АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
Р.В.ГШЬДШТЕЙН В.М.ЕНТОВ
Качественные
методы
в механике
сплошных
сред
Ответственный редактор
академик АН АрмССР
Н.Х. АРУТЮНЯН
МОСКВА "НАУКА" 1989

УДК 517; 5193; 532
Качественные методы в механике сплошных сред / р.в. Гольдштейн,
В.М. Ентов. - М.: Наука, 1989. - 224 с- ISBN 5-02-006565-Х
Монография впервые дает систематическое изложение основных методов и ре-
результатов использования функционалов от условий задачи для оценки искомых ве-
величин без решения полной задачи в приложениях механики сплошных сред. Подробно
рассмотрены задачи теории фильтрации, теории упругости, механики разрушения.
Для специалистов в области механики сплошных сред, прикладной математики
и технических приложений механики сплошных сред, а также студентов и аспирантов
соответствующих специальностей.
Табл. 10. Ил. 47. Библиогр, 231 назв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук ГЛ. Чернышев
доктор физико-математических наук Н.Ф. Морозов
Научное издание
ГОЛЬДШТЕЙН Роберт Вениаминович
ЕНТОВ Владимир Мордухович
КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД
Утверждено к печати Институтом проблем механики
Редактор Н.В. Березникова. Художник Д.А. Шпаков
Художественный редактор Н.Н. Михайлова
Технический редактор Л.Н. Богданова. Корректор Т.И. Шеповалова
Набор выполнен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ№ 37108
Подписано к печати 01.02.89. Т - 00036. Формат 60 X 90 1/16
Бумага для глубокой печати
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усллечл. 14,0. Усл.кр.-отт. 14,3. Уч.-издл. 15,0. Тираж 2500 экз.
Тип. зак. 1100. Цена 2 р. 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука"
117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., д. 90
Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства "Наука'1
199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12
г 16030400QQ^%08Q кн. 2	© издательство "Наука", 1989
055 @2)-89
ISBN 5-02-006565-Х

ПРЕДИСЛОВИЕ
Приложение строгих результатов механики к задачам техники и естество-
естествознания всегда сопряжено с определенной идеализацией, прежде всего идеали-
идеализацией геометрии и свойств объекта. Возможность такой идеализации осно-
основывается на (обычно интуитивном) представлении о корректности задачи-
малости изменения решения или отдельных его элементов при малом измене-
изменении параметров задачи. Так, малое изменение границы сечения бруса приво-
приводит к малому изменению жесткости кручения, .а стоксово сопротивление
движению тела в вязкой жидкости непрерывно зависит от формы тела.
Фактически только справедливость подобных утверждений позволяет
распространить результаты решения отдельных идеализированных матема-
математических задач на определенный класс реальных объектов.
В отсутствие таких твердо установленных основ возникают много-
многочисленные "парадоксы малого параметра", типа подробно проанализиро-
проанализированных Биркгофом [23]; характерный пример дает знаменитый экспе-
эксперимент Прандтля [118]: тонкое проволочное кольцо, надетое на обтекае-
обтекаемый шар, вызывает турбулизацию пограничного слоя и резко снижает
сопротивление шара.
Все это лишь подчеркивает необходимость в проведении демаркацион-
демаркационной линии между системами с "хорошим" и "плохим" поведением и в
проникновении в первопричины "хорошего" поведения. Можно поставить
вопрос и более широко: каковы возможные пределы изменения интере-
интересующих нас характеристик решения при изменении (уже не обязательно
малом) геометрии и свойств объекта, как, зная лишь основные параметры
задачи, указать гарантированные оценки искомых величин.
Подобные вопросы пронизывают всю механику сплошных сред, однако
особенно они важны в тех ее разделах, где объект нерегулярен. В данной
книге основное внимание уделено двум таким разделам - теории филь-
фильтрации и механике разрушения. Теория фильтрации исследует движение
жидкостей и газов в природных пористых средах, в механике разрушения
основной объект — исходная трещина, которая может иметь сложную
нерегулярную форму. Вряд ли можно указать области, более далекие физи-
физически. Однако общность идей и математических методов сближает их и
позволяет рассматривать на базе единого подхода общими методами.
Главная цель данной книги состоит в том, чтобы изложить результаты,
полученные в этих двух областях механики сплошной среды на основе
систематического применения качественных методов. Под качественными
методами здесь понимаются методы оценки физически значимых величин
без прямого детального вычисления механических полей.
Это направление лежит на перекрестке классической физики, матема-
з

тики и механики; у его истоков - работы Рэлея, Максвелла, Полна и Сегё,
М.А. Лаврентьева, Г.Н. Положего и ряда других крупных математиков и
механиков. Аспектам проблемы, выходящим за рамки данной книги,
посвящены работы [9, 19, 21, 24, 83, 100, 101, 111, 152, 156, 174, 196, 203,
216,223].
В книгу включен ряд результатов М.М. Алимова, Ю.В. Житникова, А.В.
Капцова, В.В. Кобелева, Л.Б. Корелынтейна, СВ. Панько, Э.В. Скворцова,
А.А. Спектора, Е.И. Шифрина, Н.Д. Якимова. Авторы выражают призна-
признательность, особо отмечая помощь Е.И. Шифрина, который сделал много
ценных замечаний и предложений при подготовке книги. Авторы благо-
благодарны Е.И. Ворожейкиной и Г.Т. Кургановой за помощь в подготовке
рукописи к печати.

Глава 1
КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
1.1. Теория фильтрации. Первоначальные сведения
В теории фильтрации течение жидкости через пористую среду описыва-
описывается векторным полем скорости фильтрации w (x), таким, что объемный
поток через поверхность S выражается поверхностным интегралом
Q = fwndS,	A.1)
s
где п — внешняя нормаль к S. Для течения несжимаемой жидкости через
недеформируемую пористую среду уравнение неразрывности принимает
известный вид
Vw=w?'/=0.	A.2)
То же уравнение выполняется для течений сжимаемой жидкости в деформи-
деформируемой среде, если течение стационарно, a wзаменяется на массовую ско-
скорость pw, где р — плотность жидкости.
Фундаментальное определяющее соотношение теории фильтрации
дает выражение скорости фильтрации через градиент давления жидкости
р и массовую силу g. Для изотропной среды имеем
-VP + Pg = Ф(и>) -, w = |w|.	A.3)
w
Функция Ф(и>) описывает зависимость силы сопротивления при движении
в пористой среде от скорости фильтрации. Для медленных движений чисто
вязкой (ньютоновской) жидкости вязкости /i эта зависимость, очевидно,
линейна:
Ф(м>) =(/!/*>.	A.4)
Линейное соотношение A.4) восходит к Дарси [164] и называется за-
законом Дарси. Константа к — проницаемость пористой среды; для неодно-
неоднородной пористой среды она может быть функцией координат
к=к(х).	A.5)
Чем больше проницаемость, тем меньше местная сила сопротивления (или
тем больше скорость фильтрации wnpn фиксированных значениях гради-
градиента и массовой силы).
Для несжимаемой жидкости (р = const), если массовая сила потенциаль-
потенциальна (g = VU), ее можно включить в давление в A.3), положив
p*=p-pU.	A.6)
Поэтому в последующем мы будем часто опускать член pg и отождествлять
давление р и приведенное давление р*.
5

ф
Рис. 1. Типичные законы фильтрации
1 — закон Дарси; 2 — закон фильтра-
фильтрации с предельным градиентом давле-
давления; 3 — закон фильтрации псевдо-
псевдопластической жидкости; 4 —двучленный
закон фильтрации A.9); 5 — закон
фильтрации упруговязкой жидкости
Ш
В случае неньютоновских жидкостей, равно как и при не очень медлен-
медленных движениях ньютоновских жидкостей, возникают отклонения от зако-
закона Дарси. Они учитываются нелинейностью функции Ф(м>) в A.3). Для
имеющих физический смысл нелинейных законов фильтрации
Ф@)>0; Ф'(и>)> 0; @<w<°o).	A.7)
Для учета неоднородности пористой среды мы будем включать в Ф(и>) до-
дополнительный аргумент к(х): Ф = Ф(м>, к), При этом подразумевается, что
A.8)
Некоторые типичные нелинейные законы фильтрации иллюстрирует рис. 1.
Соотношение
учитывает влияние дополнительных инерционных потерь, обусловленных
неоднородностью порового пространства. Оно носит название закона Форх-
геймера в гидравлике грунтовых вод [173] и формулы Эргана [168] в
химической технологии и дает продолжение закона Дарси в область боль-
больших скоростей фильтрации.
Неньютоновские свойства жидкости порождают разнообразные формы
нелинейных законов фильтрации. Для нелинейно-вязких жидкостей без
временных эффектов имеет место подобие между кривой течения жид-
жидкости и законом фильтрации [13,20,127]. Так, для бингамовской (вязко-
пластичной) жидкости имеем
Ф(мО=м/ + Л, Х>0,	A.10)
а для степенной жидкости (жидкости Оствальда—де Ваеле) —
Ф(иО=иЛ	A.11)
Соотношения A.10) и A.11) носят название закона фильтрации с пре-
предельным (начальным) градиентом давления (ПГД) и степенного закона
фильтрации. Последний отвечает псевдопластическому при s < 1 и ди-
латантному при s > 1 реологическому поведению.
Упруговязкие жидкости (например, растворы полимеров) проявля-
проявляют более сложное поведение. Оно может быть эффективно псевдопла-
псевдопластическим при малых скоростях и псевдодилатантным при высоких
(см. рис. 1).
6

Все упомянутые возможности объединяются общей формулой
ft)w/w, к = к(х),	A.12)
предложенной впервые С.А. Христиановичем [140]. С учетом уравнения
неразрьюности имеем систему
для двух неизвестных полей р(х), w(x). Эта система эквивалентна уравне-
уравнению второго порядка для р
VP
^)= 0; *=ф-*.	AЛ4)
\ЧР\
Уравнение A.14) эллиптично, если Ф@) = 0,Ф'@) < <*>. Если Ф@) = 0,
Ф'@) = °°, уравнение вырождается в критических точках, в которых w= 0.
Если Ф@) = X > 0 (так что мы имеем закон фидьтрации с ПГД), вместо
критических точек возникают конечные области ненулевого объема (так
называемые застойные зоны), в которых w= 0. Внутри застойных зон систе-
система A.13) вырождается в уравнение первого порядка |Vp| = X.
Если справедлив закон Дарси, система A.13) сводится к линейной системе
к
Vp = _- w, Vw = 0,	A.15)
М
а уравнение A.14) к линейному эллиптическому уравнению
V(*(x)Vp) = 0,	A.16)
которое превращается в уравнение Лапласа
Ар = 0	A.17)
в случае однородной (к = const) среды.
В теории фильтрации рассматривается большое разнообразие граничных
условий, некоторые типичные примеры которых показаны на рис. 2. Под-
Подробности можно найти в стандартных учебниках [13,14,116, 141].
Рассмотрим типичную краевую задачу определения скалярного поля
р(х) и векторного поля w(x) в конечной области D и предположим, что
граница Г= bD областиDсостоит из двух неналегающих частей Гр и Fq,Ha
которых заданы соответственно давление р и нормальная составляющая
скорости фильтрации wn:
р = Дх), х G Гр, wn = q(x), x G Г„ Гр U Г^ = Г.	A.18)
Пару функций 0?(x),w(x)), удовлетворяющую уравнениям A.13) с
граничными условиями A,18), будем называть решением; соответствую-
соответствующие поля р(х) и w(x) — истинными распределениями давления и скорости.
Введем потенциал диссипации D и дополнительный потенциал диссипа-
диссипации/?:
A.19)
R(h,x)=f

Рис. 2. Типичные задачи теории фильтрации
а — течение в "укрупненной трубке тока", б — течение к системе скважин при
разработке месторождения; в — течение через грунтовую плотину
Зависимость потенциалов от х порождается явной зависимостью от х
закона фильтрации, т.е. неоднородностью пористой среды.
Для произвольных, обладающих нужной гладкостью, векторного и(х)
и скалярного \р ( х) полей определим функционалы
/Г [u] = f D(u, x) dV,
D
A.19a)
K, 7 =
и назовем их полным потенциалом диссипации и полным дополнительным
потенциалом диссипации соответственно.
Произвольное кусочно-гладкое скалярное поле <р (х) в D будем называть
допустимым, если оно удовлетворяет заданным граничным условиям на
Г.:
), хеГр.
A.20)
Соленоидальное векторное поле ц(х) в D будем называть допустимым,
если оно удовлетворяет граничному условию на Г :
Vu = 0, xeD', un = q,
A.21)
Легко показать [20,61], что справедливы следующие теоремы.
Теорема 1.1. Истинное поле давлений р (х) минимизирует функционал
A.22)
на классе всех допустимых скалярных полей кр ( х).
8

Теорема 1.2. Истинное поле скоростей w(x) минимизирует функционал
L[u] = D'[u]-ffundS	A.23)
гр
на классе всех допустимых соленоидальных векторных полей и(х).
Доказательство. Пусть Н (x,y,z) — некоторое поле напора, aw— произ-
произвольное поле скоростей, удовлетворяющее уравнению неразрывности, но
не обязательно удовлетворяющее уравнению A.2). Имеет место тождество
("тождество полной диссипации")
(= / wnHdS.	A 24)
Пусть теперь задано некоторое решение системы (w, p). Возьмем
произвольное поле скоростей w , удовлетворяющее уравнению неразрыв-
неразрывности A.2), и составим для него функционал A.23). Имеем
/T[w] -?>*[w'] = / J 4>(u,p)dudV +f(wn-w')pdS-	A.25)
D w'	Г
- / g(w- w')dK
D
Преобразуя поверхностный интеграл по формуле A.24) и используя
A.3), получим
f
f f \
dF+/g(w-w/)dF.	A.26)
D	W
Подставим это выражение в A.25) :
D
w(w— w')l	Г w
— Ф (u>, p)	I dF= / I / Ф(и, p)du
VV J	D Lvv-
^w' 1
H; J
ww'
Ф(и>, р)
/ [/ (,Р)	(,р)()] dK
D w'
Легко убедиться, что в силу монотонного возрастания Ф(и, р) как функ-
функции и выражение в квадратных скобках неположительно вне зависимости
от знака разности w -v/ [15].

Таким образом,
/Г [w] < D* [w'],	A.27)
причем равенство достигается только при w = w1.
Итак, доказан принцип минимума полного потенциала диссипации
D*[w] для движения в неоднородной пористой среде при наличии
массовых сил.
Отметим, что в выражение A.23) входят только граничные значения
давления на части границы FL.
Рассмотрим далее функционал N[ «p ].
Рассмотрим наряду с решением Р системы A.2) —A.3) некоторое про-
произвольное поле Р* с градиентом h', удовлетворяющее тем же гранич-
граничным условиям. Имеем
N[P] -[] j }
D h'
< / (h-ti)*(h,p)dV< J (h-h')
D	D	h
= / (VP-VPf)wdV= / (P-P')wndS = 0.	A.28)
D	bD
Таким образом, истинное распределение напора минимизирует дополни-
дополнительный потенциал диссипации TV по отношению ко всем другим распре-
распределениям, удовлетворяющим тем же граничным условиям.
Замечания. L Из вывода A.28) ясно, что сопоставляемые распреде-
распределения давления могут принимать различные значения на непроницаемой
части границы (н^ = 0).
2. Доказанные вариационные принципы справедливы и для фильтрации
с предельным градиентом (с образованием застойных зон). Из них следует
единственность распределения скоростей в данной конечной области,
если заданы граничные условия указанного выше типа. Что касается рас-
распределения напора, то оно единственным образом определено в области
\h\ > G, но неединственно, вообще говоря, в области h < G. Последнее
очевидно физически и следует также из того обстоятельства, что при h <
<G 4*(h) = 0 и соответствующая область не дает вклада в дополнительный
потенциал диссипации.
5. Принцип минимума диссипативного потенциала для движения в
пористой среде может рассматриваться как частный случай общего принци-
принципа минимума потенциала диссипации для медленных движений, известного
в механике неньютоновских жидкостей [19, 71, 100, 101]. (В работах
А.А. Ильюшина [71] и Прагера [202] рассматривались только вязкоплас-
тические жидкости, однако их результаты справедливы для произвольных
нелинейно-вязких сред.) При этом достаточно заметить, что с рассматри-
рассматриваемой в теории фильтрации точностью поле микроскоростей в поровом
пространстве однозначно определяется скоростью фильтрации в данной
точке, равно как и суммарная плотность диссипативного потенциала.
ю

(Сама эта связь определяется минимумом диссипативного потенциала
при заданной скорости фильтрации.) Поэтому можно искать минимум
непосредственно по полю скоростей фильтрации.
При таком подходе естественно считать принцип минимума потенциала
диссипации (или дополнительного потенциала диссипации) исходным и
уже из него получать уравнения фильтрационного движения.
Если течение следует линейному закону Дарси, то
2	2	A.29)
Предположим, что среда однородна (к = const). Подставляя A.29) в A.19)
и A.22), получим
^Ы=-- f\W\2dV-f qydS,	A.30)
2 \х d	Vq
L[u]=±±f u4V-j fundS.
2 k d	rp
В этом случае сформулированные выше теоремы сводятся к обще-
общеизвестным принципам Дирихле и Томсона в электростатике [19, 111,
133].
Поэтому их можно рассматривать как обобщение классических прин-
принципов на нелинейные явления переноса в неоднородных средах. Стоит
упомянуть, что эти обобщенные принципы не допускают простой энергети-
энергетической формулировки (наподобие "принципа минимума кинетической
энергии потока"), а являются чисто математическими свойствами рас-
рассматриваемых течений.
Рассмотрим одну частную конфигурацию потока, к которой сводится
большое число важных задач. Именно, будем предполагать, что область
D представляет собой "трубу" (см. рис. 2,я) с непроницаемой боковой
поверхностью ("стенкой") Г^, входной поверхностью Г\ и выходной
поверхностью Г2, на которых заданы постоянные значения давления (Л
иР2 < Pi соответственно). Таким образом мы имеем
Гр = Гг иг2; д = 0,/=Р(, х Е Г,- , / = 1,2.	A.31)
Заметим, что части Г^, Гх и Г2 могут быть многосвязными и (или) могут
состоять из нескольких отдельных частей.
Полный расход через трубу, равный
Q=/wwd5,	A.32)
представляет собой наиболее важную для большинства приложений вели-
величину. Расход зависит от перепада давления
от геометрии потока и от распределения свойств пористой среды, выражен-
выраженных посредством распределения проницаемости к(х). Если изменяется
только Pt мы-получаем функцию
Q = Q(P),	A.33)
которую будем называть расходной характеристикой трубы D.

При сформулированных условиях решение (р, w) однозначно опреде-
определяется перепадом напора. Это означает, что функционалы N [р ], R [р\,
D* fwl и L f w] на решениях являются функциями Р. _
Рассмотримдва значения перепада давления Р и Р и соответствующие
решения \ р, w | и Д w Ь Положим
Очевидно, что функция <р (х) является допустимой в смысле теоремы 1.1.
Рассмотрим функцию
R(P)=R*[<p].	A.34)
В силу минимизирующего свойства p&R/dP = 0 при Р = Р. Но
dR
d?
A.35)
Р DO
(L35)
4 AP '
Отсюда следует, что
dR*[p]ldP = Q.	A.36)
Далее, рассматривая Р как функцию Q, мы получим, используя A.31),
dfi dQ(^	-1 ^de JFdQ ¦	(L37)
При фиксированных геометрии области D и перепаде давления Р расход
Q и функционалы JR*, /)* и L являются функционалами поля локальной
проницаемости к (х).
Рассмотрим два таких поля к (х) и кх (#), для которых справедливо
неравенство
к(х)>ку{х\ VxGD.	A.38)
Пусть соответствующие решения — J p, w ] и J pj, w;}. Обозначим
R1=R*[p1,kt];R=R*{p,k].	A.39)
Легко доказать следующую теорему.
Теорема 1.3. При сформулированных условиях
R>Ri,	A.40)
иными словами, на решениях полный дополнительный потенциал дисси-
диссипации — монотонно возрастающий функционал поля проницаемости к.
Доказательство. Поле давления р является допустимым в смысле теоре-
теоремы 1.1 для задачи теории фильтрации в области D при распределении прони-
проницаемости kj. Поле рг, будучи решением, минимизирует функционал R* [</?,
12

a	S
Рис. 3. К доказательству теорем о вдавливании для течения в трубе
к 1 ], так что, используя A.8), имеем
DO
DO
= R*[p,k]=R.	A.41)
Зафиксируем теперь полный расход Q и будем рассматривать полный
потенциал диссипации D* на решениях как функционал от к (х) :
Z> = /)*[w,fc], Я, = ?*[wi,*i].	A.42)
Сходные рассуждения приводят к следующей теореме.
Теорема 1.4. При условиях теоремы 1.3
D<Di.	A.43)
Сформулированные выше теоремы имеют ряд следствий, в том числе
следующие "теоремы о вдавливании".
Предположим, что Ф(и>, к) стремится к нулю, когда к стремится к
бесконечности, и стремится к бесконечности (при w Ф 0), когда к -> 0:
Ф(\»,к) ->0, к-*<*>;	A.44)
Ф(ы,к)-+оо9 к-* о (рф о).	A.45)
Тогда, очевидно, что любую подобласть D— С Д в которой А: = 0, можно
рассматривать как непроницаемое включение или включение, окруженное
непроницаемой поверхностью, и что любую подобласть D+ С Д в которой
А: -> °°, можно рассматривать как включение бесконечной проводимости
или подобласть постоянного давления:
р = const, х С Д. = Д. U ЭД..	A.46)
Согласно теоремам 1.3 и 1.4, введение в D непроницаемой подобласти
D— приводит к уменьшению полного дополнительного потенциала дисси-
диссипации R* при фиксированном перепаде давления Р (или к увеличению
полного потенциала диссипации D* при постоянном расходе Q). Пусть
теперь граница подобласти D— имеет общую часть с непроницаемой частью
Гд границы трубы (рис. 3,я). Тогда результирующее течение может рас-
рассматриваться как возникающее вследствие вдавливания непроницаемых
границы Гч внутрь области D. Получаем следующую теорему.
13

Теорема 1.5 (первая теорема о вдавливании). Вдавливание непроница-
непроницаемой части Гд границы Г "трубы" D внутрь приводит к уменьшению пол-
полного дополнительного потенциала диссипации R* при постоянном перепаде
давления Рик увеличению полного потенциала диссипации D* при постоян-
постоянном расходе Q.
Пусть теперь подобласть бесконечной проводимости Д "присоединена"
к входной поверхности трубы Д т.е. ее граница Э Д имеет общую часть
с Tj (рис. 3,6). Тогда на всей границе ЭД давление будет постоянным
и равным Pi. Поэтому новая геометрия течения может рассматриваться
как результат вдавливания входной поверхности Гг внутрь области D.
Таким образом, мы имеет следующую теорему.
Теорема 1.6 (вторая теорема о вдавливании). Вдавливание входной
поверхности Г х внутрь трубы D приводит к увеличению полного дополни-
дополнительного потенциала диссипации R* при постояннном перепаде давления
Рик уменьшению полного потенциала диссипации D* при постоянном
расходе Q.
Заметим теперь, что эта теорема остается справедливой, если вместо
входной поверхности Г\ вдавливается выходная поверхность Г2 об-
области D или обе поверхности одновременно.
Допустим теперь, что непроницаемое включение D_ представляет собой
слой малой толщины h, располагающийся вдоль поверхности S_ CD. По-
Поверхность S_ может состоять из произвольного числа отдельных частей.
При любом значении h соответствующее значение R * {И) меньше, чем перво-
первоначальное значение R* при одинаковом перепаде давления, и значе-
значение D*(h) больше, чем начальное значение D* при постоянном значении
расхода Q.
Пусть теперь h -*0. В пределе h = О подобласть превращается в поверх-
поверхность S_, так что справедлива теорема 1.7.
Теорема 1.7. Введение в трубу D системы непроницаемых поверхностей
("перегородок") приводит к уменьшению полного дополнительного по-
потенциала диссипации R* при постоянном перепаде давления Р или к увели-
увеличению полного потенциала диссипации D* при постоянном расходе Q.
Если вместо непроницаемых перегородок D_ мы введем в трубу систе-
систему D+ слоев бесконечной проводимости, располагающихся вдоль поверх-
поверхности S+i то, повторяя те же рассуждения, мы получим следующую теорему.
Теорема 1.8. Введение в трубу D системы бесконечно проводящих по-
поверхностей S+ приводит к увеличению полного дополнительного потен-
потенциала диссипации R * при постоянном перепаде давления Р или уменьшению
полного потенциала диссипации D* при постоянном расходе Q.
Введение в область течения бесконечно тонких непроницаемых перего-
перегородок ограничивает допустимые поля скорости фильтрации полями с ну-
нулевой нормальной компонентой скорости на перегородке. Очевидно,
что любое ограничение класса допустимых полей и приводит к увеличе-
увеличению минимального значения функционала 2)* [и]. Точно так же введение
в D бесконечно проводящих поверхностей приводит к ограничению класса
допустимых полей р полями, для которых заданные заранее поверхности
являются линиями уровня. Поэтому это немедленно ведет к увеличению
минимального значения R* [у].
Вспоминая, что на решениях функционалы D* и R * связаны монотонной
14

зависимостью, мы снова получаем теоремы 1.7 и 1.8. Эта линия рассужде-
рассуждений восходит к Рэлею [124], Максвеллу [193], Кельвину и Куранту [81,
219].
Две теоремы о вдавливании 1.5 и 1.6 годводят нас вплотную к общей
проблеме поведения функционалов ^*[w] и R*[p] как функционалов
от геометрии области D и ее границ. Чтобы сформулировать эту проблему
более четко, допустим, что поле проницаемости к(х) задано во всем трех-
трехмерном пространстве.
Рис. 4. К теореме о симметризации
Проведем замкнутую поверхность Г, подразделяющуюся на части Г1?
Г2, иГ^. Внутренность Г представляет собой "трубу" описанного выше
типа. Задав перепад давления Р или расход Q, мы получим решение \ р, v/\
На решениях функционалы R * иВ* могут рассматриваться как функциона-
функционалы от Г1? Г2 и Гд:
1*0[ГиГ2,Гя],	A.47)
0>[Г19Г2,Гя].	A.48)
Проанализируем теперь поведение этих функционалов. Предположим
вначале, что среда однородна, к = const, так что
R° = I R(\Vp\)dV.	A.49)
D	Р
Пусть рассматриваемая труба относится к частному типу, показанному
на рис. 4. Это многосвязная область, ограниченная извне выходной по-
поверхностью Г2 и изнутри входной поверхностью Г19 а поверхность Г^
отсутствует.
Следующая, фундаментальная обобщенная теорема о симметризации
принадлежит Полна и Сеге [111].
Теорема 1.9. Пусть: 1. F(t) — монотонно возрастающая (неубывающая)
выпуклая (не вогнутая) книзу функция Г, определенная при 0 < t < *°.
2. Функция /(х) определена всюду в Д и поверхности уровня Га функ-
функции /: /(х) = а@<а<1),х?Га покрывают всю область Д причем по-
поверхности Га и Га' при а Ф а не имеют общих точек.
3./(х) = 1,хЕГь/(х) = 0,х?Г2. Тогда функционал
F*(f) = / F(|V/l)dF	A.50)
D
убывает (не возрастает) после применения симметризации по Штейнеру
к полю/(х):
F*(f,D)>F*(fst,Dst).	A.51)
15

Симметризация по Штейнеру поля/(х) и области D представляет собой
результат применения симметризации по Штейнеру к каждой из поверх-
поверхностей Га, включая Го иГьГа -> Vast с заданием на симметризованных
поверхностях прежних значений /
/sf(x) - а, хЕГв„.	A.52)
Пусть D — ограниченная область в R3; Г = dD; Dx — ее проекция на
плоскость х = О, Х(у°, z°) - общая длина отрезков прямой у = у0, z = z°,
заключенных внутри D. Тогда симметризация по Штейнеру области D пред-
ствляет собой симметричную относительно плоскости х = 0 область Dst:
O,z)EZ)i; - 1/2Х<х<1/2Х, Tst = dDst.	A.53)
Точно также симметризация по Шварцу Dsc области D относительно
оси х представляет собой тело вращения, имеющее ту же длину проекции
на ось Ох и ту же площадь сечения любой плоскостью х = const, что и Д
Г5С = dDsc. Симметризацию по Шварцу можно рассматривать как беско-
бесконечную последовательность симметризацией по Штейнеру относительно
плоскостей, проходящих через общую ось Ох. Дальнейшие обобщения
процедуры симметризации можно найти в книгах [111, 156]. Симметриза-
Симметризации всех типов сохраняют объем.
Из сказанного немедленно следует, что при условиях теоремы 1.9 мы
имеем также
Fm(fsc, Dsc) < Fm{Fsp Dst) < F *(f,D).	A.54)
Применим теперь теорему о симметризации 1.9 и ее следствие A.54)
к функционалу Л°[Г1, Г2] для области D типа показанной на рис. 4.
Очевидно, функция R (t) принадлежит к упомянутому в условиях теоре-
теоремы 1.9 классу. Поэтому мы заключаем, что
R°[D] = fR[\w\]dV>f R(pst)dV> J R(psc)dV
D	Dst	Dsc
ИЛИ
R°\p.D] >R*\pst,Dst] >R*[psc,Dsc].	A.55)
Заметим теперь, что pst и psc не являются решениями задачи теории
фильтрации для соответствующих областей Dst nDsc. Обозначим соответ-
соответствующие решения через р®т и p°sc. Вследствие минимальности R * на реше-
решениях мы имеем
R°[D] >R*{pst, Dst] > R*[p°st,Dst] = R°[Dst],
R°[D] >R*\psc,Dsc] >R*[p°sc,Dsc] =R°[DSC].	A.56)
Таким образом, мы получаем следующую теорему.
Теорема 1.10. Как симметризация Штейнера, так и симметризация Швар-
Шварца области течения D (рис. 4) приводят к уменьшению полного дополни-
дополнительного потенциала диссипации на решениях
R°[D] >R°[Dst] >R°[DSC].	0-57)
Чтобы доказать последнее неравенство, нужно последовательно приме-
применять симметризацию Штейнера к решению р? t.
16

Определим для любой поверхности Га, ограничивающей область Da
объема Va, ее центрально-симметризованную поверхность Гас как сферу
радиуса р = C VJ4n)*/3. Тогда, проводя сходные рассуждения, мы полу-
получим для центрально-симметризованной области Dc и соответствующего
решения р°с
R°[DC] <R°[DSC] <...<R°[D].	A.58)
Значение R° [Dc] представляет собой абсолютный минимум полного
дополнительного потенциала диссипации на классе областей Д имеющих
заданный полный объем V и заданное значение объема Vl9 ограниченного
внутренней поверхностью Г х.
Точно так же в классе плоских течений значение R° [Dsc] представляет
собой абсолютный минимум полного дополнительного потенциала дис-
диссипации для областей Д имеющих заданную полную площадь и заданную
площадь, ограниченную внутренней границей Г х.
Все результаты относительно симметризации справедливы для однород-
однородной (имеющей постоянную проницаемость) пористой среды. Рассмотрим
теперь более общую постановку задачи о течении в области типа трубы,
показанной на рис. 3, с входной Г^ и выходной Г2 поверхностям. Пусть
фиксированы входная Гх и непроницаемая боковая Fq границы. Мы мо-
можем попытаться подобрать положение границы Г2 таким образом, чтобы
соответствующее значение R0 [Г1} Г2, Г^] было бы наименьшим возмож-
возможным при фиксированном значении объема области, ограниченной Гх и
Г2. (Очевидно, функционал /?°[Г1,Г2] неограничен сверху, так что не
может быть "максимальной поверхности" Г2.)
Легко показать, что "минимальная поверхность" Г2, если таковая су-
существует, является поверхностью постоянного значения локального потен-
потенциала диссипации
D(w,k)\r = const.	A.59)
(Теорема 1.11). Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим вариации функ-
функционала Я°[Г2] при малых вариациях границы Г2 относительно мини-
минимальной поверхности Г|. Он имеет на Г| минимум при дополнительном
условии V = const, где V - объем, ограниченный Г! и Г2. Введем новый
функционал
Х[Г2] =Я°[Г2] - ХК[Г2].	A.60)
Он имеет на Г2 безусловный минимум. Пусть п(М) — внешняя нормаль
к Г| в точке Mf by - смещение в направлении п, переводящее Г2 в Г2.
Тогда
SR0 = / R(h,k)bydS - f wnh8ydS,	A.61)
г2*	г2
8R° = / [R(h,k) - wh] by 6S = - fD(yv,k)dydS.	A.62)
r2	r2
Первые члены в соотношении A.62) обусловлены непосредственно из-
изменением области интегрирования, а вторые возникают в связи с постоян-
постоянством давления на варьируемой границе Г2. Поскольку первая вариация
8Х = 6Д° - Х5 V
2. Зак. 1100	17

должна обращаться в нуль,- мы получаем
R{h, к) - wh | = - D(w, k)L = + X = const.	A.63)
1 2	L 2
Если среда однородна, к = const, то соотношение A.59) означает, что
абсолютная величина скорости фильтрации wh градиент давления h постоян-
постоянны на минимальной поверхности FJ:
wL = const; /zL = const.	A-64)
12	L 2
Ниже будет показано, что это простое свойство позволяет эффективно
строить минимальные поверхности для некоторого класса плоских тече-
течений.
Рассмотрим теперь "трубу" (Гх, Г2, Г^) (см. рис. 3), полагая, что вход-
входная и выходная поверхности Гг и Г2 являются частями двух поверхностей
постоянного давления (с давлениями Pi и Р2 ) и что слой между этими дву-
двумя поверхностями заполнен пористой средой проницаемости к(х). Поло-
Положим далее, что непроницаемая стенка трубы состоит из двух частей Г^ =
= Г^ иг^ , первая из которых фиксирована, а вторая может быть выбра-
выбрана произвольно. Потребуем, чтобы часть Г^ была выбрана таким образом,
чтобы полный потенциал диссипации
для течения в трубе был максимально возможным при фиксированном
значении объема трубы V. Тогда легко показать, что на "свободной" части
экстремальной границы Г^ местное значение дополнительного потенциала
диссипации R (И) должно быть постоянным
R(h)\rn = const.	A.65)
(Теорема 1.12). Для однородной (к = const) пористой среды это означает,
что абсолютные величины градиента давления и скорости фильтрации
постоянны на свободной границе:
/zL,, = const; wL, = const.	A.66)
1 я	lq
Доказательство этой теоремы проводится так же, как теоремы 1.11.
До сих пор мы использовали только общие вариационные принципы,
которым подчиняются течения в пористой среде. Некоторые дополнитель-
дополнительные возможности открываются при использовании принципа максимума
и его следствий. Рассмотрим снова решение (р, w) общей задачи теории
фильтрации
V/? = — Ф(и>, k)v//w, Vw = 0, xEZ>;
р = /(х), хегр; wn = q(x), хЕГд;	A.67)
3D = ГриГд
и предположим, что
Ф@, к) = 0, ЭФ(и>, k)/dw < Я < оо,	A.68)
q(x) > 0.	A.69)
При сформулированных условиях справедлив следующий обобщенный
принцип максимума.
18

Теорема 1.13. Давлениер (х) достигает своего максимального значения в
точках части Гр границы Г:
Р = max р(х) = Р* = max p(x).	A.70)
Эта теорема является непосредственным следствием принципа макси-
максимума Хопфа [21, 203], если заметить, что функция р(х) является реше-
решением равномерно эллиптического нелинейного уравнения
V(*(lVpl,*)Vp) = 0	A.71)
в области D.
Очевидно, если неравенство A.69) обращается в неравенство, q = 0,
справедлив также принцип минимума:
P~ = minp(x) =p» = min/(x).	A.72)
D	гр
Полезным обобщением принципа максимума является следующая теорема
сравнения,
Теорема 1.14. Пусть (р, w) и (ру ,vfx) - два решения, причем (р - рх)г >
Чтобы доказать теорему сравнения, мы воспользуемся следующим
рассуждением, принадлежащим Гилбаргу [176].
Рассмотрим равномерно эллиптическое уравнение вида
коэффициенты которого ац и d являются функциями координат и пер-
первых производных решения щ, но не самого и, (Уравнение A.71), очевид-
очевидно, именно такого типа,) Пусть и и v - два решения; положим oj = u — v.
Тогда
я/А".*) &4j + I Я//О>/с + ^л) - ацО>,к) \ Ц*/ + 1 d(v,k + co5/f) - d(v,k) 1 = 0.
Если теперь к выражениям в скобках применить теорему о среднем
значении, то получим
,wrf). A.73)
Коэффициенты а^ не зависят от со и со^, так что уравнение A.73) явля-
является равномерно эллиптическим. Таким образом, для разности двух реше-
решений справедлив принцип максимума, Это доказывает теорему 1.14.
Эта теорема сравнения позволяет доказать усиленный вариант второй
теоремы о вдавливании 1.6,
Теорема 1.15. Вдавливание входной поверхности Fj внутрь трубы i)при-
i)приводит к увеличению потока через трубу, Скорость течения во всех точках
выходной поверхности Г2 возрастает; скорость в точках оставшейся неиз-
неизменной части входной поверхности уменьшается.
Доказательство этих важных утверждений проводится непосредственно.
Пусть Г| - вдавливаемая часть входной поверхности, ГГ - ГЛГ? - ее
неизменяемая часть, Вдавливание переводит область D в Dy СД решение
19

(p,w) — в (/?i,w1). Оба поля давления р и рА определены в области Di.
Для разности <*> = рх- р мы имеем следующие граничные условия:
6j(x) = 0, х е Г2; со(х) = 0, х € Tf,
со(х) = Н- р(х) >0,хеГ1+;	A.74)
В соответствии с теоремой 1.14 ^(х) > О или р> р всюду в области Dx,
Таким образом, для точки Хо ? Г 2
(др\ Р(хо-?п)-р(хо)
— =-hm 	 >
[дрЛ
=(—) <0.
>-lim -^^	 ^ д ^ =1—I <0.	A,75)
?-* + о	?	\9п /Хо
Итак, |Эр/Эя|Хо <|Эр!/3«|Хо и, поскольку производные давления вдоль
поверхности Г2 равны нулю,
|Vp|x <|Vpi|x ,	A 76)
откуда следует, что
w(xo)<wl(xo)]W = \wn\)w1 =|wlw|	A.77)
благодаря монотонности закона фильтрации (>^ (Л) > 0). То же рассужде-
рассуждение, будучи примененным к неизменяемой части входной поверхности Г7,
доказывает, что
w(x)>w1(x),xGri.	A.78)
Интегрирование неравенства A,77) по всей выходной поверхности до-
доказывает последнее утверждение теоремы 1.15:
^iWS=?i.	A,79)
Заметим, наконец, что вторая теорема о вдавливании 1,6 следует не-
немедленно из неравенства A.79) и соотношения A.34):
(ГО =Л*СР,Г1)
0	°	A.80)
Не существует аналогичного обобщения первой теоремы о вдавливании
A.5) на трехмерный случай.
Для двумерных течений в "трубе" с двумя непроницаемыми стенками
Г1с? и T2q (рис. 2,я) мы можем ввести функцию тока ^ :
*,i=-H>2,t,2=">i,>P=0(xerqi),t=Q(xerq2).	A.81)
Для произвольного вектора q введем соответствующий ему вектор q1 как
результат поворота его на угол A/2)тг,
Легко видеть, что преобразование
Р = $,Ф = -Р, ^w1; w=hx	A,82)
20

(h = V p, h =Vp) преобразует реальное фильтрационное течение с функцией
тока ф и распределением давления р в фиктивное фильтрационное тече-
течение с функцией тока ф = р и распределением давления р = ф при фиктивном
законе фильтрации
/T=?(w)=*(w).	A.83)
Для этого фиктивного течения границы Г^ и Г2? являются непроницае-
непроницаемыми границами, Г1с? — входная, а Гг^ - выходная поверхности. Таким
образом, применяя к этому фиктивному потоку теорему 1.5, мы получа-
получаем следующее обобщение первой теоремы о вдавливании 1.5:
Вдавливание одной из непроницаемых стенок (Г1<?) внутрь плоской
"трубы" D приводит к увеличению перепада давления на трубке (при
фиксированном полном расходе). При этом градиент давления и скорость
фильтрации во всех точках другой непроницаемой стенки Tq2 возрастают;
градиент давления и скорость на оставшейся неизменной части стенки Fql
уменьшаются.
Первая теорема о вдавливании 1,5 для плоского потока следует не-
немедленно из теоремы 1.15.
1.2. Теория фильтрации.
Дальнейшие результаты и приложения
Изложенные материалы дают общее основание для ряда важных резуль-
результатов, относящихся к различным разделам теории фильтрации и ее при-
приложений, Ниже приводятся некоторые примеры таких результатов и обоб-
обобщения теории разд. 1.1.
Рассмотрим прежде всего класс отдельных законов фильтрации
<S>(w) = Cv/,	B,1)
включающий линейный закон фильтрации Дарси
Ф(^) = (р/*МС = м/М=1).	B.2)
Для степенного закона фильтрации имеем
Cws+i
Z)(w) = /Ф(и)ск/ =	,	B.3)
О	S+ 1
и	C~fs$hs ¦ о	B.4)
R(h) = / * (h)dh =
о	5+ 1
Таким образом, на решениях (h = Cws)
R(h) =sD(w),wh =Cws + l = (s + l)?> = /?(s + l)/s.	B.5)
Используя последнее соотношение и тождество
/whdK = -/v^pds,	B.6)
D	bD
21

мы получаем для "трубы"
-fwnpdS=PQ= (i + l)fD(w)dV =
B-7)
=	J/?(//)dK = (s + l)D* [w] =	R*\p].
S D	S
Это означает, что в случае степенного закона фильтрации все теоремы,
сформулированные в разд. 1.1 для полного потенциала диссипациии Z)*[w]
или полного дополнительного потенциала диссипации R*\p], справедливы
также для полного расхода потока Q (при фиксированном перепаде давле-
давления Р) или для полного перепада давления Р (при фиксированном рас-
расходе Q). Это следствие имеет большое значение, поскольку полный расход
потока является наиболее важной его характеристикой.
Как показано выше, для степенного (в частности линейного) закона
фильтрации не только функционалы R и D, но и однозначно связанный с
ними функционал Q (расход через трубку тока) является монотонным
функционалом поля фильтрационных сопротивлений: с увеличением ло-
локальных фильтрационных сопротивлений расход падает. Как частный слу-
случай отсюда получаются обе теоремы о вдавливании для расхода. Естествен-
Естественно возникает предположение, что подобные теоремы справедливы для об-
общего случая, и лишь технические трудности препятствуют их доказательст-
доказательству. Излагаемый ниже пример, принадлежащий Н.Д. Якимову, показывает,
что в общем случае это предположение неверно, и ни утверждение о моно-
монотонной зависимости расхода от поля фильтрационных сопротивлений, ни
аналог первой теоремы о вдавливании для произвольного закона фильтра-
фильтрации в трехмерном случае не имеют места [147].
Рассмотрим область типа обобщенной трубки тока (см.рис. 2, а) и пред-
предположим, что в ней заданы два различных, вообще говоря, поля законов
фильтрации Ф(\у, х) и 4>! (w, x), причем для всех х е ?1
Ф(м/,х)<Ф!(н>, х).	B.8)
Обозначим через Q и Qx расходы, отвечающие двум указанным полям при
одном и том же перепаде давления Р = Р\ - Р2 на трубке тока. Цель воспро-
воспроизводимого рассуждения состоит в том, чтобы указать такие поля Ф(м', х)
и Фц^, х), для которых Q^Qi (что и дает искомый опровергающий при-
пример).
Рассмотрим сначала упрощенную систему, состоящую из пяти отдельных
участков типа трубок постоянного сечения, заполненных однородной сре-
средой и соединенных между собой в узлах, лишенных сопротивления, так,
как это показано на рис. 5. Поскольку течение в каждой "трубочке", оче-
очевидно, одномерно, его можно охарактеризовать связью между расходом
qt через соответствующую трубочку и перепадом давления на ней. Пусть
для участков /и/Кэта зависимость линейна, q = Apy а для участков // и
///нелинейна и имеет вид, показанный на рис. 6, причем проходит через
точки 7V_ и 7V+. Параметры 6 и е подчиним условиям
5>0, е>0, Vi-2e>26.	B.9)
Наконец, участок V будет представлять собой изменяемое (при изменении
поля фильтрационных сопротивлений) сопротивление. В исходном состоя-
22

1/г-ге-д
5
I «-—*
В	f/2+6 f/2 + 26 АН
Рис. 5. Нелинейная цепь из пористых "трубочек"
Рис. 6. Расходная характеристика нелинейного элемента
Рис. 7. Построение обобщенной трубки тока с аномальным поведением сопротивления
при вдавливании
нии будет считать его характеристику линейной вида
4=A/2_€_5)ДР/Bб),	B.10)
а в измененном состоянии (I) — линейной вида
<? = 6ДР/Dе),	B.11)
что, очевидно, отвечает большему фильтрационному сопротивлению [см.
23

B.12)]. Непосредственной проверкой легко убедиться, что исходному
состоянию системы отвечают (при единичном полном перепаде давления)
значения расходов и давлений:
qx = q4 =V2-e,q2 =<7з = 5, q5 = Vi - e - 8
PB = Vi + 6, Pc *%-€,
а измененному состоянию — значения:
li	li
q\ =q4 =1/2-2e, q2 =4з = Vi - 2e - 5, q5 = §
PB = Й + 2e, />c = Й - 2e.
Таким образом, при Зе + 26 < 1А имеем
q\ = 1 -4e-5=G1,	B.12)
т.е. увеличение локального фильтрационного сопротивления (участка К)
привело к увеличению полного расхода потока.
Собственно говоря, проведенное построение уже дает необходимый оп-
опровергающий пример. Для того чтобы окончательно привести его в соот-
соответствие с конфигурацией рис. 2, я, достаточно представить всю "конструк-
"конструкцию" вложенной в матрицу из материала бесконечно малой проницаемости.
Более того, варьируя длины и сечение однородных участков /-F, можно
"изготовить" всю конструкцию рис. 2, а из одного и того же нелинейно
проводящего материала, с законом фильтрации, подобным показанному
на рис. 6, используя для получения нужных характеристик различные
участки закона фильтрации. Такую //-образную область из однородного
материала можно сделать как пространственной, так и плоской. Возь-
Возьмем плоский вариант описанной конструкции и превратим его в простран-
пространственный, ограничив "спереди" и "сзади" изолирующими поверхностями,
добавив и сделав "верхнюю" и "нижнюю" поверхности идеально проводя-
проводящими (рис. 7 , а, б). Полученное пространственное тело будет иметь топо-
топологическую структуру трубки тока и проводимость, равную с точностью
до числового множителя проводимости исходной конструкции рис. 5.
Если теперь вдавить "заднюю стенку", удалив часть горизонтальной пе-
перемычки (пунктир на рис. 7, в), то ее сопротивление увеличится, и систе-
система перейдет в новое состояние, отвечающее состоянию /рис. 6, и будет
иметь больший расход. Таким образом, в случае пространственного течения
при произвольном законе фильтрации первая теорема о вдавливании для
расхода не имеет места.
Рассмотренный выше контрпример Н.Д. Якимова, с одной стороны,
прекращает попытки доказать монотонную зависимость расхода от поля
фильтрационных сопротивлений, а с другой — ставит новый вопрос о том
классе законов фильтрации (предположительно невыпуклых, Ф"(м>)< 0),
для которых гипотеза о монотонной зависимости и теорема о вдавливании
для расхода оказываются верными.
Определенные утверждения такого рода известны и приводятся ниже.
Теорема 2.1. Рассмотрим течение в укрупненной трубке тока фиксиро-
фиксированной геометрии при двух законах фильтрации Ф(н>,р) и Фх (w, p), удов-
24

летворяющих соотношению (р = 1/к)
Ф(и>, р) > <*>! (w, р) = 2 X/p/W51", X/ > 0, Sf > О	B.13)
i = 1
при фиксированном расходе Q. Обозначим через Р перепад давления, от-
отвечающий закону фильтрации Ф(и>, р), а через /*,-,(/ = 1,..., к) перепады дав-
давления, отвечающие "парциальным степенным законам фильтрации" Ф\ -
= XjPiW при том же расходе Q, тогда Р > Б Р,-.
Доказательство. Пусть /?, w — решение, отвечающее закону фильтрации
Ф. Имеем
\^ + 1&V. B 14)
= \ D
Нетрудно видеть, что выражение
представляет собой значение функционала Z)'[w,p/] для "парциального"
степенного закона фильтрации на допустимом поле w с расходом Q. Поэ-
Поэтому оно больше, чем значение того же функционала на истинном поле
w^\ отвечающем этому закону фильтрации, так что
QP> I V/p,[w(/>]5/ +1 dV= ? P&	B.15)
i=l D	i = 1
что и доказывает сделанное утверждение.
Аналогичным образом доказывается взаимное утверждение.
Теорема 2.2. Рассмотрим два закона фильтрации, выраженных в виде
зависимости модуля скорости фильтрации от градиента давления 4f(h, p)
и ^i (h, p), причем в области D:
*(*, р)< *i№ р)= | (Ji/Pi)h1/Si; yt> 0.	B.16)
Тогда при фиксированном перепаде давления
О ? 7,6,,	B.17)
где G/ - "парциальные расходы", отвечающие при том же перепаде давле-
давления степенному закону фильтрации
Пусть D - "труба" типа, показанного на рис. 8. Ее непроницаемые бо-
боковые стенки — две параллельные плоскости — кровля и подошва порис-
пористого пласта, внешняя (входная) поверхность Гг — цилиндрическая по-
поверхность с образующими, перпендикулярными к непроницаемым грани-
границам, а внутренняя (выходная) поверхность Г2 — прямой круговой цилиндр
малого радиуса р. Эта схема моделирует типичную задачу о притоке одно-
однородной жидкости к скважине в пористом пласте постоянной толщины.
Пусть давление принимает заданные постоянные значения р2 на поверх-
25

Рис. 8. Течение в пласте с непроницаемыми кровлей и подошвой
Рис. 9. Приток к скважине в неоднородном пласте
ности скважины Г2 и рх на поверхности питания IV Очевидно, если свой-
свойства пористой среды зависят только от координаты z или только от коорди-
координат х и у, течение является плоским: р = р(х, у), w = { и, v, О} .В этом
случае.мы можем говорить о течении между двумя плоскими кривыми
Г] и Г2, причем последняя кривая — окружность радиуса р с центром Ow.
Пусть С+ и С" — две окружности с общим центром Ow: описанная вокруг
кривой Гх и вписанная в нее. Тогда по второй обобщенной теореме о вдав-
вдавливании мы имеем двустороннюю оценку
G+< Q< Q-	B.18)
Здесь Q, Q+ и Q~ — значения полного расхода потока соответственно при
поверхностях питания Гь С4" и С" и фиксированном перепаде давления Р.
Если пористая среда однородна, Q+ и Q~ легко вычисляются в явном виде.
Например, если справедлив закон Дарси, то
B±=BтгА:/мХР/1п(Л±/р)	B.19)
(так называемая формула Дюпюи). Ввиду слабой (логарифмической)
зависимости Q± от R ± оценки B.18) с Q1, заданными формулой B.19),
весьма близки друг к другу при малых р.
Пусть S — площадь, ограниченная кривой Гх, а С* — окружность с цент-
центром в Ow, ограничивающая ту же площадь. Согласно теореме 1.10, полный
дополнительный потенциал диссипации уменьшится, если мы деформируем
Гх в С*. В силу тождества B.7) уменьшится и расход потока. Имеем,
26

таким образом,
<2*<Q.	B.20)
Заметим, что эта оценка доказана только для степенных законов фильтра-
фильтрации, тогда как приведенная выше оценка B.18) не использует тождество
B.7) и потому верна для произвольных законов фильтрации.
В качестве другого простого примера применения теорем сравнения
рассмотрим плоское фильтрационное течение между круговым внешним
контуром постоянного давления Г1! и концентричной ему скважиной Г2
в неоднородном пласте, состоящем из двух частей If и D" с проницае-
мостями к+ и к" соответственно (см. рис. 9, а). Пусть /?"и/?+ — мини-
минимальное и максимальное расстояния от границы раздела зон Г^ до центра
Ow. Легко подсчитать расход Q в двух крайних случаях круговой внутрен-
внутренней зоны радиусов R~ и R* . Пусть Q~ н Q* — соответствующие значения
Q, тогда (при к~ < к+ ) имеем оценку
Q+< Q< Q-	B.21)
справедливую для произвольного степенного закона фильтрации.
Если справедлив линейный закон фильтрации Дарси, имеется большой
запас явных решений, которые могут быть использованы как базис для
сравнения. Это позволяет дополнительно расширить возможности каче-
стрснных методов. Пусть в предыдущем примере скважина эксцентрична
относительно контура питания. Если бы пласт был однороден, эквипотен-
циалями были бы окружности семейства
z=R(R- 8exp[-W])l(Rexp(-W)- 5), W = Bn/q)(-<p + /*),	B.22)
параметром которого являются значения <р, 0 < <р <</?WJ причем значение
<pw отвечает контуру скважины радиуса
Рассмотрим теперь снова неоднородный пласт с зонами проницаемостей
к+ и к " < к* (рис. 9, 6). Пусть <р+ и <р~ — значения параметра кривых
семейства B.22), касающихся границы области D" снаружи и изнутри,
С4" и С — соответствующие окружности. Легко вычислить значения рас-
расхода Q* и <2~ для крайних случаев, когда граница D" совпадает соответ-
соответственно с С4" или С":
Q± = Q*(C±).	B.23)
При этом для расхода потока, показанного на фиг. 9, б, имеем двусто-
двустороннюю оценку B.21). Ряд важных результатов следует из теорем о вклю-
включениях 1.7 и 1.8. Для течений, следующих степенному закону фильтрации,
эти теоремы можно переформулировать в виде следующих частных теорем
о включениях.
Теорема 1.7*. Внесение в трубу D системы непроницаемых поверхностей
("перегородок") S_ приводит к уменьшению расхода потока при постоян-
постоянном перепаде давления или к увеличению перепада давления при постоян-
постоянном расходе.
Теорема 1.8*. Введение в трубу D системы бесконечно проводящих по-
поверхностей S+ приводит к увеличению расхода потока при постоянном
27

перепаде давления Р или к уменьшению перепада давления при постоянном
расходе. В частности, предписав заранее геометрию линий тока, мы полу-
получим нижнюю оценку для полного расхода, а предписав геометрию экви-
эквипотенциальных поверхностей — верхнюю оценку.
Рассмотрим несколько примеров. Пусть течение, конфигурация которо-
которого показана на рис. 9, б, следует закону Дарси, причем D" — круг радиу-
радиуса R" с центром Ow. Эта простая задача не имеет явного решения. Чтобы
получить двусторонние оценки для расхода, допустим сначала, что поверх-
поверхность раздела С = dD~ является бесконечно проводящей. Тогда давле-
давление постоянно на этой поверхности, р -р_ = const. Известны явные форму-
формулы для расхода течения между двумя окружностями радиусов ге и rw при
межцентровом расстоянии 5 [95, 141]:
2пк	Ъ - д2
Q = — (Ре -Pw)/ln	 .	B.24)
М	rerw
Используя дважды это соотношение, получим
= ЪгГГ Р- ~PW _ 2пк\ре-р_)
\R-/R	\(R2 2)/RR- '
е-
ц \nR-/Rw	n\n(R2 - a2)/RR
2пк*	/к* R- R2 - а2
с.,„)/{
Выражение B.26) дает верхнюю оценку для истинного значения расхода Q.
Чтобы получить нижнюю оценку, допустим, что функция тока ф представ-
представлена в виде
Ф = Ф(в),	B.27)
где (г, в) — полярные координаты с полюсом в О„. Тогда только радиаль-
радиальная компонента скорости фильтрации wr отлична от нуля,
B.28)
Поскольку перепад давления вдоль любой линии тока должен быть равен
Ре - Pw>HMeeM
Ъф
г(в)= y/R2 - a2sin2в + acosfl,	B.30)
к+	2«\к+ R-	г(в)Г1
= — (Pe-Pw)I \— In— +ln-^f dd.	B.31)
/х e	о Ik Rw	R 1
Рассмотрим вновь задачу теории фильтрации о притоке к эксцентрично
расположенной скважине (см. рис. 9, б) в однородном пласте, но для не-
28

линейного степенного закона фильтрации. Чтобы получить двусторонние
оценки, будем действовать так же, как и ранее.
Взяв пробное поле скорости в форме B.28), получим
Pe-Pw= С(Ьф/двУ(Я^-5 - [rid)]1'5 )/(s - 1);	B.32)
И	С	 J о' lRl--
Здесь зависимость г (в) вновь определяется соотношением B.30).
Чтобы получить для Q верхнюю оценку Q+, рассмотрим семейство
окружностей С(Х), заданное уравнением
Г2, СA)= ГЬ	B.34)
и будем считать, что изобары совпадают с этими окружностями, р
Рассматривая течение между двумя близкими изобарами, получим
2 я №w+ Чг(в)-Кк)]2+[кг\в)]2\
Х(Х)= f 	- йв.	B.36)
6 \№RW + 4r(p)RWi'
В качестве следующего шага рассмотрим группу задач, связанных с
экстремальными областями упомянутого в теоремах 1.11 и 1.12 типа.
Рассмотрим сначала скважину в качестве выходной повер&юсти потока
в однородном пласте и попытаемся найти такую форму цилиндрической
входной поверхности с образующими, параллельными оси скважины, что-
чтобы расход фильтрационного потока от этой поверхности к скважине был
минимальным при фиксированном значении перепада давления и
фиксированном объеме ограниченной этими поверхностями области. Ре-
Решением этой задачи, очевидно, является поверхность кругового ци-
цилиндра, соосного со скважиной. Потребуем теперь, чтобы подлежащая
отысканию поверхность целиком лежала внутри заданной области В. Теперь
задача оказывается нетривиальной. Тем не менее ее удается эффективно
решить для широкого класса плоских задач. Пусть граница ограничивающей
области В представляет собой цилиндрическую поверхность, параллельную
оси скважины, совпадающей с осью z. Тогда мы имеем следующую плос-
плоскую задачу. Задана плоская область В, содержащая начало координат
и окружность Г2 :|х| = RW9 лежащую внутри В. Нужно найти такую кривую
Гх С В, чтобы при фиксированной площади области, ограниченной кривы-
кривыми Гх и Г2, и фиксированном перепаде давления между ними расход
фильтрационного потока был минимальным.
Кривая Г! будет состоять из двух частей, одна из которых (Г7) при-
принадлежит границе ЪВ области В, а другая (Г*) лежит строго внутри В.
В соответствии с теоремой 1.12 абсолютная величина скорости фильтрации
будет постоянной вдоль линии Т\ . Именно это последнее свойство дает
ключ к решению проблемы в ряде случаев.
29

Пусть, например, область В представляет собой полосу (рис. 10)
_оо< х <оо, \у\ <h, R<h.	B.37)
Введем известное преобразование годографа, взяв за новые независимые
переменные абсолютную величину скорости фильтрации w и угол 0, со-
составляемый вектором скорости с осью х, а за новые неизвестные — давле-
давление р, функцию тока ф и физические координаты х и у. Легко показать
(смотри, например [13, 20]), что в новых переменных мы имеем уравне-
уравнения
Ър _ Ф Ъф Ър _	Ф2 Э^
dw w2 Ъв ' Ъв " м>Ф'(и>) bw '
.й ( d# йф \
6х + idy = elQ[	+ / — I.	B.39)
\ Ф	w I
На прямолинейных линиях тока, равно как на прямолинейных линиях
постоянного давления, угол в сохраняет постоянное значение, так что
на плоскости годографа (w, в) эти линии отображаются на прямые парал-
параллельные оси w. Неизвестная граница постоянной абсолютной величины
скорости Г7 отображается, очевидно, на прямолинейный отрезок, парал-
параллельный оси в. Наконец, контур скважины Г2 можно рассматривать как
контур большого постоянного значения модуля скорости. Таким образом,
неизвестная область течения отображается на прямоугольник с разрезом
на плоскости годографа (прямоугольник ABCDEA рис. 10, б, в). В этом
прямоугольнике нужно решить уравнения B.40) при граничных условиях
ф = 0 на АВ, ф = Q на ADE,	B.40)
дф/bw = 0 на BCD и АА.	B.41)
Эти граничные условия являются непосредственным следствием упомяну-
упомянутых выше граничных условий в физической плоскости, показанных на
рис. 10, а.
В формулах B.40), B.41) значение постоянной скорости ?/, соответ-
соответствующее контуру скважины АА, U = Q/ BnRw) весьма велико, так что
мы можем считать точку А расположенной в бесконечности, U-*°°.
Два других характерных значения
wD =Л, вс=у	B.42)
являются свободными параметрами задачи в плоскости годографа. Они
должны быть определены из двух геометрических условий: полутолщина
АЕ полосы и полная площадь области течения должны принимать заданные
значения.
Задача в плоскости годографа (см. рис. 10, в) много проще исходной
(рис. 10, а). Она может быть эффективно решена несколькими методами.
Мы рассмотрим здесь только простейший случай течения, следующего за-
закону Дарси. Удобно ввести комплексную скорость со = we~ie и комплекс-
комплексный потенциал:
W = -y + гф\ у= кр/ц; oo = dW/dz.	B.43)
Аналитическая в области ABCDEA -плоскости со-функция W (со) удовле-
30

У/////////////////////У/////////А
иг J
В С
ив
Г
в
А
Рис. 10. К построению экстремальной области для притока к источнику в полосе
творяет граничным условиям, показанным на рис. 10, в, и имеет логариф-
логарифмическую особенность при Ы -> °° .
W =-(Q/2n)lnco+ 0A), М-» °о.
Решение задачи рис. 10, в имеет вид
Т? -
AW
z= /— = /
n=
tgy
tg27
I
Л2);
AW
co(tj) qtj
dij; z
= 0;z
= id.
= o
B.44)
B.45)
B.46)
B.47)
Последнее условие позволяет найти у при заданном значении Л, которое
удобно использовать в качестве параметра задачи вместо площади S.
В качестве другого примера рассмотрим плоскую задачу о течении к
контуру питания (Я = 0) от кругового источника АА' (скважины, Н = Н°)
вблизи непроницаемой границы ED (рис. 11, а). Форма контура питания
Гх неизвестна и отыскивается из условия минимальности расхода при
фиксированной площади области фильтрации. Считая пласт однородным,
а течение следующим закону Дарси, имеем задачу
АН = 0, zeGz ,
Я= H°,zeAA'\H = 0?ЭЯ/Эи= \^еТг\ ЪН/Ъп= O,zeCDArUAB.
B.48)
Ограничимся пока простейшим случаем, когда контур А А' стя-
стягивается в точку, что соответствует скважине пренебрежимо малого ра-
радиуса. При этом поле скоростей определяется с точностью до множителя,
31

1
1
Рис. 11. К построению экстремальной области для
притока к источнику вблизи непроницаемой
границы
Рис. 12. Зависимость безразмерного расхода от
безразмерной площади для экстремальных областей
а разность Я° -» °о , однако положение линии Г х, отвечающее заданной
площади области фильтрации, оказывается вполне определенным.
Решение задачи строится методами теории струй [57,63,77]. Введем
вспомогательную комплексную переменную t, изменяющуюся в верхней по-
полуокружности Gt\ \t\ < 1, О <argr< 7г (см. рис. 11,6). Будем искать
конформное отображение z(f), переводящее искомую область течения
G2 в Gt с соответствием точек, указанным на рисунке. При этом для W(t)
имеем, очевидно, ReW =0 на BD, Im W = ф = 0 на АВ\ lmW=1/2Q наАЕП,
откуда следует,что W= (г/2n)Qlnt+ C; dW/dt= QlBirt).
Далее, комплексная скорость co=dW/dz =ме~*в является в области
Gt аналитической функцией t с краевыми условиями: |со | = w = X на BD;
arg со= -в = 0 на АВ\ arg со = -0 = -я на ЯЛ; arg со =-0 =-1/27т
mDE. Полагая х =1п(со/Х), получаем, что функция х@ реализует
течение внутри единичной окружности, создаваемой стоком интенсив-
интенсивности 2тг, расположенным в центре окружности, и источником
интенсивности 7г в точке (—а). Отсюда
или
32
х -
л
со =
-lnr +
dW
dz
2
X
-у
t
In
1 +at
TT
+at '

Таблица 1
N
а
1
2
S°
1
2
Q°
l
2
1
2
3
4
5
Отсюда
dz
dt
0,990
0,913
0,832
0,700
0,500
Q /1 +ai
2n\ t + a
0,99
0,9
0,7
0,5
0,3
1,372
1,110
1,203
1,621
3,144
0,297
0,533
0,906
1,430
2,537
5,809
4,782
4,602
4,901
6,419
1,262
1,470
1,780
2,170
2,846
z =•
тгХ
B.49)
Здесь 50 — площадь области течения.
На рис, 11 приведены искомые границы течения (кривые 1-5), по-
построенные по формуле B,49) при t =е*Фв безразмерных координатах
х° = х/1, у0 = у/1. Соответствующие значения безразмерных параметров
Q0 = 6/(^0 и *^0 = $о/12 даны в колонке 1 табл. 1 (N — номер кривой).
Кривая 3 отвечает случаю наименьшего расхода. На рис. 12 сплошной
линией изображена зависимость Q0 Eю). Обращает на себя внимание неод-
неоднозначность связи между Q0 и S0 в интервале 1,110 <5° < яг/2, где при
фиксированной величине S0 имеется два решения задачи B.48), что сви-
свидетельствует о нетривиальности вопросов существования и единственности
решения в данном случае. Можно лишь утверждать здесь, что решение зада-
задачи о минимуме расхода при фиксированной площади (если оно существу-
существует) принадлежит множеству решений задачи. Заметим, что при S0 > 2,361
граница Гх выпукла и, согласно доказанной в [63] теореме, на решении
реализуется минимум расхода.
Штриховой линией на рис. 12 показано решение для схемы с одномер-
одномерным течением, когда искомая граница - окружность радиуса R </.При
S° = -nil кривые, соответствующие различным схемам течения, касаются
друг друга.
Вернемся теперь к исходной постановке задачи B.48). В области изме-
изменения t круговому источнику А1 А малого по сравнению с / радиуса г
соответствует линия, близкая к окружности малого по сравнению с едини-
единицей радиуса. Это позволяет использовать формулы B.49), B.50) для ана-
анализа решения задачи B.48).
Введем безразмерный параметр Q* = [Q/(ttH)] ln(//r)]. Формула
3. Зак. U00	33

B,49) дает возможность выразить его через параметр а и отношение
1/г
/Г / Г1	, 1-я4 1+я2
Q* =ln- In	 , /00= я2 +	In	 .
г L r/OOJ W	2	1-я2
Безразмерная площадь вычисляется по формуле
В случае одномерного (радиального) течения имеем
Q*= In I/r [In W/rWWfn)]'1-
На рис. 13 изображены кривые зависимостей Q* = Q*(S°) при 1/г =
= 104 и 106 (соответственно } и2). В интервалах 1,110<5'0 <я/2 штрихо-
штриховая кривая практически сливается с верхней ветвью сплошной; на концах
интервала имеются точки возврата.
В качестве обобщения рассмотренной задачи М.М. Алимовым и
Э.В. Скворцовым [1,2] рассмотрено течение от кругового источника
("скважины") к контуру питания неизвестной формы в области, имеющей
клиновидную форму, в предположении, что источник находится на оси
клина (рис. 14). При а = я/п рассматриваемое течение представляет собой
элемент симметрии для течения, создаваемого кольцевой батареей п равно-
дебитных скважин. Полагая, что на границе А'А" давление равно Рх,
на Г оно равно Р2, а площадь области AtrBCDAfA принимает заданное
значение S, будем искать форму свободной части контура питания, исходя
из условия минимума расхода, т.е. по доказанному выше — из условия
постоянства скорости фильтрации на Г. При этом ограничимся случаем,
когда контур A A'f стягивается в точку при заданном расходе Q. Для
давления р имеем задачу
кр
Ау =0 , xeD, <р - — ,
М	B.51)
sp = 0, |V^I = X,xer;\// =0,хеАВ; ф = 1/ 2 Q, xeAD.
Сформулированная задача также решается методом особых точек с ис-
использованием вспомогательной переменной и - ?+/1?, изменяющейся
в верхней единичной полуокружности. Решение (см. [1,2]) имеет вид
dH> Q	1 сШ 1 /и + d\i-v
du 2тги	X dz и \1 + мс//
dZ ^ 		f-Л-О;
dw 2яХ \и + d J
B.52)
0 < i; = а/я< 1.
34

Рис. 13. Зависимость Q* от безразмерной площа
Рис. 14. К построению экстремальной области для
притока к источнику внутри клина
В результате имеем
Q
z(u)=
2этХ
и /1 +ud у
-d\u+ d )
du.
B.53)
Связь между безразмерным расходом Qo ~ Q/(A/) и свободным парамет-
параметром задачи во вспомогательной плоскости d находится из условия z @) = /,
так что
Go = 2тг//@).	B,54)
Параметрическое уравнение неизвестного контура Г имеет вид
J(e*) l-d2 „ A:+l ,
z° = z/l = ¦
/@) /@) *=о k+v
у =arccos [Bd+(l +d2) cos a)/ A + 2dcoso + c?2) ].	B.55)
Для безразмерной площади области фильтрации So - S/l2 получается
формула
So =
2J2 @)
1 + J@)
B.56)
Ряд в представлении для функции / (м) [ типа использованого в B.55) ]
удается просуммировать при v - 1/ п, где и — целое.
Очевидно, приведенное решение является прямым обобщением рас-
рассмотренного выше и сводится к нему при п = 2. Для и = 4 (a = 7г /4) ре-
35

Таблица 2
Кривая
Кривая
1	0,075
2	0,143
3	0,422
1,434
1,039
0,609
3,012	4
2,586	5
2,188
0,702
0,940
0,511
0,799
2,508
4,212
шение имеет вид
B-58)
причем неизвестная граница дается параметрическим уравнением
B'60)
где 7 определено формулой B.55), 0 < о < п.
Решение задачи существует лишь при тех значениях свободного пара-
параметра d, при которых вдоль всей границы arg z < п/4 (см. рис. 14,я);
предельное значение d равно <2„ =0,940. При этом оказывается, что су-
существует минимально допустимое значение безразмерной площади S% «
«0,511.
На рис. 15 показаны границы искомой области для нескольких значений
параметров (табл. 2).
Связь между Qo и 50 , как и в рассмотренной выше задаче, оказывается
неоднозначной; она показана сплошной линией на рис. 16,я. Пунктиром
показана зависимость Qo(^o) ДОЯ тривиального решения, отвечающего
границе Г в виде полукруга. Если считать, что источник представляет
собой окружность малого радиуса г < /, перепад давления равен Р, то для
безразмерного расхода Q*, определенного выражением
G*= fiQI2nkPt
из приведенного выше решения для точечного источника имеем
G*= I In {l/(rJ@)d3!*) } ]
B.61)
B.62)
36

Q
6г
О 0,4 0,8 1,2 1,6 х	О 1 2 3 VS
Рис. 15. Границы экстремальных областей для течения внутри клина
Рис. 16. Зависимость безразмерного расхода от безразмерной площади экстремаль-
экстремальной области для течения внутри клина
п
Рис. 17. К решению задачи об источнике конечного радиуса
Из рис. 16 следует, что в области значений 0,511 < So < 0,799 сформули-
сформулированная выше задача B.51) имеет два (а если учитывать радиальное -
три) решения.
Решение задачи о минимуме расхода, если оно существует, должно
содержаться среди построенных решений. Тем не менее, остается некоторая
неопределенность, поскольку не доказано, что решение сформулированной
задачи со свободной границей действительно реализует минимум (хотя
бы локальный) расхода.
37

Такое доказательство удается дать для течений, следующих закону
Дарси, в тех случаях, когда свободная граница оказывается выпуклой.
В данном случае искомая граница оказывается выпуклой при So> 1,039.
Таким образом, для этой области параметров найдена нижняя оценка
зависимости расхода от площади области фильтрации.
Несколько более сложная задача возникает при анализе течения, когда
источник представляет собой окружность конечного радиуса (рис. 17, а).
Приводимое ниже решение ее также принадлежит М.М. Алимову и
Э.В. Скворцову [2].
В данном случае в качестве области изменения комплексного параметра
и используется прямоугольник с ясным из рис. 17,5 соответствием точек.
При этом
dW/du = -4ФО/7Г ; т= 2/2Ф0 .	B.63)
Для функции f (и) используется представление
?(м) = $о(и)ехР [- ^(w)] ,	B.64)
где
B.65)
- функция, содержащая все особенности f (и), определяемые физической
постановкой задачи; #х и #2 - эллиптические функции.
С учетом представления для ?(м) формулы возвращения на физичес-
физическую плоскость z даются интегрированием соотношения
DФ0/яе) ?оЧи)ехр [П(и)].	B.66)
Если выбрать для функции Щи)представление
2/ тгт\ оо shB*n/T)
П(и)= — (-W+ / — 1+ 2 Ск—	—!—,	B.67)
она будет удовлетворять всем граничным условиям, за исключением усло-
условия на известном контуре питания — границе Г.
Граничное условие на Г приводит к итерационной формуле для отыска-
отыскания коэффициентов Ск. Связь между параметрами задачи во вспомогатель-
вспомогательной плоскости d и физическими параметрами определяется из соотношения
L ( 1	dz
_=Re — / — dw
/	[/ сва du
Пример результатов, полученных с помощью кратко изложенного выше
подхода, показан на рис. 17, а. Контур Г имел вид дуги окружности с
R/1* =0,32; /"* = (L + /)/2. Кривым 1—4 отвечают значения отношения
б/Ф0 = 1,3, 3 и 3,25. Таким образом, и в этом случае одно значение расхода
может отвечать различным значениям площади области, т.е. сохраняется
неоднозначность, характерная приведенным выше решениям для точечных
источников.
38

А	В х
а	6
Рис. 18. Построение области минимального расхода для течения к щели
О В 0,5 х"	о	А В
Рис. 19. Области минимального расхода для притока к щели
Рис. 20. Задача о минимальной изоляции для эллиптического заданного контура
Рассмотрим теперь движение, отвечающее фильтрации от искомого кон-
контура питания Вд(у = Н) к прямолинейной щели AD(y = 0) (рис. 18, а).
Пусть у о = кН, Л — модуль скорости фильтрации на искомой границе ВС.
Используя метод особых точек, можно получить связь между вспомо-
вспомогательной переменной t, (рис. 18, б), комплексной координатойz и потен-
потенциалом W в виде
dW
—
dz
2\К(а)аУг
arccos
1 + a2 - 2at
1- a2
B.68)
где Q — расход, К (а) — полный эллиптический интеграл. Отсюда можно по-
получить уравнение границы ВС и формулы, связывающие расход (?, перепад
напора И и площадь области фильтрации S 0 со вспомогательным парамет-
39

ром а в виде
z(o) [	a cos (a/2)
= arctg	а- 2, /oV
sin2(a/2)
[	a cos (a/2)	,
I yl+a sin2(a/2)
+ asin(a/2)] (ln^—V ,a = -—, t = eio;	B.69)
j \ 1 -a/	1 -я
S°= —— = 	 (in	I ; Q°=— = 2y/aK(a)[ln	 >
/2	2 V I-a/	\l	W\ 1-J
Я	/	1	.	_\/ 1+jV1
	 = 2VflF(arcsm-	 . \J\ —д2И1п 	 I .
XI	\ y/TTa	/\ 1-л/
Здесь F — эллиптический интеграл первого рода. Функция S° = / (а) мо-
монотонно убывает от бесконечности до нуля при возрастании параметра а от
нуля до единицы, поэтому в рамках принятой схемы течения задача разре-
разрешима при любом значении S °.
Поскольку свободная граница выпукла при всех значениях а, получен-
полученное решение дает минимум расхода при фиксированной площади области
фильтрации.
Рассмотренная задача в силу очевидных аналогий может трактоваться
так же, как задача об оптимальной (обеспечивающей минимум веса при
фиксированном суммарном потоке тепла) форме тепловой изоляции ис-
источника в виде длинной тонкой полосы.
На рис. 19 изображены искомые границы (кривые 1—5). Соответствую-
Соответствующие значения безразмерных параметров даны в колонке 2 табл. 1.
Э.В. Скворцовым и М.М. Алимовым рассмотрено также следующее обоб-
обобщение "задачи о минимальной тепловой изоляции" рис. 18. Предполагается,
что задан эллиптический контур постоянного давления и ищется охваты-
охватывающий его контур Г, реализующий минимум расхода при заданной площа-
площади между контурами (рис. 20). Имеем задачу
Д<Р= 0, (х,у) е D;
4>\ad = 0, <р|г = -Я, Э^/Эя|г = X,	B.70)
CD
ав = 0.
В качестве области вспомогательного комплексного переменного и = ? +
+ /т? вводится прямоугольник А @,0), 5A,0), C(l,ia), D@,ioi), a =
= Q/H, где Q — расход через область фильтрации.
Нетрудно видеть, что dW/du = Я. Положим
?2 (и) = In (X dz/dW) = In (X/u) + ifl = v + ie.	B.71)
40

Очевидно,
О \ав = 0, в\вс= я/2, v\BC = 0.	B.72)
Граничное условие на линии постоянного давления AD получается с учетом
того, что кривизна эллипса связана с углом 0 между нормалью и осью х
соотношением
к@)= R'1 A -M2sin20K/2,
где д— эксцентриситет, R — радиус кривизны в точке А. Оно выражается
соотношением
de/di7 = М [ 1 - м2 sin2eG?) ] *2 exp [i/fo)],	B.73)
М = H/(KR). Возникающая краевая задача решается известными в теории
струй [57, 78] методами.
Используется представление
тг(и - 1)	оо	Г пк(и - 1) "I
Я (и) = —	 + SQsh	 ,	B.74)
2а	к = 1 L а	1
удовлетворяющее всем условиям, кроме условия B.73) на заданном кон-
контуре AD. Из этого условия коэффициенты Ск находятся с помощью итера-
итерационной процедуры
Ж	а	12а
/Ф()(//I	= — / Ф(г7> dr?;
, t , ,/Ф(г7)со8(тг/:т?/а)Aт7;	/
77к chirk/а о	М я о
3/2
1 - м2 sin2 — + S Ck ch
к^1^iL	B.75)
я/:	я/: г?
ехр — + 2 С* sh — cos
к= 1 а	а
Возвращение на физическую плоскость получается интегрированием
соотношения B.75) с учетом выражения B.73) при условии z @) = 0.
Связь между параметром задачи а и заданной площадью S области течения
находится из общего выражения
dz 2
— <i?ch?.	B.76)
dw	ч '
Результаты расчета в виде семейства границ искомых экстремальных об-
областей показаны на рис. 21, а, ц= 0,9; а = 1,5; 2; 3; 5; 10 (для кривых
2-6 соответственно). На рис. 21, б показана зависимость минимального
расхода от площади для опорных областей с м= 1; 0,9; 0 (кривые 1-3 соот-
соответственно) .
41

у/с
a
\
6

0
S/C2
0	1	2 x/C
Рис. 21. Результаты решения задачи об оптимальной изоляции для эллиптического
контура
у/1
а
?
20
10
(Г
о
6 х/1
О
10
20 S/12
Рис. 22. К построению оптимальных областей при степенном законе фильтрации
Задача на плоскости может быть эффективно решена в ряде случаев и
для нелинейных законов фильтрации, если воспользоваться линеаризую-
линеаризующими преобразованиями годографа или Лежандра, широко применяемыми
в теории фильтрации [20]. Соответствующая экстремальная область будет
реализовывать экстремум функционала R*. Если закон фильтрации степен-
степенной, то эта область реализует также экстремум расхода фильтрационного
потока при фиксированном перепаде напора, поскольку для степенного за-
закона фильтрации Ф = ws имеет место тождество QH =E+1)D*=R*.
Соответствующий пример также рассмотрен М.М. Алимовым и
Э.В. Скворцовым. Исследуется течение при степенном законе фильтрации
= кр/ц.
B.77)
Считается, что задан прямолинейный контур питания CD и скважина в точ-
точке А на заданном расстоянии от него; требуется найти дугу Г, образующую
вместе с CD замкнутый контур питания и реализующую при этом минимум
расхода при заданной площади области фильтрации. При фактическом оты-
отыскании границы используется условие постоянства модуля скорости филь-
фильтрации на искомой границе, и решение строится для точечного источника.
42

Таблица
Кривая
1
2
3
3
S
0,5
1
2
5,69
7,29
9,28
S/ I2
3,01
4,49
6,96
Кривая
4
5
6
S
0,5
1
2
QKW
11,9
17,5
24,3
S/l2
5,44
11,4
23,7
Задача решалась путем преобразования к плоскости годографа с последую-
последующим построением решения в плоскости годографа методом прямых.
Форма экстремальных областей показана на рис. 22, а (соответствующие
значения параметров приведены в табл. 3); зависимость расхода от площа-
площади области для s = 0,5; 1 и 2 —на рис. 22,^ (кривые */-3 соответственно)
Отметим в заключение, что развитый подход может иметь приложение по
крайней мере в двух аспектах. Прежде всего он позволяет непосредствен-
непосредственно получить явное решение ряда оптимизационных задач, аналогичных опи-
описанной выше задаче о минимизации веса тепловой изоляции, обеспечиваю-
обеспечивающей заданное тепловое сопротивление. С другой стороны, если установить
строгие верхние или нижние оценки для фильтрационного расхода для клас-
класса областей заданной площади, эти методы могут быть использованы для
оценки возможных фильтрационных расходов в тех случаях, когда форма
области задана с некоторой неопределенностью, подобно другим качествен-
качественным оценкам.
Выше речь шла почти исключительно об отыскании областей с неизвест-
неизвестными участками границы питания, реализующих при заданной площади ми-
минимум расхода фильтрационного потока. Взаимная к указанной задача
отыскания областей, реализующих максимум расхода (минимум фильтра-
фильтрационного сопротивления) за счет специального подбора непроницаемых
границ (см. выше) может быть решена теми же методами. Существенно,
однако, что в ряде случаев нет необходимости строить решения, а доста-
достаточно воспользоваться готовыми решениями плоских задач отыскания це-
целиков остаточной вязкопластичной нефти в однородных пластах (напри-
(например, [20, 78, 121], см. также ниже разд. 2.2), которые оказываются мате-
математически эквивалентными рассматриваемым.
Так, решения задачи о целиках в элементе пятиточечной сетки сква-
скважин [20] одновременно дают семейство областей минимального фильтра-
фильтрационного сопротивления при заданной площади и условии, что область те-
течения не выходит за границы квадрата, а поток движется между его двумя
противоположными вершинами.
1.3. Качественные методы в теории фильтрационных течений
со свободными границами
1.3.1. Классическая задача теории фильтрации со свободной границей —
стационарная задача безнапорной фильтрации в грунтовой плотине (см.
рис. 2, в). На рисунке показана плотина на непроницаемом (например,
скальном) основании ("водоупоре"), отделяющая воду в верхнем бьефе с
уровнем #! от воды в нижнем бьефе с уровнем Я2. Область фильтрацион-
43

ного движения внутри плотины ограничена сверху свободной поверхностью
жидкости ("депрессионной поверхностью"), на которой давление равно ат-
атмосферному.
Со стороны верхнего бьефа (на верхнем откосе плотины) депрессионная
поверхность непрерывно сопрягается со свободной поверхностью воды в
верхнем бьефе. На задний же откос плотины депрессионная поверхность,
как правило, выходит выше уровняводыв нижнем бьефе, и образуется так
называемый промежуток высачивания, на котором давление также равно
атмосферному.
В целом возникает достаточно сложная задача с неизвестной границей,
эффективное решение которой построено методами теории функций ком-
комплексного переменного лишь для плоских движений в однородных плоти-
плотинах сравнительно простой конфигурации [4,116].
Ниже рассматривается схема течения (рис. 2, в), отвечающая плоскому
течению с "упорядоченным" расположением границ области течения —
участка максимального напора Г#, депрессионной поверхности FDi проме-
промежутка высачивания Гу, линии минимального напора ГЛ и непроницаемой
границы водоупора FN, хотя основные результаты оказываются верными
для существенно более сложной структуры течения (см. работы Н.Д. Яки-
Якимова [146,147], которым следует и приводимое здесь изложение).
Будем считать, что в "сечении плотины" — области ?2* содержащей при
всех ее вариациях область течения П, задано поле проницаемости к (х,у),
причем к(х, у) — кусочно-гладкая в С функция @ < а <к <Ь < °°),
имеющая, возможно, разрывы вдоль конечного числа линий, являющихся
дугами Ляпунова. Искомый напор Н (х,у) является решением задачи
Э / ЪН \ Ъ I ЪН \
LH=— [к — ) + — [к	) = 0, (х,у)е П;
Ъх \ Ъх / Ъу \ Ъу /
дН/дп = 0, (х, у) Е rN, TD ;	C.2)
Н=у, {х,у) е iyrD.
Последние условия означают, что на депрессионной кривой и участке выса-
высачивания давление равно атмосферному, принимаемому за нуль.
Предполагается, что геометрия течения такова, что решение задачи су-
существует и удовлетворяет естественному условию р > 0 в Q,.
В [146, 147] указаны условия, при которых это требование заведомо
выполняется и при достаточно сложной схеме течения.
Решение задачи обладает рядом достаточно очевидных, но важных
свойств [146].
1.	Напор Н(х,у) удовлетворяет неравенству Hi > Я > Я2 в области те-
течения 12 и на границах Г^иГд. Это утверждение есть прямое следствие
принципа максимума в формулировке Хопфа.
2.	На Гя почти всюду дН/дп< 0, на Гл почти всюдуЬН/Ьп >0. Это так-
также следствие принципа максимума Хопфа с учетом того, что на Г# напор
принимает максимальное, а на Г yli — минимальное значения в 12.
44

3. Косинус угла между нормалью п и вертикальной осью у вдоль депрес-
сионной кривой TD отрицателен, т.е. депрессионная кривая монотонно по-
понижается от верхового откоса к низовому. Это следует из того факта, что
р > О в Пи, следовательно, вдоль VD (на которой р = 0) Ър/Ъп > 0. Но
др/дп = dh/dn - Ьу/дп = дН/дп - cos (п,у) и, поскольку ЪН/Ъп = 0 на TD (ус-
(условие непротекания), cos (n,y) < 0.
1.3.2. Перейдем к рассмотрению вариационных теорем для безнапорно-
безнапорного потока. При этом будем рассматривать два типа вариаций.
а)	Вдавливание границ постоянного напора Гн иГА или непроницаемой
границы FD внутрь области движения.
Единственное отличие данного случая от вдавливания, о котором речь
шла в разд. 1.1 и 1.2, состоит в том, что за счет возможной деформации де-
прессионной кривой имеет смысл рассматривать вдавливание не только в
исходной области движения, но и в содержащей ее области - "сечении пло-
плотины" Я* -
б)	Замена участка границы одного типа участком другого типа. Под этим
понимается замена краевого условия одного типа условием другого типа.
Можно, например, "сделать" непроницаемой часть входной кривой Г#. Это
будет соответствовать замене части границы Г# на Г^. Сравнивая исход-
исходную и измененную постановки, будем отмечать звездочкой (*) величины,
относящиеся к исходной, а двумя звездочками (* *) —относящиеся к изме-
измененной конфигурации. Имеют место следующие теоремы Н.Д. Якимова
[146,147].
Теорема 3.1. При вдавливании участка наибольшего напора Г#, а также
при замене части непроницаемого участка границы Г^, участка высачива-
ния Гд, или участка наименьшего напора Th участком наибольшего напо-
напора Гя:
а)	значение расхода фильтрационного потока Q увеличивается;
б)	значения напора Н и давления р увеличиваются во внутренних точках
исходной области фильтрации ?2* и на неизменной части непроницаемой
границы TN;
в)	значения скорости фильтрации v увеличиваются на неизменной части
участков ГЛ и Гу и уменьшаются на неизменной части участков Г#;
г)	кривые депрессии поднимаются.
Теорема 32. При вдавливании участка наименьшего напора ГЛ или
участка высачивания Г^, а также при замене непроницаемого участка Г#
участком ГЛ илиГд,:
а)	значение Q возрастает;
б)	значения Н и р уменьшаются (в Я** и на Т%*);
в)	значения скорости фильтрации v увеличиваются на участках наиболь-
наибольшего напора и уменьшаются на неизменной части участков Гл иГ^;
г)	кривые депрессии опускаются.
Теорема 3.3. При повышении уровня воды в верхнем бьефе (при увели-
увеличении Нх) :
а)	значение Q увеличивается;
б)	значения Н (и р) увеличиваются (во внутренней части области тече-
течения П* и на ее границе,за исключением участков Г^ и Г-у);
в)	значения v увеличиваются на участках границы с заданным напором
ГЯ,ГЛ иГу;
45

г) кривые депрессии поднимаются.
Теорема 3.4. При повышении уровня воды в нижнем бьефе (увеличении
Я2);
а)	значение расхода фильтрационного потока Q уменьшается;
б)	значения Я и р увеличиваются в 12* и на ее границе, за исключением
участка Г# и неизменной части Г^;
в)	значения скорости фильтрации v уменьшаются на участках Гн и неиз-
неизменной части Г/j и увеличиваются на неизменной части Г^,;
г)	кривые депрессии опускаются.
Теорема 3.5. Для конфигурации типа основной задачи о плотине (см.
рис. 2, в) с упорядоченным расположением участков границы области дви-
движения при вдавливании участка непроницаемой границы Г^:
а)	уменьшается расход Q, а также расход через любой фиксированный
участок входной или выходной границ Гя и Fh, примыкающий к Г^;
б)	значения Н ир увеличиваются на участках границы TN перед (вверх
по потоку) вдавливаемым участком и уменьшаются на участках, лежащих
за вдавливаемым; на этих участках уменьшаются значения скорости фильт-
фильтрации;
в)	кривая депрессии поднимается в окрестности входной поверхности и
опускается в окрестности выходной;
Замечание. Теоремы 3.1—3.4 верны в более общей постановке, нежели
отвечающая основной задаче рис. 2, в; авторская формулировка теоремы
3.5 [146,147] шире приведенной выше.
Доказательство теорем 3.1, 3.2 и 3.4 опирается на анализ поведения раз-
разности напоров ДЯ = Я** - Я* в пересечении Д12 областей 12** и 12*. Выде-
Выделим на границе ЭД12 участки, которые совпадают с заданными участками
Э12*и Ш**. Очевидно, на них либо АН> 0, либо дАН/дп=0. Кроме того,
граница ЭД12 может, вообще говоря, содержать участки Г°, лежащие на
исходной депрессионной кривой Г*}, и участки Г, лежащие на возмущенной
депрессионной кривой. Посколькур = 0 на Г#иГЬ*и р> 0 внутри 12*и 12**
АН> О на Г° и ДЖО на Г.
Допустим, что участки Г существуют. Тогда в Д12 должна существовать
по крайней мере одна связная компонента 12", в которой ДЯ < 0. Ее гра-
граница Э1Г может состоять, помимо Г, из участков ЭД12, на которых
дАН/дп = 0 или АН = 0, а также из лежащих внутри Аи линий уровня
ДЯ = 0.
Выделим на этой линии уровня те участки ГОг- (/ =1, ...), которые отде-
отделяют 12" от тех подобластей 12Ог-, которые ограничены Г01- и линией Г° и не-
неизменяемыми участками ЭД12. Обозначим через 120 объединение 12" и всех
120/ и рассмотрим его границу Э120. Рассмотрим
f к (дАН/дп) ds,
взятый по границе Э12". Этот интеграл существует и равен нулю, поскольку
интеграл по каждому участку Го; равен интегралу по соответствующему
участку Э120.
На линиях уровня АН = 0 имеем дАН/дп < 0, так что
/ к (дАН/дп) ds<0.
ъп/г
46

Таким образом, необходимо, чтобы
fK(bAH/dn)ds>0,
г
и поскольку
имеем
fK(dH*/dn)ds<0.	C.3)
г
Соотношение C.3) доказано для одной связной компоненты Г, но очевид-
очевидным образом доказьюается для всей линии Г.
Рассмотрим теперь подобласти ?? = ?1*/А?1, "отрезанные" от п* грани-
границей Г. Граница каждой связной компоненты п+ может состоять из Г и участ-
участков линий Г*у, Г*Ь, Г%.
Суммарный поток
и, поскольку он неотрицателен для каждого участка границы, кроме Г,
необходимо выполнение неравенства
C.4)
Однако неравенства C.3) и C.4) противоречат друг другу, так как направ-
направления нормалей в этих неравенствах противоположны. Таким образом,
предположение о наличии участков границы Г неверно, и доказано основ-
основное утверждение теорем 3.1, 3.2 и 3.4 о поднятии депрессионной кривой;
то обстоятельство, что они поднимаются всюду, кроме, быть может, конце-
концевых точек, т.е. не могут иметь точек касания, следует непосредственно из
принципа максимума. Из того же принципа максимума следует немедленно
утверждение "б" указанных теорем. Утверждение "в" следует из принципа
максимума с учетом неизменности краевых условий на соответствующих
участках границы. Наконец, утверждение "а" теорем есть прямое следствие
утверждения "в".
Доказательство теоремы 3.2 строится аналогичным образом, только раз-
разность АН в пересечении областей Д?2 оказывается отрицательной.
Наконец, для доказательства теоремы 3.5 используется сходная конст-
конструкция, примененная к функции тока ф, изменяющейся от 0 на линии во-
доупора до Q на депрессионной поверхности.
Приведенные теоремы Н.Д. Якимова (особенно в их более широком
авторском варианте [146, 147]) создают рациональный фундамент для по-
построения вариационных оценок интегральных характеристик течений с
депрессионными кривыми. Отметим, что содержащиеся в них утверждения
являются, с одной стороны, естественными, а с другой — в общем случае
исчерпывающими, т.е. трудно ожидать, что они могут быть существенно
усовершенствованы применительно к общему случаю.
1.3.3. Рассмотрим несколько простых примеров, число которых легко
может быть умножено.
47

-I	0 L I I +	x
Рис. 23. Фильтрация через плотину к дренажной щели
V///////////////////////////////.
о	х
Рис, 24. Приток к дренажной щели на водоупоре
1. Течение (рис. 23) отвечает притоку к дренажной щели на горизонталь-
горизонтальном водоупоре через плотину с вертикальным верховым откосом. Для то-
того чтобы получить требуемую оценку расхода Q и положения депрессион-
ной поверхности Y(x), воспользуемся классическим решением Форхгейме-
ра—Козени—Павловского для притока к полубесконечной дренажной щели,
лежащей на непроницаемой границе полуплоскости (рис. 24) [116], для
которого комплексный потенциал дается выражением
W(z) =<р + гф = V -2CQz,	C.5)
где Q - расход, С - коэффициент фильтрации, С = (k/iJ.)gp.
Уравнение свободной поверхности, отвечающей ф = Q, имеет вид
y2=(-2Q/C)(x-G/2C),	C.6)
причем напор на свободной поверхности (депрессионной кривой) равен,
очевидно, ее высоте Y. Подберем теперь Q таким образом, чтобы при х = —L
иметь Y-H (ср. рис. 23); соответствующее значение Qобозначим через2":
/lJTFL).	C.7)
Легко видеть, что Q~ дает нижнюю оценку для расхода в исходной задаче.
Действительно, изобразим на рис. 23 эквипотенциальную линию решения
C.5), отвечающую значению напора, равному Н при Q =Q~. Она пройдет вне
первоначальной границы области течения. Если принять эту линию за грани-
границу верхового откоса, то расход будет равен Q~, а депрессионная кривая бу-
будет параболой C.6) с Q = Q~ (пунктир на рис. 23). В соответствии с теоре-
теоремой 3.1 это решение будет давать оценку снизу для фильтрационного расхо-
48

да, а депрессионная кривая будет лежать под истинной депрессионной кри-
кривой.
Для того чтобы получить оценку для расхода сверху, воспользуемся тем
же решением C.5) —C.6), но подберем параметр Q таким образом, чтобы
эквипотенциаль, отвечающая <р = Я, проходила через точку (—L, 0). Не-
Непосредственно из C.5) находим, что при этом
Q = Q+ = H2/BCL).	C.8)
Поскольку переход к данной конфигурации достигается вдавливанием
входной поверхности, то соответствующая депрессионная кривая окажется
выше истинной (штрихпунктир на рис. 23), а величина & будет давать
оценку для расхода сверх^. Одновременно для длины "рабочего участка"
дренажной щели / имеем оценку /_</</ + (рис. 23). Используя известные
значения ?Г, 01", /_ = ?Г/BС), /+ = G+/BC), имеем
СИ2	СИ2	Н1	Я2
<Q<	<'<	C-9)
y/L2 + Я2 +L	2L ' 2[y/L2 + Я2 + Z,]	4Z '
ПриЯ/Z, <0,4 неравенства C.9) дают оценку искомых величин с ошибкой,
не превышающей 10%.
2. Столь же элементарно может быть исследовано и другое основное
для расчета оросительных систем фильтрационное течение, относящееся
к определению расхода фильтрационного потока из канала в проницаемом
грунте. Картина течения показана на рис. 25. Поток формируется на кон-
контакте грунта со свободной поверхностью канала и на удалении от канала
быстро стремится к однородному потоку со скоростью С. Основная задача
состоит в определении расхода Q при заданном профиле канала и высоте
уровня в нем. При произвольном профиле канала возникает достаточно
сложная задача, однако для ряда семейств профилей известны точные ре-
решения, полученные методами теории аналитических функций. Сюда отно-
относятся полученные полуобратным методом решения Козени с депрессион-
ными кривыми, заданными уравнением
х + 7га/2С = А ехр(С>/а),	C.10)
где В — ширина канала на уровне свободной поверхности. При этом про-
профиль канала задается параметрически уравнениями
х = Asinty/a) - ф/С; у = -A/costy/a);0<ф<па/2 = Q/2	C.11)
или
±х = ((В + 2#)/тг)arccosOVtf) - VЯ2 -у2'	C.11а)
(укороченная циклоида или трохоида ширины В и глубины Н = —А).
Таким образом, для этого семейства решений имеем простейшую
формулу
B= С(Я + 2Я).	C.12)
В частности, для канала "нулевой глубины" (щели) имеем очевидный
4. Зак. 1100	49

Рис. 25. Фильтрационное течение из канала
результат
Q = CB,
C.13)
отвечающий ленточному потоку постоян-
постоянной ширины и постоянной скорости С.
Другой класс точных решений получен
В.В, Ведерниковым; он относится к кана-
каналам треугольного и трапецеидального сече-
сечения. Выражение для расхода записыва-
записывается в виде [4, 116]
Q= C(B + rjH),	C.14)
где для каналов треугольного сечения зависимость коэффициента т? от угла
откоса а представлена ниже:
О!
V
9°
1,58
22° 30'
1,74
30°
1,82
45°
2,00
60°
2,20
67° 30'
2,31
87°
2,53
Для каналов трапециедального течения при различных углах откоса
результаты В.В. Ведерникова даны в виде таблицы 4.
Из рис. 25 и приведенных формул следует простой способ оценки расхо-
расхода, применимый для неглубоких (с Н/В < 0,10) каналов, произвольной
формы. Имеем, очевидно,
СВ < Q< С(Я + 5,73Я),	C.15)
C.16)
так что
Q= ДСA,287±0,287).
Для каналов "более правильной" формы приведенные выше результаты
позволяют получить более точные оценки. Так, для канала прямоугольной
формы с Н/В = 0,1 имеем
CB(l +3JH/B)<Q< С#A +5/73Я/Я).	C.17)
1.3.4. Рассмотрим фильтрационные течения несжимаемой жидкости
с подвижными границами — классический объект теории фильтрации.
Таблица 4
а
45°
45°
45°
45°
45°
45°
Н/В
0,500
0,347
0,245
0,146
0,0917
0,0599
п
2,00
2,40
2,78
3,29
3,73
4,12
а
30°
30°
30°
30°
30°
Н/В
0,289
0,203
0,147
0,0917
0,0599
т?
1,82
2,28
2,63
3,13
3,55
а
22° 30'
22° 30'
22° 30'
22°30'
22° 30'
Н/В
0,207
0,145
0,106
0,0676
0,0448
п
1,74
2,22
2,58
3,05
3,48
50

Если уравнение границы области, занятой данной жидкостью, имеет вид
Ф(рс,у,г,О = 0,	C.18)
а поле скоростей фильтрации и(х, у, z, f), то условие того, что граница —
материальная поверхность, записывается в форме
ЭФ
У =0.	C.19)
bt
Иными словами, нормальная скорость движения границы
vn = m-^im),	C.20)
Особый класс движений составляют течения жидкости, граничащей с га-
газом, рассматриваемым как жидкость пренебрежимо малой вязкости
и плотности. В силу этих допущений давление газа оказывается постоян-
постоянным во все время движения, так что в подобных движениях граница об-
области, занятой жидкостью, есть подвижная поверхность постоянного дав-
давления.
Рассмотрим сперва плоские напорные течения в горизонтальном пласте.
Примем, что рассматриваемое движение представляет собой "заполнение
трубки тока". Имеется в виду, что задана непроницаемая поверхность Sq
и в одном из ее сечений Sx задано постоянное значение давления Рг. Задано
также первоначальное положение свободной поверхности Sf. Предпола-
Предполагается, что область, ограниченная поверхностями Sl9 Sq и Sf, заполнена
жидкостью. Сила тяжести не учитывается. На поверхности Sf поддержи-
поддерживается постоянное давление Ро < Рг, что приводит к втеканию жидкости
внутрь рассматриваемой области через поверхность Sx и к продвижению
поверхности Sf в область, первоначально не занятую жидкостью.
Очевидным следствием принципа вдавливания является следующая
теорема сравнения.
Теорема 3.6. Пусть заданы два не совпадающие положения поверхности
Sf, Sf и S* имеющие общую точку М и ограничивающие соответственно
области течения Df и D* причем Df С D* Тогда в точке М значение нор-
нормальной компоненты скорости фильтрации для "внешнего" положения
границы «* больше, чем для "внутреннего" ип:
К\м>\»п\м-	С3-21)
Пусть теперь заданы два начальных положения свободной границы
5/|f=0 и S*\t=0, причем
D\t=0CD*\t=0.	C.22)
Тогда в любой последующий момент времени
D(t)CD*(i)	C.22а)
(т.е. свободные поверхности, не пересекающиеся в начальный момент t - 0,
не пересекаются и при последующем движении {t > 0)). Это утверждение
будем называть "теоремой ограничения" — теорема 3.7.
Доказательство его немедленно следует из теоремы сравнения 3.6.
Действительно, если предположить, что поверхность Sf обгоняет S*, то
51

найдется момент t0, когда эти два контура касаются друг друга в некото-
некоторой точке М, причем S^(t0) CD*(t0). Но тогда в точке М \ип\ < |м*|, и
контуры должны "разойтись" без пересечения.
Одно из важнейших следствий теоремы об ограничении состоит в дока-
доказательстве абсолютной устойчивости продвижения плоского фронта жид-
жидкости в незаполненный (заполненный газом) пласт. Чтобы избежать техни-
технических трудностей, связанных с рассмотрением бесконечных областей,
ограничимся исследованием течения от плоской поверхности постоянного
давления, заключенной в цилиндрическую непроницаемую трубку, образую-
образующие которой перпендикулярны напорной поверхности. Считается, что "тру-
"труба" заполнена однородной пористой средой.
Невозмущенное движение представляет собой движение плоской сво-
свободной поверхности вдоль непроницаемой трубы. При фиксированном
перепаде давления скорость движения свободной поверхности обратно
пропорциональна удалению от напорной поверхности:
к Ар dZ,
v(t)= - -?-; — = v(t).	C.23)
ц. mL at
Рассмотрим теперь произвольное начальное положение свободной по-
поверхности S°f и обозначим через Lq и Lq минимальное и максимальное
расстояния ее от напорной поверхности, а через ?-"(*) и L + (t) — соответ-
соответствующие расстояния в произвольный момент времени.
Согласно теореме ограничения, возмущенная поверхность во все время
ее движения будет заключена между плоскими поверхностями, распола-
располагавшимися в начальный момент на расстояниях Lq и Lq от напорной по-
поверхности.
С учетом C.23) имеем тогда
Bkt	\^	I2kt	\^
	Ар +(Ltf) <LXt)<L+(t)<[— Ap+(LZJ) .	C.24)
\т } \ут I
Поскольку с течением времени разность между правой и левой частями
неравенства стремится к нулю, свободная поверхность, эволюционирую-
эволюционирующая от произвольного начального состояния, стремится к плоской. Таким
образом, движение плоского фронта устойчиво "в большом".
Рассмотрим в произвольной "трубе" движение свободной поверхности,
"стартующее" от одного и того же начального положения S* ,но при раз-
различных положениях напорной поверхности Si и Sf, полагая, что поверх-
поверхность Sf получается из Sx вдавливанием внутрь области движения. В силу
теоремы о вдавливании 1Л 5 в начальный момент нормальные компоненты
скорости фильтрации на поверхности Sf окажутся выше в случае вдавлен-
вдавленной напорной поверхности Sf. Это означает, что по истечении бесконечно
малого промежутка времени dt свободные поверхности разойдутся, причем
поверхность S* будет опережать 5^.. В дальнейшей эволюции в любой мо-
момент времени t локальная скорость поверхности S* будет больше, чем она
была бы при той же конфигурации этой поверхности и невдавленной напор-
напорной поверхности Sx. Учитывая это обстоятельство и повторяя рассуждения,
ведущие к теореме об ограничении 3.7, приходим к выводу, что в любой
момент t свободная поверхность S* (f) опережает свободную поверхность
52	J

Sf(t), стартующую от того же начального положения, но при исходном со-
состоянии напорной поверхности Sx (теорема 3.8). Очевидно, это утвержде-
утверждение позволяет получить априорные двусторонние оценки для положения
свободной поверхности при сложной форме напорной поверхности.
Заметим теперь, что если обратить движение, предположив, что давление
на свободной поверхности выше, нежели давление на напорной поверх-
поверхности, то мы придем к случаю стягивания объема жидкости к напорной
поверхности. Эта задача является одним из вариантов классической задачи
о вытеснении жидкости из пористой среды жидкостью (газом) исчезающе
малой вязкости (задача о стягивании контура нефтегазоносности) [58,
116].
При этом все оценки скоростей фильтрации на свободной поверхности
(теорема сравнения 3.6) сохранятся, однако направление скорости дви-
движения свободной поверхности изменится на противоположное.
В результате вдавливание свободной поверхности внутрь области филь-
фильтрации приведет к ускоренному ее продвижению в этом направлении.
Для конкретных конфигураций потока утверждения более определен-
определенные. Рассмотрим, например, вновь движение свободной поверхности в ци-
цилиндрической трубке тока с непроницаемыми стенками, полагая, что порис-
пористая среда однородна, поверхностью заданного напора является плоское
нормальное сечение трубки тока, а начальное положение свободной поверх-
поверхности представляет собой поверхность S°f, максимальное и минимальное
расстояния которой от напорной поверхности равны Lq hLq и достигаются
в точках AfJ иМо. Заменяя свободную поверхность на плоские нормальные
сечения, расположенные на расстояниях Z,jJ и Lq соответственно, получим
для нормальной скорости в точках Mq и MZ оценки
C.25)
Применяя те же соображения к последовательным положениям сво-
свободной поверхности, получим для крайних координат текущего положения
свободной поверхности неравенства
L\t)< yJiL'Qf -2к№/цт,
Таким образом,
Д(Г)= L+- L
у/(LiJ- 2kAPt/im + V(^oJ -2к№/цт'
Это означает, что размах отклонений свободной поверхности от плоскости
возрастает со временем; движение абсолютно неустойчиво.
Оценки, подобные проделанным выше для движения в цилиндрической
трубке тока, могут быть сделаны для других регулярных схем движения.
Одним из наиболее интересных с прикладной точки зрения является дви-
движение между круговой линией постоянного давления (источником или сто-
стоком, скважиной) и охватывающей ее свободной поверхностью, на которой
53

давление постоянно. Используя аналогичные приемы, легко показать, что
рассматриваемое движение стабилизируется и стремится к осесимметрич-
ному радиальному течению, если производится закачка жидкости через
скважину, и дестабилизируется и абсолютно неустойчиво в случае отбора
жидкости (задача о стягивании контура нефтеносности [114—116]).
Заметим, что все приведенные результаты основаны только на принципе
максимума Хопфа и аналогах теоремы Заремба—Жиро, и потому они спра-
справедливы при произвольных нелинейных законах фильтрации.
Глава 2
КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ И ОЦЕНКИ
В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
ВЯЗКОПЛАСТИЧНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
2.1. Плоские задачи движения однородной жидкости
2.1.1. Теория фильтрации вязко пластичных жидкостей — своеобразный
раздел теории фильтрации, получивший.в недавнее время широкое разви-
развитие как в связи с необходимостью разобраться в специфике движения в по-
пористой среде нефтей, обладающих пластическими свойствами, так и в связи
с тем, что он приводит к интересным в математическом отношении зада-
задачам с неизвестными границами [13, 20, 78].
Фильтрация пластических жидкостей характеризуется тем, что движение
начинается лишь тогда, когда модуль градиента давления \Vp\ превосходит
пороговое (критическое) значение G, называемое начальным или предель-
предельным градиентом давления. Простейший закон фильтрации вязкопластич-
ной жидкости — закон фильтрации с предельным градиентом давления
(ПГД) определяется соотношением
Vp = -<?
Ф(\у)= w+ X, w>0,	A.1)
0< Ф(и>)< X, w = 0, X=
Наиболее интересным эффектом наличия пластического сопротивления
у фильтрующейся жидкости является образование застойных зон — облас-
областей, в которых жидкость не движется, поскольку градиент давления по
модулю меньше предельного. Определение формы и размеров застойных
зон является основной в прикладном отношении задачей теории фильтрации
вязко пластичных жидкостей. Так, в задачах разработки месторождений
вязкопластичных нефтей застойные зоны в определенной степени характе-
характеризуют долю нефти, теряемой в "целиках" (см. подробнее ниже) при вы-
вытеснении нефти водой.
Две типичные задачи показаны на рис. 26, 27. Первая из них отвечает
течению, создаваемому двумя источниками равной интенсивности; вто-
вторая — течению от нагнетательной скважины к добывающей в элементе
правильной (так называемой пятиточечной) сетки скважин. На источни-
54

\F П
ВСЕ
О Л 2ft
а	6
Рис. 26. Течение между источником и стоком равной интенсивности
ш А А В
	ЧЕ
В
и
о	j
а	а
Рис. 27. Течение в элементе симметрии пятиточечной сетки скважин
ках и стоках, линиях равного давления и непроницаемых границах форму-
формулируются обычные для теории фильтрации условия; границы застойных
зон являются линиями тока, на которых выполняется дополнительное
условие предельного равновесия
lVpl= G.	A.2)
По существу, именно это условие служит для отыскания неизвестных
границ застойных зон.
В области течения (w > 0) должна выполняться система
к
	Vp = Ф(и>^/м>, div w = 0,	A-3)
сводящаяся к нелинейному эллиптическому уравнению для давления .Таким
образом, речь идет о решении нелинейной эллиптической задачи в области
с неизвестной границей.
Значительный прогресс в решении плоских задач нелинейной фильтра-
фильтрации был достигнут благодаря использованию линеаризующего преобразо-
55

вания годографа. При этом в качестве независимых переменных берутся
модуль w скорости фильтрации и угол 0, составляемый ею с осью абсцисс,
а в качестве неизвестных — напор Я и функция тока ф, для которых полу-
получается линейная система
Ф2(и>) dф	ЭЯ Ф(и>) dф ЪН
w Ф'(м>) dw Ъв ' w2 Э0 dw '
которая может быть приведена к эллиптическому уравнению второго по-
порядка для ф или Я:
Э / Ф2	Ъф \ Ф dф
________ I 			 1 I 			 Л
3w \н;Ф'(у^) dw / w2 Э02
Э / w2 ЪН \ w& Ъ2Н _
bw \<&(w) dw / Ф2 Ъв2 "
Когда, скажем, решение ф (и>, 0) найдено, Я (w, 0) находится интегриро-
интегрированием второго уравнения системы A.4), а возвращение к физическим
переменным достигается интегрированием соотношения
На рис. 26,5 и 27,5 показаны задачи, соответствующие на плоскости го-
годографа задачам рис. 26, а и 27, а. Широкий круг практически интересных
задач на плоскости (w, в) приводит к первой краевой задаче для функции
Ф (w> в) в области, имеющей вид полуполосы с разрезом вдоль линии
в = $i = const (многочисленные примеры приведены в [20]). Значение
вх определяется геометрией области течения в физической плоскости; ха-
характерная скорость а находится после отыскания функции ф (w, в) из усло-
условия равенства характерного размера задачи заданному. В дальнейшем зада-
задачи с разрезом вдоль отрезка @, а) будем называть задачами типа А, а зада-
задачи с разрезом вдоль (а, °°) — задачами типа В.
Поскольку отсутствует принцип суперпозиции решений в физической
плоскости для уравнений нелинейной фильтрации, рассмотрение каждой
новой конфигурации является самостоятельной задачей. Возникающие при
этом трудности делают особенно важными любые способы оценки и качест-
качественного рассмотрения, допускающие быстрое получение результата.
Одна из таких возможностей связана с так называемыми предельными
решениями, соответствующими вырождению задачи в плоскости годографа.
Рассмотрим их вначале подробно на примере простейший задач А и В,
а затем попытаемся применить и к другим, более сложным.
Рассмотрим задачу А для уравнения A.5) в полуполосе 0 < и < °°,
0 < в < 0О с выброшенным отрезком уА [0 <и<а, 0 =0il при условиях
iff (и, 0)= 0, ^@,0)= 0 (О<0<0ц);
ii=w/X, iKMi)=0 (и<а); ф @,0) =B@-00/02	AЛ)
@! <0<0О); Ф(и,0о) =Q.
56

Для этой задачи можно найти приближенное решение, однако это требует
достаточно сложных выкладок. Попытаемся получить для решения
простые оценки, используя то обстоятельство, что для уравнения A.5)
справедлив принцип максимума, согласно которому решение ф (и, в) при-
принимает свои наибольшее и наименьшее значения на границе Г области А,
в которой ищется решение. Отсюда следует также монотонная зависимость
решения от граничных данных: увеличение краевых значений ф (и, в) на
некотором участке границы при сохранении неизменных значений на осталь-
остальной части границы приводит к увеличению значений ф (м, 0) во всех внут-
внутренних точках области А.
Таким образом, для решения очевидна оценка
0<ф(и,0)< QBI6Q.	A.8)
Правое неравенство следует из того, что 0Q/0O удовлетворяет уравнению
A.5), а в точках границы принимает значения, не меньше чем ф. Будем
теперь изменять величину параметра а. Пусть а и а > а — два значения па-
параметра а, а фа и фа> — отвечающие им решения. Тогда в общей области
определения
Фа' <Фа-	A-9)
Действительно, фа> и фа совпадают во всех точках границы области
определения, за исключением отрезка в =6i,a<u<a',m котором фа>
> фа' = 0. В частности,
Ф~ < Фа < Фо,	(МО)
где через фоо и ф0 обозначены решения, отвечающие а = °° и а = 0, причем
неравенства A.9) справедливы в общей области определения рассматри-
рассматриваемых решений.
Для дальнейшего понадобятся также некоторые оценки поведения
решения вблизи границ области определения.
Пусть М — некоторая общая точка границ областей определения функций
Фа и фа' ,&Р - точка внутри области. Поскольку Фа (М) = фа' (М) в силу
граничных условий, то
фа(Р)-фа(М) > фа'(Р)- фа>(М);	A.11)
[Фа(Р)~Фа(М)]/г?м > [Фа'(Р)-Фа'(М)]/г«м.	A.12)
Здесь а — некоторая постоянная, грм — расстояние между точками РиМ
в плоскости ив. Переходя в неравенстве A.12) к пределу приР-^М, полу-
получаем, что производная решения фа по г& в точке границы вдоль любого
внутреннего направления не меньше, чем соответствующая производная
решения фа' . В частности, это справедливо для производных в направлении
внутренней нормали. Число а в A.12) следует, естественно, выбирать
так, чтобы исключить тривиальные случаи обращения производных в 0 и
00, если это возможно.
На участке границы в = 0, 0 < w < °° направление внутренней нормали
совпадает с направлением возрастания $у и из A.12) следует
0<Ьфа'/Ьв < дфа/Ье < дфо/ЪО < Q/eo	A.13)
[здесь использованы также неравенства A.8) и A.10)].
57

Аналогичным образом при 0 = 0О, где направление внутреннией нормали
противоположно направлению возрастания 0,
б/во < Ъфо1Ьв < Ъфа/$в < Э*в'/Э0 < Э^/Эв < QKOo-Ог).
A.14)
Далее, на берегах разреза @ = вх) имеем: слева @ = Вх — О,0<м<я)
Э|//Л/Э^ < 3i/v/30 < 0	A.15)
и справа @ = 0Х + О, 0 < и < я)
A.16)
Обследуем теперь поведение решения при малых значениях и в интервале
О <0 <0i. На отрезке 0 <w <a решение уравнения A.5), обращающееся
в нуль при и = 0, 0 = 0, 0 = 0!, имеет вид
ф = f i Рт(и)8Ш(/117Гв/в1),	A.17)
Здесь F (a, fi, у, z) — гипергеометрическая функция [85], ат = тп/ в1.
В результате имеем
2 v	• ПГП^
т = 1	01
Таким образом, при 0 <0 <0t имеем ф @, м) = О (и2) (и -*0). В ре-
результате из A.12) получаем, полагая показатель а = 2,
О < Ъфа'1Ъ(и2) < дфа/д(и2) @ < 0 < 0i, м =0).	A.20)
Предыдущие рассуждения не применимы при я = 0. Однако, непосред-
непосредственно переходя в A.20) к пределу при а ->0у получим
О < Ьфа'/Ь(и2) < дфа/д(и2)< Ьфо1Ь(и2)
(О < 0 < 01? и =0).	A.21)
Можно убедиться, что эта оценка не является тривиальной, так как
дфо1д (и2 ) обращается в бесконечность только в точке 0=0!.
2.1.2. Рассмотрим теперь те следствия, которые вытекают из полученных
оценок применительно к положению границы застойной зоны, т.е. той
линии тока, на которой скорость обращается в нуль.
Пусть источник помещается в точке А с координатами (хА, 0). Тогда
ближайшая к нему точка застойной зоны имеет координаты
1 °° Э ф(и 0) dw
*в =хл + - / ——	г , ув=0	A.22)
X о Э0 и2
(так как в плоскости ид отрезку АВ соответствует полуось 0 < и < °°,
0=0, проходимая в отрицательном направлении). Учитывая неравенства
58

A.13),
0 <
так что
получим
J
0 00
? хва> <
du
и2
хв
< 7
0
< *в
дфа
дв
о '
dM
и2
< 7
0
дф0
дв
du
и2
A.23)
A.24)
Таким образом, расстояние от источника до застойной зоны монотонно
увеличивается с уменьшением параметра а; как будет показано ниже,
хВо < °°, так что это расстояние остается конечным при а -> 0.
Рассмотрим теперь собственно границу застойной зоны, отвечающую
отрезку и = 0, 0 < 0 < 0!.
Имеем здесь
1 * /1 Ъф(и,у
- /cos J	i-)
X о \и аи / и=0
1 ^ /1 Э^(м,^)\	A.25)
X о \и Ъи / и=о
В силу неравенств A.21) при увеличении в координаты х иу увеличи-
увеличиваются вплоть до в = тг/2, затем у продолжает увеличиваться, а в убывает.
Из второго соотношения A.25) и неравенств A.21) следует при 0Х < 7Г
О<Уа'(Р)<уа@)<уо@).	A.26)
Последние неравенства вместе с A.24) доказывают, что соответственные
ветви границы застойных зон, отвечающих различным значениям а, не пе-
пересекаются между собой.
Действительно, легко убедиться, что неравенства A.23) и A.24) могут
быть заменены на строгие неравенства, так что при а < а точка Ва лежит
правее точки Ва>. Если при этом границы застойных зон пересекаются,
то в точке пересечения
*а=**'э Уа=Уа*> 0а>0а'.	A.27)
Легко, однако, видеть, что эти условия противоречивы. Действительно,
из неравенств A.26) и монотонного возрастания у с ростом 0 следует,
что последнее неравенство A.27) должно быть заменено на равенство,
1 дфа	1 Ъфа>
причем в силу A.25) необходимо также, чтобы	=
и Ъи	и Ъи
при и = 0, 0 < 0 < В а1. Но тогда из первого равенства A.25) следует ха -
- хВа = ха' - xBq,, что в силу сказанного о неравенствах A.24) противо-
противоречит первому требованию A.27). Из полученных неравенств следует,
что расположение застойных зон относительно источника изменяется
с уменьшением параметра а в соответствии с рис. 28, где показана картина
течения в элементе в виде клина с раствором 2 (тг - 01). (Очевидно, на фи-
физической плоскости роль непроницаемых стенок клина могут играть плос-
плоскости симметрии картины течения.) Характерный размер L, представляю-
представляющий собой расстояние от источника до непроницаемой стенки, монотонно
возрастает с уменьшением а от нуля при а = °° до бесконечности при а = 0
59

Рис. 28. Изменение расположения зас-
застойных зон с изменением парамет-
параметрам
(последнее будет доказано ниже). В то же время характерный размер АВ
изменяется от нуля до некоторого предельного значения L^9 достигаемо-
достигаемого при а = 0.
Из рис. 28 следует весьма простой, хотя и грубый способ оценки снизу
размеров застойной зоны: если заданы интенсивность источника Q и харак-
характерный размер L, то застойная зона будет заведомо больше, чем попа-
попадающая внутрь клина часть застойной зоны, отвечающей а = 0 (на рис. 28
заштрихована). Эта оценка будет тем лучше, чем больше величина L (при
прочих равных условиях). Напротив, при L <L^sind она, очевидно, стано-
становится тривиальной. Само предельное решение с а = 0 описывает структуру
потока вблизи "острия" застойной зоны.
2.13. Все полученные оценки относились к задаче А. Рассмотрим теперь
задачу i? при условиях (рис. 27)
Ф(О,0) = ф(и,О) = ф(и,ео)=0'9 iKMi) = G (a<u<°o).	A.28)
Сформулируем кратко, чтобы избежать повторений, оценки для этой за-
задачи. В первую очередь, очевидно, (обозначения прежние)
0 = фоо < фа' < фа < ф0 (а'>а),	A.29)
причем решение ф0 удовлетворяет в данном случае неравенствам
О<фо(и,в)<B01в1 (О<0<0Х),
О<*о(М)<б@о -»)/@о -»i) @i <0<0о)-	A.30)
Имеем, далее, на границе 0=0, 0<м<°°
<
ъе ъе
ъо ех
0О -01 90 ъе ъе
На берегах разреза 0 = 01, и > а:
Q ^ Ъф0 Ъф0 Ъфа'
0х ъе ъе ъе
Q	Ъф0 Ъфа
A-32)
(слева 0=0! -0),
0о — 0i 90
Э0
Э0
(справа 0 =0L +0).
60

Наконец, при малых и (и <а) имеет место разложение, аналогич-
аналогичное A.17) (где 0! следует заменить на 0О), и прежним путем можно полу-
получить неравенство
Ъ(и2) Ъ(иг) Ь(и2)	v
в котором дфо/ди2 обращается в бесконечность при 0 = 0х.
Так же как и в первой задаче, полученные оценки немедленно приводят
к соответствующим оценкам для положения границ застойной зоны. Преж-
Прежде всего заметим, что положение источника относительно стока определя-
определяется выражениями
1 COS0! Ъф	1 SH10! Ъф
Хп -Хл = — Г—	dw, уп -ул =— — Г	dw, A.35)
X и1 Э0	D А X и2 Э0	V }
где интегралы берутся по берегам разреза в направлении ЛЯД Из A.35)
имеем
дф(в1,и) du
Э0 и2
что с учетом A.34) дает
A.36)
-0,м)
Э0	Э0
A.37)
a L0! в0 -вх ш
Для расстояния между источником и острием застойной зоны имеем
1 °° Ьфа(О,и) dw
0<хВа, -хА <хВа -хл= - f —	 < xBq -хА A.38)
Л 0 ии	U
(и в этом случае путем несложных дополнительных рассуждений можно
заменить неравенства на строгие).
Так же полностью проходит и рассуждение, доказывающее, что границы
застойных зон, отвечающих различным а, не пересекаются. Единственное
затруднение заключается в том, что здесь уже недостаточно ограничиться
случаем вх <тг. Если, однако, полагать 0О < 27Г и использовать проведенные
рассуждения для 0 < 0 < тг, а для участка я < 0 < 0О повторить то же рас-
рассуждение, отправляясь от стока F, то легко получить аналогичное A.38)
неравенство
0<xF -xEa> <xF -xEa <xF -xEq	A.39)
и следующее важное утверждение.
При фиксированных значениях Q и X область течения монотонно расши-
расширяется с уменьшением параметра а. При этом расстояние АВ между источни-
источником и острием застойной зоны при а -+ 0 стремится к конечному пределу.
Решение, отвечающее а = 0, может быть использовано для описания течения
61

to -
5 -
О
15
10
О
10
5 5
а	6
Рис. 29. Границы застойных зон, отвечающих предельным решениям задачи Л
вблизи точки В и для построения грубых оценок минимальных размеров
застойной зоны, наподобие того, как было сказано в п. 2.1.2.
2.1.4. Найдем теперь предельные решения, отвечающие сформулирован-
сформулированным выше задачам А и В при а = 0. Используя интегральное преобразова-
преобразование по м, легко получить для задачи А:
1Ки,0)=
Qu2 °° (I +s2)shs0shs02
Q2 о
Q(g-Oi) Qu2
-u)ds
A.40)
F(s,-u)ds
(p\<6<00),
причем для координат границы застойной зоны имеем, используя A.6),
2Q
schsd -ishsO-
shsd2ds.
A.41)
Для задачи о кольцевой батарее п скважин 0О = тг, вх = (п — l)ir/n,e2 =
= тт/п имеем
Q .0 Г02 cos0 + sin02 @ sin02 + 02 sin0)sin0
-e I	 +
Л7Г02	L COS 02 +COS0
0 sin 02 +02sin0
COS 02 +COS0
(cos 02 +cos0J
62

1,5 г
УН-
0,5
&•'
0
Точное^
Предельное
?
0,2
—— Точное
	Предельное
0,5
1,0x11 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x/L
а	6
Рис. 30. Примеры оценки размеров застойных зон с помощью предельных решений
задачи А
На рис. 29 показаны границы застойных зон, соответствующие пре-
предельным решениям задачи А. Изображен участок границы в одном эле-
элементе симметрии течения, начало координат выбрано совпадающим с источ-
источником, принадлежащим данному элементу симметрии.
Как уже говорилось, предельные решения позволяют оценить снизу
размеры застойных зон для рассматриваемых условий. Для этого доста-
достаточно изобразить на одном чертеже в безразмерных координатах ? = Хх n/q,
т? = Xy-n/q элемент симметрии рассматриваемой конфигурации и границы
застойной зоны для соответствующего предельного решения. Тогда по-
попадающая внутрь данного элемента симметрии часть предельной застойной
зоны будет целиком лежать внутри истинной застойной зоны.
Примеры применения такого способа построения оценок при помо-
помощи решений рис. 29 показаны на рис. 30 для случая двух источников (и = 2)
и батареи шести источников (п = 6).
Для задачи В имеем (при 0 < 0 < 01)
shsd
0= Gh2/sA+*2)F(s,-i/)-
2Q .й !° schs0-/shs0
x thns
ds.
A.42)
Выражения для вх < в < в0 получаются из A.42) заменой вх -»• 02»
9 -> 0О -0-
63

уК/О
15
10
\
У/L
1,0
1
-10	0 x\/Q -1,0	x/L
Рис. 31. Предельная застойная зона, отвечающая течению в системе источник-сток
Рис. 32. Оценка размеров застойной зоны для системы источник-сток с помощью
предельного решения
При В i = я имеем из A.42)
_ .„ ,	0 +sin0
z@) = —ew I 1 +
Хтг L
- sin 0 - i
в
1 +COS0
¦]•
A.43)
+ cos0J
Предельные застойные зоны для значений 01 = я, тг/2 показаны на рис. 31;
на рис. 32 приведены результаты оценки размеров застойных зон при по-
помощи предельных решений. Как и следовало ожидать, оценка, даваемая
предельным решением, оказывается весьма грубой, причем степень рас-
расхождения велика даже для достаточно малых значений параметра я, хотя
и убывает с его уменьшением и зависит от характера исходной задачи.
Заметим, что все проделанные выше для простейшего закона фильтра-
фильтрации с предельным градиентом давления
Ф(н>) = w + X
рассуждения могут быть перенесены без особых изменений на произволь-
произвольный нелинейный закон фильтрации, допускающий образование застойных
зон, т.е. удовлетворяющий условию Ф@) = X > 0.
Наконец, рассмотрим течение с образованием застойных зон в произ-
произвольной плоской трубке тока, ограниченной непроницаемыми границами
Г2 и Г2, и допустим, что имеется застойная зона Sz, примыкающая к линии
тока Г2. Ее граница с потоком может рассматриваться как часть непрони-
непроницаемой стенки, на которой ип = Ьр/дп = 0. В соответствии с теоремой
о вдавливании 1,16 при вдавливании стенки Г! и сохранении неизменным
расхода через трубку тока значения скорости вдоль другой непроницаемой
стенки увеличатся (не уменьшатся). Поэтому при таком вдавливании
одной из непроницаемых границ застойная зона, примыкающая к другой
непроницаемой стенке, может лишь уменьшиться.
64

2.2. Вариационные методы и оценки в теории целиков
остаточной вязкопластичной нефти1
2.2.1. Применительно к проблемам разработки нефтяных месторождений
одно из важнейших свойств вязкопластичных нефтей — их способность
образовывать протяженные области, так называемые целики остаточной
нефти, которые благодаря наличию пластического сопротивления (пре-
(предельного градиента давления) для движения нефти остаются неподвижны-
неподвижными в потоке обтекающей их воды. Объем нефти в целиках максимально
возможного размера (так называемых предельно равновесных целиках)
дает оценку потерь нефти из-за наличия у нефти предельного напряжения
сдвига.
В модели предельно равновесных целиков (например, [13, 65, 66])
предполагается, что область, занятая пластом D, разбивается на область
движения воды Dx, в которой справедливы обычные уравнения фильтра-
фильтрации несжимаемой жидкости, следующей закону Дарси:
divu = 0, u=-(fr(x)/M)VP, xGZ)b	B.1)
и область, занятую целиком вязкопластичной нефти, ?K, в которой ско-
скорость фильтрации нефти равна нулю, и = 0, х Е D3. На общей границе Г
области движения вода и целика остаточной нефти имеем условие пре-
предельного равновесия
*(х) Ьр
ия=-	Т— =0,
B.2)
иа = G(x), xGT.
На внешних (заранее заданных, отличных от Г) границах фильтрационно-
фильтрационного потока задаются обычные для теории фильтрации условия (условия
на скважинах, условия на непроницаемых границах и т.д.).
Таким образом, задача отыскания предельно равновесных целиков
состоит в определении течения, следующего закону Дарси, в области Dx
с неизвестной границей Г, подлежащей определению из условий B.2).
Учитывая смысл этих условий, можно сказать, что имеется такая поверх-
поверхность тока, на которой дополнительно выполняется условие предельного
равновесия.
Далее будем рассматривать только пласты со слоистой неоднородностью,
считая, что свойства пласта - проницаемость к и предельный градиент
для нефти G — зависят только от координаты z, перпендикулярной к на-
напластованию. Более того, предположим, что проницаемость ? убывает снизу
вверх (от подошвы к кровле пласта); при этом из физических соображе-
соображений следует, что предельный градиент G возрастает с увеличением z. Таким
образом,
k = k(z), k'<0; G = G(z), G'>0.	B.3)
Пласт будем считать вскрытым на всю мощность скважинами, в кото-
которых поддерживается постоянное давление. В сделанных предположениях
1 Изложение данного раздела следует работе [67].
5. Зак. 1100	65

естественно ожидать, что целик будет располагаться над областью движе-
движения. Неизвестная граница целика будет задаваться уравнением
z=h(x9y),	B.4)
где (х, у) — координаты в плоскости подошвы пласта, z — расстояние
от подошвы. В тех точках (х, у) "плана пласта", над которыми целика
нет ("пласт промыт на всю толщину"), h = Я, где Я - толщина пласта;
там, где целик занимает всю мощность пласта, h = 0.
2.2.2. По-видимому, неизвестно ни одно точное решение задачи о цели-
целиках в приведенной выше точной постановке. Все известные продвижения
связаны с введением дальнейших упрощающих допущений.
Считая пласт тонким, естественно в рамках сформулированной выше
схемы течения предположить, что по вертикали (вдоль z) давление распре-
распределено гидростатически, и усреднить движение по толщине пласта. Для ус-
усредненного движения возникает двумерная задача нелинейной фильтрации:
divw = 0;	B.5)
K(h)
w = - —' VpQc,y); | VP I = GQi), 0<h <H;	B.6)
M
h
K(h)=H-1 f k(z)dz, h<H;
о
1 н	B.7)
K(h)=K0=— fk(z)dz, h=H
ti о
(см. подробнее [13, 65, 66]). В силу соотношений B.6) и B.7) имеет
место нелинейное соотношение между средней скоростью потока воды w
и модулем градиента давления | Vp I при 0 < | Vp I < G(H). В частности,
для однородного пласта величина G не меняется с изменением h, и поэто-
поэтому при всех толщинах промытой части пласта, отличных от крайних значе-
значений h = 0 як = Я, модуль градиента давления принимает постоянное значе-
значение I Vp I = G. Это означает, что толщина промытой части пласта подстраи-
подстраивается таким образом, что необходимый поток обеспечивается при указан-
указанном значении градиента давления. Так же как и для пласта с переменными
по толщине свойствами, в плане пласт разбивается на три зоны:
— область полностью промытого пласта Д!
h=H,
—	область частично промытого пласта
0<h<H, |Vpl = G;	B.8)
—	область, полностью занятая целиком,
В усредненной постановке B.5) —B.7) задача отыскания целиков реша-
решается методами, развитыми в теории плоской задачи нелинейной фильт-
фильтрации.
Еще более упрощается задача для однородного пласта, если допустить,
что область частично промытого пласта отсутствует вовсе, так что имеются
66

лишь целик, занимающий всю толщину пласта, и полностью промытая зо-
зона, разделенные резкой границей — цилиндрической поверхностью, обра-
образующие которой параллельны оси z. При этом движение оказывается плос-
плоским; в промытой зоне давление удовлетворяет уравнению Лапласа:
B.9)
а на неизвестной границе целика выполняются условия непроницаемости
и предельного равновесия:
|Vp!r=G, др/дп\т=0.	B.10)
В этой постановке задача в ряде случаев может быть решена методами
теории струй идеальной несжимаемой жидкости [3, 20, 78], что послужило
основой ее детальной разработки.
2.2.3. Установим теперь, что сформулированная задача допускает вариа-
вариационную постановку, и покажем, что изложенные выше приближенные
подходы к задаче определения предельно равновесных целиков естест-
веным образом следуют из вариационной формулировки при ограничении
класса функций, на котором отыскивается решение. На основе вариацион-
вариационной формулировки легко получаются также оценки объема промытой
части пласта. Составим функционал
J= ~ Я / [4z)\vp\2 -k0G$]dzdxdy,	B.11)
2 D 0
где
D=DX UD2UD3; h=H, (x9y)eD1; /* = 0, ' Qc9y)eD3;
0<h<H, (
и вычислим его первую вариацию при варьировании р(х, у, z) и h(x, у).
При этом можно поступать двояко. Доопределим р(х, у, z) во всем слое
D X [0, Я], гладко продолжая в область z > h(x9y). Тогда при фиксирован-
фиксированном р(х, у, z) вариация функционала будет определяться варьированием
h(x,y), и для 5/, очевидно, имеем
5/= -SflHz)Wp\2 -k0G$]5hdxdy+ ffk(z) — 8pdS-
2d2	s Ъп
-HI V(k(z)Vp)dp dz dx dy,	B.12)
D2 0
где dp и 8 h ~ независимые вариации.
Если считать, что р(х, у, z) определена в слое 0 < z < h(x,y), то варьиро-
варьирование h(x, у) неизбежно приводит к варьированию р(х, у, z) и соответст-
соответственно области интегрирования. Используя формулу варьирования интегра-
интеграла с переменной областью интегрирования [81], получим
h
8J = -ff fV(k(z)vp)8pdzdxdy+ Jfk(nVp)8pdS +
DO	S
+ - ff[k(z)\vp\2 -C](n8x)dS; C = kQGl.	B.13)
2 s	fi7

Здесь 8р и 5х — независимые скалярная и векторная вариации, определен-
определенные в D, S — поверхность, ограничивающая область движения воды. Пола-
Полагая вариацию 5х (смещение точек области) равной нулю на известных
границах области и 5х = k8h на поверхности целика, убеждаемся, что
выражения B.12) и B.13) совпадают.
Таким образом, если пара функций A(jc, у) и р(х, у, z) есть решение за-
задачи отыскания целика остаточной нефти B.1), B.2), то она обращает
в нуль вариацию 5/. Наоборот, из требования равенства нулю вариации 5/
при произвольном варьировании границы целика д h и давления 8р вне
поверхности питания приходим к сформулированной выше задаче.
Если граница целика фиксирована, то функционал B.12) превращается
в полный дополнительный потенциал диссипации фильтрационного пото-
потока R, а функция Рн(х, у, z), являющаяся решением задачи B.1), B.2)
со снятым вторым условием B.2), доставляет ему минимум. На классе
функций рн функционал / превращается в функционал от h:
/[A,ft>W[*]= ;Я/ \VPh\2k(z)dzdxdy-
2 D О
- -ffk0Gidzdxdy.	B.14)
2 D
Если поверхность питания можно подразделить на две части Si, S2 —
вход и выход потока, на которых давление принимает постоянные зна-
значения/^ иР2>Л >^2 соответственно, то первый интеграл в B.14) равен
lkQ(Pi - Рг\ где Q — расход фильтрационного потока. В общем случае
он равен половине мощности N, диссипируемой фильтрационным пото-
потоком. Второй член в B.14), очевидно, равен 1/2CV+, где V+ — объем об-
области, занимаемой движущейся водой, С = к0 G$. Таким образом,
/• [ft] = %[JV(ft) -CT+(ft)].	B.15)
Из общих теорем о вдавливании (см. гл. 1) следует монотонность NQi):
N[h*]>N[h~]9 если h+>h~, (xy)GD.
Данные неравенства выражают тот факт, что суммарная диссипация пото-
потока при заданных давлениях на поверхностях питания увеличивается,
если область фильтрации расширяется за счет отодвигания непроницае-
непроницаемой границы (см. выше). Монотонность F+ (А) очевидна.
Вариация б/* при варьировании h складывается из вариации, обуслов-
обусловленной деформацией границы, и вариации, вызванной изменением по-
поля ph. Однако, поскольку поле рн само является решением вариационной
задачи, то первое и второе слагаемые в B.13) обратятся в нуль. Тогда
имеем
8J*=Mff [\VPh\2 -G\h)]k(z)8hdxdy.
D
Условие обращения в нуль 5/*снова приводит к дополнительному гранич-
граничному условию
служащему для нахождения неизвестной границы.
68

/
/
Рис. 33. Оценка зависимости объема промытой ^части пласта от перепада давления
Можно показать, что на функциях рнискомое решение h(x,y) доставля-
доставляет максимум функционалу J*(h), во всяком случае для достаточно близ-
близких поверхностей h(x,y).
В результате решение исходной задачи сводится к минимаксной: найти
функцию h(x9 у), такую, что минимум интеграла B.11) по всем допусти-
допустимым р(х,у,z) принимает максимальное значение.
Из выражения B.15), учитывая, что подынтегральное выражение в
B.14) положительно, имеем оценку
V+[h] <N(h)IC<N[H]IC,	B.16)
где N[Н] - мощность диссипации для пласта, в котором движение воды
происходит по всей его толщине h = Я. Поскольку эта величина находится
из стандартного решения линейной задачи, то оценка B.16) может оказаться
полезной. Так, например, для течения к скважине радиуса р от прямо-
прямолинейного контура питания имеем
1пBв/р)
1пBв/р)
где к0 — средняя по мощности проницаемость пласта, а — расстояние от
контура питания до скважины. Тогда в силу B.16)
ixN 2тгк0На2 (рх -P2V
+ L	k0G0 ко\пBа/р) \ aG )	К '
Оценке B.17) в случае однородного пласта к0 =Ли я/р= 103 отвечает пря-
прямая 1 на рис. 33. Как будет видно из последующего, данная оценка оказы-
оказывается весьма грубой.
Рассмотрим следствия,вытекающие из сформулированной минимаксной
задачи. Сузим класс полей давления р, предполагая их двумерными, р =
= Р(х, у). Тогда из B.11) имеем
J=—ff\Vp(x,y)\2 fk(z)dzdxdy-~ Cffhdxdy.
2 d	о	2 ?>
B.18)

Требуя минимума функционала B.18) при фиксированном h{x, у) , полу-
получаем
div[K(h)Vp(x,y)] =0;
,	B.19)
О, (x,y)esq.
Максимизируя функционал B.18) по Ли учитывая B,19), находим
bJ =Kff[K(h)\Vp |2 - k(h)G2 (h)] bhdxdy.	B.20)
D
Вариация bh произвольна при 0 < h < Ы, при h = 0 bh > 0, при h = H
bh < 0. Таким образом, условие максимальности / дает
\Vp\2=G2(h), 0<h<H.	B.21)
Задача B.19), B.21) совпадает со сформулированной выше задачей отыска-
отыскания предельно равновесных целиков в предположении, что давление по
мощности распределено по гидростатическому закону, и в ряде случаев
допускает эффективное решение. Из приведенных рассуждений видно, что
соответствующее решение {Н2,Рг) доставляет максимум минимума функ-
функционала/ на класс функций р2, не зависящих от z. Таким образом,
/0 =maxfc minp/</* [h2,P2] -
Рассмотрим теперь этот же функционал на классе ступенчатых функций
h(x> У)»принимающих только два значения:
При этом часть границы Го в области течения Dx совпадает с контуром
питания Гр и фиксированной непроницаемой границей Г^, а часть Гг
неизвестна. Тогда
^ = Л=%Я J[k(z)\Vp\2 -Qdzdxdy.
Составляя вариацию bJt, получим
я	н а
bJt = -fffV(k(z)Vp)bpdzdxdy+	/ fk(z) — bpdzdl +
D о н	Ъп
2
г/г4 о
Приравнивая вариацию bJx нулю, имеем
= O, (x,y)eDl;
р=/, (х,у)еТр;	B.22)
Ifk(z)[\Vp\2-G2]dz = 0, --- = 0, (
о	Ъп
70

Если заданное на контуре питания давление не зависит от z, то задача
допускает решение р = р (х, у), и в результате приходим к краевой задаче
ДР = О, (x,y)eD1; p(x,y)=f(x,y), (х,у)еГр;
Ър
—=0,
Ъп
г~=о, frjOeiV	B.23)
on
Это известная плоская постановка задачи о целиках в однородных пластах
[см. также выше соотношения B.9), B.10)], эффективно решаемая
методами теории струй. Поскольку в соответствующей вариационной фор-
формулировке сужен класс допустимых функций h(x,y), то получающиеся
решения дают оценки снизу для функционала / на "истинном" решении
J>JX.	B.24)
Соотношение B.24) также можно использовать для оценки неизвестного
значения объема промытой части пласта V+ аналогично тому, как это было
сделано в случае фиксированной границы целика. Используя B.15) и
B.24), находим
V+ =(/V- 2J)IC<(ND-2JX)IC = (ND - МхIС+Уг = v\
Здесь ND — диссипируемая мощность при той же геометрии, заданном пере-
перепаде давления и движении, следующем закону Дарси (С = 0); Л^ — мощ-
мощность диссипации для потока с образованием целиков в рамках плоской
задачи B.13); Vx — объем промытой зоны, подсчитанный при тех же пред-
предположениях плоской задачи.
Поскольку имеется значительный запас готовых решений, отвечающих
двумерной постановке B.23), то величины Л^ и Vx могут быть вычислены
в явном виде. Так, для рассмотренного выше течения от одиночной скважи-
скважины к прямолинейному контуру питания нужное решение приведено в рабо-
работе [3]. Вычисленная на основе этого решения зависимость V*(Ap/aG)
показана на рис. 33 кривой 2 в логарифмических координатах. Согласно
B.24), эта зависимость дает верхнюю оценку для объема промытой части
пласта. В данном случае можно непосредственно проверить, насколько гру-
грубой является оценка B.24). Дело в том, что выбранный пример относится
к классу тех течений, для которых плоская постановка дает точное реше-
решение трехмерной задачи [65, 66]. Поэтому для него легко вычислить точное
значение объема промытой части ^+, используя то же готовое решение
[3]. Соответствующий результат показан на рис. 33 кривой 3. Видно, что
в основной области изменения параметров оценка B.24) примерно вдвое
выше истинного значения.
Допустим теперь, что ступенчатая функция h(x,y) может принимать
п + 1 заданное дискретное значение:
hu=O<ht <h2 <...</*„=#,
Тогда определению подлежат границы Г/ между областями А/ иД/+1
и непрерывное поле давления р (x,yf z). Ограничимся двумерными полями
71

р (х, у). Требуя минимума функционала
1	й/
lVp|2-C] dzdxdy
2 Ay о
по ри максимума по возможным конфигурациям границ Г;, приходим к
задаче
Ap(x,y) = Q, (x,y)GAj ;
1 v Ъп	дп	7 о
Рассмотренный случай двумерного поля давления и ступенчатой функ-
функции h (x,y) отвечает приближенной постановке задачи о целиках в слоистом
пласте, предложенной в [64], отличаясь, однако, от последней условием
предельного равновесия.
Г лав а 3
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. УРАВНЕНИЯ.
НЕКОТОРЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ.
ЗАДАЧИ О ТРЕЩИНАХ
ЗЛ. Основные уравнения теории упругости.
Напомним необходимые для дальнейшего соотношения линейной теории
упругости (их обоснования можно найти в руководствах по теории упру-
упругости, например, в [90, 93, 103, 128]).
Рассмотрим упругое тело, отнесенное к прямоугольной декартовой
системе координат (*1,#2»*з)* Пусть упругое смещение произвольной
точки тела характеризуется вектором и с компонентами и19и2,из- Поле
смещений и определяет тензор деформаций е^-. Если деформации малы
(именно этот случай преимущественно рассматривается в дальнейшем), то
е,/ = й(Эм,/Э;с/ + Э?1//Э^).	A.1)
Тензор etj — симметричный тензор второго ранга. Определение A.1) пред-
предполагает, что смещения непрерывны и однозначны. Это налагает опреде-
определенные необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетво-
удовлетворять величины е/;-:
Э2е22 Э2633 _ Э2е23 Э2е1Х Э / Эе23 Эе31
Ъх\	Ъх\	Ъх2Ъхъ 'Ъх2Ъхъ Ъхх\ Ъхх Ъх
72
Эе12\

_^ a2g3i	Э2€22
— 2.
•V i	Элгз	Ъх\ дх3 dx3dxi ол2 \ ол2 ол3
'111 d2*22 д2е^ э2езз _ э / a^i2 эе23
/ Эе31 Эб12 Эе23 \
-7	+ "	 +-Г	]>
\ Элг2 Эх3 охх /
)
t3x2 dxidx2 дх3\ дх3 Ъхх	Ьх2
A.2)
Условия A.2) - условия совместности Сен-Венана.
Напряженное состояние на произвольно ориентированной площадке
в упругом теле определяется формулами
оп = оц щ rij,	A.3)
I от |2 = а^ + а ^ = л,- лДсг,* afc/ - «^ «р Оц окр).
Здесь аи,аТ])аГ2 - компоненты вектора напряжений на площадке с нор-
нормалью п в направлении нормали и двух взаимно перпендикулярных векто-
векторов ri,r2 в плоскости площадки. Величины Оц — компоненты тензора
напряжений. В отсутствие внутренних напряжений (или сосредоточенных
моментов) тензор Off симметричен*.
Дифференциальные уравнения равновесия упругого тела при заданных
массовых (объемных) силах g (gi,g2,g3) имеют вид
(boijlbxj) +gt = 0.	A.4)
Связь между напряжениями и деформациями определяется обобщенным
законом Гука. Для изотропной однородной среды, согласно этому закону,
oif = \ekk8ij+2iJieif,	A.5)
где 8jj — символ Кронекера, X и /i — упругие постоянные материала — пос-
постоянные Ламэ. Константа /л носит название модуля сдвига. Изотропное
однородное упругое тело характеризуется двумя упругими постоянными**.
Наряду с X и д широко используются две другие постоянные — модуль
Юнга Е и коэффициент Пуассона v. Связь между ними определяется со-
соотношениями
X = vE/(l -2^)A +*>), М=?72A +*>)•	A.6)
От системы уравнений равновесия в напряжениях A.4) можно перейти к
системе уравнений в смещениях (системе уравнений Ламэ), использовав
соотношения закона Гука A.5) и определение деформации A.1). Обычно
систему уравнений Ламэ записывают в векторной форме
цДи + (К + д)grad div и +g = 0.	A.7)
Применение той или иной формы системы уравнения равновесия диктует-
диктуется типом краевых условий в конкретной задаче.
* Противоположная ситуация, приводящая к несимметрии тензора напряжений,
рассматривается в моментных теориях упругости (см., например, [136 ]).
**Для анизотропного (однородного) упругого тела в общем случае обобщенный
закон Гука имеет вид ст,у = сцкх е#/ (/,/, к, I = 1, 2, 3) Компоненты тензора упругих
констант не все различны. Из соображений симметрии следует, что сцк\ - Cjiki = сц\к
[145].
73

В теории упругости в качестве основных выделяют следующие три крае-
краевые задачи.
1-я краевая задача (или задача, сформулированная в напряжениях).
Найти равновесное состояние упругого тела V с границей S под действием
приложенных на границе тела нагрузок F:
on\s=Fn, <rT\s = *T,	A.8)
где оп, бт (от t, от 2); Fn, FT (FT i, FT 2) — компоненты векторов напря-
напряжений и нагрузок, приложенных в точке поверхности тела. В частности,
функции Fm FT могут на части поверхности S обращаться в нуль. Гранич-
Граничные условия A.8) часто бывает удобно записывать в проекциях на исход-
исходные декартовы оси координат, т.е. в виде
Oijn^Fi (/,/=1,2,3),	A.9)
где rij — компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности
в произвольной ее точке.
И-я краевая задача (задача, сформулированная в смещениях). На грани-
границе тела заданы смещения g :
uls=g,	A.10)
в частности на части поверхности S могут быть заданы нулевые смещения.
Ш-я краевая задача (смешанная задача). На части S i поверхности тела
заданы нагрузки F, а на части S2 — смещения g:
oijnj\Sl =Fi9 u\S2 =g.	A.11)
Помимо перечисленных типов краевых условий встречаются их разно-
разнообразные комбинации. Например, краевые условия в области контакта
упругого тела с деформируемым основанием в простейшем случае имеют
вид
оп=кип, ат=0,	A.12)
где к — коэффициент упругости основания ("коэффициент постели").
Основание, для которого выполняется условие A.12), называют винкле-
ровым [134]*.
До сих пор рассматривались только краевые условия, имеющие вид
равенств. Однако для большого круга задач краевые условия представляют
комбинацию равенств и неравенств. Это так называемые задачи с односто-
односторонними ограничениями (или с альтернативными условиями) [60, 137].
Особенность этих задач в том, что граница, разделяющая области поверх-
поверхности упругого тела, в которых выполняются краевые условия в форме
равенств и неравенств, неизвестна заранее й отыскивается в ходе решения
задачи.
Приведем пример подобной задачи — контактную задачу с неизвестной
областью контакта.
Рассмотрим вдавливание жесткого штампа в упругое тело, для опреде-
определенности — полупространство. Возможны две принципиально различные
ситуации: на поверхности штампа имеется острая кромка (рис. 34,а);
* Это условие приведено потому, что оно будет использовано ниже в разд. 5.2.
74

db
a.	6
Рис. 34. Вдавливание штампа с острой кромкой и без нее
поверхность штампа острой кромки не имеет (рис. 34, б). В первом случае
область контакта штампа и упругого тела известна до решения задачи
и определяется положением острой кромки на поверхности штампа. За
пределами части поверхности штампа, ограниченной острой кромкой, уп-
упругое тело как бы "сходит" с поверхности штампа. Иная картина во втором
случае. При вдавливании штампа без острой кромки положение границы
области контакта заранее неизвестно.
Перейдем к записи краевой задачи о вдавливании штампа без острой
кромки.
Пусть упругое полупространство занимает область х3 <0 декартовой
прямоугольной системы координат (xi,x2ix3). Поверхность штампа опи-
описывается функцией f(xi,x2). Будем считать, что вдавливание штампа
происходит под действием силы, действующей нормально к поверхности
полупространства (х3 =0), и моментов, которые могут приводить к пово-
повороту штампа, относительно осей хг, х2. Примем следующие условия взаимо-
взаимодействия штампа и упругого тела: 1) поскольку штамп жесткий, то смеще-
смещения точек границы полупространства ограничены поверхностью штампа;
2) предположим, что в области контакта отсутствует трение и нормальные
напряжения о33 не растягивающие; 3) наконец, вне области контакта меж-
между штампом и границей полупространства имеется зазор и нормальные о3 з
и касательные Оц, &23 напряжения равны нулю. Краевые условия задачи
можно записать в следующем виде :
Из <f(xi,x2)-8 +ax2 -$хх =F(x1,x2))
Ois =o23 =0 при х3 = 0,	(ЫЗ)
а33 =0 при щ <Г(хих2),
аз з ^0 при иъ =F (х!, х2 ).
Здесь и3 (xltx2) - смещение точек границы полупространства в направле-
направлении оси х3; а, /? — углы поворота штампа относительно осей хх, х2; 5 —
сближение (осадка) штампа.
При решении задачи A.13) при заданной вдавливающей силе и моментах
подлежат определению граница области контакта, распределение контакт-
контактных напряжений, осадка и углы поворота штампа, а также распределение
смещений точек поверхности полупространства вне области контакта.
Возможна и иная постановка, когда по заданным осадке и углам поворота
штампа требуется найти необходимые для их обеспечения значения вдавли-
вдавливающей силы и моментов.
75

Для сравнения приведем краевые условия в задаче о вдавливании штам-
штампа с острой кромкой. Пусть S — известная в этом случае область контакта,
тогда
и3 = F(xux2) при х3 = 0, (xux2)eS,
013 =а2з =0 при х3 =0;	0-14)
а33 =0 при хъ =0, (x1,x2)<=S.
Отметим, что решения задач о штампе с острой кромкой и без нее отличают-
отличаются степенью гладкости. Контактные напряжения в случае, когда область
контакта известна, имеют на контуре Г этой области особенность типа
г/2, где г - малое расстояние по внутренней нормали к контуру Г в'
плоскости х3 = 0. Если же область контакта находится по условиям A.13),
то напряжения на ее контуре особенности не имеют и стремятся к нулю
при г -+0. Доказательство справедливости этих асимптотик приведено,
например,в [103].
Другие примеры задач теории упругости с альтернативными условиями
рассмотрены в гл. 8.
В дальнейшем подробно изучается класс задач в определенной мере
двойственных задаче о штампе — задачи о трещинах. Поскольку задачи
о трещинах нас будут интересовать главным образом в связи с оценкой
условий их распространения и разрушения тела, приведем постановку
задачи и сформулируем критерий разрушения на примере трещин отрыва,
занимающих плоскую область. Именно эта постановка будет использована
в последующих главах.
3.2. Постановка задачи о квазихрупком разрушении.
Критерий роста трещин
3.2.1.	Разрушение нередко обусловлено образованием и развитием
макроскопических трещин. В линейной механике разрушения, в рамках
которой ниже ведется рассмотрение, эту ситуацию схематизируют, заменяя
трещину разрезом [11,103, 106, 108,122].
Разрушение в результате прорастания трещин может осуществляться при
сравнительно низких напряжениях. При этом деформирование происходит
линейно-упруго всюду, за исключением малых прилегающих к краю трещи-
трещины концевых областей, где материал перед разрушением может претерпе-
претерпевать большие неупрутие деформации. Малость концевой области трещины
влечет за собой автономность ее состояния в момент наступления разру-
разрушения: напряженно-деформированное состояние в окрестности края трещи-
трещины становится полностью не зависящим от приложенных нагрузок и геомет-
геометрии тела [10], что позволяет сформулировать критерий роста трещины.
3.2.2.	Рассмотрим сначала трещину, которая занимает область (х\, х2) ?
Е G (с границей 9G) плоскости х3 = 0 в деформируемом теле D (с грани-
границей Э?>) (рис. 35). Пусть приложенные нагрузки таковы, что на продолже-
продолжении трещины возникают только нормальные растягивающие напряжения.
В этом случае речь идет о плоской трещине нормального разрыва (или
отрыва) *.
* Трещины нормального разрыва, как правило, наиболее опасны в конструкциях.
76

Рис. 35. Трещина-разрез в упругом пространстве
Рис. 36. Сечение трещины,d -концевые области
В соответствии с приемом Бюкнера [103] внешние нагрузки можно
свести к действующим на поверхностях трещины напряжениямр(х^, х2) >
> 0*. Граничные условия в плоскости трещины можно записать в следую-
следующем виде:
B.1)
B.2)
2,±0) = -p(xl9x2), (Xi,
2,±0) = о23(хих2,±0) =0, (xltx2)<EG.
Условие B.2) выражает отсутствие касательных (сдвиговых) нагрузок
на поверхностях трещины.
Рассмотрим сечение трещины некоторой вертикальной плоскостью,
например х2, хг (рис. 36). Там же показаны сечения концевых областей
трещины характерного размера d, в которых сосредоточены процессы не-
нелинейного деформирования и предразрушения. Вне этих заштрихованных
зон поверхности трещины находятся лишь под действием внешних нагру-
нагрузок B.1). В пределах концевых зон между поверхностями трещины дейст-
действуют еще силы взаимодействия (сцепления) g(xif x2), препятствующие
развитию трещины.
Пусть трещина G имеет характерные размеры 1г,..., 1к, а упругое тело
D — L!,..., Lp. Предположим, что d<min \lk, Lp }. Для того чтобы
к, р
охарактеризовать перераспределение напряжений в окрестности концентра-
концентратора — трещины, воспользуемся присутствием в задаче резко различающих-
различающихся масштабов d и lk, Lp и связанной с этим возможностью асимптотичес-
асимптотического анализа решения полной задачи в различных по сравнению cdnlk,Lp
зонах деформируемого тела.
Начнем с зоны, характеризуемой значениями d<\r\<lk, Lpi r - рас-
расстояние от края трещины. В масштабах этой зоны концевая область тре-
*Прием Бюкнера основан на принципе суперпозиции решений в линейной теории
упругости и состоит в следующем. Решение задачи теории упругости для тела с трещи-
трещиной при заданных внешних нагрузках представляется в виде суммы решений двух
задач. Первой - для рассматриваемого тела без трещины при заданных внешних на-
нагрузках и второй — для тела с трещиной при условии, что внешние нагрузки отсутст-
отсутствуют, а на поверхностях трещины действуют напряжения, равные по величине и про-
противонаправленные напряжениям, возникающим на месте трещины в первой задаче.
Специфика задачи теории упругости для тела с трещиной проявляется именно во вто-
второй задаче, которая обычно и рассматривается.
77

щины, где сосредоточены нелинейные процессы, стягивается к краю тре-
трещины CG). Поэтому напряженно-деформированное состояние в выделен-
выделенной зоне можно определить из решения задачи теории упругости для тела D
с разрезом по плоской области G при условии, что граница тела свободна
от нагрузок, а на поверхностях разреза действуют внешние нагрузки B.1)
(внешняя задача). Поскольку рассматриваются точки, для которых И <
<lk, Lp, поле напряжений в выделенной зоне представляет собой асимпто-
асимптотику решения внешней задачи вблизи края трещины. Пусть М - произволь-
произвольная точка гладкости контура трещины и Мг - близкая к ней точка (в нор-
нормальном к контуру, проходящем через М сечении). Указанная асимптоти-
асимптотика в локальной системе координат %\ЛгЛъ с началом в точке М (рис. 35)
имеет вид [103, 122]
TV, „
/зз@),
B.3)
h	(/=1,2).
Здесь S — расстояние от точкиМх до М\ //^з ~~ функции угла 0, определяю-
определяющего направление вектора MMj в плоскости \2%3 относительно оси ?2-
В силу B.2) /]3@) = /*2з@). Как видно, нормальные напряжения о33 на
продолжении трещины имеют корневую особенность. Коэффициент N{
при особенности играет определяющую роль в теории трещин и называется
[103, 122] коэффициентом интенсивности напряжений*.
Оказывается, и это важно для приложений, что асимптотика смещений
поверхностей трещины вблизи ее контура также выражается через Л^.
Если обозначить через ui9 и2, и3 смещения точек верхней поверхности
трещины, то для трещины нормального разрыва
и3(М2) « аАГ1ЧЛ$7, а = 4A - v2)/E,	B.4)
где М2 ? G и расположена вблизи точки М на нормали к контуру трещины,
проведенной в ее плоскости через точку М, S^ — малое расстояние от М2
до М.
Компоненты смещения ии и2 в плоскости хь х2 в силу симметрии
нагружения при переходе от верхней поверхности трещины к нижней не
терпят разрыва, а компонента и3, сохраняя величину, меняет знак. Скачок
смещений в направлении х3 равен 2и3.
Теперь рассмотрим напряженно-деформированное состояние тела в
окрестности г ^ d вблизи края трещины. Поскольку d меньше всех харак-
характерных размеров контура трещины, то, в частности, d меньше и минималь-
минимального радиуса кривизны контура. Выберем произвольную точку Р J-окрест-
ности контура трещины. Проведем сечение трещины плоскостью, нормаль-
нормальной к контуру и проходящей через Р. Если отнести длины к d, то контур
трещины вблизи точки Р станет прямолинейным,- а указанное сечение тре-
* В литературе встречаются и несколько иные определения коэффициента интенсив-
интенсивности: Кх =NlS/lZ[l22) ипиК, =УУ1ЧЛГ[108].
78

щины будет представлять собой "полубесконечный" разрез. Поэтому поле
напряжений в <2-окрестности контура трещины можно найти из решения за-
задачи о полубесконечном разрезе, расположенном в деформируемой плос-
плоскости, при условии, что нагрузки g, вызываемые силами взаимодействия
поверхностей трещины, приложены на участке характерного размера d по-
поверхностей разреза (внутренняя задача).
Соотнесем теперь окрестность d<r<lk,Lp, рассмотренную во внешней
задаче, с внутренней задачей. В масштабе внутренней задачи эта окрест-
окрестность, очевидно, удалена в бесконечность по отношению к вершине полубес-
полубесконечного разреза. Можно показать, что наиболее медленно убывающий
член асимптотики внутренней задачи при г ->°° имеет вид
N1 ~
/(в)	B.5)
Здесь N\ — коэффициент интенсивности напряжений во внутренней задаче.
Поскольку внешняя и внутренняя задачи представляют собой асимпто-
асимптотики решения полной задачи, естественно считать, что в промежуточной
области d<r<lk,Lp значения напряжений, определяемые по обеим асимп-
асимптотикам, должны совпадать. В силу B.4), B.5) это означает, что в состоя-
состоянии равновесия деформируемого тела D с трещиной выполняется равенст-
равенство коэффициентов интенсивности напряжений внешней и внутренней
задач:
N{ = N{.	B.6)
Вспомним, что нагрузки g, а следовательно, и N\ зависят от свойств
материала (сил взаимодействия поверхностей трещины и механизмов пред-
разрушения в концевой области трещины). Поэтому можно принять, сле-
следуя Г.И. Баренблатту [10], что при увеличении внешних нагрузок подвиж-
подвижно-равновесное состояние трещины, предшествующее ее страгиванию, в
некоторой точке М контура достигается тогда, когда достигается состояние
автономности концевой области и величина N\ в B.6) принимает свое пре-
предельное значение (Nm). Это предельное значение и представляет собой ха-
характеристику сопротивления материала росту трещин - его трещиностой-
кость. Обычно употребляют модуль сцепления К = nNm [10] или критичес-
критический коэффициент интенсивности напряжений Кгс = Nm/y/ljF [186]. Крите-
Критерий роста трещины нормального разрыва, таким образом, имеет вид
Nt = Nm.	B.7)
( в дальнейшем индекс eyNf будем опускать).
В тех точках контура трещины, в которых Nt < Nm, при текущем
уровне нагрузок состояние предельного равновесия не достигнуто.
Трещиностойкость материала (К илиА^1С) может быть определена
экспериментально или из модельных соображений о механизмах разруше-
разрушения в концевой области трещины.
Одна из основных задач механики разрушения состоит в следующем.
Пусть в элементе конструкции имеется трещина и известны внешние на-
нагрузки на этот элемент. Требуется, зная трещиностойкость материала, из
которого изготовлена конструкция, на основании критерия роста трещины
79

B.7) найти соотношения между нагрузками и размерами трещины (и те-
тела), соответствующими наступлению критического состояния трещины,
и выяснить, как будет происходить развитие трещины: устойчиво (т.е.
рост трещины происходит лишь по мере увеличения нагрузок) или неустой-
неустойчиво (т.е. после страгивания трещина распространяется катастрофически
до полного разрушения тела без дальнейшего увеличения приложенных
нагрузок).
Решив эту задачу для ряда характерных видов трещин, встречающихся
в конструкции, при типичных условиях статического нагружения можно
установить нормативы на размеры допустимых дефектов для конструкции
(так называемые нормы дефектности). Располагая ими, можно предъяв-
предъявлять обоснованные требования к методам и регламенту контроля и отбра-
отбраковки конструкций, а также рационально подбирать материал для кон-
конструкции с учетом условий эксплуатации. Методические вопросы построе-
построения норм дефектности рассматриваются, в частности, в [37, 122].
Приложение критерия B.7) при известной трещиностойкости преду-
предусматривает решение задачи теории упругости для тела с трещиной и опре-
определение из этого решения распределения коэффициента интенсивности
напряжений вдоль контура трещины при заданных нагрузках.
3.2.3. Приведенный выше анализ задачи о трещине и сформулированный
на его основе критерий A.7) относятся к так называемому силовому под-
подходу в теории трещин [10, 186]. В случае хрупкого и квазихрупкого раз-
разрушения силовой подход равносилен энергетическому, исторически возник-
возникшему раньше в работах Гриффитса [181, 182]. Гриффите изучал разруше-
разрушение хрупких материалов и получил критерий роста трещины из следующих
соображений. Деформируемое тело с трещиной при заданных нагрузках
обладает определенной энергией деформации. Рост трещины сопровождает-
сопровождается образованием новых поверхностей и, следовательно, приращением по-
поверхностной энергии, происходящим за счет одновременного изменения
(убыли) энергии деформации (поскольку предполагается, что разрушение
происходит хрупко, то отсутствуют необратимые деформации и иных сто-
стоков энергии, помимо образования поверхностей трещины, нет). Пусть для
образования единицы новой поверхности трещины требуется поверхност-
поверхностная энергия Тт. Обозначим через 5 U изменение энергии деформации тела
при увеличении площади поверхностей трещины на 265. Тогда в соответ-
соответствии со сказанным
bU = 2TmbS.	B.8)
Гриффите принял, что Тт есть константа материала. При этом B.8) -
энергетический критерий роста трещины.
Как и в случае силового критерия, величина Тт — характеристика ма-
материала и подлежит определению на основе экспериментов и моделирова-
моделирования, величина же 6G/55 должна находиться из решения задачи теории упру-
упругости для тела с трещиной.
Процедура отыскания 6 (//65 на первый взгляд представляется весьма
сложной. Действительно, чтобы найти 5 ?//65 вдоль контура трещины G,
нужно было бы решать не одну задачу теории упругости, а последователь-
последовательность таких задач, отличающихся тем, что исходной области трещины G
вблизи различных точек контура дается приращение 55 и в результате со-
80

поставления таких решений и решения задачи для тела с трещиной G вы-
вычисляются локальные в точках контура 3G значения 8U/8S.
Однако, как показал Ирвин [186], имеется прямая связь между локаль-
локальными значениями SU/dSn коэффициента интенсивности напряжений Nt:
8U/8S = J3N2, J3 = 2тгA - v2)/E.	B.9)
Формула Ирвина*, с одной стороны, устанавливает эквивалентность
силового B.7) и энергетического B.8) критериев роста трещин; с другой
стороны, она показывает, что нет необходимости решать указанную выше
последовательность задач теории упругости для отыскания 8U/8S. Доста-
Достаточно решить одну задачу о трещине G в упругом теле D и найти распреде-
распределение значений N\ вдоль контура трещины.
Решение пространственных задач теории упругости для тел с трещинами
сложной формы G в плане весьма затруднительно. Обзор работ по этому
вопросу дан, в частности, в [107, 122, 218].
Трудности, связанные с расчетом коэффициентов интенсивности напря-
напряжений при сложной форме контура трещины (или последовательности
таких контуров, если рост трещины происходит устойчиво), а также и упо-
упоминавшееся во введении то обстоятельство, что для практики зачастую
нужны лишь достаточные условия разрушения или неразрушения тел с
трещинами, приводят к необходимости разработки качественных и приб-
приближенных количественных методов оценки условий разрушения элемен-
элементов конструкций с трещинами сложной формы на основе анализа решений
для соответствующим образом подобранных более простых ситуаций.
Такой подход предложен в [39, 40], получил развитие в [35-37. 38,
41, 44, 45, 48-56, 142, 143, 180] и составляет содержание последующих
глав.
Прежде чем переходить к его изложению, приведем необходимую для
дальнейшего математическую формализацию задачи теории упругости о
трещине, которую удобно получить, используя представления общего ре-
решения уравнений теории упругости через потенциалы Папковича-Нейбе-
ра [90,128].
3.3. Представление Папковича — Нейбера общего решения
уравнений равновесия упругого тела
3.3.1. Система уравнений равновесия упругого тела в смещениях имеет
эллиптический тип [90, 98]. С этим связаны возможности представления
ее общего решения в виде комбинаций гармонических или бигармоничес-
ких потенциалов [90, 128]. Мы рассмотрим одно из таких представлений,
принадлежащее Папковичу и Нейберу, поскольку им удобно пользоваться
при анализе и построении оценок решений смешанных задач теории упру-
упругости (см. гл. 5—8).
* Ирвин установил формулу B.9), рассматривая двумерную задачу о плоскости с
прямолинейным разрезом. Обобщение B.9) для трещин, занимающих плоскую об-
область в трехмерном теле, дано в [10]. В [69 | показано, что формула B.9) справедли-
справедлива в этом случае для вариаций границы области трещины весьма общего вида.
6. Зак. 1100	81

Не останавливаясь на подробностях, поясним один из способов вывода
представления Папковича — Нейбера (см., например, [90, 128]). Перепи-
Перепишем уравнения Ламэ A.7) в виде
Ди = -iflg -(X + ju)ju~x graddiv и.	C.1)
Таким образом, Аи представляет комбинацию двух векторных полей g
и grad divu. Можно поэтому и сам неизвестный вектор и отыскивать в
аналогичном виде
и = Аур - В gradx,	C.2)
где $(хи х2, х3) и х(*ь *2> *з) - векторное,и скалярное поля соответ-
соответственно. Постоянные А, В и структуру скалярного поля х нужно подо-
подобрать так, чтобы представление C.2) удовлетворяло уравнениям A.7).
Оказывается, что эти условия выполняются для функции и следующего
вида:
и = 4A - *0^~ grad (rf+ </?), r=\xux2,x3\ .	C.3)
Потенциалы ф*иф удовлетворяют дифференциальным уравнениям
2 A - I/) Д* = -g, 2A - v) Д<р = (rg).	C.4)
В отсутствие объемных сил (g = 0).
AVr=O, Д<р = 0.	C.5)
В этом случае общее решение C.3) уравнений теории упругости в пере-
перемещениях A.7) выражается через четыре гармонические функции </? и ^*.
3.3.2. Поле смещений, удовлетворяющее уравнениям A.7), не опреде-
определяет однозначно функции у и \[г. Поэтому в некоторых случаях можно
представить и, используя не все четыре потенциала. В частности, если реше-
решение системы A.7) должно удовлетворять определенным свойствам сим-
симметрии, то число независимых гармонических функций в представлении
C.3) уменьшается.
Для дальнейшего важен класс задач для упругого пространства или полу-
полупространства х3 > 0, в которых на плоскости х3 = 0 касательные напряже-
напряжения обращаются в нуль. К числу таких задач относятся контактная задача
и задача о трещине в рассмотренной в разд. 3.1 и 3.2 постановке.
Если в общем представлении C.3) положить
C.6)
то для компонент смещения получим
Щ = -х3фф3/дхд - ( дфх;) (/= 1,2);	C.7)
и3 = 2A - v) ф3 - х3(Ьф3/Ъх3).	C.8)
Необходимые для дальнейшего компоненты напряжений на	площадках
* Другие представления общего решения системы A.7), в частности, представления
Галеркина, рассмотрены в [90]. Отметим, что имеются обобщения представлений
Галеркина на случай системы уравнений динамической теории упругости (см. напри-
например, [88] ).
82

с нормалью в направлении оси х3 будут иметь следующий вид:
о/3/2д = -х3(д2ф3/Ъх^х3)A= 1,2);	C.9)
о33/2ц = (Ьф3/дх3) -х3{Ъ2ф31Ъх\).	(ЗЛО)
Очевидно, что представления C.9) автоматически обеспечивают равен-
равенство нулю касательных напряжений о13 и о23 в плоскости х3 = 0, Кроме
того, из C.8), (ЗЛО) следует простая взаимосвязь (при х3 = 0) нормаль-
нормальных напряжений о3 3, смещений u 3 со значениями гармонической функции
ф3 и ее нормальной производной:
(ЗЛ1)
C.12)
Формулы C.11), C.12) позволяют свести задачу о штампе и задачу о
трещине к смешанным задачам определения одной гармонической функции
в полупространстве.
Действительно, в силу C.11), C.12) и краевых условий A.14) задача
о штампе эквивалентна задаче отыскания функции ф3 при х3> 0:
А^з=0, (*,, x2t x3) GRl;
ф3 = [2A -^Г1 F{xux2\ (xux2)eSi	C.13)
Ьф3/Ъхъ = 0, (x1,x2)GR2\S.
Прежде чем дать аналогичную формулировку задачи о трещине в без-
безграничной среде, заметим, что ее краевые условия B.1), B.2) сформули-
сформулированы в напряжениях. Если воспользоваться очевидной симметрией рас-
рассматриваемой задачи о трещине в пространстве относительно плоскости
х3 = 0, то исходную задачу в напряжениях можно записать как смешанную
для полупространства х3 > 0. Действительно, в виду отмеченной симмет-
симметрии в плоскости jc3 = 0 вне трещины обращаются в нуль нормальные смеще-
смещения и3 и касательные напряжения oi3io23. Таким образом, в задаче для
полупространства краевое условие B.1) сохраняется, а вместо B.2)
имеем
01з(*ь*2,О) = o23(xltx2,0) =0,	C.14)
из(*ь*2,0)=0, (xl9x2)eR2\G.	C.15)
Итак, задача о трещине отрыва в упругом пространстве эквивалентна
смешанной задаче B.1), C.14), C.15) для полупространства х3 > 0, ко-
которая, очевидно, двойственна задаче о вдавливании штампа с острой кром-
кромкой A.14)*.
В силу формул C.11), C.12) задача о трещине B.1), C.14), C.15)
сводится к смешанной задаче определения гармонической функции ф3
в полупространстве:
^з = 0, (*,, x2)GR2\G;
=-Bцу1р(хих2), (xux2)eG.
*В дальнейшем это соответствие задач о трещине и штампе будет неоднократно ис-
использоваться.
83

Формулировка задач о штампе и трещине в виде смешанных для гармо-
гармонической функции позволяет использовать аппарат теории гармонических
функций для исследования свойств и построения оценок решений назван-
названных задач теории упругости. В более сложных ситуациях, в частности
в условиях действия одновременно и нормальных и сдвиговых нагрузок,
подобное сведение к задаче для одной гармонической функции в общем
случае не удается. Исключение составляет осесимметричный случай, когда
наряду с нормальными нагрузками действуют радиальные и окружные
сдвиговые нагрузки. Эти задачи разделяются на последовательность трех
задач (о трещинах отрыва, радиального и окружного сдвига), каждая
из которых эквивалентна смешанной задаче определения одной гармони-
гармонической функции. Такое разбиение позволяет распространить некоторые
свойства решений задач о трещинах отрыва, устанавливаемые в гл. 5, на
осесимметричные задачи при наличии сдвига.
Смешанные задачи C.13) и C.16) для гармонической функции ф3
обычными в теории потенциала приемами могут быть сведены соответ-
соответственно к интегральному и интегродифференциальному уравнению отно-
относительно неизвестных в области штампа значений ф3 или в области трещи-
трещины - дф3/дх3. Подробный вывод этих уравнений приведен, например, в
[90,106].
В дальнейшем будет использоваться интегродифференциальное уравне-
уравнение, отвечающее задаче о трещине. Оно имеет следующий вид:
/X	Фз(х1,х2)
А	fdd	()
2тгA -v) 1 2 g	г
C.17)
Г2 = (*, -*/J+(*2-*2J,
где Ах t х 2 — оператор Лапласа по х j, х2.
Оператор 1(ф3) можно записать иначе, если внести дифференциальный
оператор под знак интеграла. При этом, чтобы представить получающийся
интеграл в сходящейся форме, нужно воспользоваться тем, что Эг/Эх/ =
= —Эг/Эх/, и после интегрирования по частям с учетом условия ф3 = 0 на
границе bG перебросить одно дифференцирование с ядра A/f) на искомую
функцию ф3. Получим в результате
.	C.18)
Левая часть C.18) представляет собой известный интегродифференциаль-
интегродифференциальный оператор Зигмунда - Кальдерона, а левая часть C.17) — иное его пред-
представление [144]. Заметим, что интегродифференциальное уравнение C.18)
непосредственно получается, если при формализации задачи о трещине
пользоваться представлениями теории дислокаций [36].
Исследование свойств уравнения A.12) в ряде случаев облегчается,
если при записи оператора L использовать обобщенное преобразование
84

Фурье по переменным х = (х j, х2) с параметром % = (? \, I- 2) [ 144]:
= Я /Ос) e*«- *> dx,
— оо
! оо	C.19)
fix) s F">
2 Я
Bтг) --
Здесь и ниже обозначено (?, л:) = ^ххг + ?2*2, dx = dx, dx2, d? = d%x d?2 •
Учитывая теорему о свертке и то, что F(\jf) = 2я/| ^ |, получим
L = г^— F-1 [\Ц\ф} = р, (хи x2)GG.
Здесь ^(дс,,х2) = Фэ(хг,х2,0).
Теперь нетрудно сделать заключение о разрешимости уравнения C.17),
если воспользоваться результатами теории псевдодифференциальных урав-
уравнений [144].
В принятых в этой теории обозначениях C.17) с учетом C.19) можно
записать так:
=-2пр, ф\ъс =0,	C.20)
где ро - оператор сужения функции на область G, A (D) - псевдодиффе-
псевдодифференциальный оператор с символом А (?) = этд| ? | /A — v). Символ А (?)
принадлежит к классу однородных эллиптических символов [144] (пока-
(показатель однородности 1). Тогда можно утверждать, что уравнение C.17)
нормально разрешимо и его решение фЕ #i/2(G)> если р Е H_1j2(G).
Здесь H_Xj2 (G), Н1J2 (G) — пространства Соболева — Слободецкого дроб-
дробного порядка [144].
Замечание. Мы привели в разд. 3.1—3.3 ряд характерных постановок
задач теории упругости и теперь перейдем к анализу некоторых их
свойств на основе общих представлений решений уравнений теории уп-
упругости. Однако прежде отметим, что многие специфические постанов-
постановки краевых задач теории упругости возникают в тех случаях, когда
имеет место тот или иной вид вырождения системы дифференциальных
уравнений теории упругости из-за наличия среди геометрических харак-
характеристик упругого тела одного или двух малых параметров (модели
стержней, балок, пластин, оболочек) [90, 93]. Ситуация здесь вполне
аналогична той, что имеет место в общей теории дифференциальных
уравнений в частных производных. Некоторые методы и результаты
построения оценок решений для таких вырожденных задач обсужда-
обсуждаются в гл. 10.
Мы не рассматриваем здесь математическое обоснование и не прово-
проводим исследований постановок задач теории упругости, считая, что соот-
соответствующие условия выполнены. Этим- вопросам посвящено большое
количество статей и книг. Библиографию можно найти, в частности, в
[136, 137, 223].
85

3.4. Формула Со ми лианы. Дальние поля.
Теорема о среднем.
3.4.1. Решение уравнений теории упругости A.7) может быть выра-
выражено через интегралы от значений напряжений и смещений на поверх-
поверхности тела. Такое интегральное представление есть не что иное, как
аналог третьей формулы Грина ([82]), но для уравнений теории упру-
упругости. Можно показать [17, 96, 98], что компоненты вектора смещений
в произвольной точке у = (ylt у2> Уз) тела выражаются следующей фор-
формулой (формулой Сомилианы), приводимой ниже для простоты в
случае, когда объемные силы отсутствуют *:
Щ (У) = / \U (x) Gif (х, у) - Рц (х, у) щ (х)] ds.	D.1)
s
Здесь х = (xi9 x2, x3) G S; f/(x), W/(x) - компоненты усилий и сме-
смещений в точках поверхности тела;
D.2)
— тензор Сомилианы**, г2 = (xt - yt) (xf — yt), btj — символ Кронекера;
1	1A- Ъ>)
8тг A — v) \ г
-	& - yj) b ik - (xk - yk) 8 if] -
-	-Jf (Xf - Уд (Xj - yj) (Xk - yk) I Пк,	D-3)
nk — составляющие единичного вектора внешней нормали к поверхности
тела S***.
Из формулы Сомилианы после соответствующего дифференцирова-
дифференцирования получается представление для напряжений в произвольной точке
тела через граничные значения tt и ut [17, 96]:
Off (У) =-fuk(x)Skif(x,y)ds +
s
+ ftk(x)DtJk(x,y)ds.	D.4)
*При вьшоде формулы D.1) подразумевается, что задача теории упругости ре-
решена и поэтому в точках поверхности тела можно определить не входившие в крае-
краевые условия задачи на той или иной части поверхности тела компоненты смещений
и (или) усилий.
**Если в упругой среде действуют в точке у сосредоточенные единичные силы
Qj (у), направленные вдоль осей координат, то вызываемые ими смещения в точ-
точке х равны и/ (х) =Ggj (x, y)<jy(y). Иначе говоря, каждый столбец матрицы Gy есть
решение системы уравнений теории упругости A.7).
***Если по смещениям,определяемым тензором Сомилианы G/y, вычислить де-
деформации су и напряжения о у, а затем выразить 'усилия t'f (x) на поверхности,
проходящей через точку х, t'f (x) = Р,у (х, у) <?/ (у).
86

Здесь
(\-2v) •' '' >** A-2*0
{ntrilri,
+ njriirtk) + 3nkriirtj + rij5ki + ni8kj -	—пкЬц\ ;	D.5)
г i — о а г ь-
4itrz
* =A-2у)/2A-у), г, =
Формула Сомилианы D.1) и следующая из нее формула D.4) имеют
разнообразные применения при исследовании и решении задач теории
упругости. Формулу D.1) используют для вывода граничных интег-
интегральных уравнений (ГИУ) задач теории упругости. С помощью D.1) и
D.4) рассчитывают компоненты упругого поля внутри тела после того,
как ГИУ решено [17, 96]. С другой стороны, формулы D.1), D.4)
служат источником оценок смещений и напряжений. Поясним харак-
характерные результаты в этом направлении.
3.4.2. Формула Сомилианы, как уже отмечалось, выражает смещение
во внутренних точках тела через значения всех компонент смещений и
напряжений на границе тела. В корректно поставленных краевых зада-
задачах теории упругости на границе тела задается лишь часть из этих вели-
величин, остальные могут быть определены только после решения задачи.
Поэтому нельзя непосредственно использовать формулу Сомилианы
для оценки смещений во внутренних точках тела через заданные на гра-
границе краевые условия.
Эту трудность удается преодолеть следующим образом [223]. Вво-
Вводятся два вспомогательных упругих поля, связанных с распределением
напряжений atj (q), u (q), создаваемым силами, сосредоточенными в
той точке у тела, где желательно получить оценку смещений в исход-
исходной задаче.
Вспомогательное поле смещений и' должно принимать значения сме-
смещений u(q) на той части границы тела S2, где в исходной задаче заданы
краевые условия в смещениях [см. A.11)], и обеспечивать обращение
в нуль работы заданных на части границы S i нагрузок на смещениях и^ .
Вспомогательное поле напряжений o"j должно удовлетворять урав-
уравнениям равновесия внутри тела и определенным условиям на границе
тела: 1) усилия, соответствующие полям o"j и aj;-(q) совпадают в точ-
87

ках Si; 2) суммарная сила, создаваемая на S2 упругим полем (а^ ) *,
сопряженным к полю а^-, равна нулю *.
Предполагается, что указанные вспомогательные поля построены. Фор-
Формула Сомилианы A.7) записывается в иной форме (во второй член под-
подынтегрального выражения вместо Р/;- вводится сопряженное упругое поле)
и в ней выделяются интегралы по Si и S2, содержащие неизвестные в исход-
исходной постановке краевой задачи величины uL и tL . Эти интегралы могут
быть распространены на всю поверхность тела, поскольку, будучи взяты
по S \Si и S\S2 соответственно, обращаются в нуль как требовалось при
построении вспомогательных полей. После чего, преобразуя поверхностные
интегралы в объемные, приходим к представлению и (у) следующей струк-
структуры u(y) = U0 + А, где U0 известно. Величина А выражается через иско-
искомое поле и разность вспомогательных полей и может быть оценена энерге-
энергетическими методами. Тем самым получится оценка и для и (у) .
Ясно, что реализуемость и эффективность таких оценок определяется
возможностью построить вспомогательные поля смещений и напряжений
с требуемыми свойствами. Это весьма сложная задача, в особенности для
трехмерных упругих тел. Поэтому описанный способ построения локаль-
локальных оценок решений для трехмерных задач теории упругости не получил
распространения. Хотя в некоторых случаях для элементов конструкций
специального типа (рамы, пластинки и т.п.) его удается применить. По-
Подробное изложение с обоснованием и анализом способа построения ло-
локальных оценок на основе формулы Сомилианы дано в [223]. Там же ука-
указаны и возможные модификации, восходящие к Синджу [215], однако и
они не приводят к коренным упрощениям процедуры.
3.4.3. К некоторым оценкам смещений и напряжений внутри тела через
заданные на границе величины можно прийти из иных соображений, не при-
прибегая к формуле Сомилианы.
В разд. 3.3 отмечалась связь общего решения уравнений теории
упругости с гармоническими функциями. Оказывается, что существуют
аналогичные представления общего решения системы A.7) через три
бигармонических потенциала—представления Б.Г. Галеркина. Более того
имеет место следующее свойство решения уравнений теории упругости
в отсутствие массовых сил: каждая из компонент смещения м,-, являю-
являющаяся четырежды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей
A.7) функцией, удовлетворяет бигармоническому уравнению.
В самом деле, применяя к A.7) (при g = 0) операцию дивергенции
и пользуясь тем, что div grad = А, получим
A(div u) = 0,	D.7)
т.е. объемное расширение div u — гармоническая функция. Теперь возьмем
*Напомним определение сопряженного упругого поля на примере поля напря-
напряжений, задаваемого тензором D.3) Р = (Р#). Сопряженное поле задается тензором
/**, который однозначно определяется соотношением
P[v]q = (Z>*[q])rv, Vv.
Если v - единичный вектор, то тензор /)*[q], примененный к v, определяет вектор
напряжений на площадке с нормалью v, вызванных нагрузкой q, I q I =1.
88

лапласиан от A.7) и учтем, что grad(Adivu) = 0. Получим
А2и =0.	D.8)
То обстоятельство, что каждая из компонент смещения является бигармо-
нической функцией, а для бигармонических функций справедливы теоремы
о среднем, было использовано в [167] для вывода теорем о среднем для
смещений.
Наметим, следуя [167], доказательство наиболее естественной их них.
Теорема о среднем для бигармонической функции, непосредственно
примененная к ии дает
3 Г 5	1
«/@)= 	 -г / М^- / МП-
*2со3 L R5 v(R)	со J
D.9)
Здесь V(R) — внутренняя область сферы S (R) радиуса R, со — поверх-
поверхность сферы единичного радиуса с центром в начале координат 0, площадь
которой со3 = 2тг3/2/ГC/2). В интеграле по единичной сфере считается, что
щ представляют значения функции, взятые в соответствующих точках
сферы радиуса R\ W/@) — значение и,- в центре 0 сферы S (R). Недостаток
этой формулы в том, что она связывает значение f-й компоненты смещения
в центре сферы не только с ее же значениями на границе S (R), но и со
значениями во внутренних точках. Постараемся исключить интеграл по
объему V(R) от иг. Это можно сделать, если воспользоваться уравнениями
равновесия. Правда, таким образом интеграл по V(R) от и. будет выражен
через интеграл по поверхности S(R) от комбинаций всех компонент сме-
смещений, а не только ut.
Можно показать*, что
R3
[3+0-21/Г1]
С помощью этого соотношения из D.9) имеем
Г/	1 хрс}\ 1
18«7 +	^T")"idn- DЛ°)
\11 A-2*0 R2 I ]\
X /12- 	/—)8,/ + 	 ~Чг \иЛП.	D.11)
11 A/2) ) lJ A2) ~* ' ;
Таким образом, формула D.11) позволяет находить значения каждой
из компонент смещений щ в центре сферы 0 по значениям всех компонент
смещений на ее поверхности, проинтегрированным с соответствующими
весовыми функциями. Интеграл, содержащий произведение 6f/W;, с точ-
точностью до множителя дает просто среднее значение щ по сфере S (R) [167].
Далее, (xj/R) - компоненты внешней нормали к S(R), поэтому (xj/R)uj
есть смещение ип по нормали к поверхности S(R). Следовательно, инте-
* Приведенное ниже соотношение получается из A.7) после домножения на г2,
интегрирования по V(R) , а затем двукратного интегрирования по частям.
89

грал от произведения (XjlR)un представляет вычисленное с некоторым
весом среднее значение нормальной компоненты граничного смещения.
Таким образом, очевидны случаи задания краевых условий для задачи
в смещениях, когда один из интегралов в D.11) обращается в нуль. Фор-
Формула D.11) служит выражением теоремы о среднем для уравнений теории
упругости. Различные варианты теоремы о среднем в теории упругости
получены, в частности, в [167,97].
Опираясь на формулу D.11) нетрудно получить выражения для дефор-
деформаций и напряжений в центре сферы через граничные смещения. Эти вопро-
вопросы, а также аналогичные теоремы о среднем в терминах граничных напря-
напряжений рассмотрены в [167, 215], исследования по теоремам о среднем
в теории упругости подытожены в [223].
3.4.4. В п. 3.4.2 обсуждалась возможность построения оценок смещений
внутри тела с помощью формулы Сомилианы D.1) во внутренних задачах
теории упругости. Для внешних задач формула D.1) и следующая из нее
D.4) приводят к асимптотике упругого поля вдали от границы, которая,
в свою очередь, тесно связана с изо периметрическими оценками некоторых
интегральных характеристик решения. Рассмотрим этот вопрос на примере
задачи о трещине нормального отрыва в безграничной среде B.1),
B.2) [35,36,46].
Получим формулы для "дальнего поля" напряжений исходя из формулы
D.4). Обозначим через S± верхнюю и нижнюю поверхности трещины
соответственно. Так как рассматривается трещина-разрез, то нормали к
S*и S~ отличаются знаком. Из D.5) видно, что в этом случае вычислен-
вычисленные на верхней и нижней поверхности трещины значения ядра Sk$ отличают-
отличаются знаком: S?.j = —S?/;-. Далее в силу D.6) Dki, = D^.-. Если в записи краево-
краевого условия B.1) перейти от напряжений к усилиям, то получим
t% = okinj(k = 1,2,3), t\ =-*", tt = f2±=0.
В результате из D.4) имеем
*,/&) = -/»3.(x)S3/y(x,y)dS(x) (/,/=1,2,3).	D.12)
s+
Здесь &з = ut — иг — компонента скачка нормальных смещений поверх-
поверхностей трещины при переходе через плоскость х3 = 0; напомним, что для
трещин нормального отрыва скачки сдвиговых компонент смещений
b% = U\ — Ui> hi = и\ — иг равны нулю. Проведем в D.12) разложение по
г(х, у), считая, что точка у удалена от области трещины. При этом г (у) >
> r(x),xES+, r2 (z) =zkzktk- 1,2,3. Для простоты ограничимся первым
членом разложения. Напомним, что функция, зависящая от разности ра-
радиус-векторов г (у) — г(х), допускает разложение
/(r(y)- r(x))=/(r(x)) -
Поэтому первый член разложения Оц — а!, получим, заменив в выражении
D.5) для Sfjk производные г г на г (у) х -yf~l (у) и подставив результат
90

в D.12):
0-2»)
Здесь
КУO5,.3] -26,36/3) •	D.13)
V = / MS	D.14)
— объем трещины, важная интегральная характеристика решения задачи
о трещине (см. разд. 4.2). Отметим, что формулы для дальнего поля в бо-
более общем случае трещины произвольного разрыва [для которой, вообще
говоря, Ъх и (или) Ь2 не равны тождественно нулю (разд. 4.2)] приведены
в [46], там же выписан и второй член разложения а/у. для трещины нормаль-
нормального отрыва. Характерно, что во все указанные асимптотические формулы
входят интегральные характеристики Vik и Кщ типа объема D.14) и
"моментов" скачка смещений вдоль трещины:
Vik= J&fdSfcH К™п = JbrfxidS.
s+	s+
Из D.13) видно, что порядок убывания напряжений, вызываемых
в упругой среде присутствием трещины в главном члене не зависит от гео-
геометрии трещины и приложенных к ее поверхностям нагрузок. Геометрия
трещины и нагрузки влияют лишь на коэффициент интенсивности затухания
напряжений Vв формуле D.13).
Пусть нагрузки заданы и рассматриваются дальние поля от трещин,
занимающих в плоскости х3 - О различные области одинаковой площади.
Наименее интенсивно напряжения будут затухать для той из них, для кото-
которой объем максимален. В частности, при однородных нагрузках [р = const,
формула B.1)] среди трещин нормального отрыва одинаковой площади
наибольший объем имеет круговая трещина, ей и соответствует наименее
сильное затухание напряжений. Доказательство этого изопериметрического
неравенства дано в гл. 6. Там же отмечено, что при однородных нагрузках
объем трещины с точностью до множителя совпадает с энергией деформа-
деформации упругой среды с трещиной.
Замечание. Рассмотренная выше связь асимптотики решения внешней
задачи вдали от границы с некоторыми интегральными параметрами
решения характерна для многих типов внешних задач механики сплошных
сред [22—24, 187]. В ряде случаев для соответствующих интегральных
параметров имеются изопериметрические оценки. Один из способов полу-
получения самих асимптотик состоит в использовании формул, аналогичных
формуле Сомилианы. Доказательства изопериметрических оценок прово-
проводятся по-разному с учетом специфики задачи.

В качестве примера укажем класс задач гидродинамики идеальной
несжимаемой жидкости об обтекании твердых тел жидкостью. В этих
задачах наряду с другими характеристиками решений важно знать область,
в которой существенны возмущения, создаваемые телом, характер затуха-
затухания возмущений при удалении от тела и закономерности изменения пара-
параметров затухания при варьировании его формы.
Для иллюстрации приведем типичные результаты, относящиеся к трех-
трехмерной задаче об установившемся поступательном движении тела V с гра-
границей S (см., например, [22]). Пусть скорость тела и, течение безвихревое.
Для потенциала скорости кр (v = &p) краевая задача имеет вид
vn \s = Aipn = ду/дп = w= g,	D.15)
где vn — компонента скорости в проекции на внешнюю нормаль п к телу.
На бесконечности жидкость покоится, потенциал скорости должен стре-
стремиться к константе, которую в рассматриваемом случае (из-за непрони-
непроницаемости стенок тела) можно положить равной нулю.
Потенциал скорости в произвольной точке у жидкости определяется
третьей формулой Грина через значения у, ду/дп на границе. Проводя
разложение в этой формуле в предположении, что точка у удалена от тела,
аналогично тому как это сделано выше в задаче о трещине, получим в
главном члене
Я 1
D.16)
dj/ r (у)
где*
Ci = — / (*/#- nnp)dS.	D.17)
4тг s
Имеется тесная связь между асимптотическим разложением D.16) и
выражением для кинетической энергии жидкости, в которой движется
тело. В сущности, эта связь обусловлена тем, что и потенциал в произвольной
точке жидкости и ее кинетическая энергия Е могут быть представлены че-
через интегралы по поверхности тела S от значений потенциала и его нормаль-
нормальной производной. Действительно, при поступательном движении тела [22]
1	1	Ъу
2	R*\v	2 s Ъп
Здесь выражение кинетической энергии через интеграл по объему, занято-
занятому жидкостью, есть ее определение, а представление в виде поверхностного
интеграла - результат преобразований**.
*В случае проницаемого тела в разложении D.16) появляется член ~ я/г (у), где
а пропорционален потоку сквозь тело.
* * Переход от объемного интеграла к поверхностному осуществляется с помощью
тождества w = V(^u) = Wy + *pVv, очевидного в силу уравнения неразрывности
Vv = 0. Подставляя вместо w выражение v(<^?) и пользуясь формулой Гаусса-Остро-
градского, придем к нужному представлению кинетической энергии.
92

Если ввести вектор-потенциал ф соотношением^ = иФ, то D.18) можно
представить в ином виде:
Е= Уг рУСц-Ши},	D.19)
где V- объем тела,
1
ci/ = -Z f %"ids-	D.20)
у л
Величины c'ij образуют тензор второго ранга. Тензор, компоненты которого
пропорциональны Сц и равны рУсц (р — плотность жидкости), называется
тензором присоединенных масс тела [22—24].
С другой стороны, введя Фв D.17), получим
D@'V/)	С4-21)
47Г
и для кинетической энергии
t= KpDnvsc'-Vvsvs).	D.22)
Сравнение D.19) и D.22) дает
47Г67 = К(и,)Д5/7 + ctj).	D.23)
Соотношение D.23) и устанавливает связь между коэффициентами
в асимптотике потенциала скорости и компонентами тензора czy. По вели-
величинам сц вычисляется первый инвариант тензора Сц, которому пропорцио-
пропорциональна средняя присоединенная масса тела. Для средней присоединенной
массы тела (как и для объема трещины) установлено [111] (см. также
[23, 24]) изопериметрическое неравенство: при движении тел заданного
объема минимальную среднюю присоединенную массу имеет сфера. Наряду
с этим изопериметрическим неравенством получено множество разнообраз-
разнообразных оценок для различных комбинаций компонент этого тензора [111].
Асимптотические формулы для дальнего поля типа D.16) получены
при рассмотрении рэлеевского рассеяния электромагнитных волн на пре-
препятствиях (экранах) [187]. Коэффициенты в асимптотике выражаются
через компоненты тензоров электрической и магнитной поляризации,
аналогичных по смыслу тензору присоединенных масс. Более того, в [187]
установлено, что с точностью до множителей тензор магнитной поляриза-
поляризации представляет сумму единичного тензора и тензора присоединненых
масс, и приведен ряд неравенств для компонент тензоров поляризации.
К упомянутой задаче электродинамики близка задача о рассеянии упру-
упругих волн на неоднородностях. В частности, при изучении [71] полного се-
сечения рассеяния* плоских упругих волн плоскими трещинами на основе
результатов численного счета высказана изопериметрическая гипотеза:
при рассеянии упругих волн на трещинах разной формы, но одинаковой
площади, полное сечение рассеяния на резонансной частоте максимально
для круговой трещины.
* Напомним, что полное сечение рассеяния представляет собой отношение плот-
плотности потока энергии рассеянной волны (усредненной за период и проинтегрирован-
проинтегрированной по всем направлениям) к усредненной за период плотности потока энергии па-
падающей волны.
93

Глава 4
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ И НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ
4.1. Некоторые энергетические теоремы теории упругости
4.1.1. При исследовании и решении задач теории упругости широко
применяются энергетические (вариационные) методы. В их основе ле-
лежит использование тех или иных энергетических теорем (вариационных
принципов, а в задачах с краевыми условиями в форме альтернативных
равенств и неравенств и вариационных неравенств). Подробное изложе-
изложение энергетических теорем с анализом класса задач, для которых та или
иная из них наиболее эффективна, содержится, например в [19, 90,93, 123,
134, 135, 138, 225]. В дальнейшем понадобится главным образом теоре-
теорема о минимуме потенциальной энергии, а также теорема о минимуме
дополнительной работы. Приведем необходимые определения и фор-
формулировки.
Рассмотрим изотропное и вообще говоря, неоднородное упругое тело.
Неоднородность понимается в том смысле, что упругие постоянные мате-
материала могут быть различными в разных точках: X = Х(х), }л = д(х) (или
Е - Е(х), v = *>(х)). Пусть S = So + Si + .. . + Sk граница тела, причем
So — внешняя, a Sb ... , Sfc — внутренние границы (полости, трещины).
Предположим, что внешние нагрузки приложены на части S' поверхно-
поверхности 5, а на остальной части поверхности S" заданы смещения (смешан-
(смешанная задача) (в частности могут быть и случаи, когда S' = ф или S" - ф):
оп(х) = F(x), x?S'	A.1)
u(x) = g(x), xGS",	A.2)
где оп — вектор усилий, действующих на площадке с нормалью п. Пусть
тело находится в равновесии при этих условиях, объемные силы отсут-
отсутствуют.
Если 6,-у и Oil компоненты тензоров деформаций и напряжений в рав-
равновесном состоянии, то удельная энергия деформации (или потенциаль-
потенциальная энергия деформации) тела равна
2	? ! !
+ 2б?2+2613+2610],	A.3)
или
U = (тТ:
712+^23 +03l)]-	(L4)
Энергия деформации тела U равна интегралу по объему V тела от удель-
94

ной энергии деформации:
U = J 6dv.
A-5)
Известно (теорема Клапейрона), что в состоянии равновесия энергия
деформации тела равна половине работы внешних сил при переходе тела
из ненагруженного состояния в рассматриваемое:
U = - f Fuds.	A.6)
2 s
Наряду с энергией деформации тела U используется потенциальная
энергия системы W:
W = U - f Fuds.	A.7)
Состоянию равновесия тела отвечает поле смещений и, при котором
выполняются граничные условия A.1), A.2). Наряду с полем смещений
и рассматриваются кинематически допустимые непрерывные в объеме
тела поля смещений (и + 6 и), такие, для которых выполнено лишь гранич-
граничное условие A.2). Принцип минимума потенциальной энергии системы
утверждает, что функционал W, рассматриваемый как функционал над
кинематически допустимыми полями смещений (и + 5и), достигает своего
минимального значения на поле и, отвечающем состоянию равновесия
упругого тела:
W(u) = Wmin =	min	W(u + 5u).	A.8)
(
В силу теоремы Клапейрона [формула A.6)] и определения A.7)
можно минимальное значение потенциальной энергии системы выразить
только через поверхностные интегралы:
W(u) = Wmin = -[-/, Fuds + f ongds].	A.9)
2 s	s"
Здесь оп(х) - усилия, возникающие на той части поверхности тела, на ко-
которой заданы смещения.
При формулировке принципа минимума потенциальной энергии систе-
системы исходят из выражения для удельной энергии деформации в терми-
терминах реформации и смещений A.3). Если же пользоваться представлени-
представлением U через напряжения A.4), то придем к принципу минимума допол-
дополнительной работы.
Дополнительной работой называется функционал
М = U(o) - / ongds.	A.10)
s"
Вводятся статически допустимые поля напряжений Оц + 5а/;-, близ-
близкие к равновесному полю напряжений Оц для задачи A.1), A-2) и
удовлетворяющие следующим условиям: 1) тензор (рц + 5а,у) есть ре-
решение уравнений равновесия упругого тела в напряжениях; 2) на части
границы тела S' для (а,-у- + 5аг/) выполнено краевое условие A.1). Со-
95

гласно принципу минимума дополнительной работы [М], рассматривае-
рассматриваемый как функционал над статически допустимыми полями напряжений
{otj + 6G,/) достигает своего минимального значения над полем o(j-, соот-
соответствующим равновесию упругого тела.
Согласно теореме Клапейрона и A.10), для минимального значения
М = Мт[П можно записать
Мтт =^[ ItFuds - fnangds].	A.11)
2 5	S
Наряду с вариационными принципами при построении оценок исполь-
используется теорема взаимности работ Бетти: если имеются два равновесных
состояния упругого тела, то работа поверхностных усилий, отвечающих
первому состоянию С^1К на смещениях и^2\ соответствующих второму
состоянию, равна работе поверхностных усилий второго состояния с^
на смещениях первого состояния и^1^ :
/ u^V^ds = / u<2V°ds.	A.12)
s	s	s	s
Здесь имеется в виду, что для равновесных полей смещений и^1^ и и^2^
вычислены поверхностные усилия О^\ or*2* , которые, будучи приложен-
приложенными к телу, вызовут соответственно смещения и^\ vS2\
4.1.2. Теоремы о минимуме потенциальной энергии системы и дополни-
дополнительной работы позволяют строить приближенные решения задач теории
упругости, выбирая представления решения через те или иные допусти-
допустимые поля смещений или напряжений и устраняя произвол в такого ро-
рода представлениях из условий минимальности энергии (дополнительной
работы). Этот подход нашел широкое применение в инженерных расче-
расчетах (см. [90,93, 134] и указанную там литературу).
Энергетические теоремы приводят и к двусторонним оценкам энер-
энергии деформации (см., например, [152, 184, 192, 195, 209, 215, 216, 223]).
Построение оценок производится в два этапа. Сначала с помощью экстре-
экстремальных принципов для рассматриваемой краевой задачи выводятся не-
неравенства общего вида, связывающие энергию деформации и энергети-
энергетические характеристики, которые могут быть рассчитаны через кинема-
кинематически и (или) статически допустимые поля. На втором этапе эти неравен-
неравенства конкретизируются после подходящего выбора допустимых полей.
Близость верхней и нижней оценок, таким образом, зависит как от точ-
точности полученных общих неравенств, так и от того, насколько удачно
выбраны допустимые поля.
Поясним на примере первой краевой задачи [в условиях A.1), A.2)
S" = S, S' = ф], как с помощью принципов минимума потенциальной энер-
энергии системы и дополнительной работы выводятся неравенства для энер-
энергии деформации U [192].
Оценку сверху для U получим исходя из принципа минимума потен-
потенциальной энергии системы. Пусть и, а,-у —решение краевой задачи. Рас-
Рассмотрим кинематически допустимое поле и' (о..) . Тогда в силу A.7), A.8)
U < U(u).	A.13)
96

Нижняя оценка следует из принципа минимума дополнительной рабо-
работы. Пусть о". - статически допустимое поле. На основании указанного
принципа, теоремы Клапейрона и A.10) можно записать
U> f c^gds - U(p").	A.14)
s
Заметим, что если найдется такая функция иу , для которой
/ c^gds = f*Wds,	A.15)
s
то A.14) можно переписать иначе:
U> fo'^uwds-U(o").	A.16)
S
Окончательно A.13) и A.16) дают двусторонние оценки энергии деформа-
деформации. В [192] рассмотрены также некоторые уточнения нижней оценки
A.16) и получены неравенства, аналогичные A.13), A.16) для второй
краевой задачи.
Функционалы, приводящие к верхней и нижней оценкам, двойственны*.
Сами полученные верхняя и нижняя оценки также двойственны, т.е. наи-
наибольшая нижняя и наименьшая верхняя оценки совпадают. При построении
оценок, в частности энергии деформации, широко применяется техника
двойственных вариационных принципов, не имеющих столь непосредствен-
непосредственного энергетического смысла [152, 195] .Сопоставление результатов,полу-
результатов,полученных таким путем и с помощью энергетических теорем, дано в [192]
и показано, что оценки, следующие из двойственных вариационных прин-
принципов, естественно возникают и из энергетических теорем,
С другой стороны, энергетические оценки могут быть получены более
сложными методами, подробно разобранными в [223]. Эти методы, по
сути, обобщают обычные энергетические с позиций функционального ана-
анализа. Таким образом, удается установить не только разнообразные нера-
неравенства, но и выяснить ряд свойств допустимых полей, полезных при их
построении в конкретных задачах.
Идея обобщения энергетических методов связана с обобщением утверж-
утверждения, которое лежит в основе доказательства энергетических теорем:
потенциальная энергия системы (дополнительная работа), подсчитанная
для упругого состояния, представляющего собой разность допустимого и
истинного состояний, должна быть положительна. На языке функциональ-
функционального анализа это означает, что соответствующим образом определенное
(в энергетической норме) расстояние между пробной функцией, отвечаю-
отвечающей допустимому состоянию, и решением должно быть положительно.
Соответственно отыскание среди множества кинематически (статически)
допустимых пробных функций такой, для которой это расстояния равно
нулю, означает, что найдено решение, доставляющее минимум функцио-
функционалу потенциальной энергии системы (дополнительной работы) .
* Под двойственностью функционалов здесь имеется в виду, что уравнения Эйлера
для одного из них являются условиями, определяющими допустимые состояния для
другого, и обратно.
7. Зак. 1100
97

С другой стороны, решение задачи есть одновременно и кинематически,
и статически допустимое поле. Предположим, что введено соответствую-
соответствующее функциональное пространство с энергетической нормой, точки и
векторы которого изображают упругие состояния. Кинематически и стати-
статически допустимые поля образуют подпространства *. Решение задачи можно
представить как общую точку этих подпространств. Будем говорить о век-
векторах, изображающих решение, кинематически и статически допустимые
поля (соответственно кинематический и статический вектора), а также о
векторах равных разности между кинематическим (статическим) векто-
вектором и вектором решения, назьюая их векторами кинематической и стати-
статической разности.
Оказывается, что вектора кинематической и статической разности орто-
ортогональны в энергетической норме. Для анализа задачи можно использовать
все преимущества ее геометризации. При этом, в частности, многие получае-
получаемые неравенства для энергии деформации являются непосредственным
обобщением на случай функционального пространства очевидных геомет-
геометрических соотношений. Проиллюстрируем сказанное примером.
Рассмотрим на плоскости прямоугольный треугольник (рис. 37), верши-
вершины которого совпадают с концами векторов а, а', а". Центр описанной ок-
окружности О* задается вектором b = 1/2(а' + а"), а ее радиус R равен R =
= 1/2|а" — а'|. Пусть вектора а; и а" фиксированы, а конец вектора а
может перемещаться по окружности, построенной на отрезке | а" - а'|
как на диаметре. Тогда, очевидно, что
(|Ь|-ДJ<|а|2 <(|Ь|+ДJ.	A.17)
Далее, наряду с векторами a, b введем вектор ё = а-Ь(|а-Ь|=/?)и
произвольный вектор с (рис. 37, 6). Тогда по свойству скалярного произ-
произведения для векторов (а-Ь)ис можно записать
1(а-Ь,с)|<Д |с|,	A.18)
откуда в силу неравенств для модуля разности
[|(Ь,с)|-/Мс|] <|(а,с)|<[|(Ь,с)|+Д|с|].	A.19)
В функциональном пространстве упругих состояний имеет место карти-
картина, аналогичная представленной на рис. 37.
Вектор а соотносится с вектором решения, вектора а'и а" — с кинемати-
кинематическим и статическим векторами,с — с произвольным упругим состоянием.
Пусть и, и', и", \хс и о= (ptj), а' - (aj/), о" = (o"j), oc = (ofj)*соответ-
(ofj)*соответствующие поля смещений и напряжений. Энергию деформации, отвечаю-
отвечающую некоторому состоянию ис ,ос, запишем в символическом виде
2U(uc,uc) = f ocMocdv,	A.20)
v
где М - тензор упругих констант, так что тензор деформации е = (е,-у)
* Проводимые рассуждения носят иллюстративный характер: строгие формулиров-
формулировки и доказательства, условия на допустимые состояния, при которых они образуют
многообразие или замкнутое линейное многообразие (подпространство) приведены,
например в [223].
98

0Г a
Рис. 37. Геометрическая интерпретация неравен-ств A,17), A.18)
равен 6 = Mo. Тогда для двух состояний а' и а" скалярное произведение
( (а , а" ) ) определяется следующим образом:
((а', а ")) = 2 U(u\ u") = j o"Mo 'd и =
v
= ((a", a')).
A.21)
Здесь II а'И2 = ((а^а')), 11а/;112 = ((а",а")). После введенных обозначений
и определений геометрические неравенства A.17)-A.19) можно перепи-
переписать для рассматриваемых упругих состояний:
(Ilbll-ДJ <Иа1КA1Ь11 + Д)\	A.22)
|((а-Ь,с))|</^ II с II,	A.23)
К(Ь,с))-/г II с II] <((а>С))<[((Ь,с))+Л II с II].	A.24)
Неравенства A.22) дают двусторонние оценки для энергии деформации
через величины, вычисляемые по кинематически и статически допустимым
полям.
Неравенства A.24) позволяют получать локальные оценки решений,
действуя аналогично тому, как на основе теоремы взаимности доказывает-
доказывается формула Сомилианы [98]. Действительно, с - произвольное упругое
состояние. Если в качестве с выбрать состояние, для которого упругие поля
отличны от нуля лишь в окрестности некоторой точки упругого тела, то
((а, с)) будет интегрально характеризовать решение в выделенной окрест-
окрестности рассматриваемой точки.
В пределе, если в качестве упругого состояния с использовать решение
задачи о действии сосредоточенной силы в упругой среде (решение Кель-
Кельвина), из A.24) удалось было бы получить локальные оценки решения
рассматриваемой задачи. Трудности реализации этого пути в том, что, чем
"меньше" носитель упругого состояния с, тем (в силу свойств сингуляр-
99

ных решений уравнений теории упругости) большей гладкостью должно
обладать искомое решение а, чтобы существовало ((а, с)) .
Применение A.22), A.24) связано с построением кинематически и
статически допустимых полей, что само по себе представляет непростую
задачу; некоторые методы построения локальных оценок и оценок энергии
деформации без привлечения допустимых состояний развиты в [160, 161].
Эти методы идейно близки к методам построения априорных оценок в
теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Замечание. .Априорные. оценки энергии деформации получены при оп-
определенных предположениях и для нелинейно-упругого [191, 209] и для
вязко упругого [165] тела.
4.2. Изменение энергии при изменении упругих постоянных
Энергетические теоремы можно применять для получения оценок ин-
интегральных, а в ряде случаев и локальных характеристик решения задач
для неоднородных тел сложной геометрии со сложными краевыми условия-
условиями через решения специально подобранных задач, более простых с точки
зрения геометрии и (или) краевых условий, а также распределения неод-
неоднородности. Для этого нужно знать, как меняются энергетические парамет-
параметры упругого тела при изменении его формы, упругих постоянных, кинема-
кинематических или статических ограничений на поверхности тела.
Докажем Утверждение 1 ("теорема об изменении работы внеш-
внешних сил при изменении жесткости"). Рассмотрим краевую задачу A.1),
A.2) для изотропного и неоднородного в смысле п. 4.1.1 упругого тела.
Если уменьшить (увеличить) упругие постоянные X и (или) ц или модуль
Юнга (жесткость) Е материала в любой области тела, то величина
Q= jTFuds- /t^gds	B.1)
s	s"
не уменьшится (не увеличится)* [40].
Доказательство проведем с помощью принципа минимума потенциаль-
потенциальной энергии системы. Рассмотрим потенциальную энергию системы в сос-
состоянии равновесия W(u). Согласно A.7) ,
W(u) = U(u) - / Fuds.	B.2)
sr
Уменьшим упругие постоянные X и (или) ц материала в некоторой об-
области Vx тела (с границей S1) до значений \{ и(или)д! , не меняя поля сме-
смещений. При этом в силу A.3), A.5) , очевидно, уменьшится положительный
первый член в формуле B.2). Поэтому
,	B.3)
здесь Wi (и) — потенциальная энергия измененной системы, соответствую-
соответствующая полю смещений и. Заметим, что состояние с полем смещений и являет-
является кинематически допустимым для измененного упругого тела, так как
смещения и принимают на части S" поверхности тела те же значения, что и
смещения ul5 отвечающие состоянию равновесия измененного тела при
прежних внешних нагрузках A.1) . В силу принципа минимума потенциаль-
100

ной энергии системы и B.3) имеем
И^ОО^Й/^иО, И/(и) ^H/iOiO.	B.4)
Соотношение B.4) показывает, что при уменьшении жесткости или по-
постоянных Ламэ потенциальная энергия системы не увеличивается. Это ут-
утверждение составляет содержание доказанной в [184] "теоремы об ужесто-
ужесточении".
В состоянии равновесия для исходного тела W (и) может быть выражено
формулой A.9). Аналогично для измененного тела имеем в состоянии
равновесия
W1(u1) = -[-f F(x)u(x)ds + / (awI(x)g(x)ds] .	B.5)
2 s'	s"
Здесь (ffn)i - усилия на части S" поверхности измененного тела, где зада-
заданы смещения.
Из B.4) с учетом A.9), B.5) следует, что
Q= /Fuds- / cngds<
s'	s"
/l / (*n)lgds = Q1.	B.6)
s'	s"
Очевидно, меняя местами исходное и измененное тело, получим, что при
увеличении постоянных X и (или) tu величина Q не увеличивается. Утверж-
Утверждение 1 доказано *. Заметим, что утверждение 1 справедливо и для анизот-
анизотропного упругого тела.
Следствие 1. Если на всей поверхности тела заданы внешние наг-
нагрузки (S = S') или на части поверхности S" фиксированы нулевые смеще-
смещения g (х) = 0, то из B.6) следует, что
/ Fuds< /FUlds,	B.7)
s'	s'
т.е. при уменьшении постоянных X и (или) ix в произвольной области тела
работа внешних сил, а в силу теоремы Клапейрона и энергия деформации,
не уменьшаются.
Следствие 2. -Если часть S1 границы свободна от нагрузок, т.е. F =
= 0, или на всей поверхности заданы смещения S =S" , то из A.18) имеем
/ *ngds> l(*n)lgds,	B.8)
s"	s"
т.е. интеграл от напряжений с весом g(x) по части поверхности, где заданы
смещения, не увеличивается при уменьшении постоянных X и (или) ji в
произвольной области тела.
В конкретных задачах утверждение 1 и следствия 1, 2 сразу приводят к
полезным свойствам решений. Сформулируем некоторые из них, другие
рассмотрены в гл. 7.
* Из доказанного очевидно, что уменьшение (увеличение) модуля Юнга материала
при неизменном коэффициенте Пуассона вызывает увеличение (или уменьшение)
величины Q, поскольку постоянные Лид пропорциональны модулю Юнга.
101

Следствие 3. Пусть упругое тело подвергнуто действию внеш-
внешних нагрузок на части S' поверхности, а на остальной части S" = S \Sf
поддерживаются нулевые смещения. Если в этих условиях в теле возника-
возникают (или создаются) трещины-разрезы (или полости), то его энергия дефор-
деформации не уменьшается.
Этот результат представляет собой переформулировку следствия 2
для конкретной задачи.
Следствие 4. Пусть в упругом теле имеется трещина (полость),
загруженная равномерным внутренним давлением р. Тогда уменьшение
(увеличение) жесткости тела в некоторой его части приводит к увеличению
(уменьшению) приращения объема трещины (полости) в результате дефор-
деформации тела, вызванной действием давления.
Действительно, при однородных нагрузках р, действующих на поверх-
поверхности трещины (полости), работа внешних сил равна, очевидно, произве-
произведению давления р на приращение объема раскрытой трещины (полости).
Поэтому результат, сформулированный в следствии 4, очевиден в силу
следствия 1.
Следствие 5. Изменение объема A v трещины, раскрываемой дав-
давлением Р, в упругом теле ограничено сверху и снизу величинами (A v)up и
(A v)i изменения объема той же трещины при том же давлении р, но рас-
расположенной в объемлемом и объемлющем по отношению к исходному
телах.
Результат очевиден ввиду следствия 4.
Аналогично следствию 5 можно получать на основе теоремы об ужесто-
ужесточении двусторонние оценки энергии деформации упругого тела, рассматри-
рассматривая тела с измененной жесткостью или с измененной формой. При этом
необходимо иметь в виду следующее обстоятельство. Эффективность
такого рода двусторонних оценок зависит от того, насколько "чувстви-
"чувствительна" энергия деформации к изменению упругих постоянных и формы
тела. Если при заданных краевых условиях и форме тела упругие постоян-
постоянные материала мало меняются, то мало меняется и энергия деформации.
Доказательство непрерывной зависимости энергии деформации от значений
упругих постоянных дано, например, в [223] *.
Сложнее обстоит дело с зависимостью энергии деформации от формы
тела. Хотя изменение формы тела можно трактовать как изменение в
определенной области упругих постоянных* предыдущее утверждение не
означает, что при изменении формы тела энергия деформации меняется
непрерывно. Дело в том, что малые изменения формы связаны все равно
с изменением упругих постоянных на конечную величину.Вопрос о зависи-
зависимости энергии деформации от формы тела изучался рядом авторов (см.,
например, [126, 153, 223]). Показано, в частности, что при статических
краевых условиях для непрерывности изменения энергии деформации
* Имеются некоторые результаты, проясняющие зависимость не только энергии
деформации, но локальных характеристик решения задач теории упругости от упругих
постоянных 1223]. В частности, получены условия, при которых решение и и его
производные непрерывно зависят от упругих постоянных. Это вопрос важен в связи
с оценкой влияния погрешностей в определении упругих постоянных на точность
приближенного решения задачи [223].
102

при изменении формы тела нужно, чтобы возмущенная поверхность тела
была близка к исходной поточечно по расстоянию и, кроме того, в соот-
соответствующих точках мало отличались бы нормали к обеим поверхностям.
Это свойство энергии деформации используется, например, в теории трещин
при доказательстве формулы Ирвина, связывающей вариацию энергии
деформации тела с трещиной при вариации области трещины с коэффициен-
коэффициентом интенсивности напряжений [10,11] [см. формулу D.1.9)]. В разд. 7.2
приведены примеры, показывающие, что энергия деформации тел с трещи-
трещинами, мало отличающимися по площади может сильно отличаться, если
область одной трещины геометрически близка почти вдоль всего контура
к области другой трещины, но содержит еще узкий и вытянутый "язычок".
Для приложения теоремы об ужесточении важно, что независимо от
точности получаемых на ее основе количественных оценок, теорема поз-
позволяет во многих случаях просто получать выводы качественного характе-
характера. Интересные примеры такого рода результатов даны в [224].
Эти примеры связаны с изучением влияния упругих модулей и в более
общем случае неоднородностей на энергию упругого тела, содержащего
те или иные сингулярные источники напряжений, или на энергию взаимо-
взаимодействия сингулярности и неоднородности.
Рассмотрим, в частности, упругое пространство из неоднородного и,
вообще говоря, анизотропного материала. Предположим, что упругое поле
в среде создается типичной сингулярностью — дислокацией с постоянным
вектором Бюргерса b = (bl9 Ь2> b3). Хорошо известно [145], что полная
энергия системы в этом случае равна
E = 1AbibjMijy	B.9)
где М/7- — "коэффициенты самоиндукции дислокации", образующие сим-
симметричный положительно определенный тензор второго ранга. Из теоремы
об ужесточении сразу следует, что при увеличении значений модулей упру-
упругости приращение Мг/- также будет положительно определенным, если век-
вектор Бюргерса дислокации остался неизменным.
Предположим теперь, что в однородной упругой среде с дислокацией
имеется неоднородность (включение, полость). Полную энергию системы
можно представить в виде суммы двух выражений полной энергии одно-
однородной среды с дислокацией Е и дополнительного слагаемого А Е, отражаю-
отражающего изменение полной энергии из-за появления неоднородности. Это
слагаемое характеризует энергию взаимодействия дислокации и неоднород-
неоднородности, зависящую, очевидно, от их взаимного расположения, геометрии
неоднородности и упругих констант среды и неоднородности.
Можно показать [224], что энергия взаимодействия АЕ выражается
интегралом по области, занятой неоднородностью от свертки разностей
тензоров D-го ранга) упругих модулей неоднородности и среды и тензоров
деформаций, возникающих в среде с исходными упругими свойствами и
со свойствами неоднородности.
Примем для простоты, что неоднородность расположена далеко от
дислокации, так что их взаимодействие можно рассматривать в приближе-
приближении дальнего поля. Энергия взаимодействия АЕ будет положительной или
отрицательной в зависимости от того является ли неоднородность "более
жесткой" или "менее жесткой" по сравнению с материалом исходной среды.
103

Пусть перемещение дислокации в среде происходит таким образом,
чтобы энергия взаимодействия уменьшалась. Тогда в силу теоремы об
ужесточении дислокация будет отталкиваться от неоднородности большей
жесткости (при этом будет уменьшаться положительная энергия взаимо-
взаимодействия) и будет притягиваться к неоднородности меньшей жесткости
(что, в свою очередь, приведет к уменьшению отрицательной теперь энер-
энергии взаимодействия). Примечательно, что эти выводы качественного харак-
характера получены практически без вычислений*. В [224] проанализированы
и более сложные случаи использования рассматриваемых утверждений.
Утверждение 1 оказьюается полезным в задачах оптимизации конструк-
конструкций по критериям жесткости (см. [9] и указанную там литературу), а
также при изучении эффективных упругих модулей сред с множеством
неоднородностей [184, 224, ПО].
Замечание. Утверждения типа теоремы об ужесточении имеют место
не только для линейно-упругого тела.
Аналогичные результаты справедливы для жесткопластических тел
[59] (см. также [72, 75]). Поскольку по определению жесткопластичес-
кое тело не деформируется вплоть до того уровня внешней нагрузки,
при котором возникает пластическое течение, несущую способность тела
характеризует именно это пороговое значение нагрузки — предельная
нагрузка. Для отыскания предельных нагрузок используются вариацион-
вариационные принципы теории жестокопластичности. На основе экстремальных
принципов предложены методы построения верхних и нижних оценок
предельных нагрузок, восходящие к [33]. Получение двусторонних оце-
оценок в задачах для элементов конструкций сложной геометрии облегчает
использование соответствующих теорем ужесточения [59]: 1) для объем-
объемлющего (объемлемого) жесткопластического тела предельная нагрузка
не ниже (не выше), чем для исходного; 2) увеличение (уменьшение)
предела текучести в некоторой области тела не снижает (не увеличивает)
предельную нагрузку.
* Отметим, что аналогичные эффекты притяжения и отталкивания имеют место
при развитии трещин, расположенных в кусочно-однородной среде.
104

Глава 5
ЛОКАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ В ТЕОРИИ ТРЕЩИН
(МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ)
5 Л. Теоремы сравнения для коэффициента интенсивности напряжений
на контуре плоской трещины нормального разрыва
в безграничной среде
5.1.1. Рассмотрим упругое пространство с трещиной нормального раз-
разрыва G в плоскости х3 = 0. Как и в п. 4.1.2, будем считать, что трещина
раскрывается под действием нормальных нагрузок p(xif х2) > 0, сим-
симметричных относительно плоскости х3 = 0. Граничные условия задачи
имеют вид C.2.1), C.2.2). Напомним (см. п. 3.3.2), что в силу сим-
симметрии задачи (относительно плоскости хъ - 0) составляющая смещения
и3 = w на продолжении трещины в плоскости х3 = 0 равна нулю:
w(xlfx2,0) = 0, (xlfx2)eR2\G.	A.1)
Основной локальной характеристикой упругого поля вблизи края трещи-
трещины является коэффициент интенсивности напряжений N, который в соот-
соответствии с C.2.3), C.2.4) определяет асимптотику нормальных напря-
напряжений о33 и смещений w вблизи участков гладкости контура трещины.
В частности, в терминах коэффициентов интенсивности формулируется
критерий роста трещины C.2.6).
Ниже будем отыскивать оценки для коэффициентов интенсивности
напряжений в точках контура трещины сложной формы. Оценки опирают-
опираются на следующее утверждение [39, 178].
Теорема сравнения I. Рассмотрим две трещины, занимающие в плоско-
плоскости х3 = 0 области G и G1 (Gf С G) с контурами ГиГ'. Пусть контуры Г
и Г; имеют общую часть Г", состоящую из некоторого числа гладких дуг
и (или) изолированных точек касания контуров Г и Г'. Предположим
далее, что соответствующие нагрузки p(xi, x2) и pf(xit х2) удовлетво-
удовлетворяют условиям
Р(хих2) > 0, (*ь*2) G G\C;
р(хих2) > р'(хг,х2) > 0, (хь*2) GC'
Тогда в тех точках Г", в которых нормали к контурам совпадают, коэф-
коэффициент интенсивности N = 7Vr для трещины, занимающей область G, не
меньше, чем коэффициент интенсивности N1 = Nr для трещины, занимаю-
занимающей область G'\
N'(M) < N{M), VMG Г".	A.3)
Доказательство. Сначала докажем следующее.
Утверждение 1.1. При приложении к поверхностям плоской
трещины нормального разрыва раскрывающих ее нормальных нагрузок
(р > 0) смещения маточек верхней поверхности трещины положительны, а
напряжения в плоскости трещины на ее продолжении (вне G) всюду растя-
растягивающие.
Это утверждение верно для трещины произвольного очертания, в том
105

числе и занимающей многосвязную область, ограниченную негладким
контуром.
Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулиров-
формулировкой задачи о трещине нормального разрыва в безграничной среде в виде
эквивалентной смешанной задачи определения гармонической в полупро-
полупространстве R% функции Ф (п. 3.2, гл. 3), удовлетворяющей граничным
условиям C.3Л 6).
Поскольку w(xlf х2, 0) = Ф(*1, jc2, 0), о33(хи х2, 0) = сГ^ЭФ/Эхз),
сформулированное утверждение означает, что
Ф(*ь*2,*з) > 0, (хих2,х3) G Д3+,
ЭФ
7~ (*ь*2,0) > 0, (xltx2) E R2\G.	A.4)
дх3
Покажем сначала, что Ф(хь х2, х3) > 0, х3 > О.Нредположим против-
противное: пусть существует точка, в которой Ф < 0. Из принципа максимума
(см. Приложение 1) и краевых условий (Ф = 0, (xlf x2)GR2\G) следу-
следует, что функция Ф{х\,х2,х 3) может достигать своего отрицательного мини-
минимального значения Ф(х*, х|, *з) ^ ^ лишь в некоторой внутренней точке
М* области G плоскости х3 = 0. Однако в силу условия C.3.16)
ЭФ/Эх3(*ь х2,0) < 0, что противоречит усиленному принципу максиму-
максимума Хопфа (см. Приложение 1). Таким образом, Ф(*ь х2, х3)>0 в # + .
В частности, Ф(хьх2,0) = w(xbx2,0) > 0, (xux2) G G. Далее, по-
поскольку Ф(хьл:2,0) = 0, (xux2) ER2\G, а в R3+ Ф(лгь х2, х3) > 0,
то дФ/дх3(х1, х2, 0)>0, (хь x2)€/^2\G. Утверждение доказано.
Следствие 1.1. Если рассмотреть две системы нагрузок, удовлет-
удовлетворяющих условию Pi(xb х2) ^ р(х\, х2), "V(jci, x2) E G, то для соот-
соответствующих смещений и напряжений имеют место неравенства
Wi(*b*2,0) ^ w(jcbx2,0), (Xi,x2) G G;
аЬ(^ь^2,0) > a33(xlf x2,0), (xux2) G /?2\G.	A.5)
Вернемся теперь к сформулированной выше теореме сравнения коэф-
коэффициентов интенсивности напряжений для двух трещин, имеющих общую
часть контуров Г".
Прежде всего заметим, что вторую трещину, отвечающую контуру Г\
можно получить из первой, отвечающей контуру Г, следующим приемом.
Приложим к участкам верхней и нижней поверхностей первой трещины,
проектирующимся на область G\G' плоскости х3 = 0, усилия, равные и
противонаправленные напряжениям а3з(*ь Х2, 0), возникающим в этой
области на продолжении второй трещины при действии нагрузок
p'(xl9x2l (xl9x2)eG.
По утверждению 1.1 а'3з(*1, *2, 0) > 0. Соответствующие им усилия
р* отрицательны (стремятся закрыть первую трещину). Если рассмотреть
трещину, занимающую область G, сначала под действием исходной систе-
системы нагрузок р (состояние /), потом под действием системы нагрузок
р2 - р + р* (состояние //), то для всех (хь х2) Е G имеем р2 < рх = р.
По доказанному выше [ср. A.5)] 0 < vv2 = w <wx = w. В общих точках
106

контуров Г и Г' имеем поэтому (учитывая, что w(M) = w'(M) = 0
Е	3w	Е	Эй/
N(M) = А^ =	>	= 7V2 =
40 -v2) by/7' 4A -v2) дуД~'
= W'(M) VM G Г",	A.6)
где s — расстояние по нормали от контура, отсчитываемое внутрь тре-
трещины. Теорема сравнения доказана.
Следствие 1.2. Рассмотрим трещину, занимающую область G',
ограниченную контуром Г'. Пусть при неизменной системе нагрузок
произошло разрушение материала в некоторой области Gi(dGi = Гх)
плоскости трещины, так что образовалась новая трещина, занимающая
область G = G1 U Gx (т.е. исходная трещина "расширилась"). Обозначим
общую часть контура Г' и Г i через Г" = Г' П Pi (в частности, может ока-
оказаться, что Г" = Ф). Контур новой трещины 3G = Г = (Г \ Г") U (Г2 \Г").
Тогда коэффициент интенсивности напряжений в оставшихся неподвиж-
неподвижными точках контура Г' исходной трещины увеличился.
Следствие 1.3. Рассмотрим две трещины, занимающие области
G0(bGQ = Го) и Go(bGfQ = Го). Пусть контур Го объемлет контур Го.
Предположим, что раскрывающие трещины Go и Go нагрузки р(Х) и
р'(Х) меняются в зависимости от параметра нагружения X и/?>р' V X в
каждой точке Go. В этом случае, если возможно квазистатическое непре-
непрерывное развитие трещин из Go и Go в силу критерия предельного равно-
равновесия C.2.6), то трещина, развивающаяся из трещины Go, всегда будет
оставаться внутри трещины, развивающейся из трещины Go.
Действительно, предположим противное. Тогда должна найтись такая
точка М* и такое значение X*, что текущие контуры трещин Г' и Г касают-
касаются друг друга и контур Г' лежит внутри контура Г. В случае предельно
равновесного роста трещины, для того чтобы в точке М* контур Г' вышел
за пределы Г, должно выполняться неравенство N(M*) < тт~1К, а
N'(M*) > я~1К, что противоречит теореме сравнения, в соответствии с
которой N(M*) > N\M*). Полученное противоречие и доказывает следст-
следствие 1.2.
5.1.2. Теорема сравнения I относится к трещинам нормального разрыва,
на поверхностях которых действуют лишь нагрузки, раскрывающие тре-
трещину. На самом деле условия A.2) на приложенные к поверхностям
трещин G и G' нагрузки являются достаточными для справедливости
неравенств A.5) и следующей из них теоремы сравнения A.6), A.3).
Теорема сравнения имеет место и в более общей ситуации, когда нагруз-
нагрузки на поверхностях трещины могут быть знакопеременные, что, в свою
очередь может приводить к возникновению неизвестных заранее зон кон-
контакта поверхностей трещины [48, 53].
Теорема сравнения II. Пусть имеются две трещины G и G', одна из ко-
которых G объемлет другую, и их контуры Г иГ' имеют общую часть Г".
Предположим далее, что при заданной системе нагрузок р(х\, х2),
(xlfx2)eGf
р > р' V(xlfx2)eG';	A.7)
107

смещения точек верхней поверхности трещин G и G' неотрицательны*, т.е.
w(xux2) > °> (xi,x2) e G; w'(xlfx2) > О, (xlfx2) Е G'. A.8)
Тогда справедливо заключение теоремы сравнения I [неравенство A.3)].
Доказательство, как и для теоремы I, проведем с помощью принципа
максимума Хопфа.
Доказательство. Рассмотрим гармонические в полупространстве R\
функции ip и {р\ представляющие собой соответственно решения краевой
задачи C.3.16) для трещин G и G'. Введем гармоническую функцию ф,
равную разности <р и у : ф - у — у . Для ф имеем, согласно условиям теоре-
теоремы и C.3.16) , следующую краевую задачу:
Ф = 0, (*ь *2) е R2\G; ф > О, (дсь х2) Е С\С,
) < 0, (*lf*2) Е G'.	A.9)
В силу усиленного принципа максимума Хопфа (после рассуждений,
аналогичных использованным выше при доказательстве теоремы I), отсю-
отсюда следует, что ф(хг, х2, хъ) > 0 в R3+ и, в частности, что ф(хг, х2, 0) =
= w(xlf х2, 0) - w'(xu х2,0) > 0, (xi, x2) E G'. Это неравенство сразу
приводит к A.6) , A.3) в общих точках контуров Г и Г', т.е. к справедли-
справедливости заключения теоремы сравнения.
5.1.3. В условиях A.7), A.8) теоремы сравнения II не требуется, чтобы
нагрузки, действующие на поверхностях трещины, были положительны.
Покажем, что это позволяет применять теорему и в тех случаях, когда
под действием объемных и поверхностных сил возможно налегание по-
поверхностей трещины вдоль некоторой части исходной области разреза
(вне этой части области разреза раскрытие трещины положительно).
Предварительно сформулируем задачу о трещине (разрезе), поверх-
поверхности которой могут налегать одна на другую на некоторой (неизвестной
заранее) части области трещины.
Пусть трещина занимает область G плоскости х3 = 0 упругого простран-
пространства, в котором в направлении оси jc3 действуют объемные силы
g(xlt x2, х3) и поверхностные нагрузки p(xlf x2), симметричные относи-
относительно плоскости х3 = 0. Подчеркнем, что контур трещины (граница об-
области G) считается фиксированным, в то время как в пределах этой об-
области могут возникать зоны, где поверхности трещины приходят в кон-
контакт. В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть полупространст-
полупространство х\3 > 0. При х3 - 0 выполняются следующие условия:
а13= а23= 0; w(xlf*2>0) = 0, (xux2) E R2\G;	A.10)
w(*lfx2,0) > 0, (xl9x2) E G;	A.11)
Сзз < P(xltx2) при w = 0, (xlfx2) e G;
^зз= p(xlfx2) при w > 0, (xbx2)EG.	A.12)
Условия A.10) следуют из симметрии задачи, неравенство A.11)
означает, что невозможно взаимное проникновение поверхностей трещины.
*В п. 5.1.3 будет выяснено, когда выполняются условия A.7) для трещин, находя-
находящихся в телах, в которых действуют как растягивающие, так и сжимающие нагрузки.
108

Условия A.12) следуют из того, что напряжения а33 представляют собой
сумму внешних воздействий р(хи х2) и реакций pi(xu x2) от нижней
поверхности трещины, направленных вверх в точках смыкания поверхно-
поверхностей (поэтому p'(xi>x2) ^ 0 и, следовательно, сг33 =р+р* <р).
Решение исходной задачи можно представить в виде суперпозиции двух
упругих полей. В одном из них, соответствующем сплошному телу с задан-
заданными объемными силами, в силу симметрии последних относительно
плоскости х3 = 0 на этой плоскости вертикальные смещения w1(xi> x2, 0)
и касательные напряжения о\3 = о23 =0. Соответствующие нормальные
напряжения обозначим через а33 = ао(хь х2). Второе поле отвечает задаче
о трещине с частично налегающими поверхностями, к которым, помимо
нагрузок р(хь х2), приложены дополнительные нормальные нагрузки
(-о0(хих2)).
Подчеркнем, что, хотя исходная задача нелинейна (неизвестны зоны
налегания), принцип суперпозиции применим, поскольку выделение пер-
первого упругого поля не изменяет нормальных смещений в плоскости х3 = 0.
Будем считать, что первое поле найдено, т.е. o0(xi, x2) известно. Тогда
для второй задачи (которая и рассматривается далее) имеем граничные
условия типа A.10) —A.12), только учитывая, что о33(хх, х2, 0) =
= #зз + азз (#зз - напряжения прих3 = 0 во второй задаче), условие A.12)
надо заменить на следующее:
о\ъ < Р(х\**г) ПРИ w = 0, (xlfx2) G G;
->	~	^	A.12а)
азз = —р(Х\> Х2)' при w > 0, (хь х2) G G,
ф
здесьр = —(р — С7О) — известная функция хь x2 в области G.
Задача A.10)-A.12) сводится к следующей задаче определения гар-
гармонической функции ф[ср. с D.1.11)]:
Аф = 0, х3 > 0;	A.13)
Е Ъф
ф > 0, 	т- 	 + р < 0,
2A -v2) дх3
Г__? _э^ 1 0	g	AЛ4)
L2(l-z;2) дх3	J
Ф = 0, (хг,х2) е R2\G.	A.15)
Как и в пп. 5.1.1 и 5.1.2 будем интересоваться изменением решения
задачи A.10)-A.12) при изменении формы трещины и действующих
нагрузок g(xt, *2, х3) <0, р(хг, х2) (функции р). Рассмотрим две тре-
трещины G и G' (G p G'), контуры которых ГиГ' могут иметь общую
часть Г". Обозначим через g, p ug't р нагрузки, отвечающие задаче (Ы1),
A.13) для трещин G и G* соответственно, а через Go и Go возможные
зоны налегания поверхностей трещин. Пусть для х3 > 0 и любых (xlf x2)
выполняются условия
g'(Xl9X2fX3) < g(xi,x2>x3), P\XUX2) > P(XlfX2).	^ (Ь16)
При условиях A.16) выполняется неравенство A.7) р>' = -р + °о <
< _р + а0 = р. Для того чтобы это доказать, сравним о0 и а0. Напряже-
109

ния о0 и aj>, возникающие в сплошном теле в плоскости хъ = 0 от действия
нагрузок g и g' соответственно, могут быть выражены в виде линейных
интегральных представлений с плотностями g и g и ядром [89] ?(Р, Q):
Это ядро представляет собой напряжения а33ОР) в точке P(xlf х2, 0)
при действии в точке Q(x\, х'2, х3) (хъ > 0) сосредоточенной силы еди-
единичной интенсивности в направлении оси х3 при условиях w = 0, ох 3 =
= а23 = 0 в плоскости х3 = 0. Здесь R(P, Q) - расстояние между точка-
точками Р и Q. Из A.17) видно, что ядро ?(Р, Q) неотрицательно при х'3 > 0.
Следовательно, если выполняются условия A.16) для g и g' (напомним
также, что g < 0 и g < 0), то
Оо(хх,х2) > a'o(xlfx2) V(xbx2).	A.18)
Отсюда с учетом определения р, р1 и A.16) следует, что р1 < р,
(хь х2) ^ С Таким образом, при условиях A.16) справедливы не-
неравенство A.7) и теорема сравнения II для трещин отрыва с частично
налегающими поверхностями.
5.2. Теоремы сравнения для коэффициента
интенсивности напряжений
на контуре плоской трещины
нормального разрыва при наличии
линейных связей между ее поверхностями
5.2.1. В отличие от разд. 5.1 будем считать, что при наличии в упругой
среде трещины между ее поверхностями действуют связи, приводящие
к тому, что в дополнение к внешним нагрузкам на поверхностях трещины
появляются напряжения, зависящие от величины скачка смещений на
трещине. Таким образом, можно моделировать в ряде случаев трещины
в армированном материале, когда наличие армирующих элементов, соеди-
соединяющих поверхности трещины, существенно влияет на ее раскрытие.
В дальнейшем будем считать, что соотношение между напряжениями
и скачком смещений вдоль трещины, обусловленное наличием связей,
линейно.
Задача о трещине нормального разрыва в безраничной среде при нали-
наличии связей между поверхностями, так же как и в отсутствии связей, экви-
эквивалентна задаче определения гармонической функции Ф в полупространст-
полупространстве. Однако теперь вместо граничных условий C.3.16) имеем для Ф крае-
краевую задачу:
,х2,0) = 0, (xlfx2)ER2\G\
ь*2,0) = u(xl9x2y,	B.1)
ЭФ
7	 (*ь*2,0) = -y[p(x1,x2)-d(xl,x2)u(xl,x2)] (xlfx2)eG,
Ъхъ
110

Здесь d(xlf х2) - размерный коэффициент, характеризующий жесткость
связей. Если принять, что с увеличением раскрытия трещины сопротивле-
сопротивление ему, вызываемое связями, растет, то следует считать d(xlf х2) ^ О*.
5.2.2. Для задачи B.1) имеют место теоремы сравнения, аналогичные
теоремам разд. 5.1. Кроме того, справедлива теорема сравнения по ха-
характеристике жесткости связей - функции d{xlf х2). Приведем, следуя
[142], эти теоремы и их доказательства.
Теорема сравнения III. Пусть выполняются условия теоремы II и жест-
жесткость связей d(xlf х2) ^ 0, (xlf x2) G G, тогда справедливо заключение
теоремы II [неравенство A.3)]. Теорема III следует из утверждений 2.1
и 2.2.
Утверждение 2.1. Пусть p{xXi х2) > 0 в G ир(хх, х2) ф 0, тогда
и (*i, х2 ) > 0 внутри G для любой функции d {хх, х2 ) > 0.
Доказательство. Воспользуемся формулировкой задачи о трещине,
как задачи B.1) определения гармонической функции Ф, х3 > 0, равной
u(xx, x2) при хъ = 0. Допустим, что утверждение 2.1 неверно. Тогда
найдется точка (л:?, х%) G G, где и(хх, х2) достигает своего минимально-
минимального (неположительного) значения. В силу этого, и'учитывая, что р(лг?, х2) >
> 0,имеем (ЬФ(х°и х°2,0)/дх3) =-у\р(х°и x°2) -d(x°ux22)<S>(x\fx°2)] <0,
что противоречит усиленному принципу максимума Хопфа.
Утверждение 2.2. Рассмотрим две трещины G и G'(G' С G).
Пусть р(хх, х2) > 0 в G. Обозначим через u{xlt x2) и и(хх, х2) нормаль-
нормальные смещения поверхностей трещин, занимающих области G и G1 соответ-
соответственно, тогдам(хь х2) > u'(xltx2), (xl9 x2) ^ G'.
В самом деле, пусть Ф иФ' гармонические вЯ+ функции, соответствую-
соответствующие задачам о трещинах G и G', т.е.
дФ(х1,х2,0)/дх3 = -7 [ Р(хи х2) - d(xlt х2)Ф(х1} х2, 0)] (x
= -y[p(x1,x2)-d(xl,x2)Фt(xl,x2,0)] (x
Рассмотрим гармоническую функцию ф(хх, х2, х3) = Ф(хх, х2, х3) —
- Ф'(*ь х2, х3). По условию ф(хх, х2, 0) = 0, (xit x2) G R2\G. По
утверждению 2.1 ф(хх, х2, 0) = u(xlt хг)> 0, (хь х2) G G\Gf. Обозна-
Обозначим ф(хх, х2, 0) = v(xx, x2). Если бы следствие 2.1 было неверно, то
существовала бы точка (х?, х2), в которой v(xx, x2) принимает мини-
минимальное неположительное значение. Тогда и(х?, х2) <0 и
= ld(x°lfx°2Mx0ux02) < 0,
что противоречит усиленному принципу максимума Хопфа.
Замечание 1. Утверждение 2.2 верно и в том случае, если требова-
требование p(xlt х2) > 0 в G заменить условием и(хг, х2) > 0 (сравни с фор-
* Интегродифференциальное уравнение относительно смещений точек поверхно-
поверхностей трещины в задаче со связями отличается от C.3.20), очевидно, лишь видом
правой части:
Аи = у[ р(х1} х2) - d(xlf х2)и(х1г х2)] (xlfx2) G G.
Можно показать [142], что при р(хх, х2) е tf-i/2(G) и d(xlt x2) > 0, это уравне-
уравнение имеет единственное решение и{хх, х2)GHin{G).
111

мулировкой теорем сравнения I и И), что отвечает случаю возможного
налегания поверхностей трещины.
Действительно, сохранив прежние обозначения, предположим, что мини-
минимум v(xlt х2) достигается в точке (х?, х2) Е G*, причем и(х?, х2) < 0.
Возможны четыре случая:
1.	и(*?,*2) > 0,	u{x\fx°2) > 0;
2.	м(х?,х?) > 0,	w'(x?,Jt§) = 0;
3.	и(*?,*2) = 0,	и(х\,х\) > 0;
4.	и (*?,*§) = 0,	м'(х?,х§) = 0.
Очевидно, что случаи 2 и 4 противоречат предположению f(x?, х2) < 0.
Случай 1 не отличается от рассмотренного в утверждении 2.2 [в точке
(х?, х2) отсутствуют силы реакции между поверхностями трещины],
поэтому (Э^/Э*з)(*1, *2, 0) = 7<*(*i. *°M*i. *°) <0. В случае 3 на
поверхности трещины, занимающей область G, в точке (х?, х2) дейст-
действуют силы реакции -Я(х?, х?), R>0. Следовательно,
ЭФ(х?,х§,0)/Эх3 = -7
ЭФ'(х?,*2,0)/Эх3 = -
или
что противоречит усиленному принципу максимума. Обобщение утвержде-
утверждения 2.2 доказано.
Справедливость теоремы сравнения III устанавливается на основе утвер-
утверждений 2.1, 2.2, так же как и при доказательстве теоремы сравнения I.
Теорема сравнения IV (по жесткости связей). Пусть u(xit x2) - реше-
решение краевой задачи B.1) в области G(u(xi, х2) =Ф(хьх2, 0), (хь х2) G
Е G) при наличии связей, описываемых функцией d(xif x2), а их{хъ х2) —
решение задачи B.1) в области G (wi(xb х2) = $i(xx, х2, 0), (хь х2) Е
EG), отвечающее жесткости связей ^i(xbx2), причем 0 <d(xlt x2) <
< dl(x1,x2).
Будем считать, чтор(хь х2) > 0 в G ир(хь х2) ф 0. Тогдаux{xlf x2) <
<w(xbx2) внутри G.
Доказательство. Рассмотрим гармоническую в R\ функцию
Ъ(хи х2, х3) = Ф1(хь х2, х3) - Ф(хь х2, х3). Тогда ^(хь х2, 0) = 0,
(хьх2)Е^2\С, *(хьх2,0) = и(хьх2), (xbx2)EG.
Э^(хьх2,0)/Эх3 = М1(хьх2)Ф1(хьх2,0) +
+ d(xl,x2)<b(xl9x2,0)](-y)9 (хьх2) E G.
Если утверждение теоремы неверно, то, обозначая через (х?, х2) точку,
в которой ^(х!, х2, х3) достигает максимума, получим
и(х?,х§) > 0, (х?,х2) Е G;
Э*(х?,х§,0)/Эх3 = 7[^1D,^)Ф1(^?,^,0)-
-d(x*,xo2)<S>(xouxo2,O)] > yd(x°l,x02)№1(x0l,x°2,0)-<!>(x1,x2,0)] =
= yd(x1,xl)v(x%,x%) > 0.
112

Здесь учтено, что в силу сделанных предположений и утверждения 2.1
функция Ф1(х1,х2,0) > 0. Поскольку (Э^/Эх3)(х?, *?, 0) > 0, приходим
в противоречие с тем, что ^(хх, х2, х3) достигает максимума в точке
?2)
(*?.*2,0).
Замечание 2. Теорема сравнения IV остается справедливой, если заме-
заменить условие р(хг, х2) > 0 в G условием мi (jci, х2) > 0 или и (х,, х2) > 0.
и(х19х2) > 0.
5.3. Некоторые следствия и применения теорем сравнения
5.3.1.	Теоремы сравнения приводят к ряду следствий, упрощающих во
многих случаях анализ условий разрушения или неразрушения тел с тре-
трещинами.
Следствие 3.1. Пусть трещина G вдоль некоторой части контура
квазистатически растет при сохранении системы нагрузок. Тогда коэф-
коэффициент интенсивности напряжений в оставшихся неподвижными точках
контура увеличивается.
Это следствие тем более справедливо, если при расширении трещины
на некоторой части ее поверхности прикладываются дополнительно рас-
раскрывающие трещину усилия (например, трещина находится под действием
внутреннего давления или в поле внешнего растяжения).
Следствие 3.2. Пусть имеются две трещины Go и G'o с контура-
контурами Го и Го, первый из которых объемлет второй, и заданы такие системы
раскрывающих трещины Go и G'o нагрузок р(хи х2, X), р'(хх, х2, X),
где X — параметр нагружения, что р > р , VX в каждой точке. Предположим,
что развитие трещин Go и Go происходит непрерывно и квазистатиче-
квазистатически в силу критерия предельного равновесия. В этом случае трещина,
развивающаяся из трещины Go, всегда будет оставаться внутри трещи-
трещины, развивающейся из трещины Go.
По существу, это следствие (и его доказательство) совпадает со след-
следствием 1.3.
Из следствия 3.2. вытекают два элементарных, но важных вывода.
Следствие 3.3. Если трещина, ограниченная при начале нагруже-
нагружения (X = Хо) объемлющим контуром, безопасна при заданной програм-
программе нагружения (т.е. не приводит к разрушению тела), то безопасна и
трещина, ограниченная при X = Хо объемлемым контуром, при той же
истории нагружения.
Следствие 3.4. Если объемлемая трещина "опасна" (в указанном
смысле), то опасна и объемлющая трещина.
Следствия 3.3, 3.4 дают возможность в ряде случаев получить сравни-
сравнительно простые достаточные условия неразрушения или разрушения тела с
трещиной, не анализируя поведение данной трещины, а рассматривая усло-
условия роста трещин, ограниченных контурами более простой формы. Допол-
Дополнительный анализ требуется тогда, когда объемлющая трещина оказывается
опасной, а объемлемая — безопасной.
5.3.2.	Теоремы сравнения позволяют строить двусторонние оценки для
коэффициентов интенсивности напряжений. Общий принцип заключается в
том, что для заданной точки контура строятся два вспомогательных конту-
контура, объемлющий заданный и объемлемый им, таким образом, что все три
8. Зак. 1100	143

контура имеют в данной точке общую касательную. Вспомогательные кон-
контуры подбираются так, чтобы для них коэффициент интенсивности напря-
напряжений в данной точке был известен. Тогда искомый коэффициент интен-
интенсивности для данного контура заключен между упомянутыми известными
величинами. Такие оценки будут заведомо строгими. Их точность зависит
от того, насколько удачно можно подобрать вспомогательные (опорные)
контуры. Чтобы эффективно применять принцип сравнения для оценок
коэффициента интенсивности на контуре трещины сложной формы, нужно
располагать достаточно полным набором "эталонных" решений задач
теории упругости для разнообразных сравнительно простых форм трещин.
Такие решения могут быть легче получены численными или численно-ана-
численно-аналитическими методами, чем решение исходной задачи для трещины слож-
сложной формы. В частности, в качестве " эталонных" успешно можно использо-
использовать решения построенного в [35, 36] класса точных решений для трещин,
ограниченных областями, получающимися при применении преобразования
инверсии к эллиптической области.
Перейдем к анализу некоторых примеров применения принципа срав-
сравнения.
1. Рассмотрим сначала трещины, ограниченные выпуклыми контурами, и
в частности эллиптические и прямоугольные трещины, в условиях однород-
однородного нагружения:
<*зз Oi,х2,0) = -р = const, p >0, У(хих2)еС
Одну из оценок сверху для коэффициента интенсивности Nq в точке q
гладкости контура трещины можно получить, взяв в качестве объемлющей
трещину в виде полосы, стороны которой — опорные прямые, определяю-
определяющие ширину [103] lq выпуклого контура Г по направлению, перпендику-
перпендикулярному касательной к этому контуру в точке q. Для трещины в виде
полосы ширины lq выполняются условия плоской деформации, и коэффи-
коэффициент интенсивности для нее Ыг равен
Niq = Рл/У*-	(ЗЛ)
По доказанному Nq<Nt .
Другие простейшие оценки сверху и снизу для выпуклых контуров тре-
трещин можно получить, используя описанные и вписанные окружности и эл-
эллипсы.
Проиллюстрируем сказанное на эллиптических и прямоугольных трещи-
трещинах. Оценки для эллиптической трещины можно сравнить с точным реше-
решением (см., например, [106, 122]); на рис. 38 пунктирными линиями изоб-
изображены эталонные контуры для некоторых точек q E Г, а в таблице ука-
указаны соответствующие неравенства для Nq и некоторые числовые значения
(звездочкой отмечены точные значения) . Как видно из таблицы, оценочные
значения близки к истинным.
Рассмотрим теперь трещину в виде прямоугольника с вершинами в точ-
точках L (-я, -b), L1 (-a, b), M*(a, b), M(a, -b). Оценка сверху для коэффи-
коэффициента интенсивности на сторонах прямоугольника вне некоторой окрест-
окрестности его вершин следует из C.1). Если продолжить пары его параллель-
ныхсторон,тополучимТУ^' = NMM> <Nl/la nNLM = NL'M> <Nt ^.Оценки
114

Рис. 38. Построение оценок для эллиптической в плане трещины
снизу можно получить, используя вписанные в прямоугольник эллипсы и
окружности. Например, для середин D и Т сторон ММ* и L'M' имеем
Nd >Nf), N
, где NeD^N% — коэффициенты интенсивности в точках D
и Т вписанного эллиптического контура с осями 2#, 2Ь, параллельными
сторонам прямоугольника. Для точек Ь'М\ заключенных между Е(—a + b,b)
uF(a— b,b), грубую оценку снизу дают вписанные окружности радиуса b
с центрами в точках отрезка [—а + b,a - b] оси Х\. Приведем некоторые
числовые значения для прямоугольника со сторонами 2а = 2, 2Ь = 1,4.
ИмеемNL>м> < 0,59q,NMM> < 0,7?и ОМ <ND < 0,7?, 0,48G <NT< 0r59q
для точек DnT. Для точек отрезкаEF: 0,38# < NEF < 0,59#.
Оценочные значения NT для квадрата и прямоугольника со сторонами
2Ь = 2, 2а = 4 и значения (отмеченные звездочкой) коэффициента интенсив-
интенсивности в той же точке найдены в результате численного решения задачи о прямо-
прямоугольной трещине [43] :Nr<Nf<Nl2 при а= 1, b = 1,0,45 <0,49*< 0,70;
при а = 2, b = 10,58 < 0,59* < 0,70.
Из таблицы видно, что оценочные значения весьма близки к рассчитан-
рассчитанным [43], при этом с относительным увеличением одной из сторон прямо-
прямоугольника точность оценок возрастает. Заметим, что если бы мы оценивали
значение ND (в середине меньшей стороны) через NeD и TV/ , то точность
оценок для вытянутых прямоугольников была бы хуже. В этом случае,
очевидно, неудобен выбор трещины в виде полосы ширины 2а в качестве
Таблица
Точка
контура
Неравенство для
коэффициента ин-
интенсивности (р =1)
а= 1, ft = 0,7
А
В
С
Nr<Nj<NR
0,32 <
0,38 <
С 0,40 <
С 0,48 <
0,45 <
С 0,45
С 0,59
С 0,65
0,22 <
0,32 <
С 0,29 <
С 0,41 <
С0,45
:о,5О
115

A" A	Ar B"	Br
Рис. 39. Контур трещины, рассматриваемой в лемме 3.1
Рис. 40. Рисунок к доказательству утверждения 3.1
ех
А"
Рис. 41. Объемлющий контур к трещине В'ВАЛ' рис. 39 и его подобное преобразова-
преобразование.
объемлющей. Более точную оценку ND можно получить, рассматривая опи-
описанные контуры иного вида.
2. Для трещин, ограниченных выпуклым контуром, можно получить в
случае действия однородных нагрузок и некоторую общую оценку сверху
для коэффициента интенсивности напряжений, аналогичную C.1) [180].
Утверждение 3.1. Коэффициент интенсивности напряжений во всех
точках контура трещины, занимающей выпуклую ограниченную область,
меньше коэффициента интенсивности напряжений для трещины в виде
полосы шириной, равной наибольшей ширине этой области.
Доказательство этого утверждения состоит из двух шагов. Сначала уста-
устанавливается лемма.
Лемма 3.1. Рассмотрим трещину, занимающую выпуклую область огра-
ограниченную двумя параллельными лучами АА' и ВВ1 (рис. 39), концы А, В
которых соединены выпуклой кривой АСВ. Пусть расстояние между лу-
лучами S = 2Ъ. Тогда коэффициент интенсивности напряжений NM в любой
точке М криволинейной части контура АСВ не превосходит коэффициент
интенсивности напряжений N2b для трещины в виде полосы ширины 2Ь
(т.е. коэффициент интенсивности напряжений, отвечающий двумерной
задаче о трещине-разрезе длин 2Ь):
NM<N2b.	C.2)
Доказательство утверждения 3.1 завершается следующим рассуждением,
использующим лемму 3.1 (ее доказательство приводится ниже) и теорему
сравнения.
Рассмотрим произвольную трещину, занимающую выпуклую область ?2
(рис. 40). Пусть А'А",В*В" - опорные прямые, определяющие наибольшую
ширину (диаметр) 2Ъ области 12. Точки А и В разделяют границу Э?2 об-
116

ласти 12 на две части АСВ и ADB. Рассмотрим теперь трещину, объемлющую
исходную и ограниченную контуром ААСВВ1. В произвольной точке М
кривой А СВ по теореме сравнения имеем
nm <nm	•	C.3)
Для трещины А'АСВВ1 в силу леммы 3.1 справедливо C.2). Неравенство
C.3) в совокупности с C.2) дает
C.4)
Аналогично получим, что
'N*CBD<N2b,	C.5)
где L — произвольная точка кривой ADB. Неравенства C.4), C.5) и дока-
доказывают утверждение 3.1.
Докажем теперь лемму 3.1.
1. Рассмотрим трещину 12оо (А'АСВВ', рис. 39), удовлетворяющую усло-
условиям леммы. Пусть М — произвольная точка криволинейного участка
L\ (АСВ) контура. Проведем в точке М касательную кЬх до пересечения с
продолжениями лучей ААГ и ВВ' в точках А" и В". Трещина 12ех, ограничен-
ограниченная контуром АгА"В"В\ является объемлющей по отношению к трещине
12 с» . По теореме сравнения
C.6)
Поэтому неравенство C.2) достаточно доказать для трещины типа 12ех
(с прямолинейным участком границы А "В").
2. Рассмотрим трещину 12 ех. Выберем на стороне АпВ" произвольную
точку М1 с ординатой у1 (рис. 41) и некоторую фиксированную точку М
с ординатой у. Проведем теперь подобное преобразование трещины 12ех
так, чтобы полученную в результате преобразования трещину 12'ех можно
было бы вписать в 12 ех и при этом образ точки М* совпал бы с точкой М.
Очевидно, коэффициент подобия к такого преобразования равен
(Ъ-уI(Ъ-ух\ У>Уи
(b +y)l(p +^i), У ^У\*	C-7)
Коэффициенты интенсивности напряжений Afaex (M9) и -AfaeX(M) связаны
через коэффициент подобия соотношением
По теореме сравнения для7\^ех (М) niVfa1 (M) имеем Afaex (M) >Na>ex (M)
[для V ME (A", Brt)]. Отсюда в силу C.8) следует
C.9)
или
117

Теперь осредним неравенство C.10) по у. Имеем
где N? - среднее от квадрата коэффициента интенсивности напряжений
вдоль стороны А "В" контура трещины Ц>х. Нетрудно видеть, что в си-
силу C.7).
к=^Г fk(y)dy= ±- .	C.12)
Поэтому C.11) можно переписать как
\ (')N2n .	C.13)
Теперь, для того чтобы доказать неравенство C.2), оценим ^Ьех чеРез
N2b (квадрат коэффициента интенсивности напряжений для трещины в ви-
виде полосы ширины 2Ь), пользуясь формулой Ирвина, теоремой Клапейро-
Клапейрона, асимптотическим решением задачи о трещине, вытянутой вдоль плоской
кривой [47].
3. Рассмотрим сначала трещину, занимающую конечную область
А" А'В*В" . При продвижении трещины на bh вдоль А"В" в направлении
оси х по формуле Ирвина
тгA —v)	ъ
8U=—	 bh f N2(y)dy.	C,14)
Д	-Ь
По теореме Клапейрона U = l/2 pV, где V - объем трещины. Поэтому,
если C,14) проинтегрировать по х вдоль трещины и перейти к полубеско-
полубесконечной трещине ?2ех, то на основании C.14) можно получить, учитывая,
что при однородной нагрузке б Uсвязано с С/,
1	тгA - v) ъ „
2РГ*	ц	{ п- ШУ*	(ЗЛ5)
где, согласно решению задачи о вытянутой трещине [47], V* - "объем"
на единицу длины, соответствующей полосе ширины 2Ъ плоской трещины,
равный
7ГA - V)
V* =—	 pb2.	C.16)
д
Из C,15) и C.16) имеем
"	 = — ? Nh
4	2Ь -ъ е
С другой стороны, (p2b/2) = Л^ь,т.е. из C.17) следует
lliN\b =^«„-	C-18)
118

Неравенство C.18) в сочетании с C.13) как раз и дает
*fntxW)<Nib.	C.19)
Лемма 3.1 доказана.
5.3.3. Теоремы сравнения и их следствия дают возможность сформули-
сформулировать процедуру определения критических размеров трещин и (или)
критических нагрузок для элементов конструкций, Эта процедура может
состоять в следующем.
1.	По данным дефектоскопии или визуального осмотра элемента конст-
конструкции строится изображение трещины или трещиноподобного дефекта.
Сейчас речь идет о внутренних плоских дефектах, расположенных вдали
от границ тела, так что можно пользоваться теоремами сравнения для
безграничной среды (что означают более точно слова "вдали от границ",
будет выяснено позже, в разд. 5.4, там же будет рассмотрен и случай, когда
дефектов, расположенных в одной плоскости, несколько). Аналогично
можно поступать и в других случаях, когда для ограниченных тел справед-
справедливы теоремы сравнения.
2.	Подбирается эталонный контур, целиком содержащий внутри себя
дефект. Выясняется, будет ли трещина, ограниченная внешним эталонным
контуром, развиваться при заданных нагрузках. Если оказывается, что эта
трещина безопасна, то согласно следствию 3.3, безопасна и исходная тре-
трещина. В противном случае нужно проверить достаточное условие роста
трещины.
3.	Подбирается эталонный контур, целиком содержащийся внутри
исходного дефекта. Выясняется, будет ли развиваться трещина, ограничен-
ограниченная этим внутренним эталонным контуром. Если оказывается, что эта
трещина будет развиваться, то в соответствии со следствием 3,4 будет
развиваться и исходная трещина.
4.	В тех случаях, когда трещина, ограниченная внешним эталонным
контуром, опасна, а внутренним - безопасна, требуется дополнительный
анализ.
С этой целью на контуре исходной трещины выбирается ряд точек
Alv.., Ак (эти точки нужно располагать более часто на участках контура,
где резко меняется кривизна).
Для каждой из них подбираются описанные и вписанные эталонные
контуры и строятся двусторонние оценки NA ,..., N^ согласно теоремам
сравнения. После чего решается вопрос о том, будет или не будет расти
исходная трещина.
5.	Если оказывается, что исходная трещина начинает распространяться
квазистатически, то необходим дальнейший анализ для того, чтобы опре-
определить, приведет ли развитие трещины к разрушению тела в целом или
процесс роста трещины прекратится, т.е. определить возможно ли в задан-
заданном поле нагрузок дальнейшее развитие трещины после ее страгивания
без увеличения их интенсивности (неустойчивое развитие трещины). Для
этого, вообще говоря, нужно находить последовательные положения кон-
контура трещины в процессе ее роста. Достаточное условие остановки трещи-
трещины можно получить, если удастся подобрать внешний эталонный контур
таким, что ограниченная им трещина безопасна и за пределы его в силу
следствия 3.3 исходная трещина не в выйдет в процессе роста.
119

5.4. Обобщения теорем сравнения для ограниченных тел
с удаленными от плоской трещины границами
5.4.1. В разд. 5.1. и 5.2. были установлены теоремы сравнения для тре-
трещин нормального разрыва в безграничной среде. При их доказательст-
доказательстве, по существу, использовалось лишь свойство положительности гранич-
граничных операторов соответствующей задачи теории упругости: раскрывающие
трещину нагрузки вызывают положительные смещения точек ее поверх-
поверхности и положительные (растягивающие) напряжения на ее продолжении.
Таким образом, для расширения области применимости теорем сравне-
сравнения достаточно установить положительность граничных операторов того
или иного класса задач теории упругости для тел с плоскими трещинами.
Теоремы сравнения будут справедливы и в тех случаях, когда граничные
операторы соответствующей задачи теории упругости окажутся ограничен-
ограниченно положительными (под этим подразумевается выполнение свойства
положительности не при любых соотношениях между размерами трещины
и тела, а лишь в определенной области изменения указанных параметров).
Естественно ожидать, что граничный оператор задачи о трещине нормаль-
нормального разрыва будет положительным не только для безграничной среды, но и
для тела с достаточно удаленными границами. Проиллюстрируем это на
примере задачи о трещине нормального разрыва, расположенной в средин-
срединной плоскости слоя, грани которого свободны от нагрузок.
Эта задача сводится к следующему интегродифференциальному уравне-
уравнению [40] относительно скачка нормальных смещений точек поверхностей
трещины
2A - v)
ЬЛ)] =	(x
Ьъ =
An =
Обозначим через Rh разрешающий оператор уравнения D.1), так что
(ы= 1/2Ь3)
и = Rhq.	D.2)
Для безграничной среды (h -* °°) Ж (h, \ ? | ) ->0ив левой части D.1)
остается только один член. При этом по доказанному в разд. 5.1 положи-
положительной функции q (x) отвечает положительное решение соответствующего
уравнения. Таким образом, оператор Rco положительный. Докажем поло-
положительность оператора Rh при достаточно больших h.
Будем строить решение D.1) итерационным методом, полагая
0,1,...),
х1?1 +*2?2.	D.3)
120

В силу структуры соотношения D.3) величины qk могут рассматривать-
рассматриваться как фиктивные дополнительные нагрузки, которые необходимо прило-
приложить к поверхности трещины в безграничной среде, для того чтобы в соот-
соответствующем приближении ее раскрытие совпадало с раскрытием трещины
в слое под действием нагрузок q.
Пусть метод последовательных приближений сходится (условия его
сходимости выяснены в [40]), тогда положительность Rh обеспечена, если
Действительно, положительность R^ имеет место, если при q (xl9 х2) ^ 0,
(*i,#2) ^G величины uk(xlfx2) > 0, (xl5x^NG при достаточно больших к
Вследствие D.3) и положительности R «, неравенство ик > 0 следует из
неравенства (q + qk) ^ 0.
В работе [40] показано, что при больших (h/d), где d - диаметр области,
ПР.	1	оо	. ..
«* ~q° =Ti	^ГТГ^ П &№\)Ъ>Ъ)е-Чх'Я'Ъ	D.4)
A -vyi B тг)
и что, в свою очередь, q0 асимптотически можно представить в виде
!^ кттD>5)
Соотношение D.5) определяет постоянную в области G дополнительную
нагрузку, действующую в том же направлении, что и первоначально прило-
приложенные к поверхностям трещины усилия (м0 @) > 0Д(|т?|") >0, поэтому
#о > 0). То обстоятельство, что эта дополнительная нагрузка вне зави-
зависимости от характера распределения исходной нагрузки q нигде в области G
не обращается в нуль, позволяет утверждать уже на основе проведенного
асимптотического анализа, что при достаточно больших h/d величи-
величины qr* nqf + q строго положительны в области G. Оценивая вклады после-
последующих членов разложения по параметру d/h, можно показать, что сделан-
сделанное утверждение сохраняет силу, по крайней мере, при d/h < 0,46. Тем
самым доказана положительность оператора Rh при d/h < 0,46, т.е. для
достаточно толстого слоя.
Рассмотрим теперь два случая: 1) слой содержит трещину G и 2) слой
содержит трещину Gv\ G С G при нагрузках q и ^соответственно,
таких, что qv <q9 V(xux2)eGv\ q > 0, (xu'x2) €G \G v. По доказан-
доказанному в разд. 5.1 для трещин GnGv (при тех же нагрузках qnqv), распо-
расположенных в безграничной среде, смещения поверхностей щ и и% были
бы связаны неравенством и0 > Uq и, следовательно, и0 @) > гГ<Г(О) • В силу
D.5) тогда и для соответствующих добавок q% и (#о; к q и q^ за счет
влияния границ слоя имеем #о > (Qo)V- Таким образом, (q + #о) ^
^ (<1V + (<7o)F)} (*ь x2)GG. Выполнение этого условия с учетом положи-
положительности Rh гарантирует справедливость всех сформулированных в разд,
5.1 утверждений для слоя достаточной толщины с трещиной.
Далее, показано, что раскрытие и коэффициенты интенсивности напря-
напряжений в толстом слое можно асимптотически (с ошибкой) 0 (d/h) 3 пред-
121

ставить в виде [40]
и(х) = i*o(*) + Ki(o) (х), N = N0 +A^1@),	D.6)
где щ (о) — раскрытие трещины G в безграничной среде под действием
нагрузки q, определяемое D.3); N — соответствующий коэффициент
интенсивности напряжений в точках контура; Л^о) — коэффициент
интенсивности для трещины в безграничной среде при постоянной нагрузке
#о- В рамках справедливости сделанных оценок (d/h < 0,46) раскрытие
трещины и коэффициент интенсивности в каждой точке уменьшаются
при переходе от слоя к пространству при сохранении нагрузок и конфи-
конфигурации трещины.
Замечание. Можно показать [35], что свойство ограниченной положи-
положительности задачи (и теорема сравнения) сохраняются по отношению к
нормальным смещениям (коэффициенту интенсивности нормальных
напряжений) и для трещины произвольного разрыва в ограниченном теле,
границы которого достаточно удалены от трещины.
5.5. Теоремы сравнения для одного класса
псевдодифференциальных уравнений
В предыдущих разделах этой главы были рассмотрены теоремы сравне-
сравнения решений задач о трещинах нормального разрыва в однородной, изот-
изотропной упругой среде при отсутствии и наличии линейно-деформируемых
связей между поверхностями трещины. Их доказательства основаны на
том, что указанные задачи сводятся к смешанным задачам для гармониче-
гармонической функции в полупространстве. Соответственно интегродифференциаль-
интегродифференциальные уравнения этих задач связывают граничные значения гармонической
функции и ее производной. Как уже отмечалось, интегродифференциальные
уравнения задач о трещине без связей между поверхностями и при их нали-
наличии представляют собой псевдодифференциальные уравнения с символами
11| (см. с. 85) и (| 51 + d) (d - жесткость связей (см. с. 111) соответ-
соответственно.
В этом разделе доказаны теоремы сравнения решений одного класса
псевдодифференциальных уравнений, частным случаем которого являются
уравнения задач о трещинах в линейно-упругой среде [54].
Рассмотрим псевдо дифференциальное уравнение
PGA«u =/(*), 0 < а < 2, /(х)ЕЯ_а/2 (G), и G Я«/2 (G).
EЛ)
Здесь Аа — псевдодифференциальный оператор с символом | ? | а, G — огра-
ограниченная область в Rn (и> 2)>Pq — сужение на область G. Уравнение E.1)
однозначно разрешимо в указанных пространствах Соболева—Слободец-
кого [144].
Теорема 5Л. Пусть/ (л:) > 0 в области G% тогда решение уравнения E.1)
и(х) >0:
Сначала докажем два вспомогательных утверждения.
о
Утверждение!. Пусть и (х) ? #а/2 0^), и(х) >0,xGG, причем
и (х) Ф 0, тогдаЛаи (х) < 0 вне G (G — замыкание G).
122

Доказательство. Согласно [144], при — п < & < О
^ = 2*Г((|8 + я)/2)	u(y)dy =
тг"/2Г(-/3/2) ^« |jc —
w(y)dy
= С / 	^-^	, С = const > 0.	E.2)
Rn \x -y\P + n
Заметим,чтоАаи = А2Аа~2ии, поскольку — n < (a — 2) < 0,
-2 *
Если х е supp mG), тоЛаг/(л:) — гладкая функция в окрестности точких,
причем оператор Лапласа в E.3) можно внести под знак интеграла.
Положим у =(я+а-2)>0, тогда
-Ах(]х-у\-Ч) =у(п-2-у) \х-у\-7-2' =
= -ау\х-у\-ч-2.	E.4)
Следовательно
-Ах(\х-уГЧ) <0.	E.5)
В силу E.3), E.5) получимЛа и (х) < 0 при х Е G . В то же время, если
и (х) < 0, х G (?, и (х) Ф 0, тоЛа и (х) > 0 при х ^ G . Утверждение 1 дока-
доказано.
Утверждение 2. Пусть и (х) — решение уравнения E.1) при
/ (jc) > 0, / (jc) f 0. Тогда не может быть, чтобы во всей области G выпол-
выполнялось неравенство и (х) < 0.
Доказательство, Поскольку и(х) — решение уравнения E.1),
(Ааи(х), и(х)) = (/(х),и(*)).	E.6)
Допустим, что и{х) < 0 в области G. Из условий утверждения следует, что
(/(*),*(*)) = ff(x)u(x)dx < 0.	E.7)
G
Так как f(x) Ф 0, то и (х) Ф 0, следовательно,
(Л* и, и) = -^— / |Г |ff(?)|2d5 > 0.	E.8)
Bтг) Л«
Неравенства E.7), E.8) противоречат равенству E.6), что и доказывает
утверждение 2.
Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы 5.1. Пусть
утверждение теоремы неверно, тогда в G можно выделить две подобласти
G+ и G_, такие, что
G+ Л G_ = ф, и{х) > 0 при х е <7+,
и(х) < 0 при х е G_,
и (х) = 0 при л- EG\(G+ U G_).
123

Введем обозначения
о, хео+1 и-^-\о, х шс_.	E9)
о	о
Можно показать, что и+ Е Яа/2 (G+), au_E #<*/2 (G_). Следовательно,
w(jc) =w+(x) + w_(x). Из уравнения E.1) получим
pG_Aau(x) = pG_Aau+(x) +pG_Aau_(x)=f(x).
Обозначим/(л:) — pG_Aau+(x) =g(x). Так как G+ f)G_ = 0,то в силу
утверждения 1 pG_ Лаи+ (х) < 0 и потому g (х) > 0. Но и_ (х) является
решением уравнения
pG_Aau_(x) =
Это противоречит утверждению 2. Теорема доказана.
Теорема 5.2. Если f{x) > 0и/(х) Ф 0, то при условиях теоремы 5.1
можно утвеждать, что и(х) > 0 внутри области G.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку х0 Е G. Сначала пред-
предположим, что существует окрестность точки лг0, О(х0), в которой/(х) >
> д > 0. Возьмем функцию </> (х) Е С% (О(х0)) такую, что ф (х0) > 0,
*(*) > 0. Поскольку sp (x) еСГ@(лго)),тоХа^(х) =g(x)eC°°{Rn).
Поэтому существует М = const > 0 такая, что lg(x)| < М при л: Е О(х0),
О (х0) - замыкание О(х0). Выберем е > 0 так, что еМ < д. Обозначим
i//(x) = eip (jc) ; i//(jc) является в области G решением уравнения
раА«ф(х) =eg(x), ф(х) EHa/2(G) .	E.10)
По построению в О(х0), eg(x) < 5 </(д:). Вне О (х0) eg(x) < Ов силу
утверждения .1, и поэтому eg(x) < /(*), х Е G. Из теоремы 5.1 следует
м(лг) > ^(х), но ф(х0) > 0 по построению, откуда получаем и(х0) >0.
Если нельзя выбрать окрестность точки х0, в которой /(д:) отделена от
нуля, то, поскольку / (л:) Ф 0, существует точка х i и ее окрестность O(jci)
такая, что f(x) > 8i > 0 при хЕО (х^, O(xx) элг0- Строим функцию
ф(х) аналогично тому, как это делалось выше, только на этот раз в окре-
окрестности О (х 1). Рассмотрим функцию v (х) = и (х ) - ф (х ):
PG^v(x) =f(x)-eg(x).
Выше было отмечено, что f(x) —eg(x) > 0, следовательно, v(x) > 0.
Поскольку ф(х0) = 0, то v(x0) = w(x0). Из утверждения 1 следует, что
существует окрестность О(х0), где eg (x) строго меньше нуля, вследствие
чего f(x) — ??(лг) строго больше нуля в этой окрестности. Тогда по до-
доказанному выше v (х0) > 0, но и (х0) =и (х0), что доказывает теорему.
Теорема 5.3. Пусть f(x) определена и неотрицательна в области Gl9
и пусть G CGi. Предположим также, что / = 0 на Glt
Рассмотрим уравнения
PGA«uG(x)=f(x\ uG(x)eHa/2(G);	E.11)
pGi A«uGi(x)=f(x), uGi(x)eHa/2(Gl).	E.12)
Тогда uGi (x) > uG (x) внутри области G,
124

Доказательство. Так как uG (х) ?Яй/2 (G), то uG(x) EHaf2(G1).
Следовательно, uG (x) можно рассматривать как решение уравнения
о
pgx Aat/GW = /iW, "G(*)e#<*/2(Gi);
lf(x), xEG
1 * 1 pGl\GAauG(x), xeGt\G.
В силу теоремы 5.1 uG(x) >0 в G. Используя далее утверждение 1, полу-
получим, что PGt\G ЛаuG (х) <0 в Gj\G. Обозначим
pGlAav(x)=g(x)=f(x)-f1(x)i v(x)eHOi/2iGly,	E.13)
(О, xGG;
gX \f(x)-pGl\GAaUG(xl jceCAd.	EЛ4)
Следовательно, g (x) > 0, причем g (x) ф 0. Действительно, если /(jc) = 0
при xGG, то по условиям теоремы g (х) >09 g (х) =/(х) Ф 0, хЕ GX\GX
Если / (х) ^ 0 в G, то из теоремы 52: uG{x) > 0, х& G и pG;i \ G A? uG (x) <
< 0 в GAG. Следовательно, g (х) > 0, g (х) ф 0, хЕ Gj. Применяя далее
теорему 5.2, установим, что v(х) >0 внутри Gx и потому uG (х) >uG (x)
внутри G.
Замечание 1. Как видно из доказательства теоремы 5,3, она остается
справедливой и при более слабых условиях. Для того чтобы имело место
неравенство uGi(x)>Ug(x) внутри области G, достаточно потребовать
выполнения условий
uG(x)>0; f(x)>0, xGGx\G.
Как известно (см. [144,с.209]), если/(х) —достаточно гладкая функ-
функция и 9G — гладкая граница области G, то решение уравнения E.1) имеет
вблизи 9G асимптотику и(х) =N(xf)sat2 +O(s 1+(*/2), где s —расстояние
до 9 G по нормали, х — соответствующая точка на границе области. Из тео-
теоремы 5.3 получаем следующее.
Следствие 1. Пусть fix) — гладкая функция, неотрицательная в
области Gj, область GCGl9 причем 9G касается 9Gi в точке М. Тогда,
если точка х лежит на нормали к 9 G и 9 Gx, проведенной из точки М9 то
Благодаря теореме 5.3 можно утвержать, что NG(M)<NGi (M).
Заметим, что в случае а = 1 следствие дает сравнение коэффициентов
интенсивности напряжений, являющихся важнейшими характеристиками
решения задачи о трещине нормального разрыва в линейно-упругой среде,
а при а Ф I - сравнение аналогов коэффициентов интенсивности напряже-
напряжений в соответствующих задачах.
Замечание 2. Теоремы сравнения 1—3 переносятся и на более общий,
125

чем E.1), класс псевдодифференциальных уравнений
т	R
uGHa/2(G)-	E.15)
0<а<2, 0<рк<а.
Уравнение E.15) при а= 1, /и = 1, 0i =0 соответствует задаче о трещине
в линейно-упругой однородной изотропной среде при наличии линейно-
деформируемых связей. Можно показать, что при 0<а< 1, ак =0 урав-
уравнение E.15) в приближенной постановке с учетом обобщенного принципа
суммирования перемещений [5, 6] отвечает задаче о трещине в нелинейно-
упругой среде со степенным законом связи дивиатора напряжений и интен-
интенсивности деформаций сдвига и условиям установившейся ползучести при
степенном законе связи между интенсивноетями напряжений и скоростей
деформаций.
Глава 6
ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ТРЕЩИНЫ, ЭНЕРГИИ СРЕДЫ С ТРЕЩИНОЙ
И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ
6.1. Объем трещины и энергия деформации тела с трещиной
6Л.1. Рассмотрим трещину произвольного разрыва, занимающую об-
область G плоскости хъ = 0 в безграничной упругой среде. Вдоль такой трещи-
трещины имеются, вообще говоря, скачки Ьк (к = 1,2, 3) трех компонент векто-
вектора смещений точек поверхностей трещины. С компонентами скачка смеще-
смещений Ьк естественно соотносятся компоненты "объема" трещины, равные
проинтегрированным по области трещины функциям Ьк (хх, х2}
Vk=f bk(xl9x2) Ъз <* = 1,2,3).	A.1)
G
Величины Vk важны при изучении разнообразных вопросов деформиро-
деформирования и разрушения тел с трещинами,
Компоненты объема трещины определяют асимптотику (главный член)
упругого поля вдали от трещины (см., например, гл. 2), Поэтому величины
Vk существенны при анализе взаимодействия удаленных друг от друга
трещин и при подсчете эффективных характеристик деформирования уп-
упругой среды с множеством редко расположенных трещин. При изучении
процессов диффузии и фильтрации в деформируемой среде с трещинами
и связанного с этими процессами роста трещин (например, при коррозион-
коррозионном разрушении или при гидроразрыве) существенно раскрытие трещины
и его интегральная характеристика — компонента объема V3.
Для трещин нормального разрыва при однородных нагрузках р (хг, х2 ) =
= Ро = const имеется непосредственная связь между объемом трещины V3
126

и величиной потенциальной энергии тела с трещиной W, равной
W = f u3(xlix2)p(xlix2)dxl dx2
При однородных нагрузках, очевидно,
= f u3(xlix2)p(xlix2)dxl dx2.	A.2)
3,	A.3)
Таким образом, отыскание компонент объема представляет важную
задачу теории трещин.
Исходя из определения, величины Vk можно вычислить, уже зная реше-
решение задачи теории упругости для тела с трещиной (распределение скачков
смещений Ьк = 2ик вдоль трещины).
При сложной форме трещины построение решения затруднительно даже
при простых видах приложенных нагрузок. Поэтому возникает вопрос об
отыскании способов косвенного вьиисления или оценки величин Vk. Су-
Существенно, что, располагая оценками объема, можно в ряде случаев полу-
получить и оценки коэффициента интенсивности напряжений (см. разд. 6.3).
6.1.2. Обойти трудности в вычислении величин Vk при произвольных
распределениях нагрузок позволяет теорема взаимности. Оказывается воз-
возможным выразить величины компонент объема Vk при произвольном за-
заданном распределении нагрузок через решения задачи для некоторых более
простых видов нагрузок при той же форме трещины [35, 36], это, в свою
очередь, приводит к построению различных двусторонних оценок вели-
величин Vk.
Итак, пусть Ьк (хг,х2) нЬк(х1ух2), (хг,х2) Е G — распределения скач-
скачков смещений вдоль трещины G при двух системах нагрузок (t ° )' и t °
соответственно. По теореме взаимности, учитывая, что нагрузки на верхней
и нижней поверхностях трещин противонаправленны, имеем
/ (Г0' Ьй)йхгйх2 = f(t°b'.)dxl dx2.	A.4)
G l	G l l
Выберем теперь в качестве (t °)' постоянные нагрузки, ориентирован-
ориентированные вдоль каждой из осей координат:
(t°y={tl9o9o}9 (t°J={o,f2,o}, (t°K={o,o,r3}.
Обозначим через bk (xl9x2) (к = 1,2,3) решения им соответствующие.
Из A.4) получим
Mt°)=^r/ (t°b*)dxtdx2 (ft = 1,2,3).	A.5)
Здесь по к суммирование не производится.
Формулы A.5) для вычисления компонент объема трещины аналогичны
известным в теории контактных задач теории упругости формулам
В.И. Моссаковского [102] для подсчета суммарной силы, вдавливающей
штамп, ограниченный произвольной поверхностью, через решение задачи
(распределение контактного давления), соответствующее штампу с плос-
плоским основанием.
Замечание. Формулы A.5) можно, разумеется, получить и не прибегая
к теореме взаимности, на основании системы интегродифференциальных
уравнений задачи [36].
127

Из A.5) ясно, что если рассмотреть две системы нагрузок t ^ и t^2\
приложенных к поверхностям трещины, таких, что t^1^ (xlix2) >
>	t?2^ (xi,x2), V(xi,x2) ? G, то соответствующие этим нагрузкам ве-
величины компонент "объема" связаны соотношением V. ^ > V S2^. Дейст-
вительно, при переходе от t ^ к t *2^ подьштегральное выражение в A.5)
в каждой точке области G не увеличивается (напомним, что величины Ь? >
>	О при v (xi>x2) ? G, i = 1,2, 3). Этот вьюод не зависит от связности
области трещины. Формулы A.5) позволяют получить некоторые оценки
для компонент объема.
6.2. Оценки сверху для объема трещины
и полной потенциальной энергии тела с трещиной
6.2.1. Из положительности задачи о трещине отрыва в безграничной сре-
среде следует, что при действии раскрывающих трещину нагрузок объем
объемлемой трещины не превосходит объема объемлющей трещины. Это
приводит к оценкам для V3 = V тем более точным, чем ближе вписанный
и описанный контуры трещин к исходному.
Рассмотрим иные пути построения оценок V и Ж
Получим оценки для объема трещины нормального разрыва и полной
потенциальной энергии тела ее содержащего [51-53] с помощью энергети-
энергетических соображений и техники построения априорных оценок решений эл-
эллиптических краевых задач. К числу этих задач относится и задача о трещи-
трещине нормального разрыва.
Перепишем для удобства C.3.20) в виде (полагая и3 =ы)
pGAu=f, f
где
tfffttmi'-'^d*	B.2)
— псевдодифференциальный оператор с символом I f I ;
оо
и= Я и(х)е*хЛ)Ах.
— оо
Введем обозначение
Lg=fg(x)dx,	B.3)
так что V=2LU, W = Lup. Неравенство Шварца дает для V
V = 2Lu<2(f u2(x)&x)ll2Slf2=2\\u\\Sll2,	B.4)
G
где S — площадь области G и II... II - норма в пространстве L 2 (G). Анало-
Аналогично
W< Ир II* Им II.	B.5)
128

Поэтому оценки V и W сверху можно получить, оценив сверху II и II.
Оператор pG Лкоэрцитивен [ 144], т.е. 3 с > 0 такая, что *
(Ли, и)>с \\и II2, VuGH1/2(G).	B.6)
Из B.1) и B.6) имеем
с \\и II2 <(Лм,м)< 11/11- IIи II	B.7)
или
Ни II <( II/II/с).	B.8)
Очевидно, что оценка B.8) будет тем точнее, чем большее значение с
удастся подобрать. Из B.6) следует, что наибольшее возможное значение
с совпадает с величиной
X,(G) = inf	(*U'U) .	B.9)
m<E#1/2(G)	II Ы II2
По доказанному значение Ху (G) строго больше нуля. Поскольку, как по-
показано выше, оператор Рс& сильно эллиптический, величина X2(G) яв-
является минимальным собственным числом pG А при соответствующих
краевых условиях (и (х) = 0 вне G ).
Таким образом, построение оценки II и II сверху сводится к нахождению
\X(G).Q учетом B.9) имеем
Нр II 1/о	lip II2
S1/2 W<B.10)
Прежде чем переходить к определению \t (G), отметим, что точность
оценки объема КB.4), опирающейся на B.8), зависит лишь от свойств
оператора PqA. При этом не учитываются свойства мкак решения B.1).
В случае однородной нагрузки (для определенности единичной интенсив-
интенсивности р= 1) можно предположить другой способ построения верхней
оценки V, использующий то, что и0 — решение задачи B.1) при р = 1.
Величина q0 = 2/F0, Vo — объем трещины при единичной нагрузке пред-
представляет собой минимальное значение функционала
(Аи, и)
qo= tof	' J ,	B.11)
реализующееся на решении u0. p
Действительно, пусть и(х) Glili2(G)i тогда с учетом равенства Парсе-
валя имеем
u(x)dxJ = \- f
l g
о	[у G "	J у2 L BтгJ -i
1	,	1
< -Т"(л"о,"о)(Лм, м) = — (fuodx)(Au, и).
у2	ус
* Здесь и ниже используются пространства Соболева — Слободецкого дробного по-
порядка [144].
9. Зак. 1100	129

Следовательно,
(Ли, и) >
o) о<	Bл2)
/) (/o) (/ t/od^J
G	G	G
В дальнейшем удобно рассматривать параллельно задачи построения оце-
оценок при однородной и неоднородной нагрузках, поскольку в основе вы-
вычисления Xi (G ) и q0 (G ) лежит следующая теорема.
Теорема 6.1. Для безграничной среды с плоской трещиной нормального
отрыва заданной площади S величины Xi (G) и qo(G) принимают мини-
минимальное значение в случае круговой трещины.
Схема доказательства дана в п. 6.2.2, полностью оно приведено в [51]
и п. 6.2.3.
Из этой теоремы следует, что
\i(G)>\i(kR)9	B.13)
где kR — круг радиуса R =\л5/тг (т.е. площадь круга kR равна площади
области G ).
Нетрудно видеть, что Хх (kR) =Xi (k^/R. Действительно, в соответст-
соответствии с B.9) и [144]
, и)	с'Ми
«||2
BЛ4)
/
При этом преобразовании использована замена переменных и(х) =
= u(Ry) =v(y),xG kR9yekx.
Учитывая B.13), B.14), имеем из B.8), B.9) оценку
\\и Il=\/S ИЯ/ч/тТЛ^О	B.15)
и, согласно B.10),
V<2yS lpll/>/5rXi(*i).	B.16)
Входящая в B.16) величина Xi (fcx) вычислена в [51] и оказалась
равной 2.
В случае однородной нагрузки, согласно теореме 6.1,
Qo(G)>qo(kR)	B.17)
и, следовательно, (q0 =2/F0)
^o(*u)>Ko(G).	B.18)
Это изопериметрическое неравенство показывает, что объем круговой тре-
трещины не меньше объема трещины, занимающей произвольную область
той же площади.
Замечание. Неравенство B.18) было сформулировано в [40], исходя из
введенного там представления об экстремальных контурах трещины (см.
гл. 7), в предположении, что последние в случае однородной нагрузки
существуют и являются окружностями. Приводимое здесь (ив [51])
доказательство изопериметрического неравенства B.18) служит одно-
одновременно доказательством этого предположения при условии, что речь
130

идет об экстремальных контурах данной площади S, охватывающих неко-
некоторую фиксированную область, которую можно заключить в круг площа-
площади S.
6.2.2. Укажем основные этапы доказательства теоремы 6.1, которое про-
проводится по той же схеме, что и доказательства в работе [111] изоперимет-
рических неравенств для величин, связанных с оператором Лапласа. По-
Попутно отметим сходство и различие в технике доказательств в этих двух
случаях.
Напомним, как доказываются изопериметрические неравенства в [111].
Подбирается функционал, экстремальным значением которого является
исследуемая величина. Этот функционал может содержать интегралы от
функции (или ее квадрата) и обязательно содержит интеграл от квадра-
квадратичной формы, определяемой оператором Лапласа, Затем рассматривается
функция, на которой реализуется экстремальное значение функционала,
и с ней связываются геометрические объекты (определяемые функцией
область и поверхность либо поверхности уровня). После этого производит-
производится симметризация поверхностей, соответствующих данной функции, и по
новым поверхностям строится новая функция, определенная уже в сим-
симметричной области. Далее рассматривается значение функционала на новой
функции. Поскольку интеграл от квадратичной формы, определяемой опе-
оператором Лапласа, связан с величинами площадей поверхностей, которые
при симметризации убывают, удается доказать убывание и этого интеграла,
В то же время интегралы от функции или ее квадрата при симметризации
не изменяются. Поэтому значение функционала при указанной операции из-
изменяется в одну сторону (убывает или возрастает). Вследствие этого и
значение исследуемой величины в симметризованной области меньше (или
больше), чем в исходной. Завершает доказательство изопериметрического
неравенства использование известного из геометрии результата, заключаю-
заключающегося в том, что с помощью последовательности симметризации любую
область можно перевести в круг (на плоскости) или в шар (в прост-
пространстве) ,
При доказательстве теоремы 6.1 действуем аналогично, В качестве функ-
функционала, экстремальным значением которого является Xj (G), принимает-
принимается функционал B.9) [или B.11) для величины q0 (G ) ]. Эти функционалы
содержат интеграл от функции (или ее квадрата) и квадратичную форму,
о
определяемую оператором Л [(Ли, и), v ?#1/2 (G)]. В отличие от упо-
упоминавшейся выше квадратичной формы, определяемой оператором Лап-
Лапласа, форма (Ли, у) непосредственно не связана с геометрическими харак-
характеристиками областей. Поэтому основная трудность состоит в доказатель-
доказательстве убывания формы (Ли, v) при симметризации области, занимаемой
трещиной. Эта трудность преодолевается следующим образом.
Оказывается, что можно подобрать гармоническую в полупространстве
функцию, которая на границе полупространства х3 = О совпадает с заданной
функцией и. Тогда форма (Ли, v) будет равна интегралу от квадрата гра-
градиента гармонической функции по полупространству. В [111] интегралы
от квадрата градиента по трехмерной области встречаются при доказатель-
доказательстве изопериметрического неравенства для электростатической емкости,
В упомянутой задаче поверхности уровня функции не имеют критических
131

точек, края и вложены одна в другую. В нашем случае, как можно пока-
показать [51], поверхности уровня имеют форму чаши или нескольких чаш
и могут иметь критические точки, В задаче об электростатической емкости
проводится симметризация Штейнера поверхностей уровня относительно
различных плоскостей. В рассматриваемой задаче, благодаря тому что по-
поверхности уровня в виде чаши также вложены друг в друга, удается ввести
операцию симметризации относительно плоскостей, перпендикулярных
плоскости х3 = 0, Эта операция симметризации является несколько более
общей, чем симметризация Штейнера поверхностей уровня, так как до-
допускает наличие критических точек функции. Вне критических точек вве-
введенная симметризация совпадает с симметризацией поверхностей уровня.
Поскольку множество критических точек у гармонической функции имеет
меру нуль, удается воспользоваться техникой [111] для завершения дока-
доказательства.
6.2.3. Приведем доказательство изопериметрического неравенства.
Используем вариационную формулировку B,9), B.11) задач отыска-
отыскания Xj(G), qo(G) и операцию симметризации, близкую к [111]. Дока-
Доказательство можно разделить на пять этапов,
I. Лемма 1. Функция м0, реализующая минимум функционала B,11),
строго положительна внутри G; в подпространстве функций, реализую-
реализующих минимум функционала B,9), можно выбрать строго положитель-
положительную внутри G функцию их.
Сначала покажем, так же как в п. 5.1.1, что решение и задачи B.1)
строго положительно внутри области G, Vf > 0, / Ф 0. Действительно,
и является граничным значением гармонической в R+ функции U, удов-
удовлетворяющей условиям C.3.16):
=0, (xlfx2) ё G; U(xlfx2) = u
dU(xux2,0)
; 	У12 = ~f{xx,x2).	B.19)
Если существует точка М(xf, х1^) ? G, в которой и < 0, то U прини-
принимает минимальное значение U(M*) < 0 в точке М*; но по условию
B,19) [dU(xx, х2, 0)/Эл:3] < 0, что противоречит усиленному принци-
принципу максимума Хопфа [82].
Поскольку и0 — решение B,1) при р = 1, то по доказанному м0 стро-
строго положительна внутри G,
Справедливость второй части утверждения леммы 1 устанавливается
с помощью теоремы, приведенной в [79]. Применимость этой теоремы
в рассматриваемом случае проверяется непосредственно,
Прежде чем продолжить доказательство леммы 1, сделаем одно за-
замечание.
о Замечание 1, Оператор pGA осуществляет изоморфизм пространств
Ну2 (G) и #_i/2 (G) [144]. Обозначим обратный оператор через П\ Так
как H0(G) C#_y2(G), то можно рассмотреть ограничение 12 на H0(G):
где / - вполне непрерывное вложение. Поскольку оператор п' непре-
132

рывен, отсюда следует, что ?2 - вполне непрерывный оператор, Далее,
так же как и PGA, оператор 12 самосопряженный и положительно опре-
определенный, действующий в L2(G), Поэтому 12 обладает в L2(G) ортого-
ортогональным базисом из собственных векторов; все собственные числа по-
положительны и накапливаются к нулю, собственные векторы операто-
оператора ?2 являются собственными векторами оператора pGA, причем соот-
соответствующие собственные числа взаимнообратны. Поэтому вместо того,
чтобы находить наименьшее собственное число оператора pGA, можно
найти наибольшее собственное число оператора 12.
В силу сказанного перед замечанием оператор 12 положителен. Кроме
того, 12 вполне непрерывен. Рассмотрим некоторую собственную функ-
функцию ых, отвечающую собственному числу \i(G). Если —их > 0, то по-
поскольку —их также собственная функция, отвечающая \X(G), можно
тем самым выбрать неотрицательную собственную функцию, отвечаю-
отвечающую \X(G), Если же -441 не является неотрицательной, то их можно
представить в виде иг = и-w, где v, w — неотрицательны и Шг = \хих,
По теореме 2.5 [79] из этого следует, что существует неотрицательный
собственный вектор х0, такой, что 12:х0 = Ао*о» ^о ^ ^i- Однако Хх —
максимальное собственное число оператора 12, Поэтому Хо = ^i и сущест-
существует неотрицательный собственный вектор их, отвечающий Х^ Из того,
что их # 0, следует строгая положительность их внутри G. Лемма дока-
доказана.
П. Введем необходимое для дальнейшего понятие симметризации функ'
ции относительно плоскости. Пусть Фх(хх, х2, х3) - непрерывная функ-
функция, определенная в полупространстве Rl, такая, что Фх(х) >0, Ф^л:) -*0
(|jc| -* °°), и П — плоскость, параллельная осилг3. Считаем, что функция
Ф2(х) получена симметризацией функции Ф\(х) относительно плоскос-
плоскости П, если она построена по следующему правилу. Примем, что
D(t) = {xeRl,Ox(x)>t\, D°(t) = {xeRl^1(x)>t\f t>0,
Обозначим длину пересечения прямой /, перпендикулярной к П, с мно-
множествами D(t) и D°(t) через / (/) и l°(t) соответственно. Принимая точ-
точку пересечения / с П за начало координат, положим Ф2(х) = t на отрез-
отрезках Н°(О/2,-/(г)/2], [/(О/2,/°(О/2] прямой /,
При t = 0,если /@) =°°,то Ф2(± °°) =0,в противном случае, когда /@) <
<	°°, функция Ф2О) = 0 на лучах (-<*>, -/ @)/2], [/ @)/2, + <»),
На каждой прямой построение ведется от t = 0 до t = Ф1тах, равно-
равного максимальному значению функции Ф\{х) на прямой /.
Проведя такое построение для всех прямых, перпендикулярных П
и лежащих в R +, определим функцию Ф2 (х).
Определение Ф2 корректно, так как в силу непрерывностиФх(х) I (t\)<*
<	/°(Г1) < l(t2) при tx > t2. Можно проверить, что полученная функция
Ф2(х) непрерывна и Ф2(х) ->0 (|х| ->«>).
Замечание 2, Рассмотрим функцию Фх(х), определенную в замкну-
замкнутой области Т. Пусть граница Т - поверхность уровня Фх(х). Если по-
поверхности уровня функции Ф\(х) представляют простые поверхности,
вложенные друг в друга, и минимум Фх(х) достигается на границе Г,
133

то любая прямая, перпендикулярная фиксированной плоскости П, пе-
пересекает поверхность уровня Ф^х) = t в 2п точках q{,..,, ql2n (точки
касания прямой с поверхностью уровня считаются дважды). Длина пе-
пересечения / (г) равна q\ —q\ +#4~Яз + ••• + ql2n~Q2n-i» и введенная выше
симметризация сводится к симметризации Штейнера [111] поверхностей
уровня функции ФхСх). В более общем случае, при наличии у Oi(x) кри-
критических точек, поверхности уровня Ф%(х) могут иметь особые точки и
построение симметризованной функции Ф2(х) осуществляется по ука-
указанному в определении правилу,
Пусть функция Ф% (х) = U (х) гармоническая в Rl, такая, что
U(xlt x2i 0) = 0, (xltx2)eR2\G;
B.20)
Соответствующую ей после симметризации функцию Ф2(х) обозна-
обозначим через V (х). Из определения следует
V(xl9x29Q)=Q9 (xlfx2)ER2\G\	B.21)
V(x1,x2,Q)=v(x1,x2), (xlfx2)eG\
где область Gf получена из G с помощью симметризации Штейнера [111]
относительно прямой, являющейся пересечением плоскостей П и х3 = 0.
Согласно правилу построения функции Ф2, для любой функции g спра-
справедливо тождество
fg(u)dx=fg(p)dx.	B,22)
G	G'
Так как гармоническая функция U(x) аналитична в Rl и не являет-
является постоянной, то прямая, перпендикулярная плоскости П и не лежащая
в плоскости хъ = 0, может пересекать поверхность уровня функции U
не более чем в конечном числе точек. Аналогично на каждой такой пря-
прямой - не более конечного числа критических точек функции U.
III,	Лемма 2. Пусть U(x) — гармоническая функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям B,20), и V(x) получена симметризацией относительно
плоскости П, тогда
/ | gradC/l2 dx > f |gradF|2cbc,	B.23)
*+	r%
Выше отмечалось, что на каждой прямой / может быть лишь конеч-
конечное число критических точек функции U(x). Поэтому множество точек
пересечения I с поверхностями уровня, имеющими критические точ-
точки на /, меры нуль. Вне этого множества построение V(x) сводится к
симметризации Штейнера относительно плоскости П поверхностей
уровня функции U(x), В связи с этим доказательство B.23) повторяет
доказательство аналогичного соотношения, используемого при выводе
изопериметрического неравенства для электростатической емкости
[111,п. 7.3].
IV.	Лемма 3. Пусть функция F G H^Rl) и F(xl9 х2, 0) = w, F (х) -> 0
134

при | л: | -> °°. Тогда
/ \gradF\2dx>f |grad?/|2d;c,	B 14)
где U - гармоническая в Rl функция, удовлетворяющая условиям B.20).
Предположим сначала, что F Е С1 (/??), и представим F в виде F =
= ?/ + /*, где/г ->0при |*| -+°° и h (хх,х2,0) =0.
Тогда
з bU bU
f |gradF|2dx = / \gradU\2dx + f lgrad/г |2<Ьс + 2 /	dx.
Можно показать, что последний член в этой формуле равен нулю. Сле-
Следовательно,
./ |gradF|2djc > f | grad?/|2d;c.
пЗ	г>3
R+	R +
Если функция F удовлетворяет условиям леммы, то ее можно пред-
представить в виде F = U + h, где h G H1(Rl). Так как С? (Rl) плотно в
Hx(Rl)i то существует последовательность hn G Cq (Rl), такая, что
hn-*h в Нх. Тогда последовательность Fn = U + hn -*• F в Ht. По доказан-
доказанному
/ IgradF^ \2dx > f \gvadU\2dx, V/i,
R%	R%
поэтому имеет место утверждение леммы 3.
V. При завершении доказательства теоремы понадобится следующее
тождество:
(Ли,м) = / |gradf/|2d;c = IU9	B.25)
Rl
где U — гармоническая функция, определенная условиями B.20). Спра-
Справедливость его проверяется непосредственно:
/ |gradl/|2djc = -J —-Udx-f UAUdx =
R%	R2(x3=0)bx3	R%
bU
-f 	Udx = (Au,u).
R2(x3=0)bx3
Используя B.25), можно переписать выражения B.9), B.11) для
G) и Qo(G) следующим образом:
(Auuu)\\ul 1Г2 =IVi \\ux II,
qo(G) = (Auo,uo)L;2 = IUqL-2 .	Be26)
Напомним, что здесь их — положительная собственная функция опе-
оператора PgA, отвечающая собственному числу \i(G); u0 - решение за-
задачи B.1) при единичной нагрузке; гармонические функции Ul9 Uo
удовлетворяют условиям B.20) при и = их и и0 соответственно.
Функции иг(х) и ио(х), согласно лемме 1, положительны. Поэтому
135

в силу принципа максимума для оператора Лапласа функции Ux(x) и
U0(x) также положительны.
Применим к этим функциям операцию симметризации относительно
плоскости П, параллельной оси х3. При этом Ui(x) и U0(x) перейдут
в функции Vi(x) и V0(x), удовлетворяющие B.21) при v =Vi nv0. Из
B.22) следует, что для Vi, v0 имеют место соотношения
ful {x)ix = fvj{x)dx,
G	G'
L«9 = fuo(x)dx = f,vo(x)dx = LUo.	B.27)
G	G
В соответствии с леммами 2 и 3 получим
Xi(G) = Iv \\ux II > lv Ux II > Iv> \u\\V2 = Xx(G'),
111	p ^8)
Здесь и\, Vq реализуют минимум функционалов B.9), B.11) для об-
области G1 \ U\, и'о - гармонические в Rl функции, которые определяются
через и\, Wq по условиям B.20).
Область G' получена симметризацией Штейнера из области G, поэтому
mesG = mesG'. С помощью надлежащей последовательности симметри-
симметризацией из G можно получить круг [111, п. 7.3]. Теорема доказана.
Замечание 3* Соображения, аналогичные использованным в [111, п. 7.4],
приводят к утверждениям о том, что в однородном поле нагрузок объем
трещины, занимающей область в виде равностороннего треугольника
(квадрата), не меньше, чем объем трещин, занимающих произвольные
треугольные (четырехугольные) области той же площади.
6.2.4. При доказательстве изопериметрического неравенства для
объема трещины (п. 6.2.3) в изотропной однородной упругой среде и
теорем сравнения (разд. 5.1-5.3) существенно использовалась связь за-
задачи о трещине со смешанной задачей определения гармонической
функции в полупространстве.
В то же время в разд. 5.5 было показано, что теоремы сравнения име-
имеют место для довольно широкого класса псевдодифференциальных урав-
уравнений. Техника их доказательства иная, использующая свойства псевдо-
псевдодифференциальных операторов.
Оказывается, что изопериметрическое неравенство для объема тре-
трещины, формула Ирвина и некоторые оценки коэффициентов интенсив-
интенсивности напряжений могут быть обобщены на решения рассмотренного
в разд. 5.5 класса псевдодифференциальных уравнений. Такие обобще-
обобщения получены в работе [143], где даны доказательства соответствующих
утверждений. В этой работе впервые при доказательстве изопериметри-
ческих неравенств использована техника интерполяционных про-
пространств [18].
Сформулируем без доказательств основные результаты работы [143].
Рассмотрим псев до дифференциальные уравнения вида E.5.15) :
pGAaw = pGAaw + f a2kpGA^w = f(x),	B-29)
где по-прежнему 0 < a < 2, 0 < Рк < а, / (x) G fl_a/2 (G), w (x) G Hy2 (G),
136

Связь B.29) с задачами о трещинах в нелинейных, линейных неоднород-
неоднородных и однородных средах отмечена в разд. 5.5.
Введем следующие характеристики решения B.29): минимальное
собственное число оператора
= inf	[(Aav,v)/fv2dx],	B.30)
G
"энергию"
Wf(G) = ff(x)w(x)dx	B31)
G
и "объем"
Vf(G) = fw(x)dx;	B.32)
G
здесь w — решение B.29).
Справедлива теорема: при симметризации Штейнера области G отно-
относительно некоторой прямой величины Ад, (G) и Vjl(G) не возрастают.
Из этой теоремы получаются важные следствия.
Следствие 1 (изопериметрическое неравенство для Л^(G)и V\l (G)).
Поскольку с помощью последовательности симметризации любую область
можно перевести в круг той же площади, справедливы изопериметри-
ческие неравенства
ХА (G) > \1а (К), V,(G) < V,(K),	B.33)
где К — круг равновеликий области G.
Следствие 2. Для энергетической характеристики решения
Wf (G) имеет место неравенство
Wf(G) < Wr(K),	B.34)
где /*(дс) - функция, определенная в круге K,f*(x) =/*(r), г = |х|;
/*(г) не возрастает с ростом г, и функции fix) и /*(г) равноизме-
римы*.
Отметим, что для линейно-упругой среды с трещиной величина Wf
с точностью до множителя совпадает с энергией деформации среды. По-
Поэтому неравенство B,34) дает изопериметрическую оценку энергии де-
деформации в случае действия неоднородной нагрузки на поверхностях
трещины. Это неравенство позволяет оценивать энергию среды с трещи-
трещиной произвольной формы через энергию, отвечающую наличию равнове-
равновеликой круговой трещины с соответственно подобранным осесимметрич-
ным распределением нагрузки /#,
С помощью неравенства B.33) для X^(G) можно оценить Wf(G):
Wf (G) = (AQ,w, w) > Ai (G) II w II2 > -Xi (*) llwll2	.	B35)
С другой стороны, из B.31)
Wf(G) < 11/11- II w II.	B36)
*Ыапомним, что функции / (х) и g (.v) называются равноизмеримыми, если Vz,,, t2
равны меры множеств {x-zk <f(x)<z,2] ,{х:2х <g(x)<z2} [111].
137

Следовательно,
llwlK [i/l/Ai(*)],	B.37)
W/(G) < [l/l2Mi(*)b	B38)
Для однородной изотропной среды с трещиной, как уже отмечалось,
а = 1, Рк = О- Оценка энергии деформации B.38) того же типа, что и оцен-
оценка B.16), но для более широкого класса операторов.
Для решения псевдодифференциального уравнения B.29) имеет
место формула, связывающая приращения энергетической характеристи-
характеристики решения при вариации области G с коэффициентами в асимптотике
решения вблизи границы dG (аналог формулы Ирвина).
Напомним, что решение B.29) имеет вблизи границы dG асимптотику
(см. разд. 5.5)
w(x) « 7V(x')sa/2, х' Е dG,	•	B.39)
где s - малое расстояние по нормали к dG от х G G до х' [144]. В [143]
показано, что асимптотика Aaw вне G при приближении к границе dG
также выражается через коэффициент N(x") :
а22о-2 г(A+а)/2Г2(а/2)
^tN(')f-"l2,	B.40)
Г(а+1)Г(B-а)/2)
здесь г — расстояние от х Е R2 \ G до х9 по внешней нормали к 3G.
Формулы B.39), B.40) позволяют получить аналог формулы Ирвина:
при вариации области G на 5G(mes 8G = 65) вариация б И^ равна
dWf = H(a)N23S,	B.41)
а22а-з г(A+а)/2)Г3(а/2)
Я(а) =	* ;	.	B.42)
При а: = 1, &к - 0 B.41) переходит в формулу Ирвина, а при а -* 2,
jS/j; = 0 - в аналогичную формулу ддя уравнения Лапласа, полученную
в [53, 56] (см. разд. 6.4). Пользуясь этой формулой можно получить
оценки для Nmin и Nm3LX на контуре dG в случае, когда f(x) — однород-
однородная функция порядка 5:
B + 2 5 + а) И/ДС)/2 5Я(а) < ^ах.	B.43)
(доказательство аналогично приведенному в разд. 7.3).
Интересно, что правое из неравенств B.43) в частном случае оператора
Л2 w, соответствующего задаче кручения стержня, дает изопериметрическое
неравенство Сен-Венана для максимального касательного напряжения
в сечении стержня (подробнее об этом см. разд. 10.1).
138

6.3. Оценки сверху объема трещины, расположенной в слое
Изопериметрическое неравенство для XX(G) можно использовать и для
того, чтобы получить оценки сверху объема трещины, расположенной
в срединной плоскости х3 = О упругого слоя толщины 2 Л [51].
Будем считать, что грани слоя свободны от напряжений, а к поверхно-
поверхностям трещины приложены нормальные нагрузки, симметричные относитель-
относительно плоскости трещины. Тогда нормальные смещения и (х) точек поверхно-
поверхностей трещины удовлетворяют псевдодифференциальному уравнению
[40, 51 ] [ср. E А1)]
pG(A-Ah)u = f{x\ f(x) = yp(x); и(х) = 0, xeG;	C.1)
Лй«)= I * i l(h Щ ), /(z) = 2(H2z+2z2-e-2z)lDz+e2z-e-2z). C.2)
Функция / (z) убывающая, так как /'(z) < 0. Кроме того, /@) = 1 и
/ (+оо) =0, поэтому 0</(Л|?1)<1. Как и в случае безграничной среды,
для построения оценки V и W сверху нужно предварительно оценить
сверху || и ||. Из C.1) имеем
((Л-ЛЛ)и,и) = U и) < Ц/11 .|| и ||.	C.3)
Покажем, что для оператора Рс(Л - Ah) имеет место условие коэрци-
тивности
м)> \\и\\2СИ,
C.4)
где R0(h) определено ниже.
Введем /0 = (Aw, и) и /^ = (A/,w, м). Тогда оценка снизу для ((Л —
— Ah)u, и) =/0 — «^л получится, если /Л оценить сверху. Имеем
+ -Лг / m-l«(*)la/(*l*l)d*.	C.5)
Далее
1
139

Поскольку [ l{h | ? | ) - 1] < 0 и /(Л | % | ) - убывающая функция, то
B Ю
1
i [/(АЛ)- 1] Г |?|.|M(|)|2dt
B ff)	Ш > R
Обозначим
1
i||-|«(l)l2dt
C.6)
Для величины //^ справедливы неравенства
- f
\i\<R
= Jo-R\\u\\2>J0-
R
Jo.
C.7)
При 0<Л < V^/S'-X1(fci) из C.6), C.7) с учетом того, что [/(А|||)-
- 1 ] < 0, следует неравенство
- О
C-8)
Пусть при 0<Л =/?о(А) < V ir/S'-Xi (fci) достигается минимум выраже-
выражения/^). Тогда имеем для ((Л —ЛЛ)м, м) с учетом B.9)
((Л - Л„)и, u) = J0-Jh>J0- J0I(Ro(h)) =
= (Ли, «)[1 -l(hR0(h))][y/4/S'. Х,(*,> -R0
I и II2.
C.9)
Таким образом, справедливость неравенства C.4) установлена. В силу
C.3), C.4) имеем
II "II < 11/11 /С„,	C.10)
и соответственно для V и W получаем оценки, аналогичные B.10):
C.11)
140

6.4. Оценки снизу для объема трещины
6.4.1. В разд. 6.2 было показано, что объем трещины нормального разры-
разрыва при однородных нагрузках оценивается сверху числом, не зависящим от
вида области трещины. Легко видеть, что в тех же условиях оценить объем
трещины снизу аналогичным образом нельзя. Дело в том, что при фиксиро-
фиксированной площади трещины и увеличении степени вытянутости занятой ею
области (например, для эллиптических трещин) объем трещины стремится
к нулю. Поэтому, чтобы получить изопериметрическую оценку V снизу,
надо подобрать какой-то функционал, зависящий от формы трещины,
значение которого вычисляется более просто.
Следуя [53, 56], получим изопериметрическую оценку V снизу, исполь-
используя установленную там связь между характеристиками решений задачи
о трещине и краевой задачи для уравнения Пуассона, соответствующей
задаче теории упругости о кручении стержня. При этом изопериметрическая
оценка V строится с помощью некоторого функционала, отвечающего
задаче о кручении. Будем рассматривать, как и в разд. 6.2, трещину нор-
нормального разрыва G в безграничной среде при однородных нагрузках.
Наряду с этим сформулируем задачу о кручении стержня сечением G.
Имеем
ДФ(.*ьХ2) = -2, Ф еД(С),	D.1)
где Ф - функция кручения. Если G — односвязная область, то
Р = 2 S Ф{хих2)йх1Лхг	D.2)
G
представляет собой жесткость при кручении стержня сечения G. Между ве-
величиной Р в задаче о кручении и величиной объема трещины V, опреде-
определяемой A.1), имеется соответствие, устанавливаемое следующим ут-
утверждением.
Утверждение 4.1. Рассмотрим выражение / (G) = P/V. Среди
всех областей заданной площади 5 / (G) достигает максимума на круге.
Из этого утверждения следует, что
(P/V) <(Pk/Vk).	D.3)
Здесь Рк$ Vjc — жесткость при кручении стержня и объем трещины для
круговой области площади S. Отсюда имеем оценку объема трещины снизу
(PFfc/Pfc) < V.	D.4)
Из D.4) с учетом явных выражений для Vk uPk следует
(\-v2) 16 /5\3/2 2тг	16 Р
A	= 7
(\-v2) 16 /5\3/2 2тг	16
V>P-	-•—(-1 -т = 7-
D-5)
Утверждение 4.1 доказано в предположении существования и единствен-
единственности области заданной площади, на которой реализуется экстремальное
141

значение функционала J(G). Точнее, доказана ограниченность функциона-
функционала J(G) сверху на областях фиксированной площади. С другой стороны,
если в качестве G брать эллипсы и, не меняя их площади, устремлять вели-
величину большой оси к бесконечности, а малой к нулю, то значение / (G) будет
стремиться к нулю. Далее, в предположении существования области,
на которой реализуется максимум функционала / (G), получено необходи-
необходимое условие экстремальности и показано, что оно выполняется на круге.
Лемма 4.1. Функционал J(G) ограничен сверху на областях заданной
площади, т.е. ЭС > О такая, что VG площади S выполнено неравен-
неравенство J(G) <C.
Доказательство. Согласно B.11),
I/V = — inf (Av,v)l( f vdxJ .	D.6)
2т •	G
Следовательно, для /(G) имеем
Р 2
j(G) = - = — ( / 4
F 27
< - ( / Ф(х)сЬс)(Л<1
Кх) dx) inf (Л и, у) / ( / v dxJ <
0 G
>,ФУ(/ Ф(х)Aл:J = — (ЛФ,Ф)/(/ Ф(х)Aх).
G ^ G
Далее, с учетом равенства Парсеваля и неравенства Шварца
/ А Ж Лк\ — ГС
(ЛФ, Ф) - . J J
оо
~ ( B ттJ ЦШ 'М
= (—ДФ, ФI/2 || Ф || =
- 2 т( 1 " ~ 2 \1/2
\BяJ_„ j
= ^Т(/Ф(^)AхI/2||Ф||.
D.7)
D.8)
Последние равенства получаются после перехода от ?-пространства
к х-пространству и использования D.1). Согласно D.7), D.8),
J{G) < У— ||ф||/( / Ф(*)AхI/2.	D.9)
7	G
С другой стороны,
2/Ф(х)сЬс = (-ДФ,Ф)> ХЧС^ФИ > \1(кя)\\Ф\\2,	D.10)
G
где X1 (G) — минимальное собственное число оператора (—Л) в области G
142

для функций равных нулю на dG; kR - как и выше, круг радиуса
R = \fsJ7 и учтено, что, согласно [51], X1 (G) > х* (**)• Из D-9)>
D.10) следует
J(G) < 2/тVX1 (**)"' = С	D.11)
Лемма 4.1 доказана.
Установленная в лемме 4.1 оценка функционала J(G) позволяет полу-
получить оценку объема трещины снизу. Эту оценку можно усилить, уточнив
значение постоянной С на основе упомянутого выше необходимого усло-
условия экстремальности / (G). Для вывода условия экстремальности предва-
предварительно докажем лемму 4.2, которая показывает, что для краевой задачи
для уравнения Пуассона [типа задачи D.1)] справедлива формула, подоб-
подобная формуле Ирвина в задаче теории упругости о трещине.
Лемма 4.2. Пусть задано семейство областей Gt, таких, что граница об-
области Gt+At может быть определена значениями нормали n(s, tr At)
к dGti здесь s — координаты на dGt. Предположим, что существует
lim [n (s, tr At) I At] = ? (s, t), положительным будем считать направ-
At-+o
ление внутрь области Gt (более точные ограничения, которые нужно нало-
наложить на функцию п (s, tf At) для справедливости формулируемого резуль-
результата см. в [80]).
В каждой области Gt рассмотрим задачу
Здесь f(x) — достаточно гладкая функция, определенная в области
DDGti Vr.
Из гладкости f(x) следует, что vt(x) — гладкая функция, имеющая
вблизи точек гладкости границы dGt асимптотику vt(x) « T(s, t)st,
где st — расстояние до bGt по нормали.
Рассмотрим величину W(t) = (-Д Ut, Ut) = (/, Ut). Тогда W(t) дифферен-
дифференцируема no t, причем
7^= -J T2(s,t)t;(s,t)ds.	D.13)
at bGt
Доказательство. Согласно [80], функция Ut(x), дифференцирумая
no t, и v(t, x) = dUt(x)/dt является решением следующей краевой зада-
задачи в Gt:
dUt
»*ъоГ-^»' Ьп
Следовательно,
dW _ d
dt ~ dt
143

(-AUt,v)= f-^-»4°+ l*TTTT
BGt ЬП	Gt i dX' bxi
Заметим, что
/ 2	dx =
bx bx
^ э ьи	ьи
= /2—-№ — )dx-(Ut,AU)=-f Ut— ds = 0.
Gf / Эх,	Эх,-	Gf Ъп
Таким образом,
dW	dUt
— = / _1 yds = / T(s, f)(-f(
dr	Ъп	bGt
= -f T2(s,t)$(s,t)ds,
dGt
что и требовалось доказать.
Замечание. Если n(s, t) = 0 вне малой окрестности 0(so) точки 5о и
/2(s, f) не меняет знак, то из D.11) приближенно следует
dW=[-f T2(s,t)$(sft)ds]dt* -T2(s0,t) f —dsdt *
« -r2(s0, 0 / dnds = -72(s0, r)d&	D.15)
Здесь ds — площадь области, заключенной между Gt и Gt+(xt, имеющая
знак плюс, если Gf+ dt^ Gt, и знак минус в противном случае.
Формулы D.13), D.15) представляют собой аналог известной в теории
трещин формулы Ирвина C.2.6), связывающей приращение энергии дефор-
деформации упругого тела 3U при расширении области трещины вблизи некото-
некоторой точки М с величиной коэффициента интенсивности напряжений N
в этой точке. В записи, подобной D.15), формула Ирвина имеет вид
8U = [n(l-p)/n]N28s.	D.16)
Перейдем теперь непосредственно к выводу необходимого условия
экстремальности / (G).
Согласно лемме 4.1, величина J(G) ограничена сверху. Предположим,
что существует область Go площади 5, на которой реализуется максимум
/ (G). Необходимое условие экстремальности имеет вид
5/(G0) = 5(P/K) = [(8P)V-P(SV)]IV2=0
144

или
(8P)V -P(dV) = 0.	D.17)
Если в окрестности точки Мх контура bG0, ограничивающего Go, об-
область расширили, а в окрестности М2 — уменьшили, сохранив площадь, то
из D.15) —D.17) получим
(T\-Tl)bSV-{N\-N\)P[2Ti(\-v)lix}bS = 0
или
(Т\ - T22)V- (Nl -N22)P[2ir(l -р)/ц] = 0.	D.18)
Здесь NlfN2 и Тг, Т2 — коэффициенты в асимптотике решений вблизи
точек М!, М2 задач о трещине и 6 кручении соответственно; при переходе
от D.17) к D.18) учтено, что W = Р в случае задачи о кручении и
V = 2 U в задаче о трещине при однородной нагрузке единичной интенсив-
интенсивности. Так как D.18) выполнено для любых двух точек контура, то необ-
необходимо, чтобы вдоль контура Т2 = C\N2 + С2 (С\, Съ - постоянные).
Это необходимое условие экстремальности справедливо для круговой об-
области Go, где N = const и Т = const, что позволяет предположить правиль-
правильность утверждения 4.1.
6.4.2. Оценки V и W при произвольных нагрузках можно получить непо-
непосредственно, пользуясь свойствами оператора А-Л. Эти оценки уже не бу-
будут изопериметрическими.
Для объема трещины из B.1) следует
.	D.19)
Можно получить оценку V снизу и исходя из A.1). Очевидно, что
- V = fu(x)dx = fp(x)uo(x)dx > pminfu0(x)dx =
G	G	G
^	^O < V.	D.20)
Здесь u0 — решение B.1) при однородной нагрузке единичной интен-
интенсивности.
Заметим, что выражение A.3) для полной потенциальной энергии W
можно записать в виде W = 7" (Аи, и).
Таким образом, один из способов построения оценок снизу для V и W
заключается в том, чтобы предварительно© найти оценку снизу для вели-
величины (Аи, и) [или (Аи0, w0)]-
Величину (Аи, и) оценим, пользуясь следующим соотношением:
(Аи,и)= sup [(IfvdxJl(Av,v)].	D.21)
10. Зак. 1100	145

Проверим справедливость D.21). В силу B.1)
(/, vJ = (Aw, vf < (Aw, и)(Ли, v) v v G HU2(G),	D.22)
поэтому
(Aw, w) > (/, иJ(Ли, и),	D.23)
в то же время при v = и
(/, иJ(Ли, и) = (/, wJ(Aw, w) = (Aw, w).	D.24)
Таким образом, оценку снизу (Aw, w) можно получить, выбирая раз-
различные пробные функции v в D.21). При этом полезно иметь в виду, что
если рассмотреть области G, Gx, для которых Gx С G, то будем иметь
sup [( / /wd;cJ/(Aw, w)] <
we/f1/2(G) Gl
< sup [(ffvdxJl(Av,v)].	D.25)
иея1/2(С) G»
о
Поскольку вычисление величины (Ли, и) для функций v ^HU2{G) весь-
весьма трудоемко, можно перейти к более удобным оценкам, учитывая [144],
о	о
что Я1/2 (G) Э Нх (G) и поэтому
sup [(/, vJ/(Av, v)] > sup [(/, vJ/(Ли, и)].	D.26)
u€E#1/2(G)	ибЯ,(С)
о
Для и G Hx(G) имеем
B7Г) _о
= И(|| v\\2 + || Эи/Эх1 ||2 + || dv/dx2 ||2) = ^(и)	D.27)
или другое неравенство
оо	оо
(a»,v) < —— (//11121 »(o i2diI/2( /; I iT(o i2diI/2 =
B7Г)	-ос
= ( || Эи/Э*! ||2 + || Эи/Эх2 || 2I/2 || v || = E2(v).	D.28)
146

Из D.21), D.26), D.28) следуют два неравенства для (Aw, и) :
(Аи, и) > sup AM v) = AAf)	A=1, 2),	D.29)
At(f,v) = avJ/E,(v).	D.30)
Величины ?\(у), /?г00 легко вычисляются при заданной функции и. Со-
ношения D.29), D.30) с учетом D.19) и выражения для W через у (Аи, и)
дают искомые оценки V и W снизу:
V > 2/т\хА((П W = У (Аи, и) > yAt(f),
D.31)
V> 2fA
Соотношение D.30) позволяет свести оценку снизу квадратичной формы
(Аи, и) к оценке снизу другой квадратичной формы (—Aw, w), где
о
w GHi (G) и Aw - задано. Действительно,
sup [(/, vflE?(и)] > [(/, Wf/Ei1 (w)],
»6flj(C)
о
в частности для w GH1(G) и -Aw = / Обозначим
\\dw/dxl II2 + H3w/3x2 ||2 = D(w).
Тогда, очевидно, (/, w) = D(w) и
= 	D(w) = 	(/, w).
l|w11	l|w"
Из результатов [111, с. 19,47] следует, что
где X1 (G) - минимальное собственное число оператора —А в области G
и X1 (G) > X1 (?r) ; здесь, как и раньше, kR — круг той же площади, что
и область G. Поэтому окончательно имеем
(Аи, и) >VX*(**)(/»>
D.32)
Ди>=/, (xbx2)eG, we#(G)
Примеры применения полученных оценок приведены в [53, 56] и
п. 6.5.3.
147

6.5. Приближенные формулы для объема трещины
6.5.1.	Приближенные формулы для объема трещины получены в работах
[53, 56]. При этом использовались представления [111] о том, в каком
смысле можно считать ту или иную приближенную формулу оправданной.
Напомним, что в [111] речь шла о получении приближенной формулы,
связывающей интересующую нас характеристику x(G) области G с более
просто вычисляемыми функционалами Y(G) этой области {^(G), ...
¦¦.,Ym(G)\:
X(G) * f(Y(G)).	E.1)
Приближенная формула E.1) считается обоснованной на некотором семей-
семействе областей, если выполнены следующие три условия:
а)	Я fcj, k2 > 0 такие, что для любой области из рассматриваемого
семейства
кг < [X(G)/f(Y(G))] <к2;	E.2)
б)	на всех эллипсах или прямоугольниках
[X(G)/f(Y(G))) * 1-;	E.3)
в)	при симметризации области величины X(G) и ?(Y(G)) изменяются
в одну сторону. Указанным способом в [111] получены приближенные
формулы, выражающие жесткость при кручении, емкость, основную часто-
частоту колебаний мембраны через геометрические характеристики области.
Ниже подобным образом в соответствии с [53, 56] построены две при-
приближенные формулы для объема трещины, занимающей выпуклую область.
Одна выражает объем V через площадь области и длину ограничивающего
ее контура, другая - через площадь области G и жесткость при кручении
стержня сечением G.
6.5.2.	Первая формула подсказана выражением для объема эллиптиче-
эллиптической трещины при однородных нагрузках. Для Уэл имеем [122]
8A -v2)Sb
Здесь a, b — полуоси эллипса, к2 = 1 — (Ь2/а2), Е*(к) - полный эллипти-
эллиптический интеграл 2-го рода. Можно записать это выражение и в такой форме,
чтобы в него входили не полуоси эллипса, а только S и длина / контура
эллипса. Это выражение (в котором эллиптичность контура завуалирована)
мы и примем в качестве приближенной формулы для объема трещины,
занимающей выпуклую область:
32A-*;2) S2
V * —	— .	E.5)
ЗпЕ I
Покажем, что перечисленные выше в п. 6.5.1 условия "а"-"в" выпол-
выполнены для формулы E.5).
148

Действительно, на эллипсах формула E.5) становится точной, и, следо-
следовательно, условие "б" выполнено.
Хорошо известно, что при симметрии Штейнера области относительно
прямой площадь ее сохраняется, а длина контура не возрастает [111].
Следовательно, правая часть формулы E.5) при этом не убывает. Согласно
доказанному в [51], при такой симметрии величина V также не убывает,
и поэтому условие "в" выполнено. Выполнение условия "а" в классе
выпуклых областей следует из условия "б" и леммы о включении (см.
[111]). Действительно, лемма о включении утверждает, что в любую
выпуклую область можно вписать эллипс и вокруг области описать
эллипс так, что эллипсы подобны и коэффициент подобия не зависит от ви-
вида исходной области. Обозначим коэффициент подобия через X, площадь
описанного эллипса S+ , длину его контура /+ , для вписанного эллипса эти
величины обозначаются через S_ и / _ соответственно. Обозначим также
сокращенно правую часть формулы E.5) через / (S, /). Тогда
f(S,l) <f(S+,l) <f(S+,l_) = X/(S+,/+) = XF+ = Х4К_< Х4К.
E.6)
Здесь V+, V_ — объемы трещин, занимающих области описанного и
вписанного эллипсов соответственно. Аналогично E.6) получим оценку
', t)>f(SL, /+) = (l/X)/E_, /_) = A/X)K_ =
= A/X4)K4 >A/X4)F.	E.7)
Формулы E.6), E.7) показывают, что условие "а" выполнено. Таким об-
образом, формула E.5) удовлетворяет всем перечисленным условиям.
В классе выпуклых областей может быть использована и другая прибли-
приближенная формула:
V « Укру/Т/Р^;.	E.8)
Правая часть формулы E.8) является средним геометрическим между изо-
пери метрически ми оценками для V снизу D.5) и сверху B.10). После за-
замены Ккр и Ркр их значениями формула E.8) принимает вид
— ^	E-9)
V
ЗтгЕ
Проверим выполнение условий "а", "б", "в" для формул E.8), E.9).
Эти формулы точны для круговой области. На эллипсах отношение истин-
истинного значения объема к его приближенному значению не меньше единицы
и не превышает 1,1107 (в случае, когда эллипс вырождается в щель).
Следовательно, на эллипсах погрешность приближенных формул невелика
и условие "б" можно считать выполненным. При симметризации области
относительно прямой, как уже упоминалось, V не убывает, a S остается
неизменной. Согласно [111],Р при этом не убывает. В силу этого и правая
149

Таблица 1
Форма области трещины
Квадрат
Узкий прямоугольник пло-
площади S с малой стороной Ь
Равносторонний треугольник
Равнобедренный прямоугольный
треугольник
Полукруг
1
0,8834
2,0944Ь2 /S
0,7255
0,6557
0,7577
2
0,9399
1.44726/Sl/2
0,8518
0,8098
0,8705
3
0.8862
1.7725b Slh
0,7776
0.7342
0,8641
и левая части формул E.8), E.9) при симметризации не убывают. Следо-
Следовательно, условие "в" выполнено. Аналогично тому, как это было сделано
выше, можно показать, что на семействе выпуклых областей из условия
"б" и леммы о включении следует, что условие "а" выполнено. Таким об-
образом, формулы E.8), E.9) оправданны. Заметим, что вместо формулы
E.8) можно использовать любую из формул вида V ^ Уэп у/Р/Рэп , где
^эл» ^эл - объем трещины и жесткость при кручении для эллиптической
области той же площади.
6.5.3. Приведем теперь примеры, иллюстрирующие эффективность
приближенных формул E.5), E.8), а также верхних и нижних оценок
разд. 6.2, 6.4. В табл. 1 для различных областей G приведены: в столбце 1
оценка снизу значения V/ Ккр по формулам D.5), в столбце 2 значение
^/^кр по формуле E.8), а в столбце 3 - по формуле E.5). Необходимые
для вычислений значения Р/Ркр брались из [90].
Данные таблицы показывают, что приближенные значения, вычислен-
вычисленные по формулам E.8), E.6), весьма близки и согласуются с нижней оцен-
оценкой D.5).
Теперь на примере круговой и эллиптической трещин сравним эффек-
эффективность верхней оценки B.10) и нижней D.31), применимых при неод-
неоднородном распределении нагрузок вдоль поверхностей трещины.
1. Пусть G = К^ — круг единичного радиуса и р = 1 — г 2. В соответствии
с точным решением задачи имеем [106]
V = [\6A-1>2I3Е].	E.10)
Из B.10), учитывая, что Хг (Ki)=2nS = mes(Ki) =7T, получим
V< 2(l-i;2)ir1/2?'-1||l-r2ll = »;Mst •	E.11)
Поскольку
*1
окончательно имеем
F" = [2тгA— v2)/E\/ 3 ].	E.12)
150

Оценку снизу найдем согласно D.31). В нашем случае Рт = 1. В качестве
пробной функции v возьмем v - 1 — г 2.
Тогда
27Г 1	2 2	7Г2	/У
оо	9 '	Т~ '
поскольку
||v||=(u, у I/2~ VW3', ||Эи/&г, ||2 + || Ъи/Ъх2\\2 =2тг
в результате из D.31) имеем
V> [2\/^п(\-и2)/ЕЗy/J] = Vе .	E.13)
Верхнее оценочное значение V отличается от точного на 14%, нижнее -
на 47%. Отметим, что нижнюю оценку можно улучшить за счет более удач-
удачного выбора пробной функции v .
2. Пусть G— эллиптическая область с полуосями a,b(a >b) и р -
- А +Вхх (постоянные А и В выбраны так, чтобы в пределах трещины
р > 0). Тогда точное значение объема V определяется E.4) .
Для определенности пусть д = 1,6 = 0,5, Л = 1,2? = 1. При этом
К=[2тгA -i>2)/3,63?] « [0,55ttA-i;2)/?t]3
Верхнее оценочное значение V находим из B.10), учитывая, что ||р|| =
=V 5тг/8.'Таким образом,
С = К1-*2) W57VS?]* [0,79ттA-^2)/?] ,	E.14)
и отличие оценочного значения от точного составляет 44%. Приведенные
примеры показывают, что приближенные формулы E.5), E.8) и оценки
D.5) более точны, чем оценки B,10), D.31).
6.6. Приближенные формулы для коэффициента
интенсивности напряжений
6.6.1. Приближенные формулы для объема трещины нормального разры-
разрыва E.5), E.8) и аналогию между задачами о трещине и кручении можно
использовать и при определении коэффициента интенсивности напряжений
N на контуре трещины. Мы рассмотрим два способа [53,56] приближен-
приближенного определения Ж
Первый способ состоит в том, что приближенное решение задачи о трещи-
трещине для выпуклой области G отыскивается в виде
и =A-^2)?С\/ф,	F.1)
где С - постоянная, Ф - решение задачи о кручении стержня сечением G
(см. п, 6.4.1). Постоянную С можно определить, подсчитав объем трещины
по определению с помощью F.1) и воспользовавшись приближенными
формулами для вычисления объема E.5), E.8). Существенно, что выбор
представления решения в форме F.1) обеспечивает правильную асимпто-
асимптотику и вблизи контура трещины. Действительно, в задаче кручения Ф имеет
151

Та б л
я/2
0,4986
0,4971
и ца
2
0,8
0
0,4460
0,4446
0,5
тг/2
0,5839
0,5694
0
0,4129
0,4026
я/2
0,6450
0,6098
0,3
0
0,3533
0,3340
у границы асимптотику Ts, где s — расстояние по нормали к bG
(см. п. 6АЛ). Поэтому и будет ^Nyfs' вблизи 3G, как и должно быть
в задаче о трещине (см. 4.1.3). Это обстоятельство важно для определения
коэффициента интенсивности напряжений. Заметим, что описанный способ
в случае эллиптических трещин позволяет найти точное решение задачи.
Второй способ приближенного определения N заключается в том, чтобы
построить некоторое отображение G -*yG (х\ , х'2 ) ^ N(x\ , х\ ), {х\ ,
х2) ?ЭG,где</?? — функция, заданная на границе dG. При построе-
построении $G нужно учесть известные свойства коэффициента интенсивности
напряжений по отношению к изменению области трещины (см. принцип
сравнения, гл. 5), т,е. если G CGX и bG касается bGx в точкеМ, то нужно,
чтобы ifQ (M) < kpg (M). Кроме того, необходимо, чтобы на некотором
классе областей, например эллиптических, $q давала значения близкие
к коэффициентам интенсивности напряжений. При построении $G исполь-
используем соответствие между задачами о трещине и кручении. Сопоставим
коэффициент интенсивности напряжений N и коэффициент Т в асимптоти-
асимптотике решения задачи о кручении в соответствующих точках контура тре-
трещины и границы сечения стержня. Для эллиптических областей, как нетруд-
нетрудно видеть, (T/N2) » const. Кроме того, как известно, для функции Т(х\ ,
*2)> (x'i,x'2) ?dG выполняется свойство, аналогичное принципу
сравнения. Можно выбрать поэтому для выпуклых областей G <^1 ( х\ 9
х\) = Т(х\, х'2) • const. Выбрав соответствующее значение постоян-
постоянной, дающее точный результат для круговой области, получим
N2*2Ttt-2.	F.2)
Определим теперь по формуле F.2) значения N в точках эллиптическо-
эллиптического контура трещины (Ь = 1), соответствующих концам малой и большой
осей. В первой строке табл. 2 даны точные значения 7Vex, во второй - по
формуле F.2) при различных значениях Ь/апу.
6.6.2. Приведем теперь примеры приложения обоих способов прибли-
приближенного вычисления N.
Пример 6.1. Вычислим значение N вдоль контура трещины в форме
квадрата со стороной 2. По первому способу в представлении F.1) поло-
положим Ф= A-л:2 ) A—>>2), учитывая, что согласно [90], функция Фтакого
вида с некоторым постоянным множителем хорошо приближает решение
задачи о кручении стержня квадратного сечения. Из табл. 1 видно, что V »
% 0,94 V [согласно формуле E.8)]. Следовательно, V ^ 7,2 A~р2)/Е
(здесь учтено точное значение Ккр).
152

Таблица 3
0,25
0,5
0,75
Численное решение	0,4869	0,4773	0,4499	0,3874
По F.1)	0,5158	0,4995	0,4467	0,3412
По F.2), F.3)	0,5337	0,5194	0,4718	0,3694
По F.2), F.4)	0,5033	0,4873	0,4359	0,2978
С другой стороны,
1-х2) A-у2) dxdy =
J
2E
Сг.
Сравнивая два выражения для V, находим, что Сх ^ 14,4/я2. Отсюда
и * (l-^2)^ -14,4я [(l-jc2) A-/)]1/2. Подсчитанные, исходя
из этой формулы, значения N приведены во второй строке табл. 3. В пер-
первой строке даны значения N, найденные в [43] в результате численного
решения пространственной задачи теории упругости.
Теперь применим второй способ вычисления N. Значения коэффициента
Г в асимптотике задачи кручения, входящие в F.2), определены по двум
формулам приближенного ее решения, взятым из [90]:
ф1=E/8)A-х2) A-/),
F.3)
Ф2= A-х2) A-у2)
1295 525
+
L2216 4432
F.4)
Величины N, найденные по F.2) через соответствующие <l>i иФ2 значе-
значения Г, помещены в третьей и четвертой строках таблицы.
Пример 6.2. Пусть область G — равносторонний треугольник ABC с вы-
высотой 3 [координаты вершины А (-2; 0), основания/) высоты на сторону
ВС: D A; 0) ]. Вычислим значения N в точках D A; 0) ,Е A; 0,7) ,F A; 1,4)
стороны ВС контура трещины, занимающей область G по формулам F.1),
F.2). Для вычисления по первому способу в качестве функции Ф выберем
известное решение задачи кручения стержня сечением G [90]:
Ф = 1A/6H-*) [(х+2J-3/] ,
/{[A-*) [(* +
G
Объем трещины
V = 2/ udxdy
G
а-*2)
35
72 (l-v2)it
	п=-	—
35	Е
144

35
Приравнивая это значение V величине объема, полученной по приближенной
формуле E.8) (см. табл. 1), получим Ci ^0,748. Теперь уже можно найти
153

приближенные значения коэффициента интенсивности напряжений в инте-
интересующих точках контура. Эти значения приведены в левой половине табл. 4.
Значения N в тех же точках, вычисленные по второму способу, даны
в правой половине таблицы.
Сопоставим вычисленные значения N в точке D с оценками, которые
можно получить по принципу сравнения. Построим вписанный в G круг
Рис. 42. Область трещины в примере 6.3
единичного радиуса и описанный около G квадрат со стороной 2\/3, касаю-
касающиеся границы G в точке Я Тогда MKp)</V(nG> < N(nKB\ где /V <кр) %
^0,45016, Л^кв)^ 0,641.	odd	d
Величина NJ^B^ найдена следующим образом. По данным численного
решения [43], в середине контура квадрата со стороной 2 N « 0,4869.
Нетрудно видеть, что при переходе от квадрата со стороной а к квадрату
со стороной Ъ значение коэффициента интенсивности напряжений меняется
в (alb)ll2 раз. Поэтому i\^KB> « N B yfSjl)l /2 « 0,641. Значения N§, при-
приведенные в табл. 4, хорошо согласуются с указанными оценками.
Пример 6.3. Попробуем применить приближенную формулу F.2) в
случае невыпуклой области. Пусть G — круг радиуса а с круговой выточ-
выточкой радиуса Ь. Выпишем функцию кручения для стержня сечением G.
Имеем [90]
ф= 1/2 {Ь2 -r2)(l ~2ar -^cosip).	F.5)
Здесь г, у — полярные координаты с началом в точке О (рис. 42).
Таблица 4
D
0,561
0,513
0,330
0,551
0,504
0,324
Таблица 5
Г Dа2-Ь2)/4а
N 1г-'[Dа2-Ь*I2а}1/2
2а -Ь
n-l[2Ba-b)]lh
Bа2-b2) /2а
154

Вычислим значение Т в асимптотике Ф вблизи границы области С/ по
формуле F.5), а затем, использовав F.2), найдем приближенное значе-
значение N в точках Л, В, С (табл. 5).
Заметим, что в точном решении задачи кручения для стержня сечением
G при Ь-*0 коэффициент Т в точке В не стремится к значению я, соответст-
соответствующему круговому сечению стержня. Аналогичное поведение, видимо,
характерно и для N, что следует из анализа значений N, приведенных в
табл. 5.
Глава 7
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРУШЕНИЯ
(НЕРАЗРУШЕНИЯ) ТЕЛА
С ТРЕЩИНОЙ НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА
7.1. Метод построения оценок
коэффициента интенсивности напряжений через оценки
полной потенциальной энергии тела с трещиной
7.1.1.	В разд. 4.1 было отмечено, что при описании хрупкого и квази-
квазихрупкого разрушения эквивалентны силовой и энергетический подходы.
Эквивалентность устанавливается формулой Ирвина. Поэтому оценки
условий разрушения можно формулировать как в терминах коэффициента
интенсивности напряжений, так и в энергетических терминах, что и делается
ниже. Изложение следует работе [40].
Предлагаемый в этом параграфе метод построения оценок коэффициен-
коэффициента интенсивности напряжений основан на доказанном в разд. 4.2 утвержде-
утверждении 1, связьюающем изменение полной потенциальной энергии тела с
трещиной при изменении упругих постоянных.
Энергетические оценки разд. 4.2 в ряде случаев можно непосредственно
применить для построения оценок коэффициентов интенсивности напряже-
напряжений и условий разрушения тел с трещинами. В частности, такой подход
применим в плоских и осесимметричных задачах. Изложим его в осесим-
метричном случае (для плоского — выкладки аналогичны).
7.1.2.	Рассмотрим осесимметричное кусочно-однородное тело, имеющее
плоскость симметрии х$ = 0, перпендикулярную к оси симметрии (х\ =
= *2=0).
Пусть в плоскости Хз = 0 имеется дискообразная трещина радиуса R с
центром в начале координат и на поверхностях трещины действуют одно-
однородные раскрывающие ее нагрузки Р. Обозначим через dXy ..., dt харак-
характерные размеры тела*, а через Vx,...9vkviE\,...9Ek — упругие постоянные
его однородных частей.
*В этом пункте, рассматривая границы осесимметричных тел и полостей, будем
полагать, что характерные размеры dx, ..., dj выбраны таким образом, что при* все-
всевозможных осесимметричных расширениях тела или полости величины dx, ..., «/ не
уменьшаются.
155

Из соображений линейности задачи и анализа размерностей имеем для
энергии деформации тела с трещиной
t\	t\	К
т= 1,...,z; t= 1,..., Л; л = 2,..., fc.
Здесь в качестве Е± выделен модуль Юнга, относящийся к той части тела,
в которой расположен край трещины.
Продифференцируем A.1) по Я:
ЭД Ех	т Ег	Ег т = 1 Ъ$т
Выделим два случая.
1.	(ЭФ/Э$т) > 0, т = 1, ...,/.	A.3)
2.	(ЭФ/Э|Ш) < 0, т= 1,...,/.	A.4)
Заметим, что знаки (ЭФ/Э?т) во многих практически интересных
случаях могут быть непосредственно определены с помощью утверждения 1
(см. разд. 4.2).
В первом случае, очевидно,
V
bR	Ex	R
во втором —
— < —	Ф = — .	A.6)
bR Ex	R
Согласно формуле Ирвина,
ТУ2 =	l	L_ _	(i j)
2A-^2)тг 2nR bR '	V " '
Поэтому в силу A.5), A.6) получаем
N2 <	-L—_ _ при 	> 0,	A.8)
-, Sr при ^< 0.	A.9)
4A -*>?
Таким образом, в первом случае можно строить верхние, а во втором —
нижние оценки для коэффициента интенсивности напряжений, зная либо
значения энергии U, либо, что гораздо удобнее, зная оценки для U сверху
и снизу (соответственно), которые можно получить с помощью утвержде-
утверждения 1. Оценки N приводят в первом случае к достаточным условиям не-
неразрушения, а во втором — к достаточным условиям разрушения тела
с трещиной.
Замечание. В плоской задаче вместо A.1) для U можно записать U =
= (р2121Ех)Ф (?w> EnIEl9vt), %m = djl, где / - длина трещины. Оконча-
156

тельные выражения для N с учетом формулы Ирвина в двумерном случае
имеют вид
лг2 . Ei U	ЭФ . л
7VZ > 	-	при — < О,
7.1.3. Приведем примеры применения метода п.7.1.2.
1. Рассмотрим пространство с осесимметричной полостью, окруженной
в плоскости хъ = 0 трещиной радиуса R, в предположении, что в полости
и трещине поддерживается заданное давление р. Пусть dx - диаметр полос-
полости в сечении ее плоскостью трещины. Из утверждения 1 разд. 3.2 следует,
что U возрастает, если увеличивать размеры полости при фиксированном R.
Поэтому в даннном случае (ЭФ/Э?т) > 0 и для оценки коэффициента
интенсивности напряжений можно использовать A.8). Заметим, что в силу
утверждения 1 Ф(?1, ..., %т) < ФA, Ь> •••> im)> причем U(R, I, ?2,
•••> \т> Р' Ю ~ (p2R2/E)& (I, J2, •••» Im) — энергия пространства с
полостью, полученной любым осесимметричным расширением исходной,
приводящим к тому, что контур ее сечения плоскостью х3 = 0 совпадает
с контуром трещины. Из A.8) тогда имеем
', &,..., Sm,P, Я).	A.10)
В частности, для сферической полости A.10) дает
*D—.	ело
Здесь U(R, 1, р, Е) — энергия пространства со сферической полостью
радиуса R. При v = 0,25 величина N < 0,56р V^, а при v = 0,5 Af< 0,7p \Щ.
Заметим, что для дискообразной трещины радиуса г0 величина А^ =
= (р/тг) у/2го ^ 0,45р у/г^. Таким образом, трещина радиуса R> выходящая
на контур сферической полости, менее опасна, чем дискообразная трещина
радиуса ref = (Зтг/8A-*>))/? (например, ref = (тг/2)Д при v = 0,25).
2. Рассмотрим в предположениях, сделанных в начале п.7.1.2, однород-
однородное тело конечных размеров с дискообразной трещиной. В этом случае
из утверждения 1 разд. 3.2 следует, что (ЭФ/Э?т) < 0 и можно строить
нижние оценки коэффициента интенсивности напряжений N, исходя из
A.9). Рассмотрим шар с центром в начале координат, диаметр которого
равен диаметру исходного тела, и прямой круговой цилиндр с образующей
параллельной оси симметрии, охватывающий шар. Их утверждения 1 ясно,
что
U> Us(Rydl/R,p,E,v)> UciR.dJR.p.E.v).	A.12)
Здесь Us и Uc — энергия шара и цилиндра с той же трещиной соответствен-
соответственно. Поэтому из A.9) получим
.у»> ЗЕ и' у ЗЕ U<	A.13)
4п2{1-P2)R2 4ir2(l-v2)R2
157

Величины Us и Uc можно подсчитать по известным решениям осесиммет-
ричных задач о трещине в шаре [214] и цилиндре [211]. Оценим с по-
помощью A.13) коэффициент интенсивности Ns на контуре дискообразной
трещины, расположенной в шаре, поверхность которого не нагружена.
Имеем
R/dx
Ns/Noo
*bs
Xbc
0,5
1,156
1,08
1,03
0,7
1,32
1,17
1,12
0,8
1,47
1,25
1,21
Здесь приведены точные значения Ns/Noo, взятые из [214], и оценочные
значения, соответствующие среднему и правому членам в A.13), обозна-
обозначенные Xbs и Xbc и подсчитанные по данным [214, 211].
Видно, что оценочные значения весьма близки к истинным. Для {Rjdx) <
< 0,5 соответствие, как и следовало ожидать, еще лучше.
3. Пусть в безграничной среде с упругими постоянными jE\, vx имеется
полностью соединенное со средой шаровидное включение с постоянными
E2,V\ радиуса р с центром в начале координат. Предположим,что кольце-
кольцевая трещина, на поверхностях которой давление р постоянно, охватывает
включение в плоскости х3 = 0 и занимает область p<r <R.
Если включение более жесткое, чем матрица Е2 > El9 то (ЭФ/Э|) <
<0 (| = p/R) и коэффициент интенсивности на внешнем контуре трещины
NRi оценивается снизу по A.9). Очевидно, что входящая в A.9) величина
U(p/R, E2/Eit р, vx) > U(p/R, E2/E2f p, *>i) представляет собой полную
потенциальную энергию однородной среды с кольцевой трещиной и упру-
упругими постоянными, равными постоянным включения. Поэтому из A.9)
имеем
Если же включение менее жесткое, чем матрица Е2 <ЕХ, то для соответ-
соответствующего коэффициента интенсивности W#2 аналогично из A.8) получим
о с7
л 2,i	2^D
4я2A -v\)R
, Pi).	A-15)
Величину U(p/R, Ег\Ег, р, V\) можно вычислять по данным, приведен-
приведенным в работе [208], где приводится решение задачи о кольцевой трещине
в однородном пространстве, доведенное до числа. Например, при Vi = 0,3 и
Я=1,р = 0/7
. 0,027,	A.16)
^. 0,027.
4. Пусть описанное в начале п. 7.1.2 кусочно-однородное тело пред-
представляет собой безграничную среду с включением, полностью с нею сое-
соединенным, и дискообразная трещина целиком расположена во включении.
Упругие постоянные включения - Ех, vb, окружающего материала - E2i*
V\. Если включение более жесткое, чем матрица (Ei > E2), то аналогич-
аналогично предыдущему примеру A.9) дает оценку коэффициента интенсивнос-
158

ти снизу. На основании утверждения 1 (разд. 4.2) можно записать цепоч-
цепочку неравенств
U>Us(Rip/RiE2/EXipx)>Uc(R,plR9E2/Ex,px)>
>Uoo(R,<x>,Ex,px),	A.17)
где Us (R, p/R, E2/Ex,px) - энергия деформации тела с шаровидным вклю-
включением диаметром, равным диаметру исходного включения; UC(R, p/R,
Е2/Ех, рх) - то же для тела с цилиндрическим включением, образующая
которого параллельна оси симметрии тела; ?/«, — энергия пространства с
постоянными Ех, рх и той же дискообразной трещиной. Подставляя A.17)
в A.9), получим при Ех > Е2
N2 > 3El — > 3El — > 3El — = N2 A 18)
47Г2A — v\) R2 4тг2A — p\) R2 4тг2A — p2) R2
здесь Woo — точное значение коэффициента интенсивности для дискообраз-
дискообразной трещины в пространстве с постоянными Ех, р х . Аналогично в случае
включения менее жесткого, чем матрица (Ех < Е2), в силу A.8) получим
систему противоположных неравенств
ЗЕХ Us	ЪЕХ Uc
N2 <	 <	 <
4тг2A - v\) R2 4тг2A - р\) R2
< —2	—Г "Г =N-	AЛ9)
4тг A - р\) R1
Отметим один качественный вывод, следующий из A.18) и A.19):
Если в пространстве С дискообразной трещиной уменьшить (увеличить)
жесткость вне некоторой осесимметричной области, содержащей трещину,
то коэффициент интенсивности напряжений на контуре трещины при этом
не уменьшится (не увеличится).
5. Рассмотрим цилиндр с дискообразной трещиной, полностью соединен-
соединенный с жесткой средой и при наличии проскальзывания на границе. Тогда
можно записать
где 7V6,(rc), ^(а-,с) —коэффициент интенсивности и энергия деформации
в случае полного сцепления цилиндра со средой, a Uc(StCy — энергия дефор-
деформации в случае скользящего контакта на границе раздела. Значения Nc(rfC)
приведены в [217], а величины Uc(SfC) в [210]. В частности, при (R/di) =
= 0,6, (Nc(riC)/Noo) ^0,95, а оценочное значение (А^(г,с)/М>°)м = 1,05;
при (Rldx) =0,8, (Nc^^/Noo) =0,87, а (ЛГс(г,с)/^~)м = 1,14. Как видам,
соответствие оценочных значений и истинных становится хуже по мере
приближения (R/dx) -> 1. Это естественно, поскольку в задаче с проскаль-
проскальзыванием при (R/dx) -> 1 УУбудет неограниченно возрастать, а в случае пол-
полного сцепления этот эффект отсутствует. Следует, однако, иметь в виду,
что задачи теории упругости для кусочно-однородных тел при условиях
проскальзывания на границе решаются существенно проще, чем соответ-
159

ствующие задачи при условиях полного сцепления на границах. Поэтому
оценки для коэффициента интенсивности при (R/di) < 1 в задаче с пол-
полным сцеплением можно получать, пользуясь значениями энергии, найден-
найденными из решения более простой задачи с проскальзыванием на границах.
7.2. Построение достаточных условий разрушения
(неразрушения) тела с трещиной
с помощью энергетических оценок.
Экстремальные контуры трещин
7.2.1. Если распространение трещин носит предельно равновесный харак-
характер или хотя бы существует такое значение коэффициента интенсивности
напряжений TV*, что при N < N* развитием трещины можно пренебречь,
достаточные условия безопасности трещины можно зачастую получить,
используя непосредственно энергетические оценки. Действительно, по фор-
формуле Ирвина величине N* отвечает некоторое значение
Г*=тгA-*;2)/Г1Л^,	B.1)
играющее роль той минимально необходимой работы, которую надо совер-
совершить для увеличения площади трещины на единицу.
Тогда, очевидно, увеличение площади трещины от значения So до неко-
некоторого значения Si должно сопровождаться потреблением энергии, не мень-
меньшим 2Г* (Si — So). Поэтому, если будет показано, что на некотором этапе
роста трещины внешние силы и потенциальная энергия деформации не обес-
обеспечивают необходимое поступление энергии, то тем самым будет показана
безопасность данной начальной трещины.
Пусть заданы внешние нагрузки и начальный контур трещины Го, огра-
ограничивающий площадь Sо- В процессе роста трещины площадь ее S воз-
возрастает, а энергия деформации пробегает значения U(S), U(S0) = Uo. До-
Достаточное условие, гарантирующее, что площадь трещины не увеличится
до S = Si >SfOi можно записать следующим образом:
min [U(S)-U0-2Tm(S-So)]<0, S'0<S<Si	B.2)
\(S)\
для любой последовательности вложенных контуров {Г (s) \ увеличиваю-
увеличивающейся площади, охватывающих исходный Го. Если условие B.2) выпол-
выполнено для любого S'o < Si < Smax, где 5max - площадь сечения тела плос-
плоскостью трещины, то имеем достаточное условие неразрушения тела.
Очевидно, что достаточное условие дает и более грубое неравенство,
в котором (U(S)) заменено некоторой мажорирующей функцией, a Uo —
некоторой меньшей величиной. Это обстоятельство открывает возмож-
возможности применения энергетических оценок. Для того чтобы оценить значе-
значение Uo снизу, можно воспользоваться в соответствии с утверждением 1
(разд. 4.2) либо "ужесточением" части тела, либо заменой контура Го
на заключенный внутри него контур Г*, имеющий более простую форму,
либо комбинацией обоих этих приемов.
Для получения верхних оценок U(S) можно применить представление
об эктремальных контурах трещин, вводимых в п. 7.2.2 (см. свойство 1).
160

7.2.2. Рассмотрим упругое тело, имеющее плоскость симметрии х3 - О
и трещину нормального разрыва, расположенную в этой плоскости и рас-
раскрываемую симметричными нормальными нагрузками q{x\, х2)- Выде-
Выделим некоторую произвольную замкнутую область Go (площади So) в пло-
плоскости х3 = 0. Рассмотрим множество всех областей G, содержащих Go
в качестве подобласти и имеющих площадь 5, S > So. Каждой такой облас-
области соответствует значение энергии U, определяемой как энергия дефор-
деформации тела с трещиной, занимающей эту область, в заданном поле нагру-
нагрузок. Величина U представляет собой функционал от контура Г области G.
Будем предполагать, что среди этих контуров можно выделить один (или
несколько), на котором (которых) U достигает максимума. Такие конту-
контуры будем называть экстремальными. Условия существования экстремаль-
экстремальных контуров обсуждаются ниже (пп. 7.2.3 и 7.2.4).
Пока же в предположении, что экстремальные контуры существуют,
рассмотрим некоторые их свойства. По определению экстремального
контура U(S) < U*(S), где U* (S) — полная энергия деформации тела с
трещиной, контур которой совпадает с экстремальным, площади S. Ос-
Основой оценок U(S) в B.2) сверху служит следующее свойство U*(S).
Свойство 1. Если видоизменить тело, уменьшив жесткость мате-
материала в некоторой его подобласти, то соответствующая функция энергии
экстремальных контуров U* (S) будет мажорировать функцию U* (S):
U*(S)<UJ(S).	B.3)
Действительно, пусть Г и Г2 - экстремальные контуры площади S
в исходном и "ослабленном" телах. Тогда, уменьшая жесткость исходно-
исходного тела при неизмененном контуре Г, получим
[/(Г) =?/*(?) <?Л (Г).	B.4)
С другой стороны, по определению экстремальных контуров в "изменен-
"измененном" теле
U1(r)<U1(r1)=U?(S).	B.5)
Из B.4) и B.5) следует B.3). Экстремальный контур состоит, вообще
говоря, из двух участков: Г", совпадающего с частью границы области
Go, и Г', лежащего вне Go (часть Г" может и отсутствовать). Основное
свойство эктремального контура состоит в следующем.
Свойство 2. На части Г' коэффициент интенсивности N сохраняет
постоянное значение. Действительно, рассмотрим наряду с Г' близкую ду-
дугу Г*, концы которой совпадают с концами Г'. Тогда по формуле Ирвина
изменение энергии деформации тела при переходе от контура Г" + Г
к контуру Г" + Г* составит
A -1/)я
8U=	~ / 7V2(n6r)d/,	B.6)
где (пбг) — расстояние по нормали к Г' между дугами Г* иГ'. С другой
стороны, соответствующее изменение площади равно
5S= J (n5r)d/,	B.7)
г'
11. Зак. 1100	161

Из требования достижения условного экстремума U имеем
ЛГ2_х = 0, \= const, хбГ'.	B.8)
Таким образом, постоянство N на Г' представляет собой необходимое
условие экстремальности контура Г" + Г'.
Если дуга Г" не исчезает, то на ней значение коэффицинта интенсивнос-
интенсивности не превосходит значения N+ на остальной части экстремального конту-
контура. Действительно, в противном случае, деформируя контур Г" в сторону
расширения области, а контур Г' — в сторону сужения области, охватывае-
охватываемой контуром Г' + Г" так, чтобы площадь области осталась неизменной,
получим увеличение энергии при сохранении площади. Используя асимпто-
асимптотические выражения для напряжений вблизи угловых точек контура [158],
можно убедиться [40], что на свободной части контура Г' не может быть
угловых точек, соответствующих ''исходящим" углам (меньшим 7Г, если
измерять угол со стороны области трещины), во всяком случае при МФО
на свободной части контура.
Допустим, что можно указать непрерывную последовательность вложен-
вложенных друг в друга экстремальных контуров Г E), соответствующих уве-
увеличению параметра 5 от So, и определить значения коэффициента интен-
интенсивности N(S) на "свободной" части (Г') контура. Введем параметр на-
нагрузки р и будем предполагать, что
B.9)
Тогда для каждого S > SQ можно указать такое значение р, при котором
N = N* = const
p=N*/N0(S)9	B.10)
N0=N(S,q0).	B.11)
Если отождествить N* с критическим значением коэффициента интен-
интенсивности напряжений (N* = 7гк, К — модуль сцепления материала), при
котором достигается состояние предельного равновесия на краю трещины,
то экстремальный контур площади S будет представлять собой контур
предельно равновесной трещины, первоначально занимавшей область Go,
при значении параметра нагрузки р. Допустим, что параметр нагрузки пос-
последовательно увеличивается. При этом развитие трещины будет происхо-
происходить устойчиво, если p(S) возрастает, и неустойчиво, если p(S) убывает на
данном участке диаграммы p(S) (рис. 43). Здесь применимы все сообра-
соображения, используемые при анализе роста трещин, характеризуемых одним
параметром (радиусом или длиной) (см., например, [10, 11]). Так, для
зависимости рE), показанной на рис. 43, трещина скачком переходит из
начального состояния в состояние, отвечающее экстремальному контуру
площади Si, затем следует участок непрерывного развития трещины через
последовательность экстремальных контуров площади St < 5 < S2,a за-
затем — скачкообразное разрушение тела.
Таким образом, (Свойство 3), вводя понятие экстремальных
контуров, получаем, по сути дела, однопараметрическое представление
совокупности последовательных положений трещины, развивающейся
из заданного начального контура, получаем возможность указывать после-
последующие положения трещины, не рассматривая предыдущие.
162

В случае если для рассматриваемого тела справедливы теоремы срав-
сравнения, доказанные в гл. 5, и можно указать экстремальный контур, на ко-
котором при заданной системе нагрузок коэффициент интенсивности напря-
напряжений меньше критического значения N*, то все трещины, начальные по-
положения которых попадают внутрь данного экстремального контура, яв-
являются безопасными (Свойство 4).
Отметим еще (Свойство 5), что для вычисления коэффициентов
интенсивности напряжений на свободной части Г' экстремальных конту-
Рис. 43. Зависимость нагрузки и коэффи-
коэффициенты интенсивности напряжений от пара-
параметра нагружения
So	S, S2
ров достаточно знать соответствующие значения, энергии в функции пло-
площади U(S). Имеем, очевидно,
/i &U
N2=	. '	B.12)
n(l-v) dS
7.2.3. Выше при рассмотрении свойств экстремального контура предпо-
предполагалось его существование. Напомним, что в определении экстремаль-
экстремального контура соотносятся величины 5, область G и функция q(xl7 х2).
В общем случае, если не вводить тех или иных ограничений на каждую из
них, то экстремальный контур может и не существовать. Общие условия
существования экстремальных контуров еще подлежат выяснению; неко-
некоторые достаточные условия их существования приведены в п. 7.2.4.
В [52] построены некоторые примеры несуществования экстремаль-
экстремальных контуров, иллюстрирующие роль функции q, начальной области Go
и ее расположения в поле нагрузок q. Приведем один характерный при-
пример, способ построения других - аналогичен.
Пример. Пусть q (х) > О, q (х) -> °°, | jc | -><*>, тогда V Go и S > 50, где
So — площадь области Go, не существует экстремального контура. Пока-
Покажем это, построив семейство контуров Ги, таких, что энергия деформации
тела с трещиной Gn (ограниченной Ги) Un->°° при п ->°°.
Выберем в качестве Г„ контур, ограничивающий область G„ = Go U ?ln,
где ?1п — круг площади о = S - So, расположенный в той части плоскости
х3 - 0, в которой q (xi, x2 ) ^ п. Тогда для Un имеем
Un= I Q(xl9x2-)uG (x1,x2)dxldx2 >
> I Q(xi,x2)un (x1,x2)dx1dx2=Uu .	B.13)
Здесь uq , u$i — смещение точек поверхности трещины Gn, ?ln соответ-
соответственно (т.е. решение задачи о трещине). Неравенство B.13) отражает тот,
установленный при доказательстве принципа сравнения (см.разд.5.1),
факт, что если при переходе от трещины Г2„ к трещине Gn Э ?1п нагрузки
163

не уменьшаются в ?2„, а в Gn\Un не отрицательны, то и
Продолжая неравенство B.13), получим
4A — и)
Un>Un>n f u°a dxldx2 = -^-~n2a^\	B.14)
где и°п - решение задачи о трещине пп при постоянной нагрузке интен-
интенсивности п. Из B.14) следует, что Un ->°° при п ->°° для построенной пос-
последовательности контуров Г„ и экстремального контура не существует.
Аналогично можно показать, что экстремального контура не существу-
существует, если q (х) -+°° при \х | -*°° в пределах некоторого сектора.
Замечание. В силу свойства 2 экстремального контура (п. 7.2.2) свобод-
свободные экстремальные контуры, для которых Г" = Ф, представляют собой
контуры постоянного коэффициента интенсивности TV = const. Оказывает-
Оказывается, что обратное не всегда верно.
В частности, хотя в рассматриваемом поле растущих на бесконечности
нагрузок экстремальные контуры не существуют, контуры N = const мо-
могут существовать. Например, если q (x) =q(r) ->°° при г = {х\ + xlI^2 -*
-> °°, контуры N = const существуют и, очевидно, представляют собой ок-
окружность с центром в начале координат*.
Можно показать [52], что существование экстремального контура, по-
помимо вида функции q, в сильной степени зависит от области Go и ее распо-
расположения в поле q.
Так, оказывается, что при q(xl9 х2) = q(r) > О, где q{r) - строго воз-
возрастает @ < г < °°) и lim#(r) = А (г -> °°), экстремальный контур не су-
существует, если Go точка или множество меры нуль.
Далее, существенна форма Go. В однородном поле нагрузок q = const
при любой области Go площади So, которую можно поместить в круг пло-
площади S, экстремальные контуры существуют и представляют собой в дилу
изопериметрического неравенства (разд. 6.2) окружности радиуса г =
= y/S/n. Если же Go нельзя поместить в круг площади S (например, Go —
отрезок длины /, такой, что S < 7г(//2J), то экстремальный контур пло-
площади S может не существовать.
7.2.4. Рассмотрим теперь некоторые условия, гарантирующие существо-
существование экстремального контура для данной величины S.
Утверждение 1. Пусть q(xt, х2) > 0 и такова, что в точках круго-
круговой трещины радиуса а при а -> °° коэффициент интенсивности напряже-
напряжений N -> 0 (соответствующие ограничения на q указаны ниже). В качест-
качестве Go возьмем область, ограниченную гладким контуром (пусть q Ф О,
(*!, х2) ? Go)- Предположим далее, что среди контуров, расположенных
в круге радиуса а (Уа > а0), охватывающих GQ и ограничивающих пло-
* В [40 ] показано, что в поле q = р A + ех\), е - мало, в первом приближении
по е контурами TV = const служат эллиптические контуры. Отметим, что в [40] при
рассмотрении примера была допущена неточность и построенные контуры интерпре-
интерпретировались как экстремальные.
164

щадь 5, существует экстремальный контур. Тогда существует экстремаль-
экстремальный контур для данных S и Go.
Для доказательства предположим противное. Поскольку по условию
в любом круге экстремальный контур существует, такое предположение
означало бы наличие последовательности кругов спп радиуса ап -> <», (л -* «>)
таких, что соответствующие им экстремальные контуры Гаеп выходят на
границу круга спп.
Так как по предположению q = 0 в Go, то 3 точка О€ GOi такая, что
q Ф 0 в окрестности О. Пусть в прямоугольной системе координат с нача-
началом в О граница Го области Go задается уравнением го(О = \ х? (О, Хг@К
О < t < Т. Тогда
So =mes(G0)= - / [х?@*2'@ -*?'@*2@1 &*•	B.15)
2 о
Пусть NTq = minyV(G0). Поскольку q ^ 0 в Go и q > 0, то по принципу
сравнения 7Vr > 0.
Рассмотрим семейство областей Ge, ограниченных кривыми г@ =
= I A + е)х?@, A + е)х§@}, 0 < t < Т. Тогда, очевидно, в силу B.15)
Se =ju(Ge) = (l +eJ50.	B.16)
Обозначим через emin минимальное значение е, при котором Ге (грани-
(граница G€) коснется Гаеп изнутри. Ясно,что 0<бтш<етах,где A + етахJ50 =
= 5, т.е. бтах = >/(S/S0) - Г. Минимум N(G€) обозначим через Nr . По-
Поскольку Ve, 0 < е < етах, точка О G Ge, то q Ф 0 в Ge и, следовательно,
NTe > 0. Далее, Nr^ непрерывная функция е, поэтому
min	Nr = Со > 0.	B.17)
0 < е < етах
В точке Мп касания (Г^" С F6min) в силу принципа сравнения получим
T
6
NMn > NT > CQ > 0,	B.18)
6in
6min
где N ап - коэффициент интенсивности в точке Мп, принадлежащей гра-
1 е
нице Г w области Ge"; А^г " - коэффициент интенсивности в той же
6min
точке, рассматриваемой как точка области G6min.
Таким образом, показано, что на Г^п существует точка, в которой коэф-
коэффициент интенсивности больше Со. В то же время в точках Ln G Г^1, кото-
которые выходят на границу круга Са , коэффициент интенсивности напряже-
напряжений NL" -+ 0, (л -> °°), поскольку для данной функции q(x{ ,x2) стремит-
165

ся к нулю коэффициент интенсивности напряжений в точках Ln для круго-
круговой трещины, объемлющей Gaen (как было отмечено выше) *.
Теперь уже видно, что контуры Геп не могут быть экстремальными
в Са . Действительно, часть контура, выходящую на границу Са , можно
было бы подвинуть вовнутрь Спп, в окрестности Мп "расширить" кон-
ТУР ^еП так> чтобы площадь области Gaen сохранилась. При этом в силу
формулы Ирвина увеличилась бы величина U(C^n), что противоречит экс-
экстремальности в круге Спп контура Г^п, выходящего на границу этого кру-
круга. Таким образом, сформулированное утверждение о существовании
экстремального контура площади S доказано.
В заключение этого пункта укажем, что использованное выше предполо-
предположение о стремлении к нулю коэффициента интенсивности напряжений на
контуре круговой трещины при неограниченном увеличении ее радиуса
справедливо, в частности, если 0 < q(xx, х2) < if(#i, х2), где g(xt, х2) =
Чтобы убедиться в этом в силу принципа сравнения, достаточно пока-
показать, что имеет место Лемма: В поле внешних нагрузок g(\x |) для круго-
круговой трещины радиуса а коэффициент интенсивности напряжений N -* О
при а-*°° [52].
7.3. Контуры постоянного коэффициента интенсивности напряжений.
Оценки минимального и максимального значений
коэффициента интенсивности вдоль произвольного контура
7.3.1. Для трещин нормального разрыва контуры, вдоль которых по-
постоянен коэффициент интенсивности напряжений, включают, как отмеча-
отмечалось в п. 7.2.3, свободные экстремальные контуры, но не сводятся к ним.
В то же время высказанные в п. 7.2.2 соображения о развитии трещины
по последовательности вложенных экстремальных контуров с небольши-
небольшими изменениями могут быть отнесены и к контурам N = const.
Действительно, если нагрузки возрастают пропорционально некоторому
параметру, то условие страгивания трещины начинает выполняться, вооб-
вообще говоря, лишь на части контура трещины. В дальнейшем при продвиже-
продвижении трещины вдоль всего текущего контура Г^ коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений может стать постоянным и равным критическому;
рост трещины будет происходить во всех точках ее контура.
Предположим, что можно указать последовательность вложенных конту-
контуров {Г/} непрерывно увеличивающейся площади, охватывающих Гт, на
каждом из которых при увеличении параметра пропорционального нагру-
* Если на границу Са выходит угловая точка контура vj1, то соответствующий
ей угол, очевидно, меньше тт. Согласно {158], в этой точке коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений обращается в нуль, так как напряжения имеют более слабую, чем
(-1/2), особенность, Нетрудно показать (ср. п. 7.2.2, свойство 2), что у экстремаль-
экстремального в круге Спп контура геп не может быть таких угловых точек вообще и выхо-
выходящих на границу круга в частности.
166

жения (в заданном поле нагрузок) N = (К/тт). Тогда дальнейшее развитие
трещины, ограниченной контуром Гг, будет происходить по последователь-
последовательности контуров Г/.
Если для рассматриваемого тела и функции q справедлив принцип срав-
сравнения (гл. 5), то к контурам N = const в этом случае применимы следствия
2—4 разд. 5.1. Можно утверждать, что трещина, начальный контур которой
попадает внутрь одного из контуров семейства f Г/}, не выйдет в процессе
своего развития за пределы Г,-. С другой стороны, если в данную трещину
можно вписать трещину, ограниченную контуром N = const, которая нач-
начнет развиваться, то будет развиваться и исходная трещина.
Таким образом, контуры трещин, вдоль которых TV=const в заданном
поле нагрузок, представляют собой опорные контуры. Зная их расположе-
расположение и вид, можно анализировать условия роста тех или иных трещин слож-
сложной формы.
В связи со сказанным представляет интерес построение оценок величи-
величины N на контурах N = const, не использующих явный вид решения задачи.
Используемые для этой цели в следующем пункте приемы позволяют
одновременно получить оценки минимального и максимального значе-
значений коэффициента интенсивности напряжений вдоль произвольного кон-
контура трещины.
7.3.2. Получим некоторые оценки коэффициента интенсивности напря-
напряжений через характеристики области трещины и параметры нагрузки,
рассматривая изменение энергии деформации тела с трещиной при изме-
изменении ее формы [52].
Пусть трещина занимает ограниченную плоскую область G площади S,
и уравнение контура Г в полярной системе координат можно записать
в виде гг = г(ф) (G — звездная область относительно некоторой точки 0).
Рассмотрим области G€y близкие к G и охватывающие последнюю. Урав-
Уравнения Геграниц G€ имеют вид ге = A + е)г{ф) (е — мало).
Выразим изменение энергии деформации тела при переходе от трещи-
трещины G к трещине G€ двумя способами: по определению и с помощью фор-
формулы Ирвина.
По формуле Ирвина в случае, когда приращение трещины происходит
вдоль всего контура, имеем
8W = A fN2dndl.	C.1)
Здесь dn — длина отрезка нормали к Г между Г и Г6.
По определению W F.1.2)
8W= ! p(x)ue(x)dx - fp(x)u(x)dx,	C.2)
G€	G
где ы(х), ие(х) — нормальные смещения точек поверхностей трещин G,
Ge соответственно.
Функция ие(х) — решение уравнения, аналогичного C.3.20),
PGeAue=yp(yl yeG€.	C.3)
167

Преобразуем C.3), сделав замену переменных,
€i x
—f
)
ТГ^Г	^'^dT?.	C.4)
BяJ? r2
Здесь учтено, что для функции v(x) = Me(fcc), л: G G справедливо соотно-
соотношение iT€(^) = k2v(k%). Из C.3) видно, что v(x) удовлетворяет уравнению
pGAv = kyp(kx).	C.5)
Для разности (v - и) в силу малости € имеем уравнение
pG A(v -и) = у[кр(кх) -р(х)] * 7е[р(х) + F(jc)] ,	C.6)
где
Перепишем C.2) следующим образом:
x- /p(jc)ii(jc)cbc
G
/p()[() -ii(x)] dx +e/ [2p(x) + F(x)]v(x)dx.
G	G
Из C.6) и теоремы взаимности получим
fp(x)[v(pc)-u(x)]ix = e/[p(x) + F(x)]w(x)dx.
G	G
Следовательно,
5 И/« б/Cр(х) + 2F(x))M(x)dJC.	C.7)
Из C.7) следует, что для контуров постоянного коэффициента интен-
интенсивности напряжений
7iyNrbS « 6PV	C.8)
и для произвольного контура
^minSS < bW < 7T7^ax5S,	C.9)
где
1	2тг	1 2тг
55= - / [r2€(y)-r2(ip)]dv**2e- - /r2((p)d^ = 2e5	C.10)
2	о	2 о
и ^min» ^max ~ наименьшее и наибольшее значения N на произвольном
контуре Г трещины G.
168

Из C.7)-C.9) имеем
N2r ^ -~-fCp(x) + 2F(x))u(x)dx,	C.11)
2ттуо G
Ц	+ 2F(x))u(x)dx < <„.	C.12)
Таким образом, оценивая интеграл в C.7), можно получить оценки
для Nr, Nmin и NmuX.
Если р(х) — однородная функция порядка 5, то F(x) = др(х) .и C.11),
C.12) примут вид
C.13)
C.14)
В случае однородной нагрузки единичной интенсивности 5 = 0, W = К/2,
поэтому
В силу C.11), C.12) и F.2.5), F.2.8) можно получить оценку iVr
сверху при произвольной нагрузке
C.17)
Н-7Г О "~
При определенных предположениях о поведении внешних нагрузок мож-
можно записать и оценку снизу для Nr и Nmax. Пусть, например,
p(x)>0, 3O0, 3p(x) + 2F(x)>Cp(x), xeG.	C.18)
Тогда из C.11), C.12)
~ ~	С	C.19)
2nyS
Приведем пример применения оценок C.17), C.19).
Пусть G = Кх — круг единичного радиуса и р = 5 — г2. Тогда F = — 2г2,
Ър + 2F = 15 - 7т*2. Рассматриваемый контур Г при выбранном распре-
распределении р(х) является контуром Nr = const. Согласно точному реше-
решению, Nr = 1.9507. Подсчитаем ||р|| и \\3р + 2F\\. Имеем ||р|| = F1эт/3I/2,
•2^||=D09тг/3I/2.Из C.17)
N2 < (l/47r2)/V6l7r/3V4097r/3' « 4,19
= 2,047. Погрешность в определении Nr составляет ~5%.
Для оценки Nr снизу заметим, что в рассматриваемом примере можно
169

взять С = 2 в C.18). Для оценки W воспользуемся F.4.31), выбрав в ка-
качестве пробной функции v = 1 - г2. Тогда E(v) = я \[2j3 { р, иJ = 49тг2/9
(ср. разд. 6.4) и
2/J/	^ 7Vr > 1,457.
Относительная погрешность оценки 25%.
Некоторые другие примеры применения оценок C.17), C.19) при-
приведены в [52].
Замечание. Изложенный энергетический способ построения оценок
локальных характеристик решения через интегральные переносится на
случай трещин произвольного разрыва в однородной среде и на границе
раздела двух полупространств с различными упругими свойствами.
В случае действия однородных нормальных нагрузок на поверхностях
трещины, занимающей выпуклую область, можно построить изопериметри-
ческие оценки Nr, iVmax сверху и NT, Nmin снизу через геометрические
характеристики области.
Пусть области <70, G, Gx таковы, что Go С G С Gx и в некоторой точ-
точке М границы все областей касаются. Тогда по теореме сравнения (гл. 5)
коэффициенты интенсивности NG.{M) в точке М для трещин, занимающих
область G/, связаны неравенствами
NGo(M)<NG{M)<NGx{M).
Применим теперь прием [142], использованный в [155, 156] для оцен-
оценки модуля градиента решения уравнений Пуассона. Пусть кривизна грани-
границы Г области G изменяется в пределах 0 < kmin < fcmax- Известно [26],
что для любой точки МЕГ можно вписать в G круг радиуса г и описать
вокруг G круг радиуса R, касающиеся Г в точке М, причем г > к^ах =
= 'min, R < *min = rmax. В силу этого получаем
Nr . < NG(M) < Nr ,	C.20)
rmin	ОЛ '	rmax	v '
где Nrmin и^гтах ~ коэффициенты интенсивности напряжений для
круговых трещин радиусов rmin и rmax при однородной нагрузке р.
Из C.20) с учетом точного решения задачи о круговой трещине имеем
iVmin < iVmax < (л/2?я)р^/а2х,	C.21)
^2	C.22)
Неравенства C.21), C.22) изопериметрические, так как в случае, когда
G — круг, они переходят в равенства.

ГЛАВА 8
ЗАДАЧИ О ТРЕЩИНАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ГРАНИЦАМИ,
ОБУСЛОВЛЕННЫМИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ ПОВЕРХНОСТЕЙ,
И ВАРИАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ
8.1. Задачи о трещинах нормального отрыва
с частично налегающими (без трения) поверхностями
8.1.1. Взаимодействие поверхностей трещин под действием приложен-
приложенных объемных и поверхностных нагрузок может приводить к возникно-
возникновению зон налегания поверхностей. В общем случае (разд. 8.2) в зонах
налегания между контактирующими участками поверхностей трещины
имеет место трение. Для таких задач характерно наличие неизвестных
границ зон налегания, а также границ, разделяющих в пределах зон на-
налегания участки, где имеет место относительное проскальзывание и сцеп-
сцепление поверхностей.
Более простой класс задач — задачи о трещинах нормального разрыва
с частично налегающими без трения поверхностями. Здесь неизвестными
являются лишь границы зон налегания. Постановка задач дана в пп. 5.1.2
и5.1.3, там же установлена справедливость в этом случае теоремы срав-
сравнения для коэффициентов интенсивности напряжений. Доказательство,
как и для трещин без налегания, проведено с помощью принципа макси-
максимума в формулировке Хопфа.
Можно дать другое доказательство теоремы сравнения, используя то
обстоятельство, что задачи о трещинах нормального разрыва с неизвест-
неизвестными границами зон налегания сводятся к вариационным неравенствам.
Подробно это доказательство приведено в [48], здесь наметим в методи-
методических целях его основные этапы.
В п. 5.1.2 показано, что исходная задача сводится к смешанной зада-
задаче E.1.13)-E.1.15) определения в полупространстве хг > 0 гармони-
гармонической функции ф.
Краевая задача эквивалентна [48] решению вариационного неравенства
К(и, ф) = J(\jj,u-\l/)-R(q,u-\p) =
-ф) Ъф Ъ(и-ф)	Ъф Ъ(и-ф)
+ 	 	 + 	 	 I X
Ъх2 Ъх2	Ьхъ Ъхъ J
\д\р Ъ(и-
x3>o[dx1 dxi
2A -v2)
X &х1йх2&хъ	 / q(u - Ф) dxt dx2 > О VwGC/, A.1)
Е	G
где U — выпуклое множество функций м, таких, что и = 0A/К) при R2 =
= (х? +х\ +*!) ~* °° ' интеграл
Г/ Ъи \2 / Ъи \2 / Ъи \21
конечен и выполняются условия u(xlf х2, 0) > 0,. (хг, х2) в G;
и (xlf х2, 0) = 0, (jcb x2) e G. Отметим, что и решение ф С U.
171

8.1.2. Сравним теперь, как и в п. 5.1.2, решения задачи E.1.13) —E.1.15)
при изменении формы трещины и действующих нагрузок, удовлетворяю-
удовлетворяющем условиям E.1.16). В терминах вариационных неравенств это озна-
означает, что нужно сравнить решения A.1) при изменении q(xXt х2) и U.
Это можно сделать на основе следующего утверждения (обобщающего
теорему Огазо [183] (см. также [86]) о сравнении решений вариацион-
вариационных неравенств).
Утверждение 1. Пусть фх решение A.1) при q = qx и множест-
множестве Ux, отвечающем области Gx; ф2 ~ решение A.1) при q = q2 и мно-
множестве U2, отвечающем области G2, причем
qi(Xi,x2) <q2(Xi,x2), V(*i, x2) G Gx,	A.3)
и
то
Если найдутся
Mi +М2 =
J(u х - ф х
их < фх
их = фх,
>их -
, и2
и2
функции
Ф2\
•Фг) = 0,
> Фг\
Wl^t/l,
/(М2-
M2GC/:
2, такие,
"*2) =
ЧТО
0
A.4)
A.5)
A.6)
A.7)
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству соот-
соответствующего результата Огазо [183], приведенному в [86].
Запишем неравенство A.1) для и = ых, q = qx и и = и2, q = q2 соот-
соответственно. Сложим эти два неравенства. Получим
2A -v2)
/ [(ф) + (ф)}&xl&x2>Ъ.	A.8)
Далее, заменяя из A.4) разность (и2 — ф2) на (фх - их) и прибавляя
и вычитая в левой части A.8) выражение J(ux, их — фх), а также пользуясь
A.5) и линейностью /(w, w) по каждому из аргументов, будем иметь
2A ~v2)
Jtyi -их,фх -их) + 	 / (qx ~q2)(ux -фх)йххйх2 <0.
Е G,
A.9)
Так как 1(фх - их, фх - их) > 0, причем 1(фх - их, фх - их) - 0только
при фх = ых, а второе слагаемое в левой части A.9) неотрицательно в
силу A.3), A.6), то справедливо равенство их - фх. Точно так же уста-
устанавливается и выполнение равенства и2 = ф2. Утверждение 1 доказано.
Перейдем к сравнению решений задачи E.1.13) —E.1.15) при усло-
условиях E.1.16). Как уже отмечалось, обе задачи приводятся к решению
неравенства A.1), первая - при q = qx для множества G= Ux, определяе-
определяемого областью Gx, вторая - при q - q2 для U= U2i соответствующего G2.
Пусть фх — решение неравенства A.1) в первом случае, а ф2 — во вто-
втором. Для сравнения фх и ф2 используем утверждение 1. Прежде всего нуж-
нужно выбрать функции их, и2, входящие в формулировку утверждения.
Следуя [183], положим и2 - sup^, ф2), их = inf(^!, ф2). Так как
172

ф1 > 0, ф2 > 0 в Gt и фх = 0, ф2 > 0 вне Gx, то wx = inf {фх, \//2) G ?Л.
Так как фг > 0, ф2 > 0 в G2 и фг = ф2 = 0 вне G2, то н2 = sup(^, ф2) G
G ?/2. Кроме того, из определения ux,u2 очевидно, что для них выполня-
выполняется условие A.4).
Проверим теперь справедливость условия A.5). Предположим сначала,
что функции фх и ф2 непрерывны и непрерывно дифференцируемы. Полу-
Полупространство хъ > 0 можно разбить на три множества точек Z +, Z~,Z°,
на которых соответственно ф\ > ф2, фх < ф2, фх = ф2. Рассмотрим любую
внутреннюю точку р Е Z + . В некоторой ее окрестности фх > ф2 и, следо-
следовательно, и2 - фг -sup(i//1, ф2) - фх =0. Поэтому все первые производ-
производные (ы2 - фх) в точке р обращаются в нуль. Следовательно, равно нулю
подынтегральное выражение в /. Аналогично можно рассмотреть внутрен-
внутренние точки множеств Z" и Z0 и показать тождественное обращение в нуль
подынтегрального выражения в /. Отсюда следуют равенства A.5). Чтобы
доказать их для функций фг, ф2, которые являются решениями A.1),
нужно эти функции аппроксимировать непрерывно дифференцируемыми
и совершить предельный переход.
Наконец, условие A.3) оказывается выполненным для сравниваемых
задач в силу установленной выше зависимости q от р и g; из определения
Mi, u2 следует выполнение для них условия A.6). Таким образом, все
условия утверждения 1 выполнены для иь и2, и значит верно A.7). Из
A.7) и определения Wj, м2 следует неравенство
Фг < Ф2.	A.10)
Отсюда вытекают следствия.
Следствие 1. Упругие нормальные смещения точек поверхности
объемлемой трещины G1 не больше, чем для объемлющей трещины G,
если приложенные нагрузки связаны неравенствами gf < g поточечно,
V >Р> (xux2)eG'.
Следствие 2. Теорема сравнения 2 (см. п. 5.1.2). Эта теорема
вытекает (ср. с аналогичными рассуждениями в п. 5.1.1) из неравенст-
неравенства A.10) и асимптотики ф\,ф2'-
4A -v2)
где s — расстояние до точки Р по нормали к контуру Г'.
Следствие 3. Рассмотрим трещину, занимающую область Gt.
Пусть при заданных нагрузках возникает зона налегания G?. Предпо-
Предположим, что произошло расширение трещины до области G2 без измене-
изменения внешних нагрузок или действующие нагрузки связаны неравенства-
неравенствами g2 <?i, p2 > Pi- Обозначим через G2 зону налегания поверхностей
трещины G2. Тогда G? Э G§, т.е. зона налегания поверхностей объемле-
мой трещины Gi заключает внутри себя зону налегания поверхностей
объемлющей трещины G2,
Действительно, пусть точка ?G Gj, тогда из постановки краевой за-
задачи ф2(Р) = 0. В силу A.10) фх(Р) < Ф2(Р), и, поскольку фх(Р) > 0,
имеем фх (Р) = 0 и, следовательно, Р G G\.
Следствие 3 позволяет оценивать возможные зоны налегания для тре-
173

шин, ограниченных контуром сложной формы, через зоны налегания для
трещин более простой формы, вписанных и описанных по отношению к
исходной.
Следствие 3 показывает, в частности, что если зоны налегания не было
в исходном состоянии трещины, то при соблюдении сформулированных
выше условий на нагрузки, зона налегания не возникнет и далее.
8.1.3. Выше рассматривалась задача о трещине-разрезе при частичном
налегании поверхностей. Более общей является задача об уплощенной
полости или трещине с начальным раскрытием, поверхности которой
могут приходить в контакт под действием приложенных нагрузок. Под
уплощенной понимается здесь полость, раскрытие которой много меньше
остальных характерных размеров. Подобные задачи возникают при ана-
анализе условий разрушения тел с трещиноподобными дефектами, а также
в разнообразных вопросах горной механики, в частности при моделиро-
моделировании горных выработок с целью расчета напряженно-деформированного
состояния в массиве [109, 8].
Уплощенные полости часто можно заменять разрезом, снося граничные
условия на область разреза и считая для определения зон налегания, что
перекрытие поверхностей разреза не должно превышать исходного рас-
раскрытия полости (или некоторой связанной с ним функции) wo(xlt x2).
Особенно интересны задачи о полостях (и трещинах) с частичным на-
налеганием поверхностей, когда приложенные нагрузки меняются в зави-
зависимости от некоторого параметра нагружения [44, 45]. Происходит из-
изменение областей налегания поверхностей при изменении параметра на-
нагружения.
Свойства задач об уплощенных полостях с частично налегающими по-
поверхностями можно изучать, исходя из вариационной постановки задачи,
как было сделано в пп. 8.1.1 и 8.1.2.
В частности для задачи об уплощенной полости имеет место утвержде-
утверждение 1 (п. 8.1.2) и его следствия, если в дополнение к сформулированным
выше предположениям, при которых справедливы указанные результаты,
считать, что при переходе от полости Gx к G2 и от нагрузок gb px Kg2, Vi
одновременно не уменьшается начальное раскрытие полости. Это эквива-
эквивалентно "ослаблению" ограничений, наложенных на искомую функцию.
В результате увеличиваются скачок смещений и область "налегания" (об-
(область выхода решения на ограничения).
Методически важно, что свойства рассматриваемых задач о полостях
(и как частный случай — задач о трещинах—разрезах) можно установить,
и это делается ниже [44], не пребегая к их вариационной постановке, а
исходя из положительности решения (см. п. 5.1.2) [53], его единствен-
единственности и вида асимптотики решения вблизи линий раздела областей налега-
налегания и раскрытия поверхностей полости. Асимптотический анализ решения
вблизи границы зоны налегания показывает, что из условий в этой зоне
вытекает условие несингулярности решения на ее границе.
Замечание. В задачах с неизвестной границей необходимо на основе
тех или иных свойств решения указать регулярный алгоритм построения
решения и неизвестных границ. Для частных видов геометрии трещин и
нагрузок удается построить решения, исходя из предположения о его
непрерывности вблизи границы области налегания. В случае произволь-
174

ной геометрии области трещины предложен регулярный алгоритм, в ко-
котором методами математического программирования строится последо-
последовательность, минимизирующая квадратичный функционал задачи [8].
Излагаемый ниже способ доказательства свойств решения задачи с
неизвестной границей, использующий положительность и единственность
решения и условия в области налегания, приводит к другому регулярно-
регулярному алгоритму построения решения.
Перейдем к постановке и исследованию свойств задачи [44].
Рассмотрим равновесие линейно-упруго го пространства с полостью
(в частности и трещиной-разрезом), сечение которой в плоскости хъ = О
занимает область G. Пусть расстояние между поверхностями полости
w(xlf х2) однозначная функция (xlt x2) ? G и мало по сравнению с
характерными размерами G (уплощенная полость). Предположим, что
область налегания F С G образуется под действием объемных сил, сим-
симметричных относительно плоскости х3 = 0. Как уже отмечалось (п. 5.1.3),
можно перейти от системы внешних объемных сил к поверхностным на-
нагрузкам, считая, что из решения соответствующей задачи теории упруго-
упругости для сплошного тела известны напряжения р%ъ(хХч х2) на плоскости
(xi, х2)*. Граничные условия задачи примут вид
w(xlfx2) = U3(xlfx2)~u;(xx,x2) = -wo(xux2) (xlfx2)eF;	A.11)
w(xl9x2) > -wo(xux2), (xlfx2)eG;	A.12)
?	(xux2)EF;	A.13)
(xlfx2)eG\F.	A.14)
Область налегания F должна определяться в ходе решения задачи. Заме-
Заметим, что ввиду симметрии задачи в ее решении м'з (*ь хг) -иг(х\> хг)^
(xux2)<ER2\G', а±.(хь;с2) = 0 при хъ = 0 (/=1,2).
В [44] показано, что решение задачи о полости с областями налегания
в рассматриваемой постановке единственно.
Используем теперь положительность и единственность решения задачи
для доказательства ряда его свойств.
Наряду с исходной задачей A.11) —A.14) рассмотрим смешанную за-
задачу A.11), A.12), A.14). Эта краевая задача имеет, вообще говоря,
не единственное решение, поскольку в ней снято ограничение A.13).
Каждому из решений задачи A.11), A.12), (Ы4) отвечает при заданных
нагрузках область раскрытия поверхностей полости D^ [где выполня-
выполняется A.12)] и область их налегания FJf^ [в которой может не выпол-
выполняться A.13)]. Пусть К - множество решений A.11), A.12), A.14).
В него, в частности, входит и решение исходной задачи A.11) —A.14).
Для равновесных состояний из множества К в силу теоремы единст-
единственности решения задачи A.11) — A.14) справедливо утверждение.
Следствие 4. Рассмотрим решение задачи A.11) —A.14) для по-
полости с сечением G (в плоскости хъ = 0), которому соответствуют области
* Напомним, что при рассмотрении уплощенной полости краевые условия мы
будем сносить на плоскость хъ = 0.
175

налегания F и раскрытия D при заданных нагрузках. Пусть А' - введенное
выше множество равновесных состояний, тогда для любого элемента из
множества К, если область раскрытия поверхностей Dk не совпадает с D,
в области налегания Fk существуют подобласти F'k С Fk, где о^ (х{,х2)>
>	о°33(хих2), (xl,x2)GF'k.
Предположим противное, т.е. о^ <азз» V(*i, х2) Е Fk. Это означа-
означает, что в области Fk выполняется ограничение A.13) и Fk\Dk являются
наряду с F, D областями налегания и раскрытия полости в задаче A.11) —
A.14) при заданных нагрузках. Это противоречит теореме единственно-
единственности решения задачи A.11)-A.14).
Утверждение 2. Рассмотрим равновесное состояние полости с
сечением G, областями налегания F и раскрытия D при заданных нагруз-
нагрузках. Тогда область раскрытия Dk, соответствующая любому равновесно-
равновесному состоянию из множества А' и не совпадающая с D, содержится в D:
DkCD.
Доказательство. Пусть для некоторого равновесного состояния из
множества К область раскрытия D = DJ^1' не содержится в D. Согласно
следствию 1, так как D^ не совпадает сДв области налегания F^ -
= G\D^' должны быть подобласти Fj. С F^, где о^у (х\, х2) >
>	азз(*ь х2), (хи х2) Е F^ . Перейдем теперь к другому равновесно-
равновесному состоянию из множества К (при тех же нагрузках), которому отвеча-
отвечает область раскрытия D^ = D^ U F^ . Покажем, что скачок смеще-
к	к	к
ния wB)(x1,x2) = wA>(xbjc2) +SwA)(xux2) > wA)(jcbx2), (xlf ic2) E
Действительно, представим равновесное состояние с областью раскры-
раскрытия D^ при заданных нагрузках в виде суммы двух равновесных состоя-
состояний той же полости. Первое — равновесное состояние с областью раскры-
раскрытия D^ при тех же нагрузках. Второе - равновесное состояние с областью
раскрытия D^ при напряжениях 5^3^» действующих только на подоб-
подобласти F^ и равных по величине и противоположных по знаку напряже-
напряжениям, возникающим в первом состоянии на F^1^ .
Так как 5о^р > о^р, (хь х2) Е F^ , то по свойству положительно-
положительности решения Sw^1^, отвечающее второму состоянию, Svv^1^*!, x2) > О,
(Х\, х2) Е DJf). Таким образом, действительно для равновесных состоя-
состояний из множества К с областями раскрытия D^1' и Dk при заданных
нагрузках wB)(xb ^2) > wA)(xb х2), (лгь х2) Е DJfK Поскольку
w^^(jci, х2) - w^(xi, х2), (xlf х2) Е F^2\ то для всей области G =
= F^2) UDfcB) поточечно wB)(xb jc2) >wA)(xbx2).
Если область D^ не содержится в D (а стало быть и не совпадает с ней),
то, повторяя те же рассуждения, что и при построении равновесного состоя-
176

ния с областью раскрытия d?2\ придем к равновесному состоянию с
областью раскрытия Z)^3) = D^2) U F^ , здесь F^ - подобласть, где
и х2) > о%ъ(хи х2); соответственно wC)(jcb х2) > wB)(jd, x2)
? G и т.д.
В итоге получим последовательность равновесных состояний из мно-
множества К с областями раскрытия D^ С D^2) С ... С /^л) С ... С G,
таких, что wA)(xb х2) < wB)(xb jc2) < . . . < w(w)(xb х2) < . . .
V(xb х2) € G. Поскольку области D^ образуют последователь-
последовательность расширяющихся областей и все они содержатся в G, то существует
область . О Лр) = ?)' с G. По построению а33(*ь *2) ^ °зз(х\, х2),
i i
i, х2) ^ F' = G\Df, т.е. область F' является областью налегания. Мы
построили равновесное состояние полости с областями раскрытия D'
и налегания F', для которого выполняются ограничения w(xlt x2) >
> -wo(*lf *2). (^ь '^2> G^)'; ^зз(^ь х2) <о°33(хи х2), (хи х2) GF;.
Так как D1 и F* отличны от Dn F, это означает, что в противоречии с теоре-
теоремой единственности построено другое решение исходной задачи A.11) —
A.14).
Таким образом, не существует в множестве равновесных состояний К
такого, для которого область раскрытия Dk не содержится в D. Следова-
Следовательно, если Dk не совпадает с Д то содержится в D. Утверждение 2 до-
доказано.
Аналогичное утверждение имеет место для трещин-разрезов.
УтверждениеЗ. Если трещине-разрезу Gx С G при действии той
же системы нагрузок отвечает область раскрытия ?)х,то Dx СД где D -
область раскрытия трещины G. (Сравни со следствием 3 утверждения 1.)
Из утверждения 2 следует, что для любого равновесного состояния из
множества К с областью раскрытия D^ , не совпадающей с D и D^ CD,
можно по алгоритму, описанному при доказательстве этого утвержде-
утверждения, построить последовательность равновесных состояний с объемлющи-
объемлющими друг друга областями раскрытия DJf^ (/ = 1,2,...), для которых
скачки смещения поточечно связаны неравенствами
b х2) < . . . < и><я>(хь х2)< ..., (*ь х2) е G.
^р
следовательность w^1 ^(xlf x2) поточечно ограничена сверху.
П
Все члены последовательности D^1) содержатся в Dl = U Цр). По-
довательность w^1 ^(xlf x2) пот
Поскольку последовательность
/ = 1 к
при / -> ©о стремится к
D = U	,
/= 1 *
то lim w(/)(xbx2) = w(xbx2), (xl,x2)eDJ-i) CD.
j -> oo	«
12.3ак. 1100	177

Действительно, пусть Aw^ = w— w^l\ ^°^ ~ азз ~ аз 3^
рим разность напряженных состояний, соответствующих скачкам смеще-
смещений w^1) и ил Краевые условия на плоскости R2, соответствующие этой
разности, имеют вид
b x2) = 0, (xlfx2)GR2 \D.
Поскольку (D\D^1') -+ Ф при i -> °°, то решение этой краевой задачи
^Опри i ->°°. Таким образом,
lim w(l\xlfx2) = w(xlfx2).
Из этого и неубывания Ы^Ц , (лгьх2)
< w(xlfx2), (xlf x2)ED. Кроме того,
Таким образом,
G следует, что Vz, w
^(xb x2) = — w°, (хь
b x2)
Мы доказали следующее утверждение.
Утверждение 4. Для полости с сечением G (при х3 = 0) при за-
заданных внешних нагрузках скачок смещений ее поверхностей достигает
своего максимума на решении задачи A.11)—A.14) поточечно, (хи х2) Е G.
Замечание. Из утверждения 4, в частности, следует, что в равновесном
состоянии трещины с частичным налеганием поверхностей ее объем макси-
максимален в сравнении с объемом, который она могла бы иметь при иных
областях налегания и тех же нагрузках. Это свойство иным путем уста-
установлено в [74].
7.1.4. Рассмотрим теперь поведение решения задачи о полости (трещине)
с частичным налеганием поверхностей вблизи границы, разделяющей об-
области налегания и раскрытия в зависимости от ограничений в этих об-
областях A.12), A.13) и геометрии начального раскрытия wo(Xi, x2). Это
позволит в дальнейшем (п. 7.1.5) с использованием утверждений п. 7.1.3
выяснить экстремальные свойства упругой энергии.
Для анализа асимптотики решения вблизи произвольной точки гладко-
гладкости границы Г раздела областей налегания F и раскрытия D введем локаль-
локальную систему координат XYZ. Ось Z направим по касательной к.Гв дан-
данной точке, ось Y — перпендикулярно плоскости х3 = 0, X - по нормали
к Г, так что X <0 соответствует области раскрытия D.
В силу A.11) —A.14) имеем
и$-иу = -wo(X), X>0;
Dу(Х,0) = о0(Х), Х<0, 7->±0,	(' )
где о0(Х) определяется внешними нагрузками, wo(X) - начальное
раскрытие полости.
Будем считать, что ао(Х), wo(X) удовлетворяют условию Гёльдера,
а в окрестности точки X = 0 являются аналитическими. В силу симметрии
178

исходной задачи относительно плоскости хг = 0, oYX = oyz = 0, \ X | < °°,
7 = 0.
Из решения краевой задачи A.15) следует [44], что распределение
напряжений и смещений вдоль оси X в окрестности точки X = 0 имеет вид
OyY(X90) = ао(Х), X < 0;
с4у(Х,0) = o0(X)+l/2X-lf2Al +... + (п-Ц2)Х"-3/2Ап; A.16)
4у(Х,0) < ао(Х), Х>0;
) = -wo(X), X> 0;
) = -wo(X) + 2(l -i>)/x"V/2^i +...+(-1У + lrn-^2An],
X < 0, г = |Х|, и = 1,2,...	A.17)
Функция wo(X), определенная при X > 0, аналитически продолжена при
X < 0. Распределения напряжений и смещений вдоль оси X связаны через
коэффициенты Ак. Проанализируем асимптотику в A.16) при X -+ 0 и
различных раскрытиях полости.
Пусть уравнение поверхности полости имеет вид w*(X) = \X \aFp(X) +
+ В, X < 0, где Fp(X) - полином степени р, 0 < ос < 1 (поверхность,
вообще говоря, кусочно-непрерывна в точке X = 0). Так как X > 0 соот-
соответствует области налегания, X <0 — раскрытия полости, то
ауу(Х) < ао(*), Х>0;	A.18)
uY(X) > -wo(Z), X < 0.	A.19)
Предположим,что Аг Ф0. Из A.18) и A.16) следует, что ^i < 0.
Поскольку начальное раскрытие полости wo(X) при X > 0 является
аналитической функцией в окрестности точки X = 0, то асимптотика
wo(X) имеет вид wo(X) « сХ7 + 5, где 7 — целое число, с = const > 0,
X ~ 0. Подставляя это выражение в A.17), A.19) и предполагая, что
Fp = Mrp, г ~ 0, М = const > 0. получим неравенство — сгу + А\ГХ12 - В >
> — В — MrpJr0L. Из этого неравенства с необходимостью следует, что при
Ах < 0 должно быть р = 0, 0 < а < 1/2.
Таким образом, случай, когда Ах < 0, возможен только при кусочно-
гладкой поверхности полости и р = 0, 0 < а < 1/2.
Если же р Ф 0 или р = 0, 1/2 < а < 1, то необходимо, чтобы Ах = 0, a
из условия A.18) и А2 < 0. При этом распределение напряжений в об-
области налегания (контакты) не сингулярно.
При р = 0, 0 < а < 1/2 и любых конечных^! (что соответствует ко-
конечным значениям сжимающих напряжений) невозможно полное закры-
закрытие полости вблизи точки излома: в этом случае при фиксированной грани-
границе области G не возникает "перехлест" поверхностей полости, который
означал бы возможность образования зон налегания. Это значит, что до
решения задачи можно указать участки поверхностей полости (по их гео-
геометрии), которые не вступят в контакт. Вблизи соответствующего участ-
участка излома поверхностей напряжения сжимающие и сингулярные.
Аналогичный анализ проводится и для трещин-разрезов.
Отметим, что установленной зависимости условий возникновения об-
областей налегания от параметров а, р соответствуют результаты численных
179

расчетов для полостей эллиптических в плане форм [8]: при начальном
раскрытии полости w(xt, х2) = Ъ{\ — x\ja\ - х2/а2)а^2 область налега-
налегания возникает от границы полости (в плоскости х3 = 0), если а > 1, и
внутри области, если 0 < а < 1.
Замечание. В краевой задаче A.11) —A.14) для полости сечением G
при wo(xlf x2) = 0, (xlt x2) ? G краевые условия в области раскрытия
полости D = G\F совпадают с краевыми условиями задачи о трещине-
разрезе, занимающей область D в упругой среде. Отличие в том, что в
задаче о трещине нужно потребовать дополнительно обращения в нуль
коэффициента интенсивности напряжений на границе D. Это позволяет
использовать класс решений задач о равновесии трещин—разрезов при
построении решений задачи о равновесии трещин-разрезов с областями
налегания. Уравнением, определяющим границу Г областей налегания и
раскрытия в задаче для трещин-разрезов, занимающих область G, явля-
является условие отыскания контура трещины-разреза (области G\F), на
котором Л?(Х?,Х2°) = 0.
Регулярный алгоритм, о котором шла речь в п. 1.3, как раз и приводит
к построению контура, где решение не сингулярно. Действительно, так
как в этом случае o33(xif х2) < 0, (xlt x2) Е F, то согласно асимптоти-
асимптотическому анализу, решение с необходимостью должно быть несингулярным.
7.1.5. Пользуясь результатами пп. 7.1.3, 7.1.4 рассмотрим теперь неко-
некоторые свойства функционала энергии деформации в задаче о трещине с
частичным налеганием поверхностей.
Сначала подсчитаем изменение энергии деформации при вариации обла-
области раскрытия D и нагрузок.
Предположим, что некоторое тело Vo содержит трещину G, и к по-
поверхности тела Б о приложены нагрузки.
Если рассмотреть два упругих состояния ofp, е^, и of?1^, е^, то
изменение упругой энергии равно
AU ,?,„_?,' / (а(И)еО1) _ аО)еа)) dVt	A.20)
z vо
где Uf — упругая энергия в /-ом состоянии. Можно показать, что A.20)
представимо в следующем виде [44]
2 G
- J o.<!>ii?>/!jds + foWu?l)n$ds.	A.21)
Q 15 I	G 15 I
В силу этой формулы для изменения упругой энергии при вариации
области раскрытия D получим
± i / (ag» - </>? Vds ± Х- / (а/3П) + о$)и<%Н*	A.22)
где ± относятся соответственно к расширению и сужению области D.
180

В окончательный результат A.22) не входят интегралы по объему Vo и
поверхности 20, поэтому A.22) можно применять и в случае трещины,
расположенной в безраничной среде. Рассмотрим теперь равновесные
состояния из множества К. Для любого из них (с областью раскрытия
^к к С ^ и можно построить (см. доказательство утверждения 2
в п. 7.1.3) последовательность равновесных состояний из множества К с
вложенными областями раскрытия D^ С D^ С ... С D причем U D^ =
= D.	l 1
Покажем, что при переходе от /-го равновесного состояния с областью
раскрытия DJf) к состоянию (/ + 1) с областью раскрытия Z)*1 + ^ упру-
упругая энергия возрастает. Напомним (см. п. 7.1.3), что переход от г-го к
(/ + 1)-му состоянию происходит путем "снятия" нагрузок в подобласти
F<f>' С F<z> = G\D, где о^(хи х2) > о°33. Обозначая F<'>' = 8D«\ по-
получим из A.22) для приращения упругой энергии Д1М1') при переходе
от /-го к (/ + 1)-му равновесному состоянию
^ / fC3 1Ъ»^	0-23)
2 8Dk
Так как (о°33 - о^)п^ >0,5и3A'> > 0, (xi9 x2) G dD^\ то AU(i) > 0.
Для последовательности равновесных состояний из множества К с областя-
областями раскрытия D^ С ... С D^n) С ... С Яимеем UX<U2<... <Un<.. .
. . . < U, где U — упругая энергия, отвечающая равновесному состоянию
с областью раскрытия D — решению исходной задачи A.11) — A.14).
Пользуясь формулой A.21), можно непосредственно убедиться, что
упругая энергия в равновесном состоянии достигает максимума (соот-
(соответственно полная потенциальная энергия системы — минимума).
Перепишем A.21) иначе
AU = - - Hu?-	^
A.24)
где о33, и3 — решение задачи A.11) —A.14). Первое слагаемое в A.24)
очевидно меньше нуля. Рассмотрим второе слагаемое. Поскольку и^ > 0,
03 3^a3 3»w3 =—l> второе слагаемое также меньше нуля. Таким образом
Д?/<0 и упругая энергия максимальна на решении задачи A.11) —A.14).
Отметим, что максимальность упругой энергии здесь установлена в общем
случае тела, ограниченного поверхностью 2, так как A.21) получено [44]
именно для такого тела.
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Утверждение 5. Для упругой среды с трещиной G при заданных
нагрузках среди всевозможных равновесных состояний из множества К
упругая энергия достигает максимума (потенциальная энергия системы —
минимума) на решении задачи A.11) —A.14).
Мы пришли к вариационному принципу, который совпадает с установ-
установленным в [48] ? если последний рассматривать на том же множестве.
181

Замечание. С точки зрения построения приближенного решения задачи
вариационным методом, алгоритм п. 7.1.3 можно рассматривать как спо-
способ построения минимизирующей последовательности, отличный от пред-
предложенного в [8] на основе методов математического программирования.
8.2. Задачи о трещинах при наличии трения
между их взаимодействующими поверхностями
8.2.1. В разделе 8.1 изучались задачи о трещинах нормального отрыва
с учетом возможного налегания (без трения) их поверхностей. Теперь
рассмотрим, следуя [49, 50], более общие пространственные задачи о
трещинах произвольного разрыва, занимающих плоскую область в без-
безграничной упругой среде. Развитие трещины происходит при совместном
действии растягивающих, сжимающих, а также сдвиговых по отношению
к плоскости трещины нагрузок и сопровождается образованием зон, где
ее поверхности приходят в контакт. В неизвестных зонах контакта имеет-
имеется трение с коэффициентом, зависящим от нормального давления и величи-
величины относительного касательного смещения поверхностей. В пределах зон
налегания могут, в свою очередь, образоваться участки локального сцеп-
сцепления и проскальзывания поверхностей. Границы, разделяющие эти участ-
участки, также подлежат определению.
Сформулируем краевые условия задачи. Пусть трещина занимает об-
область G с границей Г в плоскости хъ = 0. Обозначим через g(xb х2ш *з)
и q* (xi, x2) (q~ = — q+ = q) плотности объемных и поверхностных анти-
антисимметричных нагрузок. Введем также нормальную wv и касательные
и? = (ии и2) составляющие скачка смещений, отсчитываемые от нижней
поверхности, и нормальную Озз и касательную о^ = (а^3, а2^) составляю-
составляющие напряжений. Пусть Е - зона налегания поверхностей трещины. Тогда
при х3 = 0 имеем краевые условия
Оъъ < Яз при wv = 0; о^з = 4з, <*т = Чт ПРИ wv > 0
B.1)
|u?| = 0, (xl9x2)GE%	B.2)
при
|uy! Ф 0, (хь*2)ея,	B.3)
wv = |u?| = 0, (xux2)<ER2\G.	B.4)
Здесь р = -(озз - 4з) - давление,/(р), h(p, | uy |) - функции, задаю-
задающие зависимость коэффициента трения от давления и относительного
проскальзывания поверхностей.
Искомые поля напряжений и смещений можно представить в виде
суммы двух полей, первое из которых отвечает состоянию пространства
без трещины под действием объемных сил g, а второе — состоянию про-
пространства с трещиной G при поверхностных нагрузках (q* + а0), где а0 -
= (азз> ff?) ~ напряжения первого поля на месте трещины. Как обычно
182

в теории трещин, будем считать первое ноле напряжений (а0) известным
и определять второе поле о33, ст, w, uT.
Поскольку рассматривается трещина произвольного разрыва, то из
постановки краевых условий не ясно, имеется ли зависимость нормаль-
нормальных компонент напряжений и смещений от касательных. Для того чтобы
выяснить этот вопрос, напомним, что связь между компонентами напря-
напряжений и скачка смещений в плоскости х3 - 0 (для полупространства
х3 ^ 0 в отсутствие объемных сил, к рассмотрению которого можно свести
задачу [35, 36]), имеет вид
°33 =
2<wj	)]'	B-5)
II 1 - vyfe VV1V2
II "ViVi	1 -vm
Здесь, как и в гл. 5, Fя F~l — операторы прямого и обратного преобразо-
преобразований Фурье с параметром ? (?i, ?2)» M — модуль сдвига, v — коэффи-
коэффициент Пуассона. Первое из равенств B.5) показывает, что нормальные
напряжения не зависят от касательных компонент скачка смещений. Это
позволяет разбить исходную задачу B.1)-B.4) на две, решаемые после-
последовательно.
В первой определяются область налегания поверхностей Е и нормаль-
нормальные напряжения в точках области G по условиям
при w = 0,
<*зз =<7з -<*зз при w<0.
Во второй задаче при известном давлении и области Е находятся с7 и
ит (а также области проскальзывания и сцепления в пределах Е) из
условий
|aT-qT+*?| < f{p)p при |ur| = 0,
= [/(Р)+Е(Р\ит |)]puT/|uT| при iuT|>0, B.7)
°т=<1т-ет, (xlfx2)GG\E.	B.8)
Замечание. Представление искомых полей напряжений и смещений в
виде суммы двух имеет место, несмотря на нелинейность исходных гра-
граничных условий B.1)-B.3). Действительно, находя о33, а? из реше-
решения B.6), B.7) и прибавляя к ним о33, а?, получим функции, удов-
удовлетворяющие B.1) —B.3), так как переход к вспомогательной задаче
B.6), B.7) не меняет скачков смещений (в сплошном теле они отсутст-
отсутствуют) и давлений (они представляют собой разности между истинными
и внешними нормальными напряжениями, во вспомогательной задаче
оба эти поля изменены по сравнению с исходной задачей на величину о33).
183

Краевые задачи B.6) и B.7), B.8) допускают эквивалентную вариа-
вариационную формулировку [49].
Задача B.6) при (q3 - о33) Е H_if2(G) эквивалентна вариационной
задаче: найти
min {F!(w)j, Fx(w)^ j\ - a33(w)w-{q3-o%3)w\dxldx2,
w e v	Q	G L 2	J	B.9)
F: w<0, wG#1/2(G).
о
Здесь a33(w) - оператор, задаваемый первой формулой B.5); HS,HS -
как и в предыдущих главах, пространства Соболева—Слободецкого.
Задача B.7), B.8) эквивалентна (при известном давлении р) вариа-
вариационной задаче: найти
min	F2(ur) = / - ar(uT)uT-qTuT +
uTe#1/2(G)	G L 2
+ a? ur +p(/(p) I ur | +Д(р, | uT I)) djctdjc2	B.10)
при условии, что
X =
uT|) = / A(p,$)d|, ReH1/2(G),
о
h(%,v) - непрерывная функция аргумента г? и /^(
8.2.2. Вариационная формулировка краевых задач B.6) и B.7), B.8)
позволяет установить некоторые качественные свойства их решений.
Поскольку задача B.6) не отличается по сути от задачи 8.1, то все
утверждения этого раздела относятся и к ней.
Установим некоторые свойства интегральных характеристик реше-
решения задач B.6) и B.7), B.8).
Напомним, что в гл. 2,6 уже рассматривалась величина объема трещины
и были получены ее оценки. Наряду с объемом трещины упругое поле
на большом расстоянии от нее определяется и другими "моментами"
распределения смещений w, u7. Введем величины
[{	B.11)
Объем трещины - 2 V3°.
Пусть внешние нагрузки — полиномы вида
/з = -
о т
Величины V^ обладают следующим экстремальным свойством.
184

Утверждение 1. Рассмотрим множество смешанных задач с из-
известными границами областей налегания Е * при условиях
w(xlfx2) = 0, (xlfx2)GE\
азО0 = <7з-<7з при w(xlfx2)<0, (х1,х2)<=Е*.
(Как видно, решение исходной задачи B.6) принадлежит семейству и
выделяется тем, что для него выполняется дополнительное неравенство
в B.1) для o3(w) внутри Е.) Тогда на решении задачи B.6) реализуется
максимальное значение линейной комбинации моментов Vlj:
2<;V?(w(#)) = max 2/d'V'(w(?*)).	B.14)
о 3 3	w(E*) о 3 3
Доказательство. Функции w(E*) являются допустимыми для вариа-
вариационной задачи B.9), поэтому
Fl(w(E))<F1(w(E*)), \/w(E*).	B.15)
Но с учетом B.9) и B.12)
= "- f(q3+o°3)w(E*)dxldx2 = - - 2 ЦУ^Е*)).	B.16)
Аналогично
Fx (w(?))= - ^ S K$V$(w(E)).	B.17)
Сравнивая B.16), B.17) с B.15), видим, что условие B.14) выполня-
выполняется. Если условие B.14) реализуется для w(E*), то ни при каком другом
w(E) оно не может выполняться, так как из-за строгой выпуклости функ-
функционала не может принимать одинаковых значений на различных функ-
функциях. Утверждение 1 доказано.
Имеет место соответствие между величинами К^, V1^ и К1* К/;.
Утверждение 2. Каждая из величин VlJ (р= 1,2,3) — монотонно
возрастающая функция KlJ [при неизменных коэффициентах с другими
/, / в разложениях B.12) ].
Доказательство. Пусть и>(/з), w(/|), ur (f?), ur (f?) - решения вариа-
вариационных задач B.9), B.10) для нагрузок, отвечающих двум наборам коэф-
коэффициентов А'з7! и KlJ2, KlJ и KlJ . Необходимые условия минимума
Fi(fL w) hF2(/|, w) npnw =м;(/з) nw =w(/|) имеют с учетом B.9),
B.12) вид
А/з1 -fi)Mf31)-w(fi)]dx1dx2 =
G
-Fdfi,Hfi))> 0.	B.18)
185

Предположим теперь, что К™" > К™2п при некоторых / = га, / = пу
а при остальных /, / имеем KlJt = KlJ2. Тогда для выполнения неравенства
B.18) необходимо, чтобы V™" > V™2n, т.е. зависимости У%(К%) моно-
монотонно возрастающие.
Аналогично B.18) для сдвиговой задачи при условии, что KlJ и, следо-
следовательно, функция р одинаковы дня двух сравниваемых состояний, имеем
2 [(AT'/, -K
о
= j-(f» - f?) [uT(f') - uT(f*)
B 19>
= F2(f*,ur(f?))-F2(fJ,ur(f}))+F2(f?,ur(fJ))-
-F2(f?,uT(f?))> 0.
Из неравенства B.19) следует монотонно возрастающий характер зави-
зависимостей VJI от ^', ?=1,2.
Замечание. Задачам о трещине с учетом трения в зонах налегания поверх-
поверхностей присущи некоторые монотонные зависимости интегральных энерге-
энергетических характеристик решения от коэффициента трения [49]. Не оста-
останавливаясь здесь на доказательстве, сформулируем результат, считая, что
коэффициент трения зависит только от давления (h = 0).
Предположим, что коэффициент трения f(p) меняется пропорциональ-
пропорционально параметру у > 0. Тогда энергия деформации U и сумма (А + L) работ
внешних сил А и сил трения L являются монотонно убывающими функ-
функциями у.
Напомним, что U — сумма квадратичных частей Fx и F2 :
U = - J[o3(w)w^ar(uT)uT]dx1dx2;	B.20)
2 G
{—А) — сумма линейных частей F1hF2:
~А = ![{а% - ?3)w + (<# - qr)uT]йхгйх2;	B.21)
G ¦
L — неквадратичная нелинейная часть F2, взятая с обратным знаком:
?= ЛвтСигЭ-Ят+^М-М-Хг =-J>/(p)|uT| dxtdx2.	B.22)
G	G
Замечание. Рассмотренные задачи о трещинах и полостях с частичным
налеганием поверхностей представляют своеобразную комбинацию задач
о трещинах и контактных задач теории упругости.
Надо сказать, что для контактных задач выполнен целый ряд исследо-
исследований по построению оценок решений. Многие результаты нашли отраже-
отражение в известных монографиях [30, 32, 121], и нет смысла их воспроизво-
воспроизводить здесь. В то же время техника построения оценок в контактных за-
задачах весьма близка к представленной в предыдущих главах на примере
иных задач. Поэтому ограничимся лишь некоторыми указаниями.
В гл. 2 (разд. 2.2) приведена постановка контактной задачи о вдавли-
вдавливании жесткого штампа с фиксированной областью контакта (штамп с
186

острой кромкой) и с неизвестной областью контакта (гладкий штамп)
при отсутствии трения на контакте.
В контактных задачах оценивают главным образом осадку 5 штампа
(при известной вдавливающей силе Р) или вдавливающую силу (при из-
известной осадке). В задачах с неизвестной областью контакта, кроме того,
важны оценки области контакта и характеристик ее изменения при изме-
изменении формы штампа и вдавливающей силы (или осадки).
Первые двусторонние оценки (Р/8) для штампа с острой кромкой
даны в [32]. При этом для получения изопериметрической оценки снизу
была использована аналогия задачи о штампе и задачи о емкости конден-
конденсатора, для которой изопериметрическое неравенство установлено в [111].
Оценка сверху (Р/8) получена в [32] через соответствующие величины
для эллиптического штампа, описанного вокруг заданного. Согласно [32],
2CS/7TI/2 < РA - v2)/E8 < <па/К(е).
Здесь S — площадь области контакта G; а, е — большая полуось и эксцент-
эксцентриситет эллипса, описанного вокруг G; К(е) — полный эллиптический
интеграл первого рода, v, E — коэффициент Пуассона и модуль Юнга.
В [27] улучшена верхняя оценка с использованием результатов [111]
и отмеченной аналогии с задачей о емкости. Показано, что
P(l-v2)/E8< 2aS1/2,
где а. = S~lt27, 7' — внешний радиус области G*. Поскольку величины 7
определены для различных форм области G, в [27] рассчитаны конкрет-
конкретные верхние и нижние оценки {Р/8). При этом для квадратного в плане
штампа с плоским основанием удалось получить почти полное совпадение
верхней и нижней оценок
1Д284А<РA -v2)/E8< 1,1804ft,
здесь Ъ = S~ll2. Из этих неравенств видно, что отклонение (Р/8) от сред-
среднего значения (Р/б)ср = 1,15442?А/A — v2) чуть больше 2%. Интересно,
что численное решение [27] для квадратного штампа дает (Р/8) =
= 1Д501й>A -v2).
Оценки для Р при вдавливании штампа с неплоским основанием и острой
кромкой приведены в [30].
Ряд утверждений, приводящих к двусторонним оценкам осадки штампа
и (или) вдавливающей его силы при изменении площадки контакта, формы
штампа и условий контакта, доказан в [40] на основе теоремы об измене-
изменении работы внешних сил при изменении жесткости (см. разд. 3.2), Приве-
Приведем характерную формулировку. Если в какой-либо области тела умень-
уменьшить (увеличить) жесткость, то для того, чтобы осадка штампа сохрани-
сохранилась, нужно уменьшить (увеличить) вдавливающую силу. Это утверждение
справедливо при поступательном перемещении штампа с плоским основа-
основанием при условии отсутствия трения на контакте или при наличии полного
сцепления штампа и основания.
* Напомним, что внешним радиусом г плоской области G называется радиус того
круга, на внешности которого может быть конформно отображена внешность об-
области G с соблюдением соответствия бесконечно удаленных точек и при отсутствии
линейного растяжения на бесконечности [111].
187

В контактных задачах с неизвестной областью контакта оценки Р, 5 и
области контакта получены в [48] методами вариационных неравенств
(подобно тому как в разд. 8.1 доказана теорема сравнения) и в [120]
с помощью принципа максимума в формулировке Хопфа (аналогично
доказательству теоремы сравнения в п. 5.1.2).
Некоторые результаты качественного характера в контактных задачах
с условиями трения на контакте установлены в [130—132].
Глава 9
НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ В КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ТРЕЩИН
9.1. Критерий медленного роста трещины
В гл. 4 была рассмотрена постановка задачи о хрупком и квазихрупком
разрушении материалов в предположении о том, что деформационные и
прочностные свойства материала не зависят от времени. В результате ха-
характеристика трещиностойкости материала также представляет собой
постоянную материала.
Если же в отличие от рассмотренного ранее случая материалу присущи
временные зависимости процессов деформирования и разрушения, то тре-
трещины могут медленно расти при постоянных или убывающих нагрузках.
Так, в полимерных материалах, в металлах при воздействии агрессивных
сред и при усталостном нагружении рост трещины происходит, как прави-
правило, не критическим образом.
Временные эффекты сильно зависят от уровня напряжений и проявля-
проявляются в первую очередь вблизи края трещины. Во многих случаях концевые
области, где существенны временные эффекты, малы по сравнению с раз-
размерами трещины и тела, и вне них материал деформируется упруго (вяз-
коупругого), это позволяет сформулировать [12] квазистационарное
приближение кинетической теории трещин. Согласно этой теории, если
рост трещины нормального разрыва (а только этот вид трещин и будет
рассматриваться в главе) происходит медленно (так что при ее продви-
продвижении на расстояния порядка нескольких концевых областей внешние
нагрузки, а следовательно, и коэффициент интенсивности напряжений N,
меняются мало), то скорость роста трещины и будет функцией коэф-
коэффициента интенсивности напряжений (при данной среде и температуре).
Эта материальная функция характеризует трещиностойкость материала.
Если пользоваться обратной к ней функцией, то критерий роста трещины
можно записать в виде аналогичном C.2.6)*:
N = Nm(u) = ir-lK(u).	A.1)
* Применимость квазистационарного приближения не связана с тем, как именно
происходит накопление разрушения в концевой области. Оно справедливо и для опи-
описания усталостного разрушения, если понятия медленного продвижения трещины и
изменений N определять по отношению к числу циклов. При этом и зависит от AN -
изменения N в цикле.
188

функция К (и) определена экспериментально для многих материалов
(см., например, [29, 148]). Вид К (и) можно найти и теоретически, исходя
из определенных модельных представлений о деформировании и разруше-
разрушении материала в концевой области трещины [68].
Если зависимость К (и) известна, то при известном начальном (при t - 0)
положении контура трещины кинетику ее роста можно рассчитать согласно
A.1), интегрируя последнее по времени для различных точек контура.
После каждого шага по времени следует находить текущее положение
контура трещины и распределение N вдоль нового контура по решению
соответствующей задачи теории упругости. Поскольку форма трещины в
процессе роста меняется (скорость и в данной точке зависит от уровня N),
кинетический расчет значительно сложнее статического. В связи с этим
особую важность приобретает построение оценок сверху и снизу (или толь-
только снизу) для долговечности тела с медленно растущей трещиной (под
долговечностью тела с трещиной здесь понимается полное время развития
трещины до потери телом несущей способности). К сожалению, пока уда-
удается получить оценки долговечности лишь в сравнительно простых случаях.
Прежде чем переходить к их изложению, отметим, что кинетика трещины
существенно зависит от вида К (и). При немонотонной зависимости К (и)
с минимумом при и* Ф 0 возможен автоколебательный режим ее роста.
Если К (и) > Kmin Ф 0 то, как и в статике, трещина не растет при нагруз-
нагрузках меньших критических. Это характерно для усталостного нагружения
(трещина растет, если AN - изменение N в цикле превышает пороговое).
При монотонно возрастающей функции К (и) (типа степенной), присущей
ряду полимерных, в частности резиноподобных, материалов, трещина раз-
развивается при любом уровне нагрузок.
9.2. Оценка долговечности тела с трещиной
9.2.1. Для оценки опасности существующих в теле трещин в тех случаях,
когда может происходить их медленное развитие, не всегда необходимо
прослеживать за последовательным изменением контура трещины. В ряде
случаев может оказаться достаточным установить оценки сверху и (или)
снизу для долговечности тела с трещиной, убедиться в том, что данная тре-
трещина может (или не может) вызвать разрушение тела за заданное время.
Некоторые оценки такого рода позволяет получить [39] принцип сравне-
сравнения для коэффициента интенсивности напряжений (гл. 5) . Приведем харак-
характерные результаты.
Будем, как и в разд. 9.1, предполагать, что материал обладает типичной
для ряда материалов, монотонно возрастающей зависимостью скорости
роста трещины и от коэффициента интенсивности напряжений:
u = K~1(N) = F(N), F\N)>0, F(oo) = oo, F@) = 0.	B.1)
Допустим, что первоначальный контур трещины имеет параметрическое
представление хх = Xi(s), x2 =*2(s), @< s< 2тг).
Каждая точка контура имеет скорость, направленную по нормали к кон-
контуру и определяемую соотношением B.1), N = N(s), и задача о развитии
189

трещины сводится к решению системы
dXi Ъх2
ot	os u > v^ * * ~" *	,~ _s
1^	*< "-'
dt	bs
при начальных условиях (хьх2)^о = |
Значение коэффициента интенсивности напряжений в точках контура
в каждый момент является, вообще говоря, функционалом от текущих
функций Xi(s, r), x2(s, t) и может быть определено из решения задачи
теории упругости.
При сформулированных выше условиях для функции F(/V) развитие
трещины происходит непрерывно.
Допустим теперь, что имеются два контура: Го и Го, первый из кото-
которых в начальный момент объемлет второй, и заданы такие системы рас-
раскрывающих трещину нагрузок q и q\ что в любой момент времени в каж-
каждой точке q > q , В этом случае трещина, развивающаяся из контура Го,
всегда будет оставаться внутри трещины, развивающейся из контура Го
(аналог следствия 1.3 гл. 5) .
Действительно, в противном случае должна найтись такая точка s* и
такой момент t*, что текущие контуры трещин Г' и Г касаются один дру-
другого, контур Г' лежит внутри контура Г и нормальная скорость и рас-
распространения контура Г' в точке s* больше соответствующей скорости и
контура Г. Однако в силу принципа сравнения, поскольку Г объемлет Г',
N'(s*, ?*) < 7V(s*, t*), и в силу монотонности функции F(N) имеем
и < и. Полученное противоречие доказывает сформулированное утверж-
утверждение.
Предположим, что внешний контур Го относится к числу тех контуров,
для которых удается рассчитать кинетику развития трещины, и допустим,
что этот контур оказьюается безопасным с точки зрения того или иного
критерия. Тогда и контур Го безопасен по тому же критерию. Напротив,
если внутренний контур опасен, то опасен по тому же критерию и внешний
контур Го.
Например, для трещины, занимающей выпуклую область G диаметра d
и ширины /, некоторые оценки ее безопасности можно получить при помо-
помощи описанной и вписанной окружностей, радиусы R и г которых заключе-
заключены в пределах 1/2 d <R< 1/у/зТи 1/2/ > г > 1/3/ [92].
Для этой же цели могут быть использованы и результаты расчетов ки-
кинетики роста эллиптических трещин, если в качестве начального вписан-
вписанного или описанного контура по отношению к исходному выбирать эллип-
эллиптический контур. Так, если приложенные нагрузки удовлетворяют нера-
неравенствам qm\n < q(xi, x2) < qmax, то долговечность среды с трещиной
сложной формы G будет не меньше, чем в случае, когда начальный кон-
контур — эллипс, охватывающий G и растущий в однородном поле интенсив-
интенсивности qmax, и не больше, чем для эллиптической трещины, вписанной в G,
в однородном поле нагрузок интенсивности qmm.
Таким образом, установленное утверждение позволяет строить оценки
190

долговечности тела с трещинами сложной формы при помощи расчетов
кинетики роста трещин сравнительно простой формы. С другой стороны,
оно избавляет от необходимости рассматривать развитие трещин с "сильно
изрезанными" контурами, которые, мало отклоняясь от плавных контуров
по расстоянию, сильно отклоняются по направлению касательной. Расчеты
для плавных контуров провести значительно проще.
При построении оценок долговечности тела с трещиной полезны и пред-
представления об экстремальных контурах и контурах N = const (см. гл. 7).
Если для данного тела построено семейство вложенных контуров N= const
(или экстремальных контуров), то дня оценки долговечности тела с трещи-
трещиной сложной формы достаточно рассмотреть кинетику трещины, ограничен-
ограниченной контуром N = const (или экстремальным контуром), что может ока-
оказаться проще ввиду постоянства N вдоль них.
Особенно эффективными подобные оценки долговечности будут в тех
случаях, когда в заданном поле нагрузок расстояние между текущим
объемлющим и объемлемым контурами сокращается. При этом можно
получить на основании оценок практически точное значение долговечности
тела с исходной трещиной.
Проиллюстрируем сказанное примером. Пусть задана трещина с конту-
контуром Го, раскрываемая сосредоточенной силой Р, приложенной в точке Ау
внутренней по отношению к Го. Проведем две окружности с центром в А —
вписанную в Го (радиуса г0) и описанную (радиуса Ro). По доказанному
выше по мере своего роста трещина будет оставаться между окружностями
радиусов r(t) и R (t), удовлетворяющих уравнениям
Ro,	B.3)
где N(r) = P/ir2yfi.r3/2 [122].
В данном случае, поскольку F — возрастающая функция N, удовлетво-
удовлетворяющая условиям B.1),a N(r) — убьюающая,имеем
d(R - r)ldt = F(N(R)) - F(N(r)) < О,	B.4)
так что полоса, в которую заключен контур трещины, по мере роста тре-
трещины сужается. Иными словами, при указанных условиях нагружения лю-
любая трещина по мере своего роста стремится к круговой. В частности, это
доказьюает устойчивость кругового контура трещины, растущей под дей-
действием центральной силы, по отношению к произвольным возмущениям.
Очевидно, тот же результат будет иметь место для любого осесимметрич-
ного распределения нагрузок, если в кольце, покрывающем контур рас-
рассматриваемой трещины, коэффициент интенсивности напряжений для кру-
круговой трещины падает с ростом ее радиуса.
9.3. Энергетические оценки снизу
долговечности тела с трещиной
Ниже излагается способ построения оценки снизу долговечности тела
с трещиной, использующий некоторые оценки энергии деформации [38].
Этот способ применим к двумерным плоским и осе симметричным задачам
о трещинах. Рассмотрим его на примере двумерных плоских задач. Пусть
191

IL2
.	'
м
^)
rl
JJau(i)
^usfi)
i
i
i
Рис. 44.
L I
Рис. 45.
Рис. 44. Общая диаграмма U{1) и
UU{1), Ue{l) и прямых Ll9 L2,
выделяющих случаи бесконечной
долговечности
Рис. 45. Диаграмма UQ ), выделяю-
выделяющая случаи конечной долговечности
Рис. 46. Диаграмма UQ ) к утвер-
утверждению 1 (Отрезок EF ъщт-
ри ABCD).
Рис. 46.
плоская область D содержит прямолинейную начальную трещину. Медлен-
Медленное развитие трещины происходит под действием распределения нормаль-
нормальных нагрузок, обеспечивающего ее рост как трещины нормального разрыва
вдоль исходного направления.
В таком случае энергия деформации тела с трещиной U представляет
собой функцию длины трещины / (при фиксированных размерах тела
и параметрах распределения нагрузок): U = U(l). Для того чтобы можно
было перейти от энергии U(l) к коэффициенту интенсивности напряже-
напряжений N, входящему в критериальное уравнение A.1), воспользуемся фор-
формулой Ирвина.
Предположим, что найдены верхние и нижние оценки величины U(l):
U,Q)< t/(/)< UUQ).	C.1)
Их можно получить, например, с помощью утверждения об изменении
полной потенциальной энергии системы при изменении жесткости (гл. 4)
и представления об экстремальных контурах трещин (гл. 7).
Неравенства C.1) не дают непосредственно оценок величины (dU/dl),
а следовательно и N, однако позволяют прийти к оценке долговечности
тела с трещиной.
Построим на плоскости (U, I) диаграмму, соответствующую неравен-
неравенствам C.1) (рис. 44) . Относительно скоростной зависимости модуля сцеп-
сцепления К (и) будем предполагать здесь, что это монотонно возрастающая
192

функция такая, что К'(и) > О, К" (и) > О, К@) = КтЫ Ф О (Kmin - так
назьюаемое пороговое значение коэффициента интенсивности напряжений,
при превышении которого реализуется кинетический процесс) (см., на-
например, [122]*).
Пусть в начальный момент трещина L1q имеет длину / 0: / @) =/0.
Оценим время г/, в течение которого длина трещины увеличится до
/ = /1, с помощью диаграммы (U, /).
Сначала укажем те случаи, в которых трещина Ьг никогда не дорастет
до Lt (т.е. время т.1 бесконечно). Для этого заметим, что на кривой К (и)
остановке трещины соответствует Kmin. В силу формулы Ирвина по Kmin
можно вычислить Tmin, следовательно, (d?//d/)min = 2rmjn. Проведем че-
через точку С (рис. 44) прямую L t с углом наклона у к оси /, равным у =
= arctgBrmin-e), e>0.
Если L1 пересекает сторону AD криволинейного четырехугольника
ABCD, то трещина Цо до L\x не дорастет. В этом случае, какова бы ни
была истинная кривая EF изменения U(l), она обязательно пересечет Ьх.
Наклон EF в точке М пересечения (dU/dl) (М) < 2Tmin - е < 2Гт1п,и
заведомо трещина L/o больше чем Г/м не станет. Можно сказать больше,
если провести через точку А прямую L2, параллельную Li9 то очевидно,
что трещина Г/ заведомо не станет больше чем TiR (рис. 44).
Пусть теперь L х пересекает сторону АВ в точке К (рис. 45). Возможны
два случая. В первом —ЕЕ: [KB]. По тем же соображениям, что и приве-
приведенные выше, трещина Г/о до Г^ не дорастет. Во втором случаеЕЕ [АКХ].
Трещина Г/о может в принципе достигнуть Г^ , и можно ставить вопрос об
оценке минимального времени ее развития. Аналогичная ситуация имеет
место и тогда, когда прямая L х пересекает сторону ВС или проходит вы-
выше нее.
Перейдем к оценке минимального значения mir^r.1) = (т.1) . . Из
I q	i q m 1 п
A.1) следует, что время прорастания трещины т.1 равно
'о
{
Г/о i{ G(dU/dl)
Здесь введено обозначение G(dU/dl) =K~
Выражение C.2) для тг1 (при заданной характеристике трещиностой-
кости К~1) представляет собой функционал, зависящий от вида кривой
?/(/), соединяющей точки EnF, соответствующие U(I0), U(lx),
Среди множества кривых ?/(/) выделим отрезок прямой, проходящей
через точки Е и F (рис. 46).
При другом расположении точек Е и F (и (или) сторон ВС и AD криво-
криволинейного четырехугольника ABCD), например для точек Е' и F' (рис. 47),
* Функции К (и) такого типа описывают изменение трещиностойкости в определен-
определенном диапазоне скоростей трещин, в частности, для ряда полимерных материалов, а
также металлов при воздействии агрессивных сред.
13. Зак. 1100	493

rx
z, z, z
Рис. 47. Диаграмма U{1)
к утверждению 2 (Отре-
(Отрезок Е* F* пересекает кри-
кривую ВС)
отрезок E'F' может пересекать сторону В С (muAD) криволинейного че-
четырехугольника. Этот случай будет разобран позднее.
Имеет место следующее.
Утверждение 1. Среди всех кривых ?/(/), соединяющих точки
Е и F, минимум функционалу т.1 B.2) сообщает отрезок EF (если он не
пересекает сторон ВС и AD).
Для доказательства рассмотрим подынтегральное выражение в B.2).
Поскольку оно не зависит явно от U, уравнение Эйлера рассматриваемого
функционала приводит просто к условию (dU/dl) = Сь Сх = const вдоль
экстремали [81]. Таким образом, экстремалью действительно является
отрезок EF.
Теперь покажем, что вдоль экстремали функционал C.2) имеет сильный
минимум. Для этого сначала вычислим величину FU,{J,, где F = 1/G(?/'),
U' =d?//d/. Имеем
C3)
G„,
Поскольку рассматриваются материалы, для которых К1 (и) > О, К" (и) >
>0, то (К~1)' >0, [К-1]" < 0 и, следовательно, G^tu.(U') < 0. Поэто-
Поэтому из B.3) с учетом положительности G следует справедливость усилен-
усиленного условия Лежандра
Fv.v. > 0.	C.4)
194

Проверим теперь, выполняется ли усиленное условие Якоби, т.е., что
отрезок [/0, 1Х] не содержит точек, сопряженных с /0. Уравнение Якоби
для функционала C.2) в нашем случае имеет вид
1	Л
Fh0	C5)
где h — приращение функции U(l), определяющей экстремаль, такое, что
h(/0) =h(li) = 0. Отсюда следует соотношение
Futu,ti = const, V/?[/0,/i].	C.6)
Предположим, что на отрезке [/0, 1\] имеется сопряженная точка Т.
По определению сопряженной точки [81] существует решение уравнения
B.5) h{l) = 0, для которого h(l0) = hG) = 0. Пустьй'(/0) #0ий'@ ^0.
Тогда очевидно, что я (/) имеет разные знаки в точках /0 и /. С другой
стороны, в силу C.4) Fulut> Опри/ G [/0,/i]. Поэтому C.5), C.6) не
могут выполняться одновременно в точках /0 и Г. Мы пришли к противо-
противоречию. Аналогичное противоречие получается, если предположить, что
/г'(/о) или п (/) = 0 равны нулю. Таким образом, сопряженных точек на
отрезке [/0, h] нет.
Поскольку для экстремали EF выполняются условия Лежандра и Якоби,
то по известной теореме вариационного исчисления [81], она действительно
реализует сильный минимум функционала B.2). Утверждение 1 доказано.
Пусть отрезок E9F9 пересекает ВС. Этот случай показан на рис. 47 для
двух характерных видов кривой ВС: без участков отрицательной кривиз-
кривизны, не примыкающих к точкам В и С (рис. 47, а), и с таковыми (рис. 47, б).
Теперь уже нельзя утверждать, что Оу) in реализуется при зависимости
у
?/(/), представляемой отрезком E*F\ поскольку состояния тела с трещи-
трещиной, соответствующие части отрезка E'F\ расположенной вне ABCD, во-
вообще не могут осуществиться (напомним, что кривая ВС дает оценку сверху
для U(l)). Имеет место Утверждение 2. Если экстремаль-отрезок
E'F' пересекает сторону ВС криволинейного четырехугольника АВCD, то
функционал г/1 C.2) достигает минимума вдоль кривой ?/(/), состоящей
¦
из участков экстремалей — касательных к ВС, проведенных из точек Е и
F\ и части кривой ВС, заключенной между точками касания, на которой
спрямлены участки отрицательной кривизны.
Построим сначала кривую, реализующую минимум т.1 для случая,
'о
когда на стороне ВС отсутствуют участки отрицательной кривизны, не при-
примыкающие к точкам В и С (рис. 47, а). Рассмотрим какую-нибудь кривую
L изменения U(l), соединяющую точки Е1 и F' и расположенную внутри
ABCD. Проведем через точку Е9 экстремаль Е'ТМ, касательную к ВС, до
пересечения с L в точке М, тогда ть = (ть)Е м + (jL)MF . Согласно ут-
утверждению 1, (тт)Е м > т,м (рис. 47, а), где т.м соответствует участку
*о	'о
экстремали Е'ТМ, Поэтому ть > т}м + t^f = тL ; здесь через Lx обоз-
195

начена кривая, состоящая из участка экстремали Е'ТМ и части MF' кри-
кривой L. В свою очередь, (ть ) можно уменьшить, если провести через точ-
точку F' экстремаль FrRQ, касательную к ВС, до пересечения с Е'ТМ в точ-
точке Q, и рассмотреть кривую L2(EfTQRF'). Очевидно, что (rL ^) > (тL ^).
Далее, (г^) = Vr + т^ + rRp,. Покажем, что тTQR > (r^)min
(рис. 47,в), где (TlR)min соответствует участку TR кривой ВС. Дейст-
Действительно, tTqR можно сократить, перейдя на участке [lT, lR] к ломаной
TKNR, где KN — касательная к дуге TR, проведенная через точку Р пере-
пересечения дуги TR и перпендикуляра QP к отрезку TR. Этот процесс после-
последовательного снижения ttqR можно, очевидно, продолжить, проводя ана-
аналогичную замену на участках ТР, PR и т.д. до тех пор, пока путь TQR не
заменится дугой TR стороны ВС. Этой дуге и будет соответствовать
(r/i?)min. Поскольку тЕ,т и trf, уменьшить нельзя и проведенное
построение не зависит от выбора исходной кривой L, то (TJl)min будет
достигаться вдоль кривой L3i составленной из отрезков экстремалей
Е'Т, F'Rh дуги TR стороны ВС.
Если на стороне ВС имеется участок (участки) отрицательной кривиз-
кривизны, не примыкающий к точкам В и С (дуга TfR* на рис. 47, б), то построе-
построение кривой, сообщающей минимум т.1, проводится точно так же с той
лишь разницей, что теперь (ггя )min достигается вдоль отрезка T'R',
спрямляющего участок отрицательной кривизны. Утверждение 2 доказано.
Замечания: 1. Возможны случаи, когда экстремаль-отрезок EF пересе-
пересекает сторону AD криволинейного четырехугольника ABCD. При этом
справедливо очевидное видоизменение утверждения 2: кривая, реализую-
щая минимум тг , представляет собой совокупность отрезков касатель-
касательных, проведенных к AD из точек Е и F, и заключенной между точками
касания частью стороны AD, на которой спрямлены участки положитель-
положительной кривизны. Построение такой кривой проводится аналогично предыду-
предыдущему.	г
2. Описанный способ отыскания (?ll)min предполагает, что достаточно
точно известно положение точек Е и F, т.е. U(!o) и ?/(/i), для исходного
тела с трещиной. Возможны ситуации, когда известен лишь промежуток,
в котором расположены U(l0) и U{lx), или обе эти величины. Пусть, напри-
например, положение точки Е, изображающей U(l0), известно неточно: Е заклю-
заключена между точками Е* и Е"\ а положение точки F известно точно (т.е.
UQi) вычислено). В этом случае оценку снизу т.1 можно получить, постро-
*о
ив в соответствии с утверждениями 1,2 кривую, реализующую (тЕ»р) { .
Подобным же образом, если положение точки Е определено, а для точки F
известен лишь промежуток [F'F"], нижнюю оценку (т.1) дает кривая,
реализующая минимум (jEF')> построенная по утверждениям 1,2. Соот-
196

ветственно при наличии неопределенности в положении и Е и F оценку
(т,1) снизу дает кривая, минимизирующая (тЕ„р,). В частности, отсюда
следует, что всегда грубую оценку снизу можно получить, построив кри-
кривую, для которой (тАС) минимально.
Глава 10
ОЦЕНКИ В ЗАДАЧЕ
О КРУЧЕНИИ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ
10.1 Кручение однородного стержня. Локальные оценки
10.1.1. Задача о кручении упругого стержня принадлежит к числу пер-
первых задач механики деформируемого тела, для которых были получены
результаты качественного характера, в том числе и изопериметрические
оценки.
Еще Сен-Венан высказал гипотезу о том, что среди всех призматических
стержней с фиксированной площадью поперечного сечения стержень круго-
кругового сечения имеет наибольшую жесткость при кручении. Доказательство
гипотезы Сен-Венана дано в работе [111].
С методической точки зрения задача о кручении интересна тем, что мно-
многие идеи и способы построения оценок в задачах математической физики
были придуманы или применены при исследовании кручения.
Обзор результатов содержится в [111, 196]. В этой главе мы проиллю-
проиллюстрируем некоторые существенные качественные результаты и методы в
задаче о кручении, избегая по возможности подробных доказательств,
приведенных в оригинальных работах преимущественно последнего вре-
времени.
Напомним постановку задачи (см., например, [7,90,134]).
Рассмотрим призматический упругий стержень. Пусть ось z прямоуголь-
прямоугольной декартовой системы координат (х, у, z) направлена по оси стержня,
оси х, у - по главным осям инерции поперечного сечения, занимающего
область G. Пока будем считать G односвязной областью. Обозначим через
1Х, 1у моменты инерции поперечного сечения относительно осей х, у. При-
Примем, что боковая поверхность стержня не загружена. На торцах z = 0 и
z = / стержня действует крутящий момент
Mz= f(xozy-yozx)dS,	A.1)
G
напряжение ozz = 0. В этом случае ozz(x, у, z) = 0, z Е [0, /], a ozx и
ozy от z не зависят.
Из условий совместности следует, что каждое из напряжений ozx и ozy
удовлетворяет уравнению Лапласа (по х, у). После введения функции
напряжений Прандтля Ф соотношениями (а — пока произвольная постоян-
постоянная)
ozx = сф(ЭФ/Эу), ozy = -о:д(дФ/Эх)	A.2)
197

сразу удовлетворяются уравнения равновесия. Уравнения Лапласа для ка-
касательных напряжений вместе с A.2) показывают, что [Э (АФ)/Зх] = 0 и
[Э (АФ)/ду] = 0, т.е. АФ = const. Обычно константу с учетом произволь-
произвольности ос полагают равной —2. Поэтому функция напряжений удовлетворяет
уравнению
ДФ=-2, (jcj)GG	A.3)
и краевому условию*
Ф = 0, (х,у)еЪС.	A.4)
Выражение A.1) для крутящего момента Mz через функцию напряжений
можно привести к виду
Mz = aiiD9	A.5)
где
Z) = 2/Ф(к	A.6)
G
Величина D — один из основных функционалов решения задачи — назы-
называется жесткостью стержня при кручении и характеризует удельное зна-
значение крутящего момента (в расчете на единицу угла кручения а).
То, что а имеет смысл угла кручения, следует из рассмотрения смещений
в задаче о кручении. Компоненты м, и, w вектора смещения точек стержня
в направлениях осей координат лс, у, z равны [90]
м = — ayz, v = azx, w = onp(x,y).	A.7)
Для стержней не кругового поперечного сечения </? (х, у) ? 0, т.е. при круче-
кручении стержня сечения z = const перестают быть плоскими. Функция
ip (х, у) — функция кручения — гармоническая в G:
Д<р=0, (x,y)eG,	A.8)
удовлетворяющая краевому условию
хпу, (x,y)edG.	A.9)
Функция напряжений Ф и функция кручения у связаны следующим обра-
образом:
дфх = (ЭФ/Э>0 +7, Ъфу = -(ЭФ/Эх +х).	A.10)
Обычно вводят еще гармоническую функцию \р(х, у), равную
!|/ = Ф+1/2(х2+/)	A.11)
и сопряженную к<рв силу A.10). Жесткость D может быть выражена че-
через функцию кручения <р и функцию ф:
*	Ъ&	Ъкр\
2 +у2 +х	у —\dxdy.	A.12)
Ьу Ъх I
*Из условия равновесия на контуре стержня oxztix+ oyzny = 0 (n = (nXf ny) - еди-
единичный вектор внешней нормали к контуру) в силу A.2) имеем ЬФ/bs - 0, т.е. Ф =
= const на Э G. Не изменяя напряжений, положим const равной нулю и придем к крае-
краевому условию A.4).
198

Энергетические теоремы позволяют переформулировать задачу опре-
определения жесткости D.
На основе принципа минимума дополнительной работы можно показать,
что функция напряжений Ф, являющаяся решением задачи о кручении,
минимизирует функционал
/[(IV&|J 4D]d	A.13)
/
2 G
При этом минимальное значение функционала К
Kmin = -l/2D.	A.14)
По принципу минимума потенциальной энергии системы функция кру-
кручения if — решение задачи — минимизирует функционал
Ь{Ф) = - /(lV^|Jd5+ J\[rV*]dS + -/p,	A.15)
2 G	G	2
где Ip — полярный момент инерции сечения стержня Aр = 1Х + 1у). Мини-
Минимальное значение L
Lmin = U2D.	A.16)
Как и всегда при использовании энергетических теорем, с помощью
A.13), A.14) и A.15), A.16) можно получать оценки жесткостиD снизу
и сверху, выбирая соответствующие допустимые поля в функционалах
A.13), A.15).
Далее, из теоремы об ужесточении (см. разд. 3.2) сразу следует, что
жесткость при кручении стержня не уменьшается (не увеличивается) при
переходе к объемлющему (объемлемому) стержню. Иначе говоря, жест-
жесткость D монотонно зависит от области [196]. Это свойство решения задачи
о кручении также позволяет строить двусторонние оценки жесткости.
Примеры применения энергетических методов для нахождения оценок
жесткости можно найти, например, в [90, 104,196, 205, 206].
Изопериметрическая оценка жесткости при кручении сверху рассмот-
рассмотрена в разд. 10.2,10.3.
10.1.2. Наряду с интегральной характеристикой решения задачи о круче-
кручении D интерес представляет и определение максимальных касательных на-
напряжений rmax в сечении G:
Гтах=тах \Jo\x + о\у = да max |V<$|.	(Ы7)
О	G
Можно убедиться, что г достигает максимума на контуре сечения 3G *.
Анализируя задачу о кручении, естественно связывать достижение мак-
максимальным касательным напряжением критического уровня с разрушением
* Доказательство (см., например, [7,90]) использует тот факт, что дважды непре-
непрерывно дифференцируемая функция, лапласиан которой неотрицателен в области G,
достигает максимального значения на границе ЪС Непосредственная проверка с уче-
учетом A.2) приводит к положительности
199

стержня. Соответственно rmax соотносится с максимальным крутящим
моментом, не приводящим к разрушению. Сен-Венан наряду с изопери-
метрической гипотезой для жесткости высказал аналогичную изоперимет-
рическую гипотезу и для максимального крутящего момента. Согласно
это гипотезе (в терминах ттах), при заданном крутящем моменте для
стрежней с одинаковой площадью поперечного сечения наименьшее значе-
значение rmax достигается для стержня кругового сечения. Доказательство
справедливости этой гипотезы дано в [227] (см. также [76]). Отметим,
что основное изопериметрическое неравенство, выражающее эту гипотезу,
является частным случаем соответствующего неравенства, полученного в
[143] для характеристик решения одного класса псевдодифференциаль-
псевдодифференциальных уравнений.
Если обозначить максимальное значение касательного напряжения для
стержня кругового сечения через То, то, согласно точному решению, т\ =
= АъМ\а~ъ, а — площадь сечения. Изопериметрическое неравенство Сен-
Венана имеет вид
T2m>4nM2za-3 или Tm>2y/7Mza-3/2.	A.18)
Непосредственное доказательство A.18) в [76,227] основано на пред-
предварительной оценке снизу max| V<J>|2, который в силу A.17) пропорцио-
пропорционален т2т.
Вводится функция х = Ф + 1/2 | УФ|2 и доказывается ее субгармонич-
субгармоничность следующими преобразования Дх:
Ах = АФ + 1/2 Д(| УФ|2)=-2+(Э2Ф/Э;с2J +
+ (»2Ф/Эу2J + 2(Э2Ф/Э*ЭуJ =
= - 2 + B + д2Ф/Эу2J + (Э2Ф/Эу2J +	A.19)
+ 2{Ъ2Ф1ЪхЪуJ =2 + 4(Э2Ф/Эу2) + 2(Э2Ф/Эу2J +
+ 2(Э2Ф/дхЭ;;J =2A +Э2Ф/Эу2J +2(Э2Ф/дхдуJ.
Таким образом, Дх > 0 и функция х субгармоническая и принимает мак-
максимальное значение на контуре ЭС [90].
Так как Ф|эс = 0,то
2Ф+| УФ|2<тах \ЧФ\2.	A.20)
G
После интегрирования A.20) по области G с учетом формулы для жест-
жесткости/) и A.17) получим неравенство
т2т>гм1ч(аПГ1.	A.21)
В силу изопериметрического неравенства Сен-Венана для жесткости, упоми-
упоминавшегося в п. 10.1.1 [см. B.1)], 2ttD <a2. Окончательно из A.21) имеем
т2т>4пМ2а-*.	A.22)
Доказательство завершено.
Теперь покажем, каким образом A.22) следует из результатов работы
[143]. В п. 6.2.4 приведена постановка задачи и основные результаты
[143], в частности полученное там неравенство B.43) для A^mm иЛ^х.
Заметим, что N — коэффициент в асимптотике решения псевдодифферен-
200

циального уравненияPGAau=f(x),xEG вблизи границы Э<7по нормали
к 3G. В задачах о трещинах /х = 1 и N — коэффициент интенсивности напря-
напряжений; в задаче о кручении стержня \i = 2 и
N=[Vu[.	A.23)
Оператору Лапласа (со знаком минус) соответствует а = 2, &к = 0. При
/ = 1, если положить </? = 2м, то рассмотренное псевдодифференциальное
уравнение F.2.29) перейдет в уравнение задачи кручения. Далее, Wf, опре-
определяемое F.2.31), равно
Wf = f uds;
G
6=0; Н(а) = 2 при а = 2. В результате неравенства F.2.43) переходят в
\Vu\2nin<2Wf< iVMi^ax.	A.24)
Если учесть, что D = 4Wf и тт = MD2(max | Vw |), то A.24) переходят в
(T2)min<2nM22/Da <(T2)max,	A.25)
где Tmin и rmax = тт минимальное и максимальное значения г на контуре
сечения стержня. Правое из неравенств A.25) совпадает с A.21),ас учетом
неравенства Сен-Венана для жесткости и с A.22).
Неравенство Сен-Венана A.22) дает достаточное условие "разрушения"
стрежня при кручении. Достаточное условие "неразрушения" стержня да-
давали бы оценки г сверху. Такого рода оценки получены в работах [175,
229]. Они формулируются в геометрических терминах через радиусы
кругов, вписанных в область G, и характеристики кривизны границы 3G.
Например, в [229] показано, что для стержней, граница которых непрерыв-
непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек, и не имеет входящих уг-
углов:
т<рB-кр);	A.26)
здесь р — радиус максимального круга вписанного в G 9к - минимальная
кривизна контура 3G.
10.2. Кручение однородного стержня.
Изопериметрическое неравенство
10.2.1. Оценку жесткости D сверху дает уже упоминавшееся в начале
п. 10.1.1 изопериметрическое неравенство Сен-Венана. Если площадь сече-
сечения стержня обозначить через а, то из точного решения задачи о кручении
стержйя кругового сечения следует, что его жесткость Do =a2/2n. Согласно
гипотезе Сен-Венана для стержней, имеющих одинаковую площадь
сечения а.
D<D0, D<(a2/2n).	B.1)
Наибольшую известность получило доказательство неравенства B.1)
с помощью симметризации [111] .Ставшая стандартной схема доказатель-
доказательства уже приводилась в разд. 6.2, где рассматривалось изопериметрическое
неравенство для объема трещины.
201

Из A.13), A.14) следует, что
D = max [ 4 / $ds ]2/ / | V& i2d5,	B.2)
$	G	G
где Ф(х, .у), (х, у) Е G — произвольная неотрицательная функция, обра-
обращаясь в нуль на границе области G и имеющая конечный интеграл Дирихле:
/ [УФ|2A5.	B.3)
G
Можно доказать, что при симметризации Штейнера * линий уровня
функции Ф не увеличивается интеграл Дирихле функции Ф. Кроме того,
сохраняется интеграл от самой функции Ф по области G. Таким образом,
при симметризации Штейнера области G (напомним, что мы рассматрива-
рассматриваем пока только односвязные области) числитель в правой части неравен-
неравенства B.2) не меняется, а знаменатель не увеличивается. Значит при сим-
симметризации Штейнера жесткость при кручении стержня не уменьшается.
Это означает, что жесткость при кручении стержня G не превосходит жест-
жесткости стержня кругового сечения, поскольку путем последовательных
симметризации любую односвязную область G можно перевести в круг
пи].
При доказательстве изопериметрического неравенства удобно исполь-
использовать симметризации, поскольку это дает возможность прослеживать из-
изменение жесткости при преобразовании области сечения стержня. Той же
цели можно достичь и иными путями. Один из них применяется в [190]
и при исследовании более сложных, чем рассматриваемая, задач.
Проведем, следуя [190], доказательство изопериметрического нера-
неравенства B.1). Ключевой шаг в этом доказательстве состоит в том, что при
анализе интегралов от функции Ф и ее градиента осуществляется переход
от переменных (х, у) к переменным, связанным с линиями уровня и се-
семейством линий им трансверсальных. Ясно, что при изменении функции
Ф такая криволинейная система координат будет меняться. Чтобы избе-
избежать этого неудобства исходная экстремальная задача рассматривается на
подклассе функций, которые представимы в виде Ф = Ф(?(лг, у)), где
t(x, у) некоторая гладкая функция, также равная нулю на 3G. Очевидно,
что на выделенном подклассе функций уже можно ввести единую криво-
криволинейную систему координат, определяемую семейством линий уровня
t(x, у) (аналогичную полярной системе координат). Это позволяет явно
решить экстремальную задачу и выразить решение через характеристики
линий уровня t (х, у). После чего можно получить оценку решения с помо-
помощью обычного геометрического изопериметрического неравенства, не свя-
связанную с выбором функции t (х, у) . Если же в качестве t взять решение за-
задачи о кручении, то экстремальное значение функционала перейдет в жест-
жесткость стержня, а полученная ее оценка даст изопериметрическое неравен-
неравенство B.1). Перейдем к доказательству.
Будем рассматривать функционал
ДФ)=-2/С(Ф).	B.4)
* См. разд. 1.1.
202

Тогда ясно из A.14), что жесткость при кручении
D = J(G)= л sup /(Ф).	B.5)
Пусть t {хк у) — гладкая функция и t (х, у) I э g = О- Рассмотрим подкласс
функций Ф, представимых в виде
&(x,y) = v(t(x,y)), и@) = 0.	B.6)
Определим "жесткость" на подклассе функций B.6) соотношением
D(G;t(x,y))= sup J(v).	B.7)
Рассмотрим теперь линии уровня функции t (х, у) и семейство облас-
областей G-, таких, что
G-f= {(x,y)eG\t(x,y)>T\,	B.8)
Гг- = ЭС_ = { (х, .у) Е G \t(x, y)=T\.	B.9)
Пусть
Гтах= max t{x,y),	B.10)
(.х.у)
а(Т)= / As, 7@= / iWld/.	B.11)
Сделаем замену переменных в функционале / [v (t (х, у) ) ].
Очевидно,
date)	dn	I	1
	—= f 	d/= / 	d/= / 	d/,	B.12)
dr r_ d^	r_ (dt/dn) г | vr j
где w — внешняя нормаль к Tj. Поэтому
'max	dn	_
- / / \W\2 —dldt
о Г-	dt
_ d«	_
+ 4 / / v(t) 	dldt =
о r_	d?
_	1	_
= - / / \v'(t)\2 IVH2-	 dldt +
о rf	IVn
f
max I	_
+ 4 / v(t) f 	 dldt =
fmax	/ da \
r+ 4 / u@ -— dr.	B.13)
о	\ df /
)
о	г-
Найдем явно решение экстремальной вспомогательной задачи B.7),
используя представление B,13) функционала J(v). Пусть V(t) достав-
доставляет экстремум B.7), B.13). Положим
B.14)
203

Тогда
'max
Д«@) = - /
о
'max	/ da \
+ 4 / [K@ + *@l(-—)df,	BЛ5)
da \
f (hXt)fy(t)dt-
0
'max	'max
-4 / VXi)h'(t)y(t)dt + 4 f h(t)[	1 dr.	B.16)
о	о
Условие экстремальности поэтому имеет вид
'max	'max / da \
-2 / F'@*'@7@<if + 4 / *@	dr = O VA(f),A(O) = O.
о	о	\ dr /	B 17)
Проинтегрируем по частям первое слагаемое в B.17) :
'max
/ f'@a'@7@ Л = к'@ h{tO@ lomax -
0
'max d
-	/ — [ПО7@1 MO dr.	B.18)
о dr
Внеинтегральный член в B.18) равен нулю, так как А@) = 0 и, очевидно,
Следовательно, условие экстремальности B.7) примет вид
d ,	da
—	(К'(ГO@)-2— =0.	B.19)
dr dr
Отсюда V'(t) = 2a(t)/y(t), поскольку K'(rmax) должно быть конечно.
Так как F@) =0,то
' 2a(s)
F(r)= / ——ds.	B.20)
о 7@
Из B.13) и B.20) получим
'max 4a2(s)	'max
D(G-9t{x,y)) = - f 	^- ds + 4 / VXs)a(s)ds =
о 7E)	0
'max a2(s)
= 4 / —-i- ds.	B.21)
0 7E)
Оценим правую часть в B.21) сверху. Рассмотрим выражение для Ls дли-
длины линии уровня Ts. Имеем
/ 1г7*;1/2 \2
204

Из B.22) по неравенству Шварца
Таким образом,
y(s)>[L2/(-da/ds)].	B.24)
Из геометрического изопериметрического неравенства следует, что
Ls>2nRs, Rs= y/a(s)lУ, Ls>2\fna{s),	B.25)
здесь Rs — радиус круга той же площади a(s), что и область Gs, ограничен-
ограниченная кривойLs. В силу B.25) из B.24) имеем
y(s) > [4na/(- da/ds)].	B.26)
Уменьшив в B.21) знаменатель y(s), согласно B.26), получим
*тах 1	/ da \
D(G,t(x,y))<4 f —— a 2(s)[-—)ds =
о 4na(s)	\ as I
\ 'max / da \	1 fmax / da2 \
= - / a(s)[	Id5 = - / I	ds =
no \ ds I 2ir о \ ds /
= ~ [-*tmEX)+a2@)].	B.27)
2tt
Поскольку a2(tmax) = 0, B.27) представляет собой неравенство для
D(G, t (x, у) ), которое не зависит от выбора функции t (jc, у) :
D(G, t(xfy)<(l/27T)a2(Q).	B.28)
Если в качестве t (x, у) выбрать решение задачи о кручении стержня
А	Д
Ф, а в качестве v (t) = t9 то, очевидно, D(G, Ф) = D — жесткости стержня
при кручении и из B.28) получаем D<a2/2n [а = а@)], т.е. изоперимет-
рическое неравенство Сен-Венана B.1).
10.2.2. В [190] описанным методом в сочетании со специальной сим-
симметризацией получено изопериметрическое неравенство для существен-
существенно более общей задачи. Рассматривается функционал
= inf [(/ | Vu|2dx)a l(fv2adx)] ,	B.29)
l0 G	G
где* = (*!, . . . ,xn) — точка «-мерного пространства. Задача B.29) соот-
соответствует, в частности, задаче кручения при а = 1/2, задаче отыскания мини-
минимальной собственной частоты: -Аи = \и, и \bG = 0 при а = 1; нелинейной
задаче на собственное значение [119]
AU+[D2(a,G)/(f \ 4U\2dx)a~l] и2а-г=0, xEG.	B.30)
G
Для тех а, для которых существует решение B.29), B.30), D2 (a, G) >
> D2 (а, G), где G — шар того же объема, что и тело G. Основной результат
205

работы [190] состоит в том, что доказано утверждение: если D2 ( 1/2,G) =
= D2 A/2, G*) , где G* — шар (по сказанному выше объем G* меньше объе-
объема G), то Я2 (a, G) > D2 (a, G*) для а > 1/2.
При доказательстве используется описанный выше переход к перемен-
переменным, связанным с линиями уровня, и соответствующее этим переменным
понятие симметризации.
Если при симметризации Штейнера функции f(x, у) сохраняется пло-
площадь области, ограниченной линией уровня, то при новой симметризации
[190] линии уровня t(x) =7 ставится в соответствие сфера (при п = 2 -
окружность) такого радиуса г, при котором жесткости стержней, огра-
ограниченных контуром t = t и г = Г, одинаковы.
Точнее, вводится жесткость d(t) = D(G, t (x) -7), равная [ср. с B.21) ]
_	дE)
d(t)= f ~~ds.	B.31)
о y(s)
Устанавливается взаимно однозначное соответствие между линиями
уровня t (х) = t (Г-) и сферами, заполняющими шар G*: t соответствует
радиус сферы г, если d(T) = D(r), где D(F) — "жесткость при кручении"
шара радиуса г~.
Любую функцию вида v (t (x)) можно рассматривать как функцию отч/,
так как существует взаимно однозначное соответствие между t nd = d(t).
При этом а (Г) также является функцией от 3: a(t) = a(d). Кроме того
d соответствует d в шаре G*.
По функции v(t) = v(d) строится функция в шаре G*v*(d). Пусть
а*(р) — соответствующая площадь в G*. Тогда v*(p) определяется ра-
равенством
B.32)
Для однозначности это определение дополняется очевидным граничным
условием
u*(D(G*)) = 0.	B.33)
При этом преобразовании (симметризации) сохраняется интеграл Дирих-
Дирихле и для интеграла F (и) от положительной возрастающей функции g (и)
B.34)
справедливо неравенство
/ F(u(x)) dx < f F(u*(x)) dx,	B.35)
G	G*
Эти свойства симметризации после выбора /(?/)= U20L~l. 2а, при а >
> 1/2 сразу приводят к неравенству D2 (a, G) > D2 (а, G*) в задаче B.29),
B.30).
Отметим еще одно интересное применение описанных переменных,
связанных с линиями уровня, для сравнения характеристик решения для
206

областей равной жесткости, а не равной площади, для получения оценок
максимума решения в задаче о кручении (в [189] изучены и более общие
задачи).
Рассмотрим функционал/(Ф) = -2К(Ф) [ср, с A.13J. Можно пока-
показать, что
max /с(Ф)< max Jg*(&),	B.36)
Фф10	O*l0
где G* — круг, площадь которого равна площади области G.
Пусть Gy — круг такой площади, что
?>= max JG(&)= max /гу(Ф) = ЯУ,	B.37)
фф| =0	|
т.е. жесткости при кручении стержней G и Справны. В силу B.36) площадь
Gv меньше площади G.
Обозначим через Ф(х,у) —решение задачи о кручении для области G
и <?>v(x,у) —решение для областиGv.
Введем
т- max Ф(х,у), mv= max 3>v(x, у).	B.38)
(x,y)<=G	.	(x,y)<EGy
Справедливо утверждение
m<mv.	B.39)
Доказательство. Рассмотрим части поверхности z = Ф(х,у), отсекаемые
плоскостями, проходящими через различные линии уровня. Пусть Gc —
область такая, что
Gc= \(x,y)eG\$(x,y)>c\ .	B.40)
Очевидно, функция
и(х,у,с) = Ф(х,у)-с	B.41)
является решением задачи о кручении стержня сечения Gc. Рассмотрим
Dc = max Jgc(u). Имеем*
l =o
= f U(x,y)ds= f U f
Gc	0 JGC
f
1	_	1
= / U f ——dU= f (Ф-с) / —?- <1Ф =
0	bGc | УФ|	О	3GC | УФ|
фтах _	/ da \
= / (Ф-С)(	Г)
0	\ AФ/
тах _ _	фтах
/ д(ф)AФ} = / в(Ф)с1Ф.	B.42)
о	о
* Здесь под жесткостью для простоты понимается просто интеграл от U(x, у) по
области Gc.
207

Следовательно,
т ~* ~*
Dc = / д(ф)ёФ.	B.43)
Продифференцируем B.43) по с. Получим
D9C = -а (с).	B.44)
Для круговой области Gv введем величины, аналогичные Dc — Dc\i,
тогда
(DcJ = -av(cv).	B.45)
Перейдем теперь к новым переменным и будем рассматривать с как
функцию Dc. Из B.44), B.45) получим
-dc/dDc = 1/а(рс),	B.46)
-dcv/d/)cv = l/^v(Dcv).	B-47)
По построению Dc и DcV меняются в одних и тех же пределах. Рассмотрим
с и су при одних и тех же значениях Z).
Поскольку при одинаковых значениях D в силу изопериметрического
неравенства
a(Dc) > ау(РсУ),	B.48)
правая часть B,46) меньше правой части B.47). Далее, граничные ус-
условия для с и су совпадают, так как c(J(G)) = су (/(Gv )) = 0. Отсюда
и из B.46), B.47) следует, что
c(Dc) < c\Dc,).	B.49)
В частности, при D = 0 из B.49) получим
т < ту.	B.50)
Утверждение доказано, Иное его доказательства дано в [111].
Замечания: 1. Мы не рассматривали оценки жесткости снизу. Ряд ре-
результатов в этом направлении имеется в [156, 196, 226].
2,	Основные соотношения в разд. 10.1, 10.2 были приведены для стерж-
стержней с односвязной областью сечения, В случае многосвязных областей
в первую очередь меняются краевая задача для Ф и определение жестко-
жесткости, Соответствующие модификации постановки задачи можно найти,
например, в работах [7, 90], некоторые характерные оценки жесткости
при кручении стержней многосвязного сечения приведены в [9, 196].
3.	В ряде работ рассматривается задача о кручении упругого стерж-
стержня в несколько иной постановке [170, 171]. Отличие в том, что условие
равенства нулю на торцах z = 0, z = / нормальных напряжений заменяет-
заменяется условием стеснения осевых перемещений
w = 0, z = 0, z = I.
Изопериметрическая оценка жесткости /)* стержня в этом случае по-
получена в [170, 171] и связывает D* с жесткостью D стержня в Сен-Ве-
нановской постановке. Оказывается, что всегда D* > D; ?>* < D +
208

+ [(th(mXl))/т\гI] (fxlp — D), где / - длина стержня, Ip - полярный мо-
момент инерции, т - vW 4(Х + 2д)', X, jjl — постоянные Ламэ, \х — мини-
минимальная частота собственных колебаний свободно опертой мембраны
того же сечения. При увеличении длины стержня / различие жесткостей
становится меньше: D* -*D при / -*°°.
4.	В этой главе задачи кручения рассматриваются для линейно-упру-
линейно-упругого материала.
Довольно большой круг работ посвящен исследованию задач пласти-
пластического, упругопластического кручения [151, 163, 220-222, 230] и задач
кручения при ползучести [31, 150, 155, 198, 199, 201]. Мы не имеем воз-
возможности здесь останавливаться на этих работах. Отметим лишь, что с ме-
методической стороны при анализе указанных нелинейных задач много об-
общего с рассмотренными в гл. 1 задачами нелинейной фильтрации, а также
с задачами теории струй идеальной жидкости [24, 176].
5.	Многие методы построения оценок в задачах кручения успешно при-
применяются при получении оценок в задачах о колебаниях и т.п. (см, [111,
156, 159, 196, 199, 207] и указанную там литературу).
10.3. Кручение неоднородных стержней.
Изопериметрическое неравенство
В разделах 10.1, 10.2 анализировалась задача о кручении стержня из
изотропного и однородного упругого материала. Сейчас рассмотрим влия-
влияние неоднородности материала.
Задача о кручении неоднородного стержня, сечение которого — одно-
связная область G эквивалентна краевой задаче [87] для функции напря-
напряжений Ф:
Э /	ЭФ \ Э /	ЭФ\
Ьх \	Ъх / Ъу \	by I
= 0,	C.2)
здесь v(x, у) = м (х, у), м(х,- у) — модуль сдвига материала, зависящий
от координат. Жесткость стержня при кручении по-прежнему равна
D = 2 / Фея.	C.3)
G
Как и в случае однородного стержня [см. A.14), A.15) и A.22)], крае-
краевая задача C.1) C.2) равносильна вариационной задаче отыскания мак-
максимума функционала [87]:
/(Ф) = sup [4 J Фйз- /ИУФ|2A5].	C.4)
Ф,Ф I	G	G
Важно, что максимальное значение/ равно жесткости стержня
D = /тах.	C-5)
В задаче о кручении неоднородных стержней имеет место обобщение
изопериметрического неравенства Сен-Венана B.1) для однородного
14. Зак. 1100	209

стержня. Это обобщенное неравенство Сен-Венана установлено в недав-
недавней работе [28], по материалам которой и написан раздел.
Утверждение. Жесткость при кручении неоднородного призма-
призматического стержня односвязного поперечного сечения G не превосходит
жесткости при кручении стержня кругового сечения той же площади с
модулем сдвига, задаваемым осесимметричной, неубывающей функцией
радиуса, равноизмеримой функции исходной неоднородности.
Прежде чем доказывать это утверждение, отметим принципиальное от-
отличие неоднородной и однородной задач. Дифференциальное уравнение
C.1) неоднородной задачи имеет переменные коэффициенты при стар-
старших производных. Поэтому и в функционал /(Ф) входят не просто ин-
интегралы от градиента Ф, как в однородной задаче, а интегралы от градиен-
градиента Ф с весовой функцией v (jc, у). В однородной задаче применение сим-
симметризации Штейнера приводило к неравенству между интегралом Ди-
Дирихле исходной и симметризованной функций. Ясно, что в неоднородной
задаче для максимизации функционала C.4) надо проводить преобра-
преобразование, которое будет определенным образом соотносить поведение
весовой функции и модуля градиента. Обычные операции симметриза-
симметризации основаны на симметризации линий уровня функции. Изменение гра-
градиента функции не происходит каким-либо закономерным путем. По-
Поэтому не удается согласованно провести перестройку весовой функции
в симметризованной области.
С учетом отмеченной трудности в [28] предложено новое преобразова-
преобразование симметризации, позволяющее работать с весовой функцией v. Более
того, при симметризации [28] сохраняется весовой интеграл Дирихле,
входящий в C.4), и не уменьшается интеграл от самой функции, это и
позволяет доказать изопериметрическое неравенство для жесткости при
кручении неоднородных стержней. Доказательство приведено ниже.
Предварительно сформулируем определение симметризации [28] и
ее свойства.
Рассмотрим функцию f(x, у), (х, у) G G,/|9G =0, имеющую сум-
суммируемый модуль градиента*. Наряду с областью G рассмотрим равнове-
равновеликий ей круг KG: mes G = mes KG = ax. Введем функцию g (x, y) = g (r),
r2 - x2 + у2 в KG равноизмеримую функцию | Vf(x, у) | и не убываю-
убывающую с ростом г. Пусть
Fir) = / g(t)&t, R =у/ф:	C.6)
г
Под симметризацией функции / будем понимать сопоставление ей функ-
функций F (г) и будем обозначать ее F = Fv (/). Приведем необходимые для
дальнейшего и доказанные в работе [28] свойства.
Свойство 1.
/ F"(f)ds> /|/|ds.	C.7)
*В [28] симметризация определена для функций заданных в ограниченной области
G с R . При рассмотрении задачи кручения мы приводим все соотношения для п = 2.
210

Свойство 2.
/ v\V<$>\2ds > f vo\ V<J>|2ds.	C.8)
G	G
Здесь v0 (x, у) — функция, равноизмеримая функции v{x, у) и противо-
противонаправленная* | УФ(х, у) |, где Ф(д:, у) - решение задачи C.1), C.2);
функция vQ(x, у) представима в виде [28] vo(x, у) = vo(\ УФ(х, у) I).
Из C.8) и C.4) имеем
D = 4 / Фds - / И 7Ф|2с1х <
G	G
< 4 f <Pds - f i;0 I ЧФ\2 ds.	C.9)
G	G
Применим симметризацию к функции Ф и преобразуем одновременно
функцию неоднородности v (х, у). Определим в круге KG осесимметрич-
ную функцию v*(x, у) = у*(г), равноизмеримую исходной v(x, у) и не
возрастающую с ростом г. По построению
/yo^l2ds= f p*(r)\VFy(p)(r)\2ds.	C.10)
G	KG
Далее, в силу свойства 1
f<i>ds< f\<P\ds< f F\<P)(r)ds.	C.11)
G	G	Kq
Из C.9) —C.11) заключаем:
D < 4 / F"(<b)(r)ds - f i/*(r)| 7^у(Ф)(г)|2 ds <
kg	kg
sup [4/ x(x,y)ds - f p*(r)\Vx(x,y)\2ds = D*. C.12)
l	(> ^
Здесь Z)* - жесткость при кручении кругового стержня с распределением
модуля сдвига ju*(/O = v~* (/О- Ясно по построению, что м*00 сонаправ-
лена с функцией г, т.е. не убывает с увеличением радиуса. Таким образом,
утверждение доказано.
Отметим, что новая симметризация позволяет исследовать целый ряд
неоднородных задач математической физики. В частности, авторы [28]
рассмотрели задачу о продольных колебаниях закрепленного по концам
неоднородного стержня с переменной плотностью, модулем Юнга и пло-
площадью сечения, а также задачу о емкости конденсатора при неоднород-
неоднородной проводимости пространства. В [28] получены изопериметрические
неравенства для минимальной частоты собственных колебаний и емко-
емкости соответственно.
Различные задачи кручения неоднородных стержней при специальных
предположениях о допустимом распределении неоднородности рассматри-
рассматривались в теории оптимизации конструкций (см., например, [9, 91] и ука-
указанную там литературу).
* Функции /(*, у), ¦ g (х, у) называются сонаправленными [111] (противона-
(противонаправленными), если V04, ^i), (x2, y2) из области их определения [/(*,, ух) -
-f(x2,y2)][g(xl,yl) -g(x2,y2)]>0 «О).
211

Отметим также, что, помимо влияния неоднородности материала на
жесткость при кручении стержня, изучалось и влияние анизотропии его
свойств (см., например, [172]). Как и во многих других задачах теории
упругости анизотропного тела, после соответствующего преобразования
координат, согласованного с типом анизотропии, задача кручения ани-
анизотропного стержня сводится к некоторой задаче кручения изотропного
стержня, но иного поперечного сечения. После чего строятся оценки жестко-
жесткости для исходного стержня [172].
Замечание. Если при построении изопериметрических оценок в допол-
дополнение к технике симметризации использовать предварительное исследо-
исследование поведения решения и, в частности, его линий уровня, то можно по-
получить более сильные оценки, чем традиционные (см. [149] и цитирован-
цитированную там литературу). На этом пути получены оценки решений эллипти-
эллиптических и параболических краевых задач в произвольных областях через
решения специально подобранных модельных задач в шаровой области
того же объема. Поскольку решения исходной и модельной задач опреде-
определены в разных областях, производится поточечное сравнение решения
симметризованной модельной задачи с симметризованным решением
исходной задачи. В последнее время Е.И. Шифрин применительно к крае-
краевым задачам для псевдодифференциальных уравнений, возникающим в
теории трещин, развил технику, приводящую к оценкам, аналогичным
полученным в [149] в краевых задачах для дифференциальных уравнений.

ПРИЛОЖЕНИЕ
О принципе максимума
Значительная часть оценок, приводимых в книге, относится к задачам
механики, математическая формализация которых приводит к той или
иной эллиптической краевой задаче. Независимо от содержательной интер-
интерпретации задачи механики при получении оценок во многих случаях ис-
используется принцип максимума.
Не вдаваясь в детали математического обоснования (см. по этому по-
поводу, например, [25, 82]), напомним необходимые формулировки.
Рассмотрим линейное эллиптическое уравнение второго порядка
Аи = 0, х е D С G,	A.1)
где оператор Аи равен
™ д2и	т Ъи
Аи = 2 а«	 + 2 Ъг— + с = Ми + с,	A.2)
/,/=1 ЭХ/ЭХ/	/=1 Ъхг
матрица пц положительно определена и atj = я//, функции aiic(x), Ь,-(х),
с(х) заданы в G, непрерывны в D, граница bD С с2+<*,а>0.
Для решения и уравнения A.1) справедлив принцип максимума в раз-
различных формах, В книге систематически используются усиленный принцип
максимума в формулировке Хопфа и его следствия [25, 82, 105, 185].
Принцип максимума. Если функция и удовлетворяет условию Ми > 0
и принимает максимальное значение во внутренней точке, то и = const.
Следствие 1. Максимум любой непрерывной в D функции w, удов-
удовлетворяющей условию Ми > 0 в D, достигается на границе.
Следствие 2. Пусть в D существует шар 5, такой, что точка макси-
максимума (минимума) Ро G bD лежит на его границе. Предположим, что в ша-
шаре S коэффициенты оператора М ограничены и удовлетворяют условию:
Зя> 0 такое, что
т	т
2 ацМ, >пЪ_х%\ VI, V* е S.	A.3)
Тогда либо и = const, x ? D, либо производная по внутренней нормали
(Ъи/Ъп) в точке максимума (минимума) отрицательна (положительна)*
ди/Ьп(Р0) < 0 (>0).	A.4)
* Утверждение, касающееся знака нормальной производной для гармонических
функций носит название принципа Зарембы-Жиро [25].
213

Имено следствие 2 используется, в частности, при доказательстве тео-
теорем спавнения для коэффициентов интенсивности напряжений в разд. 5.1.
Примеры разнообразных приложений принципа максимума Хопфа при
доказательстве различных утверждений качественного характера в гидро-
гидродинамике несжимаемой жидкости содержатся, например, в [21, 25, 83,
176, 177].
Обратим внимание также на работы, где содержатся обобщения прин-
принципа максимума Хопфа на случай нелинейных эллиптических уравнений
второго порядка и даны его приложения к построению оценок в нелиней-
нелинейных задачах механики сплошной среды. Обзор работ указанного направ-
направления приведен в [201].

ЛИТЕРАТУРА
1.	Алимов М.М., Скворцов Э.В. Об
оценке фильтрационного расхода при
заданной площади области фильтрации //
Исследования по подземной гидромеха-
гидромеханике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986.
Вып. 8. С. 3-11.
2.	Алимов М.М., Скворцов Э.В. Наи-
Наименьший расход при заданной площади
области фильтрации // Инж.-физ. журн.
1987. Т. 52, №4. С. 633-637.
3.	Алишаев М.Г., Бернадинер М.Г.,
Ентов В.М. Влияние предельного гради-
градиента давления на потери нефти при вы-
вытеснении ее водой // Вопросы нелиней-
нелинейной фильтрации и нефтегазоотдачи при
разработке нефтяных и газовых место-
месторождений. М.: ИГиРГИ, 1972. С. 18-
32.
4.	Аравин В.И., Нумеров С.Н. Тео-
Теория движения жидкостей и газов в не-
деформируемой пористой среде. М.: Гос-
техтеориздат, 1953. 616 с.
5.	Арутюнян Н.Х. Плоская контакт-
контактная задача теории пластичности со сте-
степенным упрочнением материала // Изв.
АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук. 1959.
Т. 12, №2. С. 77-105.
6.	Арутюнян Н.Х, Плоская контакт-
контактная задача теории ползучести // ПММ.
1959. Т. 23, вып. 5. С. 901-924.
7.	Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л.
Кручение упругих тел. М.: Физматгиз,
1963.686 с.
8.	Балуева А.В., Гольдштейн Р.В.,
Зазовский А.Ф. Метод расчета смещений
поверхностей тонких пространственных
полостей // Физ.-техн. пробл. разраб. по-
полез, ископаемых. 1984. № 6. С. 3-9.
9.	Баничук Н.В. Введение в оптими-
оптимизацию конструкций. М.: Наука, 1986.
302 с.
10.	Баренблатт Г.И. О равновесных
трещинах, образующихся при хрупком
разрушении // ПММ. 1959. Т. 23, вып. 3,
ч. 1. С. 434-444; вып. 4, ч. 2. С. 706-
721; вып. 5,ч. 3. С. 893-900.
11.	Баренблатт Г.И. Математическая
теория равновесных трещин, образую-
образующихся при хрупком разрушении //
ПМТФ. 1961. №4. С. 3-56.
12.	Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Сал-
.ганик Р.Л. О кинетике распространения
трещин, ч. 1-4. // Изв. АН СССР. МТТ.
1966.	№ 5. С. 82-92; № 6. С. 76-80;
1967.	№ 1. С. 122-128; № 2. С. 148-150.
13.	Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Ры-
Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов
в природных пластах. М.: Недра, 1984.
208 с.
14.	Басниев К.С., Власов А.М., Ко-
чина И.Н., Максимов В.М. Подземная
гидравлика. М.: Недра, 1986. 303 с.
15.	Беккенбах Э., Беллман Р. Нера-
Неравенства. М.: Мир, 1965. 276 с.
16.	Белаш П.М. Экстремальные прин-
принципы при расчете дебитов несовершен-
несовершенных скважин // Тр. МНИ им. Губкина.
М.: Гостоптехиздат, 1953. Вып. 12.
С. 201-206.
17.	Бенерджи П., Баттерфилд Р. Ме-
Методы граничных элементов в приклад-
прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.
18.	Берг Й, Лёфстрём Й. Интерполя-
Интерполяционные пространства: Введение. М.:
Мир, 1980. 264 с.
19.	Бердичевский В.Л. Вариационные
принципы механики сплошной среды.
М.: Наука, 1983.448 с.
20.	Бернадинер М.Г., Ентов В.М. Гид-
Гидродинамическая теория фильтрации
аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975.
199 с.
21.	Берс Л. Математические вопро-
вопросы дозвуковой и околозвуковой газо-
газовой динамики. М.: Изд-во иностр. лит.,
1961.208 с.
22.	Бетчеллор Дж. Введение в дина-
динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.
23.	Биркгоф Г. Гидродинамика. М.:
Мир, 1963. 244 с.
24.	Биркгоф Г., Сарантанелло Э.
Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964.
466 с.
25.	Бицадзе А.В. Краевые задачи для
эллиптических уравнений второго поряд-
порядка. М.: Наука, 1966.203 с.
215

26.	Бляшке В. Круг и шар. М.: Наука,
1967.232 с.
27.	Бородачев Н.М. Об определении
осадок жестких плит и массивов // Осно-
Основания, фундаменты и механика грунтов.
1964. №4. С. 3-5.
28.	Брудный СР., Шифрин Е.И. Об
одном способе симметризации функций
и его применении к некоторым задачам
теории упругости неоднородных тел //
ПММ. 1988. Т. 32. Вып. 3. С. 441-450.
29.	Вавакин А.С., Салганик Р.Л. К
экспериментальному исследованию ско-
скоростной зависимости трещиностойкости
// Изв. АН СССР. МТТ. 1975. № 5.
С. 127-133.
30.	Ворович И.И., Александров В.М.,
Бабешко В.А. Неклассические смешан-
смешанные задачи теории упругости. М.: Наука,
1974.455 с.
31.	Вылекжанин В.Д. Некоторые изо-
периметрические соотношения в теории
кручения гиперболических стержней при
установившейся ползучести // Инж. журн.
МТТ. 1967. №4. С. 151-154.
32.	Галин Л.А. Контактные задачи
теории упругости. М.: Гостехтеориздат,
1953. 264 с.
33.	Гвоздев А.А. Расчет несущей спо-
способности конструкций по методу преде-
предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949.
273 с.
34.	Гелъфанд ИМ., Фомин СВ. Вариа-
Вариационное исчисление. М.: Физма/ггиз, 1961.
228 с.
35.	Гольдштейн Р.В. Плоская трещи-
трещина произвольного разрыва в упругой сре-
среде // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 3.
С. 111-126.
36.	Гольдштейн Р.В. К пространствен-
пространственной задаче теории упругости для тел с
плоскими трещинами произвольного раз-
разрыва: Препр. ИПМ АН СССР № 122.
М., 1979.65 с.
37.	Гольдштейн Р,В. Некоторые воп-
вопросы механики разрушения крупногаба-
крупногабаритных конструкций // Механика раз-
разрушения. Разрушение конструкций. М.:
Мир, 1980. С. 228-255.
38.	Гольдштейн Р.В. Задачи теории
упругости с неизвестной границей тре-
трещины // Физ.-хим. механика материалов.
1986. №2. С. 7-14.
39.	Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Ва-
Вариационные оценки для коэффициента
интенсивности напряжений на контуре
плоской трещины нормального разрыва
// Изв. АН СССР. МТТ. 1J75. № 3. С. 59-
64.
40.	Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Не-
Некоторые качественные методы в механи-
механике разрушения: Препр. ИМП АН СССР
№ 76. М., 1976.53 с.
41.	Гольдштейн Р.В., Ентов В.М. Ка-
Качественные методы в механике разруше-
разрушения // Математические методы механи-
механики деформируемого твердого тела. М.:
Наука, 1986. С. 36-44.
42.	Гольдштейн Р.В., Ентов В.М., Пав-
Павловский Б.Р. Модель развития водород-
водородных трещин в металлах // Докл. АН
СССР. 1977. Т. 237, № 4. С. 828-831.
43.	Гольдштейн Р.В., Ентов В.М., За-
зовский А.Ф. Решение смешанных крае-
краевых задач прямым вариационным мето-
методом: Препр. ИПМ АН СССР № 78. М.,
1976.54 с.
44.	Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В.
Равновесие полостей и трещин - разре-
разрезов с областями налегания и раскрытия в
упругой среде // ПММ. 1986. Т. 50,
вып. 5. С. 826-834.
45.	Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В.
Численно-аналитический метод решения
пространственных смешанных задач //
Изв. АН СССР. МТТ. 1988. № 4. С. 28-
35.
46.	Гольдштейн Р.В., Капцов А.В.
Формирование структур разрушения сла-
слабо взаимодействующих трещин // Изв.
АН СССР. МТТ. 1982. № 4. С. 173-182.
47.	Гольдштейн Р.В., Капцов А.В.,
Корельштейн Л.Б. Асимптотическое ре-
решение пространственных задач теории
упругости о вытянутых плоских трещи-
трещинах отрыва // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 5.
С. 854-863.
48.	Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Ва-
Вариационные оценки решений некоторых
спешанных пространственных задач тео-
теории упругости с неизвестной границей //
Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 2. С. 82-
94.
49.	Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Ва-
Вариационный метод исследования прост-
пространственных смешанных задач о плос-
плоском разрезе в упругой среде при нали-
наличии проскальзывания и сцепления его
поверхностей // ПММ. 1983. Т.47,вып. 2.
С. 276-285.
50.	Гольдштейн Р.В., Спектор А.А. Ва-
Вариационные методы решения и исследо-
исследования пространственных контактных и
смешанных задач теории упругости с ус-
условиями в форме неравенств: Препр.
ИПМ АН СССР № 219. М., 1983. 66 с.
51.	Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И.
Изопериметрические неравенства и оце-
216

нки некоторых интегральных характери-
характеристик решения пространственной задачи
теории упругости для тела с плоскими
трещинами нормального разрыва // Изв.
АН СССР. МТТ. 1980. № 2, С. 68-79.
52.	Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Не-
Некоторые энергетические методы построе-
построения оценок в пространственных задачах
теории упругости о плоских трещинах
произвольного разрыва // Изв. АН СССР.
МТТ. 1981. №4. С. 61-76.
53.	Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И.
Пространственная задача теории упру-
упругости для тел с трещинами: Препр. ИПМ
АН СССР № 187. М., 1981. 66 с.
54.	Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И.
Теоремы сравнения для некоторого
класса псев до дифференциальных уравне-
уравнений и их приложения // Докл. АН СССР.
1982. Т. 262, № 5. С. 1113-1116.
55.	Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И.
Плоская трещина произвольного разры-
разрыва в ограниченном упругом теле // ПММ.
1982. Т. 46, вып. 3. С. 472-481.
56.	Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И.
Оценки и приближенные формулы в за-
задаче теории упругости о плоской трещи-
трещине нормального разрыва // Изв. АН СССР.
МТТ. 1983. № 1. С. 120-127.
57.	Гуревич М.И. Теория струй идеа-
идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.
58.	Данилов В.Л., Кац Р.М. Гидроди-
Гидродинамические расчеты взаимного вытесне-
вытеснения жидкостей в пористой среде. М.:
Недра, 1980. 264 с.
59.	Друккер Д., Прагер В., Грин-
Гринберг X. Расширенные теоремы о пре-
предельном состоянии для непрерывной сре-
среды // Механика: Сб. пер. М.: Мир, 1953.
Вып. 1. С. 98-106.
60.	Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенст-
Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.
384 с.
61.	Ентов В.М. Об аналогии плоской
фильтрации и продольного сдвига нели-
нейноупругих и пластических тел // ПММ.
1970. Т. 34, вып. 1.С. 162-171.
62.	Ентов В.М. Некоторые проблемы
математической теории фильтрации //
Зап. ЛОМИ АН СССР. 1980. Т. 96. С. 30-
38.
63.	Ентов В.М., Костерин А.В., Сквор-
Скворцов Э.В. Об оценке расхода фильтра-
фильтрационного потока // Изв. АН СССР. МЖГ.
1986. №2. С. 80-87.
64.	Ентов В.М., Малахова Т.А., Пан-
Панков В.Н., Панько СВ. О расчете предель-
предельно равновесных целиков при вытесне-
вытеснении вязкопластической нефти водой из
слоисто-неоднородного пласта // ПММ.
1980. Т. 44, вып. 1. С. 113-121.
65.	Ентов В.М., Панков В.Н., Пань-
Панько СВ. К расчету целиков остаточной
вязкопластичной нефти // ПММ. 1980.
Т. 44, вып. 5. С. 847-856.
66.	Ентов В.М., Панков В.Н., Пань-
Панько СВ. О форме целика остаточной вяз-
вязкопластичной нефти при разработке кру-
круговой залежи // Изв. АН СССР. МЖГ.
1985. №4. С. 86-93.
67.	Ентов В.М., Панько СВ. К вариа-
вариационной формулировке задачи о цели-
целиках остаточной нефти // ПММ. 1984.
Т. 48, вып. 6. С. 966-972.
68.	Ентов В.М., Салганик Р.Л. К мо-
модели хрупкого разрушения Прандтля //
Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 5. С. 87-
99.
69.	Захаревич И. С О вариации реше-
решений интегродифференциальных уравне-
уравнений смешанных задач теории упруго-
упругости при вариации области // ПММ. 1985.
Т. 49, вып. 6. С. 961-968.
70.	Ильинский Н.В., Поташов А.В.
Краевые задачи теории взрыва. Казань:
Изд-во Казан, ун-та, 1986. 180 с.
71.	Ильюшин А.А. Деформация вяз-
копластического тела // Учен. зап. МГУ.
1940. Вып. 39. С. 3-81.
72.	Капцов А.В., Шифрин Е.И. Плос-
Плоская трещина, к поверхностям которой
приложены нормальные гармонические
изменяющиеся во времени усилия // Тр.
Всесоюз. симпоз. по распространению
упругих и упругопластических волн. Но-
Новосибирск: Зап.-Сиб. кн. изд-во, 1986.
С. 129-136.
73.	Кочанов Л.М. Основы теории пла-
пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.
74.	Керчман В.И. Экстремальные
свойства упругой энергии и новые ва-
вариационные принципы в односторонних
задачах для штампов и трещин // Изв.
АН СССР. МТТ. № 5. С. 68-77.
75.	Клюшников В.Д. Математическая
теория пластичности. М.: Изд-во МГУ,
1979.208 с.
76.	Кобелев В.В. Доказательство
изопериметрического неравенства Сен- Ве-
нана о скручиваемом стержне макси-
максимальной прочности // Докл. АН УССР.
Сер. физ.-мат. 1987. № 10. С. 25-27.
77.	Костерин А.В., Скворцов Э.В.
Об оценке минимального расхода при за-
заданной площади области фильтрации //
Исследования по подземной гидромеха-
гидромеханике. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1983.
Вып. 6. С. 47-57.
217

78.	Котяр Л.М., Скворцов Э.В. Пло-
Плоские стационарные задачи фильтрации
жидкости с начальным градиентом.
Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. 142 с.
79.	Красносельский М.А. Положитель-
Положительные решения операторных уравнений.
М.: Физматгиз, 1962. 394 с.
80.	Крейн С.Г. О вариации области
для эллиптических задач // Studia Mathe-
matica. 1968. Vol. 31, N4. P. 411-424.
81.	Курант P., Гильберт Д. Методы
математической физики. М.: Гостехтеор-
издат, 1951.476 с.
82.	Курант Р. Уравнения с частными
производными. М.: Мир, 1964. 830 с.
83.	Лаврентьев М.А. Вариационный
метод в краевых задачах для систем
уравнений эллиптического типа. М.:
Изд-во АН СССР, 1962. 136 с.
84.	Лаврентьев М.А. Конформные
отображения. М.: Гостехтеориздат, 1946.
159 с.
85.	Лебедев Н.Н. Специальные функ-
функции и некоторые их приложения. М.:
Физматгиз, 1963. 380 с.
86.	Лионе Ж,Л. Некоторые методы
решения нелинейных краевых задач.
М.:Мир, 1972. 587 с.
87.	Ломакин В.А. Теория упругости
неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ,
1976. 367 с.
88.	Лурье А.И. Обобщение решения
акад. Б.Г. Галеркина на случай динами-
динамических уравнений теории упругости //
Тез. докл. Всесоюз. конф. по строит,
механике М.; Л.: Изд-во АН СССР,
1938. С. 60-61.
89.	Лурье А.И. Пространственные за-
задачи теории упругости. М.: Гостехтеор-
издат, 1955.492 с.
90.	Лурье А.И. Теория упругости.
М.: Наука, 1970.940 с.
91.	Лурье К.А., Черкаев А.В. Эффек-
Эффективные характеристики композицион-
композиционных материалов и оптимальное проек-
проектирование элементов конструкций //
Успехи механики. 1986. Т. 9, № 2. С. 4-
81.
92.	Люстершк Л.А. Выпуклые те-
тела. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1941. 136 с.
93.	Ляв А. Математическая теория
упругости. М.; Л.: Глав. ред. общ.-техн.
лит. и моногр., 1935. 647 с.
94.	Ляшко ИИ., Великоиванен-
ко ИМ., Лаврик В.И, Мистецкий Г.Е.
Метод мажорантных областей в теории
фильтрации. Киев: Наук, думка, 1974.
200 с.
95.	Маскет М. Течение однородных
жидкостей в пористой среде. М.: Гос-
топтехиздат, 1949. 628 с.
96.	Метод граничных интегральных
уравнений. Вычислительные аспекты и
приложения в механике. М.: Мир, 1978.
210 с.
97.	Михлин С.Г. Проблема миниму-
минимума квадратичного функционала. М.; Л.:
Гостехтеориздат, 1952. 250 с.
98.	Михлин С.Г. Многомерные сингу-
сингулярные интегралы и интегральные урав-
'нения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.
99.	Морозов Н.Ф. Математические
вопросы теории трещин. М.: Наука,
1984.255 с.
100.	Мосолов П.П., Мясников В.П.
Вариационные методы в теории течений
жестковязкопластических сред. М.: Изд-
во МГУ, 1971. 114 с.
101.	Мосолов П.П., Мясников В.П.
Механика жесткопластических сред. М.:
Наука, 1981. 208 с.
102.	Моссаковский В.И. Применение
теоремы взаимности к определению сум-
суммарных сил и моментов в простраьст-
венных контактных задачах // ПММ.
1953. Т. 17, вып. 4. С. 477-482.
103.	Мусхелишвили Н.Н Некоторые
основные задачи математической теории
упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
104.	Николаи Е.Л. Труды по меха-
механике. М.: Гостехтеориздат, 1955. 583 с.
105.	Олейник О.А. О свойствах реше-
решений некоторых краевых задач для урав-
уравнений эллиптического типа // Мат. сб.
1952. Т. 30, №3. С. 695-702.
106.	Панасюк В.В. Предельное равно-
равновесие хрупких тел с трещинами. К.:
Наук .думка, 1968. 246 с.
107.	Панасюк В.В., Андрейкив А.Е.,
Стадник М.М. Пространственные задачи
теории трещин. Ч. 1-3. Физ.-хим. меха-
механика материалов. 1979. № 4. С. 39-55;
№5. С. 45-65, №6. С. 17-26.
108.	Панасюк В.В., Саврук МЛ.,
Дацышин А.П. Распределение напряже-
напряжений около трещин в пластинах и оболоч-
оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. 443 с.
109.	Петухов ИМ., Линьков А.М.
Теория защитных пластов. М.: Недра,
1976. 223 с.
110.	Победря Б.Е. Механика компо-
композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ,
1984. 336 с.
111.	Полиа Г., Сеге Г. Изопериметри-
ческие неравенства в математической
физике. М.: Физматгиз, 1962. 336 с.
112.	Положий Г.Н. Метод движения
граничных точек и мажорантных обла-
218

стей в теории фильтрации // Укр. мат.
журн. 1953. Т. 5, № 4. С. 380-400.
113.	Положий Г.Н. Вариационные тео.-
ремы плоской и осесимметричной фильт-
фильтрации в однородной и неоднородной сре-
средах // Укр. мат. журн. 1954. Т. 6, № 3.
С. 333-348.
114.	Полубаринова-Кочина П.Я. К
вопросу о перемещении контура нефте-
нефтеносности // Докл. АН СССР.. 1945.
Т. 47, №4. С. 254-257.
115.	Полубаринова-Кочина П.Я. О
неустановившихся движениях в теории
фильтрации. О перемещениях контура
нефтеносности // ПММ. 1945. Т. 9, № 1.
С. 79-90.
116.	Полубаринова-Кочина П.Я. Тео-
Теория движения грунтовых вод. М.: Наука,
1977.664 с.
117.	Прагер В. Вариационные прин-
принципы линейной статической теории уп-
упругости при разрывных смещениях, де-
деформациях и напряжениях // Механика:
Сб. пер. М.: Мир, 1969. Вып. 5. С. 139-
144.
118.	Прандтль Л., Титьенс О. Гидро-
Гидроаэромеханика. М.: ОНТИ НКТП СССР,
1932. Т. 1. 222 с; 1935. Т. 2. 283 с.
119.	Похожаев В.И. О собственных
функциях уравнения Аи + лДм) = 0 //
Докл. АН СССР. 1965. Т. 165, № 1.
С. 36-39.
120.	Рабинович В.Л., Спектр А.А. Ре-
Решение некоторых классов пространст-
пространственных контактных задач с неизвест-
неизвестной границей // Изв. АН СССР. МТТ.
1985. №2. С. 93-100.
121.	Развитие теории контактных за-
задач в СССР. / Под ред. Л.А. Галина. М.:
Наука, 1976.493 с.
122.	Разрушение/Под общ.ред. Г. Ли -
бовица. Т. 1-7. М.: Мир, 1973. 616 с;
1975. 764 с; 1976. 797 с; М.: Машино-
Машиностроение, 1977. 400 с; 1977. 464 с;
М.: Металлургия, 1976. 496 с; М.:
Мир, 1976. Ч. 1. 634 с; Ч. 2. 469 с.
123.	Рейснер Э. О некоторых вариа-
вариационных теоремах теории упругости //
Проблемы механики сплошной среды.
М.: Наука, 1961. С. 328-337.
124.	Рэлей Дж. Теория звука. М.;
Л.: Гостехтеориздат, 1955. Т. 1. 500 с;
Т. 2. 476 с.
125.	Салганик Р.Л. Механика тел с
большим числом трещин // Изв. АН
СССР. МТТ. 1973. № 4. С. 149-158.
126.	Сапонджян ОМ. Изгиб свобод-
свободно опертой полигональной плиты // Изв.
АН АрмССР, 1952. Т, 5, № 2. С. 29-46,
127.	Сейвинс Дж. Неньютоновское те-
течение в пористой среде // Механика: Сб.
пер. М.: Мир, 1974. Вып. 2. С. 59-115.
128.	Снеддон И.Н., Берри Д.С. Клас-
Классическая теория упругости. М.: Физмат-
гиз, 1961.219 с.
129.	Соколовский В.В. Теория пла-
пластичности. М.: Высш. шк., 1969. 608 с.
130.	Спектор А.А. Вариационный ме-
метод исследования контактных задач с
проскальзыванием и сцеплением // Докл.
АН СССР. 1977. Т. 236, № 1. С. 39-42.
131.	Спектор А.А. Некоторые прост-
пространственные статические контактные за-
задачи теории упругости с проскальзыва-
проскальзыванием и сцеплением // Изв. АН СССР.
МТТ. 1981. №3. С. 12-25.
132.	Спектор А.А. Вариационные ме-
методы исследования некоторых классов
пространственных задач о контакте уп-
упругих тел при наличии трения // Докл.
АН СССР. 1982. Т. 265, № 3. С. 592-596.
133.	Тамм И.Е. Основы теории элек-
электричества. Изд. 9-е, испр. / Учеб. пособие
для студентов физ. фак. ун-тов. М.:
Наука, 1976.616 с.
134.	Тимошенко СИ, Гудьер Дж.
Теория упругости. М.: Наука, 1975.
576 с.
135.	Тонти Э. Вариационные прин-
принципы в теории упругости // Механика:
Сб. пер. М.: Мир, 1969. Вып. 5. С. 124-
138.
136.	Трехмерные задачи математиче-
математической теории упругости и термоупруго-
термоупругости / Ред. В.Д. Купрадзе. М.: Наука,
1976.663 с.
137.	Фикера Г. Теоремы существо-
существования в теории упругости. М.: Мир,
1974.159 с.
138.	Хилл Р. Новые доказательст-
доказательства некоторых экстремальных принципов
теории упругости // Механика: Сб. пер.
М.: Мир, 1965. Вып. 2. С. 130-136.
139.	Хаппель Дж., Бреннер Г. Гид-
Гидродинамика при малых числах Рейно-
льдса / Пер. с англ. B.C. Бермана и
В.Г. Маркова под ред. Ю.А. Буевича.
М.: Мир, 1976.630 с.
140.	Христианович С.А. Движение
грунтовых вод, не следующее закону
Дарси // ПММ. 1940. Т. 4, вып. 1. С. 33-
52; Христианович С.А. Механика сплош-
сплошной среды. М.: Наука, 1981.
141.	Чарный И.А. Подземная гидро-
гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963.
396 с.
142.	Шифрин Е.И. Плоская трещина
нормального отрыва при наличии линей-
219

ных связей между ее поверхностями //
Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 3. С. 80-86.
143.	Шифрын Е.И. Оценки решения за-
задачи о плоской трещине нормального
разрыва в материале со степенным уп-
упрочнением // Изв. АН Арм. ССР. 1984.
Т. 37, №4. С. 31-43.
144.	Эскин Г.#. Краевые задачи для
эллиптических псевдодифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.
145.	Эшелби Дж, Континуальная
теория дислокаций. М.: Изд-во иностр.
лит., 1963. 247 с.
146.	Якимов Н,Д, Вариационные тео-
теоремы для задач с кривыми депрессии /
Тр. семин. по краевым задачам. Казань:
Изд-во Казан, ун-та, 1976. Вып. 13.
С. 258-275.
147.	Якимов Н.Д, Качественные мето-
методы исследования задач механики сплош-
сплошной среды с неизвестными границами:
Дис... д-ра физ-мат. наук. Казань: Изд-во
Казан.ун-та, 1987. 467 с. Машинопись.
148.	Ярема С.Я. О стабилизации
напряжений около вершины растущей
трещины (вопросы исследования за-
замедленного разрушения) // Проб л.
прочности. 1975 № 8. С. 15-18.
149.	АЫпо A., Lions P.-L., Trombel-
li G. A remark on comparision results via
symmetrization // Pro с Roy. Soc. Edin-
Edinburgh. Sect. A. 1986. Vol. 102, Part 1/2.
P. 37-48.
150.	Anderson N., Arthurs A.M. Upper
and lower bounds for the torsional stif-
stiffness of a prismatic bar // Proc. Roy. Soc.
London. Ser. A. 1972. Vol. 328, N 1573.
P. 295-299.
151.	Aronsson G. An Integral Inequali-
Inequality and Plastic Torsion // Arch. Rat. Mech.
Anal. 1979. Vol. 72, N 1. P. 23-39.
152.	Arthurs AM. Complementary varia-
tional principles. Oxford: Univ. Press,
1970/95 p.
153.	Babuska I. Die Abhangigkeit
der Losung der Elastizitatsprobleme von
kleinen Veranderungen des Definitionsge-
biets // ZAMM. 1959. Bd. 39, H. 9/11.
S. 411-412.
154.	Bandle C. Estimates for the Green's
functions of elliptic operators // SIAM J.
Math. Anal. 1978. Vol. 9, N 6. P. 1126-
1136.
155.	Bandle С On isoperimetric gra-
gradient bounds for poisson problems and
problems of torsional creep // ZAMP.
1979. Vol. 30, N 4. P. 713-715.
156.	Bandle С Isoperimetric inequali-
inequalities and applications. Boston: Pitman
Publ. Inc., 1980. 227 p.
220
157.	Bandle C. A remark on a paper
by Payne and Phillipin // SIAM J. Math.
Anal. 1979. Vol. 10, N 6. P. 1244-1245.
158.	Bazant Z. Three-dimensional
harmonic functions near termination of
gradient singularity lines: a general numeri-
numerical method. // Int. J. Eng. Sci. 1974.
Vol. 12, N3. P. 221-243.
159.	BeesackP.R. Isoperimetric inequali-
inequalities for the nonhomogeneous clamped
rod and plate // J. Math. Mech. 1959.
Vol. 8, N4. P. 471-482.
160.	Bramble J.H., Payne L.E. A priori
bounds in the first boundary value problem
in elasticity // J. Res. Nat. Bur. Stand.
(B). 1961. N2. P. 269-276.
161.	Bramble J.H., Payne L.E. Some
inequalities for vector functions with
applications in elasticity // Arch. Rat.
Mech. Anal. 1962. Vol. 11, N 1. P. 16-26.
162.	Brener S., Roseman J.J. An irf-
tegral bound for the strain energy in nonli-
nonlinear elasticity in terms of the bounbary
displacements // J. of Elasticity. 1979.
Vol. 9, N1. P. 21-27.
163.	Caffarelli L.A., Friedman A. The
free boundary for elastic-plastic torsion
problems // Trans, of the Amer. Mat.
Soc. 1979. Vol. 252, N 1. P. 65-97.
164.	Darcy H. Les fontaines publiques
de la ville de Dijon. Paris, 1986. 647 p.
165.	Day W.A. An estimate for work
in nonlinear viscoelasticity // Quart.
J. Mech. Appl. Math. 1977. Vol. 30, pt 4.
P. 467-474.
166.	Diaz J.B., Greenberg H.J. Upper
and lower bounds for the first boundary
value problem of elasticity // Quart. Appl.
Mathem. 1948. Vol. 6, pt 3. P. 326-331.
167.	Diaz J.B., Payne L.E. Mean value
theorems in the theory of elasticity // Proc.
Third U.S. Nat. Congr. Appl. Mech. ASME.
1958. P. 293-303.
168.	Ergun S. Fluid flow through pac-
packed columns // Chem. Engng. Progr. 1952.
Vol. 48, N1. P. 89-94.
169.	Finn R.S., Gillbarg D. Asymptotic
behaviour and uniqueness of plane subsonic
flows // Comm. Pure Appl. Math. 1957.
Vol. 10, N1. P. 23-63.
170.	Flavin J.N. Bounds for torsional
rigidity with no end warping // J. of Appl.
Mathem. and Physics (ZAMP). 1972.
Vol. 23, N6. P. 999-1002.
171.	Flavin J.N. Bounds for the torsional
rigidity of an isotropic cylinder with no end
warping // J. of Elasticity. 1975. Vol. 5,
N3/4. P. 217-225.
172.	Flavin J.N. Some isoperimentric
bounds for the torsional rigidity of anistro-

pic elastic cylinders // Proc. Roy. Irish. Ac.
1975. Vol. 75, ser. A, N 15. P. 183-194.
173.	Forchheimer P. Wasserbewegung
durch Boden // Z. Deutsch. Ing. 1901.
Bd. 45. S. 1782-1788.
174.	Friedmann A. Variational prin-
principles and free-boundary problems. N.Y.:
Wiley, 1982. 709 p.
175.	Fu S.t Wheeler L. Stress bounds
for bars in torsion // J. Elasticity. 1973.
Vol. 3,N1.P. 1-13.
176.	Gilbarg D. Comparison methods
in the theory of subsonic flows // J. Rational
Mech. Anal. 1953. Vol. 2,N 2. P. 233-251.
177.	Gillbarg D., Shiffman M. On bo-
bodies achieving extreme values of the critical
Mach number 1 // J. Rat. Mech. Anal.
1954. Vol. 3, N 2. P. 209-230.
178.	Goldstein R.V., Entov VM. Va-
Variational bound and qualitative methods in
fracture mechanics // Fracture. 1977. 4,
ICF 4, Waterloo, Canada, 1977. P. 93-121.
179.	Goldstein R.V., Entov VM. Va-
Variational bounds of the stress intensity
factor at the edge of a plane opening mode
crack // Int. J. Fracture. 1975. Vol. 11,
N6. P. 955-961.
180.	Goldstein R.V., Kaptsov A.V.,
Korelstein L.B. Asymptotic solution of
three-dimensional elasticity problems of
elongated plane tensile cracks // J. of
Fracture. 1986. Vol. 31, N 1. P. 83-104.
181.	Griffith A.A. The phenomena of
rupture and flow in solids // Philos. Trans.
Roy. Soc. London, 1920. Ser. A. Vol. 221,
N587. P. 163-198.
182.	Griffith A.A. The theory of ruptu-
rupture // Proc. First Intern. Congr. Appl. Mech./
Ed. C.B. Biezeno, J.M. Burgers. Delft:
Waltman, 1924. P. 55-63.
183.	Haugazeau Y. Sur des inequations
variationnelles // C.R. Acad. Sci. Paris.
1967. Vol. 265. P. 95-98.
184.	Hill R. Elastic properties of rein-
reinforced solids: some theoretical principles //
J. Mech. Phys. Solids. 1963. Vol. 11, N 5.
P. 357-372.
185.	Hopf E. Elementare Bemerkungen
liber Lbsungen partielle Differential-Glei-
chungen zweiter Ordnung vom elliptischen
Typus // Sitzungsberrichte Akad. Berlin.
1927. S. 147-152.
186.	Irwin G.R. Fracture mechanics //
Structural mechanics / Proc. of the first
Symposium on naval structural mechanics,
Aug. 11-14, 1958 / Ed. J.N. Goodier,
N.J. Hoff. Oxford: Pergamon Press, 1960.
P. 557-591.
187.	Keller J.B., Kleinman R.E., Seni-
Senior T.B.A. Dipole moments in Rayleigh scat-
scattering // J. Inst. Math. Appl. 1972. Vol. 9,
N1. P. 14-22.
188.	Knowles J.K., Sternberg E. On
Saint-Venant's principle and the torsion of
solids of revolution // Arch. Rat. Mech.
Anal. 1966. Vol. 22, N 2. P. 100-120.
189.	Kohler-Jobin M.T. Isoperimetric
monotonicity and isoperimetric inequalities
on Payne-Rayner type for the first eigen-
function of the Helmholtz problem // J.
Appl. Mathem. Phys. (ZAMP). 1981.
Vol. 32, N6. P. 625-646.
190.	Kohler-Jobin M.T. Symmetrization
with equal Dirichlet integrals // SI AM J.
Math. Anal. 1982. Vol. 13, N 1. P. 153-
161.
191.	Koiter W.T. On the principle of
stationary complementary energy in the
nonlinear theory of elasticity // SI AM J.
Appl. Math. Anal. 1973. Vol. 253. P. 424-
434.
192.	Laws N. The use of energy theo-
theorems to obtain upper and lower bounds //
J. Inst. Math. Appl. 1975. Vol. 15, N 2.
P. 109-119.
193.	Maxwell J.C. Electricity and
magnetism. Oxford: Clarendon Press, 1892.
194.	Mechanics of Fracture. 2. Three-
dimensional crack problems / Ed. G.C. Sih.
Leyden: Nordhoff Int. Publ., 1975. 452 p.
195.	Noble B.t Sewell M.J. On dual
extremum principles in applied mathe-
mathematics // J. Inst. Math. Appl. 1972. Vol. 9,
N1. P. 123-193.
196.	Payne L.E. Isoperimetric inequa-
inequalities and their applications // SIAM Re-
Review. 1967. Vol. 9, N 3. P. 453-488.
197.	Payne L.E. Bounds for the maxi-
maximum stress in the St. Venant torsion prob-
problem // Indian J. Mech. Math. Special issue.
1968. P. 51-59.
198.	Payne L.E., Philippin GA. Some
applications of the maximum principle in
the problem of torsional creep // SIAM J.
Appl. Math. Anal. 1977. Vol. 33, N 3.
-p. 446-455.
199.	Payne L.E., Phillipin G.A. Iso-
Isoperimetric inequalities in the torsion and
clamped membrane problems for convex
plane domains // SIAM J. Math. Anal.
1983. Vol. 14, N 6. P. 1154-1162.
200.	Payne L.E., Sperb R., Stackgold I.
On Hopf type maximum principle for con-
convex domains // Nonlinear Anal. 1977.
Vol. 1,N 5. P. 547-559.
201.	Payne L.E. "Best possible" maxi-
maximum principles // Mathematical models
and methods in mechanics. Banach center
publ. W-wa: PWN-Polish scientific publi-
publishers, 1985. Vol. 15. P. 610-643.
221

202.	Prager W. On slow visco-plastic
flow // Studies in Mathematics and Appl.
Mechanics, Mises Anniversary Volume.
N.Y.: Acad. Press, 1954. P. 208-216.
203.	Protter M.N., Weinberger H.F.
Maximum principles in differential equa-
equations. Prentice-Hall, 1967. 261 p.
204.	Reissner E. On a variational theo-
theorem in elasticity // J. Math, and Phys.
1950. Vol. 29, N2. P. 90-95.
205.	Reissner E. On bounds for the
torsional stiffness of shafts of varying
circular cross section // J. of Elasticity.
1978. Vol. 8, N 2. P. 221-225.
206.	Reissner E. Upper and lower
bounds for deflections of laminated can-
cantilever beams including the effect of trans-
transverse shear deformation // Trans, of the
ASME. J. of Appl. Mech. 1973. Vol. 40,
N4. P. 988-991.
207.	Schwarz B. Bounds for the prin-
principal frequency of the nonhomogeneous
membrane and for the generalized Dirich-
let integral // Рас. J. of Math. 1957. Vol. 7,
N4. P. 1653-1676.
208.	Shibuya T, Nakahara /., Koizu-
Koizumi L. The axisymmetric destribution of
stresses in an infinite elastic solid con-
containing a flat annular crack under internal
pressure // ZAMM. 1975. Bd. 55, H. 7/8.
S. 395-402.
209.	Shield R.T., Fosdick R.L. Extre-
mum principles in the theory of small
elastic deformations superposed on large
elastic deformations // Progress in Ap-
Applied Mechanics: The Prager anniversary
volume. N.Y.: The Macmillan Company;
L.: Collier Macmillan Ltd, 1963. P. 107-125.
210.	Sneddon /.TV., Tait RJ. The ef-
effect of a penny-shaped crack on the dis-
distribution of stress in a long circular cylin-
cylinder // Int. J. Engng. Sci. 1963. Vol. 1,
N 3. P. 391-409.
211.	Sneddon I.N., Welch J.T A note
on the distribution of stress in a cylinder
containing a penny-shaped crack // Int.
J. Engng. Sci. 1963. Vol.1, N 3. P. 411-419.
212.	Sperb R.P. A priori-schranken
fur das Energieintegral in einem Rand-
wertproblem mit einem Parameter // ZAMP.
1972. Vol. 23, N6. P. 994-998.
213.	Sperb R.P. Maximum principles
and their applications. N.Y.: Academic
Press, 1981. 224 p.
214.	Srivastava K.N., Dwivedi J.R. The
effect of a penny-shaped crack on the
distribution of stress in an elastic sphe-
spheres // Int. J. Engng. Sci. 1971. Vol. 9,
N4. P. 399-420.
215.	Synge J.L. The hyper circle in
mathematical physics. Cambridge: Cambrid-
Cambridge Univ. Press, 1957. 424 p.
216.	Synge J.L. Upper and lower bounds
for the solutions of problems in elasticity//
Proc. Roy. Irish. Ac. 1950. Vol. 53 (A).
P. 41-64.
217.	Татка T, Atsumi A. A fiber
composite with a penny-shaped crack //
Lett. Appl. Eng. Sci. 1975. Vol. 3. P. 155-
165.
218.	The surface crack: physical prob-
problems and computational solution // ASME
Winter Annual Meeting, Nov. 1972. N.Y.:
ASME, 1972. 202 p.
219.	Thomson W., Tait P.G. Elements
of Natural Philosophy. L., 1867. 421 p.
220.	Ting T.W. Elastic-plastic torsion
problem // Arch, for Rat. Mech. and Anal.
1967. Vol. 25, N5. P. 342-366.
221.	Ting T.W. Elastic-plastic torsion
problem // Arch, for Rat. Mech. and Anal.
1969.	Vol. 34, N 3. P. 228-244.
222.	Ting T.W. The ridge of a Jordan
domain and completely plastic torsion //
J. of Math, and Mech. 1966. 15, N 1.
P. 15-47.
223.	Villaggio P. Qualitative methods
in elasticity. Leyden: Noordhoff, 1977.
686 p.
224.	Walpole L. Strengthening effects
in elastic solids // J. Mech. Phys. Solids.
1970.	Vol. 18, N 5. P. 343-358.
225.	Washizu K. Variational methods
in elasticity and plasticity. Oxford: Perga-
mon Press, 1982.540 р.
226.	Weinberger H.F. Upper and lower
bounds for torsional rigidity // J. of Math,
and Phys. 1953. Vol. 32, N 1. P. 54-62.
227.	Weinberger H.F., Serrin J.B. Opti-
Optimal shapes for brittle beams under torsion //
Количественный анализ и его приложе-
приложения. М.: Наука, 1978. С. 88-91.
228.	Westbrook D.R. The torsional
rigidity of tubes of constant normal thick-
thickness // Proc. Camb. Phil. Soc. 1964. Vol. 60,
N4. P. 1023-1026.
229.	Wheeler L. The problem of mini-
minimizing stress concentration at a rigid inclu-
inclusion // J. Appl. Mech. 1985. Vol. 52, N 1.
P. 83-86.
230.	Wheeler L., Fu S.L. Stress bounds
for twisted bars of strip cross section // Int.
J. Sol. Struct. 1974. Vol. 10, N 4. P. 461-
468.
231.	Yin Wan-Lee. Zone estimated
in the elastic-plastic torsional problem //
Quart. Appl. Math. 1977. Vol. 35, N 3.
P. 410-414.
222

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 3
Глава 1
Качественные методы в теории фильтрации	 5
1.1.	Теория фильтрации. Первоначальные сведения		5
1.2.	Теория фильтрации. Дальнейшие результаты и приложения		21
1.3.	Качественные методы в теории фильтрационных течений со свободными
границами.		43
Глава 2
Качественные методы и оценки в задачах теории фильтрации вязкопластич-
ных жидкостей	 54
2.1.	Плоские задачи движения однородной жидкости	 54
2.2.	Вариационные методы и оценки в теории целиков остаточной вязкопла-
стичной нефти	 65
Г л а ва 3
Теория упругости. Уравнения. Некоторые представления решений. Задачи о
трещинах	 72
3.1.	Основные уравнения теории упругости		72
3.2.	Постановка задачи о квазихрупком разрушении. Критерий роста трещин .	76
3.3.	Представление Папковича-Нейбера общего решения уравнений рав-
равновесия упругого тела	, . . . .	81
3.4.	Формула Сомилианы. Дальние поля. Теорема о среднем		86
Глава 4
Теория упругости. Энергетические теоремы и некоторые оценки	 94
4.1.	Некоторые энергетические теоремы теории упругости	 94
4.2.	Изменение энергии при изменении упругих постоянных	 100
Глава 5
Локальные оценки в теории трещин (механике разрушения)	 105
5.1.	Теоремы сравнения для коэффициента интенсивности напряжений на
контуре плоской трещины нормального разрыва в безграничной среде. . . 105
5.2.	Теоремы сравнения для коэффициента интенсивности напряжений на
контуре плоской трещины нормального разрыва при наличии линейных
связей между ее поверхностями	 ПО
5.3.	Некоторые следствия и применения теорем сравнения	 113
5.4.	Обобщения теорем сравнения для ограниченных тел с удаленными от
плоской трещины границами	 120
5.5.	Теоремы сравнения для одного класса псевдодифференциальных уравне-
уравнений 	 122
223

Глава 6
Оценки объема трещины, энергии среды с трещиной и приближенные формулы
для коэффициента интенсивности напряжений	 126
6.1.	Объем трещины и энергия деформации тела с трещиной	 126
6.2.	Оценки сверху для объема трещины и полной потенциальной энергии
тела с трещиной .		128
6.3.	Оценки сверху объема трещины, расположенной в слое		139
6.4.	Оценки снизу для объема трещины		141
6.5.	Приближенные формулы для объема трещины		148
6.6.	Приближенные формулы для коэффициента интенсивности напряжений. .	151
Г л а ва 7
Энергетические оценки и достаточные условия разрушения (неразрушения)
тела с трещиной нормального разрыва	 155
7.1.	Метод построения оценок коэффициента интенсивности напряжений
через оценки полной потенциальной энергии тела с трещиной	 155
7.2.	Построение достаточных условий разрушения (неразрушения) тела
с трещиной с помощью энергетических оценок. Экстремальные контуры
трещин	 160
7.3.	Контуры постоянного коэффициента интенсивности напряжений. Оценки
минимального и максимального значений коэффициента интенсивности
вдоль произвольного контура	 166
Глава 8
Задачи о трещинах с неизвестными границами, обусловленными взаимодей-
взаимодействием поверхностей, и вариационные оценки	 171
8.1.	Задачи о трещинах нормального отрыва с частично налегающими (без
трения) поверхностями	 171
8.2.	Задачи о трещинах при наличии трения между их взаимодействующими
поверхностями	 182
Глава 9
Некоторые оценки в кинетической теории трещин	 188
9.1.	Критерий медленного роста трещин	 188
9.2.	Оценки долговечности тела с трещиной	 189
9.3.	Энергетические оценки снизу долговечности тела с трещиной	 191
Глава 10
Оценки в задаче о кручении призматического стержня	 197
10.1.	Кручение однородного стержня. Локальные оценки	 197
10.2.	Кручение однородного стержня. Изопериметрическое неравенство	 201
10.3.	Кручение неоднородных стержней. Изопериметрическое неравенство . . . 209
Приложение. О принципе максимума	 213
Литература	 215

СПИСОК ОПЕЧАТОК
Стр.
4
15
32
86
89
193
Стропа
11-я св.
17-я сн.
9-я св.
7-я сн.
10-я сн.
18-я св.
20-я св.
23-я» 24-я св.
Напечатано
Е. И. Воро-
жейкиной
V.,
у
1 /
A — / 2v)
Г,
Должно быть
Н. И. Воро-
жейкиной
VP
V2*
У
1
1 —2v
Зак. 1100