Автор: Дьяченко М.И. Ульянов П.Л.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика интегралы
ISBN: 5-88688-034-8
Год: 1998
Текст
М. и. Дьяченко п. л. Ульянов
МЕРА
и
HTEfP АЛ
cl1tl1
J1l0 plla
l
Университетский
учебник
М. и. Дьяченко п. л. Ульянов
МЕРА
И ИНТЕrР АЛ
Москва "Факториал" 1998
ББК 22.162
Д 93
УДК 517.5
д 93 Дьяченко М. Н., Ульянов П. Л. Мера и интеrpал.
М.:
И3Д
ВО 4tФакториал., 1998.
160 с.
ISBN 5
88688
034
8.
Книrа представляет собой вводный курс в теорию меры и интеrpала и пред
назначена д;lя началъноro знакомства с предметом.
Авторы настоящеro пособия поставили своей целью создание учебника,
максимально приближенноro кuуниверситетскому кypc
действительноrо анализа
и опирающеrося на мноroлетнии опыт преподавания этои дисциплины на механико-
математическом факультете MOCKOBCKOro rocyдapcTBeHHoro университета.
Основные вопросы, рассматриваемые в книre
это теория меры, измеримые
функции, интеrpал Лебеra.
Д1Iя студентов и аспирантов физико-математических специальностей.
Библиоrp. 15.
рфи
Издание осуществлено при финансовой поддержке
Российскоrо фонда Фундаментальных исследований.
Проект М 97
01
14094.
Научное издание
Дьяченко Михаил Иванович
Ульянов Петр Лаврентьевич
Мера и интеrра.л
Редактор ВаСUJl.ьева О. А.
Ориrинал-макет ПанкратЬеВ К. Е.
Формат 60 х 90/16. fарнитура литературная. Усл. печ. л. 10. Бумаra офсетная М 1.
Подписано к печати 17.8.1998. Тираж 1000 экз. Заказ М 4243.
Издательство .Факториал., 117449, Москва, а/я 331; ЛР м 063537 от 22.07.1994.
Ориrинал-макет подroтовлен с использованием макропакета АР-ТЕХ.
Отпечатано в ППП типоrpафии .Наука. Академиздатцентра .Наука РАН.. 121099,
Москва f-99, Шубинский пер., 6.
ISBN 5
88688
034
8
@ М. И. Дьяченко, П. Л. Ульянов, 1998
@ Факториал
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
rлава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕРЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Э 1. Множества и операции над ними. Системы MHO
жеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Э 2. Конечные меры на системах множеств. . . . . . . . . . . . . 13
Э 3. Внешняя мера. Продолжение меры по Лебеrу
и по Жордану . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Э 4. Мера Бореля. Меры Лебеrа
Стилтьеса ....... .... 26
Э 5. а
конечные меры. Мера Лебеrа на }Rn . . . . . . . . . . . . . 28
Э 6. Непрерывность и полнота мер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Э 7. Неизмеримые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Э 8. Прямые произведения мер.. . . .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. 34
Э 9. Структура измеримых множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
rлава 2
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Э 10. Определение и основные свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Э 11. Множество Кантора и кривая Кантора. . . . . . . . . . . . . 48
Э 12. Сходимость по мере и ее свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Э 13. Сходимость почти всюду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
rлава 3
ИНТЕrР АЛ ЛЕБЕr А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Э 14. Интеrрал Лебеrа для простых функций. . . . . . . . . . . . 60
Э 15. Интеrрал Лебеrа дЛя произвольных измеримых
функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Э 16. Переход к пределу под знаком интеrрала Лебеrа . . . 71
Э 17. Дальнейшие свойства интеrрала Лебеrа. . . . . . . . . . . . 76
Э 18. Сравнение интеrрала Лебеrа с интеrралом Римана. 80
4
Оrлавление
rлава 4
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕrРАЛА ЛЕБЕrА........ 83
Э 19. Теорема Луз ина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Э 20. Заряды. Теорема Радона
Никодима . . . . . . . . . . . . . . . 86
Э 21. а
аддитивность прямоrо произведения мер. Teope
ма Фубини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Э 22. Неравенства rёльдера и Минковскоrо. Пространст
ва L р . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Э 23. Полнота и некоторые друrие свойства пространств L р 101
rлава 5
ФУНКЦИИ оrРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ И АБСОЛЮТНО
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Э 24. Функции оrраниченной вариации на отрезке... .... 108
Э 25. Абсолютно непрерывные функции на отрезке. . . . . . 114
Э 26. Неопределенный интеrрал Лебеrа . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Э 27. Интеrралы Римана
Стилтьеса и Лебеrа
Стил
тьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
rлава 6
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ
ФУРЬЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Э 28. rильбертово пространство......................... 136
Э 29. Ортонормированные системы в rильбертовых про
странствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Э 30. Интерполирование линейных операторов в функцио
нальных простраНствах............................ 144
Э 31. Некоторые теоремы о коэффициентах Фурье. . . . . . . 149
Э 32. Теорема Карлемана и неусиляемость теоремы
Хаусдорфа
Юнrа . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 154
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одной из наиболее важных математических дисциплин
является анализ. Основным объектом изучения в анализе
является функция. По поводу этоrо понятия Н. Н. Лузин
[1, т.3, с. 319
341] писал: «Оно не сложилось сразу, но, воз
никнув более двухсот лет тому назад в знаменитом споре о зву
чащей струне, подверrалось rлубоким изменениям в начавшей
ся тоrда энерrичной полемике. С тех пор идут непрестанное
уrлубление и эволюция этоrо понятия, которые продолжаются
до настоящеrо времени. Поэтому ни одно отдельное формальное
определение не может охватить Bcero содержания этоrо поня
тия...».
В связи С этим естественно отнести зарождение дей
ствительноrо анализа ко времени спора о колеблющей
ся струне (Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Д' Аламбер, Ж. Лаr
ранж), хотя становление этой теории происходило в XIX в.
(Ж. Фурье, О. Коши, Н. И. Лобачевский, П. Дирихле, Б. Риман,
П. Л. Чебышев, К. Жордан).
В классическом анализе изучались в основном функции,
имеющие определенную степень r ладкости . Однако во второй
половине XIX в. в анализе четко обрисовались некоторые ждав
шие cBoero решения проблемы, касающиеся более общих клас
сов функций, а также и более rлубокоrо изучения rладких функ
ций. К таким проблемам относились: проблема меры множества,
длин кривых и площадей поверхностей, приближения и пред
ставления функций, первообразной и интеrрала, взаимосвязи
интеrрирования и дифференцирования, почленноrо интеrриро
вания и дифференцирования рядов, свойств функций, получен
ных в результате предельноrо перехода. Классические методы
анализа не моrли дать удовлетворительноrо ответа на вопро
сы TaKoro типа. В связи с этим и возникла в конце XIX в. Ha
стоятельная необходимость пересмотра основ математическоrо
анализа, что было осуществлено в конце XIX
начале ХХ вв.
на базе теории множеств. Этим завершилось создание основ co
BpeMeHHoro действительноrо анализа.
Из сказанноrо видно, что действительный анализ может
быть, с известной мерой условности, разделен на классический
математический анализ и ero более современную часть, основы
6
Предисловие
которой были заложены Э. Борелем, Р. Бэром и прежде Bcero
А. Лебеrом. В 1902 r. А. Лебеr ввел чрезвычайно важное поня
тие меры множества. На основе этоrо понятия им была создана
теория интеrрала. Эти два понятия
мера и интеrрал
co
ставляют фундамент cOBpeMeHHoro действительноrо анализа.
К настоящему времени написано немало хороших книr,
освещающих различные аспекты действительноrо анализа.
Прежде Bcero, нужно упомянуть моноrрафии П. Халмоша [2]
и С. Сакса [3], учебники А. Н. Колмоrорова и С. В. Фомина [4],
И. П. Натансона [5], Ф. Рисса и Б. Секефальви
Надя [6] и др.
Авторы настоящеrо пособия поставили своей целью соз
дание учебника, максимально приближенноrо к университет
скому курсу действительноrо анализа и опирающеrося на MHO
rолетний опыт преподавания этой дисциплины на механико-
математическом факультете MOCKoBcKoro rосударственноrо уни-
верситета. При этом были использованы наиболее удачные,
по мнению авторов, подходы из упомянутых выше книr. Так,
изложение теории меры в основном идет по схеме, пред
ложенной А. Н. Колмоrоровым и С. В. Фоминым [4], интеrрал
Лебеrа вводится по методике С. Сакса [3], при изложении
теории функций оrраниченной вариации и абсолютно непрерыв
ных функций использованы некоторые рассуждения из книrи
И. П. Натансона [5]. Параrрафы 31 и 32, связанные с теорией
рядов Фурье, содержат доказательства, изложенные в известной
моноrрафии Н. К. Бари « Триrонометрические ряды» [7] и в од-
ноименном двухтомнике А. Зиrмунда [8].
В книrе нашли свое отражение и методические разработ-
ки последних лет кафедры теории функций и Функционально-
ro анализа механико
математическоrо факультета Mry. Это ка-
сается прежде Bcero изложения теории измеримых функций,
а также теории неопределенноrо интеrрала Лебеrа. Излаrае-
мый материал полностью покрывает содержание лекционноrо
курса действительноrо анализа, ныне читаемоrо на механико-
математическом факультете Mry в IV семестре, и отчасти
курса функциональноrо анализа (V
VI семестры).
В качестве задачников по данным курсам авторы ре-
комендуют книrи С. А. Теляковскоrо [9], Ю. С. Очана [10]
и А. А. Кириллова и А. д. rвишиани [11].
Авторы будут признательны за любые замечания по поводу
содержания книrи и способов изложения материала.
1и. И. Дьяченко
П. Л. Ульянов
rЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕРЫ
1. Множества и операции над ними. Системы множеств
Одним из основных понятий данноrо курса является по
нятие множества. На наш взrляд ero разумно отнести к KaTe
rории первичных, т. е. не определяемых через более простые.
При этом, разумеется, следует иметь в виду, что неаккуратное
использование термина «множество» может привести к противо
речию. В качестве примера можно привести следующий хорошо
известный парадокс Бертрана Рассела.
Пусть S
это множество всех множеств. Тоrда S состоит
из двух подмножеств: Р и N, rде Р состоит из множеств, явля
ющихся элементами самих себя, а N, соответственно, из MHO
жеств, не являющихся собственными элементами. Тоrда ли
бо N Е N, и мы приходим К противоречию с определением N,
либо N ЕР. в последнем случае по определению Р множест
во N должно являться собственным элементом, т. е. N Е N,
и мы снова приходим к противоречию.
Таким образом, видно, что, оперируя с понятием множест
ва, необходимо соблюдать большую осторожность. Поскольку
к настоящему времени не было обнаружено парадоксов в ситу
ациях, коrда множество составлялось из уже описанных ранее
элементов, таких как точки пространства }Rn, функции на под
множествах }Rn И т. д., упоминаемые в дальнейшем множества
будут именно такими. Интересующихся более подробным изло
жением вопросов обоснования теории множеств отошлем к кни
re Ф. Хаусдорфа «Теория множеств» [12]. Отметим здесь лишь
то, что в данном курсе безоrоворочно принимается следующая
аксиома Е. Цермело.
Пусть А
некоторое множество индексов и для любо
zo а Е А задано некоторое множество Ba
причем ВаПВfЗ ==0
8
fлава 1. Основные понятия теории меры
при Q =1= fЗ J zae через 0 обозначено пустое множество. Tozaa
можно составить множество C
выбрав из каждоzо Ва
по одном у и только одном у элементу.
Мы будем придерживаться обычных обозначений теории
множеств, а именно:
А U В == {х I Х Е А или Х Е В},
AnB=={xlxEA и ХЕВ},
А \B=={xlxEA и x
B},
А Д В == (А \ В) U (В \ А),
и, наконец, запись С == А u В означает, что С == А U В и А n В ==
== 0. Такое объединение ниже будем называть дизъюнктным.
В дальнейшем будут также использоваться стандартные
тождества теории множеств. Не останавливаясь на их доказа
тельстве ввиду ero простоты, приведем здесь некоторые из этих
тождеств:
1) А n В == А \ (А \ В),
2) АUВ==(АДВ)Д(АПВ),
3) А \ В == А д (А n В),
4) А 6 В == (А U В) \ (А n В),
5) (А U В) n С == (А n С) U (В n С),
б) (А n В) U С == (А U С) n (В U С),
7) (А \ В) \ С == А \ (В U С),
8).А \(В\С)==(А \B)U(Anc),
9}(А \В)ПС==(АПС)\(ВПС).
В дальнейшем будут использоваться такие определения
дЛя систем множеств.
О п р е Д е л е н и е 1.1. Система множеств S называется
полукольцом, если:
1)0ЕВ,
2) если А, В Е В, то А n В Е В,
3) если А, Аl Е S и А} с А, то существует конечное число
таких множеств А2"'" Ап Е В, что А} u А2 U... U Аn == А.
Если при этом существует такое Е Е В, что дЛя любоrо А Е S
множество А
Е, то Е называется единицей полукольца, а S
полукольцом с единицей.
П,римеры
1. Множество полуинтервалов ([ а, .в)
[а, Ь)}, включая пу
стой, образует полукольцо с единицей [а, Ь).
э 1. Множества и операции над ними. Системы множеств 9
2. Множество промежутков, т. е. интервалов, полуинтерва
лов или отрезков {{ а, fJ}
[а, Ь]} образует полукольцо с едини
цей [а, Ь].
3. Примеры, аналоrичные первому и второму, можно по
строить в пространстве }Rn, rде, например,
{а,,8} == {a1, fJ1} Х {а2, fJ2} Х ... х {ап, fJn}.
4. Совокупность всех открытых множеств на прямой не ЯВ
ляется полукольцом.
О п р е Д е л е н и е 1.2. Непустая система множеств R Ha
зывается кольцом, если из Toro, что А, В Е R, вытекает, что А
В Е R и А n В Е R. Кольцо с единицей называется алzеброй.
Утверждение 1.1. Если R
кольцо
то R
полу
кольцо. Кроме mozo
если А, В Е R
то А u В Е R.
Д о к а з а т е л ь с т в о. {2} == А
А Е R. Второе требова
ние из определения полукольца, очевидно, выполняется. Дa
лее, А \ В == А
(А n В), откуда вытекает, что если А, Аl Е
Е R и Аl С А то А == Al U А2' rде А2 == А \ Аl Е R. Наконец,
если А, В Е R, то А u В == (А
В)
(А n В) Е R. О
У т в е р ж Д е н и е 1.2. Пересечение любоzо семейства
колец является кольцом (возможно, состоящим лишь из пy
cmozo множества).
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {Ra}aE{}
некоторое ce
мейство колец и R == n Ra' Тоrда, так как {2} Е Ra при лю
аЕ{}
бом а Е П, мы имеем {2} Е R, откуда ясно, что R
непустая
система множеств. Пусть А, В Е R. Тоrда А, В Е Ra при лю
бом а Е П. Так как Ra
кольцо, отсюда вытекает, что А
В Е
ERa и АпВ Е Ra' Поскольку это справедливо дЛя любоrо а Е П,
получим, что А
В Е R и А n В Е R, а это и требовалось дo
казать. О
С л е Д с т в и е 1.1. Пересечение любоzо семейства алzебр
с одной и той же единицей является алzеброй.
У т в е р ж Д е н и е 1.3. Пусть Х
некоторая система
множеств. Tozaa существует такое кольцо R(X)
что Х
R(X)
и если некоторое кольцо Rl "2 X
то R
Rl' Это
кольцо называется минимальным КОЛЬЦОМ
содержащим дaH
ную систему множеств. Если система Х обладает единицей,
то R(X) является алzеброй.
10
[лава 1 Основные понятия теории меры
Доказательство. Пусть Х=={Аа}аЕО' Положим В ==
u Аа' и пусть М(Х)
множество всех подмножеств В. OT
аЕО
метим, что если Х имело единицу Е, то В ==Е. Тоrда М(Х)
кольцо и Х
М(Х). Пусть р == {.i{J}(3Er
совокупность
всех колец, содержащих Х и содержашихся в М(Х). Поло
жим R(X)== n .i{J. Соrласно утверждению 1.2 R(X)
кольцо.
fЗ Er
Далее, очевидно, что Х
R (Х).
Пусть теперь Rl
кольцо И Х
Rl' Тоrда соrласно YTBep
ждению 1.2 R2 == Rl пМ(Х) также является кольцом. Но R2 ЕР
и, следовательно, R (Х)
R2
Rl' что И требовалось доказать. О
Для дальнейшеrо понадобится одна лемма.
Л е м м а 1.1. Пусть S полукольцо
множества
А, Al' А2, . . ., Ап Е В, A1, А2, . . ., Ап
А и Аl' А2' . . ., Ап пo
парно не пересекаются. Tozaa найдутся такие множест
m
ва Ап+ 17 . . ., Ат Е S
что А == U A
.
== 1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим метод индукции.
При n == 1 утверждение содержится в определении полукольца.
Пусть n > 1 и утверждение уже доказано дЛЯ n
1 множест
ва. Т оrда
А
CQ: А,) u C
I В,).
Положим DJ == А n ПВ] Е S при J == 1, . . ., в. По определению полу
кольца при любом j Е [1, в] найдутся такие множества {cJ,'}/==l
из S, что
BJ==D,u(
С,,')'
, == 1
Но тоrда
А == (пс/ A
) ( U (DJ u (
cJ,,))) ==
1==1 J==l 1==1
CQ: А,) u C
I D3) U C
II
I c
.).
Для завершения доказательства осталось заметить, что, так как
(n
l )
Ап n
1J1 A
== {2}
э 1. Множества и операции над ними. Системы множеств 11
s s
И Аn с А, мы имеем Аn
U Bj' откуда Аn == U Dj' Тем самым
j==l j==l
лемма полностью установлена. О
Т е о р е м а 1.1. Пусть S
полукольцо. Tozaa минималь
Ное кольцо, содержащее В,
это R(S)
К(В)
{iGI Ai:
А, Е В, i
1,2, ..., n }, т. е. R(S) является совокупностью
всех конечных дизъюнктных объединений множеств из S.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что любое кольцо, co
держащее S, содержит и К(В). Докажем, что K(S)
n k
кольцо. Пусть А, В Е К(В). Тоrда А == U Ai И В == U Bj'
i==l j==l
rде все Ai, Bj Е В. Положим ci,j == Ai n Bj при i == 1,..., n
и j == i, . . ., k. Тоrда ci,j попарно не пересекаются и
n k
АпВ== U U ci,jEK(S).
i==lj==l
Далее, по лемме 1.1
А. == (Uk с. .) u (U8i D. )
1 ',] 1,8
j==l 8==1
и
Bj == (.u ci,j) U (
Ej,')'
1==1 '==1
rде Di, 8' Ej,l Е S при всех i, j, k, l. Тоrда
А 6 В
CGI CQI D,,)) u C
I C
I Ej,)) Е К(В),
и теорема полностью доказана. О
Установим еще одно вспомоrательное утверждение, которое
будет использовано в дальнейшем.
Л е м м а 1.2. Если S
полукольцо и Al' А2"'" Ап Е В,
то найдутся такие попарно не пересекающиеся множест
ва Bl' В2, . . ., Bk Е S
что каждое А i представляется в виде
объединения некоторых Bj'
12
[лава 1. Основные понятия теории меры
Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим метод индукции.
При п == 1 утверждение очевидно. Пусть оно справедливо для n
1, rде n > 1 и Bl' . . ., ВЧ
система множеств, удовлетворяю
щих условиям леммы для A1, . . ., Аn
l' Положим cs == Bs пАп
при s == 1,2,..., q. По лемме 1.1 имеем
An
C
, с,) u CQ, D.).
rде Dp Е S для любоrо р, и по определению полукольца
Bs == cs u (U Bs, Т)
r==l
при s == 1, . . ., q, rде Bs, r Е S при всех в, т. Тоrда множества
{ CS} : == 1 ,
{В }Ч, т.
s,r s==l,r==l'
{Dp};==l
попарно не пересекаются, лежат в полукольце и при 1
i
n
множество Ai представляется в виде объединения некоторых
элементов из этоrо набора. Тем самым лемма установлена. О
n
l
3 а м е ч а н и е 1.1. Ясно, что если Ап
U Ai' то любое
i==l
множество В" входящее в представление Ап, входит и в пред
ставление HeKoToporo Ai' rде 1
i
n
1.
О п р е Д е л е н и е 1.3. Система множеств R называет
ся а
КОЛЬЦОМ (Б
КОЛЬЦОМ), если R
кольцо и из Toro,
что {AJ
I r:;; R, вытекает, что А
,9. А, Е R (А
/5, А, ER ).
Соответственно определяются а
алrебра и /5
алrебра.
у т в е р ж Д е н и е 1.4. Любое а
колЬЦО является /5
КОЛЬ
ЦОМ. Обратное
вообще zоворя, HeвepHO
но любая /5
алzебра
является а
алzеброй.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R
а
кольцо и А i Е R
при i == 1,2, . . . Тоrда
со 00
n Ai == Al \ U (A1 \ AJ Е R.
i==l i==2
Далее, если R
/5
алrебра с единицей Е и Ai Е R при '1, ==
== 1, 2, . . ., то
со со
U Ai == Е \ n (Е \ AJ Е R.
i==l i==l
э 2. Конечные меры на системах множеств
13
в то же время /5
кольцо всех оrраниченных подмножеств MHO
жества действительных чисел не является а
кольцом.
Аналоrично предыдущему, леrко установить, что пересече
ние любоrо числа а
колец является а
кольцом и что существует
наименьшее а
коЛЬЦО, содержащее данную систему множеств.
Если эта система множеств имеет единицу, то наименьшее a
кольцо будет а
алrеброй. О
Оп р е Д е л е н и е 1.4. Борелевской а
алzеброй В в JRn Ha
зывается наименьшая а
алrебра, содержащая все открытые MHO
жества в JRn.
2. Конечные меры на системах множеств
о п р е Д е л е н и е 2.1. Пусть S
полукольцо множеств,
и задано отображение т: S
[О, +00). Тоrда m называется Me
k
рой, если из Toro, что А == U Ai' rде А, Ар..., Ak Е S, BЫ
i == 1
k
текает, что т(А) == L: m(AJ. Если же, вдобавок, для любых
i == 1
со
таких А, A1, . . ., Ak, . . . Е S, что А == U Ai' имеет место paBeH
i==l
со
ство т(А) == Z: m(Ai), то m называется а
аддитивной мерой.
i == 1
У становим два вспомоrательных утверждения.
Л е м м а 2.1. Если m
мера на полукольце S
множе
n n
ства А, Ар . . ., Ап Е S и А
U Ai
то т(А)
L: m(AJ.
i==l i==l
Д О К а з а т е л ь с т в о. По лемме 1.2 найдутся такие по
парно не пересекающиеся множества Bl' . . ., Bs Е S, что каждое
из множеств A1, . . ., Ап, А может быть представлено в виде объ
единения некоторых Bj' При этом (см. замечание 1.1) любое В"
используемое в разложении А, входит в разложение хотя бы oд
Horo из Ai' rде 1
i
n. Кроме Toro, можно считать, что любое
из множеств В, входит в некоторое разложение. Тоrда
n s
L: m(AJ
L: т(В;)
т(А),
i==l ;==1
что и требовалось доказать. О
14
[лава 1. Основные понятия теории меры
л е м м а 2.2. Если m
мера на полукольце S
множе
ства А, Al"'" Ап Е S
а множества Ai
А при i == 1,..., n
n
И Ai попарно не nересекаются
то т(А)
L: m(Ai).
i==l
Д О К а з а т е л ь с т в о. По лемме 1.1 найдутся такие MHO
k
жества An+J,..., Ak Е S, что А == U Ai. Тоrда
. i == 1
k n
т(А) == L: m(AJ
L: m(AJ,
i==) i==l
а это и надо было установить. О
С л е Д с т в и е 2.1. Если m
мера на полукольце S,
со со
А, Al"'" Ап, .., Е S и U Ai
A
то т(А)
m(AJ.
i==l i==1
Доказательство. Так как дЛЯ любоrо n имеем
n
U Ai
А, по лемме 2.2 получаем
i == 1
n
т(А)
L: m(AJ.
i == 1
Совершив предельный переход, установим справедливость след. I
ствия. О
Теперь приведем важный пример, с KOToporo, собственно,
и началась теория меры.
Пусть S
полукольцо промежутков
:Л
Ж:
а" b1}x.. .:: ;
: :
:: [
l
b
: :::.. Х [Аn, Bnl
[А, BIJ
Неотрицательность функции m i
евидна. Докажем, что m ад
дитивна. Доказательство проведем индукцией по размерности
пространства. При n == 1 утверждение очевидно. Пусть n > 1
и аддитивность введенной функции уже установлена для раз
мерности n
1. Тоrда если
{а, Ь} == {а(I), Ь(I)} U... U {a(k), b(k)}
[А, В],
э 2. Конечные меры на системах множеств
15
то рассмотрим точки an(l), bn(l), ап(2), Ьn(2),..., an(k), bn(k)E
Е[аn, Ьп]' Упорядочив их в порядке возрастания, получим раз
биение отрезка [ап, Ьп]: ап == с(О) < с(l) <... < c(l) == Ьn' Теперь
положим
А(I) == {a1, b1} Х... Х {an
l' bn
l} Х (аn, с(I»,
А(2) == {a1, b1} Х ... Х {an
l' bn
l} Х (с(I), с(2»,
A(l) == {a1, b1} Х... Х {an
l' bn
1} Х (c(l
1), Ьn)
и E(j, в) == {a(j), b(j)} n А(в) при j == 1,..., k и s == 1,..., l.
Тоrда, обозначая через рп проекцию множества F на (n
1 )
Mep
ное подпространство, натянутое на первые n
1 базисных BeK
тора, имеем
. { {a(j)17 b(j)l} Х... Х {a(j)n
17 b(j)n
}, .
Е(з, В)n == если (C8
P с5)
{а(з)п, Ь(З)п}'
{о в противном случае.
т оrда при любом s имеем
k
А(в)п == U E(j, В)п'
j==l
Используя предположение индукции, имеем
n , n
l
т( {а, Ь }) == п (bi
aJ == Z: П (bi
aJ( с( в)
с( s
1» ==
i==l 5==1 i==l
l
== Z: тп
1 ( А ( s ) n)( С ( в)
с (в
1» ==
5==1
l k
== L: Z: тn
1 (E(j, s)n)(c(s)
с(в
1» ==
8==lj==1
, n
l
== z: z: п (bi(j)
ai(j»(c(s)
с(в
1» ==
5==1 j: {a(j),..ь(j),.}2(c.
I'C,) i==l
k n
l
==
п (bi(j)
ai(j» z: (с(в)
с(в
1» ==
j==l i==l в: (c'
l'c.)c;{a(j),..ь(j),.}
k n
l k
== L: П (bi(j)
ai(j»(bn(j)
an(j»== z: m({a(j), Ь(з')}),
j:::l i==l j==l
что и требовалось доказать.
16
[лава 1. Основные понятия теории меры
т е о р е м а 2.1. Введенная в предыдущем примере мера
а
аддитивна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
со
{а, Ь} == U {a(i), b(i)}.
i==l
Для любоrо Е > О выберем n
мерный отрезок [а, {З]
{а, Ь} так,
чтобы выполнялось неравенство т([ а, (З]) > т( {а, Ь})
Е/2,
и n
MepHыe интервалы (a(i), (З(i» 2 {a(i), b(i)} так, чтобы
выполнялись неравенства т« а (i), (З (i») < т( {а( i), Ь( i)}) +
+ E/2i + 1 при i == 1, 2, . . . Тоrда, так как, очевидно, что
со
[а,,8]
U (ai, ,8J,
i == 1
по лемме rейне
Бореля можно выбрать конечное число ин
тервалов, покрывающих [а, ,8]: (a(ij), ,8(ij», rде j == 1,..., k.
По лемме 2.1
k
т({а, Ь}) < т([а, (З]) +
+ L: m«a(ij), (З(ij»)
j==)
i + O
l m«a(i), ,8(i)))
i +
( т( {a(i), b(i)}) + 20
1 )
со
Е + L: m({a(i), b(i)}),
i==l
откуда, в силу произвольности Е > О, получаем, что
со
т( {а, Ь })
L: т( {а( i), Ь( i)}).
i == 1
Обратное неравенство составляет утвер)Кдение следствия 2.1
и, таким образом, теорема установлена. О
Приведенные выше примеры показывают, что полукольца,
вообще rоворя, являются довольно бедными системами MHO
жеств, а потому естественно ставить вопрос о распространении
меры на более широкие классы. Первым шаrом в этом направ
лении является следующая теорема.
т е о р е м а 2.2. Пусть m
мера на полукольце S
и R (S)
наименьшее кольцо
содержащее S. Tozaa функ
k
ция v, задаваемая на элементе кольца А == U Ai
zae Al""
i == 1
. . ., Ak Е S
формулой
э 2. Конечные меры на системах множеств
17
k
v(A)== L: m(Ai),
i==l
является мерой на R(S). При этом
очевидно
v(A) == т(А)
дляАЕS.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале проверим корректность
определения функции v. Если имеется друrое представле
в
ние А == U Вт' rде Bl"'" ВВ Е S, то, полаrая Di r==AinBr Е S,
r
l '
получим, что
в
Ai == U Di,r
Т=о)
k
И ВТ == U Di, r
i==l
для всех i и т, а потому,
в
m(AJ == L: m(Di,r) и
т==l
k
т(Вт) == L: m(Di,r)'
i == 1
т оrда
k k в в k в
L: m(AJ == L:
m(Di,r) == z: z: m(Di,r) == L: т(Вт),
i==l i==l r==l r==l i==l r==l
откуда и вытекает корректность определения функции v.
Ее неотрицательность очевидна. Далее, пусть А, Al""J Ап Е
n
Е R(S) и А == U Ai. Тоrда для любоrо i имеем Ai == U Aj,i'
i==l ;=01
rде все А j, i Е S. Отсюда
n n ji
А == U Ai == U U A;,i Е R(S),
i==l i==l j==l
а потому
n
n
v(A) == z:
m(Aj,J ==
v(AJ,
i==lj==l i==l
и теорема 2.2 установлена. О
3 а м е ч а н и е 2.1. Ясно, что продолжение меры с S
на R(S) единственно.
Следующая теорема устанавливает важнейшее свойство
продолженной меры.
18
rлава 1. Основные понятия теории меры
т е о р е м а 2.3. Если m
а
аддитивная мера на пол y
кольце S
то мера v а
aддитивHa на кольце R (В).
00
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А== U Ai' rде А, Ар А2, . . .
i:::: 1
k
... Е R(S). Тоrда А == U Bj и Ai == U Bi,l при i == 1,2,...,
j==1 1==1
rде все Bj' Bi,l Е В. Полаrая Cj, i, 1 == Bj n Bi,1 при всех j, i и l,
получим
00 'i k
В. == U U С. .1 И В. 1== U С. "1
J J,I, " J,I,
i==l'==1 j::::l
приj==I,...,k, i==I,2,... и l==I,...,li' Отсюда в силу a
aд
дитивности меры m имеем
k k 00 'i
v(A) == L: m(Bj) == L: L: L: m(Cj,i,l) ==
j::::1 j::::1 i::::II==1
iY;lltJ;t, т( С,; <, 1»)
iY;llt, т( В i, 1)
<У;. V ( А,),
а это и нужно было установить. О
Отметим еще одно свойство а
аддитивных мер на полуколь
цах, которое любопытно сравнить со следствием 2.1.
С л е Д с т в и е 2.2. Если v
а
аддитивная мера на коль-
00
це R
множества А, Ар А2, . . . Е R и А
U Ai
то
i == 1
00
v(A)
L: V(Ai)
i == 1
(здесь и далее допускаются бесконечные значения в HepaвeH
ствах).
n
1
Действительно, если ВI == АI n А и ВN == (А пАп) \ U Ak
k:::: 1
00
при n > 1, то для любоrо n множество ВN Е R и А == U Вn'
n==l
Тоrда
00 00
v(A) == L: v(Bn)
L: v(An).
n==1 n==)
э 3. Внешняя мера. Продолжение меры по Лебеrу и по Жордану 19
3. Внешняя мера. Продолжение
меры по Лебеrу и по Жордану
в предыдущем параrрафе изучалось продолжение меры
с полукольца на минимальное кольцо. Стандартный при мер по
лукольца промежутков n
MepHoro отрезка показывает, что и ми
нимальное кольцо, содержащее данное полукольцо, представля
ет из себя не слишком боrатую систему множеств. Поэтому воз
никает вопрос о возможности дальнейшеrо продолжения меры.
Оказывается, что это возможно сделать, если исходное полу
кольцо имеет единицу, а мера а
аддитивна. Основными про
должениями в этом случае являются продолжения по Лебеrу
и по Жордану. Для их изучения нам понадобятся понятия COOT
Бетствующих внешних мер.
Итак, пусть на полукольце S с единицей Е задана а
адди
тивная мера т. Мы будем считать, что v
это продолжение
меры m на кольцо R (В).
О п р е Д е л е н и е 3.1. Если множество А
Е, то ero
внешняя мера Жордана
Jlj(A) == inf
AI,...,AnES:
,.
А
U А.
i:::l
n
L: m(Ai).
i == 1
О п р е Д е л е н и е 3.2. Если множество А
Е, то ero
внешняя мера Лебеzа
со
Jl*(A) == inf L: m(AJ.
A1, А2, '.,;,' Е В: i == 1
A
U А,
O
)
Таким образом, с формальной точки зрения внешняя мера
Лебеrа отличается от внешней меры Жордана не слишком силь
но. Тем не менее, это принципиально разные понятия. Так,
например, при стандартном определении меры на полукольце
промежутков на отрезке [О, 1] внешняя мера Лебеrа множест
Ба всех рациональных чисел равна О, а внешняя мера Жордана
этоrо множества равна 1. Отметим также, что наличие единицы
Б полукольце обеспечивает конечность внешней меры для лю
боrо А
Е.
20
[лава 1. Основные понятия теории меры
3 а м е ч а н и е 3.1. Из следствия 2.2 вытекает, что если
А Е R(S), то Jl;(A) == Jl*(A) == v(A). Действительно, если
n
А == U Bi'
i == 1
n
rде Bl"'" ВП Е S, то по определению Jl*(A)
L: m(Bi)== v(A).
i == 1
с друrой стороны, если
со
А
U Cj,
j==l
rде Си . . ., Cj, . . . Е S, то соrласно следствию 2.2
со
v(A)
2: m(cj).
j==l
Переходя в правой части последнеrо неравенства к нижней rpa-
ни по всем наборам {Cj}, покрывающим А, получим, что v(A)
Jl * (А), а это и надо было проверить. Для меры Жордана ДО-
казательство аналоrично.
3 а м е ч а н и е 3.2. При любом А
Е выполнено неравен.
ство Jl*(A)
Jl;(A).
У т в е р ж Д е н и е 3.1. Величина внешних мер Лебе2Й
и Жордана не изменится
если в определениях 3.1 и 3.2 рас-
сматривать покрытия множества А только системами по.
nарно неnересекающихся множеств из S.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Установим этот факт для внешней
меры Лебеrа (в случае меры Жордана доказательство такое же).
со
Пусть А
Х, множества Ар А2,... Е S и А
U Ai. Поло.
i
l i==l
жим Bl == Al И Bi == Ai \ U А; при i == 2, 3, . .. Тоrда МНО.
j==l со
жества Bi попарно не пересекаются и А
U Bi. Кроме то-
i == 1
ro, Bi Е R(S) при любом i. Поэтому
ji
В- == U С. .
,]
j==1
при i == 1,2, . . ., rде все множества ci,j Е S. Но тоrда
со j,
А
U U ci,j'
i==lj==l
э 3. Внешняя мера. Продолжение меры по Лебеrу и по Жордану 21
причем
со
со со
L: L: m(ci,j) == L: v(BJ
I: m(AJ.
i==lj==l i==l i==l
Из последнеrо неравенства вытекает, что
inf
Ср С2, о о о Е s:
00
A
U С;
;
I
со
L: т( Ci)
inf
i==l Ар А2,о.,;,оЕ s:
A
U А;
i =: 1
со
L: m(AJ == Jl*(A).
i==)
Поскольку обратное неравенство очевидно, утвер)Кдение YCTa
новлено. О
Основное свойство внешней меры Лебеrа устанавливается
в следующем утверждении.
т е о р е м а 3.1. Если множества В, Bl' В2, . . .
Е и В
00
u Bi
то
i == 1
со
Jl*(B)
Z: Jl*(BJ.
i == 1
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задано Е > О. Тоrда по опре
делению внешней меры Лебеrа для любоrо i найдутся такие
со
множества Ai, l' Ai,27 . . . Е S, что Bi
U Ai,j И
j==l
со
L: m(Ai,j) < Jl*(BJ + ;.
j==l
со со
Но тоrда В
U U Ai,j И, следовательно,
j==l i==l
со со со
Jl*(B)
I: L: m(Ai,j) < L: Jl*(Bi) + Е.
i==lj==l i==l
Отсюда в силу произвольности Е > О И вытекает утверждение
теоремы. О
С л ед с т в и е 3.1. Для любых А, В
Е имеет место
оценка
IJl*(A)
Jl*(B)1
Jl*(A L В).
22
[лава 1. Основные понятия теории меры
Такое же утверждение справедливо и для внешней меры
Жордана.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, считая для опреде-
ленности, что Jl*(A)
Jl*(B), и используя тот факт, что А
Bu
U (А 6 В), по теореме 3.1 имеем Jl*(A)
Jl*(B) + Jl*(A 6 В),
а это и нужно было установить. О
3 а м е ч а н и е 3.3. Аналоrичное теореме 3.1 утверждение
справедливо и для внешней меры Жордана, но только для случая
конечных объединений множеств. Доказательство этоrо факта
проводится точно так же.
О п р е Д е л е н и е 3.3. Скажем, что множество А
Е из-
меримо по Лебеzу (по Жордану), если дЛя любоrо Е> О суще-
ствует такое множество АЕ Е R(S), что Jl*(A 6 АЕ) < Е (Jlj(A D.
6 АЕ) < Е). Обозначим соответственно через М и MJ совокуп-
ность всех подмножеств Е, измеримых по Лебеrу и по Жордану.
Из замечания 3.2 следует, что MJ
М. Кроме Toro, яс-
но, что R(S)
MJ
М. Приведенный выше пример множества
всех рациональных чисел на [О, 1] показывает, что, вообще ro.
воря, MJ =f=. М.
т е о р е м а 3.2. Множества М и MJ являются алzебра.
ми.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему лишь дЛЯ М, так
как дЛЯ MJ доказательство аналоrично. Очевидно, что Е Е М.
Предположим, что множества А, В Е М. Для заданноrо Е > О
выберем АЕ, ВЕ Е R(S) так, чтобы Jl*(A 6 АЕ) < Е/2 и Jl*(B ь.
6ВЕ) < Е/2. Тоrда, так как множества АЕПВЕ, АЕ 6ВЕ ER(S) И
(А n В) 6 (АЕ n ВЕ)
(А 6 АЕ) u (В 6 ВЕ),
(А 6B)6(AE6BE)
(A 6AE)U(B 6ВЕ),
имеем (см. теорему 3.1)
Jl*«A n В) 6 (АЕ n ВЕ» < Е
и
Jl*«A 6 В) 6 (АЕ 6 ВЕ» < Е.
в силу произвольности Е > О отсюда вытекает, что А n В, А h
6 В ЕМ, и, таким образом, теорема доказана. О
э 3. Внешняя мера. Продолжение меры по Лебеrу и по Жордану 23
Т е о р е м а 3.3. На множестве М (MJ) функция Jl* (Jlj)
аддитивна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Снова рассмотрим только слу
чай М. Достаточно доказать аддитивность внешней меры
для дизъюнктноrо объединения двух множеств из М. Итак,
пусть В, С Е М и А == В u С. Тоrда по теореме 3.2 А Е М,
а по теореме 3.1
Jl*(A)
Jl*(B) + Jl*(c).
(3.1 )
Возьмем некоторое Е > О И выберем множества Bg, СЕ; Е R(S)
так, чтобы Jl*(B 6 Bg)
Е и Jl*(c 6 Cg)
Е. Поскольку
А 6 (ВЕ; U Cg)
(В 6 Bg) U (С 6 Cg),
по теореме 3.1
Jl*(A 6 (ВЕ; U Cg»
2Е.
(3.2)
Далее,
ВЕ; U СЕ; == ВЕ; U (СЕ; \ (ВЕ; n Cg»,
и так как В и С не пересекаются, то
BgnCg
(Cg \c)U(Bg \В).
Учитывая, что (см. замечание 3.1) на R(S) функция Jl* co
впадает с аддитивной функцией v, отсюда получаем, что
р,*(ВЕ; U Cg) == Jl*(Bg) + Jl*(Cg)
Jl*(Bg n Cg)
Jl*(B) + Jl*(c)
2Е
Jl*(Bg n Cg)
Jl*(B) + Jl*(c)
4Е.
Тоrда, используя следствие 3.1 и оценку (3.2), будем иметь
р,*(А)
Jl*(Bg U Cg)
Jl*(A 6 (ВЕ; U Cg»
Jl*(B) + Jl*(c)
6Е.
Так как Е> О ПрОИЗБОЛЬНО, то
Jl*(A)
Jl*(B) + Jl*(C).
Отсюда и из неравенства (3.1) следует справедливость утверж
дения теоремы. О
Таким образом, установлено, что функции Jl* и Jlj являются
мерами на алrебрах М и MJ соответственно.
24
[лава 1. Основные понятия теории меры
о пр е Д е л е н и е З.4. Мера Jl == Jl * на М называется .мe
рой Лебеzа. Соответственно мера Jl J == Jl; на MJ называется
мерой Жордана.
Для меры Лебеrа устанавливаются следующие две теоремы.
Т е о р е м а 3.4. Множество М является а
алzеброй.
со
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А), А2' ... Е М и А == U Ai.
i
l i==l
Полаrая Bl == А), Bi == Ai \ U Ak Е М при k == 2, З, . . ., видим!
со k
l n
что А == U Bi. При любом фиксированном n, поскольку U Bi
i==l i==l
А, имеем
i:, Jl(В.)
рСG, Bi)
P{Gl В,)
Jl*(A),
откуда
со
L: Jl(BJ < 00.
i==l
Теперь для заданноrо Е> О выберем N так, чтобы
со
L: Jl(BJ < Е.
i
N+l
Далее, так как М является алrеброй, найдется такое множест-
во С Е R(S), что
р ( С 6 iQ. Bi) < Е.
Поскольку
А 6 С <; (С 6 iQ, Bi) U '
O+, Bi,
воспользовавшись теоремой 3.1, получим
р*(А 6 С)
Е + р* c
y +' Во)
Е + ,
t:+l Jl(B;) < 2Е.
Тем самым измеримость А проверена, и теорема 3.4 установле-
на. О
э 3. Внешняя мера. Продолжение меры по Лебеrу и по Жордану 25
Т е о р е м а 3.5. Мера Лебеzа Jl а
aддитивHa на М.
со
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A1, А2' . . . Е М и А== U AiE
i==l
ЕМ. Тоrда А Е М и по теореме 3.3 при любом n имеем
р(А)
р(А,)+. ..+ р(А.)+ Р C
Q+, Ai) ;;. р(А,)+...+ р(А.),
откуда
со
Jl(A)
Z: Jl(AJ.
i == 1
Обратное неравеНСТБО вытекает из теоремы 3.1, и наше YTBep
ждение доказано. О .
Заметим, что, как показывает все тот же пример множества
рациональных чисел на отрезке [О, 1], утверждение теоремы 3.4
уже, вообще rоворя, несправедливо для меры Жордана. В то же
время, результат теоремы 3.5 сохраняет силу и для JlJ' что яв
ляется тривиальным следствием следующеrо утверждения.
Т е о р е м а 3.6. Если А Е MJ
то Jl(A) == JlJ(A).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выше уже отмечалось, что А Е М
и (см. замечание 3.2)
Jl(A)
JlJ(A).
С друrой стороны, выбирая для заданноrо Е > О множество В Е
Е R (S) так, чтобы Jl J (А 6 В) < Е, будем иметь (см. следст
вие 3.1)
р,;(А)
JlJ(B) + JlJ(A 6 В) < JlJ(B) + Е ==
== Jl(B) + Е
Jl(A) + Jl(A 6 В) + Е
Jl(A) + 2Е,
откуда JlJ(A)
Jl(A), и утверждение установлено. О
Таким образом, в этом параrрафе были конструкции аб
страктных мер Лебеrа и Жордана. Важнейшей из этих мер явля
ется мера Лебеrа, построеная на а
алrебре подмножеств n
Mep
Horo отрезка [а, Ь] и являющаяся продолжением меры, описан
ной в начале
2. Эту меру в дальнейшем будем называть клас
сической мерой Лебеrа.
З а м е ч а н и е 3.4. Если исходная мера была задана на по
лукольце промежутков n
MepHoro отрезка [а, ,8] равенством
n
т({а, Ь}) == П (bi
aJ,
i == 1
26
[лава 1. Основные понятия теории меры
то исходя из процесса построения мер Лебеrа и Жордана ясно,
что они будут инвариантны относительно сдвиrов, т. е. мно-
жества Е и Е + х == {а + х: а Е Е}, rде х Е ]Rn, при усло.
вии Е, Е + х
[ о, fЗ] либо одновременно неизмеримы, либо одно.
временно измеримы, причем в последнем случае их меры равны.
4. Мера Бореля. Меры Лебеrа
Стилтьеса
Предположим, что мера Лебеrа Jl была получена продолже.
нием а
аддитивной меры с полукольца промежутков n
MepHoro
отрезка [а, Ь] с ]Rn, а Ба Ь == {АП[а, Ь]: А Е Б}, rде Б
борелев.
ская а
алrебра (см. определение 1.4). Очевидно, что Ба. Ь также
является а
алrеброй и что если М
а
алrебра множеств, из.
меримых по Лебеry, то Ба. Ь
М.
Оп р е Д е л е н и е 4.1. Мерой Бореля называется мера, за.
данная на Ба.Ь и совпадающая там с мерой Лебеrа Jl.
Ясно, что мера Бореля является а
аддитивной мерой, задан.
ной на не которой а
алrебре. В дальнейшем мы увидим, что об-
ласть определения у меры Бореля уже, чем у соответствующей
меры Лебеrа.
Еще одним важным классом мер являются меры Лебеrа
Стилтьеса на прямой.
Пусть <р(х)
монотонно неубывающая на ]Rl == (
oo, 00)
функция, непрерывная слева в любой точке и оrраничен,
ная на ]Rl.
Далее, пусть дано полукольцо с единицей
s == {0} u {[ а, Ь) с R: а < Ь } U {(
oo, Ь)
R}
(rде, возможно, Ь==оо). Определим на S функцию т: т([а, Ь»=
== <р(Ь)
<р(а) и т«
oo, Ь» == <р(Ь)
<p(
oo), rде <р(оо) =
== Нт <р(х) и <p(
oo)== Вт <р(х). Ясно, что m
мера на В.
х......СО x......
oo
т е о р е м а 4.1. Мера m а_
аддитивна на S.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
СО
[а, Ь) == U [ai, Ь J,
i==l
э 4. Мера Бореля. Меры Ле6еrа
Стилтьеса
27
rде а и Ь конечны. Далее, в силу Toro, что <р(х) всюду непре
рывна слева, дЛЯ фиксированноrо Е > О можно выбрать точ
ки C1 < a1,
< а2,... и d < Ь так, чтобы <р(Ь)
<p(d) <;
и <p(aJ
<p(cJ < 2i:1 при i == 1,2,... Отметим, что
СО
[а, d] С U (Ci, Ь i ).
i == 1
Тоrда по лемме rейне
Бореля найдется конечное число интер
валов из правой части (Ср b1), . . ., (Сп, Ьп)' покрывающих [а, d],
и тем более
n
[a,d)C U[ci,bi).
i == 1
По лемме 2.1 имеем
т( [а, Ь»
; == <р ( Ь )
<р ( а)
; < <р ( d)
<р ( а) ==
n n
== т([а, d»
L: m([ci, bJ) == Z:(<p(bJ
<p(cJ)
i==l i==l
n СО
L:(<p(bJ
<p(aJ) +;
L: m([ai, bJ) +
.
i==l i==l
в силу произвольности Е > О отсюда получаем, что
СО
т([а, Ь»
L: m([ai, bi».
i == 1
(4.1 )
Если
СО
(
oo, Ь) == U А i ,
i == 1
rде Ь конечно и Ар . . ., Ai' . . . Е В, то по доказанному выше
т«
oo, Ь» == Нm т([
n, Ь»
n ......СО
СО СО
Нт L: m(Ai n [
n, Ь»
2: m(AJ. (4.2)
n......coi==l i==l
Аналоrично устанавливается, что оценки (4.1) и (4.2) справед
ливы и для Ь == 00.
Обратное неравенство вытекает из следствия 2.1, и, таким
образом, теорема установлена. О
28
[лава 1. Основные понятия теории меры
о пр е Д е л е н и е 4.2. Мерой Лебеzа
Стилтьеса на пря
мой называется лебеrовское продол)Кение описанной BЫ
ше меры т.
З а м е ч а н и е 4.1. Меру Лебеrа
Стилтьеса можно CTpO
ить И на подмножествах отрезков прямой. Для этоrо достаточ
но продолжить функцию <р( х) вне рассматриваемоrо отрезка
ее значениями на концах отрезка.
Меры Лебеrа
Стилтьеса можно определять и в 1Rт
при m > 1. Этот вопрос подробно изучается в книrе
[. П. Толстова [13]. Мы приведем здесь только определение
для двумерноrо случая. Пусть имеется прямоуrольник 1 ==
== [а, Ь) х [с, d), функция <р(х, у): 1
1R и полукольцо S ==
== {I(Q, {З, 'У, Б) == [а, {З) х ['У, Б)
I}. Пусть также для любо
ro 1 (а, {З, 'У, Б) Е S определена функция
m(I(Q, {З, 'У, Б» == <р(й, 'У)
<р(а, Б)
<р({З, 'У) + <р({З, Б)
О.
Тоrда m будет мерой на S. Если же, вдобавок, для любой точ
ки (Хо, Уо) Е (а, Ь) х (с, d) и для любых Q < Хо, 'У < уо выполнено
равенство
Вт m(I(Q, х, 'У, у» == m(I(Q, Хо, 'У, уо»,
x......Xo
,
y......Yo
то эта мера будет а
аддитивной на S. Соответствующие ДOKa
зательства во MHorOM аналоrичны одномерным, но технически
rораздо сложнее. Продолжая указанную выше меру по Лебеrу,
получим меру, которая называется мерой Лебеrа
Стилтьеса,
поро)Кденной функцией <р.
5. и"конечные меры. Мера Лебеrа на КА
Пусть на полукольце S подмножеств HeKoToporo множест
со
ва Х задана а
аддитивная мера m и Х == U Ai, rде Ai Е S
i==l
при i == 1, 2, . . . Продолжим m до а
аддитивной меры v на МИ-
со
нимальном кольце R(S). Заметим, что Х == U Bi' rде Bl == Al'
i == 1
i
1
Bi == Ai \ U Aj Е R(S) при i > 1. Для любоrо i система Ri ==
j==l
== R(S) n Bi == {С n Bi: С Е R(S)}
кольцо с единицей Bi'
а v
а
аддитивная мера на нем. Продолжим ее по Лебеrу
до а
аддитивной меры Jli' заданной на а
алrебре Mi.
э 5. а
конечные меры. Мера Лебеrа на IRn
29
Оп р е Д е л е н и е 5.1. Множество А
Х называется из
меримым, если дЛя любоrо i множество А n Bi Е Mi. При этом
положим
со
Jl(A) == L: Jli(A n BJ
i==l
(в этом равенстве допускаются и бесконечные значения).
Т е о р е м а 5.1. Совокупность М всех измеримых пoд
множеств Х является а
алzеброй.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero отметим, что Х ЕМ.
Далее, если А, С Е М, то при любом i выполнены условия
А n Bi Е Mi И С n Bi Е Mi' откуда (А n С) n Bj == (А n BJ n
n(CnBi) Е Mi и (А 6 c)nBi ==(А nBi) 6 (cnBi) Е Mi. Поэто
со со
муАпс== U(АпС)ПВiЕМиА6С== U(A6c)nBiEM.
i==l i==l
Для бесконечноrо объединения множеств из М доказательство
аналоrично. О
Т е о р е м а 5.2. Функция Jl а
аддитивна на М (и здесь
в определении а
аддитивности допускаются бесконечные
значения в обеих частях равенства).
со
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А == U Aj' rде A1, А2, . . .
j==l
.,. ЕМ. Тоrда в силу а
аддитивности мер Jli имеем
со со (СО )
Jl(A) == i
l Jli(A n BJ == i
l Jli j
l(Aj n BJ ==
со со со со со
== L: L: Jli(Aj n BJ == L: L: Jli(Aj n BJ == L: Jl(Aj)'
i==lj==l j==li==l j==l
что и требовалось доказать. О
О п р е Д е л е н и е 5.2. Определенная выше функция Jl Ha
зывается а
конечной мерой на M1).
Таким образом, построена а
конечная а
аддитивная мера
Лебеrа. Однако было бы нехорошо, если бы эта мера зави
со
села от первоначальноrо представления Х == U Ai. Докажем,
i == 1
что это не так.
1) Еще раз напомним, что меры, которые рассматривались до сих пор, при
нимали лишь конечные неотрицательные значения.
30
rлава 1. Основные понятия теории меры
Предположим, что, взяв за основу иное представление Х =:
00 00
== u A
== U в; и проведя описанные выше построения, мы по-
i==l i==1
лучим друrую а
аддитивную меру I-l', заданную на а
алrебре М'.
Л е м м а 5.1. Пусть для '"!екоторых i, j множество Ci, j :::::
== Bi n в; #- 0
а множество А
Ci,j и А ЕМ. ТО2да А Е М'
и 1-l'(А) == I-l(А).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Лемма сразу следует из Toro,
что на Ci,j меры I-l и I-l' являются лебеrовскими продолжени
ями меры 1/ с кольца R(S) n Ci,j' а потому М n Ci,j == М' n Ci,j
и I-l(А) == 1-l'(А). О
Т е о р е м а 5.3. Мера I-l задана KoppeKтHO
т. е. М == М'
и I-l == I-l'.
Доказательство. Пусть А ЕМ. Тоrда для любых та-
ких i, j, что Ci,j #-0, множество А n Ci,j Е М. При этом
00 00 00
I-l( А) == L: I-l(А n BJ == L: L: I-l(А n Ci,j)'
i::::1 i==lj::::1
с друrой стороны, по лемме 5.1 множество А nCi,j Е М' и I-l(А n
n Ci,j) == 1-l'(А n Ci,j)' Тоrда А Е М' и
00 00
1-l'(А) == L: L: 1-l'(А n Ci,j) == I-l(А),
i::::lj::::1
а это и нужно было доказать. О
Наиболее важным случаем построеннной выше меры яв-
ляется классическая мера Лебеrа на ]Rn, построенная исходя
из стандартной меры на полукольце промежутков.
6. Непрерывность и полнота мер
Важными свойствами мер являются непрерывность и пол-
нота.
О п р е Д е л е н и е 6.1. Пусть на кольце R задана конечная
мера I-l. Пусть также для любой последовательности вложенных
00
множеств АI ;2 А2 ;2 ..., rде А., А2, ... Е R и А == n Ai Е R,
i::::1
выполнено равенство
I-l(А) == .lim I-l(Аi).
.
OO
(6.1)
Тоrда мера I-l называется непрерывной.
6. Непрерывность и полнота мер
31
Т е о р е м а 6.1. Заданная на кольце R мера Jl HeпpepЫB
на mozaa и только mozaa
КО8да она а..аддитивна.
СО
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Jl а
аддитивна и А == n Ai'
i == I
rде множества Ai вложены И А, А 1, А2, . . . Е R. Положим Bi ==
== Ai \ Ai + 1 при i
1. Тоrда
00
Аl \ А == U Вп,
п==l
откуда
СО n
l
Jl(Al \ А) == Jl(Al)
Jl(A) == L: Jl(Bn) == Вт L: Jl(Bk) ==
n==l n......cok==l
!
oo C
: (р(А.)
м(А.+ ,»)
р(А,)
!
oo р(Ап),
т. е. имеет место равенство (6.1).
СО
Теперь пусть мера Jl непрерывна и А == U Ап, rде
n==l
А, Al' А2,... Е R. Положим
СО n
l
Вп == U Ai == А \ U Ai Е R.
i==n i==l
СО
Тоrда Вl 2 В2 2 . . . и n Вп == 0. Поэтому
п==l
( n
l )
О == 1
Jl(Bn) == l
co Jl А \ i
l Ai ==
!
oo(P(A)
:
: Р(А.»)
м(А)
!
oo%:: м(А.).
Но это и означает, что
00
Jl(A) == L: Jl(Ak)'
k==l
Теорема полностью доказана. О
3 а м е ч а н и е 6.1. Если мера Jl а
аддитивна на кольце R,
то формула (6.1) остается справедливой и для ситуации, KO
00
rда Аl
A2
..., А == U Ai И А, Al' А2"" ER. Это сразу YCTa
i==l
навливается с помощью множеств Bi == А \ Ai при i == 1, 2, . . .
3 а м е ч а н и е 6.2. При доказательстве теоремы 6.1 не ис
пользовалась неотрицательность меры Jl.
32
[лава 1. Основные понятия теории меры
с л е Д с т в и е 6.1. Если а
конечная мера Jl заданп
на некоторой а
алzебре M
множества Ар А2' . .. Е М, при-
со
чем Al 2 А2 2... и Jl(Al) < oo
И А == n Ai, то
i == 1
Jl(A) == .1im Jl(Ai)'
l ...... 00
д о к а з а т е л ь с т в о. Соrласно утверждению 1.4 множе,
ство А ЕМ. Далее, отметим, что совокупность множеств M1 =
=={А ЕМ: Jl(A)<oo} является кольцом, причем мера Jl а
адди
тивна на М1 и А, А l' А2' . . . Е M1 . Теперь достаточно примениТl
теорему 6.1. О
З а м е ч а н и е 6.3. Пример последовательности множеСТI
А n == [n, 00) при n == 1, 2, . . . показывает, что без условия конеч
ности Jl (А 1) утверждение следствия 6.1, вообще rоворя, невер
Но.
Отметим, что меры Лебеrа (конечная), Жордана и Борел!
являются непрерывными.
О n р е Д е л е н и е 6.2. Заданная на кольце R подмножеСТI
HeKoToporo множества Х мера Jl называется полной, если из то
ro, что А ER, Jl(A)==O и В сА, вытекает, что В ER и Jl(B)==U
Из определения мер Лебеrа и Жордана ясно, что они явля
ются полными (мера Лебеrа и в а
конечном случае). В то ЖI
время ниже мы увидим, что мера Бореля не полна.
7. Неизмеримые множества
Из построения меры Лебеrа осталось неясным, существ)
ют ли неизмеримые относительно этой меры множества. OTB€'
на этот вопрос зависит, во
первых, от исходной меры и, ве
вторых, от принятия аксиомы выбора. Как уже rоворилось Bf/
э 7. Неизмеримые множества
33
ше, в данном курсе аксиома выбора принимается безоrовороч
но. Разумеется, неизмеримых множеств не будет, если, напри
мер, объявить меру подмножества действительной прямой paB
ной 1 при условии, что это подмножество содержит точку О,
и О в противном случае. Однако для классической меры Ле
беrа (Jl([ а, Ь» == ь
а) такие множества есть. При построении
неизмеримых множеств большую роль иrрает инвариантность
классической меры Лебеrа относительно сдвиrов (см. замеча
ние 3.4).
Т е о р е м а 7.1. Пусть измеримое по Лебеzу множест
ВО А
[0,1] и Jl(A) > О. Tozaa существует неизмеримое MHO
жество F сА.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем на [О, 1] такое отношение
эквивалентности: Х rv у, если Х
у Е Q, rде Q
множество
рациональных чисел. Рефлексивность, симметричность и TpaH
зитивность в данном случае очевидны, а потому по известной
алrебраической теореме
[О, 1] == U На,
аЕи
(7.1 )
rде На
соответствующий класс эквивалентности. В COOTBeT
ствии с аксиомой выбора образуем множество Е == { Ха} а Е и' co
держащее ровно по одному представителю Ха из каждоrо клас
са На'
Теперь занумеруем все рациональные числа отрезка [
1, 1].
Получим последовательность {rn}
== l' rде rO == О. Положим Еп ==
==E+rn при n== 1, 2,... Предположим, что при некоторых nl=-m
выполнено условие Еп n Ет 1=- 0. Тоrда найдется число а, имею
щее два представления: Ха + rn == а == ХfЗ + r т' Но отсюда Ха
ХfЗ Е
Е Q, а поскольку в Е не может быть двух разных представите
лей одноrо и Toro же класса, Ха == ХfЗ И rn == rm, т. е. n == т. По
лученное противоречие доказывает, что Ет пЕn == 0 при n 1=- т.
Предположим, что одно из множеств Еп содержит изме
римое подмножество СП положительной меры d. Тоrда, в силу
инвариантности меры Лебеrа относительно сдвиrа (см. замеча
ние 3.4), при любом m
О множества От == СП
rn + r m
Ет
будут измеримы и Jl( От) == d. Но
со со
U сп
U Еn
[
1, 2],
п==О n==О
ДЬЯ'lенко М. и.. Ульянов п. л.
34
[лава 1. Основные понятия теории меры
откуда
00 00
L: м( сп) == L: d 3,
п--=о n==о
и мы пришли к противоречию.
С друrой стороны (см. (7.1», для любоrо Х Е [0,1] найдутся
такие Q Е и и n О, что Х == Ха + тn' т. е. Х Е Еn. Поэтому
со
[О, 1] U Еn.
п==о
Отсюда
со со
А == U (А ПЕn)== U Рп'
n==о n==О
Если все множества рn измеримы, то хотя бы одно из них долж
но иметь положительную меру (т. к. Jl(A) > О), а это, как мы
установили ранее, невозможно. Теорема 7.1 доказана. О
8. Прямые произведения мер
в данном параrрафе будет изложена важная конструк-
ция прямоrо произведения мер, которая позволяет ввести ме-
ру на подмножествах прямоrо произведения Х х У, если нам
заданы меры на полукольцах подмножеств Х и У.
О п Р е Д е л е н и е 8.1. Если А и В два множества,
то положим А х В == {( Х, у): Х Е Х и у Е У}. Если 81 И 82
две системы множеств, то 81 Х 82 == {А х В: А Е 81 И В Е 82}.
Т е о р е м а 8.1. Если 8) и 82 полукольца, то и 8 == 81 Х
Х 82 полукольцо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что 0 == 0 х 0 Е 8.
Пусть А == Al Х А2 И В == Вl Х В2' rде Al' Bl Е 81 И А2, В2.Е 82'
Тоrда А n В == (A1 n B1) Х (А2 n В2) Е 8. Наконец, если В А,
ТО Bl Al И В2 А2. Отсюда существуют такие С2, . . ., ck Е 81
И D2, . . ., D n Е 82' что
А, В, u C 2 с,)
и А2 == В2 U (.U Dj)'
1==2
э 8. Прямые про изведения мер
35
Поэтому
A
(в! U C
. Gi)) Х (B.UCG. D;))
в u C
.(C, Х в.») uСG.щ Х D;») UC
.;G,<Gi Х D»),
а это и надо было установить. О
Оп р е Д е л е н и е 8.2. Пусть т1 и
конечные меры,
заданные на полукольцах 81 и 82 соответственно. Тоrда назо
вем их прямым произведением m == т) х
функцию, заданную
на полукольце 8 == 81 Х 82 формулой m(Al х А2) == т1 (Al)
(A2)'
rде Al Е 81 И А2 Е 82'
Т е о р е м а 8.2. Функция m является мерой на 8.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Неотрицательность m очевидна.
Пусть
n
А == Al Х А2 == U (A1(k) х A2(k».
k == )
Тоrда по лемме 1.2 существуют такие наборы попарно непересе-
кающихся множеств {ci }f== 1
8) и {Dj }r==)
82' что множест
ва Al' A)(k) при k == 1,2,..., п и А2' A2(k) при k == 1,2,..., n
представляются в виде дизъюнктных объединений некоторых Ci
и Dj соответственно. Пусть
A1(1)== U Ci,
i Е Щl)
. . .,
А1(n) == U ci
i Е Щп)
и
А2(1)== U Dj'
j Е [(1)
. . .,
А2(n) == U Dj'
j Е [(п)
При этом
N
А1 == U ci
i == 1
м
и А2 == U Dj'
j==)
Тем самым,
N М n
U U (Ci Х Dj) == А 1 Х А2 == U (А 1 ( k) х А2 ( k » ==
i==lj==l k==l
n
== U U U (ci Х Dj),
k==l iЕЩk)jЕ[(k)
36
[лава 1. Основные понятия теории меры
откуда ясно, что при любых фиксированных целых i Е [1, N]
и j Е [1, М] найдется такое единственное k Е [1, n], что i Е !1( k)
и j Е r(k).
Тоrда
n n
L: m(A(k» == L: m(Al(k) х A2(k» ==
k==l k==l
n
== L: m1 (A1 (k » (A2(k» ==
k == 1
== t ( L: m1(Ci») ( L: (Dj») ==
k==l iЕЩk) jEr(k)
n N М
== L: L: L: ml(ci) (Dj) == L: L: ml(cJ (Dj) ==
k==1 iЕЩk)jЕr(k) i==l j==1
N М
== L: m1(ci) L: (Dj) == ml(Al) (A2) == т(А).
i==l j==1
Доказательство закончено.
Ниже, в Э 21, будет установлено, что если меры m1 и
а адцитивны, то а адцитивной будет и мера т.
9. Структура измеримых множеств
Для дальнейшеrо нам понадобится такой результат острук,
туре измеримых по Лебеrу множеств.
т е о р е м а 9.1. Пусть Jl а конечная мера Лебеzа
на а алzебре М, полученная продолжением некоторой a aд
дитивной меры с полукольца В, множество А Е М и Jl(A) <
< 00. Tozaa А можно представить в виде
со со
А == n U Ai, j \ Ао,
i==lj==l
zae множества Ai,j Е R(S) при i, j == 1,2,...; Ai,l Ai,2 ...
со
для любо о i; если Bi== U Ai,j при i == 1,2,..., то B12B22...,
j==l
J.-L(Вl) < 00; Ао Е М и м(Ао) == О.
э 9. Структура измеримых множеств
37
д о к а з а т е л ь с т в о. По определению меры Лебеrа
для любоrо натуральноrо i найдется такое множество ci ==
00 1
== U Di,j:J А, rде Di,j Е S, что Jl(ci \ А) < -:[. Положим Bi ==
;==1
i 00
== n Ст при i == 1, 2, . . . Тоrда Bi == U Ei, l' rде все Ei" Е S. Кроме
r==l '==1
Toro, множества Bi монотонно невозрастают, Jl (B1) == Jl ( c1 ) < 00
и р СО, В, \ А ) =:' о. Обозначая A"j ,Q, Ei,' Е R(S) при j
== 1, 2, . . ., установим справедливость теоремы. О
В ряде вопросов теории функций большое значение име
ют понятия открытых и замкнутых множеств. Вообще rоворя,
они никак не связаны с теорией меры. Однако для классиче
ской меры Лебеrа на подмножествах отрезка в }Rn такая связь
существует.
3 а м е ч а н и е 9.1. Открытые и замкнутые множества в }Rn
являются измеримыми относительно классической меры Лебе
ra. Для открытых множеств это вытекает из измеримости лю
боrо OTKpbIToro интервала, а также из Toro, что произвольное
открытое множество в }Rn можно представить в виде объедине
ния не более чем счетноrо набора открытых интервалов. 3aMK
нутые же множества измеримы, поскольку измеримы их допол
нения.
С л е Д с т в и е 9.1. . Пусть Jl классическая мера Лебеzа
на IR.n и множество А измеримо по Лебеzу. Tozaa справедли
вы представления
со
А == n Gi \ -R
i == 1
и
со
А== U FjU ,
;==1
zae множества G1 2 а2 2 . .. и Gi открыты при всех i,
F; . .. и Fj замкнуты при всех j а Jl(-R) == Jl( ) == О.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero напомним что OTKpЫ
тым В }Rn называется множество, содержащее вместе с каждой
точкой некоторую сферу положительноrо радиуса, а замкнутым
называется множество, дополнение к которому открыто.
Утверждение достаточно установить для множеств конеч
ной меры. Поскольку в случае классической меры Лебеrа любое
множество из R (S ) отличается от OTKpbIToro лишь на множест
во меры О, а объединение любоrо числа открытых множеств CHO
38
[лава 1. Основные понятия теории меры
ва является открытым множеством, первое утверждение следст-
вия вытекает из теоремы 9.1. Далее, если множество А изме.
римо, то измеримо и ero дополнение СА == }Rn \ А. Применяя
к СА уже доказанную часть следствия и снова переходя к мно'
жеству А, устанавливаем справедливость и второй части след.
ствия. О
Сказанное выше приводит к следующему эквивалентному
определению классической меры Лебеrа на [а, Ь] с }Rn.
О П Р е Д е л е н и е 9.1. Для произвольноrо множества А
[а, Ь] определим внешнюю и внутреннюю меры Лебеrа равен.
ствами
Jl*(A) == inf{Jl(B): В открыто и А В [а, Ь]},
Jl*(A) == sup{Jl(B): В замкнуто и А 2 В}.
Теперь скажем, что А измеримо в том и только в том случае,
коrда Jl*(A) == Jl*(A). Это общее значение называется мерой А.
В связи с изложенным выше установим одно свойство замк-
нутых множеств в }Rn.
Оп р е Д е л е н и е 9.2. Пусть А измеримое относитель-
но классической меры Лебеrа Jl подмножество }Rn И точка х Е А.
Тоrда скажем, что х является точкой усиленноzо разрежения
дЛЯ А, если найдется открытый шар Br(x)=={yE}Rn: Ix yl <Т}
с r > О, дЛЯ KOTOpOrO Jl(Br(x) n А) == о.
л е м м а 9.1. Пусть F замкнутое подмножество }Rn
и М(Р) > О. Tozaa найдется такое замкнутое множество К
F что Jl(F \ К) == О и ни одна точка К не является е20
точкой усиленноzо разрежения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D это совокупность все>:
точек усиленноrо разрежения множества F и ВХ == Вт(х)(Х)
соответствующий шар из определения 9.2 для х Е D. Т оrда мно.
жество
А == U ВХ
xED
открыто и, следовательно, множество К == F \ А замкнуто. До.
кажем, что
Jl(A n Р) == О.
(9.1)
Действительно, если эта мера положительна, то найдется цепоч.
ка таких cTporo вложенных друr в друrа шаров
А => ВТ (YI) => Вт, (У2)' . . => ВТ (Ут) => . . .
12т
э 9. Структура измеримых множеств
39
с радиусами Тт О при m 00, что Jl(Br (Ут) n Р) > О
при всех т. Эти шары стяrиваются к некоторой точке z. В силу
замкнутости F и вложенности всех шаров в А имеем z Е А n F .
Но тоrда по построению точка z лежит в не котором шаре, мера
пересечения KOToporo с F равна нулю, и мы пришли к противо
речию. Поэтому (9.1) выполняется и, поскольку F \ К == А n Р,
выполнено равенство Jl(F \ К) == О. Наконец, из условия (9.1)
вытекает, что для любоrо OTKpbIToro шара В выполнено усло
вие Jl(FnB)==Jl(KnB), а потому никакая точка множества К
не является ero точкой усиленноrо разрежения. Тем самым лем
ма установлена. О
Теперь установим характеристическое свойство открытых
множеств на прямой, справедливое только в одномерной ситуа
ции. Оно будет нужно для дальнейших рассмотрений.
Т е о р е м а 9.2. Пусть открытое множество А }Rl.
со
I Tozaa А == U (ai, bi) zae один или два интервала Mozym иметь
. i == 1
. бесконечные КОНЦЫ и, разумеется объединение может быть
конечным.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем на А следующее отношение
эквивалентности: xrvy, если интервал (х, y) A. Тоrда А мож
но представить в виде дизъюнктноrо объединения классов эк
вивалентности. Поскольку любое непересекающееся множество
интервалов на прямой не более чем счетно, теорема будет YCTa
новлена, если мы докажем, что каждый класс эквивалентности
является интервалом.
Пусть К такой класс. Положим а == inf х и Ь == sup У. Бу
хЕК уЕК
дем считать, что а > oo и Ь < 00, иначе доказательство только
упрощается. Если с Е (а, Ь), то существуют такие х Е (а, с) и у Е
Е (с, Ь), что (х, y) A, откуда сЕК. Таким образом, (а, b) K.
Предположим, что а Е К. Тоrда дЛя HeKoToporo d Е (О, Ь а) ин
d
тервал (а d, а + d) А. Но по доказанному точка а +"2 Е К,
d
откуда а "2 Е К, и мы получили противоречие с определени
ем а. Аналоrично проверяется, что Ь fj. К. О
В заключение, установим один важный технический резуль
тат, который представляет и самостоятельный интерес.
Т е о р е м а 9.3 (теорема Витали). Пусть J..l классиче
ская мера Лебеzа на прямой а Е оzраниченное пoдMHO
жест ВО прямой. ТО2да если т'о такая система невырож
денных отрезков что для люБО20 х Е Е и для люБО20 е > О
40
[лава 1. Основные понятия теории меры
найдется такой отрезок 1 == I(x, е) Е т'о с Jl(1) < E
что х Е 1
(в этом случае zоворят
что множество Е покрыто си.
стемой т'о в смысле Витали), то можно выбрать такую
не более чем счетную систему непересекающихся отрез.
ков {1k}c;==1
Т'о, что
р' ( Е "Q,I.)
о.
д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим, что в силу оrраниченно.
сти множества Е можно считать, что все отрезки системы
лежат внутри HeKoToporo интервала (а, Ь). Процесс выделения
отрезков проведем индуктивно. Вначале определим величину
Al == sup Jl(1) < 00.
1 Е 1'0
1
Выберем отрезок 11 Е т'о так, чтобы Jl (11) > 2 А l' После этоrо
определим множество
== {1 Е Т'о: 1 n 11 == 0}.
Предположим теперь, что нами уже выбраны непересекающиеся
отрезки 11,12' . . ., 1т и построены множества Т:)
:J. . .:) Тт.
Если множество Тт == 0, то полаrаем Ат+) == Ат+2 == . . . == о
и считаем процесс законченным, в противном случае положим
Ат+) == sup Jl(1)
IЕ Тт
1
и выберем отрезок 1т+ 1 Е Тт так, чтобы Jl(1m+ 1) > 2Ат+ l' После
этоrо определим множество
Tm+l == {1 Е Тт: 1 n 1m+l == 0}.
В результате мы построим конечную или счетную систему непе.
ресекающихся отрезков Q == {1k}. Очевидно также, что чис.
ла Ak ! О при k
00. Если 1
некоторый невырожденный
отрезок, то через 51 будем обозначать отрезок с тем же цен
тром, длина KOToporo в 5 раз больше длины 1.
Сначала рассмотрим случай, коrда выделенная нами после.
довательность отрезков конечна: 11' 12' . . ., 1п. Тоrда если бы на.
шлась точка
n
Х Е Е \ F == Е \ U 1k,
k==l
э 9. Структура измеримых множеств
41
то, соrласно условию, нашелся бы и отрезок 1 (х, е) Е Т'n, rде е >
> о расстояние от х до замкнутоrо множества Р, а это про
тиворечит тому, что ТП == 0. Следовательно, в рассматриваемом
случае Е с F и теорема установлена. Если же система отрезков
счетна, то положим
со
S == u 1k'
k==l
Пусть 1 натуральное число и х Е Е \ В. т оrда, так как
,
X F,==U1k'
k==l
и множество F, замкнуто, найдется отрезок 1 (х, l) Е 7'0, содержа
щий точку х и не пересекающийся с F,. Очевидно, что 1 (х, l) Е
Е 1;. Так как Jl(1(x, l» > Ak дЛя достаточно больших k, най
дется такое натуральное m > l, что 1 (х, l) Е Тт 1 \ Тт' В этом
случае 1(х, l) n 1т -10 и Jl(1(x, l» < Ат < 2Jl(1m)' Но отсюда
следует, что 1(х, l) с 51т' Поэтому
со
Е \ S U 5Ik'
k ==,
а тоrда
со со
Jl*(E \ В) L: Jl(5Ik) == 5 L: Jl(Ik)'
k==' k=='
Ввиду Toro что
со
L: Jl(Ik) < Ь а < 00,
k==l
а число 1 произвольно, отсюда вытекает, что Jl * (Е \ В) == О, а это
и нужно было установить. О
С л е Д с т в и е 9.2. Если выполнены условия теоремы Ви
тали, то можно выбрать такую конечную систему Henepe
секающихся отрезков {Ik} == 1 7'o что
n 1 *
L: Jl(Ik) > 2 Jl (Е).
k == 1
rЛАВА 2
ИЗМЕРИМЫЕ функции
10. Определение и основные свойства
Оп р еде л е н и е 10.1. Тройка (Х, М, Jl), rде М a aJl
rебра с единицей Х, а Jl а аддитивная мера на М, назы
вается измеримым nространством. Если Jl(X) < 00, то будеъ
называть это пространство конечным, а если мера Jl а конечн(
на М, то а конечным.
Оп р е Д е л е н и е 10.2. Пусть (Х, М, Jl) измеримое про
странство, множество А Е М, а функция f(x): А }Rl u{ oo}L
u{+oo}. Тоrда f(x) называется измеримой в том и только в то!
случае, коrда для любоrо с E}Rl полный прообраз f l«C, +(0)):
=={ХЕХ: c<f(X) OO}EM.
3 а м е ч а н и е 10.1. Подчеркнем, что в определении УЧЕ
тывается тот факт, что f задана на измеримом множестве А
Отметим также, что тройка (А, А n М, Jl) также является ИЗМЕ
римым пространством, а потому ниже всеrда можно предпола
raTb, что f определена на единице измеримоrо пространства.
В дальнейшем, если будет rовориться, что функция f (х) ш
мерима на множестве Е, то подразумевается, что имеется ИЗМЕ
римое пространство (Х, М, Jl) (вообще rоворя а конечное) и чтI
множество Е Е М. Далее, если множества А, В ЕМ, В А
Jl (А \ В) == о и некоторое свойство выполняется в каждой ТОЧJ(!
множества В, ТО мы будем rоворить, что это свойство выполю
ется ПОЧТИ всюду на А.
Оп Р е Д е л е н и е 10.3. Если f(x) и g(x) две измеримы
на Х функции, причем f (х) == g( х) почти всюду на Х, ТО он
называются эквивалентными.
3 а м е ч а н и е 10.2. Поскольку все открытые подмножеС1
ва пространства }Rn измеримы относительно классической мерl
Лебеrа, любая функция, заданная на измеримом подмножеС1
ве }Rn И непрерывная на нем, является измеримой относительн
соответствующеrо измеримоrо пространства.
э 10. Определение и основные свойства
43
л е м м а 10.1. Пусть функция f измерима на (Х, М, Jl).
Tozaa измеримы множества f l( oo) f l(+OO) f I(IR})
и f l « а, b» zae а и Ь яоzут быть и бесконечными.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero отметим, что
со
f l(+oo) == n f l«n, +00]) Е М
n==l
и
со
f l( oo) == Х \ U f l« n, +00]) Е М
n == 1
Теперь ясно, что и f l(}Rl) Е М. Далее, при любом с E}Rl имеем
f l([c, +00]) n / l ( (с *, +00]) Е М
Отсюда
f l « а, Ь» == f l « а, +00]) \ f l ([ Ь, +00]) Е М,
и лемма установлена. О
т е о р е м а 10.1. Если функция f измерима на (Х, М, Jl)
а В борелевское подмножество }Rl то f I(B) Е М.
Доказательство. Пусть S=={A }Rl: f l(A) Е М}.
Тоrда }Rl Е S и если А, С Е S, то
f l(A n С) == f l(A) nf l(C) и f l(АДС) == f l(А)Дf l(С),
т. е. АпС ЕМ и А 6 С ЕМ. Кроме Toro, если Al' А2,.. .ЕМ, то
со со
f l( U Ап) == U f l(An) Е М
п==) n==l
Отсюда ясно, что S а алrебра. Кроме Toro, из последнеrо co
отношения, леммы 10.1 и теоремы 9.2 вытекает, что S содержит
все открытые подмножества }Rl. Тоrда по определению борелев
ской а алrебры В как минимальной а алrебры, содержащей все
открытые множества, В S, и теорема доказана. О
3 а м е ч а н и е 10.3. Как будет показано ниже, даже
для непрерывных функций, заданных на отрезке, вообще rOBO
ря, нельзя утверждать, что прообраз любоrо множества, измери
Moro относительно классической меры Лебеrа, также измерим
относительно этой меры.
44
[лава 2. Измеримые функции
т е о р е м а 10.2. Если функция f (х) измерима и конеч.
на на (Х, М, Jl) (здесь и ниже конечной мы будем называть
функцию, nринимающую только конечные значения в каж.
дой точке своей области определения) причем f(X) G Ж),
2де G открытое множество а функция g(y) непрерывна
на G, то суперпозиция g(f(x» измерима на (Х, М, Jl).
д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero отметим, что функ.
ция g(f( х» принимает только конечные значения. Поэтому
для любоrо с Е IR.1 имеем
F:: == (g(f» l « с, +00]) == (g(f» l « с, +00» ==
== {х Е Х: f(x) Е g l«C, +оо»}.
Соrласно свойствам непрерывной функции, множество Ее =
== g 1 « с, +(0» открытое, а значит, тем более борелевское. По.
этому по теореме 10.1 F:: == f l(EJ Е м, и наше утверждение
доказано. О
Здесь естественно возникает вопрос: верно ли, что и компо.
зиция двух измеримых функций является измеримой функциеЮ
В следующем параrрафе будет показано, что это, вообще rоворя,
неверно.
т е о р е м а 10.3. Если функции f(x) и g(x) измеримы
и конечны на (Х, М, Jl), а а и Ь некоторые числа то функ.
ции af(x) + bg(x) и f(x)g(x) также измеримы на этом про"
странстве. Кроме т020 если g( х) не обращается в О ни в од.
ной точке то измеримой будет и функция . Конечность
функций здесь требуется лишь затем чтобы не надо бы"
ло специально определять результаты операций сложения,
умножения и деления.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку линейная функция не.
прерывна на IR.1, мы имеем, что если функция f(x) измерима
и конечна, то по теореме 10.2 при любом а Е IR.1 измеримы функ.
ции af(x) и f(x) + а.
Пусть теперь функции f (х) и g( х) измеримы и конечны.
Рассмотрим множество
А == {х Е Х: f(x) > g(x)} ==
со
== U ({х Е Х: f(x) > Тп} n {х Е Х: g(x) < Тп}) Е М,
n==l
э 10. Определение и основные свойства
45
rде {тn}
== 1
это все рациональные числа, каким
либо образом
занумерованные. Поэтому при любом с Е }R 1 множество
Ас == {х Е Х: f(x) + g(x) > с} == {х Е Х: f(x) > с
g(x)} Е М,
и первая часть теоремы установлена.
Теперь отметим, что если функция f(x) измерима и конеч
на, то по теореме 10.2 измерима и функция f2(X). НО тоrда
измеримо и произведение измеримых функций f(x)g(x) ==
==
«f(x) + g(X»2
(f(x)
g(X»2).
Наконец, если функция g( х) измеримаl конечна и не обра
щается в нуль на Х, то, так как функция
непрерывна на OT
у
крытом множестве }Rl \ {О}, из теоремы 10.2 следует, что функ
1 С u
ция g(x) также измерима. учетом уже установлен нои измери
мости произведения, это завершает доказательство теоремы. О
З а м е ч а н и е 10.4. По ходу доказательства теоремы 10.3
была установлена измеримость множества точек, в котовых одна
измеримая функция больше друrой (ясно, что предположение
о конечности этих функций здесь несущественно).
3 а м е ч а н и е 10.5. Представляется естественным счи
тать, что
1) 00:1: а == 00 при любом а Е }Rl;
2)
00:1: а ==
oo при любом а Е }R);
3) а х (:i:oo) == :1:00 при а > о;
4) а х (:1:00) == =Foo при а < о;
5) 00 + 00 == 00
(
oo) == 00;
6)
oo
00 ==
oo + (
oo) ==
oo;
7) 00 х 00 == (
oo) х (
oo) == 00;
8)
oo х 00 == 00 х (
oo) ==
oo.
Кроме Toro, формально можно положить
9) О х (:1:00) == о;
10) 00
00 ==
oo
(
oo) == о.
При таких соrлашениях в дальнейшем мы будем пользо
ваться теоремами об измеримости суммы и произведения из
меримых функций без требования конечности этих функций.
Заметим еще, что если мера JL полна, а функции f (х) и g( х)
конечны почти всюду, то можно считать, что на «плохом» MHO
жестве результат операций сложения и умножения определен
произвольным образом.
46
[лава 2. Измеримые функции
т е о р е м а 10.4. Если {fn (х)} == 1 последовательность
измеримых функций на пространстве (Х, М, Jl) то ФУНК
ции <р(х) == sup fn(x) и 'Ф(х) == Нт sup fn(x) также измеримы
n п......со
на этом пространстве. Разумеется измеримыми также бу
дут нижняя 2рань и нижний предел последовательности из
меримых функций.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любоrо с E}Rl имеем
со
{х Е Х: <р(х) Е (с, +оо]) == U {х Е Х: fn(x) Е (с, +оо]) Е М,
п==l
и измеримость <р(х) доказана. Отсюда при любом k == 1,2, . . .
. . . измерима функция <Pk(X) == SUp fn(x). Но тоrда для любоrо с
n k
имеем
со со 1
{ХЕХ: 'Ф(х)Е(С, +оо]}== U n {ХЕХ: <Pk(x)E(c+ т' +ОО]}Е.м;
r==l k==l
и теорема полностью доказана. О
С л е Д с т в и е 10.1. В условиях теоремы 1 0.4 Функ
ция F (х) == Вт fn (х) измерима на множестве Е Х на KO
п...... со
тором она существует (предел может быть и бесконечным).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество Е это множество,
на котором совпадают верхний и нижний пределы последова-
тельности функций. По теореме 10.4 эти пределы измеримы, сле
довательно, измеримо и Е. Но на множестве Е функция F ( х)
совпадает с измеримой функцией 'Ф(х) == Нт sup fn(x), И следст
п...... со
вие установлено. О
3 а м е ч а н и е 10.6. Если мера Jl полна, функции
fl(X), f2(x),... измеримы на множестве Е и f(x) == Нт fn(x)
п...... со
почти всюду на Е, то и функция f(x) будет измерима на MHO
жестве Е.
Т е о р е м а 10.5. Если функция f(x) непрерывна на иH
тервале (а, Ь) то ее конечная nроизводная измерима на MHO
жестве CBoezo существования относительно классической
меры Лебеzа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим так называемую Bepx
нюю производную функции
р(х) == Нт sup f(x + h f(x).
h......O
э 10. Определение и основные свойства
47
Поскольку функция f(x) непрерывна, множество
{ х Е (а, Ь): /, ( х ) > с } ==
== u n u { х Е (а, Ь): х + h Е (а, Ь) и J (х + h J (х) > с + }
r==l п==l O<lhl<
измеримо даже по Борелю (внутреннее объединение является
открытым множеством). Отсюда вытекает измеримость верхней
производной. Аналоrично устанавливается и измеримость ниж
ней производной
f'(x) == Вт inf J(x -+ h) J(x) .
11.......0 h,
Множество существования конечной обычной производной Е
это множество точек, rде верхняя и нижняя производные KO
нечны и равны. Из док3.занноrо выше видно, что Е измеримо,
а поскольку на Е выполнено равенство f'(x) == /'(х), теорема
полностью установлена. О
Справедливо и следующее более общее утверждение (при
водимое ниже простое доказательство было любезно сообщено
Ю. Е. Куприковым).
Т е о р е м а 10.6. Если функция f(x) измерима на иHтep
вале (а, Ь), то ее конечная производная измерима на MHO
жестве CBoezo существования относительно классической
меры Лебеzа.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть произвольная функция у(х)
измерима на (а, Ь). Тоrда, поскольку при любом натуральном n
И любом t Е IR. множество
{х Е (а, Ь): sup у(х + h) > t}
h Е (О, ) n (О, Ь х)
открыто, функции gn (х) == sup у( х + h) измеримы для
h Е (О, *) n (О, Ь х)
n == 1,2,... в этом случае, измеримыми будут и функции
уп(х) == gn(x) у(х) == sup (у(х + h) у(х»
h Е (О, ) n (О, Ь х)
48
[лава 2. Измеримые функции
при n == 1,2, ... Теперь, для заданной f(x) и для любоrо с Е IR
положим у( х) == f (х) сх. По доказанному выше, множество
{ х Е (а, ь): IS u р f( х + h J (х) > с } ==
h Е (О, п) n (О, Ь х)
=={ХЕ(а,ь): sup Y(X+h Y(X»O}==
h Е (О, *) n (О, Ь . х)
== {х Е (а, ь): уп(х) > О}
измеримо. Таким образом, установлена измеримость функций
fn(x) == sup
h Е (О, *) n (О, Ь х)
f(x + h) f(x)
h
при n == 1, 2, . . . Отсюда, измеримой является и так называемая
правая верхняя проuзводная функции f(x)
f (x)==limsup f(x+h) f(x) == Нт fn(x).
h......O+ h, п......со
Аналоrичным образом устанавливается измеримость левой
верхней производной
(x) == Нт sup лх + h J(x) .
h......O
Но тоrда измеримой является и верхняя проuзводная функции
р(х) == Нт sup лх + h J(x) == max(f (x), f (x».
h-40
Таким же образом устанавливается измеримость нижней произ
водной, после чеrо доказательство теоремы 10.6 заканчивается
так же, как и доказательство теоремы 10.5.
11. Множество Кантора и кривая Кантора
Построим множество Кантора на отрезке [О, 1]. Проведем
ero построение индуктивно. Пусть J10 == [О, 1]. На первом ша
re выделим из середины отрезка .J.0 == [О, 1] интервал 1/ дЛи-
ны J.-l(I/) == Jl( .J.0) == , т. е. 1/ == ( , ). После этоrо OCTa
лись невыделенными два отрезка .J.l и l, причем мера каждоrо
э 11. Множество Кантора и кривая Кантора
49
1
из них равна 3' Теперь предположим, что на (n 1) M шаrе
( >1) 2n 2 In l Ln l
n мы выделили интервалов 1 , . .., 2,. 2, мера каж
1
доrо из которых равна ЗП 1 ' И после этоrо остались невыделен
ными 2n l отрезков J;.n l,..., J;r;. ll той же дЛины. Тоrда на n M
шаrе из середины любоrо отрезка Jkn 1, rде 1 k 2п 1, Bыдe
лим интервал Ikn длины Jl( Jkn 1). При этом Jl(Ikn) == з1п и в pe
зультате невыделенными останутся 2П отрезков J;.n, . . ., J;r:., каж
u 1
дыи длины зп.
. Теперь определим множества
со 2,. 1
G == U U Ikn
п==l k==l
и
со 2"
Р == [О, 1] \ G == n U Jkn.
n==lk==l
(11.1)
Обычно канторовским множеством называют множество Р, xo
тя, cTporo rоворя, следует называть Р замкнутым канторовским
множеством, а G открытым канторовским множеством.
Основные свойства KaHTopoBcKoro множества Ртаковы:
1) Р замкнуто;
2) Р ниrде не плотно, т. е. в любом интервале найдется
подинтервал, свободный от точек множества Р;
3) мощность множества Р есть континуум;
4) классическая мера Лебеrа Jl(P) == О.
Первое и второе свойства очевидны, четвертое сразу BЫ
текает из представления (11.1) и непрерывности меры Лебеrа,
а третье свойство есть следствие Toro, что множество Р с точ
ностью до счетноrо множества концов интервалов, составляю
щих С, есть множество точек отрезка [О, 1], троичное разло
жение которых содержит лишь цифры О и 2. Отметим также,
что нетрудно построить по той же схеме множество, обладаю
щее свойствами 1 ) 3), но имеющее положительную меру Лебе
ra.
Множество Кантора, как правило, применяется дЛя KOH
струирования контр примеров. Оно также используется при по
строении кривой Кантора, которое мы сейчас проведем.
Вначале индуктивно построим вспомоrательную функ
цию fj5(x), которая будет определена на множестве Т, COCTO
I ящем из концов всех отрезков Jkn, rде n == О, 1, . . . и 1 k 2n
50
[лава 2. Измеримые функции
или, что то же самое, в концах всех смежных интервалов МНО.
жества С, а также в точках О и 1. На нулевом шаrе опреде.
лим функцию ф(х) В концах отрезка .1.0 == [О, 1] так: ф(О) == о
и ф( 1) == 1. Далее, пусть после n
1 шаrа, rде n
1, функ-
ция ф(х) определена в концах отрезков .1.n
1, . . ., J;т:.
1. Тоrда
на n
M шаrе определим ф(х) в тех концах отрезков .1.n' . . ., J2
'
rде она еще не определена.
Именно, если Jkn
l == [а, Ь], то J;
l == [а, с] и J;
== [d, Ь],
rде а < с < d < Ь. Тоrда положим
ф(с) == ф(d) ==
(ф(а) + ф(Ь».
Таким образом, функция ф(х) определена. Из построения
очевидно, что ф(х) монотонно возрастает на Т (поскольку она
обладает этим свойством на каждом шаrе построения) и ЧТО
функция ф(х) принимает на Т все значения вида ;П' rде n =
== О, 1, . . . и 1
k
2n.
Определим функцию
<р(х) == sup ф(у).
уЕЕ: y
x
( 11.2)
Тоrда по своему определению функция <р(х) монотонно неубы.
вает на [0,1]. Кроме Toro, в силу монотонности функции ф(х)
на множестве Т, при х Е Т выполнено равенство <р(х) == ф(х).
Отсюда ясно, что множество значений функции <р(х) всюду
плотно на отрезке [О, 1], а следовательно, она непрерывна. На.
конец (см. определение функции ф(х) и (11.2», функция <р(х)
постоянна на интервалах, образующих множество С.
Таким образом, можно выделить следующие основные свой.
ства функции <р(х), которую и называют кривой Кантора:
1. Функция <р(х) монотонно неубывает на отрезке [О, 1].
2. Функция <р(х) непрерывна на [О, 1].
3. Производная <р'(х) == О при х Е С, т. е. почти всюду
на [О, 1].
4. Функция <р(х) не является тождественно постоянной
на [О, 1].
Продемонстрируем полезность построенной функции.
Т е о р е м а 11.1. Существуют такая непрерывная
функция f(x)
взаимно однозначно отображающая отре.
зок [О, 1] на себя, и такая измеримая на этом отрезке от.
носительно классической меры Лебеzа функция g(x), что
э 12. СХОДИМОСТЬ по мере И ее свойства
51
1) композиция g(f(x» неизмерима на [О, 1];
2) для HeKomopozo измеримоzо по Лебеzу множества Е
прообраз f l(E) неизмерим.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть <р(х) это кривая Кантора.
1
т оrда функция 'Ф ( х) == :2 ( <t' ( х) + х) монотонна, cTporo возрастает
на [О, 1] и переводит [О, 1] в [О, 1]. По известной теореме MaTeMa
тическоrо анализа обратная функция f(x) == 'Ф l(х) существует
и обладает теми же свойствами. Далее, функция 'Ф(х) переводит
любой из интервалов, составляющих множество С, в интервал
в два раза меньшей длины. Отсюда ясно, что Jl ( 'Ф ( С» == и, сле
1
довательно, Jl('Ф(Р» ==:2' По теореме 7.1 в множестве 'Ф(Р)
найдется неизмеримое подмножество Q.
Терерь положим Е == 'Ф l(Q). Поскольку Е Р, Jl(P) == О
и мера Лебеrа полна, множество Е измеримо по Лебеrу. В то же
время множество Q == f l (Е) неизмеримо, и свойство 2 YCTa
новлено. Для получения свойства 1 достаточно взять функ
цию g(X)==XE(X), т. е. g(x)== 1 при хЕЕ и g(x)==O при x(j.E.
Тоrда функция g(f(x» == XQ(x) неизмерима. О
3 а м е ч а н и е 11.1. Попутно нами установлено, что мера
Бореля неполна, и что класс множеств, измеримых по Боре
лю на прямой, уже класса множеств, измеримых относительно
классической меры Лебеrа.
3 а м е ч а н и е 11.2. Ниже мы систематически будем поль
зоваться обозначением Х Е ( х) для функции, равной 1 на множе
стве Е и О вне этоrо множества. Эту функцию называют xapaK
теристической функцией множества Е.
12. СХОДИМОСТЬ по мере И ее свойства
Предположим, что {fn (х)} == 1 И f (х) измеримые и KO
нечные на измеримом пространстве (Х, М, Jl) функции.
О п р е Д е л е н и е 12.1. r оворят, что последовательность
fn(x) =? f(x) на Х при n 00 (сходится по мере на Х), если
для любоrо Е > О предел
Нm Jl({xEX: Ifn(x) f(x)I>E})==O.
n...... со
Поскольку определение сходимости по мере существенно
отличается от определений поточечной и равномерной сходимо
сти, установим некоторые свойства этой сходимости.
52
[лава 2. Измеримые функции
т е о р е м а 12.1. Предел последовательности функций,
сходящихся по Mepe единственен с точностью до эквива
лентности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последователь.
ность fn(x) =? f(x) и fn(x) =? g(x) при n 00. Тоrда для лю.
боrо е > О и ДЛЯ любоrо n имеем .
{х Е Х: If(x) g(x)1 > е}
{х Е Х: Ifn(x) f(x)1 > } U{x Е Х: Ifn(x) g(x)1 > },
откуда ясно, что Jl({xEX: If(x) g(x)I>O})==O, т. е. f(x)==g(X)
почти всюду. О
Т е о р е м а 12.2. Пусть fn(x) =? f(x) и gn(x) =? g(x)
при n 00. Tozaa fn(x) + gn(x) =? f(x) + g(x) при n 00.
д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы сразу выте.
кает из BepHoro для любоrо Е: > О И для любоrо n включения
{х Е Х: I(fn(x) + gn(x» (f(x) + g(x»)1 > е}
{х Е Х: Ifn(x) f(x)1 > } u {х Е Х: Ign(x) g(x)1 > }. о
т е о р е м а 12.3. Если Jl(X) < 00, открытое множест.
во G IRl функция g(x) непрерывна на множестве c а по-
следовательность fn(x) =? f(x) при n OO причем все функ-
ции fn(x) и функция f(x) отображают множество Х в С,
то g(fn)(x) =? g(f)(x) при n 00.
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть заданы е > О и 'у > О. Из те-
оремы 9.2 вытекает, что справедливо представление
со
с== U Кп,
n==l
rде все множества Кп компактны в IR 1, т. е. замкнуты и orpa.
ничены, и Kl С К2 С ... Рассмотрим прообразы Еn == f l(Kn)
при n == 1,2, . . . При этом El Е2 . . . и
со
Х == U Еп.
п==l
По теореме о непрерывности меры можно подобрать r так, что.
бы
Р(А)=Р( х 'п 1 Еп) < i.
э 12. Сходимость по мере и ее свойства
53
r
Пусть р > о расстояние от компакта К == U КN дО замкнутоrо
n == 1
множества F == JR 1 \ а. Определим компакт
К'== {у Е JRl: min Ix yl 2} С а.
хЕК
Тоrда функция g(x) равномерно непрерывна на К', и, следова
тельно, существует такое Б > О, что при х, у Е Ко и I х у I < Б
имеем Ig(x) g(y)1 < е.
Выберем N таким образом, чтобы при n > N выполнялось
неравенство
Jl(Bn) == Jl( {х Е Х: Ifn(x) f(x)1 min( , Б)}) < t.
Теперь Jl(A U Вп) < 1', а если Е Х \ (А U Вn)' то f(x) Е К С К',
fn(x) Е К' и Ifn(x) f(x)1 < Б, откуда Ig(fn(x» g(f(x»1 < е.
Теорема доказана. О
Следствие 12.1. Если Jl(X) < 00 и последователь
ность fn(x) сходится по мере к f(x) при n oo то f;(x) =?
=? f2(X) при n 00. Если же вдобавок функции f(x) и fn(x) =1=
1
=1= о при n == 1,2, . .. не обращаются в нуль на Х J то In(x) =:}
1
* лх) при n 00.
3 а м е ч а н и е 12.1. Как показывает пример последова
тельности fn (х) == х + -k на прямой JRl, условие конечности
меры Х существенно для справедливости следствия 12.1.
С л е Д с т в и е 12.2. Если Jl(X) < oo последователь
ность fn(x) =? f(x) при n 00 и gn(x) =? g(x) при n oo
то fn(x)gn(x) =? f(x)g(x) при n 00.
д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение сразу вытекает из Te
оремы 12.2, следствия 12.1 и следующих равенств:
(fn(x) + gn(x»2 == f;(x) + 2fn(x)gn(x) + g (x),
(f(x) + g(X»)2 == f2(x) + 2f(x)g(x) + g2(X). О
С Л е Д с т в и е 12.3. Если Jl(X) < oo fn(x) =? f(x)
и gn(x) =? g(x) при n oo причем функции g(x) и gn(x)
1 2 б Х In(x) I(x)
при n , ,... не о ращаются в нуль на то ( ) ( )
gn Х 9 х
при n 00.
В заключение этоrо параrрафа установим критерий Коши
для сходимости по мере.
54
[лава 2. Измеримые функции
т е о р е м а 12.4. Для mozo чтобы последовательность
{fn (х)} == 1 сходилась по мере к конечной измеримой функции
на Х необходимо и достаточно чтобы для любоzо е > О
и для любоzо 1 > О нашлось такое число N что при n, m N
выполняется неравенство
Jl ( {х Е Х: I fn ( х) f m ( х) I > е}) < т.
д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале докажем необходимость.
Если fn (х) =? f (х) при n 00, то при любых фиксированных е >
> о и 1 > О найдется такое число N, что при n N выполняется
неравенство
Jl({XEX: Ifn(x) f(x)I> }) < .
Но тоrда при n, m N имеем
Jl({XEX: Ifn(x) fm(x)I>E})<Jl({ хЕХ: Ifn(x) f(x)l> })+
Jl ( { х Е Х: If m (х) f ( х ) I > }) < t + t == l'
Теперь установим достаточность. Ясно, что можно выбрать
возрастающую последовательность натуральных чисел {ni} ==)
так, чтобы для множеств
Ai == {х Е Х: Ifni+l(x) fni(x)1 > 2 i}
выполнялась оценка Jl(AJ < 2 i. Пусть
со со
А == n U Ai.
m==li==m
Тоrда, очевидно, Jl(A) == О. Если же х Е Х \ А, то числовая по
следовательность {fn. (х)} == 1 фундаментальна, и, стало быть, су-
ществует конечный предел
.1im fn(x) == f(x).
z OO &
Соrласно следствию 10.1 функция f(x) измерима на Х\А, и, до-
определив ее нулем на множестве А, получим, что f(x) изме-
рима на Х.
13. СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ всюду
55
Докажем, что fn(x) =? f(x) на Х при n
00. Прежде Bcero,
ДЛЯ любоrо натуральноrо т, если
со
хф. U Ai'
i==m+l
то при i, j
m + 1 имеем
со
Ifn.(x)
fn.(x)1
L: 2
T == 2
т,
1 . r==m+l
откуда и If(x)
fn;(x)1
2
т. Поэтому при i
m + 1 имеем
со
Jl({x Е Х: /fn (х)
f(x)/ > 2
т})
L: Jl(Ar) < 2
т.
. r==m+l
Теперь, для фиксированных е > О и l' > О подберем такое N,
что при n, r
N выполняется неравенство
Jl ( { х Е Х: I fn ( х)
fr ( х) I >
} ) <
.
После этоrо возьмем m таким, что 2
т < min (
,
), и зафикси
руем ni > N с i
m + 1. Тоrда при n
N имеем
JL({xEX: Ifn(x)
f(x)I>E})<Jl( {ХЕХ: Ifn(x)
fnj(x)l>
})+
+ Jl ( { х Е Х: I fn; ( х)
f ( х) I >
} ) <
+
== 1,
что и требовалось установить. О
13. СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
в этом параrрафе снова будем предполаrать, что {fn (х)} ': =ос 1
И f(x)
измеримые и конечные на измеримом пространст
ве (Х, М, Jl) функции.
Оп р е Д е л е н и е 13.1. rоворят, что последовательность
fn(x) сходится к f(x) почти всюду на Х при n
OO, если най
дется такое множество Е Е М, что Jl(X \ Е) == О и fn(x)
f(x)
при n
00 для любоrо хЕЕ.
56
[лава 2. Измеримые функции
3 а м е ч а н и е 13.1. В приведенном определении (так же
как и ранее, в определении сходимости по мере) можно считать,
что все {fn ( х) } ==) и f ( х) конечны лишь почти всюду на Х.
в этом случае надо положить
Х, Х \ ({х Е Х: f(x) :i:oo} U CQ,{x Е Х: fn(x) :i:OO}))
и проводить все рассуждения для X1. Кроме Toro, если мера Jl
полна, то можно не требовать заранее измеримости функ
ции f(x).
Л е м м а 13.1. Пусть Е == {х Е Х: fn(x) f(x) при n
оо}. Tozaa
со со со { 1} со со со
Х\Е== mЧl nC11 kl}n хЕХ: Ifk(X) f(x)l> m == mЧl n l kl}n ,т'
д о к а з а т е л ь с т в о. Точка х Е Х \ Е в том и только
в том случае, коrда fn(x) f+ f(x). Но последнее по определе
нию означает, что для HeKoToporo 1110 при любом n 1 найдется
такое k > n, что Ifk(X) f(x)1 > . Переходя к формальной
записи этоrо утверждения, устанавЛhваем справедливость лем
мы.О
т е о р е м а 13.1. Пусть Jl( Х) < 00. Tozaa последователь
ность fn(x) f(x) почти всюду На Х в том и только в том
случае Kozaa для любоzо Е> О выполнено равенство
.! P.CQn{XEX: IJ.(х) f(x)1 > Е}) o.
д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно установить, что сходи
мость почти всюду эквивалентна тому, что дЛя любоrо натураль
Horo m
.! IL (.9. Р" m ) о.
в обозначениях леммы 13.1 сходимость fn (х) f (х) почти всю
ду на Х эквивалентна тому, что Jl(X \ Е) == О или
(СО со со )
Jl mЧl nC11 kl}n Fk,m ==0.
э 13. СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
57
Но это, в свою очередь, равносильно тому, что для любоrо m
выполнено равенство
PC
, .Qn F.,m)
o.
со
Определим дЛЯ фиксированноrо m множества СП == U Fk, m
k
n
при всех n. Тоrда G1
С2
.. . Для завершения доказательства
остается только заметить, что по теореме о непрерывности меры
J1. (.6, сп)
1
тoo р( сп). о
С л е Д с т в и е 13.1. Если Jl(X) < 00 и последователь
ность функций fn(x)
f(x) почти всюду на Х
то fn(x) =?
=? f(x).
3 а м е ч а н и е 13.2. Пример последовательности функций
fn(x) == X[
nln](x) на }Rl показывает, что без условия Jl(X) < 00
теорема 13.1 и следствие 13.1, вообще rоворя, неверны.
Может возникнуть вопрос: не эквивалентны ли понятия
сходимости функциональных последовательностей по мере и по
чти всюду на множествах конечной меры? Следующая теорема
дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Т е о р е м а 13.2 (пример Рисса). Существует последова
тельность, сходящаяся по мере на отрезке [О, 1], но не cxo
дящаяся почти всюду.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для n == О, 1, . . . и k == О, 1, . . .2П
1
положим
<t'n,k(X) == Х[" "+1] (х).
2""' 2lr"
Отметим, что для любоrо натуральноrо m
1 существует
единственная такая пара (n, k), что n
О, О
k
2П
1 и m ==
== 2П + k. Определим функции fm(x) == <рn k(X) при m == 1,2, .. .
Th
'
1
Jl({x Е [0,1]: Ifm(x)1 > О}) == 2П
О
при m
00, откуда fm(x)
О. в то же время в любой точ
ке отрезка [О, 1] бесконечно MHoro членов последовательно
сти {fm(X)}:==1 равно О и бесконечно MHoro членов этой по
следовательности равно 1, откуда ясно, что сходимости нет ни
в одной точке.
Тем не менее справедлив следующий результат.
58
[лава 2. Измеримые функции
т е о р е м а 13.3 (теорема Рисса). Пусть (Х, М, Jl)
а
конечное измеримое пространство и последователь
ность fn(x)
f(x) на Х. Tozaa существует такая возра
стающая последовательность нат ураЛЬНbtх чисел {nk} С; == l'
что fn (х)
f(x) при n
00 почти всюду На Х.
k
Д О К а 3 а т е л ь с т в о. Сначала предположим, что Jl(X) <
< 00. Возьмем 'пv == 1 и для k == 1, 2, . . . выберем натуральное nk >
> nk
1 так, чтобы
Jl ( { х Е Х: Ifnk ( х)
f ( х ) I > i }) < 21k .
Докажем, что последовательность fn (х)
f (х) почти всю
ду на Х. Действительно, если заданы е k> О И Б > О, то подбе
1 1
рем 'тпо так, чтобы mo < е и 21110
1 < Б. Тоrда при т> 'тпо имеем
1{9m {х Е Х: Ifn.<x)
f(x)1 > о}) .;;
.;; l' C9J х Е Х: If" (х)
f(х)1 > -о) .;;
со 1 1
L: 2k == 2т
1 < Б.
k == m
Применяя теорему 13.1, убеждаемся в справедливости доказы
BaeMoro утверждения.
со
Пусть теперь мера а
конечна на Х, т. е. Х == U Bi'
i == 1
rде Jl(BJ < 00 при i == 1,2,... Поскольку fn(x) =? f(x) на Х,
дЛЯ любоrо i последовательность fn (х) =? f (х) на Bi. Co
rласно уже доказанному, можно выделить подпоследователь
ность Jl,n(l)
f(x) почти всюду на Bl' Поскольку эта под
последовательность по
прежнему сходится по мере на лю
бом Bi' из нее, в свою очередь, можно выделить подпоследо
вательность f2,n(2)
f(x) почти всюду на В2. Продолжая этот
процесс дальше, и рассматривая диаrональную последователь
ность {Jk,n(k)JX)}
==I' видим, что для любоrо i эта последова
тельность сходится почти всюду на Bi' т. е. почти всюду на Х,
что и требовалось доказать. О
Чрезвычайно важным является следующий результат, про
ясняющий взаимосвязь между сходимостью почти всюду и paB
номерной сходимостью.
э 13. СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
59
т е о р е м а 13.4 (теорема EropoBa). Если Jl(X) < 00 и no
следовательность функций fn (х)
f (х) почти всюду на Х
то для любоzо Е> О найдется такое измеримое множест
во ЕЕ
Х
что Jl(X \ ЕЕ) < е и последовательность {fn(x)}
сходится равномерно на ЕЕ'
Д О К а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 13.1 следует, что
для каждоrо m найдется такое nт, что
р C9J х Е Х: !f.(X)
f(x)1 >
}) "" р(Ст)
2':...
Положим
со
ЕЕ==Х\ U Ст.
т== 1
Тоrда
со
Jl(X \ ЕЕ)
L: Jl( Ст) < е.
m == i
Если теперь задано некоторое l' > О, то, выбирая натураль
1
ное m так, чтобы m < 1', получим, что при k > nт
1
Ifk(x)
f(x)1
m < l'
ДЛЯ любоrо х Е ЕЕ' а это и требовалось установить. О
3 а м е ч а н и е 13.3. Пример последовательности функций
из замечания 13.2 показывает, что без условия Jl(X) < 00 Teo
рема EropoBa, вообще rоворя, не верна.
Одним из важнейших результатов, устанавливаемых с по
мощью теоремы EropoBa, является теорема Лузина о взаимос
вязи понятий непрерывности и измеримости на отрезках в }Rn.
Она будет установлена ниже.
rЛАВА 3
ИНТЕfРАЛ ЛЕБЕfА
14. Интеrрал Лебеrа ДЛЯ простых функций
о пр е Д е л е н и е 14.1. Пусть конечная действительно
значная функция f (х) измерима на а
конечном измеримом про
странстве (Х, М, Jl) и принимает лишь конечное число значений,
причем любое ненулевое значение принимается на множестве
конечной меры. Тоrда функция f(x) называется простой на Х
(иноrда указание на множество Х будет опускаться). Иными
словами, функция f ( х) простая, если
n
f(x) == L: CkXE (х),
k==l k
rде Ek Е М, Ek n Ej == 0 при k =1= j и Jl(Ek) < 00, если Ck =1= О.
З а м е ч а н и е 14.1. Отметим, что в определении простой
n
функции всеrда можно считать, что C1 <
< . . . < Сп И U Ek == Х.
k==l
О пр е Д е л е н и е 14.2. Пусть действительнозначная
функция f (х) является простой на Х и
n
f(x) == L: CkXE (х),
k == 1 "
(14.1 )
n
rде U Ek == Х. в этом случае определим интеzрал Лебеzа
k == 1
n
L
S f(x)dJl == S f(x)dJl == L: CkJl(E,J
Х Х k==l
(здесь формально считаем, что 000 == О). Заметим, что здесь, как
и в определении 14.1, не предполаrается, что Ck =1= Cj при k =1= j.
З а м е ч а н и е 14.2. Если Jl(X) < 00, то функция f(x) == С
является простой на Х и
S f(x)dJl == CJl(X).
х
э 14. Интеrрал Лебеrа для простых функций
бl
л е м м а 14.1. Величина интеzрала Лебеzа от простой
функции f (х) не зависит от способа ее представления в ви
де (14.1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеются два представления:
n m
f(x) == L: CkXE (х) == L: djXD_(x),
k==l " j==l 1
n m
rде U Ek == U Dj == Х и С1 <
< . . . < Сп. Тоrда каждое из dj
k==) j==l
равно одному из Ck. Определим при k == 1, 2, . . ., n множест
ва rk == {j: dj == ck}. Тоrда, очевидно, Ek == U Dj' Поэтому
jE["
ппп m
2: CkJ-L(Еk)== L: Ck L: Jl(Dj)== Z: L: djJl(Dj)== L: djJl(Dj),
k:::l k==1 jE[" k==l jE[" j==l
что и требовалось доказать. О
Теорема 14.1 (линейность по функции). Если f(x)
и g(x)
простые функции на Х, а а, Ь Е R
то Функ
ция af( х) + bg( х) также является простой на Х и
S(af(x) + bg(x»dJl == а S f(x)dJl + ь S g(x).
х х х
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
n m
f(x) == Z: CkXE (х) И g(x) == L: djXF_(x),
k==l" j==l 1
n m
rде U Ek == U F; == Х. Тоrда
k==) j==1
n m
af(x) + bg(x) == L: L: (ack + bdj)XE пР(Х)'
k==lj==l " 1
т. е. функция af(x) + bg(x) действительно является простой.
Далее, принимая во внимание лемму 14.1, получим
n m
{ S(af(x) + bg(x»dJl == L: L: (ack + bdj)J-L(Еk n F;) ==
Х k==lj==l
n m m n
== а L: Ck Z: Jl(Ek n F;) + Ь L: dj L: Jl(Ek n F;) ==
k==l j==l j==l k:::l
n m
== а L: ckJl(Ek) + ь L: djJl(F;) == а S f(x)dJl + ь S g(x)dJl,
k==l j==l Х Х
62
rлава 3. Интеrрал Лебеrа
что и требовалось доказать. О
Сформулируем еще несколько очевидных утверждений
об интеrралах Лебеrа от простых функций.
у т в е р ж Д е н и е 14.1. Если простая функция f(x)
O
на Х
то
s f(x)dl-l
О.
х
с л е Д с т в и е 14.1. Если f(x) и g(x)
простые функции
и f(x)
g(x) на X
то
s f(x)dl-l
S g(x)dl-l.
х х
Утверждение 14.2. Если f(x)
ция
то
простая функ
11 f(x)dp.1 ( 1lf(x)1 dp..
У т в е р ж Д е н и е 14.3 (линейность по множеству). Если
f(x)
простая функция иХ == А u B
2де А, В Е M
то
S f(x)dl-l == S f(x)dl-l + S f(x)dl-l.
х А В
в дальнейшем мы будем часто пользоваться следующим по
нятием.
О п р е Д е л е н и е 14.3. Последовательность заданных
на не котором множестве Е функций {fn(X)}:'==1 называется Hey
бывающей (невозрастающей) на этом множестве, если для лю-
боrо ха Е Е числовая последовательность {fn (ха)}
== I является
неубывающей (невозрастающей). Этот факт сокращенно будем
записывать в виде fn(x) i (fn(x) 1).
т е о р е м а 14.2. Пусть (Х, М, I-l)
а
конеЧное изме
римое npocтpaHcтвo
и пусть множество Е ЕМ. ТО2да
если {gn(x)}
==1
неубывающая последовательность npoc
тых неотрицательных функций на Е
g( х)
простая Heo
трицательная функция на Е и для люБО20 х Е Е выполнено
неравенство Вт gn(x)
g(x)
то
n
oo
Вт S gn (х )dl-l
S g( х )dl-l.
n-----+оо Е Е
э 15. Интеrрал Лебеrа для произвольных измеримых функций 63
д о к а з а т е л ь с т в о. Если предел бесконечен, то Hepa
венство очевидно. Пусть этот предел конечен. Возьмем HeKOTO
рое с > О. Определим функцию
m
g(x) == L: akXE (х),
k==l "
rде Ek n Е, == 0 при k f:.l, Jl(Ek) < 00 при всех k и 0< а1 < . . .
... < ат. Определим для n == 1,2, . .. множества рп == {х Е Е:
m
gn(x) < g(x)
с} и положим F == U Ek' Поскольку В силу
k==l
монотонности последовательности {gn(X)} имеем
F;
. . .,
00
n Fп==0и Jl(
)
p,(F)<oo, соrласно следствию 6.1 Jl(Fn)
O
n==l
при n
00. Поэтому для любоrо n имеем
S g(x)dp,== S g(x)dJl+ S g(x)dJl
S g(x)dJl+ S(gn(x)+c)dJl==
Е F,. F\F,. F,. F
1П
== L: akJl(Fn n Ek) + S gn(x)dJl + ср,(Р)
k==l F
amJl(Fn) + Вт S gn(x)dJl + ср,(Р).
n
co Е
в силу произвольности n и с> О отсюда вытекает утверждение
теоремы. О
15. Интеrрал Лебеrа
ДЛЯ произвольных измеримых функций
Как и в предыдущем параrрафе, будем считать, что зада
но а-конечное измеримое пространство (Х, М, Jl) и множест
во Е ЕМ. Кроме Toro, здесь и далее мы будем придерживаться
определений арифметических операций с бесконечными величи
нами из замечания 10.5. Если функция f(x) определена и Heo
трицательна на множестве Е Е М', то обозначим
Qf == {неотрицательные простые функции h(x) на Е:
h(x)
f(x) при всех х Е Е}.
64
[лава 3. Интеrрал Лебеrа
Оп р е Д е л е н и е 15.1. Пусть f(x)
неотрицательная из.
меримая функция на Е. Тоrда назовем интеzралом Лебеzа этой
функции по данному множеству следующее число:
S f(x)dJl == sup S h(x)dJl
Е h(x)E Q, Е
(здесь допускается и бесконечное значение). Если данный инте.
rрал конечен, то будем rоворить, что f(x) Е L (Е) (функция f(x)
интеzрируема по Лебеzу на множестве Е).
Теперь для произвольной измеримой функции f(x) на Е Е
Е М определим две функции
f+(x)==max(f(x), О) и f
(x)==max(
f(x), O)==
(f(x)
f+(x»).
Оп р е Д е л е н и е 15.2. Если функция f(x) измерима
на множестве Е, то будем rоворить, что f (х) Е L (Е), в том
и только в том случае, коrда одновременно f+(x) Е L(E)
и f
(х) Е L (Е). Если последние условия выполняются, то по.
ложим
S f( х )dJl == S f+( Х )dJl
S f
( х )dJl.
Е Е Е
3 а м е ч а н и е 15.1. Из определений 15.1 и 15.2 ясно, что
если Е, А Е М и А с Е, а функция f(x) измерима на ЕI
то f(X)EL(A) в том и только в том случае, коrда f(X)XA(X)E
Е L (Е). При этом если f(x) Е L (А), то
S f(x)dJl == S f(X)XA (x)dJl.
А Е
у т в е р ж Д е н и е 15.1. Для простых функций значения
инте2рала Лебеzа, полученные соzласно определениям 14.2
и 15.2
совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если простая функция неотрица.
тельна, то утверждение сразу вытекает из следствия 14.1,
Для функций произвольноrо знака надо еще воспользоваться те.
оремой 14.1. О
Утверждение 15.2. Если {gn(X)}
==l
неубываю
щая последовательность простых неотрицатеЛЬНblХ функ-
ций на Е и Вт gn(x) == g(x), то
п...... со
Нт S gn (х )dJl == S g( х )dJl.
П......СОЕ Е
э 15. Интеrрал Лебеrа для произвольных измеримых функций 65
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование и измеримость
функции g( х) очевидна (еще раз отметим, что мы не исключа
ем из рассмотрения функции, принимающие бесконечные зна
чения). Из определения интеrрала ясно, что
Нт S gn(x)dJl
S g(x)dJl.
п......со Е Е
Обратно, если неотрицательная простая функция h(x)
g(x)
на Е, то Нт gn(x)
h(x), откуда по теореме 14.2 имеем
п...... со
Нт S gn(x)dJl
S h(x)dJl.
n......СОЕ Е
Переходя к верхней rрани по всем таким h(x), устанавливаем
справедливость утверждения. О
Следующая лемма чрезвычайно важна и будет MHoroKpaTHo
использована ниже.
Л е м м а 15.1. Пусть f (х)
неотрицательная изме
римая функция на Е. Tozaa существует неубывающая
на Е последовательность неотрицательных простых функ
ций {fm(X)}:==)
сходящаяся к f(x) в каждой точке х Е Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим множество Е в виде
со
Е == U Еп,
п==l
rде р'(Еп)<00 при n== 1,2,... (если Jl(E) <00, то берем Е2==
== Ез == . . . == 0). Положим
k
1 k
1 f() k
, если
х < 2т,
m
И Х Е U Ek' rде k == 1, 2, . . ., 22т;
k==l
fm(x) ==
m
2т
,
если f(x)
2т и х Е U Ek;
k==l
m
О, если х fj. U Ek'
k==l
Докажем, что эта последовательность монотонно неубывает
на множестве Е. Пусть m
натуральное число и точка х Е
Е Е. Если fm(x) == О, то fm+l(X)
0== fm(x). Если fm(x) ==
m
== 2т, то х Е U Ek И f ( х)
2т, а следовательно, f m + 1 (х)
2т.
k==l
з Дьяченко М. и., Ульянов п. л.
66
[лава 3. Интеrрал Лебеrа
Если же f ( х) == 2
' rде 1
k < 2т, то х Е U Ek И
k::::l
f() [.!5.
k + 1 )
[
2( k + 1»)
х Е 2т, 2т
2т + l' 2т + 1 .
2k 2k + 1
Поэтому либо fm + 1 (х) == 2т + 1 ' либо f m + 1 (х ) == 2т + 1 ' но В обоих
случаях fm+ 1 (х)
fm(x).
Теперь докажем, что при х Е Е функции fm(x)
f(x). Дей-
ствительно, если х Е Е и f (х) < 00, то для HeKoToporo 'то должны
1110
выполняться условия х Е U Ek И f ( х)
21110. Поэтому при n
k==l
имеем Ifn(x)
f(x)1
2
n. Если же f(x) == 00, то для достаточно
больших m получим fm(X) == 2т. Тем самым лемма установле'
на. О
Т е о р е м а 15.1. Если f(x) и g(x)
неотрицательные
измеримые функции на E
то
S (f(x) + g(x»dJ1 == S f(x)dJ1 + S g(x)dJ1.
Е Е Е
Далее
если Е == А u B
zae А, В Е М, то
S f(x)dJl == S f(x)dJl + S f(x)dJl.
Е А В
3дeCb
как 8cezaa, считаем
что 00 + 00 == 00. ,
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. По лемме 15.1 построим последова-
тельности простых функций fn(x) i f(x) и gn(x) i g(x) при n----+
00. Тоrда (fn(x) + gn(x» i (f(x) + у(х» и, используя теоре.
МУ 14.1 и утверждение 15.2, получим
S (f(x) + g(x»dJ.L == Нт S (fn(x) + gn(x»dJl ==
Е П......СОЕ
== Нт S fn(x)dJl + Нт S gп(х)dJ-L == S f(x)dJl + S g(x)dJl.
П......СО Е П......СО Е Е Е
Аналоrично, используя утверждения 14.3 и 15.2, получим
S f(x)dJl
Нт S fn(x)dJl ==
Е П......СО Е
== Нт S fn(x)dJl + Нт S fn(x)dJl == S f(x)dJl + S f(x)dJl,
П......СОА П......СОВ А В
а это и требовалось доказать. О
э 15. Интеrрал Лебеrа ДЛЯ произвольных измеримых функций 67
т е о р е м а 15.2. Пусть (Х, М, Jl)
а
конечное измерu
.мое пространство, и пусть множество Е Е М. Tozaa выnол
нены следующие утверждения:
1. Если Jl(E) == O
а f(x)
измеримая функция на E
то f (х) Е L (Е) и
S f(x)dJl == О.
Е
2. Если мера Jl полна
функция f(x) Е L (Е) и g(x) == f(x)
почти всюду на E
то g(x) Е L(E) и
S g(x)dJl == S f(x)dJl.
Е Е
Если здесь заранее потребовать измеримости функции g( X)J
то можно отказаться от условия полноты меры Jl.
3. Если функция f(x) Е L (E)
то
Jl({x Е Е: f(x) == ::i:oo}) == О.
д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Очевидно из определения.
2. l{остаточно доказать равенство интеrралов для неотри
цательных f(x) и g(x). Функция g(x) измерима (только в этом
месте мы пользуемся полнотой меры Jl). Пусть Еl == {х Е Е:
f(x)== g(x)} Е М. По условию теоремы Jl(E\El)==O. Тоrда по Te
ореме 15.1 и уже доказанному пункту 1 получаем
S g(x)dJl == S g(x)dJl + S g(x)dJl == S g(x)dJl ==
Е Е. E\EJ EJ
== S f(x)dJl == S f(x)dJl + S f(x)dJl == S f(x)dJl,
E\
Е
а это и требовалось установить.
3. Снова рассмотрим случай, коrда f(x)
О на Е. Обозна
чим El =={хЕЕ: f(x)==+oo}Е М-. Предположим, что Jl(E1»0.
Тоrда, полаrая Е2 == El' если Jl(El) < 00, И Е2 С El' Е2 Е М,
0< Jl(E2) < 00, в противном случае, определим простые функ
ции hn(x) == пХЕ (х) при п == 1,2, . .. Поскольку hn(x)
f(x)
2
при n == 1,2, . .. и х Е Е, по определению интеrрала Лебеrа
имеем
00 > S f(x)dJl
sup S hn(x)dJl == sup nJl(E2) == 00,
Е n Е n
что приводит К противоречию. Тем самым теорема доказана. О
З*
68
[лава 3. Интеrрал Лебеrа
у т в е р ж Д е н и е 15.3. Если функция f(x) Е L (Е),
то для любоzо Q Е IR функция Qf(x) Е L(E) и
S Qf(x)dJl == Q S f(x)dJl.
Е Е
д о к а з а т е л ь с т во. Соrласно теореме 10.3 и замеча-
нию 10.5 функция а! (х) измерима на Е. Отметим, кстати,
что по третьему пункту теоремы 15.2 функция f (х) конечна
почти всюду, а потому соrлашения замечания 10.5 несуществен-
НЫ, если мера Jl полна. Далее, если Q == О, то функция а! (х) == о
на Е, а тоrда
S Qf(x)dJl == О.
Е
Пусть теперь Q >0. Тоrда Qf(x)==( Qf(x»+
(Qf(x»
== Qf+(x)
Qf
(х). Отметим, что если не отрицательная простая функ-
ция h(x)
f+(x) при х Е Е, то неотрицательная простая функ-
ция Qh(x)
Qf+(x). Поэтому
S f(x)+dJl == sup S h(x)dJl ==
Е h(x)
f+(x) Е
1 sup S Qh(x)dJl ==
S Qf+(x)dJl.
Q ah(x)
а/+(х) Е Е
Для f
(х) дело обстоит аналоrично, откуда и получаем требу-
емое утверждение. Сходным образом рассматривается и слу-
чай Q < О. о
Теперь мы можем в полном объеме доказать важнейшую
теорему о линейности интеrрала Лебеrа по функции.
т е о р е м а 15.3. Если функции f(x), g(x) Е L(E},
то функция f(x) + g(x) Е L (Е) и
S(f(x) + g(x»dJl == S f(x)dJl + S g(x)dJl.
Е Е Е
д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала рассмотрим случай, ко.
rда f(x)
О и g(x)
О при хЕЕ. Положим El == {х Е Е:
f(x) + g(x)
О} и Е2 == {х Е Е: f(x) + у(х) < О}. Тоrда по тео.
реме 15.1 и утверждению 15.3 имеем
S f(x)dJl == S (f(x) + g(x»dJl + S (
g(x»dJl ==
== S (f(x) + g(x»dJl
S g(x)dJl. (15.1)
EJ EJ
15. Интеrрал Лебеrа для произвольных измеримых функций 69
Анало['ично,
S g(x)dl-l == S (
f(x)
g(x»dl-l + S f(x)dl-l ==
==
S (f(x) + g(x»dl-l + S f(x)dl-l. (15.2)
Е2 Е2
Из формул (15.1) и (15.2) следует, что f(x) + g(x) Е L(E)
и (см. теорему 15.1)
S(f(x) + g(x»dl-l == S(f(x) + g(x»+dl-l
S(f(x) + g(x»
dl-l ==
Е Е Е
== S (f(x) + g(x»dl-l + S (f(x) + g(x»dl-l ==
Е) Е2
== S f(x)dl-l + S g(x)dl-l + S f(x)dl-l + S g(x)dl-l ==
== S f( х )dl-l + S g( х )dl-l.
Е Е
Теперь для произвольных интеrрируемых функций f(x) и g(x)
теорема вытекает из уже доказанноrо равенства и из Toro,
что f(x) + g(x) == (f+(x) + g+(x»
(f
(x) + g
(x». о
Следствие 15.1. Если функции f(x),g(x) Е L(E)
а числа а, Ь Е R
то функция af(x) + bg(x) Е L (Е) и
S(af(x) + bg(x»dl-l == а S f(x)dl-l + ь S g(x)dl-l.
Е Е Е
Этот результат является непосредственным следствием
утверждения 15.3 и теоремы 15.3.
т е о р е м а 15.4. Пусть функция f(x) измерима на Е.
ТО2да f(x) Е L(E) в том и только в том случае
КО2да If(x)1 Е
Е L (Е).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению f(x) Е L (Е) в том
и только в том случае, коrда одновременно f+ (х) Е L (Е)
и f
(x) Е L (Е). Далее, If(x)1 == f+(x) + f
(x), откуда по Teope
ме 15.1 имеем
S /f(x)ldl-l == S f+(x)dl-l + S f
(x)dl-l.
Е Е Е
Из последнеrо равенства, с учетом неотрицательности входящих
в Hero интеrралов, видно, что If(x)1 Е L (Е) в том и только в том
70
[лава 3. Интеrрал Ле6еrа
случае, коrда одновременно f+(x) Е L (Е) и f
(x) Е L (Е), что
и требовалось доказать. О
3 а м е ч а н и е 15.1. Из определения интеrрала Лебеrа вид-
но, что если f(x) Е L (Е), то
11 f(x)dl' I ,;;;
If(x)ldl'.
Т е о р е м а 15.5. Пусть функции f(x) и g(x) измеримы
на E
f(x) Е L(E) и Ig(x)1
If(x)1 при хЕЕ. Tozaa функ-
ция g(x) Е L (Е) и
s Ig(x)ldJl
S If(x)ldJl.
Е Е
в качестве важноzо частноzо случая здесь содержится
утверждение, что интеzрал Лебеzа от неотрицательной
функции неотрицателен.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 15.4 следует, что ДО'
статочно доказать наше утверждение для неотрицательных
функций f(x) и g(x). Пусть простая неотрицательная функ.
ция h(x)
g(x) при х Е Е. Тоrда, тем более, h(x)
f(x)
при х Е Е. Поэтому
s h(x)dJl
S f(x)dJl.
Е Е
(15.3)
Переходя в левой части неравенства (15.3) к верхней rрани
по всем h(x) Е Qy' получаем утверждение теоремы. О
Из только что доказанной теоремы вытекают такие широко
используемые результаты.
С л е Д с т в и е 15.2. Если Jl(E) < OO
функция f(x) изме.
рима на Е и для некоторой постоянной С > О выполнено
неравенство If(x)1
с при х Е E
то f(x) Е L(E) и
11 f(х)фl ,;;; 1If(x)ld/l- ,;;; Ср(Е).
С л е Д с т в и е 15.3. Если функции f(x), g(x) Е L (Е)
и g(x)
f(x) при х Е Е, то
S g(x)dJl
S f(x)dJl.
Е Е
в заключение этоrо параrрафа приведем такой результат.
э 16. Переход к пределу под знаком интеrрала Лебеrа 71
у т в е р ж Д е н и е 15.2. Пусть Jl(E) < OO
функция f(x)
измерима на Е и
oo < А < f(x) < В < 00 при х Е Е. Пусть
также Т
разбиение отрезка [А, В] вида А == Уа < Yl <
< У2 <. . . < УП == В
опредеЛНbl множества Rk == {х Е Е: Yk
1
f ( х) < Yk}' k == 1, 2, . . ., n
и число л ( Т) == тах (Yk
Yk
1)'
l
k
n
ТО2да если
n
рт == Z: YkJl(Rk),
k==l
то
Нт рт == L
S f(x)dJl.
),(т)......о Е
(15.4)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем функцию
n
fT(X) == L: YkXR (х).
k == 1 "
Тоrда, очевидно, fT(X)
простая функция, и соrласно опреде
лению 14.2
рт == L
S fT(x)dJl.
Е
Далее, поскольку при х Е Е выполнено неравенство IfT(X)
f(x)1
л(Т), по теореме 15.3 и следствию 15.2 получаем, что
1Fт
L
1 f(x)dp.1
11(fт(X)
f(X»dp.I.;; Л(Т)р.(Е),
откуда и вытекает требуемое утверждение. О
3 а м е ч а н и е 15.2. Равенство (15.4) может быть принято
. за определение интеrрала Лебеrа от оrраниченной измеримой
. функции на множестве конечной меры. Именно так определял
интеrрал А. Лебеr (см., например, [14]).
16. Переход к пределу под знаком интеrрала Лебеrа
Как и в предыдущем параrрафе, будем предполаrать,
что (Х, М, Jl)
а
конечное измеримое пространство и множе
ство Е Е М. Весьма важными результатами дЛя любоrо инте
rрала являются теоремы о предельном переходе. Для интеrрала
. Лебеrа основными являются нижеследующие три теоремы.
72
rлава 3. Интеrрал Лебеrа
т е о р е м а 16.1 (теорема Беппо Леви). Пусть функции
fl(X), f2(X)"'" fn(x),... измеримы на E
причем О
fl(X)
f2(X)
...
fn(x)
... для люБО20 Х Е Е. ТО2да если f(x):::::
== Нт fn(x)
то
n
oo
S f( Х )dl-l == Вт S fn (х )dl-l
Е n
oo Е
(здесь
как обычно
допускаются бесконечные значения как
Функций
так и инте2ралов).
Доказательство. Положим gl(X) == fl(X), g2(X):::::
:.= f2(X)
л(х), ..., gn(x) == fn(x)
fn
l(x), ... Все эти функ
ции, очевидно, неотрицательны и (см. замечание 10.5) измери
мы на Е. Используя лемму 15.1, построим для любоrо фиксиро-
BaHHoro n ПОС
'Iедовательность неотрицательных простых функ
ций 'Фm, n (х) i gn (х) при n ------+ 00 на множестве Е. Определим
при m == 1,2, . . . функции
m
Рт(Х) == L: 'Фm n(Х)'
n== 1 '
Тоrда при m
1 и Х Е Е будем иметь
m
Fm+l(x)
Рт(Х) == L: ('Фm+l,n(Х)
'Фm,n(Х» + 'Фm+l,m+I(Х)
О.
n == I
Кроме Toro, для всех m выполняются неравенства
m
Рт(Х)
L: gn(x) == fm(x)
f(x)
-п==1
и для любоrо фиксированноrо N
N N
Вт Fm(x)
L: Вт 'Фm,n(Х) == L: gn(x) == fN(X),
т
oo n==l т
oo n==l
откуда
Вт Рт ( х) == f ( х).
т
oo
Соrласно утверждению 15.2 получаем, что
S f(x)dl-l == Вт S Fm(x)dl-l.
Е т
OOE
(16.1 )
э 16. Переход к пределу под знаком интеrрала Лебеrа 73
в то же время, поскольку дЛЯ всех m и х Е Е выполняется
неравенство О
Рт(Х)
fm(x)
f(x), дЛя любоrо m имеем
s Fm(x)dJl
S fm(x)dJl
S f(x)dJl.
Е Е Е
( 16.2)
Из формул (16.1) и (16.2) вытекает, что
Нт S fm(x)dJl == S f(x)dJl-
т......СОЕ Е
Таким образом, теорема доказана. О
С л едс т в и е 16.1. Пусть функции f)(x), f2(X)""
..., fn(x), - . - Е L (E)
причем fl(X)
f2(x)
. ..
fn(x)
. . .
для любоzо х Е Е и существует такая постоянная С>
> О, что
sup S fn(x)dJl
С.
n Е
( 16.3)
ТО2да f (х) == Нт f n (х) Е L (Е) (а следовательно
f (х) конечна
п...... со
почти всюду на Е) и
S f(x)dJl == Нт S fn(x)dJl.
Е п......со Е
Иноrда именно это утверждение называют теоремой Бепnо
Леви.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функции 'Фп(Х) ==
= fn (х)
f1 (х) при n == 1, 2, . . . Ясно, что эта последовательность
удовлетворяет условиям теоремы 16.1, а потому для неотрица
тельной измеримой функции
'Ф(х) == Нт 'Фп(Х) == f(x)
f1 (х)
п...... со
имеем
'Ф(х)dJl == Нт S 'Фп(х)dJl == Нт S fn(x)dJl
S fl(X)dJl. (16.4)
Е п......со Е п......со Е Е
Из условия (16.3) вытекает, что 'Ф(х) Е L(E). Следователь
НО, f(x) == 'Ф(х) + f1(x) Е L(E). Последнее утверждение след
ствия 16.1 получаем из равенства (16.4). О
74
[лава 3. Интеrрал Ле6еrа
с л е Д с т в и е 16.2. Пусть функции fl (х), f2(x), ...
..., fn(x), . .. измеримы и неотрицательны на Е и функция
СО
f(x) == Z: fn(x).
n == 1
Tozaa
СО
S f(x)dJl == L: S fn(x)dJl.
Е n==lE
д о к а з а т е л ь с т в о. Введем ФУНКЦИИ
n
'Фп(Х) == l: fk(X),
k==l
n==1,2,...
Тоrда эта последовательность удовлетворяет условиям Teope
мы 16.1. Поэтому
n СО
S f(x)dJl == Нт S 'Фп(х)dJl == Нт L: S fn(x)dJl == L: S fn(x)dJl,
Е n......coE n......cok==IE n==lE
что и требовалось доказать. О
т е о р е м а 16.2 (теорема Фату). Пусть мера Jl полна,
а {fn(X)}
==1
последовательность измеримых на Е Heoтpи
цательных функций и fn(x)
f(x) при n
00 почти всюду
на множестве Е. Tozaa
S f(x)dJl
Нт inf S fn(x)dJl.
Е n......co Е
д о к а з а т е л ь с т в о. Положим <t'n (х) == inf fk (х) дЛя n ==
k
n
== 1,2,... и хЕЕ. Тоrда О
<t'n(x)
<t'n+l(x) дЛя всех n и х и
Нт <t'n(x) == Нт inf fn(x) == f(x)
n......co n......co
для х Е El' rде Jl(E \ E1) == О. Применяя теорему Беппо Леви,
получим
S f( х )dJl == S f( х )dJl == Нт S <t'n (х )dJl == Нт inf S <t'n (х )dJl.
Е EJ n......co EJ n......co Е
Так как при всех n имеем
S <t'n(x)dJl
S fn(x)dJl,
Е Е
отсюда вытекает требуемое утверждение. О
э 16. Переход к пределу под знаком интеrрала Ле6еrа 75
3 а м е ч а н и е 16.1. В теореме Фату и в доказываемой
ниже теореме Лебеrа можно отказаться от условия полноты
меры Jl, если либо потребовать сходимости fn(x)
f(x) не по
чти всюду, а всюду на множестве Е, либо добавить условие
измеримости предельной функции f (х) на множестве Е.
3 а м е ч а н и е 16.2. Пример последовательности fn(x) ==
==nХ(О, *)(x)
O на отрезке [0,1] показывает, что в теореме Фату
нельзя предельное неравенство заменить на равенство.
т е о р е м а 16.3 (теорема Лебеrа). Пусть мера Jl полна
а {fn (х)}
== 1
такая последовательность измеримых на Е
функций
что существует функция Р(х) Е L(E)
для кото..
рой Ifn(x)1
Р(х) при всех n и х Е Е
и fn(x)
f(x) при n....... 00
почти всюду на множестве Е. Tozaa функция f(x) Е L (Е) и
S f(x)dJl == Нт S fn(x)dJl.
Е п......со Е
д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero отметим, что по Teo
реме 15.5 функции fn (х) Е L (Е) при n == 1, 2, . . . Поскольку из
за
полноты меры Jl функция f ( х) измерима на Е, f (х) Е L (Е). Т e
перь рассмотрим при n == 1,2, . . . функции <рn(х) == F(x) + /n(x)
И 'Фп(х) == F(x)
fn(x). Тоrда все эти функции неотрицательны
на Е, интеrрируемы на этом множестве и почти всюду на Е
имеем
Нт <рп(х) == Р(х) + f(x) и lim 'Фп(х) == F(x)
f(x).
п......со п......со
По теореме Фату
S F(x)dJl + S f(x)dJl ==
Е Е
== S (F(x) + f(x»dJl
Нт inf S (Р(х) + fп(х»dJ-L ==
Е п......со Е
== S F(x)dJl + lim inf
fn(x)dJ.L
Е n
oo Е
и
S F(x)dJl
S f(x)dJl == S (Р(х)
f(x»dJl
Е Е Е
lim inf S(F(x)
fn(x»dJl ==
п......со Е
== S F(x)dJl
Нт SUp
fn(x)dp,.
Е п......со Е
76
[лава 3. Интеrрал Ле6еrа
Отсюда
Вт sup S fn(x)dJl
S f(x)dJl
Вт inf S fn(x)dJl,
n......co Е Е n......co Е
т. е. существует
Вт S fn(x)dJl == S f(x)dJl,
n......co Е Е
и теорема Лебеrа доказана. О
С л е Д с т в и е 16.3. Утверждение теоремы Лебеzа оста.
ется вepHЫM
если условие сходимости последовательно-
сти {fn(X)}
==l к функции f(x) почти всюду на множестве Е
заменить на условие сходимости по мере.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку по теореме Рисса не ко-
торая подпоследовательность {fn (х)} С; == 1 сходится К f (х) по-
чти всюду на Е, по теореме Лебеrа функция f(x) Е L(E).
Предположим, что интеrралы от fn (х) не сходятся к интеrpз.
лу от f(x). Тоrда существуют такие со> О и подпоследователь.
ность {! т" (х) == gk (х)} С; == l' что при любом k имеем
11 9.(x)d/l-
1 !(х)фl > 'О.
( 16.5)
в то же время gk(X) =? f(x) при k
00, и по теореме Рисса най.
дется подпоследовательность gk (х)
f (х) почти всюду на Е.
I
Тоrда по теореме Лебеrа
Нт S gk (x)dJl == S f(x),
,......СОЕ I Е
что противоречит неравенству (16.5). О
17. Дальнейшие свойства интеrрала Лебеrа
в этом параrрафе снова будем считать, что (Х, М, Jl)
а
конечное измеримое пространство и множество Е ЕМ. Преж.
де Bcero докажем важную теорему о линейности интеrрала
по множеству.
э 17. Дальнейшие свойства интеrpала Ле6еrа
77
Теорема 17.1. Пусть функция f(x)EL(E) и
со
Е == U En,
n==1
2де множества En измеримы при всех n. ТО2да для люБО20 n
функция f(x) Е L(En) и
со
S f(x)dJl == z: S f(x)dJl.
Е n == 1 Е,.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть случай
f (х)
О. Очевидно, что для любоrо n выполняется неравенство
If(x)XE (х)\
f(x), откуда f(X)XE (х) Е L(E) или, что то же
самое, f(x) Е L (En). Кроме Toro, ,.
со
f(x) == z: f(x)XE (х).
k == 1 Ic
Тоrда соrласно следствию 16.2
со со
S f(x)dJl == z: S f(x)XEJx)dJl == 2: S f(x)dp"
Е k == 1 Е k == 1 Е,
что и требовалось доказать. О
Следующая теорема rоворит о непрерывности интеrрала Ле
беrа как функции множества.
Т е о р е м а 17.2 (об абсолютной непрерывности интеrрала
Лебеrа). Пусть функция f(x) Е L(E). ТО2да для люБО20 Е >0
найдется такое Б > O
что если множество А ЕМ, А с Е
UJl(A)<8
mo
S If(x)ldJl < с.
А
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия ясно, что достаточно
рассмотреть случай, коrда функция f (х) неотрицательна. Выбе
рем простую не отрицательную функцию h(x)
f(x) так, чтобы
О
S f(x)dJl
S h(x)dJl < ;.
Е Е
Пусть
n
h(x) == z: akXE (х),
k == 1 Ic
78
[лава 3. Интеrрал Ле6еrа
rде множества Ek попарно не пересекаются. Тоrда возьмем
8== t
2( тах ak + 1) .
l
k
n
Теперь если А Е М, А с Е и Jl(A) < 8, то
S f(x)dJl == S f(x)dJl
S h(x)dJl + S h(x)dJl
А А А А
n
S f(x)dJl
S h(x)dJl + S Z: akXE ПА (x)dJl <
Е Е Е k==1 Ic
n n
<
+ Z: akJl(EknA)
+ тах ak Z: Jl(EknA)
k==l I
k
n k==l
+ тах akJl(A)
е,
l
k
n
что и требовалось доказать. О
т е о р е м а 17.3 (неравенство Чебышева). Пусть Heoтpи
цательная функция f(x) Е L(E). Tozaa если определить
для л > о множество
Е). == {х Е Е: f(x) > л},
то справедливо неравенство
Jl(E).)
* S f(x)dJl.
Е
д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с теоремой 15.5
S f(x)dJl == S f(x)dJl + S f(x)dJl
Е
E\
S f(x)dJl
S лdJl == ЛJl(Е).),
Е), Е),
что эквивалентно доказываемому утверждению. О
Следствие 17.1. Если измеримая на Е функция f(x)
неотрицательна и
S f(x)dJl == О,
Е
то f(x) == О почти всюду на Е.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства Чебышева для лю
боrо натуральноrо n имеем
Jl ({ х Е Е: f(x) > *}) == о.
э 17. Дальнейшие свойства интеrрала Ле6еrа
79
Поскольку
{ХЕЕ: f(x»O}== U {ХЕЕ: f(x» *},
n==l
Jl({x Е Е: f(x) > О})
nf;l Jl( {х Е Е: f(x) > *}) ==0. о
До сих пор мы практически не моrли судить об интеrриру
емости по Лебеrу той или иной конкретной функции, не являю
щейся простой. Следующий результат позволит нам сделать это
для функций, измеримых на множествах конечной меры.
Предварительно введем некоторые обозначения. Пусть
функция f (х) измерима на множестве Е. Введем множества
Fk(f) == {х Е Е: If(x)1
k},
k == О, 1, . . .
т е о р е м а 17.4 (критерий интеrрируемости по Лебеrу
на множествах конечной меры). Пусть Jl(E) < 00 и функ
ция f(x) измерима на Е. Tozaa f(x) Е L (Е) в том и только
в том сл учае
Kozaa
со
z: Jl(
(f» < 00.
k==l
(17.1)
в частности
любая оzраниченная измеримая функция
на множестве конечной меры UHmezpupyeMa по Лебеzу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero заметим, что по
скольку интеrрируемость измеримой функции эквивалентна ин
теrрируемости ее модуля, теорему достаточно доказать для Heo
трицательных f(x). Определим функцию
со
h(x) == Z: XF.(f)(x).
k == 1 Ic
Поскольку, очевидно, h(x)
f(x)
h(x) + 1 для любоrо х Е Е
и Jl(E) < 00, функция f(x) Е L (Е) в том и только в том случае,
коrда h(x) Е L(E). Соrласно следствию 16.2
со со
S h(x)dJl == z: S Xp"(f)(x)dJl == z: Jl(Fk(f».
Е k==lE k==l
Отсюда и вытекает утверждение теоремы. О
80
rлава 3. Интеrрал Лебеrа
18. Сравнение интеrрала Лебеrа с интеrралом Римана
Заметим, что, несмотря на доказанный в предыдущем пара
rрафе критерий интеrрируемости по Лебеrу, мы можем практи
чески вычислить интеrрал Лебеrа лишь для простых функций.
Для классической меры Лебеrа на отрезке в }Rn этот недостаток
отчасти устраняется следующей теоремой.
т е о р е м а 18.1. Пусть JL
классическая 'м'ера Ле6е
2а на n
'м'epHO'м' отрезке [а, b]
функция f(x) инте2рируе,М,а
по Ри,М,ану на это'м' отрезке и
R
S f(x)dx == 1.
[а, Ь]
ТО2да f(x) Е L«a, Ь» и
L
S f(x)dJL == 1.
(а, Ь)
Д О К а з а т е л ь с т в о. Пусть [а, Ь] == [а., b1] Х [
, Ь2] Х . . .
. . . х [an, bn]. Для каждоrо r
1 и s == 1, 2, . . ., n определим
точки xs(k)
ав + ;:. (ЬВ
aB)' rде k == О, 1, . . ., 2Т. Пусть так-
же Дs(k) == [xs(k
1), xs(k» при k == 1, 2, . . ., 2Т
1 и Дв(2Т) ==
== [хв(2Т
1), хв(2Т)]. Далее, при всех r
1 и k == (k.,
, . . ., kn),
rде ks == 1,2,..., 2Т при s == 1,2,..., n, положим Ek == Дl(k1) х
х Д2(
) Х . . . х Дn(kn) и определим величины
тт. k == inf f(x)
, XEEk
и
Мт. k == S U Р f ( х).
, XEEk
Теперь введем функции
2' 2' 2' 2'
f (х) == L ... L Мт. k Х Е (х) и f (х) == L ... L тт. k Х Е (х)
T k\ == 1 kn == 1 'k
T k == 1 kn == 1 ' k
при r == 1, 2, . . .
Заметим, что при любом r функции !,. ( х) и f (х)
прос-
T
тые, а по определению интеrрала Римана
т 2' n
Нт L
S f,.(x)dJL == Нт L ... L Мт, k П Ьв; ав ==
т ----+ 00 (а, Ь) т ----+ 00 k) == 1 kn == 1 s == 1
2' 2' n
== 1 == Нт L ... L mT,k П Ьв; ав == Нт L
S LT(X)dJ.L.
'
OO"
I '"
I ,
I '
OO (а,Ь) (18.1) I
18. Сравнение интеrрала Лебеrа с интеrралом Римана 81
Кроме Toro, для любоrо х Е [а, Ь] имеем !,.(х)
f(x)
f (х),
T
последовательность f,. (х )r:== 1 не возрастает, а последователь
насть f (х)ОО
не убывает на отрезке [а, Ь]. Тоrда при хЕ
T T==l
Е [а, Ь] существуют пределы
Вт f,.(x) == f(x)
f(x)
f(x) == Вт f (х).
т ----+ 00
т ----+ 00
T
При этом по следствию 16.1 (см. (18.1»
L
S f(x)dp, == 1 == L
S f(x)dJ.L.
(а, Ь) (а, Ь)
( 18.2)
Отсюда
S If(x)
f(x)ldp, == S (f(x)
f(x»dp, == О,
(а,Ь)
(а,Ь)
и применяя следствие 17.1, получим, что f( х) == L (х) почти всю
ду на (а, Ь). Последнее равенство означает, что f(x) == f(x) ==
=[(х) почти всюду на (а, Ь) и (см. (18.2»
L
S f(x)dp, == 1.
(а, Ь)
Что и требовалось доказать. О
3 а м е ч а н и е 18.1. Пример функции Дирихле, равной HY
лю во всех иррациональных точках одномерноrо отрезка [О, 1]
и единице во всех рациональных точках этоrо отрезка, показы
вает, что даже не всякая оrраниченная интеrрируемая по Лебеrу
функция интеrрируема по Рима ну .
Несколько более сложным образом интеrрал Лебеrа свя
заи снесобственным интеrралом Римана на отрезке. С одной
стороны, пример из замечания 18.1 показывает, что из интеrри
руемости по Лебеrу, вообще rоворя, не вытекает и интеrриру
емость в несобственном смысле по Риману. С друrой стороны,
функция f (х) ==
sin
при х Е (О, 1] интеrрируема по Риману
в иесобственном смысле, но не интеrрируема по Лебеrу. В то же
время справедлив, например, следующий результат.
т е о р е м а 18.2. Пусть J.L
классическая мера Ле6е2а
на одномерном отрезке [а, b]
функция f(x) неотрицательна
82
rлава з. Интеrрал Лебеrа
и интеарируема по Риман у на этом отрезке в несо6ственном
смыслеJ причем
Ь Ь
R
S f(x)dx == Вт R
S f(x)dx == 1.
а+ t
+0 а + t
Тоада f(x) Е L«a, Ь» и
L
S f( х )dJ.L == 1.
(а, Ь)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Еn == [а + *, Ь] при n
710,
rде
< Ь
а, и функции
710
fn(x) == f(x)XEn (х).
Тоrда в силу не отрицательности функции f(x) последователь
ность fn(x) i f(x) на (а, Ь]. Далее, при любом n
710 по Teope
ме 18.1 функция fn(x) Е L «а, Ь» и
Ь
L
S fn(x)dJ.L == L
S f(x)dJL == R
S f(x)dx
1.
(а, Ь) Еп а +
Применяя следствие 16.1, получим
L
S f(x)dJ.L == Вт L
S f(x)d/1 == 1,
(а, Ь) n
00 Еп
а это и нужно было установить. О
rЛАВА 4
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ИНТЕrРАЛА ЛЕБЕrА
19. Теорема Лузина
в этом параrрафе мы докажем теорему Лузина_ Нам пона
добится ряд вспомоrательных утверждений_
Оп р е Д е л е н и е 19.1. Пусть функция f(x) определена
на некотором множестве А с }Rn _ Тоrда она называется Henpe
рыв ной на этом множестве, если для любоrо х Е А выполнено
равенство
Нт f ( у) == f ( х ).
y
x
уЕА
Л е м м а 19.1. Пусть F
такое замкнутое nодмноже
ство n
MepHoao отрезка [а, b]J что ни одна точка этоао noд
множества не является еао точкой усиленноао разрежения
(СМ.
9)J а f (х)
функциЯJ непрерывная на Р. Тоада CY
ществует непрерывная на [а, Ь] функция у( X)J совпадающая
на F с функцие-и f(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любоrо у Е [а, Ь] опре)l.елим
расстояние р(у) == р(у, Р) == inf Ix
yl. Ясно, что ФУНКЦI1Я р(у)
xEF
непрерывна на [а, Ь] и что р(у) > о при у Е [а, Ь] \ Р. ДЛЯ каж
доrо у Е [а, Ь] \ F определим множество Е (у) == В2р(у) (у) n Р,
rде Br(z)
шар с центром в точке z радиуса r. Теперь введем
функцию
{ f (х) при х Е Р,
у(х) == Jl(E\X» S f(и)dj.L(и) при х Е [а, Ь] \ Р.
Е(х)
Поскольку множество F не имеет точек усиленноrо разрежения,
по определению расстояния JL(Е(х»>ОдЛЯ любоrо ХЕ[а, b]\F
84
rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
и, следовательно, ФУНКЦИЯ g( х) определена корректно. На MHO
жестве F она, очевидно, совпадает с f(x). Установим непре
рывность функции g(x).
Поскольку функция р(у) непрерывна на (а, Ь), функ
ция g( х) на (а, Ь) \ F является композицией непрерывных отоб
ражений, а потому и сама непрерывна на (а, Ь) \ Р. Рассмотрим
случай, коrда х Е Р. Пусть задано € > О. Выберем 8 > О так,
чтобы при у Е F и 'у
хl < 8 выполнялось неравенство If(y)
Б
f(x)\ < €. Пусть теперь у Е (а, Ь] и 'у
хl < 2' Если у Е Р,
Б
то доказывать нечеrо, а если у f/:. Р, то р (у) < 2 и потому для лю
боrо z Е Е (у) выполнено неравенство I z
х I < 8. Следовательно
(см. следствие 15.2),
Ig(y)
g( х)' == Ig(y)
f( х)1 == jl(li(y» I S (f( и)
f(x»dl-l( и )1
Е(у)
gjl(E(y)) == €
J.1.(E(y» ,
и лемма полностью доказана. О
Л е м м а 19.2. Пусть h(x)
простая функция на (а, Ь].
ТО2да для лю6020 € > О существует такое замкнутое MHO
жест во Q с (а, b]
что I-l«(a, Ь]\ Q) < € и функция h(x) Henpe
рывна на Q по множеству Q.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала отметим, что если функ
ция <р( х) постоянна на замкнутом множестве F с ]Rn, то она
непрерывна на этом множестве. Если теперь
n
h(x) == L: akXE (х),
k==1 k
rде
n
(а, Ь] == U Ek,
k == 1
то (см. следствие 9.1) можно выбрать замкнутые множества Fk С
С Ek так, чтобы I-l(Еk \ Fk) <
при k == 1,2, . . ., n. Тоrда MHO
жество
n
Q==UFk
k==l
будет искомым. О
19. Теорема Лузина
85
т е о р е м а 19.1 (теорема Лузина). Пусть f(x)
конеч
ная и измеримая относительно классической меры Ле6е2а
на n
MepHOM отрезке [а, Ь] функция. ТО2да для лю6020 € > О
существует такая непрерывная на [а, Ь] функция g(x) ==
== gE:(x)
что
I-l({x Е [а, Ь]: f(x) i- g(x)}) < €.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать теорему
для неотрицательной функции f(x). Используя лемму 15.1,
построим последовательность простых функций hn ( х) ------+ f ( х)
при n------+оо и хЕ[а, Ь]. Далее, по лемме 19.2 для каждоrо n выбе
рем замкнутое множество рn с [а, Ь] так, чтобы I-l([ а, Ь] \ Fn) <
< 2
n и чтобы функция hn(x) была непрерывна на Рn' Пусть
задано € > О. Выберем N так, что 2
N + 2 < €. Отметим, что если
00
в == n Рn'
n==N
то
I-l ([ а, Ь] \ В) < i
и последовательность непрерывных на В функций {hn ( х) } :' == N
сходится на этом множестве к функции f(x). По теореме Ero
рова можно выбрать множество ВI С В, на котором эта сходи
мость будет равномерной и такое, что I-l(В \ B1) < i. При этом
(см. следствие 9.1) множество ВI можно также считать замк
нутым. По известной теореме из курса математическоrо анали
за, функция f (х) непрерывна на множестве BI' Это множество
замкнуто, и применяя лемму 9.1, можно найти замкнутое MHO
жество F
В]' не имеющее точек усиленноrо разрежения и Ta
кое, что I-l(ВI \ F) == О. Для завершения доказательства теоремы
остается только продолжить непрерывную на F функцию f (х)
до непрерывной на [а, Ь] функции g( х), воспользовавшись лем
мой 19.1.
З а м е ч а н и е 19.1. В теореме Лузина, разумеется, можно
считать, что функция f(x) конечна лишь почти всюду на [а, Ь].
Представляется любопытным, что вариант теоремы Лузина,
упомянутый в замечании 19.1, допускает несложное обращение.
Утверждение 19.1. Если функция f(x) определена
на n
MepHOM отрезке [а, Ь] и тaKoвa
что для лю6020 € > О
86
rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Ле6еrа
найдется непрерывная на [а, Ь] функция g(x) == gE(X)
для KO
торой Jl({x Е [а, Ь]: f(x) =1= g(x)}) < E
аде Jl
классическая
мера Ле6еаа
то f (х) измерима на [а, Ь] относительно Jl и KO
нечна почти всюду на [а, Ь].
д о к а з а т е л ь с т в о. Для n == 1, 2, . .. подберем непре
рывные на [а, Ь] функции gn (х) так, чтобы для множеств Еn ==
=={ х Е [а, Ь]: f(x) =1= gn(x)} выполнялось неравенство р(Еn) <2
n.
Поскольку
fLCQ.{xE[a,b]: If(X)
gn(x)I>O})
fLCQ. Еn)
2
'+1
O
при k
00, по теореме 13.1 последовательность gn (х)
f (х)
почти всюду на [а, Ь]. Тоrда, соrласно следствию 10.1 и замеча
нию 10.6, функция f(x) измерима на [а, Ь]. Наконец, для каж
доrо n имеем
р({х Е [а, Ь]: f(x) == ::!::оо})
Jl(En) < 2
n,
а потому f (х) конечна почти всюду на [а, Ь]. о
20. Заряды. Теорема Радона
Никодима
Оп р е де л е н и е 20.1. Пусть М
а
алrебра с едини
цей Х, а Ф
а
аддитивная действительнозначная функция
на М. Тоrда Ф называется зарядом.
Таким образом, заряд
это знакопеременная а
аддитивная
мера.
О n р е Д е л е н и е 20.2. Пусть заряд Ф задан на а
алrеб
ре М с единицей и множество А ЕМ. Тоrда А называется no
ложительным (отрицательным) относительно Ф, если для лю-
боrо множества В ЕМ, В
А выполнено неравенство Ф( В)
о
(Ф(В)
О).
Нашей ближайшей целью будет показать, что для любоrо
заряда Ф множество Х может быть разложено в дизъюнктное
объединение поло}Кительноrо и отрицательноrо, относительно
данноrо заряда, множеств, причем такое разложение в опреде
ленном смысле единственно. Нам понадобится одно вспомоrа
тельное утверждение.
20. Заряды. Теорема Радона
Никодима
87
л е м м а 20.1. Пусть Ф
заряд на а
алае6ре М с eди
ницей X
и пусть существует такое множество В Е M
что Ф(В) < О. Тоада найдется отрицательное множест
во Во Е M
Во
В
Ф(Во) < О.
д о к а з а т е л ь с т в о. Для упрощения записи множест
ва А Е М будем называть измеримыми. Если для любоrо изме
римоrо А
В имеем Ф( А)
О, то В само отрицательно. Пред
положим, что
,(В) == sup Ф(А) > О.
AEМ;A
B
Сначала предположим, что ,(В) == 00 (хотя из устанавливае
мой ниже теоремы 20.1 будет видно, что этот случай невозмо
жен). Тоrда можно выбрать измеримое множество Al С В так,
что Ф(А1) > 1. При этом если В1 == В \ Ар то Ф(В1) < Ф(В).
Если ,(B1) < 00, то процесс заканчивается, а если нет, то мож
но выбрать измеримое А2 С В1 так, что Ф(А2) > 1, и т. д.
Предположим, что мы можем продолжать такой выбор сколь
уrодно долrо. Тоrда мы получим последовательность попарно
непересекающихся измеримых множеств А1' А2, .. . с Ф(АJ > 1
при i == 1,2,... Но в этом случае
Ф(.U Ai) == 00,
J == I
и мы приходим К противоречию. Поэтому для HeKoToporo k по
лучим, что ,(Bk) < 00, причем Ф(Вk) < О. в этом случае будем
искать удовлеТВОРЯ1Рщее условиям леммы множество Во среди
измеримых подмножеств множества Bk' В дальнейшем, не orpa
ничивая общности, считаем, что О < ,(В) < 00.
Выберем измеримое множество А1 С В так, чтобы Ф(Аi1j
> 1'<:), и пусть В} ==B\Al' Тоrда Ф(В})<Ф(В) и ,(В})< l' 2 .
Если ,(B1) == О, то можно взять Во == В1' В противном случае
можно повторить изложенную выше операцию. В итоrе либо
на некотором шаrе будет найдено отрицательное подмножест
во В, либо мы построим цепочку таких вложенных измеримых
множеств В:) Bl :) В2:)..., что Ф(Вj+1) < Ф(Вj) и
,(Bj)
')'
:) (20.1)
при j == 1,2, . . . в этом случае можно взять
00
Во == n Bi.
i == 1
88
[лава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
Отметим, что соrласно теореме 6.1 и замечанию 6.2 Ф(ВО) <
< Ф( В), а из неравенства (20.1) следует, что не существует из-
меримоrо множества А с ВО с Ф(А) > О. о
т е о р е м а 20.1. Пусть Ф
заряд на а
алаебре М с eди
ницей Х. Тоада существует такое множество А+ Е M
что оно положительно, а множество A
== Х \ А+
oтpицa
тельно относительно заряда Ф. Представление Х == А+ U A
называется разложением Хана заряда Ф.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим множество всех отри
цательных множеств А Е М через M
и положим а ==
== inf Ф(А). Будем считать, что а < О, иначе доказывать нече
AEM
ro. Пусть последовательность множеств {Аn}
== 1 из M
такова,
что Вт Ф(Аn) == а. Тоrда множество
n......оо
00
A
== U Аn Е M
n 0= 1
и для любоrо n выполнено равенство Ф(А
)
Ф(Аn), OTKY
да Ф(А
) == а (поэтому, в частности, а >
oo).
Докажем, что множество А+ == Х \ A
положительно. Если
это не так, то существует измеримое В С А+ с Ф( В) < О. Cor лас
но лемме 20.1, можно выбрать отрицательное множество ВО С В
с Ф(ВО) < О. Но в этом случае множество С == A
U ВО отрица-
тельно и Ф( С) < Ф(А
) == а. Полученное противоречие доказы
вает теорему. О
Установим единственность, в соответствующем смысле,
разложения Хана.
у т в е р жде н и е 20.1. ПустьФ
заряд на а
алаебре М
с единицей Х и В+ U B
== Х == А+ U A
два разложения
Хана. Тоада для любоао Е Е М имеем Ф(Е n А+) == Ф(Е n В+)
и Ф(Е n A
) == Ф(Е n B
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку множество En(A+ \В+)
одновременно является подмножеством и А+ и B
, Ф(Е n
n (А+ \ В+» == О. Аналоrично, Ф(Е n (В+ \ А+» == О. Поэтому
Ф(Е n А+) == Ф(Е n (А+ n В+» == Ф(Е n В+).
Аналоrично устанавливается второе равенство. О
20. Заряды. Теорема Радона
Никодима
89
о п р е Д е л е н и е 20.3. Если Ф
заряд на а
алrебре М
с единицей Х и Х == А+ U A
ero разложение Хана, то можно
однозначно определить две а
аддитивные меры Ф+(Е) == Ф(Е n
ПА+) и Ф
(Е)==
Ф(ЕПА
). Разложение Ф==Ф+
Ф
называется
разложением Жордана заряда Ф, а мера Ф == Ф+ +Ф
полной
вариацией исходноао заряда.
О п р е Д е л е н и е 20.4. Пусть (Х, fvl, Jl)
а
конечное из
меримое пространство, а Ф
заряд на М. Тоrда Ф называется
абсолютно непрерывным относительно меры Jl, если из Toro
что Е Е М и J..L(E) == о, вытекает, что Ф(Е) == О.
л е м м а 20.2. Пусть (Х, М, Jl)
конечное измеримое
npocтpaHcтвo
а Ф
. а
аддитивная мера на M
абсолют
но непрерывная относительно меры Jl
и Ф Ф. О. Тоада cy
ществуют такое натуральное число n и такое множест
во В Е M
что Jl(B) > О и В положительно относительно
1
заряда 'Фn == Ф
n Jl.
Доказательство. Пусть Х ==A+(i)uA
(i)
разло
жение Хана относительно заряда 'Фi' rде i == 1, 2, . . . При этом
можно считать, что А+(I)
А+(2)
. . . Далее, пусть
00 00
А+ == U A+(i) и A
== n A
(i).
i==l i==l
Очевидно, что Х == А+ U A
. Тоrда для любоrо i имеем 'Фi(А
) <
1
<о, т. е. Ф(А
)
7Jl(A
), откуда Ф(А
) ==0. Поэтому Ф(А+) >0,
а следовательно, и Jl(A+) > О. Соrласно теореме 6.1 и замеча
НИЮ 6.1 найдется такое n, что Jl(A+( n» > О. Но по определе
НИЮ множество А+(n) положительно относительно заряда 'Фn'
что и завершает доказательство. О
Теперь мы установим основной результат данноrо параrра
фа.
Т е о р е м а 20.2 (теорема Радона
Никодима). Пусть
(Х, М, J..L)
а
конечное измеримое npocтpaHcтвo
а Ф
за
ряд на M
абсолютно непрерывный относительно меры Jl.
Тоада существует такая функция f(x) Е L (Х) == L (Х, М, J..L)
что для любоао А Е М
Ф(А) == S f(x)dJl.
А
(20.2)
90
rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
При этом если для некоторой друаой функции g(x) Е L (Х)
равенство (20.2) также выполняется для всех А Е MJ
то f(x) == g(x) почти всюду относительно меры J-L.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Блаrодаря наличию разложения
Жордана, достаточно доказать теорему для случая, коrда Ф
мера. Сначала рассмотрим случай Jl(X) < 00. Тоrда определим
множество
F
{f(x) Е L(X): f(x);;'O на Х
и 1 f(x)dfL
Ф(А) дЛЯ любоrо А Е М}.
Пусть также
s == sup S f(x)dJ-l
Ф(Х).
f(x)EF Х
Тоrда найдется такая последовательность {fn(X)}:==l
Р, что
Нт S fn(x)dJl == S.
n
oo Х
Определим при n== 1,2,.. . и хЕХ функцию gn(X)== тах fk(x).
l
k
n
Тоrда по теореме 10.4 gn(x) измерима на Х, а поскольку
n
9n(Х)
I: fk(x) Е L (Х),
k==l
и gn(x) Е L (Х) при всех n. Проверим, что gn(x) Е Р. Неотри
цательность этой функции очевидна. Далее,
n
gn(x) == I: fk(x)XE (х),
k==l k
n
rде Х == U Ek'
k==l
Отсюда для любоrо А Е М имеем
n n
S gn(x)dJl == I: S fk(X)dJl
I: Ф(Еk ПА) == Ф(А),
А k == 1 ЕА: n А k == 1
т. е. действительно gn (х) Е Р. Заметим, что функции {gn (х)}
== 1
образуют неубывающую на Х последовательность. Определим
функцию f(x) == Нт 9n(Х). Поскольку при n == 1,2, ...
n
oo
s gn(x)dJl
S,
х
20. Заряды. Теорема Радона
Никодима
91
соrласно следствию 16.1 функция f (х) конечна почти всюду
на Х, f(x) Е L (Х), функция f(x) Е F и
S == Нт S fn(x)dl-l
S f(x)dl-l == lim S gn(x)dl-l
В,
n
oo Х Х n
oo Х
откуда
S f ( х) dl-l == В.
х
Теперь рассмотрим заряд
л(А) == Ф(А)
S f(x)dl-l
А
для любоrо А ЕМ. Этот заряд, очевидно, неотрицателен
(т. е. является а
аддитивной мерой) и абсолютно непрерывен
относительно меры I-l. Предположим, что л Ф О. Тоrда по лем
ме 20.2 найдутся такое n и такое множество В Е М, что I-l(В) >
> о и для любоrо измеримоrо А
В имеем (л
* I-l ) (А)
О,
1 1
т. е. nl-l(А)
л(А). Определим функцию h(x) == f(x)+ пХВ(Х)
при х Е Х. Тоrда дЛя любоrо А Е М имеем
S h ( х) dl-l == S f ( х) dl-l + * I-l (А n В)
А А
S f(x)dl-l + Ф(А n В)
Ф(А \ В) + Ф(А n В) == Ф(А).
А\В
Поэтому h(x) Е Р, в то время, как
S h(x)dl-l == S f(x)dl-l + *1-l(В) > В.
х х
Полученное противоречие показывает, что л == о на М,
и для случая конечноrо измеримоrо пространства доказатель
ство существования завершено.
00
Пусть теперь Х == U Еn, rде I-l(Еn) < 00 при n == 1, 2, . . .
n==1
Соrласно уже рассмотренному случаю, для каждоrо n найдется
такая функция fn(x) Е L (Еn), что для любоrо множества А Е
Е М n Еn == МN
Ф(А) == S fn(x)dl-l.
А
(20.3)
92
rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
Заметим, что все ФУНКЦИИ fn (х) неотрицательны на области CBO
ero определения. Продолжим их нулем на все множества Х и по
ложим
00
f(x) == I: fn(x).
n == 1
Тоrда
00 00
S f(x)dJl == I: S fn(x)dJl == I: Ф(Еn) == Ф(Х) < 00,
х n==l Х n==l
откуда f(x) Е L (Х). Нужное нам равенство (20.2) сразу BЫTe
кает из равенств (20.3).
Проверим единственность с точностью ДО почти всюду по
строенной функции. Если для любоrо А Е М
Ф( А) == S f ( х ) dJl == S 9 ( х) dJl,
А А
то, обозначая
Х1 == {х Е Х: f(x) > у(х)} И Х2 == {х Е Х: f(x) < g(x)},
получим, что
S (f(x)
g(x»dJ-t == О.
Х1
Последнее равенство возможно, только если Jl(X1) == О. Анало
rично, Jl(X2) == О, и теорема Радона
Никодима полностью дo
казана. О
З а м е ч а н и е 20.1. В теореме Радона
Никодима нельзя
отказаться от абсолютной непрерывности заряда Ф относитель
но меры Jl. Это можно продемонстрировать на примере, KO
rда Jl
классическая мера Лебеrа на отрезке [О, 1], а
{ 1
Ф(Е) == 1, если 2 Е Е,
О, в противном случае.
21. (7
аддитивность прямоrо про изведения мер. Теорема Фубини 93
21. u..аддитивность прямоrо
про изведения мер. Теорема Фубини
Сначала докажем теорему о u
аддитивности произведения
l1
аддитивных мер на полукольцах, которая упоминалась в BOCЬ
мом параrрафе.
т е о р е м а 21.1. Пусть меры т1 и
и
aддuтuвHЫ
на полукольцах 81 и 82 соответственно. Тоада оnределен
ная в
8 мера m == m1 Х
на полукольце 8 == 81 Х 82 также
11
аддuтивна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
00
А == А1 Х А2 == U (Al(k) Х A2(k»,
k == 1
rде А1, А1(1), А1(2),... Е 81 И А2, А2О), А2(2),... Е 82' PaCCMO
трим полукольцо 8; == 81 n А1 с единицей Al' Тоrда т1
и
aд
дитивная мера на 8; и ее можно продолжить по Лебеrу. Обозна
чим результат TaKoro продолжения через л 1 . Теперь определим
при Х Е А1 И k == 1,2, ... функцию fk(X) ==
(A2(k»XA1(k)(X),
Тоrда fk(X)
простая функция на А1 И, так как для каждо
ro Х Е Al
u A2(k) == А2,
k: xEA1(k)
То
00
Е fk(x) == I:
(A2(k» ==
(A2)XA (х).
k==l k: XEA1(k) I
Кроме Toro,
00 00
Е S fk(х)dЛ1 == I:
(A2(k»ml(Al(k» < 00.
k==IA1 k==1
Поскольку, соrласно следствию 16.2, здесь можно поменять Me
стами суммирование и интеrрирование,
00 00
I: m(A1(k) Х A2(k» == I: т1 (A1 (k»
(A2(k» ==
k==1 k==1
00
== S I: fk(х)dЛ1 == Л1(А1)
(А2) == т1(Al)
(A2)'
А1 k == 1
Что и требовалось доказать. О
94
rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
о п р е Д е л е н и е 21.1. Если меры Jl1 и Jl2 а
аддитивны
на полукольцах 81 и 82 С единицами Х1 и Х2 соответственно,
то их прямым произведением # == Jl1 Х Jl2 мы будем называть ле
беrовское продолжение меры m == Jll Х 112 с полукольца 8 == 81 Х 82
С единицей Х == Х1 Х Х2 на лебеrовскую а
алrебру. Таким же
образом будет обозначаться и произведение а
конечных мер.
В дальнейшем до конца этоrо параrрафа будем считать,
что 81 и 82
это а
алrебры. Как всеrда, через R(8) обозначим
наименьшее кольцо, содержащее полукольцо 8, а через М
лебеrовскую а
алrебру, на которой определена мера Jl == Jll Х 112.
Прежде чем мы сможем в полном объеме доказать Teope
му Фубини, установим некоторые ее частные случаи. Предва
рительно введем такое обозначение. Если множество Е с Х ==
== Х1 Х Х2, то при любом х Е X1 обозначим через Е(х)
Х2
соответствующее сечение, т. е.
Е(х) == {у Е Х2: (х, у) Е Е}.
Аналоrично, при любом у Е Х2 определяется сечение Е (у)
X1.
Т е о р е м а 21.2. Пусть меры Jl1 и 112 а
конечны и nол
HЫ
Jl == J.Ll Х Jl2
множество Е Е М и J.l ( Е) < 00. т оада для почти
вcex
относительно меры Jl1
точек х Е X1 сечение Е (х) Е 82
Jl2(E(x» Е L(X\J 81' Jl1) и
Jl ( Е) == S 112 ( Е ( х» dJll .
Х1
(21.1 )
Здесь мы nроизвольным образом доопределяем функцию
Jl2(E(x» в тех точках
аде она не существует. Разумеется
аналоаичное представление остается справедливым и если
мы поменяем ролями Jll и 112.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что утверждение теоремы
справедливо для множеств Е Е 8, а тоrда, в силу линейности
обеих частей формулы (21.1), и для Е Е R (8). Предположим,
что утверждение теоремы выполняется для цепочки вложенных
00
множеств А1
А2
. .. из М, В == U А; и Jl(B) < 00. Про
;==1
верим, что теорема остается справедливой и для множества В.
00
Действительно, для любоrо х Е Х1 имеем В(х)== U Aj(x). Тоrда
j==l
для почти всех х Е Х1 множество В (х) Е 82' Далее, для почти
21. (7
аддитивность прямоrо произведения мер. Теорема Фубини 95
всех х Е Х1 Функции J.L2(Aj(x» i Jl2(B(x» при j
00. Поэтому,
в силу полноты меры Jll' функция Jl2( в (х» измерима на Х},
И, используя теорему Беппо Леви и теорему о непрерывности
меры, получим, что
s Jl2(B(x»dJ-t1 == Цт S Jl2(Aj(x»dJll == )im Jl(Aj) == J-t(В).
Х1 J ...... 00 Х1 J ...... 00
Точно так же устанавливается, что если условия теоремы
справедливы для цепочки вложенных множеств А 1 ;2 А2
. . .
00
из М, В == n А; и Jl(Al) < 00, то она остается справедливой
j==1
и для множества В.
Пусть теперь Е Е М и м(Е) == О. Тоrда по теореме 9.1 это
множество можно представить в виде
00 00
Е == Р(Е) \ Ао(Е) rде Р(Е) == n U Ai,j'
i==lj==l
(21.2)
rде Ai,j Е R(S), i, j == 1,2,...; Ai,l
Ai,2
... для любоrо i;
00
если Bi == U Ai,j' i == 1,2, . .., то В1
В2
..., J.L(BI) < 00;
j==1
Ао(Е) Е М и м(Ао(Е» == О. Выше была установлена справед
ливость теоремы для F (Е) . Так как Jl (Е) == О, соответствующее
множество Р(Е) также имеет меру О. Тоrда, поскольку
S Jl2(F(E)(x»dJll == О
Х1
и подинтеrральная функция неотрицательна, мы получаем,
что Jl2( F (Е)( х» == о для почти всех х Е Х1 относительно
меры Jll' Поскольку Е
F (Е) и мера Jl2 полна, отсюда вытекает,
что и J.L2(E (х» == о для почти всех х Е X1 относительно меры J.ll.
Тоrда из
за полноты меры Jll Функция Jl2(E(x» JlI
измерима и
J-t(Е) == 0== s Jl2(E (x»dJl17
Х1
т. е. для измеримых множеств Е меры О теорема установлена.
Пусть, наконец, произвольное измеримое Е Е М и J-t(Е) <
< 00. Тоrда снова имеет место представление (21.2). Теорема
уже установлена для множеств Ао( Е) и F (Е), а тоrда в силу
аддитивности меры и линейности интеrрала, утверждение спра
ведливо и для множества Е. О
96
rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
Т е о р е м а 21.3. Пусть меры Jll и Jl2 а конечны и nол
HЫ множество Е ЕМ, функция 1 (х, у) измерима на Е и Heo
трицательна. Тоада для почти всех х Е Х1 относительно
меры Jll функция I(x, у) Jl2 измерима функция
Ф(х) == S I(x, y)dJl2
Е(х)
Jll измерима и
S f(x, y)dJl == S Ф(х)dJll == S S I(x, y)dJl2dJll'
Е X1 Х1 Е(х)
Аналоаичная формула остается справедливой и если мы no
меняем ролями Рl и Jl2'
Д о К а з а т е л ь с т в о. По теореме 21.2 утверждение Bep
но для характеристических функций Jl измеримых множеств
с конечной мерой. Тоrда оно справедливо и для любой простой
функции на Е. Теперь построим соrласно лемме 15.1 последо
вательность неотрицательных простых функций gn (х, У) i 1 (х, у)
на Е. При меняя к данной последовательности теорему Беппо
Леви (в правой части вначале для BHYTpeHHero интеrрала,
а затем для внешнеrо) и теорему об измеримости предела
последовательности измеримых функций, установим справедли
вость теоремы в общем случае. О
Из только что доказанноrо результата моментально следует
утверждение, которое обычно и называют теоремой Фубини.
Т е о р е м а 21.4. Пусть меры Jll и Jl2 а конечны и nолны
множество Е ЕМ и функция f(x, Y)EL(E). Тоада для почти
всех относительно меры Jll х Е Х1 функция f(x, у) Jl2 изме
pиMa функция
Ф(х) == S f(x, y)dJ-l2 Е L (X1, Ми Рl)
Е(х)
и
S f(x, y)dJl == S Ф(х)dJll == S S I(x, y)dJ.L2dJ.Ll'
Е Х1 Х1 Е(х)
Аналоаичные утверждения справедливы и для друаоао no
вторноао интеарала.
3 а м е ч а н и е 21.1. Следует отметить, что в общем слу
чае даже существование обоих повторных интеrралов и их pa
венство не влечет существования двойноrо интеrрала. В каче
стве примера можно рассмотреть функцию 1 (х, у) == 2 ху 2 2
(х + у )
при (х, У) Е [ l, 1 ]2\ {О} И классическую меру Лебеrа на [ 1, 1]2.
22. Неравенства rёльдера и Минковскоrо. Пространства L Р 97
22. Неравенства rёльдера
и Минковскоrо. Пространства L р
в этом параrрафе будем придерживаться следующих обо
значений.
Пусть 1 р 00. Определим число
{ р 1 при 1 < р < 00,
q == 00 при р == 1,
1 при р == 00.
1 1
Таким образом, всеrда + == 1.
р q
л е м м а 22.1. Для любых а, Ь O и 1 <р<оо справедливо
неравенство
аР bq
аЬ + .
"= р q
д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на плоскости кри
вую У == хР 1 при Х О. Пусть 81 это площадь фиrуры, оrрани
ченной данной кривой, осью ОХ и прямой х == а, а 82 площадь
фиrуры, оrраниченной этой же кривой, осью ОУ и прямой у == Ь.
Т оrда, очевидно,
а Ь Р bq
аЬ 8 + s == S хР 1 dx + S yq 1 dY == +
"= 1 2 Р q'
о о
что и требовалось доказать. О
Т е о р е м а 22.1 (неравенство rёльдера). Пусть 1 <р < oo
а функции f(x) и g(x) измеримы на а конечном измеримом
пространстве (Х, М, М) и тaKoвы что If(x)IP, Ig(x)lq EL(X).
Тоада f(x)g(x) Е L (Х) и
1 1
llf(x)g( х)IФ (llf(X )IP dfL )' х (llg( x)l. dfL ) '. (22.1)
д о к а з а т е л ь с т в о. Если хотя бы один из интеrралов
в правой части неравенства (22.1) равен нулю, то и COOTBeTCT
вующая функция равна нулю почти всюду на Х. в этом случае
и произведение f(x)g(x) == О почти всюду на Х, а тоrда YTBep
ЖДение теоремы, очевидно, верно. Пусть теперь
S If(x)IPdJ.L == АР и S Ig(x)lqdJ.L == Bq,
х х
98 rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
rде А, В =1- О. Тоrда если <р(.х) == f x) и -ф(х) == g ), то
S I <p(x)IPdJ.L == S 11f;(x)lqdJ.L == 1,
х х
и соrласно лемме 22.1 и теореме 15.5
s 1<p(x)1f;(x)ldJl S 1'P(x)IP dJ.L + S 1'Ф(х)lq dJ.L == ! + ! == 1,
х х р х q р q
а отсюда сразу вытекает утверждение теоремы. О
т е о р е м а 22.2 (неравенство Минковскоrо). Пусть 1
р < OO а функции j (х) и g( х) измеримы на а конечном изме
римом пространстве (Х, М, Jl) и тaKoвы что If(x)IP, Ig(x)IP Е
Е L (Х). Тоада If(x) + g(x)IP Е L (Х) и
1 1 1
(11ЛХ) + g(x)IP dfL )' (llf(x)IPdfL)' + (llg(X)IP dfL )'.
Д о к а з а т е л ь с т в о. При р == 1 наше утверждение сразу
следует из теоремы 15.5. Пусть р> 1. Тоrда, поскольку для лю
боrо х Е Х
If(x) + g(x)IP 2Р max(lf(x)IP, Ig(x)IP) 2P(lf(x)IP + Ig(x)IP),
,
то мы имеем Ij(x)+ g(x)IP Е L (Х). Далее, отметим, что для лю
боrо х Е Х
If(x) + g(x)IP If(x) + g(x)lp llf(x)1 + If(x) + g(x)lp 1Ig(x)l.
Тоrда, поскольку (р l)q == р, применяя неравенство rёльдера,
получим
1
llf(X) + g(x)IPdfL (llf(X) + g(x)IP dfL ) i Х
Х ((llf(х)IРФ ) + (llg(X)!PdfL )} (22.2)
Если
S If(x) + g(x)IPdJ.L == О,
х
22. Неравенства rёльдера и Минковскоrо. Пространства L р 99
то утверждение теоремы очевидно. В противном случае, деля
обе части неравенства (22.2) на
1
(11ЛХ) + g(x)IP dfL ) "
получаем требуемое утверждение. О
Дадим теперь важное определение линейноrо нормирован
Horo пространства.
О п р е Д е л е н и е 22.1. Jlинейным нормированным npo
странством называется пара (L, 11.11>, rде L линейное про
странство над полем К, К == JR или К == С, а функция 11.11:
L [О, 00), причем
1) 11 х 11 == О тоrда и только тоrда, коrда х == о;
2) Ilлхll == Iл Illxll для любоrо х Е L и для любоrо л Е К;
3) "Х + yll Ilxll + IIyll для всех х, у Е L.
В ряде случаев, коrда это не может привести к путанице,
линейное нормированное пространство обозначают просто L.
Оп Р е Д е л е н и е 22.2. Пусть 1 р < 00, а (Х, М, М)
а конечное измеримое пространство. Тоrда введем множество
Ер(Х) {измеримые на Х функции f(x): l\f(x)IP dfL < оо},
и .lo( Х) совокупность всех измеримых на Х функций, KO
торые почти всюду на этом множестве равны нулю. HaKO
нец, обозначим факторпространство L р(Х)! Jo(X) через L р(Х).
Если f(x) Е Lp(X), то положим
1
НfИII Hf(x)llp (11ЛХ)\Р dfL ) ,
Отметим, что для вычисления нормы можно брать любо
ro представителя из соответствующеrо функциональнOl О клас
са. С учетом этоrо в дальнейшем мы часто будем rоворить об
элементах пространства Lp(X), как о функциях.
3 а м е ч а н и е 22.1. Из неравенства инковскоrо следует,
что (Lp, 11.llp) является линейным нормированным пространст
Бом.
100 rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Ле6еrа
3 а м е ч а н и е 22.2. С учетом введенных обозначений
неравенства rёльдера и инковскоrо можно, соответственно,
записать так:
s If(x)g(x)ldJ.L Ilf(x)llpllg(x)llq
х
и
IIf(x) + g(x)IIp Ilf(x)llp + IIg(x)llp'
О п р е Д е л е н и е 22.3. Пусть (Х, М, р) а конечное из
меримое пространство. Тоrда введем множество
Еоо(х) == {измеримые на Х функции f(x): IIf(x)lloo ==
==ess s p If(x)1 == inf{ С> о: М( {х Е Х: If(x)1 > С}) ==о} < оо},
и обозначим факторпространство Еоо(х)/ .lo(X) через Loo(X).
Естественным образом норма 11.1100 определена и на пространст
ве L 00'
3 а м е ч а н и е 22.3. Неравенства rёльдера и Минковскоrо
можно очевидным образом обобщить на случай р == 00 (и, COOT
ветственно, q == 1). Кроме Toro, ясно, что (L 00' 11.11(0) является
линейным нормированным пространством.
3 а м е ч а н и е 22.4. В случае коrда Х это множество
всех натуральных чисел, а мера любоrо множества это чи
сло ero элементов, неравенства rёльдера и Минковскоrо будут
выrлядеть так:
1 1
' lla,b,1 C /a,IP)' х C llb,I.) i
и
1 1 1
C lla; + b,IP) , C lla,IP)' + C llb,IP)'.
Последние неравенства часто называют неравенствами rёльдера
и инковскоrо для рядов. Отметим также, что в этом случае
пространства Lp(X), rде 1 р 00, обозначаются lp.
3 а м е ч а н и е 22.5. В дальнейшем мы будем рассматри
вать пространства L р(Х) не только действительнозначных,
23. Полнота и некоторые друrие свойства пространств L р 1 01
но и комплекснозначных функций. Измеримость в данном слу
чае будет понимается как одновременная измеримость действи
тельной и мнимой частей, а понятие нормы остается тем же.
Аналоrично и интеrрируемость по Лебеrу комплекснозначной
функции определяется как одновременная интеrрируемость дей
ствительной и мнимой части с соответствующим равенством
для интеrралов. Ниже мы будем в некоторых местах paCCMa
тривать интеrралы от таких функций.
Следующее утверждение представляет собой простейший
вариант теоремы вложения.
у т в е р ж Д е н и е 22.1. Если Jl(X) < 00 и 1 РI < р2 OO
mOLp2(X)CLp1(X) т. е. еслиf(Х)ЕLР2(Х) mOf(X)ELp1(X)
и справедливо неравенство
Ilf(x)llp1 С(Р17 Р2, Jl(X»llf(x)llp2'
д о к а з а т е л ь с т в о. Если р2 == 00, то утверждение оче
видно. В противном случае, при меняя неравенство rёльдера, по
лучим
!1
Ilf(x)lI llf(x)l"'dfL (llf( x)l"'dfL ) ., (fL(X» ,
а это эквивалентно доказываемому утверждению. О
3 а м е ч а н и е 22.6. Рассмотрение функций вида
ха Х(о, I)(x) И ха X(l,oo)(X) позволяет установить, что, во первых,
вложения в утверждении 22.1, вообще rоворя, строrие и, BO BTO
рых, это утверждение уже неверно для множеств Х с а конеч
ной мерой.
23. Полнота и некоторые
друrие свойства пространств L р
Сначала дадим два определения.
Оп р е Д е л е н и е 23.1. Пусть (L, 11.11) линейное норми
рованное пространство, и пусть F == {In} == 1 последователь
ность ero элементов. Тоrда эта последовательность называется
фундаментальной, если для любоrо Е > О найдется такое N,
что при любых т, n > N выполняется неравенство Il/n fmll <
< Е. Если же найдется такой элемент 1 Е L, что Il/n I11 о
102
rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
при n 00, то rоворят, что f является пределом последователь
ности F (в тех случаях, коrда рассматриваются различные опре
деления предела, данный предел называется пределом по норме
пространства (L, 11.11».
Очевидно, что любая последовательность элементов линей
Horo нормированноrо пространства, имеющая предел, фундамен
тальна.
Оп р е Д е л е н и е 23.2. Пусть (L, 11.11) линейное HOp
мированное пространство и любая фундаментальная последова
тельность ero элементов имеет предел. Тоrда данное простран
ство называется полным.
Сейчас мы подробнее расмотрим вопрос о полноте про
странств L р. Предварительно установим один вспомоrательный
результат.
Л е м м а 23.1. Пусть (Х, М, Jl) а конечное измеримое
npocтpaHcтвo 1 р < 00 и {fn(X)} ==l фундаментальная
последовательность элементов пространства Lp(X). Тоада
существует такая возрастающая последовательность Ha
туральных чисел {nk} == l что nодnоследовательность fnk (х)
сходится почти всюду на Х к конечной функции f(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем последовательность
{nk} == 1 таким образом, чтобы Ilfn(x) fnk (x)llp < 21k при n nk.
Сначала рассмотрим случай Jl(X/ < 00. Тоrда (см. утвержде
ние 22.1) Ilfn (х) fn (x)III < Ck, rде постоянная С зависит
11:+1 11: 2
лишь от р и от меры множества Х. Рассмотрим ряд
00
Ifn (х)1 + I: Ifn (х) fn (х)1 == Ф(х).
1 k==l 11:+1 k
Соrласно следствию 16.2
s Ф( х )dJ.1 < 00,
х
а тоrда по теореме 15.2(3) функция Ф(х) конечна почти всюду
на х. Это означает, что ряд
00
fn (х) + I: (fn (х) fn (х»
I k==1 k+1 k
абсолютно сходится, а следовательно, сходится почти всюду
на х. Поскольку при любом k k я частичная сумма этоrо ряда
23. Полнота и некоторые друrие свойства пространств L р 103
совпадает с fn (х), для множеств Х с конечной мерой лемма
k
установлена.
Если же
00
Х == U Ет,
т== 1
rде м(Ет) < 00, m == 1, 2, . .., то, поскольку для любой
функции g(x) Е Lp(X) и для любоrо натуральноrо m HOp
ма Ilg(x)IILp(Em)
Ilg(x)IILp(X)' по уже доказанному последователь
ность fn (х) сходится почти всюду на Ет к конечной функ
k
ции fm(x). Полаrая функцию f(x) == fm(x) при х Е Ет, m ==
== 1,2, . . ., завершаем доказательство леммы. О
Т е о р е м а 23.1. Если (Х, М, м)
а
конечное измеримое
пространство и 1
p
oo
то пространство Lp(X) является
ПОЛНЫМ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала рассмотрим случай р < 00.
Пусть последовательность {fn(X)}
==l фундаментальна в Lp(X).
Тоrда, применяя лемму 23.1, выделим из нее подпоследователь
ность fn (х), сходящуюся почти всюду на Х к конечной функ
k
ции f(x). Доопределим f(x) нулем в тех точках, rде сходимо
сти нет. Тоrда она будет измерима на Х. Поскольку для почти
всех х Е Х Ifn (x)IP
If(x)IP при k
00, из теоремы Фату
k
(см. также замечание 16.1) следует, что функция f(x) Е Lp(X).
Далее, если задано Е > О, то можно выбрать Ко так, что при q, r >
> КО будем иметь Ilfq(x)
fr(x)llp < Е. Учитывая, что почти всюду
на Х Ifn (х)
fn (x)IP
Ifn (х)
f(x)IP при l
00, и снова при
k I k
меняя теорему Фату, получим, что Ilfnk (х)
f(x)llp < Е при nk >
> Ко. Но в этом случае при r > КО имеем Ilfr(x)
f(x)llp < 2Е,
и теорема установлена.
Теперь рассмотрим случай р == 00. Определим числа ат,n ==
== Ilfn(x)
fm(x)lloo' т, n == 1,2, . . . Пусть
Ещn == {х Е Х: Ifn(x)
fm(x)1 > ащn}.
По определению нормы в пространстве L 00 (Х) имеем Jl (Ет, n) ==
== о при всех m и n. Но тоrда на множестве
00
Е == Х \ U Ет, n
щn==!
рассматриваемая последовательность равномерно фундамен
тальна. Соrласно известной теореме из курса математическо
104 rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
ro анализа, в этом случае на множестве Е последователь
ность {fn(X)}
==1 равномерно сходится. Доопределив предель
ную функцию нулем на Х \ Е и учитывая, что М(Х \ Е) == О,
завершим доказательство теоремы. О
Следующая теорема устанавливает еще одно важное свой
ство пространств L Р.
Т е о р е м а 23.2. Пусть (Х, М, м)
а
конечное измери
мое пространство и 1
р < 00. Тоада если функция f(x) из
мерима и неотрицательна на Х
и Ff( t) == Р( t) == м( {х Е Х:
f (х) > t}) при t > O
то имеет место равенство
S fP(x)djl == р S tP
1 Р( t )dt,
х (0,00)
аде через dt обозначена классическая мера Лебеаа на (О, (0).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала рассмотрим случай, коrда
функция f (х)
простая, а именно
n
f(x) == L: CkXE (х),
k==l k
rде 0< С1 <
<. . . < Сп' множества Ek попарно не пересекаются
и имеют конечную меру. Тоrда
n
fP(x) == L: ССХЕ (х)
k==l k
и
jl(El) +. . . + м(Еn) при 0< t < C1,
м(Е2) + . . . + м(Еn) при С'
t <
,
F(t)==
м(Еn)
О
при Сп
1
t < Сп,
при t
Сп.
Формально полаrая со == О, будем иметь
р (O,SOO) tP
I Р( t )dt
Р .
, C
. Р(Е,») ,l, tP
' dt
.
J,
. р(Е,») (с[
cc
,)
.
, сСр(Е.)
1 fP(x)dp,
23. Полнота и некоторые друrие свойства пространств L р 105
и в этом случае требуемое равенство установлено. В общей си
туации построим, соrласно лемме 15.1, последовательность Heo
трицательных простых функций hn(x) i f(x) на х. По теореме
Беппо Леви
Вт S h
(x)dJl == S fP(x)dJl.
n......оо Х Х
(23.1 )
Далее, ясно, что последовательность {Fh (t)}
== 1 не убывает
на (О, (0) и по теореме о непрерывности меры
Нm Fh (t) == Ff( t )
n...........оо "
при t Е (О, (0). Снова применяя теорему Беппо Леви, получим
lim S tp
IFh (t)dt == S tp
lF.(t)dt.
n......оо" f
(О, (0) (О, (0)
(23.2)
Кроме Toro, как было установлено выше,
S h
(x)dJl == р S tP
l Fh (t)dt.
Х (О, (0) "
(23.3)
Из формул (23.1 )
(23.3) вытекает утверждение теоремы. О
О пр е Д е л е н и е 23.3. Пусть (L, ".11)
линейное норми
рованное пространство и множество А с L. Тоrда А называется
всюду плотным 8 L, если для любоrо х Е L и для любоrо Е > О
найдется такое у Е А, что Ilx
yll < Е.
Рассмотрим более подробно важный случай, коrда Х явля
ется отрезком или прямой, а Jl
классическая мера Лебеrа.
В ряде вопросов очень важно бывает указать сравнительно про
стое всюду плотное множество в пространствах L Р.
т е о р е м а 23.3. Пусть 1
р < OO
а Jl
классическая
мера Лебеаа. Тоада для
oo < а < Ь < 00 в пpocтpaHcт
ве L р([ а, Ь]) всюду плотными являются множества Heпpe
рывных на этом отрезке Функций
мноаочленов и мноаоч
леНО8 с рациональными коэффициентами. В пpocтpaHcт
ве L p(R) всюду плотным является множество непрерывных
финитных (т. е. обращающихся в О вне некотороао отрезка)
функций.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вначале рассмотрим Lp([a, Ь]) Нам
надо доказать, что для любой функции f( х) Е L р([ а, Ь]) и для лю
боrо Е > О найдется такая непрерывная на [а, Ь] функция g( х),
106
rлава 4. Некоторые приложения интеrрала Лебеrа
что Ilf(x)
g(x)lIp < Е. Понятно, что этот факт достаточно YCTa
новить для неотрицательных функций f(x). Далее, пусть f(x)
о на [а, Ь] и f(x) Е Lp([a, Ь]). Построив соrласно лем
ме 15.1 последовательность неотрицательных простых функ
ций hn (х) i f (х) на [а, Ь], по теореме Лебеrа о предельном пе
реходе получим, что
Ilf(x)
hn(x)ll; == S If(x)
hn(x)IPdjl
О
[а, Ь]
при n
00. Отсюда ясно, что достаточно рассмотреть случай,
коrда функция f(x)
простая. При этом из очевидных сообра
жений можно считать, что f(x) == ХЕ(х), rде измеримое множе
ство Е
[а, Ь]. Построим соrласно определению классической
меры Лебеrа множество
m
Еl == U (aq, bq)
q==1
так, чтобы jl(EllE1) < Е. При этом
IIXE(x)
ХЕ1 (х)lI; == (м(Е llE1)Y < ЕР.
Отсюда вытекает, что наша задача свелась к нахождению
непрерывной функции, которая приближает характеристиче
скую функцию данноrо интервала (с, d) с заданной точностью Е.
Такой функцией является для достаточно малых , непрерывная
функция gl'(X)' равная нулю вне (с, d), единице на [с+" d
,]
и линейная на оставшихся интервалах. Таким образом, YCTaHOB
лена плотность множества непрерывных функций в L р« а, Ь».
Применяя известную теорему Вейерштрасса о существова
нии для любой непрерывной функции g( х) на [а, Ь] последова
тельности мноrочленов {Jt (х)}
== l' сходящейся к ней paBHOMep
но, а также очевидное неравенство
1
( s Ig(x)
Jt(x)IPdjl) р
(Ь
a)
тах Ig(x)
Jt(x)l,
(а,Ь) хЕ[а,Ь]
леrко доказать, что и множество всех мноrочленов всюду плот
но В L р« а, Ь». По тем же причинам этим свойством обладают
и мноrочлены с рациональными коэффициентами.
Перейдем теперь к рассмотрению пространств L p(R).
Из теоремы Лебеrа о предельном переходе вытекает, что если
23. Полнота и некоторые друrие свойства пространств Lp 107
Е > О, то для достаточно большоrо N будем иметь IIf(x)
f(x)X[
N;N](x)llp < Е. Кроме Toro, по уже доказанной части
теоремы найдется такая непрерывная на [
N, N] функция g( х),
что Ilf(x)
g(x)IILp([
N;N]) < Е. Взяв непрерывную на R функцию
{ g(x)
gl' ( х) == о
линейна
при х Е [
N],
при Ixl
N + "
на оставшихся интервалах
и выбрав достаточно малое, >0, будем иметь Ilf(x)
gl'(x)llp <
< 3Е, а это эквивалентно доказываемому утверждению. О
rЛАВА 5
функции оrРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
И АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
24. Функции оrраниченной вариации на отрезке
Оп р е Д е л е н и е 24.1. Пусть отрезок [а, Ь] C}Rl И функ
ция f(x): [а, Ь]
}Rl. Тоrда для любоrо разбиения отрезка Т ==
== { а == ха < Х1 < . . . < Хn
1 < Хn == Ь} положим
n
VT(f)==
If(xk)
f(Xk
I)I.
k==l
Если величина
b(f) == sup VT(f) < 00,
т
то будем rоворить, что f(x)
функция оараниченной Bapиa
ции на отрезке [а, Ь] (f(x) Е V([a, Ь]».
3 а м е ч а н и е 24.1. Ясно, что если f(x) Е V([a, Ь]),
то функция f(x) оrраничена на отрезке [а, Ь], точнее, для лю
боrо х Е [а, Ь] имеем
Ij(x)1
Ij(a)1 +
b(f).
Теорема24.1. Если функция f(X)E V([a, Ь]) иa<c<Ь
то f(x) Е V([a, с]) и f(x) Е V([c, Ь])
причем
b(f) ==
C(f) + V/(f).
д о к а з а т е л ь с т в о. Если 1; == { а == ха < Х1 < . . . < xk
1 <
< xk == с} И т; == {с == уо < Уl < . . . < Yт
1 < Ут == Ь}
разби
ения отрезков [а, с] и [с, Ь], соответственно, то Т == {а == ха <
< Х1 <... < Xk
l < Xk < Уl <... < Ут == Ь} будет разбиением отрез
ка [а, Ь]. При этом, очевидно, VT(f) == Vr, (f) + Vr. (f). Ввиду
1 2
24. Функции оrраниченной вариации на отрезке 109
произвольности разбиений 7; и т'2 отсюда вытекает, что f(x) Е
Е V([a, с)), f(x) Е V([c, Ь) и
C(f) +
b(f)
b(f). (24.1)
С друrой стороны, пусть разбиение Т == { а == ха < х' < . . . < хn
1 <
< хn == Ь }. Образуем разбиение Т', добавив к разбиению Т ТОЧ
ку с, если она не входила вТ, либо взяв Т' == Т в противном
случае. Разбиение Т' представляет собой объединение разбие
ний 7; и т'2 отрезков [а, с) и [с, Ь] соответственно. Поэтому
Vr(f)
VT(f) == Vт. (f) + Vr. (f)
C(f) +
b(f).
1 2
Так как разбиение Т произвольно, отсюда и из оценки (24.1)
вытекает утверждение теоремы. О
Очевидно, что если функция f (х) монотонна на отрез
ке [а, Ь], то f(x) Е V([ а, Ь]) и
b(f) == If( a)
f( Ь )1. Оказывается,
что класс функций оrраниченной вариации на отрезке не слиш
ком далек от класса монотонных на этом отрезке функций.
Утверждение 24.1. Если функция f(x) Е V([a, Ь])
то f(x) == f1(x)
f2(X)
аде функции fl(X) и f2(X) MOHoтOH
но неубывают на отрезке [а, Ь]. При этом можно считать
что fl (х) ==
X(f) при х Е [а, Ь].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero отметим, что по Teo
реме 24.1 функция f1(x) ==
X(f) монотонно неубывает на х Е
Е[а, Ь]. Далее, если f2(X)==fl(X)
f(x) и а
х < y
Ь, то по Te
ореме 24.1
f2(y)
f2(X) ==
Y(f)
f(y) + f(x)
Y(f)
If(y)
f(x)1
о,
что и завершает доказательство. О
Т е о р е м а 24.2. Пусть функции f(x), g(x) Е V([a, Ь])
а а и (З
некоторые числа. Тоада af(x) + (Зg(х) Е V([a, Ь])
и f(x)g(x) Е V([a, Ь). При этом
b(a! + (Зg)
laly:b(f) + 1{ЗI
Ь(g)
и
b(fg)
b(f) тах Ig(x)1 +
b(g) тах If(x)l.
ХЕ[а,Ь] ХЕ[а,Ь)
Если
вдобавок
для некоторой постоянной С > О имеем
1
Ig(x)1
с при х Е [а, Ь]
то и функция у(х) Е V([a, Ь])
npи
чем
' ( i) <;;
2
'(g). (24.2)
110
rлава 5. Функции оrраниченной вариации
д о к а з а т е л ь с т в о. Введем разбиение Т == {а == ха <
< Х' < . . . < Хn == Ь}. Тоrда
n
VT( а! + /3g) == L: I( af(xk) + /3g(xk»
(o:f(Xk
1) + /3g(Xk
1»1
k==l
n n
10:1 L: If(xk)
f(Xk
I)1 + 1/31 L: Ig(Xk)
g(xk
I)1
k==1 k==l
1001
b(f) + 1/3Iy:b(g) (24.3)
и
n
VT(fg) ==
If(xk)g(xk)
f(Xk
l)g(Xk
1)1
k == 1
n n
L: If(Xk)
f(xk
I)llg(xk)l+ L: Ig(xk)
g(xk
I)llf(xk
I)I
k==1 k==l
b(f) mах Ig(x)1 +
b(g) mах Ig(x)l. (24.4)
ХЕ[а,Ь) хЕ[а,Ь]
Переходя в левых частях оценок (24.3) и (24.4) к верхним rpa
ням по всевозможным разбиениям Т, установим два первых
утверждения теоремы.
Далее, если Ig(x)1
с при х Е [а, Ь), то
v: (!)
I
1 I
Ig(xk)
g(xk
I)1
Vb( )
Т 9
k
l g(Xk) g(Xk
1)
k
l Ig(xk)llg(Xk
1)1
с2 а 9 ,
откуда сразу следует неравенство (24.2). О
Теорема24.3. Пустьf(х)ЕV([а, Ь]) и точка ХаЕ[а, Ь].
Тоада непрерывность функции f(x) в точке ха равносильна
непрерывности в этой точке функции Л(х) ==
Xo(f).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если fl (х) непрерывна в точке Ха,
то, поскольку
I f (ха + h)
f ( ха) I
VXoXo + h == I f1 (ха + h)
f1 ( ха)! ,
функция f (х) также непрерывна в этой точке.
Пусть теперь функция f(x) непрерывна в точке Ха. Возьмем
произвольное Е > о. Дадим оценку разности f1 (ха + h)
fl (ха),
считая для определенности, что ха < Ь и h > о. Возьмем такое
24. Функции оrраниченной вариации на отрезке
111
разбиение Т == {Ха < Х1 < . . . < хn == Ь} отрезка [Ха, Ь], что VT(f) >
> V
(f)
. Теперь выберем такое 8 > О, что 8 < Х1
ха И если
0< h < 8, то If(Xa+h)
f(Xa)1
. Тоrда при таких h имеем
fl(Xa+h)
fl(Xa)== Vзuзu+h(f)==
== V
(f)
V
+h(f)< VT(f)
V
+h(f)+
I f (ха + h )
f ( Ха) 1+ If (ха + h )
f (Хl ) 1 +
n
+ L:lf(Xk)
f(xk
I)I
V::+h(f)+
k==2
If(Xa+ h)
f(Xa)I+
E,
что и требовалось доказать. О
Теперь перейдем к доказательству теоремы о дифферен
цировании функции оrраниченной вариации. Нам понадобят
ся вспомоrательные утверждения, в которых будет rовориться
о верхних и нижних производных монотонной функции (по по
воду определения этих производных см. теорему 10.5). Под jl
будет пониматься классическая мера Лебеrа.
у т в е р ж Д е н и е 24.2. Если функция f(x) монотонно
неубывает на [а, Ь]
то при любом х Е (а, Ь) выполнены Hepa
,
венства f'(x)
L (х)
О.
Данное утверждение очевидно.
Л е м м а 24.1. Пусть функция f(x) строао возрастает
на [а, Ь]
множество Е
(а, Ь)
число Р
о и для любоао х Е Е
выполнено неравенство f'(x)
р. Тоада jl*(f(E»
pM*(E)
аде м*
внешняя мера.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольные числа ро >
> р и Е > О, И пусть G
такое открытое подмножество (а, Ь),
что Е r;; G и м( С)
м*(Е) + Е. Далее, для любой точки х Е
Е Е найдется последовательность отличных от нуля чисел hn ==
== h'l(X)
О при n
00, что
f(x + hn)
f(x)
h ""'= Ро
n
при всех n. Для упрощения записи предположим, что hn (х) >
> о при всех х Е Е и n == 1, 2, . .. Мы можем также считать,
что все hn (х) настолько малы, что отрезок [х, х + hn (х )] с с.
Пусть dn(x)==[x, x+hn(x)] и Dn==[f(x),f(x+hn(x»] при хЕЕ
112
rлава 5. ФУНКЦИИ оrраниченной вариации
и n == 11 2, . . . Так как функция f (х) cTporo возрастает, все
отрезки Dn(x)
невырожденные. Поскольку jl(Dn(x»
POhn
для всех х и n, множество отрезков D =={Dn(X)}
==I,XEE покры
вает образ f (Е) в смысле Витали. По теореме Витали можно BЫ
делить не более, чем счетное число попарно непересекающихся
отрезков {Dk (xk)}
== 1
D так, чтобы
р' (f(E) \ .Q, D.(X.»)
о.
Отметим, что при этом попарно не пересекаются и отрезки
{dk(Xk)}o;==l С с. Поэтому
р'и(Е» <;; р CQ, D.(X.»)
.
, p(D.(x.»
00 00 00
== L: (f(Xk + hk)
f(Xk»
ро I: hk == ро
jl(dk(Xk» ==
k==l k==l k
l
]ЪР CQ, d.(x.») <;; Рор( а) <;; ]Ъ(р'(Е) + Е:).
в силу произвольности РО > Р и Е > О отсюда следует утвержде
ние леммы. О
Л е м м а 24.2. Пусть число q > O
функция f(x) строао
возрастает на [а, Ь]
множество Е
(а, Ь)
в каждой точке
множества Е функция f(x) непрерывна и fl(X)
q. Тоада
jl*(f(E»
qjl*(E)
аде м*
внешняя мера.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольные числа % Е
Е (О, q) и Е > О, И пусть G
такое открытое множество, что G ;2
;2 f(E) и м( с)
J-L*(f(Е»+ Е. ДЛЯ любой точки х Е Е найдется
такая последовательность отличных от нуля чисел hn == hn(x)
O
при n
00, что
ЛХ + hn)
лх)
h 7%
n
при всех n. Снова предположим, что hn (х) > О при всех Х Е Е
и n == 1, 2, . .. Как и при доказательстве предыдущей леммы,
введем следующие обозначения: dn(x) == [х, х + hn(x)] и Dn ==
== [f(x), f(x + hn(x»] при х Е Е и n == 1,2, . . . в силу непрерыв
ности функции f (х) в точках множества Е мы можем считать,
что все D n (х) С с. Далее, множество отрезков {d'l (х)}
== 1. Х Е Е
24. ФУНКЦИИ оrраниченной вариации на отрезке
113
покрывает Е в смысле Витали. По теореме Витали можно BЫ
делить не более чем счетное число попарно непересекающихся
отрезков {dk (xk)} r:; == 1 так, чтобы
{I' ( Е \ .Q, d.(X.»)
О.
Так как функция f(x) cTporo возрастает, отрезки {Dk(Xk)}O;== 1
также попарно не пересекаются. Тоrда
{I'(Е) <;; {I CQ, d.(Xk»)
.
, {I( d.(x.»
00 100 100
==
hk
(f(Xk + hk)
f(Xk» ==
J-L(Dk(Хk» ==
k==l qO k==l (]о k==l
1 (00 ) 1 1
== -;;-М U Dk(Xk)
-;;-М(С)
(j-t*(f(Е)) + Е).
':10 k==l ':10 ':10
Так как числа % < q и Е> О произвольны, отсюда получаем YTBep
ждение леммы. О
Т е о р е м а 24.4. Если функция f(x) монотонно неубыва
ет на [а, Ь]
то почти всюду на (а, Ь) существует конечная
производная f'(x) Е L «а, b»
причем
S f'(x)dj-t
f(b)
f(a). (24.5)
(а, Ь)
При этом мы, разумеется
считаем
что функция f'(x) пpo
извольным образом доопределена в тех точках
аде она не с y
ществует.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию g(x) == f(x)+
+х при ХЕ[а,Ь]. Тоrда g(x) cTporo возрастает на [а,Ь].
Пусть Е
множество точек непрерывности функции у( х)
на [а, Ь]. Тоrда множество [а, Ь] \ Е не более чем счетно. Обо
значим через Q+ совокупность всех положительных рациональ
ных чисел и введем в рассмотрение множества Еоо == {х Е Е:
['(х) == оо} и Ep,q == {х Е Е: ['(х) < р < q < ['(х)} при любых
таких р, q Е Q+, что р < q.
Если J-L *( Еоо) == а > о, то соrласно лемме 24.2 имеем
j-t *(g( Еоо» > та для любоrо r < 00, что невозможно. Следова
тельно, множество Еоо измеримо и м(Еоо) == о. Далее, соrласно
леммам 24.1 и 24.2 при любых р < q имеем
qj-t*(Ер,q)
j-t*(g(Ер,q»
pj-t*(Ер,q),
114
rлава 5. Функции оrраниченной вариации
что возможно только при M*(Ep,q) == о. Поскольку множество
точек недифференцируемости функции g( х) на (а, Ь) имеет вид
A==«a,b)\E)UEooU( U Ep,q),
р, q Е Q+: р < q
получаем равенство м(А) == о, т. е. функция g(x) дифференци
руема почти всюду на (а, Ь). Поэтому и функция f(x)==g(x)
x
дифференцируема почти всюду на (а, Ь).
Продолжим функцию f(x) на всю прямую, положив f(x) ==
== f(a) при х < а и f(x) == f(b) при х > Ь. Введем функ
ции рn(х) == n(f( х+*)
f(x») при х Е [а, Ь] и n == 1,2,... Эти
функции неотрицательны и Рn(х)
f'(x) почти всюду на (а, Ь).
Кроме Toro,
L
S Fn(x)djl==R
S Fn(X)dx==n(S f(x+
)dx
S f(X)dX) ==
(а, Ь) а а а
1 1
п(
т f(x)dx + т f(b)dX) <;; f(b)
f(a).
Применив теорему Фату, получим, что f'(x) Е L«a, Ь» и BЫ
полняется оценка (24.5). О
С л е Д с т в и е 24.1. Если функция f(x) Е V([ а, Ь ]), то пo
чти всюду на (а, Ь) существует конечная производ
ная f'(x) Е L «а, Ь».
З а м е ч а н и е 24.2. Пример кривой Кантора на отрез
ке [о, 1] показывает, что в формуле (24.5) неравенство, вообще
rоворя, нельзя заменить на равенство.
25. Абсолютно непрерывные функции на отрезке
Оп р е де л е н и е 25.1. Пусть функция f(x): [а, Ь]
}Rl.
Тоrда будем rоворить, что функция f(x) абсолютно HeпpepЫB
на на [а, Ь] (f(x) Е АС([а, Ь]», если для любоrо Е> О найдется
такое 8 > о, что для любой такой системы непересекающихся
интервалов {(ak, bk)}
==l из отрезка [а, Ь], что
00
L: (bk
ak) < 8,
k == 1
25. Абсолютно непрерывные функции на отрезке 115
выполнено неравенство
00
L: If(bk)
!(ak)1 < Е.
k==l
З а м е ч а н и е 25.1. Очевидно, что если функция f(X)E
ЕАС([а,Ь]), то f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь].
Теорема 25.1. Пусть функции f(x),g(X)EAC([a,b])
аа и{З
некоторыечисла. Тоадааf(х)+{Зg(Х)ЕАС([а,Ь])
и f(x)g(x) Е АС([а, Ь]). Если, вдобавок
функция g(x) не об
1
ращается в нуль на [а, Ь]
то и функция g(x) Е АС([а, Ь]).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство данноrо утвержде
ния фактически не отличается от доказательства теоремы 24.2.
Отметим лишь, что при доказательстве абсолютной непрерыв
1
ности функции g(x) надо использовать тот факт, что, поскольку
функция g( х) не обращается в нуль на [а, Ь] и является непре
рыв ной на этом отрезке, найдется такое С > о, что Ig(x)1 > С
при всех х Е [а, Ь]. о
Т е о р е м а 25.2. Пусть функция f(x) Е АС([ а, Ь ])
а функция g(y) Е АС([а, (З]) и монотонна на этом отрез
Ke
причем g: [а,{З]
[а,Ь]. Тоада композиция f(g(y»Е
Е АС([а, (З]).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать,
что функция g(y) монотонно неубывает на [а, {З]. Пусть за
дано Е > о. Выберем такое 8 > о, что для любой такой си
стемы непересекающихся интервалов {( аn, Ьn)}
== 1 из отрез
ка [а, Ь], что
00
L: (Ьn
аn) < 8,
n==l
выполнено неравенство
00
If(bn)
f(an)1 < Е.
n==l
(25.1 )
Далее, воспользовавшись абсолютной непрерывностью функ
ции g(y), подберем такое т > о, что для любой такой си
стемы непересекающихся интервалов {( ak, (Зk)} 0;== 1 из отрез
ка [а, {З], что
00
L: ({Зk
ak) < т,
k == 1
116
rлава 5. Функции оrраниченной вариации
выполнено неравенство
00
L: Ig(,8k)
g( ak)1 < 8.
k == 1
(25.2)
Отметим, что для любой такой системы все невырожденные ин
тервалы из множества {(g( ak), g(,8k»}
== 1 попарно не пересека
ются. Поэтому (см. оценки (25.1) и (25.2»
00
L: If(g(,8k»
f(g(ak»1 < Е,
k==l
т. е. функция f(g(y» Е АС([ а, ,8]), что и требовалось ДOKa
зать. О
Чуть ниже будет приведен пример, показывающий, что без
условия монотонности функции g(y) теорема 25.2, вообще ro
воря, неверна.
Связь между абсолютно непрерывными функциями и функ
циями оrраниченной вариации проясняется следующим резуль
татом.
Утверждение25.1. Если функция f(X)EAC([a, Ь])
то f(x) Е V([a, Ь]).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем Е == 1 и подберем COOTBeT
ствующее 8 > О из определения абсолютной непрерывности. Дa
лее, выберем натуральное n так, чтобы выполнялось HepaBeHCT
1
во n < 8. Пусть Т == { а == ха < Х1 < . . . < Х,
1 < Х, == Ь }
некоторое
разбиение отрезка [а, Ь]. Добавим к этому разбиению те точки
набора {Yi == а + (Ь
a)i }7==о, которые не входят в Т, и получен
ное разбиение обозначим через Т' == {а == zo < Zl < . . . < zm
1 <
< zm == Ь}. Но тоrда
n
VT(f)
VT(f)
L:
k == 1 УА:
1 < Z,
У/С
n
If(zJ
f(Zi
1)1
1 == N,
k == 1
откуда tt:b (f)
n < 00, что и требовалось доказать. О
З а м е ч а н и е 25.2. Как показывает пример кривой KaH
тора, не всякая функция оrраниченной вариации является абсо
лютно непрерывной.
25. Абсолютно непрерывные функции на отрезке 117
З а м е ч а н и е 25.3. Пусть функция f(x) == v'x при Х Е
Е [О, 1], а непрерывная на отрезке [О, 1] функция g( у) имеет вид
О при Х ==0,
1
О при Х == 2п' n == 1,2, . . .,
g(y)== 1 1
п2 при Х == 2п
l' n == 1, 2, . . .,
линейна на оставшихся интервалах.
Нетрудно показать, что обе эти функции абсолютно непрерывны
(впрочем, это проще вывести из результатов 7едующеrо пара
rрафа), в то время как композиция f(g(y» == g(y) даже не яв
ляется функцией оrраниченной вариации.
Пусть функция f(X)EAC([a, Ь]). Тоrда, соrласно утвержде
ниям 24.1 и 25.1, справедливо представление f(x)==fl(X)
f2(X),
rде функции fl (х) и f2( х) монотонно неубывают на отрез
ке [а, Ь], причем fl(X)== tt:X(f) при ХЕ[а, Ь]. В дальнейшем будет
использовано следующее наблюдение.
у т в е р ж Д е н и е 25.2. Если функция f(x) Е АС([ а, Ь ])
то и функции f1(x), f2(X) Е АС([а, Ь]).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу теоремы 25.1 достаточно
установить абсолютную непрерывность функции fl (х). Пусть
задано Е > о. Подберем соответствующее 8 > О из определения
абсолютной непрерывности функции f (х). Рассмотрим такую
систему непересекающихся интервалов {( ak, bk)} 0;==1 из отрез
ка [а, Ь], что
00
(bk
ak) < 8.
k == 1
Для любоrо k подберем разбиение
== {ak == zo k < Zl k < . . .
. . . < Zn k == bk} отрезка [ak, bk] так, чтобы ' ,
,",'
Vт. (f) >
bk(f)
2
.
k k
Тоrда, поскольку интервалы системы {( Zi
1, k' Zi, k)} o;':'
k, i == 1 по
парно не пересекаются, а сумма их длин не превосходит 8,
имеем
00 00 00
L: If1(bk)
f1(ak)1 ==
tt:bk(fl) < L: Vт. (f) + Е ==
k::::l k==l k k==l"
00 n"
== L:
If(Zi,k)
f(Zi
l,k)1 + Е < 2Е,
k==l i==l
что эквивалентно доказываемому утверждению. О
118
r лава 5. ФУНКЦИИ оrраниченной вариации
Для дальнейшеrо нам понадобится еще одно определение.
Оп р е Д е л е н и е 25.2. Пусть функция f(x): [а, Ь]
}Rl,
а М
классическая мера Лебеrа на прямой. Тоrда будем rOBo
рить, что функция f (х) обладает на [а, Ь] N
CBoйcтBOM Л y
зина, если для любоrо TaKoro измеримоrо множества Е С [а, Ь],
что м(Е) == О множество f(E) также измеримо и jl(f(E» == о.
Полезность введенноrо определения можно продемонстри
ровать следующей теоремой.
т е о р е м а 25.3. Пусть функция f(x) непрерывна
на [а, Ь]. Тоада для тoao
чтобы образ любоао измеримоао
относительно меры jl множества Е
[а, Ь] был измерим oт
носительно той же Mepы
необходимо и достаточно
что
бы функция f(x) обладала N
C80йcтBOM Лузина на отрез
ке [а, Ь].
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, вначале, функция f(x) He
прерывна на [а, Ь] и обладает N
свойством на этом отрезке,
а множество Е
[а, Ь] измеримо относительно классической
меры Лебеrа М. Тоrда, соrласно следствию 9.1,
E
CQ,P.) Up'
rде все множества F,. замкнуты, а М(Р) == о. Но в этом случае
f(E)
CQ, f(F.») U f(P).
В силу непрерывности функции f (х) все множества f (Fk) замк
нуты, а так как f(x) обладает N
свойством, множество f(P)
измеримо. Поэтому измеримо и множество f(E).
Предположим теперь, что для любоrо измеримоrо Е
[а, Ь]
множество f(E) также измеримо. Допустим, что при этом най
дется такое Ео, м(Ео) == о, что jl(f(Eo» > о. Выделим, соrласно
теореме 7.1, неизмеримое множество В С f(Eo), и пусть полный
прообраз множества В в Ео есть f
I(B)nEo==A с Ео. Тоrда А
измеримо, а множество f(A) == В
неизмеримо. Полученное
противоречие доказывает теорему. О
Т е о р е м а 25.4. Если функция f(x) Е АС([а, b])J то она
обладает N
CBoйcтBOM Лузина на отрезке [а, Ь].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество Е с [а, Ь]
и м(Е) ==0. Для заданноrо Е > О подберем 8 > О из определения
25. Абсолютно непрерывные функции на отрезке
119
абсолютной непрерывности. Соrласно следствию 9.1 найдется
открытое множество G ::) Е с мерой м( С) < 8. По теореме 9.2
это множество можно представить в виде
00
G == U (ak, bk).
k==l
Пусть при k == 1,2,... образ f([ak, bk]) == [ck, dk] == [f(xk), f(Yk)]'
Ясно, что при этом интервалы {( min( Xk, Yk)' mах( Xk, Yk»} 0;== 1 по
парно не пересекаются и
00 00
L: IXk
Ykl
L: (bk
ak) == М(С) < 8.
k==l k==l
Но поскольку
00
f(E) r;; U [ck, dk],
k==l
мы имеем
00 00
Jl*(f(E»
L: (dk
Ck)
If(xk)
f(Yk)1 < Е.
k==l k==l
Ввиду произвольности числа Е > О отсюда вытекает,
что Jl*(f(E» == О, что и требовалось доказать. О
Таким образом, абсолютно непрерывные на отрезке функ
ции непрерывны, имеют оrраниченную вариацию и обладают
N
свойством. Оказывается, что справедливо и обратное утверж
дение. Для ero доказательства понадобится один вспомоrатель
ный результат о функциях оrраниченной вариации. Предвари
тельно дадим соответствующее определение.
Оп р е Д е л е н и е 25.3. Пусть функция f(x) непрерывна
на отрезке [а, Ь]. Тоrда ее индикатрисой Банаха называет
ся функция N(y), определенная на отрезке [т, М], rде m ==
== min f(x), а М == тах f(x), и равная числу корней ypaBHe
ХЕ[а,Ь] хЕ[а,Ь]
ния f(x) == У на отрезке [а, Ь] (N(y) может принимать и значе
ние (0).
л е м м а 25.1. Если непрерывная функция f(x)EV([a, Ь])
то индикатриса Банаха N(y) Е L ([ т, М]).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим для произвольноrо Ha
туральноrо n промежутки di == [а + (i
l
b
а) , а + i(b2
а»)
120
r лава 5. Функции оrраниченной вариации
.
1 2 2n 1 d
[ (2n
1 )( Ь
а) ь] П
при 'l
, ,...,
и '-"2n
а + 2n ,. усть mi
== inf f(x) и Mi==supf(x), а wi==Mi
mi. Заметим, что
XE
XE
2"
L: Wi
\'ab(f).
i == 1
(25.3)
Далее, рассмотрим при i == 1,2, . . ., 2n функции
L . (у) == {о, если уравнение f ( х) == у не имеет корней на di,
z 1 , в противном случае.
Иными словами, Li(y) == Х[т;,м;](У). Ясно, что
S L i(y)dJl == S 1 dJl == Wi.
[т, М] [т;> М;]
Определим функцию
2"
Nn(y) ==
LJy).
i==l
Из способа разбиения отрезка [а, Ь] на отрезки di видно,
что Nn (у)
Nn + 1 (у) для любоrо натуральноrо n и для любо
ro у Е [т, М].
Теперь если в некоторой точке у Е [т, М] индикатриса Ба
наха N(y) == k < 00, то для достаточно большоrо n все прооб
разы точки у попадут в разные отрезки di, а потому Nn (у) == k
для n
К == К(у). Если же N(y) == 00, то Nn(y) i 00 при n
00.
Таким образом, последовательность Nn(y) i N(y) на [т, М]. По
скольку (см. (25.3»
2"
S Nn(y)dJl ==
Wi
b(f),
[т,М] i==l
применив следствие 16.1, убеждаемся в справедливости лем
мы. О
Т е о р е м а 25.5 (теорема Банаха
Зарецкоrо). Если
f(x)
непрерывная на отрезке [а, ь] функция оараничен
ной Bapиaции
обладающая N
CBoйcт80M Лузина
то f(x) Е
Е А С ([ а, Ь]).
25. Абсолютно непрерывные функции на отрезке 121
д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что утверждение Te
оремы неверно. Тоrда найдется такое Ее > О, что для любоrо Ha
туральноrо n существует такая система попарно непересекаю
щихся интервалов {di, n == (ai, n' bi, n)}
== 1 из отрезка [а, Ь], что
00 1
(bi,n
ai,n) < 2n'
i == 1
(25.4)
в то время как
00
L: If( bi, n)
f( ai, n)1 > Ео.
i == 1
(25.5)
Положим тi n == inf f(x) и Ц n == sup f(x). При n == 1,2, . . .
, х Е d
n ' Х Е d, n
введем множества .
00
Еn == U di,n
i == 1
и
00 00
А == n U Еn.
r==ln==r
Из условия (25.4) вытекает, что м(А)==О, а тоrда и Jl(f(A»==O.
Как и при доказательстве леммы 25.1, рассмотрим при i ==
== 1, 2, . . . и у Е [т, М] функции
{О, если уравнение f ( х)== у не имеет корней на di, n'
L i, n (у)== 1, в противном случае,
и
00
Nn(y) ==
Li,n(Y).
i == 1
При этом (см. следствие 16.2 и формулу (25.5»
00 00
s Nn(y)dJl==
(Mi,n
mi,n)
If(bi,n)
f(ai,n)I>Eo. (25.6)
[ т, М] i == 1 i == 1
Отметим, что при любом n имеем (см. лемму 25.1) Nn(y)
N(y) Е L ([ т, М]), rде N(y)
индикатриса Банаха функ
ции f(x). Пусть С == {у Е [т, М]: N(y) == оо} и Z == {у Е
Е [т, М]: Nn(y) ft О при n
оо}. Поскольку N(y) Е L ([ т, М]),
имеем м( С) == о.
Пусть у Е Z \ С. Тоrда найдется подпоследователь
ность Nn/c (у)
1 при k == 1, 2, . . . Следовательно, для любоrо k
122
rлава 5. Функции оrраниченной вариации
найдется такое xk Е Еn , что f(Xk} == у. Так как у f{. С, а CTa
/с
ло быть, N (у) < 00, среди точек Xk может быть лишь конечное
число различных. Поэтому по крайней мере одна из них (KOTO
рую мы обозначим через Ха) принадлежит бесконечному числу
множеств из последовательности {Еn/с}
== l' Но тоrда ха Е А, OT
куда у Е f(A). Отсюда имеем Jl(Z)
J-L(f(А» + м( С) == о.
Таким образом, Нт Nn(y) ==0 для почти всех уЕ[а, Ь]. Учи
n......оо
тывая оrраниченность сверху этих функций индикатрисой Бана
ха, по теореме Лебеrа будем иметь
Нт S Nn(y)dM == о,
n......оо [т,М]
что противоречит неравенству (25.6). Отсюда вытекает справед
ливость утверждения теоремы. О
26. Неопределенный интеrрал Лебеrа
Пусть Jl
классическая мера Лебеrа на отрезке [а, Ь],
а функция f(x) Е L(a, Ь). Тоrда определим функцию
F ( х) == S f ( t ) dJl
[а,х]
при Х Е [а, Ь]. Назовем ее неопределенным интеаралом Лебеаа
функции f(x) (естественность TaKoro определения будет ясна
из дальнейших результатов).
Утверждение 26.1. Функция Р(х) Е АС([а, Ь]).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задано Е > о. По теореме
об абсолютной непрерывности интеrрала Лебеrа, найдется Ta
кое 8 > о, что для любоrо измеримоrо множества Е с [а, Ь],
м(Е) < 8, имеем
S If( t )ldJl < Е.
Е
Теперь если {(ak, bk)}
==l
такая система непересекающихся
интервалов отрезка [а, Ь], что
00
L: (bk
ak) < 8,
k==l
26. Неопределенный интеrрал Лебеrа
123
то
,
,IF(b.)
F(a.)1
,
,lla.\.J !(t)dJ.lI <;;
00
S I f ( t ) I dJl ==
k == 1 [а/с, Ь/с]
S
If( t )ldM < Е,
U (а/сl Ь/с)
/c
l
а это и надо было проверить. О
Введем теперь в рассмотрение так называемую максималь
ную функцию. Пусть Р(х)
неопределенный интеrрал Лебеrа
функции f(x) Е L([a, Ь]). Тоrда положим
М(х; f) == lim supl F(x + h)
F(x) I
h......O h
при х Е (а, Ь).
ДЛЯ установления дальнейших результатов нам понадобит
ся одно вспомоrательное утверждение.
Лемма 26.1. Если функция f(x) Е L([a, Ь])
а Р(х)
ее неопределенный интеарал Лебеаа
то при всех .А > О cпpa
ведлива оценка
4
Jl ( Е).) == Jl ( {х Е (а, Ь): М ( х; f) > .А} )
J: 11 f ( х ) 111 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero установим, что MHO
жест во Е).. измеримо. Действительно,
Е).. == U n U {ХЕ(а, Ь): x+hE(a, Ь)
т==l n==l o<lhl<!.
и I F(x+h
F(X) I>.A+
}== u n U E)..,h.
т==1 n==l o<lhl<!.
Так как при всех h и .А функции Ф(х, h) == I F(x + h
F(x) I
непрерывны по х, все множества Е).. h открыты. Поэтому MHO
жество Е).. борелевское, а следовательно, и измеримое. Теперь
заметим, что для любоrо х Е Е).. существует последователь
ность {hm (х)}: == l' сходящаяся к нулю и такая, что Ф( х, hm (х» >
>.А при всех m и х Е (а, Ь). Т оrда совокупность отрезков {[ х
124
rлава 5. Функции оrраниченной вариации
lhm(x)l, х+/hm(Х)/П:==I,ХЕ(а,ь) покрывает множество Ел в CMЫ
сле Витали. Применив следствие 9.2, установим существова
ние TaKoro набора попарно непересекающихся отрезков ([ xi
I hi 1, Xi + I hi I П
==.. что
n 1
I: 21hil > "2J.l(Ел).
i == 1
с друrой стороны,
л . i
l Ih, I
i
1[ж,'
h.1 f( t )dJL I
[.
bllf(t )ldJL'
Из последних двух оценок и вытекает утверждение леммы. О
Отметим, что оценки, аналоrичные только что установле
ной, называются оценками слабоrо типа. В последнее время они
часто используются в различных доказательствах. Примером MO
жет служить следующее утверждение (ero можно было бы YCTa
новить исходя из теоремы о существовании почти всюду произ
водной у монотонной функции на отрезке, но мы дадим более
простое доказательство).
т е о р е м а 26.1. Если функция f(x) Е L ([а, b])J а F(x)
ее неоnределенный интеzрал ЛебеzаJ то для почти всех х Е
Е (а, Ь) существует F'(x) == f(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим соrласно теореме 23.3
последовательность таких непрерывных на отрезке [а, Ь] функ
ций {Ч'i(Х)}
==I' что IIЧ'i(Х)
f(x)lll < l/i4 при i == 1,2,... Опре
делим при i == 1,2, . . . функции
'Фi(Х) == f(x)
Ч'i(Х) И Wi(x) == S If(t)
<Pi(t)ldJ.l.
[а,х]
По лемме 26.1 имеем
J.l ( А J = J.l ( { х Е (а, Ь): М (Х, 'ФJ > .12})
-} .
==
.
Применяя неравенство Чебышева, получим
J.l (BJ = J.l ( { Х Е (а, Ь): I 'Ф i ( х) I > i12})
1 i
== i12'
I
26. Неопределенный интеrрал Лебеrа
125
Теперь определим множество
00 00
Q == n U (Ai U BJ
k==l i==k
и положим Е == (а, Ь) \ Q. Тоrда, поскольку для каждоrо k > 1
имеем
(00 ) 00 00 5 5
р( Q)
J.l i
k (Ai U BJ
i
k (J.l(AJ + J.l(BJ)
iE i2
k
l'
мера J.l(Q) == О. Пусть хЕЕ. Тоrда найдется такое i == i(x),
что х f/: А j U Bj при j > i.
Пусть задано с > О. Фиксируем некоторое k > тах (i,
)
и затем, учитывая непрерывность функции 'Pk (х), подберем 8 >
> о так, чтобы
1* s 'Pk(t)dJ.l
'Pk(X)1 < с
[x,x+h]
и чтобы
IФk(Х+h)
Фk(Х)1
h " k2
при 0< Ihl < 8. Тоrда при 0< Ihl < 8 будем иметь
1* s f(t)dJ.l
f(X)1
1* s (f(t)
'Pk(t»dJ.ll+
[x,x+h] [x,x+h]
+If(x)
'Pk(x)1 + 1* s 'Pk(t)dJ.l
'Pk(X)1 < :2 +
+ с < 4с,
[x,x+h] k
а отсюда сразу вытекает доказываемое утверждение. О
Верен и обратный результат.
Т е о р е м а 26.2. Пусть функция F(X)EAC([a, Ь]). Tozaa
почти всюду на (а, Ь) существует nроизводная F'(x)==f(x)E
Е L([a, Ь]) и F(x) == S f(t)dJ.l + F(a) при х Е [а, Ь].
[а, х]
Д О К а з а т е л ь с т в о. Поскольку, как было установлено
в утверждении 25.2, любую функцию F(x) Е АС([а, Ь]) мож
но представить в виде разности двух монотонно неубывающих
126
rлава 5. Функции оrраниченной вариации
на [а, Ь] абсолютно непрерывных функций, теорему достаточ
но доказать для монотонно неубывающей Р( t). В этом слу
чае определим на полукольце интервалов ([с, d)
[а, Ь)} Me
ру т([е, d» == F(d)
Р(е) (см.
4) и продолжим ее по Ле
беrу. Получим некоторую меру v, заданную на а
алrебре MII.
Пусть классическая мера Лебеrа J.l задана на а
алrебре MIJ под
множеств [а, Ь). Тоrда на а
алrебре М == MIJ n MII заданы две
меры
J.l и v. Предположим, что множество Е ЕМ и р(Е) ==0.
Пусть задано некоторое с > О и мы подобрали соответствую
щее Б > О из определения абсолютной непрерывности функ
ции Р(х). Тоrда множество Е можно покрыть счетным числом
полуинтервалов ([ ai, bi)}
l' для которых
00 00
I: J.l([ai, bJ) == I:(bi
aJ < Б.
i==l i==l
Можно считать (см. утверждение 3.1), что эти промежутки по
парно не пересекаются. Учитывая, что функция Р(х) MOHOTOH
на, будем иметь
00 00
I: v([ ai, bJ) == I: (F(bJ
F(aJ) < с.
i==l i==l
Это означает, что v(E) ==0, т. е. мера v абсолютно непрерывна
относительно меры р. По теореме Радона
Никодима найдется
функция f(x), интеrрируемая по Лебеrу на полуинтервале [а, Ь)
относительно меры J.l и такая, что для каждоrо множества Е Е М
имеем
v(E) == S f( х )dJ.l.
Е
в частности,
v([a, х» == Р(х)
Р(а) == S f(x)dJ.l == S f(x)dJ.l
[а, х) [а, х]
при а
х < Ь. По непрерывности то же равенство справедливо
и для х == Ь. Наконец, по теореме 26.1 почти всюду на [а, Ь] имеет
место равенство Р'(х) == f(x). Тем самым, теорема полностью
доказана. О
Теорема 26.1 позволяет установить одно любопытное свой
ство измеримых множеств на прямой. Предварительно дадим
определение.
26. Неопределенный интеrрал Лебеrа
127
О п р е Д е л е н и е 26.1. Пусть Е
измеримое относитель
но классической меры Лебеrа подмножество прямой }RI и точ
ка х Е }RI. Тоrда будем rоворить, что х
точка плотности
множества Е, если существует предел
Нт J.t([ х
h, х + h] n Е) == 1.
h ---+ 0+ 2h
с л е Д с т в и е 26.1. Почти все точки измериМО20 множе
ства на прямой являются ezo точками плотности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно рассмотреть случай,
коrда измеримое множество Е
[а, Ь]. Определим при х Е [а, Ь]
функцию
F ( х) == S Х Е ( t ) dJ.l.
[а, х]
Тоrда по теореме 26.1 почти всюду на [а, Ь] имеем F'(x) ==
== ХЕ(х), откуда ясно, что для почти всех х Е Е выполнено pa
венство F'(x) == 1. Но в любой такой точке х имеем
1
1. F(x+h)
F(x
h)
1. J.t([x
h,x+h]nE)
1т 2h
1т 2h '
h---++O h---++O
а это и требовалось установить. О
Теоремы 26.1 и 26.2 дают эквивалентное описание класса
абсолютно непрерывных функций как класса неопределенных
интеrралов Лебеrа. Теперь мы установим теоремы об интеrри
ровании по частям и о замене переменной в интеrрале Лебеrа.
Т е о р е м а 26.3 (теорема об интеrрировании по час
тям). Пусть функции Р(х), С(х) Е АС([а, Ь]). Tozaa выnол
няется равенство
S F(x)G'(x)dJ.l == F(b)G(b)
F(a)G(a)
S G(x)F'(x)dJ.l.
[а, Ь] [а, Ь]
Д о к а з а т е л ь с т в о. Соrласно теореме 25.1 функция
F(x)G(x) Е АС([а, Ь]). Тоrда по теореме 26.2 имеем
F(b)G(b)
F(a)G(a) == S (F(x)G(x»'dJ.l.
[а, Ь]
Для завершения доказательства остается только заметить, что
(F(x)G(x»' == F(x)G'(x) + F'(x)G(x). О
128
rлава 5. ФУНКЦИИ оrраниченной вариации
Т е о р е м а 26.4 (теорема о замене переменной). Пусть
функция f(x) Е L«a, b»J а функция С(у) Е АС([е, d]) MOHO
тонна на отрезке [с, d]J С(е) == а и G(d) == Ь. Tozaa Функ
ция f(G(y»G'(y) Е L «с, d» и имеет место равенство
S f(x)dJ.l == S f(G(y»G'(y)dJ.l.
[а, Ь] [с, d]
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала дадим независимое доказа
тельство для случая, коrда и обратная функция G
l (х) абсолют
но непрерывна на [а, Ь]. Введем функцию
Р(х)== S f(t)dJ.lEAC([a,b]).
[а,х]
Соrласно теореме 25.2 функция Н(у) == Р( G(y» Е АС([с, d]).
Тоrда по теореме 26.2 имеем Н'(у) Е L ([с, d]) и
S f(x)dJ.l == Р(Ь)
Р(а) == H(d)
Н(с) == S H'(y)dJ.l.
[а,Ь] [c,d]
Далее, заметим, что если А
это множество таких точек
отрезка [а, Ь], что либо Р'(х) не существует, либо Р'(х) =1=
=1= f(x), то в силу абсолютной непрерывности функции G
l(x)
имеем Jl(G
l(A» ==0. Тоrда почти всюду на [с, d] выполняется
равенство
Н'(у) == Р'( С(у»С'(у) == f( С(у»С'(у),
и в этом случае теорема полностью установлена.
Теперь рассмотрим общую ситуацию. Пусть 8
полуколь
цо промежутков отрезка [а, Ь] и Е == [а', Ь'] == [G( а), С(,В)] Е 8.
Тоrда
S ХЕ(х) dJ.l == р(Е) == С(,В)
G(a) ==
[а, Ь]
== S С'(у) dJ.l == S XE(G(y»G'(y) dJ.l, (26.1)
[а, /3] [с, d]
т. е. для функции Х Е (х) утверждение теоремы справедливо.
В силу линейности интеrрала Лебеrа формула (26.1) остается
справедливой и для характеристической функции произвольно
ro множества Е Е R(8).
26. Неопределенный интеrрал Лебеrа
129
Теперь предположим, что задана некоторая последователь
ность измеримых подмножеств отрезка [а, Ь]: Еl
Е2
. . . и Е ==
00
== U Ei, причем для функций ХЕ (х) при i == 1,2,... верно
i == 1 .
равенство (26.1) (здесь, разумеется, предполаrается и сущест
вование интеrрала Лебеrа в правой части указанноrо paBeHCT
ва). Тоrда, поскольку ХЕ.(С(У»С'(У) i ХЕ(С(У»С'(У) на [а, Ь],
по теореме Б. Леви формула (26.1) верна и для функции ХЕ(Х).
Аналоrичное утвер)Кдение справедливо и для характеристиче
00
ской функции множества Е == n Ei, если Ei, i == 1, 2, . ..
i == 1
измеримые подмножества отрезка [а, Ь], ЕI 2 Е2 2 . . . и форму
ла (26.1) верна для каждой функции ХЕ.(х).
Соrласно теореме 9.1, если множество Е
[а, Ь] измеримо
по Лебеrу, то
00 00
Е == n U Ei, j \ Ео =- F (Е) \ Ео,
i==lj==l
rде все Ei,j Е R(8), дЛЯ любоrо фиксированноrо i выполнены
00
условия Ei, 1
Ei, 2
. .. и если Ei == U Ei, j' то ЕI 2 Е2 2 . . .
j==l
. .., а р(Ео) == О. При этом можно считать, что Ео с Р(Е).
По доказанному выше для характеристической функции MHO
жества Р(Е) формула (26.1) верна. Теперь предположим,
что Е
произвольное измеримое множество с р(Е) ==0. Тоrда
и р(Р(Е» == О. Поскольку XF(E)( С(у»С'(у)
о для всех у и
S XF(E)( С(у»С'(у) dJ.l == О,
[с, d]
нетрудно видеть, что XF(E
G(y»G'(y)==O почти всюду на [с, d].
Но в этом случае и хЕ(и(у»с'(у)==0 почти всюду на [c,d],
откуда в силу полноты классической меры Лебеrа вытекает,
что эта функция измерима на [с, d] и для нее выполняется paBeH
ство (26.1). Если теперь рассмотреть произвольное измеримое
множество Е
[а, Ь], то, так как формула (26.1) верна для функ
ций XF(E)(X) И ХЕо(Х),
S ХЕ(х) dJ.l == S XF(E)(X) dJ.l ==
[а, Ь] [а, Ь)
== S XF(E)(G(y»G'(y) dJ.l == S XF(E)(G(y»G'(y) dJ.l
0==
[с, d) (с, d)
iЗО
rлава 5. Функции ОI'раниченнои вариации
== S XF(E)(G(y»G'(y) dJ.L
S ХЕо(С(у»С'(у) dJ.L ==
[c:,d] [c:,d]
== S ХЕ( С(у»С'(у) dJ.L,
[с, d]
Т е. и в этом случае верно равенство (26.1).
Снова пользуясь линейностью интеrрала Лебеrа, получа
ем, что утверждение теоремы выполнено для любой простой
функции. Пусть f (х)
неотрицательная измеримая на [а, Ь]
функция. Построим последовательность простых неотрицатель
ных функций fn(x) i f(x) при n
00 на [а, Ь]. Тоrда, так
как f1
(G(y»G'(y) i f(G(y»G'(y), по теореме Б. Леви имеем
S f ( х) dJ.L == Нт S fn (х) dJ.l ==-
[а,Ь] n......ОО[а,Ь]
== Нт S fn(G(y»G'(y)dJ.l== S
(G(у))G'(у)dJ.l. (26.2)
n ---+ 00 (с, d] [с, d]
Если же произвольная функция f(x) Е L ([ а, Ь ]), то, пред
ставляя f(x) в виде разности двух неотрицательных функций
из L ([ а, Ь]) и полк.уясь равенством (26.2), установим справед
:IИвость теоремы 26.4 в общем случае, О
27. Интеrралы Римана
Стилтьеса
и Лебеrа
Стилтьеса
Оп р е Д е л е н и е 27.1. Пусть функции f(z)
g(x): [а, Ь]
}R 1. Для произвольноrо разбиения отрезка Т == {а == ха <
< Х1 < . . . < хn
1 < ХN == Ь} с отмеченными точками
i Е [xi
. 1, Xi]
при i == 1, 2, . . ., n построим интеrральную сумму
n
8g(f; Т) == I: f(
i)(g(Xi)
g(Xi
l»'
i == 1
Если существует конечный предел
Нт 8g(f; Т) == 1,
л(Т)......о
rде параметр разбиения л (Т) ==- т
x (xi
xi
1)' ТО число 1 Ha
1
1
1
зывается интеzралом Римана
Стилтьеса от а до Ь функ
ции f (х) по функции g( х) и обозначается
Ь
1 == R
S
S J(x)dg(x).
а
27. Интеrралы Римана
Стилтьеса и Лебеrа
Стилтьеса 131
в тех случаях, коrда это не может привести к путанице,
буквы (R
S) перед интеrралом будем опускать.
Ясно, что классический интеrрал Римана есть частныЙ слу
чай интеrрала Римана
Стилтьеса, коrда функция g(x) == х.
Далее, из определения очевидно, что интеrрал Римана
Стилтьеса линеен как по функции f(x), так и по функции g(x),
точнее, если а, {3 E}Rl И существуют интеrралы
ь
S fl(x) dg(x) и
ь
S f2(X) dg(x),
а
а
то существует и интеrрал
ь ь ь
S(afl(x) + {зf2(х» dg(x) == а S f](x) dg(x) + {3 S f2(X) dg(x),
а
а.
а
а если существуют интеrралы
ь
S f ( х) dgl ( х) и
ь
S f(x) dg2(x),
а
а
то существует и интеrрал
ь ь ь
S f(x) d(agl(x) + {3g2(X» == а S f(x) dgl(x) + {3 S f(x) dg2(x).
а
а
а
у т в е р ж Д е н и е 27.1. Если существует интеzрал
ь
S f(x) dg(x)
а
и а < с < Ь J то существуют и интеzралы
с Ь
S f(x) dg(x) и S f(x) dg(x),
а
причем
ь с Ь
S f(x) dg(x) == S f(x) dg(x) + S f(x) dg2(x).
(27.1 )
а
а
с
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задано с > О. По условию cy
ществует такое Б > О, что для любых двух таких разбиений т;
132
rлава 5. Функции оrраниченной вариации
и 1; отрезка [а, Ь] с отмеченными точками, что л (
), л ( 1;) <
< Б, выполнено неравенство 18g(f;
)
8g(/; 1;)1 < с. Теперь
если
(1) и 1;( 1)
два разбиения отрезка [а, с] С отмечен
ными точками и л (
( 1 », л ( 1;( 1 » < Б, то дополним ИХ одними
и теми же точками до разбиений
и 1; отрезка [а, Ь] так, чтобы
выполнялась оценка л(
), л(1;) < Б. В этом случае
18g(f;
(1»
8g(f; 1;(1»1 == 18g(f;
)
8g(f; 1;)1 < с.
Применяя критерий Коши, получим, что существует
с
Нт 8g(f; Т(l» == (R
8) S f(x)dg(x).
>'(T(l» ---+ О а
Существование интеrрала по отрезку [с, Ь] устанавливается co
вершенно аналоrично, а равенство (27.1) очевидно. О
Интересно, что обратное утверждение неверно.
3 а м е ч а н и е 27.1. Если взять функции
f(x)
{
при
1
х
О,
при О < х
1
и
g(x) == {О при
1
х < О,
1 при О
х
1,
то, как нетрудно видеть, существуют интеrралы
о 1
S f ( х) dg ( х) == S f ( х) dg ( х) == О,
l О
в то время как интеrрал
I
S f(x) dg(x)
l
не существует.
Следующая теорема выражает одно любопытное свойство
интеrрала Римана
Стилтьеса.
Т е о р е м а 27.1 (формула интеrрирования по частям).
Если существует интеzрал
ь
S g(x) df(x),
а
27. Интеrралы Римана
Стилтьеса и Лебеrа
Стилтьеса 133
то существует и интеzрал
ь
S f(x) dg(x),
а
причем
ь ь
S f(x) dg(x) == f(b)g(b)
f(a)g(a)
S g(x) df(x).
а
а
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Т == { а == хо < Х1 <. . . < хn
1 <
< хn == Ь}
разбиение отрезка [а, Ь] с отмеченными точка
ми
i Е [Xi
17 xi] при i == 1,2,..., n. Тоrда имеем
n
8у(!, Т) == I: f(
J(g(xJ
g(Xi
I» ==
i==l
n
1
==
I: g(xJ(f(
i+l)
f(
i» + f(
n)g(Xn)
f(
I)g(Xo) ==
i == 1
f(b)g(b)
f(a)g(a)
[g(a)(f(€l)
f(a»+
+ :
: g(X.)(f(€'+l)
Щ,» + g(b)(f(b)
f(€n»],
Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть не что
иное, как 8f(g, Т'), rде Т'=={а
l
2
...
n
l
n
Ь}
разбиение отрезка [а, Ь] с отмеченными точками xi Е [
i'
i + 1]
при i == 0,1,..., n, rде формально возьмем
O == а и
n+l == Ь.
Ясно, что). (Т')
2), (Т)
4), (Т'). Поэтому существует
Нт 8g(f; Т) == f(b)g(b)
f(a)g(a)
Нт 8f(g; Т) ==
л(Т)---+О л(Т')---+О
ь
== f(b)g(b)
f(a)g(a)
S g(x)df(x),
а
что и требовалось доказать. О
Установим одно достаточное условие существования ИНТе
rрала Римана
Стилтьеса, обобщающее соответствующее усло
вие для интеrрала Римана.
т е о р е м а 27.2. Пусть функция f(x) непрерывна на oт
резке [а, b]J а g(x) Е V([a, Ь]). Tozaa существует интеzрал
ь
1 == S f ( х) dg ( х),
а
134
rлава 5. Функции оrраниченной вариации
причем
11/
тах If(x)lV:b(g).
ХЕ[а, Ь]
(27.2)
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задано с > О. Пользуясь paB
номерной непрерывностью функции f (х) на отрезке [а, Ь], под
берем Б > О так, чтобы при Х, у Е [а, Ь] и I Х
у I < Б выполнялось
неравенство
If(x)
f(y)1 < 2(Vab(:) + 1)'
Пусть
и т'z
два такие разбиения отрезка [а, Ь] с отмеченны
ми точками, что л (
), л (Т'z) < Б. Объединяя точки разбиений
и Т'z, составим разбиение Т и произвольным образом выберем
для Hero отмеченные точки. Пусть
== { а == хо < х. < . . . < хn
1 <
< хn == Ь}. Тоrда
Т == { хо == х. о < х. . < . . . < Х1 k == х. ==
о <
. < . . . < ХN k == Ь }.
" , 1 " , n
При этом
IS.(j; Т)
S.<J, 1;)1
li
l f(€.)(g(x.)
g(xH»
n
I
iJ;. k2;. f(
i,k)(g(Xi,k)
g(Xi,k
.» ==
li
l .t,(f(€.)
f(€i,.»(g(x,.)
9(Xi,'
1»1
n k.
ax If(
J
f(
i,k)1 I: t Ig(Xi,k)
g(Xi,k
.)1
k i
lk
1
с уЬ()
" 2(Vab(g) + 1) а 9 "2.
Поскольку такая же оценка справедлива и для I Sg(f, Т)
Sg(f, Т'z)I, получаем отсюда, что ISgCf, Т)
SgCf, Т'z)1
с.
Применяя критерий Коши, убеждаемся в существовании ин
теrрала. Поскольку, очевидно, для любоrо разбиения Т
имеем ISg(f, T)I
тах If(x)lV:b(g), справедливо и HepaBeHCT
Х Е [а, Ь]
во (27.2). Теорема установлена. О
Теперь дадим определение интеrрала Лебеrа
Стилтьеса.
Пусть функция g(x) Е V([a, Ь]). Представим ее в виде разности
27. Интеrралы Римана
Стилтьеса и Лебеrа
Стилтьеса 135
двух неубывающих функций: g(x) == g.(x)
g2(X), rде g.(x) ==
== V:X(g). Переопределим в случае необходимости функции g. (х)
и g2( х) в точках разрыва так, чтобы они стали непрерывны сле
ва на интервале (а, Ь). Тоrда соrласно результатам
4 каждая
из этих функций порождает измеримое пространство с мерой
Лебеrа
Стилтьеса
([а, Ь], М., v.) и ([а, Ь], М2, v2) COOTBeT
ственно. Отметим, что обе эти меры определены на а
алrеб
ре М == М. n М2. Определим заряд v == v.
v2.
Определение 27.2. Пусть функция J(x) измерима
на пространстве ([а, Ь], М, v). Тоrда назовем ее иHтe2pиpye
мой ПО Лебе2у
Стилтьесу относительно заряда v (J(x) Е
Е LS([a, Ь], v» в том случае, коrда одновременно f(x) Е
Е L ([ а, Ь], v.) и J(x) Е L ([ а, Ь], v2). Если эти условия выполнены,
то положим
L
S
S J(x) dv == L
S J(x) dv.
L
S J(x) dv2.
[а, Ь] [а, Ь] [а, Ь]
Из определения ясно, что свойства интеrралов Лебеrа
Стилтьеса определяются свойствами интеrрала Лебеrа.
Совершенно аналоrично, используя понятие меры Лебеrа
Стилтьеса для }Rn, n > 1, можно и для этоrо случая опреде
лить интеrрал Лебеrа
Стилтьеса. Подробное изложение этой
теории можно найти в книrе [. П. Толстова [13].
rЛАВА 6
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
28. fильбертово пространство
о п р е Д е л е н и е 28.1. Пусть L
линейное пространст
во над С. Тоrда оно называется евклидовым, если задано такое
отображение (., .)
С, что:
1) (л х + J.l у, z) == л (х, z) + J.l (у, z) для всех х, у, z Е L и Л, J.l Е
ЕС;
2) (х, у) == (у, х) для всех х, у Е L;
3) (х,х)
действительное неотрицательное число, при
чем (х, х) == о тоrда и только тоrда, коrда х == О.
Это отображение называется скалярным произведением.
Аналоrично определяется и евклидово пространство над по
лем IR. Естественно, в этом случае в правой части условия 2) нет
знака сопряжения. В дальнейшем будут рассматриваться только
комплексные евклидовы пространства, так как в действительном
случае доказательства лишь упрощаются.
Примером евклидова пространства может служить L2(E)
со скалярным произведением
(!, g) == S f(x)g(x) dJ.l.
Е
В частности, евклидовым будет пространство l2'
Проверим, что в любом евклидовом пространстве можно
естественным образом ввести норму (см.
22). Введем при х Е
Е L функцию Ilxll == J(x, х). При этом требования 1 и 2 опре
деления 22.1, очевидно, выполняются.
28. rильбертово пространство
137
т е о р е м а 28.1 (неравенство Коши
Буняковскоrо). Для
любых х, у Е L имеем I(x, у)1
Ilxllllyll.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если (х, у) ==0, то утверждение оче
видно. В противном случае положим (х, у) == ре ia, r де р Е (О, 00)
и О
Q < 2п. Пусть z == e
iax. Тоrда Ilzll == IIxll. Для любоrо дей
ствительноrо t имеем
О
Ilz+ tyl12 == (z+ ty, z+ ty)== (z, z)+ t(z, у)+ t(y, z)+ t2(y, у).
По определению z имеем
(z, у) == e
ia(x, у) == р == eia(x, у) == eia(y, х) == (у, z).
Поэтому при всех t
t2(y, у) + 2t(y, z) + (z, z)
О.
Отсюда дискриминант данноrо квадратноrо трехчлена
(z, у)2
IIz1l211y112 == '(х, y)12
IIx11211y112
О,
и теорема доказана. О
С л е Д с т в и е 28.1. Функция 11.11 является нормой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно проверить неравенство
треуrольника. Для любых х, у Е L имеем
Ilx + yl12 == (х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у)
IIxl12 + 211xllllyll + lIyll2 == (11xll + lIyll)2,
что и требовалось доказать. О
3 а м е ч а н и е 28.1. Непосредственно проверяется, что
для любых элементов х, у евклидова пространства выполняет
ся тождество параллелоrрамма
Ilx + yl12 + Ilx
yl12 == 2(llx112 + I!YI12).
О пр е Д е л е н и е 28.2. Если евклидово пространство бес
конечномерно и полно относительно введенной нормы, то оно
называется 2ильбертовым.
Отметим, что по теореме 23.1 пространство L2(E) является
rильбертовым.
138 rлава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
о п р е Д е л е н и е 28.3. Пусть L
полное линейное HOp
мированное пространство и L 1
ero линейное подпространст
во. Если для любой сходящейся в L последовательности {хn}
== 1
элементов L 1 ее предел х Е L l' то подпространство L 1 называ
ется замкнутым.
Т е о р е м а 28.2. Пусть Н
сильбертово npocтpaHcт
во, L
замкнутое nодnространство Н и х Е H\L. ТОсда cy
ществует единственный такой элемент у Е L, что р( х, L ) ==
== inf IIx
zll==llx
yll.
ZEL
Д о К а 3 а т е л ь с т в о. Пусть последовательность У ==
== {Уn} :' == 1 элементов L такова, что
Нт Ilx
ynll == р(х, L).
n
oo
Соrласно замечанию 28.1
Ilyn
Yml12 == 211х
ynll2 + 211х
Yml12
112x
уn
Yml12 ==
== 211 х
уn" 2 + 2" х
Ут 112
411 х
Уn ; Ут 112
211х
ynll2 + 211х
Ymll2
4(р(х, L »)2.
Поскольку правая часть данноrо неравенства мала при боль
ших n и т, последовательность У фундаментальна. Пусть у ==
== Нт Уn' В силу замкнутости L элемент у Е L. Так как норма
n
oo
непрерывная функция (см. неравенство треуrольника), имеем
Ilx
yll == Нт Ilx
ynll == р(х, L).
n
oo
Теперь установим единственность. Предположим, что для HeKO
Toporo z Е L норма Ilz
xll == р(х, L). Тоrда по замечанию 28.1
IIz
уll2 == 211х
yll2 + 211х
zl12
411х
y;z 112
4(Р(Х, L») 2
4(р(х, L »)2 == О,
а это и нужно было установить. О
Т е о р е м а 28.3. Пусть Н
сильбертово npocтpaHcт
ВО, L
замкнутое подпространство пространства Н (L =1=
=1= Н) и L 1. == {у Е Н: (х, у) == о при всех х Е L}. ТОсда Н ==
== L ElЭ L 1.' т. е. для лю60сО х Е Н существует единственное
разложение х == у + z, еде у Е L и z Е L 1. .
29. Ортонормированные системы в rильбертовых пространствах 139
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что L nL
== {О}.
Действительно, если х Е L n L
, то (х, х) == О, откуда х == О. По
этому если разложение существует, то оно единственно.
Пусть х Е Н. Если х Е L, то полаrаем у == х и z == О. в про
тивном случае по теореме 28.2 найдем такое у Е L , что 11 х
у 11 ==
== р(х, L). Положим z == x
у. Докажем, что z Е L.L' Пусть 8 Е L.
Тоrда функция действительноrо переменноrо f(t)== IIx
y
t8112
имеет минимум при t == О, а так как эта функция
квадратный
трехчлен, то она дифференцируема по t и
f'(O) == (z, 8) + (8, z) == 2 Re(8, z) == О.
Рассматривая вместо 8 элемент i8 Е L , получим из аналоrичных
соображений, что
0== Re(i8, z) == Re i(8, z) ==
Im(8, z).
Таким образом, (8, z) == О, т. е. z Е L
, что и требовалось ДOKa
зать. О
29. Ортонормированные системы
в rильбертовых пространствах
о п р е Д е л е н и е 29.1. Пусть Н
евклидово пространст
во и система {ео:} о: Е А С Н, rде А
некоторый набор индексов.
Тоrда эта система называется ортонормированной, если
(е е) == {О при а =1= fЗ,
о: , {3 1 при а == fЗ.
Оп р е Д е л е н и е 29.2. Пусть Н
евклидово пространст
во и система {ео:} о: Е А С Н. Тоrда эта система называется линей
но независимой, если любая ее конечная подсистема линейно
независима.
у т в е р ж Д е н и е 29.1. Если система ортонормирована,
то она линейно независима.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что это не так. Тоrда
существуют такие элементы ео: , . . ., ео: Е Н и такие OДHOBpeMeH
но не равные нулю числа fЗ1, .
., fЗn Е С, что
fЗI ео: +... + fЗnео: == О.
I n
(29.1 )
140 rлава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
Пусть для определенности (ЗI #- О. Тоrда, домножая скалярно обе
части равенства (29.1) на ео: получим, что {ЗI == О. Данное про
1
тиворечие доказывает утверждение. О
В дальнейшем мы оrраничимся рассмотрением счетных op
тономированных систем.
т е о р е м а 29.1 (процесс ортоrонализации rильберта
Шмидта). Пусть Н
евклидово npocmpaHcmBoJ и пусть
{fn}
== 1 С Н
линейно независимая последовательность.
ТОсда существует такая ортонормированная система
{en}
==l С Н, что для любосо k подпространства
u Ek'
nредставляющие собой линейные оболочки множеств {fn}
== 1
и {en}
== 1 соответственно, совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверим утверждение по индук
ции. Поскольку все fi =1= О (иначе система была бы линейно за
висима), можно определить
/1
еl
11/111'
Очевидно, что (el, el) == 1 и ЕI ==
. Пусть уже построены эле
менты ер..., ek
J7 удовлетворяющие условию теоремы. Тоrда
положим
,
ek
ek == Ile
11 '
k
1
rде e
== fk
L: (fk' еn)еn.
n==1
Проверим предположение индукции. При n == 1,2, . . ., k
1
имеем (e
, еn) == (fk, еn)
(fk' еn) == О, откуда (ek, еn) == О. Далее,
очевидно, что (ek, ek) == 1 и что fk Е Ek' Тоrда
Ek' Кроме
Toro, по предположению индукции
k
1
L: (fk, еn)еn Е Fk
l7
n==l
а потому ek Е
и Ek
. Теорема доказана. О
т е о р е м а 29.2 (неравенство Бесселя). Пусть Н
eвK
лидово пространство и Е == {en}
== 1
ортонормированная
система в Н. ТОсда для любосо х Е Н справедливо HepaBeH
ство
00
L: I(x, en)12
(х, х) == IIxij2.
n == 1
29. Ортонормированные системы в rильбертовых пространствах 141
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем некоторое N и обозна
чим через L N линейную оболочку векторов el,..., eN. По Teo
реме 28.3 Н == L N ffi (L N )1.' откуда
N
Х == L: Qkek + у,
k==1
rде (у, ej) == О при j == 1, ..., N. Умножая скалярно обе части
последнеrо равенства на ek (k == 1, 2, . . ., N), получим, что Qk ==
== (х, ek). Далее,
(х, х)
(.
, а.е. + у, .
, а.е. + у)
N N N
== L: QkQj(ek, ej) + (у, у) == L: lakl2 + (у, у)
L: '(х, ek)12.
k,j==1 k==1 k==1
Ввиду произвольности lV отсюда вытекает требуемое HepaBeH
ство. О
Числа (х, еn) при n == 1, 2, . . . называются коэффициентами
Фурье элемента х по ортонормированной системе Е.
С л е Д с т в и е 29.1. Пусть Н
евклидово пространство
и {еn}:'==l
ортонормированная система в Н. ТОсда для лю
босо х Е Н последовательность {(х, en)}
==l Е
(см. Э 22).
Т е о р е м а 29.3 (теорема Рисса
Фишера). Пусть Н
сильбертово пространство, {en}
==1
ортонормированная
система в Н и задана последовательность комплексных чи
сел {Сп}:' == 1 Е
. ТОсда существует такое х Е Н, что СП ==
== (х, еn) при n == 1, 2, . .. и
IIx
nt, Cnenll
о
при k
00.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
k
fk == L: сnеn
n==1
при k == 1,2, . . . Тоrда для любоrо натуральноrо m имеем
!!fk + щ
fk 112 == 'l'l.kft сп еn 1,12 == ktm !C,.l2
О
11.,..k+1 :, n==k+l
112 rлава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
при k
00. Следовательно, fk
х В Н при k
00. Далее,
для любоrо n и для любоrо k > n имеем
'(х, en)
cnl == I(x, en)
(fk' en)1
Ilx
fkllllenll == Ilx
fkll. (29.2)
Так как правая часть неравенства не зависит от n и стремится
к О при k
00, отсюда (х, еn) == Сп' что и требовалось доказать. О
Аналоrично равенству (29.2) проверяется справедливость
следующеrо утверждения.
у т в е р ж Д е н и е 29.2. Если {еn}:'== 1
opтOHopMиpOBaH
ная система в силь6ертовом пространстве Н и
00
х == l: akek,
k==1
еде равенство nонuмается в смысле нормы пространства Н,
то (х, ел) == аn при всех n.
Оп р е Д е л е н и е 29.3. Линейное нормированное про
странство называется сеnара6ельным в том случае, коrда в нем
существует счетное всюду плотное множество.
Заметим, что из доказанной ранее теоремы 23.3 следует ce
парабельность пространств L р([ а, Ь]) при 1
р < 00. Очевидно
также, что сепарабельны пространства lp при 1
р < 00. в то же
время несложно показать, что пространства L 00([ а, Ь]) иlоо Hece
парабельны.
Оп р е Д е л е н и е 29.4. Пусть Н
rильбертово простран
ство и {еn}:'== 1
линейно независимая система в Н. Тоrда
эта система называется 6азисом в том случае, коrда для лю
боrо х Е Н можно единственным образом подобрать такие KOM
плексные числа {сп}
== l' что
00
х == l: сп еn ,
n == 1
rде равенство понимается в смысле нормы пространства Н.
Т е о р е м а 29.4. Пусть Н
сепара6ельное силь6ертово
пространство. ТОсда в Н существует ортонормированный
базис.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х == {Хn}
== 1
всюду плот
ное множество в Н. Последовательно удалим из Hero линейно
э 29. Ортонормированные системы в rильбертовых пространствах 143
зависимые элементы. Для простоты будем считать, чтс исхr,,':.'
ная система линейно независима. Отметим, что замыкание ли
нейной оболочки элементов Х совпадает с Н. Применим к )'.
процесс ортоrонализации rильберта
Шмидта. Получим такую
ортонормированную систему Е == { еn}
== l' что замыкание линей
ной оболочки элементов Е совпадает с Н. Докажем, что Е
базис. Пусть х Е Н. Тоrда, соrласно неравенству Бесселя, по
следовательность {(х, еn)}:'==1 Е
. По теореме Рисса
Фишера
найдется элемент rильбертова пространства
00
у == L: (х, e,Jen.
n==1
Соrласно утверждению 29.2 (х
у, (;n) == О при всех n. Предпо
ложим, что z == х
у#- О. Тоrда подберем такой элемент вида
N
Р == L: аnеn,
n == 1
что Ilz
PII <
llzll. ТОJ'да (z, Р) == (х
у, Р) == о и
IIZl12 == (z, z) == (z, z
Р)
IIZIIIIZ
PII <
llzI12.
Полученное противоречие показывает, что z == О. Единствен
ность представления вытекает из утверждения 29.2. О
С л е Д с т в и е 29.2 (равенство Парсеваля). Если {еn} :''=1
ортонормированный базис в силь6ертовом пространстве Н,
то для каждосо х Е Н имеет место равенство
00
IIxl12 == I: I(x, en)12.
n"" 1
д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначая
k
== L: (х, еn)еn
n==1
при k == 1,2, . . . и используя неравенство Бесселя, получим
IIIXIl'
nt, I(x, en)I'1
Illxll'
(Р., 11) 1
== I(x
F;., х
) + (х
, Pk) + (
, х
JI
IIx
1I2 + 211xllllx
II
о
при k
00, что и требовалось доказать. О
Теперь мы можем установить важный результат, rоворящий
о том, что по
существу есть лишь одно сепарабельное rильбер
тово пространство. Предварительно дадим определение.
144 r лава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
о п р е Д е л е н и е 29.5. Два евклидовых пространства Ha
зываются изоморфными, если существует взаимно однозначное
линейное отображение этих пространств, сохраняющее скаляр
ное произведение.
С л е Д с т в и е 29.3. Любые два сеnарабельных сильбер
товых пространства изоморфны.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Мы докажем, что всякое сепара
бельное rильбертово пространство Н изоморфно пространст
ву l2' Для этоrо выберем в Н соrласно теореме 29.4 OpTOHOp
мированный базис и поставим в соответствие любому элементу
последовательность ero коэффициентов Фурье по этому базису.
Взаимная однозначность данноrо отображения вытекает из Teo
рем 29.2, 29.3 и определения базиса, а ero линейность очевидна.
По следствию 29.2 это отображение сохраняет норму, а тоrда,
в силу равенств
Re(x, у) == (х, у); (Х:У) ==
(lIx + yl12
IIxl12
Ily112)
и
Im(x, у) == (х, у)
==
(11
ix + yl12
IIxll2
IIYI12),
сохраняется и скалярное произведение. О
На этом мы закончим изложение теории rильбертовых
пространств, отсылая заинтересованных читателей к книrе
А. Н. Колмоrорова и С. В. Фомина [4].
30. Интерполирование линейных
операторов в функциональных пространствах
Теория линейных операторов в банаховых пространствах
является одной из наиболее интересных и хорошо развитых
областей Функциональноrо анализа. Не ставя задачу дать ее
сколько
нибудь полное изложение, мы приведем лишь HeKOTO
рые определения и установим простейшие свойства, необходи
мые для дальнейшеrо.
Пусть Ll == (L1.1I.111) И L2 == (L2.11.112)
два линейных HOp
мированных пространства над одним и тем же полем К. Здесь,
как и ранее, считаем, что К == IR или К == <С.
30. Интерполирование линейных операторов
145
О п р е Д е л е н и е 30.1. Линейным оператором из Ll в L2
называется такое отображение А: LI
L2, что для любых х, у Е
Е LI И для любых а, Ь Е К выполнено равенство А (ах + Ьу) ==
== аА(х) + ЬА(у).
Оп Р е Д е л е н и е 30.2. Пусть А
линейный оператор
из LI в L2 И Х Е Ll' Тоrда А называется непрерывным в точ
ке х, если для любоrо е> О найдется такое 8> О, что при у Е LI
И lIylll < 8 имеем IIA(x + у)
A(x)112 < Е.
3 а м е ч а н и е 30.1. Из линейности оператора А вытекает,
что ero непрерывность в некоторой точке эквивалентна непре
рывности А в любой точке. Поэтому в дальнейшем мы будем
вести речь просто о непрерывных операторах. Не останавлива
ясь подробно на этом вопросе, отметим также, что построение
разрывных линейных операторов, как правило, не вызывает TPY
да, коrда пространство LI не полно, но требует привлечения
аксиомы выбора в противном случае.
О п р е Д е л е н и е 30.3. Пусть А
линейный оператор
из LI в L2. Тоrда он называется осраниченным, если величи
на
IIA 1\1:
1: == "А 11 == sup IIA(x)112 < 00.
1 2 IIxlll
1
у т в е р ж Д е н и е 30.1. Пусть А
линейный оператор
из L 1 В L 2' ТОсда есо непрерывность u осраниченность экви
валентны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А оrраничен. Тоrда для за
данноrо Е. > О возьмем 8 == НА 11 + l' В этом случае при х Е L 1 ,
Ilxlll < 8 имеем IIA(x)1I2
IIA 1IIIxlll < Е, т. е. А непрерывен.
Обратно, пусть А непрерывен. Подберем такое 8 > О,
что при х Е L1, Ilxlll < Б выполнено неравенство IIA(x)112 < 1.
Тоrда если х Е L 1 И Ilxlll < 1, то
IIA(x)1I2 == iIIА(Бх)1I2
i.
Следовательно, А оrраничен и утверждение доказано. О
В дальнейшем будет рассматриваться такая ситуация.
Пусть даны два а
конечных измеримых пространства (J'YI' L:!, IL)
И (Х2, L:2. v), а линейное отображение А пере водит некоторое
подмножество пространства J1
измеримых комплекснозначных
146 r лава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
функций на Х1 в пространство v
измеримых комплекснознач
ных функций на Х2. Положим для любоrо у > О и для любой
функции f(x) из области определения А
Ey(Af) == {t Е Х2: I(Af)( t)1 > у}.
о п р е Д е л е н и е 30.4. Пусть 1
р < 00 и 1
r < 00.
r оворят, что рассмотренный выше оператор А имеет силь
ный тип (р, Т), если он является непрерывным оператором
из Lp(X1) в Lr(X2). Далее, если для любоrо у> О и для лю
бой функции f(x) Е Lp(X1) выполнено неравенство
v(E.{Af))
(
llfllpY,
rде М зависит только от А, то rоворят, что А имеет слабый
тип (р, Т).
у т в е р ж Д е н и е 30.2. Если А имеет сильный тип (р, Т),
то А имеет и слабый тип (р, Т), причем в качестве М можно
взять IIA 11.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя неравенство Чебышева,
получим, что для любоrо у > О
. I
IIA IllIfllp
IIAfllr
(V(Ey(Af») r . у,
что и требовалось доказать. О
т е о р е м а 30.1 (частный случай интерполяционной Teope
мы Марцинкевича). Пусть 1
r < р < 00 и оператор А иMe
ет одновременно слабый тип (р, р) и (т, Т) с nостоянны
ми М1 и М2 соответственно. ТОсда для любосо q из иHтep
вала (т; р) А имеет сильный тип (q, q), причем
"А IIL (J1)
L (v)
КМ/
T М2Т,
q q
1 1 1
rде
== (1
Т)
+ т
q р т'
а постоянная К зависит только от т, р и r и осраничена
1
при т Е [Е, 1
Е] С Е Е (о, "2)'
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим для произвольной из
меримой на Х! функции J(x) функцию распределения F(и) ==
==Ff(и)==J-l(ЕJf» при U>О, rде E1L(f)=={xEX1: IJ(x)1 >и}.
30. Интерполирование линейных операторов
147
Аналоrичные функции будем рассматривать и для BToporo из
меримоrо пространства. Мы будем пользоваться обозначения
ми II.lls,p и 11.lls,v для норм в пространствах Ls(X1) и Ls(X2)
соответственно.
Cor ласно теореме 23.2 при любом s Е [1, 00) имеем
s If(x)IS dJ.l == s S иВ
1 Р( и) du,
Х1 (0,00)
rде через du обозначена классическая мера .1lебеrа на (0,00).
Пусть f(x) Е Lq(X1). Положим f(x) == f(x) + l(х), rде
[(х) == {f(x) при If(x)1
1,
О в остальных случаях.
Т
rда при любом х Е Х1 либо 1!(x)1 > 1, либо !(х) == О, откуда
Ilf(x)ll
p
IIf(x)II:,p < 00, в то время как IIf(x)II;,p
Ilf(x)]:,p <
< 00. Следовательно, определено (Af)(t) == (Af)(t) + (Af)(t).
Обозначим через F и G функции распределения для f и А!
соответственно. Тоrда
II(Af)(t)II:,v==q S yq
IG(y)dy==2qq S yq
IG(2y)dy.
(0,00) (0,00)
(30.1 )
Для фиксированноrо z > О, которое будет определено позднее
и будет зависеть от у, положим f( х) == f1 (х) + f2( х), rде
{ f(x) при If(x)1
z,
fl (х) ==
z в остальных случаях
lJ(x)1 .
Тоrда Ifl(x)1 == min(lf(x)l, z) и If(x)1 == Ifl(x)1 + If2(x)1
при всех х Е X1. Пусть hl == Afl И
== Af2' а
, F;, Сl' С2
функции распределения для fl, f2, hl, h2 соответственно. Так
как для любоrо t Е Х2 выполнено неравенство I(Af)(t)1
I(Afl)( t)1 + I(Af2)( t )1, если I(Af)( t)1 > 2у, то либо I hl (t)1 > у,
либо 1
(t)1 > у. Поэтому, используя условие теоремы, получа
ем, что
С(2у)
G1(y) + С2(у)
MIPy
Pllfl(x)II;,p + M;y
Tllf2(x)II
.
(зu.2)
148 rлава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
По определению функции fl имеем
( и) == F ( и) при О <
< и
z;
(и) ==0 при и> z и F;(u) == Р(и + z) при и> О. Учи
тывая (30.1) и (30.2), получаем
2
qq
IIIAfll:,v == M1P S yq
p
1 ( S IJI(x)IP dJ.L) dy+
(0,00) Х1
+м{ S yq
r
1 ( S If2(x)lr dJ.L) dy ==
(0,00) Х1
== M1P Р S yq
Р
1 ( S иР
1 F ( и) dU) dy+
(0,00) (0,%)
+м{т S yq
r
l( S (u
zY
IF(U)dи) dy.
(0,00) (%,00)
Здесь интеrрируются неотрицательные функции, измери
мость которых как функций двух переменных очевидна. По Te
ореме Фубини мы имеем право изменить порядок интеrрирова
ния. Кроме Toro, положим
В
M
M
p:r
1 . 2 ,
откуда
!l.::.!: f.::..1
MPBq
p
MPp
rMrp
r
M(I
T)qMTq
MrBq
r
1
1 2
1 2
2 .
Теперь если взять z ==
, то, учитывая, что (и
z у
1
и r
1
при всех и > z, получим
2
qq
IIIAfll:,1I
M1Pp S иp
1 Р(и)( S yq
p
l dY) du+
(0,00) (Ви, 00)
+М{т S иT
1 Р( и)( S yq
r
1 dY) du ==
(О, 00) (О, Ви)
МРр
==
S uP
I(Bu)q
PF(u)du+
р q (О, 00)
А1,Тт .
+ q :: т S и r
1 (Ви )q
r F ( и) du ==
(О, 00)
Mfp Bq
pllfllq + М{т Bq
rllf'lq
q(p
q) q,1l q(q
т) I q,1l
== (
.....E
..
.,.....T
..
) l\IР
T)q M;q:! f р q . .
\1(P
'.1) q\q
r)' (. "..1.;.;'.
ЧТО И i]Jебvва.iЮ('!;:; Д(.Ч<3.);:lТЬ. С
31. Некоторые теоремы о коэффициентах Фурье
149
31. Некоторые теоремы о коэффициентах Фурье
Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть задано конеч
ное измеримое пространство (Х, Е, J-l) и в соответствующем
rильбертовом пространстве L2(X) есть ортонормированная си
стема Ф == {СРn (х)}:' == l' состоящая из оrраниченных функций,
т. е. для HeKoToporo М > О имеем ICPn(X)1
м при всех х Е
Е Х и n == 1, 2, . .. Неравенство Бесселя и теорема Рисса
Фишера дают исчерпывающее описание поведения коэффициен
тов Фурье функций из rильбертова пространства. Однако в дaH
ном случае равномерная оrраниченность функций из системы Ф
и конечность меры Х дают возможность определить коэффици
енты Фурье и дЛя функций f(x) Е Lp(X) при 1
р < 00 paBeH
ством
сп (f) == S f( х )СРn (х )dJ-l.
х
Естественным образом возникает вопрос о возможности распро
странения теорем Бесселя и Рисса
Фишера и на случай р =1= 2.
Ответ дается следующей теоремой.
т е о р е м а 31.1 (теорема Пэли). При упомянутых выше
условиях выполнены следующие утверждения:
1. Если 1 < р
2 и функция f(x) Е Lp(X), то
1
C
,lc.и)IPnp
,)'
СрМ'Тllf(х)llр,р,
еде постоянная Ср зависит лишь от р.
2. Если числа {Сn}:'== 1 таковы, что для некоторосо q Е
Е [2, (0)
1
Rq
(J::, ICnlqnq
,) i < 00,
то найдется такая функция f(x) Е Е q(X), что cn(f) :;:-..::
== сп при n == 1,2, . .. и частичные суммы Sn == С1 СРI (х) + . . с
.. .+CnCPn(X)
f(x) при n
oo в пространстве Lq(X). Кро.iие
тoco
11 11 -к.:::.!
!if'iq'f-:
C
M ч Яq,
еде (7.д.
постоянная из первой части теоремы.
.;-- :
150 rлава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть а
адцитивная мера v опре
делена на подмножествах множества натуральных чисел, при
чем V( {n}) ==
. Определим оператор А, отображающий ин
n
теrрируемые по Лебеrу на Х функции в последовательности,
равенством А! == {nсn (f)}:' == l' По неравенству Бесселя
I
IIA111..v
C
,ICnl')'
11111..",
откуда А имеет сильный, а значит и слабый, тип (2, 2) с посто
ян ной М1 == 1. Докажем, что А также имеет слабый тип (1, 1)
с постоянной М2 == 2М. Пусть функция f(x) Е L1(X), при-
чем IIfll1 Il =1= о (иначе требуемое неравенство очевидно). Тоrда
при у > о имеем
V(Ey(Af») == L:
== El'
n: !ncп(ЛI > у n
Но если n таково, что Incn(f)1 > у, то
у
n S If(x)ll'Pn(x)1 dJ-l
nMllflkll'
х
откуда n
MII/B . Поэтому
1, Il
..l.
2Mllflll'll
иI
L.J 2 -...;;: У
У ,
n
n Mllflkl'
ШIIJI11.1'
и нужное нам неравенство установлено. Применяя теорему 30.1
2
p
с т ==
, получим, что
р
1
(j';:, ICn(f)IPnP
')'
IIA111p,v
срм';' 111(x)IIp",'
что и требовалось доказать.
2. Возьмем р == q
1 . Определим дЛя фиксированноrо HaTY
ральноrо n функцию
gn(x) == Sn(X)ISn(x)lq
2.
Поскольку система Ф состоит из оrраниченных функций, gn (х) Е
Е Lp(X). Теперь, применяя уже доказанную часть теоремы, по
31. Некоторые теоремы о коэффициентах Фурье 151
лучим
IISnll
'Il==ls Sn(X)gn(X) dP,I==I-t Ck S <Pk(X)gn(X) dp,l==
Х k== 1 Х
1
l.t, c.c.(9n)1
Ё Ic. 1 k ';' 1c.(9n)1 k '"
(Ё Ic. Iq k'
2) , Х
1 1
Х (Ё 1c.(9n)IP kP
2) ,
СрМ';' (Ё Ic. Iq k'
' 119nllp,"
2 ( n
1
==СрМЯТ Е ICklqkq
) IISnll
.
Таким образом,
I
IISnll.."
CpM
Ct, Ic. Iq k'
2) '.
(31.1 )
Отсюда очевидным образом следует, что последователь
ность вn(х) фундаментальна в Lq(X), следовательно, найдется
такая функция f(x) Е Lq(X), что Ilf
Snllq'll
о при n
00.
Тоrда из оценки (31.1) вытекает, что
1
IIfll.."
СрМ';' C
, Ic.l'k'
2) '.
Наконец, если k
1, то для любоrо n > k имеем
Ic.
1 f(x)",.(x) dJ.'1
Il(Sn(x)
f(x»",.(x) dJ.'1
1
IISn
fllq'IlM(p,(X»)P.
Устремляя n к бесконечности, получим, что Ck == ck(f), И теорема
полностью доказана. О
Друrой важной теоремой, описывающей поведение коэффи
циентов Фурье, является теорема Рисса. Для ее установления
нам понадобится один вспомоrательный результат из теории чи
словых рядов.
Л е м м а 31.1. Пусть числа аn 1 о при n
00. ТОсда BЫ
nолнены следующие утверждения.
152 rлава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
1. Если 2
q < 00, q' ==
1' то
q
1 I
(1=, a
no
') i
В. (1=, a
') l
2. Если 1 < р
2, р' ==
1' то
p
1 I
( f: a
np
2) р
Вр ( f: a
') 1
n==1 n==1
Здесь Bq и Вр
положительные постоянные, зависящие
лишь от q и р соответственно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы установим только первое Hepa
венство, поскольку второе доказывается совершенно аналоrич
но. С учетом Toro, что q
1
1, имеем
00 00 2" + 1
1 00
L: a
nq
2 == L: L: a
nq
2
2q
2 L: ai,,2k(q
1) ==
n == I k == О n == 2" k == О
( )q
l ( )q
1
== 2q
2 f a2VТ2k
22q
3 а[' + f ai
2k
1
k==O k==l
( 00 2" -
1 ) q
1 ( 00 ) q
1
22q
3 аё' + kL;1 n
1 a
'
23q
4 nL;1 a
'
что эквивалентно доказываемому утверждению. О
Отметим еще такой факт, представляющий самостоятель
ный интерес.
у т в е р ж Д е н и е 31.1. Коэффициенты Фурье ФУНК
цuu f(x) Е L1(X) по равномерно осраниченной opтOHOpMи
рованной системе стремятся к нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если все 'Рn(х) не превосходят
по модулю М, то выберем для заданноrо Е > О простую функ
цию g(x) так, чтобы 111
glll < Е. Тоrда, очевидно Icn(f)
cn(g)1
МЕ дЛЯ любоrо n. В то же время g(x) Е L2(X) и, соrласно
неравенству Бесселя, сп (g)
о при n
00. Из этих двух наблю
дений и вытекает справедливость нашеrо утверждения. О
Т е о р е м а 31.2 (теорема Рисса). При условиях и обозна
ченuях, сформулированных в начале парасрафа, выполнены
следующие утверждения.
31. Некоторые теоремы о коэффициентах Фурье
153
1. Если 1 < р
2 и функция f(x) Е Lp(X), то
p
1
C
, I сл) 1 >"т )
крм';' Ilf(x)lIp,p,
еде постоянная Кр зависит лишь от р.
2. Если числа {сп}
== 1 таковы, что для некоторосо q Е
Е (l, 2]
I
1;
(J:;, Icn1q)' < 00,
то найдется такая функция f(x) Е L q (Х), что cn(f) == СП
q=J
при n == 1, 2,. .. и
,
2
Ilfll
,p
Kqmq---
,
(31.2)
еде постоянная Kq зависит лишь от q.
Д о к а з а т е л ь с т во. 1. В силу утверждения 31.1 мож
но так переставить ненулевые коэффициенты {cn(f)}:'==],
что их модули будут монотонно невозрастать. Обозначим по
лучившуюся последовательность через {dk}
== l' Пусть TaK
же {Фk(Х)}
==]
соответствующие функции из системы Ф.
Тоrда по лемме 31.1(2) и теореме Пэли имеем
p
l p
l
С
lIС.(f)I,"т )'
C
I Id.I,"т)'
1
Bp
' C
, !d.IP kP
')'
Bp
' срм';' Ilf(x)llp,p,
что и требовалось доказать.
2. Обозначим q' == q
1 . Из условия следует, что числа сп
О
при n
00. Поэтому, как и при доказательстве пункта 1, мож
но рассмотреть последовательности {dk}
==1 и Ф=={Фk(Х)}
==1
По лемме 31.1 (1) получаем, что
I 1 1
С
,ld.lq'kqч) 1
Bq{
,ld.lq)'
Bq.(J:;,ICnlq)' <00.
(31.3)
154 [лава б. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
Отсюда по теореме Пэли существует такая функция f(x) Е
Е Lq'(X), что при любом k справедливо равенство dk ==
== S j(х)'Фk(Х) dp"
Х
ат == dl 'ФI (х) + . . . + dm 'Фm(Х)
f(x)
(31.4)
при m
00 в пространстве Lq'(X) и (см. (31.3» выполня
ется неравенство (31.2). Таким образом, мы уже проверили,
что если сп f:. о, то сп (f) == Сп' Пусть n таково, что сп ==
== О. Тоrда функция 'Рn(Х) не входит в систему Ф, а пото
му S О"т(Х)'Рn(Х) dJ.-L == О при всех т. Учитывая (31.4), отсюда
х
несложно вывести, что и в этом случае cn(f) == О == Сп' Тем ca
мым, теорема доказана. О
3 а м е ч а н и е 31.1. Для более подробно обсуждаемой
в следующем параrрафе триrонометрической системы Teope
мы 31.1 и 31.2 носят название теорем Харди
Литльвуда
и Хаусдорфа
Юнrа соответственно, по именам математиков,
установивших их для упомянутой системы до Toro, как были
получены теоремы Пэли иРисса.
32. Теорема Карлемана и неусиляемость
теоремы Хаусдорфа
Юнrа
в предыдущем параrрафе речь шла об общих ортонорми
рованных системах в функциональных пространствах и НИЧе
ro не rоворилось о конкретных примерах таких систем. Ca
мой известной из них, пожалуй, является триrонометриче
ская система {J;einX}
==
oo' ортонормированная в простран
стве L2([0,2w]) с классической мерой Лебеrа (теория триrоно
метрических рядов Фурье очень подробно рассматривается в MO
ноrрафиях Н. К. Бари [7] и А. Зиrмунда [8]). Существует и MHO
ro друrих важных ортонормированных систем, но изложение их
теории выходит за рамки этой книrи. Триrонометрическая же
система понадобится нам для демонстрации не возможности pac
пространения результата первой части теоремы Хаусдорфа
Юнrа на р > 2, а второй
на q > 2. Для этоrо будут исполь
зоваться так называемые полиномы Рудина
Шапиро, представ
32. Теорема Карлемана и неусиляемость теоремы Хаусдорфа
Юнrа 155
ляющие и самостоятельный интерес. Приведем вначале необхо
димые пояснения. Пусть имеется полином вида
N
Р( t) == L: Еn eint,
n==О
rде 'сn' == 1 при любом n. Тоrда
тах IP(t)1
.
IIP(t)1I2
Зl JN+l.
t Е [О, 21r] V 27r
Таким образом, ни при каком выборе чисел Еn, равных по MOДY
лю 1, нельзя сделать максимум модуля Р(х) по порядку MeHЬ
ше v'N. В то же время, порядок V'N может быть достиrнут даже
при выборе Еn == :l: 1. Точнее, справедливо даже несколько более
сильное утверждение.
Л е м м а 32.1 (Рудин
Шапиро). Существует такая no
следовательность {Еn}:' ==0' что Ел == :l: 1 при всех n и
In
o cne'n'l <5JN+l
при t Е [О, 2п] и N == О, 1, . . .
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х == eit. Построим индуктив
но две последовательности полиномов {
(x)}
==o и {Qk(X)}
==o,
Положим Ро( х) == Qo( х) == 1, и пусть
+I(X)==Pk(X)+ X2"Qk(X); Qk+l(X)==Pk(X)
X2"Qk(X),
при k == О, 1, . . .
Ясно, что при любом k степени
(х) и Qk (х) равны 2k
1,
а потому первые 2k коэффициентов полинома
+ 1 (х) совпада
ют с аналоrичными коэффициентами полинома Pk(X), По той же
причине все коэффициенты полиномов
(х) и Qk (х) равны :l: 1.
Теперь можно положить Еn равным коэффициенту при хn В по
линомах
(x),
+I(X)"'" rде 2k
1
n. Учитывая, что x==eit,
рассмотрим сумму
IPk+I(X)12 + IQk+I(X)12 ==
(x)
(x) +
(x)x2" Qk(X)+
+х2" Qk(X)F[(X) + х2" Qk(X)X2" Qk(X) + Pk(X)F[(X)
(x)x2" Qk(X)
х2" Qk(X)
(X) + х2" Qk(X)X2" Qk(X) ==
== 2(1
(x)12 + IQk(X)12) == 4(IPk
I(X)12 + IQk
I(X)12) ==...
.,. == 2k+l (IPo(x)12 + IQo(x)12) == 2k+2.
156 r лава б. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
Таким образом,
12"
1 I
o Eneint < J22
k
при всех k.
Введем следующее обозначение. Если полином Р (х) == l1.o +
+ а1 х + . . . + al Xl и n
l, то n
я частичная сумма Sn (Е: х) == l1.o +
+ аl Х +. . . + аn хn . Теперь установим, что если k
О и О
n < 2k ,
то ISn(
, x)I
(2+J2)2
k и ISn(Qk, x)I
(2+J2)2
k для всех х.
Проверим это по индукции. При k == О данное утверждение оче
видно. Пусть оно справедливо для k == т, и пусть О
n < 2т + 1 .
Тоrда если n < 2т, то
\Sn(Pm+ l' x)1 == ISn(Pm, x)1 < (2 + J2)2
m < (2 + J2)2
(m+ 1).
Если же 2т
n < 2т + 1, то
ISn(Pm+ 1, х)1
IРт(х)1 + ISn
2m( Qm, х)1
2
(т+ 1) + (2 + J2)2
m == (2 + J2)2
(m+ 1).
Аналоrично проверяется, что ISn(Qm+17 х)1
(2 + J2)2
(m+I).
Теперь можно установить оценку теоремы. Если задано Ha
туральное N, то подберем k
О так, чтобы 2k
1
1
N < 2k .
Тоrда
IE сnе'n' I
ISNЩ' x)I
(2+v'2)2
'
2(1 +v'2)2
('
1)
5JN +1,
что и требовалось доказать. О
Т е о р е м а 32.1 (Карлеман). Существует такая 27r
ne
риодическая непрерывная на всей прямой функция f(x),
что для ее коэффициентов Фурье по трисонометрической
системе при любом р Е [1, 2) имеем
00
L: Icn(f)IP == 00.
n==
оо
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {Еn} :'==0
последователь
ность из теоремы Рудина
Шапиро. Рассмотрим ряд
00 1 1 2"
1 00 1 1
L: 2
k2 L: Eneint == L: 2
k2fk(t).
k == 1 k n == 2"
I k == 1 k
(32.1 )
32. Теорема Карлемана и неусиляемость теоремы Хаусдорфа
Юнrа 157
По лемме 32.1 имеем
1М t)1
I:
сnе'n' I + I"n
1 сп е 'n' I
10. 2
'.
Отсюда по теореме Вейерштрасса ряд (32.1) сходится paBHO
мерно, а ero сумма, которую мы обозначим через f(x), являет
ся непрерывной на всей прямой функцией. При этом, очевид
lk 1
но, коэффициенты Фурье cn(f) == En2
2' если 2k
1
n < 2k,
rде k == 1, 2, . .. Тоrда при любом р Е [1,
)
00 00 1 1 2"
1 1 00
L: \cn(f)\P == L: 2
kp 2р L: 1 =="2 L: 2(1
)k k
2p == 00,
n==1 k==1 k n==2"
l k==1
а это и надо было проверить. О
Из теоремы Карлемана вытекает невозможность усиления
первой части теоремы Хаусдорфа
Юнrа.
В заключение, покажем, что и вторая часть теоремы
Хаусдорфа
Юнrа не допускает усиления.
т е о р е м а 32.2. Существует такой ряд
00
с е int
L.J n ,
n==1
(32.2)
что
00
L: Icn (f)IP < 00
n==
oo
при всех р > 2, но ряд (32.2) не является рядом Фурье никакой
интесрируемой по Лебесу на [О, 27r] функции.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим ряд
00 1 2"
I 00 1
L: 2
k k2 L: Еn eint == L: 2
k k2 fk( t). (32.3)
k == 1 n == 2"
1 k == 1
Ясно, что при любом р > 2
00 00
L: Icn(f)IP ==
L: 2(1
i)k k2p < 00.
n==l k==1
Как было отмечено при доказательстве предыдущей теоремы,
Ifk (t)1
10 . 2
k при всех t, а с друrой стороны, Ilfk( t )112 > 2
k.
Поэтому
2k < S Ifk(t)12 dt
тах Ifk(t)I'lIfk(t)lIl
10. 2
k '1Ifk(t)1I1
[0,21r) t Е [О, 21r)
158 rлава 6. Ортонормированные системы и коэффициенты Фурье
1 1 k
или IIfk(t)111 > 102
. Следовательно, для LI
HOpMbl разности ча
стичных сумм ряда (32.3) имеем оценку
IIS2"
I(t)
S2"
1
I(t)lll ==2
kk21Ifk(t)111 > /02
ikk22ik== 110k2.
С друrой стороны, если бы ряд (32.3) был рядом Фурье HeKO
торой интеrрируемой по Лебеrу функции f(x), то при всех k
выполнялось бы неравенство (мы пользуемся хорошо известной
оценкой интеrрала от модуля триrонометрическоrо ядра Дирих
ле)
11 S2"
1 ( t)
S2"
1
1 ( t ) 11I
* s I S f(x+ t) ( Sin(2k
.I+/j2)t Sin(2k
I
I;lj2)t) dt I dx
[0,27r] [0,27r] 2 S1П 2" 2 sш 2"
Ilf(x)//1 S I sin(2k
.1
lj2)t
sin(2k
1
\+ lj2)t I dt
C(f)k,
[0,27r) 2 sш 2" 2 s1П 2"
rде С (f) == const. Полученное противоречие доказывает Teope
му.О
3 а м е ч а н и е 32.1. Выше теорема Карлемана была YCTa
новлена только для частноrо случая триrонометрической си
стемы. Однако и для друrих оrраниченных в совокупности
ортонормированных систем справедливо аналоrичное YTBep
ждение. Подробности можно найти в книrе Б. С. Кашина
и А. А. Саакяна [15].
ЛИТЕРАТУРА
1. Л У з и н Н. Н. Собрание сочинений.
М.: Физматrиз, 1958.
2. Х а л м о ш П. Теория меры.
М.: ИЛ, 1953.
3. С а к с С. Теория интеrрала.
М.: ИЛ, 1949.
4. К о л м о r о р о в А. Н., Ф о м и н С. В. Элементы теории
функций и функциональноrо анализа.
М.: Наука, 1976.
5. Н а т а н с о н И. П. Теория функций вещественной перемен
ной.
М.: Наука, 1974.
6. Р и с с Ф., С е к е Ф а л ь в и
Н а Д ь Б. Лекции по функцио
нальному анализу.
М.: ИЛ, 1954.
7. Б а риН. К. Триrонометрические ряды.
М.: Физматrиз,
1961.
8. 3 и r м у н Д А. Триrонометрические ряды. Т. 1 и 2.
М.:
Мир, 1965.
9. Т е л я к о в с к и й С. А. Сборник задач по теории функции
действительноrо переменноrо.
М.: Наука, 1980.
10. О ч а н Ю. С. Сборник задач по математическому анализу.
М.: Просвещение, 1981.
11. К и Р и л л о в А. А., r в и ш и а н и А. Д. Теоремы и задачи
функциональноrо анализа.
М.: Наука, 1979.
12. Х а у с Д о р Ф Ф. Теория множеств.
М.
Л.: ОНТИ, 1937.
13. Т о л с т о в [. П. Мера и интеrрал.
М.: Наука, 1976.
14. Л е б е r А. Интеrрирование и отыскание примитивных функ..
ций.
М.
Л.: rтти, 1934.
15. К а ш и н Б. С., С а а к я н А. А. Ортоrональные ряды.
М.:
Наука, 1984.