<М1У/
СОВМЕСТНОЕ ИЗДАНИЕ
МОСКОВСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
И СОФИЙСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
ИМЕНИ КЛИМЕНТА ОХРИДСКОГО,
НАПИСАННОЕ В СООТВЕТСТВИЙ
С ЕДИНОЙ ПРОГРАММОЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
В.А. Ильин, В.А. Садовничий,
Бл.Х. Сендов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
ПРОДОЛЖЕНИЕ КУРСА
Под редакцией академика А.Н. Тихонова
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальностям „Математика",
„Прикладная математика", „Механика"
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1987
УДК 517
Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса /
В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихо-
нова. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 358 с.
Учебник представляет собой вторую часть (ч. 1 — 1985 г.) курса
математического анализа, написанного в соответствии с единой програм-
мой, принятой в СССР и НРБ. В книге рассмотрены теория числовых
и функциональных рядов, теория кратных, криволинейных и поверхност-
ных интегралов, теория поля (включая дифференциальные формы), тео-
рия интегралов, зависящих от параметра, и теория рядов и интегралов
Фурье. Особенность книги — три четко отделяемых друг от друга
уровня изложения: облегченный, основной и повышенный, что позволяет
использовать ее как студентам технических вузов с углубленным изуче-
нием математического анализа, так и студентам механико-математических
факультетов университетов.
Рецензенты:
кафедра математики МИФИ
(зав. кафедрой проф. А. И. Прилепк,),
чл.-корр. АН СССР А. В. Бицадзе
1702050000—164
077(02)—87
119—87
© Издательство
Московского университета,.
1987 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга является второй частью учебника по математи-
ческому анализу и полностью охватывает материал второго года
обучения, предусмотренный программой для студентов универ-
ситетов СССР и НРБ, обучающихся по специальностям «Матема-
тика», «Прикладная математика» и «Механика».
Книга содержит теорию числовых и функциональных рядов,
теорию собственных и несобственных кратных интегралов Римана,
теорию криволинейных и поверхностных интегралов и интегралов,
зависящих от параметров, теорию поля (в том числе и теорию
дифференциальных форм и евклидовых пространств), теорию ря-
дов и преобразований Фурье.
Как и в первой части (В. А. Ильин, В. А. Садовничий,
Бл. X. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — М.:
Изд-во МГУ, 1985), изложение материала ведется на трех легко
отделяемых друг от друга уровнях: облегченном, основном и по-
вышенном.
Облегченный уровень отвечает программе технических вузов
СССР с углубленным изучением математического анализа, ос-
новной уровень изложения — программе специальности «При-
кладная математика», материал повышенного уровня изложения
дополняет материал основного уровня рядом разделов, обычно
излагаемых на механико-математических факультетах универси-
тетов.
Для понимания материала облегченного уровня изложения не
требуется чтение материала основного и повышенного уровней, а
для понимания материала основного уровня изложения не требу-
ется чтения материала повышенного уровня.
Текст, относящийся к повышенному уровню изложения, выде-
лен в книге двумя вертикальными чертами; текст, относящийся
к основному уровню изложения, выделен одной вертикальной чер-
той, остальной текст книги составляет содержание облегченного
уровня изложения.
В целом материал данной книги весьма приближен к тому
курсу, который реально может быть прочитан для студентов
университетов.
При написании этой книги авторы использовали сложившиеся
в Московском и в Софийском университетах лекционные курсы и
6	Предисловие
часть материала из книги В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы
математического анализа» (М.: Наука, 1980).
Авторы выражают глубокую благодарность титульному редак-
тору этой книги академику А. Н. Тихонову за многие ценные со-
веты и замечания. Особую благодарность авторы выражают
И. С. Ломову и С. Троянскому, которые оказали неоценимую
помощь на всех этапах написания этой книги. Весьма существен-
ному улучшению изложения материала учебника способствовал
труд редактора Т. И. Кузнецовой, которой авторы также выража-
ют глубокую благодарность.
Москва, октябрь 1986 г.
Глава 1
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Еще в курсе средней школы читателю приходилось сталки-
ваться с суммами, содержащими бесконечное число слагаемых
(например, с суммой бесконечного числа членов геометрической
прогрессии).
Исследование такого рода сумм, называемых рядами, может
быть сведено к исследованию числовых последовательностей, тем
не менее эти суммы требуют самостоятельного углубленного изу-
чения, так как служат важным вспомогательным средством для
представления различных встречающихся в анализе функций.
§ 1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА
1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Рассмотрим произволь-
ную числовую последовательность щ, ил, ..., ик, ... и формально
образуем из ее элементов бесконечную сумму вида
оо
Ux+w2+ . . . +uk+ . . . ик.	(1.1)
Й=1
Формально составленную сумму (1.1) принято называть чис-
ловым рядом или просто рядом. При этом отдельные сла-
гаемые uk принято называть членами ряда (1.1). Сумму пер-
вых п членов ряда (1.1) принято называть n-й частичной сум-
мой ряда и обозначать символом Sn.
Итак, по определению
п
Зп~и1~Ьи2~Ь  • • +un = X	(1-2)
fe=i
Определение. Ряд (1.1) называется сходящимся, если схо-
дится последовательность {Sn} частичных сумм (1.2) этого ряда.
При этом предел S указанной последовательности {S„} называ-
ется суммой ряда (1.1).
Таким образом, для сходящегося ряда (1.1), имеющего сумму
S, мы можем формально записать равенство
со
s- S
*=1
8
Гл. 1. Числовые ряды
В случае, если для данного ряда (1.1) предела последова-
тельности частичных сумм (1.2) не существует, этот ряд назы-
вается расходящимся.
Мы видим, что понятие суммы определено лишь для сходяще-
гося ряда, причем (в отличие от понятия суммы конечного числа
слагаемых) понятие суммы ряда вводится посредством операции
предельного перехода.
В современной математике и в ее приложениях часто прихо-
дится сталкиваться с расходящимися рядами, для которых преде-
ла последовательности частичных сумм (1.2) не существует. Для
таких рядов вводится понятие суммы в некоторых обобщенных
смыслах. В § 7 настоящей главы будут рассмотрены наиболее
употребительные методы обобщенного суммирования расходящих-
ся рядов.
Одним из главных вопросов теории числовых рядов
является установление признаков, позволяющих решить вопрос
о сходимости или расходимости данного ряда. В § 2 такие при-
знаки будут установлены для рядов, все члены которых явля-
ются неотрицательными числами, а в § 4 — для рядов с произ-
вольными членами.
Примеры. 1°. Изучим вопрос о сходимости ряда, составлен-
ного из членов геометрической прогрессии
1+?+?2+(1.3)
Так как n-я частичная сумма Sn этого ряда при </=#1 имеет
вид
S„=l=4^.	(1-4)
1 — 9
то очевидно, что при | q | < 1 последовательность частичных сумм
{S„} имеет предел, равный 1/(1—q). Таким образом, при |<?| <1
ряд (1.3) сходится и имеет сумму, равную 1/(1—q).
Если | <у| > 1, то из выражения (1.4) очевидно, что предела пос-
ледовательности частичных сумм {S,,} не существует, т. е. при
|<?|>1 ряд (1.3) расходится.
Для полноты картины остается рассмотреть случай |<?|=1,
т. е. случай, когда q равно либо +1, либо —1. В случае, когда
/7 = 4-1, все члены ряда (1.3) равны единице и n-я частичная-сум-
ма этого ряда Sn равна п. Отсюда следует, что и в случае q = +1
предела последовательности {S„} не существует, т. е. ряд (1.3)
расходится.
Наконец, в случае <? =— 1 ряд (1.3) имеет вид 1—1+1—1 + ...,
так что последовательность {Sn} частичных сумм совпадает с за-
ведомо расходящейся последовательностью 1, 0, 1, 0, .... Стало
быть, и при q = — 1 ряд (1.3) расходится.
§ 1. Понятие числового ряда
9
2°. Фиксировав любую точку х числовой прямой, рассмотрим
вопрос о сходимости трех числовых рядов
1+2L + 2L+...+	+ ... = V(1.5)
1!	2!	(4—1)!	Li (4-1)! V '
|%=1
„з у5	I П4—1	1	V'S ( 11ft—1 r2A— 1
x_2L+2fL_... + -LJL!—?---------+,..=\i-L_L2—?--------. (i,6)
3!	5!	(2k- 1)1	Li (24 — 1)! v 7
4=1
1 _	4-——	+ (-1)*"1 х*~2 +	= V (-!)*-1 x2k-2 (1 7)
2! + 4!	(24 — 2)!	"" Li (2k — 2)!
4=1
Обозначая n-e частичные суммы рядов (1.5), (1.6) и (1.7) со-
ответственно через Sn(I)(x), Sn(2)(x) и Sn<3>(x), можем записать:
5<1)(х) =	1+—+ —+.. 1!	2!	Xя-1	(1-8)
		(п-1)! ’	
<82) / —х	х3 , х6	,	(_1)П-1х2п-1	(1-9)
L>n \Л J А	’ 3! + 5!	• • ' Н	(2п — 1)!	
S'3’(x)=l-	X2	X4	(_1)П-1х2п-2	(1.10)
	2!	4!	(2п —2)!	
Сопоставляя выражения (1.8), (1.9) и (1.10) с разложениями
по формуле Маклорена функций ех, sinx и cosx (см. п. 2 § 9
гл. 6 ч. 1 2)), мы получим
e*=SnW(x)+RnW(x),
smx=SnW(x)+RnW(x),	(1.11)
cos x = Sn^(x) +Rn^(x),
где Rnw(x), Rn'2>(x'), RnW(x) обозначают n-e остаточные члены
в разложении по формуле Маклорена функцией ех, sinx и cosx
соответственно.
В § 9 гл. 6 ч. 1 доказано, что в каждой точке х числовой пря-
мой указанные остаточные члены имеют равны!) нулю предел при
п—>оо. Следовательно, в силу соотношений (1.11) в каждой точке
х прямой частичные суммы З^Цх), Sn<2)(x) и Sra(3>(x) сходятся
к пределам, равным соответственно ех, sinx и cosx. Это означает,
О Символ 0! мы отождествляем с числом 1.
2> Здесь и далее ч. 1 — это краткое обозначение книги: Ильин В. А.,
Садовничий В. А., Сендов Бл. X. Математический анализ. Начальный
курс. — М.: Изд-во МГУ, 1985.
10
Гл. 1. Числовые ряды
что ряды (1.5), (1.6) и (1.7) сходятся в каждой точке х числовой
прямой и их суммы равны соответственно ех, sinx и cosx.
Замечание 1. С формальной точки зрения изучение число-
вых рядов представляет собой новую форму изучения числовых
последовательностей, ибо 1) каждому ряду (1.1) однозначно
соответствует последовательность {Sn} его частичных сумм, 2) про-
извольной числовой последовательности {Sn} однозначно соответ-
ствует числовой ряд (1.1) с членами Ui=Si, uk = Sk—Sh-i при
&>1, для которого эта последовательность служит последователь-
ностью частичных сумм.
Замечание 2. Отметим два простых свойства произвольного
ряда, непосредственно вытекающие из определения его сходи-
мости:
I. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление
к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или рас-
ходимость этого ряда.
II. Если с — отличная от нуля постоянная, Uk —cuk, то ряд
СО	оо
£ u'k сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд V uk.
fe=i	fe=i
Для обоснования первого из этих свойств достаточно заме-
тить, что в результате указанного отбрасывания (или добавления)
конечного числа членов все частичные суммы ряда, начиная с не-
которого номера, изменятся на одну и ту же постоянную величину.
Для доказательства второго из
оо
n-е частичные суммы рядов u'k
k=i
Sn и Sn и учтем, что Sra/=cS«, где
вытекает, что lim S'n существует тогда
существует limSn.
П—>-сс
2. Критерий Коши сходимости ряда. Так как вопрос о сходи-
указанных свойств обозначим
со
«А И £ Uk
соответственно через
4=1
с#=0. Из последнего равенства
и только тогда, когда
мости ряда по определению эквивалентен вопросу о сходимости
последовательности его частичных сумм, то мы получим необхо-
димое и достаточное условие сходимости данного ряда, сформу-
лировав критерий сходимости Коши для последовательности его
частичных сумм. Для удобства приведем формулировку критерия
Коши для последовательности (см. п. 3 § 3 гл. 3 ч. 1):
Для того чтобы последовательность {Sra} была сходящейся,
необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного
числа е нашелся номер N такой, что для всех номеров п, удовлет-
воряющих условию ri^-N, и для всех натуральных р (р=1, 2,
3, ...)
| ~Еп |	8.
В качестве следствия из этого утверждения получим следующую
основную теорему.
§ 1. Понятие числового ряда
11
Теорема 1.1 (критерий Коши для ряда). Для того чтобы
оо
ряд 5 uk сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого
4=1
положительного числа е нашелся номер N такой, что для всех но-
меров п, удовлетворяющих условию ri^N, и для всех натуральных
чисел р {р = 1, 2, ...)
л+р
4=п+1
(1-12)
Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что вели-
чина, стоящая под знаком модуля в неравенстве (1.12), равна раз-
ности частичных сумм Sn+P—Sn.
Отметим, что критерий сходимости Коши представляет в ос-
новном теоретический интерес. Его использование для исследо-
вания сходимости или расходимости тех или иных конкретных
рядов, как правило, сопряжено с трудностями. Поэтому наличие
критерия Коши не снимает вопроса об установлении других прак-
тически эффективных признаков сходимости и расходимости
рядов.
Из теоремы 1.1 легко получить два элементарных, но важных
следствия,
оо
Следствие 1. Если ряд J] uk сходится, то последователь-
4=1
ность rn— uk является бесконечно малой.
Принято называть величину гп п-м остатком ряда S и^
k=\
Чтобы доказать следствие 1, достаточно показать, что для
любого е>0 найдется номер N такой, что |г«|^е при ri^N. Пос-
леднее неравенство непосредственно вытекает из неравенства
(1.12), справедливого для любого р — 1, 2, 3, ..., и из теоремы 3.13
ч. 1.
Следствие 2 (необходимое условие сходимости ряда). Для
оо
сходимости ряда uk необходимо, чтобы последовательность
4=1
ult «2, • • •, Uk, ... членов этого ряда являлась бесконечно малой.
Достаточно доказать, что для данного сходящегося ряда и лю-
е. Пусть
дано любое е>0. Согласно теореме 1.1 найдется номер N такой,
что при ri^N и для любого натурального р выполняется неравен-
ство (1.12). В частности, при р = 1 это неравенство имеет вид
|un+i|<e (при n>W).
бого б>0 найдется номер No такой, что при ri^N0 \ип
(1.12')
12
Гл. 1. Числовые ряды
Если теперь положить номер No равным N+1, то при ri^N0 в силу
неравенства (1.12') получим |ига| <е, что и требовалось доказать.
Иначе следствие 2 можно сформулировать так: для сходимости
со
ряда £ uk необходимо, чтобы limuft = 0. Таким образом, при
4=1
исследовании данного ряда на сходимость следует прежде всего
посмотреть, стремится ли к нулю k-й член этого ряда при £->оо.
Если это не так, то ряд заведомо расходится. Так, например, ряд
оо
762 4- 80006
&*=!
заведомо расходится, ибо
Ь2	1
lim uk = lim---------  —	0.
4^00	4-w	762 + 80006	7
Аналогично расходимость уже встречавшегося выше ряда
00
(— l)fe—'вытекает из того, что lim (— l)4—l не существует.
4=1	*->•“>
Отметим, что стремление к нулю k-ro члена ряда при k-^oo
является лишь необходимым, но не достаточным условием сходи-
мости ряда. В качестве примера рассмотрим ряд
со
St-’+т+т+---+т+--	(1ЛЗ)
4=1
Этот ряд обычно называют гармоническим рядом. Очевид-
но, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие
сходимости, но (как доказано в п. 3 § 3 гл. 3 ч. 1) последователь-
ность частичных сумм этого ряда расходится.
§ 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неот-
рицательными членами. Ряды с неотрицательными членами часто
встречаются в приложениях. Кроме того, их предварительное изу-
чение облегчит изучение рядов с членами любого знака. В даль-
нейшем, чтобы подчеркнуть, что речь идет о ряде с неотрицатель-
ными членами, мы часто будем обозначать члены такого ряда
символом Pk вместо и^
Можно сразу же отметить основное характеристическое свой-
ство ряда с неотрицательными членами: последовательность час-
тичных сумм такого ряда является неубывающей. Это позволяет
нам доказать следующее утверждение.
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
13
Теорема 1.2. Для того чтобы ряд с неотрицательными чле-
нами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последователь-
ность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Необходимость следует из того, что всякая сходящаяся после-
довательность является ограниченной (в силу теоремы 3.8 ч. 1).
Достаточность вытекает из того, что последовательность час-
тичных сумм не убывает и, следовательно, для сходимости этой
последовательности достаточно, чтобы она была ограничена (в
силу теоремы 3.15 ч. 1).
2. Признаки сравнения. В этом пункте мы установим ряд при-
знаков, позволяющих сделать заключение о сходимости (или
расходимости) рассматриваемого ряда посредством сравнения его
с другим рядом, сходимость (или расходимость) которого изве-
стна.
00	со
Теорема 1.3. Пусть У р^ и Е p'k— два ряда с неотрица-
4=1	4=1
тельными членами. Пусть, далее, для всех номеров k справедливо
неравенство
Pk^Pk-	(1.14)
Тогда сходимость ряда Е p'k влечет за собой сходимость ряда
4=1
со	0D
V pk\ расходимость ряда pk влечет за собой расходимость
1
<эо
ряда S p’k-
4=1
Доказательство. Обозначим n-е частичные суммы рядов
О»	со
У; pk и Ер, соответственно через Sn и S„'. Из неравенства
4=1	4=1
(1.14) заключаем, что Sn^Sn'. Последнее неравенство означает,
что ограниченность последовательности частичных сумм {$„'}
влечет за собой ограниченность последовательности частичных
сумм {Sn} и, наоборот, неограниченность последовательности час-
тичных сумм {SJ влечет за» собой неограниченность последова-
тельности частичных сумм {Sn'}. В силу теоремы 1.2 теорема 1.3
доказана.
Замечания к теореме 1.3. 1) В условии теоремы 1.3
можно требовать, чтобы неравенство (1.14) было выполнено не
для всех номеров k, а лишь начиная с некоторого номера k.
В самом деле, в силу замечания 2 п. 1 § 1 отбрасывание конечного
числа членов не влияет на сходимость ряда.
2) Теорема 1.3 останется справедливой, если в условии этой
теоремы заменить неравенство (1.14) следующим неравенством:
14	Гл. 1. Числовые ряды
pk<-Cpk.	(1.15)
где с — любая положительная постоянная.
В самом деле, в силу замечания 2 из п. 1 § 1 вопрос о сходи*
00
мости ряда £ p'k эквивалентен вопросу о сходимости ряда
k=\
00
J (cp’k). При этом, конечно, можно требовать, чтобы неравен-
4=1
ство (1.15) было выполнено лишь начиная с некоторого достаточ-
но большого номера k.
со
Следствие из теоремы 1.3. Если £ pk— ряд с неот-
4=1
СО
рицательными членами, — ряд со строго положительными
4=1
членами и если существует конечный предел
limA-=L,
&*►«> Pk
••
то сходимость ряда J] p'k влечет за собой сходимость ряда
4=1
оо	оо
pk, расходимость ряда	влечет за собой расходимость,
4=1	4=1
СО
ряда £
4=1
Доказательство. Так как lim-^4- = L, то по определе-
pk
нию предела для некоторого е>0 найдется номер N такой, что
при k^N
L—e < L +е.
Pk
Следовательно, при k^N справедливо неравенство Pk<(L+e,)pk.
Последнее неравенство совпадает с йеравенством (1.15) при с=
— L+e. В силу замечания 2 к теореме 1.3 следствие доказано.
оо	оо
Теорема 1.4. Пусть pk и ^p'k— два ряда со строго по-
4=1	4=1
ложительными членами. Пусть далее для всех номеров k справед-
ливо неравенство
(1.16)
Pki Pk
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
15
Тогда сходимость ряда p'k влечет за собой сходимость ряда
4=1
оо	со
pk, расходимость ряда pk влечет за собой расходимость
4=1	4=1
со
ряда J p'k.
4=1
Доказательство. Запишем неравенство (1.16) для k—1,
2, ..., п—1, где п — любой номер:
рз _£з_
Рз Рч
Рп Рп
Рп-1	Рп-1 ’
Перемножая почленно все написанные неравенства, получим
— < или р„<-А р'п.
Pi Pi	Pi
Поскольку в последнем, неравенстве величина с=pifpT представ-
ляет собой положительную постоянную, не зависящую от номера
п, то в силу замечания 2 к теореме 1.3 теорема 1.4 доказана.
Замечание к теореме 1.4. В условии теоремы 1.4 можно
требовать, чтобы неравенство (1.16) было выполнено не для всех
номеров k, а лишь начиная с некоторого номера k (см. замеча-
ние 2 и. 1 § 1).
Обе доказанные в настоящем пункте теоремы называют тео-
ремами сравнения или признаками сравнения.
Примеры. Г. Исследуем вопрос о сходимости ряда
V —-—, где b > 0.
Zj 2 + 6*
4=1
Если 6^1, то k-й член рассматриваемого ряда не стремится
к нулю при £->оо. Следовательно, нарушено необходимое условие
сходимости ряда, и ряд расходится. Если же й>1, то, поскольку
для любого номера k справедливо неравенство
1	i
2	+ 64	64
16
Гл. 1. Числовые ряды
оо
и ряд	сходится, теорема сравнения 1.3 позволяет утверж-
4=1
дать сходимость рассматриваемого ряда.
2°. Исследуем вопрос о сходимости для любого а<Т следую-
щего ряда:
<1Л7>
4-1
Этот ряд часто называют обобщенным гармоническим
рядом. Поскольку при а^1 для любого номера k справедливо
неравенство
£
k
и гармонический ряд
расходится 3>, то теорема сравнения
4=1
1.3 позволяет утверждать расходимость ряда (1.17) для любого
а^1.
3. Признаки Даламбера и Коши. К признакам сравнения непо-
средственно примыкают два весьма, употребительных признака
сходимости рядов с положительными членами — признаки Да-
ламбера и Коши, которые основаны на сравнении рассматривае-
мого ряда с рядом, составленным из элементов геометрической
прогрессии, а именно со сходящимся рядом
ОО
Е qk^q + q*+...+qk + ...> М< 1,	(1.18)
^“1
или с расходящимся рядом
•е
Еi=i+i + ...+i...
4=1
(1-19)
Теорема 1.5 (признак Даламбера)4). I. Если для всех но-
меров k, по крайней мере начиная с некоторого номера, справед-
ливо неравенство
3) Расходимость гармонического ряда обоснована в конце п. 2 § 1.
4> Жак Лерон Даламбер — французский математик и философ (1717—
1783).
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
	Р	/ р	\8) —-^>1) ,	(1.20) Pk	\ Pk	/
оо то ряд pk й=1	сходится (расходится).
II. Если существует предел
	цт-Щ-=£,	(1.21) Ph
90 то ряд k—i	сходится при L<1 и расходится при L>1.
Теорему II обычно называют признаком Даламбера в пре-
дельной форме. В этой форме он наиболее часто использу-
ется.
Доказательство. Докажем отдельно теоремы I и II.
1) Для доказательства теоремы I положим pk' = qk (р/г/=1).
О’ pk+i	, / Pk+i Д
Тогда —у— —q, где q < 1 —— 1 , и мы можем переписать-
Pk	\ Pk /
равенство (1.20) в виде
	< -к+х	f h+L.	.	(1,22> Pk	Pk	\ Pk	Pk /
Так как ряд p'k, совпадающий с рядом (1.18) ((1.19)), схо-
k=i
дится (расходится), то неравенство (1.22) на основании теоремы
00
сравнения 1.4 гарантирует сходимость (расходимость) ряда рк,
4=i
Теорема I доказана.
2) Докажем теперь теорему II. Если L<1, то найдется поло-
жительное число е такое, что L=1—2g, т. е. Е + е=1—е. По опре-
делению предела последовательности для указанного е найдется
номер N такой, что при k^N
Рь,.
L—е<-Щ-<£ + б==1_е.	(1.23)
Pk
Число L+g=l—е играет роль q в теореме 1. Ряд сходится.
Если же L>1, то найдется положительное число g такое, чта
L = l + e и L—е=1. В этом случае на основании левого из нера-
венств (1.23) получим
5) При этом, конечно, предполагается, что все члены ряда (по крайней ме-
ре начиная с некоторого номера) строго положительны.
18
Гл. 1. Числовые ряды
6=1 (при£>Л0.
Pk
со
Ряд Pk расходится на основании теоремы I. Теорема 1.5 пол-
4=1
ностью доказана.
Замечание к теореме 1.5. 1) Обратим внимание на то,
что в теореме 1.5 (I) неравенство —— С<7< 1 (для всех k,
Pk
pk+i
начиная с некоторого) нельзя заменить на —— < 1.
Pk
В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (1.13)
P4+l k , .
расходится, но для этого ряда ——  --------< 1 (для всех номе-
Pk k + 1
ров k).
2) Если в условиях теоремы 1.5 (II) L=l, то нельзя сказать
ничего определенного о сходимости ряда (т. е. при L=1 признак
Даламбера «не действует»), В самом деле, для гармонического
ряда (1.13) L=l, причем этот ряд, как мы знаем, расходится.
Вместе с тем для ряда
Si	<L24>
4=1
также L=l, но этот ряд, как будет показано в следующем пунк-
те, сходится.
Теорема 1.6 (признак Коши). I. Если для всех номеров k,
по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо нера-
венство
Vrp'k<4<i	(1-25)
00
mo ряд J? pk сходится (расходится).
k=i
II. Если существует предел
lim y^pk — L,	(1-26)
k-+#>
оо
mo ряд £ pk сходится при L<1 и расходится при L>1.
4=1
Теорему II обычно называют признаком Коши в пред.ель-
ной форме.
Доказательство. Докажем отдельно теоремы I и II.
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
19
1) Для доказательства теоремы I положим Pk'=qk (Рь'=1).
Тогда из неравенства (1.25) получим
pk^Pk (pk>pk).	(1.27)
CD
Так как ряд £ p’k, совпадающий с рядом (1.18) ((1.19)), сходит-
А=1
ся (расходится), то неравенство (1.27) на основании теоремы
сравнения 1.3 гарантирует сходимость (расходимость) ряда
со
pk. Теорема 1.6 (I) доказана.
4=1
2) Для доказательства теоремы (II) следует дословно повто-
рить схему доказательства теоремы 1.5 (II), заменив во всех.
р	ь __
рассуждениях >-*+1 на yfpk. Теорема 1.6 полностью доказана.
Pk
Замечания к теореме 1.6. 1) Как и в теореме 1.5 (1)„
в теореме 1.6 (I) неравенство ypt<</<l нельзя заменить на
V pk< 1-
2) При L = 1 признак Коши в предельной форме «не действу-
ет». Можно сослаться на два примера, указанные в соответствую-
щем замечании к признаку Даламбера.
Примеры. 1°. Исследуем вопрос о сходимости ряда
р №У
Li
Й=1
(1.28)
Применим признак Даламбера в предельной форме. Имеем
Pk
_ (уъу
ft!
pk+i	(/ fe+ 1)*+1 fe!
Pk (*+l)!(W
k
-l=fl +-LV. (1.29>
у k 1 \ k -
На основании (1.29)
lim—-+- = lim ( 1 _|_ — V I --
k-+to Pk k-*a>	k / J
k
= lim—L=. lim f 1 + — \ 2 = 0-Ve = 0< 1.
k-t-tx у k 4* 1 &->oo \ k /
т. e. ряд (1.28) сходится.
2°. Изучим вопрос о сходимости ряда
(1.30>
00
*=1
20
Гл. 1. Числовые ряды
Применим признак Коши в предельной форме. Имеем
VPk = ~^-	(1-31)
На основании6) (1.31) lim у pk =—lim f k = — < 1. Таким
A->CC	2 k-► on	2
образом, признак Коши устанавливает сходимость ряда (1.30).
Возникает вопрос о том, какой из двух признаков, Даламбе-
ра или Коши, является более сильным. Проанализируем этот
вопрос в отношении признаков Даламбера и Коши, взятых в пре-
дельной форме. Ниже будет доказано, что из существования
предела (1.21) вытекают существование предела (1.26) и факт
равенства этих пределов. Обратное неверно. В самом деле, лег-
ко убедиться в том, что для ряда
предел (1.26) существует и равен 1/2, в то время как предел
(1.21) вообще не существует. Таким образом, признак Коши
является более сильным, чем признак Даламбера, ибо всякий
раз, когда действует признак Даламбера, действует и признак
Коши и вместе с тем существуют ряды (например, ряд (1.32)),
для которых действует признак Коши и не действует признак
Даламбера. Несмотря на это, признак Даламбера на практике
употребляется чаще, чем признак Коши.
Итак, докажем
Утверждение. Из существования равного L предела
(1.21) вытекает существование равного тому же L предела
(1.26).
Доказательству утверждения предпошлем две леммы.
Лемма 1. Если последовательность {ал} сходится к преде-
лу I, то к тому же пределу сходится и последовательность ап =
= (а1+а2+.. ,+ап)/п средних арифметических чисел а\,а2,... ,ап.
Доказательство. Так как последовательность {ал} схо-
дится к пределу I, то для любого е>0 можно фиксировать но-
мер N такой, что \ап—/|<е/2 для всех n^N. Используя этот
факт и учитывая, что при всех n>N
& __I  (ai 04- • • • 4- (gn — 0 _
’> Для вычисления lim x1/JC следует прологарифмировать выражение
00
х1/* * х и применить правило Лопиталя.
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
21
__ Г (ах — О +	+	—О 1 । f (алч-1 ^) + ---+(ап — 01
I	п	JI	п	J ’
мы получим, что |ага—/|<е при всех n>Ni.
В самом деле, модуль дроби, заключенной в фигурные скоб-
ки, не превосходит числа — • ^п~меньшего е/2. Далее,
2 п
поскольку номер N фиксирован, модуль дроби, заключенной в
квадратные скобки, не превосходит е/2 при всех	где
Afi — достаточно большое число. Лемма доказана.
Лемма 2. Если последовательность положительных чисел
{ал} сходится к пределу L, то к тому же пределу сходится и
п /
последовательность Ьп = у аха2 ... ап средних геометрических
чисел й1, аг, • • •, а.п.
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу
непрерывности логарифмической функции для L >01im In ап =
П->00
= In L. Но тогда по лемме 1 о пределе среднего арифметичес-
кого существует предел
lim In ^aiaa ...ап = lim --lnai+1-naa+.---+ lna" = in L.
П->да	П
Из последнего равенства в силу непрерывности показательной
функции получим
Итпу^а^
п-+»
.ап = lim e,n^aia* '" an = elnL = Т.
fZ->CD
(Эти рассуждения справедливы и при L = 0, если считать lnL =
=—оо.) Лемма 2 доказана.
Доказательство у т в ер ж де н и я. Применяя лемму 2
к числам Oi=Pi, O2 = P2/Pi, an=Pnlpn-\, мы, опираясь на су-
ществование равного L предела (1.21), установим существова-
ние равного тому же L предела (1.26).
4. Интегральный признак Коши—Маклорена. Признаки Да-
ламбера и Коши оказываются непригодными для выяснения воп-
роса о сходимости некоторых часто встречающихся рядов с по-
ложительными членами. Так, например, с помощью этих призна-
ков нельзя выяснить вопрос о сходимости обобщенного гармони-
ческого ряда
(1.33)

(а — любое вещественное число).
В конце п. 2 мы установили, что при аС/1 ряд (1.33) расхо-
дится, однако остается открытым вопрос о сходимости этого ряда
22
Гл. 1. Числовые ряды
при а>1. В этом пункте мы установим еще один общий признак
сходимости ряда с неотрицательными членами, из которого, в ча-
стности, будет вытекать сходимость ряда (1.33) при а>1.
Теорема 1.7. (признак Коши —Маклорена). Пусть функция
f(x) неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой х^пг,
где т — любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд
£ /(^) = /(m) + f(m + l) + f(m+2)+ ...	(1.34)
k=m
сходится в том и только в том случае, когда существует предел
при п-^оо последовательности
an=$f(x)dx.	(1.35>
m
Доказательство. Пусть k — любой номер, удовлетворя-
ющий условию 6^т+1, ах — любое значение аргумента из сег-
мента k—\^x^k. Так как по условию функция f(x) не возрастает'
на указанном сегменте, то для всех х из указанного сегмента*,
справедливы неравенства
f(k)^f(x)^f(k-l).	(1.36)
Функция f(x), будучи ограниченной и монотонной, интегрируема
на сегменте [k—1, k\ (см. п. 2 § 3 гл. 9 ч. 1). Более того, из нера-
венства (1.36) и из свойства б) (см. п. 2 § 4 гл. 9 ч. 1) вытекает,
что
j /(6)dx< J /(x)dx< J f(k—l)dx,
4—1	4—1	4—1
ИЛИ
4
f(k) < f f(x)dx«f(6-l).	(1.37>
4—1
Эти неравенства установлены нами для любого 6^т+1. Запи-
шем их для значений 6, равных т+1, т+2, ..., п, где п — любой
номер, превосходящий т:
/(т+1)<У /(x)dx </(т),
т
т+2
f(m+2)< J f(x)dx <	1),
m-f-t
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
23
/(п) < j	1).
n—1
Складывая почленно записанные неравенства, получим
п	п	п—1
£ f(fe)< $f(x)dx< £/(*)•	(1.38)
1	т	'k=m
Договоримся обозначать символом Sn п-ю частичную сумму
ряда (1.34), равную
5n=
k—m
Приняв это обозначение и учитывая обозначение (1.35), мы можем
следующим образом переписать неравенства (1.38):
Sn—f(m^an^Sn-i.	(1.39)
Эти неравенства позволяют без труда доказать теорему. В са-
мом деле, из формулы (1.35) очевидно, что последовательность
{ап} является неубывающей. Следовательно для сходимости этой
последовательности необходима и достаточна ее ограниченность.
Для сходимости ряда (1.34) в силу теоремы 1.2 необходима и дос-
таточна ограниченность последовательности {5Я}. Из неравенств
(1.39) вытекает, что последовательность {Sn} ограничена тогда и
только тогда, когда ограничена последовательность {ап}, т. е.
тогда и только тогда, когда последовательность {ап} сходится. Тео-
рема доказана.
Примеры. 1°. Прежде всего применим интегральный признак
'Коши—Маклорена для выяснения сходимости обобщенного гармо-
нического ряда (1.33). Поскольку ряд (1.33) можно рассматривать
как ряд вида (1.34) при т=1, f(x) = l/xa и функция f(x) убывает
и положительна на полупрямой х^1, вопрос о сходимости ряда
(1.33) эквивалентен вопросу о сходимости последовательности
{ап}, где
Х=П	п^~а  1
=------------ при а#: 1,
Х=1	1 — а
1п = 1п п при а=1.
Из вида элементов ап вытекает, что последовательность {а„}
расходится при а^1 и сходится при а>1, причем в последнем
случае lim ап = —-—. Таким образом, ряд (1.33) расходится при
П->со	(Z — 1
«^1 (это мы уже установили выше другим способом) и сходится
24
Гл. 1. Числовые ряды
при а>1. В частности, при а = 2 ряд (1.33) переходит в ряд (1.24),
сходимость которого мы теперь можем утверждать.
2°. Исследуем вопрос о сходимости ряда
(1.40>
где р — фиксированное положительное вещественное число. Ряд
(1.40) можно рассматривать как ряд вида (1.34) при т=2 и
f(x)= х1п₽х • Поскольку функция f(x) неотрицательна и невоз-
растает на полупрямой х^2, вопрос о сходимости ряда (1.40) эк-
вивалентен вопросу о сходимости последовательности {ая}, где
1-₽
1-₽
In 1пх|х=2 = In Inn—In In 2 при Р = 1.
Из вида элементов ап вытекает, что последовательность {а,}
сходится при р>1 и расходится при р^1. Таким образом, ряд
(1.40) сходится при р>1 и расходится при р^1.
5. Признак Раабе. Признаки Даламбера и Коши были ос-
нованы на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, пред-
ставляющим собой сумму членов геометрической прогрессии.
Естественно, возникает идея о получении более тонких призна-
ков, 'основанных на сравнении рассматриваемого ряда с други-
ми стандартными рядами, сходящимися или расходящимися
«медленнее», чем ряд, составленный из всех членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
В этом пункте мы установим признак, основанный на сравне-
нии рассматриваемого ряда с изученным в предыдущем пункте
стандартным рядом
(1-41)
Теорема 1.8 (признак Раабе7 8)). I. Если для всех номеров
k, по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо
неравенство
k fl — РЦ1.\	1 (k fl —	< iV1, (1.42)
Pk >	\ \ Pk J
7) Иозеф Людвиг Раабе — швейцарский математик (1801—1859).
8) Конечно, при этом предполагается, что ряд Pk, по крайней мере
й=1
начиная с некоторого номера, имеет строго положительные члены.
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
25
то ряд pk сходится (расходится).
*=i
II. Если существует предел
k-
Pk+i
Pk
(1-43)
то ряд ^Pk сходится при L>1 и расходится при L<1. Теоре-
му II обычно называют признаком Раабе в предельной
форме.
Доказательство. Докажем отдельно теоремы I и II.
1) Для доказательства теоремы I перепишем неравенство (1.42)
в виде
Pk+i j  Я / Pk+i
Pk	Ь \ pk
Так как q> 1, то найдется некоторое число а, удовлетворяющее
неравенствам <7>а>1. Разложив функцию (1+х)“ по формуле
Маклорена с остаточным членом в форме Пеано (см. п. 2 § 9
гл. 6 ч. 1), будем иметь
(1+х)“=1 + ах+о(х).
Полагая в последней формуле х —-----—, получим
k
(1-44)
(1-45)
Поскольку последовательность ° является бесконечно ма-
лой', то, начиная с некоторого номера k0, справедливо неравен-
ство
О
1
k
Сопоставляя (1.45) и (1.46), получим неравенство
/.	1\ »	. а ,	. ~	,
(1-46)
k
(1-47)
Сравнение неравенств (1.44) и (1.47) дает
Pk
1 \ , .
— 1 (при k
26
Гл. 1. Числовые ряды
Последние неравенства можно переписать в виде
< —-— I	> —— I (при k ka). (1.48>
:	I	г
Pk 1 I Pk 1
(fe—1)“ \	k — 1
Поскольку ряд (1.41) сходится при а>1 и расходится при.
а=1, то неравенства (1.48) и теорема сравнения 1.4 позволяют
утверждать, что ряд сходится (расходится). Теорема I
доказана.
2) Точно так же, как и в признаках Даламбера и Коши, ми
сведем теорему II к теореме I. Пусть сначала L>1. Положим
e=(L—1)/2, <y=l + e = L—е. По определению предела (1.43) для
этого е можно указать номер /г0, начиная с которого
А | 1 ^±1)—£ <; е и, следовательно, справедливо левое
I \ Pk /
неравенство (1.42). Если же L<1, то мы положим е=1— L и,
используя определение предела (1.43), получим, что, начиная
с некоторого номера ko, справедливо правое неравенство (1.42)„
Теорема 1.8 полностью доказана.
Замечание. В теореме 1.8 (I) в левом неравенстве (1.42)
нельзя взять <у=1 (при этом сходимость ряда может не иметь
места). При L=1 теорема 1.8 (II) «не действует» (возможны и
сходимость и расходимость ряда).
В качестве примера исследуем вопрос о сходимости ряда
со	—f 1-|------h — -h ... Н-------I
\	2	3	k ~ 1 /
2^ Pk> где Pk — a	, а == const > 0.
Признаки Даламбера и Коши в применении к этому ряду «не
действуют». Применим признак Раабе. Легко проверить, что
k( 1 —
\ Pk
Последняя дробь при /г->оо стремится к производной функции
ах в точке х=0, т. е. стремится к In а. В силу признака Раабе
рассматриваемый ряд сходится при 1па>1, т. е. при а>е, и рас-
ходится при 1па<1, т. е. при а<е. При а=е вопрос о сходимо-
сти ряда требует дополнительного исследования, так как при-
знак Раабе «не действует». Другим примером ряда, в примене-
§ 2. Ряды с неотрицательными членами
27
нии к которому «не действует» признак Раабе, может служить
ряд (1.40).
6. Отсутствие универсального ряда сравнения. Мы уже от-
мечали, что признаки Даламбера и Коши основаны на сравне-
нии рассматриваемого ряда с рядом, составленным из всех
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а
признак Раабе — на сравнении с более медленно сходящимся
(или расходящимся) рядом (1.41).
Естественно, возникает вопрос о том, не существует ли та-
кой универсальный (предельно медленно!) сходящийся (или
расходящийся) ряд, сравнение с которым позволило бы сделать
заключение о сходимости (или расходимости) любого наперед
взятого ряда с неотрицательными членами. Докажем, что тако-
го универсального ряда не существует.
CD	СО
Пусть даны два сходящихся ряда £ Pk и ]Гр4; обозначим
4=1	4=1
символами гп и гп' соответственно их n-е остатки. Будем гово-
СО	CD
рить, что ряд сходится медленнее, чем ряд если
4=1	4=1
lim-^ = 0.
п-><» гп
Утверждение. Для каждого сходящегося ряда существу-
ет ряд, сходящийся медленнее этого ряда.
CD
В самом деле, пусть ^Tpk— любой сходящийся ряд, гп,
k=\
оо
(п>0) — его n-й остаток9*. Докажем, что ряд ^р4, где =
4=1
со
= Уrk-\—Уrk сходится медленнее, чем ряд £pft.B самом де-
4=1
СО
ле, если гп' — п-й остаток ряда £ Pk> то
4=1
НтЛ-= lim—^ = 0.
П—> 00	7*п	n-> CD F Г П
Теперь докажем отсутствие универсального сходящегося ря-
да, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о
сходимости любого наперед взятого сходящегося ряда. В самом
’> За го принимаем всю сумму

k=\
28
Гл. 1. Числовые ряды
деле, если бы такой универсальный сходящийся ряд дР* СУ*
4=1
СО
ществовал, то взяв для него построенный выше ряд р*, мы
4=1
получили бы, что
limlim 1^2 ~7=-= lim (Kr4-i + Vrk) = 0.
fe->co	k-*<o у k—1 У
Таким образом, из сравнения с рядом V pk нельзя сделать
А»*
k=\
00
заключения о сходимости ряда ^Гр4- Аналогично доказывает-
4=1
ся отсутствие универсального расходящегося ряда, сравнение с
которым позволило бы сделать заключение о расходимости лю*
бого наперед взятого расходящегося ряда.
§ 3.	АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
1.	Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов. Теперь
мы перейдем к изучению рядов, члены которых являются веще-
ственными числами любого знака.
Определение 1. Будем называть ряд
(1.49>
абсолютно сходящимся, если сходится ряд
00
S 1Uft|-
(1.50)
Заметим, что в этом определении ничего не сказано о том,
предполагается ли при этом сходимость самого ряда (1.49). Ока-
зывается, такое предположение оказалось бы излишним, ибо
справедлива следующая теорема.
Теорема 1.9. Из сходимости ряда (1.50) вытекает сходи-
мость ряда (1.49).
Доказательство. Воспользуемся критерием Коши для
ряда (т. е. теоремой 1.1). Требуется доказать, что для любого е>
>0 найдется номер N такой, что для всех номеров п, удовлетво-
ряющих условию nx>N, и для любого натурального р справедливо
неравенство
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
2»
«+р
I £ uft|<e.	(1.51>
fe=«+i
Фиксируем любое е>0. Так как ряд (1.50) сходится, то в силу
теоремы 1.1 найдется номер N такой, что для всех номеров п,
удовлетворяющих условию n:>N, и для любого натурального р
справедливо неравенство
п+р
У |«й|<е.	(1.52>
й=п4-1
Так как модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит
суммы их модулей, то
«+р	«+р
I £ ы*|< У	а-53>
Л=п-}-1	Л=п-}-1
Сопоставляя неравенства (1.52) и (1.53), получим неравенства
(1.51). Теорема доказана.
Определение 2. Ряд (1.49) называется условно сводя-
щимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий
ряд из модулей (1.50) расходится.
Примером абсолютно сходящегося ряда может служить ряд.
А=1
Этот ряд сходится абсолютно, ибо при а>1 сходится ряд (1.33).
Приведем пример условно сходящегося ряда. Докажем услов-
ную сходимость ряда
<IS4>
й-=1
Так как соответствующий ряд из модулей (гармонический ряд),
как мы уже знаем, расходится, то для доказательства условной
сходимости ряда (1.54) достаточно доказать, что этот ряд сходит-
ся. Докажем, что ряд (1.54) сходится к числу 1п2. В п. 2 § &
гл. 6 ч. 1 мы получили разложение по формуле Маклорена функ-
ции
_	у2	уЗ	у4	уП
In (1 + х) = Х-^~ + -Д----4- +... + (- 1 Г-1 — + /?п+1 (X).
А о 4	/I
Там же для всех х из сегмента 0<х<1 получена следующая оцен-
ка остаточного члена:
30
Гл. 1. Числовые ряды
!Я„+1(х) |<1/(п+1).
Полагая в двух последних соотношениях х=1, будем иметь
1	1	1	(_ПЛ-1
1П2=1—2- + -1—2-+	+^+1(1),
Z О 4	П
где
|Я„+1(1)|<1/(п+1),
или
И1-—+---------L+...+_l=U22]_]n2l<—L_. (1.55)
I L 2	3	4	nJ I n +1 v '
Обозначая через Sn п-к> частичную сумму ряда (1.54), мы мо-
жем переписать последнее неравенство (1.55) в виде
|Sn—1п2| <1/(и+1).	(1.56)
Из (1.56) следует, что разность Sn—In 2 представляет собой бес-
конечно малую последовательность. Это и доказывает сходимость
ряда (1.54) к числу In 2.
2.	О перестановке членов условно сходящегося ряда. Одним
из важнейших свойств суммы конечного числа вещественных сла-
гаемых является переместительное свойство. Естественно, возни-
кает вопрос, остается ли справедливым это свойство для суммы
сходящегося ряда, т. е. может ли измениться сумма сходящегося
ряда от перестановки членов этого ряда. В этом пункте мы выяс-
ним этот вопрос в отношении условно сходящегося ряда. Начнем
рассмотрение с изучения некоторой конкретной перестановки чле-
нов ряда (1.54). Для удобства запишем ряд (1.54) в виде
В конце предыдущего пункта мы доказали, что ряд (1.54) схо-
дится условно и имеет сумму In 2. Переставим теперь члены ряда
(1.54) так, чтобы после одного положительного члена стояли два
отрицательных члена. В результате такой перестановки членов
получим ряд
1_____________1__________1_
2k — 1	4й — 2	4fe
(1-57)
Докажем, что ряд (1.57), полученный в результате указанной
перестановки членов ряда (1.54), сходится и имеет сумму, вдвое
меньшую, чем ряд (1.54). Будем обозначать т-е частичные сум-
мы рядов (1.54) и (1.57) символами Sm и Sm' соответственно. Мо-
жем записать:
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
31
=-Ly(--!-----------L\=_Lsam.
2 4J \ 2k — 1 2k I 2 2
й=1
Итак,
S;m = ^S2m.	(1.58)
Далее, очевидно, что
Sim—i = — S2m + —,	(1.59)
2 4m
$3m—2=>$3т—1 + ~----(1.60)
4m — 2
Поскольку limS2m = S, в пределе при m->oo из формул (1.58),
(1.59) и (1.60) получим
limS3OT = —5, lim S3m—[ = ——S, 11гп5зт_2 =——S.
т-+<п	2	т-*«о	2	т-*<х>	&
Таким образом, ряд (1.57) сходится и имеет сумму, равную
Так как £=1п2#=0, то -y-S#=S. Следовательно, в ре-
зультате указанной выше перестановки членов сумма условно схо-
дящегося ряда (1.54) изменилась. Рассмотренный нами пример
показывает, что условно сходящийся ряд не обладает перемести-
тельным свойством. Полную ясность в вопрос о влиянии переста-
новок членов на сумму условно сходящегося ряда вносит следу-
ющее замечательное утверждение, принадлежащее Риману.
Теорема 1.10 (теорема Римана). Если ряд сходится условно,
то, каково бы ни было наперед взятое число L, можно так пере-
ставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился
к числу L.
Доказательство. Пусть
со
й=1
(1-61)
произвольный условно сходящийся ряд. Обозначим через pi, рз,
Рз, ... положительные члены ряда (1.61), выписанные в таком по-
рядке, в каком они стоят в этом ряде, а через qi, qz, 7з, ... моду-
ли отрицательных членов ряда (1.61), выписанные в таком же
порядке^ в‘ каком они стоят в этом ряде. Ряд (1.61) содержит бес-
32
Гл. 1. Числовые ряды
конечное число как положительных, так и отрицательных членов,
ибо если бы членов одного знака было конечное число, то, отбро-
сив не влияющее на сходимость конечное число первых членов,
мы бы получили бы ряд, состоящий из членов одного знака, для
которого сходимость означала бы абсолютную сходимость.
Итак, с рядом (1.61) связаны два бесконечных ряда с поло-
00	CD
жительными членами и qk. Будем обозначать первый
fe=l	Й=1
из этих рядов символом Р, а второй — символом Q. Докажем,
что оба ряда Р и Q являются расходящимися. Обозначим симво-
лом Sn п-к> частичную сумму ряда (1.61), символом Рп сумму
всех положительных членов, входящих в Sn, символом Qn сумму
модулей всех отрицательных членов, входящих в Sn. Тогда, оче-
видно, Sn=Pn—Qn, и так как по условию ряд (1.61) сходится к
некоторому числу S, то
lim (P„-Q„) = S.	(1.62)
П-»
С другой стороны, так как ряд (1.61) не сходится абсолютно,
то
lim(Pn+Qn)= + cx>.	(1.63)
П—>оо
Сопоставляя (1.62) и (1.63), получим limP„=+oo, limQn =
= +оо, т. е. доказано, что оба ряда Р и Q расходятся. Из расхо-
димости рядов Р и Q вытекает, что даже после удаления любого
конечного числа первых членов этих рядов, мы можем взять из
оставшихся членов как ряда Р, так и ряда Q столь большое число
членов, что их сумма превзойдет любое наперед взятое число.
Опираясь на этот факт, докажем, что можно так переставить
члены исходного ряда (1.61), что в результате получится ряд,
сходящийся к наперед взятому числу L. В самом деле, выберем
из исходного ряда (1.61) ровно столько положительных чле-
нов рг, рй, ... , чтобы их сумма рх + р2 + ... + pk, превзо-
шла L. Добавим к выбранным членам ровно столько отри-
цательных членов —71, —72, .. •, —7йг> чтобы общая сумма
Pi + Pi + • • • + /Ч—<71—4i——4k, оказалась меньше L. За-
тем снова добавим ровно столько положительных членов
Pfe,+i, Pk,+2, .., pk„ чтобы общая сумма рг+ р2 + ... + Pk,~7i—
—72—...—qk,+pk,+i +    + Pk,	оказалась больше L. Про-
должая аналогичные рассуждения далее, мы получим бесконечный
ряд, в состав которого войдут все члены исходного ряда (1.61),
так как каждый раз нам придется добавлять хотя бы один поло-
жительный или отрицательный член исходного ряда.
Остается доказать, что полученный ряд сходится к L. Заметим,
что в полученном ряде последовательно чередуются группы по-
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
33
ложительных и группы отрицательных членов. Если частичная
сумма полученного ряда заканчивается полностью завершенной
группой, то отклонение этой частичной суммы от числа L не пре^
восходит модуля последнего его члена 10). Если же частичная сум-
ма заканчивается не полностью завершенной группой, то отклоне-
ние этой частичной суммы от числа L не превосходит модуля по-
следнего члена предпоследней из групп. Для установления сходи-
мости ряда к L достаточно убедиться в том, что модули послед-
них членов групп образуют бесконечно малую последователь-
ность, а это непосредственно вытекает из необходимого условия
сходимости исходного ряда (1.61). Теорема Римана доказана.
Замечание. Аналогично можно было бы доказать, что если
ряд сходится условно, то его члены можно переставить так, что
последовательность частичных сумм преобразованного ряда будет
бесконечно большой последовательностью, все элементы которой,
начиная с некоторого номера, положительны (соответственно от-
рицательны).
3.	О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. В пре-
дыдущем пункте мы доказали, что условно сходящийся ряд не об-
ладает переместительным свойством. Докажем, что для всякого
абсолютно сходящегося ряда справедливо переместительное свой-
ство.
Теорема 1.11 (теорема Коши). Если данный ряд сходится
абсолютно, то любой ряд, полученный из данного посредством не-
которой перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет
ту же сумму, что и данный ряд.
Д о к а з ате-л ьство. Пусть ряд
f uk	(1.64)
a=i
сходится абсолютно и сумма ряда равна S. Пусть, далее,
со
(1.65)
k=i
ряд, полученный из ряда (1.64) посредством некоторой переста-
новки членов. Требуется доказать, что: 1) ряд (1.65) сходится и
имеет сумму, равную S; 2) ряд (1.65) сходится абсолютно. Дока-
жем сначала 1). Достаточно доказать, что для любого е>0 най-
дется номер N такой, что при n^N
|	—S|<e.	(1.66)
__________ А=1
10) Так как мы добавляем в данную группу члены ровно до тех пор, пока
общая сумма «не перейдет» через число L.
2 Зак. 25
34
Гл. 1. Числовые ряды
Фиксируем произвольное е>0. Так как ряд (1.64) сходится аб-
солютно и имеет сумму, равную S, то для выбранного е>0 можно
указать номер No такой, что будут справедливы неравенства
о+р
^2 1и/гК~ (Р — любое натуральное число) (1.67)
Л=ЛГ0-|-1
и
, Л'°	in
.	(1.68)
4=1
Выберем теперь номер N столь большим, чтобы любая частич-
ная сумма Sn' ряда (1.65) с номером п, превосходящим N, со-
держала все первые No членов ряда (1.64) * 12).
Оценим разность, стоящую в левой части (1.66), и докажем,
что при n^N для этой разности справедливо неравенство (1.66).
В самом деле, указанную разность можно представить в виде
у s=(£ u'k~	+ (£u*—s)-
4=1	4=1	k=\	4=1
Так как модуль суммы двух величин не превосходит
модулей, то из (1.69) получим
1£ ы*-£>1+15>~sl-
4=1	fe=i 4=1	4=1
(1.69>
суммы их
(1.70)
Из неравенств (1.68) и (1.70) очевидно, что для доказательст-
ва неравенства (1.66) достаточно доказать, что при n>-N
п	N „
(1.71)
Для доказательства неравенства (1.71) заметим, что при п>У
первая из сумм, стоящих в его левой части, содержит все No пер-
вых членов ряда (1.64). Вследствие этого разность
п	N,
(L72>
4=1	4=1
“> Номер No в неравенствах (1.67) и (1.68) можно взять один и тот же.
В самом деле, предварительно записав указанные два неравенства с разными
номерами No, мы затем можем взять наибольший из двух номеров No.
12) Такой номер N выбрать можно, ибо ряд (1.65) получается из ряда (1.64)
посредством некоторой перестановки членов.
§ 4. Признаки сходимости произвольных рядов
35
представляет собой сумму п—No членов ряда (1.64) с номерами,
каждый из которых превосходит No,
Если выбрать натуральное р столь большим, чтобы номер Лг0+
+р превосходил номера всех n—N0 членов только что указанной
суммы, то для разности (1.72) во всяком случае справедливо не-
равенство
I	- lufel'	(1-73)
4=1	4=1	k=N,+ l
Из неравенств (1.73) и (1.67) вытекает неравенство (1.71). Тем
самым доказано неравенство (1.66), т. е. доказано, что ряд (1.65)
сходится и имеет сумму, равную S. Остается доказать утвержде-
ние 2) о том, что ряд (1.65) сходится абсолютно. Доказательст-
во этого утверждения следует из утверждения 1), если его при-
менить к рядам
£ Ы и £|14|.	(1.74)
4=1	4=1
При этом мы докажем сходимость второго из рядов (1.74), т. е.
докажем абсолютную сходимость ряда (1.65). Теорема 1.11 пол-
ностью доказана.
§ 4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
РЯДОВ
В § 2 мы установили ряд признаков сходимости для рядов с
неотрицательными членами. Здесь мы изучим вопрос о призна-
ках сходимости для рядов с членами любого знака. Итак, пусть
(1.75)
4=1
ряд, члены которого имеют какие угодно знаки. Прежде всего
заметим, что для установления абсолютной сходимости этого ря-
да, т. е. для установления сходимости ряда с положительными
членами
(1.76)
4=1
можно применить любой из признаков § 2 (признак Даламбера,
Коши, Раабе или интегральный признак). Однако ни один из ука-
занных признаков не дает возможности выяснить более тонкий
вопрос об условной сходимости ряда (1.75) 13).
13) Заметим, что признаки Даламбера и Коши можно применять для уста-
новления расходимости ряда с членами любого знака (1.75). В са-
2*
36
Гл. 1. Числовые ряды
Ниже мы и займемся отысканием более тонких признаков, по-
зволяющих устанавливать сходимость ряда (1.75) и в тех случа-
ях, когда этот ряд не является абсолютно сходящимся.
Начнем рассмотрение с вывода одного важного тождества,
представляющего собой основной инструмент для установления
формулируемых ниже признаков.
Утверждение. Пусть {uk} и {о*.} — две произвольные после-
довательности, Sk—и1+и2+.. .+и/г, пир — два произвольных но-
мера (n>0, So=O). Тогда справедливо тождество
п+р	п+р—1
ukvk=	vk+l) + §n+pvn+p Snvn+1> (1.77)
называемое преобразованием Абеля.
Так как для любого справедливо равенство «*=S*—S*-i,
то левой части (1.77) можно придать вид
п+р	п+р	п+р
У	ukvk— У Skvk— У Sk—iVh.	(1-78)
Ляел+1	Л«=п4-1
В последней сумме правой	части (1.78)	заменим	индекс суммиро-
вания k на Л+1. В результате получим
п+р	п+р	п+р—1	п+р—1
У ukvk— У SkVk— У Skvk+1~ У Sk(Vk С'/г+1) +
k= л-Н	' Л"*п	A=n-j-l
“I"
Таким образом, тождество Абеля (1.77) доказано.
мом деле, всякий раз, когда признак Даламбера или Коши констатирует расхо-
Оо
димость ряда из модулей У	k-к член ряда (1.76) |и*| не стремится
А=1
к нулю при fe->oo, т. е. ряд (1.75) расходится. В качестве примера установим,
ОО
что ряд fe!	расходится для любого фиксированного значения х,
fe=l
удовлетворяющего неравенству |х|>е. Отметим, что непосредственная провер-
ка того, что k-й член рассматриваемого ряда не стремится к нулю при
является затруднительной. Применим к рассматриваемому ряду признак Да-
I ak+i I
ламбера. Обозначая fe-й член этого ряда через а*, будем иметь ---------------—
l“fel
Iх!	,. !afe+il |х|	„
/-----1—ПТ» откуда lim ---------—------->1. Расходимость ряда доказана.
k-ж 1а*1 е
§ 4. Признаки сходимости произвольных рядов	37
Определение 1. Последовательность {оь} назовем после-
довательностью с ограниченным изменением, ес-
ли сходится ряд
£ 1»Ж-°*1-	(1-79)
Очевидно следующее
Утверждение 2. Всякая последовательность с ограничен-
ным изменением является сходящейся.
В самом деле, из сходимости ряда из модулей (1.79) вытекает
сходимость ряда без модулей
£ [vh-1-vJ.	(1-80)
*=i
Обозначив сумму ряда (1.80) через S, а n-ю частичную сумму
этого ряда через Sn и учитывая, что Sn=un+i—Щ, получаем, что
lim = lim существует и равен S+щ. Это означает, что по-
следовательность {Vk} сходится к пределу S+щ.
Теорема 1.12 (первый признак Абеля). Если ряд
£ uk	(1.81)
*—i
обладает ограниченной последовательностью частичных сумм, а
{vk} представляет собой последовательность с ограниченным изме-
нением, сходящуюся к нулю, то ряд
ukvk	(1.82)
*-i
сходится.
Доказательство. По условию существует число Л4>0 та-
кое, что последовательность частичных сумм {SnJ ряда (1.81)
удовлетворяет условию |Sn|<M.
Фиксируем произвольное е>0 и по нему номер N такой, что
при n~>N и для любого натурального р справедливы неравенства
в
злГ’
п+р—1
*=п+1
Ы<
(1-83)
(1-84)
(здесь мы воспользовались сходимостью к нулю последователь»
ности {vk} и сходимостью ряда (1.79)).
38
Гл. 1. Числовые ряды
В силу тождества Абеля (1.77) и в силу того, что модуль сум-
мы трех величин не превосходит сумму их модулей, получаем
I V, U-kvk |^| £	yfe+l) I 4" l^n+p I' lvn+p I 4~ l^n I  I ^n+l I •
k=n-^l	A=n+1
Так как для всех номеров п справедливо неравенство |Sn| <
<.М, то
| £	£ |f*+i—«J +М1^+Р1 +мк+1|.
А=п+1
Сопоставляя последнее неравенство с (1.83) и (1.84), получа-
ем, что при всех n^N и для любого натурального р
п + р
| £ «л|<е.	(1-85)
*—«+1
а это и означает, что ряд (1.82) сходится (в силу критерия Ко-
ши). Теорема 1.12 доказана.
Теорема 1.13 (второй признак Абеля). Если ряд (1.81) схо-
дится, a представляет собой совершенно произвольную после-
довательность с ограниченным изменением, то ряд (1.82) схо-
дится.
Доказательство. Так как сходящийся ряд (1.81) заведо-
мо обладает ограниченной последовательностью частичных сумм
{Sn}, то существует постоянная Л1>0 такая, что |5П|<Л1 для
всех номеров п.
Обозначим сумму ряда (1.81) через S, а предел последова-
тельности {vk} через V. Тогда можно утверждать, что каждое из
произведений {Snun} и {SnUn+i} сходится при п->оо к пределу S-v,
а потому каждая из последовательностей
{S„v„-Su} и {Snun+i-Sv}	(1.86)
является бесконечно малой.
Учитывая это и сходимость ряда (1.79) и фиксируя произволь-
ное е>0, мы найдем номер М такой, что при всех n^N и для лю-
бого натурального р
п+р—1
|S„fn-Sv|<V> l^n+x-&>1< V-	S
О	О	яаа	О/Н
А=п+1
(1-87)
Неравенства (1.87), оценка |Sn|<Al и тождество Абеля (1.77),
переписанное в виде
§ 4. Признаки сходимости произвольных рядов
39
п+₽	«+р—1
У*, ukvk~ У §k(.vk yfe+i) "Ь ["^n+p^n+p St] + [Sf S„Vn4-1],
feeen-f-l	Л=»п-]-1
позволяют нам утверждать справедливость неравенства (1.85)
(при всех nz>N и для любого натурального р). В силу критерия
Коши теорема 1.13 доказана.
Следствие 1 из теоремы 1.12 (признак Дирихле —
Абеля). Если ряд (1.81) обладает ограниченной последователь-
ностью частичных сумм, a {щ} представляет собой невозрастаю-
щую последовательность, сходящуюся к нулю, то ряд (1.82) схо-
дится.
Достаточно заметить, что невозрастающая сходящаяся к нулю
последовательность является последовательностью с ограничен-
ным изменением, ибо для нее n-я частичная сумма Sn ряда (1.79)
равна Vi—vn+i и имеет предел, равный Уь
Чтобы сформулировать еще одно следствие из теоремы 1.12
введем понятие ряда Лейбница.
Определение 2. Назовем ряд знакочередующимся,
если все его члены с нечетными номерами положительны, а все
члены с четными номерами отрицательны.
Определение 3. Знакочередующийся ряд, модули членов
которого образуют невозрастающую сходящуюся к нулю последо-
вательность, назовем рядом Лейбница.
Следствие 2 из теоремы 1.12 (признаки Лейбница).
Всякий ряд Лейбница сходится.
В самом деле, всякий ряд Лейбница можно записать в виде
^ ( —l)*-4 = fi—fj + t's—р<+•••»	(1.88)
к—1
где {vk} — невозрастающая сходящаяся к нулю последователь-
ность (все Ofe>0). Такой ряд представляет собой частный случай
ряда (1.82) при u*=(—l)fe-1 с рядом (1.81), обладающим ограни-
ченной последовательностью частичных сумм * 14). В таком случае
справедливость признака Лейбница вытекает из уже доказанно-
го -признака Дирихле — Абеля (следствия 1 из теоремы 1.12).
Замечание. Легко убедиться в том, что для произвольного
ряда Лейбница (1.88) последовательность {San} частичных сумм
с четными номерами является неубывающей, а последователь-
ность {S2n-i} частичных сумм с нечетными номерами является не-
возрастающей. Отсюда и из замечания 3 к теореме 3.15 ч. 1 выте-
кает, что' сумма S ряда Лейбница (1.88) для любого номера п
удовлетворяет неравенствам
	San-cS-cSzn—1-
i4) Последовательность Sn частичных сумм ряда (1.81) с членами и*=
= (—I)*-1 имеет вид 1, О, 1, 0, ....
40
Гл. 1. Числовые ряды
Так как S2n-i—S2n=v2n, то каждая из сумм S2n и S2n-i откло-
няется от S не более чем на «2п. Отсюда и из того, что
>и2п, вытекает, что для любого номера п справедлива оценка
|Sn—S|<un. Эта оценка играет важную роль для приближенного
вычисления суммы ряда Лейбница с помощью его частичной
суммы.
Примеры. Г. Выше с помощью формулы Маклорена для
функции 1п(1+х) мы уже доказали сходимость ряда
2 + 3	4 + ’ ’ ‘ + 2й — I 2k
Заметим, что сходимость этого ряда сразу вытекает из призна-
ка Лейбница.
2°. Изучим вопрос о сходимости ряда
2	3 + 4 + 5	6+”‘+ 3k — 2 + 3k—1 3k
Этот ряд является рядом вида (1.82) при «* = —, «1=1, и2—
k
= 1, «3 = —2,	«4=1, «5=1, «6= —2, ...
Легко видеть, что последовательность частичных сумм ряда
(1.81) с такими «* имеет вид 1, 2, 0, 1, 2, 0, ..., т. е. является
ограниченной.
Так как последовательность {!/£} не возрастает и сходится к
нулю, то исследуемый ряд сходится по признаку Дирихле —
Абеля.
3°. Выясним вопрос о сходимости ряда
Seos kx
k
где х — не-
k=i
которое фиксированное вещественное число. Пользуясь обозначе-
ниями теоремы 1.13, положим uk=coskx, vk = —~. Оценим после-
k
довательность частичных сумм {Sn} ряда £ uk. Поскольку для
Й=1
любого номера k
sin (k+ —х— sin fk-------x = 2 sin — coskx,
\	2 )	\	2 )	2
то, суммируя это соотношение rio k от 1 до п, получим
п
sin (п+ —'j х— sin — = 2sin — Vcoskx = 2Snsin —.
\	2 /	2	2 Li	2
ft=i
§ 5. Арифметические операции над сходящимися рядами
41
Отсюда
sin
s„ = —
1. V	х
— X — sin —
2 )	2
2sin —
2
Таким образом, для любого х, не кратного 2л, последова-
тельность частичных сумм {Sn} ограничена:
|3„|<-------—
X
sin —
2 I
По теореме 1.13 рассматриваемый ряд сходится для любого
значения х, не кратного 2л. Если же х кратно 2л, то рассматри-
ваемый ряд превращается в гармонический и, как доказано вы-
ше, расходится.
§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД
СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о возможности по-
членного сложения и перемножения сходящихся рядов.
СО	со
Теорема 1.14. Если два ряда Е и Е vk сходятся и
4=1	4=1
имеют суммы, соответственно равные U и V, то и ряд
(«4 ± vk) сходится и имеет сумму, равную U± V.
4=1
Доказательство. Обозначим п-е частичные суммы рядов
’со	оо	оо
(«4±^4)> uk и £ vk соответственно через Sn, Un и Vn.
4=1	4=1	4=1
Тогда, очевидно, Sn==Un±Vn- Так как lim Un = U, lim Vn= V,
согласно теоремам 3.9 и 3.10 ч. 1 существует
= £/±V. Теорема доказана.
Таким образом, любые сходящиеся ряды
складывать и вычитать. Переходя к вопросу
членного перемножения рядов, докажем следующее утверждение,
оо	оо
Теорема 1.15. Если два ряда £ uk и £ vk сходятся абсо-
4=1	4=1
лютно и имеют суммы, соответственно равные U и V, то ряд, со-
ставленный из всех произведений вида UkVi (k=\, 2, ...; 1=
= 1, 2, ...), занумерованных в каком угодно порядке, также схо-
дится абсолютно и его сумма равна UV.
то
lim Sn =
n->00
п-юс
предел
почленно
можно
о возможности по-
42
Гл. 1. Числовые ряды
Доказательство. Обозначим через t»i, w2, w3, ... произ-
ведения вида UkVi (&=1, 2, ...; Z=l, 2, ...), занумерованные в
ОО
каком угодно порядке. Докажем, что ряд |ш(| сходится.
4=1
Пусть Sn — п-я частичная сумма этого ряда. Сумма Sn состоит из
членов вида Среди индексов k и I таких членов, входящих
в сумму Sn, найдем наибольший индекс, который мы обозна-
чим через т. Тогда
Sn< ( |«11 + |«2|+- • .+ |Um| ) ( I Vi | + |l>2|+. • •+ I Vm\ ).	(1.89)
В правой части неравенства (1.89) стоит произведение т-х ча-
•»	м
стичных сумм рядов £ |ufc| и £ |vfc|. В силу сходимости ука-
6=1	6=1
занных рядов с неотрицательными членами все их частичные сум-
мы (а следовательно, и их произведение) ограничены. Поэтому
ограничена и последовательность частичных сумм {Sn}, а это до-
со
называет сходимость ряда |u»i|, т. е. абсолютную сходимость
4=1
00
ряда £ Wt.
4=1
Остается доказать, что последний ряд имеет сумму S, равную
UV. Так как этот ряд сходится абсолютно, то в силу теоре-
мы 1.11 его сумма S не зависит от порядка, в котором мы его сум-
мируем. Какую бы мы ни взяли последовательность (или подпо-
следовательность * 15)) частичных сумм этого ряда, она сходится к
00
числу S. Но в таком случае сумма S ряда Щ заведомо рав-
4=1
на UV, так как именно к этому числу сходится подпоследователь-
ность Wm частичных сумм этого ряда вида
Wm= («1+«2+- • .+«m) (Ui + t»2+- • .+f»n) .
Теорема доказана,
оо	оо
Произведение рядов YUk И I vk для многих целей удоб-
6=1	6=1
но записывать в специальном виде:
(Е Ufe) (£ Ч =	+ + •' • + + u»Vk~l + • • •
6=1	6=1
	...+«б^) + .••• •
15> См. утверждение Г п. 1 § 3 гл. 3 ч. 1.
§ 5. Арифметические операции над сходящимися рядами
43
Теорема 1.16 (теорема Мертенса 16)). Ряд, полученный пе~
ремножением двух рядов указанным специальным способом,
сходится к произведению сумм перемножаемых рядов в случае,
когда один из перемножаемых рядов сходится абсолютно, а
другой — сходится хотя бы условно.
со
Пусть, например, ряд сходится абсолютно, а ряд
^=1
00
52 vk сходится хотя бы условно. Обозначим п-е частичные
суммы указанных рядов соответственно через Un и Vn, а их
суммы соответственно через U и V. Положим
Wn=U1Vn+u2Vn-i+. . .+UnVh
Wn=Wi+w2+.. .+wn.
Достаточно доказать, что lim Wn = UV. Элементарно проверя»
П->о0
ется, что Wn=ui Vn+u2Vn~i+.. .+«nVi.
CO
В силу сходимости ряда £ vk его остаток an=V—Vn яв<
Л=1
ляется бесконечно малой, а следовательно, и ограниченной по«
следовательносТью, т. е. существует постоянная М такая, что
|ап | <М для всех номеров п. Заметим, что
W7n=Mi(V-an)+u2(V-an-i)+.. .+ип (V-ai) = t7nV-₽n,
где ^n==Uian~i~u2cLn—j“h...“bWftCti.
Так как lim Un-='U, то достаточно доказать, что последова-
П-4-ao
тельность {₽„} является бесконечно малой. Так как ряд £ и*
сходится абсолютно, то, фиксировав произвольное е>0, найдем
оо
для него такой номер т, что 1*4 К —Кроме того,
fc=m+l
можно утверждать существование постоянной Afi такой, что
п
Мг для любого номера п.
*=i
Представив теперь 0П в виде суммы двух сумм
0n=[«lCtn+. . .+uman+l-m]+[«m+ian-m+. . .+«nai]
и выбрав по найденному номеру т номер ni настолько боль»
|6> Мертенс Франц Карл Иозеф — немецкий математик (1840—1927).
44
Гл. 1. Числовые ряды
шим, что |<%*| <  * - при	(это можно сделать в си-
лу бесконечной малости {ап}), с помощью четырех неравенств
«в	П
(при k > nY—tri)
убедимся в том, что при каждая квадратная скобка в вы-
ражении для рп по модулю меньше числа е/2. Отсюда следует,
что | рп| <е при п>пь В силу произвольности е>0 сформули-
рованное утверждение доказано.
00	00
Замечание. В случае, если ряды £ uk и £ vk оба схо-
дятся только условно, почленное перемножение этих рядов да-
же указанным специальным способом приводит, вообще говоря,
к расходящемуся ряду.
00	со
Достаточно в качестве каждого из рядов uk и £ vk
fe—i	k=i
взять условно сходящийся (по признаку Лейбница) ряд
со
2(____
v — и убедиться в том, что для таких рядов опреде-
*=1
ленные выше величины wn имеют вид
=1)п-1 {/г/г + угкягтг + • • • + уг/г} •
Так как в фигурных скобках стоит п положительных слагае-
мых, каждое из которых не меньше числа 1/п, то |дап|>1, а это
означает, что нарушено необходимое условие сходимости ряда
ОО
wn — стремление к нулю его n-го члена.
Л=1
§ 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
1. Основные понятия. К понятию числового ряда близко при-
мыкает понятие бесконечного числового произведе-
ния. Пусть дана бесконечная числовая последовательность
оь 02, • • •, Os, .... Записанное формально выражение вида
о^Оз ...Ofc ... =Пой	(1.90)
k=i
§ 6. Бесконечные произведения
45
принято называть бесконечным произведением. Отдель-
ные элементы vk принято называть членами данного бесконеч-
ного произведения. Произведение первых п членов данного беско-
нечного произведения принято называть n-м частичным про-
изведением и обозначать символом
п
Р„ = о1р2...о„ = П0*-
Бесконечное произведение (1.90) называют сходящимся,
если последовательность частичных произведений Рп имеет конеч-
ный предел Р, отличный171 от нуля. В случае сходимости
бесконечного произведения (1.90) указанный предел Р называют
значением этого бесконечного произведения и пи-
шут:
со
£=1
Отметим, что последнее равенство имеет смысл лишь для схо-
дящегося бесконечного произведения. Ясно, что рассмотрение бес-
конечных произведений по существу представляет собой новую
форму изучения числовых последовательностей, ибо каждому дан-
ному бесконечному произведению однозначно соответствует после-
довательность его частичных произведений и каждой числовой по-
следовательности {Рл}, все элементы которой отличны от нуля, од-
нозначно соответствует бесконечное произведение, для которого
эта последовательность является последовательностью частичных
произведений (достаточно положить члены бесконечного произве-
дения раВНЫМИ Vk~PklPk—\ при k> \ И Р1=Р1).
Теорема 1.17. Необходимым условием сходимости бесконеч-
ного произведения (1.90) является стремление к единице его
k-го члена при £->оо.
Доказательство. Пусть бесконечное произведение (1.90)
сходится и имеет значение Р, отличное от нуля. Тогда limPfe_i =
k-><X>
— UmPk = P=^0. Поскольку vk=Pi>IPk-\, то limvj существует и
£->со	/г-* со
равен единице.
Заметим, что на сходимость бесконечного произведения не вли-
яет удаление любого конечного числа членов этого произведения
(если среди этих членов нет равных нулю). Поскольку бесконеч-
ное произведение, у которого хотя бы один член равен нулю со-
гласно принятому выше определению считается расходящимся, то
Тот факт, что при Р=0 бесконечное произведение принято считать рас-
ходящимся, хотя и носит условный характер, но позволяет провести четкую
аналогию между сходимостью рядов и бесконечных произведений.
46
Гл. 1. Числовые ряды
мы в дальнейшем вообще исключим из рассмотрения бесконечные
произведения, у которых хотя бы один член равен нулю.
Примеры.
1°. П cos——— = cos—— cos— .. .cos—— ...	(1-91)
1*2*	2	4	2*
*= i
(x — любое фиксированное число).
Докажем, что бесконечное произведение (1.91) при любом х=А
,	.	sin х т-,
^пп сходится и имеет значение -----. Подсчитаем n-е частичное
X
произведение
Р„— cos— cos— ... cos—— .	(1-92)
п 2	4	2n
Умножая обе части (1.92) на sin—— и последовательно исполь-
зуя формулу для синуса двойного угла sin 2y=2sin у cos у, полу-
чим
П • х	1
Р„ sin---=----sin X.
2«	2n
Из последней формулы 18) имеем
X
2»~
х
' 2П
sinx
Поскольку выражение в фигурных скобках стремится к единице
при п->оо (в силу первого замечательного предела), то IimPn
П-*ОО
sin х	-
существует и равен --------. Тем самым доказано, что бесконечное
X
произведение (1.91) сходится и имеет значение sin- при любом
х=/=л;п.
2° П [1	2	= П	-- 1 4 . 2 . 5
1Ц fc(JH-l)	*(*+1)	2 ’ 3 ‘ 3 ' 4
4=2	fe=2
(fe-1)	(&+2)
k (* + 1)	(1.93)
18> Мы считаем, что х=#0. Если х=0, то все члены (1.91) и его значение
равны единице.
§ 6. Бесконечные произведения
47
Докажем, что бесконечное произведение (1.93) сходится и
имеет значение 1/3. Подсчитаем частичное произведение Рп:
	• 1 2	2 3	3 4	. I”-1) п	Г 4 L 3	5 4	6 5	(гс+2) ~ (гс + 1)
				1	п+2			
				п	3			
Таким образом lim Pn = lim существует и равен 1/3.
2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и ря-
дов. Если бесконечное произведение (1.90) сходится, то в силу
теоремы 1.17 все его члены Vk, начиная с некоторого номера, по-
ложительны 19). Поскольку конечное число первых членов вообще
не влияет на сходимость бесконечного произведения, то при изу-
чении вопроса о сходимости бесконечных произведений можно, не
ограничивая общности, рассматривать лишь такие бесконечные
произведения, у которых все члены положительны.
Теорема 1.18. Для того чтобы бесконечное произведение
(1.90) с положительными членами сходилось, необходимо и доста-
точно, чтобы сходился ряд
£ lnvfc.	(1.94)
4=1
В случае сходимости сумма S ряда (1.94) и значение Р произве-
дения (1.90) связаны формулой
P=es.	(1.95)
Доказательство. Обозначив через Рп п-е частичное про-
изведение бесконечного произведения (1.90), а через Sn п-ю ча-
стичную сумму ряда (1.94), можем записать:
S„ = lnP„, Р„ = Л.
В силу непрерывности показательной функции для всех значе-
ний аргумента и непрерывности логарифмической функции для
всех положительных значений аргумента последовательность Рп
сходится тогда и только тогда, когда сходится Sn, причем если
limSn = S, то lim Pn = es. Теорема доказана.
При исследовании- на сходимость бесконечного произведения
оказывается очень удобным представить его в виде
19) Так как litn = 1.
ft-* СО
48	Гл. 1. Числовые ряды
П(1+^) = (1+и1)(1+»а).-.(1+^) ...	(1.96)
*=1
При этом, конечно, в соответствии с принятым выше предположе-
нием будем считать, что все иъ> — 1.
Теорема 1.18 утверждает, что вопрос о сходимости произведе-
ния (1.96) эквивалентен вопросу о сходимости ряда
f ln(l +Uk).	(1.97)
Л-1
Теперь мы можем доказать еще одно утверждение.
Теорема 1.19. Если все ик (по крайней мере начиная с не-
которого номера) сохраняют один и тот же знак, то для сходимо-
сти бесконечного произведения (1.96) необходимо и достаточно,
чтобы сходился ряд
£ иь.	(1.98)
Доказательство. Поскольку условие ПтыЛ = 0 является
fe—>со
необходимым и для сходимости ряда (1.98), и для сходимости
произведения (1.96), можно считать это условие выполненным как
при доказательстве необходимости, так и при доказательстве до-
статочности. Но из указанного условия и из асимптотической фор-
мулы 20)
1п(1+//)=г/+о(г/)
вытекает, что
Пт .. ^.Q.+^L.. = 1	(1.99)
Л—► 00	Ufc
Й
lim-----------= 1.	(1.100)
Л-> оо 1п( 1 -|- Uh)
Поскольку по условию теоремы все члены рядов (1.97) и
(1.98), начиная с некоторого номера, сохраняют один и тот же
знак, условия (1.99) и (1.100) в силу следствия из теоремы
сравнения 1.3 позволяют утверждать, что ряд (1.98) сходится
тогда и только тогда, когда сходится ряд (1.97). Теорема дока-
зана.
Так же, как и для рядов, для бесконечных произведений вво-
дятся понятия абсолютной и условной сходимостей. Бес-
конечное произведение (1.96) называется абсолютно сходя-
щимся в том и только в том случае, когда сходится абсолютно
ао> См. п. 6 § 10 гл. 6 ч. 1.
§ 6. Бесконечные произведения
49-
ряд (1.97). Теоремы Коши 1.11 и Римана 1.10 позволяют заклю-
чить, что абсолютно сходящееся произведение обладает переме-
стительным свойством, в то время как условно сходящееся произ-
ведение заведомо им не обладает.
Теорема 1.20. Бесконечное произведение (1.96) сходится аб-
солютно тогда и только тогда, когда сходится абсолютно ряд
(1.98).
Для доказательства этой теоремы достаточно доказать, что-
со
ряд у* |ufe| сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд.
k=i
СР
|1п(1 +«А)|. Это последнее легко вытекает из существова-
ла
ния пределов (1.99) и (1.100). Детали рассуждений предоставля-
ем читателю.
Примеры. 1°. Из расходимости гармонического ряда и из
теоремы 1.19 вытекает расходимость следующих бесконечных про-
изведений:
п fi—-Mi—-j fi--Г •• (1—-М
il( k+ 1 )	\	2 Д 3 J \ k+ 1 }
л=1
Легко понять, что первое из указанных произведений расходится
к +оо, а второе — к нулю.
2°. Из той же теоремы 1.19 и из сходимости ряда (1.33) при
а>1 вытекает сходимость при а>1 следующих бесконечных про-
изведений:
ka
П(' + Д=<1+1’(1+Д(1+д
А=1
За /
3°. Рассмотрим бесконечное произведение
*П(1-
k=l 4
ха
22л2
X2
й2л2
(1.101>
50
Гл. 1. Числовые ряды
Так как ряд	сходится, то в силу теорем 1.19 и 1.20 бес-
*=i
конечное произведение (1.101) сходится абсолютно для любого
•фиксированного значения х, отличного от 1л (где /=0, ±1, ...).
В п. 3 мы докажем, что это произведение сходится к значению
sinx. Тем самым будет обосновано разложение функции sinx в
бесконечное произведение
81пХ = хП(1-------(I-102)
4°. Из разложения (1.102) с помощью соотношения cosx =
sin 2х
—:—	элементарно получается следующее разложение:
2 sin х
cos X = П ГI--------—-----I •	(1.103)
1 1 L	(2*—1)2л2 I
k=i
Абсолютная сходимость произведения, стоящего в правой ча-
сти (1.103), для любого х, отличного от -^-(2/—1) (/ = 0, ± 1, ...),
со
вытекает из теорем 1.19 и 1.20 и из сходимости ряда 'V----——.
(2k— 1)2
Полагая в разложении (1.102) х= -у-, получим
5Э.
2_ _ ГТ Л_________1\ = ГТ 4*2 — 1 A (2*-1)(2*4-1)
я Ц 4*2 / И	4*2	11	(2й)а
k~\	fe=«l
(1.104)
Из (1.104) получается так называемая
с а21>
формула Валли-
л = A (2fe)a _ 2	2	4	4 2k 2k
2 —(2ft—1)(2*4-1) ~ 1 ’ 3 ' 3 ' 5 ” (2k— 1) ’ (2*4-1)
(1.105)
Путем несложных преобразований формулу Валлиса можно при-
вести к виду
—=нт—1 Г.^д2.
2 л—о 2*4-1 [ (2ft)! J
?l> Джон Валлис — английский математик (1616—1703).
(1.106)
§ 6. Бесконечные произведения
51
Первоначально формулу Валлиса использовали для прибли-
женного вычисления числа л. В настоящее время для вычисления
числа л существуют более эффективные методы. Формула Валли-
са как в виде (1.105), так и в виде (1.106) представляет интерес
для ряда теоретических исследований22).
3. Разложение функции sinx в бесконечное произведение.
Для удобства разобьем вывод формулы (1.102) на отдельные
этапы.
1) Пусть т — любое положительное нечетное чис-
ло: т=2п+1. Прежде всего докажем, что для любого отлично-
го от kit (&=0, ±1, ...) значения 9 23) справедлива формула
sin mQ
/nsin0
sin2 6
• s 51
sin2 —
m
sin2 6 \
n =
sin2 6 \
. „ nn ’
sin2----/
m '
(1.107)
Для вывода формулы (1.107) будем исходить из формулы
Муавра24)
cos mQ+i sin mQ= (cos 0+i sin 0)m.
Расписывая правую часть этой формулы с помощью бинома
Ньютона и сравнивая мнимые части, получим
sin mO = т cos"1-1 0 sin О—~2.1 cos'"-3 0 sin2 0 + ...
3!
Учитывая, что т = 2п+1, будем иметь
sin /710	On	(771 ~ 1 ) (771 2)	>„ о л  9 л r	7 1 1 ЛО1
--------------------------= cos2n 9 — —-------------—-cos2"-2 0 si n2 0 + ... (1.108)
in sin 0-------------------------3!
В правой части (1.108) все показатели при косинусах и си-
нусах четные, так что если заменить cos2 9 на 1—sin2 0, то
в правой части (1.108) получится многочлен степени п относи-
тельно sin20. Положив z=sin20, обозначим этот многочлен
символом F(z), а его корни символами си, аг, ..., а„. Так как
22> В частности, она может быть использована для вывода так называемой
формулы Стирлинга (см. § 6 гл. 7). Джемс Стирлинг — английский математик
(1692—1770).
23> В дальнейшем нас будут интересовать значения 0 лишь из интервалов
О<|0|<л.
24 > Эта формула получается из определения произведения двух комплекс-
ных чисел (хъ у4)(х2, у2) = (Х1*2—ЩУ2, Х1У2+Х2У1) (см. п. 1 § 3 гл. 8 ч. 1).
В самом деле, с помощью этого определения; по индукции легко установить, что
(cos 0, sin 0) ” = (cos n 0, sin n 0).
52
Гл. 1. Числовые ряды
при 0—>0 z=sin20->O и левая часть (1.108) стремится к едини-
це, то многочлен F (г) можно представить в виде
2^L = F(2)=fi-Z_\ (1 _ _£_\	1----L
т sin 0	\	«1 / \ «а /	\ а„
Остается определить корни щ, а2, ап. Замечая, что эти корни
соответствуют нулям функции sinmO, получим
• л Я	*9	• л ПЯ
a1 = sin8—, a2 = sin2..a„ = sin2-.
mm	m
Таким образом, формула (1.107) установлена.
‘ 2) Положив в формуле (1.107) 0=— и считая, что 0<
т
<|х| <лт, придадим этой формуле вид
п (	sin2 — \
- sinx* = ПI 1----------I (1 • 109)
msin—	&=i \	sin2-- /
т	'	т '
Фиксируем любое (отличное от нуля) значение и возьмем
два произвольных натуральных числа р и п, удовлетворяющих
неравенствам 2	<р < п = ——Тогда формулу (1.109)
л	2
можно записать в виде
:(1.по)

где
(i-ш)
Прежде всего оценим Rp(x). Поскольку 2-^-<р<п =
л
_ т — 1
”	» то аргументы всех синусов, стоящих в формуле
(л Л \
“—;р — I • Кроме того, яс-
но, что для всех k, участвующих в этой формуле, 1Х1<'“
и, следовательно,
§ 6. Бесконечные произведения
53
X
sin2----
О < --------—
kn
sin2----
т
kn
sin’----
2т
kn
sin2----
m
1
kn
4cos2 ----
2т
_1_
2
kn . Л
так как ---< —,
m 2
т.
е.
kn . n
2m 4
и поэтому cos2--->---- .
J 2т 2 J
Для любого 0 из интервала О<0<1/2 справедливы неравенства
1>1-^0>е~29 25>, поэтому для всех номеров k, превосходящих р,
1 > 1
. , x
sin2 —
m
kn
sin2----
m
2sinl —
т
 9кл
Sin*--
т
(1-112)
(1.112), записанные для
Почленно перемножая неравенства
k=p+l, р+2, п, получим следующую оценку для Rp(x):
е
n	.
—2sln* —	У -----4—
m Xj . .kn
fe=p+ism«—
(1.113)
Так как аргумент
т
бого 0 из первой четверти
лежит в первой четверти и для лю-
sin в 2 2в)
——	, то
1
1
„ kn
sma-----
т
1
2 \2 [ fat \2
0
т2
4k2
л
т2
4
1 1_
k — 1	k
л
т
Таким образом,
n .
—2sin,-^~ X1 -----
m Xj . . ।
g A=-p+lsln -
kn
т
т‘ . . к
- — s>n>—
п
е
tn
А=р+1
-^-sin.2L
=e 2p ~
т
неравенств элементарно вытекает из формулы
---------------------------... < 1 — 20 Ц- 202 < 1 — 0, так как
sin 0
Эти неравенства вытекают из того, что отношение —-— при
sin 0
яии 0 от 0 до п/2 убывает от 1 до 2/л. Факт убывания функции —-—
0
/ sin0 V cos0 , „ч
(0—tg0)<O всюду на
р
25)
рена:
2в)
Правое из этих
е~2р = 1 — 20 +
Макло-
202<0.
измене-
в свою
очередь вытекает из того, что
интервале 0<₽<л/2.
54
Гл. 1. Числовые ряды
Последнее неравенство позволяет следующим образом усилить
оценку (1.113):
l>Rp(x)>e 2р т
(1.114)
3) Теперь в формуле (1.110) устремим число т к бесконеч-
ности, оставляя фиксированными значение х и номер р. По-
скольку limmsin —= х, lim m2 sin2= (fen)2, то существует
Я1—><•	fU	т-+<х>	т
предел левой части (1.110), равный -sinx , и предел конечно-
	р (	а X к sin2 — \	
го произведения	П 1	m ’ kn I	1, равный 11(1		— j. 1 1 \	k2n2 /
	k=l \	sin2	i m ?	
Далее будем считать, что		последний	предел отличен от нуля,
так как, когда он равен нулю, sinx = 0 и разложение (1.102)
установлено. Но тогда существует предел lim/?p(x). Обозна-
т-*со
чим этот предел через ЯР(х). Из неравенств (1.114), справедли-
вых для любого номера т, и из теоремы 3.13 ч. 1 вытекает, что
__
1>£р(х)>е 2₽
(1.115)
Формула (1.110) в пределе при т->оо дает
sin х
X
fe=l
,R„(x).
k2n2 1 ₽ ’
х2
(1.116)
4) Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в фор-
муле (1.116) номер р к бесконечности. Поскольку левая часть
(1.116) не зависит от р, а предел lim/?p(x) в силу неравенств
(1.115) и теоремы 3.14 ч. 1 существует и равен единице, то су-
ществует и предел
р
*=1
X2 \
k2n2 /
sin х
X
Таким образом, разложение (1.102) для sinx установлено.
Замечание. В полной аналогии с разложениями (1.102)
для sinx и (1.103) для cosx можно получить разложения в бес-
конечные произведения гиперболических функций
§ 7. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов
55
sh х = х П (1 4-----, ch х = П Г1 4------------].
1 1 \	*2л2 /	1 1 L (2fe — I)2 л2 J
4=1	4=1
Заметим, что из разложений для sinx, cosx, shx, chx немед-
ленно получаются разложения в бесконечные произведения
функций tgx, ctgx, thx и cthx.
§ 7. ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Во всей гл. 1 мы называли суммой ряда
00
ик — иг 4-ы2+ • • • + ы4 4“  • •	(1-117)
4=1
предел S последовательности {5Л} частичных сумм этого ряда
(при условии, что этот предел существует).
В ряде задач математического анализа, представляющих
как теоретический, так и практический интерес, приходится
оперировать с рядами, у которых последовательность частичных
сумм не сходится и сумма в указанном выше обычном смысле
не существует. Естественно, возникает вопрос об обобщении
понятия суммы ряда и о суммировании расходящегося в обыч-
ном смысле ряда (1.117) с помощью каких-либо обобщенных
методов. В настоящем параграфе мы и остановимся на некото-
рых обобщенных методах суммирования расходящихся рядов.
Прежде всего дадим общую характеристику тем методам
суммирования, которые будут рассматриваться. Разумно тре-
бовать, чтобы обобщенное понятие суммы включало в себя
обычное понятие суммы. Точнее, ряд, сходящийся в обычном
смысле и имеющий обычную сумму S, должен иметь обобщен-
ную сумму, и притом также равную S. Метод суммирования,
обладающий указанным свойством, называется регулярным.
Далее естественно подчинить понятие обобщенной суммы
00
следующему условию: если ряд uk имеет обобщенную сум-
00
му U, а ряд	имеет обобщенную сумму V, то ряд
4=1
00
^(ЛиА+ВоА), где А и В — любые постоянные, имеет обоб-
4=1
щенную сумму (AU+BV). Метод суммирования, удовлетворя-
ющий указанному условию, называется линейным, В анализе
и в его приложениях, как правило, имеют дело лишь с регуляр-
ными линейными методами суммирования. Остановимся на двух
56
Гл. 1. Числовые ряды
методах обобщенного суммирования, представляющих особый
интерес для приложений.
1. Метод Чезаро27) (метод средних арифметических). Гово-
рят, что ряд (1.117) суммируем методом Чезаро, если
существует предел средних арифметических сумм этого ряда:
lim51+52 + ---+Sn.	(1.118>
П—>-со	Л
При этом предел (1.118) называется обобщенной в смыс-
ле Чезаро суммой ряда (1.117).
Линейность метода суммирования Чезаро очевидна. Его ре-
гулярность вытекает из леммы 1, доказанной в п. 3 § 2. В самом
деле, из указанной леммы вытекает, что если последователь-
ность {5Л} частичных сумм ряда (1.117) сходится к числу S, то-
предел (1.118) существует и также равен S.
Приведем примеры рядов, не сходящихся в обычном смысле,,
но суммируемых методом Чезаро.
Примеры. 1°. Рассмотрим заведомо расходящийся ряд
оо
Е (_1)*->=1_1+1-1 + ...
Л=1
Поскольку все четные частичные суммы этого ряда рав-
ны нулю, а все нечетные частичные суммы S2n-i равны единице,,
то предел (1.118) существует и равен 1/2. Таким образом, рас-
сматриваемый ряд суммируем методом Чезаро, и его сумма
в смысле Чезаро равна 1/2.
2°. Считая, что х — любое фиксированное вещественное чис-
ло из интервала 0<х<2л, рассмотрим заведомо расходящий-
ся 28> ряд
£ cos£x = cos х+cos2x+cos Зх 4-...	(1.119}
Частичная сумма этого ряда Sn уже подсчитана нами в примере
2° § 4:
/	1 \	х
sin п 4- — х — sin —
о \	2 /	2
71
X
2 sin —
2
27) Эрнесто Чезаро — итальянский математик (1859—1906).
28> Расходимость ряда (1.119) без труда усматривается из приведенного ни-
же выражения для его частичной суммы.
§ 7. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов
57
Подсчитаем среднее арифметическое частичных сумм:
п
----------- V (cosmx—cos(m 4- 1)х)
.  > х
4/z-sin--— m=l
___ COS X — COS ( n 4- 1 ) X 1
.	. , X	2
itl SIH3 ---
2
Отсюда очевидно, что
1 im - i 7 ~ • • ~г~ ~’n —__________L
п->и	n	2
Таким образом, ряд (1.119) суммируем методом Чезаро, и
его сумма в смысле Чезаро равна (—1/2).
2. Метод суммирования Пуассона29) — Абеля. По данному
ряду (1.117) составим степенной ряд
00
икхк~1 — ик + и2х + и3х2 + ... т- ик • Xs-1 4- ...	(1.120)
Если этот ряд сходится для всех х из интервала 0<х<1
и если его сумма 3(х) имеет левое предельное значение lim S(x)
х-И—О
в точке х=1, то говорят, что ряд (1.117) суммируем мето-
дом Пуассона—Абеля. При этом указанное предельное
значение называется суммой ряда (1.117) в смысле Пу-
ассон а—А беля.
Линейность метода Пуассона—Абеля не вызывает сомнений.
Докажем регулярность этого метода. Пусть ряд (1.117) сходит-
ся в обычном смысле и имеет сумму, равную 3. Требуется до-
казать что: 1) ряд (1.120) сходится для любого х из интервала
0<х<1, 2) сумма 3(х) ряда (1.120) имеет в точке х=1 левое
предельное значение, равное S.
Докажем сначала утверждение 1). Так как ряд (1.117) схо-
дится, то последовательность его членов является бесконечно
малой и, следовательно, ограниченной, т. е. найдется такое
число М, что для всех номеров k
| ик | <JA1.
(1-121)
29> Симон Дени Пуассон — французский математик (1781—1840).
58
Гл. 1. Числовые ряды
Используя это неравенство, оценим модуль k-ro члена ряда
(1.120), считая, что х — любое число из интервала 0<х<П
Получим
ОО
Так как |х| < 1, то ряд £ |х|*~1 сходится. Поэтому в силу
замечания 2 к теореме сравнения 1.3 сходится и ряд (1.120).
Докажем теперь утверждение 2). Пусть Sn — n-я частич-
ная сумма ряда (1.117), a S — его обычная сумма. С помощью
преобразования Абеля 30) легко убедиться в том, что для любого
х из интервала 0<х<1 справедливо тождество
	О»	со (1.122) k=\	*=»1
Вычтем дества:	тождество (1.122) из следующего очевидного тож- S = (l— х) ^S.xk~'. Й=1
При этом, обозначая через rk k-я остаток ряда (1.117), будем
иметь	ОО	00 s— £ ukxk-1 = (1 —х) £ rkxk-1, *=1
или	S—S(x) = (l—X) £г*х*->.	(1.123) fe=i
Наша цель — доказать, что для любого е>0 найдется 6>0
такое, что левая часть (1.123) меньше е для всех х, удовлетво-
ряющих неравенствам 1—6<х<1. Так как остаток г* ряда
(1.117) стремится к нулю при й-*оо, то для положительного
числа е/2 найдется номер kQ такой, что |rfe| <е/2 при k'^ka.
Таким образом,
со
(1—х) 2 rkXk~l
k^k(j
30> Преобразование Абеля (1.77) установлено нами в § 4. В рассматривае-
мом случае следует положить в (1.77) л=0, 5л=0 и затем устремить
р к бесконечности.
§ 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов	59
Остается доказать, что для х, достаточно близких к единице,
ka— 1
(1-х) £	у,
k= г
но это очевидно, так как сумма, стоящая в последнем неравен-
стве, ограничена. Регулярность метода Пуассона—Абеля дока-
зана.
В качестве примера снова рассмотрим расходящийся ряд
00
£ (-l)ft~1 = l-l + l-l + ...	(1.124)
4=1
Для этого ряда составим степенной ряд вида (1.120)
У (— 1)А~'х*-1 == 1— х + х2—х3+...
4=1
Очевидно, что последний ряд сходится для всех х из интерва-
ла 0<х<1 и имеет сумму, равную S(x) = 1/(1+х). Так как
lim S(x) = lim —J—=—,
x^l-0	х->-1 —0 1 + X 2
то ряд (1.124) суммируем методом Пуассона — Абеля и его
сумма в смысле Пуассона—Абеля равна 1/2.
Обратим внимание на то, что сумма ряда (1.124) в смысле
Пуассона — Абеля совпадает с его суммой в смысле Чезаро.
Этот факт не является случайным: можно доказать, что если
ряд суммируем методом Чезаро, то он суммируем и методом
Пуассона — Абеля, причем сумма этого ряда в смысле Чезаро
совпадает с его суммой в смысле Пуассона—Абеля. Более того,
существуют ряды, суммируемые методом Пуассона—Абеля, но
не суммируемые методом Чезаро 31). Детальное изучение всевоз-
можных" методов обобщенного суммирования расходящихся ря-
дов проводится в монографии Г. Харди «Расходящиеся ряды»
(М.: ИЛ, 1951).
§ 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДВОЙНЫХ
И ПОВТОРНЫХ РЯДОВ
Рассмотрим счетное множество бесконечных числовых после-
довательностей
аи, ai2, Я1з, . • , ат, ...;
’*> Таким образом, можно сказать, что метод Пуассона—Абеля является бо-
лее «сильным» методом суммирования, чем метод Чезаро.
60
Гл. 1. Числовые ряды
fl21> Й22> Й23> • • • > Й2'1> . • • J
fl31> а32> 0-33, • • • > ИЗп, . . . !
...............................  .	(1.125)
ат2> ^тЗ> • • • > Ц/пп, • •  j
(Первый индекс у чисел aki обозначает номер рассматриваемой
последовательности, а второй — номер ее элемента.)
По другому можно сказать, что мы рассматриваем матрицу
(1.125), содержащую бесконечное число строк и бесконечное
число столбцов. Производя формальное суммирование элемен-
тов этой матрицы, можно составить из нее различные ряды.
Если сначала просуммировать каждую строку матрицы
(1.125)отдельно, то получится бесконечная последовательность
рядов вида
£akl (6=1,2,...).	(1.126)
Просуммировав эту последовательность, получим формальную
сумму
со со
£ (£ «н).	(1-127)
А—1 /=1
Эту сумму принято называть повторным рядом.
Другой повторный ряд
QO 00
£(£«ы)	(1-128)
/=1 /г=1
получится, если сначала просуммировать отдельно каждый
столбец матрицы (1.125), а затем взять сумму элементов полу-
ченной при этом последовательности.
Определение 1. Повторный ряд (1.127) называется
сходящимся, если сходится каждый из рядов (1.126) и если
сходится ряд
CD
£ А,
k=l
в котором Ak обозначает сумму k-го ряда (1.126).
Определение 2. Повторный ряд (1.128) называется схо-
дящимся, если сходится каждый из рядов
§ 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов
61
(/=1,2,...)	(1.129)
4=1
и если сходится ряд
СО
ЕЛ.
1=1
в котором At обозначает сумму l-го ряда (1.129).
С матрицей (1.125) кроме повторных рядов (1.127) и (1.128)
связывают еще так называемый двойной ряд
со
Е а«-	(L13°)
k,l=l
Определение 3. Двойной ряд (1.130) называется схо-
дящимся, если при независимом стремлении двух
индексов m и п к бесконечности существует конечный предел
Ит Smn	(1.131)
n->oo
так называемых прямоугольных частичных сумм
m п
(1-132)
4=1 1=1
При этом указанный предел (1.131) называют суммой двой-
ного ряда (1.130).
Из этого определения сразу следует, что если двойной ряд
(1.130) получен посредством перемножения членов двух сходя-
щихся «одинарных» рядов
оо	оо
Е»,н1с.	(1-133)
4=1	1=1
т. е. если члены двойного ряда (1.130) равны aki — bkCi, то этот
двойной ряд сходится, а его сумма равна произведению сумм
рядов (1.133).
Далее заметим, что из (1.132) следует, что для любых
ш^2, п^2
ttmn = Smn	i)—	S(m— l)(n— 1)] •
Последнее равенство означает
Утверждение. Необходимым условием сходимости двой-
ного ряда (1.130) является стремление к нулю его общего чле-
на, т. е. существование равного нулю предела
62
Гл. 1. Числовые ряды
lim атп
П—>СО
при независимом стремлении т и п к бесконечности.
Докажем следующее утверждение о связи между сходи-
мостью двойного и повторного рядов.
Теорема 1.21. Если сходится двойной ряд (1.130) и если
сходятся все ряды, по строкам (1.126), то сходится и повторный
ряд (1.127), причем к этой же сумме, к которой сходится двой-
ной ряд (1.130).
Доказательство. Переходя при фиксированном m
к пределу при п->-оо в равенстве (1.132) и учитывая сходимость
ряда (1.126) к сумме Л*, получим
п
lim Smn=Y Ak.	(1.134)
4=1
Из соотношения (1.134) ясно, что сумма повторного ряда
(1.127), которая определяется как предел при т—>-оо правой
части (1.134), есть не что иное, как повторный предел
lim (lim Smn).
Остается доказать существование указанного повторного
предела в предположении существующего предела (1.131) и су-
ществования для любого пг предела (1.134), а также доказать,
что указанный повторный предел равен пределу (1.131).
Из существования равного S предела (1.131) вытекает, что
для любого е>0 найдутся номера пг0 и по такие, что при пг^пг0,
п>по справедливо неравенство
|Smn—S | <е.
Используя факт существования для любого номера m предела
(1.134), из последнего неравенства получаем, что для любого
tri^mo справедливо неравенство
I limSm„—5|<е,
П->оО
а это и означает, что повторный предел lim (lim Smn) сущест-
m-»-oo п->оо
вует и равен S. Теорема доказана.
Как и для обычного ряда с неотрицательными членами спра-
ведливо следующее утверждение.
Теорема 1.22. Если все элементы матрицы (1.125) неот-
рицательны, то для сходимости составленного из этой матри-
цы двойного ряда (1.130) необходимо и достаточно, чтобы его
частичные суммы (1.132) были ограничены.
§ 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов
63
Доказательство. Необходимость очевидна. Для дока-
зательства достаточности заметим, что из ограниченности мно-
жества частичных сумм {Smn} вытекает существование точной
верхней грани этого множества, которую мы обозначим через S:
5= sup Smn.
l^nCoo
По определению точной верхней грани для любого е>0 най-
дется частичная сумма Sm<l„0 такая, что
S-e<Sm.n.<S.	(1.135)
Для всех номеров тип, удовлетворяющих условиям т~^т0,
п^п0, в силу неотрицательности элементов справедливо нера-
венство Smn Smana 
Из этого неравенства и из (1.135) вытекает, что
S—e<Smn<S
для всех т и п при т^т0, п^п0. Это и означает существование
равного S предела (1.131), т. е. сходимость двойного ряда
(1.130).
Определение 4. Двойной ряд (1.130) называется аб са-
лют но сходящимся, если сходится двойной ряд
Е	(1-130')
к,1=1
составленный из модулей элементов матрицы (1.125).
Теорема 1.23. Если сходится двойной ряд из модулей
(1.130'), то сходится и двойной ряд (1.130).
т-т	т-г	I akl 1 akl
Доказательство. Положим pki =——-—
=  |а*;| ~а» . тогда
2
aM=Pki—qki.	(1.136)
Здесь pki и qki неотрицательны и оба не превосходят |ам|. Кро-
ме того, в силу теоремы 1.22 из сходимости двойного ряда
(1.130') вытекает ограниченность его частичных сумм, поэтому
и частичные суммы каждого из двойных рядов
Оо	Оо
Е и Е 4ki
к,1=1	k,l=l
ограничены. Но тогда в силу теоремы 1.22 эти ряды сходятся.
Обозначим их суммы соответственно через Р и Q. В силу
(1.136) двойной ряд (1.130) сходится к Р—Q.
€4
Гл. 1. Числовые ряды
Рассмотрим теперь обычный ряд
Е аг,	(1.137)
Г = 1
членами которого являются занумерованные в каком угодно
порядке элементы матрицы (1.125).
Теорема 1.24. Рассмотрим четыре ряда: два повторных
ряда (1.127) и (1.128), двойной ряд (1.130) и ряд вида (1.137).
Если хотя бы один из указанных четырех рядов сходится при
замене его членов их абсолютными величинами, то все четыре
указанных ряда сходятся и имеют одну и ту же сумму.
Доказательство. Сначала докажем, что если один из
указанных четырех рядов сходится при замене его членов их
модулями, то и остальные три ряда сходятся при замене членов
их модулями.
Так как для повторных рядов (1.127) и (1.128) рассуждения
совершенно аналогичны (нужно только поменять ролями пер-
вый и второй индексы у членов), то в дальнейшем мы будем
рассматривать только повторный ряд (1.127). Достаточно до-
казать три утверждения:
I)	сходимость повторного ряда (1.127), у которого все члены
заменены их модулями, влечет абсолютную сходимость ряда
(1-137);
II)	абсолютная сходимость ряда (1.137) влечет абсолютную
сходимость двойного ряда (1.130);
III)	абсолютная сходимость ряда (1.130) влечет сходимость
повторного ряда (1.127), у которого все члены заменены их мо-
дулями.
Для доказательства утверждения 1 обозначим через S*
сумму повторного ряда (1.127), у которого все члены заменены
их модулями, т. е. ряда
00 СО
I	(1-127')
i=l Z=1
Тогда при любых пг и п
m п
Е	(1-138)
Если Sr*= | di | + |а2| +• - •+ |аг| — произвольная частичная
сумма ряда
00
Е Ы,	(1-137')
Г=1
§ 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов
65
получающегося при замене членов ряда (1.137) их модулями,
то заведомо можно найти столь большие номера тип, что все
члены ряда (1.137), входящие в его частичную сумму с номером
г, будут содержаться в первых т строках и первых п столбцах
матрицы (1.125).
Но тогда в силу (1.138) будет справедливо неравенство
Sr*^S*.
Это неравенство означает, что последовательность частичных
сумм ряда с неотрицательными членами (1.137') ограничена.
Следовательно, этот ряд сходится (в силу теоремы 1.2).
Для доказательства утверждения II предположим, что ряд
(1.137') сходится. Тогда в силу теоремы 1.2 последовательность
его частичных сумм {Д*} ограничена. Фиксируем произвольную
частичную сумму Smn* двойного ряда из модулей (1.130'). За-
ведомо найдется номер г настолько большой, что r-я частичная
сумма ряда (1.137) будет содержать все члены, входящие
в частичную сумму Smn ряда (1.130). Но тогда частичная сумма
Smn* ряда (1.130') не превосходит частичной суммы 5Г* ряда
(1.137'). Поэтому множество всех частичных сумм двойного ря-
да (1.130') ограничено. Таким образом, по теореме 1.22 этот
ряд сходится.
Остается доказать утверждение III. Пусть сходится двойной
ряд из модулей (1.130'). Для доказательства сходимости пов-
торного ряда из модулей (1.127') в силу теоремы. 1.21 доста-
точно доказать сходимость каждого из рядов
У|а«|, А=1, 2, ...	(1.139)
z=l
Для этого в силу теоремы 1.2 достаточно доказать, что каждый
из рядов (1.139) имеет ограниченную последовательность час-
тичных сумм, но это последнее очевидно, ибо при любом k и
любом номере п сумма
п
£ |Ян!
ограничена суммой двойного ряда из модулей (1.130').
Теперь нам остается доказать, что суммы всех трех рядов
(1.127), (1.130) и (1.137) совпадают32». Обозначим через S
сумму двойного ряда (1.130). Очевидно, что и сумма ряда
(1.137) равна S, так как в силу абсолютной сходимости этого
ряда его сумма не меняется при изменении порядка следования
32> Аналогичные рассуждения позволяют заключить, что и сумма повторного
ряда (1.128) совпадает с суммами указанных трех рядов.
3 Зак, 25
66
Гл. 1. Числовые ряды
его членов и этот порядок можно изменить так, что частичные
суммы после изменения порядка будут содержать в качестве
подмножества частичные суммы Smn двойного ряда (1.130).
Чтобы убедиться в том, что и сумма повторного ряда (1.127)
также равна S, достаточно заметить, что из сходимости рядов
(1.139) вытекает сходимость рядов (1.126), и сослаться на тео-
рему 1.21. Теорема 1.24 полностью доказана.
Глава 2
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
Для представления различных функций в математическом ана-
лизе широко используются ряды и последовательности, членами
которых являются не числа, а функции, определенные на некото-
ром фиксированном множестве.
Такие ряды и последовательности, называемые функцио-
нальными, всесторонне изучаются в настоящей главе.
§ 1. понятия СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ и
РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ НА МНОЖЕСТВЕ
1. Понятия функциональной последовательности и функцио-
нального ряда. Предположим, что на числовой прямой Е1 или
б m-мерном евклидовом пространстве Ет задано некоторое мно-
жество {х}1).
Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, ...
..., п, ... ставится в соответствие по определенному закону неко-
торая функция fn(x), определенная на множестве {х}, то множест-
во занумерованных функций /Дх), }г(х), .... fn(x), ... мы и будем
называть функциональной последовательностью.
Отдельные функции fn(x') будем называть членами или эле-
ментами рассматриваемой последовательности, а множество
{х}, на котором определены все функции fn(x), будем называть
областью определения этой последовательности.
Заметим, что если область определения {х} является множест-
вом в /n-мерном евклидовом пространстве Ет, то каждая функция
fn(x) является функцией т переменных Ai(x)=/n(xb х2, ..., хт),
где Xi, хг,  • •, хт — координаты точек х.
Для обозначения функциональной последовательности мы, как
правило, будем использовать фигурные скобки: {fn(x)}.~
Рассмотрим функциональную последовательность {п„(х)}, об-
ластью определения которой является некоторое множество {х}.
Формально написанную сумму
оо
£ ы„(х) = и1(х) +«2(х) + ... +и„(х) + ...	(2.1)
п—1
*> В случае m-мерного евклидова пространства Ет элементами множества
4*} ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ Х = (Xl, Х2, .... Хт) С КООрДИНЭТаМИ Xt, Х2, .... хт-
3*
68
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
бесконечного числа членов указанной функциональной последова-
тельности будем называть функциональным рядом.
При этом отдельные функции ип(х) мы будем называть чле-
н а м и рассматриваемого ряда, а множество {х}, на котором опре-
делены эти функции, будем называть областью определе-
ния этого ряда.
Как и в случае числового ряда, сумму первых п членов функ-
ционального ряда (2.1) будем называть n-й частичной сум-
мой этого ряда.
Отметим, что изучение функциональных рядов совершенно экви-
валентно изучению функциональных последовательностей, ибо
каждому функциональному ряду (2.1) однозначно соответствует
функциональная последовательность
Si(х), 52(х), ..., 5„(х), •••	(2.2)
его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной после-
довательности (2.2) однозначно соответствует функциональны»
ряд (2.1) с членами wI(x)=S1(x), ил(х)=5п(х)—S„-i (х) пр»
п~^2.
Примеры. 1°. Рассмотрим последовательность функций
{/«(х)}, каждая из которых определена на сегменте Os^x^l и
имеет вид
(
cos
fn (х) = <
I °
л „ .1
при 0 < х —,
п
1
при ---
п
< х< 1.
(2.3>
На рис. 2.1 приведены графики функций А(х), f2(x) и fn(x). Об-
ластью определения функциональной последовательности (2.3>
Рис. 2.1
является сегмент [0, 1]. Заметим, что каждая функция /п(х) не-
прерывна на сегменте [0, 1].
§ 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве 69
2°. Рассмотрим функциональный ряд
1 + V (х + у)* = 1 4- х + у + (х + у)2 +	4-	+	+	(2 4)
Li k\	1!	2!	’ ’ ' п!
4=1
областью определения которого является плоскость Е2 = {—оо<
<Х<оо, —оо<у<оо}.
Используя разложение по формуле Маклорена функции
(см. п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1), мы придем к выводу, что (п+1)-я час-
тичная сумма
S.+ , (х,	1 +i±4	+ ...
ряда (2.4) отличается от функции ех+и на величину /?га+1(х+у),
где /?п-ц (и) — остаточный член в формуле Маклорена для еи.
2. Сходимость функциональной последовательности (функцио-
нального ряда) в точке и на множестве. Предположим, что об-
ластью определения функциональной последовательности (функ-
ционального ряда) является множество {х} пространства Ет. Фик-
сируем произвольную точку х0= (Xi, х2, ..., хт) множества {х} и
рассмотрим все члены функциональной последовательности (функ-
ционального ряда) в этой точке xq. При этом получим числовую
последовательность (числовой ряд).
Если указанная числовая последовательность (числовой ряд)
сходится, то говорят, что функциональная последовательность
(функциональный ряд) сходится в точке х0.
Множество всех точек х0, в которых сходится данная функцио-
нальная последовательность (функциональный ряд), называется
областью сходимости этой последовательности (ряда).
В конкретных ситуациях область сходимости может совпадать
с областью определения, являться подмножеством области опре-
деления или вообще быть пустым множеством. Соответствующие
примеры приведены ниже.
Предположим, что функциональная последовательность {fn(x)}
имеет в качестве области сходимости некоторое множество {х}.
Совокупность пределов, взятых для всех точек х множества {х},
порождает множество всех значений вполне определенной функ-
ции /(х), определенной на множестве {х}. Эту функцию называют
предельной функцией функциональной последовательности
{/«(х)}.
Аналогично, если функциональный ряд (2.1) имеет в качестве
области сходимости некоторое множество {х}, то на этом множест-
70
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
ве определена функция S(x), являющаяся предельной функцией
последовательности частичных сумм этого ряда и называемая его
суммой.
Последовательность (2.3) из рассмотренного в предыдущем
пункте примера 1° имеет в качестве области сходимости весь сег-
мент O^x^Cl. В самом деле, /л(0)=1 для всех номеров п, т. е.
в точке х = 0, последовательность (2.3) сходится к единице. Если
же фиксировать любое х из полусегмента 0<х^1, то все функ-
ции /п(х), начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от
х), будут в этой точке х равны нулю. Отсюда следует, что в лю-
бой точке х полусегмента 0<х^1 последовательность (2.3) схо-
дится к нулю.
Итак, последовательность (2.3) сходится на всем сегменте
O^x^l к предельной функции f(x), имеющей вид
( 1 при х = 0,
(х) — | q ПрИ о < х < 1.
График этой функции изображен на рис. 2.2. Сразу же отметим,
что эта функция не является непрерывной на сегменте [0, 1]
(она имеет разрыв в точке х = 0 справа).
Убедимся теперь в том, что ряд
(2.4) из рассмотренного в предыду-
щем пункте примера 2° имеет в ка-
честве области сходимости всю бес-
конечную плоскость £2={—0О<х<
<оо, — со<у<ао}.
В самом деле, в п. 2 § 9 гл. 6
ч. 1 доказано, что остаточный член
7?п+1(ц) в формуле Маклорена для
функции еи стремится к нулю при
га—>оо для любого вещественного и.
Это и означает, что (га+1)-я час-
тичная сумма Sn-н (х, у) ряда (2.4)
отличается от ех+у на величину
7?л+1 (х+у), стремящуюся к нулю
при п->-оо в каждой точке (х, у) плоскости Е2.
Итак, ряд (2.4) сходится на всей плоскости Е2, и его сумма
равна ех+у.
3. Равномерная сходимость на множестве. Предположим, что
функциональная последовательность
f2(x), .... fn(x), ...	(2.5)
сходится на множестве {х} пространства Ет к предельной функ-
ции f(x).
Опеределение 1. Будем говорить, что последовательность
(2.5) сходится к функции f(х) равномерно на множестве
§ 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве 71
{%}, если для любого е>0 найдется номер N (е) такой, что для
всех номеров п, удовлетворяющих условию п^ЛДв), и для всех
точек х множества {х} справедливо неравенство
[fn(x)—f(x)\<e.
(2.6)
Замечание 1. В этом определении весьма существенно то,
что номер N зависит только от е и не зависит от точек х, т. е.
утверждается, что для любого е>0 найдется универсальный номер
ЛЦв), начиная с которого неравенство (2.6) справедливо сразу
для всех точек х множества {х}.
Замечание 2. Отметим, что равномерная на множестве {х)
сходимость функциональной последовательности {/^(х)} к функ-
ции f(x) эквивалентна бесконечной малости числовой последова-
тельности {еп}, каждый член еп которой представляет собой точную
верхнюю грань функции |Л>(х)—f(x)| на множестве {х}.
Замечание 3. Из определения 1 непосредственно вытекает,
что если последовательность {/«(х)} равномерно сходится к /(х)
на всем множестве {х}, то {fn(x)} равномерно сходится к f(x) и
на любом подмножестве множества {х}.
Приведем пример, показывающий, что из сходимости функцио-
нальной последовательности {/«(х)} на множестве {х} не вытекает,
вообще говоря, равномерная сходимость {/п(х)} на этом мно-
жестве.
Обратимся к последовательности (2.3) из примера 1°, рассмот-
ренного в п. 1. В п. 2 было доказано, что эта последовательность
сходится на всем сегменте [0, 1] к предельной функции
/(*) = {
1 при х = 0,
О при 0 < х < 1.
Докажем, что эта последовательность не сходится равномерно
на [0, 1].
Рассмотрим последовательность точек Хп=1/(2га) (п=1, 2, ...),
принадлежащих сегменту [0, 1]. В каждой из этих точек (т. е. для
каждого номера п) справедливы соотношения
= cos ~ = ^~, f(xn) = O.
Таким образом, для любого номера п
\fn(xn)—f(xn) | = У2/2;
следовательно, при е^У2/2 неравенство (2.6) не может выпол-
няться сразу для всех точек х сегмента [0, 1] ни при одном но-
мере п. Это и означает отсутствие равномерной на сегменте [0, 1]
сходимости рассматриваемой последовательности.
72
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Отметим, что рассматриваемая последовательность (2.3) схо-
дится к предельной функции f(x) равномерно на каждом сегменте
[6, 1], где 6 — любое фиксированное число из интервала 0<б<1.
В самом деле, для любого выбранного 6 найдется номер No, на-
чиная с которого все элементы fn(x) равны нулю на всем сегменте
[6, 1]. Так как и предельная функция f(x) равна нулю на сегмен-
те [б, 1], то левая часть (2.6) равна нулю на всем сегменте
[б, 1], начиная с найденного номера No. Таким образом, начиная
с номера No, неравенство (2.6) справедливо для всех х из сегмента
[б, 1] при любом е>0.
Определение 2. Функциональный ряд называется равно-
мерно сходящимся на множестве {х} к сумме S(x),
если последовательность {S„(x)} его частичных сумм сходится
равномерно на множестве {х} к предельной функции S (х).
Заметим, что функциональный ряд (2.4) из примера 2° п. 1
сходится к сумме ех+& равномерно в круге х2 + у2^.г2 произвольно-
го фиксированного радиуса г. В самом деле, всюду в этом круге
|х|^г, |у|и потому |х+у|^|х| + |у\^2г, откуда в силу
опенки (6.62*) из п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1 получаем, что всюду в указан-
ном круге
|/?л+1(х+г/)|
Из последнего неравенства вытекает, что Rn+i(x + у) стремится
к нулю при п-»-оо равномерно в круге х2+у2^г2, а это и означает,
что ряд (2.4) сходится равномерно в этом круге к сумме ех+и.
4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательнос-
ти (ряда). Справедливы следующие фундаментальные теоремы.
Теорема 2.1. Для того чтобы функциональная последова-
тельность {fn(x)} равномерно на множестве {х} сходилась к неко-
торой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для
произвольного е>0 нашелся номер N(e,), гарантирующий справед-
ливость неравенства
|fn+p(x)-/„(x)|<e	(27)
для всех номеров п, удовлетворяющих условию ri^N(e), всех
натуральных р (р=1, 2, ...) и всех точек х из множества {х}.
Теорема 2.2. Для того чтобы функциональный ряд
f М*)	(2.8)
4=1
равномерно на множестве {х} сходился к некоторой сумме, необхо-
димо и достаточно, чтобы для произвольного е>0 нашелся номер
Л7(е), гарантирующий справедливость неравенства
§ 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве 73
п+р
I £ «fcW|<8	(2.9)
для всех номеров п, удовлетворяющих условию /п>ЛЦе), всех на-
туральных р (р=1, 2, ...) и всех точек, х множества {х}.
Достаточно провести доказательство только теоремы 2.1, так
как теорема 2.2 является следствием теоремы 2.1 (заметим, что
в левой части (2.9) под знаком модуля стоит разность 3,г+р(х)—
—Sn(x) частичных сумм с номерами п+р и п функционального
ряда (2.8)).
Доказательство теоремы 2.1. Необходимость. Пред-
положим, что последовательность {/«(х)} сходится равномерно на
множестве {х} к предельной функции f(x). Тогда, фиксировав
произвольное е>0, мы найдем для него номер N(е) такой, что
неравенство
\fn(x)-f(x)l<-^.	(2.10)
будет справедливо для всех номеров п, удовлетворяющих условию
zii>Af(e), и для всех точек х множества {х}.
Если р — любое натуральное число, то при ri^N(e) номер
п+р тем более будет удовлетворять условию n + p~^N (е), а по-
этому для всех номеров п, удовлетворяющих условию
всех натуральных р и всех точек х множества {х} тем более будет
справедливо неравенство
|/п+р(х)-/(х)|	(2.11)
Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы
их модулей, то в силу (2.10) и (2.11) получим, что
|/„+р(х)—/п(х)[	|[^+р(х) —f(x)] + [/(x)—fn(x)]| С
< 1/п+р(х)—/(х)| + I/U)—/п(х)| < е
(для всех номеров п, удовлетворяющих условию /п>Л'(е), всех
натуральных р и всех х из множества {х}). Необходимость дока-
зана.
Достаточность. Предположим, что для произвольного е>0 су-
ществует номер У(е) такой, что неравенство (2.7) справедливо
для всех номеров п, удовлетворяющих условию п^Л’(е), всех на-
туральных р и всех точек х множества {х}.
Из неравенства (2.7) и из критерия Коши сходимости число-
вой последовательности (см. п. 3 § 3 гл. 3 ч. 1) вытекает сходи-
мость последовательности {fn(x)} в каждой точке х множества
{х} и существование определенной в каждой точке х множества
{х} предельной функции f (х).
74	Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Фиксировав произвольный номер п, удовлетворяющий условию
n^yV(e), и произвольную точку х множества {х}, перейдем в нера-
венстве (2,7) к пределу при р—>-оо. Используя теорему 3.13 п. 4
§ 1 гл. 3 ч. 1, мы получим, что для произвольного номера п,
удовлетворяющего условию n^yV(e), и произвольной точки х мно-
жества {х} справедливо неравенство
|f(x)-f„(x)|^e<2e.
Это и доказывает, что последовательность {/«(*)} сходится
к предельной функции f(x) равномерно на множестве {х}. Доста-
точность доказана.
Наличие критерия Коши не снимает вопроса об установлении
удобных для приложений достаточных признаков равномерной
сходимости функциональных последовательностей и рядов, к ко-
торому мы сейчас и переходим.
§ 2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ
СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
В п. 1 § 1 мы убедились в том, что изучение функциональных
рядов эквивалентно изучению функциональных последовательнос-
тей. С этой точки зрения каждый признак равномерной сходимос-
ти имеет две эквивалентные формулировки: оДйу в терминах
функциональных рядов, а другую — в терминах функциональных
последовательностей. В зависимости от удобства мы будем форму-
лировать устанавливаемые признаки либо в терминах последо-
вательностей, либо в терминах рядов (а иногда будем приводить
обе эквивалентные формулировки).
Теорема 2.3 (признак Вейерштрасса). Если функциональ-
ный ряд
оо
(2.12)
й=1
определен на множестве {х} пространства Ет и если существует
сходящийся числовой ряд
(2.13)
такой, что для всех точек х множества {х} и для всех номеров k
справедливо неравенство
|(х) |
(2.14)
то функциональный ряд (2.12) сходится равномерно на множестве
{х}.
§ 2. Достаточные признаки равномерной сходимости
75
Доказательство. Фиксируем произвольное е>0. Так как
числовой ряд (2.13) сходится, то в силу критерия Коши сходимос-
ти числового ряда (см. теорему 1.1 из гл. 1) найдется N(g) такое,
что
«+р
£	(2.15)
ft=n+l
для всех номеров п, удовлетворяющих условию ri^N(e), и всех
натуральных р.
Из неравенств (2.14) и (2.15) и из того, что модуль суммы р
слагаемых не превосходит сумму их модулей, получаем
£ |ы*| £
п+р	п+р	п+р
£ «А I <
А=л-р1	£=П-|~1
Q < е
(для всех номеров п, удовлетворяющих условию п^М(е), всех
натуральных р и всех точек х множества {х}).
В силу критерия Коши равномерной сходимости (см. теоре-
му 2.2) ряд (2.12) сходится равномерно на множестве {х}. Теорема
доказана.
Замечание 1. Признак Вейерштрасса кратко может быть
сформулирован так: функциональный ряд сходится равномерно
на данном множестве, если его можно мажорировать на этом
множестве сходящимся числовым рядом.
Замечание 2. Признак Вейерштрасса является достаточ-
ным, но не необходимым признаком равномерной сходимости
функционального ряда. В самом деле, функциональный ряд
S(—
k
сходится равномерно на сегменте 0=0^1 к сумме 1п(1 + х), по-
скольку (см. п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1) разность между 1п(1 + х) и n-Й ча-
стичной суммой этого ряда, равная остаточному члену 7?п+1 (х) в
формуле Маклорена для функции 1п(1 + х), для всех х из сегмен-
та O^x^l удовлетворяет неравенству
|Я„+1 (х) |^1/(п+ 1).
Однако для данного функционального ряда не существует на
сегменте O^x^l мажорирующего его сходящегося числового ря-
да, так как для каждого номера k
(—l)Wxfe
k
а числовой ряд
sup
X6I0.1J
00 j
2 расходится.
1
k ’
76	Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Применим признак Вейерштрасса для установления равномер-
ной сходимости функционального ряда
sin (fe2x 4- fey 4- г)
fe2	’
fe=l
Можно утверждать, что этот ряд сходится равномерно во всем
трехмерном евклидовом пространстве Е3, так как для любой точ-
ки (х, у, z) этого пространства он может быть мажорирован схо-
ОО
дящимся числовым рядом У' ——.
ляЛ fe2
*=.1
Теорема. 2.4 (признак Дини2)). Если последовательность
{fn(x)} не убывает (или не возрастает) в каждой точке х замкну-
того ограниченного множества {х} пространства Ет и сходится
на этом множестве к предельной функции f(x) и если все члены
последовательности fn(x) и предельная функция f(х) являются
непрерывными на множестве {х}, то сходимость последовательно-
сти {/п(х)} является равномерной на множестве {х}.
Доказательство. Не ограничивая общности, предполо-
жим, что последовательность {fn(x)} не убывает на замкнутом
ограниченном множестве {х} (случай невозрастающей последова-
тельности сводится к этому случаю умножением всех элементов
последовательности на число—1). Положим rn(x)=f(x)—fn(x).
Последовательность {rn(x)} обладает следующими свойствами:
1)	все гп(х) неотрицательны и непрерывны на множестве {х};
2)	{г„ (х)} не возрастает на множестве {х};
3)	в каждой точке х множества {х} существует предел
lim гп (х) = 0.
П—>со
Достаточно доказать, что последовательность {гп(х)} сходится
к тождественному нулю равномерно на множестве {х}, т. е. что
для любого е>0 найдется хотя бы од ин номер п такой, что
гп(х)<е, для всех х из множества {х}. (Тогда в силу невозраста-
ния последовательности {гп(х)} неравенство гп(х)<е будет спра-
ведливо и для всех последующих номеров.)
Допустим, что для некоторого е>0 не найдется ни одного но-
мера п такого, что гп(х)<е сразу для всех х из множества {х}.
Тогда для любого номера п найдется хотя бы одна точка хп мно-
жества {х} такая, что
''п(%п)>е.	(2.16)
В силу ограниченности множества {х} и теоремы Больцано—
Вейерштрасса (см. теорему 12.1 ч. 1) из последовательности то-
2> Улисс Дини — итальянский математик (1845—1918).
§ 2. Достаточные признаки равномерной сходимости	77
чек {хп} можно выделить подпоследовательность точек
сходящуюся к некоторой точке хо, принадлежащей в силу замк-
нутости множества {х} этому множеству. Так как каждая функ-
ция гт(х) (с любым номером т) является непрерывной в точке
х0, то для любого номера т
lim rm(x„ ) = rm(xa).	(2.17)
С другой стороны, выбрав для каждого номера т превосходя-
.щий его номер получим (в силу невозрастания последователь-
ности rm(x))
r.u (x«ft) Гпк
Сопоставление последнего неравенства с неравенством (2.16),
справедливым для любого номера п, дает оценку
rm(x„ft)>e	(2.18)
(для любого номера превосходящего фиксированный нами
произвольный номер т).
Из (2.17) и (2.18) вытекает, что
Гт (*о)
(для любого номера т), а это противоречит сходимости последо-
вательности {rm(x)} в точке х0 к нулю. Полученное противоречие
доказывает теорему.
Замечание 3. В теореме Дини весьма существенно требо-
вание монотонности последовательности {/п(х)} на множестве {х},
так как немонотонная на множестве {х} последовательность не-
прерывных на этом множестве функций может сходиться в каж-
дой точке х множества {х} к непрерывной на этом множестве
функции f(x), но не сходиться равномерно на множестве {х}.
Примером может служить последовательность функций {)„(х)},
для которой fn(x) равна sinnx при Осхсл/н и равна
нулю при л/п<х<л. Эта последовательность сходится к f(x)=O
в каждой точке сегмента О^Сх^л, но не сходится на этом сег-
менте равномерно, так как |/п(*п)—f(Xn) | = 1 при хп==л/2н
для всех номеров п.
Приведем эквивалентную формулировку теоремы Дини в тер-
минах функциональных рядов.
Теорема 2.4*. Если все члены функционального ряда не-
прерывны и неотрицательны (или неположительны) на замкну-
том ограниченном множестве {х} и если в каждой точке множест-
ва {х} этот ряд сходится и сумма его является непрерывной на
множестве {х} функцией, то его сходимость является равномерной
на множестве {х}.
78
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
В качестве примера применения признака Дини изучим вопрос
о характере сходимости последовательности
{(x2 + i/2)"}
в круге x2+z/2^l/4 радиуса 1/2 с центром в точке (0, 0). Сходи-
мость является равномерной в этом круге, так как рассматривае-
мая последовательность сходится в каждой точке этого круга к
предельной функции f(x, у)^0, не возрастает в каждой точке*
круга и состоит из функций, непрерывных в нем.
Чтобы сформулировать еще два признака равномерной сходи-
мости функциональных рядов, введем некоторые новые понятия.
Определение 1. Последовательность {fn(x)} называется
равномерно ограниченной наг множестве {%}, если су-
ществует такое вещественное число Л1>0, что для всех номеров!
п и всех точек х множества {х} справедливо неравенство
Определение 2. Функциональная последовательность
{^п(^)} называется последовательностью, обладающей на
множестве {%} равномерно ограниченным изме-
нением, если функциональный ряд
00
£ |УА+1(0 — VfeWI
Л=1
(2.19)
сходится равномерно на множестве {%}.
Отметим сразу же, что всякая последовательность, обладаю-
щая на множестве {х} равномерно ограниченным изменением, схо-
дится равномерно на множестве {х} к некоторой предельной
функции. В самом деле, из равномерной на множестве {%} сходи-
мости ряда (2.19) и из критерия Коши вытекает равномерная на
множестве сходимость ряда
[1>А+1(х)~	(2.19')
Л=1
п-я частичная сумма Sn(x) которого имеет вид Sn(x) =vn+] (х)—-
— щ(х).
Из последнего равенства вытекает равномерная сходимость
последовательности {пп(х)} к предельной функции v(x), равной
S(x)+щ(х), где S(x) —сумма ряда (2.19').
Теперь мы можем сформулировать и доказать следующие два
признака.
§ 2. Достаточные признаки равномерной сходимости
79
Теорема 2.5 (первый признак Абеля). Если функциональ-
ный ряд (2.1)
£ Un
п— 1
обладает равномерно ограниченной на множестве {х} последова-
тельностью частичных сумм, а функциональная последователь-
ность {пп(х)} обладает равномерно ограниченным на множестве
{х} изменением и имеет предельную функцию, тождественно рав-
ную нулю, то функциональный ряд
£ K(x)v„(x)]	(2.20)
П=1
сходится равномерно на множестве {х}.
Доказательство. По условию существует число Af>0 та-
’кое, что последовательность 3„(х) частичных сумм ряда (2.1)
для всех номеров п и всех точек х из множества {х} удовлетво-
ряет неравенству |Sn(х) j .
Фиксируем произвольное е>0 и по нему номер N такой, что
.для всех п, превосходящих N, всех натуральных р и всех точек х
множества {х} справедливы неравенства
KWK^.	(2-21)
п+р—1
У |vft+I(x)-vftWI <^7-	(2-22)
зм
k=n+l
•(Здесь мы воспользовались равномерной на множестве {х} схо-
димостью последовательности {оп(х)} к нулю и равномерной на
множестве {х} сходимостью ряда (2.19).)
В силу тождества Абеля (1.77) и в силу того, что модуль сум-
мы трех величин не превосходит сумму их модулей, имеем
| £ l“k W vk (*)] | < | £ Sft (x)	(x)—vk+l (x)] | +
k=n-}-\	k= л-|-1
+ |5„+p(x)| • |пп+р(х)| + |Sn(x)| • |v„+i (x)|.
'Учитывая, что для всех номеров п и всех х из {х} справедливо
.неравенство |Sn(x) |^Af, получим
| £ KW vk (х)] |	£ |oh-i(x) —Мх)|+
fc—n+l	4=п4-1
+ м |ол+р(х)| +Л1 |и„+1(х)|.
80
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Сопоставление последнего неравенства с (2.21) и (2.22), поз-
воляет записать неравенство
п+р
I £ IM*) Vk (*)] | < е.
справедливое для всех номеров п, превосходящих N, всех нату-
ральных р и всех точек х множества {х}, а это и означает, что
ряд (2.20) сходится равномерно на множестве {х} (в силу теоре-
мы 2.2). Теорема доказана.
Теорема 2.6 (второй признак Абеля). Если функциональ-
ный ряд (2.1) сходится равномерно на множестве {х} к сумме
S(x), ограниченной на этом множестве, а функциональная по-
следовательность [vn(x)} обладает равномерно ограниченным на
множестве {х} изменением и имеет ограниченную на этом множе-
стве предельную функцию о(х), то функциональный ряд (2.20)
сходится равномерно на множестве {х}.
Доказательство. Будем исходить из тождества Абеля
(1.77). Это тождество можно переписать в виде
п+р	п+р—\
£ uk(x)vk(x) = у Sk(x)[vk(x)—0А+1(х)] +
й=п-|-1	Й=Л-}-1
+ [Sn+p (х)—Sn (х)] vn+p (х) + Sn (х) [а„ +р (х)—ип+] (х)].
(Здесь символом Sft(x) обозначена k-я частичная сумма ряда
(2.1).)
Из последнего тождества вытекает неравенство
п+р	п+р—1
I £	(х) vk (х) | < £ I Sk (х) I • I о*+1 (х)——vk (х) I +
k=n+l	£=n-H
+ |S„+1 (х)-S„(x)| • |u„+p(x)| + |Sn(x)|  |on+p(x)—on+1(x)[. (2.23)
Так как по условию сумма S(x) ряда (2.1) и предельная функ-
ция о(х) последовательности {уп(х)} ограничены на множестве
{х}, то найдутся постоянные и М2 такие, что для всех х из
множества {х}
| S (х) | ^Mi, | v (х) |	(2.24)
Из неравенств (2.24) и из равномерной на множестве {х) схо-
димости последовательностей {Sn(x)} и {оп(х)| к предельным
функциям 3 (х) и v (х) соответственно вытекает существование
такого номера Ni, что для всех точек х множества {х} и всех но-
меров п, удовлетворяющих условию ri^Ni, будут справедливы
неравенства
|Sn(x) 1, |v„,(x)|<M2+l.
(2.25)
§ 2. Достаточные признаки равномерной сходимости
81
Далее, из равномерной на множестве {х} сходимости функ-
циональных рядов (2.1) и (2.19) и из критерия Коши равномер-
ной сходимости вытекает, что для произвольного е>0 найдутся
номера М2(е) и Л^з(е) такие, что неравенство
|Sn+p(x)—Sn(х)| <	8	(2.26>
о (/Из -f- 1)
будет справедливо для точек х множества {х}, всех натуральных
р и всех номеров п, удовлетворяющих условию ri^N2(&), а нера-
венство
п+Р— 1
S	<2'27>
£=а»ГЦ-1
— для всех точек х множества {х}, всех натуральных р и всех но-
меров п, удовлетворяющих условию /г^Л^з(е).
Наконец, из тождества
Vn+p(x) — 0„(х) = £ [У*+1(Х)~ Ufe(x)],
4=п+1
из вытекающего из него неравенства
п+р— 1
|ц„+р(х)—о„(х)| < У |оА+1(х)—цДх)|
A=n-f-l
и из неравенства (2.27) получаем
кп+Р(х)-и„(х)| <	—	(2.28>
3 (/И1 I)
для всех точек х множества {х}, всех натуральных р и всех но-
меров п, удовлетворяющих условию n^.V3(e).
Обозначим через N(e) наибольший из трех номеров Nj, N2{e),
и jV3(e). Тогда при (г) для всех точек х множества {х} и
всех натуральных р будет справедливо каждое из четырех нера-
венств (2.25) — (2.28).
Из этих неравенств и из (2.23) вытекает, что
п+р
| У МтК(*)|<Е
k—n+l
при всех n^N(e), всех натуральных р и для всех точек х мно-
жества {х}.
В силу критерия Коши ряд (2.20) сходится равномерно на
множестве {х}. Теорема доказана.
.82
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Следствие из теоремы 2.5 (признак Дирихле — Абеля).
Если функциональный ряд (2.1) обладает равномерно ограничен-
ной на множестве {х} последовательностью частичных сумм, а
функциональная последовательность {vn(x)} не возрастает в каж-
дой точке множества {х} и равномерно на этом множестве схо-
дится к нулю, то функциональный ряд (2.20) сходится равно-
мерно на множестве {х}.
Достаточно заметить, что невозрастающая в каждой точке
множества {х} и сходящаяся равномерно на этом множестве к
нулю последовательность {vn(x)} заведомо обладает на множест-
ве {х} равномерно ограниченным изменением, так как для нее
п-я частичная сумма S„(x) ряда (2.19) равна щ(х) — оп+1(х).
Поэтому существует равномерный на множестве {х} предел
lim Sn (х) •= lim [ох (х)—o,;+i (х)] = ох (х).
п-*со
В качестве примера изучим вопрос о равномерной сходимости
ряда
У-------------- (2.29)
XJ fe + (i + |х[)* ’
*=.i
Так как последовательность
п + (1+|х|Г
яе возрастает в каждой точке бесконечной прямой —оо<х<оо и
равномерно на этой прямой сходится к нулю, то в силу признака
Дирихле—Абеля ряд (2.29) сходится равномерно на любом мно-
жестве, на котором ряд
sin£x
*=1
(2.30)
обладает равномерно ограниченной последовательностью частич-
ных сумм.
Для вычисления n-й частичной суммы Sn(x) ряда (2.30) про-
суммируем тождество
2 sin — sin kx — cos (k-—\ x— cos (k + — \ x
2	\	2 /	(	2 )
по всем номерам k от 1 до n. При этом получим соотношение
п • х с , . х	/ , 1 \
2 sin — Sn(x) = COS---COS ( 71 ч-I X,
2	2	\	2 1
§ 3. Почленный переход к пределу
8а
из которого вытекает равенство
Sn (х) =
X	(	1 \
cos-------cos n 4- — х
2	\	2 )
х
2 sin---
2
Следовательно, для всех номеров п справедливо неравенства

которое означает, что последовательность частичных сумм ряда
(2.30) равномерно ограничена на любом фиксированном сегмен-
те, не содержащем точек хт = 2л,т, где т = 0, ±1,... (так как на
любом таком сегменте
• Л
sin----
имеет положительную точ-
2
ную нижнюю грань).
Итак, ряд (2.29) сходится равномерно на любом фиксирован-
ном сегменте, не содержащем точек хто=2лт, т—0, ±1,...
В силу второго признака Абеля можно утверждать, что ряд
V / Г sinkx 1 +1 + i*i 1
Zj |[ fe+(i+ixd*j k+ixi j
*=i
также сходится равномерно на любом сегменте, не содержащем
точек xm=2nm, m=0, ±1,..., поскольку ряд (2.29) равномерно
сходится на таком сегменте, причем к ограниченной сумме, а по-
64-1+|х| й
следовательность vk — —11— обладает равномерно ограни-
& + 1*1
ченным на любом сегменте изменением (так как ряд
оо	о>
S 1и*+1—^1 == Л (й+ |х|)(*+ |х| + 1)
Л=1
на всей прямой мажорируется сходящимся числовым рядом
со
У -?-) и на всей прямой сходится равномерно к ограниченной
м
функции v(x) == 1.
§ 3. ПОЧЛЕННЫЙ ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ
о
Рассмотрим произвольную точку х пространства Ет и произ-
вольное множество {х} пространства Ет, для которого эта точка
«4
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
О
является предельной. При этом точка х может сама не принад-
лежать множеству {х}.
Теорема 2.7. Если функциональный ряд
(2.31)
сходится равномерно на множестве {х} к сумме S(x) и у всех
о
членов этого ряда существует в точке х предел
lim uk(x) = bk,
о
х->х
О
то и сумма ряда S (х) имеет в точке х предел, причем
limS(x) = V' [Итид. (х)] =У bk,	(2.32)
о	о	;
т. е. символ lim предела и символ S суммирования можно пере-
ставлять местами (или, как говорят, к пределу можно перехо-
дить почленно).
Доказательство. Сначала докажем сходимость числово-
09
го ряда У bk. В силу критерия Коши, примененного к функцио-
нальному ряду (2.31), для любого е>0 найдется номер Л7(е) та-
кой, что
I Wn+i (х) 4-ип^.2(х) + ... + ип±р(х) | <Се	(2.33)
для всех номеров п, удовлетворяющих условию /г^УУ(е), всех на-
туральных р и всех точек х множества {х}. Считая в неравенстве
(2.33) фиксированными номера /гири переходя в этом неравен-
о
стве к пределу при х-«-х (такой предельный переход можно
осуществить по любой последовательности точек множества {х},
о
сходящейся к точке х), получим
I bn+i + Ьп+2 + ... + Ьп+р | ^е<2е
(для каждого ri^N(г) и каждого натурального р). В силу кри-
09
терия Коши ряд у bk сходится.
*=1
Оценим теперь разность
5(х)-уЛ
§ 3. Почленный переход к пределу
85
для всех точек х множества {х} из достаточно малой окрестности
о
точки х. Так как
s W = £ Uk
k=\
для всех точек х множества {х}, то для любого номера п справед-
ливо тождество
О»	П	п	со	со
Д	LJ=I	4=1	ft=n4-l	4=n-f-I
из которого получаем неравенство
ОО	П	П	00	00
|SW-£	+ | £ Ufc(x)| + [ £ bfc|,(2.34)
k~\	k~l	А=1	A=sn-j-l
справедливое для всех точек х множества {х}.
00
Фиксируем произвольное е>0. Так как ряд £ Ьк сходится,
fe=i
00
а ряд £ ик(х) сходится равномерно на множестве {х}, то для
4=1
фиксированного е>0 найдется номер п. такой, что для всех точек
х множества {х}
оо	со
I S ^|<НЬ I £	(2-35)
k=л-Н
Так как предел конечной суммы равен сумме пределов слагае-
мых, то для фиксированного нами е>0 и выбранного номера п
можно указать 6>0 такое, что
п	п
|2и*(х)~Хbk
4=1	4=1
(2.36)
для всех точек х множества {х}, удовлетворяющих условию 0<
о
<р(х, х) < 6. Из (2.34) — (2.36) следует, что для всех таких х
Is w-Е N <е-
4=1
О
Это доказывает существование предела S(x) в точке х, а
следовательно, и справедливость равенства (2.32). Теорема дока-
зана.
86
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
В терминах функциональных последовательностей теорема 2.7
звучит так:
Теорема 2.7*. Если функциональная последовательность
tfnU)} сходится равномерно на множестве {х} к предельной
функции f(x) и все элементы этой последовательности имеют
о
предел в точке х, то и предельная функция f(x) имеет предел №
о
точке х, причем
lim f (х) = lim (lim fn (x)) = lim (limfn(x)),
0	0 n->CD	n->co 0
x-+x	x-*x	x->x
t. e. символ lim предела последовательности и символ lim
гс-х»	O'
X
предела функции можно переставлять местами (или, как говорят,
о
к пределу при х—>-х можно переходить почленно).
Следствие 1 из теоремы 2.7. Если в условиях теоре-
о
мы 2.1 дополнительно потребовать, чтобы точка х принадлежа-
ла множеству {х} и чтобы все члены uh(x) функционального ряда
о
(2.31) были непрерывны в точке х, то и сумма S(x) этого ряда
о
будет непрерывна в точке х.
о
В самом деле, в этом случае bk = uk(x) и равенство (2.32) при-
нимает вид
“оо
limS(x)=y uA(x) = S(x),
0
Х-+Х
0
а это и означает непрерывность суммы S(x) в точке х.
Следствие 2 из теоремы 2.7. Если все члены функ-
ционального ряда (функциональной последовательности) непре-
рывны на плотном в себе множестве {х}3) и если этот функцио-
нальный ряд (эта функциональная последовательность) сходится
равномерно на множестве {х}, то и сумма указанного ряда (пре-
дельная функция указанной последовательности) непрерывна на
множестве {х}.
Для доказательства достаточно применить предыдущее след-
о
ствие к каждой точке х множества {х}.
’> Напомним, что множество {х} называется плотным в себе, если?
каждая его точка является предельной точкой этого множества.
§ 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование
87
§ 4. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
1. Почленное интегрирование. Докажем следующую основную
теорему.
Теорема 2.8. Если функциональная последовательность
ifn(x)} сходится к предельной функции f(x) равномерно на сег-
менте [а, 6] и если каждая функция fn(x) интегрируема на сег-
менте [а, Ь], то и предельная функция f(x) интегрируема на этом
сегменте, причем указанную последовательность можно интегри-
ровать на сегменте [а, Ь] почленно, т. е. предел
ь
lim [fn(x)dx
H->QD J
a
b
существует и равен f f (x) dx.
a
Доказательство. Сначала докажем, что предельная функ-
ция f(x) интегрируема на сегменте [а, 6].
Фиксируем произвольное е>0. Достаточно доказать, что для
предельной функции f(x) найдется хотя бы одно разбиение сег-
мента [а, 6], для верхней суммы S и нижней суммы s которого
справедливо неравенство S — s<e (см. п. 1 § 3 гл. 9 ч. 1).
Для этого достаточно доказать, что для фиксированного нами
произвольного е>0 найдется такой номер п, что для любого
разбиения сегмента [а, Ь] верхняя сумма S и нижняя сумма s
«функции f(x) и верхняя сумма Sn и нижняя сумма sn функции
Jn(x) связаны неравенством
S—s < (S„-sn) +	(2.37)
{В самом деле, если для любого разбиения будет доказана спра-
ведливость для некоторого номера п неравенства (2.37), то в
силу интегрируемости на [а, Ь] функции fn(x) разбиение можно
выбрать так, что будет справедливо неравенство Sn—sn<
из которого в силу (2.37) следует S — s<e, что и завершает до-
казательство интегрируемости на [а, Ь] функции f(x).) Рассмот-
рим произвольное разбиение {xft} (6=1, 2,...,пг) сегмента [а, &]
и обозначим символом a>k(fn) колебание4) на k-м частичном сег-
менте [xk-i, xfe] функции fn(x), а символом колебание на
том же частичном сегменте предельной функции Цх).
4> Напомним, что колебанием функции на любом сегменте назы-
вается разность между точной верхней и точной нижией гранями этой функции
«а указанном сегменте.
88
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Неравенство (2.37) будет доказано, если мы установим, что
для достаточно большого номера п справедливо неравенство
+	(2.38)
(В самом деле, умножая (2.38) на длину \хк—хк— xfe_i частич-
ного сегмента [хл-i, х&] и суммируя получающееся при этом не-
равенство по всем k=\, 2,...,т, получим неравенство (2.37).)
Установим для любого частичного сегмента [х^_], xfe] и для
любого достаточно большого номера п справедливость неравен-
ства (2.38). Для любого номера п и любых двух точек х' и х'1'
сегмента [х&_1, х&] справедливо тождество
/(х')-/(х") [f (х')-АДх')] + [/„(*•')-/„ (X")] + [/„(Z)-/(x")],
из которого вытекает неравенство
1/(х')-/(х")| < |/(х')-/л(х')| + |/п(х')-/„(х’)| + 1Л(х")-/(х")|-
(2.39)
В силу равномерной на сегменте [а, Ь] сходимости последова-
тельности {/п(х)} к функции f(x) для фиксированного нами про-
извольного е>0 найдется номер п такой, что для всех точек х
сегмента [а, Ь]
wi<^.	<2ЛО>
Используя в правой части (2.39) неравенство (2.40), взятое
для точки х=х' и для точки х=х", получим из (2.39)
1/(И-/(х")1 < 1Л.(х„')-/п(х")| + —	(2.41)
2 (о — а)
(для выбранного нами достаточно большого номера п и для лю-
бых двух точек х! и х" сегмента [xfe_i, ).
Так как при любом расположении точек х' и х" на сегменте
[xfe-i, Хй] справедливо неравенство
|fn(x')-fn(x")l<®ft(fn),
то из (2.41) получим
И(х')-/(Х")| <®И/„) + —(2.42)
2 (о — а)
Заметим, что неравенство (2.42) справедливо при любом рас-
положении точек х' и х" на частичном сегменте [хь-i, х&].
Обозначая точную верхнюю и точную нижнюю грани функции
f(x) на указанном частичном сегменте соответственно через Мк
и тк, в силу определения точных граней найдем две последова-
§ 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование 89
тельности точек {хр'} и {хр"} (р=1, 2,...) сегмента [xft_b xfe] та-
кие, что
lim х’ =M.k, lim х" = тк.
О	К	р К
Р~*О>	р-^-со
В силу (2.42) для любого номера р
i/(*;wu;)i	.	(2-43)
Переходя в неравенстве (2.43) к пределу при р->оо и замечая,
что предел левой части (2.43) равен Мк—rnh = (£>h(f), получим в
пределе из (2.43) требуемое неравенство (2.38).
Таким образом, доказательство интегрируемости предельной
функции f(x) на сегменте [а, Ь] завершено.
Заметим, что если бы мы в условиях теоремы 2.8 дополнитель-
но потребовали непрерывности каждой функции fn(x) на сегмен-
те {а, 6] (что делается в большинстве учебников по математиче-
скому анализу), то доказательство интегрируемости предельной
функции f(x) на сегменте [а, Ь] стало бы совсем тривиальным:
в силу следствия 2 из теоремы 2.7 при таком дополнительном
требовании предельная функция f(x) являлась бы непрерывной
на сегменте [а, 6], а потому и интегрируемой на этом сегменте.
Остается доказать второе утверждение теоремы 2.8 о том, что
интегрирование последовательности {Цх)} на сегменте [а, Ь]
можно производить почленно. Достаточно доказать, что для лю-
бого е>0 найдется номер JV(е) такой, что для всех ri^N(е)
ь	ь
I ( (х) dx— С f (х) dx | < е.
I J	V	I
а	а
Но это вытекает из того, что в силу равномерной сходимости
Un(x)} к f(x) на сегменте [а, Ь] существует номер N (е) такой,
что для всех х из сегмента [а, Ь] и для всех номеров п, удовле-
творяющих условию n^W(e),
I/„(X)—/(х)| < —.	(2.44)
2 (о— а)
Из неравенства (2.44) и из известных оценок из теории опре-
деленного интеграла5) получим 6
6) Имеются в виду следующие установленные в п. 2 § 4 гл. 9 ч. 1 оценки:
1) если F(x) интегрируема на [а, &], то и |F(x)| интегрируема на [а, &], при-
ft	й
чем | j F (х) dx |<	(х)\dx; 2) если /(х) и g(x) интегрируемы на сегмен-
а	а
ь	ь
те [а, &] и всюду на этом сегменте f(x)<g(x), то J f (x)dx< g(x)dx.
а	1
90
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
b	ь	Ь
J /„ (х) dx—у /(х) dx = | у [/„ (х)—f (х)] dx <
а	а	а
Ъ	Ъ
f- < е-
а	а
Доказательство теоремы 2.8 полностью завершено.
Приведем формулировку теоремы 2.8 в терминах функцио-
нальных рядов:
Теорема 2.8*. Если функциональный ряд
У M-v)
k=\
сходится к своей сумме S(x) равномерно на сегменте [а, и
если каждый член этого ряда uh(x) представляет собой функцию,
интегрируемую на сегменте [а, Ь], то и сумма S(х) интегрируема
на сегменте [а, Ь], причем указанный ряд можно интегрировать
на сегменте [а, Ь] почленно, т. е. можно утверждать, что чис-
ловой ряд
ОО b
£ рА(л-)б/х
fe=l а
b
сходится и имеет своей суммой § S (х) dx.
а
Замечание. В следующей главе будет указан аналог тео-
ремы 2.8 (см. теорему 3.9) для случая, когда функциональная
последовательность определена и интегрируема в некоторой об-
ласти m-мерного евклидова пространства Ет (при т^2).
2. Почленное дифференцирование. В дальнейшем под словами
«функция f(x) имеет производную на сегменте [а, Ь]» мы будем
подразумевать, что функция f(x) имеет обычную (двустороннюю)
производную в любой внутренней точке сегмента [а, Ь], правую
производную f'(a+O) в точке а и левую производную f'(b — 0) в
точке Ь.
Теорема 2.9. Если каждая функция fn(x) имеет производ-
ную на сегменте [а, 6], причем последовательность производных
сходится равномерно на сегменте [а, Ь], а сама последователь-
ность {/п(х)} сходится хотя бы в одной точке х0 сегмента [а, 6],
то последовательность {/„(х)} сходится к некоторой предельной
функции f (х) равномерно на сегменте [а, 6], причем эту после-
довательность можно дифференцировать на сегменте [а, 6] по-
членно, т. е. всюду на сегменте [а, 6] предельная функция
§ 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование
91
имеет производную f'(x), являющуюся предельной функцией
последовательности {//(*)}•
Доказательство. Докажем сначала, что последователь-
ность {/п(х)} сходится равномерно на сегменте [а, б]. Из сходи-
мости числовой последовательности {/п(хо)} и из равномерной на
сегменте [а, Ь] сходимости {fn'(x)} следует, что для любого е>0
найдется номер N(е) такой, что
lf«+P(*oW«(*o)l < V’ \Шх)-йх)\< —(2.45)
2	2(Ь — а)
для всех	всех натуральных р и для всех х из сегмента
[а, Ь].
Пусть х — произвольная точка сегмента [а, Ь]. Так как
для функции [/п+р (0—/п(0] ПРИ любых фиксированных номе-
рах пир выполнены на сегменте, ограниченном точками х и х0,
все условия теоремы Лагранжа, то между х и xq найдется точка
§ такая, что
[/п+р(х)-/„ (х)] -[fn+p(х0)—fn (х„)] = [Д+₽	(х-х0).
Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин
не превосходит сумму их модулей, получим, учитывая (2.45) и
неравенство |х— х0|^б— а, что
I/п+р(х) — fn(x) |<е
(для любого х из [а, Ь], для любого ri^N (е.) и любого натураль-
ного р).
Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность
{/„(х)} сходится равномерно на сегменте [а, 6] к некоторой пре-
дельной функции /(х).
Остается доказать, что эта предельная функция в любой
фиксированной точке х сегмента [а, Ь] имеет производную (в
граничных точках одностороннюю производную) и эта производ-
ная является предельной функцией последовательности {//(х)}.
Фиксируем произвольную точку х сегмента [а, б] и по ней
б>0 такое, чтобы б-окрестность точки х целиком содержалась в
[а, 6] (в случае, если х является граничной точкой сегмента [а,
б] под б-окрестностью точки х будем подразумевать правую по-
луокрестность [а, а+б) точки а и левую полуокрестность (Ь—б,
Ь] точки Ь).
Обозначим символом {Дх} множество всех чисел Дх, удовле-
творяющих условию 0<|Дх|<б при а<х<Ь, условию 0<Дх<б
при х—а и условию —б<Дх<0 при х—b, и докажем, что после-
довательность функций аргумента Дх
’> В граничных точках [а, 6] имеется в виду односторонняя производная.
92
Гл. 2. Функциональные последовательности н ряды
Ф„(Ах) = fn(x + \x)-fn(x)	(2 46>
Ах
сходится равномерно на указанном множестве {Ах}.
Для произвольного е>0 в силу критерия Коши равномерной
сходимости последовательности {fn'(x)J найдется номер N (е) та-
кой, что
|Д+Р(х)-Д(х)| <е	(2.47>
для всех х из [а, й], всех п>ЛДе) и всех натуральных р.
Фиксируем теперь произвольное Ах из множества {Ах} и при
любых фиксированных номерах пир применим к функции
[МИО-МО]
по сегменту, ограниченному точками х и х+Ах, теорему Лагран-
жа. Согласно этой теореме найдется число 0 из интервала 0<
<0<1 такое, что
[fn+p (х + Ах) — /,-,(% + Ах)] — [fn+p (х) — fn (х)] =
Ах
= fn+p (х + 9Ах)—fn (х + 0Ах).
Используя обозначение (2.46), последнее равенство можно пере-
писать в виде
Ф„+р(Ах)—<р„(Ах) = й₽(х + 0Ax)—f’n(x+ 6Ах).
Из этого равенства и из (2.47) заключаем, что
| фп+р (Ах) — ф„ (Ах) | <е
для любого Ах из {Ах}, любого ri^N(е) и любого натурального*
р. В силу критерия Коши (т. е. теоремы 2.1) последовательность
{фп(Ах)} сходится равномерно на множестве {Ах}. Но тогда к
этой последовательности можно применить теорему 2.7 о почлен-
ном предельном переходе в точке Ах=0 (в терминах функцио-
нальных последовательностей). Согласно этой теореме функция
f(x + Ax)-f(x)
Ах
являющаяся предельной функцией последовательности (2.46),
имеет предел в точке Дх = 0, причем этот предел' можно вычис-
лять почленно, т. е.
lim О* + Ах) — / (х) _ |-т ц-т (Дх)] =
Дх-»0	Ах	Дх ,0 п->и
= lim [lim фп(Ах)] = lim [lim	1 =lim fn(x).
П-^-со Дх-»о	[_Дх-»-0	Ax	J n~*OO
§ 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование 95
Это и доказывает, что производная предельной функции f(x)
в точке х существует и равна lim/n(x). Теорема доказана.
И—>00
В терминах функциональных рядов теорема 2.9 формули-
руется так:
Теорема 2.9*. Если каждая функция Uk(x) имеет производ-
00
ную на сегменте [а, Ь] и если ряд из производных \
Со
сходится равномерно на сегменте [а, 6], а сам ряд у uk (х) схо-
дится хотя бы в одной точке Хо сегмента [а, 6], то этот последний
ряд сходится равномерно на сегменте [а, Ь] к некоторой сумме
S(x), причем этот ряд можно дифференцировать на сегменте [а,
ft] почленно, т. е. его сумма S (х) имеет производную, являющую-
00
ся суммой ряда из производных у «Дх).
л=1
Замечание 1. Подчеркнем, что в теореме 2.9 предпола-
гается только существование на сегменте [a, ft] производной у
каждого члена последовательности }п(х). Ни ограниченность, ни
тем более непрерывность указанной производной (как это де-
лается в большинстве учебников по математическому анализу}
не предполагается.
Замечание 2. Если все же дополнительно предположить
непрерывность производной у каждого члена последовательности
на сегменте [a, ft], то в силу следствия 2 из теоремы 2.7 и пре-
дельная функция / (х) будет иметь производную, непрерывную на
сегменте [a, ft].
Замечание 3. Для функции m переменных теорема 2.9 мо-
жет быть сформулирована в следующем виде:
Теорема 2.9**. Если каждая из функций fn(x^=fn(xi, Хг,...
..., хт) имеет в замкнутой ограниченной области G пространства
df
Em частную производную —— по переменной xh и если после-
dxk
довательность производных I  д?п  1 сходится равномерно в обла-
I ftxj. J
сти G, а сама последовательность {}п(х)} сходится в каждой точ-
ке области G, то последовательность {fn(x)} можно дифференци-
ровать по переменной Xk в области G почленно.
Из теоремы 2.9 легко вытекает следующее утверждение.
Теорема 2.10. Если каждая функция fn(x) имеет первооб-
разную на сегменте [a, ft] и если последовательность {/nW} схо-
дится равномерно на сегменте [a, ft] к предельной функции f(x),
то и предельная функция f(x) имеет первообразную на сегменте
]а, ft]. Более того, если х0 — любая точка сегмента [a, ft], то по-
•94
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
следовательность первообразных Фп(х) функций fn(x), удовле-
творяющих условию Фп(л-о)=О, сходится равномерно на сегменте
[а, Ь] к первообразной Ф(х) предельной функции f(x), удовле-
творяющей условию Ф(хо)=О-
Доказательство. Для последовательности первообраз-
ных Ф„(х) функций fn(x), удовлетворяющих требованию
Фп(хо)=О, выполнены все условия теоремы 2.9. Это обеспечивает
равномерную на [а, Ь] сходимость последовательности {Фп(х)} к
предельной функции Ф(х), у которой в каждой точке [а, 6] су-
ществует производная, равная предельной функции последова-
тельности {/„(%)}. Теорема доказана.
Замечание к теореме 2.10. В теореме 2.10 не требуется
ни ограниченность, ни тем более интегрируемость функций fn(x)
на сегменте [а, &].
Теоремы, доказанные в данном и в предыдущем параграфах
позволяют нам сделать следующий замечательный вывод:
Утверждение. Равномерная сходимость не выводит из
класса функций, имеющих предел в данной точке (теорема 2.7),
из класса непрерывных функций (следствие 2 из теоремы 2.7), из
класса интегрируемых функций (теорема 2.8), из класса функ-
ций, имеющих первообразную (теорема 2.10) и (в случае равно-
мерной сходимости производных) из класса дифференцируемых
функций (теорема 2.9).
3. Сходимость в среднем. Потребуем, чтобы каждая функция
fn(x) из функциональной последовательности {fn(x)} и функция
f(x) являлись интегрируемыми на сегменте [а, 6].
Тогда (в силу § 4 гл. 9 ч. 1) и функция
Un W-/(X)]2 = (x) — 2fn (X) f (X) + P (X)
также будет являться интегрируемой на сегменте [а, 6].
Введем фундаментальное понятие сходимости в среднем.
Определение 1. Будем говорить, что функциональная по-
следовательность {/„(%)} сходится в среднем на сегменте
[а, 6] к функции f(x), если существует равный нулю предел
ь
lim [ (fn(x)-f(x)Ydx = Q.	(2.48)
П->СО
a
Определение 2. Будем говорить, что функциональный ряд
У, uk (х)
ft=l
сходится в среднем на сегменте [а, Ь] к сумме S(x), если
последовательность частичных сумм этого ряда сходится в сред-
нем на сегменте [а, й] к предельной функции S(x).
§ 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование
95-
Замечание. Из определений 1 и 2 непосредственно выте-
кает, что если функциональная последовательность (функцио-
нальный ряд) сходится в среднем к f(x) на сегменте [а, Ь], то
эта последовательность (этот ряд) сходится в среднем к f(x) и
на любом сегменте [с, d], содержащемся в [а, Ь].
Выясним вопрос о связи между сходимостью в среднем и рав-
номерной сходимостью последовательности.
Утверждение 1. Если последовательность {fn(х)} сходится
к функции f(x) равномерно на сегменте [а, 6], то эта последова-
тельность сходится к f(x) ив среднем на сегменте [а, Ь].
Фиксируем произвольное &>0. В силу равномерной на сегмен-
те [а, Ь] сходимости последовательности {Д(х)} к f(x) для поло-
жительного числа 1/ ---------- найдется номер N(е) такой, что»
<---е---
\Ш-Нх)\<у	(2.49>
у	IU UJ
для всех номеров п, удовлетворяющих условию л^У(е), и всех
точек х сегмента [а, Ь].
Но тогда в силу известной оценки из теории определенного»
интеграла (см. п. 2 § 4 гл. 9 ч. 1)
ь	ь
[ [/«(*)—/WF dx <	\'dx =Т < 8
а	а
для всех номеров п, удовлетворяющих условию ri^N(E). Это и
означает сходимость последовательности {Д(х)} к Дх) на сегмен-
те [а, й] в среднем.
Утверждение 2. Сходимость последовательности на неко-
тором сегменте в среднем не влечет за собой не только равно-
мерной на этом сегменте сходимости, но и сходимости хотя бы &
одной точке указанного сегмента.
Рассмотрим последовательность принадлежащих [0, 1] сег-
ментов Ц, 12,..., 1п,..., имеющих следующий вид:
Л = [0, ИЛ
/4 = [о, -Ц /5 =
4 L 4 J 5
1 11 т — Г 1 _11 j — Г3 Л
4 ’ 2 J’ 2 ’ 4 J’ 7~|Т’ Д’
/2" =
1	2
2« ’ 2П
. , / ,ЛП , - 1-------, 1
2	—1	on
96
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Определим n-й член /„(х) функциональной последовательности
(х)} следующим соотношением:
. . .	( 1 на сегменте
/п (*) = 1 п	ГЛ 11
I 0 в остальных точках [0, 1].
Убедимся в том, что последовательность {/п(х)} сходится к
предельной функции f(x)=O в среднем, на сегменте [0, 1].
В самом деле,
1
J[/n(x)—/(x)]2dx = j dx = длина сегмента ln,
так что существует предел
lim
n->GO
J[f„(x)-f(x)]Mx = O.
о
Убедимся, наконец, в том, что построенная последовательность
не сходится ни в одной точке сегмента [0, 1]. В самом деле, ка-
кую бы точку х0 сегмента [0, 1] мы ни фиксировали, среди как
угодно больших номеров п найдутся как такие, для ко-
торых сегмент 1п содержит точку х0 (для этих номеров fn (х0) —
= 1), так и такие, для которых сегмент не содержит точку х0
(для таких номеров /п(хо)=О). Таким образом, последователь-
ность {/п(хо)} содержит бесконечно много членов, равных едини-
це, и бесконечно много членов, равных нулю. Такая последова-
тельность является расходящейся.
Оказывается, сходимость последовательности в среднем обес-
печивает возможность почленного интегрирования этой последо-
вательности:
Теорема 2.11. Если последовательность {fn(x)J сходится в
среднем к f(x) на сегменте [а, Ь], то эту последовательность
можно почленно интегрировать на сегменте [а, Ь], т. е. предел
ь
lim f Д (х) dx
П->сх> J
а
существует и равен j f(x)dx.
а
Доказательство. Фиксируем произвольное е>0. В силу
сходимости последовательности {fn(x)} к f(x) в среднем на сег-
менте [а, 6] найдется номер N(е) такой, что для всех ri^N(е)
J[/„W-f(x)]2d.r<
(2.50)
§ 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций
97
Записав очевидное неравенство7) |Л|-|В|<----F—^-для ве-
личин
A = [fn(x)-f(x)]	B = l/-^.
у е	У Ь — а
получим
1/п(х)-/(х)|<[/п(х)-Нх)]2-^ + --^—.	(2.51)
2е 2 (о — а)
Из (2.51) и известной оценки из теории определенного интеграла
следует
ь	ь
[	\fn{x)—f(x)\dx <	f	[fn W—/(x)]adx+ -5-.
t/	J	~
a	a
Отсюда	и из	(2.50)	ясно,	что	при	всех	п^У(е)
ь
J\fAx}-f{*')\dx<-~+±- = 8.	(2.52)
а
Так как
ь	ь	ь
I J /п W dx— j f (х) dx | = | J [f„ (х)—/ (х)1 dx | <
а	а	а
b
<J|/n(*) —Д*)рх,
а
то из (2.52) получим, что для всех номеров ri^-N (е)
»	ь
| Jf„(x)dx—J/(x)dx|< е.
а	а
Теорема доказана.
§ 5. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Предположим, что каждая из функций /п(х) функциональной
последовательности {/«(х)} определена на некотором плотном в се-
бе множестве {х} пространства Ет.
Определение. Последовательность {fn(x)} называется рав-
ностепенно непрерывной на множестве {х}, если
для любого е>0 найдется б>0 такое, что неравенство
7) Это неравенство эквивалентно неравенству (|А | + |В|)2>0.
4 Зак. 25
98
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
1М*')-М*")1<е	(2.53>
справедливо для всех номеров п и всех точек х' и х" множества
{х}, связанных условием р(х', х")<б.
Из этого определения очевидно, что если вся последователь'
ность {/п(х)} равностепенно непрерывна на множестве {х}, то и
любая ее подпоследовательность равностепенно непрерывна на
этом множестве.
Для простоты будем рассматривать последовательность {fn(x)}
функций одной переменной х, равностепенно непрерывную на
сегменте [а, Ь]. По определению для любого е>0 найдется б>0
такое, что неравенство (2.53) справедливо для всех номеров п и
всех точек х' и х" сегмента [а, 6], связанных условием \х'—х"\<
<б.
Докажем утверждение, представляющее собой функциональ-
ный аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса.
Теорема 2.12 (теорема Арцела). Если функциональная по-
следовательность {fnW} равностепенно непрерывна и равномерно
ограничена на сегменте [а, Ь], то из этой последовательности мож-
но выделить подпоследовательность, сходящуюся равномерно на
сегменте [а, 6].
Доказательство. Рассмотрим на сегменте [а, 6] следую-
щую специальную последовательность точек {х„}: в качестве Xi
возьмем ту точку, которая делит сегмент [а, Ь] на две равные ча*
сти, в качестве х2 и хз возьмем те две точки, которые вместе с
Xi делят сегмент [а, Ь] на четыре равные части, в качестве Xt, Х5,
х6 и х7 возьмем те четыре точки, которые вместе с xi, х2 и хз де-
лят сегмент [а, Ь] на восемь равных частей (см. рис. 2.3), и т. д.
I 1 1 1 1 1 1 1 1
U <27^ «Ху <27у tTg Я?] Ь
Рис. 2.3
Построенная последовательность обладает следующим свойст-
вом: для любого б>0 найдется номер по такой, что на любом
принадлежащем [а, Ь] сегменте длины б лежит хотя бы один из
элементов Xi, х2, ..., хПо 8).
Приступим теперь к выделению из последовательности
{/п(х)} равномерно на сегменте [а, Ь] сходящейся подпоследова-
тельности. Сначала рассмотрим последовательность {/п(х)} в точ-
ке хь Получим ограниченную числовую последовательность
{fn(xi)j, из которой на основании теоремы Больцано — Вейер-
8) Про последовательность, обладающую таким свойством, говорят, что она
является всюду плотной на сегменте [а, Ь].
§ 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций
99
штрасса (см. § 4 гл. 3 ч. 1) можно выделить сходящуюся подпо-
следовательность, которую мы обозначим так:
fll(xl), fl2(Xl), ..., fln(Xl), ...
Далее рассмотрим функциональную последовательность
fll(-v), fl2(x), . .., fln(x), ...
в точке х2. По теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обо-
значим так:
fn (хг), /22 (хг), • • •, fzn (хг) > • • 
Таким образом, функциональная последовательность
f2i(x), Ь(х), .... f2n(x), ...	(2.54)
является сходящейся и в точке Xi, и в точке х2.
Далее рассматриваем функциональную последовательность
(2.54) в точке хз и выделяем из нее сходящуюся подпоследова-
тельность
fsi (*3) , f 32 (хз) , . . . , f33 (х3) , • . •
Продолжая аналогичные рассуждения, получим бесконечное
множество подпоследовательностей
fll W» /12 (-*)»	fis(x)’		•	•	> fln(x),	...;
fzl(Xf* /22 W>	/23 (-’С)»	•	•	•	г ?2п(Х),	•••	>
/siW’ /эг (*)>	/зз (*)>	•	•	•	> /зпМ»	•  •	>
fnl (*)» fni (Х),	fпз (X)i	•	•	•	> fnn (x),	• • •	>
причем подпоследовательность, стоящая в n-й строке, является
сходящейся в каждой из точек хц хг, ..., хп.
Рассмотрим теперь так называемую «диагональную» последо-
вательность
Л1 (х), f22(х), f33(х).fnn(х), ...
Докажем, что эта последовательность равномерно сходится на
сегменте [а, Ь]. Для сокращения записи будем в дальнейшем обо-
значать эту диагональную последовательность (как и исходную
последовательность) символом
fi(x), fz(x), h(x), ..., fn(x), ...
(т. e. вместо сдвоенного индекса будем писать одинарный).
Фиксируем произвольное е>0. Так как диагональная последо-
вательность является равностепенно непрерывной на сегменте
4*
100
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
[а, Ь], то для фиксированного е>0 найдется 6>0 такое, что како*
вы бы ни были две точки х и хт из сегмента [а, Ь], связанные не-
равенством |х—хт|<б, для всех номеров п справедливо неравен-
ство
| fn (х)-fn (хт) | <е/3.	(2.55>
Заметив это, разобьем сегмент [а, 6] на конечное число отрез-
ков длины, меньшей б. Из последовательности {хп} выберем конеч-
ное число п0 первых членов Xi, х2, ..., хп0 настолько большое, что-
бы в каждом из упомянутых отрезков содержалась хотя бы одна
из точек xv ха, ..., Хп„.
Очевидно, диагональная последовательность сходится в каж-
дой из точек хх, ха,... , Хп,. Поэтому для фиксированного выше
е>0 найдется номер N такой, что
| fn+p (хт)-fn (xm) | <е/3	(2.56}
для всех n>>N, всех натуральных р и всех т=1, 2, ..., по.
Пусть теперь х — произвольная точка сегмента [а, Ь]. Эта точ-
ка обязательно лежит в одном из упомянутых выше отрезков дли-
ны, меньшей б. Поэтому для этой точки х найдется хоть одна точ-
ка хт (т — один из номеров, равных 1, 2, ..., и0), удовлетворяю-
щая условию |х—Хт|<б.
В силу того что модуль суммы трех величин не превосходит
суммы их модулей, можем записать:
| /П+Р (X) — fn (х) | < | fn+p (х) — fn+p (xm) | +
+ lfn+р (xm)—fn (Xm) | + \fn (xm)—fn (x)l.	(2.57}
Второй член правой части (2.57) оценим с помощью неравен-
ства (2.56), а для оценки первого и третьего членов правой части
(2.57) учтем, что |х—хт|<б, и используем неравенство (2.55),
справедливое для любого номера п (а следовательно, и для любо-
го п+р). Окончательно получим, что для произвольного е>0 най-
дется номер N такой, что
I fn+p(х) fn(х) | Се
для всех n^N, всех натуральных р и любой точки х из [а, 0]. Рав-
номерная сходимость диагональной последовательности доказана.
Теорема 2.12 доказана.
Замечание 1. В теореме Арцела вместо равномерной огра-
ниченности последовательности {fn(x)} на сегменте [а, 6] достаточ-
но потребовать ограниченности этой последовательности хотя
бы в одной точке этого сегмента. В самом деле, справедли-
во следующее утверждение: если последовательность {/„ (х)} рав-
ностепенно непрерывна на сегменте [а, Ь] и ограничена хотя бы
в одной точке хо этого сегмента, то эта последовательность равно-
мерно ограничена на сегменте [а, Ь]. Для доказательства этого
§ 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций
101
утверждения заметим, что по определению равностепенной непре-
рывности для е=1 найдется 6>0 такое, что колебание любой
функции fn(x) на любом сегменте длины, не превышающей 6, не
превосходит числа 8=1. Так как весь сегмент [а, Ь] можно покрыть
конечным числом п0 сегментов длины, не превышающей S, то ко»
лебание любой функции fn(x) на всем сегменте [а, Ь] не превос-
ходит числа По. Но тогда из неравенства |/п(хо) | выражаю-
щего ограниченность последовательности {/п(х)} в точке хо, выте-
кает неравенство |/п(х) | <Д+п0, справедливое для любой точки
х из сегмента (а, 6] и выражающее равномерную ограниченность
рассматриваемой последовательности на этом сегменте.
Замечание 2. Установим достаточный признак
равностепенной непрерывности: если последователь-
ность {/«(*)} состоит из дифференцируемых на сегменте [а, Ь]
функций и если последовательность производных {//(*)} равно-
мерно ограничена на этом сегменте, то последовательность {fn (х)}
равностепенно непрерывна на сегменте [а, Ь].
Для доказательства возьмем на сегменте [а, Ь] две произволь-
ные точки х' и х" и запишем для функции fn(x) на сегменте
[х', х"] формулу Лагранжа (см. § 3 гл. 6 ч. 1).
Согласно теореме Лагранжа на сегменте [х', х"] найдется
точка gn такая, что
I fn (X')-fn(xn") 1 = 1// &.) | • | X'-X" I.	(2.581
Поскольку последовательность производных {//(*)} равномерно
ограничена на сегменте [а, Ь], найдется постоянная А такая, что
для всех номеров п справедливо неравенство
|fn'(U)|<A	(2.59).
Подставляя (2.59) в (2.58), получим
|/п(х')-/п(х")|^Д|х'-х"|.	(2.60)
Фиксируем любое 8>0. Тогда, взяв 8=е/А и использовав (2.60)’,
получим, что для всех номеров п и для всех х' и х" из [а, Ь], свя-
занных условием |х'—х"|<6, будет справедливо неравенство
|fn(X/)-fn(x'/)|<8.
Равностепенная непрерывность последовательности {//(*)} дока-
зана.
В качестве примера рассмотрим последовательность {sinnx/n}.
Эта последовательность равностепенно непрерывна на любом сег-
менте [а, Ь], так как на любом сегменте [a, fe] последовательность
из производных {cosnx} равномерно ограничена.
Замечание 3. Понятие равностепенной непрерывности мож-
но вводить не по отношению к последовательности функций, а по
отношению к любому бесконечному множеству функций.
102
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
§ 6.	СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1.	Степенной ряд и область его сходимости. Степенным ря-
дом называется функциональный ряд вида
со
а0+ У^апхп = а0 + агх+агх2+
П=1
(2.61)
где «о, 01, а-2, .... ап, ... — постоянные вещественные числа, назы-
ваемые коэффициентами ряда (2.61). Постараемся выяс-
нить, как устроена область сходимости любого степенного ряда.
Заметим, что всякий степенной ряд сходится в точке х=0, при-
чем существуют степенные ряды, сходящиеся только в этой точке
(например, ряд £ п!хп).
П“1
Составим с помощью коэффициентов ап ряда (2.61) следую-
щую числовую последовательность:
Г/КГ1 (п=1, 2, ...).	(2.62)
Могут представиться два случая: 1) последовательность (2.62)
является неограниченной; 2) последовательность (2.62) яв-
ляется ограниченной.
В случае 2) у последовательности (2.62) существует конеч-
ный верхний предел (см. п. 1 § 3 гл. 3 ч. 1), который мы обозна-
чим через L. Этот верхний предел L заведомо неотрицателен (так
как все элементы последовательности (2.62) неотрицательны, а
следовательно, и любая предельная точка этой последовательно-
сти неотрицательна).
Подводя итог, мы приходим к выводу, что могут представиться
следующие три случая: I) последовательность (2.62) является не-
ограниченной; II) последовательность (2.62) является ограничен-
ной и имеет конечный верхний предел L>0; III) последователь-
ность (2.62) является ограниченной и имеет верхний предел £=0.
Докажем теперь следующее замечательное утверждение.
Теорема 2.13 (теорема Коши — Адамара). I. Если последо-
вательность (2.62) не ограничена, то степенной ряд (2.61) схо-
дится лишь при х=0.
II.	Если последовательность (2.62) ограничена и имеет верх-
ний предел L>Q, то ряд (2.61) абсолютно сходится для значений
х, удовлетворяющих неравенству |х|<1/£, и расходится для зна-
чений х, удовлетворяющих неравенству |х|>1/£.
III.	Если последовательность (2.62) ограничена и ее верхний
предел L=0, то ряд (2.61) абсолютно сходится для всех значе-
ний х.
§ 6. Степенные ряды
103
Доказательство. I. Пусть последовательность (2.62) не
ограничена. Тогда при х=#0 последовательность
= V |an^J
также не ограничена, т. е. у этой последовательности имеются
члены со сколь угодно большими номерами п, удовлетворяющие
неравенству У |а„х"|>1, или |апхп|>1. Но это означает, что
для ряда (2.61) (при х=И=0) нарушено необходимое условие схо-
димости (см. п. 2 § 1 гл. 1), т. е. ряд (2.61) расходится при х¥=0.
II. Пусть последовательность (2.62) ограничена и ее верхний
предел £>0. Докажем, что ряд (2.61) абсолютно сходится при
И <1/L и расходится прй |х|>1/£.
а) Фиксируем сначала любое х, удовлетворяющее неравенст-
ву |х|<1/£. Тогда найдется 8>0, такое, что |х| < l/(L + e). В силу
п________________________________________
свойств верхнего предела все элементы У | ап |, начиная с некоторо-
го номера п, удовлетворяют неравенству
Таким образом, начиная с этого номера и, справедливо неравен»
ство
V\апхп\ = |х|7|д»1< ЛДе/2 <
Lt - J- в
т. е. ряд (2.61) абсолютно сходится по признаку Коши (см. п. 3
§ 2 гл. 1).
б) Фиксируем теперь любое х, удовлетворяющее неравенству
|х|>1/£. Тогда найдется е>0 такое, что |х| >1/(£—е). По опре-
делению верхнего предела из последовательности (2.62) можно
выделить подпоследовательность { 7 |anfe| I (k— 1, 2, .. .), сходя-
щуюся к L. Но это означает, что, начиная с некоторого номера k,
справедливо неравенство
----------------------------------
L—е< у |a„J < L+e.
Таким образом, начиная с этого номера k, справедливо неравен-
ство
л----------------------п. ---------
к /	„	R /	Т _ с
7 |а„/Ч = |х|у |а„ | >^-1=1,
или
\ankx"kl > 1,
откуда видно, что нарушено необходимое условие сходимости ря-
да (2.61) и этот ряд расходится.
104
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
III. Пусть последовательность (2.62) ограничена и ее верхний
предел Л=0. Докажем, что ряд (2.61) абсолютно сходится при
любом х.
Фиксируем произвольное х¥=0 (при х=0 ряд (2.61) заведомо
абсолютно сходится). Поскольку верхний предел £=0 и последо-
вательность (2.62) не может иметь отрицательных предельных то-
чек, число L=0 является единственной предельной точкой, а
следовательно, является пределом этой последовательности, т. е.
последовательность (2.62) является бесконечно малой.
Но тогда для положительного числа 1/(2|х|) найдется номер,
начиная с которого
Уг\ ап | < —.
г 1 п 1	2|х|
Стало быть, начиная с указанного номера,
|апхп| = |х| УЫ < у < 11
т. е. ряд (2.61) абсолютно сходится к признаку Коши '(см. п. 3
§ 2 гл. 1). Теорема полностью доказана.
Доказанная теорема непосредственно приводит к следующему
фундаментальному утверждению.
Теорема 2.14. Для каждого степенного ряда (2.61), если он
не является рядом, сходящимся лишь в точке х=0, существует по-
ложительное число R (возможно, равное бесконечности) такое,
что этот ряд абсолютно сходится при |x| <R и расходится при
|х|>Я.
Это число R называется радиусом сходимости рассмат-
риваемого степенного ряда, а интервал (-R, R) называется про-
межутком сходимости этого ряда. Для вычисления радиу-
са сходимости справедлива формула
/? = —-±—.	(2.63)
limy |а„|
Г1—>00
(в случае, когда lim^|an| =0, R=oc).
П—->оо
Замечание 1. На концах промежутка сходимости, т. е. в
точках х=—R и x=R, степенной ряд может быть как сходящимся,
так и расходящимся9).
9> Отметим следующую теорему Абеля: если степенной ряд (2.61)
сходится при x=R, то сумма его S(x) является непрерывной в точке R слева.
Без ограничения общности можно считать, что /?=1, но в таком виде теорема
Абеля (фактически утверждающая регулярность метода суммирования Пуас-
сона—Абеля) доказана в п. 2 § 7 гл. 1.
§ 6. Степенные ряды
105
Так, для ряда 1 + радиус сходимости 7? равен единице,
промежуток сходимости имеет вид (—1, +1), и этот ряд расхо-
дится на концах этого промежутка,
о»
Для ряда V, промежуток сходимости тот же (—1, +1),
а» п2
п= 1
но он сходится на обоих концах этого промежутка.
Замечание 2. Все результаты настоящего пункта справед-
ливы для ряда (2.61), в котором вещественная переменная х за-
менена комплексной переменной z. Для такого ряда устанавли-
вается существование положительного числа R такого, что ряд
абсолютно сходится при |z|<7? и расходится при |z| >R.
Для вычисления R справедлива формула (2.63). Число R на-
зывается радиусом сходимости, а область |z| </? — кру-
гом сходимости степенного ряда.
2. Непрерывность суммы степенного ряда. Пусть степенной
ряд (2.61) имеет радиус сходимости R>0.
Лемма. Каково бы ни было положительное число г, удовлет-
воряющее условию r<R, ряд (2.61) равномерно сходится на сег-
менте [—г, +г], т. е. при |х|<г.
Доказательство. В силу теоремы 2.14 ряд (2.61) абсо-
лютно сходится при х=г, т. е. сходится ряд
Ы + £ К|г".
п=1
Но этот числовой ряд служит мажорантным для ряда (2.61) при
всех х из сегмента [—г, +г]. На основании признака Вейерштрас-
са ряд (2.61) сходится равномерно на сегменте [—г, +г]. Лемма
доказана.
Следствие из леммы. В условиях леммы сумма ряда
(2.61) является функцией, непрерывной на сегменте {—г, +г] (в
силу теоремы 2.7).
Теорема 2.15. Сумма степенного ряда внутри его промежут-
ка сходимости является непрерывной функцией.
Доказательство. Пусть 3(х) — сумма степенного ряда
'(2.61), a R — его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри
промежутка сходимости, т. е. такое, что |х| </?. Всегда найдется
число г такое, что |х| <r<R. В силу следствия из леммы функция
S (%) непрерывна на сегменте [—г, +г]. Следовательно, 3 (х) не-
прерывна и в точке х. Теорема доказана.
3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование
степенного ряда.
Теорема 2.16. Если R>0 — радиус сходимости степенного
ряда (2.61), а х удовлетворяет условию |х| <R, то ряд (2.61)
106
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
можно почленно интегрировать на сегменте [0, х]. Полученный в
результате почленного интегрирования ряд имеет тот же радиус
сходимости R, что и исходный ряд.
Доказательство. Для любого х, удовлетворяющего усло-
вию |х| <R, найдется г такое, что |х| <r<R. Согласно лемме ряд
(2.61) сходится равномерно на сегменте [—г, +г], а следователь-
но, и на сегменте [0, х]. Но тогда в силу теоремы 2.8 этот ряд
можно почленно интегрировать на сегменте [0, х].
В результате почленного интегрирования получится степенной
ряд
аох + х2 + ... + ~х хп + ... ,
2	п
радиус сходимости которого (согласно теореме 2.14) является ве-
личиной, обратной верхнему пределу последовательности
(2.64)
Так как верхний предел последовательности (2.64) тот же, что и
у (2.62) 10>, то теорема доказана.
Теорема 2.17 Степенной ряд (2.61) внутри его промежутка
сходимости можно дифференцировать почленно. Ряд, полученный
почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимо-
сти, что и исходный ряд.
Доказательство. Достаточно (в силу теоремы 2.9 и лем-
мы) доказать лишь второе утверждение теоремы.
В результате почленного дифференцирования (2.61) получим
ряд
ai+2a2x+.. .+папхп~1+ (п+1)ап+1хп+...,
радиус сходимости R которого (согласно теореме 2.14) обратен
верхнему пределу последовательности
!7(n+ l)|an+i| } -	(2.65)
Так как последовательность (2.65) имеет тот же верхний предел,
что и (2.62) н>, то теорема доказана.
п
10) Так как limyrn=l, lim у''|ап—1 ( = Иш"+уг|ап| = lim {}"+1=
П-*а>	л->со	Л->сО	п-><х>
= Пт У |а„|,
П-*СО
П
ч) Так как lim у'п + 1 = 1, lim^|an , J = lim "	an| = Пт {уДап|}п—1 =
п-*<х>	П-*-СФ	п->со	п-* 8
= Пт У |а„|.
Л—►СО
§ 7. Разложение функций в степенные ряды
107
Следствие из теоремы 2.17. Степенной ряд внутри его
промежутка сходимости можно дифференцировать почленно сколь-
ко угодно раз. Ряд, полученный п-кратным почленным дифферен-
цированием исходного степенного ряда, имеет тот же радиус схо-
димости, что и исходный ряд.
§ 7.	РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1.	Разложение функции в степенной ряд.
Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) на ин-
тервале (-R, +R) (на множестве {х}) может быть разло-
жена в степенной ряд, если существует степенной ряд, схо-
дящийся к f(x) на указанном интервале (указанном множестве).
Приведем необходимые и достаточные условия того, чтобы
функция f(x) могла быть разложена в степенной ряд.
Утверждение 1. Для того чтобы функция f(x) могла быть
разложена в степенной ряд на интервале (-R, +R), необходимо,
чтобы эта функция имела на указанном интервале непрерывные
производные любого порядка 12>.
Действительно, степенной ряд внутри его промежутка сходи*
мости, который во всяком случае содержит интервал (—R, +#),
можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем
все полученные при этом ряды сходятся внутри того же проме-
жутка сходимости (теорема 2.17).
Но тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным диф-
ференцированием (в силу теоремы 2.15), представляют собой
функции, непрерывные внутри указанного промежутка сходимо-
сти, а следовательно, непрерывные на интервале (—R, +/?).
Утверждение 2. Если функция f(x) может быть на интер-
вале (-R, +R) разложена в степенной ряд, то лишь единствен-
ным образом.
В самом деле, пусть функция f(x) может быть разложена на
интервале (—R, +R) в степенной ряд (2.61). Дифференцируя этот
ряд почленно п раз (что заведомо можно делать внутри интер-
вала (—R, +R)), получим
f(«)(x)=ann!+an+i(n+l)!x+...
Отсюда при х=0 найдем
fM(0)=annl,
ми	„ _ >""«» .	(2.66)
п!
1г> Отметим, что существуют функции, имеющие на интервале непрерывные
производные любого порядка, но не разложимые на этом интервале в степен-
ной ряд. Примером такой функции может служить
f (Х) = ( е“‘/Ж2 при X =0:0,
I 0 при х = 0.
108
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Таким образом, коэффициенты степенного ряда (2.61), в кото-
рый может быть разложена функция f(x), однозначно определя-
ются формулой (2.66).
Предположим теперь, что функция f(x) имеет на интервале
(—R, +/?) непрерывные производные любого порядка.
Определение 2. Степенной ряд (2.61), коэффициенты ко-
торого определяются формулой (2.66), называется рядом Тей-
лора функции f(x).
Утверждение 2 приводит нас к следующему утверждению.
Утверждение 3. Если функция f(x) может быть разложе-
на на интервале (-R, +7?) в степенной ряд, то этот ряд являет-
ся рядом Тейлора функции f(x).
Из результатов § 8 гл. 6 ч. 1 непосредственно вытекает сле-
дующее
Утверждение 4. Для того чтобы функция f(x) могла быть
разложена в ряд Тейлора на интервале (-R, +R) (на множест-
ве {%}), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в фор-
муле Маклорена для этой функции стремился к нулю на указан-
ном интервале (указанном множестве).
2.	Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейло-
ра. В ч. 1 (см. п. 2 § 9 гл. 6) доказано, что остаточные члены в
формуле Маклорена для функций ех, cosx и sinx стремятся к
нулю на всей числовой прямой, а остаточный член в формуле
Маклорена для функции 1п(1+х) стремится к нулю на полусег-
менте — 1<х<1.
В силу утверждения 4 из предыдущего пункта это приводит
нас к следующим разложениям:
Л=1
cosx==
(—1)»хап
(2п)1
sinx=
(—l)nxan+1
(2п + 1)! ’
in(1+x)=aj Н&.
л==1
Первые три из этих разложений сходятся для всех значений х,
а последнее — для значений х из полусегмента -1<х<1.
Остановимся теперь на разложении в степенной ряд функции
(1+х)“, или на так называемом биномиальном ряде. Если
f (х)= (1+х)“, то
§ 7. Разложение функций в степенные ряды
109
f(»)(x)=a(a-l)(a-2)...(a—п+1) (1+х)“-".
Поэтому формула Маклорена с остаточным членом в форме Ко-
ши имеет вид (см. § 8 гл. 6 ч. 1)
(1+ х)«_ 1 + 2 М—!)(«-2)...<*-*+!>	+ Rn+1 Wr (2.67)
Л=1
где
Яп+1 (х) = (1~6)" х"+’/<"+’>(0х) =
п\
= (1 ~ 9)П-xn+'g(a—1) (а—2) ...(a—n)(l + 6х)“-п~1 =
п!
=« (,1 - ву 0 (а~2) ••(«-«) а(J + ех)а-1хп+1	(2.68)
\1 + 0х/	tl\
(0 — некоторое число из интервала О<0<1).
Сначала убедимся в том, что при а>0 всюду на интервале
—1<х<1 остаточный член 7?n+i(x) стремится к нулю (при п->оо).
_	‘(/1—0 \П1
В самом деле, все члены последовательности ( ---------— 1
( \ 1 + Ох ) J
всюду на указанном интервале не превосходят единицы; последо-
( (a— l)(a — 2) ... (a — n) (	Z1 , 
вательность ( --------------1------ ограничена, а число a(l+
[	nl	J
+0x)“-1 определено при любом фиксированном a>0 и при любом
х из интервала —1<х<1; наконец, последовательность {хп+1} яв-
ляется бесконечно малой для любого х из интервала — 1<х<1.
Таким образом, в силу (2.68) остаточный член Z?n+i (х) стре-
мится к нулю для любого фиксированного а>0 и любого х из ин-
тервала — 1<х< 1.
Следовательно, в силу (2.67) при а>0 всюду на интервале
— 1 <х< 1 справедливо разложение
(1 + Х)а = 1 +	«(а-1)(<х-2) ... (a-fe + n,(2 б9)
t Докажем теперь, что при ос>0 ряд, стоящий в правой ча-
сти (2.69), равномерно сходится к функции '(1+х)“ на замкну-
том сегменте — 1<х<1.
Всюду на указанном сегменте этот ряд мажорируется чис-
ловым рядом
1«1 • 11 — «1 • ••• - |fe— 1 —«|	(2.70)
Л—1
по
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
В силу признака Вейерштрасса для установления равномер*
ной на сегменте — lcxcl сходимости ряда, стоящего в правой
части (2.69), достаточно доказать сходимость мажорирующего
ряда (2.70).
Обозначим k-a. член ряда (2.70) символом pk. Тогда для
всех достаточно больших k получим
Pk+l   & а   ]	1 ~Т И	/'9
pk ~ k+1 ~ А + 1 ‘	(	'
Из формулы (2.71) вытекает, что
limk (1----^±1-\ = (1 +a)lim —-— = (1 4~«) > 1,
k-+<X>	\	pk )	fe->00 k 1
т. e. ряд (2.70) сходится в силу признака Раабе (см. п. 5 § 2
гл. 1).
Таким образом, доказано, что при а>0 ряд, стоящий в пра-
вой части (2.69), сходится равномерно на сегменте — 1сх<1.
Остается доказать, что указанный ряд сходится на сегменте
— 1<х<1 к функции (1+х)“.
В силу доказанного выше сумма указанного ряда 3(х) и
функция (1+х)“ совпадают всюду на интервале — 1<х<1. Кро-
ме того, обе функции S(x) и (1+х)“ непрерывны на сегменте
— 1<х<1 (функция S(x) как сумма равномерно сходящегося
ряда из непрерывных функций; непрерывность функции (1+х)“
при а>0 очевидна).
Но тогда значения S(x) и (1+х)“ в точках х=—1 и х=1
обязаны совпадать, т. е. ряд, стоящий в правой части (2.69),
равномерно сходится к (1+х)“ на замкнутом сегменте — 1<х<
<1.
3.	Элементарные представления о функциях кемплексной пе-
ременной. Выше отмечалось, что на случай степенного ряда
относительно комплексной переменной z
ao+a^+azZ2^-.. .+anz”+...
переносятся теоремы 2.13 и 2.14 (о существовании и величине
радиуса сходимости). Ряды такого типа используются для опре-
деления функций комплексной переменной г.
Функции ez, cos z и sinz комплексной переменной z опреде-
ляются как суммы следующих рядов:
c'=1+S^-	(272>
n—1
§ 7. Разложение функций в степенные ряды
111
2= У (-О"*
Zj (2п+1)!
(2-74)
Легко проверить, что эти ряды абсолютно сходятся для всех
значений z (их радиус сходимости /?=оо).
Установим теперь связь между функциями ег, cosz и sinz.
Заменяя в формуле (2.72) z на iz, получим
1 + iz+ WL++	+-W +... =
2!	31	4!	5!
= (1-— + — .J+i(z-------.	(2.75)
\	2!	4!	/	\	3!	51	/
Сопоставляя правую часть равенства (2.75) с разложения-
ми (2.73) и (2.74), придем к следующей замечательной форму-
ле:
<?‘z=cos z+i sin z.	(2.76)
Формула (2.76) играет фундаментальную роль в теории
функций комплексной переменной и называется формулой
Эйлера.
Полагая в формуле Эйлера переменную z равной сначала
вещественному числу х, а затем вещественному числу — х, по-
лучим следующие формулы
e^=cos x+i sin х, e-i*=cos x—i sin x.
Складывая и вычитая эти формулы, получим формулы, выра-
жающие cosх и sinx через показательную функцию:
etx -i_ e~ix
cos х ----------—-----
2
. &х — е~‘х
Sin X ----------------
21
(2.77)
В заключение остановимся на определении логарифмиче-
ской функции w=lnz комплексной переменной z. Эту функцию
естественно определить как функцию, обратную показатель-
ной, т. е. из соотношения z—ew. Полагая w=u+iv, z—x+iy, по-
ставим перед собой цель — выразить и и о через z=x+iy.
Из соотношения
z=x+iy=eu+iv=eu (cos o+i sin о)
получим, используя понятия модуля и аргумента комплексного
числа,
| г | = Ух2 4- г/2 = е“, arg z = v—2nk,
112
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
где
6=0, ±1, ±2, ...
Из последних равенств находим, что
и = ln|z| = lnyrx2 + у2,
v=argz+2nk (6=0, ±1, ±2, ...),
или окончательно
lnz=ln|z|+i(argz + 2n6), где 6=0, ±1, ±2, ...	(2.78)'
Формула (2.78) показывает, что логарифмическая функция
в комплексной области не является однозначной: ее мнимая
часть для одного и того же значения z имеет бесчисленное
множество значений, отвечающих различным 6=0, ±1, ±2, ...
Легко понять, что аналогичная ситуация будет иметь место
и при определении в комплексной области обратных тригоно-
метрических функций.
4.	Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непре-
рывной функции многочленами.
Теорема 2.18 (теорема Вейерштрасса) 13>. Если функция f(x)
непрерывна на сегменте [а, 6], то существует последовательность
многочленов {Рп(х)}, равномерно на сегменте [а, 6] сходящаяся к
f(х), т. е. для любого е>0 найдется многочлен Рп(х) с номером
п, зависящим от е, такой, что
|Рп(х)-/(х) |<8
сразу для всех х из сегмента [а, &].
Иными словами, непрерывную на сегменте [а, 6] функцию f(x)
можно равномерно на этом сегменте приблизить многочленом с
наперед заданной точностью е.
Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем
вместо сегмента [а, Ь] рассматривать сегмент [0, 1]13 14). Кроме того,
достаточно доказать теорему для непрерывной функции f(x), об-
ращающейся в нуль на концах сегмента [0, 1], т. е. удовлетворяю-
щей условиям f(0)=0 и f (1)=0. В самом деле, если бы f(x) не
удовлетворяла этим условиям, то, положив
g(x)=f(x)-f(O)-x[f(l)-f (0)],
мы получили бы непрерывную на сегменте [0, 1] функцию g(x),
удовлетворяющую условиям g(0)=0 и g(l)=0. Тогда из возмож-
ности представления g(x) в виде предела равномерно сходящей-
ся последовательности многочленов вытекало бы, что и /(х) пред-
13 Эта фундаментальная теорема была доказана Вейерштрассом в 1895 г.
14 Поскольку один из этих сегментов преобразуется в другой линейной за-
меной х= (6—а)(+а.
§ 7. Разложение функций в степенные ряды
113
ставима в виде предела равномерно сходящейся последовательно-
сти многочленов (так как разность f(x)—g(x) является многочле-
ном первой степени).
Итак, пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [0, 1] и удов-
летворяет условиям f(0)=0, f (1) ==0. Такую функцию f(x) можно
продолжить на всю прямую, положив ее равной нулю за преде-
лами сегмента [0,1], и утверждать, что так продолженная функция
является равномерно непрерывной на всей прямой.
Рассмотрим следующую конкретную последовательность неот-
рицательных многочленов степени 2п:
Qn(x)=cn(l-x2)"	(л=1, 2, ...),	(2.79)
у каждого из которых постоянная сп выбрана так, чтобы выпол-
нялось равенство
1
jQn(x)dx=l (п=1, 2, ...).	(2.80)
—1
Не вычисляя точного значения постоянной сп, оценим ее свер-
ху. Для этого заметим, что для любого номера п=1, 2, ... и для
всех х из сегмента [0, 1] справедливо неравенство 15)
(1-х2)«>1-пх2.	(2.81)
Применяя неравенство (2.81) и учитывая, что —7=- < 1 при лю-
и п
бом п>1, будем иметь
+ 1	1	1/Уп"
У (1 — x2)ndx = 2 f(l—х2)Мх>2 § (1—x2)ndx^
—10	о
1/ /п
>2 С (l-nx2)dx = -^--^->-^-	(2.82)
J	3 К « V п
о
Из (2.79), (2.80) и (2.82) заключаем, что для всех номеров
и=1, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для постоян-
ной Сп-
сп<Уп.	(2.83)
15> Это неравенство вытекает из того, что при любом п>1 функция <р(х) =
= (1—х2)п—(1—пх2) неотрицательна всюду на сегменте 0<х<1, так как эта
функция обращается в нуль при х=0 и имеет всюду на этом сегменте не-
отрицательную производную ф'(х) =2пх[1<—(1—х2)"-1].
114
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
Из (2.83) и (2.79) вытекает, что при любом б>0 для всех х из
сегмента б< |х| < 1 справедливо неравенство
О<(2п(л)<0Г(1-б2)"-	(2.84)
Из (2.84) следует, что при любом фиксированном б>0 после-
довательность неотрицательных многочленов {Qn(*)} сходится к
нулю равномерно на сегменте бс |х| <1 16).
Положим теперь для любого х из сегмента 0<х<1
+ i
Pn(x)= Jf(x + 0Qn(0^	(2.85)
и убедимся в том, что для любого п=1, 2, ... функция Рп{х)
есть многочлен степени 2п, причем {Рп(х)} и является искомой по-
следовательностью многочленов, равномерно сходящейся на сег-
менте [0, 1] к функции /(х).
Так как изучаемая функция f(x) равна нулю за пределами сег-
мента [0, 1], то для любого х из сегмента [0, 1] интеграл (2.85)
можно записать в виде
Л>(*)= J 7(х +-f)Qn(t)dt.
—X
Заменяя в последнем интеграле переменную t на t—х, мы при-
дадим ему вид
Pn(x) = $f(t)Qn(t~x)dt.	(2.86)
о
Из (2.86) и (2.79) ясно, что функция Рп(х) представляет со-
бой многочлен степени 2и.
Остается доказать, что последовательность {Рп(х)} сходится к
f(x) равномерно на сегменте 0<х<1. Фиксируем произвольное
s>0. Для фиксированного е в силу равномерной непрерывности
f(x) на всей числовой прямой найдется б>0 такое, что
\f(x)-f(y) | <е/2 при \х-у\<Ъ.	(2.87)
Заметим еще, что так как f(x) непрерывна на сегменте [0, 1],
то она ограничена на этом сегменте, а следовательно, и всюду на
16> В самом деле, достаточно доказать, что последовательность ап — (1 —
—б2) сходится к нулю, а это вытекает, например, из того, что, поскольку
оо
lim = (1 — 62) lim п ' = (1 — б2) < 1, ряд V ап сходится по при-
n~i<X	П-КЯ
знаку Коши (см. теорему 1.6.).
§ 7. Разложение функций в степенные ряды
115
числовой прямой. Это означает, что существует постоянная А та-
кая, что для всех х
|/(х)|сЛ.	(2.88)
Используя (2.80), (2.84), (2.87) и (2.88) и учитывая неотрица-
тельность Qn(x), оценим разность Рп (х) — f (х). Для всех х из сег-
мента 0сх<1 будем иметь
[Pn\x)-f(x)\ = I у [Дх +t)_f(x)]Qn(t)dt\<
1	—б
< У |/(х + 0- f(x)\Qn(t)dt <2А у Qn(f)dt +
—1	—1
б	1
+-J- У (2„(0Л+2дус„(0^<4Л/М1-ба)^ + ^-
—в	б
Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить,,
что для всех достаточно больших номеров п справедливо неравен-
ство
4А У~п (1 — 62)п < е/2.
Следствие из теоремы 2.18. Если не только сама
функция f(x), но и ее производные до некоторого порядка k
включительно непрерывны на сегменте [0, 1]17), то существует
последовательность многочленов {Рп(х)} такая, что каждая из
последовательностей {Рп(х)}, {.Рп'(х)}, ..., {Pn(ft)(x)} сходится
равномерно на. сегменте [0, 1] соответственно к f(x), f'(x), ...
...,/<*>(х).
В самом деле, не ограничивая общности, мы можем считать,
что каждая из функций Дх), /Дх), ..., /<А)(х) обращается в
нуль при х=0 и при х=1 18), а при таких условиях функцию Дх)
можно продолжить на всю прямую, полагая ее равной нулю вне*
[0, 1], так что продолженная функция и все ее производные до
порядка k включительно окажутся равномерно непрерывными
на всей числовой прямой.
Но тогда, обозначая через Рп(х) тот же многочлен (2.85),.
что и выше, и повторяя рассуждения, проведенные при доказа-
тельстве теоремы 2.18, мы докажем, что каждая из разностей
Pn(x)~f(x), Pn'(x)-f'tx), Рп^(х)-РЧх)
17> Конечно, вместо [0, 1] можно взять [а, 6].
18> Если бы /(х) не удовлетворяла этим условиям, то мы_ нашли бы мно-
гочлен р*(х) степени 2k такой, что для функции g(x)=f(x)—pk{x) эти условия^
были бы выполнены.
116
Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды
является бесконечно малой, равномерно относительно х на
сегменте 0<х<1.
Замечание 1. Изложенное нами доказательство легко
обобщается на случай функции т переменных f(xj, хг....хт),
непрерывной в m-мерном кубе Ocxid (t=l, 2, tn).
Совершенно аналогично теореме 2.18 доказывается, что для
такой функции f{x\, Х2, ..., хт) существует равномерно сходя-
щаяся к ней в m-мерном кубе последовательность многочленов
от т переменных xi, Х2,	, хт-
Замечание 2. Заметим, что фигурирующие в теореме 2.18
многочлены можно заменить функциями более общей природы,
сохраняя при этом утверждение о возможности равномерного
приближения такими функциями любой непрерывной функ-
ции f.
Договоримся называть произвольную совокупность А функ-
ций, определенных на некотором множестве Е, алгеброй, ес-
ли19’: 1) f+geA; 2) fgeA; 3) af<=A при произвольных f<=A
и g^A и при вещественном а.
Иными словами, алгебра есть совокупность функций, замк-
нутая относительно сложения и умножения функций и умноже-
ния функций на вещественные числа.
Если для каждой точки х множества Е найдется некоторая
функция g^A такая, что g{x)=ib0, то говорят, что алгебра А
не исчезает ни в одной точке х множества Е.
Говорят, что совокупность А функций, определенных на мно-
жестве Е, разделяет точки множества Е, если для лю-
бых двух различных точек xi и х? этого множества найдется
функция f из А такая, что f (xi)^f (аД.
Имеет место следующее замечательное утверждение:
Теорема 2.19 (теорема Вейерштрасса — Стоуна20 21’).
Пусть А — алгебра непрерывных на компактном 2Г> множестве
Е функций, которая разделяет точки множества Е и не исче-
зает ни в одной точке этого множества. Тогда каждая непре-
рывная на множестве Е функция f(x) может быть представле-
на в виде предела равномерно сходящейся последовательности
функций алгебры А.
19> Напомним, что символ f^A означает принадлежность f к А.
201 М. Стоун — современный американский математик.
21 > Напомним, что компактным называется замкнутое ограниченное множе-
Глава 3
ДВОЙНЫЕ И п-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Во вводной главе ч. 1 были указаны важные задачи о вычис-
лении площади криволинейной трапеции и о нахождении прой-
денного материальной точкой пути, приводящие к понятию одно-
кратного определенного интеграла. Аналогичные «многомерные»
задачи, такие, например, как задача о вычислении объема или за-
дача о вычислении массы неоднородного тела, естественным обра-
зом приводят к рассмотрению двойных и тройных интегралов.
В настоящей главе излагается теория n-кратных интегралов
(п^2). Построение теории n-кратных интегралов проводится в
полной аналогии с построением теории однократного интеграла.
Для более эффективного использования аналогии с однократным
интегралом сначала вводится понятие двойного интеграла для
прямоугольника. Затем вводится понятие двойного интеграла по
произвольной области как с помощью прямолинейного, так и с
помощью произвольного разбиения этой области. Построенная
теория переносится на случай п-кратного интеграла. В конце гла-
вы изучаются кратные несобственные интегралы.
§ 1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
1.	Определение двойного интеграла для прямоугольника. Рас-
смотрим произвольную функцию f(x, у), определенную всюду на
прямоугольнике /?= [acxcb] X [c^t/cd] (рис. 3.1). Введем по-
нятие интегральной суммы функ-
ции f(x, у).
Разобьем сегмент \а, Ь] на п
частичных сегментов при помо-
щи точек a=xc<Xi<x2<...<Xn=
= Ь, а сегмент [с, d] на р частич-
ных сегментов при помощи точек
с=Уо<У\<У2<-<Ур = Л. Этому
разбиению сегментов соответст-
вует разбиение прямоугольника
R прямыми, параллельными осям
Ох и Оу, на п-р частичных
прямоугольников
118
Гл. 3. Двойные и га-кратные интегралы
Rki = [х*_1 <х < хк] X [yi-\ < у < yi\ (k= 1, 2, ... ,n; / = 1, 2, ... ,р).
Указанное разбиение прямоугольника R обозначим символом Т.
Разбиение прямоугольника R, полученное из разбиения Т добав-
лением прямых, параллельных осям Ох и Оу, назовем измель-
чением разбиения Т и будем обозначать символом Т'.
Всюду в этой главе под термином «прямоугольник» мы будем
понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координат-
ным осям. На каждом частичном прямоугольнике Rki выберем
произвольную точку (£*, тр). Положим Axk = Xk—Xk-i, Ayi=yi—yi~i
и обозначим через ARki площадь прямоугольника Rki. Очевидно,
Д7?« = Дх*-Дг//. Длину диагонали прямоугольника Rki, равную
У(Дл>)2+ (Ayi)2, назовем диаметром этого прямоугольника..
Наибольший из диаметров всех частичных прямоугольников назо-
вем диаметром разбиения Т прямоугольника R и обозна-
чим символом Д.
Определение 1. Число
п Р
а=а(/,	£ У Ж,	(3.1}
*=i z=i
назовем интегральной суммой функции f (х, у), соответ-
ствующей данному разбиению Т прямоугольника R и данному
выбору промежуточных точек (£*, тр) на частичных прямоугольни-
ках разбиения Т.
Определение 2. Число I называется пределом интег-
ральных сумм (3.1) при Д->0, если для любого положитель-
ного числа е можно указать такое положительное число 6, что при
Д<6 независимо от выбора промежуточных точек (£*, тр) на Rki
выполняется неравенство |о—/|<е.
Отметим, что интегральную сумму (3.1) можно рассматривать
как прямоугольную частичную сумму Snp двойного ряда, а предел
интегральных сумм (3.1) при Д—>0 — как предел lim Snp при
П —>00
р->»
независимом стремлении п и р к бесконечности, т. е. как сумму
соответствующего двойного ряда. (Элементы теории двойных
рядов изложены в гл. 1.)
Определение 3. Функция f(x, у) называется интегри-
руемой (по Риману) на прямоугольнике R, если существует
конечный предел I интегральных сумм этой функции при Д->-0.
Указанный предел I называется двойным интегралом,
от функции f(x, у) по прямоугольнику R и обозначается одним,
из следующих символов:
y)dxdy= f(M)d<J.
R	R
§ 1. Определение и условия существования двойного интеграла
119
Замечание. Точно так же, как и для однократного опреде-
ленного интеграла (см. § 1 гл. 9 ч. 1), методом доказательства
от противного устанавливается, что любая интегрируемая на пря-
моугольнике 7? функция f(x, у) является ограниченной на этом
прямоугольнике. Поэтому везде в этой главе, кроме последнего
параграфа, не оговаривая это дополнительно, будем рассматри-
вать лишь ограниченные функции.
2.	Условия существования двойного интеграла для прямоуголь-
ника. Теория Дарбу, развитая в гл. 9 ч. 1 для однократного опре-
деленного интеграла, полностью переносится на случай двойного
интеграла в прямоугольнике R. Ввиду полной аналогии мы огра-
ничимся указанием общей схемы рассуждений.
Составим для данного разбиения Т прямоугольника R две сум-
мы: верхнюю сумму
п р
и нижнюю сумму
°=ii mki^Rki (tnki = mif(x, у)).
Справедливы следующие утверждения (доказательства их
полностью аналогичны доказательствам, приведенным в п. 2
§ 2 гл. 9 ч. 1).
Утверждение 1. Для любого разбиения Т прямоугольника
R при любом выборе промежуточных точек (£*, гр) на частичных
прямоугольниках Rm интегральная сумма о удовлетворяет нера-
венствам
Утверждение 2. Для любого фиксированного разбиения Т
и любого числа е>0 промежуточные точки (£*, t\i)^Rm можно
выбрать так, что интегральная сумма о будет удовлетворять нера-
венствам 0<3—о<е.
Точки (g*, r|f) можно выбрать и таким образом, что интег-
ральная сумма о будет удовлетворять неравенствам Осо—s<e.
Утверждение 3. Пусть Т' — измельчение разбиения Т
прямоугольника R и S', s' — соответственно верхняя и нижняя
суммы разбиения Т'. Тогда справедливы неравенства
s^s', 3Л<5.
Утверждение 4. Пусть Т' и Т" — любые два разбиения
прямоугольника R, S', s' и S", s" — верхние и нижние суммы этих
разбиений соответственно. Тогда
s'cS", s"<S'.
120
Гл. 3. Двойные и га-кратные интегралы
Утверждение 5. Множество {3} верхних сумм данной функ-
ции f(x, у) для всевозможных разбиений прямоугольника R огра-
ничено снизу. Множество нижних сумм {s} ограничено сверху.
Таким образом, существуют числа
I=inf{3},	/=sup{s},
называемые соответственно верхним и нижним интегра-
лами Дарбу (от функции f(x, у) по прямоугольнику R). Легко.
убедиться в том, что LcJ.
Утверждение 6. Пусть Т' — измельчение разбиения Т пря-
моугольника R, полученное из Т добавлением р новых прямых, и
пусть S', s' и S, s — верхние и нижние интегральные суммы раз-
биений Т' и Т соответственно. Тогда имеют место оценки
|3—S' < (М%—mR)p\d\ s'—в-С(.Мя—mR)pkd,
где Affl = supf(x, у), m# = inf f(x, у), A — диаметр разбиения T„
R	R
d — диаметр прямоугольника R.
В полной аналогии с понятием предела интегральных сумм
(определение 2 п. 1) вводится понятие предела верхних и нижних
сумм. Так, число I называется пределом верхних сумм 3 при
А-*0г если для любого е>0 можно указать б>0 такое, что
|3—7| <е при ДСб.
Утверждение 7. Верхний и нижний интегралы Дарбу I и!
от функции f(x, у) по прямоугольнику R являются пределами со-
ответственно верхних и нижних сумм при А—>0.
Из приведенных утверждений 1—7 вытекает следующая
Теорема 3.1. Для того чтобы ограниченная на прямоугольни-
ке R функция f(x, у) была интегрируема на этом прямоугольнике,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашлось такое
разбиение Т прямоугольника R, для которого 3—s<e.
Как и в гл. 9 ч. 1, теорема 3.1 в соединении с теоремой о рав-
номерной непрерывности позволяет выделить важнейшие классы
интегрируемых функций.
Теорема 3.2. Любая непрерывная в прямоугольнике R функ-
ция f(x, у) интегрируема на этом прямоугольнике.
Определение 1. Назовем элементарной фигурой
множество точек, представляющих собой объединение конечного
числа прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ох
и Оу).
Заметим, что в определении 1 можно брать прямоугольники,
как имеющие общие внутренние точки, так и не имеющие их.
Определение 2. Будем говорить, что функция f(x, у) обла-
дает в прямоугольнике R (в произвольной замкнутой области D)
1-свойством, если-. 1) f(x, у) ограничена в R (в D); 2) для лю-
§ 1. Определение и условия существования двойного интеграла 121
бого е>0 найдется элементарная фигура площади, меньшей е,
содержащая все точки и линии разрыва функции f(x, у).
Теорема 3.3. Если функция f(x, у) обладает в прямоугольни-
ке 1-свойством, то она интегрируема на этом прямоугольнике.
Доказательство теорем 3.2 и 3.3 полностью аналогично доказа-
тельству теорем 9.1 и 9.2 ч. 1.
3.	Определение и условия существования двойного интеграла
для произвольной области. В п. 2 § 2 гл. 10 ч. 1 были введены
понятия квадрируемости и площади плоской фигуры. Напомним,
что плоской фигурой мы назвали часть плоскости, ограниченную
простой замкнутой кривой. Плоская фигура называется квадри-
руемой, если верхняя и нижняя площади этой фигуры ’> равны
между собой. Это число, называется площадью фигуры. Эти поня-
тия без каких-либо изменений переносятся на случай произволь-
ного ограниченного множества Q точек плоскости.
Во всех определениях и утверждениях указанного пункта вмес-
то плоской фигуры можно брать произвольное ограниченное мно-
жество Q на плоскости.
В том же пункте было дано определение кривой (или грани-
цы фигуры) площади нуль: Г называется кривой площади нуль,
если для любого е>0 найдется многоугольник, содержащий все
точки Г и имеющий площадь, меньшую е. В этом определении
термин «многоугольник» можно заменить термином «элементарная
фигура». Это следует из того, что любая элементарная фигура
является многоугольником, а любой многоугольник с площадью,
меньшей числа е, содержится в элементарной фигуре, имеющей
площадь, меньшую числа 32 е (см. теорему 10.2" ч. 1).
Утверждение 1. Пусть кривая Г имеет площадь нуль и
плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом h. Тогда для любо-
го е>0 найдется число /г>0 такое, что сумма площадей всех
квадратов, имеющих общие точки с Г, меньше е.
Действительно, для каждого е>0 можно фиксировать некото-
рую элементарную фигуру Q, содержащую внутри себя Г и имею-
щую площадь, меньшую е/4. При достаточно малом h все квадра-
ты, имеющие общие с Г точки, содержатся в элементарной фигу-
ре, получающейся заменой каждого прямоугольника прямоуголь-
ником со вдвое большими сторонами и с тем же центром.
Отметим, что класс кривых площади нуль весьма широк. Это-
му классу принадлежит, например, любая спрямляемая кривая
(см. § 1 гл. 10 ч. 1).
Введем понятие двойного интеграла для произвольной двумер-
ной области D. Пусть D — замкнутая ограниченная область, гра-
ница Г которой имеет площадь нуль, a f(x, у) — произвольная
*> Верхняя площадь определяется как точная нижняя грань площадей всех
многоугольников, содержащих фигуру, а нижняя площадь — как точная верх-
няя грань площадей всех многоугольников, содержащихся в фигуре.
122
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
ограниченная функция, определенная в области D. Обозначим че-
рез R любой прямоугольник (со сторонами, параллельными коор-
динатным осям), содержащий область D (рис. 3.2). Определим
в прямоугольнике R следующую функцию:
F(X, (Ж г/). у)^В;
I О, (х, у) е
(3-2)
Рис. 3.2
Определение. Функцию
f(x, у) назовем интегрируе-
мой в области D, если функция
F(x, у) интегрируема в прямо-
угольнике R. Число I—
= У J F (х, y)dxdy назовем двой-
R
ным интегралом от функции
f(x,y) по областиD и обозначим
символом
1 = J f f (*> y)dxdy=^f (M) do.
D	D
Из этого определения вытекает следующее
Утверждение 2. Интеграл Idxdy равен площади
в
области D.
Действительно, подвергая соответствующий прямоугольник R
все более мелким разбиениям, получим, что верхние интегральные
суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фи-
гур, содержащих D, а нижние суммы — площадям элементарных
фигур, содержащихся в D. Интегрируемость функции f(x, у) = 1 в
области D следует из теоремы 3.3.
Утверждение 3. Пусть функция f(x, у) интегрируема в ог-
раниченной квадрируемой области D, плоскость покрыта квадрат-
ной сеткой с шагом h, Сь С2,..., СП(Н) — квадраты указанной сет-
ки, целиком содержащиеся в области D, (gft, r|ft) — произвольная
точка квадрата Ck, nii, = inf f(x, у), k = l, 2,...,n(h). Тогда каждая
из сумм	Ck
n(h)	.n(h)
УЖДЖ.	Y.mkh*
k=\	Л=1
имеет предел при h->0, равный JJ/(x, y)dxdy.
D
Для доказательства достаточно заметить, что указанные суммы
отличаются от обычной интегральной суммы (соответственно от
нижней суммы) функции f(x, у) в области D только отсутствием
§ 1. Определение и условия существования двойного интеграла
123
слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границей Г
области D, причем сумма всех отсутствующих слагаемых по мо-
дулю меньшей произведения числа Af=sup|f(x, у) | на площадьЗ
D
элементарной фигуры, состоящей из квадратов, имеющих общие
точки с Г. Поскольку граница Г имеет площадь нуль, то согласно
утверждению 1 S->0 при /г—э-0.
Из теоремы 3.3 и приведенного выше определения двойного
интеграла вытекает следующая основная теорема.
Теорема 3.4. Если функция f(x, у) обладает в области D
1-свойством, то она интегрируема в этой области.
Доказательство. Функция F(x, у), определенная форму-
лой (3.2), в данном случае обладает /-свойством в прямоугольни-
ке R. В самом деле, функция F(x, у) ограничена в R и все ее
точки и линии разрыва либо совпадают с соответствующими раз-
рывами f(x, у), либо лежат на границе Г области D. Но граница
Г имеет площадь нуль. Таким образом, утверждение теоремы
следует из теоремы 3.3. Теорема доказана.
Следствие 1 из теоремы 3.4. Если функция f(х, у) огра-
ничена в области D и имеет в этой области разрывы лишь на
конечном числе спрямляемых линий, то f(x, у) интегрируема в
области D.
Следствие 2 из теоремы 3.4. Если функция f(х, у) обла-
дает в области D {-свойством, a g(x, у) ограничена и совпадает с
f(x, у) всюду в D, за исключением множества точек площади
нуль, то функция g(x, у) интегрируема в области D, причем
JJg(*( y)dxdy ж ПЖ y^dxd-y-
‘'d	d
В отношении данного нами определения двойного интеграла
возникает вопрос о его корректности. Зависит ли факт существо-
вания двойного интеграла и его величина 1) от выбора на плос-
кости координатных осей Ох и Оу, 2) от выбора прямоугольника
R, на котором определяется функция F{x, у)?
В следующем пункте будет дано другое определение интегри-
руемости функции f(x, у) и двойного интеграла, не зависящее ни
от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольника R,
и доказана эквивалентность этого определения приведенному
выше.
4. Общее определение двойного интеграла. Пусть D — замкну-
нутая ограниченная область с границей Г площади нуль. Разобьем
область D при помощи конечного числа произвольных кривых пло-
щади нуль на конечное число г (не обязательно связных) замкну-
тых частичных областей Di, D2,..., Dr. Каждая область Д имеет
границу площади нуль и потому квадрируема. Обозначим пло-
щадь области Di символом АД. В каждой области D, выберем
ПРОИЗВОЛЬНУЮ ТОЧКу	Т],) .
124
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Определение 1. Число
(3.3)
f«=l
называется интегральной суммой функции f(х, у), соответ-
ствующей данному разбиению области D на частичные области
Dt и данному выбору промежуточных точек Pi в частичных об-
ластях.
Назовем диаметром области/),- число d,= sup p(Af1(M2)
(р(Л41; М2) — расстояние между точками М\, М2). Диаметром
разбиения области D назовем число A = maxd,-.
Определение 2. Число I называется пределом интег-
ральных сумм (3.3) при Д—>-0, если для любого положитель-
ного числа е можно указать такое положительное число 6, что
при Д<б независимо от выбора точек Pi в частичных областях
Di выполняется неравенство | о—/|<е.
Определение 3 (общее определение интегрируемости).
Функция f(x, у) называется интегрируемой (по Риману)
в области D, если существует конечный предел I интегральных
сумм о этой функции при Д—>0. Этот предел I называется двой-
ным интегралом от функции f(x, у) по области D.
Докажем следующую фундаментальную теорему.
Теорема 3.5. Общее определение интегрируемости эквива-
лентно определению, данному в п. 3.
Доказательство. 1) Пусть функция f(x, у) интегрируема
в области D согласно общему определению интегрируемости и ее
двойной интеграл согласно этому определению равен I. Заключим
D в прямоугольник Р, разобьем его на частичные прямоугольники
и введем на Р функцию F(x, у) по правилу (3.2). Рассмотрим
интегральную сумму (3.3) о функции f(x, у) и интегральную сум-
му (3.1) а функции р(х, у). Эти суммы могут отличаться друг от
друга лишь слагаемыми, соответствующими частичным прямо-
угольникам разбиения, имеющим общие точки с границей Г об-
ласти D. Поскольку Г имеет площадь нуль, а функция f(x, у)
ограничена, то эта функция интегрируема и согласно определению
п. 3. По этому же определению она имеет тот же самый двойной
интеграл I.
2) Пусть функция f(x, у) интегрируема в области D согласно
определению п. 3 и I — двойной интеграл от f(x, у) по области
D согласно этому определению. Докажем, что для функции
£(х, у) существует равный 1 предел интегральных сумм а при
Д->0.
§ 1. Определение и условия существования двойного интеграла
125
Составим для данного разбиения области D верхнюю и ниж-
нюю суммы
S = £ Mi^Dt и s = £ m^Di
Г-1	1=1
(здесь Л4г = зир/(х, у), m£ = inf/(x, у)). Так как для любого раз-
Di
биения (при любом выборе промежуточных точек в интегральной
сумме а)
то достаточно доказать, что обе суммы Sus стремятся к I при
Д->0: для любого е>0 найдется 6>0 такое, что каждая из сумм
S и s отклоняется от I меньше чем на е при А<б.
Фиксируем произвольное е>0. В силу теоремы 3.1 и утвержде-
ния 1 для этого е найдется разбиение Т прямоугольника R(Dcz.Rl
на частичные прямоугольники Rk такое, что для него
S-s<f и 2	(3.4)
^лг#=0
где Af0 = sup|f(x, у)|.
D
Заключим все отрезки прямых, производящих разбиение Т, и
границу Г области D строго внутрь элементарной фигуры Q, пло-
щадь которой меньше числа ——. Тогда заведомо существует
6М0
положительная точная нижняя грань S расстояния между двумя
точками, одна из которых принадлежит границе фигуры Q, а
другая — отрезкам прямых, производящим разбиение Т, или гра-
нице Г области D. Построение фигуры Q может быть проведено
по схеме, предложенной при обосновании утверждения 1 в п. 3.
Докажем, что для сумм S и s любого разбиения области D,
удовлетворяющего условию А<б, справедливы неравенства
S<S + e/2, s—e/2<s.	(3.5);
Докажем первое неравенство (3.5) (второе неравенство доказыва-
ется аналогично).
Удалим из суммы S все слагаемые	соответствующие
областям Di, каждая из которых не лежит целиком в одном час-
тичном прямоугольнике разбиения Т. Все такие области Дсгф
(так как di^ACS), а поэтому общая сумма площадей таких
областей меньше числа е/6Л10.
i26
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Следовательно, сумма всех удаленных слагаемых ЛТ£Д/)Л мень-
ше числа е/6, и справедлива оценка
S<	+	(3.6)
i
где штрих обозначает, что сумма распространена лишь на области
JJt, каждая из которых целиком содержится в одном из прямо-
угольников разбиения Т.
Заменим теперь в правой части (3.6) точные грани в облас-
тях Di, содержащихся в частичном прямоугольнике Rk, точной
верхней гранью Mk в прямоугольнике Rk. Введем обозначение
U Dc и через ARk обозначим площадь области Rk. Тогда
получим
S<YMkARk + ~	(3.7)
k
Для прямоугольников RkdD области Rk\Rk<^Q, поэтому для
них
УА(/?*\й)= V {ARk-ARk)< AQ <
оЛ40
k	k
для прямоугольников Rk, пересекающихся с Г,
у;д№\^)<уд^<-^-.
k	к
и, следовательно,
| S - £ Мk Д Rk I = | £ М Д Д Rk - Д Rk) | <	+	.
k	k
т. е.
£]лМй<5 + -|-.
к
Из последнего неравенства и из неравенства (3.7) получаем,
что
S<S + — +— = S + —.
3	6	2
и первое неравенство (3.5) доказано. Второе неравенство (3.5)
доказывается аналогично.
Из (3.5) получим
s~<s<5<S + -J-	(3.8)
«	л
§ 2. Основные свойства двойного интеграла
127
Так как в силу (3.4) каждая из сумм s и S отклоняется от I
меньше чем на е/2, то каждая из сумм s и S в силу (3.8) откло-
няется от I меньше чем на е. Теорема доказана.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Свойства двойного интеграла вполне аналогичны соответству-
ющим свойствам однократного определенного интеграла.
1°. Аддитивность. Если функция f(x, у) интегрируема в
области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль
разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних
точек области и D2, то функция f(x, у) интегрируема в каждой
из областей D\ и D2, причем
ИЖ y)dxdy^ y)dxdy+ (J f(x, y)dxdy. (3.9)
D	D,	D,
Для доказательства этого свойства разобьем области Di и D2
на конечное число квадрируемых областей, тем самым получим
разбиение области D. Пусть S и s, Si и sb S2 и s2 — верхние и
нижние суммы функции f(x, у) соответственно в областях D,
Dit D2.
Так как Di<zzD и D2czD, то Si—si^S—s и S2—s2<S—s, откуда
и вытекает интегрируемость функции f(x, у) в каждой из областей
D\ и D2.
Справедливость соотношения (3.9) следует из того, что
S=Si + S2, s = si + s2.	(3.10)
Замечание. Справедливо и обратное утверждение: из интег-
рируемости функции f(x, у) в каждой из областей D\ и D2 следует
интегрируемость функций в области D и справедливость форму-
лы (3.9).
Действительно, разбивая область D на конечное число квадри-
руемых частей Di и вводя верхние и нижние суммы функции
f(x, у) в областях D, Di, D2, мы получим равенства (3.10), верные
с точностью до слагаемых, отвечающих тем областям D,, которые
имеют общие внутренние точки с кривой Г. Кривая Г имеет пло-
щадь нуль, функция f(x, у) ограничена, поэтому общая сумма этих
слагаемых будет стремиться к нулю при стремлении к нулю диа-
метра разбиения А.
Вывод последующих свойств (так же, как и вывод свойства 1)
вполне аналогичен выводу соответствующих свойств однократного
определенного интеграла. Ограничимся формулировкой этих
свойств.
2°. Линейное свойство. Пусть функции f(x, у) и g(x, у)
интегрируемы в области D, а и р — произвольные вещественные-
128
Гл. 3. Двойные и л-кратные интегралы
числа. Тогда функция af(x, y)+fig(x, у) также интегрируема в
области D, причем
y) + $g(x, у)] dx dy *= а § ff(x, y)dxdy +
d
+ ₽ y)dxdy.
D
3°. Если функции fix, у) и g(x, у) интегрируемы в области D,
то и произведение этих функций интегрируемо в D.
4°. Если функции fix, у) и gix, у) интегрируемы в области D
и всюду в этой области f(x, y)<-g(x, у), то
ff fix, y)dxdy<.^g(x, y)dxdy.
D	D
5°. Если функция fix, у) интегрируема в области D, то и функ-
ция | f (х, у) | интегрируема в области D, причем
| Jf fix, y)dxdy\ < yj |/(х, y)\dxdy.
D	D
(Обратное утверждение неверно: из интегрируемости [fix, у) | в
D, вообще говоря, не вытекает интегрируемость fix, у) в D.)
6°. Если функция f(x, у) интегрируема в области D, a gix, у)
ограничена и совпадает с fix, у) всюду в D, за исключением мно-
жества точек площади нуль, то и gix, у) интегрируема в облас-
ти D.
Т. Теорема о среднем значении. Если функции fix, у)
и g(x, У) интегрируемы в области D, функция gix, у) неотрица-
тельна Неположительна) всюду в этой области, M=sup/:(x, у),
D
m — inff(x, у), то найдется число це[т, Л4] такое, что спра-
D
ведлива формула
$$ fix, g)gix, y)dxdy=[i J J g(x, y)dxdy.
D	D
Если при этом функция fix, у) непрерывна в D, а область D
связна, то в этой области найдется такая точка (|, т]), что р,=
= Ж п)-
8°. Геометрическое свойство. JJ idxdy равен пло-
D
щади области D (см. утверждение 2 из п. 3).
§ 31. Сведение двойного интеграла к повторному однократному 129
§ 3. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
К ПОВТОРНОМУ ОДНОКРАТНОМУ
Эффективным способом вычисления двойных интегралов явля-
ется сведение их к однократным интегралам.
1. Случай прямоугольника. Начнем с простого случая, когда
область интегрирования представляет собой прямоугольник 7? =
= [а<х<6] X
Теорема 3.6. Пусть функция f(x, у) интегрируема в прямо-
угольнике R, и пусть для каждого х&[а, 6] существует однократ-
ный интеграл
7(х)=р(х, y)dy.	(3.11)
С
Тогда существует повторный интеграл
ь	b	d
J I(x)dx = f dx p(x, y)dy
a	a	c
и справедливо равенство
ь d
Jp (*, У) dx dy = J dx J f (x, y) dy.	(3.12)
Д	a c
Доказательство. Разобьем прямоугольник R с помощью
точек {хй}, {yi} на пр частичных прямоугольников
Rki= [xft-i<x<x/!] х [yi-i^y<yt]
{k=l, 2,...,п; /=1, 2,...,р) так, что Хо = а, хп=Ь, уо=с, yP = d и
Ax*=x*-xfe-i>0, \yi=yi-yi-]>Q.
Пусть, как и в § 1, число Д обозначает диаметр разбиения
прямоугольника R, Mfti=sup/(x, у), mki = inf /(х, у), a S и s —
Rki	Rkl
верхняя и нижняя суммы функции f(x, у). Тогда всюду на прямо-
угольнике Rki
mM<.f(x, у)<.Мы.	(3.13)
Фиксируем произвольное число |*е[х*-1, х*] и проинтегрируем
неравенство (3.13) по у в пределах от yt—i до yi, положив в нем
x=gfe. Получим
Ul
тыЛу1 < J f (gft, у) dy < МыЛу{.	(3.14)
vi-i
5 Зак. 25
130
Гл. 3. Двойные и л-кратные интегралы
Умножим (3.14) на Ахк, просуммируем полученные неравенства
сначала по всем I от 1 до р, а затем по всем k от 1 до п. Исполь-
зуя обозначение (3.11), будем иметь
пр	п	Р
8==tt	< 11	< Е I Mklbxkbyi = S. (3.15>
й=1	ы	л=1 /=1
Пусть Д->0. Тогда и тахАхй->0. При этом s и S стремятся к
двойному интегралу JJ f(x, y)dxdy. Следовательно, существует
Я	„
предел и среднего члена в (3.15), равный тому же самому двой-
ному интегралу. Но этот предел по определению однократного
интеграла равен
JI (х) dx = J dx J / (х, у) dy.
а	ас
Таким образом, доказано существование повторного интеграла
и равенство (3.12). Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 3.6 ясно, что х и у
можно поменять ролями, т. е. можно предположить существова-
ние двойного интеграла и существование для любого у^[с, d]
однократного интеграла
ь
К(у)= f(x, y)dx.
Тогда теорема будет утверждать существование повторного
интеграла
d	d ь
§K(y)dy<~ J dy jf(x, y}dx
c	e a
и равенство его двойному интегралу.
2. Случай произвольной области. Рассмотрим теперь произ-
вольную ограниченную замкнутую квадрируемую область D с
границей Г.
Теорема 3.7. Пусть выполнены следующие условия: 1) об-
ласть D такова, что любая прямая, параллельная оси Оу, пересе-
кает границу Г по целому отрезку [У1 (х), у2(х)] либо не более
чем в двух точках, ординаты которых суть yi(x) и у2(х), где
У1(х) <у2(х) (рис. 3.3); 2) функция f(x, у) интегрируема в области
D и для любого x<=[xi, х2] допускает существование однократно-
го интеграла
УгМ
J fix, y)dy
§ 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному 131
([xi, х2] — проекция области D на ось Ох). Тогда существует
повторный интеграл
*, иМ
Jdx J f(x, y)dy
и справедливо равенство
Jff(x, y)dxdy = §dx J /(x, y)dy.	(3.16)
D	x, Д,(*)
Доказательство. Обозначим через R прямоугольник со
сторонами, параллельными координатным осям, содержащий об-
ласть D, а через F(x, у) функцию (3.2), совпадающую с f(x, у) в
D и равную нулю в остальных точках R. Для F(x, у) выполнены
в R все условия теоремы 3.6 и, следовательно, справедлива фор-
мула (3.12), которая переходит в формулу (3.16) (в силу выбора
функции F(x, у)). Теорема доказана.
Замечание 1. В теореме 3.7 можно поменять ролями х и у,
т. е. можно предположить, что выполнены следующие два усло-
вия: 1) область D такова, что любая прямая, параллельная оси
Ох, пересекает границу Г либо по целому отрезку [xi (у), x2(i/)],
либо не более чем в двух точках, абсциссы которых суть Xi(y) и
х2(у), где Xi(i/)«:x2(«/); 2) функция f(x, у) интегрируема в об-
ласти D и для любого y^.[yi, у2] допускает существование одно-
кратного интеграла
J f (х, y)dx
(U/ь У%] — проекция D на ось Оу).
5*
132
Гл. 3. Двойные и л-кратные интегралы
При выполнении этих условий существует повторный интеграл
Уг х,(У)
$ dy J f(x, y)dx
Vi
и справедливо равенство
Ус хг(у)
У У / (х, У) dx dy = J dy J f(x, y)dx.
' D	У1 x,(y)
Замечание 2. В случае, если область D не удовлетворяет
требованиям теоремы 3.7 или замечания 1 к этой теореме, часто
удается разбить эту область на сумму конечного числа областей
такого типа, не имеющих общих
внутренних точек. Тогда инте-
грал по области D в силу свой-
ства аддитивности равен сумме
интегралов по соответствующим
областям. Так, область D, изоб-
раженную на рис. 3.4, можно
разбить на сумму трех областей
Z>i, D2, D3, к каждой из которых
применима или теорема 3.7, или
замечание 1.
Пример. Пусть область 77
ограничена кривыми | х+у | < 1 и
x2 + t/2<l, a f(x, у)=ху (рис. 3.5).
Любая прямая, параллельная оси
Оу, пересекает границу D не бо-
лее чем в двух точках. Для удоб-
ства записи повторных интегралов
разобьем область D на две области Di и D2 осью Оу. Применяя
по каждой из областей формулу (3.16), получим
y)dxdy=^xydxdy+^xydxdy =
D	Dt	D,
/1—x‘	1	1—*	0
x dx J у dy + ^ x dx	J у dy= — J (x3 + x2) dx 4-
-i-x	о	-i
i
+ J(x3—x2)dx=-----
0
§ 4. Тройные и n-кратные интегралы
133
§ 4. ТРОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Изложенная нами теория двойного интеграла без каких-либо
осложнений и новых идей переносится на случай тройного и вооб-
ще n-кратного интеграла. Остановимся на основных моментах
теории n-кратного интеграла.
При определении класса квадрируемых множеств в Е2 и клас-
са кубируемых множеств в Е3 мы заимствовали из курса средней
школы понятия площади многоугольной фигуры и объема много-
гранного тела, которые обладают свойствами аддитивности, инва-
риантности, монотонности (см. § 2, 3 гл. 10 ч. 1). В пространстве
Еп, «>3 дело осложняется тем, что нам не известен объем мно-
жества (тела) в Еп, ограниченного гиперплоскостями. Для введе-
ния класса кубируемых тел в Еп будем считать известным способ
вычисления объема частного вида тел в Еп — «-мерного прямо-
угольного параллелепипеда.
Напомним (см. § 1 гл. 13 ч. 1), что множество 7?=[ai, bj X
X [а2, Ь2]Х...Х[ап, Ьп] всех точек х=(хь х2,... ,хп) в Еп, для ко-
торых ai<Xt<bi, i=l, 2,...,п, называется «-мерным коорди-
натным прямоугольным параллелепипедом. Если
bi—a.i = h для всех i, то R называют n-м ерным координат-
ным кубом с ребром h. Точки (сь с2, ..., сп), где с,: равны
либо щ, либо bt, назовем вершинами R, а сегменты, сое-
диняющие вершины типа (сь с2,..., c,-i, а,-, см,...,сп) и (ci, с2,...
..., ci-i, bi, см,... ,сп), — ребрами R. Все ребра R параллельны
координатным осям.
По аналогии с Е1, Е2, Е3 естественно определить объем «-мер-
ного прямоугольного параллелепипеда R как число, равное произ-
ведению длин всех его ребер, выходящих из одной вершины, т. е.
п
как число р(2?) = П (bi—а().
1 = 1
Назовем элементарным телом множество точек Еп,
представляющее собой объединение конечного числа «-мерных
прямоугольных параллелепипедов, не имеющих общих внутренних
точек, ребра которых параллельны осям координат. Объем любо-
го элементарного тела нам известен и равен сумме объемов сос-
тавляющих его параллелепипедов.
Пусть теперь D — произвольная ограниченная область в Еп.
Назовем нижним объемом области D точную верхнюю
грань ц, = р*(Р) объемов всех содержащихся в D элементарных
тел, а верхним объемом области D — точную нижнюю
грань p.* = p.*(Z>) объемов всех элементарных тел, содержащих об-
ласть D. Легко убедиться в том, что ц*<ц*.
Область D называется кубируемой, если р.* = ц*. При этом чис-
ло р.(£>) =р.*(/)) =p*(D) называется «-мерным объемом облас-
ти D.
134	Гл. 3. Двойные и л-кратные интегралы
В полной аналогии со случаем плоской области доказывается
следующее утверждение:
для того чтобы п-мерная область D была кубируемой, необхо-
димо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашлись два элемен-
тарных тела, одно из которых содержит D, а другое содержится в
D, разность объемов которых по модулю меньше числа е.
Поверхностью (или многообразием) п-мерного
объема нуль назовем замкнутое множество, все точки которого
принадлежат элементарному телу как угодно малого п-мерного
объема.
Из приведенного утверждения получаем, что п-мерная область
D кубируема тогда и только тогда, когда граница этой области
представляет собой многообразие п-мерного объема нуль.
Определим n-кратный интеграл от функции и переменных
f(x)=f(xi, х2,..., Хп) сначала в n-мерном координатном прямо-
угольном параллелепипеде 7?. С этой целью производим разбиение
Т параллелепипеда R конечным числом гиперплоскостей, парал-
лельных координатным осям, на конечное число частичных п-мер-
ных параллелепипедов.
Для указанного разбиения Т в полной аналогии со случаем
п=2 определяем интегральную, верхнюю и нижнюю суммы любой
ограниченной в R функции f(x). Теперь определим n-к ратный
интеграл от функции f(x) по параллелепипеду R
как предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра
разбиения Т параллелепипеда R.
Как и для случая п = 2, теория Дарбу устанавливает необхо-
димое и достаточное условие интегрируемости
в следующей форме:
Для интегрируемости функции f(x) в параллелепипеде R необ-
ходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 нашлось разбиение
Т параллелепипеда R, для которого разность верхней и нижней
сумм была меньше е.
Пусть теперь D — произвольная замкнутая ограниченная
п-мерная область, граница которой имеет п-мерный объем нуль,
п-кратный интеграл от функции f по области D
определяется как интеграл по n-мерному координатному прямо-
угольному параллелепипеду R, содержащему область D, от функ-
ции F, совпадающей с / в D и равной нулю вне D.
Для обозначения n-кратного интеграла от функции f(x) по об-
ласти D естественно использовать один из следующих символов:
Jf(x)dx = jj ...	хг, .... хп) dxt dxa ... dxn. (3.17)
D	D
Отметим, что произведение dx=dxidx2—dxn обычно называют
элементом объема в пространстве Еп.
Точно так же, как и для случая п=2, доказывается интегри-
руемость по n-мерной области D любой непрерывной функции, а
§ 4. Тройные и л-кратные интегралы
135
также функции f, обладающей в области D /-свойством (т. е. ог-
раниченной в D функции, множество точек разрыва которой имеет
n-мерный объем нуль). Вообще, изменение интегрируемой функ-
ции f на множестве точек и-мерного объема нуль не изменяет ве-
личину интеграла от этой функции.
Для определения n-кратного интеграла можно использовать
разбиение области D и при помощи конечного числа произволь-
ных многообразий объема нуль на конечное число частичных об-
ластей произвольной формы. В полной аналогии с теоремой 3.5
доказывается, что такое общее определение n-кратного интеграла
эквивалентно указанному выше определению.
Для n-кратного интеграла остаются справедливыми 8 основ-
ных свойств, сформулированные в § 2 для двойного интеграла.
В полной аналогии с теоремами 3.6 и 3.7 устанавливается фор-
мула повторного интегрирования для интеграла (3.17).
Пусть п-мерная область Dn обладает тем свойством, что любая
прямая, параллельная оси Охг, пересекает ее границу не более
чем в двух точках (или по целому отрезку, ограниченному двумя
точками), проекции которых на ось Oxi суть а(х2, Хз,... ,хп) и
Ь(х2, хз, ..., хп), где а(х2, х3, ..., хп)<Ь(х2, х3, ..., хп).
Пусть функция f(x) интегрируема в области Dn и допускает
существование для любых х2, Хз,...,хп из (п—1) -мерной области
Dn^i, являющейся проекцией Dn на координатную гиперплоскость
Ох2х3...хп, однократного интеграла
...
J(xt, .... хп)= J f(xv ха...........Xn)dxr
.......*п)
Тогда существует (п—1) -кратный интеграл
J.. p(x2, .... xn)dx, ...dxn =
Dn-1
b(*.............,*n)
= dxtdxa...dxn J f(xlt xa, ..., xn)dx!
a<*«.
no области Dn-\ и справедлива формула повторного интегрирова-
ния
f J- J/Ui. % •••, xn)dxldxa... dxn =
b(x„x,.хп)
= П---У dxadx3 ... dxn J f(xx, xa, ..., xn)dxr. (3.18)
Dn_t	a\xt,x,.*n)
В сформулированном утверждении в роли Xi может выступать
любая из переменных х2, Хз, ..., хп-
136
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Договоримся называть область D простой, если для каждой
из координатных осей любая прямая, параллельная этой оси, либо
пересекает границу этой области не более чем в двух точках, либо
имеет на этой границе целый отрезок. Примером простой области
может служить n-мерный прямоугольный параллелепипед (ребра
которого не обязательно параллельны координатным осям). Для
простой области формулу повторного интегрирования можно при-
менять по любой из переменных Xi, х2, ...,хп.
В заключение отметим, что, как и для случая п=2, справед-
ливо следующее утверждение:
Пусть функция f(x) интегрируема в ограниченной кубируемой
области D. Пусть пространство Еп покрыто сеткой п-мерных кубов
с ребром h; Ci, С2,... ,Cm<jT) — те кубы указанной сетки, которые
целиком содержатся в D; £<Л) = (£(Л	..., ^)— произволь-
ная точка куба Ck\ znft = inf/(x), fc=l, 2, ..., m(h). Тогда каждая
ck
из сумм
т(Л)	т(Л)
Е и £ mkhn
*—1	Л-1
имеет предел при h-^О, равный п-кратному интегралу (3.17) от
функции f(x) по области D.
Примеры. 1°. Вычислить объем Tn(h) п-мерного симплекса
п
{(xlt .... хп)еЕп: х<>0, / = 1, 2, .... п; £ ^«л).
С-1
Применяя формулу (3.18) последовательно по переменным Xi,
х2,..., хп, получим следующее выражение для объема:
п— 1
Л h—x,	С—1
Г"(Л) = Ш (•••(	f	ldxn)...)dx4)dxr (3.19)
0	0	о
Сделаем в каждом однократном интеграле в правой части (3.19)
замену переменной Xi = /igi, x2 — h%2,... ,xn=hln- Получим
n—1
1 l-Ji	C-l
Tn(A)==A"J( J (...( f dtn) ... ) dQ d^.	(3.20)
oo	b
Из (3.20) следует, что Tn(h)=hnTn(l)  Для вычисления T’n(l) по-
лучаем следующую рекуррентную формулу:
§ 4. Тройные и n-кратные интегралы
137
п—1
1-2
1 i-h	i-i
rn(1)~f(J (•••( f d^n)
0 0	0
о
Следовательно, Тп (1) = —. —!—
п п — 1
то Tn(h)=-^-.
2°. Вычислить объем Vn(R)
• ••)	= УТп_г (1-JJd^
о
-1 (l)J(l —W"-1	=	(1) -L-.
о
и так как 7\(1) = 1,
n-мерного шара B(R) радиуса R:
п
В(/?) = {(х1, хг, хп)е=Еп: £ х?<Я2|.
i=® 1
Используя формулу (3.18), получаем
Vn(/?) = JJ..J 1 dxrdx2... dx„ =
B(R)
В однократном интеграле по переменной х, сделаем замену пере-
менной Xi — R^i (i=l, 2.п).	Получим
/п—1
i-2tf
/=»1
/п— 1
1-2 а?
1=»1
Для вычисления Vn(l), как и в предыдущем примере, получаем
рекуррентную формулу
1	1	п—1
V„(1)= jvn_1(/b=If)dE1= J(1—Е2)2 ^-.(Dd^
—i	-i
138
Гл. 3. Двойные и л-кратные интегралы
1	п-1
= Vn-i(l) j(l-Sf) 2 d^.
—i
Сделаем замену переменной gi = cos0 в последнем интеграле, вве-
я/2
дем обозначение Л” f sin*8d0 и примем во внимание тот
е
факт, что Vi(l)=2. Тогда
Vn(l) = 2Vn_1(l) J	(!)/„=...=
О
• • • 72V1(l) = 2n7„7n-i ... 72-
Таким образом, объем n-мерного шара радиуса R выражается
формулой
откуда, используя известные формулы для интегралов Ik2\ окон-
чательно получаем
2±1 п-i
2 2 пп 2
----/<пл , если п нечетно;
2 г»п 2
------7<л , если п четно,
п!!
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В л-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Устанавливаемая в этом параграфе формула замены перемен-
ной является одним из важнейших средств вычисления п-кратного
интеграла.
Предположим, что функция f (у) =f (у\,... ,уп) интегрируема в
некоторой замкнутой, ограниченной кубируемой области D в про-
странстве Еп. Предположим, далее, что от переменных у\, у2.уп
мы переходим к переменным х2,...,хп, т. е. совершаем преобра-
зование
г) В п. 4 § 5 гл. 9 ч. 1 показано, что
{ О»
| —* 1, если k нечетно;
I fell ’
z*- j (fe_ i)|! я
I----------------------, если k четно.
I ЛИ 2
§ 5. Замена переменных в л-кратном интеграле
139
г/1=Ф1(хг, . Hi = Фа (хм •	... хпУ, • хп);
г/п = Фп(*1. •	хп),
(3.21)
которое кратко можно записать в виде
У=Ф W,
(3.21')
понимая под у точку п-мерного пространства (у\,...,уп), под х
точку п-мерного пространства (хь х%, ..., хп), а под ф совокуп-
ность п функций фь ф2,..., фп.
Обозначим через D' ту область в Еп, которая при преобразова-
нии (3.21) или (3.21') переводится в D, т. е. положим D = ф (/)').
При этом мы всегда будем требовать, чтобы преобразование (3.21)'
или (3.2Г) допускало обратное, так что £>'=ф-1(Р).
Докажем, что если функции (3.21) имеют в области D' непре-
рывные частные производные первого порядка и если в этой об-
ласти D' отличен от нуля якобиан (см. § 2 гл. 14 ч. 1).
D (у) _D (У1..Уп)	/д 22)
D(x)~D(X1.....хп)’
то для n-кратного интеграла от функции f(y) по области D спра-
ведлива следующая формула замены переменных:.
р(у)^ = р[ф(х)]
О(У)
О(х)
(3.23)
которая в подробной записи принимает следующий вид:
...p(//i......yn)dy1...	dyn =
D *
Xn)....Фп(хи .... x„)J X
x В(у,...., Уп).	(3,23')
V (Xl, ...» Xn)
Точнее, мы докажем следующую основную теорему.
Теорема 3.8. Если преобразование (3.21) переводит область
D' в D и является взаимно однозначным и если функции (3.21)
имеют в области D' непрерывные частные производные первого
порядка по всем переменным и отличный от нуля якобиан (3.22),
то для каждой интегрируемой в D функции f(y) справедлива
формула замены переменных (3.23').
Отметим, что при условиях теоремы 3.8 существует преобра-
зование ф-1, обратное преобразованию ф.
140
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Доказательству теоремы 3.8 предпошлем семь лемм. Снача-
ла дадим обоснование формулы (3.23) для случая, когда пре-
образование (3.21) является линейным (леммы 1—4), а затем
сведем к этому случаю общеё преобразование (3.21) (леммы
5-7).
Лемма 1. Если преобразование г=ф(х) является суперпо-
зицией (или произведением) двух преобразований г = ф1(«/) и
у = $2(х) (т. е. [ф2(х)]), причем все участвующие в этих
преобразованиях функции имеют непрерывные частные произ-
водные первого порядка, то якобиан ^2^-,
х= (*ь • • •, хп), равен произведению якобиана
в точке х, на якобиан ——
где у = ^2(х), т. е.
----, взятый в точке
Р(у)
взятый
Р(У)
Р ’
г/=6ь •••, Уп),
в точке
взятого
D(z) __ D(z) D (у)
D(x) D (у) ' D (x) ’
(3.24)
или в подробной записи:
D(Zi....zn)	__£>(?!....zn) P(t/i.....yn)
D(xi....xn) D(yi........yn) D(xx,	.... xn)	'
Доказательство леммы 1. Заметим, что для любых
dz ’	®
1=1, 2,..., ли k = l, 2.п элемент —— (х), стоящий на пе-
дх*
ресечении i-й строки и k-vo столбца якобиана -° - и взятый
£>(х)
в точке х°= (x°i, ..., хп), по правилу дифференцирования слож-
ной функции равен
dxk LA dyi dxk
(3.25)
где г/ = ф2(х)-
Но по правилу перемножения определителей
(3.25) и означает, что якобиан Р-, взятый в
О(х)
a Р (У)
произведению якобиана	взятого в точке
Р(г)
Р(У) ’
Напомним, что линейным
динат называется преобразование вида
равенство
точке х, равен
х, на якобиан
взятый в точке у. Лемма 1 доказана.
преобразованием коор-
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле
141
Ух — ^11^1 4“ ^12^2 4“ • • • 4“
У2 ~ ^21*^1 4” ^22^2 4” • • • 4" ^2П^П»
Уп = Wi + ап2х2 + ... + аппхп,
(.3.26)
где aik
Для
падает
= Ы>
(i, Лг=1, 2, .... n) — произвольные постоянные числа,
линейного преобразования (3.26) якобиан д сов‘
с определителем матрицы этого преобразования Т=*
т. е.
-51^- = det Г.	(3.27)
О(х)
Если этот определитель отличен от нуля, то линейное преобра-
зование (3.26) называется невырожденным. В этом слу-
чае существует обратное преобразование, также линейное и не-
вырожденное, и уравнения (3.26) можно разрешить относитель-
но Xi, Х2, ..., Хп- Кратко будем обозначать линейное преобразо-
вание (3.26) символом у = Тх, а обратное ему преобразование
символом х=Т~'у.
Основной целью следующих трех лемм является доказатель-
ство того факта, что для невырожденного линейного преобразо-
вания (3.26) и для каждой непрерывной функции f(y) спра-
ведлива формула замены переменных (3.23), которую с учетом
соотношения (3.27) можно представить в следующем виде:
>ff(y)d«/ = j/(Tx)|detT|dx= |det Т\ J f(Tx)dx, (3.28)
Ь	D' .	ь
где D'=T~XD.
Сначала рассмотрим два линейных преобразования частного
вида:
1) линейное преобразование Тц, заключающееся в том, что
к i-й координате добавляется /-я координата, а все остальные
координаты при этом сохраняются:
yk=xk при k = l, 2, ..., i—l, i+1, ..., п;
yi^Xt + Xj,
или у = Тцх (краткая запись);
2) линейное преобразование ТЬ, заключающееся в том, что.
l-я координата умножается на число ХУ=0, а все остальные ко-
ординаты при этом не меняются:
(Ук = хк при k = 1, 2, .. , i— 1, i 4- 1, .., tr,
\у( = Ьх„
пли у=ТЬх (краткая запись).
142
Гл. 3. Двойные и n-кратиые интегралы
Легко видеть, что
поэтому преобразования Тц и 7Д невырожденные.
Лемма 2. Для преобразований Тц и Т? при любой непре-
рывной в области D функции f(y) справедлива формула замены
переменных (3.28).
Доказательство леммы 2. Пусть R — п-мерный
прямоугольный параллелепипед, содержащий D, функция F(y)
имеет вид
(/(у) при уе D,
I 0 при y^R\D.
Достаточно доказать, что
J F(у) dy = J F (Тх) |det Т[dx,	(3.28')
где символом Т обозначено одно из преобразований Т,/ или ТД
Заметим, что если R — прямоугольный параллелепипед
{Uk : ak^.yk^bk, k = l, 2, ..., п), то [7Д]_17? — снова прямо-
угольный параллелепипед
ak<xk<bk, k=£i,	при Х>0 и
I	А	А	А
< — при Х< о|,
X	J
а [Т;/]-*7? — кубируемая область
(xk : ak^.Xk^bk, k^=i, а,—x^Xi^bi—Xj}.
На основании формулы повторного интегрирования (3.18)
|F(z/)dz/ =
Ь, bi-\bi+t bn bi
= f--- J f *-J [J F(^i’ •••’ y^dy^dy^.^dyi-idyi^ ...dyn.
“» al-l ai+l an ai
(3.29)
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле
143
Применяя к однократному интегралу по переменной i фор-
мулу замены переменной у, = Хх£ для случая преобразования
Т? и yi—Xt + Xj для случая преобразования Тц (см § 5 гл. 9
ч. 1), получим
а)	для случая преобразования Т?
...........yn)dyi =
ai
г 4
f F(yv yL_v Uit y.+v .... yn)Kdxt при X>G;
ai
(3.30)
al
J Р(.У» •••> Vt-v	y^—^dXi ПРИ x<°;
ft.
б)	для случая преобразования Tit
bi	brxf
f^(yi, •••. yn)dyi= j" F(ylt yt_v Xt+Xj, yi+l, ...» yn)dxi.
ai	arxi
(3.30')
Подставим (3.30) или (3.30') в (3.29); затем, воспользовав-
шись формулой повторного интегрирования (3.18) и тем, что
( 1 для Т — Тц,
|detТ| =( .	„ „х
( )л| для Т = 7\,
а также полагая при А=1, 2, ..., i—1, i+1, ..., п, при-
дем к равенству (3.28'). Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Всякое невырожденное линейное преобразование
(3.26) представимо в виде суперпозиции конечного числа Пре-
образований вида Тц и TiK при ХУ=0.
Доказательство леммы 3. Разобьем доказательство
на три этапа.
1.	Покажем, что линейное преобразование Т', заключающе-
еся в перестановке местами /-й и /-й координат (при сохранении
всех остальных координат), представимо в виде суперпозиции
шести преобразований типа Тц и ТД
В самом деле, сохраняя при записи (xi, ..., хп) только i-ю
и /-ю координаты (остальные не меняются), можем записать:
144
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
(ХЬ X^y-^iXi+x,, xjj-^-^ — Xi — Xj, Xf)y--^
-^( — Xt — Xi, —X^—^i—Xi—Xj, X^^—^i—Xj, xf) — ,->(Xfx()„
T;	Ч	Ti
т.е. Г = ТТ'ТчТТхТпТТ1Тч.
2)	Отметим, что путем конечного числа перестановок места-
ми двух строк или двух столбцов (т. е. путем конечного числа
преобразований типа Т') мы можем привести любое линейное
невырожденное преобразование к линейному преобразованию
с матрицей ||а;/||, у которой отличны от нуля все главные ми-
норы, т. е. определители


k= 1, 2, ..., n.
aki • •  akk
3)	Остается доказать, что линейное преобразование с от-
личными от нуля главными минорами можно представить
в виде конечного числа преобразований типа Тц и ГД Дока-
жем это по индукции.
Для п=1 рассмотрим преобразование Т с матрицей
•, )> А* = йц 0.
 о Г
Преобразование Т“* переводит х=(хц х2, .... хп) в
(ацХ1, х2, хп)=Тх, т. е. Т = Т	утверждение справедливо.
Рассмотрим теперь преобразование Т с матрицей
au...alft
.........0
ай1 • • • «йй
1 •
о
11
Предположим, что это преобразование Т можно представить
в виде конечного числа преобразований типа Тц и ТД т. е. что
существует конечное число преобразований вида Тц и Т?, пере-
водящие X — (Хь . . . , Xk, Xk+b Хп) в
(ацХ1 + .. , + аиХй, .... a*iXj + ...+a**x*, хй-н.хл)=7х. (3.31)
Для завершения индукции достаточно доказать, что путем
суперпозиции конечного числа преобразований типа Тц и ТД
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле
145.
можно привести последовательность координат (3.31) к виду
(anXi+.. .+ai(*+i)X*+i, ..., a*iXi+.. .+a*(*+i)X*+i,
a(k+l)lXi +. . . +Cl(k+V)(k+r)Xk+i, Xk+2, •••, Xn),
(3.32)
t. e. представить преобразование T с матрицей
а11	 •  а1к Я1(*+1)
akl	• akk	<2*(*4-1)	0	
£*(*4-1)1 •	•  Щк+1)к 0	Л(*4-1)(*Ч-1) 1	(3.33)
i		'1	
в виде суперпозиции конечного числа преобразований вида;
Та и Ti\
Для доказательства этого, сначала для каждого номера.
i=l, 2, ..., k, для которого элемент ацл+р^О, произведем пре-
образование, представимое суперпозицией трех преобразований:
1
Tk^\+l} Ti(k+X}Takl^'-} (для тех i, для которых ащж)=0, этого,
преобразования не производим). Суперпозиция всех указанных
троек преобразований для всех i= 1, 2, ..., k переведет элемент'
(3.31) в
(йцХ; + .. , + ai*x*-|-ai(*+i)X*+i, ..., a*i-^i + .. . +	+
+ й*(А:+1) Х/г+l, Xk+1, Xk+2, , Хп) 	(3.34).
Далее заметим, что поскольку минор А* матрицы (3.33) от-
личен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель,
матрицы
Яц . . . CL^ di(k-i-l) \
akl akk «/!(*+!)
О ... О 1
По теореме о базисном миноре существуют числа Xi, ..., Л*+1,-
линейная комбинация с которыми строк матрицы (3.35) равна:
Й(*4-1)Ь Щк+^к, Щк+iHk+l),
т. е. равна первым £+1 элементам (&+1)-й строки матрицы
(3.33). Это означает, что если мы для каждого / = 1, 2, ..., k+ 1,.
для которого Kj=/=O, произведем преобразование, представимое-
суперпозицией. трех преобразований: 7У/177'(&+1)/7’Л- (для тех j,
для которых Х/ = 0, соответствующую тройку преобразований.
146
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
не производим), то суперпозиция	(|X*+i|>0) и всех
произведенных троек преобразований переведет элемент (3.34)
в (3.32). Индукция завершена. Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Для любого невырожденного линейного преоб-
разования (3.26) и любой непрерывной в области D функции f
справедлива формула замены переменных (3.28).
В самом деле, формула (3.28) справедлива для каждого из
преобразований вида Г,/ и ТУ (лемма 2), но любое линейное
невырожденное преобразование представимо в виде суперпози-
ции конечного числа таких преобразований (лемма 3), причем
якобиан этой суперпозиции преобразований равен произведе-
нию якобианов (лемма 1).
Следствие из леммы 4. Если G — произвольная куби-
руемая область в Еп, Т — произвольное невырожденное линей-
ное преобразование, то п-мерный объем V(G) области G и
п-мерный объем V(TG) ее образа TG связаны равенством
V(TG) = | det T|V(G).	(3.36)
Для доказательства этого утверждения достаточно в форму-
ле (3.28) взять f(y)==l в области D, D = TG, D' = T~lD = G.
Пусть теперь дано любое преобразование (3.21) ((3.2Г))
и выполнены условия теоремы 3.8. При этом оба интеграла
в (3.23) существуют, если только £>'=ф_ 1 (D) — кубируемая
область, так что нам нужно доказать кубируемость D' и равен-
ство интегралов в (3.23).
Пусть (х) = Ji Ах) (t, /=1, 2, ..., п) — элементы
OXj
матрицы Якоби, взятые в точке x=(xi, ..., хп), саму матрицу
Якоби ||Л/(х)Н обозначим символом /ч, = /ч,(х). Назовем нор-
мой точки x=(xi, ..., х,г) величину ||х||= max |xf[. Назо-
1<1<П
вем нормой матрицы Д = ||а,7|| (i, /=1, ..., п) величину
п
РII- max [£ 1аг/|].
1<1<П /=1
Ясно, что если у=Ах, то
Ну11 = 1ИхК1|Д ||-Цх||.	(3.37)
Кроме того, для единичной матрицы ||£|| = 1.
Лемма 5. Если выполнены условия теоремы 3.8 и С
п-мерный координатный куб, принадлежащий области D', то
п-мерные объемы куба С и его образа ф(С) связаны неравен-
ством
V (if (С)) < [max Н	(х)Пр V (С).	(3.38)
§ 5. Замена переменных в n-кратиом интеграле
147
Доказательство леммы 5. Пусть С — «-мерный куб
оо о
с центром в точке х=(хь ..., хп) и с ребром 2s. Тогда куб С
можно определить неравенством
о
||х—*ll<s.	(3.39>
В силу формулы Тейлора для функции п переменных ф/(х)
(см. п. 3 § 5 гл. 12 ч. I) найдется число 0, из интервала (0, 1}
такое, что
о " о	о о
Ф« (*)—(*) = £ Ja [* + (*—*)] (*i —Xj).
Отсюда и из соотношения (3.37) заключаем, что
о	о
||ф(х)—ф(х)|| <тах||/^(х)Ц-||х—х||.	(3.40>
хес
о о
Полагая у=ф(х), у—^>(х), получим из (3.40) и (3.39):
о
||У—#11 < s max ||Л|> (х)||.
*gc
Таким образом, если точка х находится в кубе С с ребром
о
2s и с центром в точке х, то образ г/=ф(х) точки х находится
о
в кубе с центром в точке у и с ребром 2s max ||У^(х)||. Поэто-
с
му множество ф(С) кубируемо и
У(ф(С)) < [тах||^(х)ЦГ V(C).
Лемма 5 доказана.
Следствие 1 из леммы 5. Если выполнены условия^
теоремы 3.8 и область G кубируема, то и ее образ ф(б) куби-
руем. В частности, если D кубируема, то и	куби-
руема.
Действительно, граница любого кубируемого множества G
является множеством «-мерного объема нуль, а такое множе-
ство согласно доказанному утверждению преобразуется в мно-
жество, «-мерный объем которого также равен нулю.
Кубируемость области Р'=ф-’(О) следует из того, что в
условиях теоремы 3.8 для преобразования ф-1 выполнены те же
условия, что и для ф.
Следствие 2 из леммы 5. Если функция f(у) интегри-
руема в области D, £>' = ф-1(£>) и выполнены условия теоремы
3.8, то /(ф(х)), а потому и f [ф(х)] |det/^(x) | интегрируемы,
в D'.
148
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Лемма 6. Пусть выполнены все условия теоремы 3.8 и
пусть G — произвольное аудируемое подмножество D', а
ф(О) — его образ при преобразовании (3.21). Тогда для п-мер-
ного объема области -ф (G) справедливо неравенство
V(q(G))< [ |detJ,p(x)| dx.	(3.41)
G
Доказательство леммы 6. Разобьем доказательство
на два этапа.
1) Докажем, что для любого невырожденного линейного
преобразования Т и для любого п-мерного куба C^D' справед-
ливо неравенство
V(i|>(C))< |detT|[max||r-1J,1)(x)||rV(C).	(3.42)
х&с
В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого множе-
ства G и для линейного преобразования Т справедливо равен-
ство (3.36). Положим О=7’~1ф(С), тогда TG=T(T-tty(C)) =
=4>(G) и
V(i|>(C)) = |detT|	(3.43)
Оценив правую часть (3.43) с помощью неравенства (3.38),
в котором вместо преобразования ф возьмем суперпозицию пре-
образований получим
V(ip(C))<|detT| [max||Jr-4(x)||pV(C).	(3.44)
хес
По лемме 1	=	=	ибо матрица Якоби линей-
ного преобразования совпадает с матрицей этого преобразова-
ния. Но это и означает, что неравенство (3.44) может быть
переписано в виде (3.42). Неравенство (3.42) доказано.
2) Докажем теперь непосредственно неравенство (3.41).
Покроем пространство Еп сеткой n-мерных кубов с ребром h.
Пусть С], С2, ..., Cm(h)— те кубы, которые целиком содер-
жатся в G, и пусть Gft= (J Ck.
В каждом кубе Ck фиксируем произвольную точку Xk и за-
пишем для этого куба С* неравенство (3.42), полагая при этом
Т=/^(хк). Получим
Г(ф(С,))< |det J*(xk)\ {max ||[^ (x,)]"1	(x)||}" V(Ck). (3.45)
Поскольку элементы матрицы Якоби Д(х) являются непре-
рывными функциями переменной х во всей области D', а следо-
вательно, и равномерно непрерывными в D', то ||Д(х)|| — рав-
номерно непрерывная функция в GaD'. Отсюда заключаем,
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле
149
что функция || [Д	||“ также равномерно непрерывна
в G. Учитывая, что || [7M,(x*)]-1/M,(x*) || = 1, получаем, что для
любого е>0 найдется 6>0 такое, что для всех х, xk<=G, для
которых р(х, х*)<б, выполняется неравенство || [7*(х*)]-1Х
Х/Дх)||"<1 + е. Таким образом, если выбрать Л>б, то max х
x^ck
X (х*)] 17ф(х)||л < 1+е(для всех k) и оценку (3.45) можно
записать в виде
V (Ф (Q) < (1 + 8)| det J4.(x4)| У(С4).
Суммируя последнее неравенство по всем k=l, 2, ..., m(h),
получим
m(h)
У(Ф(Сл))<(1+8) £ I det 7^)1 V (Ck).	(3.46)
*=i
Из утверждения, сформулированного в конце § 4 этой главы,
следует, что предел при Л->0 всей правой части (3.46) сущест-
вует и равен (1 +e)J | det 7^ (х) | dx (е>0 — произвольное чис-
G
ло). Кроме того, limGA— G, так что в пределе при Л->0 из
h-+0
неравенства (3.46) получается неравенство (3.41). Лемма 6 до-
казана.
Лемма 7. Если выполнены все условия теоремы 3.8 и до-
полнительно предполагается, что функция f(y) неотрицательна
в D, то справедлива формула замены переменных (3.23).
Доказательство леммы 7. Покроем пространство Еп
сеткой n-мерных кубов с ребром h и обозначим через С\, С2, ...
• • •, Cm(ti) те из этих кубов, которые целиком содержатся в D.
Пусть	(С*). Для каждой области G* запишем неравен-
ство (3.41):
V(Q< J |det7^(x)| dx.	(3.47)
CIk
Умножим обе части (3.47) на т&, где
= inf/(«/) = inf/[ф (х)],
ck	Gk
и просуммируем полученные неравенства по всем k от 1 до
m(h):
у "^V(Q<£ mk j |det 7ф(х)| dx. (3.48)
k=l	Й=1 Gk
150
Гл. 3. Двойные и «-кратные интегралы
По теореме о среднем значении
J f [f.Wl Idet (*) I = И* J11 det (x) | dx,
Gk	Gk
где ще[тЛ, Л4Л = 5ир/[ф(х)]. Поэтому
Gk
mk f |detJ^,(x)| dx<pft J |det 7^(x)| dx = Jjf [if (x)] [det/^(x)! dx
Gk	Gk	ak
и неравенство (3.48) можно усилить:
m(h)	m(h)
£ mkV (Ck) < £ J f [if (x)] | det J* (x) | dx. (3.49>
fe=l	fe=l Gk
В силу утверждения, сформулированного в конце § 4, левая
часть (3.49) при Л->-0 имеет предел, равный §f(y)dy, и по-
D
m(h)
скольку lim У Gk — G, где G=if-1(£>), то в пределе при
h-»° (±1
Л->0 получается
f (у) dy < j f [ф (х)] | det J* (х) | dx.	(3.50>
D	D'
Меняя в этих рассуждениях ролями D и D', рассматривая
в D' функцию g(x) =f [ф(х)] |det/^(x) | и используя лемму 1
и теорему об определителе произведения двух матриц, получим
противоположное неравенство
У f [ф (х)] I det J* (х) | dx < J / (у) dy.	(3.51 >
D'	D
Из (3.50) и (3.51) вытекает доказываемая формула замены
переменных. Лемма 7 доказана.
Доказательство теоремы 3.8. Пусть f(y) — произ-
вольная интегрируемая по области D функция и выполнены все
условия теоремы 3.8.
Из интегрируемости функции f(y) в области D получаем, что
существует постоянная М>0 такая, что |f(y) в D.
Для каждой из неотрицательных функций f{(y)=M и
f2{y)=M—f(y) теорема 3.8 справедлива (в силу леммы 7). Но
тогда из линейного свойства интеграла вытекает справедли-
вость формулы (3.23) и для разности fi(y)—f2(y) =f(y) Теоре-
ма 3.8 доказана.
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле
151
Замечание 1. В условиях теоремы 3.8 можно допустить об-
ращение в нуль якобиана (3.22) на некотором принадлежащем D'
множестве точек 5, имеющем n-мерный объем нуль. В самом
деле, множество 5 лежит внутри элементарной фигуры С как
угодно малого объема, причем согласно доказанному выше спра-
ведлива формула
j f(y)dy=> f /[ф(х)] |detJ^,(x)| dx. (3.52)
iMD'XC)	D\c
Осуществляя в формуле (3.52) предельный переход по последо-
вательности элементарных фигур {С*), S'gzC*, n-мерный объем
V(Ck) которых стремится к нулю, убедимся в справедливости
формулы (3.23) и для рассматриваемого случая.
Замечание 2. Имеет место следующее утверждение, являю-
щееся частным случаем так называемой теоремы Сарда3).
Утверждение. Пусть G — замкнутая ограниченная кубиру-
емая область в Еп, а функции (3.21) имеют в G непрерывные
частные производные первого порядка по всем переменным. Пусть
Л = {xeG : det Д(х) =0}. Тогда п-мерный объем множества А ра-
нен нулю.
Это утверждение и замечание 1 позволяют освободиться в тео-
реме 3.8 от требования необращения якобиана (3.22) в нуль в об-
ласти D'.
Замечание 3. Как показывает рассматриваемый ниже при-
мер, требование взаимной однозначности преобразования ф суще-
ственно даже в случае связной области и условия det/^(x)#=0
для всех х^Еп.
Пример. Пусть £>'={(Х1, Х2)е£2: Xi&[0, 1]; х2е[—2л, 2л]},
а у=ф(х) определено равенствами
ух = е*» cos х2, ya = e**sinxa.
Тогда /)=ф(П,)={(р1, yz)^E2:	(y!2+y22)ll2<e}. Легко подсчи-
тать, что якобиан преобразования det (х) = е2х> не равен нулю
для всех хе£2. Сравним между собой интегралы в формуле
(3.23х) для f(y) = l:
dyYdy2 = л (е2 — 1); JJ |det (х1( ха) | dxxdx2 =
D	D'
2л 1
— J dx2 J е2х< dxx = 2 л (е2— 1).
—2Я	О
Таким образом, формула замены переменных не имеет места.
’> Артур Сард — американский математик (род. в 1909 г.)
152
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Замечание 4. В условиях теоремы 3.8 можно допустить,
неоднозначность преобразования -ф на некотором принадлежащем
D' множестве S, имеющем /i-мерный объем нуль.
Доказательство этого факта полностью аналогично доказатель-
ству утверждения в замечании 1.
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ n-МЕРНЫХ ТЕЛ
В § 4 этой главы было отмечено, что интеграл
1 = JJ .• J 1 dyrdy2 ...dyn	(3.53>
D
равен «-мерному объему V (D) области D. Поэтому величину
dy\dy2 ... dyn естественно назвать элементом объема в,
рассматриваемой декартовой системе координат Оуху2, уп-
С помощью преобразования (3.21) перейдем от декартовых ко-
ординат yi, у2, ..., уп к новым, вообще говоря, криволинейным ко-
ординатам Xi, х2, ..., хп. Поскольку при таком переходе (согласно>
формуле замены переменных (3.23)) интеграл (3.53) преобразу-
ется к виду
j _ С f	Г Д (У1. Уг.........Уп)
J J ’ " J Г)(%1( %2, .... %п)
D’
то величину
О(У1. Уг. ••• . Уп)
D(xlt х2, ... , хп)
= dxjdx2... dxn
естественно назвать элементом объема в криволиней-
ной системе координат Охлх2 ... хп.
Итак, модуль якобиана характеризует «растяжение» (или
«сжатие») объема пр.и переходе от декартовых координат
У\, У2, •  •, Уп к криволинейным координатам хь х2, хп-
Подсчитаем элементы объема в сферических и цилиндрических,
координатах.
Г. Для сферических координат в пространстве £3
х = г cos ф sin 6,
у —г sin ф sin 9,
z = г cos 6
(г > О, [0, л], ф е [0, 2л))
якобиан имеет вид
О(Х, у, г)
D(r, <р, 0)
cos ф sin 9
sin фэт 9
cos 9
— г sin ф sin 9
г cos ф sin 9
О
г cosфcos 9
гзш фсоэ 9
— г sin 9
= r2sinO.
Следовательно, элемент объема равен г2 sin Qdrdfidq.
§ 6. Вычисление объемов n-мерных тел
153
2°. Для цилиндрических координат в пространстве £3
х = гсозф,
у = rsinф, О' 0, ф Е= [0, 2л), Z Е (— оо, + оо))
Z — Z
якобиан имеет вид
Р(х, у. Z)
D (г, <р, г)
созф —г sin <р О
sin ф г cos ф О
О 0	1
Следовательно, элемент объема равен rdrdydz. В частности, для
лолярных координат на плоскости элемент площади равен rdrdq.
3°. В пространстве Еп сферические координаты определяются
равенствами
хх = г sin 0Х sin 02... sin 0n-i;
п—1
хт = г cos 0m_i f] sin 0fe, m — 2, 3, ... , n — 1;
k=m
xn = r cos 0n-i, (r >0, 0xe [0, 2л), 0m e [0, л], m = 2, 3, ..., n— 1),
якобиан имеет вид
n—1
P(xx,X2, ... ,X„) =	ГТ s{nft_, 0
D(r,e1( ....e^)	11
Таким образом, элемент объема в д-мерных сферических коор-
п—1
динатах равен {“"'dr ["] sin*-1 0ftd0fe.
/г=1
Примеры. 1°. Вычислить объем V тела, вырезанного цилинд-
ром x2+y2=Rx из сферы x2+y2+z2=R2 (рис. 3.6) 4 *>.
Тело симметрично относительно координатных плоскостей Оху
л Oxz и расположено направо от плоскости Oyz. Поэтому доста-
точно вычислить объем четверти тела, лежащей в первом октанте,
т. е.
V =4 JJJ dxdydz,
D
D — {(х, у, г) е Е3: х е [0, 7?], у <= [0, УRx—х2],
4> Эта фигура называется «телом Вивиани» по имени итальянского матема-
тика XVII в.
154
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Z е[0, ]/7?2 —(х2 + г/2)]}.
Перейдем к цилиндрическим координатам. Область D' опреде-
ляется так:
Dr = I (ф, г, г) е Е3: <р s Г 0, -у
г <= [0, /?cos<p], ге [О, J/7?2—г2]
Формула замены переменных дает
У=4
П/2
JJJ rdrdqdz = 4 j |
D'	О
rdr
л/2 Д cos Ф	л/2
= 4 J dtp у rVR3—r3dr = -^-^ /?3(1—sin3<p)d<p =
0	0	о
= А рз (л______Ц
3	\ 2	3 Г
Таким образом,
А/?з|А______2_\
3	\ 2	3 )'
Записав результат в виде У= (2/3)л/?3— (8/9)/?3, отметим, что вы-
числяемый объем на (8/9) R3 меньше объема полушара радиуса
R, из которого оно вырезано.
2°. Вычислить интеграл
D
§ 6. Вычисление объемов n-мерных тел
155
где D — тело, ограниченное сверху поверхностью
(x2+y2+z2)2=a2xy,	(3.54)
а снизу плоскостью z=0.
В сферических координатах уравнение поверхности (3.54) при-
мет вид
г2 = a2 sin2 0 sin <р cos <р.
Так как z^O для точек поверхности D, то, учитывая симмет-
рию тела относительно оси Oz, после замены переменных получим
л/2	п/2 asln0 losing) cos ф
1 — 2 J dtp J d0 J r3sin<pcos<psin0cos Qdr =
о о	0
Л/2	Л/2
= — j sin8 <p cos8 <pd<p J sin5 0 cos QdQ —	.
()	о
3°. Вычислить интеграл
I =	+ X2 + • • • + dxldxi •   dxn,
где D — п-мерный шар радиуса R с центром в начале координат:
D = |(Xj, х2, ..., х„) 6 Еп: £ х2 < R2}, п > 2.
*=!
Перейдем к сферическим координатам в Еп:
D'={(r, 01( ..., ©„-О е Еп: г е= [0, /?],
01е[0, 2л], Qk е [0, л], k = 2,3...и—1},
т. е. область D' — параллелепипед.
Формулы замены переменных (3.23) и повторного интегриро-
вания (3.18) приводят к интегралу
/ = J rndr J dQ± j sin О^02... у sin"-2 0n_idOn-i-
ООО	о
Воспользовавшись формулой, выражающей интегралы от сте-
пеней синуса (см. п. 4 § 5 гл. 9 ч. 1 или сноску на с. 138 этой
книги), получим
I = 2п
Rn+l
«+ 1
Л(п),
156
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
(	п-1
2~
л. х (п-2)!!
где А(п)=
п-2
2 2
. (п-2)!!
п—1
л 2 , если п нечетное;
п
л 2 , если п четное.
4°. Вычислить интеграл Пуассона
СО
е-х‘ dx.
о
Рассмотрим на плоскости две области
CR = {(х, у) е Е2: х2 + у2 < /?2, х > О, у > 0},
^ = {(х, у)е£2:0<х<7?,
и неотрицательную функцию двух переменных	На
рис. 3.7 изображены области Cr, C2r— четверти кругов радиусов
R и 27? в первом квадранте, и область KR — заштрихованный
квадрат.
Поскольку	то
Jp-^2) dxdy < J j
CR	#R
, W) (jxc[y jy е
C2R
~{хг+^ dxdy. (3.55)
я
я
Для среднего интеграла (3.55) получим
я
, (*2+s<!) ^Х(^у _ J е-хг дх у е-уг __ ( j е-х*
0	0	о
*r
Чтобы подсчитать оставшиеся два интеграла, сделаем замену пе-
ременных, переходя к полярным координатам. Область, которая
при этом преобразовании переходит в CR, имеет вид
Cr = {(г, rp)e£2: ге [0, /?], <ре j^O,
Применяя формулу замены переменных, получим
л/2	7?
Jj" е-^+У2'1 dxdy — JJ e~r2 rdrd(f ~ j dtp j е~т2 rdr = -2- (1 —e~Ry,
CR	dR	0	0
J J e~(x!+s,!>	~ ‘7’ (1 — e~iR2).
C2R
§ 7. Теорема о почленном интегрировании функциональных
157
Подставим полученные выражения в (3.55):
г-
-^/1 —f e-^dx<-^-Vl— е~^.	(3.56>
2	J	2
О
Перейдем к пределу в (3.56) при
е-*2 dx
Этот элегантный прием вычисления принадлежит Пуассону.
§ 7. ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
И РЯДОВ
В § 4 гл. 2 была доказана теорема 2.8 о почленном интегриро-
вании функциональной последовательности {/«(*)} на сегменте
[а, Ь] числовой прямой. Аналогичная теорема имеет место и для
случая, когда функциональная последовательность определена и
интегрируема в некоторой области пространства Ет (т>2).
Теорема 3.9. Пусть D — некоторая ограниченная замкнутая
кубируемая область в Ет. Если функциональная последователь-
ность сходится к предельной функции f(x) равномерно в D
и если каждая функция fn(x) интегрируема в области D, то и пре-
дельная функция интегрируема в этой области, причем указанную
последовательность можно интегрировать в области D почленно,
т. е.
f(x) dx = lim f /n(x) dx.
Доказательство. Фиксируем произвольное е>0. Как и
при доказательстве теоремы 2.8, для доказательства интегрируе-
мости f в области D достаточно доказать, что найдется номер п
такой, что для любого разбиения области D верхняя сумма 3 и
нижняя сумма s предельной функции f(x) и верхняя сумма 3„ и
нижняя сумма s„ интегрируемой в D функции fn(x) связаны не-
равенством
S—s^(Sn—sn) +е/2.
(3.57)
Рассмотрим произвольное разбиение области D при помощи
конечного числа произвольных многообразий m-мерного объема
нуль на конечное число частичных областей Di (i=l, 2, ..., г)
произвольной формы, не имеющих общих внутренних точек. Обо-
значим символом ®>(fn) колебание функции fn(x) в области
158
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
(Л») = sup /. (х)—inf fn (х)),	а символом (/) колебание в £><
Dt	Di
предельной функции f(x).
Докажем, что для любого достаточно большого номера п
справедливы неравенства
®/(/)<(0/(М)+е/(2ДР), i=l, 2, .... г,	(3.58)
где Д£> — /i-мерный объем области D. Умножая затем (3.58) на
объем Д£>/ частичной области £>,- и суммируя получающиеся при
этом неравенства по всем i, получим неравенство (3.57).
Для любого номера п и любых двух точек х' и х" области
Di справедливо тождество
f (X')-f (X") = [f (X'}-fn (*') ]+[f n (x')-fn (x") ]+[/ n (x") -f (x") ].
(3.59)
В силу равномерной на D сходимости последовательности
{fn(x)j к функции f(x), для фиксированного нами произвольного
®>0 найдется номер п такой, что для всех точек х области D
|Мх)Ч(*)|<е/(4Д/)).	(3.60)
Применяя к правой части (3.59) неравенство (3.60), взятое
для точек х=х' и х=х", получим
1/(х')-Ж)1 < 1/п(х')-Л(х")| +е/(2ДД).	(3.61)
Из неравенства (3.61) получаем
|/(х')-/(х")|<И<(/п) + е/(2ДП),
откуда, как и в случае теоремы 2.8, следует доказываемое нера-
венство (3.58). Таким образом, доказательство интегрируемости
предельной функции f(x) в области D завершено.
Утверждение о возможности почленного интегрирования после-
довательности {/«(х)} следует из оценки (3.60), справедливой для
всех точек хеП, и из отмеченного в § 4 факта: значение интегра-
ла j* 1 dx равно «-мерному объему Д£> области D. Теорема 3.9
D
доказана.
Приведем формулировку теоремы 3.9 в терминах функциональ-
ных рядов:
Теорема 3.9*. Если функциональный ряд
£«лМ (х = (хх, х2, ... ,хт)е=Ет)
k=i
сходится к своей сумме S(x) равномерно на некоторой ограничен-
ной замкнутой кубируемой области Dcz.Em и если каждый член
§ 8. Кратные несобственные интегралы
159
этого ряда и/г(х) представляет собой функцию, интегрируемую
в области D, то и сумма S(x) интегрируема в области D, причем
указанный ряд можно интегрировать на множестве D почленно*
т. е.
j S(х) dx=	f uk(x)dx.	(3.62}
D	А=1 D
§ 8.	КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Этот параграф посвящен обобщению понятия кратного интег-
рала на случаи неограниченной области интегрирования и неогра-
ниченной подынтегральной функции. Мы сформулируем понятие
несобственного кратного интеграла так, что будут охвачены оба
указанных случая.
1.	Понятие кратных несобственных интегралов. Пусть D —
открытое связное множество пространства Ет. Символом D обо-
значим замыкание D, которое получается путем присоединения
к D его границы.
Определение 1. Будем говорить, что последовательность
{Dn} открытых связных множеств монотонно исчерпывает
множество D, если: 1) для любого номера п Dn<^Dn+P, 2) объ-
единение всех множеств Ьп совпадает с D.
Пусть на множестве D задана функция f(x), x=(Xi, х2, 
..., хт), интегрируемая по Риману на любом замкнутом кубируе-
мом подмножестве £>. Будем рассматривать всевозможные после-
довательности {Dn} открытых^ множеств, монотонно исчерпывающие
D и такие, что замыкание Dn каждого множества Dn кубируемо
(отсюда, в частности, вытекает, что каждое множество Dn огра-
ничено) .
Определение 2. Если для любой такой последовательности
{£>„} существует предел числовой последовательности
an=^f(x)dx	(3.63)
и этот предел не зависит от выбора последовательности {Z)n}, то
этот предел называется несобственным интегралом от
функции f(x) по множеству D и обозначается одним из следующих
символов:
jf(x)dx или J ... [/(Хр х2, ... , х,„)dxrdx2 ... dxm. (3.64)
D	D
При этом несобственный интеграл (3.64) называется сходящим-
с я.
160
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Отметим, что символ (3.64) используется и в случае, когда
предела указанных выше последовательностей не существует.
В этом случае интеграл (3.64) называется расходящимся.
2.	Два признака сходимости несобственных интегралов от не-
отрицательных функций.
Теорема 3.10. Для сходимости несобственного интеграла
(3.64) от неотрицательной в области D функции f(x) необходимо
и достаточно, чтобы хотя бы для одной последовательности куби-
руемых областей {Dn}, монотонно исчерпывающей D, была огра-
ниченной числовая последовательность (3.63).
Доказательство. Необходимость. Сходимость несобствен-
ного интеграла (3.64) по определению 2 означает, что последова-
тельность {ап}, определяемая равенством (3.63), сходится для всех
последовательностей областей {Dn}, монотонно исчерпывающих D,
а, следовательно, последовательность {ап} ограничена для каждой
такой последовательности {£>«}.
Достаточность. Последовательность (3.63) ограничена и не
убывает, так как DnczDn+\ и f(x)^O, следовательно, она сходится
к некоторому числу I. Остается доказать, что если мы выберем
любую другую последовательность кубируемых областей {£>'«},
монотонно исчерпывающую область D, то последовательность
ап = j f (х) dx
15'
n
-сходится к тому же числу /. Фиксируем любой номер п0 и рас-
смотрим область £>П(1. Найдется номер «1 такой, что D^cz Не-
действительно, допустим, что это не так. Тогда для любого номера
k можно указать такую точку Mk^.Dn„, которая не принадле-
жит области Dk. Из последовательности {М*} можно (в силу замк-
нутости и ограниченности £>„0) выделить сходящуюся к некоторой
точке	последовательности. Точка М вместе с некоторой
окрестностью принадлежит одному из множеств Dkl. Но тогда
этому же множеству Dkl (и всем множествам Dk с большими
номерами) принадлежат точки Мь с как угодно большими номера-
ми. А это противоречит выбору точек Mk. _
Итак, существует номер щ такой, что DnaczDni- Поэтому
"Отсюда следует, что последовательность {ап'} сходится к некото-
рому числу Г^.1. Меняя местами в наших рассуждениях последо-
вательности {ап'} и {ап}, придем к неравенству 7^/'. Следователь-
но, Г=1. Теорема доказана.
В § 6 можно найти пример вычисления несобственного интег-
рала
§ 8. Кратные несобственные интегралы
161
I = Г Г е~х'~У' dxdy = lim f |	dxdy =—,
J J	n—>со j J	4
D	Cn
где D = {(x, y) S E2, x > 0, f/ > 0}, C„ = {(x, y) e £2, x2 + y2 < n2,
x>0, t/>0}; n — 1, 2, ... (см. пример 4° §6, в котором следует
заменить R на и).
Теорема 3.11 (общий признак сравнения). Пусть функции
f{x) и g(x) всюду на открытом множестве D удовлетворяют усло-
вию 0<f (х) <g(x). Тогда из сходимости несобственного интег-
рала $g(x)dx вытекает сходимость несобственного интеграла
D
J / (х) dx, а из расходимости J / (х) dx вытекает расходимость
D	D
Jg(x) dx.
D
Доказательство. Пусть {£)л} — последовательность куби-
руемых областей, монотонно исчерпывающих область D. Из оче-
видных неравенств
ап = J /(*)<**< J g(x)dx = bn
следует, что ограниченность {&л} влечет ограниченность {ал} и не-
ограниченность {ал} влечет неограниченность {&л} (для любой пос-
ледовательности областей {£>л}). Отсюда и из теоремы 3.10 выте-
кает справедливость сформулированной теоремы.
Обычно при исследовании несобственных интегралов на сходи-
мость используют стандартные (эталонные) функции сравнения,
наиболее употребительной из которых является функция g (х) =
= |х|~р, р>0, |х| =]/х2 + х2+ ... + х2т Легко проверить, что
если область D — шар радиуса R (/?>0) с центром в начале коор-
динат, то несобственный интеграл от функции |х|_₽ по области/)
сходится при р<т и расходится при р>т. Если же D — внеш-
ность того же шара, то несобственный интеграл от функции |х|~р
по области D сходится при р>т и расходится при р<.т.
3.	Несобственные интегралы от знакопеременных функций.
В этом пункте мы выясним связь между сходимостью и абсолют-
ной сходимостью кратных несобственных интегралов. При этом,
как и в одномерном случае, несобственный интеграл j/(x)dx
D
будем называть абсолютно сходящимся, если сходится
интеграл j |/(х) | dx. Кратные несобственные интегралы в отли-
D
чие от одномерного случая обладают тем свойством, что из обыч-
6 Зак. 25
162
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
ной сходимости несобственного кратного интеграла вытекает его
абсолютная сходимость.
Теорема 3.12. Для несобственных m-кратных интегралов
при т^2 понятия сходимости и абсолютной сходимости экви-
валентны.
Доказательство. 1) Докажем, что из абсолютной схо-
димости кратного несобственного интеграла в области D следу-
ет его обычная сходимость в этой области. Рассмотрим две
неотрицательные функции
/+ (V)	>	=. i/wi -и*) .	<3 б5>
Представим их в виде
f (х), если f (х) > 0;
0, если fix) < 0;
(3.66)
—/(х), если /(х)<0;
0, если /(г) >0
и отметим следующие соотношения, непосредственно вытекаю-
щие из определения этих функций:
0<Д(х)< |/(х)|; 0^/_(х)< |/(х)|;	(3.67)
/+ « =
/-(*) = (
f(x) = f+(x)-f_(x); |/(х)| =f+(x) + f_(x).	(3.68)
Из интегрируемости в собственном смысле функции /(х)
по любой кубируемой подобласти области D вытекает интегри-
руемость по любой такой подобласти функции |f(x) |, а следо-
вательно, и функций f+(x) и f_(x) (что следует из формул
(3.65)). Используя сходимость интеграла J |f (х) | dx, только
D
что указанное свойство функций f+(x), f-(x), неравенства
(3.67) и теорему 3.11, убеждаемся в сходимости несобственных
интегралов J /+ (х) dx и j /_ (х) dx. Из определения несобст-
D	D
венного интеграла следует, что если сходится несобственный ин-
теграл по области D от каждой из функций f+(x) и f_(x), то
сходятся интегралы от суммы и разности этих функций. Из пер-
вого соотношения (3.68) следует сходимость интеграла
j f(x)dx. Первая часть теоремы доказана.
D
2) Пусть кратный несобственный интеграл \fix)dx схо-
D
дится. Докажем, что он сходится абсолютно. Допустим, что это
утверждение неверно. Тогда из теоремы 3.10 вытекает, что пос-
§ 8. Кратные несобственные интегралы
163
ледовательность интегралов от функции |/'(х) | по любой моно-
тонно исчерпывающей область D последовательности кубируе-
мых областей {£>„} будет монотонно возрастающей
бесконечно большой последовательностью. В частности,
последовательность {£)„} можно выбрать так, что для любого
п=1, 2, ... выполняется неравенство
J |/(х)| dx > 3 J | f (х) | dx + 2п + 4	(3.69)
°п,1	°п
(достаточно взять любую последовательность {£>«} и «проредить»
ее, отбросив те области, для которых неравенство (3.69) не вы-
полняется). Обозначим через Рп множество D„+1\Dn. Тогда из
(3.69) получим, что для любого п
J \f(x)\dx>2 j |f(x)| dx + 2n + 4.	(3.70)
рп	пп
Из второго соотношения (3.68) следует, что
j* |/(х)| dx= J f+(x)dx+ § f-(x)dx. (3.71)
Рп	Рп
Фиксируем произвольный номер п. Пусть для этого п из
двух интегралов в правой части (3.71) большим будет первый.
Тогда из соотношений (3.70) и (3.71) получим
/+(x)dx> [ |/(х)| dx + n + 2.	(3.72)
~РП	Dn
Разобьем область Рп на конечное число областей Рп‘ так, чтобы
нижняя сумма Sm/Acr, функции f+(x) для этого разбиения удов-
летворяла неравенству 5)
0< f /+(x)t/x — ^/П;А(Т( < 1.
Тогда, заменив в левой части (3.72) интеграл нижней суммой,
получим следующее неравенство:
/п£А(Т; > j |/(х)| dx + n+ 1.	(3.73)
5) Здесь пц =inf f + (х), Да, — m-мерный объем Рп‘-
п
6*
164
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
Так как т^О, то оставим в сумме У т^А/Т; лишь те слагае-
I
мые, для которых т,>0. Объединение областей Рп‘, соответ-
ствующих оставшимся в сумме слагаемым, обозначим через Рп~
В области Рп функция f+(x) положительна, поэтому в этой
области f+(x)=f(x) (см. (3.66)). Следовательно, согласно
(3.73) получаем неравенство
[ )(x)dx> J |/(х)| dx + n + 1.	(3.74)
Обозначим через Dn* объединение Dn и Рп- Тогда, склады-
вая неравенство (3.74) с неравенством
j f(x)dx^ — J |/(х)| dx,
заведомо справедливым для фиксированного нами п, получим
J f(x)dx > п+ 1.	(3.75)
D*
п
Если для фиксированного нами номера п из двух интегралов
в правой части (3.71) большим (или равным первому) будет
второй, то, проделав аналогичные преобразования, учитывая,
что в области Рп f-(x)——f(x), получим неравенство
J/(x)dx<—п—1.	(3.76)
о*
п
Из соотношений (3.75) и (3.76) следует, что для любого
л=1, 2, ...
| J /(х) dx| > п + 1.	(3.77)
о*
п
Последовательность областей {Огп} удовлетворяет всем усло-
виям определения 1, кроме, быть может, условия связности об-
ластей Din (связность областей £>* могла быть нарушена при
отбрасывании из Рп тех областей Рп‘, на которых точная ниж-
няя грань т, равна нулю). Малой деформацией сделаем эти
области связными6>.
Соединим каждую область Pj из Рп с областью Dn m-мерной
кубируемой связной областью К/ (которую будем называть
в> Именно этот момент доказательства существенно использует требование
/п>2 (при т=1 описываемые рассуждения не проходят).
§ 8. Кратные несобственные интегралы
165
связкой или каналом) так, чтобы полученное множество
стало связным. Поскольку число областей Рп‘ в Рп конечно,
то и число каналов конечно. Обозначим объединение всех кана-
лов через Кп- Наложим ограничение на /п-мерный объем V (Кп)
каналов.
Так как функция f(x) интегрируема, а следовательно, и ог-
раничена на Рп, то
| [ f(x)dx|< f |/(х)[ dx<M-V(Kn),
Кг tn
где М = sup |/(х)|. Потребуем, чтобы /п-мерный объем Кана-
ли
лов V(Kn) удовлетворял условию V (/С„) < 1/Л1. Тогда
IJ /(x)dx|< 1.	(3.78)
Из неравенства (3.77) и (3.78) получаем для любого п нера-
венство
| j /(x)dx|>n.	(3.79)
D*nPKn
Последовательность связных кубируемых областей
{D2n U ^2п} монотонно исчерпывает область D 7>. Из неравенст-
ва (3.79) следует, что последовательность интегралов в левой
части этого неравенства расходится, т. е. несобственный интег-
рал J/(x)dx расходится. Но по условию теоремы этот интег-
D
рал сходится. Полученное противоречие доказывает справедли-
вость нашего утверждения. Теорема полностью доказана.
4. Главное значение кратных несобственных интегралов. Обо-
значим через B(R, х0) иг-мерный шар радиуса R с центром в точ-
ке Хо, и пусть начало координат находится в точке ОеЕт.
Определение. Пусть функция f(х) определена при всех
х^Ет и интегрируема в каждом шаре B(R, 0). Будем говорить,
что функция f(x) интегрируема по Коши в Ет, если су-
ществует предел
lim f /(x)dx.
вЛ.о)
Этот предел мы будем называть главным значением несоб-
7) Мы берем {D*2nt)K.zn} вместо {.D*„UKn}, чтобы удовлетворить условию
£>2nUK2nc£>2(n+i)U^2(n+i> из определения 1.
166
Гл. 3. Двойные и n-кратные интегралы
ственного интеграла от функции f(x) в смысле Коши и обозначать
символом
v. р. f /(х)dx = lim f f(x)dx.
•	/?—>00 и
Em	B(R,0)
Пример. Нетрудно проверить, что для функции f(x, у)=х
в Е2
f xdxdy = O-,
B(R,0)
тем самым функция f(x, y)—x интегрируема по Коши в Е2 и
v. р. \xdxdy-=O.
Отметим, что несобственный интеграл J xdxdy расходится.
Е‘
В случае, когда функция f(x) имеет особенность в некоторой
точке х0 области DczEm и f(x) интегрируема в каждой области
Dr = D\B(R, х0), где B(R, Xq)czD, интеграл в смысле Коши вво-
дится как предел:
v. р. f/(x)dx = lim C/(x)dx.
Глава 4
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этой главе мы перенесем понятие одномерного определенно-
го интеграла, взятого по прямолинейному отрезку, на случай,
когда областью интегрирования является отрезок некоторой плос-
кой или пространственной кривой. Такого рода интегралы назы-
ваются криволинейными.
§ 1. ПОНЯТИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую кривую
L, не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания.
Предположим, что эта кривая определяется параметрическими
уравнениями
<4л)
I //=W)
и сначала будем считать ее незамкнутой и ограниченной точками
А и В с координатами А(<р(а), "ф (а)), В (<р (В), ф (В)).
Пусть на кривой L=AB определены три функции: f(x, у),
Р(х, у), Q(x, у), каждая из которых является непрерывной (а сле-
довательно, и равномерно непрерывной) вдоль этой кривой
(так, для функции f (х, у) это означает, что для любого 8>0 най-
дется 6>0 такое, что |f (Afi)— f(M2) |<8 для любых точек Mi,Мае
^L, расстояние между которыми меньше б).
Разобьем сегмент [а, Ь] при помощи точек а=/о</1</2<-. .<
<tn=b на п частичных сегментов [/*-1, /л] (Л=1, 2, ..., п). При
этом кривая L распадается на п частичных дуг: МоМь М\М2, ...,
..., М„_1МП, где точки Mk(xk, уk), k=0, 1, п, имеют коорди-
наты х*=ср(/*), yk=^(tk).
Выберем на каждой частичной дуге Мк-\Мк произвольную точ-
ку Л*), координаты которой отвечают некоторому принадле-
жащему сегменту [/*-1, /*] значению Хк параметра t, так что g*=
=ф(т*), г|*=ф(тн). Обозначим символом А/* длину k-й частичной
дуги Мк-хМк (&=1, 2, ..., п). Как было доказано в § 10 гл. 10
ч. 1, для Д/* справедлива формула
{к ________________
И<р'(0]3 + ИК(0]2 dt.	(4.2)
h-l
168
Гл. 4. Криволинейные интегралы
Назовем диаметром разбиения кривой L число
А= max- АС.
IsS^sSn
Составим три интегральные суммы:
= £ Ж.П.Ж;	(4-31)
fe=i
<т2 = У	(4.32)
k=\
п
<>з = £	(4.33)
fe=l
где Дл-,ь=х*—Xk-i, \yk=yk—yk-\.
Определение 1. Назовем число I пределом интег-
ральной суммы as (s=l, 2, 3) при стремлении к нулю диа-
метра разбиения А., если для любого е>0 найдется б>0 такое, что
(независимо от выбора точек Nk на частичных дугах М^М-А)
|os—71 <8, как только А<б.
Определение 2. Если существует предел интегральной сум-
мы ci при А->0, то этот предел называется -криволинейным
интегралом первого рода от функции f(x, у) по кривой
L и обозначается одним из символов:
f (х, у) dl или f(x,y)dl.	(4.41)
'L	АВ
Определение 3. Если существует предел интегральной
суммы о2 [соответственно оз] при А->0, то этот предел называется
криволинейным интегралом второго рода от функ-
ции Р(х, у) [ Q(x, у)] по кривой L=AB и обозначается символом
j P(x,y)dx ^соответственно J Q(x, y)dy^. (4.42)
AB	AB
Сумму
J P(x, y)dx+ J Q(x,y}dy
AB	AB
принято называть общим криволинейным интегралом
второго рода и обозначать символом
J Р(х, у) dx + Q(x, y)dy.	(4.43)
АВ
Из определения криволинейных интегралов следует, что:
1) криволинейный интеграл первого рода не зависит от того,
в каком направлении (от А к В или от В к Л) пробегает кривая
§ 2. Условия существования криволинейных интегралов
169
L, а для криволинейного интеграла второго рода изменение на-
правления на кривой ведет к изменению знака, т. е.
Р(х, у)dx + Q(х, у)dy = ’—j Р(х, y)dx-rQ(x, y)dy,
АВ	ba
2) физически криволинейный интеграл первого рода (4.41)
представляет собой массу кривой L, линейная плотность вдоль ко-
торой равна f(x, у)-, общий криволинейный интеграл второго рода
(4.43) физически представляет собой работу по перемещению ма-
териальной точки из А в В вдоль кривой L под действием силы,
имеющей составляющие Р(х, у) и Q(x, у).
Замечание. Для пространственной кривой L=AB аналогич-
но вводятся криволинейный интеграл первого рода f(x,y,z)dl
АВ
и три криволинейных интеграла второго рода
j P(x,y,z)dx, j Q(x, y,‘z)dy, R(x, y, z)dz.
AB	AB	AB
Сумму трех последних интегралов принято называть общим
криволинейным интегралом второго рода и обот
значать символом
Р (х, у, z) dx 4- Q (х, у, z)dy + R (х, у, z) dz.
АВ
§ 2. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Определение. Кривая L называется гладкой, если
функции ф(£) и ф(/) из определяющих ее параметрических урав-
нений (4.1) имеют на сегменте [а, 6] непрерывные производные
«р'(0 и ф'(0 (г. е. производные непрерывны в интервале a<t<b
и обладают конечными предельными значениями в точке а справа
и в точке b слева).
Напомним, что в гл. 13 ч. 1 мы договорились называть особы-
ми точками кривой L точки, соответствующие тому значению
параметра t из [а, Ь], для которого [cpz(/)]2+[ф'(/)]2=0, т. е. обе
производные обращаются в нуль. Те точки кривой L, для которых
мы назвали обыкновенными точками.
Теорема 4.1. Если кривая L=AB является гладкой и не со-
держит особых точек и если функции f(x, у), Р(х, у) и Q(x, у)
непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы
(4.41) и (4.42) существуют и могут быть вычислены по следующим
формулам, сводящим эти криволинейные интегралы к обычным
определенным интегралам:
170
Гл. 4. Криволинейные интегралы
f (х, у) di^p [ф (0, ф (/)] Г[ф' W]2 + [Ф' (О]2 Л; (4.51)
АВ	а
j P(x,y)dx = |Р[ф'(О, ф(О] ф'(О^;	(4.5г)
АВ	а
J Q(x,y)dy = J <Э[ф(О» Ф(01Ф" (0	(4.53)
АВ	а
Доказательство. Прежде всего отметим, что определенные
интегралы, стоящие в правых частях формул (4.51), (4.52), (4.53),
существуют, ибо при сделанных нами предположениях подынтег-
ральные функции в каждом из этих интегралов непрерывны на
сегменте
Отметим также, что вывод соотношений (4.52) и (4.53) для кри-
волинейных интегралов второго рода вполне аналогичен, поэтому
мы будем выводить только соотношения (4.51) и (4.52) и доказы-
вать существование интегралов (4.41) и (4.42).
Как и в § 1, разобьем сегмент [а, Ь] на п частичных сегментов
[Д-i, tb\, k=\, 2, ..., п, и составим интегральные суммы (4.31),
(4.32). Учитывая соотношение (4.2) и соотношение
bxk = ф (Д)—Ф (Д-i) = J Ф' (0 dt,
представим интегральные суммы (4.31) и (4.32) в следующем виде:
п	Ч _________________
а! = £ {/ 1ч> (ТД Ф (т*)1 j V[ф' (012 + [Ф' (О]2 <#};
п	*k
{^[ф^Д Ф(т*)] J ф'(0^}.
*=1	tk_Y
Обозначим определенные интегралы, стоящие в правых частях
формул (4.5’) и (4.52), соответственно через Д и Д и представим
эти интегралы по сегменту [а, Ь] в виде суммы п интегралов по ча-
стичным сегментам [Д-i, Д], &=1, 2, ..., п.
Рассмотрим и оценим разности
п lk	______________
<д-4=£ j {Иф(тД ФМ-/Гф(О, Ф(0]}Г[ф' (0]2 + 1Ф'(0Ж
*=> ‘k-l
(4.61)
§ 2. Условия существования криволинейных интегралов	171
« fk
ff2—72 = £ J	(4.62)
*=l
При сделанных нами предположениях о функциях f(x, у),
Р(х, у) и функциях (4.1) функции f[tp(t), ip(Z)] и Р[ср(/), ф(0] как
сложные функции аргумента t непрерывны на сегменте a^t^b,
а следовательно, и равномерно непрерывны на этом сегменте.
Заметим теперь, что при стремлении к нулю диаметра разбие-
ния А кривой L стремится к нулю и наибольшая из разностей
AZ^—Z^ tk—i •
Действительно, так как функции <р'(0 и ф'(/) непрерывны на
[а, Ь] и не обращаются в нуль одновременно, то
_______________ Ч
т= min ^[ф' (О]2 + [ф' (0Г> 0 и A/fc > m ( dt = mMk, т. е.
J
Чг-l
AO< — A/fe (мы учли формулу (4.2) для длины АО).
tn
Таким образом, для любого 8>0 можно указать б>0 такое,
что при А<6 фигурная скобка в формуле (4.61) по модулю мень-
ше e/Z, где I — длина кривой L, а фигурная скобка в (4.62) по мо-
дулю меньше ---------, где М = max |ф'(<)|.
M(b — a)	a^t^b
Полагая, что диаметр разбиения А меньше б, получим для
разностей (4.61), (4.62) следующие оценки:
п 0	П
f У [(р'(0Г+И{t)№=т S А/*= е’
fe=l t. ,	А=1
к-1
п *k	«
*=’	fe=l
Итак, мы доказали, что интегральные суммы oi и о2 при А->0
имеют пределы, соответственно равные /1 и /2. Таким образом,
доказано существование криволинейных интегралов (4.41), (4.42)
и справедливость для них формул (4.51), (4.52) соответственно.
Отметим, что при выводе формулы (4.52) мы не использовали ус-
ловия непрерывности функции ф'(0- Теорема доказана.
Замечание 1. Будем называть кривую L кусочно глад-
кой, если она непрерывна’и распадается на конечное число не
имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых
представляет собой гладкую кривую. В случае кусочно гладкой
кривой L криволинейные интегралы по этой кривой естественно
определить как суммы соответствующих криволинейных интегра-
172
Гл. 4. Криволинейные интегралы
лов по всем гладким частям, составляющим кривую L. При этом
равенства (4.51), (4.52), (4.53) будут справедливы и для кусочно
гладкой кривой L. Эти равенства справедливы и в случае, когда
функции f(x, у), Р(х, у) и Q(x, у) являются лишь кусочно непре-
рывными вдоль кривой L (т. е. когда кривая L распадается на ко-
нечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, вдоль
каждого из которых указанные функции непрерывны).
Замечание 2. Аналогичные результаты и формулы спра-
ведливы и для криволинейных интегралов, взятых по пространст-
венной кривой
L = AB = {(x, у, z): х = ф(0, г/ = ф(0, z = x(0 при а </<£}.
Так, формулы для вычисления этих интегралов имеют следующий
вид:
ь
f f(х,y,z)di^\f [<р(0,ф(О,X(01V[ф'(О]2 + [Ф'(012 + [х'(0F Л;
ЛВ	а
b
J P(x,y,z)dx = ]‘/’[ф(О,Ф(О,х(О]ф'(О^;
АВ	а
Ь
[ Q (х, y,z)dy=\Q [ф (0, ф (0, х (0] ф' (0 dt-,
АВ	а.
Ь
J R (х, у, z)\dz = J R [ф (0, Ф (0, х (0] х' (0 dt.
АВ	а
Замечание 3. Выше было отмечено, что криволинейный ин-
теграл второго рода зависит от направления обхода кривой L—
=АВ. Поэтому следует договориться о том, что мы будем пони-
мать под символом
jp(x, y)dx + Q(x, у) dy	(4.7)
L
в случае, когда L — замкнутая кривая (т. е. когда точка В совпа-
дает с точкой А).
Из двух возможных направлений обхода замкнутого контура
L назовем положительным то направление обхода, при ко-
тором область, лежащая внутри этого контура, остается по левую
сторону по отношению к точке, совершающей обход (т. е. направ-
ление движения «против часовой стрелки»).
Будем считать, что в интеграле (4.7) по замкнутому контуру
L этот контур всегда обходится в положительном направлении.
В случае, когда необходимо подчеркнуть, что контур L замк-
§ 2. Условия существования криволинейных интегралов
173
нут, будем использовать следующую форму записи интеграла
(4.7):
(£Р(х, y)dx + Q(x, y)dy.
L
Замечание 4. Криволинейные интегралы обладают теми же
свойствами, что и обычные определенные интегралы (доказатель-
ства аналогичны изложенным в § 4 гл. 9 ч. 1). Отметим, что при
более жестких предположениях указанные свойства сразу вытека-
ют из формул (4.51), (4.52), (4.53). Перечислим эти свойства при-
менительно к криволинейным интегралам первого рода.
1°. Линейное свойство. Если для функций f(x, у) и
g(x, у) существуют криволинейные интегралы по кривой АВ и ес-
ли а и р — любые постоянные, то для функции [af(x, у) +pg(x, у)]
также существует криволинейный интеграл по кривой АВ, причем
J [af (х, у) + fig (х, y)]dl = a J f (х, у) dl + р j g(x,y)dl.
АВ	АВ	АВ
2°. Аддитивность. Если дуга АВ составлена из двух дуг
АС и СВ, не имеющих общих внутренних точек, и если для функ-
ции f(x, у) существует криволинейный интеграл по дуге АВ, то
•для этой функции существует криволинейный интеграл по каждой
из дуг АС и СВ, причем
J f(x,y)dl = ^ f(x,y)dl+^ f(x,y)dl.
АВ	АС	СВ
3°. Оценка модуля интеграла. Если существует кри-
волинейный интеграл по кривой АВ от функции f(x, у), то суще-
ствует и криволинейный интеграл по кривой АВ от функции
У) I. причем
|	f /(*,	j \f(x,y)\dl.
АВ	АВ
4°. Формула	среднего	значения.	Если	функция
f(x, У)	непрерывна	вдоль кривой АВ, то на этой	кривой	найдется
точка М такая, что
J f (х, у) dl = If (М),
АВ
ide I — длина кривой АВ.
Замечание 5. В полной аналогии с изложенной здесь тео-
рией криволинейного интеграла на плоскости строится теория кри-
волинейного интеграла в пространстве Еп (п>2).
174
Гл. 4. Криволинейные интегралы
Примеры. Г. Найти длину дуги пространственной кривой
L, определяемой параметрическими уравнениями
x=e-zcos/, у=е~z sin t, z=e~* при 0</<2л.
Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла пер-
вого рода f Idl. С помощью формулы для вычисления криволи-
L
нейного интеграла первого рода, приведенной в замечании 2, по-
лучим
2л _________________________________
[ 1 dl = j /[(e-zcos0']2 + [(e-'sin0']2+[(e-z)']2 dt =
L	0
2л
= j /e-2Z + e-2Z + e-2Z^ = /3 (1— e~2*).
0
2°. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
/=[ (x + y)dx +(х— y)dy,
АВ
j^2	о 2
в котором АВ — часть эллипса-------F—= 1, г/>0, А(а, 0), В(0, &).
а2 Ь2
Указанную кривую можно задать параметрическими уравнениями
х = a cos t, у = bsmt при 0 < t < —•.
Поэтому с помощью формул (4.52), (4.53) получим
л/2
/ = J [(a cos / + £ sin /) (— а sin t) + (acos/—b sin t) 6 cos/] dt —
о
ai 	, a2 4-fe2 /ojxl	a2-f-i2
= __ sln (2/)| + —J— cos (2/)	=------J—.
Отметим, что подынтегральное выражение (x+y)dx+(x—y)dtj
является полным дифференциалом функции
,	, X2 — у2 .
и(х,у) =---+ху.
Как будет доказано в гл. 6, из этого факта следует, что интеграл
1 не зависит от кусочно гладкого пути интегрирования, соединяю-
щего точки А и В (рассмотренная часть эллипса — лишь одна из
таких кривых), и равен разности
и(В)—ы(Л) = ы(О, Ь)—и(а, 0) = —
Глава 5
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этой главе будет рассмотрен вопрос об интегрировании
функций, заданных на поверхностях в трехмерном евклидовом
пространстве £3, а также исследуется вопрос о понятии поверхно-
сти и понятии площади поверхности.
§ 1. ПОНЯТИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ПЛОЩАДИ
1. Понятие поверхности.
Определение 1. Отображение f области G на плоскости на
множество G* трехмерного пространства называется гомео-
морфным, если это отображение осуществляет взаимно одно-
значное соответствие между точками G и G*, при котором каждая
фундаментальная последовательность точек G переходит в
фундаментальную последовательность точек G* и, наоборот, каж-
дая фундаментальная последовательность точек G* является об-
разом фундаментальной последовательности точек G.
Определение 2. Отображение f области G на G* называет-
ся локально гомеоморфным, если у каждой точки G есть
окрестность, которая гомеоморфно отображается на свой образ.
Определение 3. Область G на плоскости Т называется
элементарной, если эта область является образом открытого
круга D при гомеоморфном отображении этого круга на плос-
кость Т.
Определение 4. Связная область G на плоскости Т назы-
вается простой, если любая точка G имеет окрестность, являю-
щуюся элементарной областью.
Определение 5. Множество точек Ф пространства называ-
ется поверхностью, если это множество является образом
простой плоской области G при локально гомеоморфном отобра-
жении f области G в пространство Е3.
В дальнейшем мы договоримся называть окрестностью
точки М поверхности Ф подмножество точек Ф, принад-
лежащее окрестности точки М в Е3.
Пример. Пусть G — простая область на плоскости Оху (на-
пример, круг), (х, у) — координаты точек AfeG, z=z(M) — не-
прерывная в G функция, G* — график этой функции. Очевидно,
отображение f области G на G*, задаваемое, соотношениями
176
Гл. 5. Поверхностные интегралы
х=и, у—а, z=z(u, и),
является гомеоморфным отображением этой области на множест-
во G*, а Ф=б* является поверхностью.
Пусть на плоскости (и, и) задана простая область G и для
всех точек этой области определены три функции:
х=х(и, v), у=у(и, v), z=z(u, о),	(5.1)
или, что то же самое, одна векторная функция
г=г(ы, v),	(5.1')
где r(«, v) — вектор с компонентами х(и, v), у (и, v), z(u, v).
Будем считать выполненными следующие два требова-
ния А:
1) функции (5.1) имеют в области G непрерывные частные
производные первого порядка по переменным и и v;
2) всюду в области G матрица
(дх	ду	дг	\
ди	ди	ди	\
(5-2)
дх	ду	dz	I
ди	ди	ди	/
имеет ранг, равный двум.
Утверждение. При выполнении этих двух требований А
множество Ф точек, определяемых уравнениями (5.1), представ-
ляет собой поверхность, т. е. является образом плоской области
G при локально гомеоморфном отображении G в Е3.
Пусть No(uo, v0) — любая точка G. Ясно, что малая окрест-
ность этой точки отображается в малую окрестность точки
М(х0, у0, z0), где х0=х(и0, v0), у0=у(и0, v0), z0=z(u0, v0) (для
этого достаточно, чтобы функции (5.1) являлись непрерывными в
G, что в нашем случае заведомо выполняется).
Ясно также, что если Nn(un, vn) — фундаментальная последо-
вательность точек в малой окрестности точки No, то последова-
тельность образов этих точек Мп(хп, уп, zn), где xn=x(Nn), уг.=
—y(Nn), zn=z(Nn), также является фундаментальной в Ф. Это
сразу вытекает из непрерывности функций (5.1); например, раз-
ность |Хп+Р—хп| = |х(Ул+р)— x(Nn) | может быть сделана меньше
произвольного числа 8>0 при p(Nn+p, Afn)<6=6(e).
Остается доказать, что при отображении, определяемом урав-
нениями (5.1), каждой точке множества Ф из достаточно малой
окрестности точки Мо отвечает определенная точка области G из
малой окрестности точки No, причем любой фундаментальной по-
следовательности точек {Afn} из указанной окрестности точки Ма
отвечает фундаментальная последовательность {Nn} точек G.
§ 1. Понятия поверхности и ее площади
177
Так как в каждой точке No(uo, v0)^G ранг матрицы (5.2) ра-
вен двум, то в этой точке No отличен от нуля хотя бы один минор
второго порядка матрицы (5.2).
Пусть это будет минор
дх	ду
ди	ди
дх	ду
dv	dv
Р(х, у)
D(u, v)
=£ 0 в точке No.
Объединяя это условие с первым из двух требований А, при-
дем к выводу, что для системы
jx(u,v)—л' = 0; .
Ь(щ-у)—у = 0
(5.3)
в окрестности точки Мо выполнены все условия теоремы Юнга —
Ковалевского (см. § 2 гл. 13 ч. 1). Поэтому система (5.3) имеет
в окрестности точки Мо единственное непрерывное и дифференци-
руемое решение
(« = и(х^);	(54)
I v = V (х, у).
Это означает, что существует гомеоморфное отображение ма-
лой окрестности точки N0^G на малую окрестность точки
Р0(х0, у о) плоскости Оху. (В одну сторону это отображение за-
дается непрерывными функциями (5.4), а в другую сторону — пер-
выми двумя соотношениями (5.1), в которых функции х=х(и, у)
и у=у(и, v) также непрерывны; непрерывность и тех и других
функций обеспечивает перевод фундаментальной последовательно-
сти в окрестности одной из точек No или Ро в фундаментальную
последовательность в окрестности другой из этих точек.)
Подставляя функции (5.4) в третью функцию (5.1), получим:
непрерывную в окрестности точки Ро(хо, уо) функцию
z=z[u(x, у), v(x, у)]=ц>(х, у).	(5.5)
Эта функция осуществляет гомеоморфное отображение малой
окрестности точки Ро(хо, уо) плоскости Оху на малую окрестность
точки Af0(x0, уо, г0)еФ. Можно сказать, что (5.5) проектирует Ф
в малой окрестности точки Мо на плоскость Оху.
Так как суперпозиция гомеоморфных отображений представ-
ляет собой снова гомеоморфное отображение, то гомеоморфно и
отображение малой окрестности точки N.^G на малую окрест-
ность точки Л10еФ.
Таким образом, множество Ф точек, определяемых уравнения-
ми (5.1), при выполнении этих требований А представляет собой
поверхность.
178
Гл. 5. Поверхностные интегралы
Замечание 1. Поверхность Ф, определяемую уравнениями
(5.1), при выполнении первого из двух требований А принято на-
зывать гладкой, а при выполнении второго из требований А —
не имеющей особых точек.
Итак, можно сказать, что поверхность Ф, определяемая урав-
нениями (5.1), при выполнении этих требований А, является глад-
кой и не имеет особых точек.
Замечание 2. Попутно мы установили, что гладкая без
особых точек поверхность в достаточно малой окрестности каж-
дой из своих точек однозначно проектируется хотя бы на одну из
трех координатных плоскостей.
Рассмотрим поверхность Ф, определяемую уравнениями (5.1),
для которых выполнены два требования А.
Записав уравнения (5.1) в векторном виде (5.1'), выясним
геометрический смысл векторной функции r(«, f). Если фиксиро-
вать некоторое значение u=u0=const из области G, то уравнение
г=г(ц, 1>0) будет определять кривую на поверхности Ф, называе-
мую координатной линией, а вектор -у-(и, v0) будет яв-
ляться касательным к этой линии. Аналогично при u=Uo=const
уравнение г==г(ц0, v) будет определять другую координатную ли-
нию, а вектор (и0, и) будет касательным к этой линии. Че-
dv
рез точку Л40(х0, у0, £о), где х0=х(и0, vQ), у0=у(и0, v0),	z0=
—z(u0, va), будут проходить обе указанные линии.
Второе условие требований А, говорящее о том, что ранг мат-
рицы (5.2) равен двум, т. е. условие отсутствия особых точек,
дг , ч дг ,	.
означает, что векторы----(u0, о0) и -(щ, vu), компоненты кото-
du	dv
рых составляют строки матрицы (5.2), являются линейно незави-
симыми, т. е. неколлинеарными. Это означает, что эти два векто-
ра определяют плоскость, которая является касательной
плоскостью к поверхности Ф в точке Afo- Нормальный вектор
этой касательной плоскости называется вектором нормали
(или нормалью) к поверхности Ф в точке Л40. Этот вектор
_	дг
может быть определен как векторное произведение векторов -у-
и -у-. Таким образом, вектор
дг дг
п
ди ’ dv
дг дг
ди ’ dv
(5-6)
представляет собой вектор единичной нормали к поверхно-
сти Ф. В силу требований, наложенных на функции (5.1), этот
вектор непрерывен по и и v в некоторой окрестности произволь-
§ 1. Понятия поверхности и ее площади
179
ной точки поверхности. В этом случае говорят, что в окрестности
любой точки гладкой поверхности без особых точек существует не-
прерывное векторное поле нормалей.
В целом на всей поверхности такого непрерывного поля нор-
малей может и не существовать.
Пример. Лист Мёбиуса. Если склеить прямоугольник
АВВ'А' так, чтобы А совпала с В', а В совпала с А’, получится
поверхность, называемая листом Мёбиуса1'. При обходе па
листу Мёбиуса нормаль меняет направление на противоположное-
(см. рис. 5.1).
В дальнейшем будем рассматривать только такие поверхности
Ф, на которых в целом существует непрерывное поле нормалей.
Такие поверхности принято называть двусторонними.
Поверхность Ф называется пол-
ной, если любая фундаментальная
последовательность точек этой поверх-
ности сходится к точке этой поверх-
ности.
Поверхность Ф называется огра-
ниченной, если существует трехмер-
ный шар, содержащий все точки этой
поверхности.
Плоскость, сфера, эллипсоид, одно-
полостный гиперболоид — примеры
полных поверхностей. При этом сфе-
ра и эллипсоид — ограниченные по-
верхности. Круг без границы, любое открытое связное множество»
на сфере — неполные поверхности.
В дальнейшем мы будем рассматривать поверхность Ф, опреде-
ляемую уравнениями (5.1) и удовлетворяющую пяти требованиям:
она должна быть 1) гладкой, 2) без особых точек, 3) двусторон-
ней, 4) полной и 5) ограниченной.
2. Вспомогательные леммы.
Лемма 1. Если Ф — гладкая поверхность и Мо — не особая:
ее точка, то достаточно малая окрестность точки Мо однозначно
проектируется на касательную плоскость, проходящую через лю-
бую точку этой окрестности.
Доказательство. Пусть окрестность Ф точки Мо такова,,
что: 1) нормаль в пределах этой окрестности составляет с нор-
малью в точке Afo угол, меньший л/4, 2) окрестность Ф однознач-
но проектируется на некоторый круг в одной из координатных
плоскостей (например, Оху). Возможность выбора такой окрест-
ности Ф вытекает из того, что в предыдущем пункте было уста-
новлено существование окрестности рассматриваемой точки Мо,
обладающей двумя свойствами: 1) в этой окрестности существует
*> А. Мёбиус — немецкий математик (1790—1868).
180
Гл. 5. Поверхностные интегралы
непрерывное векторное поле нормалей; 2) эта окрестность одно-
значно проектируется на одну из координатных плоскостей (оче-
видно, в этой окрестности есть часть, проектирующаяся на некото-
рый круг в координатной плоскости).
Отметим, что любые две нормали к точкам Ф составляют
угол, меньший л/2.
Предположим, что рассматриваемая окрестность Ф не проек-
тируется однозначно на касательную плоскость, проходящую че-
рез некоторую точку Л1еФ. Тогда в этой окрестности найдут-
ся две точки Р и Q такие, что хорда PQ параллельна нормали к
Ф в точке М. Рассмотрим линию пересечения Ф с плоскостью,
параллельной оси Oz и проходящей через хорду PQ (предпола-
гаем, что Ф однозначно проектируется на плоскость Оху). На
этой линии в силу теоремы Лагранжа найдется точка N, касатель-
ная к которой параллельна хорде PQ, а поэтому параллельна нор-
мали в точке М. Это означает, что нормали в точках М и N со-
ставляют угол л/2, что противоречит выбору Ф. Полученное про-
тиворечие убеждает нас в справедливости леммы. Лемма дока-
зана.
Будем говорить, что участок поверхности имеет размеры
меньше б (б>0), если он лежит внутри некоторого шара ра-
диуса 6/2.
Лемма 2. Для гладкой ограниченной полной поверхности Ф
•без особых точек найдется число б>0 такое, что любой участок
Ф, размеры которого меньше б, однозначно проектируется а) на
одну из координатных плоскостей, б) на касательную плоскость,
проходящую через любую точку этого участка.
Доказательство. Выше, в замечании 2 и в лемме 1, мы
доказали, что для каждой точки поверхности Ф найдется доста-
точно малая окрестность Ф, которая однозначно проектируется
а) на одну из координатных плоскостей, б) на касательную плос-
кость, проходящую через любую точку Ф.
Предположим, что утверждение леммы неверно, т. е. не най-
дется числа 6>0, указанного в формулировке леммы. Тогда для
любого бп=1/п (п=1, 2, ...) найдется участок Фп, имеющий раз-
меры меньше бп и не проектирующийся однозначно либо на одну
из координатных плоскостей, либо на касательную плоскость,
проходящую через некоторую точку Мп е фп. Выберем в каждой
части Ф„ точку Мп и выделим из последовательности {/Ип} то-
чек ограниченной полной поверхности Ф подпоследовательность
{Mkn}, сходящуюся к некоторой точке А1аеФ.
В силу замечания 2 и леммы I найдется достаточно малая
окрестность Ф точки Af0, которая однозначно проектируется на
одну из координатных плоскостей и на касательную плоскость,
§ 1. Понятия поверхности и ее площади	181
проходящую через любую точку Ф. Все Фк„> начиная с неко-
торого номера kn, попадут внутрь Ф, а это противоречит выбору
частей Ф„. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть Ф — гладкая без особых точек двусторонняя
полная ограниченная поверхность, определяемая уравнениями
(5.1). Тогда для любого е>0 найдется б>0 такое, что для каж-
дого участка поверхности Ф, имеющего размеры меньше 6, угол
у между двумя любыми нормалями к точкам этого участка удов-
летворяет условию
cosy=l—а,	(5.7)
где 0<а<е.
Доказательство. Поверхность Ф двусторонняя, поэтому
поле нормалей непрерывно, а следовательно, и равномерно непре-
рывно на всей поверхности Ф. Это означает, что для любого е>0
найдется б>0 такое, что для любых двух точек Мi и M2, для ко-
торых p(Mi, М2)<б, справедливо неравенство
НМД-^мдк/гГ	(5.8)
(п — вектор единичной нормали).
Так как
cos y=(n(Af1), n(M2)),
а величина
a = A-(n(M2)-n(M1))2 =
= у |п (МД |2 + у | п (МД 12—(п (МД, п (МД) = 1 - cos у,
то
cos у=1—а
й для а в силу (5.8) справедливы неравенства
0<а<у(/2Г)г = е.
Лемма доказана.
3. Площадь поверхности. Пусть Ф — поверхность, определяе-
мая уравнениями (5.1) и удовлетворяющая указанным выше пя-
ти требованиям (гладкая без особых точек ограниченная пол-
ная двусторонняя). С помощью гладких кривых разобьем Ф на
конечное число гладких участков Ф/, имеющих размер меньше 5,
где б достаточно мало (и определяется условиями леммы 2). Обо-
значим через А максимальный из размеров частей Ф,- (диаметр
разбиения). На каждом участке Ф, выберем произвольную точку
Mi и спроектируем Ф, на касательную плоскость, проходящую че-
рез точку Mi. Пусть о, — площадь проекции Ф, на указанную ка-
182
Гл. 5. Поверхностные интегралы
сательную плоскость. Составим сумму площадей проекций всех
участков
(5.9)
i
Определение 1. Число о называется пределом сумм
(5.9) при Д->0, если для любого е>0 найдется б>0 такое, что для
всех разбиений Ф гладкими кривыми на конечное число частей
Ф,, для которых Д<6, независимо от выбора точек Mi на частях
Ф„ выполняется неравенство
|£ot—(T|<e.
i
Определение 2. Если для поверхности Ф существует пре-
дел о сумм (5.9) при Д—>-0, то поверхность Ф называется квад-
рируемой, а число о называется ее площадью.
Замечание. Нельзя получить площадь поверхности, аппрок-
симируя поверхность вписанными многогранниками при измельче-
нии размеров граней и беря в качестве площади точную верхнюю
грань площадей вписанных многогранников (как мы это делали
при нахождении длины кривой). Существует классический пример
Шварца2’ (так называемый «сапог Шварца»), показывающий,
что у площадей вписанных в цилиндрическую поверхность много-
гранников не существует конечной точной верхней грани.
Теорема 5.1. Гладкая ограниченная полная двусторонняя
поверхность Ф без особых точек, определяемая уравнениями (5.1),
квадрируема, и для ее площади а справедливо равенство
a = JJ [~F~*	ри£^‘	(5.10)
G
Доказательство. При условиях теоремы подынтегральная
функция в (5.10) непрерывна в G и интеграл (5.10) существует.
Фиксируем любое е>0 и по нему б>0 такое, что выполнены
два условия:
1) любая часть Ф; поверхности Ф, размеры которой меньше 6,
однозначно проектируется на касательную плоскость, проходя-
щую через любую точку Фг;
2) косинус угла у между двумя нормалями каждого участка
Ф; размера меньше б, представим в виде cosy=l—а,, где сн<г/о
и a/d (о — величина интеграла (5.10)).
Такой выбор числа б>0 возможен в силу лемм 2 и 3.
2) Г. А. Шварц — немецкий математик (1843—1921). Более подробно о при-
мере Шварца см. конец п. 1 § 2 гл. 5 книги В. А. Ильина и Э. Г. Позияка «Ос-
новы математического анализа. Ч. 2» (М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры,
1982).
§ 1. Понятия поверхности и ее площади
183
Разобьем с помощью гладких кривых поверхность Ф на частич-
ные участки Ф, размера меньше 6 и, выбрав на каждом участке
Ф; произвольную точку Mt, спроектируем Ф, на касательную плос-
кость в точке Mi. Обозначим через ш площадь проекции и соста-
вим сумму (5.9).
Для вычисления площади о, плоской области воспользуемся
формулой замены переменных в двойном интеграле. Выберем де-
картову систему координат так, чтобы ее начало совпало с Mi,
ось Oz была направлена по вектору нормали к поверхности в Mi,
а оси Ох и Оу были бы расположены в касательной плоскости в
точке Mi. В этой системе координат поверхность Ф определяется
параметрическими уравнениями (5.1), а вектор нормали
{А, В, С}, где
дг дх
ди ди
дг дх
dv dv
между нормалью в точке М участ-
ка Ф/ и осью Oz равен
----, --- имеет координаты
( ди dv J
ду дг
ди ди _
А=	, В =
ду дг
dv dv
Отметим, что косинус угла ум
С =
ди
дх
dv
ди
ду
dv
cos Ум =
с
дг дг
ди ’ dv
(5.Н)
Для точек участка Ф,-, в силу выбора 6 и ориентации оси Oz,
С>0. Ясно, что угол ум является углом между нормалями в точ-
ках М и Mi участка Ф(, и поэтому для него справедливо пред-
ставление (5.7).
Если части Ф; отвечает часть G, простой плоской области G,
то, используя формулу для площади плоской области при перехо-
де от координат (х, у) к координатам (и, v) с помощью соотно-
шений х—х(и, v), у=у(и, и), получим

D (*, у)
D (u, v)
dudv.
(5.12)
(Мы учли, что
Приняв во
(5.12) в виде
D (х, у) . п
величина G = —	' > 0.
£> (u, v)
внимание выражение (5.11) для cos ум, перепишем

JjeosVM
—, -^-11 dudv.
du dv J I
(5.13)
184
Гл. 5. Поверхностные интегралы
Применяя к интегралу (5.13) первую формулу среднего значения,
получим
>	] I du dv,
dv J I
= cos j J
Gi
где М,* — некоторая точка части Ф/. Заменив cosyM«
i
представлением (5.7), получим равенства
(5-14)
(5.14)
в
dudv.
учитывая, что

(5.15)
Gl
Просуммируем эти равенства по всем i,
du dv = o’.
i G(
Получим
о

Отсюда, используя оценку для си, будем иметь
1	i	Gi
JL, A_1 dudv = — a=z.
a Zj J J I [ du dv J	a
i Gi
Теорема доказана.
Замечание 1. Формула (5.10) инвариантна относительно
выбора осей координат.
Замечание 2. Теорема 5.1 доказана в предположении, что
поверхность Ф определяется уравнениями (5.1). В общем случае
согласно лемме 2 поверхность Ф может быть разбита на конеч-
ное число частей, каждая из которых определяется своими урав-
нениями (5.1). После этого площадь поверхности можно опреде-
лить как сумму площадей указанных частей. Площадь каждой та-
кой части может быть вычислена по формуле (5.10). Таким обра-
зом, имеет место следующая
Теорема 5.1*. Гладкая ограниченная полная двусторонняя
поверхность без особых точек квадрируема.
Замечание 3. Пусть поверхность Ф кусочно гладкая, т. е.
составлена из конечного числа гладких ограниченных полных дву-
сторонних поверхностей. Очевидно, поверхность Ф квадрируема, и
§ 2. Поверхностные интегралы
185
ее площадь может быть определена как сумма площадей состав-
ляющих ее поверхностей.
Замечание 4. Если ввести обозначения
2_	_ JL
ди I ’	\ ди ) dv
то, поскольку для любых векторов а и b справедливо равенство
| [а, Ь] 12+ (а, Ь) 2= | а |2  | b |2, получим
— ,	] = ££)— F2.	(5.16)
ди dv J I
Поэтому выражение (5.10) для площади поверхности можно за-
писать также в следующей форме:
о = J| У ED—F2 du dv.	(5.17)
G
Замечание 5. Площадь поверхности обладает свойством
аддитивности: если поверхность Ф разбита кусочно гладкой
кривой на части Ф1 и Фг, не имеющие общих внутренних точек,
то площадь поверхности Ф равна сумме площадей частей Ф1 и Фг.
Это свойство вытекает из представления площади поверхности
с помощью интеграла и аддитивного свойства интеграла.
§ 2.	ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть Ф — гладкая, двусторонняя полная ограниченная по-
верхность без особых точек, определяемая параметрическими
уравнениями (5.1) (или, что то же самое, (5.1')) в области G.
Пусть на Ф определены четыре функции: f(x, у, z), Р(х, у, z),
Q(x, у, z), R(x, у, z), каждая из которых является непрерывной
(а, следовательно, и равномерно непрерывной) на множестве то-
чек поверхности Ф.
Разобьем поверхность Ф при помощи гладких или кусочно
гладких кривых на конечное число частичных поверхностей Ф/ и
обозначим через А максимальный размер частей Ф; (диаметр раз-
биения поверхности). Выберем на каждой частичной поверхности
Ф, произвольную точку Mi.
Пусть п(Л1;) — единичная нормаль в точке М;, a cos X,, cos У/,
cosZt — компоненты этой единичной нормали (или, как их назы-
вают, направляющие косинусы). Обозначим через о,- площадь ча-
стичной поверхности Ф(. Как показано выше (см. (5.17)),
<гг =	УED—F2 du dv,
где Gt — подобласть G, образом которой является Ф..
186
Гл. 5. Поверхностные интегралы
Составим четыре суммы:
(5.181)
i
E-S PtM^cosXi-,	(5.182)
i
S3 = SQ(W^cosy/;	(5.183)
i
E4 = I/?(^)^cosZi.	(5.184)
Определение 1. Число Ik (&=1, 2, 3, 4) называется пре-
делом сумм S* при Д—>-0, если для любого е>0 найдется 6=
=6(е)>0 такое, что при Д<б (независимо от выбора точек М,^.
еФ;) выполняется неравенство
Определение 2. Если при Д->0 существует предел сумм Si,
то этот предел называется поверхностным интегралом
первого рода от функции f(x, у, z) по поверхности Ф и обо-
значается символом
I^^f(M)do.	(5.191)
ф
Определение 2*. Если при Д->0 существуют пределы
сумм где k=2, 3 или 4, то эти пределы называются поверх-
ностными интегралами второго рода и обозначают-
ся соответственно символами
/2 = JJp(M)cosXd<r;	(5.192)
ф
/3= fjQ(M)cosrd(T;	(5.193)
ф
/4 = J 7? (М) cos Z do.	(5.194)
ф
Сумма последних трех интегралов называется общим по-
верхностным интегралом второго рода. Этот интег-
рал может быть записан в виде
Jf (А, п) do,	(5.19s)
ф
где А=А(х, у, г) — вектор с компонентами Р(х, у, z)t Q(x, у, г),
§ 2. Поверхностные интегралы
187
7?(х, у, z), a n={cosX, cos У, cosZ} — вектор единичной нормали
к поверхности Ф.
Из определений поверхностных интегралов следует, что:
1)	поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора
стороны поверхности и не меняется при изменении направления
нормали на противоположное, а поверхностные интегралы второго
рода меняют знак при изменении направления нормали на проти-
воположное;
2)	поверхностный интеграл первого рода (5.191) и общий по-
верхностный интеграл второго рода (5.195) не зависят от выбора
системы координат и инвариантны относительно перехода к новым
координатам;
3)	физически интеграл (5.195) представляет собой поток век-
тора А через поверхность Ф, а интеграл (5.191) дает массу нагру-
женной поверхности Ф при условии, что поверхностная плотность
распределения массы равна f(x, у, z);
4)	каждый из поверхностных интегралов второго рода (5.192) —
(5.194) сводится к поверхностному интегралу первого рода (5.191):
достаточно взять в поверхностном интеграле первого рода подын-
тегральную функцию f(M) соответственно равной P(Af)cosX,
Q(M) cos У и R(M) cosZ, причем если Р, Q и R являются непре-
рывными на Ф, то и f окажется непрерывной вдоль Ф.
Отметим, что в случае замкнутой поверхности Ф вектор нор-
мали всегда считают направленным во внешность области, ограни-
ченной этой поверхностью.
Теорема 5.2. Если Ф гладкая двусторонняя полная ограни-
ченная поверхность без особых точек, задаваемая уравнениями
(5.1), а функция f(x, у, z) [соответственно функции Р(х, у, z),
Q(x, у, z), R(x, у, z)] непрерывна вдоль Ф, то поверхностный ин-
теграл (5.191) [соответствующий из поверхностных интегралов
(5.192) — (5.194)] существует и сводится к обычному двойному
интегралу с помощью формулы
JJ/(M)dcr =	у), у (и, v), z(u, у)] )/££>—F2dudv (5.201)
Ф	G
[с помощью соответствующей из формул
j j Р(М) cosX da = Р [х(н, у), у (и, у), z (и, у)] х
ф	а
X cos X VED—F2 du dv;	(5,202)
УУ Q(M)cosydcr = УУ Q[x(«, у), у (и, у), г (и, v)J X
Ф	G
X cos Y pzED— F2 du dv;
(5.203)
188
Гл. 5. Поверхностные интегралы
J J У? (М) cos Z dcr == J J # [х (и, и), у (и, v), г (и, г>)] х
Ф	G
XcosZVED—F2 dudv^.	(5.204)
Доказательство. Достаточно провести доказательство су-
ществования только интеграла (5.191) и справедливости формулы
(5.201), так как все поверхностные интегралы второго рода сво-
дятся к этому интегралу.
Заметим, что интеграл, стоящий в правой части (5.201) (обоз-
начим его /1), существует (поскольку подынтегральная функция
непрерывна), поэтому достаточно доказать, что предел сумм
(5.18’) при диаметре разбиения Д->0 существует . и равен Ц.
Фиксируем любое е>0 и оценим разность
Sx- л=Е / сч)	IУ У / (Al)	du dv=
i	i Gt
= Y.f (M«) J J V'ED- F2 du dv— E У У f (M) VED—F2 dudv —
F	Gt	'i Gt
= IУ у If (W-Z (M)] VED-F2 du dv.	(5.21)
Здесь мы использовали представление (5.17) для <ц. Так как
функция f(AF) равномерно непрерывна в G, то для фиксирован-
ного е>0 найдется 6 = 6(е)>0 такое, что при р(ЛТ, Mt) <6 вы-
полняется неравенство
|/(М)-/(М/)|<—,	(5.22)
а
где а — площадь поверхности Ф. Из (5.21), (5.22) получим
ISx—Л1 < ~ Е JI VED~F2dudv =
1 at
=	VED-F2dudv = -E-o = e
c
при Д<б. Это означает, что существует равный Ц предел сумм
Si при Д->0. Теорема доказана.
Следствие. Если поверхность Ф задана уравнением 2 =
=z(x, у) (г. е. х = и, y — v, z=z(u, и)), где z(x, у) — непрерывно
дифференцируемая в области G плоскости Оху функция, то, выби-
рая на поверхности Ф ту сторону, для которой вектор нормали
§ 2. Поверхностные интегралы
189>
поверхности составляет с осью Oz острый угол, можем переписать
формулу (5.204) следующим образом:
j J R (х, у, z) cos Z do = J J R [x, y, z (x, y)] dx dy.
Ф	G
В самом деле, достаточно учесть, что
do = YED—F2dxdy, ED—F2 = 1 + (—?+(—?,
\ дх /	\ ду J
7	1
cos Z =----- -....... .
I	[ дг \-	/ дг \2
V1+Ы
Это оправдывает следующее обозначение для поверхностного ин-
теграла второго рода:
(J Я(х, у, z) cos Z do = J j R (x, y, z)dxdy. (5.23)
ф
Отметим, что обозначение (5.23) используется и в случае, ког-
да Ф не является графиком функции z—z(x, у).
Для общего поверхностного интеграла второго рода (5.195)
также применяется следующее обозначение:
j J (PcosX + QcosK + Rc.osZ') do= J J P dy dz + Q dz dx + R dx dy.
ф	ф
Замечание. Понятия поверхностных интегралов первого и
второго рода естественно распространяются на случай, когда по-
верхность Ф является кусочно гладкой. Для таких поверхностей,
очевидно, также справедлива доказанная в этом параграфе теоре-
ма существования.
Глава 6
ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
В этой главе будут рассмотрены скалярные и векторные поля,
а также основные понятия и операции, связанные с ними. Важ-
нейшей формулой анализа является уже (известная нам формула
Ньютона—Лейбница. Здесь будут получены формулы Грина, Ост-
роградского—Гаусса и Стокса, которые, с одной стороны, являют-
ся обобщением формулы Ньютона—Лейбница на многомерный
случай, а с другой стороны, составляют важную часть аппарата
интегрального исчисления.
§ 1.	ОБОЗНАЧЕНИЯ. БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ.
ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
1.	Обозначения. Ниже нам часто придется записывать суммы
некоторого числа слагаемых. Поясним обозначения, которыми бу-
дем пользоваться. Мы будем иметь дело с системами величин,
которые помечены несколькими индексами, например а‘ . Обыч-
но в таких случаях один индекс пишут внизу, другой — вверху.
Если индексы меняются независимо, то они обозначаются разными
буквами. Если индексов много, то они обозначаются одной буквой
с подындексом.
Например, ... ip или £}'... В некоторых случаях для
обозначения суммирования будет использована запись 5А(о),
а
где суммирование производится по некоторому множеству вели-
чин о. Если индексы суммирования й, 1'2,...,»₽ меняются так, что
при этом	то будем писать
Наконец, заключим следующее соглашение о суммировании.
Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей. Если в
этом выражении имеется два буквенных индекса, из которых один
верхний, а другой нижний, то будем полагать, что по этим индек-
сам происходит суммирование. При этом индексы последовательно
принимают значение 1, 2,..., а полученные слагаемые складыва-
ются.
§ 1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты оператора
191
Например, если I, / = 1, 2,..., и, то
а, У = а^1 + а2е2 + ... + апеп,
а^е’ = aJ/e1e/ + a2je2e> + ... + anjene> =
= a^e1 + а12еге2 + ... + а1пегеп + a21e2ex +
+ a22e2e2 + ... + a2ne2en + ... + anlenex + an2ene2 + ,.. + annenen.
При этих обозначениях разложение вектора а по базису ei,
е-2, ...,еп пространства Еп может быть записано так:
а = а‘е,-,
где а‘ — коэффициенты разложения этого вектора. Эта запись
означает, что
п
а = £ а'е»-
Символом 6/ будем обозначать величину, принимающую
всего два значения:
б?=1, 6? = 0, при i=/=/,
6i' — так называемый символ Кронекера °.
Скалярное произведение двух векторов а и b в пространстве
Еп обозначается (а, Ь).
2.	Биортогональные базисы в пространстве Еп. Пусть e,, i—
= 1, 2,..., п — базис 2) в n-мерном пространстве Еп. Очевидно, что
е£ — линейно независимые векторы.
Определение. Базис & (индекс вверху), j=l, 2,...,п, на-
зывается биортогональным к базису е,-, если выполнены,
соотношения
е')==5; =
1, 1 = /;
г, / = 1, 2, . .. , п\
0. i=£j-
Утверждение. Для всякого базиса ег, i=l, 2,...,п, прост-
ранства Еп существует единственный биортогональный базис е\
/ = 1, 2,..., п.
Доказательство. Обозначим линейную оболочку (т. е.
множество всех линейных комбинаций) векторов ei, ег,, e»-ir
*> Л. Кронекер — немецкий математик (1823—1891).
2> Векторы еь е2, ..., е„ образуют базис в Еп, если любой вектор а из Еп
представим единственным образом в виде
a = alel+a2ei + ... + anen = a‘ei.
192
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
еп через Mi. Взяв из ортогонального дополнения к
вектор е‘, нормированный условием
(е£, е‘) = 1,
мы, очевидно, найдем, что
(е‘, е;) =6/, I, /= I, 2, ..., п.
Векторы е,; также образуют базис пространства Еп. Действи-
тельно, если бы это было не так, то нашелся бы вектор из этого
пространства, который неоднозначно разлагался бы по системе
е>, т. е. нулевой вектор имел бы разложение по базису с коэффи-
циентами, не равными одновременно нулю. Следовательно, какой-
нибудь вектор е* из системы е;' принадлежал бы линейной обо-
лочке41 Мк векторов е1, е2, ..., е4-1, efe+1, ..., е". Но этого быть не
может, так как е* в этом случае был бы ортогонален вектору е*
(поскольку (е*, ер)=0 при k=£p). Однако вектор е* не может
быть ортогональным е*, потому что по построению (е*, е*) = 1.
Таким образом, к произвольному базису е( построен биортого-
нальный базис е;, причем все векторы этого базиса определяются
единственным образом. В самом деле, если бы наряду с е' был бы
еще один биортогональный базис е>, то мы имели бы, что (е„
е;-—е;)=0 для всех г,/=1, 2....п. Отсюда следует, что е; = е;,
поскольку если некоторый вектор ортогонален всем векторам ба-
зиса, то он ортогонален и самому себе, поэтому является нулевым
вектором. Утверждение доказано.
Заметим, что если базис е, — ортонормирований, то биортого-
нальный к нему совпадает с ним самим.
3.	Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные
координаты вектора. Мы часто будем пользоваться переходом от
биортогональных базисов е>, е‘ к новым биортогональным базисам
ег, е£'.
Используя наши соглашения о суммировании, запишем разло-
жения базисных векторов:
е£- = /фе£, ^i = b\ er, i, i' — 1, 2, . .. , n,	(6.1)
e1' ==~Ь\ e', e1 = b^e1', i, V — 1, 2, ... , n.	(6.2)
Здесь ($)— матрица перехода от старого базиса е£ к новому
er, (blt )— матрица обратного перехода от базиса е£- к е£.
Аналогично (b'i ) и — матрицы прямого и обратного пе-
рехода от базиса е' к базису е1'.
3)	Т. е. из подпространства пространства Еп, все векторы которого ортого-
нальны Mi.
4)	Т. е. вектор е* был бы линейной комбинацией векторов ер при
§ 1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты оператора 193
Формулы (6.1) — это формулы перехода от старого базиса е<
к новому et- и формулы обратного перехода. Формулы (6.2) —
это формулы перехода от старого базиса е‘ к новому е‘' и фор-
мулы обратного перехода.
Преобразования (6.1) взаимно обратны, поэтому и матрицы
(#-) и (б1;) взаимно обратны. Действительно, умножив первое
из равенств (6.1) скалярно на е'', а второе из равенств (6.1)
на е;, получим, учитывая биортогональность базисов:
6р=гф(е;, е''), $ = Ы (er, е').
Однако, как следует из тех же формул (6.1),
(е<, е'') = Ы = bi, (е/, е') = bi-fy = bi-.	(6.3)
Таким образом,
sf = b>i = bibi-,
т. е. матрицы (Ьг) и (bi) взаимно обратны.
Аналогично устанавливается, что и матрицы (Ь*) и (&г) вза-
имно обратны.
Справедливо следующее утверждение о связи между матри-
цами (bi’) и (bi’), (Ы) и (bi).
У т ве р ж д е н ие. Матрица (bi-) совпадает с матрицей (b“)
а матрица (bi ) совпадает с матрицей (bi ).
Доказательство. Очевидно, в силу взаимной обратности
матриц (bi’) и (bi) и матриц (bi') и (bi), достаточно доказать,
что совпадают (bi>) и (Ы-).
В силу (6.3) получим, что
bi' = (er, е').	(6.4)
Аналогично с помощью (6.2) получим, что
^=(ег, е‘).	(6.4')
Правые части соотношений (6.4) и (6.4') равны, поэтому bi’ =
— bi’, что и требовалось.
Следствие. Для перехода от базисов е,-, е‘ к базисам е{’,
ei' достаточно знать только матрицу (bi’) перехода от базиса
et к базису е(' (матрица (bi ) является обратной к (bi'), и вы-
числяется по ней).
Таким образом, мы приходим к следующим формулам преобра-
зования базисов:
е,- = bi’&i, ti = b(ei’,
(6.5)
&1'—Ь(е, е‘ = bi’&".
7 Зак. 25
194
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
Выведем теперь формулы преобразования координат векто-
ра при переходе к новому базису. Сначала проведем следую-
щие рассуждения.
Пусть е, и е7' — биортогональные базисы, а — произвольный'
вектор. Тогда разложения вектора а имеют вид
а=а‘е;, а = ще‘.	(6.6)
Биортогональный базис дает очень удобный способ вычис-
ления коэффициентов а‘ и а(- в разложении (6.6). Действитель-
но, умножая первое из соотношений (6.6) скалярно на е7, а
второе — на е/, получаем
а'=(а, е'), a.j=(a, е;), /=1, 2,...,и.	(6.7)
Следовательно, формулы (6.6) с учетом соотношений (6.7) при-
нимают вид
а= (а, е‘)е,-, а= (а, е;)е‘.	(6.8)
В частности, представляя в первое равенство (6.8) вместо век-
тора а вектор е7, а во второе равенство — вектор е/, получим;
е7 = (е7, е‘)ег = £71'ег,
16.9)
е/==(е/, е/)ег ^gjte1,
где
Д"=(е7, е‘),	е,).
Если умножить первое из соотношений (6.9) скалярно на е*г
а второе — на е*, то
gilgik=bk’, giigik=^>ik, j, &=1, 2, ... , п,
т. е. матрицы (g>‘) и (gjt) взаимно обратны и по своему по-
строению в силу симметрии скалярного произведения симмет-
ричны.
Выведем формулы преобразования координат вектора при
переходе к новому базису. Если е, — старый базис, а ец—но-
вый, ez и е£'	— биортогональные к ним базисы и если
а = ацег',
то, как мы знаем, из формул (6.7) следует, что
аг =(а, ег).
Подставляя в правую часть этого соотношения вместо ег
его выражение из (6.5), получим
аг=(а, bj.et) = bi- (а, е/) = Ь<.аР
§ 1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты оператора 195
Итак, координаты вектора а, разложенного по базису
е*' (биортогональному к новому базису е,<), в новом бази-
се ег имеют вид
ас=Ь\-а1,	(6.10)
здесь (fef-)— матрица прямого перехода от старого базиса е,
к новому базису е,-, at— координаты вектора а в разложе-
нии по биортогональному базису е‘:
а = а,е‘.
Таким образом, координаты at при переходе от старого ба-
зиса е, к новому е,- преобразуются с помощью (#•')— мат-
рицы перехода от старого базиса к новому по формуле (6.10).
Поэтому говорят, что координаты at преобразуются «согласо-
ванно», и эти координаты называются ковариантными
(что означает «согласованно изменяющийся») координатами
вектора а.
Если теперь согласно формулам (6.7) записать
а!' = (а, ег')
и подставить сюда вместо ег его выражение из (6.5), то
а1' = (а, Ь\е‘) = Ь\ (а, &) = Ь\а‘.	(6. И)
Из формулы (6.11) видно, что при переходе к новому базису
координаты а‘ в разложении вектора а по старому базису
е,(а=аге,) преобразуются с помощью матрицы ($) перехода
от нового базиса к старому.
Поэтому говорят, что координаты а1 преобразуются «несо-
гласованно», и эти координаты называются контравариант-
н ы м и (что означает «противоположно изменяющийся») коор-
динатами вектора а.
4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор.
Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что у нас рассмат-
ривается трехмерное пространство Е3. Рассмотрим произвольный
линейный оператор А в этом пространстве. Напомним, что опера-
тор А называется линейным, если для любых векторов а и b и
любых вещественных чисел Аир справедливо равенство
А (Ха+ pb) = ЛЛа+рЛЬ.
Пусть е/ и е‘ — биортогональные базисы в Е3. Ниже нам по-
надобятся два равенства, справедливые для линейного опера-
тора А:
1) (е,-, Ле‘) = (е‘, Ле,)5);
5> Напомним, что если в выражении у сомножителей встречаются повторя-
7*
196
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
2)е;ХЛе' = е'ХЛе1
(aXb означает векторное произведение векторов а и Ь).
Докажем эти соотношения. Согласно формулам (6.9) полу-
чим e‘=gikek, ei=giPep. Поэтому
(е,-, Ле‘) = (gipep, Agikek) =gipgik(&’, Аек) =
= 6рА(е₽, Ле*) = (е*, Ле*) = (&, Аъ).
Выше мы воспользовались тем, что матрицы (giP) и (gik) вза-
имно обратны и симметричны. Соотношение 1) доказано. Перей-
дем к доказательству соотношения 2). Используя те же равенства
для е‘ и е, и свойства матриц (gip) и (gik), получим
еу х Ае‘ = gipep х Ag^ek = gipg‘kep х Ле* =
= 6*ер х Ле* = е* х Ле* = е' х Ле£.
Некоторое выражение называется инвариантом (или ин-
вариантным), если оно не меняется при преобразовании ба-
зиса пространства. Например, инвариантом является скалярное
произведение двух векторов, значение скалярной функции в дан-
ной точке пространства.
Рассмотрим некоторые величины, связанные с оператором Аг
являющиеся инвариантами. Пусть е,- — базис пространства Е3Г
е‘ — биортогональный базис.
Утверждение 1. Величина (е£, Ле') (или ей равная (е‘^
Ле£)) — инвариант.
Доказательство. Необходимо показать, что если перейти
к другому базису е£- (ег— биортогональный базис к е£'), то
будет выполнено равенство
(е£, Ле‘) = (е£-, Ле'').
Запишем, .используя формулы (6.5):
e£ = 6£'e(S ez = bp-e₽',
где (bt)— матрица перехода от базиса е£- к базису е£, (ЬР')-~
обратная ей матрица. Тогда
(е£, Ле9 = ^(ег, Лер') =
= 6рДе£<, Ле₽') = (е£-, Ле1').
Сравнивая первый и последний члены в этой цепочке равенств,,
получаем доказательство утверждения.
ющиеся индексы, один из которых вверху, а другой — внизу, то суммирование
проводится по этим индексам.
§ 1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты оператора
197
Определение 1. Инвариант (е;, Ле‘) (или (е', Ле,)) линей-
ного оператора А называется дивергенцией этого опера-
тора и обозначается div Л.
Таким образом,
div Л= (ег, Ле‘) = (ег, Ле;).
Замечание 1. Всякий линейный оператор в данном базисе
е; однозначно может быть задан с помощью матрицы, называемой
матрицей линейного оператора. Для построения этой матрицы
достаточно задать оператор на базисных векторах е,, т. е. задать
векторы Ле,-. Разлагая эти векторы Ле; по базису е/, получаем
Ле; = а?е* и (еу, Ле;)=а?(е/, е*)=а?.	(6.12)
Матрица (a;ft) и есть матрица линейного оператора Л в бази-
се е,-.
Теперь дивергенция оператора Л может быть выражена через
элементы матрицы (а?):
бщЛ= (е,, Ле‘) = (е‘, Ле;) = а11+а22+аз3-
Замечание 2. Величина ои' + а^ + аз3 в линейной алгебре
называется матричным следом оператора Л. Там же доказывает-
ся, что этот матричный след равен сумме собственных чисел опе-
ратора Л с учетом их кратности (спектральному следу операто-
ра), т. е.
Ol1 + ^22 + <233 = ^'l+^2 + lA>3,
где Xi, %2, Аз — занумерованные с учетом их кратности собствен-
ные числа оператора Л.
Ясно, что сумма Л1+Л2+А3 не зависит от выбора базиса прост-
ранства. Следовательно, и div Л не зависит от выбора базиса,
т. е. является инвариантом. Это еще одно доказательство утверж-
дения об инвариантности дивергенции.
Утверждение 2. Величина eiXAtf (или ей равная tfXAti)—
инвариант.
Доказательство. Пусть е,— новый базис (е''— би-
ортогональный базис к е;-). Запишем согласно формулам (6.5):
е; = Ь;е;', е‘ = Ьр-ер'.
Подставив эти величины в выражение е;ХЛег, получим
е; х Лег =6;'Х'е;- х Лер' = 6р-е; х Лер' =е,- х Ле''.
Таким образом, инвариантность величины е;ХЛе‘ доказана.
Определение 2. Инвариант е,хЛе‘ (или е'ХЛе;) линейного
оператора А называется ротором этого оператора и обоз-
начается rot Л.
198
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
Таким образом,
rot X = e,xXe‘ = ezxXei = eiXXe1 + e2xXe2+
4-e3xXe3=e1xXei + e2xXe2+e3XXe3.
5. Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора
в ортонормированном базисе. Пусть в пространстве Е3 выбран
ортонормированный базис i, j, к. В этом случае, как уже говори-
лось, биортогональный базис совпадает с самим собой (см. п. 2).
Согласно формулам (6.12) получаем
ai’= (i, Xi), a2' = (i, Xj), (i, Xk),
(6.13)
ai2=(j, Xi), a22=(j, Xj), a32=(j, Xk),
ai3= (k, Xi), a23= (k, Xj), a33= (k, Ak).
Поэтому
divX = a1’ + a22+a33= (i, Xi) + (j, Xj) + (k, Xk). (6.14)
Найдем выражение для rotX. Имеем
rot A = ixXi + j xXj + kXXk.
Осталось вычислить векторные произведения слагаемых спра-
ва через элементы матрицы оператора X. Запишем по формуле
(6.12):
Х!=а1Ч+а12]+а13к.
Поэтому
i xXi = fli'i X i + ai2i X j + ai3i X k =
= —ai3j + ai2k.
Аналогично
jxXj = a23i—a2!k, kxXk= —a32i + a3’j.
Поэтому
rotX= (a23—a32)i+ (a3’—aj3) j+ (ai2—a2‘)k.	(6X5)
§ 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО
АНАЛИЗА
1. Скалярные и векторные поля. В теории поля рассматрива-
ются функции, которые каждой точке М фиксированной области
D сопоставляют некоторый специальный объект а(М), называе-
мый тензором. В этом случае говорят, что в области D задано
тензорное поле. Мы будем изучать только два простейших
частных случая тензорного поля, а именно скалярное и векторное
поля.
§ 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы
199
Будем говорить, что в области D задано скалярное поле,
если каждой точке М этой области сопоставлено по некоторому за-
кону определенное число и(М). Таким образом, понятия скаляр-
ного поля и скалярной функции, определенной в области D, сов-
падают.
Аналогично говорят, что в области D задано векторное по-
л е, если каждой точке М этой области сопоставлен по некоторому
закону вектор а(Л4). Таким образом, понятия векторного поля и
векторной функции, определенной в области D, совпадают.
Пусть, например, Е(Л4) — напряженность электрического поля,
созданного единичным отрицательным зарядом, помещенным в
начало координат трехмерного пространства £3. Тогда в точке
М(х, у, z) вектор Е(Л1) имеет, как известно, длину 1/р, где р =
— (x2+y2+z2)1/2, и направлен от точки М к началу координат. По-
лучаем следующую формулу для задания данного векторного поля
Е(М):
Е(А4)=[----— ,-----у—,-----—
I	Р3	р3	Р3 J
Другими примерами скалярного и векторного полей могут быть
скалярное поле температур внутри нагретого тела, векторное поле
скоростей установившегося потока жидкости и т. д.
Приведем еще ряд примеров скалярных и векторных полей,
играющих важную роль в анализе и физике. Для этого понадобит-
ся изучить понятие дифференцируемости скалярного и векторного
полей.
Поскольку скалярное поле — это числовая функция, заданная
в области D, то понятие дифференцируемости скалярного поля
(этой числовой функции) мы уже знаем (см. определение п. 2 §4
гл. 12 ч. 1).
Напомним это определение, заменяя слово «функция» на слова
«скалярное поле». Пусть задано скалярное поле u = f(x, у, z) в
области D из £3.
Определение 1. Скалярное поле u=f(x, у, z)=f(M) назы-
вается дифференцируемым в точке М(х, у, z) области D,
если его полное приращение Аи(М) в этой точке может быть пред-
ставлено в виде
Аи (М) =А1Дх+А2Лг/+АзА2+а1Ах+а2Л!/ + a3Az,
где А1, А2, А3 — некоторые не зависящие от Ах, Аг/, Az числа, а
«ь «2, «з — бесконечно малые при Ах->0, Аг/->0, Az-^-О функции,
равные нулю при Ах = 0, Аг/=О, Az=0.
Условие дифференцируемости скалярного поля u=f(x, у, z)
(как показано в п. 2 § 4 гл. 12 ч. 1) может быть записано в виде
Ам(Л1) =Д1Ах+А2Ау + A3Az+о (р),
где р= (Ах2 +Az/2+Az2)1/2, причем это представление единственно.
200 Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
Эту формулу можно переписать в более компактном виде:
Аи(Л4) = (A, h)+o(||h||),	(6.16)
где (A, h) — скалярное произведение векторов
А={АЬ А2, Аз}, h={Ax, Az/, Аг}, ||h||=p.
Таким образом, можно дать следующее
Определение 1*. Скалярное поле и(М) дифференци-
руемо в точке М, если в этой точке для полного приращения
справедливо соотношение (6.16). Скалярное поле и(М) диффе-
ренцируемо в области D, если оно дифференцируемо в
каждой точке этой области.
Напомним (см. п. 8 § 4 гл. 12 ч. 1), что условие дифферен-
цируемости (6.16) может быть переписано в виде
А«(Л4) = (grad u, h) + o(||h||),	(6.17)
, ....	( ди(М)	ди(М)	ди(М)\
где вектор grad и (Л4) = ! —1—-, —-——5—-}.
I дх ду дг j
Формула (6.17) приводит нас еще к одному примеру вектор-
ного поля, а именно >к полю градиента дифференцируемого в облас-
ти D скалярного поля и(М). Определение градиента не зависит
от выбора системы координат, и поэтому он является инвариан-
том 6).
Согласно рассмотрениям п. 8 § 4 гл. 12 ч. 1 в случае диффе-
ренцируемости поля и(М) можно ввести производную и(М) по
направлению вектора е:
6) Своим появлением на свет понятие градиента обязано выдающемуся
шотландскому физику, создателю математической теории электромагнитного по-
ля Джеймсу Клерку Максвеллу (1831—1879) и происходит от латинского сло-
ва gradior, означающего «расти». Как мы знаем из ч. 1, главное свойство гра-
диента состоит в том, что он определяет направление наибыстрейшего спуска.
Поэтому Максвелл собирался сначала назвать этот вектор словом slope —
«склон». Ирландский математик и механик Вильям Роуен Гамильтон (1805—
1865) придумал для этого вектора специальное обозначение V — переверну-
тую греческую букву Д («дельта»). Таким образом, если i, j, k — фиксиро-
ванный ортонормированный базис, то
ди	ди	ди
grad и = vm = — i +~Г-1 + '^—k-
дх	ду	дг
д	д	д
V ~ 1 д "Из + k Д •
дх	ду	дг
Сначала название значка V было «атлед» — прочитанное наоборот слово дель-
та. Затем английские ученые (О. Хевисайд, Р. Смит) чаще стали называть этот
значок словом «набла» (из-за сходства с остовом древиеассирийского музыкаль-
ного инструмента иаблы). Набла — очень удобное в физике обозначение, мно-
гие формулы с его применением сильно упрощаются. Сам Максвелл посвятил
набле специальную оду в восьми частях.
§ 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы
201
— = (е, grad и).	(6.18)
ое
Производная по направлению задает, очевидно, некоторое новое
скалярное поле в области D.
Перейдем к изучению дифференцируемого векторного поля.
Понятие дифференцируемости векторного поля дается в полной
аналогии с понятием дифференцируемости скалярного поля, и это
понятие было нами дано в дополнении 2 к гл. 12 ч. 1.
Пусть в области D пространства Е3 задано векторное поле
а(Л1) (векторная функция а(Л1) точек М, принадлежащих D).
Напомним, что а(Л4) каждой точке Л4(х, у, z) ставит в соответ-
ствие вектор а(Л1).
Определение 2. Векторное поле а(Л4) называется диффе-
ренцируемым в точке М области D, если его полное при-
ращение Да(Л1) представляется в виде
Да(Л4) =Xh+o(||h||),	(6.19)
где А — некоторый линейный оператор в Е3,
Ь = {Дх, Ду, Дг}, ||h|| = (Дх2+Ду2 + Дг2)1/2,
o(||h|| )— вектор, длина которого стремится к нулю при ||h||->0.
Утверждение. Если векторное поле дифференцируемо, то
представление (6.19) единственно.
Действительно (см. также дополнение 2 к гл. 12 ч. 1), если бы
было два представления вида (6.19), т. е.
Да(Л!)=ЛЬ+О| (||h||), Да(М) =Bh+o2(||h||),
то
(Л—B)h=o(||h||),
где o(||h||)=o1(||h||)-o2(||h||).
Разделив на ||h|| обе части полученного равенства, получим
(А—В)е = -в-,
Hh||
где е = —-----Вектор единичной длины. Справа стоит бесконеч-
ЦЬ||
но малый вектор (его длина стремится к нулю при ||h||->-0), сле-
довательно, для любого единичного вектора е величина слева рав-
на нулю:
(Л—В)е=0.
Но если два линейных оператора А и В совпадают на единичной
сфере, то они равны, очевидно, на любом векторе, т. е. совпадают
всюду; Следовательно, А = В.
202
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
Так же, как и в случае скалярного поля, векторное поле диф-
ференцируемо в области D, если оно дифференцируемо в каждой
точке области D.
Как и в случае скалярного поля, возникает вопрос об опреде-
лении производной по направлению для векторного поля а(Л1).
Пусть М — точка области D, е — единичный вектор с коор-
динатами cos a, cos р, cosy, определяющий некоторое направление.
Пусть М' — любая точка из D, отличная от М и такая, что век-
тор ММ' коллинеарен вектору е. Обозначим расстояние между М
и М' через р.
Определение 3. Производной векторного поля
а(Л1) в точке М по направлению е называется предел отноше-
ния
lim Aa<M) = gaW =
р_^о р	Зе Зе
(в случае, если этот предел существует). Здесь Да(Л4) =а(ЛГ)—
—а(Л4).
Утверждение. Пусть векторное поле а(М) дифференцируе-
мо, А — линейный оператор, определяемый из соотношения диф-
ференцируемости (т. е. из соотношения Да(Л4)=ДЫ-о(||Ы1)). Тог-
да производная — поля в этой точке М по любому направлению
е существует и определяется равенством
За(Л1) =Ле.	(6.20)
де
Интересно сравнить эту формулу с формулой (6.18). В форму-
ле (6.18) справа также стоит результат действия оператора А —
= (At, Аг, А3) на вектор е. Результат этого действия и есть ска-
лярное произведение градиента поля и вектора е.
Доказательство. Пусть е — фиксированный вектор. Вы-
берем точку М' так, чтобы h = pe. Тогда согласно (6.19) получим
Да(М)=рЛе+о(||Ы|).
Поскольку ||h|| = p, то
Да (2И) = де + ro (Р)
Р	Р
Переходя в этом соотношении к пределу при р->-0, получаем фор-
мулу (6.20), т. е. то, что и требовалось доказать.
Вернемся снова к рассмотрению формулы (6.19):
Да(Л4) =4h + o(||h||).
Здесь А — линейный оператор, действующий на вектор h из Е3.
Как мы знаем, в фиксированном базисе всякий линейный опера-
§ 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы 203
тор определяется своей матрицей. Найдем матрицу линейного
оператора А в ортонормированном базисе i, j, к, с которым свя-
зана декартова прямоугольная система координат Oxyz. Пусть в
этом базисе вектор а(Л1) имеет координаты Р, Q, R. Согласно
формулам (6.20)
да
di
— = Ai, =	=	-^- = _^ = Лк.
дх	dj ду	йк дг
(6-21)
о
По формулам (6.13) вычисляем элементы матрицы А оператора А:
„1 Д Д
2	2	2
ai а2 а3
3	3	3
Й1 а2 а3
дР дР дР
дх ду дг
dQ dQ dQ
дх ду дг
дР dR dR
V дх ду дг )
(6.22)
2. Дивергенция, ротор и производная по направлению вектор-
ного поля. Пусть а(Л4) — дифференцируемое в области D вектор-
ное поле. Тогда согласно (6.19) Аа(Л4) =Ah+o(||h||), где А — ли-
нейный оператор, зависящий от точки М, вектор h — приращение
аргумента а (/И), o(||h||) — вектор, стремящийся к нулю при
Ilhll^O.
Определение 1. Дивергенцией векторного поля
а(Л1) в точке М называется дивергенция линейного оператора А
из условия дифференцируемости (6.19):
div а(Л4) = div А.
Определение 2. Ротором векторного поля а(М) в
точке М называется ротор линейного оператора А из условия
дифференцируемости (6.19):
rot а(Л4) =rot А.
Заметим, что поскольку векторное поле дифференцируемо во
всей области D, то diva(M) и rota(M) определены в каждой точ-
ке М области D- Эти величины по своему определению инвариант-
ны, т. е. не зависят от выбора базиса. Поэтому diva(Af) пред-
ставляет собой скалярное поле, a rota(A4) — векторное поле.
Выберем ортонормированный базис i, j, к и свяжем с ним де-
картову прямоугольную систему координат Oxyz. Пусть координа-
ты поля а(Л4) в базисе i, j, к есть Р, Q, R. Матрица оператора А
в этом базисе нами уже найдена (см. формулу (6.22)). Поскольку
diva(A4) =divA, по формуле (6.14) сразу получаем
diva(M) = (i, Ai) + (j, Aj) + (k, Ak) =
= ai + ai + 4=~ + -^- + -^=(V, a(M)),	(6.23)
дх ду дг
204
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
где
V = i4- + i4- + k-r~- a(M) = a = Pi + Qj + flk.
дх ду дг
Далее, так как rota(Af) =rotА, то по формулам (6.15) и (6.22)
получим
i	j	k
, / dQ	дР\.	д	д	д
\ дх	ду )	дх	ду	дг
Р	Q	R
(6.24)
Написанный определитель — символическая запись ротора,
удобная для запоминания.
Вычислим производную векторного поля а(Л4) по направлению
е, воспользовавшись формулой (6.20). Поскольку единичный век-
тор е имеет координаты {cosa, cos0, cosy), то
-	= Ле = А (1 cos а 4- j cos 0 4- k cos у) =
= cos а (Л1) 4- cos 0 (Лj) + cos у (Лк).
Далее, по формулам (6-21)
Л1=^, Л] = ^-, Лк = -^-.
дх	ду	дг
Поэтому
да(М)	да „ да , да
------—— = cos а----h cos В----к cos у--.
да	дх	ду	дг
Учитывая, что a=Pi + Qj + /?k, запишем еще одно выражение
для производной по направлению:
да(М) / дР . дР о , дР \ ,
—т—— = -------cos а 4----cos В 4--cos у 14-
ае \ дх	ду	дг )
, / dQ , dQ _ , dQ \ .
4- —— cos а 4-— cos В 4---— cos у j 4-
\ дх	ду	дг )
. ( dR	dR	о , dR	\.
4- ——cosa4------cosB4- -т— cosy к.
\ дх	ду	дг	)
3. Некоторые другие формулы векторного анализа. Допустим,
что в области D заданы скалярное поле и(М) и векторное поле
а(Л1), причем все частные производные второго порядка функций
§ 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы 203
и(М) и а(Л1) непрерывны в области D. Тогда diva(Af) — диф-
ференцируемое скалярное поле, gradzz и rota(A4) — дифференци-
руемые векторные поля. Следовательно, можно повторно приме-
нять дифференциальные операторы grad, div, rot, и имеют смысл
следующие операции:
rot grad м, div grad и, grad div a, div rot a, rot rot a.
Пусть i, j, k — фиксированный ортонормированный базис, с ко-
торым связана декартова прямоугольная система координат
Oxyz.
Утверждение. Имеют место следующие пять соотношений:
rot grad u = v X V « = 0;
<• w j / x	d2u , d2u d2u
divgradu = (V, V«) = yw = —+ —+ TT:
dx2 dy2 dz2
graddiva = v(v, аНт7+пг + тТ * +
\ дх2 dxdy dxdzj
t f d2P ( d2Q	\	.	/ d‘2P	d2Q	d2R X
у2	дудг/ \ дхдг	дудг	дг2 )	’
div rot a = (v, V X a) = 0;
rotrota = v X (v X a) = graddiva—A a,
д2Р
дхду
где
. д	. д . , д
V=i — + j—+ к—.
дх ду дг
Доказательство. Все эти формулы доказываются по од-
ной схеме: последовательно применяются дифференциальные опе-
раторы к скалярному или векторному полю. Докажем, например,
первое равенство. Вектор gradw = Vu имеет координаты
\ дх
поэтому для rot grad m=VX grad и по формулам
ду дг )
{6.24) получаем выражение
(д2и
—
дудг
д2и
дхду
дгду /
—'j k = 0.
dy dx)
Докажем второе равенство (см. формулу (6.23)):
^-+кЛ
ду дг
д2и
дхдг
i -—-
Ох
206
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
ди . . ди
_— ] ——
дх ду
д2и . д-и	d2u	.
------1-----1-----= Ац
dx2	ду2	дг2
Символ А («дельта») имеет специальное название — опера тор
Лапласа7). Символически можно записать: А = V2.
Докажем еще третье соотношение, предоставив доказатель-
ство двух остальных равенств читателю. Запишем соотношение
, ,.	,	. j дР : dQ . dR \	,
graddiva = yz(V. a=V Т" + _TL+^- = V6.
\ dx dy dz )
где
Далее,
dx dy dz
, db . . db . . db .
V^ = —i + — j+ — k.
ox dy 02
Подставляя вместо b его выражение, получим правую часть
третьего соотношения. Утверждение доказано.
Замечание. Как уже неоднократно подчеркивалось, вели-
чины grad и, divzz, rota инвариантны. Поэтому инвариантны и ве-
личины rot grad и, div grad и, grad div a, div rot a, rot rot а. Следо-
вательно, в любой системе координат имеем, например, что
rot grad и = 0, div grad и = А и =
д2и , d2u	д2и	,.	, п
-------]------]--, div rot а = 0.
дх2 ду2	дг2
4. Заключительные замечания. Обсудим физический смысл
рассмотренных понятий дивергенции и ротора. Дивергенцию век-
..	/ ч dP , dQ , dR
торяои функции diva=(y, а) =-------Н ——|------еще называют
дх ду дг
расходимостью. Она определяет скорость изменения каждой
компоненты вектора в своем «собственном» направлении. Если
векторное поле описывает поток жидкости, то положительность
дивергенции (diva>0) в данной точке означает, что из этой точ-
ки вытекает больше жидкости, чем в нее притекает. Говорят, что
такая точка служит источником. Если же div а<0, то наблю-
дается обратный баланс и точка служит стоком, т. е. в нее при-
текает больше, чем вытекает. Если div а=0, то существует ба-
ланс— жидкости притекает столько же, сколько и вытекает.
Величина ротор векторного поля
,	/ dQ dR \ . ,
rot а = и X а -----------------1 1 +
\ dz dy /
7> Пьер Симон Лаплас — выдающийся французский астроном, математик,
и физик (1749—1827).
§ 3. Основные интегральные формулы анализа
207
i	j	к
_Э_____а___д_
дх	ду	дг
Р	Q	R
еще называется вихрем. Это название связано с тем, что он как
бы «смешивает» производные и компоненты. Он как бы «следит»,
как меняются компоненты векторного поля а (М) в «чужих» на-
правлениях. Таким образом, ротор — это мера «вращения» век-
торного поля. Кстати, если V — линейная скорость, то вектор о
угловой скорости вращения есть ®=(l/2)rot V. Этот вектор на-
лравлен по оси вращения. Отсюда и возникло название ротора.
В заключение приведем систему уравнений Максвелла для
электромагнитного поля в вакууме:
1)	divE=—;	2) div В = 0;
80
_ ЭВ	+ D J I 1 дБ
3) rot Е =-----;	4) rot В = ——|-----—-.
dt	еос2 е2 dt
Здесь р (М, t)—плотность электрического заряда (количество
заряда, отнесенное к единице объема), j(M, t)—вектор плотно-
сти электрического тока (скорость протекания заряда через еди-
ничную площадку), Е(М, t) и В (/И, t)—векторы напряженности
электрического и магнитного полей соответственно, ео и е — раз-
мерные постоянные, с — скорость света в вакууме.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА
В этом параграфе будут доказаны основные интегральные
формулы анализа — формула Грина* 8*, формула Остроградского—
Гаусса9* и формула Стокса10*. Эти формулы, с одной стороны,
•являются далеко идущими обобщениями формулы Ньютона—
Лейбница — основной формулы интегрального исчисления, а с дру-
гой стороны, являются важнейшими формулами математического
анализа и математической физики.
1. Формула Грина. Пусть л — плоскость в пространстве Е3,
к — единичный вектор нормали к л, D — односвязная область на
л (напомним, что область D называется односвязной, если любая
кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, располо-
женная в D, ограничивает область, все точки которой также при-
надлежат D). Пусть, далее, область D удовлетворяет следующим
двум условиям:
*> Дж. Грин — английский математик (1793—1841).
’> М. В. Остроградский — русский математик (1801—1861), К. Ф. Гаусс —
вемецкий математик (1777—1855).
10> Дж. Г. Стокс — английский физик и математик (1819—1903).
208
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой
кривой без особых точек;
2) на плоскости л можно выбрать такую декартову прямо-
угольную систему координат, что все прямые, параллельные ко-
ординатным осям, пересекают С не более чем в двух точках.
Пусть, наконец, t — единичный вектор касательной к кривой
С, согласованный с к, т. е. положительное направление обхода
кривой С совпадает в точке приложения вектора t с направле-
нием этого вектора, и если смотреть с конца нормали к, то кон-
тур С ориентирован положительно (его обход осуществляется
против часовой стрелки). Говорят, что ориентация кривой С со-
гласована с нормалью «по правилу штопора».
Теорема 6.1 (формула Грина). Пусть а — векторное поле,
дифференцируемое в области D, удовлетворяющей условиям 1),
2), и такое, что его производная по любому направлению непре-
рывна в объединении DUC=D. Тогда справедлива формула
J J (k, rot a) da =ф (a, t)dl.	(6.25)
D	С
Выражение справа обычно называют циркуляцией век-
торного поля а по кривой С, а выражение слева — по-
током векторного поля rota через область D.
Данная формула допускает такую физическую трактовку: по-
ток векторного поля rota через область D (поток тепла, жидко-
сти и т. п.) равняется циркуляции векторного поля а по замкну-
тому контуру С (работе сил поля а по перемещению точки
вдоль С).
Доказательство. Поскольку все входящие в формулу
(6.25) функции непрерывны, то оба интеграла существуют.
Заметим также, что интегралы слева и справа в формуле
(6.25) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы
координат, поскольку величины (k, rota) и (a, t) инвариантны,
элементы площади da и длины дуги dl не зависят от выбора де-
картовой системы координат. Поэтому достаточно доказать фор-
мулу (6.25) в какой-то одной специально выбранной системе.
Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуг
так, чтобы выполнялось условие 2), и ось Oz направим вдоль к.
Поскольку векторное поле а=Р(х, r/)i-bQ(x, #)j+#(x, y)k плос-
кое, то R(x, у)=0, f={cosa, cosp, cosy}={cosa, cosp, 0} =
— {cos a, sin a, 0}.
Следовательно, можно записать:
,	/ dR	dQ \ . f dP	dR \ ,
rot а =-------— 14- ----------- i +
\ ду	дг J \ дг	dx )
+ (_w_____
\ dx dy /	\ dx dy J
§ 3. Основные интегральные формулы анализа
20»
Далее,
(k, rota) = -^---(a, t) = Pcosa + Qsina.
Так как для плоской области da=dxdy, то формула (6.25^
принимает вид
—- \dxdy —
D
D
Pdx + Qdy.
(6.25'>
Здесь мы воспользовались тем, что dx=cosadl, dy —sin a dl,
где Z— длина дуги С, выбранная в качестве параметра, возраста-
ние которого согласовано с направлением обхода С.
Для доказательства формулы Грина достаточно доказать два.
равенства:
Pdx,
D
с
точках (х, у\ (х)) и
(х, г/2(х)),.
кривая
У1 (xi))
кривая
точкой
D
Обратимся для наглядности к рис. 6.1. Пусть прямая, парал-
лельная оси Оу, пересекает Св
У1 (х) <у2 (х). Пусть Xi и х2 -
наименьшая и наибольшая абс-
циссы точек области D,
Ci соединяет точку (xi,
с точкой (х2, у\ (х2)), а
С2-точку' (х2, у2(х2)), с
(Хь 1/2(Х1)) и С=С!иС2, С), С2
ориентированы согласованно с С.
Тогда по формуле сведения двой-
ного интеграла к повторному по-
лучим
УМ
J L J дУ
Х1 У,(Х)
— ^х’ dy dx= { Р(х, ух(х)) dx —
— § Р(х, y2(x))dx=	Pdx—J Pdx} = (^) Pdx.
*,	С,	С,	С
Аналогично вычисляется интеграл J. Теорема доказана.
210
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
Замечание 1. Теорема 6.1 справедлива и для более общих
областей D (с границей С) таких, что с помощью конечного чис-
ла кусочно гладких кривых эта область может быть разбита на
конечное число областей с границами С,, i=l, 2,..., л, удов-
летворяющих условиям 1) и 2). Действительно, для каждой об-
ласти Di по доказанному формула верна. Сложив эти равенства,
п
® силу аддитивности двойного интеграла слева V, £J можно
1=1 О;
п
.заменить на , а справа £	, поскольку интегралы по
Ъ	г=1 Q с
«внутренним» кривым ’) сократятся (так как интегрирование по
ним производится в противоположных направлениях). Останется
лишь интеграл по границе С области D.
Замечание 2. В формулировке теоремы 6.1 от условия 2)
можно избавиться, т. е. считать, что граница области D есть лю-
бая замкнутая кусочно гладкая кривая С без особых точек. Од-
нако доказательство теоремы несколько усложняется.
Замечание 3. Условие на гладкость векторного поля мож-
но также несколько ослабиты Достаточно требовать, чтобы поле
-а было непрерывно в D\jC=D, а дифференцируемо только в D, и
производная по любому направлению была непрерывна в D. Фор-
мула (6.25) при этом сохраняется, однако входящий в нее двой-
ной интеграл является при этом, вообще говоря, несобственным.
Замечание 4. Теорема 6.1, т. е. формула Грина, верна и
в общем случае обл'астей D с границей С, являющейся только
спрямленной кривой 12).
Замечание 5. Формула Грина (6.25) может быть записа-
на, как это следует из доказательства, в виде (6.25'):
---dxdy= (§)Pdx + Qdy.
d V	'с
Интегралы слева и справа имеют инвариантный характер, т. е.
их значение и форма не меняются при переходе к новой декарто-
вой системе координат. Действительно, значения подынтеграль-
ных выражений слева и справа в формуле (6.25') равны соответ-
ственно (k, rota) и (a, t)—инвариантным величинам. Форма
подынтегральных выражений в формуле (6.25') тоже, очевидно,
не меняется при переходе к новой декартовой системе координат
Ох'у'\ если в новом базисе векторное поле а имеет координаты
Р' и Q', то
u> Т. е. по вспомогательным кусочно гладким кривым, разбивающим об-
ласть D.
|2> См. статью Э. Г, Позняка, Е. В. Шикина // (ДАН СССР, 1980, 253,
.№ 1, с. 42—44).
§ 3. Основные интегральные формулы анализа
211
,, I х f dQ	дР \	/. / dQ'	дР' \ .\
(к, rot а) = ——-----I = к, —---------к =
\ дх	ду ]	\	\ дх'	ду' ] )
— —----, (a, t) dl = Pdx + Qdy =
дх' ду’
= (Р' cos а' + Q' sin а') dx — Р' dx' + Q' dy'.
Наконец, якобиан преобразования при переходе к новой систе-
ме координат по модулю равен единице, а параметризация с по-
мощью длины дуги не связана с системой координат. Поэтому
интегралы слева и справа в (6.25') не меняют своего значения и
формы.
2. Формула Остроградского—Гаусса. Пусть D — односвязная
область в Е3 (т. е. для любой кусочно гладкой замкнутой кривой
С, расположенной в D, можно указать ориентируемую кусочно
гладкую поверхность G, расположенную в D, имеющую границей
С), S — ее граница, удовлетворяющая двум условиям:
1) поверхность S — кусочно гладкая двусторонняя полная
ограниченная замкнутая и без особых точек;
2) прямоугольную декартову систему координат в Е3 можно
выбрать так, что для каждой из осей координат любая прямая,
параллельная этой оси, будет пересекать поверхность S не более
чем в двух точках.
Пусть п — единичный вектор внешней нормали к S. Справед-
лива следующая теорема.
Теорема 6.2 (формула Остроградского—Гаусса). Пусть
а — векторное поле, дифференцируемое в области D, удовлетво-
ряющей условиям 1), 2), и такое, что производная по любому на-
правлению непрерывна в D\]S=D. Тогда справедлива формула
f j j div adv = фф (a, n) ds.	(6.26>
о	‘ s
Интеграл справа в формуле (6.26) называется потоком
векторного поля а через поверхность S, а интеграл
слева в этой формуле — это объемный интеграл от дивергенции
вектора по области D. Поэтому теорема 6.2 допускает такую фор-
мулировку:
Объемный интеграл от дивергенции вектора по области D ра-
вен потоку векторного поля а через поверхность S — границу этой
области.
Доказательство. Все входящие в формулу (6.26) функ-
ции непрерывны, поэтому интегралы слева и справа существуют.
Заметим, что формула (6.26) инвариантна относительно выбо-
ра прямоугольной системы координат, поскольку все входящие в
нее величины — инварианты. Поэтому достаточно доказать фор-
мулу (6.26) при каком-то одном выборе декартовой системы. Вы-
212 Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
берем декартову прямоугольную систему координат Oxyz так,
чтобы выполнялось условие 2); пусть а={Р, Q, 7?}, n={cos а,
•cos р, cos у}. Тогда, учитывая, что
cos ads = dydz, cos рds—dzdx, cosy ds—dxdy,
получим
1Ж
D
+ ~^~ + 4^ dxdydz = (§)(§)(Pcosa + Q cosp + 7? cosy) ds =
s
— фф (Pdydz + Qdzdx + Rdxdy).
s
Докажем, что справедливы следующие три равенства:
1 = JJJ dxdydz = ФФ Р dydz>
D	s
(6.26')
D	s
L = J JJ	dxdydz = (j) j) R dxdy.
D	s
Ограничимся доказательством равенства для интеграла L, так
как равенства для I и J доказываются аналогично. Обозначим
Рис. 6.2
через D' проекцию области D на
плоскость Оху. Через граничные
точки области D' проведем пря-
мые, параллельные Oz. Каждая
из этих прямых пересекается с S
лишь в одной точке. Множество
этих точек разделяет S на две
части: Si и S2 (см. рис. 6.2). Ес-
ли мы проведем прямую из внут-
ренней точки области D', парал-
лельную оси Oz, то она пересечет
поверхность в двух точках: (х, у,
Zi(x, y))^St и (х, у, z2(x, у))е=
eS2; Zi(x, #)>z2(x, у). Заметим,
что Zi(x, у) и z2(x, у) кусочно и
непрерывно дифференцируемые
функции в D'. По формуле све-
дения тройного интеграла к по-
вторному интегралу получим
§ 3. Основные интегральные формулы анализа
213
*1(*. у)
^ = JJ[ J '	- dz j dxdy = ^R(x, у, гДх, у)) dxdy—
Ъ' гЛх.У)	Ъ'
—JJ R (х, у, z2 (х, у)) dxdy = J j Я (х, у, z) dxdy +
Ъ'	s*
+ У у R (х, у, г) dxdy = фф R (х, у, z) dxdy.
S.	S
Здесь мы воспользовались тем, что S=SiUS2, и соотношением
—УУ R (х, у, z2 (х, у)) dxdy = у J R (х, у, z)dxdy = j j Л? cos у ds,
d'	s,	s,
справедливым в силу того, что внешняя нормаль п к поверхности
S2 образует тупой угол с осью Oz (поэтому cosy<0). Теорема
доказана.
Замечание 1. Формула Остроградского—Гаусса (6.26) мо-
жет быть доказана и в случае областей D более общего вида,
чем указано, а именно- для таких, у которых существует конечное
разбиение на области i=l, 2......п, рассмотренного вида. Для
этого достаточно формулу (6.26) написать для каждой области
Di и полученные результаты сложить. При этом получится иско-
мая формула. Действительно, в силу аддитивности интеграла в
левой части получится интеграл по D. В правой части поверх-
ностные интегралы по соответствующим частям границ областей
Di в сумме дадут ноль, так как внешние нормали в точках гра-
ниц областей Di, принадлежащих границам двух таких областей,
направлены в разные стороны. Таким образом, останутся только
интегралы по частям границ Di, составляющим в совокупности
границу S области D.
Замечание 2. В формулировке теоремы 6.2 от условия 2)
можно избавиться и считать, что S — кусочно гладкая двусторон-
няя полная ограниченная поверхность без особых точек. Однако
в этом случае доказательство теоремы усложняется.
Замечание 3. Можно считать, что векторное поле а непре-
рывно дифференцируемо только в открытой области D и непре-
рывно в £)U5=D. Тогда тройной интеграл в формуле (6.26) сле-
дует понимать как несобственный.
Замечание 4. Формула Остроградского—Гаусса (6.26) мо-
жет быть записана, как это следует из доказательства, в виде
JJJ (	dxdydz = (Р dydz + Q dzdx + R dxdy).
D	s
Заметим, что интегралы слева и справа имеют инвариантный ха-
214
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
рактер, т. е. их значение и форма не меняются при переходе к
новой декартовой системе координат. Для этого достаточно про-
вести рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 5 по-
сле доказательства теоремы 6.1.
3. Формула Стокса. Пусть S — односвязная 13> поверхность в
Е\ удовлетворяющая двум условиям:
1)	S — кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная
поверхность без особых точек; ее границей является замкнутый
кусочно гладкий контур С;
2)	декартову систему координат можно выбрать так, чтобы S
однозначно проектировалась на любую из трех координатных
плоскостей.
Пусть п — единичный вектор нормали к S, t — единичный век-
тор касательной к С, согласованный с и (см. п. 1). При этих ус-
ловиях имеет место следующая теорема.
Теорема 6.3 (формула Стокса). Пусть а — векторное поле,
непрерывно дифференцируемое в некоторой окрестности поверх-
ности S (т. е. на некотором открытом множестве в Е3, содержа-
щем S). Тогда справедлива формула
, rot a) ds = (Г) (a, t) dl.
(6.27>
с
Эта теорема допускает еще такую формулировку:
Поток вектора rot а через поверхность S равен циркуляции
вектора а по замкнутому контуру С.
Доказательство. В силу условий теоремы интегралы в
формуле (6.27) существуют. Формула (6.27), очевидно, инвари-
антна относительно выбора базиса. Поэтому достаточно доказать
эту формулу при каком-то одном выборе базиса. Выберем пря-
моугольную декартову систему координат Oxyz так, чтобы S од-
нозначно проектировалась на все три координатные плоскости.
Пусть
a—Pi +Qj + #k, п — {cos X, cos У, cos Z},
t—{cos a, cosp, cosy}.
Согласуем выбор системы координат так, чтобы вектор нор-
мали п образовывал острые углы с координатными осями.
Учитывая выражение для rota в декартовой прямоугольной
системе координат, получим
13)	Напомним, что поверхность S называется односвязной, если любая ку-
сочно гладкая замкнутая кривая без точек самопересечения, расположенная На-
S. ограничивает множество, целиком состоящее из точек этой поверхности.
§ 3. Основные интегральные формулы анализа
215
JJ (n, rpta) ds =
s
С С и dR dQ \ v , / дР dR \	,
— HI-----------— cos X +|-----------cos У +
J J I \ dy dz )	\ dz dx J
s
----cosZj ds = (j)(a,[t)dl = y>(Pcosa+QcosP+7?cosy)d/ =
c	lc
= ф (Pdx + Qdy + Rdz).	(6.2T)
Достаточно, очевидно, доказать, что
/ = JJ	cos У—y^-coszj ds = ^) Pdx.
s	c
Для остальных слагаемых:
J = JJ	cosZ—y~cosX ds = (^)Qdy,
is	c
L = JJ ^~-casX — ^-cosY^ ds — ^Pdz
s	c
доказательство аналогичное.
Заметим, что поверхность S — кусочно гладкая и однозначно
проектируется на Оху. Пусть D — ее проекция, Г — проекция С
на плоскость Оху (см. рис. 6.3). Поэтому существует дифферен-
цируемая функция z=z(x, у),ко-
торая задает уравнение поверх-
ности S. При этом
Аналогично cos Z =-------------
]/ 1+гх2+?^2’
Рис. 6.3
216
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
Поэтому, учитывая эти формулы, будем иметь
7 = — Cf • -^- + -^-\cosZ ds= — (f-^-[P(x, y,z(x, у))] dxdy,
J J \ dz dy dy )	J J dy
S	D
поскольку на поверхности S функция P(x, у, z) равна
dP dz , дР дР(х, у, г(х, у))
P (x, y, z (x, y)), —— • —— + -Г- = 1 —
\ . a. \	дг dy dy	dy
и поверхностный интеграл no S равен двойному интегралу по D
Далее, используя формулу Грина, получим
—IIy,z^x' dxdy = ф РУ’2(х' У^> ^х = фР(х, у, z) dx.
d ду	г	с
Здесь мы воспользовались тем, что если точка (х, у) находится
на кривой Г, то точка (х, у, z(x, у)), очевидно, принадлежит кри-
вой С. Теорема доказана.
Формула Стокса верна и для более общих ограниченных пол-
ных кусочно гладких двусторонних поверхностей с кусочно глад-
кой границей.
Замечание 1. Прежде всего покажем, что формула Сток-
са верна для поверхностей S, удовлетворяющих условию 1), но
не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2) однозначного
проектирования S на любую из координатных плоскостей.
Оказывается, что существует такое число б>0, что для любой
части Ф поверхности S размера меньше б 14) можно так выбрать
декартову координатную систему, что Ф однозначно проекти-
руется на все координатные плоскости. Действительно, пусть
Мо — фиксированная точка S. Проведем касательную плоскость
через точку ЛТ0, пусть пм» —вектор единичной нормали поверхно-
сти в точке Мо. Выберем прямоугольную систему координат так,
чтобы вектор Пм« составлял острые углы с осями координат. По-
скольку поле п нормалей непрерывно, то существует окрестность
точки Мо такая, что все нормали в точках этой окрестности обра-
зуют острые углы с осями координат. Но тогда согласно утвер-
ждению п. 1 гл. 5 и замечанию 2 к нему можно утверждать, что
существует некоторая окрестность радиуса 6/2 точки Мо, которая
однозначно проектируется на все координатные плоскости.
Отметим, что указанное число б зависит, вообще говоря, от
точки Мо: 6=6(Мо)- Покажем, что можно выбрать универсаль-
ное, не зависящее от точки число б>0. Допустим противное, что
такого числа б не существует. Тогда для каждого 8п—\/п, п—
= 1, 2,..., можно указать часть Фп поверхности S, размеры ко-
14> Такая часть поверхности может быть расположена в сфере радиуса
6/2.
§ 3. Основные интегральные формулы анализа	217
торой меньше 6п и которая не проектируется однозначно на все
три координатные плоскости любой декартовой системы коор-
динат.
Выберем в каждой части Фп точку Мп, а из полученной после-
довательности выберем последовательность, сходящуюся к неко-
торой точке М поверхности S15). Согласно проведенным выше
рассуждениям у точки М существует однозначно проектируемая
на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы
окрестность. Эта окрестность для некоторого номера п содержит
часть фп, которая также будет однозначно проектироваться на
все три координатные плоскости. Получилось противоречие с вы-
бором Фп, завершающее доказательство.
Теперь уже нетрудно сделать заключение о справедливости
формулы Стокса для поверхностей, удовлетворяющих условию 1)
и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2). Для этого
разобьем поверхность S на конечное число гладких частей Фп,
размер каждой из которых меньше б, указанного выше. Посколь-
ку часть Ф„ однозначно проектируется на все координатные плос-
кости некоторой декартовой системы координат, то формула
Стокса верна для каждой части Фп. Просуммируем левые и пра-
вые части этих формул. Интегралы по общим участкам границы
Фп берутся в противоположных направлениях и поэтому сокра-
тятся.
Таким образом, слева мы получим интеграл по поверхности от
величины (и, rota), а справа — интеграл по границе С поверхно-
сти S от величины (a, t), т. е. формулу Стокса для общего случая.
Замечание 2. Формула Стокса верна и для поверхностей
допускающих разбиение с помощью кусочно гладких кривых
на конечное число односвязных, обладающих свойством 1) по-
верхностей. Доказательство этого факта очевидно: достаточно
просуммировать интегралы слева и справа в формулах Стокса
для односвязных поверхностей и учесть, что интегралы по кри-
вым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и
поэтому сократятся.
Замечание 3. Формула Стокса (6.27) может быть записа-
на, как это следует из доказательства, в виде (6.27'):
И dR dQ \ v . / дР dR \ v ,
(--------— cos X +------------cos Y +
(\ dy dz )	\ dz dx j
s
+ f—-----— 'j cosz\ ds — (£(Pdx+Qdy + Rdz).
\ dx	dy / f j
,5> Это можно сделать в силу ограниченности и полноты, используя теоре-
му Больцано—Вейерштрасса.
218
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
Интегралы слева и справа имеют инвариантный характер — их
значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой
системе координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно провести
рассуждения, аналогичные проведенным в замечании 5 п. 1.
§ 4. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО
ИНТЕГРАЛА НА ПЛОСКОСТИ ОТ ПУТИ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Пусть а (/И)—векторное поле, заданное в связной плоской об-
ласти D.
Определение 1. Функция U(М) называется потен-
циалом поля а(М) в области D, если в этой области
a(A4) =grad U(М).
Поле а, обладающее потенциалом, называется потенциаль-
ным полем.
Теорема 6.4. Пусть функции Р(х, у), Q(x, у) непрерывны в
D. Для любых двух точек A^D, B^D значение интеграла
J Pdx + Qdy
АВ
не зависит от кусочно гладкой кривой ABczD, соединяющей точки
А и В, тогда и только тогда, когда поле
а(*> У)={Р{х, у), Q(x, у)}
потенциально. В этом случае
J Pdx d-Qdy = U(В) — U(А),
АВ
где V (х, у) — потенциал поля а (х, у).
Доказательство. Достаточность. Пусть
а (*>{/) = {Р (*, У), Q (х, у)} = grad U (х, у) = /	.
(ах оу J
Произвольные точки А и В из области D соединим некоторой
кусочно гладкой кривой АВ, и пусть x=x(t), y—y(t), a^.t^.b —
ее параметрическое представление. В силу непрерывности
ди	дх
и заключаем, что функция U (х, у) дифференцируема в D.
Тогда по формуле Ньютона—Лейбница получаем
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости 219
b
J Pdx + Qdy = ^ (Р (х (О, У (0) (о + Q (X (0, у (0) у' (0) dt =
АВ	а
Ь
= ^U’dt = U(x(b),y (6)) - U (х (а), у (а)) = U (В)- U (Л).
а
Необходимость. Фиксируем в D некоторую точку Л4о(хо, Уо) и
пусть М(х, у) — произвольная точка области D. Положим
ЩМ) = j Pdx+Qdy,
ЛЩИ
где интеграл берется по любой кусочно гладкой кривой, соеди
няющей точки Ма и М (см. рис. 6.4).
Покажем, что так определен-
ная функция U(x, у) является ис-
комым потенциалом поля а(х,
х/)={Р(х, у), Q(x, у)}. Докажем,
dU
например, существование -------
дх
ди
и равенство ---= Р(х,у). Отточ-
дх
ки М(х, у) сместимся в точку
N(x+&x, у) так, чтобы отрезок
MN содержался в D. Это мож-
но сделать для всех достаточно
малых приращений Ах, так как
D — открытое множество, состоя-
щее из внутренних точек. При та-
ком смещении функция U (х, у)
получит приращение
U(х + Ах, у) — U(x,y)= J Pdx+Qdy— J Pdx + Qdy =
M^MN	лйм
— J Pdx + Qdy.
MN
На отрезке MN координата у имеет постоянное значение, и, сле-
довательно,
^Qdy = O.
~MN
Поэтому
x-J-Ax
U(x + Ах, у) — U(x, у) = j Pdx= $ P(t,y)dt.
MN	*
220
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
В силу непрерывности функции Р(х, у) из теоремы о среднем по-
лучим
U(х+Дх, у) — U(х, у) = Е’(х+0Дх, у)Дх,
где О<0< 1, откуда
+	= р (Л. + 0ДХ) у)
&х
Переходя к пределу при Дх->0 в силу непрерывности функции
Р(х, у), получаем, что предел существует и
Совершенно аналогично доказывается равенство
ду
Теорема 6.4 доказана.
Если поле а(х, у)={Р(х, у), Q(x, у)} потенциально и функции
Р(х, У), Q(x, У) вместе со своими частными производными непре-
рывны в области D, то должно выполняться равенство
дР _ dQ
ду дх
которое означает равенство смешанных производных:
дЧ/  dW
дудх дхду
В силу теоремы 6.4 необходимым условием независимости
криволинейного интеграла
j Pdx + Qdy
АВ
от пути интегрирования при условии непрерывности функций
Р(х, У)< Q(x, У) и их частных производных в области D является
легко проверяемое равенство
дР _ dQ
дх дх
Если область D односвязна, то это условие будет и достаточ-
ным для независимости интеграла ^Pdx+Qdy от выбора кривой,
АВ
соединяющей данные точки А и В. Чтобы при изложении не ис-
пользовать не доказанную в общем случае формулу Грина (см.
замечание 2 к теореме 6.1), рассмотрим сначала случай, когда
область D является кругом.
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости 221
Теорема 6.5. Пусть функции Р(х, у), Q(x, у) и их частные-
производные непрерывны в некотором круге К. В этом случае-
поле а(х, у)—{Р(х, у), Q(x, у)} потенциально в этом круге тогда,
и только тогда, когда в К
дР _ dQ
ду дх
Доказательство. Очевидно, требуется доказать только*
достаточность условия. Через центр круга, точку Мо, проведем
прямые Мох' и Моу', параллельные координатным осям Ох и Оу
соответственно. Из произвольной точки М(х, у)^К опустим пер-
пендикуляры ММ\ и ММ2 на Мох' и Мйу' соответственно. Точку
Л4о соединим с точками Мi и М2 отрезками и MqM2.
Применяя формулу Грина (6.25') к прямоугольнику ЛТ0Л11Л1Л12^
получаем
§ Pdx 4- Qdy = J J ------j dxdy = 0,
откуда следует, что
J Pdx + Qdy = J Pdx + Qdy,
t. e. интеграл ^Pdx+Qdy не зависит от двузвенной ломаной у„
V
соединяющей фиксированную точку Л40 с некоторой точкой М„
Поэтому определим функцию
(/(М) = J Pdx + Qdy,
мТм
где М0М — двузвенная ломаная, звенья которой параллельны ко-
ординатным осям. Проверка, что так определенная функция
U(х, у) является потенциалом данного поля а(х, у), проводится
аналогично той, которая проведена при доказательстве теоремы
6.4. Теорема 6.5 доказана.
Замечание. Теорема 6.5 справедлива в случае произ-
вольной односвязной области D. Чтобы убедиться в этом, до-
кажем, что для независимости криволинейного интеграла
J Pdx + Qdy
АВ
от выбора кривой АВ, соединяющей точки А и В, достаточна
,	„	дР dQ
выполнение в области D условия ----=——.
ду дх
Пусть L — произвольная замкнутая кусочно гладкая кри-
вая, расположенная в D. Обозначим через D* область, которую*
222
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
ограничивает кривая L. В силу односвязности области D каж-
дая точка области D* принадлежит D. Применяя к области
D* формулу Грина (6.25') (см. замечание 2 к теореме 6.1), по-
лучим
Pdx + Qdy — J j* (j dxdy = 0.
L	D*
Отсюда следует, что для любых фиксированных точек А и В
области D и любых двух кусочно гладких кривых АС В и
АС'В, соединяющих эти точки, выполняются равенства:
0 = J Pdx + Qdy = J Pdx +
AC В U ВС'А	АС В	ВС’A
— j Pdx + Qdy— § Pdx + Qdy.
AC В	AC’В
Поэтому
J Pdx + Qdy — $ Pdx + Qdy.
AC В	AC'В
Следовательно, значение интеграла
J Pdx + Qdy
!AB
не зависит от кусочно гладкой кривой АВ, соединяющей точки
А и В.
Qdy + Pdx + Qdy =
§ 5.	НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ТЕОРИИ
ПОЛЯ
1.	Выражение площади плоской области через криволинейный
интеграл. Пусть D — односвязная область с границей С, удовле-
творяющей условиям теоремы 6.1.
Полагая в формуле Грина (формула (6.25')) Р=—у, Q—x,
лолучим
J f 2dxdy = <£ — ydx + xdy.
d	с
Для площади a(D) области D на плоскости имеем следующее
выражение через криволинейный интеграл по ориентированной
границе этой области:
ф — ydx +xdy.
§ 5. Некоторые примеры приложений теории поля
22$
С помощью полученной формулы найдем площадь области,
ограниченной циклоидой x=a(t—sinZ), у=а{\ — cost), Q^t^.
гС2л, а>0, и прямой у=0. Так как
J —ydx + xdy = О,
v
где у — отрезок 0^х^2л, у—0, то в соответствии с положитель-
ной ориентацией контура получим
о
a (D) = -L J (—а2 (1 — cos t)2 + a2 (t—sin t) sin t) dt =
2л
у J (2 — 2cos^—sin	= 2ла2—у- j tsmtdt —
о	0
/>2
== 2ла2 + — (t cos t)
2Л = Зла2.
2.	Выражение объема через поверхностный интеграл. Пусть
D— односвязная область в Е3 с границей S, удовлетворяющей
условиям теоремы 6.2 (формула Остроградского—Гаусса). Поло-
жим, что в области D
р (х, у, z) =х, Q (х, у, z) =у, R (х, у, z) =z.
Эти функции удовлетворяют условиям, при которых справедлива
формула Остроградского—Гаусса, поэтому
J J х dydz + у dzdx + z dxdy = f [ J Sdxdydz — 3V (D),
s	' b J
где V (D) — объем области D.
3.	Рассмотрим векторное поле, которое создает электрический
заряд величины q. Поместим этот заряд в начало координат. Си-
ла, действующая на единичный заряд, помещенный в точку
М(х, у, z), по закону Кулона выражается формулой
4ле0 г3
где г—радиус-вектор точки М, r=\x2+y2+z2, ео — постоянная.
Электростатическое поле Е потенциально в £3\{0). Напом-
ним, что поле а(Л1) называется потенциальным в области D, если
в этой области существует функция U (М) такая, что
а(Л4) =grad U (М).
224
Гл. 6. Теория поля. Основные интегральные формулы анализа
Потенциалом поля Е служит функция
ф(М) =------q— .
4ле0 г
Поле F, создаваемое точечной массой т, помещенной в нача-
ло координат, называется гравитационным, и оно также
лотенциально.
По закону Ньютона сила F(Af), с которой поле действует на
•единичную массу, помещенную в точку Л4(х, у, z), выражается
формулой
г3
Потенциалом поля F во всем Е3 (за исключением начала ко-
ординат) служит функция
U =	— .
Для потенциального поля
а(Л4)={Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z)},
заданного в области DczE3, независимость интеграла
j Pdx + Qdy + Rdz
v
от пути интегрирования (интеграл зависит только от начала и
конца пути) доказывается так же, как и в теореме 6.4, в случае
области D, принадлежащей Е2.
Поэтому работа, совершаемая таким полем при перемещении
единичной пробной частицы из точки А в точку В, не зависит от
пути перемещения. Если расстояния от начала координат до то-
чек А и В равны и г2 соответственно, то эта работа поля Е
равна
Ф(В)—Ф(Л) = —q— (-------М,
4ле0 \	г2 /
а работа поля F равна
U (B)~U (А)= gm( —----U
\ r2 rl /
§ 1. Знакопеременные полилинейные формы
225
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 6 16>
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
1. Линейные формы. Пусть V — произвольное n-мерное век-
торное пространство, элементы которого будем обозначать
символами т).....Предметом нашего изучения будут функ-
ции, сопоставляющие каждому элементу ijeV некоторое веще-
ственное число.
Определение 1. Функция а(§) называется линейной
формой, если для любых ijeV и любого вещественно-
го числа А выполняются равенства
1) а(1+п)=а(|)+а(т));
2) а(А|)=Аа(|).
Определение 2. Суммой двух линейных форм а и b
назовем линейную форму с, которая каждому вектору со-
поставляет число
с&)=а&)+Ь<®.
Произведением линейной формы а на вещест-
венное число А назовем линейную форму Ь, которая каж-
дому вектору ijeV сопоставляет число
Ь(1)==Ъа(1).
Таким образом, множество всех линейных форм образует
векторное пространство, которое мы обозначим символом
L(V)* 17).Найдем представление линейной формы а в каком-либо
базисе {е£}£=1. Пусть
п
i=i
где числа V определяются однозначно. Если обозначить =
= a(ej), то искомое представление будет иметь вид
п
а(В) = £ВЧ.
i=l
Докажем, что размерность dimL(V) линейного простран-
ства L(V) равна п. Для этого достаточно указать какой-либо
*’> Текст данного дополнения взят из книги В. А. Ильина, Э. Г. Позняка
«Основы математического анализа. Ч. 2» (М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-
ры, 1982).
17> Пространство L(V) обозначают также символом V* и называют со-
пряженным (или дуальным) к V.
8 Зак. 25
226 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
базис в L(V), содержащий точно п элементов, т. е. п линейных
форм. Фиксируем произвольный базис {eh} пространства V и
рассмотрим линейные формы
=	(й=1, 2,...,п),
где {£*} — коэффициенты разложения вектора £ по элементам
базиса {ей}. Иначе говоря, линейная форма eh действует на
элементы базиса {ej по правилу
( 1 при i = k;
ek (ef) =	=
v к 10 при lz£k.
В таком случае в данном базисе {е,} линейная форма а
имеет вид
п
= F	а(=а(ег),
i=i
т. е. линейные формы e'(£), е2 (£),..., еп(£) образуют базис в
L(V’). Этот базис называют сопряженным (а также в з а -
и м н ы м или ду а л ь н ы м) к базису {ej.
2.	Билинейные формы. Обозначим через VXV множество
всех упорядоченных пар (^, д2), где	и рассмот-
рим функции а(£ь £2), сопоставляющие каждому элементу из
VXV (т. е. каждым двум элементам cieV и	некоторое
вещественное число.
Определение. Функция a(^i, g2) называется били-
нейной формой, если при каждом фиксированном значе-
нии одного аргумента она является линейной формой относи-
тельно другого аргумента.
Иначе говоря, для любых векторов g2, тр, q2 и любых
вещественных чисел Л2, ць р2 выполняется равенство
а (Л1?1 + Hi1«i>	"Ь Р2Л2) ~
= XiX2a(|i, У+^20(^,112)+ё2)+Пг)-
Множество всех билинейных форм легко превратить в ли-
нейное пространство, вводя в нем естественным образом опера-
ции сложения и умножения на вещественное число. Получен-
ное пространство билинейных форм обозначим
символом L2(V).
Найдем представление билинейной формы a(^i, £2) в ка-
п
ком-либо базисе {е{}7=1 пространства V. Пусть =	^е/>
i=i
§ 1. Знакопеременные полилинейные формы
227
k—lt 2.Положив а(ег, е;)=а^-, получим искомое представ-
ление
п п
а (|х,	ачЦЦ.
i=l /=1
Для того чтобы определить размерность пространства
Lz(V), образуем с помощью линейных форм е*(£), составляю-
щих в L(V) базис, сопряженный к базису {ej, билинейные
формы
Тогда произвольная билинейная форма будет однозначно пред-
ставимой в виде
п п
a (Ip |2) = £ Г аце‘1^, |2).
i=i /=i
Это означает, что формы е^(|1, |2) образуют базис в Lz(V)
и, следовательно, размерность L2(V) равна п2.
3.	Полилинейные формы. Пусть р — натуральное число.
Обозначим символом V? = VxVX...XV множество всех упо-
рядоченных наборов (|ь |2, • • •, |р) из р векторов, каждый из
которых принадлежит V и рассмотрим функции, сопоставляю-
щие каждому такому набору некоторое вещественное число.
Определение. Функция a fa, %2,• ••»!/>) называется по-
лилинейной формой степени р (или р-ф о р мой), если
она является линейной формой по каждому аргументу при
фиксированных значениях остальных.
Вводя в множестве всех р-форм линейные операции, полу-
чим линейное пространство, которое обозначим символом
LP(V).
Найдем представление произвольной полилинейной формы
а(1ь |2>. •.!₽) в каком-либо базисе {et}?=1 пространства V.
Обозначим
аи>г-.лр — а (eit, et-.. e1₽).
n
Тогда если = Цъ, то
1=1
p p
a(£l> ^2>	§p)= ^2 •••	а11‘2 -Лр^1^2  • •£pP-
Если ehfa—базис в L(V), сопряженный к {ej, то, очевид-
но, р-формы
e^ofa, I......... lP) = e4^)^(U-..e<p(U
228 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
образуют базис в LP(V), следовательно, LP(V) имеет размер-
ность пр.
4.	Знакопеременные полилинейные формы.
Определение. Полилинейная форма a(li, ?2,•••,!?) на-
зывается знакопеременной, если при перестановке лю-
бых двух аргументов она меняет знак 18>. Иначе говоря,
a (Ip	.....У = -а(^, |2-.... U-
Очевидно, множество всех полилинейных знакопеременных
форм степени р образует подпространство линейного простран-
ства LP(V), которое мы обозначим символом Лр(Р) 19). Эле-
менты пространства Лр(Р) будем обозначать символом
(|1, &г, • • • ,1р)-
Заметим, что если {ег} — произвольный базис в V и
Й=1 i =1
то числа ^...ip меняют знак при перестановке двух индек-
сов. Это вытекает из того, что
(о,-1...1р=(й(е11, .... е,р).
Естественно считать, что At (V) —Ц (V), а Ай(У) состоит и»
всех постоянных, т. е. совпадает с числовой прямой.
5.	Внешнее произведение знакопеременных форм. Рассмот-
рим две знакопеременные формы: «реЛр(Р) и (о^еЛд(У).
В этом пункте мы введем основную операцию в теории знако-
переменных форм — операцию внешнего умножения. Пусть
a>J> = С0₽ (Т]1, Т]2, . . • , Т]р) ,
co« = wl?(Si, g2, • • •,
Рассмотрим следующую полилинейную форму a<=Lp+q(V):
a(lv l2-----U?) = ®p(l1.........BP)®’(|p+b	..., W- (6-l.l>
Эта форма, вообще говоря, не является знакопеременной: при
перестановке аргументов и где	и р+ 1=^/=^р+<7»
форма (6.1.1) может не изменить знака. Этим обстоятельством
и вызвана необходимость введения внешнего произведения.
,8> Знакопеременные полилинейные формы называют также антисим-
метрическими, кососимметрическими, косыми, внешними.
,9) Это пространство обозначают также символом /\PV* и называют р-й
внешней степенью пространства V*.
§ 1. Знакопеременные полилинейные формы
229
Для того чтобы ввести внешнее произведение, нам понадо-
бятся некоторые факты из теории перестановок. Напомним,
что перестановкой чисел {1, 2..........т} называют функ-
цию a—a (k), определенную на этих числах и отображающую
их взаимно однозначно на себя. Множество всех таких пере-
становок обозначается символом Sm. Очевидно, что содер-
жит всего т\ различных перестановок. Для двух перестановок
creSm и естественным образом определяется суперпози-
ция ате!т. Перестановка о-1 называется обратной к о, если
(Но—оо-1 = е, где е — тождественная перестановка (т. е.
e(k)=k, k= 1, 2,..., т).
Перестановка о называется транспозицией, если она
переставляет два числа, оставляя другие на своем месте. Ина-
че говоря, если существует пара чисел i и /
j=#=/) такая, что o(i)==/, о(/)=г, o(k)=k для k^i и k=£j.
Очевидно, если о — транспозиция, то 0-*=а и а-о=е.
Известно, что всякая перестановка а разлагается в супер-
позицию транспозиций, переставляющих числа с соседними но-
мерами, причем четность числа транспозиций в таком разло-
жении не зависит от его выбора и называется четностью пере-
становки а.
Введем следующее обозначение:
[ 1, если перестановка о четна,
sgnor=<
I—1, если перестановка а нечетна.
Заметим, что форма aeLp(V) принадлежит XP(V), если
для любой перестановки
а(1а(1)> §а(2), •••, ^a(pj) ~ (sgn о) а (§х, |2, ..., gp).
Рассмотрим снова полилинейную форму (6.1.1). Для любой
перестановки oreSp+17 положим
....ёр+«) ~ а •••>	(6.1.2)
Нетрудно убедиться в том, что если те£р+(3 и <jeSp+g, то
(то) а=х (аа).
Определение. Внешним произведением фор-
мы (£)РеЛр( V) и формы ©^eXQ(V) называется форма <о<=
еЛР+д(У), определяемая равенством
®(1х....Ь+?) = Е(5§по)аа> (6.1.3)
0
где сумма берется по всем перестановкам ое£р+з, удовлетво-
ряющим условию
сг(1)<сг(2)< ... <о(р), о(р+ 1)< ... <a(p+q),
(6.1.4)
230 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
а величина аа определяется равенствами (6.1.1) и (6.1.2).
Внешнее произведение форм сор и со9 обозначается симво-
лом
СО = СОР А®".
Проиллюстрируем на примере, как действует перестановка
о, удовлетворяющая условию (6.1.4). Предположим, что по не-
которой дороге параллельно движутся две колонны автомоби-
лей, в первой из которых р, а во второй q машин. Через неко-
торое время дорога сужается и обе колонны на ходу перестраи-
ваются в одну. При этом автомобили первой колонны занимают
места где-то среди автомобилей второй, однако порядок следо-
вания автомобилей внутри каждой колонны сохраняется. В ре-
зультате мы получаем перестановку, удовлетворяющую усло-
вию (6.1.4). Легко видеть, что и обратно всякая такая переста-
новка может быть реализована на нашей модели.
Для того чтобы убедиться, что данное нами определение яв-
ляется корректным, необходимо доказать, что со = сор /\а’е
еДр+?(У). Очевидно, в доказательстве нуждается только зна-
копеременность формы ®.
Покажем, что при перестановке двух аргументов & и |ж
форма со меняет знак. Отсюда легко будет следовать, что
еЛр+ДУ). Пусть те2р+д является такой перестановкой. Убе-
димся в том, что
т®=—со= (sgn т) ®.	(6.1.5)
Из равенства (6.1.3) получим
т® = £(sgncr)(TO) а.
<3
Разобьем эту сумму на две:
= £ (sgno)(xo)a +£ (sgn ст) (то) а. (6.1.6)
а	а
к первой сумме отнесем те перестановки а, для которых либо
cH(i)<p, arl(i+Y)<p, либо о-1 (0 >р+1,	о-1 (t+1) >р+1.
Для каждой такой перестановки (то)а=—аа.
Для того чтобы сделать это утверждение более очевидным,
обозначим k=a~l(i), /=o-1(i+l), т. е. i=a(k), i+\=a(l). Фор-
ма аа представляет собой произведение форм ®р и со<?, причем
аргументами ®р являются векторы |0(d, |о(2), ..., £<,(₽), а аргу-
ментами со? — векторы |a(p+i), ..., ^о(р+в). Если k<.p и 1<р, то
&=W) и 1ж=1а(1) являются аргументами формы мр, которая
по условию знакопеременна. Следовательно, при перестановке
и £г+1 форма сор, а значит, и аа меняют знак. Аналогично
рассматривается случай, когда £>р+1 и />р+1.
§ 1. Знакопеременные полилинейные формы
231
Итак, для первой суммы выполняется равенство
(sgn о) (та) а = —У (sgno)aa.	(6.1.7)
а	а
Ко второй сумме отнесем те перестановки о, для которых
либо a-1(i)<p, a-1 (i+1) >р+1, либо о-1 (i)>р+1, a-1(i+l)<
Покажем, что множество перестановок {а}, удовлетворяю-
щих этому условию (а также, разумеется, условию (6.1.4)),
совпадает с множеством перестановок то, где се{<ф Обратим-
ся к нашей модели с двумя колоннами автомобилей. Утверж-
дение примет следующий очевидный вид.
Если при каком-либо перестроении автомобиль с номером k
из первой колонны окажется непосредственно перед автомоби-
лем с номером I из второй колонны, то легко можно указать
другое перестроение, в результате которого эти автомобили
меняются местами, в то время как порядок движения осталь-
ных сохранится.
Таким образом, так как sgnTa=—sgna, то
£ (sgn а) (та) a =—(sgn та) (та) а — — У (sgna)aa. (6.1.8)
0	0	0
Подставляя (6.1.7) и (6.1.8) в (6.1.6), получим (6.1.5).
Примеры. 1°. Рассмотрим две линейные формы f(?)e
еЛДУ) и g(^)eXi (V). Внешним произведением этих форм яв-
ляется билинейная форма
f/\g = У (sgn о) a/ (|j) g (|2) = / (|х) g (|2) — g (IJ f (|2).
а
2°. Пусть /феЛДУ), g(|i, ?2, ^еЛДУ). Внешним
произведением со=/Л<7 будет (^+1)-форма, аргументы которой
мы обозначим через £0,	...,
0
.... &-1 >	------U-
1=0
6.	Свойства внешнего произведения знакопеременных форм.
1°. Линейность:
а)	если	, ©’еЛ9(У), то для любого веществен-
ного числа Л
(%<ор) Д(£)9=(£)рЛ (Aoj?) =A(©pA®?) ;
232 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
б)	если coipeAp(V), ®2₽еЛр(У) и <ареЛр(У), го
(й)1р + ®2р) Л ®Ч=®1₽Л''®,+®2Р Д®’.
Доказательство очевидно.
2°. Антикоммутативность: если ®реЛр(У) и сЛе
еЛДУ), то
Доказательство. Пусть
(1)РЛ©17=И==® (11, 12, • • •, 1р+«) •
Легко видеть, что
®?Л®₽=® (Wb 1р+2......|р+?, 11, • •  , |р)-
Убедимся в том, что перестановку (1Р+ь • • •, 1Р+<?, 1ь • • , 1Р)
можно получить из векторов (1Ь .... 1Р+9) с помощью pq после-
довательных транспозиций. Вектор Ip+i можно передвинуть на
первое место, используя р транспозиций. Затем с помощью та-
кого же числа транспозиций передвинем на второе место вектор
1Р+2 и т. д. Всего мы передвинем q векторов, используя каждый
раз р транспозиций, т. е. число всех транспозиций равно pq.
В таком случае антикоммутативность будет следовать из зна-
копеременности внешнего произведения.
3°. Ассоциативность: если ®реЛр(У), оЛеЛДУ),
о/еЛДУ), то (<лр/\а>4)/\&г=(лр/\(а>ч/\а»г).
Доказательство. Пусть ае2Р^+г. Рассмотрим вели-
чину
tt> = £(sgn<T)(;[(.)₽(|1.|p)co’(|p+i,	..., |р+р)Х
X®r (Ip-pQ-pi, ..., 1р+?+г)]-	(6.1.9)
Сумма (6.1.9) будет равна (®рДо9)До/, если вначале про-
извести суммирование по всем перестановкам, оставляющим
без изменения числа p+q+\, p+q+2, ..., p+q+r и удовлетво-
ряющим условию (6.1.4), а затем просуммировать по всем пе-
рестановкам, сохраняющим получившийся порядок первых p+q
аргументов и порядок аргументов £Р-нж, • • •, 1Р+<?+г-
Аналогично можно получить величину ®РД (®<?Л®Г).
Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем
перестановкам, удовлетворяющим условиям
о(1) < ст(2)< ... < о(р);
о(р + 1)< ст(р + 2)< ...<<т(р+7);
о(р + <7+ 1) < ... <o(p + q+r).
(6.1.10)
Для этого снова обратимся к нашей модели с колоннами
автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три ко*
§ 1. Знакопеременные полилинейные формы
233
лонны автомобилей, в первой из которых р, во второй q, а в
третьей г машин. Один из способов перестроения этих трех ко-
лонн в одну заключается в том, что вначале сливаются первая
и вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей.
При другом способе вначале сливаются вторая и третья колон-
ны, а к ним присоединяется первая. Очевидно, перестановка о,
получаемая в результате любого из этих перестроений, удов-
летворяет условию (6.1.10), и, наоборот, любая перестановка,
удовлетворяющая условию (6.1.10), может быть получена как
с помощью первого, так и с помощью второго способа пере-
строения. Это и означает совпадение ((/Ай’) А®г и ©рА(®?Л
Л®Э-
Ассоциативность внешнего умножения дает возможность
рассматривать любое конечное произведение
®1Л®гА-• • А®т, где	(V).
Пример. Пусть ai(l), а2(Ъ,), •••>	— линейные фор-
мы. Тогда
А Аа2Л • •. /\ат = £ (sgn о) о (|х) а2 (|а) ... ат (|m)J, (6.1.11)
О
где суммирование производится по всем перестановкам oeSm.
Это равенство легко проверяется с помощью индукции. За-
метим, что если ввести матрицу {щ- (I/)}, то равенство (6.1.11)
можно переписать в виде
(ajAazA.-.AaJdi, 12, •••» U = det{а<(£/)}. (6.1.12)
7. Базис в пространстве знакопеременных форм. Выберем
какой-либо базис {e(}"=t в пространстве V и обозначим через
{ez}"=i сопряженный к нему базис в пространстве L(V). На-
помним, что е‘(В) — линейная форма, которая на элементах ба-
зиса {ej принимает значение е;(е/)=б//.
В п. 3 мы показали, что всевозможные произведения
образуют базис в LP(V). Поскольку Ap(V)czLp(V), то каждая
знакопеременная р-форма может быть разложена единственным
образом в линейную комбинацию указанных произведений.
Однако эти произведения не образуют базиса в AP(V), по-
скольку они не являются знакопеременными р-формами, т. е. не
принадлежат AP(V). Тем не менее с помощью внешнего умно-
жения из них можно сконструировать базис в АР(У).
Теорема 6.6. Пусть {ejLa— базис в пространстве V,
{е'}г=1 — сопряженный базис в пространстве L(V). Любая зна-
234 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
попеременная р-форма ©еЛр(У) может быть представлена, и
притом единственным образом, в виде
Е	е‘‘Ле‘;Л.. ./\е1р.	(6.1.13)
!<(,<...<£р<м	р
Каждое слагаемое суммы в правой части (6.1.13) представляет
собой произведение постоянной	на знакопеременную
р-форму е‘1/\е!*/\ ... /\е‘р.
Доказательство. В силу результатов п. 4 можно запи-
сать:
п п
®=Е ••• Е	(6.1.14)
G=«l i =1	Р
1	Р
где числа ®£1£,...£р = ® (е‘‘, е‘>, ..., е1р) определены однозначно.
Так как форма <o(^i, ^2, ..., §Р) знакопеременна, то для лю«
бой перестановки oeSp
® (^о(1)> Sa(2)>	•••> §а(р)) ~ (sgU О) СО (§1, Й2, ..., 5р) .
Следовательно,
Aw =(sgnn)®Il£!...tp.	(6.1.15)
Сгруппируем слагаемые в сумме (6.1.14), отличающиеся пе-
рестановкой индексов ii, i2, ..., iP, и воспользуемся равенством
(6.1.15). Получим
®= Е Е®‘а(1)-‘С(р/СТ('’---е,0<₽> =
й<С,<...<Ср о
= Е ЛЕ^м^ • • • е*с(р)]- (6.1.16)
£1<G<.. .<1	а
В силу примера из п. 6 сумма, стоящая в квадратных скобках,
есть е‘*/\е‘‘ А • - • А^р. Теорема доказана.
Следствие 1. Элементы eii /\е‘г/\... Ае‘р(1 <й<Тг<. • • <
<ip<n) об разуют базис в пространстве ДР(У). Этот базис пуст
для р>п и состоит из одного элемента, если р=п.
Следствие 2. Размерность пространства ДР(У) равна
Спр.
В дальнейшем, как правило, мы будем считать, что выбран-
ный базис ei, е2, .... еп нами зафиксирован, и линейные формы
e‘(g) будем обозначать символом e‘(|)=g‘. Тогда любая фор-
ма соеДр(У) примет вид
®(1х, Ъ______lp)= Е	(6-1.17)
Й<... <1Р
§ 2. Дифференциальные формы
235
Примеры. Г.
= (^) (|р |2) =£ (sgn а) а [е> (IJ е2 (|2)] =
а
= &) с2 (g2) - е' (|2) A	= ^2- Ц%,
где — /-й коэффициент в разложении вектора & по бази-
су {е/}.
2°. B1AVA---A^=detfe/})
где & = £ 5{ez.
/=1
§ 2.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
1.	Основные обозначения. Рассмотрим произвольную откры-
тую область G п-мерного евклидова пространства Еп. Точки
области G будем обозначать символами х=(х', х2, хп), у—
= (у\ У2, • • • > Уп) и т. д.
Определение. Дифференциальной формой
степени р, определенной в области G, будем называть функ-
цию ©(х, ii, I2, ..., Ip), которая при каждом фиксированном
x^G представляет собой знакопеременную р-форму из Ар(Еп).
Множество всех дифференциальных р-форм в области G
обозначим через QP(G)=QP(G, Еп).
Мы будем считать, что при фиксированных 11, ..., Ъ,р^Еп
р-форма © представляет собой бесконечно дифференцируемую
в G функцию. Используя результаты § 1, мы можем каждую
р-форму © записать в виде
= S юц..лр^‘Л...Л^₽.	(6.1.18)
>><••-<гР
Всюду в дальнейшем вектор £ будем обозначать символом
dx=(dx\ dx2, .... dxn), а векторы — символами dkx=
= (dkx\ dkX2...dkxn). В качестве базиса в Еп выберем век-
торы ер={0, 0, ..., 1, 0, ..., 0}, где единица стоит на й-м месте.
Элементами сопряженного базиса будут функции ek(i)=ek(dx),
определяемые равенствами e%(dx)=dxA. Тогда дифференциаль-
ная форма (6.1.18) примет вид
ы(х, dyX, ..., dpx) = titli,.,i(x')dxi'/\.. ,/\dx‘p.
Примеры. 1°. Дифференциальная 0-форма — это любая
функция, определенная в области G (и, в силу наших предполо-
жений, бесконечно дифференцируемая в G).
236. Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
2°. Дифференциальная 1-форма имеет вид
п
со(х, dx) = J^ uk(x)dxk.
Й=1
В частности, когда п=1, со(х, dx)=f(x)dx. Дифференциальную
форму степени 1 называют также линейной дифферен-
циальной формой.
3°. Дифференциальная 2-форма имеет вид
со(х, фрс, dix)^Y_i(£>lk{x)dxi/\dxk.
i<k
По определению
dxl/\dxk = (е'Ле*) (dxx, d^x) = е‘ (dxx) ek (d2x)—el (d2x) ek (dTx) =
= drx‘ d2xk—d2x‘ dxxk —
djX1 d^
d%x£ d2xk
В частности, при n=2 получим
co(x, drx,
d2x) = f(x)
d-jX1 dxxa
d^x1 d2x2
Определитель равен элементу площади, соответствующему век-
торам dix и d2x.
В случае, когда л=3, обозначая <oi2=/?, со2з=Л ©1з=—Q. по-
лучим
a> — Pdx2/\dx3—Qdx1Adx3+Pdx1Adx2 =
Р Q R
djX1 dlx2 drx3
d2x* d2x2 d2x3
4°. Дифференциальная 3-форма в трехмерном пространстве
имеет вид
со (х, dtx, d2x, dsx) = f (x) dx1 Л dx2 Д dx3 — f (x)
djX1 dtx2 djX3
d^1 d2x2 d2x3
dgX1 d3x2 dsx3
Определитель равен элементу объема, отвечающему векторам
dix, d2x, dsx.
2.	Внешний дифференциал.
Определение. Внешним дифференциалом
р-линейной дифференциальной формы <is<^QP(G) будем назы-
вать форму d<oeQP+i(G), определяемую соотношением
d<a= сйОц.-.^Дс/х^Л. - ./\dx‘p,
§ 2. Дифференциальные формы
237
d®,-,.
fe=i
dxk.
Таким образом, если
то
® = to/, t dx^/\.. ./\dxlp,
Д’	dffl,
d® =s s -—-klp dx'’Adx‘‘A... /\dxlp.
Примеры. 1°. Дифференциал формы степени нуль (т. е.
функции f(x)) имеет вид
п
dW=Yrwdxk-
ft=I
2°. Вычислим дифференциал от линейной формы
п
® = ®(х, dx) = ^ toi(x)dxe.
Получим
da>~d<a(x, dxx, d2x) ~ У^ У^ dxk/\dxl.
k=i i=i
Так как dxk/\dx‘ =—dx‘/\dxk и dxk/\dxk = Q, to
do = V1 dxk/\dx’: + V dxk/\dxi =
44 dx*	44 дхк
k<i	i<k
— У* ~r dxk/\dx‘ — V.-^- dxk/\dx‘ =
44 dxk	Л4 dx‘
k<i	k<i
\ dx*	dx‘ )
k<i
В частности, когда n=2, для ®=/’dx1+Qdx2 получим
d® = ( —---------------—\ dx1Adx2.
\ dx	dy )
3.	Свойства внешнего дифференциала. Непосредственно из
определения вытекают следующие свойства:
238 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
1)	если ы;£=Ор (G), И2?=Йр(С), то d(©i+©2)=d©i“brf©2;
2)	если ©eQP(G) и % — вещественное число, то d(X©)=W©;
3)	если ojisQp(G), ©г^ОДб), то
d (©i Д©2) —da)i Д®2"Ь (—1)₽®1 Л</©2.
Докажем свойство 3). Пусть
а>--= У ^it...tpdx^/\.. ./\dxlp.
Введем следующее обозначение:
“ГТ = У! —ГТ"2" dx‘* Л • • • Л dx'p.
дхк	дхк
Тогда d© можно записать в виде
п
da = У dxk /\
дхк
Вспомним, что
© = ©1Д©2^=(— 1)₽<7©2Л©1.
Далее,
йю	йш,	.	,	. ЙШ2	ЙШ,	.	. ,	йсо«	.
—— = ТТ" Лсо2 +fflxA	= —-i- Д©2 + (— 1)₽9	Д ©н
дхк	дхк	дхк	дхк	дхк
Тогда
п	п
da) = V dxkA	= У] dxk/\ Дю2 +
dxk	dxk
М	А>»1
п
+ (- 1)и У dxkA A®i = ^A©2 + (- l)'”d®2A®1.
^йх*
Поскольку ds>2 есть (щН)-форма, то
rf©2A©l= (— 1)Р(<?+1)Ы1Л^©2.
Отсюда d©=d©iA©2+(—1)р©1Дй©2-
Основное свойство внешнего дифференциала-.
d(day)~O.
Доказательство. Предположим вначале, что ю — фор-
ма степени 0, т. е. а(х)=/(х). Тогда
§ 3. Дифференцируемые отображения
239
d =d S dx‘=E S iSbdxk л dxi •
i=l	/г=1 1 = 1
Так как dxh/\dx‘=—dx‘/\dxk, это равенство можно переписать
в виде
d(df) = Г1 (-^1-------¥!—} dx‘/\dxk,
\ дх‘ дхк дхк дх1 /
Kk
откуда и следует, что d(df)=O.
Пусть теперь
© = 12 ю(-,. , dxl«A .. .ДйхЧ
»-Ж«Я	*	р
Тогда
п
du = S S d©(-,...fpAdxr*A... /\dxlp.
k=i it<....<ip
Заметим, что каждый член суммы представляет собой внеш-
нее произведение дифференциалов форм степени 0, а именно
форм ©ц.../ (х), е‘* (dx), ..., e‘p(dx). Остается применить свой-
ство 3) и воспользоваться тем, что для формы степени 0 основ-
ное свойство доказано.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1. Определение дифференцируемых отображений. Рассмот-
рим произвольную m-мерную область D евклидова пространст-
ва Ет и «-мерную область GczE”. Точки области D будем обо-
значать символами	t2, ..., tm), а точки области G симво-
лами х= (х1, х2, ..., хп).
Будем говорить, что ф отображает D в G, если
Ф={ф1, ф2, • • • > <РП}>
где q>k(f) определены в области D, а векторы х с координата-
ми xfc=q>k(t) лежат в области G.
Определим отображение ф*, которое переводит QP(G) в
Qp(jD) для любого р, 0<р^.п. При этом мы будем считать,
что каждая компонента ф*(0 отображения ф является беско-
нечно дифференцируемой.
Определение. Пусть ф — отображение D<^Em в GczEn.
Обозначим через ф* отображение, которое для всех Осрсп
действует из QP(G) в QP(D) по следующему правилу, если
ю= ©^...i^dx^A ... Adx‘p,
240 Дополнение к гл, 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
то
ф*(®) = Е ®ц..Др(ф(0)ф* W‘)A. • -Аф* (dxlp),
где
т
*=1
Примеры. 1°. Пусть ® — форма степени 0, т. е. a=f{x).
Тогда
ф*Ю=Лф(0).
2°. Пусть ф отображает «-мерную область DczEn в «-мер-
ную область GczEn, и пусть ® — следующая «-форма:
&=dx'/\dx2Д.. ./\dxn.
Тогда
п	п
*<“>=(£ 1МЛ---Л(Е>Л‘")=
*,=1	kn=l
й,=1 kn=i
= ^A...A^"2(sgno)-^r...^ =
а
= ttf1A...A<«ndet(-^-|.
I J
Таким образом,
<p* (dx1 А А2 Л... A dxn) = °o(^’ .у dPAd^A... Adtn.
Замечание. Форму ф*(и) называют дифференциальной
формой, получающейся из формы ® при помощи замены пере-
менных ф.
2. Свойства отображения ф*. Справедливы следующие свой-
ства отображения ф*.
1°. Если coieQp(G),	то
Ф* (®1Лсо2) =<р* (®i) Лф* (®2).
Доказательство. Пусть
ffli= Е (x)dx^A-.. Adx‘p,
<tp P
§ 3. Дифференцируемые отображения	241
®2= £ bkl...k(x)dxk'/\ .. ,/\dxki.
Тогда
®1Л®2 = S £ bl...iAx)bki...k (x)X
X dxl'/\... A dxlp/\dxk*/\ ... /\dxk<i
и, следовательно,
ф* (®1Лсо2) = £ £ a£ (<p (t)) bk (<p (0) Ф* (dx‘‘) A ... Л Ф* (dxk4) =
i k
= ^а1 (ф)Ф*(dx‘‘)jA...ф* (dxlp) A Ък(ф)ф*(dx*‘)A
A... Л ф* (dxk4} j = <p* (®J А Ф* (o>2).
2°. Если aeQp(G), то ф*(^®)=^ф*(®).
Доказательство. Докажем это равенство сначала
для р=0, т. е. для ®=f(x). Получим
= У “ГТ Ф* (®) = f (Ф (0).
4Ы 0Х1
£=1
т	т п
k=\	*=11=1
=X	ф’^х')=ф* 
1=1
Для произвольного р проведем доказательство по индукции.
Пусть
® == f(i	(%) dx1* А... Л и.хА. Тогда d® = d/11...t-p Ajdxz*A • • • Л^Д‘р.-
Поэтому по свойству 1°
Ф* (d«) = Ф* (df) Л ф* (dx1') Л ... Л ф* (dx'p).
С другой стороны,
dq* (и) = dtp* [(fdx{' А • • - Л dxjp-1) Д dx‘p] =
= d [<p* (fdxi' Л.. - Л dx^-1) Д ф* (dx'p)].
242 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
Далее, в силу свойства 3) внешнего дифференциала
dcp* (со) = dcp* (fdx‘i Л ... Л dxp-1) Л <р* (d.r‘p) +
+ (— 1)°~' ср* (fdx‘‘ /\ ... /\ dx‘p-1) ;\ dcp* (dxlp).
Заметим, что ср* (dx‘₽) = аф* (.?₽) в силу только что доказан-
ного, а тогда по основному свойству внешнего дифференциала
dtp* (dx‘p) = 0.
По предположению индукции, справедливому для р— 1,
dcp* (fdx11 Л ... Л dx1?-1) = ср* (d/ Л dx1* Д ... Л d/p-1)-
В результате получим
dcp*(со) = ср*(d/ Л dxli Д.. .Л dx1?-1) /\ ср*(dx1?),
и по свойству 1°
dcp* (со) = ср* (d/ Л dxl‘ Л ... Л dx1?).
3°. Транзитивность. Рассмотрим открытые области lUc
<^El, VcEm, WcEn, точки которых соответственно и=
= (и1, и2, ..., и1),	п=(п1, v2, vm), w=(wl, w2, ..., wn).
Пусть ср отображает U-+V, а ф отображает V-+-W. Через ф°ф
обозначим отображение, называемое композицией, которое
действует по правилу
(Ф°ф) (ы)=ф[ф(и)].
Аналогично введем композицию ф*°ф*, которая для любого р
переводит QP(W) в QP(U), т. е.
(ф*°ф*) (со)=ср*[ф*(и)].
Справедливо следующее равенство:
(ф°ф) *=<р*°ф*.
Доказательство. Обозначим р = ф°ф. Это означает, что
Р= (Р'.Р2, ..., Рп), где р*=ф6 (ф1, ф2, ..., <рт).
Проведем доказательство сначала для линейной формы
dwkczQi (W). Получим
I	I tn
₽*(d^)=dp’(^)=d₽^«) =S-#d“'' =XS4r^rrfM!-
i=i	i=l /=1
Далее
(ф* о ф*) (dwk) = ф* [ф* (dw*)] = ф* |Дф* (и?)] —
m	m
=<г WW (<»')
/=1	С=1
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм	243
Но
i
Ф* (dv1) = Др* (v') = d(f‘ = У 1 d^.  du‘,
ди1
i=l
поэтому
m I
(ф* о ф‘) (dwk) = У У -^т- du‘.
т ) \	ды dill
i=i i=l
Равенство доказано. Отсюда следует справедливость свойства
3° для любой линейной формы. Далее доказательство проведем
по индукции. Пусть
со = / (да) dwli Л ... Л dw'p е Qp (№).
Тогда р‘ (да) = (Г (/ ада‘> Л • • • Л dw^-1) Л Р* (dwlp) =
= (ф* о ф‘) {/ dw!i Л... Л dw^-1) Л (ф* ° Ф’) (dw‘p) =
= (ф* о ф‘) (/ dw‘i Л ... Л dw‘p) = (ф* о ф‘) (со).
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
1. Определения. Обозначим через 1т единичный куб в ев-
клидовом пространстве Ет:
Im=(t^E”', Oc/'d, i=l,2........т}.
Под отображением ф куба 1т в «-мерную область GaEn бу-
дем понимать отображение в G некоторой области D<^Em, со-
держащей внутри себя 1т. Аналогично дифференциальной
р-формой со, определенной в 1т, будем называть р-форму, опре-
деленную в некоторой области D<^Em, содержащей 1т.
Определение 1. Интегралом от р - ф о р м ы
d)=f (/) did/\dt2Д.. ./\dfp,
определенной в кубе 1Р, по кубу 1р будем называть величину
1 1
( ® = J ... ^f(t)dEdt2 ... dtp.
Д о о
Нашей ближайшей целью является определение интеграла
от дифференциальной формы по любой поверхности. Естествен-
но, что при этом степень формы будет совпадать с размерно-
стью поверхности. Под поверхностью мы будем при этом пони-
мать отображение единичного куба той же размерности (на-
помним, что понятие отображения включает в себя как область
244 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
значений, так и закон соответствия). Впрочем, иногда мы будем
называть поверхностью только лишь образ куба.
Определение 2. Назовем т-мерным сингуляр-
ным кубом в пространстве Еп (m<.ri) дифференцируемое
отображение куба Im в Еп. Таким образом, обозначая сингу-
лярный куб через С, можно записать:
С=<р: Im-+En.
Будем говорить, что сингулярный куб С содержится в Ga:En,
если c:G.
Теперь можно определить интеграл от любой р-формы сое
eQp(G) по любому р-мерному сингулярному кубу CcG.
Определение 3. Интегралом от формы cocQp(G)
по сингулярному кубу С=<р: 1р-+Еп, содержащемуся в G, назо-
вем величину
J® = J ф* (со) .
С /Р
Убедимся в том, что интеграл от р-формы со по р-мерному
сингулярному кубу С зависит лишь от образа ср(7р), а не от
закона соответствия <р.
Прежде всего рассмотрим подробнее определение интеграла
от со по сингулярному кубу С.
Пусть coeQp(G) имеет вид со =f(x)dvf*A.. ,/\dxlp, тогда ср* х
X (со) = f [<р (0J ф’ (c£vl>A ... А дх*р).
В силу примера 2° п. 1 § 3 получаем
ср* (to) = / [ф (f)]	•••,..>УР).. dti a dt2 Л... Л dtp.
Следовательно,
fco=f /[ср(О] P(q>fl.....Ф‘Р)-df Л...Л^.
J	J ' 1	J D(ri, ... , tP)
с	JP
Определение 4. Пусть Ci=<fX\[p-!>-En и С2=<р2:1р->-Еп —
два сингулярных куба. Будем говорить, что С1=С2, если суще-
ствует взаимно однозначное отображение х куба 1р на себя та-
кое, что:
1) Ф1 (0 =фг[т(0];
2)	...тР) >п
'	D(tl,P.....tp)
Ясно, что если Ci=C2, то и C2=Ci, так как обратное отоб-
ражение т-1 будет удовлетворять необходимым требованиям.
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм
245
Будем говорить, что Ci=—Cz, если в условии 2) функцио-
нальный определитель всюду меньше нуля (очевидно, при этом
С2=—Ci). Иногда в этом случае говорят, что Ci и С2 отлича»
ются ориентацией.
Справедливо следующее
Утверждение. Если С [—Ci, то
[ ® = j ®.
с, с.
Доказательство. Проведем доказательство для слу-
чая, когда
®=f (x)dx'/\dx2/\.. ./\dxp.
По определению
С, ]р	‘
По условию существует отображение т куба 1Р на себя,
удовлетворяющее условиям 1) и 2). Сделаем в интеграле заме-
ну переменной	s^Ip. Получим <р2(0 =<p4r(s)]=<pi (s) и
Г « - f цФ1 (,)]	.....« .	& Л
J J 1 1 D(p,P, ... , tp) D(s\s2...........Sl3)
c. tP
/\ds2/\.../\ dsp=f f [ф, (S)]	j- ds1 A    AW = f to.
J	D^s1, ... s₽)	J
[P	c.
Аналогично можно показать, что если Ci=—С2, то
с, са
2.	Дифференцируемые цепи. Нам понадобятся поверхности,
которые распадаются на несколько кусков, каждый из которых
является образом некоторого m-мерного куба. Примером такой
поверхности может служить состоящая из двух окружностей
граница кольца, лежащего на двумерной плоскости. При этом
мы будем различать ориентации этих окружностей. В связи с
этим весьма полезным оказывается введение линейных комби-
наций сингулярных кубов с вещественными коэффициентами.
Определение 1. Будем называть р-мерной цепью
С произвольный набор
{Xi, Х2, ..., Хй, Ci, С2, ..., Ск},
246 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
где hi — вещественные числа, а С, — р-мерные сингулярные ку-
бы. При этом будем использовать обозначение
C=XiC]+.. ,+hkCk-
Будем говорить, что С принадлежит G, если все Ci принад*
лежат G.
Множество р-мерных цепей образует линейное пространст-
во, если ввести естественным образом операции сложения и ум-
ножения на вещественные числа.
Определение 2. Интегралом формы а по р-мер-
ной цепи С, содержащейся в G, назовем величину
J со = J со; + Х2 со + ... -|- со.
с с, с,	ck
Теперь можно определить границу произвольного сингуляр-
ного куба. Для этого определим сначала границу единичного
куба.
Определение 3. Границей куба 1р назовем
(р—1) -мерную цепь
р
а7Р=у (_1)с[/р(0_./р(1-)]1
i=i
где Iap(i) — пересечение куба 1р с гиперплоскостью х!=а (а=
=0, 1).
Для того чтобы это определение было корректным, необхо-
димо разъяснить, какой смысл вкладывается в утверждение о
том, что Iap(i) является (р—1)-мерным сингулярным кубом.
Построим каноническое отображение ф=ф(“’р куба 1р~1
на куб Пусть s=(s1, s2, ..., ,sp~l)^Ip~l. Положим
Ф*(«) =
sk, если 1 < k < i;
а, если k = i;
sk~1 если i < k < p.
Очевидно, cp=(cp,I <p2, ..., фр) отображает 7p-1 на /ttp(i) вза-
имно однозначно. В частности, при а=0 и i=p отображение ср
является сужением на /ор(р—1) тождественного отображения
пространства Ер на себя.
Определение 4. Границей р-мерного сингулярного
куба С=ср: 1р-+Еп назовем (р—1) -мерную цепь
р
ас=у (-1)4<р (7₽(0)-ф(/₽ (эд.
i=i
Таким образом, граница образа куба /р является образом
границы 1Р с естественной ориентацией.
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм
247
Примеры. 1°. Рассмотрим на плоскости квадрат I2. Оче-
видно, этот квадрат можно рассматривать как сингулярный
куб, взяв в качестве <р тождественное отображение. На рис. 6.5
указана граница этого квадрата, причем если сторона квадрата
входит в цепь д!2 со знаком +, то направление стрелок совпа-
дает с направлением возрастания параметра tk, по которому
производится интегрирование; если же сторона берется со зна-
ком —, то направление стрелок является противоположным на-
правлению возрастания параметра tk. Таким образом, наше со*
глашение о знаках приводит к обычному обходу границы про-
тив часовой стрелки.
2°. Рассмотрим сингулярный куб С=<р: I2-^-R2, где <р имеет
вид
<р1 = (а+/?/1) cos 2л/2; <p2=(a+7?/1)sin 2л/2.
Легко видеть, что <р(/2) — кольцо, граница которого обра-
зована окружностями радиусов а и a+R. Выясним, что являет-
ся границей сингулярного куба С. Очевидно, <р(/02(1)) —
окружность
<Pi=acos2n/2; <р2=а sin 2л/2.
Далее, <р(Л2(1)) — окружность радиуса a+R. Наконец,
<р(/02(2)) и <р(/12(2)) — это отрезок x2=0, acxl<a+R.
На рис. 6.6 стрелками указано направление обхода границы
дС, если обход границы д!2 совершается против часовой
стрелки.
Поскольку <р(/02(2))—<р(712(2))=0, то можно считать, что
дС=ъ(Ц2(1))~ч(102(1)),
а это совпадает с обычным пониманием границы кольца.
248 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
Выясним, каким образом связаны интегралы от формы <в па
границе куба С и формы ф* (со) по границе 1р.
Утверждение. Пусть С=<р: 1р-+Еп — произвольный син-
гулярный куб, содержащийся в G, и пусть	Спра-
ведливо равенство
J ® = J ф*(ш).
дС aip
Доказательство. Очевидно, в силу определения интег-
рала по цепи достаточно доказать равенство
J ®= J <р*(®).
ф(/Рщ.) /Р(О
Рассмотрим каноническое отображение ф=фЛр: /р-1->/ар (i).
По определению
J ф’(®) = J ф*[ф‘(®)1-
/р(0	/Р'1
В силу свойства 3° дифференцируемых отображений (см. п. 2
§ 3) имеем
ф* о ф* = (ф о ф)*.
Таким образом,
j ф’(<’>) = J (Ф’Ф)*(®)= J ®= J (В,
/Р(0	/Р"1	(<роф)(/Р-1)	ф(/Р(0)
поскольку (ф О ф) (/Р-1) = ф (/а (*’))•
3.	Формула Стокса.
Основная теорема. Пусть С=ф: 1р-^Еп — произволь-
ный сингулярный куб, содержащийся в G, и пусть coeQp_i(G).
Справедлива формула Стокса
J*”"! “
с дС
Докажем эту формулу сначала в следующем частном слу-
чае:
Пусть со — дифференциальная форма степени р—1, опреде-
ленная в 1р. Тогда справедливо равенство
=	(6.1.19)
1Р д!р
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм
249
Доказательство. Пусть co=f (t)dt2/\.. ./\dtp. По опреде-
лению
р
J <“=£(-!)'( j »- J »).
д!р 1=1	/§(0
Вычислим следующий интеграл:
J со, где i= 1, 2, ... , р, а = 0,1.
/£(<)
Рассмотрим каноническое отображение <р: 1р~х -* la (i).
В силу результатов п. 1 имеем
f “= J/S(si1
Ipaw d”1
По определению канонического отображения ф“’₽ якобиан
имеет вид
D(sz, ... , si-1, a, sl, ... , sP’1) n . , ,
--i— -------!—  :---!---- = 0, если l=£ 1
Dis1, sa.sP-i)
Таким образом, отличными от нуля могут быть только ин-
тегралы по /ар(1), и мы получаем
| со = (— 1) ( J со— j со) = j f (1, s1, s2, ... , sP-^ds1 Л...
/go) /р<1)	/р-1
,../\dsp~i— [ /(0, s1, ..., sP-^ds1 Л.. .A dsp_1.
yP-l
По определению интеграла по кубу /р-1
1 1
J со = J	. J [/(1, s1, ... , sp-1)—/(0, s1, ... , sp-1)] d^ds2.. .dsp-1 =
г/Р о о
1 1 1
'-^-ds°dsl ... dsp—1 = f -^~ds° A .. • A dsp->.
ds°	J dsP
ООО	/Р
250 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве
С другой стороны,
dm	/\dt2 /\ ... /\ dtp.
dti
Следовательно,
/Р jp
Равенство (6.1.19) доказано.
Доказательство теоремы Стокса. По определе-
нию интеграла по сингулярному кубу
J dm = J ф* (dco).
С /Р
В силу свойства 2° дифференцируемых отображений (см. п. 2
§ 3)
J ф*(сйо) = ^ С?ф*(й>).
/Р	/Р
Далее воспользуемся уже доказанной формулой Стокса для
куба 7р:
J dtp* (со) = J ф’(®).
1р	д!р
Остается заметить, что по свойству интегралов по границе
сингулярного куба (см. утверждение п. 2)
У ф*(®) = У ®.
д!р	%с
Теорема полностью доказана.
4.	Примеры. Г. Рассмотрим случай р=1. Одномерный син-
гулярный куб С в Еп — это некоторая кривая, концы которой
обозначим через а и Ь. Формула Стокса приобретает вид
yd/ = J/=/(6)-/(G).
С дС
В частности, когда п=1, получаем формулу Ньютона —
Лейбница
y/'U)^ = f(&)-/(a).
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм
251
2°. Пусть теперь р=2. Двумерный сингулярный куб С — это
двумерная поверхность, форма toeQi имеет вид
о
= £
fe=i
Используя пример 2 п. 2 § 2, получим
JE (М л dx‘=,f S 
С k<J	дС Л=1
Если п=2, то, обозначая a=Pdxl+Qdx2, получим формулу
Грина
С f—------—} dxr/\dx2 = С Pdx1 + Qdx2.
J \ dx1 dx* )	J
С	dC
Если n=3, то получим обычную формулу Стокса.
3°. Пусть р=п. Тогда (1)£Йп-1 имеет вид
<о = £ Л ... Л dx^ /\ dxk+1 Д ... Л dxn.
Л=1
Далее,
da = У, У -ут- dx1 /\dxr Л.. . Д dxn =
*=i i=i
= У (-1)*"1 dx1 Adx2/\. ../\dxn.
A—	dxk
k=i
В частности, при п=3
® = Pdx2 Л dx3—Qdx1 Л dx3 + Rdx1 Д dx2-,
dto = I-------------I dx1 /\ dx2 Д dx3,
\ dxi dx* dx3)
и мы получаем формулу Остроградского.
Глава 7
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
Эта глава посвящена изучению специального класса функций,
представимых в виде собственного или несобственного интеграла
по одной переменной х от функции, которая кроме указанной
переменной х зависит еще от одной переменной у, называемой
параметром. Функции, представимые такими интегралами,
принято называть интегралами, зависящими от пар а-
метра.
Естественно возникают вопросы о непрерывности, интегрируе-
мости, дифференцируемости таких функций по параметру.
§ 1. РАВНОМЕРНОЕ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
СТРЕМЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
К ПРЕДЕЛУ ПО ДРУГОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.	Связь равномерного по одной переменной стремления функ-
ции двух переменных к пределу по другой пременной с равномер-
ной сходимостью функциональной последовательности. Пусть на
множестве Z, принадлежащем пространству Е2 и состоящем из
пар (х, у), где х принадлежит некоторому множеству числовой
оси {х}=Х, а у принадлежит некоторому множеству числовой
оси {у} = У, задана функция двух переменных f(x, у). В простей-
шем случае под Z можно подразумевать прямоугольник П =
=	где {х}—Х= [а, Ь], {y} = Y= [с, d], a f(x, у) —
функция, заданная на прямоугольнике П. Пусть далее уо — пре-
дельная точка множества {у}.
Если при каждом х, принадлежащем множеству {х}, сущест-
вует конечный предел
lim/(x, y) = g(x),
то будем говорить, что функция f(x, у) поточечно стремит-
ся к функции g(x) на множестве {х} при у, стремящемся к уо,
и будем писать:
Цх, У)~+ё(,х) при у-+у0.
Понятие поточечного стремления f(x, у) к g(x) обобщает по-
нятие сходимости в точке функциональной последовательности
(см. § 1 гл. 2).
§ 1. Равномерное стремление функции к пределу
253
Действительно, в частном случае, когда множество {y}=Y
является последовательностью {уп} и уп-+Уо, функцию f(x, у)
можно рассматривать как функциональную последовательность
fn(x) = f(x, уп), определенную на множестве {х}=Х.
Определим теперь понятие равномерного по переменной х
стремления функции f(x, у) двух переменных к предельной функ-
ции g (х) при у^у0.
Определение. Функция f(x, у) стремится равномер-
но относительно х на {х} к функции g(x) при у, стре-
мящемся к уо, если для любого е>0 существует 6 = 6(е)>0 такое,,
что для всех у Фу о из множества {г/}, для которых \у—г/о| <6, t£
сразу для всех х из множества {х} выполняется неравенство
If(х, у)— g(x)|<8.
Докажем утверждение, устанавливающее связь между равно-
мерным на множестве {х} стремлением функции f(x, у) к g(x)
при у-^-уо и равномерной на множестве {х} сходимостью функцио-
нальной последовательности fn(x)=f(x, уп) при уп-+Уо, где упФУо-
для всех п, уо — предельная точка множества {у}.
Утверждение 1. Функция f(x, у) стремится к функции
g(x) равномерно относительно х на множестве {х} при у^-уо тогда
и только тогда, когда функциональная последовательность fn(x) =
=f(x, уп) сходится равномерно на множестве {х} к предельной
функции g(x) для каждой последовательности {уп}, Уп-^-Уо, где уп
принадлежат {у}, упфуо-
Доказательство. Необходимость. Пусть f(х, у) стремится
к g(x) равномерно на множестве {х} при у-фа. Возьмем произ-
вольную последовательность {«/„}, где уп принадлежат {у}, упФу&
и Уп-фо- Покажем, что последовательность {f«(x)}, где fn(x) =
=f(x, Уп) равномерно на множестве {х} сходится к g(x).
Фиксируем произвольное число е>0 и по нему число 6 = 6 (е)>
>0 такое, что для любых у из множества {г/} таких, что 0<
<\у—1/о| <6, и для всех х из {х} выполняется неравенство
| f (х, у)—g(x)|<e. Поскольку уп-+Уо, то найдется такой номер
H = N(6), что при любых пфИ выполняется неравенство
| Уп У о | <6,
из которого следует, что
lf(*, Уп)— g(x) | <8
при всех х, принадлежащих {х}, и при любом пфД. Это означает,
что fn(x) стремится равномерно на множестве {х} к g(x).
Достаточность. Пусть для любой сходящейся к уо последова-
тельности {уп}, где уп принадлежат {у}, упФУо, соответствующая
последовательность fn(x)=f(x, уп) равномерно на множестве {х}
сходится к функции g(x). Докажем, что функция f(x, у) равно-
254
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
мерно на множестве {х} стремится к g(x) при у-*-Уо. Допустим
противное, т. е. допустим, что существует такое число ео>0. что
для любого 6>0 найдутся уе¥=Уо, \Уъ—Уо\<&, и точка хл из
{х} такие, что
|f(xe, f/е)—£(*о) |>80.
Пусть {бп} — последовательность положительных чисел, сходя-
щаяся к нулю. Тогда для соответствующих последовательностей
{*/«}, {хп}, где уп=Уг,п, хп=х6п, будем иметь уп^у0, \уп-г/о|<б,
тогда как |f(xn, уп)—g(xn)\^e.Q. Следовательно, последователь-
ность функций f(x, yn)=fn(x) не сходится к g(x) равномерно на
множестве {х}. Таким образом, мы пришли к противоречию. Ут-
верждение 1 полностью доказано.
2.	Критерий Коши равномерного стремления функции к пре-
дельной.
Теорема 7.1. Для того чтобы функция f(x, у) стремилась
равномерно на множестве {х} к некоторой функции g(x) при
У-^-Уо, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е>0
существовало бы число б = б(е)>0 такое, что для любых у', у"
из множества {у}, для которых 0<\у'—г/о| <б, 0<\у"—г/0| <6, и
для всех х из множества {х} выполнялось бы неравенство
If(х, /)—f(x, у") |<е.
Доказательство. Согласно утверждению 1 достаточно
рассмотреть последовательность {/(х, уп)}, соответствующую пос-
ледовательности {г/п}, где Уп~^Уо, Уп из {у}, Уп^Уо, и восполь-
зоваться критерием Коши равномерной сходимости функциональ-
ной последовательности (см. § 1 гл. 2).
3.	Применения понятия равномерного стремления к предельной
функции. Пусть множество {х} = Х совпадает с сегментом [а, Ь],
Уо — предельная точка множества {y} = Y. Рассмотрим функцию
f(x, у), где х из [а, б], а у из множества У. Сформулируем ряд
утверждений, вытекающих из соответствующих утверждений для
равномерно сходящихся функциональных последовательностей
(см. гл. 2). Эти утверждения доказываются путем перехода к про-
извольной последовательности {</„}, уп из У, упД=Уо, Уп-^-Уо при
П~~>оо.
Утверждение 2. Пусть функция f(x, у) интегрируема на
[а, Ь] при каждом фиксированном у из Y и f(x, у) равномерно
на [а, Ь] стремится к g(x) при у-^-Уо- Тогда g(x) интегрируема на
[а, Ь] и справедливы равенства
b	b	ь
lim f f (х, у) dx = f g(x) dx = C [lim f (x, y)] dx.
Wo J	J	J Wo
Для доказательства этого утверждения достаточно применить тео-
рему 2.8.
§ 1. Равномерное стремление функции к пределу
255
Утверждение 3. Если функция. f(x, у) непрерывна по х
на [а, Ь] при каждом фиксированном у из множества Y и f(x, у)
равномерно на [а, Ь] стремится к g(x) при у-э-Уо, то g(x) — не-
прерывная на [а, Ь] функция.
Для доказательства следует воспользоваться следствием 1 из
теоремы 2.7.
Утверждение 4. Пусть функция f(x, у) непрерывна по х
на [а, Ь] при каждом фиксированном у и при стремлении у к уо
в каждой фиксированной точке х сегмента [а, 6] эта функция,
не возрастая (не убывая), сходится к непрерывной предельной
функции g(x). Тогда f(х, у) стремится к g(x) равномерно
на [а, Ь].
Это утверждение является аналогом теоремы 2.4 гл. 2 (признак
Дини).
При переходе к последовательности {у„} необходимо выбирать
ее возрастающей и так, чтобы уп-^Уо-
Утверждение 5. Если при каждом фиксированном у из
множества Y функции от х f(x, у) и fx'{x, у) непрерывны на
[а, &] и при у-+Уо функция f(x, у) стремится к g(x), а функция
f*'(x, у) стремится к h(x) равномерно на [а, 6], то функция g\x)
дифференцируема на [а, &], причем
g'{x)=h(x),
или
{lim/(x, у)}х = lim/Дх, у).
Для доказательства этого утверждения необходимо воспользовать-
ся теоремой 2.9.
Утверждение 6. Пусть функция f(x, у) задана на прямо-
угольнике TL={a^.x^.b, c^y^d} и непрерывна на нем. Тогда при
любом у о из сегмента [с, d] при у-э-Уо функция f(x, у) стремится
равномерно по х на [а, Ь] к функции [(х, у0).
Доказательство. Поскольку непрерывная на прямоуголь-
нике П функция является и равномерно непрерывной на нем, то
для любого числа е>0 существует такое число 6 = б(е)>0, что
для любых точек (х', у'), (х", у"), для которых |х'—х"|<6,
\у'—у"\<8, справедливо неравенство
|/« /)-/(х", /')|<е.
Пусть х'=х"=х, у' = у, у" = Уо. Тогда для любых у из [с, d]
таких, что \у—г/0| <6, и для любых х из [а, &] выполняется нера-
венство
|/(х, у)— f(x, у0) |<е.
Но это и означает равномерное на [а, Ь] стремление }{х, у)
к f(x> Уо) при у-+уо. Утверждение доказано.
256
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
§ 2. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ
ОТ ПАРАМЕТРА
1. Свойства интеграла, зависящего от параметра. Пусть функ-
ция двух переменных f(x, у) определена для х, принадлежащих
сегменту [а, &], и для у, принадлежащих некоторому множеству
(г/) = У. Допустим, что при каждом фиксированном у из У функ-
ция f(x, у) интегрируема по [а, &]. Тогда на множестве У опре-
делена функция
ь
I(y)=$f(x, y)dx,	(7.1)
цазываемая интегралом, зависящим от параметра у.
Изучим свойства интеграла, зависящего от параметра. Заме-
тим сначала, что согласно утверждению 2 из § 1, если функция
/(х, у) стремится равномерно на [а, к функции g(x) при
:У-»-Уо, то в интеграле (7.1) можно сделать предельный переход
под знаком интеграла.
Теорема 7.2 (о непрерывности интеграла по параметру).
Пусть функция f(x, у) непрерывна на прямоугольнике П={а^х-С
ь
^b, c^y^d}. Тогда интеграл I(y)= Jf(x, У)дх является непре-
а
рывной функцией параметра у на [с, d].
Доказательство. В силу утверждения 6 § 1 функция
f(x, у) стремится равномерно на [а, Ь] к функции f(x, у0) при
у-+Уо. Следовательно, как было отмечено выше, можно сделать
предельный переход под знаком интеграла:
ь	ь	ь
lim/(«/) = lim f/(x, y)dx = C lim/(x, t/)dx=f/(x, y0)dx = I(y0),
У^-Уо	У-1-Уо "	J У->У,	J
что и требовалось.
Теорема 7.3 (об интегрировании интеграла по параметру).
Если функция f (х, у) непрерывна в прямоугольнике П =
ь
={a^.x^.b, c^y^Zd}, то функция I(у)= f(x, y)dx интегрируе-
а
ма на сегменте [с, d]. Кроме того, справедлива формула
d	а ь	ь d
jl(y)dy= J[$/(*» y)dx^dy = J [р(х, y)dy]
с	с а	ас
dx.
Иными словами, в условиях теоремы интеграл, зависящий от
параметра, можно интегрировать по параметру под знаком интег~
рала.
§ 2. Собственные интегралы, зависящие от параметра
257
Доказательство. Согласно предыдущей теореме 7.2 функ-
ция непрерывна на [с, d]. Поэтому она интегрируема на этом сег-
менте. Справедливость формулы следует из равенства повтор-
ных интегралов, поскольку оба они равны двойному интегралу
Jjf(x, у) dxdy (см. гл. 3). Теорема доказана,
п
Теорема 7.4 (о дифференцируемости интеграла по парамет-
ру). Пусть функция f(x, у) непрерывна на прямоугольнике П и
имеет на нем непрерывную производную fy'(x, у). Тогда определя-
емая равенством (7.1) функция 1(у) дифференцируема на [с, d]’ и
ь
/'(«/) = J fy(x, y)dx.	(7.2)
а
Иными словами, в условиях теоремы можно дифференцировать
под знаком интеграла.
Доказательство. Рассмотрим получаемое из формулы
Лагранжа соотношение
где О<0<1. Заметим, что fy'(x, y+Qh) стремится равномерно на
[а, Ь] к fy'(x, у) при А->0.
Следовательно, при Л-э-0 допустим предельный переход под
знаком интеграла в соотношении
ь
Hy + h) -i(y) = г f' y + Qh)dx.
n	J
a
Отсюда и получаем формулу (7.2). Теорема доказана.
2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от парамет-
ра. Пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =
={а<хср, ссусс?}, а заданные на [с, d\ функции а(у) и Ь(у)
отображают [с, d] в сегмент [а, р].
Если при любом фиксированном у из [с, d] функция f(x, у)
интегрируема по х на сегменте [а(у), Ь(у)], то, очевидно, на
[с, d] определена функция
Ь(и)
1(У)= \ f(x, y)dx,	(7.1')
a(j/)
представляющая собой интеграл, зависящий от параметра у, у ко-
торого пределы интегрирования также зависят от этого параметра.
Теорема 7.5 (о непрерывности интеграла по параметру).
Пусть функция f(x, у) непрерывна на прямоугольнике П, а функ-
Ql/2 Зак. 25
258
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
ции а (у) и Ь(у) непрерывны, на сегменте [с, d]. Тогда функция
*(»)
I(y)=* J /(х, y)dx непрерывна на [с, d],
а(у)
Доказательство. Зафиксируем произвольное у0 из сег-
мента [с, d]. Тогда в силу свойства аддитивности интеграла
b(y,)	b(y)	а(у)
1(у) = J /U. y)dx+ J f(x, y)dx— J f(x, y)dx.
tyo)	a(y„)
Первый интеграл в правой части представляет собой интеграл,
зависящий от параметра у, с постоянными пределами интег-
рирования. Следовательно, он является непрерывной функцией от
у и поэтому при у-^уо стремится к 1(уо). Для двух других интег-
ралов получаем оценки
ь<.у)
I j f(x, y)dx\<M\b(y)-b(ye)\,
ьы
а(У)
| J f(x, г/) dx | < Л41 а (г/) —а(г/0)|,
где A4 = sup|f(x, у) |.	Из непрерывности функций а (у) и Ь(у)
п
следует, что при у-+уо оба эти интеграла стремятся к нулю. Таким
образом, 7(г/)->/(у0) при у-^уо. Теорема доказана.
Докажем теперь теорему о дифференцируемости интеграла
1(у), определяемого равенством (7.1') •
Теорема 7.6 (о дифференцируемости интеграла по парамет-
ру). Пусть функция f(x, у) непрерывна вместе с производной
fy'(x, у) на прямоугольнике П, а функции а (у), Ь(у) дифференци-
руемы на [с, d]. Тогда интеграл Цу), определяемый равенством
(7.1*), дифференцируем по у на [с, d] и справедливо равенство
ь<у)
I'(y)= J fy(x, y)dx + f[b(y), y]b’(y)—f[a(y), y]a'(y).	(7.3)
aly)
Доказательство. Зафиксируем произвольное уо и
шем соотношение
h
b(y,+h)	b(y,)
f(x, y0 + h)dx— V f(x, y0)dx
a{y,+K)	a(y„)
запи-
(7.4)
(h выбрано так, что y0 + h^[c, d]). Так как
b(y,+h)	a(y,)
J f (x, ya +h)dx= J /(x, y0+h)dx +
a(y,-\-h)	a(y,+h)
§ 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
259
Ь(У,)	Ь(у,+Ю
+ У f U. Уо + h) dx + J f (x, y0 + h) dx,
а(У9)	b(yj
TO
b(y,}
I(y0+h)—I (y0)  Г f(x, y0+h) — f(x, y0) dx
h	J	h
а(У<Л
a(yj	b(y,+h)
+ ~Г f f(x,y0+h)dx + -±- C f(x,y0 + h)dx.
nJ	nJ
а(»о+Л)	b(yj
В первом слагаемом правой части этого равенства согласно тео-
реме 7.4 можно перейти к пределу под знаком интеграла при
Воспользуемся первой формулой среднего значения для интег-
ралов и представим второе и третье слагаемые в виде
a(yj
V f f(x, y0 + h)dx=f(l, y0 + h) a^9±-^yb + h.)....t
ft J	ft
где g заключено между числами а(уо) и a(yo+h)-9
-f ( f<x> y0+h)dx=f(g, y0 + h) b^+h)~W,
n j	n
b(yj
где заключено между числами b(yo) и b(yo+h).
Из этих равенств и из непрерывности функций а (у) и Ь(у)
получаем, что при /г—>0
а<у,}
J f (х, y0 + h)dx [а (у0), г/0] а' (г/0);
а(у,+Н)
b(y,+h)
~~ f f(x, y0 + h)dx-+f[b(y0), y0]b'(y0).
J
ЬШ
Таким образом, в равенстве (7.4) допустим предельный переход
при Л->0 и справедлива формула (7.3). Теорема доказана.
§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ
ОТ ПАРАМЕТРА
В этом параграфе мы будем изучать случай равномерного от-
носительно у^{у} стремления функции двух переменных F(x, у)
к предельной функции G(y) при х->+оо.
260
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
Пусть функция К(х, у) определена на множестве Z, состоящем
из пар (х, у), где х принадлежит множеству {х}=Х, а у принад-
лежит множеству {г/) = У, X и У — множества числовой оси. Пред-
положим, что + оо является предельной точкой множества X (т. е.
для любого числа а множества (а, Н-оо) содержит по крайней
мере одну точку из X).
Определение 1. Функция F(x, у) стремится равно-
мерно о т но с ит е ль но у н а множе ст в е X к ф у нкции
G(y) при х, стремящемся к +оо, если для любого е>0 найдется
такое число х0, что для любых х, принадлежащих X и удовлет-
воряющих условию х>х0, и для любых у из У выполняется нера-
венство
|F(x, у)—б(г/)|<8.
1. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от пара-
метра. Перейдем теперь к изучению несобственных интегралов.
Пусть функция f(x, у) определена при всех х^а, при всех у из
некоторого множества {*/}=У и при каждом фиксированном у
из У интегрируема на [а, + оо), т. е. для каждого у из У сходится
интеграл
1(У) = У) dx.	(7.5)
а
Определение 2. Несобственный интеграл (7.5) называется
сходящимся равномерно по параметру у на мно-
жестве У, если функция
F{t, y)=jf(x, y)dx	(7.6)
а
равномерно на множестве У стремится к предельной функции
Цу) при /~>+оо.
Справедлив следующий критерий равномерной сходимости не-
собственного интеграла, зависящего от параметра.
Теорема 7.7 (критерий Коши). Для того чтобы несобствен-
ный интеграл (7.5) сходился равномерно на множестве У, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало такое
число t^a, что при всех t', t", превосходящих t0, и при всех у из
У было справедливо неравенство
| J f(x, У) dxj< е.
е
Справедливость этого критерия вытекает из теоремы 7.1, при-
мененной к функции
F(t, y) = ^f(x, y)dx.
а
§ 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра	261
Из критерия Коши, в частности, вытекает следующий признак
сравнения.
Теорема 7.8 (признак Вейерштрасса). Пусть при всех у из
У и всех х, принадлежащих полуоси [аь оо), где ах>а, для функ-
ции f(x, у) выполнено неравенство
|Ж У) |<ф(х),
где гр (х) — интегрируемая (в несобственном смысле) на [а, оо)
функция. Тогда интеграл (7.5) сходится равномерно.
да
Доказательство. Поскольку интеграл [ q(x)dx сходится,
а
то для любого числа е>0 найдется такое число что при
любых t', t" таких, что	выполняется неравенство
f
§ ф (х) dx < 8.
t'
Тогда
г	г	Г
| jf(x, y)dx\< J |f(x, i/)|dx< j4(x)dx<e,
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Из критерия Коши равномерной сходимости
несобственного интеграла вытекает, что интеграл (7.5) и его «ос-
да
таток» (т. е. интеграл вида J f(x, y)dx, где а'>а) равномерно схо-
а*
дятся одновременно.
Замечание 2. Аналогично тому, как был доказан признак
Дирихле—Абеля для несобственных интегралов (см. дополнение 1
к гл. 9 ч. 1), доказывается следующее утверждение (признак
Д и р и х л е—А беля):
Если интеграл F(t, y) = ^f(x, y)dx равномерно ограничен,
а
т. е. при всех t>a и у из У выполнено условие |К(/, у) |
a g(x) ограничена и монотонно стремится к нулю при х-*+оо, то
оо
интеграл J f (х, у) g (х) dx сходится равномерно,
а
Перейдем теперь к изучению свойств зависящих от параметра
несобственных интегралов.
Теорема 7.9. Пусть для любого Ь, превосходящего а, функ-
ция f(x, у) равномерно на сегменте а-^х^Ъ стремится к функции
g(x) при у-^Уо, где уа — предельная точка множества У, и интег-
9 Зак. 25
262
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
рал 1 (у) = J f (х, у) dx сходится равномерно на множестве У,
Тогда
СО	00
lim/(i/) = lim С/(х, у) dx = f g (х) dx.
У-+УО	У—Уь	'
Доказательство. Докажем интегрируемость на [а, оо)
функции g(x). Для произвольного е>0 найдем число /о = /о(е)>0
такое, что для любых f, t", превосходящих ta, и для всех у из У
выполнено неравенство
г
| J f (х, у) dx | < е.
Зафиксировав произвольные t' и t", превосходящие t0, перейдем
в этом неравенстве к пределу при у-+Уо, получим
г
IJ g(x)dx|<e.
Г
00
Это и доказывает сходимость интеграла \>g(x)dx.
а
Пусть {/„} — произвольная последовательность такая, что
f„->+oo. Введем в рассмотрение функциональную последователь-
ность
Ц(у)~ J Ж V)dx,
а
которая равномерно на множестве У сходится к функции I(у),,
определяемой равенством (7.5). В силу утверждения 2 § 1 для
каждой из функций 1п(у) существует конечный предел при у-^Уо-
Более того,
lim7n(i/) = lim f f(x, y)dx= f [limf(x, z/)]dx=-f g(x)dx.
У^Уо	У^Уо •	\ У-^-Уо	'
Но тогда существует и предел
со
lim/(i/)= lim Г g(x)dx = fg(x)dx,
А'-н/.	4.-*“	J	J
a	a
поскольку согласно теореме 2.7 гл. 2 символ lim предела рав-
номерно сходящейся последовательности {Тп(у)} и символ lim пре-
У-+У»
§ 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
263
дела функции 1п(у) можно переставлять местами. Теорема дока-
зана.
Допустим, в частности, что точка уо принадлежит множеству
У и функция f(x, у) непрерывна в точке г/0, т. е. f(x, у) при любом
Ь>а стремится равномерно на сегменте а^х^& к /(х, у0) при
у-^-Уи- Тогда lim7(y) = 7(y0), т. е. 1(у) непрерывна в точке у0.
Таким образом, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 7.9* (о непрерывности несобственного интеграла
по параметру). Пусть f(x, у) как функция двух переменных непре-
со
рывна при х~^а и у из [с, d], а интеграл I (у) = J f (х, у) dx
а
равномерно на [с, d] сходится. Тогда функция I (у) непрерывна
на [с, d].
Доказательство. Можно утверждать, что для каждого
прямоугольника П={а<х<^, ссусД функция f(x, у) равномер-
но на сегменте а^х^Т стремится к f(x, y0)=g(x) при у—^Уо (см.
утверждение 6 § 1). Поэтому при t = trL для интегралов Д(«/),
введенных при доказательстве теоремы 7.9, выполнены условия
предельного перехода под знаком интеграла. Отсюда и из равно-
мерной на [с, d] сходимости к Цу) получаем, что	=
=1 (у0), т. е. функция Цу) непрерывна. Теорема доказана.
Теорема 7.10. Пусть f(x, у) как функция двух переменных
непрерывна и неотрицательна при х, принадлежащем полупрямой
[а, оо), и у, принадлежащем сегменту [с, d]. Пусть далее интег-
со
рал I (у) = J f (х, у) dx непрерывен по у на [с, d]. Тогда этот
а
интеграл сходится равномерно по у на [с, d].
Доказательство. Рассмотрим последовательность 1п(.У) =
= ^f(x, y)dx непрерывных на [с, d] функций, и пусть /„—>-+оо
а
не убывая. Последовательность {/«(у)}, монотонно не убывая, схо-
дится к непрерывной функции 1(у). Следовательно, можно приме-
нить признак Дини (теорема 2.4 гл. 2). Теорема доказана.
Теорема 7.11. Пусть f(x, у) как функция двух переменных
непрерывна и неотрицательна при х, принадлежащем полупрямой
[а, оо), и у, принадлежащем сегменту [с, d]. Пусть при у-^Уо
функция f(x, у), монотонно не убывая в каждой точке х по у,
сходится к непрерывной функции g(x). Тогда из сходимости ин-
о©
теграла \g(x)dx следует возможность предельного перехода при
а
У-^-Уа под знаком интеграла (7.5).
9*
264
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
Доказательство. Действительно, интеграл (7.5) сходится
равномерно на [с, d] по признаку Вейерштрасса (теорема 7.8),
поскольку f(x, y)^g(x) и g(x) — интегрируема на [а, оо). По-
этому в силу теоремы 7.9* можно переходить к пределу под зна-
ком интеграла, что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании
несобственного интеграла по параметру.
Теорема 7.12 (об интегрировании несобственного интеграла
по параметру). Пусть функция f(x, у) как функция двух пере-
менных непрерывна при х, принадлежащем полупрямой [а, оо), и
при у, принадлежащем сегменту [с, d], и пусть интеграл
I(y) = $f(x, y)dx равномерно сходится. Тогда функция Цу)
а
интегрируема на [с, d] и имеет место формула
d	d со	оо d
I(y)dy = dy f (х, y)dx = JdxJf(x, y)dy.	(*)
с	e а	а в
Доказательство. Согласно теореме 7.9* функция 1(у)
непрерывна на [с, d], а следовательно, и интегрируема на [с, d).
Докажем формулу (♦). Рассмотрим последовательность функций
1п(У)= j f(x> y)dx, где tn-*+<x>. В силу теоремы 7.3 для каждой
а
функции 1п (у) получаем
d	*п d
J In (у) dy — j dx j f (х, у) dy.	(7.7)
с	ас
Поскольку на [с, d] последовательность 1п(у) равномерно схо-
дится к 1(у), то под знаком интеграла, стоящего слева в формуле
(7.7), можно сделать предельный переход при п->оо. Следова-
тельно, при п->оо существует предел последовательности интег-
ралов, стоящих в правой части (7.7).
Таким образом,
lim [ In(jj)dy = \I(y)dy = lim f dx ( f(x, y)dy= Cdx ( f(x, y)dy,
Л-fr-QD V	•)	П—►ОО V	J	J J
с	с	a с	a c
что и требовалось доказать.
Теперь докажем теорему об интегрировании несобственного
интеграла (7.5) по бесконечному промежутку изменения парамет-
ра у.
Теорема 7.13. Пусть f(x, у) как функция двух переменных
непрерывна и неотрицательна в области а^х<оо, c^i/<oo, ин-
§ 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
265
теграл I (у)= f (х, y)dx непрерывен на полупрямой [с, оо),
а
о»
а интеграл Х(х) = J f(x, y)dy непрерывен на полупрямой [а, оо).
С
оо
Тогда из сходимости одного из двух интегралов J I(y)dy и
С
ОО
J К (х) dx следует сходимость другого из этих интегралов и спра-
а
ведливость равенства
J Hy)dy = Jl((x)dx,
с	а
или
CD	30	СП	СО
J<*/J f(x, z/)dx= JdxJf(x, y)dy.
c	a	a	c
Таким образом, в условиях этой теоремы несобственный интег-
рал, зависящий от параметра, можно интегрировать по параметру
под знаком несобственного интеграла и в случае бесконечного
промежутка изменения параметра.
Доказательство. В силу условий доказываемой теоремы
и в силу теоремы 7.10 интегралы 1(у) и /С(х) сходятся равномер-
но: первый на сегменте [<?, d] при любом d>c, а второй на сег-
менте [a, ft] при любом Ь>а. Пусть, например, сходится повтор-
ос
ный интеграл^I{y)dy. Рассмотрим неубывающую последовательность
X(x)dx=J р(х, y)dy = °^dy
а	ас	с а
Последовательность
/ (у,	=	(X, у) dx
а
при любом d, превосходящем с, равномерно на сегменте [с, d]
сходится к Цу). При этом последовательность {1{у, tn)} не убыва-
ет на [<?, d]. Отсюда и из теоремы 7.11 вытекает, что интеграл
оо
J I (у, t)dy сходится равномерно. Но тогда под знаком этого ин-
С
теграла согласно теореме 7.9 можно сделать предельный переход,
т. е. имеет место формула
J f (х, y)dx.
{tn}, tn^ + co. Тогда
266
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
f К (х) dx = lim ( К (х) dx = lim (’ I (у, tn) dy= f I (y) dy,
I	in^+a‘3a	/n-*+co^	3
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании по параметру
несобственного интеграла.
Теорема 7.14 (о дифференцируемости несобственного интег-
рала по параметру). Пусть функция Цх, у) и ее производная
fy'(x, у) непрерывны в области а^.х<оо, c^.y^.d. Пусть, далее,
СО
интеграл I (у) = j f (х, у) dx сходится в каждой точке у сегмента
а
со
[с, d], а интеграл J fy(x, y)dx сходится равномерно на сегменте
а
[с, d]. Тогда при любом у из [с, d] функция Цу) имеет произ-
водную 0, причем
ОО
Г («0 = j 4(х, y)dx.
а
Доказательство. Пусть /я-> + оо, а Ц{у) = ^Цх, y)dx.
а
Последовательность непрерывных функций 1Цу) сходится в каж-
дой точке [<?, d\ к функции /(у), а последовательность производ-
ных 1пЦу) сходится равномерно на сегменте [с, d]. Тогда согласно
утверждению 5 § 1 для любой точки у сегмента [с, d] существует
1Цу)— lim/„(у).
Л->00
Но In(y)= j f's(x, y)dx. Следовательно,
а
СО
1'(у) — ^ fAx> у) fa-
а
2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от пара-
метра. Пусть функция Цх, у) определена при х, принадлежащем
[а, Ь], и у, принадлежащем У. Пусть при каждом фиксированном
у из У функция /(х, у) является неограниченной при х->-а, но та-
кой, что сходится несобственный интеграл
ь
Цу)= $f(x, y)dx.	(7.8)
а
!) При у —с Цу) имеет правую производную 7'(с+0)> а при y=d — левую
производную l'(d—0).
§ 4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра
267
Определение 3. Несобственный интеграл второго рода
(7.8) называется равномерно сходящимся по пара-
метру у на множ ест ее Y, если для t, удовлетворяющего
неравенствам a<t<b, функция
ь
y)=^f(x, y)dx
t
при f->a+0 стремится к функции 1(у) равномерно относительно
y^Y.
Отметим, что с помощью преобразования переменной х, ука-
занного в дополнении 1 к гл. 9 ч. 1, несобственные интегралы
второго рода сводятся к несобственным интегралам первого
рода. Поэтому на интегралы (7.8) могут быть распространены
основные теоремы о предельном переходе под знаком несобст-
венного интеграла, об условиях его непрерывности по параметру,
об интегрировании и дифференцировании по параметру под зна-
ком интеграла.
В заключение параграфа заметим, что интеграл вида
во	b	®
р(х, y)dx =
а	а	Ь
где первое слагаемое — интеграл от неограниченной функции, а
второе — интеграл по неограниченному промежутку, называется
равномерно сходящимся, если равномерно сходятся оба
интеграла, стоящие в правой части.
\f(x, y)dx+jf(x, y)dx,
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ
НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Развитые в предыдущих параграфах методы позволяют вычис-
лять различные несобственные интегралы.
1°. Вычислим интеграл
г. Р sinx ,
Q= \-------dx.
J X
о
Сходимость этого интеграла была установлена ранее (см. допол-
нение 1 к гл. 9 ч. 1).
Рассмотрим вспомогательную функцию
f{x, у) =
tiv sin х	i f\
е~Уж------- при
х
1 при х= 0.
268
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
/(y)=\ e~vx
Функция f (х,у) и ее производная fy'(x, у) =—е~ух sinxнепрерывны
в области xi>0, у^О и Цх, 0) = -sinx-. Пусть
х
ОО
— dx — § Цх, у) dx.
о	о
Установим равномерную сходимость этого интеграла при
Для этого, очевидно, достаточно установить равномерную сходи-
00
мость интеграла С (е~ух sin х) — dx. К этому интегралу применим
J	х
1
приведенный в § 3 признак Дирихле—Абеля. Действительно, ин-
теграл
С e^sin xdx= - ^(ysinx+cosx) I*
J	1 + y® 11
является ограниченным, так как
i
е~ух sin xdx
е (у sin i + cos t)
l+«/2
е~У (i/ sin 1 -|- cos 1)
1 +i/2


2(l + y)
1+У2
<3.
Функция — при X->+ оо монотонно стремится к нулю.
X
Из равномерной сходимости интеграла и непрерывности подын-
тегральной функции согласно теореме 7.9 § 3 вытекает непрерыв-
ность функции Цу) на [0, оо), т. е. справедливость равенства
lim Z(i/) = /(O) = Z.
jhMH-0
Найдем значение Цу). Рассмотрим вспомогательный интеграл
да
J е~ух sin xdx. Согласно признаку Дирихле—Абеля, который,,
о
очевидно, применим к этому интегралу, заключаем, что этот ин-
теграл равномерно сходится в области у^Уп, где г/0>0. 'Отсюда
согласно теореме 7.14 § 3 следует возможность дифференцирова-
ния интеграла Цу) по параметру у в любой точке у>0. Таким
образом, для любого у>0
Г (у) = _ f е~ухsinxdx = * ^sinx + Sos*) |“
J	1 + у2 Io
о
1
i+ /
§ 4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра
269
Интегрируя это соотношение по [у, + оо), получим
I (оо)—I (у) = — arctg f | у = —- + arctg у.
Поскольку |-1П* < I, то для у^уо имеем при уо~^°о
\1(у)\< ( е-«.Мх = - — e-^|0“=-L-->0.
J	Уо	Уо
о
Отсюда получаем, что 7(оо)=0 и, следовательно, для любого
У>0
/ (У) = ~ —arctg у.
Переходя в этом равенстве к пределу при у->-0+0, получим
т I г\\ Т	Sin X 1 Л
Z(0) = 7= \ ---dx — —.
J х	2
о
2°. Рассмотрим интеграл
7(У)= Clttdx.
J х
о
Найдем его значения при у>0, у<0 и у = 0. При у>0 в интеграле
Цу) произведем замену переменной, полагая ух=4. Тогда
'	} х J	t 2
о	о
При у<0 произведем замену переменной, полагая ух=—t (/>0)„
Тогда
во
т / \ Р sin t j/ я
/(0) = —j —— dt=------------
о
При y = 0 интеграл 7 (у), очевидно, равен нулю. Следовательно.,,
I
Цу)= =
J х
о
(
л	л
— при у > О,
0 при у = 0,
л	л
-----при у < 0.
270
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
Этот интеграл иногда называют разрывным множите-
лем Дирихле. В частности, с помощью разрывного множи-
теля Дирихле получаем представление для функции
sgni/ =
1 при у > 0,
0 при у = 0,
— 1 при у < 0
® виде
2
sgni/ = —
л
«Ldx.
X
3°. Вычислим интеграл Пуассона2)	е~х‘dx. Рассмот-
рим интеграл
I — С е~хг dx = — С е~х‘ dx.
2 J
Положим x=yt, где z/>0; тогда
I{y) = ^e-y^ydt.
Умножим обе части этого соотношения на е~уг и проинтегрируем
по [0, оо):
Рассмотрим функцию f(y, t) = z/e_(I+/S) у*. В области г/^0,
£Х) эта функция ограничена, непрерывна и неотрицательна. Ин-
тегралы
J f (у, t)dt = уе~Уг J e~ytt* dt = е~У*Г,
f(y, t)dy= С уе-^У\1у=-----?--e-WW |’ =----?--
J	2(1 + /»)	|0	2(1 + /»)
являются непрерывными функциями в областях изменения пара-
2) См. также § 6 гл. 3.
§ 5. Интегралы Эйлера
271
метра, т. е. соответственно в области у^О и в области t^O. Кроме
того,
во оо	со
f dt С f(y, t)dy = —- Г —— =—•
J J	2 J 1 -H2	4
оо	о
Таким образом, выполнены все условия теоремы 7.13 из § 3. По-
этому
/2= J е-У‘у { J e-y'“dt} dy= J dt J f (y, t)dy = ±,
0	0	0	0
t. e.
00	__ 00
1= C e~*a dx — и C e~xldx = yrn.
J	2 J
0	—co
§ 5. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА
В этом параграфе мы изучим некоторые свойства важных
неэлементарных функций, называемых интегралами Эйле-
р а 3>.
Эйлеровым интегралом первого рода или «бета-функ-
цией» (В-функцией) называют интеграл
1
В (а, Р) = J х“-1 (1 — x)V~ldx.
о
В этом интеграле аир являются параметрами. Если, эти пара-
метры удовлетворяют условиям а<1, Р<1, то интеграл В (а, Р)
будет несобственным, зависящим от этих параметров, причем осо-
бенности у подынтегральной функции будут в точках х=0 и х=1.
Эйлеровым интегралом второго рода или «г а м м а-фу н к-
цией» (Г-функцией) называют интеграл
Г (а) = J ха'"1е~Д!с1х,
о
Заметим, что в интеграле Г (а) интегрирование происходит
по полупрямой 0^х<оо и при а<1 точка х=0 является особой
точкой подынтегральной функции.
3> Более подробно с интегралами Эйлера можно познакомиться в книге
Э. Г. Уиттекера и Дж. Н. Ватсона «Курс современного анализа. Т. 2» (М.:
Физматгиз, 1963).
272
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
1. Г-функция. Интеграл
1
j xa~le~xdx
о
сходится при каждом а>0, поскольку 0^х“-1е_Д!<х“-1, и интеграл
J xa~ldx при а>0 сходится.
В области а>ао, где ао — произвольное положительное число,,
этот интеграл сходится равномерно, так как 0^х“~1е_х^х“»-1 и
можно применить признак Вейерштрасса (теорема 7.8 § 3). Сходя-
щимся при всех значениях а>0 является и весь интеграл
оо	1	оо
Г (а)= xa~l e~xdx = J х®-1 е~х dx+ J х®— 1 e~xdx, так как второе
0	0	1
слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящим-
ся при любом а>0. Легко видеть, что этот интеграл сходится рав-
номерно по а в области 0<ао^а^Л0<оо, где число Ло произ-
вольно. Действительно, для всех указанных значений а и для всех
оо
х>0 xa~je~* < е~х [х®«-1 + х4»-1], и так как J е~х [х®-1 + хл»-1] dx
о
сходится, то выполнены условия применимости признака Вейер-
штрасса. Таким образом, в области 0<а0^а^Л0<оо интеграл
со
Г (а) = J xa~le~xdx сходится равномерно,
о
Отсюда вытекает непрерывность функции Г (а) в области a>CL
Докажем теперь дифференцируемость этой функции при а>0.
Заметим, что функция fa(x, а)= 1пх-ха-1 е~х непрерывна пр»
а>0 и х>0, и покажем, что интеграл
f fa (х, a)dx = J In х-X“-J егх dx
о	о
сходится равномерно по а на каждом сегменте [ао, Ло], 0<а0<
<Л0<оо. Выберем число ео так, чтобы О<ео<ао; тогда хМпх->Ь
при х->0. Поэтому существует число 6 такое, что 0<б<1 и
I х£<1 1пх|< 1 на (0, б]. Но тогда на (0, б] справедливо неравенство
| In х-ха~1е~х | <
в
и так как интеграл j* —- сходится, то интеграл
о
§ 5. Интегралы Эйлера
273
1пх х61 + 2
х ех
< 1. При таких X
6
J lnx-xa_1e~xdx сходится равномерно относительно а на [ао, оо).
о
Аналогично для ас До существует такое число б;>1, что для всех
x>6i выполняется неравенство
и всех а^Ао получим |1пх-ха“1е_-|:|^1/х2, откуда в силу признака
00
сравнения следует, что интеграл J In хха~~хе~хdx сходится равно-
6.
мерно относительно а на [ао, До] - Наконец, интеграл
lnx-xa~’e~*dx,
в котором подынтегральная функция непрерывна в области 6^
<х^б>, ао^а^До, очевидно, сходится равномерно относительно а
на [а0, До]. Таким образом, на [ао, До] интеграл
J In х-х^'е^Мх
о
сходится равномерно (по а), а следовательно, функция Г (а) диф-
ференцируема при любом а>0 и справедливо равенство

lnx.x“_‘e“xdx.
Относительно интеграла Г'(а) можно повторить те же рассуж-
дения и заключить, что
со
Г' (а) = у In2
x-xa~le~xdx.
о
По индукции показывается, что Г-функция бесконечно диффе-
ренцируема при а>0 и для ее n-й производной справедливо ра-
венство
Г<«) (а) = J In" х • xa~le~xdx.
о
Установим теперь некоторое соотношение для Г-функции, на-
зываемое формулой приведения. Для этого выражение
для Г(а+1) проинтегрируем по частям:
xae~xdx= —хае~х\о 4-а j x^'e^dx.
о
Г(а+1) = у
О
274
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
Следовательно,
Г(а+1) =аГ(а).
Это соотношение и называется формулой приведения
для Г-функции. Если а>1, то, применив формулу приведения
к Г(а), получим
Г(а + 1) = аГ(а) =а(а—1)Г(а—1).
Если п—1<а<п, то в результате последовательного применения
формулы приведения получим
Г (а+ 1) =а(а—1)... (а—п+ 1) Г (а—п+1).
Это равенство показывает, что достаточно знать Г (а) на (0, 1],
чтобы вычислить ее значение при любом а>0. Например, при
а = п получаем
Г(«—1)=я(я—1) • ... -2-1 -Г(1).
QO
Поскольку Г (1) = [ e~xdx = 1, то
о
Г(/г+1)=п!
Из этой формулы, например, получаем
Г(1) = 1 = 0!,
что соответствует соглашению 01 = 1.
Изучим теперь поведение Г-функции и построим эскиз ее
графика.
Из выражения для второй производной Г-функции видно, что
Г"(а)>0 для всех а>0. Следовательно, Г'(а) возрастает. По-
скольку Г(2) = 1-Г(1) =Г(1), то по теореме Ролля на сегменте
[1, 2] производная Г'(а) имеет единственный нуль в некоторой
точке а1. Следовательно, Г/(а)<0 при «<(? и Г'(а)>0 при
а>а’, т. е. Г (а) монотонно убывает на (0, а1) и монотонно возрас-
тает на (а1, оо). Далее, поскольку Г(а) =Г(а+ 1)/а, то Г(а)->
->--4-оо при а->0+0. При а>2 из формулы Г (а) = (а— 1) Г (а—1)>
> (а—1) Г(1) =а—1 следует, что Г(а)-*-+оо при а->-+оо.
Равенство Г(а) =Г(а+ 1)/а, справедливое при а>0, можно
использовать при распространении Г-функции на отрицательные
значения а.
Положим для — 1<а<0, что Г(а) =Г(а+ 1)/а. Правая часть
этого равенства определена для а из (—1, 0). Получаем, что так
продолженная функция Г (а) принимает на (—1, 0) отрицатель-
ные значения и при а->—1 + 0, а также при а->0—0 функция
Г(а)->—оо.
Определив таким образом Г (а) на (—1, 0), мы можем по
той же формуле продолжить ее на интервал (—2, -~1). На этом
§ 5. Интегралы Эйлера
275-
интервале продолжением Г (а) окажется функция, принимающая
положительные значения и такая, что Г(а)->-+оо при а->—1—О
и а-»-—2 + 0. Продолжая этот процесс, определим функцию Г(а)„
имеющую разрывы второго ро-
да в целочисленных точках
а=—k, k = 0, 1, 2, ... (см.
рис. 7.1).
Отметим еще раз, что инте-
грал
Г (а) = J xa~ie~xdx
о
определяет Г-функцию толь-
ко при положительных
значениях а, продолжение
на отрицательные значения а
осуществлено нами формально
с помощью формулы приведе-
ния Г(а+ 1) =аГ(а).
2. В-функция. Рассмотрим
интеграл, определяющий
В-функцию:
1
В (а, р) = Р“->(1— x)^dx.
о
1/2
Интеграл J х^~1 (1—x)₽_1 dx сходится при а>0 и любом рг
о
так как при 0<х< 1/2 справедливо неравенство 0<ха-’(1—х)3-1С
^сха~1 при некотором с>0 и интеграл j" ха~1 dx при а>0 схо-
b
дится.
Этот интеграл сходится равномерно относительно а и р в об-
ласти а>а0>0, Р>0, поскольку
0 < Xя-1 (1 —х)р~’ < сх01»-1
при всех а>ао и Р>0 и для всех хе(0, 1/2].
Аналогично проверяется сходимость интеграла
1
J ха~! (1—х)$~^х
1/2
при любых а^О и р>0, а также его равномерная сходимость
в области а>0, р>Ро>О, где р0>0 — произвольное число.
276
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
Таким образом, интеграл
В (а, р) = Jx“-1(l— x)V~ldx
.о
сходится при всех а>0 и р>0 и сходится равномерно по а и р на
множестве а^ао>О, Р^Ро>О, где ао и ро — произвольные поло-
жительные числа.
Точно так же, как и для Г-функции, можно показать, что
В-функция является бесконечно дифференцируемой при 0<а<оо,
4)<Р<оо. Однако это мы установим ниже, используя выражение
В-функции через Г-функцию. Поэтому показывать непосредственно
дифференцируемость В-функции мы не будем.
Установим некоторые свойства В-функции.
1°. Симметричность В-функции: при всех а>0, р>0
имеет место равенство
В(а, Р)=В(р, а),
т. е. R-функция симметрична относительно своих аргументов.
В интеграле, определяющем В-функцию, сделаем замену пе-
ременной, положив £=1—х. Получим
1	о
о
=	!(1—0®-4f = B(p, а),
о
2°. Формула приведения для В-функции: для лю-
бых а>0 и р>0 имеет место следующая формула приведения:
В(«+1, р) = -^-В(а, р).
а+ Р
Действительно,
В(а+ 1, р) = J х°(1 — x)P-!dx= — А-х»(1— х)»1о +
о
о
а
Г .
о
1	1
У хо-1(1—x)^'dx— § х“(1—
о	о
= уВ(а, ₽)—2-В(а+1, ₽).
§ 5. Интегралы Эйлера
277
Таким образом,
В(<х+1, р)=-^В(а, 0)—_£_В(а + 1,*Р),
Р	р
откуда
В(а + 1, р) = —В(а, Р).
Из свойства симметрии для любых а>0 и р>0 получается так-
же формула
в(«, Р+П=—ггв(а- ₽)•
« + р
Последовательное применение этих формул дает возможность
выразить любые значения В (а, р) через значения этой функции
в прямоугольнике П={0<а^1, 0<р^1}.
3. Связь между эйлеровыми интегралами. В интеграле, опре-
деляющем Г(а), сделаем замену, полагая x=ut, где п>0, а в ин-
теграле, определяющем В(а, р), сделаем замену х =—-—:
Г(а) = и“ J ta~'e~utdt, В (а, Р)— J
о	о
(1 -Н)“+р
Заменив в первом интеграле и через 1 + о, а а через а+р, получим
	= С ^+₽-ie-(i+o)^
(1+»)“+₽ J
о
Умножим обе части последнего равенства на t>“-1:
Г (а + р)-------Гт- = f /“+₽-1e-(1+»)«pa-idt
v н (1+и)“+₽ J
о
Предположим, что а>1, р> 1, и рассмотрим в области f^O, v^O
функцию
f	у) = /а+Р—1 уВ—1 д—(l+»)i.
Очевидно, что в этой области f(t, о)^0. Далее, интеграл
Н»)-р(Л »)Д=Г(а + В
О
является непрерывной функцией от v на полупрямой Интег-
278
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
рал по другому аргументу от этой функции также непрерывен по
t на полупрямой /^0, поскольку
4»
К (0 = J f (t, и) dv =	e-tov^-'dv = Г (a)
о	6
Наконец, существует повторный интеграл
J К (0 dt = J dt J f (t, v)dv= Jr (a) dt = Г (a) Г (p).
о	оо	о
Следовательно, в силу теоремы 7.13 § 3 имеет место равенств»
JI (о) dv — J К (/) dt,
о	о
или
f I (0 dv = f Г (a + Р)-R dv = Г (a + Р) f---1,<*~1 .R dv -
J	J	(14-p)“+₽	(i + v)«+₽
0	0	0
co
= уК(0Л = Г(а)Г(Р).
о
Таким образом,
00 — 1
r(a + ₽)j7TT^du=r(a + ₽)B(a’ Р)=Г(“)Г(₽К
о
где мы воспользовались установленным выше равенством:
Г-----—str" dv = В (a, р).
J (1 + у)®+₽	v
о
В результате получим, что для всех а>1, Р>1
В(а, р) = £^Ж.
Г(а + Р)
Распространим эту формулу на значения а>0, р>0. По дока-
занному справедлива формула
В(а + 1, р + 1)^ Г_(«+ОГ(Р+ 1)
7 Г(а + Р + 2)
§ 5. Интегралы Эйлера
279
Воспользовавшись формулами приведения, получим
В(а + 1, Р + 1) = —,В(а, р + 1) = ——е_В(а, ₽);
ос -|- р -|- 1	ct -|— р 4* 1 4* Р
Г(а+1) =аГ(а); Г(р + 1) =рГ(р);
Г(а+ Р + 2) = (а + р+ 1) (а + р)Г(а+ р).
Подставляя эти выражения в формулу для В(а+1, Р+1), получим
формулу
В (а, р) = Г(аЩЗ)_
к И Г(а+Р)
для всей области а>0, р>0.
4. Примеры. Приведем примеры вычисления некоторых интег-
ралов путем сведения их к эйлеровым интегралам.
1°. Вычислим интеграл
Z = J x‘/4(i +x)-2dx.
О
Очевидно, что
7=в(— —'j = V4 А-А-4 <-=-!.г (—Г f—V
\ 4	4 ) Г (2)	4	\ 4 /	\ 4 /
2°. Найдем значение интеграла
Л
2
/ = J sin“-1 /cosP-1 tdt.
о
Полагая x=sin21, получим
3°. Вычислим интеграл
Л/2
/а-1 = У sina-11 dt.
о
Используя пример 2° (при Р = 1), получим
280
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
Далее,
о
Заменяя на х и вспоминая, что интеграл §e~x‘dx =
о
— (см.
пример 3° § 4), получим Г(—j =
л/2	г I —
/а_1 = f sin“_’ tdt — ^—--------—
J	2 /а-f
о	1	;
§ 6. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
Мы уже знаем, что
ОО
п\ = Г (и + 1) = J xne~xdx.
о
Найдем представление величины п\ при больших значениях п
(так называемое асимптотическое представление).
Мы докажем формулу
।	/ п \п ,/5—/, , и \
п! = (— I у 2лп I 1 -|,
\ е /	\ у п /
где величина со заключена между —1 и +1. Это и есть форму-
ла Стирлинга.
Перейдем к ее доказательству. Заметим, что функция хпе~*
/ п \п
возрастает на [0, п\ от 0 до I “I и убывает на [п, +оо) от
/ п \п
I ~ I до 0. Заметим, что
_ ,	( п \п I х \п „ ,
хпе~* = I — I — ) еп~х,
\ е ) \ п /
а поэтому
п! = у J у en~xdx.
о
(X \п
— еп~* на [0, п\ возрастает от 0 до 1, а на [п, +оо)
л /
убывает от 1 до 0. Поэтому можно сделать замену переменной
§ 6. Формула Стирлинга
281
v \ п
_ \	gtl—X — g—t1
П )
(*)
При этом сегменту [0, п] изменения х будет отвечать полуось
(—оо, 0] изменения t, а полуоси [п, оо) изменения х — полуось
:[0, оо) изменения t.
Для проведения замены переменной (*) необходимо найти
производную	Для любого х^=п, дифференцируя левую и
dt
правую части (*) по t, получим равенство
dx __ 2tx
dt	х — п '
С другой стороны, логарифмируя равенство (*), получим
t2 = х—п—п in (1 +	1
Записывая для функции f(r/) = In(1 + г/) формулу Маклорена
с остаточным членом в форме Лагранжа, мы получим, что най-
дется число 0 из интервала О<0<1 такое, что	In(1 + у) = у—
уЪ	|
--------------так чт0 При у = -----------
2 (1+0//)“’	Н	п
In f 1 + х~п = х~п______L (х —”)3
\ п / п 2 [п + 0(х —п)]2’
И потому
^2__ п (х —п)2
2 рг + 0(х —п)]2’
Отсюда
п х — п
2 п + 0 (х— п.)
X — п
Поэтому
а, следовательно,
— = 2t-^— = 2t[l +——
dt х — п	х — п
оо
Теперь в интеграле J ^~xdx произведем замену пере-
о
менной (*):
10 Зак. 25
282
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
— Г|/2п[ f + С <?-<’/(1—0) Л
е / I J	У 2n J
У+2/(1-0)]л =
+»
Оценим интеграл \ е_/,/(1—6)df. Заметим, что
-|*-ао	со
J ^/(1 —6)d/<2 j te^tadt = — е-'"|0” = 1.
—со	О
4-о»
Учитывая, что j e~^dt = Ул и Ул > 2, окончательно получим
— со
I	/ п \П / п  / . ,	<0 \
п\ = —	у 2лп ( 1 -I-—
\ е )	\ ул/
где | со 1=^1. Формула Стирлинга обоснована.
Заметим, что более детальный анализ показывает, что спра-
ведливо, например, следующее разложение4):
п! =Г(п+ 1) = У2лп (—р + -ур
1	139
288ла ‘ 51840л3
в котором остаток не превосходит последнего удерживаемого сла-
гаемого.
§ 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ
ОТ ПАРАМЕТРОВ
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров.
Пусть х= (xj, Х2..хп) — точка ограниченной области п-мер-
ного евклидова пространства Еп, a у~(У1, У2,---,Уп) — точка ог-
раниченной области Ьт пространства Ет. Обозначим через QraX
XDm прямое произведение области Qn на область Dm, являю-
щееся подмножеством (п+т) -мерного евклидова пространства
Еи+т, СОСТОЯЩИМ ИЗ ТОЧвК Z= (Z1, z2.zn+m) таких, что точка
(zj, z2,..., zn) принадлежит Qn, а точка (zn+1, zra+2,..., zn+m) при-
надлежит Dm (часто пишут так: z= (x, у)).
Тот факт, что точка z принадлежит ЙпХВт, обычно записы-
вают следующим образом: z= (х,
*> См., например, § 5 гл. 9 книги В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы
математического анализа. Ч. 2» (см. сноску на с. 299).
§ 7. Кратные интегралы, зависящие от параметров
283
Замыкание области будем обозначать символом Qn, а замы-
кание Dm —_символом Dm. Легко видеть, что замыкание QnxDm
совпадает с Q«X.Dm.
Пусть функция f(x, у) определена в QnX£>m, причем для лю-
бого y0^Dm функция f(x, у) интегрируема по х в области Qn.
Тогда функцию
I(y)=$f(x, y)dx,	(7.9)
Dn
определенную в Dm, называют интегралом, зависящим от
параметра у= (yi, уг,...,ут), т. е. фактически от т числовых
параметров.
Точно так же, как и в § 2, доказываются следующие теоремы.
Теорема 7.15 (о непрерывности интеграла по параметру).
Пусть функция f(x, у) непрерывна по совокупности аргументов в
замкнутой области QnxDm, тогда интеграл (7.9) является не-
прерывной функцией параметра у в области Dm.
Теорема 7.16 (об интегрировании интеграла по параметру).
Пусть функция f(x, у) непрерывна по совокупности аргументов в
замкнутой области QnxDm. Тогда функцию (7.9) можно интег-
рировать по параметру под знаком интеграла, т. е. справедливо
равенство
J Hy)dy= dx J /(х, y)dy.
Dm	Qn Dm
Теорема 7.17 (о дифференцируемости интеграла по парамет-
ру). Пусть функция f(x, у) и ее частная производная не-
_	dyk
прерывны в QnxDm. Тогда интеграл (7.9) имеет в области Dm
непрерывную частную производную
дЦу)	dl(y)	edf(x, у) ,
dyk	dyk	J дуь
2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
Рассмотрим для простоты случай, когда Qn — Dm = D. Пусть функ-
ция f(x, у) также имеет специальный вид: f(x, y)=F(x, y)g(x),
где F(x, у) непрерывна при х^у в DxD, .а функция g(x) ог-
раничена в D, |g(х) | СМ. Таким образом, рассмотрим интеграл
V(y) = $F(x, y)g(x)dx,	(7.10)
D
где подынтегральная функция может иметь особенность лишь при
х=у. Таким образом, особенность подынтегральной функции за-
висит от параметра.
10*
284
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
Введем определение равномерной сходимости интегра-
ла (7.10) в точке. Обозначим через В(у(1, б) m-мерный шар радиу-
са б с центром в точке уо.
Определение. Интеграл (7.10) назовем сходящимся
равномерно по параметру у в т о ч к е y^D, если для
любого е>0 можно указать б>0 такое, что В(у0, 6)cZ>, и для
любой кубируемой области GcB(y0, б) и всех у^В(у0, б) выпол-
няется неравенство
| J F (х, у) g (х) dx I < е.
G
Теорема 7.18. Если интеграл (7.10) сходится равномерно по
у в точке y^D, то он непрерывен в точке уо-
Доказательство. Требуется доказать, что для любого
е>0 существует б>0 такое, что при \у—Уо\=р(у, У о) <б выпол-
нено неравенство | V(y)—V (у0) | <е. Из равномерной сходимости
интеграла в точке следует, что существует 6i>0 такое, что B(yQ,
6i)cz£> и при у<=В(у0, 61)
J F{x, y)g(x)dx
Пусть
Vi(y)= f F&, y)g(x)dx;
ВЧ/,М
V2(i/) = J F(x, y)g(x)dx,
B'(y,,6t)
где В'(yQ, 6i)=D\B(y0, 6i) — дополнение шара В(у0, 6j) до об-
ласти D.
Заметим, что при х^В'(у0, 6i), у^.В(у0, 6J2) функция F(x, у)
будет равномерно непрерывной по совокупности аргументов. По-
этому найдется положительное число- 6<6i/2 такое, что при р(у,
Уо) <б будет выполнено неравенство
|Г(х, M-Ftx,
где М — константа, ограничивающая функцию g(x) в D, |£)| —
объем области D. При р(г/, уо) <6
|V2(y)-V2(y0)|<M J |F(x, y0)-F(x, y)\dx<±s.
В'^ц.Ъ,)
Поэтому
I V(y)-V(yo) | < | Vi(r/) I + I Vi(y0) | + | V2(y)-VM | <8,
так как | Vi(y) | <e/3, | ViQ/o) I <e/3. Теорема доказана.
§ 7. Кратные интегралы, зависящие от параметров
285
Укажем достаточное условие равномерной по параметру сходи-
мости интеграла (7.10) в каждой точке y^Dc.E'n.	_ _
Теорема 7.19. Пусть функция F(x, у) непрерывна в DXD
при х^=у, a g(x) равномерно ограничена в D. Предположим, что
существуют постоянные X, 0<Х<т, и с>0 такие, что для всех
x(~D, yc~D справедливо неравенство
И(х, у) |<С|х— г/|~\
Тогда интеграл (7.10) сходится равномерно по у в каждой точке
Уо^П.
Доказательство. Покажем, что для любой точки уо облас-
ти D и любого е>0 существует б>0 такое, что для любой куби-
руемой области GczB(y0, б) и всех у^В(у$, б) выполнено нера-
венство
| $F(x, y)g(x)dx|<e.
G
Учитывая оценку для F(x, у) и ограниченность g(x)t получим
I ^(х, f/)^r(x)dx|-CAli J |х—у\~к dx.
в	О
Фиксируем точку у^В{у0, б). Из условия GcB(</o, б) вытекает
условие GczB(y, 26). Поэтому
| f Р(х, у)g(х) dx| <j |х—y\~Kdx.
О	В{у,2в)
Интеграл в правой части можно вычислить в m-мерных сфериче-
ских координатах; тогда
26	т-Х
F(х, у)g(х) dx I < Мг f dr = -а'2т-- бт-х = М8бт~\
I J	т— Л
G	0
Ясно, что при достаточно малом 6 величина | ^(х, y)g,(x)dx|
может быть сделана меньше е. Теорема доказана.
Пример. Применим полученные результаты к теории так на-
зываемого ньютонова потенциала. Пусть в некоторую точ-
ку А0(х, у, z) помещена масса т0. На массу т, помещенную в
точку И](Х1, yi, Zi), по закону всемирного тяготения действует
сила
F = -Y^r
Г Л2
где 7? = р(Ло, ^4i), у — гравитационная постоянная,	г = ——
286
Гл. 7. Интегралы, зависящие от параметров
единичный вектор, направление которого совпадает с направле-
►
нием вектора ЛоА- Пусть у=1, т=1; тогда
F = — г,
R
или покомпонентно
х=—Г= —Z—Afc-z).
Очевидно, что потенциал силы тяготения, определяемый как ска-
лярная функция и такая, что F=gradu, равен
Если же масса сосредоточена не в точке Aq(x, у, z), а распределе-
на по области D с плотностью ц(х, у, z), то для потенциала и для
компонент силы получим
ЩХр Ух> ZJ = JJJ г)- dxdy dr,
D
X = —JJJ	(хх—х) dxdy dz,
V D
Y=~ Ш г)	dx dy dz>
D
Z =	г) (Z1—г)dx dU dz-
Интегралы для X, Y, Z представляют собой частные производные
потенциала и. Подынтегральные выражения во всех интегралах
можно оценить через CR~\ где Х=1 для интеграла, представляю-
щего потенциал и, и Х=2 для интегралов, представляющих компо-
ненты силы. Так как Х<3, то в силу теоремы 7.19 все интегралы
сходятся равномерно по параметрам в любой точке A(xi, уь zi).
Следовательно, по теореме 7.18 они представляют собой непрерыв-
ные фуНКЦИИ ТОЧКИ Л1(Х], Z/i, Z1).
Глава 8
РЯДЫ ФУРЬЕ
Изучаемая в настоящей главе проблема разложения функции
в ряд Фурье является обобщением и развитием идеи разложения
вектора по базису.
Из линейной алгебры известно, что если в линейном простран-
стве конечной размерности выбрать некоторый базис, то любой
вектор этого пространства может быть разложен по базису, т. е.
представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Го-
раздо более сложными являются вопросы о выборе базиса и о
разложении по базису для случая бесконечномерного простран-
ства. В настоящей главе эти вопросы изучаются для случая евкли-
довых бесконечномерных пространств и для базисов специального
типа (ортонормированных базисов).
Особенно подробно изучается базис, образованный в простран-
стве всех кусочно непрерывных на некотором сегменте функций
так называемой тригонометрической системой.
§ 1.	ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ
РЯДЫ ФУРЬЕ
1.	Ортонормированные системы. Будем рассматривать произ-
вольное евклидово пространство бесконечной размерности. На-
помним, что линейное пространство R называется евклидовым,
если выполнены два условия:
1)	известно правило, посредством которого любым двум эле-
ментам f и g пространства- R ставится в соответствие число, назы-
ваемое скалярным произведением этих элементов и обоз-
начаемое символом (f, g);
2)	указанное правило удовлетворяет следующим четырем ак-
сиомам:
Г. (A S) = (g, f) (переместительное свойство);
2°. (f+g, h) = (f, /г) + (g, h) (распределительное свойство);
3°.	g)=h(f, g) для любого вещественного X;
4°. (f, f)>0, если f — ненулевой элемент;
(f, f) = 0, если f — нулевой элемент.
Напомним, далее, что линейное (и, в частности, евклидово)
пространство называется бесконечномерным, если в этом
пространстве найдется любое наперед взятое число линейно неза-
висимых элементов.
288
Гл. 8 Ряды Фурье
Приведем классический пример евклидова пространства беско-
нечной размерности.
Напомним, что функция f(x) называется кусочно непре-
рывной на сегменте [а, Ь], если она непрерывна всюду на этом
сегменте, за исключением конечного числа точек, в каждой из ко-
торых она имеет разрыв первого рода 1).
Для линейного пространства всех кусочно непрерывных на сег-
менте [а, Ь] функций естественно ввести скалярное произведение-
любых двух функций Дх) и g(x), определив его равенством
ь
(f, g) = $f(x)g(x)dx.	(8.1)
а
Легко проверяется, что при таком определении справедливы
первые три аксиомы скалярного произведения. Однако для того,
чтобы оказалась справедливой и четвертая аксиома, приходится
принять дополнительную договоренность о том, чтобы значение ку-
сочно непрерывной функции f (х) в каждой ее точке разрыва х,-
равнялось полусумме правого и левого ее пределов в этой точке:
/ (х/) =f + 0)	СД--).	(8.2)
ь
В самом деле, во-первых, всегда (/, /) = J Д (х) dx 0. Да-
а
лее, заметим, что так как Дх) кусочно непрерывна на [а, Ь], та
весь сегмент [а, &] распадается на конечное число сегментов
[х>-1, х(], на каждом из которых функция f(x) непрерывна при
условии, что в качестве значений f(x) на концах соответствующе-
го сегмента [x(-i, хг] берутся f(x;-i+O) и f(xi—0). Из равенства
ь
§f2(x)dx = Q вытекает, что для каждого сегмента [x(-i, хД
а
xi
справедливо равенство J /2(x)dx = 0.
xi-i
Из этого равенства и из непрерывности f(x) на сегменте [x(-i,
Xj] вытекает, что на этом сегменте f(x)=O. В частности, Дх,--1 +
+ 0) и f(xi—0) равны нулю. Так как эти рассуждения справедли-
вы для любого сегмента [x>-i, хг], т. е. для всех 1=1, 2,...,п, то
правый и левый пределы в любой точке х/ равны нулю, а отсюда
в силу соотношения (8.2) и само значение f(x/) в любой точке
X; равно. Итак, функция Дх) равна нулю во всех точках сегмента
[а, Ь], т. е. является нулевым элементом линейного пространства
всех кусочно непрерывных на сегменте [а, 6] функций.
Т. е. в каждой точке разрыва х0 у функции )(х) существует конечный
левый и конечный правый пределы.
§ 1. Ортонормированные системы и общие ряды Фурье
28»
Тем самым мы доказали, что пространство всех кусочно непре-
рывных на сегменте [а, Ь] функций с условием (8.2) в каждой
точке разрыва и со скалярным произведением, определяемым со-
отношением (8.1), является евклидовым пространством.
Это евклидово пространство мы в дальнейшем будем обозна-
чать символом Rq.
Напомним теперь два общих свойства любого евклидова про-
странства, которыми, естественно, будет обладать и простран-
ство Ro:
1)	во всяком евклидовом пространстве для' любых двух элемен-
тов fug справедливо неравенство
(f, g)2<(/, f) (g, g),
(8.3)
называемое неравенством Коши — Б у н я ко в с ко г о2);
2)	во всяком евклидовом пространстве для любого элемента
f этого пространства можно ввести понятие нормы этого эле-
мента, определив ее как число, обозначаемое символом ||/|| и оп-
ределяемое равенством
11/11=WA /).
(8-4>
так что будут справедливы следующие три свойства'.
1°. Н/И>0, причем 11/11 = 0 лишь тогда, когда f — нулевой эле-
мент;
2°. ПЛ./’Н = | А. | • П/П для любого элемента f и любого веществен-
ного Л;
3°. ||f+g||<llf|l + llgll.	(8-5)
для любых двух элементов fug (это неравенство называется н е-
равенством треугольника).
В самом деле, справедливость свойства 1° сразу же вытекает
из (8.4) и из аксиомы 4° скалярного произведения.
Для обоснования свойства 2° заметим, что в силу (8.4) и
аксиом скалярного произведения
IIVII=/(*A х/) = ЮДА */)=/*(*/, /)=/*2(А /) = 1*1 -Н/п.
Наконец, справедливость свойства 3° вытекает из (8.4), из ак-
сиом скалярного произведения и из неравенства Коши—Буняков-
ского (8.3). Действительно,
2) Для доказательства неравенства (8.3) заметим, что для любого вещест-
венного Л в силу аксиомы 4° скалярного произведения справедливо неравенство
W—g, W—g)>0, которое в силу аксиом 1°—4° эквивалентно неравенству
X2(f, f)—2X(f, g) + (g, g)>0. Необходимым и достаточным условием неотрица-
тельности квадратного трехчлена, стоящего в левой части последнего неравен-
ства, является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство
(/, g)2—(f, f) (g, g) <0, которое эквивалентно неравенству (8.3).
290
Гл. 8 Ряды Фурье
IIf+gII =	+ f+g) = /(Л /) + 2(Л g) + (g, £)<
< /(f, f) + 2 /(О V(iT7)+(g, g} = V [/(7Г7) +/(7T)]2=
= /(О + Г(Г7) = II fll + llgll.
В частности, во введенном выше евклидовом пространстве Ro
всех кусочно непрерывных на сегменте [а, &] функций норма
(8.4) любого элемента f определяется равенством
/ь
[f2(x)dx,	(8.6)
а
а неравенства Коши—Буняковского (8.3) и треугольника (8.5)
принимают вид
ь	ь	ь
(J f (*) g W dxf < J|/a (x) dx J g2 (x) dx-	(8.7)
a	a	a
f~b	f ~b	ГЪ
\ J [fW + g(*)]a<&< I' J/2(x)dx+y § g2(x)dx. (8.8)
Введем теперь в произвольном бесконечномерном евклидовом
пространстве R понятия ортогональных элементов и ортонормиро-
ванной системы элементов.
Определение 1. Два элемента fug евклидова простран-
ства называются ортогональными, если скалярное произве-
дение (j, g) этих элементов равно нулю.
Рассмотрим в произвольном бесконечномерном евклидовом
пространстве R некоторую последовательность элементов.
Ф1, 4'2, ...,фл, ....
(8.9)
Определение 2. Последовательность (8.9) называется о р-
тонормированной системой, если входящие в эту после-
довательность элементы попарно ортогональны и имеют норму,
равную единице.
Классическим примером ортонормированной системы в прост-
ранстве Ro всех кусочно непрерывных на сегменте [—л, л] функ-
ций является так называемая тригонометрическая сис-
тема
1 cosx sinx	cos мх sinnx	^g
/2л’ Vn ’ у' л '	’ -/л	Ул*
Читатель легко проверит, что все функции (8.10) попарно ор-
тогональны (в смысле скалярного произведения (8.1), взятого
§ 1. Ортонормированные системы и общие ряды Фурье
291
при а =—л, Ь=л) и что норма каждой из этих функций (опреде-
ляемая равенством (8.6) при а——л, й=л) равна единице.
В математике и ее приложениях часто встречаются различные
ортонормированные (на соответствующих множествах) системы
функций. Приведем некоторые примеры таких систем.
Примеры. Г. Многочлены, определяемые равенством
- (п-0’ ’•2’ •••>• (8JI)
принято называть полиномами Лежандра.
Нетрудно убедиться, что образованные с помощью много-
членов (8.11) функции
Фп(х)=^/^Рп(х) (n = 0, 1, 2, ...)
образуют ортонормированную (на сегменте [—1, +1]) систему
функций.
2°. Многочлены, определяемые равенствами TQ(x) = l,
7\(x)=2,-ncos[n(arccosx)] при п=1, 2, ..., называются поли-
номами Чебышева. Среди всех многочленов n-й степени
с коэффициентом при хп, равным единице, полином Чебышева
Тп(х) имеет наименьший на сегменте —1<х<1 максимум мо-
дуля. Можно доказать, что полученные с помощью полиномов
Чебышева функции
=	(« = 1. 2, ...)
<л/1— х3	/л / 1 — №
образуют ортонормированную на сегменте [—1, +1] систему.
3°. В теории вероятностей часто применяется система Ра-
демахера3’
фл(х) —<р(2пх) (п = 0, 1,2,...),
где <р (/) = sgn(sin 2nt).
Легко проверяется, что эта система ортонормирована на сег-
менте 0<х<1.
4°. В ряде исследований по теории функций находит приме-
нение система Хаара4’, являющаяся ортонормированной на
сегменте 0<х<?1. Элементы этой системы определяются для
всех n = 0, 1, 2,... и для всех k, принимающих значения 1, 2,
4,..., 2". Они имеют вид
’> Радемахер — немецкий математик (род. в 1892 г.).
*> Хаар — немецкий математик (1885—1933).
292
Гл. 8 Ряды Фурье
|	при^<л<^.
Х«’«-|-У2‘" при
(о	в остальных точках [0, 1].
Каждая функция Хаара представляет собой ступеньку такого
же вида, как функция уг2п sgnxHa сегменте [ — 2 (п+1>, 2 1"+1>].
Для каждого фиксированного номера п при увеличении
значения k эта ступенька сдвигается вправо. Всюду вне соот-
ветствующей ступеньки каждая функция Хаара тождественно
равна нулю.
2. Понятие об общем ряде Фурье. Пусть в произвольном беско-
нечномерном евклидовом пространстве R задана произвольная
ортонормированная система элементов {фД. Рассмотрим какой
угодно элемент f пространства R.
Определение 1. Назовем рядом Фурье элемента f по-
ортонормированной системе {фД ряд вида
00
£ Мк,	(8.12)
*=»1
в котором через fk обозначены постоянные числа, называемые
коэффициентами Фурье элемента f и определяемые равен-
ствами
/*=(АФД	Лг=1, 2, ...
Естественно назвать конечную сумму
п
(8.13)
п-й частичной суммой ряда Фурье (8.12).
Рассмотрим наряду с n-й частичной суммой (8.13) произволь-
ную линейную комбинацию первых п элементов ортонормирован-
ной системы {фД
п
(8-14)
fe=i
с какими угодно постоянными числами С], Сг,..., Сп.
Выясним, что отличает п-ю частичную сумму ряда Фурье (8.13)
от всех других сумм (8.14).
Договоримся называть величину ||f—g|| отклонением f от
g (по норме данного евклидова пространства).
Имеет место следующая основная теорема.
§ 1. Ортонормированные системы и общие ряды Фурье
293
Теорема 8.1. Среди всех сумм вида (8.14) наименьшее от-
клонение от элемента f по норме данного евклидова пространства
имеет п-я частичная сумма (8.13) ряда Фурье элемента f.
Доказательство. Учитывая ортонормированность систе-
мы {фД и пользуясь аксиомами скалярного произведения, можем
записать:
п	п	п
IЕ c^k—/||=(Е ck$k—f, Е^-/) =
п	п
= Е ^)-2 Е С*(А ^) + (А /) =
п	п	п	п
= Е с*-2 Е с*а+нл12= Е(^-А)2- E/*+ii/ii2.
Л=1	*=1	Л=1	А=1
Итак,
п	п	п
II Е СЛ-/Г= Е (С*-А)2+ II/II2- Е /1	(8-15)
ft=l	ft=l
В левой части (8.15) стоит квадрат отклонения суммы (8.14)
от элемента f (по норме данного евклидова пространства). Из
вида правой части (8.15),следует, что указанный квадрат отклоне-
ния является наименьшим при Ck=fk (так как при этом в правой
части (8.15) первая сумма обращается в нуль, а остальные сла-
гаемые от Ск не зависят). Теорема доказана.
Следствие 1. Для произвольного элемента f данного евкли-
дова пространства и любой ортонормированной системы {il-Д при
произвольном выборе постоянных Ск для любого номера п спра-
ведливо неравенство
п	п
н/п2-Е /*<|Е сл-/|2.	(8.16)
4=1	ft=l
Неравенство (8.16) является непосредственным следствием
тождества (8.15).
Следствие 2. Для произвольного элемента f данного евкли-
дова пространства, любой ортонормированной системы {я|>Д и лю-
бого номера п справедливо равенство
п	п
IIЕ /л-/|2=н/н2-Е /*-	(8.17)
часто называемое тождеством Бесселя 5\
5> Фридрих Вильгельм Бессель — немецкий астроном и математик (1784—
1846).
294
Гл. 8 Ряды Фурье
Для доказательства равенства (8.17) достаточно положить в
(8.15) Ck = fk.
Теорема 8.2. Для любого элемента f данного евклидова про-
странства и любой ортонормированной системы {ф^} справедливо
следующее неравенство:
н/п’.
Л=1
(8.18)
называемое неравенством Бесселя.
Доказательство. Из неотрицательности левой части
(8.17) следует, что для любого номера п
п
S/Rii/ii2.
А=1
(8.19)
Но это означает, что ряд из неотрицательных членов, стоящий в
левой части (8.18), обладает ограниченной последовательностью
частичных сумм и поэтому сходится. Переходя в неравенстве
(8.19) к пределу при n->oo (см. теорему 3.13 ч. 1), получим нера-
венство (8.18). Теорема доказана.
В качестве примера обратимся к пространству Ro всех кусочно
непрерывных на сегменте —лсхсл функций и в этом простран-
стве к ряду Фурье по тригонометрической системе (8.10) (этот
ряд принято называть тригонометрическим рядом
Фурье). Для любой кусочно непрерывной на сегменте [—л, л]
функции f (x) указанный ряд Фурье имеет вид
00
г 1	, Уд / р cos kx
"wLU'Vr
T sin kx \
/* jZ— •
Vn}
(8.20)
где коэффициенты Фурье fk и fk определяются формулами
Я
—я
я	л
fk=-^=r	f (х) cos kx dx-, fk = —±=- I f(x)sinkxdx (k—l, 2, ...).
У я J	У Я J
—л	—л
Неравенство Бесселя, справедливое для любой кусочно непрерывной
на сегменте [—л, л] функции /(х), имеет вид
ао	Л
/о+Е(7*+7*)< р2(*Ж	(8.21)
§ 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы
295>
Отклонение f(x) от g(x) по норме в этом случае равно так
называемому среднему квадратичному отклонению-
/—
f[/(x)-g(x)]adx.	(8.22>
—Я
Отметим, что в теории тригонометрических рядов Фурье при-
нята несколько иная форма записи как самого ряда Фурье (8.20),
так и неравенства Бесселя (8.21), а именно: тригонометрический
ряд Фурье (8.20) обычно записывают в виде
+ У1, (afe cos fex + sin fex),	(8.20')
Л=1
где
—Л
л
ak = -А=- = — f f (х) cos kxdx-,
tr я nJ	(o.Zop
—я
=	я
bk =	= — f f (x) sin kxdx
у Л	nJ
. (k = 1, 2, ...).
При такой форме записи неравенство Бесселя (8.21) прини-
мает вид
2 оо	Л
+ J/2Wdx.	(8.2Г>
А=1	—П
Замечание. Из неравенства Бесселя (8.21') вытекает, что
для любой кусочно непрерывной на сегменте [—л, л] функции
f(x) величины а* и bk (называемые тригонометрически-
ми коэффициентами Фурье функции f (х)) стремятся к нулю
при n->oo (в силу необходимого условия сходимости ряда в левой
части (8.21')).
§ 2. ЗАМКНУТЫЕ И ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ
СИСТЕМЫ
Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать произ-
вольную ортонормированную систему {ф*} в каком угодно беско-
нечномерном евклидовом пространстве R.
296
Гл. 8 Ряды Фурье
Определение 1. Ортонормированная система {др*} называет-
ся замкнутой, если для любого элемента f данного евклидова
пространства R и для любого положительного числа е найдется
такая линейная комбинация (8.14) конечного числа элементов
{ip*}, отклонение которой от f (по норме пространства R) мень-
ше в.
Иными словами, система {ф*} называется замкнутой, если лю-
бой элемент f данного евклидова пространства R можно прибли-
зить по норме этого пространства с любой степенью точности ли-
нейными комбинациями конечного числа элементов {чр*}.
Замечание 1. Мы опускаем вопрос о том, во всяком ли
евклидовом пространстве существуют замкнутые ортонормиро-
ванные системы. Отметим, что в части 3 будет изучен важный
подкласс евклидовых пространств — так называемые гиль-
бертовы пространства — и будет установлено существование
в каждом таком пространстве замкнутых ортонормированных
систем.
Теорема 8.3. Если ортонормированная система {ф*} является
замкнутой, то для любого элемента f рассматриваемого евклидова
пространства неравенство Бесселя (8.18) переходит в точное ра-
венство
£fl = W,	(8.24)
*=1
называемое равенством Персеваля®.
Доказательство. Фиксируем произвольный элемент f
рассматриваемого евклидова пространства и произвольное поло-
жительное число е. Так как система {ф4 является замкнутой, то
найдется такой номер п и такие числа С\, С2,...,Сп, что квадрат
нормы, стоящий в правой части (8.16), будет меньше е. В силу
(8.16) это означает, что для произвольного е>0 найдется номер
л, для которого
п
ПЛ12-£/К8-	(8.25)
*=i
Для всех номеров, превосходящих указанный номер п, неравен-
ство (8.25) будет тем более справедливо, так как при возраста-
нии п сумма, стоящая в левой части (8.25), может только воз-
расти.
Итак, мы доказали, что для произвольного е>0 найдется но-
мер п, начиная с которого справедливо неравенство (8.25).
В соединении с неравенством (8.19) это означает, что ряд
оо^
У fl сходится к сумме ilfII2- Теорема доказана.
Л=1
’> М. А. Парсеваль — французский математик (17<55—1836).
§ 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы	297
Теорема 8.4. Если ортонормированная система {фД является
замкнутой, то, каков бы ни был элемент f, ряд Фурье этого эле-
мента сходится к нему по норме рассматриваемого евклидова
пространства, т. е.
п
lim [Г	||=0.	(8.26)
П->оо II	II
К=1
Доказательство. Утверждение этой теоремы непосред-
ственно вытекает из равенства (8.17) и из предыдущей теоремы.
Замечание 2. В пространстве всех кусочно непрерывных на
сегменте [—л, л] функций сходимость по норме (8.26) переходит
в сходимость на этом сегменте в среднем (см. п. 3 § 4 гл. 2). Та-
ким образом, если будет доказана замкнутость тригонометриче-
ской системы (8.10), то теорема 8.4 будет утверждать, что для лю-
бой кусочно непрерывной на сегменте [—л, л] функции f(x) триго-
нометрический ряд Фурье этой функции сходится к ней на ука*
занном сегменте в среднем.
Определение 2. Ортонормированная система {фД назы-
вается полной, если, кроме нулевого элемента, не существует
никакого другого элемента f данного евклидова пространства,
который был бы ортогонален ко всем элементам ф* системы
{фД-
Иными словами, система {фД называется полной, если всякий
элемент f, ортогональный ко всем элементам ф* системы {фД,
является нулевым элементом.
Теорема 8.5. Всякая замкнутая ортонормированная система
{фД является полной.
Доказательство. Пусть система {фД является замкнутой,
и пусть f — любой элемент данного евклидова пространства,
ортогональный ко всем элементам фй системы {фД. Тогда все
коэффициенты Фурье fk элемента f по системе {фД равмы нулю, и,
стало быть, в силу равенства Парсеваля (8.24) и ||/|| = 0. Послед-
нее равенство (в силу свойства 1° нормы) означает, что f — ну-
левой элемент. Теорема доказана.
Замечание 3. Мы доказали, что в произвольном евклидо-
вом пространстве из замкнутости ортонормированной системы
вытекает ее полнота. Отметим без доказательства, что в произ-
вольном евклидовом пространстве из полноты ортонормирован-
ной системы, вообще говоря, не вытекает замкнутость этой сис-
темы. В ч. 3 будет доказано, что для гильбертовых пространств
полнота ортонормированной системы эквивалентна ее замкну-
тости.
Теорема 8.6. Для всякой полной (и тем более для всякой
замкнутой) ортонормированной системы {ф*} два различных эле-
мента fug рассматриваемого евклидова пространства не могут
иметь одинаковые ряды Фурье.
11 Зак. 25
298
Гл. 8 Ряды Фурье
Доказательство. Если бы все коэффициенты Фурье эле-
ментов f и g совпадали, то все коэффициенты Фурье разности
(f—g) были бы равны нулю, т. е. разность (f—g) была бы орто-
гональна ко всем элементам полной системы {тр^}. Но это оз-
начало бы, что разность ()—g) является нулевым элементом, т. е..
означало бы совпадение элементов fug. Теорема доказана.
На этом мы заканчиваем рассмотрение общего ряда Фурье
по произвольной ортонормированной системе в любом евклидовом
пространстве R.
Наша очередная цель — детальное изучение ряда Фурье по
тригонометрической системе (8.10).
§ 3. ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ
1. Равномерное приближение непрерывной функции тригоно-
метрическими многочленами. В этом параграфе будет установлена
замкнутость (а следовательно, и полнота) тригонометрической
системы (8.10) в пространстве всех кусочно непрерывных на сег-
менте [—л, л] функций. Но прежде чем приступить к доказатель-
ству замкнутости тригонометрической системы, установим важную
теорему о равномерном приближении непрерывной функции так
называемыми тригонометрическими многочленами.
Будем называть тригонометрическим многочленом
произвольную линейную комбинацию любого конечного числа эле-
ментов тригонометрической системы (8.10), т. е. выражение вида
Т (х) = Со + £ (Ck cos kx + Ck sin kx),
i=l
где n — любой номер, a Co, С* и Ck (6=1, 2, ...,n) •— произволь-
ные постоянные вещественные числа.
Отметим два совершенно элементарных утверждения:
1°. Если Р(х) — какой угодно алгебраический многочлен про-
извольной степени п, то P(cosx) и P(sinx) — тригонометриче-
ские многочлены.
2°. Если Т (х) — тригонометрический многочлен, то каждое из
выражений [7’(x)sinx] и [^(xjsin2*] также представляет собой
тригонометрический многочлен.
Оба утверждения вытекают из того, что произведение двух (а
поэтому и любого конечного числа) тригонометрических функций7>
от аргумента х приводится к линейной комбинации конечного чис-
ла тригонометрических функций от аргументов типа kx (убедитесь
в этом сами).
’> Под тригонометрическими функциями в данном случае понимаются ко-
синус или синус.
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее 299
В теории тригонометрических рядов Фурье важную роль играет
понятие периодической функции.
Определение. Функция f(x) называется периодиче-
ской функцией с периодом Т, если: 1) f(x) определена для всех
вещественных х: 2) для любого вещественного х справедливо ра-
венство
f(x+T) = f(x).
Это равенство обычно называют условием периодичности.
К рассмотрению периодических функций приводит изучение раз-
личных колебательных процессов.
Заметим, что все элементы тригонометрической системы (8.10)
являются периодическими функциями с периодом 2л.
Теорема 8.7 (теорема Вейерштрасса). Если функция f(x)
непрерывна на сегменте [—л, л] и удовлетворяет условию
f(—л)=[(л), то эту функцию можно равномерно на указанном
сегменте приблизить тригонометрическими многочленами, т. е.
для этой функции f(x) и для любого положительного числа е
найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что сразу
для всех х из сегмента [—л, л] справедливо неравенство
|/(х)—Т(х) | <е.	(8.27)
Доказательство. Для удобства разобьем доказательство
на два этапа.
1) Сначала дополнительно предположим, что функция f(x)
является четной, т. е. для любого х из сегмента [—л, л] удов-
летворяет условию f(—x)=f(x).
В силу теоремы о непрерывности сложной функции y = f(x),
где x = arccos/ (см. § 1 гл. 4 ч. 1) функция F(t) — f(arccos t) явля-
ется непрерывной функцией аргумента t на сегменте —+1.
Следовательно, по теореме Вейерштрасса для алгебраических
многочленов (см. теорему 2.18) для любого е>0 найдется алгеб-
раический многочлен P(t) такой, что |/(arccos t)— P(t) |<е сра-
зу для всех t из сегмента —l^fcl.
Положив Z = cosx, мы получим
|f(x) — P(cosx)|<e	(8.28)
сразу для всех х из сегмента Осхсл.
Так как обе функции f(x) и P(cosx) являются четными, то
неравенство (8.28) справедливо и для всех х из сегмента
—л=Сх<0. Таким образом, неравенство (8.28) справедливо для
всех х из сегмента —л<Д<л, и поскольку (в силу указанного
выше утверждения 1°) P(cosx) является тригонометрическим мно-
гочленом, то для четной функции f(x) теорема доказана.
Заметим теперь, что функцию f(x), удовлетворяющую усло-
виям доказываемой теоремы, можно периодически с периодом 2л
продолжить на всю бесконечную прямую —°о<х<; +°о, так что
11*
300
Гл. 8 Ряды Фурье
продолженная функция будет непрерывна в каждой точке х бес-
конечной (прямой. Кроме того, если функция f(x) продолжена та-
ким образом, то (поскольку P(cosx) также является периодиче-
ской функцией периода 2л) для четной функции f(x) неравенство
(8.28) справедливо всюду на прямой —°о<х< +оо.
2) Пусть теперь f(x) — произвольная функция, удовлетворяю-
щая условиям доказываемой теоремы. Эту функцию мы перио-
дически с периодом 2л продолжим на всю прямую и составим с
помощью этой функции следующие четные функции:
!Л(*) = —(8-29)
/а(х) =	sinx.	(8.30)
По доказанному в 1) для любого е>0 найдутся тригонометриче-
ские многочлены ТДх) и Т2(х) такие, что всюду на числовой
прямой
|А(х)-Т1(х) | <е/4; |/2(х)-Т’2(х) | <е/4,
и поэтому
| fi (х) sin2 х—Т1 (х) sin2 (х) | <е/4;
|f2(x)sinx-—Т2(х) sinx| <в/4.
Складывая эти неравенства и учитывая, что модуль суммы двух
величин не превосходит сумму их модулей, а также принимая во
внимание равенства (8.29) и (8.30), получим, что всюду на число-
вой прямой справедливо неравенство
|f(x)sin2x—Тз(х)|<е/2,	(8.31)
в котором через Т’з(х) обозначен тригонометрический многочлен,
равный Тз(х) = 7'i(x)sin2x+T2(x)sinx.
В проведенных нами рассуждениях вместо функции f (х) мож-
но взять функцию f (х+л/2)8>. В полной аналогии с (8.31) полу-
чим, что для функции f(x+n/2) найдется тригонометрический мно-
гочлен Т4{х) такой, что всюду на числовой прямой
|f (х+л/2) sin2x— Т4(х) |<е/2.	(8.32)
Заменяя в (8.32) х на х—л/2 и обозначая через Т3(х) тригоно-
метрический многочлен вида 7’5(х)=7,4(х—л/2), получим, что
всюду на числовой прямой справедливо неравенство
|f(x)cos2x—Т5(х) | <е/2.	(8.33)
Наконец, складывая неравенства (8.31) и (8.33) и обозначая че-
рез Т’(х) тригонометрический многочлен вида Т’(х) =Т4(х)+Т5(х),
•> Так как эта функция удовлетворяет тем же условиям, что и полученная
после продолжения функция Цх).
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее 301
получим, что всюду на числовой прямой справедливо неравенство
(8.27). Теорема доказана.
Замечание. Каждое из условий 1) непрерывности f(x) на
сегменте [—л, л] и 2) равенства значений f(—л) и /(л) явля-
ется необходимым условием для равномерного на сегменте [—л,
л] приближения функции f(x) тригонометрическими многочле-
нами.
Иными словами, теорему Вейерштрасса можно переформули-
ровать следующим образом:
Теорема 8.7*. Для того чтобы функцию f(x) можно было
равномерно на сегменте [—л, л] приблизить тригонометрическими
многочленами, необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была
непрерывной на сегменте [—л, л] и удовлетворяла условию
f(—n)=f(n).
Достаточность составляет содержание теоремы 8.7.
Остановимся на доказательстве необходимости. Пусть сущест-
вует последовательность тригонометрических многочленов {ЛДх)},
равномерно на сегменте [—л, л] сходящаяся к функции f(x). Так
как каждая функция Тп(х) непрерывна на сегменте [—л, л], то
по следствию 2 из теоремы 2.7 и функция f(x) непрерывна на сег-
менте [—л, л]. Для любого е>0 найдется многочлен 7п(х) та-
кой, что |/(х)— 7п(х)|<е/2 для всех х из сегмента [—л, л].
Следовательно,
| f (-л) - Тп (-л) | < е/2, И (л) — Тп (л) | <е/2.
Из последних двух неравенств и из вытекающего из условия пе-
риодичности (с периодом 2л) равенства Тп(—л) = Тп(л) заклю-
чаем, что |/(—л)—f (л) | <8, откуда f(—л)=/(л) (в силу про-
извольности е>0).
2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы.
Опираясь на теорему Вейерштрасса, докажем следующую основ-
ную теорему.
Теорема 8.8. Тригонометрическая система (8.10) является
замкнутой 9>, т. е. для любой кусочно непрерывной на сегменте
[—л, л] функции f(x) и любого положительного числа г найдется
тригонометрический многочлен Т (х) такой, что
|[/ (X) - Т (Х)|| = |/ J [/ (X) - Т (х)]2 dx < 8.
(8.34)
Доказательство. Прежде всего заметим, что для любой
кусочно непрерывной на сегменте [—л, л] функции /(х) и для
любого е>0 найдется непрерывная на этом сегменте функция
’> А следовательно (в силу теоремы 8.5), и полной.
302
Гл. 8 Ряды Фурье
F(x), удовлетворяющая условию F(—n)=F(n) и такая, что
||/(х)-F(х)|| = j/" J [/(x)-F(x)]2 dx <	(8.35)
—Л
В самом деле, достаточно взять функцию F (х) совпадающей с
/(х) всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва
функции f(x) и точки х=л, а в указанных окрестностях взять
F(x) линейной функцией так, чтобы F(x) являлась непрерывной
на всем сегменте [—л, л] и удовлетворяла условию F (—л) —
= 77(л).
Так как кусочно непрерывная функция и срезающая ее линей-
ная функция являются ограниченными, то, выбирая указанные
окрестности точек разрыва f(x) и точки х=л достаточно малы-
ми, мы обеспечим выполнение неравенства (8.35).
По теореме Вейерштрасса 8.7 для функции F(x) найдется
тригонометрический многочлен Т (х) такой, что для всех х из сег-
мента [—л, л] справедливо неравенство
|f(x)-T(x)|<—5=^.	(8.36)
2 у 2л
Из (8.36) заключаем, что
||F(x)— Т(х)|| — у J[f(x)-T(x)]2dx<^-.	(8.37)
—п
Из (8.35) и (8.37) и из неравенства треугольника для норм
вытекает неравенство (8. 34). Теорема доказана.
Замечание 1. Из теорем 8.8 и 8.5 сразу же вытекает, что
тригонометрическая система (8.10) является полной. Отсюда в
I Г 2	I
свою очередь вытекает, что система 1 |/ —sinnx? («=1, 2,...)
( г Л	)
является полной на множестве всех функций, кусочно непрерыв-
ных на сегменте [0, л] (или соответственно на сегменте [—л, 0]).
В самом деле, всякая кусочно непрерывная на сегменте [0, л]
функция /(х), ортогональная на этом сегменте всем элементам
I -»		1
системы 11/ —sin пх>, после нечетного продолжения на сегмент
f—л, 0] оказывается ортогональной на сегменте [—л, л] всем
элементам тригонометрической системы (8.10). В силу полноты
системы (8.10) эта функция равна нулю на [—л, л], а следова-
тельно, и на [0, л]. Совершенно аналогично доказывается, что
система —L., 1/ — cosnx (п = 1,2,...) является полной на мно-
у Л J л
жестве всех функций, кусочно непрерывных на сегменте [0, л]
(или соответственно на сегменте [—л, 0]).
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее 303
Замечание 2. Можно показать, что среди ортонор миро-
ванных систем, указанных в § 1, системы, образованные с по-
мощью полиномов Лежандра, полиномов Чебышева и функций
Хаара, являются замкнутыми, а система Радемахера замкну-
той не является.
3. Следствия замкнутости тригонометрической системы.
Следствие 1. Для любой кусочно непрерывной на сегмен-
те [—л, + л] функции f(x) справедливо равенство Парсе-
в ал я
2	°>	я
й=1	—я
(8.38)
(вытекает из теоремы 8.3).
Следствие 2. Тригонометрический ряд Фурье любой ку-
сочно непрерывной на сегменте [—л, л] функции f(x) сходится к
этой функции на указанном сегменте в среднем (вытекает из
теоремы 8.4 и замечания 2 к ней).
Следствие 3. Тригонометрический ряд Фурье любой кусоч-
но непрерывной на сегменте [—л, л] функции f(x) можно по-
членно интегрировать на этом сегменте (вытекает из предыдуще-
го следствия и из теоремы 2.11).
Следствие 4. Если две кусочно непрерывные на сегменте
[—л, л] функции f(x) и g(x) имеют одинаковые тригонометри-
ческие ряды Фурье, то эти функции совпадают всюду на этом сег-
менте (вытекает из теоремы 8.6).
Следствие 5. Если тригонометрический ряд Фурье кусочно
непрерывной на сегменте [—л, л] функции f(x) сходится равно-
мерно на некотором содержащемся в [—л, л] сегменте [а, Ь], то
он сходится на сегменте [а, Ь] именно к функции f(x).
Доказательство. Пусть g(х) —та функция, к которой
сходится равномерно на [а, Ь] тригонометрический ряд Фурье
функции f(x). Докажем, что g(x)=f(x) всюду на сегменте [а,
6]. Так как из равномерной сходимости на сегменте [а, Ь] выте-
кает сходимость в среднем на этом сегменте (см. п. 3 § 4 гл. 2),
то тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится к функ-
ции g{x) на сегменте [а, Ь] в среднем. Это означает, что для
произвольного е>0 найдется номер щ, начиная с которого п-я
частичная сумма тригонометрического ряда Фурье Sn(x) удовле-
творяет неравенству
/ ь
\\g(x)-Sn(х)|| = у f [g(x)-Sn «dx < -|-.	(8.39)
а
С другой стороны, в силу следствия 2 последовательность Sn(x)
сходится к f(x) в среднем на всем сегменте [—л, л], а следова-
304
Гл. 8 Ряды Фурье
тельно, и на сегменте [а, 6], т. е. для фиксированного нами про-
извольного е>0 найдется номер и2> начиная с которого
l|S„(x)-f (х)Ц = j/j [S„(x)-/(x)]2 dx<	(8.40)
a
Из (8.39) и (8.40) и из неравенства треугольника
||g (х) - f (х) IKIIg (х) - Sn (x) II + IIS„ (x) - f (x) II
вытекает, что ||g(x)—f(x)||<e. Из этого неравенства и из про-
извольности е>0 следует, что ||g(x)—f(x)|| = 0, а отсюда на ос-
новании первого свойства нормы заключаем, что g(x)—f(x) —
нулевой элемент пространства кусочно непрерывных на [а, Ь]
функций, т. е. функция, тождественно равная нулю на сегменте
[а, Ь]. Следствие 5 доказано.
Замечание 1. Конечно, в следствии 5 сегмент [а, Ь] мо-
жет совпадать со всем сегментом [—л, л], т. е. из равномерной
сходимости ряда Фурье функции f(x) на всем сегменте [—л, л]
следует, что этот ряд сходится на указанном сегменте именно к
пункции f(x).
Замечание 2. Совершенно аналогичные следствия бу-
дут справедливы и для ряда Фурье по любой другой замкну-
той ортонормированной системе в пространстве кусочно непре-
рывных на произвольном сегменте [а, Ь] функций со скаляр-
ным произведением (8.1) и нормой (8.6). Примерами таких си-
стем могут служить указанные в § 1 ортонормированные си-
стемы, связанные с полиномами Лежандра и Чебышева, а так-
же система Хаара.
§ 4.	ПРОСТЕЙШИЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ
СХОДИМОСТИ И ПОЧЛЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО
РЯДА ФУРЬЕ
1.	Вводные замечания. В математической физике и в ряде
других разделов математики существенную роль играет вопрос об
условиях, при выполнении которых тригонометрический ряд
Фурье функции f(x) сходится (к этой функции) в данной точке
х сегмента [—л, л].
Еще в конце прошлого века было известно, что существуют
непрерывные на сегменте [—л, л] функции, удовлетворяющие
условию f(—л)=Дл), тригонометрические ряды Фурье которых
расходятся в наперед заданной точке сегмента [—л, л] (или
даже расходятся на бесконечном множестве точек сегмента
[—л, л], всюду плотном на этом сегменте) 10>.
!0) Первый пример такой функции был построен французским математиком
Дю Буа Раймоном в 1876 г.
§ 4. Простейшие условия равномерной сходимости	305
Таким образом, одна непрерывность функции f(x) на сегмен-
те [—л, л] без дополнительных условий не обеспечивает не толь-
ко равномерную сходимость тригонометрического ряда Фурье
этой функции, но даже сходимость этого ряда в наперед заданной
точке указанного сегмента.
В этом и в следующем параграфах мы выясним, какие требо-
вания следует добавить к непрерывности функции f(x) (или вве-
сти взамен непрерывности f(x)) для обеспечения сходимости три-
гонометрического ряда Фурье этой функции в заданной точке, а
также для обеспечения равномерной сходимости этого ряда на
всем сегменте [—л, л] или на какой-либо его части.
При изучении сходимости тригонометрического ряда Фурье
возникает и другой вопрос: должен ли тригонометрический ряд
Фурье любой кусочно непрерывной (или даже строго непрерыв-
ной) на сегменте [—л, л] функции f(x) сходиться хотя бы в од-
ной точке этого сегмента?
Положительный ответ на этот вопрос был получен только в
1966 г.
Этот ответ является следствием фундаментальной теоремы,
доказанной в 1966 г. Л. Карлесоном11) и решившей знамени-
тую проблему Н. Н. Лузина12 *), поставленную еще в 1914 г.:
тригонометрический ряд Фурье любой функции f(x), для кото-
рой существует понимаемый в смысле Лебега интеграл j fz (х) dx,
—Л
сходится к этой функции почти всюду на сегменте
[—л, л] 13).
Из теоремы Карлесона вытекает, что ряд Фурье не только
любой кусочно непрерывной, но и любой интегрируемой на
сегменте [—л, л] в собственном смысле Римана функции f(x)
сходится к этой функции почти всюду на сегменте [—л, л]
Л
(так как для такой функции существует интеграл J /2 (х) dx в
—Л
смысле Римана, а следовательно, и в смысле Лебега).
Заметим, что если функция f(x) интегрируема на сегменте
[—л, л] не в смысле Римана, а только в смысле Лебега, то
тригонометрический ряд Фурье этой функции может не схо-
и> Л. Карлесон — современный шведский математик. Полное доказательст-
во теоремы Карлесона можно найти в сборнике переводных статей серии «Ма-
тематика» (т. 11, № 4, 1967, с. 113—132).
12> Николай Николаевич Лузин — советский математик, основатель совре-
менной московской математической школы по теории функций (1883—1950).
Постановку проблемы Лузина, решенной Карлесоном/ и других его проблем
можно найти в книге Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд» (М.;
Л.: Гостехиздат, 1951).
)3> Определение интеграла в смысле Лебега н сходимости почти всюду на
данном сегменте будет дано в ч. 3.
306
Гл. 8 Ряды Фурье
диться ни в одной точке сегмента [—л, л]. Первый пример ин-
тегрируемой на сегменте [—л, л] в смысле Лебега функции
f(x) со всюду расходящимся тригонометрическим рядом Фурье
был построен в 1923 г. советским математиком А. Н. Колмого-
ровым 14>.
2.	Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости
тригонометрического ряда Фурье.
Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) имеет
на сегменте [а, й] кусочно непрерывную производ-
ную, если производная f'(x) существует и непрерывна всюду на
сегменте [а, й], за исключением, быть может, конечного числа
точек, в каждой из которых функция f(x) имеет конечные правое
и левое предельные значения 15>.
Определение 2. Будем говорить, что функция f(x) имеет
на сегменте [а, Ь], кусочно непрерывную производ-
ную порядка п^\, если функция f<n-1>(x) имеет на этом сег-
менте кусочно непрерывную производную в смысле определения 1.
Теорема 8.9. Если функция f(x) непрерывна на сегменте
[—л, л], имеет на этом сегменте кусочно непрерывную произ-
водную и удовлетворяет условию [(—л)=/(л), то тригонометри-
ческий ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции равно-
мерно на сегменте [—л, л]. Более того, ряд, составленный из мо-
дулей членов тригонометрического ряда Фурье функции f(x), схо-
дится равномерно на сегменте [—л, л].
Доказательство. Достаточно доказать, что ряд, состав-
ленный из модулей членов тригонометрического ряда Фурье
функции f(x):
СО
+ ^{|aftcosAx| + |6fesinAv|},	(8.41)
*=i
сходится равномерно на сегменте [—л, л], так как отсюда будет
вытекать как равномерная на сегменте {—л, л] сходимость са-
мого тригонометрического ряда Фурье функции f(x), так и схо-
димость этого ряда (в силу следствия 5 из п. 3 § 3) именно к
функции f(x).
В силу признака Вейерштрасса (см. теорему 2.3) для доказа-
тельства равномерной на сегменте [—л, л] сходимости ряда
(8.41) достаточно доказать сходимость мажорирующего его чис-
лового ряда
14> Построение примера А. Н. Колмогорова можно найти на с. 412—421
книги Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» (М.: Физматгиз, 1961).
15) При этом функция f'(x) может оказаться не определенной в конечном
числе точек сегмента [а, &]. В этих точках мы доопределим ее произвольным
образом (например, положим равной полусумме правого и левого предельных
значений).
§ 4. Простейшие условия равномерной сходимости
307
£ {Ы + 1Ш	(8-42)
fe=i
Обозначим через щ и pft тригонометрические коэффициенты
Фурье функции f'(x), доопределив эту функцию произвольным
образом в конечном числе точек, в которых не существует произ-
водная функции f(x) 0 * * * * * 16).
Производя интегрирование по частям и учитывая, что функ-
ция f(x) непрерывна на всем сегменте [—л, л] и удовлетворяет
соотношениями f(—л)=/(л), получим следующие соотношения:
Л	л
1 С	1	(*
ak = — \ f (x)coskxdx = k— \ f (х) sin kxdx = kbk;
nJ	nJ
—n	—л
л	л
IP	IP
Rfe==— I f (x) sin kxdx =—k— \ f (x) cos kxdx =—kak,
nJ	nJ
—Л	—Л
которые связывают между собой тригонометрические коэффици-
енты Фурье функции f'(x) а самой функции f(x) 17) 18.
Таким образом,
l«fel + IM
l«fel . IPfel
k + k ’
[ ряда (8.42) достаточно дока-
и для доказательства сходимости
зать сходимость ряда
fe=l
Сходимость ряда (8.43) вытекает
l«Xfel с 1
k 2
IPfel
k
iPfel
К
(8.43)
из элементарных неравенств 18>
/ , , 1 \
(а? Н---);
\ k &
(8.44)
i0) Например, можно положить функцию f'(x) в указанных точках равной
полусумме правого и левого предельных значений.
17) При интегрировании по частям следует разбить сегмент [—л, л] на ко-
нечное число не имеющих общих внутренних точек частичных сегментов, на
каждом из которых производная f'(x) непрерывна, и, беря формулу интегри-
рования по частям для каждого из этих частичных сегментов, учесть, что при
суммировании интегралов по всем частичным сегментам все подстановки обра-
тятся в нуль (вследствие непрерывности fix) на всем сегменте [—л, л] и ус-
ловий f(—n)=f(n)).
18) Мы исходим из элементарного неравенства |а| • |&|<(а2 + Ь2)/2, выте-
кающего из неотрицательности величины (| а | — | b |)г.
308
Гл. 8 Ряды Фурье
и из сходимости рядов
оо	оо
<8-45>
Ы	й=1
первый из которых сходится в силу равенства Парсеваля для ку-
сочно непрерывной функции f'(x), а второй — в силу интеграль-
ного признака Коши—Маклорена (см. п. 4 § 2 гл. 1). Теорема до-
казана.
Замечание. Если функцию f(х), удовлетворяющую усло-
виям теоремы 8.9, периодически (с периодом 2л) продолжить на
всю бесконечную прямую, то теорема 8.9 будет утверждать схо-
димость тригонометрического ряда Фурье к так продолженной
функции, равномерную на всей бесконечной прямой.
3.	Простейшие условия почленного дифференцирования триго-
нометрического ряда Фурье. Прежде всего докажем следующую
лемму о порядке тригонометрических коэффициентов Фурье.
Лемма. Пусть функция f(x) и все ее производные до неко-
торого порядка пг (пг— целое неотрицательное число) непрерыв-
ны на сегменте [—л, л] и удовлетворяют условиям
|/(-л) = /(л);
, Г (—л) —Г (л)‘>	(8.46)
/И)( — л)»/<т)(л).
Пусть, кроме того, функция f(x) имеет на сегменте [—л, л] ку-
сочно непрерывную производную порядка /п+1. Тогда сходится
следующий ряд:
£ ^(|aj+ IM),	(8.47)
Jb-1
в котором ah и bh — тригонометрические коэффициенты Фурье
функции f(x).
Доказательство. Обозначим через ан и pft тригонометри-
ческие коэффициенты Фурье функции f(m+1)(x), доопределив эту
функцию произвольным образом в конечном числе точек, в кото-
рых не существует производной порядка ш+1 функции f(x). Ин-
тегрируя выражения для а& и pft m+ 1 раз по частям и учитывая
непрерывность на всем сегменте [—л, л] самой функции f (х) и
всех ее производных до порядка ш, а также используя соотноше-
ния (8.46), установим следующую связь между тригонометриче-
скими коэффициентами Фурье функции f(m+I)(x) и самой функ-
ции f(x) 19):
19) При интегрировании по частям сегмент [—л, л] следует разбить на ко-
нечное число не имеющих общих внутренних точек частичных сегментов, на
§ 5. Более точные условия сходимости
309
|«fc! + 1Ы =fem+1(|aJ + 1^1).
Таким образом,
и сходимость ряда (8.47) вытекает из элементарных неравенств
(8.44) и из сходимости рядов (8.45), первый из которых сходится
в силу равенства Парсеваля для кусочно непрерывной функции
^(т+>)(х), а второй — в силу признака Коши—Маклорена. Лемма
доказана.
Непосредственным следствием леммы 1 является следующая
Теорема 8.10. Пусть функция f(x) удовлетворяет тем же
условиям, что и в лемме 1, причем гп^\. Тогда тригонометриче-
ский ряд Фурье функции f(x) можно пг раз почленно дифферен-
цировать на сегменте [—л, л].
Доказательство. Пусть s— любое из чисел 1, 2........пг.
В результате s-кратного почленного дифференцирования тригоно-
метрического ряда Фурье функции f(x) получается ряд
У cos (^fex-----+ £>*sin ^х —	(8.48)
*=1
Заметим, что для всех х из сегмента [—л, л] как исходный три-
гонометрический ряд Фурье, так и ряд (8.48) (с любым s==l,
2,..., пг) мажорируются сходящимся числовым рядом (8.47). По
признаку Вейерштрасса (см. теорему 2.3) как исходный тригоно-
метрический ряд Фурье, так и каждый из рядов (8.48) (при
= 1, 2,сходятся равномерно на сегменте [—л, л], а это
(в силу теоремы 2.9) обеспечивает возможность m-кратного по-
членного дифференцирования исходного ряда Фурье. Теорема до-
казана.
§ 5. БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ
СХОДИМОСТИ И УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ В ДАННОЙ
ТОЧКЕ
1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера. Введем
понятия, характеризующие гладкость изучаемых функций, и опре-
делим классы функций, в терминах которых будут сформулиро-
ваны условия сходимости тригонометрического ряда Фурье.
Пусть функция Дх) определена и непрерывна на сегменте
[a, fe].
каждом из которых	непрерывна, и учесть, что при суммировании ин-*
тегралов по всем частичным сегментам все подстановки дают нуль.
310
Гл. 8 Ряды Фурье
Определение 1. Для каждого б>0 назовем модулем
непрерывности функции f(х) на сегменте [а, 6] точную
верхнюю грань модуля разности |f(x')—f(x")| на множестве-
всех х' и х", принадлежащих сегменту [а, б] и удовлетворяющих
условию \х' — х"\ <6.
Будем обозначать модуль непрерывности функции f(x) на сег-
менте [а, Ь] символом о (6, f). Итак, по определению
<о(6,/)= sup |/(х')--/(х")|.
|х'—z"|<6
х',х"ё[а,Ь]
Непосредственно из теоремы Кантора (см. теорему 4.16 ч. 1)
вытекает, что модуль непрерывности <о(б, f) любой непрерывной
на сегменте [а, 6] функции f(x) стремится к нулю при б->0 20 21’.
Однако для произвольной только непрерывной на сегменте
[—л, л] функции f(x) нельзя, вообще говоря, ничего сказать а
порядке ее модуля непрерывности и (б, f) относительно малого
6. Рассмотрим дифференцируемые на сегменте функции.
Утверждение. Если функция f(х) дифференцируема на
сегменте [а, б] и ее производная f'(x) ограничена на этом сег-
менте, то модуль непрерывности функции f(x) на указанном сег-
менте со (б, f) имеет порядок со (б, f) =0(6)21).
В самом деле, из теоремы Лагранжа22’ вытекает, что для лю-
бых точек х' и х" сегмента [а, Ь] найдется точка £, заключенная
между х' и х" и такая, что
lf(x94(*")| = im)H*'-*"l-	(8.49)
Так как производная f'(x) ограничена на сегменте [а, Ь], то най-
дется постоянная Л1>0 такая, что для всех х из этого сегмента
| f' (х) | и, следовательно, |Г(б) |^А1. Из последнего неравен-
ства и из (8.49) заключаем, что |f(х') — fix") |^Л4б для всех хг
и х" из [а, б], удовлетворяющих условию |х' — х"|<б. Но это и
означает, что со (б, f)^.M8, т. е. со (б, f)=O(6).
Пусть а — любое вещественное число из полусегмента 0<а^1.
Определение 2. Будем говорить, что функция f(x) при-
надлежит на сегменте [а, б] классу Гёльдера Са с показа-
телем а (0<а^1), если модуль непрерывности со (б, f) функции
fix) на сегменте [а, б] имеет порядок со (б, f)—O(6a).
Для обозначения того, что функция f(x) принадлежит на сег-
менте [а, б] классу Гёльдера Са, обычно употребляют символи-
ку: f(x)eC“[a, 6].
20> Ибо (в силу теоремы Кантора) для любого е>0 найдется 6>0 такое,
что If(x')—f(x")|<e для всех х' и х" из сегмента (а, Ь], удовлетворяющих ус-
ловию \х'—х"|<6.
21> Напомним, что символ а=О(6) был введен в ч. 1 и обозначает сущест-
вование постоянной М такой, что |а|<Л16.
22> См. теорему 6.5 ч. 1.
§ 5. Более точные условия сходимости
311
Сразу же отметим, что если на сегменте [а, Ь] функция f(x)
дифференцируема и ее производная ограничена, то эта функция
заведомо принадлежит на этом сегменте классу Гёльдера С1 (это
утверждение непосредственно вытекает из доказанного выше со-
отношения со (6, f)=O(d)) 23).
Замечание. Пусть /(х)еС“[а, Ь]. Точную верхнюю грань
дроби ———— на множестве всех х и х , принадлежащих
| х' — х" | “
сегменту [a, fe] и не равных друг другу, называют константой
Гёльдера (или коэффициентом Гёльдера) функции
f(x) (на сегменте [а, 6]). Сумму константы Гёльдера функции
f(x) на сегменте [а, Ь] и точной верхней грани |f(х) | на этом
сегменте называют гёльдеровой нормой функции f(x)
на сегменте [а, Ь] и обозначают символом ll/llca{a6J.
Пример. Функция f(x) —^х принадлежит на сегменте [О, 1J
классу С1/2, так как для любых х' и х" из [0, 1], связанных усло-
вием х'>х", справедливо равенство
|/(х')-/(х")I = Ух'~х"  * х—
У х' + Ух"
(при этом константа Гёльдера, являющаяся точной верхней
гранью на [0, 1] дроби —-------—> равна единице, а гёльдерова
Ух’ + Ух"
норма равна двум).
2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда
Фурье. Пусть f(x)—произвольная функция, определенная и ку-
сочно непрерывная на сегменте [—л, л].
Мы будем называть периодическим продолжением
этой функции на всю прямую такую определенную на всей пря-
мой функцию f(x) 24), которая удовлетворяет трем требованиям:
1)	совпадает с первоначально заданной функцией на интерва-
ле —л<х<л,
2)	имеет на концах сегмента [—л, л] значения
/ (л) ==/ (— л) = -1- [/ (— л + 0) + / (л—0)],
3)	удовлетворяет условию периодичности с периодом 2л, т. е.
удовлетворяет для любого х соотношению f(х+2л) =f(х).
Лемма. Если функция F(x) является периодическим про-
должением на всю числовую прямую функции F(x), первоначаль-
но определенной и кусочно непрерывной на сегменте [—л, л], то
23) Класс Гёльдера С1, отвечающий значению а=1, часто называют клас-
сом Липшица.
24> Оставляем для этой функции обозначение исходной функции f(x).
312
Гл. 8 Ряды Фурье
все интегралы от этой функции по любому отрезку длины 2л рав-
ны друг другу, т. е. для любого х справедливо равенство
( F(t)dt=- f F(t) dt.	(8.50)
—Я	—л+*
Доказательство. В силу свойства аддитивности интегра-
ла имеем
—л	л	я+х
J F (t)dt = J F(t)dt + f F(t)dt + f F(t)dt. (8.51)
—Л+*	—Л+*	—Я	Л
Используя условие периодичности F(y — 2n)—F(y), с помощью
замены у=1+2л получим
j F(t)dt = j F(y-2n)dy = [ F(y)dy= — J F{y)dy. (8.52)
—л+*	n-j-x	я+х	я
Из (8.51) и (8.52) вытекает соотношение (8.50). Лемма доказана.
Пусть теперь функция f(x) является периодическим продол-
жением на всю прямую функции f(x), первоначально определен-
ной и кусочно непрерывной на сегменте [—л, л].
Вычислим для этой функции в любой точке х частичную сум-
му ее тригонометрического ряда Фурье £л(х, f), имеющую вид
Sn (х, f) 	(ak cos kx + bk sin kx).
fe=i
Используя выражения для коэффициентов Фурье
л	л	л
а0 = — (* f(jj)dy, ak =— f f (y)cos\kydy, bk = ~ f f (y) sin kydy
Л J	Л	Л (J
—л	— Л	—Л
(fe= 1, 2, ...)
и свойство линейности интеграла, выражение для Sn(x, f) можно
переписать в следующем виде:
Л
S„(x,/) = — (
Л J	£
—л
п
+ У (cos ky cos kx + sin ky sin kx) dy =
*=i
Л
— (	[4- + Tcosk(y— *)1 d-У-
Л	[_ Z	J
—л
§ 5. Более точные условия сходимости
31S
Сделаем в последнем интеграле замену переменной y—t+x:
Sn(x, f) = — f / (* +f) Г — + V cos fed dt.
n J	[2	J
—л—x	fe=l
Наконец, используя лемму 1 и замечая, что подынтегральная^
функция в последнем интеграле является периодической функ-
цией аргумента t с периодом 2л, получим
Sn(x, f) — — f f (x +1) Г—+ V cosfe1] dt.	(8.53),
nJ	[2	J
—я	A=1
Вычислим сумму, стоящую в (8.53) в квадратных скобках. Для
этого заметим, что для любого номера k и любого значения t
справедливо равенство
2 sin — cos kt — sin ( k H—— ) /—sin (k-—t.
2	\	2 J \	2 /
Просуммируем это равенство повеем номерам Травным 1, 2,..,п~
о . t VI	иг  I 1 \ .	 t
2sin— у cos«/ = sin п J-----t—sin—.
2 X	\	' 2 j 2
k=.\
Отсюда
/ г 1	’	/	1 \
2 sin—------h > cos kt I =sin In 4-\t
2 [ 2	XJ J	\	2/
и, следовательно,
/ 1 \
n	sin I n +- t
H+Xcos kt = ~—t		(8-54)?
k=i	2 sin —
Подставляя (8.54) в (8.53), окончательно получим следующее вы-
ражение для n-й частичной суммы тригонометрического ряда»
Фурье:
1 г si (я+тЬ
Sn (х, П = — С / (х + /) —*-dt, (8.55>г
Л J	„ . t
-л	2 sin —
справедливое в любой точке х числовой прямой.
314
Гл. 8 Ряды Фурье
Замечание. Из формулы (8.55) и из того, что все частич-
ные суммы Sn(x, 1) функции f(x) = l равны единице25’, вытекает
следующее равенство:
3. Вспомогательные предложения.
Лемма. Пусть f(x) кусочно непрерывна на сегменте [—л, л]
и периодически с периодом 2л продолжена на всю бесконечную
прямую. Тогда для любого е>0 найдется 6(е)>0 такое, что при
всех и, удовлетворяющих условию |и|^6, справедливо неравен-
ство
Л
j \t(u+ 0 — 7(01 е-
—Л
Доказательство. Фиксируем произвольное е>0. Соглас-
но теореме 8.8 (о замкнутости тригонометрической системы) для
функции f(x) найдется тригонометрический многочлен Т(х) та-
кой, что
/ л
||/(х)-Т(х)||=1/ J [7(0-^(0]2^<j^,
г —Л
и потому на основании неравенства Коши—Буняковского 26>
Л	/Л	л
J |/(0-T(0l^<l/Z У (OF dt-у dt <^-. (8.57)
—л	г	—Я	—Л
Из неравенства (8.57), из леммы п. 2 и из того, что f(t) и 7(0
являются периодическими функциями периода 2л, заключаем,
что для любого числа и
У \f(t-\-u) — T(t + u)\dt<-^-.	(8.58)
—Л
Поскольку модуль суммы трех величин не превосходит сумму мо-
дулей этих величин, то для любого числа и справедливо неравен-
ство
25> Так как величина (8.55) для функции Дх) = 1 равна сумме Sn(x, 1),
в которой а0 = 2, ak = bk = 0 при й=1, 2, ...
26> См. неравенство (8.7) при а = —л, Ь = п.
§ 5. Более точные условия сходимости
315.
л	л
j \f(t + u)-f(t)\dt< J \f(t + u)-T(t + u)\dt +
—тс	—тс
+ f |T(^ + u)-T(OI dt+ j" |T(0-/(Of dt.	(8.59)
—Л	—Л
Теперь остается заметить, что в силу непрерывности тригоно-
метрического многочлена и теоремы Кантора (см. теорему 4.16
ч. 1) для фиксированного нами е>0 найдется 6>0 такое, что при
|«|<С6 и при всех t из [—л, л]
\T(t+u)—T(t) |<е/(6л),
и потому
J \T(t + u)—Т(£)| dt<e/3.	(8.60>
—Л
Сопоставляя неравенство (8.59) с неравенствами (8.57), (8.58) и
(8.60), получим
J \f(t + u)—f(t)\dt<iiz	(8.61).
—л
для всех и, для которых | и | ^6. Лемма доказана.
Извлечем теперь из этой леммы ряд важных для дальнейшего
следствий.
Следствие 1. Если функция f(t) кусочно непрерывна на
сегменте [—л, л] и периодически (с периодом 2л) продолжена на
всю бесконечную прямую, а х — любая фиксированная точка сег-
мента [—л, л], то для любого е>0 найдется 6>0 такое, что
J \f(x + t + u)—/(х + 01 dt< е	(8.62)?
—Л
при |и|<6.
Доказательство. Сделаем в интеграле, стоящем в ле-
вой части (8.62), замену переменной x=x+t:
J \f(x + t + u)—/(х + 01 dt = J |/(t + u)—/(t)| dr.
—Л	—л+*
В силу равенства (8.50)
л+*	л
f If(t + u)—f (т)| dr= J |/(т 4-и)—/(т)| dr.
—л+*	—л
Следовательно, неравенство (8.62) является следствием (8.61).
316
Гл. 8 Ряды Фурье
Следствие 2. Если каждая из функций f(t) и g(t) кусочно
непрерывна на сегменте f—л, л] и периодически (с периодом
2л) продолжена на всю прямую, то функция
I (х) = J f(x + t)g(t)dt
—л
является непрерывной функцией х на сегменте [—л, л].
Доказательство. Пусть х — любая точка сегмента [—л,
л]. Тогда
1(х + и) — [(х)= J [f(x + t + u)—f(x + t)]g(t) dt,
—Я
и поскольку кусочно непрерывная на сегменте [—л, л] функция
g(t) удовлетворяет на этом сегменте условию ограниченности
то
|/(х + «)-7(х)|	J \f(x + t + u)-f(x+t)\ dt,
—я
и потому в силу (8.62) для любого е>0
|7(х+и)—/(х)|<епри |и|^6(е).
Непрерывность 1(х) в точке х доказана.
Следствие 3. Если каждая из функций f(t) и g(t) кусочно
непрерывна на сегменте [—л, л] и периодически (с периодом
2л) продолжена на всю прямую, то тригонометрические коэффи-
циенты Фурье функции F(x, t)=f(x+t)g(t) при разложении ее
по переменной t
ап(х)~ — f f(x-Yt)g(t)vosntdt,	(8.63)
11 A
bn(x) =— ( /(x + t) g(t)sinntdt	(8.64)
я J
—Л
при n-^eo сходятся к нулю равномерно относительно х на сегмен-
те [—л, л] (а следовательно, и на всей прямой).
Доказательство. Для любой фиксированной точки х сег-
мента [—л, л] функция F(x, t) =f(x+t)g(t) является кусочно
непрерывной функцией аргумента t на сегменте [—л, л], поэтому
для нее справедливо равенство Парсеваля 27)
27> См. следствие 1 п. 3 § 3.
§ 5. Более точные условия сходимости
317
2 , \
-^_+У[а1(х) + &1(х)]=— ( f\x + t)g\t)dt. (8.65)
2	л J
fcel	“Л
Из равенства (8.65) вытекает сходимость ряда, стоящего в левой
его части, в каждой фиксированной точке х сегмента [—л, л].
Так как указанный ряд состоит из неотрицательных членов, то в
силу теоремы Дини28) для доказательства равномерной на сег-
менте [—л, л] сходимости указанного ряда достаточно доказать,
что как функции ап(х) и Ьп(х), так и сумма ряда (8.65)
Л
— I /2(*+0£2(0^	— непрерывные функции х на сег-
л J
—л
менте [—л, л], а это сразу вытекает из предыдущего следствия
(достаточно учесть, что квадрат кусочно непрерывной функции
является кусочно непрерывной функцией и что cos nt и sin/if при
каждом фиксированном номере п являются непрерывными функ-
циями).
Следствие 4. Если каждая из функций f(t) и g{t) кусочно
непрерывна на сегменте [—л, л] и периодически с периодом 2л
продолжена на всю прямую, то последовательность
сп (х) =
Л
— f Цх + t)g(t)sin
л J
—л
t dt
(8.66)
сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте [—л, л]
(а следовательно, и на всей прямой).
Доказательство. Достаточно учесть, что
sin
. 1 \ , 1	, . t , .	, л t
п + — 11 =cosrci sin--------Fsinnrcos —
2 /	2	2
и применить предыдущее следствие, беря в (8.63) вместо g(t)
функцию g^sio-^-, а в (8.64) вместо g(d) функцию g(/)cos-^-.
4. Принцип локализации. В этом пункте мы докажем, что во-
прос о том, сходится или расходится тригонометрический ряд
Фурье кусочно непрерывной на сегменте [—л, л] и периодической
4с периодом 2л) функции f(x) в данной точке х, решается лишь
на основании поведения функции Цх) в как угодно малой окрест-
ности точки х. Это замечательное свойство тригонометрического
ряда Фурье принято называть принципом локализации.
Начнем с доказательства важной леммы.
Лемма (лемма Римана). Если функция Цх) кусочно непре-
рывна на сегменте [—л, л] и периодически (с периодом 2л) про-
28> См. теорему 2.4 (формулировку в терминах рядов).
318
Гл. 8 Ряды Фурье
должена на всю прямую и если эта функция обращается в нуль
на некотором сегменте [а, б] 29>, то для любого положительного-
числа б, меньшего ь~~а , тригонометрический ряд Фурье функ-
ции f(x) равномерно на сегменте [а+б, b — 6] сходится к нулю.
Доказательство. Пусть 6 — произвольное положительное
Ь — а
число, меньшее —-—. Частичная сумма тригонометрического
ряда Фурье функции f(x) в произвольной точке х числовой пря-
мой определяется равенством (8.55). Полагая
1
g(0 =
t
2 sin —
2
при б< П| < л;
-----— при | Л = б;
4sinT
(8.67)
0 при | И < б
и учитывая, что f(x+t) равняется нулю при условии, что х при-
надлежит сегменту [а+б, b—б], a t принадлежит сегменту |/|<
^б* 30), можно следующим образом переписать равенство (8.55)
для каждой точки х сегмента [а+б, b — б]:
Л
S„(x,/)=— ( f(x + t)g(t)sin\[n+ -МЯ dt.
nJ	. \	2 ) J
—л
Остается принять во внимание, что последовательность, стоящая
в правой части последнего равенства, в силу следствия 4 п. 3.
сходится к нулю равномерно относительно х на всей числовой
прямой. Лемма доказана.
Непосредственными следствиями доказанной леммы являются
следующие две теоремы.
Теорема 8.11. Пусть функция f(x) кусочно непрерывна на
сегменте [—л, л] и периодически (с периодом 2л) продолжена
на всю прямую, и пусть [а, Ь] —некоторый сегмент. Для того-
чтобы тригонометрический ряд Фурье функции f(x) при любом;
положительном б, меньшем (Ь— а) /2, сходился (к этой функции)
2*> Сегмент [а, Ь] является совершенно произвольным сегментом длины,
меньшей 2л. В частности, этот сегмент может не содержаться целиком в
[—л, л].
30> В силу того, что функция f(x) равна нулю на всем сегменте [а, &].
§ 5. Более точные условия сходимости
319
равномерно на сегменте [а+б, b — 6], достаточно, чтобы сущест-
вовала кусочно непрерывная на сегменте [—л, л] и периодиче-
ская (с периодом 2л) функция g(x), обладающая равномерно
сходящимся на сегменте [а, Ь] тригонометрическим рядом Фурье
и совпадающая на сегменте [а, б] с функцией f(x).
Доказательство. Применяя лемму Римана к разности
[/ (х) — g(x)], получим, что тригонометрический ряд Фурье разности
[f(x)—S(x)l ПРИ любом б из интервала 0<б<(б— а)/2 схо-
дится к нулю равномерно на сегменте [а+б, b — б], а отсюда и
из равномерной на сегменте [а, б] сходимости тригонометриче-
ского ряда Фурье функции g(x) вытекает равномерная на сегмен-
те [а + б, б —б] сходимость тригонометрического ряда Фурье
функции f(x). Тот факт, что последний ряд сходится на сегменте
[а+б, b — б] именно к функции f(x), непосредственно вытекает
из следствия 5 п. 3 § 3. Теорема доказана.
Теорема 8.12. Пусть функция f(x) кусочно непрерывна на
сегменте [—л, л] и периодически (с периодом 2п) продолжена
на всю прямую, и пусть х0 — некоторая точка прямой. Для того
чтобы тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходился в
точке х0, достаточно, чтобы существовала кусочно непрерывная
на сегменте [—л, л] и периодическая (с периодом 2л) функция
g(x), обладающая сходящимся в точке х0 тригонометрическим
рядом Фурье и совпадающая с f(x) в как угодно малой 8-окрест-
ности точки Ха.
Доказательство. Достаточно применить лемму Римана к
разности [/(х)—§(%)] по сегменту [хо—6/2, Хо+б/2] и учесть что из
сходимости в точке х0 тригонометрических рядов функций [/(х) —
— g(*)] и g(x) вытекает сходимость в этой точке и тригономет-
рического ряда Фурье функции f(x). Теорема доказана.
Теорема 8.12 не устанавливает конкретного вида условий,
обеспечивающих сходимость тригонометрического ряда Фурье
функции /(х) в точке х0. Она лишь доказывает, что эти условия
определяются только поведением f(x) в как угодно малой окрест-
ности точки х0 (т. е. имеют локальный характер).
5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье
для функции из класса Гёльдера. В этом и в следующем пункте
мы уточним условия, обеспечивающие равномерную сходимость и
сходимость в данной точке х0 тригонометрического ряда Фурье.
Теорема 8.13. Если функция f(x) принадлежит на сегменте
[—л, л] классу Гёльдера Са с каким угодно положительным по-
казателем а (0<а^1) и если, кроме того, —л)=/(л), то три-
гонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится (к этой функ-
ции) равномерно на сегменте [—л, л].
Доказательство. Как обычно, будем считать, что функ-
ция /(х) периодически (с периодом 2л) продолжена на всю чис-
ловую прямую. Условие f(—л)=/(л) обеспечивает принадлеж-
320
Гл. 8 Ряды Фурье
ность так продолженной функции классу Гёльдера С“ на всей
числовой прямой.
Пусть х — любая точка сегмента [—л, л]. Умножая обе части
равенства (8.56) на f(x) и вычитая полученное при этом равен-
ство из (8.55), получим равенство
S„(x, /)-/W = — f [f(x+ 0-/(*)]----------У-dt- (8.68)
Я -л	2 sin —
Из условия принадлежности f(x) классу Гёльдера С“ выте-
кает существование постоянной М такой, что
\f(x+t)-f(x) | <Лф|“	(8.69)
во всяком случае для всех х и всех t из сегмента [—л, л].
Фиксируем произвольное е>0 и по нему 6>0, удовлетворяю-
щее неравенству
Лб“<—.	(8.70)
а 3
Разбивая сегмент [—л, л] на сумму отрезка |/|<6 и множест-
ва /|^л, придадим равенству (8.68) следующий вид:
. ( , 1
sin( п-
S„(x, /)-/W = — f [f(x + 0-fW]—---у-
Я V	п .	*
2sin —
/ 1 \
sin I п ----I t
+ — f +	—
Л J	t
2 sin —
sin (n 4- t
c _A—
Iя J r, (
2 sin —
Для оценки первого интеграла в правой части (8.71) воспользу-
емся неравенством (8.69) и учтем, что
для всех t из сегмента [—л, л] 31). Таким образом, для любого
31) Указанное неравенство сразу вытекает из того, что функция (sinx)/xnpH
sin х
изменении х от 0 до л/2 убывает от 1 до 2/л. Факт убывания функции	—~—
в свою очередь вытекает из того, что	———j =———(х— tgx)<^0 всюду
при 0<х<л/2, так как x<tgx при 0<х<л/2 (см. гл. 4 ч. 1).
§ 5. Более точные условия сходимости
321
номера п и любого х из сегмента [—л, л] получим
sin
1«1<в
2 sin-4~
2
<	f l/(x + 0-/U)l
|f|<c
/ 1 \
sin I n + ~ P
2lsinT
Мл Г
2 J
|fl<C
6
f ta~l dt
Мл ga
Отсюда на основании (8.70) для любого номера п и любого х из
сегмента [—л, л] будем иметь оценку
/ 1 \
sin I п + ~ I t
|— ( [Hx + t)-f(x)]—±----------^-dt
I Л J	Л г
ff|<6	2 sin--
(8.72)
Второй из интегралов в правой части (8.71) с помощью кусочно
непрерывной на сегменте [—л, л] функции (8.67) записывается
в виде
( 1 \
sin I п + — 1 t
-	f f(x + O—-------------=
Л J	„ t
в<|/|<л	2 sin —
Л
J f(х + t)g(t)sin
—Л
В силу следствия 4 п. 3 правая часть последнего равенства при
п-^-оо сходится к нулю равномерно относительно х на сегменте
{—л, л]. Поэтому для фиксированного нами е>0 найдется номер
Ni такой, что
sin [ п + — t
—	( /(х + 0—--------------
л j	_ t I з
2 sin —
(8.73)
для всех и всех х из сегмента [—л, л].
о
322
Гл. 8 Ряды Фурье
Для оценки последнего интеграла в правой части (8.71) заме-
тим, что с помощью кусочно непрерывной функции (8.67) этот
интеграл записывается в виде
/ 1 \
„	_ sin п -4- — /	,, , "
f	—----------—dt = -1f g^sin (n + —'j /1 dt.
nJ	t	nJ	\	2 / J
2 sin —	-я
Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, при л->
• ->оо сходится к нулю в силу все того же следствия 4 п. 3 (до-
статочно применить это следствие к функции )(х) = 1). Учитывая
также, что функция f(x) во всяком случае ограничена на сегмен-
те [—л, л], получим, что для фиксированного нами произвольно-
го 8>0 найдется номер У2 такой, что
sin f п -I-—— I t
|_ИД_ j —1<_L	(8.74)
2 sin —
для всех ri^N2 и всех точек х из сегмента [—л, л].
Обозначив через N наибольший из двух номеров N[ и N2, в
силу (8.71) — (8.74) получим, что для фиксированного нами про-
извольного 8>0 найдется номер N такой, что
|Sn(x, f) — f(x) | <s
для всех ri^N и всех х из сегмента [—л, л]. Теорема доказана.
Замечание 1. Очевидно, что в условиях теоремы 8.13 три-
гонометрический ряд Фурье сходится равномерно не только на
сегменте [—л, л], но и на всей прямой (к функции, являющейся
периодическим (с периодом 2л) продолжением функции )(х) на
всю прямую).
Замечание 2. Отметим, что при оценке интегралов (8.73)
и (8.74) мы использовали лишь кусочную непрерывность (и выте-
кающую из нее ограниченность) функции f(x) на сегменте
[—л, л] (принадлежность f(x) классу Гёльдера Са при оценке
этих интегралов не использовалась).
Замечание 3. Естественно возникает вопрос о том,
можно ли в теореме 8.13 ослабить требование гладкости на
функцию f(x), сохраняя утверждение этой теоремы о равно-
мерной на сегменте [—л, л] сходимости тригонометрического
ряда Фурье этой функции.
Напомним, что принадлежность f(x) на сегменте [—л, л]
классу Гёльдера Са по определению означает, что модуль не-
прерывности f (х) на этом сегменте имеет порядок
и (б, ))=О(б“).
§ 5. Более точные условия сходимости	323
Отметим без доказательства так называемую теорему
Дини — Липшица:
Для равномерной на сегменте [—л, л] сходимости тригоно-
метрического ряда Фурье функции f(x) достаточно, чтобы эта
функция удовлетворяла условию f(—n)=f(n) и чтобы ее мо-
дуль непрерывности на сегменте [—л, л] имел порядок
а>(х, f) = о (-'j,
।	v	\ 1п(1/б) /
т. е. является при б->0 бесконечно малой величиной более вы-
, 1
сокого порядка, чем -------.
In (1/6)
Теорема Дини — Липшица содержит окончательное (в тер-
минах модуля непрерывности функции) условие равномерной
сходимости тригонометрического ряда Фурье функции, так как
можно построить функцию f(x), удовлетворяющую условию
f(—л)=)(л) с модулем непрерывности, имеющим на сегменте
[—л, л] порядок О 1 J и с тригонометрическим рядом
Фурье, расходящимся на множестве точек, всюду плотном на
сегменте [—л, л] 32).
В условиях теоремы 8.13 после периодического (с периодом
2л) продолжения функция f(x) оказалась принадлежащей классу
Гёльдера Са на всей числовой прямой. Естественно возникает во-
прос о поведении тригонометрического ряда Фурье функции f(x),
принадлежащей классу Гёльдера Са только на некотором сегмен-
те [а, Ь], а всюду вне этого сегмента удовлетворяющей лишь
обычному требованию кусочной непрерывности. Ответ на этот во-
прос дает следующая теорема.
Теорема 8.14. Пусть функция f(x) кусочно непрерывна на
сегменте [—л, л] и периодически (с периодом 2л) продолжена на
всю числовую прямую. Пусть далее на некотором сегменте [а, Ь],
имеющем длину, меньшую 2л, эта функция принадлежит классу
Гёльдера Са с произвольным положительным показателем а (0<
<а=С1). Тогда для любого 8 из интервала 0<б<(б— а)/2 триго-
нометрический ряд Фурье функции f(x) сходится (к этой функ-
ции) равномерно на сегменте [а+б, b — б].
Доказательство. Построим функцию g(x), которая на
сегменте [а, б] совпадает с f(x), на сегменте [б, а+2л] является
линейной функцией вида Ах+В, обращающейся в f(b) при х—Ь
32> Доказательство теоремы Дини—Липшица и построение только что ука-
занного примера можно найти, например, в книге А. Зигмунда «Тригонометри-
ческие ряды. Т. 1» (М.: Мир, 1965. С. 108 и 477).
324
Гл. 8 Ряды Фурье
и в f(a) при хе=а+2л33', и которая периодически (с периодом
2л) продолжена с сегмента [а, а+2л] на всю прямую (на
рис. 8.1 жирная линия изображает график функции f(x), а штри-
ховая линия — график построенной по ней функции g(x)).
Очевидно, что построенная нами функция g(x) удовлетворяет
условию g(—n)=g(n) и принадлежит классу Гёльдера С“ (с
тем же положительным показателем а, что и f(x)) на всей пря-
Рис. 8.1
мой* 34). В силу теоремы 8.13 и замечания 1 тригонометрический
ряд Фурье функции g(x) сходится равномерно на всей числовой
прямой, а поэтому в силу теоремы 8.11 тригонометрический ряд
Фурье функции f(x) при любом 6 из интервала 0<8<(Ь — а)/2
сходится (к этой функции) равномерно на сегменте [а + 6, b —
— б]. Теорема доказана.
Замечание 4. Утверждение теоремы 8.14 остается спра-
ведливым и для сегмента [а, 6], имеющего длину, равную 2л
(т. е. для случая Ь—а+2л, но в этом случае при доказательстве
теоремы следует, фиксировав произвольное б из интервала 0<
<б<л, взять функцию g(x) совпадающей с f(x) на сегменте [а+
+6/2, а+2л—6/2], линейной на сегменте [а+2л—6/2, а+2л+.
+ 6/2] и периодически (с периодом 2л) продолженной с сегмента
[а+6/2, а+2л+6/2] на всю числовую прямую. Если же сегмент
[а, 6] имеет длину, превосходящую 2л, то из принадлежности
/,(х) классу Гёльдера С“ на этом сегменте и из условия перио-
дичности f(x) (с периодом 2л) вытекает, что /(х) принадлежит
35> Условие обращения функции Ах+В в f(b) при х=Ь и в f(a) при х=
—а+2л однозначно определяет постоянные А и В:
Л-На)~/(6) д_ (а + 2л)/(&)-&/(я)
а А-2л — b ’	а+2л — 6
34> Достаточно учесть, что g{x) всюду непрерывна и что линейная функция
имеет ограниченную производную и поэтому принадлежит классу Гёльдера
С“ при любом ad.
§ 5. Более точные, условия сходимости
325
классу С“ на всей прямой, т. е. в этом случае мы приходим к тео-
реме 8.13.
6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно
гёльдеровой функции.
Определение 1. Будем называть функцию f(x) кусочно
гёльдеровой на сегменте [а, &], если эта функция ку-
сочно непрерывна на сегменте [а, Ь] и если этот сегмент при по-
мощи конечного числа точек a=xo<xi<x2< ... <.xn=b разби-
вается на частичные сегменты ад] (fe==l, 2, ...,п), на каж-
дом из которых функция f (х) принадлежит классу Гёльдера Cak
с некоторым положительным показателем сд (0<аь^1). При
этом при определении класса Гёльдера на частичном сегменте
[*л-ь Xk] в качестве значений функции на концах сегмента сле-
дует брать предельные значения
f(xfe-i + O) и f(xk — 0)35>.
Иными словами, область задания всякой кусочно гёльдеровой
функции распадается на конечное число не имеющих общих вну-
тренних точек сегментов, на каждом из которых эта функция
принадлежит классу Гёльдера с некоторым положительным пока-
зателем.
Каждый из этих сегментов мы будем называть участком
гладкости функции.
Определение 2. Будем называть функцию f(x) кусоч-
но гладкой на сегменте [а, &], если эта функция кусочно
непрерывна на сегменте [а, Ь] и имеет на этом сегменте кусочно
непрерывную производную33^, т. е. если функция f(x) кусочно не-
прерывна на сегменте [а, Ь] и ее производная f'(x) существует
и непрерывна всюду на этом сегменте, за исключением, быть мо-
жет, конечного числа точек, в каждой из которых функция f'(x)
имеет конечные правое и левое предельные значения.
Ясно, что всякая кусочно гладкая на сегменте [а, &] функция
является на этом сегменте кусочно гёльдеровой.
Теорема 8.15. Пусть кусочно гёльдеровая на сегменте [—л,
л] функция f(x) периодически (с периодом 2л) продолжена на
всю прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции'} (х)
сходится в каждой точке х прямой к значению f (х) = (х + 0) +
+f(x— 0) ]/2, причем сходимость этого ряда является равномер-
35) Как у всякой кусочно непрерывной функции, у кусочно гёльдеровой
функции значения в каждой точке хк обязаны быть равны полусумме правого
н левого предельных значений в этой точке, т. е. должно быть справедливо ра-
венство
f (х*) =	[/ (xk + 0) + f (xk — 0)].
”> См. определение 1 из п. 2 § 4.
326
Гл, 8 Ряды Фурье
ной на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участка
•гладкости функции f(x).
Доказательство. Утверждение теоремы о равномерной
сходимости на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри
участка гладкости, сразу вытекает из теоремы 8.14. Отсюда же
вытекает и сходимость тригонометрического ряда Фурье функции
f(x) в каждой внутренней точке участка гладкости функции
f(x) 37>. Остается доказать сходимость тригонометрического ряда
•Фурье функции f(x) в каждой точке соединения двух участков
гладкости.
Фиксируем одну из таких точек и обозначим ее через х. Тогда
найдутся постоянные Мх и М2 такие, что при любом достаточно
малом положительном t будет справедливо неравенство
|/(х + 0-/(х + 0)| <Л4/“(0<ах<1),	(8-75)
•в при любом достаточно малом отрицательном t — неравенство
|f(x-M)-f(x-0)| < М21(0 < а2 < 1).	(8.76)
Обозначим через М наибольшее из чисел М.г и М2, а через а
наименьшее из чисел си и а2. Тогда при |/|^1 в правой части
каждого из неравенств (8.75) и (8.76) можно писать Л4р|“.
Фиксируем теперь произвольное е>0 и по нему б>0, удовле-
творяющее неравенству (8.70) и настолько малое, что при |
справедливы оба неравенства (8.75) и (8.76) и в правой части
этих неравенств можно брать число	Повторяя рассужде-
ния, проведенные при доказательстве теоремы 8.13, мы придем к
равенству (8.71), и для доказательства теоремы нам остается
убедиться, что в фиксированной нами точке х справедливы оцен-
ки (8.72), (8.73) и (8.74). В замечании 2 п. 5 мы отметили, что
оценки (8.73) и (8.74) справедливы для любой только кусочно не-
прерывной и периодической (с периодом 2л) функции. Остается
доказать справедливость для всех номеров п оценки (8.72).
Так как f (х) = 1/2 [f (х+0) +f (х — 0)] и38>
Л =2	—idt,
J t
—б 2 sin —
37> Так как каждую внутреннюю точку участка гладкости можно охватить
сегментом, лежащим внутри этого участка.
Зв) функция
/	1 \
sin п 4-— t
\	2
Ф (О =----------------
2 sin —-
2
§ 5. Более точные условия сходимости
327
то интеграл, стоящий в левой части (8.72), можно переписать так:
1 с	sin(n+l"b
л J	Л . t
НК6	2	sin—
6	sin fn + — 'j t
=— f [/U+O-A(*+O)] ——-^-d* +
n oJ	2sin —
2
I 1 \
о	sin I n -j- — I t
+ — C (f(x+/)-f(x-O)]—(8.77>
“ Л	2sin-^-
Для оценки интегралов, стоящих в правой части (8.77), вос-
пользуемся неравенствами (8.75) и (8.76), беря в правой части
этих неравенств число М111 “. Учитывая уже применявшуюся при
доказательстве теоремы 8.13 оценку
—4^<-^(при RICH)
2 sin —
2
и неравенство (8.70), будем иметь
6	0
<-у	J	=Аб“< -у.
О	—6
Оценка (8.72), а с ней и теорема доказаны.
в
является четной, поэтому легко убедиться, что для нее J tp (t) dt =
о
о
= J<p(f)d/ (достаточно в одном из этих интегралов сделать замену t=—т).
—6
Следовательно,
6	6	0
J <р (/) Щ = 2 J tp (Z) Щ = 2 Jqi(/)dC
—6	о	—6
328
Гл. 8 Ряды Фурье
Следствие 1. Утверждение теоремы 8.15 будет тем более
справедливо, если в ее формулировке вместо кусочно гёльдеровой
взять кусочно гладкую (на сегменте [—л, л]) функцию, периоди-
чески (с периодом 2л) продолженную на всю прямую.
Для формулировки еще одного следствия введем новое поня-
тие. Пусть 0<а^1.
Определение 3. Будем говорить, что функция f(x) удов-
летворяет в данной точке х справа (слева) усло-
вию Гёльдера порядка а, если функция f(x) имеет в точке
х правое (левое) предельное значение и если существует такая
постоянная М, что для всех достаточно малых положительных
(отрицательных) t справедливо неравенство
lf(x + 0-f(x + 0)l	м ( \f(x + t)-f(x-O)\ м\
ia	\	|/|“	'
Очевидно, что если функция f(x) имеет в данной точке х пра-
вую (левую) производную, понимаемую как предел
lim /Чх + О—f(* + Q); / iim f(x + O —Их —0)
t->04-0	t	V->0—0	t
то функция f(x) заведомо удовлетворяет в этой точке х справа
(слева) условию Гёльдера любого порядка а^1.
Следствие 2 (условие сходимости тригонометрического ряда
Фурье в данной точке). Для того чтобы тригонометрический ряд
Фурье кусочно непрерывной и периодической (с периодом 2л)
функции f(x) сходился в данной точке х числовой прямой, доста-
точно, чтобы функция f(x) удовлетворяла в точке х справа усло-
вию Гёльдера какого-либо положительного порядка щ и в точке
х слева условию Гёльдера какого-либо положительного порядка
02 (и тем более достаточно, чтобы функция f(x) имела в точке х
правую и левую производные).
Доказательство. Достаточно заметить, что из того, что
•функция f(x) удовлетворяет в точке х справа (слева) условию
Гёльдера порядка си (порядка а2), вытекает существование по-
стоянной Л41 (постоянной Мг) такой, что для всех достаточно ма-
лых положительных (отрицательных) t справедливо неравенство
(8.75) (неравенство (8.76)). Так как доказательство теоремы 8.15
использует лишь неравенства (8.75) и (8.76) и кусочную непре-
рывность и периодичность f(x), то утверждение следствия 2 верно.
Пример. Не вычисляя коэффициентов Фурье функции
/(х) =
cos х при — л < х < 0;
1/2 при х = 0;
. "Кх при 0 < х «С л,
§ 5. Более точные условия сходимости
329
можно утверждать, что тригонометрический ряд Фурье этой
функции сходится в точке х=0 к значению так как функция
f(x) имеет в этой точке левую производную и удовлетворяет в
этой точке справа условию Гёльдера порядка 0-2=—.
7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непре-
рывной функции методом средних арифметических. Мы уже от-
мечали, что тригонометрический ряд Фурье всюду непрерывной
и периодической (с периодом 2л) функции может быть расхо-
дящимся (см. п. 1). Докажем, что этот ряд тем не менее всегда
суммируем (равномерно на всей прямой) методом Чезаро (ме-
тодом средних арифметических) 39>.
Теорема 8.16 (теорема Фейера)* 40). Если функция f(x)
непрерывна на сегменте [—л, л] и удовлетворяет условию
f(—л)=/(л), то средние арифметические частичных сумм ее
тригонометрического ряда Фурье.
_	So (х, f) + Sj (х, f) -f- ... 4- Sn_i (х, f)
ап\х’ I) —	„
сходятся (к этой функции) равномерно на сегменте [—л, л)
(а в случае, если функция продолжена на всю прямую с пе-
риодом 2л, равномерно на всей прямой).
Доказательство. Из равенства (8.55) для Sn(x, f) сле-
дует, что
<>Лх, f)
I
ЯП
2sinT
k
4-— \ t]di.
2 )
(8.78)
Для вычисления суммы, стоящей в (8.78) в квадратных скоб
ках, просуммируем тождество
2 sin — sin (k 4——t =coskt—cos (k 4- 1) t
2	\	2 j
по всем k=0, 1, 2,...,n— 1. В результате получим
2 sin— V sin (k 4---t = 1—cos nt =2 sin2 —•
2 La \	2 )	2
fe=0
3S> Cm. n. 1 § 7 гл. 1.
40) Л. Фейер — венгерский математик (1880—1959). Приведенная теорема
доказана им в 1904 г.
12 Зак. 25
330
Гл. 8 Ряды Фурье
С помощью этого равенства (8.78) приводится к виду
л
ЯП J
—л
sin2-^-
------ydt.
2 sin2 —
2
(8.79)
Из (8.79) в свою очередь немедленно следует, что
t
2 sin2 ——
sin2 ——
2
dt= 1,
(8.80)
так как левая часть (8.80) равна среднему арифметическому
частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции
)(х) = 1, а все указанные частичные суммы тождественно рав-
ны единице (см. п. 2).
Фиксируем произвольное е>0. Согласно теореме Вейер-
штрасса 8.7 найдется тригонометрический многочлен Т(х) та-
кой, Что
|f(x) - Т(х) |<е/2	(8.81)
для всех х числовой прямой. В силу линейности средних ариф-
метических <Jn (х, f) =оп (х, f — Т) + ап (х, Г), так что
К(х, /)-Г(х)|<|<т„(х, f-T)\ + \an(x, Т)—Т(х)|. (8.82)
Запишем равенство (8.79) для функции (f(x)— Т (х) ]. Учиты-
вая неотрицательность называемой ядром Фейера функ-
о nt
sin “Г
ции -----------и используя оценку (8.81) и равенство (8.80),
2 sin2 4-
2
получим
|<г„(х, /-ПК
nt
л	sin2 --
<_L f |/(х+0-Т(х + 01 ------------
m	2 sin2 —
nt
Неравенство (8.83) справедливо для любого номера п.
§ 5. Более точные условия сходимости
331
Заметим, что тригонометрический ряд Фурье многочлена
Т(х) совпадает с этим многочленом. Отсюда следует, что все
частичные суммы Sn(x, Т), начиная с некоторого номера п0,
равны Т(х). Но это позволяет нам для фиксированного выше
произвольного е>0 отыскать номер W такой, что
|о„(х, Т) — Т(х)\<в/2	(8.84)
при всех ri^sN и всех х.
Из неравенств (8.82) — (8.84) заключаем, что |on(x, f)—
—f(x) |<е при всех n^N и всех х. Теорема доказана.
8. Заключительные замечания. 1°. При решении ряда конкрет-
ных задач приходится раскладывать функцию в тригонометриче-
ский ряд Фурье не на сегменте [—л, л], а на сегменте [—I, Z], где
I — произвольное положительное число. Для перехода к такому
случаю достаточно во всех проведенных выше рассуждениях sa-
lt
менить переменную х на ~ х. Конечно, при такой линейной заме-
не переменной останутся справедливыми все установленные нами
результаты, которые будут относиться к тригонометрическому ря-
ду Фурье
00
^afecos-y-kx + bksin -2-kx}	(8.85)
Л=1
co следующими выражениями для коэффициентов Фурье:
i
а0 =-J- J f(t)dt;
t	1 i	(8.86)
aft=-L у /(0cos (-у kt} dt; bk=-j- § f(t)sin /-у kt\dt;
—i	—i
6=1, 2, ...
Мы не будем заново формулировать все установленные теоре-
мы, а лишь отметим, что во всех формулировках сегмент [—л, л]
следует заменить сегментом [— I, /], а период 2л — периодом 21.
2°. Из вида (8.86) тригонометрических коэффициентов Фурье
вытекает, что для четной функции f(x) равны нулю все коэффици-
енты bk (й=1, 2, ...), а для нечетной функции f(x) равны нулю
все коэффициенты а* (й=0, 1, 2, ...). Таким образом, четная
функция f(x) раскладывается в тригонометрический ряд Фурье
только по косинусам-.
-у- + ak cos -у- kx,
k=i
12*
332
Гл. 8 Ряды Фурье
а нечетная функция f(x) раскладывается в тригонометрический
ряд Фурье только по синусам:
У bk sin — kx.
3°. Приведем весьма часто употребляемую комплексную
форму записи тригонометрического ряда Фурье (8.85). Ис-
пользуя соотношения (см. п. 3 § 7 гл. 2)
—i —kx
е 1	= cos—kx—i sin—kx,
I	I
i—kx
e	= cos— kx +1 sin—kx,
I	I*
легко убедиться в том, что тригонометрический ряд Фурье (8.85)
с коэффициентами Фурье (8.86) приводится к виду
со	_J Я fa
1	>	(8.87)
&=—оо
в котором комплексные коэффициенты с* имеют вид
I	i— kt
Ck=~F S 1 dt
—I
и выражаются через коэффициенты (8.86) по формулам
с0 = -^-,	=	=	(£ = 1,2, ...).
§ 6.	КРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
1.	Понятия кратного тригонометрического ряда Фурье и его
прямоугольных и сферических частичных сумм. Пусть функция
АГ переменных f(xi, х2, ..., xN) определена и интегрируема в
/V-мерном кубе —л<х*<л (k= 1, 2, ..., ТУ); обозначим этот куб
символом П. Кратный тригонометрический ряд такой функции
удобно записывать сразу в комплексной форме, используя для
сокращения записи понятие скалярного произведения двух
Af-мерных векторов.
Пусть x=(xi, Х2, ..., xn) — вектор с произвольными вещест-
венными координатами xi, х2, ..., xn, a n=(«i, л2, ..., Птг) —
вектор с целочисленными координатами П\, п2, .. . , Пц.
§ 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье
333
Кратным тригонометрическим рядом Фурье
функции f (х) = f(xlt х2, ..., xN) называется ряд вида
£ ••• £ М~‘(х'п),	(8.88)
Л1=—00	—00
в котором числа /п называемые коэффициентами Фурье,
определяются равенствами
А1= fntn,...nN =
(8.89)
= (2л)-" f ... f f {у, уа, ... , yN) e‘^+-+w^ dyx... dyN,
n
а символ (x, n) обозначает скалярное произведение векторов
х и п, равное xini+x2«2+-  -+xNfiN.
Конечно, кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88)
можно рассматривать как ряд Фурье по ортонормированной (в
./V-мерном кубе П) системе41), образованной с помощью всевоз-
можных произведений элементов одномерных тригонометриче-
ских систем, взятых от переменных Xi, х2, Xn соответствен-
но. Эту ортонормированную систему принято называть крат-
ной тригонометрической системой.
Как и для всякой ортонормированной системы, для кратной
тригонометрической системы справедливо неравенство
Бесселя, которое имеет вид
со	со
Е ••• Е |?п|2< (2n)-"J ...jHXi, ...,xN)dx1...dxNt
—<30 nNe“—00	П
(8.90)
где f(xb x2, ..., xn) — любая непрерывная в Х-мерном кубе П
функция.
Рассмотрим вопрос о сходимости тригонометрического ряда
Фурье. Если этот ряд не сходится в данной точке х=(хь х2, ...
..., Xn) абсолютно, то вопрос о его сходимости (в силу теоре-
мы Римана 1.10) зависит от порядка следования его членов
(или, что то же самое, от порядка суммирования по индексам
«1, п2, ..., Пл).
Широко распространены два способа суммирования кратно-
го тригонометрического ряда Фурье — сферический и прямо-
угольный.
Сферическими частичными суммами кратного
тригонометрического ряда Фурье (8.88) называются суммы
вида
41 > При этом скалярное произведение двух любых функций определяется как
интеграл от произведения этих функций по кубу П.
334
Гл. 8 Ряды Фурье
Sx(x, /)= £
|п|<Х
взятые по всем целочисленным значениям «ь п2........Пдг, удов-
летворяющими условию |п| —	+ «2 4-
Говорят, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88)
суммируем в данной точке х сферическим методом, если в этой
точке существует предел Нт£Л(х, f).
Прямоугольными частичными суммами крат-
ного тригонометрического ряда Фурье (8.88) называются сум-
мы вида
m,	mN
... ,mN(x,	f) = £	£ /пб	,<X'	\
nt=—m,	nfj=—mN
Говорят, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88)
суммируем в данной точке х прямоугольным методом (или м е-
тодом П ринсгейма^), если в этой точке существует пре-
дел
lim	, щд, (х, /)
ГП*-*О0
/П^->ао
(при независимом стремлении к бесконечности каждого индек-
са Ш\, т2, ..., т^).
Оба метода суммирования имеют свои преимущества и свои
недостатки. При рассмотрении кратного тригонометрического
ряда Фурье как ряда Фурье по ортонормированной системе ес-
тественно располагать его члены в порядке возрастания |п| и
иметь дело со сферическими частичными суммами.
Прямоугольные частичные суммы применяются при исследо-
вании поведения кратных степенных рядов около границы обла-
сти сходимости. Следует отметить, что определение суммы ряда
как предела прямоугольных сумм (в противоположность опре-
делению, опирающемуся на предел сферических сумм) не на-
кладывает никаких ограничений на бесконечное множество
частичных сумм этого ряда.
Прежде чем формулировать условия сходимости кратного
тригонометрического ряда Фурье, определим некоторые харак-
теристики гладкости функции N переменных.
2.	Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции
N переменных. Пусть функция N переменных f(x) =
=f(xi, х2, ..., xn) определена и непрерывна в Af-мерной обла-
сти D.
42) Альфред Принсгейм — немецкий математик (1850—1941).
§ 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье
335
Определение 1. Для каждого 6>0 назовем м о д у л е м
непрерывности функции f(x) в области D точную верх-
нюю грань модуля разности | f (х7) — f (х") | на множестве всех
точек х' и х", которые принадлежат области D и расстояние
р(х7, х") между которыми меньше 6.
Будем обозначать модуль непрерывности функции f(x) в об-
ласти D символом со (6, f).
Определение 2. Для любого к из полусегмента 0<х<1
будем говорить, что функция f(x) принадлежит в области D
классу Гёльдера С* с показателем х, и писать f(х)е
^C*(D), если модуль непрерывности функции f(x) в области
D имеет порядок со(х, f)=O(6*).
Пусть теперь а — любое положительное число, не обяза-
тельно целое. Это число мы всегда можем представить в виде
а=г+х, где г — целое, а х принадлежит полусегменту 0<х<1.
Определение 3. Будем говорить, что функция f(x) при-
надлежит в области D классу Гёльдера Са с показателем
а>0, и писать f (х) <=Са (D), если все частные производные
функции f(x) порядка г непрерывны в области D и каждая ча-
стная производная порядка г принадлежит классу CK(D), вве-
денному в определении 2.
3.	Условия абсолютной сходимости кратного тригонометри-
ческого ряда Фурье. Выясним условия абсолютной и равномер-
ной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.
Теорема 8.17. Если функция f(x) периодически (с перио-
дом 2л по каждой из переменных) продолжена на все простран-
ство EN и обладает в EN непрерывными производными порядка
s=[N/2]+i, где [N/2] — целая часть числа N/2, то кратный три-
гонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится (к этой
функции) абсолютно и равномерно во всем пространстве EN.
Доказательство. Договоримся обозначать символом
/
—коэффициент Фурье производной с номером п=
\ dxk / п	*
= (/ii, ns, ..., пм). Производя интегрирование по частям, полу-
чим I 1 = inkfn (для любого k=\, 2, ..., /V), так что
\ dxk /п
N
У ( df
-faJ \ dxk )п
*:=1
— I /п | ( |	1 + I П2 | + . . . + | flfj I )
и, следовательно,
N
(8.91)
*=1
336
Гл. 8 Ряды Фурье
Формула (8.91) справедлива не только для функции f, но и для
каждой частной производной функции f до порядка (s— 1)л
включительно.
Отсюда сразу же вытекает соотношение
I fn | < (I 1 + • • • + I nN I) ’
Si+s«+- • -+^=з
ay
dx?‘ ... dx\N
1 N
(8.92)
сумма в правой части которого берется по всем целым-неотри-
цательным si, S2, (Sy, удовлетворяющим условию si+s2+
+.. .+sn=s (так что число слагаемых в этой сумме равно Ns).
Из (8.92) в свою очередь следует43), что
lfn|C-^(l"i|+ l«ai + - - - + !'ia1)-2s +
(8.93)
Учитывая, что s = -^-+e, где е=1 для четного N и е=1/2
для нечетного N, и что
(1^1 + |n2l +--. + I«jvI)2s = (I«iI + l«2l + ... + IM)-"-2s<
__________________2е	___2е	__2в
<|nx|	"|п21	"...1^1	N,
из (8.93) получим
_1_|2е	__2е	__2в
f s
Sl-Tsa-|-. •  "}“S№S
/__________dsf \ 2
I dx'Pdxfy ... dxsN )
\	1	2 N /n
(8.94)
Для абсолютной и равномерной сходимости кратного триго-
нометрического ряда Фурье (8.88) достаточно (в силу признака
Вейерштрасса) доказать сходимость мажорирующего его чис-
лового ряда
ОО	QO
S	S
П.^=— по	П хт— ср
43> Мы пользуемся неравенствами |а| • |Ь| <а2/2+62/2 и (|ai| + |azl +...+
+ l°p|)2<P(°i2 + a22+ —+°р2)-
§ 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье
337
но (в силу неравенства (8.94)) сходимость последнего ряда яв-
ляется прямым следствием сходимости для любого £=1, 2, ...
СО	_|
N числового ряда |«ft| Л' и сходимости для лю-
бых $ь s2, ..., Sn ряда
вытекающей из неравенства Бесселя (8.90), записанного для не-
dsf
прерывной функции дх^дх? ... dxsN'
Тот факт, что кратный тригонометрический ряд Фурье (8.88)
сходится именно к функции f(x), вытекает из полноты кратной
тригонометрической системы 44). В самом деле, если бы ряд
(8.88) равномерно сходился к некоторой функции g(x), то из
возможности почленного интегрирования такого ряда вытекало
бы, что все коэффициенты Фурье функции g(x) совпадают с со-
ответствующими коэффициентами Фурье функции f(x). Но тог-
да разность [f(x)—g(x)] была бы ортогональна всем элементам
кратной тригонометрической системы и (в силу полноты этой
системы) равнялась бы нулю. Теорема доказана.
Замечание. Теорема 8.17 может быть уточнена.
Теорема 8.18. Если функция f(x) периодична по каж-
дой из переменных (с периодом 2л) и принадлежит в EN клас-
су Гёльдера Са при a>N/2, то кратный тригонометрический
ряд Фурье f (х) сходится (к этой функции) абсолютно и равно-
мерно во всем пространстве EN.
Выяснение условий неабсолютной сходимости кратного три-
гонометрического ряда требует привлечения более тонкой тех-
ники.
“> Полнота кратной тригонометрической системы сразу вытекает из пол-
ноты составляющих ее одномерных тригонометрических систем, произведением
которых она является.
Глава 9
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Если функция f(x) задана на всей числовой прямой или на по-
лупрямой и не является периодической ни с каким периодом, то
эту функцию естественно раскладывать не в тригонометрический
ряд Фурье, изученный в предыдущей главе, а в так называемый
интеграл Фурье. Изучению такого разложения и посвящена на-
стоящая глава.
Приведем сначала некоторые наводящие соображения. Пусть
периодическая с периодом 2/ и первоначально заданная на сег-
менте [—I, /] функция f(x) разложена в ряд Фурье:
/(х) = -у +	^afccos-y-fct + 6ftsin-y-fec^,
где
i	i
—	ak = —j- § f (t)cos —ktdt, bk —
—i	—i
i
= _L C f (t) sin kt dt.
-i
Формально подставив выражения для a,k и bk в разложение функ-
ции f(x), получим
I	Со	I
=	§ f(t)dt+ 2[т j f (t) cos-у kx cos	kt dt +
—i	k=iL —i
i	i
+ -y- У f (Osin-j-fexsin-y- kt dt	§	f(t)dt +
-i	-i
co I
+ -i- У у f (t) [cos -y kx cos-j-kt + sin-y- kx sin -y kt j dt,
k=i—i
§ 1. Представление функции интегралом Фурье
339
ИЛИ
cos-y-ft(f —х) dt.
I	co
-I	k=\
Предположим, что функция f(x) абсолютно интегрируема на всей
-[-СО
прямой, т. е. сходится несобственный интеграл J. \f(t)\dt, и пе-
рейдем чисто формально в равенстве для f(x) к пределу при /-*
—>-оо. При этом первое слагаемое
мится к нулю, а второе слагаемое
тегральную сумму для интеграла
правой части равенства стре-
можно рассматривать как ин-
со
от функции
о
I
g(X) = — J /(OcosX(Z—x)dt,
если положить Хь = — k, \к——.
k I	I
Поэтому формальный предельный переход приводит к равен-
ству
/ (х) =—	/(0cosA.(f—x)dt.
О ----ОО
Это равенство и называется формулой Фурье.
Если положить
ак = — С / (i) cos М dt, Ьк
Л J
со
= — J / (£) sin ktdt,
— 06
то формулу Фурье можно записать в виде
ОО
f(x) — J (ах cos Хх + bK sin Хх) dk.
о
Перейдем теперь к строгому изложению теории преобразова-
ния Фурье.
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ
Всюду в дальнейшем подчиним функцию f(x) требованию аб-
солютной интегрируемости на прямой (—со, сю), т. е. потребуем,
чтобы сходился несобственный интеграл
340
Гл. 9. Преобразование Фурье
J\fW\dx.	(9.1)
— СО
Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) при-
надлежит на прямой (—оо, оо) классу Li и писать f(x)e
оо, оо), если функция f(x) интегрируема (в собственном
смысле Римана) на любом сегменте (говорят, что f(x) — локаль-
но интегрируема) и если сходится несобственный интеграл (9.1).
1. Вспомогательные утверждения. Заметим, что в дальнейшем
комплексная функция g(A) вещественного аргумента А будет рас-
сматриваться как пара вещественных функций ц(А) и v(A):
^(A)=u(A)+iv(A). Непрерывность g-(A) в данной точке А пони-
мается как непрерывность в этой точке каждой из функций и(\)
и v(A).
Лемма 1. Если f^Li(—oo, оо), то для любой точки А число-
вой прямой (—оо<Х<оо) существует несобственный интеграл
g(K)^^e^f(x)dxt\	(9.2)
—00
называемый преобразованием Фурье (или образом
Фурье) функции f(x). Функция g(K) непрерывна по К в каждой
точке числовой прямой.
Доказательство. Из равенства |f(х)е‘Кх| = |f(х) | и из
сходимости интеграла (9.1) вытекает существование несобствен-
ного интеграла g'(A):
|g(X)|=| J e‘*7(x)dx |< | |/(x)|dx< оо.
—оо	—co
Из признака Вейерштрасса (см. теорему 7.8) вытекает равно-
мерная по А сходимость интеграла (9.2); отсюда в силу непрерыв-
ности е1** по А легко следует непрерывность g(A) на каж-
дом сегменте, т. е. в каждой точке числовой прямой.
Лемма 2 (лемма Римана). Пусть функции f(x) — локаль-
но интегрируема на (—оо, +<х>) и [а, Ь] — произвольный фиксиро-
ванный интервал числовой прямой; тогда
ъ
J f (х) eiKx dx -+ О
а
при А-*оо (X — вещественное число).
Доказательство. Фиксируем произвольное число е>0.
Так как функция f(x) по условию теоремы локально интегрируе-
ма на числовой прямой, то f (х) интегрируема на заданном сегмент
§ 1. Представление функции интегралом Фурье
341
те [а, 6]. Поэтому для выбранного числа е>0 найдется такое раз-
биение Т сегмента [а, Ь] на частичные сегменты [х*-ь х^] (fe=l,
2, ..., п, a~x0<xt<.. .<Хп=Ь), что для нижней суммы Дарбу Sr
справедливы неравенства
ь
О < { f (х) dx—sT < е.
а
Напомним, что
m
= tn.jlS.Xj,
/=1
где
inf f(x), &Xj=Xj—Xj-i.
xjl
Рассмотрим кусочно постоянную на сегменте [а, Ь] функцию
/?(х)=/п/, при xe[x/-i, X/], ]’=1, 2, п, р(хо)=/пь Очевидно,
jj(x)<f(x) на [а, Ь] и для всех вещественных чисел А
ь	ь	ь
0< | J/(x)e,udx— jp(x)eiUdx|< J |/(х)— р(х)| • |eiU|dx =
а	а	а
ь	ь
= J [/ (х)—р (х)] dx = ^f (х) dx—sr < е.
а	а
Но для фиксированного нами разбиения Т
Ь	п xj	п
j р (х) eiU dx = У] J mjeiKx dx = — (m/eiKx) |	0
a	/=1 >/_!	/=1
b
при А^-оо. Таким образом, при Л->о° интеграл J p\x}eiKxdx
а
стремится к нулю. Лемма доказана.
Лемма 3. Преобразование Фурье g(A)' функции f(x)e
eLi(—оо, оо) стремится к нулю при |Л|**>оо, т. е.
lim |g(X) | =0.
342
Гл. 9. Преобразование Фурье
Доказательство. Фиксируем произвольное число е>0.
В силу сходимости интеграла (9.1) можно выбрать число Л>0
такое, что
f \f(x)\dx+ f |/(x)|dx<
и	«/	z
— 00	A
При таком А справедливо неравенство
lg(*)l =
f (х) eiKxdx
е
Последний интеграл при достаточно большом |Х| может быть
оценен сверху числом
(см. лемму 2). Так как е произволь-
но, то lim |g(X)|=O. Лемма доказана.
В качестве следствия из леммы 3 получаем
lim f f (х) cos Хх dx — 0, lim f /(x)sinXxdx = O.
*	X-*co J
— да	— QO
2. Основная теорема. Формула обращения.
Определение 1. Для каждой функции f(x) из класса
Li(—оо, оо) назовем предел
А	А	со
lim— С g(X)e-£4/X~lim — С [ С е^'хЦ (t) dt \ dk (9.3>
Д—>co 2Л J	Д—>со 2Л J | J	J
—Д	—А •—со
[при условии, что этот предел существует) разложением
функции f(x) в интеграл Фурье.
Возникает вопрос о существовании разложения функции f(x)
в интеграл Фурье (9.3). Ответ дается следующей теоремой.
Теорема 9.1. Если функция f(x)eLi(—оо, оо) и если f(x)-
удовлетворяет в данной точке х справа условию Гёльдера поряд-
ка си, где 0<ai<l, а слева условию Гёльдера порядка а2, где
0<а2<1, то в данной точке х выполнено равенство
lim J_ С g(X)e-^dX = Hx+O) + f(^~O)..
д-оо 2л J 4 '	2
—А
Таким образом, в каждой точке х, в которой значение f(x) рав-
но полусумме f^x) —	—2L, в частности, в каждой
точке непрерывности f(x), справедливо равенство
§ 1. Представление функции интегралом Фурье
343
00
И*) = 4- f S^)e-^dk,
2л J
— оо
(9.4)
•в котором несобственный интеграл понимается в смысле главного
значения, т. е. при симметричном стремлении пределов интегриро-
вания к бесконечности.
Доказательство. Поскольку g’(X) — непрерывная функция,
то при любом Л>0 существует интеграл
А
g (X) e~iKxdk
—А
А	со
— у e~ixK J J e^fttjdt j dX.
—А	—оо
В силу того что интеграл, заключенный в квадратные скобки,
равномерно по X сходится на любом сегменте [—А, Л], можно по-
менять порядок интегрирования относительно t и X. Воспользовав-
шись равенствами
= cos х (t—х) + i sin X (t—x);
A
P л n x 2sinA(Z— x)
\ cosX(7—x)dX =------b----
J	(< — •*)
sinX(Z—x)dX = O,
-x
.а также заменой t=x+u, получим
—A
A
eiW-*d^f(f)dt =
—A
= — C f(t) sinA(t~x) ’dt = — f f (x + u) sin4“- du.
л J V' t—X	‘ nJ	«
—co	—oo
Следовательно, при любом Л>0
а	о
——	С g (X) e-iKxdk = — С f (х + и) sin>4“ du +
2л	J	nJ	и
—А	— оо
+ _L ^f^+u)^^-du.	(9.5)
«J	и
о
Поскольку
\^Ldu = -^-, f sin4-“.dM = JL,
J и	2 J и 2
о
—со
844
Гл. 9. Преобразование Фурье
ТО
2 nJ	и
о
о
2^lziP)=J_ Г /(x_o)Ji^du.
2 л J	и
—со
Вычитая последние два равенства из (9.5), получим
J g (h) e~iKxdk<—~ (* + 0)- f-Hx-—=
—л
=— f[/(x+U)-/(x + O)]-^^dU +
nJ	и
о
о
+ —Г 1/(х+«) — /(х — 0)1 -^^du.	(9.6)
л J	и
— оо
Так как функция f(x) удовлетворяет справа условию Гёльдера
порядка си, то существует постоянная Mi такая, что для доста-
точно малых положительных и будет выполнено неравенство
\f(x+u)— f(х+0) |<ЛГ1И“», 0<ai<l.	(*)
Аналогично из условия Гёльдера слева порядка «2 получаем не-
равенство
|f (х+«)— f(x—0) | <Af2|«|“2, 0<a2<l,	(**)
для всех достаточно малых по модулю отрицательных и. Пусть
Al=max{Afi, A42}, a=min{ai, a2}. Тогда неравенства (*) и (**)
можно записать в виде одного:
|f(x+«)-f(x±O) |«М|ы|“	(9.7)
при |«| <6, где б>0 достаточно мало.
Перепишем соотношение (9.6) в следующем виде:
л	б
J g(X)	Их + 0) +	J [/(х + ц)_
—Л	о
о
-/(х 4-0)]-^ du 4- — (' [f(x4-u)-f(x-0)]-^^-du 4-
и	л J	и
—б
. 1 Г г i , ч sin Ди .
4---\ 7(х4-«)--------du —
nJ	и.
|и|>б
§ 1. Представление функции интегралом Фурье
345
оо	—б
_ /(х+0) Г	sin Ли _ f(x—O) Г* sin Ли
л	J	и	л	J	и
б	—со
(9.8>
Пусть фиксировано произвольное е>0, а 6 выбрано из усло-
вия < — и так, чтобы при |и|<б было справедливо (9.7).
ла 4
Оценим первые два интеграла в правой части (9.8). Пользуясь
(9.7), получим
А	б
— Г U(x + u)- f(x + O)]^-du <—f |/(х+Ы)-/(х+0)|^-<
я j	и	я J	и
о	о
б
<— I и“-Ми=------
nJ	ла
о
Аналогично
о	о
— f[f(x + w)-/(x-O)]^^dU|<— f |/(x+«)-/(x-0)|-^-<
л J	а	л J	PI
-б	-б
о
< — \ \u\a~ldu =---
nJ	ла
-6
Поэтому в силу выбора б
б
— f[/(x+«)-/(x+O)]-^d«
л J	и
о
о
+ -1 Г [/(X + u)—f (X- 0)] du I < -j-
л J	и I 1
(9.9>
Для оценки третьего интеграла в правой части (9.8) рассмот-
рим функцию
1 Hx-f-и) ।
—' при |и|> о;
л и
О при | и | < б.
7(«) =
Функция q(и) принадлежит классу Li(—оо, оо), а поэтому в силу
леммы Римана
оо
lim С ?(и)51пЛмйи = Ит— С f (х + и) --in Л“- du = 0.
А-+со v	А-^-ао Л J	U
—со	lul>6
346
Гл. 9. Преобразование Фурье
Но это и означает, что для фиксированного нами произвольного
®>0 существует число У] такое, что при A^NX
Далее,
1 С и , , sin Ли ,	. е
—	\ /(х + «)------du <-----
nJ	и	4
|«|>б
(9.10)
—б	со	оо
Г sin Ли , С sin Ли , р sin т , п
\ -----du — I-------du — \ ----ат->-0
Ju	Ju	J	т
—00	б	Дб
при Л->оо. Отсюда следует, что для фиксированного нами произ-
вольного е>0 и рассматриваемой точки х найдется N2 такое, что
sin Ли
и
f (х + 0) Г
л J
б
-6
du]+ll^2)
| I n Ju I 4
—-oo
(9.П)
при Л>У2. Пусть У=тах{У1, N2}. Тогда, подставляя (9.9) — (9.11)
в (9.8), получаем, что при Л>У
£ g(X)e-»^dX— f^ + O)+f(x-O) <е
Теорема доказана.
Замечание. Требования, налагаемые на функцию f(x) в
теореме 9.1, можно несколько ослабить.
Определение 2. Будем говорить, что функция f(x), задан-
ная в некоторой проколотой окрестности точки х, удовлетворяет
я точке х у с ло в иям Дини, если-.
а)	в точке х существуют оба односторонних предела
/(х + 0)= lim /(х + «), f(x—0) = lim f(x—и);
u-<-0+0	«->-0+0
б)	для какого-нибудь положительного значения е оба интег-
рала
в	в
С f(x + u)-f(x + O)	Г f(x-u)-f(x-O)
J	U	J	«
о	о
сходятся абсолютно.
Ясно, что если функция f(x) удовлетворяет в точке х справа
и слева условию Гёльдера
|f(x+«)— f(x±O) | <М|и|“, 0<а<1,
§ 1. Представление функции интегралом Фурье
347
то, поскольку
|f(x+u)—Дх±0)| м
и	hi®-1 ’
для функции f(x) выполнено и условие Дини.
Обратное, конечно, неверно. Можно доказать, что условие Ди-
ни тем не менее обеспечивает разложение функции f(x) в интег-
рал Фурье в данной точке.
Сделаем некоторые выводы из полученных результатов. При
условии ((х)е£,(—оо, оо) у функции f (х) существует преобразо-
вание Фурье
со
g (X) — J f (х) eiKx dx-,
— оО
обозначим его так: g’(X)=F(f), где F — оператор Фурье, приме-
няемый к функции f.
При выполнении условий теоремы 9.1 и условия /(х) =
f(x-f-O)-|-f(x — 0)	,	г, х
— ----------------как мы доказали, функция дх) разлагает-
ся в интеграл Фурье, т. е. справедлива формула
оо
/(x)=-L fg(X)e-^dX.
2л J
-—GO
Эту формулу называют обратным преобразование»
Фурье. Обозначим ее так: f (х) = —^~ F~l (g), где F~l — обрат-
2л
ный оператор Фурье, применяемый к функции g’(X), т. е. к образу
Фурье функции jF(x).
Отметим, что хотя формулы преобразования Фурье и обратно-
го преобразования Фурье внешне похожи (см. формулы (9.2) и
(9.4)), по существу они различны: в первой из них интеграл су-
ществует в обычном смысле (поскольку /'eLi(—ос, оо)), а во вто-
рой, вообще говоря, лишь в смысле главного значения. Кроме то-
го, равенство (9.2) — это определение функции g(X), а в равенст-
ве (9.4) содержится утверждение о том, что интеграл равен ис-
ходной функции /(х).
3. Примеры. Рассмотрим прямое и обратное преобразования
Фурье для случаев четной и нечетной функций.
Г. Случай четной функции f(x). Очевидно, в случае,,
если f(x)=f(—х), из формулы (9.2) получаем
со	00
g(X) = J /(x)(cosXx-H’sinXx)dx = 2 J f (х) cos Хх dx.
-00	О
348
Гл. 9. Преобразование Фурье
Отсюда следует, что g(X) тоже четная функция. Поэтому
00	оо
f (х) = —— f g(X) coskxdk =— f g(X) cos kxdk.
2л J	nJ
—co	0
Первую из этих формул называют прямым косинус-преоб-
разеванием Фурье функции f(x), а вторую — обрат-
ным косинус-преобразованием Фурье.
2°. Случай нечетной функции f(x). Пусть f(x) —
=—f(—х). Тогда, очевидно, получим прямое синус-преобра-
зование Фурье
со
g (X) = 2 J f (х) sin kx dx
о
и обратное с и н у с-п р е о б р а з о в а н и е Фурье
/ (х) = — J g (X) sin Хх dk.
о
3°. Пусть f{x)=e~'i[x', у>0. Тогда
00	в»
F(f) — g (X) = J е—dx = 2 J e~'/x cos Xx dx.
С помощью двукратного интегрирования по частям находим
F(f)=g(k)^^
4°. Пусть
1 при
О при
a
Тогда
р	р	р1ла_
g(k) — I /(х) еЛх dx — I eiKxdx=------------
J	J	lA
— oo	•—Q
Заметим, что g(k) не принадлежит Li(—oo, oo).
§ 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ФУРЬЕ
Установим некоторую связь между скоростью убывания функ-
ции f(х) и гладкостью (дифференцируемостью) ее преобразова»
ния Фурье, а также между гладкостью функции и скоростью убы-
вания ее преобразования Фурье.
§ 2. Некоторые свойства преобразования Фурье
349
Утверждение 1. Пусть для целого неотрицательного k
(1+|х|)*/(х)еА[(—оо, оо). Тогда преобразование Фурье g(%)
-функции f(x) дифференцируемо k раз, причемЛего производную по
Л, любого порядка т=\, 2.....k можно вычислять дифференци-
рованием под знаком интеграла (9.2), т. е. по формуле
J / (х) (ix)m eiKx dx, m = l, 2, ..., k. (9.12)
—co
Доказательство. Для любого m=l, 2, ..., k справедливо
.неравенство
I (elx4	I = I eixK (ixr f (x) | < (1 + | x |*) | f (x) |.
Интеграл
00
J (l+|x|*)lf(x)|dx
oo
сходится. Из сходимости этого интеграла и из признака Вейер-
штрасса (см. теорему 7.8) вытекает равномерная по X на каж-
00
дом сегменте сходимость интеграла J f (х) еЛх dx. Из теоремы 7.14
— со
вытекает возможность продифференцировать этот интеграл по Z.
до порядка т=1, 2, ..., k, а также справедливость форму-
лы (9.12). Утверждение доказано.
Утверждение 2. Пусть функция f(х) имеет в каждой точ-
ке х все производные до порядка &>1 включительно, причем f(x)
и все /(т)(х), т=\, 2, ..., k, абсолютно интегрируемы на (—оо, оо)
и для любого пг=О, 1, ..., k— 1 /<’п’(х)->0 при |х|->оо (/(°)(x)=s
ММ).
Тогда |£(А.) I=O(N~*) пРи 1М_>о°. г^е £(М ~ преобразова-
ние Фурье функции f(x).
Доказат ельство. Пусть Л>0, тогда
А
j /W (х) е*х dx = [/<*-’) (х)	[/(*-2) (х) (Л) е‘^х]±А +
—А
А
+ ...+(—i)*X* J f(x)eiUdx.
—А
Устремляя А к бесконечности и учитывая стремление к нулю про-
изводных функции f(x), получим
J /да (х)	dx = (—гХ)4 J /(x)ea*dx = (—itykg(k).
--QO	—00
350
Гл. 9. Преобразование Фурье
Согласно лемме 3 преобразование Фурье функции f(k)(x) стремит-
ся к нулю. Поэтому
|g(%) |=о( |%|-*).
Утверждение доказано.
Утверждение 3 (равенство Планшереля')). Пусть функ-
ция f(x) и ее вторая производная абсолютно интегрируемы на
(—оо, оо), f(x)->0, /'(х)->0 при |х|->оо. Пусть функция <р(х)
абсолютно интегрируема на (—оо, оо). Тогда
J £(Х)ф(Х)А,
где g(k)=F(f), ф (X) =F (ср) — преобразования Фурье функций f
и <р соответственно; черта над ф(А) означает комплексное со-
пряжение.
Доказательство. По формуле обращения /(х) =
00
= _L.р~{ (g) = —L_ С g(k)e~iUd'k, причем согласно утвержде-
2л	2л J
— 00
нию 2
^(X)|«c(l + IX|)-2.
Поэтому интеграл для f(x) сходится абсолютно и равномерно .(от-
носительно х) на (—оо, оо). Умножая обе части формулы для
f(x) на <р(х) и интегрируя по х от —А до А, получим
А	А
У f(x)q>(x)dx =
—А
В силу равномерной по х на
со
j ё W е~‘Кх dK можно поменять
—00
формуле справа:
e~iKx dk dx.
—А
[—Л, Л] сходимости интеграла
порядок интегрирования в этой
j f(x)g(x)dx=-^- § [ J	g(h).dk, (9.13>
где черта означает комплексное сопряжение.
Согласно оценке
А	®
| j <p(x)e-‘x*dx|. |^(Х)|<с(1 + |Х|Г2 J |q>(x)|dx
—А	— ®
о М. Планшерель — швейцарский математик (1885—1967).
§ 2. Некоторые свойства преобразования Фурье
351
и признаку Вейерштрасса интеграл в правой части (9.13) сходит-
ся равномерно по А на всей прямой. Применяя теорему 7.9, в
(9.13) можно перейти к пределу при |Л|-*оо под знаком интегра-
ла. Получим
со
f(x)g(x)dx=-^~ С g(X)4>(A)dX,
—со
что и требовалось доказать.
В заключение докажем теорему Котельникова2), играющую
важную роль в теории радиосвязи. Для этого сделаем несколько
предварительных пояснений. Пусть функция f(x) определена на
сегменте [—I, /] и периодически (с периодом 21) продолжена на
всю прямую; пусть эта функция абсолютно интегрируема на пе-
риоде. Разложим f(x) в ряд Фурье (который в случае, если f(x)
удовлетворяет дополнительным условиям, сходится к ней):
СО
= f(aftcos-j-A!x + Min 7-^) = 2j с*е * •
fe=l	fe=— го
Функцию f(x) называют сигналом, числа {а0, аь, Ьь} или
{сД — спектром сигнала, а величину 6/2/ — частотой
сигнала f. Разложение периодической функции в ряд Фурье
называют гармоническим анализом данной функции.
В случае периодической функции f(x) ее спектр дискретен, т. е.
состоит из не более чем счетного множества значений.
Если функция не является периодической, то ряд Фурье, как
мы знаем, может быть заменен интегралом Фурье функции f(x) и
СО
2л J
----00
Функцию f(x) можно по-прежнему называть сигналом, а
функцию g’(X) — спектром сигнала (в данном случае спектр
непрерывен) и X —-частотой сигнала.
На практике важной задачей является задача восстановления
сигнала по спектру. Подчеркнем, что часто нет необходимости
знать спектр g’(X) для всех частот X, да и приборы улавливают
спектр только в некотором диапазоне частот |Х|<а. (Например,
человеческое ухо улавливает сигнал в диапазоне от 20 герц до
20 килогерц.)
Поэтому будем считать, что сигнал /(х) (х — время, — оо<х<
<оо) имеет финитный спектр, отличный от нуля лишь для частот
2> В. А. Котельников (род. в 1908 г.) — советский академик, специалист
в теории радиосвязи.
352
Гл. 9. Преобразование Фурье
X при |Х|<а. Таким образом, при |Х|>а имеем g(X)=0. Следо-
вательно,
оо	а
= — С g (X) e~(UdX = — f g(X)e-^dX. (9.14>
2л J	2л J
—co	—a
Разложим на сегменте [—a, a] функцию g(X) в ряд Фурье:
i—kk
g(V=YAea •
k=—00
Учитывая (9.14), получим
dk =4- С g(X)e а‘ dK = ^f(—?-k\	(9.15>
2a J	a \ a /
—a
Подставляя эти коэффициенты в ряд для g(X), а затем g(X) — а
интеграл (9.14), будем иметь
/(x)=-L f 4- V f(—k\e ° dX =
2л J \ a LJi \ a I	/
—a	k=—oo
Таким образом, доказана следующая
Теорема 9.2 (теорема Котельникова). Для сигнала f(x) а-
финитным спектром g(X) справедливо соотношение
sin а х — — k
Теорема 9.2 показывает, что сигнал, описываемый функцией'
/(х) с финитным спектром g’(X), сосредоточенным в полосе частот
| X | < а, восстанавливается лишь по отсчетным значениям f (—fe)„
\ а /
передаваемым через равные промежутки времени л/а.
§ 3. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Здесь мы дадим лишь самые начальные понятия о кратном ин-
теграле Фурье. Пусть функция N переменных f(x)=f(xi, хг, •••
..., хл-), У>2, такова, что существует несобственный интеграл
§ 3. Кратный интеграл Фурье
353
(^1» х2> • • • > хм) dx^ dxa *.. dxN.
en
Назовем преобразованием (образом) Фурье такой
функции Цх) величину
Х2, •••. ^) = /(хи х2 ... Хд,) ei{x<^ dxtdxa ...dxN,
en
где (x, X) означает скалярное произведение векторов х=(х\, хг, ...
..., Хдг) и Х=(Л1, Хг, . •., Xw), т. е.
N
(х, X) ==^Г'. х£-Х<.
ls>l
Точно так же, как в § 1, можно показать, что g(X) является
непрерывной функцией К в EN и стремится к нулю при |Х| =
= (£х|)1/2->0. Предел
f =з1
lim f... f g(\, X2, .... ХЛГ)е-1'(жД) d^d^ ... dhN
при условии, что он существует, называется разложением
функции f (х) в N-к ратный интеграл Фурье. С помощью
перехода к пределу получается (так же, как в случае одной пе-
ременной х) формула обращения
/ (*) = тАу [• • • f g(М
lN
где
х~(хъ ха......xn\ — (^ц> ^2,	Хд.).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.............................................. 7
§ 1.	Понятие числового ряда......................................... 7
1.	Сходящиеся и расходящиеся ряды (7). 2. Критерий Коши сходи-
мости ряда (10)
§ 2.	Ряды с неотрицательными членами................................12
1.	Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрица-
тельными членами (12). 2. Признаки сравнения (13). 3. Признаки
Даламбера и Коши (16). 4. Интегральный признак Коши — Мак-
лорена (21). 5, Признак Раабе (24). 6. Отсутствие универсального
ряда сравнения (27)
§ 3.	Абсолютно и условно сходящиеся ряды............................28
1.	Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов (28). 2. О пе-
рестановке членов условно сходящегося ряда (30). 3. О перестановке
членов абсолютно сходящегося ряда (33)
§ 4.	Признаки сходимости произвольных рядов.........................35
§ 5.	Арифметические операции над сходящимися рядами.................41
§ 6.	Бесконечные произведения.......................................44
1.	Основные понятия (44). 2. Связь между сходимостью бесконечных
произведений и рядов (47). 3. Разложение функции sinx в бесконеч-
ное произведение (51)
§ 7.	Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов ....	55
1.	Метод Чезаро (метод средних арифметических) (56). 2. Метод
суммирования Пуассона — Абеля (57)
§ 8.	Элементарная теория двойных и повторных рядов..................59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 67
§ 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на мно-
жестве ...............................................................67
1.	Понятия функциональной последовательности и функционального
ряда (67). 2. Сходимость функциональной последовательности (функ-
ционального ряда) в точке и на множестве (69). 3. Равномерная
сходимость на множестве (70). 4. Критерий Коши равномерной схо-
димости последовательности (ряда) (72)
§ 2.	Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных
последовательностей и рядов .......................................... 74
§ 3.	Почленный переход к пределу.......................................83
§ 4.	Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функцио-
нальных последовательностей и рядов....................................87
1.	Почленное интегрирование (87). 2. Почленное дифференцирование
(90)	. 3. Сходимость в среднем (94)
§ 5.	Равностепенная непрерывность последовательности функций ...	97
§ 6.	Степенные ряды...................................................102
1.	Степенной ряд и область его сходимости (102). 2. Непрерывность
суммы степенного ряда (105). 3. Почленное интегрирование и почлен-
ное дифференцирование степенного ряда (105)
§ 7.	Разложение функций в степенные ряды..............................107
1.	Разложение функции в степенной ряд (107). 2. Разложение неко-
торых элементарных функций в ряд Тейлора (108). 3. Элементарные
представления о функциях комплексной переменной (ПО). 4. Теоре-
ма Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции
многочленами (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
117
•§ 1. Определение и условия существования двойного интеграла .	.	.	117
1.	Определение двойного интеграла для прямоугольника (117).
2.	Условия существования двойного интеграла для прямоугольника
(119). 3. Определение и условия существования двойного интеграла
для произвольной области (121). 4. Общее определение двойного ин-
теграла (123)
§ 2.	Основные свойства двойного интеграла..........................127
§ 3.	Сведение двойного интеграла к повторному однократному .	.	.	129
1.	Случай прямоугольника (129). 2. Случай произвольной области
(130)
§ 4.	Тройные и n-кратные интегралы ................................133
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле......................138
§ 6.	Вычисление объемов n-мерных тел...............................152
§ 7. Теорема о почленном интегрировании функциональных последова-
тельностей и рядов.............................................157
$ 8. Кратные несобственные интегралы...............................159
1. Понятие кратных несобственных интегралов (159). 2. Два призна-
ка сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функ-
ций (160). 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций
(161). 4. Главное значение кратных несобственных интегралов (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ...................................167
'§ 1. Понятия криволинейных интегралов первого и второго рода . . . 167
§ 2. Условия существования криволинейных интегралов................169
ГЛАВА 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ...................................175
§ 1. Понятия поверхности и ее площади..............................175
1. Понятие поверхности (175). 2. Вспомогательные леммы (179).
3.	Площадь поверхности (181)
'§ 2. Поверхностные интегралы......................................185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУ-
ЛЫ АНАЛИЗА.........................................................190
§ 1.	Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты линейного опе-
ратора ............................................................190
1.	Обозначения (190). 2. Биортогональные базисы в пространстве
Еп (191). 3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариант-
ные координаты вектора (192). 4. Инварианты линейного оператора.
Дивергенция и ротор (195). 5. Выражения для дивергенции и рото-
ра линейного оператора в ортонормированной базисе (1198)
§ 2.	Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы век-
торного анализа....................................................198
1.	Скалярные и векторные поля (198). 2. Дивергенция, ротор и про-
изводная по направлению векторного поля (203). 3. Некоторые дру-
гие формулы векторного анализа (204). 4. Заключительные заме-
чания (206)
§ 3.	Основные интегральные формулы анализа.........................207
1.	Формула Грина (207). 2. Формула Остроградского — Гаусса (211).
3.	Формула Стокса (214)
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от
пути интегрирования............................................218
§ 5. Некоторые примеры приложений теории поля.....................222
1. Выражение площади плоской области через криволинейный ин-
теграл (222). 2. Выражение объема через поверхностный интеграл
(223)
Дополнение к главе 6. Дифференциальные формы в евклидовом про-
странстве .....................................................225
§ 1. Знакопеременные полилинейные формы.............................225
1. Линейные формы (225). 2. Билинейные формы (226). 3. Полили-
нейные формы (227). 4. Знакопеременные полилинейные формы (228).
5. Внешнее произведение знакопеременных форм (228). 6. Свойства
внешнего произведения знакопеременных форм (231). 7. Базис в
пространстве знакопеременных форм (233)
§ 2. Дифференциальные формы.........................................235
1. Основные обозначения (235). 2. Внешний дифференциал (236).
3. Свойства внешнего дифференциала (237)
§ 3. Дифференцируемые отображения................................. 239'
1. Определение дифференцируемых отображений (239). 2. Свойства
отображения ф* (240)
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм...........................243
1. Определения (243). 2. Дифференцируемые цепи (245). 3. Форму-
ла Стокса (248). 4. Примеры (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ .... 252
§ 1.	Равномерное по одной переменной стремление функции двух пере-
менных к пределу по другой переменной ............................. 252
1.	Связь равномерного по одной переменной стремления функции
двух переменных к пределу по другой переменной с равномерной
сходимостью функциональной последовательности (252). 2. Критерий
Коши равномерного стремления функции к предельной (254). 3. При-
менения понятия равномерного стремления к предельной функ-
ции (254)
§ 2.	Собственные интегралы, зависящие от параметра..................256
1.	Свойства интеграла, зависящего от параметра (256). 2. Случай,
когда пределы интегрирования зависят от параметра (257)
§ 3.	Несобственные интегралы, зависящие от параметра................259
1.	Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра
(260). 2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от па-
раметра (266)
§ 4.	Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычис-
лению некоторых несобственных интегралов............................267
§ 5.	Интегралы Эйлера...............................................271
li Г-функция (272). 2. В-функция (275). 3. Связь между эйлеровы-
ми интегралами (277). 4. Примеры (279)
§ 6.	Формула Стирлинга..............................................280
§ 7.	Кратные интегралы, зависящие от параметров.....................282
1.	Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров (282).
2.	Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра (283)
ГЛАВА 8. РЯДЫ ФУРЬЕ.................................................287
§ 1.	Ортонормированные системы и общие ряды Фурье...................287
1.	Ортонормированные системы (287). 2. Понятие об общем ряде
Фурье (292)
§ 2.	Замкнутые и полные ортонормированные системы...................295
§ 3.	Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее .	.	298
1.	Равномерное приближение непрерывной функции тригонометриче-
скими многочленами (298). 2. Доказательство замкнутости тригоно-
метрической системы (301). 3. Следствия замкнутости тригонометри-
ческой системы (303)
§ 4.	Простейшие условия равномерной сходимости и почленного диффе-
ренцирования тригонометрического ряда Фурье.........................304
1.	Вводные замечания (304). 2. Простейшие условия абсолютной и
равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье (306).
3.	Простейшие условия почленного дифференцирования тригономет-
рического ряда Фурье (308)
§ 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходи-
мости в данной точке ..............................................
1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера (309). 2. Выра-
жение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье (311).
3. Вспомогательные предложения (314). 4. Принцип локализации
(317). 5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье
для функции из класса Гёльдера (319). 6. О сходимости тригономет-
рического ряда Фурье кусочно гёльдеровой функции (325). 7. Сум-
мируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции
методом средних' арифметических (329). 8. Заключительные замеча-
ния (331)
§ 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье.........................
1. Понятия кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямо-
угольных и сферических частичных сумм (332). 2. Модуль непрерыв-
ности и классы Гёльдера для функции N переменных (334).
3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического
ряда Фурье (335)
ГЛАВА 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ......................................
§ 1.	Представление функции интегралом Фурье .......................
1.	Вспомогательные утверждения (340). 2. Основная теорема. Фор-
мула обращения (342). 3. Примеры (347)
§ 2.	Некоторые свойства преобразования Фурье.......................
§ 3.	Кратный интеграл Фурье........................................
309»
332
338
339
348»
352