Автор: Борисов А.В. Шенсине А.
Теги: теоретическая астрономия небесная механика физика астрономия
ISBN: 978-5-4344-0015-2
Год: 2011
Текст
<
<
X
<
о
<
о
о
РШЯИ
ЩЙИШ
шеи
Главный редактор:
В. В. Козлов
Научные редакторы серии:
А. В. Борисов, И. С. Мамаев
Научные консультанты серии:
Вышли в свет:
Задача Кеплера. Столкновения. Регуляризация
Классическая динамика в неевклидовых пространствах
Относительные равновесия и периодические решения
в небесной механике
Резонансы в небесной механике
А. Албуи (Франция),
Ж.Ласкар (Франция),
Р. Мёкель (США),
К. Симо (Испания),
Ф.Диаку (Канада),
Р. МакГихи (США),
А. И. Нейштадт (Россия),
А. Шенсине (Франция)
Ответственный редактор:
JI. А. Газизуллина
СОВРЕМЕННАЯ НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
РАЗЛИЧНЫЕ АСПЕКТЫ
ЗАДАЧИ N ТЕЛ
Составители:
А. В. Борисов, А. Шенсине
Ин&титшт
Москва + Ижевск
УДК 521
ББК 22.62я43
Р 174
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту №07-01-07107
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Различные аспекты задачи N тел: Сб. ст. / А. В. Борисов, А. Шенсине. —
М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2011. — 320 с.
Настоящий сборник исследовательских и обзорных работ отражает многооб¬
разие методик и подходов в анализе поведения частных решений (или семейств
решений) задачи N тел, демонстрируя взаимное стимулирующее влияние важных
проблем небесной механики и продвинутых математических методов. Так, дока¬
зательство задачи трех тел гипотезы Саари привлекает методы вещественной ал¬
гебраической геометрии и компьютерной алгебры; вариационные методы, порой
конкурируя с топологическими, используются для открытия интересных (семейств)
решений. Методы сравнения позволяют изучить поведение решений в задаче трех
тел с нулевым моментом, а нормальные формы и КАМ-теория являются ключевы¬
ми в подходе Эрмана к знаменитой теореме Арнольда об устойчивости планетарных
систем N тел (очень) малых масс.
ISBN 978-5-4344-0015-2
ББК 22.62я43
© Институт компьютерных исследований, 2011
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
1 о Р. Монтгомери. Бесконечное множество сизигий 7
2 о Т Фудживара, Р. Монтгомери. Выпуклость восьмеркооб¬
разного решения задачи трех тел 45
3 о Р. Мёкель. Вариационное доказательство существования тран¬
зитных орбит в ограниченной задаче трех тел 60
4 о Р. Мёкель. Доказательство гипотезы Саари для задачи трех
тел в Hd 81
5 о Р. Монтгомери. Подходящие гиперболические «штаны» для
задачи трех тел 104
6 о А Шенсине, Ж. Фежоз. Уравнение для вертикальных вари¬
аций относительно положения равновесия как источник новых
периодических решений в задаче N тел 143
7 о М. Хэмптон, Р. Мёкель. Конечность относительных равно¬
весий задачи четырех тел 154
8 о р Мёкель. Топологическое доказательство существования
орбит Шубарта в коллинеарной задаче трех тел 185
9 о А. Шенсине, Ж Фежоз. Поток в окрестности равносторон¬
него относительного равновесия в пространственной задаче трех
тел с равными массами 204
10 о Ж Фежоз. Доказательство теоремы Арнольда об устойчи¬
вости системы планет (по М. Р. Эрману) 232
1
Бесконечное множество сизигий1
Р. Монтгомери
Мы показываем, что любое ограниченное решение ньютоновой задачи трех тел
с нулевым кинетическим моментом допускает бесконечное множество сизигий
(коллинеарностей), если оно не допускает тройного столкновения. Мотиваци¬
ей служит желание построить символическую динамику для задачи трех тел.
Доказательство основывается на конформной геометрии шейповой сферы.
1.1. Бесконечное множество сизигий
Решение ньютоновой задачи трех тел допускает сизигию, или затмение,
когда три тела, рассматриваемые как точечные массы, располагаются на
одной прямой. Решение является ограниченным, если расстояния между
телами в течение всего времени ограничены некоторой константой.
Теорема 1. Каждое ограниченное решение ньютоновой задачи трех
тел с нулевым кинетическим моментом, не имеющее тройных столкнове¬
ний, допускает бесконечное мноэюество сизигий.
Решения задачи трех тел с нулевым кинетическим моментом с необхо¬
димостью являются плоскими, поэтому в теореме на самом деле идет речь
о плоской задаче трех тел. Марк Леви выдвинул гипотезу о справедливости
этой теоремы в ходе дискуссии с автором в 1998 году.
Двойные столкновения в контексте теоремы рассматривались как си¬
зигии. Мы напомним, что если решение допускает двойное столкновение,
то оно может быть аналитически продолжено сквозь столкновение с помо¬
щью процесса регуляризации Леви-Чивиты [7]. Единственным препятстви¬
ем для существования решения задачи трех тел на бесконечном промежут¬
ке времени является тройное столкновение [12]: до тех пор, пока тройного
1R. Montgomery, Infinitely many syzygies. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2002,
vol. 164, no. 4, pp. 311-340.
8
Р. Монтгомери
столкновения не происходит, решение может быть продолжено аналитиче¬
ски по времени.
Без предположения о том, что кинетический момент равен нулю, тео¬
рема 1 не верна для плоской задачи трех тел. В качестве примера можно
привести лагранжевы решения. В этих решениях три тела образуют равно¬
сторонний треугольник в каждый момент времени, следовательно, они ни
в какой момент времени не допускают сизигий. Ограниченные лагранжевы
решения с ненулевым кинетическим моментом существуют в течение всего
времени для любых распределений масс.
Теорему 1 можно сравнить с теоремами Диаку [4, 5]. В первой ста¬
тье Диаку доказывает, что множество плоских начальных условий, кото¬
рые приводят к сизигии, открыто в множестве всех начальных условий.
Во второй статье Диаку рассматривает множество плоских решений, кото¬
рые обладают тем свойством, что если они допускают одну сизигию, то
они допускают бесконечное множество сизигий. Он показывает, что это
множество решений имеет полную меру в множестве всех допускающих
по крайней мере одну сизигию ограниченных решений, при условии, что
массы mi,т2,тз тел лежат в определенном подмножестве S трехмерного
пространства распределений масс. Множество 5 имеет положительную ме¬
ру и содержит распределения масс, в которых одна масса намного больше,
чем две другие.
Остается еще возможность, что множество решений, к которым приме¬
нима теорема 1, пусто! Численные выкладки наводят на мысль, что это не
так. В частном случае, когда все массы равны, мы знаем, что это множество
решений непусто, поскольку оно содержит периодическое решение в виде
восьмерки [3]. Поскольку восьмерка (численно) является КАМ-устойчи-
вой, будет существовать открытое множество близких к равным масс, для
которых это множество решений непусто.
1.2. Мотивация
Сизигии бывают трех типов. Обозначим их 1, 2 и 3 в зависимости от
того, какое тело находится в середине (см. рис. 1).
Каждому движению трех тел можно поставить в соответствие после¬
довательность сизигий, если решение не является коллинеарным в тече¬
ние всего времени и не допускает столкновений. Последовательность сизи¬
гий — это последовательность, составленная из символов 1, 2, 3 в порядке
появления сизигий решения. Если решение — периодическое с точностью
до вращений, то его последовательность сизигий является периодической.
Свободный гомотопический тип кривой, которая является периодической
Бесконечное множество сизигий
9
1 2 3
G © 0
3 1 2
О © О
2 3 1
О © ©
Рис. 1. Три типа сизигий
с точностью до вращений, вне зависимости от того, является она решени¬
ем или не является, кодируется с помощью ее (периодической) последова¬
тельности сизигий. Будет ли всякая периодическая последовательность си¬
зигий являться последовательностью сизигий некоторого такого решения?
(By Йи Хсян (Wu-Yi Hsiang) задался этим вопросом в 1996 году. Это при¬
вело к повторному открытию решения в виде восьмерки Шенсине и Монт¬
гомери [3].) В более общей формулировке: будет ли всякая бесконечная
последовательность сизигий реализуема некоторым решением? В силу раз¬
личных причин, некоторые из которых были приведены в работе Монтго¬
мери [11], лучше всего ограничиться рассмотрением решений с нулевым
кинетическим моментом. Зададимся вопросом: существует ли какая-либо
символическая динамика, связанная с задачей трех тел с нулевым кинети¬
ческим моментом? Символы должны быть 1, 2, 3, и возможны дополни¬
тельные «символы остановки» 0 и оо, означающие тройное столкновение
и уход в бесконечность. Чтобы строить какую-то символическую динамику,
надо отмечать появление сизигий по порядку. Для того чтобы это работало,
нам необходимо, чтобы какие-либо сизигии вообще появлялись. Теорема 1
утверждает, что сизигии появляются бесконечно часто вдоль ограниченных
решений с нулевым кинетическим моментом, не имеющих тройных столк¬
новений.
2.1. Идея пространства шейпов и эволюция сферической высоты
Уравнения Ньютона для плоской задачи трех тел — это система из ше¬
сти дифференциальных уравнений второго порядка. Они приводятся к си¬
стеме трех дифференциальных уравнений второго порядка, когда мы за¬
фиксируем значения полного импульса и кинетического момента, а затем
10
Р. Монтгомери
произведем редукцию по группе переносов и вращений. Эти три уравнения
описывают эволюцию в пространстве тейпов, которое является простран¬
ством ориентированных классов конгруэнтности треугольников. Ориенти¬
рованная конгруэнтность отличается от обычной конгруэнтности, при ко¬
торой два треугольника, один из которых является отражением другого,
конгруэнтны, но не ориентированно конгруэнтны. Например, пространство
шейпов содержит две различные точки L+ и L_ для равносторонних тре¬
угольников с фиксированной длиной стороны. Первый — это «правосторон¬
ний», второй — «левосторонний». (Мы будем называть их лагранжевыми
точками, см. рис. 2.)
Рис. 2. Лагранжевы конфигурации
Пространство шейпов гомеоморфно евклидову трехмерному простран¬
ству М3 (см. рис. 3 ниже и параграф 4). Начало координат этого евклидова
пространства представляет тройное столкновение. Выпущенные из начала
координат три луча параметризуют конфигурации двойных столкновений,
по одному лучу для каждого типа двойного столкновения: массы 1, стал¬
кивающейся с массой 2; массы 2 — с массой 3; массы 3 — с массой 1. Эти
лучи компланарны. Плоскость, натянутая на них, — это плоскость сизигий,
которая параметризует пространство коллинеарных конфигураций.
Движение трех тел проектируется в движение одной точки в простран¬
стве шейпов. Если такое движение является решением ньютоновых уравне¬
ний с нулевым кинетическим моментом, то движение точки в пространстве
шейпов определяется системой из трех дифференциальных уравнений вто¬
рого порядка, имеющих вид уравнений Ньютона, но уже в пространстве
шейпов. Эти уравнения Ньютона в пространстве шейпов гласят, что каж¬
дый из трех лучей двойных столкновений приводит в действие силу при¬
тяжения на точку в пространстве шейпов и что полная сила равна сумме
Бесконечное множество сизигий
11
этих трех сил. Поскольку три луча лежат в плоскости сизигий, эта пол¬
ная сила всегда действует по направлению к этой плоскости. На основании
этой картины Леви предположил, что тейповая точка вынуждена все время
колебаться вверх и вниз, многократно пересекая плоскость сизигий, до тех
пор пока расстояние от точки до плоскости не устремится к бесконечности.
Мы реализуем идею Леви и строго докажем теорему 1. Для этого вве¬
дем специальным образом сферические координаты (Я, ф, в) на простран¬
стве шейпов. Радиальная координата R показывает расстояние от тройного
столкновения и является мерой полного размера треугольника. Она рав¬
на квадратному корню из момента инерции, определенного в (4.2.8). (См.
также (4.3.9) и (4.3.11).) Равенство R = 1 задает двумерную сферу в про¬
странстве шейпов, которое мы будем называть тейповой сферой. Шейповая
сфера выступает в качестве пространства ориентированных классов подо¬
бия треугольников (см. рис. 3 и параграфы 4.3 и 4.4). Система координат
на этой сфере задается координатами ф и в (уравнение (5.3)). Функция
z = sin (ф)
показывает высоту над экватором на шейповой сфере, она представляет со¬
бой нормированную площадь треугольника со знаком (см. уравнение (5.4)).
Экватор шейповой сферы определен равенством z — 0, он представляет со¬
бой множество сизигийных конфигураций. «Северный и южный полюсы»
z = 1 и z = — 1 представляют две лагранжевы точки L+ и L_, то есть
правосторонний и левосторонний равносторонние треугольники. Лагран-
12
Р. Монтгомери
жевы решения с нулевым кинетическим моментом, или лагранжевы гомо-
тетические решения ([6, 13], играют центральную роль в доказательстве
теоремы 1. Для таких решений величина z всюду равна константе +1 или
— 1. Решение состоит из равносторонней треугольной конфигурации, кото¬
рая гомотетически стягивается в точку за конечное время и заканчивается
тройным столкновением.
Теорема 2. Нормированная координата высоты z (уравнение (5.4))
на пространстве шейпов без тройного столкновения удовлетворяет сле¬
дующим свойствам:
(г)-1<*<1;
(гг) г = ±1 тогда и только тогда, когда конфигурация является
лагранжевой (равносторонней). Функции 1 — z и — 1 -\- z показывают рас¬
стояние от шейпа до лагранжевых шейпов L+, L_;
(ггг) z — 0 тогда и только тогда, когда конфигурация является сизи¬
гийной конфигурацией.
Вдоль любого решения трех тел с нулевым кинетическим моментом
функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению
|(Д) = ~qz (*)
вдали от тройного столкновения. Функции f и q неотрицательны и за¬
даются ниже уравнениями (6.56) и (6.5с). Функция f положительна на
пространстве шейпов. Функция q является неотрицательной функцией на
касательном пространстве к пространству шейпов, и геометрическое ме¬
сто нулей этой функции совпадает с множеством касательных векторов
к лагранжевым гомотетическим решениям.
Доказательство теоремы 2 будет дано в параграфах 6 и 7.
3.1. Доказательство теоремы 1
Мы докажем теорему 1, используя теорему 2. Мы должны доказать,
что если выполнены условия теоремы 1, то функция z из теоремы 2 будет
иметь бесконечное множество нулей. Мы докажем эквивалентное утвер¬
ждение о том, что функция z обращается нуль на любом бесконечном про¬
межутке [а, оо).
Ограничимся рассмотрением случая z(t) > 0. Случай z(t) < 0 разби¬
рается аналогично, нужно лишь изменить знак функции z и ее производной
z на противоположный. Покажем сначала, что если z(t\) > 0 и z(ti) < 0,
то в некоторый более поздний момент t2 > t\ мы будем иметь z(i^) = 0.
Бесконечное множество сизигий
13
Далее мы покажем, что если z{t) > 0, то в итоге для некоторого более
позднего момента времени t* > t мы будем иметь i(£*) < 0. Из этих двух
фактов будет следовать, что z(t) обратится в нуль спустя некоторое конеч¬
ное время, тем самым доказательство будет завершено.
Итак, допустим, что z(t\) > 0 и z(t\) < 0. Запишем равенство i =
= y(/i) и проинтегрируем его на промежутке t\ ^ s ^ получим
Поскольку / положительна, число 5 положительно. Из дифференциального
уравнения (*) теоремы 2 и из неотрицательности q следует, что f(s)z(s)
монотонно убывает на любом промежутке времени, на котором функция z
положительна. Отсюда f(s)z(s) < f(ti)z(ti) := — 5 < 0 для s > t\, по¬
ка z(s) положительно. Из ограниченности нашего решения и непрерывно¬
сти / следует, что / ограничена вдоль решения. Поэтому существует поло¬
жительная константа К, такая, что 0 < f(t) < К вдоль нашего решения.
Тогда 1// > 1/К и —1// < —1/К. Следовательно, i = (fz)/f < —5/К на
нашем интервале положительности z. Теперь допустим, что функция z(t)
остается положительной на всем промежутке t\ ^ s ^ ^2- Из нашего инте¬
грального уравнения для z(t) и только что полученного неравенства следу¬
ет, что
Отсюда и из неравенства z(t) ^ 1 следует, что zfa) должно стать отрица¬
тельным, как только станет выполнено неравенство t2 — t\ > К/5. Следова¬
тельно, функция z должна иметь нуль на промежутке времени [ti,ti +К/5].
Остается показать, что должен существовать момент времени, в кото¬
рый z отрицательна. Это эквивалентно следующему утверждению: невоз¬
можно, чтобы ограниченное решение без столкновений с нулевым кинети¬
ческим моментом одновременно удовлетворяло условиям z(t) > 0 и z ^ 0
на бесконечном промежутке времени а ^ t < оо. Докажем это от про¬
тивного. Предположим, что такое решение существует. Поскольку z ^ 0
для всех t ^ а, функция z положительна и монотонно возрастает на всем
бесконечном промежутке и, следовательно, стремится к своему супремуму
при t —» оо. Но z ограничена единицей, поэтому мы должны иметь z —> 0.
Отсюда следует, что предел fz при t —> оо должен быть равен нулю. (Снова
t
Обозначим
z(t2) < z(ti) - (S/K)(t2 - U).
14
Р. Монтгомери
пользуемся тем фактом, что / ограничена вдоль решений.) Покажем теперь,
что предел lim^oo z(t) = 1, то есть предельный шейп является лагранже-
вым равносторонним треугольником. Допустим, что это не так. Тогда г
всюду положительна и отделена от лагранжева шейпа z = 1. Напомним,
что коэффициент q дифференциального уравнения (*) теоремы 2 — это
неотрицательная непрерывная функция, и она равна нулю тогда и только
тогда, когда шейп является лагранжевым и начальные условия являются
начальными условиями лагранжева гомотетического решения. Отсюда сле¬
дует, что если lim* z(t) < 1, то q ^ с всюду вдоль нашего решения для
некоторой положительной константы с. Теперь используем дифференци¬
альное уравнение (*) теоремы 2: ^(/^) = —qz. Поскольку q ^ с > О
и z > z(a) > 0, правая часть — qz этого дифференциального уравнения
строго отрицательна и отделена от нуля отрицательной константой —cz{a).
Это противоречит тому, что lim^oo fz = 0.
Теперь мы знаем, что z —» 1 монотонно при t —> оо, в то время как fz
монотонно убывает к нулю. Первый факт означает, что конфигурация при¬
ближается к лагранжеву равностороннему шейпу. Мы покажем теперь, что
существует последовательность моментов времени tj, стремящаяся к бес¬
конечности, для которой соответствующие скорости приближаются к ско¬
ростям лагранжева гомотетического решения. Интегрируя дифференциаль¬
ное уравнение (*) теоремы 2 в пределах от t = а до бесконечности и ис¬
пользуя соотношение lim^oo f(t)z(t) = 0, мы получаем f^° q(s)z(s) ds =
= —f(a)z(a). Отсюда следует, что интеграл /а°° q(s)ds конечен. Следова¬
тельно, liminf функции q при t —> сю равен 0. Таким образом, существуют
промежутки времени [tj,tj+1], tj —> сю, на которых функция q(s) сколь
угодно мала. (Мы не исключаем возможности, что limsupf_>00 q(t) > 0.)
На протяжении этих промежутков малости функции q решение почти каса¬
ется лагранжевой гомотетической конфигурации, поскольку это единствен¬
ная точка в фазовом пространстве, где q равно нулю. Другими словами,
^-предельное множество кривой нашего решения содержит точки фазово¬
го пространства, которые являются начальными условиями для лагранжева
гомотетического решения.
Отсюда следует, что наше решение без столкновений содержит дуги,
которые проходят произвольно близко от лагранжева гомотетического ре¬
шения и, следовательно, подходят сколь угодно близко к лагранжеву трой¬
ному столкновению. Мы используем теперь результаты Мёкеля [3] о лине¬
аризации потока вблизи лагранжева тройного столкновения. Мёкель про¬
изводит «раздутие» (blow-up) типа МакГихи, для того чтобы присоединить
состояния тройных столкновений в качестве границы к фазовому простран¬
Бесконечное множество сизигий
15
ству. Точка ла1ранжева тройного столкновения становится для полученного
векторного поля гиперболической точкой покоя седлового типа, и лагран-
жево гомотетическое решение лежит на своем устойчивом многообразии.
Мы видели, что наша кривая решения проходит сколь угодно близко к этой
седловой точке. Решение не может лежать на устойчивом многообразии
седловой точки, поскольку, если бы оно лежало на нем, оно допускало бы
тройное столкновение. Отсюда следует, что кривая решения вблизи столк¬
новения имеет дуги гиперболической формы, в которых эта кривая следует
за устойчивым многообразием седловой точки, проходя очень близко к этой
точке, а затем изменяет направление, следуя за неустойчивым многообрази¬
ем, и покидает малую окрестность этой точки. Следовательно, расстояние
в фазовом пространстве от решения до седловой точки сначала уменьшает¬
ся, затем увеличивается, по мере того как решение уходит вдоль неустой¬
чивого многобразия, (см. рис. 4).
Покажем теперь, что сферическое расстояние 1 — z в конфигура¬
ционном пространстве до лагранжевой точки также должно возрастать.
Вблизи тройного столкновения неустойчивое многообразие лагранжевой
точки является трансверсальным к слоям проекции (конфигурация, ско¬
рость) I—»(конфигурация). Эта трансверсальность следует из соответствую¬
щей трансверсальности для отрицательного собственного пространства ли¬
неаризованного потока в лагранжевой точке [3, с. 228-229]. Поэтому 1 — z
должна быть возрастающей, следовательно, должно выполняться z < 0, что
и требовалось. Теорема доказана.
16
Р. Монтгомери
Следующее утверждение вытекает из доказательства теоремы 1.
Следствие 1. Нормированная функция высоты z{t) решения с нуле¬
вым кинетическим моментом, ограниченного или неограниченного, имеет
ровно одну критическую точку между любыми двумя последовательными
нулялш (сизигиями), и эта критическая точка является невыроэ/сденной.
Более точно, если t\ < — это последовательные нули функции z(t) и ес¬
ли tc — это критическая точка, лежащая между этими нулями, то z(t)
строго монотонна на интервалах t\ < t < tc и tc < t <
Доказательство следствия 1. Снова рассмотрим случай z > 0.
Мы видели из доказательства теоремы 1, что если i < 0, то функция z
дальше монотонно убывает, пока не пересечется с нулем. Таким образом,
она может иметь только один локальный максимум, с одной стороны от
которого она монотонно возрастает, а с другой стороны от которого она
монотонно убывает. В точке максимума z = 0, поэтому уравнение (*) тео¬
ремы 2 превращается в уравнение fz = —qz в этой точке. Поскольку все
функции f,zuq положительны, мы имеем z<0 в точке максимума. (Слу¬
чай q = 0 исключается, поскольку отсюда следует, что решение является
лагранжевым гомотетическим решением.) Когда z < 0, проводятся те же
самые рассуждения. В результате получается, что z > 0 в единственной
критической точке функции z на интервале, где z отрицательна. Следствие
доказано.
4.1. Определение пространства шейпов
В параграфе 4 мы введем геометрический аппарат, необходимый
для доказательства теоремы 2, и обоснуем здесь использование перемен¬
ных г, ф, 0. Более подробное описание см. в работах [3, 10, 11].
Мы начнем с формального построения пространства шейпов. Мы бу¬
дем отождествлять множество С комплексных чисел с евклидовой плоско¬
стью, в которой движутся тела. Комплексное число Xi задает положение
г-го тела, г = 1, 2 или 3. Обозначим
Q = CxCxC = пространство плоских конфигураций трех тел.
Точки пространства Q будем обозначать через
х = (xi,X2,x3) G Q, Xi е С.
Обозначим
SE(2) = группа твердотельных движений плоскости.
Бесконечное множество сизигий
17
Это — группа, порожденная переносами и вращениями евклидовой плос¬
кости. Эта группа является группой изометрий плоскости, сохраняющих
ориентацию, и она действует на г-ю плоскость по формуле Xi i—» ах\ + 6,
где а — ег6 Е С — это единичное по модулю комплексное число, представ¬
ляющее поворот, a b Е С представляет сдвиг.
Определение 4.1. Пространство шейпов — это топологическое
фактор-пространство Q/SE(2).
Непрерывные функции на пространстве шейпов отождествляются
с 5,-Е(2)-инвариантными непрерывными функциями на Q. Три расстояния
являются такими функциями. Такой же функцией является площадь со зна¬
ком треугольной конфигурации х Е Q
здесь мы обозначаем z Aw = Im (zw) = xv — yu, где z = x + iy,w = u +
Если бы мы при построении пространства шейпов брали фактор-
пространство пространства Q по полной группе Е(2) изометрий плоско¬
сти, которая включает в себя отражение, то плоскость сизигий образовала
бы границу и А не являлась бы функцией на таком пространстве шейпов.
Факторизуя по меньшей группе SE(2) С Е{2), мы «десингуляризируем»
эту границу, то есть устраняем особенности, позволяя гладко проходить
через сизигии. Любое отражение евклидовой плоскости действует на про¬
странстве шейпов посредством отражения через плоскость сизигий. Оно
действует на инвариантные функции (4.1.1), (4.1.2), переводя н-» 7\3
иАи —Д.
4.2. Лагранжианы
Уравнения Ньютона для плоской задачи трех тел — это уравнения
Эйлера-Лагранжа для лагранжиана
:= \xi-Xj |
(4.1.1)
(4.1.2)
+ iv € С.
L = ±K + U,
(4.2.1)
где
ГП1ГП2 Ш1Ш3 777-2 Ш3
Г12 Гг 3 Т 23
(4.2.2)
18
Р. Монтгомери
— это потенциальная энергия, взятая со знаком минус, а
К = mi\xi\2 + т2\х2\2 + гп3\хз\2 = (х,х)т (4.2.3)
— это удвоенная кинетическая энергия. Здесь Xi — это скорость г-го тела,
a mi > 0 — его масса. Во втором равенстве в (4.2.3) для кинетической
энергии мы ввели скалярное произведение
з
(v,w)m := ^ТПаУа ■ wa. m = (тщ, m2, m3), (4.2.4)
а=1
на конфигурационном пространстве Q. Здесь va • wa — Re (yawa) означа¬
ет стандартное скалярное произведение двух векторов va,wa из R2 = С,
а значок m указывает на параметрическую зависимость от распределения
масс. Скалярное произведение (4.2.4) называется скалярным произведением
кинетической энергии {К-скалярным произведением).
Мы можем разложить (4.2.3) по формуле
K = Kshape + \J\2/I + \P\2/M, (4.2.5)
где
Р = ^ таха = полный импульс, (4.2.6)
J = E таха А ха = {х,гх)т = полный кинетический момент, (4.2.7)
М — гп\ + m2 + шз = полная масса,
I = — У^ гПгГПпГ^: = полный момент инерции =
М ^ 3 v Н (4.2.8)
= (х,х)т, когда таха = 0.
(Равенство между двумя строками в (4.2.8) установил Лагранж [6]; см.
также [13].) В разложении К член, содержащий Р, определяет поступа¬
тельную составляющую кинетической энергии. Член, содержащий J, опре¬
деляет вращательную составляющую кинетической энергии. Оставшийся
член КshaVe определяет ту составляющую кинетической энергии, которая
обусловлена «внутренними» изменениями шейпа; он соответствует римано-
вой метрике на пространстве шейпов, которая будет описана в следующем
параграфе.
Без ограничения общности мы можем взять Р — 0, если перейдем к га¬
лилеевой системе координат, двигающейся с постоянной скоростью Р/М.
Бесконечное множество сизигий
19
Если мы предположим, так же как и в теореме 1, что и J = 0, то лагранжи¬
ан (4.2.1) примет вид
Lshape — ^K-shape Н" U. (4.2.9)
Он является лагранжианом на пространстве шейпов. Уравнения Эйлера-
Лагранжа для этого лагранжиана определяют движение проекции (на про¬
странство шейпов) решения уравнений Ньютона с нулевым кинетическим
моментом.
Замечание. Если зафиксировать значение J в лагранжиане, затем перейти
к пространству шейпов, а затем построить уравнения Эйлера-Лагранжа на про¬
странстве шейпов, то правильные редуцированные уравнения движения получатся
только в том случае, когда J — 0. Если J ф 0, то чтобы получить правильные ре-
дуцированнные уравнения, нужно добавить член, содержащий кориолисовы силы.
См., например, [8].
4.3. Геометрия пространства шейпов
Группа SE(2) твердотельных движений действует на конфигура¬
цию х G Q, выметая орбиту. Вектор скорости х £ Q в х перпендику¬
лярен этой орбите тогда и только тогда, когда Р = 0 и J = 0. Подпро¬
странство таких перпендикулярных векторов естественно отождествляется
с касательным пространством к пространству шейпов в шейпе [х]. (Мы
обозначаем х у-> [х\ для отображения Q —> С := Q/SE(2), где отображе¬
ние ставит в соответствие треугольной конфигурации ее шейп.) Ограниче¬
ние iT-скалярного произведения на это перпендикулярное подпространство
определяет риманову метрику на пространстве шейпов.
Римановы факторы. Приведенная выше конструкция является част¬
ным случаем следующей общей конструкции. Допустим, что группа Ли G
действует на римановом многообразии Q посредством изометрий и что это
действие является свободным вблизи точки х. Это означает, что дх — х
тогда и только тогда, когда д = Id. Тогда фактор-пространство Q/G яв¬
ляется многообразием вблизи соответствующего шейпа [х] € Q/G, и ка¬
сательное к нему пространство в точке [х] канонически отождествляется
с T^Gx)1- С TXQ, ортогональным дополнением к касательному простран¬
ству к орбите группы Gx С Q. Это отождествление порождает риманову
метрику на фактор-пространстве, если ограничить скалярное произведение,
определенное на пространстве TXQ, на пространство Tx(Gx)L. Поскольку
группа G действует посредством изометрий, это скалярное произведение
не зависит от выбора представителя х орбиты [х]. Будем называть Q/G
20
Р. Монтгомери
с такой метрикой римановой редукцией, или римановым фактором Q по
группе G. Эта факторная метрика удовлетворяет следующим свойствам.
(i) Всякая геодезическая на Q/G получается взятием геодезической
на Q, которая ортогональна действию группы, и проектированием ее
на Q/G.
(ii) Функция расстояния на Q/G, соотнесенная римановой метрике, яв¬
ляется метрикой орбитального расстояния: расстояние между двумя точ¬
ками в Q/G равно расстоянию между соответствующими орбитами в Q
относительно функции расстояния в Q.
Мы будем реализовывать риманову редукцию пространства Q конфи¬
гураций трех тел по группе G = SE(2) твердотельных движений в два
этапа. Сначала мы произведем приведение по переносам, затем мы приве¬
дем полученное пространство по вращениям. Между двумя этими этапами
нам будет нужно обсудить понятие конуса над римановым многообразием.
Приведение по переносам. Мы используем векторы Якоби
т1х1+т2х2 глоч\
€l=X2-Xi, Ь = Х3 ; . (4.3.1)
ТП1+ т2
Эти векторы инвариантны относительно переноса Хг (см. рис. 5).
Они диагонализируют кинетическую энергию, при условии что пол¬
ный импульс равен нулю:
К = Р\ |£i |2 + M2IC2 I2, при условии ^2 ТПгХг = 0.
Бесконечное множество сизигий
21
Аналогично
I = Ml|6|2 + М2|6|2, При УСЛОВИИ ^2тгХг = 0.
Коэффициенты pi задаются соотношениями
1 _ 1 1 1 _ 1 1
fix ГП\ т2 ’ Ц2 ГП3 гп\ + т2'
Положим
Z\ — \/7п^Ь z2 — у/р2&-
Тогда
К = \zi\2 + \z2\2, при условии mjXj = 0
I — \Z112 + I ^212, При условии УУ rnjXj — 0.
Векторы Zi задают координаты на векторном фактор-пространстве (5/пере¬
носы. Мы назовем Zi якобиевыми координатами. Они приводят iT-скаляр-
ное произведение (4.2.4) к стандартной форме, которая имеет вид веще¬
ственной части стандартного эрмитова скалярного произведения
((^1, 22), (wi,w2)) = Re(ziwi + z2w2) на С2.
Окончательная замена переменных х —> £ —> z задается зависящим от
масс отображением Якоби
Jm-Q^C2, Jm(x1,X2,X3) = (ZUZ2). (4.3.6)
Область значений С2 отображения Якоби реализует фактор-пространство
пространства конфигураций по переносам.
Приведение по вращениям. Мы переходим ко второму этапу в про¬
цессе построения пространства шейпов, который заключается в том, чтобы
привести пространство Q/переносы = с2 по действию вращений. Поворот
на угол 9 действует на якобиевы координаты посредством умножения их на
комплексное число егв : (21,22) 1-4► {егвz\, егвz2). Таким образом, простран¬
ство шейпов изометрично риманову фактору С2/51, где С2 снабжено своей
стандартной евклидовой структурой — вещественной частью стандартной
эрмитовой формы, и где группа вращений окружности S1 действует на С2
посредством умножения на скаляр.
Следуя Хопфу, мы реализуем фактор-пространство по действию на
окружности, сворачивая квадратичные инварианты для действия на окруж¬
ности, а именно, \z\\2, \z2j2, Re(zxz2), Im (zxz2) в один вещественный век¬
тор
w = (wuw2,w3) = H(zx,z2) (4.3.7 а)
(4.3.2)
(4.3.3)
(4.3.4)
(4.3.5)
22
Р. Монтгомери
по формулам
wi = \(Ы2 - Ы2)
(4.3.76)
(4.3.7с)
w 2 + ZWs = Z1Z2.
Компоненты wi,W2, ws вектора w образуют глобальную систему координат
для пространства шейпов. Окончательное отображение
является инвариантным относительно действия группы SE(2) твердотель¬
ных движений на Q, и поэтому оно индуцирует отображение из Q/SE(2)
в R3. Это индуцированное отображение является гомеоморфизмом фактор-
Вспомним теперь определение площади со знаком А (уравнение (4.1.2))
и момента инерции I (уравнение (4.2.8)). Мы находим, что
Фиксируя 1 = 1, мы определим трехмерную сферу S3 в пространстве
Q/переносы = С2. Ограничение функции Н на эту трехмерную сферу есть
расслоение Хопфа, S3 —» S2, из сферы радиуса 1 в С2 на сферу радиуса 1/2
в R3. Мы называем эту двумерную сферу шейповой сферой. Ее точки пред¬
ставляют собой ориентированные классы подобия треугольников.
Введем сферические координаты (х, ф) по формуле
Лемма 1. Метрика на пространстве шейпов задается соотношением
w(x) :=
(4.3.7d)
пространства на R3.
(4.3.8)
и что
(4.3.9)
(wi,w2,w3) .
:= (cos(V0 cos(x), sin(^) cos(x), sin(x)). (4.3.10)
Положим
R = VI, так что R = \/2a/||w||.
(4.3.11)
Ия2
shape
Бесконечное множество сизигий
23
поэтому удвоенная кинетическая энергия на пространстве шейпов есть
е>2
Kshape = R2 + ~^(Х2 +COS2(x)'4>2)- (4.3.13)
Переменная х — это нормированное (со знаком) сферическое расстояние
до плоскости сизигий на шейповой сфере. Оно равно нулю тогда и только
тогда, когда мы находимся в сизигии.
Метрика <i2sm в лемме 1 — это стандартная метрика на двумерной
сфере радиуса 1 в евклидовом пространстве, поэтому метрика d2srn/4 —
это стандартная метрика радиуса 1 /2 на двумерной сфере. Метрика ds2hape
на пространстве шейпов (уравнения (4.3.11)-(4.3.12)) — это метрика конуса
над двумерной сферой радиуса 1/2 согласно следующему определению.
Пусть X — риманово многообразие. Обозначим через (R, х) точки про¬
изведения [0, сю) х X луча и множества X, здесь R — неотрицательное ве¬
щественное число, а х — точка, принадлежащая X. Топологический конус
над X — это фактор-пространство С{Х) = ([0, сю) х!)/~, где отношение
«~» отождествляет все точки, имеющие R — 0, с одной точкой, которая
называется вершиной конуса и обозначается 0. Конус имеет структуру глад¬
кого многообразия вдали от вершины конуса.
Определение (конус над римановым многообразием). (Определение
конуса над метрическим пространством общего вида см. в работе [2].)
Пусть d2sx — это риманова матрика на X. Определим риманову мет¬
рику ds2 — dR2 + R2d?sx на конусе С(Х) над X. Это — гладкая рима¬
нова метрика вдали от вершины конуса. Соответствующая ей функция
расстояния непрерывно продолжается до вершины конуса, наделяя конус
структурой метрического пространства.
Число R показывает расстояние до вершины конуса. Подмноже¬
ство {Я = 1} изометрично (X, d2sx)-
Пример 1. Евклидово векторное пространство En+1 размерно¬
сти п + 1 изометрично конусу над п-мерной сферой £п(1) С En+1 ра¬
диуса 1. Изометрия С(5'п(1)) —» En+1 переводит {R,uj) в Rlj £ En+1.
Пример 2. Допустим, что группа JIu G действует на евклидовом
пространстве En+1 из примера 1 посредством линейных изометрий. То¬
гда G действует и на сфере Sn, и поэтому мы можем построить метри¬
ческий фактор Sn/G. Поскольку действие группы G коммутирует с дей¬
ствием растяжений, отображение радиальных координат C(Sn( 1)) —»
—» En+1 из примера 1 является G-эквивариантным отображением. От¬
сюда следует, что Е71+1 /G изометрично конусу C(Sn(l)/G) над Sn(l)/G.
24
Р. Монтгомери
Координата R на конусе — это евклидово расстояние от начала коорди¬
нат в En+1. Если К — это другая группа Ли, которая действует линейно
на En+1 и которая коммутирует с действием группы G, то это действие
сводится к действию на конусе C(Sn(l)/G) = En+1/G как к действию
посредством изометрий, которое сохраняет координату R.
Доказательство леммы 1. Наша ситуация здесь полностью со¬
ответствует примеру 2. Возьмем Е4 = С2, G = S1 и К — SU(2). Мы
видели, что фактор сферы S3( 1) — это двумерная сфера, и что факторное
отображение реализуется посредством расслоения Хопфа S3( 1) —> S2, по¬
этому <С2 / Sl = C(S2). Остается найти метрику на S2. Расслоение Хопфа,
рассматриваемое как отображение С2 —> R3, является эквивариантным,
здесь SU(2) действует на М3 посредством присоединенного действия, то
есть через (2:1)-накрытие SU(2) —> SO(3). Отсюда следует, что метрика
на образе S2 расслоения Хопфа является однородной относительно SO(3)
и, следовательно, совпадает со стандартной метрикой на S2 = S2(l) с точ¬
ностью до множителя. Чтобы понять, что множитель задает сфере ради¬
ус 1/2, заметим, что точки (21,2:2) и (-21,-22) являются противолежа¬
щими на S3(l), и, следовательно, всякая минимизирующая геодезическая,
соединяющая их, имеет длину п. С другой стороны, —1 Е S1 представля¬
ет поворот на 180 градусов, и, следовательно, (21,22) и (-21,-22) пред¬
ставляют одну и ту же точку в пространстве шейпов. Отсюда следует,
что проекция на пространство шейпов горизонтальной геодезической, со¬
единяющей эти противоположные точки, есть вся большая окружность,
длина ее равна 7г. Но длина окружности равна 27гг, где г — это радиус
окружности. Следовательно, г = 1/2, то есть множитель равен 1/2. Лемма
доказана.
Нам понадобится формула, выражающая расстояние гц между тела¬
ми г и j в терминах вектора Хопфа w. Каждый тип двойного столкновения
определяет луч в гг-пространстве. Пусть bi, b2, Ьз — это соответствующие
единичные векторы. Здесь bi означает столкновение Г23 = 0 и т. д. Эти три
вектора лежат на плоскости сизигий ггз = 0. В написанной ниже формуле
и всюду далее ijk означает любую перестановку индексов 12 3. Скалярное
поризведение и норма в правой части равенства (4.3.14) — это стандартные
скалярное произведение и норма в R3.
Лемма 2 (формула расстояний). Расстояние между телом г и j
задается формулой
9 777-г ~\~ ПГ1 j ... м , ч 777-г ”Ь 777- j Т. /ч / , \ \
= ^Г(|Н| “ W • bk) = ”2^7 ( “ cos^(^))- (4.3.14)
Бесконечное множество сизигий
25
где w • bk = ||w|| cos(x)7к(Ф)> поэтому 7) равно косинусу угла между
проекцией вектора w на плоскость сизигий и единичным вектором Ьк-
Доказательство леммы 2. Пусть х = (#1,ж2,#з) с Q — это за¬
данная конфигурация, проекция которой на пространство шейпов есть w.
Зафиксируем точку Xk, а точки Xj будем двигать вдоль отрезка прямой,
соединяющего эти точки в С = М2. Таким образом, мы получим прямоли¬
нейный отрезок x(t) в Q и соответствующую кривую w(t) в пространстве
шейпов. Параметризуем x(t) так, чтобы движение было линейным по £,
и выберем скорости такими, чтобы полный импульс и полный кинетиче¬
ский момент движения были равны нулю, и так, чтобы кривая заканчи¬
валась столкновением i и j. Полученный отрезок прямой является мини¬
мизирующей геодезической в Q, всюду перпендикулярной SE(2)-орбитам.
Из свойств (г) и (гг) параграфа «Римановы факторы» следует, что w(t) —
это минимизирующая геодезическая в пространстве шейпов, которая со¬
единяет заданный шейп w с лучом двойного столкновения. Можно вы¬
яснить, что отрезок прямой x(t) пересекает подпространство ij двойных
столкновений {х : Xi = Xj} пространства Q под прямым углом и, сле¬
довательно, минимизирует расстояние до этого подпространства. Отсюда
следует, что кривая w(£) реализует расстояние dij между шейпом w и лу¬
чом двойного столкновения. Возвращаясь обратно на Q, мы можем вычис¬
лить, что iT-длина x(t) (то есть длина по iT-скалярному произведению)
равна y/jMjrij, где pij = mim3/(mi + щ). Отсюда следует, что
dij — Pij^ij' (4.3.15(2)
Используем теперь коническую структуру метрики. Вернемся к кону¬
су над римановым многообразием X общего вида. Пусть с С X — глад¬
кая кривая длины < п/2 с концами со,сь Тогда С (с) С С(Х) — это
конус над замкнутым прямым отрезком длины в*. Такой конус изометри-
чен замкнутому сектору в евклидовой плоскости, заданному неравенства¬
ми 0 ^ в ^ в полярных координатах. Пусть р е С(с\) — это точка на
граничном луче, проходящем через сь расстояние до которой от вершины
конуса равно R. Другими словами, точка р представлена как (Я, с\). Тогда
расстояние d от р до другого граничного луча С(со), как известно из школь¬
ной геометрии, равно Rsm(6*). Применим эти рассуждения к сферической
проекции c(t) = w(£)/|w(£)| кривой w(£), получим
dij = Rsin(0ij), (4.3.15 b)
где 6ij — это расстояние на S'2(1/2) между и сферической проек¬
цией вектора w. Вследствие того, что радиус равен 1/2, мы получаем,
26
Р. Монтгомери
что cos(2Oij) = w • bfc/|w|. Объединяя это с равенством |w| = R2/2 (урав¬
нение (4.3.9)) и формулой cos(2$) = 1 — 2sin2($), мы получаем
Это равенство вместе с (4.3.15) дает первую часть требуемой форму¬
лы (4.3.14). Записав вектор w через сферические координаты (Д,х^Ф)
и воспользовавшись равенством I = Д2, мы получим второе равенство
в (4.3.14). Лемма доказана.
4.4. Конформная геометрия на шейповой сфере
Мы определили шейповую сферу как подпространство {/ = 1} про¬
странства шейпов. На более глубоком уровне шейповая сфера — это мно¬
жество ориентированных классов подобия треугольников.
Определение. Шейповая сфера — это фактор-пространство Q*/G,
где Q* = Q \ {тройные столкновения} С Q, и где G D SE(2) — это группа
всех сохраняющих ориентацию преобразований подобия евклидовой плос¬
кости.
Мы построим фактор-пространство Q* по G в два этапа. Сначала мы
приведем Q* по переносам, чтобы образовать
Затем приведем полученное пространство по группе сохраняющих ориен¬
тацию подобий. Эта группа действует на пространстве С2 \ {0} как груп¬
па С* ненулевых комплексных чисел, действующая посредством умноже¬
ния на скаляр. Таким образом,
где С IP1 — это комплексная проективная прямая, пространство всех ком¬
плексных прямых в С2.
Метрика, которую мы ввели на шейповой сфере, зависит от выбора т
распределений масс. Мы обозначили эту метрику в лемме 1 как d2Sm, что¬
бы подчеркнуть ее зависимость от масс. Другое распределение масс т'
порождает другую метрику d2Sm> на том же пространстве, которая отлича¬
ется от первой, несмотря на то, что две метрики будут изометричны друг
другу. Эти метрики конформно связаны. Нам нужно будет найти точный
конформный множитель, который их связывает. Этот множитель будет най¬
ден ниже в предложении 2.
(4.3.16)
(3*/переносы = С2 \ {0}.
шейповая сфера = (С2 \ {0})/С* = С IP1
Бесконечное множество сизигий
27
Чтобы разобраться в ситуации, заменим С2 на абстрактное двумер¬
ное комплексное векторное пространство V. Пространство V соответствует
нашему фактор-пространству Q/переносы. Шейповая сфера соответствует
проективизации IPV = С/Р1 пространства V. Эрмитово скалярное про¬
изведение на V определяет риманову метрику на IPV. Если I : V —» М
означает квадрат нормы, соотнесенной этому эрмитову скалярному произ¬
ведению, то через d2si мы будем обозначать соответствующую риманову
метрику на IPV. Эта риманова метрика будет вполне определена, если
снабдить трехмерную сферу {/ = 1} С V индуцированной метрикой, по¬
лученной из вещественной части эрмитова скалярного произведения, а за¬
тем отождествить IPV с римановым фактором {/ = lj/S1. Если (zi, z2) —
это /-ортонормированные комплексные прямолинейные координаты на V,
такие, что I — \z\\2 + |22|2, и если z — z\/z2 является соответствующей
аффинной координатой на IPV, то
dsi = \dz\/(l + \z\2). (4.4.1)
Предложение 1. Пусть I : V —> Ш и V : V —> R — это
квадраты норм для двух различных эрмитовых структур (•,•) и (•, •)'
на одном и том же комплексном двумернолг векторном протранстве V.
Пусть С/Р1 = IP(V) — это проективызация этого векторного простран¬
ства, и пусть d2si и d2sp — две метрики на этой комплексной проектив¬
ной прямой, индуцированные нашими двумя эрмитовыми скалярными про¬
изведениями. Пусть L : V —» V — линейный оператор, сплетающий две
нормы: (Lv,Lw) = (v,w)'. Тогда две метрики конформно связаны соотно¬
шением
dsp = \det(L)\(I/r)dsI. (4.4.2)
Доказательство предложения 1. Выберем комплексные прямоли¬
нейные координаты zi, ^2, которые являются /-ортонормированными и ко¬
торые диагонализируют /'. Тогда
I = ki|2 + NI2
Г = Л?|^|2 + лц^2|2.
Линейное отображение L = diag (Ai, А2) переплетает две эрмитовы струк¬
туры. Мы получаем, что
W\ = \\Z\, W2 = А222
28
Р. Монтгомери
ЯВЛЯЮТСЯ ОрТОНОрМИрОВаННЫМИ ДЛЯ I'. ПОЛОЖИМ W = W\/W2 и z = Z\/Z2-
Тогда согласно уравнению (4.4.1) мы получим dsi — \dz\/(l + \z\2) и dsj> =
= \dw\/(l + \w\2). Мы также имеем dw = adz, где a = Л1/Л2. Тогда
dsr = ^
\w\2 + 1 a2\z\2 + 1
\z\2 T1 a\dz\ |^i|2 + |^2|2 a\dz\
a2\z\2 + 1 \z\2 + 1 a2\zi\2 + |z2|2 |z|2 + 1
N2 + |z2\2 \i\2\dz\ _ i_ m,
A2|Zl|2 + A2|^2|2 |z|2 + i r^{L)dsi,
что и требовалось. Доказательство завершено.
ЗАМЕЧАНИЕ. Сплетающий оператор L не является единственным, однако лег¬
ко проверяется, что если F — другой сплетающий оператор, то det(F) = det(L),
поэтому формула (4.4.2) не зависит от выбора сплетающего оператора, как и должно
быть.
В качестве следствия предложения 1 мы имеем
Предложение 2. Пусть mum' — два различных распределения масс.
Тогда соответствующие метрики d2sm и d2sm< на шейповой сфере кон¬
формно связаны следующей формулой:
т1+т2 + т3 2 2 т[ +т,2 + т'3 2 2
т\т2т3 т т т^т'оТп'о т' т
Доказательство предложения 2. В предложении 1 утверждается,
что d2smt = 0(1^/I^n,)d2srn и что константа С задается равенством С =
= |det(L)|2, где L — сплетающий оператор, переводящий 1т в 1т>. Мы
найдем такой оператор L и вычислим его определитель.
Зафиксируем треугольную конфигурацию х = (ап, £2,2:3) С Q- Она
имеет два образа z и w в С2 при отображении Якоби для двух различных
распределений масс т и т!. Обозначим z = Jm{x) и w =
Мы ищем линейное отображение L : С2 —» С2, такое, что w = Lz.
Сделаем верхнюю треугольную подстановку L(z\,Z2) — (az\,f3z\ + 7Z2).
Используя выражения (4.3.1)-(4.3.3) для отображения Якоби, мы придем
к двум линейным уравнениям az\ — w\ и j3z\ + 7Z2 = W2, которые примут
вид
а.^Д[[(х2 - xi) = уД^(х2 - zi)
Бесконечное множество сизигий
29
и
Первое уравнение имеет решение а = у/р-\/ р\. Раскроем скобки во втором
уравнении и приравняем коэффициенты при х\,Х2,хз, получим систему
из трех однородных уравнений с двумя неизвестными /3 и 7. Уравнение,
возникающее из равенства коэффициентов при хз, имеет решение 7 =
= V/47/^2- Подставим это 7 в два оставшихся уравнения. Уравнение
при х\ имеет решение /3 = — у/ р'2/pi{mi / {т\ + m2) — vn\j(rn\ + m^)),
а уравнение при ж2 имеет решение /3 = yj р'2/pi{rri2/(mi+7712) —
4- ^г2))- Можно проверить, что эти два числа /3 равны. Таким образом, мы
получаем наш обратимый линейный оператор
Мы имеем det(L) = <27 = у/ Р1Р2/р\р,2- Выражая р через массы, полу¬
чим Р1Р2 — Ш\Ш2Шз!(ш\ + т2 + т3) := с(т). Следовательно, det(L) =
= у/c(mf)/с(т), что и требовалось доказать.
Множество сохраняющих ориентацию конформных преобразований
двумерной сферы совпадает с группой сохраняющих ориентацию диффео¬
морфизмов двумерной сферы, которые переводят окружности в окружно¬
сти. Мы только что увидели, что конформная структура на шейповой сфере
не зависит от распределения масс. Отсюда следует, что множество окруж¬
ностей на шейповой сфере можно охарактеризовать в некотором смысле
независимо от выбора масс.
Предложение 3. Всякая окружность на шейповой сфере описывает¬
ся линейным уравнением
по переменным r\2, r23, r|i, Д {уравнения (4.1.1, 4.1.2)). Такая окружность
проходит через два треугольника {точки на шейповой сфере), которые
связаны отражением, тогда и только тогда, когда D = 0. Такая окруж¬
ность проходит через две лагранжевых конфигурации — равносторонние
треугольники L+, L- — тогда и только тогда, когда D = 0 и А-\- В + С =
Аг\ 2 + Вт\ъ + Ст\х + DA = 0
= 0.
30
Р. Монтгомери
Модель Минковского конформной сферы. Чтобы доказать предло¬
жение 3, мы воспользуемся моделью Минковского для конформной струк¬
туры на двумерной сфере. Пусть R3,1 — четырехмерное вещественное век¬
торное пространство со скалярным произведением Минковского /?(*,•) сиг¬
натуры (3,1). Выберем прямолинейные координаты так, чтобы (3(w,w) —
= —Wq + w\ + w\ + гг|. Подмножество {/3(w,w) = 0,wo > 0} называ¬
ется положительным световым конусом. Его вещественная проективиза-
ция IPC С /P(R3,1) — это множество всех прямо направленных световых
лучей, проходящих через начало координат. Топологически это множество
является двумерной сферой. Группа всех обратимых линейных преобразо¬
ваний пространства R3,1, которые отображают С в себя, совпадает с груп¬
пой ориентированных по времени конформных преобразований Лоренца —
группой линейных преобразований, которые сохраняют /3 с точностью до
масштаба и которые сохраняют «направление времени» (знак wo). Единич¬
ный элемент этой группы будет обозначен через CSO(3,1)+. Она дей¬
ствует посредством проективных преобразований на сфере IPC. Окруж¬
ности на сфере — это пересечения плоскостей в JP(R3,1) (проективизи-
рованные трехмерные линейные подпространства) со сферой IPC. Ес¬
ли хо,£1,:Г2,£з — любые прямолинейные координаты в R3,1, то такая
окружность описывается линейным уравнением
Ах о + Вх 1 + Сх 2 + Dx з = 0 (4.4.4)
на проективизированном конусе.
Чтобы убедиться в изоморфизме между моделью Минковского и ком¬
плексной эрмитовой моделью, касательно конформной структуры на сфере,
вернемся к нашему абстрактному двумерному комплексному векторному
пространству V. Группа S1 единичных по модулю комплексных чисел дей¬
ствует на V посредством умножения на комплексный скаляр. Мы видели,
что фактор-пространство V/S1 пространства V по этой группе соответ¬
ствует пространству шейпов и гомеоморфно конусу над двумерной сферой.
Существует другой способ для определения того же самого конуса. Обо¬
значим через V пространство всех вещественных квадратичных полиномов
на V, которые инвариантны относительно действия группы S1. Это — че¬
тырехмерное векторное пространство. Если zi,Z2 — прямолинейные коор¬
динаты на V, то базис в V образуют полиномы wq = ^(|^i|2 + |^212), =
= |(|*i|2 “ |^212), гг2 = Re(ziZ2) и гтз = Im(ziz2). Обозначим через Р*
вещественное линейное пространство, двойственное к V. Определим отоб¬
ражение
ev : V -» V*
Бесконечное множество сизигий
31
(ev означает «evaluation» — вычисление значения) равенством
(ev(v))(Q) = Q(v) для v е V, Q £ V.
Поскольку каждая функция Q £ V инвариантна относительно действия
на окружности, отображение ev сводится к отображению на фактор-про¬
странстве по S1, определяя отображение ev : V/S1 —■> V*. Это отобра¬
жение из фактор-пространства является взаимно-однозначным, и поэтому
его образ — это точная реализация фактор-пространства V/S1. Этот образ
является «положительным световым конусом» С = ev(V). В терминах
нашего базиса {гго, w\, W2, он задается соотношениями —Wq + w\ +
+ w\ + w\ = 0 и wq ^ 0. Конус является вполне определенным независимо
от выбора базиса в Р, и сам определяет на V* лоренцево скалярное про¬
изведение (/?), с точностью до масштаба, и ориентацию времени на V*.
Пространство V* — это наше R3,1.
Отображение ev является GL(V,C) = GL(2, (С)-эквивариантным,
где GL(V, С) действует на квадратичные полиномы по формуле: g(Q)(v) =
= Q(g~1v), а на Р* действует посредством двойственного действия. Из
построения следует, что это действие группы GL(V, С) на Р* сохраняет
квадратичный конус С, и поэтому оно является действием посредством
конформных преобразований Лоренца. Обозначим через CSO(3,1)+ груп¬
пу конформных преобразований Лоренца, которые являются ориентирован¬
ными по времени и, следовательно, переводят С в себя. Таким образом,
отображение ev определяет гомоморфизм
GL(V,C) — GL(2,C) —> (750(3,1)+.
Ядро этого гомоморфизма есть ±1. Из соображений, касающихся размер¬
ности и связности, следует, что этот гомоморфизм отображает GL(2, С)
на CSO(3,1)+.
Чтобы построить шейповую сферу, мы должны произвести приведе¬
ние по действию гомотетий и вращений. Эти два действия коммутиру¬
ют. Мы отождествили фактор по вращениям с положительным световым
конусом С С Р*. Гомотетия с коэффициентом Л на V действует, как
гомотетия с коэффициентом Л2 на Р*. Следовательно, шейповая сфера
отождествляется с вещественным проективизированным световым кону¬
сом IPC С /P(R3,1). Тогда из формулы (4.4.4) мы знаем, как описать
окружности на шейповой сфере: они задаются любым линейным уравне¬
нием в V*.
Доказательство предложения 3. Базисом в V является прямоли¬
нейная система координат на V*. Вместо координат гго, w\, г^2, гтз в каче¬
32
Р. Монтгомери
стве базиса мы выберем квадратичные инварианты
Si=r%3, s2 = r|j, S3 = rj2, А. (4.4.6)
Тогда окружность на тейповой сфере описывается, как и в формуле (4.4.4),
линейным уравнением As\ + Bs2 + Css + DA = 0 по переменным
и Д. Это доказывает первое утверждение предложения. Далее, треугольник
и отраженный к нему имеют одни и те же значения инвариантов но их
площади со знаком Д отличаются по знаку. Поэтому если окружность на
тейповой сфере проходит через треугольник и его отражение, то As\ +
+ Bs2 + Css + DA = 0 = As\ + Bs2 + Cs3 H—DA = 0. Таким образом,
D — 0. Это доказывает второе утверждение предложения. Наконец, два
равносторонних треугольника L+ и L_ являются отражениями друг друга,
и для них выполнено si = S2 = 53. Отсюда следует, что D — 0 и что А +
+ В + С — 0 для любой окружности, проходящей через обе эти точки.
Доказательство завершено.
Замечание о формуле Герона. Конус С = ev(V) можно выразить также
в терминах инвариантов Si,A Е V. Это выражение по существу является формулой
Герона для площади треугольника:
2 1
д = р(р-Г12)(р-Г2з)(р-гзг), где р = -(ri2 + г2з + r3i).
После несложных алгебраических выкладок формула Герона приводится к квадра¬
тичному соотношению
16Д2 = 2siS2 + 2S3S1 + 2S2S3 — (#1 + ^2 + S3),
которое является выражением конформного скалярного произведения Минковско-
го (3 на V* в базисе {si,A}. Ориентированная по времени, или положительная,
половина С светового конуса задается добавлением неравенств Si > 0, г = 1, 2, 3.
5.1. «Хорошие» координаты
Введем координаты (i?, ф, в), которые использовались при доказатель¬
стве теоремы 2. Здесь R — это обычный квадратный корень из момента
инерции / = 1т для нашего распределения масс т = (mi, m2, m3). То¬
гда ф, в — это координаты на шейповой сфере, но они являются метриче¬
скими сферическими координатами, соответствующими метрике, отвечаю¬
щей распределению с равными массами т! = (1,1,1). Сформулируем более
строго. Определим координаты Хопфа с равными массами
w = 1,1,1) (ж))
(5.1)
Бесконечное множество сизигий
33
(уравнения (4.3.1a-d)). Тогда
IMI = 2^(1,М) = 2 з^г12 + r23 + r3i) (5-2)
(уравнения (4.2.8) и (4.3.9)). Координаты ф, в на пространстве шейпов опре¬
деляются равенством
—-■-w = (cos(ф) cos(0), cos(ф) sin(0), sin(0)). (5-3)
llwll
Переменная z в теореме 2 равна
z = sin (ф). (5.4а)
Из уравнения (4.3.8) мы знаем, что
4 А
(5.4)
Переменные (ф, 9) — это ранее введенные сферические координа¬
ты (XjVO из уравнений (4.3.10) и (4.3.12)—(4.3.13), за исключением того,
что мы «искусственно» присваиваем всем массам значение 1 в форму¬
лах (4.3.10)—(4.3.13). Согласно предложению 2,
d2S( 1дд) = йф2 + cos (ф)2с192, (5.5)
в то время как
d?sm = Л(ф, в)2(с1ф2 + соъ(ф)2d92), (5.6)
где
/3mim2m3 /(1,1,1)
л = V ~м —■ (5'7)
Тогда кинетическая энергия на пространстве шейпов для распределения
масс т есть
Kshape = R2 + ^Х(ф,в)2(ф2 + COS (ф)2в2). (5.8)
Для дальнейшего использования мы положим
Ksphere = Х(ф, в)2{ф2 + cos(ф)2в2). (5.9)
34
Р. Монтгомери
Мы воспользовались тем фактом, что Л, будучи однородной SE(2)-инва¬
риантной функцией степени 0, может быть выражена как функция только
сферических координат. Лагранжиан для задачи трех тел с нулевым кине¬
тическим моментом в наших координатах есть
Lshape — shape + U(Д, ф, в). (5.10)
6.1. Доказательство теоремы 2
Непосредственно из определения z = sin(ф) (уравнение (5.4)) следует,
что нормированная переменная высоты удовлетворяет свойствам (i) и (iii)
теоремы. Когда все массы равны, то северный и южный полюса сферы сов¬
падают с лагранжевыми точками, следовательно, г удовлетворяет и свой¬
ству (ii).
Выведем теперь дифференциальное уравнение (*) теоремы 2. Для это¬
го выпишем уравнение Эйлера-Лагранжа для переменной ф из выражения
для лагранжиана по переменным (R, ф, 0). Уравнение Эйлера-Лагранжа
d dL дЬ
для ф есть г = ——. Из уравнений (5.7)—(5.10) мы видим, что
dt дф оф
I
щ ^ + cos(Ф)2в2) - A2 cos{4>) sin(ф)в2^ + (6.2)
Поэтому уравнение Эйлера-Лагранжа для ф имеет вид
d (R2 2 Л R2,9\/12 ,^2л2ч R\2 ... . dU
1г{тХф) = Тхдф{ф +со5{ф) в )”ТЛ cos^)sln(^ +~дф-
(6.3)
Далее, z — cos(ф)ф, поэтому
d fR\2.\ ,j.sd (R2^2l\d СОВ(ф)
I —A2* = cos(ф)- —Х2ф + — A2^'
dt \ 4 J dt \ 4 7 V 4 J dt
d / d2 \ p2
= cos(ф)± (^A2</>) - ^A2 sin(ф)ф2.
Бесконечное множество сизигий
35
Подставляя (6.3) в первый член в формуле (6.4), используя выражение (5.9)
для К sphere, определение z, и затем умножая обе части (6.4) на 4, мы по¬
лучим
^(/^) = -4*, (6-5а)
где
/ = R2 А2 = IX2 (6.5 Ь)
( со&(ф)\дХ\ 2 cos(<^) dU
q = У1 - МФ)ХЩ)К (6-5с)
Это и есть требуемое уравнение (*) теоремы 2.
Очевидно, что / > 0 всюду. Остается установить положительность q.
Это непосредственно вытекает из следующих лемм.
Лемма 3.
(6-6>
Бт(ф) лдф )
где с — это константа -^(rriirri2 + rn3rrii +ш2тз)/у —и где А —
это конформный множитель (5.7).
Лемма 4.
-^S>0, (6.7,
sin(0) дф
если ф ф ±7г/2 и U конечна; то есть всюду, за исключением двух лагран-
жевых точек и трех точек двойного столкновения на тейповой сфере.
На этом доказательство теоремы 2 завершено, по модулю доказа¬
тельств этих двух лемм.
Замечание к лемме 4 на экваторе. С первого взгляда не очевидно, что
функции, встречающиеся в леммах 3 и 4, являются гладкими и вполне определенны¬
ми при переходе через экватор ф — 0. Любая функция, которая инвариантна относи¬
тельно полной группы изометрий Е(2), включающей в себя отражения, определяет
функцию на пространстве шейпов, которая инвариантна при отражении ф —ф
относительно экватора и, следовательно, является четной функцией переменной ф
при фиксированных Я,ф. U и Л, будучи функциями только rZJ, являются такими
функциями. Поскольку они являются четными функциями от ф, их первые частные
производные по ф являются нечетными функциями от ф9 и эти частные производ¬
ные обращаются в нуль на экваторе ф = 0. Функция ctg^) = cos(ф)/ sin(0) также
является нечетной функцией от ф9 поэтому и сЩ(ф)д\/дф, и ctg(ф)ди/дф — это
36
Р. Монтгомери
четные функции от 0. Анализ рядов Тейлора показывает, что на экваторе ф = 0 мы
имеем ctg(</>)<9//<9</> = д2ф/дф2 для любой гладкой функции / = /(0,0, Л), кото¬
рая является четной функцией переменного ф. Таким образом, лемма 4 при ф — О
утверждает, что —д2и/дф2 > 0.
7.1. Доказательство леммы 3
Мы введем некоторые обозначения для упрощения доказательства.
Пусть
I '■= i,i): sk = ^//(1,1,1), рк = rmmj/M, (7.1.1)
где ij к — это перестановка чисел 12 3. Тогда имеем
I = J2Pk3k' (7.1.2)
а из (5.7) имеем
Таким образом,
/Зт,т2т31
V м I '
4tr+^log/- (7-L4)
В этих обозначениях формула (6.6), которая утверждается в лемме, прини¬
мает вид
1 + C0S(fl /к log 7 = Pk/I- (7.i.5)
sin(0) оф '
Начнем проверять формулу (7.1.5), используя формулу (4.3.14):
rfj = 7(1,1,1)(1 - 7к(0) COS(ф)). (7.1.6)
(Мы использовали mi — rrij = 1 в (4.3.14), поэтому (га* +
+ rrij)/2mimj = 1. Напомним, что наши координаты 0,0 соответствуют
координатам из формул (4.3.10)—(4.3.14), но все массы приравнены
к 1.) Отсюда следует, что
Sk = 1 - 7fc(0) cos(ф). (7.1.7)
Всюду далее будем писать jk вместо 7^(0). Далее, из (7.1.7) следует
Бесконечное множество сизигий
37
Подставим это равенство в логарифмическую производную равенства (7.1.2),
получим
д
— logi = y^pA: s'm(cfr)~/k j^PkSk-
Таким образом,
l0g^ = ^Рк C0s(^7fc/Y.Pki1 - Ik COS(ф)).
Наконец,
cos(ф) д ~ 1
+ sin(ф) дф °S Y,Pk( 1 - 7fc(0)cos(</>)) Х
х ($>*(! - 7fc cos(i^)) + 53pfc7fcCOs((/)))^ = (7.1.8)
= /^Pfct1 -7fcCos(</>)) = ]Tpfc//.
Лемма доказана.
7.2. Доказательство леммы 4
Положим
= (7.2.1)
где ij к — любая перестановка чисел 12 3. Тогда
U = minri2/sУ2 + 77137711/5+ ra2ra3/sj/2, (7.2.2)
/ = (mim2s3 + m3mi52 + ra2ra3si)/M. (7.2.3)
Фиксирование значения R равносильно фиксированию значения /, по¬
скольку I = R?. В силу предложения 3 фиксирование значения 0 равно¬
сильно наложению линейной связи на s*:
As\ -Т BS2 Т- С§з = 65 тдс А -г В + С = 0. (7.2.4)
Таким образом, замораживание йи^и варьирование ф эквивалентно нало¬
жению двух линейных связей (7.2.3) и (7.2.4) на координаты S& и варьирова¬
нию s/с вдоль полученной прямой в трехмерном s-пространстве. Поскольку
функция l/s1/2 — выпуклая при s > 0, и поскольку ттц > 0, потенциальная
38
Р. Монтгомери
функция U является строго выпуклой функцией на положительном коор¬
динатном ортанте Sk > 0 я^^з-пространства. Строго выпуклая функ¬
ция, ограниченная на отрезок прямой, остается строго выпуклой. Строго
выпуклая функция имеет не более одного локального минимума, который
является и глобальным, если он существует. Наша функция U имеет такой
минимум, если наложено только ограничение (7.2.3), и этим минимумом,
как известно, является лагранжева точка si = S2 = 53. Лагранжева точ¬
ка также удовлетворяет условию (7.2.4) в силу предложения 3, и поэтому
лагранжева точка остается единственным глобальным минимумом функ¬
ции С/, когда наложены оба ограничения (7.2.3) и (7.2.4). Следовательно,
U является строго возрастающей, если удаляться от лагранжевой точки по
любой окружности в = const шейповой сферы R = const. Далее, ф моно¬
тонно убывает, если удаляться от положительной лагранжевой точки по
направлению к экватору. Это доказывает, что
для всех ф из промежутка 0 < ф < 7г/2. Следовательно, неравенство лем¬
мы 4 выполняется на верхней полусфере. Оно также выполняется на ниж¬
ней полусфере в силу симметрии отражения.
Чтобы доказать это неравенство вдоль экватора, нам потребуются до¬
полнительные рассуждения. Они довольно длинные, и они не использова¬
лись в доказательстве теоремы 1, однако для полноты доказательства мы
решили их привести.
7.3. Положительность — вдоль экватора
В силу замечания, следующего за утверждением леммы 4, поло¬
жительность —д2и/дф2 вдоль экватора 0 = 0 эквивалентна тому, что
— ctg(0)<9U/дф > 0 при ф = 0 (за исключением трех точек двойного столк¬
новения). Чтобы доказать положительность этой функции, мы воспользу¬
емся обозначениями из доказательства леммы 3. Здесь мы обозначаем =
= rrLjlTLk, тогда
д2 и
(7.3.1)
(7.3.2)
Бесконечное множество сизигий
39
Функции Si = г2к являются четными по 0, поэтому dsi/дф = 0 вдоль
экватора. Отсюда следует, что на экваторе
d2U = +М I pi d2si р2 d2s2 рз d2s31 . .
дф2 2 \s3/2 дф2 + s3/2 дф2 + s3/2 дф2 j' 1'*^
Мы хотим показать, что (7.3.3) всегда положительно вдоль экватора, за ис¬
ключением точек двойного столкновения Si = 0 — полюсов функции U.
Я утверждаю, что достаточно доказать следующее утверждение.
Лемма 5.
d2Si d2Sk
Si ^ Sj < Sk => -7Т77Г > 0 > "л тт вдоль экватора 0 = 0. (7.3.4)
дфz офА
Мы намеренно пишем Sj < s^, а не Sj < Sk, поскольку, если ij —
это самая длинная сторона, то вдоль экватора, где треугольник является
коллинеарным, мы имеем + г^, откуда следует, что Sk := rf-
строго больше, чем Si и Sj.
d2U
Чтобы убедиться, что из леммы 5 следует — - > 0 вдоль экватора,
ифг
вернемся к нашим координатам R, 0, в. Имеем
R2 = I = piSl + p2s2 + р35з, (7.3.5)
поэтому частная производная I по ф равна нулю, равно как и вторая частная
производная. Таким образом,
n _ d2si _L Q2s2 , d2s3 (7 о
Pl дф2 P2 дф2 Рз дф2 ' ( ^
Сконцентрируем наше внимание на средней длине. Без ограничения общ¬
ности считаем, что она равна г\з = y/s2. Также считаем, что они располо¬
жены в порядке
51 ^ 52 < 5з- (7.3.7)
Тогда в силу (7.3.4)
^£1 > о > о 8,
дф2 дф2 ‘ ^'
Разделим (7.3.6) на sУ2, получим
40
Р. МОНТГОМЕРИ
-r rn-in\ Р1 ^ Р1 d2si
Теперь из (7.3.7) мы имеем > —3/2’ и 5 П0СК0ЛЬКУ я положительно>
s\' S2 дф
мы имеем
Pi d2s\ pi d2si
(7.3.10a)
§3/2 дф2 ^ Ъ/2 дф2
Pi Pi d2ss
Снова из (7.3.7) мы имеем > и> поскольку отрицательно,
s2 S3 дф
мы имеем
Pi d2ss pi 92S3
K < °' (7.3.106)
Объединяя (7.3.9) и (7.3.10a,b), мы видим, что действительно
Р! d2s1 р2 d2s2 рз d2S3
s3/2 дф2 s3/2 дф1 + s3/2 ^2 ’
откуда в силу (7.3.3) следует, что —d2U/дф2 > 0, что и требовалось дока¬
зать.
Остается установить лемму 5.
Доказательство леммы 5. Мы продолжаем использовать обозна¬
чения леммы 3:
_ т - _ rAu.i) - _ г1 -
Sk — -*(1,1,1) — -* j $к — 7 ~Sk
И
Sk = 1 - cos(0). (7.3.11)
Вспомним, что I = R2 и = 7fc(0) являются постоянными при измене¬
нии ф, и что I и Sk — это четные функции переменной ф, поэтому д1/дф =
= dsk/дф = 0 при ф — 0. Отсюда следует, что вдоль экватора ф — 0 мы
имеем:
^ = Т (4-7^!^ Г7Ч191
дф2 у Рдф2 к i дф2 J /2 ( 0<^2 к + дф2)' ( ^
Поскольку Ini положительны, отсюда следует, что д23к/дф2 положи¬
тельно или отрицательно вместе с — (д21/дф2)3к + 1(д23к/дф2). Теперь
из (7.3.11) мы получим, что
w - * <7-313>
Бесконечное множество сизигий
41
вдоль экватора. Здесь и всюду далее все частные производные вычисляют¬
ся вдоль экватора ф — 0. Вспоминая равенство (7.1.2), I = YlPkSk, мы
получаем
д21 х -
w = ^РзЪ'
Таким образом,
+ = ~ &Pjlj)h + 7fe-
Члены pk^klk сокращаются, остается
д21 -d2Sk
~~d<i?§k + = Pi^k ~'yih)+Pj(sjjk -7jh), (7.3.14)
где ijk — это перестановка чисел 12 3.
Без ограничения общности можно считать, что
51 ^ 52 < 53. (7.3.15)
Тогда в силу (7.3.4), (7.3.12) и (7.3.14) неравенство д28\/дф2 > 0 эквива¬
лентно неравенству
piihli - 72S1) + Рз(«з71 - 73S1) > О, (7.3.16а)
а неравенство d2s$/d4>2 < 0 эквивалентно неравенству
Pi(si73 - 7i«з) +P2(s27'3 - 72S3) < 0. (7.3.166)
Теперь при 0 = 0
sk = -^(1,1,1)5fc = ^(1,1,1) (1 — 7к)ч
поэтому
о < 51 < s2 < 53 и 7i ^ 72 > 7з- (7.3.17)
Далее мы видим, в частности, что
71-72^0 и 71~7з>0. (7.3.18)
Нам также необходимо знать, что
7з < 0 < 7i. (7.3.19)
42
Р. Монтгомери
Это непосредственно следует из (7.3.17) и того факта, что
7i + 72 + 7з = 0. (7.3.20)
Чтобы проверить (7.3.20), используем определение наших сферических ко¬
ординат в терминах вектора w = i,i,i)(x)). В этих координатах поло¬
жения точек hi двойных столкновений на шейповой сфере /(1,1,1) = 1 — это
вершины равностороннего треугольника, вписанного в экватор (см. рис. 6).
2
Рис. 6. Точки двойных столкновений на экваторе шейповой сферы
В частности, Ьх+Ьг + Ьз = 0. Возьмем скалярное произведение с шей-
повым вектором w, получим (7.3.20), поскольку cos(0)7i = w • b*.
Объединяя (7.3.17) и (7.3.19), мы получим, что
S37i > «271 > «171 > 0 (7.3.21)
и
«з7з < «27з < Si73 < 0. (7.3.22)
Объединяя (7.3.17), (7.3.18) и (7.3.21), мы получим
P2(S271 - 72S1) +P3(S371 - 73S1) > P2(si7i - 72«i) +Рз(«171 - 73«i) =
= P2S1 (71 - 72) + P3S1 (7i - 7з) > 0.
Это и есть требуемый результат (7.3.16а), из которого следует d2s 1 /дф2 > 0.
С помощью аналогичных выкладок можно прийти к неравенству (7.3.166)
и, следовательно, к неравенству d2sz/d(j)2 < 0. (Знак функции d2S2/d(f)2
может быть либо положительным, либо отрицательным.)
8.1. Заключение и открытые проблемы
Мы показали (теорема 1), что любое ограниченное решение с нулевым
кинетическим моментом без тройных столкновений допускает бесконечное
Литература
43
множество затмений. Однако множество таких решений может быть пу¬
стым!
Открытые проблемы. Показать, что для любого распределения масс
существует ограниченное решение без тройных столкновений с нулевым
кинетическим моментом.
Решение в виде восьмерки ([3]) показывает, что это множество реше¬
ний непусто, когда все три массы равны.
Выкладки, примененные при доказательстве теоремы 2, демонстри¬
руют, что для определенных приложений наши сферические координа¬
ты трех тел R, ф, 9 являются оптимальными. Они также показали, на¬
сколько мощным инструментом является использование координат Албуи-
Шенсине [1] Sk = для вычислений на пространстве шейпов. Я полагаю,
что цилиндрические координаты будут полезными для получения будущих
результатов, включая результаты с ненулевым кинетическим моментом.
Благодарности
Я хотел бы поблагодарить А. Албуи, А. Шенсине, М. Леви, Р. Мёкеля,
и Д. Ша за полезные обсуждения, которые оказались очень важными для
написания этой статьи. А. Албуи наставал на том, что использование квад¬
ратов длин r?j — это правильный путь для доказательства леммы 4. Он
также объяснил геометрию Минковского, которая появляется после пред¬
ложения 3. Без его вклада приведенные здесь выкладки были бы намного
сложнее. Я хотел бы также поблагодарить анонимного рецензента за тща¬
тельную работу, которая улучшила эту статью. Эта работа частично была
поддержана грантом NSF (DMS 9704763).
Литература
[1] A. Albouy and A. Chenciner, Le probleme des n corps et les distances
mutuelles, Inventiones, 131, 1998, 151-184. (См. также: Задача Кепле¬
ра: Столкновения. Регуляризация: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД»,
Институт компьютерных исследований, 2006, с. 413^4-51.)
[2] D. Burago, Y. Burago, and S. Ivanov, A course in metric geometry, Graduate
studies in Mathematics, 33, AMS, 2001.
[3] A. Chenciner and R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the
three-body problem in the case of equal masses, Annals of Mathematics,
152, 2000, 881-901. (См. также: Современные проблемы хаоса и
44
Р. Монтгомери
нелинейности: Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М-
Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных исследований, 2002,
с. 179-201.)
[4] F. Diacu, On the planar syzygy solution of the 3-body problem, Celestial
Mechanics, 46, 1989, 119-128.
[5] F. Diacu, A generic property of the bounded syzygy solutions, Proc. of the
AMS, 116, 1992, 809-812.
[6] J.-L. Lagrange, Essai sur le probleme des trois corps, Prix de l’Academie
Royale des Sciences de Paris, tome IX, p. 292 of volume 6 of (Euvres,
1772.
[7] T. Levi-Civita, Sur la regularisation du probleme des trois corps, Acta
Math., 42, 1921,99-144.
[8] J. E. Marsden and T. S. Ratiu, Introduction to mechanics and symmetry.
Springer, 1994.
[9] R. Moeckel, Orbits near triple collision in the three-body problem, Indiana
Univ. Math. J., 32, 1983, 221-240.
[10] R. Montgomery, A new solution to the three-body problem, Notices of the
AMS, May, 2001,471-481.
[11] R. Montgomery, The iV-body problem, the braid group, and action-
minimizing orbits, Nonlinearity, 11, 1998, 363-376.
[12] R. Montgomery, The geometric phase of the three-body problem,
Nonlinearity, 9, 1996, 1341-1360, esp. section 1.2.
[13] H. Pollard, Celestial mechanics, Cams mathematical monographs no. 18,
Mathematical Association of America, 1976.
[14] K. Sundman, Memoire sur le probleme des trois corps, Acta Math., 36,
1912, 105-179.
2
Выпуклость восьмеркообразного
решения задачи трех тел1
Т. Фудживара, Р. Монтгомери
Ньютонова задача трех тел с равными массами имеет замечательное решение,
в котором тела следуют друг за другом по плоской кривой, имеющей каче¬
ственную форму и симметрии восьмерки. Здесь мы доказываем, что каждый
лепесток этой кривой является выпуклым.
1. Введение
Восьмерка — это недавно открытое периодическое решение ньютоно¬
вой задачи трех тел, в котором три равные массы двигаются по одной зам¬
кнутой плоской кривой, имеющей вид цифры 8 (см. [3, 8] и рис. 1). Эта кри¬
вая имеет одно самопересечение — начало координат, — которое разделяет
ее на два симметричных лепестка. В работе [3] было доказано, что каждый
лепесток является звездной кривой. Здесь мы доказываем, что лепестки яв¬
ляются выпуклыми кривыми. (Компьютерное доказательство, основанное
на интервальной арифметике, встречается в работе [6].)
Теорема 1. Каждый лепесток восьмеркообразного решения является
выпуклой кривой.
В последнем параграфе мы покажем, как можно обобщить эту теорему,
для того чтобы доказать выпуклость восьмерок для потенциалов трех тел,
отличных от ньютонова.
1Т. Fujiwara, R. Montgomery, Convexity of the figure eight solution to the three-body problem.
Pacific Journal of Mathematics, 2005, vol. 219, no. 1, pp. 187-199.
46
Т. Фудживара, Р. Монтгомери
2. Предварительные сведения
Мы сформулируем ряд свойств восьмерки, установленных в работе [3],
и три утверждения, относящиеся к механике и к геометрии плоскости. До¬
казательство выпуклости основывается на этих свойствах и утверждениях.
Центр масс. Обозначим через qi(t), <7з(£), <7з(0 положение трех масс
в плоскости в момент t. В каждый момент времени t мы имеем q\(t) +
+ q2{t) + qz{t) = 0.
Симметрия. Обозначим через Ry(x,y) = (—х,у) отражение отно¬
сительно оси у. Тогда восьмеркообразное решение обладает следующими
симметриями:
(9i(t),«2(t),©(*)) = (ЯуЫ* - 1Т))’Мяlit - lT)),Ry{q2(t - ±Г))),
(qi(t),q2{t),q3{t)) = (-qi{-t),-q3(-t),-q2(-t)).
Правые части этих равенств определяют преобразования s и а на про¬
странстве всех Т-периодических петель. Эти преобразования порождают
действие группы диэдра
Dq = {s,cr|s6 = 1, а2 — 1, scr — as~1},
группы симметрии правильного шестиугольника, которая, следовательно,
является группой симметрии восьмерки.
Инвариантность относительно s2£ Dq означает, что (s2(gi, ^2, 9з)) (0 =
= (q'iWj Q2(t), <7з(0)- Пусть q = qi, тогда последнее равенство примет вид
qi{t)=q(t), q2(t) = q(t+^T), q3(t) = q(t + \т). (1)
Решение задачи трех тел, удовлетворяющее равенствам (1), называется
хореографией. Кривая q(t) — это та кривая в виде восьмерки, лепестки
которой имеются в виду в теореме 1.
Из Dq-инвариантности восьмерки следует, что она полностью опре¬
деляется тремя дугами q\
-ткТ, 0
12
Чтобы
пробегаемыми тремя массами на промежутке времени
доказать теорему 1, достаточно доказать, что кривизны этих трех дуг
нигде не обращаются в нуль (за исключением точки q\ (0) — точки самопе¬
ресечения восьмерки, которая выбирается в начале координат).
Выпуклость восьмеркообразного решения задачи трех тел
47
Конфигурация (<7i, <72, Яз), удовлетворяющая равенству q\ -\-q2 +<?з = О,
называется эйлеровой конфигурацией, если одно из ^ обращается в нуль.
Тогда необходимо две другие массы Яз^Як имеют вид £, — £, поэтому вся
конфигурация (qi,q2, Яз) является коллинеарной, с массой i в начале коор¬
динат, расположенной в середине отрезка, соединяющего две другие мас¬
сы j и к. С помощью сдвига по времени, если необходимо, и перенуме-
ровки масс мы можем добиться того, чтобы в момент времени 0 конфигу¬
рация была эйлеровой, масса 1 находилась в начале координат, а масса 3
находилась в первом квадранте, как показано на рисунке 1. В начальный
момент времени t = тРи массы образуют равнобедренный треуголь¬
ник, масса 2 находится в его вершине, и она лежит на отрицательной полу-
Рис. 1. Восьмерка. Метки ls и 1е означают положение массы 1 при t = — -^Т
и t = 0; аналогично для 2 и 3
Восьмерка минимизирует обычное действие из механики (интеграл от
кинетической минус потенциальной энергии) среди всех Т-периодических
петель, обладающих Dq-симметрией. Это эквивалентно тому [3], что тра¬
ектория (qi{t),q2{t),qs(t)) восьмерки на основном промежутке времени
[—iT, 0] минимизирует действие среди всех траекторий, начинающихся
в момент в равнобедренной конфигурации с массой 2 в вершине
и заканчивающихся в момент 0 в эйлеровой конфигурации с массой 1 в на¬
чале координат. Важным следствием из минимизации, доказанным в рабо¬
те [3, с. 896-897], является то, что ни в какой момент времени из основной
области, кроме начального и конечного, конфигурация не является колли-
48
Т. Фудживара, Р. Монтгомери
неарной или равнобедренной. Отсюда следует, что для всех t Е ( — 0)
Пз < гг2 < г23 (2)
и
qi А 92 = Я2 А 9з = 9з Л gi < 0, (3)
здесь = \qi — qj \ — это расстояние между массами i и j, а
(х, 2/) Л (гл, v) = хг; — уи
для плоских векторов (х,?/) и (гл, г;). Неравенство (2) назовем упорядочени¬
ем расстояний.
Начальные и конечные скорости. В момент эйлеровой конфигура¬
ции t = 0 скорости масс 2 и 3 противоположно направлены скорости мас¬
сы 1 и равны половине ее величины. См. рис. 1. Это следует из того, что
восьмерка минимизирует действие. В момент равнобедренной конфигура¬
ции t = — скорость массы 2 направлена вертикально вниз, а скорости
масс 1 и 3 таковы, что их касательные прямые проходят через 2. Это сле¬
дует из теоремы о трех касательных и свойства кинетического момента,
которые будут описаны ниже.
Кинетический момент и звездность. Обозначим через
= Qj Л Qj
кинетический момент j-й частицы. Из того, что восьмерка минимизирует
действие, следует, что ее полный кинетический момент равен нулю:
£\ + £2 + £3 — О
на восьмерке. Из уравнений Ньютона следует (см. [3, с. 896]), что
h = (4- - lir) (?1 Л?2)
V13 '23 /
в течение всего времени. Учитывая неравенства (2) и (3), мы находим,
что £3 < 0 на дуге 3. Аналогично получаем
£i >0, h> 0, £3 < 0.
Мы используем обозначение ls для тела 1 в начальный момент t = — j^T
и т. д. В силу симметрии имеем £\s = £зя = — 2^2А < 0. (Условия £\ч <0
Выпуклость восьмеркообразного решения задачи трех тел
49
и £\е = 0 согласуются с £\ > 0.) Далее, из £2s > 0 и > 0 следует £2а =
= —> 0 (см. рис. 2). Поэтому во внутренности нашей ос¬
новной области мы имеем
h <0, i2> о, е3 < о.
В широком смысле, положим
£ = qAq,
где q двигается по восьмерке. Тогда на правом лепестке (х > 0) мы имеем
£ < 0 при х > 0
(см. рис. 2).
Кривая на плоскости называется звездной относительно начала коорди¬
нат, если каждый луч, исходящий из начала координат, пересекает кривую
не более одного раза. Для гладкой кривой это эквивалентно тому, что ес¬
ли записать кривую в полярных координатах (г(£), #(£)), то функция 9(t)
будет строго монотонной и не будет изменяться более чем на 2тг. Посколь¬
ку £ = г2в, то звездность кривой (например, одного лепестка восьмерки),
которая лежит в полуплоскости х > 0, эквивалентна условию £ ф 0.
Теорема о трех касательных. Следующую теорему можно найти в ра¬
боте [5], где она использовалась для доказательства существования хорео¬
50
Т. Фудживара, Р. Монтгомери
графической лемнискаты в задаче трех тел с потенциалом, отличным от
ньютонова.
Теорема 2 (о трех касательных). Пусть (qi(t),q2(t),qs(t)) — три
плоские кривые, такие, что их полный импульс и полный кинетический мо¬
мент равны нулю. Тогда три мгновенные касательные к этим трем кривым
пересекаются в одной (.зависящей от времени) точке либо параллельны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем момент времени t. Поскольку qi +
+ Я2 + <?з = 0, то сдвиг всех ^ в одном и том же фиксированном на¬
правлении не изменяет условие равенства нулю кинетического момента.
Поэтому без ограничения общности можно считать, что точка пересечения
касательных к q\ и к q2 в момент t движется в начале координат. Поскольку
точка qi(t) лежит вдоль прямой, проходящей через начало координат в на¬
правлении qi, то мы имеем qi(t) A qi(t) = 0. Аналогично, ^(0 A q2(t) =
= 0. Но поскольку полный кинетический момент равен нулю, мы должны
иметь дз(£) А <?з(£) = 0* Это означает, что прямая, касательная к кривой qs
в точке А также должна проходить через начало координат. □
Доказательство остается в силе и для не равных масс mi, m2, m3. Надо
только навесить массы в соответствующие формулы для импульса и кине¬
тического момента,
Лемма о разделении. Мы будем использовать следующую лемму
о разделении в нескольких местах доказательства. Прямая в плоскости раз¬
деляет плоскость на три части: две открытых полуплоскости и саму пря¬
мую. Будем говорить, что точка лежит строго с одной стороны от прямой,
если она лежит в одной из открытых полуплоскостей. Будем говорить, что
прямая разделяет точки А и В плоскости, если две точки лежат в разных
полуплоскостях.
Лемма 1. Пусть (qi(t), #2(£)> #з№) — плоское решение ньютонова
уравнения трех тел с притягивающим потенциалом 1/г. Допустим, что
в момент t* дуга qiit) массы i имеет точку перегиба и ненулевую скорость.
Тогда касательная прямая £ к этой дуге в момент времени t* должна либо
(А) разделять две другие массы qj(t*) и qk{t*), либо (В) все три массы
должны лежать на этой касательной прямой.
Доказательство. Предположим от противного, что массы qj(t*)
и qk(t*) лежат строго с одной стороны от £ или одна лежит на £, а дру¬
гая лежит строго с одной стороны. Согласно уравнениям Ньютона, ускоре¬
ние qi(t*) является линейной комбинацией qj(t*) — qi(t*) и qk(t*) — <&(£*)
и коэффициенты этой линейной комбинации положительны. Таким обра¬
зом, произведя сдвиг прямой £ и конфигурации масс в начало координат,
Выпуклость восьмеркообразного решения задачи трех тел
51
с помощью вычитания q^t*), мы обнаружим, что это ускорение лежит стро¬
го с одной стороны от прямой, проходящей через 0 вдоль вектора скоро¬
сти qi(t*). Следовательно, ускорение и скорость массы qi(t) линейно неза¬
висимы в момент £*. Но по условию qi(t) в момент имеет точку перегиба,
поэтому скорость и ускорение должны быть линейно зависимы. □
То же самое доказательство остается в силе, если заменить ньютонов
потенциал - J2i<j ^raj/r^ на произвольный потенциал V — J2i<j f(rij)>
где df/dr > 0.
Предложение о выпуклости. Параметризация t кривой С называется
невырожденной, если производная dC(t)/dt нигде не обращается в нуль.
Гладкая кривая, возможно с самопересечениями, называется локально вы-
пуклой, если ее кривизна нигде не обращается в нуль.
Предложение. Пусть С — гладкая локально выпуклая плоская кривая,
параметризованная невырожденным параметром t. Пусть £(t) — каса¬
тельная к С в C(t). Пусть т — прямая, не пересекающая С. Пусть P(t) —
точка пересечения £(t) и т. Тогда P(t) двигается по прямой т всегда
в одном и том же направлении для всех Ь, таких, что P(t) конечно.
Доказательство. Мы можем взять в качестве т ось у. Пусть С
параметризована как (x(t),y(t)), прямая £(t) задается как {(ж(£), ?/(£)) +
+ \(x(t),y(t)) : Л G R}, и она пересекает т в точке P(t) = (0,p(t)), где
_ x(t)y{t) -y{t)x{t)
р т
Продиффиренцируем это равенство; учитывая определение кривизны к, по¬
лучим
dp v3x
dt х2
где v = д/х2 + у2 — скорость кривой. Множители у,х,к по предположе¬
нию нигде не обращаются в нуль (х не обращается в нуль потому, что С не
пересекает ш); поэтому они не изменяют знак. Таким образом, производ¬
ная dp/dt не изменяет знак всюду, где она определена. □
3. Каждая масса — в своем собственном квадранте
Ключевым моментом в доказательстве теоремы 1 является то, что каж¬
дая масса «остается в своем собственном квадранте» в течение интерва-
52
Т. Фудживара, Р. Монтгомери
да времени (—^Т, 0). В начальный момент масса 3 находится в первом
квадранте, 1 — в четвертом, а 2 лежит на оси х между вторым и третьим
квадрантами, двигаясь внутрь третьего. Следовательно, в течение короткого
промежутка времени ( — + е) масса 3 лежит в первом квадранте,
1 — в четвертом, 2 — в третьем.
Лемма 2. На интервале времени (—0) тело 1 лежит в четвер¬
том квадранте, тело 2 лежит в третьем, и тело 3 лежит в первом.
Доказательство. Предположим, что одна из масс покидает свой
начальный квадрант в момент времени раньше 0. Она должна выйти по
границе этого квадранта. Она не может выйти через начало координат, по¬
скольку отсюда следовало бы, что в этот момент конфигурация — эйлерова,
а конфигурация может быть эйлеровой только в конечной точке интервала.
Покажем отдельно для каждой массы, что ни одна из них не может
выйти первой. Предположим, что масса 2 выходит первой (возможно, одно¬
временно с другой). Она не может пересечь ось х, поскольку это противоре¬
чило бы звездности лепестка, на котором она лежит. Значит, она переходит
через ось у, тогда ее координата х равна нулю. В силу того, что коллинеар¬
ность исключается, одна из масс 1 или 3 не является выходящей в тот же
момент времени, следовательно, имеет положительную ^-координату. Та¬
ким образом, сумма ^-координат масс положительна, а это противоречит
тому, что центр масс находится в начале координат.
Масса 1 не может выйти первой. Она не может выйти через ось х,
поскольку это противоречило бы звездности. Она не может выйти через
ось у, поскольку в этом случае нарушалось бы упорядочение расстоя¬
ний г 13 < г 12 < 7*23, выполняющееся в силу (2). Покажем это. Обозна¬
чим точку выхода массы 1 через (0, yi), где у\ < 0. Тогда другие массы
должны быть в (—ж,у2) и в (х,уз), где х > 0 (поскольку конфигурация не
может быть коллинеарной) и у2 < 0, уз > 0. Имеем г23 = х1 + (уз — yi)2
И г\2 = X2 + (у2 - У\)2. Но уз > О, 0 > Уи у2 и 2/1 + У2 + Уз = о, поэтому
Уз - 2/1 = —2yi ~У2 = 2|j/i| + |у2|-
Но \у2 - У\\ < |г/21 + Ы, поэтому (уз - Ух)2 > (у2 - Ух)2 и Пз > Г12* Это
противоречит упорядочению расстояний.
Масса 3 не может выйти первой. Она не может выйти через ось х, по¬
скольку тогда центр масс системы имел бы отрицательную координату у.
Она не может выйти через ось у, поскольку это противоречило бы звездно¬
сти. □
Выпуклость восьмеркообразного решения задачи трех тел
53
4. Доказательство теоремы 1
Мы будем называть дугу, по которой пробегает масса j в течение про¬
межутка времени [ — Дугой j9 и через Kj обозначать ее кривизну.
Мы должны показать, что к,\ < 0 и к,\ < 0 при t ф 0, а также показать,
что к>2 > 0 и что к>з < 0.
Выпуклость дуги 1. Мы начнем с того, что покажем, что у\ > 0 вдоль
дуги 1. Поскольку каждая из масс остается в собственном квадранте, мы
имеем уз — Уг > 0; кроме того, г\з < г\2 в силу (2). Таким образом,
т = (уз - yi)/ri3 + (У2 - yi)/r?2 >
> (Уз - yi)/n*2 + (У2 - yi)Ai2 =
= —3yi/r12 > 0.
Далее мы покажем, что у\ > 0 вдоль дуги. Из того факта, что у\ > 0,
следует, что достаточно показать, что у\ > 0 в начальной точке дуги 1, ко¬
гда треугольник равнобедренный. Из теоремы о трех касательных и нера¬
венства 1\ < 0 следует, что в начальной точке дуги 1 вектор q\ направлен
от qi к вершине #2, поэтому у\ > 0.
Мы видели, что 1\ < 0 и fi > 0 вдоль дуги. Объединяя эти нера¬
венства, получаем, что вдоль дуги имеет место £\У\ — £\у\ > 0. С другой
стороны, раскладывая кинетический момент, мы получим £\У\ — £\у\ —
= {х\У\ - y\Xi)m - {х\У\ - yiXi)yi = y\{±iyi - у 1X1) = y\v\ni. Таким
образом, y\v\ni > 0. Поскольку у\ < 0, vi > 0, мы получаем ki < 0.
2S
Рис. 3. Область для тел 1 и 3
Выпуклость дуги 2. Предположим от противного, что существует точ¬
ка перегиба «2 = 0 на дуге 2. Пусть а — последняя точка перегиба на дуге 2,
54
Т. Фудживара, Р. Монтгомери
то есть точка, момент времени t которой ближе всех к 0. Мы также знаем
из начальных условий в t = — и в t — 0, что К2 > 0 в точках 2S и 2е.
По непрерывности к? > 0 вблизи обеих этих точек. Тогда АС2 > 0 на дуге
от а до 2е.
Мы уже знаем, что дуга 1 — выпуклая (k,i < 0). Мы также знаем,
что тело 3 двигается в первом квадранте. Отсюда следует, что тела 1 и 3
должны лежать в заштрихованной области на рисунке 3.
Рассмотрим гауссово отображение (годограф) дуги 2. Это отображение
ставит в соответствие точке дуги 2 единичный касательный вектор <Ь/|<Ы
к дуге 2 в этой точке.
Рис. 4. Гауссово отображение единичного касательного вектора <Ь/|(Ы
Из уравнений Ньютона и того факта, что Х\ — Х2 и хз — Х2 положи¬
тельны, мы получаем, что Х2 > 0 на всей дуге 2. Поскольку х2 — 0 в 2S,
то ±2 > 0 на открытой дуге 2, от 25 до 2е, и поэтому, в частности, ±2 > 0
в точке а. Поскольку К2 > 0 на дуге а —> 2е, вектор <Ь/|<Ы должен стре¬
миться к 2е из точки а монотонно по часовой стрелке. Поэтому точка а
лежит на дуге между точками 2S и 2е на правой половине окружности, как
показано на рисунке 4.
Но тогда касательная к дуге 2 в точке а не может разделять точки 1
и 3, а это, согласно лемме о разделении (лемме 1), противоречит предполо¬
жению о том, что а — точка перегиба.
Таким образом, мы доказали, что дуга 2 не имеет точек перегиба, то
есть К2 > 0.
Выпуклость дуги 3. Предположим от противного, что существуют
точки перегиба на дуге 3. Пусть b — первая такая точка, то есть точка,
момент времени t которой ближе всех к — j^T. Тогда по лемме о разделении
Выпуклость восьмеркообразного решения задачи трех тел
55
(лемме 1) касательная к дуге 3 в точке b должна разделять тела 1 и 2. Чтобы
это было выполнено, прямая должна была бы ранее проходить через тело 1,
либо через тело 2. Покажем, что ни то, ни другое невозможно.
Если бы касательная к дуге 3 проходила через тело 1, то по теореме
о трех касательных в тот момент, когда это происходит, касательная к телу 2
должна была бы проходить через тело 1. Мы уже доказали, что кч > 0 на
дуге 2. Значит, касательная к телу 2 не может проходить через тело 1 ни
в какой момент на этом интервале (см. рис. 3 и 4). Пришли к противоречию.
Если бы касательная к дуге 3 проходила через тело 2, то по теореме
о трех касательных в тот же момент касательная к телу 1 должна была бы
проходить через тело 2. Чтобы убедиться в том, что последнее невозможно,
соединим концы 2S и 2е дуги 2 прямой линией т. Дуга 2 полностью лежит
с одной стороны от этой прямой в силу выпуклости.
Применим теперь предложение из второго параграфа. В конечных точ¬
ках 1е и 2е касательные к 1 и 2 параллельны, поэтому пересечение пря¬
мой т с касательной к 1 лежит в квадранте х < 0, у > 0, в котором не
находится никакое тело. В начальной точке s точка пересечения прямой га
и касательной к 1 есть 2S. Следовательно, в промежутке между sue пере¬
сечение всегда лежит в той части прямой га, которая находится во втором
квадранте. Но для того чтобы касательная к 1 проходила через 2, касатель¬
ная к 1 должна пересекать прямую га между 2S и 2е, которая лежит в квад¬
ранте дуги 2. Следовательно, невозможно, чтобы эта касательная проходила
через 2.
Таким образом, мы доказали, что не существует точек перегиба на
дуге 3. Другими словами, «з < 0 на дуге 3. Сопоставляя полученные ре¬
зультаты о выпуклости всех трех дуг, мы получаем теорему 1.
5. Выпуклость для других потенциалов
Теорема 1 справедлива для восьмеркообразного решения с други¬
ми потенциалами. Действительно, наше доказательство зависит только от
свойств восьмерки, перечисленных во втором параграфе, и от свойства мо¬
нотонности ньютонова потенциала. Обсудим это ниже.
Чтобы быть точными, мы должны определить, что мы подразумеваем
под восьмеркой. Пусть
V = V(r12,r23,r31)
— это потенциал трех тел, зависящий только от взаимных расстояний меж¬
ду частицами гц и инвариантный относительно перестановки масс. Тогда
группа симметрии Dq восьмерки действует на решения соответствующего
56
Т. Фудживара, Р. Монтгомери
уравнения Ньютона, переводя решения в решения, и поэтому мы можем
говорить о D^-инвариантных решениях.
Плоское решение уравнения Ньютона для V называется восьмеркооб¬
разным решением, или восьмеркой, если
(i) оно инвариантно относительно Dq симметрий,
(ii) во внутренности каждой основной области ^га^Т, (га + 1)^Т^,
где га = 0, ±1, ±2,..., конфигурация не является коллинеарной и не явля¬
ется равнобедренной ни в какой момент времени,
(iii) решение не имеет столкновений.
Такое решение необходимо будет плоской хореографией (см. (1)), и по¬
этому три массы двигаются по одной плоской кривой. Из условия (i) следу¬
ет, что центр масс лежит в нуле и кинетический момент равен нулю. Если
дополнительно наш потенциал V имеет вид
г = £/Ы,
i<j
Выпуклость восьмеркообразного решения задачи трех тел 57
где
(iv) df /dr > 0 (притягивающий потенциал двух тел) и
(v) g(r) := r~ldf /dr является строго монотонно убывающей функцией
по г,
то все свойства и неравенства, используемые в этой статье, сохраняются.
Действительно, вернемся в начало к неравенству упорядочения рассто¬
яний (2). В момент t — мы имеем 7*23 = П2, а в момент t — 0 мы
имеем г 12 = Г31 < Г23 — 27*12* В силу свойства (ii) на интервале (— О)
возможен порядок расстояний г31 < г 12 < г23 или г 12 < гз\ < г23. Рас¬
смотрим уравнение для 1\
h = (g(r2i) - g{m))(q2 Aq3),
здесь функция д(г) — монотонно убывающая. Имеем i\ > 0 для первого
упорядочения и t\ < 0 для второго упорядочения. Но поскольку t\ < О
при t = и 1\ — 0 при t — 0, значение £\ должно быть положитель¬
ным. Таким образом, должно иметь место первое упорядочение, то есть
соотношение (2). Тогда все равенства и неравенства в этой статье сохраня¬
ются. Таким образом, справедлива, теорема.
Теорема 3. Пусть V — потенциал трех тел вида V = YLi<3 1(ггз)>
где / удовлетворяет (iv) и (v), допускающий восьмеркообразное решение,
определяемое условиями (i)-(iii). Тогда каждый лепесток этой восьмерки
для V является выпуклым.
Сразу же возникает вопрос, будет ли для любого потенциала, отлично¬
го от ньютонова, существовать решение в виде восьмерки. Напомним [3,
с. 896-897], что если решение, удовлетворяющее условиям (i) и (ii), ми¬
нимизирует действие, соотнесенное потенциалу V, среди всех траекторий,
удовлетворяющих (i), и если такое решение не является тождественно кол-
линеарным, то автоматически выполняется условие (ii). Степенные потен¬
циалы вида
Уа = (о)_1(г12 + Г23 + Tgj)
для а ^ — 2 допускают такие нестолкновительные минимизирующие дей¬
ствие решения, следовательно, они допускают решения в виде восьмерки.
Кроме того, доказательство работы [3], проведенное для а = — 1, основано
на строгих неравенствах и, следовательно, справедливо для некоторого ин¬
тервала показателей — 1 — е\ < а < —1 + 62, где 61,62 — положительные
58
Т. Фудживара, Р. Монтгомери
числа. Численное доказательство, представленное в [4], наводит на мысль,
что восьмерки существуют для всех степенных потенциалов Va, где а < 0.
(Эти восьмерки динамически устойчивы только в окрестности ньютонова
потенциала а = —1.)
Следствие. Для степенных потенциалов Va, где а ^ — 2 или где а
лежит в некоторой окрестности —1, существуют восьмеркообразные ре¬
шения и каждый лепесток этих восьмерок является выпуклым.
6. Единственность
Доказательство единственности ньютоновой восьмерки остается от¬
крытой проблемой [2]. Наша работа существенно сокращает множество до¬
пустимых восьмерок (и, следовательно, рамки неединственности) до вось¬
мерок с выпуклыми лепестками. Можно дать некоторые указания для раз¬
решения проблемы единственности. Если наш читатель позволит нам по¬
фантазировать в этом направлении, представим две различные ньютоновы
восьмерки, такие, что обе (i) обладают Dq-симметрией, (ii) имеют один
и тот же период, (iii) имеют одно и то же значение минимума для дей¬
ствия. Соотнесем эти две восьмерки с семейством восьмерок, удовлетворя¬
ющих (i) и (ii) и имеющих выпуклые лепестки. Применим процедуру min-
max, чтобы выделить из такого семейства третью восьмерку, которая явля¬
ется вариационно неустойчивой, это означает, что гессиан действия име¬
ет отрицательное направление. Теперь установим противоречие между су¬
ществованием отрицательной моды и выпуклостью лепестка этой третьей
восьмерки. Такая или похожая идея могла бы, вероятно, привести к доказа¬
тельству единственности восьмерки.
Благодарности
Мы выражаем наши искренние благодарности А. Шенсине, X. Фукуда
и X. Озаки за дискуссии.
Замечание к доказательству
Для степенных потенциалов Va Барутелло,*Феррарио и Террасини [1]
доказали существование восьмерок для всех а < 0, см. доказательство
Предложения (4.15). Монтгомери [2004] доказал единственность восьмерки
для а — —2.
Литература
59
Литература
[1] V. Barutello, D. L. Ferrario, and S.Terracini, Symmetry groups of
the planar 3-body problem and action-minimizing trajectories, 2004.
math.DS/0404514.
[2] ] A. Chenciner, Some facts and more questions about the Eight, pp. 77-
88 in Topological methods, variational methods and their applications:
Proceedings of the 1CM 2002 Satellite Conference on Nonlinear Functional
Analysis (Taiyuan, China, 2002), edited by H. Brezis et al., World Scientific,
River Edge, NJ, 2003. {См. также: Относительные равновесия: Перио¬
дические решения: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компью¬
терных исследований, 2006, с. 223-242.)
[3] A. Chenciner and R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the
three-body problem in the case of equal masses, Ann. of Math. (2), 152:3
(2000) 881-901. (См. также: Современные проблемы хаоса и нелиней¬
ности: Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ
«РХД», Институт компьютерных исследований, 2002, с. 179-201.)
[4] A. Chenciner, J. Gerver, R. Montgomery, and С. Simo, Simple choreographic
motions of N bodies: A preliminary study, pp. 287-308 in Geometry,
mechanics, and dynamics, edited by P. Newton et al., Springer, New York,
2002. (См. также: Современные проблемы хаоса и нелинейности: Сб.
ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Ин¬
ститут компьютерных исследований, 2002, с. 202-229.)
[5] Т. Fujiwara, Н. Fukuda, and H.Ozaki, Choreographic three bodies on the
lemniscate, J. Phys. A, 36:11 (2003) 2791-2800.
[6] T. Kapela and P. Zgliczynski, The existence of simple choreographies for
the TV-body problem: A computer-assisted proof, Nonlinearity, 16:6 (2003)
1899-1918.
[7] R. Montgomery, Fitting hyperbolic pants to a three-body problem, 2004.
math.DS/0405014. (Статья 5 настоящего сборника.)
[8] С. Moore, Braids in classical dynamics, Phys. Rev. Lett., 70:24 (1993) 3675-
3679. (См. также: Относительные равновесия: Периодические реше¬
ния: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных иссле¬
дований, 2006, с. 165-176.)
3
Вариационное доказательство
существования транзитных орбит
в ограниченной задаче трех тел1
Р. Мёкелъ
Вследствие интеграла Якоби решения плоской круговой ограниченной задачи
трех тел заключены в определенных подмножествах плоскости, называемых
областями Хилла. Для определенных значений интеграла одна компонента об¬
ласти Хилла состоит из дискообразных областей вокруг каждой из двух масс
планет, соединенных туннелем вблизи коллинеарной лагранжевой точки L2.
Транзитная орбита — это решение, которое пересекает туннель в определен¬
ном смысле, которому можно придать строгость при помощи конструкции изо¬
лирующих блоков, предложенной Конли.
Для значений интеграла Якоби, достаточно близких к его значению в точке L2,
Конли с помощью линеаризации вблизи точки равновесия нашел транзитные
орбиты. Цель данной статьи состоит в том, чтобы разработать метод доказа¬
тельства существования транзитных орбит для значений константы Якоби, да¬
леких от равновесия. Метод основан на вариационном принципе Мопертюи, но
оказывается, что и здесь изолирующие блоки играют важную роль.
1. Ограниченная задача трех тел
Статья состоит из четырех параграфов. В первом параграфе выпи¬
сываются уравнения движения для плоской круговой ограниченной зада¬
чи трех тел. Кроме того, описываются изолирующие блоки, используе¬
мые Конли [3], которые применяются для того, чтобы определить понятие
1 Moeckel R., A variational proof of existence of transit orbits in the restricted three-body
problem, Dynamical Systems, 2005. vol. 20, pp. 45-58.
Вариационное доказательство
61
транзитной орбиты. Во втором параграфе объясняется классический вари¬
ационный принцип Мопертюи и приводятся соображения о том, что тран¬
зитные орбиты могут быть найдены как минимизирующие кривые для это¬
го принципа среди кривых, пересекающих прямоугольник. В третьем па¬
раграфе показано, как можно использовать изолирующие блоки для того,
чтобы показать, что вариационные минимизирующие кривые действитель¬
но являются классическими решениями задачи. Наконец, в четвертом па¬
раграфе (с помощью некоторых численных расчетов) проверяются предпо¬
ложения теоремы существования для двух различных выборов отношений
масс и константы Якоби.
1.1. Уравнения движения
Ограниченная задача трех тел описывает движение малой массы под
влиянием гравитационных сил двух больших масс, называемых планетами.
Предполагается, что планеты, которые имеют массы т\ = 1 — р и Ш2 =
= р, движутся по круговым орбитам задачи двух тел, без влияния третьей
массы. В равномерно вращающейся системе координат планеты остаются
на оси х в положениях q\ = (—/i, 0) и — (1 — р-,0). Пусть (ж, у) G М2
и (tt, v) G М2 означают векторы положения и скорости третьей массы от¬
носительно вращающейся системы координат. Тогда, если планеты враща¬
ются против часовой стрелки с единичной угловой скоростью, уравнения
движения будут иметь вид
и г 1з = а/(х + р)2 + у2, Г2з = у/(х + р - I)2 + у2 — расстояния до планет.
Функция V — это ньютонов потенциал с дополнительным членом, пред¬
ставляющим центробежную силу, возникающую вследствие вращения си¬
стемы координат.
Уравнения (1.1) — это уравнения Эйлера-Лагранжа функционала дей¬
ствия:
где 7(t) = (x(t),y(t)) — это параметризованная кривая на плоскости.
х = и,
У = v
й = Vx + 2v,
v — Vy — 2и,
(i.i)
где
(1.2)
to
L(x,y,u,v) = £(u2 + v2) +V(x,y) + (xv - yu),
62
Р. МЁКЕЛЬ
1.2. Многообразия энергии и области Хилла
Интеграл Якоби
H(x,y,u,v) = l(u2 + v2) -V{x,y)
является константой движения для уравнений (1.1). Для любой константы
h < 0 пусть
M(h) = {(x,y,u,v) G R4 : H(x,y,u,v) = h},
H(h) = {(x,y) G R2 : 3(?х,г;) G R2, H(x,y,u,v) = h}.
Константа h будет называться энергией, a M(h) будет называться много¬
образием (постоянной) энергии. Его проекция 7i(h) на конфигурационное
пространство является соответствующей областью Хилла.
Для точек из M(h) выполнено У(х,у) + h = \{и2 + v2) ^ 0. Действи¬
тельно, это неравенство характеризует область Хилла и поэтому
H(h) = {(х,у) ем2 :V(x,y) > -h}.
Области Хилла могут быть наглядно представлены с помощью линий
уровня функции V(x, у) (см. рис. 1). Затемненная область представляет зна¬
чение h, типичное для рассматриваемых ниже значений.
1.3. Лагранжева точка L2
Критические точки функции V(x,y) называются лагранжевыми точ¬
ками. Они определяют точки равновесия системы дифференциальных урав¬
нений во вращающихся координатах. В невращающихся координатах они
определяют периодические решения, для которых конфигурация вращается
жестко, с постоянной скоростью. Существует пять известных критических
точек, каждая из которых изображена на рисунке 1. Точки и L$ соот¬
ветствуют равносторонней треугольной конфигурации. Другие три крити¬
ческие точки лежат на оси ж и, таким образом, представляют центральные
конфигурации. Они являются критическими точками коллинеарного потен¬
циала V(x, 0).
Оказывается, что V(x, 0) является выпуклой функцией с единственной
критической точкой на каждом из интервалов (—оо, — р), (—р, 1 — /х), (1 —
— р, оо). Данная статья главным образом относится к окрестности точки L2,
коллинеарной лагранжевой точке, которая лежит между планетами. Пусть
х G (—/х, 1 — р) — это х-координата точки L2, и пусть ее энергия равна
Вариационное доказательство
63
Рис. 1. Области Хилла и лагранжевы точки для плоской ограниченной задачи трех
тел, где ц = Затемненная область — это область Хилла для значения энергии
h = -1.8
Н(х, 0,0,0) = — F(x,0) = h. «Многообразие» критической энергии M(h)
в действительности не является многообразием вблизи критической точки.
Однако близкие многообразия M(h), h > h, являются некритическими. За¬
темненная область Хилла на рисунке 1 соответствует такому значению h.
Конечно, такие близкие многообразия не содержат точку равновесия. Вме¬
сто этого они могут содержать орбиты, которые остаются на протяжении
всего времени вблизи L2, но не являются равновесиями.
Для малых h — h > 0 можно исследовать эту задачу локальными ме¬
тодами. Сначала рассмотрим линеаризацию дифференциальных уравнений
в окрестности равновесия. Линеаризованная (4 х 4)-система имеет матри¬
цу А, которая всегда имеет два вещественных собственных значения и два
чисто мнимых собственных значения. Другими словами, точка равновесия
является точкой типа седло-центр. По теореме о центральном многообра¬
зии отсюда следует, что каждое из многообразий ЛЛ{К) содержит гипер¬
болическую периодическую орбиту вблизи L2 для достаточно малых h —
— h > 0. Когда h — h > 0 становится больше, непонятно, что происходит
с периодической орбитой.
64
Р. МЁКЕЛЬ
1.4. Изолирующие блоки и транзитные орбиты
В работе [3] Конли исследовал локальную динамику вблизи 1/2, ис¬
пользуя изолирующие блоки. Он рассматривал в областях Хилла H(h)
окрестность точки L2 вида а < х < 6, где — р <a<x<b<l — р.
Такая окрестность ТЦа, 6) может рассматриваться как «туннель» между
двумя лепестками области Хилла, как показано на рисунке 2.
Прообраз множества ХЦа, Ъ) в A4(h) обозначим через Вь(а, Ъ). Конли
показал, что по крайней мере для достаточно малых h — h множества В^ —
это многообразия с границей, которые являются выпуклыми к потоку. Это
означает, что любая орбита, которая входит в одно из граничных многообра¬
зий, где х — а или х = Ь, по касательной, должна лежать вне множества В^
и до, и после входа. В последующей работе, совместной с Истоном, такие
подмногообразия были названы изолирующими блоками, а максимальные
инвариантные множества внутри них были названы изолированными ин¬
вариантными множествами [4-6]. Условие выпуклости гарантирует, что
граничные точки блока не являются частью максимального инвариантного
множества в блоке, поэтому инвариантное множество содержится во внут¬
ренности блока.
Рис. 2. Туннели Т/г(а, Ь) для р = и значения энергии h = —1.8. Для построения
изолирующего блока можно взять пару отрезков, составленную из любого из ука¬
занных отрезков прямой х = а слева от начала координат и любого отрезка х = b
справа
Легко сформулировать условие того, что блок В^ является изолиру¬
ющим, в терминах вторых производных. Нужно потребовать, чтобы для
любой орбиты, такой, что х = а и х = 0, было выполнено х < 0; анало¬
Вариационное доказательство
65
гично, всякий раз, когда х = 6 и х = 0, должно быть выполнено х > 0.
Здесь
х = 14,
ж = й = 14 + 2гд
Таким образом, условие того, что блок является изолирующим, накладыва¬
емое на правую границу, приводит к тому, что надо показать, что Vx > — 2v
для каждой точки (6, у, 0,v) £ A4(h) (заметим: Конли предполагал враще¬
ние планет по часовой стрелке, поэтому в его формулах есть некоторые
отличия в знаках). Из выпуклости V(x,Q) следует, что 14(6,0) > 0. Далее,
из равенства Н — h следует, что v2 ^ 2(V + h). Таким образом, достаточно
показать, что неравенство
Vz(x,y)>8(V(x,y) + h) (1.3)
выполнено для всех точек (ж, у) £ 7ih, где х — Ь. Аналогичные рассужде¬
ния, проведенные для точки х = а, приводят к такому же неравенству.
Неравенство (1.3) для малых h — h > 0 может быть проверено с по¬
мощью разложения в ряд Тейлора в окрестности L2. Это — один из ре¬
зультатов Конли [3]. Можно также попытаться проанализировать неравен¬
ство (1.3) для более широкого множества значений а, 6, h. В некоторых
случаях это можно сделать, но это неравенство является достаточно слож¬
ным, поэтому приходится производить некоторые вычисления с помощью
компьютера. Затемненная область на рисунке 2 показывает ту часть обла¬
сти Хилла, где неравенство (1.3) нарушается. Любой вертикальный отрезок
прямой в дополнении к этой области будет удовлетворять условию выпук¬
лости и поэтому может быть использован в качестве стены изолирующего
блока.
Существование изолирующего блока В = Bh(a,b) позволяет дать
полную классификацию возможных поведений орбит в туннеле 7/Да, 6).
Пусть фг — это поток. Определим подмножества
S = {р : фь(р) € B,t£ R},
S+ = {р ■■ 4>t(p) е B,t^ 0},
S~ - {р : фг(р) е B,t^ 0}.
Множество S = S' П S~ — это максимальное инвариантное множество
в блоке, 5* — это его устойчивое и неустойчивое множества. Орбиты в до¬
полнении В \ (S+ U S~) должны покидать блок и в прямом, и в обратном
66
Р. МЁКЕЛЬ
времени. Они могут быть классифицированы в соответствии с тем, какую
стену — х = а или х = b — они пересекают при входе и выходе. Пусть Uab —
это орбиты (если таковые существуют), которые входят через стену х — а
и выходят через х = Ь. Определим Uaa,Uba и Щь аналогичным образом.
Из выпуклости к потоку следует, что каждое из этих множеств открыто,
а множества s, s± замкнуты. Кроме того, они инвариантны относительно
непрерывных сдвигов стен, сохраняющих условие того, что блок является
изолирующим.
Открытые множества Uaa и Ubb всегда непусты, поскольку вблизи лю¬
бой орбиты, которая входит в стену х — а или х — b по касательной, су¬
ществует орбита, которая пересекает стену и затем сразу же выходит через
ту же стену. Однако показать, что множества транзитных орбит иаь и С/^
непусты, не так легко, хотя такие орбиты могут быть найдены численно
(см. рис. 3). Цель данной статьи состоит в том, чтобы разработать метод
доказательства того, что они существуют.
Хотя эта статья посвящена транзитным орбитам, множества 5, 5+,
S~ также представляют интерес. Для малых h — h > 0 множество S со¬
стоит из единственной орбиты — гиперболической периодической орбиты,
упомянутой выше. Множества 5+, S~ — это ее устойчивое и неустойчивое
многообразия. Они являются двумерными подмногообразиями трехмерного
многообразия энергии Л4(Н). Для больших значений энергии природа этих
множеств не ясна. Тем не менее, используя теорию индексов Конли, можно
показать, что S всегда будет непустым компактным инвариантным множе¬
ством и что 5+,5“ имеют топологическую размерность два и разделяют
многообразие энергии.
Одной из мотиваций для этой статьи послужила теорема Истона,
в которой существование транзитных орбит используется для получения
некоторой топологической информации о множестве S. Он показал, что
если все четыре множества Uij непусты, то группа когомологий Чеха
Нг(3) ф 0, поэтому по крайней мере инвариантное множество имеет
что-либо подобное окружности [6]. Для трехмерной ограниченной зада¬
чи трех тел может быть построен аналогичный изолирующий блок. Для
достаточно малых h — h > 0 инвариантное множество теперь являет¬
ся нормально гиперболической инвариантной трехмерной сферой. В этом
случае теорема Истона показывает, что для больших значений энергии
из существования изолирующих блоков и транзитных орбит следует, что
H3(S) ф 0. Этот факт будет следовать из доказательства существования
транзитных орбит, приведенного ниже, поскольку транзитные орбиты для
плоской задачи являются также транзитными орбитами для трехмерной
задачи.
Вариационное доказательство
67
-0.4
-0.2
0.4
0.2
0
-1
-0.5
-0.1 0 0.1
0.5
1
Рис. 3. Изолирующий блок для fji = I ц h — —1.8. Здесь изображены возможные пе¬
риодические орбиты из инвариантного множества S, две орбиты, иллюстрирующие
свойство выпуклости на граничных отрезках, и транзитная орбита
2. Некоторые вариационные теоремы существования
В этом параграфе представлена классическая вариационная теорема
существования, которая применяется, в частности, к ограниченной задаче
трех тел.
2.1. Вариационный принцип Мопертюи
Как упомянуто выше, дифференциальные уравнения ограниченной за¬
дачи трех тел являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для функционала
действия I из (1.2). Для построения транзитных орбит необходимо огра¬
ничиться рассмотрением уровня фиксированной энергии Н(х, у, и, v) = h.
Решения на этом уровне энергии — это стационарные кривые другого функ¬
ционала действия:
где на этот раз требуется, чтобы кривая j(t) = (x(t),y(t)) лежала в области
Хилла H(h) = {(х.у) 6 12 : V(x, у) h ^ 0}. Значение функционала J
инвариантно относительно замены параметра кривой 7. Каждая стационар¬
ная кривая функционала I является стационарной кривой для J, однако
(2.4)
to
F(x, у, и, v) = y/2(V(х, у) + К) л/и2 + v2 + (xv — уи)
68
Р. МЁКЕЛЬ
всякая стационарная кривая функционала J является стационарной для I
только тогда, когда она параметризована так, что Н — h. Тем не менее, при
исследовании J может быть использовано любое удобное соглашение о па¬
раметризации. Например, можно полагать, что промежуток времени есть
Mi] = [0,1].
2.2. Классические результаты о параметрических задачах
Существует хорошо развитая классическая теория «параметрических»
вариационых задач вида (2.4). Пусть U С М2 — открытое множество. Функ¬
ция F(x,y,u,v) будет называться параметрическим интегрантом на U,
если она является С3-функцией на С/х (R2 \0), положительно однородной
первой степени относительно (и, у), то есть
F(x, у, ku, kv) = kF(x, у, и, у)
для любого вещественного числа к > 0. Это условие гарантирует, что соот¬
ветствующий функционал инвариантен относительно замен параметра кри¬
вой, сохраняющих ориентацию. Дифференцируя соотношение однородно¬
сти по к при к — 1, получим uFu + vFv — F. Дифференцируя далее это
равенство по и и по у, получим
'U'Fuu “Ь vFuv — uFuv И- vFvv — 0.
Отсюда вытекает равенство следующих трех отношений (там, где они опре¬
делены):
Fuu Fvv Fuv
Обозначим при и2 + у2 ф 0 через F\(x,y,u,v) их общее значение. К при¬
меру, если F — это интегрант из (2.4), то
^ y/2(V(x,y)+h)
Fi (х, у, и, V) = . (2.5)
('и2 + V2) 2
Следующий результат можно найти в [2, гл. VII]
Теорема 1. Предположим, что F — параметрический интегрант
на U и R С U — компактное, выпуклое подмножество, такое, что
F(x, у, и, v) > 0, Fi (ж, у, и, v) > 0
Вариационное доказательство
69
на R х (М2 \ 0). Тогда для двух заданных точек Р, Q Е R функционал
достигает абсолютного минимума на множестве JC спрямляемых кривых
в R, соединяющих Р и Q.
Необходимо сделать некоторые замечания о спрямляемых кривых
и об интерпретации интеграла; более подробно см. [2, 7]. Пусть ^(t) =
= (х(t),y(t)) означает непрерывную кривую. Расстояние d(7,7') между
непрерывными параметризованными кривыми, определенными на общем
промежутке [to,t\], будет обычным равномерным расстоянием в М2. Ес¬
ли h : [Ь'0,Ь[] —► [to,ti] — это сохраняющий ориентацию гомеоморфизм,
то будем говорить, что кривая ^'(t) = 7(h(t)) эквивалентна 7. В об¬
щем случае, две непрерывные кривые 7,7' называются эквивалентными,
если существует последовательность таких замен параметра hn(t), что
d{j{hn(t)), j'(t)) —> 0. Класс эквивалентости может рассматриваться как
непараметризованная кривая. Длина параметризованной кривой определя¬
ется обычным образом как супремум длин аппроксимирующих ломаных
по всем разбиениям отрезка [to,ti]. Длины эквивалентных кривых равны,
поэтому длина непараметризованной кривой корректно определена. Кри¬
вая является спрямляемой, если она имеет конечную длину. Расстояние
между непараметризованными кривыми определяется как инфимум рас¬
стояний d(j,7') по всем параметризованным представителям двух кривых.
Если 7(£) = (рс(t),y(t)) — это какая-нибудь параметризация спрямляемой
кривой, то функции x(t),y(t) — это функции ограниченной вариации, и,
следовательно, они являются дифференцируемыми для почти всех t Е [0,1].
Если эти функции не имеют более высокий порядок регулярности, то инте¬
грал (2.6) должен интерпретироваться как интеграл Вейерштрасса. В силу
положительной однородности функции F значение этого интеграла не зави¬
сит от выбора параметризации. Но любая спрямляемая кривая может быть
перепараметризована с помощью длины дуги (или с помощью константы,
умноженной на длину дуги, чтобы промежуток времени был равен [0,1]).
Если это сделано, то функции x(t),y(t) являются липшицевыми, поэтому
их производные x(t), y(t) будут принадлежать LqoQO, 1]). Тогда (2.6) может
интерпретироваться как интеграл Лебега.
Опишем идею доказательства теоремы 1. Поскольку F ^ а > 0 для
некоторой константы а > 0, то функционал удовлетворяет неравенству
1
(2.6)
о
70
Р. МЁКЕЛЬ
J(7) ^ aL(7), где L означает длину спрямляемой кривой. Пусть ц =
= inf7G/c J(7) > 0. Тогда можно ограничиться рассмотрением множества
/СА спрямляемых кривых, соединяющих Р и Q, длина которых не превосхо¬
дит А = (/i+1)/а. По теореме Гильберта, это множество кривых компактно
в метрике, описанной выше. Предположение F\ ^ 0 может быть использо¬
вано для того, чтобы показать, что J определяет полунепрерывную снизу
функцию на этом пространстве кривых. Отсюда непосредственно следует
существование минимизирующей кривой.
Регулярность минимизирующей кривой 7 G /С также доказывается
в классической литературе. Она основывается на локально минимизирую¬
щих свойствах классических решений. Следующий результат принадлежит
Вейерштрассу [2, разд. 28е]:
Теорема 2. В предположениях теоремы 1 существуют константы
9, до > 0, такие, что любые две точки P,Q £ R, удовлетворяющие усло¬
вию \Р — Q\ < 5о, соединяются единственным классическим решением,
длина которого меньше, чем д. Кроме того, это решение минимизирует
функционал J среди всех спрямляемых кривых, соединяющих Р и Q, кото¬
рые остаются в д-окрестности Rq точки R.
Это приводит к следующему результату о минимизирующей кривой
7 [2, гл. VII]:
Теорема 3. Пусть 7(£),0 ^ t ^ 1, — минимизирующая спрямляемая
кривая, такая, как в теореме 1. Тогда 7 не имеет самопересечений. Кроме
того, если I С [0,1] — открытый интервал, такой, что j(t) содержится
во внутренности множества R для всех t Е I, то 7|/ — это С2-решение
уравнений Эйлера-Лагранжа.
Положительность функции F исключает самопересечения, посколь¬
ку часть кривой, расположенная между пересечениями, могла бы быть
удалена, чтобы доставить функционалу J меньшее значение. Для дока¬
зательства второго утверждения используется теорема 2. Любые две до¬
статочно близкие точки кривой 7, которые лежат во внутренности множе¬
ства R, будут соединяться единственным минимизирующим классическим
решением-кривой, лежащим во внутренности Д, и эта кривая должна сов¬
падать с сегментом кривой 7 между этими точками, поскольку 7 — мини¬
мизирующая кривая.
2.3. Применение к ограниченной задаче трех тел
Чтобы применить эту теорему к ограниченной задаче трех тел, необ¬
ходимо избегать попадания на границу области Хилла. Пусть U — внут¬
Вариационное доказательство
71
ренность множества 'H.(h), и пусть R С U — прямоугольная область (см.
рис. 4). Очевидно, F является С3-функцией, положительно однородной по
(щ v) на U х (R2 \ 0) и из (2.5) следует, что F\ > 0.
После небольшой модификации функционала условие положительно¬
сти F > 0 будет выполнено, если прямоугольник R не очень большой.
Чтобы убедиться в этом, сначала выберем константы c(R),C(R) такими,
что
0 < с(Д) < y/2(V(x,y) + h) < C(R) (2.7)
для всех (х, у) Е R. Тогда первый член функции F равен как мини¬
мум c(R)y/u2 + v2. Далее, пусть (а, (3) означает центр прямоугольника R
и fci, fc2 — половина ширины и половина высоты соответственно. Если вто¬
рой член xv — уи в F заменяется на (х — a)v — {у — /3)и, то «/(7) изменится
только на константу, не зависящую от 7, а значение F\ не изменится. По¬
этому после переноса координат можно без ограничения общности считать,
что (а,/3) = (0,0). Тогда, поскольку xv — уи — (ж,у) • (г;, —и), из неравен¬
ства Коши следует
F(x,y,u, v) > (c(R) - у/х2 + у2^ у/и2 + V2.
Если прямоугольник выбран так, что
c(R) > Jkf + kl (2.8)
то требуемое условие F > 0 будет выполнено в R х (R2 \ 0).
Применяя теорему 1 и теорему 3 для случая ограниченной задачи трех
тел, получаем следующую теорему.
Теорема 4. Пусть R — прямоугольник, расположенный во внутрен¬
ности области Хилла TL(h), такой, что выполняется неравенство (2.8).
Пусть P,Q £ R, и пусть К, — множество спрямляемых кривых в R, со¬
единяющих Р и Q. Тогда существует кривая 7(£), 0 < t < 1, в 1C, которая
минимизирует J на множестве 1C. Кроме того, на любом открытом ин¬
тервале I С [0,1], таком, что 7(t) содержится во внутренности множе¬
ства R, кривая 7(t) является классическим решением ограниченной задачи
трех тел.
3. Существование транзитных орбит
Зафиксируем значение h и константы а, Ъ так, что В^(а, Ъ) — это изо¬
лирующий блок. Теорема 4 будет применена к прямоугольнику вида R =
= [а, Ъ] х [—с, с], где точки Р, Q выбраны на левой и правой сторонах. Тогда
72
Р. МЁКЕЛЬ
любое классическое решение, соединяющее Р и Q в R, будет транзитной
орбитой. По теореме 4, минимизирующая кривая 7(t) будет таким реше¬
нием, при условии что она лежит во внутренности прямоугольника R (за
исключением ее концов Р и Q). Чтобы обеспечить это, необходимо нало¬
жить дополнительные условия на R.
3.1. Направленная выпуклость к потоку
Константа с > 0 будет выбрана такой, что нижняя сторона прямоуголь¬
ника R будет выпуклой к потоку для решений, движущихся слева направо,
а верхняя сторона будет выпуклой для решений, движущихся справа нале¬
во. Более строго, требуемое условие на нижнюю сторону состоит в том, что
для любого решения с энергией h, такого, что а ^ х ^ Ъ, у = —с, у = О
и х > 0, выполнено у < 0. Тогда, поскольку у = Vy — 2и и и = х > 0,
достаточно проверить, что неравенство
Vy2(x, у) < 4u2 = 8(V(x, у) + h) (3.9)
выполняется вдоль нижней стороны прямоугольника R. Аналогичные рас¬
суждения для верхней границы приводят к тому же неравенству. Область
в форме лимона на рисунке 4 показывает часть области Хилла, где требу¬
емое неравенство выполняется. Прямоугольник R, удовлетворяющий всем
требуемым условиям выпуклости, также указан.
Условия выпуклости на границу прямоугольника R будут удерживать
минимизирующую кривую от пересечения трех из четырех граничных от¬
резков, как показывает следующая лемма.
Лемма 1. Пусть R выбран так, что выполнено (2.8), и так, что
левая и правая стороны являются выпуклыми к потоку и нижняя граница
является выпуклой к потоку для орбит, движущихся слева направо. Если Р
и Q выбраны на левой и правой сторонах соответственно, то минимизиру¬
ющая кривая 7(Ь), построенная по теореме 4, не пересекает левую, правую
и нижнюю стороны прямоугольника R.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим, например, правую сторону Е, где
х = Ъ. Допустим, что Р\ = 7(^1) и ?2 = 7(^2), ^1 < — точки пере¬
сечения минимизирующей кривой с Е. Из выпуклости к потоку следует,
что если точки Pi,P2 находятся достаточно близко, то они соединены ре¬
шением уравнений Эйлера-Лагранжа, которое лежит строго слева от Е.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что выпуклость к потоку имеет место
для отрезков близкой прямой Ef = {х = 6'}, где Ъ — Ь' достаточно ма¬
ло. Любая пара достаточно близких точек в R соединена малой кривой-
Вариационное доказательство
73
Рис. 4. Прямоугольник, выпуклый к потоку для fjL = = —1.8. Левая и правая
стороны выбраны из изолирующего блока; верхняя и нижняя стороны являются
лишь направленно выпуклыми к потоку
решением. Если бы решение, соединяющее заданные точки Pi и Р2, не
лежало строго внутри R, оно должно было бы касаться с левой стороны
отрезка некоторой прямой Е’\ получаем противоречие. По теореме 2, эти
малые соединяющие кривые доставляют минимальное возможное значение
функционалу J среди всех кривых в R, соединяющих Р\ с Р2 (в действи¬
тельности, даже в Rq D R), и поэтому они должны совпадать с кривой
7(£),£i ^t^t2. Поскольку 7 не имеет самопересечений, отсюда следует,
что не существует других точек пересечения 7 и Е между Pi и Сле¬
довательно, пересечение 7 и Е может состоять только из изолированных
точек. Теперь допустим, что Ро = 7(^0) — это изолированная точка пере¬
сечения, где 0 < to < 1. Пусть Е’ означает близкий вертикальный отрезок
прямой х = bf в R, где Ь' < Ъ. Если b — Ь' достаточно мало, то кривая 7
должна содержать две близкие точки пересечения Р[, Р^ с Е'. Но Е' также
является выпуклой к потоку, поэтому из аналогичных рассуждений долж¬
но вытекать то, что минимизирующая кривая должна лежать слева от Ef.
Поскольку Ро лежит справа от Е\ получаем противоречие. Отсюда следу¬
74
Р. МЁКЕЛЬ
ет, что 7(£),0 < t < 1, вообще не имеет пересечений с Е. Аналогичные
рассуждения применяются для левой стороны.
Пусть теперь Е означает нижнюю сторону. Выпуклость к потоку
для решений, проходящих слева направо, означает, что для любых двух
достаточно близких точек на этой стороне решение уравнений Эйлера-
Лагранжа от левой точки до правой точки лежит выше Е. Если теперь Pi =
= 7(^1), Р2 = 7(^2), £1 < ^2, — это пересечения с нижней стороной, то точка
Pi должна лежать слева от точки Р2. В противном случае сегмент кривой
7(£), 0 < t < t\, отделял бы точку Р2 от конечной точки Q, откуда следо¬
вало бы, что 7 имеет самопересечения. Как и выше, отсюда следует, что
пересечения 7 с нижней стороной являются изолированными. Но вблизи
любого изолированного пересечения можно найти пересечения Р[, Р2 с от¬
резком близкой горизонтальной прямой, и они также должны быть упоря¬
дочены слева направо. Поскольку этот близкий отрезок прямой также обла¬
дает свойством выпуклости, это приводит к противоречию. Следовательно,
не может быть пересечений 7 с Е, и доказательство на этом завершено. □
Аналогичный результат имеет место для минимизирующих кривых,
движущихся справа налево. Если Р находится на правой стороне, то Q — на
левой стороне, и если верхняя граница является выпуклой к потоку для ре¬
шений, движущихся справа налево, то минимизирующая кривая, соединя¬
ющая Р и Q в R, не может пересекать левую, правую и верхнюю стороны.
Условия выпуклости на границе, включая направленную выпуклость,
использовались в вариационном исчислении на протяжении многих лет [ 1,
9, 11]. Интересно, что те же самые условия возникают по топологическим
причинам в теории изолирующих блоков.
3.2. Теорема существования для транзитных орбит
Остается только удержать минимизирующую кривую j(t) от пересе¬
чения с четвертой стороной прямоугольника R. Рассмотрим случай, когда
Р лежит на левой стороне, a Q — на правой. Зафиксируем точки Р и Q.
Пусть v(P,Q) = inf*; </(7) — это инфимум функционала J на множестве
/С спрямляемых кривых, соединяющих Р и Q в R, и пусть щ(P,Q) =
= infxio J(7) — это инфимум на подмножестве /Со С /С кривых без само¬
пересечений, которые пересекаются с верхней границей прямоугольника.
Очевидно, неравенства
v(P,Q)<v0(P,Q) (3.10)
достаточно для того, чтобы показать, что минимизирующая кривая j(t) в )С
не пересекает верхнюю сторону. Объединяя его с теоремой 4 и леммой 1,
получаем следующую теорему.
Вариационное доказательство
75
Теорема 5. Пусть R выбрано так, что выполнено неравенство (2.8),
левая и правая стороны являются выпуклыми к потоку и нижняя граница
является выпуклой к потоку для орбит, движущихся слева направо. Если
Р и Q выбраны на левой и правой сторонах соответственно, а кроме
того, выполнено неравенство (3.10), то существует транзитная орбита,
соединяющая Р и Q в R.
Естественно, аналогичный результат имеет место, когда Р лежит на
правой, a Q — на левой стороне. Транзитная орбита в другом направле¬
нии также может быть получена из симметрии. Действительно, легко убе¬
диться в том, что если классическое решение отразить относительно оси х
и изменить направление времени на противоположное, то получится другое
решение.
4. Примеры
В этом параграфе (при помощи некоторых численных расчетов) пока¬
зано существование транзитных орбит для двух частных случаев отноше¬
ния масс р и энергии h. Будут найдены прямоугольник R и точки Р, Q,
которые удовлетворяют всем условиям теоремы 5.
4.1. Равные планеты
Простейший случай отношения масс — это р = Тогда ньютонов
потенциал
V{x,y) = 1. + - 1 -
2v {х+\)2 + У2 2у(х - \)2 +У2
является четной функцией по обеим переменным х и у. Лагранжева точ¬
ка L2 находится в начале координат, и критический уровень энергии равен
#(0,0, 0,0) = — У(0,0) = —2. Когда энергия равна h = —1.8, отрезки, где
х = ±0.1, определяют изолирующий блок. Верхняя и нижняя границы пря¬
моугольника у = ±с должны быть выбраны такими, чтобы выполнялось
неравенство (3.9). Поскольку Vy(x,0) = 0, то это неравенство очевидно
выполняется для всех достаточно малых с, но для того чтобы проверить
неравенство (3.10), необходимо использовать прямоугольник, для которого
отношение ширины к высоте k/h не очень мало. Выбор числа с = 0.15
является простым и близким к максимально возможному, основанному на
численных расчетах. Таким образом, будем использовать прямоугольник
76
Р. МЁКЕЛЬ
R = [—0.1,0.1] x [—0.15,0.15]. Это — затемненный прямоугольник на ри¬
сунке 4.
Максимум и минимум функции V(x, у) достигается в точках (±0.1, 0)
и (0, ±0.15) соответственно. Поэтому константы с(Д) и C(R) задаются как
c(R) = V2(V(0,0.15) - 1.8) > 0.503,
C{R) = \/2(У(0.1,0) - 1.8) < 0.76.
Неравенство (2.8) принимает вид
0.503 > >/00325 «0.181.
Остается только проверить неравенство (3.10). Для этих целей будет
удобно модифицировать функционал J(7), изменив путь интегрирования
для члена xv — у и так, чтобы он включал заданный путь 7 от Р до Q, а за¬
тем следовал по правой, нижней и левой сторонам прямоугольника, чтобы
получился замкнутый контур с началом и с концом в точке Р. Поскольку
дополнительная часть пути не зависит от 7, то функционал J изменится
лишь на некоторое постоянное слагаемое. Если через J7 обозначить этот
новый функционал, то
1
J'b) = J y/2(V(x,y) + h) у/х2 +у2 dt - 2,4(7),
О
где А(7) ^ 0 — это площадь области, расположенной ниже 7 в R (в пред¬
положении, что путь не имеет самопересечений). Покажем, что г/ < £/q, где
г/, Vq — это инфимумы функционала J' на /С, /Со-
Пусть 7i(t) — путь по прямой линии от Р до Q, и пусть Ао(Р, Q) —
площадь области, расположенной ниже этого пути в R. Тогда
i/(P, Q) < J'bi) < С(Р)|Р - Q\ - А0(Р, О),
где |Р — Q\ означает евклидово расстояние. Например, если Р и Q — это
нижние левый и правый углы прямоугольника Р, то ^(Р, Q) ^ 2C(R)h <
< 0.152. (Этой довольно грубой оценки будет достаточно, более точное
значение есть ^'(Р, Q) ~ 0.109.)
Чтобы оценить щ (Р, Q) снизу, заметим, что
J,(7)^c(B)L(7)-8feife2,
Вариационное доказательство
77
поскольку Акгк2 дает площадь всего прямоугольника. Минимальное значе¬
ние L(7) для пути в /Со равно длине пути луча света от Р до Q, который
отражается от верхней стороны R. Его можно записать как \Р—Qf\, где Q' —
это отражение точки Q относительно прямой, проходящей через верхнюю
границу. Таким образом,
i'o(P) Q) > c(R)\P - Q'\ - Ък\к2- (4.11)
Например, если Р и Q — это нижние левый и правый углы прямоугольни¬
ка R, то Vq(P, Q) ^ 2c(R)\Jk\ + АЩ — &к\к2 > 0.198. Таким образом, для
нижних углов прямоугольника выполнено
v\P, Q) < 0.152 < 0.198 < ^(Р, Q)
и, следовательно, v(P,Q) < щ (P,Q). В силу непрерывности функций, ис¬
пользуемых как границы, это неравенство продолжает сохраняться для всех
точек, достаточно близких к нижней стороне прямоугольника. Таким об¬
разом, существуют транзитные орбиты, соединяющие любые такие пары
точек.
4.2. Лунный случай
Пусть теперь у — -у. Этот случай аппроксимирует относительные мас¬
сы Земли и Луны. На этот раз области Хилла не являются симметричными
(см. рис. 5). Существует большой лепесток вблизи Земли и малый лепе¬
сток вблизи Луны. Лагранжева точка Ь2 теперь расположена в (х,0), где
х ^ 0.836 и критическое значение энергии равно h ^ —1.59507. Покажем,
что транзитные орбиты существуют для значения энергии h = —1.587.
Пусть R = [0.798,0.864] х [—0.039,0.039]. Границы выбираются так,
чтобы выполнялись условия выпуклости. На рисунке 6 изображен прямо¬
угольник вместе с граничными кривыми областей, где выполняются нера¬
венства выпуклости. Левая и правая стороны х = а, b должны быть вы¬
браны вне кривой, имеющей форму почки, так чтобы Вн{а, Ъ) являлся изо¬
лирующим блоком. Очевидно, это так, если [а, Ъ] = [0.798,0.864]. Верхняя
и нижняя стороны должны быть выбраны внутри другой кривой на рисун¬
ке, для того чтобы выполнялось требуемое условие направленной выпук¬
лости.
Максимум функции V(x,y) на R достигается при (0.798,0), а мини¬
мум достигается на верхней и нижней сторонах в точках, положение ко¬
торых оценивается численно. Таким образом, можно получить численные
оценки
0.0992 < c(R) < 0.0993,
C(R) > 0.174.
78
Р. МЁКЕЛЬ
1
0.5
0
-0.5
-1
Рис. 5. Области Хилла и лагранжевы точки для плоской ограниченной задачи трех
тел, где /х = gy. Затемненная область — это область Хилла для (значения) энергии
h = —1.587
Половина ширины и половина высоты прямоугольника R равны к\ =0.033
и &2 — 0.039. Неравенство (2.8) выполняется (после переноса координат
в центр прямоугольника), поскольку 0.0992 > ~ 0-052.
Доказательство неравенства (3.10) на этот раз требует больших уси¬
лий, и необходимы более тонкие оценки функционалов действий. Пусть
так же, как и в предыдущем случае, P,Q — нижние углы прямоугольника.
Заменим функционал J на J'. Используя путь по прямой, можно найти
ъ
v'{P,Q) ^ J'(li) = J V2(V(x, -0.039) - 1.587) dx < 0.0078,
а
где для получения последнего неравенства было использовано численное
оценивание определенного интеграла.
С другой стороны, грубая оценка (4.11) дает приблизительно 0.0065,
а этого не достаточно. Проблема заключается в том, что минимальное зна¬
чение c(R) дает слишком малую оценку для у/2(V(x,y) + К). Чтобы полу¬
чить лучшую оценку, разделим прямоугольник на три горизонтальные по-
Литература
79
Рис. 6. Прямоугольник, выпуклый к потоку для (1 = Т-, h = —1.587
лосы R\ = [а, 5] х [-0.039, —0.02], R2 = [а, 5] х [-0.02,0.02] и R3 = [а, 5] х
х [0.02,0.039]. На средней полосе минимум функции y/2(V(x, у) + h) на¬
ходится численно, он удовлетворяет неравенству С2 > 0.12. Пусть J"(7) =
= /q1 /(#> у)\/х2 + 2/2 ^ — А:2, где f(x,y) имеет постоянное значение
с(Р) в прямоугольниках Pi и Р3 и значение С2 в прямоугольнике #2- Те¬
перь минимум интеграла в J/;(7) вдоль путей от Р до Q, которые пере¬
секают верхнюю сторону прямоугольника, достигается вдоль пути 70 луча
света, который отражается от верхней стороны, а также подчиняется закону
преломления Снелла на границах между полосами. Несложно оценить этот
минимум численно. Можно найти, что v'q(P,Q) ^ J"(70) > 0.0083. Этого
достаточно, чтобы показать, что z/(P, Q) < v'0 (Р, Q), как это и требовалось.
Литература
[1] G. D. Birkhoff, Dynamical systems with two degrees of freedom, Trans.
Amer. Math. Soc., 18 (1917) 199-300.
[2] O. Bolza, Lectures on the calculus of variations, Haffher, New York
(1946).
[3] С. C. Conley, Low energy transit orbits in the restricted three-body
problem, SIAM J. Appl. Math., 16:4 (1968) 732-746.
80
Р. МЁКЕЛЬ
[4] С. С. Conley, Isolated invariant sets and the Morse index, CBMS Regional
Conference Series, 38, AMS (1978).
[5] С. C. Conley, R. W. Easton, Isolated invariant sets and isolating blocks,
Trans. AMS, 158:1 (1971) 35-60.
[6] R. W. Easton, Existence of invariant sets inside a submanifold convex to the
flow, JDE, 7 (1970) 54-68.
[7] G. M. Ewing, Calculus of variations with applications, Dover Publishing,
New York (1985).
[8] W. S. Koon et. al., Constructing a low energy transfer between Jovian
moons, in Celestial mechanics, contemporary mathematics, vol. 292, AMS
(2002) 129-146.
[9] A. Signorini, Esistenza di un ’estremale chiusa dentro un contorno di
Whittaker, Rend. Circ. Mat. Palermo, 33 (1912) 187-193.
[10] C. Simo et. al., Dynamics and mission design near libration points: Vol. I,
Ilf World Scientific (2001).
[11] E. T. Whittaker, On periodic orbits in the restricted problem of three bodies,
Monthly Not. Royal Astr. Soc., 62 (1901-02) 346-352.
[12] A. Wintner, The Analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton
Math. Series 5, Princeton University Press, Princeton, NJ (1941). (Cm.
также: Уинтнер А., Аналитические основы небесной механики. М.:
Наука, 1967.)
4
Доказательство гипотезы Саари для
задачи трех тел в Rd 1
Р. Мёкель
Известные центральные конфигурации задачи трех тел приводят к периоди¬
ческим решениям, в которых тела совершают твердотельное вращение вокруг
их центра масс. Для таких решений момент инерции тел относительно цен¬
тра масс, очевидно, является постоянным. Саари выдвинул предположение, что
такие твердотельные движения, названные решениями относительного равно¬
весия, являются единственными решениями с постоянным моментом инерции.
Этот результат будет доказан здесь для ньютоновой задачи трех тел в Rd с тре¬
мя положительными массами. При доказательстве используются методы вы¬
числительной алгебры и геометрии. Когда d ^ 3, твердотельные движения —
это плоские периодические решения, которые возникают из пяти центральных
конфигураций, но в случае d ^ 4 существуют другие возможности.
1. Введение
Известное свойство ньютоновой задачи п тел состоит в том, что центр
масс тел движется вдоль прямой с постоянной скоростью. Можно пред¬
полагать, произведя замену координат, что центр масс в действительности
не изменяется и остается в начале координат. После этого предположения
момент инерции относительно начала координат становится естественной
мерой величины конфигурации. Хорошо известные твердотельные враща¬
ющиеся периодические решения Лагранжа являются примерами решений
с постоянным моментом инерции. Саари предположил, что в действитель¬
ности они являются единственными такими решениями [11]. Цель настоя¬
щей статьи — доказать это утверждение для задачи трех тел в RA Соответ¬
ствующий результат для плоской задачи был представлен в [9].
]R. Moeckel, A proof of Saari’s conjecture for the three-body problem in Rd, Discrete Cont.
Dyn. Syst. Ser. В, 2008, vol. 1, no. 4, pp. 631-646.
82
Р. МЁКЕЛЬ
Задача трех тел рассматривает движение трех точечных масс га* > О,
г — 1,2,3, под действием их взаимного гравитационного притяжения.
Пусть Qi Е Rrf означают положения масс и ср Е Rd — их скорости. То¬
гда уравнения движения Ньютона имеют вид
mi(}i = Uqi, (1.1)
где
_ т\т2 тп\ш3 m2m3
П2 Пз + Г*23
— ньютонова потенциальная энергия, a Uq> — это d-мерный вектор, состав¬
ленный из частных производных по компонентам вектора д*. Здесь =
= \Qi — Qj\, i ф- Р- — расстояния между массами. Кинетическая энергия
равна \К, где
К = mi\qi |2 + m2\q2\2 + m3\qs\2.
Полная энергия
H=±K-U = h (1.2)
— это константа движения.
Используя в задаче симметрию переноса, можно предполагать, что
центр масс удовлетворяет соотношению
^ (77119! + 777292 + ГП393) = О,
где га = mi + m2 + газ — полная масса. Пусть
I — ГГЦ Ы2 + 7772|92|2 + 7773 19312
— момент инерции относительно начала координат. Гипотеза Саари отно¬
сится к таким решениям, что I(t) равно константе, скажем, I(t) = с. Один
способ получить такое решение состоит в том, чтобы заставить конфигу¬
рацию вращаться как твердое тело вокруг начала координат. Предположим,
что Qi(t) = R(t)qi(0), где R(t) Е SO(d) — это зависящее от времени враще¬
ние в Hd. Известно, что такое твердотельное движение возможно, только
если R(t) — это вращение с постоянной угловой скоростью Q Е SO(d)
(см. [1, 12]). Такие равномерные твердотельные движения называются ре¬
шениями относительного равновесия.
В размерностях d ^ 3 решения относительного равновесия были из¬
вестны еще со времен Эйлера и Лагранжа [8, 12]. Массы должны об¬
разовывать так называемую центральную конфигурацию. Единственные
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd
83
возможные формы, с точностью до симметрии, — это равносторонний тре¬
угольник и три специальных коллинеарных конфигурации, по одной для
каждого отличного от другого (с точностью до вращения) расположения
масс вдоль прямой. Соответствующие решения вращаются в плоскости, со¬
держащей массы, с постоянной угловой скоростью.
Однако, когда d = 4, Албу и и Шенсине показали, что существуют
другие решения относительного равновесия. Например, когда массы рав¬
ны, форма может быть произвольным равнобедренным треугольником [1].
Соответствующие твердотельные движения включают в себя одновремен¬
ные вращения вокруг двух ортогональных плоскостей в R4. Если скорости
вращений в двух плоскостях несоизмеримы, получившееся решение будет
квазипериодическим. Заметим, что для задачи трех тел векторы начальных
положений и скоростей любого решения, при котором центр масс распо¬
ложен в начале координат, будут всегда охватывать подпространство раз¬
мерности d < 4 и решение затем будет оставаться в этом подпространстве
в течение всего времени. Поэтому нет смысла рассматривать случай d > 4.
Априори, твердотельное вращение — это более сильное условие, чем
постоянный момент инерции. Цель нашей статьи доказать следующую тео¬
рему.
Теорема 1. Решение задачи трех тел имеет постоянный момент
инерции тогда и только тогда, когда оно является решением относитель¬
ного равновесия.
Опишем схему доказательства. Рассмотрим решение с постоянным мо¬
ментом инерции. Чтобы показать, что оно является твердотельным движе¬
нием, достаточно показать, что взаимные расстояния гц постоянны. В про¬
тивном случае они принимали бы бесконечное множество различных зна¬
чений. Используя предположение о постоянном моменте инерции, можно
получить множество алгебраических уравнений, включающих в себя пе¬
ременные Тц и определенные переменные скорости. Доказательство будет
состоять из того, что будет показано, что для решений этих уравнений мно¬
жество различных значений гц может быть только конечным.
Алгебраические уравнения получаются из уравнений движения и пред¬
положения постоянного момента инерции 1(f) = с. Дифференцируя эти
уравнения, получим
= migi • qi + m292 • 92 + m3q3 ■ q3 = 0,
\ 'i = mi\qi\2 +m2|92|2 + пг3|9з|2 + 9i • Uqi + q2 ■ Uq2 + q3 ■ Uq3 =
= K-U = 0.
84
Р. МЁКЕЛЬ
Здесь во втором уравнении используется то, что закон движения — ньюто¬
нов, и тот факт, что U — однородная функция степени —1. Из равенства
К = U и уравнения энергии (1.2) следует, что К = U = —2h. Теперь
любое ограниченное решение задачи трех тел имеет энергию h < 0, и,
изменяя масштаб, без ограничения общности можно считать, что h = — 1
и поэтому К = U — 1. Из того, что функция U постоянна, следует так¬
же, что производные от U всех порядков должны обращаться в нуль вдоль
решения. Каждая из них дает ограничения на положения и скорости. На¬
конец, для решений в R4 (которые включают в себя все решения меньших
размерностей как частные случаи) существует два интеграла кинетического
момента СщСт, инвариантных относительно вращения, значения которых
могут быть зафиксированы.
Поэтому для любого решения с постоянным моментом инерции долж¬
ны быть выполнены следующие десять равенств:
I = с, U = 1, К = 1, Со=и;о, Ci =^i,
.... (1-3)
7 = 0, 17 = 0, 17 = 0, 17 = 0, £7=0.
Причина, по которой мы используем эти десять уравнений, состоит в том,
что в параграфе 3 эти уравнения будут выражены в терминах десяти пере¬
менных, среди которых будут три взаимных расстояния г^. После исклю¬
чения некоторых переменных будет получен набор из пяти уравнений для
rij и двух других переменных. Далее в параграфе 4 будет показано, что
решения этих уравнений допускают только конечное множество значений
величин rij. На этом доказательство теоремы будет завершено.
Доказательство, представленное здесь, не было бы осуществимо без
использования компьютеров. Для выполнения символических вычислений
от очень больших выражений, которые возникали при доказательстве, ис¬
пользовалась Mathematica [13]. Для вычисления выпуклых оболочек ис¬
пользовалась PORTA [4]. Ноутбук Mathematica, представляющий детали
всех вычислений с обширными комментариями, может быть найден в [10].
Благодарности. Благодарю А. Албуи и Р. Монтгомери за полезное об¬
суждение кинетического момента в R4 и Национальный научный фонд за
поддержку этого исследования (грант DMS 0200992).
2. Лагранжевы уравнения движения
Уравнения движения для расстояний были впервые получены
Лагранжем [8]. Албуи и Шенсине обобщили эти уравнения на задачу п
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd
85
тел [1, 2]. Здесь изложение следует работе [2] с небольшими изменениями
в обозначениях.
Пусть qij = qi — qj G Rd. Тогда уравнения Ньютона (1.1) дают
2 Y1 тк(Якг +qkj) ( з з ),
k^i,j \ ik jk /
Qij — ^ijQij 9 ^ ^ 'W'kiQki Т Qkj) [ 3 3 J 7 1 ^ ^ 7^ jA 3,
где
^ _ тг + т3 , 1 \ ^ ( 1 , 1 ^
Е« ~ +2 ^ ТОЧ + 3“ ) '
*7 кф1,з \ гк jk /
Использование переменных исключает симметрию переноса в задаче
трех тел. Чтобы исключить симметрию вращения, Лагранж ввел следую¬
щие переменные:
sij — I Qij I — riji sij = Qij ’ Qij 1 sij — IQ'
P = Q13 ’ Q23 — Q23 * Qi3-
Очевидно, = Sji, поэтому необходимы только три из этих переменных.
Пусть для определенности выбраны переменные с индексами 12,31,23;
аналогичное соглашение примем для и s" . Останется всего десять пе¬
ременных.
Лагранж получил для этих переменных дифференциальные уравнения,
они могут быть найдены в [2]. Однако для того чтобы избежать квадратных
корней, удобнее будет заменить на и s£ ■ на Vij = s'^ /г\3 = гij. Тогда
дифференциальные уравнения будут иметь вид
hj
г ,,у,, 1т (2 _г2)(л
vu - Ti] гг]ъ1:1 2mk{rki rjk) I j,
\ ki 1 jk /
s"j = - mk{rkiVki ~ rjkVjk - p)[\
p=2
\’ ki
1 1 1
mi(r%3 - r|: - r?2) m2(rl1 - rf2 - rf3) m3(r?2 - rf3 - г|х)
гГ23
(2.4)
86
Р. МЁКЕЛЬ
Здесь (г?<7, к) — это всегда циклическая перестановка тройки (1,2,3). По
построению все десять переменных г^-, г^-, s"-, р инвариантны относитель¬
но вращений и переносов в Hd. Дифференциальные уравнения (2.4) дают
замечательную редукцию задачи трех тел, независимую от размерности.
Решение относительного равновесия задачи трех тел будет определе¬
но как решение, переменные Лагранжа которого дают точку равновесия
редуцированных дифференциальных уравнений (2.4). Из первого диффе¬
ренциального уравнения очевидно следует, что для любого такого реше¬
ния взаимные расстояния являются постоянными, то есть оно должно быть
твердотельным движением. Менее очевидным является тот факт, что един¬
ственные твердотельные движения, которые являются решениями уравне¬
ний (2.4), происходят из их точек равновесия [1]. Таким образом, решения
твердотельного движения и решения относительного равновесия совпада¬
ют.
Момент инерции и различные интегралы задачи могут быть целиком
выражены в терминах переменных Лагранжа. Сначала имеем
I = + гохгозгд! + ш2т3г| 3),
77117713 77727773
U =
К =
т
m\rri2
+
+
Г\2 ' Г31 1 Г23 ’
i(777 i7772s"2 + 777 i 7773 S31 + т2771з4з)>
(2.5)
где, как и ранее, т = т\ + т-2 + m3.
Кинетический момент выражается более сложным образом, особенно
в размерности d = 4. Напомним, что в R3 вектор кинетического момента
не является инвариантным относительно вращений. Тем не менее, его дли¬
на инвариантна, и поэтому она обеспечивает интеграл для редуцированных
уравнений движения. В R4 существует два независимых интеграла, инва¬
риантных относительно вращения. Метод, используемый здесь для их по¬
лучения, следует работе [1, с. 161-162]. Пусть /3 означает симметрическую
(3 х 3)-матрицу
0 =
12 О
— 2531 — 2523
?
“2*23
О
и пусть 7 и 6 определяются аналогичным способом, только с элементами
sC и s" соответственно. Пусть также р — ко со симметрическая (3 х 3)-мат¬
рица
О
Р12
— Р31
— Р12
О
Р23
Р31
~Р23
О
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd
87
где pij = i(qi • qj — qj ■ &). Блочная (6 x 6)-матрица
£ =
0 1-9
7 + p S
использовалась в [1] для представления редуцированного состояния задачи
трех тел. Это — тензорный вариант лагранжевых переменных, где послед¬
няя лагранжева переменная задается как р = 2(pi2 + Р31 + Р2з)-
Теперь пусть а;м означает блочную (6 х 6)-матрицу
OJn =
О —р
р О
7711 (7712 + ГП3) —77117712 —771i77l3
— 77117712 7712(7711 + 77I3) —77127713
-771i 7713 -77127713 7713 (771i + 7712)
Рассмотрим линейное отображение : R6 —> R6. Пусть Р — плоскость
bR3, заданная уравнением £1 + £2 + ^3 = О (Р названо Т>* в [1]). Если отож¬
дествить R6 с R3 х R3 то отображает четырехмерное подпространство
Р х Р в себя. Характеристический полином отображения ио^£\рхр имеет
вид А4 + CiА2 + Со, где С* — это полиномы от переменных 5^, 5+,
но величины р^ появляются только в комбинации Р12 + Р31 + Р23, поэтому
их можно заменить на р. Эти полиномы и есть инвариантные относитель¬
но вращения кинетические моменты. Чтобы найти их, вычислим матрицу
отображения \рхр в базисе {гч, 0), (v2,0), (0, гч), (0, v2)} пространства
Р X Р, где V! = (1, -1, 0), 772 = (1, 1, -2).
Интеграл С\ может быть записан в довольно простой форме (ср. [2]):
Cl = Ш12^ШЗ (Ф-Ф + Р2)+1К~ J2> (2.6)
где /, К задаются формулой (2.5),
Ф = — S12 — S31 ~ S23 + 2^31523 + 25i2«S23 + 25i2<531,
ф — —S12S12 — 531<5з1 — «523-523 +
+ «531 «523 + ^12 «5 23 + S12S31 + 531523 + «5i2523 + 5125ЗЪ
J = m(mlm2S12 + ^1^3531 + rn2m3S;23).
(2.7)
Формула для Со — более сложная. Ее можно записать следующим об¬
разом:
Со = [(ф - ф + Р2)2 + 8 D р - 4Р]; (2.8)
16777 Z
88
Р. МЁКЕЛЬ
здесь D — это определитель:
S12
S31
s 23
D =
*12
off
s12
S31
qff
S31
523
q"
s23
и
Р = 2(523-531 + -531-52з)512 ~ 2(Si2<7i2 + Si2<7i2)S23s31 +
+ 2(523-512 + 512-52з)531 — 2(531^31 + 531°г31 )512523 +
+ + -531 -51^2)-523 — 2(523^23 + 523°г2з)-512-5з1 +
+ S12S31S23 - S\2a\1S23S31 +
+ s31s12s23 - S3V3JSJ2S23 +
+ 523531512 ~ -523°г23512-53Ь
где
aij = (Sjk + Ski ~ Sij), Сг'/j = (s'-k + 5^ - Sy).
Остается только произвести подстановки s^- = г? и sC = rijVij
в эти формулы, чтобы получить интегралы кинетического момента в ви¬
де Ci^ij.Vij.s'l^p).
3. Решения с постоянным моментом инерции
Цель этого параграфа состоит в том, чтобы получить алгебраические
ограничения на координаты решений с постоянным моментом инерции.
Собственно, заключительные уравнения будут относиться только к реше¬
ниям, которые являются гипотетическими контрпримерами к теореме 1.
В дополнение к наличию постоянного момента инерции, у такого решения
были бы непостоянные взаимные расстояния. Поэтому переменные скоро¬
сти Vij = rij не все равны нулю, за исключением изолированных значений
времени. По мере изменения времени такое решение должно заметать кри¬
вую, содержащую бесконечное множество точек с различными значениями
взаимных расстояний гц, и так, что не все равны нулю. Получая урав¬
нения, которые относятся к таким точкам, и затем показывая, что они не
могут иметь бесконечное множество таких решений, мы и докажем теоре¬
му.
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd
89
На первом шаге надо просто выразить десять уравнений (1.3) в лагран-
жевых переменных. Первые три уравнения
7 = с, 17 = 1, К = 1
имеем сразу. Из равенств (2.5) можно получить уравнения, включающие
рациональные функции, знаменатели которых являются одночленами от
ненулевых величин гц и га. Избавляясь от знаменателей, получим алгеб¬
раические уравнения д% — 0, 1 ^ г ^ 3. Можно было бы применить ана¬
логичный подход к уравнениям кинетического момента, однако, как будет
вскоре замечено, для решений с постоянным моментом инерции возможно
существенное упрощение этих формул.
Используя дифференциальные уравнения (2.4) и цепное правило, мож¬
но найти производную по времени от любой функции /(г^-, Уц, s"-, р), то
есть производную в направлении векторного поля. Например,
I = ^(mim2ri2Vi2 + mim3r3iv3i + т2т3г23у23) = О,
ц = _ (mim2V\2 + т\т3у3\ т2т3у2з \ _ Q (3-9)
V г12 Г31 Г23 )
Заметим, что / = 2J, где J задается равенством (2.7) и подстановкой для
s'tj. Таким образом, J — 0 для решений с постоянным моментом инерции.
Конечно, выражения для производных по времени высших порядков от
функции U имеют более сложный вид, но все они являются рациональными
функциями, знаменатели которых — это одночлены от гц и га. Избавляясь
от знаменателей в уравнениях
7 = 0, U = 0, U = 0, U = 0, U = 0,
получим еще пять алгебраических уравнений gi = 0, б ^ г ^ 10.
Из формулы (2.6) и уравнений, приведенных выше, получим
п raira2ra3 ( 2\ ,
1 = —2га—^ -/Ф + Р)+С = и; 1*
Избавимся от знаменателя, получим алгебраическое уравнение д$ = 0.
Отсюда следует, что величина (ф — гр + р2) постоянная, и она может быть
использована для упрощения Со. Вместо того, чтобы полагать Со = ujq,
можно положить
2 D р — Р = и)о 1
где со>о — другая константа. Это дает последнее уравнение #4 = 0.
90
Р. МЁКЕЛЬ
Далее будут исключены переменные Уц и s" . Легко видеть, что урав¬
нения (3.9) однозначно определяют направление трехмерного вектора v =
= (^12 5 ^31 ^ ^23)? если три взаимных расстояния не все равны между
собой, а именно: «векторы градиента» V/ = (1Г12 ,/Г31 Дг2з) и =
= {Uri2,Ur31,Ur23) в этом случае линейно независимы. Если расстояния
равны, их значения однозначно определяются, например, уравнением U =
= 1. Поскольку цель состоит в том, чтобы показать, что возможно только
конечное множество значений взаимных расстояний, то можно априори по¬
лагать, что расстояния не равны. Другими словами, если предположение,
что не равны, приводит к уравнениям, которые ограничивают гц до
конечного множества, то исходные уравнения также ограничивают гц до
конечного множества.
Пусть V() означает некоторое ненулевое скалярное кратное вектор¬
ного произведения V/ х VU. Тогда можно заменить три переменные Vi3 на
одну переменную d, такую, что v = dV. После того как это сделано, урав¬
нения д6 = д7 = 0 будут выполняться автоматически, поэтому останется
восемь уравнений для восьми неизвестных s"-, d, р.
Далее, оказывается, что формулы для рз,р8>р9 линейны по s" (это —
уравнения К = 1,U = U = 0). Не считая ненулевых множителей степеней
переменных т^гц и множителя d, определитель (3 х 3)-матрицы коэффи¬
циентов равен
ГП1Г23(Г12 ~ Hu)2 + m2r3i(rl2 - г2з)2 + лгзПгИн - г2з)2-
Он обращается в нуль только тогда, когда взаимные расстояния равны.
С этого момента будем предполагать, что d ф 0. Как было отмечено
выше, это условие необходимо для получения соответствующего уравне¬
ния, поскольку если не все переменные скорости уц = гij равны нулю,
то d ф 0. Предполагая, что d ф 0 и то, что расстояния не равны, можно
решить уравнения рз = pg = рд = 0 для s" . Подставляя их в оставшиеся
уравнения pi,р2,р45Рб>Рю> получим систему из пяти алгебраических урав¬
нений для пяти переменных р. Константы 7тц,с,ujo,loi играют роль
параметров. Первые два уравнения (полученные из I = с и U = 1) имеют
достаточно простой вид
31 = mim2ri2 + шхтпзгз! + т2т3г1г -тс = 0,
32 = m2m3r12r3i + ггг1ш3г12Г2з + mim2r3ir23 - ri2r31r23 — 0.
Остальные три слишком сложны, чтобы включать их сюда (см. [10]). Вы¬
пишем здесь несколько членов каждого из них:
34 = -гтп^тзтпзг^тз! - Шрт^т^гп^г^г^г^з-
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd
91
- Ьй2т\т72т1г\26г\\г1ъ + 2Ъ(^т\т%т\г^г\\г%ъ-
- + ... = О,
дь = ImimlmsrWr^ + 3 p2m1m|m3r?2r^1r^3-
— ЬсРтхт^тзгЦг^г^ + ... = О,
дю = -imlmlmlrllrh - Ыртп^т^т^гЦ^^г-
— б^т^тзШзгЛг^ггз + 20dim\m\rn\r^r\lr\?i + ... = 0.
После группировки членов с одними и тем же степенями от пяти перемен¬
ных rij,d,p, общее количество членов равно 2238, 244 и 509 соответст¬
венно.
Если контрпример к теореме 1 существует, то уравнения, построен¬
ные в этом параграфе, должны допускать решения с бесконечным множе¬
ством различных значений взаимных расстояний г^ . Однако в следующем
параграфе будет показано, что если параметры удовлетворяют условиям
т% > 0, с ф 0, то это не так.
4. Доказательство конечности
Остается показать, что среди всех решений rij,d,p пяти уравнений
9i = 92 = 9а — 9ъ — #ю = 0 взаимные расстояния могут принимать
только конечное множество значений. Это будет доказано даже при допуще¬
нии, что все переменные принимают комплексные значения, но в предпо¬
ложениях, что rij Ф 0, d ф 0. Метод представляет собой вариацию метода,
который использовался в плоской задаче в [9] и впоследствии был развит
в [5]. Он основан на фундаментальных работах Бернстейна, Хованского
и Кушниренко [3, 6, 7] и иногда именуется как ВКК-теория.
4Л. ВКК-теория. Предположим от противного, что существует бес¬
конечное множество значений взаимных расстояний вдоль решений. Тогда,
так же как и в [5, 9], алгебраическое многообразие V С С*4 х С, определен¬
ное пятью полиномами, содержит подмногообразие, которое проектируется
преимущественно на одну из копий пространств С* = С \ 0, соответству¬
ющих переменным (проекции комплексных многообразий на кординат-
ные оси являются либо конечными множествами, либо дополнениями до
конечных множеств; в последнем случае проекция называется доминиру¬
ющей). Отсюда следует, что алгебраические уравнения допускают реше¬
ния в виде рядов Пюизё от некоторой переменной t (которая не связана
с переменной времени в уравнениях движения). Другими словами, должны
существовать ряды с дробными степенями (£), d(t). p(t), которые разре¬
92
Р. МЁКЕЛЬ
шают уравнения тождественно по t. Кроме того, эти ряды ri3(t),d(t) не
должны быть тождественно равны нулю, и по крайней мере один из этих
рядов Tij{t) должен быть не равен константе (на самом деле можно даже
использовать одну из этих переменных как параметр ряда Пюизё, t). Чтобы
получить противоречие, необходимо только показать, что такие решения
в виде рядов не существуют.
Сформулируем некоторые результаты из [5, раздел 3] с небольшими
модификациями, которые позволяют более точно построить ряд. Рассмот¬
рим общую задачу решения т алгебраических уравнений с п неизвестны¬
ми:
fi(xi,...,xn) = ^2скх J1 ... а£” = О, г = 1,... ,т, (4.12)
к
где вектор показателей к — (fci,...,fcn) пробегает конечное множество
Si С Zn (называемое носителем функции /*). Предположим, что требует¬
ся найти комплексные решения, в которых первые к переменных не равны
нулю, то есть требуется найти х = (х\,..., хп) £ Т, где Т = C*fc х Ск . Ре¬
зультат, полученный в [5], предполагает, что к = п, к' = 0, но фактически
доказательство то же самое.
Предложение 1. Допустим, что система из т алгебраических урав¬
нений fi(x) = О от п переменных определяет бесконечное многообра¬
зие V С Т. Тогда существует ненулевой рациональный вектор а =
= (ai,..., ап), точка а = (ai,..., ап) £ Т и ряды Пюизё Xj(t) = ajtaj +
+ ..j = 1,... ,n, сходящиеся в некоторой выколотой окрестности U
точки t — 0, такие, что fi{x\ (t),..., xn(t)) = 0 в U, г = 1,..., т. Кроме
того, если проекция многообразия V на ось xi является доминирующей,
то существует такое решение в виде ряда {решение-ряд), что xi(t) = t,
и другое решение-ряд, что xi(t) =t~l.
Вектор а ведущих показателей будет называться порядковым вектором
решения Пюизё. Заметим однако, что некоторые из чисел ai при г > к
могут обращаться в нуль. В этом случае а^ не будет в действительности
показателем наименьшего порядка ряда Xi{t). Конечно, если ряд не равен
тождественно нулю, найдется некоторый ведущий член, и можно было бы
потребовать, чтобы а^ выбиралось равным ведущему показателю, но для
г > к возможность, что ряд тождественно равен нулю, не исключается.
Чтобы применить этот критерий, нужен способ, чтобы показать, что
решений-рядов Пюизё заданного порядка не существует. Бернстейн пред¬
ложил простой критерий, основанный на ведущих членах решений. Под¬
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd
93
ставляя Xj(t) в уравнения fi(x) = 0 и выражая коэффициенты членов наи¬
меньшего порядка по t, получаем редуцированную систему
/га (*4 ')•••'! 0"п) ^ Скаг ... &п О, Ъ 1, . . . , 771, (4.13)
а-к=ц,
где pi = mmiest а* I- Уравнение а - к = рi, которое определяет, какие члены
из fi появятся в редуцированном уравнении, имеет превосходную геомет¬
рическую интерпретацию. Пусть Pi — это ньютонов полиэдр полинома fi,
то есть выпуклая оболочка носителя Si. Тогда а • к = pi определяет опор¬
ную гиперплоскость полиэдра Pi, для которого а является внутренним нор¬
мальным вектором. Гиперплоскость определяет грань ньютонова полиэдра,
а векторы показателей к, которые встречаются в редуцированном уравне¬
нии, являются вершинами полиэдра Pi, которые лежат на этой грани.
Поскольку коэффициенты ведущих членов любых решений-рядов
должны обратиться в нуль, мы имеем простой критерий несуществования
решения порядка а:
Предложение 2. Пусть а — это ненулевой рациональный вектор. Если
редуцированная система (4.13) не имеет решений в Т, то не существует
решения-ряда Пюизё полной системы fi(x) = 0 порядка а.
Как заметил Бернстейн, существует только конечное множество воз¬
можных редуцированных систем, к которым может приводиться заданная
система уравнений. Чтобы найти их, достаточно построить полиэдр суммы
Минковского Р — Pi + • • • + Ртч составленной из т ньютоновых поли¬
эдров, затем для каждой грани полиэдра Р выбрать направленный внутрь
нормальный вектор а. Если полученная редуцированная система не име¬
ет решений в Т, то все внутренние нормали для этой грани полиэдра Р
исключаются.
Эти соображения мы применим к системе пяти уравнений g\ — —
— 94 = дъ = 910 — о. Ньютоновы полиэдры этих полиномов — это вы¬
пуклые оболочки носителей, которые содержат 4, 4, 2238, 244, 509 точек
соответственно. Эти полиэдры расположены в R5, поскольку функции за¬
висят от пяти переменных. Однако уравнения имеют специальную структу¬
ру, которая позволяет работать всего с тремя переменными одновременно,
а именно: первые два уравнения (3.10) содержат только три взаимных рас¬
стояния. Эти два уравнения ограничивают до алгебраической кривой
в С*3. Анализируя трехмерные ньютоновы полиэдры полиномов д\,д2> по¬
кажем в разделе 4.2, что по существу есть только две возможности для
рядов Пюизё Tijft). Подстановка этих рядов в д^.дъ^дю дает три уравне¬
94
Р. МЁКЕЛЬ
ния с переменными d, р, t. В разделе 4.3 с помощью элементарных методов
будет показано, что эти уравнения не имеют решений-рядов с£(£), p(t).
4.2. Разложения в ряды Пюизё для расстояний. В этом разделе бу¬
дет показано, что уравнения (3.10) допускают только два типа разложений
Пюизё Tij(t) для взаимных расстояний. По предложению 2, порядковый
вектор а = (ai2, азх, а2з) ряда должен быть таким, чтобы соответствующая
редуцированная система имела ненулевые решения (й12,^зьа2з) G Т =
= С*3. Ньютоновы полиэдры Pi, Р2 ПОЛИНОМОВ р1,р2 являются выпуклыми
оболочками в R3 векторов показателей к = (А42, &зъ ^23) одночленов, ко¬
торые входят в полиномы. Каждый такой полином содержит 4 одночлена,
отдельные ньютоновы полиэдры — это простые тетраэдры. В качестве кан¬
дидатов на порядковые векторы а нужно проверить внутренние нормали
к граням полиэдра суммы Минковского Pi + Р2. Используя PORTA [4],
можно найти, что их сумма Минковского — это полиэдр с 12 вершинами
и 14 гранями. Неравенства, определяющие грани, указаны в таблице 1.
1. к\2 + кз 1 ^ 1;
2. к\2 + &23 ^ 1;
3* кз 1 + &23 ^ 1?
4. к\2 ~ к31 ^ -4;
5. к\2 ~ к2з ^ -4;
6. кз1 - к2з ^ -4;
7. к\2 + кз\ -f- к2з ^ 2;
к\2 ^ 0;
кз 1 ^ 0;
к2з ^ 0;
~к\2 ^ -3;
-кз 1 ^ -3;
-^23 ^ -3;
-^12 - ^31 - к2з > -5.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Таблица 1. Грани для суммы Минковского Р\ + Р2
Для каждого неравенства коэффициенты, стоящие в левой части, опре¬
деляют внутреннюю нормаль к соответствующей грани. К примеру, а =
= (1,0,0) — это нормальный вектор для грани 8. Он представляет собой
возможный порядковый вектор решения-ряда Пюизё, которое, таким обра¬
зом, должно иметь вид
П2(t) = &121 + • • • , T3i(t) = &3i + . . . , 7*23(0 = &23 + • • • ,
где ведущие коэффициенты не равны нулю. Ведущие коэффициенты долж¬
ны удовлетворять редуцированной системе уравнений, соответствующей а.
Эти уравнения имеют вид
77117713^3 + 77127713(223 — ШС ~
77117712(731 (223 = 0.
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd
95
Второе редуцированное уравнение состоит из одного члена с ненулевыми
переменными . В этом случае редуцированная система разрешима, толь¬
ко если коэффициент mim2 обращается в нуль, что противоречит условию
на массы. Поэтому редуцированная система не имеет ненулевых решений,
и отсюда следует, что здесь не существует решения-ряда Пюизё с поряд¬
ковым вектором а. Такая грань, что по меньшей мере одно из редуциро¬
ванных уравнений состоит из одного члена, будет называться тривиальной.
Оказывается, что все грани 7-14 являются тривиальными.
Остаются грани 1-6. По предложению 1, можно пытаться искать такие
решения-ряды Пюизё, что одно из = t. Соответствующая грань полиэд¬
ра суммы Минковского должна тогда иметь внутренний нормальный вектор
а, у которого стоит 1 на месте а^ (или, с учетом нормировки нормально¬
го вектора, по крайней мере положительный элемент на этом месте). Это
исключает грани 4-6. Наконец, грани 1-3 идентичны, с точностью до сим¬
метрии перестановки, поэтому достаточно рассмотреть одну из них.
В поиске возможных порядковых векторов следует также рассмотреть
внутренние нормальные векторы к граням меньшей размерности полиэдра
Pi + Р2. Для трехмерных полиэдров это означает ребра и вершины. Ре¬
дуцированные системы, проистекающие из вершин, необходимо включают
в себя только один член каждого из уравнений, и поэтому автоматически
являются тривиальными. Оказывается, что редуцированные уравнения для
ребер также являются тривиальными. Таким образом, с точностью до сим¬
метрии, возможен только ряд Пюизё для проистекающий из грани 1.
Порядковый вектор для такого ряда есть а = (1,1,0). Одну из пер¬
вых двух переменных можно приравнять к параметру Пюизё t. Произведем
подстановку
7*12 = t, Г31 = tU3i, Г2з(0 = ^23 + • • • ,
где U3i(t) = аз! + ..., 1123 (£) = &23 + ... и ведущие коэффициенты ненуле¬
вые. Тогда из (3.10) следует (после сокращения на t во втором уравнении):
Gi(u3i,U23,t) = т2т3и13 - mc + t2m1(m2 - m^uh) = 0,
G2(uzi,U23,t) = ^1^2з(^з +rri2U3i) + t(m2m3 - u23) = 0.
При t = 0 получается редуцированная система для ведущих коэффициен¬
тов:
77127713(223 — тс ~
1711 <723 (l7l3 + 7712(231) = 0.
(4.15)
96
Р. МЁКЕЛЬ
Таким образом, ведущие коэффициенты задаются равенствами
л — 777,3 „2 _ тс (л 1Лч
31 777/2 ’ 23 ГП2777/3* (4*16)
Кроме того, якобиан матрицы Якоби от функций (СьСг) по переменным
(7131,7123), вычисленный при (<231, <223) и £ = О, равен ^mim^m^a^ ф 0.
По теореме о неявной функции отсюда следует, что 2131 (£) и 2123 (£) на самом
деле являются степенными рядами по £, а не только рядами Пюизё.
Из вида G\ следует, что остаток ряда 1123 (£) начинается с порядка, не
меньшего 2. Положим
^31 (t) = <731 + bsi t + . . . , U23 {t) — <223 + ^23 t2 + • • •
в (4.14), где азьа2з удовлетворяют (4.16), получим:
777/3(ш2777/3 — а23) , mi(m| + m|)
031 = 2 ’ °23 = о 2 ' (4‘17)
7711771^23 2Т712771за23
В силу неизменного предположения о положительности масс, 623 Ф 0, но
возможно, что &3i = 0. В этом случае необходимо найти следующий нену¬
левой член в ряду.
В дальнейшем будем предполагать, что на самом деле 631 = 0, то
есть а2з = 77727713. Тогда (4.16) определяет значение момента инерции:
77707710 т/- ^ ^
с = —Кроме того, можно наити, что следующий ненулевой член
в 7131 (£) должен иметь порядок, как минимум равный 3. Положим
7131 (t) — <731 + ^31 £3 + . . . , 7123 (t) = <223 + &23 ^ ■
в (4.14) и используем (4.16), получим:
~ mi(m2 + тз) m^ml+ml)
= “ 2т,ш\ш1 ' h3 2r4ml ' (4Л8)
Заметим, что значение 623 — то же самое, что и раньше, которое выра¬
жалось через <223- Поскольку 631 ф 0, это будет следующий ненулевой член
в этом случае. Укажем, что значения с и в этом случае равны
777 о 777 о 777 о
<731 = -Щ, <723 = 77727773, С= ———. (4.19)
Следующее предложение резюмирует полученные результаты.
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd
97
Предложение 3. Предположим, что (t) — это ряд Пюизё с поряд¬
ковым вектором (ai2, аза, а2з) = (1,1,0), который удовлетворяет уравне¬
ниям gi = #2 = 0 тождественно по t. Кроме того, предположим, что
П2СО = Ь. Тогда существуют две возможности для г 31(b) и 7*23 (£)• Либо
Т гз1 (£) = a3i t + 631 £2 + • • •, г*23(Ь) = а2з + Ь2з t2 + ..., где коэффици¬
енты удовлетворяют (4.16) и (4.17), либо
II 7*31 (t) = а311 + 631 + ..., 7*23 (0 = а2з + Ь2з + • • •, где коэффици¬
енты и параметр с удовлетворяют (4.19) и (4.18).
В обоих случаях все указанные коэффициенты не равны нулю.
4.3. Несуществование рядов для d и р. В этом разделе будет пока¬
зано, что невозможно разложить решения-ряды Пюизё из предложения 3,
находя ряды d(t),p(b), удовлетворяющие уравнениям g4 = д$ = дю = 0
и тому условию, что d(t) не равно тождественно нулю. Случаи I и II будут
разобраны отдельно. Кроме того, окажется, что случай I расщепляется на
три случая, но они могут быть разобраны вместе.
Для случая I произведем подстановку г 12(b) = b, г31(b) = аз\ t +
+ Ьз1 Ь2, Г2з(t) = ^23 + ^2з^2 в уравнения (3.11). В результате получим
уравнения следующего вида:
G4 = Coo (*) + С20ОО d2 + Cn(t) dp + C40(t) d4 + C31{t) d3p = 0,
G5 = Doo(t) + D2o(b) d2 + D02(b) p2 = 0, (4.20)
Сю = Eoo(t) + E2o(b) d2 + En(t) dp -I- E4o(t) d‘4 = 0,
где коэффициенты Cij,Dij,Eij — очень сложные полиномы от t, которые
также включают в себя параметры , с, о;о,Щь Уравнения (4.20)
можно рассматривать как три уравнения для переменных d, р, t. Цель со¬
стоит в том, чтобы показать, что они не допускают решений-рядов Пюизё
d(t) = ad Hd + ..., ad ф 0 и p(t) (возможность того, что p(t) тождественно
равно 0, является открытой в этом пункте). Метод будет заключаться в том,
чтобы показать, что невозможно найти даже ведущий показатель и коэф¬
фициент ad для d(t). Идея такая же, как в предложении 2, но оказывается,
что это может быть сделано вполне элементарным способом.
К счастью, окажется, что понадобятся только члены наименьшего по¬
рядка по t полиномов Cij,Dij,Eij. Пусть Cij(t) = сц tklJ + ..., где с^- ^ 0;
аналогичные обозначения введем для Dij, Ец. После нахождения всех этих
коэффициентов наименьшего порядка и соответствующих показателей для
98
Р. МЁКЕЛЬ
t можно определить намного упрощенную систему уравнений:
На — Ою ^20 ^ d2 сцdp + С40d4 + C311}^ d?p,
H$ = doo + ^20 tS d2 + ^02 t4 p2, (4.21)
#10 = e0o t9 + e20 t d2 + en tdp + e4019 d4,
где коэффициенты — это рациональные функции от парамет¬
ров rrii, dij,bij, которые приведены в приложении. Показатель q принимает
одно из значений 0,1,2, в зависимости от выбора параметров шьс. Для
разных случаев коэффициенты еоо различны. Тем не менее, приведенные
ниже рассуждения применимы во всех трех случаях. Единственная вещь,
которую действительно нужно знать про коэффициенты, это то, что они
не равны нулю, когда массы положительны и когда 631 Ф 0 (это условие
определяет случай I).
Предположим, что имеются ряды Пюизё d(t),p(t), разрешающие
(4.20), и допустим, что d(t) не равно тождественно нулю. Тогда, посколь¬
ку ряды Пюизё образуют поле и поскольку d(t),En(t) — это ненулевые
элементы этого поля, можно решить уравнение Сю = 0 для p(t). Подстав¬
ляя решение в другие два уравнения, получим два уравнения G4(gI, t) =
= G^(d,t) = 0 для d(t). Однако нам необходимы только члены наимень¬
шего порядка по t коэффициентов этих новых уравнений. Их можно найти,
исключив р в уравнениях (4.21) вместо уравнений (4.20).
Решая Ню — 0, получим:
_ вро tq + в20 t d2 + в4019 d4
^ e\\td
Подставим в iT4, Н5 и избавимся от знаменателя, получим:
К4 = Соовц - Сие00 t7+q + (с2оец - сце2о) t8 d2 + c3ie0o tl5+q d2 +
+ (с4оец - c3ie2o - сце4о) tw d4 - c3ie4o t24 <f,
Kb = <^02600 t2+2q + (k®e2u d2 + 2d02eooe2o t3+q d2 + do2eto ^ d4+
+ d2oe,, t8 d4 + 2d02e0oe4o t11+q d4 + 2do2e20e4o t12 d6 + do2e40120 d8.
Если существует решение Пюизё d(t) — адЕ*1 + ..., ad ф 0, то вектор
а = (а^, 1) должен быть внутренним нормальным вектором к ребрам клас¬
сических ньютоновых полиэдров Q4,Q5 полиномов К4,-К5. Составим по¬
казатели (kd,kt) для одночленов многочлена iT4, получим полиэдр Q4, ко¬
торый имеет только одно нижнее ребро — ребро, содержащее (0,0), (2,8),
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ СЛАРИ ДЛЯ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В Rd
99
(4,16), (6,24). Это справедливо независимо от того, какое значение исполь¬
зуется для q. Это ребро имеет внутренний нормальный вектор а = (—4,1),
поэтому единственный возможный ведущий показатель для d(b) есть ad =
= -4.
Подставим d = ddt~4 -f ... и выберем члены наименьшего порядка
по t, получим редуцированные уравнения:
1/4 = соовц + (с2оец — ci 1 его) о% + (с4оец - сцб4о) а\ — £31^40 ad = О,
Lb — ^02^20 ad + 2^02^20^40 + ^02^40 &d = 0-
Чтобы показать, что они не имеют общих корней, возьмем результант от¬
носительно ad:
i?es(Z/4, L§) ^00^02^11^4o(^40^20 ^20^20^40 “1“ О)0^4о)
,0C300G^646m62m300
= 2 3 2326163 ф 0.
m2 m\
Рассуждения в случае II аналогичные. Подставляем г 12(b) = b, rsi(t) =
= <2311 + 631 £4, ггз(£) = ^23 + ^23 b2 в уравнения (3.11), учитываем (4.19),
получаем снова (4.20), только с другими коэффициентными полиномами.
Найдем члены наименьшего порядка по b в этих коэффициентах, получим
упрощенную систему уравнений:
Я4 = Соо + С20 b10 d2 + Си b12 dp + с40 t20 d4 + c3i b22 d3p,
#5 = *0 + d2Q b10 d2 + d02 b6 p2, (4.22)
Яю = eoo + 620 d2 + ёц b2 dp + £40 b10 c?4,
где Cij,dij,eij приводятся в приложении. Так же, как и раньше, они явля¬
ются рациональными функциями от параметров га*, 623, &зъ которые не
равны нулю в силу принятых предположений.
Решая Ню — 0, получим:
_ ^оо + вго d2 + в4р Ь10 d4
Р ,2 7
ец t d
Подставим в Я4,Я5 и избавимся от знаменателя, получим:
КА = с00ец - сце00 t10 + (с20ец - сце2о) t10 d2 + c3ie00120 d2+
+ (с4овц — C3ie2o — cue 40) £20 d4 — c3ie4o i30 d6,
K5 = d02e20 i2 + dooe2! d2 + 2<f02eooe2o i2 d2 + d02e|0 i2 d4+
+ ^206?! i10 d4 + 2^о2еоов4о £12 d4 + 2do2e2oe40112 d6 + do2e20 122 d8.
100
Р. МЁКЕЛЬ
На этот раз ньютонов полиэдр Q4 имеет единственное нижнее ребро, со¬
держащее (0,0), (2,10), (4, 20), (6, 30). Отсюда следует, что ведущий пока¬
затель для d(t) есть ad = —5.
Подставим d = ad t~5 + ... и выберем члены наименьшего порядка
по t, получим:
£4 = сооеп + (c2oeii — сцего) &d + (С40611 — сцв4о) ad — сз!в4о ad = 0,
£5 = ^02^20 ad + 2(^02^20^40 &d + <^02^40 ad ~ 0*
Эти уравнения — в точности те же самые, что и для случая I. Для новых
значений коэффициентов результант равен
Res(L4,Lb) = Соо^о2епе4о(с4ое2о ~ с20^2ое4о + соое^о)4 =
поэтому не существует решений а^.
На этом доказательство теоремы 1 завершено. Подведем краткое ре¬
зюме. Если бы решение с постоянным моментом инерции не было твер¬
дотельным движением, то взаимные расстояния не были бы постоянными.
В этом случае алгебраические уравнения (которым удовлетворяют такие
решения), полученные в параграфе 3, должны были бы допускать решения
с бесконечным множеством различных значений для расстояний и с пе¬
ременной скорости d ф 0. В таком случае существовали бы решения в виде
рядов Пюизё Vij(t), d(t),p(t), каждое из которых не является тождественно
равным нулю, за возможным исключением p{t). Но в разделах 4.2 и 4.3
было показано, что таких решений-рядов Пюизё не может существовать. □
Приложение
Это приложение содержит ведущие коэффициенты по t для коэффици¬
ентных полиномов Cij(t),Dij(t),Eij(t) из раздела 4.3. Для случая I коэф¬
фициенты в (4.21) имеют вид:
Coo = (c12rnlrn12)/(rnl0ml),
с2о = {2cl4zirn\m1A)/{m\Arnl),
сц = (18c11a236|1mjm11)/(m2°m3),
с40 = (с16Ьз1т?тп16)/(ш28тз),
Доказательство гипотезы Саари для задачи трех тел в Rd 101
С31 = (54c13a23fe3imim13)/(m24m|),
doo = (c6a23mim6(mim| + т3тз + (mi + т2)т\)) / (тп^тп^),
d,2o = (с*а2зЬз1'т1т*(т1т1 + т|тз + (mi + т2)т\))/{гп}?гп\),
do2 = (—Зс4а23Ьз1 Wim4)/m2,
&2о = (—10с9Ьз1Гп1т9)/(тп1тп1),
еп = (9с6а2зЬ31т3т6)/(т2тз),
е40 = (-4с11Ь|1т1т11)/(т21тз).
Вид члена еоо tq зависит от выбора параметров, как будет описано ниже.
Первые три члена коэффициента Eoo(t) приводят к варианту формулы
для Ню в (4.21), в которой еоо заменяется на еооо + eooi ^ + е°02 ^* ^ка"
зывается, что любой из этих членов мог бы быть ведущим членом еоо^9-
Первая возможность — это eootq = еооо> гДе
еооо = c3m4(m2m3 а2з)(5стт2тз - а2з(га2тз + 4ст))/(т^тз).
Этот член будет ведущим коэффициентом, если он не обратится в нуль.
Напомним, что в случае I было предположение, что а2з Ф ш2шз. Поэтому
еооо = 0, только если
5сшш2шз — а2 з(т7т|ш| + 4ст) = 0.
Возьмем результант этого выражения и формулы для а|з в (4.16):
mc(mc — 7772 7773) (16Т77С — 77137713) = 0.
Выражение в первых скобках не равно нулю для случая I, и поэтому
ТПпТПо
с = ткг <423>
— это необходимое условие того, что еооо = 0.
Предполагая, что (4.23) выполнено и еооо = 0, можно найти
е001 = ini тз 771 (—5 lm\m \ + 8771^77127773(7712 + Т713) +
+ Й23 (I4777I277I3 — 32777^(7772 + 77l|))) /(65536777i) ,
ео02 = “Тб§84Ш1Ш2Ш3Ш(Ш2 + ^з)(_58а23 + 137772771з).
Оказывается, что еоо2 ф 0. Действительно, результант этого выражения
и формулы для <723 в (4-16) равен — а это не равно нулю. Таким
102
Р. МЁКЕЛЬ
образом, ведущий член еоо tQ равен либо eooi t1, либо еоо2 t2, как и утвер¬
ждалось.
Случай II не разбивается на подслучаи. Коэффициенты в (4.22) всегда
суть:
coo = т\т^т^,
С20 = — бт^т^Шз5 (тт?! + тз)>
Си = + m3)2,
С40 = ^т2Ш26тз0(т2 +т|)2,
C3i = ^m\rn%Tnf(ml + т|)3,
doo — mim^1 ml5 (mirri2 + т|тз + mi то3 4- m^rn3),
d20 = —|mim2m20(m| + m^mim,3 + т3тз + m\m\ + m2ml),
do2 = - ^mim2ml1(m2 + ml),
ёоо = + ml)2,
<=>20 = —50т2т23т21(т| + m3),
ёп = ^m\mlm\2{m\+ml)2,
в4о = 50m2m|m26(m2 + m3)2.
Литература
[1] A. Albouy and A. Chenciner, Le probleme des n corps et les distances
mutuelles, Invent. Math., 131 (1998) 151-184. (См. также: Задача
Кеплера: Столкновения. Регуляризация: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ
«РХД», Институт компьютерных исследований, 2006, с. 413-^151.)
[2] A. Albouy, Mutual distances in celestial mechanics, Lectures at Nankai
University, Tianjin, China (2004),
http://www.bdl.fr/fr/presentation/equipes/ASD/person/albouy
/ albo_preprint. html
[3] D. N. Bernstein, The number of roots of a system of equations, Fun. Anal.
Appl., 9 (1975) 183-185.
[4] T. Christof and A. Loebel, PORTA: POlyhedron Representation
Transformation Algorithm, Version 1.3.2.
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/ iwr/comopt/soft/PORTA/readme.html
Литература
103
[5] М. Hampton, R. Moeckel, Finiteness of relative equilibria of the four-body
problem, Inventiones Mathematicae, 2006, vol. 163, no. 2, pp. 289-312.
(См. статью 7 настоящего сборника.)
[6] А. Г. Хованский, Многогранники Ньютона и торические многообра¬
зия, Функц. анализ и его прил., 11:4 (1977) 56-64.
[7] А. Г. Кушниренко, Многогранники Ньютона и теорема Безу, Функц.
анализ и его прил., 10:3 (1976), 82-83.
[8] J.-L. Lagrange, Essai sur le probleme des trois corps, CEuvres, 1772, vol. 6.
[9] R. Moeckel, A computer-assisted proof of Saari s conjecture for the planar
three-body problem, Trans. AMS, 357 (2005) 3105-3117.
[10] R. Moeckel, SaariR3BP.nb, http://www.math.umn.edu/rick
[11] D. Saari, On bounded solutions of the n-body problem, in
G. E. O. Giacaglia, ed., Periodic orbits, stability and resonances, D. Reidel,
Dordrecht (1970).
[12] A. Wintner, The analytical foundations of celestial mechanics, Princeton
Math. Series 5, Princeton University Press, Princeton, NJ (1941). (Cm.
также: Уинтнер А., Аналитические основы небесной механики. М.:
Наука, 1967.)
[13] S. Wolfram, Mathematica, version 4.1.5.0, Wolfram Research, Inc.
5
Подходящие гиперболические «штаны»
для задачи трех тел1
Р. Монтгомери
Рассмотрим задачу трех тел с притягивающим потенциалом 1 /г2. Динамика
ограниченных решений с нулевым кинетическим моментом, по модулю сим¬
метрий, эквивалентна геодезическому потоку на сфере с тремя выколотыми точ¬
ками, или на «паре штанов». Эта сфера является шейповой сферой. Выколотые
точки — это двойные столкновения. Метрика, порождающая геодезические, —
это метрика Якоби-Мопертюи. Метрика является полной, имеет бесконечную
площадь и ее концы — окрестности выколотых точек — являются асимптоти¬
чески цилиндрическими. Наш основной результат состоит в том, что в слу¬
чае, когда три массы равны, метрика имеет отрицательную кривизну всюду,
за исключением двух точек (лагранжевых точек). Из отрицательности кривиз¬
ны следует, во-первых, что восьмеркообразное решение для потенциала 1 /г2
единственно. Во-вторых, можно построить полную символическую динамику
для кодирования нестолкновительных решений. И в-третьих, следует тот факт,
что столкновительные решения являются плотными в множестве ограниченных
решений.
1. Введение и результаты
Мы изучаем плоскую задачу трех тел с притягивающим потенциа¬
лом 1 /г2. Согласно тождеству Лагранжа-Якоби (см. равенство (3.7) ни¬
же), каждое ограниченное решение должно иметь нулевую энергию и по¬
стоянный момент инерции /, и наоборот, если начальное условие имеет
lR. Montgomery, Fitting hyperbolic pants to a three-body problem, Ergodic Theory and
Dynamical Systems. 2005, vol. 25, pp. 921-948.
Подходящие гиперболические штаны
105
нулевую энергию и 7(0) = 0, то такое решение является ограниченным.
Положим момент инерции I равным константе, тем самым мы определим
трехмерную сферу в конфигурационном пространстве. Вращения действу¬
ют на этой сфере в соответствии с потоком Хопфа. Профакторизуем трех¬
мерную сферу по вращениям, получим двумерную сферу, или тейповую
сферу (см. рис. 1). Точки на этой шейповой сфере представляют ориенти¬
рованные классы подобия треугольников. Уравнения Ньютона для решений
с нулевой энергией и с I = 0, опущенные на шейповую сферу, приводят
к семейству ОДУ второго порядка, параметризованному кинетическим мо¬
ментом. Эти ОДУ имеют сингулярности в трех точках, представляющих
три типа двойных столкновений. После удаления точек столкновений мы
приходим к динамике на так называемой паре штанов — двумерной сфере
без трех точек. Когда кинетический момент равен нулю, полученная ди¬
намическая система после замены параметра времени становится геоде¬
зическим потоком для определенной римановой метрики на паре штанов.
Эта метрика есть (редуцированная) метрика Якоби-Мопертюи для нулевой
энергии.
точка либрации
Эйлера
Рис. 1. Шейповая сфера
Утверждение 1.1. Снабдим пару штанов метрикой Якоби-Мопертюи
(см. равенства (3.9а, Ъ) ниже). Множество ограниченных решений с нуле¬
вым кинетическим моментом для задачи трех тел с потенциалом 1 /г2,
по модулю вращений, переносов и масштабирования, находится во вза¬
имно-однозначном соответствии с геодезическими для этой метрики.
106
Р. Монтгомери
Метрика является полной и ее концы {удаленные окрестности трех точек
двойных столкновений) являются асимптотическими к евклидовым цилин¬
драм положительного радиуса.
Доказательство. См. раздел 3.
На рисунке 2 изображена пара штанов.
/столкновение
Метрика Якоби-Мопертюи параметрически зависит от масс трех тел
через потенциал (равенство 3.1). Наш основной результат следующий.
Теорема 1.1. Если все три массы равны, то гауссова кривизна
для метрики Якоби-Мопертюи на паре штанов является всюду отри¬
цательной, за исключением двух лагранжевьгх точек {равносторонних
треугольников), в которых она равна нулю.
Доказательство. См. раздел 4.
Можно было бы ожидать, что отрицательность кривизны сохраняется
для неравных масс. Однако это не так. См. раздел 7.
2. Мотивация и динамические результаты
2.1. Периодические орбиты и их символические последовательности
Эта работа начиналась как попытка дать аналитическое доказатель¬
ство того, что ньютоново (с потенциалом 1/г) восьмеркообразное реше¬
ние Мура-Шенсине-Монтгомери ([6, 16]) единственно. Я начал с более
Подходящие гиперболические штаны
107
простого случая восьмерки для потенциала 1 /г2. Восьмерка — это пери¬
одическое решение, которое реализует определенный свободный гомотопи¬
ческий класс на паре штанов. Восьмерка существует для всех потенциа¬
лов 1 /га, а > 0 ([5, 7]). При а ^ 2 реализуется не только свободный го¬
мотопический класс восьмерки. Почти всякий свободный гомотопический
класс реализуется некоторым решением. С другой стороны, на компактной
поверхности отрицательной кривизны каждый свободный гомотопический
класс имеет единственную геодезическую, представляющую его. Комби¬
нирование этих фактов привело к подходу, предложенному в этой статье,
и к теореме 1.1.
Наша метрика на паре штанов из теоремы 1.1 не является ни компакт¬
ной, ни имеющей всюду отрицательную кривизну. Однако если на полной
некомпактной поверхности отрицательной кривизны свободный гомотопи¬
ческий класс имеет геодезического представителя, то этот представитель
единственен. И единственность продолжает сохраняться, если кривизна об¬
ращается в нуль на дискретном множестве точек. (Эта теорема довольно
известна, и она доказывается в более общем контексте в разделе 6.4 ниже,
см., в частности, формулу (6.4.3).) Мы доказали
Следствие 2.1. Если для задачи трех тел с потенциалом 1 /г2 с рав¬
ными массами с нулевым кинетическим моментом решение реализует за¬
данный свободный гомотопический класс на паре штанов, то такое ре¬
шение является единственным по модулю вращений и масштабирования.
В частности, восьмерка единственна по модулю этих симметрий.
В формулировке следствия мы не уточнили, какие классы реализуются.
Реализуется каждый класс, за исключением тех классов, которые наматыва¬
ются на один конец (см. [14]). Гордон [8] называет эти нереализуемые, или
«плохие», классы «развязанными» (untied), а дополнительные к ним, реали¬
зуемые, или «хорошие», классы, он назвал «привязанными» (tied), посколь¬
ку они «привязаны» к особенностям столкновений. На штанах плохой класс
можно изобразить, если нарисовать маленькую окружность, или «ножной
браслет», вокруг «штанины» и пройти по этой окружности некоторое ко¬
личество раз. По мере того как этот «ножной браслет» опускается вниз
по направлению к концу «штанины», его длина уменьшается. В результате
любая минимизирующая последовательность кривых, реализующая такой
класс, «спадает со штанины» (см. теорему 2.2 ниже.)
Для того чтобы описать привязанные и развязанные классы, мы ис¬
пользуем сизигии, следуя работе [14]. Сизигия — это коллинеарная конфи¬
гурация трех тел. Существует три разновидности сизигий — 1, 2, 3, в за¬
висимости от того, какая масса находится между двумя другими. (Мы ис¬
108
Р. Монтгомери
ключаем столкновения.) Коллинеарные конфигурации образуют экватор на
шейповой сфере (рис. 1). Три точки столкновения лежат на экваторе так,
что, удалив эти точки, мы разделяем экватор на три дуги, обозначенные
1, 2, 3 в соответствии с разновидностью сизигии. С кривой на шейповой
сфере связана соответствующая последовательность сизигий: список сизи¬
гий по порядку. (Предполагаем, что моменты времени сизигий дискретны.)
Последовательность сизигий движения трех тел получается проектирова¬
нием движения на шейповую сферу и выписыванием последовательности
сизигий кривой, получающейся на шейповой сфере.
Периодические кривые приводят к периодическим последовательно¬
стям. Например, класс, в котором 1 и 2 все время вращаются друг вокруг
друга, а 3 остается вдали, имеет последовательность сизигий ... 121212 ...
(это «плохой» класс). Мы накладываем на последовательность сизигий пра¬
вило незаикания: если ij — это буквы последовательности, следующие друг
за другом, то г ф j. Причина для наложения этого правила состоит в том,
что заикание может быть гомотопически удалено (см. рис. 3).
Буква j с индексом плюс сверху, то есть j+, означает, что сизигия
j возникает при пересечениии экватора от верхней полусферы к нижней
полусфере. Буква j~ означает, что сизигия j возникает при пересечении
от нижней к верхней полусфере. Плюсы и минусы должны чередоваться,
поскольку траектория будет колебаться между полусферами. В топологиче¬
ских терминах сегмент дуги с двумя последовательными плюсами, такой
как /с~г+j+, полностью лежит в верхней полусфере и может быть гомото-
пирован до k~j+. В динамических терминах такая дуга никогда не может
возникнуть, поскольку в этом случае она должна быть касательной в г+
к коллинеарному подпространству (экватору), но если решение является
касательным к коллинеарному подпространству в некоторой точке, то оно
полностью лежит в коллинеарном подпространстве.
Из вышеприведенных рассуждений и из топологии пары штанов сле¬
дует, что существует взаимно-однозначное соответствие между свободны¬
ми гомотопическими классами и периодическими последовательностями
сизигий со знаком без заиканий. С этого момента мы для простоты будем
опускать знаки +, — в верхних индексах. Для заданной последовательности
без знака существует только два способа снабдить ее знаком. Развязанные
классы — это в точности те классы, которые имеют последовательность
сизигий ... 1212 ..., ... 2323 ... или ... 3131.... Они соответствуют кри¬
вым, которые вращаются вокруг одного конца. Мы докажем в теореме 2.2,
что никакое ограниченное решение с нулевым кинетическим моментом не
реализует эти развязанные классы. Исключение этих классов равносильно
требованию того, чтобы все три буквы появлялись в последовательности.
Подходящие гиперболические штаны
109
Таким образом, следствие 2.1 утверждает, что каждая периодическая по¬
следовательность сизигий без заиканий, в которой встречаются все три
буквы, реализуется единственным (с точностью до симметрии) относи¬
тельным периодическим решением.
2.2. Символическая динамика; апериодические последовательности
сизигий
Мы переходим к бесконечным апериодическим последовательностям
сизигий. В оставшейся части этого подраздела под «задачей» понимается
задача трех тел с потенциалом 1 /г2 с равными массами с нулевым кине¬
тическим моментом, а под «решением» понимается решение этой задачи,
то есть этого дифференциального уравнения. Большая часть изложенных
здесь результатов — это применение идей, впервые предложенных в рабо¬
тах Морса и Адамара.
Теорема 2.1. Каждая бесконечная последовательность сизигий без
заиканий, за исключением развязанных классов ... ijij ..реализуется
некоторым решением.
Доказательство. См. раздел 6.2. Метод доказательства — классиче¬
ский метод [17] аппроксимации периодическими решениями.
Теорема 2.2. Если последовательность сизигий заканчивается буква¬
ми (начинается с букв) ijij ..., то любое ограниченное решение, которое
реализует эту последовательность, должно заканчиваться (начинаться)
в столкновении ij. Бесконечная в обе стороны последовательность
... ijij ... не реализуется никаким решением.
110
Р. Монтгомери
Доказательство. См. раздел 6.3.
Стоит отметить, что если решение допускает столкновение, то оно де¬
лает это за конечное ньютоново время, но за бесконечное якобиево время.
Мы называем последовательности, которые появляются в теореме 2.2,
«столкновительными последовательностями». Дадим более строгое опре¬
деление.
Определение. Бесконечная в обе стороны последовательность сизигий
без заиканий s = является прямой столкновительной последо¬
вательностью, если один из ее хвостов в прямом направлении {sj}j>N
содержит только две буквы. Аналогично определяются обратные столкно-
вительные последовательности. Столкновительная последовательность —
это последовательность, которая является прямой или обратной столкнови¬
тельной последовательностью. В противном случае все три буквы должны
встречаться в каждом хвосте в обоих направлениях. В таком случае после¬
довательность называется нестолкновительной.
Всякое ли решение имеет последовательность сизигий? Если да, то
будет ли такая последовательность единственной? В работе [13] я показал,
что каждое ограниченное неколлинеарное решение ньютоновой задачи трех
тел с нулевым кинетическим моментом допускает бесконечное множество
сизигий, при условии что решения не стремятся к тройному столкнове¬
нию и при условии что двойные столкновения рассматриваются как сизи¬
гии. (Другое доказательство можно найти в работе [9].) То доказательство
дословно проходит для любого потенциала 1/га, а > 0, за исключением то¬
го, что мы должны исключить двойные столкновения. (Они не могут быть
регуляризованы.) Таким образом, всякое ограниченное нестолкновитель-
ное решение имеет последовательность сизигий. Эта последовательность
должна быть без заиканий в нашем случае равных масс. Чтобы доказать,
что не существует заиканий, воспользуемся тем фактом, что на поверхно¬
сти отрицательной кривизны любая компактная геодезическая дуга являет¬
ся единственной кривой, минимизирующей длину, среди всех гомотопиче¬
ских кривых, которые имеют те же конечные точки. (См. равенство 6.3.1
и его вывод.) Следовательно, применение метода отражения, как показано
в [6], избавляет нас от дуг решений, представляющих заикания, то есть дуг
решений, которые попадают в одну и ту же дугу экватора два раза подряд.
Эти рассуждения позволяют нам определить сизигийное отображение из
множества нестолкновительных решений в множество бесконечных после¬
довательностей сизигий без заиканий.
Теорема 2.3. Сизигийное отображение из множества ограниченных
решений в множество последовательностей сизигий является биекцией
Подходящие гиперболические штаны
111
между множеством нестолкновительных решений, по модулю симметрии
и сдвигов времени, и множеством бесконечных в обе стороны нестолк¬
новительных последовательностей сизигий без заиканий, с точностью до
сдвига.
Доказательство. См. раздел 6.4.
Наконец, мы хотели бы знать, какую часть фазового пространства (еди¬
ничного касательного расслоения пары штанов) занимают нестолкнови-
тельные решения. Следующая теорема указывает, что небольшую.
Теорема 2.4. Множество решений, стремящихся к двойному столк¬
новению, является плотным в пространстве всех ограниченных решений.
Таким образом, множество нестолкновительных решений имеет пустую
внутренность.
Доказательство. См. раздел 6.5.
Резюме. Объединяя все теоремы, мы получаем довольно полную кар¬
тину символической динамики в нашей задаче — ограниченной задаче трех
тел с потенциалом 1/г2, с равными массами, с нулевым кинетическим мо¬
ментом. Во-первых, из теоремы 1.1 следует, что не существует никаких ли¬
нейно устойчивых периодических орбит. Теорема 2.3 дает полную картину
символической динамики для нестолкновительных орбит: это в точности
такие орбиты, последовательности сизигий которых являются нестолкно-
вительными. Замыкание этого нестолкновительного множества орбит есть
рекуррентное множество. Это рекуррентное множество также совпадает
с замыканием множества периодических орбит. Существуют столкнови-
тельные орбиты на границе этого рекуррентного множества. Эта ситуация
похожа на ситуацию в задаче Кеплера, если заменить слово «столкнови-
тельные» на «неограниченные». В задаче Кеплера замыкание пространства
периодических орбит является рекуррентным множеством, и это множество
содержит параболические орбиты на своей границе. Эти неограниченные
рекуррентные орбиты только «едва добираются» до бесконечности. Так же
и в нашей задаче, эти ограниченные столкновительные орбиты являются
«только едва столкновительными», по той причине, что условие столкно¬
вения J2 — (mi + m2) ^ 0, которое появляется в приложении А, — нера¬
венство (12,4) — становится равенством на этих орбитах. Дополнение до
нашего рекуррентного множества состоит из орбит, стремящихся «строго»
к двойному столкновению. Эти орбиты строгого столкновения образуют
открытое множество (приложение А). Наконец, результат о плотности —
теорема 2.4 — это аналог того, что хотелось бы доказать для истинной
112
Р. Монтгомери
задачи трех тел с потенциалом 1 /г: что множество решений, стремящих¬
ся к бесконечности (через плотно соединенные сдвоенные пары), является
плотным для фиксированных значений энергии и кинетического момента.
М. Херман [10] назвал эту задачу о плотности «старейшей задачей в теории
динамических систем».
Свободные концы. Существуют столкновительные орбиты, которые
мы упустили из нашего рассмотрения символических последовательно¬
стей. Мы не имеем в виду коллинеарные решения. Коллинеарные реше¬
ния, в зависимости от того, как их понимать, должны либо не иметь по¬
следовательностей сизигий, либо содержать континуум букв г в такой по¬
следовательности. Существует ровно шесть коллинеарных решений, по два
решения, отличающихся друг от друга ориентацией, для каждой из трех
столкновительных дуг. Существуют также столкновительные орбиты, ко¬
торые направлены «прямо в столкновение», так что тела не вращаются
друг вокруг друга бесконечно долго. Они делают это, направляясь прямо
в бесконечность вдоль одной из штанин. Прямая столкновительная по¬
следовательность такой орбиты просто обрывается, поэтому бесконечной
в обе стороны она не является. Простейший пример таких обрывающихся
решений — это равнобедренные решения. Равнобедренное решение гц —
= rik начинается и заканчивается в столкновении jk и имеет ровно од¬
ну сизигию между начальным и конечным столкновениями — это эйле¬
рова точка, в которой г является средней точкой между j и к. Последо¬
вательность сизигий такого решения состоит из одной буквы г. Подсчи¬
тывая так же, как и коллинеарные решения, мы получим шесть равно¬
бедренных решений. Интерполирование между коллинеарными и равно¬
бедренными решениями, которые заканчиваются в столкновении ij, дает
однопараметрическое семейство zj-столкновительных решений, последо¬
вательности сизигий которых обрываются, так как они направлены пря¬
мо в конец ij. Эти интерполяционные решения суть A-кривые уравне¬
ния (3.13), кривые постоянного значения х> здесь берется система коор¬
динат А, х-
Открытые вопросы. Существуют ли какие-нибудь решения, кроме
равнобедренных, которые имеют конечные последовательности сизигий?
В частности, являются ли последовательности сизигий каких-нибудь (или
всех) интерполяционных решений, являющихся A-кривыми, конечными?
Если существуют многочисленные решения с конечными последовательно¬
стями сизигий, то всякая ли конечная последовательность сизигий может
быть реализована некоторым столкновительным решением? Могут ли раз¬
личные столкновительные решения иметь одну и ту же последовательность
сизигий?
Подходящие гиперболические штаны
113
3. Постановка задачи и доказательство утверждения 1.1
Обозначим через х = {х\,Х2,х$) Е М6, где x* Е М2, положения трех
тел, а через = ||х* — Xj || обозначим расстояния между ними. Потенциал
есть —С/, где
U = (3.1)
Через rrii обозначены массы. Пусть
К = ЕШг||Хг||2 = (ж, ж) (3.2)
— удвоенная кинетическая энергия. Последнее равенство в (3.2) определяет
«скалярное произведение с массами» на конфигурационном пространстве
R6 трех тел. Полная энергия
Н = К/2 — U (3.3)
постоянна вдоль решений. Уравнения движения х* = —2Е^тпДх* —
— Xj)/rfj,i = 1, 2, 3, могут быть переписаны как одно векторное уравнение
х = VC/(x), (3.4)
где VU определяется через скалярное произведение с массами: dU(x)(v) =
= (VU(x),v).
Используя стандартные методы физики первого курса, мы можем без
ограничения общности всюду далее ограничиться рассмотрением движе¬
ний, для которых
Е ТПгХг = 0. (3-5)
Такое ограничение определяет четырехмерное вещественное векторное
пространство, которое можно отождествить с двумерным комплексным
пространством С2 таким образом, чтобы поворот против часовой стрелки
треугольника (х1,Х2,хз) на в радиан превращался в умножение соответ¬
ствующего комплексного вектора на скаляр ехр(г$). Положим
I --- T.rriimjr^/Ешг : (х,х), (3.6)
где последнее равенство верно только тогда, когда выполнено ограничение
(3.5) на центр масс. Используя равенства I = 2(ж, х), I = 2(х, х) + 2(х, х),
(x,VC/(x)) = —2U(x) (в силу однородности С/), мы получаем тождество
Лагранжа-Якоби:
I = 4 Я, (3.7)
114
Р. Монтгомери
которое выполнено вдоль любого решения. Таким образом, I(t) = const
вдоль решения тогда и только тогда, когда Я = 0 и /(0) = 0 для такого
решения.
Мы будем называть решение «ограниченным», если расстояния
ограничены как функции от времени и не стремятся одновременно к ну¬
лю, то есть к тройному столкновению. Далее, / —> оо тогда и только тогда,
когда одно из гц стремится к бесконечности, и / —> 0, если все гц —> 0.
Из (3.7) следует, что каждое ограниченное решение должно удовлетворять
равенствам Н = 0, 1(0) — 0 и I(t) = const.
Симметрия масштабирования x(t) н-> \~1/2x(\t) переводит решения
в решения, сохраняет нулевую энергию и переводит I в I/Х. Используя та¬
кое масштабирование, мы при изучении ограниченных решений без ограни¬
чения общности можем полагать, что 1 = 1. Множество 1 = 1, = 0
образует трехмерную сферу S3 в С2. Мы свели исследование ограниченных
решений задачи с потенциалом 1 /г2 к динамике второго порядка на этой
трехмерной сфере. Хорошо известно ([1] или [3]), что динамика на мно¬
жестве уровня поверхности постоянной энергии Н = Е эквивалентна гео¬
дезическому потоку для метрики Якоби-Мопертюи (Е + U)ds2, где ds2 —
это метрика кинетической энергии. В нашем случае Е = 0, и мы ограни¬
чиваем кинетическую энергию на сферу 1 = 1. Следовательно, изучение
ограниченных решений равносильно изучению геодезических на трехмер¬
ной сфере относительно метрики ds2 = Uds2, конформной к стандартной
метрике ds2 на этой трехмерной сфере.
Чтобы получить метрику на шейповой сфере, произведем факториза¬
цию по группе вращений. Отождествим эту группу с группой S1 единич¬
ных по модулю комплексных чисел. Группа S1 действует на нашей трех¬
мерной сфере S3 С С2 как умножение на скаляр. Факторизация по группе
S1 определяет известное расслоение Хопфа
S3 -> 53/5Х = S2, (3.8)
где основное пространство S2 — это тейповая сфера, точки которой пред¬
ставляют ориентированные классы подобия треугольников. Проекция (3.8)
и выбор 51-инвариантной метрики на S3 индуцируют метрику на шейпо¬
вой сфере. Эта фактор-метрика определяется требованием того, чтобы про¬
екция (3.8) была римановым погружением, то есть требованием того, что¬
бы ортогональные дополнения к слоям расслоения (3.8) были изометричны
(относительно линеаризации проекции (3.8)) касательным пространствам
к шейповой сфере. Если метрика, с которой мы стартовали, — это метрика
кинетической энергии ds2, то индуцированная метрика будет называться
Подходящие гиперболические штаны
115
метрикой пространства шейпов и будет обозначаться ds2hape. Полный ки¬
нетический момент решения равен нулю тогда и только тогда, когда такое
решение ортогонально слоям расслоения (3.8). Ортогональность измеря¬
ется или относительно метрики кинетической энергии, или относительно
метрики Якоби-Мопертюи Uds2 — условие ортогональности будет одно
и то же для обеих метрик, поскольку они конформно связаны. Проекция
геодезической (в любой метрике) с нулевым кинетическим моментом на
шейповую сферу является геодезической (в соответствующей унаследован¬
ной метрике) на шейповой сфере (см. [11], лемма 4.1). Отсюда следует, что,
по модулю симметрий вращения и масштабирования, ограниченные реше¬
ния с нулевым кинетическим моментом находятся во взаимно-однозначном
соответствии с решениями для индуцированной метрики Якоби-Мопертюи
на шейповой сфере. (См. [6, 14, 15] и, главным образом, приложение в ра¬
боте [15], где приведены более подробные и точные выкладки.)
Мы можем записать метрику Якоби-Мопертюи на шейповой сфере
в виде
где U — это (отрицательный) потенциал (3.1), ограниченный на I = 1 и опу¬
щенный по формуле (3.8) на шейповую сферу. Метрика шейповой сферы
ds2hape — это круговая метрика на сфере радиуса 1/2:
где ф — это широта — угол от экватора, а в — это обозначения для продоль¬
ных окружностей на сфере.
Доказательство утверждения 1.1. Как уже обсуждалось выше,
по модулю вращений, сдвигов и масштабирования, множество ограничен¬
ных решений с нулевым кинетическим моментом для отрицательного по¬
тенциала (3.1) находится в биективном соответствии с геодезическими для
метрики Якоби-Мопертюи (3.9) на шейповой сфере без трех точек двойных
столкновений. В силу этого соответствия геодезический поток для метрики
после замены параметра времени будет соответствовать потоку, определя¬
емому уравнениями Ньютона. Остается проверить утверждение о полноте
и о концах.
Полнота. Пусть р — pij — сферическое расстояние от точки столк¬
новения ij, измеряемое в сферической метрике ds2hape, и пусть \ — с0_
ответствующая угловая координата с центром в этой точке. Мы покажем,
ds2j = Uds2shape,
(3.9 а)
(3.9 Ь)
116
Р. Монтгомери
что
С2
и= ^2+0(1) (3.10а)
для некоторой положительной константы С2, в то время как
dS<shape — dp2 + (р2 + 0(p4))dx2 (3.106)
при р —> 0. Отсюда будет следовать, что метрика Якоби имеет разложение:
ds2j = Pj (dp2 + p2dx2)) +0(1). (3.10c)
P
Если мы теперь приблизимся к столкновению р — 0 вдоль любой кривой,
то ее длина в метрике Якоби f dsj расходится по крайней мере так же
быстро, как интеграл от Cy/dp2 / р2 — Cdp/p, то есть она расходится лога¬
рифмически, так же как С| log(p) | при р —> 0. Следовательно, любая кривая,
стремящаяся к «бесконечности», то есть к одному из двойных столкнове¬
ний, имеет бесконечную длину, что доказывает полноту.
Чтобы установить (3.10а), достаточно установить равенство
Пэ = —=sin(py)> (3.11)
yPij
где pij = mirrij/(rrii + rrij) — это редуцированные массы. Другие два рас¬
стояния rik,rjk отделены от нуля при гц —> 0 в силу ограничения 1 = 1
(см. (3.6)). Тогда (3.10а) будет следовать из (3.1) и разложения sin(p) в ряд
Тейлора. Константа С в (3.10а) равна mirrij/у/Щ].
Чтобы установить (3.11), мы будем работать в полном трехмерном про¬
странстве шейпов. Точками этого пространства являются ориентированные
классы конгруэнтности плоских треугольников. Полное пространство шей¬
пов изометрично конусу над шейповой сферой, и, следовательно, рассто¬
яния d в полном пространстве шейпов можно получить из сферических
расстояний, если знать расстояние R = у/1 от точки конуса. Обозначим
через dij расстояние в полном пространстве шейпов между произвольной
точкой и лучом двойного столкновения ij. Тогда мы имеем
т у = dy (3.12а)
y/P'ij
и
dij = Rsm(pij). (3.126)
Подходящие гиперболические штаны
117
После подстановки R = 1 сразу получаем равенство (3.11). Равенства
(3.12а, Ъ) можно найти в разделе 4, уравнения (4.3.15а, Ъ) работы [14]. (За¬
метим, кстати, что сделана опечатка в уравнении (4.3.15а). В том уравне¬
нии надо заменить на уДЩ.)
Чтобы получить (3.106), используем тот факт, что шейповая сфера изо-
метрична сфере радиуса 1/2 и что метрика на такой сфере задается равен¬
ством
dslhape = dp2 + К1/2) sin(2p)?dx2 (3.13)
в сферических полярных координатах. Далее используем разложение
(1/2) х х sin(2p) в ряд Тейлора.
Асимптоты к цилиндрам. Мы воспользуемся более точным вариантом
разложения (3.10с). Пусть
dx = -VU dp. (3.14)
Фиксируя х и интегрируя (3.14), получаем функцию А = А(р, х)> такую,
что А —> оо при приближении к столкновению р = 0. Из формулы (3.10а)
имеем d\ = —Cdp/p + 0( 1), откуда следует, что
р = е~сх + о(р).
Координаты (А, х) — это координаты для конца р = 0. В этих координатах
— d\2 + /(A, x)2d>X2i (3.15)
где, учитывая (3.13) и (3.9а), мы имеем
/2 = (^sin(2p)) U.
Далее (| sin(2p))2 = sin2 pcos2 р, поэтому из (3.11) следует (| sin(2p))2 =
= Pijrfj cos2{р) и
Г ^i' 1
/2 = Pij COS2(p)( ШгШ, + ПЦТПк + ТП^ТПк-^- (3.16)
L rik rjk J
где ijk — это перестановка 123. При приближении к столкновению А = оо
мы имеем —» 0, тогда как rik,rjk остаются ограниченными, поскольку
мы связаны ограничением 1 = 1. Таким образом,
lira / = y/p,ijmimJ := Ki3 > 0. (3-17)
118
Р. Монтгомери
В итоге получаем
ds2 = d\2 + (K?j + 0(e~2CX))dx2 - (3.18)
Это говорит о том, что метрика является асимптотической к евклидову ци¬
линдру радиуса Kij при приближении к концу ij. □
Замечание. Из уравнений (7.12, 7.13) следует, что гауссова кривизна
вблизи конечной точки отрицательна. Но для любой метрики вида (3.15)
эта кривизна равна — у Таким образом, при фиксированном \ функция
/(А,х) — это строго выпуклая по Л функция для всех Л, начиная с неко¬
торой точки, и функция /(А, х), начиная с этой точки, монотонно убывает
К K\j •
4. Кривизна. Доказательство теоремы 1.1
Мы переходим к доказательству нашего основного результата — тео¬
ремы 1.1 — об отрицательности гауссовой кривизны, в случае когда массы
равны. Мы будем производить выкладки на протяжении ряда лемм. Первая
из них является стандартной, и мы не будем ее доказывать.
Лемма 4.1. Пусть поверхность снабэюена конформно связанными
метриками ds2 и ds2 = Uds2. Тогда их кривизны К и К связаны соот¬
ношением
K = U-\K-l-b\og{U)),
где лапласиан Д берется относительно метрики ds2.
Кривизна К стандартной шейповой метрики ds2 — ds2hape из (3.9b)
есть К = 4. Согласно лемме 4.1
K = U-1(4-±A(\og(U)) (4.1)
есть требуемая кривизна, кривизна метрики Якоби-Мопертюи (3.9а) из
утверждения 1.1 и теоремы 1.1. Простые вычисления дают
доода» . "MMIwf (4 2)
Здесь и всюду далее в этом разделе U рассматривается как функция на
шейповой сфере, AU — ее лапласиан относительно стандартной метрики
Подходящие гиперболические штаны
119
пространства шейпов ds2, а ||X/U\\2 — квадрат длины ее градиента относи¬
тельно той же самой метрики
Ключевым фактором для следующих выкладок является использова¬
ние координат квадратов длин вместо самих длин , как это сделано в [2]
sk = г-, ijk — перестановка 123. (4.3)
Обозначим
и2п = £1/7-2” = £1 /зпк, (4.4)
так что U = U2-
Лемма 4.2.
A U = 8U4- (4.5)
Доказательство. См. раздел 5.2.
Лемма 4.3.
II VC/||2 = 45, (4.6а)
где
S = 2U6-U4- 3/2£'1/s2s2 + 2£'l/siS2 - £'1 /siSj (4.6b)
и где «Т,'» означает сумму no всем индексам i,j, таким, что г ^ j.
[Например, Y,'siSj = 2s\S2 + 2S2S3 + 2S3S1, то есть сумма равна удво¬
енному симметрическому многочлену второго порядка от Si.)
Доказательство. См. раздел 5.3.
Доказательство отрицательности кривизны.
Объединяя равенства (4.1), (4.2), (4.5) и (4.6а), мы получаем
-KU3 = 4ии4 - 4С/2 - 25. (4.7)
Раскроем первые два члена в правой части:
UU4 = £l/Si£l/s2 =
= £l/sf + £'l/s<s2 = (4.8)
= Uq + £'1/s,s2,
U2 = Zl/siZl/sj =
= £l/s? + £'l/sjSj = (4.9)
= U4 + £ 1 /SiSj.
120
Р. Монтгомери
Подставляя (4.8), (4.9) и равенство (4.66) в уравнение (4.7), получим:
-KU3 = -2Щ - 2E'l/siSj + ЗЕ'1 /s2s2. (4.10а)
Используем тот факт, что С/4 + Е'1/sjSj = (Е1 /зг)2 = U2. Подставляем это
равенство в правую часть (4.10а), получим
-KU3 = ЗЕ'1 /s2s2 - 2U2. (4.106)
Следовательно, К ^ 0 тогда и только тогда, когда
3(ЕТ/s2s2) > 2(El/si)2. (4.11)
Чтобы доказать (4.11), умножим обе части этого неравенства на s\s\s\,
получим 6(Еs2) ^ 2сг2 или
3(Es2) > а2, (4.12)
где а 2 = 5i 52 + 525з + S3 Si — второй элементарный симметрический мно¬
гочлен от s%. (Коэффициент 6 появляется потому, что для каждой пары ij
существует два члена в сумме См. замечание в скобках в лемме 4.3.)
Чтобы доказать (4.12), вспомним, что мы ограничиваемся рассмотрением
сферы I — 1 и что I = TiSi/3. Таким образом, мы можем сделать урав¬
нение однородным, используя равенство 3 = (£s*)2/3 на сфере. Поэтому
требуемое неравенство принимает вид
(£«5г)2 /V*^,2\ ^ 2
g (^5г ) ^ а2'
Известны два классических неравенства
Es2 > (т2, (4.134)
> <72, (4.13В)
в которых равенство в любом случае достигается тогда и только тогда, когда
все Si равны. Покажем это. Неравенство (4.13А) просто следует из нера¬
венства (s 1 — S2)2 + (^2 — S3)2 + (S3 — S1)2 ^ 0. Неравенство (4.13В) —
это частный случай общего неравенства для элементарных симметрических
многочленов, вычисленных для положительных аргументов Si (см., напри¬
мер, энциклопедию [12], приложение А, таблица 8, неравенство (4)). Ли¬
бо для доказательства можно просто раскрыть скобки (Es^)2 = £s2 + 2а2
Подходящие гиперболические штаны
121
и воспользоваться неравенством (4.13А). Умножая эти два неравенства, по¬
лучаем требуемое неравенство (4.12), в котором равенство выполняется то¬
гда и только тогда, когда мы находимся в лагранжевых точках 51 = 52 = 53
шейповой сферы. Поскольку (4.12) эквивалентно неравенству на кривизну,
теорема 1.1 доказана, по модулю доказательства лемм 4.2, 4.3, которые бу¬
дут даны в следующем разделе. □
5. Доказательство лемм 4.2 и 4.3
5.1. Обозначения
Чтобы вычислить AU и ||V£/||2 мы должны выразить квадраты рас¬
стояний 5/с = из (4.3) через сферические координаты (6,9) из (3.9Ъ).
В [13] я доказал, что после ограничения на сферу 1 = 1
7i(9) = cos(0), 72(0) = cos((9 + 27г/3), 7з($) = cos(9 + 47г/3). (5.1.2)
Значения углов # = 0,27г/3,47г/3 отмечают места расположений трех двой¬
ных столкновений на экваторе ф = 0 коллинеарных треугольников. Впо¬
следствии мы воспользуемся тем фактом, что для любого в три плоских
вектора (7&(0), 1^(9)), к = 1,2,3, образуют вершины равностороннего тре¬
угольника, вписанного в единичную окружность. Здесь и всюду далее через
7' мы обозначаем производную д$Ъ функции 7* по в.
5.2. Доказательство леммы 4.2.
Обозначим с = cos(0), 5 = sin(<£), дф — частная производная по ф
и до — частная производная по 9. Тогда
5/с = 1 - cos(0)7/c((9)
(5.1.1)
где
AU = *дф{сдфи) + ^{d2eU).
(5.2.1)
Далее,
дф{ 1/s*) = -s'n/Si,
dg(l/Si) = Cj'Js?.
(5.2.2a)
(5.2.2 b)
122
Р. Монтгомери
Поскольку U = El/si, то мы имеем
дф{сдфи) = д^сЦ-^)/^2 =
= a0(-csE7i)/s? =
= (-c2 + S2)E7i/S2 + 2cS2E72/Sf.
Таким образом,
^(сад = ((a2 - c2)/c)E7i/s2 + 2s2E72/s?. (5.2.3)
Далее,
2&&C7 = ^a0Ec7'/.s2 -
= ^Ec[7"/s2 + 2(c7i)2/sf =
= ~S7"/s2 + 2E(7')2/sf. (5.2.4)
Имеем 7'' = —'уь поэтому
= -^E7,/S2 + 2E(7')2/sf. (5.2.5)
Умножая (5.2.3) на 4 и (5.2.5) на 4, а затем складывая, получаем
Д[/ = 4((s2 - с2 - l)/c)E7i/s2 + 8s2E72/sf + 8E(7')2/Sf. (5.2.6)
Поскольку s2 — с2 — 1 = —2с2, то
Д[/ = —8Ес7г/s2 + 8E[s272 + (7')2]/sf.
Вспоминая, что 72 + (7()2 = 1 (векторы (7»,7*) определяют равносторонний
треугольник, вписанный в единичную окружность), мы видим, что можно
заменить (7')2 на 1 — 72, тогда получим
*Ч2 + (7')2 = (*2-1)7г2 + 1 =
= -с272 + 1 =
= -(l-Si)2 + l = (5-2-7)
= 2Si - s2 =
” -5?(2 5i).
Подходящие гиперболические штаны
123
Тогда [s272 + (ТгО2]/5? = (2 “ si)/si = (с7г + 1)/s2, где я использовал
равенство 1 — s* = crji. Отсюда следует, что
AU = -8ЪсЪ/з2г + 8Ес7г/52 + 8Е(1/52) = 8£74,
5.3. Доказательство леммы 4.3
Мы имеем
dU = дфийф + deUdO = (E(-S7i/S?)d0 + (E(crO/a?))d0. (5.3.1)
Далее, || Vt/||2 = ||d[/||2. Квадрат длины ковектора dU вычисляется относи-
тельно метрики дг\ индуцированной на ковекторы, которая согласно (3.9)
задается в точке (0,0) равенством ||айф + bdO||2 = 4(а2 + ^-Ь2), где с =
= cos(ф). Отсюда следует, что
В последнем уравнении заменим числитель первого слагаемого по форму¬
ле (5.2.7). Во втором слагаемом упростим числитель, используя аналогич¬
ное тождество для s2jijj + 7^7j, i ф j. Действительно, поскольку векто¬
ры (7г 7 7i) образуют вершины равностороннего треугольника, вписанного
в единичную окружность, мы получаем, что 7^7? + 7-7' = —1/2 для г ф j,
поскольку —1/2 = cos(27r/3) — это косинус центрального угла, определяе¬
мого двумя вершинами равностороннего треугольника. Таким образом,
что и требовалось доказать.
□
(5.3.2)
s2iiii + ia'j = ъъ + lii'j - c2nij -
— “1/2 — (1 — Si)(l — Sj)
= -3/2 + Si + Sj - SiSj.
(5.3.3)
Подставляя (5.3.2) и (5.3.3) в (5.3.1), получаем
||VC/||2 = 4(2El/s? - El/s2 - ^E'l/s2s2 + 2E'l/^2 - E'l/s^) = 45,
что и требовалось доказать.
□
124
Р. Монтгомери
6. Динамические результаты
6.1. Прохождение через R
Пусть Р означает пару штанов. Используя метрику на шейповой сфе¬
ре (3.9а), построим три непересекающихся окружности с центрами в трех
точках двойных столкновений. Удалим открытые круги, ограниченные эти¬
ми окружностями, получим компактную область R С Р, границей которой
являются три непересекающихся окружности (см. снова рис. 1).
Лемма 6.1. Любая дуга в Р, (конечная) последовательность сизигий
которой содержит все три буквы, должна проходить через R.
Доказательство. Пусть с — такая «123»-дуга. Если одна из сизигий
дуги с' находится в R, то все доказано. В противном случае все три сизигии
лежат внутри трех вырезанных кругов. Но все три сизигии не могут нахо¬
диться в одном и том же круге, поскольку каждый круг содержит только
два типа сизигий. Таким образом, дуга с должна переместиться от одного
круга до другого, при этом она пересечет множество R. □
6.2. Доказательство теоремы 2.1
Пусть s — последовательность сизигий, содержащая все три буквы.
Аппроксимируем s последовательностью wN, N = 1,2,3, периодических
последовательностей следующим образом. Берем срезку последовательно¬
сти s так, чтобы образовалось подслово конечной четной длины wn =
= 5_s—j\[... sjv- Образуем из этого подслова периодическую последо¬
вательность .. .wnWnwn ..повторяя это подслово блоками. Если полу¬
ченное слово имеет заикания в местах соединения, сдвинем «окно», ко¬
торое мы использовали для образования wN, и образуем слово wjsrj =
= s-jv+j+iS-jv+j • • • sN+j, а вместе с ним и соответствующее периодиче¬
ское слово. Мы всегда можем найти j, такое, что полученное периодическое
слово, назовем его wN, не имеет заиканий. Последовательность wpj содер¬
жит все три буквы 123 для всех достаточно больших N, поскольку сама по¬
следовательность s содержит все три буквы. Из следствия 2.1 вытекает, что
слово tTjv представляется единственной периодической геодезической 7^.
По лемме 6.1 должна проходить через R. Произведя сдвиг по време¬
ни (и, следовательно, сдвиг последовательности), если это необходимо, мы
можем полагать, что 7n(0) G R. Поскольку R является компактным, тако¬
вым же является единичное касательное расслоение (относительно метри¬
ки Якоби-Мопертюи) к Р над R. Последовательность начальных условий
Подходящие гиперболические штаны
125
(7дг(0),7iv(0)), N —> оо, лежит в этом компактном пространстве, поэтому
мы можем найти подпоследовательность, которая сходится к некоторому
начальному условию (q,v). Геодезическая с начальным условием (g, v) ре¬
ализует бесконечную последовательность s. □
6.3. Столкновительные последовательности. Доказательство
теоремы 2.2
Пусть s — это столкновительная последовательность. Без ограниче¬
ния общности можно считать, что это — прямая столкновительная после¬
довательность и что две буквы в ее хвосте в прямом направлении — это
1 и 2. Первая часть теоремы утверждает, что любое решение, которое ре¬
ализует s, должно удовлетворять условию т 12 —> 0, когда якобиево время
t —> оо. (В ньютоновом времени столкновение происходит за конечное вре¬
мя.) По мере того как два тела становятся ближе, третье тело воздействует
на них все меньше и меньше. Непосредственный анализ задачи двух тел
с потенциалом 1 /г2 показывает, что liminfri2 = 0 тогда и только тогда,
когда limri2 = 0. Возмущение третьего тела не влияет на это утверждение.
Таким образом, чтобы доказать, что решение, реализующее s, допускает
столкновение, достаточно показать, что
liminfri2 = 0 (6.3.1)
вдоль решения.
Наше доказательство соотношения (6.3.1) основывается на том факте,
что на односвязной полной поверхности неотрицательной кривизны любая
компактная геодезическая дуга является единственной минимизирующей
дугой между двумя конечными точками. На полной неодносвязной поверх¬
ности, такой как пара штанов, из этого следует, что если мы имеем геоде¬
зическую дугу, то не существует кривой короче, которая имела бы те же
концы и была бы гомотопна данной кривой посредством гомотопий с фик¬
сированными концами.
Мы доказываем от противного. Предположим, что некоторое решение
7 С Р реализует столкновительную последовательность s, но удовлетво¬
ряет условию liminf ri2 = 5 > 0. Мы построим сравнительную кривую с,
которая имеет те же самые концы, что и (длинная) дуга кривой 7, гомо¬
топную этой дуге посредством гомотопий с фиксированными концами, но
которая короче, чем 7. Эта дуга будет такой дугой, последовательность си¬
зигий которой есть 1212... 12, где 12 повторяется N раз и N — большое.
(См. рисунок 4, на котором изображена эта дуга и более короткая сравни¬
тельная кривая с). Существование кривой с противоречит минимальности
кривой 7, описанной в предыдущем параграфе.
126
Р. Монтгомери
Чтобы построить с, мы воспользуемся цилиндрическими координата¬
ми в конечной точке (Л, х) из (3.14а, Ь), (3.15), которые относятся к столк¬
новению 12. Мы имеем
р
Нр,х) = j VU(s,x)ds,
Ро
где (р, х) — сферические полярные координаты с центром в точке столк¬
новения. Координаты (А,х) действуют на целой сфере, за вычетом эква¬
ториальной дуги 3 и точек столкновения. Координата А при приближении
к столкновению удовлетворяет условию А —» оо. Метрика Якоби в этих
координатах есть
ds2 = d\2 + /(A, x)2dx2, (6.3.2)
где
J-2 1 2/ \ J 1 I s12 . s12 1
/ = о cos (P)i 1+ — + — (•
2 ( S13 523 J
1 f
Кривизна любой метрики вида (6.3.2) равна — Поскольку эта кри¬
визна отрицательна (теорема 2.1) и поскольку Итл^оо /(А, х) = 1 /л/2 (ра¬
венство 3.18), то для каждого фиксированного х функция /(х, А) монотон¬
но убывает к своему инфимуму 1/\/2 при А —> оо. Отсюда следует, что
F(А) = minx /(А, х) также монотонно убывает к 1/л/2.
Любая геодезическая дуга 7 на паре штанов, которая реализует после¬
довательность сизигий 12, не может пересекать окружность равнобедрен¬
ной конфигурации г 12 = Г23 или 7*12 = Пз- Это следует из свойства мини¬
мальности дуги, которое обсуждалось выше, и принципа отражения (см. [6]
и доказательство незаикания в разделе 2, между теоремами 2.2 и 2.3). Отра¬
жения относительно окружностей равнобедренных конфигураций являются
изометриями в метрике Якоби, поэтому любой сегмент дуги 7, которая пе¬
ресекает окружность равнобедренной конфигурации, а затем пересекает ее
обратно, может быть отражена относительно той окружности, с тем чтобы
образовать новую дугу с теми же концами, что и 7, и с тем же типом гомо-
топии. Это противоречит единственности. Таким образом, без ограничения
общности можно полагать, что наша длинная часть дуги 7 полностью ле¬
жит в объединении областей 772 < г is и 772 < Г23. В частности, координаты
(А, х) действуют на всей нашей дуге.
Чтобы построить требуемую сравнительную кривую с, мы воспользу¬
емся тем фактом, что F монотонно убывает по А и что число N пересече¬
ний 12 части дуги 7 может быть выбрано сколь угодно большим. Поскольку
по предположению inf г 12 > 0, то мы получаем, что А = sup А < 00 вдоль
Подходящие гиперболические штаны
127
нашей кривой. Пусть задано малое е > 0. Выберем точки 7(«5дг), 7(£jv),
Sjsf < tw, вдоль дуги, для которых A(£n), A(sn) > А — е, и такие, что дуга
7[sn, tn\ в промежутке реализует последовательность сизигий 12 ... 12 с N
копиями 12. Наша сравнительная кривая с будет идти «прямо в столкнове¬
ние» до некоторой точки А* > А, определяемой моментально, вращается
вокруг точки столкновения 12 в том же направлении, что и 7, совершая
такое же число сизигий в этом фиксированном значении А = А*, и за¬
тем возвращается, направляясь «прямо от столкновения» к точке 7(tn) (см.
рис. 4). «Прямо в» и «прямо от» означает, что \ фиксировано, а изменяется
только А. В течение «вращательного» движения А = А* фиксировано, а х
изменяется. При этом \ стартует с X = xil(5п))> затем возрастает так, что
с допускает последовательность сизигий 1212... 12 (N раз), затем оста¬
навливается в х = x{l{tn) в некоторый момент времени, в который затем
начнется движение по обратному сегменту дуги «прямо от столкновения».
Рис. 4. Перестройка орбиты для уменьшения длины пути столкновительной после¬
довательности
По построению, кривая с имеет такие же конечные точки, что и наша
дуга кривой 7, и гомотопна ей. Остается показать, что с короче, чем наша
дуга кривой 7. В силу монотонности и предельных свойств функции / мы
можем выбрать А* > А так, что
I; А раз
max/(A*,x) < F(A) := min/(A,x).
X
Выберем N настолько большим, что
2(А* — А) + б + 7гА(Л)
N <
< tt(F(A) - max/(A*,x))-
х
х
Отсюда следует, что
7гЛГтах/(А*,х) + ?г тах/(А*,х) + 2(А* - Л) + 2б < Ntt(F(A).
х х
128
Р. Монтгомери
Теперь рассмотрим рисунок 4 для построения с. Дуги кривой с «прямо
в столкновение» и «прямо от столкновения» имеют длину меньше, чем
2(Л* — Л) + 2е. «Круговая дуга» между N сизигиями имеет длину меньше,
чем 7тАт тахх /(А*, у). Дополнительное слагаемое тг тахх /(Л*, \) учиты¬
вает тот факт, что x(sn) и х(£п) не обязательно равны. Таким образом,
левая часть неравенства больше, чем длина кривой с. Аналогичный, но бо¬
лее простой анализ показывает, что правая часть меньше, чем длина нашей
дуги кривой 7. Таким образом с короче, чем дуга кривой 7. На этом дока¬
зательство первого утверждения теоремы 2.2 завершено.
Аналогичный анализ показывает, что бесконечная последовательность
...1212..., в которой встречаются только 12, никогда не реализуется. Для
такой реализации должна быть локальная минимизирующая, а вышеприве¬
денная перестройка орбиты показывает, что мы можем всегда уменьшить
длину пути, делая его ближе к столкновению. □
6.4. Доказательство теоремы 2.3
Чтобы установить единственность реализующего решения, мы будем
работать на универсальном накрытии D пары штанов Р. Топологически
D — это круг Пуанкаре, и фундаментальная группа Г = щ (Р) (свободная
группа с двумя буквами) действует на D как фуксова группа. (См. рис. 5,
а также книгу [18]). На рисунок 5 мы изобразили фундаментальную область
Ро Для Р и некоторые из ее образов относительно Г. Граница области Р$
состоит из четырех круговых дуг, которые являются прямыми относительно
метрики Пуанкаре на D. На рисунке 5 мы отметили индексы +, — на дугах.
Обозначим через
n:D-^P
накрывающее отображение, такое, что слои отображения 7г — это копии Г.
В следующих нескольких параграфах мы будем использовать гиперболи¬
ческую метрику постоянной отрицательной кривизны на D. Относительно
этой метрики 7г не является локальной изометрией, но это неважно. Группа
Г действует на D посредством гиперболических изометрий, то есть посред¬
ством преобразований Мёбиуса. Группа Г является свободно порожденной
двумя элементами а и Ь, один из которых, скажем а, меняет местами 1+
и 1_, а другой, 6, меняет местами 2+ и 2_. Эти элементы действуют на
D как преобразование Мёбиуса, и когда они рассматриваются как действу¬
ющие на римановой сфере, они меняют местами внутренности и внешно¬
сти соответствующих им окружностей. Для того чтобы создать Р из Pq,
приклеим дугу 1+ к 1_ с помощью а и приклеим 2+ к 2_ с помощью 6.
Подходящие гиперболические штаны
129
Рис. 5. Фундаментальная область (слева) и некоторые черепицы (справа)
Проекция относительно 7г этих граничных дуг образует дуги 1,2 экватора
множества Р. Третья дуга 3 является внутренней к области Ро и разделяет
ее на две половины — северную (+) полусферу и южную (—) полусферу.
Образы 7Р0 фундаментальной области Ро относительно элементов
7 G Г образуют черепичное покрытие всего D. Каждая из четырех гра¬
ничных дуг такой черепицы 7Р0 является образом относительно 7 одной
граничной дуги области Ро, мы продолжаем использовать старые обозна¬
чения от области Ро для граничных дуг новых черепиц. Две черепицы пе¬
ресекаются (если они вообще пересекаются) вдоль общей граничной дуги.
Эта общая дуга должна быть j_-дугой одной черепицы и j+-дугой другой
черепицы, j = 1,2.
Предположим теперь, что две геодезические реализуют одну и ту же
последовательность символов s. Обозначим через 7, с поднятия этих геоде¬
зических на универсальное накрытие D. После переноса этих кривых эле¬
ментами группы Г мы можем полагать, что обе начинаются в упомянутой
фундаментальной области Ро. Я утверждаю, что последовательность сизи¬
гий s однозначно определяет маршрут ... Р-2Р-1Р0Р1Р2 • • сквозь кото¬
рый должны проходить обе кривые с и 7. Чтобы убедиться в этом факте,
заметим, что каждая запись трех смежных черепиц P*_iP*Pj+i однознач¬
но представляет или две, или три буквы из последовательности сизигий со
знаком. См. рисунок 6. Эта двух- или трехбуквенная последовательность
получается, если нарисовать любую кривую, которая проходит из Pi-\ че¬
рез область Pi и попадает в Рг+\ наиболее прямым путем, то есть пере-
130
Р. Монтгомери
секает внутреннюю дугу 3 области Pi не более одного раза. Кривая долж¬
на входить в область Pi через одну из ее граничных дуг, и выбор P^-i
однозначно определяет эту дугу. Она должна выходить через другую гра¬
ничную дугу, и выбор Pi+i однозначно определяет эту дугу выхода. Вдоль
пути она пересекает дугу 3 один раз или вообще не пересекает. Если она
пересекает дугу 3 один раз, то последовательность имеет три буквы, с бук¬
вой 3 посередине. Если она не пересекает 3, то последовательность имеет
только две буквы 1 и 2. Поскольку 7 и с имеют одну и ту же последо¬
вательность символов и не имеют заиканий (они идут «наиболее прямым
путем»), то они должны иметь один и тот же маршрут, что и требовалось
доказать.
Каждая покрывающая область Pj содержит внутри прообраз Rj =
= tt~1(R) П Pj нашей компактной области R. По лемме 6.1 и с, и 7 должны
проходить через бесконечное множество областей Rj.
Рис. 6. Сизигии и пересечения черепиц
Теперь поднимем метрику Якоби-Мопертюи с Р на D, используя про¬
екцию 7г : D —> Р. Таким образом, мы придем к полной, Г-инвариантной
метрике неотрицательной кривизны на D, для которой наши две кривые 7
и с являются геодезическими. Кривизна этой метрики равна нулю только
в дискретном множестве точек n~1(L±), где L± — это лагранжевы точ¬
ки в Р. Отображение тг является локальной изометрией для этой метрики.
Обозначим через
h(t) = dist{pf,c{t)) (6.4.1)
Подходящие гиперболические штаны
131
расстояние между переменной точкой c(t) на кривой с и всей геодезиче¬
ской 7 (см. рис. 7). Теперь каждая область Rj имеет конечный диаметр 5,
поскольку R компактно, и две кривые проходят через области Rj бесконеч¬
ное число раз; действительно, каждый раз буквы 123 появляются смежно
в s. Отсюда следует, что
lim inf h(t) ^ 5 и lim inf h(t) ^ 5. (6.4.2)
t—>-+oo t—*• — oo
Теперь мы покажем, что неравенство (6.4.2) невозможно, если две гео¬
дезические в действительности не совпадают (в этом случае h(t) = 0 всю¬
ду). Воспользуемся формулой
d2h/dt2 — - sin(A(t)) J Kds, (6.4.3)
dt
которая будет доказана в следующем параграфе. В этой формуле dt —
это геодезическая, реализующая расстояние h(t). Она имеет один конец —
в точке c(t) на с, а другой конец на кривой 7, которую она пересекает
перпендикулярно (см. рис. 7). Угол A(t) — это угол между геодезически¬
ми с и dt в точке пересечения c(t). Этот угол удовлетворяет неравенству
0 < A(t) < 7г, поэтому sin(A(t)) > 0. Из отрицательности К (за исклю¬
чением дискретного множества точек) следует, что h(t) — строго выпук¬
лая: d2h/dt2 > 0. Но любая строго выпуклая функция, определенная на
вещественной прямой, стремится к бесконечности в одном или в другом
направлении. Это противоречит соотношению (6.4.2). Наши две геодезиче¬
ские должны совпадать.
Рис. 7. Изменение расстояния
132
Р. Монтгомери
Вывод формулы (6.4.3). Из формулы для первой вариации длины
дуги следует
Пусть M(t) С D означает четырехугольник, стороны которого состоят из
геодезических дуг do,dt и дуг 7, с, которые соединяют do с dt. По теореме
Гаусса-Бонне для любого такого геодезического четырехугольника Q мы
имеем
Q
В случае M(t) внутренние углы — это 7г/2,7г/2,7г — А(0) и A(t). (Снова см.
рис. 7). Таким образом,
Дифференцируя теперь (6.4.4) по t и используя (6.4.6), получаем (6.4.3).
6.5. Доказательство теоремы 2.4
Пусть с — ограниченная орбита и 5 = {sj}(*L_OQ — ее последователь¬
ность сизигий. Аппроксимируем s семейством wn, п = 1,2,3,..., прямых
столкновительных последовательностей, заменяя хвосты Sj,j > п после¬
довательности 5 хвостами 12-столкновительной последовательности. Если
в месте «соединения» j = п заменителя появляется заикание, то схлопыва-
ем его. Хвосты последовательностей wn в обратном направлении содержат
все три буквы, поскольку 5 — нестолкновительная последовательность. По¬
этому мы можем применить теорему 2.1, чтобы реализовать wn решениями
7П (не обязательно единственными). По лемме 6.1, все 7П проходят через R,
поэтому, сдвигая при необходимости время, мы получим, что касательные
векторы vn — (7n(0),7n(0)) являются единичными векторами с положе¬
нием 7п(0) в R. Теперь мы рассуждаем так же, как и при доказательстве
теоремы 2.2. В силу компактности множества единичных касательных век¬
торов над R, мы можем выделить сходящуюся подпоследовательность век¬
торов vn, которую мы снова переобозначим как vn, так что vn —> v. Пусть
dh/dt — cos (A(t)).
(6.4.4)
27Г — (E внутренних углов ) = — KdA.
(6.4.5)
M(t)
Дифференцируя (6.4.4) no t, получим
(6.4.6)
Подходящие гиперболические штаны
133
7 — кривая с начальным условием v. Кривые 7П сходятся на компактных
множествах к 7, поэтому последовательность сизигий wn должна сходиться
к последовательности сизигий кривой 7. Таким образом, 7 и с имеют одну
и ту же последовательность сизигий. По теореме 2.3, 7 = с. Следователь¬
но, неограниченные кривые 7П сходятся к нашей начальной ограниченной
кривой с. □
7. Кривизна для неравных масс
В этом разделе мы докажем, что теорема 1.1 — это частный случай: для
большинства распределений масс кривизна принимает оба значения знаков.
Пусть массы выбраны произвольными положительными числами т*. Обо¬
значим
pi = mjmk, Si=r2jk,
ijk — это перестановка 123. Имеем
U = %Pi/si, 7 = -^Егде М = Ега*.
Метрика Якоби получается умножением шейповой метрики ds^ на шей¬
повой сфере I = 1 на U и ограничением ее на сферу 7 = 1. (Индекс т
указывает на зависимость от масс.) Будет удобно (и на уровне понятий,
и в плане вычислений) отождествлять шейповую сферу с пространством
лучей в шейповом пространстве и рассматривать U как функцию на про¬
странстве лучей, сделав ее однородной функцией нулевой степени, путем
умножения ее на 7. Таким образом, положим
U = 7С7,
тогда наша метрика Якоби есть
ds2j = Udsll.
Для того чтобы проделать выкладки, мы воспользуемся координата¬
ми ф, 9, R на шейповой сфере. (См., в частности, обозначения и выкладки
в разделе 7 там же.) Обозначим через 1\ момент инерции в случае, когда
все массы равны единице:
= £г?-/3.
(7.1)
134
Р. Монтгомери
Координаты 0, 0 — это сферические координаты для шейповой сферы с Д,
а радиальная координата R — л/1 для зависящего от масс момента инерции
I из (3.6). В этих координатах мы получаем, так же как и ранее, что
sk = /1(1 ~7к(0) cos(4>)). (7.2)
Заметим, что координаты в, ф и функции Sk не изменяются при изменении
масс. Метрика dsвыраженная в наших координатах, не зависит от масс
и задается равенством
ds2^ = Л 2ds\, (7.3 а)
где
ds\ — + cos ^)2dd2) (7.3 b)
(см. [13], равенство (5.6) и утверждение 2) — метрика на шейповой сфере
в случае, когда все массы равны 1, и где конформный множитель Л задается
равенством
Л = d(m)Ii/I; d(m) = \/3mirri2ms/M (7.3 с)
(см. равенство (5.7) в [13]). Таким образом, метрика, с которой мы работа¬
ем, есть
ds2j — U>?ds\. (7.4)
Ее кривизна определяется по лемме 4.1:
^ = ^{4-5Alog(^A2)}’ (7-5)
где лапласиан Д берется относительно метрики ds\. Конформный множи¬
тель равен
С/А2 = d{mf IUll/I2 =
= d{m)hU(d{m)h/I) =
= d(m)U\,
где
U = hU.
Тогда
AlogC/A2 = AlogC/ +AlogA.
Подходящие гиперболические штаны
135
Положим
Si = Si/h = (1 - 7k{9) cos(ф)),
тогда
U = T,pi/si.
Поскольку §i равно переменной заданной уравнением (5.1.16), и по¬
скольку лапласиан равен лапласиану в том разделе, мы можем продолжать
выкладки согласно разделу 5. Мы имеем
UXK = 4 - |д log(C7) - ±Д log(A).
Чтобы вычислить последний член — iAlog(A) в (7.5), используем тот
факт, что метрика ds2Ш — это ds\, умноженная на А2, и что обе метрики
имеют кривизну 4. Из леммы 4.1 следует, что
4=^{44Д1о«^}
ИЛИ
4А2 - 4= -AlogA.
Тогда уравнение (7.5) можно переписать в следующем виде:
-и3ХК = -и2{4 - ±Alog(l7)) + и2{2 - 2А2). (7.6)
Вычисление AU. Для упрощения обозначений мы не будем писать
крышки в этом пункте, то есть U будет означать функцию U и Sk будет
означать функцию 5&. Структура всех формул и выкладок раздела 5 сохра¬
няется, при условии что мы вставляем весовые коэффициенты pi в соответ¬
ствующие места.
Мы приступаем к вычислению A log(U). Равенства (4.2) и (5.2.1) вы¬
полняются с U вместо [/, и равенства (5.2.2а, Ь) выполняются с s* вмес¬
то Si. Равенства, аналогичные (5.2.3), (5.2.4), имеют вид
iдф(сдфи) = ((s2 - c2)/c)T,pai/Si + 2s2Epi72/sf (7.7а)
И
\додви = -Ърг1г"/з2 + 2Ер,(7If/sl (7.7 Ь)
cz с
136
Р. Монтгомери
Заметим теперь, что алгебраические выкладки (5.2.5)-(5.2.7) выполняются,
поэтому могут быть перенесены дословно, за исключением того, что г-й
член должен быть умножен на Таким образом, (возвращаясь к крышкам)
AU = 8 U4, (7.8 а)
где
Щ = Tipi/Sl (7.8 Ъ)
Равенство в первой строке из формулы (5.3.2) принимает вид
II W||2 = 4(ESpi7i/S2)2 + 4(Еpa'/s*)2.
Последующие алгебраические выкладки, по сути такие же, приводят к ра¬
венству
||Vt/||2 = 45, (7.9а)
где
5 = 2Еp2/s3 - Ер?/s\ - 3/2E'p,pj/s2s2+
+ 2Е'piPj/SjS2 - E'piPj/siSj. (7.9b)
Объединяя (7.8) и (7.9) согласно (4.2) (см. также шаги (4.7)-(4.9)), получим
формулу:
-С/2(4 - log U) = SZ'piPj/s2^ - 2{T,Pi/si)2. (7.10)
Из того, что было ранее, мы имеем
и2(2 - 2Л2) = 2(Epj/sj)2 - 2(Epi/S<)2d(m)2(iES,)2/(SPiSi/M)2. (7.11)
(Мы продолжаем использовать s* вместо s*.) Прибавим (7.10) к (7.11), по¬
сле сокращений получим
-U3X2K = 3'£/piPj/s2s2 - 2(Epj/sj)2d(m)2(^Esi)2/(EpjSj/M)2.
Выкладки показывают, что
d(m)2M2 = ^E'piPj.
Подходящие гиперболические штаны
137
Напомним, что (ранее это были Si) удовлетворяют равенству |Es* = 1.
В итоге мы получаем
Следовательно,
-и3Х2К = 3 jsWi/s?*? - }. (7.12)
(713)
отвечает за знак кривизны: кривизна К отрицательна, если к, положитель¬
но, кривизна положительна, если к, отрицательно, и кривизна равна нулю,
если к, равно нулю. Заметим, что к и, следовательно, кривизна равны нулю
в лагранжевой точке s\ = s2 = S3 = 1 и что это верно для всех выборов
масс pi.
Теорема 7.1. Для плотного в топологии Зарисского множества рас¬
пределений масс знак кривизны меняется в окрестности лагранжевой
точки.
Доказательство. Достаточно показать, что для плотного в топо¬
логии Зарисского множества распределений масс дифференциал йк ф О
в лагранжевой точке. Дифференциальная форма Еaidsi представляет нуль
на шейповой сфере тогда и только тогда, когда она пропорциональна форме
Еdsi, которая является дифференциалом ограничения Es^ = 3, выполнен¬
ного для Si (которые являются прежними Si). Выкладки показывают, что
в лагранжевой точке Si = 1 мы имеем
/3dhi = pi{pl +pl)dsi +P2{pj +pl)ds2 + Рз{Р\ + pl)ds3 mod Eds*,
где /3 — это ненулевая константа. Таким образом, мы хотим узнать, может
ли быть выполнено равенство
(pi(P2 +Рз),Р2{р21 +р1),Рз(р1 + р|)) = (А, А, А) (**)
для некоторого Л. Правая часть равенства (**), будучи однородной функци¬
ей степени 3, определяет полиномиальное отображение RP2 —» RP2, и мы
хотим знать, будет ли оно равно постоянному отображению [1,1,1]. По¬
скольку отображение полиномиальное, то если мы предъявим одну точку,
где неравенство нарушается, оно должно нарушаться на плотном в топо¬
логии Зарисского множестве. Подставляя pi — р2 = 1,Рз = а, получим
(Pi(p| +р1),Р2(р\ + Р%),Рг(р2 +р1)) = (! + “2> 1 + а2,2а), что не пропор-
ционально (1,1,1), если а не равно единице. □
138
Р. Монтгомери
1. Приложение
Мы докажем следующую теорему.
Теорема 1.1. Множество начальных условий внутри множества Н =
= О, I = 1, с = 0, для которых решения стремятся к двойному столкно¬
вению типа ij, имеет непустую внутренность. Этот факт имеет место
для всех положительных распределений масс.
Доказательство. Мы используем ньютоново время и якобиевы ко¬
ординаты. Для упрощения обозначений возьмем ij = 12. Якобиевы коор¬
динаты суть £i = х\ — х2, С2 = хз — (miXi + т2Х2)/(гп\ + га2). Расстояние
до двойного столкновения равно
Мы предъявим непустое открытое множество начальных условий в момент
времени t — 0, для которых r(t) = 0 для некоторого момента времени
где /XI mim2/(mi + ш2), /Х2 = m3 (mi + га2)/М, W = mim3/s2 +
+ ГП2ГП3/s\ и квадраты расстояний s2, si могут быть выражены как |£2 +
+ a^Ci|2 в якобиевых координатах, где а* — ненулевые константы, завися¬
щие от масс. Слагаемое W удовлетворяет оценкам
(е достаточно малое), где Ci, С2 — константы, зависящие только от масс.
Уравнения движения суть
r=ICi|.
(1А)
t < O(r(0)).
Гамильтониан есть
н = \^ iICi|2 + ^2|C2|2)
m\rri2
-ЩСьС2)
(2А)
\W\ < Ci + С2е, при г < б,
dW 0W
| —1 Cl +c2e , д—I < Cl +c2e, при r < e
3Ci d<2
(ЗА)
(4Л)
(5A)
и
•• 1 dW
[X 2 <9^2
№
Подходящие гиперболические штаны
139
Обозначим через
J\ = Ci A Ci (7А)
кинетический момент (с точностью до множителя цi) системы 12. Мы вы¬
числяем
j\ — Ci A Ci =
1 dW
Cl A r\ j
Mi 9Ci
поэтому
IJiKCr. (8 A)
Поскольку |Ci|2 = r2 + J2 /г2, мы получаем, что
r2H = 1(^ir2f2 + /xi J?) - mim2 + r2(^/x2|C2|2 - W). (9A)
Далее, пусть £(£) = (Ci C2W) — это решение, удовлетворяющее на¬
чальным условиям г(0) < е,Н = 0,/ = 1, J = 0. Из (6Л) и (4А) мы
имеем
I6WI2 < |С2(о)|2 + с^ (юл)
для t — 0(1), при условии, что г(0) < б. Здесь С зависит только от масс
и б. Устремляя г —> 0, мы видим из формулы (9Л), что если наше решение
допускает столкновение, то мы должны иметь
lim r2r2 + lim J2 — 2(mi + m2) = 0; (ИЛ)
мы воспользовались здесь равенством mim2/ Ц\ — m\ + m2. Ho г2 г2 ^ О,
поэтому мы должны иметь
2(mi + m2) — lim J2 ^ 0. (ЮЛ)
Докажем в обратную сторону. Допустим, что 2(mi +га2) — J\ (О)2 явля¬
ется положительным в начальный момент времени t = 0 и что г(0) < 0. То¬
гда из (11 А) следует, что г2г2 положительно на конечном интервале време¬
ни. Мы покажем, что после интегрирования это повлечет равенство r(t) =
= 0 в некоторый конечный момент времени t = 0(у/г(0)). Заметим, что из
оценки (ЮЛ) и того факта, что Н = 0, мы имеем неравенство
\n\r2f2 + fix Ji(0)2 - 2mim2| < Кг(0) (ЮЛ)
140
Р. Монтгомери
для 0 < t < 1 и пока выполняется неравенство r(t) < 0. Здесь константа К
зависит только от масс и Сг(0). Разделим на и используем тпхтпъ/—
= mi + Ш2, получим
|r2r2 + Ji(0)2 - 2(т1 + m-i)| < К*г(0), (14А)
где
Теперь мы наложим условие открытости
2(mi + m2) - Ji (О)2 - К*г(0) > <52 (15Л)
на наши начальные условия. Это будет условие открытости теоремы 1.1.
Положительная константа 5 будет дополнительно ограничена ниже. Из
(15А) и (14А) следует, что
S2 < 2(mi + m2) — J\ (О)2) — jy*r(0) ^ r2r2. (16А)
Неравенство (16 А) вместе с г(0) <0 влечет г < 0 на всем рассматриваемом
промежутке времени. Таким образом, —гг > 0, и поэтому мы можем взять
квадратный корень из неравенства (16Д), получим
5 < —rr. (17А)
Умножим на —1, проинтегрируем, получим, что —St > \r(t)2 — ^г(О)2 или
r(0)2 — 2St ^ r(tf. (18A)
Отсюда следует, что r(t) = 0 для некоторого момента времени t, где t ^
^ г(0)2/25. Для того чтобы время столкновения t было о(1), достаточно
взять 5 = 0(г(0)).
Мы доказали, что столкновение 12 происходит в момент времени t =
= г(0)2/25 для всех начальных условий, удовлетворяющих (15А), г(0) < 0
и г(0) < 6, где 6 достаточно мало, так что выполняются неравенства (ЗД),
(4А). Это множество начальных условий, очевидно, открыто. Остается по¬
казать, что это множество непусто. Рассмотрим коллинеарное решение, име¬
ющее H = 0 = JnI=l. (Существует ровно два таких решения, с точ¬
ностью до сдвига по времени и вращения, по одному для каждой дуги
экватора, которая заканчивается в столкновении 12.) Эти решения удовле¬
творяют условию Ji = 0. В этом случае неравенство (15А) гласит, что
mi +Ш2 > jKY(O) + 5, и поэтому это неравенство будет сохраняться для
малых г(0), только при условии что 5 < mi + m2. Поскольку решение
стремится к столкновению, отсюда следует, что (15 А) со временем остает¬
ся в силе вдоль коллинеарного решения, и, следовательно, наше множество
начальных условий непусто. □
Литература
141
Благодарности. Я посвящаю эту статью памяти моего отца. Я бы хо¬
тел также поблагодарить Т. Фудживару, А. Шенсине, А. Албуи за полезную
переписку, А. Катка, Р. Маццео за полезные беседы, и наконец, Дж. Ша за
указание на то, что из теоремы 1.1, объединенной с ранними вариантами
теорем 2.1, 2.2 и 2.3, должна следовать теорема 2.4.
Литература
[1] R. Abraham, J. Marsden, Foundations of mechanics, Benjamin-Cummings,
1978.
[2] A. Albouy, A. Chenciner, Le probleme des n corps et les distances
mutuelles, Invent. Math., 131 (1998) 151-184. (См. также: Современ¬
ные проблемы хаоса и нелинейности: Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл,
А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных
исследований, 2002, с. 179-201.)
[3] В. И. Арнольд, Математические методы классической механики. М.:
Наука, 1974.
[4] Т. Banachiewitz, Sur un cas particulier du probleme des trois corps, CRAS,
Paris, 142 (1906) 510-512.
[5] A. Chenciner, J. Gerver, R. Montgomery, C. Simo Simple choreographies
of N bodies: A preliminary study, in Geometry, mechanics and dynamics,
287-308, Springer, New York, 2002. (См. также: Современные про¬
блемы хаоса и нелинейности: Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине
и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных исследова¬
ний, 2002, с. 202-229.)
[6] A. Chenciner, R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the three-
body problem in the case of equal masses, Ann. of Math., 152 (2000)
881-901. (См. также: Современные проблемы хаоса и нелинейности:
Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД»,
Институт компьютерных исследований, 2002, с. 179-201.)
[7] D. Ferrario, S. Terracini, On the existence of collisionless equivariant
minimizers for the classical n-body problem, arXiv:math-ph/0302022.
[8] W. B. Gordon, A minimizing property of Keplerian orbits, Amer. J. Math.,
99 (1970) 961-971. (См. также: Задача Кеплера: Столкновения. Регу¬
ляризация: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных
исследований, 2006, с. 48-60.)
142
Р. Монтгомери
[9] Т. Fujiwara, Н. Fukuda, A. Kameyama, Н. Ozaki, М. Yamada, Synchronised
similar triangles for three-body orbit with zero angular momentum,
arXiv:math-ph/0404056.
[10] M. Herman, Some open problems in dynamical systems, International
Congress of Mathematicians, 1998, pp. 797-808.
[11] R. Hermann, On the differential geometry of foliations, Ann. of Math.(2),
72 (1959) 445^57.
[12] Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics,
by the Mathematical Society of Japan, ed. by S. Iyanga and Y. Kawada,
translated by К. O. May, The MIT Press, Cambridge, MA, and London,
England, 1977.
[13] R. Montgomery, Infinitely many syzygies, Archives for Rational Mechanics
and Analysis, 164 (2002) 311-340. (Статья 1 настоящего сборника.)
[14] R. Montgomery, The ЛГ-body problem, the braid group, and action-
minimizing periodic orbits, Nonlinearity, 11:2 (1998) 363-376.
[15] R. Montgomery, Geometric phase of the three-body problem, Nonlinearity,
9:5 (1996) 1341-1360.
[16] C. Moore, Braids in classical gravity, Phys. Rev. Lett., 70 (1993) 3675-
3679. (См. также: Относительные равновесия: Периодические реше¬
ния: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных иссле¬
дований, 2006, с. 165-176.)
[17] Н. М. Morse, A one-to-one representation of geodesics on a surface of
negative curvature, Amer. J. Math, 43:1 (1921) 33-51.
[18] D. Mumford, C. Series, D. Wright, Indra’s pearls, The vision of Felix Klein,
Cambridge University Press, New York, 2002.
[19] H. Poincare, Sur les solutions periodiques et le principe de moindre action,
C. R. Acad. Sci. Paris, 123 (1896) 915-918. (См. также: Пуанкаре A.
Последние работы. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», 2001.)
6
Уравнение для вертикальных вариаций
относительно положения равновесия
как источник новых периодических
решений в задаче N тел1
А. Шенсине, Ж. Фежоз
Исходя из вращающейся системы координат, которая вызывает резонанс меж¬
ду частотой положения относительного равновесия в задаче N тел и частотой
бесконечно малой периодической вариации, нормальной к плоскости равнове¬
сия, мы далее получаем значительный класс периодических решений. Первым
примером служит семейство Р12, открытое Кристианом Маршалом, и оно свя¬
зывает положение относительного равновесия Лагранжа с «восьмеркой».
Введение
Если нам известны так называемые центральные конфигурации, то то¬
мографические (то есть кеплеровы) решения задачи N тел являются про¬
стейшими, причем это единственные «явные» решения. Более того, они
всегда плоские, даже если не гомотетичные. Среди них еще проще вы¬
глядят положения относительного равновесия, когда каждое тело обладает
круговым движением с постоянной скоростью относительно центра масс.
Мы предполагаем построить новые семейства относительных периодиче¬
ских решений, используя преимущества инвариантности этих частных ре¬
шений относительно вращения. Точнее говоря, считая плоскость движения
положения относительного равновесия «горизонатальной», мы замечаем,
]А. Chenciner. J. Fejoz, L’equation aux variations verticales d’un equilibre relatif comme source
de nouvelles solutions periodiques du probleme des N corps, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. J, 2005,
vol. 340, pp. 593-598.
144
А. Шенсине, Ж. Фежоз
что вариационное уравнение вдоль такого решения распадается на гори¬
зонтальную и вертикальную части. Более того, поскольку ньютонова сила —
это сила притяжения, каждое решение вертикальной части является квази-
периодическим. В общем случае, его собственные колебания приводят к се¬
мействам периодических решений Ляпунова после редукции относительно
группы симметрий 50(2), которая превращает положение относительного
равновесия в изолированное положение равновесия. Этим семействам соот¬
ветствуют инвариантные области фазового пространства, диффеоморфные
произведению S1 х М2. Эти области расслаиваются на семейства квазипе-
риодических решений задачи N тел, которая допускает бесконечно много
истинно периодических решений. В свою очередь, каждое из этих перио¬
дических решений можно опять продолжить до относительно равновесного
решения как семейства периодических решений во вращающейся системе
координат. Мы будем искать их при обращении процесса, а сейчас зафикси¬
руем не столько угловой момент, сколько период: при подходящем выборе
вращающейся системы координат, в которой бесконечно малое решение,
определенное частным решением «вертикального вариационного уравне¬
ния» становится периодическим (такую систему можно выбрать бесконеч¬
ным числом способов), мы попытаемся продолжить это решение, по воз¬
можности сохраняя тип его дискретной симметрии, до семейства относи¬
тельно периодических решений, параметризованного количеством враще¬
ния системы координат. Если семейство продолжает вращение вплоть до
нуля, мы получаем истинно периодическое решение. В данной статье мы
приводим примеры, которые возникают в простейших случаях относитель¬
ного равновесия N одинаковых масс, конфигурация которых представляет
собой правильный TV-угольник. В частности, мы получаем уже известные
периодические решения, например, восьмерку для трех или пяти тел, пет¬
лю для четырех тел и цепь с четыремя звеньями для пяти тел. Более того,
вертикальная цепь с четным числом звеньев приводит к двум семействам,
которые соединяются по этой цепи, симметричны друг другу относитель¬
но вертикальной плоскости и заканчиваются в соответствующем положе¬
нии относительного равновесия, имея противоположные ориентации. При
вращении вокруг вертикальной оси эти два семейства образуют инвари¬
антное трехмерное линзовое пространство, которое получается при склеи¬
вании двух копий пространства S1 х D2 вдоль их границ, причем способ
склеивания зависит от количества звеньев. В случае восьмерки для 3 тел
(семейство Р\2 у Маршала) или петли для 4 тел все семейство состоит
из минимизаторов действия, поэтому мы можем доказать его существова¬
ние. В других случаях доказательство пока только численное. По-видимому,
данный метод может применяться очень широко, в том числе в случае раз¬
Уравнение для вертикальных вариаций
145
личных масс, более сложных конфигураций и пространств большей раз¬
мерности.
1. Уравнение вертикальных вариаций положения
относительного равновесия
Пусть x(t) = (ri(t),..., rN(t)) представляет собой относительно рав¬
новесное решение с периодом Т\ для уравнений ньютоновой задачи N тел
в евклидовом пространстве 3R3 = С х М:
У такого решения конфигурация С, образованная телами, не зависит от
времени. Конфигурации, допускающие такие движения, мы будем назы¬
вать центральными. Более того, любое такое решение непременно лежит
в фиксированной плоскости, которую мы будем считать равной С х {0}
и назовем «горизонтальной». Итак, отныне мы будем предполагать, что при
всех j = 1, 2,..., N у нас есть вектор fj = (uj(t), 0) £ С х {0}.
Уравнение для вариаций вдоль произвольного решения, расположен¬
ного в горизонтальной плоскости, распадается на вертикальную и горизон¬
тальную части. Это очевидно следует из того, что бесконечно малая вари¬
ация положений в вертикальном направлении не изменяется с точностью
до первого порядка расстояний между телами. Если Гц — Цг* — г}|| — это
расстояния между телами в нашей центральной конфигурации С, которые
постоянны во время движения, то уравнение для вертикальных вариаций
вдоль положения относительного равновесия x(t) имеет вид
Центр тяжести периодического решения всегда неподвижен, и мы будем
предполагать, что он находится в начале координат пространства М3. Итак,
мы будем рассматривать только такие вариации (£i, £2, • • •, €n), У кото-
из предложения 2.8 статьи [1] (впрочем, оно справедливо для пространств
произвольной размерности) следует, что уравнение (VVE) имеет базис, со¬
стоящий из периодических решений, с собственными колебаниями, частоты
которых мы обозначим ..., Мы будем считать, что с= 2tt/Ti —
(VVE)
рых шг£г = 0. Поскольку ньютонова сила — это сила притяжения,
146
А. Шенсине, Ж. Фежоз
это частота положения относительного равновесия x(t) = (u(t), 0). Иначе
говоря, u(t) = eluJlt • и(0), и решение «первого порядка», соответствую¬
щего собственным колебаниям (VVE) комплексного собственного векто¬
ра Z G CN, имеет вид
(u(t), £(<)) = (eiWltu(0), ReiZe^y
2. Одно замечание
Пусть Е = (£i(£)>•• ч £n(0) — периодическое решение уравне¬
ния (WE) с частотой и)j = 2п/Tj. Рассмотрим его в системе координат,
которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью, вы¬
бранной так, чтобы E(t) и x(t) = (u(t), 0) находились в резонансе. Точнее
говоря, во вращающейся системе координат конфигурация x(t) = (u(t), 0)
определена равенством u(t) = eluJt • u(t), где Q выбрана так, чтобы су¬
ществовали целые числа р и q, для которых р(— Q) = qu)j. Это по¬
следнее условие эквивалентно тому, что во вращающейся системе коорди¬
нат «бесконечно малое решение» £i(£)),..., (г^(£), \r(t))\ ста¬
новится периодическим с периодом
= 2пд = 2тгq
U>1 — й) Wj
Если оно не соответствует простому вращению плоскости движения, то
это бесконечно малое решение разрушает непрерывную симметрию отно¬
сительно равновесного решения, превращая ее в дискретную симметрию во
вращающейся системе координат. В общем случае оно порождает однопа¬
раметрическое семейство (частота вращения системы координат принимает
значения в интервале, содержащем а)) периодических решений во враща¬
ющейся системе координат, с одним и тем же периодом Т и сохраняю¬
щих большую часть этой симметрии. И если только параметр изменяется
на интервале, содержащем 0 (в частности, после регуляризации двойных
столкновений), мы получим периодическое решение с этими симметриями
в исходной системе координат.
Чтобы понять, как возник этот метод, осуществим редукцию симмет¬
рии вращения вокруг вертикальной оси, при этом положение относитель¬
ного равновесия x(t) превратится в изолированное положение равновесия.
Периодическим решениям уравнения (VVE) в общем случае соответству¬
ют ляпуновские семейства периодических решений вырожденной системы
(в случае равновесия Лагранжа для трех одинаковых масс доказательство
Уравнение для вертикальных вариаций
147
этого утверждения можно найти в [7], а в случае правильного многоуголь¬
ника с центральной массой — в [15]). Подобное семейство представляет
собой проекцию некоторой области фазового пространства, диффеоморф-
ного пространству S1 xR2 , расслоенного относительно семейства квазипе-
риодических решений задачи N тел. В общем случае периодические реше¬
ния являются плотными на этом множестве. От каждого из этих периодиче¬
ских решений можно вернуться к положению относительного равновесия
через семейство периодических решений во вращающейся системе коорди¬
нат. Предложенный метод сводится к обращению данного процесса, если
зафиксировать скорее период, нежели кинетический момент, и к использо¬
ванию симметрий при выборе семейства решений.
Мы проиллюстрируем это замечание примерами, связанными с поло¬
жением относительного равновесия в случае простейшей центральной кон¬
фигурации: правильного многоугольника для N одинаковых масс [8]. В слу¬
чае вертикальных цепей с четным числом звеньев, равным 2к, существу¬
ют два семейства, симметричных относительно вертикальной плоскости.
Они отличаются друг от друга начальной ориентацией положения отно¬
сительного равновесия. Если к решениям, входящим в эти два семейства,
добавить решения, полученные при вращении вокруг вертикальной оси, то
мы получим в фазовом пространстве инвариантное пространство L(4fc, 1),
имеющее форму чечевицы и полученное склеиванием торов, образованных
этими двумя семействами, по их границе.
3. Пример 1 (три тела): восьмерка
Как уже давно выяснил Кристиан Маршал, восьмерку [10] можно
получить вышеуказанным способом, исходя из положения относительно¬
го равновесия по Лагранжу в случае трех одинаковых масс. Это «семей¬
ство Pi2» [3, 5, 6, 14], в котором окружность, пробегаемая дважды, сначала
выглядит как восьмерка, а затем полностью сплющивается и замыкается
симметричным образом (см. рис. 1: масштаб по горизонтали и по верти¬
кали разный и изменяется). Здесь у уравнения для вариаций есть только
одна основная частота, равная со. Получаем:
uoj — оо 1, Со = —coi, р = 1, q = 2.
При изменении частоты вращения системы координат от — со\ до 0 элемен¬
ты семейства минимизируют действие. Если значение этой частоты мень¬
ше, чем — о>1, то это решение соответствует положению относительного
равновесия у треугольника, которое минимизирует действие при ограниче¬
ниях, возникающих из-за симметрии [3, 5, 14].
148
А. Шенсине, Ж. Фежоз
1
3
1
3
3
2
Рис. 1. Восьмерка (oo/ui = —1, 1 + 10 2, 0, ~ 1 — 10 2, 1)
4. Пример 2 (4 тела): петля
Это решение [11] задачи четырех тел с одинаковыми массами можно
получить, исходя из решения, соответствующего положению относительно¬
го равновесия у квадрата [8]. Уравнение для вариаций имеет две основные
частоты: оо\ и 002 = В этом случае получаем (см. рис. 2)
как и раньше, когда частота вращения системы координат изменяется
от оо\ — и)2 До 0, элементы семейства минимизируют действие. Если значе¬
ния при этой частоте меньше, чем —оо\, то данное решение соответствует
положению относительного равновесия для квадрата и минимизирует дей¬
ствие при ограничениях, возникающих из-за симметрии.
Напротив, если выбрать оо3 = ио\, Си = — 2ooi, р = 1 и q = 3, то с чис¬
ленной точки зрения мы получим разложение окружности, которую пробе¬
гают трижды, на три звена, и при со ~ — 0.72o)i в конце концов возникает
решение в горизонтальной плоскости, проходящее очень близко к столк¬
новению (см. рис. 3). Естественное продолжение этого семейства связано
с его симметризацией относительно горизонтальной плоскости. Что каса¬
ется решения на плоскости, то оно продолжается до решения Жервера, ко¬
00 j — 002 5 Ш — ^1 — 002 5 Р — 1-, q — 1;
3/-
Рис. 2. Петля (co/ooi = 1 — 002/001, ~ 1 — 002/001 + 10 3,0)
Уравнение для вертикальных вариаций
149
торое в точности соответствует рисунку 2.6 в [2] (мы благодарим С. Терра-
чини, который обратил наше внимание на этот рисунок).
Отличие от восьмерки состоит в том, что для четного количества тел
симметрии цепи с тремя звеньями (в терминах работы [9]) влекут за со¬
бой только равенство нулю кинетического момента; однако этот послед¬
ний необходимо брать относительно оси вращения, то есть относительно
вертикальной оси. В результате плоское решение данного семейства с от¬
личным от нуля кинетическим моментом обязательно будет горизонталь¬
ным.
Рис. 3. Четыре тела: цепь с тремя звеньями {ш/uji = —2, ~ — 2 + 10 2, ~ —0.9,
- -0.72)
5. Пример 3 (5 тел): цепь с четырьмя звеньями
и восьмерка
Численными методами это решение нашел Симо ([16], рис. 1). Его
можно получить, исходя из положения относительного равновесия в пра¬
вильном пятиугольнике (5 одинаковых масс). Здесь окружность пробегают
4 раза, она расслаивается на 4 звена и в конце концов сплющивается [8].
Как и у восьмерки, полученное решение автоматически обладает нулевым
кинетическим моментом, так как лежит в плоскости, содержащей ось вра¬
щения (см. рис. 4). Уравнение для вариаций имеет две собственные часто¬
ты uj-[ и и;2, и исходим мы из решения с частотой и)\ \ ujj = й = —3cji,
Здесь минимизация действия при ограничениях, возникающих из-за
симметрии, приводит не столько к цепи с 4 звеньями, сколько к хореогра¬
фии восьмерки с пятью телами (см. рис. 5). Впрочем, в настоящее время
существование подобного семейства математически еще не доказано.
Чтобы получить восьмерку с пятью телами, необходимо начать с ре¬
шения уравнения для вариаций с частотой и2, выбирая й = — (2cj2 — ^i) и,
соответственно, р = 1, q = 2 (см. рис. 5).
4
р= 1, <7 = 4.
150
А. Шенсине, Ж. Фежоз
1
Рис. 4. Пять тел: цепь с четырьмя звеньями (cj/cji = — 3, ~ — 3+2х 10 3, ~ —1.6, 0)
Рис. 5. Пять тел: восьмерка (cj/cji ~ —1.7, —1.2, —0.8, 0)
Но можно сказать и больше — до сих пор мы рассматривали только
самую симметричную из центральных конфигураций: правильный много¬
угольник с одинаковыми массами, с которым естественным образом связа¬
ны хореографии и симметричные петли. И даже в этом случае мы выбирали
только наиболее очевидные вращения системы координат. Например, в слу¬
чае петли с 4 телами мы могли бы либо преобразовать бесконечно малое
решение в хореографию с помощью дополнительного вращения системы
координат (в простейшем случае — полуоборот относительно периода) и,
несомненно, получить пространственную хореографию, описанную в [17],
либо рассмотреть N ^ 4 произвольных масс и, исходя из центральной кон¬
фигурации, минимизирующей потенциал с постоянной инерцией, получить
обобщенные петли, рассмотренные в [4] (см. также [5]).
Если вернуться к случаю одинаковых масс, то анализ уравнения для
вертикальных вариаций заставляет предположить, что, исходя из положе¬
ния относительного равновесия правильного TV-угольника, при нечетном N
мы получим вертикальные цепи с четным числом звеньев 2р ^ N — 1,
и из свойств симметрии следует, что кинетический момент равен нулю.
Для цепей с нечетным числом звеньев самый простой сценарий возникает
при плоском горизонтальном решении во вращающейся системе координат,
а его продолжение в горизонтальной плоскости приводит к цепи в непо¬
движной системе координат. Вообще говоря, классификация будет зависеть
от свойств делимости числа N.
Литература
151
Благодарности
Получив первую версию данной статьи, Мишель Эно обратил наше
внимание на две статьи [12, 13]. В них он изучает бифуркации трехмерных
периодических решений в ограниченной круговой задаче трех тел, исходя
из решений, которые он называет «критическими» плоскими периодиче¬
скими, то есть гранично устойчивыми (положение относительного равно¬
весия автоматически является критическим). Хотя и немного в другом кон¬
тексте, рисунок 17 из работы [12] напоминает кривые 2 и 4 на нашем пер¬
вом рисунке. Мы также благодарны Мишелю Эно за то, что он указал нам
на существование многочисленных работ, продолжающих работы [12, 13].
Их авторы изучают, зачастую численно, бифуркацию пространственных ре¬
шений в задаче трех тел, исходя из плоских критических решений. Однако,
насколько нам известно, никто еще не изучал симметрии решений, исхо¬
дящих из положений относительного равновесия так систематически, как
делаем мы.
Литература
[1] A. Albouy, A.Chenciner, Le probleme des n corps et les distances
mutuelles, Invent. Math., 131 (1998) 151-186. (См. также: Зада¬
ча Кеплера: Столкновения. Регуляризация: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ
«РХД», Институт компьютерных исследований, 2006, с. 413-451.)
[2] V. Barutello, These, U. Milano Bococca, ch. 2, 2004.
[3] A.Chenciner, Some facts and more questions about the «Eight», in:
H. Brezis, К. C. Chang, S. J. Li, P. Rabinowitz (Eds.), Topological methods,
variational methods and their applications, Proceedings de la conference
«Nonlinear Functional Analysis», Taiyuan (Shanxi), aout 2002, World
Scientific, 2003, pp. 77-88. (См. также: Современные проблемы хаоса
и нелинейности: Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-
Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных исследований, 2002,
с. 230-248.)
[4] A. Chenciner, Simple non-planar periodic solutions of the n-body problem,
in: Proceedings du colloque NDDS de Kyoto, aout, 2002. (См. так¬
же: Относительные равновесия: Периодические решения: Сб. ст. М.-
Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных исследований, 2006,
с. 263-274.)
152
А. Шенсине, Ж. Фежоз
[5] A. Chenciner, Action minimizing solutions of the n-body problem: From
homology to symmetry, in: Proceedings du Congres international des
mathematiciens (ICM), vol. Ill, Pekin, aout, 2002, pp. 279-294.
[6] A. Chenciner, J. Fejoz, R. Montgomery, Rotating Eights: 1. The three Г\
families, Nonlinearity, 18 (2005) 1407-1424.
[7] A. Chenciner, J. Fejoz, R. Montgomery, Rotating Eights: 2, en preparation.
[8] A. Chenciner, J. Fejoz, The regular polygon unchained, en preparation.
[9] A. Chenciner, J. Gerver, R. Montgomery, C. Simo, Simple choreographic
motions of N bodies: A preliminary study, in: Geometry, Mechanics, and
Dynamics, volume dedie a J. Marsden, Springer, 2002, pp. 287-308. (Cm.
также: Современные проблемы хаоса и нелинейности: Сб. ст. / К. Си-
мо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт
компьютерных исследований, 2002, с. 202-229.)
[10] A. Chenciner, R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the three-
body problem in the case of equal masses, Ann. Math., 152 (2000) 881-
901. (См. также: Современные проблемы хаоса и нелинейности: Сб.
ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД»,
Институт компьютерных исследований, 2002, с. 179-201.)
[11] A. Chenciner, A. Venturelli, Minima de l’integrale d’action du Probleme
newtonien de 4 corps de masses egales dans R3: orbites «hiphop», Celestial
Mech., 77 (2000) 139-152. (См. также: Относительные равновесия:
Периодические решения: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт
компьютерных исследований, 2006, с. 275-292.)
[12] M.Henon, Vertical stability of periodic orbits in the restricted problem: 1.
Equal masses, Astron. Astrophys., 28 (1973) 415^-26.
[13] M.Henon, Vertical stability of periodic orbits in the restricted problem: 2.
Hill’s case, Astron. Astrophys., 30 (1974) 317-321.
[14] C. Marchal, The family P\2 of the three-body problem — the simplest
family of periodic orbits, with twelve symmetries per period, Celestial
Mech., 78 (2000) 279-298.
[15] K. Meyer, D. Schmidt, Libration of central configurations and braided
Saturn rings, Celestial Mech., 55 (1993) 289-303.
Литература
153
[16] С. Simo, New families of solutions in iV-body problems, in:
C. Casacuberta, et al. (Eds.), Proceedings of the Third European Congress
of Mathematics, in: Progr. Math., vol. 201, 2001, pp. 101-115. {См. так¬
же: Современные проблемы хаоса и нелинейности: Сб. ст. / К. Симо,
С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт ком¬
пьютерных исследований, 2002, с. 230-248.)
[17] S. Terracini, A. Venturelli, Hip-Hop type solutions with 2N equal masses,
preprint, 2004.
7
Конечность относительных равновесий
задачи четырех тел1
Мы показываем, что число относительных равновесий ньютоновой задачи че¬
тырех тел конечно, с точностью до симметрии, и всегда лежит между 32 и 8472.
Доказательство основано на символическом вычислении и точных целочислен¬
ных вычислениях, выполненных на компьютере.
Ньютонова задача п тел [37] состоит в исследовании динамики п ма¬
териальных точек с массами га* > 0 и положениями Xi € Rd, которые
двигаются согласно законам движения Ньютона
где Tij — это расстояние между Хг и Xj.
Движение относительного равновесия — это решение системы уравне¬
ний (1) в R2 вида Xi(t) = R(t)xi(0), где R(t) — это равномерное вращение
с угловой скоростью v Ф 0 вокруг некоторой точки с € R2. Такое решение
возможно тогда и только тогда, когда начальные положения хДО) удовле¬
творяют алгебраическим уравнениям
М. Хэмптон и Р. Мёкелъ
1. Введение
(1)
Г-
(2)
1М. Hampton, R. Moeckel, Finiteness of relative equilibria of the four-body problem, Inventiones
Mathematicae, 2006, vol. 163, no. 2, pp. 289-312.
Конечность относительных равновесий задачи
155
где А = - <о. Легко увидеть, что центр вращения с должен быть цент¬
ром масс. Решение этих уравнений называется конфигурацией относитель¬
ного равновесия, или просто относительным равновесием. Каждое отно¬
сительное равновесие на самом деле порождает семейство эллиптических
периодических движений, изменяющихся в пределах от жестких круговых
вращений до гомотетического вырождения. Они также важны в изучении
топологии интегральных многообразий [1,7, 30, 42]. В общем случае реше¬
ние системы уравнений (2), где х\ 6 Rd, называется центральной конфи¬
гурацией; таким образом относительное равновесие — это просто плоская
центральная конфигурация. Уравнения (2) инвариантны относительно вра¬
щений, сдвигов и гомотетий в плоскости. Два относительных равновесия
считаются эквивалентными, если они связаны посредством этих операций
симметрии.
Относительные равновесия задачи трех тел были известны давно.
С точностью до симметрии существует всегда ровно пять относительных
равновесий. Два из них — это лагранжевы равносторонние треугольни¬
ки [23], а другие три — это коллинеарные конфигурации, обнаруженные
Эйлером [15].
В коллинеарном случае точное число относительных равновесий п тел
было найдено Мультоном [35]. Существует единственное коллинеарное от¬
носительное равновесие для всякого расположения масс, поэтому, учитывая
вращения в плоскости, мы получим п\/2 коллинеарных классов эквивалент¬
ности. Их можно понимать как обобщения эйлеровых коллинеарных отно¬
сительных равновесий трех тел. Равносторонние треугольные лагранжевы
решения также обобщаются до тетраэдров для задачи четырех тел [25] и до
правильных симплексов из п тел в размерностях п — 1 [39], хотя они явля¬
ются не относительными равновесиями, а центральными конфигурациями.
Тем не менее, уже в задаче четырех тел появляются существенные
сложности, препятствующие полной классификации неколлинеарных отно¬
сительных равновесий. На самом деле даже точное количество известно
только для случая равных масс и для определенных случаев, когда неко¬
торые из масс предполагаются достаточно малыми [2, 44, 48]. Цель дан¬
ной статьи состоит в том, чтобы показать, что это число всегда конечно,
и привести независимые от масс границы. Задача о конечности числа отно¬
сительных равновесий в задаче п тел была предложена Шази [8] и Уинтне-
ром [46] и указана Смейлом как шестая проблема в его списке проблем для
этого столетия [43]. Мы решим эту проблему для п = 4.
Теорема 1. Если массы положительны, то существует только
конечное число классов эквивалентности относительных равновесий для
ньютоновой задачи четырех тел.
156
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
На самом деле мы покажем, что существует не менее 32 и не более
8472 таких классов эквивалентности, включая 12 коллинеарных.
Конечность числа относительных равновесий уже была показана для
общего выбора четырех масс (без явных критериев общности) [22, 31, 33].
Полученные ранее верхние границы, предполагающие конечность, были
намного больше [22, 26, 31]. Наша верхняя граница, вероятно, по-прежнему
далека от точной; численные эксперименты [41] наводят на мысль, что чис¬
ло относительных равновесий всегда лежит между 32 и 50 (число, достиг¬
нутое для случая равных масс [2]). Нижнюю границу 32 можно получить,
заметив, что кроме 12 коллинеарных относительных равновесий всегда су¬
ществует не менее 6 выпуклых конфигураций и 14 конфигураций с одним
телом внутри треугольника, образованного другими тремя (см. раздел 6).
Если допускаются отрицательные массы в плоской задаче пяти тел, то мо¬
жет существовать континуум относительных равновесий [38]. Неизвестно,
возможно ли это для п — 4.
Приведем здесь набросок доказательства конечности. Уравнения отно¬
сительного равновесия можно выразить через полиномы от шести взаим¬
ных расстояний т\j, 1 ^ г < j ^ 4 с коэффициентами, зависящими от
параметров тп\. Такой выбор переменных исключает симметрию вращений
и сдвигов, и, после нормирования масштаба для исключения симметрии
гомотетий, задача сводится к тому, чтобы показать, что полученная систе¬
ма алгебраических уравнений имеет конечное множество решений, таких,
что Tij ф 0 для всех i,j. Некоторые интересные идеи из алгебраической
геометрии дают проверяемые критерии для этого. Эти критерии выража¬
ются в терминах ньютоновых полиэдров полиномов. По существу, исход¬
ная система уравнений заменяется на множество более простых «редуциро¬
ванных систем», для которых мы хотим показать, что не существует реше¬
ний, все переменные которых ненулевые. Чтобы найти все редуцированные
системы и проанализировать их, мы должны обратиться к компьютерным
вычислениям. Тем не менее, все эти выкладки принадлежат к такому ви¬
ду выкладок, которые можно произвести точно с помощью целочисленной
арифметики произвольной точности, а именно: мы произведем алгебраи¬
ческие операции над целочисленными векторами и полиномами с целыми
и символическими коэффициентами, и нам потребуется найти выпуклые
оболочки полиэдров, определенных точками в целочисленной решетке. Бо¬
лее подробные выкладки, полученные с помощью Mathematica, можно най¬
ти в [18].
Авторы выражают благодарность Вику Рейнеру, Гарету Робертсу
и Бернду Стурмфелсу за полезные дискуссии по этой работе.
Конечность относительных равновесий задачи
157
2. Уравнения взаимных расстояний для относительных
равновесий
В этом разделе мы опишем две системы алгебраических уравнений,
которым удовлетворяют взаимные расстояния г^ каждой конфигурации от¬
носительного равновесия. Первая система, принадлежащая Албуи и Шен-
сине [3], уже содержит уравнений для расстояний. Кажется веро¬
ятным, что эти уравнения уже определяют конечное число ненулевых ре¬
шений, но мы не в состоянии показать это с помощью наших методов. По¬
этому необходимо добавить вторую систему уравнений, принадлежащую
Дзёбеку [12].
2.1. Уравнения Албуи-Шенсине. Мы начнем с уравнений (2), запи¬
санных в декартовой системе координат, для центральной конфигурации п
точек в RA Умножим j-e уравнение на rrij и просуммируем, получим ра¬
венство гас = 52]=1 тзхз> гДе т = 52]=1 т3' Мы всегда будем предпола¬
гать, что т ф 0. Далее положим А = га А', тогда уравнения центральной
конфигурации примут вид
п
rriiSij(xi — Xj) = 0, l^j^n, (3)
i=1
где
Sij = 4-+A' 5«=°- (4)
Введем (d х п)-матрицу конфигурации X, столбцы которой — это век¬
торы положений Xi. Ее можно рассматривать как представление линейного
отображения из нефизического пространства размерности п (п — это коли¬
чество тел) в физическое пространство RA в котором расположены точки.
Тогда (3) эквивалентно уравнению
ХА = 0, (5)
где А — это (п х п)-матрица с элементами
Aij = miSij [i ф j)i Ajj — 5 ^ Aij • (6)
гфз
Идея Албуи и Шенсине заключается в том, чтобы заменить X неко¬
торой величиной, которая инвариантна относительно вращений и сдвигов
векторов положений в RA Любая такая величина может быть выражена
158
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
как функция взаимных расстояний гц. Тогда сдвиг всех положений х\ на
вектор и 6 Rd переводит X в X + uL, где L — это (1 х п)-вектор, все ком¬
поненты которого равны 1. Отсюда следует, что можно добиться инвари¬
антности относительно сдвигов, просто ограничив линейное отображение,
определенное матрицей X, на плоскость Р = {v £ Rn : Lv = гц + ... +
+ vn = 0}. По определению, суммы в столбцах матрицы А равны нулю.
Отсюда следует, что А : Rn —> Р, и оно ограничивается до А : Р —> Р. По¬
этому ХА в формуле (5) может рассматриваться как линейное отображение
из Р в Hd.
Инвариантность относительно вращений получается переходом к мат¬
рице Грама. Для любой матрицы конфигурации X матрица Грама G =
= ХгХ — это (п х п)-матрица, элементы которой — это евклидовы ска¬
лярные произведения х\ • Xj. Матрица G, очевидно, инвариантна относи¬
тельно вращений. Чтобы сохранить инвариантность относительно сдвигов,
можно рассмотреть G как представление симметрической билинейной фор¬
мы /3(v,w) = vtGw на Р. Форма (3 на Р определяет и, наоборот, определя¬
ется по взаимным расстояниям г^ . Чтобы убедиться в этом, заметим, что
для любых констант ki добавление вектора fcjL к г-й строке матрицы G
и вектора к\1} к г-му столбцу порождает новую матрицу, представляю¬
щую Р. Выберем hi = г\2, получим, что /3 представляется матрицей В,
элементы которой равны
Bij = Xi ■ Xj - ^\xi\2 - l\Xj\2 = -\r%. (7)
Умножая обе части равенства (5) на Хг, получим GA = 0. Матри¬
цу GA можно рассматривать как представление (не симметрической) били¬
нейной формы на Р, в этом случае допустимо заменить G на В. Возьмем
симметрическую часть, получим уравнения Албуи-Шенсине для централь¬
ных конфигураций
ВА + АЬВ = 0. (8)
Пусть е* означают векторы стандартного базиса в Rn и определим =
= 6i — 6j. Тогда (8) эквивалентно уравнениям
e\j(BA + АьВ)е^ =0, 1 ^ i < j ^ п. (9)
Чтобы увидеть это, рассмотрим 7(17, w) = vlCw — симметрическую били¬
нейную форму на Р, соответствующую матрице С = В А + Аь В. Тогда (9)
означает, что 7(е^, е^) = 0 для 1 ^ г < j ^ п. Чтобы показать, что 7 = 0,
достаточно показать, что 7 обращается в нуль на базисе е^, 2 ^ г ^ п в Р.
Конечность относительных равновесий задачи
159
В силу поляризационного тождества
‘2/у{еН'> е1 j) = l(eij 1 eij) — 7(е1 гч eli) ~ l'{elj ? elj)
и равенства (9) будет следовать 7 = 0.
Уравнения (9) накладывают (2) ограничений на (™) взаимных рассто¬
яний rij центральной конфигурации. Обратно, можно показать, что если
величины r^j являются взаимными расстояниями некоторой конфигурации
в некотором Hd и если они удовлетворяют условию (10), то конфигурация
является центральной [3]. Замечательным является тот факт, что сами урав¬
нения не зависят от d, поэтому они определяют центральные конфигурации
во всех размерностях сразу.
Чтобы найти уравнения явно, заметим, что
/y(^ij'>&ijS) — ^CijBAcij = 2(.Z?Ац ~Ь BAjj BAij BAji),
где BAij означает элементы матрицы BA. Из (6) и (7) мы находим
тк [Sik(r% - г2к - rfj) + Sjk{r2k - r2k - г?-)] = 0 (10)
к=1
для 1 < i < j < п, где Snс, Sjk заданы формулой (4).
В этом месте мы можем нормировать уравнения, чтобы исключить
симметрию гомотетии. На самом деле, если мы масштабируем все расстоя¬
ния, положив = crij, где с ф 0 — константа, и если затем положим X' =
= c“3A', мы получим другое решение. Мы будем выбирать с так, чтобы
добиться нормировки
У = -1.
2.2. Уравнения Дзёбека. Для плоских центральных конфигураций п =
= 4 тел существует другая система уравнений, которая будет для нас
полезной. В этом случае каждое из уравнений (2) содержит три ненуле¬
вых члена и появляющиеся здесь векторы Xi — Xj двумерны. Выбирая А-
произведения г-го уравнения с одним из векторов Xi — Xk, получим урав¬
нение, связывающее две из площадей треугольников, содержащих точку Xi
(член, содержащий Xi — Xk, исчезает). Пусть Ai означает ориентирован¬
ную (со знаком) площадь треугольника, не содержащего xi, где мы счита¬
ем Ai > 0 тогда и только тогда, когда индексы трех тел в вершинах распо¬
ложены в порядке, противоположном ходу часовой стрелки, и пусть А/ =
= (—1У+1Д/. Тогда уравнения будут иметь вид
mkSikAi = miSuAk, (11)
где i,k,l — это любые три различных индекса из {1,2,3,4}.
160
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
Здесь важно отметить, что для неколлинеарного относительного равно¬
весия четыре треугольника, определяемые телами, имеют ненулевые пло¬
щади. В противном случае мы имели бы три тела, лежащие на прямой,
не содержащей четвертое тело, а это противоречит теореме о серединном
перпендикуляре [32]. Используя этот факт, можно легко вывести из (11),
что
S12S34 = S13S24 = S14S23. (12)
Эти уравнения будут называться уравнениями Дзёбека [12]. В силу допу¬
щенных предположений они имеют место только для плоских неколлинеар-
ных конфигураций. Этого достаточно для нашего доказательства, посколь¬
ку 4!/2 = 12 коллинеарных относительных равновесий вполне понятны.
Несмотря на то, что мы посвятим большую часть наших усилий ис¬
следованию уравнений Албуи-Шенсине и Дзёбека, описанных выше, дру¬
гая интересная система уравнений потребуется нам для того, чтобы уста¬
новить верхнюю границу для числа относительных равновесий. Несложно
показать, что взаимные расстояния и площади Д* любой конфигура¬
ции четырех неколлинеарных точек на плоскости удовлетворяют системе
уравнений
Аг + Д2 + Дз + Д4 = 0,
До + г\2 ^2 + Г13Д3 + Г14Д 4 — 0,
Д0 + г\ 2 Д1 + Г23Д3 + Г24 Д4 = 0,
До + г13 Д1 "Ь г23^2 + ^*34 Д4 — 0,
До + Д1 + ^*24 Д2 + г34 Дз = 0
для некоторой константы До [2, 33]. На самом деле площади Д* определя¬
ются по этим уравнениям с точностью до общего множителя. Из (11) будет
следовать, что для конфигурации относительного равновесия
rriirrijSij = fiAiAj, 1 < г < j < 4,
для некоторой константы ц ф 0. Если мы определим новые переменные
к так, что rriiZi = ^/ДД* и к — у/ДДо, мы получим решение следующей
системы из 11 уравнений с 11 неизвестными
/о = 7711^1 + m2Z2 + 77I3Z3 + 77l4Z4 = 0,
fi = m2z2r\2 + m3z3rj 3 + т^г\А + к = 0,
р 2 2 2 \ /
/2 7711^1 Г12 + T7I3Z3V 23 + m±Z±r2± + « = 0,
/з = mi^irjg + m2z2rl3 + m4z4rl4 + к = 0,
Конечность относительных равновесий задачи
161
/4 = mizxr\A + m2z2r|4 + m3z3r%4 + к = 0,
S%j = ZiZj, 1<г<_?<4.
Если Tij — это взаимные расстояния любого неколлинеарного относитель¬
ного равновесия, существуют z*, к, такие, что имеет место (13) (константа ц
может быть отрицательной, и в этом случае z*, к будут комплексными). По¬
скольку нас интересуют неколлинеарные относительные равновесия, упо¬
мянутое выше соображение о площадях показывает обоснованность рас¬
смотрения нами только комплексных решений системы (13), где z* Ф 0.
3. ВКК-теория
В замечательной статье [6] Д. Н. Бернстейн рассматривает фундамен¬
тальную проблему о решении системы п уравнений с п переменными. Свя¬
занные с ней работы Хованского и Кушниренко [20, 21] появились пример¬
но в то же время; очерченный в этих работах круг идей часто упоминается
в ссылках под названием ВКК-теории (по первым буквам фамилий в их
английском написании). Для нас наиболее важной частью этой теории яв¬
ляется то, что она обеспечивает проверяемые критерии для определения
того, будет ли заданная система алгебраических уравнений иметь конеч¬
ное множество решений. Эти критерии также применяются в случае, когда
число уравнений отличается от числа неизвестных. Мы начнем с формули¬
ровки теоремы, основанной на этих идеях, достаточной для приложений,
упоминаемых нами.
Рассмотрим систему из т алгебраических уравнений с п комплексны¬
ми переменными
• • ,хп) = •... • xkj = 0, i = (14)
к
где вектор показателей к = (к\...., кп) пробегает конечное множе¬
ство Si С Zn (называемое носителем fi). Мы хотим исследовать такие
решения, что Xi ф 0 для всех г, то есть х = (х\,..., хп) Е Т, где Т
или Тп означает «алгебраический тор» (С \0)п. С таким ограничением мы
даже можем позволить, чтобы fi были многочленами Лорана, то есть что¬
бы некоторые показатели kj были отрицательными. С другой стороны, от
знаменателей многочлена Лорана всегда можно избавиться, не вводя новые
решения в Т.
Пусть V — это алгебраическое многообразие в Т, определенное си¬
стемой уравнений. Из алгебраического характера уравнений следует, что
162
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
проекция V на каждую координатную ось — это либо конечное множество,
либо дополнение до конечного множества (см. доказательство предложения
1 ниже). В последнем случае проекция называется доминирующей. Если V
бесконечно, то как минимум одна такая проекция должна быть домини¬
рующей, и поэтому существует по крайней мере алгебраическая кривая
решений. Идея, следующая после критерия конечности Бернстейна, состо¬
ит в том, чтобы заменить это геометрическое условие на алгебраическое;
для этого следует привлечь сюда ряды с дробными степенями (ряды Пю-
изё). Оказывается, что если проекция V на ось xi является доминирующей,
то если положить х/ = t, можно найти ряды Пюизё Xj(t), j ф I, кото¬
рые удовлетворяют заданной системе уравнений тождественно по t. Чтобы
показать конечность, нам нужно показать, что такие ряды не могут суще¬
ствовать.
Разберем эти идеи более подробно. Пусть V = V(t) — это поле сходя¬
щихся комплексных рядов Пюизё по переменной t. Более точно, пусть tq,
q = 1,2,3,..., — это новые переменные и пусть M.(tq) — это поле всех
рядов Лорана по переменной tq, которые сходятся в некоторой выколотой
окрестности точки t — 0 (то есть локально мероморфные функции). Мы
1
хотим, чтобы переменная tq представляла tq, для этого определим инъ¬
ективные отображения i : M.{tq) —>• M.(tqr), положив tq = trqr для всех
натуральных чисел д, г. Тогда V — это прямой предел этой совокупности
полей и отображений. Менее формально, возьмем объединение всех этих
полей с отображениями отождествления г (понятно, как они определены).
Эти отождествления позволяют использовать дробную запись в показателе,
г_
где t% записано как tя. Элементом V тогда будет комплексный ряд вида
оо г
x(t) = ^ афя
i=io
для некоторого q, где ведущий индекс го может быть отрицательным. Ес¬
ли заданы два таких ряда, один принадлежащий M(tq), другой —
то каждый из них может отождествляться с элементом поля A4(tqr). По¬
скольку здесь можно совершать арифметические операции, отсюда следу¬
ет, что V — это поле. Важно также отметить, что V алгебраически замкну¬
то [24, гл. V.2]. Далее мы имеем
Предложение 1. Допустим, что система из т алгебраических урав¬
нений fi(x) = 0 определяет бесконечное многообразие У С Т. Тогда су¬
Конечность относительных равновесий задачи
163
ществует ненулевой рациональный вектор а = (ai,... ,ап), точка а =
= (ai,..., ап) £ Т и ряды Пюизё Xj(t) = djtaj + ..., j = 1,...,п,
сходящиеся в некоторой выколотой окрестности U точки t = 0, такие,
что fi(x 1 (t),..., xn(t)) — 0 в U, г = 1,..., т. Кроме того, если проекция
многообразия V на ось xi является доминирующей, то существует такое
решение в виде ряда (решение-ряд), где xi(t) — t, и другое решение-ряд,
где xi(t) = t~l.
Доказательство. Пусть S С Сп — это аффинное алгебраическое
многообразие, определенное уравнениями. Нас интересует V = S П Т. По¬
скольку Т — это дополнение аффинного многообразия х\ •... • хп — О, V —
это разностное множество двух аффинных многообразий, то есть квазипро-
ективное многообразие [40]. По предположению, V = S П Т бесконечно.
Отсюда следует, что существует по крайней мере одна координата хи такая,
что проекция 7гi(V) на ось xi является доминирующей (или плотной в то¬
пологии Зарисского), то есть не существует полиномов по переменной xi,
за исключением тех, которые обращаются в нуль на V. В противном слу¬
чае существовало бы только конечное множество возможных значений для
каждой из координат и само V было бы конечным множеством. Отсюда
следует, что пi(V) является также плотным в классической топологии в С
и, более того, iti{V) не содержит по крайней мере конечного подмножества
значений из С.
После перенумерации индексов можно считать, что I = п. По¬
ложим Xn(t) = t ИЛИ Xn(t) = l/t, И пусть Fj(x i,...,£n_i) =
— fj (#1, • • • 5 xn-ъ xn(t)). Далее избавимся от знаменателей, если это необ¬
ходимо. Тогда функция Fj может рассматриваться как элемент кольца К —
= V\x\,..., хп-\] многочленов от п— 1 переменных с коэффициентами в V
(на самом деле коэффициенты будут полиномами от £). Уравнения Fj = 0
определяют аффинное многообразие в пространстве Vn~l, и нужно пока¬
зать, что это многообразие содержит по меньшей мере одну точку, у ко¬
торой все координаты ненулевые («точка» в pn_1 — это на самом деле
вектор сходящихся рядов Пюизё). Чтобы установить, что все координаты
ненулевые, введем еще одну переменную хо и еще одно уравнение
F0(x0,x 1,... ,xn_i) = XQXi.. .xn-i — 1 = 0.
Теперь достаточно показать, что многообразие W С Vй, определенное ра¬
венствами Fq = ... = Fm = 0, не является пустым. Отсюда будет следо¬
вать, что если (xq, ... ,xn_i) £ W, то Xi(t) £ V, i — 1,... ,n — 1 будут
требуемыми ненулевыми решениями-рядами.
164
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
В силу «слабой» теоремы о нулях [Nullstellensatz] (которая выполняет¬
ся в любом алгебраически замкнутом поле), многообразие W пусто тогда
и только тогда, когда уравнение вида
1 = FqGq + FiGi + ... + FmGm (15)
имеет место в 1Z. Однако поскольку 7гп(У) плотно в С, то для почти
всех t € С существуют яд £ С, 1 < i < п — 1, где яд Ф 0, такие,
что fj(x\,..., xn_i, t) = 0 для j = 1,...,га. Выберем такое t в об¬
щей окрестности сходимости всех рядов Пюизё, встречающихся в качестве
коэффициентов в равенстве (15). Подставим t и соответствующие значе¬
ния яд в (15), получим, что все Fj = 0, j = 1 Положим xq =
= {х\Х2 • • .хп-1)_1 С С, тогда Fq = 0, пришли к противоречию. Поэто¬
му W ф 0 и требуемый ненулевой ряд Xj(t) существует. □
Будем говорить, что вектор из ненулевых рядов Пюизё x{t) =
— (xi(t),..., xn(t))9 определенных, как в предложении 1, имеет поря¬
док а = (oi,..., ап). Чтобы доказать, что V конечно, достаточно пока¬
зать, что для каждого ненулевого рационального вектора а не существует
решения-ряда Пюизё порядка а. Следующий результат показывает, что мы
можем в дальнейшем ограничить нормальные векторы а в пределах полу¬
пространства в Rn.
Предложение 2. Пусть Н — это полупространство с • а ^ 0, где с =
= (сь...,сп) — произвольный ненулевой целочисленный вектор. Если си¬
стема (14) не имеет решений-рядов Пюизё порядка а для всех а £ Н, то
она имеет конечное множество решений в Т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим от противного, что существует бес¬
конечное множество решений в Т. Сначала рассмотрим особый случай с —
= (0,..., 0,1). Проекция множества решений на ось хп либо является до¬
минирующей, либо не является. Если является, то по предложению 1 можно
найти ряды Пюизё Xj(t) = djtaj + ..., j = 1,..., п — 1, и xn(t) = t, ко¬
торые разрешают уравнения, и вектор показателей а = (ад,... ,an_i, 1)
будет удовлетворять условию с • а = 1 > 0. С другой стороны, если проек¬
ция на ось хп не является доминирующей, тогда она состоит из конечного
множества точек. В этом случае по предложению 1 решение-ряд Пюизё
будет постоянным xn(t) = ап. Соответствующий вектор показателей a =
= (ад,..., an_i, 0) будет удовлетворять условию с - а = 0. В любом случае
мы получаем с • a > 0.
Для завершения доказательства мы сведем общий случай к одному
из только что рассмотренных с помощью приема, который также можно
найти в статье Бернстейна. Мы сделаем замену переменных вида Xi =
= У\иУ221 '' 'УпТ" > где Уг ~~ это новые переменные и Cij — целые. Если
Конечность относительных равновесий задачи
165
матрица С со значениями Сц является унимодулярной, то найдется це¬
лочисленная обратная матрица D и yi = xfllX22i • • Эти формулы
определяют изоморфизм алгебраических торов по переменным хну, ко¬
торый мы обозначим записью х = ус, у = xD. Пусть gi(yi,... ,уп) по¬
лучено из ..., хп) с помощью этой замены переменной, 1 < i < га.
Одночлен х\1 • • • х^р в fi(x) становится одночленом у[г • • • уhl в д^(у), где
векторы показателей к и I связаны соотношением I — С к. Если y(t) — это
сходящийся ряд Пюизё порядка /3, то x(t) = y{t)c будет сходящимся рядом
Пюизё порядка а, где (3 = аС.
Допустим теперь, что задан ненулевой целочисленный вектор с =
= (сь...,сп). Без ограничения общности будем предполагать, что ком¬
поненты Ci не имеют нетривиальных общих множителей. Тогда существует
унимодулярная целочисленная матрица С, п-й столбец которой равен с [27,
разд. 21]. Производя преобразование, такое как выше, мы получим систе¬
мы лорановых алгебраических уравнений д\(у) = ... = 9т{у) = кото¬
рые также имеют бесконечное множество решений в Т. Рассмотренная так
же, как особый случай в начале доказательства, эта новая система имеет
решение-ряд Пюизё порядка /3, где /3 • (0,..., 0,1) ^ 0. Отсюда следует,
что x(t) = y(t)c £ Т — это решение Пюизё исходных уравнений поряд¬
ка а, где /3 = аС. Наконец, в силу выбора матрицы С мы имеем а • с =
= аС • (0,..., 0,1) = /3 • (0,..., 0,1) ^ 0, что и требовалось доказать. □
Чтобы применить этот критерий, нам нужен способ, чтобы показать,
что решений Пюизё заданного порядка не существует. Бернстейн предло¬
жил упрощенный критерий, сфокусировав свое внимание на ведущих чле¬
нах решений. Подставив x3(t) в уравнения (14) и выразив коэффициенты
членов наименьшего порядка по t, мы получим редуцированную систему
, ап) = У2, скх>\ • • • хп' = 0, £ = 1, ... ,771,
а-к=ц,
где Pi = mmies, ot • L
Уравнение a ■ к = pi9 которое определяет, какие члены из fi появятся
в редуцированном уравнении, имеет превосходную геометрическую интер¬
претацию. Пусть Pi — это ньютонов полиэдр полинома fi, то есть выпуклая
оболочка носителя S*. Тогда а-к = pi определяет опорную гиперплоскость
полиэдра Pi, для которой а является внутренним нормальным вектором.
Гиперплоскость определяет грань ньютонова полиэдра, а векторы показа¬
телей к, которые встречаются в редуцированном уравнении, являются вер¬
шинами полиэдра Pi, которые лежат на этой грани.
166
М. Хэмптон, Р. МЁКЕЛЬ
Поскольку коэффициенты ведущих членов любых решений-рядов
должны обратиться в нуль, мы имеем простой критерий несуществования
решения порядка а.
Предложение 3. Пусть а — это ненулевой рациональный вектор. Ес¬
ли редуцированная система (16) не имеет решений в Т, то не существует
решения-ряда Пюизё полной системы (14) порядка а.
Как замечает Бернстейн, система уравнений приводит только к ко¬
нечному множеству различных редуцированных систем. Другими словами,
различные векторы а могут порождать одинаковые редуцированные систе¬
мы. Напомним, что члены редуцированного полинома fia соответствуют
вершинам, лежащим на грани полиэдра Pi9 определенной опорной гипер¬
плоскостью с внутренней нормалью а. Фасеты (грани коразмерности 1) по¬
лиэдра имеют единственную внутреннюю нормаль с точностью до скаляр¬
ного множителя, а грани меньшей размерности имеют бесконечное множе¬
ство нормалей. Тем не менее, все они порождают одну и ту же редуцирован¬
ную систему. Векторы a G Rn можно разбить на конечное число множеств
в соответствии с тем, какую грань полиэдра Pi они порождают. Получен¬
ные в результате разбиения множества оказываются выпуклыми конусами,
и разбиение называется веером нормалей полиэдра Р*. Чтобы убедиться,
что каждая редуцированная система рассмотрена, нужно построить общее
подразделение вееров нормалей полиэдров Pi,..., Pm, то есть разбиение,
полученное пересечением множеств из разбиений для отдельных Р*. Ока¬
зывается, что это подразделенное разбиение — это просто веер нормалей
для полиэдра суммы Минковского Pi + ... + Рш — {х G Rn : х — Х\ +
+ ... + хп, Xi G Р{\ [50].
Теперь мы можем вкратце описать наш метод доказательства того, что
заданная система алгебраических уравнений имеет конечное множество ре¬
шений в Т. Сначала мы найдем ньютоновы полиэдры Pi и вычислим их
сумму Минковского Р. Дла каждой грани в Р (заданной внутренним нор¬
мальным вектором а) мы смотрим, имеют ли соответствующие редуци¬
рованные уравнения fia = 0 решения в алгебраическом торе Т. Если не
имеют, то а и все другие внутренние нормальные векторы к этой грани
исключаются в качестве возможных порядков решений Пюизё. Если реду¬
цированные уравнения имеют решения, то мы можем попытаться показать,
что не существует решений Пюизё порядка а, рассматривая члены более
высокого порядка в рядах. Если все векторы а в полупространстве с - а ^ О
могут быть исключены таким способом, система будет иметь конечное мно¬
жество решений в Т.
Для нашей системы уравнений относительных равновесий почти все
редуцированные уравнения не имеют решений в Т, при условии что мае-
Конечность относительных равновесий задачи
167
сы положительны. С помощью перехода к членам более высокого порядка
нужно разобрать только несколько исключительных случаев.
Мы воспользуемся еще одним замечательным фактом из ВКК-теории,
чтобы получить верхнюю границу для числа относительных равновесий.
Заметим, что ньютоновы полиэдры системы не зависят от фактических ко¬
эффициентов полиномов, а зависят только от тех коэффициентов, которые
не равны нулю. Поэтому можно рассматривать множество всех алгебраиче¬
ских систем, которые имеют одинаковые Pi, но с различными значениями
коэффициентов. Далее Бернстейн показывает, что для системы из п урав¬
нений с п неизвестными с коэффициентами общего вида число решений
в алгебраическом торе Т равно определенному геометрическому инвариан¬
ту ньютонова полиэдра, который называется смешанным объемом (решения
должны быть сосчитаны с соответствующими кратностями). Кроме того,
даже когда число решений в Т бесконечно, смешанный объем дает верх¬
нюю границу для числа изолированных решений. Определение смешанного
объема зависит от некоторых геометрических конструкций на полиэдрах.
Мы воспользовались выше суммой Минковского полиэдров РВ общем
случае можно взять линейную комбинацию полиэдров AiPi + . •. + AmPm =
= {х £ R" : х — Х\Х\ + ... + Апхп, Xi £ Pi}. Евклидов объем этой ли¬
нейной комбинации является однородной полиномиальной функцией от А*
степени п. Если объем V^AiPi + ... + АшРт) увеличивается как сумма
степеней А*, то смешанный объем — это просто коэффициент произведе¬
ния Ai • • • Аш [11]. Из этого определения непросто вычислить смешанный
объем, но существуют другие алгоритмы, которые могут быть реализованы
на компьютере [14, 19].
4. Ньютонова задача четырех тел
В этом разделе мы реализуем описанный выше процесс для уравне¬
ний относительных равновесий ньютоновой задачи четырех тел. Существу¬
ет шесть взаимных расстояний ту?. Шесть уравнений Албуи-Шенсине яв¬
ляются рациональными уравнениями от этих переменных. Поскольку мы
ищем такие решения, что гц Ф 0, то можно избавиться от знаменателей,
для того чтобы получить алгебраические уравнения. Аналогично уравне¬
ния Дзёбека (12) эквивалентны алгебраическим уравнениям от взаимных
расстояний. Чтобы получить систему уравнений, которая симметрична от¬
носительно перестановок четырех тел, будем рассматривать (12) как три
уравнения
$12$34 — $14$23 = $12$34 “ $13$24 = $13$24 — $14$23 = 0.
168
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
Таким образом, мы имеем систему из девяти уравнений, которым удовле¬
творяют шесть взаимных расстояний любого относительного равновесия.
Типичное уравнение из шести уравнений Албуи-Шенсине имеет вид:
2(mi + ^2)7*13^4^37*24 - 2m7'f27’f37'i47-237-24 +
+ m3rf2r^4rl4 - T7737’i27’i37*147^4 + т3Г12Г^4г13г14 +
+ rn3r\3r\4rl3rl4 + т37-127-?37-147-237-24 - т3Г12г\4^3^4 +
+ m4r\2r\3r\4rl3 - m4rr2r\3r\4rl3 + т4г12г\3г\4г13г14 +
+ m4rl2r\3rl3rl4 + 7П4Г12Г?зГ?4г|зГ^4 - 77l47’i27’i37’237'24 = 0, (17)
где m = mi + 777,2 + m3 + 7714. Остальные подобны этому. Поскольку суще¬
ствует четырнадцать отдельных одночленов, соответствующий ньютонов
полиэдр в R6 имеет четырнадцать вершин. Например, если мы упорядочим
шесть переменных г = (7*12, Г13, Г14, Г2з, ^24, г 34), то вектор показателей
первого члена упомянутого полинома будет равен к = (0, 3, 3, 3, 3,0) £ R6
и эта точка будет одной из вершин ньютонова полиэдра.
Уравнения Дзёбека имеют вид
Г3ЫГ323 - ^*12^*34 - Г?2Г?4г|з + ~ = 0,
/уЗ /уЗ 3 „3 „3 „3 I 3 „3 3 I „3 „3 „3 3 3 3 — rj
'13'24 7 12' 34 712713724 “Г r12713r34 ^ 712724734 — r13r24r34 —
^.3 „3 „3 „3 „3 3 „3 I „3 3 „3 I „3 3 „3 „3 3 „3 — /л
'14723 713724 713 14723 ' 713 14724 ' 713 23724 714г23724 “ и*
Их ньютоновы полиэдры имеют шесть вершин.
Включение уравнений Дзёбека может показаться излишним, посколь¬
ку кажется вероятным, что шесть уравнений Албуи-Шенсине уже имеют
конечное множество решений. С вычислительной точки зрения их включе¬
ние имеет свои преимущества и недостатки. Полиэдр суммы Минковского
имеет больше граней, и, следовательно, существует больше редуцирован¬
ных систем, которые надо проверить. Однако редуцированные системы бу¬
дут проще. Многие из них тривиальны, а те, которые не тривиальные, по
крайней мере удобны для работы. Мы не смогли успешно применить наши
методы к шести уравнениям Албуи-Шенсине.
4.1. Вычисление полиэдра суммы Минковского. Полиэдр суммы
Минковского Р £ R6 девяти ньютоновых полиэдров наших уравнений
является довольно сложным. Непосредственный подход к таким вычис¬
лениям, который хорошо работает в более простых примерах, заключает¬
ся в том, чтобы добавлять вершины слагаемых и затем находить мини¬
мальное множество вершин и фасетов с помощью программы, такой как
Конечность относительных равновесий задачи
169
PORTA 1.3.2 [9] или lrs [4]. Однако в нашем случае необходимо разрабо¬
тать непрямой подход, который будет описан в этом разделе.
PORTA использует метод двойного описания Мотцкина, Райффа,
Томпсона и Тралла [36]. Он реализуется с помощью целочисленной ариф¬
метики многократно увеличенной точности. Этот алгоритм является одним
из наиболее эффективных для не простых полиэдров большой размерности.
С другой стороны, программа lrs использует метод обратного поиска линей¬
ного программирования, также реализованного с помощью точной арифме¬
тики [5]. Однако вычисление полиэдра Р непосредственно с помощью этих
программ показало непригодность текущего аппаратного обеспечения. На¬
ша идея была в том, чтобы использовать симметрию перестановки, для того
чтобы свести вычисления к таким размерам, которые эти программы могли
бы обработать.
Группа перестановки S4 действует на индексы в га* и в (с тем со¬
глашением, что = Tji). Относительно этого действия девять уравнений
нашей системы будут переставлены. Фактически шесть уравнений Албуи-
Шенсине являются перестановками друг друга, ровно как и три уравнения
Дзёбека. Пусть Р\ — это сумма Минковского ньютоновых полиэдров урав¬
нений Албуи-Шенсине и Р2 — это сумма ньютоновых полиэдров уравнений
Дзёбека. Тогда упомянутая выше группа действий порождает действия на
полиэдрах Pi, Р2 и Р. С помощью PORTA возможно непосредственно вы¬
числить Pi и Р2. Мы хотим использовать полученные суммы и симметрию,
для того чтобы найти Р = Pi + Р2.
Мы начнем с построения списка возможных внутренних нормалей для
фасетов полиэдра Р. Из теории полиэдров мы знаем, что каждая грань
в Р — это сумма Минковского грани из Р\ и грани из Р2. В частности,
некоторые из фасетов в Р можно найти, взяв сумму фасета из одного из Pi
с вершиной из другого. В качестве внутренней нормали для этого фасета
из Р мы можем использовать нормаль для фасета из Р*, использованного
в его построении. Таким образом, мы добавляем все внутренние нормали
из Pi в наш список.
Затем мы хотим вычислить нормали для других фасетов в Р. Эти но¬
вые фасеты Fi возникают из сумм граней меньшей размерности в Рх и в Р2,
то есть Рг = gi + hi, где gi — это 5-мерная грань в Pi, hi — это ^-мерная
грань в Р2. Чтобы найти все возможные нормальные векторы новых фасе¬
тов, достаточно вычислить суммы граней, где 1 ^ 5 ^ 4, 1 ^ t ^ 4 и s + t =
= 5. Грани gi и hi можно найти, вычисляя решетки граней полиэдров Pi
и Р2. /-векторы (число граней /о, ..., /5 каждой размерности) для Pi и Р2
суть (2881, 12942, 22504, 18657, 7178, 964) и (54, 210, 357, 312, 135, 24)
соответственно. Как только фасет Fi найден, его нормаль вычисляется эле¬
170
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
ментарно. Симметрия полиэдров Р\ и Р2 может быть использована только
при вычислении сумм, где gi являются представителями от каждой орбиты
действия симметрии. Это также означает, что не требуется вычислять пол¬
ную решетку граней полиэдра Р\. Поскольку существует совсем немного
граней в Pi, которые имеют нетривиальные стабилизаторы, S4-симметрия
уменьшает вычислительную сложность почти в 24 раза.
Эта процедура дает большой список возможных нормалей фасетов,
большинство из которых ложные. Для каждого кандидата нормали были
найдены вершины из «сырой» суммы Минковского Pi -Ь Р2, которые мини¬
мизировали скалярное произведение с нормалью. Эта «сырая» сумма Мин¬
ковского, которую мы получили, взяв все возможные суммы вершин в Р\
и Р2, имеет 134784 точки. Используя тот факт, что размерность множества
минимизирующих вершин должна быть равна 5 для правильной норма¬
ли фасета, мы могли бы удалить ложные нормали. Кроме 973 различных
нормалей фасетов, уже присутствующих в Pi и Р2, существует еще 2007,
возникающих из комбинаций меньших размерностей, как было упомянуто
выше, поэтому полиэдр Р имеет 2980 фасетов.
Вершины полиэдра Р являются крайними точками среди 134784 точек,
найденных выше, то есть это такие точки, которые не принадлежат выпук¬
лым оболочкам других точек в списке. Чтобы найти их, мы использовали
следующую процедуру. Сначала мы построили другие, несимметричные
«сырые» суммы Минковского, записав Р = Р[ + Р'2, где Р[ — это сумма
Минковского семи из девяти полиэдров и Р'2 — это сумма двух других. По¬
скольку полиэдр Р симметричен, любая точка этой «сырой» суммы, для
которой полная ^4-орбита не содержится в сумме, не может быть правиль¬
ной вершиной. Раскладывая Р на составные части несколькими различ¬
ными способами и пересекая полученные списки, мы нашли значительно
меньшее множество вершин-кандидатов. Исключая любой из этих канди¬
датов, который не был точкой пересечения шести различных фасетов, мы
уменьшили список до 13836 точек. Некоторые из точек все еще не явля¬
ются правильными, потому что нормали к этим инцидентным фасетам не
охватывают R6. Удаление излишних точек уменьшает список до 12828 вер¬
шин.
Последний список вершин и нормалей проверялся следующим обра¬
зом. Каждая из 2980 нормалей а определяет неравенство а • к ^ д, где д —
это минимальное значение а • к в большом списке из 134784 точек. С дру¬
гой стороны, PORTA-вычисления показали, что выпуклая оболочка мень¬
шего списка из 12828 вершин определяется в точности теми же самыми
неравенствами. Отсюда следует, что выпуклая оболочка меньшего списка
действительно является полиэдром Р и что эти неравенства определяют Р.
Конечность относительных равновесий задачи
171
В качестве окончательной проверки была использована программа lrs,
чтобы произвести преобразование между различными представлениями по¬
лиэдра: через вершины и через фасеты. Стартуя с нашего списка из 12828
вершин, программа вывела список из 2980 фасетных, неравенств и наобо¬
рот.
4.2. Анализ редуцированных уравнений. «Большой полиэдр Мин¬
ковского», вычисленный в последнем разделе, имеет 2980 фасетов и 13836
вершин. Следующим шагом нашей процедуры является анализ редуциро¬
ванных систем, соответствующих различным граням полиэдра Р. Простей¬
шими гранями являются такие грани, для которых одно или несколько реду¬
цированных уравнений состоят из одного члена. Будем называть такие гра¬
ни редуцированной системы тривиальными. Тривиальная редуцированная
система может иметь решение, все переменные которого ненулевые, только
если коэффициент одночлена обращается в нуль. Поскольку данный одно¬
член — это один из членов исходных уравнений, мы можем гарантировать,
что все возможные тривиальные редуцированные системы не будут иметь
ненулевых решений, в силу предположения, что все исходные коэффици¬
енты не равны нулю. Для написанных выше уравнений это эквивалентно
тому, что массы удовлетворяют условиям га* ф 0, т ф 0 и т% + rrij ф 0 для
различных индексов £ {1,2, 3,4}. Используя Mathematica [47], мы на¬
шли, что все кроме 53 из 2980 фасетов приводят к тривиальным редуциро¬
ванным системам уравнений. Нетривиальные фасеты приведены в табли¬
це 2.
Каждое из этих неравенств соответствует фасету полиэдра Р с внут¬
ренним нормальным вектором а, заданным коэффициентами (fci,..., к§).
Например, неравенство 22 имеет внутреннюю нормаль <э=(0, 0,—1,-1,0,0).
Мы проанализируем редуцированные уравнения только для фасетов с нор¬
мальными векторами в полупространстве с • а ^ 0, где с = ( — 1, — 1, — 1,
— 1, — 1, — 1), то есть для фасетов, соответствующих неравенствам 22-53.
Для неравенства 22 мы получаем редуцированные уравнения, выбирая
из каждого из девяти полиномов fi нашей системы такие одночлены, век¬
торы показателей которых минимизируют а'к = -к^-к^ среди всех одно¬
членов в fi. После сокращения множителей, которые являются степенями
переменных г^, получится следующая система из девяти редуцированных
уравнений с функциями fia:
т4Г? Зг?4 + т3г|3г§4 = m4rf2r^4 + m2rf3rf4 = 0,
m3r12r23 + mlr14r34 = m2r?3r23 + ТЩГ^Г^ = 0,
т4г12г13г24 + т4г12г1зНм + т1г12г24г34+т1г13г24г34~2г)гг12г13Г24г34 = 0>
172
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
m3r12r13r24^m2rUr13r34~^m3r12'r24'r34^~m2r13r24r34~^mr12r13r24r34 = ^'
г313г14 - г312г31344 - г\2г34 + r\2r\3rl4 + r\2rl4rl4 - r?3r|4r|4 = о,
г12 + Нз4 - 1 = Г?з + г\4 - 1 = 0.
Все такие системы редуцированных уравнений имеют определенную од¬
нородность. В этом случае одночлены, которые встречаются в каждом из
уравнений, имеют векторы показателей к с одинаковым значением величи¬
ны —кз - к4. Отсюда следует, что если г = (ri2, п3, п4, г2з, г24, r34) Е Т —
это любое решение, то для любого s Е С \ 0 у нас есть другое реше-
Таблица 2. Нетривиальные фасеты для ньютонова полиэдра суммы Минковского
1. к\ + к2 + кз + к4 + кз + кз ^ 90
2. 2к\ + 2к2 + 2к4 — кз — кз ^ 28
3. 2к\ 2к2 — кз Н- 2к4 — кз ^ 28
4.2к\ 2к2 — кз 2к4 — кз ^ 28
5. 2к\ -Ь 2к3 — к4 -Ь 2кз — кз ^ 28
6. 2к\ — к2 -J- 2кз -J- 2кз — кз ^ 28
7. 2к\ — к2 -Ь 2к3 — к4 -Ь 2,кз ^ 28
8. 2к2 -f- 2кз — к4 — кз -Ь 2кз ^ 28
9. —к2 — кз~\~2к4~\~2кз -Ь 2кз ^ 28
10. —к\ -J- 2 к2 -Ь 2 кз — кз~\~2кз^ 28
11. —к\ -\~2к2-\-2кз — к4-\~2кз'£ 28
12. —к\—&з + 2/с4 + 2&5 + 2/сб ^ 28
13. —к\—к2-\-2к4-\~2кз~\-2кз ^ 28
14. к\ -Ь к2 -Ь к4 ^ 36
15. к\ -Ь кз -f- кз ^ 36
16. к2 + кз + кз ^ 36
17. к4 + кз + кз ^ 36
18. к\ -Ь к2 -Ь кз ^ 30
19. к\ + к4 + кз ^ 30
20. к2 -Ь к4 -Ь кз ^ 30
21. кз + кз + кз ^ 30
22. — кз — к4 > 50
23. -к2-кз^Б0
24. - fci - к6 ^ 50
25. — к3 — кз — кз ^ 63
26. — к2 — к4 — кз ^ 63
27. — к\ — к4 — кз ^ 63
28. — к\ — к2 — кз >= —63
29. — к4 — кз — кз ^ —69
30. — к2 — кз — кз ^ —69
31. — fci — кз — кз ^ —69
32. — к\—к2 — к4^ —69
33. — к2 — кз — к4 — кз >= —81
34. — к\ — кз — к4 — кз >= —81
35. — fci — к2 — кз — кз >= —81
36. - 2к3 - 3/с5 - Зк6 >= -170
37. - Зк3 - 2кз - Зк6 >= -170
38. - 3/с3 - 3къ - 2кз >= -170
39. - 2к2 - Зк4 - Зк6 >= -170
40. — Зк2 — 2к4 — Зкз ^ —170
41. - 3к2 - Зк4 - 2кз ^ -170
42. -2кг -Зк4-ЗкБ ^ -170
43. - 2к2 - Зк2 - Зк3 > -170
44. - Зкг - 2к4 - Зкз ^ -170
45. — 3&i — Зк4 — 2кз ^ -170
46.-3fci — 2к2 — Зк3 ^ -170
47.-3fci -Зк2-2к3 ^ -170
48. - 2к2 - Зк3 ~ Зк4 - 2къ ^ -208
49. - 3/с2 - 2кз - 2к4 - Зкз > -208
50. - 2кг - Зк3 - Зк4 - 2къ ^ -208
51. - 2к\ - 3к2 - Зкъ - 2к6 ^ -208
52. - Зкг - 2к3 - 2к4 - 3к6 ^ -208
53. — Зк\ — 2к2 — 2къ — Зкз ^ —208
Конечность относительных равновесий задачи
173
ние (ri2,r*i3,s 1ri4,5 ^23,^24,^34). Вообще, для редуцированных урав¬
нений fia мы можем изменять масштаб решений посредством
(sair12, s“2ri3, s“3ri4, s“4r2з, Sasr24, s"0^).
Используя это, мы можем сделать так, чтобы выполнялось следующее усло¬
вие нормировки:
Г12Г13Г14Г23Г24Г34 = 1- (18)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что после упомянутого изменения мас¬
штаба произведение величин изменится на множитель s^aI, где |а| =
= а\ + ... + Об- Поскольку |а| Ф 0 и гц Ф 0, мы можем изменить масштаб
так, чтобы сделать произведение равным 1.
После прибавления условия нормировки (18) к редуцированной систе¬
ме мы получим десять уравнений. Уравнения порождают идеал в кольце
полиномов с переменными гц и га*. Если этот идеал содержит полино¬
мы только от масс, то полиномы обеспечивают необходимые условия на
массы для существования значений щ Е С, которые разрешают уравне¬
ния. В частности, если многочлены от масс не равны нулю для заданного
выбора rrii, то для таких га* редуцированные уравнения не имеют реше¬
ний г Е Т, что и требуется. Такие многочлены, зависящие только от масс,
могут быть найдены с помощью вычисления базиса Грёбнера для иде¬
алов с соответственно выбранным упорядочением одночленов (введение
в теорию базисов Грёбнера см. в [10]). Наши вычисления базиса Грёбнера
были проведены с использованием Mathematica и проверены с помощью
Macaulay 2 [17]. Оказывается, что для редуцированных уравнений, напи¬
санных выше, многочлен от масс т\т± — принадлежит идеалу. Та¬
ким образом, если этот многочлен ненулевой, то редуцированная систе¬
ма не имеет решений в Т. Отсюда следует по симметрии, что неравен¬
ства 23 и 24 приведут к аналогичным многочленам от масс mirrij — m^mi
с переставленными индексами. В записи такого многочлена от масс индек¬
сы i,j,k,l будут всегда представлять различные элементы из {1,2, 3,4}.
К сожалению, эти полиномы могут обращаться в нуль для положительных
масс, и поэтому вектор а остается возможным порядком решения Пюизё
для таких масс. Тем не менее, эта возможность будет исключена в 5 разделе.
В добавление к редуцированным системам, возникающим из нетри¬
виальных фасетов в таблице, мы должны исследовать редуцированные си¬
стемы, возникающие из граней меньшей размерности суммы Минковского.
Эти грани могут быть построены пересечением двух или большего числа
инцидентных фасетов полиэдра Р. Если множество фасетов является ин¬
цидентным, то грань, полученная их пересечением, может быть определена
174
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
неравенством вида а • к ^ /х, где а — это любой внутренний нормальный
вектор, указывающий на грань. Внутренняя нормаль может быть выбра¬
на не единственным образом, однако редуцированные уравнения, которые
были получены, не зависят от того, какая нормаль используется. Мы ис¬
пользовали сумму нормалей инцидентных фасетов. Члены, встречающиеся
в редуцированных полиномах fia, всегда являются подмножеством членов,
которые присутствовали в редуцированных полиномах соответствующих
фасетов. Отсюда следует, что если определенный фасет тривиален (какое-
нибудь уравнение сводится к одному члену), то все подграни этого фасета
также тривиальны. Поэтому в нашем исследовании граней нам необходимо
рассмотреть только пересечения 53 нетривиальных фасетов. Таким обра¬
зом, любую нетривиальную грань можно описать, задав список из индексов
от 1 до 53, характеризующих фасеты, пересечение которых дает заданную
грань.
Мы в значительной степени воспользовались симметрией перестано¬
вок, чтобы сократить число редуцированных систем, которые необходимо
проанализировать. Действие группы перестановок £4 на переменных га*
и rij индуцирует действие на множестве граней полиэдра Р. Ясно, что
нам необходимо проверить только одного представителя грани из каждой
орбиты £4. Мы выберем представителя, список индексов фасета которо¬
го является минимальным в лексикографическом порядке. Назовем такой
список индексов минимальным представителем для своей орбиты. Тогда
список минимальных представителей граней можно вычислить индукци¬
ей по размерности следующим образом. Сначала построим список Ь\ ми¬
нимальных представителей фасетов, выбирая из каждой £4-орбиты фасет
с наименьшим индексом. Далее, предположим, что списки Li, ..., L& уже
построены, где Lk — это список, состоящий из к-кортежей I = (zi,..., г^),
Н < ^2 < ••• < й, минимальных представителей для нетривиальных
граней, которые определены пересечением к инцидентных фасетов. То¬
гда можно построить Lfc+i, рассмотрев все возможные расширения к-
кортежей I Е Lk до (к + 1)-кортежей Г — (zi,..., ikPk+1), где г/c+i > г&, а
затем исключив такие расширения, которые характеризуют неинцидентные
фасеты, такие, которые приводят к тривиальным редуцированным систе¬
мам, и такие, которые не являются минимальными в их групповых орби¬
тах. Чтобы увидеть это, заметим, что если If Е Lk+i, то к-кортеж /, полу¬
ченный исключением последней компоненты, должен представлять к ин¬
цидентных фасетов, которые определяют нетривиальную редуцированную
систему. Нам также нужно увидеть, что I — это минимальный представи¬
тель своей групповой орбиты. Если это не так, то существует к-кортеж J =
= 9 ■ I = {.h,---,jk), 9 € S4, такой, что J < I в лексикографическом
Конечность относительных равновесий задачи
175
порядке; здесь мы обозначили действие группы 64 точкой. Тогда мы по¬
кажем, что J' = д • V < V, что будет противоречить минимальности
Сейчас J' — (j’i,... состоит из к-кортежа J и индекса g • г&+1, встав¬
ленного в надлежащем ему порядке. Независимо от того, куда был вставлен
этот новый индекс, мы будем иметь (j(,..., j'k) ^ J < /, и поэтому J' <
что и требовалось доказать.
Мы можем дальше сокращать список, используя наше требование того,
что каждая грань, которую мы анализируем, должна иметь нормальный век¬
тор а, лежащий в выбранном нами полупространстве с-а ^ 0. Теперь если
грань получена пересечением двух или большего числа фасетов, все из ко¬
торых имеют внутренние нормали, удовлетворяющие условию с • а < 0, то
каждый нормальный вектор а для грани будет также удовлетворять этому
неравенству. Это будет выполняться потому, что нормальные векторы для
граней являются выпуклыми комбинациями нормалей определяющих их
фасетов. Следовательно, мы можем исключить из нашего списка все грани,
полученные пересечением только фасетов с индексами между 1 и 21.
После использования симметрии и условия полупространства остается
только проанализировать грани, определенные следующим списком нера¬
венств:
{22} {25} {29} {33} {36} {48}
{2,22} {2,36} {14,25} {14,36} {18,29} {22,48}
{25,36} {33,48} {2,14,25} {2,14,36}
{2,25,36} {14,25,36} {2,14,25,36}
Любая другая комбинация неравенств имеет одно из следующих
свойств: либо фасеты не являются инцидентными в полиэдре Р, либо они
являются инцидентными, но определяют тривиальную редуцированную си¬
стему уравнений, либо они могут быть получены с помощью комбиниро¬
вания с этим списком с использованием симметрии.
Для каждой из соответствующих редуцированных систем мы приба¬
вим условие нормировки (18) и используем метод базиса Грёбнера, чтобы
найти многочлены от масс, которые содержатся в получающемся идеале.
Идеалы {25}, {29}, {36}, {48},{2,36},{18,29},{22,48}, {25,36}, {33,48}
содержат один из полиномов га*, га* + rrij или т, которые уже по на¬
шему предположению не равны нулю. Идеалы {2,25}, {14,25}, {14,36},
{2,14,25}, (2,14,36}, {2,25,36}, {14,25,36}, (2,14, 25,36} содержат сум-
мы трех масс га* + rrij + тОстаются только фасеты 22 и 33.
Как было замечено выше, идеалы фасета 22 и его симметричных ко¬
пий содержат многочлены вида ra^raj — ш^т/. Идеалы фасета 33 более
176
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
сложные. Они содержат (га* + rrij)2(mk + mi)2{m\ + га|)(га| + mf )Q, где
Q = (^i-mj)2(mfc-^f)2+4mfmj("ifc-rnf)2+4m|mf(mf-m^)2. (19)
Этот многочлен также обращается в нуль для некоторых положительных
масс, и поэтому соответствующий нормальный вектор а по-прежнему яв¬
ляется возможным порядком для решения Пюизё.
В этом месте наш анализ редуцированных систем показал, что если
rrii ф 0, rrii + mj ф 0, ф 0, т = mi+m2 + m3 + m4 7^ О,
то почти все векторы а в полупространстве с • а ^ 0 исключаются как воз¬
можные порядки решений-рядов Пюизё нашей системы. Остаются возмож¬
ными только векторы положительно рационально кратные векторам 0:22 =
= (0,0, —1, —1,0,0) и азз = (0, —1, —1, —1, —1,0) и их симметричные ана¬
логи. В следующем разделе мы покажем, что эти порядки также невозмож¬
ны.
5. Анализ исключительных случаев
Предполагая, что га* > 0, мы покажем, что не существует решений-
рядов Пюизё нашей системы из девяти уравнений, порядок а которых яв¬
ляется положительно кратным векторам а'22 = (0, 0, — 1, — 1, 0, 0) и азз =
= (0,-1,—1,-1,—1,0). Это завершит доказательство теоремы 1.
Если массы выбраны так, что соответствующие полиномы от масс об¬
ращаются в нуль, то можно найти решения редуцированных уравнений в Т.
Но эти решения представляют только ведущие коэффициенты возможных
решений-рядов Пюизё. Если такое решение действительно существует, зна¬
чит, возможно найти согласующиеся значения и для членов более высоких
порядков в ряду.
5.1. Фасет 22. Допустим, что т\т^ = Ш2Шз и га* > 0. Поскольку
наши уравнения однородны по массам, мы можем в дальнейшем предпо¬
лагать, что Ш4 = 1. Мы хотим проанализировать возможные ряды Пюизё,
которые начинаются с вектора положительно рационально кратного векто¬
ру показателей а22 = (0, 0, —1, —1, 0, 0). Напомним, что наши переменные
упорядочены как г = (г 12, Пз, г 14, Г23, т"24, г34)* Если такой ряд существует,
то проекция многообразия V на оси Г14 и Г23 не будет состоять только из
конечного множества, поэтому она должна быть доминирующей. По пред¬
ложению 1, будет существовать решение-ряд Пюизё, такое, что r\^{t) =
= 1/t. Тогда вектор показателей будет в точности равен а22- Отсюда еле-
Конечность относительных равновесий задачи
177
дует, что ведущий член в 7*23 (£) также имеет степень —1, а все остальные
ряды начинаются с порядка 0.
Сделаем замену г — (£12, £13, 1Д, £2зД, £24, £34) и избавимся от зна¬
менателей, тогда мы получим систему из девяти алгебраических уравне¬
ний F{t,x) = 0 от пяти неизвестных х = (£12,£13,£23,£24,£34) с коэф¬
фициентами, которые являются многочленами от t. Мы можем разложить
систему как F(t, х) — F${x) + F\ (x)t + F2(x)t2 + ... = 0 (впрочем, оказы¬
вается, что F\ (х) = 0). Решение-ряд Пюизё нашей исходной системы с по¬
рядком а привело бы к решению Пюизё x(t) новой системы с порядком 0.
Уравнение jFo(x(0)) = 0 эквивалентно редуцированным уравнениям
для OL22- Они определяют постоянные члены в Xi3(t), хотя не однозначно:
^12(0) = 1 га2 , £§4(0) = у--—, х?з(0) = , £24(0) = т—^—,
iZK 7 1 + 777,2 1 + Ш2 1 + 7Пз
£23 (0) = ±г.
Используя Mathematica, несложно показать, что ранг DFo в £(0) ра¬
вен 5. По теореме о неявной функции, £^ должны быть степенными ря¬
дами по t. Поскольку разложение F продолжается, в порядке 2 мы поло¬
жим Xij(t) = Xij(0) + Uijt2 + Vijt3 + — Подстановка в F приводит к си¬
стемам линейных уравнений для и и v. Оказывается, что уравнения для и
являются совместными и определяют и однозначно. Однако полученные
уравнения для v являются несовместными, поэтому решений Пюизё этого
порядка не существует.
5.2. Фасет 33. Предположим теперь, что (19) обращается в нуль
для положительных масс. Рассмотрим типичный случай, когда mi = m2
и 777,3 = 777,4 = 1- Мы хотим исключить ряды Пюизё, порядок кото¬
рых — это вектор положительно рационально кратный вектору показате¬
лей азз = (0, — 1, — 1, — 1, — 1,0). Как и выше, мы можем считать, что
порядок в точности равен 0:33 и положить 7*13(i) = l/t. Положив г =
= (£12, l/t, £14/^, £23/^, £24/^, £34), мы получим систему F(t,x) = Fo(£) +
+ Fi(x)t + F2(x)t2 + ... = 0 для X = (£12,£14,£23,£24,£34)- Мы хотим
исключить решения Пюизё нулевого порядка.
Редуцированные уравнения дают ведущие члены £?2(0) = 777,1—,
1 ~г 7771
ж34(0) = я?4(0) = ±i, ^23(0) = =Fi ж24(0) = -1. Снова
1 ~Г 7771
ранг DFq(£(0)) равен 5. Хотя многочлен F\(x) — ненулевой, оказывает¬
ся, что Fi(£(0)) = 0, поэтому вновь возможные ряды-решения принимают
вид Xij (t) — Xij (0) + Uijt2 + Vijt3 + • • •• Как и раньше, и определяется одно¬
значно, но затем уравнения, определяющие v, оказываются несовместными.
Это завершает доказательство теоремы 1.
178
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
6. Верхняя граница и нижние границы
6.1. Нижняя граница. Существует всегда ровно 12 коллинеарных от¬
носительных равновесий [35]. Макмиллан и Бартки [28] доказали результат
о существовании одного выпуклого относительного равновесия для каждой
из 6 вращательно различных циклических расстановок 4 масс. Строго во¬
гнутый случай, когда одна частица содержится в выпуклой оболочке дру¬
гих трех точек, является более сложным. В [16] показано, что если все
четыре массы различны, то существует как минимум 16 вогнутых отно¬
сительных равновесий, что дает нижнюю границу равную 34 для общего
числа относительных равновесий (нижняя граница из 8 вогнутых конфи¬
гураций, установленная в [16], учитывала отраженные конфигурации как
эквивалентные).
На самом деле результат легко может быть улучшен следующим пред¬
ложением, доказательство которого содержит некоторую геометрическую
информацию об этих конфигурациях.
Предложение 4. Существует всегда как минимум 14 вогнутых от¬
носительных равновесий в задаче четырех тел. Если не выполнено условие,
что ровно три массы равны, то существует как минимум 16 вогнутых
относительных равновесий.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство основывается на главном резуль¬
тате работы [16], который может быть переформулирован следующим об¬
разом. Сначала мы введем способ обозначения вогнутой конфигурации
четырех масс. Одна масса, назовем ее тс, лежит внутри треугольника,
образованного другими тремя. Для разностороннего треугольника сторо¬
ны и их длины могут быть обозначены единственным образом L, /, 5,
где L > I > S. Отражая конфигурацию, если необходимо, мы можем всегда
предполагать, что обход сторон L, /, S происходит против часовой стрел¬
ки. Обозначим массы, противоположные сторонам L, /, 5, как ть, т/, ms
соответственно, тогда они также будут идти вокруг треугольника против ча¬
совой стрелки. Для равнобедренного, но не равностороннего треугольника
одна из сторон L или S будет однозначно определена, а две оставшиеся сто¬
роны могут быть помечены так, чтобы обход происходил против часовой
стрелки. Для равностороннего треугольника просто выберем обозначения
так, чтобы получить желаемый порядок обхода (известно, что этот случай
может возникнуть, только если ть = mi = ms).
С этими соглашениями главный результат работы [ 16] показывает, что
существует вогнутое относительное равновесие такого вида, при условии,
Конечность относительных равновесий задачи
179
что
mi ^ ть, mi ^ ms- (20)
Конечно, отражение этой конфигурации будет вращательно отличным от¬
носительным равновесием с ть, mi, ms, идущими по часовой стрелке.
Для заданных четырех масс mi,, т± мы получим несколько раз¬
личных вогнутых конфигураций, задавая каждый раз, какие из масс иг¬
рают роль тс, ш/, ть, ms. Без ограничения общности предположим,
что т\ ^ га 2 ^ газ ^ га4. Тогда условию (20) будут удовлетворять следу¬
ющие 8 перестановок:
(тс, =(1,2,3,4) (2,1,3,4) (3,1,2,4) (4,1,2,3),
(1,2,4,3) (2,1,4,3) (3,1,4,2) (4,1,3,2).
Теперь, если никакие три массы не равны, легко увидеть, что 16 отно¬
сительных равновесий, определенных этими 8 конфигурациями и их отра¬
жениями, являются попарно неэквивалентными относительно нашей сим¬
метрии вращений. Сначала заметим, что если две конфигурации эквива¬
лентны, то они должны иметь одинаковую центральную массу, и массы на
треугольнике должны быть расположены в том же циклическом порядке.
Для фиксированной массы тс существует только две перестановки в при¬
веденном выше списке, и расположение точек треугольника в них проти¬
воположное. Наконец, никакая из этих двух конфигураций не может быть
эквивалентна отражению другой. Чтобы понять это, заметим, что поскольку
треугольник не равносторонний, по крайней мере одна из сторон L или S
определена единственным образом в силу геометрии (независимо от наше¬
го соглашения о расстановке). В таком случае две эквивалентные конфи¬
гурации должны были бы иметь одну и ту же массу ть или ms- Но две
различные перестановки из списка, которые имеют одну и ту же массу тс,
всегда отличаются парой ть, ms.
Поскольку Албуи [2] показал, что существует 50 относительных рав¬
новесий, когда все четыре массы равны, остается только рассмотреть слу¬
чай, когда ровно три массы равны. Если т\ — т^ — газ > 7714, то шесть
перестановок в таблице, где тс ф т^, по-прежнему дают 12 различных
относительных равновесий. А другие две перестановки могут быть реали¬
зованы равносторонними треугольниками с га4 в центре. Каждая из этих
двух конфигураций эквивалентна отражению другой, и мы получаем всего
только 14 относительных равновесий. Случай т\ > m2 — газ = т± анало¬
гичен. □
Дополнительный результат Ша [49] дает относительно простое дока¬
зательство того, что нижняя граница числа вогнутых относительных рав-
180
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
новесий равна 16, если выполнены определенные предположения о невы¬
рожденности функции IU2, в противном случае их как минимум 8.
Здесь U — это потенциал m'imjrij1 > а / — это момент инер-
Ции m-1 ггнгпуг^.
Подводя итоги, мы можем сказать, что существует всегда по крайней
мере 32 относительных равновесия в задаче четырех тел. Если нет ровно
трех равных масс и функция IU2 невырожденная, то существует как мини¬
мум 34 относительных равновесия.
6.2. Верхняя граница. Мы показали, что для положительных масс де¬
вять уравнений Албуи-Шенсине и Дзёбека имеют конечное множество ре¬
шений г = (т*12, • • •, Г34) в комплексном алгебраическом торе. Поскольку
число уравнений превосходит число неизвестных, невозможно непосред¬
ственно применить смешанный объем из ВКК-теории к этой системе. Тем
не менее, мы сейчас применим его к системе из 10 уравнений и 10 неиз¬
вестных, полученной из уравнений (13) в разделе 2.2.
Как отмечено в разделе 2.2, любое неколлинеарное относительное рав¬
новесие определяет решение системы (13), где гц / 0 и ^ / 0. Однако
может оказаться, что к = 0. Чтобы обойти стороной эту сложность, мы
заменим уравнения fi = ... = /4 = 0 на разности /1 — /4 = /2 — /4 = /3 -
— /4 = 0, чтобы получить систему из 10 уравнений для (г, z). Тогда верхняя
граница числа комплексных решений (г, z) Е Т10 обеспечивает верхнюю
границу для числа классов эквивалентности относительных равновесий. На
самом деле нас интересуют только такие решения, для которых гц веще¬
ственны и положительны.
Суть в том, что существует 2-1 отображение из множества реше¬
ний (г, z) Е Т10 этой новой системы в решения г Е Т6 уравнений Албуи-
Шенсине и Дзёбека. Чтобы увидеть это, предположим, что мы имеем реше¬
ние (г, z) наших десяти уравнений, таких, что гц ф 0. Мы покажем, что г
удовлетворяет девяти уравнениям Албуи-Шенсине и Дзёбека. Во-первых,
уравнения Дзёбека (12) сразу следуют из уравнений = ZiZj. Далее мы
покажем, как получить уравнение Албуи-Шенсине, где (г, j) = (1,2); дру¬
гие могут быть получены аналогичным способом. Положим (г, j) = (1,2)
в (10) и заменим Sij на ZiZj, получим:
- 2(mi + т2)ziz2r\2 + m3ziz3{r\3 - г\ъ - r\2) + m3z2z3(r\z - r|3 -r\2)+
+ m4ziz4(rl4 - rf4 - r\2) + m4z2z3{rl4 - r\4 - r\2). (21)
Несложными вычислениями можно показать, что это выражение равно
~(zi + Z2)r\2f0 + (Z2 - ZL)(f1 - /2),
Литература
181
поэтому из нашей системы из 10 уравнений вытекают уравнения Албуи-
Шенсине.
С другой стороны, мы покажем теперь, что для любого заданного
г £ Т6 существует самое большее два способа, чтобы найти z £ Т4, та¬
кое, чтобы выполнялось ZiZj = Sij. Поскольку все zi — ненулевые, мы
должны иметь ф 0. Тогда отношения величин Zi единственным обра¬
зом определяются из уравнений вида zi/zj = Sik/Sjk• Полагая z\ — cQ,
где Q — zijz4, мы будем иметь равенство с2( 1(2 — *S'i2, которое опреде¬
ляет с с точностью до знака. Таким образом, z определено с точностью до
знака.
Если 77I2 > 0, то мы показали, что система Албуи-Шенсине и Дзёбека
имеет конечное множество решений г £ Т6, и отсюда следует, что наша
система из 10 уравнений имеет конечное множество решений в Т10. Тогда
из ВКК-теории следует, что число решений ограничено сверху смешанным
объемом ньютоновых полиэдров Pi, i = 1..., 10, этих уравнений. Исполь¬
зуя программу Mixvol, мы нашли, что смешанный объем равен 25380 [13].
Это число ограничивает количество комплексных решений, все перемен¬
ные которых ненулевые. Однако самое большее — треть из этих решений
могут иметь вещественные значения для взаимных расстояний г^. Чтобы
увидеть это, заметим, что если (г, z) £ Т10 — это любое решение, то та¬
ковым является и (ur,z), где и — это любой корень третьей степени из
единицы. Поэтому мы можем иметь самое большее 8460 вещественных ре¬
шений (г, z) (возможно, число вещественных решений намного меньше).
Поскольку существует ровно 12 коллинеарных относительных равновесий,
которые сюда не включены, наша верхняя граница для числа относитель¬
ных равновесий четырех положительных масс равна 8472.
Литература
[1] A. Albouy, Integral Manifolds of the N-body problem, Invent. Math., 114
(1993) 463-488. (См. также: Задача Кеплера: Столкновения. Регуля¬
ризация: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютерных
исследований, 2006, с. 183-220.)
[2] A. Albouy, The symmetric central configurations of four equal masses,
in Hamiltonian Dynamics and Celestial Mechanics, Contemp. Math., 198
(1996) 131-135. (См. также: Относительные равновесия: Периодиче¬
ские решения: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютер¬
ных исследований, 2006, с. 151-159.)
[3] A. Albouy and A.Chenciner, Le probleme des n corps et les distances
mutuelles, Inv. Math., 131 (1998) 151-184. (См. также: Задача Кепле¬
182
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
ра: Столкновения. Регуляризация: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД»,
Институт компьютерных исследований, 2006, с. 413-451.)
[4] D. Avis, lrs-Version 4.1, http://cgm.cs.mcgill.ca/avis/C/lrs.html
[5] D. Avis and K. Fukuda, A pivoting algorithm for convex hulls and vertex
enumeration of arrangements and polyhedra, Discrete and Computational
Geometry, 8 (1992) 295-313.
[6] D. N. Bernstein, The number of roots of a system of equations, Fun. Anal.
Appl., 9 (1975) 183-185.
[7] H. Cabral, On the integral manifolds of the n-body problem, Invent. Math.,
20 (1973) 59-72.
[8] J. Chazy, Sur certaines trajectoires du probleme des n corps, Bull. Astron.,
35 (1918) 321-389.
[9] T. Christof and A. Loebel, PORTA: POlyhedron Representation
Transformation Algorithm, Version 1.3.2. http://www.iwr.uni-heidel-
berg.de/iwr/comopt/soft/PORTA/readme.html
[10] D. Cox, J. Little, and D. O’Shea, Ideals, varieties, and algorithms: An
introduction to computational algebraic geometry and commutative
algebra, Springer, New York (1997).
[11] D.Cox, J. Little, and D. O’Shea, Using algebraic geometry, Springer, New
York (1998).
[12] O. Dziobek, Uber einen merkwlirdigen Fall des Vielkorperproblems,
Astron. Nach., 152 (1900) 33-46.
[13] I. Emiris, Mixvol, http://www.inria.fr/saga/emiris
[14] I. Emiris and J.Canny, Efficient incremental algorithm for the sparse
resultant and the mixed volume, J. Sym. Comp., 20 (1995) 117-149.
[15] L. Euler, De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium, Novi
Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop., 11 (1767) 144-151.
[16] M. Hampton, Concave central configurations in the four body problem,
thesis, University of Washington (2002).
[17] D. R. Grayson and М. E. Sullivan, Macaulay 2, a software system
for research in algebraic geometry and commutative algebra,
http://www.math.uic.edu/Macaulay2/.
[18] http://www.math.umn.edu/rick
[19] B. Huber and B.Sturmfels, A polyhedral method for solving sparse
polynomial systems, Math, of Computation, 64 (1995) 1541-1555.
Литература
183
[20] А. Г. Хованский, Многогранники Ньютона и торические многообра¬
зия, Функц. анализ и его прил., 11:4 (1977) 56-64.
[21] А. Г. Кушниренко, Многогранники Ньютона и теорема Безу, Функц.
анализ и его прил., 10:3 (1976), 82-83.
[22] Р. П. Кузьмина, О верхней оценке числа центральных конфигураций в
плоской задаче п тел, Доклады АН СССР, 234:5 (1977), 1016-1019.
[23] J. L. Lagrange, Essai sur le probleme des trois corps, (Euvres, vol. 6 (1772).
[24] S. Lefschetz, Algebraic Geometry, Princeton University Press, Princeton
(1953).
[25] R. Lehmann-Filhes, Ueber zwei Falle des Vielkorpersprblems, Astron.
Nach., 127 (1891) 137-143.
[26] J. Llibre, On the number of central configurations in the iV-body problem,
Celestial Mech. Dynam. Astronom., 50 (1991) 89-96.
[27] С. C. MacDuffee, Theory of matrices, Chelsea Publishing Co., New York
(1946).
[28] W. D. MacMillan and W. Bartky, Permanent configurations in the problem
of four bodies, Trans. Amer. Math. Soc., 34 (1932) 838-875.
[29] С. K. McCord, Planar central configuration estimates in the n-body
problem, Ergodic Theory Dynam. Systems, 16 (1996) 1059-1070.
[30] С. K. McCord, K. R. Meyer, and Q.Wang, The integral manifolds of the
three body problem, AMS, Providence, RI (1998).
[31] R. Moeckel, Relative equilibria of the four-body problem, Ergodic Theory
Dynam. Systems, 5 (1985) 417-435.
[32] R. Moeckel, On central configurations, Math. Z., 205 (1990) 499-517.
[33] R. Moeckel, Generic finiteness for Dziobek configurations, Trans. Amer.
Math. Soc., 353 (2001) 4673-4686.
[34] R. Moeckel, A computer assisted proof of Saari’s conjecture for the planar
three-body problem, to appear in Trans. Amer. Math. Soc.
[35] F. R. Moulton, The straight line solutions of the problem of n bodies, Ann.
of Math., 12(1910) 1-17.
[36] T. S. Motzkin, H. Raiffa, G. L. Thompson, and R. M. Thrall, The double
description method, Annals of Mathematics Studies, 28 (1953) 51-73.
[37] I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, Royal Society,
London (1687). (См. также: И. Ньютон, Математические начала на¬
туральной философии. М.: Наука, 1989.)
184
М. ХЭМПТОН, Р. МЁКЕЛЬ
[38] G. Roberts, A continuum of relative equilibria in the five-body problem,
Phys. D, 127 (1999) 141-145.
[39] D. Saari, On the role and properties of n-body central configurations,
Celestial Mech., 21 (1980) 9-20.
[40] I. R. Shafarevich, Basic algebraic geometry: 1. Varieties in projective space,
Springer, Berlin-Heidelberg-New York (1994).
[41] C. Simo, Relative equilibria in the four-body problem, Celestial Mech., 18
(1978) 165-184. (См. также: Относительные равновесия: Периодиче¬
ские решения: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт компьютер¬
ных исследований, 2006, с. 11-36.)
[42] S. Smale, Topology and mechanics: 2. The planar V-body problem, Invent.
Math., 11 (1970) 45-64.
[43] S. Smale, Mathematical problems for the next century, Mathematical
Intelligencer, 20 (1998) 7-15.
[44] F. Tien, Recursion formulas of central configurations, thesis, University of
Minnesota (1993).
[45] R. Walker, Algebraic curves, Dover, New York (1962).
[46] A. Wintner, The analytical foundations of celestial mechanics, Princeton
Math. Series 5, Princeton University Press, Princeton, NJ (1941). (Cm.
также: Уинтнер А., Аналитические основы небесной механики. М.:
Наука, 1967.)
[47] S. Wolfram, Mathematica, version 5.0.1.0, Wolfram Research, Inc.
[48] Z. Xia, Central configurations with many small masses, J. Differential
Equations, 91 (1991) 168-179.
[49] Z. Xia, Central configurations for the four-body and five-body problems,
preprint.
[50] G.Zeigler, Lectures on polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152,
Springer, New York (1995).
8
Топологическое доказательство
существования орбит Шубарта
в коллинеарной задаче трех тел1
Р. Мёкелъ
Приведено топологическое доказательство существования определенных сим¬
метрических периодических орбит, называемых орбитами Шубарта, в коллине¬
арной задаче трех тел с двумя равными массами. Доказательство основано на
построении множества Важевского W в фазовом пространстве. Периодические
орбиты находятся с помощью метода пристрелки, в котором симметрические
начальные условия, входящие в W, следуют вдоль потока до тех пор, пока
они не покинут W. Топологические соображения показывают, что образ сим¬
метрических состояний входа относительно отображения, порожденного этим
потоком, должен пересекать соответствующее множество симметрических со¬
стояний выхода.
1. Введение
В коллинеарной задаче трех тел описывается движение трех точечных
масс, двигающихся на прямой под действием их взаимного гравитацион¬
ного притяжения. Первым, кто изучал эту задачу, был Эйлер [6]; он обна¬
ружил простые явные решения — это были первые решения задачи трех
тел, когда-либо найденные. Эйлеровы решения являются гомотетическими;
конфигурация, образованная тремя массами, стягивается, сохраняя форму
неизменной. Решения заканчиваются тройным столкновением.
1R. Moeckel, A topological existence proof for the Schubart orbits in the collinear three-body
problem. Discrete Contin. Dyn. Syst. Sen В, 2008. vol. 10. no. 2-3. pp. 609-620.
186
Р. МЁКЕЛЬ
Интуитивно понятно, что двойные и тройные столкновения играют
важную роль в этой задаче. Двойные столкновения оказывается возможным
регуляризовать так, что сталкивающиеся частицы отскакивают и затем от¬
даляются друг от друга. Тем не менее, МакГихи [8] показал, что для трой¬
ных столкновений такой регуляризации не существует. Вместо этого он
придумал систему координат и замену временного масштаба, при которой
движения, которые ранее заканчивались тройным столкновением в некото¬
рый конечный момент времени, теперь стремятся к точке равновесия, когда
масштабированный параметр времени стремится к бесконечности. Объеди¬
няя регуляризацию двойных столкновений и раздутие тройных столкно¬
вений, можно получить динамическую систему без сингулярностей. Это
и есть та модифицированная коллинеарная задача трех тел, которая будет
здесь изучаться.
Цель настоящей статьи — привести топологическое доказательство су¬
ществования определенных простых симмметрических периодических дви¬
жений в случае, когда две массы из трех равны. Поведение таких орбит
показано на рисунке 1. В начальный момент времени неравная масса m3
находится в середине между двумя равными массами. Это есть эйлерова
центральная конфигурация. Если бы скорости частиц были равны нулю, то
произошел бы гомотетический коллапс к тройному столкновению. Однако
начальные скорости выбраны так, что 777,2 и 777,3 приближаются друг к дру¬
гу, а 777,1 двигается в противоположном направлении. Суть статьи заключа¬
ется в том, чтобы показать, что возможно выбрать скорости так, что 777,1
замедляется и останавливается в точности в тот момент, когда 777,2 и 777,3
сталкиваются в и = Эта точка представляет собой первую четверть пе¬
риода периодической орбиты. В течение следующей четверти периода ча¬
стицы возвращаются к начальной конфигурации, но с противоположными
скоростями. Далее эта последовательность повторяется с другой стороны,
где сталкиваются 777,1 и тз- Такие орбиты были найдены численно Шу-
бартом [10] (см. также [7]). Однако автору неизвестно какое-либо ранее
опубликованное доказательство существования.
Возможно, больший интерес, чем сами орбиты, представляет метод
доказательства, который является вариацией идеи, использованной Конли
в ограниченной задаче трех тел [1]. В статье Конли показано, что ретро¬
градная лунная орбита Хилла существует для широкого диапазона значе¬
ний константы Якоби. После регуляризации двойных столкновений зада¬
ча приводится к задаче нахождения решения системы дифференциальных
уравнений второго порядка в плоскости, которое двигается от положитель¬
ной оси х к положительной оси у через первый квадрант и пересекает обе
оси ортогонально.
Топологическое доказательство существования орбит Шубарта 187
ется коллинеарной, а центру масс придается малое уменьшающееся отклонение
Такое решение находится с помощью одной из разновидностей ме¬
тода пристрелки. Точки стартуют ортогонально к оси х и двигаются до
тех пор, пока не будет выполнено одно из двух условий выхода — либо
они попадают на положительную ось у, либо их векторы скорости стано¬
вятся горизонтальными. По мере того как изменяется начальная точка на
оси х, окончательное поведение изменяется от попадания на ось у с нену¬
левым наклоном до приобретения горизонтального вектора скорости перед
попаданием на положительную ось у. В какой-то промежуточный момент
должна найтись точка, вектор скорости которой становится горизонталь¬
ным в точности тогда, когда она достигает положительной оси у, и это
дает требуемое периодическое решение. Основная сложность в обоснова¬
нии таких рассуждений заключается в том, чтобы показать, что начальные
решения действительно прибывают в один из двух видов конечных состо¬
яний и что конечное состояние непрерывно зависит от начальных условий.
Для этого Конли строил изолирующий блок.
Конли и Истон разработали изолирующие блоки как способ опреде¬
ления топологического индекса инвариантных множеств [2, 3, 5]. Среди
их важных свойств есть следующий факт: для начальных условий, кото¬
рые покидают изолирующий блок, количество времени, требуемое для того
чтобы покинуть этот блок, зависит непрерывно от начальных условий. От¬
сюда следует, что множество точек выхода также изменяется непрерывно.
В работе [1] Конли строит изолирующий блок в многообразии с заданной
188
Р. МЁКЕЛЬ
константой Якоби и использует его, чтобы обосновать метод пристрелки,
описанный выше.
Понятие изолирующего блока связано с понятиями, введенными ранее
Важевским [11]. Оказывается, что возможно получить ключевое свойство
непрерывности моментов выхода при более слабых предположениях, чем
те, которые необходимы для топологической теории индексов. К примеру,
изолирующие блоки всегда компактны, а множества Важевского не обязаны
быть такими. В этой статье доказательство будет основано на построении
множества Важевского, а не изолирующего блока. Это дает надежду на то,
что множества Важевского и метод пристрелки для более высоких порядков
обеспечат доказательства существования симметрических периодических
решений в более сложных системах, таких как плоская задача трех тел или
симметричные подсистемы задачи п тел.
2. Уравнения движения и регуляризация
Рассмотрим коллинеарную задачу трех тел с двумя равными массами
mi = 777,2 = 1 и произвольной массой 777,з > 0. Пусть qi G R — это положе-
ния, a Vi = qi G R — это скорости. Ньютоновы уравнения движения — это
уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана
ь = \к + и, (1)
где
К = v\ + v\ + Шз^з,
Tj _ тз тпз (2)
Г12 Пз + г2з '
Здесь Гц = |qi — qj \ означает расстояние между г-й и j-й массами. Полная
энергия системы является постоянной:
I K-V = h.
Без ограничения общности предполагаем, что полный импульс равен нулю
и что центр масс расположен в начале координат, то есть
vi + V2 + m3v3 = q-г + <?2 + m3q3 = 0.
Введем якобиевы координаты
6 = <72 - <71, 6 = <7з - |(<7i + 02)
Топологическое доказательство существования орбит Шубарта 189
и их скорости щ = £г- Тогда уравнения движения задаются лагранжианом
того же вида, что и (1), где теперь
(3)
и ц = -^7П-3 . Взаимные расстояния задаются равенствами
Г12 = 161,
ПЗ = |6 + |б|>
Г23 = |6 - |б|-
(4)
Использование якобиевых координат исключает симметрию сдвигов в за¬
даче и приводит число степеней свободы от 3 к 2.
Следующий шаг — это заменить (£i, £2) на переменные, которые пред¬
ставляют размер и форму конфигурации. Подход, используемый здесь, —
это коллинеарный вариант редукции с помощью отображения Хопфа в
плоской задаче трех тел [9]. Опередим г, гщ, W2 равенствами
Легко проверяется, что новые переменные удовлетворяют соотношению
Величина I = г2 — момент инерции — это подходящая величина для изме¬
рения полного размера конфигурации, образованной тремя телами. Форма
конфигурации может быть представлена с помощью нормированного век¬
тора s = 2w/r2, который лежит на единичной окружности S1. Заменим
для удобства s на угол в, такой, что s = (cos sin 0). Угол описывает фор¬
му коллинеарной конфигурации. Формы, которые здесь рассматриваются,
Г<1 — ^1 + мйэ
wl = - /^2»
(5)
190
Р. МЁКЕЛЬ
— это такие формы, для которых масса m3 лежит между равными массами
гп\, m2- Это соответствует интервалу —0* ^ 0 ^ 9*, где
0* = tg 1 v/m3( 2 + m3).
Легко видеть, что 0* возрастает от 0 до когда m3 возрастает от 0 до оо.
Переменные г, в удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа для
лагранжиана
L = \K + \W{6), (6)
где
к = г2 + \г2в2,
(7)
W= J- + ^M , тз
Pl2 ^ Р13 Р23 '
Здесь pij = Tij/r — это нормированное расстояние между частицами, то
есть расстояние между частицами после масштабирования конфигурации
до момента инерции, равного 1. После некоторых выкладок, использую¬
щих равенства (4), (5) и некоторые тригонометрические тождества, можно
получить
Pl2 = 1 + COS (9,
p?3 = i4sin2(|(0 + 0*)),
р23 = Авт2(1(е-9*)),
где
= 1 + m3
m3
Соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа второго порядка будут
иметь вид
f = -±w+lrP,
**$= *Wg.
(9)
Далее можно раздуть сингулярность тройного столкновения в г = 0;
3
для этого введем новую временную шкалу ' = г2 ' и переменную v =
Топологическое доказательство существования орбит Шубарта 191
= г'/г [8]. Положим т = 0', получим следующую систему дифференциаль¬
ных уравнений первого порядка:
г = гт,
v' — W{9) — }:V2 + 2 rh = --т2 + ^v2 — Ж(0),
<io>
т — 4We — т^т.
Уравнение энергии имеет вид
+ 1т2 _ ^(0) = гЛ. (11)
Заметим, что теперь {г = 0} — это инвариантное множество для пото¬
ка, оно называется многообразием тройных столкновений. Дифференци¬
альные уравнения по-прежнему являются сингулярными, вследствие двой¬
ных столкновений в точках в = тс, ±0*. Поскольку тз находится между mi
и m2, то мы имеем двойные столкновения только при в = db0*. Заключи¬
тельная замена переменных исключит эти сингулярности.
Определим новые переменные и, 7 так, что
в = 0* sin и, 7 — т cos и.
Заметим, что —в* <0^0* соответствует — ^ < и < Вычислим диффе¬
ренциальные уравнения для и, 7, далее введем новое изменение масштаба
времени, умножая векторное поле на 0* cos2 и. Оставляя штрих для обозна¬
чения дифференцирования по новой переменной времени, мы получаем
г' = 6*vr cos2 и,
v' = 9*(G(u) — ^v2 cos2 и — 2r cos2 тх) = 0*(^72 + ^t;2 cos2 и — G(u)),
v! = 7,
7' = 4GU — ^0*ггу cos2 и + 4sin7xcos7x(7;2 + 2r),
(12)
где
G(t/) = cos2 77 VP (u),
w/ \ _ 1 t m3 , m3
- m + M + рй'
192
Р. МЁКЕЛЬ
Pl2 = 1 + cos($* sin и),
(13)
Р213 = Asin2(6>* sin2(-(и + £))),
p\3 = Asin2(6>* sin2(-(u - |))).
В выводе дифференциальных уравнений было использовано соотношение
на энергию
■^v2 cos2 и + -^72 — G(u) = rh cos2 и. (14)
2 о
Было предположено, что h = — 1. Это можно сделать без ограничения общ¬
ности в силу симметрии шкалирования.
Ньютонов потенциал W(и) имеет особенности в точках и = =Ь^, со¬
ответствующих сингулярностям двойных столкновений (см. рис. 2). Мож¬
но показать, что функция W(u) является выпуклой на со вто_
рой производной Wuu(u) > 0. Существует единственная критическая точка
в и = 0, соответствующая эйлеровой коллинеарной центральной конфигу¬
рации. На интервале ^0, ^ имеем Wu(u) > 0. С другой стороны, регу-
ляризованная потенциальная функция G(u) продолжается аналитически на
двойные столкновения, и получается аналитическая функция на всей веще¬
ственной прямой с периодом тт. Функция G(u) имеет критические точки
в« = 0,§ (и в их сдвигах на целые кратные тт), и точка и — 0 является ее
точкой максимума.
Дифференциальные уравнения (12) представляют коллинеарную зада¬
чу трех тел для конфигураций с промежуточной массой тз с раздутым
тройным столкновением и регуляризованными двойными столкновениями.
Переменная и, описывающая форму, не обязательно ограничена промежут¬
ком \ • Когда и пробегает вещественную ось, переменная формы в
колеблется между двойными столкновениями в ±0*, и масса тз отскаки¬
вает вперед и назад между mi и пп2.
Доказательство, приведенное ниже, использует симметрию регуляри-
зованной потенциальной функции G(u) для построения симметрического
периодического решения, как на рисунке 1. На рисунке 3 показана перио¬
дическая орбита при m3 = 1 в плоскостях (и, г) и (u,v). Первая четверть
орбиты — это сегмент, пробегающий от вертикальной прямой и = 0 до вер¬
тикальной прямой и = 7^, где v = 0 в обоих концах. Далее используется
симметрия векторного поля, и можно собрать воедино все части орбиты
Топологическое доказательство существования орбит Шубарта 193
W
W
W
Рис. 2. Ньютонов потенциал W(и) и регуляризованный потенциал G(u) для шз
1
10
,1,10.
с помощью отражения через прямую и = и горизонтального сдвига на 7г.
Существование требуемого сегмента будет доказано с помощью топологи¬
ческого метода пристрелки.
3. Множество Важевского
Рассмотрим систему (12) на многообразии фиксированной энергии h —
— —1. Цель данного параграфа — построить множество Важевского для
потока на этом трехмерном многообразии.
194
Р. МЁКЕЛЬ
Рис. 3. Симметрическое периодическое решение, рассматриваемое в плоскостях
(и, г) и (u,v). Орбита может быть восстановлена из сегмента между и = 0 и и — ^
с помощью отражения и сдвига
Множество Важевского для потока </>t(x) на топологическом простран¬
стве X — это подмножество W С X, удовлетворяющее техническим пред¬
положениям, которые гарантируют, что время, требуемое для выхода из W,
непрерывно зависит от начальных условий [2, 11]. Чтобы сформулировать
эти предположения, введем подмножество W0 множества точек из W, ко¬
торые в конечном счете покидают W в прямом времени, и подмножество £
множества точек из W, которые покидают W немедленно:
W° = {х е W : 3t > 0, фг(х) ф W},
£ = {а; G W : Vi > 0, ф[0>t)(x) ф. W}.
Очевидно, £ С VV°. Для заданного re G W0 определим момент выхода
т(х) = sup{i ^ 0 : ф[0,t)(x) С W}.
Заметим, что т(х) — 0 тогда и только тогда, когда х € £. Соответствующие
предположения, которые обеспечивают непрерывность т, следующие [2]:
a. если х £ W и ф\^] С W, то </>[0|t] С W,
b. £ — это относительно замкнутое подмножество множества W0.
Выбор множества W обусловлен методом пристрелки, приведенным
в конце предыдущего параграфа. Пусть
W = {(г, v,w,7) : выполнено (14), г ^ 0, ^ 0, 0 ^ и ^ 7 ^ 0}.
Чтобы наглядно представить множество W, можно использовать коорди¬
наты (г, г>, и) на многообразии энергии, применяя уравнение энергии для
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ОРБИТ ШУБАРТА 195
нахождения 7. Многообразие энергии проектируется в пространственную
область
(15)
Тогда W выглядит, как на рисунке 4. Верхняя поверхность на рисунке, где
выполнено равенство в (15), соответствует 7 = 0. На рисунке видны неко¬
торые другие важные свойства, которые будут объяснены в дальнейшем.
Рис. 4. Множество Важевского W и набросок доказательства существования
Заметим, что для любого сегмента орбиты в W проекция на плоскость
(и, г) будет лежать в вертикальной полосе над [0, (см. рис. 3). Кроме то¬
196
Р. МЁКЕЛЬ
го, кривая будет двигаться в юго-восточном направлении, с неубывающей
координатой и и невозрастающей г. Дальнейшая часть этого параграфа по¬
священа доказательству следующей теоремы.
Теорема 1. W — это множество Важевского для потока на много¬
образии энергии.
Определяющее свойство а проверяется немедленно, поскольку W —
это замкнутое подмножество в R4. Для проверки свойства b следует сна¬
чала определить подмножества W°,£. Оказывается, что каждое решение,
начинающееся в W, в конечном счете покидает это множество, за одним
исключением — решения эйлерова тройного столкновения, упомянутого во
введении. Напомним, что это простое гомотетическое решение, которое по¬
лучается, если поместить m3 в середину между гп\, m2 и придать массам
нулевые начальные скорости.
Для более точного описания заметим сначала, что в W существует
единственная точка равновесия Р — (г, и, и, 7) = (0, — г?о, 0,0), где vq =
= y/2G(0). Это соответствует тройному столкновению, где и = 0, то есть
в эйлеровой центральной конфигурации. Как показал МакГихи [8], точка
равновесия Р является гиперболической с двумерным устойчивым много¬
образием и одномерным неустойчивым многообразием. Действительно, ис¬
пользуя координаты (и, и, 7) в качестве локальных координат, можно най¬
ти, что матрица линеаризованной системы дифференциальных уравнений
в точке покоя имеет вид
~-6*v о 0 0
0 0 1
0 4(GUU(0) + Vq)
Используя тот факт, что и0 > 0 и Guu(0) + Vq = Guu(0) + 2G(0) =
= Wuv(0) > 0, можно найти, что собственные значения — это Ai =
= —в*Уо < 0, а два других собственных значения А2 < 0, A3 > 0. Соб¬
ственные векторы, соответственно, суть (1,0,0), (0,1, Аг), (0,1, A3). Пер¬
вый устойчивый собственный вектор является касательным к эйлеровой
гомотетической орбите 7~L = {(г, t?,u, 7) : и = 7 = 0}. Эта орбита об¬
разует одно из ребер множества Важевского W (искривленное ребро со
стрелкой на рисунке 4). Заметим, что другой устойчивый собственный век¬
тор (0,1,Аг) направлен вовне множества W, поскольку любой скалярно
кратный ему вектор, который имеет и > 0, должен иметь 7 < 0. Отсюда
следует, что HnW = WS(P) П W.
Топологическое доказательство существования орбит Шубарта 197
Очевидно, что любое начальное условие в l~i П W остается там для
всех t ^ 0 и стремится к Р. Оказывается, что эти орбиты — единственные
орбиты, которые остаются в W.
Лемма 1. W° = W\H.
Доказательство. Пусть хо = (го,г?0,ио,7о) £ W. Пока соответ¬
ствующее решение фь(хо) остается в W, выполнены оценки 0 < r(t) < го
и 0 < и(£) < 7^. Уравнение энергии показывает, что 7(£)2 < 8G(u(£)), по¬
этому т(£) также ограничена сверху и снизу. Существует верхняя граница
г>(£) ^ 0, однако уравнение энергии не обеспечивает фиксированной ниж¬
ней оценки. Тем не менее, существует нижняя граница на производную:
v' > -6*G(u).
Отсюда из стандартных теорем существования следует, что решение <fit(xо)
продолжает существовать, пока оно остается в W.
Допустим теперь, что хо £ W\?i. Будет показано, что фь(хо) в конеч¬
ном счете покидает W. Если ио = 0, то гх'(О) = 7о > 0, поскольку хо ф Н.
Отсюда следует, что для каждого to > 0 имеем u(to) > 0. Таким образом,
достаточно рассмотреть начальные условия с ио > 0.
Зафиксируем произвольное ио > 0, и пусть WU() = {х £ W : и ^ ио}.
Отметим, что поскольку u(t) является неубывающей вдоль орбит в W, то
WUo положительно инвариантно относительно W. Ниже будет показано,
что существуют константы со > 0 и do > 0, такие, что для всякого х £ WUo
выполнено либо 7 ^ со, либо 7' ^ do- Этого будет достаточно для того, что¬
бы показать, что фь(хо) должно в конечном счете покинуть W. Чтобы убе¬
диться в этом, обозначим WUo = W+ UW“0, где W+ = {х £ WUo : 7 ^ с0}
и = {ж G WUo : 0 < 7 < с0}. Тогда, поскольку 7' > d0 > 0 в W“0,
отсюда следует, что сегмент орбиты может оставаться там, самое большее,
в течение времени Co/do- Кроме того, W+0 положительно инвариантно от¬
носительно WU(). Наконец, орбита может оставаться в W+, самое большее,
в течение времени 7г/(2со), поскольку и' = 7 ^ со- Таким образом, каждая
орбита, начинаясь в WUo, в конечном счете покидает W, что и требовалось
доказать.
Остается построить со > 0, do > 0, такие, что либо 7 ^ со, либо
У ^ do для всех х £ WUo. Отметим сначала, что для и = ^ уравнение
энергии дает j2 = 8G(^) > 0. Если константа со выбрана меньше, чем
|), то 7 > Со будет выполнено при и = ^. С другой стороны, если
198
Р. МЁКЕЛЬ
uq < и < |,то равенство для j1 можно переписать как
7' = 4Gu(u)-|0*u7Cos2u+tgu(8G(u)-72) > 4G'u(w) + tgu(8G(u)-72),
поскольку и<0и7^0в W. Теперь
4 ?/
4Gu(u)ctgu + SG(u) = — wrtt(u) > О
sin и
. Пусть к > 0 — это минимальное значение этой функции на
данном интервале. Тогда выполнено
7' > tg и(к - 72) ^ tg и0(к - 72).
[«о,:
на |ы0, |
Выберем Со = min(^/fc/2, ^/8G(:|)) и do = к tg tto/2. На этом доказатель-
ство завершено. □
Чтобы найти множество £ точек немедленных выходов, нужно иссле¬
довать граничные точки множества W (см. рис. 4). Для удобства выделим
два подмножества границы. Пусть х = (г, v, и, 7) и пусть
£1 = {rr G W : и = |},
В2 = {г € W : v = 0, 2rcos2u < G(u)}.
Отметим, что и #2 — это замкнутые подмножества в W (затемнены на
рисунке 4). Поэтому следующая лемма завершает проверку предположе¬
ния b и доказательство теоремы 1.
Лемма 2. Множество немедленных выходов из множества W есть
8 = Bi U В2.
Доказательство. Пусть х £ В\. Поскольку и=^ии' = 7 =
= yJ&G{^) > 0, то очевидно, что х — точка немедленного выхода. Таким
образом, В\ С 8.
Далее, пусть х С В2. Если ж имеет и = то уже показано, что х е 8,
поэтому можно считать, что 0 < и < По определению, v = 0, поэтому
имеет место
v1 = Q*(G(u) — 2rcos2u) ^ 0.
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ОРБИТ ШУБАРТА 199
Если 2г cos2 и < G(u), то г/ > 0 и х — точка немедленного выхода. С дру¬
гой стороны, если 2r cos2 и = G(u), то выполнено v = v' — 0; тогда можно
найти, что вторая производная имеет вид
v" = #*7(Gu (и) + 4г cos и sin и).
Кроме того, уравнение энергии упрощается до 72 = 4G(u) > 0. Теперь
выражение в скобках положительно, за исключением точки и = 0. Поэтому
если 2г cos2 и = G{u) и 0 < и < ^, то имеем = vf = 0 и vf/ > 0, и снова
х — точка немедленного выхода. Наконец, если и = v = 0 и 2r cos2 и =
= G(u), имеем v = vr = v" = 0. Третья производная есть
г/" = 0*(GUU(0) + 2G(0)) = 9*WUU(0) > 0.
Снова х — точка немедленного выхода, и 82 С £.
Чтобы завершить доказательство, остается показать, что не существует
никаких других точек немедленного выхода. Предположим от противного,
что Xq £ W — это точка немедленного выхода, которая не принадлежит
Б\ UB2. Вместо того, чтобы рассматривать различные грани, ребра и вер¬
шины границы, легче будет рассмотреть логически возможные способы,
когда точка xq могла бы быть точкой выхода, и исключить их.
Во-первых, можно было бы выйти, если бы го = 0 и r(t) < 0 для
малых положительных значений времени. Тем не менее, это невозможно,
поскольку {г = 0} — это инвариантное многообразие тройных столкнове¬
ний.
Далее, могло бы быть выполнено и0 — 0 и u(t) < 0 для малых положи¬
тельных значений времени. Отсюда необходимо вытекает и'(0) = 70 ^ 0,
и, поскольку х0 £ W, это означает 70 = 0. Но щ = 70 = 0 определяет
эйлерову орбиту Н, и точки множества Н, конечно, не являются точками
немедленного выхода.
Третья возможность — это Vo = 0 и затем v(t) возрастает, становясь
положительным. Это влечет vf = 0*(G(u) — 2r2 cos2 и) ^ 0, и поэтому
Xq £
Последняя возможность — это 70 = 0 и затем 7(t) становится отрица¬
тельным. Поскольку и0 = 70 = 0 определяет Н и uq = ^ представляет Вь
можно считать, что 0 < uq < В этом случае из доказательства лем¬
мы 1 следует, что существуют положительные константы co,do такие, что
7' ^ do > 0 всякий раз, когда 7 < со. В частности, это относится к точкам,
для которых 7о = 0, и поэтому этот способ существования также невозмо¬
жен. Это завершает доказательство. □
200
Р. МЁКЕЛЬ
4. Метод пристрелки
Чтобы построить симметрические периодические орбиты, достаточно
показать, что существует начальное условие, где и — v = 0, которое может
пройти через W к состоянию выхода, где и — v = 0. Пусть
S = {(г, v, и, j) Е W : и = v = 0},
Т = {(г, v, и, 7) Е W : и = 7г/2, v = 0}.
5 и Т — это два ребра, принадлежащие границе трехмерного множе¬
ства Важевского W (на рисунке 4 они изображены жирными вертикальны¬
ми линиями). Вдоль S выполнено 0 < г < G(0) и 7 = y/8(W(0) - г).
Рассматривая г как параметр вдоль S, можно заметить, что конечная точка,
где г = 0, лежит в многообразии тройного столкновения, а конечная точка,
где г = W(0), — это точка эйлеровой гомотетической орбиты Н. Пусть
So = {(г, и, 7) G W : и = v — 0, 0 < г < G(0)}.
Тогда 5о С Wo, то есть все эти точки в конечном счете выходят из W
через £. Поскольку W — это множество Важевского, то время, требуемое
для того чтобы достичь множества £, непрерывно зависит от начальных
условий, поэтому существует непрерывное заданное потоком отображение
F : <So —> £• Теперь целевое множество Т содержится в £. Остается пока¬
зать, что F(So) ПТ^0.
Вновь выберем г в качестве параметра вдоль So. Можно заметить, что
часть «So, где 0 ^ г ^ G(0)/2, содержится в В2 С £. Эти точки выходят
из W немедленно, и поэтому отображение F является здесь тождествен¬
ным. С другой стороны, точки «So, где г > G(0)/2, будут входить во внут¬
ренность W и выходить где-то в другом месте. Доказательство будет завер¬
шено, если мы исследуем поведение точек вблизи другого конца «So, то есть
при г ~ G(0). В силу непрерывности потока эти точки будут следовать за
эйлеровой гомотетической орбитой Н вниз до окрестности эйлеровой точ¬
ки равновесия Р = (0, — г>о,0,0). Из лямбда-леммы следует, что далее они
будут следовать за ветвью многообразия WU(P).
Здесь WU(P) — это одномерное многообразие, которое полностью со¬
держится в инвариантном многообразии тройных столкновений г = 0. Од¬
на из двух ветвей содержится в W. На самом деле она содержится в Wo,
и поэтому направлена вдоль потока к множеству выхода £. Следующая
лемма описывает, где она выходит из W.
Лемма 3. Ветвь многообразия WU(P), принадлежащая W, выходит
мз W в точке вида (0, г>, 7), где v < 0.
Топологическое доказательство существования орбит Шубарта 201
Другими словами, начиная движение в точке, где г^О и — v0 < 0,
решение достигает двойного столкновения в « = ! раньше, чем оно до¬
стигает v = 0.
Используя эту лемму, мы можем завершить доказательство методом
пристрелки следующим образом. В последнем параграфе было показано,
что множество точек немедленного выхода состоит из двух частей Б\ и Б2
границы множества W. Как показано на рисунке 4, Б\_ и Б2 — это двумер¬
ные поверхности, пересекающиеся по ребру Т. Непрерывное отображе¬
ние F переводит точки 5о вблизи г = 0 в 62 \ Т и точки вблизи г = G(0)
в Б\\Т. Отсюда следует, что должна существовать по меньшей мере одна
точка пересечения Q Е F(So)nT. Это завершает доказательство существо¬
вания симметрических периодических орбит.
Теорема 2. Пусть заданы три положительные массы т\ = m2 и m3
и отрицательная энергия h. Тогда существует симметрическое периоди¬
ческое решение коллинеарной задачи трех тел с энергией h и регуляризован¬
ными двойными столкновениями следующего типа. В течение первой чет¬
верти периода массы движутся от эйлеровой центральной конфигурации
с массой m3, находящейся посередине т\ и m2, к двойному столкновению
между m2 и m3. В момент двойного столкновения скорость массы т\ рав¬
на нулю. Вторая четверть орбиты — это обращенная во времени первая
четверть. Вторая половина орбиты — это отражение первой половины,
в которой первая и вторая массы меняются ролями.
Доказательство также показывает, что момент инерции I является убы¬
вающим на первой четверти орбиты, после которой он возрастает, убывает
и возрастает снова в течение остальных четвертей периода.
Остается только доказать лемму 3 о ветви неустойчивого многообра¬
зия WU(P).
Доказательство ЛЕММЫ 3. Рассмотрим дифференциальные уравне¬
ния для u,v. Используя соотношение для энергии и тот факт, что неустой¬
чивая ветвь лежит в многообразии тройных столкновений г — 0, мы можем
записать
v' = 9* (G — ^v2 cos2 и),
и = 7,
где 72 = 8(G(u) — ^v2 cos2 и). Далее, параметризуя ветвь переменной и,
получаем
Д* ZD*
— = — y/2G(u) - v2 cos2 и < — ^/2G(u).
du А 4
202
Р. МЁКЕЛЬ
Теперь функция G(u) является убывающей на 0 < и < | (см. рис. 2).
Следовательно, G(u) < G(0) и
где vo = y/2G(0). Отсюда следует, что изменение по v на 0 ^ и < ^
удовлетворяет условию
9*7TVo 7T2Vo
Av < о < < ^0,
8 16
поскольку в* < Так как ветвь многообразия WU(P) начинается вбли¬
зи Р, где и = 0 и г? = — и0, отсюда следует, что она прибудет в и — ^
раньше, чем достигнет и = 0. Лемма доказана. □
Литература
[1] С. С. Conley, The retrograde circular solutions of the restricted three-body
problem via a submanifold convex to the flow, SIAM J. Appl. Math., 16
(1968) 620-625.
[2] С. C. Conley, Isolated invariant sets and the Morse index, CBMS Regional
Conference Series, 38, AMS (1978).
[3] С. C. Conley and R. W. Easton, Isolated invariant sets and isolating blocks,
Trans. AMS, 158:1 (1971) 35-60.
[4] A. Chenciner and R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the
three-body problem in the case of equal masses, Ann. of Math., 152 (2000)
881-901. (См. также: Современные проблемы хаоса и нелинейности:
Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД»,
Институт компьютерных исследований, 2002, с. 179-201.)
[5] R. W. Easton, On the existence of invariant sets inside a submanifold
convex to a flow, J. Differential Equations, 7 (1970) 54-68.
[6] L. Euler, De motu rectilineo trium corporum se mutuo attahentium, Novi
Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop., 11 (1767) 144-151.
[7] M.Henon, A familiy of periodic solutions of the planar three-body
problem, and their stability, Cel. Mech., 13 (1976) 267-285.
Литература
203
[8] R. McGehee, Triple collision in the collinear three-body problem, Inv.
Math, 27 (1974) 191-227. (См. также: Задача двух тел: Симметрии
и явное интегрирование: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт
компьютерных исследований, 2006, с. 340-385.)
[9] R. Montgomery, Infinitely many syzygies, Arch. Rat. Mech., 164, 4 (2002)
311-340. (Статья 1 настоящего сборника.)
[10] J. Schubart, Numerische Aufsuchung periodischer Losungen im Dreikor-
perproblem, Astr. Nachr., 283 (1956) 17-22.
[11] T. Wazewski, Sur un principe topologique de l’examen de failure
asymptotiques des integral des equations differentiates ordinaires, Ann.
Soc. Pol. Math. 20 (1947) 279-313.
9
Поток в окрестности равностороннего
относительного равновесия
в пространственной задаче трех тел
с равными массами1
А. Шенсине, Ж. Фежоз
Из анализа нормальных форм вблизи лагранжева равностороннего относитель¬
ного равновесия мы выводим, что с точностью до действия подобий и сдви¬
гов по времени единственными относительными периодическими решениями,
которые бифурцируют из этого решения, являются (плоское) томографическое
семейство и (пространственное) семейство Pi2, имеющее симметрию двенадца¬
того порядка (см. [5, 12]). После редукции по симметрии вращений лагранжева
решения наше доказательство локального существования и единственности се¬
мейства Pi2 следует из существования и единственности орбит Хилла в плос¬
кой ограниченной кругом задаче трех тел в [1, 7]. Затем мы анализируем огра¬
ничение редуцированного потока на уровень постоянной энергии в централь¬
ном многообразии. Такой уровень оказывается трехмерной сферой. В кольце
сегмента, ограниченном относительными периодическими решениями каждо¬
го семейства, нормальный резонанс вдоль томографического семейства влечет
за собой то, что обратное отображение Пуанкаре является тождественным на
соответствующей связной компоненте границы. Используя симметрию отраже¬
ния относительно плоскости относительного равновесия, мы доказываем, что
достаточно близко к лагранжеву решению обратное отображение является мо¬
нотонным отображением кручения.
Рассмотрим три точечных тела в М3 с одинаковыми массами i, нахо¬
дящихся под воздействием ньютонова притяжения (случай произвольных
масс будет рассмотрен только в приложении).
!А. Chenciner, J. Fejoz, The flow of the equal-mass spatial 3-body problem in the neighborhood
of the equilateral relative equilibrium. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. В. 2008, vol. 10. no. 2-3,
pp. 421—438.
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
205
Пусть q = (q0, gi,^) G (К3)3 и р = (po,Pi,P2) G (К3)3 означают,
соответственно, конфигурацию, то есть положения трех тел, и конфигура¬
цию импульсов, то есть pj = j = 0,1, 2. Тогда уравнения задачи будут
иметь вид
Их можно записать эквивалентно в гамильтоновой форме
дщ . ащ „, „
= q> = W,' J = 0, ' 1
где гамильтониан Но определен равенством
«>(*,)-! е ы24 s д-Ьд-
0^j^2 0^j<k^2
Нас интересует так называемое лагранжево решение относительного рав¬
новесия, которое после отождествления R3 с СхМ определяется как qL(t) =
= (go(*)>9i'W>?2 (*))> гДе
^(0 = ( 7|ехр
. 57Г 27Г
,0 (L)
(такой выбор начального момента времени обусловлен тем, что мы хотим
упростить формулы, перейдя ниже от якобиевых координат к полярным
координатам). В этом решении три тела вращаются равномерно с перио¬
дом 2п в горизонтальной плоскости как жесткий равносторонний треуголь¬
ник с длинами сторон, равными 1.
1. Редукция по переносам и вращениям
Определим якобиевы координаты (Q, Р) = ((Qcb Qb Q2), (Дь Д»Д))
равенствами
206
А. Шенсине, Ж. Фежоз
Преобразование перехода от координат (q,p) к координатам (Q, Р) является
симплектическим. Полный импульс Ро остается постоянным. Зафиксируем
его равным 0 и будем считать (Q\, Q2, Pi, Р2) координатами в подпростран¬
стве
Е* = °. Е^ = °
фазового пространства, в котором центр масс зафиксирован в начале коор¬
динат. Гамильтониан полной (в отличие от редуцированнной, определенной
ниже) задачи трех тел примет вид
H(P1,P2,QuQ2) =3||Pi||2 + ^||Р2||2 -
1 1
9||Q2+±Qi|| 9||Q2-iQi|f
а лагранжево решение примет вид
Qf(t) = (e« 0), P1L(t)=Qei*,o),
Q2(t)=^ieii,o'j, P2L(t)=
Обозначения
Qj = Pj = (xpy'pZj), j = 0,1,2
Qx = (XUYU Zx) = ((1 + Rx)jQ\Zx),
Qi = (X2,Y2,Z2) = f(y/3/2 + Д2) ei(&2+^,Z2
Px = (X{, У/, Z') = j eiBl, Z[j,
P, - <*„«,*) . ((*• +t-^±5L)
Заметим, что начало координат полярной системы координат выбирается
в точке, в которой находятся положения и импульсы лагранжева решения
в момент времени 0.
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
207
Рассмотрим симплектическое инвариантное подмногообразие верти¬
кального кинетического момента (существуют сингулярности в коллинеар-
ных конфигурациях с коллинеарными скоростями, но мы находимся далеко
от них)
С — (Сж, Су, Cz) = Q\ A Pi + Q2 А Р2 =
= (С^,С^,СР) + (С(2КсМ,СМ),
то есть многообразие, заданное уравнениями Сх = Су = 0. Если С'-2>
не обращается в нуль (а это действительно так в окрестности лагранжева
относительного равновесия), последние уравнения могут быть разрешены
относительно (^Z^):
X2cj2) + Y2C(2) Х2С(У + Y2C^
2 С^2) (7^ 7
у-/1 у /л(2) 1
гу! _ “Г -г *2 У
~ С{2) ~ с{2)
Значит, мы можем выразить ограничение гамильтонова векторного поля
в (не симплектических) переменных
Й1, 01, Zi, Й2, 02, #1, ©1, Z[, #2, ®2-
С этого момента мы сфокусируем наше внимание на векторном поле, а не
на гамильтониане; симплектическую форму, которая больше не является
стандартной, вычислять не требуется. Инвариантность относительно гори¬
зонтальных вращений влечет за собой то, что векторное поле зависит от 01
и 02 только через разность 01 — 02. С точностью до замены обозначений
возьмем ©1—02 в качестве координаты, полагая ©2 = 0. Дополнительно за¬
фиксируем кинетический момент равным i (как для лагранжева решения),
О
то есть зафиксируем ©^ + ©2 = 0. Следовательно, ограничение порожден¬
ного векторного поля может быть выражено в переменных ©ь ©i, Д1, R[,
Д2, R'2, Z1, Z[. Оно будет называться редуцированным векторным полем,
в котором лагранжево решение соответствует сингулярности в начале ко¬
ординат.
2. Линейный анализ
Мы приведем несколько известных фактов о линеаризованных уравне¬
ниях вдоль решения относительного равновесия (см. работу [13] в плоском
208
А. Шенсине, Ж. Фежоз
случае и работу [14], к сожалению не опубликованную, в пространственном
случае, а также работу [11]). В них содержатся результаты для любого чис¬
ла тел и любых масс, но мы рассматриваем только случай равностороннего
относительного равновесия трех равных масс.
2.1. Расщепление уравнения в вариациях
Из теоремы Пифагора следует, что, когда происходит возмущение в ор¬
тогональном направлении, длина прямолинейного отрезка остается посто¬
янной в первом приближении. Отсюда следует, что уравнение в вариациях
для задачи п тел вдоль любого плоского решения расщепляется на две ча¬
сти, которые отвечают, соответственно, вариациям, находящимся в плоско¬
сти движения, и вариациям, ортогональным к плоскости движения. Стартуя
с решения в горизонтальной плоскости, мы будем говорить о горизонталь¬
ном уравнении в вариациях (HVE) и вертикальном уравнении в вариаци¬
ях (VVE). В нашем случае, поскольку стороны треугольника имеют дли¬
ну 1, то если вариация qi(t) есть 5qi(t) = Sqf1 (t) + 5qY(t), где Yli=i &Я% = 0,
уравнения (HVE) и (VVE) будут, соответственно,
Sq? = ^ ~ Sq~ ~ qi' 5qf ~ 5qi)(qi ~ &) =
зфг зфг
= -Sq? - E(qi ~ qu 5qf ~ 5qi)iqj - qi)> * = °>1’2’ (HVE)
Зфг
= I S-SqY) = SqY, i = 0,1,2. (VVE)
Зфг
2.2. Вертикальные вариации и ^-симметрия
Уравнения (VVE) — это тройка резонансных гармонических осцилля¬
торов, решения которых имеют тот же период, что и относительное рав¬
новесие. После фиксирования центра масс и перехода к якобиевым ко¬
ординатам они примут вид 5QY = — 5QY9 г = 1,2. Наконец, после ре¬
дукции по вращениям, полагая QY = (0,0, Z*) и переходя к перемен¬
ным (01, ©i, i?i, i?2, Rf2,Zl, Zi), МЫ получим
Z\ — —Z\,
или
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
209
Мы теперь опишем решения (VVE), но перед тем, как произведена редук¬
ция по вращениям, и в исходных координатах. Напомним, что вертикальная
вариация не изменяет форму конфигурации в первом порядке. Следователь¬
но, пространство
2
{{{5q%,5qX,5q%),{8q%,8qX,8q%)) е М3 хК3,^^ =0,]Г^=0}
г=0
г=0
вертикальных вариаций в любой точке (q°,p°) — (qL(to),pL(to)) лагран¬
жева относительного равновесия — это пространство, касательное в точ-
ке (q°,p°) к подмногообразию
V = {(q,p),q = pRq°,P = vSp°},
где р, сг G М — произвольные и Д, 5 G 50(3) — это вращения с горизон¬
тальными осями.
Если мы положим
\t)
^ Re (е {t+^] ^
ReCV(‘+^
V Reei(t+%} )
\t)
ReC2ei(t+2^
ReCei(t+^
Reei(t+5)
27гг
/
то решения (VVE) имеют вид ueR(t + гр) + pep(t + p), где и, p, ф, p G M.
Этот странный выбор базиса является следствием произведенного выше
выбора лагранжева решения (уравнение (L) из введения).
Решения вида veR(t + чр) уравнений (VVE) соответствуют решениям,
полученным из лагранжева решения с помощью вращения вокруг оси у.
Решения вида pep(t + р) описаны в приложении. Мы должны теперь упо¬
мянуть о важных симметрических свойствах, которые имеют решения пер¬
вого порядка уравнений движения, определенные равенствами
«£ № = 9Ь(0 + мер(£);
здесь каждый элемент из ep(t) отождествляется с тройкой вертикальных
векторов из R3 (выбор фазы р = 0 является единственным, при котором
в момент t — 0 тело 2 лежит на положительной полуоси у).
Наблюдаемая в системе координат, которая вращается равномерно
с той же угловой скоростью, что и лагранжево решение, но в противо¬
положном направлении, конфигурация qp (t) определяет петлю
9°(t) = (Яо (О, Я?(t), Я2 (0) = ег‘ ' 9д М = ег* • qL(t) +
210
А. Шенсине, Ж. Фежоз
Z Z Z
Рис. 1. Слева направо, qR(t) и qP(t) в фиксированной системе координат, и qP(t)
во вращающейся системе координат. Положения тел указаны в момент t = 0
в пространстве конфигураций задачи трех тел (егЬ действует только на го¬
ризонтальную компоненту; О напоминает устрицу, см. третью часть ри¬
сунка 1; обозначение q° не следует путать с q°, которое обозначает кон¬
фигурацию qL(to)). Эта петля инвариантна относительно действия группы
двенадцатого порядка
Гх = {5, а | s6 = 1, о2 — 1, SG = <75_ 1},
которая порождает действие следующим способом (см. работы [11, 12]
и [5], где выбор осей и, следовательно, действий отличается: акцент там
делается на восьмерку, которая, следовательно, лежит в горизонтальной
плоскости, тогда как лагранжево решение расположено вертикально):
(s-q)(t) = (Eqi(t — 2n/6),Y,q2(t-2n/6),'Eq0(t — 2n/6)),
{а ■ q)(t) = (Д<?1 (-*), Aqo(-t), A2{-t))\ (А)
здесь Е означает симметрию относительно плоскости ху, а А означает сим¬
метрию относительно оси у.
Более детальное описание Гi-инвариантности конфигурации qp и ее
проекции на пространство, редуцированное по вращениям, мы отложим
до раздела 5.
2.3. Расщепление уравнений (HVE)
Любое решение относительного равновесия задачи п тел в М2 лежит
в четырехмерном симплектическом подпространстве 7~С фазового простран¬
ства, инвариантном относительно ньютонова потока, которое является на¬
бором всех томографических решений с одной и той же конфигурацией
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
211
с точностью до подобия. Если q° = qL(to) G (R2)3 — это конфигурация
решения относительного равновесия в некоторый момент to, то ТС — это
множество
ft = {(q,p),q = pRq°,p = <?Sp°},
где p, сг G R, R, 5 G 50(2). Заметим, что, поскольку p° — это образ q° при
повороте на ^ вокруг вертикали, р° можно заменить на q° в формуле выше.
После редукции симметрии вращений, это множество становится мно¬
жеством томографических (т. е. кеплеровых) движений с заданным кинети¬
ческим моментом, с точностью до вращений. Из анализа спектра, проведен¬
ного ниже, следует, что это пространство и симплектическое ортогональное
к нему дают расщепление пространства горизонтальных вариаций на два
инвариантных подпространства.
2.4. Спектр
Спектр линеаризации в лагранжевом относительном равновесии реду¬
цированного ньютонова потока расщепляется на три части, соответствую¬
щие трем инвариантным подпространствам: вертикальному подпростран¬
ству, томографическому подпространству и симплектическому ортогональ¬
ному к этим двум, размерностей, соответственно, 2, 2 и 4. Вместе два по¬
следние подпространства порождают горизонтальные вариации:
— каждому из первых двух подпространств соответствует пара соб¬
ственных значений ±г;
— последнему соответствует четверка собственных значений Л, —Л, Л,
—А, где А = -jz + г, с горизонтальными собственными векторами.
V2
Первый (безобидный) сюрприз (который на самом деле может быть
мгновенно выведен из формул в работе [14], справедливых для любого на¬
бора трех масс) состоит в том, что существует больше резонансных соот¬
ношений, чем мы ожидали, поскольку А = А + 2г.
Отождествим три инвариантных подпространства с С, С и С2 соответ¬
ственно; назовем u,v,h, к комплексные координаты:
— й принадлежит инвариантному подпространству (горизонтального)
томографического семейства;
— у = m(Z 1 — iZ\) — m(Z\ — 6iZ[) принадлежит вертикальному под¬
пространству, где т G С \ 0; коэффициент т желательно выбрать таким,
чтобы упростилась нормальная форма в следующем разделе (в нашем слу¬
чае т « -0.008 + г0.022);
— h и к принадлежат гиперболической части.
212
А. Шенсине, Ж. Фежоз
Линеаризованное векторное поле примет вид
и = ш, v = iv, h — А/г, /с = —А к.
В координатах (01, 0^, #2, Z[) редуцированного векторно¬
го поля ортогональная симметрия относительно горизонтальной плоскости
(которая сохраняет кинетический момент, когда он вертикальный) соответ¬
ствует замене Z\, Z[ на — Zi, —Z[. Следовательно, в комплексных коорди¬
натах (й, v, h, к) инвариантность относительно этой симметрии превраща¬
ется в инвариантность векторного поля относительно преобразования
Т(и, v, /г, к) = (й, —у, h, к).
Инвариантное горизонтальное подпространство определено равенством
$5 = 0. Это замечание впоследствии будет играть важную роль.
2.5. Энергия на центральном многообразии
В дальнейшем нам понадобится рассмотреть локальное центральное
многообразие относительного равновесия. Из нашего предшествующего
описания множеств Ц и V следует, что на нередуцированном уровне
центральное многообразие поднимается до подмногообразия, касательно¬
го к подмногообразию фазового пространства, порожденному действием
вращений и гомотетий независимо от конфигурации q° = qL(to) и от кон¬
фигурации импульсов р° — pL(to). Следовательно, обратный образ в нере¬
дуцированном фазовом пространстве такого поднятого центрального мно¬
гообразия является касательным к подмногообразию
С = {(д,р) 6 (М3)3 х (М3)3,q = pRq°,p = aSp°},
где р, а € R+ и R, S € 50(3). Так же как и в определении Н в разделе 2.3,
р° можно заменить на q° в этой формуле (сравните с [14]).
Следующая лемма будет иметь важное значение в заключительной ча¬
сти статьи.
Лемма 2.1. Рассматриваемое как равновесие ограничения редуциро¬
ванного гамильтониана на центральное многообразие, решение относи¬
тельного равновесия является невырожденным минимумом. В частности,
ограничение на локальное центральное многообразие гиперповерхности по¬
стоянной энергии, близкой к относительному равновесию, диффеоморфно
трехмерной сфере.
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
213
Доказательство. Достаточно показать положительность гессиана
ограничения функции энергии Но на подмногообразие С.
Перед редукцией координаты (р, сг, Я, 5) € (М+)2 х 50(3) х 50(3) —
это (обобщенные) координаты на С, и ограничение Но равно
_ JL
2 '^JII 9 \\qo qo\\ ~ 3p'
0^j^2 0^j<k^2 3 4kU H
Мы вычислим редуцированную систему, сначала факторизуя по полной
группе 50(3), а затем фиксируя длину кинетического момента. Это при¬
ведет к тому, что координаты (р, сг, Я, 5) заменятся на (р, сг, Я-15) и будет
выполнено соотношение
2 2
ра||Х>< ЛЛ_1ЭД = ИЕ^ЛКН := rL|l-
2—0 2—0
Любой элемент в окрестности тождественной матрицы в 50(3) может быть
единственным образом записан в виде ехрА, где А — ко со симметриче¬
ская (3 х 3)-матрица. В частности,
/О -с Ъ
R~lS = exp [ с 0 —а
\—Ь а О
О —с b \ 1 /—(Ь2 + с2) аЪ ас
= Id+( с 0 -а +- аЬ -(с2 + а2) Ъс | +
-Ь а О J ^ у ас Ьс — (а2 + Ь2)^
где точки обозначают члены порядка больше или равного 3 по а, 6, с. Под¬
ставляя это в вышестоящее соотношение, связывающее р, сг и Я-15, w вы¬
бирая to = 0 в определении q° и р°, с помощью непосредственных вычис¬
лений мы получим, что
2 (9b\ 1 / -gac \
'£/q°AR-1Sp°i=CL + [fa +- -fbc + ...,
i=о \0 J \-f{c2 +a2)- g(b2 + c2) J
где
2 1 2 1
f = ^2xiVi= g. S = 9? = (ж*,2/г,0), P° = {£i,Vi,0)
2—0 2=0
214
А. Шенсине, Ж. Фежоз
(эта очень простая формула получается из того, что о хг£г= о УМг =
= 0; заметим также, что ||CL|| = / + д = ^). Следовательно,
1
1
9
1 -
г (/£№" + f9& + (/ + я)2<? + • • •
2 (f + дУ
Наконец, мы можем взять (а. 6, с, d = а—1) в качестве локальных координат
в С в окрестности лагранжева равновесия. В этих координатах мы получаем
Яо
Поскольку все коэффициенты положительны, лемма доказана.
□
3. Нормальная форма третьего порядка
Используя Maple, мы вычислим нормальную форму третьего поряд¬
ка (редуцированного) векторного поля, оставляя только резонансные чле¬
ны. Это приводит к новым комплексным переменным u,v,h,k, которые
являются касательными в первом порядке к u,v,h,k. Нормальная форма
не определяется однозначно для произвольных порядков, но удачная за¬
мена переменных, которая исключает нерезонансные члены, может быть
выбрана так, что в итоговых (комплексных) координатах (u,v,h,k) вектор¬
ное поле по-прежнему является инвариантным относительно преобразова¬
ния T(u,v,h,k) — (u,—v,h,k) и инвариантное горизонтальное подпро¬
странство все так же будет определяться уравнением v — 0.
Полученный результат запишется в виде
й = iu[ 1 + а\и\2 + P\v\2 + 7 hk + 7 hk\ + О5,
v = iv[ 1 + a\u\2 + b\v\2 + chk + chk] + Avhk + O5,
h = Xh[l + r\u\2 + s|t>|2 + thk + tfhk\ + Rv2h + O5,
к = —Afc[l + r\u\2 + s|t>|2 + thk + t'hk]—Rv2k + O5,
где коэффициенты имеют следующие ненулевые значения:
oi= —I, P=-l, 7=|+6п/2,
а-_1 ь = —— с= 186 126у/2. . _ 120
’ 19’ 19 19 ’ 19 ’
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
215
г--И _ &
12 12 ’
s = —
73 , 10л/2 .
57
57 *' * 57
В 5'/5'
л = тг*
275 , 334^2.
57
и где О5 означает вещественные аналитические функции пятого порядка
по переменным и, й, г>, г;, /г, /г, к, к.
Здесь потребуется несколько комментариев.
— Например, члены Avvhk, Дг>2/г и —Rv2k отвечают, соответственно,
резонансам г = — г + А — Л, А = 2г + А и —Л = —2г — Л.
— Симметрия относительно Т объясняет отсутствие некоторых резо¬
нансных одночленов, таких как, например, |u|2^ в й или u|^|2 и ш;2 в и.
— Для нас остается непонятным, почему нормальная форма инвариант¬
на также относительно преобразования и н-» —и (например, й не содержит
членов u2v или uhk); эта симметрия сохраняется в пятом порядке.
— В этом порядке Re(hk) является приближенным первым интегралом.
— Каждый коэффициент является однородным некоторой степени
относительно масштабирования собственных векторов линеаризованного
векторного поля. Например, равенство а = (3 бессмысленно, и оно ста¬
новится неверным, если выбирать различные масштабы. Наоборот, равен¬
ство а = а имеет внутренний смысл, и из приложения будет следовать, что
этот резонанс действительно сохраняется в нормальных формах любого по¬
рядка.
4. Локальное существование и единственность
вертикального ляпуновского семейства
Мы собираемся доказать, что несмотря на (1:1-резонанс) с томографи¬
ческим семейством, единственное (с точностью до подобий) семейство от¬
носительных периодических решений бифурцирует в вертикальном направ¬
лении (см. более точное утверждение ниже) из равностороннего лагранжева
решения пространственной задачи трех тел с равными массами. Локальное
расширение этого семейства описано в книге Маршала [11], в предположе¬
нии, что оно обладает симметрией 12 порядка сферической формы; также
описано глобальное продолжение, названное Pi2, в работе [12], где пока¬
зано, как оно связывает лагранжево решение с «восьмеркой» через перио¬
дические решения, которые минимизируют действие во вращающейся си¬
стеме координат при наличии симметрии 12 порядка (см. также [3]). Чтобы
216
А. Шенсине, Ж. Фежоз
сделать доказательство строгим, недостает единственности таких миними-
заторов действий. Строгое доказательство существования такого семейства
вблизи «восьмерки» дано в [5], где оно названо -семейством. Этот раздел
и последующие посвящены доказательству существования и единственно¬
сти семейства Р\2 вблизи лагранжева относительного равновесия.
Мы назовем ляпуновской поверхностью или семейством любую инва¬
риантную поверхность, содержащую лагранжево равновесие и расслоен¬
ную на периодические орбиты редуцированной задачи трех тел. Мы назо¬
вем ее пространственной, если она содержится в некоторой конической
области \и\ ^ e\v\, е > 0, и вертикальной, если она является касательной
к вертикальному подпространству и = h = к = 0.
Предложение 1. В окрестности лагранжева равновесия редуциро¬
ванное векторное поле обладает единственной пространственной ляпу¬
новской поверхностью V. Эта поверхность является вертикальной и ло¬
кально принадлежит классу Сп для любого п ^ 0.
Это, конечно, не оптимальный результат с точки зрения регулярности:
прибегнув к сложным выкладкам, следуя работе [7], возможно было бы
доказать аналитичность V с помощью непосредственной проверки рядов;
единственное различие с [7] состоит в том, что из-за четырех дополни¬
тельных гиперболических направлений, которые, кроме того, резонируют
с центральной частью, требуется переносить выкладки в полное 8-мерное
пространство. Для нас предпочтительнее работать в 4-мерном центральном
многообразии.
Вместо фиксирования периода, как это сделано в работах [12] и [5],
в разделе 1 мы зафиксировали кинетический момент; вследствие однород¬
ности ньютонова потенциала переключаться с одного ограничения на дру¬
гое несложно, пока кинетический момент не равен нулю. В нашем случае
семейство Р\2 появится как ляпуновское семейство, соотнесенное верти¬
кальному собственному пространству с уравнением и = h — к = 0.
4.1. Ограничение на центральное многообразие
Поскольку нас интересует существование и единственность инвари¬
антной С2-поверхности, расслоенной на периодические решения, мы мо¬
жем ограничиться рассмотрением Т-симметричного локального четырех¬
мерного центрального многообразия класса С2, касательного к подпро¬
странству с координатами й, v. Такое центральное многообразие содержит
все локальные рекуррентные и, в частности, локальные ляпуновские семей¬
ства. Кроме того, из доказательства существования центрального многооб¬
разия следует (для этого надо сделать задачу глобальной и решение един-
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
217
ственным; для этого, в свою очередь, нужно работать с новым векторным
полем, которое интерполирует между исходным полем вблизи начала коор¬
динат и линеаризованным полем вне некоторого шара с центром в начале
координат), что Т-симметрическое центральное многообразие существует
и что оно имеет вид h = 0^{и, й, г>, г?), к — , й, г>, v).
В координатах г£,й, г>,г> такого центрального многообразия ограниче¬
ние векторного поля по-прежнему остается инвариантным относительно
отображения т : (и, v) 1—> (щ —v) и имеет вид
й = iu[ 1 + а\и\2 + /3\v\2} + О5,
Ь = iv[ 1 + а\и\2 + 6|f|2] + 05,
где v — 0 определяет ляпуновское семейство равносторонних томографи¬
ческих движений. Кроме того, можно проверить с помощью Maple, что
энергия становится равной (сравните с 2.5)
1 М2 N2
Я--- + — + — + о4.
Теперь задача подобна плоской ограниченной кругом задаче в «лунном»
случае (см. [1, 7, 10] или [9] в более общей ситуации), где ляпуновские
орбиты — это орбиты Хилла с прямым и попятным движением. Доказа¬
тельство существования, локальной единственности и аналитичности се¬
мейства Pi2 можно было бы провести так же, как в работе [7], если бы
мы знали, что наше центральное многообразие является аналитическим.
Вместо этого мы приведем здесь простое доказательство из работы [1], ко¬
торое обеспечивает существование и единственность, но не аналитичность
(чтобы получить аналитичность, мы должны избегать ограничения на цен¬
тральное многообразие, рассматривая формальные нормальные формы бес¬
конечного порядка и используя мажорантный ряд как в работе [7]).
4.2. Замена ‘Blow up’
Займемся вышеприведенными уравнениями, которые описывают огра¬
ничение векторного поля на центральное многообразие. Непосредственной
подстановкой можно проверить, что решения в момент Т с начальными
условиями и(0) = и, г>(0) =v имеют вид
и(Т) = ue*H“l2+/3M2]7’ + U(u,v,T) =
= ueiT(l + i[a\u\2 + (3\v\2)T) + U(u, v, T),
218
А. Шенсине, Ж. Фежоз
V(T) = veil°-M2+b\v\2]T + у^ ^ =
= veiT(l + г[а\и\2 + b\v\2]T) + V(u, v, Г),
где U(u,v,T), U(u,v,T), V(u,v,T), V(u,v,T) имеют пятый порядок
по Н,|г>| равномерно на компактном отрезке времени (откуда следует,
что Т можно считать близким к 27г). В силу существования первого ин¬
теграла энергии равенства и(Т) = и, v(T) = v являются следствием двух
равенств
Ar gv(T) — Argv = 27г, и(Т) = и.
Первое равенство гласит
Т + Arg
l + i(a\u\2 + b\v\2)T +
V(u,v,T)
= 27Г,
то есть
Т = 2тг(1 - а\и\2 - b\v\2) + Os.
Отсюда вытекает, что второе равенство принимает вид
2ти [(а — а)\и\2 + (/3 — 6)|г>|2] = О4.
Для того чтобы восстановить единственность локального решения, локали¬
зуем его в конической области, содержащей вертикальную плоскость и — О,
вида |гх| < б|г>| (с некоторым заданным е > 0). Такая локализация есте¬
ственным образом получается при помощи комплексной замены перемен¬
ных ‘blow up’
и = W1W2, v = w<2, |гс?11 ^ б.
Два равенства
Argt^T) — Argt> = 27г, и(Т) = и
перейдут в следующие равенства:
V(u,v,T
—2л + Т + Arg
1 + i\w2\ (a\wi\ + b)T +
w 2
= 0,
[егТ(1 + i\u>2\2 (a|l|2 + (3)T) - l] w\ + ^ =
Функции U и V — это С°°-комплексные функции, которые имеют поря¬
док 5 по |и| и |гф Отсюда следует, что их вещественная и мнимая части —
это функции класса С3, для которых три первые производные обращаются
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
219
в нуль вдоль (w2 = 0). Обозначим такие функции через 03. Отсюда следует,
что первое равенство определяет Т как С3-функцию от w2, w2 вида
Т = 2п - 2тг(Ъ + a\wi\2)\w2\2 + о3.
Второе уравнение теперь принимает вид
[27гг ((/3 - b) + (а - a)|wi|2) \w2\2 + 03] wi + °s = 0.
Разделим на |гс?212 функцию 03, получится С1-функция, первая производная
которой обращается в нуль вдоль (w2 = 0). Поскольку b ф (3, то из теоремы
о неявной функции следует, что это равенство эквивалентно равенству
Wi = o1(w2,w2),
определяющему С1-подмногообразие размерности 2 в окрестности начала
координат, которое является касательным к г^-плоскости. После обратной
замены ‘blow down’ оно единственным образом определяет поверхность Р,
касательную с порядком 2 к u-плоскости и расслоенную на орбиты с пери¬
одом близким к 2тг.
С^-регулярность. Используя нормальные формы третьего порядка,
мы в состоянии доказать только, что поверхность, несущая семейство пе¬
риодических орбит, имеет класс С2. Однако если рассмотреть нормальные
формы более высоких порядков, аналогичный метод позволяет доказать,
что для любого целого п она имеет класс Сп в некоторой окрестности
сингулярности. Действительно, достаточно заметить, что резонансные од¬
ночлены в и и в v имеют вид ulU^vkvl, где г — j + к — I = 1. После за¬
мены переменных ‘blow up’ этот член станет равен w2^ -
Поскольку i-\-k=j + l-\-l ^ 1, любой такой член остается регулярным
после деления на w2. Как уже было упомянуто, семейство является анали¬
тическим, но мы не будем здесь это доказывать.
5. ^-симметричное семейство Pi2
В разделе 2.2 действие группы Гi было определено на 27г-периодиче-
ских петлях пространства конфигураций. Пока инвариантная поверх¬
ность V является расслоенной на периодические орбиты, период которых
различается. Поэтому мы рассмотрим естественное расширение действия
группы Г1 на пространство периодических петель любого периода Т > 0,
полученное просто заменой каждого вхождения 27т на Т в формулах (А).
220
А. Шенсине, Ж. Фежоз
(Как уже было упомянуто, симметрия масштабирования задачи п тел позво¬
ляет канонически ставить в соответствие решениям с фиксированной нор¬
мой кинетического момента решения с фиксированным периодом; однако
с редукцией по вращениям более удобно работать, если фиксировать не
период периодических орбит, а норму кинетического момента.)
Теперь периодическое решение редуцированной задачи трех тел мо¬
жет быть поднято в многообразие фиксированного кинетического момента
до решения полной задачи трех тел, которое является периодическим во
вращающейся системе координат. Если вращение происходит равномерно,
угловая скорость системы координат единственна с точностью до кратно¬
го 27г за период. Если выбрать, что для лагранжева решения система ко¬
ординат поворачивается ровно на один оборот за период в направлении,
противоположном движению, то в силу непрерывности вращение систе¬
мы координат каждой орбиты инвариантной поверхности V будет вполне
определено. В этом разделе мы обратимся с вопросом о существовании
и единственности поднятия решения, лежащего в?, к Гi-симметричным
петлям.
Теорема 1. Каждый лист поверхности V является нижележа¬
щей {не параметризованной) орбитой проекции (mod 50(2)) ровно двух
решений полной задачи трех тел, которые являются Y ^симметричными
во вращающейся системе координат. Эти два решения отличаются толь¬
ко фазовым сдвигом на половину их периода.
Так называемое поднятие поверхности V соответствует после нор¬
мирования периода семейству Р\2, описанному Маршалом в работе [11]
в фиксированной системе координат и в работе [12] во вращающейся си¬
стеме координат. Маршал нашел первые члены разложения Фурье этого се¬
мейства, что косвенным образом указывало на его существование; однако,
как было упомянуто выше, он должен был a priori предполагать симметрию
12 порядка.
Теорема 1 может быть доказана с помощью аргументов, использую¬
щих интеграл действия, как описано в разделе 7. Однако, для простоты
настоящий раздел посвящается доказательству теоремы 1, в котором глав¬
ным образом используется описание решений уравнений (VVЕ), данных
в разделе 2.2.
Доказательство. Определим кривую С2 на поверхности V, прохо¬
дящую через лагранжево равновесие, уравнением = 0. Тот факт, что
эта кривая является регулярной, вытекает из следующего наблюдения. По¬
скольку V является касательной к пространству й = h = к = 0, можно
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
221
выбрать v = m{Z\ — iZ\) в качестве координаты поверхности V. Поскольку
перестановка тел переводит вертикальное ляпуновское семейство в другое
вертикальное ляпуновское семейство, а значит, в себя в силу единственно¬
сти, мы можем также выбрать miZ^—iZ^). Но Z2 = z^ — (zo+zi)/2 = 3^/2
и Z2 — z2. Следовательно, (22, £2) = (^2>3z2) — это также координаты
с противоположной ориентацией. (Мы, конечно, могли бы непосредствен¬
но выбрать (Z2, Z2) вместо (Zi, Z[) в разделе 1, но, как говорится, «никто
не совершенен» [16].)
Будучи регулярной в начале координат, кривая С2 является трансвер-
сальной к листам из V \ 0 и пересекает каждый из них в двух точках.
Пусть С2 — это компонента С2\0, вдоль которой £2 < 0. (Концентрирование
нашего внимания на С2 исходит из выбора ер в разделе 2.2.) Выбор у е С2
в качестве начального условия определяет единственную временную пара¬
метризацию каждого листа поверхности V. Кроме того, пусть qм — это
единственное поднятие q^ до решения (во вращающейся системе коорди¬
нат, которая делает его 27г-периодическим) задачи трех тел, удовлетворяю¬
щее тому свойству, что в момент времени 0 тело 2 лежит на положительной
полуоси у. Согласно разделу 2.2, мы имеем
«„(*) = <£(*) + <V) = е* • qL(t) + iiep(t) + Oifj2).
Поскольку интеграл действия задачи трех тел инвариантен относительно
действия группы Гь образом при элементе 7 € Ti периодического реше¬
ния qм является само периодическое решение, удовлетворяющее равенству
7 'Чц = 4n + 0(fJ?),
потому что 7 -q° = q° и действие элемента 7 является дифференцируемым.
В частности, множество всех 7 • qм проектируется (mod 50(2)) на верти¬
кальное ляпуновское семейство, которое в силу единственности лежит в V.
Но сохранение энергии (или периода) показывает, что проекции q^ и 7 • q^
имеют одну и ту же нижележащую (не параметризованную) орбиту. Следо¬
вательно, q^ и 7 • q^ отличаются, самое большее, вращением R и сдвигом
по времени т:
7 • 9/i(0 = R ■ чЛ1 ~т) = 4n(t) + 0(ц2).
Нулевой порядок по у показывает, что угол поворота R равен 2т. То, что R
действует тривиально на ер, и то, что ер имеет тривиальную изотропию
среди фазовых сдвигов, показывает, что в первом порядке по у, сдвиг т = О
и, следовательно, R = 1. Значит, 7 • q^ = q^.
222
А. Шенсине, Ж. Фежоз
Выбирая начало координат времени на = С2П {z<i > 0}, мы пришли
бы к другому решению задачи трех тел, полученному из qм с помощью
фазового сдвига на половину периода. Это завершает доказательство. □
Оставшуюся часть раздела посвятим нескольким комментариям. Гi -дей¬
ствие, определенное выше, является ограничением на подгруппу есте¬
ственного действия группы G — 0(3) х 0(2) х S3 Э (р, т, а) на простран¬
стве периодических петель в пространстве конфигураций задачи трех тел
(ср. с [5]):
(.р,т,а) ■ (qo,qi,q2)(t) = (pqa-H0)(T~1t),pq<7-i{1)(T~1t),pqa-ii2){T~1t)).
Представим 50(2) с 0(3) как группу вращений в R3 вокруг оси z. То,
что Ti содержится в нормализаторе Ng(SO(2)) группы 50(2) в О, и то,
что действие группы на петлю, кинетический момент которой вертика¬
лен, сохраняет это свойство, показывает, что Гi действует на пространстве
редуцированных петель.
сг : t <-► —t
Рис. 2. Шестиугольная структура вертикальной ляпуновской поверхности V
С другой стороны, действие интеграла задачи трех тел инвариантно
относительно действия группы Гь Следовательно, Г\ действует на множе¬
стве периодических решений задачи трех тел. Доказательство теоремы 1
показывает, что это действие тривиально на множестве решений, лежащих
на вертикальной ляпуновской поверхности V и стартующих с С^ •
Можно определить Со и С\, как мы это сделали для С2, изменяя роли
тел. Касательные в начале координат к кривым Ci можно найти, используя
явное описание qp(t) в разделе 2.2. В координатах (22, £2) в V они опреде¬
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
223
ляются следующими уравнениями:
ТоСо • Z2 = —V3z2, TqCi : Z2 = +\/3227 Т0С0 : Z2 = 0.
Аналогично, можно ввести кривые С', определенные уравнениями = 0.
Все вместе эти шесть кривых составляют реализацию на V -действия на
круге времени. Точки пересечения периодического решения ) в ? с тре¬
мя линиями Ci являются вершинами шестиугольной структуры на 7, такой,
что Ti становится группой изометрий шестиугольника; точки пересечения
с С[ определяют оси симметрии, ортогональные к сторонам шестиугольни¬
ка (см. рисунок 2, где показана также фундаментальная область, соответ¬
ствующая части траектории между равнобедренной конфигурацией и кол-
линеарной конфигурацией).
6. Отображение кольца и его кручение
Теорема 2. С точностью до действия подобий и сдвигов по времени
ровно два семейства относительных периодических решений бифурциру-
ют из решения равностороннего относительного равновесия задачи трех
тел с равными массами: периодическое гомографическое семейство и ква-
зипериодическое семейство Р\2.
Вследствие резонанса метод, использованный для доказательства су¬
ществования и локальной единственности Р\2, не годится для томогра¬
фического семейства; более точно, равенство а = а мешает доказать су¬
ществование и единственность вышеприведенными методами, использую¬
щими теорему о неявной функции после подходящей замены переменной
‘blow up‘ и = wi, v = W1W2- Вычисление нормальной формы для более
высоких порядков не поможет: из леммы 8.1 следует, что для всех целых п
коэффициенты при и\и\2п в й и при v\u\2n в v в более высоких порядках
нормальных форм совпадают.
Конечно, то, что томографическое семейство существует, — это извест¬
но (и оно определено равенством v — 0). Однако доказательство единствен¬
ности является отчасти более тонким: используется та же лемма 8.1 вместе
с симметрией уравнений относительно отображения т, для того чтобы до¬
казать, что обратное отображение Пуанкаре в кольце сегмента не имеет
неподвижной точки в открытом кольце. В свою очередь, отсюда следует
отсутствие какого-либо другого ляпуновского семейства.
Доказательство. Во-первых, пусть и = x/j(v,v) = Оз — это урав¬
нение С7-подмногообразия V. Заменяя и на и — ф(у) и сохраняя прежнее
224
А. Шенсине, Ж. Фежоз
обозначение v, мы можем полагать, что г£ = 0иг> = 0 — это инвариант¬
ные подмногообразия потока, отвечающие, соответственно, семейству Р\2
и томографическому семейству. Тогда уравнения примут вид
и = ги[ 1 + a|u|2 + (3\v\2 + О 4] + ШО4,
v — iv[ 1 + а|и|2 + b\v\2 + О4] + гг;04,
где коэффициенты а, /3, а, 6 не изменились. Кроме того, уравнения яв¬
ляются инвариантными относительно т(и, v) = (u, —v) и они сохраняют
ограничение на центральное многообразие функции энергии
1 М2,М“
Я--- + —+ -^ + 0.,
Возьмем полярные координаты
и = г\егвх, г; = Г2вг02
(не следует их путать с координатами в разделе 1). Уравнения примут вид
гг = п04,
г 2 = Г 2<Э4,
01 = 1 + от^ + /Зг2 + О4,
02 — 1 + Т Ьг% + О4,
где О4 означает функции от п, 7*2,01,02, которые имеют порядок 4 по г\, Г2.
В каждой энергетической поверхности Н = — i + б2, достаточно близ¬
кой к началу координат (т. е. к лагранжеву решению), мы определим кольцо
сегмента Ае равенствами
H = -l + J + J + 04 = -l+e2’ ^1+^2= 0 mod (27г). (Л)
Стартуя из начальных условий ri, 7*2, 0i, 02, решение через (ограниченное)
время t будет иметь вид
П(£) = п(1 + 04),
гг(^) — ^2(1 + О4),
01 (£) = 0i + (1 + + /Зг^)^ + О4,
02(^) = 02 (1 ят2 br2)t + О4.
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
225
Нас интересуют решения уравнения с периодом, близким к 27г. Посколь¬
ку (0i,0i) близко к (1,1), такое решение будет трансверсально пересекать
кольцо сегмента ровно в двух точках, то есть это соответствует неподвиж¬
ной точке времени второго обратного хода Те в кольце Ае, определенного
как
Лемма 6.1. Если е достаточно мало, то равенство в\ (Те) = в\ + 27т
определяет гомографическую границу кольца Ае.
Доказательство. Поскольку а — а и b ф /3, равенство сводится
к следующему:
Но мы обладаем дополнительной информацией о структуре остаточного
члена О4 в этой формуле:
(1) Из леммы 8.1 следует, что структура вертикального уравнения в ва¬
риациях не зависит от эксцентриситета томографического решения, вдоль
которого оно вычислено, и отсюда следует, что ограничение отображения
Пуанкаре на гомографическую границу кольца Ае, определенную равен¬
ством г*2 = 0, является тождественным, следовательно, О4 есть Г2О3.
(2) Поток дифференциального уравнения, а значит, и отображе¬
ние Пуанкаре, является эквивариантным относительно преобразования
(гъ #1, #2) > ((п, —Г2, 01, 02))- Значит, О4 на самом деле равно Г2О2.
(3) Наконец, поскольку энергетический уровень Н = — i + е2 является
компактным, ri и Г2 ограничены числом се, где с — константа.
47г — (01 + 02 )(Те) — [2 + (а + ol)t\ + (b + /3)г|] + О4,
то есть
Наконец, второе обратное отображение Пуанкаре в Ае имеет вид
n(T€)=ri(l + 04),
г2(Те) =г2(1 + 04),
226
А. Шенсине, Ж. Фежоз
Отсюда следует, что уравнение имеет вид
г22((3-Ь + 0(е2)) =0.
Для достаточно малого е допустимо только одно решение г 2 = 0. Это за¬
вершает доказательство леммы, а значит, и теоремы 2. □
Теорема 3. Если е достаточно мало, то существуют координаты
на кольце Ае, для которых обратное отображение Пуанкаре является мо¬
нотонным отображением кручения.
Доказательство. Поскольку запись (см. с. 224) (Де), мы можем
выбрать 'ф = в\ в качестве угловой координаты. Регулярной радиальной
координатой могла бы быть Т\ — г2, но выбор р = г\ более удобен, хотя
и сингулярен в т\ — 0. Первое обратное отображение имеет вид
\(3-Ь
(р, ф) (1 + 0(р4)) ,Ф + 7Г
+ 0(e)
Р + 0(р2)
где 0(рп) — это функции от р и ф. Поскольку р изменяется от 0 до ро =
= О (б2), это действительно будет монотонное отображение кручения, ес¬
ли б достаточно мало. □
7. Дополнительные комментарии
(1) Используя доказательство существования семейства Р\2 как семей¬
ства минимизаторов действий среди Г \ -инвариантных петель (которое, на¬
помним, оставляет открытым вопрос о единственности и, следовательно,
непрерывности семейства), можно заменить раздел 5 следующим наблюде¬
нием. Поскольку томографическое семейство не является Гi-инвариантным
в какой-либо вращающейся системе координат, из теоремы 3 следует, что
в окрестности лагранжева решения минимум действия среди Ti-симметри¬
ческих петель конфигураций во вращающейся системе координат является
единственным с точностью до сдвигов по времени на половину периода;
это определяет два решения, существование которых утверждалось в тео¬
реме 1.
(2) Многие из результатов этой статьи сохраняются для открытого
множества масс в окрестности диагонали mo = mi = m2; группа сим¬
метрий Гь вообще говоря, должна быть заменена подгруппой, порожден¬
ной s3. Тем не менее, когда две массы мало сравнимы с третьей, хорошо
известно, что лагранжево относительное равновесие становится линейно
устойчивым, и могут появиться дополнительные резонансы.
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
227
8. Приложение: вертикальное уравнение в вариациях
вдоль равностороннего томографического семейства
Этот раздел посвящен решению вертикального уравнения в вариациях
томографических движений в задаче трех тел. Это используется при до¬
казательстве теоремы 2. Для общности будем предполагать, что массы га*
произвольны. Также мы дадим больше подробностей, чем это необходимо.
Мы здесь не ищем оригинальности, нас интересует только геометрическое
описание решений.
Томографическое решение задачи трех тел — это решение вида
где p(t) G С удовлетворяет уравнению Кеплера р = — ^ и q — это плоская
И
центральная конфигурация.
Более строго, мы интересуемся случаем, когда конфигурация являет¬
ся равносторонней. Если r(t) — это длины сторон треугольника в момент
времени £, для такого равностороннего томографического решения q(t) G
G (R2)3 мы имеем для г — 0,1, 2
Пусть (,) означает стандартное евклидово произведение в R2.
Лемма 8Л ([8]). Решения уравнения (VVE) — это траектории вида
q(t) = (qo(t),qi(t),q2(t)) = p(t)q = p(t)(qo,qi,q2)
тл,_„ » _ ср ^
поскольку X)i=o miqi(t) = 0. Вертикальное уравнение в вариациях — это
М
(VVE)
и мы хотим решить его в подпространстве
Zi(t) = (qi(t),di), i = 0,1,2,
228
А. Шенсине, Ж. Фежоз
где тройка (do, d\, (I2) G (R2)3 такова, что
2 2
= 0 и '^2mi(qi(to),di} = О (С)
г=0 г=0
для некоторого момента времени to (и, следовательно, для всех).
Доказательство. Для любого выбора тройки (do,d\,d2) g (R2)3
формула (S) дает решение уравнения (VVE) в пространстве произволь¬
ных троек (zo,z\,z2) G R3. Далее, 4-мерное подпространство простран¬
ства {(zi,Zi), г = 0,1, 2} = R6, определенное равенствами
2 2
5>i* = 0, y^^mjZj = О,
г=0 г=0
является левым инвариантным по таким решениям уравнения (VVE). Сле¬
довательно, если выбрать di так, что условие (С) будет выполнено в неко¬
торый момент to, мы получим решение z(t) уравнения (VVE) в V. Кроме
того, множество так полученных решений является 4-мерным, следователь¬
но, мы получили все, что нужно.
В этом 4-мерном пространстве решений можно выделить четыре
2-мерных векторных подпространства, которые, как правило, попарно
трансверсальны (хотя не в том случае, когда все массы равны друг дру¬
гу; см. ниже):
(1) решения, соответствующие do = d\ — d^ = d G R2;
(2) решения, которые сохраняют вертикальность кинетического момен¬
та С, то есть
2
mi((di,qi)qi - = 0;
г=0
(3) такие решения, что вектор di совмещен с главной осью эллипса,
описанного соответствующим телом, то есть если to означает момент вре¬
мени, в который тела находятся в перигелиях соответствующих эллипсов,
то
2
di = Siqi(t0), где ^2mi<5i||gi(^0)||2 = 0;
i=0
(4) решения, соответствующие di, ортогональному главной оси соот¬
ветствующего эллипса, то есть
2
di = Si4i(to), где ^2mi5i\\qi(t0)\\2 = 0.
г=0
Поток В ОКРЕСТНОСТИ
229
Чтобы понять эти решения, обратим внимание, что определение Zi(t)
с помощью проектирования эллиптического движения тела г на некоторую
ось в плоскости (очень существенно, чему равняется скалярное произве¬
дение с di) равносильно инфинитезимальному вращению плоскости соот¬
ветствующего эллипса вокруг оси, проходящей через начало координат ор¬
тогонально к di. Следовательно, первое 2-мерное пространство решений
уравнения (VVE) соответствует инфинитезимальным вращениям плоско¬
сти всего томографического решения, в то время как последние два соот¬
ветствуют различным инфинитезимальным вращениям плоскости для каж¬
дого тела вокруг осей вращения ортогональных или параллельных главным
осям эллипсов. Наконец, все решения получены с помощью наклона плоско¬
сти в соответствующем направлении для каждого тела. Они все являют¬
ся периодическими с теми же периодами, что и гомографическоерешение
(1:1 резонанс). Это объясняет равенство а = а и его аналоги для более
высоких порядков.
Когда эксцентриситет равен нулю, то есть для решений относительно¬
го равновесия, равностороннее решение имеет вид (после отождествления
горизонтальной плоскости с С):
2
Qj(t) = Pjel{u,t+Vj\ j = 0,1,2, J2miPjeiipJ = °-
j=0
Два равенства, которые выражают то, что центр масс Zj лежит в начале
координат, эквивалентны
2
's^2,mJpjdje~'lipJ =0.
j=0
За исключением тривиального случая глобального вращения (все dj
равны), это очевидно выполнено для dj = e2l<pj, что в случае равных масс
дает вектор do, d\, cfo, соответственно совмещенный с главной осью эллип¬
са, описанного телом 0, 2, 1 (отметим перестановку 1 и 2).
В случае, когда эксцентриситет — произвольный, а все массы равны,
можно мгновенно проверить, что произведенный выше выбор вектора do,
d\, d2, соответственно совмещенного с главной осью эллипса, описанного
телом 0, 2, 1, дает решение, для которого кинетический момент остается
вертикальным.
Благодарности
Благодарим А. Албу и за дискуссии, Р. Мёкеля за замечательные руко¬
писные записи [14] его курса в Триесте, К. Маршала за то, что он первым
230
А. Шенсине, Ж. Фежоз
понял пользу вертикального уравнения в вариациях лагранжева равносто¬
роннего решения для равных масс, и Р. Монтгомери за вопросы о гессиане.
Литература
[1] Chenciner A., Le probleme de la lime et la theorie des systemes
dynamiques, Notes de cours, Universite Paris VII 1985.
[2] Chenciner A., Action minimizing solutions of the n-body problem: From
homology to symmetry, Proceedings ICM Beijing 2002, vol. Ill, pp. 279-
294.
[3] Chenciner A., Some facts and more questions about the Eight, in
«Topological methods, variational methods and their application»,
H. Brezis, К. C. Chang, S. J. Li, P. Rabinowitz editeurs, World Scientific
(2003), pp. 77-88. (См. также: Относительные равновесия: Перио¬
дические решения: Сб. ст. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт ком¬
пьютерных исследований, 2006, с. 221-240.)
[4] Chenciner A., Fejoz J., L’equation aux variations verticales d’un
equilibre relatif comme source de nouvelles solutions periodiques du
probleme des N corps, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 340 (2005) 593-
598. (Статья 6 настоящего сборника.)
[5] Chenciner A., Fejoz J., Montgomery R., Rotating Eights: 1. The three
Ti families, Nonlinearity, 18 (2005) 1407-1424.
[6] Chenciner A., Montgomery R., A remarkable periodic solution of the
three-body problem in the case of equal masses, Annals of Math., 152
(2000) 881-901. (См. также: Современные проблемы хаоса и нели¬
нейности: Сб. ст. / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск:
НИЦ «РХД», Институт компьютерных исследований, 2002, с. 183—
205.)
[7] Conley С., On some new long periodic solutions of the plane restricted
three-body problem, Communications Pure and Applied Math., 16
(1963) 449-467.
[8] Danby J. M. A., The stability of the triangular Lagrangian points in the
general problem of three bodies, The Astronomical Journal, 69 (1964)
294-296.
Литература
231
[9] Duistermaat Н., Bifurcations of periodic orbits near equilibrium points
of Hamiltonian systems, LNM 1057, Springer (1984).
[10] Kummer М., On the stability of Hill’s solutions of the plane restricted
three body problem, Amer. J. Math., 101:6 (1979) 1333-1354.
[11] Marchal C., The 3-body problem, Elsevier, 1990, paragraph 10.8.2. Cm.
также: Маршал К. Задача трех тел. М.-Ижевск: Институт компью¬
терных исследований, 2004.
[12] Marchal С., The family Р\2 of the three-body problem: The simplest
family of periodic orbits with twelve symmetries per period, Celestial
Mech., 78 (2000) 279-298.
[13] Meyer K., Schmidt D., Elliptic relative equilibria in the iV-body
problem, preprint 2005.
[14] Moeckel R., Celestial Mechanics (especially central configurations),
Course at the CIME, October 1994.
[15] Simo C., Dynamical properties of the figure Eight solution of the three-
body problem, «Celestial Mechanics, dedicated to Donald Saari for
his 60th Birthday», A. Chenciner, R. Cushman, C. Robinson, Z. J. Xia
(ed.), Contemporary Mathematics, 292 (2002) 209-228. (См. также:
Современные проблемы хаоса и нелинейности: Сб. ст. / К. Симо,
С. Смейл, А. Шенсине и др. М.-Ижевск: НИЦ «РХД», Институт ком¬
пьютерных исследований, 2002, с. 183-205.
[16] Wilder В., Some like it hot, United Artists (1959).
10
Доказательство теоремы Арнольда об
устойчивости системы планет
(по М. Р. Эрману)1
Ж. Фежоз
В. И. Арнольд («Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения
в классической и небесной механике», Успехи мат. наук. 18 (1963), 91-192)
сформулировал и частично доказал следующую теорему: в ньютоновой модели
Солнечной системы, имеющей п ^ 2 планет в пространстве, в случае, когда
массы планет достаточно малы по сравнению с массой Солнца, фазовое про¬
странство содержит подмножество положительной меры, в окрестности круго¬
вых и компланарных движений Кеплера ведущее к квазипериодическим дви¬
жениям с Зп — 1 частотами. В данной статье уточняется доказательство этой
теоремы, причем за основу взяты лекции М. Р. Эрмана (Доказательство теоремы
В. И. Арнольда, Seminaire de Systemes Dynamiques et manuscrits, 1998).
1. Задача об устойчивости Солнечной системы
1.1. Ньютонова система планет
Пусть то и mi,... ,mn обозначают массы Солнца и планет Солнеч¬
ной системы соответственно, а до и <7ъ • • • Лп — их радиус-векторы в про¬
странстве, однозначно определенные выбором галилеевой системы коорди¬
нат в евклидовом пространстве М3. При подходящем выборе единиц изме¬
рения ньютонов закон всемирного тяготения состоит в том, что движение
П. Fejoz, Demonstration du «theoreme d’Amold» sur la stabilite du systeme planetaire (d’apres
M. Herman), Ergod. Th. Dynam. Sys.. 2004, vol. 24, pp. 1-62.
Доказательство «теоремы Арнольда»
233
небесных тел определено дифференциальными уравнениями вида
d2Qj sr' Qk ~ Qj , .
mi-^r = 2^mimK j = 0,... ,n. (1)
dt k^j Uk-qjW
Однако отношения масс rrij/mo (j ф 0) очень малы, самое большее —
1/1000 у Юпитера. Поэтому, переписывая п последних уравнений в форме
d2qj I Qo ~ Qj mk Qk ~ Qj \ . ,0v
- = m° I + ^ — ), 3 = l,...,n, (2)
dt \JI(70 Qj II k^0,j IIQk Qj\\
мы видим, что слагаемое, соответствующее притяжению Солнца, превос¬
ходит все остальные и за короткий промежуток времени каждая планета
описывает кривую, близкую к эллипсу Кеплера, по которому она двигалась
бы под действием одного только притяжения к Солнцу.
Закон всемирного тяготения дает универсальное объяснение тому ка¬
жущемуся противоречию, которое наблюдается между принципом равно¬
мерного прямолинейного инерциального движения, выдвинутым Галилеем
и Декартом в земной механике, и законами Кеплера, управляющими эл¬
липтическим движением планет вокруг Солнца. Однако сам Ньютон очень
скоро, уже в конце XVII века, выяснил, что взаимные возмущения планет,
при их движении по законам Кеплера, должны были бы привести к зна¬
чительным изменениям в их динамике. В итоге открытие Ньютона приве¬
ло к неожиданному результату: оно поколебало уверенность в устойчиво¬
сти Солнечной системы; перестало быть очевидным то, что движение пла¬
нет Солнечной системы неизменно повторяется, без столкновений (||<^ —
~ Qk|| —>• 0, j ф к) или уходов в бесконечность (\\qj — qk\\ оо).
1.2. Теорема Арнольда
В 1963 году Владимир Арнольд опубликовал следующий замечатель¬
ный результат [3] (более точную формулировку см. в теореме 63).
Теорема 1. Если число е = ma,x{rrij/mo}j=ii...yn, равное максималь¬
ному отношению масс планет к массе Солнца, достаточно мало, то урав¬
нения (1) в фазовом пространстве, вблизи круговых и компланарных дви¬
жений Кеплера, допускают множество начальных условий, приводящих
к квазипериодическим движениям, имеющее строго положительную меру
Лебега.
234
Ж. Фежоз
В своей работе [26] Мишель Эрман комментирует эту теорему следу¬
ющим образом.
1. Конечно, Ньютон [50] был уверен в том, что задача п тел (гг ча¬
стиц, движущихся по закону всемирного тяготения) при гг ^ 3
топологически неустойчива, и, если перефразировать Лапласа, вы¬
двинул гипотезу о том, что Господь решает эту задачу и контро¬
лирует случаи неустойчивости (гипотеза, вызвавшая критику со
стороны Лейбница и всего просвещенного XVIII столетия). (...)
То, что множество ограниченных орбит имеет положительную ме¬
ру Лебега, если массы принадлежат некоторому непустому откры¬
тому множеству, — это замечательный результат, сформулирован¬
ный В. И. Арнольдом [3] (Арнольд приводит доказательство толь¬
ко для задачи трех тел на плоскости и, если автор не ошибается,
утверждение Арнольда верно).
В аппроксимации Кеплера (rrij/mo = 0, j = 1,..., п) движение каж¬
дой планеты происходит периодично, тогда как в общем случае потенциал
гравитационного взаимодействия порождал бы квазипериодические движе¬
ния с двумя частотами. Вырождение ньютонова потенциала происходит из-
за наличия малых взаимодействий между планетами, в результате которых
эллипсы Кеплера медленно поворачиваются и деформируются. Это и есть
та медленная динамика, которую называют вековой и которую предстоит
изучать в течение долгого времени. Задачу такого же рода пришлось ре¬
шать Мозеру, когда он доказывал теорему об устойчивости неподвижных
эллиптических точек [45], в окрестности которых закручивание невелико.
В случае системы планет возникают дополнительные трудности из-за са¬
мой формы рассматриваемого возмущения: неинтегрируемость вековой си¬
стемы, вырождение из-за инвариантности относительно вращения и из-за
загадочного резонанса, замеченного Эрманом [1] (свойство 80, см. с. 306),
а также из-за эллиптической сингулярности вековой системы.
Доказательство Арнольда является полным, если речь идет о движе¬
нии трех тел на плоскости. В этом случае у квазипериодических движений
есть 4 частоты. Аргументы Арнольда о сведении пространственного случая
к плоскому представляются спорными. Действительно, после симплектиче-
ской редукции относительно симметрии вращения задача трех тел приоб¬
ретает сходство с некоторой задачей на плоскости, представляющей собой
возмущение плоской задачи трех тел в случае малых наклонений. Но после
редукции наклонений уже нет, так что изучение предела слабых наклоне¬
ний превращается в простую формальность [25, 59]! Впрочем, как будет
Доказательство «теоремы Арнольда»
235
видно из предложения 81 и замечания, следующего за его доказательством,
в случае п тел в пространстве рассуждения Арнольда неверны.
1.3. Доказательство Эрмана
В своей работе [25] Эрман доказал абстрактную теорему об инва¬
риантных торах, которая обобщает и упрощает равнозначный результат
Арнольда (теорема 60). Затем он показал, что система планет восходит
к этой теореме. В своей диссертации я имел немало возможностей ис¬
пользовать результаты и объяснения Мишеля Эрмана по теории КАМ. Я
составил это доказательство на основе его рукописных заметок, которые
он часто раздавал слушателям своих докладов. Иногда эти записи велись
очень кратко, и я надеюсь, что не испортил их лишними ошибками. Впро¬
чем, во всех случаях, когда я добавлял что-то от себя, я буду упоминать об
этом.
Доказательство теоремы 60 и предшествующей ей теоремы 59 основа¬
но на теореме 38, а то из ее доказательств, которое приводится здесь, ис¬
пользует теорему о локальном обращении некоторого оператора объедине¬
ния Фа,/з- Из-за малых делителей невозможно выбрать банахову топологию
так, чтобы обратить оператор Фа,/з, ограниченный и коэрцитивный одно¬
временно; из-за этого феномена «утраты дифференцируемости» приходит¬
ся использовать теорему о локальном обращении в пространстве Фреше,
как у Нэша-Мозера [44, 47, 69]. Как и в своих предыдущих работах [24],
Эрман использует версию Сержераера и Гамильтона [20, 21, 64] в диффе¬
ренцируемом классе, по причине ее простоты.
Теоремы 59 и 60 об инвариантных торах не максимальной размерности
аналогичны или взаимосвязаны со сформулированными или доказанными
ранее результатами, а именно [8, 14-16, 31, 40, 41, 53, 57, 60, 61, 65]. На¬
много более полную историю и библиографию можно найти в [66]. В этих
двух теоремах используется условие невырожденности, часто встречающе¬
еся у Арнольда-Пьяртли [58] (определение 57).
С другой стороны, Эрман доказал, что задача п тел в пространстве
некоторым образом удовлетворяет условию невырожденности Колмогоро¬
ва, что не является необходимых для доказательства теоремы Арнольда.
Здесь я ограничиваюсь проверкой условия Арнольда-Пьяртли, используя
рекурсию по количеству планет п.
Основная часть этой статьи начинается в разделе 2, напоминанием
о категории «хороших» пространств Фреше и о теореме 18 Нэша-Мозе¬
ра-Сержераера-Гамильтона о локальном обращении. В третьем разделе
мы доказываем леммы о бесконечно малом выпрямлении потоков и торов.
236
Ж. Фежоз
В четвертом разделе доказана теорема 38 о нормальной форме для гамиль¬
тонианов, близких к гамильтониану, обладающему диофантовым квазипе-
риодическим изотропным инвариантным тором. Эта нормальная форма за¬
дает объединение для гамильтониана, обладающего инвариантным диофан¬
товым тором, искаженное корректировкой частоты. Существование инвари¬
антных торов не вытекает непосредственно из существования этого иска¬
женного объединения, и пятый раздел посвящен тому, чтобы установить
условия, при которых мы сможем вывести отсюда существование транс¬
версально канторова множества инвариантных торов: условие Колмогоро¬
ва (теорема 43), а затем условие Арнольда-Пьяртли (теорема 59). Теорема
об устойчивости 60, служащая завершением теоремы 59, доказана. В ше¬
стой части определена вековая динамика системы планет (1). Там же вво¬
дятся два классических разложения векового гамильтониана в окрестности
его эллиптической сингулярности. В седьмом разделе показано, как свести
систему планет к системе, удовлетворяющей условию Арнольда-Пьярт-
ли. В заключение кратко обсуждается вопрос о том, как соотносятся друг
с другом теорема Арнольда и проблема устойчивости Солнечной системы.
Описаны используемые тензорные обозначения.
2. Локальное обращение в «хороших» пространствах
Фреше
Продолжая и уточняя работы Сержераера [64], Гамильтон [21] сформу¬
лировал дифференциальную версию теоремы Нэша-Мозера [44, 47], кото¬
рая сыграет ключевую роль в нашем доказательстве теоремы 38 о нормаль¬
ной форме. Теорема Сержераера-Гамильтона представляет собой аналог
теоремы о локальном обращении в банаховых пространствах в случае «хо¬
роших» отображений, действующих на «хороших» пространствах Фреше.
Для удобства я напоминаю о некоторых понятиях, связанных с этими отоб¬
ражениями. Опущенные доказательства можно найти в [21, 64] или в спе¬
циальной справочной литературе, упоминаемой по мере необходимости.
2.1. Категория «хороших» пространств Фреше
Определение 2. Пространством Фреше называется локально выпук¬
лое и полное топологическое векторное пространство.
Свойство локальной выпуклости означает, что начало координат до¬
пускает фундаментальную систему выпуклых окрестностей. Следующее
свойство локальной выпуклости доказано, например, в работе [63,1-9].
Доказательство «теоремы Арнольда»
237
Теорема 3. Топологическое векторное пространство Е локально вы¬
пукло тогда и только тогда, когда у него есть иерархия, то есть последо¬
вательность (|| • ||)jgn полунорм, определяющих топологию на Е.
Определение 4. Упорядоченным пространством Фреше называется
пара, состоящая из пространства Фреше и иерархии на этом пространстве.
ПРИМЕР 5. Пусть М — конечномерное компактное многообразие
класса С°°, возможно, ограниченное. Пусть Е — векторный слой класса
С°°, имеющий конечный ранг над М. Пространство Г°°(Е) сечений класса
С°° этого слоя, снабженное топологией С°°, представляет собой простран¬
ство Фреше.
Чтобы убедиться в сходимости алгоритма Ньютона при доказательстве
теоремы о локальном обращении, нам понадобятся несколько оценок для
интерполяции на полунормах, существование которых обеспечивается сле¬
дующей «хорошей» гипотезой.
Определение 6. Семейство операторов сглаживания на упорядо¬
ченном пространстве Фреше (Е, (|| • ||j)^eN) — это семейство (St)t>1 непре¬
рывных линейных отображений пространства Е в себя, для которых су¬
ществуют Cj,b (j,k) £ N2 такие, что для всех х £ Е, t > 1 и j < к
справедлива система неравенств
{||Stx||fc ^ Ck,jtk~3ЦхЦ^ (регуляризация)
||(id - St)x||j ^ Chktj~h||x||fe (аппроксимация
тождественного отображения).
Пространство Е называется хорошим, если мы можем снабдить его семей¬
ством операторов сглаживания.
(В этом смысле хорошее пространство Фреше, в сущности, то же,
что Сержераер называет С-объектом. В частности, ручные пространства
Фреше у Гамильтона — это хорошие пространства Фреше.)
ПРИМЕР 7. Пространство сечений слоя Е, определенное выше, — это
хорошее пространство Фреше [20] (см. также Hirsch [27], где показано, как
построить операторы сглаживания в форме операторов свертки; см. Си¬
ли [62] об особой граничной задаче [probleme specifique des bords]).
Определение 8. Пусть Е и F — два пространства Фреше, а непре¬
рывное отображение Ф : U —> F действует из открытого подмножества U
пространства Е в F. Дифференциалом Гато или радиальным дифферен¬
циалом отображения Ф, в случае, когда этот дифференциал существует,
238
Ж. Фежоз
называется единственное отображение
D$ :U х Е -> F, (ж, ft) £>Ф(х) • ft,
линейное по своей второй переменной и такое, что
Ф(ж + ty) — Ф(х) , ч
lim - = £>Ф(х) • у.
Отображение Ф непрерывно дифференцируемо или принадлежит клас¬
су С1, если у него есть непрерывный дифференциал Гато. Для каждого
целого числа к ^ 2 это отображение принадлежит классу Ск, если оно
принадлежит классу С1, а его дифференциал — классу Ск~1. Оно принад¬
лежит классу С°°, если оно при всех к £ N принадлежит классу
Замечание.
— Обычно не принято каждый раз уточнять, что речь идет о радиальном диф¬
ференциале, хотя в случае бесконечномерного банахова пространства радиальная
дифференцируемость не влечет за собой существование обычного дифференциала.
— В общем случае пространство непрерывных линейных отображений из U
в F не является хорошим пространством Фреше. Поэтому предпочтительнее рас¬
сматривать ИФ как отображение их хорошего пространства Фреше TU = U х Е
(снабженное естественной структурой произведения) в F, нежели как отображение
из и в L(E,F).
Пусть (Е, || • ||,eN) и (F, || • ||— два упорядоченных пространства
Фреше. Если Е и F банаховы, то непрерывное отображение из открытого
подмножества U пространства Е в пространство F локально ограничено.
Но в общем случае это свойство неверно, и его заменяют на следующее:
Определение 9. Отображение Ф : U С Е —» F называется хорошим,
если для каждой точки xq из U существует окрестность V точки xq в U,
целое число г G N и действительные числа Cj > 0 (j Е N), такие, что
< cj(! + IMIj+r)
для всех точек х Е V и для любого целого j £ N. Отображение Ф назы¬
вается хорошим С^-отображением (к £ N U {оо}), если Ф принадлежит
классу Ск и если Ф и все его дифференциалы Ф : U х Е^ —» F порядка
j ^ к — хорошие. Оно называется хорошим С^-диффеоморфизмом, если
оно обратимо и если Ф вместе с Ф-1 — хорошие Ск-отображения.
Целое число г, участвующее в этом определении, называется дефек¬
том дифференцируемости (perte de differentiabilite) отображения Ф, из-за
того частного случая, когда Е и F— функциональные пространства, упоря¬
доченные топологиями Ск.
Доказательство «теоремы Арнольда»
239
Хорошие отображения, линейные по некоторым из своих переменных,
в частности, дифференциалы, допускают линейные оценки по этим пере¬
менным.
Лемма 10. Пусть L : (U С Е) х F G — хорошее отображение
(U х F снабжено естественной структурой произведения упорядоченных
пространств Фреше), линейное по второму сомножителю. Тогда для всех
Хо £ U существует окрестность V точки Хо, целое число г £ N и дей¬
ствительные числа Cj > 0 (j £ N), такие, что для каждой точки х £ N,
каждого у £ F и каждого целого числа j £ N справедливо неравенство
IIL(x) ■ y\\j < CjGlxll^Js/llr + ||y||j+r). (3)
Доказательство. Существуют действительное число е > 0 и два
целых числа г k £ N, такие, что для всех х £ U и у £ F, удовлетворяющих
неравенствам ||х — £о||/с ^ б и \\у\\к ^ е, выполняется неравенство
ll-k(x) ' v\\j ^ cj(l F IMb+r F 11У j ~\~v ||) •
Пусть теперь у £ F выбрано произвольно. Пусть 0 = \\у\\к/е — множитель,
из-за которого нельзя применить вышеуказанную оценку непосредственно
к у, и пусть у таково, что у = Оу. Тогда
Н-^(х) * v\\j ^ F IMb’+r F ||y||j+r) ^
^ т\\у\\к F т\\хЬ+Лу\\к + CjWvWj+r ^
^ Ill'll j+rllZ/IU F Cj ^1 + —^ \\y ||max(/c,j+r) i
откуда и вытекает наша оценка, если изменить определение констант Cj
иг. □
Лемма 11. Хорошее отображение f : (U С Е) —> F класса С1 ло¬
кально удовлетворяет условию Липшица: для всех Хо £ U существует
окрестность V точки хо, два целых числа гики действительные числа
Cj > 0 (j £ N), такие, что
II/Ы - f(x)\\j < С,(||х||,+Г||у - x||fe + IIу - х||я-г) (4)
для всех точек х и у из V и для всех целых j £ N.
Доказательство. Имеем
1
f(y) - /О) = J А/О + t(y - х)) • (у - x)dt
О
240
Ж. Фежоз
(определение и основные свойства интегралов в пространствах Фреше по¬
дробно описаны в [21,1.2]). Тогда утверждение сразу следует из леммы 10.
□
Из двух только что доказанных лемм получаем следующий важный
результат.
Предложение 12. Пусть к ^ 1 — целое число, a / : (U С Е) —> F
и д : (V С F) —> G — два хороших отображения класса Ck, такие, что
f(U) С IntV. Тогда g о / — хорошее отображение класса Ск.
Доказательство. Пусть j ^ 0 — целое число, е > 0 — действитель¬
ное, х С U — точка, a v С Е — вектор, у которого IHIj < е- Для каждого
действительного числа t с] — 1,1[ получаем
1
gof(x+tv)-gof(x) = J Dg(f(x)+9{f{x+tv)-f(x)))-(f{x+tv)-f(x))d9.
о
Поскольку отображение / дифференцируемо, а дифференциал Dg непре¬
рывен, легко понять, что
lim Dg(f(x)+6(f(x+tv)-f(x))) ■ j (f(x+tv)-f(x)) = Dg(f(x))-Df(x)-v.
Однако при достаточно большом j и достаточно малом в из лемм 10 и 11
следует, что существует константа cj(x,v), такая, что при £, стремящемся
к 0, справедливо неравенство
Dg(f(x) + 6(f(x + tv) - f(x))) ■ j(f(x + tv) - f(x))
< Cj(x,v).
Итак, по теореме о сходимости ограниченной сверху функции, находим
go f(x + tv)-go f(x)
t
Dg(f(x)) ■ Df(x) ■ v
.о 0.
Поэтому (радиальная) производная композиции д о / равна Dg о / • Df,
а это хорошее отображение класса С0. Использую рекурсию по /с, получаем
отсюда наше предложение. □
Определение 13. Хорошим многообразием Фреше называется мно¬
гообразие, построенное на категории, объекты которой представляют собой
Доказательство «теоремы Арнольда»
241
открытые подмножества хороших пространств Фреше, а морфизмы между
двумя объектами U и V — это отображения Ф : U —» V, являющиеся хо¬
рошими Ск-диффеоморфизмами на своем образе. Точно так же, хорошей
группой Ли по Фреше называется хорошее многообразие Фреше и группа
Ли, у которых групповая операция и операция обращения — это хорошие
С°° -отображения.
ПРИМЕР 14. Если М — компактное многообразие, а Е М — рас¬
слоение, то пространство Г°°(Е) дифференцируемых сечений этого рас¬
слоения представляет собой хорошее многообразие Фреше. В частности,
пространство C°°(M,N) дифференцируемых отображений из М в другое
многообразие N — это хорошее многообразие Фреше, а группа Diff°°(M)
диффеоморфизмов на М, равно как и группа Diff™(М) симплектических
диффеоморфизмов, если многообразие М симплектическое, либо группа
Diff^°(M) точных симплектических диффеоморфизмов, если М — точ¬
ное симплектическое, представляют собой хорошие группы Ли по Фреше.
См. [21,11.2.3.1].
Пример 15. Пусть М — компактное многообразие, V —> М
и W —»М — два упоминавшихся выше расслоения на М, а Р : Г°°(У) —>
—> Г°°(И^) — дифференциальный оператор степени г. Оператор Р — это
хорошее отображение класса С°°, у которого дефект дифференцируемости
равен г. См [21, Н.2.2.7].
ПРИМЕР 16. Пусть М, N и Р — три дифференцируемых многообра¬
зия. Отображение С°°(М, Int(iV)) х С°° (N, Р) -> С°° (М, Р), (/, д) ^ d о f -
это хорошее отображение класса С°°. См. [28, 64] или [21, II.2.3.3].
ПРИМЕР 17. Отображение Т : Diff°°(M) —> Diff°°(M), G ь-» G~1 —
это хороший диффеоморфизм, для которого
DF(G) ■ AG = -((DGy1 ■ AG) о G~l.
Отсюда получаем, что отображение «касательная производная» Q:
Diff°°(M) —> Diff°°(r*M), (р (D(p)~1 — это хорошее С°°-отображение,
у которого
DG(<P) ■ Atp = -‘((D^)-1 • D(Aip) ■ (Dip)-1).
2.2. Теорема о локальном обращении и теорема Уитни о расширении
Все предыдущие определения были даны для того, чтобы сформули¬
ровать следующую теорему — основной из трех результатов, о которых мы
хотели напомнить.
242
Ж. Фежоз
Теорема 18. [20, 21, 64] Пусть Е и F — два хороших простран¬
ства Фреше, U — открытое подмножество из Е, Ф — хорошее Сk-отоб¬
ражение (2 ^ к ^ оо), действующее из U в F, хо — точка из U, а уо =
= Ф(ясо).
Предположим, что существует хорошее отображение L:U х F —> Е,
линейное по второй переменной, непрерывное и такое, что при х € U,
L(x) — элемент, обратный £>Ф(х).
Тогда существуют открытые окрестности Uo у точки хо в U и Vo
у точки уо в F, такие, что ограничение Ф : Щ —■► Vo будет хорошим
Ск -диффеоморфизмом.
Нам понадобится более сильная формулировка этой теоремы, дающая
ответ на следующие два вопроса:
— каким образом размер локального образа отображения Ф зависит от
хороших оценок для Ф и локального обратного элемента L его дифферен¬
циала?
— насколько регулярно локальное обращение отображения Ф как функ¬
ция параметров, изменяющихся в замкнутом подмножестве конечномерно¬
го пространства (в нашей задаче этим подмножеством будет трансверсаль¬
но канторово множество диофантовых векторов)?
В предположениях теоремы 18, даже если ограничиться открытым
множеством U и предположить для простоты, что хо = 0 и уо = 0, су¬
ществуют действительные числа Cj (j € N) и целые г и /, такие, что для
всех х Е U, £, , £2 € Е и 77 Е F справедлива система
( ||Ф(*)||5- < CjIWIj+r,
||£>Ф(ж) • £||, < c,'(llxlb'+rll^lli + Uh+r),
||£>2Ф(х) • (66ll)j < cj(ll^llj+r||^||/||6l|i + ll^llj+rll&ll/ + Il6l|(||6llj+r),
l ||Ь(ж) • 7711,- < сДЦжЦ^+гЦт?!!; + IHIj+r);
(5)
эти оценки следуют из определения 9 и лемм 10 и 11.
Следствие 19. Пусть Е и F — два хорошие пространства Фреше,
U — открытое подмножество пространства Е, содержащее начало ко¬
ординат, А — относительное компактное открытое множество из Мр,
Ф : U х А F, (я, а) i—> Фа(ж) = Ф(х, а)
— отображение, у которого Фа(0) = 0 для всех а £ А, и А$ — замкнутое
подмножество из А, обладающее следующими свойствами:
Доказательство «теоремы Арнольда»
243
— для всех а € До частичное отображение Фа является хорошим
класса Ск (2 < к < оо);
— для всех а € До существует хорошее отображение La : U х F —» Е,
линейное по второй переменной, непрерывное и такое, что при х € U
La(x) : F —> Е — это обратный элемент для 1)Фа(х);
— Ф и L — равномерно хорошие на До/ существуют действительные
числа Cj и целые г и I, такие, что для всех а € До отображения Фа, £>Фа,
1)2Фа и La удовлетворяют оценкам (5).
Тогда существуют открытые окрестности Uo точки хо = 0 в U и Vo
точки уо = 0 в F, три натуральные числа jo < ji и по и действительное
число С > 0, такие, что для всех а € До-'
— отображение Фа : Uo Vo — это хороший Ск-диффеоморфизм;
— Vo содержит ji-полусферурадиуса C(cj0)~n°: для всех у Е F, у ко¬
торых \\y\\j1 ^ C(cj0)~n°, каково бы ни было а € До, существует един¬
ственное х € Uo, такое, что у = Фа(#)-
Константы С, jo и j\ зависят только от открытых множеств U и V,
целых чисел г и I и действительных Cj.
Это следствие вытекает из доказательства теоремы 18, если взять, на¬
пример, j\ — 21 г и по = 3.
Чтобы ответить на второй вопрос, поставленный после формулировки
теоремы 18, удобно обратиться к одной из версий теоремы Уитни о рас¬
ширении для отображения со значениями в пространстве Фреше. Пусть Д
всегда обозначает открытое множество из М1, До С Д — его замкнутое
подмножество, а Е — пространство Фреше.
Определение 20. Отображение Ф : До —» Е принадлежит классу С™
в смысле Уитни (га € N), если существуют отображения Фо, • • •» Фт> гДе
Фо = Ф, Ф^ : До —> Lls(№P,E) (пространство образов представляет собой
пространство симметричных /-линейных отображений на Rp), I = 0,..., га,
такие, что для всех I = 0,..., га выполняется следующее условие (Wi):
(Wi) Если Ri : Д0 х Д0 —» Lls(MF,E) определено равенством
ФКУ) = ^1+г(х)-(у~х)г + Щх,у),
i^m—l
тогда для всех хо € До справедливо равенство
lim
XI ,Х2—>Хо
||zi - х2\\т 1
= 0.
244
Ж. Фежоз
Это отображение принадлежит классу С00 в смысле Уитни, если оно при¬
надлежит классу Ст для всех т £ N. Для всех 0 ^ т ^ оо обозначим
через Ск(Ао, Е) пространство отображений класса Сm в смысле Уитни.
Теорема 21 (Уитни). Если вышеупомянутое отображение Ф принад¬
лежит классу Ст в смысле Уитни (т Е NU+{oo}), то его можно продол¬
жить до функции Ф : Шр —> Е класса Сш. Более того, если отображения
Фо, • • • 5 l^m — те> о которых говорилось в определении 20, то продолжение
Ф можно выбрать так, чтобы его струя т-го порядка вдоль Aq совпадала
с (Фо, . . . , Фт).
В частном случае, когда Е = Шр, можно определить линейный опера¬
тор расширения Сгп(Ао^Шр) —> Ст(А,№.р) так, чтобы он был непрерыв¬
ным.
В частном случае, когда Ф принимает свои значения в банаховом про¬
странстве, доказательство первой части теоремы можно найти, например,
в приложении к [2]. Чтобы получить отсюда общий случай, когда Ф прини¬
мает значения в пространстве Фреше, достаточно установить необходимые
оценки, заменяя норму в банаховом пространстве последовательно на каж¬
дую из полунорм в произвольной иерархии пространства Е. Вторая часть
теоремы доказана в [67] и [56].
Следствие 22. Если выполняются предположения следствия 19 и,
кроме того, отображение Ф : U х А —» F принадлежит классу Ск, то
отображение (а, у) £ Л0 х Vo •—> Ф~1(у) продолжается до отображения
класса Ск на открытом множестве А$ х Vo-
Доказательство. Когда а £ А0, теорема 18 применима не только
к начальному уравнению Фа(^) — У, но и к набору из k + 1 уравнений,
полученных последовательным дифференцированием начального уравне¬
ния по а. В результате мы получаем к-струю семейства решений вдоль А0,
которая зависит от а как функция класса Ск в смысле Уитни. Если точ¬
ка у £ Vo фиксирована, то по теореме 21 эту струю можно продолжить.
Действительно, при доказательстве теоремы 21 было показано, что отобра¬
жение (а, у) I—> Фа1 (у) можно продолжить на Л х Vo, сохраняя принадлеж¬
ность к классу Ск.
(Заметим, что в приложении к [2] исходное пространство является ба¬
наховым, тогда как у нас исходное пространство — это произведение конеч¬
номерного пространства и пространства Фреше. Если бы мы хотели заме¬
нить А на открытое множество из банахова пространства, то нам пришлось
бы уточнять, о какой дифференцируемости идет речь: обычной или ради¬
альной. См. также [30, гл. 4].)
Доказательство «теоремы Арнольда»
245
2.3. Свойство компактности
Следующее определение необходимо для того, чтобы сблизить оцен¬
ки (3), справедливые для всех отображений, линейных по одной перемен¬
ной, и оценки (4).
Определение 23. Пусть Е, F и G — три хороших пространства Фре¬
ше, U — открытое подмножество из Е, / : U х F —» G, (я, у) /(я) • у —
хороший морфизм, линейный по второму сомножителю. Этот морфизм на¬
зывается компактным возмущением, если на F существует норма || • ||0,
целое число г и действительные Cj > 0 (j £ N), такие, что для всех
(я, у) £ U х F справедлива система неравенств
/ Ц/(а;)-2/1Ь<с,(1 + ||х||,+г)||г/о||, ( ,
\ 11/У) • У - /У') • у\\з < с,(||х - х'Ня-г + ||х||j+r||x - x'll^llyllo. 4
(В терминологии Боста [9] компактное возмущение — это отображение,
обладающее свойством Р.)
Первая оценка в системе (6) представляет собой условие, по которо¬
му /(я) продолжается до отображения, действующего на F — пополнении
нормированного векторного пространства (F, || • ||о), со значениями в G,
причем это продолжение /(я) £ Fo — непрерывная функция. Вторая оцен¬
ка обеспечивает выполнение условия Липшица по я для семейства таких
продолжений.
Пример 24. Если F — банахово пространство или если значе¬
ния функции / принадлежат конечномерному векторному подпространству
пространства G, то это компактное возмущение (см. лемму 10).
То, что дифференциал БФ(0) хорошего дифференцируемого отобра¬
жения в 0 является хорошим изоморфизмом, еще не означает, что диффе¬
ренциал £>Ф(я) в точке я, близкой к 0, тоже изоморфизм; как мы увидим
в параграфе 4.1, выполнение этого условия привело бы к абсурдному вы¬
воду о том, что свойство обладания диофантовым инвариантным тором яв¬
ляется открытым, а это было бы контрпримером для теоремы о локальном
обращении в пространствах Фреше. Однако компактные возмущения обла¬
дают следующим свойством, аналогичным свойству линейных возмущений
у линейных отображений в банаховых пространствах.
Лемма 25 ([9]). Пусть Е, F и G — три пространства Фреше, U —
открытое подмножество множества Е, яо — точка из U, a L и I — два
отображения из U х F в G, линейные по своим вторым переменным. Пред¬
положим, что выполняются следующие условия:
246
Ж. ФЕЖОЗ
— для всех х £ U, L(x) : F G обратимо, причем отображение
L~l : U х G —^ F, (x,z) t—» L{x)~l • z — это хорошее отображение
класса С1;
— отображение I представляет собой компактное возмущение;
— отображение L(xo) + l(xo) обратимо, причем отображения L{xо) :
F G и (L(xо) + 1(хо))-1 : G —> F — хорошие.
Тогда существует окрестность V С U точки xq в пространстве Е,
такая, что для всех х £ V отображение L(x) + 1(х) обратимо и отобра¬
жение (L + 1)~1 : V х G —> F, (х, z) i—> (L(x) 4- /(х))-1 • z — это хорошее
отображение класса С0.
3. Линейные уравнения бесконечно малого выпрямления
Для доказательства теоремы 38 нам понадобятся следующие леммы.
Их очень легко доказать, если использовать следующий классический ре¬
зультат.
Пусть Тр = W/Ър, р £ N, — стандартный р-тор, X(ZP, С9) — простран¬
ство комплекснозначных последовательностей с нумерацией из Zp, быстро
убывающих, а
С°°(Тр,С9) -*l(Zp,C9), / >—> \ f '■ k i—> f(k) = / f{e)e~i2*kede
— преобразование Фурье. Тогда это преобразование — изоморфизм, и суще¬
ствуют действительные числа Aj, Л' > 0 (j £ N), такие, что для любой
функции / £ С°°(Тр, С9) и для всех j £ N верны неравенства
\f\\j = sup(l + ||fc||)J||/(A;)||, где ||/(fc)|| = y/\f{k)i\2 + ... + \f(k)g\2.
В этом разделе мы будем по умолчанию использовать данные неравенства,
раз и навсегда зафиксировав константы Aj и Aj'.
ЗЛ. Выпрямление потока на торе
Следующий результат позволит нам разрешить когомологичные урав¬
нения бесконечно малого выпрямления
ZcEZp
Доказательство «теоремы Арнольда»
247
— векторного поля на торе Тр = Rp/Zp (в дальнейшем — уравне¬
ние (20)) и
— лагранжева тора (в дальнейшем — уравнение (19)).
Обозначим
C£°(TP,R9) = {/ <е C°°(Tp,Rq)J(0) = 0}
и
С*°(ТР,М9) = {/ G С°°(ТР,М.Я), J fdJ9 = 0}.
Тр
Для всех a £ Rp производная Ли по постоянному векторному полю а,
Са : Cg^T^R*) -> C~(TP,R«),
/ |-> Df ■ а,
— это хорошее отображение двух хороших пространств Фреше.
Лемма 26. Отображение Са является хорошим изоморфизмом то¬
гда и только тогда, когда существуют два действительных числа 7 > 0,
т ^ 0, таких, что
(VA; G Zp\{0}). (7)
Более того, для всех 7 > 0, т ^ 0, для всех а, удовлетворяющих
условиям (7), и для любой функции g £ С%°(Тр, R9) справедливо следующее
неравенство:
\\&9\\с> < (2тг7)_1А:,'А'+р+г+1||5||с,+Р+,.+1 (Vj € N).
3.2. Нормальное выпрямление тора
В дальнейшем лемма 29 позволит нам разрешить когомологическое
уравнение бесконечно малого выпрямления, в нормальных направлениях,
симплектически ему ортогональных, для изотропного тора не максималь¬
ной размерности (далее — уравнение (21)).
Начнем со скалярного и комплексного варианта этой леммы. Для всех
пар (а,(3) £ Rp х R и всех s £ {1,г = v^l} обозначим через Lla^^s
хорошее отображение
La,/3,s : С^ПГ^С) -> С°°(ТР,С),
С > D( • а + 2ttsP(.
248
Ж. Фежоз
Лемма 27. (1) Ьга р i представляет собой хороший изоморфизм тогда
и только тогда, когда существуют два действительных числа 7 > 0, т ^ О,
для которых
]k'a+0i>(MTw (Vk£Z)- (8)
Более того, для всех 7 > 0, т ^ О, всех пар (а, /?) £ Шр х R, удовлетворя¬
ющих неравенствам (8), и для любой функции £ £ С^ТГ^С) справедливо
неравенство
< (27r7)-1^A'+p+r+1||^||CJ+,^+1 (Vj € N).
(2) ! является хорошим изоморфизмом тогда и только тогда, когда
(3 ф 0. Более того, Элл всех (а, /?) £ Мр х I* м для любой функции £ £
£ С°°(ТР,С) справедливо неравенство
H(iUi)"^llс; < (27r/?)-%A'+p+1||£b+„+1 (VJ е N).
Именно к лемме 27 (и к лемме 30) можно свести тот факт, что в кон¬
сервативных системах частоты эллиптических направлений (/3") находятся
в интерференции с тангенциальными (а), чего нельзя сказать о частотах
гиперболических направлений (/?').
Для (а,Р) € Мр х q1 € {0,... ,q], В = Diag(/3b...,/?д<,iPq>+\, ■.
i(3q) (имеется в виду, что В — диагональная матрица и элементы, стоящие
на ее главной диагонали, — это q пронумерованных комплексных чисел)
и Р £ GLq (С) рассмотрим хорошее отображение
L2 = : С°°(Тр,С9) C°°{Tp,Cq)
с Н* D( : « + 2ТГР"1 - В - Р
Следующий комплексный матричный вариант утверждения вытекает непо¬
средственно из предыдущей леммы, если сделать замену переменной £' =
= РС
Лемма 28. Отображение L2 представляет собой хороший изомор¬
физм тогда и только тогда, когда существуют действительные числа
7 > 0, т ^ 0, для которых
U = 1, •••,«')>
1|Ьа + ^Ш+Тг (v/ceZP) 0W + 1,•••,<?)• (9)
Доказательство «теоремы Арнольда»
249
Более того, для всех 7 > 0, т ^ О, для всех (а, Р) G Мр х Rq, удовле¬
творяющих условиям (9), и для каждой функции £ € С°°(ТР,СЯ) верны
неравенства
IK^r^lb < (S^-^^'+P+r+ill^^llll^llll^llc,^^ (Vi G N).
Для всех q' G {0,..., g} и для любого вектора /3 обозначим через
Qqp или Qp G М2я(Щ = (R2q)®2 матрицу
Q(3 — 27rDiag(/?i,..., /Зд, /?i, • • • 5 — Pq/, /Зд7+1> • • • >
а через J G M2g(R) — стандартную комплексную структуру пространства
М2<7,
г ( 0 -idRq \
у idlRg О J ’
Целое число q' — это индекс квадратичной формы Qq^. Более того, для
a G Rp рассмотрим отображение
L3 = L\ p q, : C°°(Tp,R2«) С°°(ТрЛ2я)
С •—> - ol — J - Qp • С.
Лемма 29. L3 представляет собой хороший изоморфизм тогда
и только тогда, когда существуют действительные числа 7 > 0, т ^ О,
удовлетворяющие неравенствам (9). Более того, для всех 7 > 0, т ^ О, для
всех (о, Р) € Rp х М*7, удовлетворяющих условиям (9), и для любой функции
£ G С°°(ТР, М2<7) верны неравенства
||(L3)-7||CJ < (2^y1AjAlj+p+r+im\c^^ (Vj G N).
Доказательство. Матрица Qp сопряжена с матрицей, имеющей
форму матрицы В из предыдущей леммы. Кроме того, норма матрицы пе¬
рехода, умноженная на норму обратной матрицы, дает 1. Поэтому можно
использовать комплексную матричную версию этой леммы.
Более того, для всех г) G С°°(Тр,М2д) предыдущая лемма показывает,
что существует единственное отображение ф G С°°(ТР,С2(?), для которого
ЩС) = rj. Однако комплексно-сопряженная функция ф тоже служит реше¬
нием этого уравнения, поэтому ф — ф. Итак, ф G С°°(ТР, R2q). □
250
Ж. Фежоз
3.3. Выпрямление нормальной динамики вдоль тора
Лемма 31 позволит нам разрешить когомологическое уравнение беско¬
нечно малого выпрямления нормальной динамики первого порядка вдоль
инвариантного тора (далее — уравнение (22)). В этой части некоторые за¬
писи Эрмана неверны, вследствие очень сложных свойств симплектических
матриц.
Начнем с комплексной диагональной версии. Обозначим через
Сю°(Тр, где ^2<з^®2 _ д^2д(С), комплексное векторное простран¬
ство
С~(Тр,(С2<г)®2) =
ф G С°°СР, (С29)®2), f фц(в)М = 0,j = l,...,2q).
< Тр
Пусть для (а, (3) £ШР х М9, qf £ {0,..., q] и
a i=
= 2TrDiag(A, • • •,/V A/V+ь • • -Д*/,..., -гД/+ъ • • •, -гД,),
L4 = L^pq/ обозначает хорошее отображение
L4 : С^°°(ТР, (С2<?)02) -> С?(Р>, (С2(?)02),
ip ь-> Dip • а + [Дд, ip\ — Dip • а + Ар • ip — ip • Ад.
Мы будем обозначать через |2| = |/i | + ... + \lq\ длину мультииндекса I £ Ър.
Лемма 30. Отображение L4 представляет собой хороший изомор¬
физм тогда и только тогда, когда существуют действительные числа
7 > 0, т ^ 0, для которых при всех целочисленных векторах k £ Ър,
V £ Zg и I" £ Xq , таких, что |/'| = 1 или 2 и \1"\ — 2,
\к • а\ ^ -А- (ес/ш к ф 0),
\к\
'к-° + ,,'-13'>жФг' т
W ■ 0'1 > 7-
Доказательство «теоремы Арнольда»
251
Более того, для всех 7 > 0, т ^ 0, всех (а,Р) £ МР х Шя, удовлетворя¬
ющих условиям (10), и для каждой функции ф £ С°°(ТР, (С29)®2) верны
неравенства
IKL4)-1^)!^ < (2n7)-1AjA/j+p+r+1\mC^^ (Vi € N).
Пусть (а, р) £ Шр х Rq. Вернемся к обозначениям QQp или Qp для диа¬
гональной матрицы 27rDiag(/?i,..., Pq, Pi,..., pq>, ~Pq>+1, - Д?) и J — для
стандартной комплексной структуры на Ш2д. Пусть L5 = Ьъа ^ — хорошее
отображение
L5 : С?°(ТД (С29)02) -> С~(ТД (С29)02),
ф Dp> ■ а + [J • <2/з, 0] = Щ • а + J - Qp • ф - ф ' J - Qp.
Замечая, что J • QQp сопряжено с матрицей , и действуя так же, как в слу¬
чае L2, выводим отсюда, что L5 будет диффеоморфизмом тогда и только то¬
гда, когда пара (а,Р) удовлетворяет условиям (10); тогда и обратная к ней
пара допускает аналогичные оценки.
Пусть К — это поле R либо С. Обозначим через
sp2g(K) = {ф € (К2^)®2, tipJ + J1> = 0}
симплектическую алгебру Ли на К, а через С£°(Тр, sp2g(K)) — подпро¬
странство
\ 0 £ Сюо(Тр, sp2(?(K)), — ф и [p>jj(e)d0 = 0,j = l,...,2gl. (11)
I тр J
Убедившись в инвариантности С^°(ТР, sp2g(C)) и С^°(ТР, (М9)02),
получаем отсюда, наконец, следующую действительную симплектическую
версию. Пусть L6 = L\pql — хорошее отображение
L6 : C~(TP,sp29(R)) -> C~(Tp,sP29(R)),
ф Бф • а + [ J • <2/з, -0] = Бф • а +J - Qp • ф — ф • J • Qp.
Лемма 31. Отображение L6 представляет собой хороший изомор¬
физм тогда и только тогда, когда пара (а, Р) удовлетворяет арифмети¬
ческим условиям (10).
252
Ж. Фежоз
Более того, для всех 7 > 0, т ^ О, всех (a,/?) G х Шя, удовле¬
творяющих условиям (10), и для каждой функции ф G С°°{Tp,sp2g(M))
справедливо неравенство
\\{L«)~lmCJ < (2тг'y)-1AjA'J+p¥r+1U\\CJ+P+,+1 (Vj G N).
3.4. Диофантовы условия
Пусть р ^ 1 и О 0 - два целых числа, 7 > 0, т ^ 0 — два дей¬
ствительных числа, а целые числа q\ q" G {0,..., q} удовлетворяют ра¬
венству q' + q" = q. Пусть (a,/?) — вектор из х Rq. Обозначим /?' =
= (/?!,... ,/39;) G М9 И /3" = ((3q' + l, • . . , Pq) G .
Определение 32. Вектор (a, /3) будет считаться (7, т, р, q', д")-Дио-
фантовым, если он удовлетворяет условиям (7), (9) и (10): для всех цело¬
численных векторов k G Zp, V G Ъя> и /" G Ъя", таких, что |Z'|, |Г'| равно 1
или 2, справедлива система неравенств
|fc • a| > (если fc ф 0),
(12)
\k-a + l"-/3"\> +1)т,
где ||fc|| = ^Jkl + ... + к ■ а = кхах + ... + fcpap, |Г| = |^| +
+ ... + \Vqt\ и аналогичная формула справедлива для I". Обозначим че¬
рез DHlyT(p,qf,qn) множество векторов (а,/3), удовлетворяющих услови¬
ям (12). Наконец, положим
DHT(p,q',q") = и7>0 DHltT{p,q' ,q"),
DH(p, q', q") = UT>0DHT(p,q',q"),
DHltT(p) = DHltT{p, q' = 0, q" = о), и т. д.
В противоположность аналогичным условиям для отображения, данные
требования, касающиеся векторного поля, иногда называют однородными
или слабыми.
Поскольку qf + q" = q, элементарный подсчет показывает, что суще¬
ствует действительное число р > 0, для которого
DHpltT(p + q) С DH~ltT(p,q',q")', (13)
Доказательство «теоремы Арнольда»
253
мы будем постоянно использовать это включение, чтобы уменьшить раз¬
мерность пространства DH1^T(p^q/, g"). Если т > р — 1, а 7 достаточно
мало, то множество DH1^T{p) имеет строго положительную меру, а конус
DHT(p) — это множество полной меры в Rp. Как показали Мье, Пьярт-
ли (теорема 58), почти каждая точка из невырожденного параметрическо¬
го подмногообразия (точнее, из левого параметрического подмногообразия)
пространства Rp лежит в DHT(p), если т > р2-1. Наоборот, с топологиче¬
ской точки зрения этот конус — нигде не плотное трансверсально канторово
множество (его след на единичной сфере с уравнением ||а|| = 1 представ¬
ляет собой канторово множество).
Еще упомянем следующие два факта. Из первого неравенства систе¬
мы (12) следует, что а* ф 0 (г Е {1,... ,р}). Это условие — обязательное,
из-за кеплеровой аппроксимации системы, содержащей 1 + п планету. Дей¬
ствительно, если на каждую планету действует притяжение одного только
Солнца, то первый закон Кеплера утверждает, в частности, что в задаче
с 3п степенями свободы (после редукции относительно симметрии перено¬
са) только п частот отличны от нуля. Поэтому нам надо будет учитывать
вековую динамику, в ее нормальной форме, которая, помимо кеплеровых
резонансов, описывает кеплерово вырождение, вызванное взаимным влия¬
нием планет. Впрочем, третье неравенство системы (12) необходимо из-за
самой вековой системы, имеющей два резонанса: первый вызван симмет¬
рией вращения, а второй, в общем виде открытый Эрманом и более зага¬
дочный по своей природе [1], исчезает при усреднениях более высокого
порядка [36]. См. параграф 7.4.
4. Нормальные формы гамильтонианов
4.1. Пространство гамильтоновых симплектоморфизмов
Зафиксируем два целых числа р ^ 1, q ^ 0 и действительное число
5 > 0 и рассмотрим ограниченное компактное многообразие
Р* = Тр х Ё£+2<? сТрх Мр+2<7,
где В^+2(? — это замкнутый евклидов шар радиуса S и с центром в начале
координат, в пространстве Мр+2<7. Мы будем обозначать
(|9,г,X,у) е РхГхГх Rq или (в,г,z) Е Тр х Rp х Ся
естественные координаты на Р5. Снабдим Р$ стандартной евклидовой мет¬
рикой i(dOj + drf) + + dVj)* которая позволяет отожде-
254
Ж. Фежоз
ствить Т*Р<5 и ТР,5, стандартной 1-формой Лиувилля Л = г • с№ + у • dx =
= i Уз^хз и станДаРтной симплектической формой
Р я
и — — d\ = ^ ddj A drj + — ^ dzj A сЦ-.
j=i % з=i
Для каждой функции ТГ Е (7°°^$) = (Т^ДР^М) обозначим через
я - Yd{drjHdej - дв)ндГ}) + Y^(dyHdX] -
j=l j=l
ее гамильтоново поле, где ((9^, dTj)j=l q), (dXj, dyj)j=i^.^q) — естествен¬
ный базис пространства ТР^.
Для q' е {0,...,д}, а € Мр и /3 Е М9 снова обозначим через Q/з
матрицу
Q/з = 2-jrDmg(0i,...,0g,-0i,...,-(3g>,0q>+i,...,0g) е М2<?(К),
а через — гамильтониан на Р^, определенный по формуле
v я' я
Na,0 = а-г+|(5^-2:2 = ^а,т,+7г^ДДх?-2/?) + 7г ^ + j/J),
j = l j = l j = g' + l
где z2 = 2 <8) 2, a точки обозначают простое или двойное тензорное сверты¬
вание. Пусть ДЛ/* — это векторное пространство гамильтонианов, у ко¬
торых нормальная форма Биркгофа первого порядка вдоль тора Tq =
= Тр х {г = 0} х {z = 0} равна нулю. Это идеал
ДЛ/* = 0(г2, гг, 3), (14)
в кольце функций класса С°° на Р$, порожденный линейными функциями
от г2, от гг или многочленами полной степени 3 по г и 2. Пусть Л/*а р =
= Nat0 + ДЛ/* — это аффинное подпространство гамильтонианов, для ко¬
торых Na^f3 служит нормальной формой первого порядка. Снабдим Ма,(3
топологией, порожденной С00-топологией хорошего пространства Фреше
(см. пример 7), над которым оно построено.
Обозначим BJ°(TP) группу точных дифференциальных 1-форм класса
С°° над Тр, Diff£°(Tp) — группу диффеоморфизмов тора, сохраняющих
начало координат,
Доказательство «теоремы Арнольда»
255
симплектическую группу и
C?(TP,Sp(2q)) = {exp Аф € С°°(Т, Sp(2g)), Аф € СГ(Тр,зр2д)}
образ пространства, определенного по формулам (11), относительно экспо¬
ненты.
Наконец, обозначим
д = В™(Тр) х С,00(Тг\К2<г) х Diff{J°(Тр) х C*°°(Tp,Sp(29)).
Пространство Q снабжено топологией, порожденной хорошими по Фреше
группами Ли, составляющими это пространство (см. примеры 7 и 14).
Для каждого малого действительного числа 5 > 0 обозначим Я$ и ма¬
лую окрестность в топологии С°° точки (0,0, id, id) в пространстве Q, точ¬
ный размер которой будет указан позже, как функция от 5. Мы хотим по¬
грузить в группу гамильтоновых симплектических диффеоморфизмов
пространства Р$. (Образ погружения не будет подгруппой, так что это по¬
гружение не будет морфизмом двух групп.)
У подгруппы J5f°(Tp) х С°°(ТР,М29) есть функция выпрямления воз¬
мущенного тора путем его тривиализации над невозмущенным тором.
Внутренние 1-гомологии выпрямляют возмущенный тор по направлению
действий, а элементы пространства С°°(ТР, Ш2я) — по эллиптическим и ги¬
перболическим направлениям. Почему мы рассматриваем только внутрен¬
ние гомологии, а не произвольные 1-формы, объясняет следующая лемма
и замечание после нее.
Лемма 33. Пусть Н — гамильтониан на Тр х Шр х М2(?. Эргодиче-
ский квазипериодический инвариантный тор гамильтонова потока на Н
является изотропным.
Доказательство. Пусть / : Tn -> Тр х Rp х М2<г, в /(0) — па¬
раметризация инвариантного тора, заданная так, чтобы ограничение потока
на тор записывалось в виде ф*(0) = в + ta, a Е Мп. Обозначим
й = ^ сdij(6)d0i A dOj
1 ^i<j^n
прообраз элемента и относительно /. Поскольку d(f)t — тождественное пре¬
образование, получаем
ф^и) = ^ ^ lJij (О И- toAj{0)d0i A dOj.
i<j
256
Ж. Фежоз
Но ф1 эргодично и сохраняет й, поэтому функции i < j, постоянны
на Тп. Наконец, поскольку со — точный, таким же будет и й, так что, инте¬
грируя Q на торах (#*, Qj), г < j, видим, что и тождественно равен нулю.
□
Более того, если инвариантный тор лежит в Тр х Rp х {z = 0} и С1 -
близок к Тр х {г = 0} х {z = 0}, то он представляет собой образ некото¬
рой замкнутой 1-формы на Тр (если отождествить Т*ТР и Тр х Шр х {о})-
Наконец, если этот тор служит образом множества Тр х {г = 0} х {z = 0}
относительно гамильтонова потока, то данная замкнутая форма точна.
Функцией подгруппы Diff£°(Tp) х С£°(ТР, Sp(2q)) служит операция
объединения локальной динамики возмущенного тора с установившейся
динамикой; благодаря Diff§°(Tp) — объединение с квазипериодическим по¬
током на торе; благодаря С%°(ТР, Sp(2g)) — локальное объединение нор¬
мальной динамики с ее нормальной формой Биркгофа первого порядка
вдоль тора; причина выбора этой группы будет понятна из теорем 40 и 41.
Сначала погрузим Qs в группу DifF^°(Tp х точных симплекти-
ческих диффеоморфизмов пространства Тр х Rp+2(?. Пусть а = (0, г, z) —
= (в, г, х, у) С Тр х Rp х Rq х Rq, a G = (р, С, V, Ф) С Q. Если ф достаточно
близко к постоянному отображению в i—> id^ в топологии С0, то суще¬
ствует единственное ф Е CJ°(TP, sp(2g)), такое, что ф = ехрф. Положим
р{а) = ((9, г + р, 2),
С(а) = (0»r + Rc, ^ + С(0))»
4>(р) = *£V(0)_1 * Г, г),
-0(a) = (0, г + S0 • 22, 0(0) • 2),
где
( Rc = -J-((z + C/2)JDC),
I 5^ • 22 = | / ^ехр(£0) ■ z) • ( J • Бф^ dt,
после чего
С(а)=0ИС(р(а)))) (16)
(именно в таком порядке; диффеоморфизмы р и С коммутируют, но осталь¬
ные в общем случае — нет). Если Qs — достаточно С°-малая окрестность
тождественного отображения в Q, то эта формула определяет инъекцию
ь : Qs -> Diff°°(Tp х Rp+2s).
Напомним, что Л представляет собой стандартную 1-форму Лиувилля
на пространстве TpxRp+2(7 : Л = r-dd+y-dx. Обозначим Diff^°(Tp xRp+2<?)
хорошее пространство точных симплектических диффеоморфизмов G про¬
странства Тр х Rp+29 (то есть таких, для которых 1-форма G* А — А точна).
Доказательство «теоремы Арнольда»
257
Компонента связности тождественного преобразования этой группы пред¬
ставляет собой группу гамильтоновых симплектоморфизмов.
Лемма 34. Инъекция ь — это хорошее погружение класса С°° в про¬
странство DifF^°(Tp х Rp+2q).
Доказательство. Отображение ь — это компонента хороших соб¬
ственных инъективных погружений. (Один из способов убедиться в том,
что отображение ф i—> вф хорошее, связан с использованием порождающей
функции.) Итак, t — это хорошее погружение. Докажем, что l(G)— точное
и симплектическое.
Диффеоморфизм а »—>• р{а) точный симплектический, потому что р —
точный. Пусть гамильтониан равен
H = J-(z().
Единичное время потока его поля
H = -J-(zDQ-dr + C-dz
(где дг = (дГ1,..., дГр)) имеет вид а н-> (0, г + z + Q = С(а)> так что
это симплектическое точное отображение.
Диффеоморфизм а н-> р(а) — это касательное отображение для р, сле¬
довательно, оно сохраняет Л, следовательно, оно симплектически точное.
Наконец, пусть гамильтониан равен
Поскольку ф — бесконечно малое симплектическое, гамильтоново поле
для Н равно
Н = |(J • Dip) • (z2dr) + z-ip-dz
и единичное время его потока — это диффеоморфизм
а н-► (0, г + вф, ф • z) — ф(а),
поэтому он симплектически точный. □
Теперь мы хотим определить проекцию pr : l(Qs) —> DifF^°(P<5).
Лемма 35. Существует окрестность U тождественного отображе¬
ния в пространстве DifF^°(T?> х Rp+2g) и хорошее отображение pr : U —»
—> Diff^° (Pd), id и-> id, класса С°°, такое, что для всех G Е U справедливы
258
Ж. Фежоз
следующие условия: (1) ограничения G и pr(G) на Р$/з совпадают и (2)
носитель отображения pr(G) вложен в Р2<5/з*
Доказательство. Пусть U€ — это С1-полусфера в Diff^D(Tp xMp+2g)
с центром в тождественном преобразовании и радиусом е > 0, который
еще предстоит определить. Пусть G Е Ue, и обозначим (0,i£, X, У) =
= G(0,r,х,у). Поскольку G — точное симплектическое, на Р<5 существует
функция S', для которой dS = G* А — А. Тогда функция
S = (Q-e)R+(X -x)Y -S
такова, что
dS = (г - R) • dd + (0 - в) • dR + (у - Y) • dx + (X - х) • dY.
Если б достаточно мало, то в качестве координат можно выбрать (0, R, х, У).
Рассмотрим модифицированную порождающую функцию
Ss = uj(\\R,x,Y\\)S(e,R,x,Y),
где to : М —> М — ступенчатая функция класса С°°, четная, убывающая на
М+, причем ее сужение на отрезок [0, <5i] равно 1, а сужение на [(52, оо] равно
нулю, где 1/3 < <5i < 62 < 2/3. Если б достаточно мало, то и сама S$ близка
к нулевой функции и порождает точный симплектический диффеоморфизм
pr(G) : (0,г, х,у) (0,i?,X, У), который задается формулой
dS6 = (г — R) • d6 + (Q — 6) - dR+(у — Y) • dx + (X — х) - dY.
Этот диффеоморфизм близок к тождественному и обладает всеми требуе¬
мыми свойствами. □
Поскольку l непрерывно, t(G) обладает, самое большее, одним пред¬
ставителем в каждом ростке диффеоморфизма в окрестности элемента
Тр х {0} х {0}, а р — хороший (операция умножения порождающей функ¬
ции на ступенчатую — это дифференциальный оператор нулевого порядка,
и из примера 15 следует, что он хороший!), справедлива следующая лемма.
Лемма 36. Если Qs ~ достаточно малая окрестность тождествен¬
ного отображения в Q, то С U и отображение р о t представляет
собой хорошее погружение класса С°°.
В дальнейшем мы будем для упрощения записи писать G вместо
pr(t(G)).
Доказательство «теоремы Арнольда»
259
Пусть Ф — это отображение
Ф : Шр х Шд х АЛГ х бз х Шр х Шр —> С^ДРД
(а, /3, ДАТ, G, а, /3) ^ (iV^ + AN) о G + ДС
где С+ДР^) обозначает фактор-пространство пространства (7°°^$) по от¬
ношению эквивалентности, которое отождествляет две функции, имеющие
постоянную разность. Следующая лемма вытекает из примера 16.
Лемма 37. Отображение Ф — это хорошее отображение класса С°°,
действующее между хорошими пространствами Фреше.
4.2. Теорема об искаженном объединении
Для произвольной пары (а, /3) G Мр х Rq обозначим
: Л/^/з х бз х М.р х М.р —» q°(P*),
(N, G,a, /3) *-> N о G + N&j = *(a,l3,N-Na,l3,G,&,t3).
В параграфе 4.4. мы опишем, как это отображение связано с существо¬
ванием инвариантных торов. (Вместо этого Эрман рассматривает отобра¬
жение
Яаф х й х Кр х l? -t (N,G,aJ) N о G~l + N&&,
где Я^ДРз) обозначает пространство гамильтоновых векторных полей
класса С°° на Р^.)
Теорема 38 (Эрман). Если (а, /3) С DH(р, qf, qn), то, каков бы ни был
гамильтониан N £ Afa^p, отображение Ф<*,/з представляет собой хороший
локальный диффеоморфизм класса С°° в окрестности точки (iV, id, 0,0).
Если Н £ С+°°(¥з) лежит в локальном образе Фа,/з, а Ф“^(Я) =
= (N, G, d,/3), то мы можем понимать G как объединение между N и Н,
искаженное поправкой на частоту АС
Доказательство. Теорема 18 о локальном обращении позволяет све¬
сти доказательство к проверке того, что для (G,d,/3), достаточно близкого
к (id, 0,0), дифференциал
№)/3(3V,G,d,/3) : TNх TG6 x R*+* -> C™(F5)
отображения Фа$ no (3V, G,d,/3) обратим.
260
Ж. Фежоз
1° Итак, пусть ДЯ Е — класс эквивалентности гамильтониа¬
нов относительно переноса. Нам надо найти единственное решение урав¬
нения
£>Фа,/з(Я, G, а, /3) • (AN, AG, Да, Д/3) = ДЯ.
Неизвестными в этом уравнении будут: гамильтониан AN, принадлежа¬
щий векторному пространству ДЛ/*, над которым построено аффинное про¬
странство Ма,(з \ векторное поле AG Е TqOs над G; наконец, корректировка
частоты (Да, Д/3) Е Мр+(?.
Уравнение записывается в виде
AN о G + (LW о G) • ДС + ЯДЙ>/5 = ДЯ
Положим G = AG о G-1 (то есть G — это поле касательных векторов на Р$)
и АН = ДЯ о G-1 и добавим к обеим частям уравнения справа G~l:
A./V + DN ■ G 4- Na&iA0 о G~l = AH.
2° Обозначая через С отображение
С :QS х RP+9 _► С°°(Р«),
(G, Да, Д/?) -> C(G) ■ (Ad, A/3) = (NA&^) о G~\
получаем
AN+ DN-G + C(G) • (Да,Д/3) = ДЯ. (17)
Однако отображение
I : foxR**9 -> С^Р^ДС, Да, Д/3) C(GH Да, Д/3)-С(1б)-(Да, Д/3)
представляет собой компактное возмущение (потому что все нормы на
эквивалентны, см. определение 23). В результате, по лемме 25, до¬
статочно будет решить уравнение, которое получается при замене C(G) на
C(id) в (17), то есть следующее более простое уравнение:
AN + DN-G + Na&a0 = AH. (18)
Мы хотим показать, что существуют единственные значения G, Аа и Д/3,
на которых достигается равенство струй первого порядка двух частей урав¬
нения (18) вдоль тора Tg, а также их составляющих второго порядка
по z. После этого идентификация всего остального позволит определить
AN Е ДЛЛ
Доказательство «теоремы Арнольда»
261
3° Для большей ясности в этом и следующем параграфах мы будем
обозначать каждое простое тензорное свертывание точкой (соблюдая со¬
глашение о порядке, приведенное в приложении), а тензорные произве¬
дения мы будем обозначать явно. Пусть (Др, Д£, Дер, Аф) £ BJ°(Tp)x
xC°°{Tp,R2q) х ^o°(Trp) х С£°(ТР,sp(2q)) обозначает компоненты G
в T[dQ, где Х§°(ТР) — пространство векторных полей над Тр, которые об¬
ращаются в нуль в начале координат. Компоненты векторного поля (прямой
образ относительно рг о ь) G в пространстве
X™(FS) с х Мр х М2<г)
полей симплектических векторов на Р$ в окрестности Р'л/3 элемента Tq =
= Тр х {г = 0} х {z = 0} (см. лемму 35) равны
( л*»,
G = I Ар — г ■ D(A<p) + DR(0) ■ А(, + (DS{id) • Аф) : г®2
у ДС + Аф ■ z
где формулы (15), определяющие функционалы Rn S, показывают, что
DR{0) ■ ДС = - J : z ® ИДС,
(DS(id) • Аф) ■ z®2 = ±г®2 : (J ■ БАф).
4° Обозначим через А\, А2, А3 и А4 функции, принимающие значения
на тензорах и удовлетворяющие равенству
N = TVQ)/3 + Аг(в) : г®2 + А2(в) :r®z + А3(в):г ® z ® z+
+A4(Q)\z®3 + 0(r ® г (g) z, г®3,4)
Здесь предполагается, что А\, А3 и А4, и симметричны по своим по¬
вторяющимся переменным, а 0(г 0 г 0 z,r®3,4) обозначает идеал, по¬
рожденный функциями С°°, линейными по г 0 г 0 2, трилинейными по г
и квадрилинейными по г и z.
После факторизации по подпространству ДЛ/* пространства С+^Р^),
уравнение (18) принимает вид
а • Ар + (-D(Aip) • а + Аа + 2Ai • Др + А2 • ДС) * г+
+ (—<7 • D(AС) • Qf + Q/з * ДС Р ’ ^2) *
+ ( \ j ' П(АФ) ■ Ct + Qp- АФ + \Q&P+ \ . z®2 _ ДД-
V + j • D(AQ ■ A2 + Ap ■ A3 + ЗДС -А4)
262
Ж. Фежоз
Струя этого уравнения первого порядка вдоль Тр дает нам
а • Ар = ЛЯ|Тр(+константа), (19)
д{АЙ)
D(Aip) • а — Аа = —
дг
D(AQ - а + JQ/з ■ AC = J~
+ 2А\ • Ар + А2 • ДС, (20)
д{АЙ)
dz
+ Ар • А2 •</, (21)
тй
а квадратичная по z составляющая этого же уравнения (после симметриза¬
ции! и с учетом симметричности J • Аф) дает
<92(ДЯ)
+ (22)
£)(Д^) -a- JQAig + [J-Q0,Aip\ = - ^
+2£>(ДС) • Л2 - 2J • *л2 • *£>(ДС) • J' + 2Др • Л3 + 6А4 ■ ДС-
5° Эти четыре уравнения решаются треугольным образом единствен¬
ным путем:
— из уравнения (19) определяем Ар: сначала лемма 26 говорит
нам о существовании единственного решения р е Cq°(Tp,R) уравнения
Dp • а = АН о G-1 |тр + с, если выбрать действительное число с так, что¬
бы среднее правой части обращалось в нуль; после этого полагаем Ар =
= Dp G £?i°(Tp);
— затем из уравнения (21) определяем ДС (лемма 29),
— затем из уравнения (20) определяем Ар> и Аа: усредняя по Тр,
находим Аа, после чего, применяя лемму 26, находим Ау>;
— наконец, из уравнения (22) определяем Аф и Д/3: усредняя по Тр,
находим Д/3, после чего применяем лемму 31 к неусредненному уравнению
и находим Аф.
Итак, нормальная вдоль Тр форма гамильтонова поля разности двух
частей уравнения (18) представляет собой нуль первого порядка.
6° Определим AN по формуле
AN = АН — DN ■ G — NA& Ajj,
а затем — AN по формуле
AN = AN{0,r,z)- AN\{em.
Тогда AN G AM и уравнение (18) выполняется. □
Доказательство «теоремы Арнольда»
263
Следствие 39. Каково бы ни было действительное число г > Р ~
— 1, существуют два целых числа к, по ^ 0 и действительное С > О,
такие, что для любого действительного 7 > 0 и любого вектора {а, /3) G
G DH1^T{p, qf, q") локальный образ отображения Фа,{3 в окрестности точ¬
ки (N — Na^ + AN, id, 0,0) содержит Ck-полусферу радиуса Cjn°; кон¬
станта непрерывно зависит от AN G ДАЛ
Доказательство. Количественная оценка размера локального обра¬
за отображения Фа,/з, вытекает из следствия 19 и из оценок, доказанных
в леммах 26, 29 и 31.
4.3. Два частных случая
Упомянем следующие две теоремы, которые представляют собой част¬
ные случаи теоремы 38 и одновременно — интегральные локальные версии
лемм 26 и 31. Это теоремы об искаженных нормальных формах, соответ¬
ственно:
— векторного поля тора, локально, в окрестности диофантова постоян¬
ного векторного поля;
— поля векторов, представляющих собой левые произведения инфи-
нитезимально симплектических матриц над постоянным и диофантовым
векторным полем тора, локально, в окрестности прямого произведения.
Пусть Х°°(ТР) обозначает пространство векторных полей класса С°°
на торе, a Diffg°(Tp) — пространство диффеоморфизмов класса С°° тора
Тр, сохраняющих начало координат.
Для каждого a G Мр обозначим через Ф* хорошее отображение
Ф^ : Diffg°(TP) хМ^ Xе0{ТР),
(р, а) ь-> р*а + а.
Теорема 40 (Арнольд, Мозер). Если a G DH(p), mo Ф* — хороший
локальный диффеоморфизм класса С°° в окрестности точки (id, 0).
Доказательство. Эту теорему можно сразу свести к теореме 18
(см. [9, 23]). Можно также вывести ее из теоремы 38. Действительно, рас¬
смотрим векторное поле X G Х°°(ТР), достаточно С°°-близкое к постоян¬
ному полю а. Теорема 38 показывает, что гамильтониан
Нх(в,г) = ix{e)\ = Х{в) • г е С°°{ТР х 1Г)
можно единственным образом записать в виде
Нх =Na о G + а ■ г
264
Ж. Фежоз
(с точностью до аддитивной константы), где G — точный симплектический
диффеоморфизм, а а € Шр. Однако
— нулевое сечение Тр х {0} пространства Тр х Шр — это инвариантный
тор гамильтониана нх , следовательно, и гамильтониана Na о G — Нх —
— а • г;
— гамильтониан Na о G тоже оставляет инвариантным тор
G~\Т*>х{0}).
Но поскольку симплектический диффеоморфизм G точен, пересечение
лагранжевых торов Тр х {0} и G_1(TP х {0}) непусто; в результате эти два
тора совпадают. Итак, сужение G~l на нулевое сечение порождает искомый
диффеоморфизм ср :ТР х {0} —> Тр х {0}. □
Пусть теперь a G Шр и тр G С°°{Тр, sp(2q)). В пространстве Тр х Ш2я
с ними связано линейное векторное поле
(0,z) ^ (а,Ф(0) • z),
которое определяет поток (ta,^t) в Тр х С°°(ТР х Sp(2q))9 удовлетворяю¬
щий уравнениям
—= 0(0 + to) • 0t(0) и -00(0) =
Сопряженное действие ф с С°°(ТР, Sp(2g)) на С°°(ТР, sp(2g)), которое по¬
лучается из естественного действия при сопряжении (над вращениями с ча¬
стотой а) на пространстве С°°(ТР, Sp(2g)), выглядит так:
^(6-\-ta)-'il)t(6+ta)-4>(6-\-ta) 1) = (Саф)-ф 1+ф-ф-ф \
t=o
где ф = d/dil^oV’t-
Пусть (а,/?) € Мр+<г. Обозначим через ^ хорошее отображение
: C~(TP,Sp(2g)) х!«н C°°(TP,sp(29)),
(<^> /5) •—» (£аф) • Ф 1 + ф ■ (J ■ Q@) • ф 1 — j • Q0-
Теорема 41 (Эрман). Если (а,/3) С DH(p,q',q"), mo отображение
р — это хороший локальный диффеоморфизм в окрестности точки
id, 0.
Одно из доказательств основано на непосредственном использовании
теоремы 18; другое предполагает погружение левого произведения (а, 0)
и его возмущения в гамильтонов поток, линейный по направлениям, нор¬
мальным к инвариантному тору. Читатель может выбрать любой из вариан¬
тов.
Доказательство «теоремы Арнольда»
265
4.4. Теорема о гипотетическом сопряжении
В 1990 году на конференции в Лионе Эрман объяснил, каким способом
из теоремы 38 можно сделать вывод о существовании инвариантных торов,
если эти торы — лагранжевы (см. также [68]); позднее Севрюк [10, 65]
независимо от него получил тот же результат и заметил, что его можно
обобщить на торы меньшей размерности (имеется в виду, для ряда нега¬
мильтоновых систем), решив таким образом проблему, вызванную недо¬
статком параметров, необходимых для контроля частоты этих торов. Во¬
прос о невырожденности отображения частоты он отложил на более позд¬
нее время, добавив параметры контроля ad hoc2 и находя инвариантный
тор в абстрактном пространстве частот; остается только вопрос о том, как
реализовать эти частоты в пространстве действий.
Обозначим через N дизъюнктивное объединение
АС = Ц АГа,р и кр X Rp X 7V(0,0) •
(a,/3)gRpxRp
Теорема 42. Каково бы ни было № Е М, существует {не обязательно
единственный) росток диффеоморфизма
Q : {С™{¥5),№) ^ {Я х G,{N, id)),
Яи (jV,G), N = Na^p + AN,
такой, что для любого Н Е С™{Х), достаточно близкого к №, так что
(а,/3) Е DH1)T, симплектоморфизм G связывает N с Н {то есть Н =
= N о G).
Приводимое далее доказательство настолько важно, что, по-видимому,
заслуживает особого эвристического введения. Пусть Н G С™{Х) доста¬
точно близко к №. Чтобы доказать, что Н обладает инвариантным тором,
близким к То, мы будем связывать Н с гамильтонианом N, оставляющим
на месте тор Tq. В общем случае не стоит ожидать, что N лежит в Л/^о ^о,
потому что частота (а0, (3°) представляет собой инвариант сопряжения. По¬
этому лучше попытаться связать Н с гамильтонианом
N = Na<0 + ANG АГа<0, (а, /3) е DH(p, q', <?"),
который получается из № = Naoi0o + AN при добавлении к частоте
априорной поправки, пока еще неизвестной, но малой, (Да, Д/3) — {а —
— а0,/? — /3°), если соответственно изменить остаток А№ нормальной
2Для данного случая (лат).
266
Ж. Фежоз
формы Биркгофа для №. В предположении, что пара (а,/3) диофантова,
(a,f3) G DH(p,qf ,q"), теорема 38 говорит о локальном накрытии отобра¬
жения Фа,/з- Если Н и № (то есть Н и Na^ + А№) достаточно близки
в топологии С°°, то Н лежит в локальном образе отображения Фа,д окрест¬
ности элемента № + ЛДа.д/з = №,(3 + А№. С точностью до аддитивной
константы можно записать
H = NoG + N&t&,
где N G Л/*а,/з обладает инвариантным тором, G G 6 s симплектично
и (а,(3) G Мр+9. Иначе говоря, между Н и N существует сопряжение
G, искаженное из-за поправки на частоту (а,/3). Если поправлять частоту
a posteriori, то есть после того, как мы нашли композицию N на G справа,
то эта поправка нарушит динамический изоморфизм между Н и N, из-за
чего нельзя будет сделать непосредственный вывод о существовании инва¬
риантного тора у Н. Возникает следующий вопрос:
Можно ли установить априорную поправку (Да, А(3) так, чтобы ан¬
нулировать апостериорную поправку (а,/3)? (См. рис. 1.)
Если это возможно, мы можем связать Н и N. Однако ответ будет
утвердительным не всегда, потому что иначе свойство обладания инвари¬
антным тором было бы открытием в пространстве гамильтонианов. Впро¬
чем, с технической точки зрения будет удобно продолжить сопряжение G
на все случаи по теореме Уитни о расширении, но из-за этого мы утра¬
тим динамический смысл данного сопряжения в случае, когда специальное
арифметическое условие в формулировке теоремы не выполняется.
Я буду называть G гипотетическим сопряжением, потому что равен¬
ство Н — N о G подчинено арифметическому условию на вектор (а,/3),
заранее не известный: если бы мы изначально знали вектор (а,/3), то мы
бы заранее знали, что инвариантный тор есть. Зато мы будем предполагать,
что невозмущенный гамильтониан зависит от параметра t G Bs дифферен¬
цируемым образом. В небесной механике этот параметр можно понимать
как семейство масс, больших полуосей и т.д.; в более общем случае, ес¬
ли невозмущенный гамильтониан полностью интегрируем, этот параметр
может означать координату действий (см. ниже теорему 43). В частности,
тогда возмущенная частота зависит от этого параметра дифференцируемым
образом (следствие 19); обозначим ее (at,0t)- Нам надо ввести меру на
множестве параметров t G Is таких, что расширение Уитни t ь-» (at,0t)
возмущенного вектора частот является диофантовым. Но это расширение
С°°-близко к невозмущенному отображению частот t ь-» (а^,/?^). Поэтому
Доказательство «теоремы Арнольда»
267
Рис. 1. Коммутативная диаграмма гамильтонианов, обладающих возмущенным то¬
ром
если последнее отображение обладает каким-то открытым топологическим
свойством, из-за которого множество значений t, прообраз DH(p,qf,q"),
имеет строго положительную меру, то это свойство сохранится и при де¬
формации t (at, (Зг).
Доказательство. По теореме 38, существует росток отображения
ё : (С5°(р«) х DHi ,т, (Я0, (a0,/?0))) ^{AfxgxWxm, (№, idpj),
(H(a,fi)) ^ (N,G,aJ) = ф-^(Н),
и этот росток принадлежит классу С°° в смысле Уитни. У него есть про¬
должение
© : C?(FS) xWxRq-*J\fxQxWxRq.
Но будет ли теперь уравнение (a, fi) — 0 неявно определять (о;, (3)1 Запи¬
сывая искусственным образом № в виде
Яо = (Яа>/5 + ДЯ°) о idp^ + NQo_Qtpo_0
и используя локальную единственность искаженного сопряжения, видим,
что
в(№, а, 0) = (Nat0 + AN0, idPi ,а° - а, 0°- 0).
268
Ж. ФЕЖОЗ
В частности, при ограничении на подмногообразие уравнения G = idp6,
получим
д(а,(3)
— -idp4.
{G=id}
Теперь по (конечномерной) теореме о неявных функциях существует ло¬
кально единственный росток отображения v: Н ь-» (а,/?), для которого
(а, (3)(Н, у{Н)) = 0. Остается положить
е(я) = ё(я,1/(я)). п
5. Существование инвариантных торов
5.1. Теорема Колмогорова-Арнольда
В случае, когда невозмущенный гамильтониан представляет собой га¬
мильтониан № = №(г), полностью интегрируемый в координатах дей¬
ствие-угол, переменную действия г можно считать параметром. Тогда до¬
статочное условие невырожденности состоит в том, что отображение ча¬
стоты гЕВ^и eWxW — это локальный диффеоморфизм, что
может выполняться только для лагранжевых торов (q = 0). Начнем с этого
примера, а потом обобщим его.
Рассмотрим замкнутый евклидов шар (го) в пространстве Шр ра¬
диуса So > 0 и с центром в точке г о е Мр; разовое пространство Р$0 =
= Тр х ®?о (го); естественные координаты (6, г); стандартную 1-форму Лиу-
вилля Л = г • dQ и стандартную симплектическую форму uo = d6 Л dr. Обо¬
значим ts перенос ts : (0, г) ь-» (0, 5 + г). Пусть № Е Соо(Р<50). Каково бы
НИ было 5 (г0), тор
ТР = ТР X {s}
будет Аг°-инвариантным, а нормальная форма № вдоль TJ (с точностью
до аддитивной константы) имеет вид
№ о ts = a°s-r + 0{r2), a°s = ^-(s).
Пусть к больше или равно 1 и е, <5 > 0, (5 ^ Jo, а на пространстве
С°°(Р$) выбрана норма Ск. Обозначим Ш^6(№) Ск-полусферу, опреде¬
ленную равенством
В$ (№) = {F е CT°°(P4), ||F - ЛГ°||с,(Рл) < с}.
Доказательство «теоремы Арнольда»
269
Напомним, что в параграфе 4.1 обозначалось ДАГ = О (г2) С С°°(Р^) и что
Diff^° (Р5) — это пространство точных симплектических диффеоморфизмов
на Р<5-
Теорема 43 (Колмогоров-Арнольд). Если отображение частоты
г |—> ct® — это локальный диффеоморфизм в точке Го, то существует
целое число k ^ 1, действительные в, 5, 7, т > 0 и два С°°-отображения
Т : х В£(г°) -> х ДАГ,
(F,s)^(as(F),ANs(F))
и
Q : (№) -> Difff (Р25), F ~ 0(F),
для которых
1°. G(№) = idp^ и, каково бы ни было s £ В^(го), а3(№) = а
2°. для любых F £ B^(7V°) и s £ В£(го), у которых as(F) £
£ DHliT(p), погруженный тор б(Тр) F-инвариантен, а нормальная фор¬
ма отображения F вдоль этого тора (с точностью до аддитивной
константы) имеет вид
F о Q о ts = as(F) • г + ANa(F)(0,r);
3°. для любого фиксированного F £ М^5(№) объединение найденных
таким образом инвариантных торов имеет строго положительную меру
Лебега в пространстве Тр х В£(т*о).
Доказательство. 1°. Определение к, 5, у и т. Существует дей¬
ствительное число 0 < 5 < £о/2, такое, что ограничение отображения а0
на Щб (го) будет диффеоморфизмом на своем образе. Существует действи¬
тельное число ц > 0 такое, что образ ограничения ао на ®>s(ro) содержит
шар В27?(о!0(го)). Классическая оценка показывает, что при достаточно ма¬
лом 7 > 0 и достаточно большом т мера Лебега пересечения
®Tf(a°(ro)) П DHJ>T(p)
строго больше нуля.
Обозначим ДА5° = N°ots — a®’r £ ДА/*, 5 £ В^(г0). Каково бы ни бы¬
ло 5 € В^(го), из следствия 39 вытекает, что существует целое число к ^ 1
и действительное бо > 0, такие, что для всех а £ DH1^T(p) локальный
образ отображения
фа : AN х G5 х R? -> C?(PS),
(AN, G, a) ^ (Na + AN) о G + N& = (a • r + AN) о G + a • r
270
Ж. Фежоз
в окрестности точки (AN0, id, 0) содержит Ск-полусферу
В?0*4(ЛГа + Aivs°) = {F е С°°(Р4), ||F -Na- AN°\\cHPs) < е0}.
Из-за относительной компактности во и к можно выбирать независимо от
seB£(r0).
Впрочем, каково бы ни было F G С°°(Р5), существует продолжение F
отображения F класса С°° на Р26, такое, что
\\F-№\\c4P2s)^C\\F-№\\Ck(F5).
Например, это следует из теоремы 21, если применить ее к функции F — №
на Р«5. Мы будем писать просто F вместо F, то есть мы можем считать,
что если гамильтониан F изначально определен на Р«5, то гамильтониан
F о ts, s G В^(го), тоже корректно определен на неподвижном простран¬
стве Р«5. Впрочем, поскольку правая композиция с переносами ts является
непрерывной, существует е\ > 0, такое, что для любых F G В^ $(№)
и 5 G В^(го) гамильтониан переноса F о ts лежит в В^ $(Naо + AN0).
2°. Построение Т и определение е. Учитывая приведенные выше эв¬
ристические рассуждения, теорему 38, следствие 22 и конечномерную тео¬
рему о локальном обращении, видим, что существуют достаточно малое
действительное число е > 0, зависящее от бо, и отображение
Т : Bf4 (№) X ВР(го) -> X д5 х АЛГ,
(F,s) U (as,Gs,ANs) = (as(F),Gs(F), ANS(F))
класса С°°, такие, что для всех
5 G dh<5)7)T = {г G В^(го),а;г G DH7>r(p)}
с точностью до аддитивной константы справедливо равенство
F о ts = (as ’ г + ДNs) о Gs.
В частности, тор Gjx(Tq) будет (F о £s)-инвариантным, а отображение Т :
(F,s) ь-» (as(F), ANS(F)) принадлежит классу С°°.
3°. Построение отображения Q. Каково бы ни было 5 G dh«5)7)T, диф¬
феоморфизм
9s — ts 0 Gs о t—s
Доказательство «теоремы Арнольда»
271
переводит тор Тр в F-инвариантный тор ps(TJ) = ts о G“1(Tq). Хотелось
бы преобразовать набор струй G dh«5)7)T j так, чтобы они превра¬
тились в симплектический диффеоморфизм, одновременно выпрямляющий
все найденные инвариантные торы. Заранее зафиксируем параметр 5. Диф¬
феоморфизм Gs — точный симплектический, поэтому то же самое верно
для gs. Пусть функция Ss такова, что g*A — Л = d(Ss). Обозначим Ss =
= (0 — 9) • R — Ss и (0,Д) = gs(0,r), так что
d(Ss) = (г — R) ■ d9 + (О — 9) - dR.
Пусть Х°° — это сечение пространства бесконечных струй вышеопределен-
ных функций на Тр х dh«5)7)T, определенное по формулам
= э^Жв'г) fo-s) е ТР х dh^>-
Отображение s Ss принадлежит классу С°° в смысле Уитни, поэто¬
му сечение Х°° удовлетворяет условиям теоремы 21. Следовательно, это
струя вдоль Тр х dh<5)7)T функции X, определенной на Тр х В£. Функция
X е-близка к нулевой. Если в достаточно мало, то она порождает точный
симплектический диффеоморфизм (0, г) ь-» (0, R) из Р$ на замыкание Р25,
определяемый равенством
dX = (г - R) ■ d9 + (0 - 9) • dR.
Умножая X на ступенчатую функцию, как при доказательстве леммы 35, не
изменяя ее на ¥$, получаем производящую функцию класса С°° диффео¬
морфизма Q, скажем на Р25 (носитель строго включен в Рга)- Поскольку
струя первого порядка (и даже бесконечная струя) функции Q совпадает со
струей для gs вдоль тора Т£, для всех 5 G dh«5)7)T получаем
F о gs о ts=FoQots=as-r + ANS.
4°. Оценка. Если зафиксировать гамильтониан F G B^(iV°), то отоб¬
ражение 5 ь-» as = as(F) будет е-близко к а0. Итак, учитывая, каким
образом мы изначально выбирали 5 и 77, видим, что даже при уменьше¬
нии б образ элемента s G Bj(ro) и as содержит В^(а°(г0)). Поэтому
множество dh<5)7)r С В^(го) имеет строго положительную меру Лебега из-
за начального выбора т и 7. По теореме Фубини то же самое верно для
ТГР х dh<5)7)T с Р«$; наконец, то же самое верно для объединения
Q(TP х dh<5)75T)
найденных нами инвариантных торов, потому что Q — диффеоморфизм.
272
Ж. Фежоз
5.2. Условие Арнольда-Пьяртли
Арнольд заметил, что когда система проходит через резонанс, то оцен¬
ка ее эволюции, полученная с помощью усреднения, сохраняет свое значе¬
ние в предположении, что справедливо условие невырожденности, намного
более слабое, чем условие, использованное в теореме 43 [4]. Это ослаб¬
ленное условие сводится к предположению о том, что локальный образ
частоты, рассмотренной как функция от одной из переменных действия,
не содержится в векторной гиперплоскости даже локально. Пьяртли пока¬
зал, что в этом случае в пространстве действий, соответствующем диофан-
товым частотам, существует множество, имеющее строго положительную
меру Лебега [58] (теорема 50 ниже). Теорию диофантовых аппроксимаций
на подмногообразиях используют в теории динамических систем, (см. Па-
расюк [52, 53], Бахтин [5, 6] и Рюссманн [60, 61]).
Следующая лемма помогает понять смысл даваемых ниже определе¬
ний левой кривой и левого отображения.
Лемма 44. Пусть I — непустой открытый интервал на множестве
R, a v : I —> Жр — параметрическая кривая класса Cv~l. Если образ v
лежит в векторной гиперплоскости, то функция v A z/ А ... A обра¬
щается в нуль на L Наоборот, если функция zMz/A.. .А^р~г^ обращается
в нуль на I, то существует открытое множество J С I, такое, что образ
v\j содержится в векторной гиперплоскости.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Докажем справед¬
ливость второго. Пусть j Е (0, ...,р — 1} — наименьшее целое число,
для которого существует открытое множество 1\ из /, такое, что функция
v A z/ А ... А обращается в нуль на 1\. Если j = 0, то можно взять
J = 1\ и утверждение доказано. В противном случае существует точка
t\ Е /ь в которой v(t\) A v'(ti) А ... f\v^~l\t\) / 0 и, в силу непрерывно¬
сти, существует открытая окрестность J точки t\ на Ji, в которой функция
v A v' А ... A z/-7-1) не обращается в нуль. Тогда существуют непрерывные
на J функции ао,..., aj_i, такие, что
= CLqV + . . . + CLj-на J.
Итак, v удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению j-ro по¬
рядка на J. Пусть v — это вектор, ортогональный пространству, порожден¬
ному векторами гДО),..., (0). Функция t и и - v(t) удовлетворяет
тому же самому дифференциальному уравнению, что и функция v, к тому
же с начальными условиями: v • v(0) = ... = v • (0) = 0. Поэтому она
тождественно равна нулю на J и лемма доказана. □
Доказательство «теоремы Арнольда»
273
Определение 45. Пусть v : 1 н-» Жр — кривая класса Cp_1, опре¬
деленная на компактном множестве I из R ненулевой длины. Кривая z/
называется левой в точке t С /, если
Кривая называется левой, если она является левой в любой точке множе¬
ства I.
(Нам следовало бы называть кривую v сильно левой, если ее локальный
образ ни в одной своей части не содержится в аффинной гиперплоскости;
в этом случае Пьяртли [58] говорит essentially nonplanar (существенно не
плоская), а Эрман [25] — не плоская). Эрман [25] называет Н не плоским
(Н однородно) вместо (слабо) левого. Другие авторы говорят, что v обла¬
дает тотальным кручением, но в контексте гамильтоновой динамики такая
терминология кажется нам двусмысленной.)
Обозначим Av : I —» Мр(Ж) функцию со значениями на множестве
квадратных матриц, определенную равенством
где ||.||, стоящая в правой части, обозначает евклидову норму на W\ Кри¬
вая v является левой на I тогда и только тогда, когда DetA^t) Ф 0. По¬
скольку I — компакт, в этом случае существуют два действительных числа
0 < а*фр ^ 6, для которых
Определение 46. Кривая и, удовлетворяющая условиям (24), называ¬
ется (а, Ь)-левой.
ПРИМЕР 47. Кривая, заданная с помощью одночленов
v(t) A v'(t) А ... A ^ (t) Ф 0.
и пусть
(23)
maxte/ \\Av{t) J|| < ~У=,
CLy/p
(24)
maxt€/ \\Av{t)\\ ^ b.
v : t e [o, l] и-> (l, t,... ,tp ’) e lp,
274
Ж. ФЕЖОЗ
является (1 /у/p, (р — 1)!)-левой. Действительно, если условиться, что при
п £ Ъ~ 1 /гг! = 0, то
Пример 48 (JI. Кьеркья). Полностью интегрируемый гамильтониан,
изохронически и изоэнергетически вырожден; но его отображение часто¬
ты — это левая функция от Г\ на (п, 0,0,0), Т\ ф 0.
Лемма 49. Если кривая v = (а,Д) : / > Мр х Шя, t i—> (а(£),/?(£))
является (а, Ь)-левой в точке to £ I, то для любых действительных чисел
б, 5 е]0,1] кривая ue^s : t (о'(^о+^), б/?(^о+^)) будет (е5р+я~га, 6) -левой
в 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение следует из того, что AV( s = D'sx
xAv х Д., где De и D'6 — матрицы растяжения
ло. Существует константа СТф такая, что для (а, Ъ)-левой кривой v £
£ С°°(/,МР) и достаточно малого 7 > 0 справедливо неравенство
где |. | обозначает меру Лебега для измеримого множества. В частности,
v(t) £ DHT(p) dt-почти всюду.
Мы приведем доказательство, которое основано на рассуждениях
Пьяртли [58], адаптированных к однородному случаю. Оно состоит из
утверждений 51, 52, 53, 54, 55. Эрман не использовал этой адаптации и при-
определенный на Т4 х R4 равенством
Н= г2 +Г1Г3 +г4,
□
Теорема 50 (Пьяртли). Пусть г > р2 — 1 — действительное чис-
менял оценку Пьяртли неявно, в проективном пространстве МРР г. Кроме
Доказательство «теоремы Арнольда»
275
того, следствие 55 понадобится нам, чтобы сделать одно уточнение, состав¬
ляющее следствие 56.
Пусть v Е §р_1 С Шр. Обозначим через vv функцию
vv : I —> R, t v • = ^izyi(^) + ... + vpVp(t).
Лемма 51 (Маргулис). Для всех t Е I функция vv удовлетворяет
неравенствам
а< max Wij\t)\ < b.
Доказательство леммы. В нашем случае
max \vij)(t)\ ^ ||Av{t) • и|| ^ ||АДг)|| < Ь
и
V^n ™х Wij){t)| > ||4„(t) • v|| > -- } > vV
□
Эту оценку использовать сложно, потому что a priori значение j, до¬
ставляющее максимум, зависит от значения Ь.
Лемма 52. Если J — интервал, входящий в I, и длина его не превосхо¬
дит а/(26), то существует целое число j Е {0,... — 1}, такое, что для
всех t Е J справедливо \vv\t)\ ^ а/2.
Доказательство леммы. Если для всех j е {0,... ,р—2} и для всех
t £ J справедливо \vv\t)\ < а, то по лемме 51 для всех t Е J получаем
|*4p-1^(£)| ^ а ^ а/2, то есть j = р — 1 удовлетворяет требованиям леммы.
Иначе существуют j Е {0,... ,р — 2} и £о С J, такие, что |^j)(io)| > а;
тогда, по лемме 51, для всех t Е J
t
Wv\t)\ > l^^o)! - J\v{J+1)(T)\dT n
to
Лемма 53. Если J — компактное подмножество из I и длина его мень¬
ше, чем а/(2Ь), и если j — это целое число, о котором шла речь в лемме 52,
276
Ж. ФЕЖОЗ
то для всех к Е {0,..., j} существует компактное подмножество Jk из J,
такое, что
|Jfc| = 3-fe|J| и |+"+)1 ^3-fc(fc+3)/2||J|fc (Vie Л).
Доказательство леммы. При к = 0 утверждение выполняется.
Предположим, что оно справедливо вплоть до некоторого к — 1 Е {0,..., j —
— 1}. Обозначим Cfc-i = 3~(/с_1)(/с+2)/2^| J\k~l и Jk-i = [а,а+ 35]. Пусть
1\ = [а, а + 5], J2 = [а + 5, а + 25] и /3 = [а + 25, а + 35]. Если для всех
t Е 1\ справедливо \vv~k\ ^ с/c-i|Jk-\|/9, то можно положить Jk = Ji
и Ck = Cfc-i I J/c_i 1/9. Иначе существует £1 E I\, для которого
|+-+i)| <cfc_i|Jfc-l|/9;
тогда для всех £3 E /3
l+'-'+a)! ^ -|+_fe)(ii)| + / |+_fc+1)(i)|<ii >
*1
112
^ — gCk— 1 \Jk— 11 + ^\Jk—l\ck — l = gCk— 1 |*7fe— 11 ^
^ cfc = icfe-xIJfe-il = 3-fe(fe+3)/2||J|fe.
Итак, нам подходит J/~ = /3. В результате лемма доказана по индукции. □
Следствие 54. Если J — компактное подмножество из I, и его длина
меньше, чем а/(26), то для всех достаточно малых е > 0 справедливо
неравенство
ЖЫ+Ье, е])| < min (рЗ^2 (тт)^ 1^-
Доказательство следствия. Пусть j — целое число, о котором шла
речь в лемме 52. Если j — 0, то для всех t Е J выполняется \uv(t)\ ^ а/2.
Поэтому при е < а/2 прообраз отрезка [—е, е] относительно vv\j пуст.
Иначе по лемме 52 и теореме Ролля у отображения vv\j будет более чем j
нулей. Поскольку J компактно, для всех достаточно малых е существует
целое число k < j и отрезки Д, ..., /&, такие, что
*+1 j ([ +1) — -^l и... U Ik-
Доказательство «теоремы Арнольда»
277
Применяя лемму 53 к подмножеству Д (I Е {1, ..., /с}), видим, что, в част¬
ности, существует компактное подмножество Jj~\ = [а, /3] из Д, у которого
/3 — а — 3| и
^ 3-(j-1)0+2)/2 ^ р-1,
Тогда
2е ^ \v*
р
■„(/?) - щ(а)\ = J \i/v{t)\dt 2 3“(j-1)0+4)/2||/;P,
поэтому
|/,| ^ (f y/J < з^+2 (^)
Отсюда следует требуемое неравенство.
Следствие 55. Для всех достаточно малых е > О
1 /з
([-£, £])< (^И + ЛрЗ**2^)
1 /р
□
Доказательство следствия. Разделим множество I на [2Ь/а\1\\ +
+ 1 компактных множеств J одной и той же длины, меньшей, чем а/(26).
Теперь достаточно применить следствие 54 к функции vv на каждом из этих
подмножеств J. □
Завершение доказательства теоремы 50. По определению (12)
имеем
DH7)T(p) = I а Е Мр; Vfe Е V \ {0} \к • а\ ^
7
следовательно,
{t е 7; v{t) <£ DH7iT(p)} С (J а/с,
ке zp\o
а/с = < t Е /;
!/(*)
<
|т+1
278
Ж. Фежоз
Однако, применяя следствие 55 при £ = 711^11 т видим, что при доста¬
точно малом 7
Оценка, полученная в следствии 55 и, соответственно, в теореме 50,
обладает тем неудобством, что она становится хуже, когда размер |/| об¬
ласти определения отображения частоты стремится к нулю. Впрочем, этот
недостаток можно обойти, если ограничиться окрестностью диофантовой
частоты. Следующая оценка улучшает неравенство из теоремы 50 в окрест¬
ности диофантова вектора.
Следствие 56. К предположениям теоремы 50 добавим еще одно,
о том, что для to С Int/ функция и {to) С DH70jT0(p). Тогда для любо¬
го целого числа п существуют два действительных числа 0 < 7 ^ 7о/2
и т ^ То, таких, что при е, стремящемся к 0+,
1 /р
Поэтому
где константа
СТ:Р = 2р41/рЗр+2 Н*1Г(т+1)р
kezp\o
конечна при условии, что (т + 1 )/р> Р, то есть т > р2 — 1.
□
\{t G [to - е, to + е], v{t) $ DH7jT(p)}| = 0(еп).
Доказательство. Для всех k g Т? \ {0} обозначим
так что в итоге
{t € [t0 - £, t0 + е], v{t) ф DH7,r(p)} = |J afc.
feezp\{0}
Доказательство «теоремы Арнольда»
279
Пусть сначала к Е 1F \ {0} таково, что —- ^ е. Поскольку кривая v
l|fc||T0+1 "
(а, 6)-левая, для всех t Е I получаем
1И«)Н < -±=Ш < \
Теперь для всех t Е [£о — + с] справедливо \v{t) — v(to)\ ^ be и
то мы получим £ ^ а&. Итак, чтобы а/; не было пусто, необходимо, чтобы
мультииндекс к удовлетворял неравенству
Однако, каково бы ни было к Е Ър \ {0}, следствие 55 дает нам оценку на
|а&| в виде
где CpjiCL,b — это действительное число, не зависящее от 7, т и к. (Заметим,
что в пространстве параметров мы теряем множитель ер~1 по сравнению
с оценкой в пространстве частот, потому что оценка из следствия 55 будет
хуже, если размер промежутка \1\ достаточно мал. Это ухудшение оценки
не помешает нашим выводам, потому что ее поглотит более большое т.)
Однако для любого целого К ^ 1 мощность множества
допускает (грубую) оценку сверху величиной С'рКр, где Ср — действитель¬
ное число, зависящее только от размерности. Поэтому существует действи¬
тельное С" = Cpjta,bC'p, не зависящее ни от е, ни от т, для которого
|к ■ v{t)\ > Iк • i/(io)| - |к ■ {v{t) - i/(*o))| ^
если же
(25)
{fceZp\{0}, К ^ ||/с|| < К + 1}
IJ Ак 71/р Y, /<'(-г+р2-1)/р.
fee z»\{o} K>(7/e)1/<T 0+1)
откуда и следует наше утверждение.
□
280
Ж. ФЕЖОЗ
Теперь рассмотрим отображение v : В —» Шя класса Ср \ где В обо¬
значает замкнутый шар из Шг.
Определение 57. Отображение v называется левым (соответственно,
(а, Ъ)-левым) в точке t £ В, если существует росток вложения с : (/, s) —»
—> (В, t), где / обозначает промежуток из 1R, такой, что кривая и ос — левая
(соответственно, (а, 6)-левая) в точке s. Отображение называется левым
(соответственно, (а, Ь)-левым), если это свойство выполняется в каждой
точке t £ В.
(Пьяртли [58] вводил понятие невырожденного параметрического под¬
многообразия, которое служит частным случаем левого отображения.)
Теорема 58 (Пьяртли). Пусть г > р2 — 1. Существует действитель¬
ное число С — СТ p r -Q, такое, что для любого (а, Ъ)-левого отображения
и: В С Мг —> Мр и для достаточно малого действительного числа 7 > 0
справедливо неравенство
|{t € В, u(t) $ DH7,T(p)}| < С (J + l) (J) ^ •
В частности, v(t) £ DHr(p) dt-почти везде.
Доказательство. Пусть t с В. Пусть I обозначает достаточно ма¬
лую замкнутую связную окрестность точки 0, а с : I —» В, s 1—> c(s) —
вложение, проходящее через t при 5 = 0, такое, что и ос — левое. По теоре¬
ме о вложении, существует локальный диффеоморфизм ф : (В, t) —» (5, £),
для которого кривая ф о с имеет вид
Ct : 5 h-> (ti + 5, *2, • • ■ , *г)-
Поскольку отображение i/o с — (а, &)-левое, существует окрестность J точ¬
ки 0 в множестве / и окрестность V точки t в множестве В, такие, что для
всех t £ V кривая
V о ср I J —> l'(F), 5 Р(£х + S, ^2? • • • ?
где v — v о ф~1 и с^: s и (£х + 5, £2, • • •, ^г)> будет (а/2, 26)-левой на J.
По теореме 50 и теореме Пьяртли, при достаточно малом 7 существует
действительное число С > 0, такое, что
\{s G J, г? о ад * dh7>t(p)}| < с +1) (2)1/Р
Доказательство «теоремы Арнольда»
281
Итак, при всех t Е V одномерную меру Лебега множества
{£ = (t\ + 5, ^2, • • •, £r) Е V, v(t ) Е DH7iT(p)}
можно ограничить сверху одним и тем же числом. По теореме Фибини,
р-мерная мера Лебега множества
{Те V, ЦТ) е DH7,r(p)}
удовлетворяет аналогичной оценке, которая остается в силе при замене V
на и = доф. Наконец, выбирая конечное подпокрытие множества В откры¬
тыми множествами вида ), получаем желаемую оценку. □
5.3. Теорема об изотропных инвариантных торах
В этом разделе мы обобщим теорему 43, ослабив, с одной сторо¬
ны, необходимое условие невырожденности отображения частоты, с другой
стороны, находя изотропные инвариантные торы, которые не обязательно
будут лагранжевыми.
Рассмотрим фазовое пространство
Р*, = Тр х 0)
(где В^2<?(го, 0) обозначает замкнутый евклидов шар из Шр х Ш2д радиуса
50 с центром в точке (го, 0)), естественные координаты (0, г, z), стандарт¬
ную 1-форму Лиувилля А = г dr + ydx, стандартную симплектическую
форму to = d0 A dr + l/(2i)dz Adz и гамильтониан класса С°° в виде
F° = nr) + ±Q0„.z2 + O(z3-, в, г),
где (см. параграф 4.1)
-22 = nJ2^(r)(x] -у2) + 7Г Pj(r)(x2, + Vj)>
j = 1 j=q' +1
a 0(z3; в, г) обозначает члены третьего или более высокого порядка по z,
возможно, зависящие от 6 и г. Обозначим через ts перенос, определенный
на пространстве Р«50 равенством ts(6, г, z) = (0, s + г, г). Для любого 5 Е
е ®50(го) тор
Тр = Тр х {s} х {z = 0}
282
Ж. Фежоз
будет F°-HHBapHaHTHbiM, а нормальная форма F° вдоль (с точностью до
аддитивной константы) имеет вид
F° о t3 = а° ■ г + ^Q0o ■ z2 (mod AM), а° = ^(s);
в частности, вектор касательных частот и нормалей для равен (aj, (3°).
Напомним, что, как и в параграфе 4.1, ДЛ/* = 0(r2. rz. 3), а Diffд°(Р^) —
это группа точных симплектических диффеоморфизмов пространства Р<5П.
Для пары £, 5 > 0, где 5 < 5о, обозначим В^ 5(F0) С^-полусферу с центром
F° |р5 и радиусом е в С°°(Рд').
Теорема 59 (Рюссманн). Если отображение частот г н-> (а£, /3°)
является левым в точке tq, то существует целое число k ^ 1, действи¬
тельные £, 5, 7, т > 0 и два отображения класса С°°
&■. b£j(F°) X Bf(ro) -^ГхГх АЛ,
(F, з) -> (as(F), 0S(F), ANS(F))
У: B5(F0) ^ Diff~(P2i), Fn^),
такие, что
1° £f(F°) = idp5 и для любых s £ В^го) справедливо равенство
(as(F°), 0a(F°)) = (aj, #);
2° каковы бы ни были F £ B^^F0) и s £ В^(го), для которых
(as(F), (3S(F)) £ DH7)T(p, g), погруженный mop ^(ТГ^) является F-инва¬
риантным, а нормальная форма отображения F вдоль этого тора (с точ¬
ностью до аддитивной константы) имеет вид
F о у о ts = as(F) • г + • *2 + AN,{F)(0, г, z);
(—i Ar
3° каково бы ни было F £ Be<5(F°), мера 2р-мерной поверхности
объединения инвариантных торов ^(Т^) С ^(Тр х В^(го) х {0}), где
s £ B^(ro) w (q's(F), (3s(F)) £ DH7jT(p, <?), строго больше нуля.
Наконец, существует действительное число С > 0 и целое п\ ^ 0,
такие, что для (а, Ъ)-левого в точке г о отображения частот г ь-> (а°, /3°)
можно выбрать е — C(a/b)ni.
Доказательство.
1° Поиск к, 6, 7 w т. Существуют 5 < (5о/2 и а, 6 > 0, такие, что
отображение г (а°, /?£) будет (2а, 6/2)-левым на В^5(го). Пусть г —
Доказательство «теоремы Арнольда»
283
действительное число, т > (р + q)2 — 1. По теореме 58 и включению (13),
существует действительное число С > 0, такое, что для любой (а, Ь)-левой
на В^(го) кривой v мера множества
{г € 1£(г0), у {г) € DH7>r(p, q', q")}, 7 = C(a/b)p+1
строго больше нуля (показатель степени можно улучшить). Даже если
уменьшить С, из следствия 39 вытекает, что существуют к, по, С\ > О,
при которых для любого вектора (а, (3) £ DH7)Г(р, <?', д") локальный об¬
раз отображения Фа,/з содержит С^-полусферу радиуса С\(а/Ь)п°. Как и
при доказательстве теоремы 43, видно, что существует е\ > 0, такое, что
для любых F £ <5(^0) и 5 £ гамильтониан F о ts содержится
в локальном образе Фос°,(3° в точке (F° о ts, id, 0, 0).
2° Построение & и У и определение е. Рассуждая так же, как при
доказательстве теоремы 43, видим, что существует действительное число
£>0и отображение
W-. bS(7V°) х B£(ro) -> Rp х R? х ^ х AjY,
(F, s) (a„ Gs, ANS) = (aa(F), &(F), GS(F), ANS(F))
класса C°°, такое, что для всех
S £ dh«5)7)T = {г £ ©^(го), (сяг, /Зг) £ DH7,r(p, q)},
с точностью до аддитивной константы, справедливо равенство
Fots= (as • г + • г2 + Д./Vs) о Gs.
В частности, тор будет (F о £5)-инвариантным, а отображение
: (F, 5) (as(F), (3S(F), ANS(F)) — класса С°°. Построение симплек-
тического диффеоморфизма У проводится так же, как при доказательстве
теоремы 43.
3° Оценка. Так же, как при доказательстве теоремы 43, множество
dh5)7jT С В^го) имеет строго положительную меру Лебега, что обеспе¬
чивается начальным выбором наших констант. По теореме Фубини, то же
самое верно для Тр х dhj)7)T С Тр х 1J; более того, поскольку У — это
диффеоморфизм, 2р-мерная мера объединения
^(Тр х dh5)7,r х {0})
инвариантных торов, найденных в погруженном многообразии &(ТР xl^x
х{0}), строго больше нуля. □
284
Ж. Фежоз
5.4. Теорема Эрмана об устойчивости
В этом разделе мы с помощью теоремы 59 докажем теорему, которой
будем пользоваться при изучении системы планет.
В том же самом фазовом пространстве Р<50 рассмотрим гамильтониан
класса С°°, имеющий вид
Не = Н°(г) + еН\(г, г) + еНЦв, г, г), (26)
где Л1 и Н2 — два гамильтониана класса С°°, непрерывно зависящие от
параметра е ^ 0 и такие, что
Hi = h°(r) + !<3/З»(г) • 22 + 0(z3; г, е),
< \Qp°(T) • 22 =n'£2/3°(r)(x2j +у2) + 0(z3; г, е),
j = 1 ' '
j Н2е{в, г, z)dQ = 0 (V(r, z) € 1?0+29(г0, 0)).
k Т?>х{г}х{2:}
Относительно теоремы 59 мы будем предполагать, что торы — эллип¬
тические (qf = 0). (Усредненный гамильтониан системы планет обладает
гиперболическими торами [18, 29], но мы не будем их использовать.)
Для всех (го) и w €]0, 5q[q обозначим
= ТР х {0} * {Z € М2 = • • •, ы2 = wq},
а через ts,w — отображение
ts,w: Рйо \ (Тр X Bpo(ro) X {0}) - Р2Ло \ (Тр х Врц(г0) х {0}),
(в, г, z) 1 ► {0, s + г, z1),
где
z' = (z[, ..., Zq), z'j = y/\zj\2+Wj ехр(г Argz,).
Для любой точки (го) изотропный тор TJ инвариантен относи¬
тельно гамильтониана Н° + еН^, нормальная форма которого вдоль этого
тора (с точностью до аддитивной константы) имеет вид
(Н° + eHl) о ts<о = ^а° + e^r(s)^ ■ г + ^Qp., ■ z2 (mod А^У),
Доказательство «теоремы Арнольда»
285
г) М°
где обозначено а° — ^ (s). Сохраняя суть эллиптической сингулярности
на каждой симплектической плоскости (х;, yj) (то есть принимая Wj > 0),
мы можем найти лагранжевы инвариантные торы; их нормальную форму
мы запишем при доказательстве приводимой ниже теоремы.
Теорема 60 (Эрман). Если отображение частот г (а°, (3°) явля¬
ется левым в точке го, то существуют действительные числа Со, 7, т > 0
и два отображения класса С00
]0, с0] х В£(г0)х]1, 2[q ->RP xRq х AjV ,
(е, s, w) (а, /3, AN)
и
У: ]0, еоН Diff$°(P4), е ^ #е,
такие, что
1° а будет е-близко к а°, (3 — к 0, а У — к тождественному отобра¬
жению;
2° для любого набора (с, 5, w) £ ]0, Со] х ©£(го)х]1, 2[я, у которого
(а, (3) £ DH7j$(p, q), погруженный тор ^£(ТР^) будет Н^-инвариант¬
ным, а нормальная форма Н£ вдоль этого тора имеет вид
Heo<g£o tSj£W = а • г + тг(3 • |z|2 + AN
(где (3 • |z|2 = (Зг\гг |2 + ... + f3q\zq\2);
3° каково бы ни было е £ ]0, Со], мера Лебега объединения инвариант¬
ных торов в Р<5, полученных при изменении s и w, строго больше нуля.
Во время доказательства мы увидим, что в условиях этой теоремы для
любых I £ {0, ..., q} и подмножества J = {j\
содержащего q — I элементов, поток гамильтониана Н£ обладает множе¬
ством инвариантных торов, диффеоморфных тору Тр+г и гомотопных про¬
изведению Тр х {г = 0} х {zj1 — ... — Zjq_t =0}, для которых существуют
нормальные формы, аналогичные формам лагранжевых торов, описанных
в теореме.
Кроме того, доказывая теорему, мы увидим, что сосредоточивать поиск
лагранжевых торов между расстояниями с и 2с эллиптической сингулярно¬
сти гамильтониана Н£ — не самый лучший вариант.
Доказательство. Наша цель — использовать теорему 59, в которой
роль р, q' и q будут играть размерности р + <?, 0 и 0 соответственно.
286
Ж. Фежоз
1° Исключение углов скорости до N\-го порядка на А\. Пусть 7 > О
и т > (р + q)2 — 1. Пусть L = L^1 — симплектический диффеоморфизм
(L означает «Линштедта»), ^-близкий к тождественному, который исключа¬
ет углы скорости в для Н£ до достаточно большого порядка N\ на транс¬
версально канторовом множестве
М = Ai(-y, т) = {(0, г, z), а0(г) £ DH7,r(p)};
существует гамильтониан R \ = R jV.‘, у которого струя бесконечного поряд-
ка обращается в нуль на множестве причем
Н£о L = H°(r) + e{Hl (г, z) + 0(е; г, z)) + eRx + 0{sN1; в, г, z).
2° Приведение к нормальной форме Биркгофа порядка N2 на А2С. А\.
Пусть В = В— симплектический диффеоморфизм, приведенный к нор¬
мальной форме Биркгофа, гамильтониана Не вдоль торов Тр х {г} х {0},
причем
Г£А2 = А2(7, т) = {(0, г, Z), (а°(г), /3°(г)) £ DH7,r(p) х DH7,T(g)}
(если 7 достаточно мало, то, в силу (13) и теоремы 50, мера А2 строго
больше нуля); существуют гамильтониан R2 = Д^.,л/2, у которого струя
бесконечно большого порядка обращается в нуль на А2, и многочлен Qr^e
от q переменных со значениями ^ 2, степени А^2 - 1 и зависящий от г и £,
такие, что
Н£ О L о В = Н°(г) + еЩ + eR2 + 0(eNl; в, г, z),
причем
Щ = h°(r) + 7ГP°(r)\zj\2 + Q£tr(n\z\2) + 0(z2N2; г, е),
j'=1
где обозначено 7r|z|2 = |2, ..., 7r|zg|2).
3° Переход к симплектическим полярным координатам. Пусть r° € А2,
так что струя бесконечного порядка гамильтониана R2 вдоль произведения
Тр х {г°} х {0} равна нулю. Пусть также р° € (М^)9 — точка, которую
еще предстоит выбрать. Пусть, наконец, Р = РгоуРо — симплектическое
отображение
Р: ГхГхГх J] ]-р°, +оо[ ^ Тр х Мр х Ся,
1
(в, С, Г, р) (в, Г° + Г, Z),
Доказательство «теоремы Арнольда»
287
определенное по формуле
P°i+Pj
zi = у —7г— ехр(-г2тгС,-) (j = l,
Если ограничить его на достаточно малую окрестность множества Трх
хТя х {0} х {0}, то мы получим гамильтониан класса С°°
HeoLoBoP = H°(t° + г) + еЩ о p + £R2oP + 0{eNl; 9, г, z),
где
Я1 о Р = h°(r° + г) + /3°(г° + г) ■ (р° + р) + QeAP° + Р) + 0(\\p°\\N'; г, е).
(Чтобы найти (р + /)-мерные торы, надо остаться в декартовой системе
координат на плоскостях координат Zj, j € {ji, ..., jq-i}.)
4° Первая локализация, в области пространства действий, на кото¬
ром отображение частот является равномерно левым. Члены
H°(r° + г) + e{h°(r° + г) + (3°{г° + г) • (р° + р) + Q£,r{p° + р))
образуют полностью интегрируемый гамильтониан, который задает на торе
=ТрхГх {г} х {р}
квазипериодическую динамику частоты
VI(г, р) = (a°(r° + г) + 0(e), е{(3°(г° + г) + 0(e) + 0{р° + р))).
По нашему предположению, существуют два строго положительных дей¬
ствительных числа а и 6, для которых отображение г (а°(г), (3°{г))
является (2а, 6/2)-левым в точке го. Поэтому, по лемме 49, при достаточно
малом 7 и при г°, достаточно близком к го, существует окрестность V =
= V! х V2 точки (0, 0) в пространстве Rp х такая, что для всех
(г, р) € V отображение г 1—> 17 (г, р) будет (еа, 6)-левым при г = г.
5° Вторая локализация в шаре с центром в точке р° и радиусом 8 =
= ||р°Ц/2- Мы хотим ограничиться рассмотрением шара радиуса 8 в про¬
странстве Rq. Гамильтониан Н£ о L о В о Р динамически сопряжен с про¬
образом композиции Н£ о L о В о Р/8 относительно (равномерно симплек-
тической) гомотетии
D = DS: Тр xTq xRp х (Rt)q -+TP xTq xRp x (R+ )q,
(0, C, r, p) ^ (0, C, 6r, 8p),
288
Ж. Фежоз
то есть с гамильтонианом
1 тто(го I | §_ ZT1! I D I n(X~lrNI-
Fe,s = j:H°(r° + 5r) + I FIs + i?3 + 0(5 £ , 0, r, z),
где
^,5 = h%r0+5r)+p0{r0+5r)ip0+5p)+Q£,ro+5r(p°+8p)+0(8N>-r, z, e, 6)
и
i?3 = ^zR2 о P о D.
0
6° Применение теоремы Рюссманна. Вектор частоты тора с ин¬
тегрируемой частью
f°t5 = ±H°(r°+6r)+^(h°(r°+6r)+(3°(r0+5ry(p°+5p)+Q£,r,,+Sr(p°+6p))
отображения Fe^ равен
^2(г, р) = (а°(г° + 5г) + 0(е, £5, 52), £(/?°(г° + 5г) + 0(£, 52))).
(Для торов размерности р + I вектор частоты инвариантного тора
Тр х {г} х j П {*j=0}Jn( П {Pj=p°} V
\j=jl, - -Jq-l ) \ЗФЗ\ > ••• yjq-l J
(p + j)-n компонента вектора V2 при j G {ji, ..., jq-i} будет
e(/3°(r° + 8r) + 0(e)).)
По лемме 49, отображение частоты г i—» /^2(г, р) является (ae8vJtq~l, Ь)-ле-
вым по (г, р) при достаточно малых гиб. Например, положим
S = £ и 7 = (e5V+q~ly+q+\
где показатели степени выбраны так, чтобы оценка по теореме 58, для раз¬
мерности p+q, давала строго положительную меру у торов. Пусть п\ > 0 —
действительное число из теоремы 59. Пусть N\ и N2 таковы, что
(Г1^1 < (e5p+q-l)ni и e5N2~1 < (еР^-1)721
Доказательство «теоремы Арнольда»
289
при с, стремящемся к 0. Поскольку струя бесконечного порядка гамильто¬
ниана Rs равна нулю вдоль торов ^, ограничение R$ на малую окрест¬
ность этого тора экспоненциально мало относительно размеров окрестно¬
сти. В результате утверждение теоремы вытекает из теоремы 59, если при¬
менить ее к интегрируемому гамильтониану /° и к возмущению F£:$ — f°5
с достаточно малыми е = 5. □
При исследовании системы планет нам понадобится следующее до¬
полнительное утверждение. Обратим внимание на то, что смысл параметра
5 не такой, как в предыдущем доказательстве.
Следствие 61. Предположим, что гамильтониан Н£ = Н£^, задан¬
ный по формуле (26), зависит от дополнительного параметра 5 € М. Ес¬
ли отображение частоты (г, д) i—» (a°s, (3°6) является левым в точке
(г0, S0)f то существует действительное число £q > 0, такое, что для
всех £ € ]0; £о[ существует подмножество А С К. строго положительной
меры Лебега, в котором для любого 5 £ А объединение лагранжевых инва¬
риантных торов с гамильтонианом Н£^ в фазовом пространстве имеет
строго положительную меру Лебега.
Доказательство. Рассмотрим шестую часть доказательства теоре¬
мы 60. В новых предположениях полученное отображение частоты а явля¬
ется левым на В^(го) х /, где / обозначает открытый интервал, содержащий
точку 5о- Множество
{(s, 5) € В£(г0) х I, aSts € DH7>t(p + 5)}
имеет строго положительную меру в пространстве В? (г0) х I. Поэтому по
теореме Фубини в множестве I есть часть А строго положительной меры,
такая, что для любого S € А мера Лебега множества
{sel£(r0), as,s € DH7iT(p + <7)}
строго больше нуля. Переход от оценки меры инвариантных торов в про¬
странстве параметров к оценке меры инвариантных торов в фазовом про¬
странстве осуществляется так же, как в теореме 60. □
6. Система планет
6.1. Обозначения и формулировка теоремы Арнольда
Пусть п > 2. Рассмотрим 1 + п материальных точек, движущихся
в пространстве под действием сил всемирного тяготения. Обозначим их
290
Ж. Фежоз
массы через то, ет\, Ш2, ..., етп, где е > 0 — действительный пара¬
метр. Выбрав галилееву систему отсчета, мы можем отождествить физиче¬
ское пространство с евклидовым пространством R3. Координаты вектора
х G R3 будем обозначать х1, х2, х3. Пусть хо, . • •, хп G R3 — это по¬
ложения точек, а уо, еу\, еу2, .. •, еуп G R3 — количества их движения.
Исключая столкновения, отождествляем фазовое пространство с простран¬
ством
{(ж0, ...,хп,уо,...,Уп)& (К3)1+та X (R3)1+n, Vj фк xj Ф хк}.
Снабдим его евклидовой структурой
Е (dxo)2 + (dykof + Е Е К)2 + *W)2
и симплектической структурой
Е Е Е dxJ Л dyi ’
Интегральные кривые уравнений Ньютона (1) — это проекции интеграль¬
ных кривых гамильтонова поля
1 IMI2 , / 1 \\Уз\\2 т0Щ \ 2 TTljTTlk
— £
2 то \ 2 Е—✓ rrij \\х _ дг. II I \\х — хЛ
на пространстве положений, где || • || обозначает евклидову норму.
Обозначим через (Хо, . -., Хп, УЬ, eYi, • • •, £Уп) сиплектические ге¬
лиоцентрические координаты (см. главу II Лекций [54], точнее, § 26), опре¬
деленные по формулам
Хо = #о> Г *0 = 2/о + £2/1 + £2/2 + • • • + £2/п?
и \
Xj=xj-xо (j = l, ...,n) 1^ = % (j = 1, гг).
Эти координаты исправляют диагональное действие из R3 с помощью па-
раллельных переносов на положениях. Выражая гамильтониан в этих коор¬
динатах, получаем
1ЦУо-е(У1 + ... + Уга)||2 |
2 то
ИХ? II momj \ 2 mjmk
1 iitn2mj ihn ll^ll ) 6 WXi~XZ
Доказательство «теоремы Арнольда»
291
Поскольку полное количество движения Yq сохраняется, а уравнения Нью¬
тона инвариантны относительно переноса, мы можем без потери общности
ограничиться подмногообразием, задаваемым уравнением Уо = 0- Обозна¬
чим через etо его симплектическую форму, а через eF — гамильтониан,
возникающие при факторизации подмногообразия Уо — 0 по действию из
R3 относительно переносов. Гамильтоново поле для eF относительно фор¬
мы eoj совпадает с гамильтоновым полем для F относительно со. Кроме
того,
Е dX'MY?
l^j^n1^/с^3
F= ST' (\\Yj\\2 sr- ( TrijTnk Yj-Yk\
гкп\2^ m\) \\ъ-ъ\\ )'
(28)
где массы fij и Mj определяются как функции от mo, ..., тп и е по фор¬
мулам
Щ = ^к + ^Щ И мз=т° + £тз Для j = 1, п.
При е = 0 гамильтониан F вырождается в гамильтониан Кеплера
р _ У' (\\Yi\\2 ИзМз\ /от
тогда как члены первого порядка в F относительно е задают функцию воз¬
мущений
Функция возмущений в свою очередь раскладывается на сумму главного
гамильтониана
^ "л rrij тк
и дополнительного
F _ У' Yj 'Yk
Гсотр - 2^ ТПо ■
l^.j<k^.n
292
Ж. Фежоз
Гамильтониан Гкер — это гамильтониан п стандартных задач Кеплера.
Поэтому он задает, с точностью до орбит столкновений, кеплерово дей¬
ствие тора Тп на фазовом пространстве. В этом разделе, в противополож¬
ность обозначениям предыдущих разделов, мы будем считать, что Тп =
= Жп/2'KrLn (обратим внимание на множитель 27т, который на данном этапе
нужен нам для того, чтобы упростить сравнение с работами по небесной
механике). Обозначим
(Aj, Л j, r)j, pj, qj)j=i} ...,n £ (T1 x]0, +oo[xR xlxlx R)n
координаты Пуанкаре, связанные с эллиптическими элементами по следу¬
ющим формулам (см. рис. 2 и 3):
= h + 9j + Oj i
Aj = 9j \/Mj dj,
, Gj = = HCjII, (31)
Tj =(j+ щ = 'ДТ^/1 - \/l -ф‘(»'+<4
zj ~ Pj + Щ — VG] \Л — cos Lj el6j >
где
- i — комплексное число \/—1 £ C,
- lj — средняя аномалия,
- gj — аргумент перигелия,
- Oj — долгота узла,
- a,j — большая полуось,
- £j — эксцентриситет,
- tj — наклонение,
-A j — средняя долгота,
- Cj — вектор кинетического момента,
- Л j — круговой момент,
- gj + Oj — долгота перигелия.
В частности, в интересующем нас предельном случае, когда £j и tj
стремятся к 0, получаем
Ы = \/^/2£j(1+°(<ф) и М = \JAi/24(l + °(£j) + °(.ф)-
Теорема 62 (Пуанкаре). Координаты Пуанкаре являются аналитиче¬
скими и симплектическими ( из — Y2 d\j Л dAj + d^j Л dr]j + dpj Л dqj I
\ J
Доказательство «теоремы Арнольда»
293
Рис. 2. Эллиптические элементы
в окрестности объединения круговых кеплеровых орбит, прямых и компла¬
нарных, диффеоморфной произведению Tn х М5гг. Кроме того, это коор¬
динаты угловых действий кеплерова гамильтониана, равного
Полное доказательство этой теоремы можно найти в [54, гл. III] или
[13, приложение].
Мы будем обозначать
средние движения. Их выражение следует из третьего закона Кеплера: при
кеплеровом вращении планеты квадрат периода вращения пропорционален
кубу большой полуоси.
Теперь мы можем записать точную формулировку теоремы, давшей
название этой статье.
Теорема 63. Для всех значений масс то, . •., шп > 0 и больших полу¬
осей а\ > ... > ап > 0 существует действительное число Со > 0, такое,
/х?М?
(32)
(33)
294
Ж. Фежоз
что для всех е, удовлетворяющих неравенству 0 < е < £о, поток гамиль¬
тониана F (определенный по формулам (28)) обладает множеством со
строго положительной мерой Лебега, состоящим из (3п — 1 )-мерных ин¬
вариантных торов класса С00, квазипериодических и е-близких в топологии
С0 к кеплеровым торам с полуосями (а\, ..., ап) и нулевыми эксцентриси¬
тетами и относительными наклонениями; более того, когда е стремится
к нулю, плотность инвариантных торов в окрестности этих кеплеровых
торов стремится к единице.
6.2. Вековой гамильтониан и его эллиптическая сингулярность
Нам надо применить теорему 60 при Н° = -Ркер,
Н1 = (Fper) = J -Fper dX
J7l
(где dX обозначает меру Xaapa dXi <g>... <g> dXn) и H2 = Fper — (-Fper)- Следу¬
ющие рассуждения посвящены проверке того, что мы можем ограничиться
условиями теоремы при р = п и q = 2п.
До сих пор мы исключали только столкновения Xj = Xk, j ф к; те¬
перь мы ограничимся открытым множеством, диффеоморфным простран¬
ству Тп х М п, на котором кеплеровы эллипсы не пересекаются (иначе гово¬
ря, мы исключаем множество столкновений, насыщенное кеплеровым дей¬
ствием тора Тп). Тогда усредненный гамильтониан (Fper) корректно опре¬
делен. В результате мы можем предполагать, что с точностью до нумерации
планет их большие полуоси принадлежат открытому множеству
si = {(аь ..., ап) G Мп; 0 < ап < ап_i < ... < аг}. (34)
(Эрман нумеровал планеты в обратном порядке, но мы хотим упростить
обозначения при индукции: если ап —> 0, то мы асимптотически приходим
к задаче (n— 1) тел с большими полуосями а\,..., ап-\.) Первыми интегра¬
лами гамильтонова поля для (Fper) служат, в частности, моменты Аь ..., Ап
(это первая теорема Лапласа об устойчивости). Переходим к фактор-про¬
странству относительно действия Кеплера для тора Тп и вводим гамиль¬
тонову систему, параметризованную набором (Ai, ..., Ап) на простран¬
стве, диффеоморфном М4п (с координатами (£j, r/j, р3, qj)je{i, и со_
стоящем из кеплеровых торов с фиксированными большими полуосями.
Введенный гамильтониан, по-прежнему обозначаемый (Fper), — это вековой
Доказательство «теоремы Арнольда»
295
гамильтониан (первого порядка) системы планет, а пространство, состав¬
ленное из наборов по п эллипсов, называется вековым пространством;
итак, данная система описывает медленное изменение эллипсов Кеплера
под действием возмущений со стороны других планет, с точностью до вто¬
рого порядка по е. В противоположность своему аналогу в задаче о движе¬
нии Луны (см. [35] или [19] для задачи произвольной размерности) данная
система, как известно, не является полностью интегрируемой.
Лемма 64. Каждое слагаемое в дополнительной части функции воз¬
мущений имеет нулевое среднее вдоль кеплеровых торов'.
Поэтому вклад дополнительного гамильтониана в вековую динамику
равен нулю.
Доказательство. Как показывают выражения (29) и (32) кеплерова
гамильтониана, вдоль произвольной кеплеровой траектории имеем
Поскольку функция Xk не зависит от Xj, теорема Фубини завершает дока-
Гамильтониан (-Ррег) = (^princ) — это четная функция вековых коорди¬
нат Пуанкаре (ri, ..., rn, z\, ..., zn). Следовательно, начало системы ве¬
ковых координат служит критической точкой функции {FpeT)', она соответ¬
ствует прямым компланарным круговым движениям. На уровне динамики
получаем следующую важную лемму.
Лемма 65. Кеплеров тор с нулевым эксцентриситетом и наклонением
(г 1 = ... = rn = z\ — ... — zn — 0) — это неподвижная точка вековой
системы (Fpeг).
Мы хотим изучить нормальную форму Биркгофа гамильтониана (-Fper)
в этой точке до первого порядка (квадратичная часть в координатах Пуан-
каре (rjt zj)
Определение коэффициентом Лапласа отличается у разных авторов на
множитель 2 (ср., например, [54, § 248] и [34, с. 200]). Мы выберем норма¬
лизацию Пуанкаре.
J Yj -YkdX — 0 (1 < j < к < п).
dXj _ p3jMj dXj
dt A3 dXj '
j J
зательство.
□
296
Ж. Фежоз
Определение 66. Коэффициентами Лапласа (а) называются ко¬
эффициенты Фурье функции
Лагранж и Лаплас показали, что квадратичную часть гамильтониана
(Fper) можно разложить очень интересным способом, о котором, отчасти,
можно было догадаться из соображений симметрии [54]. Полные вычис¬
ления выглядят длинновато — это одна из причин, по которой Мишелю
Эрману говорили «BLC» (Bonjour Les Calculs)!3 Подробнее о них можно
узнать, например, в [34].
ФОРМУЛА 67. Обозначим т — (mi,,..., mn), а = (ai, ..., an), £ =
= (6, • • •, £n), V = (m, ■ ■ ■, Vn), P = (Pl, ■ ■ •, Pn) и q = (<7i, ..., qn).
В пространстве, которое касается векового в начале координат, существуют
две симметричные билинейные формы <=2^, = с2^(т, а) и <=2^ = <=2^(771, а),
называемые горизонтальной и вертикальной соответственно, которые ана¬
литически зависят от масс и больших полуосей, причем
(-Fper) — Co(m, a) + «2fc • (£2 + rj2) + J3V • (p2 + q2) + 0(4), (35)
а также
c2v • p2 — au)( —— —
2
(36)
и
(37)
СгК-, afc) = ^Ь^/2{ак/a,j).
Jj
3«Здравствуйте, вычисления!» (фр.)
Доказательство «теоремы Арнольда»
297
Мы будем отождествлять билинейные формы <2^, и J3V с их матрицами
в канонических базисах (d£ 1, ..., d£n) и (фь ..., dpn) соответственно.
Зафиксировав массы и полуоси, обозначим pv G SO(п) диагонали-
зирующие преобразования форм «=2^, и «=2*, соответственно:
Ph^h= 52 a3d(j к P*v£v = 52 О-l, CTn, G Е.
Отображение
p■ (£, p, p, ?) ^ (Ph Ph- v, Pv -p, Pv- q)
является симплектическим, причем
(^per) ° P ~ Co + ^
Определение 68. Будем называть отображением частоты много¬
значное отображение
а: а £ л/ ^ {г^, • • •, vn, 0ъ • • •, сгп, Яг, ■ ■ •, ?«} С Е,
где v\, ..., vn обозначают средние кеплеровы движения, G\, ..., ап — соб¬
ственные числа матрицы «=2^, а q , ..., яп — матрицы «=2*,.
Мы хотим показать, что
— для всех значений масс и в односвязной окрестности почти всех
значений больших полуосей существует аналитическое определение отоб¬
ражения частоты, которые мы будем обозначать
a: a i-> {v\, ..., vn, сть ■ • ■, crn, <а, • • •, $п) € К3”,
— это отображение нарушает условия теоремы 60 об устойчивости,
— тем не менее, следствие 61 можно неявно применить к вспомога¬
тельному гамильтониану.
6.3. Разложение в ряд по отношениям больших полуосей
Мы будем существенно использовать разложение векового гамильто¬
ниана по степеням отношений больших полуосей; его аналитичность поз¬
волит нам распространить свойства, доказанные для малых отношений
больших полуосей, на отношения больших полуосей, принимающие боль¬
шие значения.
298
Ж. Фежоз
Здесь также необходимы достаточно долгие вычисления. Но парамет¬
ризуя внешний эллипс по его истинной аномалии Vj, а внутренний эллипс —
по его эксцентрической аномалии ик, мы можем свести задачу к квадратуре
тригонометрических многочленов (приложение С в [17]). Результат содер¬
жится в [33]
\\Xj\\ = a,j( 1 + Ej cost>j)-1(l — £j) (определение Vj),
ll-STfcH = ak( 1 -Ekcosuk) (определение ик),
dXj = (1 + Ej cosVj)-1(l — e2)3^2dvj (второй закон Кеплера),
dXk = (1 — EkCosuk)duk (уравнение Кеплера),
\\Хк\\ cosvk = ak(cosuk - ek) (см. рис. 3),
^ \\Xk\\ sinvk = akyj 1 - e\ smuk (см. рис. 3).
ФОРМУЛА 69. Если отношение ak/dj больших полуосей стремится
к 0, то
' 0„К«)= £ _!^(1 + 1(§)2 + о(!)4),
l^j<k^n \ 47 4 7 /
Доказательство «теоремы Арнольда»
299
7. Проверка условия Арнольда-Пьяртли
7.1. Леммы о собственных значениях
Лемма 70. Пусть 5i, ..., 5п G М, D = Diag(£i, 6п) и A G
G МП(М). Если а — собственное число матрицы D + А, то
mm \a-5j\ < р||
l^J^TL
(iнорма оператора || • || определяется так же, как в (23)).
Доказательство. Пусть а — собственное число матрицы D + А,
причем а ^ 5j для всех j G {1, ..., п}. Матрица D + А — а! необратима,
поэтому
1 < ||(£> - сг 1)~гА\\ < ||(£> - crl)-1]] Р|| = max -—^у-уРН,
|сг — dj\
откуда и вытекает требуемая оценка. □
Если собственные числа матрицы D различны, а диагональные эле¬
менты матрицы А равны нулю, то предыдущую оценку можно улучшить.
Лемма 71. Пусть 5\ < ... < 5п G М, а = min 15* —5^1 7^ 0
1
и А £ МП(М) — симметричная матрица с нулевой главной диагональю
DiagA = (Ли, ..., Апп). Тогда для достаточно малого е собственные
числа < ... < 6;п матрицы D + г А удовлетворяют неравенству
1^-^ Jpil^i + M^ е2.
Доказательство. Раскладывая в ряд по степеням е, видим, что су¬
ществует единственная матрица U G МП(М), для которой
e~eU(D + eA)eeU =D + 0(е2).
Тогда \\U\\ < ||Л||/сг, и мы получаем
e~eU(D + eA)eeU =D + е2Ах + 0(е3),
где А\ — симметричная матрица
А\ = |(U2D + DU2) + AU-UA- U DU.
300
Ж. Фежоз
Поэтому мы можем применить к матрицам D и е2А\ + 0(е3) лемму 70:
при е, стремящемся к нулю,
Wj “ ^ ll^2 М + 0(е3)|| ^ fll^ll2 ^1 + е2(! + 0(е))- □
Следствие 72. Пусть 5i, ..., 5п-\ G R и 5п = 0 таковы, что а =
= min 15j — 8k\ ф 0; D G Mn_i(R) — симметричная матрица с соб-
1
ственными числами 5i, ..., 5n_i, D — симметричная матрица
/
\
D =
D
(0)
V
(0)
0 /
а А£ G Mn(R) — симметричная матрица, последний элемент которой
равен
(Af)nn = Cl + С2е0, ci, С2 е К, 0^/3 <2.
Тогда при е, стремящемся к нулю, у матрицы D + еА£ есть собственное
число
ап(е) = e(ci + Сге^) + 0(е2).
Более того, если D диагональна, то D + еАе сопряжена с диагональной
матрицей посредством матрицы р € SOn (К), удовлетворяющей условию
р = I + О(е).
Доказательство. Пусть р е SOn_i(M) такова, что
lpDp = Diag(5i, .... 5n_i),
а р G SOn(R) определена равенством
р =
(
р
(0)
\ (0)
1
Утверждение следует из леммы 71, примененной к матрице
гр(Б + еАе)р = fp(D + eDiag Ае)р + егр(Ае - Diag Ае)р,
где Diag Ае обозначает диагональную матрицу, у которой элементы, сто¬
ящие на диагонали, совпадают с соответствующими элементами матри¬
цы Ае. □
Доказательство «теоремы Арнольда»
301
7.2. Условие Арнольда-Пьяртли на плоскости
Предложение 73. Билинейная форма J2h (формула (36)) отрицатель¬
но определена.
(Эрман по ошибке формулировал такое же утверждение, хотя в его
определении не было знака «минус», присущего ньютонову потен¬
циалу.)
Для доказательства этого предложения нужны следующие две леммы,
вторая из которых была замечена еще Адамаром.
Лемма 74. Коэффициенты Лапласа удовлетворяют неравенству
+ (а) > bij+1)(a) (Vs € М+ \ N, 0 < а < 1, j е N).
Доказательство. Мы будем доказывать это неравенство с помощью
индукции по 5. Для начала предположим, что 0 < s < 1 и обозначим Sj =
= 5(5 + 1)... (5 +j —1). В [54] или [34] можно найти следующее разложение
в ряд коэффициентов Лапласа:
bU) - 3i gj( 11 s(s + j) 2 8(s + 1) (a + j)(s + j + 1) 4 \
j\ у 1! (j + 1) 2 (j + l)(j + 2) a + -J-
Отсюда получаем
bU) _ bU+1) =
= Ца1 ((г _ ill a] + +±ila2 (i-s+j + 1a)+.\ >0,
j! \Д J + 1 ) l(j + l) V J + 2 ) )
Одновременно у нас есть два рекуррентных соотношения
Ь(3) = (■s+j) (! + q2) b(i) _ 2(i~5+1) a ■(.,•+1)
S+1 s (1 — a2)2 s (1 — a2)2 s ’
bU+2) = C? + *) Л + Л b(j+i) _ 3 + s b(j)
(j-s + 2) Г +a) °s j — s + 2 s ’
которые показывают, что
,(j+1) +j) + (i + i+J+1) ь?-ь“+1)
3+1 3+1 s(l + a)2 (1 + a)2 ’
откуда по индукции получаем требуемое неравенство для всех s £ М+ \ N.
□
302
Ж. Фежоз
Лемма 75. Пусть Q С МП(М) — матрица симметричной билинейной
формы, причем ее коэффициенты (qjk) таковы, что для всех j и всех к ф j
верны неравенства qjj < 0, qjk > 0, а величина Sqj = —qjj — Qji строго
больше нуля (.матрица с сильным преобладанием диагональных элементов).
Тогда связанная с Q билинейная форма отрицательно определена.
Доказательство леммы. Пусть v = (гг, ..., vn) С Rn. Тогда
Q-V®2= 52 QjkVjVk = -^TdqjV2 -^2qjk(vj - vk)2 < 0.
j j<k
□
Доказательство предложения. Рассмотрим матрицу Д =
= Diag {у/К[, ..., \/^n) вместе с матрицей =2/* = 1 Д=2/г А- Обозначим че¬
рез qjk коэффициенты матрицы «2^. Для всех j, к = 1, ..., п получаем
Qjj = ~ 51 mimkp2b3/2(аз/ак)- 52 тктк^Ь{^2{ак/а^),
l^fcCj j<k^n ^3
qjk = mkmk^b^2(ak/aj), если j < к,
4jk = mjmk—-^by,2(aj/aic), если j > к.
2afc
Итак, по леммам 74 и 75 форма =2/* отрицательно определена. (Вместо того
чтобы использовать лемму 75, можно было заметить, что эта квадратичная
форма равна сумме п(п—1)/2 квадратных форм, соответствующих вековым
задачам двух планет.) Покажем, что она, более того, строго отрицательна.
Пусть v с Мп — вектор, для которого =2/* • v = 0. Выберем j С {1, ..., п},
такое, что \vj\ = max \vk\- Заменяя в случае необходимости v на —v, мы
к
можем считать, что Vj ^ 0. У вектора =2^ • v j-я координата равна
0 — Qjjvj + ^2 Чзкук ^ I qjj + ^2
k^j \ k^j
где множитель в скобках, по лемме 74, строго меньше нуля. В результате
v = 0. Отсюда следует, что =2^ знакоопределена (в строгом смысле). По¬
скольку ее диагональные элементы меньше нуля, она строго отрицательно
определена, как и «2^. □
Доказательство «теоремы Арнольда»
303
Если массы то, ..., тп фиксированы, то нелегко доказать, что та
часть множества (см. (34)), на которой матрица формы не имеет
кратных собственных чисел, является связной. Сделать это на комплекс¬
ной плоскости намного легче. Поэтому мы хотим превратить отображение
szi Э а — (ai, ..., ап) i—> а) в комплексное.
(к)
Лемма 76. Коэффициенты Лапласа bs допускают аналитическое
продолжение до мероморфных функций на римановой сфере. Их особыми
точками служат четыре полюса 0, ±1, оо.
Доказательство. Эту лемму можно, например, получить из диф¬
ференциального уравнения, связывающего коэффициенты Лапласа ([54,
§252]):
a2(l-a2)^V + (a-(4s + l)a3)^-(4s2a2 + fc2(l-a2))^fe) = 0. п
dot1 da l—i
Итак, из (36) и (37) следует, что квадратичная форма £}}г продолжается
до голоморфной функции на одно связном открытом множестве
= {(аь • • •, ап) С (С \ {0})n; Mj < к \ак/а^\ < 1 и Re(afc/aj) > 0}
(см. рис. 4).
Im ak/aj
Рис. 4. Действительные и комплексные большие полуоси
Заметим, что, в отличие от других вековых сингулярностей, неподвиж¬
ная точка (г, z) = (0, 0) служит также неподвижной точкой относительно
304
Ж. ФЕЖОЗ
действия группы SO2 жестких вращений наборов из п кеплеровых эллип¬
сов. В частности, бесконечно малый множитель этого действия не будет
собственным вектором для нулевого собственного числа в плоской задаче.
Предложение 77. Для всех п ^ 2 существует плотное открытое
множество полной меры U С srf, на котором у матрицы есть п раз¬
личных собственных чисел, обладающих следующим свойством: на любом
односвязном открытом множестве V С U эти собственные числа мат¬
рицы сSh задают п голоморфных функций о\, ..., ап : V —> С, таких, что
отображение частоты
системы планет на плоскости является левым на V.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по п. При п = 2 фор¬
мулы (31) и (39) показывают, что для а\ = 0(1) и й2 —> 0 справедливо
равенство
Мы не можем сразу применить лемму 70 к множителю, стоящему в скобках.
В то же время, применяя лемму 71 к сумме
видим, что при достаточно малом й2 у матрицы *2^ есть два различных
собственных числа
В частности, дискриминант характеристического многочлена матрицы =2^,
(40)
(41)
как голоморфная функция на .с/'", не может быть константой. Поэтому та
Доказательство «теоремы Арнольда»
305
часть пространства £/с, на которой у =2/* есть хотя бы одно кратное соб¬
ственное число, обладает строго положительной комплексной коразмерно¬
стью. Обозначим srff дополнение к множеству £/с; srff связно — в этом
преимущество перехода к комплексным числам — и в силу (41) содержит
часть вида {(ai, а^) £ М^2, 0 < аг/ai < с}, где 0 < е < 1. В результа¬
те собственные числа матрицы =2/* определяют две голоморфные функции
ai, <72 : < —> С на универсальном накрытии множества ,
Рассмотрим отображение частоты
Э fl I—> (z/1, ^2? &1» ^2) £ 5
где два средних движения определены по формуле (33). Предположим, что
существует открытое множество V из на котором частоты удовлетво¬
ряют линейному соотношению
k\V\ + k2v2 + /с3<71 + к^с2 = 0, /ci, ..., /С4 G м. (42)
Поскольку связно, по принципу аналитического продолжения весь об¬
раз аудовлетворяет равенству (42). Однако по формулам (41) и по
третьему закону Кеплера (формула (33)) видно, что при <22, стремящем¬
ся к нулю, это линейное соотношение становится тривиальным. Теперь по
лемме 44 голоморфная функция
™ д da A д2а А д3а
а Л —— Л —- Л —-
да2 да,2 да\
не обращается в нуль тождественно ни на каком открытом множестве из
£/sc. Поэтому существует плотное открытое множество полной меры U из
сна котором почти всюду локально определенное отображение, пере¬
водящее а £ U непрерывным образом в элемент, задающий отображение
а £ М4, является левым в смысле определения 57.
Для произвольного п > 3 предположим, что наше предложение спра¬
ведливо при п — 1. Рассмотрим п планет, и пусть ап стремится к нулю,
когда ai, ..., an_i = 0(1). По формулам (39), матрица =2/* равна
306
Ж. Фежоз
Из следствия 72 получаем, что у «2^ есть собственное число ап ф 0, ко¬
торое стремится к 0 при ап > 0, а остальные собственные числа равны
cjj = дj + 0(an 2), j = 1, • • •, п — 1, где а\, ..., Эп — собственные числа
матрицы «2^. Рассуждая так же, как при п = 2, видим, что собственные чис¬
ла ах, ..., сгп различны на некотором плотном открытом множестве полной
меры из ^с, откуда делаем вывод о справедливости нашего предложения
при произвольном п. □
7.3. Единственные соотношения в пространстве
Лемма 78. Форма £}v (формула (36)) отрицательно определена.
Доказательство. Это следует из второй формулы в системе (36).
□
Не вызывает удивления следующее утверждение, вытекающее из ин¬
вариантности относительно вращений. (У этой леммы нет аналога на плос¬
кости, потому что бесконечно малый множитель действия группы SO2 на
вековом пространстве обращается в нуль в начале координат.)
Лемма 79. У J£v есть нулевое собственное число, которое мы обо¬
значим qn.
Доказательство. Вектор X = (\/Лъ • • • > у/~^п) лежит в ядре ли¬
нейной формы, связанной с <2^:
'Х = Е -njmMaj, ak) ' (vS) = °'
К
□
Любопытно, что, судя по всему, следующее свойство, при всей его
общности, первым заметил Эрман [1].
Свойство 80 (Эрман). След матрицы 2^ + 2V равен нулю.
Доказательство. Это прямое следствие формул (36). □
Предложение 81. Для всех п > 2 существует открытое плотное
множество полной меры U С зУ, на котором собственные числа мат¬
риц и £!v попарно различны и обладают следующим свойством: для
любого открытого односвязного множества V С U собственные чис¬
ла матриц и определяют 2п голоморфных функций од, ..., ап,
, ..., <;п: V —> С, которые вместе со средними движениями v\, .... vn
Доказательство «теоремы Арнольда»
307
удовлетворяют двум единственным (с точностью до линейных комбина¬
ций) линейным отношениям:
Доказательство. По предложению 77 и леммам 80 и 79, это утвер¬
ждение справедливо для п = 2. Предположим, что оно верно при п — 1, где
п > 3. Как при доказательстве индукционного перехода в предложении 77,
мы можем устремить к нулю большую полуось ап и обозначить £?v матри¬
цу такого же вида, как но порядка п — 1; тогда, используя следствие 72,
получаем желаемый результат. □
Ограничивая вертикальный кинетический момент на подмногообразие,
мы теряем частоту <гп, связанную с инвариантностью по вращению (см. сле¬
дующий параграф). В [3] Арнольд утверждает, что отображение частоты
(<7i, ..., сгп, <гь ..., Cn-i)j рассмотренное как локальная функция на фазо¬
вом пространстве, со значениями в M2n_1, представляет собой подпогру-
жение. Как показывает предыдущее предложение, это неверно.
7.4. Условие Арнольда-Пьяртли в пространстве
Предложение 81 показывает, что образ отображения частот у системы
планет содержится в векторной плоскости С К 71 коразмерности два, что
не позволяет нам использовать теорему 60 непосредственно. Обозначим
бивектор кинетического момента, который за счет выбора стандартной ори¬
ентации физического пространства К отождествляется с вектором С —
= (Сх, Су, Cz) € М3, компоненты которого можно выразить через коорди¬
наты Пуанкаре следующим образом ([54, гл. IV, § 90]):
Чтобы избавиться от вырожденности отображения частоты, в случае трех
тел Арнольд проводит «редукцию угла» по методу Якоби, зафиксировав
(43)
l^j^n
С — Xq Л уо Н- ^ Xj Л yj € Л2М3
l^J^n
<
Cz - у]] (л,- - | (|rj|2 +12,|2)) е к.
(44)
308
Ж. Фежоз
кинетический момент и рассматривая фактор-пространство фазового про¬
странства по вращениям вокруг оси кинетического момента. Не вдаваясь
в детали, заметим, что Эрман, судя по всему, добавлял к гамильтониану F
функцию кинетического момента, следуя остроумной идее Пуанкаре (эта
функция представляет собой линейную комбинацию С% + Су и С22, а ее
гамильтоновы поля бесконечно малым образом порождают максимальный
тор, инвариантный относительно действия группы SO(3)). В результате мы
приходим к задаче в некоторой вращающейся системе координат. Чтобы со¬
кратить вычисления, я выбрал промежуточное решение, состоящее в том,
чтобы поместить себя в систему координат, вращающуюся вокруг оси Oz,
устранив тем самым условие о равенстве следа нулю, а затем ограничиться
подмногообразием с вертикальным кинетическим моментом (Сх = Су— 0),
устранив ядро квадратичной части векового гамильтониана. Идея зафикси¬
ровать только направление кинетического момента предлагалась в [3] для
п ^ 4 планет. Кроме того, ее использовали в работе [36], где было показано,
что требование о равенстве следа нулю не удовлетворяется при усреднени¬
ях более высокого порядка. Впрочем, добавление функции от Cz позволяет
устранить это требование без всяких вычислений, связанных с вековым га¬
мильтонианом второго порядка.
Рассмотрим гамильтониан
F6 = F- 6Сг,
где 6 G К — дополнительный параметр; F$ представляет собой гамиль¬
тониан задачи о движении планет в репере, который вращается с угловой
скоростью 5 относительно начальной галилеевой системы координат. Нача¬
ло координат векового пространства служит также эллиптической критиче¬
ской точкой для Cz, квадратичная часть которой в этой точке равна
&с = -\ Y, (№ + №)•
l^j^n
По аналогии с квадратичной частью гамильтониана (^рег) (см. определе¬
ние 68), квадратичная часть
«05 = «0 - 5<£с
гамильтониана F$ имеет 4п собственных чисел кратности два, соответству¬
ющих 2п частотам. Эти частоты образуют расширенное отображение ча¬
стоты, которые мы будем обозначать а. Теперь оно зависит от параметров
6 и а и при 8 Ф 0 продолжает отображение частоты гамильтониана F.
Доказательство «теоремы Арнольда»
309
Лемма 82. Образ расширенного отображения частоты (5, а) ь->
a(S, а) удовлетворяет единственному (с точностью до умножения на
скаляр) линейному соотношению, которое в обозначениях предложения 81
имеет вид
Яп = о.
Доказательство. Утверждение сразу следует из того, что след мат¬
рицы равный —2п, отличен от нуля. □
Теперь обозначим через ^ симплектическое подмногообразие векового
пространства, локально диффеоморфное М4п_2 и задаваемое уравнением
Сх = Су = 0, через (Fs) — ограничение усредненного гамильтониана (F$)
на ^ и
is = \d2{f^){ о, о)
— квадратичную часть (Fs) в точке (г, z) = (0, 0), являющейся началом
координат многообразия её?. Билинейная форма Д* задает 4п—2 двукратных
собственных чисел, соответствующих 2п — 1 частотам.
Лемма 83. В обозначениях предложения 81 частоты, заданные фор¬
мой Д$, равны ai, ..., <jn, £i, ..., Яп-ъ В частности, они не удовлетво¬
ряют локально никакому линейному соотношению.
Доказательство. При доказательстве леммы 79 и предложения 81
мы видели, что собственная плоскость нулевого собственного числа мат¬
рицы ,2 порождена значениями гамильтоновых полей Сх и Су в начале
координат (г, z) = (0, 0) векового пространства:
Сх(0, 0)= £ и 4(0,0) = - У]
Впрочем, пространство, которое в начале координат касается симплек-
тического подмногообразия ^ векового пространства, имеет уравнение
D(CX + гСу)(0, 0) = YI y/Mjdzj = 0.
1
Поэтому оно (в еквлидовом смысле) ортогонально собственной плоскости,
соответствующей нулевому собственному числу матрицы «2. Таким обра¬
зом, множество собственных чисел матрицы =2 совпадает с множеством
собственных чисел матрицы J2 без нуля. □
310
Ж. ФЕЖОЗ
Поскольку F$ аналитично в действительнозначном смысле, а про¬
странство параметров связно, из леммы 44 получаем следующий результат.
Предложение 84. Для всех п ^ 2 существует плотное открытое
множество полной меры U С я/ х Ш, на котором частоты матрицы
J&S (рассмотренные как функции от а и от (5) попарно различны и об¬
ладают следующим свойством: на любом открытом односвязном мно¬
жестве V С U эти частоты задают 2п — 1 голоморфных функций
• • • ? ап> <д, • • •, Яп-1 ‘ V ^ С, которые, вместе со средними движе¬
ниями v\, ..., vn, не удовлетворяют никакому линейному соотношению.
Мы будем использовать этот результат в следующей форме.
Следствие 85. Отображение частоты, определенное почти везде на
(Rt)n х
а: (Л, 5) (i/b ..., vn,<ri, • • •, <Tn-i) 6 М3”~\
является левым в каждой точке некоторого плотного открытого множе¬
ства полной меры.
Зафиксируем значения масс то, ..., тп, больших полуосей а\, ..., ап
и 6 так, чтобы отображение а было локально левым (для этого достаточно
исключить замкнутое множество нулевой меры). Применяя следствие 61 к
н° = FKep + SC2Z, Я1 = (Fper) и Я2 = Fper - <Fper),
видим, что при достаточно малом е (как функции масс то, ..., тп и как
функции больших полуосей, в окрестности которых выбрана локализация)
существует множество Д С М строго положительной меры, такое, что для
всех 5 С Д у гамильтониана Н° есть множество инвариантных торов T3n_1
строго положительной меры. Пусть 5 £ Д. (В действительности нам будет
достаточно того, что Д не пусто.)
Лемма 86. Поскольку гамильтонианы Н — Fe и К — Fe^ коммутиру¬
ют, эргодический лагранжев К-инвариантный тор автоматически будет
Н-инвариантным.
Доказательство. Пусть Т — эргодический iT-инвариантный тор,
а (фь) и ('ipt) — потоки гамильтонианов Н и К соответственно. Зафиксиро¬
вав достаточно малое время t > 0, обозначим Т = фДТ). Поскольку поток
фь симплектический, тор Т является лагранжевым. Более того, потоки <£*
и Tpt коммутируют, поэтому он т/^-инвариантен. Тогда классическое рассуж¬
дение о лагранжевом пересечении показывает, что Т П Т -ф 0 (поскольку
Доказательство «теоремы Арнольда»
311
Т представляет собой гамильтонов образ тора Т, тор Т — симплектиче-
ски полный; поэтому Т — это график над Т некоторой точной 1-формы,
у которой точки обращения в нуль лежат в пересечении Т и Т; см., напри¬
мер, [39]). Поскольку фь\т эргодично, на самом деле Т = Т. Итак, тор Т
инвариантен относительно потока гамильтониана Н. □
Завершение доказательства теоремы 63. Гамильтониан системы
планет Fe обладает множеством <5% строго положительной (6га — 2)-мерной
меры Лебега, состоящим из лагранжевых инвариантных торов на симплек-
тическом подмногообразии фазового пространства, которое получается, ес¬
ли зафиксировать кинетический момент в вертикальном направлении.
Уравнения Ньютона инвариантны относительно вращения, поэтому
множество инвариантных торов будет иметь ту же самую меру, если мы
зафиксируем кинетический момент в произвольном, а не в вертикальном
направлении. Теперь из теоремы Фубини следует, что объединение таких
множеств имеет строго положительную бга-мерную меру Лебега. □
8. Устойчива ли Солнечная система?
Попытки применить теорему Арнольда к Солнечной системе связаны
с очевидными сложностями. Во-первых, нам неизвестно значение малого
параметра £о в явном виде; Эно даже отмечал, что если не принимать осо¬
бых мер предосторожности, то первые опыты доказывают существование
инвариантных торов только для ничтожно малых £о, порядка Ю-300 [22]!
С другой стороны, выясняется, что в фазовом пространстве инвариантные
торы заполняют трансверсально канторово множество, которое, даже имея
строго положительную меру, все-таки очень разрежено с точки зрения топо¬
логии. Если задать ту аппроксимацию, которая используется при переходе
от Солнечной системы к системе планет (28), то вопрос о том, будут ли
средние движения планет Солнечной системы диофантовыми, становится
очень непростым по смыслу; впрочем, Молчанов, наоборот, писал о полно¬
стью периодическом характере средних движений планет [7, 43].
Эти рассуждения показывают, насколько иллюзорна точность теоремы
Арнольда для астрономии. Однако Робютель показал численными метода¬
ми, что наиболее важные части Солнечной системы, рассмотренные в ка¬
честве изолированных систем, обладают квазипериодической динамикой;
это верно для планет-гигантов, в частности, для системы Солнце-Юпи¬
тер-Сатурн [32, 59]. Кроме того, Челлетти и Кьеркья недавно доказали
количественную версию теоремы КАМ, которую они с помощью компью¬
тера применили к изолированной системе, состоящей из Солнца, Юпитера
1] К. Abdullah, A. Albouy, On a strange resonance ш
Regul. Chaotic Dyn., 6 (2001) 421-Ш.
ы, Докл. АН СССР, 161:1 (1965) 9-12.
ШтМ.; 1985,5-2B90M'
Различные аспекты задачи N тел
Сборник статей
азин http://shop.rcd.ru
ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 415, тел.: (499) 135-54-37, (495) 641-69-38
ИЖЕВСК
Удмуртский государственный университет
ул. Университетская, д. 1, корп. 4, 2 эт., к. 211, тел./факс: (3412) 50-02-95
МОСКВА ^
ки фирмы «Аргумент».
ДОЛГОПРУДНЫЙ: Книжный магазин «Физм;
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ: «Санкт-Петербургский до
Издательство СПбГУ, Mai
РАЗЛИЧНЫЕ АСПЕКТЫ ЗАДАЧИ N ТЕЛ
Настоящий сборник исследовательских и обзорных работ отражает
многообразие методик и подходов в анализе поведения частных решений
(или семейств решений) задачи N тел, демонстрируя взаимное стимулиру¬
ющее влияние важных проблем небесной механики и продвинутых мате¬
матических методов. Так, доказательство задачи трех тел гипотезы Саари
привлекает методы вещественной алгебраической геометрии и компьютер¬
ной алгебры; вариационные методы, порой конкурируя с топологическими,
используются для открытия интересных (семейств) решений. Методы срав¬
нения позволяют изучить поведение решений в задаче трех тел с нулевым
моментом, а нормальные формы и КАМ-теория являются ключевыми в под¬
ходе Эрмана к знаменитой теореме Арнольда об устойчивости планетарных
систем А тел (очень) малых масс.
VARIOUS ASPECTS OF THE A-BODY PROBLEM
In the present selection, a variety of techniques are used in order to unravel
the behaviour of particular solutions (or particular families of solutions) of the n-
body problem. Real algebraic geometry and computer algebra enter in the proof
for the 3-body problem of the Saari conjecture, variational methods, sometimes
challenged by topological ones, are used in various ways to construct interest¬
ing (families of) solutions, comparison techniques yield understanding of the be¬
haviour of 3-body solutions with zero angular momentum, new normal forms and
KAM techniques are the key to Herman’s approach of the celebrated “theorem”
of Arnold on the stability of «-body planetary systems with (very) small masses.
ISBN 978-5-4344-0015-2
785434
400152