЛЬШИНСТВО КОТОРЫХ РАССМАТРИВАЛОСЬ мною КОГДА У МЕНЯ ЗАПРАШИВАЛИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА '
ИХ ПРАВИЛЬНОСТИ ИЛИ НЕСОСТОЯТЕЛЬНОСТИ Теперь я хочу перечислить в этой главе все вычислительные методы, посредством которых определяется уравнение [Солнца) для половины эксцентрической орбиты и выявляются частные ؛его зна4ния۴7 для гра- дусов этой (орбиты] с многочисленными их примерами, не имеющими ощутимых изображений и линий пространственного измерения, я начну с самых длинных из них. переходя к самым кратким, и с самых труд.ных из них, ؟؛ереходя] к самым легким. Если же какие-нибудь из этиХ .؛вы- числениل —неверные, то «право» его. если оно не бУдет совсем Опу- щено,— быть отнесенным на кО'нец.
Легкость или трудность вычислений явственна для того, кто убе- дился в превосходстве легкости прибавления над вычитанием, перемно- жения од-нородныХ [по разряду} величин — над ؛перемножением] неодно- родных, умножения как такового —над делением, и деления —над извлечением корней, и тот, кто постиг это, знает, что [последовательное] повторение умножения несколько раз вместо того, чтобы извлечь корень один раз, не дает выигрыша ,[результату] действия, хотя легкость его и становится продолжительной.
؛Все] эти вычисления я расположил по разделам, каждый из которых охватывает по одному из них, в целях облегчения указаний на них при приведении доказательств к ним в третьей главе, если захочет того Аллах. !!
Раздел первый
ОБОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] для половины ОКРУЖНОСТИ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ, [Т.Е. ОРБИТЫ АПОГЕЯ СОЛНЦА]', с помощью ВЫЧИСЛЕНИЯ, Явившегося плодом моих РАЗДУМИЙ
Если мы хотим определить частные значения уравнения [Солнца] для градусов половины эксцентрической орбиты, возьмем синус наи- большего уравнения ؛Солнца] и примем его за «основу» для всех’ работЗв. Возьмем синус аргумента и его дополнения. Если '[аргумент] меньше девяноста градусов, прибавим синус его дополнения к «основе», и полу- чится ؛«вспомогательная] сумма». Если же он больше девяноста гра- дусов, возьмем разность между «основой» и синусом дополнения аргу- мента. Тогда получится ؛«вспомогательная] разность».
Умножим то, что получилось. - ؛«вспомогательную] сумму» или «разность», на себя, прибавим ؛результат] к произведению синуса ар- Гумента ,на себя и запомним то, что получилось в с.умме. Затем возьмем корень из, этой ؛«запоминаемой] суммы», и он будет «гипотенузой». Прибавим «запоминаемую [сумму]» к произведению «основы» на себя.


уравнении Солнца
Возьмем разность между полученной ؛суммой) и между произведением полного синуса на себя. Разделим половину этой ؛[разности) )на «гипоте- нузу». Произведение полученного в частном, умноженного на себя, выч- тем из произведения основы на себя. Возьмем корень из остатка, и он будет синусом уравнения [Солнца] для данного аргумента^.
[Все] это — для первого, третьего и пятого ؛вариантов положения СолНца], различные ви^ы которОго мы обусловили в первой главе. II Что 80ا касается четвертого '[варианта], то он, как говорилось, оставлен [для рассмотрения] в последующих действи-ях. При втором же [варианте] мы прибавляем произведение полного синуса на себя к произведению «основы» на себя. Возьмем корень из суммы, и он будет «гипотенузой». Затем умножим полный синус на «основу» и разделим произведение на «гипотенузу». Получится синус уравнения [Солнца]. II
Пример на один из видов сего для заданного аргумента 30 гра- 182 дусов. 182
Си-нус этого [аргумента] — 30.40. Си'Нус его дополнения —51ر58ء. Наибольшее уравнение — 1ا59ء, а его синус — 2ر'5ء а. это - «основа» Поскольку аргумент меньше четверти окружности, прибавим синус его дополнения к «основе». Получится 54Р 3', а это — ؛«вспомо-гательная] с.умма». Умножим ее на себя. Получится 10517049 секунд. Умножим СИ- кус аргумента на себя. Получится 3240000 секунд. Сложим оба [произ- ؛едения]؛ получится 13757049 секунд, а это — «запоминаемая [с؛мма]». Возьмем корень из ؛нее, 0؛н будет 3709 минут, ٠а это — «гипотенуза».
Затем умножим «основу» на себя؛ получится 15625 секунд. Приба- вим это к «запоминаемой [сумме]». Получится 13772674 секунды. Выч^ тем из этого произведение полного синуса на себя, т. е. 12960000 секунд.
В остатке будет 812674 секунд. Разделим это пополам. ПолучИтся 06337؛ секунд. Разделим их на «гипотенузу»؛ получится 110 мИнут. II Умножим их на себя؛ поручится 12100 секунд, ЕычтСм их из произведе83و ؛ ния «основы» на себя. По.лучится в остатке 3525 секунд. Возьмем КО" рень из этого остатка؛ он будет [059[ء'. Это — синус уравнения. Опреде- ЛИМ его дугу по таблице синусов, и его дуга будеТ 19'56 [0٠؛". Это — уравнение для заданного аргумента, .[полученное] ؛на ОД'НОМ из примеров [его вариантов]. II
184
Раздел второй
asisu,,
Определим ؛«вспомогательную] сумму» или разность так, как об этом говорилось в первом разделе. Умножим ее ,на себя и прибавим это ؛про- 3!؛ведение] к произведению сиКуса. аргумента на себя. Возьмем корень из су^мы, и он будет «гипотенузой», затем вычтем произведение «OCIHO- вы», [умноженной] на себя, из произведения полного синуса, [умножен- ного] на себя. Оста-ток разделим на «гипотенузу» и полеченное нами ؛астное вычтем из «гипотенузы». Остаток разделим пополам и умножим полученное] на себя. Полученное ؟ выч-тем из произведе-
؟ИЯ «основы», [умноженной] на ؟ебя. Возьмем корень из остаТка, и он буде؛синусом уравнения [с0лнца]41. II
Пример этого для заданного аргумента. Вычтем произведение 185 «основы», ؛умноженной] на себя, из произведения полного синуса, [ум- ноженного] на себя, в остатке будет 12944375 секунд, Разделив это ни «гип.отенузу». Получится в частном 3490 минут. Еычтем их из «гипоте- нузы», получится 219 минут. Разделим это второе, [т. е. последнее].


Математические и астрономические трактата
9Ô
ЧИСЛО пополам; получится'[округленно) 110 минут. Вычтем произведение их, [умноженных] ,на себя, из произведения «основы», [умноженной] на себя. Получится 3525 секунд. Корень из этого — 59 [минут]. Он и будет искомым синусом уравнения. 11
86ل Раздел третий
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ этого УРАВНЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ ПРИВОДИТ В СВОЕМ ЗИДЖЕ МУХАММАД ИБН ДЖАБИР АЛ-БАТТАНИ42
Этот же [метод] упоминает также Мухаммад ибн ‘Абдал'азиз ал- ХашимиЗ в двух местах в книге е.го [теоретических] обоснований к зиджу ал-Хорезми без приведения доказательств, утверждая в одном из этих двух [мест], что О'Н определил урав'нение [Солнца] по способу «ас-Синд- хинда»44.
Умножим синус аргумента на «основу» и разделим произведение на полный синус. Получится «сторона». [Затем] умножим синус дополнения аргумента на «основу» и разделим произведение на полный синус. Частное прибавим к полному синусу, если аргумент меньше девяноста [градусов];- тогда получится «избыточный сиНус». Если же аргумент болыпе девяноста градусов, вычтем это [частное] из полного синуса; получится «недостат-очный СИ'НУС».
Затем умножим любое из двух полученных,— «избыточный» или «недостаточный [синус]»,— на себя, к произведению прибавим прои,зве- дение «стороны», [умноженной] на себя. Извлечем корень из суммы, и он будет «гипотенузой». Затем умножим «сторону» на полный синус и разделим произведение на «гипотенузу». Получится синус уравнения [Солнца]45.
Что касается второго варианта [положения Солнца на эксцентри- ческой орбите], то мы прибавляем произведение «основы», ([уМ'Ноженной] на себя, к произведению полного синуса, '[ум.ноженного] на себя, и изв- лекаем корень из суммы. Получится «гипотенуза». Затем умножим «основу» на полный синус и разделим полученное произведение (на «ги- потенузу». Получится синус уравнения [Солнца]4٩ 11
188 Пример этого для задан'Ного аргумента. Умнозким синус аргумента 'На «основу». Получится 225000 секунд. Разде-лим их на полный синус. Получится 63 минуты, а это — «сторона». Умножим синус дополнения аргумента на «основу». Получится 389750 секунд. Разделим их на пол- !НЫЙ синус. Получится 108 минут. Прибавим их к полному синусу; полу- чится 61.48', а это — «избыточ.ный синус». Умножим его на себя. Полу- чится 13749264 секунды. Умножим «сторону» на себя. Получится 3969 секунд. Сложим оба [произведения]. Получится 13753233 секунды. Ко- рень из этого — 3708 минут; а. это — «гипотенуза».
Затем умножим «сторону» на полный синус. Получится 226800 се- кунд. Разделим их на «гипотенузу». Получится 61 [минута]. Это - синус уравнения [Солнца]. Определим его дугу. Получится [0ا"15'58(ء Это и ест-ь искомое уравнение [Солнца]. 11
189 Раздел четвертый
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ٠ УРАВНЕНИЯ [,СОЛНЦА] ПОСРЕДСТВОМ
ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ ПРИВОДИТ ؛МУХАММАД ИБН Ибрахим АЛ-.АЗАРИ47 В ЗИДЖЕ «БОЛЬШОЙ -АС-СИНДХИНД>>48
Он сказал:умножим синус 'аргумента на две пятых «основы» и разделим произведение на шестьдесят. Получится «сторона». Умножим CH'Hyc дополнения аргумента на две пятых «основы» и разделим произ.


Ô6 уравнении Солнцй
ведение на шестьдесят. Полученное частное прибавим к полному сину- су, если аргумент и меньше квадранта. Получится «избыточный синус». [Если же аргумент больше квадранта], вычтем {то частное] из полного синуса. Получится «недостаточный синус.».
После того, как у него получены «сторона» и «избыточный» [или] «недостаточный» синус, действие идет так же, как мы говорили со слов ал-Баттани49 и ал-Хашими, число в число, без каких-либо изменений. Поэтому, опираясь н.а предыдущее, мы остальное здесь опускаем^..
Пример этого для заданного аргумента. Поскольку число частей [полного] синуса у индийцев в два с половиной раза {больше] числа !пестьдесят, синус заданного аргумента будет [по их системе] — 75Р, а синус его дополнения — 129Р 55'. «Основа» —٠ 5'٥ 13', а две пятых ее —
2٥ 5'. Произве.дение синуса аргумента на две пятых основы — 9375 ми- нут51. Разделим их на шестьдесят, ,[т. е. на 60Р]. Получится 216ء'. А это— «сторона». Произведение синуса дополнения аргумента на две пятых основы -- 974375 секунд52۶ Разделим это на 60, [т. е. на 60Р]. Получится 4P 5', а это — «избыточный синус». Если перевести то, что получилось у него, а именно — «сторону» и «избыточный синус», из индийских долей [д٠еления полного синуса] в шестидесятерич'Ные Д.0ЛИ, т. е. взять-две пятых от [значения] каждого из них, то «сторона» будет 63 минуты, а «избыточный синус» — 61Р 48', как .это и было в предыдущем действии. II
Когда мы в этом пришли к совпадению, то в дальнейшем мы будем 190 иметь единое положение, и в конце действия результаты обоих этих [методов] совпадут. II
Раздел пятый 191
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] ПОСРЕДСТВОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ РЕКОМЕНДОВАНО в КНИГЕ «АЛЬМАГЕСТ»
[Вычисление], которое [дается] в третьей книге «Альмагеста»,— подобное тому, о котором я рассказал со слов ал-Баттани, но только в нем используются хорды вместо синусов, а суть этого в том, что берется хорда удвоенного аргумента и хорда дополнения удвоенного [аргумента] до половины окружности.
Каждую из этих двух [хорд] мы умножаем на «основу» и каждое из двух произведений делим по-отдельности на удвоенный полный СИ- нус. '[Затем] мы запоминаем [как вспомогательное] частное, полученное от деления [произведения] хорды удвоенного аргумента, [умноженной н؛а «основу»] Частное же., полученное от деления '[произведения] хорды до- полнения удвоенного аргумента, [умноженной на «основу»], мы прибав- ляем к полному синусу, если аргумент меньше квадранта.
Затем прибавляем произведение полученной [суммы, умноженной] на себя, к произведению запоминаемого [вспомогательного, умноженно- г٠о] на себя. Из с.уммы извлекаем корень, и он будет «гипотенузой». Далее умножаем запоминаемое [вспомогательное] на полный синус и делим произведение ؛на «гипотенузу», в частном получится половина хорды удвоенного аргумента. II
Пример этого. УдвоеН'НЫЙ аргумент-60'٥. Его хорда — 6٥р. Допол- 192 нение удвоенного аргумента^—120.. Его хорда—1034ج'55ء. УМНОЖ'ИМ хорду аргумента на «основу». Получится 450000 секунд. Разделим их 'На ПОЛНЫЙ синус. Получатся 63 минуты, которые мы запомним [как вспомогательные]. Затем умножим эти же [мИ'Нуты] на себя؛ получится 3969 секунд.


Математические и астрономические траНтат^
ة9
Произведение хорды дополнения удвоенного аргумента^ на «осно- ву» — 774375 секунд Разделим их на удвоенный ПОЛ'НЫЙ синус؛ полу- чится 108 минут. Прибавим эти (минуты] к полному синусу. Получится «избыточный, синус» —61Р 48'. прибавим произведение ЭТОГО' (синуса, умноженного] на себя, к произведению запоминаемого (вспомогатель- ного], умноженного на себя, и извлечем корень из этой суммы. Получит- ся 3708 минут, а это — «гипотенуза».
Затем умножим запоминаемое '[вспомогательное] на полный синус. Получи'ТСя 226800 секунд. Разделим это произведение на «гипотенузу». Получится ججر61[ء0]ا, а это — синус уравнения (Солнца]. Определим его дугу؛ она будет 15 '58[ه'0]ا". Это и будет искомое уравнение (Солнца]. إ|
Раздел шестой
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИИ [СОЛНЦА] ПОСРЕДСТВОМ ВЫЧИСЛЕНИИ, КОТОРОЕ ВЫВЕЛ и
Получим («вспомогательную] сумму» или «раз'ность». Умножим то (или иное] на себя и прибавим это '[произведение] к произведению сину- са аргумента, ,[умноженного] на себя. Запомним эту сумму. Затем ум- ножим это запоминаемое ؛на произведение суммы полного синуса и «ос- ؛новы», [умноженной] на себя. Извлечем корень из произведения и ум- ножим его на синус аргумента. Разделим (полученное] произведение на запоминаемое. Затем умножим полученное от этого деления частное на полный синус и разделим произведение на сумму полного синуса и «ос- новы». Получится в частном синус у(ла «наблюдения [аргумента», т. е. исправленного аргумент-а]. Разность между этим углом и углом аргу- мен.та и есть уравнение [Солнца]57. II
Пример этого для задан'Ного аргумента. Умножим по отдельности («вспомогательную] сумму» и синус аргумента на себя и сложим оба '(произведения]. ПолуЧитсЯ 137570^9 секУнд, а это — запоминаемое. За- тем умножим сумму полного синуса и «основы» на себя. Получится 1387625ة секунд. Умножим это п.роизведение на запоминаемое. Полу- чится 190887053030625 кварт. Корень из этого—13816210 секунд. Ум- ножим этот корень на синус аргумента. Получится 28469178000 кварт. Разделим это На запоминаемое. Получитс.я в частном 1808 секунд. Умножим это частное на полный синус. Получится 6508800 терций. Разделим их на сумму «основы» и П0Л؛Н0Г0 синуса. Получится 1747 ми- нут. Это —синус угла наблюдения [٠аргументаو т. е. исправленного ар- гУмента]. Опре^елИм его дугу؛ она будет — 29٥ 2'. Разность между ней и между аргументом, '[принятым за 30٥], — 58 '[минут]. Это и есть синус уравнения [Солнца]. II
Раздел седьмой
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] ПОСРЕДСТВОМ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ ПРИШЛО МНЕ ،НА УМ]
Умножим синус 'аргумента на «основу». Разделим произведение, если аргумент меНьше кЕадранта, на [«вспомогательную] сумму؛؛ если же он бОлыпе квадранта,—на 'f«вcпoмoгaтeльнyюا разность». Частное умножим на себя и запомним это [произведение]. Затем умножим это .Запоминаемое на произведение «основы», [умноженной] на себя. [Полу- ченное] произведенИе разд.елим на сумму произведения «основ؟», [умно- женноИ] На себя, и запомненного. ПОлучИтсЯ синус уравнения [Солнца}8؛. ДлЯ второго Е.арианта умножим ïno отдельности] «ос؛нову» на себя


93
Об уравнении Оолита
и полный синус на себя. Разделим ؛на сумму этих двух произведений произведение^, [полученное] от переМ'Ножения их друг ؛на друга, в част- ном получится синус' уравнения [Солнца].
Пример этого для заданного аргумента. Разделим произведение синуса аргумента, [умноженного] на «основу», на !.«вспомогательную] сумму». Получится в частном 69 минут. Умножим их на себя. Получит- ся 4761 секунда, которые мы запомним. Уъ؛ножим это запоминаемое на произведение «основы», [умноженной] на себя. Получится в произ- ведении 74390625 кварт. Разделим их на сумму произведения «осно- вы», [умноженной] на себя, и .запомненного, т. е. на 25386 секунд. В чаСТном получИтся 3649 секунд؛ это —- сийус уравнения [Солнца]. Определим его дугу. Она будет 51'49". Это и есть искомое уравнение [Солнца]. !!
196
Раздел восьмой
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ ГСОЛНЦА, ПУТЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ УДАЛОСЬ МНЕ ВЫВЕСТИ
Определим [«вспомогательную] сумму» или «разность» в сооТвет- ствии с теми условиями, речь о которых повторялась ,[выше]. Ум؛ножим [одно из них.] на себя и [умножим] с.инус аргумента на себя. Сложим оба [произве.дения] и запомним сумму.
3-атем умножим сумму полного синуса и «основы» на себя. По- лученное произведение ум.ножим на произведение синуса аргумента, [умноженного] на себя. Это произведение разделим .на запомненную [cyMMÿ], а из полученного частного извлечем корень и умножим его , на пол.ный синус, произведение разделим на сумму полного синуса и «основы». В частном получится син.ус угла «наблюдения [аргумента»,
т. 	е. исправленного аргумента]. Разность между ним и между углом аргумента и есть уравнение [Солнца]б.
Пример этого для заданного аргумента. Сумма произведений [«вспомогательной] суммы» и синуса аргумента, [умноженных ПО-ОТ- дельности] на себя,— 13757049 секунд, а это — запомненная [сумма]. Произведение суммы полного синуса и «основы», [умноженной] на се- бЯ,— 13875625 секунд. II Умножим его на себя, в произведении полу- 197 чится [после поднятия кварт до секунд] 12488062500 секунд. Разделим их на запомненную [сумму], в частном получится 54465 минут. Умно- жим их 'На полный синус. Получится 6505200 секунд. Разделим их на сумму полного синуса и основы, т. е. на 3725 минут. Получится 1746 минут. Это — синус угла «наблюдения [аргумента», т. е. исправленного аргумента']. Определим его дугу؛ она —29.1'. Разность между нею и между аргументом — 59'. Это и есть искомое уравнение [Солнца] II
Раздел девятый
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [.СОЛНЦА] 'ПУТЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ,
К КОТОРОМУ ПРИВЕЛО МЕНЯ РАЗМЫШЛЕНИЕ Вычтем аргумент из ста восьмидесяти, разделим остаток попо- лам, определим его синус и удвоим этот синус. Он станет хордой. Умножим ее на себя и запомним произведение. [Далее], если аргумент меньше квадранта, умножим разность между полным синусом и «осно- вой»,— а она — «дополнение основы», — на себя. Удвоим произведение [«вспомогательной] суммы», умноженной на «дополнение основы», и


Математические и астрономические трактата
94
вычтем все это, [т. е. сумму двух последних результатов], из запомнен- ного [произведенИя].
Если [аргумент] —девяносто градусов, умножим «дополнение ОС'НОВЫ на себя, удвоим произведение «дополнения основы», [умножен- ного] на основу, и затем вычтем все это, [т. е. сумму этих двух резуль. татов], из запомненного [произведения].
Если же [аргумент] больше девяноста '[градусов], умножим «дорол- нение основы» 1на себя, удвоим произведение этого «дополнения», [умноженного] на [«вспомогательную] разность», и вычтем все это, [т. е. сумму двух этих результатов], из запомненного [произведения].
Затем извлечем корень из результата всех этих [трех] вариантов [действия], и он будет «гипотенузой».
Далее, запишем полный си'нус в двух местах. Из одного из них вычте^ «основу», а к другому прибавим ее. Умножим то, к чему при- бавило'сь, на тО, из чего Еычлось, [т. е. полученную сумму на разНосТь], и разделим произведение на «гипотену.зу». произведение разделим пополам, и это будет синусом дополнения уравнения [Солнца؛]б1٠
Пример этому для зада'нного аргумента. Хорда дополнения аргу- мента до полуокружности —11555 ء'. произведение этой хорды, [умно- женной] на себя,—483720252ج секунд, а это — запоминаемое [произве- дение]. Дополнение 0С.Н0ВЫ — 3475 минут, произведение его, [умножен- НОГО'] ؛на себя,— 12075625 секунд. Удвоенное произведение [«вспомога- тельной] суммы», [умноженной] на «дополнение основы»,— 22538850 секунд.
Сложим это удвоенное [произведение] с произведением «дополне- ния основы», {умноженного] на с.ебя. в сумме получится 34614475 се- кунд. II Вычтем эту [сумму] из запомненного произведения, в остатке будет 13757550 секунд. Извлечем корень из этого: получится 3709
минут.
Вычтем «основу» из полного синуса. Получится 3475 минут, при- бавим ее к нему; получится 3725 минут. Умножим увеличенное на уменьшенное) [т. е. результат сложения на результат вычитания].
В произведении получится 12944375 се.кунд. Разделим это на «гипоте- нузу ». в частном будет 259399 секунд, прибавим это к «основе» и разделим сумму пополам. Получится 215969 секунд. Это — синус до- пол'нения уравнения ,[Солнца]. Определим его дугу. Она будет 59٥ 2'. Вычтем ее из девяноста, в остатке будет 0.58'. Это и есть искомое уравнение [Солнца]. II
Раздел десятый
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] ПУТЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ ПРИВОДИТ АБУ ДАЁУД СУЛАИМАН ИБН ‘ИСМА63 В СВОЕМ ЗИДЖЕ, СОСТАВЛЕННОМ им для ОБОИХ СВЕТИЛ.*
Он сказал: умножим полный синус на себя и умножим «основу» на себя. Сложим [результаты] в «сумму». Затем умножим основу на удвоенный синус дОпоЯнения аргумента и прибавив это ,,[произведение] к «сумме», если аргумент меньше квадранта. Если же 0؛н больше него, умножим основу на удвоенную [«вспомогательную] разность», приба- вим то, что получится, к произведению 0С؛Н0ВЫ, [умноженной.] на себя, и вычтем эту сумму из произведения полного синуса, [умноженного] на себя. Затем извлечем корень из того, что получилось [в любом из этих двух действий)], и это будет «гипотенузой».
Далее, умножим синус аргумента на сумму полного синуса и «основы» и ра.зделим то, что получилось в произведении, на «гипоте.
199
200


95
Об уравнении Солнца
нузу». Получится, как он утверждает, синус угла «'Наблюдения [аргу- мента», т. е. исправленного 'аргумента], а раЗ'Ность между ним и углом аргумента — уравнение '[Солнца].
Но это не так, ибо этот [полученный им] синус [измеряется] частя- ми, в которых диаметр эксцентрической орбиты — ПОЛ'НЫЙ синус, а надо перевести [его] в части дааме.тра парэклиптики. [Для этого] умножим [его'] на ПОЛ'НЫЙ синус и разделим произведение на сумму полного синуса и «основы». Тогда [действительно] получится синус угла «наблюдения [аргумента»], разность между которым и между углом аргумента дейСтЕиТельно будет уравнением [Солнца'۴5.
Пример этого для заданного аргумента. Сложим произведение полного синуса, [умноженного] на себя, с произведением «основы», [умноженной] на себя. Получится 12975625 секунд. УМ'НОЖИМ «основу» на удвое-нный синус дополнения аргумента, в произведении получится 779500 секунд. II Сложим оба [произведения]. Получится 13755125 се- 201 кунд. Извлечем из этого корень؛ он будет 3707 ми'нут, а это — «гипо- тенуза». Затем умножим синус аргумента на сумму полного синуса и «основы». Получится 111750 секунд. Разделим их на «гипотенузу».
В част.ном получится ЗОР 8'. Это, как утверждает автор этого дейст- ВИЯ,— синус угла «наблюдения, [аргумента», т. е. исправленного аргу- мента]. Но это — не то, что он говорит. Однако, если мы умножим это частное на полный синус, то получится 6508800 секунд. Разделим это на сумму полного синус.а и «основы». Получится 1747 минут, что Б действительности и будет синусом угла «наблюдения [аргумента»]. Определим его дугу. Она будет 29.2'. Разность между нею и между аргументом — 0.58'. Это и есть ис.комое уравнение [Солнца]. II
Раздел одиннадцатый 202
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ (СОЛНЦА) ПУТЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ,
КОТОРОЕ'؛УДАЛОСЬ ВЫВЕСТИ МНЕ Умножим [«вспомогательную] сумму» на себя, если аргумент меньше квадранта, или [умножим] «основу» на себя, если [аргумент]— полный квадрант, или же [умножим «вспомогательную] разность» на с.ебя, если аргумент больше квадранта, к полученному [во всех этих действиях] результату прибавим произведение синуса аргумента, ум- ноженного на себя, и извлечем из суммы корень؛ это будет «гипотену- за». Затем умножим синус аргумента на «основу» и разделим то١ что получится, на «гипотену.зу». в частном будет синус уравнения [Солн- ца]бб.
Пример этого для заданного аргумента. Сумма произведений умноженных по от.дельности на себя [«вспомогательной] суммы» и ар- гумента азимута — 13757049 секунд. Корень из этого — 3709 минут, а это — «гипотенуза». Разделим на эту «гипотенузу» произведение синуса аргумента на «основу», которое — 225000 секунд. Получится IP 1'. Эт.0 — синус уравнения [Солнца]. Определим его дугу؛ она будет 0. 58'15"؛ это и есть искомое уравнение [Солнца]. II
Раздел двенадцатый 203
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] ПУТЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ,
КОТОРОЕ ПРИВОДИТ АБУ-Л-’АББАС АЛ-ФЕРГАНИ? в ЕГО ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОБОСНОВАНИЯХ к . ЗИДЖУ МУХАММАДА ИБН МУСЫ АЛ-ХОРЕЗМИ Он сказал: умножим синус аргумента на «основу» и разделим про- изведение на полный синус؛ [получится «CTOpO'Ha»]. [Далее, умножим «стрелу»88 удвоенного аргумента на «основу» и разделим произведение


Математические и астрономические трактаты
96
!На полный синус]69. Вычтем то, что получится в частном, из «основы». Затем прибавим остаток к полному синусу, если аргумент меньше квад- ранта, и в сумме получится «избыточный синус». Если же, {аргумент] больше ؛[квадранта], то мы вычтем (остаток] из него, [т. е. из ПОЛ1НОГО СИ- нуса], и получится «недостаточ.ный синус». Затем один из них, который получился, умножим на себя, и умножим «CTOpOiHy» на себя. Сложим оба [произведения] и извлечем корень из суммы. Это будет «гипотенуза». Затем умножим «сторону» на полный синус, и разделим произведение на «гипотенузу», в часТ'Ном получится с.инус уравнения [Солнца]7٥.
Пример этого для зада'нного аргумента. Разделим произведение синуса аргумента, [умноженного] на «основу», на полный синус؛ в част ном пол؛чИтся 63 Минуты, «стрела» удвОениого аргумента", [равная] 8р 2', умноженная ؛на «основу», — 60250 секунд. Разделим их на полный синус. Получится в частном 17 минут. Вычтем их из «0С.Н0ВЫ»؛ останет- ся 108 минут. Прибавим этот остаток к полному синусу. Получи'тся в сумме 61р48'؛ это — «избыточный с.инус». Умножим его на себя. Полу- чится 13749264 секунды. Умножим «сторону» 1на себя. Получится 3969 секу'Нд. Сложим оба [произведения]؛ получится 13753233 секунд, корень из этого — 3708 секунд, а это — «гипотенуза».
Затем разделим произведение «стороны» ؛на полный синус, т. е.- 226800 секУнд, на «гипОтенузу». в частном получится lp 1. Это — СИ- нус уравнения [Солнца]. Определим его дугу؛ она будет 0٥ 58' 15"؛ это и есть искомое уравнение [Солнца].ا|
204 Раздел тринадцатый
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] ПУТЕМ КРАТКОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ СОДЕРЖИТ АНОНИМНЫЙ؛ ТРАКТАТ и КОТОРОЕ ЯВЛЯЕТСЯ ОБИХОДНЫМ ПРИМЕРОМ
Я полагаю, что этот [трактат] принадлежит одному из двух ДОС- тайнейших '[ученых] —Сулайману ибн Псме [ас-Самарканди] или Абу Джа.фару ал-Хазину72٠
[Автор его] сказал: умножим «основу» на себя и умножим полный синус на себя. Сложим оба [произведения]. Если аргумент меньше квадранта, прибавим к этой сумме удвоенное произведение синуса дополнения аргумента, [умноженного] на «основу», а если он больше квадранта, вычтем это из нее. Извлечем корень из результата, и он будет «гипотенузой». Затем умножим синус аргумента на «основу» и разделим произведение на «гипотенузу», в частном получится синус уравнения [Солнца]72.
Пример ЭТОГО' для заданного аргумента. Сумма произведений «ос- новы», [умноженной] на себя, и полного синус.а, [умноженного] на се- бя,— 12975625 секунд. Удвоенное произведение синуса дополнения ар- гумента на «основу» — 779500 секунд. Сложим оба [произведения]؛ по- лучится 13755125 секунд. Корень из этого — 3708 минут؛ это — «гипо- тенуза». Затем умножим «основу» да полный синус, в произведении получится 225000 секунд. Разделим их на «гипотенузу», в частном по- лучится 1.1'. Это —синус уравнения [Солнца], о'пределим его дугу؛ она будет равна 0.5815". Это и есть искомое уравнение [Солнца]. I!
Раздел четырнадцатый
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] ПУТЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ УДАЛОСБ [ВЫВЕСТИ] МНЕ
205
Умножим синус аргумента на полный синус и разделим произве- дение на [«вспомогательную] сумму» или «разность», т. е. на то, что


97
Об уравнении Солнца
у нас получится в соответствии с [вышеизложенными] условиями?*. 'В частном получится тангенс угла «наблюдения [аргумента», т. е. ис- правленного «аргумента»]. Разность между этим [углом] и между уг- лом аргумента и есть уравнение [Солнца]75.
Пример этого для заданного аргумента. Умножим синус аргумен- та на полный синус, в произведении получится 648000 секунд. Разде- ЛИМ их на [«вспомогательную] сумму», в частном получится 1998 се- кунд. Это — тангенс угла «наблюдения [аргумента», т. е. исправленно- го аргумента]. Его дуГа — 29.7'. Разность между нею и между аргу- ментом — 0.58'. Это и есть искомое уравнение [Солнца].
Раздел пятнадцатый
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИИ [СОЛНЦА! ПУТЕМ ВЫЧИСЛЕНИИ, КОТОРОЕ ПРИВОДИТ ХАБАШ в своем ЗИДЖЕ Умножим синус дополнения аргумента на «основу» и разделим произведение на полный синус. Рассмотрим то, что получится в част- ном. Если аргумент меньше квадранта, прибавим это [частное] к под- ному синусу, и получится «избыточный синус», а если он больше квад- ранта, вычтем [это частное] из него, [т. е. из полного синуса], и в ос- татке останется «недостаточный синус». Затем умножим синус аргу- мента на «основу» и разделим произведение на «избыточный синус» или «недостаточный синус»,—на тот из двух, который у нас по уело- ВИЮ получится. Частное, будет тангенсом уравнения [Солнца]7б.
Пример этому для заданного аргумента. Умножим синус дополне- ния аргумента на «основу», в произведении получится 389750 секунд. Разделим их на полный синус, в частном будет 108 минут, прибавим их к полному синусу. Получится «избыточный синус» —6148ء'. Разде- ЛИМ на него произведение синуса аргумента на «основу», в частном будет 1рГ, это —тангенс уравнения. Его дуга 0.58' и есть искомое уравнение [Солнца]. II
Раздел шестнадцатый
О ПУТЯХ, отклоняющихся от ВЕРНОЙ стези,
КОТОРЫЕ УПОМИНАЮТ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] АВТОРЫ ЗИДЖЕИ и НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ Один из них —путь Мухаммада ибн Мусы ал-Хорезми. Он следо- вал при определении уравнения [Солнца] путем, который привел к по- ложению максимального уравнения напротив четверти [окружности] эксцентрической орбиты. Мы же разъяснили в первой главе, что наи- больший из углов уравнения [Солнца] имеет место напротив четверти [окружности] парэклиптики, а не эксцентрической орбиты.
Поскольку его действие было на неверном пути, мнения теорети- ческих обоснователей его противоречивы, я уверен, что [нижеследую- шее] есть то, что упоминает ‘Омар ибн ал-Фаррухан ат-Табари в [сво- ей] книге теоретических доказательств, а именно, что определение урав- нения [Солнца] с помощью синусов [таково]: умножим синус аргумента на «основу» и разделим произведение на полный синус. Тогда [якобы] получится синус уравнения [Солнца].
Пример этого для заданного аргумента, произведение синуса ар- гумента на «основу» — 225000 секунд. Разделим их на полный синус. В частном будет 1Р2'30". Это — синус уравнения [Солнца]. Определим его дугу. Она будет 0٠59'41". Это —уравнение [Солнца].
7-11


Математические и астрономические трактата
98
Сказал ‘Омар ибн ал-Фаррухан: что касается определения этого ؛уравнения] с помощью склонений, то умножим склонение аргумента всегда на сто тридцать четыре и разделим произведение на тысячу четыреста тридцать один, в частном получится уравнение [Солнц-а].
Пример этого для заданного аргумента. Склонение аргумента — 11.40'. Умножим его на 134 минуты. Получится 93800 секунд. Разде- ЛИМ их на 1431. в частном получится 1.6'. Это —уравнение [Солнца].
Некоторые, кто имел касательство к теоретическому обоснованию этих действий ал-Хорезми, указывают на то, что он умножал дуг> «основы», т. е. [градусы] наибольшего уравнения [Солнца, взятые им] в той величине, в которой он поместил их в [свои] таблицы склонения, [на полный синус, делил произведение на наибольшее склонение]78 и в частном получалась у него величина, которую он принимал за «запо- минаемую основу» для данного действия. Затем он умножал эту [«ос- нову»] на склонение аргумента, делил произведение на шестьдесят, и в частном у него получалось уравнение [Солнца]. 1؛
Пример этого для заданного аргумента, произведение дуги «осно- вы», [взятой в величине] помещенной в зидже ал-Хорезми, на шесть- десят— 8040 минут. Разделим его на наибольшее склонение при том, что оно —23.51'. В частном получится 5٠37'6". Умножим это [частное] на склонение аргумента, в произведении получится 335900 секунд. Разделим [их] на шестьдесят, в частном получится 1٠5'30". Это и есть [по мнению ал-Хорезми] уравнение [Солнца].
В зидже «ас-Синдхинд» ал-Фазари упоминает, что для определе- ния уравнения ([Солнца] надо взять синус аргумента в кардаджах «ас- Синдхинда»79, умножить [его] на сто пять и разделить [произведение] На две тысячи шестьсот шестнадцать, в частном получится, как он утверждает, уравнение [Солнца].
Пример этого для заданного аргумента. Синус аргумента по кар- даджам «ас-Синдхинда»— 163580. Умножим его на 105. Получится 171675. Разделим это на 2616. в частном получится 1٠5'37". Это и есть, [по мнению ал-Фазари], искомое уравнение '’[Солнца].
Поскольку мы покончили со всеми собравшимися у нас вычисли- тельными способами, связанными с проблемой, [к решению которой] мы стремимся, завершим [на этом] вторую главу. II
207


Глава третья.
ПОВЕСТВОВАНИЕ о ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СПОСОБОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
[СОЛНЦА]
В этой главе я хочу обосновать с помощью геометрических линий доказательства предыдущих вычислительных способов, [изложив их] в разделах, число которых равно, числу разделов второй главы. Каж- дый из этих [разделов] — параллель к соответствующему по названию ему. Если же [в каком-нибудь разделе второй главы] сочетались два одноименных способа, [т. е. два варианта одного способа], доказатель- ство того, что утверждается в [данном] вычислении, будет касаться их обоих. ا| р
Раздел первый
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ плодом М0И.Х РАЗДУМИИ
Начертим для эксцентрической орбиты окружность с центром в с (рис. 82). Пусть будет апогей в точке А. проведем диаметр Ас.. Он пройдет через центр круга, воспроизводящего эклиптику, которым пусть будет точка Е. Тогда СЕ — расстояние между двумя этими цент- рами, равные синусу наибольшего, уравнения [Солнца], а мы его наз- вали в вычислительных разделах «основой».
Пусть будет аргументом, т. е. расстоянием между апогеем и телом Солнца, дуга AB. проведем перпендикуляр BL к диаметру ACD; он будет синусом этого аргумента. ЕС —синус его дополнения, а угол АС —угол аргумента.
Соединим В с Е; [BE] будет линией, исправляющей [аргумент] Солнца, [т. е. образующей угол исправленного аргумента] при данной заданном аргументе. Угол АС-угол «наблюдения [аргумента», т. е. исправленного аргумента]. Угол СЕ — разность этих двух [уг- лов, т. е. угла аргумента и угла «наблюдения аргумента»]: он и есть ее؟ичина искомого уравнения [Солнца], ибо если мы проведем линию ск параллельно وجء то внешний угоЕ АС к будет тогЯа равен внут- реннемууглу АЕВ, а разностью между углами АСК и АС бу^ет угол ксв. Однако он равен углу СВЕ как противолежащий. Следова- тельно, если в данных [на чертежах] положениях угол СВЕ будет вы- чт؟н из угла аргумента или прибавлен к соответствующему ему в дру- гой половине [окружности орбиты апогея], получится угоЕ «наблюЯе. ния аргумента», т. е. исправленного аргумента].
Проведем перпендикуляр CG к ES. Он ^удет синусом уравнения [Солнца] Линия ЕЕ равНа Е квадрате суммС квадратов Известной [линии] ЕЕ и [лирии] ЕЕ которая н первой варианте является суммой известных [линий] ЕС и СЕ, и мы назЕали ее [«есцомогательной] сум-


Математические и астрономические трактаты.
100
МОЙ», во втором варианте она есть сама «основа», а в третьем и чет- вертом вариантах является разностью между LC и СЕ, которую мы назвали [«вспомогательной] разностью». [Следовательно, линия СЕ то- же известна, и] поэтому BE известна. II I Поскольку [линия] ЕВ известна, а угол СЕВ в первом, втором и третьем вариантах — острый, то '[разность] квадрата из'вестной [лини.и] СВ, вычитаемого из [суммы] квадратов известных [линий] СЕ и ЕВ, [равна]81 удвоенному произведению известной [линии] BE, [умножен
А
[втором вариант] А
[четвертый вариант]
А
^ПЕРВЫЙ вариант] А
Рис. S2.
ной] на неизвестную EG82. Поэтому, если М'Ы сложим квадраты СЕ и ЕВ и вычтем из этой [суммы] квадрат ВС, в остатке останется удвоен- ное произведение BE на EG. Если мы половину его разделим на BE, в частном будет EG.
Квадрат СЕ равен сумме квадратов CG и EG; следовательно, ли- Н'ИЯ CG известна.
Что касается четвертого варианта, то [там] угол CEE —тупой, и [там] квадрат СВ превьппает [сумму] квадратов СЕ и ЕВ на удвоен- ное произведение BE, [умноженной] на EG. Поэтому, если мы вычтем из квадрата СВ [сумму] квадратов СЕ и ЕВ, в остатке останется удво- енное произведение [умноженной] на EG. и если мы разделим половину его на BE, в частном будет EG. Квадрат СЕ равен сумме квадратов этой [линии] EG и CG. Следовательно, CG известна, а это и есть то, что мы хотели разъяснить. II


101
Об уравнении Солнца
Раздел второй
О МОЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ ПРИШЛО МНЕ НА УМ В СВЯЗИ СО СВОЙСТВАМИ ломаной линии В ДУГЕ ОКРУЖНОСТИ
Возобновим !изображение] эксцентрической орбиты в его четырех вариантах, а мы уже говорили О' причине игнорирования !нами пятого] варианта, который [должен был быть] между третьим и четвертым. Опишем вокруг треугольника ВСЕ дугу окружности, которая окончит- ся на окружности эксцентрической орбиты в точке F (рис. 83), и соеди- ним Е с F.
Поскольку точка с является центром орбиты ABD) линия СВ бу- дет равна линии, соединяющей точки с и F. Поэтому дуга ВС будет
[ПЕРВЫЙ вариант] [второй вариант]
А А
Рис. 83.
равна дуге CF, a CG будет перпендикуляром, опущенным из середины дуги [BF] на ломаную в ней линию BEF. в первой главе мы упО'Мяну- ли из ее свойств, что этот [перпендикуляр] делит ее пополам, и что квадрат ВС равен квадрату СЕ [в сумме] с произведением BE на EF.
Поскольку четвертый из этих вариантов отличается по своему ви- ду, вследствие чего у малоопытного [читателя] могут возникнуть здесь сомнения, ибо перпендикуляр CG падает [здесь] на линию BE вне этой дуги, мы соединим в нем Е с F YL опустим [на EF] перпендикуляр сн. В силу того, что С —центр орбиты ABD, линии CF и СВ будут рав- ными. Углы СВЕ и CFE будут [также] равными, поскольку оба они [опираются] на ОДН'У дугу, а именно —Углы CHF и c.ß-пря- мые. Поэтому треугольники CHF и CG5 — подобные и равные. [Сле-


Математические и астрономические трактата,
1Ö2
довательно], СИ в четвертом варианте занимает место CG в трех [пер- вых] вариантах, a FH — в нем — место BG в них.
Далее мы скажем, что если BE стала у нас известной пО'Добным же образом, как говорилось в первом разделе, а квадрат ВС равен
214 квадрату СЕ [в сумме] с произведением BE, [умноженной] на EF, II то если мы вычтем из квадрата СВ квадрат СЕ, в остатке останется про- изведение BE на EF. Разделим его на BE, и в частном будет EF. Если мы вычтем EF из ЕВ, в остатке будет удвоенная EG, поскольку BG
215 равна сумме GE и EF, а половина остатка — GE. II Но квадрат СЕ равен сумме квадратов этой [линии GE] и CG. Следовательно, CG из- вестна.
А также: если мы сложим EF с ЕВ и возьмем половину суммы, это будет GB. Ясно, что если CG — синус уравнения [Солнца], то GB — синус дополнения [или косинус] этого уравнения. Это и есть то, что мы хотели разъяснить. II
216 Раздел третий
В ПОВЕСТВОВАНИЕ о ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ АЛ-БАТТАНИ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ .ПРИВОДЯТ ОН и АЛ-ХАШИМИ Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты с ее варианта- ми (рис. 84). Проведем из точки Е Перпендикуляр EF к ВС. Тогда треугольники ВЕС и EFC будут подобными, и BL будет относиться к
А
[четвертый вариант]
Рис. 84.
ВС, как EF к ЕС. Отсюда EF известна, а мы условно назвали ее «сто- роной».


103
Об уравнении. Солнуа
А также؛ ЕС относится к СВ; как FC к СЕ. Отсюда FC известна, а она — превышение «избыточного синуса» на^ полным синус؟^ II
BE в квадрате равна сумме квадратов BF и FE; отсюда ةا£] ИЗ" 217 вестна. FE относится к CG; как ЕВ к ВС. Следовательно, CG; синус уравнения [Солнца], известен.
Поскольку то, что говорит относительно данного вычисления ал- Хашими в свОих теоретичесКих обоснованиях зиджа ал-Хорезми, сов- падает с вычислением ал-Баттани, доказательство его — то же, кото- рое мы привели со слов ал-Баттани. ٠
Это и есть то, о чем мы хотели сказать. II
218
Раздел четвертый
О ТЕОРЕТИЧЕСКОМ ОБОСНОВАНИИ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ ПРИВОДИТ АЛ-ФАЗАРИ в ЗИДЖЕ «БОЛЬШОЙ АС-СИНДХИНД»
Что касается этого действия, то оно — точно такое же, о которо.м мы говорили со слов ал-Баттани. Поэтому мы находим ЛИШНИМ83 пов- торение Чертежа для него с [его] вариантами.
Скажем лишь, что он умножал [по отдельности] синус аргумента и синус его дополнения на две пятыхЗ «основы», делил [первое] про- изведение на шестьдесят, и в частном получалась у него «сторО'На», [а от деления на шестьдесят второго произведения] — превышение [над полным синусом] «избыточного синуса» или недостаток «уменьшенного синуса». [Все это] — потому, что полный синус у него разделен на сто пятьдесят долей в соответствии с тем, как условились на это ин- дийцы.
Если бы он умножил оба [эти множимых] на «основу», он должен был бы делить [произведение] на сто пятьдесят, ибо это у него — пол. ный синус. Но так как он пожелал делить [их] на шестьдесят, а шесть, десят —две пятых от того, на что следовало ему делить, он был вы. нужден произвести умножение также на [две] пятых «основы»؛— вы. нужден — потому, что результат умножения какого-нибудь числа на какую-нибудь величину и деления [произведения] на другую [величи. ну] равен результату умножения ЭТОГО' же [числа] на дробную часть мНожителя и деления [произведения] на точно такую же дробную часть делителя. Это мы и хотели разъяснить.
Если даже данное действие и верное, то я не знаю, зачем понадо- билось ал-Фазари осложнять его. Ведь если он стремился облегчить деление путем перевода его, [т. е. делителя], из ста пятидесяти в шесть- десят вследствие соответствия шестидесяти знаменателю деления гра- дусов, то, клянусь жизнью, это дело достойное одобрения, если бы ТОЛЬКО' [при этом] не прибавилось [к действию] привлечение двух пятых «основы». Известно, что он следовал здесь путем умножения всегда на двадцать четыре минуты, но увеличение [сложности] умножения проти- водействует [при этом] увеличению легкости деления. Если же он пой- дет здесь путем деления на пятые доли [за счет облегчения, умножения], то прибегновение к такому делению прибавило бы [сложности] к пре- следуемому облегчению. Лучше всего для него действовать путем умно- жения на «основу», а не на две пятых ее, и деления на [индийский] пол- ный синус, а не на шестьдесят. II


Математические и астроиомические трактата
104
219 Раздел пятый
В ПОВЕСТВОВАНИЕ о ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ,
КОТОРОЕ СОДЕРЖИТ КНИГА «АЛЬМАГЕСТ»
Возобновим изображение эксцентрической орбиты с его варианта- ми (рис. 85). Из того, что предшествовало, ясно, что угол ЕСЕ равен углу АСВ, который является углом аргумента85. Следовательно, угол FEC становится известным в мерах, в которых четыре прямых угла — триста шестьдесят градусов. Если мы удвоим каждый из этих двух
Рис. 85.
[углов, т. е. углы FEC и АСВ], они станут )[известными] в мерах, в ко- торых два [удвоенных] прямых угла — триста шестьдесят градусов.
Хорды этих двух [углов] в окружности, окружающей треугольник 220 FCE86, а именно —ЕС ا| и FE, известны в мерах, в которых диаметр этой окружности, т. е. ЕС,—два полных синуса. Но тогда они [будут] известными и в мерах [окружности ABD, в которых ^С —полный СИ- нус, ,[для чего] произведем перевод [из одних мер в другие], о котором речь шла в пе'рвой главе«?.
Поскольку квадрат линии ЕВ равен сумме квадратов EF и FB, которые известны, он [также] известен в мерах, в которых ЕС —пол- ный синус. FE относится к ЕВ в этих мерах, как FE к ЕВ в мерах, в которых ЕВ — удвоенный синус [окружности, описанной вокруг тре- угольника EBF].
Следовательно, угол EEC известен в мерах, в которых четыре пря- мых угла — триста шестьдесят градусов, а это и есть то, о чем мы хо- тели сказать. II


221
105
Об уравнении Солнца
2ة2
Раздел шестой
٥ МОЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ я ВЫВЕЛ Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты в его четырех вариантах (рис. 86). Опишем вокруг центра Е круг /45 орбиты, вое- производящей [эклиптику, т. е. парэклиптику]. Проведем к его окруж- ности [линию] EDM и опустим из точки м на диаметр /45 перпендику- ляр МО. Известно, что ЕВ, которую мы назвали «гипотенузой», равна А Л
[третий вариант} [четвертый вариант}
Рис. 86.
в квадрате сумме квадратов BL) синуса аргумента, и LE) [«вспомога- тельной, суммы» или «разности». Отсюда [ЕВ] известна. |ا
ЕВ относится к ЕМ, как квадрат ЕВ к квадрату ЕМ при двойном отношении путем повторения [первой пропорции]. Отсюда ЕВ относится к ЕМ) как квадрат ЕВ к [величине], средней в отношении между ква- дратами ЕВ и ЕМ88, и если мы умножим квадрат ЕВ на квадрат ЕМ и извлечем корень из произведения, получится эта средняя [величина], к.вадрат ЕВ относится к этой [величине], средней между ним и между квадратом ЕМ) как BL к МО) поскольку [последнее] отношение есть отношение ЕВ к ЕМ. МО получается путем деления произведения этой [средней величины, умноженной] на ВС) на квадрат ЕВ. Однако [при этом МО] будет в мерах, в которых 50 —полный синус, и нам слеЯу- ет перевести [МО] в меры, в которых . — полный синус, так, как об этом говорилось/ в первой главе, и мы повторим его вычисление [в необходимых мерах в восьмом разделе].


!тематические и, астрономические трактаты
،06
Ясно, что МО - синус угла «наблюдения {аргумента», т. е. НС- правленного аргумента], а разность между ним и между углом аргу- мента и есть уравнение [Солнца]. Это и есть то, что мы хотели разъяс- нить. II
Раздет седьмой
О МОЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ ПРИШЛО МНЕ [НА УМ]
Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты с его вариан- тами (рис. 87). проведем ск параллельно BL. Тогда треугольники BLE и КСЕ станут подобными. BL относится к LE, как КС к СЕ. От- сюда КС известна. А также: поскольку треугольники КСЕ и CGE —
٤П£РВЬ٠Й вариант] [второй вариант]
Рис. 87.
подобные, ЕК относится к КС, как ЕС и CG. Квадрат их-в том же отношении, т. е. квадрат ЕК относится к квадрату КС, как квадрат ЕС к квадрату CG. Понятно, что если мы сложим квадраты КС и СЕ, в сумме получится квадрат ЕК} и если мы разделим на него произве- дение квадрата КС, [умноженного]' на квадрат СЕ, в частном получится квадрат CG. Корень из него есть {линия] CG, которая является сину- сом уравнения [Солнца], а это и есть то, что мы хотели разъяснить. II


225
107
Об уравнении Оолита
Раздел восьмой
О МОЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫЧИСЛЕНИИ, КОТОРЫЕ УДАЛОСЬ
МНЕ ВЫВЕСТИ
Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты с его вариан- тами вместе с [кругом], воспроизводящим [эклиптику, т. е. вместе с парэклиптикой] (рис. 88). Пр0Д0лжим&9 ЕВ до окружности [послед- ней]|, и она встретится с ней в точке м. Опустим перпендикуляр МО [на ^5]. Ясно, что треугольники BLE и МОЕ —подобные. Квадрат ЕВ относится к квадрату BL, как квадрат ЕМ к квадрату МО.
ЕВ в квадрате равна сумме квадратов BL и LE; следовательно, она известна. ЕМ есть сумма ЕВ и вм. ЕВ относится к ЕМ, как LB к ОМ. Отсюда МО в этих мерах известна. Если мы умножим эту сум- му, [т. е. I], на полный синус и разделим произведение на ЕВ, мы переведем МО в меры, в которых . — полный синус, а это и есть то, что мы хотели разъяснить. ا|
Раздел девятый 227
О МОЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ,
К КОТОРОМУ ПРИВЕЛО МЕНЯ РАЗМЫШЛЕНИЕ Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты с его' вариан- тами (рис. 89). Соединим ВсЕи проведем BE в ее продолжение.
А А
Рис. 88.
по-ка она не достигнет окружности в точке к. Поскольку [дуга] AB, аргумент, известна, ее дополнение до ста ٠ восьмидесяти [градусов].


Математические и астрономические трактаты
،OS
228 T. е. BD, [тоже] известно. II Квадрат ее хорды в первых трех вариан- тах превышает [сумму] квадратов BE и ED на удвоенное произведение DE, [умноженной] на EL, а в четвертом — он меньше на эту [величи- ну]. Следовательно, BE, «гипотенуза», станет известной, если из квад- рата BD вычесть квадрат ED, дополнения «основы», и удвоенное про- изведение дополнения «основы» ED, [ум!ноженного] на [вспомогатель- ную] сумму» EL, или если вычесть в четвертом варианте квадрат ED
А
[второй вариант] А
[четвёртый вариант آ
А
А
Рис. 89.
из суммы квадрата BD с удвоенным произведением ED, [умноженной на «вспомогательную] разность» EL.
Поскольку лиНиИ AED и ВЕК пересекаются в круге в [точке] Е, произведение АЕ, [умноженной] на Ер, равно произведению؛, [ум- нОженной] на ЕК. Следовательно, ЕК изрестна. Если прибавить ее к «гипотенузе», получится. ВЕК. Поскольку [линия] CG, являющаяся СИ- нусом уравнения [Солнца],—перпендикуляр к хорде ВЕК, она ^елит [Хорду] Пополам. Поэтому GB, [которая становился известной], будет [равна] синусу дополнения уравнения [Солнца]. Это и есть то, что мы хотели разъяснить. II
229 Раздел десятый
В ПОВЕСТВОВАНИЕ о ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ СУЛАИМАНА ИБН ттсмы ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ он ПРИВОДИТ в ЗИДЖЕ, [СОСТАВЛЕННОМ] для ОБОИХ СВЕТИЛ
ВозобноВ'Им [изображение] эксцентрической орбиты с его в.ариан- тами вместе с [орбитОй], воспроизводящей [эклиптику] (рис. 90).


109
Об уравнении Солнца
Скажем: известно, что угол ВСЕ в первом варианте — тупой, и поэтому квадрат BE, «гипотенузы», превышает [сумму) квадратов ВС и СЕ на удвоенное произведение [линии) ЕС, [умноженной] на CL. И если мы сложим квадраты ВС и СЕ и прибавим к этому произведе- ние ЕС, [умноженную] на уд-военную CL, в сумме получится квад- рат ЕВ.
Во втором варианте угол ВСЕ — прямой, поэтому, если мы ело- жим квадраты ВС и СЕ, в сумме получится квадрат ЕВ.
В третьем и четвертом вариантах угол ВС£- острый. Поэтому квадрат ЕВ меньше [суммы] квадратов ВС и СЕ на удвоенное проиЗ-
Рис. 90.
ведение [линии] LC, умноженной на СЕ. и если мы сложим квадраты ВС и СЕ и вычтем из этого удвоенное произведение LC на СЕ, в ос- татке останется квадрат ЕВ.
Поскольку треугольники EBL и ЕМО — подобные, ЕВ относится к BL, как ЕМ к МО. Если принять ЕМ за сумму полного синуса и «основы», то ,[из данного отношения величина] МО будет получена в мерах, в которых ВС—полный синус, и тогда она нуждается в пере- воде؛ а если принять ЕМ за полный синус, [величина I] не нуждает- ся в переводе.
МО — синус угла «наблюдения [аргумента», т. е. исправленного аргумента]. Разность между этим [углом] и между углом аргумента есть [искомое] уравнение [Солнца]. Это —то, что мы хотели сказать. II


Математические и астрономические трактаты
110
Раздел одиннадцатый
О МОЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ [ВЫЧИСЛЕНИЯ], КОТОРОЕ УДАЛОСЬ мНЕ ВЫВЕСТИ
Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты, с его вариан- тами (рис. 91), и скажем: если ЕВ) «гипотенуза», стала у нас извест-
А
А
А
А
[третий вариант]
Рис. 91,.
НОЙ, то ясно, что треугольники BLE и G£C —подобные, и потому BE, «гипотенуза», относится к دج — синусу аргумента, как СЕ, «основа», к CG د синусу уравнения [Солнца). Следовательно, CG известна, а это и есть то, что мы хотели разъяснить.
Раздел двенадцатый
О МОЕМ доказательстве вычисления ал-фергани, [СОДЕРЖАЩЕГОСЯ в ЕГО] ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОБОСНОВАНИЯХ К ЗИДЖУ АЛ-ХОРЕЗМИ
'Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты с его вариан- тами (рис. 92).
Опустим перпендикуляр دج на ВС и скажем: поскольку треуголь- ники BLC и £۶С —подобные, ЕЕ относится к ЕС, как دج к ВС. По- этому ЕЕ, «сторона», становится известной. AL, синус-верзус аргумен- .та ^رج являющийся разностью между ВС и LC, отнОситСя к ВС, как разность между FC и ЕС к ЕС. II


ا1ا
Об уравнении Солнца
Это будет ясно, если мы опишем^ вокруг центра с на расстоя- 235 НИИ СВ91 дугу ЕН. Тогда сн будет равна CE, a FH будет разностью [между ЕС или сн и СВ]. Вследствие подобия треугольников FEC и LCB AL относится к ВС, как FH к СЕ92. Отсюда [линия! FH известна. Вычтем ее из сн, и в остатке будет FC. прибавим [/7С] к ВС в пер-
[второй вариант}
^ПЕРВЫЙ ВАРИАНТد
Рис. 92.
вом ؛варианте] чертежа, или вычтем [ВС из ВС] в остальных вариан- тах. В результате получится [линия] BF, которая есть «избыточный» или «недостаточный синус». Прибавим его квадрат к квадрату FE, и в сумме получится квадрат «гипотенузы» BE. FE О'ТНОСИТСЯ к ЕВ, как CG к СВ. Отсюда [линия] CG известна, а она — синус уравнения [Солнца]. Это и есть то, что мы хотели разъяснить. II
Раздел тринадцатый 237
В ПОВЕСТВОВАНИЕ о ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ КРАТКОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ, ВКЛЮЧЕННОГО В [СВОЙ] ТРАКТАТ АВТОРОМ ЕГО, КОТОРЫМ, КАК Я ПОЛАГАЮ, БЫЛ СУЛАИМАН [ИБН ‘ИСМА АС-САМАРКАНДИ] ИЛИ АБУ ДЖА.ФАР [АН-ХАЗИН]
Возобновим изображение эксцентрической орбиты с его варианта- ми (рис. 93) и скажем: ясно, что треугольники BLC и EFC—г подоб- ные. ВС относится к ЕС, как ВС к ВС; поэтому произведение ВС на СВ Равно произведению ВС на ВС. Однако квадрат «гипотенузы»,
[т. е. ЕВ]) в первом варианте больше, а в третьем и четвертом — ^ень- ше [суммы] квадратов ВС и СВ на удвоенное прО'ИзведенИе ВС на СВ, т. е. на удвоенное [произведение] ВС на СВ. II вв известна в мерах, в 238 которых [ВС] — полный синус, и понятно, что если мы умножИм ВВ на СВ и разделим произведение на ВС, полный синус, в' частном по- лучится ВВ е этих же мерах. Если мы захотим перевести [ВВ] в меры.


Математические لما астрономические трактаты
112
В которых ЕВ — полный синус, нам надо умножить EF на полный СИ- нус и разделить произведение на ЕВ [в значении] «гипотенузы».
Следовательно, в целях сокращения действия не следует делить произведение BL на ЕС на полный синус ВС, ибо тогда при переводе мер нам надо будет результат снова умножить на [полный же синус]
Рис. 93.
ЕВ, а [сразу] разделить произведение BL на СЕ на ЕВ94, и получится в частном EF в мерах, в которых ЕВ — полный синус. Тогда EF заме- щает [искомую] CG и занимает ее место95, что мы и хотели разъяс- нить. II
Раздел четырнадцатый
239
О МОЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, КОТОРОЕ УДАЛОСЬ [ВЫВЕСТИ] МНЕ
Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты с его вариан- тами и [круга], воспроизводящего [эклиптику] (рис. 94). проведем в первых трех вариантах касательную к точке ٨ а в последнем [вариан- те] — к точке 5. Проведем к этой [касательной линию] ЕВ; она ветре- тится с ней в точке о. Тогда АО будет тангенсом угла Е, являющего- ся углом «наблюдения [аргумента», т. е. исправленного аргумента]. II 240 АО относится к АЕ, являющейся полным синусом, как BL, синус ар'гумента, к ءد —[«вспомогательной] сумме»9б е первом варианТе, «основе» - во втором и [«вспомогательной] разности» — в третьем и


13ا
Об уравнении Солнца
четвертом. Следовательно, если мы умножим BL на АЕ и разделим произведение на LE, в частном получится АО, или 50. А это-тан- гене угла «наблюдения [аргумента» или исправленного аргумента).
٠ л
Гаторой вариант]
٥ л
Рис. 94.
Разность между этим [углом] и между углом аргумента есть уравне- ние [Солнца], а ЭТ0-Т0, что мы хотели разъяснить. II
Раздел пятнадцатый 241 -
О 	МОЕМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ДЕЙСТВИИ ХАБАША в ЕГО ЗИДЖЕ Возобновим [изображение] эксцентрической орбиты с его вариан- тами (рис. 95). Опустим перпендикуляры ЕЕ и ск на ВС и перпенди- куляр CG на BE. Ясно, что вследствие подобия треугольников ВЕС и EEC если мы умножим LC на СЕ и разделим произведение на ВС, в частном получится СЕ. Если мы в первом варианте прибавим [СЛ к ВС, в сумме получится' «увеличенный синус», а если в третьем и чет- вертом вариантах вычтем [ЕС из ВС], получится «уменьшенный СИ- нус». II Во втором варианте [ВС] будет полным синусом؛ ведь в первой 242 главе мы разъяснили, что CG- синус уравнения [Солнца] в круге, центр которого — точка в, а полудиаметр — ВС. Такой [круг]' будет равен этой эксцентрической орбите. Если ВС — полудиаметр круга, центр которого — В, то тогда СА — тангенс угла кве, синус коТОро- то — CG.
ВС относится к СК, как BF к FE, и если разделить произведение ВС, [умноженной] на FE, на BE, в частном получится СК■ Однако BL относится к ВС как ЕЕ к СВ. Отсюда произведение вв на СВ равно произведению ВС на вв. Следовательно, если мы разделим прОизве- яение BL, [умноженной] на СВ, на вв, в частном получитСя СК■
А это — искомый тангенс у.равнения [Солнца], что мы и хОтели разъ-
яснить.|| ٥ У'р р


Математические и астрономические трактаты.
114
^ЧЕТВЕРТЫЙ вариант]
А
Рис. 95.
Раздел шестнадцатый
О ТЕОРЕТИЧЕСКИХ «ОБОСНОВАНИЯХ» ПУТЕЙ, отклоняющихся ОТ ВЕРНОЙ СТЕЗИ, КОТОРЫЕ УПОМИНАЮТ ПРИ ١ ОПРЕДЕЛЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА] АВТОРЫ ЗИДЖЕИ и НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ Что касается того, что [приписывается! ал-Хорезми в действии по определению частных значений уравнения [Солнца], то он полагал, что синус аргумента относится к синусу соответствующего этому аргумен- ту уравнения, как полный синус к расстоянию между двумя центра- ми87. Возобновим для этого [изображение] эксцентрической орбиты с его вариантами (рис. 96). проведем линию ЕН параллельно СВ и ск перпендикулярно к ЕН. Она, [т. е. СК], пересечет ЕВ в [точке] ٠. ск будет синусом [воображаемой] дуги ВС. II
Треугольники СЕК и ßCC — подобные, поскольку углы L и /С — прямые, а углы ВСЕ и —равные, ибо угол ВЕН равен углу урав- нения [Солнца], т. е. углу СВЕ, и если [угол ВЕН] будет прибавлен к углу СЕВ, т. е. к углу BEL, в сумме получится угол [НЕС], равный углу среднего [аргумента], т. е. углу ВСЕ. Следовательно, ВС относит- ся.к BE, как ЕС к ск.
Но при таком действии получится [не искомый синус уравнения Солнца], а ск, тогда как в действительности синусом ураЕненИя [Солн- ца] является [линия] синуса CG. в первом и в.тором вариантах [С/(] бу.дет больше, чем следует, [т. е. чем CG], поскольку угол CGO — пря. мой, СО — больше, а СК — намного больше, чем CG, котО'рая являет- ся в действительности уравнением [Солнца].
243
244


5لا
Об уравнении Солнца
В четвертом варианте [С/؛] будет меньше, чем следует, ؛т. е. чем CG], поскольку если мы соединим к с G, угол CKG будет тупым вслед- ствие того, что он превосходит прямой угол СКЕ. Следовательно, CG, которая по величине Х0.РДЫ тупого угла больше, чем ск, которая больше по величине хорды острого угла.
В третьем варианте [С/(] может быть и больше, и меньше, и рав- ной [С.]; [последнее] — если случится, что ЕК и EG будут равными.
СВТОРОЙ ВАРИАНТ 3
А
ПЕРВЫЙ вариант]
Рис. 96.
Следовательно, (все] это (действие] не является основой, соответ- ствующей истине.
К тому же BL относится к BE) как CG к СЕ. Если бы BE была полным синусом, то по этому соотношению была бы получена дейст- вительно искомая [величина CG]. Но BE [здесь] — не полный синус, и. поэтому CG не соотносится с СЕ в таком [необходимом для нас] COOT- ношении. Это —то,'что мы хотели разъяснить.
Что. касается определения уравнения [Солнца] с помощью склоне- ний, упоминаемого (Омаром ибн ал-Фарруханом ат-Табари, то он был уверен в правильности [следующей] основы сего: склонение аргумента ОТНОСИ-ТСЯ к наибольшему склонению при том, что оно —двадцать три градуса пятьдесят одна минута, как искомое уравнение98 [Солнца] для данного аргумента к наибольшему уравнению [Солнца] при том, что оно —два градуса четырнадцать минут. Затем О.Н переводил величину наиболынего склонения в разряд минут, умножал [склонение аргумен-


Математические и астрономические трактаты.
„б
т_а] на минуты [наибольшего] уравнения Солнца и делил [произведение] на минуты [наибольшего] склонения.
Это умножение — бред! Следовало бы [сначала] определить [наи- большее] уравнение в [мерах] градусов орбиты, воспроизводящей эк- липтику, ؛[т. е.] в той же системе, в которой определено значение наи- большего скло.нения, а не [в мерах] эксцентрической орбиты. II 245 Ведь мы разъяснили в перЕой главе. чТо такбе определение част- ного [уравнения Солнца] оказалось в [системе] эксцентрической орби- ты с присоединением к ней наибольшего уравнения [Солнца] —из иной системы, ЧТО' неправильно, ибо мы упоминали, что наибольший из уг- лов уравнения [Солнца] бывает, когда [Солнце] —на четв.ерти окруж- ности, воспроизводящей [эклиптику], а то, что полагает здесь [‘Омар ибн ал-Фаррухан] — не так.
Так же обстоит и с тем, что мы сообщили со слов тех, кто имел касательство к теоретическому обоснованию [действий] ал-Хорезми.
Он [комментатор] был уверен в том, что склонение аргумента от- носится к наибольшему склонению, как уравнение [Солнца] для дан- ного аргумента к наибольшему уравнению [Солнца].
Он [комментатор] ничего не прибавил [к разъяснению действий ал-Хорезми], хотя 0-дна из величин [у последнего, а именно — «запоми- наемая основа»], относится к шестидесяти, [т. е. к полному синусу], как наибольшее уравнение к наибольшему склонению. Поэтому [ал-Хорез- ми], когда умножил склонение аргумента [на «запоминаемую основу»], не нуждался в делении на наибольшее склонение, а поднимал [произ- ведение в разрядах деления на 60] до тех пор, пока о:но поднималось...
Что касается того, о чем мы рассказали со слов ал-Фазари, то пол- ный синус в кардадотх «ас-Синдхинда» — три тысячи двести семьде- сят. Это относится к ста тридцати четырем, т. е. к минутам наиболь- шего уравнения [Солнца], как тысяча шестьсот тридцать пять к шести- десяти семи. На основе этого соотношения и взято о-тиошение синуса аргумента к уравнению [Солнца] для этого ,[аргумента], но [оно взято] умозрительно, а не как истинное, как об этом говорилось вьппе.
Если бы он [ал-Фазари] действовал путем умножения синуса ар- гумента, взятого по этим кардаджам, на сто тридцать четыре или на шестьдесят семь и деления произведения [соответственно] на три тыся- чи двести семьдесят или на тысячу шестьсот тридцать пять, то в част- ном у него по-лучилось бы уравнение Солнца на этой [индийской] ба- зе и основе.
Но, что касается тех, [взятых им] чисел!.., то проверка их и под- счеты приводят к противоречиям в этой базе и основе, в них —01ПИ6- ки и искажения. Они не таковы также и в кардаджах Ариабхаты!.!, ибо в них ПО'ЛНЫЙ синус —три тысячи четыреста тридцать восемь. Это — то, что мы хотели разъяснить относительно порочности сего.
Когда яркие, содержащие пользу доказательства, выраженные из- мерительными линиями, сказали свое слово за верность действий, но в коне-чных результатах их, вычисленных с помощью вычислений, слу- чилось небольшое расхождение не по причине ошибок в вычислениях, то да будет известно, что это — из-за приближенных [значений] сину- сов и хорд, присущих им ПО' причине недостижимости истинных значе- ний для некоторых градусов, как, например, хорды одного из трехсот шестидесяти градусов окружности и хорд, выводимых из нее. [Это так- же] —из-за округлений!.^ [значений] иррациональных корней и неодно- краткого повторения этих [погрешностей] при использовании хорд.
Поскольку нами исчерпаны геометрические доказательства пред- посланных нами численны'х вычислений, завершим сию главу с по- мощью Аллаха и при его содействии. 11


И179
Глава четвертая103
ОПРЕДЕЛЕНИЕ !ОБЪЕКТОВ], о КОТОРЫХ ШЛА РЕЧЬ ВЫШЕ, С ПОМОЩЬЮ [РАЗЛИЧНЫХ], ВИДОВ ВЗАИМОЗАВИСИМОСТИ, (СЛУЧАЮЩИХСЯ МЕЖДУ ними
Поскольку объекты؛.*, которыми я занимался в предыдущих, гла- вах,— аргумеИты, [наибольшее уравнение], частные уравнения [Солн- ца] для данных аргументов и исправленные [аргументы], которые по- лучаются при практическом применении последних, а известно, что не- ВОЗМОЖНО' получить только из одного из этих [объектов] остальные, то следует устанавливать взаимозависимость между ними, дабы они об- разовывали парные сочетания и стали продуктивными.
Поскольку ясно, что не может быть сочетания между двумя одно- именными [величинами], ибо невозможно одновременное наличие ОД: ной и другой точно такой же величины؛.., то получается только шесть парных сочетаний [этих величин]: аргумент в паре либо с полным, [т. е. наибольшим] уравнением Солнца, либо с частным [уравнением^ Яибо с исправленный [аргументом]. Это-три [сочетания.]. [Далее,] полное уравнение [Солнца] в паре либо с частным [уравнением], либо с исправленным [аргументом]. Это —[еще] два [сочетания], и частное уравнение [Солнца] в паре с исправленным [аргументом]. Это —еще одно [сочетание]. Сумма их — шесть сочетаний.
Нам дблжно завершить эту книгу детальным рассмотрением؛., этих сочетаний, дабы ПО'ЛНОСТЬЮ усвоить искусство, в которое мы по- грузились.
СОЧЕТАНИЕ ПЕРВОЕ
Что касается этого сочетания, то мы уже покончили с ним в пре- дыдущих главах, ибо мы во второй и третьей главах приняли аргу- мент и полное, [т. е. наибольшее] уравнение ,[Солнца] как известные и ограничили речь определением частного уравнения [Солнца] и исправ- ленного [арг؛мента]. II Возвращаться к этому излишнС. и 180
СОЧЕТАНИЕ ВТОРОЕ
Предполагаются известными в этом сочетании аргумент и [частное] уравнение [Солнца, а искомое— наибольшее уравнение Солнца].
Начертим для этого эксцентрическую орбиту с центром вСи про- ведем диаметр в ней напротив ее апогея и Перигея. Пусть он будет ACED (рис. 97), а центром орбиты, воспроизводящей [эклиптику],— точка Е. Допустим, что известный؛.? аргумент —А5. Соединим в с с,
В с Е и опустим перпендикуляр [CG] на BE. Он будет, как мы указы- вали выше, синусом уравнения [Солнца] для аргумента AB. Ясно, что


Математические и cictpoHoMuuele Трактаты
1Î8
если аргумент известен, и уравнение [Солнца} для него известно, то тогда и исправленный [аргумент} известен, [поскольку последний есть разность углов аргумента и уравнения Солнца}.
BL, синус аргумента, относится к LE, [«вспомогательной] сумме» или «разности», как CG, синус уравнения [Солнца] для данного аргу-
А А
А
[четвертый вариант]
А
Рис. 97.
мента, к GE. и если мы умножим [«вспомогательную] сумму» или «разность» на синус уравнения [Солнца] для данного аргумента и раз- делим произведение на синус аргумента, в частном получится EG٠ Квадрат линии ЕС, [ИСКО'МОГО синуса наибольшего уравнения Солнца] равен сумме [известных EG] и CG. [Отсюда он известен]!.؟.


ОБОСОБЛЕНИЕ РЕЧИ О ПРОБЛЕМАХ ТЕНЕЙ (ГНОМОНИКА)


ечь о зрительном восприятии и сущности того, что имеет место в конусе, необходимо существующем независимо от его происхождения! между органО'М зрения и объектом зрения, связана с геометрией ОПТИКИ2. Различие [мнений] здесь — образуется ли этот [Конус] из лучей, исходящих от видящего к объекту видения, или из лучей, образующих образ ве- щей3, цвет их и отражение в стекловидной жидкости глаза*,— относит- ся уже к натурфилософии и связано с физиологическими исследова- ниями и абстрактными теориями, заниматься которыми — долг иску- шенных в этом.
Что касается исследований в области наличия света и того, что свя- зано с ним, а, также с его отсутствием, называемым тенью вообще и тенью в частности, то это — из рода математических наук, посредством которых достигаются цели3 [не ТО'ЛЬКО ученых, но и] всякого опираю- щегося на веру и полагающегося на путь очевидной истины, подобно шейху Абу-л-Хаса,ну Мусафиру ибн ал-Хасануб, обладающего этими качествами. Он прославился своей великой жаждой определять време- на молитв и сильной привязанностью к инструментам, осуществляю- щим это определение, заботясь .0 счастье воздаяния после того, как даровал ему Аллах счастье в первой жизни, что побудило его радеть о добродетели меж двух этих счастий. II
[Е этой книге] я Скажу.О' том, чтО будет достаточным для разре- 4 шения [всех этих проблем], и что даст право на признание. Ведь нет никого в мире, кто не пытался бы увековечить свой вид и не старался бы обессмертить память о себе. Поэтому мудрый человек ради имени своего непр.еменно сокращает [срок жизни] тела, утверждая уважение к себе в круговороте ночей и дней, которые пройдут пос,ле него. По- скольку добро любимо как таковое, а это доказывается тем, что даже дурные люди желают его себе, хотя они и хитрят из-за него среди дру- гих, то желанная молва — лучшее благо, а вечная память —еще пре- краснее и краше.
Да будь блажен ты, над которым долговечно благословение ' все- вышнего' Аллаха благодаря постоянной благодарности [ему] и пред- почтению наиболее достохвальных деяний, я же прошу Аллаха обла- годетельствовать шейха своей помощью, которая позволила бы ему ١٩ обрести желаемое, а мне самому — [дарО'Вать] усердие во всем TO&Æ, что приближает [меня] к тому, чтоб был Он мной доволен, дабы про- длилось мое счастье от Его щедрот, которыми осчастливлены люди. Воистану Он — владыка свершений великих деЯ благодаря Его ми- лости и широты Его щедрости.


Матештические и астрономические трактаты
،22
Вот перечень г^ав речи, в которую мы углубимся, облегчающий
нахождение требуемого из нее...7
С35 II Теперь же я прежде всего скажу, что исследование всего этого вряд ли возможно осуществить без познания устройства мира, опи- рающегося на доказательства, а не на мнениях различных групп [лю- дей], основанные на том, что они слышали от предкоз или опирались на их вероучения. Это возможно также только пО'Сле обретения спо- собности ориентироваться во всех изменчивых ситуациях [данных проб- лем], для чего нельзя обойтись без арифметики и доказательств с по- мощью геометрии.
Тот, кто усердно читал священные писания, но это не вывело его
СЗб II из числа простолюдин и [не избавило от] их представлении, убеж- ден, что [математика] противоречит религии, расходится с шариатом, и что она —дело нечистое и искусство, коего следует избегать и отме- нить вовсе. К такому убеждению его привела лишь далекость его ума от сущности того, что [действительно] противоречит вере, [знание чего необходимо] дабы поддержать ее. привело его к этому и унаследован- ное им у предков отвращение ко всему, что непривычно, и неспособ- ность различать что так, а что не так. и если он услышит от других, что все так и есть, как он думает, то с чем бы его не знакомили [из области математики], хотя бы устно, он ничего не воспримет, опираясь уже на «традицию». А как было бы xopoiHO, если бы он не полагался на традицию в том, о чем О.Н размышляет и в чем имеет убеждения! И хотя факты доказывают, что. арифметика и геометрия отличаются от других наук тем, что в последних может быть можно познать что- то из середины или конца, прежде чем постичь начало', а в этих двух невозможно обойтись без их начал и без следо-вания по порядку, он думает, что все это — уклонение от здравого смысла и тяга к грехо.в- ному. И кажется ему, что все это похоже на то, к чему приводит заб- луждение фанатиков [-сектантов], исповедующих учения их сект толь- ко после взятия [с них] клятв и обязательств и после долгого прохож- дения [испытаний] и выучки. Все это настолько увеличило его отвра- щение [к математике], что затыкание ушей пальцами стало самой действенной его мерой [спасения], а орание во весь голос —самой силь- ной защитой.
Он не уравнивает [математику по степени ее «греховности» даже] со стихами, которые он всегда положительно отличает*, и декламиру- ет. А я бы заставил его прочесть [кое-что] вслух из диванов Дика ал- Джинна**, Абу Нуваса*2, Абу Хакимы*, и Ибн ал-Хаджжаджа*4. в них содержатся такие нелепости, кО'Торых стыдится душа умного, такое безбожие, которое превосходит всякое язычество, и такая ложь, кото- рой могут быть прикрашены и украшены только стихи. Пусть услыша- ли бы все это эти самые его уши, чтобы он познал, что есть добро, да- бы воспринять его, и что есть зло, дабы избегать его и отвращаться*, от него.
Он не ведает также, что степень понимания у простых людей вопросов, связанных с тонкостями теологии, будь то основы фикха или что-нибудь иное,— такая же, как степень понимания задач по гео-
С37 метрии хотя бы средней трудности. II и в том, и в ином случае понима- ние обеих этих задач в двух видах искусства, [т. е. в теологии и гео- метрии], достигнет своей цели и приведет к их искусному решению, если только идти по пути последовательного системного их изучения. Неразумный же подход и пребывание в сомнениях будут преградой между этими задачами и истиной их познания.


ف2ا
Обособление речи о иробле^и теней
Далее, [предположим, что] он поймет, что молитва —столп веры, и что свое совершенство она обретет лишь при соблюдении времени ее и определенного направления, к которому должно быть обращено лицо [молящегося], а для обоих этих условий необходима астрономия и достаточное для этих целей знание геометрии, и пусть поймет О'Н также, что очистительная милостыня — в таком же положении, и что не обойтись без математики при делении наследства, равно как в жиз. ненно необходимых куплях и продажах, осуществляемых в соответ- ствии с установлениями шариата, причем для всего этого нужна ариф- метика либо в самой низшей степени, коей является использование действий вычислителей, либо в самой высшей — определение искомого с помощью геометрии^. Тогда [другие] рабы [Аллаха] обвинят его в совершении грехов и отрицании [веры] и будут утверждать, что он не благочестив из-за этих двух искусств, и как же это? Ведь он обязан заниматься всем тем, что нуждается в арифметике и геометрии так же, как он нуждается, например, при обязательной милостыни в ис- кусстве весов, при доброво)льной — в искусстве мер [сыпучих тел], а в священной войне — во многих искусствах и в различном оружии из железа, причиняющем великие беды.
Ученые бог'ословы, сведующие в науке, знают, что шариат не за- прещает ничего, чем занимаются знатоки искусства астрономии17, кроме пО'Явления молодой Луны, [т. е. момента новолуния], которое зиждется на наблюдении воочию, а не на вычислениях, причина это- го ясна для тех, кто в совершенстве может определять дугу [серпа Лу- ны] во время поста при наблюдении новолуния. Тот, кто беспристрас- тен, сознает, что наблюдение воочию при приближении этой дуги к ее точной величине более достоверно, чем результат вычисления этого.
И хотя действия людей из народа по наблюдению новолуния |ا отлич- С38 ны от принятых шариатом, труд их здесь воистину велик, а результат определения положения новолуния по азимуту и высоте [столь важен], что наблюдатели стараются достичь этой цели с помощью абараХв, благодаря чему им не надо обшаривать взором участок неба вокруг вертикальной полосы сумерек, имеющий [значительную] длину и шири- ну؛ ведь такое многократное [блуждание взора по небу] может поме- шать им увидеть [серп молодой Луны] ДО' самого его исчезновения.
Что касается тех немногих [людей], восхваленных в ниспосланном [Коране], которые трудятся в страхе перед всевышним Аллахом за впадение в грех, то они не утверждают выводы прежде исследований, не упорствуют в вопросах, когда истина очевидна, не грешат против ислама, не выступают против Корана и не считают противоречия [всег- да] обязательными или наоборот. Они — меж двумя выборами: либо обращаться в каждом искусстве к специалистам в нем, а это —пред- писанное дело, либо самим усердно добиваться искомого, не возлагая труд '[на других], стремясь избавиться от порока традиционализма и невежества. Да поместит Аллах своей милостью и нас среди них!


Глава первая
О ТОМ, что для этого ВОПРОСА НЕОБХОДИМО ПЕРВОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕБА в ЗАПАДНОМ НАПРАВЛЕНИИ Если бы на небе не было постигаемых объектов, нельзя было бы узнать, имеется ли движение наверху, а если бы не было небесных движений, то на горизО'Нте можно было бы определить какое-нибудь направление только как частное. Если же определять направления в пунктах на земле только как частные, то их определение для целой ٠ . области будет невозможным.
С39 Хотя восхождения Солнца и Луны! и различных звезд II и их за. хождения не делят горизонт пополам, а чаще всего делят его на две неравные части, направления севера и юга необходимо находятся по- середине между любым восхождением и соответствующим ему захож- дением. Следовательно, они определяются с помощью первого движе- ния, обусловливающего восхождения и захождения. Более того, если определено направление севера, то тогда определены и П0ЛЮС٩ и Кру- говое движение [вокруг него], являющиеся взаимно связанными, ибо существование одного из них не предшествует другому. Также взаим- но связаны определение направления севера с определением противо- положного ему [направления], т. е. юга.
Знай также, что это движение является необходимым для реше- ния участи того, кто очутился в ровной пустынной местности, части и большие участки КОТО.РОЙ похожи друг на друга и ночью, и днем, и мрак на небе там бывает таким, что воздух становится темным по- всюду. Ведь там [без первого, т. е. суточного движения небесной сфе- ры٠] он не сможет узнать время ни ночью, ни днем,' и не определит ни одного, из четырех [основных] или иных направлений, ибо не будет указателей, показывающих на них. Если же он изберет [перед сном] какие-нибудь приметы, указывающие на направления, они не совпадут с новыми другими приметами, когда он проснется, а также, в подоб- ных же обстоятельствах,— с приметами в других местностях, за исклю- чением редких случаев. Это — потому, что опираться он будет здесь на догадку, без обосновывающего это закона и без надежного верно- го обоснования. [Созданием] ЭТОГО' движения всевьппний Аллах оказал милость своим сотворенным, как сказано в слове его: «Скажи, думае- те ли вы, что если Аллах сделает над вами ночь вечной до дня воскре- сения — кто бог, кроме Аллаха, что принес.ет вам ночь, чтобы Покоиться в ней, что принесет вам сияние. Разве вы не слышите?»з. «Скажи, ду- маете ли вы, что если Аллах сделает над вами день вечным до дня воскресения — кто бог, кроме Аллаха, что принесет вам ночь, чтобы покоиться в ней. Разве вы не видите?>>4. Оба эти явления не смогут произойти до тех пор, пока существуют это движение и постигаемые [наблюдением] тела, принимающие в нем участие. II


125
Обособление речи, о проблемах теней
«Заман» ؛в понятии времени] —это длительность между двумя дан- С4٠ ными мгновениями, коими являются два [момента] времени, присущие двум известным факторам^ Поскольку возникновение одного из этих факторов происходит после возникновения второго, то длительность [времени] между ними может обладать долготой и краткостью, а явле- ния, последовательно имеющие место во время этой [длительности времени], могут быть и самыми малыми [во времени], и самыми боль- шими. Длительность [времени] —это как расстояние между двумя кон- цами. Эти расстояния не могут быть установлены без движения. Те движения, с помощью которых устанавливаются расстояния,— только равномерные, а не смешанные, неравномерные^. Равномерные движе- ния определяют меры времени, указывая часы, измеренные движением воды, пес.ка, различных зерен или подобного этому?. Цель искусства изготовления таких [приборов] — достижение равномерного, движения, даже если оно не полностью таково, а только приближенное, ощущае- мое. Равномерное движение находится посередине между замедленным и ускоренным^, причем замедленное с одной стороны примыкает к по- кою, а ускоренное в принципе не ограничено по величине, на которой, оно закончилось бы؛ оно может быть [ограничено] в реальности, хотя потенциально может увеличиваться подобно числу в сторону его рос- та٥. Поэтому нет такого ускоренного [движения], после которого бы мы не могли вообразить еще более ускоренного.
Наиболее скорое из существующих движений — первое [движе- ние], благодаря которому [имеют место] ночь и день. Это доказывается по великости расстояния до того, что движется этим движением, и по великости расстояния до того, что после этого. По этому движению определили основу деления времени, т. е. сутки. Таким образом, это движение стало мерилом времени и определителем его [для других дви- жений], обладающих равномерностью или скоростью. Что касается ус- коренного [движения], то нет необходимости [обсуждать это здесь], и оно было упомянуто здесь лишь по той причине, что оно является предельным для всего сущего. Что касается равномерног'о [движения], то оно необходимо [нам], и коль скоро дело обстоит так, нам надле- жит на стезе наших стремлений уделить внимание на действия II по С41 определению направлений [сторон света] и азимутов и находящихся в зависимости с этим моментов времени.


Глава вторая
УПОМИНАНИЕ О СВЕТЕ и ТЬМЕ, ОСВЕЩЕННОСТИ и ТЕНИ
Поистине самое яркое из тел, ощущаемых как светящиеся,— Солнце. Оно светится само по себе и освещает другие тела лучами, исходящими из него во всех направлениях. Эти лучи проницают через прозрачные тела по прямым [линиям) до тех пор, пока не встретят непрозрачное тело. Свойство тела, в котором отсутствует прозрачность, таково, что луч света, падающий на него, не проницает через него', а возвращается обратно, отражаясь от него благодаря гладкости его поверхности, которую луч встречает. Если поверхность такого тела особенно гладка и одинаково расположена по отношению к ее же час- тям!, тело не воспринимается [зрением], хотя оно и является объектом, на который падает свет, а воспринимается только как тО, от чего про- исходит отражение. Если же ее гладкость не одинакова по отношению к ее частям, отражение от нее —слабое, и свет постоянно будет виден на этой поверхности, а по другую сторону от нее будет темно в нап-. равлении, которое противоположно направлению освещения, благодаря отсутствию там света. Если это отсутствие [света позади освещенного предмета] представляет собой [темное] место, имеющее2 окружающие его светлые границы, и форма его достаточно полно воспринимается зрением, оно называется тенью. Оно' противоположно тому, что мета- форически называется Солнцем, я имею в виду солнечный свет, при- мером этого являются тени от предметов, падающие на землю или на стены. Тогда светлый фон, т. е. примыкающие к тени места, освещен- ные находящимися напротив них источником света, воспринимается зрительно на всех краях тени или на неко.торых из них. Если же осве- !ценность не воспринимается на одной из сторон тени, а величина тени увеличивается благодаря расширению ее границ до такой степени, что зрение становится бессильным и не может ее охватить, то это назы- С42 вается темнотой и абсО'ЛЮтной тьмой, II наподобие ночи или сумрачно- му дню. Тогда название тени исчезает, как исчезает [возможность] восприятия ее краев.
В речи арабов тень (зилл) — прикрытие от Солнца, поэтому тем- нота и чернота ночи также называются тенью, а по причине тесной связи тени и света и ТОГО', что одно из них следует за другим, они на- зывали тень, окруженную солнечным светом, «сопутствующей». Один из двух [Ибн] ХузайловЗ сказал в стихах:
Песчаная куропатка приходит [к воде].
Когда ее «сопутствующая» [т. е. ее теНь] сокращается.
Абу Лайла4, [комментируя это], сказал, что здесь имеется в виду ночь, и будто бы поэт хотел сказать, что [куропатка] приходит к воде на заре раныпе всех. Мы же не видим ничего препятствующего' тому.


127
Обособление речи о проблемам теней
чтобы куропатка приходила к воде в полдень, ибо свойство тени ста- новиться самой короткой связано именно с полднем: она прихО'Дит к воде в полдень, когда никто туда не приходит, прячась [от жары] в укрытиях. Под сокращением тени имеется в виду ее приближение к основанию [отбрасывающего eel перпендикуляра, [т. е. гномона].
Ру’ба5 различал названия [тени] в зависимости от того, исчезаю- щая ли она, или постоянная. Он говорил, что [название] зилл относит- ся к [затененному] месту, в котором в данный момент нет света., не- зависимо от того, постоянно ли будет существовать эта тень, или СОЛ- нечный свет придет на ее место. [Следовательно, зилл — и постоянная, и периодическая тень]. [Затененное же] место, в котором [непременно] сначала был свет, а потом он исчез [и возникла тень], имеет название фай*. Это —исчезающая и возрастающая тень. [Следовательно, фай/) — только периодическая тень]. Таким образом, зилл — более общее по- нятие, а фай) — более частное. Поэтому всякая [тень] фай) есть зилл, но не наоборот, т. е. не всякая [тень] зилл является [тенью] фай>. Ска- занное о [тени] фай) не препятствует тому, что она может быть перед полднем. По поводу этого различия Ру’ба [еще] ска.зал, что зилл — это [тень], которую может уНичтожить сОлнце, а файу II — это. [тень], С43 [порожденная предметом,] заслоняющим солнце, понимая здесь под «солнцем» его свет, падающий на землю. [Иными словами, активная причина тени зилл — свет, а тени фай) — предмет, отбрасывающий эту тень].
Известно, что арабы называют тень после полудня фай’ [букваль- но: «возвращение»], так как она отклоняется с западной стороны к восточной, входя в нее, и возвращается, увеличиваясь, к той же вели- чине, которая была раньше при свете [на восходе Солнца]. Это прави- ло подразумевает отказ от названия [фай] для самого полудня, одна- ко они нарушают его и называют тенью [фай] и полуденную тень. Не-) которые из арабо.в называют полуденную тень «следом ноги верблю- да»: это недопустимо, за исключением [случая, когда] тень исчезает в полдень вовсе, когда Солнце находится в самом куполе, [т. е. в зе- ните].
Однако все эти разграничения [значений зилл и фай] — плоды труда усердных языковедов, не являющихся арабами. Они все пута- ют, не разграничивают [понятия] должным образом, пускают дело на произвол, как попало, принуждая сторонников законов [затем] обосно- вать это.
Сказал же Абу Зуайб?, [употребляя слово зилл для вечера]:
Я сажусь в их тени (зилл) в вечерних сумерках.
И сказал Зу-р-РуммаЗ
Когда изменилась тень (зилл) по'Сле полудня,
я увидел его приверженцем его единобожия^
А в начале утра О'Н еще раздумывал*..
Вот описание хамелеона, который всегда обращен к Солнцу, [как в любое время дня с Солнцем может быть связано понятие зилл]. Сказал Абу-н-НаджмИ;
Ты увидишь здесь хамелеО'На, ‘Просящего искупления за грехи у Солнца,
А затем преклоняющегося.
В этом нет ничего чудесного: листья деревьев по природе своей также поворачиваются вместе с Солнцем.


Математические и астрономические трактаты.
J28'
Ведь здесь Зу-р"Румма не сказал: «Когда изменилась [тень] фай* после полудня». Если же говорят, что в послеполуденное время зилл переходит в фай*) то другой [поэт] сказал, [опровергая это и употреб- ляя фай* для раннего утра]:
С44 //Вот город. Молчат его голоса,
И тени его (|фай’) уменьшают раннеутренний свет.
Он, [пО'Эт], не сказал здесь: «и тени его [зилл] уменьшают ранне- утренний свет», считая, что [слово] зилл не годится для утра, и [слово фай) теряет свое значение только для [периода] после полудня, если оно вообще его теряет.
Таким образом, если употребление [слова] фай* для утра возмож- но, то дело [с противоречием относительно значений фай* и зилл] тако- во, как мы сказали. Если же [слово фай* в конце этого стиха] употреб- лено для рифмы, ТО' и это подтверждает [сказанное мною]. [Подбор слов ради рифмы] в случаях, подобных этому,— обычай литератО'ров и поэтов, и читающий их изречения вынужден устанавливать значе- ния*2 этих [слов].
В книге «Диван ал-адаб»12 [метафорически] сказано, что забота — «тень утренних и вечерних лучей Солнца», другой литератО'р сказал «тень Солнца», [говоря о времени], когда оно начинает согревать. Так же, как говорят «тень зимы», [говоря о времени], когда она только нас- тупает. Это похоже на нечто непонятное. Ведь тень —у объекта, бро- сающего его, а не у лучей [Со.лнца].
Сказал ал-Хали* аш-Ша’ми!4:
Посмотри؛ на тень, когда она в пределе [своей длины].
Она нач.инает уменьшаться, когда [время] удлиняется.
Но известно, что [наибольшая] длина тени на поверхности земли — во время восхода и захода Солнца. На этих двух краях [дня] при куль- 1иинации ..[между ними] лучей, [т. е. Солнца, положение таково:] пре- дельная [восхо^ная] тень начинает сокращаться и уменьшаться, а [за- катная] доходит дО полноты [своей величины]. [Сказанное в стихах] было бы приемлемо, если бы тени удлинялись к полудню, но это так только для тени гномона, перпендикулярного к стене, установленного напротив [точки] кульминации Солнца. Такая тень .называется обра- щенной15٠ И, клянусь Аллахом, не это разумел ал-Хали.. Он лишь об- разно отозвался на слова древнего [поэта]:
Всякий раз, когда дело завершается,
приближается его упадок, п когда говорят, что ОН'0 Д01СТИГЛ0 'Своей полноты, оно лишь перешло через наивысший 'свой подъем.
Переход через наивысший подъем он перенес на переход через С45 кульминацию с.олнца, а достижение полноты отнес к тени. ا| и отсюда пО'Лучилось то, что он сказал.
Но, возможно, он руководствовался и другим, а именно тем, что он услышал, что лунное затмение вызывается тенью Земли, и он и имел его в виду. Дело в том, ЧТО' оно достигает своей предельной ве- личины, когда Луна достигает места своего прохождения, наиболее близкого к оси конуса тени, что будет ее долготой. Затем [затененная часть Луны] начинает уменьшаться и постепенно возвращается к пол- ному прояснению. Он мог бы иметь в виду и ночь. Ведь ночь — ничто иное. Как наше пребывание в тени Земли, причем ось этой тени вое- ставлена напротив нас [в точке] полуночи: после полуночи тень начи-


129
Обособление речи о проблемах теней
нает спадать к рассвету, раннему утру и утренней заре. Но все это далеко от мыслей автора стихов. Дело в том, что добродетельные ЛЮ- ди, после того, как они будут избавлены от превратностей судьбы, а сроки их жизни — от прохождения, [т. е. когда они обретут вечную жизнь в раю], уже не будут нуждаться в движении Солнца как мерИле времени, которое проявляет черты развития и существования во всех ؛земных] местах. Дело в том, чТо место их обитаНия, [т. е. рай], харак- теризуется тенью, протянутой^ ВО' времени и пространстве. Во време- ни — поскольку оно там не меняется с приходом света, который идет вслед за ним ؛временем]. Что касается пространства, то оно там без- гранично [в смысле существования райской] тени в нем. и если даже за [этим райским пространством] — сплошной свет [буквально: Солн- це], то тень там будет все равно густой и столь стойкой, что ее не унич- тожат никакие Солнца, и не сотрет, не ослабит никакой самум. [Точ- нее] это не поддается описанию, [так же, как] «холод» в слове Всевыш- него [также о рае]: «Не увидят они там Солнца и мороза ([замха-
рир)»\1) т. е. жары или холода. Это имеют в виду мусульмане, гО'ВОря о женщинах, не достигших [возраста] брачных занавесей, [т. е. зана- весей, за которыми скрывается в доме невеста]: «Ты не видишь ни
солнца, ни замхарира», [т. е. пребываешь как в раю].
Некоторые же произвольно толкуют это, и утверждают, что под замхариром подразумевается Луна. При этом они либо думают, что она входит в понятие «наййиран» [«два светила», т. е. Солнце и Луна], и по-тому упоминается вместе [с Солнцем], либо полагают, что Луне присущ холод, как п^ису٦е Солнцу тепло. Таково ^eH^e и индийцев, которые не знают, чТо II Луна согревается без тепла Солнца, иЧтО С46 потому она — причина отливов и приливов^, как и других явлений, происходящих во влажных средах.
Что касается заслуживших наказания [т. е. попавших в ад], то тень их описывается как черный дым (йахмум), ибо у действительной тени польза в том, что 0'На спасает от тягот жары и самума, и если бы она не была прохладной и приятной, она еще ёольше уЕеличивала бы мучительные страдания, как тягостная тоска от [непомерного] давле- ния неба, охватывающая душу и [сдавливающая] горло. Солнечный свет и его обжигающая жара для них легче, чем это.
Свет у них '[в аду] — от [адского] пламени, а «тень» — из дыма.
И такая тень у них — не протянутая [во времени и пространстве, т. е. не вечная], а имеет пределы и очерчена границами, ибо дым образу- ется языком пламени, присущим одному месту и отсутствующим в другом. Поэтому [адская] тень по своей конфигурации допускает срав- нение с разветвлением!9, связанным с пламенем, а быть в дыму более тяжело, чем гореть или страдать от жара. Разветвление может быть качеством какого-нибудь образа, также как зймок (каср) стал [в к." ране] сравнением для искр пламенно [из-за их огромной величины]. Разветвление [адского дыма] может иметь свои сторОны, которые вид- ны спереди, справа и слева, и хотя оно может иметь и задние CTO'po- ны, они не показаны в числе ужасных качеств [адского дыма], по- скольку они зрительно не воспринимаются и невидимы, каковы они, если не обойти .[все это.] вокруг. Разветвление видимо [только с этих трех стррон, но невидимо с] других сторон— сверху и снизу. Пото- му три [разветвления адской тени] и упОмянуты [Е Коране] при [описа- НИИ] ужасов [ада]. Так же, как сказал Всевышний о них, [грешниках в аду]: «Им — из геены ложа, а над ними — П0.крывала»21. Эти две стороны, [т. е. низ и верх], он не упоминает, посколЕку они так же, как 0-11


Математические и астрономические трактата
130
и задняя, не наблюдаются взором до изменения положения наблю- дателя.
Сказал Абу Муслим ал-Исфахани22, что Всевышний Аллах назвал [адский] огонь тенью. II так как он окружает наказуемых. Но это — не- верное [его] понимание, что особенно видно, если взять слово Всевыш- ;него [«Ступайте к тени с тремя разветвлениями, не тенистой], и не спасает она от пламени»2з. [Ведь на самом деле] тень окружена [све- том], а не окружает [что-нибудь]. Далее он, рассматривая [понятие трех] разветвлений, указывает на три их качества: одно из них, что
[адская] тень — не тенистая, второе — что она не спасает от пламени, И третье —что она брО'Сает искры. Но если ты поразмыслишь над этим стихом [Корана], ты увидишь, что первые два этих свойства по согла- сованию в мужском роде, [в арабском языке слово «тень» — мужского рода] действительно, относится к тени, а третье по согласованию в жен- ском роде —к огню [в арабском языке «огонь» — женского рода]. И если бы было допустимо [вопреки законам арабского] языка пере- нести имя «тень» на «огонь», то столь же допустимо произвольно счи- тать, что [три] разветвления тени — три треугольника, или углы их ос- нований, или шипастая фигура, называемая «0гненн0Й»24. Но вернем- ся к тому, где мы были, [т. е. к речи о реальных тенях].
Мы говорим: известно, что воздух, который заполняет небесную сферу, прозрачен, поэтому свет в нем не воспринимается, а что Земля, находящаяся посередине нее,— окруженное им непрозрачное тело. Поэтому то, что находится против Солнца, т. е. на востоке, необходи- МО. освещено, а то, что не находится против него,— темное. Известно, что Земля вследствие своей круглой формы заслоняет часть воздуха [от Солнца], и отношения этой вогнутой [затемненной] части к осве- !ценной, если бы [лучи составляли бы] цилиндр, были бы [отно.шения- ми] равенства, а если бы [они составляли] конус с различными положе- ниями его основания, были бы отличны. [от_ отношения равенства]25. Но лучи Солнца охватывают со всех сторон всю Землю, составляя конус2б, расположенный против Солнца, ось которого — диаметр, про- ходящий через центры Солнца и Земли вдоль этого конуса. Он стано- вится тоньше по мере удаления от Земли и исчезает выше Луны. Это происходит по причине превосходства величины светящегося Солнца над величиной отбрасывающей тень Земли. Тень Земли затмевает Лу- ну, когда она пересекает ее в своем движении.
Тень Земли называется так [не условна], II не по причине образно, го представления, в особенности — при лунных затмениях, когда наб- людателю может казаться, что эта тень не связана с Землей, и что она имеет какие-то окружающие ее светлые границы. [Тень Земли су- !цествует действительно], и это — ни что иное, как ночь, являющаяся прохождением тени над нами. Но несмотря на это ночь не называ.ют тенью вследствие '[чрезмерной] удаленности ее границ и неощутимости их чувствами.
Относительно слов всевышнего Аллаха «Разве ты не видишь твоего Господа, как он протянул тень?»27 говорят, что это — ночь и ее распростертая тьма. ТакОе толкование возможно, поскольку [образы] в ниспосланном [Коране] соответствуют привычным для арабо.в [обра- зам]. Здесь может разуметься, [что некогда была] сплошная тьма, за- полнявшая полость небесной сферы, когда Солнце представлялось еще несуществующим. Когда же Солнце было, сотворено ради того, что оно должно освещать, он, '[Аллах], разъединил [сплошную] тьму, охватывавшую до этого все места [в мире], и сделал ее более резкой.
С47
С45


131
Обособление речи о проблемах теией
Или же здесь подразумевается тень Земли, которая при прохождении ее над нами является для нас ночью, и если бы не первое, западное движение сферы, такая тень, [т. е. ночь], постоянно пребывала бы в од- ном месте вследствие неподвижности Солнца. Но поскольку это дви- жение вращает всю Вселенную, СО'Лнце сгоняет тень, [т. е. ночь,], с Земли, и не остается ее следов, кроме незначительных на западных [участках] неба во время восхода Солнца.
В словах Всевышнего «Потом мы сжимаем ее, [т. е. тень], к себе медленным сжиманием»28 имеется в виду [абстрактное] направление, этого движения, потому что к Всевышнему не приложимы такие ПО'- нятия, как «где» и «когда». Он возвышается над временами и прост-, ранствами. Слова «к себе» [при таком толковании] означают, что все движимое по [его] желанию [может быть направлено] к нему. Но, воз- можно, что в этом стихе Корана подразумеваются тени от объектов, которые бросает Солнце, обходя их, по их границам и на их местах. Солнце наделено движением, и потому это движение стало присущим и теням, хотя сами они не являются [телесными субстанциями]. Это можно [доказать тем], что Солнце, ا| обусловливающее увеличение и С49 сокращение [теней], двигает и перемещает их границы, и понятно, что. неподвижность тени означала бы конец мира.
Возможно, что слова Всевышнего «потом мы сжимаем ее к себе» указывают на полдень, [поскольку тень сокращается к его моменту].
На это же указывают его слова «медленным [сжиманием]»: движение тени тогда — незначительное, так как предельная краткость тени име- ет место при предельном поднятии Солнца. [В людском обществе] высь — это место духовных людей и владычества: туда воздеты руки просящих и обращены взоры боязненных. [В природе же] если все небо и является высью, то высью для каждого места будет еГо зенит29٠ а полуденный круг —предел высоты для всего движущегося на небе.
Относительно [выражения] «сжимание» [тени] гоЕорят, что это — ее уничтожение, ибо прекращение существования вещей и их судьба — дело Аллаха.
Не правы те, кто [кораническую] протяженнО'Сть тени объясняет как [тень Земли в период] между закатОм и восходом Солнца. Если именно эта тень имеется в виду, то надо было бы сказать — от начала утре؟ней зари до конца вечерних сумерек.
Округлость этой тени [Земли] всеГда очевидна для глаза при лун- ных затмениях в различных его положениях на небе по долготе и ши- ^оте. Ее очертанияЗ. [столь же отчетливы,] как [очер.тания] гор на Земле.
Мансур ибн ТалхаЗ! доказывал с помощью тени, что темный ущерб [диска] Луны — не от выступов или впадин на ее теле. Он рассуждал: если эти .[неровности] малы по отношению к величине Луны؛ каК малы горы по отношению к величине Земли, то [тени от них] не были бы видны, как не видны выступы гор на круглой тени Земли. Если же они имеют в виду ощутимую величину, то тогда и тени их должны ощу- щаться [наблюдателем.]. Однако Положение Луны относительно СолН- ца меняется, и потому и тени [от неровностей Луны] должны были бы в течение месяца изменяться [не только по] величине, [но] и по их мес- тоположению. Однако темныИ ущерб Лунь؛ — всегда в оЯних и тех же положениях и одной и той же формы. II Следовательно, он —не от С50 выступов и впадин.
Можно сказать, что здесь есть [еще одна тень, причина которой] — тело, иное чем Земля, непрО'Зрачное по своей структуре. Оно прИни^а- ет свет так же, как его принимает Земля. Это -- Луна, облагающая


Математические и астрономические трактата
Î32
свойством идти на ущерб. Ее коническая тень распространяется как тень Земли, а ось этой тени направлена по продолжению линии, сое- диняющей центр Солнца и ее центр. Эти дв.е тени различны по вели- чине, так как из двух тел, отбрасывающих эти тени, тел О' Луны — приблизительно сороковая доля тела Земли, а тело Солнца в сто шестьдесят шесть раз больше 3емли32. Они различаются и по расстоя- ниям, так как расстояние Луны от Земли — девятнадцатая доля рас- стояния Солнца от неезз. Они различаются и по положению. Тень Зем- ли всегда находится между Землей и небом в противоположном от Солнца направлении. Тень же Луны п'ри соединении и противостоя- нии34 направлена либо к Земле, либо ввысь, в противоположную от нее сторону: ее можно наблюдать воочию лишь при солнечных затме- ниях. Это [непостоянство направления тени Луны] объясняется тем, что разность расстояний междуСолнцем и Луной, как и их положение [относительно друг друга] — непостоянны. [Тень Луны] определяется также сопоставлением [с ее фазами], кО'Гда освещенность Луны меня- ется: она увеличивается от новолуния до полнолуния и уменьшается от полнолуния до последней ночи лунного месяца. Поскольку этот свет падает от Солнца на поверхность Луны, отражается от нее на Землю и освещает ее часть, находящуюся напротив Луны, у Земли образует- ся [от лунного света] тень в виде конуса, противоположная по месту положения ее же тени от Солнца, а именно — вершина ЭТОГО' конуса обращена к Луне. Со стороны основания конуса протяженность тени увеличивается до тех пор, пока лучи [восходящего] Солнца не переси- лят эту тень, и не исчезнут у нас ее следы.
Что касается планет и неподвижных звезд, II то одни из нас, изу- чающих истины существующих объектов, рассматривают их как тела, светящиеся сами по себе, подобно Солнцу: другие же полагают, что это— тела, не светящиеся сами по себе, а получающие свет от Солнца, подобно Луне. Разногласия между этими двумя мнениями до сих пор существуют среди людей, ибо ныне оно не может быть еще решено с помощью категорического доказательства на основе законов науки35.
Из того, что мы изложили, известна разница между темнотой и тенью, и то, что эти две категории относятся к одному рО'Ду. Мы го- ворим, что быть освещенным —это свойство непрозрачного тела, нахо- дящегося против источника света, когда между ними находится проз- рачная среда. Эта прозрачная среда не только полностью пропускает через себя свет, но она передает также цвета и формы, связанные с ним. Из нахождения против [источника света] необходимо вытекает прямолинейность распространения [света]зб, поэтому лучи Со'Лнца, Лу- ны, светил и огней также прямолинейны в своем распространении, по- ка они не скроются из виду. Если источник света исчезнет в направ- лении его распространения, обретаемая благодаря ему [освещенность] прекращается, и наступает темнота. Темнота —это отсутствие сеета, а тень — это отсутствие освещенности. Противоположность между ни- ми — ЭТО' противоположность между отсутствием [света] и существо- ванием [его, ибо он и вызывает тень], но не противоположност.ь между двумя отрицающими друг друга сущностями.
Таково же положение в вопросе о зрительном восприятии: проис- ходит ли оно при объекте видения, [когда его постигнут исходящие из глаза зрительные лучи]', как это считают Гален и геометрыЗ?, или [оно происходит] при [органе] зрения, как полагает АристотельЗз, который рассматривает это правильнее, чем первые. Спор между авторитетами этих двух концепций, принимающий острую форму, затянулся, тогда как геометрия оптики непрестанно ставит в равной мере сторонников
С51


133
Обособление речи о проблема* теНей
обоих мнений перед другим (фактом]: эта прямолинейность, будь то солнечных лучей, будь то зрительных, изгибается II по мере их проник- С52 новения, как она изгибается на общей границе двух тел, различных по степени их прозрачности. Последнее объясняется преобладанием в элементах этих двух тел разреженности или плотности. Так, воздух отличается от воды [своей большей] разреженностью, а от огня —؛сво- ей большей] ПЛО'ТНОСТЬЮ. Этот изгиб [лучей] называется отклонением, и он подобен преломлению39 для случаев, [когда лучи попадают] на плоскости. Все это относится не только к воде с воздухом, но и явля- ется общим для остальных прозрачных веществ, будь они водными, те- кучими или твердыми, застывшими. Необходимо лишь, чтобы они были различными по плотности или тонкости [их консистенций], и чтобы они не смешивались, а каждое из них занимало свое место, как раститель- ное масло и вода в одном сосуде, лишь соприкасаясь друг с другом. Общая граница между ними изгибает эту прямолинейность [проникно- вения лучей], из-за чего происходят оптические «чудеса» в воде, хрус- тале и им подобным [веществах].
В случае гладкости [поверхностей] и их непроницаемости [для луг чей] эта прямолинейность изгибается путем преломления, которое мы можем наблюдать при отражении лучей от поверхности воды или от различных зеркальных поверхностей, благодаря чему можно увидеть [объект], который не виден при [непосредственном наблюдении], или же он будет в иной форме. По этой причине происходят также оптические «чудеса» в воздухе^., и на этом основано действие зажигательных при- боров٩
Воздух не видоизменяется при освещении, когда в нем происходит отражение [лучей], характерное равенством углов, и в случае вогнуто- го зеркала коническая фигура [из лучей(] с вершиной в точке зажига- ния не видна, если она расположена по лучам Солнца, падающим в достаточную по своей сферичности полость [зеркала]. Если кто-нибудь думает, что этот конус [света бывает виден] благодаря частицам, рас- сеянным в воздухе, которые видны только в лучах, проникающих в их дома через отверстия, II пусть знает, что он по существу прав. С53
Дело в том, что воздух вследствие достижения им высшей степе- Ни чистоты и лишенности цветов [сам по себе] не ощущается зрением.
На самом же деле зрение воспринимает цвета, на которые попадает какой-нибудь свет, и при их восприятии непременно между ними долж- на быть прозрачная среда. Все формы и все, что связано с объектами видения, как-то движения и различные положения [этих объектов], по- стигаются зрением через посредство цветов и чувственного их разли- чения, сопряженного с потенцией [их] сопоставления после [обретен- ных] навыков и опыта. Освещенность воздуха зрительно ощущается лишь благодаря лучам, проникающим через отверстие [в помещение] и падающим на [мельчайшие] частицы [в воздухе, т. е. пылинки], а это — частички земли, плотные, как и она, непрозрачные, освещаемые. Вслед- ствие их множества ОНИ' [почти] соединяются друг с другом, и наблю- яаемая тобою [их поло.са] мешает видеть то, что позади них. и конус [лучей], видимый в вогнутом зеркале, несомненно [наблюдается] из-3а этих частиц, [т. е. пылинок]. Разницы здесь нет между таким [зеркалом] или другими ؛[устройствами], обусловливающими своей формой [созда- ние] конуса [лучей] помимо того, о котором мы сказали^ Что касается данных частиц, [т. е. пылинок], то они в совокупности этих лучей осве- щаются только сверху и затенены снизу. Тень от них едва ли будет .ощущаться, если поместить руку под самые'Крупные из них и близко от них. Большинство же их имеет один и тот же вид по причине ИЯ


Математические и астрономические трактата
134
[крайней] малости, хотя [в действительности] одни из них превосходят другие.
Если в [конусе] этих лучей, [образующемся в вогнутом зеркале], установить [плоское] зеркало напротив «глаза» Солнца, они отразятся от ,него. Это [плоское зеркало] нужно опустить [в чаше вогнутого зер- кала] пониже, к месту зажигания42, которое находится [в вогнутом зеркале] около его центра, несколько выше него, и установить приб- лизительно на половине расстояния между ними. Тогда из этих лучей, отраженных [плоским зеркалом], образуется .[тоже] конус, но направ- ленный снизу вверх, и нижние части частиц, [т. е. пылинок], которые ли ع до этого были затенены, осветятся. Благодаря этому, несмотря на С54 двойной свет |ا и полное освещение, они выделятся [на фоне] других, и выделится освещенный конус, который станет зрительно восприни- маемым.
Эти частицы [— пылинки] также имеют отношение [к рассматри- ваемым нами вопросам] по причине дифференциации теней по степени темноты. Дело в том, что любую тень, будь она от установленного гномона, или от построенной стены, или от крыши, окружает светя- щийся из-за этих частиц [— пылинок] воздух, если только эта тень не очень велика по размерам вследствие большой удаленности ее границ. От каждой [пылинки] отражается какая-то часть падающих на них лу- чей и попадает, [отражаясь], на другие. Последовательность отражений достигает тех [пылинок], которые находятся в воздухе тени, и в тени появляется некоторая полоса [отраженного] света, с расширением этой полосы ее освещенность слабеет, [пО'Ка эта освещенность совсем не исчезнет] и тень от нее не избавится. Таково положение и в домах: лучи света, которые проникают в них, освещают те части стен, которые находятся напрО'ТИБ «глаза» Солнца, непосредственным освещением. Затем они отражаются от этих частей на другие и освещают их ВТО- ричным освещением, которое слабее первого, и так продолжается до тех пор, пока освещенность [в процессе отражений] совсем не исчезнет. Если наблюдатель станет спиной к лучам, проникающим в дом, а кто- нибудь другой будет двигать в лучах [света] сзади него одежду или что-нибудь другое белое, пусть даже оно не блестящее, наблюдатель увидит это движение на ПРОТИВОПО'ЛОЖНОЙ стене по увеличению и пе- ремещению [на ней] света.
Что касается того, что упомянул Ахмад ибн ат-Таййиб ат-Серах- си42 в своей книге, озаглавленной «Основы фил0С0фии»44, относитель- но черноты воздуха на вершинах возвышенных мест, то он преувели- чил мнение Аристотеля о темноте воздуха, как это явствует из его слов в «Книге о чувствах и ощущаемом»48. Вопрос этот должен ре- шаться на основании О'ПЫТОВ и сопоставления наблюдений, а не на [непроверенных] сообщениях. До нас не дошли сведения об этой тем- С55 ноте и об отсутствии восходов, II исходящие от тех, кто был на гО'рах, и они не сообщают о таких изменениях [с воздухом]', хотя и гово.рят об усилении там холода и отсутствии тепла.
Если гора Демавенд4б — такой высоты, то мы видели ее воочию. Видели ее, [будучи] ؛на ее высоте, и оказывались на ее вершине и дру- гие, но никто ничего не говорит об этой черноте [воздуха там]. Если же эта гора — не такой [большой высоты], то Г0.ра Кавказ47, без сомне- ния,_ исключительно высокая, как об этом свидетельствует Аристо- тель в книге «о высших явлениях»48. Он там приводит доводы в ПОЛЬ- зу [большой] ее высоты и утверждает, что туман не поднимается до нас и не достигают ее ветры. [Последнее] он доказывает тем, что линии ц знаки, сделанные [на ее вершине] на золе [сожженных] жертв и за-


ISS
Обособление речи ٠ проблемах теней
колотых животных, остались в своем виде, и не стер их ветер и не смыл их дождь. И он не упоминает при этом ничего о черноте воздуха там.
Если бы она там была, то. [люди, приносившие там жертвы в период! их раннего язычества, не смогли бы ориентироваться ни в их следовав НИИ [на гору], ни в тех действиях, которые они там совершали. Рос- сказии об этой темноте, которая чудеснее, чем что-нибудь друго.е,_ это сказки, которые сочинялись для того, чтобы укрепить религиозные представления тех, кто поднимался [на гору с жертвами], у ТОГО', кто слушал их по их возвращении.
Итак, мы видим, что воздух окрашен, однако не все, что не имеет цвета, обладает свойством быть черным. Черное —лишь один из цве- тов, а не их О'Тсутствие. Наличие Солнца напротив тех вершин необ- ходимо вызывает их освещение, как освещаются им склоны гор и пpeдد гория, даже если не достигают этих вершин туманы и нет там частиц [— пылинок]. Ведь освещается же гора, о которой рассказывает Арис- тотель, находящаяся П0.Д кругом летнего солнцестояния^, [т. е. на тро- пике Рака], [причем освещается она) с восточной стороны задолго до восхода Солнца над [равнинной] землей.
Из слов Ахмада [ас-Серахси] вытекает также, что небесные тела сами не светятся, а |ا причина их света — [это то, что на них смотрят] С56 снизу, и свет их существует только для смотрящего на них снизу. Но тогда возникает вопрос, в чем же разница между Солнцем и Луной, чем они отличаются друг от друга, и оба ли эти светила не светя- щиеся?
Беда таких людей заключается в том, что они СЛИ1НКОМ рьяно за- нищают любое мнение Аристотеля, исключая возможность ошибок в них, хотя они знают, что он — один из усерднейших [в науке], но не не- погрешимый столп. А усердие, даже если оно самое великое,— не па- нацея от опасности заблуждений. За такие [взгляды слепых последова- телей авторитетов] остается лишь сожалеть их отцам и переживать за) нравы и характеры их [сыновей]. Они считают себе дозволенным от- странитН. всю «Книгу о высших явлениях», '[т. е. «Метеорологику»], от [авторства] Аристотеля из-за упоминания в ней зрительных лучеИ*, хотя последнее лишь по форме отличается от его мнения [по этому вопросу в его других трудах], и приписать ее другому [автору], дабы обелить Аристотеля, и если кто-нибудь, кто представляет себе систему мира в истинном ее виде, будет порицать такую чудовищную ошибку в этой книге, что де обитаемая часть суши кончается под кругом лет- него солнцестояния, [т. е. на тропике Рака], и невозможна за ним в сто- рону от юга, они потребуют обвинить этого [человека] во лжи за [его] справедливое порицание, в своих попытках очистить имя Аристотеля от ошибок они стали посмешищем, я этому посвятил [особую] работу, которую назвал «Выяснение признанной52 концепции». Далее. Они не ограничиваются [восприятием] подобных взглядов без апробации, и категорические утверждения правильности представлений, вытекающих из этих [взглядов], обретают форму рассказов отевидцев. Так обстО'ИТ с чернотой [воздуха], о которой говорит ас-Серахси, что она бывает на вершинах гор. Таковы же их утверждения о том, что горячая вода из-за ее мягкости и разреженности ее частиц замерзает быстро, рань- ше, чем холодная, вследствие ее [большей] густоты и сплоченности ее частицзз.
Я помещал в каждый из двух равных и подобных сосудов II рав- С57 ные количества чистой воды, холодной и горячей, такой* что не причи- няет [нестерпимой] боли касающемуся ее, и одновременно выставил


Математически и аст^оиомические трактата
13Ö
оба сосуда на морозный воздух. Поверхность холодной воды замерз- ла, а в горячей сохранились остатки тепла, я повторил зто еще раз, значительно повысив [температуру] горячей. Холодная вода замерзла, а горячая еще не достигла той степени теплоты, [которой она облада- ла в] первый раз.
Или [взять] после этого их утверждение, ЧТО' воздух в подземном резервуаре [якобы] зимой теплее, чем летом, и наоборот [ — летом хо- лоднее, чем зимой]. Опыт на [определение] быстроты застывания воска или растопленного сала в каждый из этих двух времен года, а также соблюдение для каждого из утверждавших своей меры одежды, не вы- зывающей неприятных ощущений, С'ВИдетельствуют о ложности их [ут- верждения] и доказывают, что теплота или холод — качества, прису- щие [наружному] воздуху, и [подземные резервуары], находящиеся ближе к поверхности земли, испытывают большее воздействие [наруж- ного холода или теплоты], чем таковые, расположенные дальше от нее.
Я знаком с одним из достойнейших сторонников Аристотеля. Он ска- зал мне: «Если бы даже [факты, опровергающие отдельные мнения Аристотеля], оказались верными, убытка тому, что мы знаем из естест- венных наук, не было бы», я ответил ему: «Убыток будет принципам, на которых вы основываетесь, и такой, что они рухнут. ПозНание же того, что неверно, не называется наукой. Что касается течения обстоя- тельств в природе, то оно соответствует [законам], согласно которым оно существует, и если достигнуто действительное познание этих за- конов, они обретают название естественных наук, и не правда ли, что знания человека при егО' практике — лишь частицы, мера которых не- соизмерима с абсолютным знанием? Ведь оно —как горы, а [знания че- ловека] —лишь как прикидка на глаз».
Мы просим Аллаха увеличить благо. Он —владыка б.лаг.


С58
II Глава третья
ОБ ИЗМЕНЕНИЯХ, КОТОРЫЕ ИСПЫТЫВАЕТ ТЕНЬ ПО ВЕЛИЧИНЕ И ПОЛОЖЕНИЮ
Теням присущи изменения двух родов. Одно из них —по причине изменения положения источника света параллельно диаметру, связы- вающему его высокое и низкое [положения]. Это —диаметр высоты и глубины, а изменение [тени] сопряже؟о с высотой [светила]. Второе — от изменения положения источника света параллельно двум другим диаметрам, т. е. длине и ширине!, оно сопряжено с азимутом [свети- ла]2. Что касается [изменения] первО'Го рода, то оно состоит в том, что тень увеличивается при растяжении, или уменьшается при сокраще- нииЗ. Что касается [изменения] второго рода, то оно состоит в измене- НИИ положений при единстве величины [тени]4. Оба эти вида [измене- ний] существуют слитно для небесных источников света, ибо высота не изменяется без изменения азимута. Но их можно представить по отдельности в воображении, будто происходит изменение высоты при одном и том же азимуте и изменение азимута при одной и той же вы- соте. Если бы эти два изменения имели место в двух различных мгно- вениях, воображение не препятствовало бы представить их соединение и в виде движения, которое [на самом деле] не существует на небе, т. е. движения, состоящего из поднятия ПО' одному из кругов высоты при постоянстве азимута по положению при данном изменении высоты, и в виде перемещения по одному альмукантаратуЗ при постоянстве вы- соты по величине и при изменении азимута.
Эти '[движения] не о-тносятся к вещам, которые невозможно пред- ставить [раздельно], поэлементное, как, например, нельзя [предста- вить] существование двух тел в пространстве, [достаточном лишь для одного из них], или существование двух противоположностей в одном месте и в О'ДНО время. Но эти [движения фактически] не могут быть [раздельными], II ибо бытие противоречит этому. Взять, например, С59 Землю: воображение нам рисует, что она не касается небесной сфе- ры, а находится вне ее. Или [небольшая] белизна в перьях ворона؛ воображение позволяет нам представить их белыми, лишенными чер- ноты. Од'нако бытие противоречит подобным представлениям.
Высота обладает [верхним] пределом, при котором тень исчезает, и другим, [низшим пределом], ее началом, при котором исчезает конец тени. Это — как одно расстояние: если измерять снизу, оно называет- ся высотой, а если измерять сверху — глубиной. Также можно, если измерять высоту от ее начала, называть ее высотой, а если измерять от ее конца — понижением. Но, крО'Ме того, название «понижение»? употребляется в этом искусстве^ для противоположного высоте под Землей, и потому понижение [в первом смысле] для краткости назы- вают «дополнением высоты».


Математические и астрономические трактат^
138
Если высота (светила], [двигающегося] по суточной параллели, не достигла своего предела, то у нее остается некая [добавочная] величи- на, по достижении которой прекращается сокращение тени. Это про- исходит на середине дуги дня светила, когда оно окажется на одной дуге с полюсом и зенитом, [т. е. на меридиане]. Поэтому самая КФрот- кая из теней дня называется полуденной тенью. Ее азимут —в направ- лении линии меридиана., ограниченной точками севера и юга. Линия равноденствия, ограниченная [точками] востока и запада, пересекает ее под прямым углом!.. Таким образом, получаются две линии — спе- реди назад и справа налево, если сравнивать с животным. Но такие [определения] — не обязательные, и не порицается отождествление востока с правой стороной неба!!, как это делал Аристотель, в то вре- мя как другие народы называют юг на своих языках правым, а про- С60 тивополоЖНое ему., т. е. север, [левым]. Получается, чТо высокое II и низкое [ограничены] серединой диаметра, проходящего через зенит и надир!2٠ Полуденная тень .[падает] по линии [север — юг], а тень, па- дающая на равноденственную линию, идет по кругу, [падая] справа и слева, впереди и сзади [нее]. Азимуты между этими двумя направ- лениями отмеряются от них. Между [направлениями] направо и впе- ред—квадрант круга горизонта. Если светило удалено от одной из этих двух линий, измеряется величина его отхода от одной из них, и она называется азимутальным расстоянием или, короче, просто азиму- том. Он определяется по соотношению к одной из этих линий: иногда по соотношению с линиеи равноденствия, иногда — с полуденной ли- нией.
Азимут тени всегда противоположен азимуту светила, поэтому их величины всегда совпадают, а стороны линии, от которой они измеря- ются,— различны, как различны и их сторо-ны относительно второй линии.
Что касается линии равноденствия, то она названа так потому, что тень гномона совпадает с ней на восходе [или заходе] Солнца, [когда оно находится] в одной из двух точек пересечения [горизонта этой линией], при которых ночь и день равны. Некоторые называют ее линией экватора [буквально — «равенства>>]!2 в силу равенства дня и ночи, обусловливающего равноденствие. Однако линия экватора у людей этого искусства — название пересечения сферической поверх- ности Земли плоскостью небесного экватора, а это линия, на которой нет [географической] широты. Поэтому применение этого названия в первом случае нежелательно, дабы не получилась из-за совпадения названий путаница с тем, что они означают. Эту [линию равноден- ствия] называют также линией восхода и захода, так как она конча- ется [на горизонте] в «сердцевинах» [восходов и заходов, T. е. н их рав- ноденственных тоЧках] и лежит посередине между [частными] видами ر каждой из этих категории.
Полуденную линию называют иногда линией завал, [т. е. перехода через высшую точку], так как от нее Солнце склоняется [к закату] с С61 меридиана. II в книгах древних ученых она называется как линия полдня. Завал — это выражение шариата, так как в его [момент, т. е. в момент полудня], полуденная мО'Литва разрешается, а до него ни в один из моментов времени не разрешается. Это — время пребывания Солнца на меридиане. Однако в истинные моменты [времени] хотя и возможно бытие [чего-то], полнота совершения действия не причастна к их сущности и Связана со временем, а не с ними, [т. е. с моментами]. Поэтому время [границы] запрета молитвы —это время, когда Солнце кажется остановившимся. Отсюда гО'Ворят «Солнце постится», как го.


13٥
Обособление речи о проблемах теней
ворят «ветер постится», когда он затихает, или «лошадь постится», когда она воздерживается от пищи.
Сказал поэт:
Оно [Солнце] прошло немного, затем 'Снова вернулась,
[ПроСеивая] крОшево тени сквозь (ветяие решета** [ветвей].
Сказал Зу-р-Румма:
Солнце — растерянное.чВертится вокруг себя в небе.
И сказал он:
На голове [вершине?] ее Солнце, надолго остановившееся.
Среди людей есть такие, кто добавляет к этим [представлениям о кульминирующем Солнце], ЧТО' оно тогда вертится вокруг себя, как нечТо, чему невозможно двигаться вперед, и оно заворачивает. По- скольку же оно не возвращается назад, из этого заворачивания полу- чается оборот [вокруг себя].
Если [момент прохождения Солнцем ме.ридиана] определять, от- правляясь от высоты Солнца или величины тени, погрешность ؟ремен- нОго [значения] будет приемлемой, так как разность высот Солнца, как и теней, в это время, меньше по восприятию, чем градусы. Но если [определять его], отправляясь от азимута тени, и при этом будут инс- трУменты велики, погрешность упомянутого временного [значения] II буАет еще меньше, поСкольку, хОтя разность азимутов тогда также ма- CS2 ла, она лучше видна, чем разность высот.
Тень [при кульминирующем Солнце] называют также полуденной тенью (зилл). Как мы уже говорили, арабы называют тени от восхода Солнца и до. его захода зилл. кроме того, это название [в более узком значении] употребляется для дополуденных [теней]؛ послеполуденные же ؛тени] называются файподобно тому, как дополуденная часть дня называется утром, а послеполуденная — вечером, причина такого, употребления названий заключается в том, что фай’\ъ связано ؛со зна- чениями] склонения и возвращения. Что касается склонения, то тени склоняются со сторО'Ны восхода к стороне захода [Солнца], а что каса- ется возвращения, то они возвращаются к своим первоначальным ве- личинам.
Тень (зилл) — общее название для всего, что закрыто от света, будь то [свет] Солнца, Луны или огня. Однако для тени от [света] Луны есть специальное название — самар, а для других [источников света] — фахтХб; говорят, что это — цвет горлицы, о названии самар говорят, что это смуглый цвет, и еще, что [тень от света Луны] так названа потому, что мальчики квартала рассказывают друг другу сказки*? ночью при этой [тени].
Я не слышал об употреблении названия фай’ для этой [тени от света Луны], о названии же фахт говорят, что оно употребляется [в основном значении] для начала ночи, а в условном — для ее кО'Нца. Некоторые спорят относительно [значения] фахт и считают, что это — свет Луны, а некоторые распространяют его и на тень Луны, и на ее свет.
ЧТО' касается ниспосланного откровения, [т. е. Корана], то оно не дает перевеса ни одной из сторон, .[спорящих] об употреблении [наз- ваний] теней. Сказал всевышний Аллах: «и разве они не видели то, что создал Аллах из разных вещей, тень (зилл) у них склоняется на- право и налево, поклоняясь Аллаху, а сами они смиренны?»18 [И еще:] «Аллаху поклоняются те, кто на небесах и на земле, вольно и неволь- но, и тени (зилл) их утром и по вечерам»19٠


Математические и астрономические трактаты
140
Сопоставление ؛значения названий теней] показывает, что полуден- СбЗ ная тень не должна называться |ا фай,), пОскольку она — [посредине] между увеличением и уменьшением и не возвращается с одной сторО'- ны [от полуденной линии] на другую. Однако [иногда это случается] из-за путаницы в понимании названий [тени].
Что касается [коранического] поклонения теней, то поклонение, в сущности,— опускание головы и склонение [тела], поэтому склоненная пальма2. образно описывается как поклоняющаяся. II 5 Эта [приведенная цитата из Корана] означает указание [Аллаха на его могущество], так же, как и слова Его, Всевышнего: «Нет ниче- го, чтобы не прославляло Его хвалой»21. прославление ПО' существу — [признание] высшего Его совершенства и его усердия22, обусловленного божественной целью сохранить все сущее в предназначенном ему по- рядке. Если же имеет место что-нибудь иное, выходящее за пределы сего [порядка], то это —указание Его на сменяющие друг друга изме- нения [отдельных сущностей] в этом [порядке] и находящихся в след- ственной зависимости его форм, хотя [в целом] он закреплен, предписан и исполняем, и тот, кто будет руководствоваться Его указаниями в этом, станет прославляющим |[Ег^, как и все [на свете], хотя не Его забота ставить кого-нибудь перед [необходимостью сего].
Или взять, например, слова Его, Всевышнего: «трава (наджм)
и деревья поклоняются [Ему]»2з. Здесь подразумевается что и то, и другое имеют поклоняющуюся тень. Поклонение может быть из-за ничтожности и обремененности нуждами [молящего], ибо всякое соз- дание нуждается в устройстве [его дел] и продолжении существования, g II Но говорят также, что под поклонением '[травы и деревьев] разуме- ется их воздержание от [дальнейшего] роста сверх величины, соответ- ствующей сохранению их естества, а это близко к тому, что мы уже упомянули.
Относительно слова наджм говорят, что это здесь — [не трава], а звезды. Это допустимо. Вывод о том, что [здесь имеются в виду] звезды, можно сделать непосредственно благодаря их движению؛ что касается растений, то только при посредстве [каких-нибудь, атрибутов].
Нет ничего более обязательного для вщцей, чем их тени, независи- МО от того, отмечает ли Солнце их границы или не отмечает их. Тень гномона простирается по Земле как распростертый, поклоняющийся, опустивший голову на землю, пачкающий пылью, лицо. Переход тени с одной стороны на другую, перемещение ее с места на место и изме- нение одной ее величины на другую объясняют причину этого:—это движение Солнца от восхода к заходу؛ оно самое главное и ясное сви- детельство [о существовании] перводвигателя того, что движется.
Тень, будучи самой близкой к человеку,— самая крайняя ступень свидетельстКа [покорности Аллаха в Коране]. [Образ этого] — ее пок- лонение [Ему] независимо от того, видит и понимает ли ЭТО' должн-ым образом ее хозяин, положительно воспринимая это, или же не понима-. ет и настроен против этого, а также независимо от того, руководству- ется ли ЭТИМ свидетельством [помимо его] кто-нибудь другой, или не руководствуется даже он сам. Разум обязывает хозяина тени руковод- ствоваться ее указаниями, когда она передвигается, не отделяясь от него и не покидая его, в то время как сам он неподвижен. Множество же изменений [в очертании тени] отражает изменения его самого, [т. е. его позы, изменения положения и т. п.].
[Человек по своему развитию] — впереди птицы, называемой «иг- рающая со своей тенью»24, которая, будучи занята своей тенью, не Нуждается ни в чем другом. Он не такой [глупый и осторожный], как


141
Обособление речи о проблемах теней
самец страуса, который пугается собственной тени, и он сознает, что не может удержать свою тень от поклонения, [т. е. от падения на зем- лю] и от перемещения справа налево. II
Всевышний Аллах специально упомянул [в Коране] раннее утро ' и вечер, поскольку именно в эти времена тень имеет наибольшую про- тяженность. при этом Он связал образное представление, что тень в эти два времени поклоняется, с необходимостью прямого [перпендику- лярного] положения предмета, отбрасывающего тень. Дело в том, что тогда возможно для тени и сокращение ее размера вместо увеличения, если изменится положение того, что отбрасывает тень, и будет вместо перпендикулярного наклонным.
Как сказал Абу-Л-Фарадж ибн Хинду25٠ [указывая на связь форм тени и того, что ее отбрасывает]:
У нас царь, у которого нет никакого орудия власти За исключением того, ЧТО' он надевает корону в день мира.
Он был поставлен дабы исправить народ, а сам он —порочен.
Как может быть тень прямой, если ствол, [отбрасывающий ее],—
кривой?
Подобные образные сопоставления использованы в словах Ибн Савабы2б, который сказал, когда его спросили о Са‘иде27: «Тень .его
везирства не превосходит его личности>>28, и в словах Абу-Л-Фатха ал- Бусти29:
Ты — дур.Н'0-го происхождения, ибо, как гласит распространенная пословица:
«Если ,нож —кривой, то будут кривыми и ножны».
Движение [тени] в эти два времени — наиболее явные, а оно здесь необходимо, поскольку с его помощью доказывается передвижение причины [тени, т. е. Солнца], и побуждаются [умы] к наблюдению и ис- следованию большой неравномерности движения тени при равномер- ности движения Солнца.
Тень в эти два времени действительно [как бы] распростерта, вы- тянувши голову: поэтому и обладатель ее также [представляется] ра- бом, не владеющим своей головой.
Одно из установлений христиан — [молиться] лицом к востоку.
В Евангелие [говорится], что Мария Магдалина пошла утром к моги- ле Христа и увидела на дороге тень, которая, оказалась впереди ее. Она обернулась, и вдруг — это Христос. По этому рассказу тень его поклонилась. II Хотел бы я знать, кому эта тень по-клонилась, и как она 8 ушла от него, когда он такой могущественный, и как она поклонилась кому-то другому, свидетельствуя этим, что обладатель тени имеет над собой господина, к тому же, если Мария, обернувшись, увидела хрис- та [в лицо], то он, [судя по направлению тени в утреннее время], был [при своем явлении] обращен лицом к западу, к которому христиане согласно их вере и в противоречие этому становятся [при молитве] спиной.
Эти два времени, т. е. восход и заход [Солнца] — лучшие из вре- мен для определения, его движения, когда оно восходит и заходит, ме- няя на вид, [т. е. не в действительности, а для наблюдателя], свою фор- му. На это, подразумевая два эти [времени], указал АвраамЗ., мИр над ؛ни^! Как передают со слов Абу-д-ДардыЗ!, к 'Нему восходит рече- ние: «Если вы хотите, я готов поклясться, что самые любимые рабы божьи--те, которые наблюдают Солнце, Луну, звезды и тени ради упоминания бога». Здесь имелись в виду [тени] фай/). [Наблюдение же светил и теней, согласно данному речению,— благочестиво], благодаря


Математические и астрономические трактаты,
!42
размышлению о сотворении небес и Земли, которое полезно для ут- верждения единобожия и во времена молитв.
Что касается [восходящего к последователям сподвижников Му- хаммада] изречения32: «Султан — тень Аллаха в его земле», то смысл его относится к тому, кто является наставником, а не господствует с помощью силы. И как может это относиться к последнему, если гово- рится '[в другом таком же изречении]: «Не следует повиноваться тому, кто сотворен в ослушание Творца». Смысл [первого] изречения рас- пространяется только на тех, чьи деяния по содержанию мира в спра- ведливом порядке угодны Всевышнему, и кого Он направил на стезю соблюдения общего блага. Потому тень гномона подобна деяниям [та- кого правителя], если только он не делает упущений в силу своей на- туры: она движется, если, [как Солнце], движется он, и она останавли- вается, если останавливается 'ОН. Как сказал Абу Бакр ас-Сиддик33: «У меня— шайтан, который овладевает мною. Если он меня согнет, выпрямите меня!». Что же касается того, кто намеренно сеет ЗЛО34 на зе^'1ле, умышленно разрушает города и противится деяниям Аллаха, причиняя зло, то Аллах не допустит, чтобы подобный человек был его тенью [на земле] или наставником от него над тварью Его.


ا| Глава четвертая 9
О ТОМ, что ОПИСЫВАЮТ концы ТЕНИ [ГНОМОНА]
НА ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ [ПЛОСКОСТЯХ]
Начальный принцип астрономии основан на кажущемся ничто- жестве размера Земли по сравнению с эклиптикой и на том, что плос- кость, проходящая через выпуклую поверхность Земли и касающаяся ее в пункте нахождения [наблюдателя], занимает положение плоское- ти горизонта, делящей сферу [Земли] пополам. Поэтому конец гномона воспринимается как центр Вселенной. Солнце описывает в течение суток своим полным движением кажущийся круг, если не исследовать [это глубже]. В действительности же его дви- жение [происходит], по винтовой непрерывной линии!. Лучи, выходящие из ؛[точек] этого круга к вершине гномона, стоящего в месте центра Вселенной, образуют К'Онус лучей, вершина ко- торого — конец гномона, а основание — суточ- ная параллель Солнца.
Эти лучи, ,[если их продолжить] по прямой линии [через центр Вселенной]., упадут на не- бесной сфере на малый круг, равный суточной параллели Солнца, совпадающей с ним по ве- личине склонения и противоположный по сто- роне. Они образуют другой конус, подобный первому, называемый конусом тени, ибо лучи, пройдя через вершину гномона, охватят тенью от него [часть небес.ной сферы].
Плоскость горизонта необходимо пересекает конус тени. На линии земного экватора [горизонт] параллелен оси этих двух конусов и поэ- тому концы теней описывают на ней прямые линии. Если [местность] — не на земном экваторе, плоскость горизонта перестает быть параллель- ной оси конуса тени и встречает эту ось вне конуса лучей. Поэтому' концы теней описывают в этих местах кривые линии, называемые ги- перболами٩ до [достаточного] увеличения широтьг [места], когда они превращаются в II параболуЗ. Это происходит в том случае, когда плос- 10 кость горизонта становится параллельной ребру конуса тени, причем ребру, которое находится под горизонтом, а не над ним. Здесь пара- бола получается потому, что плосКость видимого горизонта не является на самом деле плоскостью большого круга. Далее, при переходе к та- кой местности, широта которой превосходит дополнение наибольшего склонения, становятся полностью видимыми некоторые суточньге па- раллели, находящиеся над горизонтом. Если Солнце врагцается по ним, пересечение плоскости горизонта с осью конуса будет внутри ко- нуса между одним его ребром* и ребром, противоположным ему. По- лучаюгцееся сечение называется эллипсомЗ. в силу его замкнутости


Математические и астроиомические трактата
144
конец тени вращается вокруг гномона во всех направлениях и описы- вает округлый вытянутый эллипс, пока Солнце находится на этой су- точной параллели. Абу-Л-Хасану Сабиту ибн Курре принадлежит хо- рошая книга «Об определении линий, которые вычерчивают концы теней на плоскости земного горизонта»?. Подробно упоминает об этом также Пбрахим ибн СинанЗ в «Книге о тенях»9٠ в конце же [градусов] четЕерти круга, ؛т. е. на девяностых градусах широты], когда горизонт находится под полюсом, конец тени описывает круги, которые в дейст- вительности составляют спиральную линию в силу непрерывного сое- динения суточных кругов, описываемых Солнцем.
У Абу-Л-Хасана Сабита ибн Курры в его «Занимательных вопро- сах»1٥ имеется ошибка. Это — его речь о том, что свет, входящий че- ا рез отверстие в дом,— цилиндрический II и поэтому пересекает стены по эллипсам: эти сечения свойственны как цилиндру, так и конусу. На самом деле упомянутый луч, [т. е. сноп лучей], имеет не цилиндриче- скую, а коническую форму. Пусть Солнце —AS стена —MX, а отвер- стие—С. (рис. 98). Тогда свет, входящий внутрь дома, не будет ци- линдрическим, так как отверстие меньше Солнца. Допустим, что оно равно ему, [даже в этом случае] входящие лучи не будут иметь форму цилиндра ACKLDBi но от ج к с пойдет луч всм, а от А к . — луч ADX) и конус FMX пересечет стену MX по эллипсу؛ и чем дальше от- верстие от стены, тем эллипс будет больше, так как середина конуса F — со стороны Солнца, и так будет всегда, ибо если отверстие мень- ше Солнца, луч — всегда конический и не может быть иным!!.


12
Глава пятая, \\
ОБ ИЗМЕНЕНИЯХ ТЕНИ, ПРОИСХОДЯЩИХ от ИЗМЕНЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ ИСТОЧНИКА СВЕТА по ВЫСОТЕ
Ограниченное в размерах тело, не обладающее прозрачностью, отбрасывает тень на другое такое же тело, если источник света выше их обоих. Если другое [тел0ا] близко к первому, тень будет резкой, так как мало лучей, отраженных от пылинок, достигнет его, или они будут слабы, или будут вовсе отсутствовать благодаря закрытию путей их распространения, края тени четче по форме, когда свет меньше -сме- шивается, и контактность [света и тени) — более явная. Если же рас- стояние предмета, отбрасывающего тень, от самой тени значительно, получается сплошная тень^ лучи перемешиваются и граница между [светом и тенью) становится нечеткой. Это походит на одну СПЛОШ'НУЮ [слабую] тень или на один СПЛ01ИН0Й [слабый] свет.
На это указывал ал-Кинди! в своем рассуждении о том, что чем ближе к земле будет какая-нибудь пластина с отверстием, тем резче будет тень от нее и ярче свет, проходящий через отверстие. Если же поднимать преграду света выше, тень будет становиться размытой и смешиваться, как мы говорили, [со светом], пока совсем не исчезнет.
Если затеняющий занавес сделан из старого тростника, его при- крытие [от Солнца] будет нехорошим из-за мнО'Жества просветов в нем, и тень от него будет смешанной [со светом], как дым. Напротив, тень от. горы —густая: с ней сравнивают черноту овец и говорят, что «они черные, как тень от скалы».
Поскольку Солнце больше Земли и всего остального, имеющего тени, из известного нам, тень Земли по мере уда.ления ее от Солнца становится все более рассеянной и слабой, и таково же положение всех предметов, отбрасывающих тень на Земле. Если бы встретились каж- дые два луча из лучей, окружающих два противолежащих места на Земле, тени не было бы вовсе, или она исчезла бы еще до того, как [противоидущие лучи] достигнут места встречи плоскости горизонта !1 с лучами Солнца, падающими на вершину Гномона. 13
По этой причине, '[т. е. из-за б'ольшой удаленности тела, бросаю- щего тень, от тела, на которое она падает], исчезают зубчатые высту- пы на тени Земли, называемой «сферой лунных узлов»2, хотя [на са- мом деле] граница между освещенной и затененной частью лика Земли имеет зубчатые выступы из-за впадин и возвышений, и по той же при- чине покрывающая [Луну] тень Земли при прохождении ее мимо Луны смешивается [со светом], и цвета затмения изменяются в соответствии с различием тьмы по ее силе и слабости, причем наибольшая чернота выявляется на. оси конуса тени.
Эта же самая причина обусловливает округлость [«зайчика»] све- та, проходящего через отверстие, обладающее углами, когда он пада- 10.11


Математические и астрономические трактата.
146
на стену, находящуюся вдали от отверстия. Это происходит из-за لج месту, где ر H؟؛раней этого 0TBepc؛ Hbix؟сти каждой из двух CMe؟лиз؛ 3-за такой конфигурации, при кото-؟ [тень] смешивается со светом, и этих граней] на большее расстояние؛ рой стык граней удален от угла середины грани Поэтому ;٥ ٠لت: и لأائ я؟::гГ يش٢ образуется уется многоугольник, число углов которого вдвое больше, чем؟ق؟؟؟ число углов в отверстии, и этот многоугольник находится в зависимое-
ти от отверстия.
Таким путем количество углов непрерывно увеличивается, удваи- ваясь, как при удвоении в !нахматах по правилу четно-четногоЗ. и ес- !!.количество досягнет предела увеличения, [«зайчик»] станет по -восприятию круглым. Поэтому окружность круга, по мненИю некото
р А
рых физиков, вся угловата*, и имеет место пропорциональность дуг и углов.
Тот, кто хочет найти закономерности в соответствиях и оставить в стороне [бесполезные] противоречия, пусть встанет на место, часть которого ,[покрывает] тень, а на часть его [падает] свет. Пусть соприка- саниС [затенеНной части] ABCD (рис. Ээ) и [освещенной] лучами
14 BEGC ا| происходит по '[линии] ВС. Затем пусть над Землей будет поднят гномон в воздух, и он поднимется далеко от нее, так что тень его будет HFKM. Если все ЭТО' место станет освещенным, то тень его покроет освещенный участок LOS и займет его так, что [линия] LX станет большей, ко освещенная часть [участка] ужмет тень, из^за чего ширина ее станет меньшей и [точка] о не достигнет [линии] FK, кото- рая ([первоначально] была ее местом.
Иногда два [снопа] лучей накладываются [друг на друга], из-за чего происходит явление, которому удивляются те, кто не руковод- ствуется причинами явлений. Пусть луч Солнца входит в дом [сверху] через два близких отверстия в циновке или в чем-нибудь другом. Два круга [света от них] пересекаются на полу, как два круга АВС и ADC (рис. 100), пересекающихся в точках А и с. Если предмет, отбрасы- вающий тень, окажется между этими кругами и Солнцем, [т. е. между полом и потолком с отверстиями], его тень образует [фигуру] HFKM,
15 которая разделится [следУющим образом]: [части] Il GKFO и HESM
по краям ее будут полностью покрыты тенью, а [часть] EGOS будет свободна от тени. Свет от лучей, [как говорилось],— в форме двух кругов. Поскольку каждый из них падал на тень [от крыши на полу] за исключением общей части этих двух кругов [EGOS], то из-за раз- личного положения двух источников света у предмета, [помещенного между крышей и потолком], образовалось две тени. Они могут нало- житься друг на друга, и тогда [тень] там будет очень темной, а там,
. где не наложилась,— светлее: но они могут и быть отдельными^
Абу-Л-Аббас ал-Ираншахриб в «Вопросах природы»? рассказывал, что он был на берегу [реки] и смотрел в сторону горы, находящейся в то время напротив Солнца, с береГа подошел человек, и на [склоне]


147
- речи о проблемах тепей
16
горы появились две его тени, одна над другой. Затем он подробно
С٠Л!-Х,С٥-٥،،Д.з،1Я-ВС,р-٠Тр٠٥г٠;У؛،”Рб”уЧД”،؛٠٥ЪЯПуИс
؟и стоящий человек - (рис. 101). II ^ерез ег <؛; ал-Ираншахри голову проходят лучи fno линии] XFG, потому его тень [BD падает] на го^у AB. Пусть лучи, отраженные от поверхности воды под равны- ми углами, проходят через голову стояще;. линии] XEFK^ тогда видами] лучей, a KG —؛ нИх : GB — затеНена обоими ؛0 его тень ей] — это тень, а от؟смешанная ,[тень], поскольку от одного [вида лу ٠لئللملا٠لآпо ء наблюдать ؟другого — свет. Подобное постоянно можн сНСтильника с двумя фитилями или двух близко расположенных све-
тильников.
Пусть размышляющий не полагает, что образование упомянутых многогранников [при п;е;с^1ЛИИ световых лучей] протекает во вре; -один раз с появлением [Солнца]. Однако объ ة мени. Оно происХо^ит
Рис. 101. Рис. 102.
яснение причин этого обусловливает представление [данного явления] как последовательно образующегося во времени. Это — только для [облегчения] понимания.
Что касается того, что мы говорили о соединении мест, в которых темнота смешивается со светом, то в этом можно убедиться воочию, если стоящий [человек] стоит т٩к, ч;о Солнце находится справа или слева от него, а высота Солнца II — около воСьмой части окружности, 17 [т. е. около 45٠]. Если он протянет руку, чтобы дотронуться до какого.- нибудь органа на лице, он увидит [на земле], что тень от пальца и тень от этого органа, '[выступающего на лице],, встретятся и соединятся раньше, чем палец и этот орган, я наблюдал это лично при подобных условиях, но мне не удалось это проверить при других положениях высоты ,[Со'Лнца].
Говорят, что Платон не считал причиной сего то, что мы объяс- няем как движение одной тени [навстречу] другой, в книг.е «Тимей», упоминая материю и считая ее одной из теней, он сказал, что тени, всегда истекают из тел, застывают благо-даря высшему духовному ухищрению и сгущаются; таким образом получается теньЗ. 'Если спро-' сят: Платон утверждал, что это истечение происходит во все стороны, так почему же тени нет там, где имеется свет?— Мы ответим: [Пла- ТОН, видимо, считал], что теплота, [дескать], удерживает истекающую [тень] от сгущения^, тогда как холод в противоположной от света сто- роне концентрирует ее10. Для таких людей могущество тени вне сом- нений. Они утверждают, что если гиена наступит на тень .собаки, бро-. дящей по крышам, последняя свалится оттуда. Или если женщина в период менструаций увидит свое лицо в зеркале или коснется его [изображения], зеркало покроется ржавчиной.


Математические и астроиомические трактаты
148
Насколько подобные люди преувеличивают действие тени, настоль- ко ‘Абдаллах ибн Мухаммад ан-Наши11 преуменьшает его. Он заЪу- тался так, что сам не понимает, что говорит, войдя в негодование. Он заявляет, что обладающие истиной отрицают то, что, по мнению аст- рономов, является причиной лунных затмений, и считают неверным [утверждения), что тень [Земли от света] Солнца покрывает Луну, ибо эта тень бестелесна и не может действовать, и что если свет освеща-
18 ет12 темноту, она не может рассеивать |ا свет. Правильно гО'ВОрится, что гнев и торопливость — от шайтана.
Если же следовать положениям, возводимым к Платону, то тогда тень будет подлинной, только если она постоянно держится, и зимой она должна быть гуще, а летом — разреженней. Нелепость сего оче- видна, ибо этого нет на самом деле.
Высказывания этого человека, [т. е. Платона], допускают разные толкования, так как он пользовался символами, в частности, покой у него — это не понятие, противоположное движению, а [понимается] лишь в плане его наличия и о'гсутствия. Также и тень и свет у него — в подобной же категории противопоставления.
Далее скажу: коль скоро стало ясным то, что мы говорили о сме- шеиии света и тени, станут ясными случающиеся расхождения в [рас- четной и реальной) величинах тени и недостатки их величины [по срав- ؛нению с расчетами]. Если гномон имеет форму конуса, как это требу- ется в часовых инструментах, лучи, проходящие через его утонченный конец, обойдут вокруг него с трех сторон, при сближении [лучей] с высшей точкой [утончающегося] вертикально стоящего гномона [про- исходит частичное смешение света и тени], и поэтому реальная тень гномона будет меньше тени, определяемой расчетами.
То, что мы сказали, будет наглядно видно, если на вершину гно- мона поместить предмет, обладающий такой величиной, чтобы на зем- ле у него появилась тень. Тень от него будет малой [относительно рас- считанной] и отделенной от тени [утонченного конца] гномона.
Для большей надежности [этого опыта] следует изготовить для вершины конусообразного гномона шар ,[такой величины], что если поместить его на эту [вершину], он отбросит тень на землю величиною с горошину. Затем надо просверлить [в этом шаре] такое конусное от- верстие, чтобы конец гномона, войдя в него, достиг его центра. Тень
19 этого шара на земле будет явно отделенной от тени гномона, II. а ис- тинная!з протяженность тени гномона — О'Т его основания до середины тени, подобной горошине. Чем высота Солнца будет меньше, тем раз- деленность [этих двух теней] будет больше и погрешность при работе с таким [ГНОМОНО'М] — значительней. Особенно это вредит при лунной тени, если виды работ не допускают приближений. Если же прибли- женность при них допустима, то допустима и эта погрешность.
Пусть А5С —квадрант круга высоты с центром Е, являющимся центром вселенной, АЕН — на истинном горизонте, Е — вершина гно- мона, У — его основание на местности на поверхности Земли, a NU — кажущийся горизонт (рис. 102). Пусть Солнце —в точке в, его вы- численная высота —АД а его расстояние от зенита — 5С. проведем BFN. Тогда UN — тень гномона FU при этой высоте, я имею в виду действительную прямую [тень]. [Проведем] EG, равную FU, и продол- жим GK пар'аллельно. горизонту؛ она встретит диаметр BE в I. Тогда .ره —тень гномона, вершина которого —в центре Земли. Угол UFN, внешний угол треугольника EFB, еольше угла FEB, вертикального по отношению к углу GEI. Поэтому угол GEI меньше угла UFN. По- строим угол GEK, равный углу UFN. Тогда треугольник GEK равен


149
Обособление речи о проблемах теней
треугольнику UFN и ورى тень в центре меныне тени G[K] на местное- ти. Поэтому отношение гномона к его тени II на местнО'Сти меньше его 20 отношения к ней в центре на [отношение] величины EF, расстояния между цент-ром и местностью, к ЕС) расстоянию Солнца от центра Земли, [т. е. меньше] приблизительно на ПО'ЛОВИНУ одной десятой од- ной шестой одной десятой единицы, т. е. на три минуты полного сину- са, если он [содержит] шестьдесят частей, [т. е. единиц]1*. Это — недос- таток вх, синуса высоты X, до BD, ее вычисленного16 синуса. [В силу его, малости,] при производстве работ или их проверке у него нет ощу- ТИМОЙ величины, особенно при высотах, превосходящих одну восьмую окружности. Если же находят ее ошутимой, то находят также ощути- мую разность между тенями двух различных гномонов одной высоты [Солнца]. Пусть больший из них — FG, а меньший —£وى тень боль- шего — GP) тень меньшего—رى. Отношение FG к GP — то же, что отношение EG к ЕК. [По вычислению] оно меньше отношения EG к ورى а по данным наблюдения оно равно ему. Расхождение, образуемое величиной EF, если наблюдение связано с Солнцем или с тем, что над ним, не ощущается с помощью инструментов, а может быть обнаруже- но лишь вычислением.
Единственными небесными телами, лучи которых отбрасывают те- ни от гномона, являются Солнце и Луна. Если что-нибудь по-добное может быть найдено для Венеры, это не будет полноценным, так как тень гномона от нее не может быть зафиксирована. Однако ее свет, если он пройдет чере.3 отверстие в темном помещении, даст 'нечто по- добное тени, почти не ощущаемое. Юпитер в этом отношении еще на- много II слабее.
Отложим ЕМ) равную одному из расстояний Луны от центра [Земли], пусть это будет самое близкое из них. Пусть Луна — в точке 21 м в той части [эклиптики], в которой Солнце согласно вычислению имеет то же направление, а это основано н؛а углах при центре вселен- ной. Тень от нее— ٧[Ц) а отношение гномона FU к этой тени меньше его отношения к UN, тени от Солнца, когда оно в этом положении؛— я имею в виду, что расстояния 0'боих [светил] от зенита — одна вели- чина. Опишем около центра Е, на расстоянии ЕМ, величины [расстоя- ния] Луны в ее сфере, дугу MZ. Если Луна — в точке Z) тень от нее на местности — UN, а при центре ؛[Земли] — G[P]. Отношение гномона к тени от Солнца при центре меньше его отношения к тени О'Т Луны при нем же, а отношение гномона к тени от Луны на местности мень- ше его отношения к тени от нее при центре, и различие здесь больше, чем различие для тени от Солнца в таких же двух случаях. Но вели- чина EF по отношению к ЕМ близка к трети одной десятой, т. е. к двум целым частям полного синуса. Это, несомненно, обусловливает то, что недостаток ZO до ZX воспринимается ощущением, и вычислен- ный угол дополнения высоты при центре, т. е. СЕВ, ощутимо отлича- ется от наблюдаемого [угла] CFB. Если Луна в Z, ее расстояние от зенита по наблюдению таково же, как расстояние Солнца, когда оно — в точке В. Тени их обоих в это время имеют величину UN. Величина, на которую изменяется параллакс Луны на ее орбите16,— MX. Нет ни одной планеты, II которая не имела бы какого-нибудь параллакса, но 22 он отличается в соответствии с ее расстоянием от Земли.
Так как определить параллакс Солнца с помощью инструментов трудно, и его влияние при [наблюдении] теней и высот незначительное, различие его величин в апогее орбиты Солнца и в ее перигее незамет- но. В противном случае отношение тени гномона в апогее было бы


Математические и астрономические трактата
ISO
меньше этого отношения в перигее, в этом состоит воображаемая, а не действительная причина того, что, по словам ал-Кинди, тень в начале Овна короче тени в начале Весов. Но ОН'должен был обусловить это кО'Нкретным временем по причине движения апогея.
Что касается Луны, то вследствие ее близости к Земле макси- мальная величина ее параллакса превосходит одну часть [т. е. градус], поэтому его влияние очевидно, ощутимо с помощью инструментов и наблюдается при затмениях, так что между невидимыми соединения- ми, когда Солнце и Луна — в в и Mj и между видимыми соединения- ми, когда они в в и X, проходит ощутимое количество времени. Самое далекое расстояние Луны от Земли приблизительно вдвое больше са- мого близкого., и тень от Луны на протяжении этих двух расстояний обретает иные различия. Эта и подобные ей причины отстраняют ЛЮ- дей данного искусства от использования теней от Луны в необходимых работах, так что они совсем отказываются от них за исключением крайних случаев. Использование их приводит к тому, что не должно быть, и ведет на путь догадок и предположений*?.
Ал-Кинди сказал: если мы установим гномон, то найдем, что его 23 полуденная тень II от Солнца бУдет короче, чем тень от звезд, вслед- ствие ширины тела Солнца؛ если бы звезды были широкими, тень от них была бы короче. Для объяснения того, что он сказал, пусть полу- диаметр Солнца — BR. проведем RF{W]. Тогда край его тела R [име- ет] свет, [как и] ß. Конец тени [от R] будет W) в то время как конец тени от его центра [В] должен быть в ЛИ8.
В упоминании ал-Кинди звезд нет никакой ПО'ЛЬЗЫ, так как тень от них отсутствует. Ему надо было сказать, что найденная тень коро- че той, что должна быть по вычислению. Упоминание полудня тоже лишнее, поскольку [рассмотренное] положение является общим для те- ней в любое время.


Глава шестая
О МЕТОДЕ,
С ПОМОЩЬЮ КОТОРОГО ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ТЕНЬ И гномон
Непрозрачные части Земли, возвышающиеся над плоскостями, па- раллельными к горизонту, при восходе Солнца отбрасывают тени, как и сама Земля, II в направлении, противоположном направлению вое- 24 хода.
Абу Зайд ал-БалхИ, говоря о видах пользы гор, указал, как я. пе- редам дословно, что один из видов пользы гор состоит в том, что они отбрасывают тени и обеспечивают прикрытие. Ведь если бы Земля была открытой и не имела бы завесы от Солнца в течение всего дня, на ней не могла бы существовать жизнь, и не было бы условий для ее зарождения и воспроизведения. Тень необходима для защиты всего от сжигания Солнца, хотя всему нужно греться некоторое время, так что нельзя обойтись без солнечного света. Теней, падающих на живот- ных и растения,—два рода: тени от деревьев и стен ЖИЛИ1Ц и тени от гор. Известно•, что тени первого рода менее полезны, чем вторые, по двум причинам. Одна из них — то, что они акцидентны, тогда как тени гор — постоянные, не исчезающие навсегда. Вторая — то, что сила тени каждого предмета, предохраняющая от жары и холода, зависит от ПЛО'ТНОСТИ структуры этого предмета, порождающего тень, и его ши- рины. Поэтому благотворны для животных и растений тени очень вы- соких гор, а не искусственные тени, и долины и впадины являются убежищами для тех, кто селится в них, от жары и холода. Вот почему всевышний Аллах считал их в числе своих благодеяний и сказал:
«[И Аллах] дал вам из того, что создал, тень»2.
Абу ‘Усман ал-ДжахизЗ сказал: «Тень камня черна», так как чем плотнее II предмет, отбрасывающий тень, тем сильНее чернота тени. 25 Арабы говорят: «Ничто не дает такую те؛нь, как камень, и ничто так не согревает, как дерево, и нет тени более прохладной и темной, чем тень горы, особенно если она широ.кая и высокая». Здесь имеется в виду не [только] плотность [горы], но и удаленность от света, смеши- Бающегося с краями тени. Что касается того, что мы упомянули о свой- ственном дереву согревании, то оно — из-за отсутствия щелей [в дере- ве], как и 'ВО всяком укрытии. Пещера в горе еще действеннее в этом отношении, поскольку в ней нет скважин. Но некоторые полагают, что согревание от дерева происходит во время его сгорания, или считают, что оно —из-за (элемента] огня, находящегося в нем и представляют, что сам огонь постоянно находится в дереве.
Говорят, что те-нь теней — это тень дикого 0реха٩ те،،ъ таГимы٥ и тень камня. Сходство здесь ос.новано на толщине листьев таи'имы, которые, как говорят, похожи на ؛[листья] свеклы, и их [по плот- ности] сравнивают с камнем, и все, чему присуща тень, [образно] со- поставляют с этим деревом или с камнем соответственно их формам.


Математические и астрономические трактаты.
152
Далее скажем, что плоскости, на которые падают тени, МНО'ГОЧИС- ленны. Это — плоскости горизонтов местностей, которые определены, если ты знаешь их широты. Поэтому тени гномонов для [всех] высот [Солнца] на них известны. Имеются два их типа, каждый из которых является родом, содержащим виды. Один из них —тень, которую мы обсуждали до сих пор. Она ограничена самим предметом, отбрасываю-
щим тень, лучами, выходящими из Солнца и проходящими через верши- ну этого предмета, и частью плоско- сти горизонта между ними. Так как свет постигается ؛[чувством] на поверх- ности Земли, место, на KOTOpiOM нет света, называется тенью, предмет, от- брасывающий тень, называется гно- моном, а если им пользуются спе-  циально для вычислений,—Цизмерите-
26 ГНОМОНА ح ПЛОСКАЯ ТЕНЬ ع лем. Эт'ОТ род теней — всегда в Плос-
кости круга высоты, проходящего че- Рис. 103. рез предмет, отбрасывающий тень и
находящийся на пересечении плоско- сти круга высоты с плоскостью горизонта. (['Этот вид тени имеет место], если гномон восставлен перпендикулярно плоскости горизонта. Такая тень называется распростертой, так как она распроСтерта ؛на по- верхности земли, не имеющей выступов и впадин. ПлОскосТь горизонта квыр: длта؛ (Зх
кости за исключением перؤلأي٠ؤ3) ؛ в гномон с пендикулярной к ней.
Пример плоской [или прямой] тени: пусть А -те- ло Солнца, ВС — гномон, стоящий на '[плоскости] ЕС) параллельной плоскости
горизонта, АВЕ — луч Солн- ца, проходящий через вер- шину гномона ВС (рис. 103). Тогда ВСЕ — тень в воздухе. ЕС ؛назы- вается плоской тенью, ее начало — С, а конец Е. [Линия] ЕВ, соединяю- щая концы гномона и тени,— диагональ тени7, ii
27 Второй вид тени — тот, когда гномон [параллелен] горизонталь- ной плоскости. Такой гномон перпендикулярен как к плоскости пер- пендикулярной П.ЛОСКОСТИ горизонта, так и к кругу высоты. Сама тень параллельна оси горизонта и называется обращенной тенью٩ так как ее вершина — под ее основанием. Ее называют также восставленной, так как она восставлена по тому из диаметров [земного] шара, кото- рый проведен в этой местности, как на этом примере (рис. 104).
Речи суфиевЭ почти непонятны для них самих, не говоря о других, особенно высказывания ал-Хусайна ибн Мансура ал-ХалладжаЮ. В «Книге о красной сере))!! он сказал, что тень стоящего [гномона] — восставленная, а остальные тени — низкие и распростертые. Таким образом он называет склоненное прямо' стоящим, а ведь его почитают за ؛[глубокий] смысл его высказываний.
Эти два вида из рода теней определены и установлены [учеными] во всех местностях для высот [Солнца] и их дополнений и сопоставле- ны с их синусами!2.
ОСНОВАНИЕ


IS
Обособление речи ٠ проблемах теней
II Что касается того, что выходит за пределы этих двух видов РИО- 28 MOiHOB, и связано с гномонами, восставленными на [плоскостях] отлич- ных от двух указанных, то они бесчисленны и применяются лишь в не- которых астрономических инструментах؛ в конечном счете они сводят- ся к одному из этих двух видов, отнесенных к одному из горизонтов обитаемой '[четверти 3емли]1з. Мы уже сказали, что это —тени высот на горизонТах, Плоскости КоторЫх совпадают с их плоскостями. Мы нуждаемся в них прежде всего для определения наклона этих плос- костей, а затем для некоторых искусных действий, выполнение кото- рых весьма сложно.
Из того, что предшествовало, вытекает, что видимая высота в сфе- ре Солнца является истинной высотой, так как для этой сферы вели- чина Земли отсутствует. Поэтому, в частности, если тень будет изме- рена для предполагаемого расстояния Солнца от зенита, а затем вы- числена для него, разницы не будет...14.
[Разница эта} будет проявляться [для источников света] ниже Солнца, и наблюдаемые и истинные высоты [этих источников] будут различаться. Если бы было можно проверить это на примере источни- ков света и огней ниже Луны, то величина этих различий была бы весьма значительной.
Этим объясняется такая практика работы с тенями, образованны- ми лучами Солнца, когда вершины гномонов принимаются за центр Земли, также как при работе с кольцами [армиллярной сферы]15; их центры тоже принимаются за центр Земли, хотя это и является неболь- шой погрешностью для истинного творца теней, коим является Солнце.


II Глава седьмая
29
О ВИДАХ ДЕЛЕНИЙ,
НА КОТОРЫЕ ПОДРАЗДЕЛЯЮТСЯ гномоны
Необходимость требует, чтобы тень исчезла в прозрачной среде, в которой она простирается, когда величина света превысит величину тени по широте и другим [измерениям] и превзойдет [по своей силе] тень, достигшую предела в стороне ее протяжения.
Мы уже говорили раньше, что тень и свет в истинно прозрачной среде [неразличимы] и О.ДНОТИПНЫ, как воздух. Они начинают ощу- щаться лишь при достижении [света] непрозрачного тела, обладающее- го достаточной величиной. Тогда сторона напротив света становится освещенной, а сторона, которую отбрасывающий тень предмет заело- няет от света, становится темной. [Свет и тень при этом] — на одной прямой линии, а отбрасывающий тень предмет — посреди них.
Так обстоит и с тенью Земли. Она простирается в воздухе, и ее окружает свет. Но мы ощущаем их, лишь когда Луна или часть ее пе- ресекает эту тень. Та часть Луны, которая входит в тень, затмевается, а та, что остается вне тени, будет освещенной, при этом мы наблюда- ем округлость этой тени, свидетельствующую об округлости Земли, по- скольку эта тень является выражением границы между освещенной и темной частями Земли. Нахождение нами округлостей края этой тени во время лунных затмений при различных положениях этой границы, связанных с долготами и широтами Земли, доказывает ее округлость. Выступы гор не влияют на эту округлость, поскольку они малы по сравнению с большой величиной Земли.
Коль все это так, скажем теперь, что высота источника света над горизонтом будет при гномоне, установленном на его плоскости, обус- ловливать превышение величины освещенной части [данного места] над затененной. Поэтому тень этого гнО'МОна [при каждой из величин высоты] имеет определенную величину, которая устанавливается наб- людением или вычислением.
Отсутствие высоты у источника света обусловливает для гномона 30 равенство освещенной и затененной [частей места]. II при этом у тенй не будет конца в стороне, находящейся [против минимальной] высоты, т. е. в стороне, где она кончается [при наличии высоты]. Таково ПОЛО'- жение при восходе Солнца и при его заходе, когда тень бесконечна!'
Поэтому, если взять [пластину] с отверстием, за которой находит ся светильник, и поместить ее так, чтобы верхняя часть отверстия бы- ла на уровне конца гномона, то тень также будет простираться беспре. дельно. Если конец тени исчезает при равенстве [уровней света и конца гномона], то он тем более исчезнет, если источник света окажется ниже конца света: тогда будет иметь место меньшая величина освещенной части, чем затененной.


،SS
Обособление речи о проблема теней
Таким образом, тени гномонов, установленных на поверхности Земли, будут име٣ь ту или иную величину в зависимости от величины высоты источника света, при увеличении высоты источника света тень будет уменьшаться вплоть до исчезновения при достижении высотой наивысшего ее предела؛, далее которого она (не может увеличиваться.
Как сказал некто:
...Когда погонщики подгоняли измученных животных,
А тени их [е поднятием Солнца] переместились и стали [,короткими], ка؛^ чулок...
И [сказал] другой:
...Когда животные утомили (их погонщиков,
И их стопы оседлали их шеи...
[Т. е. Солнце было так ВЫСОКО', и тени животных так укоротились, что в теневых изображениях шеи животных оказались меж их передних ног].
И сказал Абу-н-Наджм: «Тень была не больше их стоп».
Некоторые бродят вокруг причины [укорочения теней], пытаясь най- ти ее, и считают ею сильный жар [Солнца].
Сказал некто:
Полуденный 3'НОЙ такав, что жар его (все сжигает.
Я сделал укрытием от него свои брови.
Прячутся от Солнца даже его собственные тенИ,
Желанное становится враждебным.
Лишь хамелеон преклоняется перед Солнцем, II 31
Как •священник перед монахо'М.
Близок К этому же тот, кто сказал:
Часто полуденный зной Освоим жарам ВЫ'ВОДИТ из терпения верховых животных.
Солнце съедает -СВОЮ тень.
Как пламя пожирает др'Ова дравосекаЗ.
[Прямая] тень возрастает при уменьшении высоты до тех пор, по- ка высота не достигнет предела, за которым уже нет другого предела. При исчезновении высоты исчезает и предельный конец тени. Положе- ние с обращенной тенью противоположно этому.
Тень прямого гномона — обязательно прямая по своей форме [ли- ния] определенной величины. Если действовать с дуговым инструмен- том, то его дугообразность не приносит никакой пользы. Ведь высота при дуге круга и пропорции между дугами и прямыми [заранее] не известны и не упорядочены наподобие известных отношений. Послед- ние отноше؛ния — между сторонами треугольника, образованными гно- моном, тенью и ее диагональю, а также между сторонами треугольни- ка, образованными синусами высоты и ее дополнения и наибольшим синусом. [Эти О'Тношения известны], так как это — прямые линии и данные треугольники подобный Поскольку гномон создает тень и уста- новлен по определенной величине, в то время как величины [теней], производимые им, различны, тени измеряются им. Поэтому О'Н специ- ально отнесен к [единицам], применяемым при определении времени либо при астрономических вычислениях, либо при определении момен- тов молитв. Тень не всегда равна гномону или кратна ему, иногда она —доля гномона или кратна ей или немного превосходит полное кратное [доле]. Поэтому необходимо подразделить гномон II на такие 32 части, чтобы эта малая величина могла быть измерена равным тому, что выражается этим отношением между двумя числами, как это не- обхО'Димо и для других величин, принимаемых за единицы для изме- рения весов, емкостей, того, что измеряется локтем^, и так далее. Чис-


Математические и астроиомические трактат^
156
ло таких частей НС является чем-то естественно необходимым и может быть принято по-разному, так как ,люди не едины в пространстве, вре- мени или во мнениях. Каждый из них выбирает единицу этого как случится, но это не вредит действиям, если [выбор] осуществился од- ним человеком, или если это стало известно и стало применяться мно- гими людьми вместе. Если же предпочитают [одну меру другой] для какой-нибудь цели по привычке или по подобию, опять же безразлич- но, .[применяется ли эта мера] одним человеком или многими.
Существуют три вида числа этих делений в соответствии с мне- ниями, которые мы обнаружили в Haine время. Один из них — шесть- десят. Это мнение народа Западаб. Данное деление применялось в книге «Альмагест»? и в зиджахб как преемников Птолемея и греков, так и современников, причина этого — в том, что он принимал полу- диаметр круга, когда хотел определить отношения теней к гномонам во время двух равнО'Денствий и двух солнцестояний, за гномон, а полу- диаметр круга он считал за шестьдесят частей. Таким образом, гномон подразделяется на части радиуса. Современники следуют за ними и имеют пользу здесь с двух сторон. Во-первых, некоторые из их дейст- ВИЙ с тенями становятся значительно легче, если предварительно вы- 33 разить их через синусы؛ тогда отпадает половина трудностей. |ا Во- вторых, это число — знаменатель дробных частей единицы у астроно- мов и многих, занимающихся счетными действиями. Умножение на полный синус и деление на него по этому гораздо легче и сводится лишь к переходу к минутам или к поднятию9 от ,них. Также и умно- жение на гномон и деление на него или умножение на одну из этих двух [величин] и деление на другую тем самым упрощается.
Я предложил в действиях с зиджами для облегчения этого счи- тать полный синус и гномон за одну часть, тогда совершенно отпадает необходимость в понижении и повышении!..
Второй вид числа делений — двенадцать. Это мнение народов Вое- тока, в том числе индийцев. Они определяют широты городов с по- мощью теней при равноденствии и двух солнцестояниях и выполняют большИ'Нство [других] действий с помощью теней. Они называют эти части пальцами, на их языке — ангула1[ в зидже «Арканд»12 пальцы и их минуты называются анджула и бианджулахъ, но я никогда не слышал об этих минутах, и это название передается [здесь], как оно есть в списках рукописен.
Причина того, что эти двенадцать делений называются пальцами, состоит в том, что средняя пядь содержит двенадцать средних паль- цев!4, т. е. три ширины кисти руки, ширина же кисти руки —четыре пальца. Величина пяди — как раз посредине между слишком тяжелы- ми большими [предметами — мерами длины] и слишком мелкими, ма- лыми. И чаще всего при измерении теней люди при путешествии или на месте пользуются тем, что имеют с собой и подготовят чаще всего [заранее], и что близко [по размерам] к пяди. Это — [изделия] из ме- 34 талла, такие, как ножи, линейки, |ا шила, [или же] колышки и подоб- ные им вещи.
Тот, кто нуждается в измерении тени, начинает в этом случае с установления вертикально имеющегося у него ножа или изготовляет колышек, подобный ножу. Обычно размеры ножей, а если это нож мирного человека, а не кинжал разбойника,— около пяди, или — с не- большим избытком или недостатком. Если установленное вертикаль- .но — величиною с пядь, а длина тени, измеряемая пядью, не равна [длине] гномона и ее величина короче равного [гномону], то она может быть измерена шириной кисти руки и пальцами, и тем самым тень бу-


157
Обособление речи о проблемах теней
дет известна. Поэтому половина одной шестой^ гномона называется пальцем.
Я часто наблюдал, как индийцы, когда они хотели определить время для своих дел, о которых будет упомянуто позже, протягивали свои руки в направлении, противоположном Солнцу, так, чтобы рука почти от самого локтя стала параллельной горизонту, а внутренние стороны предплечий были обращены к небу. Далее они поднимают половину среднего пальца так, что он становится гномоном. Его тень падает на внутреннюю сторону ладони руки, и они измеряют ее паль- цами другой руки. Мне не случалось спрашивать их о том, что следо- вало за этими действиями. Но они должны были умножать эти паль- цы на четыре, чтобы получить истинные пальцы, так как половина среднего [пальца), тень которого они измеряют,— четверть пяди, т. е. три пальца, и три пальца относятся к их тени как двенадцать [паль- цев] — к их тени. Истина этого преобразования — в умножении паль- цев существующей тени половины среднего [пальца] на двенадцать и в делении произведения на три: в частном получаются пальцы тени ПЯДИ16. Если мы произведем перестановку!?, получится: три относится к двенадцати как существующая тень к требуемой тени, а три — че-т- верть двенадцати. Поэтому пальцы существующей тени — всегда чет- верть II пальцев требуемоИ тени. Они'могут также отложить эТо пре- 35 образование до последующего и умножают в ходе своего действия что-то на учетверенное необходимое или делят что-то на четверть не- обходимого.
Это аналогично тому, что, как мы упоминали, одна двенадцатая часть диаметра [затмеваемого] Солнца или Луны называется пальцем, так как каждый из их диаметров в просторе неба принимается при наблюдении за пядь!8. Но в зидже «ал-Арканд» эта часть называется на их языке кратко маша, это —не палец: каждая — четыре
каки, я никогда ؛не слышал .этого последнего названия, первое же я слышал, но только в связи с весами: они называют вес трех дирхемов золота тула, это — двенадцать маша’) каждая маша — четыре ванди, каждое еанди — четыре джавы, а это ячменные зерна!9٠
Если установлено такое отношение, как мы указали, то отношение тени к тому, что отбрасывает тень, в одно и то же время и в одном и том же месте —одно и то же отношение. Части, на которые делится то, что отбрасывает тень, если их двенадцать, являются ли они боль, шими или малыми, называются пальцами.
Третий вид [подразделения гномона] —это семь или шесть с по- ловиной. Каждое из этих [делений] называется стопой2٥; это — мнение мусульман, оно промежуточное между двумя упомянутыми мнениями. Причина этого — в том, что они нуждались в применении теней не так, как в этом нуждались румы и индийцы, а нуждались только в полу- денных тенях для определения времени послеполуденной молитвы, II поскольку для этого необходим [определенный] избыток над временем полудня для сохранения [законности]' молитвы при колебаниях относи- 36 тельно ее времени. Соблюдать это уполномочены муэззиныЗ! в мече- тях, которые определяют это, подражая обладателям науки о звездах, инструментами, которые они изготовляют и устанавливают. Они при- лагают все старания в их искусстве и устанавливают величины полу- денных теней в их городах для каждого дня года путем проверки и ^зучения, дабы по ним определять время послеполуденной молитвы.
Они принимают в качестве гномонов [собственные] Тела, являющиеся естественными шестами, и соотносят к ним их тени, фиксируемые ими.


Математические и астрономические трактаты.
158
Но они нуждаются [в мерах] измерения теней, и стопа — самая близ- кая для них, ибо она находится в основе [их тел]. Они измеряют раз- меры своих домов стопами вдоль стен и их же берут в качестве мерила для ковров, постелей и подобного этому.
Средняя стопа находится -к среднему росту того же человека в од- ном известном отношении. Они считают, что это отношение — один к семи, и если палец — половина одной шестой гномона [индийцев], то c-топа — одна седьмая гномО'На [мусульман]. Поэтому седьмые доли называются стопами.
Другая из двух групп [муэззинов] — люди, сердца которых испы- тывают отвращение при упоминании о тенях, высотах и синусах, и их кожа становится гусиной при виде вычислений и инструментов. Это их довело до того, что их «результатам» нельзя доверять ни в чем, и меньше всего — во временах молитв: и не из-за обманов и ненадеж- ности, а по причине чрезмерного невежества, пример этого — то, что один из них обратился ко мне за советом по этому вопросу и побудил
37 меня, II вследствие замеченной мною его чрезмерной слабости в этом искусстве, пожалеть его и, чтобы он не наделал ошибок в делах рели- ГИИ, я спас его от опрометчивых действий в этом, обучив его [работе с] инструментом [определения] времени двух дневных М0ЛИТВ22 в COOT- ветствии с религиозным учением, которого он придерживался, я [обу- чил его], основываясь на месяцах pyMOß23 и остерегая его от названий знаков Зодиака24. Тогда он начал предлагать производить те же дей- ствия по арабским месяцам25. я объяснил ему, что это не выйдет, так как в них сильная путаница, требующая [доисламских] високосных вставок, которые запрещены исламом и применялись только неверны- ми26. Но его невежество заставило его в конце концов отказаться от чего бы то ни было, основанного на месяцах румов, не допускаемых в мечети, так как этот народ— не мусульмане. Тогда я сказал ему: «Румы тоже едят пищу и ходят на базар. Значит не следует подра- жать им в этих двух делах?» Но поскольку не было для него пользы ни в разъяснении, ни в обучении, я воспринял его как больного бо- лезнью, от которой нет лекарства, и, наконец, увидел, что он оставил вычисления и сломал «в награду» этот инструмент.
Что касается тех, кто принимает гномон за шесть с половиной стоп, то это было предложено в качестве уточнения. Дело в том, что измеряющий тень по своему телу неизбежно должен повернуться спи- ной к Солнцу, а лицом — в направлении тени, чтобы измерить ее ве- .личину и узнать отметку в том месте, которого достигает ее конец. Тогда по необходимости большой палец его ноги будет в направлении конца тени. Но то, что описывает тень,— в стороне его лица, а то, что отмечает ее конец, выдается вперед по сравнению с его головой в нап- равлении лба. Однако отвес, опущенный с передней [фаланги] его большого пальца, падает в направлении от пятки к пальцам ноги и
38 «место падения камня»27 будет Е середине подошвы. II Поэтому, если тень стоящего — семь стоп в тот момент, когда тень любой вещи рав- на ей самой, причем начало семи измеряется от пятки, упомянутый отвес оказывается внутри стопы ближе на половину фаланг [пальцев] и остается еще половина пятки, что не учитывалось. Поэтому тень, ос- тающаяся в направлении лица,— шесть с половиной стоп. Это — СТО'" пы, [уточненные] отвесом, так как мы предположили время, когда тень равна гномону. Поэтому в некот.орых книгах предписывается не засчи-, тывать [одну] стопу в тени стоящего при измерении тени. Предписания обоих этих утверждений условны, а не необходимы. Поэтому допуска- ется для какого-нибудь другого стоящего [несколько] увеличить [ве-


159
Обособление речи о проблемах теней
личину] тени, основываясь на соображении, что голова, как бы она ни была украшена28, имеет естественную форму, подобную шару, сжато- му29 С двух сторон, правда, есть некоторые общины людей, изменяю- щих [вид! творений Аллаха. Таковы жители Хорезма, которые уплоща- ют головы грудных детей по ширине, сжимая их в колыбели спереди и сзади и превращая их в наказание средь жителей мира. Возможно, что в мире имеются и другие подобные им.
ГиппократЗ. называет в «Книге атмосфер и стран»з! некий народ, расширявший свои головы из гордости храбростью, ибо ширина голов была у них свидетельством этому. Мысль об опасных последствиях сего была для них вздором. Гиппократ говорил, что последствия таких их искусственных деяний скажутся на их потомках, которые будут с широкими головами уже при естественном рождении. Однако Гален критиковал его за это. II
Таковы и жители Ферганы. Они сжимали переднюю часть головы 39 у пробора волос так, что она выступала над лбом. Это обусловливает то, что у них отвес О'Т их лба будет падать на середину их стоп. По- этому тень, которую они отбрасывают, будет в соответствии с преды- дущим правилом — шесть с половиной (стоп], у хорезмийцев же тень должна быть семь полных СТО'П, ибо у них концы тени отбрасывают сами верхние части их голов, расположенные между вискамизг и рас- положенные fno вертикали] параллельно их пяткам. Поэтому концы отвесов от них падают на пятки.
Что касается голов, оставленных в своем первоначальном виде, то их самое высокое место — темя, и отвес, опущенный от него, пада- ет на треть стопы со стороны пятки. Поэтому необходимо было бы взять за основу три стопы и две трети — среднее между ؛принятым] хо- резмийцами и [народом] Ферганы.
Одно из удивительных дел —.то, что Абу Ма'шарзз установил в своем зидже тень в стопах, считая в таблицах [гномон] за шесть и две трети [стоп], но в действиях принимали его за шесть с половиной. Ан- НайризИ* и Мухаммад ‘Абдал‘азиз ал-ХашимиЗз перенесли это в свои зиджи, но ал-Хашими принял равенство между [применяемым] в таб- лицах и в действиях и ушел здесь от колебаний.
Ал-Хасан ибн ас-СаббахЗб принял в своем «Открывающем зидже» гномон за семь с половиной, но, возможно, это [вина] переписчика, ко- торый превысил II семь на величину, равную преуменьшению шести с 40 половиной.
Пусть эта путаница будет упомянута в числе глупых шуток одно- го из тех, кто вступил в число противников батинитов37, которые, при- держиваясь несуразных обрядов, говорят, что человек— семь пядей. Противник [батинитов] сказал, противореча и опровергая их, что чело-, век — восемь пядей, так как рубашка — шесть с половиной пядей, вы- сота подола [рубашки] от земли — половина пяди, а шея с головой — больше пяди. Авторы «Трактатов Братьев ЧИ.СТ0ТЫ»38 говорили также, что длина фигуры [человека] — три его пяди с дальнейшим подробным описанием остальных его членов, основанном на невежестве. Их ело- ва — предел неразумия, разве только что эти авторы присоединяют к каждой пяди равное ей. Но возражение против глупости — в том, что убивает ее. Возможно, что первый [т. е. противник батинитов], считал, что пядь меньше стопы на одну восьмую, тогда если перейти от семи стоп к пядям, получится восемь. Но [семь стоп] — это не семь пядей, а всего лишь семь стоп. Пусть соединит Аллах бритвы и бороды тех, кто так думает!


Математические и астрономические трактаты
160
Каждый из двух ВИДОВ —пальцы и стопы — применяются для плоских теней и не необходимо применять стопы для указания полу- денных теней (файو) до перехода Солнца через середину неба. Что же касается обращенной тени, то для нее применяются части шестидеся- ти, упомянутые раньше, я называю их минутами, считая полный синус одной частью. ٠:٠ ٠ -•1|
Можно разделить гномон и на две с половиной части, равные ве- 41 личине полного синуса, как II делал Брахмагупта39 в зидже «Кхан- дакхадьяка», или на пятьдесят [четыре] части с половиной, как он де- лал в «Брахмасиддханте», или на пятьдесят семь частей с одной пятой и одной десятой, как это делал Ариабхата^, в своей книге или грек Пулиса в своей сиддханте٩
Применение теней при вычислении с дугами производится после- дователями Птолемея. Они подразделяли гномон в соответствии с час- тями полудиаметра в книге «Альмагест», следуя по его следам, так как он подразделил это так в пятой главе второй к؛ниги этого сочинения^؟. Что же касается индийцев и того, что содержится в их пяти сиддхан- тах42, то ни одно из их дейс'гвий не указывает на необходимость под- разделения гномона на число [частей полного] синуса, поэтому они не знали этого и это не встречается у них.


Глава восьмая
О ПЕРЕХОДЕ ОТ ОДНИХ видов ТЕНЕЙ к ДРУГИМ
Имеются четыре вида [измерения] теней по частям гномона: они изменяются в [шестидесятых! частях, пальцах и стопах — целых и дробных. Если требуется найти по каждому из них остальные три ви- да, получается двенадцать пар: сначала — сочетания вида частей с каждым из трех остальных, это —три: затем сочетания вида пальцев с каждым из остальных, это —шесть: затем сочетания вида семерич- ных стоп с Тремя остальными, это —девять: затем С0ч؟та؟ия дробных 42 стоп с каждым из трех Остальных}, это —двенадцать. I! Но в каждом из этих Гсочетаний тень! может быть плоской и обращенной^. Тогда получаются двадцать четыре [сочетания!, но это вздор, не имеющий смысла, так как преобразование относится к области мер и [их} деле- ний, а чек TOMV. что порождено положением гномона и плоскости его тени. ГИзмеоение! стопами не применимо к обращенным [теням}. По- .ТОМУ эти тени предписывается измерять Гшестидесятыми} частями более часто, чем плоские, хотя это и не необходимо. Что же касается меры Гизмерений! пальцами, ТО' она годится и там, и там в равной сте- пени но чаше применяется к плоской [тени}.
Мы перечислим Гвсе! двенадцать сочетаний после общей речи о том, что если тень измерена одним из четырех [видов! делений, и мы хотим перейти к делениям гномона другого рода, то имеющаяся тень относится к делениям ее гномона как требуемая тень к делениям ее гномона. Третья из этих четырех величин неизвестна: поэтому следует УМНОЖИТЬ первую из этих величин на четвертую, т. е. имеющуюся тень ча деечия гномона искомой тени, и разделить произведение на вторую (величину!, т. е. на деления гномона имеющейся тени, в частном полу- читсч третья и.з них, т. е. требуемая тень2.
По этому [вопросу! Кушйар ибн ЛаббанЗ в своем «Всеобъемлющем зидже>>4 указал, что следует умножить имеющуюся тень на части гно- мона, в которые желательно перевести ее. и понизитьЗ [произведение на разряд}, т. е. разделить на шестьдесят. Поскольку в его зидже тени приведены в шестидесятых долях, то все, что делится на шестьдесят, понижается н؟же : в минуты и секунды. II 42
Подобно этому Абу-лЕафа ал-вУзЯЖаниб указал как в своем зид- 43 же, так и в «Альмагесте»?, что следует умножить части гномона, в ко- торые желательно преобразовать [тень}, на данную тень. Он не упомя- нул деления, так как он принимал части гномона за шестьдесят минут, а все. ЧТО' делится на единицу,— одно и то же по величине.
Приведем примеры, начав с первого сочетания. Скажем, что МЫ нашли тень в десять [шестидесятых] частей и хотим перейти к паль- цам. Умножим десять частей на двенадцать пальцев и разделим сто 11—11


Математические и астрономические трактата
1Ö2
двадцать на шестьдесят частей, в частном получатся два пальца. Мы можем поступить и по-другому — отложить это деление и вначале раз- делить гномон требуемой тени, т. е. двенадцать, на гномон имеющейся тени, т. е. шестьдесят, получится одна пятая. Затем умножим частное на имеющуюся тень, т. е. десять частей, получится два. Это —требуе- мые пальцы. Но эта одна пятая постоянна и неизменна вследствии пос.тоянства величин шестидесяти и двенадцати. Известно, что умноже- ние целого на дробь —это получение величины, которая относится к целому как дробь к единицей Поэтому необходимо всегда брать ОД'НУ пятую от частей тени и они преобразуются в пальцы. Так как умноже- ние легче деления, умножение частей на двенадцать минут заменяет деление на пять, т. е. взятие одной пЯтой. другие преобразования про- исходят подобно этому.
Пример второго сочетания — когда мы хотим преобразовать де-
44 сять [ШестИдесяТых] частей в II семеричные стопы, т. е. к гномону из семи [стоп]. Умножим десять на семь и разделим [полученные] семь- десят на шестьдесят, в частном получится единица и одна шестая, это и есть стопы этой тени. Если мы начнем с деления, разделим семь на шестьдесят, получится семь шестидесятых единицы. Умножим это на десять, получится семьдесят шестидесятых, это один и одна шестая, как и в первый раз. Но легкость действия при этом не увеличится, так как семь не измеряет шестьдесят, а облегчение получается [только] при соизмеримос.ти двух чисел и отсутствует, когда они взаимно просты.
Если мы хотим преобразовать [шестидесятые] части в дробные сто- пы, т. е. привести и.х к '[мере деления] г.номона на шесть с ПОЛОВИ1НО؛ [стоп], умнОжим десять на Шесть с половиной и разделим [полученные] шестьдесят пять на шестьдесят, в частном получится единица и поло- вина одной шестой. Это и есть стопы этой тени, применение ЭТОГО' бу- дет легче, если умножить части на тринадцать и разделить произведе- ние на сто двадцать, так как откладывание умножения во вторую оче- редь ничего не облегчает в действиях, ибо частное от деления семи с половиной на шестьдесят — тринадцать сто двадцатых единицы, а эти два [числа] взаимно просты. Если же мы переведем эту половину в минуты., то гномон будет шесть стоп тридцать минут. Мы должны раз- делить триста девяносто минут на три тысячи шестьсот минут. Эти два числа можно сократить, взяв одну пятую одной шестой*., получит- ся тринадцать сто двадцатых и дело свело.сь к тому, что было рань-
45 ше,— частное — шесть с половиной минут. Если умножить на это де- сять частей, получится одна [часть] и пять II минут, т. е. половина од- ной шестой, но легкость действия не возросла. Таким образом, уже [рассмотрены] три сочетания.
Если имеющаяся [тень] гномона — два пальца, и мы хотим пере- вести ее в [шестидесятые] части, умножим их на шестьдесят и разде- ЛИМ [полученные] сто двадцать на двенадцать, в частном получится десять частей, это и есть требуемое. Если же мы произведем деление раньше, то шестьдесят, разделенные на двенадцать, это пять, а два пальца, умноженные на это,— это десять частей. Но пять —неизмен- ны, поэтОму если умножить пальцы всегда на пять**, получатся [шее- тидесятые] части, так как избыток шестидесяти над двенадцатью — учетверенные двенадцать, а пятикратная вещь равна сумме ее с учетве- ренной. Поэтому пальцы тени всегда, как это сказано раньше,— одна пятая ее [шестидесятых] частей.
Если мы хотим перевести два пальца в семеричные стопы, умно- жим их на семь и разделим на двенадцать, в частном получится одна стопа и одна шестая. Если мы произведем сначала деление, легкость


163
Обособление репа о проблемах теней
не увеличится в силу взаимной простоты семи и двенадцати. Далее, если мы разделим двенадцать пополам и прибавим к половине [две- надцати] одну их шестую, получится гномон в семеричных [стопах]. Поэтому если ты разделишь пополам пальцы тени и прибавишь к их половине их одну шестую, получатся стопы этой тени. Известно, что прибавление одной шестой производится умножением на семь и деле- нием произведения на шесть, так как всякая величина относится к ее сумме с ее одной шестой как шесть к семи. Поэтому, если мы умно- жим половину данных пальцев на семь, в нашем примере получится семь, и при делении этого на шесть в частном получится стопа и одна шестая, которые мы получили II раньше. Следовательно, все равно,— 46 делим ли мы на шесть, или умножаем на десять минут. Ведь деление на шесть дает тот же результат, что взятие одной шестой делителя, когда мы получаем его одну шестую умножением на одну шестую, а это десять минут из шестидесяти минут. Следовательно, если мы ум- ножим половину пальца на семь, а затем на десять минут, получатся семеричные стопы этой тени.
Если мы хотим освободиться в этом действии от деления пополам, умножим данные пальцы на семь, получится удвоение полученного раньше. Поэтому необходимо разделить это удвоение так, как мы де- лали сначала, что соответствует двум целым. Удвоение делителя — двенадцать. Это приводит к тому, что было раныне: все равно, разде- ЛИМ ли мы на это, или умножим делимое на пять минут؛ в обоих слу- чаях получаются стопы этой тени.
Некоторые вычислители пользовались для упрощения пятикратны- ми обоими числами. Умножим на пять семь, получится тридцать пять, разделим это на пятикратные двенадцать, т. е. на шестьдесят, так как отношение одного числа к другому — таково же, как отношение их равнократных؛ шестьдесят ' же — знаменатель дробей, [принятых в] этом искусстве. Поэтому необходимо умножить пальцы на тридцать пять минут, получатся семеричные стопы. Это — упрощение благода- ря тому, что здесь не применяются два целых числа, так как их пятые части замещают сами эти числа, а применение кратных — лучше для этого.
Если мы хотим перевести два пальца ,[того же] примера в дроб- ные стопы, умножим их на шесть с половиной и разделим [получен- ные] тринадцать на двенадцать, в частном получится одна стопа и половина II одной шестой стопы. Это — стопы этой тени. Если начать 47 с деления, частное будет тринадцать двадцать четвертых. Эти два числа —удвоения чисел делений двух гномонов, т. е. мы удваиваем эти [числа] делений. Поэтому, когда мы умножаем пальцы на тринадцать и делим произведение на двад.цать четыре, получатся дробные стопы тени. Шесть с половиной равны половине двенадцати и половине их одной шестой. Поэтому, если мы прибавим к половине пальца тени половину ее одной шестой, получатся дробные стопы. Но прибавление одной шестой [получается] умножением на тринадцать и делением про- изведения на двенадцать.
Если мы хотим делить пальцы пополам, дело сводится к их умно- жению на тринадцать и делению произведения на двенадцать, это — то, что было раньше.
Абу МаШар в пятьдесят седьмой главе своего зиджа умножал тень в пальцах на шесть стоп с половиной и делил произведение на двенадцать пальцев, у него получалась тень в дробных стопах. Но за- тем он поместил в таблице для одной восьмой окружности шесть стоп и две трети стопы в противоположность своему собственному вычисле-


Матемтические и астрономические трактаты.
164
нию. Мы уже упоминали [о трудности] положения лиц, берущих [ма- териал] из его зиджа. Итак, окончены шесть сочетаний.
Если дана тень в семеричных стопах, а мы хотим [по-лучить шее- тидесятые] части, умножим их на шестьдесят и разделим произведение на семь, в частном получатся [шестидесятые] части.
Если мы хотим преобразовать семеричные стопы в пальцы, умно- жим их на двенадцать и разделим произведение на семь, или разде- ЛИМ стопы пополам и прибавим к их половине ее одну шестую, умножая
48 на семь и деля на шесТь, или умножая на семь, !! а затеЮ еще на де- сять минут. Или, если угодно, удвоим число стоп и отнимем от них удвоенную одну седьмую, умножая на шесть и деля на семь. Точно, так же получится, если мы отнимем из стоп данной тени их одну седь- мую, а затем удвоим разность؛ или, подобно тому, что было раньше, если мы умножим стопы на шестьдесят и разделим произведение на тридцать пять. Получатся все [те же] требуемые пальцы. Или, вопреки предыдущему упрощению, [мы получим то же, если] разделим стопы на тридцать пять минут. Но упрощение здесь не усилится от замены умножения делением.
Если мы хотим преобразовать семеричные стопы в дробные стопы, ٠ умножим их на семь с половиной и разделим произведение на семь, получится требуемое. Если мы хотим, вычтем из семеричных стоп по- ловину их одной седьмой умножением на тринадцать и делением про- изведения на четырнадцать. Итак, завершены девять сочетаний.
Если данная тень — в дробных стопах и мы хотим преобразовать их в [шестидесятые] части, умножим их на сто двадцать и разделим произведение на тринадцать, в частном получатся части, у тебя имеет- ся выбор относительно этих двух чисел: если хочешь, считай их поло- винами -делений каждого из двух гномонов, если хочешь, считай их удвоенными [делениями] гномо-нов؛ дело фактически одно и то же и результат в конце концов такой же.
Для преобразования дробных стоп в пальцы умножь их на !!
49 двадцать четыре и раздели произведение на тринадцать,, эти два [чис- ла] —половинЫ делений гномона, которые применял Абу Ма.шар в упомянутой главе его зиджа. При этом не производится разбиение на половины.
При преобразовании их в семеричные стопы умножаем их на че- тырнадцать и делим произведение на тринадцать. Завершено [рассмот- рение] всех двенадцати сочетаний.


Глава девятая
О ПЛОСКОЙ ТЕНИ И ВЫСОТЕ И ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОДНОЙ из ДВУХ по ДРУГОЙ, ЕСЛИ ОНА НЕИЗВЕСТНА
Гномон относится к диагонали тени так, как синус высоты к пол- ному синусу!. Пусть АВС— круг высоты с центром Е (рис. 105), пред- ставляющим вершину гномона, АЕС — пересечение плоскости горизон- та и плоскости этого круга, в и D — полюсы горизонта. Отложим EL) равную гномону. Пусть Солнце —в точке я.
'Гогда АЯ —его высота, перпендикуляр HF —
СИ'НУС этой высоты, ив — дополнение его вы- соты, а ЕЕ равна его синусу, проведем луч НЕК и опустим перпендикуляр LK на EL.
Тогда ٤٩-плоская тень для высоты АН) а AB —диагональ тени, в силу параллельности линий LK и FE, внешний угол HEF равен уг- лу EKL; углы F и в — прямые. Поэтому тре- угольникИ EKL и HEF подобны. II Поэтому EL, гномон, относится к КЕ) диаго؛нали тени, как HF, синус высоты, к ЕН) полному си؛нусу.
Если у нас задана тень в известное время и мы хотим узнать высоту Солнца в это вре- мя, умножим тень на себя и гномон на себя и возьмем [квадратный корень) из их суммы؛ это —диаго٠наль тени. За- тем разделим на это произведение гномона на полный синус, в част- ном получится синус высоты. Перейдем от него к дуге по таблице СИ- нусов, получится высота Солнца во время этой тениЗ Так мы поступа- ем с синусом всякой названной дуги. Так как гномон и полный синус фиксированы в каждом зидже по величине, являющейся одной и той же, можно принять при действии произведение одного из них на дру- гое за основу, с которой мы действуем постоянно, как это имеет место в некоторых зиджах. Если выразить это [в шестидесятых] частях, как величина полного синуса, то произведение шестидесяти частей ГН0М0-, на на синус Птолемея — 3600, а на синус индийцев—1[5]0٩ произве- дение пальцев II гномона на синус Птолемея — 720, а на синус индий- 51 цев — 304؛ произведение семеричных стоп гномона на синус Пт.олемея — 420, а на синус индийцев — семнадцать с половиной частей, т. е. чтобы избежать дробей — 35 половин^؛ произведение дробных стоп гномона на синус Птолемея — 390, а на синус индийцев — шестнадцать с чет- вертью, т. е. чтобы избежать дробей — 65 четвертей.. Если считать, что гномон — две части с половиной, чтобы он был равен синусу индий- цев, -то произведение этих частей на синус Птоле.мея— 150, а на их синус — шесть с четвертью؛ это — 25 четвертей?.
D
Рис. 105.


Математические и астрономические трактаты.
166
Если обратиться к действиям обладающих этим искусством в этом [вопросе], то методы, которым они следуют, и числа, которыми они Пользуются, не скрыты. Таковы ^УХ؟ммад ибн H6pax٩ ал-Фазари«, йа.куб ибн Тарик٩ Мухаммад ибн Муса ал-ХорезмиЮ, Хабаш ؟Л-Ха- сиб*؛ Абу Ма.Шар ал-Бацхи*2, ал-фад٠۶ ибн Хатим анНайризи؛؛, ^у- хаммад ИбН Джабир ал-Баттани!4 и Абу-л-Вафа ал-БуздЖани5؛. .вСе они в своих зиджах!б упоминают умножение тени на себя и гномона на себя и взятие корня из их суммы, являющегося диагО'Налью тени КЕ на предыдущем чертеже, квадрирующей*? KL и LE. Некоторые из них упоминают отдельное умножение гномона на себя, некоторые ОП" ределяют число [единиц] этого квадрата в соответствии с предположен- Ной в их зиджах величиной гномона как стр сорок четыре [для паль- цев, как сорок два] с четвертью для ОДНОГО' вида стоп, как сорок девят؟ для другогО вида стоп и как три тысячи шестьсот для [шестидесятых]
52 частей؛؛. Таково же положение в «Шахском зидже»19 |ا для пальцев.. После того как все они нашли диагональ тени, некоторые из них опре- деляют синус дополнения высоты, а некоторые — сам синус высоты2٥٠
Что касается тех, кто ставит целью нахождение синуса дополне- ния высоты, то они умножают данную тень на полный синус и делят произведение на диагональ тени؛ в частном у них по^учаея синус дОполнения высоты2*, так как LK относится к КЕ как FE к EH) a EF равна синусу дуги А — дополнения ВЬ؛С0ТЬ1 АН. Таковы были ал-Хо_ ^езми в 0ДН.0М из своих действий, ан-Найризи и ал-Баттани, а также Кушйар в его «Всеобъемлющем зидже»22. Но полный синус у него — шестьдесят частей, поэтому умножение на него равносильно сдвигу на разряд. Поэтому если он сказал: «раздели тень на пониженную ее диа- Гональ», это — то же, что умножить на шестьдесят2з, и в частном по- лучится синус дополнения высоты.
Что касается тех, кто ставит целью нахождение самого синуса вы- соты, то они делят на диагональ тени произведение гномона на пол- ный синус, так как EL относится к ЕК как HF к НЕ. Но ни гномон, ни полный синус, как мы говорили, не рас.сматриваются по своей [аб- солютной] величине. Поэтому они задают произведение одного из них на другой, как это требуется в [их] зиджах. Однако ал-Фазари, ал-Хо- резми; йа‘куб ибн Тарик, Абу Ма‘шар и автор «Шахского зиджах предписывают деление, на диагональ тени тысячи восьмисот, т. е. про-
53 иЗведения ста пятидесяти на двенадцать2*. II Необходимо считать это число минутами, остерегаясь от ошибок тех, кто слепо воспринимает, а не вдумывается. Что касается Хабаша и ал-Баттани, то они предпи- сывают деление на диагональ тени семисот двадцати, т. е. произведе- ния шестидесяти на двенадцать2^ Этими действиями они определяют высоту.
Наоборот, если высота предполагается известной и желательно [определить] тень гномона в это время, то HF, синус высоты на преды- дущем чертеже, относится к FE, синусу ее дополнения, как гномон EL к его тени LK. Поэтому гномон умножается на синус дополнения вы- соты, произведение делится на синус высоты, и в частцом получается тень2ة .؛ этом действии «Шахский зидж» и [зиджи] ИаКуба, ал-Хо- резми, Хабаша, Абу Ма‘шара, ан-Найризи и ал-Баттани не различа- ются между собой, подобно тому, как они различались в предшествую- тем [действии], я думаю, что некоторые из них опускали упоминание • [частей], гномона, когда они умножали его на себя, а некоторые ука- зывали эти части в соответствии с тем, как предполагается в их зид- жах. Так, ан-Найризи умножал [синус дополнения высоты] на полный синус вместо умнОженИя на гномон, так как у него каждый из них


167
Обособление речи ٥ проблемах теней
[состоит из] шестидесяти частей. То, что предписывал Кушйар, а имен- но —деление синуса дополнения высоты на синус высоты, пониженный [на разряд^—это то же, что предписывал [ан-Найризи]. Понижение [на разряд] —это умножение синуса ؟ысо^ы на шестьдесят, которые явля- 54 ются частями гномона у него. Абу-л-Вафа II предписывал то же, что и он, но не применял понижения, так как предполагал гномон [рав- ным] единице.
Иногда читатель книги Абу Са‘ида Ахмада ибн Мухаммада ибн ‘Абдалджалила ас-Сиджизи27 «о действиях с астр0лябией>>28 может подумать, что изображение тени в ней отличается от предыдущего по причине того, что он следовал методу преобразования. Мы скажем об этом, опираясь на предыдущий чертеж. Однако [его] вычисление — то [же], что было раньше. Что касается доказательства, то он разумно бр'ал в двух первых из четырех пропорциональных величин HF за СИ- нус высоты, a FE за синус ее дополнения, а в двух последних из них брал HF за гномон, a FE за его тень. Тогда HF относится к FE в [од- ной] мере, как HF к FE в другой мере. Поэтому мы уподобляем это преобразованию.
Мы же говорим, что HF относится к НЕر как EL к ЕК. Поэтому, если мы разделим произведение гномона на полный синус на Синус высоты, в частном получится диагональ тени, квадрирующая ее и гно- МОН. Если мы вычтем из произведения диагонали тени на себя произ- ведение гномона на себя и возьмем корень из остатка, получится тень этой высоты. Но гномон не изменяется по величине, а если изменять числа его делений, произведение его на себя не изменяется по отноше- нию к изменению [делений]. По этому пути шли ал-Фазари и Хабаш: один из них делил тысячу восемьсот на синус высоты, поскольку пол- ный синус у него был [равен] шестидесяти؛ оба получали в частном диагональ тени29. Далее вычтем из ее квадрата сто сорок четыре, II т. е. квадрат г.номона, ؟станемся квадрат тени. 55
Что же касается Абу-л-Вафы, то он делил полный синус на синус высоты и получал в частном диагональ тени, так как он принимал гномон за единицу и произведение полного синуса на гномон было [равно] ему самому. Поэтому деление этого на синус высоты у него давало то же, что деление произведения полного синуса на гномон. Когда он получал диагональ тени, он действовал в одном из [своих] методов так же, как раньше, а именно: брал корень разности квадра- тов диагонали тени и гномона.
При другом методе диагональ тени умножается на синус дополне- ния высоты, так как ЕК относится к KL как EH к EF, и поэтому, если умножить КЕ на EF, не обойтись без деления на ЕН, но если принять ее также за единицу, это [уже] не делается. Необходимо учитывать это для верности [результата]зо.
В некоторых действиях неизвестных [авторов] они делят на синус высоты девятьсот семьдесят пять, затем умножают частное на себя и вычитают из него сорок два с четвертью. Тогда корень из разности — [плоская] тень, как было упомянуто раньше. Автор этого действовал с тенью в дробных стопах. Он делил произведение полного синуса, ко- торый он принимал за сто пятьдесят, умноженного на гномон в этих стопах, на синус высоты, в частном получается диагональ тени, как мы разъясняли раньшеЗ!. Что касается сорокадвух с четвертью, то это произведение этого гномона на себя, и это не более II не менее, как 6ع четверть от ста шестидесяти, девяти. Что же касае.тся семерич,ного гно- мона, то [его квадрат] — сорок девять.


Математические и астрономические трактаты
168
Если мы хотим [получить] тень по методу Птолемея для случая, разъясненного им в пятой главе второй книги «Альмагеста»з2, то угол KEL в предыдущем чертеже — по величине допО'Лнения высоты, а угол EKL - по величине высоты, и это - в той мере, в которой че- тыре прямых угла — триста шестьдесят частейзз. в иной же мере, в которой два прямых угла —триста шестьдесят частейз*, угол KEL — удвоенное дополнение высоты, а угол EKL — удвоенная высота. Тогда دء — хорда удвоенной высоты, а ى —хорда удвоенного дополнения высоты в круге, описанном около треугольника EKL. Поэтому этот треугольник известен по своим сторонам в той мере, в которой ЕК — сто двадцать частей. Но гномон EL задан по величине, и он относится к тени LK, как EL, хорда удвоенной высоты, [к LK, хорде удвоенного дополнения высоты]. Поэтому тень LK известна в мере гномона EL. Это и есть метод Птолемея.
Так как половины хорд — в тех же отношениях, что и их удвоения, то если мы разделим упомянутые хорды пополам, их дуги уже не бу- дут удвоениями, и хорды станут их синусами35. Поэтому дело сводит- ся к первому методу, о котором мы говорили, [говоря] о «Шахском зид- же» и авторах [других^ зиджей. Оно ничем не отличается по принци- 57 пам вычислений, хотя |ا Абу-Л-Хасан ал-АхвазиЗб думал, что это ме- тод, отличный от метода [известного] людям.


Глава десятая
ОБ ОБРАЩЕННОЙ тени и высоте и ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ одной из них по ДРУГОЙ,
ЕСЛИ ОНА НЕИЗВЕСТНА
Для обращенной тени! повторим предыдущий чертеж, но отложим гномо.н на Диаметре ЕС (рис. 106), и пусть LA —обращенная тень гномона EL. ТреуГольники HFE и KLE по своему положению под^б^ ны. Поэтому LK относится к КЕ) как HF к НЕ) a HF от.носится к FE как LK к LE. Если обращенная тень предполагается известной, и мы хотим {определить] е.е высоту, т؟ возьме؛ корень из суммы произведений обращенной теНи на себЯ и гномона на себя؛ ПОЛУЧИТСЯ диагональ обращенной тени. Затем умножим обращенную тень на полный синус и разде^
ЛИМ проиЗведение )на диагональ обращенной тени. ة частном получится синус ВЫСОТЫ2.
К этому Кушйарз заметил в своей речи, что разделить обращенную тень на ее диагональ,
По'Ниженную [на разряд], — то же, что умно- жить на ПолНый сиНус, который у него {ра- вен] шестидесяти частям, и если дана извест- ная высота, и мы хотим [найти] ее обращенную тень, умножим синус высоты на гномон и разделим произведение ؛на синус дополнения высоты, в частном получится обращенная тень в частях гномона*. Путь ал-Баттани5 в этом был тот же самый. Кушйар предписывал деление синуса высоты на пониженный синус ее допол- нения, так, чтобы в частном получилась тень, так как понижение СИ- нуса высоты — это его умножение на II полный синус, который у него 58 равен гномону. Абу-л-Вафа^ исключал понижение из действий, так как он полагал гномон [равным] единице, в другом месте он предписывал деление полного синуса на синус дополнения высоты, чтобы в частном у него получалась диагональ обращенной тени. Это потому, что ЕН от- носится к EF, как КЕ к LE. Поэтому, если разд.елить произведение НЕ и LE на EF) в частном получится КЕ. Но LE у него единица, поэтому произведение НЕ на LE1 —сама НЕ. Если получается диагональ тени, по ней определяется тень двумя способами, которые были изложены раньше при упоминании метода определения тени. Эта обращенная тень, в дополнение к ее пользе при вычислениях небесных дуг, полез- на и при построении часовых [линий] на стоящих вертикально инстру- ментах, таких как мукхула, саут7 и подобные им. Она полезна и при таких наблюдениях, как [наблюдения] летних солнцестояний, посколь- ку их время трудно для [зрительного] постижения, а с помощью обра- !ценной тени его определить ближе, легче II и вернее, в то время как 59 время зимнего солнцестояния [легче определить] с помощью плоской, а не обращенной тени.
В
Рис. 106.


Глаеа одиннадцатая
ОБ ОБЩЕМ МЕЖДУ ДВУМЯ ВИДАМИ ТЕНЕЙ. ОБ ИХ СООТНОШЕНИЯХ и ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ одной ИЗ НИХ ПО ДРУГОЙ
0؟на и та же тень является плоской тенью [؟дной] дуги и обра- щенной тенью ее дополнения.. Так, если линия ЛЕС (рис. 107) —в плоскости горизонта, зенит — точка в, а высота АН, то [плоская]
тень гномона EL Если же считать, что зенит — точка А, линиЯ BED — в плоскости горизонта, высота — вн, а гномон EL параллелен гори- зонту, то АД— обращенная тень высоты вн. Поэтому тЯнь LK — плос-
S
Рис. 107.
кая для дуги АН и обращенная для дуги вн. Гномон — среднее про- порциональное между двумя тенями дуги, одна из которых плоская, а [другая] —обращенная^ Поэтому, если мы вернемся к чертежу, то на нем KL — плоская тень дуги АН. проведем через Е диаметр FEM) перпендикулярный к НК, и продолжим KL до м. Если мы представим себе, что BED — в плоскости горизонта. С —зенит, а ßf — высота, то ى — ее обращенная тень. Но дуга BF равна дуге АН, а [у нас] была ее плоская тень. Так как угол КЕМ прямой в полукруге с II диамет- ром KLM, треугольники MEK, MEL и KEL — подобны. Поэтому KL, плоская тень, относится к LE, гномону, как LE, гномон, к LM, обра- щенной тени. Поэтому квадрат гномона равен произведению плоской и обращенной теней одной и той же дуги.
С целью упрощения мы отложим EG, равную гномону EL, и вое- ставим в G перпендикуляр XGO к АЕС. Тогда два треугольника КЕМ и ХЕО равны и подобны, и GO будет обращенной тенью дуги АН. GO равна LM, обращенной тени .дуги BF, равной дуге АН. СледО'Ва- тельно, гномон EL — среднее пропорциональное между двумя теня, ми — плоской LK и обращенной GO. Поэтому, если один из этих двух видов тени для имеющейся у нас заданной дуги известен, мы можем по ней узнать другую делением на известную II из них, плоскую или обращенную, произведения 'гномона на себя, в частном получается другая, неизвестная величина в частях этого гномона.


Iлава двенадцатая
О ТАБЛИЦАХ, СОДЕРЖАЩИХ ТЕНИ, ОСВОБОЖДАЮЩИХ от их ВЫЧИСЛЕНИЯ, и о СПОСОБАХ НАХОЖДЕНИЯ ТЕНЕЙ по ним ؛от НАЧАЛА], до КОНЦА И ؛؛ОПРЕДЕЛЕНИЯ] УКАЗАННЫХ НАПРОТИВ ,؛ВЕЛИЧИН ДУГ]
Авторы зиджей обычно помещают значения теней в таблицах, по- строенных поградусно*. Это построение самое подходящее для сего и мы [также] помещаем [тени] в таблицу {таким образом]. Мы входим с дугой высоты в первую строку числа, если мы хотим [найти] плоскую тень, или во вторую, если мы хотим [найти] обращенную [тень], и нахо- ДИМ против нее тень этой высоты в столбце, который нам требуется,
[в частях] ее гномона^ Если из двух строк числа в некоторых зиджах имеется только одна, и требуется один из двух видов — плоская тень по таблице обращенной тени или обращенная по таблице плоской те- ни, то вычтем высоту, т. е. данную дугу из девяноста, войдем с раз- ностью в строку числа и возьмем то, что находится против этого؛ это и есть требуемоеЗ. Таким образом мы поступаем при вычислении до- полнения ЕЫСОТЫ, [находящейся] вне того, что имеется у нас, тень ко- торой — не того рода, для которого проведено это действие.
Если задана тень и мы хотим [найти] ее дугу, то отыскивается рав- ное этой тени в ее столбце, и ее дуга — то, что находится против нее в одной из строк числа — если это плоская тень, то в первой из них, а если это обращенная, то во второй из них. Это, узнают также из то- го, что указано над строкой, так же, как ||| узнают свойства тени из 62 того, что [написано] над ее столбцом.'
Изложим после этой таблицы« то, что полезнее всего ,знать и в связи с другими таблицами. Мы говорим: известно, что если & таблице в том, что находится против строки числа, есть равные избытки, то дробные поправки избытков над целыми [числами] в строке числа бу- дут точно совпадать и явятся истинными разностями между строками. Если же избытки различны, то дробные поправки в них выражаются разностями между строками близКо к истине, но не точно, и чем боль- ше различие избытков, тем дальше [поправки] от истины. Это расхож- дение объясняется тем, что доли дробей отличаются от долей целыхЗ Тень ведет себя таким же образом, плоская — в начале высоты, так как она самая большая при восходе Солнца и при его заходе, а обра- щенная — в конце высоты, так как она самая большая при достижении Солнцем зенитаб.
Поэтому Кушйар в своем «Всеобъемлющем зидже»? располагал обращенную тень до одной восьмой оборота и говорил, что для дуг, превосходящих сорок пять частей, можно найти тень правильно только потенциально, а фактически различие избытков тени столь велико, что не близок к правильному ни один из них٥. Это можно получить только последовательным подбором.. Таким образом Птолемей*, получил две величины, с помощью которых он определил два отрезка эпицикла**


Математические и астрономические трактаты,
172
]Таблица техтей]
Плоская
тень
.бращен- ная тепь
Пальцы
30 ؛6 Стопы
Стопы 7
Части
1
89
687
28
327
21
401
0
ذ3437
22
2
88
343
38
185
45
200
23
1718:
11
3
87
228
46
123
32
133
34
؛1144
52
4
6ة
171
ذ3
92
42
100
6
858;
2
5
5ع
133
25
74
16
80
0
605;
48
6
4ة
114
10
61
20
63
36
570;
52
7
٤3
97
40
52
58
57
2
488;
40
ئ
82
85
22
46
15
49
48
؛.42
15
9
81
75
45
41
3
44
12
378;
49
ю
?0
68
25
36
62
39
42
340;
17
1,
79
61
44
33
26
36
1
؛308
40
12
78
5)
27
30
35
32
58
282;
17
13
٦٦
51
53
23
9
30
19
259;
54
14
76
48
9
26
4
و2
5
240;
39
15
<؟٦
44
47
24
15
26
٦
223;
55
1٧
74
41
51
22
40
24
25
209:
15
17
73
39
15
21
16
22
54
196;
15
8ا
72
36
15
20
1
21
53
184;
40
19
71
34
44
18
53
20
20
174;
15
2٥
70
32
50
1
52
9ا
14
164;
56
21
89
31
45
10
56
18
14
156;
18
22
١8ا
2٧
45
1٦
6٠
17
20
148;
30
23
7.ا
23
0ا
15
18
16
29
141;
21
24
لى6
؛ا2
55
14
36
15
43
134;
46
25
65
25
44
13
56
15
16
؛128
40
2)
4ة
24
ذ3
13
19
14
21
123;
1
27
(3
23
33
12
45
13
44
117;
45
23
2'؛
22
34
12
14
13
10
112;
51
29
ا6
21
48
11
44
12
33
108;
15
30
0ا
20
47
11
15
12
٦
؛103
55
31
9ة
19
53
10
49
11
39
99;
51
32
3ة
19
12
10
24
11
12
؛ا9
1
33
7؛
19
28
10
1
10
47
92;
24
34
وج
47
9
38
10
22
88;
57
35
5ج
17
6
9
17
10
0
85;
41
Î)
4ج
1.>
31
8
57
9
53
82;
35
7؛
3ج
5ا
55
8
37
9
17
79;
37
ق3
2ج
21
8
20
8
ذ5
76;
44
39
1؛
48
8
2
8
39
74;
6
وه
0ج
18
٦
45
8
21
71;
30
؟؛
ي4
3؛
53
٦
23
8
3
6;
1
ة4
48
3ا
18
7
14
٦
46
6;
38
43
4٣
52
6
58
٦
30
64;
21
4ذ
46
25
6
44
7
15
62;
8
ج4
5؛
0
6
30
7
0
60;
0
46
4؛
1؛
35
6
17
6
45
57;
56
?ذ
43
1
11
6
3
6
31
55;
57
48
ة4
0؛
48
5
51
6
18
؛54
1
49
1أ
25
5
39
6
5
52;
9
50
0ه
ة؛
3
5
27
5
52
50;
21
51
و3
9
43
5
16
5
40
48;
35
إ؛
38
9
22
5
5
5
28
46;
53
53
37
9
2
4
59
5
16
45;
13
54
36
8
44
4
43
5
5
43;
36
55
35
8
24
4
33
4
54
42;
1
5Ö
34
8
5
4
24
4
44
40;
28
57
33
8
47
4
13
4
33
؛38
58
58
32
7
29
4
4
4
23
37;
30
59
31
7
12
ج5
4
13
36;
3
&0
30
6
55
3
46
4
3
34;
38
61
29
6
39
3
36
3
53
؛33
16


173
Обособление речи о проблемах теней
Плоская
тень
Обращен- ная тень
Пальцы
30 ؛6 Стопы
Стопы 7
Части
62
28
6
24
3
27
3
43
؛31
54
63
27
6
٦
3
19
3
34
؛30
34
64
26
5
51
3
10
3
25
؛29
16
65
25
5
36
3
2
3
16
؛27
59
66
24
5
51
2
54
3
٦
؛26
43
67
23
5
6
2
45
2
59
؛25
33
68
22
4
51
2
38
2
50
؛24
14
69
21
4
36
2
29
2
41
؛23
2
70
20
4
22
2
25
2
33
؛21
50
71
19
4
9
2
15
2
25
؛20
40
72
18
3
54
2
7
2
16
؛19
30
73
17
3
40
1
59
2
в
؛13
21
74
16
3
26
1
51
2
0
؛17
12
75
15
3
13
1
45
1
53
؛16
5
76
14
2
59
1
38
1
45
؛14
58
٦٦
13
2
46
1
30
1
37
؛13
51
78
12
2
33
1
23
1
59
12:
45-
79
11
2
19
1
16
1
22
؛11
40
80
10
2
٦
1
9
1
14
؛10
36
81
9
1
54
1
1
1
٦
؛9
30
82
8
1
41
0
55
0
59
؛в
26
83
٦
1
23
0
47
0
51
؛7
22
84
6
1
15
0
41
0
44
؛6
18
85
5
1
2
0
35
0
37
؛5
15
86
4
0
54
0
27
0
29
؛4
12
87
3
0
37
0
20
0
22
؛3
9
88
2
0
25
0
14
0
15
؛2
6
39
1
0
12
0
7
0
8
1:
3
90
0
0
0
0
0
0
-0
؛0
0
И эксцентрика2؛ для [вычисления] уравнения.з. Будем считать одну из них тремЯ градусами, ا| а другую' — шестью градусами. 63
Различие долей частей дуг при различии частей, [превышающих] одну восьмую, очевидно. Это будет еше более очевидно, если мы опи- шем из точки А, вершины гномона, на расстоянии AB, его длины, круг BCDEM (рис. 108). Отложим на нем дуги ВС, CD, DE и ЕМ в ариф- метической прогрессии с равными разностями. Пусть эти разности — по одной часТи или по некоторой совокупности их. проведем ACG, Л.#, AEF. Тогда ßG —тень дополнения ВС, — тень дополнения BD, а ßß — тень дополнения ßß. Соединим GD и нхм. в силу ра- венства углов при центре А треугольники ABG и л٥٠ равны и подоб- ны; их стороны GB и GD равны; угол ABG прямой, поэтому угол ^٥٠ также прямой. Значит его Х0рда٠4 больше ٠٥, т. е. ٠ß. Поэтому ٠ß меньше GH. II
Точно так же нм — касательная к кругу, в силу равенства тре- 64 угольников АВН и АМН и треугольников ABG и АМХ [получим, что] хн равна HG, и треугольник АХН равен треугольнику AHG и подо- бен ему. Поэтому треугольник AGH, т. е. АХН, относится к треуголь- ؛нику AHF, как GH и HF. Но треугольник АХН — часть треугольника AHF. Поэтому .؛ — часть HF. Так же обстоит и с тем, что за HF.
Это положение необходимо для частей тени и необходимо для упомя- нутых долей. Осторожность в пользовании тенью не следует приме- нять, если только она не превосходит дуги одной восьмой оборота.
Если ты хочешь УМ'НОЖИТЬ число на тень дуги, превышающей со- рок пять частей, раздели это число на тень ее дополнения. Если ты


Математические и астрономические трактаты
174
хочешь разделить число на тень дуги, точно также умножь его на тень ее дополнения.
Пусть Л - тень заданной дуги, а ß - тень ее дополнения (рис. 109), причем мы имеем в виду тени одного и того же рода: если же мы говорим о двух тенях заданной дуги, то они — двух родов, так
[В]
ТЕНЬ ДОПОЛНЕНИЯ ДУГИ
[с]
гномон
[А]
[EJ
[частное от] ДЕЛЕНИЯ
[F]
числа,КОТОРОЕ ДЕЛИТСЯ НА ТЕНЬ ДУГИ
ТЕНЬ дуги Рис. 109.
как плоская тень дуги — обращенная тень ее дополнения, примем гномон С за среднее пропорциональное между А и в, как мы Объяс НИЛИ раньше. Предположим для облегчения Понимания в этом месте, что это —единица, так как мы не нуждаемся сейчас в частях ее. Раз-
Рис. 111.
дение د на £ есть F. произведение د на 5 — II это с٥؛. Следователь- IHO, А — общая выс.ота между F и с16. Поэтому [ة] относится к Е) как С к £ Поэтому произведение £ на £ равно произведению Е на с. Но С —единица, и ее произведение на ء —это £. Тогда произведение в на ۶ —это Е. Это и есть то, ЧТО' мы хотели доказать.
Точно так же мы доказываем, что плоские тени заданных дуг об- ратно пропорциональны обращенным теням*?. Пусть заданы две дуги АН и AG, а гномон (рис. 110). Проведем НЕЕ и GEZ, Тогда
— плоская тень дуги АН, а — плоская тень дуги AG. Далее предположим, что гномон —£М, и проведем МО параллельно она встретит HL в X, a GZ в о. Тогда м^ —обращенная тень дуги АН, а МО — обращенная тень дуги AG. II я утверждаю, что LK относится к ZK как MO к MX, это потому, что гномон — среднее пропорциональ- ное между LK и MX, и поэтому произведение одной из них на другую равно квадрату гномона. Точно также он — среднее пропорциональное между ZK и МО, поэтому произведение одной из них на другую равно квадрату гномона. Следовательно, произведение LK на MX равно про-
65
66


175
Обособление речи о проблемах теней
изведению ZK на МО. Поэтому LK относится к ZK) как MO к MX, T. е. плоская тень дуги АН относится к плоской тени ДУГ'И A G, как обращен, ная тень дуги AG к обращенной тени дуги АН. Это и есть то. Что мы хотели доказать.
Для того, чтобы найти отношение между тенями двух дуг, пред- положим, что дуги АН и AG различны и меньшая из них АН. Ее СИ- нус — HF, синус ее дополнения — (рис. 111), а ее обращенная тень —м^, синус большей дуги — GK, синус II ее дополнения —^Е, 67 а ее обращенная тень —МО. проведем XZ параллельно ЕО и сделаем ХЕ средним пропорциональным между XZ и ОЕ. Тогда XZ относится к ХЕ как синус угла ХЕМ, T. е. НЕА, к синусу угла OEM, синус кото- рого —синус угла XZM, равного углу GEA. ХЕ относится к ЕО как РЕ к EG равной ЕН. Отношение. РЕ к ЕН — то же, что отношение ЕК к EF. Следовательно, отношение XZ к ОЕ составлено из отношения НЕ к GK и из отношения EK к EF18. Но отношение XZ к ОЕ —то же, что отношение MX к МО. Таким образом, доказано, что отношение обращенной тени меньшей из двух дуг к обращенной тени большей из них составлено из отношения синуса меньшей дуги к синусу болыней дуги и из отношения синуса дополнения большей дуги к синусу допол- нения меньшей дуги!9. Очевидно, что оно составлено также из отно- шения синуса меньшей дуги к синусу ее дополнения и из отношения синуса дополнения большей дуги к ее синусуЗ.. Это потому, что MX относится к ME как #Е к ЕЕ, a ME относится к МО как Е^ к EG. Следовательно, отношение MX к МО составлено из отношения HF к ЕЕ и из отношения EK к KG. II
Что касается диагоналей теней, то отношение ХЕ и ЕО — то же, 68 что отношение ЕЕ к EG, что, как мы доказали, то же, что отношение ЕК к ЕЕ. Поэтому диагональ обращенной тени меньшей из двух дуг относится к диагонали обращенной тени большей из них, как отноше- ние синуса дополнения большей к синусу дополнения меньшей21. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Точно так же, как мы упомянули, на чертеже, подобном этому, на котором изображены две плоские тени, доказывается противопо- ложное первому отношению, а именно, что отношение плоской тени меньшей дуги к плоской тени большей дуги составлено из отношения синуса большей дуги к синусу меньшей дуги и из отношения синуса дополнения меньшей дуГи к синусу дополнения большей дуги22. Дока- зывается [также] противоположное второму2з отношению, что отноше- ние [плоской] тени меньшей [дуги] к [плоской,] тени большей составлено из отношения синуса дополнения меньшей к ее синусу и из отношения синуса большей к синусу ее дополнения24. I!
Ясно также и для диагоналей, что диагональ [плоской] тени мень- 69 шей из двух дуг относится к диагонали [плоской]' тени большей из них, как синус большей к синусу меньшей25. [Доказательство] этого мы опускаем.


Глава тринаЭцатая
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ видов ТЕНЕЙ НА АСТРОЛЯБИИ, что БУДЕТ ПОЛЕЗНО ДЛЯ ПОСЛЕДУЮЩЕГО
Хамза ал-Исфахани' в сваей книге «Соотношение»؟ говорит, что слово «астролябия» (ал-астурлаб) — арабизирО'Ванное персидское ас- тара йаб, что означает «ухватывающая звезды»؟. Возможно, что это название у персов произошло либо от особого их глагола, либо от ара- бизированных греческих [слов). Название же этого по-гречески — асг- рулабун4, а астур — это «звезда»؟, доказательством чего служит то, что астрономия у них аструнумийа6, а «приговоры» звезд — астру луд- жийа7. Об этом инструменте у них имеются древние книги — о его по- строении и о пользовании им. Мы не находим этого у других [народов], хотя они и переняли кое-что у греков؟. Народы Востока не знали аст- ролябии и применяли вместо нее тень [гномона]. Некоторые из них были столь невежественны и фанатичны, что были на стороне индий, цев против румов؟, и в своих книгах и речах увековечили [мнение], что и астролябия, и небесный глобус؛., и армиллярная сфера', сделаны с помощью шеста, и их виды основаны на его тени, и что ученые Прош- лого не пользовались в своих книгах ничем, кроме шеста, так как это давало самые правильные и самые близкие к истине результаты. По- этому, де, утверждения индийцев о звездах очень правильны и содер. жат очень мало ошибок, ибо они основаны на применении с большой точностью II шеста, с помощью которого они определяли гороскоп с точностью до десятых минут'؟. Эта речь напоминает речь одержимых или [речь] ТОГО', кто не знает ни имен, ни глаголов, которые он упот- ребляет. Так дадим ему познакомиться с ними и учуять их! и призо- вем к ним прошение'؟.
Далее скажем, что среди мастеров астролябий принято проводить на их спинках плоскую тень на обводе квадранта, противоположного квадранту высоты'*. Если это сделано, и если мы хотим определить, какой это из видов [мер тени], помешают указатель, т. е. указатель алидады, на сорок пять частей высоты и смотрят на то, какие части тени находятся против другого указателя'؟: если это двенадцать, то это пальцы, если это семь или шесть с половиной, то это стопы, а если шестьдесят, то это [шестидесятые] части. Обычно пользуются только «пальцами», и иногда испо,льзуют семеричные стопы. 'Но это редко. Далее находят плоские и обращенные [тени] этого вида, отсчитывая от начала [делений]: если начальные деления тени и порядок цифр идут снизу к горизонтальной линии, то эта тень - плоская; а если их нача- ло-на линии горизонта, и [цифры идут] вниз, то такая [тень] —обра- шенная. Это потому, что сорок пять [частей] — середина квадранта высоты, и диаметр, проходящий через середину алидады, делит попо- лам прямой угол при центре, в силу равенства высоты и ее дополнения


17.7'
Обособление речи о проблемах - теней
71
72
тень равна гномону, и части, на которые указывает указатель алида- ды,— величина гномона.
Чтобы разобраться в этом, пусть круг на спинке тимпана™ назы- вается кругом ABCD (рис. 112). |ا Он разделен на четыре части диа- метрами АС и BD. Пусть AB из них —квадрант высоты. Тогда местом тени на них пусть будет квадрант CD) противоположный этому квад- ранту, чтобы для алидады, проходящей через полюс Е) было возмож-
؟ым определять одно из 1НИХ по другому,- [т. е. тень по высоте и наоборот]. Прове- дем касательную CL к окружности в точ- ке С. Пусть [точка] # —середина квад- ранта CD. Деление дуги пополам по ме- тоду этого искусства легко: для этого
опишем из каждого из двух концов дан- НОИ дуги дугу на расстоянии полудиа- метра круга [ABCD] или на каком угод- но расстоянии, превышающем его. Если же оно будет меньше его, ؛нахождение решения исключается. Далее опишем из другого конца [дуги] на том же рассто.я- НИИ дугу в сторону первой дуги так, что- бы они пересек,лись. Затем соединим их [точку] пересечения с центром прямой линией и продолжим ее в ее направле- НИИ. Тогда заданная дуга необходимо разделится пополам, проведем ЕНК и разделим ск на деления гномона: двенадцать в случае пальцев, шесть с половиной или с двумя третями или семь в случае стоп, как было [сказано] рань- ше, или шестьдесят в случае частей. Пусть С7 —одно из таких деле-
Рис. 112.
должим ск в ее направлении и отложим на ней за [точкой] к таКие же деления, что и (деления СК) т. е. деления, каждое из которых равно одному из делений СК) так, чтобы вся ста была разделена на эти деления.
Если мы хотим [получить на астролябии] обращенную тень, что бывает редко, и практически сего мы не наблюдали, !! разделим на части линию, касающуюся окружности в точке و٠ а не в С—такую, как, например, линия DKO. Далее поступим с ней так же, как с ли- иией ста., пока ее деления не перенесутся на дугу CD. Когда же де- леиия [линии] DKO перенесутся на дугу CD) деления [линий] DM) мк и КО перейдут на астролябии в деления [линий] DF) FH и HG. Если мы соединим центр с отрезками, [т. е. пересечением] линий [CKL и DKO], то эта [соединяющая линия сама по себе для нас] неважна, ибо нам нужна только [точка] ее пересечения с квадрантом CHD) нахож- дение которой и есть искомое.
Мастера [действий с астролябиями] делят также пополам квад- рант ВС [в точке] X) соединяют X, Z и н и продолжают [линию XZH] в ее направлении^. Затем делят EZ на деления гномона, делят также ZH на равные же деления, соединяют центр с этими делениями, [т. е. с точками пересечений], и продолжают линии за [линию] Z#18 в их направлении, пока они не достигнут дуги DC. Это достигается попа- данием знаков линеек на [искомые] точки. Когда они попадут на дугу CD) они сами отделят линии на требуемую величину. Эти линии будут все более увеличиваться [в числе] в [дуге] HD) причем деления тени на 12.11


Математические и астрономические трактаты.
178
дуге будут все более тесными близ [точки) с, так что мы будем не в состоянии учесть не только единицы, но и пятерки и [даже] десятки де- лений. II Для них трудно зафиксировать цифры и числа [делений] из- за концентрации линий и отсутствия места для написания [цифр] меж- ду ними.
в то время как [обращенные] тени строятся на квадранте CD, и [их деления] становятся тесными близ точки с, напротив, с плоской тенью это происходит близ точки D.
Если обе тени начертаны на дуге квадранта, нет необходимости, чтобы алидада имела что-нибудь кроме двух указателей,— будь она полной по древнему обычаю, или будь она половинчатой с острыми мечеобразными концами по новой системе.


Глава четырнабцатая
ОБ УСТАНОВЛЕНИИ СТУПЕНЧАТОЙ ТЕНИ НА АСТРОЛЯБИИ
Как мы уже говорили, положение с тенями, когда они превышают величину гномона, таково, что деления, [измеряющие) их, становятся тесными из-за концентрации наносимых [на астролябии) линий, что препятствует использованию их на практике. Начертание [очень топ
Рис. 114.
А
ких] чисел, на что способны лучшие из современных мастеров, [лишь до какой-то степени] помогает здесь. II
В некоторых кНигах сказано., что ал-Хорезми! оригинально изба- 74 вился от этой беды с помощью небольших вычислений, объединив обе тени на астролябии и назвав это ступенчатой тенью2.
Чтобы построить это, пусть АЛС. —спинка астролябии (рис. 113). Опустим из середины квадранта CD, т. е. [точки] н, перпендикуляр HF на диаметр АЕС и перпендикуляр HG на диаметр BED. Получит- ся четырехугольник EFHG с прямыми углами и равными сторонами. Возьмем две величины GX и FZ по величине, измеряемой принятыми делениями тени, и [две величины] хо и ZP по величине, измеряемой числами их объединений. [При этом возьмем их] такими, чтобы на астролябии наличествовали уместившиеся обозначения их измерения. Проведем XI и ом параллельно GH. Они пересекутся с ZI и РМ, па- раллельными HF, в точках I и м. Далее соединим MIH и раз-делим каждую из [линий] GH и FH на деления гномона, т. е. на пальцы или стопы. Соединим каждую точку делений с Е линиями, относящимися к линиям [отдельных] делений, как линии ЕК и EN для делений GK и FN. II Из линий же объединенийз чисел здесь будут иметь место 75 только те, которые проходят через крайние о.бъединения, соответствую- щие [делениям гномона, взятым] по два пальца, или по три, или по че-


Математические и астрономические трактата
،SO
тыре. Когда [упомянутые линии) разделятся так, запишем числа, на- чиная от [точек) о и р. предельные из этих [чисел будут отмечены пер- пендикулярами), пересекающимися в [точке) м. Запишем [также] меж- ٠ду точками м и £ по направлению диаметра чйсла квадрата [числа делений) гномона в сумме: если это пальцы, то сто сорок четыре, если это семеричные стопы, то сорок девять, если это дробные ступни, то сорок [два) с четвертью. При д٠ругом дробном делении, которое также возможно, это — сто шестьдесят [девять) четвертей. Законченный вид этой тени на астролябии таков (рис. 114).
Абу-Л-Касим ал-Хасаи ибн Мухаммад ал-Ахвал* построил на [аст- ролябии] квадрат GHFE. [Затем,] отсчитывая одну шестую часть квад- ранта DC) т. е. пятнадцать [частей], от каждой из точек с и ٥ и про- водя из концов [этих дуг] параллельные линии к линиям HF и HG, он
76 получал квадраТ ОМРЕ. II Такое построение необязательно, а зависит только от желания мастера и от обширности тимпана или его малое- ти. И пусть не думает, занимающийся этим, что нельзя [придумать на астролябии] ничего другого.
Я не слышал ничего о причине названия [«ступенчатая тень») и отношения этой тени к ступеням. Не приходит на ум ничего по это-му вопросу, за исключением кое-чего подобного в задачах о лестнице в вычислениях взаимных обменов^ и в разделах алгебры и алмукабалы6. ВОЗМО'ЖНО, что это [название объясняется тем, что это похоже на] из- вестную [по величине] лестницу, прислоненную к стене, с известным [расстоянием] между основанием [стены] и основанием лестницы или между ее концом [и основанием стены]. Тогда основание лестницы, на- ходящееся на земле, отстоит от [основания стены] на известном рас- стоянии и мы хотим [определить], насколько отстоит конец лестницы от основания стены, а это равно [расстоянию] от низа стены до ее [мес- та], в которое попадает конец лестницы, или расстоянию, на которое поднимается ее конец на стене. СХО'ДСТВО между ними состоит в том, что если £١۶—стена на земле FHC (рис. 155), а Солнце находится, напри- мер, в точке А, то тень стены ££ на земле —FC. Если между точками £ и С оказывается стена HG) то конец тени попадает на нее в тодке в. Если высота Солнца увеличится до точки وه то конец тени попадет в точку К: как будто конец лестницы переместился от точки £ к точке к. Если же высота [Солнца] уменьшится до точки М) то конец тени пере- местится от точки £ к точке X) как будто конец лестницы переместил- ся от точки £ к точке X.
Если кто-нибудь хочет измерить величину тени нв, то при этом
77 во многих II слуЧаях нет необходимости рассматривать лСстницу, а [можно только рассматривать] разницу двУх с.тен по высоте. Если величина тени вн будет известна, то в,месте с ней будет известна и величина тени FC, так как ££ относится к FC как BG к ٠£. и если умножить высоту стены, отбрасывающей тень, т. е. ££ر на £وى равную тому, что между двумя стенами на земле, и разделить произведение на £وى т. е. на разность между стеной и тенью вн, в частном полу- чится тень FC) т. е. [тень] стены при О'Тсутствии препятствия. На аст- ролябии [фигура] EFHG построена как квадрат, поэтому при вычис- янии произведение ££ на равное этому —то же, что произведение ££ на EG. Если кто-нибудь Строит эту [Ступенчатую] тень На астроля- бии, он должен разделить алидаду пОпОлам, так, чТо ее край, прохо- дящий через центр, становится диаметром, и середины обоих диоптров не отклоняются от диаметра. Если они отклоняются от него, то лучи [Солнца] не пройдут через оба отверстия и не будут параллельны диа-


ا8ا
Обособление рени о проблемах теней
метру, так как лучи Солнца ощущаются параллельными из-за его от-
٥" ءة ل“"ءسعءء”. "'يء":لئث»ةئ٠“::ةءقةة؛4س
[точки] رى произведение гномона на равное ему, т. е. то, что располо- жено в середине квадрата؛ в частном получится искомая плоская тень.
Если мы ищем обращенную тень, а не плоскую, и если край али- дады попадет на деления ٠я между точкой ى и ее концом, то это и будет искомое. Если же [край алидады] попадет на деления HF, то разделим квадрат гномона на то, ЧТО' имеется между прохождением [алидады] и [точкой] F; в частном получится обращенная тень.
Мы уже объяснили однажды, что гномон — среднее пропорцио. нальное между плоской и обращенной тенями. Поэтому отношение
к FO — таково же, как двойное отношение ^ى к /(£7, а квадрат ى£ равен произведению ^ى на FO. Поэтому, если мы разделим квад- рат длины гномона на одну из теней, в частном получится другая [тень]. Для большей ясности продолжим ЕК и FH в их ؛направлении до их пересечения в [точке] ٠. Тогда два треугольника KGE и EFO ПО" добны, ا| и найденная ^ى относится к GE, равной длине гномона, как 79 гномон EF к искомой тени FO. Для обращенной тени продолжим EN и GH в их направлении до их пересечения в '[точке] м. в силу подобия двух треугольников FEG и GME найденная FN относится к FE, рав- ной гномону, как гномон EG к искомой обращенной тени GM.
Определение обратного этому легко. Если дана тень и требуется [определить] ее высоту, то мы смотрим, и если тень не больше гномо- на и она плоская, то отсчитываем равное ее делениям от точки F в нап- равлении [точки] н. Если же она обращенная, то [отсчитываем это] от [точки] ى в направлении [точки] я. Если же тень больше гномона, то разделим квадрат гномона на данную тень и то, что получится в част- ном, отсчитываем, если тень плоская, от [точки] ى в направлении [точ- ки] н, или, если тень обращенная, от точки F в направлении [точки] я. Далее во всех случаях помещаем край алидады на границу (отсчета], и верхний указатель алидады попадет на высоту этой тени, я встретил у Абу Са‘ида Ахмада ибн Мухаммада ибн .Абдалджалила ас-Сиджи- зи в книге «О действиях с астролябией»8 рассказ о ступенчатой тени, где проводится кх параллельно HF' Он сказал؛ «Если высота меньше


Математически، й астрономические трактаты
182
с. 	рока пяти частей, и алидада попадет в GH, например, в точку к, то ح —это тень, а гномон —ءء Но ح —двенадцать и равна HF, II а ГН0М0.Н إء — часть ее. Но это не наша цель, так как мы определя- ем обратное. Так как هء — двенадцать и известная ЕХ относится к известной кх, как отношение двенадцати, представляющих ЕХ, к чис- лу, представляющему кх9, ЕХ равна GK, а кх равна HF, третий [член пропорции], представляющий FX,— двенадцать, а четвертый [член] د-неизвестен, то если умножить второй [член] на третий,
т. е. двенадцать на двенадцать, получится сто сорок четыре. Разделим это на первый член, т. е. на GK, и в частном получится четвертый [член] хк». Это — близкий [путь]. Но то, что мы разъяснили, более совершенно и значительно более ясно. Можно переносить части двух сторон квадрата с помощью линейки, делящей ٥# и сн так, чтобы пространство квадрата было свободно, и не нужно было бы делить пополам., алидаду.
80


Глава пятнадцатая 81
О ТЕНЯХ, ИЗМЕРЯЕМЫХ НА НАКЛОННЫХ И ДРУГИХ ПОВЕРХНОСТЯХ
Мы достаточно упомянули об определении тени, высоты и каждой из двух т.еней —однОй из них по другой-путем вычисления и по таб- лицам. По измерению тени устанавливается и становится известным время. Это [происходит] потому, что чел۶век иногда не в состоянии не- посредственно применить инструменты [для определения] высоты или
часов, и он может бояться пропустить требуемый момент времени, а измерение тени для него легко. Поэтому он заменяет измерение вы- соты этим, так как это доступнее.
Теперь разъясним искусство этого, у Хабаша ал-Хасиба! в его двух зиджах был метод определения высоты по тени. Он состоял в из- мерении тени гномона. Пусть она DE (рис. 117). Точка ء —ее конец,
٥ —оС'Нование гномона, а —перпендикуляр, восставленный к DE, равный гномону. Соединим EJ и опишем из центра Е на произвольном расстоянии круг, [окружность] которого пересекает линии ED и £ر в [концах дуги] ВС. Это и есть высота Солнца для этой тени. Справед- ливость сего ясна из всего предшествовавшего.
Поэтому, если мы опустим перпендикуляр CF на ЕВ, гномон ID будет относиться к диагонали тени2 JE как CF к СЕ. Но ЕС —полный синусЗ в начерченном круге. Поэтому CF, в соответствии с тем, что бы- ло раньше в силу справедливости этой пропорции,— синус высоты. Поэтому дуга СВ — высота II тени £٥. 82
Это требует более подробного [разъяснения]. Что касается различ- ных ситуаций, то точка в круга высоты может попасть всюду между точками Е и D, а также попасть вне [них] в направлении ED и попасть в самую точку D. Это ясно, и дело —одно и то же во всех [случаях].
Что касается рода теней, то если ED — обращенная тень, и мы хотим


MaîeJUècKUe لأ астрономические Трактат^
4ة1
[определить] ее дугу, т. е. высоту Солнца, то возьмем пример, который привел Хабаш. 3д؟сь получается треугольник JDE (рИс. lis). Затем ٠™^. и^ центра ل на лю؟؟м, какое мы хотим, расстОЯнии крУг. Пусть это Тогда его дуга км — высота обращенной тени ED, так как угол JED — по величине высоты. Поэтому угол EJD — по величине до- полнения высоты, а плоская тень дополнения высоты — обращенная тень самой высоты. Поэтому тень ED, являющаяся плоской Аля высо- ты СВ,— обращенная [тень] для высоты KM. II
Можно определить высоту путем измерения и определить конец тени ء и ее положение؛ это ذ линия ED (^ис. 119). Далее пусть же-
I
лаем'ая величина тени измерена гномоном из- вестной величины. Если дело обстоит так, опишем из центра Е на каком угодно расстоя- НИИ круг СВ и отложим при В дугу ВС, рав- ную высоте. Продолжим ЕС и опустим пер- лендикуляр CF на ED. продолжим его в его направлении до А так, что AF будет равна гномону. Затем проведем AJ параллельно ED и JD параллельно AF. Тогда £٥—тень гно- мона JD, если высота—СВ. II Это совершен- но ясно из того, что было сказано раньше.
Возможно, что необходимо определить вре- мя спешно, когда нет возможности отрегули- ровать инструмент и гномон восстановлен на горизонтальной плоскости, но параллельно к стоящему вертикально. Тогда отметим на этой плоскости в вершине тени отметку для фиксации требуемого и уточним [это] позже. Это — из того, что указал Иа.куб ибн Тарик* о своем вычислении в своей «Книге об аргументации [зиджей]»5~ пример этого. Пусть горизонталь-
плоскости наклонной к
83
8,4
А
ПЕРВЫЙ ٥т٥р٥и
Рис.120.
ная плоскость —ВС гномон —лв, перпендикулярный ей, плоскость, на которой находится измеряемая тень — BE, а установленный конец тени —В (рис. 120).
На первом чертеже тень вместе с гномоном охватывает О'Стрый угол АВЕ, а на втором чертеже она вместе с ним охватывает тупой угол [АВЕ]. Поэтому если после этого плоскость будет выровнена до EF — расстояния конца тени до горизонтальной плоскостиб, то можно определить искомую тень, т. е. ВС. Дело в том, что АН известна, так (как он.а на первом чертеже воспроизводит разность между гномоном и расстоянием между вершиной тени и горизонтальной плоскостью, а на .втором чертеже —их сумму, а ЕН равна вв — «средней тени». [Сум- ма ЕН и FC] на первом чертеже и разность между FC и ср.едней 85 тенью на втором чертеже и есть требУемая тень, т. е. ВС. II Следова¬


185
Обособление реии о проблемах теней
тельно, определим высоту вершины тени от основания иомона. Выч- Тем ее из него, получится запомненное для дел'ения. Если мы возьмем Корень разности между двумя произведениями, а имен'но имеющейся тени умноженной на себя, и высоты вершины или ее понижения, ум- ножеиной на себя, получится средняя тень. Умножим ее на эту высоту или понижение и разделим полученное на запомненное, в частном по- лучится поправка?. Если запомненное получилось из разности, при- бавь поправку к средней -тени, а если запомненное получилось из сум- мы, вычти запомненное из средней тени. То, что получилось после сложения или вычитания,—это то, что мы хотели получить для ис- правленной тени на плоскости горизонта. А также: АН, запомненное, относится к ЕН, средней тени, как гномон AB к требуемой тени ВС, Поэтому, если мы умножим среднюю тень на гномон и разделим про- изведение на запомненное, в частном получится исправленная тень. Если измерить АЕ, диагональ этой ؛наклонной тени, нитью или линей- кой, и вычесть произведение запомненнО'Го на равное ему из произве- дения этой диагонали на равное ей, останется произведение средней тени ЕН на равное ей. Запомненное АН относится !1 к средней тени 86 как гномон AB к ВС, т. е. требуемому. ПоэтО'Му, если мы умножим среднюю тень на ГН0М01Н и разделим произведение на запомненное, в частном получится исправленная тень«.
Если получена высота Солнца во время измерения тени гномона AB, для нас ВО'ЗМОЖНО определить наклон исправленной тени. Этот НК۶0Н —по величине угла ЕВС. ЕВ относится к ВС как синус угла ЕСВ, который —по величине высоты, к синусу угла ЕВС. ПоэтОму, если мы измерим тень ЕВ, вычислим по ее высоте тень ВС и сравним их, то если они равны, значит ЕВ — на плоскости горизонта. Если вы- численное превышает действительное, то конец тени £ —над плос- -КОСТЬЮ горизонта, а если вычисленное короче действительного, то Е ниже плоскости горизонта.
Для того, что.бы узнать величину этого превышения или пониже- ния, умножим синус высоты Солнца на данное время на ее вычислен- ную тень, разделим произведение на действительную тень, и в частном получится £۴ —синус угла наклона в масштабе, в котором пол-
ный синус.. EF относится к ЕВ в масштабе этого синуса как EF к ЕВ в масштабе тени. Поэтому, если мы умножим то, что у нас получилось в частном от деления синуса угла наклона на действительную тень и раздел.им произведение на полный синус, в частном получится вели- чина превышения конца действительной тени над плоскостью горизон- та или понижения его под ней в частях, являющихся частями гномо- на f. II
Это подобно тому, что обосновал Абу Бакр Мухаммад ибн ‘Омар 87 иби ал-ФарруханЮ в своем зиджеИ при определении тени гномона, воС- ставленного на поверхности изготО'Вленной сферы с известным диамет- ром, ко^а эта тень пада^ на ее поверхность во время, для которого высота Солнца известна. Вот рассказ Об этом: «УзИай диаметр с^еры в пальцах гномона. Затем прибавь гномон к полудиаметру сферы. Ум- ножь сумму на си'нус высоты и раздели произведение на полный СИ- нус. Получится запомненное. Затем снова Умножь сумму ра сферы и гномона на синус дополнения высоты и раздели произве- дение на полный синус. То, что получится в частном, умножь на равное -этому и вычти произведение из квадрата полудиаметра сферы. Затем -вычти корень того, что осталось из запомненного, умножь Остаток на синус дополнения высоты, раздели произведение на полудиаметр сфе-


Математические и астрономические TpaKtaTbl
ры и перейди от того, что получилось в частном, к дуге плоского [си- нуса], чтобы получить тень на поверхности сферы в частях, в которых ее пояс — триста шестьдесят. Если же ты хочешь получить ее в паль- цах, умножь диаметр сферы на три и одну седьмую, а произведение — на части дуги тени, раздели произведение на триста шестьдесят. Полу- чатся пальды тени на поверхности сферы»!2.
В этом вычислении по вине переписчика имеется путаница в дока- зательстве. Поэтому отбросим то, в чем мы не уверены, и будем гово- рить о том, что мы знаем. Пусть ГНОМО'И AB перпендикулярен к по- верхности сферы. На первом чертеже (рис- 121) она выпуклая, а на
в
88 втором чертеже —вогнутаяЗ Центр сферы —Е. أ проведем касатель-
нуЮ АС к ней в А. Пусть луч Солнца, проходящий через вершину гно- мона —Кб#. Пусть тень гномона на плоскости горизонта —а на круглой поверхности — ^.. проведем GEH перпендикулярно полудиа- Юетру ^6 и опустим перпендикуляр ٥м на Тогда [он —] синус
дугИ тени, а перпендикуляр DG на £# —синус ее дополнения. ЕВ, сумма пальцев полудиаметра сферы и пальцев гномона, относится к вн как синус высоты, которая по величине угла АНВ, к полному СИ- нусу, причем угол 66#— прямой. Поэтому 5# известна. Ее синус относится к 6# как полный синус к синусу дополнения высоты, кото- рая по величине угла равна ЕВН. Поэтому 6# известна, и все сторо- Ны треугольника 66# известны. Опустим ٠в треугольнике ВЕН из пря^ мого угла высоту EF на его гипотенузу!*. Тогда квадрат 6# равен произведению ВС на CF и, следовательно, CF известна и перпендику- лЯр EF известен. Полудиаметр ED квадрирует^ его и FD; поэтому FD также известна. Следовательно, вся #٠ известна, а #٥ относится к DG как #6 к BE. Поэтому DG известна, а это синус дополнения частей тени на сфере.
Сущность этого вычисления —в том, что мы прибавляем пальцы полудиаметра сферы к гномону, это первое запомненное. Мы умножа-
89 ем это на полный синус и делим то, |ا что получилось, на синус высоты. В частном получается второе запомненное. Умножаем это на синус дополнения высоты и делим то, что получилось, на полный синус. В частном получается третье запомненное. Умножаем это на равное ему и делим произведение на второе запомненное, в частном получа- ется четвертое запомненное. Умножаем его на равное ему и умножаем третье запомненное на равное ему. Берем разность между произведе-


181
Обособление речи ٠ проблемах теней
ниями, вычитаем ее из произведения полудиаметра сферы на равное ему и прибавляем корень из того, что осталось, к четвертому запом- ненному. Умножаем полученную сумму на первое запомненное и де- ЛИМ результат на второе запомненное, преобразовываем то, что по-,, лучилось в частном, умножая это на полный синус и деля произведе- нИе на полудиаметр сферы, [умноженный, на три и одну седьмую, а затем деля полученное произведение на триста шестьдесят, в част- 'НОМ получаются пальцы тени на внешней поверхности сферы или на' ее внутренней поверхности!..
Поскольку произведение суммы EF с полудиаметром на разность между ними равно произведению DF на FK, ^٥ известна, произведе- ние КВ на BD известно, так как оно равно произведению OB на ВА. Произведение кв на BD вместе с квадратом FD равно квадрату FB, [так как] произведение KD на DB вместе с квадратом DB равно про- изведению кв на BD, и если мы добавим к произведению кв на BD квадрат FD) получится квадрат FB. Разность между его стороной и ۶٥-это DB, а она относится к DM как вн к НЕ. Поэтому DM, СИ- нус II дуги AD, известен. Вычисление этого после получения разности 90 между двумя предыдущими произведениями таково: возьмем корень из нее, прибавим его к полудиаметру сферы, [записав] в одном месте, и вычтем его из него в другом месте. Умножим одно из того, что [за- писано.] в этих двух местах, на другое, а затем на четыре и запомним корень из произве.дения. Умножим сумму диаметра и гномона на диа- метр сферы и [половину] запомненного корня на равное ей. Возьмем корень из суммы обоих [произведений]. Вычтем из этого корня поло- вину запомненного корня, умножим остаток на третье запомненное и١ разделим произведение на второе запомненное, в частном получится синус частей дуги тени, преобразуем их в пальцы, как раньше!?.


Глава шестнадцатая
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОЛУДЕННОЙ ТЕНИ В ЛЮБОЙ ЗАДАННЫЙ день
Если день задан, то положение Солнца в полдень известно. Для того, чтобы перейти от его склонения к требуемому, в качестве проме-
91 жуточной [велИчины] определяется II полуденная вНсота. Южное скло- нение независимо от [дополнительных] условий. Разность между ним и между дополнением широты города, равным полуденной высоте [Солнца] в начале Овна и Весов!, это и есть полуденная высота Солн- ца в заданный день в южной стороне. Что же касается северного скло. нения, то оно связано с широтой города и поэтому подразделяется на три вида. Один из них — кО'Гда оно меньше широты города: тогда его сумма с дополнением широты города — полуденная высота в южной стороне. Второй —когда оно превосходит широту города. Тогда, если вычесть его сумму с дополнением широты города из ста восьмидесяти, получится полуденная высота в южной стороне. Третий — когда оно равно широте города, тогда полуденная высота вместе с ним состав- ляет точно девян'осто градусов, и она не относится ни к северной ни к южной сторонам^ Полуденная высота при отсутствии склонения — дополнение самой широты города, о чем говорилось особо.
Что касается первого вида северного склонения, то он наиболее об- ший для обитаемой части [Земли]. Что касается второго вида, то он характерен для стран, называемых «обладающими двумя тенями». Дело в том, что [здесь] вершина тени направлена в противоположную от высоты сторону, и поскольку возможно, чтобы в одном месте полу- денная высота имела место, иногда в южной стороне, а иногда — в се- верной стороне, конец полуденной тени также иногда имеет северное
92 наПравление, а иногда —ю^кное. II Что же касается .третьего вида, то он имеет место в странах, обладающих двумя тенями между двумя упомянутыми временами, а также в начале стран, обладающих одной тенью, в месте, широта которого равна наибольшему склонению. По- этому здесь тень исчезает один раз в году — в [день] летнего солнце- стояния, в осталь'ное же время вершина тени бывает в северной د0ة0ى не. Земной экватор — из [мест] обладающих двумя тенями. Полуденная высота в нем — всегда дополнение склонения ؟олнцаЗ. Если эта высо- та известна, то согласно предшествовавшему известен также и восхо- дящий градус [эклиптики]. Это — правильное правило, опирающееся на доказательство, и тот, кто не соблюдает его, укло'Няется от точности, заменяя ее упрощением и приближением, подобно индийцам, которые определяют сие с помощью весьма слабых действий. Как я слышал от них, они находят заданное число, различное для каждой широты, которое они называют астарки4. Для земли СиндЗ, широта которой меньше тридцати градусов, это тридцать шесть, а для земли Лахора.,


189
Обособление речи о проблемам теней
широта которой около тридцати двух градусов,— тридцать восемь, как будто это минуты? самого длинного дня, или превосходит их на одну минуту. Они вычитают из ЭТОГО' минуты данного дня, умножают второе на минуты ночи этого дня и делят произведение на минуты этого дня, в частном получаются пальцы полуденной тени٥. Абу Са.ид ٦, рассказывал, что он видел некоторых индийцев, которые
умножали шесть на шесть и получали основу для Синда, то есть са- мый длинный день. Далее они умножали разность II между самым 93 длинным днем и данным днем в минутах на пять, делили произведение на четыре, и утверждали, что частное от деления — полуденная тень, и что так действуют большинство из них!.. Что касается лучших из них, то в своих зиджах!! они следуют правильному методу, который мы указали, но трудно доказать, что у них ؛правильно, и что] непра- ВИЛЬНО, так как они отклоняются О.Т правильного пути и [правильное] установление у них возможно только при случайном совпадении. По- добные совпадения имеются в их различных приближениях.
К сему относится то, что говорит об удвоении склонения Солнца: если имеется южное склонение, то его удвоение делится на пятнад- цать, а частное от деления прибавляется к пятидесяти семи. Тогда после прибавления или вычитания этого получается полуденная тень٩ Это похоже на то, что имеется в зиджах Абу ‘Асима ‘Исама, вольно- отпушенника Халида ибн БармакаЗ Абу ‘Асим сказал: «Возьми для каждого градуса северного склонения тринадцать и две трети минуты и вычти это из тени [в день начала] Овна в твоем городе. Останется полученная тень в этот день. Возьми для каждого градуса южного склонения двадцать пять минут и прибавь это к тени [в день начала] Овна в твоем городе؛ получится полуденная тень»14.
Еще более неосновательно, когда говорят: вычти заманы дневной дуги!5 всегда из двухсот шестнадцати. Раздели то, что осталось, на пять с четвертью и запомни частное от деления. Затем раздели раз-, ность между дневной дугой и ста восьмидесятью на восемнадцать. II То, что получится в частном, прибавь к запомненному и получится по- 94 луденная тень!.. Такие [числа] находятся последовательным подбором!7 для [данного] места, но не для другого, а здесь частное возведено в общее.
Некоторые из них говорят: раздели на синус полуденной высоты девятьсот семьдесят пять, умножь частное от деления на равное это- му, вычти из этого сорок два с четвертью, возьми корень разности и получатся стопы полуденной тени. Это — не из данной области, но сие правило верное!..
Уже было доказано, что синус высоты относится к полному сину- су как гномон к диагонали тени!.. Но произведение полного синуса на гномон не изменяет своей величины. Поэтому если полный синус — сто пятьдесят, а гномон — шесть с половиной, то число, полученное от ум- ножения одного из них на другое,— принятое для деления на синус высоты, а частное от этого д.еления — диагональ тени, квадрирующая гномон и требуемую тень2٠.


Глаеа семнадцатая
О РАВНОДЕНСТВЕННОЙ ТЕНИ в ЛЮБОМ ГОРОДЕ
Равноденственная тень — это полуденная тень, ког^а Солнце на- ходится в начале знака зодиака Овна или Весо:Е Следовательно, это —одна и؛ полуденных теней при условии, что [Солнцу] не имеет склонения. Так как это — тень допоЛ'Нения широты города, она [назы- вается] также экваториальной тенью!.
пОэтому ан-Найризи2 и Иа‘куб ибн ТарикЗ сказали; для ее опре- деления умНожь син؛с II широты города на гномон и раздели произве" дение на синус дополнения широты
города, в частном получится эква- ториальная тень*. Имеется некото- рое сомнение [относитель-но автор- ства] слов йа’куба, так как он на- зывал синус «прямой хордой>>5, так же как слов ؛ал-Баттани8, который
95
Рис. 122. Рис. 123.
называл синусы хордами [имея в виду, что] он делит их пополам. Что касается этой тени, то ее величина получается наблюдением, так что она может заменить широту города. Поэтому индийцы характеризовали города тенями, как мы характеризуем их широтами.
Ал-Кинди? принадлежит подробное изложение этого вопроса, где он сказал, что тень начала Овна короче тени начала Весов и нет ра- венства между тенями двух противоположных мест зодиака за искл-ю- чением пяти градусов знаков зодиака Девы и Рыб8. Смысл его. речи подобен тому, что мы указали, благодаря различию расстояний С-ОЛН- ца от Земли.
Пусть ABCD — круг меридиана с центром Е) являющимся цент- ром мира, a EG — пересечение его плоскости с плоскостью небесного экватора (рис. 122). Отложим دء — среднее расстояние Солнца от Земли. Так как апогей ПО-теории Птолемея у ал-Кинди в пяти с поло- виной градусах Близнецов^, то начало Овна — между средним рас- стоянием и апогеем, а его расстояние от Земли болыие среднего рас- 96 стояния. Пусть это ЕК. Аналогично, начало II Весов — между средним расстоянием и между [точкой] противоположной апогею, и его расстоя-


191
Обособление речи о проблемах теней
ние от Земли меньше среднего расстояния. Пусть это ЕМ. Однако в положении, в котором гномон — тень в каждой из двух точек к и м — FI, так как она не изменяется по величине и необходимо су- ществует и ощущается. Но ал-Кинди в своем указании на изменение тени принимал гномон за ЕН и проводил из точек ^ и м к его верши- не два луча кнх и мно. в этих двух упомянутых точках тень разли- чается на величину хо. Но это — результат воображения ؛такого по- ложения! в сфере Солнца. EL у Птолемея — тысяча двести десяти- кратный полудиаметр Земли!., и какова же будет кратность этого для гномона при том, что оба средних расстояния не очень удалены от ؛точек) равнодеистзий, в особеН'Ности в наше время! Величина мк по' отношению к. EL не очень существенна и не заметна в сфере Солнца в силу малости как полудиаметра Земли, так и удвоенного расстоя- ния между центрами подобного [эклиптике) круга и эксцентрического круга по отношению к полудиаметру [сферы Солнца). Для чувств эти обстоятельства ощутимы ؛лишь) в сфере Луны, так как полудиаметр Земли не столь незаметен по отношению к ее полудиаметру, и в силу большей разности между ее самым близким и самым далеким рас- стоя^и؟^н [от Луны). |ا
В [книГе] д^я ученых и обучающихся сказано: «Если экватори- 97
альная тень возрастет на палец в направлении к верхнему концу До- черей погребальных носилок!!, то [ее место) поднялось [над экватором, т. е. широта возросла), на сто двадцать *apcaxoß!2, но если она воз- растет на палец в направлении Нижнего Сухейля!з, [ее место) опустит- ся, [т. е. станет с южной широтой,) на ту же величину», я думаю, что это исходит от кое-кого из манихеев!4, которые связывают север с под- нятием [места тени), а юг —с понижением и [ее) уничтожением^. Пер- вое [объясняется] тем, что передвижение по Земле происходит по дуге и нет отношения между дугами и прямыми, т. е. хордами или тенями. Второе, уничтожение [тени, объясняется! тем, что при продвижении на север происходит увеличение [тени!, а [затем], при возвращении, про- исходит уменьшение, пока верши'на тени не «обломается» в направле- НИИ юга. Но вьтражение «возрастание» вводит в заблуждение при разъяснении этого. На юге же это возрастание невозможно в обитае- мой области. gg
Предположим ا| положение к югу от земного экватора. Пусть 98 NRPZ — дуга круга меридиана, — пересечение его плоскости с плоскостью небесного экватора, а центр мира —^ (рис. 123). пред- положим, что [дуги] NR, RP и PZ равны и каждая из них соответству- ет ста двадцати фарсахам на Земле и подобна им. Что касается линии земного экватора, то на ней экваториальная тень исчезает. Она име- ет место в местах, отклоненных от нее на [некоторую] широту, продол- жим NA в ее направлении до тех пор, пока AB не станет равна гно- мону. Опустим на нее перпендикуляр ВС. Тогда экваториальная тень —на широте RN. продолжим РА в ее направлении до тех пор, пока АЕ также не станет равной гномону. Опустим на Нее перпенди- куляр EDF. Тогда экваториальная тень —на широте PZ. Ясно, что треугольники ABC; AED и AGH подобны. Поэтому отрезки теней ВС, вк и вм для дуг RN, RP и RZ равны, а избытки неравны, T. е. ск не равна КМ, ибо, если мы опустим перпендикуляр XAL, сх равна XL в силу равенства углов САХ и XAL. Следовательно, если мы проведем ХО параллельно ML, то МО равна ос. Поэтому КС меньше км. Сле- довательно, [утверждение о том, что] экваториальные тени отличаются на палец в каждых ста д^дцати фарсахах, слава Аллаху, ложно.


II Глава восемнадцатая
99
ОБ УТОЧНЕНИИ НАПРАВЛЕНИЯ МЕРИДИАНА ПО ДВУМ ТЕНЯМ ИЛИ ПО ДВУМ ГЛАВНЫМ АЗИМУТАМ
Что касается построения! плоскости на поверхности Земли, парал. лельной горизонту, ее нивелирования и выравнивания^ то это —дело, связанное с искусством обмазки глиной и гипсомЗ. у владеющих им имеются инструменты —отвесы и нивелиры* для достижения этого. Недвижимость гладких шаров на любых ее местах, различие воды при ровности ее слоя или катание ртути по ней являются самыми верными указателями ее совершенства и правильности.
Пусть АЕВ при этих условиях — на пересечении плоскостей круга меридиана и горизонта (рис. 124). Тогда это —линия меридиана, а
Рис. 125.
ХЕО — на пересечении плоскостей небесного экватора и горизонта, т. е. на равноденственной линии5. Пусть HDB — треугольник дняб. В нем HD - синус II полуденной высоты, DB — сумма? сИ'Нуса ее допол- нения и ءة — синуса амплитуды восходаЗ, а —стрела дняЭ Пусть ЕАС —треугольник времени!.. Соединим /(с£й продолжим КЕ не- ограниченно в ее направлении до I. Пусть тень—(на £7, ее азимут от равноденственной линии — по величине угла XEJ, а от линии мериди- ана — по величине угла BEI. Построим угол OEZ равный углу XEI и продолжим ZE в ее направлении до тех пор, пока она не встретит KM в L. Опустим перпендикуляр [из] L на AlC. Построим угол LA\G равный углу KCF. Тогда A)G равНа CF и параллельна ей. Соединим G с L Так как М£ — общая для двух подобных треугольников КМЕ и LME, два подобных треугольника LXE и КОЕ равны. Поэтому каж- дая из [линий] A\L и AjG равна соответственной из [линий] ск и CF, а углы А и С равны. Следовательно, основания KF и LG равны, и один треугольник равен другому и подобен ему. Две части ,[тени] в два МО- мента времени £ и G равны, и их высота имеет одну и ту же величину؛
100


193
Обособление речи о проблема теней
поэтому ее синусы GL и KF равны. Но тень связана с высотой, поэтому две тени также равны, и расстояния этих двух моментов времени от П^удня равны, так как их синусы км и ML в суточном круге равн؟. I! ل0ا Поэтому прошедшая часть дня в момент времени F равна оставшейся его части в момент времени G. Известно, что если мы получаем два азимута в двух половинах дня с равным расстоянием от полудня, то линия меридиана необходимо посередине между ними. Следовательно,
—посередине между азимутами ЕК и EL. Она получается делени- ем пополам угла KEL или тем, что равноденственная линия ограничи вает вместе с ними два .равных угла — КЕО и LEX. Как мы установи- ли, ЕК и EL равны. Соединим KcL и проведем ох параллельно KL.
Так как азимут, высота, тень и прошедшая и оставшаяся части дня связаны друг с другом, и если все они — по одну сторону от полудня в сторону востока или запада в одной местности и в одно время, то они имеют фиксированные величины и не изменяются при этих уело- ВИЯХ. То же имеет место и если они —по разные стороны полудня на одном суточном круге или на двух суточных кругах, связанных равен, ство^ склонения при с^вп^^ени؛ сторон ؛от полудня] !! 102
Пусть, НаПримСр, — плоскОсть горизоНТа заданной местно- 1.2
сти (рис. 125), АЕС на ней —линия меридиана, — равноденствен- ная линия, АХС — круг меридиана, зенит на нем — X. Опи- шем из этой ؛точки] на расстоянии дополнения высоты альмукантарат" KOG, и пусть Солнце на нем — в точке о. проведем через нее из точ- ки X большой круг XOF. Тогда 0۶ —высота Солнца, а — расстоя- ние его азимута от ؛[точки] равноденствия. Опишем из I, полюса небес- ного экватора, на расстоянии 10, дополнения склонения Солнца, суточ- ный круг OL. Тогда ؛дуга] OL на этом суточном круге — прошедшая часть дня, ؛если она] со стороны востока, или оставшаяся часть дня, [если она] со стороны запада, a LB — амплитуда восхода Солнца или его захода!2٠ Поскольку каждая точка альмукантарата KOG определяет высоту, равную высоте OF, все суточные круги, которые пересекают этот альмукантарат, будут иметь эту высоту, но в точке отличной от О. II Параллельное альмУкантараты Не пересекаются, и азимут FB бу- 103 дет на Этом альмукантарате ТОЛЬК-О в точке 0و и так —для ؛[всего] кру- га LO. Что же касается тени, то она известна, так как ее величина из- меняется по величине высоты^з, а ее азимут противоположен азимуту высоты. И если тень высоты OF найдена во многих суточных кругах, ее азимут на них не будет противопо.ложен .точке F горизонта, даже если прошедшая часть дня измеряется величиной LO. Пусть теперь إ — зенит в другой местности, а НВМ — ؛дуга] ее горизонта. Проведем ZOH14. Тогда высота о в ней, а это он, превы'шает OP, а ОР больше FH так как угол OFP прямой. Но при данном круге ؛альмукантарата]
[ОР] меньше OL. Поэтому высота OF не может иметь места в местно- сти z с альмукантаратом более высоким, но подобным альмукантарату KOG. Круг '؛альмукантарата] там меньше. Здесь с тенью правильно связывается сторона В'ЫСОТЫ. и это не удивительно для тени, как ؛не] удивительно для высоты. Ведь азимут определяется, когда определена тень. Однако направление востока и запада определяется только по высоте.
Иногда спрашивают, возможно ли, чтобы в городе, известном по широте, восхождение было одним и тем же в два различные момента времени, в которое положения Солнца в них различны, а его высота — в одной стороне и одной величины? Обычно, отвечая, спешат отрицать возможность этого. Суть этого объясняется тенями, II а [именно тем, что] 104
13-11


Математические и астрономические трактаты
،9،
одному восхождению ؛[соответствуют) две равные тени в одном из квад- рантов горизонта в различные моменты времени. Для разъяснения этого пусть 45С٥٠горизонт этого города, разделенный на четыре части дЕумя линиями. ؛[Точка) АвостОк, ة- юг (рис. 126), EGH — половинЕ зодиакальногО круга с полюсом F. Пусть '[£] —градус вое- хождения. Проведем ЕАКруг широты климата наблюдения: X на L В р
нем —зенит. Опишем из него альмукантарат [КМ]. Он пересечется с зодиакальным поясом в к и м с О'ДНОЙ стороны, в нашем примере —на востоке. Тогда высоты ![этих точек) KN и ML — восточные и равные. Известно, что Солнце, когда оно в М) обладает высотой LM перпенди- кулярной к горизонту, а когда оно в Kl обладает высотой KN. Они рав- ны, так как они — для одного альмукантарата. Восхождение в каждый из двух моментов времени — одно и то же: это — точка Е. Солнце между этими моментами времени проходит по зодиакальному кругу дугу MGK.
Если альмукантарат не пересекается с [зодиакальным] поясом с одной стороны, а пересекается с ним с двух сторон, как альмукантарат 01, то выСота СолнПа будет в точках пересечений о и I. Обе ؛[высоты) ОР и IZ будут равны: восхождение — одно и то же, а расстояние меж- ду двумя положениями Солнца будет болыне, чем в первом случае. I!
Если же амплитуда восхода [точки] восхо^кдеиия южная, то высб- ты XL и KG — со стороны запада, тогда как раньше они были восточ- ными. В случае отсутствия '[амплитуды] одна из них будет необходимо восточная, а другая западная. Это необходимо в случае одной местно- сти. Что касается двух равных высот в ней, то они не применяются ,[практически] нами за исключением двух равных азимутоз, соответст- вующих им, ибо тень является их указателем. А что касается двух равных кругов (альмукантаратов), то и их польза только такая }ке, как польза от двух равных высот.
На равенство величин двух времен, {отсчитываемых], с двух сторон от полудня, указывает только равенство двух высот или равенство дви- жений в двух промежутках времени, при [определении] равенства ДЕИ- жений прибегают к инструментам, измеряющим время с помощью вы. текания из них воды, [высыпания] песка или других веществ, состоящих из подобных частиц, или втекания II воды в них*5. Равенство двух высот определяется с помощью наблюдения в кольцах, тимпанах или с помощью теней, связанных с ними. Поэтому если мы наблюдаем высоту с помощью приспособленных для этого инструментов и полу- чйм ее утром и вечером, мы проведем линию промежуточную, между двумя полученными азимутами. Это и будет линия меридиана.
105
106


IS
Обособление речи о проблемах теней
Если мы хотим наблюдать две равные тени, то это действие из- вестно как действие с помощью индийского круга. Оно предложено индийцами в зидже «ал-Арканд»18 и в [других] зиджах индийцев. Их вычи.сления — первые, которые попали в страны, ислама из этих [зид- жей]17. Их действия [состояли] в том, что Перпендикулярно к ровной плоскости, параллельной горизонту, восставлялся гномон, как гномон AB, и из ценТра AB описывался на произвольном расстоянии круг (рис. 127): если оно —больше, то окружность круга будет больше, ц действие будет более точным. Далее наблюдаем тень в первую поло- вину дня, когда она простирается в направлении запада, наблюда- ем ее уменьшающейся перед ее вхождением в круг и отмечаем место ее вхождения на окружности. Пусть это, например, с. Далее мы на- блюдаем ее во вторую половину дня, когда она уНеличивается и про- стирается в направлении востока до ее выхода из круга, например, в точке ٠. Тем самым найдены две равные высоты, и" меридиан необ- ходимо находится между ними. Соединим Си. прямой линией и разделим пополам хорду CD в Е или дугу CD в F или дополним ее до полного круга [и разделим пополам] в G. Соединим центр А и точки середин جدرة и. или соединим все их линией GF. Это и есть линия меридиана, делящая пополам II угол CAD. 107
Грек Пулиса*8 и Виджаянандин из Бенареса^ описывали из каж- дой из [точек] С и ٥ на расс.тоянии CD круг и соединяли голову «ры- бы»20, получившейся от пересечения этих двух кругов, с ее «хвостом»: при этом получается линия GF.
Далее, если угодно, проведем линию вое ГОК — запад21. Это перпен- дикуляр, [восставленный] вАк [линии] GF, или диаметр, исходящий из Псовин '[дуг] GDF и GCF. Если мы зЗхотим, после получения [линий]
GF и CD, сотрем остальные '[линии] и опишем из центра Е на произ- В0ЛЬ0؟М расстоянии круг. Тогда тот его диаметр, который в направле- НИИ [линии] G رج —линия П0лудня22, а тот, который в ؛[направлении] ли- НИИ С — равноденственная линия. Что касаетСя рекомендуемой вели- чины гномона в этом действии, то она [должна быть такой], чтобы его тень зимой была бы короче полудиаметра круга во всей обитаемой [части Земли], но так, чТобы ее Ялина не была недостаточной и доста- вала бы до круга, а не проходила бы с запада на восток вне его.
Еще Птолемей ограни.чил части обитаемой [части Земли] на севере островом [Туле]28, объявив, что его широта — 1.неСтьдесят три части. До- полнение ее широты — двадцать семь частей24٠ а высота начала Козе- рога там — три части с четвертью и одной шестой25٠ Пальцы ее тени там-двести один палец с четвертью, что равно гномону, взятому шест- надцать и три четверти раз2б. Если же полудиаметр круга будет сделан больше семнадцатикратного гномона, расстояние кОНца Тени [будет слишком большим и] дело становится 1трудным]27. II
Однако мы утверждаем, что народЫ, у которых мы находим доста- 108 точно человеческих качеств, которые обусловили бы для них доброде- тели благих законов [жизни] или рвениЯ к науке, таковы, что их Селе- ния не превосходят сорока восьми частей по широте. Дополнение этой 1пироты —сорок две части, а высота начала Козерога там — восемнад- цать частей с четвертью и одной шестой28٠ Пальцы ее тени — тридцать шесть пальцев и три десятых пальпа29٠ . э'го приблизительно тройной гномон. Поэтому очевидно, что если изготовить гномон равный одной восьмой диаметра '[круга] на .этой широте, то в [момент] зимнего солнце- стояния тень не будет недостаточной для проникновения в круг. Это не касается народа, известного как булгарыЗ؛), являющегося мусульма- нами и обитающего так далеко на севере, что широта там не меньше с.орока пяти [частей]., а гномон равен одной шестой [доле] диаметраЗ!..


Математические и астрономические трактата
Абу Бакр Мухаммад ибн ‘Омар ибн ал-Фаррухан32 пытался в своем зидже один раз пользоваться II одной шестой диаметра, другой раз — половиной одной шестой. Тот, кто пользуется правилом сего, изложен- ным нами, может брать для всякой местности величину гномона, кото- рая подходит там. [Абу Бакр же], когда он говорил об индийском круге. Применил другой '[метод].
Он таков: восставимЗз перпендикуляр AB к плос.кости параллель- ной горизонту и укрепим на его вергиине линейку CG (рис. 128)34, которая будет вращаться во все сторонь؛ параллельно горизонту. В конце С укрепим указатель СЕ, и подвесим к его основанию отвес СМ, касающийся своим концом поверхности земли. Далее линейка по-
ворачивается утром до тех пор, по- ка луч (буква-льно «глаз») Солнца г не оКаЖеТся против диоПтра, кото-
рый затенит середину линейки, и тень в это время будет [иметь поло- жение] CG. Отметим положение
Рис. 129.
конца огвеса м на земле؛ это — к. Далее повернем вечером ее до тех пор, пока луч Солнца не окажется снова протИв указателя, и ٤удем на^Еюдать Тень указателя до тех пор, пока она не достигнете. Отме- ТИМ в это время положение конца отЕеса на земле؛ это — F. Определив точки К и F, отложим на двух линиях азимута от основанияЗЗ [перпен- дикуляра] две равные линии AF и АК, соответствующе двум момен- Там врЕмени, кОгда высоты с.олнца равны. Соединим к с F и построим на KF равнОсторОнний треугольник KFH. Соединим А с н. АН делит угол KAF пополам. Но полдень - [посередине] между этими двумя МО- Рентами времени, поэтому линиЯ меридиана — [посередине] мщду этими дву^я азимутами. Следовательно, А# —линия м٠еридиана. Если точки АД и F оказываются на одной прямой, то ..действие произво- дится для времени, когда высота не имеет азимута. II
Мы моЖем сделать весы с коромыслом^, параллельным горизонту, с помощью которого можно фикСировать тень язычка. Будем взвеши. вать их чаши с двумя равными грузами до тех пор, пока коро-мысло не будет параллельно горизонту. Будем наблюдать тень язычка в не- который момент времени первой половины дня до тех пор, пока ее конец не достигнеТ серединЖ коромысла. Отметим К0Н؟Ц тени и оба места, кас'ания оборотНых стороН чаш с поверхностью Земли. Для это- го чаши делаются в форме конусов, чтобы глаз мог уловить эти две упомянутые точки. Если мы их найдем, соединим их, при этом п^лу- Чится линия AF. Подобно этому и действие после полудня. Мы наблю- даем ؛[тень] до тех пор. пока конец тени язычка не достигнет середины коромысла. ؛[Получится] то же, что ц первая величина, отмеченная на


197
Обособление речи о проблемах теней
нем. Отметим также в это же время места, в которых чаши касаются Земли, и соединим обе точки касания. Получится линия КА, илипарал- лельная ей. Тогда |ا точки последнего касания — [точки] OhZ. По- 111 этому OZ параллельна КА. продолжим каждую из линий FA и OZ до тех пор, пока они не пересекутся в р (рис. 129). Тогда РМ, делящая по- полам угол OPFлиния меридиана, так же как لا— линия мери- диана в одной местности^, если только они не удалены друг от друга на большое расстояние, тогда они параллельны. На самом же деле на поверхности Земли это —два круга, пересекающиеся на оси первой сферы. Но они кажутся прямыми линиями, которые параллельныЗ٥. Каждая их них — в одной местности является линией меридиана [опре- деляемой] с помощью гномона, восставленного в ней. Это и есть то, что мы хотели.
В случае совпадения одной из линий OZ и КА с линией AF, '[когда они] в одном направлении, то это —высота, [которая в момент] изме- рения не имеет азимута. Все, что мы указали для облегчения этого действия, приводит к [тем же] целям, что и рассмотренный выше ин- дийский круг.


12 إ II Глава девятнадцатая
ОБ УТОЧНЕНИИ ЛИНИИ МЕРИДИАНА
Из того, что изложено раньше об индийском круге, очевидно, что действие с ним ограничено одним альмукантаратом. Но это не сводит- ся к определенному альмукантарату, отличному от других по причине величины проведенного круга или его малости. Если взять самый боль- ئ0للل альмукантарат, т. е. горизонт, то тень, падающая при восходе Солнца, простирается до бесконечности!, и мы нуж.даемся тОлько в ее пересечении с .окружностью круга. Если Солнце заходит, тень также простираемся бесконечно, и линия меридиана проходит между Пересе- чениями этих двух теней с кругом в силу равенства расстояний от по- лудня ؛[до восхода и захода Солнца] по ощущению. [Здесь можно обой- тись] без уточнения, хотя Солнце не обращается по каждому из суточ- ных кругов параллельных небесному экватору, а в действительности его восточное движение описывает винтовую линию٩ причем ее шаг при восходе Солнца в течение суток отличается от ее шага при заходе Солн- ца. Поэтому мы можем принять суточный круг Солнца за параллельный .[небесному экватору] только приближенно и можем отождествлять их только по восприятию. Наибольшее отличие, имеющееся между двумя [последовательными] точками пересечения этой спирали и аль^укаНта- рата, имеет место около горизонта вблизи моментов времени равноден- ствий по причине большого различия склонения, в день после весенне- го равноденствия или перед осенним равноденствием эта :[разность склонения в два момента пересечения спирали и альмукантарата] не- много больше пяти градусов, а в день перед весенним равноденствием или после осеннего равноденствия немного меньше пяти градусов. Из- вестно, что [увеличение] пребывания [Солнца]з над Землей [до весен- него равноденствия] увеличило бы эту разность, если она была бы в из своей величине. II Но поскольку она по существу своему уменьшается, а по причине [увеличения] пребывания Солнца увеличивается, то по- нятно, что в северной стороне происходит уравновешение этих двух факторов, [влияющих] на величину [разности].
Когда же [пребывание Солнца над Землей] перейдет через )[весен- нее равноденствие], уменьшение разности пересилит- и станет [всеболее] автономным. Разность будет все более уменыпаться с приближением летнего солнцестояния, пока она не станет несколькими секундами без минут*.
Однако в южной половине как разность склонения, так и пребыва- ние Солнца над Землей уменьшаются от момента осеннего равноден- ствия до зимнего солнцестояния и увеличиваются в течение четверти [года], следующей за этим. Положение с альмукантаратами там такое же, так как на каждый из них приходится доля этой разности.
С уменьшением расстояния от '[мест] их пересечения [суточной спи- ралью] до [небесного] меридиана различие '[шагов становится] все меньше и незаметней. Линия меридиана, получаемая здесь, ближе к ее истинному положению, так как ![она отклоняется меньше], а отклоняет-


199
Обособление рени о проблемах теней
ся она [от истинной] из-за отклонения ؛[линии, проходящей через] эти две точки пересечения от ![линии,] параллельной небесному экватору. Когда имее-т место это отклонение, южный конец [этой линии] попадает между югом и В0С-Т0К0М до тех пор, пока Солнце находится в нисходя- щей половине от Рака до конца Стрельца, и попадает' между югом и западом, если оно находится в восходящей половине от начала Козе- рога до конца Близнецов5. Он может попасть точно на юг только в день, когда равноденствие имеет место в полдень. Неточность в этом не ощущается в дни, близкие к дням солнцестояния всле-дствие мало- сти упомянутой разницы, заметной в другие [дни] при увеличении круга, применяемого в действии.
Я производил наблюдения в Хорезме для определения склонения с помощью теней в круге,ا| диаметр которого — пятнадцать локтей^. 14 ل Результаты этого привели меня к нелепости, и я находился в затрудне- НИИ до тех пор, пока не понял этой причины, а именно отклонения ли- НИИ меридиан.а и равноденственной [линии] от их ؛[истинных] положе- ний. Тогда я исправил это и все стало правильным.
Пулиса говорит в своей сиддханте? в этом же смысле при опреде- лении прошедшей части дня в каждый из двух моментов времени — вхождения т.ени в круг и выхода из него. Он определяет положение Солнца в них, находит его склонение, предписывает умножение разно- сти между двумя склонениями на разность между двумя моментами времени я минутах суток٩ деление произведения на шестьдесят, умно- жение частного от деления на пальцы полудиаметра круга, описанного на земле, и деление произведения на полный синусЭ Он указывает, что при этом получаются пальцы того, что между действительным местом выхода тени из круга и точкой противоположной точке вхождения. Это истинное место выхода. Его направление — южное, если Солнце —в нисходящей половине, и северное, если оно в восходящей половине.
Я думаю, что это действие неправильно изложено переводчиком, так как требуется, чтобы это частное относилось в разности склонений как разность моментов времени в минутах суток к шестидесяти. Из- вестно, что отклонение линии, соединяющей место вхождения тени [в круг] и место ее выхода, от параллельности к равноденственной линии находится в пропорции с различием склонения в эти два момента вре- мени. В силу этого закона различие склонения в два момента времени относится к различию склонения в каждый из двух '[последова-тельных] дней как минуты, [прошедшие.] между этими двумя моментами време- ни, к шестиде'сяти. Поэтому тре.буется определить положение II Солнца 115 в момент вхождения ؛[тени в круг] и такое же его положение через полные сутки, а затем определить его склонения для этих двух поло- жений. Далее умножим разность между двумя сут'Очными склонения- ми!٥ на разность '[в минутах] между моментами времени ,[вхождения и выхода тени], и разделим произведение на [шестьдесят]!, в частном получится требуемая разность склонений. Но ее определение по скло- нениям двух положений Солнца в моменты вхождения и выхода легче и лучше. Это и есть действие Пулисы, в котором он удовлетворялся разностью между двумя склонениями, не умножая и не деля ее ни на что. Лучше было бы определить азимуты Солнца, для двух моментов времени, а затем использовать разность между ни- ми вместо разности склонений, я думаю, что Пулиса был осведомлен об отношениях между азимутом и амплитудой восхода, но его город обладал малой широтой, так что в нем величина склонения и амплиту- ды восхода были близки. Поэтому он легко мог заменить разность меж- ду склонениями разностью между азимутами.


Глава двадцатая
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ линии МЕРИДИАНА ПО ТРЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ТЕНЯМ В сделанном для нас переводе рассуждения Брахмагупты сына Джисну! говорится о том, что если измерить в одной из двух сторон, восточной или западной, три тени одного гномона, отметить их концы, а затем описать из них три круга, то они пересекутся и образуют две ؛фигуры] рыбы2) одна из которых —от пересечения первого ,[круга] со вторым, а другая — от пересечения второго с третьим. Если соединить голову каждой из них с ее хвостом, продолжить эти две линии в их на-
правлении в сторону их встречи и соединить место их встречи с основа; нием гномона. То Яиния, соединяющая их, будет линией меридиана.|ا 116 Пример Э'ТОГО: ء—основание гномона, ЕА—самая длинная из трех теней, ЕС ذ самая короткая из них, ЕЕ —средняя из них (рис 130) ٠ Получившиеся из этиХ кругов две [фигуры] рыбы — DAHB и .EEC3; их Диагонали — DH и GF, пересечение их диагоналей - к. Тогда ^Е —линия меридиана. Получение этого из этих двух ؛[фи- гур] рыбы таково: проводятся _д_ва_перпендикуляра, восставленные в серединах м иХ линий АЕ и ЕС. Если это хорды круга, то очевидно ؛эти перпендикуляры] пересекаются в центре на диаметре предполагаем мом осью«. ЕсН же это хорды гиперболы3, то '[эти перпендикуляры] могут пересечься на оси только случайно3.
Я сОмневаюсь в '[правильности перевода] переводчика, поскольку в нем слабость аргументации действия сочетаетс'я с путаницей идей. Возможно, что это касается необходимости определить линию мери- диана в течение одной из двух половин дня данных суток, не ожидая наблюдения тени в другую половину, я заменил ؛это действие] на дей- ствие, основанное на том, [что сказаНо] в книге «Аналемма» Диодора?. II Ï17 Оно таково: мы описЫваем из центра Е на расстоянии длины гио-


2Ô1
Обособление речи ٠ проблемах теней
мона круг 1МХ [и восставляем] перпендикуляр EG к АЕ (рис. 131)8. Откладываем ДУГУ G# равную дуге IM и дуГу FH равную дуге MX. Ссединяем AG, вн и CF9 и описываем из центра А На расстоЯнии AG и из центра в на расстоянии вн два круга. Они пересеКутся в о. Сое- ^иним ОА и OB и опишем из центра о на рассТояниИ CF дугу PZ. Продолжим линии ZP и AB до тех пор, пока оНи не встретятСя в L. Соединим CL и опустим на нее перпеНдикуляр ЕК. Он-На линии ме- ридиана.
Доказательство правильности (этого]. Пусть гномон _£G. Тогда треугольники AEGو BEG и C^G — треугольники теней в моменты вре- мени трех наблюдений. AG)
BG и CG — их гипотенузы (рис. 132)10. Они находятся на поверхности конуса тени, вершина которого — вершина гномона. Известно, что линии пересечения плоскости II каж- дого круга, перпендикулярного к оси конуса тени, и плоскости [конического] сечения, описан- ного вершиной тени на плос- кости горизонта, пара.ллельны плоскости небесного экватора, так как (первый] круг парал- лелен ему, а ось .[кОнического] сечения — линия меридиана.
Поскольку G - вершина ко- нуса, то параллельный круг CPZ на расстоя؛нии GC —один из кругов параллельных небес- ному экватору. Опустим пер- пендикуляры ZX и РМ ؛на плос- кость горизо'нта. Они Пересе- кут линии АЕ и BE. Так как AG больше BG, a ZG и PG равны, AZ больше ВР. Поэто- му отношение AZ к ZG, т. е. АХ к ХЕ) больше отношения BP к PG) т.е XF г^араллельно ^5. Тогд١а относится к как к FE. ПоэтОму отношение BF к FE больше отношения вм к МЕ. Тогда BF больше ВМ) и угол АХМ — часть угла AXF. Будем считать угол ХАВ общим. Тогда углы АХМ и ХАВ меныпе углов AXF и x^ß. Но уг- лы AUF и ХАВ равны двум прямым. Следовательно, углы АХМ и ХАВ меньше двух прямых. Поэтому линии хм и AB пересекаются со сторо- ны МВ. Пусть они пересекутся в £. Так как линии XL и AB —в плоско- стях ZXMP и AZPB, L — на их пересечении. Но PZ — также в обеих этих плоскостях. II Поэтому точки Z £ и L —на одной прямой линии. 119 HoL —в плоскости горизонта и в плоскости круга CPZ; поэтому она— на '[линии] пересечения этих плоскостей. Точка С —также в плоскости горизонта и этого круга. Следовательно, линия CL — из линий их пере- сечения. Поэтому она параллельна небесному экватору. Линия мериди- ана перпендикулярна ей.- Но точка £ — на этой линии. Поэтому ЕК — линия меридиана!!.
Далее вернемся к первому чертежу из этих двух построений. Мы утверждаем, что AG, вн и С£ [на нем] — гипотенузы треуголыгиков те- ней, соответствующие AG) BG и CG |'[на втором чертеже]. Но АО здесь
Рис. 131.


Математические и астроиомические трактата
202
равна AG там, а во здесь равна BG там؛ поэтому их основания AB равны. Треугольник АВО здесь —это треугольник ABG там, а каж- дая из линий 05 и 02 равна каждой из линий G2 и 5ى там. Поэтому в каждом из них 02 - одна и та же '[линия], и точно так- же —^2 и ВР. Поэтому остроугольные [треугольники] ZPB в них обоих подобны, их соответственные сторонН равны и GP пересекает
&
Рис. 132.
AB в L. Поэтому расстояние места пересечения от 5 в них обоих одно и то же؛ точка 5 .в обеих фигурах —одна и та же, и поло- жения CL подобны. Предположение одной стороны [дня] не необходимо, но для того, что мы построили, следует рассматривать самую длинную и среднюю '[тени]. Когда между ними будет иметь ме٩ сто равенство, линия меридиана будет делить их пополам, она также будет делить пополам угол, ограничиваемый ими, после чего действие сводится к [действию с] индийским кругом.


|ا Глава двадцать первая 12.
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ линии МЕРИДИАНА С ПОМОЩЬЮ КАКОГО БЫ то ни БЫЛО ИЗМЕРЕНИЯ
Эта проблема имеет много {видов]!. Среди них —деление описан- ного круга на триста шестьдесят равных частей, деление каждой из этих частей, насколько возможно, на минуты^ восс.тавление в его плоскости гномона и наблюдение в восточной стороне восхождения по- ловины тела Солнца из-под Земли или в запад.ной стороне захождения половины его тела. Найдем ![точку] прохождения середины тени гномо- на через .окружность круга и отметим ее. Далее вычислим амплитуду восхода СолнцаЗ, если мы получили отметку для его восхождения, ИлИ амплитуду его захода, если мы получили ؛[отметку] для его исчезнове- ния, а также узнаем сторону этой [амплитуды]. Отсчитаем от этой
R
Рис. 134.
отметки равное [амплитуде] расстояние в противоположную ей сторо- ну. Поэтому ясно, что место, в котором мы окончим это —один из кон- цов равноденственного диаметра и диаметр перпендикулярный ему — линия меридиана.
Другой ؛[метод] состоит в том, что мы предполагаем для азимута такое ЧИСЛ0٩ которое может иметь место в эти сутки, а затем опреде- ляем соответствующую величину тени. Описываем из основания гно- мона на расстоянии этой тени круг, и наблюдаем восхождение и В.ЫХ0Д тени гномона из 1؛ этого круга. Когда ее конец достигнет окружности, 121 мы проводим диаметр, проходящий через середину тени к окружности градуированного KpyraS и откладываем от конца ؛[величину] равную этому азимуту в [направлении] противоположном '[его] направлению.
Он также попадет на один из двух концов равноденственного диаметра.
Пусть градуированный круг —АБС с центром Е, а ББ — перпен- дикуляр К диаметру АС (рис. 133). Предположим на нем [дуги]- ß٥, равную широте города, и CG, равную склонению Солнца в этот момент.


Математические и астрономические трактата
204
Соединим ٥с£и проведем GH параллельно СЕ. Отложим EF, рав- ную ЕН) и проведем FK параллельно ЕВ) KLM параллельно CA и MX параллельно BE. Соединим L сХи отложим ЕО по величине гномона, восставленного в Е. проведем ОР параллельно LX и опишем из Е на расстоянии ЕР круг. Будем наблюдать в одной из половин дня вхождение тени и ее выход из этого меньшего круга, проведем через него диаметр. Это — равноденственная ЛИН'ИЯ, а диаметр перпендику- лярный к ней —линия меридиана. II
22 ا Доказательство этого. Пусть Cf— (часть] пересечения плоскостей горизон.га и суточного круга, ^ — центр [круга] горизонта, fG—(часть]
равноденственной линии (рис. 134). Пусть треугольник д.ня АВС и треугольник времени HGF [расположены так], что G —на равно- действенной линии. Тогда !Необходимо GH — синус высоты, не имеющей азимутаб. Опус- ТИМ перпендикуляр ED на ВС, это —синус склонения Солнца, а £С —синус амплитуды его восхода?. Углы с и f — по величине до- полнения широты города, а углы 5 и ^ — по величине широ'гы городаб. Поэтому £٥ отно- сится к ЕС как синус дополнения широты го- рода к полному синусу, т. е. как синус угла С относится к синусу прямого угла وه. GF, синус амплитуды восхода, относится к GH, синусу высоты, как синус широты города к синусу ее дополнения, т. е. синус угла' Як синусу угла F™. Если мы выполним фигуру построения, то [CG؛] будет скло- нением Солнца, с٥ — дополнением широты города, EF) т. е.
23ا ЕН, — синусом амплитуды восхода, I! а Рк синусом, высоты, не имеющей аз.имута. ЕН относится к ней как синус -٥٥, широты города, к синусу я٥, ее дополнения, a LE равна KF. Поэтому ХЕ - синус до- полнения этой высоты؛ но синус всякой высоты относитс-я к синусу _ее дополнения как гномон к его тени в то же время, a LE относится к ЕХ как ОЕ к ЕР. Но мы предположили ОЕ равной гномону. 'Поэтому ЕР— тень этой высоты**.
Известно, что если [эта высота] была найдена таковой наб’людени. ем, она попала на равноденственную линию, т. к. у нее отсутствует азимут. Но это известно как частное [явление], так как оно не имеет места при южных склонениях и бывает только при северных склоне- ниях. Точно так же предшествующее действие ограничено определен- ным временем дня, наступление которого тщательно ожидается. Но бы- вает, что надо определить линию меридиана немедленно, и нет воз- М0Ж.Н0СТИ медлитН со временем. Тогда мы воспользуемся дейстисм, которое производится для любого времени без ожидания другого. Пусть местО тени в это время —£С. продолжим ее в обе стороны в ее на- правлении так, чтоёы из нее получился диаметр AB градуированного к^уга (рис. 135). Восставим к нему перпендикуляр £٥ равный гномо- : ну, соединим DC, сделаем ؛[ее продолжение] CG равным полу^иа^етру АЕ, и проведем через точку G ЛИН؟ HGL параллельную AB. Отло- жим ЕК, равную Полуденной тени, проведем ^٥£. Опустим два пер. пендикуляра HF и LM на AB и опишем из II центра £ на расстоянии
24ا ЕМ полукруг мох в CTOpotie противоположной стороне времени, т. е. перед пОлУАнем в стороне., куда движется Солнце, т. е. западней, а пос. ле него в стороне, отКуда' движется Солнце, т. е. ؟осточной. приведем FO [к полукругу]. Тогда £0£ —[часть] линии меридиана2؛.
А


2.5
Обособление рени о проблемах теней
Доказательство этого. Гномон DE относится к е.го тени ЕС в {дан- ное] время как синус высоты к синусу ее дополнения, т. е. как Синус угла С к синусу угла EDC. Тогда ى-высота в [данное] время, если вообразить, что полукруг АНВ перпендикулярен к плоскости горизонта, a FE — синус дополнения этой высоты {как по велич-ине], так и по сво- ему положению*з. Если же полукруг АНВ был бы кругом меридиана и если предположить, что - полуденная тень, то [линия) KDL бы- ла бы на II пересечении плоскостей суточного круга и круга меридиана, 125 а угол К был бы по величине дополнения широты города**. Поэтому треугольник —треугольник времени по величине, а не по поло-
жению, так как АЕВ — не на линии меридиана и так как положение стороны этого треугольника параллельной ему — не км. Известно, что синус дополнения высоты квадрирует^ два перпендикуляра, опущен- н.ые в плоскости горизонта из «места падения камня» высоты на линию полудня и равноденственную линию*б. ؛[Перпендикуляр], опущенный из нее на равноденственную линию, наз٠ывается аргументом азимута*? и —по его величине*з. Поэтому 0۶ —вторая [линия] ؛ проведенная к линии меридиана, которую [вместе с ЕО] квадрирует EF19, и она - на своем месте. Но FO перпендикулярна к EOZ в силу того, что вторая проходит через центр [к точке касания], а первая - касательная2٥. Поэтому линия EOZ — линия меридиана, которая нам требуется.


Глава двадцать вторая
О ВЕЛИЧИНАХ ДНЯ и ночи И РАЗНОСТЯХ! МЕЖДУ ВОСХОЖДЕНИЯМИ
Тем, кто знаком с формой мира, известно, что при удалении по долготе между востоком и западом нет никакого различия кроме как в восхождениях и захождениях ؛Солнца] в соответствии с этим удале- нием. Все другие возможные изменения — в амплитуде восхода и за- ходаЗ, в полуденных высотах и их тенях, в различии между днем и ночью и другое подобное этому — определяются удалением по широте между севером и югом.
Каждый народ при определении [координат] места поступает ина-
126 че, чем II другой. ОднИ из Них определяют это пО высоте северного по- люса, равного широте местности*, другие определяют это по часам самого длинного дня, являющихся основой для разделения климатовЗ. Среди них имеются такие, которые применяют для этого фарсахИ и другие мер'Ы, которыми измеряются расстояния, а также такие, кото- рые определяют это по тени Овна, т. е. полуденной тени в день равно- действия, определяемой дополнением широты?, поскольку длина дня в течение года в одном месте отличается от длины ночи по причине раз- личия ؛времени] восхождений, так же, как отличаются в нем полуден- ные тени.
Таковы действия индийцев, которые использовали тень для опре- деления времени.
Брахмагупта в «Брахмасиддханте»з сказал: «Для определения
уравнения дня9 умножь синус склонения светила и полный синус на равное себе, возьми корень разности между ними, и это — полудиаметр суточного круга светила!.. Затем умножь синус склонения светила на экваториальную тень, раздели произведение на двенадцать, умножь частное на полный синус и раздели произведение на полудиаметр су- точного круга светила, в частном получится синус. Найди соответст- венную дугу!!. Это — праны уравнения дня. Обрати их в винади путем деления на шесть. Каждые шестьдесят винади — это гхати»\2.
Виджаянандин!з говорил то же самое, но он брал вместе два про- изведения и два частных. Поэтому он сказал: «Умножь полудиаметр суточного круга Солнца на гномон и раздели на произведение эквато- риальной тени на синус его склонения, а затем на полный синус. Тогда частное — ؛[синус] уравнения в минутах дня»!*. 11
127 Доказательство этого. Пусть АВС — круг меридиана ؛рис. 136). АС — пересечение его плоскости с плоскостьк) горизонта, —пере, сечение его плоскости с плоскостью небесного экватора при полюсе F. Пусть пересечение плоскостей круга меридиана и суточного круга светила —КМ. проведем FE. Тогда ХМ —синус уравнения дня в су- точном круге. Построим EG перпендикулярную к АС, равную гномону.


207
Обособление речи о проблемах теией
1111
относится к1Жкак;лный б а^ова ие^т.
дня Это — то же, что указал Иа‘ку^ ибн Тарик٠5 в «Книге об аргумен-
ft ى ъ
А(
ся хорда «ожерелья»—дуги малого круга знака зодиака!?. Умножь прямую хорду этого расстояния II на равноденственную тень, раздели 128 произведение на пальцы гномона, умножь частное на 3438 и разделн полученное произведение на хорду «ожерелья» дуги малого круга знака зодиака. То, что получится, сделай дугой: 0'на избыточна для Овна и не- достаточна для Девы»!8. Это потому, что «прямая хорда» этой дуги, — это плоский синус, а «обращенная ؛[хорда]»-обращенный синус. Упомяну- тое число — минуты полного CHHycaiQ по Ариабхате2٥; хорда «оже- релья», дуги малого круга знака зодиака,— это синус дополнения его склонения, т. е. полудиаметр его малого круга, а расстояние знака зодиака— его склонение. Упомянутые избыток и недостаток — [разно- сти] восхождения в прямой сфере и восхождений в данном городе21٠ Так как дуга синуса у него выражена в минутах, он переводит его в праны, т. е. «вздохи», поскольку он вместе с индийцами считает их со- ответствующими оборотам минут заманов небесного экватора, а каждые шесть заманов — гхати, т. е. минуты суток, секунды которых называ- ются еинади! но в народе их называют II джашаха, а также джакаха22, 129
Ал-Хорезми2з поместил в своем зидже24 таблицу, называемую «раз- ности восхождения для Земли»25. в ней против каждого градуса по- мещены значения. Если умножить [это значение] на экваториальную тень, получится синус ее уравнения дня. Это произведение синуса скло- нения этого градуса, разделенного на синус дополнения его склонения, !умноженного] на [упятеренные] сто пятьдесят секунд2б.
Для разъяснения истинности этого пусть АС —на горизонте города,
5 — восхождение его градуса (рис. 137), сс. — на круге меридиана,
AEG — квадрант небесного экватора в ؛[местности] с. проведем от не- го два больших круга DA и BE; тогда АЕ — уравнение дня, BE — склонение градуса, a BD — дополнение его склонения, проведем боль- шой ؛круг] GBK. Тогда получится вк, в наших книгах называемая


Математические и . тракта™
208
средней27. Синус CG относится к синусу CD как синус ЕВ к синусу ВК28. Но синус GC, высоты, относится к синусу CD, ее дополне- ния, как гномон к тени. Следовательно, синус ЕВ отно-
130 сится к синусу ВК как II гномон в равноденственной тени. Но синус ВК относится к синусу BD как синус АЕ к синусу DE, квадранта29. Поэто- М'У отношение равноденственной тени к синусу DE, полному синусу, — составное отношение, и если мы отождествим части полного синуса и части гномона, то равны третья и шестая из этик шести величин, и т-ень Овна относится к синусу в к .как гномон к синусу BE, а синус ВК относится к синусу АЕ как синус DB к синусу ED) равному гномонуЗ.. Поэтому по равенству в перемешанной пропорции тень Овна относится к синусу АЕ как синус DB к синусу ВЕЗ]. Если мы умножим экватори- альную тень на синус склонения градуса и разделим произведение на синус дополнения его склонения, в частном получится уравнение дня. Если же мы сначала произведем деление, то разделим синус склонения на синус дополнения, и чтобы получить уравнение дня, надо умножить экваториальную тень на '[результат]32. Это — то, что помещено против градуса-в таблице, если экваториальная тень имеет величину в частях, в котор'ых полный синус имеет величину гномона, т. е. двенадцать ча- стей. Если же полный синус —шестьдесят частей, то гномон — одна пятая этого. Тогда необходимо помешенное в таблице разделить на пять, для уравновешения этого. Полный синус у ал-Хорезми — две с половиной части, а гномон равен четырем и четырем пятым этого. По- этому необходимо частное от деления синуса склонения на синус его дополнения разделить на четыре и четыре пятых для уравновешения этого. Но деление на четыре и четыре пятых —это взятие одной двад- цать четвертой ؛упятеренного] этого, а все, что требуется разделить на двадцать четыре, можно умножить на сто пятьдесят секунд, т. е. на одну двадцать четвертую доли от шестидесяти минутЗз. Получается требуемое. Это и есть то, что мы хотели разъяснить. II
131 Е «Книге аргументации [зиджей]» йа.куба ибн ТарикаЗ* froBO- рится]: «Умножь экваториальНую тен^ на хорду приращения [дуги] Овна, т. е. на синус его восхождения в прямой сфере, и раздели произ- ведение на полуденную тень в месте предела восхождения знаков 30- диака на земном экваторе, т. е. на двадцать шесть пальцев и двадцать восемь минут; мы имеем в виду экваториальную тень для того места, широта которого равна наибольшему склонению. Получится хорда уменьшения зоны Овна и приращения зоны Девы, сделай это дугой, это будет уменьшением для Овна и приращением для Девы»з5٠
Это действие основано на том, что синус уравнения дня градуса относится к синусу его восхождения в прямой сфере как экваториальная тень в этом городе к ؛тени] дополнения наибольшего склонения, те. экваториальной тени на широте, равной наибольшему склонению. По- этому вернем из чертежа то, что необходимо для этого. Пусть овн — квадрант зодиакального круга, —наибольшее склонение, HL —٠ ؛часть] малого круга Рака (рис. 138). Проведем DLM. Тог.да LM —٠
132 наибольшее склОНение. ДМ —уравнение II дня, и известно, как следует поступать дальше; синус АЕ относится к синусу AG как тень BE к те- ни GE, а синус АС относится к синусу AM как тень GC к тени ZJ36. Поэтому по равенству37 .синус АЕ) уравнения дня градуса, относится к синусу AM, уравнения дня солнцестояния как тень ЕВ, склонения г۶а- дуса, к тенИ LM, наиболыпего склонениязз. Но отношение тени ЕВ к тени НК, равной LM)— то же, что отношение синуса ОЕ) восхождения в прямой сфере, к синусу квадранта ОКг9. Это и есть то, ,что мы хоте- ли доказать.


209
Обособление речи о проблемах теией
В зиджах индийцев имеются действия определения избытка вое- хождения для начал знаков зодиака с помощью теней, оп-ределенных приближенно с помощью последовательного подбора*., так как нет пропорциональности между тенями и самими дугами этих теней, без их синусов*!. Мы расскажем об этом, после Того как при-ведем предва- рительно эти величины для заданной широты, и сравним результаты, чтобы различит.ь те из них, которые ближе всего к истине, от тех, ко- торые дальше всего от нее. II Пусть это широта —двадцать четыре 133 градуса, а пальцы экваториальной тени в ней 5؛21 ؛ уравнение дня О-В- на, я имею в виду его конец —5؛13 ؛ уравнение дн-я Тельца — 9؛28 ؛ уравнение дня Близнецов — 1112 ؛ и так по П0рядку*2. Что касается разностей*, уравне- ний дня, то для ОД'НОГО Тельца эт.0 415 ؛, а для одних Близнецов это 144 ؛. Восхождение Овна на этой широте 2240 ؛, восхождение Тельца — 2539 ؛, восхождение Близнецов —
3029 ؛**. Эти величины, при؛нятые нами, име- ются в их зидже, называемом «Кхандакхан- дьяка», написа'нном Брахмагуптой, который в наших странах известен как зидж «ал-Ар_ канд»*5. В нем имеются уравнения дня, кото- рые они называют джарадала*6؛ умножив эк- ваториальную тень, называемую бишубад- жайа47, на сто пятьдесят девять и разделив произведение на шестнадцать, получим в ча- стном балы48, каждые десять которых составляют ،1*9. Это уравне- ние для Овна. Далее, умножив эту тень на десять и разделив произве- дение на три, получим в частном 'Уравнение дня Близнецов. Если .мы будем вычислять таким образом для заданной тени, мы получим урав- нения для Овна 519 ؛, а его восхождение 2234 ؛, уравнение дн-я Тель- ца 421 ؛, а его восхождение 2533 ؛, уравнение дня Близн.ецов 147 ؛, а его восхождение 30٠هج26 ؛ Это действие в индийском списке—ан.ало- гичное. И там упоминается название бала. Эта величина у них обо- значает вес в II пятнадцать дирхамов, но в их книгах о звездах обозна- 134 чает уравнение, в то время ка.к сяс — по-персидски градус. Соглас- но их обычаю пользуются минутами суток и их секундами,
вместо заманов. Поэтому в индийском списке восхожден-ие для линии экватора: для Овна — [438 ؛] балы, Д.ЛЯ Тельц-а [459 ؛] [балы], для Близнецов— [56] [23 ؛ai]٠ Если ты умножишь эти числана шесть ؛[минут] получится для ОвНа 2748 ؛, для Тельца 194'5 ؛, для Близ- нецов 3218 ؛, это —приблизительно 3سرسذى восхождения в прямой сфере.!.
К числу персидских добавлений в некоторых списках ОТНО'СИТСЯ следующее: есЛ'И экваториальная тень — пять пальцев, то с ней дейст- Еуют так, как указано в «ал-Арканде», но если она отличается от ЭТ.О- го, то для каждого пальца разности берут восемь минут часа. Их вы- читают из полученного числа восхождений, если тень больше пяти пал-ьцев и прибавляют, если пять пальцев боЛ'Ьше тени, в нашем при- мере эта раз-ность — 0؛21 ؛ ее доля в часах 048 ؛2 ؛, и есл-и для каж- дых полутора пальцев — одна пятая часа, то заманы этого — 0ء2ج42 ؛0 ؛ Если мы в-ычтем это из восхождения, полученного нами, оно уменьшит- ся приблизительно на одну минуту, в некоторых книгах это действи-е таково: экваториальная тень умножается на 159, произведение делится на 16, частное вычитается из 278, разность делится на 10, и в частном получается восхождение Овна. Далее тень умножается на 65, 'Произве-
14-11


Математические и астрономические трактата
210
дение делится на 8, частное вычитается из 299, разность делится на
135 10, и в частном получается восхождение II Тельца. Эта же тень умно- жается на 10, произведение делится на 3, частное вычитается из 323, разность делится на 10. в частном получается восхождение Близнецов. Это в точности то же, что первое действие, за тем исключением, что в нем избыток вычитается из восхождений в прямой сфере, а разность переводится из секунд суток в минуты заманов.
Первое !؛действие] имеется в «Шахриярове где взяты ча-
сти деления 160, 30 и 80, т. е. десятикратные первым, так что результат преобразован в заданы.
Я встречал это в некоторых комментариях в другой форме: если ум- ножить тень Овна на 114 и разделить на 105, в частном получится избыток Овна. Для Тельца надо умножить ؛[ее] на 13 и разделить произведение на 16 и получится его избыток, а для Близнецов это де- лится на 3. Если мы поступим так в нашем примере, получится ВОСХОЖ" дение Овна 224 ؛, Тельца 2533 ؛, а Близнецов — 3026 ؛. Иногда с помощью двух чисел определяют для Тельца величину сто и посред- ством этого получается его восхождение 2741 ؛, но первое ближе, сре- ди удивительных вещей имеется то, что некоторые глупые люди свя- зывают с этим объяснение некоторых вещей, отсутствующих в ориги- нале и говорят: «умножь на 114 и раздели на 150١ так как первое — диаметр небесной сферы, второе —полный синус». Если бы мы воспользовались этим рассуждением при всей его глупости, то в нашем примере получился бы избыток Овна 533 ,48 ؛, а если бы мы считали '؛на основе этих] ста пятидесяти минут, избыт-OK Овна был бы 458 ,3 ؛,
136 а его восхождение было бы — 2349 ؛. II в некоторых комментариях сказано 'гакже, что если ты знаешь избыток Овна, то умножь его на девять и раздели на одиннадцать, получится избыток Тельца, умножь это на четыре и раздели на одиннадцать, получится избыток Близне- иов. Если мы будем действовать так в нашем примере, когда избыток Овна 519 ؛, избыток Тельца будет 421 ؛, а избыток Близнецов — 156 ؛. Ватешвара^ в своем зидже, известном как <<Каранасара»55, рекоменду- ет умножить экваториальную те.нь для Овна на десять, для Тельца на восемь, для Близнецов на три с третью. Тогда у него избыток Овна в нашем примере будет 521 ؛, Тельца —448 ,16 ؛, Близнецов—147 ؛.
Виджаянандин в «Каранатилаке», т. е. «Блеске зиджей»5٩ реко. мендовал умножить экваториальную тень для Овна на двадцать, для 'Тельца на шестнадцать, для Близнецов на семь, тогда получатся гхати избытка дня. В нашем примере это даст для половины избытка дня после преобразования в заданы: для Овна 521 ؛, для Тельца —416 ؛, 48, для Близнецов 21 ,52 ؛[1؛. Это — таково же, что и раньше, за исклю- чением числа для Близнецов: его дробь больше на одну шестую части.
Рассказывают об индийце Йалтабане57, которому принадлежит из- вестное действие определения хорд круга, что он ..поместил '؛запись] экваториальной тени в трех местах؛ в первом он вычел одну минуту из каждых ста шестидесяти минут, и остался избыток Овна. Во втором вычитал три минуты из каждых десяти минут, и остался избыток Тель- ца. В третьем вычитал две минуты из трех, и остался избыток Близие- цов. В соответствии с этим, в нашем примере избыток Овна —519 ؛,
137 избыток Тельца —345 ؛, избыток Близнецов 11 — 1جج47 ؛. Так как избы- ток Тельца отличается от того, что было раньше, то если бы он вычел из каждых десяти минут две минуты, избыток Тельца получился бы
417 ؛.
Используется здесь и такое ؛[действие]: если прибавить к полуден- ной тени т-реть и одну пятую трети экваториальной тени, получится


211
Обособление речи о проблемах теней
основа; далее эта основа вычитается из тридцати59, и остается восхож- дение Овна. Если к нему прибавить одну пятую удвоенной основы, получится восхождение Тельца, а если эту одну пятую прибавить к восхождению Тельца, получится восхождение Близнецов, я думаю, что при определении основы имеется в виду прибавление к экватори- альной полуденной тени ее трети и одной пятой трети, так как здесь нет основания для взятия полуденной тени других дней؛ иначе для каждого знака зодиака в каждый день было бы новое восхождение.
Если здесь разумелось то, что мы предположили, то основа в нашем примере должна быть 812 ,12 ؛, восхождение Овна— 2148 ,47 ؛, восхождение Тельца —254 ,4 ؛, а восхождение Близнецов — 28؛ 21, 34هج.
В некоторых книгах персовб! имеется другое действие. Оно. таково: говорится — вычти экваториальную тень из восхождения Овна в пря- мой сфере и прибавь ее к таковому же для Девы. Затем отними от экваториальной тени два пальца с половиной и вычти разность из вое- хождения Тельца в прямой сфере, прибавь эту разность к восхожде- нию для Льва. Затем вычти из экваториальной тени треть пальца и вычти разность из восхождения Близнецов в прямой сфере, приб'авь эту '[разность] к восхождению для Рака. Получится восхождение этого знака зодиака в этом городе, в нашем примере мы получаем избыток Овна 521١ ؛ его восхождение —2232 ؛, избыток II Тельца — 231 ؛, его восхождение 2723 ؛, избыток Близнецов 221 ؛, его восхождение — 29؛ 53, все эго недалеко от требуемого.
Тот, кому принадлежит '[это] действие, сказал: что касается народа Вавилонаб2, то они умножали экваториальную тень на двадцать пять, делили произвед-ение на восемнадца.ть, вычитали частное из тридцати, и оставалось восхождение Овна. Далее они вычитали удвоенное вое- хождение Овна из шестидесяти и делили разность на пять, в частном получалась основа, прибавляемая к каждому знаку зодиака. Они по- следовательно прибавляли ее к восхождению Овна для Тельца, к вое- хождению Тельца для Близнецов и так далее до Девы. Если мы по- ступим так в нашем примере, то вычитание из тридцати даст 750 ,25 ؛, восхождение Овна будет 2210 ,34 ؛, основа прибавления здесь —258. ؛, 20, восхождение Тельца —2530 ,32 ؛, восхождение Близнецов —2830 ؛, 50, восхождение Рака —3110 .29 ؛, восхождение Льва —34, 27, 30, вое- хождение Девы —3750 ,25 ؛. Того, что мы рассказали, более чем до- статочно.


Глава двадцать третья.
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОШЕДШЕЙ И ОСТАВШЕЙСЯ ЧАСТЕЙ дня с помощью теней
Прошедшую часть дня можно определить с помощью синусов, про- водилось ли измерение по тени или по высоте. Если ты оп.ределишь синусы, то не нужны т.ени. Поэтому в этой главе мы не хотим пользо- наться синусами, и нашим предметом здесь будет то, что получаетс.я с помощью теней, как точно, так и приближенно. II
139 Индийцы в этом вопросе иногда склонялись к глубоким рассужде- ниям, а иногда отклонялись от них к тому, что основано на предп.оло- жениях, не являющихся истинными, и удовлетворялись последователь- ным подбором! для проверки и критики этих предположений. Читатель этой книги может подумать, что мы не осведомлены об ЭТ.О.М, ПОС'КОЛЬ- ку мы не приводим рассказы .0 примерах этого, и сомнение произволь- но возбуждается с нашей стороны. Более того, он может быть убежден в их правильности, если он — один из массы тех, кто переоценивает достижения индийцев, не проверяя их.
Такие вещи я нашел в «Пулиса-сиддханте»2, которая использо- валась большинством из них. Они всегда прибавляли двенадцать к пальцам разности между тенями гномона в данное время и в полдень. Затем делили дугу дня, т. е. ее величину в минутах суток, умнож.енных на шесть, на полученное произведение. Поэтому они называли частное от деления прошедшей частью дня в минутах суток, если измерение — с восточной стороны, перед по.луднем, и оставшейся частью дня, если .измерение — с западнс.й стороны, после полудняЗ. Поск.ольку их ут- верждения об этом одинаковы, мы рассмотрим лишь одно из них, а именно о прошедшей части '[дня], ибо эта часть прошла в действитель- ности, а втОрая, оставшаяся часть, пройдет в потенции^. Если измере- ние будет проводиться в полдень, разность между двумя тенями исчез- нет, тогда будет только деление на двенадцать и умножение минут су- ток для всего дня на шесть для преобразования в заманыА Если же [результат] делить еще на два, получатся заманы половины дуги дня, т. е. оборота для данного времени. Но нам необходимо получить все это в минутах суток, а не в заманах. Поэтому следует разделить это на шесть после деления на два. Сумма этих двух делениИ—деление на II
140 произведение двух на шесть, так что получатся гхати половины дня?. Это равно частям косого часаЗ, так как и те, и другие получаются деле- иием заманов дуги дня на шесть.. Двенадцать [здесь] — произведение двух на шесть, а не !число] пальцев гномона, как думали некоторые из них. Поэтому он рекомендовал прибавление гномона к тени в данное время и вычитание полуденной тени из полученной суммы. Если вы- .числение ЭТ0Г09 производилось в полдень, то известно также [что имен- но прибавляется] к каждой разности между двумя тенями, а также [каков] делитель. [В том числе ЭТО известно] и при отсутствии разности.


213
Обособление речи о проблемам теней
[А все это необходимо] для преобразования заманов в минуты суток.
Если он [Пулиса] нашел тени перед полуднем, они укорачиваются и сокращаются, а заманы прошедшей части дня с начала дня увеличива- ютСя. Между ними имеет мес.то обратная пропорциональность*., назы- ваемая на их языке «отступлением», а именно !дуга] оборота небесной сферы, т. е. небесного экватора, относится к заманам половины дуги дНя как полуденная тень к тени для данного времени**. Но поскольку полуденная тень может исчезнуть, пользуются не самими тенями, а их разНостями, поскольку они также уменьшаются при увеличении !дуги] оборота, имея наибольшее значение в полдень и уменьшаясь до преде- ла малости в '[течение] суток. Поэтому для полудня он делил заманы дуги дня на сумму двенадцати и исчезнувшей разности, тацже как '[для другого времени] он делил их на сумму двенадцати и существующей разности. Мы говорили, что измерение с западной стороны таково же, что и с восточной стороны, поэтому мы опустим разъяснение одного из этих двух [измерений].
БрахмагупТа в тринадцатой книге «Брахмасиддханты»12 сказал: |ا «Раздели гномон на СКОЛЬ'КО угодно '[частей] и измеряй тень ими, при- 141 бавь к ним одну из этих единиц, разделIÎ произведение на мин-уты ве- личины полуденной [тени,] и в частном получатся минуты прошедшей или оставшейся части, и, наоборот, если разделить минуты полуден- ной ؛[тени] на минуты прошедшей тени или оставшейся части и вычесть из частного единицу, останется тень».
Я думаю, что переводчик исказил текст и под прибавляемой и вы- читаемой единицей понимался сам гномон, соответствующий двенадца- ти в предыдущих правилах.
пртхудакасвамин*. сказал: «Это — ошибка, доказываемая тем,
что я нашел, и я не знаю, что привело Брахмагупту к ЭТ'ОМУ, так как это неверно нигде, ни на земном экваторе, ни вне него. Может быть он нуждался в этом, но я не знаю, для какой цели. Эти действия порочны или произведены для облегчения и приближения».
Я нашел в книгах, переведенных с языков индийцев в начале дней Аббасидов**, индийские названия, встречающиеся без перевода или разъяснения их значения на арабском языке, вот это: «Измерь тень
гномона в дан.ное время, прибавь к этому каждый раз основу — двенад- цать и ВЫЧТИ из суммы полуденную тень. Затем умножь гулиджатХъ полудня твоего дня каждый раз на !Лесть, раздели произведение на то, что осталось у тебя, частное от деления удвой и возьми одну пятую этого, получатся часы, прошедшие перед полуднем или оставшиеся после него. Что касается [слова] гулиджат, то это выражение для ми- нут суток на одном из их языков или после арабизации. Мы никогда не слышали это выражение. Действие до удвоения частного от деле- ния II совпадает с первым действием: деления в обои؟ случая؟ — ؟а 142 гхати, каждые два с половиной из которых — прямой час*.. Чтобы перевести*7 гхати в часы, следует взять одну пятую их удвоения. Отсю- да мы видим, что это противоположно тому, что было бы, если бы мы хотели преобразовать часы в минуты суток: час это две минуты [сут.ок] с половиной, поэтому если мы запишем это в двух местах, затем удво- им одно из них и разделим пополам другое, сложим полученное, полу- чится требуемое. Так как зиджи индийцев были написаны в стихотвор- ной форме, называемой шлокамиХЬ) так же, по этим же причинам, со- чиняли некоторые из авторов зиджей Сиддхинда*.. в ’[одном из] этих зиджей сказано:
Если ты хочешь узнать часы дня.
Возьму' шест, с помощью которого действуют обладающие пониманием.


Математические и астрономические трактаты
214
Исследующие богатые и полные моря [знаний].
Пусть твой шест, пойми, будет длиною в десять пальцев.
Прибавь к десяти д.ва, это будет тебе полезно.
Если ты не получишь хорошего результата, попытайся еше ,'раз.
Установи шест и измерь его тень на Солнце.
Затем приба.вь ко всему этому равН'Ое .величине шеста.
Только Т'Огда отбрасывающее тень приведет к доб'ру.
Далее вычти из ЭТ0Г.0 величину полуденной тени И ЗЭПИШ.И остаток отдельно для благоразумного использования.//
Затем помести ба и айн20, не боясь ошибок,
И раздели это н,а то, ЧТ'0 ты написал отдельно раньше.
Сосч,итай все, что ты найдешь, :и то, что останется.
Тако؛во действие, на котором основано то, ЧТ'0 ты ищешь.
И если твое дейст'вие происходит днем, это — ЧИ.СЛ0 Часов, которые прошли и оставили Землю как мера [,времени].
Если же день кончается, это число оставшихся часов^؛.
Так писал Мухаммад ибн Ибрахим ал-Фазари в своей «Звездной касыде»22. о прошедшем времени дня он сказал:
Е'СЛИ ты ищешь прошедшую и оставшиеся части Дня с помощью надежного вычисления.
То сделай, и/пусть Аллах поможет тебе.
Шест хорошего размера, деления которого —
Шесть и шесть, [т. е. двенадцать], и пусть терпение поддержит тебя.
Его длина — по размерам пяди.
Восставь его) вертикально на ровном .месте.
Затем посмотри на тень до ее К0'нца И измерь ее шестом.
То, что получится, пр:и под.счете И вычислении,—твоя тень в это время.
Прибавь к это؛1١؛у paiBHoe тени ше.ста.
Вычти из/этого полуденную тень т,воего дня,//
Разделив всю ее на [соответствующие] части с постоянством,
В котором — совершенство этого.
На то, что останется, раздели
Семьдесят два, до тех пор, пока не (кончится
Это [действие], клянусь моей жизнью, Я'Сное по смыслу.
Пойми: если ты разделишь полученное.
Это и будут часы,', полученные надежным путем С помощью прямого, хорошо проведенного вычисления.
Если день идет навстречу [тебе],
[Это —часы Т.0Г0, ЧТ'0] проходит постепенно
До тех пор, пока полностью'не пройдет половина [дня].
Если же де.нь уходит,—
[Это — то], что остается в конце
До захода Солнца, пока оно станов:ится невидимым.
В большинстве этих поэм к найденной тени каждый раз прибавля- ется двенадцать, из суммы вычитается полуденная тень, на разность делятся семьдесят два — неизменная основа؛ в частном получаются часы, прошедшие перед полуднем с начала дня, или оставшиеся после него до конца дня, по относительной величине2؟.
Пусть гномон—^24ة> а ВС равна ему и известна (рис. 139). Если мы прибавим к полуденной [тени] двенадцать и вычтем из суммы полу- денную тень, то останется всегда ВС. Предположим, что ءة — шесть. Тогда плоская фигура25 BCDE - семьдесят два. Если не будем прибав- лять двенадцать, не останется ничего, и в полдень пришлось бы делить ничто, так что в частном в это время не получится ничего. Но произво- дящий это действие должен II получить в это время шесть, так как его


215
Обособление речи о проблемах теней
целью являются косые часы. Поэтому деление производится на длину тномона, установленную постоянно, имеется ли тень или нет. и если семьдесят два делятся на СВ, в частном получится BE, т. е. шесть,
В полдень это действие сводится к вычитанию полуденной тени из те- ни в заданное время, прибавлению [длины) шеста к остатку, даже если ничего нет, и к делению семидесяти двух на ![результат]. Проведение2б этого действия в другое время подобно этому. Пусть в неполуденное время тень гномона —BG, полуденная тень - BF, а разность между ними - GF.
Отложим вк, равную GF. Тогда КС [при- нимается за], делитель. Учтем при этом, что плоская фигура кенм [становится! равной плоской фигуре BCDE. Тогда BJ - число часов дня для. разности CF27.
В некоторых списках имеется деление на семьдесят два вместо деления на то, что мы указали. Это —ошибка переписчиков, весьма отклонившихся от ИСТИНЫ.11
В некоторых из них говорится, ЧТО если тень больше семидесяти двух, умножь шестьдесят на семьдесят два и раздели произведение на то, сколь- ко там частей шеста. Различие между этими действиями до- статочно, чтобы убедить мыслящего в расхождении между их резуль* татами ([даже] для одного и того же примера, в особенности если срав- нивать их с помощью точного вычисления28. II 153
Есть действие, похожее на это, автор KO'TOporo неизвестен. Оно ос- новано на последовательном подборе, в нем полуденная тень вычита- ется из тени, взятой в данный момент времени, а из остатка [вычитает- ся] двенадцать частей гномона. Если после этого остается шестьдесят,— прошел час, если остается двадцать четыре. —два часа, если остается двенадцать,— три часа, если II остаются две '[части] пятьдесят 159 [минут], — четыре часа, а если не остается ничего, кроме полуденной тени и тени шеста, — пять часов.
У индийцев — такое же действие, они запоминают его с помощью С.ТИХОВ, и с его помощью они определяют влтесто КОС'ЫХ часов мухур- ш29, т. е. пятнадцатые доли дня или ночи. Они излагают его в своей поэме в такой таблице:
[Мухурты], прошедшие перед полуднем
1
2
3
4
5
б
٦
Добавление к тени после полудня
95
ео
12
6
5
3
2
0
Мухурты), прошедшие؛ ПоСле полуЯнЯ ا
14
13
12
11
10
9
8
л
Рис. 139. 146
Если вычеСть из мухурт одну пятую их, получатся косые часы, а если прибавить к косым часам их четверть, они преобразуются в му- у рты,.
Я прочел в зидже, называемом <<ал-Харуни»з٥: если умножить диа- гональ полуденной те.ии на сто пятьдесят и разделить произведение на диагональ тени гномона для данного момента времени, а полученная дуга будет в кардаджах синусаЗ!, то возьми для каждой кардадоюи час и получатся прошедшие или оставшиеся часы.
Пусть для этого —линия меридиана, ء - центр горизонт.а.


Математические и астрономические трактата
216
160 ГР] OF—треугольник дня, РХЯ —треугольник времени, p^ ll ^ [^сть]
د плоскости суточного круга и горизонта (рис. 140). Пустн
вершина гномона Е в [плоскости] горизонта, его длина-на отвесно؛ линии —РХ, а каждая из линий [EI] и [Р]Я_ диагональ полуденной тени. Раньше было ؛[доказано], что гномон относится к диагонали тени
146 как синус II высоты к полному синусу, примем гномон за ср؟؟ее про-
пор-циональное между El и р^-диа- гоналями двух теней. Тогда El (отно- сится к EZ как ОЕ к OP, a EZ отно- сится к ЕК как LH к НЕ) равной ОЕ. По равенству в переменной пропор- ции32 El относится к ЕК как LH к 01. Но LH относится к ОР как нх к OF. Следовательно, относится к р^ как OF к НХ. Поэтому если умно- жить диагональ полуденной тени на стрелу дня, т. е. обращенный синус
половины дня, а произведение разде-
лить на диагональ тени '[данного] МО-
мента времени, в частном получится порядок оборота, и если вычесть его из стрелы, останется стрела оборота между временем измерения и
полуднем؛ это — #*. Но линия ях — не синус некоторой дуги, даже
если на суточном круге имеется дуга, синус которой равен линии ях,' она составлена из синусов двух смежных дуг.
Для уточнения определения этого опустим перпендикуляр р٥ на
147 OP II и проведем DM параллельно FX. Тогда . — центр суточного круга, а MX — синус уравнения дня в суточном круге. MC — синус поворота [сферы] в нем, '[т. е.] расстояние поворота [от] уравнения дня33. Но автор этого действия восставлял линию ОР, занимающую положе- ние полного синуса, считал, что она — с'го пятьдесят, и проводил нх в соответствии с этим. Хотя полный синус — не чаС'Ы, а синус девяноста иастей, хн [по его мнению] — синус дуги поворота [сферы] в прошед- ших часах. Но это несправедливо для городов, обладающих широтой, за исключением моментов времени двух равноденствий: в это время РХ будет PC34, перпендикулярной к LX, FO будет OD, а нх будет нм. Правильность же этого на линии земного экватора — от того, что в этом случае центры суточных кругов—на плоскости горизонта. Но ведь производящий действия рассматривает и места, обладающие ши- ротами, подобным же образом, или же он считает, что о. и ئ — остатки от РО и хн после вычитания из них FD и ХМ) равных друг другу, и поэтому остатки относятся как LH к OF, выражаемые через них33.
К подобному склонялся и Иа‘куб ибн Тарик33 в своем рассужде- НИИ. '[Он сказал]: «Раздели на диагональ тени для [данного] времени тысячу восемьсот, умножь частное на сто пятьдесят, раздели произведе- ние на синус полуденной высоты, и в частном получится синус. Найди его дугу и возьми из этого для каждых пятнадцати градусов один пря- мой час». II
148 Это — потому, что тысяча восемьсот — произведение гномона на полный синус. КЕ, диагональ тени для данного момента времени, от- носится к EZ) гномону, как РЯ, полный синус, к НЕ, синусу высоты в данный момент времени. Это, '[т. е. HL]) — частное от деления؛ — оно .относится к НХ, порядку оборота, как ОР, синус полуденной высоты, ٠к ОР, синусу дня. Но еСли ОР принять за полный синус, положение будет таково, как мы упоминали раньше. Так как множитель в обоих


217
Обособление речи о проблемам Теней
отношениях — полный синус, будет лучше удержать его и умножить гномон на квадрат полного синуса. Получится двести семьдесят тысяч، Разделим это непременно на произведение делителя в одном из двух отношений на делитель в другом из них, т. е. произведение диагонали тени для данного момента времени на синус полуденной высоты. Отсю- да получится то, что было получено раныпе.
В «Шахском зидже» опреде.ление прошедшей части дня произво- дится '[следующим образом): тысяча восемьсот делится на синус II вы 149 С.0ТЫ дня данного времени, в частном получается диагональ тени( для этого времени, и на нее делится произведение подсчитанного синуса,
[т. е синуса высоты дня], на диагональ полуденной тени. Частное вы- читается из величины подсчитанного синуса) остаток вычитается из ста пятидесяти, и находится дуга остатка. Получается уравнение для дан- ного синуса. Если высота - восточная, то уравнение синуса вычита- ется из девяноста, если высота — западная, то оно прибавляется к девяноста. Получается высота '[Солнца] на [суточной] сфере.
В последних частях действия имеет место путаница из-за невеже- ства в этом искусстве, а именно: если разделить произведение гномона на полный синус на НЕ, в частном получится ЕК, а если разделить это на ЕК, получится HL. Величина подсчитанного синуса —OF, а то, что получилось у него,—это НХ) которую он вычитал из синуса дня. Действия до этого места — правильные؟ у него получилась стрела по- ворота [сферы] между данным моментом времени и полуднем, т. е. обращенный синус. Если найти его дугу и вычесть ее из половины дуги дня в случае восточной ВЫС.ОТЫ или прибавить ее к ней в случае за- падной высоты, получим поворот '[сферы] [во времени], прошедшем от начала дня. Если распространить перехо.д к дугеЗ? от стрелы на плос- кие синусы в обе стороны, и если стрела меньше полного синуса, он вычитает ее из ста пятидесяти, и находит дугу остатка. Это то, что он называет уравнением синуса и вычитает из девяноста. Если же стре- ла больше полного синуса, он вычитает из нее сто пятьдесят, находит дугу остатка, прибавляет уравнение синуса к девяноста и получает дугу стрелы. Затем он рассматривает с'горону II высоты и [в одном 150 случае] прибавляет результат в половине дуги дня, а [в другом слу- чае] вычитает его из нее.
Таким образом, те.перь [нам] известно, что выпало в этом рассужде- НИИ, и что было опушено. Надо было сказать: необходимо вычесть
частное из величины подсчитанного синуса, взять разность между ос.- татком и полным синусом, и это будет уравнением синуса. Затем нахо- дят дугу его, и если избыток над дугой будет у полного синуса, то дуга уравнения синуса вычитается из девяноста, а если наоборот, то уравнение синуса прибавляется к девяноста. То, что получается после ،:ложения или вычитания,— в зависимости от высоты: если она В'ОСТОЧ- ная, вычти это из половины дуги дня, а если она западная, то прибавь к ней. Получится прошедшее [время] нахождения [Солнца].
Зидж «Кхандакхадьяка»з8 излагает это действие совершенно точ- но. Его автор сказал: умножь синус дня на диагональ полуденной тени, раздели произведение на диагональ тени в данный момент времени, в частном получится уравнение. Вычти его из синуса дня и перейди от О'статка к дуге обращенного [синуса], раздели ее на шестьдесят, и в частном получится то, что остается из минут дня до полудня или то, что прошло после него, правильность этого ясна из того, что было раньше.
Далее он сказал: «Если ты вычел уравнение из синуса дня, и оста- ток больше полного синуса, то вычти из него полный синус. Перейди


Математические и астрономические трактата
ه1ق
ОТ остатка к дуге плоского [синуса]39, прибавь к ее минутам пять ты- сяч четыреста минут, и получится разность между данным моментом времени и полуднем. Это — время, на которое прошедшее время дня или оставшееся из него недостает до уравнения дня.» Ведь уравнение,
151 которое получено, это НХ\ II если оно меньше MXو то разность между ним и FO больше OD. Если вычесть из нее OD, ПО'ЛНЫЙ синус в суточ- ном круге, то остаток, т. е. линия, выходящая из ٥, будет меньше, чем FD, плоский синус для дуги, начинающейся от диаметра DM и (иду- щей] д٠0 О в противоположную сторону, т. е. в направлении горизонта. Если же прибавить ее к квадранту, (расположенному] от диаметра DM в направлении о, минуты которого упомянуты, получится требуемая дуга. Он должен был сказать для полноты всестороннего [рассмотрения возможных случаев]: когда уравнение вычитается из синуса дня и ни- чего не остается, тогда прошедшая или оставшаяся части [дня] равны уравнению дня.
Далее он сказал: «Если 'гы хочешь, вычти уравнение дня из этого уравнения, если склонение Солнца северное, и прибавь его к нему, если оно южное. Перейди от полученного к дуге плоского (синуса], прибавь ее к уравнению дня, если склонение северное и вычти ее из него, если склонение южное. Получится прошедшая или оставшаяся часть (дня]». Если в нашем примере склонение северное, и вычесть хм, синус уравнения дня, из нх, этого уравнения, останется МН; это — плоский синус дуги. Если ты прибавишь ее к уравнению дня, сумма будет тем, что между точкой восхождения в этом суточном круге и Я; это — прошедшая часть [дня]. '[Если же склонение] южное, то подоб- ным же образом действуют с прибавлением . Далее он сказал, что если невозможно вычесть уравнение дня из этого уравнения, то перей- ди от этого уравнения к дуге плоского ([синуса], это и есть прошедшая [часть дня].
Я думаю, что это плохо переведено переводчиком, так как подоб-
152 ных вещей не скрывал II Брахмагупта, (который говорил, что] необходи- МО перейти к дуге плоского [синуса] от разности'между [данным вре- менем и полднем] и вычесть эту дугу из уравнения дня. Тогда останет- ся прошедшая или оставшаяся часть '[дня].
Что касается Ватешвары40, то он предлагал умножить синус дня на разность между диагоналями тени для данного момента времени и полуденной тени и разделить произведение на диагональ тени для данного момента времени для получения стрелы поворота [сферы] меж- ду данньтм моментом времени и полуднем. Дело в том, что эта '[стре- ла] — разность между порядком оборота и синусом дня в эгих квад- рантах. [Что касается] действия для определения диагонали тени для данного момента времени с помощью :[времени] прошедшего от начала дня, то оно основано на том, о чем мы уже говорили. Таково же то, что [сказано] об этом в «Каранатилаке» — «Блеске зиджей»4*: синус северного уравнения дня прибавляется к полному синусу, а синус юж- ного уравнения дня вычитается из полного синуса, остается синус дня: от разности между прошедшей частью дня и половиной дуги дня пере- ходят к обращенному синусу, он вычитается из синуса дня, и на полу- чениую разность делится произведение синуса дня на диагональ полуденной тени, в частном получается диагональ тени для данного момента времени.
Тот, кто знаком с обращением действий, [знает, что такова] заме- на умножения и деления друг другом, и то же — со сложением и вычи- танием, переходом от синуса к дуге и от дуги к синусу42٠ и ясно, что (рассмотренные только что] действия — обращения предыдущих.


ؤاة
Обособление речи о проблемах leu
Брахмагупта добавил к этому, что если поворот '؛сферы] между данным моментом времени '[и полуднем] больше пятнадцати, т. е. четверти шестидесяти, то вычти его из тридцати, т. е. половины шести, десяти, переиди от разности к плоскому синусу и вычти его 3؟ удвоен- ного полнОго синуса. II Балабхадра^з, его кОм^ентатор, сказал: вычти ا из этого оборота пятнадцать, перейди от остатка к плоскому синусу и прибавь это к полному синусу. Оба действия приводят к стреле эт'ого *،Оборота.
Из того, что об этом '؛сказано] в «Каранасаре» — «Уничтожителе зиджей»44: вычти южное уравнение дня из прошедшей !؛части] — при- бавь к [разности] северное^ уравнение дня, перейди от разностИ к синусу, прибавь к этому северное уравнение дня и вычти из него южное уравнение дня. Получится доля деления. Раздели на нее произ- ведение синуса дня на диагональ полуденной тени, в частном получит- ся диагональ тени для данного момента времени.


Глава ЗвасЩать ^етввртал
ОБ ,[ОПРЕДЕЛЕНИИ] АЗИМУТА и ЕГО ВОСХОЖДЕНИЙ
Высота, тень и азимут в один и тот же момент времени взаимно связаны, так что одно может быть определено по каждому другому из них. Поэтому знание величины тени приводил к определению BbicoTbi, а ее положение определяет азимут, так как он — в пересечении илос- костей горизонта и круга высоты, положение которого на горизонте
и определяет величину ази- мута. Также момент време- ни дня становится извест- ным по высоте, а также по азимуту.
Пусть известно, что ABCD — круг меридиана.
Рис. 141. Рис. 142.
BED, например,—восточная половинаоризонта, а АЕС^половина небе؟- ного экваТора с полюсом Е (рис. 141). ПуСть О—место Солнца в данный момент времени, его склонение OL||—северное за иск؟ючени^ четвертого чертежа, на ко'гором оно южное. Проведем через [точку О] из зенита X круг высоты OHG. Пусть его в^ичина —од Тогда ۶ —амплитуда восХОда, a ZE —уравнение дня. Опишем из полюса G на расстоянии стороны квадрата! дугу мк. Тогда известно, что она — по величине доПолнения уГла G. нам известны азимут ЕЯ склонение EL и широ- та [города] ХА, которая по величине угла £'. Так как ЕМ — дополнение азимута ЕН, то ее Синус относится к синусу мк как синууквадранта £٥ к синусу DC, допОлнения широты города. Поэтому мк известна. Синус ее Дополнения, т. е. угла G, относится к синусу угла £ к٩к СИ- нус ЕН к синусу GH. Поэтому GH, называемая средней ؟ысотой, из- в؛стна. Синус GX, ее дополнения относится к синусу как синус GD, уравнеНия высоты, к синусу OL, склонения Солнца. Поэтому урав- нениС высоты известно. Если мы прибавим его к средней высоте в южных склонениях, получится он — высота Солнца2. При отсутствии азимута или отсутствии склонения средняя высота совпадает с урав- ненной. Таким образом метод определения высоты по азимуту ясен.
Что касается определения прошедшей части дня по азимуту, то синус ЕН, азимута, относится к СИНУСУ EG, запомненного, как синус угла G к синусу прямого угла я. Поэтому запомненное известно.ا|


221
Обособление речи о ироблемах теией
Синус OG, уравнения высоты, относится к синусу GL как синус OF, 155 дополнения склонения Солнца, к синусу FX, дополнения широты го- рода. Поэтому GL известна. Если азимут [и склонение] в одной сторо- не, как на первом и четвертом чертежах, прибавим GL к запомненное му, а если они в разных сторонах, как на третьем чертеже, возьмем разность между GL и запомненным. Получится EL — среднее восхож- дение. В случае отсутствия азимута отсутствует и запомненное, и GL— среднее восхождениеЗ. в случае отсутствия склонения, отсутствует GL, и запомненное — среднее восхождение. Но ؛дуга] поворота, ZL, — на небесном экваторе и попадает в [Р] на суточный круг. Поэтому необ- ходимо прибавить ZE, уравнение дня, для северных склонений к сред- нему восхождению и вычесть его из него для южных склонений, как на четвертом чертеже, для получения '[дуги] прошедшей ؛части} поворо- та в случае восточного азимута и оставшейся ؛части] поворота в случае западного азимута, при отсутствии склонения среднее восхождение совпадает с дугой поворота, так как уравнение дня отсутствует в это Бремя. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Азимут тени равен азимуту Солнца по величине, но противополо- жен по направлению, так как они всегда — из одного диаметра и в на- правлениях его концов, т. е. в противоположных квадрантах. II
Если нужно найти азимут по тени и высоте, то ny'CTb ABCD - 156 круг горизонта (рис. 142). в на нем — восточная сторона, А د южная сторона, диаметр ЯРР —пересечение плоскостей горизонта и круга II высоты, н на ней —в стороне Солнца. Я5 —расстояние азимута ؛[точ- 157 ки Я] от востока в направлении юга. Необходимо, чтобы направление тени на диаметре было бы EF, его конец от £ —в направлении р. Поэ- тому FD равна ЯР. Это расстоя-ние азимута тени от запада в направ- лении севера. Предположим EG равной синусу доп'олнения высоты Солнца, которое известно само по себе или по тени. Восставим на плоскости горизонта перпендикуляр GK, равный синусу высоты, и про- ведем GM перпендикулярно к РО — пересеч'ению плоскостей горизон- та и суточного круга. Соединим к с м. Тогда [GJKM —треугольник дня. KG в нем, т. е. синус высоты, относится к Основанию GM как синус угла м, который — по величине дополнения ширО'ты, к углу к, который — по величине широты. Поэтому GM известна, и GL, аргумент азимута, известен, так как он является сумм'ОЙ GM и ML, синуса амплитуды восхода, для южных склонений и разностью между ними для северных склонений. Азимут ЯР — южный, за исключением [слу- чая], когда он—избыток синуса амплитуды восхода над основанием GM; в это время он —северный. Когда же они равны, азимут — на равноденственной линии. Для определения его расстояния от равно- действенной линии '؛заметим, что] квадрат PG относится к квадрату GL как квадрат РЯ к квадрату HI в силу подобия треугольников EGL и EHL Поэтому, если мы умножим аргумент азимута на равное ему и полный синус на равное ему, а затем во'Зьмем сумму 'ОДНОГО из них с .11 другим, разделим эту сумму на произведение синуса дополнения вы-158 соты на равное ей и возьмем корень из частного от деления, HI будет сину-сом расстояния азимута Солнца от востока, расстояние же азиму- та тени от запада равно ему4.
Если мы хотим [найти] расстояние азимута от линии меридиана, умножим как аргумент азимута, так и синус дополнения высоты на равн'ое себе и вычтем меньшее из большего. Далее разделим остатО'К на произведение полного синус-а на равное ему и возьм'ем корень из частного от дел'ения. Тогда HZ - синус расстояния ази-мута Солнц-а от юга в направлении востока, ему р'авн'0 расстояние аз-имута тени от севера в направлени'И запада. Это и есть Т'О, что мы хотели [доказать].


Глава 0ва9цать пятая
160
РАССКАЗ О МНЕНИЯХ ИМАМОВ о ВРЕМЕНАХ молитв И О ТОМ, ЧТО НЕОБХОДИМО для их ТОЧНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Солнце — главный знак для определения времени. Поэтому хар- ранцы!, индийцы^ маги6 и все те, ктО поклоняетСя светилам*, прИнима- ют время его восхода, захода и прохождения через середину неба за время по'клонения и молитвы, так как его восход — это его воспыла- ние, прохождение через середину неба — его совершенство, а заход — его прощание. Истинность всех этих религий не подтверждалась и ела- мом ни в какое время в прошлом. Поэтому молитвы в эти три указан- ные момента времени запрещены для нас для отличения от них.
Говорят, что Солнце восходит между двумя рогами СатаныЗ, разу- мея, что его сторонники поклоняются Солнцу в это время, и он, дескать, поднимает Солнне над ними, чтобы обольщать их. Говорят также, что он мешает восходу и заходу Солнца до тех пор, пока оно не сжигает его. Все это неприемлемо для разумения и не соответствует делам царства [Аллаха]. «Рога» - это направления, а их связывают с Солн- нем, говоря, что восходит один из его рогов. Также связывают с Солнцем и другие названия: говорят о глазе Солнца, о его лице и го- лове. Я думаю, что '[время] между ТЬМОЙ и утром называют местом отдыха Сатаны по аналогичным причинам. Поэтому стояние тогда '[для молитвы] осуждается и запрещается.
Время первой молитвы [определяется]6 II отходом Солнца от его совершенства?.* Что касается двух молитв в конца.х дня ١ и ночи, то одна из них — перед восходом Солнца, а другая —после его захода в моменты времени, когда исчезает его тело. Моменты времени этих двух [молитв] определяются Солнцем, так как в эти моменты его лучи образуют рассеянный свет, являющийся для людей знаком утренней молитвы. Таким же знаком вечерней молитвы является исчезновение сумерек, противоположное утреннему и по причине, и по сути. Закат- ная молитва — в начале ночи. Не установлено молитвы в начале дня, так как это время выбрано для молитвы солнцепоклонниками. Эта молитва заменена пополуденной молитвой во вто.рой половине дня. Таким образом, утренняя и вечерняя молитвы [определяются] лучами Солнца, закатная молитва — его телом, а полуденная и пополуденная6 молитвы — заслонением его лучей, т. е. тенью. На этом и закончена наша речь об этом.
Что касается определения времени этих молитв по традиции, то сообщение об этом исходит от самого пророка, да благословит его Аллах и да приветствует: «Поистине ГавриилЭ приходил ко мне дваж- ды в дверь Ка‘бы1٥, и я сотворил полуденную молит-ву, когда тень была подобна ремешку [сандалии], затем я сотворил пополудеиную молитву, когда тень всякой веши стала равна ей самой, затем я сотворил за- катную молитву, когда Солнце село и наступило разговенье, затем я
161


223
Обособление речи о ироблемик теней
сотворил молитву вечернюю, когда исчезли сумерки, а затем я сот- ворил утреннюю молитву, когда занялась заря и запрещена еда во вре- мя постов». «На другой день он {Гавриил} сотворил вместе со мной полуденную молитву, когда тень каждой вещи стала равной ей самой, как в предыдущий день для пополуденной молитвы, затем сотворил пополуденную молитву, когда тень всякой вещи равна двум этим ве- щам, затем сотворил закатную молитву в то же время, что и в другой день, затем он сотворил последнюю вечернюю молитву, когда прошла II треть ночи, и утреннюю молитву, когда она окончилась, и он сказал, 162 что [время} молитвы — между этими двумя [временами]»!!.
‘Омар ибн ал-Хаттаб!2 писал своим амилям в семнадцатом году хиджры^: «Творите полуденную молитву от момента, когда тень —ло- коть, до [момента], когда тень любого из вас будет равна ему самому, а пополуденную молитву — когда Солнце поднялось белым и чистым на величину '[времени], за которую всадник проходит два или три фарса- ха!4, молитву захода —когда Солнце садится, вечернюю молитву — от ؛[момента], когда исчезли сумерки до трети ночи и утреннюю молит- ву — когда звезды едва видимы».
Он писал Абу Мусе ал-Аш‘ари!5: «Твори полуденную молитву, ког- да Солнце в кульминации, пополуденную молитву — когда Солнце бе. лое и чистое перед тем, как оно начнет желтеть, закатную молитву — когда Солнце садится, задержи вечернюю молитву, если [темнота] не- полная, а утреннюю молитву твори, пока звезды еще видны, и тщатель- но повтори д.ве длинные суры»1б٠
Говорят, что по поводу нарушения поста он сказал: «Не прекра- щай пост до тех пор, пока не увидишь ночь на холмах», т. е. до тех пор, пока темнота ночи не скроет малые горы. Он должен был сделать ого- ворку о больших горах, за которыми следуют малые, так как возможно, что Солнце исчезает на малых горах, но его свет [еще] освещает вер- шины больших гор.
Говорят, что Джа‘фара ибн Мухаммада ас-Садика!7 спросили о временах молитв, и он ответил: «Аллах установил времена молитв ука- заниями на небесах и изменением положений, на небесах. Так что на- блюдением этого будут известны границы, отличающие их от другого. Добродетель состоит Е том, чтобы молиться как можно ближе к этим границам, наблюдать их времена и следить за их наличием. Поэтому он установил время закатной молитвы при заходе Солнца, вечерней молИтвы — II при исчезновении сумерек, утренней молитвы — при Появ- 163 лении зари, полуденной молитвы — при кульминации Солнца и перехо- де его со с'горон.ы востока на сторону запада. Если же тень становится длиннее 1[вещи, ее отбрасывающей], то это —время пополуденной МО- ЛИТВЫ, для которой нет указания на небесах, подобного этим четырем указаниям, но он установил границу и для этого, являющуюся не узкой.
Он сказал, что это — от '[времени], когда тень вещи равна ей до [времени], когда она равна двум им!8. Но случилось, что однажды он перенес ее вперед и соединил полуденную и пополуденную молитвы, а в другой раз задержал ее, говоря, что следует молиться до тех пор, пока Солнце остается белым.
Говорят также, что он сказал: «Предписывается молиться в нечет- ные часы: полуденная молитва — в начале седьмого '[от восхода], по- полуденная молитва —в начале девятого, закатная молитва—в начале первого, вечерняя молитва — в начале третьего, а утренняя молитва — в начале одиннадцатого».
Что касается ниспосланного, то всевышний Аллах сказал: «Выстаи- вай молитву в обоих концах дня и в близких часах ночи. Поистине,


Математические и астрономические трактаты
224
добрые деяния удаляют дурные»19. Но день —это [промежуток] вре- мени, и два конца этого [промежутка] времени —два момента времени, как две точки для ЛИНИИ20. Однако моменты времени не настолько об- ширны, чт.обы произвести действие соблюдения обряда, поэтому гово- рится о молитвах вблизи границ. День фактически можно разделить только пополам в [момент] кульминации Солнца, а для остальных его дробей нет указаний, поэтому следует прибегнуть к воображению. Та- КИМ образом, два конца дня—'[два конца] ег.0 половины. Если в при- роде день начинается с восхода Солнца, в фикхе21 его начало — начало поста. Утренняя молитва совпадает с одним из его концов, полуден- ная [с серединой], пополуденная — с другим концом, а закатн'ая и
164 ьечерняя молитвы происходят II ночью.
Всевышний сказал: «прославляй хвалой твоего господа до ВОСХО" да Солнца и захода»22. Это —две части суток и то, что имеет место пе- ред восходом Солнца, это—закатная, вечерняя и утренняя молитвы, а то, что имеет место перед его заходом, это — полуденная и пополуденная молитвы. После же него — повторение того же или варьирова'ние не- которых деталей. Можно принять, что перед восходом Солнца — утрен- няя молитва, а перед его заходом —пополуденная, в течен-ие ночи — закат.ная и вечерняя молитвы, а концы дня — в полуденной молитве, так как это встреча истинных половин дня, а она заслуживает назва- ния конца. '[Аллах] сказал: «Восхваляй славу Господа твоего, когда ты встаешь! и ночью прославляй его при обратном движении звезд»2з٠
Здесь имеется в виду становление |[на молитву] после послеобеден- ного отдыха, охватывающего и полуденную, и пополуденную молитвы в силу их соединения, а ночью содержит закатную и вечернЮ'Ю молит- вы, соединяя их. Заря наступает, когда звезды исчезают. Всевышний сказал: «Выполняй молитву при склонении Солнца к мраку ночи, а Коран — на заре»24.
Время от кульминации Солнца до исчезновения сумерек охватыва- ет все. молитвы, кроме утренней, поэтому Аллах упомянул ее отдельно.
Люди считают, что при заходе '[Солнца] нужно массажировать гла- за, так как в это время Солнце исчезает, я не одобряю такого мнения, поскольку Солнце во время восхода и захода лучше всего видно, так как в это время исчезают его '[прямые] лучи, заставляющие закрывать глаза. А мы, [напротив], нуждаемся в массаже глаз, '[если глядим на Солнце при любой другой], кроме вечерней, молитве. Если это рассуж- дение справедливо, то оно еще больше касается полуденной молитвы из-за силы лучей Солнца и вследствие того, что требуется потереть глаза после послеобеденного сна, чтобы восстановить зрение. II
165 Упомянем теперь то, что было сказано о названиях молитв, так ка-к они связаны с временами их ([исполнения]. Полуденная молитва [зухр] — от полудня [захира]) т. е. наиболее сильной жары. Вероятно также, что это взято от [слова] захир — названия сильного своим хребтом верблюда, или от того, что Солнце с его расстилающи- мися лучами тогда наиболее хорошо видно. Пополуденная молитва — это вечерняя, и обыденно можно их назы-вать «две пополуде-нные МО- ЛИТВЫ», так же, как ночь и день называют д-вумя послеполуденными временами, пророк, да благословит его Аллах, сказал Фадале аз-3ах- рани2^: «Соблюдай пополуденные молитвы», но на его диалекте это было ему непонятно, и когда он переспросил его об этом, тот сказал: «Молитву перед восходом Солнца и молитву перед его заходом»2б. Эти две молитвы объединяются в их именовании, поскольку они отно- сятея к дню и ночи, противоположным и подобным по отношению к двум


225
Обособление речи о проблемах теней
Временам, подобно тому, как утро и ночь называют двумя самыми холодными '[временами]. Сказал Хумайд ибн Саур27:
Ты не можешь выдержать тень холодным утром,
И вытерпеть тень [холодным] вечером.
Это сравнение теряет свою силу только очень холодной зимой.
О пополуденной молитве [аср] говорят, что будто слово [аср] означает убиение для выдавливания чего-нибудь, как если бы что-то было убито, а затем выжато [та'ассара].
Некоторые люди придерживаются мнения, что полуденная молитва [зухр] названа так потому, что Солнце переходит на заднюю часть [захр] небесного купола и что его наклонение подобно поклонению всевышнему Аллаху, а время для пополуденной молитвы — когда Солнце спускается с выпуклости [небесного] купола и в своем спуске достигает места коленопреклонения.
Что касается вечерней молитвы [иша] то она происходит после вечера гаши], проходящего от полудня до заката, поэтому эта молит- ва от заката Солнца до истечения первой част.и ночи. Ее начало — наступление II темноты, так как свет вечернего огня — в темноте. 166
Закатная молитва называется первой ночной молитвой, так ка.к она происходит в начале упомянутого промежутка времени, а вечер- няя молитва [٤атма] называется второй ночной молитвой, так как она происходит в конце этого промежутка времени, задерживаясь до тех пор, пока темнота не станет полной при окончании сумерек, а темнота [атма] и есть задержка.
Аш-Шафи‘и28 и Малик29 не любят называть эту молитву молитвой темноты [атма]') всевышний Аллах называл ее вечерней молитвой, и последнее название может применяться к обеим моли.твам, и к пер- вой, и ко второй. В хадисе сказано: «Да не опередят вас [пустынные] арабы в молитве!» Здесь речь идет о вечерней [ночной] молитве, так как они поздно пригоняют верблюдов.
Вернемся теперь к временам молитв. Мы говорим, что предписан- ные молитвы фактически подразделяются на два вида. Первые — днев- ные — безгласны, совершаются шепотом, за исключением указания '[на совершение молитв] по пятницам и во время двух лраздниковЗ. после объявления ислама и поражения неверных. Шепот происходит от того, что пророк, мир над ним, скрывался с правоверными в ОДН’ОМ доме от жестоких притеснений неверных. Ночные молитвы совершаются с гром- КИМ чтением. Утренняя молитва должна быть оговорена особо, дабы не 6'ЫЛО здесь путаницы из-за обычая рассматривать зарю как часть ночи.
Что касается ночных МОЛИТВ, то первая из них — закатная молит- ва. Начало ее времени — заход Солнца, т. е. исчезновение всего его диска над землей при отсутствии преграды между ним и наблюдателем в виде чего-нибудь, выступающего на поверхности земли или стоящего между ним и небом. Ее II время, согласно аш-Шафи‘и, не должно быть 167 таким долгим, чтобы она затянулась до другой '[молитвы], время ее — единое, а его величина — ؛[чтение] закатной '[молитвы] после захода Солнца. Однако, согласно Абу Ханифе3! и его сторонникам, начало ее времени — заход Солнца, а конец — конец сумерек. По Абу Ханифе, сумерки — это белизна, в то время как согласно Абу Йусуфу32, Мухаммаду ибн ал-Хасану33 и аш-Шафи‘и٠_٠ краснота. Но Ахмад ибн Ханбал34 принимал для надежности за конец закатной '[молитвы] крас- ноту на открытом пространстве и в пустыне и белизну в застроенном месте между строениями, так как краснота примыкает к горизонту, а он заслонен строениями.
15-11


Математические и астроиомические трактата
226
Малик считал за конец закатной [молитвы] восход зари, и время между исчезновением сумерек и восходом зари становится общим для двух молитв — закатной и вечерней.
Вторая из ночных молитв — вечерняя молитва. Начало ее време- ни, согласно всем, — исчезновение сумерек, однако имеется разногла- сие о том, что это такое. Конец ее времени — восход зари. Ее задержка на треть ночи или на ее половину объясняется удобством, а не вре. менем.
Третья из ночных молитв — утренняя молитва. Начало ее време- ни — восход второй зари после ложной зари35. Нет разногласий в том, что заря —это белизна, распространяющаяся вдоль го.ризонта после [появления] прямоугольника, восставленного перпендикулярно к нему, похожего на волчий хвост. Некоторые говорят, что эта ؛[ложная заря]— зеленое, предшествующее восходу Солнца.
Имеются разногласия относительно сумерек, эти различия проис-
168 ходят от положения по отношению II к Солнцу с той или другой его сто- роны,—и по отношению к горизонту — в различных его областях.
Имеются разногласия [...]36. Аш-Шафи‘и считает э'го малым, за- метно меньшим локтя. Однако этот локоть ؛[должен] превосходить по- луденную [тень], иначе правило не будет действовать при изменении времени и места.
Первая точка зрения в свете вышепривед.енного хадиса предпочти- тельнее и уместнее, так как '[время] пополуденной молитвы здесь н؟ связывается |'[со временем], когда полуденная тень '[вещи становится] равной этой [вещи] или ее удвое.нной величине. '[Из него] лишь явству- ет, что полуденное время обусловливает перемещение и предельное со- кращение тени, и когда она окажется размером с ремешок ؛[для обу- ви], это — указание на полдень. Если бы тень :-[вещи] имела тогда [более значительные] размер'ы, то было бы сказано [о ее последующем равен- (:тве] одной или двум величинам [этой вещи].
'[Но данный хадис касается периода летнего солнцестояния]. Во многих же странах в большинстве дней года тень [вещи] в полдень превосходит величину [гн0М0на]37. Если же об этом нельзя так сказать, то тогда сам полдень будет началом пополуденной молитвы, при этом времени для полуденной молитвы может вообще не оказаться, если не будет ее конца. Концом же ее считается, согласно известным хадисам, приводимым Абу Ханифой, время, когда тень всякой вещи после полудня становится равной двум величинам [этой вещи]. По АРУ- гим, исходящим от него, версиям — не двум, а одной ее величине. Пос- леднее говорят также Абу йусуф, Мухаммад и аш-ШафиИ.
Вторая молитва И есть пополуденная. Ее начало — конец времени полуденной молитвы. Это связано с тем, что тень всякой вещи равна ее удвоению после полудня согласно Абу. Ханифе в известной его пе- редаче традиции и равна ей самой в другой его передаче традиции, а также согласно Абу йусуфу, Мухаммаду и аш-Шафи‘и. в некоторых передачах традиций Абу ханифой говорится, что если тень стала II
169 равной вещи после Полудня, значит время полуденной молитвы прошло, а время пополуденной молитвы не начинается до тех пор, пока тень не становится равной удвоению вещи после полудня. Но эта традиция не общепринята, время пополуденной молитвы, согласно аш-Шафи‘؟, остается до тех пор, пока тень не станет равной удвоению '[гномона]. Если кто-нибудь [бУдет молиться] дольше, то это уже время [произ- вольного] выбора.
Рассказывают, что 'Ата38, Таус39 и Малик считали время конца по- полуденной молитвы прямо указанным и ниспосланной '[книге] в ело-


227
Обособление речи о проблемах теней
вах всевышнего: «Выполняй молитву при склонении Солнца к мраку ночи»40 и [разрешали] отодвигание [конца] дополуденной молитвы до 1-10ЧН0Й темНотЫ. При этом '[время от момента], когда тень превзойдет равное [вещи], и до захода Солнца, становится общим для полуденной и пополуденной молитв, а предшествующее время рассматривается как время полуденной молитвы.
Что касается времени, когда молитвы запрещены, то это когда Солнце на горизонте и в меридиане, как мы упоминали раньше.
Что касается времени, когда молитвы [только] порицаются, то это —когда Солнце краснеет и желтеет после его восхода до тех пор, пока его цвет не становится ясным и лучи не становятся горячими. Также — и перед его заходом, когда его тело желтое, а лучи — только на стенах или на вершинах гор. Также запрещается дополнительная молитва для тех, кто выполнил утреннюю до восхода и дополуденную молитвы до захода Солнца. Но требуемая молитва не запрещается, если она еще не выполнена.
В традициях указано: «Не откладывай молитву до «восхода для мертвецов». Абу ست!!ة!ء! ?казал: «Эо^ такое время, когда Солнце ПО^НИ^аеТся над стенами и падает II на могилы при изменении [своей. 170 высоты]. Если западная сторона — при открытом горизонте и без пре- пятствий в городе, и могилы — с этой же стороны, тогда имеет место все упомянутое. Дело здесь сводится к пополуденной молитве, посколь- ку она не имеет ничего общего с восходами, указывающими на утрен нЮю молитву. Иначе это не было бы связано с одной пополуденной молитвой без других молитв.
Может быТь [здесь речь не о восходе шарК) а] об удушающей су- хости (шарак) [в горле], из-за которой при последних смертельных судорогах капают капли в горло. Тогда с этим связано и слово «смерть». При таком объяснении суть такова, что нельзя откладывать вообще никакую молитву до последнего момента времени, подобному последнему моменту времени умирающего, в который свершается куль- минация бренного существования. А надлежит молиться в .достаточное для молитЕы время, подобное жизни, прежде чем умрет Солнце, став слабым и красным, про что при этом можно ска.зать, что э^о — «уду- шающая суХость умирающего». На это указывают слова [пророка], мир над ним: «Молись, пока '[Солнце] остается белым и чистым, то есть ЖИВ'ЫМ»42. Если белизна — его жизнь, то краснота — его умирание или смертельные судороги, а заход — истинная смерть. Отсюда ؛[выражение] «красная смерть».
Поэт сказал:
Если западная видимая сторона окрашена крО'Вью,
Это ,благодаря красному цвету Солнца, зарезанного
горизонтом.
Таковы мнения прошедших поколений имамов ислама о временах молитв.
Среди ШИИТ0В43 имеются такие, которые считают времена сумерек в числе дневных [молитв], другие рассматривают среди них и утреннюю молитву, принимая за время молитвы захода исчезновение сумерек, за время молитвы зар؟ — ее появление, а за вр۶мя вечерней молитвы— 171 полночь. Их имамам II приписывают слова: «Не выполняй закатную молитву захода до тех пор, пока Солнце не зайдет, так как оно прячет- ся за горами», среди них имеются и такие, которые устанавливают начало ночи по видимости светил؛ они совершают молитву захода в это время и прерывают пост, сопоставляя появление звезд с их исчезно- вением.


Математические и астрономические трактаты.
228
Зайдиты44 говорят: «Молись при появлении красноты Солнца, и если ты увидишь звезду, молись и прерывай пост в соответствии со словами Аллаха: «и когда покрыла его ночь, он увидел звезду»43. Он сказал ؛это в том смысле, что) ночь вокруг [без Еидимости звезд] не отвечает условиям ночи, связанным с прерыванием поста.
Крайние из них говорят. «Если восходят Два Теленка4^, молись и прерывай пост». Но тот, кто знает, что неподвижные звезды разли- чаются по величине, понимает, что их появление различно по времени. Еолее того. Юпитер4?, когда он в положении, блИзком к называемому концом ночи, виден при заходе Солнца, так как тогда он — в темноте, начинающейся с востока в это время: это начало темноты ночи, в то же время если Венера48 находится на самом дальнем из ее расстояний от Солнца '[и движется] по последовательности знаков 30- ^(иака, видна перед заходом Солнца. Поэтому определять '[начало] но- чи по видимости светил — ненадежное мнение: его не следует прини- мать в расчет.
Что касается приверженцев Абу ‘Абдаллаха ибн Каррама4^ то я видел нескольких из них, которые хотели принять за время пополуден- ной молитвы нечто среднее между другими мнениями. Но здесь не яс- но, что это за среднее Должны ли они делать это по тени, принимая ее избыток над полуденной тенью за одну с половиной [длины гномона]? Нли они должны принять за это время, среднее между ![временами], соответствующими двум мнениям? Каждое из этих двух средних поло- жений, по тени и по времени) отличается от другого, и даже если они совпадают, это случайно. II
Что касается книг по фикху/ содержащих выбор [времени этой МО- ؛дитвы], то они согласны только с мнеНием Абу ХаНифы о превышении [длины гномона] вдвое.
Среди названий молитв имеются «первая» и «средняя» молитвы. По поводу первой нет разноглас.ий, что это полуденная молитва, так как это — первая из дневных молитв, первая из предписанных и испол- ненных явно. Она также первая, вдохновленная словами всевышнего: ^Молись при кульминации Солнца». От этой молитвы начинается по- )ядок [молитв], указанный в традиции об учении Гавриила о времени .40ЛИТВ.
Сообщают, что амиль Таифа3. попросил араба [пустыни] расска- зать о числе времени, когда он молится днем и ночью. Тот сказал: Поистине молитвы —[через] четыре и четыре [часа].
Затем ['через] три, за которыми следуют четыре.
Затем Молитва зар!И, которая не должна быть пропущена.
Таким образом, порядок ![молитв] начинается с полуденной, изве- стной как первая [молитва].
Что же касается средней ؛[молитвы], то по этому вопросу расходят- ся и объясняют это по-разному. Некоторые доходят до предела сме- хотворного Д.0 такой степени. Что говорЯт, что значение средней [мо- литвь؛] —наиболее важное для добродетели и наиболее вознаграждае- мое. Каждый рассматривает ее по-своему и относит ее ко всем упомя- нутым молитвам, за исключением вечерней, которая ими '[здесь] не учитывается.
Рассказывают, что ‘Али ибн Абу Талиб3!, Ибн ٤Аббас52, Ката- да53 и Муджахид34 считают, что средняя ؛[молитва] — утренняя молитва. Они Придерживаются мнения о том, что произнесение '[молитвы] зари признается как дневными, так и ночными ангелами, поэтому она — Промежуточная II между ними. Она непарная и не может сочетаться ни с какой другой, как сочетаются полуденная и пополуденная молитвы в
172
173


229
Обособление речи о проблемах теней
Арафате и как сочетаются закатная и вечерняя молитвы в Муздалифе55, а быть непарным предпочтительнее, чем быть парным. Аш-Шафи‘и под* тверждает это упоминанием кунутаь&) [считая, что] кунут должен при- меНяться только при утренней молитве. Однако (он исходит здесь] из формы, а не из значения, позволяющего кунуту применяться к любой молитве в соответствии со словами всевышнего: «Разве тот, кто покло- няется в часы ночи, падал ниц и стоя»57.
Джабир ибн ‘Абдаллах^ считает, что [средняя молитва] — между темнотой и светом, т. е. среднее между ночной тьмой и проблесками зари. Рассказывают, что ‘Али ибн Абу .Талиб по этому вопросу гово- рил: «Поистине — это среднее между двумя дневными молитвами и двумя ночными молитвами». Это значит, что он рассматривал ее как не относящуюся ни к ночи, ни ко дню, поскольку по их учению59 время зари и сумерек рассматривалось как находящееся между днем и но- чью, но не принадлежащее ни к тому, ни к другому.
‘Абдаллах ибн ‘Омарбо считает, что средняя молитва —это полу- денная, так как она совершается в полдень.
Другие, и среди них Кубайса ибн Зувайбб!, считают, что это — закатная молитва, так как она — средняя между более длинными [мо- литвами] —с четырьмя рак'атами62 и между более короткими — с дву- мя рак'атами, что она заслуживает добродетели благодаря тому, что в ней нечетное число [рак'атов], что в ней встречаются дневные и ночные ангелы, и что наклонение Солнца — один из концов ее времени.
Но они оставляли вне рассмотрения вечернюю молитву, являющуюся средней среди ночных.
Однако наиболее надежное мнение по этому вопросу — то, что это полуденная молитва, известная как средняя, так что это стало ее эпи- тетом и названием среди народа. Это — потому, что она — средняя между двумя II дневными и двумя ночными молитвами для всех, кто 174 начинает день с зари.
Что касается причин особого ее выделения и напоминания ее соб- людения, то в соответствии с обычаями людей, ее время разграничи- вает конец дневных дел и начало ночных обязанностей, и от всех них '[в это время] можно забыться.
Передают: пророк, да благословит его Аллах, совершал пополу- денную молитву вместе с нами и говорил: «Эта молитва предписана тем, кто предшествовал вам, но они забыли о ней. Тот среди вас, кто помнит ее, получит двойную награду». А также: времена остальных молитв имеют знаме-нования, которые совершенно ясны, как утро, пол- день, заход и исчезновение сумерек, но это не так для средней молитвы, ее знаменование — в сердцах, в противоположность другим '[приметам, определяемым] полуднем и запоминаемыми числами. Общий наказ соблюдения молитв состоит в том, чтобы молиться, когда насту- пает их время и появляются их знаменования и знаки. Пополуденная молитва — среди этих молитв, и определение ее времени и наблюде- ние признаков (ее наступления] — особое дело.
Хотя мы не нуждаемся во временах [молитв] других религий, упо- мянем те из них, знание которых не бесполезно для знания.
Молитвы иудеев, хотя их книги Моисеябз, мир над ним, не содер- жат распоряжений о молитвах, не являются [по времени] точными. Их три, первая — на заходе Солнца, вторая на заре, а третья —утром, когда можно отличить белую нитку от черной. Каждая II из них содер- 175 жит восемн-адцать рак'атов.
Молитв христиан семь, это полночная, утренняя, предполуденная* полуденная, пополуденная, закатная и вечерняя.


Математические и астрономические трактаты.
230
Молитв манихеевб4 для самых рьяных — семь, первая из них — молитва «вертикали», полуденная; в ней тридцать семь ракгатов; в понедельник — на два меньше. Затем —пополуденная молитва с двад- цатью одним рак'атом, затем вечерняя с двадцатью пятью рачатами, затем через полчаса ночи — равная ей, затем полуночная — тридцать рак(атов, затем утренняя — Пятьдесят рак'атов, затем пропОведь в конце ночи и начале дня — двадцать шесть рак'атов. Их миряне, за- нимающиеся делами мира, совершают четыре молитвы —нополуден- ную, вечернюю, утреннюю и восходную.
Молитв магов — три, как мы говорили^, они — по положению Солнца. Они молятся также Луне один раз каждый месяц, и при нали- чии огня —огню.
Упомянем теперь, что необходимо для того, кто устанавливает время молитв. Если имеются факторы, которые мы описали, то это — указания на время молитвы. Указанием для двух дневных молитв ЯВ" ляется тень; тень [является указанием] и для НОЧ'И, хотя указателем является Солнце. Для ночных молитв ссылаются также на зарю и су- ,мерки, относящиеся ко дню вследствие их света. Если аккуратный че- ловек наблюдает полуденную тень, он понимает, что тот, которому это поручено, должен наблюдать прилежно каждый день в течение года, пока он не придет к тени пополуденной молитвы для этого .[города],
176 выбранной по словам имамов. II Дело заключается в существовании са- мой короткой тени в течение дня, но ее не легко наблюдать при отсут- гтвии законов этого, 'которые устанавливают величины полуденных теней для дней года. Они будут различны для следующего года. Если это лунный год, их можно фиксировать только по [дням] солнечного го- да. Если хотят вести эту запись аккуратно, необходимо пользоваться месяцами румовбб и знать их високосные годы. Дабы не допускать подделки этих действий, боясь трудностей, связанных с долями дней при их делении на месяцы, следует перейти к равномерности движения Солнца по орбите апогея и к его неравномерности для насб?, а также к методу определения этого и наблюдения с помощью колец, и ؛[других] инструментов.
Возможно также, но я надеюсь, что этого не произойдет, что муэз- ЗИН, которому поручено это, может пропустить полуденную тень в не- который день или в несколько последовательных дней по причинам в пределах его контроля или по иным, вызываемым небесными явления- ми. Я наблюдал в Газне полуденные высоты по настойчивому требо- ванию человека, которые не мог сам сделать это ввиду трудности это- 1'0. Это удалось сделать для последовательных дней одного года чис- лом около двадцати, когда небо было ясным как раз перед полуднем, но как только наступило желаемое время, появилось несколько рас- сеянных облаков, которые соединились и заставили меня опустить мои диоптры. При этом в большинстве случаев шел дож.дь, и только после того, как прошел час после полудня, стало ясно и небо стало чистым. Если бы с ним произошло то, что я рассказал, он не смог бы опреде- лить тень для пополуденной молитвы, так как пропустил полуденную тень. Если от него требовали выполнения его долга, он мог или отка-
177 заться, или подражать II людям этого искусства. Все иное было бы не- вежеством, высокомерием и конфузом. Затем скажем, что полдень, определяющий время полуденной молитвы, может быть определен толь- ко следующими четырьмя способами — как середина промежутка вре- м٠ени между восходом и заходом [Солнца], как время, когда азимут Солнца посередине между ВОС.ТОКОМ и западом, как окончание подъема Солнца в этот день и как '[время] его кратчайшей тени. Однако наблю- дение тени и высоты, предназначенными для этого инструментами,—


231
Обособление речи о проблемах теней
искусное дело, выполнение которого не скрыто от того, кто знает что- нибуде об этик [инструментах], не говоря уже о тех, кто читает эту нашу книгу.
Что касается определения азимута посередине между восходом и заходом, т. е. линии меридиана, это — наиболее употребительный из .этих методов. Об определении этого по методу сего искусства ска- зано достаточно. Это, по сути, — практическое де.йствие и для его проверки с помощью доказательства необходимы специальные разде- лы иСкусств астрономии и геометрии, это требует привлечения '[тео- рии] конических сечений, которую, вследствие ее трудности, называ- ют духовной геометрией^.
Что же касается того, что связано с определением времени [мо- литв], то хорошо известно, что догадки по этому поводу, производимые большинством муэззинов, не заслуживают доверия, и догадка вообще не может быть основой для закона, который давал бы тому, кто им пользуется, возможность полагаться на него, используя его против -тех. Кто несогласен с ним, в качестве довода и доказательства. Люди отл.ичаются друг от друга по уровню [способности к] догадке и интуиции благодаря различию их природы. Обучение этому, частое и постоянное, дает лучший эффект, если бы только оно не сталкивалось с человеческой хитростью, вредящей мысли. Человек, которому пору- чено какое-нибудь дело, практическое II или теоретическое, не должен 178 быть лишен мысли и воспоминаний о положениях, важных для сего, которые должны тревожить его сердце и течь через его сознание и ду- шу как вода в реке. Это относится к тому роду [подсознательной дея- тельности], одним из видов которого являются сновидения. Споры по этому поводу могут быть длительными. Можно освободить душу от этого и вынудить силу воображения оставить это лишь на мгновение, после чего все возвращается обратно, я ограничусь в качестве свиде- тельства полной растерянностью большинства тех, кто придержива- ется мнения аш-Шафи‘и относительно начала молитв и их поразитель- ной нерешительностью в отношении их же намерений, и чем дальше, тем больше запутываются для них условия сего дела без всякой ПОЛЬ- зы. Таким образом, если догадка порождена этим пороком, кто может д٠оверять интуиции и домыслам? Как можно верить в свои способно- сти [указать] правильное время путем догадки, если не производить компетентные действия, не повторять утверждения некоторой системы и не выступать с числами, близкими к некоторым из величин времен? Гораздо надежнее такой догадки измерение времени с помощью ин- струмента, рассчитанного на измерение некоторого отрезка времени, например, часа, его части или кратного ему, по которым определяют длину половины дневной дуги данного дня. Этот инструмент изготов- ляется так, что в него вливается или из него вытекает вода, или песок, или что-нибудь подобное этому?.. Эти действия предполагают предварительное определение половины дуги дня с помощью вычисле- ния. Поэтому определение [времени полдня] с помощью инструмента возможно только после определения всего этого. Но определение всей дневной дуги может быть получено только после конца данного дня, и это не может бы-ть применено для определения полудня, так как он к тому времени уже пройдет. Необходимо для этого дела, после изучения [науки] о состояниях тяжелого и легкого и центров тяжести?*, основан- ной на науке о форме мира?2, [знание] уравнения дня II для каждой части зодиакального круга в данной местнос-ти. 179
Но для уравнения дня требуются широта населенного пункта, по- ложение Солнца на зодиакальном круге и его склонение?^. Широта


Математические и астроиомические трактаты.
232
местности получается как среднее между двумя крайними высотами одного постоянно видимого светила?*, или как дополнение среднего меж- ду двумя '[максимальными] высотами [Солнца] во время солнцестоя- ний?5 ИЛИ С ПОМОЩЬЮ склонения Солнца или одной из звезд. Но склоне- ние Солнца требует наблюдения наибольшего склонения и его подразде- ления на части?б, а склонение светила требует определения его положения по долготе и широте??, при этом и то, и другое нуждается в вычислениях с синусами, хордами и восхождениями. Для [определения] положения Солнца мы нуждаемся в знании эр [различных] народов?^, их годов и месяцев, в наблюдениях древних и последующих [астроно- мов] и в нахождении по этим ’[данным] положений Солнца по его сред- нему движению и разности между ним и неравномерным движением Солнца. По этим данным определяется половина дневной дуги желае- мого дня.
Что касается определения максимальной высоты Солнца по его ве- ликости или по малости тени и их наблюдений, то известно, что раз- личие высоты около полудня — в частях частей, и для их установле- ПИЯ нужны большие инструменты, превосходящие [своей точностью] малые. Поэтому считают, что Солнце в это время останавливается, так что высо.та и азимут- Солнца постоянны и в течение [некоторого] про- межутка времени имеют 'для ощущения одну и ту же величину. Поэто- му польза предварительного определения этой высоты для сопоставле- ния ее с существующей [на самом деле] не столь велика для ее уточ- нения, как необходимость ее определения по положению Солнца, наибольшему склонению и широте города. Таким образом, II для [опре- деления] полудня необходимо все то, что необходимо для [определения] полуденной высоты, а также знание, как определить его по ней.
Итак, если муэззин добивае.гся точности и избегает '[слепого] под- ражания и если он следует учению Птолемея, Архимеда и Аполлония?^ никогда не чуждается этих имен, стремится к постижению [их дости- жений] и изучению до тех пор, пока он не достигнет такого положения, что он изучит «Начала»8٥ и промежуточные книги между ними и «Альмагестом»^! и познает восемь книг его82, тогда, придя пустым, как И6лис82, он уйдет победоносным, как Идрис84٠ Если же ему с первого раза будет скучным слушать, что мы говорим, то для экономии труда и укрощения надежд пусть он передас'г дело изготовления лука мастеру ceross и передаст исполнение всего этого знающим, которые не пренебрегают постоянными усилиями для совершенствования этих первооснов, уточнения их и подготовки к восприятию результатов их тех, кто ищет их.


Глава двадцать шестая
ОБ УСТАНОВЛЕНИИ линии ВРЕМЕН молитв И ЧАСОВ НА ИНСТРУМЕНТАХ
Уже была объяснена зависимость вопроса о времени полуденной и пополуденной молит.в от теней. Что касается полуденной молитвы, то это потому, что ее время определяется отклонением Солнца от круга меридиана. Дело в том, что если тень гномона на плоскости горизон- та равна тени полуденной высоты в этот день в этом городе, то это полдень, когда еще молитва запрещена. Далее непосредственно следу- ет начало времени полуденной молитвы, когда тень увеличивается до такой величины, которая соответствует времени полуденной молитвы в соответствии с указанным нами. Это легко представить себе li в вооб- 181 ражении, но трудно осуществить на практике.
Поэтому для определения полудня устанавливают шест и наблю- дают за его тенью с самого момента его установления: если она мень- ше самой первой величины, то момент времени — до полудня, а если больше, то —после полудня. Это, при всей своей правильности, может вызвать путаницу у того, кто не имеет никакой практики в этом ис- кусстве. Во-первых, иногда оба момента времени по обе стороны от полудня могут быть на равных расстояниях от него: тогда сие не при- ведет к тому, для чего нужен этот метод. Во-вторых, второй момент времени может быть ближе к полудню, чем первый, но по другую сторо- ну, чем он, т.е. второй —после полудня, а его тень может быть меньше первой тени, которая была перед полуднем и, несмотря на то, что полдень уже прошел, можно подумать, что он еще будет, в-третьих, если игнорируется применение окружности круга, описанного из осно- вания гномона, то можно подумать, что разность азимутов указывает на увеличение или уменьшение тени, которые в действительности не имеют места. В-четвертых, даже если здесь не будет ошибок, сказать на основании этого можно лишь то, что первый момент времени — перед полуд١нем. у второго же момента могут быть три положения: -- п.еред полуднем, после него или как раз в нем, т. е. в полдень, в-пятых, разность тени в полдень, в особенности летом в городах с малыми широтами, в небольших интервалах il становится неощутимой, так как 182 движение тени таково, что вершина тени проходит ч.ерез вершину гиперболы! и вокруг нее по ее верхним частям. Таковы причины того, почему для определения полудня рекомендуют индийский круг, кото- рый мы упоминали раньше2. Если тень гномона достигает линии, проходящей в нем с севера на юг, это — середина дня, и если она проходит через нее даже на самую малость — момент времени полуден- ной молитвы настал.
Что касается момента времени пополуденной молитвы, то мы оп- ределяем величину полуденной тени этого дня, как было сказано рань-


Математические لما астрономические трактаты.
34ق
те в главе об этомЗ, записываем ее в двух местах, прибавляем к одной из них равное частям гномона, получится тень момента времени по- луденной молитвы согласно Абу Йусуфу4, МухаммадуЗ и аш-ШафиИ. Или же к другой из них прибавляем удвоение частей гномона, полу- чится тень [момента времени) пополуденной молитвы согласно Абу Ха- нифе7. Если мы хотим '[определить] высоту в эти два момента времени, получив их тени, определим высоту по !каждой] тени так, как было разъяснено раньше в главе об этом.
А вот что имеется в зидже ХабашаЗ. Он сказал: «Возьмем полудеи- ную тень, прибавим к ней !Пестьдесят частей, после того как преобра- зуем тень из рода двенадцати в род шестидесяти^ Затем перейдем от нее к дуге по таблице теней. Имеющуюся там высоту вычтем из де- вяноста, останется высота начала пополуденной молитвы. Для получе- ния высоты ее конца прибавим к полуденной тени после ее преобразо- вания сто двадцать. От того, что получится, перейдем к дуге на таб- лице тени, вычтем эту дугу из девяноста, останется высота конца пополуденной молитвы». Это ясно, если знать, что гномон, которым мы пользуемся — рода шестидесяти частей, а таблица, по которой про- изводится переход к дугам, сделана для обращенной II тени. Таким об- разом, мы находим тень, соответствующую дополнению высоты.
Если кто-нибудь хочет построить линии этих моментов времени, для этого необходимо для облегчения этого предварительно определить тени, высоты и азимуты для каждого градуса восходящей половины зодиакального круга, т. е. его половины от начала Козерога до конца Близнецов, так, чтобы это было готово для момента времени действия. Этих '[линий] нет [в некоторых] астрономических инструментах, таких, как астролябия!., которая xopoino известна в силу многих потребно- стей людей. Начнем с ее коробки!! и скажем, что на поверхности ее тимпановП между восточным горизонтом и линией колышка Земли!з .можно провести линии начала пополуденной молитвы и ее конца, по- мещая каждый градус восходящей половины зодиакального пояса паука}{ на высоту начала пополуденной молитвы, определенную для западных альмукантаратов, и отмечая места, противоположные этим градусам, на поверхности тимпана. Также их помещают на высоту кон- ца пополуденной молитвы и отмечают противоположные места. Если произвес-ги это для всех градусов половины [зодиакального пояса], по- явятся две линии между началами Козерога и Рака. Далее ремеслен- ники аккуратно соединяют их дугами и вместе они образуют единую кривую линию без излома.
Если кто-нибудь хочет получить эти две ,[кривые линии] из часо- вых линий, он должен взять последовательные точки на них или отметить их буквами. Далее он может произвести построение, которое мы указали для каждого градуса или для каждого знака зодиака или для [других] делений зодиакального пояса этой астролябии. II
Если он хочет получить две [круговые] дуги — он может сократить действие, [ограничившись] равноденственным суточным кругом и двумя тропиками, как это делалось для линий косых часов, подразделяя на- ходящиеся под горизонтом части этих трех суточных кругов на двенад- цать равных частей и проводя дуги через каждые три соответственные деления, и описывая окружности кругов около каждого треугольника. Если проделать это для всех суточных кругов, тоне все их соответст- венные точки окажутся на окружностях кругов. Поэтому вопрос о ко- сых часах, '[определяемых] этими линиями на ас'гролябии, решается только приближенно. Что же касается линий прямых ؛[часов], то они проводятСя на расстояниях открытия ؛[циркуля] для горизонта, и из кон-
183
184


235
Обособление реии о проблемах теней
ца каждого из двадцати четырех делений круга описывается из центра тимпана :[круг) на расстоянии, '[равном расстоянию] от центра горизон- та; поэтому это совершенно правильно.
По двум линиям, которые мы построили для двух моментов време- ни пополуденной молитвы, мы узнаем прошедшие части с начала дня или с полудня. Если поместить на них градус, противоположный граду- су Солнца, указатель отметит отметку на лимбе и если затем повернуть паук обратно налево до тех пор, пока градус Солнца не попадет на линию середины неба или на восточный горизонт, указатель, движу- 1ЦИЙСЯ по лимбу от отме-тки, укажет прошедшие заманы. Точно так же узнают ост.авшуюся часть до конца дня, если повернуть паук направо таким же образом до тех пор, пока градус Солнца не попадет на запад- ный горизонт. Если высота Солнца измерена в некоторый момент вре- мени и его градус помещен на альмукантарат, по положению градуса, противоположного градусу Солнца, и по Э'ГИМ двум линиям можно определить прошедшее или оставшееся время :[дня].
Аналогично на тимпане строятся линии восхода II зари: градус, 185 противоположный градусу Солнца, помещается на восемнадцатый аль- мукантарат всегда на западной стороне; на восточной стороне через, этот альмукантарат проводится линия исчезновения сумерек.
Об ‘Омаре ибн ‘Абдал'азизе^ рассказывают, что он призывал к полуденной молитве в седьмом часу и молился в восьмом часу; попо- луденную же молитву он совершал в десятом часу, причем часы —. необходимо косые. Некоторые ؛[люди] исправляют [час.овые] линии по теням, принимая десятую из линий косых часов за конец [времени] пополуденной молитвы, а девятую линию — за его начало, а также при- нимая третью из этих линий за время утренней молитвы, но это не соответствует сунне؛., и этому не надо следоват-ь.
Некоторые из них принимали за время призыва к полуденной МО- литве время увеличения тени на один палец, за время подъема [от молитвы] —время ее увеличения на три пальца, а за [время] пополуден- ной молитвы — время ее увеличения на тринадцать пальцев. Если мы согласны с ними относительно времени призыва к полуденной молит- ве, то ,[остальные] увеличения должны быть не по отношению к тени [даннОго времени], а по отношению к фай'у самого полудня؛?. Но дело не только в этом. Это — результат незнания пальцев, являющихся по- ловинами шестых долей гномона, независимо от того, будет ли палец пядью или, например, высотой горы Демавенд؛*. Поэтому упомянутые пальцы при призыве к полуденной молитве можно считать паль- цами руки, поскольку самый маленький из них определяет время полуденной моли'гвы. Упомянутые же пальцы для времени пополуден- ной молитвы смешиваются [у них] с этой единицей и с двенадцатью I! частями гномона. 186
Теперь рассмотрим спинку астролябии и построение этих линий на ней. Прежде всего повернем ее алидаду вд.оль по ее щели так, что- бы ее край проходил через центр. Оставим часть ее около центра, чтобы закрыть основание оси, отбросив остальное из одной из ее по- ловин. Установим два диоптра на оставшейся половине. Пусть круг ABCD — на спинке астролябии, под которым части высоты; его квад- рант —АД его [точка] А —в направлении трона]9 (рис. 143). Дугу GH .покрывает алидада, поворачивающаяся на спинке астролябии. Раз- лелим линию DG на шесть разных частей и напишем с двух ее сторон названия знаков зодиака, разделенные на половину восходящих и на половину нисходящих, так, как мы записали.


Математические и астрономические трактата
6قق
[указыв3ГЛИМ] каждый знак зодиака на подходящее число [частей], [площа^ющ66 градусы знаков :لاعهака, в зависимости от размеров ^лощади ;:وس, не сжимая (деления чрезмерно]; Опишем из центра Е на расстоянии КаЖдОГО^елеКиН S квадранте Е)\СЕ дугу, хорошо ви؛-
ную, но не оставляющую глубокого следа,— из тех, в ,которых мы нухщаемся؛ это — круги градусов. Да- лее разделим ЕС на двенад- цать равных частей — паль- цы гномона. Проведем CZ— касательную к кругу, не ог- раниченную в сторону 2. Разделим ее на части, рав- ные частям ЕС. [Линия] ى—для теней. Далее раз- делим каждый круг. Пусть, например, сначала ЭТ'О круг Рыб؛ он оканчивается на линии ЕС II в F. Предположим, что CI равна полуденной тени, и соеди- ним эта линия пересекает этот круг в м, что будет отметкой вре- мени полудня. Предположим, что ск равна тени начала пополуденной МО- ЛИТВЫ, a CL равна тени конца пополуденной молитвы. Соединим ЕХК и EOL; тогда точки X И о соответствуют, моментам времени пополуден- НОИ молитвы.
Точно так же будем поступать для каждого из кругов, фиксируя на каждом из них три точки для этих моментов времени. Соединим соответственные точки одной из выпуклых линий, проведенных по по- рядку, и надпишем на них их названия. Окончив ’[проведение] этих трех линий, мы оставим постоянные линии для каждого круга в той части, которая попадает между знаками зодиака и линией времени полуден- ной молитвы, и сотрем все лишнее в направлении линии ЕС, т. е. дуги MF. Этим действие закончено.
Если край алидады помещен на пересечении суточного круга Солн- ца в данный день и требуемой линии для искомого момента времени, то 188 указатель алидады пОпа^ет на высоту искомого момента времени. II Да- лее измеряется высота данного времени. Если она больше высоты иско- мого момента времени, то время '[этой молитвы] еще не прошло, а если она меньше, то ее время уже прошло. При этом только линией меридиана здесь ограничиваться нельзя, ибо это не укажет на то, что искомое время прошло, или что оно еще не наступило.
Подобным образом строятся часовые линии, как прямых, так и косых часов в квадранте, противоположном квадран.ту высоты, так как там уже начерчено много линий. Поэтому если круги проведены в нем, а раньше была определена высота для каждого часа, поместим ука- затель '[алидады] на равное э'гой высоте. Тогда край алидады пересечет этот круг в точке прохождения через него линии этого часа.
Некоторые конструкторы астролябий2٥ строили на алидаде линии для косых часов, производя построение следующим образом: они поме- щали указатель алидады на равное полуденной высоте данных суток. Далее они помещали [градус], противоположный. Солнцу в квадранте высоты, не сдвигая алидаду с ее места и тщательно наблюдали через верхний диоптр пересечение края тени с линией, проходящей через се- редину алидады по ее длине в этот косой час. Таким образом стано- вятся известными прошедшая и оставшаяся части дня, хотя построение
А
187


237
Обособлеииа речи о проблемам теней
Рис. 144.
!™؟линий отклоняется от истинного. [Я опишу его). Предположим что ءء؟؟°:ة٠ г?у диоптрам؟ на ؛ИНИН, проходящей через середин؛ алидады,:/^; а диоптры KL( рис. 144). Продолжим JH и LH
н их набавлениях; опишем из центра н на произвольном не ограни- р؛ .؟٥ квадрант круга GF и разделим ؛го на шес^Ррав؛
Hbjx частеИ Это: GA, AB, ВС, р
٥ <هتئf> !;II Проведем 3؟ них 189 ج
Прямые линии, каждая из кото- ه ٠١
рых проходит через центр я, на плоскости, которая примыкает к 0۶и обеих плос'КОстей диоптра.
Поэтому это — затененная [часть) не в направлении указателя [али- ..алы]. Это — линии АНХ) вно,
СНР, DHl, ЕНМ: Далее Прове؛ дем на алидаде линии по шири- не, перпендикулярные к линии, делящей ее пополам, идущей по ее длине и проходящей через ось, проходящие через точки X, о, P, I. м. Что касается той, которая проходит через X, то' она для завершения первого часа. Поэтому у ее буквы пишется единица в одной из ее половин и (цифра) одиннадцать в другой половине, так как прошедшие и оставшиеся часы симметричны. Что касается [линии), проходящей через О, то она — для двух часов, мы пишем около нее цифр٧ два с [одной] стороны и десять с другой؛ линия, проходяшая через р,— для трех часов, мы пишем вблизи от нее цифры три и девять؛ линия, про- ходящая через ٨—для четырех часов, мы пишем около нее цифры четыре и восемь؛ линия, проходящая через м,—для пяти часов, мы пишем около нее цифры пять и семь. II Что касается шестого (часа), то 190 в нем верхний диоптр затеняет весь нижний, поэтому цифра шесть там — над отверстием вблизи от верхнего конца с отметкой, построе- ние часовых линий на алидаде закончено.
Если мы хотим найти точки X, о, P, I, м с помощью другого по-
строения, разделим диоптр HI, стоящий перпендикулярно как гномон, на его пальцы, а линию JK — перпендикулярную ему — на такие же [пальцы) для теней. Далее возьмем из таблицы тень дуги FA, т. е. семидесяти пяти частей, так как каж- дое из делений квадранта—пятнадцать частей, и отложив эту тень от I; она дой- дет до X. Далее возьмем тень шестидеся- ти, т. е. дуги FB, и отложим ее от ل, она дойдет до О. Далее отложим от ل тень со- рока пяти, она дойдет до Р; отложим от I тень тридцати, она дойдет до /٠ а тень пят- надцати —от I до м. Хабаш2! поместил эти тени в специальной таблице؛ она та- кова:
!!Известно, что разности приращений 191 теней велики, эти линии отмечены на ин-
Часы
Тени
пальцы
минуты
1
11
3
33
2
I
(
10
б
fifi
со со
12
0
4
8
20
47
5
٦
44
47
вся алидада
струментах, в которых нуждаются для [определения] часов без измерения высот другИм спосОбом. Пользою- щиеся этим способом соединяют I и L. Линии, построенные для чаСов, переносятся с JK на IL. Тогда алидада будет HJKL; она называется бедром саранчи, так как похожа на нее по форме. Ее ось сделана вну-


Математические и астрономические трактаты
238
три инструмента в нижней его части. Чаще всего бедро саранчи делает- ся для инструмента, известного как серп Луны. Для точек ر и د не не- обходимо продолжать линию AJ между ними؛ напротив, ее можно про- должать из точки под L или над ней до точки под / или над ней. Это зависит от выбора мастера и его вкуса.
Среди мастеров имеются такие, которые с целью максимального облегчения применяют алидаду, называемую лунообразной22, так как они делают ее в виде полукруга, такого, как АВС (рис. 145) с основанием оси в 5. Они делят ее внутрен- нюю {часть] на шесть равных частей для часов и уста. 'Навливают ее на оси над плоской алидадой таким спо- Рис. 145. ообом, который не меняет их положение. Далее указатель [алидады] помещается ؛на полуденную высоТу, и мы смотрим на вогнутость лунообразной фигуры и на положение тени на
192 ее крае, как было раньше؛ II
Далее они присоединяют к астролябии этого типа плоские солнеч- ные часы2з на плоскости, параллельной горизонту, среди обычаев ма- стеров — выявлять тень для каждого часа и ее азимут для солнцестоя- ний. Они выражают величинь؛ теней в пальцах гномона солнечных ча- сов, а их азимуты — с помощью их направлений и таким образом полу- чают главные тени24 часов в [дни] солнцестояний. Мы говорИли, что оНи расположены по контуру гиперболы2^ и если соединить точки в каждой из явух гипербол кривыми линиями и соединить каждую из точек [од- ной] гиперболы с соо-тветственной точкой другой, поручатся часовые линии. Если мы хотим построить две линии пополуденной молитвы, то надо открыть циркуль по величине пальцев этой линии в момент вре- мени солнцестояния и описать из точки основания гномона на расстоя- НИИ этого раствора [дугу], которая пересечет, гиперболу этого солнце- стояния в требуемой точке. Если соединить соответственные точки двух гипербол, [получится] линия для обеих гипербол.
193 Видов основных солнечных часов много, среди них II выделяют, помимо горизонтальных, часы расположенные .на плоскости меридиана, а также расположенные в плоскости начала кругов азимутов и распо- ложенные в плоскости небесного экватора. Если каждый из этих кругов —для горизонта ؛[местности] с известной широтой, то линии часов и линии моментов времени [молитв] проводятся по примеру действий с горизонтальными [солнечными часами]. .Что касается тех ؛[солнечных часов], которые в круге меридиана, то они — для одного из горизонтов прямой сферы2^. Что касается тех '[солнечных часов], которые в круге начала азимутов, то они ٣ для горизонта, широта которого является• дополнением широты известного города. Известно, что круг начала азимутов описывается на диаметре общим с г.оризонтом и наклонен к югу на величину широты города؛ он становится небесным экватором на горизонте места, широта которого — полный квадрант. Поэтому ве- личина тени гномона на этих солнечных часах не отличается для каж- дого суточного круга. Она равна тени высоты, равной его склонению. И если будут получены тень для данного суточного круга и ее азимут для требуемого момента времени из часов пополуденной молитвы, то делается то же самое, что и в предыдущем случае для начал знаков зодиака для каждой из сторон — северной — верхней и южной — ниж. ней. Если соединить соответственные точки, получится требуемая линия. Для [определения] моментов времени молитв на необ- ходимое время инструмент подвешивается на нитях, проходя- щих через его края, параллельно горизонту, как линейка, на которую поставлен перпендикулярно гномон, и затем вновь опускается.


239
Обособление речи о проблемах теней
когда ото не нужно. На его ровной поверхности проводятся линии '[моментов] времени с помощью их теней по дням месяцев pyMOß27. Его поверхность также ؛бывает] подобной тимпану, полудиаметр которого равен тени конца пополуденной молитвы в [день] зимнего солнце- стояния.
Имеются и такие [мастера], которые делят окружность на двенад- цать по знакам зодиака II или месяцам румов и соединяют их начала с центром прямыми линиями, каждая из которых дает величину тени для времени [молитвы] или тени для [ин'Ых] часов. Далее соединим COOT" ветственные [точки] дугами, получится фигура, похожая на лимон и называемая по нему.
Имеются и такие, которые делят окружность на шесть частей. На них они пишут справа налево [названия] знаков зодиака восходящей половины '[зодиакального круга], а рядом с ними, слева направо, '[пи- шут названия] противоположных им '[знаков зодиака] нисходящей поло- вины, и делается то же, что мы упомянули. Получаются линии, имею- щие форму ВИНТОВЫХ28, начинающиеся от начала Рака и идущие до на- чала Козерога. То, что мы сказали,— достаточно для сего вопроса. Об. зтом имеются книги, подробно трактующие это с позволения Аллаха.


Глава двадцать седьмая
О ПРИМЕНЕНИИ ТЕНЕЙ в предложении о секущих и в АСТРОНОМИЧЕСКИХ вычислениях Знатоки науки о звездах! облегчили с помощью теней многое из того, что'было трудным при определении небесных дуг и, тем самым, с.делали долгий способ этого более коротким. Рассмотрим некоторые вопросы этого. Предварительно упомянем об отношениях между сину- сами, равных отношениям между гномоном и тенями. Поскольку части гномона были приняты за равные частям полного синуса٩ были приня- ты равными и величины ؛гномона и полного синуса), а именно-за полу-
диаметр круга. Тогда из синусов внутри окружности получаются впи- санные многоугольники, а из теней - описанные многоугольники, по- добрые первым. Они пропорциональны, так как они — По одноИ вели- чинеЗ.
195 Пусть, например, две дуги AB и АС равны (рис. 146), и дуга II ВАС измеряет окружность числом, H-е являющимся дробью. ПровСдем AEF и отловим из центра Е величину EF, равную Гномону. Еосст.авим из точек А и F перпендикуляры/؛// и DG к A F и проведем соедини- !ельные линии DBH и G с к. Соединим в с с. Тогда ВС — сторона вписанного многоугольника, ограниченного равными сторонами, a DG— сторона описанного многоугольника, подобного первому. Известно, что FH — обращенная тень ДУГИ AB, а ^۶-такая Же обращеННая тень дуги ءو. Если гномон — Ее, то BI относится к IE каК FH к FE и как к АЕ. Поэтому нн-также .обращенная тень дуги AB. ЕслИ гномон полный синус АЕ, то тень ^٥ пропорциональна синусам, но не тень EF, ибо синусы-из рода частей АЕ, а не частей ЕЕ. ПодОбнО
Рис. 147.
Рис. 146.


241
Обособление речи о проблемах течей
этому доказывается, что — обращенная тень АС. Тень DG состоит из обращенных теней AB и АС, а сторона ВС состоит из синусов этих дуг, T. е. IB и CI. Точно так же, если вписанный многоугольник состоит из '[сторон], кратных синусу '[дуги] ABر равных синусу CI при различных положениях, он останется подобным описанному, даже если отказаться от параллельности. Если же дуги различны, как дуги АС и CL, из их теней не составится описанный многоугольник около круга, а из их синусов не составится многоугольник, вписанный в круг. II Это потому, что синусы, такие, как АР и LZ, не соединяются и не пересекаются на 96ا диаметре ЕС в одной точке. Точно так же тени AG и LM не пересека- ют диаметр ЕС в одной точке, так как это требуют равенства дуг АС и ЕС. Но из положения этого чертежа извес'гно, что обращенная тень для каждой дуги— это то, что отсекает диаметр, проходящий через один из ее концов, от касательной к кругу в другом конце, если про- должить его в его направлении до встречи с ней. Плоская же тень — это то, что отсекает диаметр, проходящий через один из концов допол- нения этой дуги, если продолжить его в его направлении, ,от касатель- ной в другом конце этого дополнения.
Если рассмотреть это как относящееся к теням, мы скажем, что в книге «Альмагест» и в других книгах* установлено, что если Пересе- каются дуги AB и СВ больших [кругов], а дуги AD и ЕС проходят через точку G (рис. 147)؛ то отношение синус.а ЕВ к синусу АЕ со- с.тавлено из отношения синуса GD к синусу AG и из отношения сину- са СВ к синусу DC5. Поэтому мы положим, что '[фигура] секущихб состоит из четырех больших кругов. Ранее было доказано, что синус каждой дуги относится к синусу ее дополнения как обращенная тень этой дуги к гномону?. Поэтому синус дуги ЕВ относится к синусу ЕА как обращенная тень ЕВ к гномону. Точно так же синус дуги DG от- носится к синусу GA как обращенная тень DG к гномону. Следова- тельно, отношение обращенной тени дуги ЕВ к гномону составлено из отношения обращенной II тени DG к гномону и из отношения синуса СВ к синусу DC. Положим гномон равным полному синусу, а дугу ВС— 197 квадранту круга, так что ее синус —полный синус. Поэтому отношение обращенной тени ЕВ к полному синусу составлено из отношения '[обра- шен'Ной] тени DG к полному синусу и из отношения синуса СВ, т. е. полного синуса, к синусу CD. Перевертывая [отношение]^, получим, что отношение полного синуса к тени ЕВ составлено из отношения пол- ного синуса к тени DG и из отношения синуса CD к полному синусу.
Мы пренебрегаем свойствами [плоских] теней, потому что все тени, применяемые здесь,— только обращенные. Так как первая из шести ве- личин, участвующих в составном отношении, равна третьей из них) отбрасывание ее превращает составное отношение в простоев Поэтому первая [величина] относится к промежуточной между ней и второй как третья к четвертой!.. Но первая равна третьей, поэтому упомянутая II промежуточная равна четвертой, и эта промежуточная ОтноситСя ко 198 второй как пятая к шестой. Но промежуточная равна 'четвертой, [поэ- тому пятая относится к шестой] как четвертая ко второй. Это отноше- ние и остается после отбрасывания первой. Поэтому тень DG отно-
с. 	ится к тени ЕВ как синус CD к синусу СВ. Но в треугольнике GDC, состоящем из дуг больших кругов, имеется прямой угол — угол GDC. Поэтому тень одной из его сторон, ограничивающих прямой угол, отно- сится к синусу другой из этих сторон как тень угла, стягиваемого первой стороной, к синусу прямого угла, т. е. к полному синусу!!,
т. е. тень GD относится к синусу DC как тень угла GCD к синусу угла GDC. [Поэтому -тень DC относится к синусу DG как тень угла
16-11


Математические и астроиомические трактата
242
DGC к синусу угла GDC]. Необходимо пользоваться обращенной тенью для самой дуги и заменять ее плоской тенью для дополнения дуги. II
Это о-тличается .от того, что было сказано раныне, где мы имели дело с обращенными ؛тенями], упоминая только о тенях и гномоне, а не о двух соответственных синусах. Поэтому сделаем предыдущие чле- ны последующими, а последующие — предыдущими и заменим обращен- ные тени плоскими по равенству12, тем самым разъяснено положение с п.лоскими тенями, хотя мы и не пользуемся ими.
Что касается облегчения применения обращенных теней при опре- делении небесных дуг, то вернемся к предыдущему рассмотрению '[фи- гуры] секущих.
Мы утверждаем, что если AD — зодиакальный круг и на нем пред- положена дуга AG, а требуется '[определить] по ней [дугу] GE, рав-
ную первому склонению (рис. 148), то ум- ножим синус этой данной дуги на синус наибольшего склонения и разделим произ- ведение на полный синус, в частном полу- чится требуемый синус, так как синус AG относится к синусу GE как синус AD, квадранта, к синусу قلجه. Однако, если
г
Рис. 149.
зодиакальный круг — AB, то EG — второе склонение для дуги АЕи. Для определения EG продолжим дУги [фигуры] секущих в их направлении в стороны л и с до тех пор, пока они пересекутся. Опишем из полюса ى на расстоянии стороны квадрата дугу FL15. Тогда синус АН, дополнения АЕ, относится к синусу НЕ как синус АК, квадранта, к синусу км, наибольшего склоненИя. Поэтому HF И.З- вестна!б. Синус он, дополнения НЕ, относится к синусу ок, дополне- ния наибольшего склонения, как синус НЕ, квадранта, к синусу LX, II равному дополнению EG. Поэтому EG известна!?.
Вычисление этого: умножим синус дополнения данной дуги зодиа- кального круга на синус наибольшего склонения, разделим произведе- ние на полный синус, перейдем от частного от деления к дуге, вычтем эту дугу из девяноста, разделим на синус разности произведение СИ- нуса [дополнения] наибольшего склонения на полный синус. Частное от деления будет синусом дополнения требуемого второго склонения. При пользовании синусами здесь применяются два умножения и два деления, а также переход от синуса к дуге.
Если же мы будем пользоваться тенями, то будет применяться одно умножение и одно деление с исключением перехода к дуге, так как синус АЕ относится к синусу ^5, квадранта, как тень АЕ к тени BD. Поэтому, если мы умножим синус данной дуги зодиакального Кру-


243
Обособление речи о проблемах теней
га на тень наибольшего склонения, разделим произведение на полный синус, получится тень второго склонения^.
Если же ^ß ^ небесный экватор, II — один из г؟ризонтов, об- 201 ладающих широтой, G — восхождение градуса [эклиптики] на ,нем. С — полюс, CS — круг меридиана (рис. 149), то —уравнение дня!9 этого градуса, а Gß —его склонение. Поэтому, если даны склонение GE и широта [местности] этого горизонта CD, а требуется '[найти] уравнение дня ء4ع, то [С'начала] воспользуемся синусами. Опи- шем около полюса в на расс.тоянии сторонь( квадрата дугу АС. про- ведем через точки ج и G дугу BGZ большого [круга]2٥. Тогда синус EG, склонения градуса, относится к синусу GZ как синус BD, допол- нения широты, к синусу DC, широты. Поэтому GZ известна^!. Синус GC, дополнения склонения градуса, относится к синусу GZ как синус СЕ, квадранта, к синусу ЕА, ИСК0М0Г022. По.этому если мы умножим синус склонения градуса на синус широты города, разделим про- изведение на синус дополнения широты, затем умножим частное от деления на полный синус и разделим произведение на синус дополне- ния склонения градуса, в частном получится синус уравнения дня. Тре- буемое получается также с помощью двух умножений и двух делений. II
Если же мы умножим тень склонения градуса на полный синус ٠и 202 разделим произведение на тень дополнения широты города, в частном получится синус уравнения дня с помощью [одного] умножения и [од- ного] деления, так как синус АЕ относится к синусу квадранта AB как тень GE к тени ٥ß23٠
Этого количества вариантов достаточно, так как полностью изло- жить все методы в науке о звезд٠ах потребовало бы очень долгого вре- мени.


Глава двадцать восьмая.
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЗЕМНЫХ РАССТОЯНИИ и высот ГОР
С ПОМОЩЬЮ ТЕНЕЙ
Мы ставим целью [определять) из этих расстояний ограниченные, являющиеся перпендикулярами, так как это — самые короткие расстоя- ния, остальные же не ограничены по величине [и их нельзя определить) без ухищрений. Луч и тень позволяют заменять одно из них другим, поскольку освещенность и постижение зрением обла.дают свойством прямолинейности. Поэтому нет различия между правильными действия- ми с помощью лучей и теней и с помощью зрения, однако нас интере- сует здесь то, где применяется тень. Мы говорим, что эти расстояния расположены либо на поверхности земли, либо над ней, либо под ней. Те из них, которые на поверхности земли,— либо [начинаются сразу) от наблюдателя, т. е. он находится на них, либо они — не находятся на его положении. Последнее не связано с тем, Ч.Т0 мы рассматри- ваем, так как при этом не нуждаются в действиях с тенями. Начнем же речь о первом виде.
Пример этого — ширина реки, которую требуется измерить.
Пусть желающий измерить находится на берегу, и место, II где он стоит, пусть будет возможно выше, дабы действие было более точ- ным. Он должен наблюдать через диоптры алидады астролябии до тех пор, пока не увидит другой берег через оба диоптра. Он должен за. метить, на какой из пальцев '[плоской) тени попадет указатель алида. ды, запомнить это число, а затем передвинуть алидаду так, чтобы чис- ло этих пальцев увеличилось на один палец. Далее пусть он покинет это место и отступит от него назад вдоль продолжения измеряемой ширины до тех пор, пока не будет достигнуто место,, из которого через два диоптра будет виден тот же :[ориентир), который он видел сначала с этого берега. Определяется расстояние между этими двумя местами измерения и умножается на запоминаемое; произведение бу- дет шириной реки2.
То* что находится над плоскостью горизонта, как, например, вер- шины гор, возвышения крепостей, куполов, пирамид и минаретов, выс- шие части которых постигаются зрением, может быть двух видов: либо когда измеряющий может достичь основания их высот, т. е. их «места падения камня»з, либо когда он не может достичь этого. Что касается первого вида, то измеряется тень объекта в то время, когда высота Солнца равна одной восьмой оборота. Тогда то, что между концом тени и «местом падения камня», равно высоте*. Если же не удастся найти такую высоту '[Солнца], поставь указатель алидады на сорок пять час- тей и пробуй, продвигаясь впер.ед или отступая, найти М&Т0, откуда вершина высоты видна через оба диоптра, и если измерить то, что на- ходится между местом измеряющего и основанием высоты, и прибавить


245
Обособление речи о проблема* теней
Ü:;؛ ^измерителя), то в сумме получите]؛^к этому величину высрть ؟т измерения высоты5, причина этого ясна в силу деления попола؛т 204 -0٢0 нашиح؛ح3و06۶ ٠ ,линией луча или зрительным лучомб прямого II угла -ПЯСсКОсти ГОрИЗОнта к оснО ة и линий*, выходящей от Них ؛ми телам
Если хочешь ز стань н٩ какое угодн؟ место, наприме٧р, на точ^ С на земле с высотой AB (рис. 150). Наблюдатель, стоящий в месте >
А
Рис. 150. Рис. 151.
устанавливает центр астролябии, лежа на земле или стоя в канаве глу- биной в {человеческий] рост. Далее астролябия подвешивается справа от него так, что квадрант- высоты находится против высоты вершины го- ры. Далее он наблюдает ее через диоптры алидады одним глазом до тех пор, пока он не увидит ее через оба диоптра одновременно. Тогда О'Н смотрит на нижний указатель, на сколько [частей] т-ени он упадет, и измеряет то, что между этим местом и основанием высоты, т. е. ВС. Отношение этого к AB известно, так как оно —таково же, как отноше- ние най.денной тени к гномону. Поэтому, если умножить длину ВС на гномон и разделить произведение на найденную тень, в частном полу- чится [результат] измерения высоты AB7. II к этой области науки отно- сится то, что упомянул Брахмагупта в арифметической книге «Брахма- 205 сиддханты»8.
Таким же образом, если светильник на минарете, величина мина- рета — сто пальцев, а перед ним в ста десяти пальцах — гномон, вели- чина которого — двенадцать пальцев, и мы хотим [найти] величину е.го тени, то умножим сто десять на двенадцать и разделим произведение на восемьдесят восемь, в частном получится пятнадцать؛ это—тень гно- мона. Пусть минарет —رم гномон — СЕ, а его тень — ٥с (рис. 151). Проведем FM параллельно DB. Тогда сто десять — СВ, AM — восемь- десят восемь, FM относится к AM как требуемая DC к CF9.
Что касается второго вида, то в нем основание высоты недости- жимо '[для наблюдателя], в этом случае измеряемая высота AB — вну- три горы АВС (рис. 152). А «место падения камня» недостижимо, когда, например, сКлоны ؛[гор] или '[стены] крепостей находятся между их вы- сотой и измеряющим. Пусть ровная поверхность земли вблизи '[объек- та] — ?de и производите؛ измерение каждой из величин AB — высоты горы и DB — Того, что между Местом II наблюдателя и ее основанием. 206 Измерим тень высоты вершины А в месте ره как это делалось раньше при '[тех же] условиях измерения и запомним это. Далее отойдем на. зад или продвинемся вперед от этого места к другому, которым пусть будет Е. Расстояние этого п.родвижения вперед или назад — на пря- мой линии, соединяющей «место падения камня» вершины и первого места. Во втором месте производится то же, что производилось на пер-


Математические и астрономические трактата
246
БОМ месте, так что определяется вторая тень, а также измеряется то, что между обоими местами, в локтях или каких угодно величинах из- мерения. То, что получилось, умножается на деленИя гномона, произве. дение делится на разность между тенями, в частном получается высо- та горы в величинах, которыми измерялось расстояние между местами. Далее то, что найдено при измерении между местами, умножается на первую найденную тень в месте ره и произведение делится на разность между тенями, в частном получается расстояние между первым местом и основанием высоты горы. Это — потому, что ED, взятая как разность между тенями, относится к AB) взятому как гномон, как [результат] 207 измерения ED к ؟езультату изменения AB являющемуся ГНОМОНОМ. II 207 Точно так же разНОсТь ^еЖду теНЯ^и в ٥ и Е относится к первой тени как [результат] измерения ED к [результату] измерения ٥٥. Это и есть то, что мы хотели разъяснить!..
К этой области относится также и то, что еще упомянул Брахма- гупта в упомя'нутой книге Пусть светильник — на минарете, а между нами и его основанием — преграда, около нас — гномон, длина которо-
го —двенадцать пальцев, а за его тенью — другой гномон той же ве- личины и его тень — восемнадцать пальцев. От вершины первой тени до основания второго гномона — семь пальцев. Требуется [определить] высоту минарета. Первая тень прибавляется к семи, получается двад- пать пять. Это основание. Меньшая из двух теней вычитае.тся из боль- шей, остаются части деления —три пальца. Далее основание умножа- ется на каждую из теней и каждое из произведений делится на части деления, в частном получается расстояние от основания минарета до конца эгой тени. Это умножается на гномон, а произведение делится на эту тень, в частном получается высота минарета .^اج!. Первый гно. МОН — FC ) его тень — с٥, второй гномон — ءه, его тень —٥٠ (рис. 153). Проведем НК параллельно ^٥. Тогда G^ —разность между тенями, а это — части деления. Что касается основания, то это — G٥, 208 сумма GE и ED. в силу подобия треугольников DFC и ٥^ß II CD относится к DB как CF, гномон, к AB) минарету. Поэтому эти отноше- ния равны и после их перестановки^ получим, что GB относится к ٥٥, [одному из] двух расстояний, как. Gß к DC, [одной из] двух теней. Поэ- тому, выделяя [отношения]!., получим, что G к, разность между тенями, называемая частями деления, относится к DC, меньшей из двух [теней, как DG к DB, меньшему из двух] расстояний. Переворачивая (отноше- ния]14, получим, что [GK относится] к GE) большей из теней, как осно- вание DG к GB, большему из двух расстояний. То, что упомянуто здесь, имеет два других варианта: в первом из них второй ٠ гномон восставлен в конце первой тени. Тогда основания не будет, деление двух теней производится на его части, и величина второй тени становится семнадцатью пальцами и одной двадцать второй пальца. Б другом случае [второй гномон] установлен на самой первой
Рис. 153.
Рис. 152.


241
Обособление речи о проблемах теней
тени. Тогда основание становится разностью между GE и DE вместо их суммы, как было {раныне]. Если мы положим, что هء — семь пальцев, то ا| тень EG — девять и одна двенадцатая пальца. Вот изо- 209 бражение Э'Г-ИХ двух положений (рис. 154).
самая низшая (точка], а ВС ны и параллельны плоскости горизонта.
\ А
[к:И
В с DE К G-В С Е Б К
ПЕРВЫЙ второй
٥ и G ٠- местонахождения наблюдающих (точку] л, оп- заданное М؟СТ0 На глубине, то 5, £ и G — ![точки] в порядке ؛[вдоль] прямой линии, перпендику- лярной плоскости горизон- та. Если измерить (место] л & в одном из этих двух поло- жений с помощью астро- лябии, так, чтобы к.вадрант тени был в направлении этой точки, и выбрать ВТО- рое положение таким, чтобы тень в нем отличалась на один палец, то AB займет место высоты горы, а глубина займет место расстоя.ния от ее основания, и знай, что далее все будет так же, как раньше, я (напи- шу] об этом действии исчерпывающую книгу «Руководство к познанию расстояний»!^ и надеюсь, что она охватит все разделы этого и будет содержать все, чего я достиг из сказанного об этом людьми этого ис- кусства.
Рис. 154.


210
Глаеа двадцать девдтаа
ОПРЕДЕЛЕНшГкотОРЫхСсВОДИТСя' к ТЕНЯМ]
-Ин.гда при определении расстояний мы не ограничиваемся доль ение^ из ГОРНОГО^؛ что постигается ,؛0 переходим к ;омر,миром ؛;: ,нашТука’зания на зто дается яркм светом اة٢ت؛حةقه?6ة
,Земли دخ تئسلال:؛ج
дем ВЕМ. Тогда м — конец луча Солнца, проходящего через отверстие EG. Пусть L — середина тени HF. Как только расстояния LEI, LM, EG и ЕК будут нам известны, расстояние от Солнца до Земли и его диаметр также будут известны. Это потому, что треугольник ЕКМ с прямым углом К известен по сторонам, проведем EG параллельно вF. Тогда отрезок OF равен EG, и оставшаяся ко известна. Она относится к ЕМ как FM к МВ. МВ известна, и треугольник FMB известен по сторо- 'Нам. Высота, опущенная из в на XF, т. е. расстояние Солнца, из- вестно, и FG отнОсится к GP, половине разнОсти между HF и EG)


249
Обособление речи о проблемам теней
как FB к وBZ. Поэтому BZ известна II и AN равна ей. Если прибавить к 211 сумме ZB и AN величину ЕЕ, T. е. ZN, получится [ABI т. е. диаметр Солнца.
Таково же положение с расстоянием Луны и ее диаметром, так как если '[диаметр Луны] — CD) то тень предмета от нее — НХ) но так как она ближе к Земле, чем Солнце, ее луч, входящий в от- верстие [EGI [пойдет] по DEX, и треугольник ЕКХ займет место треугольника ЕМК для Солнца, а треуголь؛ник ЕХО займет место треугольника ЕМО для Солнца. Остальное в обоих поло-жениях имеет ту же форму.
Каждый из треугольников ЕКМ и FPG известен и по углам؛ так как их стороны известны. ПоэТ'Ому треугольник MFB также известен по углам, а его сторона MF известна. Поэтому он известен и по сто- ронам и изве.стна его высота, опущенная из в на продолжение XF в ее направлении, т. е. требуемое расстояние. То, что между Ей «местом падения камня»! в сумме с ЕЕ — половина диаметра Солнца.
Но II это, если действовать без воображения, стфль трудно, что может 212 послужить причиной потери уверенности.
Способ Птолемея2 определения расстояния Солнца - также с по- мощью теней. Это — потому, что расстояние Луны получается с по- мощью ее параллаксаЗ, но под٠обного этому нет в случае Солнца, а про- должительность полного затмения Солнца слишком мала для вое- приятия.
Птолемей принимал, например, AB (рис. 156) за полудиаметр Солнца, GE — за полудиаметр Земли. Половина конуса тени '[Солнца]—
GEE, а ОН — полудиаметр Луны. Тогда НОЕ — половина конуса тени Луны. Ранее при лунных затмениях был получен диаметр '[последней.! тени в месте прохождения Луны. Поэтому его половина, T. е. CD из- вестна, и разность между ней и половиной радиуса Зе.мли, T. е. GM, из- вестна. ЕМ, расстояние Луны,— известно. Поэтому треугольник GMD известен по сторонам, треугольник GEE подобен ему и GE в нем известна, поэтому он также известен по сторонам. Поэтому ЕЕ, рас- стояние конца тени от центра Земли, известно. ЕЕ относится к EG как ЕО к ок. Поэтому ок и.звестна. он на ней определяется с помощью лунных затмений. Поэтому оставшаяся НК известна, проведем KS параллельно НЕ. Тогда KS равна НЕ и поэтому известНа. GS, раз- ность между GE и ЕЯ, относится к SK как GE к АЕ. Поэтому рас- стояние Солнца от Земли приблизительно известно. ЕН относится к НО как АЕ к AB) диаметру Солнца, следовательно и он известен. I!
Мы рассмотрим весь этот метод в обещанной книге* и разрешим в 213 ней то, ЧТ'О двусмысленно и сомнительно.
Синан ибн Фатх٥ написал главу об определении расстояния Луны от Земли. Он сказал: «Наблюдай тень Луны в меридиане и определи по ней ее высоту. Найди ее также вычислением и раздели полный СИ- нус٥ на ,[синус] разности между 'НИМИ, чтобы получить расстояние Луны от Земли». После того, что было упомянуто раньше о тени Луны и о ее различии с тенью Солнца по отношению к г'номону, пусть круг FDC (рис. 157) — круг меридиана на сфере Лунь(, а круг ЛЕ — Земля с центром £. Пусть ЕС — плоскость истинного горизонта, a AD — парал- лельная ей, касательная к Земле в местнос.ти А. Предположим, что Е —тело Луны. Тогда ее видимая высота в круге меридиана — дуга ЕЕ, а вычисленная — дуга СЕ. Разность между ними — СЕ. Ее синус DK относится к ЕЕ, принятой за полный синус, как DK, II принятая за единицу, равную полудиаметру АЕ, к ЕЕ', принятой за расстояние 2:4


астрономические Трактата
Математические
260
Луны, являющееся кратным этой единице. Следовательно, это [рас-
стояние] известно, произведение полного синуса на полудиаметр Земли, это сам он?. Поэтому его частное от деления на синус раз- ности — требуемое расстояние^. Мы опустили в действиях Синана умножение перехода к синусам, так как это очень ясное дело.
К этому же шел Абу Иусуф ал-Кинди9 в кратком трактате о рас- стоянии ЛуНы*٥. Он берет извесТную дугу CD 63ة упоминания чегОли- бо о наблюдении высоты и ее вычислении. Он ничего не добавляет к Синану, кроме упоминания BbicoTbt на румийском языке, т. е. катета", и способа Птолемея определения расстояния Луны в предположен- ное время [перед этим]. Далее он определял ее расстояния в другие времена этим [способом]. Но если там принималось за истину, что нет метода определения расстояния Луны кроме параллакса, то [теперь] 215 это возможно с помощь^о затмения в тени Земли, по^ов^на кото- 215 рои — ABC, II а 5 —центр ее основания (рис. 158). Пусть [затмение] происходит для [некоторого] наблюдателя на одном известном Расстоя- НИИ от Земли в частях диаметра наклонной сферы12٠ Пусть BD — за- тмение Луны переменной величины1з, широта Луны в это '[время] из- вестна: пусть она — на круге DF. Если затмение происходит в G, то его величина —£#؛ предположим, что это треть диаметра Луны. Если затмение происходит в F, то его величина —пусть по пред- положению 3-то одна пятая (диаметра Луны]. Общий знаменатель трети и одной пятой — пятнадцать, а разность между третью и одной пятой — две [пятнадцатых]. Два относятся к пятнадцати как кн, разность меж- ду [величинами] двух затмений, равная FG, разносТи двух широт, к вИдИмому диаметру Луны на известном расстоянии BD. GE извест'на, т. е. одна шестая диамет'ра Луны известна. Поэтому разность между этой одной шестой и широтой GD, а это ED, т. е. полудиаметр тени.
Пусть, далее, [затмение] происходит на другом известном расстоя- НИИ, пусть это دج. Тогда ML, полудиаметр тени в нем,— известен, и 216 DL, разность между расстояниями II BD и BL известна. Она относится к ОЕ, разности между ED и ML, как HD к DE Поэтому CD известна. Поэтому и вся ВС известна. Она относится к AB как CD к DE. Поэтому AB известна в частях ВС. Далее примем AB за единицу, тогда рас- стояния Луны и ось конуса тени в ее '[частях] известны". Это и есть то.
Рис. 158.
Рис. 157.
[известна]
что мы хотели доказать.


Глава тридцатая
ОБ УПОМИНАНИИ ВЕЩЕЙ, СВЯЗАННЫХ с ТЕНЯМИ,
И НЕПОХОЖИХ НА то, что БЫЛО РАНЬШЕ
Тот, кто ознакомился с тем, что [написано] по этой проблеме и с некоторыми остающимися в ней ненадежными '[мнениями], знает, что нет ничего более тщетного, чем [пытаться] исчерпать все в мире.
Среди распространенных задач, на которых обучаются учащиеся в Индии, имеется длинная задача, похожая на то, что мы обсуждаем. Пусть задан диаметр зонта — четыре локтя!, а мы хотим узнать рас- стояние, на которое надо его поднять, чтобь؛ его тень исчезла. Ответ 'гаков: мы умножаем локти диаметра этого зонта на четверть аюты2, получатся локти требуемого расстояния подъема. Аюта в их арифме- тике — десять тысяч, поэтому умножение производится на две тысячи пятьсот. Отсюда необходимо, чтобы диаметр Солнца относился к оси конуса, вершины ко'горого — острие тени Земли, как единица к шести- стам двадца'ги пятиЗ. Но по найденному Птолемеем это — отношение одного приблизительно к ста тридцати четырем, поэтому у него рас- стояние Солнца от Земли —в (тысячу II двести десять раз больше полу- 217 диаметра Земли, ось конуса тени —двухсотшестидесятивосьмикратный полудиаметр Земли, а полудиаметр Солнпа — одиннадцатикратный диаметр Земли*. На основе данных Птолемея необходимо, чтобы высо- та зонта для .того, чтобы его тень исчезла, была бы в сто тридцать че- тыре раза больше его диаметра. Поэтому в их примере это пятьсот тридцать четыре локтяЗ в их действиях отображено деление после умножения؛ если проделать его, получится приблизительно девятнад- цатьб. Доказательством упомянутой нами трудности в следовании этим действиям без воображения лучше всего являются результаты Пто- лемея.
Мы установили на линейке длиной в пять локтей заслонку для то- го, чтобы рассмотреть то, что было упомянуто раньше в предыдущей главе?, и определили ее тень с помощью другой., равной ей [заслонки] на другом конце, так же, как мы наблюдали свет, проходящий из верхнего отверстия через нижнее. Преобразуем величины в числа, целые без дробей. Что касается чисел линейки, то между двумя заслонками.— 6144, ширина заслонки — 164, а ее тени — 116, что меньше этого на 48١ поэтому исчезновение тени [произойдет] на 20 992 от заслонкиЗ.
Поэтому, в соответствии с этим отношением, если полудиаметр Солнца —одиннадцатикратный полудиаметр Земли, то '[расстояние от Солнца до] острия тени Земли — 1408. Из этого на тень приходится 256, и для расстояния Солнца остается 1152, что на 58 меньше числа кратности, указанного Птолемеем^. Если же это, согласно нему, сред- нее расстояние, то [число] кратности самого близкого расстояния — 1163, а то, что мы нашли,—меньше на десять^. Что касается числа


астрономические TpaKTUTiU
Математические
252
218 диаметра, [отверстия], то это 18 _آ, а число [диаметра] ؛го света — 59. ?(؟!,му отверстие равно ا| заслонке, его свет должен быть равным
се1и и ПЯти девятым. Если мы преобразуем все предыдущие числа в ؛евятые доли, чтобы сделать FIX целыми тО число линейки будет 55 296, число заслонки—1476, ЧИСЛО ее. теНи1о44١ число отверстия равно чис.лу заслонки, т. е. 1476, а число [диаметра] ее’ света — 4838. Поэтому отношения этих чисел известны“ и всякий, кто хочет использовать их величины, может это сделать, я же не нахожу для этого времени в остатке моей жизни. Но я определил при величине
линейки в сто двадцать пальцев, чТо полудиа- метр Земли приблизительно —32153636خ пальцев١2.
Перейдем от этого к определению расстоя- ния Солнца, а от ,него — к расстоянию Луны в положении полного затмения без «пребы- вания»12. Тогда мы будем опред,елять длЯ Лу- ны соответствующее тому, что мы упоминали о Солнце.
В числе данных, относящихся к этой проб- леме, [следует знать], что расстояние Солнца П0СТ0Я؛НН0 изменяется между двумя предела- ми — ؛наиболыним в апогее и наименьшим в перигее, так что ось конца [тени] и основание тени уменьшаются и увеличиваются.
По поводу величины света и тени на поверхности Земли ал-Фазари сказал в своем зидже^: «Так как Солнце больше, чем Земля, то, что остается от нее [освещенным],— больше ее половины. Поэтому если ты хочешь определить избыток этого над половиной Земли, умножь мину- ты половины орбиты Солнца^ на число фарсахов окружности 3емли1٩ т. е. 6583, и раздели произведение на 21600, в частрюм получится чис- ло фарсахов, на которые свет превосходит половину Земли в этот день»“. Ii
219 Объяснение этого действия: пусть орбита Солнца — АВС с центром Е (рис. 159), а круг Земли — WEM. Предположим, что каждая из [дуг] AB и —по величине половины орбиты Солнца, т. е. равны [вместе] его диаметру, проведем BFG и CMG. Тогда ось конуса —AEG. Проведем диаметр Земли DEK перпендикулярно к оси и соединим EF и ЕМ между центром и местами касания. Тогда диаметр основания тени — хорда FM. в силу того, что углы GEF и DEG прям'ые, два тре- угольника [GFE и DEF] подобны, и углы FGE и DEF равны. Дуга DF — по величине угла DEF, поэтому угол EGE —по [величине полови- ны] подобной ей дуги в круге, описанном из центра Е на расстоянии EG; это — дуга LX. проведем ELO. Тогда ^0 —то, что подобно LX на орбите Солнца. Но ал-Фазари [считал] мес'гом этого AB. Минуты этого ОТНОСЯТС.Я к минутам всей орбиты, как удвоенная DF, т. е. сумма DF и КМ к окружности Земли. Но ٥^^—половина окружности [Земли]. Поэтому сумма двух указанных дуг является избытком освещенного сегмента над затененным.. II
220 Что касается упомянутых фарсахов, то необходимо знат^ что индийцы измеряют расстояния величиной, называемой йоджана{ъ. Ее мера в наших велич'инах — два и две трети фарсаха, а мера каждой Гюджаны в локтях — тридцать восемь тысяч. Другая их величина на- зывается крох 19; их воСемь в йоджане. Каждый крох равен одной на- шей миле. Брахмагупта2٥ утверждал, что окружность Земли в йоджа- нах — пять Т'ЫСЯЧ, а ее диаметр — приблизительно тысяча пятьсот во-


253
Обособление речи о иробле^и^ теней
семьдесят одна21, а Пулиса22 утверждал, что диаметр Земли в йоджат яая —тысяча шестьсот, а ее окружность — пять тысяч двадцать шесть2з. То, что упомянул ал-Фазари о фарсахах Земли, отличается от обоих этих утверждений. Он сльннал утверждение Пулисы и принял его, но затем он узнал и решил, как он упомянул в своем зидже, что индийский фарсах —шестнадцать тысяч, локтей. Далее он хотел перевести число йоджан в фарсахи по двенадцать тысяч локтей, которые меньш.е предыдущих на четверть. Поэтому он прибавил к тому, что указал Пулиса, четверть этого, т. е. 256ل. Поэтому у него получилось то, что он указал для окружности в фарсахах, не исследуя то, что писали [другие] люди. Во всяком случае, он ближе к истине, чем другие подобные ему, которые, как и он, слышали название «Альма- геста»24, но не читали ничего из него. Поэтому некоторые из них утверждают, что он сократил <<Синдхинд»2٩ а другие приписывают ему вычисления, похожие на бред одержимых падучей.
Я сам видел зидж, имя автора которого не было указано, содер- жащий действие определения «оЖерелья» II СолнцаЗб, и утверждалось, 221 что это — из «Альмагеста». Далее автор '[этого зиджа] сказал: «При- бавь к квадрату тени сто сорок четыре и извлеки корень из сум^ы, получится диагональ тени для этого времени2?. Раздели 41256 на это: в частном получатся минуты «ожерелья Солнца»28. Если хочешь, перей- ди от расстояния Солнца к обращенному синусу в «минутах хорды», это 343829. Вычти одно из другого, останется перпендикуляр данного часа30. Если хочешь, перейди от высоты этого часа к синусу в «мину- тах хорды», получится «ожерелье Солнца». Затем умножь это на двад- цать три и раздели произведение на шестьдесят, получится перпенди- куляр данного часа31. По нему опре.деляется различие .между зиджами и конкретными датами.
Что касается первого из этих его действий, то оно известно из того, что было раньше. Если разделить произведе-ние гномона на пол- ный синус на диагональ тени для данного времени, в частном получит- ся синус высоты Солнца в час измерения. То, что мы делим — это про- из-ведение двенадцати на 3438 минут — полный синус по Ариабхате.
Он взял это соответственно с отношением диаметра и окружностиЗ2. То же, что он называет «ожерельем Солнца»,— синус высоты данного ча- са. Что касается второго действия, то «рассгояиие Солнца» в нем — его склонение, «минуты хорды»— полный синус, а разность между ним и обращенным синусом склонения — синус дополнения склонения, т. е. полудиаметр суточной параллели Солнца. Название «ожерелье Солнца» для этого — приемлемо, как приемлемо и название «перпендикуляр данного часа» для синуса в'ысоты.
Что же касается третьего действия, то это не что иное, как пре- образование синуса высоты в данны-й час II от величины 150 к тОй, 222 которая была найдена Ариабхатой. Это преобразуется указанным спо- собом в 3450, но эта величина отличается от полных синусов и Ариаб- хаты и Брахмагупты, для которого она — 327033, поскольку сто пять- десят измеряет три тысячи четыреста тридцать восемь не двадцать три раза, а двадцать два и двадцать три двадцать пятых раза34.
Далее он сказал: «пример этого. Мы хотим определить различие между зиджами «СИНДХИНД»3'5 и «Шахским»зз. Так как «Синдхинд» ос- нован на Куполе [Земли]37, долгота которого — девяносто, а ее хорда— сто пятьдесят, умножим 150]ا] на двадцать три и разделим произведе- кие 'На шестьдесят. Получится 57.30'. Запомним этоЗз. Так как «[Зидж] Шахрияров» основан на координатах Вавилоназд, долгота которого семьдесят восемь, а широта — тридцать шесть, ибо он — в четвертом


Математические и астрономические трактаты
254
климате*., [где полуденная] высота Овна 54٠, а ее «хорда»— 122,. умножь это на 23, раздели произведение на 60, получится 4646ء'. Возьмем разность между этим и запомненным: это—10ا4'44ء.
Перейдем от этой '[«хорды»] к дуге, умножив ее на одиннадцать и раз- делив_ произведение на семь: в частном получится 16.52'. Перейдем от этой '[дуги] к «хорде», получится 042"16'43ء. Запишем это Е стороне, .алее переведем широту Вавилона в часы, разделив ее на пятнадцать. Получатся [два] часа и две пятых часа. Продвижение СО'ЛНца за это время — 0٥5'43["55]؛. прибавим это к величине, записанной в стороне, получится 049ء'. Переведем расстояние от Вавилона до Купола в часах؛ это—четыре пятых часа, за которые продвижение Солнца — 0٠2'57"36'". Сложим величины продвижений, получится 0.51'. Это и есть [различие]
223 между двумя зиджами. II
223 ИвеСтно, чТо он и'^еет в виду под преобразованием синуса вы- соты Овна в каждой из этих двух местностей. Это — переход О-T сину- са двух с половиной частей к синусу пятидесяти семи частей с полови- ной для того, чтобы получить то, что между этими [двумя местностями]. То, что после этого, — слова без смысла, так как разность — меж- ду двумя средними ![положениями] соответствует круГам меридианов, а !пироты не входят в них. Если же это — в соответствии с ؛[кругами] горизонтов, то величины не устанавливаются в частях одного направ- ления, а различаются в двух направлениях — избытка и недостатка**. В том, что он сказал, нет пользы и ничего нельзя получить из этого. Можно было бы спросить, где находится Вавилон, и усомниться, находится ли он в четвертом климате, на пути из Багдада в Нишапур*5. Если бы люди всех искусств были бы подобны этому, они заслужили бы весьма мало похвалы и чести. Астрология*, характеризуется изоби- лием этих качеств, и особенно свойственно это приговорам ؛[звезд] по поводу судьб'ы.
Если ты стремишься к установлению правильности этого, посмотри на то место, которое занимает в народе Машаллах*7 и послушай его [заявления] о следовании, приписываемой Гермесу книге «Восемьдесят пять глав»*8. Затем обратись к самой книге и посмотри, что же из ее содержания развлечет тебя в одиночестве и с.пасет тебя от кончины в больнице для умалишенных, хотя твой темперамент умеренный, а ум здравый.
Как пример, приведем годы планет в этой книге. Это — числа .задаваемые для каждой из них:—для Сатурна тридцать два, для Юпи-
224 тора —удвоение этого, для Марса II—равное полуто£а того же, для Солнца — равное полутора того, что для Марса, для Венеры — равное тому, что для Марса с четвертью, Д.ЛЯ Меркурия — пятьдесят один, для ЛуНы — тридцать три*9. Возможно, что [иНоГЯа] эти числа различаются благодаря различию рукописных списков. Но [разобраться] в этом нет пользы, так как дело заключается в том, что ؛[говорится] дальше. А да- лее сказано, что они были составлены для середины Земли, для стран, расположенных по северной оси, а затем поправлены для стран, в ко- торых имеют место рождения, в зависимости от их расстояний от се- верной оси. При этом поправка меньше, если они ближе к востоку, и больше, если они ближе к западу. Полная долгота — сто восемьдесят градусов, северная ось — на девяностом из них. Он утверждает, что поправка применяется для стран в соответствии со средним [движЕни- ем] планет, поскольку числа -[вычислены] для Купола [Земли]. Далее он противоречит этому, ,'[говоря] об определении поправки. Он предписыва- ет В'Ычитание высо-ты начала Рака в полдень из девяноста частей, ум- ножение остатка на сто пятьдесят и деление произведения на 360.


255
Обособление рени о проблемах теней
В частном получается синус, по нему находится дуга, и если эквато- риальная тень в городе больше семи пальцев, полуденная [дуга] вычи- тается из годов каждой планеты, а если меньше, то прибавляется к ним, и таким образом числа исправляются для заданного города. Семь пальцев, упомянутые в условии для экваториальной тени,— такие же, что в поправке для избытка восхождения в зидже «ал-Арканд»5٥. Они имеют под собой то же основание, или их основания схожи. Удаление от круга меридиана для Купола не отклоняет азимут полюса в сторо؛ну востока или запада. Но это лучше, чем те, кто верит, что Земля имеет плоскую поверхность, II а перпендикуляры к ней параллельны. Эр — 225 заблуждение, которое приводит к путанице в вопросе о полудне. Неко- торые из них считают, что время полудня — одно и то же для всей обитаемой [части Земли]. Они основываются на ложных предпосылках, что приводит к отклонению от истинного способа ',[определения] и [времен] молитв. Некоторые из них обвиняют владеющих этой наукой в нелепости различения полудней в '[различных] городах, будто бы между ними расстояния меньше десяти шагов. А один из них, именуе- мый Ахмадом ибн Салманом^!, говорил: «Определение кульминации Солнца по общему мнению таково: возьми два круга, равных по длине и ширине, и установи ОДИ'Н и'з них в направлении киблы, а другой еле- ва от него и наблюдай их тени. Если тень того, который в направлении киблы, больше того, который слева, то Солнце уже кульминировало, а если больше тень того, который слева, то Солнце еще не кульминиро- вало». Я думаю, что автор этих слов наблюдал тени двух кругов только в свете светильника, находящегося недалеко от них. Такое положение имеет место, когда выходят из дома через крышу, а не через дверь.
За книгой «Восемьдесят пять [глав]» последовала подобная ей книга, в которой упоминалось уравнение градуса восхода в 'СВЯЗИ с амплитудой восхода52 в !данном] городе применительно к определению продолжительности жизни '[людей], в ней прибавляется склонение '[гра- дуса] к дополнению широты города, если она северная, и вычитается из нее, если она южная. Далее находится четверть полученного. Если экваториальная -тень в этом городе меньше семи II пальце.в, эта четверть 226 вычитается из градуса восхода, а если она больше, она прибавляется к ней. [Якобы] получается ![исправленный] градус восхода. Это — из диковинок. Я говорю не для того, чтобы очернить Гермеса, который был столь мудр, что греки считали его пророком. Он перенес на.уки халдеевЗз в Египет, а халдеи — народ Вавилона. Их вклад в науки ни от кого не скрыт, благодаря этому их [даже] называли кудесниками, хотя до нас из их наук дошло только их мнение о небесных движениях, основанное на непрерывных наблюдениях в течение тысяч лет, на которые ссылаются наблюдатели — Птолемей и другие.54. Но в книгах Гермеса, как и в книгах об алхимии и талисманах, имеются серьезные заблуждения, что и позволяет некоторым, опираясь на них, пускать пыль в глаза. Подражания этим книгам широко распространены у «мудрецов» и прежде всего у самых древних из них в силу затемнен- ности сведений в них благодаря их древности. Кое-кто относит содер- жание этих книг к разгадыванию тайн путем сочетания их слов с СИМ- волами. Я считаю, что меры [изложенного] достаточно для познания вопросов, относящихся к теням, и для уточнения времен с помощью инструментов, основанных на тенях.
Всевышний Аллах — помощник. Он прославлен в начале каждой книги и в конце. Со славой Аллаху и при его помощи закончено «Обо- собление речи о проблемах теней^, соЧинение Абу-Р-Райхана Мухам- мада ибн Ахмада ал-Беруни, да СМИЛОСТИВИ'ГСЯ над ним Аллах!55


КОММЕНТАРИИ
17-11


КОММЕНТАРИИ
К ТРАКТАТУ «ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ХОРД в КРУГЕ ПОСРЕДСТВОМ свойств ЛОМАНОЙ линии в нем»
1 	к кому здесь обращается Беруни, неясно.
2ءونندر ءن خو!ئ . Местоименный суффикс здесь относится к слову ونط f. в # неточно: «свойств этого».
ج Так وسدددنى ٢ ) в И и Л. В ?.. ٠ .دسددبدن
4 Абу Бакр Мухаммад ибн Закарийа ар-Рази (892٠5ا—5ج гг.)—крупнейший
средневековый прогрессивный философ и естествовед-энциклопедист. Один из ОС'НО- ваположников химии на Бл'ИЖнем Востоке. Выдающийся врач, первый в истории ме- дицины клиницист. Автор свыше 230 трудов, в том чи,сле нескольких работ по ал- гебре, гео'метрии и астрономии. Жил и работал преимущественно в Рее (Иран), где родился ,и умер, а также 'В Багдаде. За свое критическое отношение к религи- озным «,пророкам» и «прО'рочвствам» считал,ся еретиКоИ и вероотступн'Иком. Беруни составил список трудов ал-Рази («Фихрист»), чем способствовал популяризации его наследия, и разделял ,многие его философские и естественнонаучные ВЗГЛЯ.ДЫ, часто ссылаясь на его труды в СВ0.ИХ работах. Однако внешне он вынужден был «откре- шиваться» от «ереси» ар-Рази в целях ,собственной безопасности, примеры чему мы- видим IB данном трактате и в «Фихристе» (Chronologie, Einleitung, s.١ XXXVIII- XXXIX; Беруни. Фихрист (Ruska, Isis); Каримов. Тайна тайн, с. 27—31 и сл.; Григорян. Средневековая философия, с. 1,58; Булгаков, ж.иань и -труды Бе- руни, с. 280—288; Кадри, с. 216—222; MP, II, с. 121—124; Sezgin, III, S.274—294, IV —275—282, V —282, VI— 187—188, VII— 160, 271—272).
5В п .неверно: «Ты ссылаешься на то, что Мухаммад ,ибн Закария ар-Рази сч,итал одним из достоинств геометри'и, превосходящим до'Статочное во всем».
6В п неверно: «Если бы он знал это, 0,н нашел бы, что запутал'СЯ вследствие множества 'Сомнений, портящих сердца, лишенные веры и жад,ные к достои,нствам этого мира — благам и господству».
7В п .неверно: «То, что ар-Раз'и думал о геометрии и ГОВО'РИЛ о ней в своей философии, недостаточно, так как он был враждебен ко В'Сему остальному».
8 Коран. Пески, 12.
Q Так в И и Л. В ? личная форма «'В чем мы нуждаемся».
I. Так в И и Л ( ٠ ;( دروعв ?.. مزروع («засеяно»).
:٤ .ثد
12 В п )неверно: «Ты понял бы с ее помощью формы, отвлеченные от материи, и глубоко представил бы истину до'Казательства, не ОТКЛ'ОНЯЯСЬ от существенного, тогда как большинство изучающих логику отклоняется от того, для чего необходим метод искусства».
13 Так в И и Л. В ?.. «мы ПОДНЯЛИ'СЬ бы».
14 ل] ءووذذى ءن ذك . В п неверно: «как уклонился от них ты».
15 Под наукой о сфере в средние века понималась на Востоке как сферика, так и астрономия.
16 В п неверно: «Они был.и моими друзьями (на чужб.ине, и мое сердце 0'пе- чалено разлукой с этими друзьями».
17 Беруни .П'росит изЕинить ег.0 за слишком строгое его отношение к работам своих предшественников, в п неверно: «я излож.ил это тебе так многословно из-за твоих упреков по этому поводу».


Математические и астрономические трактаты.
260
18 ٩ ؛ ٠لز ل. Здесь —форма страд, залога IV породы, а не 1 лицо I породы, как это воспринято в я.
19 Так вГ.ВЛДи я: «АВС».
20 Отсюда и до конца раздела теК'Ст в л отсутствует.
اه Так в д и И ( فندت );в Т: ؤحءدذد .
22 Так вДи Я; в T: «AF»; в ^.٠ «ВА».
23 Так в я и Я; в T: «FDBC». Имеется в в,иду дуга, превышающая полную окружность на величину дуги AF.
24ولون# неверно: «перед».
25 В я неверно: «Что касается [؛случая], когда дуга ра,вна полному кругу, то здесь делению на неравные част.и подвергается весь круг и. чертеж становится не- прав'Ильным, так как Яоманая линия состоит только из ЛИ'НИИ AB».
26 Памятуя, что 44 —середина дуги ADB, а D - середина дуги ADC.
27 В Л в связи с другим доказательством Азархура, следующим у. нас ниже, в заголовке дается кунья Этого ученого: Абу-л-ХасаН (Л, л. 1096, 21). Абу-Л-Хасан Азархур ибн Уштаз Джашнас, как указывает Беруни (Б ер у ни. Памятник.؟, с. 0ا!ا И 230),-современный ему геометр. Судя по его указаниям, он лично об- щался с Азархуром, вероятнее всего в Гургане, и заимствовал с его слов истори- ческие предания и сведения о празД'Никах древних nep'COlB. другими сведениями о нем мы не располагаем. Sezgin, V, S. 342؛ MP, II, ,с. 263.
28 ЕстН в д и п, опущено 'В т.
29 т. е. ее к.вадрат равен сумме квадратов ниженазв'анных катетов.
30 В Я неверно؛ «СВ».
31 В Я (л. 112.) это выражение упрощено: «Ясно, что квадраты DG и GB
равны [.в сумме] квадратам DE и ЕВ».
32 «Книга Кругов» Архимеда в оригинале до нас не дошла и сохранилась лишь в .арабском переводе Сабита ибн Курры (о нем см. ниже, прим. '194).
33 В Я (л. 109.) упоминание «Начал геометрии» Серена ФивсКого в этом за- головке опущено. Серен Фивский - александрийский математик ؛и астроно'М IV в. Его «Начала геометрии» до GHX пор не обнаружены, (s ezgin, V, S. 186).
34 В Я лишнее добавление: «и два угла — пря,мые». Далее, до конца этого раздела, в Я —упрощенный пересказ (л. 109.).
35 В Я неверн'о: «DA».
36 В Я неверно: «DGB».
37 Так в я и я. в д и я. «в Джурджане». Абу Са١ид ад-Дарир ал-Джурджа- н.и — мало'известный математик и астроном IX в. Автор сборника геометрических задач и кн.иги об определении меридиана. По некоторым данным был также и фи- ЛОЛО'ГОМ, учеником знаменитого Ибн ал-А‘р)аб,и. (Suie г. Die Mathematiker, s. 27؛ Sezgin, V, S. 263—264, VI, s. 242؛ MP, II, c. 263).
38 В Я (л. 1096) это доказательство в иной форме*: «Абу Са'иду ад-Дариру удалось доказать это [методом], подобнЫ'М тому, что принадлежит Архимеду. Он сказал, построим хорду АН, равной хорде ВС, .и отделив AG, равной АН. Соеди- Н.ИМ А с D, D с G, D с в и D с я. Поскольку дуга AD равна дуге DC, а дуга АН ؛взята равной дуге ВС, дуги DЯ и DB — равнь؛е. Углы HAD и DAC —равные, а АН равна [по условию] AG. AD — общая [сторона]. Поэтому основания HD и DC —равные. Однако HD равна DB١ и DC равНа DB, a DD—перпендикуляр к оанованию [DC]. Поэтому GE ра.вна ЕВ, а АС вместе с GE р.авны ВС вместе с ЕВ. А это —то, что мы Х'Отели разъяснить».
39 В Я невер'Но: «отпра.вляясь без объяснений».
4٥ Так в д и Я. В т ошибочно: وصل («С'Оединим»).
41 Пропущено в Я.
42 Такое название fjjklf لصحياف ءوؤننودس ]ومرض و) в «Фихристе» Беруни (Chronologie, Einleitung, s. XXXXI). в я (и оттуда в Т) другой вариант: ل.صيحيح ءودوو ردن |لعرضو]لطول («Уточнение переда'ваемого относительно широты и ДОЛГО.ТЫ»). Этот трактат не дошел до нас. в авторской рукописи он зани- мал 30 листов. (Boilot, р. 184, № 21).
43 В Л: «.ибн ал-Хусайн», но г. Зутер (3, с. 22, прим. 3) склонен видеть в этом лице знаменитого 14бн ал-Хай'сама. Тогда правильно чтение я и я принятое нами
* См. рис. 4 в переводе.


2Ê1
Комментарии
(«ибн ал-Хасан») Абу ‘Али ал-Хасан ибн ал-Хасан ибн ал-Хайсам ал-Басри —вы- дающийся арабский математик и физик, известный в средневековой европейской нау- ке под именем Alhazen. Родился около 965 г. в Басре, умер в 1039 г. в Египте. Автор многочисленных трудов В'О в(сех областях средневековой математики, а также 0'ПТИК.И. (Br. I, S. 470; Бг. SBI, S. 851—854; Suter. Die Mathematiker, s. 91—95; Кадри, с. 294—309; Sezgin, V, s. 358—374, VI, s. 251—261, VII, s. 288؛—MP, II, c. 240—255).
44 В п неверно: «без объяснения этого другим способом».
45 Буквальн.о: «четырехсторонник».
46 в я неверно: «АН».
47 В Л (л. 113а—1زج3ا это доказательство имеет отдельный чертеж и иные буквенные обозначения (ى на месте н и наоборот), незначительно оТличается сти- листически при полном совпадении сущности.
Рис. IV.
D
48 	Абу Са‘.ид Ахма٩ ибн Мухаммад ибн ‘Абдалджалил ас-Сидж.изи — крупный ^атематик и астро,ном X—XI BiB. (9511024). Работал преимущественно в Ширазе. Сконструировал астролябию на прИнципе доПущения враШениЯ Земли вокруг cSoeH 0'٥н Занимался вопросами конических 'СеченИй и трисекций угла. (Наллино С. 251; Кадри, С. 274; Suter. Die Mathematiker, S. 8081ذ; s e Z g i n, V S. 32334—؛). P ج
вя неверно: «؛Абу Са‘ид] шел иначе...»
٥؛ В ^ невер'но؛ <<[f и FB равны».
51 В Л (л. lila) это доказательство незначительно .отличается редакционно и на че^2۴е^ин؟е буквенные обозначения: G вместо я и я В'место. F.
52 В я неверно: «Эту предпосылку часто применял и'яв рассуждениях о том, как пойи по этому пути в некоторых случаях».
53 ср. с перевОдОм в я.
54 В л (л. 1136— 1' 1 4œ) это до,казательство ТОЛЬК'О отличается редакционной иными буквенными обозначениями на чертеже.
55 Абу ‘Абдал؛؛х Мухаммад и؛н حدلآмад : ■!؛!؟и — арабский математик X в 3؛ни'^а^ся вопросами геометрии круга, построения семиугольника и др. Подробности «٠»٠٠ иэвестны. Suter. Die Mathematiker, s. 97—98؛ Sezgin, V,'P s. 35؛خ
56 В л это. доказательство в иной редакции (Л, л. 111 ٠٠رى «Он сказал: допол-
ним круг (рис. III) и продолжим перпендикуляр DE в его направлении до тоЧки G на .крупности. Соединив А с с. проведем диПметр DHFK; он. будет перпендикУля- ром К АС. Проведем км параллельно DEG и соедиким к с G. Углы FAH и HDE будут равным^ вследствие пОдобия !угольников FAH и DHE. Хорда KG . бУдет равна хорде ВС Поскольку угол DÖK —прямой, ибо он опирается на половину окружности, и Угль؛ м и Е —прямы؛؛: пло٠ская фигура MG — прямоугольник. Поэто؟ м^ /Справна ME, а ME равна ВС. Так как пПриеН/Цикуляр км равен перпендику- лЯру GE, AM будет равна !в, а мы уже ВЫЯОНРТЛИ, что ME равна ВС. Следов؛؛
тодьно, сумма AM и ME равна сумме ЕВ и ВС, а это — то, что мы хотели ^азъ-
яснить». ' р
57 в л (л 1 На) 'Вместо «ал-Хасан» — «ал-Хусайн», а «исба —без диакритиче-
ских пунктуаций, г. Зутер (3, с .7إ) предположительно читает «ал-ДжанубИ»; Мы переводим как в я и т. Ра.нее г. Зутер читал: «ал-Хабуби» и считал, чтО это уче:
ный XIII в. О нем лишь иавестно, чТо он был судьей и оставил после се^я алгебра¬


Матеиеские لما астрономические трактат
2ء2
ический трактат о разделе наследств. Suter. Die Mathematiker, s. 197؛ s ez g inj V. S. 33لج MP, II, c. 193.
58 ؛В я наверно: «ADC».
59 Буквально: «получается».
٥٥ В ^ (Л. ه111ا) это доказательство отличается лишь редакционно и иными буквенными обозначениями (G вместо я, а я вместо ۶).
51 Абу Наср Мансур ибн ‘Али ибн ‘Ирак ал-Джа‘ди - крупнейший хорезмийский астроном и математик (ум. около 1034 г:), учитель и воспитатель Беруни, двоюродный брат Хорезмшаха Абу ‘Абдаллаха Мухаммада ибн Ахмада ибн ‘Ирака. Ибн ‘Ираку принадлежит одно из первых доказательств теоремы синусов для сферических треу- гольников. Он автор фундаментальной обработки «Сферики» Менелая, не дошед- шего до нас астрономического свода «Шахский Альмагест» и ряда трактатов по астрономии и математике, посвященных своему ученику Беруни (Булгаков. Жизнь и труды Беруни, с. 29-30 со ссылками на источники؛ Sezgin, V, S. 338-341؛ VI, S. 242—246؛ —MP, II, с. 209—212.
82 Опущено в Я.
83 В 7 вместо обозначения «AD» С'ОЮЗ و! («или»).
Si в л (л. 113.) после этого добавлено: «и проводил хорды AD и DC. Они — равные, так как они [стягивают] равные дуги одной окружности. Углы А и С — равные, ПОСК'ОЛЬКУ 0'НИ —при окружности [и опираются] на одну и ту же дугу, а именно —DB». Дальнейший текст этого раздела в л близок к тек'Сту в я и 7 и имеет лишь небольшие редакциО'Нные отличия, в приведенной выше вста'Вке огова- риваются столь простые и очевид.ные факты, что, скорее В'сего, она принадлежит ав- тору редакции, отраженной в л.
*—65 Эта чаСть текста есть в д и 7, ,но выпала в я, из-за чего невере.н пере- вод в я.
88 В Я неверно: «Подобно этому доказывается невозможность того, что АН меттше».
87 В Я неверно: «вн».
88 В Я неверно: «'В [это؛м] месте другим пу.тем».
89 Это доказательство в более развернутом виде дано в л (л. 1136 —14٥؛1؛) с отдельным чертежом:
«Я говорил: дополним круг, соединим ٥ с ٥ ة с с и ٥ с л и отложим EG) равную ЕВ (рис. IV). Соединим D с G и продолжим [DG] в ее направлении, пока она не встретится с кругом в точке я. AD ,и DC равны, будучи хо'рдами равных дуг, и DB и DG равны вследствие равенства треугольников BDE и DGE. Углы BCD и BAD равны, так как они —П,Р'И окружности и опираются на одну дугу.
Углы BDC и GDA равны в С'Илу [нижеследующего]. Поскольку угол DGB ра- вен [сумме] углО'В GDA и GAD, а углы DBG и DGB —Травные, то и угол DBG ра- вен [сумм؟] углов GDA* и GAD. Угол DBG опи'рается На половину заданной дуг.и٠ а угол DAG—на дугу DB, являющуюся частью оставшей'СЯ половины [заданной дуг,и]. Поэтому оставшийся угол GDA —по вел'ИЧ'Ине дополнения дуги DB до поло- вины заданной [душ]; а именно —DC Однако угол GDA [опирает؛؛] на д^гу АЯ؛ а' дуги аЯ'и50ج —равные. [Следовательно], углы BDC и GdA —равные. Тогда эти треугольники [BDC "и GDA]— ,по'Добные и равные, и GA равна ВС. GE равна ЕВ, и потому сумма AG и GD равна сумме ЕВ и ВС. Это—то, что мы хотел'И разъЯ'Снить».
70 В 7 О'Печатка: ءووءمءذ 'Вместо ٠ اورامءت
71 ٠ تحسل]لر]٠ءغ ر:صحيحءلساحة Этот труд Беруни до нас не дошел (Chro- nologie, Einleitung, s. xxxxv؛ Boilot, P. 206, №88).
72 В Я пустой глагол ءحدجت при.нят за удвоенный, из-за чего перевод неве- рен؛ «Я привожу как довод». Вся дальнейшая часть ф'разы в я переведена также неверно.
7٠ ءخمعىءلقو/)ق Речь идет о сегменте круга, ограниченном данной дугой.
74 т. е. К0'Гда ломаная линия АВС (см. рис. 10) наход,ится в сегменте ADC, а не AAjC
75 Речь здесь идет о равенстве всех соответствеН'НЫх углов ЭТ'ИХ треугольников, что доказывается формой множественного, а ,не двойственного числа. По неверному переводу в я речь идет о равенстве только тупых углов G и D.
Конъект, как в 3• в л неверно: «DGA».


263
Комментарии
76 По неверному переводу в я («я откладывал угол ADC, ... чтобы были рав- ны стороны AD и DC».) Беруни достигал равенства сторон AD и DC, тогда каК на caMOlM деле они заданы как равные.
77 Все это доказательство в я отсутствует.
78 В ^ опущено это существенное .притяжательное местоимение.
79 Эта работа Беруни, как 0؛н сам указывает в своем «Фихристе»-перечне трудо,в врача, химика и философа Абу Бакра ар-Рази, в который Беруни включил и ПеречеНь собственных ТрудО'В, занимала в авТографе 250 листов.* До нас 01на не дошла؛ полное ее название «Восполнение зиджа»* Хабаша [теоретическими] обоснова- ниями и очищение его дейст,вий от ошибок» . (в о i 1 о ؛, р. 177, N٠ 4؛ Chronologie, Einleitung, S. хххх).
Хабаш ал-Хаоиб («Хабаш Вычислитель») — прозвище выдающегося астронома и математика Ахмада ибн ‘Абдаллаха ал-Мервази, мервского ученого, работавшего в Баг.даде (ум. между 864—874 гг. IB В03ра.сте более ста лет). Хабаш ал-Ха.٥иб автор ряда з.иджей, из которых наиболее известным .и авторитетным в средние века был «Испыта.нный [эидж]». Теоретическим его обоснованиям Беруни посвятил, кроме вышеупомянутой работы, еще один труд: «Положе.ние Испытанного [зиджа] и
«разъяснения», ИбН Кайсума**, неумеренного в критике, ибо переступил он пределы сего и показал в этой области собственное невежество» (в о i 1 о t, р. 179, №9؛ Chro- nologie, Einleitung, S. ХХХХ). Хабашу ал-Хасибу принадлежат также несколько трактатов (об астролябии, о гномонике и др.)١ Он одним из первых ввел в тригоно- метрию понятия тангенса и котангенса. (Suter. Die Mathematiker, s. 12-13؛ к a д- P и, с. 185؛ Юшкевич. История математики в средние века, с. 48؛ Sezgin, V, S. 275—276, VI, S. 173—175؛ MP, II, с. 47-49.
8٥ В Я: «ее», т. е. дополнение дуги (!) до двух прямых углов, в целом вся эта фраза в Я неверна: слов «мы дополним» и «получится [угол]» в арабском тексте нет.
٥1 В Л (л. 114.—1146) это доказательство — с отдельным чертежом с иными буквенными обозначениями (G В'место я, и наоборот) и незначительными поЯ'Снения- ми совершенно очевидных вещей, принадлежащими, поэидимому, редактору версии л.
82 Буквально: «противолежащий».
83 В Я текста этого абзаца нет.
^ В Я неверно: «Он шел по линии упрощения».
85 В Я неверно: «АЖ?».
86 В Я пропущено.
87 В Я Это доказательство (л. 1126-413.) отличается незначительными редак- ЦИОННЫМ.И дополнениями разъяснений совершенно очевидных фактов.
88 В Я неверно: «шел в этом до тех пор, П'Ока [не дошел] до ПОЛ'НОГО круга».
89 В Я (л. 111.116ا1د) это доказательство отличается незначительными ^едак- цжжными пояснениями очевидных вещей.
QQ В Я вместо перевода этой фразы дан сокращенный вольный ее пересказ: «С другой стороны, достоверно, что Архимед в «Книге KpyroiB» и Серен в «н'ачалах геометрии» доказывали это не так, как мы рассказывали», в я эта фраза отсутствует.
91 Буквально: «,ногами».
٠2 Ср. С переводом в я эту и следующие две фразы, переведеН'Ные неточно.
93 Idem.
94 В Я (л. 1096) это доказательство отличается добавлением незначительных редакци'Онных пояснений очевидных вещей.
95 В я текст этой фразы неверен, что обусловило неверность перевода в 77. в Я (л. 1096—10 ار.) это Доказательство отл'Ичается незначительными редакционными пояснениями очевидных вещей.
96 В Я (л. 110.) уже в третий раз ('СМ. выше прим. 33 и 90) опущено упомина- ние Серена Фивского.
97 Аполлоний Пергский — крупнейший математик Александрийской школы, жил О'КОЛО 200 г. до н. э. Автор знаменитого труда «о конических сечениях», из 8 книг КОТО'РОГО до нас ДО'ШЛО 7 (nepiBbie 4 в греческом оригинале и следующие 3 в араб- ском переводе), о разраб'Отке наследия Аполлония арабоязычными средневековыми математиками CM.: Sezgin, V. S. 136—143.
98 Пуханна ибн Иусуф ибн ал-Харис ибн ал-Битрик ал-Каос («священник») — арабский геометр конца X в., 'переводчИк и комментатор греческого математического наследия. Подробности его жизни неизвестны. (Br. SBI, S. 389؛ Suter. Die Mathe- matiker. s. 60؛ Sezgin. V. s. 298؛ MP. II. с. 154^155).
99 В Я (л. ز.0ا.اا здесь добавлено: «П'родолжим AG (de lacto AB) в ее направ- лении и отложим EG, равную ЕА, соединИм D с с, D с в и D с G». в я все это ^ть в предыдущем доказат'ельстве Архимеда.
٠٥إ Ср. с переводом в я.
* Зидж — астрономические таблицы, в составы зиджей иногда включались мате- матические обоснования вычислений и тригонометрические таблицы.
** Это лицо нам неизвестно.


Математические и астрономические трактаты
28،
101 Выпало из текста в ٣.
1.2 В я полное расхождение с- текстом: «Поэтому угол DBC, вписанный в сег- мент,- тупой».
1.3 В я неверно: «лс».
1.4 В С'И^у равенства этих треугольников BG равна ВС. ПО'ЭТОМУ ВС в сумме с вв равна ЕА, Что и требовалосН доказать.
1.5 о jjj اوسدادو ءلمغيل0 و 1لجو؛لات]ل .Перевод ß я неверен, так как Беру- ни^а аннотация включена в состав названия, к тому же ءلل здесь не «недост’ат-
ки». а «теоретические обоснования». Этот не дошедший до нас труд Берун'И был на- писан им, по-видимому, в Гургандже в период между 1004017 гг. Он содержал теоретическую аргументацию к зиджу ал-Хорезми (См. ниже прим. 106) и занимал в автографе 250 листов. (Chronologie, Einleitung, s. XXXXj Boi lot, P. 176, N٠ 1).
106 Мухаммад (ибн Муса ад-Хорезми —величайший среднеазиатский средневеко- вый математик, астроном и географ (ум. после 847 г.). Работал в Багдаде при зна- менитом научно-переводческом центре «Дом мудрости», расцвет деятельности кото- рого совпадает с правлением халифа ал-Ма’муна (813—833 гг.). Важнейшие труды Хорезми — алгебраический трактат («Краткая книга исчислеН'Ия алгебры и ал-мука- балы»), ЯВИ'ВШИЙ'СЯ фундаментом современной алгебры؛ арифметический трактат («Об индийском счете»), положивший начало р٠аспространению в странах халифата и Ев- ропе позиционной десятеричной си'Стемы счисления؛ первая на средневековом мусуль- манском Востоке география («Книга картины Земли»). Хорезми-автор также аст- рономических табли'Ц, «Книги ИСТОР'ИИ» и нескольких трактатов, по(свяшенных астро- ноМ'Ическим инструментам. (Крачковский. Арабская гео'Графическая литература, с. 91—97؛ Юшкевич. История математики, с. 447؛ EI. I, р. 290—291؛ Кадри, с. 154—162؛ Матвиевская. Учение о числе, с. 128—131, 163—1'70؛ Sezgin, V, S. 228—241, VI, S. 140—143, VII, s. 128—129؛ MP, II, c. 40—45؛ Булгаков, Po- зенфельд, Ахмедов. Мухаммад ал-Хорезми).
107 Беруни с помощью равенства сторон СВ и GB доказывает, что CG делится перпендикуляром пополам, в я из-за неверного понимания грамматических конструк- ций утаерждение Беруни о делимости CG поП'Олам .оказалось беспочвенным.
1.8 Следуем тексту я. в ^ текст упрошен издателем, в л (л. 114а) ,в бук'вен- ных обозначениях на чертеже к вместо G. Там же ошибочно прямым назва'н угол PKF (л. 114٥, 11), соответствующий в наших обозначениях углу BGF вместо угла
BFK (у нас BFG). ج
Г. Зутер в комментарии к переводу (3) с. 68, прим. W) отмечает ошибку в данном доказательстве Беруни. в наших бу,квенных обозначениях она сводится к следующему: говоря, что внешн'ИЙ угол DBC треугольн'ика BFC равен двум ,внутрен- ним углам BCF и CFB, Беруни И'СХОДИТ из того, что DBF — одна прямая линия, а это требуется доказать, в нижеследующем же доказательстве, что эта Л'ИНИЯ — одна прямая, Берун'И опирается на результаты, восходящие к вышеприведенному ап'риор- ному равенСтву ZDBC: ZBCF-\- ZCFB.
Г. Зутер предлагает здесь следующее доказательство: ZDBG:ZDBC, так как оба они Е ■сумме с углом DBA ра,вны двум прЯ'Мым, а имен.но: ZDBC опирается на дугу DAC, a ZDBA—,на дугу AD) равную Дополнению дуги DAC до ПОЛНОГ'О Кру- га, т. е. дуге CD. ADBG:ADBC, поэтому DC:DG 'И т. ,д.
1٥٥ L وهمل ! وى . В п игнО'рирован П'редлог وى f ٠ из-за чего перевод
неверно «математизируется»: «'И соед'Инял то, что мы соединяли ра,ньше».
11. В т ош.ибочНо в двойственном числе.
111 Так в 7V В Я и Я Ошибочно «АВС». Речь идет о су'Мме противолежащих углов четырехугольника, вписанного в круг.
112 В Л (л. 1106و это доказательство без существенных различий.
118 	В Л (л. lilOa—1'٠106ز это доказательстЕо повторяется: «Углы ADC и АВС
равны, так как они —'П'Р,И одном сегменте, [т. е. опираются на одну дугу, ограничи- Еающую этот сегмент). Угол ADC ,вдвое больше угл.а AGC, поскольку оба ОНИ —на одном основании, [т. е. опираются на общую хорду АС], а один из них —при цент- ٠ ре, а другой — пр'И окружности. Следовательно, и угол АВС ра؛вен удвоенному углу AGCi Угол АВС равен сумме углов АСС и сев. Следовательно, углы сев и вес равны, и ев равна ВС».
Эта вставка — от редактора версии л и необходимость ее вызвана тем, что он оторвал это доказательство от предшествующего доказательства ас-Сиджизи, где все это есть.
114 В Л (л. 1!1 Об—111زى -это доказательство без существенных различий.
115 Перевод этой части текста в я абсолютно неверен: «может быть, все это предшествовало и у тех авторО'В, которые пор,ицают наше (Выражение этого при.помо- щи хорд (sic!)».


265
Комментарии
ةال В 77 перевод неверен: «Что касается известного, то после того, что пред- шествовало раньше, достаточна предпосылка:
117 «Начала» — фундаментальный труд по геометрии и арифметике знаменитого греческого математика Александрийской школы Евклида (ок. 3^0—275 гг. до н. э.), содержащий творческую обработку математического наследия Гиппократа, Архита, ЕвдОкса и ТеэтеТа. «Начала» Евклида (в арабском переводе) были настольной кни гой Bicex сред.нввековых математиков Ближнего и среднего Востока и с'редней Азии и породили целую литературу ؟ا В'иде многочисленных кО'Мментариев и об'работок, о чем см.: s е Z g i п, V, S. 33-120.
ةلا В 77 неверно: «предполО'Жить».
119 С'р. с перевО'ДОМ в 77.
120 В Л формулировка второго утверждения — в иной, своеобразной форме (л. 1(14б) при том же содержании: «Если в дуге окружности сломана линия и Она разделила [точкой излома] эту дугу пополам, и если в этой же дуге сломана другая линия, и она разделила [точкой излома] эту дугу на две нерав- ные части, то произведение одной из частей линии, делящей дугу пополам, на другую [ее часть], равно произведению одной из частей линии, делящей [точ- кой излома] дугу на неравные части, на другую [ее часть в сумме] с квадратом хорды между дву- мя точками деления этой дуги.
Пример этому: в дуге АВС сломана линия ADC* (рис: V) и она разделила в точке D эту [дугу] пополам. В этой же [дуге] сломана также линия АВС, которая разделила в точке в эту [ду- гу] на две неравНые Части, я .утверждаю, что про- изведение AD на DC, [т. е. AD2] равно произведе- нию AB на ВС [в сумме] с квадратом DB».
121 Cp. с переводом в п.
122 в 77 переведено безлично «это имелось», вследствие чего исчезает указание на личное уча- стие Беруни в исследовании наследия античных математиков.
123 В 77 неверно: «Прибавим общий квадрат DE, как мы поступали раньше, и перейдем к ؛авенСтву квадрата AD квадрату DB вме؟те с Пр؟,из؛веде1^ем AB на BG». В Л (л. 1(146—114وى'редактор здесН повторяет опущенные Беруни действия, содержащиеся в предыдуШеИ доказательстве. На чертеже в л иные буквенные обо- значения.
124 (الو]قعت رحت ]لحا . Буквально: «подпадающих под ощущение», в #.٠ «рас- положенных П'ОД дугами» (sic!).
125 Это слово в 77 опущено.
126 Так в Г. В Я неверно: ٠ ج f («AEC»), что некритически БО'Спринято и
в 17. В Л: «АЕН» (Л, л. 116٠زءه
12.7 В Л (л. .116б) добавлено: «треугольника ABD».
128 Так в т. В И и п неверно: «BD».
129 В ^ неверно с иным математически)м содержанием: «т. е. ДОПОЛН.ИМ квадрат AG, а затем восполним недостаток».
139 Все ЭТ.0 доказательство в л (л. 116а—٠1166ز нез'начительно отличается ре- дакционно.
1٥٥а Опушено в 77.
131 В'Се это до.казательство 'В л (л. ПбанПбб) незначительно отличается ре- дакционно.
132 ср. с перево.дом в 17.
133 В Л (л: ПЪа) это доказательство отличается лишь редакциО'Нно. в заголов- ке имя Ибн ‘Ирака дано полностью.
134 в Л (л. 1156) это доказательство без существенных различий.
135 Ср. с переводом в 77.
136 В سةل_ح («плоская ф'Игура») вместо نرب («произ'ведение»). См. н.иже, пр,им. 25 к XXIII главе «Гномоники».
137 Idem.
138 В Л (л. 115زج это доказательство без существенных различий.
139 Конъект. В т и #.٠ «вн».
14. Так в 7. В Я неверно: «сн».
13
А
Рис. V.
* К.нъект. В ^.٠ «АВС».


Математические и астрономические трактаты
141 В Л (л. 116زى это доказательство несколько отличается редакциояно при той же его сущности и И'меет ,иные буквенные обозн,ачения на чертеже.
142 Это-2-е предложение X главы 1 книги «Альмагеста، Птолемея. Об «Аль- магесте» см. ниже прим. 145.
143 В п невер'Но: «CD».
144 В Л (л. Ибо) это доказательство несколько отличается редакционно. Редак- торсиий характер вмешательства в текст до'казывается сокращением началЬ'НЫх ав- торских слов Беруни в этом разделе: «К'Ог^а я нуждался в [доказательстве] этого в некоторых из моих книг...», кроме того, в л на чертеже «н» вместо «G».
145 «Альмагест» — при.нятая в ЕврО'пе и на СредневековО'М Востоке форма на- звания главного астрономического труда Клавдия Птолемея (II в. н. э.). ج «Альма- гесте» под,ведены итоги развития астрономии ко времени Птолемея, который разра- батывал свою астрономическую сИ'Стему, изложенную в этом труде, оП'Ираясь, прежде В'Сего, на наследие Гиппарха.
146 В Л (л. 1ز166ا это доказательство незначительно отличается редакционно и имеет иные обозначения на чертеже.
147 Сулайман ибн ‘Исма ас-Самарканди-среднеазиатский астроном второй половины ÏX в., уроженец Самарканда, о чем свидетельствует его ниСба. Проводил астрономические наблюдения 'В Балхе в 80-х годах IX в. Иных сведений о нем обна- ружить не удалось. (Беруни. Геодезия, с. 12&130, 268î Sezgin, V, ؛S. 337—338).
148 В я текст Искажен, и перевод этой фразы в. я-неполный и неверный.
149 Idem.
15٥ К'Онъект. TeK'CT в7иЯ И'Спорчен. А. с. ад-Дамердаш приводит следующий комментарий (Т, с. 74):
AB%BF+HF2=HB2;
AB-BF+HF2+GH2:HB2+GH2.
Согласно теореме Пифагора, HFчGH2= GF2=DB2, a HB2-\-GH2=BG2. От٠сюда AB-BF+DB2=GB2. В Л этого доказательства .нет.
151 Абу-Л-Хасан ‘Али ибн ‘Абдаллах ибн Бамшаз ал-Ка’ини — астроном и мате- матик X в.,ا работавший в гор.оде Каин (И'ра(н). До нас дошли ТОЛЬ'КО два его трак- тата: «Об определении времени между началом зари и (восходом) С'ОЛнца в каж- дый день в Г0р0؛де Каине» и «Определение эры ,؛отреев». (Sezgin, V, S. 337, VI,
S. 242؛ MP. II, с. 263).
153 	Так в Я и Я. В Г ошибочно (в форме двойственного числа: Li.
153 т. е. DC-(DF-\-FC)=DC2=AD2.
154 В Л ЭТОГО доказательства нет.
155 Сведений об этом ученом в иных источниках обнаружить не удалось. Как свидетельствуют его ни'Сбы, он был выходцем из Египта, обосновавшимся в Самар- канде, или его предки были Р'0٠Д01М из Египта, а сам О'Н родился в Самарканде.
156 в Я неверно: «...изложил частный случай ЭТ'ОГО؛ его изложение я сократил».
*-157 Выпало И.З текста (В т.
158 Перев-од дан'Ной части этого абзаца в я абсолютно ,неверен: «в случае, ког да диаметр не ра؛вен вк, рт. е.] ВС, увеличенному ,на у.двоен'ную ЕВ, дуги DB и CF уже не равны и изложение Абу-Л-Хасана становится неправильным».
159 в Л этого доказательства нет.
15. В Я؛ этого утверждения нет.
161 В Л этого доказательств,а нет.
162 Абу Джа'фар Мухаммад иб,н ал-Хасан ал-Хазин, крупный математик и аст- pO'HOM X в. (умер ^еЖду 961—971 гг.), уроженец Хорасана, выходец из сабиев, автор «Зиджа тимпанов» (или «Зиджа дисков»)؛ тИ'Мпан или Д.И'ОК —одна из 0СН0В.НЫХ де- талей астролябии, арифметических трактатов о прямоугольных треугольниках с ра-
. ١ сторонами, комментариев на «Альмагест» Птолемея и перную часть
10-й КНИ.Г.И «Начал» Евклида (Ибн ан-Надим. Фихрист, с. 39'3؛ Br. SBI, S. 387؛ Suter, Die Mathematiker, s. 58؛ Кадри, с. 239—240؛ s е Z g i п, ' V, s. 298—299, 305-307, VI, s. 189—190؛ MP, II, c. 149—151, 201—202, III, c. 363—364).
163 В. Я неверно: «DAF».
164 В Л этого доказательства нет.
165 Так по конъектуре в г. в я и Я: «АВ» .
166 В Я неверн.о: «ЕСли прибавить общий ква.драт DE...».
167 Перевод данной част؛и этого абзаца в Я —неполный и абсолютно ненер^ ный по прИчине искажения текста в я.’ «в оилу равенств'а углов DAC и рве двум пря٩м и равенства тому же углов £)ЯС и. CBF угол CBF равен углу DAC,
T. е. DCA) и треугольники DCF и DBC подобны».
168 В Я неверно: «AF».
1.9 Так в Я И 7. В Я .неверно: «AF».
170 Так в Я и 7. В Я неверно: «FB».
171 В 7 опечатка: и زف вместо и ٠ ؤف


267
Комментарии
172 В я неверно: «FC».
173 Так в Я и Г. В Я неверно: «первое».
174 Ср. с переводам в я.
175 Конъект. В 7 и Я: ونرد i мы читаем: ندنزد .
176 Это СЛО'ВО пропущено в 7.
177 в Я опечатка: «в».
178 Слово نخط в 7 О'Шибочно принято за буквенные обозначения ٧ ٥٠ ط
(*BCF*). ٠ ٠
179 В Л В'сего этого раздела нет.
180 لذرر . В Я неверно: «предположим, что...».
181 نمدا هداي . В Я это ,слово опущено.
182 В-Я вся эта фраза, опущена.
183 В Я неверно: «AGB».
184 В Я невер’Но: «DBH».
185 В Л этого доказательства нет.
186 В Я неверно: «AFB».
187 В Я неверно: «DFC».
188 В Л этого доказательства нет.
189 В Л это доказательство перемещено в первое утверждение о свойствах' ло- маной линии (л. 112а— \'\26). На чертеже иные буквенные обозначения. После этой фразы в Л вставка, кото'рую мы переводим в соответствии с буквен,ными обозиа- чениями в Я:
«Обозначим на пересечении линий DH и AB точку к*• Поскольку треугольники EAG1 и КАН** подобные, их углы اى и к равны, а угол DAC равен углу DBK, по- окольку оба они опираются на половину дуги ADC, то и треугольники DAG 1 и ЯЯК —подобные. ПоэТому AG 1 ОТНО.СИТСЯ к G\D, как в к к ،٥. Но AG1 относится к G\D, как А К к DK и как. АН к DE в силу подобия [؛прямоугольных] треугольников [АЯ.1, ЯЯ.1, яяк и АЯК]. По такой же [؛причине] лк относится к ^٥, как BE к DF».
19٥ В я неверно: «DBC».
191 В Я неверно: «поэтому оставшаяся EG равна ЕВ».— Линии EG и ЕВ рав- ны по условию.
192 Весь этот абзац, несмотря на сохра'Нность его текста в я, опущен в я без oroßfOpoK.
193 Менелай —крупнейший математи'К I в. н. э., работавший в Александрии. Ав- тор фундаментальной «Сферики», дошедшей до нас Только в араб'Ских переводах и обработ,ках, 1ИЗ которых одна из лучших принадлежит учителю Беруни Ибн ‘Ираку. Менелаю принадлежит знаменитая теорема об отношениях синусов для фигуры секУ- ших, о которой подробнее см.: Беруни. Канон Мас.уда, I, с. 351-352', Прим. 123. «Начала геометрии» Менелая до нас не дошли.
194 	Абу-Л-Хасан Саб'Ит ибн Kypipa ал-Харрани ас-Саби (836—9.1 гг.) —крупней- Ш(ИЙ средневековый математик и астроном, выходец 'ИЗ сабиев Харраиа, работал в Багдаде, автор многочисленных оригинальных трудов по астрономии, геометрии, три- тонометрии, механике и теории чи'сел, переводчик трудО'В Архимеда и Аполлония, комментатор Евклида и Птолемея. (Suter. Die Mathematiker, s. 34—38؛ Br. I, S. 217—213؛ Br. SBI, I, S. 384—386؛ EI. IV, P. 793—794؛ Кадри, c. 195—206؛ Sezgin, III, S. 260—263, 377, V, s. 264—273, VI, s. 163—170, VII, s. 151—152. 269—270, 329؛ MP, II, 85—103؛ Сабит, Трактаты).
195 	В Я неверно, с иным математическим смьислом: «Е'СЛ'И же предпО'Слать этому свойства ломаной ؛линии, БП'Исанной в дугу, то, что хотел доказать 'Менелай, упрО- щается, [однако] только для всех дуг данного круга, не превосходящих пол^жруга».
198 Слова «Мухаммад ибн ал-Лайс» отсутствуют в я и 7 ,и добавлен^ По л (л. 117٠, II). Абу-Л-Джуд Мухаммад ибн ал-Лайс — выдающийся математик второй половины X в. Младший ؛современник Абу Джа‘фара ал-Хазина (ум. между 961—97.1 гг.) и ста'рший современник Беруни (род. в 973 г.), поскольку Сму принад- лежат ответы на вопросы по геометрии этих двух ученых. На этом же ооно'Вании МОЖН.0 полагать, что Абу-Л-Джуд был тесно связан с хорасанско-среднеазиатскими математиками или сам принадлежал к ним. Автор трактата «о построении семи- уголь'Ника с равными сторонами ,в круге». Занимался также исследованиями кубиче- ских уравнений (на его работу в этой области осылается в своем алгебраическом
трактате ‘Омар Хаййам), определением хорд в круге, 'В чаетности хорды дуг.и 1٠
* Конъек^ра г. Зутера. в. Л: «F».
٠٠ Idem. 1ق! «FAH»?


Математические ü астрономические трактаты.
268
؛Беру H и Канон м؛؟؟уда,_1, ç. 267). С.М. также: Suter. Die Mathematiker, s. 97؛ Sezgi n, V, s. 353-355, Mp, II, c. 2.262-0ة
٤97 в л (Л. I17a) имя дается полностью: «Абу Са‘ид Ахмад ибн Мухаммад
ибн ‘Абдалджалил ас-Сиджизи».
198 Буквально: «,встречающий».
و؛٤٥ Л (л. 117а) эта ,фраза расшифрована: «я утверждаю, что сумма линий
AB и ВС Равна линии HF, и Угол АВС равен углу S».
٥٥؛ В я текст этого доказательства (л. 117all76) почти дословно совпадает с
٥٤؛ В Л (л. Ill76و редактор заново повторяет ,все сокращенные здесь действия.
2٥2 в п перевод неЕерен: «Мы Х0Т1ИМ провести их так: будем поступать, как мы указали 0و построения сегмента на линии АС в D (sic!) до полукруга».
У 2اه В ^ ошибочно: «CL». у РУ
204 В Л чертеж точнее, чем в я и 7 при совпадении текста доказательства (л. 117.б).
2٥5 Слова «принадлежащий мне», ценнее для уставовления авторства ЭТО'ГО ме- тода, отсутствуют в я и 7 и добавлены по л.
1 В Л آл. 1176ز вместо этой фраз ؛للآ «Соединим АсСи опишем ОКО'ЛО [АС] сегмент ؛sic!), встречающий (sic!) угол [Б], ра,вный углу S. Разделим его попОлаИ в т'очке ره соединим ٥ с с и опустим перпендикуляр DK на АС», в остальном текст этого раздела в л совпадает с ٥ и 7.
27ل١ См. .выше, прим. 206.
“ В ^ (л. 1.18а.) текст этого раздела имеет незначительные редакционные ОТЛ'ИЧИЯ.
209 Издатель текста 7 А. с. а(д-Да,۴рдаш указывает ر7؛ с. 97), что в переводе данного раздела он ,опирался на текст Стамбульской рукописи (Му^ад Мулла) и от- ,казался от текста Еанкипурской рукописи ввиду испорченности последнего. Мы еле- дуем здесь тексту 7ر но учитываем лучшие варианты отдельных фраз в я.
21٥ В Л ошибочн'о: «ADB».
211 Из-за (искажения текста в я и смешения СЛ01В ندل («соединим»') и ف-غ٠-ل («разность») перевод в п абсолютно неверен и искажает математический смысл тек'Ста Беруни: «Точно также проведем хорду BD, равную ٠в квадрате разно- сти квадратов [AD и квадрата] Kl Тогда разность AB и ВС Сеть искомое» (sic!).
22ل Та,к в Л, Я и 7. В Я неверно: «А٥».
213 Это обозн,ачение пропущено в я и я.
214 Буквально: «соедиНим».
*-215 Этих слов в Я и Я нет.
216 ср. С текстом вЯис переводом в я.
217 Выпало из текста в л.
218 Ср. с текстом в Я и с переводом в я. Текст этого раздела в л (л. 118а—1186) почти букв؛ально ,совпадает с тексто,м Стамбульской рукописи (Мурад Мулла)'.
219 В Л (л. 1186—119а) текст этого раздела имеет Еесьма неЗначительнЕш ре- дакционные отличия.
22؛> Idem. (Л) л. 119а).
221 В Я и 7 в заголовке опущено важное слово «мое», а также слова «местами падения камня».
«МесТ'0 падения камня» в арабС'Кой средневековой математике — основание пер- пендикуляра, место, куда п.адает груз отвеса. (Беруни. Книга вразумления, с. 25 и 262, npiHM. 2'1).
222 В Л ошибочно «М£».
223 Гномон —измерительный шест с определенным числом делен؛ий, служивший для определения величины и азимута сол.нечной тени. Гномон чаще всего ؛укрепляется либо на горизонтальной, либо на вертикальной (относительно поверхности Земли) плоскости.
224 В Я неверно: «км».
225 т. е. проИзведеьие ЛИ'НИЙ, образующих эту фигуру, равно величине гномона.
226 В Л ошибочно: «А٥».
227 Если мы обоз'начим основание треугольника через а, осталь'Ные его СТО.РОНЫ через ه и ة/ء прямоугольные проекции стОрон ٥ и с На основание или его прОдол- жение —через ٥! и راء и если رء<ئ эту теорему можно представить в виде формул:
a2 -f b2 ___ 2ء
-(ق٦ب٠)ب-..
b2 — اءب a2
2 a
b2—с2
ay-
= اء
Эта теорема равносильна обобщенной теореме Пифагора, которую можно записать форелями:


269
Комментарии
ء) لءه2 — تء + ةع==لة < i),
٠({ < ء) اءع2 +تءبلهءلء
ب 0,2 ت 2ء b% — 2аЫ)
доказанными Евклидом IB 12 и 13 предложениях II книги.
В Л (л. 1196—ى9اا) тексТ этого раздела почти полностью идентичный.
228 В п неверно: «ВС».
229 В я.. «середина» (sic!).
23. В п неверно: «да».
231 'В Л этот абзац ,выделен в особый раздел с заголовком: «Второе доказатель- ство, принадлежащее мне, более легкое, че^ первое». Текст его (л. 1196) И'^еет не- значительные редакционные О'ТЛИЧИЯ. Дальнейшая часть нашего раздала -в л отсут- ствует.
232 в т нев؛ерно: الس1قيمين («прямыми») вместо ءلمذعدس.مين («делящимися).
233 Перевод в Я —неверный, искажающий математический СМЫ'СЛ: «вычтем одно из них из другого».
234 Так в я и т. В п неверН'о: «да».
235 Текст данного раздела дошел в двух различающихся в деталях редакциях.
Одна из них отражена Банкипурскрй рукописью (Я), ЯР۴Я — Стамбульской, с кото- рой полностью совпадает текст в л (л. 1196-1206). в т последовательно даны обе редакции. Мы следуем теК'Сту я, ,но отдельные дополнения заимствуем из ВТО'РОЙ редакции, выделяя их курсивом. ٠
В рис. 4.7 мы приЧЧмаем конъектуру, предложенную в Я: тО'Чка м должна быть на расстоянии, равном да. в я эта точка и линия DM отсутствуют. Беруни о положении точки м Ничего не roiBopHT. в ٣ ею обозначено пересечение ЛИН'ИЙ AB и CD, что не отвечает оговоренному Берун'И равенству площади AADC сумме площа- дей ААВС и ABDM.
236 В Я грубая ошиб'Ка: «квадрату [.суммы]».
237 в Я н'еверно: «да».
238 Конъект. в г и Я: 0مر («взятую один раз»). Такое указание не имеет смысла. Вероятно, в оригинале было مرزد٠٢ا («взятую два раза»), что вытекает из равенства: ЕН2+2ЕН-НА = ЕН (ЕН+2НА). cp. с переводом в я. _
239 Нами принимается здесь конъюктура, предложенная в я.
24. Пропущено в Я.
241 в Я перевод неверен: «Если умнож؛им плоскую фигуру ЕН на ЕА) a AG, т. е. один из двух ,крайн.иХ членов [пропорции], на плоокуЮ фигуру СК на КА, т. е. на другой крайний член, получится квадрат среднего члена, т. е. площади треуголь- ника [АВС]».
242 В Я неверно: «^с».
243 Cp. с переводом в я.
244 в Я неверно: «да короче DC, поэтому CG больше да».
245 В Я неверно: «^с».
246 Последние две фразы в т ошибочно повторены дважды.
247 в Я неверно: «дася».
248 в Я неверно: «АН».
249 т. е. сумма двух вышеназванных произведений.؛
250 Опушено в переводе в я.
251 В т ошибочно: «да».
252 cp. с переводом в я.
253 в т ошибочно (в,место этого 0б031начен.ия — предлог «к» ( ٠( ووى
254 в т ошибочно: «да».
255 Так в я и я. в т ошибочно: ندرب («произведение»).
256 В Л (л. 1206—1'21а) это доказательство - с иными буквенными обозначен«- ями'И начало его в нескольколюм виде:
«Доказательство действия, приписываемого индийцам, по определению Площа- ди четырехугольника, вокруг которого описана окружность, принадлежащее Абу 'Абдаллаху аш-Шанни.
Если мы Х0Т.ИМ !؛определить] площадь четырехугольника, вокруг которого ОП-И- сана окружность, в которой он очутился, то Юы возьмем избытая ПолуСуммы его


Математические и астрономические трактата
270
сторон над каждой из его сторон, затем умножим один из этих избытков 'На ВТО- ро؛ избы^к, произведение - на третий ,избыток, [новое] произведение - на четвертый избыток. Затем извлечем'кор'ень ,Из полученного Произведения, 'И OIH будет площадью этого четырехугольника.
Для доказательства .науертим четырехугольник ABCD в круге ABCD (рис. VI). Разделим дуги BAD и BCD пополам в точках EnG. Соединим линиямИ ВсЕ, Е с D, D сG, G с В, Е с А и Е с G. Про؛ведем перпендикуляр £Я к AB и перпен- дикуляр GF к ВС. ОбозначИ'М пересечение линий BD и EG точкой к. Треугольники ЕНА и EKD будут подобньим.и. £٥-длиннее, чем ЕА, а —длиннее, чем НА.
полусумма ВС и DC согласно предпосланному [утверждению]. ££ —длиннее, чем KD* и, следовательно, намного длин'нее, чем АН. подобным же доказательством, точно так же, выясняется, что ء БЯ —длиннее, чем FC».
Продолжение доказательства в л — в редакции, близкой к т.
257 	Мухаммад ибн ас-Саббах - астр'ОнОм IX в. Даты его жизни ؛и место деятель- ности неизвестны. Занимался преимущественно вопросами движения Солнца, кон- струирования солнечных часов и теорией определения момента кульминации Солнца. Его труды критически учитывались Ибн ‘Ираком и Беруни. (Suter. Die
tiker, S. 19؛ Беруни. Геодезия, с. 163—167؛ Булга- ков. Жизнь и труды Беруни, с. 84؛ MP, II, с. 58-59؛ Sezgin, V, S. 252—253, VI, S. 148—149).
258 رهد . Основное значение этого термина —«наб- людение».
259 Наибольшее склонение — угол наклона плоскости эклиптики к ПЛОСКОС'ГИ небесного экватора.
260 Перевод в л неверен: «Мухаммаду принадлежит трактат о простом вычислении этого, [основанном] на Д.О- казательстве».
261 Cp. с переводом в п. Подробнее об этих вычис- лениях Мухаммада ибн ас-Саббаха см.: Беруни. Гео- дезия, с. 163—167.
262 Азимут восхода — величина дуги горизонта или соответствующего ей угла от точки восхода Солнца в дан- ный день до точ^ его восхода в день равноденствия. П'ОЛНЫЙ азимут восхода — максимальная его величина.
В п здесь и далее неверно: вместо «азимут восхода» — «величина восхождения».
2.3 لمدار.. . В п неверно: «.сфере».
264 Буквально: «в одной величине».
265 ح п перевод этой ф.разы неверен: «Исследования высоты IB полуденной сфе- ре еще легче и бл,иже к осуществлению».
В Л (л. 1236) этот раздел —с незначительными редакционными отличиями.
266 اوج. В П: «высшая Т0'чка Солнца».
267 Этот Труд Беруни ,до нас н.е дошел. Беруни ,ссылается на него в своей «1١ео- дезии» (БеруНи. Геодезия, с. 145). См. также: в о i 1 о t, р. 209, № 101.
268 راودوة . В п это СЛ0.В0 опущено в переводе.
٠حاملة 69ا؛ . Речь идет о движении Солнца по эк'Сцентрической орб.ите (или ор- бите апогея Солнца), эквивалентной К'ругу деферента в ПтолемеевсК'ОЙ схеме движе- ния планет, в п невер,но: «несущее движение», где термин ح1مل ПО'НЯТ б^валь- но, тогда KäK он имеет специальное значение «деферент».
27. cp. с переводом в я.
271 ونصل . В т опечатка: نمدل («соединим»),
272 в я это слово ошибочно отнесено к предыдущей фразе, из-за чего в перево- де: « Плиния] но... известна».
<273 В Я неверно؛ «на кЕадрат АС».
274 Пропущено в 7.
275 в я Еместо ЭТОГ'0 местоимения буквенное обозначение «он».
276 в Я этот раздел отсутствует.
277 В я переЕод неверен: «Тогда в треугольнике АВС угол БЛЯ —по величине половины среднЕго движенИя на (sic؟) известный угол вне; потому что угол ВАН вписанный. Он получен делением по,полам центрального угла».
278 В Я опечатка «А».
Рис. VI.
* Принимаем конъектуру г. Зутера (3, с. 41). в Л: «вк».


271
Комментарии
279 	В я перевод абсолютно неверен: «Остаток применяется для определения апогея».
В Л этот раздел отсутствует.
28. Об уравнении Солнца и Д'ругих понятиях и велич'инах, связанных с его оп- ределением, см. выше в предисловии к переводу (с. 15).
281 Так в يغغ٠ل ) ى ). В т и Я: زنمدل («,отделим»).
282 T. е. AB2=AD2+DB2+2DB'DH. в я это переведено неверно из-за неправиль- ного чтен'Ия глагола ونخدل ('СМ. выше пр؛им. 28:1).
283 ср. С перево(дом IB я.
284 в я .неверно: «FA и ЕЯ —косинусы аномалии».
В Я на этом текст данного раздела (л. 1220رز1226ال؛ в цел'ОМ весьма бл’из- кий к Я и ح обрывается.
285 Пропущено В Я.
286 В Я опечатка: «в»
287 т. е. в Птолемеевской системе движения Луны и планет, в этом случае эксцентрическая орбита Солнца (орбита апогея) займет место круга деферента, а центры эпициклов будут .соответствовать положению Солнца. Подробнее см.: Беру- н и. Книга вразумления, с. 80-84.
*—288 в я и т опушено, в таком виде этот заголовок в л.
289 в Л: «D с С».
290 محبعم . в я перевод ЭТ.0Й фразы 'неверен.
291 Так IB Я и ح в Я неверно: «АЕ».
292 LE и EF известны, так как ,из 3'иджа (по условию) иЗ'Вестна величи'На AF, равная AL, а .выше была определена АЕ.
293 в Л (л. 1226-123زى текст этого р,аздела П0ЧТ.И дословно совпадает с тек- стом в Я и Я
294 Работа Беруни «Опровержение лжи путем приведения доказательств к дей- ст.виям ал-Хорезми в его зидже» до .нас не Д'Ошла. Книга занимала в автографе 360 листов и была написана в критику неудачных теоретических разъяснений к зид- жу Хорезми (некоего врача Абу Талхи. (Chronologie, Einleitung, s. хххх؛ в о i 1 о t, р. 177, N٠ 2).
295 В Я ошибочно: «DE».
^6 В Я неверно: «как известно».
297 В Л (л. 124زى текст этого раздела идентичен тексту ,в я -и т.
298 Этот относительно небольшой труд Беруни, занимавший в авторской рукопи- си 30 листов, до вас не дошел. Сам Беруни отнес его к числу сочинений, посвяшен- ных кометам и метеорам, но, как показыв,ает данная осыл,ка, в нем затраги(вались (и вопросы геометрии. (Chronologie, Einleitung, s. XXXXIII; B O i 101, P. 194—105, №56).
299 По переводу в я AD2=BD+AB-BCر тогда как AD2=BD2-\-AB-BC.
iß Л ошибочно: «DE».
301 Текст этого раздела в л (л. 123زج идентичен тексту в я и т.
Как отмечает г. Зутер (3, с. 72), эта задача может быть решена и из подобия треугольникО'В FHB и ABG, а также FHG 'И BDG:
BHjAB
\\ HG-DG
Отсюда
FH iAG
FH BD'
Следовательно,
BG__AB + DG FH AG ب BD
__AB-BD + AG-GD ÄG-BD
FHf- BGAGBD
AB-BD+AGDG*
Тригонометрически, если обознач,ить угол ABG через а ,и угол DGB через ß, это можно .выразить так:
FH : ВО
ctg а + ctg ß
3.2 в Л: «Моя задача». Редакционное добавление «моя» здесь О'Провергается контекстом заголовка. Вместо «пальма» в Л: «деревянная палка».
3.3 В Л: «в книгах».
304 «Книга алгебры и ал-мукабалы» («К'итаб ал-джабр ва-л-мукабала», т١ е. «Книга восП'Олнения и противопоставления») - распространенное название руководств


Математические и астрономические трактата
272
П'О алгебре. Первую книгу с так؟м названием написал величайший хорезмийский математик, астроном и географ Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (IX в.), но в его книге этой 'И других задач, приводимых Беруни, нет. Чей Труд имеет здесь ввиду Беруни, неясно, о происхождении задач о Пальме ,и следующей, о двух птицах и рыбе, ؟м^ Розенфель^ и красно (в а. примечания, с. 146, прим. So и 51.
3.5 Здесь вставка в Л: «я Утверждаю».
305 Это СЛ'ОВО есть в л, но выпало из тек,ста ,
3.7 В я опечатка: «OF».
3.8 В цел'Ом текст этого раздела ,в л (л. 1215—زى22اب идентичен тексту в г и я.
309 См. выше прим. 302'.
31. В Л: «о д.вух пальмах, реке и двух рыбах».
311 В я неверно: «АС».
312 В Я и Я это слово О'Пушено.
313 ср. с переводом в я.
314 Текст этого раздела в л (л. 12'116ا12ا-ى) имеет незнач'Ительные редакцион- ные отличия и в целом весьма близок к тексту в я.
315 Текста ЭТО'ГО абзаца в л нет.
316 Так ,в Я ( لسي٠ه ), в т неверно: ة٨عد٠دد («из д:вух частей»).
317 т. е. «из'вестная», «сообщающая о 'Себе».
318 В Л текста этого введения нет. в я его перевод неполо,н и почти сплошь неверен.
319 Это слово О'Пушено в я.
٥٥٠ Это предложение по существу совпадает с 9 предложением XIII книги «На- чал» Е'Вклида (Розенфельд и Краснова. ПримеЧания, с. 146, П'рим. 52).
321 L/jMßäJ . В Я неверно: «по вычислению».
322 1 1 предложение II книги «Начал» Евклида - о делении отрезка в крайнем и среднем отношении. Текст этого раздела в л (л. 1286) имеет незначительные ре- дакционные отличия.
Здесь мы имеем квадратное уравнение
AD2=BD2+AD-BD
с неизвестным BD, которое решается по формуле:
BD س~ل|-4اةي/ ٥ .
См. 3, с. 78, прим. 2'9.
323 Первая, ,ранее полученная Беруни хорда,- 1/6 окружности.
324 В Я перевод неверен: «Тогда, как в предыдущих Задачах...».
325 в Я (л. 124ز46'12—ى текст этого раздела.—с небольшими редакционными отличиями (перестановка '(варианто-в в доказательстве при тех же формулировках
е^руни прав, утверждая, это решение этой задачи по формуле легче, чем по формуле VAB2 —٠ BG2, (3, с. 72, прим. 16).
3* т. е. по хо'рдам ل и ا٦ окружности.
327 	Определение хорды удвоенной дуги с известН'ОЙ ХО'РДОЙ даеТ'СЯ вЛв ИНО'М виде и двумя путями, принадлежащими Беруни (л. 1246—125٠وةء
«Мое определение хорды любой удвоенной дуги С известной хордой.
[Если дана] любая дуга с из١вестной хордоИ в окружности с известным диамет- po'M, то хо'рда удвоенной [величины] известна.
Пример этому: хорда AB известна (рис. VII). Дуга ВС равна дуге 45. тре- буется [определить] АС. про'ведем полудиаметр BGE и соединим А с Е. Поскольку квадрат АЕ меньше [суммы] квадратов AB и" BE на удвоенное произведение ЕВ на BG, а АЕ и ЕВ равны. То квадрат AB равен удвоенному произведению ЕВ на BG. Следовательно, BG известна, а оставшаяся GE — половина хорды [дуги CD]) допол'нения [дуги] АС до полукруга*.
Выч,исление Этого: умножим известную хорду на себя и разделим половину про- изведения на половину Д'иаметра. Вычтем частн'ое из полудиаметра. Удвоим остаток
* В Л ош'ибочно: «до полудиаметра». прямоугольные треугольники EE\D (и 4 ى£ —равные, поэтому GE=E\D = CE\. Следовательно, CD извеСтна, как и диаметр AD ()ПО условию). Отсюда по теореме Пифагора известна и И'СК'0'мая АС.


273
Комментарии
и умножим его на себя. Произведение вычтем из диаметра, умн0Ж؟Н_0Г0 на себя, извлечем корень из частного. Он и будет" хордой УдЕОеНКОИ ^уги с за^ЗННОй ٠ةةةثم0ة
ع٠ي ء »ء Угль. ٠ايع «
--۴ а углы Н и د ى прямые. ПоэТому треугОльиики ABG и ВЕНпо.
добные. Следовательно, AB относится к AG,
кк BE и ٠£ء Отсюда AG известна, и удво- R
еннаяее [вСЯНчиИа^ АС) известна.
Вычисление этого: умножим известную
хорду на себя, вычтем произведение из nço- изНе^ения диаметра, [умноженного) на себя.
Из четверти остатка извлечем крень и умно- жим его на известную хорду. Разделим про- изведение на полудиаметр. Удвоим частное от деления, и пОлучится хорда удвоенной дуги с заданной хордой^
Как указывает г. Зутер (3) с. 73-72ا, прим. 17), первое действие Беруни выражает- ся формулой:
•ل(ا-،٠)ا-سا٠ا
АЕВ через а, то в тригонометрическом выраже.
Если мы обозначим угол НИИ это:
4r٥sin٠-
2 г
4Г2—4г-
2rs\na:/à
или:
؛cos.؛2sln==
sin 2-1) — !ا = ٠sin: 2 = ا(ثsinا/ ؤ — sin:ث
Второй путь выражается формулой:
2AB ]/Г .
ADLABل
BE
АС:.
что в тригонометрическом выражении:
4 r sin ١ ب/г1 - r2 sin 4 4r2 sin ٠ ب cos ب
2 r sin a = r*..r2sn2 ٠ ,
или:
sina = 2sin ؛.cos؛ .
Второй путь Беруни совпадает с единственным путем в я и г, но имеет иную формулировку вычисления.
328 Эта задача вЯиГ отсутствует и добавлена по л (л. 125 а).
329 В И и т чертеж отсутствует. Мы повторяем здесь чертеж в^с нашими дополнениями, совпадающими с чертенком в наших примечаниях (см. выше прим. 327).
33. Конъектура г. Зутера. в Л: «на половину диаметра».
331 В п перевод математически неверен: «в.-остаток- от полудиаметра и AB равны в квадрате AG и GB».
332 КонъекТура г. Зутера. в л текст испорчен: «прибавим к произведению п-ро- изведение... диаметра...».
333 в Л (л. 125а) этот метод имеет свой заголовок: «другой путь к этому, принадлежащий мне». Текст здесь имеет незначительные редакционные отличия от текста в я и г.
18..Î1


Математические и астрономические трактаты
274
Первый путь Беруни выражается формулой:
•¥/٠ع-سي/ءس
что в тригонометрическом выражении, если АЕВ = а,:
2 	r sin i = V2r2 — 2rVr2 — г2 sin2a = ه٠ثم2-بم2ثمآ cosa
1 — cos a 2
sin j- =
или:
Второй путь выражается формулой:
|2
4
уГ{АР - VÂD2 - АС‘ )2 .
лв :
которая приводит к той же тригонометрической формуле وم., с. 73, при^. 18).
334 кОнъект. В Г и Я: ؛،половины и четверти одной девятой». Беруни ниже специально останавливается на определении хорды ب окружности и получает ее значение путем приближенного решения кубического уравнения вида 3*+13*ء. В Л текста этого абзаца нет.
335 ср. с переводом в я.
336 в Я ошибочно: «ВС».
337 Конъектура I'. Зутера. в 7, я и Л: «из удвоенной хорды».
338 Текст этого раздела в л (л. 128а—1286) почти досЛовно совпадает с тек- стом в Я и 7.
Если обозначить хорды ل и ٢ окружности через Ä'g и X*. то данный метод имеет формулу:
Хя:ГПг(Х{ — г) = /2 /-؛؛ — гХ{ = г ]/2 Vi .
См. 3, с. 77, прим. 28.
339 Эта задача в л (л. 1176—118а) редакционно объединена со следующей через одну задачей определения хорды разности двух дуг. при этом сначала разъясняется общий чертеж, затем дается определение хорды разности двух дуг, а затем —хорды суммы двух дуг.
340 в я и я эта фраза — перед предыдущей.
341 Это слово опущено в я.
342 Обозначим искомую хорду суммы двух дуг с известными хордами через Хх, ббльшую хорду —че^ез Хи меньШую —через Ä2. Данное действие Беруни выра- жается формулой:
343 Это определение отсутствует вЯи7и добавлено по л.
344 В Я н.еверно: «половина хорды AB дополнения до полукруга». Это имеет совершенно иной математический смысл.
345 В 7 опечатка: ندور («проведем окружность») вместо ٠ نزود
346 В 7 опечатка: ٠لذصغة («разделим ее пополам») вместо ٠ ٠لذقصد .347 Буквально: «умножим возросшее на уменьшенное».
348 В Я неверно: «извлечем».
Это слово опущено в я.


275
Комментарии
350 	В Л (л. 125ج125-ى) текст этого раздела весьма близок к тексту ИиТ. Обозначим известные хорды AB через Xi и ВС-через ^2. Беруни сн.ачала опре* деляет линию DE по формуле:
Затем по теореме Пифагора он определяет искомую AD:
AD = VВЕЧ (ل(قجاق -
351 В т опечатка: ونرح («хорда я») вместо ونذر ج («проведем»).
352 В п неверно: «дуги».
333 Конъект Г. Зутера. См. выше формулу в прим. 342.
354 Опущено в т.
355 Обозначим большую из известных хорд через Xi и меньшую-через ^2. Дан- ное действие Беруни выражается формулой:
хлт
Формула Г. Зутера (3, с. 75, прим. 24) неверна: делитель в квадратных скобках у него г вместо 2г, уменьшаемое —2г вместо г; в круглых скобках выражение (12— —ام١ع~ X2) , соответствующее квадрату величины линии ЕВ («избыток большей хорды над половиной ее суммы с меньшей хордой»), у него произвольно٠заменено на выражение (—jf2 ) .
356 В п ошибочно: «DB».
357 لال:جاو٠ر . Имеется в виду общая величина, которая при одном действии
опре^еяяет хорду суммы дуг, а при другом - хорду их разности.
358 Эти два. сЯова вЗяты Из л. Там загОлОвок несколько иной: «Определение хорды разности и хорды суммы [двух дуг], одно из другого, моим способом, по- хожи^ на предложенный Абу Насром Мансуром ибн ‘Али ибн ‘Ираком».
359 Текст этого раздела в л (л. 1276) Еесьма близок к тексТу в я и г. Обозначим исковую хорду суммы дуг через Ха , искомую xopiy разности дуг—
через хъ, известную ббльшую хорду — через Xi) известную меньшую хорду —через Хч и известную, хорду дополнения дуги большей хорды до полукру- га-через X]. Тогда данное действие Беруни можно записать так:
BE:
ух\\ — {ВЕг — Х2^ ب BE; xb == V~x\ — (BE2 + x%) — BE.
3.0 	Эта задача переводится нами по тексту Л) поскольку в я и т она крайне сокращена и выглядит так:
«Другой путь.
Если мы возьмем отношение AG к АН, как DE к DB, то из н.его DE станет известной. Объясним вычисление этого, которое таково: умножим меньшую хорду на половину большей. Разделим произведение на половину диаметра. Частное умножим на равное себе и вычтем это, [по- отдельности], из Произведений каждой из двух хорд, умноженной по-отдельности на себя. Извлечем корни из двух остатков, и если


Математические и астроиомические трактаты
276
.мы их сложим, получится в сумме хорда суммы [двух дуг], а если возьмем их раз- ность, она будет равна их разности».
Об 	упомянутом в заголовке труде Беруни см. выше, прим. 79.
361 Аалее Е л следует текст абзаца, заключающего в редакции и и т раздел «Определение хорды разности двух дуг с известными хордами».
ة тех же обозначениях, которые были приняты нами выше (прим. 359), это действие имеет следующее выражение:
PF —ХуХу.
Ха = Vxl- DE2 + \fx\—DE% ; xb ٠ Vx\— DE2 - Vxl- de2.
ا6ه B IJ: «другому». При таком переводе теряется косвенное указание Беруни на то, что предыдущий способ принадлежал ему.
3ة «ШахсКий Альмагест» — глаЕный астрономИческий труд учителя Беруни Абу Насра Мансура ибн ‘Али ибн ‘Ирака, посвященный хорезмшаху ‘Али ибн Ма’му- ну. До Нас эта книга не дошла (К а д P ï, с. 272).
36. Здесь заданные хорды —АЯ и BD. Хорда CD в соответствии с предыдущим доказательством равна AD.
365 Как следСтвие теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников CGD и BGD.
366 В п неверно: «HD».
неверно: «CD».
368 Так в Л и т. ВЯиЯ неверно: «BD».
3٠٥ т. е. как I в силу подобия прямоугольных треугольников DBS и DEA 'с равными углами А и 5.
370 	В Л (л. 127.-1276) этот метод изложен несколько подробнее. Однако все дополнения в л являются повторами промежуточных действий, изложенных в пред- шествующем доказательстве и потому являются лишними.
Обозначим большую из двух известных хорд через Хи меньшую-через х2) хорду дополнения до полукруга дуги большей хорды — через Хз) хорду дополнения до полукруга дуги меньшей хорды —через Ха, искомую хорду суммы двух дуг — через Хх, искомую хорду разности двух дуг —через Ху и промежуточные величины— через., и ь.
Торда первое действие выражается так:
؛؛¥-٠
л■.. 1/V+
Формулами второго действия будут:
؛¥=٥;
Хх ء а ب Ь\
Ху = а — Ь, или Ь — а.
371 Cp. С переводом этого заголовка в я.
372 В Л (л. 126.) здесь вначале повторены известные ранее общие условия: да- ны хорды AD и BD, и AD=BC. в остальном текст этого раздела существенно не от- личается от текста в и и т.
Обозначим большую из известных хорд через Хи меньшую — через х2, хорду суммы двух дуг —через Ха и хорду разНости двух дуг —через хь .
Тогда формулами действий будут:


277
Комментарии
= ٥*
373 В я неверно: «ВС». : т. е. р
= ВЕ.
лэ»- (؛1 + АЯ2)
2 AB
В я перевод неверен؛ согласно ему получается, что
د BE.
ÂD2 — DB2 2АВ
Такая же ошибка в л.
375 В я перевод здесь неверен: слово «квадрат» в 'Я-в единственном числе и потому относится только к DG) тогда как в тексте это слово в двойственном числе и относится к DG и СА.
376 в Л (л. 126.-1266) текст эюго раздела существенно не отличается от тек- ста в Я и Г.
Если мы примем те же обозначения, что и выше (см. прим. 372), т۵ данные действия выражаются формулами:
т.
١٠x, + fl.
хь
377 Это СЛОВО добавлено по сп.
378 Опущено в Я.
379 Текст этой задачи в л (л. 1256) существенно не отличается от текста вЯ и Продолжение этого раздела (до следующего заголовка) в л опущено.
!٥٥ В Я ошибочно: «с известным Диаметром».
331 Точнее: «и двух птицах».
382 Это слово добаЕлено по л.
383 в Л (л. 1256-126ى) добавлено:
«Вычисление этого. Умножим полусумму эт؟х двух хорд на себя и вычтем про- изведение из ПОЛБИНЫ произведения диаметра, [умноженного] на себя. Извлечем из остатка корень. Если мы хотим [определить] большую хорду, прибавим этот корень к полусумме двух хорд, и получится бблыпая хорда. А Если мы хотим определить меньшую хорду, вычтем этот корень из полусуммы двух [хорд], и получится мень- шая хорда».
Обозначим ббльшую хорду через II, меньшую — через 2ل и известную сумму этих _двух хорд через ٥.
Тогда данные действия выражаются так:
تا1
ا-ب=٠بل/ г. \(ب)ل
ح Этот заголовок отсутствует в я и 7 и добавлен по л.
385 Так в Я; в Я, Я и Т: «ЕВ».
;6 В Л (؛.126'.؛ вместо этой фраз؛؛ «прибавим [ЕВ] к АЯ-получим AB, а вычтем [ЕВ] из АЕ, в остатке будет AG, равная Ici. у
! ج я Неверно: «сумму», чтЭ путает Перевод.
888 В (этого раздела Нет.
389 В Я неверно: «УГОЛ АВС делится линией BFG пополам». Линия BFG — не заданная, а строится так, чтобы разделить данный угол п؟полам.
39. AB известна как хорда, пОловины дуги с заданной хордой АС. АА - поло, ннна !!?fHHOH хорды. Отсюда (из треуголиИка DKA) определЯется катет DK. Диа- метр предполагается Известным, поэтому и KG известна.
هئئ указание ؛ подобии всех этих трех треугольников опущено в я.
392 Этого раздела нетГв л.


Математические и астрономические трактата
278
لأوج т. е. далее можно определить хорды дуг ث, —I, V *. и т. п. т В я и т: يتغاهمل. Мы читаем: بذذاندل
395 ср. с переводом всего этого абзаца в я.
396 В я ошибочно: «AB». Из-за этого неверен перевод всей фразы: «Тогда
произведение AB на BD, т. е. ВС, [вместе с квадратом ВС] равно квадрату AD».
397 Отсюда в я последовательно все обозначения «G» заменены на «с» и нао- борот.
398 В я 'Ошибочно это условие представлено как следствие.
399 в я здесь полное расхождение с текстом.
4.0 Idem.
4.1 В Л этого раздела нет.
Перед этим разделом издатель г произвольно включает в данный труд Беруни две главы из его «Канона Мас.уда», посвященные определению хорды ل окружности и 1٠. Текстологически это недопустимо, и следовало бы данный материал привести как параллель в приложении.
т Перевод этой фразы в я неверен, в частности, слова «основы» или «прин- ципы геометрии» здесь спутаны с названием труда Евклида «Начала».
403 Абу Иусуф йа'куб ибн Исхак ал-Кинди-крупнейший арабский философ и ученый-энциклопедист IX в. (ум. в 70-х годах IX в.). Работал в основном в Баг- даде. Автор многочисленных трудов по философии, ло.гике, астрономии, арифметике, геометрии, теории музыки и другим наукам. (Кадри, с. 166-176 с подробным пе- речнем работ ал-Кинди, относящихся к области математики и астрономии؛ Sezgin, III, S. 244-247, IV, 376—376, V, S. 255—259, VI, S. 151—155, VII, S. 130—134, 241—261, 320—327؛ MP, II, 66—74).
4٥4 Перевод этой фразы в я неверен.
405 Это —так в силу- равенс'гва внешНего угла двум противолежащим внешним углам треугольника.
406 в я неверно: «ЕВ».
407 т. е. углу, удвоенная величина которого, как доказывалось выше, равна углу EDKl Следовательно, 2 Z ОЕА ٠ Z ВЕО, T. .е. Z ОБА = ل Z BEA.
4.8 Это доказательство вместе с чертежом из-за путаницы в порядке листов в рукописи, использованцой вИкТ, оказалось в конце издания я (с. 224, 225) и оПущено в 7. В переводе его мы опираемся только на текст в я. в л этого раздела нет.
4.9 Перевод этого места в п неверен.
41. КоНъект. В Я: «ЕЯ...»؛ в IJ: «ED |[М]». Мы исходим из того, что ЕМ и I — меньшие катеты подобных прямоугольных треугольников КЕМ и DHM.
411 В я ошибочно: «TG».
412 Опущено в Я.
41٥ Это — так, поскольку KF была взята при построении равной радиусу круга (см. предыдущий раздел), a FM также равна радиусу ОЕ в силу равенства парал- лельных сторон параллелограмма EOFM.
414 	Присоединением отношения называется переход от отношения ت ث٠ *f
к отношению ٠كبي : [ية Пусть л ء ЕМ, ٠ ٥ МНг ء = км и ء ى DM. Тогда ü-Vb.EH.uJrd.KD. btowj ادا.
415 См. выше прим. 413.
416 В И ошибочно: «ЕЕ».
417 Перевод этой фразы в я неверен.
419 ح чъ ز٠هءج؛ئعه «Pf»’
419 Речь идет о труде Беруни «Восполнение зиджа х۶баша [теоретическими] обоснования.ми и' очищСние его Действий от ошибок» (Boilot, р, 177, № 4). См. выше прим. 79.
420 Речь идет о недошедшем труде Беруни «Свод употребительных методов для определения хорд круга» (ة о illot, р. 214. N٠ 108). ДаннаЯ ссылка доказывает, что этот труд был завершен Беруни до 1027 1١.
421 Август 1027 г. Данное заключение, судя по его тексту, ОТ.НОСИТСЯ к книге Беруни «Об. определении хорд в круге посредством свойств ломаной лин؟и в нем», цо в я и т он'о помещеНо в КОнце всей сборной редакции после фрагментов из сборника геометрических задач (в я на с. 226, в т на .с: 286—287).


КОММЕНТАРИИ К ТРАКТАТУ «ОБ АНАЛИЗЕ И ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИИ УРАВНЕНИЯ [СОЛНЦА}»
1 Этот отрывок, конец которого отмечен ниже (прим. 17), относится, по-видимому, к введению Беруни к его трактату «Об уравнении. Солнца», о котором см. выше в предисловии к переводу. Кого здесь упоминает Беруни в качестве лица, обра- тившегося к нему за разъяснениями, неясно, в т данный отрывок отсутствует, и он переведен нами по тексту в и, где он, благодаря путанице листов, оказался встав- генным в текст сборника геометрических задач Ибрахима ибн Синана (И, с. 219- 224). В начале отрывка текст в и испорчен и представляет хаотическую цепь мел- ких обрывков отдельных фраз, перемежающихся лакунами. Связующие звенья меж- ду этими обрывками даны нами в качестве догадок в квадратных скобках.
2 О Хабаше ал-Хасибе и его зидже см. выше прим. 79 к переводу трактата «Об определении хорд».
ج Конъект. В #.راودودب ٠; мы читаем: والدؤوب.
4 Буквально: «вещей».
٠خاصث 5 ٠خصئ ج
7 Дакуна. Восполнена по кон٠ьектуре.
8 Конъект. В 77: «DG».
Q Конъект. В И: «DB».
10 	Конъект. В #.٠ «В»; — пропущен алиф и перепутаны графически близкие в скорописи буквы (j и ب.
11 Конъект. В И типичная графическая ошибка: «LU» (وح) вместо «LC» (وج),
12 Конъект. В И невозможное «LF».
15 т. е. дуга AB не в градусах, а по абсолютной величине меньше, чем квад- рант круга AMS.
.٠رطاق4ا
15 ракуна. Восполнена по конъектуре.
18 Конъект. В И невозможное «LW».
17 Здесь конец первого отрывка из данного трактата в и, являющийся, ПО-ВИ- димо^у, концом введения к трактату.
18 Это - второй отрывоК из Данного трактата, оказавшийся в и среди текста сборника геометрИческиХ задач (И) с. 206—09ة) и не вошедший в т. Конец его от- мечен ниже (прим. 25). Мы полагаем, что вместе со следующим третьим отрывком он составляет часть первой главы трактата, ибо вторая и третья его главы дошли до на؟ полностью, а введение имеет концовку.
19 На чертеже эти окружности отсутСтвуют, но они легко могут быть пред- ставлены.
٠٠؟-؛؛ Эта часть фразы в и ошибочно повторена дважды. 21 Конъект. В 77.. «в».
вместо «CF»
(ح ط) «HF»
Конъект. В И типичная графическая ошибка:
.(ج ط)
23 В 77 опечатка: «NDE».
24 В 77 опечатка: «LED».
25 Здесь данный отрывок в 77 заканчивается.


Математические и астрономические трактаты
280
2٥ Текст этого отрывка, завершающего первую главу трактата Беруни, есть и в Г, и в Я.
27 Речь идет о предыдущем трактате «Об определении хорд».
٥٥ Так в Я. В Г неверно в двойственном числе.
29 т. е. «книги» или «статьи».
30 См. выше прим. 145 к переводу трактата «Об определении хорд».
31 Так в Я: (٠(ضعف В т неверно: ٠رمدف («половине»).
32 т. е. сторона AD берется равной диаметру того круга, в частях радиуса (т. е. полного синуса) которого известна сторона АС.
33 Беруни хочет с'казать, что новые преобразованные («двухградусные»), меры измерения угла А в треугольнике DAE вдвое больше обычных («одноградусных») мер измерения того же угла в треугольнике ВАС. Четыре прямых угла в обычных «одноградусных» мерах равны двум прямым углам в преобразованных «двухградус- ных» мерах, если брать равное количество этих двух видов мер при разных их качествах.
з*Конъект. В Г и Я: «АЕ».
35 Конъект. В Г и Я: «ЕА».
36 Конъект. В ٣ и Я.. «ЯЛ».
37. ٠يغعلع Имя действия لعط٠يع (буквально: «детализация», «рассечение»)- определение частных значений максимальной величины (полного синуса, наибольше- го склонения, максимального азимута восхода и т. п.).
33 в каждом из разделов второй главы излагается метод определения уравнения Солнца, а в каждом соответствующем разделе третьей главы —его доказательства. Ниже в примечаниях к разделам второй главы мы будем приводить формулы каждого метода с тем, чтобы читатель смог их сопоставить с доказательствами в третьей главе.
Во введении к трактату Беруни дал чертеж в пяти вариантах (см. рис: 75) и раз^- яснение всех величин, которые фигурируют при определении уравнения Солнца. На основании это. примем для всех дальнейших примечаний к данному трактату следую- щие условные обозначения:
X— /АС в, аргумент („средний аргумент"), т. е. средняя долгота апогея Солнца.
1-т/АЕВ, истинный аргумент („угол наблюдения аргумента" или „исправленный аргумент“), истинная долгота апогея Солнца.
0 — /СВЕ) т. е. угол уравнения-Солнца.
Sinem٠x٠-C£, „основа" („синус наибольшего уравнения Солнца.), т. е. эксцентриситет солнечной орбиты.
(sin .mai ± С0٥Х)— LE) „вспомогательная сумма" или „разность“, cos I —LC) косинус среднего аргумента.
(sin tot ٠ (٥ د - „избыточный“ или „недостаточный синус“.
А —ЕВ, „гипотенуза“, т. е. линия, соединяющая центр парэклиптики с местом Солнца на эксцентрической орбите.
В ٠٠ EF, „сторона“, т. е. перпендикуляр, падающий из центра парэк- липтики на линию ВС, соединяющую место Солнца на эксцент- рическрй орбите с центром последней, или на продолжение ли. Нии ВС.
Прочими буквами обозначены (произвольно) промежуточные результаты.ء ء
39 	В соответствии с условными обозначениями, огОворенНыми выше в прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
V (sin 0Щ.Х ± cos ] )2 ب sin2 ت أ Л;
(sin 0لعااا ± cos٠)4sin٠X4i sin*0max~ sin tot* : M-,
40 Поскольку Беруни считает здесь полный синус (sinus totus или sin tot.), T. e. радиус, за 60 чаСтей, величины синусов им даются в целых долях, которые мы обозна- Чаем значком р (от лат. pars — Участь», «доля»), дробные значения синусов в ше- стидесятеричной системе соответственно обозначаются минутами,, секундами и т. д. ВпоследсТвии Беруни перешел к величине синуса 90٥, равной единице.
41 В соответствии с условными обозначениями, огОворенными выше в прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
/(sin 0ل٠ل٠ ± cos 1)2 ب s٤n*x ع Aث


281
Комментарии
л sin tot» ;Sin» в|_ Г;
sin 0 ٠ l/sin٥0٠ ه(ه) -لهل٠
42 В ٣ 0ШИ0.ЧН0: «ат-Таббани». Мухаммад ибн Джабир ал-Баттани - один из крупнейших арабских астрономов начала X века (ум. в 929 г.), в средневековой европейской науке был известен под именем Albategnius. Выходец из сабиев. Рабо. тал в Ракке и в Антиохии. Главный его труд— «Сабиев зидж», считавшийся одним из наиболее авторитетных зиджей вплоть до эпохи Беруни. (См.: Battani, 1؛ Su- ter. Die Mathematiker, s. 45—47؛ Кадри, c. 241—248؛ Sezgin, V. s. 287—288, VI, ؛s. 182—187, VII, s. 158—160؛ MP, II, c. 119—120).
43 Мухаммад ибн Абдал'азиз ал-Хашими (906—987 гг.) — арабский астроном и математик, работавший в Ракке (Сирия) и определивший, в частности, в 32ؤ г. разность географических долгот Багдада и Ракки. Автор труда о вычислении иррацио- на^ьных корней и астрономических таблиц «Полный [зидж]». (Беруни. Геодезия, с. 204, 264؛ Б е (рун и. Канон Мас’уда. II. с. 16؛ Br. SBI. §. 386؛ Suter. Die Ma- thematiker. s. 7؛ؤ Sezgin V. s. 305. Suter. VI. s. 176؛ M.P. II. c. 215).
44 	«Синдхинд» — арабская обработка сиддханты (астрономических табЯиц) индий.- ского астронома Брахмагупты, выполненная ал-Фазари в VIII в. (Н а л л и н о,
.(150—149 ؛
45 	В соответствии с условными обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
؛٥ ء ٠٠
sinX.sin®
п
sin tot
؛٥ ± sin tot ء
“"هسء-«:٠ء±,٠ا„,ء
sin tot
^(sin tot غ a)i ءة5لب A; s 1٠9 = س.
46 В соответствии с условными обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
^S٤n2©niax ب sin tot» : А;
Qyjinemax-Sintot
47 Абу Исхак Ибрахим ибн Хабиб ибн Сулайман ал-Фазари — астроном и астро- лог второй половины VIII в. Прославился своей обработкой астрономических табЯиц индийского астронома Брахмапупты (VII в.), иолуЧившей название «Синдхинд» или ؟Большой Синдхинд». Один из первых на арабскОм Востоке конструкторов астроля- бии и автор двух трактатов об э!ом инструменте. (Ибн ал-КифТи, с. 42؛ Нал- л и н о, с. 147—150).
48 См. выше, прим. 44.
49 См. выше, п^им. 42.
هج В соответстЕии с условными обозначениями, оговоренными выше ٥ прим, данное действие имеет своим началом:  2= В;
2 sin X 300
s؛n t.t ± '2gQQ -- ٠ sin tot ± a. Продолжение действия-такое же, как вьине в прим. 45..
51 Конъект. В Г и Я: «терций».
2؛ К.нъект. В Г и Я: «кварт».
58 К.нъект. В Г и Я: ؛،удвоенное дополнение аргумента».


Математические и астрономические трактаты
202
دج Конъект. В И: 83„) فج٠ل٠هР55'“); в т: 55 ?ا٠53ا) زجزد'“ ). в первом разделе эта величина-51^58'; здесь она удвоена, что соответствует нашей конъектуре.
55 См. выше, прим. 53.
56 В ٣ опечатка: «11».
57 В соответствии с условными обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
sin* X + (sin ©max ± cos 1)2 = D\ sin X . ^٥.sin tot.sin»©.
шах ع E’)
= sin X;
D
ء.sin tot
sin؛ sin tot
max
© د X ~ X.
58 	В соответствии с условными обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
لم' sin x.sin ©max \ 2
٠ ص١٠ XJUIV il /liixixi ص١أا٧ل٧ا ل WA ا ;تعتء ( Cr
j0٠l"؛Sin0=c's
sin20m٥x+c
5ج Это СЛОВО опущено в ٣.
6. В соответствии с условными обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
(sin ©max ± cos х)2 ب sin*x = F;
تم،٠،لاأء- = ^;
. = sinX;
К
sin tot ب sin(
٠1 В соответствии с условными обозначениями, оговоренными выше Е прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
؛٠ = ٠
180- X 2
2 sin», r (sin tot ء sin ©max)* + 2 (sin ©max + cos X) . (sin tot - sin ©max) ء M; ИЛИ, для второго варианта:
2 sin»a — (sin tot — sin ©max)2 + 2 sin ©max (sin tot - sin ©max) = M\ или, для третьего варианта:
2 sin»a — (sin tot ٠ sin ©max). + 2 (sin ©max - cos X) (sin tot — sin ©max) = M. Затем:
V M : A]
٥ - (sin tot - sin ©max) (Sin tot + sin ©...X)
Q - ٠٠ 2A ٠ •
cos
62 Конъект. В T: «49372025». Наше чтение подтверждается дальнейшим ходом вычислений Беруни.
63 Речь идет о Сулаймане ибн. ‘Исме ас-Самарканди. о нем см. выше коммен. тарий к трактату «Об'определении хорд», прим. 147.


283
Комментарии
64 т. е. для Солнца и Луны.
65 В соответствии с условным؟ обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие Сулаймака ибн. ‘Исмы ас-Самарканди с поправкой БерунИ имеет следующее выражение:
v٣sin tot2 ا sin»©m٥x + sin ©max.2 cos 1 = Aj или, для второго варианта,
l^sin tot» + S٤n2©max “ sin ©max. 2 (sin ©max - cos 1) ء Al sin I . (sin to؛ + sin ©max) - Q.
: sin X;
"max
X — X.
..sintot sin tot *sin
66 В соответствии с условными обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие имеет следующее выражение:
V[sin 0Щ.Х ± cos 1)2 ب sin»! ٠ А; sin 0 : .fin لللق*ل вщах
А
67 Абу-л-‘Аббас Ахмад ибн Касир ал-Фергани (ум. 861)-крупнейший астроном, работал в Багдаде при халифе ал-Ма’муне вместе с ал-Хорезми. Автор знаменитой «Книги об элементах науки о звездах» и ряда астрономических трактатов, в 861 г. построил нилометр на острове Рауда вблизи Каира (Sezgin, V, S. 259—260, VI, 149—151; МР, И, с. 55—bsy
68 «Стрелой» удвоенного аргумента, т. е. дуги ВАВ1, является линия AL (см. выше рис. 75 на примере первого варианта чертежа).
٥٠٥ Добавлено по конъектуре На основании нижеследующего вычисления и его доказательства в двенадцатом разделе 3"й главы данного трактата.
7٥ Дополнительно к условным обозначениям, оговоренным выше в прим. 38, обозначим «стрелу» удвоен.ного аргумента (см. выше при^1. 68) через 7.
Данное Действие с его вариантами будет иметь следуЮщее выражение:
: В;
sin x.sin ©т٠х sin tot
ء٠ئقئ
sin tot ± (sin emax — N) = sin tot ± ٥;
^(sin tot ٠(٠ غ + В1: A; sin 0 = ئجذي.
71 Буквально: «неизвестный».
72 О нем см. выше комментарий к переводу трактата «Об определении хорд» прим. 162.
73 в соответствии с условными обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие в Двух его вариантах имеет следующее Еыражение:
Ksin.ömax + sin tot» ± 2 cosl.sin ©max = A, sin Й = sin I ! вщах
74 См. выше в первом разделе данной главы.
75 В соответствии с условНыми обозначениями, оговоренными выше в прим. 38, данное действие с его вариантами имеет следующее выраЖение:


Математические и астрономические трактаты
284
sin x»sin tot ~
(sin 0غ ل،ل٠ cos آ جءل(ل
7ه В соответствии с условными обозначениями, ,оговоренными выше в прим. 38, данное действие с его вариантами имеет следующее выражение:
cos Х-81п9дц_/|, sin tot
» L sin *;Sin в„„ sin tot ±٥
77 Абу Хафс ‘Омар ибн ал-Фаррухан ат-Табари (ум. около 815 г.)-крупнейший переводчик с персидского на арабский, астроном и астролог. ,Участвовал в проектиро- вании Багдада. Автор комментария на «Четверокнижье» (Quadripartitum) Птолемея и ряда собственных астрологических сочинении (Suter. Die Mathematiker, s. 7-8؛ Br. SB I, S. 392؛ MP, II, C.-37؛ Sezgin, V. s. 226. VI, s. 135).
78 T. e. на величину наклона плоскости эклиптики к экватору.
79 Кардаджа в узком значении —принятая у древних индийских астрономов до- ля деления окружности (з ٠ؤ> Во мн. ч. этот термин употребляется средневековыми арабоязычными математиками в значении индийских таблиц синусов. (Н а л л и н о,
с? 168—ج .(1ر؟
ع Полный синус в средневековой индийской математике был равен 3416 мину- там.. (Б е р у н и. Индия, с. 410).
اه Конъект. В Я и Г это слово отсутствует.
82 Беруни своеобразно говорит, что
CE*+EB2—CB2=2BE-EG.
٥3 Буквально: «тягостным».
٥٠ Конъект в соответствии с четвертым разделом второй главы. Здесь в т оши- бочно: «одну пятую».
؛؛ Е третьем и четвертом вариантах, где угол АСВ тупой, ZFCE: ZACB — 90.٠
٥٥ Эта окружность оТсутствуСт на в'арианТах чертежа Бе؛уни, но может быть легко представлена.
87 В дошедших до нас фрагментах первой главы данного трактата этот раздел отсутствует.
38 т А ЕВ =٠ج ЕВ ~ EBIEM - ЕВ*
٠ ЕМ ,ЕМ}'ЕМ ЕМ* ЕВ ЕМ-ЕВ '
٠٥ Буквально: «проведем».
W Конъект. В Т: ززول («прибавим»)؛ мы читаем ji Jj.
اه Конъект. В т ошибочно: ج ٠ ((СЕ)).
ءقةةة-ب.
Поскольку EC—-FC:FH) а ВС—CL=AL, то
AL ء FC ВС ЕС.
٥٥ В Г в этом чертеже в 3-м и,4-м вариантах опущена линия AG. ٠
٥٠ Конъект. В т Ошибочно: «СВ».
Беруни здесь говорит, что для определения EFX в мерах, в которых полный СИ- нус — ЕВ, действие
ЕР : В1-СЕ sintot
X ВС (==sin tôt) ЕВ


285
Комментарии
FF __ BL-СЕ
сокращается в действие
95 	Обозначим EF в мерах полного синуса ВС через EF/, a EF в мерах полного синуса ЕВ через ЕЕ". Тогда
BL-CE
ЕВ
ء "EF ه
BL.CE ВС
EF۶ ء
о 	чем см. выше, прим. 94.
Искомая CG определяется из подобных треугольников ВРЕ и BGC:
CG, EF' гги EF. ВС
٠ءء٠٠ع ؤ ج
ВС BL-CE __ HF"
'ев ев ~
BL.CE
ВС
CG ء
Но тогда
96 Это слово выпало из текста в т.
97 т. е. между центром эксцентрической орбиты (орбиты апогея) и центром парэклиптики («круга, воспроизводящего эклиптику»).
98 Конъект. В т: «синус». Искомым является не синус заданного аргумента, ибо он определяется по таблицам, а уравнение Солнца, правильность нашего чтения под- тверждается текстом 16-го раздела предыдущей второй главы.
'99 Исходя из текста данного .раздела и 16-го раздела Еторой главы примем еле. дующие условные обозначения: О —уравнение Солнца, е'_ «склонение аргумента»,
؟гаах- наибольшее склонение, ®max-Наибольшее уравнение Солнца, № — «ЗаПоминае: мая основа».
Из текста данного раздела:
етах вшах.
отсюда
0 — ®max
ج' £т٥х ٠
Из текста 16-го раздела второй главы:
W— вц•60
*max w — ®max
ي“ل
Следовательно,
.60 ج ’.60 'ح
100 См. эти числа в 16-м разделе второй главы.
101 Ариабхата - выдающийся индийский средневековый астроном (род. в 475 г., год смерти неизвестен), замечательный своей гелиоцентрической концепцией о не- подвижности неба и движении Земли. (Володарский. Ариабхата).
В арабской передаче его имя: آلجبه٠ل (Арджабхад).
В т оно искажено: ٠ارحبهر
102 Буквально: «упрощеНий».
103 Начало этой главы (предисловие и два раздела - «сочетание, первое» и «сочетание второе») опущены в г и переводятся- по и.
104 Буквально: «вещи».
1.5 т. е. невозможно наличие для одного и того же момента времени двух раз- личных аргументов или уравнений Солнца.
105 Буквально: «упомиНаем».
-107 Конъект. В д описка: «искомый».
1.8 На. этом текст в и обрывается и дальнейшие разделы четверт'Ой главы оста- ются для нас неизвестными.


КОММЕНТАРИИ К ТРАКТАТУ «ОБОСОБЛЕНИЕ РЕЧИ о ПРОБЛЕМАХ ТЕНЕЙ»
ПРИМЕЧАНИЯ к ВВЕДЕНИЮ
1 в И: 1صبا٠ه («его пальцы»), в р неразборчивое с.лово; мы читаем: من٨عه .
2 «Геометрия оптики» - геометрическая оптика.
3 Два мнения в «геометрии оптики», о которых пишет Беруни, - «геометрия в форме лучей, исходящих от наблюдателя», т. е. «зрительных лучей», и «геометрия в форме лучей, образующих изображения вещей», т. е. лучей, выходящих из источников света и приносящих «образцы» (eidolon) видимых тел. На первой точке зрения была основана оптика пифагорейцев, Евклида и Птолемея. Второй точки зрения придержи- вались античные атомисты, Лукреций Кар, византийский врач VI в. Аэций Амидий- ский, Абу Бакр ар-Рази, Ибн Сина, Ибн ал-Хайсами др.
4 «Стекловидная жидкость» — ар-рутуба ал-джалидиййа» буквально «ледяная жидкость» — студенистая масса, называемая в настоящее время «стекловидным телом», заполняющая внутреннюю часть глазного яблока. Во времена Беруни считали, что изображение создается в «стекловидном теле» глаза.
5 В И и Р: اءراضه. Мы читаем: .1غر)٠مد
ج Абу-Л-Хасан МусЗфир ибн ал-Хасан —соЕременник Беруни, интересовавший- ся вопросами математики и астрономии. Иными данными о нем мы не располагаем. Кроме «Гномоники», Беруни посвятил ему не дошедшие до нас «Исправление [«трид- цати] разделоН» ал-Фергани» и «Книгу об использовании кругов азИмутов для опре- деления центров [астрологических] домов». Булгаков. Жизнь и труды Беруни, с. 154—155.
7 	Далее следует перечень глав «Гномоники», который нами перенесен в оглав- ление к данному тому.
٥ В С и Р: ا]ءمارها Мы читаем вслед за К: ءءداردا.
9 Здесь Беруни имеет в виду выражение Корана «они вкладывают свои пальцы в уши от молний, боясь смерти» (Коран, Корова, 18).
‘.в بعبغد:ء. Мы читаем: ٠يعيذع
п Дик ал-Джинн ал-Химси (778—850) - арабский позт, уроженец Хомса (Си- рия). Sezgin, II, S. 475.
2ا Абу- Нувас (757—815) — знаменитый арабский поэт. Sezgin, II, S. 543—550.
13 Абу Хакима ал-Катиб (IX в.) — арабСкий поэт, был секретарем ‘Абдаллаха ибн Тахира (ум. 844) в Хорасане. Sezgin, II, S. 577—578.
14 Ибн ал-Хаджжадж ан-Нили ал-Багдади (941—1001) — арабский поэт, уроже- нец Багдада, придворный поэт бундов. Sezgin., II, S. 592-594.
15 В С: ۶!اطو . Мы читаем: ۶!٠ !مءذو
16 Беруни различает две «степени» арифметики —вычислительную, подобную ан- ТИЧНОЙ логистике, и теоретическую, «основанную на исследованиях с помощью геомет- рии», т. е. на геометрической алгебре.
17 «Искусство астрономии» — сина1ат ат-танджим, буквально «искусство, имеющее дело со звездами» — общее название астрономии и астрологии; часто переводится так- же как. «наука о звездах».
18 Абар —инструмент, название которого встречается здесь впервые; возможно, это название одного корня со словом ибря —«игла».
ПРИМЕЧАНИЯ К I ГЛАВЕ
؛ «Солнце и Дуна» (ан-наййиран) — буквально «два ![главных] светила».
2 	«Полюс» —ذ6ا7لآ это' слрво обозначает также ось вращения (греч. potlos, от которого происходит лат. polus, также обозначает ось).


287
Комментарии
5 Коран. Рассказ, 71.
4 Ко^ан. Рассказ, 72.
5«в£емя»_ «заман». «Два [момента] времени» - «вактан» (двойств'енное чис- ло от вакт). Оба эти слова, означающие различные аспек'гы понятия времени, обыч- но переводят словом «время».
6 «Равномерное» (движение) - Смешанные, неравномерные дви-
жения — ал-мухталифа ал-мудтариба. Отметим, что э. с. Кеннеди в своею английском переводе (К, с. 12) переводит слово ал-муставийа equal,-«равные»
(дЕижения), что не дало ему возможности прарильно .перевести этот абзац.
7 «Меры времени» — макайил ал-азмина. Макайил — собственно меры сыпучих тел, что объясняется измерением времени с помощью «воды, песка или различных зерен» в водяных часах (клепсидрах), песочных часах и аналогичных им видах часов.
8 Слова Беруни «равномерное движение находится посередине между замедлен-
ным и ускоренным» могут навести на мысль, что он рассматривал только такие дви- жения, графики которых выражаются монотонными функциями. Однако его слова «остальные-смешанные, неравномерные движения» показывают, что монотонность здесь имеется в виду только в достаточно малых участках, а «неравномерные дви- жения» у Беруни — произвольные «смешанные» движения, графики которых состоят из несколькиХ участков «ускоренности» и «замедленности». Таким образом, здесь Бе- руни делает одну из первых в истории математики и механики попыток классифи- кации неравномерных движений, в Западной Европе подобные попытки производи- лись впервые Оремом (ок. 1323—1382) в «Трактате .0 конфигурации ка-
честв». В К слова ал-бату* и ac-cypfa переведены упрощенно slowness («медленность») и speed («быстрота»).
9 Би-л-кувва — «потенциально», в к кувва переведено как force («сила»).
Слова Беруни о том, что ускоренное движение в принципе не ограничено по
величине, указывают на то, что с каждым ускорением как и замедленным движением он связывал «величину», которую он здесь же сравнивал с «числом». 'Эта величина — не что иное как то, что в настоящее время называется ускорением неравномерного движения. Для замедленных движений эта величина может уменьшаться до нуля, а для ускоренных может увеличиваться «потенциально» до бесконечности. Эти соображе- ния Беруни существенно дополняют его исследование неравномерного движения на примере видимого движения Солнца вблизи точек апогея и перигея в VI книге «Канона Мас‘уда». (Беруни. Канон Мас‘уда, II, с. 53—55).
ПРИМЕЧАНИЯ ко II ГЛАВЕ
1 Здесь Беруни имеет в виду определения Евклида прямой ЛИ.НИИ и плоскости: «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней». «Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней» (4 и 7 определения книги «Начал» Евклида. Евклид. Начала, I, с. 11).
2 Конъектура, в С: ٠ غبرم1ذالح Мы читаем: . غيرم;ذالع
ج Ибн Хузайл — по-видимому, з_тесь Пахйа ибн Хузайл ал-Куртуби, испано-араб". ский ,поэт из Кордовы (917—999). Sezgin, II, S. 581.
4 Абу Лайла — арабский комментатор ранней арабской поэзии. Сведений о нем нам обнаружить не удалось.
5 Ру’ба ибн ал-‘Аджжадж — арабский поэт (ум. 762). s е Z g i п, II, S. 367—369. .Так в ?(۶٠(ذو В С:سدو(?).
7 Абу Зуайб' Хувайлид ал-Хузали — арабский ,поэт, младший современник Му- хаммада, уроженец Хиджаза. s е Z g إ п, II, S. 255—256.
8 Зу-Р-Румма — известный арабский поэт (696—775). s е Z g i п. Il, S. 394—397.
.Так в С и р. :ءذبها. .
I. Так в р: ندمدر . В С: ٠ ودمدر
11 Абу Наджм ал-Фадл ибн Кудама ал-‘Иджли — арабский поэт из Ирака (ок. 670٧(743ذ Sezgin, il, s. 371—372.У
2ا Конъектура. в с иР:٠وج ود Мы читаем: 0و جو .
13 «Диван ал-адаб» («Сборник литературных произведений») — произведение Среднеазиатского филолога Абу Ибрахима Исха.ка ибн Ибрахима ал-Фараби (ум. ок. 961 г.), ,уроженца Фараба (Отрара). Аз-Зирикли, I, с. 284—285.
14 Ал-Хали‘ ар-Ракки аш-Ц1а’ми (ум. ок. 895) — арабский поэт из Ракки (Сирия).
Sezgi n?II?S. 476. (У ج
15 Сращенная тень (зилл ма'кус) - линия тангенса.
15 «Протянутая тенН>_ выражение из Корана. Такой вечной тенью характери. зуется в Коране рай. Коран. Падающее, 29.


Математические и астрономические трактаты.
288
17 Коран. Человек, 13. Словом «мороз» здесь переведено слово замхарир, которое некоторые понимают как «месяц» (Коран, с. 623, прим. 14).
18 О связи приливов и отливов с Луной Беруни писал также в «Геодезии». (Б еру ни. Геодезия, с. 102) и в «Каноне Мас'уда» (Беруни. Канон Мас.уда, II,
إ. l3S).
IQ Ср. Коран. Посылаемые, 30, где тень . с тремя разветвлениями.
2٠ Ср. Коран. Посылаемые, '32.
21 Коран. Преграды, 39.
22 Абу Муслим Мухаммад ал-Исфахани-корановед (868-934). Sezgin, I, S. 4243ذ.
23 Коран. Посылаемые, 30-31.
«Огненная фигура» (аш-шакл ан-нари) — правильный тетраэдр. Это назва- ние восходит к учению, Плат.она, изложенному в его диалоге о том, чТо атомы огня имеют' форму тетраэдра, атомы воздуха имеЮт форму октаэдра, ат.омы воды имеют форму икосаэдра, атомы Земли имеют форму куба, а весь мир в целом имеет форму додекаэдра. (Платон, III, I, с. 497—498. Этим объясняются арабские назЗаНиЯ тетраэдра, октаэдра («воздушная фигура»), икосаэдра («водяная фигура»), куба («земная фигура») и додекаэдра( «небесная фигура»).
٥٥ Отношение равенства (ал-мутасави) — отношение двух равных величин.
26 Конус — здесь шакл санаубари, буквально «фигура ели»; в других местах — аЛ’Махрут, буквально «обточенный».
27 Коран. Различение, 47.
28 KojjaH. Различение, 48.
29 Зенит —ар-ра'с, буквально «направление на голову». Наше слово «зенит» произошло от этого выражения благодаря описке латинского переписчика, ошибочно записавшего латинскую транскрипцию слова - самт — zemlh в виде zenith.
3. Конъектура, в С: о jfjJ. Мы читаем: وروأ ز٠.
31 Мансур ибн Талха —племянник правителя Хорасана .Абдаллаха ибн Тахира (830—844). Правил Мервом, Амулем (Чарджоу) и Хорезмом. Занимался философией и астрономией, за что был прозван «МУдросТью ТахИридов». Бартольд, I, Тур- кестан, с. 272; MP, II, с. 47; Sezgin, V. S: 245, VI, S. 45؛.
32 В «Альмагесте» Птолемея соотношение объемов Земли.и Луны-3940» 1:ؤ, а отношение объемов Солнца и Земли —6644 ؛39 :ؤ Ä 169. (P t о 1 е т ä и S, I, S. 313)
33 В «Альмагесте» Птолемея отношения расстояния от Земли до Солнца и мак- симального расетояния от Земли до Луны к радиусу Земли равны 1210 и64^.,поэто- му отношение этих расстояний равно 1210:64 18,9 = ذ æ 19. (P t о 1 е т а и s. I. S, 304,312).
34 Соединение (иджтима,() двух светил — совпадение эклиптических долгот этих светил, противостояние (истикбал) двух светил - равенство разности эклиптических долгот этих светил 180..
35 В древности считали и неподвижные звезды, и планеты самосветящимися. Рас- сматриваемый здесь Беруни вопрос, светятся ли они сами, или их свет — отраженный свет Солнца, весьма интересен,' так как последнее мнение верно для планет.
36 Прямолинейность распространения света лежала в основе определения Пла- тона прямой линии: «прямое —то, середина черо не дает видеть оба конца». Пла- тон, II, с. 420.
37 Гален (у Беруни Джалинус) — знаменитый греческий врач и философ (ок. 130 —ок. 200). «.Геометры» (ал-мухандисун) — Евклид и Птолемей. «Восприятие зре- ния благодаря видимому предмету» —как видно, — восприятие зрения благодаря зрительным лучам, «ошупываюшим» видимый предмет (см. прим. 3 к введению). Вероятно, здесь имеется в виду сочинение Галена «Книга об анатомии глаза», цити- ровавшаяся под названием «Китаб фи ташрих ал-‘айн» многими арабоязычными уче- -ными, возможно, совпадавшая с «Книгой о глазе» («Китаб ал-‘айн»), цитировавшей-
ся ар-Рази. Sezgin, III, S. 101—102.
^Аристотель (у Беруни Аристуталис) — великий греческий философ (384— 322 гг. до н. э.). Аристотель высказывался как сторонник луЧей, выходЯщих из источ- ников света (в трактате «Об ощущении и ощущаемом» (Aristoteles. De sensu et 'sensibili, P. 226—232) и в трактате «о душе» (Аристотель, I, с. 408—410). Од- нако в «Метеорологике» (Аристотель, III, с. 516) придерживался теории зритель- ных лучей.


289
Комментарии
39 Отклонение — ин'итаф; преломление — инкисар.
40 «Оптические чудеса в воздухе» - радуга и гало. «Зажигательны؟ приборы» — здесь зажигательные зеркала, фокусирующие отраженные лучи в небольших уча- стках. где создается высокая температура.
41 Здесь имеется в виду сферическое зеркало. Беруни, по-видимому, был не- знаком с трактатами Ибн ал-Хайсама о сферических и параболических зажигатель- ных зеркалах, но был знаком со сферическими зажигательными зеркалами. ٨
42 «Место зажигания» - фокус. Аналогичные термины имелись в «Книге Опти- ке» Ибн ал-Хайсама и в его трактатах, указанных выше в прим. 41. а также в «Оптике» польского ученого XIII в. Витело, написанно؛ под сильны^ влияни؟м Ибн ал-Хайсама. Термин locus — «огонь, очаг» был уведен Кеплером в «Одической части астрономии» (1704), носившей подзаголовок «Дополнения к ВитеЯо». в случае ١ зер: кала, имеюшеГо вИд полусферы радиуса г, луч параллельной прямой, соединяющей центр Солнца с центром сферы и отстоящий от этой прямой на расстоянии а, отра- зившись от поверхности зеркала, пересечет указанную прямую на расстоянии ب V г2 +я2 ОТ центра؛ поэтому значение, указанное Беруни, верно для лучей, близких к указанной прямой, и тем вернее, чем меньше а.
43 Ахмад ибн ат-Таййиб ас-Серахси (ум. в 899 г.) - философ, эдач, мате- матик и астроном, уроженец СерахСа (ныне Туркмения), ученик ал-Кинди и учи- тель халифа ал-МуТадида. s е Z g i п, III, S. 259, V, S. 263, VI, S. 162—163, VII, S. 137, 269؛ MP, II, с. 83—84.
44 «Основы философии» («Аркан ал-'фалсафа»)_сочинение ас-Серахси, из- вестное только по этому упоминанию Беруни.
45 «Книга о чувстЕаХ и ощущаемой» (у Беруни «Китаб ал-хисс ва-л-махсус») — сочинение Аристотеля (см. выше прим. 38)
46 Демавенд —гора в Иране вблизи Тегерана. Беруни видел эту гору во время своего пребывания в Рее.
47 Кавказ упоминается в «Метеорологике» Аристотеля. Аристотель, III, с. 468.
48 «Книга о высших явлениях» — арабское название «Метеорологики» Ари-
стотеля.
49 	«Под кругом летнего солнцестоя.ния» — на тропике Рака. Слово «мункалаб» («солнцестояние») буквально — «место (или момент) поворота» (ср. рус. «Солнцево- рот»). Оно является калькой от Греч, trope, откуда наш термин «тропик», в день летнего солнцестояния Солнце вступает в созвездие Рака, а в день зимнего солнце- стояния — в знак Козерога, чем и объясняются термины «тропик Рака» и ^тропик Козерога». Утверждение о необитаемости тропическИх областей имеется в «Метеоро- логике» Аристотеля. Аристотель, III, с. 494.
50 В р это слово без диакритической пунктуации. Мы читаем: 1٠يبع.لو
51 О Признании Аристотелем зрительных лучей в «Метеорологике», противоре- чашем его высказываниям в других работах, см. выше прим. 38.
Исправляем(لذءذؤذ( ) по полному названию Э.Т0Г0 сочинения приведенному Беруни в списке е0؟ трудов. Chronologie, Einleitung S. ХХХХVI. р ^ У РУ‘ ؟РУД g g
53 Утверждение о том, что горячая вода замерзает быстрее холодной имеется в «Метеорологике» Аристотеля. Аристотель, III, с. 462.
ПРИМЕЧАНИЯ К III ГЛАВЕ
1. Три «диаметра» — три оси системы прямоугольных координат в пространстве, которая Здесь по существу вводится Беруни впервые в истории м-атематики. Беруни говорит о диаметрах, так как предполагает, что источник света, положение которого он определяет, расположен на сфере неподвижных звезд, и рассматривает только те отрезки осей, коТорые являются диаметрами этой сферы.
2 Азимут (от ас-сумут, мн. ч. от‘ слова _ «направление») — угол между
вертикальнОй плоскостью, проходящей через начало координат и рассматриваемый объ- ект, и некоторой фиксированной вертикальной плоскостью.
3 «ИзменеНие первого рода» — двИжение источника света по сф؟ре без измене- ния вертикальной плОскостИ проходящей через него и через центр сферы؛ при этом движении тень сохраняет свое направление, но изменяет длину.
4 «Изменение Еторого рода»- движение источника света по сфере в постоян- ной горизонтальной плоскости, при этом движении тень сохраняет свою длину, но изменяет направление.
19-11


Математические и астрономические трактаты,
290
5 	Альмукантарат —малый круг небесной сферы, параллельный горизонту.
бСр. с переводом в к.
7 «Еысота» — иртифа; «понижение» - инхитат.
8 «Это искусство» — здесь «астрономия», ср. прим. 17 к введению.
9 Линия меридиана — линия пересечения плоскостей горизонта и меридиана, т. е. прямая, идущая с юга на север.
10 ЛиНия равноденствия — линия пересечения плоскостей горизонта и небесного экватора, т. е. прямая, идущая с востока на запад.
11 Аристотель отождествлял правое и левое с востоком и западом в трактате «О небе^. Аристотель, III, с. 310.
12 Надир — самт а,р'-риджл} буквально «направление на ногу»._
13 Экватор (хатт ал-истива’) — буквально «линия равенства». Лат. aequator происходит от aequalis — «равный».
14 В С и ۶.ئ١ذ٠الاباضل٠ читаем: ٠ءلازاصل
15 Глагол ناء от данного корня означает «возвращаться», «склоняться».
16 Самар — «ночная темнота», а также «вечер», «вечерняя беседа», «сказка». Фахт - «цвет горлицы».
17؛ Игра слоЕ. «Тень от света Луны» и «рассказывать сказки» графически обо- значаются одним написанием ٠سهر
18 Коран. Пчелы, 50.
وا Коран. Гром, 16.
20 В С: نطة Мы читаем: ٠ذطق После этих слов 'гекст кончается вСи возобнов- ляется в Я.
21 Коран. Перенес ночью, 46.
22 Так в Р:.دؤوب. В И: i>4 رؤا.
23 Коран. Милосердный, 5.
24 دلا ءب نندد-зеленый дятел (picus viridus). Б е р у н и. Фармакогнозия, с. 414.
25 Абу-Л-Фарадж ‘Али ибн ал-Хусайн ибн Хинду (ум. 1,029) — философ, врач и поэт, живший в Нишапуре. Sezgin, п, S. 646؛ III, S. 334—335.
26 По-видимому, речь идет об Ахмаде ибн Мухаммаде ибн Савабе (ум. 960), сек- ретаре канцелярии Бунда Му‘изз ад-Даула. Аз-3 Ирик л и, I, с. 200.
27 По-видимому, речь идет о СаНде ибн Махладе, визире Аббасидских хали- фов (X в.).
28 т. е. как личность он крупнее, чем как визирь. Здесь, к тому же, игра слов: ىث٠خص означает и «личность», и «гномон».
29 Абу-Л-Фатх ал-Бусти — известный хорасанский поэт, уроженец Буста (ныне Кал‘а-и Бист в ДРА) (971—1010). Писал стихи и на фарси, и на арабском языке. Беруни был с ним знаком и положительно отзывался о нем в своем известном био- графическом стихотворении. Зирикли, ٧, с. 144؛ Бертель с, I, с. 104—105؛ Sezgin, II, S. 640—642.
30 Авраам — библейский пророк.
31 АбУ-д-Дарда — сподвиЖнИк основателя ислама Мухаммада.
32 Хабар —.изречения, приписываемые последователям сподвижников Мухам-
мада.
33 	Абу Бакр (ум. 634) — первый из четырех «праведных халифов», тесть Му- хаммада.
34 	Так в ٠لعدثلر В И: وبع ث.
ПРИМЕЧАНИЯ к IV ГЛАВЕ
!Винтовая линия• (хатт лаулаби) — здесь винтовая линия на сфере.
2 Гипербола (кат' заид) — буквально «избыточное сечение», греческий термин hyperbole, введенный Аполлонием, означает «избыток» и объясняется тем, что построе- ние абсциссы X точки гиперболы y2=2px+q2x2 по ее ординате у называлось у древ- них греков «приложением (см. ниже прим. 3) с избытком».
3 Парабола (кат' мукафи) — буквально «достаточное сечение», греческий тер- мин parahole, введенный Аполлонием, означает «приложение» и объясняется тем؛ что построение абсциссы X точки параболы у2=2рх по ее ординате у называлось у древн.их греков «приложением» прямоуголЕника р'авного квадрату у2 к линии 2р.
4 Ребро (дил) конуса — прямолинейная образующая؛ термин объясняется пред- ставлением о конусе как о пирамиде с очень большим числом боковых ребер.


291■
Комментарии
5 Эллипс (кат накис) — буквально «недостаточное сечение», греческий термин elleipsis, введенный Аполлонием, означает «недостаток» и объясняется тем, чтО по- строение абсциссы X точки эллипса y2 = 2px—q2x2 по ее ординате у называлось у древних греков «приложением (см. выше прим. 3) с недостатком». До Аполлония гре- ки называли эллипс, параболу и гиперболу соответственно «сечением остроугольного, прямоугольного и тупоугольного конуса».
6 См. выше прим. 194 к трактату «Об определении хорд». Следует добавить, что Сабит ибн Курра внес важный вклад в теорию параллельных линий, теорию отноше- ний, сферическую тригонометрию, вычисление площадей поверхностей и объемов, тел и теорию геометрических преобразований.
7 Трактат Сабита ибн Курры «Об определении линий, которые вычерчивают кон- цы теней на плоскости земного горизонта» сохранился под названием «К'нига об опи- сании фигур, получающихся при прохож-
дении конца тени гномона по горизон- тальной плоскости в любой день и в ЛЮ- бой местности» в рукописи библиотеки Эскуриала и издан Е немецком переводе в статье: Wiedemann. Frank, Uber die Konstruktion s. 7-30, и в русском пере- во^е в книге: Сабит. Трактаты, с. 248 - Ü251.
8 Ибрахим ибн Синан ибн Сабит ибн Курра-внук Сабита ибн Курры (см. выше прим. 6), крупный багдадский ма- тематик и астроном (908-946), s е Z g i п,
V, S. 291—294, VI, S. 193-195؛ MP, II, с. 134—136.
٥ «Книга о тенях» Ибрахима ибн Си- нана сохранилась под названием «Книга о теневых инструментах» в рукописи биб- лиотеки Айя София в Стамбуле (N٠ 2832/16). Немецкий перевод и иссле- ЯОва؟ие этого трактата см. в ди.ссертации и. Люкея:
Luc key. Die Schritt des Ibrahim b.Sinan.
ها Трактат Сабита ибн Курры «Занимательные вопрось)» сохранился в рукописи тегеранской ؟ибл؛отеки Малик и издан в русском переЕоде в кнИге: СабиТ. ТраК- таты, с. 243—247 р
11 Описываемое здесь явление —дифракция света от щели. Описание Беруни является первым в истории физики описанием этого явления, в настоящее время объясняемое на основе еОНовоГ теории света. Беруни здесь пытается объяснить? его ؟ !؛؛рямолинейности распространения света, рассм'атривая «косые» лучи иду- щиеот крае^ диска Солнца через 1؛;?.؛؛оложные им точки د у ح у
света впервые описана ф. м. Гримальди (1618^1663) р- р
ГогТьиГеГгTde»١TaTr р свете, цветах и радуге» ( Phusico-mathesis' de lumine, со- ?ribus et iride»), где был введен и тер،؛н «дифракция», приводим чертеЖ’ Гри- мальди (рис. VIII) из указанной .книги (Льоцци. История физики, 0.١(123ء РНа ٥>؛тор٠м он поясняет явление дифракции, и обращаем внимание на большое сход- ство этого чертежа с рИС. 98 ЕерУни. у ع
و С تأل Ф٥к^; что ؛؛есь Беруни ؛؛؛сывает дифракцию света, не был отмечен Ибн' Сино и Б0؟УНИ Ar غ٠ي .указал Н• !٠ Марупо.в (Вопросы физики) трудах ٥“ же ؟первые .тметил приоритет БеруНИ в оЯиса^ии интерференции св!؛та٥'(Там же.' С. 15—16). ’
Рис. VIII.
ПРИМЕЧАНИЯ К V ГЛАВЕ
; .6 ал-Кинди см. выше прим. 403 к трактату ؛0؛ определении хорд»;
٠ Лунные узлы (джаузахир) —точки пересечения орбиты Луны с ^^Иптикой — кругом аконГко 0РЬ1ИЧН٠٠ ٥٢٠:: Солнца, называемые также головой" и.Хвос- ح объясняется.Тто^^что 3ل؛ت: СолнцС и Пуну вО время затмении)
ح! لالآ/لي лунных _узлах». «Сфера лунных узлов» (фалак ал-джаузахир) имеет место во время полного луНнОго затмения.
„ء»„تل٠ء.;;٠٠٠أق٠٠;جءء٠٠«٠ا٠٠ء٠لآا;٠٠:؛؛٠اة:„ء٠-بة٠)عء:"ء'ءة٠٠:^يء٠,
малось число кратное 4 (8-е определение 7 книги)


Математические и астрономические трактаты.
292
4 Здесь Беруни имеет в виду Демокрита, который, по свидетельству Аристотеля в его сочинении «о небе», говорил: что «шар, как своего рода угол режет» (Ар и сто- тель, III, 362). С. Я. Лурье (Лурье. Демокрит, с. 242) переводил эти слова «шар Есюду угловат».
خ Описываемое здесь явление — интерференция света. Описание Беруни, как и в случае дифракции (см. прим. 11 к 4 главе) —первое в истории физики описание этого явления, таКже объясняемого в настоящее время на основе волновой теории света, в Ев- ропе интерференция света была впервые описана и объяснена т. Юнгом (1773—1829), которым и был введен термин «интерференция».
Тот факт, что здесь Беруни описывает интерференцию света, не был отмечен в переводе э. с. Кеннеди, назвавшим в своих комментариях к этому месту этот эффект «курьезным» и попытавшимся дать собственное объяснение этого явления (Kennedy. Commentary, P. 18—19). Впервые на то, что описываемый здесь эффект — интерференция света, указал н. к. Марупов (см. ниже прим. 11 к IV главе).
5 Абу-л-‘Аббас ал-Ираншахри (вторая половина IX в.)—уроженец Нишапура, философ, астроном и естествоиспытатель. Его учеником был знаменитый философ, врач и химик Абу Бакр ар-Рази. Как философ и естествовед ал-Ираншахри был склонен к стихийному материализму и прогрессивному рационализму) Булгаков. Из истории формирования естественнонаучных идей, с". 33—36؛ MP; II, 103—104.
7 «Вопросы природы» — сочинение ал-Ираншахри, сведения о котором содержат- ся только в этом трактате Беруни.
8 Платон (у Беруни Афлатун) — знаменитый греческий философ-идеалист (427— 347 до н. э.). Материя — хайула от греческого hylë. Под «высшим духовным ухишре- нием» по-видимому имеется в виду платоновский демиург, в сохранившемся тексте «Тимея» (Платон III: I, с. 467—641) указанных слов нет, но говорится, что «бог, приступая к составлению тела Вселенной, сотворил его из огня и земли (Там же, с. 472). Возможно, что в средневековых арабских переводах «Тимея» вместо «огня и земли» стояли «свет и тень».
9 В P это слово без диакритической пунктуации. Мы читаем вслед за К'б-Кз.
I. Здесь явная ирония Беруни, поскольку ниже он называет представления о
застывании истекаюшей тени абсурдом.
11 ‘Абдаллах ибн Мухаммад ан-Наши (ум. 906) — поэт и философ — му.тазилит. Жил в Багдаде и Каире. Аз-Зирикли, iv; с. 261؛ Sezgin, II, S. 564—566.
12 Так в Р: ذذدر. В я.. زذ.رر' .
13 Конъектура, в я.. ٠غيغت. Мы читаем: ءذدذذ .
14 «Полный синус» (джайб кулл, в Западной Европе sinus totus) — радиус три- гонометрического круга. «Джайб» — транскрипция санскритского джива — «тетива, хорда». Латинское слово sinus — буквальный перевод слова джайб) означавшего «впадину», «пазуху», «карман».
15 В я в'место «вычисленный» (махсуб) — «специальный» (махсус).
15 Параллакс (ихтилаф манзар) буквально: «различие 'Видения»).— угол между прямыми, соединяющими небесный объект, в частности Солнце или Луну, с центром Земли, относительно кото'рого вычисляются, положения небесных тел, и с вершиной гномона, находящегося на поверхности Земли (на рис. 102 углы FBE и FCE), к en- nedy, Paralilax, P. 33—53.
В настоящее время параллаксом небесного объекта называют угол между пря- мыми, соединяющими его с центром Земли в двух диаметра.льно противоположных точках земной орбиты.
17 Так в р. В я здесь текст искажен.
18 Буквенные обозначения здесь восстановлены по конъектуре, в я и я они искажены.
ПРИМЕЧАНИЯ к VI ГЛАВЕ
1 Абу Зайд Ахмад ибн CaxJi ал-Балхи (ум^ 934) — уроженец Балха, крупнейший хорасанский ученый-энциклопедисч? ученик ал-Кинди, известный, главным образов» каК географ. Крачковский. Арабская географическая литература, с. 194—197؛ MP, II, с. 1؛128—7ة Sezgin III, s. 274؛ VI, s. 190—191؛ VII, s. 27.
2 Коран. Скот, 83.
3 Абу ‘Усман ‘Амр ибн Бакр ал-Джахиз (767—868) — уроженец Басры, крут нейший а.рабский филолог, литератор и философ — му.тазилит. Занимался и естест- в'енными науками MP, II, с. 64—65.
4 В #.-لحددر(. Мы читаем: ووندر. опираясь на «Фармакогнозию» Беруни. Б е- рун и. Фармакогнозия, с. 325.


293
Комментарии
с большими ء мясистыми листьями Более точному опре- делению не поддается. Б е р у н и. Фармакогнозия, с. 325.
6 «Распростертая тень» (зил/1 басит) - то же, что «плоская (или прямая) тень» (зилл мустави) — линия котангенса.
7 тени» (кутр аз-зилл) - здесь линия косеканса. Название объяс- няется тем, что линия секанса является диагональю прямоугольника, построенного на гномоне и на его тени.
8 «Обращенная тень» (зилл ма'кус) и «восставленная тень» (зилл мунтасиб) — линия тангенса. «Диагональ тени» на рис. 104-линия секанса.
9 Суфии —последователи мистико-аскетического направления в исламе.
10 " ибн Мансур ал-Халладж (858—922) - проповедник суфизма, резко выступавший против норм мусульманской обрядности, догматики и права, в 922 г. был казнен в Багдаде. Sezgim, I, S. 651—653, III, S. 275.
11 «Книга о красной сере» («Китаб ал-кибрит ал-ахмар») сочинение_ ал-Халлад- жа, сведения о коТором, по-Еидимому, имеются только в этом т.рактате Беруни.
12 См. прим. 4 к VII главе данного трактата.
13 Обитаемая [четверть Земли] — ойкумена, которая, согласно античным, и сред- невековым представлениям, занимала только одну половину северного полушария Земли.
14 Далее в р небольшая лакуна.
15 Армиллярная сфера (зат ал-халаК) буквально «обладающее кольцом») — астрономический инструмент, содержащий семь колец, моделирующих важнейшие круги небесной сферы. НаэЕание этого инструмента происходит оТ лат. armilla - «колЕцо»:
ПРИМЕЧАНИЯ к VII ГЛАВЕ
1 Здесь Беруни имеет в виду, что при стремлении высоты Солнца к нулю, тень гномона длины I, равная I dg к стремится к бесконечности.
2 Так в Р: ندا ؤدا (. В И: ؤناؤدا(, из-за чего перевод в к неверен.
3 Так по конъектуре в к. в р и и текст этой строки испорчен.
4 Если длина гномона I, ее («плоская») тень-لم ctg А, (кутр). этой
тени —لم cosec ا то под синусом высоты имеется в виду линия синуса r sin h, Под СИ- нусом ее дополнения— بم cos А, где г - «полный синус», т. е. радиус круга. Беруни здесь ب имеет в виду пропорцию لم :لم ctg А : لم cosec л ==/٠ sin/بم ذأ cos A. بم-.
5 «То, что измеряется локтем» - линейные величины.
6 «Народ Запада» —здесь греки и римляне.
7 «Альмагест» («ал-Маджисти»)-общепринятое, начиная со средних веков, на. звание астрономического труда Птолемея «Математическое построение» (Syntaxis mathematikè), иногдаименуемого „Великое построение„ (Megale Syntaxis) и „Еели- чайшее построение" (Megiste syntaxis): арабское название „ ал-МаджИсти"٠искажение слова Megiste: наше название ٠٠Альмагест„ происходит от латинской формы Alma- gestum арабского названия. Птолемей (у Беруни Битлимйус) - велиКий греческий астроном (ок. 100- ا(78ا известный также своими трудама по оптике и ء географии.
8 —астрономические таблицы. Почти каждый крупный астроном средне-
некового Ближнего и среднего Востока был автором одного или нескольких зИджей. Важнейшими из зиджей были «Зидж» ал-Хорез^и, «Сабейский зидж» ал-Баттани, «Большой Хакимов зидж» Ибн Иунуса, «Всеобъемлющий зидж» Кушйара ибн Лаб- бана, «Маликшахский зидж» Омара Хаййама, «Санджаров зидж» «Иль-
ханский зи^ж» Насир ад-Дина ат-Туси, «Новый Гурганский зидж» Улугбека. «Канон Мас'уда» Беруни сочетал в себе таблицы зиджа с подробными теоретическими и экспери^нтальными доказательствами, что обычно отсутствовало в зиджах.
9 «Переход к минутам» — переход к шестидесятериЧным долям, т. е. понижение на ш؟؟тндесятеричный разряд. «Поднятие» - повышение на шестидесятеричный разряд.
٥؛ Позднее Беруни предложил считатн радиус круга, до этого счИтавшийСя рав ным 60 частям, равным 1. См.,'например, Беруни. Канон Мас.уда, I, с. 273.
11 Так в р, где арабская буква كل заменяет персидскую كل. в и ошибочно «ал- кула». Ангула — от санскритского angula (؟палец»).
12 Зидж «Арканд» ب арабское н^знанИе астрономического сочинения Брахмагупты „КханАа؟хадьяка". Brahmagupta, Khandakhadyaka.
Анджула — другая передача санскритского angula (см. выше п£им. 11).
15 Так по конъектуре в к. в И: ل.ذذحل . в Р: لل;جل .
14 «Пядь» (шибр) обычно 22,5 см. «Палец» (исба{) — ٠كل локтя؛ палец канониче¬


Математические и астрономические трактаты.
294
ского локтя равен 49,875:24 = 2,078 см. Здесь под пальцем понимается جلا пяди.
15 «Половина одной шестой» - Здесь, как и в целом ряде других мест «Гно- МОНИКИ», Беруни пользуется староарабской системой названий дробей, при которых одним словом {шеф, сулс, руб،, .... Сушр) называются дроби вида JL от 4٠ ل ا а остальные дроби . называются комбинациями этих слов.
15 Так как половина среднего пальца, играющего здесь роль гномона, равна трем пальцам (1/4 пяди), то если Отбрасываемая этим-пальцем тень равна г, тень, отбра- сываемая гномоном, равным 12 пальцам, т. е. пяди, будет равна if = 4^.
17 «Произвести перестановку» (бадала) — перейти от пропорции 1~ : ث к про- порции۶ = ذ. Переставленное отношение (ennalax logos) определено Евклидом в 12 опред. 5 книги «Начал».
18 Величина затмения измеряется «пальцами» («дюймами»), равными f диамет- ра затмеваемого диска в «Альмагесте» Птолемея (кн. 6, гл. 7). Ptolemäus, I, S. 374.
19 То, ЧТО Беруни называет маша, - индийская мера маса, равная 4 какини, яв- ляюшаяся мерой веса. Обычно 1 тула= 100 пала:64000 маса. Иногда встречается малая тула, равная ب или ا٦ пала; эта мера ближе к Тула, упоминаемой Беруни. Слова ванди на санскрите нет. Джава — «ячменное зерно» — мера длины.
20 Стопа (кадам) — — или . гномона.
( ) 7 6,5
21 Муэззин (муаззин) - служитель мечети, провозглашающий призывы к МО- литве.
22 У мусульман пять молитв в течение суток— утренняя (фаджр), полуденная (зухр), пополуденная Çacp), закатная (магриб) и вечерняя Çuùia). Здесь имеются в виду вторая и третья из этих молитв.
23 Румы —здесь византийцы. Месяцы румов — месяцы христианского календаря, первоначально применявшиеся римлянами.
24 Знаки зодиака (бурудж) — участки эклиптики по 30٥, соответствующие созвез- дням Зодиака, в каждом из которых Солнце находится в течение месяца. Солнце '.вступает в знак Овна в марте, в .знак Тельца в апреле, в знак Близнецов в мае, в знак Рака в июне, в знак Льва в июле, в знак Девы н августе, в знак Весов в сентяб- ре, в знак -Скорпиона, в октябре, в знак Стрельца в ноябре, в знак Козерога в декабре, в знак Водолея в январе и в знак Рыб в феврале.
25 Арабские мecяلمإы — месяцы арабсКогО лунного календаря, состоящего из 12 лунных месяцев и содержащего 355 дней, вследствие чего на 100 солнечных лет приходится 103 лунных.
٠ 26 «Вставка» 13-го месяца раз в три года применяется. в календаре китайцев,
вьетнамцев и других народов Дальнего Востока, а также в еврейском календаре, эта «؟ставка» применялась и доисламскими арабами, но была отменена Мухаммадом.
27 «.Место падения камня» (маскат ал-хаджар) — основание перпендикуляра, см. прим. 221 к трактату «Об определении хорд».
28 Конъектура, в И: خلمر٠ . читаем: حلى
29 Конъектура, в И: وؤءو رة[.. Мы читаем: 0مغموزJf
2٥ Гиппократ (у Беруни Ибукрат) - великий древнегреческий врач (460- 377 гг. до н. э.).
31 «Книга, атмосфер и сгран» («Китаб ал-ахвиййа ва-л-булдан») — сочинение Гиппократа «Об атмосферах, нОдах и местах» (Peri аегОп hydatoH topon). Книга из- дана с французским переводом э. Диттре в 1840 'г. в Париже.
22 В #.1٠لعود رن٠ Мы читаем: ونودرن(, в к здесь перевод не верен.
33 	Абу м؟ша£ Джа.фар ибн Муха^маА ал-Балхи (786—886) —знаменитый астро- лог, известный в Европе под именем Albumasar, уроженец Балха, работал в Багдаде. Зидж Абу Ма‘шара — «Книга зиджа тысяч» («Китаб аз-зидж ал-хазарат»). MP, II,


295
Комментарии
34 Абу-л-‘Аббас ал-Фадл ибн Хатим ан-Найризи (ум. 9؟؟), астро؟ом и .؟тема- тик, извесТный в Европе под именем Anaritius, уроженец Найри؛ ؟^из Шираза» раб'отал в Багдаде, автор популярных комментариев к Евклиду. MP, II, с. 116-118.
35 О нем см. выше прим، 43 к трактату «Об анализе и определении частных значений уравнения Солнца».
36 Ал-Хасан ибн ac-Ca'66ax (IX в.), один из трех братьев Бану ас-Саббах, астрономов и астрологов. «Открывающий» зидж (зидж «ал-Мухтари») ал-Хасана ибн ас-Саббаха упомиНается только в этом трактате. MP, II, с. 60.
37 Батиниты (батинийа) — секта ислама, называемая также исмаилитами и карматами. Петрушевский. Ислам в Иране, с. 2g0—282.
38 «Братья чистоты» (Ихван ас-сафа), точнее «Братья чистоты и друзья верно- сти» (ИхЕан ас-сафа ва хуллан ал-вафа), называемые также «Басрийскими братья- ми» (ix в.) - филОсофское сооб؛цесгво, возглавлявшееся Абу Сулайманом Мухамма- дом Ибн Му'ши^ом ал-Бусти, Абу л-Хасаном ‘Али ибн ХарунОм аз-Занджани, ^ухам- мадом ибн Ахмадом ан-Нахраджури, Абу-Л-Хасаном ал-‘Ауфи и Зайдо^ ибн Рифа'а, действовавшее в Басре, Багдаде и мн-огих других городах Ближнего и среднего Бос- тока. «Братьями чиСтоты» были написаны «Трактаты Братьев Чистоты» («Расаил Ихван ас-Сафа») — система трактатов, охватывающих все области знания, в пер- вых 14 трактатах изложены математические науки (арифметика, геометрия, астроно- мия, география и музыка) и логика, во вторых 17 трактатах - естествознание и пси- хология, следующие 10 трактатов посвящены философии, последние 11 трактатов - астрологии и мистике. Философские взгляды «Братьев чистоты» были весьма эклек- тичны, но значительную роль в них играли элементы учения пифагорейцев, у кото- рых они заимствовали организацию «тайного ордена», мистику и такие особенности своего учения, как математический атомизм. MP, II, с. 164.167.
39 Брахмагупта (у Беруни Брахмакупт) — индийский ма'гематик и астроном (р. 598), автор «КханАакхадьяки» (см. прим. 12) и «Брахмаспхутасиддханты» («Усо- вершенствованНое учение Брахмы»), которое Бе.руни называет сокращенно «Брахма- сиядхантой» (Brahmagupta. Brahmasphutasiddhanta). Первое сочинение но- сит более практический характер (Беруни называет его „зиджем"), второе - более теоретический характер؛ оно состоит из 20 книг, две из которых посвящены мате- матике. приводимое здесь значение "ПОЛНОГО синуса‘‘ Брахмагупты 54 ث или 543270 = 60 . ؤ минут.
40 О нем см. выше прим. 101 к трактату «Об определении хорд». Приводимое здесь значение «полного синуса» Ариабхаты 57 7ق ت ل ب или 338ذ минут.
41 «Грек Пулиса» (Булис ал-Иунани) - александрийский астроном Паулос (IV в.), бежавший из Александрии от преследований церкви в Индию, где он излО- жил свои астрономические познания в «Пулиса-сиддханте».
42 См. Ptotlemäus, I, S. 68.
43 «Пять сиддхант» или «Панчасиддхантика», сочинение Варахамихиры (ок. 500), объединяющее «Пулиса-сиддханту» (см. прим. 41) и другие четыре «свддханты».
ПРИМЕЧАНИЯ к VIII ГЛАВЕ
1 Плоская тень {зил мустави) — линия котангенса, /ctgh (/ — длина гномона). Обращенная тень (зилл шккус) — линия тангенса, /tg h. Плоские' тени часто называ- ют также «прямыми тенями», в Западной Европе «плоская тень» именовалась umbra recta («прямая тень»), а обращенная тень — umbra versa.
2 Если обозначить через г ДЛИНУ тени, а / — длину гномона в тех же единицах, то имеет место пропорция 72ا:ة7١ = ا/:ا١, откуда, если известна тень т 1 при длине гномона, /ا, и требуется найти тень т2 при длине гномона 2ا, то т2 = Tl 4. أ
ج Кушйар ибн Лаббан ал-Джили (ок. 941—ок. 1010)-математик и астроном, уроженец Гиляна, работал в Иране. MP, II, с. 216—219.
4 «ВсеобъемлЮщий зидж» Кушйара в' отличие от ряда зиджей содержит доказа- тельства теоретических его положений. 4 книги Этого зиджа носят названИя «Вычисле- ؟ия^؛ «Таблицы», «Астрономия» и «Доказательства», Sezgin, V, S. 343—345, VI,
S. 246—249. р д ج ٠
ج Понижение на разряд — переход к следующему низшему шестидесятеричному разряду.
ج Абу-л-Вафа Мухаммад ибн Мухаммад ал-Бузджани (940-998) —один из круп- нейших ؟темат؟ов и астрономов средневекового Востока, уроженец Бузгана (Хора- сан), работал в Багдаде. В 997 г. проводил в Багдаде наблюдение лунного затмения


Математические и астрономические трактаты.
296
одновременно с молодым Беруни, наблюдавшим его в Хорезме. Sezgin, V, S. 321- 325, VI, S. .222-224. MP, II, с. 177—181.
7 «Альмагест» Абу-л-Вафы, принадлежащая ал-Бузджани (см. выше, прим. 6),— обработка «Альмагеста» Птолемея. (Carra de Vaux. LAlmageste). Зидж Абу-л-ßa- фы — «Объемлющий зидж» («аз-Зидж аш-шамил») ал-Бузджани.
8 Здесь умножение целого на дроби определяется с Помощью отношения: если X ٠٥٠ 1, то^:1 :؛ =٥.
9 «Минуты стоп» — 60-е доли стоп.
10 «Одна пятая одной шестой» — لي .
11 Конъектура, в # —«шесть».
ПРИМЕЧАНИЯ к IX ГЛАВЕ
1 о «диагонали тени» (линии секанса или косеканса) см. прим. 4 к VII главе данного трактата. Если «полный синус» (радиус тригонометрического круга) —г, то «синус высоты» — линия синуса, т. е. г sin رة и слова Беруни означают, что
I r sin h
ء أء ,؟£<؟٠.؟ ا r
2 «Данная тень» —لم ctg ٨. правило Беруни можно выразить формулой
ïïàri^rsink■
3 «Синус Птолемея», т. е. «полный синус» в «Альмагесте» Птолемея, — 60. 60х X60 = 3600. «Синус индийцев», т. .е. «полный синус» в индийских сиддхантах — - 2 لي 2 . لي X 60 = 150. Так в ۶. в и ошибочно „100“.
4 «Пальцы гномона» —12؛ произведение «пальцев гномона» на «синус Птоле- мея» — 12x60=720. Их произведение на «синус индийцев» — 12x2 30 = لي. Так в ۶. В И ошибочно «35,».
5 «Произведение семеричных стоп гномона на синус Птолемея» — 7x60=420. Их произведение на «синус индийцев» — 7 X 2 35 = لي 17 ت لي х لي .
6 «произведение дробных стоп гномона на синус Птолемея» — لي X 60 = = 390. Их произведение на „синус индийцев“—6 لي х2 ز6 = لي16 ء لي X لي.
7 Произведение «синуса индийцев» 2 لي на «синус Птолемея» — 2 لي X 60 = = 150. Произведение 2 -i— на себя - 2 I х2 25 = 1 6 ٠ دх — .
Р1 2 2 2 4 4
8 О нем см. выше прим. 47 к трактату «Об анализе и определении частных зна- чений уравнения Солнца».
9 Иа'куб ибн Тарик (ум. ок. 796) — астроном, работавший в Багдаде, автор «Зиджа», извлеченного из «Синдхинда», трактата «о строении небесных сфер», напи- санного на основе трудов индийских ученых, и некоторых других сочинений, к р а ч- к о в с к и й. Арабская географическая литература, с. 68. Sezgin, V, S. 217-218؛ Его же, VI, S. 124—127. MP, II, с. 32.
1_٥ О нем см. выше, прим. 106 к трактату «Об определении хорд».
11 О нем см. выше, прим. 79 к трактату «Об определении хорд^.
12 О нем см. выше, 'прим. 33 к VII главе данного трактата.
13 О нем см. выше, прим. 34 к VII главе данного тракТата.
14 О нем см. выше, прим. 42 к трактату «Об анализе и определении частных зна- чений уравнения Солнца».
18 0 нем см. :выше прим. 6 к VII главе данного трактата.
16 	См. выше, прим. 8٠ к VII главе-данного трактаТа.


297
Комментарии
17 	«Линия а «квадрирует» линии ٥ и с»-т. е. линия а является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами b и с.
.3600= 602 ;49 = 72- ؛42 = (.4 6) .144 =122 .18
19 «Шахский зидж» - астрономическое сочинение, написанное в доисламском Иране, переведенное с пехлеви на арабский язык в VIII в. Абу-Л"Хасаном ат-Тамими. По оценке к. Наллино «Шахский зидж» был вершиной развития персидской астро- номии. Наллино, с. 181—186.
20 Синус дополнения (джайб тамам) — косинус (слово cosinus — сокращение выражения sinus compllementi, имеющего тот же смысл). По правилу, указанному в прим. 2, находится синус, по аналогичному правилу, где «плоская тень» I ctg ft за- менена «обращенной тенью», / tg h, находится косинус.
21 Здесь применяется правило cos ft.
22 	О Кушйаре ибн Лаббане и его «Всеобъемлющем зидже» см. прим. 3 и 4 к 8 главе.
23 	Здесь применяется то же правило, что и в прим. 21, но полагается г=60.
24 Здесь применяется правило T I - = r sin А , причем полагаются г = 150
12= لم.
25 Здесь применяется то же правил'О, но полагаются г==60, 12٠=لم
26 Здесь применяется правило hrгг*■ = لم ctg ft.
27 О нем см. выше, прим. 48 к трактату «Об определении хорд».
28 Сочинение ас-Сиджизи «Книга о действиях с астролябией» («Китаб фи а.мал би-л-астурлаб») не сохранилось, в библиотеке Топкапы в Стамбуле имеется рукопись трактата с близким названием «Книга о действии астролябии» («Китаб фи ‘амал астурлаб»). Krause, ؟tambuler Handschritten. 5.468-469.
29 Здесь п.рименяется правило ■■■■ Ir ■ = لم cosec ft г.ри 60 = م ,30 = لم
rsinft
3ه Здесь применяется правило لم cosec ftcos ft = لم ctg ft при 1 = بم.
31 Здесь применяется правило ~r sj/rh ■ = /cosec А при 150 ٠ بم ,12= لم.,
32 В 5 гл. 2 ,кн. «Альмагеста» (P t о 1 ie т а и s, I. S. 66—82) определяются П'О- луденные тени гномона в дни равноденствия и солнцестояний.
33 Мера углов, в которой четыре прямых угла равны 360 частям — обычные уг- ловые градусы.
34 Мера углов, в которой дьа прямых угла равны 360 частям, — половины уг- ловых градусов, т. е. градусов центральных углов, стягивающих те же дуги, что и данные углы, внесенные в окружность.
35 Ту роль, которую в тригонометрии астрономов средневекового Востока, как и в нашей тригонометрии, играют линии синусов, у Птолемея и других александрий- ских астронрмов играли хорды дуг, длй которых в «Альмагесте» приведена табли¬
ца дуг от 1/٠2٥ до 180. через 1/'2٥ и хорд (хор,да дуги а равна 2بم sin ١ة где радиус круга بم у Птолемея равен 60 частям). Здесь Беруну указывает, как от формулировки Птолемея, выраженной в хордах, перейти к формулировке в синусах.
36 	Абу-Л-Хасан Ахмад ибн ал-Хусейн ал-Ахвази (X в.) — уроженец Ахваза, мате- матик и астроном. Здесь, по-видимому, имеются' в виду комментарии ал-Ахвази к ?иджу а^-Хорезми, критикуемые БеруНи в одном из его трудов. Chronologie, Ein- leiung. S. хйхх. Boi lot, P. ،77؛ i١ir؛n. c. 148. 149.
ПРИМЕЧАНИЯ К X ГЛАВЕ
.1 к VIII главе данного трактата
Jtgft-r بم٠؛؟ألم
Об обращенной тени см. прим. Здесь применяется правило
rsinft.
Vlltghyip لم sec/г
1


Математические и астрономические трактаты.
298
3 о нем см. выше, прим. 3 к VIII главе данного трактата.
4 Здесь применяется то же правило, что в прим. 2, при г = 60.
5 О нем см. выше, прим. 14 к IX главе данного трактата.
6 О нем см. вьнне, прим. 6 к VIII главе данного трактата.
7 Мукхула (буквально «сосуд для хранения сурьмы») — переносные солнечные часы с гОриЗонтальным гномоном. Livingston. MUkhula., р. 1308—9ؤ. Саут (бук- вально «кнут») — по-видимому, аналогичный инструмент.
ПРИМЕЧАНИЯ к XI ГЛАВЕ
1 Имеется в виду соотношение Ictg h : / tg (90٠— h).
2 Имеется в виду соотношение / ct-fä = .
У آ LXgk
ПРИМЕЧАНИЯ К XII !.'ЛАВЕ
*T. е. через каждый один градус.
2 Здесь имСются в виду различные части гномона — «пальцы» (12), «стопы» (7=7 и 6 1/2) и «части» (градусы, Ю).
3 Здесь применяется соотношение, указанное в прим. 1 к XI главе данного трактата.
4 Таблица отсутствует в и, но есть в р.
5 Здесь БеруНи, как и в «Каноне Мас'уда» (Б е р у н и. Канон Мас.уда, I, с. 304-305) говорит о «всех таблицах», т. е. любых функциях, заданных таблицами. В данном случае он говорит о том, что если разности между табличными значения- ми равны, тО эти значенИя пропорциональны значениям аргумента. Слова Беруни о том, что если избытки неравны, то дробные поправки в них выражаются разностями между строками близко к истине, указывают на то, что Беруни рассматривает не- прерывные функции.
٠ Здесь Беруни подчеркивает сидьное отклонение «плоской тени», т. е. функции Idg h от линейНОй функцйи «в начале высоты», т. е. при h) близких к о, а «обра- шеНной тени», т. е. функции ligh — «в конце выготы», т. е. при h, близких к 90٥.
7 О «ВсеобъемлЮщем зидже» Кушйара ибн Лаббана см. прим. 4 к VIII главе данного трактата.
8 «потенциально» — 6ىججلمد-ئ, «фактически» — би-л-фи'л. в к слово кувва пе- реведено force —«сила».
و Последовательный подбор — истикра(; это слово обозначает также индукцию.
10 Здесь имеется в виду 3 гл. 3 книги «Альмагеста» (Ptolemäus, I, S. 148— 165), в которой Птолемей предлагает две гипотезы для объяснения видимого нерав- номерного дЕижения Солнца по эклиптике, исходя из догмы о том, что все небесные тела могут двигаться только равномерно и по кругам.
11 «Эпицикл» —.алая ат-тадвир. Первая гипотеза Птолемея состоит в том, что Солнце движется равномерно по малому кругу — «эпициклу», центр которого дви- жется равномерно по большому кругу - «деференту».
12 «Эксцентрик» —ал-харидж ал-марказ. Вторая гипотеза Птолемея со- стоит в том, что Солнце движется по кругу, эксцентричному относительно эклипти- ки. Обе гипотезы кинематически эквивалентны.
13 «Уравнение» — ат-та(дил — угловое расстояние меж'ду видимым положением Солнца и тем положением на эклиптике, которое оно занимало бы при равномерном движении на ней.
14 «Хорда прямого угла» — гипотенуза прямоугольного треугольника, в данном случае речь идет о хорде GH прямоугольного треугольника DGH, которая больше катета GD этого треугольника, а, следовательно, и больше равной ему линии BG.
15 Здесь Беруни, приняв гномон за 1, называет линию F «числом» и свободно говорит об умножении и делении линий, т. е. рассматривает линии как числа. Идея расширения понятия числа до того, что мы называем положительным вешественным (действительным) числом, была высказана Беруни в 5 гл. 3 книги «Канона Мас.уда» (Беруни. Канон Мас'уда, I, с. 271), где Беруни предлагает рассматривать единицу в «совокупности» сушностей, обладающих веществом» (т. е. в совокупности геометри- ческих величин), которая относится к ним как единица натуральных чисел к еди- ничному «объекту счета» и говорит об иррациональном «числе окружности» при «чис- ле диаметра», равном 2. Строго говоря, произведение А на в равно С2, но так как здесь с=1, это произведение равно с.


299
Комментарии
16 	Здесь Беруни возвращается к классическому представлению произведений от- резков в виде прЯмоугольНиков: если A-E=F и А'В = С, то линию А М0۶Н0 пред- Ставить как одинаковую высоту прямоугольников с основаниями Е и в, равных, соответственно, F и с.
Из равенств A-E=F и А-В:С Беруни заключает, что ؤ ء ؤ и B-F=E-Cf T. e. деление ٠ة٠ на тень дуги и умножение F-В на тень ее дополнения приводят к одному и тому же результату.
1۶ «ОбраТно пропорциональны»٠ала ат-такафи.
18 СосТавное Отношение (ан-нисба ал-му'аллафа) — то, что в настоящее время называется произведением, отношений. Этот термин встречается бе.3 определения в 23 предл. 6 Кн. «Начал» .Евклида: «Равноугольные параллелограммы имеют друг к другу составное отношение их сторон», хотя частные случаи составного отношения -- двойное отношение (إث и тройное отношение Cf) определены в 9 и 10 определе- ниях 5 книги «Начал». (Евклид. I, с. 143). Определение составного отношения в 5 определении 6 книги с помощью умножения «количеств отношений» (Евклид, I, с. 174)-несомненная позднейшая вставка, принадлежащая, по-видимому, Теону (IV в. н. э.). Составное отношение было предметом специального трактата Сабита ибн Курры «Книга о составлении отношений» (Сабит. Трактаты, с. 77—101) и III книги комментариев Хаййама к Евклиду, озаглавленной «Составление отношения и его ис- следования» (Омар X а й й а м. Трактаты, с. 141 — 146). Оно сыграло важную роль в расширении' понятия чИсла до положительного вещественного числа (см. выше прим. 15).
(ас-самина); исправлено
/tga__
r sin a
بم cos ß
،؛g،/
بم cos a
l tga .
~ بم sina
بم cosß
ZtgP
بم cos a
بم sin ß
l seca
cosg بم ء
/ sec ß
بم cos a
/ ctg a
بم sin ß
بم cosa
/ ctg P
٢sin٥
بم COS ß
23 В тексте вместо «втор.ого» (ас-санийа) — «восьмого» рукописи.
24 т ع /ctg а : r cos g , rsinß
/ctgß بم sin a بم cos ز
25 T e l cosec a = بم sin ß
/ cosecß بم sin a
ПРИМЕЧАНИЯ K xin ГЛАВЕ  11 Абу ‘Абдаллах Хамза ибн ал-Хасан ал-Исфахани (893-970) —уроженец и житель Исфахана, филолог и историк, s e Z g i п, I, S. 336—337.
2 Имеется в виду сочинение Хамзы ал-Исфахани «Соотношение между арабским языком и персидским» («ал-Мувазана байна ал-‘араби ва-л-‘аджами»).
3 Астролябия — инструмент для определения координат небесных светил. Опре- деление высоты светил производится с помощью алидады на «спинке» астролябии — линейки с двумя диоптрами, вращающейся вокруг центра астролябии и градусной шкалы на «лимбе» — ободе «спинки» астролябии. Определение азимута светил про- изводится с ПО'МОЩЬЮ «типмана» на лицевой стороне астролябии—laciHiKH, на кото- рой изображена в стереографической проекции небесная Сфера с горизонтом и альму- кантаратами (параллелями горизон'га) и «паука» — резного круга, вращающегося вокруг центра астролябии, на котором изображены в той же проекции эклиптика с указанием мест, где находится Солнце в каждый день года, и наиболее ярких звезд. Азимут определяется путем наложения изображения Солнца в день измерения его высоты или звезды на альмукантарат измеренной высоты.


Математические и астрономические трактата
00؟
Слово «астролябия» (астурлаб) происходит от преч. astrola^on: aster _«звез-
да»,) labein — «ухватывать».
4 транскрипция слова astrolabon. Заметим, что в «Альмагесте» у Птолемея (PtOlemaaus, I, S. 254-258) этот термин обозначал армиллярную сферу (см. прим. 14 к VI главе данного "Трактата).
5 Астур - транскрипция слова aster - «звезда».
6 Аструнумийа -'транскрипция слова astronpmia — «астрономия».
7 Аструлуджийа — транскрипция слова astrologia — «астрология».
8 Тер^Ин «астролябйя» в 'том смы.сле, в котором он применялся Б؟ру۴, п^я-
вился впервые у Т؛она под названием «ма#ый астролабон» (mikrori astrolabon), Ви: зантийски؛ историк X в. Свида упоминает его «Мемуар о малом.астролабоне». Первый сохранившийся трактат об астролябии — греческий трактат «Об устройстве и при- менении астроляёии» Иоанна Филоп.на '(Иоанна Гр؛мматика), жившего в VI в. ج Александрии (Tannery. Jean le Grammairien. P. 341 ٥٥ 30/). bTupc й на۶исанн1؛Й на сирийСком языке, -^Трактат об астролябии„ Севера Себо^ та (Vil в.). N а и. Le traite de’1 astrolabe. P. 238 303).
9 Румы (арц)—здесь греки и ризантийцы.
10 Небесный глобус —здесь байда, буквально «яйцо».
11 Об армиллярной сфере см. прим. 11 к VI главе данного трактата.
12 Гороскоп (ат-тали1) буквально «восходящий») — точка пересечения ЭКЛИПТИ" ки с востОчной частью горизонта. Положение этой точки по отношению к знакам Зодиака к планетам в момент рождения человека определяло, согласно представле- ниям астрологов, его судьбу, вСледствие чего греческое название этой точки horos- kopos стало названием астрологического предск'азания «гороскопа», а арабское на- звание тали٠ на языках мноГих народов ВоСтока стало обозначать судьбу (ср. узбек- ское и таджикское толеъ).
13 Текст испорчен и перевод этой фразы условен.
14 Квадрант ВЫСОТЬ! — квадрант на спинке астролябии, на котором измеряется высота свети'л (см. выше прим. 3 к данной главе).
15 ب острие на конце алидады. Один из указателей указывает
высоту светила, на которое наведена алидада, на лимбе с градусной шкалой, дру- гой указатель, с противоположной стороны, указывает на «тень» (т. е. тангенс или котангенс) этой высоты на шкале «теней» в «пальцах», «стопах» или «частях»؛ квад- рант на спинке астролябии, в котором расположена эта шкала, называется «квад- рантом тени».
16 Тимпан — сафиха. о нем см. прим. 3 к данной главе. «Спинка тимпана» — спинка астролябии.
17 Текст испорчен и перевод этой фразы условен.
18 Idem.
ПРИМЕЧАНИЯ К XIV ГЛАВЕ
1 «Ступенчатая тень» была впервые описана в трактате ал-Хорезми об астро- ляб'ИИ. F г а п к. nie Verwendung des Astrolabes, s. 10.
2 Четырехугольник —.рабби‘. Обычно это слово применяется для обозначения квадрата, хотя аналогичное слово мусаллас применяется для обозначения произ- вольного треугольника.
зречь идет о пятерках делений, десятках и т. д.
4 Об Абу-Л-Касиме ал-Хасане ибн Мухаммаде ал-Ахвале в других источниках не упоминается.
5 Вычисления взаимных обменов, — по-видимому, коммерческая арифметика.
6 Алгебра и алмукабала (ал-джабр ва-л-мукабала) — Первоначальное название алгебры, появившееся благодаря книге ал-Хорезми «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» («Китаб мухтасар фихисаб ал-джабр ва-л-мукабала»)؛ буквальный смысл слов ал-джабр и ал-.кабала —«восполнение» и «противопостав- ление». Ал-Хорезми употреблял эти слова для обозначения алгебраических операций переноса вычиТаемыХ членов уравнений в другую Сторону уравнеНия в виде прибав- ляемых членов и сокращения равных членов в обеих сторонах уравнения, с помощью этих -операций ал-Хорезми приводил линейные и квадратные алгебраические урав- нения к «каноническому виду», для которых имелись определенные алгоритмы решения.
0 ؛ двойном отношении см. прим. 18 к XII главе данного трактата.
8 Об ас-Сиджизи к его «Книге о действиях с астролябией» см. прим. 27 и 28 к IX главе данного трактата.
Q Число, «представляющее» линию кх, — положительное вещественное число, рведенное Беруни в «Каноне Мас‘уда» и применявшееся также в XII главе' этой книги (см. прим. 15 к XII главе данного трактата).
1٥ Конъектура, в #.ذد؛ف ٠ . Мы читаем: لهشف .


301
Комментарии
ПРИМЕЧАНИЯ к XV ГЛАВЕ
1 о нем см. выше прим. 79 к трактату «Об определении хорд».
2 «Диагональ тени» —линия секанса или косеканса.
3 См. прим. 14 к V главе данного трактата.
4 О нем см. прим. 9 к IX главе данного трактата.
5 Из сочинения ИаКуба ибн Тарика «Книга об аргументации [зиджей]» (Китаб фи-л-‘илал) сохранились только три цитаты в «Гномонике» Беруни.
6 Выравнивать —савва. Здесь под выравниванием наклонной плоскости имеет- ся в виду ее поворот до тех пор, пока она не станет горизонтальной.
7 Поправка — таУдил (это же слово обозначает «уравнение» Солнца, см. прим. 13 к XII главе данного трактата).
8 «Запомненное» д# —сумма длины AB гномона с понижением вн наклонной плоскости или разность AB и высоты вн наклонной плоскости؛ предполагается, что гномон АН расположен вертикально, «средняя тень» £#=# — катет прямоуголь- ного треугольника, другой катет которого —لآج а гипотенуза — «наклонная тень» BE. Из подобия треугольников АНЕ и EFC находим «поправку» CF=HE• I =
ت BF• I , и „исправленная тень" равна, соответственно, ВС =EH — CF и ВС : = BH-VFC٠
ЕВ sin ECB
Q Применяемое здесь соотношение f = - неверно, так как из теоре-
ЕВ sin ECB
мы синусов для треугольников ЕВС следует, что "! = - .
Далее используются соотношения - sin = sin ٤لم и sin £ء £ج ^ . Так как
мы не располагаем сочинением Иа.куба ибн Тарика, мы не можем определить, займ- ствовано ли это неверное рассуждение из этого сочинения или принадлежит самому Беруни.
10 Абу Бакр Мухаммад ибн .Омар ибн ал-Фаррухан ат-Табари - астроном и астролог IX в. Sezgin, V, S. 228, VI, S. 137, VII, S. 130؛ MP, II, с. 53.
11 Сведения об этом зидже в других источниках отсутствуют.
~ 12 Если мы обозначим радиус сферы Г) а длину ГномОна I, то «запомненное» ат-Табари - (لم -f r) sin h) T. e. лиНия BF на рис. 121а. Далее он вычисляет (Лрг)с08/г== = EF, DF*mr* — EF2 и BD:BF-—DF. ТОгда Искомая дуга AD определяется из соотношения r sin Ab : BD cos h. Если дуга AD определена в градусах, то ее дли- на в „пальцах“ равна ٠ل ه٠لآخ, где радиус г равен 12 пальцам, а в качестве % при-
нимаетсяЗ۴
13 Беруни рассматривает гномон, установленный вне сферы в ее верхней точке (рис. 121 а), и Гномон, установленный внутри сферы в ее нИЖней точке (рис. 1216).
14 Зде.сь «гипотенуза» —буквально «Диаметр» или «диагональ»..
15 О «квадрироваНии» см. прим. 17 к IX главе Данного трактата.
15 «Первое запомненное» у Беруни ЕВ=Г±1 (знак плюс оТносится к рис. 121٥, знак минус —к рис. 1216). «Второе запомненное» — كرج= . «Третье запом-нен-
h '(из подобия треугол^.
ное»-*ЕН=ВН cos h. „Четвертое запомненное“ =
ников ВЕН и FEH). Далее из теоремы Пифагора Беруни находит DFn]fED*+EFل , 3 из подобия треугольников DGH и ВЕН он находит DG = و- ٠ ٠ =
= 2 cos AD. Дуга AD в „пальцах" определяется так же, как в прим. 12.
17 Отрезок EF и радиус сферы —катет и гипотенуза прямоугольных треугольн.иков EFD и EFK) вторые КатеТы кОтОрых — равные меж^у сОбой отрезки دFD и لآج По- этому r2—EF2= (r+EF) (r—EF) :FD2=FK2 = -^-KDl Равенства KB-BD=OB-BÄ —
следствия 35 и 36 предложений III книги «Начал» Евклида. Равенства KB-BD + +FD2=FB2 и KD’DB+DB2=DB (KD+DB) =DB‘KB имеют место только в случае первого варианта чертежа. Первое из этих равенств — следствие 6 определения II книги «Начал». Пропорция 1 = 1 вытекает из подобия треугольников BDM


Математические и астрономические трактаты.
302
и ВНЕ. «Два предыдущие произведения» —££2 и BF2) разность между ними-حء «корень из этого» — EF. Далее Беруни составляет сумму и разнос'гь r+EF и r—EF и произведение 4 (г ب EF) (r — EF ) = 4 (r2 — EF2). ;,Запомненный корен."-корень из этого, т. е. 2 V r^-EF2 == 2 DF=DK> Далее он находит (г+1)-2г = ОВ-АО = = KB-BD и VKB-BD+DF'2—DF, умножает разность на „третье запомненное“,
ЕВ
T. е. EH : вн cos /г, и делит на „второе запомненное“, т. е. вн : sinl (см. выше прим. 16). Тоца (УKB-BD + DF2 — Df). I ح (FB — DF)• h == MD = rsinAD. Заметим, что при пользовании солнечными часами тень гномона не вычисляется, а измеряется, поэтому решение Беруни задачи о длине тени гномон.а на сферических солнечных часах является не практической, а чисто геометрической задачей.
ПРИМЕЧАНИЯ к XVI ГЛАВЕ
ا Дополнение широты города до 90. — угол между небесным экватором и горизонтом этого города. Это дополнение связано с полуденной высотой h Солнца и его склонением 6 (сферическим расстоянием от небесного экватора) при 90٠—ф-Ь + 0٠ىج соотношение.м ٨ = 90٠—ф + 6. «в начале Овна и Весов» —в день весеннего или осеннего равноденствия, когда Солнце находится на небесном экваторе, т. е. 6=0 и ٨=90٠—ф.
2 Здесь рассматривается соотношение h — 90. — cp I 5 при ة > о в трех случа- ях: 1) о < ср, т е,#К 90٠. 2) ة > ?, т. е. ت ة (3 ,90٠ < ٤ر cp, T. e. h ٠ة9 ء..
3 Оби'гаемые страны —области с умеренным климатом, в которых широта ф находится между «наибольшим склонением» е, равным углу между эклиптикой и небесным экватором, и его дополнением 90٠—е. Страны, «обладающие двумя тенями», т. е. тропические области, в которых тени предметов отбрасываются не только к северу, как в областях с умеренном климатом, но и к югу. в .этих областях ф<£. Промежуточный случай, когда ф = £, имеет место на тропиках Рака и Козерога. На земном экваторе ф = 0 и 90٠ = 2ا—Ô.
4 В И: аставки; в Р: астарки. Санскритское слово, искажением которого является это слово, не определено.
5 Синд- ныне провинция Пакистана.
6 Лахор (Лахур)—город в Пенджабе в нынешнем Пакистане.
7Т. е. 60-е части суток.
8 Если мы обозначим «астарки» для широты ф в «минутах дня» (т. е. в 60-х долях суток) через А , а длину даннОго дня в тех же «минутах» через L, полуденная Тень т в пальцах определяется индийцами по правилу: т= ( cp j(— и... ■ -.?■ |.
9 О нем см. прим. 49 к трактату «Об определении хорд».
10 Индийцы, о которых сообщает ас-Сиджизи, вычисляли полуденную тень по правилу T: (A—L). т .
н «Зиджи индийцев» — сиддханты (см. прим. 39, 41 и 43 к VII главе данного трактата) и караны, которые по мнению, высказанному Беруни в «Индии», «стоят на более низкой сгупен'И, чем сиддханты» (Беруни. Индия, с. 163).
2ا Излагаемое здесь правило ٢ = 57 — , где ة —склонение Солнца, ПО-ВИ-
димому, искажение правила т = . ئقلأة
3ا Сведения об астрономе Абу ‘Асиме ‘Исаме имеются 'ГОЛЬКО в «Гномонике» Бе- руни. Халид ибн Бармак (VIII в.)—советник халифа ал-Мансура —участвовал в руководстве строительством Багдада.
14 «Тень Овна» — полуденная тень в день весеннего равноденствия (6 = 0). пра- вило Абу .Асима для северного склонения 6: ذة0-0^ = ؤآ для южного скло¬
нения ةا7:ة== Tq + ة٢أب•
15 Заданы —градусы небесного экватора (см. прим. 10 к 1 главе), а также его параллелей, дугами которых являются «дневные дуги».
16 Если t — «заманы дневной дуги», то правило таково:


303
Комментарии
لح— 180 18
216—٤
5 1/4
T
Заметим, что дневная дуга в 216. (36 „минут дня“)-максимальная дуга дня в Ва.
9 .«٠ء٠'.:ت؛ةي:'تتع!ي'؟,"٠٠"٠. XII ПИР ا٠ا،٠ءا«.
18 	Это правило выражается формулой т= /(i h) ~ 42 т и может быть
записано также в виде
г-l/أ'ءؤء-'-ا’ءدبا١ؤ٠)_ (ئ'
т. е. является частным случаем правила т == V (r sinh) لا ء при r — 150,
٠لةءا
19 Об ЭТОМ правиле см. прим. 1 к IX главе данного трактата.
20 См. прим. 17 к IX главе данного трактата.
ПРИМЕЧАНИЯ К XVII ГЛАВЕ
1 «Равноденственная тень» - зилл ал-и(тидал. «Экваториальная тень»; зилл ал-истива’. о соотношении ه90=ءر—ф в день равноденствия, см. прим. 1 к XVI главе данного трактата.
2 О нем см. прим. 34 к VII главе данного трактата.
3 О нем см. ^ри٦. 9 к IX главе да؛н؛о трактата.
4 Правило ан-Найризи и ЙаКуба ибн Тарика выражается формулой
/.rsincp I ctg ۴ ء r cos cp
5 «Прямая хорда» (ватар мустаким) — буквальный перевод санскритского ело-
ва крамаджйа, гдС مه — сокращенное от джива — «тетива», которым индийцы частО называли линию синуса. Тем же словом индийцы называли хорду, а линии синуса, являющиеся полухордами (r sin а : у хорда 2а). первоначально называли ардхаджива или «иолутетива».
6 Об ал-Баттани см. прим. 42 к трактату «Об анализе и определении частных
значений уравнения Солнца». Ал-Баттани не употреблял термина джайб — «синус», являющегося искажением санскритского джива, а употреблял арабское выражение нисф —«полухорда». Battani, II, р. 55, III, р. 15.
7 О нем см. прим. 403 'К трактату «Об определении хорд».
8 Знаки зодиака Девы и Рыб предшествуют, соответственно, знакам Весов и Овна, в которые Солнце вступает, соответственно, в дни осеннего и весеннего равно- действия.
Q Птолемей считал, что апогей Солнца неподвижен и находится в 5.30' Близ- нецов. (Ptolemäus, I, S. 170). Беруни считал, что апогей Солнца движется и, в частности, в «Каноне Мас'уда» утверждал, что в 1031 г. он находился в 25.10' Близ- нецов. (Беруни. Канон Мас'уда, II, с. 70).
10 	Полемей считал, что расстояние Солнца от Земли равно 1210 земным диа- метрам. P t о 1 ет ä и s , I, S. 312.
٤ا «Дочери погребальных носилок» (Банат яя'щ) — созвездие Большой Медве- дицы, которое древние арабы представляли в виде похоронной процессии, в которой перед погребальными носилками (на1ш) идут плакальщицы («дОчери погребальНых носилок»). Впереди шествует предводи'тель дочерей погребаль'ных носилок (ал-Каид банат на‘ш). Это —звезда ц БОльшой МедведиНы, в нашем представлении — конец хвоста Медведицы. Арабское название ЭТ0Г.0 созвездия сохранилось в виде названия, упомянутой звезды л Большой Медведицы Бенетнаш (другое название этой звез- ды Алькаид — от слОва ял-кяяд —«Предводитель»).
ئل١ фарсах —мера длины, равная 3 ^илям и км).
13 	Сухейль (сухайл — «лужок») — арабскОе название звезды Канопус, а Киля, одна из наиболее ярких звезд юж.ногО полушария.


Математические и астроиомические трактаты.
304
14 Манихеи (ал-мананийа) — приверженцы религии, основанной Мани (215— 276), распространенной в Иране и средней Азии, приверженцы этой религии име- лись и во времена Беруни.
15 МаНихеи считали Северный полюс высшим местом и при молитвах обраша- лись к северу.
ПРИМЕЧАНИЯ к XVIII ГЛАВЕ
1 Построение —«асб. в И: — «половина؛.
2 Нивелирование — тасвийа, выравнивание —та'дцл.
3 «ИскусСтво обмазки глиной и гипсом» — сина'ат ат-татйин ва-т-таджсис (от тин — «глина» и джисс — «гипс»).
4 «Отвесы» — шавакил, мн. ч. от кашул; нивелиры — мавазин, мн. ч. от мизан, буквально «весы».
5 ß #.٠ чертеж (рис. 124) и относящиеся к нему буквенные обозначения иска- жены и исправлены по конъектуре.
6 «ТреугОльник дня» (см. рис. 124) — прямоугольный сферический треугольник HDB, один из катетов которого — полуденная высота Солнца HD, а другой катет — DB — часть полуденной линии между D и 5 — точкой пересечения полуденной линии плоскостью суточной параллели Солнца. Гипотенуза нв называлась «стрелой дня».
7 По чертежу в к, являющемуся, как и наш рис. 124, конъектурой, вместо «суммы» — «раз-ность».
8 Амплитуда восхода (или востока)—дуга восточной части горизонта между линией восток —запад и линией пересечения горизонта с пло.скостью суточной парал- лели. В И вместо BE ошибочно вм.
Q О «стреле дня» см. выше прим. 6 к данной главе.
1٥ «Треугольник времени» —треугольник, вершинами которого является поло- жение F Солнца в произвольное время данного дня, основание к перпендикуляра, опушенного из F на плоскость горизонта, и основание с перпендикуляра, опушен- ного из К на линию А'ВС (рис. 124).
11 Об альмукантаратах см. прим. 5 к III главе данного трактата.
12 Об амплитуде восхода см. прим. 8 к данной главе. Амплитуда захода —дуга западной части горизонта между линией восток-запад и линией пересечения гори- зонта с плоскостью суточного круга. Рис. 125 неточен и дается нами по конъектуре.
13 Слова Беруни о том, что величина тени «изменяется по величине высоты» означают, что тень является функцией высоты и что Беруни рассматривает последнюю как независимое переменное, а первую —как зависимое переменное.
14 Здесь текст не в порядке и чертежа к нему нет.
15 Здесь Беруни снова имеет в виду водяные, песочные или другие аналогич- ные часы (см. прим. 7к1 главе д.анного.' трактата).
18 О зидже «Арканд» см. прим. 12 к VII главе данного .трактата.
17 О «зиджах индийцев» см. прим. 39, 41 и 43 к VII главе данного трактата. «Индийский круг» впервые описан" в «Пулиса-сиддханте».
18 0 греке Пулисе см. прим. 41 к VII главе данного трактата.
19 Виджаянандин из Бена.реса (Биджайананд ал-Банариси) — индийский астро- ном X в., а^тор зиджа «Каранти^ака», переведенного Беруни под названием «Блеск зид١жей» («Гуррат аз-зиджат»). Biruni. Ghurrat alxijat.
2٥ «Рыба» (ас-самака) — напоминающая рыбу фигура, ограниченная двумя рав- ными дугами окружности, меньшими, чем полуокружность. «Голова» и «хвост» рыбы— угловатые точки этой фигуры.
2٤ ؛Линия восток — запад» — то же, что равноденственная линия.
2ب ^иния полудня или полуденная линИя —то же, что линия меридиана.
22 Туле (Тули, у Птолемея Thoule),—остров, упоминаемый в «Альмагесте» (Pt о- lern aus, I, s. 78). Этот остров обыч'но отоЖдесТвляют с Гренландией؛ в настояшее врем؟. Туле — название города на северо-западе Гренландии.
؛؛ з^есь «части» (аджза’) — градусЫ географической широты.
25 «Высота начала Козерога в т؛ле»_ разнОсть между дополнением широты Туле до 90٥, т. е. 27٠, и углом наклона ЭклиптиКи, равная минИмальной высоте Солнца в меридиане
min h : 27. — 23.35' =33.25 = ~بب + ٠'.
26 12 ctg 3.25' ٥ 12-16, 7496 « 12-16 3=201. Более точно 12-16, 7496.200,
4
995. Подсчет Беруни, согласно которому это произведение равно 201 ذ, неправилен,


305
Комментарии
;48٠==р؟
27 в ءد :بر. Мы читаем: عسدر.
28 Для северной границы обитаемой части Земли, согласно Беруни,
- ٢ = 42٠; min /г : ع ;; ; .'18.25 = '23.35 -هةل:..::
2? 12 ctg 18٠229ةةة0ج3 » لآة1ةة0 3 ٠ة1 ء 'ة, Подсчет Беруни, согласие
90.
12. 3 003194 « 30,038329, Подсчет Беруни, согласно которому
:;:ء.ته٠ةلءءئ؛٠ء٠\٠يةشع٠٠;ا؛ءئلاءقتث3ةتءت:
сколько южнее впадения Е нее ؛ам^.
31 Широта развалин Великого Болгара - ок. 55. с. ш.
32 о Нем см. выше прим. 77 к трактату «Об анализе и определении частных значений уравнения Солнца».
33 в 77: ٠لذمدف. . Мы читаем: ننصب.
34 Рис. 131 Беруни слишком скептичен. Приводим здесь рис. IX по к.
35 Основание (перпендикляра AB) — маркаЗ) буквально «место вТыКания»; То нее слово обоз- начает центр, в ^ — последнее значение.
36 КорОмысло — амуд; то нее слово обозначает
та1еже перпендикуляр.
37 Как видно иЗ описания Беруни, весы пред- полагаются врашаюшимися, а язычок —перпендику- лярным ie коромыслу в его середине. Весы по^о- раЧиваются таким образом, чтобы тень язычка бы- ла бы перпендикулярна коромыслу. Предполагается, что изменение производится в перрой и второй по- ловинах дня при равных высотах Солнца.
38 Речь идет о двух больших кругах — меридиа- нах земного шара, кОторые на небольших своих участках близки к двум параллельным прямым.
ПРИМЕЧАНИЯ к XIX ГЛАВЕ
1 при восходе Солнца /г = 0 и ldgh=œ٠
2 О суточных движениях Солнца по винтовой линии (на сфере) Беруни говорит ив4 главе данного трактата.
3 «пребывание» —лГякс; этот термин применяется также для обозначения пре- бывания Луны в тени Земли во время полного лунного затмения.
4 «Секунды без минут» — величина настолько близкая к нулю, что измеряется не градусами или минутами, а только секундами.
5 «Восходящая половина» эклиптики — часть эклиптики от зимнего до летнего солнцестояния, когда длина дня увеличивается от минимальной до максимальной؛ «нисходящая половина» — остальная часть эклиптики. Длина дня выражается в функции времени кривой, близкой к синусоиде с периодом, равным году, а отклоне- ние направления меридиана, получаемого с помощью индийского круга, от истин- ного направления меридиана пропорционально этой функции.
6 Это наблюдение, произведенное Беруни в Кяте в 994—995 гг., описано им в «Геодезии» (Беруни. Геодезия, с. 138). Локоть—^54 см, т. е. 15 локтей —8,1 м.
7 См. выше прим. 41 к VII главе данного трактата.
8 «Минуты суток» — то же, что «части суток».
9 О полном синусе см. прим. 14 к V главе данного трактата.
1٥ Конъектура, в 1لقبل.ين . Мы читаем: .. ووددد٠
دد Пробел в рукописи.
ПРИМЕЧАНИЯ к XX ГЛАВЕ
1 Брахмагупта излагает этот метод во 2 гл. 3 книги его «Брахмаспхутасиддхан- ты» (см. прим. 39 к VII главе данного трактата).
2 О «фигуре рыбы» см. прим. 20 к XVIII главе данного трактата.
3 Беруни обозначает «фигуры рыбы» четырьмя точками, 1-я и 3-я из которых — угловые точки фигуры, а 2-я и 4-я симметричны относительно прямой, соединяющей угловые точки, и лежат на второй симметрии фигуры, но не лежат на границе фигуры.
4 Ось — CCLXM, буквально «стрела».
5 О гиперболе см. прим. 2 к IV главе данного трактата.
20-11


Математические и астрономические трактаты
306
Вообще говоря конец тени гномона описывает в течение дня дугу конического сечения, которое может быть окружностью (на полюсе), эллипсом (вблизи полюса), параболой и гиперболой, но в странах с небольнюй широтой оно всегда является гиПерболой, за исключением дней равноденствия, когда конец тени гномона движет- ся по прямой линии.
6 «Случайно» — иттифакан, букв, «по совпадению».
7 «Аналемма» Диодо'ра (Аналима ли Зийузурус) — сочинение математика I в. до н. э., работавшего в Александрии. Слово analemma по-гречески означает «съемка, проекция». Приводимый Беруни фрагмент из «Аналеммы» Диодора — единственная сохранившаяся часть этого сочинения. Этот фрагмент исследовался э. с. Кеннеди. Kerinedy. Biruni's graphical determination of the local meridian, p. 251-255.
8 Этот чертеж IB и и p искажен и приводится по к.
9 Конъектура, в я: HF.
10 Этот чертеж вЯиР искажен и восстановлен по конъектуре.
لا Идея решения этой задачи состоит в решении на плоскости стереометриче- ской задачи проведения круга ZPC) плоскость которого перпендикулярна оси кону- са тени и пересекает прямолинейные образующие этого конуса (GA, GB, GC) в точ- ках Z, р, С, и нахождения линии пересечения плоскости этого круга с плоскостью горизонта. Так как эта линия пересечения параллельна небесному экватору, направ- ление перпендикулярное этой линии - искомое направление меридиана.
Для решения этой задачи на плоскости горизонта на рис. 131 строятся тре- угольники AGE, ВНЕ и CFE конгруэнтные треугольникам теней AGE, BGE и CGE на рис. 132. Далее на рис. 131 строится треугольник ОАВ конгруэнтный треугольнику GAB на рис. 132. ТочКи X и р На первом из этих треугольников находятся на том же расстоянии от о, как одноименные точки второго треугольника от G. Но точка L пересечения прямых ZP и AB во втором случае лежит на линии пересечения плос- кости горизонта с плоскостью круга ZPC. Поэтому точка L пересечения одноимен- ных прямых в первом случае также лежит на той же прямой. Так как точка с ле- жит на той же_ линии пересечения, линия CL перпендикулярна линии меридиана, а перпендикуляр FA, опущенный из Е на эту линиЮ, определяет искомое направление. Приведенное Беруни решение стереометрической задаЧи с помощью построения на плоскости является одним из первых в истории математики решений задач начерта- тельной геометрии.
ПРИМЕЧАНИЯ к XXI ГЛАВЕ ا В Я:وجدود. Мы читаем: ومو٠.
2 Имеется в виду деление окружности круга на градусы и минуты.
3 Об амплитуде восхода и захода Солнца см. прим. 8 и 12 к XVIII главе дан- ного трактата.
4 Здесь Беруни снова применяет термин «число» к непрерывной величине (см. прим. 15 к XII главе и прим. 9 к XIV главе данного трактата).
5 «Градуированный круг» (ад-даира ал-максума, букв.-«круг, разделенный на части») — круг, разделенный на градусы.
6 Здесь Беруни решает задачу определения линии меридиана для случая ну- левого азимута, когда' тень направлена по равноденственной линии. Линия мериди- ана в этом случае перпендикулярна тени. Построение Беруни здесь предназначено для определения высоты ho при нулевом азимуте, которая находится как дуга AM или угОл LXE на рис. 133. Условие равенства азимута нулю равносильно тому, что вершина треугольника времени при прямом угле расположена на равноденствен- НОИ линии.
7 Так как склонение 6-сферическое расстояние от небесного экватора, линия синуса Ö — перпендикуляр, опущенный из точки катета «треугольника дня», находя- щейся на линии пересечения плоскости суточного круга с плоскостью 1'Оризонта, на гипотенузу этог'о треугольника. Так как амплитуда восхода « — дуга горизонта между равноденственной линией и параллельной ей линией пересечения плоскости суточного круга с плоскостью горизонта, линия синуса а — линия ЕС на рис. 134.
8 Равенство углов ВиН треугольников дня и времени широте ф города, а углов С и F этих треугольников — дополнению ф до 90. — следствие того, что угол наклона небесного экватора к горизонту равен 90٠—ф.
9 Здесь к треугольнику EDC (рис. 134) прим'еняется пдоская теорема синусов؛
r sin 5 , r cos ср


307
Комментарии
ها Здесь та же теорема применяется к треугольнику FGH (рис. 134): rsina __ г sin у م sin Л. بم cos ۴
11 Здесь Беруни возвращается к построению рис. 133. Пропорция, приведен-
ная выше в прим. 10, переписывается в виде = r;H ٠ LE=FK=r$inh0]
ХЕ بم ء cos A0. Далее, используя соотношение I ! он получает,
٥ У بم cos A /etg А
что Lj : Oj ٠ поэтому EP=lcigh0.
EX EP
12 Эта задача решалась Беруни также в «Геодезии» и «Каноне Мас‘уда». Ее ре- ш؛ния и؛след؛؟а؛ись э. с. Кеннеди и г. Хермелинко؟. Б е р у н и. Геодезия, с. 258—259. Его же. Канон Мас.уда, I, с. 370 Kennedy. Al-Berpni on deter^nipg the meridian, p. 635-637: Hermelink. Bestimmung der Himmelsrichtungen, s. 329—332.
13 Здесь применяется соотношение ء и. так как с G ==
P /et g h بم cos A
= AE = ٠ بم TO HF = بم sin A, дуга АН = A. a FE : بم cos А.
14 Здесь снова Беруни совмещает на одном чертеже несколько плоскостей.’ Плоскость горизонта, плоскость проходящую через гномон и тень в данный момент времени, и Плоскост'ь меридиана, в последнем случае, т. е. если АН в — круг؛ ме- рИдиана., KDL — линия еГо пересечения с плоскостью суточного круга и угол EKD ^авен углу между небесным Экватором и горизонтом, т. е. 90٠—ф.
15 О квадрировании см. выше прим. 17 к IX главе данного трактата.
16 О «месТе падения камня» см', прим. 27 к VII главе данного трактата. «Си- нус дополнения высоты» — проекция на горизонтальную плоскость радиуса, направ- ленного на Солнце (длина этой проекции — بم cos А). Здесь Беруни по существу «разлагает» вектор, направленный по этой проекции, по двум перпендикулярным на- правлениям —по Яинии меридиана и по равноденственной линии и, если мы обозна- чим длины этих составляющих через X и у, говорит, что указанная проекция равна Vx2+yj .
17 Аргумент азимута (хиссат ас-самт) - координата у основания перпендику- ляра, опущенного из конца радиуса, направленного на Солнце, определенная в прим. 16. Иными словами, это — линия синуса дуги равной азимуту в предположе- НИИ, что «полный синус» равен линии косинуса тени. Если считать сам этот перпен- дикуляр координатой, мы снова получаем пространственные координаты, о которых Беруни' Говорил в III главе. Слово «аргумент» здесь имеет тот же смысл, что наше слово «функция».
18 ЕМ равна «аргументу азимута», так как расстояние между «равноден-
ственной линией» и линией пересечения плоскостей горизонта и суточного круга, т. е. линия синуса «амплитуд восхода», а горизонтальный катет треугольника времени является суммой этих двух линий.
19 Применяемый здесь Беруни прием вращения линии ЕМ до положения, когда она становится одним из катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которо- го — вектор, разлагаемый по двум перпендикулярным направлениям — П0-ВИДИМ0- му, первое в истории геометрии применение «метода вращения» начертательной гео- метрии.
2٥ Перпендикулярность катетов обеспечивается тем, что один из них является радиусом-вектором точки касания, а второй направлен по касательной к окружно- сти. Так как один из этих катетов — «аргумент азимута» у, то второй —إ, и направ- ления соответственных «осей координат» —направление «равноденственной линии» и искомое направление меридиана.
ПРИМЕЧАНИЯ к XXII ГЛАВЕ
Iß #:<٠ف4ول Мы читаем:ؤندول.
2 ٢ла؟а впервые изучалась Марком Лесли. Lesley. Biruni on the rising times,
p. 12^-141. P y P y ج ا
3 Об амплитуде восхода и захода см. прим. 8 и 12 к XVIII главе данного трактата.


Математические и астрономические трактаты
308
4 Имеется в виду северный полюс мира, т. е. центр видимого вращения небес- ной сферы, высота которого над горизонтом равна широте ф местности.
5 На средневековом Ближнем и среднем Востоке обитаемая часть Земли под- разделялась на семь климатов (иклим, от Греч. Klima —«наклонение»): в начале 1-го климата максимальная длина дня продолжается 12 ч. 45 мин., в начале 2-го — 13 ч. 15 мин., в начале третьего — 13 ч. 45 мин, в начале 4-го— 14 ч. 15 мин., в начале 5-го —14 ч. 45 мин., в начале 6-го —15 ч. 15 мин., в начале 7-го—15 ч. 45 мин., в конце его — 16 ч. 15 мин. Беруни. Книга вразумления, с. 111—112.
6 См. выше прим. 12 к XVII г.лаве данного трактата.
7 о связи полуденной высоты в день весеннего равноденствия, когда Солнце вступает в знак Овна, с широтой местности, см. прим. 1 к XVI главе данного трактата.
8 0 Брахмагупте и его сиддханте см. прим. 39 к VII главе данного трактата.
Q Уравнение дня (та‘дил ан-нахар) — полуразность Аа между продолжитель-
ностью дня и 12 часами, измеряемая дугой небесного экватора, являющейся разностью между дугой этого экватора, стягивающей тот же центральный угол, что и половина дуги дня (дуги суточного круг'а, находящейся над горизонтом) и квадрантом небес- ного экватора.
1٥ Радиус р суточного круга со склонением Ô определяется здесь по правилу р = ]/>2 ٠ع٠ (r Sin 5)2 , т. е. р ==؛ г cos 5 .
11 	Уравнение дня Аа является катетом сферического треугольника, гипотенуза которого равна 6, а угол, прилежащий к катету Аа, равеН 90. - ۴. правило Бе-
руни rsin Да: -- ح Ig>”-cl;;gyr равносильно правилу sin Да= ==tg5٠tg؟p, вытекающему из теоремы тангенсов для указанного треугольника.
12 Прана (у Беруни брана), винада (у Беруни бинади), гхати (у Беруни кхари)— индийские меры времени: ممدح —«минута суток», т. е. 1/60 суток (24 минуты), винади—1/60 ممدح —«секунда суток», т. е. 1/602 суток (24 секунды), прана (бук- вально «вздох») — 1/6 винади (4 секунды).
18 О Виджаяндине см. прим. 19 к XVIII главе данного трактата.
14 Правило Виджаяндина
, sin Да = ng/t-rsüiS-r - /tgA-rsinS-г р لم ٠ r cos 5 .لم
равносильно правилу, приведенному в прим. 11 к данной главе.
15 	О нем см. прим. 9 к IX плаве данного трактата.
1؛ Об этом сочинении см. прим. 5 к XV главе данного трактата.
17 «Обращенная хорда» (ватар раджи() — буквальной перевод санскритского слова уткрамаджйа — здесь линия синус-версуса склонения, г siri vers 6. 3438^значе- ние радиуса круга у Ариабхаты. ؟Хорда ожерелья малого круга» (ватар таук мадар)— радиус малого круга, 'т. е. р cos 5 . Выражение «ожерелье Малого круга» встречается и в «Геодезии» Беруни (Беруни. Геодезия, с. 21ة). Правило равносильно тож- деству r sin vers x=r—r cos X.
18 «Прямая хорда этого расстояния» — г sin Ô. Правило Иа.куба ибн Тарика
/Sin8./tgy ,ш,
٢sînAa = --, г cos 5
если считать ٢ = 3438, равносильно правилу прим. 11.
IQ «Упомянутое число»: 3438=57.-60 (см. прим. 17 к данной главе).
20 Об Ариабхате см. прим.' 101 к трактату «Об анализе и определении частных значений уравнения Солнца».
21 «Прямая сфера» (ал-фалак ал-мустаким) — небесная сфера на земном эква- торе, где все суточные круги светил перпендикулярны горизонту. Небесную сферу в местностях с широтой называют «наклонной сферой» (все суточные круги светил пересекают горизонт под острым углом), а на полюсе — «параллельной с'ферой» (все суточные круги светил параллельны горизонту). «Восхождение в прямой сфере» или «прямое восхождение» а — одна из экваториальных координат небесной сферы, иг- рающая роль долготы по отношению к небесному экватору (вторая из этих коорди- нат —склонение 6). «Восхождение в наклонной сфере» а? (в случае местности с широтой ф) связано с прямым восхождением а и уравнением дня Аа соотношением a çp٠a±Aa. Слова Беруни об цзбытке и цедостатке указывают ца то, что в случае


309
Комментарии
когда Солнце находится в созвездии Овна,>а, а в случае, когда оно в созвез- дии Девы,-а < а.
22 	Джашаха и джакаха — арабская транскрипция санскритских слов чашака и чакха.
23 О нем см. прим. 106 к трактату «Об определении хорд».
24 Зидж ал-Хорезми сохранился только в Патинском переводе, изданном ٠٢. Зу- тером. Suter. Die astronomischen Tafeln. Английский перевОд опубликован о. Ней. гебауэром (Neugebauer. The astronomical tables), русский-А . Ахмедовым (Ал- Хорезми. Астрономические трактаты, с. 27—126).
25 «Разности восхождений для Земли» . разности I а اه٠ = Да для различных ши. рот (۴).
26 В таблице ал-Хорезми были приведены произведения : :fl ١ب٠ ٠ которые при умножении на /tg ср дают ٢ sin Да. у ал-Хорезми ٠ب-2 ء '150 = بم „части“, 7=12. ؛=
: 2jf, 150٧ 5٠ : ت . Беруни здесь пропустил упоминание о множителе 5.
27 «Наши книги» — книги по астрономии. «Средняя» (мувассат) — величина с, вставляемая между двумя членами отношения 7 для получения составного ОТНО" шения (см. прим. 18 к XII главе данного трактата), которое в наших обозначени- ях можно записать в виде yXj (см. ниже прим. 36 к данной главе).
28 Эта пропорция вытекает из сферических теорем синусов для прямоугольных сферических треугольников ABD и АВЕ. Для первого треугольника:
sin ЕВ sin ВАЕ
для второго:
sin BF ~ sin AB T ٥ rsinBF __ ^sin^ö sin BAD sin AFB ٠ ٠ ٠ rsinCD r
получаем, что ء ئببذ
sinnig т ح r sin ЕВ _r sin AB sin AEB ' ’ ' rsinC. r
n Так как
r sin CD ٢ cos Ä لم ctg Л
= I clgh ■ ء —hg ~ . Но в силу сферической теоремы синусов для сферичес-
к٥٢٥ ТРеУг٥Л1٠« BDF جد- ج ء ج Поэтому
Itgcp ___ l r sin BF __ r sin BP
r sin BF r sin EB r sin AE r
2٥ Здесь имеется в виду отношение, составленное из отношений —/tg!■
sin BF
r sin AE هء ”Средней“ величиной rsinBF, которое с одной стороны равно ОТНО- шению Til, а с другой стороны равно отношению, составленному из отноше- ний — / и حيزبثقذ . Если отношение ؛ составлено из отношений د и L)
г sin ЕВ r b d f
то величины а, b) с, d, в) / называются, соответственно, 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, 6-й „из этих шести величин“, в данном случае в составном отношении I tg ! сое-
r sin АЕ
тавленном из о !.ношений / и L^xnBD 3-я и 6-я величины - длина гномо-
r sin ЕВ г д
на لم и радиус г.
31 	«По равенству в перемешанной пропорции» (би-л-мусава фи-н-нисба ал-муд- тариба) — переход от пропорций ه = ث и خ- ٥ ؤ к пропорции 1 : لة٠. Здесь
b С с В с С


Математические и астрономические трактаты.
310
соединение двух терминов Евклида „отношение по равенству" (di isou logos, лат. -- ex aequo), применявшегося для перехода от пропорций ب = ث и I = ~| к про¬
порции ه = ؛ , и „перемешанная пропорция“ (tetragmenë analogia -лат. perlurbata proportio), применявшегося для указанного перехода (17 и 18 опред. 5 кн. „Начал“ Евклид. Начала, I, с. 14؛). в данном случае имеется в виду переход от пропор-
٠"٠ TlSr-Tîïïl" ءم"ء“"٠ء٠ 'أج٤ءة
_rsy٥
r sin جل£
32 	Так как «уравнение дня» Аа=АЕ, «экваториальная тень» I ctg h=l tg ср, скло- нение ة = BD) a еГо дополнение 90. - ة = ЕВ; из указанной пропорции мы полу- чаем
٠rtg۴.
rein A„Jtgyrsin8jsinS r cos ة r cos ة
ЧТ'0 равносильно правилу, указанному в прим. 11 к. данной главе.
33 о значениях/игу ал-Хорезми см. прим. 26. Так как 4ب— , деление на
4ب равносильно умножению на 5.150 = ؤ", поскольку 150" = .
34 См. прим. 15 и 16 к данной главе.
35 «Уменьшение для Овна» и «увеличение для Девы» —уравнения дня для соответственных частей года. Слова «уменьшение» и «увеличение», как выше «избы- ток» и «недостаток», равносильно указанию знака Аа в выражениях а۴ : а ± Аа.
36 Пропорции ;s;;A: IXgBE и г;,■ж? : /tg ас I __ результаты при- ропорции rsinAG itg GC r sin AM Itg LM РУ p
менения „правила четырех величин" для двух прямоугольных сферических треугол٧-
sin ٥
sin b'
ников АВС и АВ'С с прямыми углами с и С' и с общим острым углом А:
== ;g % , вытекающего из применения сферической теоремы тангенсов tgtf=sin ء tg^ к этим треугольникам.
37 	Об «отношении по равенству» (17 опред. 5 кн. «Начал» Евклида) см. прим. 3ا к данной главе. Здесь-это переход от пропорций, приведенных в прим. 36 к данной главе, к пропорции
r sin AE I tg BE r sin AM “ ItgLM ٠
38 Эта пропорция может быть переписана в виде Tin ;; - = تقث , где ح — угол наклона эклиптики к небесному экватору („наиболшее склонение“).
39 Пропорция ؤؤبإبب٠ == ء٤بب٠ - результат применения „правила четырех величин“ к треугольникам ОВЕ и ОИКذ так как НК == СМ) 0^ = 90°, а ОЕ — пря-
sin Аа
мое восхождение а: левая часть этого равенства равна отношению Tin Да 3! , а пра- вая—отношению r Bin h к r COQ h) откуда получается правило йа'куба ибн Тарика.
40 О «последовательном подборе» см. прим. 9 к XII главе данного трактата.
41 Пропорциональность теней их дугаЮ «с их синусами» - пропорциональность Itgfinlctgh отношению r sin h кг C0SÄ и наборот.
42 В И: «ПО построению» Сала-т-таркиб). Мы читаем: тартиб).
43 В И: زذحندل. Мы читаем: تناضل.
«по порядку» Сала-т-
-30 го знака-'٤ 44 Здесь применяется правило определения времени восхождения го знака в прямой'؛ диака: Al = й( — (Аа، - Да،__1). где at —время восхождения ==го знака, принимается Да* = 5.13', Да2-'٤ аннение дня в конце؟сфере, а Аа،-У '3أ32٠ = 3ه ,'29.54 : 27.53', а2 = ء(ه0 9.28', Дад= 11.12' (Аа. считается равным =
.'30.29 ع ,'39ه25 ت Ä2 ا'ة4ة2ة : чаеТся л؛откуда пол


311
Комментарии
45 о Брахмагупте и его сочинении «Кхандакхадьяка» см. прим. 12 и 39 к VII главе данного трактата.
46 Джарадала - транскрипция санскритского слова чарадала.
47 Бишубаджайа — транскрипция санскритского слова вишуватайа.
48 Бала — транскрипция санскритского слова пала) означающего также меру веса равную 15 дирхамам.
49 Сас — персидское название градуса, сведения о котором имеются только в «Гномонике» Беруни.
5٥ Здесь пЦирашения Да؛ - Да٠1 вычисляются как произведения экваториаль- ной тени на широте 24٥ (широта Уджжайна), равной, согласно таблице, приведенной Беруни к XII главе21 ؛5 ؛ (точное значение 553 ,33 ,29 ؛), соответственно, на لأ5ل V
16 	8
ؤ ,а за тем Ha-5٢=rJL для перехода от секунд дня к заманамو в'Результате чего получается Дс5.19= ا٦-| •21 ;5 == 1؛': Да2 — Да4.21 =اآ |؛-21;5= ؛; Да3 — Да, = = 5;211.47= ث٠ا|٠'. Отсюда по правилу, приведенному выше в прим. 44, полу- чаются. А[ = 22.34', Ä-2 =25.33', Аз = 30.26'.
![ Восхождения зна.ков в прямой сфере равны: .1 = 438 ؛ секунд ,, а2=
= 459 ؛ секунд .. а3==523 ؛ сеКуНд дня=32٥18'. в тексте т.ретье из значеНий
ai в секундах дня отсутствует, а первые два искажены.
52 Так как экваториальная тень на широте 24٥ равна. 521 ؛, ее избыток над 5 ра- вен 0إ؛؛ , ее «доля в часах» равна произведению этоГо избыт’ка на 8 «минут часа», тТе. 0,21 ا"43'2 .0 = ءر0467ل0 : - و ٠ что соответствует 00.42 = ٠15"ؤ4'2د' заманам.
53 «Зидж 111ахрияров»-то же, что «,Шахский зидж» (см. прим. 19 к IX главе данного трактата).
54 Ваттешвара (у Беруни Батишфар) — индийский математик IX—X вв. из Нага- рапуры.
55 «Каранасара» («Извлеченная из каран») — сочинение Ваттешвары, написанное в 899 г. О каранах см. прим. 11 к XVI главе данного трактата.
56 О ВиджаянандИне и его сочинении «КаранаТилака» см. прим. 19 к XVIII гла- ве данного трактата.
57 «Индиец Иалтабац» —искажение имен-и индийского ученого, которого не удалось отождествить ни с одним известным лицом.
58 Здесь Aai = 5؛'5.19 = ئبأ٠ 21 ؛ Дос2 — Aat = 5؛'3.45 = ى .21 ؛ Даз — д«2 = 5؛ 21. 1.47= ؤ'.
59 в И: «двух третей» (сулсайн). Мы читаем: «тридцати» (саласин).
60 «Основа», равная произведению экваториальной тени на 1 ٠ "4 1 = ل- ب равна 8٥12'12". Поэтому здесь Да48'21٠47="12'8٠12—30٥=؛", Да,=Да12'8٠12- 4+؛"= = 2141'25٥4 = "53'3٥16 + ء48'47ه"; Да3 = д«2 41'25٥4 = "12'8٠12 . ؤ ؛" t 3٠16'53" = 34ا21°28تي". Подобные вычисления, основанные на „зигзагообразных функциях“, встречаются в вавилонских клинописных источниках.
؛ 1؛Книги персов» —книги астрономов доисламского Ирана.
62 Здесь Беруни излагает вычисление, аналогичное Еычислению, указанному в прим. 60, с непосредственной ссылкой на вавилонские источники.
53 Здесь «основа», равная' произведению экваториальной тени на ! ٠ равна 7٥25'50". Дс،1 ٠ 30٥_7٥25'25" = 22.3410",
30'25٥32 = "20'2٥58 + "10'22٥34 ء "50'٠7٥25 ا|باعه٠ 2هد",
Ааз = Да2 + ٠ ٠٠7٠25'50" = 25٥32'30" + 250'28٠30 ء "20'58ه",


Математические и астрономические трактаты
312
."10'31.29 = "20'58د2 7٥25'50" = 28٠30'50" t. ؛ + Да, = д٥з ,"30'34٥27 ٠ "20'2٥58 + "31.290 = ثم'50'25ه7. .اب ,Да = ؛Да ."50'37٥25 ٠ "20'8ةه2 ا "30'34٠27 = "50'7٥25. ؤ + ؛Да. = Да
ПРИМЕЧАНИЕ К XXIII ГЛАВЕ
1 См. выше прим. 9 к XII главе данного трактата.
2 См. выше прим, к VII главе данного трактата.
ج Это правило может быть выражено формулой 7 = ۴تآتإتبؤ , где ثم — время,
7—7. + 12
прошедшее после восхода Солнца или оставшееся до его захода в минутах (60-х до- лях) суток, L - длина дня в минутах суток, 7 и То — тени гномона в данное время и в полдень. Это простое выражение является точным при восходе и з.аходе Солнца (7:00, 0 = ثم) и в полдень (г == 70, t : ~إلؤ и приближенно выражает t при ос. тальных значениях. D а V i d i а п. Al-Biruni on the time of day, p. 330—335.
4 См. выше прим. 8 к XII главе данного трактата.
5 1 минута суток равна 6 заманам.
6 «Сумма этих двух делений» (джам‘ ал-кисматайн) — результат последова- тельного выполнения двух делений. Здесь впервые в истории математики арифмети- ческии термин «сумма» применяется не к числам и не к геометрическим величинам, а к операциям. Тем самым Беруни предвосхищает идею «сложения» или «умножения» операций, лежащую в основе теории групп, созданной э. Галуа в начале XIX в. С другой стороны сопоставление «суммы» делений произведению делителей —дру- гая важная математическая идея, которая при дальнейшем развитии могла привести к идее логарифма.
7 Гхати — индийское название минуты суток, см. прим. 12 к XXII главе данно- го трактата.
8 «Косой час»-د светлого или темного времени суток, в отличие от «прямого часа»—ؤ суток. Вначале (еще в древнем Египте) появились косые часы, которые определялись по восхождениям определенных звезд. Косые часы применялись в сред- ние века в быту и для мусульманских молитв, прямые часы применялись только астрономами. «Части косого часа» —число градусов небесного экватора, соответ- ствующих данному косому часу.
ج Конъектура, в #.٠ 1جيبه . Мы читаем: ٠ءسالها .
1٥ См. выше прим. 17 к XII главе данного трактата.
11 Здесь предлагается зависимость т ت уч также дающая правильный резуль-
т
тат при ٤ = 0 и ٠ؤ٠ : ٤ .
12 о Брахмагупте и его «Брахмаспхутасиддханте» см. прим. 39 к VII главе дан- ного трактата.
13 пртхудакасеамин (у Беруни Бртусвам) — индийский астроном IX в.'
14 Аббасиды (Бану Аёбас) ذ династия багдадских халифов (749-1258)؛ «в на- чале дней Аббасидов» - ؟торая половина VIII в., когда в Багдаде появилИсь пере- воды и переработки' индийских сиддхант.
15 Гулиджат — искажение слова гхатика.
16 О прямом часе см. вьппе прим. 8. После этих слов — пробел в рукописи.
17 В 77.' ودل ; мы читаем وذل.
18 Шлока — индийский стихотворный размер, которым часто писались научные сочинения индийцев, в «Индии» Беруни Писал؛ «Большинство их книг [написано]
ي :.ках. Я сам упражняюсь в них, ког؛؛ я делаю [сейчас] перевод книги Евклида и «Альмагеста» для индийцев и диктую им сочинение об устройстве астролябии, по: буждаемый желанием распространить знания». Беруни. Индия, с. lSO.


313
Комментарии
19 Имеются в виду индийские астрономические труды сиддханты. См. также прим. 47 к трактату «Об анализе и определении частных значений уравнения Солнца».
20 Числовые значения букв ба и 1айн —2 и 70. Здесь имеется в виду число 72.
21 Здесь стихами выражена формула t = —FiT ’ т. ج. формула прим. 3 при [=12.
22 «Звездная касыда» - сочинение ал-Фазари, единственные дошедшие до нас фрагменты которого сохранились в «Гномонике» Беруни.
23 В 77 это слово искажено. Мы читаем по конъектуре: لذسب:ل .
24 Гномон AB изображен на рис. 139 в произвольной проекции.
25 «Плоская фигура» (саг* ذ буквально «поверхность» и «плоскость»)-здесь прямоугольник, играющий рОль проИведения отрезкОв 12=]ة и BE:6. Здес^ Беру- нИ пользуется терминологией «геОметрической алгебры» древних (см. прим. 16 к XII главе данного трактата).
26 Конъектура, в 77: ٠۶ f>f. Мы читаем: ٠۶ (٠اجر
27 Рис. 139 иллюстрирует правило, изложенное в прим. 21, с. помощью «геомет- рической алгебры»: ВК—Т—То, СК=Т—То}\2. ПрямоугОльники BCDE и КСНМ:72; BJ==CH==t.
28 Несколько абзацев текста в и ошибочно перенесено на с. 158-160. См. паги- нацию на ПОЛЯХ нашего перевода.
29 Л4у٠га-индийская мера времени.
дневного или ночного времени су-
15
ток, T. е. -g- «косого часа» (см. выше прим. 8).
30 Зидж ал-Харуни не упоминается в других известных нам источниках, о его авторе Харуне ибн Абу Мансуре CM. MP, II, с. 85.
31 Кардаджа, слоЕо санскритского происхождения, означавшее 15٠, т. е. дугу, на которую небесная сфера поворачивается за 1 час.
32 Об отношении «По равенству в перемешанной пропорции», см. прим. 31 к XXII главе данного трактата.
33 Под терминов поворот имеется в виду дуга поворота небесной сферы при су- точном ее движении. Поворот — дуга прошедшей части дня, измеряемая в градусах небесного экватора (Беруни. Книга вразУмления, с. 296, прим. 5). Здесь текст в 77 не в порядке.
34 Конъектура, в ЕВ.
35 Текст здСсь не в порядке и переводится условно.
35 Правило Па'куба ибн Тарика выражается формулой
150 *sin h
1800 l cosec h
٠sin^ = .
150, / - 12, 150 sîn t = 150 sink
Sin /0أ
T. e., считая
37 دسسى от نوس („дуга").
38 См. выше прим. 12 к VII главе данног'о трактата.
39 «Плоский синус» — устаревшее название обычной линии синуса.
40 См. выше прим. 54 к XXII главе данного трактата.
41 См. выше Прим. 19 к XVIII главе данноГо трактата. Здесь Беруни приводит арабское название этого сочинения «Блеск зиджей», под которым он его перевел.
42 Переход от дуги к синусу— رجددب от جدب - «синус». Беруни подчерки- вает взаимную обратность этого действия и перехода 'ОТ синуса к ду,ге ('ОМ. выше прим. 37) по.добную взаимной обратности сложен'ия и вычитания, а также умножения и деления.
43 Балабхадра — индийский астроном VIII, в. Его комментарии к «Брахмаспхута- сиддханте» — по-видимому «Каньякубджа».
44 о «Каранасаре» см.- прим. 55 к XXII главе данного трактата. Беруни переводит это название не «Извлеченная из каран», а «,Уничтожитель зиджей», переводя слово карана словом «зидж».
45 В 77 ошибочно вместо «северное» — «южное».


Математические и астрономические трактаты
314
ПРИМЕЧАНИЯ К XXIV ГЛАВЕ
1 «На расстоянии стороны квадрата, [вписанного в сферу]», —т. е. на расстоя- НИИ, равном квадранту большой окружности этой сферы.
2 Определение выс'оты h Солнца по его азимуту А, склонению ة и широте we- стности ф равносильно применению несколш. раз сферической теоремы синусов. Из прямоугоЯьНых сферических треугольников ЕМК и EDC с прямыми углами к и с и с общим углом Е мы получаем - = s;: пс~ ’ где ЕМ == 90. — A, DC = 90. — ۴. ED ٠ 90٥, откуда находим صبر. Из прямоугол ного сферического треугольника СНЕ
sin. sin ء#
где £ = 90٥ — cp, sin ى = cos صبر,
sin GH
А, откуда находим GH. Из прямоугольных сферических треугольников GXA прямыми углами А и L и общим углом G получаем sin ах - sin GO
с прямым углом н мы получаем ;;; в ЕН
и G QL ١٠ X X ام ٢ر ITl Ш IVl r 1 ت٠ X ٠11 «111 IX دد II - II د ر 1لا'٩٠عء٧٧ VI ٧ 1١1 \رالا1٧ا ل X u V ITX ХА ' I Г)
где GX:9QO—GH) ХА == cp, OL : ь, откуда находим GO. Искомая высота h равна GH^GO.
3 Определение прошедшей части дня по азимуту А Солнца равносильно примеие-
нию несколько раз сферической теоремы синусов: из , прямоугольного сферического треугольника EGH с прямым углом н получаем = sinj^i ١ где ЕН = А; [угол]
G был найден выше, откуда находим EG. Из двух прямоугольных треугольников
' OGL и OFX с прямыми углами L и F и общим углом о получаем . ئ Sin/Vf ’ где 0£==90٠—٠0ل FH: 90٥ —cp, ..— „уравнение высоты“ было определено выше. Отсюда находим GL. Зная GL и EG) находим EL) а по EL и уравнению дня EZ находим прошедшую часть дня ZL.
4 Определение азимута А по высоте h Солнца основано на применении сфери-
ческой теоремы синусов: из прямоугольного плоского треугольника KGM (рис. 142) h = sin/с": <sincp cp) ’ где KG = r sin h. Далее определяется GL = GM±ML)
где амплитуда восхода ML считается известной, а из подобия треугольников EIH
EG ЕН r cos h r
и EGL вытекает пропорция ТТЛ : If) ٠ء .أ (ГГ :-, откуда находит, ся sin د
ПРИМЕЧАНИЯ к XXV ГЛАВЕ
٠1 Харранцы —сабии, из среды которых вышли Сабит ибн Курра и ал-Баттани.
2 Индуисты молятся в моменты восхода Солнца, полудня и заката Солнца, на- зываемые самдхйа.
3 Маги (ал-маджус) — зороастрийцы (наше слово «маг» происходит от их гре- ческого названия magQs). Из среды магов вышел ал-Хорезми, именовавшийся также ал-Маджуси. Зороастрийцы были солнцепоклонниками и огн.епоклонниками.
؛Здесь «светила» — نوور!.
5 	Это сказано в однСм из Хадисов г- устных преданиях о высказываниях Му- хаммада.
ج Эти слова есть в р, но опушены в и.
7 	؟од совершенством СолНца здесь имеется в виду его кульминация.
ج Арабские названия 5 мусульманских молитв приведены в п^им. 22. к VII главе данного трактата.
Гавриил — библейский архангел, почитающийся также христианами и мусуль- манами. уу
٠ 10 Ал-Ка.ба (Кааба) — храм Е Мекке, являющийся одной из главных мусуль- минских святынь и основным объектом паломничества.
لل٠ Эти слова, по-видимому, содержатся в одном из Хадисов.
: ٠٥мар ибн ал-Хаттаб—- второй «праведный халиф^^правил в 634—644 гг.
ة"7لم год хиджры-638 г. А^или — правители провинций.
4 ٥ локте см. прим. 6 к XIX главе, о фарсахах см. прим. 12 к XVII главе дан- ного трактата.
БасрОИ Абу Муса ал-Аш‘ари (VII в.) — сподвижник Мухаммада. Одно время правил
16 Сура — глава Корана.


315
Комментарии
17 Джа.фар ибн Мухаммад ас-Садик (OK. 700-7Ö5) — один из шиитских имамов.
18 Так в р (1مثاله). В И: 1٠مثله
19 Коран. Худ, 116.
20 «Два момента времени»- ان'!. Сравнение их с точками линии и даль- нейшие слова «моменты времени не настолько обширны» показывают, что Беруни счи- тал как моменты временИ, так и точки линии, имеющими хотя и небольшие, но ко- нечные размеры. Эти слова Беруни показывают, что ؟ГО ؟клонность к математическо- му атомизму, выраженная в его переписке с Ибн Синой, и٩ела место и в период сОздания «Гномоники». Беруни и Ибн Сина. Переписка, с. 13—14.
21 Фикх - мусульманское законоведение.
22 Коран, Та Ха, 130.
23 Коран. Собрание, 48—49.
24 Коран. Перенес ночью, 80.
25 Фадала аз-Захрани (VII в.) — сподвижник Мухаммада.
26 Эти слова —из хадисов.
27 Хумайд ибн Саур ал-Хилали (VII в.) — арабский поэт, s е Z g i п, II, S. 247—248.
28 Имеется в виду Абу ‘Абдаллах Мухаммад ибн Идрис аш-Шафи‘и (767—820), основатель школы мусульманского права «шафиИтоь». Sezgin, I, S. 484—490.
29 Имеется в виду Малик ибн Анас (ок. 710—795), основатель школы мусуль- майского права «маликитов». Sezgin, I, S. 457—464.
30 «Два праздника» — ал-адха и ал-фитр.
31 ИмеетсЯ в виду Абу Ханифа ан-Ну‘ман ибн Сабит (699—767), основатель шко- лы мусульманского права «ханафитов». Sezgin, I, S. 409—419.
32 Имеется в виду Абу Иусуф Иа.куб ибн Ибрахим ал-Ансари (731—798), му- сульманский законовед, ученик Абу Ханифы (см. выше прим. 31) и Малика ибн Анаса (см. выше прим. 29). s е Z g i п, I, S. 419—421.
33 Имеется в виду Мухаммад ибн ал-Хасан аш-Шайбани (749—805), крупный мусульманский законовСд, ученик Малика ибн Анаса и Абу Иусуфа Йа‘ку5а٠ SezgLn, I, S. 421—433.
34 Ахмад ибн Мухаммад ибн Ханбал (780—855), основатель школы мусульман- ского права «ханбалитов». Se Z g i п, I, s. 502—509.
35 «Ложная заря» или «волчий хвост» — зодиакальный свет, в русском переводе «Канона Мас'уда» (Беруни. Канон Мас'уда, II, с. 222) первый из этих терминов переведен «ложное утро», а с зодиакальным светом неправильно отождествляется не этот, а один из ,других видов утренней зари (там же, с. 567, прим. 80).
36 Пробел в р. Следующая фраза испорчена.
37 Минимальная полуденная тень ho гномона, имеющая место в день летнего солнцестояния и равная в этот день 90.1—8 (где ф - широта, а 8 1/2٠ 23 دح —угол между плоскостями эклиптики и небесного экватора) превосходит длину гномона при ho<45٠, т. е. это имеет место при широте ф, удовлетворяющей условию ф>45٥—8^ ^45.-23 1/2٠=21 1/2٠.
38 Имеется в виду ‘Ата ибн Абу Рабах ал-Кураши (647—732), комментатор Ко- ^ана, составитель хадисов, мусульманский законовед и муфтий Мекки. Sezgin, I,
39 Имеется в виду Таус ибн Кайсан ал-Хамдани (ум. 725), мекканский зако- новед.
40 Коран. Перенес ночью, 80.
41 Имеется в виду Абу ‘Убайд ал-Касим ибн Саллам (ум. 834), грамматик, ко- рановед и законовед, живший в Ираке, Малой Азии и АраЕии. Sezgin, I, с. 8.
42 Эти слова —из хадисов.
43 Шииты (ши'а — «партия», имеется в виду «партия ‘Али») — последователи нап- равления ислама, распространенного главным образом в 14ране. Шииты не при- знают первых трех «праведных халифов» и считают, что преемство миссии Мухамма- да принадлежит исключительно четвертому халифу ‘Али ибн Абу Талибу (656—661), двоюродному брату Мухаммада и его зятю.
44 Зайдиты — секта шиизма, распространенная в Йемене: основана Зайн ал- А؟И^1Н0М Зайдом ибн алХусейном ибН ‘А^и (ум. ок. 740), внУком халифа ‘Али ибн Абу Талиба, s е Z g i п, I, S. 526—528.
45 Коран. Скот, 76.
46 «Два теленка» (фаркадан) — староарабское название звезд р и Y Малой Медведицы.
47 Юпитер — Муштари.
48 Венера — Зухра.
9د Абу ‘Абдаллах Мухаммад ибн Каррам ас-Сиджистани (ум. ок. 970), уроже- нец Сиджистана, основатель секгы каррамитов, распространенной в Хорасане. Кар-


Математические и астрономические трактаты
316
рамиты пытались совместить учени؟ Кора؟а с элементами философии Аристотеля.
50 Таиф — город в Аравии вблизи Мекки.
5ا ‘Али ибн Абу Талиё —четвертый «праведный халиф», см. выше прим. 43.
52 ‘Абдаллах ибн ‘Аббас (ум. 687), —двоюродный брат Мухаммада, один из крупнейших мусульманских Т0؟Л00؟В первого поколения, считается основателем ко- рановедения. s е Z g i п, I, S. 25—28.
53 Имеется в виду Катала ибн Ди'ама ибн Катада ас-؟адуси (679—736), комментатор Корана, законовед и знаток поэзии, s е zg i п, I, S. 31—32.
54 По-Еидимому, имеется в виду Муджахид ибн Джабр ал-Макки (642—722), комментатор Корана из Мекки, один из основоположников рационалистического толкования КорЕна (в частности, он истолковывал антропоморфистические выраже- ния Корана метафорически), s е Z g i п, I, S. 29.
55 Арафат и муздалифа —гора и местность близ Мекки, где совершаются ежегодные церемонии паломников.
56 Кунут — усердное чтение молитвы, поклонение.
57 Коран. 'Голпы, 12. Словом «поклоняется» здесь переведено слово канит — «усердно читающий молитву, поклоняюшийся, набожный».
58 Имеется в виду Джабир ибн ‘Абдаллах ал-Ансари (VII в.), сподвижник Мухаммада, большой авторитет в области хадисов.
59 Так в ۶.. ددا ٠رذهم
60 ‘Абдаллах ибн ‘Омар (ум. ок. 750) — сын омейядского халифа ‘Омара (717—720).
61 Кубайса ибн Зувайд (VII в.) — сподвижник Мухаммада.
62 Рак.а — коленопреклонение при молитве.
63 Моисей (у БерУни Муса) — мифический автор первых пяти книг Библии («Пятикнижия»), считается у мусульман одним из пророков.
64 В #.ومداردن ٠!. Следуем конъектуре в К: اومناوية.
65 О магаХ см. выше прим. 3. о трех молитвЕх магов, сабиев и индийцев гово- рилось в начале главы.
66 Румы — здесь византийцы؛ месяцы румов — месяцы христианского солнеч- ногб календаря.
67 «Орбита апогея» (фалак ал-аудж) — окружность, но которой движется Солнце в соответствии с эксцентрической гипотезой Птолемея.^ Для объяснения ви- ДИМОЙ неравномерности движения Солнца Птолемей предложил две гипотезы: соглас- но эксцентрической гипотезы Солнце движется равномерно по окружности, распо- ложенной эксцентрично относительно эклиптики. Согласно эпициклической гипотезе Солнце равномерно движется по эпициклу, центр которого равномерно движется по деференту, концентричному с эклиптикой.
68 «Кольцо» — армиллярная сфера. См. прим. 14 к VI главе данного трактата.
69 «Духовная геометрия» — хандаса руханиййа. ср. название геометрического
трактата ал-Фараби (870—950) «Книга духовных искусных приемов и природных لآئ о Toicnsrx. .لألآلا («Китаб ал-хийал ар-руханиййа 8а-л-асра,р
ат-таби‘иййа фи дака،ик ал-ашкал ал-ханОасиййа»). Фйпк ?к-
таты, с. 91-231.
70 Об этих частях см. прим. 7 к 1 главе данного трактата.
71 «Учение о состояниях тяжелого и легкого и" о центрах тяжести» — статика.
72 «Наука о фор^е мира» — астрономия.
78 Об уравнении дня и его выражениях через широту местности и склонение Солнца см. Прим. 9 и 32' к XXII глаЕе данного трактата.
74 Если склонение незаходящей звезды равно 6, то при ф+6<90٥ максималь- ная и минимальная высоты этой звезды в меридиане рав1؛Ь1 hl == ?90) ب. — о), hf = ة - .90) — ؟) и ۴ = hj + hj ٠ а при 9 ه90 < ة ب ftj = 90. - 9 — 8 — ه90 — 9 = 2ءر ,ة
”9ابؤ-90٠ء
75 В ДНИ солнцестояний склонение равно углу е наклона эклиптики к небесно- му экватору и, полагая в 4-й формуле в прим. 74 ج±=ة, мы получим /ه90=لأ — -9-г, й, = 90° — 9 + £ и 9 = 90°— H\ + h
76 Наибольшее склонение — угол Е наклона эклиптики к небесному экватору. «Части» здесь — градусы.
77 Склонение 6 светила связано с его эклиптическими долготой X и широтой р соотношением
sin (ïj ع غ) V ٠ل٠م ل cos31 cos3 ß.
sin


317
Комментарии
где Tl определяется по формуле
sin р
لم٦أللق Vl — cos2Xcos3ß٠
78 Для целей астрономии наиболее важны солнечные календари-юлианский ка- лендарь «руМов», котОрым во времена Беруни пользовались п-0 «эре Александра» (фактически — по Селевкидской эре), начавшейся в 312 г. .0؛ н. э., и календарь персов, которым во врем'е'на БерУни пользовались по эре Иездигерда, начавшейся в 632 г. н. э.
79 Архимед (у Беруни Аршимидис) — ؛еликий древнегреческий математик и
механик (287-212 до н. э.), Аполлоний (у Беруни Абулунйус) — великий древнегре- ческий математик (262—190 до н. э.). -
8٥ «Начала» — «Начала» Евклида, см. прим. 117 к «Трактату об определении хорд».
81 Промежуточные книги (ал-кутуб ал-мутавасита) — книги, ручавшиеся между «Началами» Евклида и «АльМагесТоМ» Птолемея: «Данные», «Оптика» и «Фено- мены» Евклида, «Измерение круга», «о шаре и цилиндре» и ؛Леммы» Архиме- да, «О движущейся сфСре» и «о восходах и Заходах» А^толина, «о ؟еличинах и рас- стояниях Солнца и ЛунЫ» Аристарха, «о восхождениях» Гипсикла, «Сф؟рика», «о дн؟х и ночах», «О поселениях» Феодосия, а также «Книга предположении» Сабита ибн Курры и «Книга измерения плоских и сферических фигур».учителей Сабита братьев БаНУ Муса. Составлены Сабитом (см. Сабит. Трактаты, с. 330).
82 Первые 8 книг «Альмагеста» посвяшеНы картине мира и тригонометрии, сфе- рической астрономии, движению Солнца и Луны и неподвижным звездам, последние 5 книг посвящены движению планет.
83 Иблис —ОДНО из мусульманских именований дьявола.
84 Идрис —персонаж к'орана, отождествляемый с библейским патриархом Ено- хом, сыном Иареда.
85 ОбразнОе выражение, говорящее, что всяким делом должен заниматься чело- век, искушенный в нем.
ПРИМЕЧАНИЯ к XXVI ГЛАВЕ
1 О гиперболе см. П'рим. 2 к IV главе данного трактата.
2 Индийский круг оп'исан Беруни в XVIII главе «Гномоники».
3 Определению полуденнрй тени посвящена XVI глава «Гномоники».
4 О нем см. прим. 32 к XXV главе данного трактата.
5 О нем см. прим. 33 к XXV главе данного трактата.
6 О нем см. Прим. 28 к XXV главе данного трак'гата.
7 О нем см. прим. 31 к XXV главе данного трактата.
8 О нем см. прим. 79 к трактату «Об определении хорд».
Q «Преобразовать тень из рода двенадцати в род шестидесяти» — перейти в выражении тени high от /==12 к /=60.
10 Об астролябии см. прим. 3 к XIII главе данного трактата.
11 «Коробка» (батН) буквально, «брюхо»)—часть астролябии между ее лицевой стороной и спинкой (см. прим. 8 к введению), в которой хранится набор тимпанов для различных широт.
12 О тимпанах астролябии (сафаих, мн. ч. от сафиха) см. прим. 3 к XIII главе данного трактата.
13 Колышек Земли (ватад ал-ард) — точка пересечения горизонта с небесным меридианом, находящаяся под поверхностью Земли.
14 О «пауке» см. прим. 3 к XIII главе данного трактата.
15 ‘Омар ибн ‘Абд ал-‘Азиз — омейядский халиф, правивший в 717—720 гг.
15 Сунна — мусульманский религиозный закон, от этого слова происходит на- звание одной из главных сект мусульман — суннитов.
1؛ О славе фай,) Беруни Г,0>В0'Р'ИТ в III главе данного трактата.
18 	0 горе Демаванд- см. прим. 46 ко II главе данногО трактата.
وا Трон (курси) — треугольная деталь астролябии, к которой присоединено кольц؟, за которое астролябия подвешивается при измерении высоты светил.
هح ^Конструкторы астролябий» — астурлабиййун, мн. ч. от слова
21 Приведенная таблица в знджах Хабаша ал-Хасиба не обнаружена. Kenne- d у. Commentary, P.. 151.
22 «Лунообразная» — хилалиййа, от хилал — «полумесяц». Фактически здесь речь идет об алидаде, являющейся металлической полосой, согнутой в виде полуци- линдра. Рис. 145 Беруни чрезмерно схематичен, поэтому приводИм более точный чер- теж (рис. X) из комментариев э. с. Кеннеди (Kenned؛. ,Commentary, P. 152), На


Математические и астрономические трактата
315
котором наглядно видно, что луч Солнца при высоте h Солнца попадает на точку этоИ алидады, отстоящую от ее верхней точки на дуговом 'расстоянии 2h.
23 Солнечные часы — РУ хама; буквально: «мраморная плита».
24 «Главные тени» (pyjyc, буквально «головы»)—тени, соответствующие целым значе2؟и ^.;:.липерболы» — му хит кат' аз-за’ид»} см. прим. 2 к IV главе дан.ного тракт^т؛^д^н из горизонтов прямой сферы» —горизонт одной из точек земного эк-
٠ 27؟ месяцах румов см. прим. 23 к VII главе данного трактата.
28 ß 1لكوكب ..بر . Мы читаем: yjjjjf.
ПРИМЕЧАНИЯ к XXVII ГЛАВЕ
1 	«Наука о звездах» (танджим) — общее название-астрономии и астрологии, см. прим 17 к введению к данному трактату.
р 2 Здесь Беруни приравнивает часТИ «полного синуса», в которых измеряются СИ- нусы к частям длины гномона, в которых измеряются тангенсы и котангенсы, т. е
В
Рис. XI.
рассматривает линии тангенсов что
тангенса той же дуги -
и котангенсов в том же тригонометрическом круге,
и линии синусов.
3 	Если линия синуса — половина стороны вписанного многоугольника, то линия -- ..." половина дуги описанного многоугольника с тем же числом
стороН (наше название таНгенса, от латинского tan- gens — «касательный» и происходит от представления линии тангенса в виде отрезка касательной к Т'ригоно- метрическому кругу).
4 	Об «Альмагесте» Птолемея см. прим. 8 к VII главе данного трактата.
5 	Это и есть «предложение о секущих» (шакл ал- кита{)} о котором говорится в названии этой главы؛ слова шакл ал-кита' означают также «фигуру секу- ших», т. е. плоский (рис. XI) или сферический (рис. 147 )полный четырехсторонник, «предложение о секущих» — теорема Менелая, впервые доказанная александрийским математиком I в. н. э. в его «Сфе- рике» дл^ плоского и сферического полных четырех- сторонников: для плоского полного четырехсторонника AGCDBE (рис. XI) эта теорема может быть записана в виде составного отношения
Рис. XII.
ЕВ GD СВ
AE - AG X DC•
а .ДЛЯ сферического полного четырехсторонника AGCDBE (рис. 147) .нелай дает ее в виде составного отношения:


319
Комментарии
хорда 2ЕВ хорда 2QD хорда 2СВ
- = хорда 2AG X хорда 2DC равносильного составному отношению
sin£ö sinGD sinCE sinAE — sin AG X sinDC '
6 О фигуре секущих CM. прим. ج к данной главе.
rsina ltga
7 Здесь применяется правило r cos а = I ء равносильное правилу tg а == sin а
— cos ٥ '
a b
8 «Перевертывание» — переход от отношения 7 к отношению ذ. Перевернутое отношение (anapalin (logos) было определено Евклидом в 13 опред. 5 книги «Начал».
9 т. е., если в составном отношении 1 = 7X7 а=с, это отношение раьно
сильно простому отношению 7 = 7 .
10 	О «средней» величине см. прим. 27 к XXII главе данного трактата. Если g — «средняя» между аи٥, т٠۶х؛ = ^:в данном случае 7 = 7 и из а = с следует
g == d; а также t = j , откуда получаем «простое отношение», указанное в- прим. 9.
11 	Это теорема тангенсов для прямоугольного сферического треугольника АВС с прямым углом С
ltga ltgA г sin Г г
или в наших обозначениях
tg ٥ = tg,4 sin ٥.
12 	Об отношении «по равенству» см. прим. 31 к XXII главе данного трактата.
3ا Здесь к прямоугольному сферическому треугольнику AGE, где ^G-эллип- тическая долгота X Т0.ЧКИ ى эклиптики, GE - (первое) склонение Ô той же тоЧки, угол د£-«наибольшее склонение», а £-прямой угол, применяется сферическая теорема синусов:
sin Ä sin ٥ sin с sin د “ sin ح — sin G'
Полученное соотношение в наших обозначениях имеет вид
s٤n& = sin^sin£.
14 «Второе склонение» точки эклиптики — расстояние от этой точки до небес- ного экват,ора по перпендикуляру к эклиптике, восставленному из точки эклипти- ки. Здесь в том же сферическом треугольнике АЕ — эклиптическая долгота X точки Е) EG — второе склоненИе 0ا той Же точки, угол л = £, угол ى — прямой.
15 о «расстоянии стороны квадрата», равном квадраНту большого круга сферы, см. прим. 1 к XXIV главе данного трактата.
15 Эта пропорция вытекает из «правил четырех величин», равносильного при- менению сферической теоремы синусов к двум прямоугольным сферическим треуголь- никам AFH и АКМ с прямыми углами F и I. из первого треугольника получаем : sin АН r sin F r sin AK r sin м
из второго — тЦ : ТТГпЛ и, так как АН: 90.4


Математические и астроиомические трактаты.
32.
или sin HF = cos X sin ح.
Ш:г. получаем بي=ق
17 Эта пропорция вытекает из «правила четырех величин», равносильного при- менению сферической теоремы синусов к двум прямоугольным сферическим треуголь- .никам нок и HLX с прямыми углами к и X: из первого треугольника получаем
и, так как он = 90٠ ٥ HF,
r sin HL ٢sin ^ r sin LX ~~ r sin FI
٢ sin 0^ rsin^
- ٠ rsintf ’ "3 второго
OK = 90٠ح-ه HL = 90٥, LX = 90اة . ٥ . получаем ~co;J[F : - 1 bi" , T. ٠ة cos اة =
C0S3 COS&1
: COsHF" Исключая из последней пропорции и пропорции, приведенной в прим. 16, HF) можно получить соотношение
tg اة = sin Xtg£٠
18 Здесь последнее соотношение получается непосредственно путем применения сферической теоремы тангенсов к прямоугольному сферическому треугольнику AEG с прямым углом G, сторонами Л£4, £0 = 01 и углом л = £.
19 Так как рис. 149 Беруни схематичен, приведем более наглядный чертеж (рис. XII) э. С. Кеннеди (К, с. 252). «Восхождение части» - ى — точка пересечения горизонта. AD с эклиптикой ZB.
20 Большой круг BGZ - эклиптика.
21 Эта пропорция вытекает из сферической теоремы синусов для двух прямо-
угольных сферических треугольников и с прямыми углами £ и Z. Из
г sin EG r sin AG r sin EG r sin AG
первого треугольника получаем - = т. е. - = ٠ ب
г sin GZ ٢ sin HG rsincp — r
٢ sin GZ م sin HG
ق из второго Til =71
22 Эта пропорция вытекает из «правила четырех величин», равносильного при- менению сферической теоремы синусов к двум прямоугольным сферическим треуголы никам CGZ и СИ£ с прямыми углами Z и п. Из первого треугольника получаем
rs'"٥c 'ااى،:“«,اج٠ج-ء.ئ /"'٥
٠sinH£
*sin G
٠ sin GZ
CE: 90٥, H£ = Да, получаем sin Aa = с~ь . Исключая из последней пропорции и пропорции, приведенной в прим. 21. GZ, можно получить соотношение
sin Aa = tg ة tg cp,
указанное нами в прим. 11 к XXII главе данного трактата.
23 	Здесь последнее соотношение получается непосредственно путем применения сферической теоремы тангенсов к прямоугольному сферическому треугольнику AGE с прямым углом Е, в котором Л£=Aa, £G = Ô, угол л=90.-؟.
ПРИМЕЧАНИЯ к XXVIII ГЛАВЕ
1 о диоптрах астролябии см. прим. 3 к XIII главе данного трактата.
2 Если мы обозначим высоту наблюдателя через h) ширину реки через X) угол, под которым противоположный берег виден при первом и втором измерении, COOT- ветственно, через а и ß, а расстояние между точками двух измерений через а (рис. XIII), то из прямоугольных треугольников с вертикальными катетами h и гори- зонтальными катетами X и х+а мы получим
ي ث Zctg a, 4"h = / ctg ß
По нашему условию لم ctg ß = لم ctg а + 1. Потому х+а I ctg а 4~ 1
... لم ctg а »


321
Комментарии
откуда получаем
X:a-l ctga
3 «Место падения камня»-основание перпендикуляра.
4 При Ä.45. tgb ctg h ==1 и لم tg A ؛ ءctg h .1 ء
ج еСли исКомаЯ высота — #, высота наблюдателя - А. а расстояние, на кото- ром высота видна под углом 45٠, — а, то H—h=a и #==٥+А.
6 «Яеление лучамИ (или зрительными лучами) прямого угла пополам» —наблю- дение под углом 45٠.
7 Если искомая высота — #, расстояние от наблюдателя до измеряемого пред- мета — а, а угол, под которым видна его вершина — ٠, то здесь из треугольника АВС (рис. 150), где АВ=Н, ВС:а, а=С| вытекает пропорция jr ٠ئقتئئ ٠ откуда
1 لاсЛ.؟،а٠
8 	О Брахмагупте и его «Брахмаспхутасиддханте» см. ррим. 39 к VII главе дан- ного трактата.
٥ Если # - высота минарета с фонарем, لم — высота гномона, ٥ - расстояние между минаретом и гномоном, لم - длина Тени гномона» то из подобия треугольни- ков ABD, и на рис. 151 получаем пропорцию исГ =»=7 » откуда لم ==
= , т. е. в нашем примере, где н : 100, .15 ٠ لم ,110 = ٥ ,12 = لم
هإ Если # — высота горы, X — расстояние от основания перпендикуляра в,
опушенного из вершины А горы на горизон- тальную плоскость, до первого места измере- ния D) а Дя —от первого места измерения до второго места Е, то если рассматривать перпендикуляр AB ,-как гномон, расстояния X и х+Ах представляют собой измеряемые те- ни. Если мы обозначим длину гномона через لم, а измеряемые тени لم ctg а и لم ctg ß, мы по- лучаем пропорцию Рис. XIII.
= -٠ откуда # = - . Таким же образом получаем пропорцию
r~?fbi
I ctg «•Ах
لم ctg ß —لم ctg а.
откуда
Lx _г لم ctg ß — l ctg a
x لم ctg a
11 Если لم ctga и ٤ctgß٠ тени двух гномонов, разность لم ctg ? — لم ctg а — „части деления“, а расстояние между концами теней — „основание“ ٥, то расстоя- ния от основания минарета до концов теней ٥1 ٠ a jtg ; и ءله
р لم ctg ?لم نذ ctg а
ء • ■ а Ijg ß 1 » а высота минарета и = Эти равенства вытекают
لم ctg ß لم ذ ctg а. р لم Ctg ß لم ٦ Ctg a P
ИЗ того, что для прямоугольных треугольников ABD и АВС имеют место пропор- ции ,} - Lif* и ه J + aJ-C-t-fl
12 Перестановка —ибдал. См. прим. 17 к VII главе данного трактата.
13 Выделение {тафсил) — переход от пропорции -| = ئ при а>ь к пропорции
выделение отношения ؛(diareisis ؛logou) определено Евклидом в 15 опреде- лении 5 книги «Начал».
14 	Переворачивание (калб) — переход от пропорции I ==— при а>ь к пропорции


Математические и астрономические трактаты
322
؛قيءءهي переворачивание отношения (anastrophe logou) определено Евклидом в 16 определении 5 книги «Начал».
ح Мы Не располагаем сведениями об «Исчерпывающей книге о руководстве к познанию расстояний», которую Беруни собирался написа'гь. По-видимому, эта книга HÇ была написана. Определение ;расстояний с помощью астролябии излагается также в «Книге вразумления» Беруни. Беруни. Книга вразумления, с. 160—162.
ПРИМЕЧАНИЯ к XXIX ГЛАВЕ
؛ إМесто падения камня» - основание перпендикуляра.
2 Определение расстояния Солнца от Земли излоЖеНо в 15 гл. 5 книги «Альмагес- та» Птолемея (Ptolemäus, I, S. 310—312).
0 ؛ параллаксе см. прим. 16 к V главе данного трактата.
4 Здесь, по-видимому, имеется в виду та же 1؛нига, о которой говорилось в прим. 15 к XXVIII главе данного трактата.
5 Синан ибн Фатх — арабский математик X в., уроженец Харрана, автор ком-
мента؟н؛в к алгебраическому трактату ал-Хорезми и других математических Тракта- TOB. MP, II, с. Р168. РУ р
؛ Полный синус - радиус круга.
7 Произведение полНого синуСа на радиус Земли равно ему самому в предполо- жени؟, что радиус Земли равен 1.
٥ Дуга CD равна углу Ah=EFA — параллаксу Луны в круге высоты. Высота этого треугольника, опущенная из его вершины А на сторону d=FE, равна r cos /г. Поэтому приближенно можно считать, что sin Д/г Ä :.CGfS j) откуда d = r cos h или
а ’ У sin Д/г
(при г 1 ع) d æ —. При малых h, когда h « о, cos h 1 يح, получаем d = .
В излож ни п епрлр ٠ sin Д/г
3!.؟Л.жепии определения d по Синану ибн Фатху Е тексте вместо „синус разности„ написано „разность", однако предположение э. с. Кеннеди (К, с. 267), чТо здесь имеется в виду не sin Дй, а сама разность Ah, неправдоподобно, так ка.к синус ма.
лой дуги приближенно равен дуге, тольКо если ду؟а измерена в радианной мере, не применяв- шейся на средневековом Востоке.
9 	Об ал-Кинди см. прим. 403 к трактату «Об определении хорд».
٠ل «Трактат об Определении расстояния цент- ра Луны О'Т Земли ал-Кинди упоминается толь- ко в «Гномонике» Беруни.
..”.«Катет»-транскрипция греческого слова kathetos. РумийскИй язык —язык румов, здесь — византийцев.
12 «Наклонный круг» или «сфера» —эклип- тика, перерод греческого названия этого круга небесной сферы.
13 «Переменная величина» —.*тала. ал- микдарбуквально «различная по величин؛».
14 Приведем более наглядный чертеж
(рис. XIV) из комментариев э. с. Кен-
неди (Kennedy. Commentary, р. 169).Если диаметра Луны, а #£==-1 это-
го диаметра, то GE=GH-—HE=j- этого диаметра. Поэтому если известна широта DG
Луны во время первого момента затмения, то радиус тени DE=DG—GE также из- вестен. ТаКже для другого «переменного» затменИя вычисляется радиус тени ى. Тогда аз подобия треугольников CDE и CLM (рис. 158) находим, что لج=ؤخ = | откуда находится CD) и, если известна ВС) то из пропорции I = 1 находится AB) а. если принять AB за 1, то находятся CD и ВС „в ее частях“.


323
Комментарии
ПРИМЕЧАНИЯ к XXX ГЛАВЕ
ا о локте см. прим. 6 к XIX главе данного трактата.
2 Аюта, у Беруни аджутаر санскритское название 10000.
٥ Здесь имеется в виду пропорция: диаметр Солнца относится к диаметру зонта как расстояние от Солнца до «острия конуса тени», равного сумме расстояния от Земли до Солнца и высоты конуса тени, к искомой высоте. Здесь диаметр зонта отно- сится к искомому расстоянию как ٠خلج ء ٠أجج
4 Здесь Беруни сравнивает данные индийцев, согласно которым диаметр Солнца относится к его расстоянию до «острия конуса тени» как 1 : 625, с данными «Альмагес- та» Птолемея. То, что расстояние от Солнца до Земли в 2100 раз больше диаметра Земли, а от конуса тени-в 268 раз больше диаметра Земли, отмечено в 15 гл. 5 книги «Альмагеста» (Ptolemäus, I, S. 312). То, что диаметр Солнца в 5 ؤ раз больше диаметра 3'ОМЛИ, ,отмечено 'В 1'6 гл. 5 книги «Альмагеста» (TaiM же. S. 313)'.
5 Согласно данным Птолемея, отношение диаметра Солнца к расстоянию от него до «острия конуса тени» равно 1210 I вбГ 1478:134.36 ; поэтому искомая высота рав- на 4.134,36=537,44 локтям. Если принять вместе с Беруни найденное отношение з.а —, то искомая высота равна 536 локтям, а не 534 локтям, как указывает Беруни.
6 Беруни имеет в виду деление результата индийцев, т. е. 10 000 локтей, на полу- ченный им результат, основанный на данных Птолемея: ц?= 18,72.
7 Беруни имеет в виду определение расстояния до Солнца с помощью отверстия или заслонки в начале XXIX главы. Здесь мы переводим словом «заслонка» слово хадаф, буквально «цель, мишень».
8 Беруни имеет в виду прямоугольный треугольник, один из катетов которого- диаметр первой заслонки, а второй-высота конуса ее тени. Диаметр второй заслон- ки — перпендикуляр, опушенный из некоторой точки гипотенузы на второй катет. Если мы обозначим диаметры первой и второй заслонок через dl и dl) расстояние между ними через d) а второй катет —через d+X) то из подобия указанного треугольника и аналогичного треугольника, катетом которого является вторая заслонка, мы получим —— —. ؤ ٠, откуда X = ب—L, т. е., так как d\ = 164, 6144= ى ,116 ء 2ى, находим
d-j-x X drd-2
X = : = 14848, a d + X = 14848 + 6144 = 20992.
و Беруни рассматривает треугольник, подобный треугольникам, рассмотренным выше в прим. 8. Здесь вертикальный катет первого треугольника — радиус Солнца,- вертикальный катет второго треугольника —радиус Земли, отношение этих катетов لا5هءلج, и если мы будем считать, что отношение горизонтального катета к верти- кальному равно = ٠قبآ = —ثل то, обозначая расстояние от Солнца до Земли через d, а высоту конуса тени через X, получим, что, если считать радиус Земли за 1, ~ 128 ء, т. е. X == 256, —J[\X 128 ت, T. е. d i X : 1408 и d *= 1152, что на 58 мень- ше значения '210, найденного Птолемеем.
10 Если считать эксцентриситет солнечной орбиты равным 030تم2 و , как считал Пто- лемей (Ptodemäus, I, S. 170), то минимальное расстояние Солнца равно 1210.=قا 59,58'1'1ا=, а не 1'163, как у Беруни. Разность последнего числа с найденным выше (см. прим.. 9) равна 11, а не 10, как указано у Беруни.
11 Здесь Беруни снова возвращается к задаче о солнечных лучах, проходящих че- рез отверстие, рассматривавшейся в начале XXIX главы. Здесь диаметр dl отверстия равен 18, диаметр светового пятна равен 59. Предполагается, что солнечные лучи, проходящие через отверстие, имеют форму конУса с вершиной между Солнцем и отверстием. Предполагая, что отверстие равно заслонке, т. е. 164, Беруни находит, что диаметр светового пятна равен ث537==يل٦ Чтобы освободиться от дробей. Беруни снова изменяет масштаб и, умножая размеры на 9, получает «число линей.


Математические и астрсномические трактата
24ق
ки» 6144.9=55296, «число заслонки» 164.9=1476, «число ее тени» 116.9=1044, «число отверстия» - равное «числу заслонки» и «число света отверстия» 537 9.ؤ = . 4836.
12 	120 пальцев=5 локтям. Приведенное здесь Беруни без вывода значение ра. диуса Земли 321563636 пальцев соответствует 13398489ؤ локтям, что не вполне совпадает со значением 12851269? 5042ر" локтей, приведенным Беруни в «Каноне Мас'уда». (Беруни. Канон Мас'уда, I, с. 431),и 128033379تم2ء" локтей в «Геодезии» (Беруни.. Геодезия, с. 217).
ха О термине «пребывание» см. Беруни. Книга вразумления, с. 122-123.
14 См. выше прим. 47 к трактату «Об анализе и определении частных значений уравнения Солнца».
5 Минуты половины шара Солнца — полудиаметр Солнца, выраженный в мину- тах эклиптики.
16 В «Каноне Мас.уда» Беруни указывает значение окружности Земли, найден- ное багдадскими астрономами, - 6800 фарсахов; из его измерения радиуса Земли (см. прим. _ 12) вытекает значение окружности Земли 6728,96 фарсахов.
17 Удвоенная дуга DF (рис. 159)—избыток освещеннОй части Земли над неос- вещенной, равный 2جلله.ؤ٠ где d — диаметр «шара Солнца» в градусах, с —окруж- ность земного шара, в правиле ал-Фазари диаметр d в минутах равен 21600, а окруж- ность с выражена в фарсахах.
18 йоджана, у Беруни джужана, (здесь Беруни применил букву ذ -ж, отсут- ствующую в арабском алфавите, но имеющуюся в персидском) —индийская мера дли- ны, равная 2ا_ фарсаха, т. е. ок. 16 км.
1٥ ..* — индийская мера длины, равная арабской миле, т. е. ок. 2 км.
20 О Брахмагупте см. прим. 39 к VII главе данного трактата.
21 Значения 5.000 йоджан для длины окружности земйого шара и 581ا йоджан для диаметра приведены в «Брахмаспхутасиддханте». Заметим, что отношение = 0ل/لأ...3,1625ءل3ء, представляющее приближенное значение л, применялось Брахмагуптой.
22 О Пулисе см. прим. 41 к VII главе данного трактата.
2٥ Указываемые здесь Беруни значения длины окружности и диаметра земного шара 5026, и 1600 йоджан соответствуют приближенному значению 7ا3ء ٠ايح؛ا= = 3,14125. В «Индии» Беруни приписывает Пулисе значение 3,1416 ءقأ3د (Беру- ни. Индия, с. 173).
24 Об «Альмагесте» Птолемея см. прим. 7 к VII главе данного трактата.
25 О «Сиддхинде» см. прим. 19 к XXIII главе данного трактата.
26 См. выше прим. 17 к XXII главе Данного трактата.
27 Это — правило I cosec h:V (I ctg Ä)2 4-Г/, при 12 = لم.
28 41256=12.3438, T. e. произведение длины لم гномона на минуты «полного СИ- нуса» Ариабхаты (см. прим. 37 к VII главе). Здесь находится выражение I ctg к т = r sin k, где г 12 = لم ,3438 ءه.
29 «Расстояние Солнца» — его сферическое расстояние от небесного экватора, т. е.
склонение. Слово «хорда», как и в других первых арабских переводах с санскрита обозначает линию сИнуса, в данной случае — «полный синус» Ариабхаты, т. е. 3438 минут. —
3٥ Здесь вычисляется r—sin vers б=г cos Ô, где 3438=٠ر минут. Полученная ве- личина — радиус суточного круга, кбторый здесь называется «перпендикуляром в этот час».
31 	Здесь сначала находится r sin к при принятом у индийцев значении г=150. 'Умножая это выражение на § Беруни нахо.т r sin h при г ٠ 23^Ë2 = ت ٠ل 57 ء Здесь „перпендикуляром в этот час" называется указанный синус.


325
Комментарии
32 О значении «полного синуса» у Ариабхаты см. прим. 37 к VII главе.
33 О значении «полного синуса» у Брахмагупты см. прим. 39 к VII главе дан- ного трактата.
3، !=23, ~ = 22,92 = 22 23
150 -'150 25
35 См. прим. 19 к XXIII главе данного !'рактата.
35 О «Шахском зидже» см. прим. 19 к IX главе данного трактата.
37 «Купол Земли» —точка земного экватора с долготой 90٠. На меридиане Купо- ла 3е؟ли нах؟дит؟я индийский город Уджжайн, бывший одним из центров средне-
вековой индийской науки.
38 В данном случае rsin90٠=r=150.
39 См. прим. 53 к XXII
لاى Бм. прим. 53 к XXII главе данного трактата.
٥؛ ЗаметИм, что в «Каноне Мас.уда» Беруни дает координаты древнего Вави- лона 32.0 ب ,'69.10 =ذ'; Ктесифона ؛ал-Мадаин) —10ه33ب ا'ة2ه70 = د' и Багдада- ^Города мира" 33.25 = ۴ ,'70.0 = ا'. Он относит все эти три города не к 4-му, а к 3-му климаТу (Беруни. Канон Мас’уда, I, с. 454). 3-й клймат простирается по Бе- руни от ср: 30. до ١ه35 = ى а 4-й от ср : 35٥ до ср : 40٥.
41 Для широты ф=36٥ полуденная высота Солнца в день равноденствия («высо- та Овна») ft=90٥—36٥=48٠. Ее «хорда» ٢ sin л =150 sin ft =121,35 (у Беруни 122) При ؤ 57 = م sin А = 46,52. у Беруни If3 = 46,77 « 46 I 57 بإ10 = لإ46 — ل 150 ;ا 16 =16,87 ==لا10-ء ت،sin 16.52= 43.36' 20". Значение Беруни 0?43'16"_ по-видимому, искажение результата „понижения" этого значения на один шестиде сятеричный разряд (16= وو =36 , بر).
Солнца за сутки равно
продвижение 2
Так как ؛2 = *2.٠ء*2٠ء"
0.59 20٦ 8 تم ТО Продвижение Солнца за 2 ؤ часа, т. е. за 0,6 суток, равно
5
и недостаток».
0٠59'8"20'".
44 «Избыток называем
характеристика двух направлений — то, что мы ваем положительным и отрицательным направлениями.
45 О климате, в котором находились Вавилон и Ктесифон, см. прим. 40 к дан- НОИ главе.
46 Здесь мы переводим слово танджим (см. прим. 17 к введению) словом «астро- ^огия». Резкая криТика астрологии имеется также в «Геодезии» Беруни (БеруНи. Геодезия, с. 260). Разоблачению методов предсказаний астрологов по существу пОсвя- щены заключительные вопросы «Книги вразумления». (Беруни. Книга вразумления, с. 257—258). Специально разоблачению астрологии был посвящен не дошедший до нас трактат Беруни «Предостережение против искусства обмана, коим являются пригово- ры звезд». (Булгаков. Жизнь и труды Беруни, с. 87).
47 Машаллах (ум. 815), астролог еврейского происхождения, работавший в ؟ардаде при халифе ал-Мансуре. Был изЕестен в ЕЕропе под именем Messahaila. MP, II, с. 34—35؛ Sezgin. VI. S. 127—129, VII. S. 102—108.
48 Гермес, у Беруни Хармис — мифический Гермес Трисмегист. («трижды вели- ча^ший»), эллинистиЧеское имя египетского бога ТОта؛ арабы идентифиПировали его с Енохом и Идрисом и считали его автором многих сочиНений по фиЯософии, астро- ؟омии, астрологии, медицине, алхимии и магии, о сочинениях, приписываемых ара- бами Гермесу, CM.: s е Z g i п. III, S. 17171—0ا, IV, s. 31—44, VII, s. 50—58. ПриПи- сывае۴я Гермесу книга «Восемьдесят пять глав» не сохранилась.
.49 «Годы», Приписываемые планетам»: Сатурну (Зухал) — 32, тары) — 64, МарсУ (Маррих) — 48, Солнцу —7٠ة Венере (Зухра) - (Утарид)-Ь 1, Луне —33, получены с помощью аст^ологическйх имеют, астрономического смысла.
٥؛ О зидже «Арканд» см. прим. 12 к VII главе данного трактата.
٠؛ Об Ахмаде ибн СалмаНе сведений в литературе не имеется.
؛؛ См. выше прим. 8 к XVIII главе данного Трактата.
53 Халдеи - представители семитического племени, захватившего в VII в. до н. э. Вавилон. В среднИе века с ними связывались представления об их искушенности в науках и.оккультных прорицаниях.
54 «СлоЕа «да смИлОс^ивится над ним Аллах», написанные после смерти Беруни, добавлены переписчиком Банкипур؟кой рукописи. Далее следует дата Переписи - ؛^؛л.хиджжа 631 г. хиджры - сентябрь 1234 г.
Юпитеру (Муш- -60, Меркурию выкладок и не


ПРИЛОЖЕНИЯ


УКАЗАТЕЛЬ БИОГРАФИЧЕСКИХ СОКРАЩЕШИ
Абдура^монов. Берунийнинг «Соялар» рисоласи.— Абдура^монов. А. Беру- нийнинг «'Соялар» рисола'Си.//Совет мактаби. 1970. № 2.
Аристотель, 1—1 У.— А ,р и ,с т'ОТ ؛ель. Соч., T. I—IV. м.: Мысль, 19751984.
Бартольд, I, Туркестан.— Бартольд в. в. Туркестан в эпоху монгольского на- шествия, Соч؛, I. м.: ивл, 1963.
Бертель с, I —Бертельс Е. э. Избр. труды. История персидско-таджикской литературы, м.: ивл, 1960.
Б е (РУ ни. Геодезия.— Абу Рейхан Б и р у н и. Избр. произ'в., T. III. Определение границ мест для уточнения расстояний между населенными пунктами [«Геоде- зия»]. Исследование, перевод .и примечания и. 'Г. Булгакова, Ташкент: Фан. 1966.
Б ер у ни. Индия.— Абу Рейхан Б Ир у ни. Иэбр. произв., T. II. ؛«,Индия»]. Пе- ревад А. Б. Халидова и ю. и. Завадовокого под редакцией в. и. Беляева, Комментарии в. г. Эр'мана и А. Б. Халидова. Ташкент: Изд-В0 АН УзССР,
19(63.
Б ,ер у'НИ. Канон Мас.уда, 1—11.— Абу Райхан Беруни. Избр. произ'в., T. V, ч. 1, KaiHOH Мас.уда, KH. I—V. Вступительная статья, перевод и примечани.я И. Г. Булгакова и Б. А. Розенфельда при участии М. М. Рожанской (перевод и примечания) и А. Ахмедова (примечания). Ташкент: Фан, 1973؛ То же, ч. 2, KH. VI—XI. Перево'Д и примечания Б. А. Розенфельда и А. Ахмедова при уча- С.ТИ'И М. М. Рожанской (перевод и цримечания), с. А. Красновой и ю. п. Смирнова (перевод). Ташкент: Фан, 1976.
Беруни. Книга вразумления.—Абу Райхан Беруни. Избр. произв., T. VI. К'Нита вразумления начаТ'Кам науки о звездах. Вступительна؛я ст'атья, перевод и примечания Б. А. Розенфельда и А. Ахмедова при уча'ст'ии iM. М. Рожан- акой, А. Абдурахманова и н. д. Сергеев'ОЙ. Ташкент: Фан, 197,5.
Б ,ер у ни. Памятники.— Абу Рейхан Б Ир ٠у ни. Избр. произв., T. I [«Памятники минувших пок'Олений»]. Перев'Од и цримеча'ния м. А. Салье. Ташкент: Изд-В0 АН УзССР, 19157.
Б е'РУ ни. Фармакогнозия.— Абу Райха'н Беруни. Избр. произв., T. IV. Фар- макогнозия в медицине. Исследование, перев,од и комментарии у. и. Каримова. Ташкент: Фан, 1973.
Беруни. Фихрист (Ruska, Isis).— Ruska j. Al-Biruni als Quelle lür das Leben und die Schriften al-Razi’s. I.sis, № 5, 1922.
Беруни и Ибн С и'Н а. Переп.иска.— Беруни 'И Ибн с:ина. Переписка. Перевод ю. н. Завадовского. Ташкент, 7١3ا19ا.
Булгаков. «Гномоника» Беруни.— Булгаков п. г. «Гномоннка» Беруни.//0б1це- ственные науки в Узбекистане, 1984, № 11.
Булгаков. Жизнь и труды Беруни.— Булгаков п. г. Жизнь и труды Беру- Н.И. Ташкент: Фан, 1972.
Булгаков. Из истории формирования естественнонаучных идей.—Булгаков п. г. И.З истории формирования естественнона۴шых .идей в средневековом Х'Орасане и Средней Азии./Общественные науки в Узбекистане, 197'4, № 12.
БулгакОв и Ахмед,ов. Беруни и ал-Кинди о теории параллельных.— Булга- 'КОВ п. Г. и Ахмедов А. А. Беруни и ал-Кинди о теории параллельных. //Общественные науки ,в Узбекистане, 19'77, № 8.
БулгаК'О'В, р о 3 е н ф е л ь д, Ахмедов. Мухаммад ал-Хорезми.- Булга- ؟о,в_П. г٠, Розенфельд Б. А., Ахмедов А. А. Мухаммад ал-Хорезми. м.: Наука, 1983.
S о ло дарений. А'риабхата.— Володарский А. и. Ариабхата, м.: Наука, 1977.
Григорян. Средневековая философия.— Григорян с. н. средневековая фило-


Математические и астрономические трактаты
330
София народов Ближнего и среднего Востока, м.: Наука, 19ßö.
Евклид. Начала» I—لل._ Е ,в к л ид. Начала. Перевод д. д. Мордухай-Болтсвско- го, т. 1—11. МгЛ.; 194,8-1949. р ع ع
Зирикли, I—X- !لاعلام، لغير الدين ]وزو كوى، ج١_١٠ النادرة
١٩.۵٩۵٤ ا-٩
Ибн ал-Кифти- جهال الدين jJjjXJ ^ذاب إ٠يءبار |لعلهاء بأخب1ر اوحكاماء ٠لىل اوحسن ءدى ون... بددق <لدطى، اونادرة، ١٣٤٣ ٥.
Ибн а ,؟"На я'И И- Фихр1ИСТ.- KJtab al-Fihrist. Mit Anmerkungen hrsg. von. Q. F!٥- ge( 1-11. Leipzig,Pl871_1872.
نراث اوءرب ]وملس ؤى وورياندات و اوندكة ذا ئد رى —Кадри
هافظ طوذ-ان، 1لطدءذ]لاالاذ، ولنادرة، ١٩٦٣,
Каримов. Тайна тайн.- Каримову, и. Неизвестное сочинение ар-Рази «Книга тайны тайн». Ташкент: Изд-В0 АН УзССР, 1957.
Коран.- Коран. Перевод и комментарии (и. ю. Крачковюкого. м.: Из(д-؛во АН ССОР, р 19(63. р
Крачковекий. Арабская географическая ء литература.— Крачковский и. ю. Арабская географическая литература. Избр. соч., IV. м.؛ л.; И,3|Д-!В0 АН СССР, 1957.
Лурье. Демокрит.— Лурье с. я. Демок'рит. Тексты, перевод, исследования, л., р 10ا7وا.'
Л ь о ц ц и. История физики.— Льоцди м. История физики, м., 1970.
Ma ТВ и ев ска я. Учение о числе.—Ma ТВ и ев с к ٠а я г. п. Учение ٠0 числе на с.ред- невековом В'0'стоке. Ташкент: Фан, 1967.
МР, 1—111.— Матвневская г. п., Розенфельд Б. А. Математики и астро- номы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.), кн. 1—3. м.: Наука, 1983,
pU اوذك واردخه ءذو اوءرب ذى ورون الوىطئ٠ا، دذحى - Наллино
اوؤعءاندرات اونى ازادا ^روو ٠لليذو، روئ، ١٩١١.
Омар Хаййа,м. Трактаты.— Ома.р X а й й а м. Трактаты. ,Перево'д Б. А. Розен- .фельда. м., 1962. ' ٠
Петр у ш ев ск ИЙ. Ислам в Иране.— Петруше ٠в с кий и. п. |И,сла;м в Иране в VII—XV веках, л., 1966.
Платон, 11—111, I —Платон. Соч. т. 2—3, ч. 1. м., 19'70—19١7'1.
Рожанская. Механика на ،؛редневековом Востоке.— Рожанская м. м. Меха- ника на средневековом Востоке, м.: Наука, 1976.
Розенфельд. Некот'Орые вопросы математики.— Розенфельд Б. А. Некото- рые вопросы математики переменных велич'ин ,в трактате ал-Бируни о тенях. Историко-математические :исследования, вьвп. 23. м., 197,8.
Розенфельд и Краснова. Примечания.— Розенфельд Б. А. и красно- в а 'С. А. Примечания к «Трактату об определении хорд»//Из истории науки и техни'Ки в странах Востока, III. м.: ивл, 19(63.
Р'Озенфельд, красно в ؛а и Рожанская. о математических работах ал-Бн- ,руИи.— р о 3 е н ф е л ь д Б. А., к р а с н о ва с. А. и р о ж а н с к а я м. м. О математических работах Абу-Р-Райхана ал-Б٠уни//,Из и,стории науки и тех- ники в ,стра'нах Востока, III. м.: ивл, .19)63.
Розенфельд؛ Рож ,а НС кая и Соколовская. Абу-р-Райхан ал-Бируни.— р о- зенфельд Б. А.. Рожа .некая м. м., Соколовская 3. к. Абу-р-Райхан ал-Бируни. м.: Наука, 197(6.
Розенфельд, Уцеха. Астрономический трактат ал-Бируни.—т> о 3 е н ф е л ь д Б. А., Уцеха Л. г. Астрономический трактат ал-Бируни «Выделение сказанного по вопросу о тенях». Историко-астрономические исследования, ١ВЬ1П. 14. м., 1.978.
С а б,ИТ. Трактаты.— Сабит ибн Корра. Матема'тичеакие трактаты. Научное и,а- след'ство, T. VIII. Вступительная статья Б. А. Розенфелвда, перевод и коммен- тарии Дж. ад-Даббаха, л. м. Карповой, Б. А. Розе.нфельда и др. м.: Наука, 1934
Сирожиддинов, Матвиевская, Ахмедов. Беруний — математик.— Сиро- жиддинов С. X., Матвиев'Ская г. п., Ахмедов А. Беруний — мате, матик ва астроном'.— Тошкент: Фан, 19:73.


331
Приложения
Таги-Заде. Из истории изобретения астролябии.- Таги-٠Заде А. к. и,з И'Стории изобретения астролябии. Вопросы истории естествознания и технИ'КИ, т. 49 м.,
1975.
Фараби. Математические трактаты.— Аль-Фараби. Математические трактаты. Перевод и комментарии с. А. Красновой, А. Кубесока, Б. А. Розенфельда и др. Алма-Ата: Наука, 197ة.
Хорезми. Астрономические трактаты.— Мухаммад ибн Муса ал-Хо.рез- м и. Астрономические трактаты. Вступительная статья, перевод и комментарии А. Ахмедова. Ташкент: Фан, 1983.
Шарипо.в. Вели'КИй мыслитель Беруни.— Шарипов А. Великий мыслитель Бер.у- н-и. Ташкент: Узбекистан, 19)7,2.
Юшкевич. История математики в средние века.— Юшкевич А. п. История ма- тематики в средние века, м., 1961.
Aristoteles. De sensu et sensibili.- Aristoteles. De sensu et sensibili, opera omnia, vol. 3. Berolini, 1831.
Battani, I—IH.— Al-Battani sive Albategnii opus Astronomicum. Ed. et trad, c. A. Nallino, vol. 1—3. Mediolani, 1899—1907.
B i r U n i. Ghurrat al-zijat.— Al-Biruni. Ghurrat al-zijat. Ed. and comm, by Sayyid Samad Husain Rizvi. Islamic Culture, vol. 37, 1963, p. 112—130, 167—187,
223—246, vol. 38, 1964, P. 47—74, 195—212, vol. 39, 1965, P. 1—26, 137—180.
Boilo t.— D. J. B O i 101. L’Oeuvre d’al-Beruni, Essai Bibliographique, Institut Do- minioam d’études orientales du Caire, Mélanges, 2. Le-Caire, 1955.
Br._ Brockelmann c. Geschichte der arabischen Litteratur, Bd. I—)II. Weimar— Berlin, 1898—1902.
Br. SB I.— Brockelmann c. Geschichte der arabischen Litteratur, Supplement- band, I. Leiden, 1937.
Brahmagupta. Brahmasphutasiddhanta.— Brahmagupta. Brahmasphutasiddhan- ta. Ed. by s. Dvivedin. Benares, 1902.
Brahmagupta. Khandakhadyaka.— Brahmagup.ta. The Khandakhadyaka. Transl. by p. Ch. Sengupta. Calcutta, 1934.
Carra de Vaux. L’Almagest.— B. Carra de Vaux. L’Almagest d’Abu'1-Wefa Albuzjani. Journal Asiatique, 8-éme série, vol. 19, 1892.
Chronologie, Einleitung.— Sachau c. E. Einleitung//Chronologie orientalischer Völ- ker von Alberuni, lirsg. von. Dr. c. E. Sach.au. Leipzig, 1878.
D a V i d i a n. Al-Biruni on the time ol day.— Da vidian M. L. Al-Biruni on the time ot day Irom shadows length. Journal of American Oriental Society, vol. 80, 1960.
El.— The Encyclopaedia of Islam, IIV. Leiden-London, 1915—1938.
Frank. Die Verwendung des Astrolabs.— Frank j. Die Verwendung des Asitrolabs nach al-Chwarizmi.- Abhandlungen z.ur Geschichte der Naturwissenschaften und Medizin, Bd. 3, 1922, Erl.angen.
H e r m e n 1 i n k. Bestimmung der Himmelsrichtungen.— Hermenlink H. Bestimmung der Himmelsrichtungen aus einziger Schiattenbeobachtung. Suddhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften, Bd. 44, 1960, Leipzig.
H O g e n d i إ k. Reapranging the manuscript Bankipore 2468. HogendijkJ. p. Reap- ranging the Arabic mathematical and astronomical manuscript Bankipore 2468. Journal for the history of Arabic science, vol. 6, N 1—2, 1982.
Kennedy. Al-Biruni on determining the meridian.— Kennedy E. c. Al-Biruni on determining the meridian. The Mathematical Teacher, vol. 50, 1963.
Kennedy. Al-Biruni’s book about Shadows.— Kennedy E. s. Al-Biruni’s book about Shadows. XIVth International C'Ongress of the History of Science, Pro- ceedings. No 2. Tokyo, 1975.
Kennedy. Biruni’s graphi'Cal determination of the local meridian.— Kennedy E.S. Biruni’s grap.hical determination of the loca.1 meridian. Scripta mathematic.a, vol. 24, 1959.
Kennedy. Commentary.— Abu a 1-R a y h a n a 1-B i r U n i. The exhaustive treatise on Shadows. Transl. and comm, by E. s. Kennedy, vol. 2. Commentary. Aleppo,
1976.
Kennedy. Parallax.— Kennedy E. s. Parallax theory in islamic astronomy. Isis, vol. 43, 1956.
Kennedy and Muruwwa. Biruni on the Solar Equation.— Kennedy E.S., Ah- mad Muruwwa. Biruni on the Solar Equation, Jorn. of Near Eastern stu- di٠es, V. XVII, 1958.
Krause, stambuller Handschriften.— Krause M. stambuller Handschriften isla- mischer Mathematiker. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, As-tronomie und Physik, Abt. B, Bd. 3, 1936, Berlin.
Lesley. Biruni on rising times.— Lesley M. Biruni on rising times and dayligh't length. Centaurus, vol. 5, 1957.


332 Математические и астрономические трактаты
Livingston. Mukhula.— Livingston j. Mukhula, an islainic conical sundial. Centaurus, vol. 16, 1972.
L и с к e y. Die Schritt des Ibrahim b. Sinan.— LuckeyP. Die Schritt des Ibrahim b. Sinan b. Tabit Uber die Schatteninstrumente. Inauguraldissertation zur Erlangung des Doktorgrades. Tübingen, 1941.
N a U. Le traite de’1 astrolabe.— N a U F. Le traite de’1 ’astrolabe. Journal Asiatique, 9-ême série, t. 13, 1899.
Neugebauer. On some astronomical papyri.— Neugebauer 0. On some astro- nomical papyri and related problems ot ancient geography. Transactions ot the American p.hilos. Society, N. s., vol. 32, part 2, 1942.
Neugebauer. The astronomical tables.— Neugebauer 0. The astronomical tab- les ot al-Khwarizmi. Konigl. Dancke Videnkab. Skrifter, Hist, og Filos. Aid., Bd. 4, No. 2. Kobenhavn, 1962.
Neugebauer. The early history ot astrolabe.— Neugebauer 0. The early his- tory ot astrolabe. Isis, vol. 40, 1949.
p t 0 1 e m a u s, I._ p t 0 1 e m a u s. Handbuch der Astronomie. Ubers. K. Manitius, Bd. 1, Leipzig, 1967.
P 0 s en f e 1 d, M a r u p о V, utseha.— Some mathematical and physical discoveries.— Posenteld B. A., MarupovN. K., utseha L. G. SOme mathematical and physical discoveries in al-Biruni’s «Shadows». Journal of History of Arabic Sci- ence, vol. 3, No. 2, 1979..
S e Z g i n, I—VII.— Sezgin F. Geschichte des arabischen Schrifttums, Bd. I—VII, Lei'den, 1967—1979.
Suter. Die astronomi'Schen Tafeln.— Suter H. Die astronomischen Tafeln des Mu- hammed ibn Musa al-Khwarizmi. Konigl. Danske Videnskab. Skrifter. Hist, og Filos. Afd., Bd. 3, No. 1. Kobenhavn, 1914.
Suter. Die Mathematiker.— Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Ara- ber und ihre Werke, Abhandlung.en zur Geschichte d. math. Wiss., Heft X. Leip- zig, 1900.
Suter und w i e d e m a n n.— H. Suter und E. Wiedemann unter Mitwirkung 0. Pe- scher. Uber al-Biruni und seine Schriften. Beiträge zur Geschichte der Naturwis- senschaften, LX, Sitzungsberichte der Phys.— Mediz. Soziet. in Erlangen, Bd. 62/63, 1920/1921.
Tannery. Jean le Grammairien.— Tannery p. Jean le Grammairien d’Alexandrie (Philopon). Sur l’usage de’1 astrolabe et sur les tracés qu’il présente. Mémoires scientifiques, vol. 9, Toulouse—Paris, 1929.
Varahamihira. Pancasiddhantika.— Varahamihira. Pantasiddhantika. Ed. and transi, by O. Neugebauer and D. Pingree. Dancke Videnskab. Selskab., Hist.— Filos. Skrifter, Bd. 6, Kobenhavn, 1970—1971.
Wiedemann, Frank. Uber die Konstruktion.— Wiedemann E., Frank j. Uber die Konstruktion der Schattenlinien von Tabit ibn Qurra. Konigl. Danske Viden- skab., Selskab., Math.— Fys. Meddelser, Bd. 4, Kobenhavn, 1922.


УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН СОБСТВЕННЫХ
Аб'у-Л-Ф,атх ал-Бусти — 1.41.
Абу Хакима ал-Катиб —2؛12ا.
А:бу Ханифа (законовед) - 22'5, 226, 228 34٠لآ ф
Абу-Л-Хасан ‘Али ибн ‘Абдаллах ибн Бам- шаз — 4.2, 44.
А'бу-,л-Ха؛са(н ал-'Ахв,ази —168؛.
A6y-.T-Xa.caH ал-Миори ас-Самарканди - У4.3. ? р -
Абу-Л-Хасан Муеафир ибн ал-Хасаи—12,1. Азархур ибн Уштаз Джашнас —29, 34. ‘Али ибн Абу Талиб-228, 229.
АП'ОЛЛОНИЙ Пергский —35, 232.
Ариабхата—(116, 160, 207, 253. Аристотель— 132, 134136, 138.
Архимед —29, 34, 85, 52, 53, 232،
‘Ата иб,н Абу Рабах ал-Кураши — 2'26. ал-Ахвази С’М. Абу-Л-Хасан.
Ахмад ибн Салман —255.*
Ахмад ибн ат-Таййиб ас-Серахеи —1(34, 135.
Ахмад иб؛н Ханбал —225.
Балабхадра — 219.
ал-Балхи см. Абу 'Зайд, Абу Ма‘шар. ал-Басри см. Абу ‘Али ал-Хасан. ал-Баттани см. Мухаммад ибн Джабир. Беруни ем. Абу-р-Райхан. ал-Бируни ем. А٠бу-1Р-Райха٠н.
Брахмагупта — 1'60, 200, 206, 200, 213,
.253 ,247؛45'2 ,218؛
ал-Бузджани CIM. Абу-л-Вафа. ал-Буети ем. Абу-Л-Фатх.
Ваттешвара — 210.
Виджаянандин — 195, 210.
Гален—.5,9'1 ,ا2ا3'1ا ؛Гермес —254, 2١5'5.
Гиппократ — ,159.
Дж,а.бир И.6.Н ‘Абдаллах ал-Ансари —229. Джа‘фар ибн Мухаммад ае-Садик —223. ал-Джахиз ом. Абу ‘Усман. ал-Джурджани см. Абу Са‘ид ад-Дарир. Дик ал-Джинн ал-Химси—122.
Диодор —200.
Зу-р-,Румм١а—127, 128, 139.
ИбН ‘Аббас см. ‘Абдаллах ибн ‘Аббас.
Ибн ‘Ирак ом. А.бу Наор Мансу.р. ИбнСаваба —141.
Ибн ал-Хаджжадж ап-Нили ал-Бапдади ~
122.
Ибн Хузайл—126.
И'6'рахим ибн Синап ибн С-абит ибн Кур- ра —144.
ал-йраншахри см. Абу-л:‘Аббас. ал-ИсфаханИ ом. Абу Муслим, Хамза.
‘Абдаллах ибн ‘Аббас —228.
‘Абдаллах ибн Мухаммад ан-Наши—148.
‘Абдаллах ибн ‘Омар—229.
Абу-л-‘Аббае Ахмад иб٠н Мухаммад ибн Касир ал-Фергани —95, 110.
Абу-л-‘Аб.'бас ал1Ираншахри—146, 147.
Абу ‘Абдаллах ибн Каррам — 228.
Абу ‘Абдаллах Мухаммад иб:н Ах'мад аш- Шанни —3)1, 83, 4'1, 47. 50, 53, 55.
Абу ‘Али ал-Хасан .ибн ал-Харис ал-Ху- буби — 3'0, 31, 33ا.
Абу ‘Али ал-Хасан ибн ал-Хасан ал-Бас- ри — 38.
Абу ‘Аеим ‘Иеам—189.
Абу Бакр Мухаммад ибн ‘Омар ибн ал- Фаррухаи ат-Табар'и—185, 196؛.
Абу Бакр ае-Сиддик —142.
Абу-л-Вафа ал-Бузджани—161, 16؛167 ,6؛ 169.
Абу-д-Дарда141.
Абу Джа фар ал-Хазин — 44, 96, 1'1'1.
Абу-Л-Джуд Мухаммад ибн ал-Лайе —48.
Абу Зайд ал-Балхи —il51؛.
Абу Зу’ай'6 Хувайлид ал-Хузал'И—127.
АбУ йусуф алКинди - 76, 145, 150, 190؛ 191, 250.
Абу Йусуф Иа'куб (законовед) — 225, 226, 234.
Абу-Л-Касим ал-Хасан ибн Мухаммад ал- Ахвал—180.
Абу Лайла —126.
Абу Ма'шар ал-Балхи 166.' ,164 ,163 ,159؛.
Абу Му.са ал-Аш‘ари —223.
А.бу Муслим ал-йофахани—130.
Абу٦н-Наджм — 127, 155.
Абу Наср Мансур ибн ‘Али ибн ‘Ирак ал- Джа‘ди — 32, 3'9, 40, 46, 70.
АбуНувас—122.
Абу-р-Райхан Мухаммад ибн Ах.мад ал- Биру'НИ— 77, 2.55.
А'бу Са.ид Ахм.ад И'бн Мухаммад ибн ‘Аб- далджалил ае-Сиджизи — 30, 36—38.
40, 48, 16.7, 181, 18'9.
А.бу Са‘и|Д ад-Дарир ал-Джурджа.ни — 3'0, 36.
А.бу ‘Убайд ал-Каеим И'бн. Саллам —22,7.
Абу ‘Усман ал-Джахуз —151.
Абу-Л-Фарадж ибн Хинду—141.
1 Этот и последующие указатели ох- ватывают только сочи'нения Беруни. при расположении .материала в алфавитном порядке арабский артикль ал- не учитыва- ется.


Указатели
334
Пртхудакаавамин — 213.
Пулиса —160, 19:5, 199, 213, 253. а'р-Рази, см. Мухаммад ибн Закарийа. Ру’ба иби ал-Аджж.адж—127.
Сабит ибн Курра, Абу-Л-Хасан — 47, 144. Са‘ид (ибн Махлад) — 141. ас-Сам,арканди см. Абу-Л-Хасан ал-Мисрй, Сулайман ибн ‘Иема. ас-Сер,ахси CiM. Ахмад ибн ат-Таййиб. CöpöH Фивский —29, 3'4, 35. ас-Сиджизи см. Абу Са‘ид Ахмад.
Синаи ибн Фата —250.
Сулайман И'б'Н ‘Иема асСамарканди, Абу Давуд —4111 ,108 ,96 ,94 ,2ا. ат-Табари см. ‘Омар ибн ал-Фаррухан, A'6'У Бакр Мухаммад.
Таус ибн Кайюам ал-Хамдани —2)2(6. ал-Фадл ибн ХатИ'М а٠н-Найризи — 159,
.90‘1 ,16:7 ,6؛16
ал-Фааари С.М. Мухаммад ибн Ибрахим. ал-Фергани см. Абу-л-‘Аббас Ахмад ибн Мухаммад.
Хабаш ал-Хасиб — 3١3, 7'0, 77, SI, 97, 166؛ 234 ,183 ,167؛.
ал-Хали‘ ар-Ракки аш-Ш'а’ми — 128.
Халид ибн Бармак —'180.
ал-Халладж см. ал-Хусайн ибн Мансур.
Хамза ал-,ИС'фах)а)ни — 6)17؛.
ал-Хасан ибн a؛c-'Cia66ax—159.
ал-Хашими см. Мухамм؛ад ибн ‘Абдал'азиз,
ал-Хорез؛ми см. Мухаммад ибн Муса.
ал-Хубуби С.М. Абу ‘Али •ал-Хасан.
Хумайд ибн Саур—'225.
ал-Хусайн ибн Ма.нсур ал-Халладж—152.
аш-Шанни см. А'бу ‘А'бдаллах Мухаммад.
аш-Шафи.и (законовед) — 22'5, 2'26, 229ا
Иа‘куб ибн Тарик- 166, 1-84, 190, 207,
208, 216.
Иалтабан —210.
Иуханна ибн йусуф ибн ал-Харис ибн ал-Битрик ал-Каос —35.
Катада ибн Ди.ама —228.
ал-Кинди ом. Абу Иусу'ф.
Кубайеа ибн Зувайд —229.
Кушйар ибн Лаббан ал-Джили—161, 167, 169, 17,1.
Малик ибн Aie — 225, 22:6.
Ma.Hicyp ибн Талха — 131.
Маилаллах — 254.
Менелай —47.
Муджахид и؛б,н Джабир ал-Макки —228.
Мухаммад ибн ‘Абдал.азиз ал-Хашими —
.159؛ ,103 ,1012 ,1)9 ,90
Мухаммад ибн Джабир ал-Баттани —90,
.190 ,9ا16 ,66'1 ,3)10 ,102 ,91
Мухаммад ибн 'Закарийа ар-Рази, Абу Бакр — 27.
Мухаммад ибн Ибрахим ал-Фазари —90, '98, ,103, 11.6, 166, 167, 2',14, 25(2, 253.
Мухаммад И'бн Муса ал-Хорезми — 35, 39, 61, 90, 9(5, 97, 98, 103, 110, 114, 116,
16(6, 179, 207, 208.
Мухам'мад И'б'Н ‘Омар ибн ал-Фаррухан ом. Абу Бакр Мухаммад.
Мухаммад ибн ас-Саббах — 5'6.
Мухаммад ибн ал-Хасан —225, 226, 234.
ан-Найризи см. ал-Фадл ибн Хатим.
‘Омар ибн Абдал'азиз —235.
‘О.мар ибн ал-Фаррухан ат-Табари — 97, 98, 115, 116.
‘Омар иб'Н ал-Хаттаб — 2(2.3.
Платон — 147, 148.
Птолемей Клавдий —42, 156, 160, 16168 ,5؛ 171, 190, 191, 195, 232, 249, 251, 255.
УКАЗАТЕЛЬ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ и ЭТНИЧЕСКИХ НАЗВАНИИ
Ка,в؛маз —134.
Кунол 'Земли — 253—255. Лахор—(188.
Муздалифа )229. НиШапур—254.
Персы —2|11؛.
Румы — 157, 158, 176, 239. С'И'нд—9'8'1 ,188؛.
Таиф —228.
Туле—1'95.
Фергана—(159.
Халдеи —2(55.
Хорезм — 159, 199.
Арабы—.126, 127, 139, 151.
Арафат —229.
Бардад —254.
Бена-рес —(195.
Булгары —195.
Вавилон—'211, '253—255.
(Газна — 230.
Греки —35, 38, 156, 1716.
Демавенд— 134, 235.
Египет —255.
Индийцы —55, 9(1, 129, 156, 15'7, 160, 16'5١ 176, 18'8, 18'9, 190, 19,5, 207, 209, 212, 215, 222.
Индия —251.


указатель названий сочинении
«Книга о тенях» Ибр(ахи1М١а ибн Синана— ٠14١4.
«Книга о чувствах и ощущаемом» см. «Об ощущении и ощущаемом».
«Книга об аргументации [зиджей]» Иа'ку- б٠а ибн Тарика —184, 2208 ,07ا.
«Кхандакхадьяка» Брахмагупты—160, 209. 217.
«Метеоролог'ика» Аристотеля— 134, 135.
«Начала» Ев'Клида — 38, 232.
«Начала геометрии» Менелая —47.
«Начала гео؛метрии» Серена Фивского — 234 ,9؛.
«О действиях с ,астролябией» а,с-Сиджи- зи —167, 181ا.
«Об атмосферах, водах и местах» Гиппо- крат.а—,159.
«Об определении линий, которые вычерчи- вают концы теней на ПЛО'СКОСТ.И земно- го горизонта» Сабита ибн Курры —14'4.
«Об ощущении и ощущаемом» Аристоте- ля — 134.
«Об указании небесных явлений н.а зем- ные со'бытия» Беруин —61.
«Обоснование зиджа Хабаша» Беруни - 33, 70, 77.
«Опровержение лжи путем приведения до- казателвств к действиям ал-Хорезми в его зидже» Беруни — 61.
«Основы философии» ас-Серахси —134.
«Открывающий зидж» Ибн Оаббаха — 159.
«Ошибки передаваемого относительно дол- ГО'ТЫ и широты» Беруни ٠ 30.
«Полезные вопросы и верные ответы» Бе- руни — 35.
«Получение успокоения благодаря утО'Чне- нию обМ'Сра площадей» Беруни — 32.
«Пулиса-сиддханта» см. «Сиддханта» Пу- лисы.
«Руководство к познанию расстояний» Бе- руни —247.
«Сиддханта» Пулисы — 160, 199, 212.
«ас-Синдхинд» см. «Б'ОЛЬШОЙ ас-Синд- хннд».
«Тимей» Платона — 147.
«Трактаты» Братьев чистоты—1^.
«Указание пути к уточнению движения Солнца» Беруни — 57.
«Шахрияров 31И..ДЖ» см. «Шахский 3'ИДЖ»—
«Ш,ахомий Альмагест» Ибн ‘Ирака — 70.
^«Шахский зидж»—îœ, 168, 2'10, 217, 253.
«Альмагест» ал-Бузджани — 161ا. «Альмагест» Птолемея —41, 85, 91, 104.
156, 160, 168, 23'25 ,241 ,32؛.
«Аналема» Диодора —200؛.
«ал-Арканд»—1555'2 ,209 ,5ا19 ,157 ,6ا. «Б.леск зиджей» —210.
«Большой ас-Синдхинд» ал-Фазари—90.
98, 103, 116, 166, 213, 252, 253. «Брахмасиддханта» («Брахмаспхутасидд- ханта») Брахмагупты — 160, 2'0:6, 213؛ 245.
«Вопросы п,р ироды» ал-Ираншахри—146.
«؛Восемьдесят пять глав» (К'НИга, пр'иписы- ,ваемая Гермесу)—254, 255.
«Всеобъемлющий зидж» Кушйара ибн л.аббана —161, 171.
«Выяснение признанной концепции» Беру- 'НИ —135ا.
«Диван ал-'ада؛б» Исхака ибн Ибрахима ал-фараби —'128.
Евангелие —'141.
«Занимательные вопросы» Сабита ибн ؛Курры —144.
«'Звездная касыда» ал-Фазари —214.
«Зидж» Абу ‘Асима ‘Исама—189.
«Зидж» Абу Ma‘шара — 159, 16,3, 164, 166.
«Зидж» ал-Ваттани—106.
«Зидж» ал-Бузджани — 161, 166.
«Зидж» Мухаммада ибн ‘Омара ибн ал- Фаррухана — 185, 19)6.
«Зидж» ан-Найризи— 159, 166.
«3'ИДЖ» Сулаймана ибн ‘Исмы ас-Самар- канди —94, 108.
«'Зидж» ал-Фазари см. «Большой ас-Синд-
хинд».
«3'ИДЖ» Хабаша ал-Хасиба — 33, 70, 7,7, 81, 97, 106, 183, 234.
«Зидж» ал-Харуни — 215.
«Зидж» ал-Хашими—159.
«'Зидж» ал-Хорезми —35, 59, 61, 9)5, 110,
166, 207.
«Каранасара» Ваттешвары — 210, 2.19. «Каранатилака» Виджаянандина — 210. «Книга алгебры и ал-мукабалы» неизвест-
ного автор,а — 62, 63.
«Книга атмосфер и стран» см. «Об атмо- 'Сферах, водах и местах».
«К'НИга кругов» Архимеда — 29, 34, 35. «Книга о (ВЫ'СШИХ я'В'лениях» с:м. «Метеоро- логика».
«Книга о красной ,сере» ал-Халладжа —
.152؛


УКАЗАТЕЛЬ АСТРОНОМИЧЕСКИХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ
Движение Солнца суточнсе—143. Движение суточное небесной сферы — 124. 1,25, 138.
Дева— 1190, 207, 208, 211.
День (его величина) — 200.
Деферент —01.
Джава—\ы Джакаха — ٦للآ .
Джатаха — ٦لألآ .
Джарадала — 200.
Дочера погребальных носалоп—٠ا١لأا Заман— 125, 207, 209, 210, 212, 213, 235. Затмен.ие лу.нное— 128, 130, 154, 250. Затмение солнечное —249.
Захо٠ждение светил (Солнца) — 124, 139, ,141, 171, 198, 203, 206.
Звезды неподвижные—132.
Земля— 128, 130132, 137, 143, 145, 149, 150, 152, 154, 155, 188, 190, 191, 195,
197, 198, 203, 207, 248, 250—252, 255. 3ен,ит— 138, 149, 153, 170, 171, 194, 220. Зод'иак (знаки зодиака) — 158, 190, 207, 209, 236, 239.
Зодиакальный круг см. эклиптика. Индийский круг— 195, 198, 202, 233. Р1оджана — 2Ь2, 253.
Каки (какини) — \ы Кардаджа — 98, 116, 2'15.
Климат — 206.
Козерог— 1'95, 234, 239.
«Колышек» Земли — 234.
Конические сечения — 76.
Котангенса линия см. «тень прямая». Крох — 252.
Kipyr, воспроизводящий эклиптику — 58, 81 86, 99, 105, 107, 108, 112, 116, 117, 191. Круг высоты— 152, 165, 195, 198, 202. 220. 233.
Кульминация Сол'Нца —'128, 139, 223, 224. Лев — 211.
Линия меридиана см. د земной.
Линия равноденствия — 192, 193, 195, 204. 205, 21,1.
Ло'маная линия в круге — 28—77, 85, 86, 89,101. РУ
Луна — 59, 123, 124, 128—132, 135, 139,
145, 148—150, 153, 154, 157, 230, 249,
250', 252.
Лунные узлы—145.
Марс — 254.
Маша (маса) — 157.
Абар — 123.
Ази'мут восхода Солнца — 56, 57.
Азимут светила — 137, 138, 192—'194, 196 199, 203, 205, 220, 221, 238. Альмукантарат — 137, 193, 194, 198, 235. Амплитуда восхода— 193, 194, 199, 203 204, 206.
Амплит'уда захода — 193, 194, 203, 206. Ангула— 156.
Апогей —57, 58, 81, 85, 99, 117, 149, 150, 19)1.
Аргумент азимута —205, 221.
Аргумент Солнца — 59.
Армилляр'ная сфера —1153.
Астарки — 188.
Астрология — 254, 255.
Астролябия — 167, 176—182, 234—238, 245, 247.
Аюта — 2Ъ\.
Билиубайжайа — ٠لأهلأ Близнецы— 1211—209 ,90؛.
Ванди— 157؛.
Вел'ичины небесных тел — 248, 249, 251 —
Венера— 149, 228, 254.
Весы— 150, 188, 190, 19'1.
Винади — 206, 207.
Восхождение в П'РЯМОЙ сфере (прямое ВО'С- хождение)—207—211, 243.
Восхождение св'етил (Солнца) — 12'4, 139, 141, 171, 194, 203, 206—211.
Времена дня (их определение)—212—219, 233339.
Высота светила — 137139, 147, 152,
165—169, ,177, 180, 181, ,183—186, 193, 194, 196, 197, 204—206, 208, 2'17, 220,
221, 234—236, 244, 250, 253, 254.
Высота Солнца полуденная — 139', 171,
206, 216.
Гипербола — 76, 200, 238.
ГНО'МОН —52, 138, 142—144, 148, 149, 151 — 153, 173, 177, 179, 18'1, 183—186, 18'9—
191, 195, 197, 200, 201, 203, 204, 206,
208, 212—217, 2.34, 240, 241, 2'45, 246,
Горизонт— 124, 138, 143, 144, 1'51 —153,
.165, 170, 185, 192, 238, 250.
Гхати — 206, 207, 210, 212, 213.
Два теленка — 228.
Движение планет — 61.
Движение Солнца среднее — 57, 58.


337
Указатели
214, 217, 218, 220—224, 235, 235, 244,
248—252.
Солнцестояние зимнее— 198, 238.
Солнцестояние летнее— 135, 198, 238.
Стрелец— 199.
Суточная параллель —57, 143, 144, 193)
198, 204, 206, 207, 216, 236, 238.
Сф'ера лунных узлов — 145.
Тангенса линия см. «тень обращенная».
7211—209— بد.
«Тень о,бращенная» (линия тангенса)—152٠ا 161, 169—177, 181, 241, 242.
Тень полуденная — 138, 139, 188, 189, 205. 206, 208, 210, 212—214, 219, 234, 236.
«Тень плоская» (линия котангенса) — 1(52, 155, 160, 16(1, 165176, 241, 242.
«Тень п.рямая» ом. «тень плоская».
Тень равноденственная — 138, 190, 191,
206—21'1, 255.
Тень экваториальная см. тень ра,вн؛оденст- венная.
Треугольник времени— 192, 204, 205, 216.
Треугольник дня —221 ,216 ,204 92٠ا1ا.-
Тропик Рака —135.
Тула—\٦<؟.
Уравнение дня — 206, 208, 2.18, 2'19, 243.
Уравнение Солнца —59, 81—418, 17'1.
ф,арсах—191, 206, 252, 253.
ф'игура секущих ом. предложение о секу- щих.
Хо'рда —35, 44, 50, 64—77, 190.
Час косой —212, 215, 235.
Часы солнеЧ'Ные —238, 239.
Ши'рюта географическая —57, 13'8, 1ا52ا
•188, 190, 193,- 195, 199, 204—206, 238, 243, 255.
Широта климата наблюдения — 194.
Широта Луны — 60, 250.
Экватор земной — 138, 143, 188, 191, 208. 209, 216.
Экватор небесный— 138, 191, 198, 199, 201, 20.6, 207, 220, 243.
Эксцентрическая ор'бита ом. орбита экс- центрическая.
Эллипс — 1:43.
Эклиптика —57, 58, 143, 194, 234, 242.
Эпицикл —61, 171.
Юяагер— 149, 228, 254.
Меридиан земной —138, 1'92—205, 215, 221. Меридиан небесный— 191, 192, 220, 238, 250.
Меркурий — 254.
«Место паден.ия камня» —52, 205, 246. Ми'нуты суток —206, 207, 212, 213. Мукхула— 169.
Мухурта — 2'\ъ.
Наибольшее скло؛нение см. склонение наи- большее.
Итний Сухейль —\٠\لأ Новолуние—123.
Ночь (величина) — 206.
Овен — ХЪО, 188, 190, 207—211٠'ا «Ожерелье» Сол.'Нц,а —253.
Орбита апогея см. орбита эксцентрическая. Орбита эксцентрическая —57—59, 81—83.
85—87, 99, 101, 102, 104—108, 110—114. (1:17, 173, 1.91.
Парабола — 142.
Параллакс— 149, 250.
Парэклиптика ом. к.руг, воспроизводящий эклиптику.
Пер'игей —58, 81, 85, 117, 149.
Планеты —61, 132.
П.0ЛЮС мира— 124, 138, 144, 206. праны —
Предложение о секущ'ИХ — 240—242. Равноденствие весеннее— 198.
Равноденствие осеннее—198.
Рак —211, 234, 239, 254.
Расстояние между небеоными телами — 132, 249—252.
Рыбы — •190, 23.6.
Сас —209.
Сатурн —
Саут— 169.
Склонение наибольшее (угол наклона плоскости ЭКЛИ'ПТИ'КИ к плоскости не- бес.ного экватора)—56, 57, 98, 114, 208 209, 220, 221, 242, 243.
Склонение светила — 114, 188—190, 193.
198, 199, 204, 206—208, 218, 220, 221,
242, 243, 255.
.135—126 ,124 ,118—81 ,59—56— ءبد
,157 ,155 ,153—151 ,149—143 ,139 ,138 190'—188 ,185 ,184 ,181 ,171 ,165 ,158
,206 ,204 ,203 ,199 ,198 ,196 ,194 ,193'
1122


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Об определении хорд в круге посредством свойств ломаной линии в нем . 25
Об анализе и определении частных значений уравнения [Солнца] ٠ ٠ . 79
[Из введения] 81
[Из главы первой] 84
Глава вторая. Об определении вычислений, [,необходимых] для выясне- ния уравнения [Солнца] с многочисленными ,их примерами, больший- ство которых рассматривалось мною, когда у меня запрашивали до- казательсТва их правильности или несостоятельности . ... 88
Раздел первЫй . . . . . . ٠ . . . 88
Раздел второй 89
Раздел третий . . 90
Раздел четвертый 90
Раздел пятый . . . 91
Раздел шестой 92
р ,а здел седьмой . . . . . . . . . . 92
Раздел восьмой . . . . . . . . . . 93
Раздел девятый 93
Раздел десятый . . . . . . . . . . 94
Раздел одиннадцатый . . . . . . .. ٠ 9.5
Раздел д.в енадцатый 95
Раздел тринадцатый 96
Раздел четырнадцатый 96
Раздел пятнадцатый 97
Раздел шестнадцатый . . . . . . . . 97
Глава третья. Повествование о геометрических доказательствах вычисли-
тельных способов определения уравнения [Солнца] . ... 99
Раздел пе'р'ВЫ й . . ٠ . . . . . . . .99
Раздел втОрой ,01
Раздел тр,еТ.ИЙ 02ا
Раздел четвертый 103
Раздел ПЯТЫ.Й 104
Раздел шестой .٠ 105
Раздел седьмой 106
Ра,здел восьмой . . . . . . . . . . 107
Раздел девятый 107
Раздел де,сЯТ.ЫЙ . . . . . . . . . . 108
Раздел одиннадцатый ........ 110
Раздел д,в енадцатый по
Раздел тринадцатью й 111
Раздел четырнадцатый 112
Раздел пят(Надцатый 113
Раздел ше,с тнадцатый 114
Глава четвертая. Определение [объектов], о ко'Торых шла речь выше, с помощью [различных] видов взаимозависимости, случающихся меж-
дуними : 117
Обособление речи о проблемах теней, (Гномоника) 119
Елава Цбраяя. О том, что для этого вопроса необходимо первое движе-
ние неба в западном нап'равлении 124
Ел.вй вторая. Упоминание о свете и тьме, освещенности и тени . . 126
Глава третья. Об изменениях, которые И'Спытывает тень по величине и


339
Оглавление
положению 137
Глава четвертая, о том, что описывают концы тени [гномона] на гори-
зонтальных [плоскостях] .......... 143
Глава пятая. Об изменениях тен,и٠ происходящих от изменения положе-
ния источника света по высоте ........ 145
Глава шестая, о методе, с помощью которого используются тень и
ГН.0М0Н 151
Глава седьмая, о вид.ах делений, на кото'рые подразделяюТ'СЯ гномоны. 154 Глава восьмая, о переходе от 0ДН1ИХ видов теней к другим . . . 161
Глава девятая, о плоской тен,'И и вьисоте и об определении одной из
двух по другой, если она неизвестна . . . . . 165
Глава десятая. Об обращенной тени и высоте и об определении одной из
них по другой, если она неизвестна ........ 169
Глава одиннадцатая. Об О'бщем между двумя видами теней, об их COOT-
ношениях и об определении одной из них по другой . . . . 170
Глава двенадцатая, о таблицах, содержащих тени, освобождающих от их вычисления, и о спо؛собах нахождения теней по ним [от начала] до конца и [определения] указанных напротив [величин дуг] . . 171
Глава тринадцатая. Об определении различ1НЫх видов теней на астроля-
б ИИ, что будет полезно для последующего ...... 176
Глава четырнадцатая. Об установлении 'Ступенчатой тени на астролябии 179
Глава пятнадцатая, о тенях, из.меряемых на наклонных и Д'ругих поверх-
ностях 163
Глава шестнадцатая. Об определении полуденн'ОЙ тени в любой задан-
ный день 188
Глава семнадцатая, о равноден'Ственной тени в любом городе 190 . ء
Глава восемнадцатая. Об уточнении направления меридиана по двум
теням или по двум главным азимутам ...... 192
Глава девятнадцатая. Об уточнении линии меридиана . . . . 193
Глава двадцатая. Об определении ЛИВИИ меридиана по трем по'Следова-
тельным теням 200
Глава двадцать первая. Об определении линии ^еридиана с ПО'МОЩЬЮ
какого бы то ؛ни было измерения 203
Глава двадцать вторая, о величинах дня и Н0Ч.И и разностях между
восхождениями 206
Глава двадцать третья. Об определении П'рошедшей и оставшейся частей
дня с помощью теней . . . . 212
Глава двадцать четвертая. Об [определении] аЗ'Имута и его восхождений 220 Глава двадцать пятая. Рассказ о мнениях 'И'Мамов о временах МОЛ.'ИТВ и
о том, что необходимо для их точного определения . . . . 222
Глава двадцать шестая. Об установлении ЛИН1ИЙ времен молитв и часов
на инструментах 233
Глава двадцать седьмая, о применении теней в предложении о секущих
и в астрономических вычислениях . 240
Глава двадцать восьмая. Об определении земных расстояний и ВЬИС'ОТ
гор с помощью теней . 244
Глава двадцать девятая, о небесных расстояниях, [определение] К'ОТО-
рых сводится к теням 248
Глава тридцатая. Об у.поминанИ'И вещей, связанных с теняМ'И, и непохо-
жих на то, что был'0 раньше 251
Комментарии 257
Комментарии к трактату «Об определении хорд в круге посредством СВОЙ'СТВ
ломаной лиНии в Нем» ...... ...... 259
Комментарии к трактату «Об анализе и определении частных значений урав-
нения [Солнца] » 279
Комментар'ии к тракТату «Обособлен'ие речи о проблемах теней» . . . 286
Приложения 327
Указатель библиографических сокращений 329
Указатель имен собственных 333
Указатель географических и этнических названий 334
Указатель названий сочинений 335
Указатель астрономических и математических терминов ..... 336


Абу Райхаи Беруни
ИЗБРАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Том VII
Утверждено к печати
Учены! советом. Института востоковедения им. Абу Райхана Беруни АН УзССР, Бюро Отделении истории, языкознания и литературоведения АН УзССР
Редактор X. و. Раупова Художник И. И. Икрамов Технический редактор в. м. Тарахович Корректор н. А. Шавинская
ИБ № 3876
Сдано в набор 22.12.86. Подписано к печати 16.03.87. Р16931. Формат 84хЮ8)/|б. Бумага типог- рафская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Уел. печ. л. 35,28. Уч.-изд. л. 27,4.
Тиран، 1000. Заказ 11. Цена 4 р. 90 к.
Адрес Издательства: 700047. Ташкент, ул. Гоголя, 70.
Типография Издательства «Фан» УзССР: Ташкент, проспект м. Горького, 79.