radW
z-hv i
ЛЕКЦИИ
Нелинейные операторы
и неподвижные точки
Краткое
и ясное
(,<
изложение
предмета
В. Босс
ЛЕКЦИИ „о
МАТЕМАТИКЕ
ТИМ ----------------
1G Нелинейные операторы
I о и неподвижные тонки
МОСКВА
URSS
ББК 22.152я73
Босс В.
Лекции по математике. Т. 15: Нелинейные операторы
и неподвижные точки: Учебное пособие.
М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. — 224 с.
Содержание группируется вокруг проблематики разрешимости нелиней-
ных уравнений, широко известной отдельными принципами неподвижной точ-
ки. Главное внимание уделяется топологическим методам, основанным на поня-
тиях степени отображения и вращения векторного поля. Большинство вопросов
рассматриваются впервые в учебной литературе. В качестве приложений затра-
гиваются динамические системы и бифуркации.
Изложение отличается краткостью и прозрачностью.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
Издательство «Книжный дом “ЛИБРОКОМ”».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 9.
Формат 60x90/16. Пен. л. 14. Зак. № 3496.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, ИА, стр. 11.
ISBN 978-5-397-01328-4
© Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
“ТГ-! E-mail: URSS@URSS.ru
X» Каталог изданий в Интернете:
W http://URSS.ru
J Тел./факс: 7 (499) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 (499) 135-12-16
8715 ID 111667
9 785397 013284
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.
Содержание
Предисловие к «Лекциям».............................. 7
Предисловие к пятнадцатому тому...................... 9
Глава 1.	Симптомы и задачи.......................... 10
1.1.	Линейный фон............................... 10
1.2.	Нелинейные системы ........................ 13
1.3.	Парадоксы нелинейных цепей................. 18
1.4.	Бесконечномерные задачи.................... 21
Глава 2.	Метрические инструменты.................... 24
2.1.	Принцип сжимающих отображений.............. 24
2.2.	Примеры и вариации......................... 27
2.3.	Нормы и линейные приближения............... 29
2.4.	Теорема о неявной функции.................. 33
2.5.	Обращение принципов сжатия................. 35
Глава 3.	Топологические принципы неподвижной точки... 40
3.1.	Вращение векторного поля................... 40
3.2.	Вращение как вращение...................... 45
3.3.	Топологические аномалии.................... 47
3.4.	Гомотопия векторных полей.................. 48
3.5.	Ядро теории..............................   51
3.6.	Разрешимость уравнений .................... 54
3.7.	О теореме Брауэра.......................... 55
3.8.	Теорема Карамардиана....................... 57
4
Содержание
Глава 4. Степень отображения и вращение............. 60
4.1.	Дифференциальная преамбула................. 60
4.2.	Степень отображения ....................... 66
4.3.	Свойства степени........................... 68
4.4.	Степень и вращение ........................ 70
4.5.	Невырожденное продолжение поля............. 74
Глава 5. К теории вращения векторного поля.......... 77
5.1.	Индексы и алгебраическое число нулей....... 77
5.2.	Индексы на бесконечности................... 79
5.3.	Накрытия и гомеоморфизмы .................. 80
5.4.	Параметрические уравнения.................. 83
5.5.	Лемма Лере—Шаудера......................... 87
5.6.	Итерации и принцип Браудера................ 89
5.7.	Векторные поля нормалей.................... 91
5.8.	Нечетные поля.............................. 94
Глава 6. Динамические системы......................  95
6.1.	Оператор сдвига по траекториям ............ 95
6.2.	Вынужденные колебания...................... 97
6.3.	Градиентные поля и невозвращаемость........102
6.4.	О потенциалах..............................104
6.5.	Деформационные мотивы......................107
6.6.	Нужна ли гладкость.........................112
6.7.	Неградиентные системы......................113
6.8.	Автоколебания и последование...............115
Глава 7. Вполне непрерывные поля....................117
7.1.	Стягиваемость сферы по себе................117
7.2.	Компактные операторы.......................119
7.3.	Вращение вполне непрерывного поля..........121
7.4.	Вычисление и свойства......................123
7.5.	Невырожденные продолжения..................127
Содержание
5
7.6.	Теоремы родственности..................	 • • 128
7.7.	Итерации операторов........................131
Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом . . 135
8.1.	Полуупорядоченность и авансы...............135
8.2.	Специфика монотонности.....................139
8.3.	Феномен инвариантности конуса ........ч . . . >. 141
8.4.	Антураж текущего фарватера ................146
8.5.	Операторы сдвига
в условиях полуупорядоченности.................. 147
8.6.	Конус положительно определенных матриц.....150
8.7.	Гетеротонные отображения...................153
8.8.	Гетеротонная динамика......................157
8.9.	Супероднородные операторы..................158
8.10.	if-системы.................................162
8.11.	Теоремы о накрытиях и неравенства..........166
8.12.	Универсальные Р-системы....................168
8.13.	Системы с ограниченным межэлементным
взаимодействием...................................171
8.14.	Комментарии и дополнения...................173
Глава 9. Возмущения и бифуркации.....................175
9.1.	О содержательных задачах
и абстрактных постановках........................175
9.2.	Принцип смены индекса......................178
9.3.	Перестройки фазового портрета..............181
9.4.	Деформации с ограничениями.................183
9.5.	Многопараметрические задачи................186
9.6.	Итерационные процессы......................189
9.7.	Иерархия циклов............................193
9.8.	Многомерный сценарий.......................197
9.9.	Загадочность циклов типа Гз................202
9.10.	Устойчивость и хаос........................204
6	Содержание
Глава 10. Многозначные поля..........................206
10.1.	Причины многозначности.....................206
10.2.	Замкнутые отображения......................209
10.3.	Отображения с выпуклыми	образами...........210
10.4.	Теоремы о неподвижных точках...............212
Сокращения и обозначения.............................216
Литература ......................................... 218
Предметный указатель................................ 220
Предисловие к «Лекциям»
Whether you think you can or whether
you think you can’t, you’re right!
Henry Ford
Для нормального изучения любого математического предмета
необходимы, по крайней мере, 4 ингредиента:
1)	живой учитель',
2)	обыкновенный подробный учебник',
3)	рядовой задачник',
4)	учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы,
связи, «что зачем».
До четвертого пункта у системы образования руки не дохо-
дили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась,
но в большинстве случаев — при параллельном исполнении
функций обыкновенного учебника. Акценты из-за перегрузки
менялись, и намерения со второй-третьей главы начинали дрей-
фовать, не достигая результата. В виртуальном пространстве так
бывает. Аналог объединения гантели с теннисной ракеткой пере-
стает решать обе задачи, хотя это не сразу бросается в глаза.
«Лекции» ставят 4-й пункт своей главной целью. Сопутствую-
щая идея — экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций
о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около
20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с об-
ширностью математики, а не с перегрузкой деталями.
Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ «на всех»
выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обо-
зримый вид, обнаженные конструкции доказательств, — такого
сорта книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты
8
Предисловие к «Лекциям>
самой высокой категории тратят массу сил и времени на освое-
ние математических секторов, лежащих за рамками собственной
специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается
короткая дорога, позволяющая быстро освоить новые области
и освежить старые. Для начинающих «короткие дороги» тем бо-
лее полезны, поскольку облегчают движение любыми другими
путями.
В вопросе «на кого рассчитано», — есть и другой аспект.
На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-
таки выходит «на всех». Звучит странно, но речь не идет о ре-
гламентации кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно
описывается предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется
дальше.
Наконец, последнее. В условиях информационного наводне-
ния инструменты вчерашнего дня перестают работать. Не потому,
что изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что
новых секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях
мало кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэто-
му учить всему — надо как-то иначе. «Лекции» дают пример.
Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае, это
продукт нового поколения. Те же «колеса», тот же «руль», та же
математическая суть, — но по-другому.
Предисловие к пятнадцатому тому
When my horse is running good,
I don’t stop to give him sugar.
William Faulkner
Том планировался по нелинейному анализу1,1, но мало что по-
местилось. И содержание в итоге было сгруппировано вокруг
неподвижных точек. Тематика широко известна по названию,
но не очень хорошо — по существу. Тогда как в разрешимость
уравнений и свойства решений — все упирается. В качестве при-
ложений рассматриваются динамические системы и бифуркации.
Классический анализ в своей основе линеен, ибо скользит по нелинейностям, фо-
кусируясь на малых окрестностях. Нелинейный анализ стремится видеть задачу целиком,
ко нс всегда получается.
Глава 1
Симптомы и задачи
Imagination is more important than
knowledge. Knowledge is limited '1.
Einstein
Линейная теория опирается на один простой трюк,
правда, выдающийся. На принцип суперпозиции ре-
шений. Но разнообразие обстоятельств порождает
такой букет следствий, что забывается даже, отку-
да изобилие. Нелинейная карусель менее успешна.
Нужны другие инструменты. Плюс к тому, линейные
стереотипы мышления то и дело заманивают в ло-
вушку, подстерегая на ровном месте.
1.1. Линейный фон
Линейные модели возникают когда как. Если система описыва-
ется конечным набором параметров
х = {«1,... ,жп},
то поиск равновесия сводится к решению уравнения Ах + 6 = 0.
И вообще, система оказывается запечатлена в матрице А.
При изучении динамических процессов возникают однородные
либо неоднородные дифференциальные уравнения
х = Ах, х = Ах + b(t),
Эпиграфы и ремарки даются без перевода умышленно. На другом языке состарив-
шиеся истины иногда звучат откровениями, чему субтитры только мешают. Немаловажны
и побочные эффекты.
1.1. Линейный фон
11
и тут кажется, что ситуация кардинально другая. Отчасти это
действительно так, но дифуры можно записывать в виде Lx = О
с дифференциальным оператором
d	/ ч
L = — - А, либо L =-----------А-Ъ(-),
dt	di
и разница с предыдущим заключается в том, что Ах + 6 = 0 —
уравнение в R", a Lx = 0 необходимо рассматривать в каком-либо
бесконечномерном пространстве. То есть уравнения одинаковые,
пространства разные.
В случае х^ +	+ ... + вп_|ж' + апх = b(t) задача опять-таки
редуцируется к Lx = b(t) с линейным дифференциальным оператором
Lx = хм + иЛ” + ... + an-tx' + апх.
То же самое происходит в системах с распределенными параметрами,
где линейные уравнения с частными производными обретают форму Lx = 6
по тому же рецепту [4, т. 11].
♦ Таким образом, ядро линейной мате-
матики образуют линейные операторы, ха-
рактеризуемые свойством
L(ax + (Зу') = aLx + (3Ly,	(1.1)
которое как раз обеспечивает принцип су-
.	перпозиции:
если X) и Х2 — решения Lx = 0, то решением является также
х = аХ] + (3x2
при произвольных константах а, /3. В случае неоднородного урав-
нения принцип суперпозиции приобретает иную форму, хотя
но сути ту же: если X] = Т-|6| — решение уравнения Lx = 6],
а Х2 = Т-16| — решение Lx = Ъ2, то ах\ + (3x2 — решение
Lx = ab\ + /362,
н силу линейности обратного оператора
12
Глава 1. Симптомы и задачи
Благодаря этому, если £*,•(<) — решение Lx = sin kt. и
00
b(t) = a/j sin kt,
*X)
to :z:(/,)	^2	— решение Lx — b(t), что позволяет решать
уравнения на основе разложения правой части в ряд Фурье.
Это уже фокус с далеко идущими последствиями, каковые
рождают частотные методы изучения линейных систем.
На соответствующем этаже корни уходят на второй
план, и начинает казаться, что все дело в гармоническом
анализе. Потом еще хуже, феномены типа интерференции,
дифракции — начинают восприниматься как атрибуты
устройства Вселенной, а не следствия суперпозиции (1.1).
Следствия (1.1), конечно, намного богаче. Частотный ана-
лиз — не единственная платформа, на которой можно размещать
линейные системы. Важный срез образуют различные интеграль-
ные представления. Скажем, обращение дифференциального опе-
ратора в линейной задаче Lx — b(t) обычно имеет вид2)
00
G(t, s)b(s) ds,	(1.2)
-00
G(t, s) — функция Грина3\
В стационарном случае G(t, s) является функцией одного
параметра г = t — s, и (1.2) переходит в
00
ж(£) — j G(r)b(t — т) dr,	(1.3)
-00
2) При определенных начальных или краевых условиях.
В теории автоматического регулирования G(t, s) называют импульсной переходной
функцией, и на систему Lx = bit) смотрят как на преобразование входа b(t) в выходной
сигнал x(t).
x(t) = L 'b(t) =
1.2. Нелинейные системы
13
где G(t) определяется как реакция системы на единственное
импульсное воздействие J(t) из уравнения LG(r) = д(т). Таким
образом, чтобы вычислять реакцию системы на любое внешнее
воздействие b(t) по формуле (1.3), реакцию системы достаточно
измерить один раз на воздействие 8(т). На вход подается дельта-
функция — и объект «расшифрован».
Перечисленное относится к аппаратным средствам, и всяк
понимает, что за пределами линейной теории дееспособность
этих инструментов ограничена. Но вот добываемые плоды не-
редко кажутся универсальными законами мироздания. Сознание
закупоривается, и все выходящее за пределы линейной догматики
представляется ересью.
1.2. Нелинейные системы
Учет нелинейных зависимостей, конечно, порождает новые фе-
номены, однако фантазия быстро иссякает. Что первым делом
приходит в голову при нелинейном усложнении моделей?
Если линейные системы общего положения имеют единствен-
ное равновесие, любая окрестность которого представляет слепок
фазового пространства в целом 4\ то в нелинейном случае сие
удобство теряется. Положений равновесия может быть несколь-
ко, разных по характеру устойчивости. Возможны также устойчи-
вые колебательные режимы. Более-менее очевидна потенциаль-
ная возможность хитроумных бифуркаций в связи с ветвлением
решений при изменении параметров.
Тут поток воображения и пересыхает. Особенно, если не хва-
тает странствий по территории содержательных задач, каковые
в математической среде не так популярны, но важны с точки
зрения широты диапазона вопросов. Последнее существенно, ибо
4) Локальная устойчивость, например, означает — глобальную, и т. п.
14
Глава 1. Симптомы и задачи
не имея вопросов, какие ответы можно искать? Поэтому к не-
линейному анализу есть резон подходить с некоторым запасом
практических ситуаций, питающих общие постановки задач и поз-
воляющих проигрывать на себе абстрактные выводы.
Межотраслевой баланс. Пусть экономическая система состоит из п вза-
имосвязанных отраслей; г-я отрасль выпускает г-й продукт в количестве ж,,
который внутри системы затрачивается в количестве
Pi(xi,...,xn)=pi(x).
Чистый выпуск г-ro продукта при этом равен
Pi = Xi - р{(х),
и все сводится к изучению векторного уравнения5'
х - Р(х) = у,
Р(х) = {р|(ж),... ,р„(х)}.
(1-4)
Здесь возникают следующие вопросы. Можно ли обеспечить заданный
набор у = {j/i,..., уп} подходящим набором плановых выпусков
X —	• • • ,	?
Единственным ли образом это можно сделать? Можно ли обеспечить любой на-
перед заданный набор чистых выпусков? Надо ли увеличивать объемы Х\,..., хп
для увеличения чистых выпусков? — Не всегда, кстати.
С формальной точки зрения перечисленные вопросы (и их логические
продолжения) звучат примерно так. Существует ли решение уравнения (1.4)
при заданном у? Единственно ли оно? Существуют ли решения (1.4) при всех
(в данном случае неотрицательных) у'! Если да, то однозначна ли и непрерыв-
на ли функция ж(г/)?
Сбалансированный рост. Пусть в fc-й период в системе имеются продукты
в количествах хк = {ж*,..., х„}, из которых в следующий период может быть
произведен набор продуктов
жЛ‘+1 = F(xk).
5' Если оператор Р(х) внутрисистемных затрат линеен, модель называется леонтьевской.
1.2. Нелинейные системы
15
Возможность пропорционального роста выпусков сводится к вопросу о разре-
шимости параметрического уравненияб'
Г(ж) = Аж, А > 1,	(1.5)
т. е. о существовании у нелинейного оператора F собственного вектора.
Рыночная модель. Допустим, на рынке продается п товаров, ж,- — цена г-го
товара, ..., х„) — избыточный спрос на г-й товар7' (спрос минус предло-
жение). Динамика цен естественна. Рыночная цена ж, растет, если /Дж) < О,
и убывает, если ft(x) > 0. В этом случае равновесным может быть лишь та-
кой набор цен ж, при котором все функции избыточного спроса обращаются
б нуль8'.
Задача опять-таки сводится к изучению нелинейного уравнения
Л®) = {710), - - -, /п(ж)} = о.
Существование и единственность решения автоматически попадают в фокус
внимания, но появляются и специфические вопросы. В данном случае, на-
пример, описание системы (оператора /) довольно размыто. Едва ли можно
рассчитывать, что функции избыточного спроса fi(x) известны сколько-нибудь
точно в широких диапазонах изменения цен. В подобных ситуациях поначалу
обычно возникает ощущение безвыходности. Как можно говорить о равнове-
сии, если ничего не известно о системе? Конечно, если совсем ничего, — то
никак. Но в таких случаях, как правило, все-таки есть информация качествен-
ного характера, чего бывает достаточно. Одной лишь гетеротонности иногда
достаточно для далекоидущих выводов.
Равновесие по Нэшу. Пусть экономическая система состоит из п взаимосвя-
занных элементов (ячеек) А,. Каждый Д распоряжается выбором переменной
ж,- 6 Xj, а Е>,(Ж|,..., жп) обозначает функцию выигрыша А;. В теории игр ж,
называют стратегией игрока А,, что плохо укладывается в семантику слова
«стратегия», но термин общепринят.
Описанная ситуация типична для экономики. Каждая ячейка имеет свою
степень свободы9' ж,, но выбор ж,- не определяет полностью собственный вы-
игрыш Di — кое-что зависит от действий других элементов системы. Возникает
б'Требование А > 1 проистекает из необходимости роста, а не затухания.
7' Возможная зависимость /, не только от собственной цены ж,- — очевидна. Рост
мясной цены увеличивает спрос на рыбу, а удорожание запчастей уменьшает спрос
на изделие.
8'Точнее говоря, вектор цен х* считается равновесным, если для каждого i выполня-
ется одно из двух: или /Дж*) = 0, или /Дж*) < 0, Ж; = 0. Но бесплатные товары типа
воздуха целесообразно исключать из рассмотрения.
9' Объемы выпусков, заявки на сырье, график работ и т. д.
16
Глава 1. Симптомы и задачи
вопрос: какой выбор стратегий
х =	ж„}
будет равновесным? В принципе ответов может быть много. Один из широ-
ко распространенных вариантов — равновесие по Нэшу, в котором ни один
из элементов не может добиться увеличения своего выигрыша изменением
собственной переменной ж,-. В естественных предположениях соответствующее
равновесие х* будет решением системы уравнений
Более аккуратная и менее обязывающая формализация опирается на оператор
Л®) =	, /„(ж)},
определяемый соотношениями
Xq_i,..., xn) = тахД(ж),
Х{£Х,
в результате чего нэшевские решения становятся неподвижными точками one-
ратора /(ж), т. е. либо решениями уравнения х — /(ж), либо (в многозначном
варианте) решениями включения
х 6 /(ж).
Биологические сообщества. Пусть х, обознача-
ет численность г-й популяции в условиях сосуще-
ствования п биологических видов с общим ареалом
обитания. Скорость изменения ж,- (разность между
рождаемостью и смертностью) в общем случае за-
висит не только от ж<, но и от других численностей
Xj в силу взаимоотношений типа «хищник — жерт-
ва», конкуренции и др. Таким образом, динамика
сообщества описывается некой системой диффе-
ренциальных уравнений
х, = fi(xt,... ,ж„), г = 1,...,п,
или в векторном виде
ж = /(ж).	(1.6)
В правую часть (1.6) может входить некий вектор у, символизирующий
внешние воздействия на систему: отстрел или подкормка животных, использо-
вание ядохимикатов для борьбы с вредителями, вырубка леса, осушение болот,
внедрение в сообщество новых видов и т. п. Динамика системы при этом опи-
сывается дифференциальным уравнением с параметром
® = f(x,y).
(1-7)
1.2. Нелинейные системы
17
Разнообразие задач здесь достаточно велико: существование и устойчивость
стационарных режимов и периодических колебаний, характер роста популяций,
вырождение видов, бифуркационные изменения в системе и т. п. Все это,
помноженное на многообразие конкретики, порождает разветвленную пробле-
матику как биологического, так и математического толка.
Химические реакторы. Пусть в химической реакции
участвуют п веществ, и ж, обозначает процентное содер-
жание г-го реагента в смеси. Динамика системы описыва-
ется неким уравнением типа (1.7), где вектор у определяет
внешние условия: температуру, давление, катализаторы,
ингибиторы и т. п. На модельном уровне все сводится
к упоминавшимся уже задачам. Но держать в поле зре-
ния разное содержательное наполнение модели полезно
по многим причинам. С одной стороны, физика зада-
чи настраивает и ориентирует математическую мысль.
С другой — независимая модель подталкивает к поста-
новке «противоестественных в рассматриваемой области
вопросов», ведущих иногда к неожиданным открытиям.
Так или иначе, соприкосновение абстракции с конкрети-
кой приводит ко взаимному обогащению сторон. Яркой
иллюстрацией здесь может служить реакция Белоусова—
Жаботинского (BZ-reaction).
Долгое время считалось, что автоколебания в хи-
мических системах невозможны. Открытие Белоусовым
(1951) автоколебаний в реакции окисления лимонной
кислоты броматом калия сначала было воспринято с недоверием, но в итоге
породило'°' многочисленные исследования, обогатившие как химию, так и аб-
страктную теорию нелинейных систем.
'(1) Хотя и не без противодействия, характерного вообще для восприятия нового. Отказы
в публикации, замалчивание, а то и высмеивание результатов, —- все это сопутствует
всякому приходу неожиданного. В то же время новое и неожиданное, как правило,
оказывается «хорошо забытым старым», как и в данном случае, но это уже другая история.
18
Глава 1. Симптомы и задачи
1.3. Парадоксы нелинейных цепей
Рассмотрим ориентированный граф G(P, Е), где Р — множество
вершин, Е — совокупность дуг. Каждое ребро е G Е характеризу-
ется тремя величинами: Xj — напряжение, yj — ток, Uj — ЭДС.
Вольт-амперные характеристики в дугах описываются функция-
ми yj = Jj(xj). Полный расчет электрической цепи выполняется
на основе законов Кирхгофа, компактно записываемых в виде1
Ry = 0, Сх = Си, у = f(x),	(1.8)
где R — матрица инциденций графа G, С — матрица циклов.
Иногда возникает иллюзия, что разрешимость системы (1.8)
вытекает из физических соображений. Мол, соберем соответству-
ющую электрическую схему и включим ее. В системе установится
некоторое распределение токов и напряжений, которое и будет
искомым решением. Увы, рассуждение не выдерживает критики.
Простейшие примеры показывают, что решение нелинейной си-
стемы уравнений (1.8) может не существовать. Нетрудно понять,
что в соответствующей электрической схеме при этом никакого
стационарного распределения токов и напряжений не установит-
ся, а будет протекать сложный динамический процесс, опреде-
ляемый малыми (паразитными) индуктивностями и емкостями,
которые не учитываются моделью (1.8).
Сказанное подчеркивает не только важность проблемы су-
ществования решения, но еще и роль малых параметров в более
широком контексте. Допустим, решение (1.8) существует и един-
ственно. Есть ли основания ожидать, что поведение реальной
системы будет ему соответствовать? Ведь паразитные индуктив-
ности и емкости|2) есть всегда. Не будут ли они играть окаянную
"1 Подобные модели могут иметь не обязательно электрическую природу. Таковы мо-
дели финансовых потоков, товарных, информационных, потоков нефти в трубопроводах,
пассажиропотоков и т. п.
12)
' Спасающие от противоречия в предыдущем случае.
1.3. Парадоксы нелинейных цепей
19
роль? По сути это стандартный вопрос о структурной устойчи-
вости модели, которая должна быть нечувствительна к малым
возмущениям. Иначе что можно сказать о системе, которая заве-
домо, хотя и мало, отличается от модели?
Присутствие малых параметров за кадром модели способно
играть также позитивную роль, помогая выходить из логических
тупиков. Вот простой пример блок-схемы 13\ где парадокс возни-
кает на ровном месте.
Если в цепи положительной обрат-
ной связи (рисунок слева) стоит функ-
циональный преобразователь
№) = у/\у\ sign?/,
то результирующая связь между входом
х и выходом у определяется равенством
®+/(?/)=?/, что приводит к многозначной
зависимости выхода от входа, изобра-
женной справа. Неожиданно выясняет-
ся, что выход не определяется однознач-
но входом, хотя все звенья системы де-
терминированы (осуществляют взаим-
но однозначное преобразование сигна-
лов) — и не ясно, каков же выход у
в реальной системе при данном входе х.
Неясен и выход из положения в рамках статической модели.
Затруднение ликвидирует учет динамики. Задержки в прохожде-
нии сигнала по цепи все ставят на свои места. Разумеется, нет
необходимости вводить чистое запаздывание. Адекватности опи-
сания можно достичь и с помощью обыкновенных дифуров,
моделирующих «ничтожные» инерционные свойства системы.
|3)дуги цепей выше характеризовались двумя переменными (ток и напряжение),
каковых в общем случае может быть больше или меньше (многопродуктовые либо
однопродуктовые потоки, например), а законы «стыковки» — могут быть не обязательно
кирхгофовским и.
20
Глава 1. Симптомы и задачи
Пример в некотором роде является простейшим идеологиче-
ским эталоном, побуждающим к осторожности при абстрагирова-
нии. В более громоздких моделях неприятности менее очевидны,
но их природа так же примитивна, хотя замаскирована и при-
украшена. Поэтому тривиальными с виду примерами не стоит
пренебрегать. Наоборот, их стоит культивировать. Потому что
в миниатюре они играют роль сторожевых пунктов, демонстри-
руя коварство Вселенной и уязвимость науки.
Движение шарика массы m в вязкой среде есть решение задачи Коши
тпх + дх = 0,	ж(0) = х0, х(0) = t>0.
Но как будет происходить движение при тп = 0? Степеней свободы для удовле-
творения начальных условий перестает хватать.
Пример сам по себе не стоит выеденного яйца, но то же самое может
происходить в завуалированной форме в задачах о бифуркациях, где причины
менее обнажены.
Вернемся к цепям типа (1.8). Фиксируем в электрической схе-
ме два узла и заменим всю систему одним пассивным нелинейным
сопротивлением с подходящей вольт-амперной характеристикой.
Это стандартная в электротехнике операция, каковая, вообще го-
воря, не всегда правомочна, но в определенных предположениях
такой переход возможен. При этом возникает серия вопросов
о влиянии изменений в электрической схеме на вольт-амперную
характеристику эквивалентного сопротивления. Здесь можно ука-
зать ряд интуитивно неожиданных эффектов.
Например, хорошо известно, что эквивалентное сопротивление линейной
цепи (все /,(ж() = xi/ri') увеличивается с ростом любого одного или нескольких
сопротивлений гг. Интуитивно такое положение вещей представляется вполне
естественным. Если в некотором звене создается препятствие для прохождения
тока, то суммарный ток через цепь должен уменьшиться. В нелинейных цепях
картина может быть иной, что на практике может означать уменьшение про-
пускной способности транспортной сети в целом при увеличении пропускных
способностей отдельных магистралей 14), увеличение пропускной способности
14)
’ И даже строительстве новых магистралей.
1.4. Бесконечномерные задачи
21
сети водоканалов при полном перекрытии ее отдельных участков и т. п. Вот
простая иллюстрация.
Рассмотрим электрическую схему,
изображенную справа, где нелинейные со-
противления Rt имеют вольт-амперную
характеристику
2 •
X = у sign у,
a Ri характеризуется связью
® = л/Ы sign у.
Результирующая вольт-амперная ха-
рактеристика цепи между точками А и В
в случае = оо (точки С и D не соеди-
нены) легко вычисляется:
sign Y,
где X — напряжение на зажимах А и В, a Y — суммарный ток. В случае
Ri = 0 (точки С и В соединены накоротко) имеем
„ г/^\2	[\x\~\ .
К— (у) + у signJf.
Легко проверить, что при любом напряжении X € (0, 2) увеличение R3
с нуля до бесконечности влечет за собой увеличение тока У, т. е. уменьшение
эквивалентного сопротивления R = Х/Y. Другими словами, закрытие канала
.йз увеличивает пропускную способность системы.
Это еще один пример, не имеющий самостоятельного при-
кладного значения, но благотворно подпиливающий линейное
мировоззрение, каковое замечательно в своем секторе, но убий-
ственно как универсальная парадигма.
1.4. Бесконечномерные задачи
Бесконечные размерности возникают всякий раз при переводе
самых простых задач в функциональные пространства.
22
Глава 1. Симптомы и задачи
Изучение устойчивости упругих конструкций
опирается на простейшие эталоны. Один из них —
задача об устойчивых формах шарнирно-закреплен-
ного стержня единичной длины и переменной жест-
кости p(s) в случае продольной нагрузки Л.
Здесь не место вникать в механические подробности. Что же
касается внешней картины, то прогиб x(s), как известно, является
решением двухточечной задачи
d2x t
S; =“vwv
ж(0) = ж(1) = О,
(1-9)
каковая «эквивалентна»15^ интегральному уравнению
где G(t, s) = <
Gs(s, t)y(t~) dt,
(1-Ю)
t(s - 1),
s(t- 1),
t s 1,
— функция Грина оператора
0 О t,
Lx = -ж" при нулевых граничных условиях [4, т. 2], a y(s) связано
с ж(з) посредством
d2x
ds2
-y(sY
ж(0) = ж(1) = 0,
(1.11)
15) Эквивалентна в кавычках в смысле зависимости понимания задачи от выбора функ-
ционального пространства.
1.4. Бесконечномерные задачи
23
т. е. после решения (1.10) для вычисления ж(з) надо решить еще
линейную задачу (1.11).
Задача всегда имеет нулевое решение ж(й) = 0, а при малых
Л — только нулевое. При А, больших критического значения,
появляются смежные формы равновесия 16\ Таким образом, речь
идет о параметрическом уравнении F(x, А) = 0, решение которого
ж(А) ветвится, претерпевая бифуркационные изменения.
Список задач подобного сорта легко приумножить. Фактиче-
ски это любые задачи из «дифуров» или «урматов», где решениями
служат не числа, а функции. Причем форма представления — ин-
тегральное уравнение (1.10) или краевая задача (1.9) — с точки
зрения использования функциональных пространств особой роли
не играет17^. Во всех таких задачах обычно фигурируют парамет-
ры — силы, скорости, температуры, — которые чаще всего могут
принимать критические значения, порождая ветвление и смену
характеристик решения ж (А).
16) Для оценки устойчивости которых требуется, вообще говоря, дополнительный ин-
струментарий.
17) На производные в (1.9) можно смотреть под разными углами зрения. Например, как
на обобщенные функции и т. п. Форма представления задачи бывает важна с технической
точки зрения.
Глава 2
Метрические инструменты
The fox has many tricks. The hedgehog
has but one. But that is the best of all.
Erasmus Roterodamus
Речь, главным образом, идет о принципе сжимающих
отображений, который прост, могуч и слишком хо-
рошо известен, чтобы на нем долго задерживаться,
но и обойти его не обойдешь — на пути к неподвиж-
ным точкам оператора /,
i = /«)•
2.1. Принцип сжимающих отображений
2.1.1. Отображение f, действующее в метрическом простран-
стве^ (Х,р), называется сжимающим (сжатием), если суще-
ствует такое А < 1, что
p(f(,x),f(.y))^^p(,x,y) для любых х,у&Х. (2.1)
2.1.2. Теорема. Всякое сжимающее отображение f, действую-
щее в полном метрическом пространстве^ (Х,р), имеет непо-
движную точку которая единственна, причем последовательные
Источником метрики обычно служит норма, р(х, у) = ||г — г/||.
2| Пара (X, р), где X — множество, р(х, у) — метрика, является полным метрическим
пространством, если любая последовательность Коши сходится. Другими словами, (X, р)
полно, если из р(хп, хт) -> 0 вытекает существование предела у последовательности хп.
2.1. Принцип сжимающих отображений
25
приближения
г+1 = /(?>
сходятся к ( при любом начальном значении х' € X.
« Любая последовательность хк, определяемая итерациями кл+' = f(xk),
является последовательностью Коши. Действительно,
р(хп, хт) < р{хп, f(xn)) + p(J(xn), f(xm)) + p(J(xm), xm),
t. e.
p(xn, xm)	V(xn) + Xp(xn, xm) + <p(xm),
где ip(x) = p(x, F(x)). Следовательно,
+	(„.ra^oo).
1 — A
ибо ip(x) на любой последовательности кй+1 = f(xk) убывает до нуля, поскольку
из (2.1) вытекает ^(к*+1) С Xtp(xk).
Таким образом, последовательность хк фундаментальна, и в силу полноты
(Jf,p) сходится, хк £. А так как оператор f непрерывен, что вытекает
из (2.1), то £ — /(£). Двух неподвижных точек быть не может, благодаря
тому же неравенству (2.1). ►
Вот как теорема 2.1.2 работает при обосновании разрешимо-
сти задачи Коши
х = f(x, t), x(s) = х0,	(2.2)
в предположениилипшицевостиf(x,t).
« Задача (2.2) на промежутке |7.0, t0 + Д£] заменяется эквивалентным
интегральным уравнением
x(t) = x(t0) + J /(ж(т), т) dr,
to
(2.3)
dx
которое получается интегрированием — = /(ж, г) по т от но I.
dr
Функция f(x, t) называется липшицевой по х, если существует такая константа L,
НЖО-=£ £||.т - 2/||
для любых х, y,t в рассматриваемой области.
26
Глава 2. Метрические инструменты
Правая часть (2.3) при Д4 < L 1 (Д — константа Липшица) представляет
собой сжимающий оператор F, поскольку для t € [t0, to + At]
t
f [/(®(т), т)-f(y(r),ry] dr
to
ДД1||ж - y\\,
где ||-|| — норма в Cfto, t0 +At] — t. e. ||®(t)|| = max |®(t)|. По той же причине F
переводит в себя шарик из C'[to, to + At] достаточно малого радиуса с центром
в точке x(t) = s(t0). Далее решает ссылка на п. 2.1.2 ►
Тот же инструмент 2.1.2 при более искусном обращении дает больше:
2.1.3.	Пусть при t € [О, У] удовлетворяет условию Липшица с констан-
той L. Тогда через любую точку рассматриваемой области проходит единственное
решение задачи Коши (2.2), определенное на [О, Т].
Вместо обычной нормы ||®(t)|| = max |®(t)| в С^О, Т] возьмем эквива-
<6[0.Г]
лентную норму4'
||®||, — max e~Lt|®(t)|.	(2.4)
<6[0,Г]
Необходимое заключение следует из того, что оператор в правой части (2.3)
сжимает по норме ||  ||* с коэффициентом 1 — eLT, что вытекает из неравенства
™*е'и [ [/тт)-№(т),т)И
О
max I
(6[0,Г] J
о
е^(т-<)е iT£|x(T) _ у(т)\dr
t
||к -y||„ max f eL{’T~t}Ldr= (1 -e“ir)||®-2/||,. ►
о
2.1.4.	Если X компакт, то для сохранения выводов 2.1.2 вместо
(2.1) достаточно потребовать
p(f(x),f(y))<p(x,y) для любых х,у£Х, х^у. (2.5)
Непрерывный функционал ip(x) = ||ж — /(ж)|| на компакте X достигает
минимума в некоторой точке х*, и этот минимум обязан быть равен нулю,
иначе возникает противоречие с (2.5):
= \\ftf) - /(/(х*)) || < ||х* - /(х‘)|| = <р(хг). ►
4| Эквивалентную в силу е LT11х(t)||	||z(t)||*	|l®(t)ll, откуда следует, что и норма
||a:(t)|| зажата в тиски, ||z(£)l|*	||z(t)|| eir||:r(£)||<,.
2.2. Примеры и вариации
27
2.2.	Примеры и вариации
Использование эквивалентных норм. Доказательство теоремы 2.1.3
в связи с трюком (2.4) иллюстрирует типовой переход к другой
метрике, по которой изучаемый оператор сжимает со всеми вы-
текающими последствиями.
Переход к другой метрике может происходить и под другим флагом, имея
целью уложить ситуацию в рамки какого-либо стандарта. При этом эквива-
лентность метрик (норм) оставляет задачу в избранном пространстве. В R" все
нормы эквивалентны, и там годится любая, наиболее удобная. В функциональ-
ных пространствах требуются предосторожности [4, т. 5].
В качестве развития примера (2.3) рассмотрим интегральное уравнение
t
ж(0 — У IX ж(5)]
to
Если /(ж, t) липшицева по х с константой L1 и
6 = max {\G(t, s)| : s, t G [0, T]},
то оператор А, определенный правой частью (2.6) и удовлетворяющий в С[0, Т]
неравенству
Ог1
IIАх - Лу||, —(1 - e~£i)||® - ?/|I*,
X/
оказывается сжимающим по норме (2.4). При желании обеспечить условия
существования решения (2.6) в С^О, 7] достаточно в (2.4) положить L 0L’.
Выбор функционального пространства. Обратим внимание, что
запись оператора (2.6) не предполагает априори функциональ-
ного пространства, в котором должны разворачиваться события.
Это характерно для многих задач. Взаимоотношения перемен-
ных рождаются техническим блужданием мысли, а уж «поле
битвы» выбирается задним числом, главным образом, из сообра-
жений удобства. Содержательная сторона дела тоже играет роль,
безусловно, но задачу все же приходится ставить так, чтобы она
решалась.
Поэтому L2 вместо С выбирается иногда даже в ущерб смыс-
ловой подоплеке, если изучаемый оператор в С неподатлив,
а в L2 оказывается, например, сжимающим. Заказчик настаивает,
28
Глава 2. Метрические инструменты
что сигналы должны быть близки поточечно, а исполнитель вме-
сто max \x(t) — y(t)\ избирает явно «противоестественную» меру
близости J [ж(£) — y(t)]2 dt, и тем не менее добивается успеха
(если добивается), потому что неподвижная точка получается
(если получается) все-таки непрерывной функцией.
Аналогичные мотивы возникают в задаче Коши (6.1), каковая
подменяется эквивалентным (с некоторой натяжкой) уравнением
(2.3), и задача дрейфует из естественного для (6.1) простран-
ства С1 [О, Т] в «противоестественное» С[0, Т]. Другое дело, что
неподвижная точка интегрального оператора (2.3) оказывается
непрерывно дифференцируемой функцией 5\
Выбор функционального пространства, разумеется, способен влиять на сам
факт наличия или отсутствия неподвижной точки. Уравнение
i
x(t) = /
о
с непрерывным на квадрате [0, 1] х [0, 1] ядром
G(t, з) = <
„ i/г2—1
зе ,
t,
если
если
te'111-' ^з^\
не имеет ненулевых суммируемых решений, но у него есть несуммируемое
решение x(t) = t € (0, 1] (пример Урысона).
Иногда собака зарыта не в подборе игрового поля, а в исходной постановке
задачи. И тогда приходится идти на крайние меры, меняя, скажем, минимизацию
модуля |/(к)| на минимизацию квадрата /2(ж).
2.2.1.	О коммутирующих операторах. Если АВ = ВА и один из
операторов, скажем, В — сжимающий, то А тоже имеет непо-
движную точку . * 6
5| Поскольку интеграл благотворно действует на интегрируемые функции, производя
дифференцируемые на выходе из непрерывных на входе.
6) Ту же самую, что и В.
2.3. Нормы и линейные приближения
29
Если Б( = то и А£ — неподвижная точка оператора В, ибо
ВА£, = АВ£ = А(.
Но В, как сжимающий оператор, может иметь только одну неподвижную точку.
Поэтому А( = £. >
Пункт 2.2.1 не выглядит многообещающе, ибо где за предела-
ми виртуального мира найти коммутирующие операторы? Идея,
тем не менее, находит применение в достаточно распространен-
ной ситуации, когда некоторая степень оператора А является
сжатием, В ~ Ак. В этом случае из 2.2.1 следует, что £ = Ак(
является неподвижной точкой самого оператора А.
2.3.	Нормы и линейные приближения
В К.” наибольшей известностью пользуется евклидова норма
||ж|| =
наряду с кубической,
||ж||т = max |жг-|,	(2.7)
г
и октаэдрической нормой
п
=	(2.8)
8=1
Для настройки в тематический резонанс тут неплохо вспом-
нить основополагающие факты. Характеристические свойства,
двойственные и преобразованные нормы, — все это есть, на-
пример, в [4, т. 3]. В R" принципиальна эквивалентность всех
норм7\ в силу которой сходимость по одной норме эквивалентна
сходимости по любой другой — поэтому для решаемой задачи
7) Нормы ||-|||, ||-Цг считаются эквивалентными, если можно указать такие константы а
IWh sCalMh, Iklh О1И||.
Выбор нормы «под задачу», как правило, существенно облегчает решение.
30
Глава 2. Метрические инструменты
можно выбирать наиболее подходящую норму без всяких предо-
сторожностей. Причина заключается в следующем У
Функция 9?(ж) = ||ж||1 на сфере ||ж||2 = 1 достигает минималь-
ного и максимального значений, 7 > 0 и J > 0, благодаря чему
Уж G R" :7||ж||2 < ||<	<У||ж||2.
В общем случае банахова пространства такой фокус не проходит.
Норма матрицы обычно определяется как9)
Щ|| = max ||Дж||.	(2.9)
Нормам ||  ||т и || • ||г подчинены, соответственно,
п
1Ш|т = max |а,у| (строчная норма),
п
||Л||г = тах^2 |аг-у| (столбцовая норма},
з
2—1
Евклидовой норме подчинена так называемая спектральная норма матрицы,
равная квадратному корню из максимального модуля собственного числа мат-
рицы АТ А.
Для нелинейного гладкого отображения / в R" имеем
1
№ + з/) - 7(ж)|| = У* f'(x + ry)ydr
о
1
/ ll/'(® + Tt/)|| ||y||dT = ||/'(ж + 0у)|| ||у||,
о
при некотором 0 6 (0, 1). Поэтому, если
V2:||f'(.z)i|O< 1,	(2.Ю)
81 Напомним, норма однозначно определяется указанием единичного шара, в качестве
которого может быть «назначено» любое выпуклое центрально-симметричное тело.
Соотношение (2.9) задает так называемую подчиненную норму матрицы, и сохраняет
форму при определении нормы линейного оператора в банаховом пространстве.
2.3. Нормы и линейные приближения
31
то / сжимает в метрике р(х, у) = ||ж - ?/||, и неравенство (2.10),
таким образом, может служить удобным достаточным условием
того, что f — сжатие. В частности, при условии
п
шах
3=1
dfi
dXj
1 - £,
£ > 0,
/ сжимает по норме (2.7), а в случае
п
шах ^2
?	г=1
д/г
dXj
1 - £,
£ > 0,
по норме (2.8).
Критерий (2.10) лишний раз подчеркивает особую роль ли-
нейных операторов в нелинейной теории.
2.3.1.	Если спектральный радиус р(А) < 1, то существует норма
|| • ||*, в которой ||4||* < 1, т. е. линейный оператор является
сжимающим.
В качестве ||  ||„ можно взять, например,
II II	11^ЖП	/Т1П
1И1. = max —(2.11)
Н—0,1,... Л
где р(А) < А < 1, || • || произвольная норма 10\ — потому что
IIЛ II	||Л*Ла:||	||ЛАя||
||As|, = max —-v— = A max ——-	А||ж||,.
4=0,1,... Лк	4=1.... Л'
Отсюда сразу следует, что всегда существует норма ||  ||,, в которой при любом
е > 0
||Ж <р(А)+е,	(2.12)
поскольку оператор
(р(Л)+г)-1Д
каково бы ни было А, имеет спектральный радиус < 1. ►
10) Максимум (2.11) существует, ибо р(А/Х) < 1 => (Л/А)*: -> 0 при к -> оо.
32
Глава 2. Метрические инструменты
Напомним также следующий известный результат [4, т. 5]:
2.3.2.	В любой норме спектральный радиус линейного оператора
р(А) = lim	>
fc-400
• Рассмотрим в качестве примера интегральный оператор Вольтерра с не-
прерывным ядром G(t, s),
i
Ax(t) = J G(t, s)x(s) ds,
о
действующий в C[0, 1]. Последовательные итерации ®n+1 = Ax„ сходятся
к нулю быстрее любой геометрической прогрессии. Действительно,
i
|aA(t)|^K f |arft_j(e)| ds, где К = max |G(<, s)|,
J	0<М<1
0
откуда"*
Kntn
|®n(t)|	—r- max |ar0(i)|,
n! 0^1
Kn
т. e. Щ s0|| sj —ll^oll, 470 называют факториальной сходимостью,
п!
В итоге спектральный радиус р(А) = 0.
• Норму || • ||, типа (2.11), в которой ||Д||, < 1, если р(Д) < 1, всегда
можно определить также с помощью подходящего скалярного произведения,
НЖН* = (Vx,x), где V — положительно определенная матрица. Для этого
достаточно показать, что из р(А) < 1 следует существование положительно
определенной матрицы V, такой что при х £ 0
(VAx, Ах) = (ArVAx, х) < (Vx, х),
т. е.
(уР гДж, х) - (Vx, х) — (Wx, х),
иначе говоря
- V = W,	(2.13)
где W — отрицательно определенная матрица.
"* С использованием формулы n-кратного интегрирования
I l	t
f - f V(s) ds=(~y J(t - s)"-' <p(s) ds.
0	0	0
2.4. Теорема о неявной функции
33
Левая часть (2.13) представляет собой линейный оператор А, действующий
в пространстве матриц, т. е.
А = АтVA - V.
1 Покажем невырожденность А. Предположим противное: ATV0A - Vo = 0 при
некотором V"o ф- 0. Фиксируем некоторый элемент х°, такой что (Уж0, ж0) =
= а 0, и рассмотрим итерационный процесс
a/'+' = Axk, k = 0, 1,...,	(2.14)
начинающийся в х°. В силу АгуЛ-Уо = О мы получим (Voxk ,xk) = a^0 при
любом к^О, но это противоречит сходимости (2.14), вытекающей из усло-
вия р(А) < 1. Итак, оператор А невырожден. Поэтому уравнение (2.13) имеет
решение.
Остается показать, что при отрицательно определенной матрице РК ре-
шение V уравнения (2.13) — положительно определенная матрица. В пред-
положении противного найдется такой вектор х° 0, что (Уж0, ж0)	0. Для
последовательности (2.14) в этом случае будем иметь
(ухк,хк( «С (W,z°) < 0
при любом к > 0, но это противоречит сходимости (2.14).
Возвращаясь к (2.10), заметим, что в случае
: p(f'(z)) А < 1
(2-15)
нелинейный оператор не обязан быть сжатием во всем простран-
стве, хотя локально он сжимает в окрестности любой точки. Тем
не менее для разных z нормы, по которым / локально сжимает,
могут быть разные, и консолидировать этот разнобой под крышей
одной метрики не всегда возможно.
2.4.	Теорема о неявной функции
Принцип неподвижной точки лежит в основе многих классических
результатов.
2.4.1.	Теорема о неявной функции. Пусть Ф(жо,Уо) = 0, и про-
изводная Фреше ф'х непрерывна (по норме оператора) в точке (ж0, уо),
34
Глава 2. Метрические инструменты
а линейный оператор Ф^(®о, у о) непрерывно обратим. Тогда уравнение
Ф(«,у) = О	(2.16)
локально разрешимо12 13^ в точке (х$, уо).
При доказательстве здесь удобно опираться вместо п. 2.1.2
на следующий более общий результат.
2.4.2.	Принцип равномерного сжатия. Если отображение F(x, w)
13)
является равномерным сжатием ' и непрерывно по w, то решение
x*(w) уравнения х = F(x, w) непрерывно.
Существование решения ж‘(ад) при каждом w вытекает из теоремы 2.1.2.
В силу p(F(x, w), F(y, w)) <7 Xp(x, у) имеем
p{x*(u), x*(w)} = p{F(x*(u), w), F(x*(w), w)}
p{F(x*(u), u), F(x*(u), w)}+p{2p(s*(«), w), F(x*(w), w)} <
< p{F(x*(u), u), F(x"(u), w)}+Xp{x*(u), x*(w)},
откуда
p{x*(u), x*(w)}	(1 - X)~'p{F(x*(u), и), F(x*(u), w)}. ►
Теперь вернемся к п. 2.4.1. •< Заменим (2.16) эквивалентным уравнением
х = F(x, у), где оператор
F{x, у) = х - [Ф'х(ж0, у0)] -1 Ф(ж, у),
как легко убедиться, удовлетворяет условиям теоремы 2.4.2.
Действительно, производная F'x(x,y) = I - [ф^.(ж0, y0)j 'ф^.(ж, у) непре-
рывна и Fx(xn, у0) = 0. Поэтому в окрестности, определяемой неравенства-
ми ||ж - х0|| < у, Ну - уо|| 7, при достаточно малом у > 0 имеет место
||Fx(x, у)|| < А < 1. Наконец,
2р(®о,Уо) = Жо =>	^(Жо, у) - я0|| «С (1-А)7
при ||у - уо|| 5? а и достаточно малом а < 7, откуда следует, что F{x,y) при
Пу — Уо|| а. преобразует шар ||ж - ж0|| <7 7 в себя. Далее остается применить
теорему 2.4.2. ►
12> Уравнение (2.16) называют локально разрешимым в точке (а:о,Уо), если Ф(а:о,Уо) = 0
и в некоторой окрестности этой точки уравнение Ф(ж,у) = 0 однозначно определяет
неявную функцию х(у), тождественно удовлетворяющую соотношению Ф(ж(у), у) = 0.
13) При любом фиксированном w сжимает по первому аргументу с коэффициентом
А < 1, не зависящим от w.
2.5. Обращение принципов сжатия
35
В частном случае Ф(х, у) = f(x) - у вопрос о существова-
нии неявной функции превращается в вопрос об обратимости
отображения /(ж). В случае f :	достаточным услови-
ем локальной обратимости является, например, невырожденность
матрицы Якоби14^
/'(®) = [dfi/dxj],
К локальной гомеоморфности f : R” —> R” достаточно при-
совокупить требование
,, Hm \\f(x)\\ = оо,
чтобы f было гомеоморфизмом R” на см. [4, т. 13].
2.4.3.	Теорема Адамара. Пусть отображение f : R" —> R" непрерывно диффе-
ренцируемо и х || (/'(ж)) || <7 р, < оо. Тогда f — гомеоморфизм R" на Rn. t>
2.5.	Обращение принципов сжатия
2.5.1.	Оператор f назовем сжатием, если для любого A G (О, I)
существует метрика р\, эквивалентная исходной, по которой f
является Х-сжатием в смысле (2.1).
Напомним, метрики р1, р2 считаются эквивалентными, если можно указать
такие константы а и в. что
р'(х, у) «С ар2(х, у),	р2(х,у) рр{х,у).	(2.17)
Если метрики порождены нормами, то это равносильно топологической экви-
валентности. В общем случае последняя менее «обязывающа», чем (2.17).
Определение 2.5.1 на первый взгляд кажется более жестким,
чем 2.1.1, но всякое Х-сжатие является сжатием, как будет видно
из дальнейшего.
Целью раздела является обращение принципа сжимающих
отображений. Но формулировка 2.1.2 необратима, потому что
предположения и выводы не сбалансированы. Слишком мало
14’ Разумеется, в предположении гладкости.
36
Глава 2. Метрические инструменты
утверждается. Однако традиционный вариант принципа сжимаю-
щих отображений можно существенно дополнить.
2.5.2.	Если f — Х-сжатие, A G (0, 1), то:
Al f имеет единственную неподвижную точку £ G X;
А2 fk(x) —> £ при к —> оо и любом х G Х\
АЗ существует окрестность U точки такая что fk(U) —> {£}
при к —> оо;
А4 оператор f непрерывен',
А5 по любой окрестности W точки £ можно указать такую
окрестность точки что из х 6 V следует fk(x) С W при
любом k Q.
Свойства АЗ—А5 существенно дополняют характеристику итерационного
процесса
ж*+1 = f(xk)
и непосредственно не вытекают из условий Al, А2. В то же время их доказа-
тельство в предположениях теоремы 2.5.2 совершенно элементарно. Конечно,
Al—А5 не все независимы. Например, устойчивость А5 процесса Д'+1 = f(xk)
следует из Al—А4, а вот для равномерной сходимости АЗ в предположениях А1,
А2, А4, А5 надо еще предположить существование у £ компактной окрестности.
Немаловажно также, что в условиях Al—А5 существование неподвижной точки
у оператора f структурно устойчиво, т. е. сохраняется при малых возмущениях f.
Теперь, отправляясь от теоремы 2.5.2, а не от 2.1.2, можно
говорить об обращении принципа сжимающих отображений.
2.5.3.	Теорема Майерса. Пусть непрерывный (А4) оператор /,
отображающий в себя полное метрическое пространство (Х,р),
имеет единственную неподвижную точку £ G X (Al), fk(x) -> £ при
любом х G X (А2), и имеет место равномерная сходимость (АЗ).
Тогда f — сжатие. >
Доказательство, а также многочисленные вариации и обоб-
щения вокруг теоремы 2.5.3 — имеются в [15]. Тематика довольно
громоздкая. Поэтому для иллюстрации техники ограничимся до-
казательством менее общего, но более изящного результата.
2.5. Обращение принципов сжатия
37
2.5.4.	Теорема Яноша. Пусть (Х,р) компакт, оператор f не-
прерывен и
00
=	(2.18)
к=0
Тогда f — сжатие.
•«I Для доказательства достаточно по любому А 6 (0, 1) указать метрику рх,
эквивалентную 15) р, по которой оператор f является А-сжимающим. Сделаем
это в три этапа.
I.	Построим метрику р*, эквивалентную р, по которой оператор f является
нерастягивающим, т. е. рf(y))	р*(х,у). Положим
р*(я, у) = max {p(fn(x), fn(y)) : п = О, 1,2,... }.
Аксиомы метрики здесь проверяются без труда. Очевидно также,
№)) =max {Р(Г(Х)ИП(У)) :« = 1,2,...} «С
sC max {p(f(x), fn(y)) : n = О, 1,2,... } = рг(х, у).
Покажем, наконец, эквивалентность метрик р и р*. Из определения следует
р*(х,у)	р(х,у). Поэтому последовательность, фундаментальная по метрике
р*, фундаментальна и по р. Обратно, пусть хп х, т. е. р(хп,х) —> 0. По-
/	р*
кажем, что в этом случае жп —> ж. В предположении противного, ж,
из последовательности {хп} можно выделить такую подпоследовательность,
которую снова обозначим через {жп}, что р*(хп,х) > е > 0. Определим далее
последовательность {fcn} из условия
р*(я„,а:) = p(fkn(xn), fkn(x}).
Если последовательность {&„} ограничена, то в ней имеется бесконечно повто-
ряющийся номер к, и тогда на подходящим образом выбранной подпоследова-
тельности имеем p(fk(xH), fk(x)) > е, что в силу непрерывности / (в исходной
топологии) противоречит условию хп А х.
Если же {&„} неограничена, то p(f "(хп), f "(я)) > е вступает в противо-
речие с условием (2.18). Итак, метрики р* и р эквивалентны.
|51 В силу компактности (X. р) достаточно установить топологическую эквивалентность
соответствующих метрик.
38
Глава 2. Метрические инструменты
II.	По любому наперед заданному A G (0,1) построим функционал dA(s, у),
такой что
dx(f(x), f(y)) sS Xdx(x, у).	(2.19)
Положим Но = X, Н] = f(X), Hz = f\X), ... и введем функции
p(s) = max{n : x 6 H„}, v{x, y) = min {//(ж), u(y)}.
Функционал
dx(x, y) = X*x'v}p*(x, y)
в силу очевидного iz(/(x), /(у)) > v(x, у) + 1 удовлетворяет неравенству (2.19).
Заметим также, что dx(x, у) удовлетворяет всем аксиомам метрики, за исклю-
чением, быть может, неравенства треугольника.
III.	Сделаем последний шаг. Обозначим через £1ху множество цепей
Ыху — {'Е — ^0,	• • • J %п — у}
(п — произвольно) и положим длину цепи равной
п
} dX(Xj-\, Xj').
1=1
Покажем теперь, что
Ра)®, У) = 1лГ{2?д(й7а;у) . Ыху G
является искомой метрикой.
Убедимся, во-первых, что рх — метрика. Очевидно, рх(х,у) симметрич-
на и рх(х, х) = 0 для любого х G X, а неравенство треугольника вытекает
из включения Q,xz С ПХ!,. Остается показать положительную определен-
ность рх. Пусть х у и без ограничения общности и (у)	v(x). Если у = £, то
рх(х,(,)^Х^р*(.х,Н„(х}+ 1) > 0. В случае у	любая цепь шху или полностью
лежит в множестве X \ Н„(У)+1, или не лежит, откуда
Рх(х, у) > А"(х) min {р*(ж, у), р*(у,	> 0.
Итак, рх — метрика.
Докажем эквивалентность р и рх, для чего достаточно показать эквива-
лентность р* и рх. Из определения вытекает рх(х, у) dx(x,y) р*(х,у').
Поэтому из хп х следует хп х. Обратно, пусть хп х. Предположим,
р*	t
что £„/>£. Тогда в силу компактности (X, р ) можно выбрать такую подпо-
следовательность, которую опять обозначим через {жп}, что хп у, у х.
Но тогда хп —> у. Полученное противоречие доказывает эквивалентность мет-
рик р* и рх.
2.5. Обращение принципов сжатия
39
Наконец, свойство
Рл(Л®),Ду)) *Рх(х,у)
получается предельным переходом в неравенстве
Dx(f(uxy)) XDx(uxy),
где f(wxy) = {Дж0), Дж,),...,/(£„)}. ►
Глава 3
Топологические принципы
неподвижной точки
No great intellectual thing was
ever done by great effort.
John Ruskin
Когда теория взмывает ввысь, уходя от кон-
кретики, но тем не менее добивается ре-
зультата, — она вдохновляет и настраивает
«далеко за пределами». Эффект многократ-
но усиливается, если по ходу дела сложное
и простое сливаются воедино, а потом ме-
няются местами.
3.1. Вращение векторного поля
Многое в оценках зависит, откуда смотреть. Факт пересечения
непрерывных кривых, соединяющих противоположные вершины
прямоугольника, не вызывает особых эмоций.
Но совсем другое дело, когда к нему сводится ставшая классиче-
ской задача, вроде бы совсем из другой оперы.
3.1. Вращение векторного поля
41
Из пункта А в пункт В ведут две дороги L\ и L?, по которым
две точки из А в В могут двигаться, оставаясь все время в по-
-------------7П
;г>/
ле зрения друг друга	\У ' ^опРос заключается
L\
в том, могут ли точки двигаться, — одна из А в В, другая из В
в А, — оставаясь все время невидимы друг другу!
•«9 Пусть х обозначает расстояние от А до точки на вдоль L,. Соответ-
ственно, у — расстояние от Л до точки на вдоль L2. Одна кривая на рисунке
(3.1) описывает движение точек из А в В, когда они остаются все время в поле
зрения друг друга. Движению точек, одной из А в В, другой из В в А, —
отвечает некоторая траектория, изображенная другой кривой на (3.1). В силу
непрерывности кривые пересекаются. В пересечении точки видны друг другу.
Решение задачи — отрицательно. ► Банальность (3.1) превращается таким
образом в изюминку.
Описываемая далее теория в некотором роде подобна инстру-
менту (3.1). Временами воспринимается как естественная и ясная
методика, иногда запутывается, но в наивысших своих проявле-
ниях преподносит неожиданные и важные результаты.
Сначала мы обрисуем (пп. 3.1-3.6) не вполне строгую, зато
геометрически наглядную картину вращения векторных полей.
Решения нелинейных уравнений называют неподвижными точками, имея в
виду, что любое Ф(х) = О приводится к виду /(ж) = х с помощью /(ж) = Ф(х) + х.
Да и сам нуль векторного поля Ф(х) неподвижен в том смысле, что равновесие
динамической системы х = Ф(х) стоит на месте. Тема затрагивалась в |4, т. 1],
подробнее излагалась в [4, т. 13], и здесь рассматривается более детально.
Итак, пусть Q — некоторая область в Rn, Q = Г — ее граница,
а /(Г) — образ границы при непрерывном отображении f. В этом
случае f называют также оператором и говорят, что / задает
в Rn векторное поле /(ж).
Отображение, оператор, функция — используются как синонимы.
И?
I ii.iiui 3. 1 апологические принципы неподвижной точки
Допустим, речь идет о существовании решения уравнения
/00 = 0	(3.2)
в области Q, т. е. о принадлежности нуля образу /(О). Другими
словами, накрывает образ /(П) точку 0 или нет? Если да, то
элемент х* Е Q, переходящий в нуль, /(«*) = 0, называют нулем
векторного поля f(x).
В простейшем случае, когда некая «благообразная» область
। слегка деформируется преобразованием f во что-
нибудь типа ।	। или даже	вопрос о вклю-
чении 0 £ сводится к выяснению расположения нуля внутри
образа границы /(Г) или — снаружи. В общем случае граница Г
может переходить в довольно хитроумные поверхности /(Г) —
хотя бы, например,	и тут уже не ясно, есть ли
вообще резон говорить о внутренности /(Г). Но как бы там
ни было, разрешимость (3.2) в Q по значениям /(ж) на границе
Q поддается выяснению 2\ Путь к этому не очень длинный, если
не злоупотреблять деталями.
Итак. Положим Q и f гладкими (в противном случае мож-
но перейти к гладким аппроксимациям), и у поверхности /(Г)
определим внешнюю и внутреннюю стороны. Для этого возьмем
маленький кусочек Д поверхности Г — у него внутренняя сторо-
на та, которая соприкасается с О, - ина фрагменте /(Д) С /(Г)
стороны определим стандартным образом:
В регулярной точке х € Д локальный базис	выбирается так,
чтобы вектор е, был направлен по внешней нормали, а векторы е?,   , еп
2> Аналогично тому, как в одномерном случае о нуле f(x) на [а, 6] можно судить, если
/(а) и /(Ь) имеют разные знаки.
3.1. Вращение векторного поля
43
лежали в касательном пространстве Тх к Д в точке х. Нормаль е', к поверхности
/(Д) в точке f(x) называют внешней, если базис
{б,,..., е'п} = {е,, /'(®)е2, • • •, /'(as)e„}
одинаково ориентирован с базисом3’ {е,,..., е„}.
Далее разобьем /(Й) на маленькие участки — накладыва-
ющиеся друг на друга — и, начиная с исходного А, продолжим
определение внешней стороны на соседние участки, согласуя ори-
ентацию на пересечениях. Пока не определится внешняя сторона
на всей поверхности f (Й). В плоском случае этому соответствует
прокатывание шарика по одной из сторон, как на нижеследую-
щем рисунке.
Считая поле f(x) невырожденным на Й, т. е. /(ж)	0 при
х G Й, предположим также (для удобства рассуждений), что
поверхность /(Й) связна и не имеет слипшихся участков 4\
Выпустим из нуля произвольный луч I и посчитаем, сколько
раз I протыкает /(Й) изнутри наружу — допустим, 7® раз, и сколь-
3’Два базиса {еj,..., е„} и {ер..., еп} называются одинаково ориентированными,
если e'j = dijej и det [а;71 > 0.
4’ Все эти требования снимаются рутинными приемами, см. далее.
44 Глава 3. Топологические принципы неподвижной точки
ко — снаружи внутрь — пусть 7е раз . Величину
7(/> Й) = 7® - 7е
(3-3)
назовем вращением векторного поля f на £1.
Для корректности определения требуется независимость
7(/, Й) от выбора I. Очевидно, величина 7(/, Й), как функция I,
локально постоянна — не меняется при малых шевелениях луча.
Изменений можно ожидать, если при повороте луч пересекает
точку самопересечения С или касания А. Однако геометрически
ясно, что при вращении I против часовой стрелки и перехо-
де, скажем, критического положения 1\, появляется пара точек
протыкания. Причем, если в одной из них луч протыкает /(Й)
изнутри наружу, то в другой — наоборот. Поэтому точки проты-
кания появляются или исчезают только парами (полярными), и 7
не меняется.
Если /(Q) имеет слипшиеся участки, то надо считать, что в соответству-
ющем месте луч протыкает поверхность столько раз, сколько там слиплось
слоев — и все остается по-прежнему. Это же должно быть сказано в отноше-
нии лучей, протыкающих поверхность в точках самопересечения f(Q) (луч Z3
на рисунке). В рассматриваемом случае получается 7(/, Q) = 2.
В ситуации справа
7(/,П) = 1.
если О лежит в серой области;
7(/,О) = 2,
если О — в области Е; наконец,
?(/,«) = о,
если О — в области D.
5) Если у Q несколько компонент связности
манипуляции проделываются
с каждой компонентой, и засчитываются в общую копилку.
3.2. Вращение как вращение
45
А в ситуации слева
7(Л <2) = -1,
если О лежит в области L.
3.1.1.	Если О G О, то вращение тождественного отображения
1(ж) = х на О равно 1.
Это, пожалуй, единственная си-
туация, где определение внешней сто-
роны у Т(О) не вызывает вопросов,
поскольку О остается на месте. Луч
сначала протыкает О изнутри, по-
том — снаружи, наконец последний
раз — изнутри.
Все вышесказанное подразумевает пространства Rn размер-
ности п 2. Для определенной «свободы передвижения» полезно
доопределить вращение в одномерном случае.
Любая ограниченная область О G R1 представляет собой
интервал (а, /3). Если /(а) < 0, 7(/3) > 0, то 7(7, О) = 1. В случае
7(а)>о, да<0 => 7(7,0) = —1.
Если же /(а) и /(/5) одного знака, то 7(7, О) = 0.
В случае п > 2, как будет видно из дальнейшего, вращение
7(7, Й) может принимать любые целочисленные значения из Z.
3.2.	Вращение как вращение
Из предыдущего не очень ясно, откуда берется само название
«вращение». Термин происходит из специфического способа вве-
дения 7(7,0), пригодного только для плоскости, но проливаю-
щего дополнительный свет на природу понятия.
46
Глава 3. Топологические принципы неподвижной точки
Пусть Q — некоторая область в R2 с границей Г. Допустим
пока, что замыкание Q гомеоморфно кругу, и на контуре Г задано
направление обхода против часовой стрелки (так, что при обходе
область Q остается слева). Векторы f(x) отображения
/ : Г —> R2
можно представлять себе начинающимися в точках х Е Г.
При обходе изображающей точкой х контура Г — вектор
f(x) совершит целое число оборотов, каковое назовем вращением
''[(J, Г) векторного поля /(ж) на Г.
Легко убедиться в устойчивости характеристики 7(/, Г) по отношению
к невырожденному гомотопическому преобразованию функции /. Во-первых,
невырожденное на Г поле /(ж) можно нормировать — от этого число оборотов
У /(ж)/11/(ж)11 не изменится. Поэтому невырожденную деформацию
переводящую 7о(ж) в 71(ж)> без ограничения общности также можно считать
нормированной, [|2Г(ж, £)|| s 1. Но тогда переход от
7о(ж) = Я(ж, 0) к 7,(ж) = Я(ж, 1)
можно представить в виде последовательности достаточно малых шагов по точ-
кам 41;..., tn = 1, при которых разность углов
Н(х, ti+l) — _Н(ж, 4;)
будет мала при любом ж € Г — поэтому Н(х, 4;+,) и Н(х, ti) не могут разой-
тись по числу оборотов, а значит, не могут разойтись по числу оборотов Н(х, 0)
и Н(х, 1). Следовательно, 7(7, Г) инвариантно по отношению к невырожден-
ным деформациям.
Если область Q не гомеоморфна шару и ее граница Q состоит
из контуров Го, Г], Гг, ..., то 7(/, Й) определяется как
7(/,Й) = ^7(/,ЙЙ,
i
где направления обхода контуров выбраны так, что при обходе
любого Гj область Q остается слева.
Соответствие определения с методом «протыкающего луча»
легко прослеживается. Относительно подробно плоский вариант
теории вращения рассмотрен в [4, т. 13], см. также [10].
3.3. Топологические аномалии
47
3.3.	Топологические аномалии
Забегая вперед, надо отметить, что изложенная выше геометриче-
, ская картина дает представление об «освещенной» части теории.
Кое-что остается во мраке и познается наощупь.
Возьмем полоску вида ____------------и свернем ее
в бесконечно раскручивающуюся спираль внутри круга В.
(3-4)
Серая область Q имеет границу Q, состоящую из двух ком-
понент связности', из окружности В и из достижимой изнутри
части границы6^ Q. Если нуль лежит внутри В, a f(x) тожде-
ственное отображение, — то любой луч, выходящий из нуля,
протыкает Q бесконечное число раз, и инструмент (3.3) переста-
ет работать. Аналогичная трудность принципиального характера
возникает и при определении степени отображения через глад-
кие аппроксимации (разделы 4.2, 4.4), но барьер тем не менее
преодолевается с помощью определенных технических уловок —
см. текст в районе формулы (4.6). В результате вращение и степень
оказываются определены для произвольных ограниченных областей.
Интересно, что светлая спираль слева на
рис. (3.4), как внутренность дополнения B\£l,
имеет ту же самую границу, т. е.	‘
Q = Q'.
Окружность В является частью границы области Q, но ее точки не достигаются
вдоль кривых, лежащих целиком в Q.
48
Глава 3. Топологические принципы неподвижной точки
Тем самым мы имеем пример двух ограниченных областей
с одной и той же границей 7) (!), более простой и наглядный, чем
пример Брауэра — см. [4, т. 13] либо [3], — где результат достигает-
ся замысловатым предельным переходом, зато, правда, строится
сколько угодно ограниченных областей с общей границей.
3.4.	Гомотопия векторных полей
Вернемся на магистраль изложения. Первостепенную роль в то-
пологии играют деформации, или гомотопические переходы.
3.4.1.	Определение. Невырожденные^ на О, отображения f0 и fi
называются гомотопными на £1, если существует такая невырож-
денная непрерывная деформация (гомотопия) H(x,t),
[0, 1] -> R" \ {0},
9)
что ’
H(x,0) = f0(x),	Я(Ж,1) = Л(Ж).
Операции гомотопического перехода соответствует непре-
рывное деформирование поверхности fo(£l) в поверхность /1(Й).
Невырожденность гомотопии, H(x,t) 0, означает, что дефор-
мируемая поверхность не пересекает точку 0.
Геометрически ясно, что невырожденная деформация не мо-
жет поменять величину вращения 7(-), поскольку — двигается ли
луч, деформируется ли поверхность — точки протыкания ис-
чезают и возникают парами. Разумеется, пока деформируемая
поверхность не пересекает нуля, т. е. Н(х, t) / 0. Поэтому спра-
ведлив следующий важный результат.
3.4.2.	Теорема. Гомотопные векторные поля имеют одинаковые
вращения.
Что априори, как правило, не укладывается в голове.
s| Не обращающиеся в нуль.
Построение гомотопии от /о к f\ равносильно продолжению отображения
Н : X х {0} х {]} —>	\ {0} на пространство X х [0, 1].
3.4. Гомотопия векторных полей
49
Становится ясно, что бесконечное разнообразие практиче-
ских ситуаций может быть разбито на категории. Деформирование
на единичную сферу S, с центром в нуле, и последующее
разглаживание складок — порождает многослойную поверхность,
окутывающую сферу |7(/, Q)| раз 10\ Отрицательный знак 7(/, Q)
связан с выворачиванием Q наизнанку.
«Число окутываний» — не обязательно сферы, главное: нуля — и есть
вращение y(f, Q) с точностью до знака. Если на плоскости в нуль вбить гвоздь,
то число окутываний нуля деформацией контура H(fi, t) поменять невозможно,
Несмотря на элементарный характер утверждения 3.4.2, оно
играет принципиальную роль, поскольку служит основным ин-
струментом для вычисления вращений векторных полей, позволяя
переходить с помощью гомотопии от изучаемых полей к более
простым, часто стандартным, вращение которых известно.
3.4.3.	Самый распространенный на практике вид деформаций —
линейная гомотопия'.
я(ж,0 = (1-+
связывающая отображения fug.
Линейная гомотопия может оказаться вы-
рожденной лишь в том случае, когда найдется
точка х € Q, в которой /(я) и д(х) имеют раз-
ные знаки,
/(®) =
10) Если / отображает S в S, то 7(/, S) — это так называемая топологическая степень
отображения f.
50
Глава 3. Топологические принципы неподвижной точки
Поэтому в случае непротивоположной направленности в любой точке х € Q отоб-
ражения /(я) и д(х) линейно гомотопны и, в соответствии с теоремой 3.4.2,
имеют одинаковые вращения.
В связи с теоремой 3.4.2 закономерно возникает вопрос о спра-
ведливости обратного утверждения. Обязательно ли гомотопны
поля с одинаковым вращением? В общем случае это не так. Ес-
ли же Q — шар, положительный ответ на поставленный вопрос
дает знаменитая теорема Хопфа.
3.4.4.	Теорема. Невырожденные на сфере S С Ж", п > 2, век-
торные поля с одинаковым вращением — гомотопны. >
Теорема 3.4.4 не участвует в формировании излагаемого да-
лее аппарата, но показывает, что «аппарат» достигает максимума
возможного. В том смысле, что за рамками соответствующей «де-
формационной идеологии» не остается каких-либо других топо-
логических инвариантов (помимо вращения), из которых можно
было бы вытащить дополнительную информацию.
Выше подразумевался гомотопический переход от /о к век-
торному полю /1; деформирующий поверхность /о(П) в /i(Q),
с помощью гомотопии
Л(ж) = Н(®,£).
Однако деформация может осуществляться не только за счет
изменения оператора, но и за счет изменения области. Как бы
деформация ни происходила, для сохранения величины вращения
существенно лишь, чтобы деформируемая поверхность не пере-
секала точку 0. Вот точная формулировка результата. Пусть
(t G [0, 1]) описывает непрерывный переход от области По к Qj.
Результирующую деформацию назовем невырожденной,
если / 0 при любых £ G [0, 1], ж G Qj.
3.4.5.	Теорема. Пусть деформация ft^i) невырождена. Тогда
7(/о,^о) = т(/ь^1)-
3.5. Ядро теории
51
Это простое обобщение теоремы 3.4.2 иногда оказывается по-
лезным, позволяя при вычислении вращения переходить не толь-
ко к более простому полю, но и к более простой области.
i
3.5.	Ядро теории
Вращение векторного поля обладает свойством аддитивности в сле-
дующем смысле.
3.5.1.	Теорема. Пусть векторное поле f(x) определено и невы-
рождено на границах областей
J2, $2 [,..., $2yyj,...,
причем Qj попарно не пересекаются и J2 = Qy. Тогда Tlj)
отличны от нуля лишь при конечном числе индексов j, и
00
=	(3.5)
7=1
4 Результат очевиден в контексте определения методом «протыкаю-
щего луча». Если О,- и Qk граничат друг с другом, то граничат и /(f2f) с
по некоторому участку Г,/:. Протыканию лучом Гц., например, изнутри при
подсчете 7(/, П,) будет соответствовать протыкание снаружи при подсчете
7(7, Поэтому в сумме (3.5) справа — все протыкания внутренних пере-
городок взаимно сократятся. Отличие от нуля 7(7, $7,) лишь при конечном
числе индексов j вытекает из теоремы 3.5.2 в комбинации с дополнительными
соображениями элементарного характера. ►
52
Глава 3. Топологические принципы неподвижной точки
Будем говорить, что невырожденное на Q векторное поле
/(ж) имеет ахиллесово направление^, если /(ж) не принимает
значений какого-то направления, как на рис. а. Иначе говоря,
/(ж) / Xh для всех ж 6 О, А > 0 и некоторого ненулевого h Е Rn.
На рис. б и в направления /(ж) исчерпывают полный «телесный»
угол, но ситуации, очевидно, разные.
3.5.2.	Теорема. Если векторное поле /(ж) на Q имеет ахиллесово
направление, то , Q) = 0.
•4 Для доказательства достаточно в качестве I взять луч, задаваемый
вектором h,
I = {х : х = Xh, Л 6 [0, оо)},
он поверхность /(J7) вообще не протыкает. ►
Если поле /(ж) на Q принимает все направления, т. е. па-
раметрическое уравнение /(ж) = Xh имеет решение ж 6 Q при
любом векторе h / 0 и некотором А > 0, то для 7(/, Q) 0
этого, конечно, недостаточно. Однако:
3.5.3.	Если поле /(ж) на Q принимает все направления только
по одномуразу12\ то ^(f, П) 0, точнее'. |,у(/, fi)| = 1.
3.5.4.	Лемма. Пусть поле /(ж) невырождено на замыкании обла-
сти Е1, т.е. /(ж) / 0 при любом х Е El. Тогда ^(f, El) = 0.
•4 Разобьем Q на непересекающиеся области О/ настолько малых раз-
меров, что все векторы на каждом замыкании составляют друг с другом
В [4, т. 13] наличие ахиллесова направления характеризовалось как прокол векторного
поля, а в [10] использовался термин «поле выпускает направление», хотя по сути — как раз
«не выпускает».
121 Т.е. f(x) = АЛ при любом h 0 имеет единственное решение х € П.
3.5. Ядро теории
53
острый угол. В этом случае на любой границе (I. поле f имеет ахиллесово
направление. Поэтому (теорема 3.5.2) все	= 0. Окончательный вывод
следует из теоремы 3.5.1. ►
i
Из леммы 3.5.4 вытекает фундаментальный результат:
3.5.5.	Теорема. Если	0, mo уравнение f(x) = 0 раз-
решимо в Q, т. е. в Q существует нуль векторного поля ж* € Q,
Ж) = 0.
Таким образом, любая теорема об отличии от нуля вращения
векторного поля f может трактоваться как принцип разрешимо-
сти уравнения /(ж) = 0.
Отметим в заключение справедливость полезного дополне-
ния к теореме 3.5.1, вытекающего из объединения теоремы 3.5.1
с леммой 3.5.4.
3.5.6.	Утверждение теоремы 3.5.1 справедливо без предположения
Q = Qj, но при условии невырожденности f на Q\ .
Что касается практического вычисления Q), то главный
акцент приходится обычно на поиск гомотопии изучаемого поля
к какому-либо довольно простому типа 7(ж). В крайнем случае
«станцией назначения» служит линейное поле.
3.5.7.	Вращение линейного поля. Пусть 0 6 Q и А — линейное
невырожденное преобразование. Тогда
7(Л,	= sign det А,	(3.6)
причем 7(Л, Q) = ind (А, 0).
•4 Если В шар с центром в нуле настолько малого радиуса, что В С П, то
с учетом п. 3.5.6 имеем
7(Д, Г2) = 7(Д, В),
поскольку Ах невырождено на $2 \ В. Образ АВ сферы В также является
сферой, вообще говоря, в другой норме. Следовательно, любой луч протыкает
54
Глава 3. Топологические принципы неподвижной точки
поверхность АВ ровно один раз, откуда Q)| = 1. Знак вращения опреде-
ляется ориентацией, каковая легко контролируется несколько скучным образом
[4, т. 13]. ►
Разумеется, в случае аффинного преобразования
f(x) = Ах + Ь, Ах0 + b = О,
с невырожденной матрицей А — имеем
ind (/, ж0) = ind (А, 0).
3.6.	Разрешимость уравнений
Стандартные ситуации в связи с разрешимостью уравнений
/(ж) = 0
образуют функции f(x), которые заданы на всем Rn, но судить
об их свойствах легко, например, где-нибудь на сферах достаточно
большого радиуса. Иначе говоря, функции f(x) даны, но себе-
стоимость их наблюдения приемлема лишь местами.
3.6.1.	Пусть 0 ЕП и на границе, т. е. для любого ж 6 Й, выполня-
ется одно из условий'.
•	векторы х и /(ж) не направлены противоположно',
•	П7(ж) — ж|| < ||/(ж)|| + ||ж||;
•	скалярное произведение (/(ж), х) > 0.
Тогда уравнение /(ж) = 0 разрешимо в Q.
•	4 В случае непротивоположной направленности ж и /(ж) теоремы 3.4.2,
3.1.1 обеспечивают равенства
7(/,П)=7(1(ж),П) = 1,
что по теореме 3.5.5 влечет за собой разрешимость /(ж) = 0. Два других условия
влекут за собой непротивоположную направленность ж и /(ж). ►
Изучаемые уравнения часто имеют специальный вид
s = T(z).	(3.7)
3.7. О теореме Брауэра
55
В этом случае решение (3.7) называют неподвижной точкой
оператора Т. Чтобы воспользоваться здесь результатом 3.6.1, до-
статочно перейти к векторному полю /(ж) = х - Т(ж). В итоге,
например, можно гарантировать существование у Т неподвижной
точки, если
(Тж, ж) < (ж, ж), ж £ (1.
Широко известна нижеследующая теорема Брауэра.
3.6.2.	Теорема. Оператор Т, переводящий в себя замкнутый шар В,
всегда имеет неподвижную точку х* G В. При этом В) = 1.
-4 Без ограничения общности центр шара В можно	-----.
считать расположенным в нуле. Предположим против- / х--7’(.г) X
ное: Т не имеет неподвижной точки в В. Тогда поле /	\
х - Т(х) невырождено на сфере В и, в силу Т(В) СВ, I ] (;г)	|
векторы х С В их- Т(х) — непротивоположно направ- \	/
лены, иначе точке Т(х) пришлось бы лежать на продол-	^/'
жении радиус-вектора х 6 В, что противоречит условию —
Т(В) СВ. It-
Из доказательства видно, что непротивоположная направ-
ленность ж и ж - Т(х) обеспечивается и в более свободных
предположениях. Поэтому справедлив следующий результат.
3.6.3.	Пусть Q — произвольная область, О G (1 и оператор Т
на границе О, удовлетворяет условию Т(х) Аж при А > 1. Тогда
у Т существует неподвижная точка ж* £ 11.
3.7.	О теореме Брауэра
Мечтая влипнуть в какую-нибудь красивую историю, чаще всего
попадаешь в банальные ситуации. Так и с вращением векторного
поля. Хорошо бы натолкнуться на нетривиальную задачу с вра-
щением типа 7(/, Q) = -37, но уравнения то и дело попадаются
с набившим оскомину
7(/,Й) = 1	(3.8)
на области Q типа шара.
56
Глава 3. Топологические принципы неподвижной точки
Ситуация (3.8) очень широко распространена 13\ и ее можно
изучать на основе какого-лТибо избранного эталона, ибо по теоре-
ме Хопфа 3.4.4 при одинаковом вращении все / деформационно
эквивалентны (гомотопны). Исторически на роль такого эталона
попала теорема Брауэра 3.6.2. Поле /(ж) = х — Т(х), где опера-
тор Т переводит в себя замкнутый шар В, удовлетворяет условию
7(/, В) = 1, о котором по указанным выше причинам можно
забыть, и сконцентрироваться на свойстве Т(В) С В.
В результате практика использования топологических прин-
ципов неподвижной точки обедняется, зацикливаясь на един-
ственном симптоме
Т(В) С В.
Но охват приложений получается все-таки достаточно широкий,
а сама теорема Брауэра, попадая в фокус внимания, становится
трамплином для различных обобщений. Сразу ясно, например,
что шар В в п. 3.6.2 с равным успехом может быть заменен произ-
вольным замкнутым ограниченным выпуклым множеством. Не сразу
ясно, но легко обнаруживается, что В можно заменить любым А,
гомеоморфным замкнутому шару.
< Действительно, пусть оператор Т переводит в себя множество А,
гомеоморфное замкнутому шару В, и G — соответствующий гомеоморфизм.
В этом случае оператор G 'TG отображает в себя В и по теореме 3.6.2 имеет
неподвижную точку х* 6 В, т.е.
G-'TG(s*) = ®’ => TG(x*) = G(x).
Следовательно, у* = G(®*) £ А — неподвижная точка оператора Т. ►
Дальнейшие обобщения, связанные с ретракциями и другими
изысками (см. [4, т. 13]), имеют больше метафизические устрем-
ления, нежели утилитарные. Ключом к решению практических
задач чаще всего оказывается первоисточник 3.6.2 либо его са-
мые простые обобщения. Рассмотрим в качестве примера лемму
Кнастера—Куратовского—Мазуркевича, в которой теорема Брауэ-
ра выступает в роли скрытого механизма.
131 Видимо потому, что «Бог изощрен, но не злонамерен».
3.8. Теорема Карамардиана
57
3.7.1.	Лемма. Пусть X произвольное множество в Rn, А(х) —
точечно-множественное отображение (из X в Rn) с компакт-
ными образами. Пусть для всякого конечного подмножества
{xi,... , Хк} С X выпуклая оболочка точек {х^,..., х^} содержит-
k
ся в объединении A(xj). Тогда
г=1
П А(ж) Qi.
хех
< В силу компактности образов достаточно показать, что не пусто пере-
сечение любого конечного множества образов. Предположим противное, т. е.
k	к
А(х;) = 0 для некоторого множества точек {xt,..., xk}. Тогда Y, = R",
г—I	г—I
где Y, обозначает дополнение к Д(х;).
Пусть теперь pi(x) — разбиение единицы в Rn, согласованное с покрытием
{У}}, т. е. такой набор функций, что |4^
к
^Pi(x)=i, suppp.CY,.
г—1
k
Отображение <р(х) —	/>,(ж)х,, очевидно, преобразует в себя выпуклую
г—У
оболочку co{xj,..., Хк} и, по теореме Брауэра, имеет неподвижную точку х*.
При этом />Дх*) > 0 для г из некоторого подмножества индексов М С {1,..., к},
и pi(x) = 0 для г М. Но тогда
х* =	/?,(х*)х1 6 со{Х| : г 6 М} С A(xi).
Следовательно, х* 6 Д(х,) для некоторого г 6 М, т. е. х* У}, а значит, />,(х’) = О,
что приводит к противоречию. ►
3.8.	Теорема Карамардиана
«Круги по воде» от теоремы Брауэра расходятся весьма далеко, и,
так или иначе, многие результаты являются ее следствиями. Вот
своеобразная изюминка.
141	Здесь supp р обозначает носитель функции р(х), т. е. множество тех х, для которых
р(х) > 0.
58 Глава 3. Топологические принципы неподвижной точки
3.8.1.	Теорема Карамардиана 15\ Пусть непрерывный оператор
определен при всех ж > 0 и является Р-отображением, т. е. для
любого ненулевого вектора х > 0 можно указать такой индекс j,
что
Xj  fj(x) > 0.
Тогда неравенство /(ж) >0 положительно разрешимо ,6\
Иными словами, уравнение у = f(x) при некотором у > 0
имеет решение х >0. Вкус и аромат скучному на вид утверждению
придает следующая содержательная интерпретация.
Назовем переменные жг- действиями, yi — результатами. На-
пример, Xi — количество г-го лекарства, yi — г-й показатель
здоровья (температура, давление). Одинаковые номера за дей-
ствиями закрепляют «свои» результаты. Понятно, что при нали-
чии побочных влияний совместные стереотипные действия могут
приводить к отрицательным последствиям, в результате чего из-
лечение больного может оказаться невозможным.
Однако пусть связи yi = fi(x) определяются Р-отображением,
т. е. любая совокупность положительных действий не может дать
отрицательные результаты по всем номерам, для которых Xi > 0.
Хотя бы один результат будет ожидаемым. Тогда теорема 3.8.1
гарантирует возможность так подобрать действия (лекарства}
Xi > 0, что все результаты будут строго положительными (все по-
казатели улучшатся, несмотря на побочные влияния).
-4 Доказательство теоремы 3.8.1. Применим лемму 3.7.1, которая, заметим,
остается справедливой при замене предположения о компактности образов 4(ж)
требованием их открытости и ограниченности. В качестве X возьмем п вершин
151 Karamardian S. Existence of solutions of certain systems of non-linear inequalities //
Numer. Math. 1968. 12. №4. P. 327-334.
,<5) Под fix) > 0 подразумевается (a?) > 0 для всех г = 1,..., п.
3.8. Теорема Карамардиана
59
симплекса Д = {ж : ||ж(| = 1, ж 0}:
Xi = {0, ...,0,1,0,
и ДОЛОЖИМ
А(Х|) = {ж : /Дж) > 0, ж € Д}.
Из определения Р-отображения следует, что выпуклая оболочка любого
подмножества вершин симплекса Д покрывается соответствующим объедине-
нием U , что позволяет (лемма 3.7.1) гарантировать непустоту пересечения
всех A(xi). ►
Глава 4
Степень отображения и вращение
Визуальная ясность хороша с точки зрения осве-
щения, но результаты достигаются изворотливой
педантичностью. Поэтому мы возвращаемся в ис-
ходную точку с целью навести некоторый фор-
мальный порядок.
4.1. Дифференциальная преамбула
Кое-что напомним, чтобы иметь минимум под рукой.
О гомеоморфизмах и диффеоморфизмах — уже сто раз говорилось, но осве-
домленности должного уровня это, конечно, не гарантирует. Так что начинать
приходится с той же стартовой позиции.
Гомеоморфизм — это взаимно однозначное и непрерывное отображение / :
X —> Y, обратное к которому f~l тоже непрерывно'^. Пространства X и Y,
между которыми можно установить гомеоморфизм, считаются гомеоморфными,
и тогда пишут X ~ Y.
Отображение / называют локальным гомеоморфизмом, если у любой пары
точек х, у, такой что /(ж) = у, найдутся окрестности гомеоморфно отображае-
мые друг на друга.
Диффеоморфизм / : X -> Y — это гладкий гомеоморфизм. Точнее, оба
отображения / и предполагаются гладкими, т.е. непрерывно дифференцируе-
Насчет необходимости оговаривать непрерывность см. [4, т. 5], но это, вообще
говоря, экзотика. Взаимно однозначное отображение f : X —> Y является гомеоморфизмом
между X и образом f(X) в томм случае, когда /(Q) = /(Q) для любого S2 С X.
4.1. Дифференциальная преамбула
61
мымиг\ Пространства X и Y, между которыми можно установить диффеомор-
физм, считаются диффеоморфными, и опять-таки пишут X ~ Y.
Карты и атласы. Система координат, или другими словами, параметризация
множества М,
х:М -4 R",
называется картой на М, при условии что х диффеоморфизм М на х(М).
Карту на открытом подмножестве U С М называют локальной. Таким образом,
локальная карта определяется парой (U, х), открытым множеством U С М
и гомеоморфизмом х.
Варианты координатных сеток различных криволинейных координат хоро-
шо известны, но локальные карты на замкнутых поверхностях не выстраиваются
во взаимно однозначные глобальные координатные функции
х(р) = {х\(р),... ,хп(р)}.
И тогда «во избежание» предпринимаются дополнительные меры.
Две карты (U, х), (К у) называют согласованными, если образы пересече-
ния	и y(U Р) V) — открыты* 3’ в Rn. В зависимости от контекста
предъявляются также те или иные требования гладкости: дифференцируемости
композиции ух'.
Наконец, множество
— {^а•> Я-а}
согласованных между собой локальных карт {Ua, ха), покрывающих в совокуп-
ности М, — называется атласом множества М.
Непрерывной дифференцируемости, как правило, хватает. Но не всегда. В теореме
Сарда, например, требуется класс гладкости f ЕС11, k — max{0, т - n} + 1, если f
действует из Кт в Rn. Поэтому дешевле предполагать бесконечную дифференцируемость
f-.X^Y.
3’ Пустое множество 0 считается открытым.
62	Глава 4. Степень отображения и вращение
Гладкие многообразия. Множество X С Rn называется гладким т-мерным
многообразием, если для любой точки х Е X можно указать окрестность V X,
диффеоморфную открытому множеству U С Rm.
Установление диффеоморфизма между U и V Р| X равносильно введению
параметризации области V Р) X: точки у € V Р) X описываются взаимно
однозначным и взаимно гладким преобразованием
Уз=Уз(хх,...,хт), j =
Переменные х\,... ,хт называют локальными координатами на V Р| X.
Далее. Пусть Qm обозначает полупространство
Qm = {х : х = {ж,,..., жт} 6 R”, Ж1 > 0}.
Краем <Q>m называется плоскость ж, = 0.
Множество X С R" называется гладким т-мерным многообразием с краем,
если для любого х € X можно указать окрестность V Р] X, диффеоморфную
открытому множеству U С Qm полупространства Qm. Край X — это множе-
ство тех точек X, которые под действием соответствующих диффеоморфизмов
переходят в точки края^ Qm.
В определенных условиях более удобна бескоординатная точка зрения.
Если X С Rn — т-мерное гладкое многообразие с краем или без, — то
в каждой точке ж € X вводится касательная m-мерная плоскость, наилуч-
шим образом аппроксимирующая X вблизи ж. Параллельная ей плоскость Тх,
проходящая через начало координат, называется касательным пространством
многообразия X в точке ж. Иногда, чтобы подчеркнуть, что речь идет о каса-
нии многообразия X, вместо Тх используется обозначение ТХх. Аналогично
определяются касательные пространства Ту (ТУ,,) в точках у = /(ж) € Y.
Наилучшая линейная аппроксимация /, отображающая Тх в Ту, называется
производной / в точке ж. В случае многообразия без края эта производная f'
может быть записана как матрица Якоби в локальных координатах.
Об ориентации уже было сказано в разделе 3.1, и для формализации картины
нужны лишь некоторые дополнительные штрихи.
В R3 упорядоченная тройка некомпланарных векторов
а, Ь, с
называется правой, если для наблюдателя, расположенного в нуле, обход кон-
цов а, Ь, с в указанном порядке происходит по часовой стрелке. В противном
Например, краем замкнутого шара является сфера. Сфера же — многообразие без края.
4.1. Дифференциальная преамбула
63
случае тройка а, Ъ, с — левая. Соответственно классифицируются базисы.
В общем случае R" понятий «правого» и «левого» не существует, но дихотомия
остается. Д^а базиса {е1;..., еге} и {е\,..., е„} в Rn считаются одинаково ори-
ентированными, если
{e'i,	,е'я) = Д{еь..., еп} и det4>0.
При этом в случае det А < 0 говорят, что базисы противоположно ориентированы.
В результате все базисы распадаются на два класса эквивалентных между собой.
Базис
е, = {1, 0, ...,0}, е2 = {0, 1,..., 0},... еп = {О, 0, ...,1}
называют стандартным, а соответствующую ему ориентацию — стандартной
ориентацией5^ R". Использование стандартного базиса уравнивает в правах
фиксацию базиса и фиксацию системы координат.
Ориентацию гладкого многообразия Q С определяет задание на О
атласа, совокупности согласованных между собой локальных карт (координат).
При наличии у П края Q = Г, его ориентация считается согласованной с ори-
ентацией Q, если дополнение базисов касательных пространств ТГХ внешними
нормалями в точках х 6 Г образует базисы, одинаково ориентированные с ло-
кальными координатами f! в тех же точках х.
Владение инструментом ориентации определяется главным образом уме-
нием согласовывать ориентации «взаимодействующих» многообразий. Вот одна
из типичных ситуаций, произрастающих на феномене гладкой гомотопии.
4.1.1. Два отображения f0 : X -> У и f\ : X -> Y называются гладко гомотопны-
ми (fg ~ f j), если существует такое гладкое отображение f: X х [0,1 ] —> У, что
0) = f0(x), f(x; 1) = f, (ж).
Здесь естественно возникает гладкое многообразие X х [0, 1] с краем,
состоящим из двух экземпляров многообразия X:
X х 0 и X х 1.
При ориентации X х [0, 1] как произведения двух ориентированных многооб-
разий X и [0, 1], компоненты края X х 0 и X х 1 обретают противоположную
ориентацию.
5^Либо положительной ориентацией. Ориентации нульмерного многообразия также
приписывают (для удобства) символы +1 или -1.
64	Глава 4. Степень отображения и вращение
О прообразах регулярных значений
4.1.2.	В случае det/'(ж) = 0, где f производная, — точка х 6 X
называется критической отображения f : X —> Y. А точку у £ У,
прообраз Г'(у) которой состоит только из критических точек,
называют критическим значением /(ж).
4.1.3.	Точки х £ X, в которых det/'(ж)	0, называются регу-
лярными, а у = /(ж), прообразы которых состоят исключительно
из регулярных точек, называют регулярными значениями®1 f(x).
Если в / : X -г У размерности пространств X, У различны,
определения критических и регулярных точек и значений от-
талкиваются от ранга f\x). Условие det/'(ж)	0 заменяется
максимальностью ранга f(x), соответственно, det/'(ж) = 0 —
условием «ранг f'(x) меньше максимального».
Следующий на вид технический результат позволяет решать
некоторые принципиальные вопросы.
4.1.4.	Теорема Сарда. Множество критических значений отобра-
жения f : X Y имеет нулевую лебегову меру в У.
Ограничимся рассмотрением случая равных размерностей X и Y. По-
скольку X покрывается счетным множеством окрестностей, теорему достаточно
доказать, когда X — единичный куб [0,1]п.
Разобьем [О, 1]п на №‘ равных кубиков, разделив каждое ребро на N рав-
ных частей. Для любой пары точек хп, х, лежащих в одном из таких кубиков,
||/(®)-/'(®о)(®-®о)П	(4-0
Если х0 — критическая точка, т. е. det /'(®0) = 0, то из (4.1) ясно, что объем
/ 1 \
образа этого кубика есть о —— ). Если теперь к обозначает число кубиков,
\Nn )
содержащих критические точки, то суммарный объем образов таких кубиков есть
N'-ol — ), причем заведомо к п. В пределе при N -> ос приходим к выводу
о том, что лебегова мера в Y множества критических значений равна нулю. ►
В случае, когда прообраз /-|(у) пуст, точку у относят к регулярным значениям.
Очевидно, если X — компакт, то прообраз любого регулярного значения состоит не более
чем из конечного числа точек.
4.1. Дифференциальная преамбула
65
4.1.5.	Следствие. Множество регулярных значений отображения
/ : X —> У всюду плотно в Y.
Если условие невырожденности f в виде det f'(x) Т 0 заменить более
общим требованием максимальности ранга f'(x), то о регулярных точках и зна-
чениях можно говорить и в случае f : Rn -> Rm, m^n. Для таких ситуаций
теорема 4.1.4 остается справедливой (равно как и следствие 4.1.5).
В определенных ситуациях представляют интерес результаты
об индивидуальных прообразах регулярных точек.
4.1.6.	Пусть f отображает (к+1)-мерноемногообразие X в к-мер-
ное Y; точка у регулярна, и ее прообраз f~ (у) непуст. Тогда f~\y)
является гладким одномерным многообразием.
Если х € f~'(y), то f'Tx = Ту. Поэтому ядро линейного оператора /'
в точке х является одномерным пространством, скажем, Е''.
Пусть X, Y С R'V и Р — ортогональный проектор RjV на Е1. Определим
отображение g : X -> Y х В1 как g = {/, Р}. Очевидно, д' = {/', Р} является
изоморфизмом пространства Тх на Ту х Е', и по теореме о неявной функции
отображение д диффеоморфно отображает некоторую окрестность U С X
точки х € X на окрестность V CY х Е] точки {у, Рх}. При этом отображении
множество f ' (у) является прообразом прямой у х Е1, а множество f \y) A U
диффеоморфно отображается на (у х Е1) П V. ►
Аналогично устанавливается:
4.1.7.	Пусть ф : X —> R — гладкая функция на гладком многооб-
разии X, и нуль — регулярное значение <р. Тогда множество
X = {ж е X : р(ж) 0}
является гладким многообразием с краем X =	1 (0).	<
4.1.8.	Пусть f отображает (к+1)-мерное многообразие X с краем
в к -мерное гладкое многообразие Y; точка у £ У регулярна как
для f, так и для сужения f на край X. Тогда f ~l(y) является
гладким одномерным многообразием с краем. <
66
Глава 4. Степень отображения и вращение
4.2.	Степень отображения
Пусть X и Y — гладкие ориентированные n-мерные многообразия,
причем X компактно, a Y связно. Степень deg (/; у) гладкого от-
ображения f :Х —> У для регулярного значения у определяется как
deg (J;y)= 52 sign det/'(ж).	(4.2)
В силу компактности X и регулярности у — число точек в про-
образе f~l(y) конечно. Из определения ясно, что deg(J;y) —
локально постоянная целочисленная функция от у, определен-
ная на открытом подмножестве У полной меры7 8). Этого, правда,
не хватает для установления независимости deg (/;?/) от у. Тем
не менее функция deg (/; у) постоянна на множестве регулярных
значений, см. далее, и это общее значение deg (f',y) называется
степенью отображения f : X —> У и обозначается через deg /.
Вот первоочередные меры, расчищающие стартовую площадку.
4.2.1.	Пусть X — (п+ \)-мерное многообразие с краем X.Y — связное п-мерное
многообразие. Если f : X —> У продолжается до гладкого отображения F : X —> Y,
то deg (/; у) = 0 для любого регулярного значения^ у.
Допустим сначала, что у — регулярное значение как для /, так и для F.
В силу п. 4.1.6 множество jF-l(t/) является одномерным гладким многообра-
зием, край которого, состоящий из конечного числа простых дуг, получается
в результате пересечения F~!(y) с краем X. При этом граничные точки дуг
лежат на X Пусть Г — одна из дуг F~'(y) и Г = {a} U {6}. Тогда
sign det/'(°) + sign det/'(ft) = 0,	(4.3)
откуда следует утверждение 4.2.1, так как прообраз f(y) состоит из концов дуг,
лежащих в прообразе F'(y).
Справедливость (4.3) вытекает из простого анализа согласования ориента-
ций. Источник (4.3) заключен в том, что если касательный к Г в точке х вектор
б|(ж) — положительно ориентирует Г, то один из векторов е(а), е(Ь) направлен
внутрь X, другой наружу, откуда в итоге и следует (4.3).
7* В силу теоремы Сарда.
8’ Это аналог леммы 3.5.4 о равенстве нулю вращения 7(/, Q), если поле /(г),
невырожденное на границе Q. невырожденно продолжается на Q.
4.2. Степень отображения
67
Пусть теперь у — регулярное значение отображения f : X -> Y, но не
F : X -> Y. Поскольку любая достаточно малая окрестность V СУ точки у
состоит из регулярных значений отображения /, — функция deg (/; у) посто-
янна на V. С другой стороны, множество регулярных значений отображения
F : X -> У плотно в V (п. 4.1.5). Поэтому в V найдется точка z, являющаяся
регулярным значением как /, так и F, и задача сводится, после замены у на z,
к уже рассмотренной ситуации. ►
4.2.2.	Гладко гомотопные отображения f0 : X -TY uf, : X -> У имеют одина-
ковые степени
deg (Л;«/) =deg(/(;2/).
У сужения f гладкой гомотопии f : X х [0, 1] -> У, связывающей f0
и /,, степень deg (/; у) для регулярных значений у равна разности степеней
deg (/,; у) и deg (/0; у), поскольку многообразия X х 0 и X х 1 ориентированы
противоположно9^. Далее остается сослаться на п. 4.2.1. ►
4.2.3.	Диффеоморфные отображения f0, ft : X Н Y называются гладко изо-
топными, если существует гладкая гомотопия f : X х [0, 1] —> У, которая
соединяет f0 и f}, и при каждом т € [0, 1] отображение f(x; г) является диф-
феоморфизмом X на У.
4.2.4.	Лемма. Пусть у и z — произвольные точки гладкого связного многооб-
разия У. Тогда существует гладко изотопный тождественному диффеоморфизм
h : У ->У, переводящий у в z.
За доказательством, равно как и за другими подробностями дифференци-
альной топологии, проще всего отослать читателя к [13]. Но тут, на примере,
хотелось бы обратить внимание на технический прием, полезный и часто ис-
пользуемый при построении гомотопических переходов.
Сам по себе факт 4.2.4 более-менее очевиден в простых ситуациях10),
но при усложнении многообразия У возникает опасение «как бы чего не вы-
шло», которое в итоге не оправдывается.
Итак, построим сначала гладкую изотопию R" на себя,
h х [0, 1] -4 К",
которая оставляет неподвижными точки вне единичного шара В и переводит
начало координат в наперед заданную точку z € В. * S
9) См. абзац, идущий вслед за определением 4.1.1
|0) В частном случае n-мерной сферы Sn подходящий диффеоморфизм дает поворот
Sn, переводящий у$ в у\.
68
Глава 4. Степень отображения и вращение
Оператор сдвига U( по траекториям дифференциального уравнения
х = <р(х)с,
где <р : Rre -> R такова, что >р(х) > 0 при х € В и <р(х) = 0 при х € Rn \ В, —
является диффеоморфизмом Rn на себя при любом t. Очевидно, при подхо-
дящем выборе |2> с и ( отображение U( переводит центр В в точку z € В.
В общем случае связного многообразия Y любая точка у € Y имеет окрест-
ность в Y, диффеоморфную Rn. Поэтому приведенное выше рассуждение по-
казывает, что достаточно близкие к у точки изотопны13’ у. Следовательно, Y
распадается на открытые множества (классы) изотопных точек. Поскольку Y
связно, класс изотопных точек может быть только один. ►
Теперь установим, наконец, корректность определения степени отображе-
ния, т. е. независимость deg (/; у) от у.
4.2.5.	Функция deg (/; у) постоянна на множестве регулярных значений у.
Пусть у и z — регулярные значения отображения f : X -г Y, и
h : Y -> Y — изотопный тождественному диффеоморфизм, переводящий у в z
(лемма 4.2.4). Так как h сохраняет ориентацию, то
deg (/; У) = deg (hf; h(y)} = deg (hf; z),
а поскольку диффеоморфизм h еще и гладко изотопен тождественному, то f
гладко гомотопно отображению hf, причем z — регулярное значение отобра-
жения hf. Тогда (п. 4.2.2)
deg (hf; z) = deg (/; z) => deg (/; y) — deg (/; z). ►
4.3.	Свойства степени
Кое-что уже было установлено в предыдущем разделе, но об этом
целесообразно сказать еще раз с учетом постоянства deg (/; у)
на множестве регулярных значений (п. 4.2.5), заменяя общее зна-
чение deg(J',y) степенью deg/. Как и прежде X, Y — гладкие
ориентированные многообразия одинаковой размерности, при-
чем X компактно, a Y связно.
Изотопным тождественному.
12)
7 Использование операторов сдвига для гомотопических переходов легко спасает
в некоторых ситуациях, где простых выходов из положения сразу не видно.
13)	Б смысле существования изотопного тождественному диффеоморфизма, переводя-
щего точки друг в друга.
4.3. Свойства степени
69
4.3.1.	Гомотопическая эквивалентность. Гладко гомотопные от-
ображения fo : X —> Y и f\ : X —> Y имеют одинаковую степень,
deg/о = deg/i.
Факт 4.3.1 получается объединением утверждений 4.2.2 и 4.2.5. ►
4.3.2.	Признак нулевой степени. Пусть П — (п+ -мерное мно-
гообразие с краем tl, Y — связное п-мерное многообразие. Если
f : Q —> Y продолжается до гладкого отображения F : Q —> Y, то
deg f = 0.
Факт 4.3.2 — переформулировка леммы 4.2.1 с учетом и. 4.2.5. ►
Очевидна аналогия с леммой 3.5.4 о равенстве нулю вращения 7(/, Q), если
поле /(ж), невырожденное на границе Q, невырожденно продолжается на О.
4.3.3.	Признак нулевой степени. Пусть f : Q —> Y — гладкое
отображение и Y. Тогда deg / = 0.
Если у € Y \ /(Q), то у — регулярное значение отображения /,
не имеющее прообразов. ► Признак 4.3.3 очевидным образом перекликается
с теоремой 3.5.2 о нулевом вращении поля, имеющего ахиллесово направление.
4.3.4.	Аддитивность. Пусть гладкое отображение F на многооб-
разие Y определено на границах областей
Q,С R",
причем области Оу (j = 1,..., m) попарно не пересекаются, замы-
кание Q — [_J Elj, и f, fi,..., fm — сужения F, соответственно,
на Q, Qi,...,	. Тогда
m
deg / = deg /j.	(4.4)
г=1
Если S3,- и граничат друг с другом, то при использовании формулы
(4.2) для подсчета степеней в (4.4) выясняется, что общие точки х € /~’(?/),
® € Н'(у) дадут в сумме (4.4) слагаемые разных знаков,
sign det fix) = —sign det f^x).
Поэтому все слагаемые в (4.4) справа по внутренним перегородкам взаимно
сократятся, что и дает требуемое равенство. ►
70
Глава 4. Степень отображения и вращение
4.3.5.	Степень диффеоморфизма.
Если диффеоморфизм f : X —> У сохраняет ориентацию, то
deg / = 1,
если не сохраняет, — то
deg / = -1.
Все значения отображения / регулярны и каждому отвечает один
прообраз. Поэтому | deg f | = 1. Знак определяется ориентацией. ►
4.3.6.	Теорема о произведении. Пусть
f:X-^Y, g-.Y-^Z,
где X.Y.Z СУП - гладкие многообразия, причем X компактно,
a Y и Z связны. Тогда степень композиции равна произведению сте-
пеней
deg (5/) = deg5 • deg/.
Если z € 51 — регулярное значение отображений gf и д, то у € д~'(г)
регулярное значение /. Поэтому
deg(^/)= 52 sign det = 52 sign det ^.^sign det Л =
= 52 (siSndets2‘ 52 sign det Л j =
= 52 si8n det 9y • deS f = deg 9 ’ deg /• ►
yer'iP
4.4.	Степень и вращение
4.4.1.	Вращение y(f, определяется как степень отображения
<4-5)
границы Й в единичную сферу S.
Для «воплощения сказанного в металл» необходимы кое-ка-
кие технические усилия. Первым делом в определении степени
4.4. Степень и вращение
71
снимается требование гладкости отображения F : X -> Sn с по-
мощью гладких е-аппроксимаций Fe : X -> Sn,
||F(s)-Fg(s)|| (VsGX),
степень каковых, deg Fe, при достаточно малых е > 0 стабилизи-
руется (п. 4.3.1), поскольку
р, n = (l-A)FgV) + A^(^
’	\\(l-X)F£\x) + XF£l(x)\\
(хЕХ,	1)
является гладкой гомотопией, соединяющей F£ и Fg.
4.4.2.	Общую степень гладких е-аппроксимаций отображения F
называют степенью deg F этого отображения.
Далее вводится понятие гомотопии непрерывных отображе-
ний (как и в разделе 3.4), и легко устанавливается, что степень
непрерывных отображений обладает теми же свойствами, что
и степень гладких отображений (п. 4.3). В частности:
4.4.3.	Гомотопные отображения Fo : X —> Sn, F} : X —> Sn имеют
одинаковую степень'.
deg Fo = deg F}.
Если теперь П — ограниченная область в R” с гладкой грани-
цей Й, то для определения 7(/, Й) надо лишь позаботиться о пра-
вильной ориентации границы Й. Для этого в каждом касатель-
ном пространстве ТГ1Х выбирается такой базис е^х),..., en_] (х),
определяющий ориентацию ТОХ, чтобы его дополнение векто-
ром внешней нормали п(х) к Й в точке х определяло стандарт-
ную ориентацию R”. Аналогично ориентируется единичная сфера
S'”-1 С R”. Далее, в соответствии с п. 4.4.1, вращение Й)
определяется как степень отображения
Если граница Й не обязательно гладкая, возникает дополни-
тельная морока. Пусть F определено на Й, и F-, — произвольное
72
Глава 4. Степень отображения и вращение
невырожденное непрерывное продолжение поля F с Й на за-
мыкание области Q. Пусть Zo — множество нулей поля F$.
Поскольку Zo и Й компакты и Zo П Й = 0, то существует об-
ласть По с гладкой границей, для которой
Zo С По С И.	(4.6)
В силу (4.6) поле Fo невырождено на Йо. Поэтому определено
его вращение 7(Fo, Йо)» которое не зависит ни от продолжения Fq
поля F, ни от выбора области По, удовлетворяющей условию
(4.6). Это общее вращение называют вращением ^(F, Й) поля F
на границе Й области И.
Интересно что в последней конструкции y(F, Q) присутствует не толь-
ко граница Q, но и область Q, тогда как определение вращения на областях
с гладкими границами не требует привлечения самих областей. И это прин-
ципиально, что связано с существованием в Rn различных непересекающихся
областей Г21;..., Q* с общей границей |4\ Поэтому если на общей границе об-
ластей Q.j задано невырожденное поле F, то вращения "/(F, flj могут оказаться
различными. Поэтому в обозначении ylF, Й) символ Й нужно понимать как
границу именно области Q.
С учетом перечисленных нюансов вслед за свойствами сте-
пени (раздел 4.3) выполняются аналогичные свойства вращения
отображения y(F, Й), описанные еще в пп. 3.4, 3.5. Доказатель-
ства сводятся к простым реверансам в сторону определений.
К оговоренным уже свойствам вращения с помощью опре-
деления через степень легче присовокупляются некоторые другие
факты, характеризующие вращение векторного поля. Например,
к утверждениям 4.3.5, 4.3.6 очевидным образом добавляются ана-
логи для вращения непрерывных полей, не обязательно гладких.
Комбинация этих аналогов приводит к следующему принципи-
альному результату.
4.4.4.	Пусть h : Q —> Т — гомеоморфизм, и поле /(ж) невырождено
на Й. Тогда
14)	Пример Брауэра [4, т. 13].
4.4. Степень и вращение
73
Это означает, что вращение векторного поля не меняется при
переходе к другой системе координат.
Введенное здесь вращение полезно сопоставить с определе-
нием методом протыкающего луча (п. 3.1). Для этого достаточно
представить, что /(Q) центрально проектируется в соответствии
с (4.5) на S, т. е. F(x) = /(®)/||/(ж)||• В результате поверхность
/(Q) укладывается на S в несколько слоев 15\ после чего для
регулярных значений у Е S сумма в (4.2), вернее
sign det F'(x),
x£F~'(y)
дает как раз «сумму» протыканий луча по формуле (3.3).
Структурная устойчивость вращения. Важно подчеркнуть, что
вращение векторного поля относится к разряду грубых характе-
ристик. Оно не меняется при малых изменениях как отображе-
ния /, так и области Q. Поэтому любые теоремы о разрешимости
уравнений, опирающиеся на оценки 70, выдерживают малые
возмущения. При вычислении самого вращения это дает возмож-
ность пользоваться различными аппроксимациями, не нарушая
выводов, — например, вместо /(ж) в окрестности Жо можно
рассматривать линейное приближение /х(жо)(ж - Жо), разумеется,
если производная /х(жо) невырождена.
!5) Число слоев над каждой точкой у € S может быть разным.
74
Глава 4. Степень отображения и вращение
4.5.	Невырожденное продолжение поля
К центральной теореме 3.5.5 о разрешимости уравнения /(ж) = О
в случае 7(/, Q) 0 — напрашивается дополнение, характери-
зующее ситуацию 7(/,Q) = 0. Конечно, нуль может существовать
в любом случае, но при условии 7(/, Q) = 0 поле /(ж) всегда
можно продолжить с П на П невырожденным образом. Это не так
уж легко доказать в размерностях n > 1, но и не очень
4.5.1.	Теорема Хопфа. Если /(ж) / 0 на границе Q ограниченной
связной области Q и	= 0, то f : £1	R”\{0} можно
продолжить до невырожденного на замыкании П поля. <
Конечно, более знаменита другая теорема Хопфа системооб-
разующего характера:
4.5.2.	Теорема Хопфа. Если невырожденные на сфере S С R”
(n > 1) векторные поля имеют одинаковое вращение, то они гомо-
16)
топны '. >
4.5.3.	Теорема 4.5.2 сохраняет силу при замене сферы S границей
Q такой ограниченной связной области Q, что B"\Q имеет две
17)
компоненты связности '. >
Роль теоремы Хопфа 4.5.2 и ее более общего варианта 4.5.3
заключается в характеризации силы метода. Как инструмент, она
|б) Заметим, что задача о гомотопии двух отображений есть задача о возможности
продолжения Н(х, t) с S х {{0}, {1}} на множество S х [0, 1].
'7 в качестве поверхности 11 годится, в частности, тор, и вообще сферы с ручками
[4, т. 13]. Дальнейшее ослабление требований к 12 наталкивается на препятствия. Напри-
мер, векторные поля, имеющие одинаковые вращения на границе шарового слоя, могут
быть не гомотопны.
4.5. Невырожденное продолжение поля
75
малоупотребительна. Но важна как опора всей теории вращения.
Из теоремы 4.5.3, вкупе с результатом 3.4.2, следует, что вращение
векторного поля 18^ несет в себе исчерпывающую информацию
для гомотопической классификации отображений
f : Q -> R"\{0}.
Тем самым гарантируя, что вопрос об обязательной разрешимо-
сти f(x) = 0 в Q по данным о поведении /(ж) на границе П
и отсутствии другой информации об /(ж) — всегда может быть
решен (принципиально) вычислением вращения 7(/, Q).
Возвращаясь к п. 4.5.1, заметим, что задача продолжения отоб-
ражений является одной из центральных в топологии [4, т. 13].
Относительно бесхитростные продолжения характеризует следу-
ющий более-менее очевидный результат.
4.5.4.	Теорема. Любое векторное поле f : М —> R”, М — замкну-
тое множество, может быть продолжено на все Ж” со значениями
в замкнутой выпуклой оболочке со f(M). <1
Продолжения при дополнительных требованиях доставляют
больше хлопот. В данный контекст естественно вписывается,
например, следующий инструмент, иногда выстреливающий с тем
или иным эффектом.
4.5.5.	Теорема. Векторное поле /(ж), заданное и невырожденное
на границе Q ограниченной связной области Q, такой что Ж”\П
имеет две компоненты связности, всегда можно продолжить на все
Ж” до поля с единственным нулем х* 6 В.
Если же Ж”\Й имеет к компонент связности, то /(ж) можно про-
должить на все Ж” до поля не более чем с k— 1 нулями, «по одному»
в ограниченных компонентах связности. О
Особый интерес (см. раздел 5.1) представляет следующая
18) По крайней мере доя указанного в п. 4.5.3 типа областей.
76	Глава 4. Степень отображения и вращение
4.5.6.	Теорема. Непрерывное векторное поле f(x), заданное и не-
вырожденное на границе Q ограниченной области Q, можно так
продолжить на замыкание Q, что продолжение f будет непрерывно
дифференцируемым на Q, и у него будет конечное число нулей Xj
с невырожденными производными	>
Глава 5
К теории вращения векторного поля
Some horses are specially trained
to buck their riders off.
Хорошее вооружение нет необходимости применять.
Достаточно факта его существования, изредка под-
крепляемого демонстрациями. Такая же история воз-
никает в связи с топологическими методами, да и дру-
гими научными дисциплинами.
5.1.	Индексы и алгебраическое число нулей
Нуль Xq £ Q векторного поля /(ж) называют изолированным, если
в достаточно малой окрестности Жо нет других нулей. Вращение
поля / на сферах достаточно малого радиуса с центром в Жо
называют индексом Жо и обозначают ind (/, жо).
Корректность такого определения вытекает из одинаковости
вращений f на сферах достаточно малого радиуса. Действительно,
если шары В\ и В2 не содержат других нулей, кроме Жо, и
Bj С В2, то из теоремы 3.5.6 следует
7(f,Bt)=7(f,B2).
5.1.1.	Теорема об алгебраическом числе нулей. Пусть вектор-
ное поле /(ж) невырождено на Q и имеет в Q лишь изолированные
нули. Тогда
Т(Л Ф = Z/nd </’	(5-0
j
где суммирование идет по всем нулям Xj Е Q поля /.
78
Глава 5. К теории вращения векторного поля
◄	Доказательство сразу вытекает из п. 3.5.6, если области Clj определить
как шары достаточно малых радиусов с центрами в точках Xj. ►
Теорема 5.1.1 имеет разнообразные применения. Гарантирует,
например, существование неизвестного нуля, если сумма индек-
сов известных нулей отлична от 7(/, Q). В различных вариантах
позволяет также устанавливать единственность решения. Скажем,
пусть 7(/, Q) = 1 и производная (матрица Якоби) /(ж) невы-
рождена на Q. Этого, оказывается, достаточно для существования
и единственности решения /(ж) = 0 на Q.
◄	Действительно, если ж0 — нуль поля f, то f(x) и f'(x0)(x - ж0)
непротивоположно направлены в достаточно малой окрестности х0, поскольку
f(x) = f'(x0)(x - ®о) + о(||х - Жо||)-
В силу невырожденности f'(x) детерминант det f'(x) сохраняет знак, поэтому
индексы всех нулей обязаны быть одинаковы,
ind (/, ®0) = sign det f'(x0) = 1.
А это, благодаря условию т(/, О.) = 1, допускает не более одного нуля. ►
С учетом теорем 5.1.1 и 4.5.6 становится ясно, что любое
поле f с любым вращением Q) можно продолжить с 11 на П
так, что f будет иметь в Q конечное число нулей с индексами
±1, а вращение 7(/, Q) в соответствии с (5.1) будет представлять
собой алгебраическую сумму
7(/,Q) = E(±1)-
Индексы нулей изначально заданного на Q поля /(ж), разумеется,
могут быть любыми, но из сказанного ясно, что такие нули
«возникают» в результате слипаниянулей с индексами ±1.
Свойства индексов в силу определения естественным обра-
зом перекликаются со свойствами вращения. Из теоремы 4.3.6,
например, легко следует
'1 Тут уместно напомнить формулу (3.3).
4 В процессе деформации, например.
5.2. Индексы на бесконечности
79
5.1.2.	Теорема о произведении индексов. Пусть sq — изолиро-
ванный нуль векторного поля f(x), а 0 — изолированный нуль поля
д(х). Тогда Xq — изолированный нуль поля gf(x) и
ind(gf, ж0) = ind(0, 0) • ind(/, s0).
Пусть теперь поле f(x) невырождено на границе Й обла-
сти Q, а д(х) невырождено на множестве X = /(Й). Тогда на Й
невырождена композиция полей gf. Допустим при этом,
оеррь
г
где — ограниченные компоненты связности множества ЖП\Х.
В этом случае справедлива формула произведения вращений:
=	(5-2)
г
следующая из п. 5.1.2.
В случае, когда R” \ X состоит только из двух компонент
связности, и нуль лежит в ограниченной компоненте Qo, соотно-
шение (5.2) переходит в
7(5/> Й) = ?(/, Й) • 7(5, Йо).
5.2.	Индексы на бесконечности
Если поле / невырождено при больших по норме ж 6 К", то го-
ворят, что особая точка оо поля / изолирована. При этом теорема
3.5.1 и лемма 3.5.4 гарантируют, что вращение /(s) на сферах
достаточно большого радиуса одно и то же. Это общее вращение
называют индексом на бесконечности и обозначают ind (/, оо).
Если поле /(х) имеет лишь изолированные нули Xj и определен индекс /
на бесконечности (т. е. /(ж) невырождено при достаточно больших по норме
х £ R"), то число нулей Ху конечно, и в силу п. 3.5.6 имеет место равенство
52 ind (Л ®у) = ind(/, оо).
3
80
Глава 5. К теории вращения векторного поля
Допустим, для некоторой матрицы f'(pd)
||/(ж) - /'(оо)®||
Нт	„ ,/--- = 0.	(5.3)
l|x||-tco	||®||
В этом случае поле f называют асимптотически линейным, а матрицу / (оо) —
производной на бесконечности оператора /.
5.2.1.	Пусть поле f асимптотически линейно и det f'(po) 0. Тогда особая
точка оо поля f изолирована и
ind (/, оо) = sign det /(оо).
Доказательство совсем просто. По условию ||/(ж) - /'(оо)®|| = о(||ж||).
Но так как матрица /'(оо) невырожденна, это влечет за собой справедливость
неравенств
||/(ж) - /(оо)ж||	||/(оо)®||
на сферах достаточно больших радиусов, что гарантирует непротивоположную
направленность полей /(ж) и / (оо)ж. ►
5.3.	Накрытия и гомеоморфизмы
Вопросы о гомеоморфизмах достаточно подробно (как правило,
с доказательствами) рассмотрены в [4, т. 13]. Ограничимся здесь
формулировкой двух результатов.
5.3.1.	Теорема. Чтобы f было гомеоморфизмом R” на R”, необ-
ходимо и достаточно выполнение двух условий:
(i)	f является локальным гомеоморфизмом,
(ii)	прообраз любого ограниченного множества ограничен. >
5.3. Накрытия и гомеоморфизмы
81
Условие (ii) равносильно
lim ||/(ж)|| = оо,	(5.4)
||ж|Ноо
что полезно тренировочно осмыслить 3\
5.3.2.	Теорема. Пусть f : X —> У, где X, Y линейно связны, при-
чем любая замкнутая кривая в Y может быть стянута в точку.
Тогда, чтобы f было гомеоморфизмом X на Y, необходимо и доста-
точно выполнение двух условий'.
(a)	f является локальным гомеоморфизмом,
(Ь)	прообраз любого компакта из Y компактен в X >
Теоремы о гомеоморфизмах гарантируют одновременно: раз-
решимость /(ж) = у при любом у 6 Y, единственность решения
и непрерывность обратного оператора f l. Иногда возникает
самостоятельный вопрос о разрешимости /(ж) = у при любом
у 6 Y. В случае положительного ответа говорят, что отображение
f : X -> Y накрывает пространство Y.
5.3.3.	Теорема. Пусть ind (/, оо) / 0 и выполняется условие (5.4).
Тогда уравнение /(ж) — у разрешимо при любом у £ R".
◄ Для доказательства достаточно заметить, что в силу (5.4) на сферах
достаточно большого радиуса поля f(x) и /(ж) - у непротивоположно направ-
лены. ►
5.3.4.	Пусть /(ж) — локальный гомеоморфизм и образ f(№.n) за-
мкнут в Тогда f накрывает <
В конкретных задачах довольно часто речь идет об операторах,
определенных лишь на некотором подмножестве В отдельных
3) Если (ii) справедливо, а (5.4) не выполняется, то найдется последовательность
Хь, уходящая в бесконечность, на которой f{xk) = у* -> у . В этом случае прообраз
ограниченного множества (jSt)	будет неограничен.
Наоборот, пусть (5.4) справедливо, но существует ограниченное множество Si, прообраз
которого f~ (Si) неограничен. Тогда найдется последовательность Жц- € /'(Si), такая
что ]|a?jfc|] -э оо. В силу (5.4) ||/(ж£)|| -э оо. С другой стороны, Vk : f(Xk) € Si, что
противоречит ограниченности Si.
Гомеоморфизм осуществляет однолистное накрытие.
82
Глава 5. К теории вращения векторного поля
случаях при этом удается обойтись применением общих теорем
о преобразованиях всего пространства. Вот простая иллюстрация.
Определим на внутренности неотрицательного ортанта R”
отображение
L(x) = {In Ж],..., In xn}.
5.3.5.	Теорема. Пусть локальный гомеоморфизм G: intR” -> intR”
удовлетворяет условию
||£(?(я:)|| -> оо при ||£(ж)|| -> оо.
Тогда G — гомеоморфизм int R” на int R” . <
Более общей задачей рассматриваемого типа является разре-
шимость неявных функций, т. е. разрешимость уравнения
Ф(ж,г/) = 20,	(5.5)
где Ф : X х Y -у X — непрерывное отображение. Пространства X,
Y считаем линейно связными, a Y стягиваемым по себе.
5.3.6.	Определение. Уравнение (5.5) локально разрешимо, если:
i)	существует хотя бы одна пара € X, у0 € Y, удовлетворяющая (5.5);
2)	для любой пары Xi, G X, у0 € Y, удовлетворяющей (5.5), можно указать
окрестности V С X, W С Y и непрерывное отображение G : W —> V, такие
что для любого у Р W
^(G(y),y) = z0,
и Ф(ж, у) za, если х Gly). Другими словами, (5.5) на множестве V х W
эквивалентно уравнению х = G(y).
5.3.7.	Определение. Уравнение (5.5) глобально разрешимо, если существует не-
прерывное отображение G : Y -У X, такое что (5.5) на X х Y эквивалентно
уравнению х = Gly). В этом случае говорят также, что (5.5) неявно задает
функцию Gly).
5.3.8.	Теорема [14] 5\ Чтобы уравнение (5.5) было глобально раз-
решимо, необходимо и достаточно выполнение следующих условий'.
• уравнение (5.5) локально разрешимо',
Доказательство несколько менее общего утверждения есть в [4, т. 13].
5.4. Параметрические уравнения
83
в если множество S С У компактно, то множество
Т = {х : Ф(ж, у) — Zo,y 6 S} компактно в X. >
Вот менее универсальный инструмент, который в й" более удобен.
5.3.9.	Для глобальной разрешимости
Ф(ж, у) = О, Ф : К" х й" -ч й"
относительно х необходимо и достаточно выполнение двух условий'.
•	уравнение Ф(х, у) = 0 локально разрешимо;
•	если Ф(хк,ук) = 0,	-4 оо, то |Ы1 оо. О
5.4.	Параметрические уравнения
На практике часто приходится рассматривать уравнения
G(x, А) = 0	(5.6)
со скалярным параметром Л. Параметрические задачи, вообще-то
говоря, правило, а не исключение, как иногда думается. В любой
модели присутствуют силы, температуры, цены, численности. Так
что (5.6) исключительно, скорее, в том смысле, что параметр
всего один. Однако концентрация внимания на одном параметре
играет важную роль, потому что дело не только в существовании
решения ж(Л), но и в его ветвлении, связанном с бифуркационны-
ми изменениями в системе При этом критические «нагрузки»
определяют, как правило, фиксируя остальные переменные. Од-
новременное отслеживание нескольких параметров уводит про-
блематику в область теории катастроф.
Кроме того, несколько параметров часто «упаковываются» в один. Скажем, про-
стейшие задачи гидродинамики определяются: плотностью р, коэффициентом вязкости
р, характерным линейным размером I и характерной скоростью V. Из p,p,l,v можно
Ivp
образовать только одну безразмерную величину R = —, называемую числом Рейнольдса.
Р
11оэтому в любой задаче, определяемой перечисленными параметрами, все безразмерные вели-
чины будут функциями только R [4, т. 8].
84
Глава 5. К теории вращения векторного поля
Особая ситуация возникает в задаче об автоколебаниях в системе
х = f(x),	(5.7)
где изначально параметр отсутствует, но далее привносится в качестве инстру-
мента. Дело в том, что в отличие от х = /(ж, t) с Т-периодической правой
частью, в случае (5.7) период искомого колебания неизвестен — ив этом глав-
ная трудность.
Спасает рассмотрение вспомогательного уравнения
У = А/(г/).	(5.8)
Очевидно, если x*(t) — Т-периодическое решение уравнения (5.7), то
y*(t) = x*(Tt)
является i-периодическим решением уравнения (5.8), соответствующим зна-
чению А — Т, и наоборот. Таким образом, задача отыскания периодических
решений уравнения (5.7) эквивалентна поиску таких значений параметра X,
при которых уравнение (5.8) имеет решения периода 1.
Задача (5.8) стандартным образом сводится к интегральному уравнению
i
?/(i) = г/(1) + Х У /(?/(«)) ds,
о
что помещает ситуацию в рамки (5.6). Специфика данной задачи заключена
в том, что нетривиальное7^ решение х(Х) возможно только при дискретных
значениях X — некий аналог дискретного спектра нелинейного оператора.
Теория вращения в параметрическом случае (5,6) работает
в сочетании с дополнительными ухищрениями.
7) Являющееся циклом, а не равновесием.
5.4. Параметрические уравнения
85
5.4.1.	Пусть
7[G(x,Ai),Q] ^7[(?(ж,А2),П].
Тогда при некотором A G (А,, А2) иа Q существует решение урав-
нения G(x, А) = 0.
◄ В противном случае поля G(x, А|) и G(x, А2) соединял бы невырожден-
ный гомотопический мост
= G[x,tXt +(1 -i)A2], ►
Еще одна популярная идея — функционализация параметра.
В (5.6) вместо А подставляют функционал А(ж), в результате чего
G(x, А) = 0 переходит в
G(x, А(ж)) = Р(ж) = 0,
и если вращение 7(F, Q) оказывается ненулевым, то (5.6) имеет
решение ж* G Q при А* = А(ж*).
От идеи до исполнения путь, конечно, неблизок. По щучьему веленью
обычно не получается, потому что выбор функционала А(ж) — самостоятельная
проблема. Но она все же менее сложна и более конкретна, чем расплывчатая
задача (5.6), не привязанная ни к какому конструктивному замыслу.
Когда уравнение с параметром имеет специальный вид
/(ж) = Аж,
его решения называют собственными векторами оператораf.
5.4.2.	В нечетномерном пространстве в случае 0 G Q невырожден-
ный на Q оператор f всегда имеет на О. собственный вектор, т. е.
/(ж) = Аж при некоторых А 0 и ж 6 Q.
-4 Если 7(/, Q) ф 1, то поле f не гомотопно тождественному и, следова-
тельно, при некоторых х € Q и t Е (0, 1)
tf(x) + (1 - t)x = 0, т. е. f(x) = - 'я.
8) „
' По аналогии с линейным случаем.
86
Глава 5. К теории вращения векторного поля
Если же 7(/, Q) = 1, то поле / не гомотопно полю —1(х), и тогда при
некоторых х € Q и t S (0,1)
tf(x) - (1 - t)x = 0, т. е. /(я) = —~j~x-	►
• Пусть 0 S1 и вращение поля х - f(x) на П не равно нулю. Тогда
уравнение f(x) = Хх разрешимо на Q при некотором А > 1. (?)
5.4.3.	В нечетномерном пространстве сферу
невозможно причесать (без макушки), т. е. за-
дать на сфере невырожденное касательное поле.
Ч Это сразу становится ясным, если центр сферы
расположить в нуле и применить результат 5.4.2 к ка-
сательному полю f(x). ►
Отсюда следует, что на сфере в R3 любая динамическая си-
стема имеет равновесие. Иначе говоря, любой оператор сдвига
Ut, осуществляющий гомеоморфизм S' на S' при любом фикси-
рованном t, имеет неподвижную точку 9\
Динамические системы обязаны иметь равновесие не толь-
ко на сфере, но и на других гладких поверхностях в R3. Если
Ut : М -> М — оператор сдвига по траекториям «приличного»
дифференциального уравнения, имеющего на М только изоли-
рованные положения равновесия, то [4, т. 13]:
V t: ind(J - ut, Xj) = Х(м),
i
где x(M) — характеристика Эйлера многообразия М, Xj —
неподвижные точки Ut. А поскольку в ассортименте двусторонних
связных поверхностей10^ в R3
Мй,М\,... ,Мр,...
(5-9)
Но существуют гомеоморфизмы S' на S' без неподвижных точек [4, т. 13’].
|0) В (5.9) Мо — сфера, М\ — тор, ..., Мр — сфера с р ручками.
5.5. Лемма Лере—Шаудера
87
нулевую характеристику Эйлера имеет лишь тор М}, то касатель-
ное поле без особых точек невозможно ни на одной замкнутой
поверхности Мр, р £ 1, а не только на сфере S'2.
5.5.	Лемма Лере—Шаудера
Частная на вид ситуация, когда /(ж), действуя в
Rn = Rfc®Rs,	(5.10)
фактически производит изменения лишь в подпространстве Rfe, —
оказывается одним из краеугольных камней теории вращения,
обеспечивая в том числе легкий переход к рассмотрению ком-
пактных векторных полей (глава 7).
Итак, пусть Pk : Rn -> Rfc, Ps : R" -> R* — проекторы,
отвечающие разложению (5.10).
5.5.1.	Лемма Лере—Шаудера. Пусть О С R" - ограниченная
область, = Q П Rfc 0, и при этом поле f определено на Й,
невырождено и удовлетворяет условию12^
V х G Й : Psf(x) = Psx.	(5.11)
Тогда Й) = д(Д, Й^), где fk — сужение поля f на Й*.
4 Ограничимся рассуждением в предположении связности О,к.
Допустим сначала 1т(/ь 1\)| = т 0, и пусть А : R1' —> RA — некоторое
невырожденное линейное отображение с детерминантом, знак которого совпа-
дает с sign7(/j., Q/-) - Выберем в различные точки Xi,..., хт и число г > 0
таким образом, чтобы шары B(r, х.) (i = 1,...,тп) попарно не пересекались
и лежали в Q.
Построим далее непрерывное отображение р,
V>(x) = Pkf(x) на П,
р(х) = А(Ркх - хд на шарах В(г, х^,
"^Соотношение (5.10) подразумевает, что любой вектор х € R" представйм в виде
суммы X = и + v, где « € R1, в € R!.
В подходящей системе координат условие (5.i 1) означает
f(x) = {ft (х),..., fk(x), xk+l,..., £„}
88
Глава 5. К теории вращения векторного поля
и продолжим его на так, чтобы у него не появились новые нули13) и образ £lk
лежал в R*. Затем продолжим его уже произвольным образом на все множество
П со значениями в R* (теорема 4.5.4). Положим, наконец,
h(x) = <р(х)-t-Psx.	(5-12)
По построению, нулями поля h будут точки ж,- и только они. При этом |4'
1пб(Л, ж,) = ind(Ab
где hk — сужение поля h на Поэтому из теоремы об алгебраическом числе
нулей следует
7(/i, Q) = 7(/ц„ £lk).
А поскольку h(x) = fix) на Q , то
7(/, Q) = 7(Д, Qk).
В случае ylfk, = 0 доказательство совсем просто. Вначале отображение
Pkf продолжается до невырожденного на Ик отображения со значениями в R*,
а затем уже произвольно на П со значениями в R*. Далее вводится функция
h)x) вида (5.12), при этом оба вращения 7(/i, Q) и ^lhk, £1к) будут равны нулю.
С другой стороны, 7(/i, Q) = 7(/, Q), -y(hk, &к) = 7(/*, &к). ►
Лемма 5.5.1 эффективна как инструмент понижения размер-
ности задачи при вычислении вращения.
На практике «случаются» отображения Ф, являющиеся прямой
суммой Ф = Ф* ф Ф5 полей Ф* и Ф5 в смысле
Ф(ж) = Фк(Ркх) + Фв(Р«ж),	(5.13)
где Рк : R" -> Ps :	-> Rs — проекторы, отвечающие разло-
жению (5.10). Это чуть более общая ситуация, чем в лемме 5.5.1,
где ФДР.^) ее Psx. Попросту говоря, (5.13) при удачном выборе
системы координат означает, что первые к компонент Ф(ж) зави-
сят только от {жь ..., хк}, остальные — только от {ж&+1,..., хп}.
5.5.2.	Пусть поля Ф^ Ф5 заданы и невырождены, соответственно,
на Qfe = Q Г1 Ra и = OnRs, ц выполняется (5.13). Тогда поле
131	Это возможно в силу теоремы 4.5.1, ибо вращение р на границе области определения
равно нулю, по построению.
В силу утверждения 5.1.2.
5.6. Итерации и принцип Браудера
89
Ф/; ® Ф5 невырождено на Cl, и
7(ФЙ © Ф5; П) = 7(Фь nfc) • 7(Ф5; Qs). (5.14)
-4 Комплект «5.1.2 плюс 5.5.1» легко справляется с доказательством. ►
Теорема 5.5.2 оказывается кстати при изучении системы слабо связанных
уравнений
G, («, v) = Ft («) + Qi (и, v) = О,
(5.15)
G2(u, v) = F2(u) + Q2(u, v) = 0.
Слабо связанных в том смысле, что добавки Qt и Q2 достаточно малы по норме
по сравнению с нормами главных частей F, it F2. Малость по норме добавок
на Q обеспечивает невырожденность гомотопии
Я(«, v, t) = {Ж«) + iQt(u, v), F2(u) +tQ2(u, a)},
которая деформирует G = {G[s G2} из (5.15) в поле F = {F|,F2}. И если
y(Fl, S2,) £ 0, 7(2*2, ^2) 0, то теорема 5.5.2 гарантирует
7(G, о) * 0,
откуда следует разрешимость (5.15).
5.6.	Итерации и принцип Браудера
После того как преодолевается топологический барьер, теория
вращения на первых порах становится очень простой и скучной.
Потому что все крутится в основном около линейных деформа-
ций, и многократно варьируется из-за многообразия сопутствую-
щих обстоятельств. Однако на следующем витке спирали построе-
ния уходят в довольно крутые виражи, и там хватает головоломных
осложнений, например, в связи с теоремами родственности.
О соприкосновении теории вращения с тонкими материями
свидетельствует также более-менее широко известный принцип
неподвижной точки Браудера.
5.6.1.	Теорема Браудера. Пусть В С R” — замкнутое выпуклое
множество, и оператор А, действующий в непрерывен, причем
для некоторого ко 1 при любом к ко
Ак(В)СВ.	(5.16)
Тогда А имеет в В неподвижную точку, причем 7(1 - А, В).
90
Глава 5. К теории вращения векторного поля
Сразу очевидно приложение к диссипативным системам, в ко-
торых (5.16) выполняется i5^ из-за энергетических потерь, и прин-
цип 5.6.1 гарантирует существование равновесия.
Доказательство теоремы 5.6.1 громоздко, и при выбранном
уровне детализации изложения проще обойти его стороной. Од-
нако на самой схеме есть резон остановиться, ибо там всплывают
полезные факты относительно итерации операторов ’ и зависи-
мости между вращениями векторных полей
Ф]=1-Д и Фр = 1-Ар.
Если ~ С то ( может не быть неподвижной точкой
17)
оператора 7 А, но
А(, А2£,...,Ар-1£	(5.17)
будут неподвижными точками оператора Ар, что легко устанав-
ливается: АРА£ = ААР£ = А£ и т. д. При этом если А£ / £
и число р простое, то все точки (5.17) различны. (?) А если £ —
изолированный нуль поля Ар(х), то (теорема 7.7.3)
ind(4>p, 0 = М(Фр, АО = ... = щй(Фр, Ар~'С- (5-18)
Поэтому в случае простого р, если у А нет неподвижных
точек, все нули Фр = I — Ар в В распадаются на группы
С,аС,а2С,...,ар~1С.
В результате по теореме 5.1.1 об алгебраическом числе индексов,
с учетом (5.18), должно быть
В) = р ind(J - Ар, С),
з
т.е. 7(Ф^, В) = 0 (modp), что в любом случае не вяжется с не-
обходимостью 7(ФР, В) = 1, вытекающей из требования (5.16).
15) Если под А подразумевать сдвиг по траекториям за единицу времени.
1б) Подробно рассмотренные в разделе 7.7.
Сравните с утверждением 2.2.1.
5.7. Векторные поля нормалей
91
Таким образом, предположение об отсутствии у А неподвижных
точек ведет к противоречию.
Основная тяжесть доказательства приходится на обоснование (5.18), не счи-
тая всяких оговорок, позволяющих, в частности, вести рассуждения в предпо-
ложении изолированности нулей.
5.7.	Векторные поля нормалей
В теоретических построениях довольно часто приходится оцени-
вать вращение векторного поля /(ж) внешних нормалей области П
с гладкой связной границей. Полный список двусторонних по-
верхностей Q вК3 исчерпывают сферы с ручками [4, т. 13].
Приклеивание ручки к сфере S'2 С R3 можно представлять
себе как приклеивание к S1 одномерной дуги с последующим
раздутием той в двумерную трубку и удалением перегородок меж-
ду внутренностями сферы и трубки |8^	.В результате
получается тор.
Весь список двусторонних поверхностей в В3 принято запи-
сывать в виде (5.9),
М0,М1,...,Мр,...,
где Мо — сфера, — тор, ..., Мр — сфера с р ручками. Поверх-
ности классифицируются с точностью до гомеоморфизма, поэтому
ls) В [4, т. 13] операция описывается иначе, и более подробно.
92
Глава 5. К теории вращения векторного поля
их конкретный вид подвержен деформационному произволу. Вот
варианты М2 и Му.
Поначалу может показаться, что список (5.9) неполон, потому
что дуги можно приклеивать не к исходной сфере, а к готовым
уже ручкам. Но в пределах топологической эквивалентности это
не дает новых поверхностей, в чем легко убедиться 19\
5.7.1.	Вращение поля /(ж) внешних нормалей на сфере с р ручками
Мр, содержащей нуль пространства внутри себя, равно
^f,Mp) = l-p.	(5.19)
< Пусть 0р обозначает замыкание внутренности Мр, т. е. 0р — шар с р
ручками. В случае р = 0 поверхность М„ является сферой, и (5.19) очевидно.
Перейдем к тору М}. Разрежем 0! по меридиану ' ...	,
. и
и продолжим поле нормалей с М< на сечение П без нулей 20\ соблюдая требо-
вание21’ ||/(®)|| = 1 и направляя все f{x), скажем, вправо от П. Далее разведем
образовавшиеся торцы, и получим цилиндр С с боковой поверхностью
и основаниями Пг и Пг, каковые суть копии П вместе с построенным про-
должением f(x) на П. Образ границы цилиндра /(С) совпадает с единичной
сферой S, причем образы оснований Пг и Пг попадают на S в одно и то же
место, образуя двуслойное «пятно», в котором ориентации слоев противопо-
ложны, и потому
7(/, М,) = 7(/, ©,) = 7(/, С) = 1 - 1 = О,
что опять-таки укладывается в (5.19).
|9’ Гораздо труднее ориентироваться в классификации односторонних поверхностей,
получаемых заклеиванием отверстий в S1 листами Мёбиуса, но и там вопрос исчерпыва-
юще решается |4, т. 13].
2!,) Возможность невырожденного продолжения /(ж) на круг П очевидна, поскольку
продолжение не обязано оставаться в плоскости круга.
21’ Чего всегда можно добиться переходом от /(ж) к /(ж)/||/(ж)||.
5.7. Векторные поля нормалей	93
Далее такое же разрезание одной из ручек22' в Мр, р > 1, аналогичным
образом увеличивает вращение ^(f,Mp) на единицу, т. е. до q(f, Mp^t), что
индуктивно доказывает (5.19). ►
Проведенное рассуждение является не столько доказательством, сколько
отправным пунктом для самостоятельной тренировки, потому что содержит
массу мелких погрешностей, требующих уточнений и оговорок. Идея и каркас
доказательства — здесь налицо, остальное в естественных условиях разумно
оставлять за кадром. Потому что когда все разжевано и забрызгано деталями,
разобраться бывает еще сложнее. Попросту говоря, опираться на чужую помощь
удобно, но чистить зубы лучше самому.
В R4 на сферу S3 помимо ручек, получаемых приклеивани-
ем к S3 одномерных дуг с последующим их раздутием, можно
ставить и другие «присоски», получаемые приклеиванием к S3
двумерных кругов (не пересекающих S3) по граничным окруж-
ностям с последующим раздутием этих кругов в В4.
5.7.2.	Если Мрд обозначает сферу S3 С В4 с приклеенными р
ручками и q «присосками», то вращение поля /(ж) внешних нормалей
на МРЛ равно
^f,MPtq) = \-p + q.	(5.20)
< Хотя пейзаж в R4 теряет наглядность, аналогично предыдущему, с по-
мощью разрезов устанавливается, что вращение поля нормалей уменьшается
на 1 при добавлении ручки и увеличивается на 1 при добавлении «присоски»,
что с учетом q(f, S3) = 1 дает (5.20). ►
Обратим внимание, что в В3 вращение поля внешних норма-
лей двусторонней связной поверхности может принимать только
значения
...,—£,...,—1,0, 1,
тогда как в R4, а значит,23) ив R" при п > 4, может быть любым.
22' В некотором отношении удобнее делать два разреза, вырезая небольшой цилиндрик
и продолжая /(ж) на оставшейся части «вовне», а на цилиндрике «внутрь», после чего
пользоваться формулой (3.5).
23' См. лемму 5.5.1 Лере—Шаудера.
94
Глава 5. К теории вращения векторного поля
5.8.	Нечетные поля
Векторное поле f называют нечетным на центрально-симметрич-
ном множестве Г, если /(-ж) = -/(ж) при любом ж С Г. Если
нечетное поле / задано на границе шара В с центром в нуле, то его
вращение всегда нечетно, а значит, не равно нулю [4, т. 13]. Факт
относится к весьма частному случаю нечетных полей, но линейная
гомотопия «деформирует» безделицу в продуктивное утверждение:
5.8.1.	Пусть векторы невырожденного на В поля /(ж) в симмет-
ричных точках направлены неодинаково, т. е.
[|/(ж)||	||/(-ж)|Г
ж Е В.
Тогда , В) нечетно, и уравнение /(ж) = 0 разрешимо в В.
< В указанных предположениях /(ж) гомотопно нечетному векторному
полю /(я) - /(-ж). Деформацией может служить
Н(х, t) = f(x) - tf(-x). ►
Глава 6
Динамические системы
When a man is out of sight, it is
not too long before he is out of mind.
Thomas Kempis
Никто не знает, что такое реальное пространство
и время. Но в модельном исполнении это коррели-
рует с «измерениями» и ощущениями, что одевает
мироздание в виртуальные одежды, маскируя суть,
но давая намек. И мы обречены искать истину, до-
вольствуясь аналогией.
6.1. Оператор сдвига по траекториям
Решение ж(£) = p(t; s, xq) задачи Коши
х = f(x, t), x(s) = Xq,
(6.1)
может быть записано как
Uts(x0) =p(t; s,x0),
где Uts, переводящий точку x(s) = х0 в x(t), называют операто-
ром сдвига по траекториям дифференциального уравнения (6.1).
Автономные системы характеризуются свойством
Uts = Ut-S
В которых fix. t) фактически не зависит от t.
96
Глава 6. Динамические системы
Полугрупповое свойство оператора сдвига,
utsusr = Utr,	(6.2)
означает, что движение из любой точки xs не зависит от того, как
система двигалась до этого. Другими словами, если2^
— UifXf,
и «по дороге» в момент s система пришла в точку xg, то о предыс-
тории можно забыть и определить Xf как Xt = Utsxs.
В автономном случае (6.2) трансформируется в
иаит = Ua+T,	(6.3)
откуда
Uki = uk,
в силу чего динамика х = /(ж) большей частью сводится к изуче-
нию итераций Uk оператора сдвига U = Ui за единицу времени.
В некоторых срезах теории представляют интерес условия
дифференцируемости оператора сдвига.
Пусть жо(О = {®?(i)> • • • > xn(1)} ~~ решение (6.1) в случае
s = 0. Допустим, правая часть f(x,t) непрерывно дифференци-
руема по ж в окрестности траектории решения Жо(£) (0 < t < Т).
6.1.1. Фундаментальная матрица Xo(t) линейной системы^
х = A0(t)x,	(6.4)
где
' д/г(1,Х^),... ,X°N(f)) 1
5ж;- J ’
является производной Фреше оператора сдвига Uot(xo). <
Аргумент оператора сдвига часто указывают без скобок, Utrx = Utr(x).
Систему (6.4) называют уравнением в вариациях.
Mt) =
6.2. Вынужденные колебания
97
< Дифференцируя
х) = f(t,p(t;O, х)),
по ж в точке ж0, получаем
0, х0) = fx(t,p(t; О, x0))px(t; 0, ж0).
Поэтому матрица p'x(t; 0, ж0) удовлетворяет дифференциальному уравнению
dX
= Mt)X.
at
А так как /4(0; 0, ж0) = 7 то p’x(t; 0, х0) — X0(t). ►
6.2.	Вынужденные колебания
Когда в х — f(x, t) правая часть Т-периодична^ по t,
f(x,td-T) = f(x,t),	(6.5)
в системе возможны Т-периодичные решения, характеризуемые
условием x(t + Т) = x(t).
6.2.1.	Теорема. Для существования Т-периодичных решений x(t)
необходимо и достаточно, чтобы у оператора сдвига UT = UT0 была
неподвижная точка Хо, т. е. Ut(xq) = ®о-
< Равенство U.r(xn) = х0 означает, что траектория х — f(x, t), выходящая
из х0, возвращается в х(! через время Т, а это и есть Т-периодическое решение.
Так что необходимость очевидна.
С достаточностью тоже все просто, но не без иллюзий, см. ниже. След-
ствием Т-периодичности f(x,t) является
Ui+t,t = Utfl.
Поэтому из существования Т-периодического решения s(t) = Utj, (ж(0)), в силу
x(t + Т) = x(t), вытекает UT(xQ) = х0. ►
При упоминании Т-периодичности подразумеваются минимальные значения Т > 0,
для которых имеют место тождества типа (6.5).
98
Глава 6. Динамические системы
Задача об автоколебаниях в автономной системе
х = f(x)
с ходу кажется проще, но решается во сто крат сложнее — из-за того, что
период искомых колебаний априори неизвестен51.
Упомянутые выше иллюзии связаны с тем, что след от периодического
решения в фазовом пространстве представляет собой замкнутый контур, и при
легкомысленном взгляде кажется, что любая точка этого контура неподвижна
в смысле J7T(xo) = ®<ь из-за чего траектория колебания не может самопере-
секаться. Это в самом деле так в случае автономной системы. В неавтоном-
ном случае точки x(t) периодического решения являются неподвижными для
операторов UT+t. Примером может служить самопересекающаяся траектория
нелинейного уравнения Дуффинга
Изучение вынужденных колебаний естественно и поучительно
начинать с линейных систем вида
«п(0 ••• «ы(0
л(«) =
_вд1(0 . . . «пп(0,
(6.6)
с Т-периодичной матрицей A(t). Решения (6.6), как известно
[4, т. 2], могут быть записаны в форме
x(i) = X(t)x0,
5) Равновесие в х = f(x) является Т-периодическим при любом Т. Под автоколеба-
паями подразумеваются периодические решения, отличные от состояний равновесия.
6> Точнее, уравнения Уэда, описывающего движение шарика в потенциальной яме -72:4
при наличии трения.
х = Д(0 ж,
6.2. Вынужденные колебания
99
где фундаментальная матрица X(t) есть оператор сдвига —
Т-периодичность которого проверяется подстановкой в (6.6).
Фундаментальную матрицу Х(Т) (сдвиг на период) называют
матрицей монодромии, а ее собственные значения — мультипли-
каторами системы (6.6) 7\
Решения однородной системы (6.6) позволяют стандартным
образом вычислить решения неавтономной системы
х = A(t)x + /(f)	(6.7)
с Т-периодичными 4(f) и /(f). Распространенный при этом
вариант: матрица — не зависит от времени, а внешнее воздействие
на систему /(f) периодично.
◄ Решение (6.7), как известно, дается формулой
t
xt = X(t)x0 + У X(t)X~'(s)f(s) ds.	(6.8)
О
Поэтому из ж0 = ж(Т) (п. 6.2.1) следует
Т
Жо= [l-X(T)]~' J X(T)X-'(s)f(s)ds,	(6.9)
о
для справедливости чего необходимо и достаточно, чтобы 1 не была мультипли-
катором системы (6.6). ►
Устойчивость периодического решения — является одним
из главных вопросов.
6.2,2.	Теорема. Если все мультипликаторы системы (6.6) по мо-
дулю строго меньше единицы, то периодическое решение (6.7) суще-
ствует, единственно и асимптотически устойчиво.
7)Для системы х = Ах с постоянными коэффициентами: Х(Т) = еАТ, а мультипли-
каторы fjtft = eXtT, где At. — собственные значения матрицы А. При этом \р,^\ < I в томм
случае, когда Re А* < 0. И если матрица А устойчива (все Re А/, < 0), оператор сдвига
за период имеет спектральный радиус меньший 1, и поэтому сжимает в некоторой норме,
п. 2.3.1.
100
Глава 6. Динамические системы
◄ Существование и единственность периодического решения x*(t) гаран-
тируется вычислением х0 по формуле (6.9) с последующей подстановкой в (6.8).
Из общей записи (6.8) решения (6.7) вытекает
x(t) - x*(t) = X(t)[s(0) - ®*(0)],
где оператор сдвига X(t) по траекториям (6.6) Т-периодичен, и поэтому, если
t = kT + s, где s < Т,
X(t) = Х(кТ + s)= Xk(T)X(s),
что влечет за собой X(t) —У 0, т.е. s(t) — x*(t) -> 0. Помимо этого, в норме
из леммы 2.3.1 ||X(t)||* < A/!||A'(s)||t. Поэтому X(t) стягивает в точку любой
шар ||х||, < г, что обеспечивает устойчивость по Ляпунову. ►
Периодическое решение (6.7), получаемое вычислением хй по формуле
(6.9) с последующей подстановкой в (6.8), принято записывать в форме
т
ж*(4) = f G(t, s)f (s) ds,	(6-10)
о
где, как нетрудно проследить,
( X(t)(l - Х(Т)У'х~\з), если 0 С s s? t s? Т,
G(f,s)=<	(6.11)
( X(t)(l-X(T))~'X(T)X~l(s), если 0 С t s? s s? T.
Функция Грина. Ядро G(t, s) (t,s 6 [0, 7’]) линейного инте-
грального оператора G,
т
Gf = j G(t, s)f(s) ds,	(6.12)
о
определенное правой частью (6.11), называют функцией Грина
линейного дифференциального оператора
Lx — x(t) - A(t)x(t)
при Т -периодических граничных условиях. Оператор G является
обратным к L, G = L~].
Трансформация задачи из дифференциальной в интеграль-
ную форму, и обратно, позволяет на «чужой» территории снять
пенки и достичь определенных выгод. По этой причине свойства
оператора (6.12) попадают в фокус пристального внимания.
6.2. Вынужденные колебания
101
6.2.3.	Теорема. Оператор G действует и вполне непрерывен как
оператор из С[0, Т] в С[0, Т], а также из Lp[0,T] в С[0, Т] при
любом р > 1. <3
Функция Грина возникает и в более широком контексте при обращении
линейного дифференциального оператора 8> с теми или иными краевыми усло-
виями. Например, пусть G(t, в) обозначает решение уравнения
LG(t, s) = 6(t - з)
при некоторых заданных краевых условиях, где
Lx = х^ +	+ . • • + en_|(t)s' + an(t)x
— дифференциальный оператор, a <5(t — з) — единичный импульс.
Поскольку
00
/(t) = J f(s)8(t - s) ds, Lf(s)G(t, s) = f(s)S(t - s),
-00
и система удовлетворяет принципу суперпозиции, то решением уравнения
Lx — f(t) будет
00
x(t) = J G(t, s)f(s) ds.
-00
В теории автоматического регулирования G(t, з) называют импульсной
переходной функцией, и на систему Lx = /(£) смотрят как на преобразование
f У**	.г
входа /(t) в выходной сигнал x(t'),	(________J
В стационарном случае G(t, з) является функцией лишь одного параметра
т = t — s. Это приводит к зависимости
00
ж(£) = f G(r)f(t - r)dr,	(6.13)
-00
ибо уравнение LG(t - s) = <J(i — .s), определяющее функцию G, после замены
т = t - s переходит в LG(r) = J(r), что определяет G(r) как реакцию систе-
мы на единственное импульсное воздействие 8(т), зная которую, впоследствии
можно вычислять реакцию системы на любое внешнее воздействие f(t) по фор-
муле (6.13).
Некоторые принципиальные аспекты использования функций Грина, ко-
торые часто остаются незамеченными, обсуждаются в [4, т. 2].
8) С частными производными в том числе.
102
Глава 6. Динамические системы
6.3.	Градиентные поля и невозвращаемость
Для изучения наиболее комфортны градиентные системы9)
х = Х7ф(ж).	(6-14)
Удобство (6.14) заключается в концентрации хитросплетений мно-
гомерного векторного поля на одной поверхности z = <р(х). «Тра-
ектории» {x(t), z(t)}, z(t) =	взбираются на вершины
этой поверхности, либо стекаются во впадины в случае антигра-
диентного движения х = —Vipfx).
В чистом виде градиентные системы редко встречаются 10\
но для изучения динамики общего вида
x = f(x)	(6.15)
эталоны типа (6.14) часто играют благотворную роль. На сравне-
нии (6.15) с антиградиентным движением х = -\7<^(ж) основан,
собственно, второй метод Ляпунова [4, т. 2]. Центральная идея со-
всем проста. Если существует такой потенциал <р, что движение
(6.15) происходит под острым углом к градиенту ip, т. е.
\7^(ж) •/(ж) > 0,	(6.16)
то траектории (6.15) в проекции также взбираются на верши-
ны поверхности z — р(х), хотя уже и не строго перпендикулярно
Потенциалы здесь и далее предполагаются непрерывно дифференцируемыми, если
не оговорено противное.
,0'Чтобы х = /(г) имело вид (6.14), т. е. чтобы существовал такой потенциал и('т).
что = /(г), необходимо и достаточно (в предположении непрерывной дифферен-
ту,- Ofj
цируемости /) равенство всех перекрестных производных, —— = ——, г j.
'	ПФ 	ЛТ .
6.3. Градиентные поля и невозвращаемость
103
вверх, — и местоположения вершин z = <р(ж) оказываются устой-
чивыми равновесиями не только (6.14), но и (6.15)
Функция z = <р(ж) на траекториях (6.15) все время растет, потому что ее
производная по времени вдоль этих траекторий положительна,
i
Инструмент (6.14) может быть приспособлен также к изуче-
нию вынужденных периодических колебаний в системе
х — f(x, t)	(6-17)
с Т-периодической правой частью.
По теореме 6.2.1 существование Т-периодического решения
обеспечивается наличием неподвижной точки у оператора сдвига
UT = UT0 за период. Поэтому естественно было бы ориентиро-
12)
ваться на вычисление вращения векторного поля ’
Ф(х)=х~ит(х)	(6.18)
на границе некоторой подходящей области fl, типа шара большого
радиуса. На этом пути возникают трудности, связанные с тем, что
оператор сдвига UT, как правило, в явном виде не известен.
Однако вращение поля (6.18) в естественных предположениях
удается связать с вращением поля —/(ж, 0).
6	.3.1. Теорема. Пусть все точки границы Й являются точками
невозвращаемости '^- при движении (6.17), и векторное поле
Ф(ж) = -/(ж, 0) (ж е Й)	(6-19)
"’в теории Ляпунова принято вместо (6.14) рассматривать движение х = —ТДр(х),
и тогда устойчивы точки минимума и(т).
!	21 В (6.18) UT(x) = р(Т; 0, х), где p(t; 0, х) — решение 6.17, проходящее через точку х
в нулевой момент времени.
131	Точка х называется точкой невозвращаемости, если pl.t:(),х)/-х при любом i € (0, Т],
т.е. траектория, выходя из х, обратно не возвращается.
104
Глава 6. Динамические системы
невырождено на П. Тогда вращения 7(Ф, Q) и 7(Ф, Й) равны,
7(Ф, Й) = 7(Ф, Й).
Соответственно, в случае 7(Ф,Й) ^0 гарантируется существо-
вание Т-периодического решения, которое, безусловно, может
оказаться и стационарным. Но если /(ж, 0 не равно тождествен-
но по t нулю ни в одной точке внутри 12, периодическое решение
заведомо нетривиально.
◄ Что касается обоснования теоремы 6.3.1, то с реверансами на это может
уйти целая страница, тогда как суть предельно проста. Поля
х — Us(x) и х — Ut(x)
гомотопны на Q при любых s, t > 0, поскольку гомотопия
Л) — X UАз+(1-лД*Й
невырождена в силу невозвращаемости траекторий на Q. А при малых t поле
х — Uf(x) гомотопно полю —f(x, 0) на Q в силу их непротивоположной направ-
ленности вследствие
х - Ut(x) = -f(x, 0)t + o(t).	►
6.4.	О потенциалах
Потенциалы ^(ж), градиенты которых удовлетворяют (6.16), зна-
чительно облегчают анализ векторных полей f(x), равно как
и динамических систем (6.15), — позволяя, например, вычислять
вращение более простого градиентного поля \7^(ж) вместо вра-
щения векторного поля /(ж).
Движение
х = Ууз(ж)	(6.20)
замечательно тем, что любая точка, в которой Х7^(ж)	0, яв-
ляется точкой невозвращаемости14'1. То же самое можно сказать
и о псевдоградиентном движении х = /(ж) под острым углом
|4'	Поскольку <р(х) не может вернуться к прежнему значению из-за ф(х) —	
V^(s) ^0 и ^0.
6.4. О потенциалах
105
к градиенту направляющего потенциала,  f(x) > 0. Траек-
тория х = /(ж), выходящая из х, не может вернуться обратно,
если Х79?(ж)	0. Благодаря этому аналог теоремы 6.3.1 не требует
предположений о не возвращаемое™ 15\
6.4.1.	Теорема. Пусть градиентное поле \7<р(х) невырождено на
границе Й ограниченной области Q. Тогда при любом £ > 0 векторные
поля Ф(ж) = — /(ж) и Ф^(ж) = х — (7<(ж), где Ut — оператор сдвига
по траекториям х = /(ж), Х7<р(ж) • f(x) > 0, имеют одинаковые
вращения,
7(Фг, Й) = 7(Ф, Й).	(6.21)
Из-за «невозвращаемости» все поля Ф;(ж) = х - Ut(x) невырождены
на Q, а при малых t > 0 — непротивоположно направлены с Ф(ж) = -/(ж)
вследствие x — Ut(x) = —/(®)t+o(t). ► Заметим, с тем же успехом под Ut можно
подразумевать оператор сдвига по траекториям х = \7ip(x), ибо в качестве f(x)
годится, в том числе, Vp(x).
Так или иначе, если к /(ж) удается подобрать направляю-
щий потенциал у>(ж), градиент которого составляет острые углы,
Х7<р(ж) • /(ж) > 0, с полем /(ж), хотя бы на границе некоторой
области Й, — исследование /(ж) значительно упрощается. Это
повышает значимость градиентных полей как инструмента, не го-
воря об их самостоятельной роли в задачах оптимизации.
На общем фоне особо выделяются
потенциалы, неограниченно растущие
на бесконечности,
lim <р(ж) = оо. (6.22)
IkIHoo
Это могут быть простые параболоиды,
но возможны и экзотические варианты
с бесконечным числом экстремальных
точек.
15) Каковые в общем случае очень трудно проверять.
106
Глава 6. Динамические системы
6.4.2.	Если ||\7<^(ж)|| £q > 0 и <р(х) > 0 при
J	IHI > П) > О,
7	mo р(х) удовлетворяет условию (6.22). <3
Если в дополнение к (6.22) потребовать невырожденность
градиента при достаточно больших по норме х, система
х = -Х7^(ж),	(6.23)
двигающаяся строго против (6.20), становится диссипативной, по-
скольку любая траектория с течением времени попадает в некий шар
||ж || Rq, и более из него не выходит. В результате на сферах S
достаточно большого радиуса вращение 'y(-V<p(x'), S) = 1 i6\
При этом (в ситуации изолированных критических точек Xj)
по теореме 5.1.1 об алгебраическом числе нулей
ind (-V^(s), Xj) = 7(-V<^(a?), S) = 1,	(6.24)
j
и тогда у?(ж) имеет право лишь на один минимум, если критиче-
ских точек другого типа не должно быть |7\ В данном контексте
очевидно также: любое асимптотически устойчивое положение
равновесие х* (изолированный минимум (р) имеет индекс
ind (V¥?(«), ж*) = 1.	(6.25)
То же самое можно сказать и об асимптотически устойчивых
положениях равновесия х* неградиентных систем х = f(x),
ind (-/(ж), х*) = 1.
1(11 Потому что при больших t оператор сдвига U< по траекториям (6.23) отображает
шар ||г|[ 7 Ro в себя, следствием чего является
7(® - Ut(x), So) = 1
(см. доказательство теоремы 3.6.2 Брауэра). Далее остается сослаться на теорему 6.4.1,
полагая /(г) = 57^(г).
71 Если (6.22) не выполняется, tp(x) может иметь сколько угодно локальных миниму-
мов, не имея критических точек другого типа.
6.5. Деформационные мотивы
107
Редакция вышесказанного с уточнениями выливается в опи-
сание более строгого формата.
6.4.3.	Теорема. Пусть х* — единственная критическая точка 18)
функции ф(х), удовлетворяющей условию (6.22). Тогда в х* дости-
гается глобальный минимум ф(х).
◄ При любом достаточно большом R множество LR = {х y>(s) -7 R}
является компактом, в силу (6.22). Функция р(х) обязана достигать минималь-
ного значения на Lit в некоторой критической точке, т. е. в х*. ►
6.4.4.	Теорема. Если функция ф(х) удовлетворяет условию (6.22)
и ее градиент невырожден при достаточно больших по норме х, то
на сферах S достаточно большого радиуса вращение	S)
равно 1, иначе говоря,
ind (-\7<^(ж), оо) = 1.
Ч Пусть Г2(Л) — множество19’ таких элементов х, что <р(х) а, где
а = max {ip(x) : ||®|| < R}.
Пусть поле Vy>(x) невырождено при ||ж|| > Ro. Выберем Rt так, чтобы шар
|[ж|| Л1 содержал П(Л0). Движение (6.23), начинающееся на сфере ||х|| = R\,
не может выйти за пределы П(Л,), и при достаточно больших t > 0 попадает
и остается в П(Л0), так как норма градиента на П(Л,) \ Q(7?0) ограничена
снизу некоторой положительной величиной. Поэтому при достаточно больших
t > 0 оператор Ut отображает шар ||ж|| Л] в себя, откуда 7(7- Ut, S), где S
обозначает сферу ||ж|| = R[. ►
6.5.	Деформационные мотивы
Гомотопирование векторных полей подталкивает к мысли в гра-
диентном случае деформировать сами потенциалы, рассматривая
гомотопические переходы ф(х, А) от
ф(х, 0) = Фо(х) к ф(х, 1) = ф\(х).
ISl Критическая точка х* является положением локального минимума функции <р(х)
в томм случае, когда равновесие х' системы (6.23) асимптотически устойчиво. (?)
19’ Ограниченность Q(R) вытекает из (6.22).
108
Глава 6. Динамические системы
Не о сохранении вращения идет речь, потому что оно заведомо
не меняется. Да и нет смысла ограничивать свободу маневра
градиентными гомотопическими переходами вида
Я(ж, Л) = Чх<р(х, Л),
(6.26)
когда Н(х, Л) навязывается градиентный характер в процессе
деформации. Вопрос в другом. Не сохраняют ли деформации
типа (6.26) характер критических точек, хотя бы невырожденных.
Напомним, критические точки считаются невырожденными в томм случае,
д2р
dxjdxj
когда невырождена матрица Гессе
. Лемма Морса [4, т. 7] гарантирует
существование в некоторой окрестности невырожденной критической точки —
локальной системы координат ж,,..., хп, в которой
Г — (Р(0) + Ж1 + • • • +	~ xi+i —    — Жд-
При этом функция называется морсовским I-седлом. В случае 1 = 0 имеем
максимум, при I = п — минимум.
Лемма Морса дает полную классификацию
невырожденных критических точек. Для вырож-
денных критических точек такой классифика-
ции, вообще говоря, нет. Простой пример вы-
рожденной критической точки — обезьянье седло,
которое описывается функцией
р(х, у) = х3 - Зху2.
Само понятие эквивалентности критических точек, разумеется, существует,
но оно неконструктивно и сопряжено с большими хлопотами, см. [4, т. 7], а также
[18], где вопрос излагается подробно.
6.5.1.	Определение. Гладкие функции <p,ipTRn -> R локально эквивалентны в нуле,
если существует такой локальный диффеоморфизм z(x), что р(х) =	+ £
в некоторой окрестности нуля при подходящей константе Если при этом
V^O) =	= 0, то говорят об эквивалентности критических точек.
Малейшие возмущения потенциала (р{х) могут очень сильно
менять градиент, разрушая и нагромождая критические точки.
Однако малые деформации никогда не ликвидируют минимума.
6.5. Деформационные мотивы	109
6.5.2.	Лемма. Если непрерывная функция ф(х, А) имеет при Ао
изолированный минимум по х в точке ж*(Ао), то при достаточно
малом возмущении ДА минимум сохраняется, смещаясь в близлежа-
щую точку х* (Ао + ДА).
Ч Пусть, например, р(х) имеет в нуле изолированный минимум, и
и(е) = mm{p(i) : ||ж|| = е}.
Разумеется, i/(e) > 95(0) при достаточно малых е > 0. Если возмущение функ-
is(e) — у?(0)
ционала Зр(х) по модулю меньше ------ при любом х из шара ||®|| 7 е,
то <р(ж) + 6р(х) имеет в шаре ||®|| е хотя бы один минимум, ибо + <5<р(0)
меньше минимума <р(х) + Stp(x') на границе ||ж|| = е. ►
Отсюда вроде бы напрашивается вывод, что деформации по-
тенциала (невырожденные на Q) вообще никогда не ликвидируют
минимума. Но это не так. Более того, градиентные поля
Х79?0(ж) и V<pi(a;),
гомотопные на Q как непрерывные отображения {раздел 3.4), яв-
ляются также градиентно гомотопными, в смысле существования
связывающей их деформации вида (6.26), невырожденной на El. Это
далеко не очевидная теорема Парусинского1^.
Таким образом, любые потенциалы фо и ф[, заданные на El,
вращения градиентных полей которых равны,
у(Уфо{х), Q) = 7(V<^i(®), Q),
могут быть градиентно деформированы друг в друга20 21) без выхода
критических точек Е7хф(х, X) на границу Е.
Это означает, что все морсовские I-седла распадаются всего
лишь на два класса, внутри которых седла переводятся друг в друга
градиентной гомотопией. В частности,
•	на шаре ||ж||	1 в четномерном пространстве R2m потенциал с един-
ственным минимумом может быть гомотопирован в ip\ с единственным
максимумом — невырожденной на сфере ||ж|| = 1 деформацией <р(х, А);
20) Доказательство и ссылка на первоисточник есть в [6].
21) С учетом теоремы Хопфа 3.4.4.
110
Глава 6. Динамические системы
•	В R", п 2, потенциал <ро, имеющий единственный глобальный минимум
на замыкании области Q, может быть гомотопирован в с единственным
локальным, но не глобальным минимумом на О. — невырожденной на О.
деформацией р(х,Х).
Вышесказанное настраивает на пессимистический лад. Вы-
ходит, переход к деформациям потенциалов, вместо деформаций
их градиентов как просто непрерывных полей, — ничего не дает.
На этом фоне довольно неожиданна теорема Бобылева'.
6.5.3.	Пусть F обозначает класс гладких функционалов ф(х) с един-
ственной в шаре ||ж|| С 1 нулевой критической точкой 22 *\ Если ро(х)
и ф1(ж) гомотопны в F и нуль — точка локального минимума фо(х),
то это также локальный минимум р>\(х).
Доказательство есть в [4, т. 7], там же указано обобщение:
6.5.4.	Теорема. Если <ро(х) up ,(ж) подвижно гомотопны в F(Q) и
нуль — точка локального минимума Ро(х), то нуль — точка локаль-
ного минимума ф1(ж).
Под F(Q) здесь подразумевается класс гладких функционалов ip : R" -> R
с единственной на замыкании ограниченной области Q критической точкой
Функционалы ^(х) и y>i(x) считаются подвижно гомотопными в F(Q),
если существует гладкая деформация1^ р(х, X) 6 F(Q), А € [0,1], такая что
р(х,0) = <р0(х), р(х, 1) = уфх).
Через окуляр леммы 6.5.2, «не позволяющей» минимуму ис-
чезать при малых деформациях, результаты 6.5.3, 6.5.4 могут
показаться очевидными. Поскольку, дескать, решение ж(Л) урав-
нения \7хр(х, А) = 0 предполагается единственным при любом
ХЕ [0, 1], — точка ж(А) вынуждена оставаться положением ми-
нимума. Но не тут-то было. Из леммы 6.5.2 следует лишь, что
множество Л тех А Е [0, 1 ], при которых ж(А) является точкой
22^ При этом гомотопность в F функций и ^1(г) означает, что Vxip(x,X) = 0
при любом А € [0, 1J имеет единственное решение ДА).
231
' Таким образом, по сравнению с п. 6.5.3 ситуация обобщается. Шар заменяется
произвольной ограниченной областью Q. При деформации критическая по-прежнему
обязана быть единственной, но теперь может двигаться.
6.5. Деформационные мотивы
111
минимума ф(х, А), открыто в [0, 1]. Обоснование замкнутости Л,
что вкупе с предыдущим обеспечивает Л = [0, 1], связано с неко-
торыми осложнениями, отчасти головоломными.
Без требования «единственности» на множестве ж(Л) возможно ветвление,
и там деформация может завести куда угодно. Например, в случае
/ \\ Ао - А 2 ,1 4
Н®.А) = -у-х + -х ,
Vxp(x, А) = (Ао - Х)х + х,
при А С А() потенциал р(х, А) имеет
минимум в нуле, который при А> Ао
превращается в максимум, а в его
окрестности появляется два новых по-
ложения минимума х = ±\/X — Ао.
Требование единственности решения
Vxp(x, А) = 0 запрещает подобные
бифуркации.
Таким образом, совокупность критических точек к(А) в данном случае
представляет собой трезубец
min
, и если не запрещать выход
ветвей ж(А) за пределы рассматриваемой области О., то ветви х = ±-\/А - Ао
покинут Q, и минимум окажется деформированным в максимум. Однако запрет
градиенту Va;¥’(a?, А) обнуляться на границе О заставляет деформацию р{х, А)
вариться в собственном соку, не выходя «за пределы». И тогда минимум не может
обратиться в максимум24^ по теореме Парусинского, потому что в нечетномерном
пространстве минимум и максимум имеют разные индексы. Но стоит перейти
к аналогичной деформации на плоскости {х, у},
.	, , Ао Ат 1 4	2
<р(х, у, А) = —-—х +-к +у ,
min^
с ветвлением ---►
седло _
—“-----► , как та
же теорема Парусинского гарантирует
min
существование градиентной гомотопии,
в единственный максимум, но при этом, в силу деформационных теорем, без
бифуркационного ветвления внутри Q нельзя обойтись.
переводящей единственный минимум
24) Единственный минимум — в единственный максимум.
112
Глава 6. Динамические системы
Бифуркационные возможности получают дополнительное освещение, если
отталкиваться от векторных деформаций. Например, критическими точками
потенциала
<р(х, А1, Л2) = - ж4 + - А2ж2 + А(ж
являются решения уравнения
<?« ,
= -т~ = ж + А2ж + А| =0,
дх
задающего катастрофу сборки [4, т. 7].
Двигаясь в плоскости {А,,А2} вдоль
разных кривых А(т) = {А, (т),А2(т)}, бу-
дем иметь различные скалярные деформа-
ции р(х, т), непрерывные либо разрывные,
в том числе — петли гистерезиса, и даже
переходы в нестабильную область, выде-
ленную на рисунке более темным цветом,
где достигается максимум потенциала. Все
эти возможности спрессованы в окрестно-
сти особой точки S, см. п. 9.5.
6.6. Нужна ли гладкость
Стержневая опора 6.5.2 деформационной рецептуры 6.5.3, 6.5.4
в предположении гладкости ср(х, А) вообще не нуждается, и воз-
никает соблазн «обойтись без», чтобы охватить негладкие террито-
рии. Но чем заменить в пп. 6.5.3, 6.5.4 требование единственности
решения Чх<р(х, А) = 0?
Выход из положения заключается в использовании, напри-
мер, субдифференциала Кларка [4, т. 7] с определением критической
точки х* как нуля многозначного векторного поля,
0 G df(x*),
что юридически строго очерчивает круг особенностей, за кото-
рыми необходимо следить в процессе деформации. В итоге все
развивается по тем же выкройкам, с теми же формальными выво-
дами 25\ При этом нельзя сказать, что результаты чувствительно
25) Подобного сорта анализ см. в [6].
6.7. Неградиентные системы
113
способствуют решению прикладных задач, но они важны в идео-
логическом отношении.
Идеологическая часть математики заслуживает почтительного обращения
по многим причинам, хотя смотрится как никчемная составляющая, которая
переливает из пустого в порожнее. Разумеется, это не инструмент повышенного
спроса для решения ходовых задач. Но для прагматики это фундамент, дающий
опору, и среда, создающая атмосферу.
6.7.	Неградиентные системы
На фоне предыдущего естественно возникает мысль о применении
деформационных методов к неградиентным системам
ж = /(ж).
Кое-что в самом деле возможно, только не бог весть сколько.
Мешающие причины очевидны. Простейшие системы
(6.27)
с притягивающим и отталкивающим равновесием
деформационно эквивалентны 26\ Переводятся друг в друга гомо-
топией Н(х, А), каковая может быть выбрана так, что при любом
фиксированном А будет невырожденно линейной по ж.
Соответствующая деформация достигается кусочно-линейным трюком.
Сначала
-1
О
О „	О
линейно гомотопируется в
2б) В классе непрерывных деформаций. Однако сами по себе обе системы (6.27) гра-
диентам, хотя градиентной деформацией с единственным равновесием друг в друга не пе-
реводятся. Если же требование единственности равновесия в процессе деформации снять,
то они будут и градиентно гомотопны, по теореме Парусинского.
114
Глава 6. Динамические системы
затем
-А А -1
1 - А -А
О
1
. Равновесие в процессе деформации остается
единственным, но фазовый портрет системы скачкообразно меняется.
Таким образом, даже сужение класса допустимых деформа-
ций Н(х, А) до невырожденных линейных по х отображений
не сохраняет динамические характеристики равновесия в систе-
мах х = Ах. Как и в теории вращения, Ах разбиваются всего
на два класса, det А > 0 и det А < 0. Однако линейные системы
можно деформационно поделить и с прицелом на асимптотиче-
скую устойчивость.
6.7.1.	Пусть С+ обозначает множество невырожденных матриц,
квадраты которых не имеют отрицательных собственных значений.
Матрицы А и В обе одновременно гурвицевы или негурвицевы в томм
случае, когда в С+ существует невырожденная деформация от А к В.
◄ Понять результат легко. При деформации
спектр матрицы меняется непрерывно, а поскольку в С+
матрицы не могут иметь чисто мнимых собственных зна-
чений, то невырожденная деформация в С+ не может
перевести собственные значения из левой полуплоскости
в правую, и наоборот. ►
С точки зрения устойчивости критический
момент описанной выше деформации — транс-
формация в промежуточную систему х =	@ х, имеющую
периодические решения x(t) = xoe±wt. И запрет на автоколеба-
ния сразу реабилитирует деформационный инструмент.
Интересно, что в нелинейном случае к успеху приводят ана-
логичные меры. Только запрета на автоколебания не хватает. При-
ходится запретить существование в системе ограниченных реше-
ний — ограниченных на всей оси, при t £ (—оо, оо). Подходящие
случаю результаты (для дискретного времени) см. в [11].
6.8. Автоколебания и последование
115
6.8.	Автоколебания и последование
Одна из главных трудностей изучения автоколебаний в системе
х = f(x), х G R"
(6.28)
— неизвестность периода. Другая неприятность: неизолирован-
ность решений27^, циклов. Если х*(£) — периодическое решение
(6.28), то и x*(t + s') — решение (6.28), при любом s. Все это
вместе взятое приводит к определенным неудобствам и требует
привлечения дополнительных соображений. Довольно часто ис-
пользуется методика Пуанкаре, основанная на введении функции
последования. В простейшей модификации это выглядит так.
Пусть LcR" — (п — 1)-мерная гиперплоскость; p(t, х) —
решение (6.28), начинающееся в точке х в нулевой момент вре-
мени, и t(x) — время первого возвращения
траектории на L, если х G L. В этом случае
отображение
Р(х) =p(x,t(x))
называется функцией последования. Очевидно:
6.8.1.	Неподвижные точки оператора последования, х = Р(х),
лежат на замкнутых траекториях, т. е. являются начальными
условиями периодических решений (6.28).
Таким образом, если на L удается выделить такую область Q С
L, что 7(Т — Р, Q) 0, проблема существования периодического
решения в системе (6.28) оказывается решенной.
Скажем, если движение (6.28) имеет
«круговой характер» и происходит внутри
сплошного тора (рис. справа), то опера-
тор последования переводит в себя шар В,
27) В неавтономных системах х = fix, t) с Т-периодической правой частью решения,
как правило, изолированы.
116
Глава 6. Динамические системы
и теорема Брауэра в компании с п. 6.8.1 — гарантируют суще-
ствование автоколебания.
При этом, если ж* = Р(ж*), то период соответствующего
периодического режима равен Это не исключает суще-
ствования периодических траекторий, замыкающихся после двух
оборотов28^ /	\ но не идущих по следу первого.
В этом случае ж* = Р2(ж*) с периодом колебания £(ж*) + £(Р(ж*)).
Если же инвариантным для (6.28) является не сплошной тор,
а его граница, т. е. просто тор, то наличие автоколебания не га-
рантировано. Окружность В, например, после оборота может
поворачиваться на иррациональный угол, — и тогда на инвари-
антном торе нет ни одного периодического решения.
В связи с отмеченной выше неизолированносгью периоди-
ческих решений автономных систем29) обычное понятие индекса
соответствующего решения30) становится бессмысленным. По-
этому индекс иикла3^ Г, трансверсального32) гиперплоскости L,
определяется с помощью функции последования Р(ж) как обыч-
ный индекс векторного поля I - Р : L -> L,
ind Г — ind (I - Р, ж0), где ж0 G L р] Г,
и такое понятие оказывается эффективным на практике.
28) И вообще, k оборотов.
29) По этой причине, кстати, нетривиальное автоколебание не может быть асимпто-
тически устойчивым по Ляпунову, и даже просто устойчивым — ибо малые возмущения
угловой скорости приводят к большим расхождениям траекторий. Но тут возможна и до-
статочно широко распространена орбитальная устойчивость [4, т. 2].
3°) Топологического индекса в функциональном пространстве, см. главу 7.
311 Циклом мы называем след замкнутой траектории.
Трансверсальность — эквивалент типичности, отвечающий ситуации общего поло-
жения при пересечении многообразий. Две гиперплоскости L, М С R” трансверсальны,
если любой вектор z ERn представйм в виде z = х + у, где х G L, у 6 М.
Глава 7
Вполне непрерывные поля
In the middle of difficulty lies opportunity.
Einstein
Все невырожденные непрерывные векторные
поля, определенные на границе ограничен-
ной области в бесконечномерном банаховом
пространстве, гомотопны между собой. Это
драматическое обстоятельство исключает го-
мотопическую классификацию непрерывных
полей в функциональных пространствах и не
позволяет построить общую теорию враще-
ния, аналогичную конечномерной. Но умень-
шение широты замаха все ставит на свои места.
7.1.	Стягиваемость сферы по себе
Сначала есть резон разобраться с угрозами бесконечномерное™.
Их долго перечислять, но все они могут быть сфокусированы
в нарушении следующего конечномерного свойства.
7.1.1.	В IR" сфера S = {х : ||ж|| = 1} не стягивается по себе в
точку Хо G S с помощью непрерывной деформации.
◄ В противном случае существовала бы такая непрерывная деформация
Н(х, t), что для всех х € S
Н(х,0) = х, Н(х, 1) = хй 6 S,	(7.1)
причем ||Я(ж,0Н — 1 ПРИ любом t € [0, 1]. Но это бы означало равенство
вращений тождественного поля Н(х, 0) = х и постоянного Н(х, 1) = х0, чего
не может быть. ►
118
Глава 7. Вполне непрерывные поля
7.1.2.	В любом бесконечномерном банаховом пространстве Е факт
7.1.1 теряет силу. Сфера S = {х : ||ж|| = 1} С Е стягивается
по себе в точку с помощью непрерывной деформации.
◄ Геометрически наглядный пример стягивания S = {х : ||ж|| = 1} в про-
странстве С[0, 1] рассматривался в [4, тт. 12, 13]. Универсальная конструкция
есть в [10]. ►
Вот несложный пример Какутани в подтверждение п. 7.1.2. Пусть Е —
сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом
{et,..., еп,...}. Нетрудно видеть, что
,	. tx + (1 - t)f(x)
-<№)« ‘е|М'
где
f(x) = (к, С|)е2 + ... + (к, еп)еп+1 + ...,
деформирует единичную сферу S С Е в единичную сферу SLei полупростран-
ства векторов х, ортогональных е,, — которую уже легко деформировать по S
I)
в точку '.
Из 7.1.2 сразу следует гомотопность друг другу всех невырож-
денных на S отображений Ф : S —У R \ {0}, ибо если Н(х, t) —
непрерывная деформация вида (7.1), то $H(x,t) деформирует
Ф(ж) в Ф(ж0), т.е. все Ф(ж) на S получаются гомотопными по-
стоянному отображению Ф(жо)- При этом попытка ограничиться
равномерно невырожденными на S отображениями не спасает 2\
Стягиваемость сферы позволяет невырожденно (без нулей) про-
должить любое отображение Ф(ж) с S на весь шар ||®|| < 1, что
достигается отображением
Ф(ж) = ФЯ(ж/||ж||, 1 - ||®||).
Так что при бесконечном числе измерений принципиально нельзя
судить о нулях непрерывного поля внутри шара ||®|| < 1 по его
поведению на границе ||®|| = 1.
Так же как окружность по двумерной сфере в R3.
Невырожденное отображение Ф(г) 0 называют равномерно невырожденным, если
дополнительно ||Ф(г)|| е при некотором е > 0. Указанная деформация ФЯ(г,0
равномерно невырождена, если таково Ф(г), причем невырожденное Ф(г) автоматически
равномерно невырождено, п. 7.3.2.
7.2. Компактные операторы
119
7.2.	Компактные операторы
Как следует из вышесказанного, непрерывные отображения в функ-
циональных пространствах с точки зрения топологического изу-
чения неподвижных точек — не имеют перспективы. Однако
на практике задачи подобного рода сводятся обычно к интеграль-
ным уравнениям типа х - А(х) — 0, например, с интегральным
оператором Урысона
1
Ax(t) = У G[t, s, ®(s)] ds.	(7.2)
о
В таких случаях векторные поля Ф(ж) = х - А(х) принадлежат
обычно более узким классам отображений, для которых теория
вращения сохраняет прежнюю форму.
Итак, игровым полем далее вместо R” служит вещественное ба-
нахово пространство 17, что не исключает, конечно, Е = R”. Отоб-
ражение Ф называется вполне непрерывным векторным полем, если
Ф(ж) = х - А(х),
где А — вполне непрерывный оператор, переводящий, по опреде-
лению, ограниченные множества М С Е в предкомпактные, и,
разумеется, непрерывный в обычном смысле. Заметим, вполне
непрерывным иногда называют оператор, переводящий ограни-
ченные множества в компактные, а не предкомпактные, — что
способствует нарастанию вселенского беспорядка '.
Причины лежат у терминологических истоков.
7.2.1.	Множество М С Е мы называем компактным, либо компактом, если
всякая последовательность в М содержит подпоследовательность, сходящуюся
к элементу из М. А множество MCE, замыкание которого компактно, называ-
ется предкомпактным.
3)	Линейный функционал = j x(t) dt вполне непрерывен в С[0, I], но замкнутое
о
ограниченное множество функций М = {г : ||г|| = I, xlt) 0} переводит в полуинтер-
вал (0,1].
120
Глава 7. Вполне непрерывные поля
Декларировать известные определения приходится из-за неразберихи в
функциональном анализе по поводу компактности. Компактность М Q X
называют также компактностью в себе, а предкомпактность — компактностью
в X, или просто компактностью. Не говоря о том, что компактность в данном
выше определении называют еще бикомпактностью^.
Напомним заодно определения дифференциальных свойств.
7.2.2.	Оператор А, действующий в банаховом пространстве Е,
называют дифференцируемым по Фреше в точке х G Е, если суще-
ствует линейный ограниченный оператор Ах : Е -> Е, называемый
производной Фреше в точке х, — такой что
А(х + h) - А(х) = A'xh + о(||Л||).
При этом линейную часть приращения A'xh называют дифференциалом
Фреше, а Л'х — производной Фреше, либо сильной производной, либо просто
производной, если из контекста ясно, о чем речь.
Ч Производная Фреше интегрального оператора Урысона (7.2) в случае
непрерывности ядра G[£, s, ж] по совокупности переменных и непрерывной
дифференцируемости по ж определяется выражением
1
Axh(t) — G'x [t, s, ж(в)] /i(s) ds,
о
как в С, так и в Lp. ►
Дифференциалом Гато называют предел* 5*
<•2, , ч	+ т/l) - й(ж)
ЗА(х, h) = lim
т-»0	Т
В случае линейности по h,
6А(х, h) = A'xh,
оператор А'х называют производной Гато (слабой производной) в точке ж.
Производная Фреше, если существует, является производной Гато. Обратное
верно, если производная Гато непрерывна по ж.
В альтернативной терминологии есть своя логика. Определение предкомпактного
множества на самом деле подразумевает, что объемлющее пространство X оговорено.
В противном случае возникает неоднозначность. Множество рациональных точек из (0, 1)
предкомпактно в R, но не предкомпактно в пространстве рациональных чисел.
5) Слабый дифференциал называют также вариацией А.
7.3. Вращение вполне непрерывного поля
121
7.2.3.	Теорема. Производная Фреше вполне непрерывного операто-
ра — вполне непрерывна.
7.3.	Вращение вполне непрерывного поля
Пусть Q — ограниченная область в Е, на границе Q которой
задано вполне непрерывное векторное поле Ф = I- А. Ключевой
факт в определении вращения 7(1 — A, Q) заключается в возмож-
ности конечномерной аппроксимации компактного оператора.
7.3.1.	Теорема. Для любого е > 0 существует вполне непрерывный
конечномерный^ оператор Ае, аппроксимирующий А на Cl с точ-
ностью'.
НДж) - Д(ж)|| < с (®g й).	(7.3)
Ч Пусть М обозначает замыкание множества А(П). В силу компакт-
ности М для любого в > 0 в М существует конечная Е-сеть {ж,,..., хп}.
С помощью проектора Шаудера
Л(ж) = Г^щ.(ж)^	(х£М),	(7.4)
'Ч=1	'	£=1
где
Е— ||ж —ЖЛ|| при ||ж-жЛ Sg Е,
О	при ||ж - ЖЛ|| > Е,
оператор Ае, удовлетворяющий (7.3), строится в виде композиции
Л(ж) = Ре(4(ж)) (ж G П).	►
Вот еще один существенный технический момент.
7.3.2.	Всякое невырожденное на Й вполне непрерывное векторное
поле Ф = I — А — равномерно невырождено, т. е.
||Ф(®)||>£ (ж ЕЙ)	(7.5)
при некотором г > 0.
6> Принимающий значения в конечномерном подпространстве. Например, оператор Гам-
f	'П
мерштейна Ax(t')-= / G(t,s)f [s,s(s)] ds конечномерен в случае G(t, s) =	е//)Лу(«).
D	>='
Значения Ax(t) лежат в подпространстве с базисом {е।(£),...,	.
/Ц.(ж) =
122
Глава 7. Вполне непрерывные поля
Ч В предположении противного
lim ||ajft - А(агЛ)|| = 0	(7.6)
к->оо
на некоторой последовательности точек хк € П.
Но 4(st) -» х* в силу полной непрерывности А, откуда, с учетом (7.6),
lim Цж*. - хг|| < lim ||ж* - Л(ад.)|| + lim ||А(а:Л) - х*|| = 0.
fe->oo	fc->oo	k-*cx>
В итоге Ф(я*) = 0, что противоречит невырожденности Ф(я) на П. ►
Вращение 7(Ф, Q) невырожденного вполне непрерывного поля
Ф = I - А на Й определяется так. Пусть Ее С Е — произвольное
подпространство, содержащее конечную е-сеть множества Л(Й),
a As — вполне непрерывная с-аппроксимация оператора А на Й
(теорема 7.3.1).
Конечномерное поле Ф£ = I - Ае на границе Й£ области
П£ = Q П Ее С Ее невырождено на Й£, поскольку на Й£ при
условии ||Ф(ж)|| 2е > 0, см. п. 7.3.2,
||Ф£(ж)|| = ||« -Л(®)|| > ||® - Л(ж)|| - ||Д(ж) - Л£(ж)|| > 2е-£ = £.
Поэтому определено вращение 7(Ф£, Й£) на Й£, каковое и
назовем вращением 7(Ф, Й) вполне непрерывного векторного
поля Ф на Й.
Для обоснования корректности этого определения необходи-
мо убедиться в его независимости от выбора подпространства Eg
и оператора Ае, — что требует некоторых усилий.
Ч Пусть Ег и Ег. —- различные конечномерные подпространства, содер-
жащие е-сети множества М, а
Ае = РеА : Q -> Ес и Ае = -РДЛ.: Q -» Ее
соответствующие вполне непрерывные Е-аппроксимации оператора А на Q.
Покажем, что вращения т(Ф£, Q) и 7(Ф£, И) конечномерных векторных
полей Фг = I - А, и Фе = I - Ае на границах Д и П£ областей 5L = ПЛ Ес
и Q, = И Л Ее одинаковы.
Пусть Е* — линейная оболочка подпространств Е£ и Ее. Рассмотрим
на границе Т области Y = И Л Е* векторное поле
ФДж) = х - РсА(х) (х € Y).
7.4. Вычисление и свойства
123
Это поле невырождено на Т и потому определено его вращение 7(Ф£, Т),
причем (по лемме 5.5.1 Лере—Шаудера) 7(Фе, Т) совпадаете вращением у{фе, Т)
сужения i/>e поля Фе на Cle, т. е.
7(Фе; Т) = 7(^; П£).
Но на Qf поле гомотопно полю7) ФЕ. Поэтому
7(V>£; fie) = 7(ф£; fie)-
В результате
7(Фе; Т) = 7(Фе! fie).	(7.7)
Аналогично, отталкиваясь от поля
ФДх) = х - Ре (А(ж)),
устанавливается
7(Ф;;Г) = 7(К;^).	(7.8)
Кроме того, поля ФЕ и Ф, линейно гомотопны на Т. Поэтому
7(Фс,Т)=7(ф;,Т).	(7.9)
Объединяя (7.7), (7.8), (7.9), получаем
7($e;fie) = 7(^;fie),
что означает корректность введенного понятия вращения вполне непрерывного
векторного поля. ►
7.4.	Вычисление и свойства
Свойства вращения 7(1 - A, Q) аналогичны свойствам вращения
конечномерных полей, но кое-что требует уточнения. В первую
очередь, понятие гомотопии вполне непрерывных полей.
7.4.1.	Определение. Вполне непрерывные векторные поля Фо =
= I — Ло и Ф| = I — А\, определенные на границе Q ограниченной
области Q.QE, называются гомотопными^ на Q, если существует
такое однопараметрическое семейство невырожденных векторных-
полей
Ф(ж, t) = х - А(х, t) (ж G Q, 0 < t < 1),
7) Годится линейная гомотопия (1 —	+ /Ф£(г), невырожденность которой легко
проверяется.
8)
7 Иногда говорят невырожденно гомотопными.
124
Глава 7. Вполне непрерывные поля
что оператор А : Q х [О, 1] —> Е вполне непрерывен^ и
Ф(ж, 0) = Ф0(ж), Ф(ж, 1) = Ф,(ж).
Таким образом, к понятию гомотопии в R” (раздел 3.4) добав-
ляется обязательная форма деформации Ф(ж, t) = x-A(x,t) с тре-
бованием полной непрерывности А(х, t). Итог прежний (см. тео-
рему 3.4.2), но уже на новом витке спирали.
7.4.2.	Гомотопные поля имеют одинаковые вращения.
Дословно повторяются, на том же витке, и другие факты:
7.4.3.	Пусть векторное поле Ф(ж) = I— А определено и невырождено на границах
областей П, Пь ..., Пто,..., причем области Elj попарно не пересекаются и
П =	О;. Тогда вращения 7(Ф, отличны от нуля лишь при конечном числе
индексов j, и
7(Ф,О) = £>(фЛ)-
i
7.4.4.	Если векторное поле Ф(ж) на Q имеет ахиллесово направление, то
7(Ф,П) = 0.
7.4.5.	Если Ф(ж) невырождено на замыкании области Е1, то	,52) = 0.
7.4.6.	Если 7(Ф,Г1) А 0, то уравнение Ф(ж) = 0 разрешимо в Е1, т. е. в Е1
существует нуль векторного поля х* € Е1, Ф(®*) = 0.
Доказательства перечисленного, благодаря определению вра-
щения вполне непрерывных полей через вращения полей в R”,
сводятся к простым ссылкам на конечномерные аналоги10) (п. 3.5)
утверждений 7.4.2-7.4.6.
Как отображение от двух переменных, А(х, /). Полной непрерывности А(х, t) при
каждом фиксированном t недостаточно (для последующей гомотопической классифика-
ции полей). Заметим также, что невырожденность гомотопии влечет за собой равномерную
невырожденность, каковая бывает инструментально полезна, и легко устанавливается,
как и факт 7.3.2.
|0) Кое-где помимо ссылок имеют смысл небольшие разъяснения, но тогда шаг за шагом
изложение приобретает рутинно-усыпляющий характер, что является уделом монографи-
ческой литературы.
7.4. Вычисление и свойства
125
Развитие бесконечномерной теории вращения во многом про-
текает параллельно ее конечномерному варианту, вплоть до анало-
гов теоремы Хопфа 4.5.2 и ее обобщения 4.5.3. Сохраняют форму
и технические инструменты. Точно так же вводится, например,
понятие индекса нуля'1> с повторением результата 5.1.1:
7.4,7.	Пусть векторное поле Ф(ж) невырождено на X и имеет в Q
конечное число нулей Х[,... ,Хт. Тогда
7(Ф, Q) = ind (Ф, Xj).	(7.10)
3
Можно даже сохранить форму конечномерного аналога 5.1.1,
требуя лишь изолированности нулей Xj, а не конечности их
числа, — потому что второе вытекает из первого в силу полной
непрерывности оператора А в Ф = I - А.
Точно так же, при дословном повторении доказательства,
устанавливается подобие теоремы Брауэра 3.6.2:
7.4.8.	Принцип Шаудера. Вполне непрерывный оператор А, пере-
водящий в себя замкнутый шар В С Е, всегда имеет в В непо-
движную точку 12\
Полезно иметь в виду следующий элементарный результат,
замыкающий на себе немало замаскированных ситуаций.
7.4.9.	Теорема. В случае х§ G Q вращение векторного поля Ф(ж) =
= х — Хо на Q равно 1.
Что касается вращения линейного поля Ф = I — А с линейным
оператором А, то здесь необходим обходной маневр, чтобы обойти
использование детерминанта. В R”, очевидно,
sign det С = (-1/,	(7.11)
Нуль Хо ё Г2 векторного поля Ф(г) называют изолированным, если в достаточно
малой окрестности Хо нет других нулей. Вращение поля Ф(.т) на сферах достаточно
малого радиуса с центром в Хо называют индексом Хо и обозначают ind (ф, Xq).
'4 Шар в формулировке п. 7.4.8 можно заменить выпуклым замкнутым и ограниченным
множеством. Бесконечномерный аналог обобщенной теоремы Брауэра 3.6.3 называют
принципом неподвижной точки Лере—Шаудера.
126
Глава 7. Вполне непрерывные поля
где 5 — число отрицательных вещественных собственных зна-
чений (с учетом кратностей) матрицы С. И это уже годится
в качестве основы для обобщения.
7.4.10.	Пусть 1 не является собственным значением вполне непре-
рывного оператора А. Тогда индекс изолированного нуля линейного
поля Ф = I — А определяется равенством
пк1(Ф, 0) = (-1/,	(7.12)
где д — число вещественных собственных значений (с учетом крат-
ностей) оператора А, больших единицы1^.
Простой ссылкой на теорему 3.5.7 даже с учетом (7.11) здесь трудно отде-
латься, хотя при наличии опыта работы с банаховыми пространствами — все оче-
видно. Тем не менее приведем обоснование. Не столько ради самого результата
7.4.10, сколько для иллюстрации внутренней кухни и повышения бдительности.
Ч Пусть А],..., АЛ — все вещественные собственные значения опера-
тора А, большие единицы, и Р(Ау) обозначает коммутирующий с А линейный
оператор проектирования на корневое подпространство E(Xj) оператора А,
отвечающее Ау. Оператор
Р0=Р(А,) + ...+Р(А»)
проектирует на подпространство Ро = 7?(А|) + ... + Р(А^) размерности <5.
Сужение Ао оператора А на Ео имеет те же собственные значения Ai,..., А*
с теми же кратностями, а сужение А0 оператора А на дополнительное к Ео
подпространство Е^ не имеет вещественных собственных значений, больших
единицы. Поэтому вполне непрерывная гомотопия
Ф(я, т) = х - [2т + (1 - т)А0]Р0® - (1 - т)А°Р°х
невырождена на единичной сфере S. Следовательно,
ind($, 0) = 7(Ф(ж, 0), S) = 7(Ф(®, 1), 8),
что с учетом Ф(я, 0) = Ф(ж), Ф(ж, 1) = х - 2Р0х и п. 3.5.7 вместе с (7.11) — дает
(7.12), поскольку 7(Ф(®, 1), S) совпадает с вращением Ф°(ж) = —х на единичной
сфере <5-мерного подпространства Ео, равным (-1/. ►
Об индексах нулей нелинейного поля можно судить, очевид-
но, по линейным приближениям, если те невырождены.
|3) Охватывается в том числе ситуация <5 = 0.
|4) «Почему их конечное число», и на другие сопутствующие вопросы — ответы следует
искать в спектральной теории [4, т. 5J.
7.5. Невырожденные продолжения
127
7.4.11.	Пусть вполне непрерывный оператор А дифференцируем по
Фреше в некоторой окрестности точки хо, и единица не является
собственным значением оператора A1(xq). Тогда Xq — изолированный
нуль поля Ф = I — А и
пк1(Ф, «о) = (-1/,
где д — число вещественных собственных значений (с учетом крат-
ностей) оператора А(хф), больших единицы.
Отметим, наконец, полезный технический результат, в неко-
тором роде обобщающий лемму Лере—Шаудера на общий случай
банахова пространства Е. Пусть Eq С Е — замкнутое подпро-
странство, Q С Е — ограниченная область, Qq = f''] Д) • Пусть
вполне непрерывный оператор А на Q принимает значения в под-
пространстве Eq и не имеет неподвижных точек на Й.
7.4.12.	Пусть Aq — сужение оператора А на Qq. Тогда
7(1 - А, Й) = 7(1 - Ао, Йо)-
7.5.	Невырожденные продолжения
Аналог теоремы 4.5.4 в общем случае банахова пространства Е
требует для своего обоснования больше усилий, но остается все же
простым фактом.
7.5.1.	Теорема. Вполне непрерывный оператор А : М —> Е, где
М С Е — замкнутое множество, может быть продолжен на все Е
со значениями в замкнутой выпуклой оболочке сбА(М).
Принципиальную роль в теории вращения играет обобщение
теоремы Хопфа 4.5.1:
7.5.2.	Если вполне непрерывное поле Ф(ж) невырождено на границе
Й ограниченной связной области Q и 7(Ф, Й) = О, то Ф = I — А
можно продолжить до вполне непрерывного поля, невырожденного
на замыкании Q. D>
128
Глава 7. Вполне непрерывные поля
Другая, более знаменитая теорема Хопфа 4.5.2 также обобща-
ется на вполне непрерывные векторные поля15'.
7.5.3.	Теорема Хопфа. Если невырожденные на сфере S С Е вполне
непрерывные векторные поля имеют одинаковое вращение, то они
гомотопны. О
Обобщается и теорема 4.5.5:
7.5.4.	Теорема. Вполне непрерывный оператор А(х), не имеющий
неподвижных точек на границе Q ограниченной связной области Q,
такой что Е\О, имеет две компоненты связности, всегда можно
продолжить на все Е до вполне непрерывного оператора с одной
неподвижной точкой в О. >
Если же Е\О, имеет к компонент связности, то А(ж) можно про-
должить на все Е до вполне непрерывного оператора с к -1 непод-
вижными точками, лежащими «по одной» в ограниченных компонен-
тах связности.
Специфика теории вращения, как видно из перечисленно-
го, заключается в «необходимости» изложения конечномерного
варианта теории с последующим повторением сказанного после
замены R” на Е, — что навевает скуку. Избежать повторений
можно, но это не так легко, да и едва ли целесообразно, ибо при
унификации теряется наглядность, каковой и так недостает.
7.6.	Теоремы родственности
Одну и ту же задачу бывает удобно рассматривать с разных то-
чек зрения. Скажем, динамическая система х = с одной
стороны, характеризуется правой частью -/(ж), с другой — век-
торным полем х - Ut(x), где Ut — оператор сдвига. Теорема 6.3.1
обнаруживает равенство вращений этих полей, что позволяет
по ходу дела переметнуться на более удобный путь 16\
15) Равно как и ее более общая версия 4.5.3.
|6) Вычисляя вращение -/(ж) и переходя к использованию неявно заданного вектор-
ного поля х — Ut(x).
7.6. Теоремы родственности
129
Правда, если речь идет о существовании равновесия, то переход
от f(x) к рассмотрению оператора сдвига особых преимуществ не
дает. Скорее наоборот, втягивает в пучину размытых представлений.
Зачем искать неподвижные точки оператора Ut, заданного околь-
ным путем, когда проще иметь дело с нулями векторного поля /(ж),
«данного в ощущениях». Но вот если стоит вопрос о наличии авто-,
либо вынужденного колебания, то смотреть на задачу через призму
х = /(ж) или х = f(x, t)
уже малоэффективно. Приходится анализировать неподвижные
точки UT. Правда, теорема 6.3.117^ тут чаще всего не спасает, —
потому что условие «невозвращаемости» трудно проверить.
Но есть другой выход. Интегрируя
dx fi \
Tr=f{X’T}
по т от нуля до t, можно перейти от х = /(ж, £)
к интегральному уравнению на [О, Т]:
Ж	f-
x(t) = ж(0) + У /(ж(т),т) dr, (7-13)
уходя при этом от неудобств, связанных с использованием опе-
ратора сдвига, но попадая в бесконечномерные функциональные
пространства, где от геометрической наглядности ничего не оста-
ется. Зато уравнение (7.13) явно задано и, кроме того, исчезает
О совпадении вращений 7(-/(г, 0), Q) и '/(х - UT(x), П).
130
Глава 7. Вполне непрерывные поля
потребность в единственности решений соответствующей задачи
Коши, и в нелокальной продолжимости траекторий, что освобо-
ждает руки для достижения главной цели.
Рассмотренные модели задачи о периодических колебаниях,
несмотря на разные декорации, имеют общий стержень, даю-
щий основание рассчитывать на совпадение свойств. Вот один
из принципиальных результатов на эту тему.
7.	6.1. Теорема. Пусть Ut — оператор сдвига по траекториям
системы х = f(x,t) с Т -периодической правой частью', и области
Y С R” и Q С С[0, Т] имеют одинаковую сердцевину^. Тогда
где F — оператор, определяемый правой частью (7.13). >
Результаты типа 7.6.1 называют теоремами родственности,
и детали здесь довольно громоздки [10]. Поэтому в общеобразо-
вательных целях тема едва ли заслуживает подробного изучения.
Но общие представления достойны внимания, ибо расширяют
горизонты осведомленности, что снимает напряжение.
Проблематика в целом объемиста не только частностями
обоснований, но и многообразием обстоятельств. Возьмем, на-
пример, задачу об автоколебаниях в системе х = fix), экви-
валентную поиску таких значений параметра Л, при которых
уравнение у = Xfiy) имеет решения периода 1 (см. раздел 5.4).
Интегральный вариант постановки задачи
t
y(t) =з/(1) +А У / ($/(«)) ds
о
18)	Области I С Е" и П С С[0, Т] имеют одинаковую сердцевину, если поля I — UT
и I—F невырождены, соответственно, на Т и Q и если множество лежащих в Т начальных
значений ^'-периодических решений уравнения х — f(x,t) совпадает с множеством
значений при I = 0 всех ^'-периодических решений этого уравнения, лежащих в Q.
7.7. Итерации операторов
131
функционализацией параметра сводится к интегральному уравнению
t
x(t) = s(l) + А(ж) У f(x(sY) ds,	(7.14)
о
и при «надлежащем выборе» функционала А(ж) периодическое
решение x*(t) уравнения (7.14) в С*[0, Т], отвечающее изоли-
рованному циклу Г, также будет изолированным. Общее для
допустимых А(ж) значение индекса ind (I — А, х*), где оператор А
определяется правой частью (7.14), — называют функциональной
характеристикой //(Г) цикла Г. Теорема родственности, пробива-
ющая здесь туннель между R" и 67[О, Т], дает равенство 19^ ^(Г)
ind Г = /z(T).
7.7.	Итерации операторов
Под крыло теории родственности попадает множество ситуаций.
Одна из них: необходимость изучения уравнения
х = ВАх,	(7.15)
тогда как выгоднее было бы иметь дело с уравнением
у = АВу,	(7.16)
где А :	> Е2, В : Е2 —> Е^ — вполне непрерывные операторы,
Е\,Е2 — банаховы пространства.
Конечно, всякое решение х* Е Е[ уравнения х = ВАх дает
решение уравнения у* = Ах* Е Е2 уравнения у = АВу. И наобо-
рот, любое решение у* Е Е2 второго уравнения дает решение —
первого х* = By* Е Е\.
191 Подробности в [10].
132
Глава 7. Вполне непрерывные поля
Однако дело не только в решениях, но и в обстоятельствах. Поэто-
му интерес часто представляет взаимосвязь вращений векторных
полей
I-ВА и I-AB.
В частности, в определенных условиях20^
7(/-ВА,Й]) = 7(/-ЛВ,Й2),	(7.17)
где Qi С Е], Q2 С Е2 — ограниченные области.
7.7.1.	Теорема. Пусть области Qi С JS] и 02 С Е2 имеют одина-
ковую сердцевину2^ относительно уравнений х = ВАх и у = АВу.
Тогда справедливо равенство (7.17).
На замыкании области Q = П, х П2 рассмотрим векторные поля
ф1(ж, У) =	- By, у - Ах},
Ф2(х, у) = {ж - ВАх, у - Ах},
(х,у) € Е = Et + Ег,
каковые невырождены на Q, как нетрудно убедиться, и непротивоположно
направлены, ибо направлены противоположно могут быть лишь при условии
у = Ах. Но в таких точках (х, у) векторы Ф|(ж, у) и Ф2(ж, у) одинаковы.
Поэтому поля Ф,(х, у) и Ф2(ж, у) гомотопны на П. Следовательно,
7(ФьП) = 7(Ф2,П).	(7.18)
Пусть множество Л(П|) лежит в шаре U2, и U = Q, х U2. Поскольку поле
Ф2 не имеет нулей на U \ Q, то (п. 7.4.3) к (7.18) можно присовокупить
7(Ф2, П) = 7(Ф2, U).
20) В (7.17) х — ВАх и у —АВу — это векторные поля в разных пространствах, первое —
в Е], второе — в Е2.
2|* Под одинаковой сердцевиной в данном случае подразумевается взаимно однозначное
соответствие между множеством X С О, корней (7.15) и множеством Г С Q; корней
(7.16), т. е. АХ = Y, BY = X. Иначе говоря, все «образы» Y корней X С Qj попадают
в Q2, а все «прообразы» X корней Y с fh лежат в Q|.
7.7. Итерации операторов
133
Далее, поле Ф2 гомотопно на U полю
Ф3(я, у) = {х - ВАх, у},
опять-таки в силу непротивоположной направленности, и потому
7(Ф3, J7) = 7(Ф2, £7).
А поскольку Ф3 является прямой суммой поля I — ВА и тождественного
поля 7, то с учетом теоремы 7.4.12 и установленной цепочки гомотопий
7(Ф3> U) = у(1 - BA, fl|) = 7(ФЬ П).
Равенство 7(7 — АВ, О2) = 7(Ф|, О) устанавливается аналогично. ►
В спектр приложений теоремы 7.7.1 попадает изучение век-
торных полей с итерациями операторов, о чем уже шла речь
в разделе 5.6 при обсуждении принципа Браудера 5.6.1, кото-
рый остается справедливым при замене R" банаховым простран-
ством Е в предположении полной непрерывности оператора А.
Итак, рассмотрим вполне непрерывное векторное поле
Фр(я) = I - Арх, х^Е.
Если Ар£ = £, то
А£,А2£,...,Ар-^	(7.19)
также являются неподвижными точками оператора Ар, что оче-
видно: А?А(, = АА?^ = А£ и т.д. При этом если А£ £ и число р
простое, то все точки (5.17) различны. А если £ — изолированный
нуль поля Ар(х), то и все нули (7.19) изолированы.
7.7.2.	Теорема. Если £ — изолированный нуль поля Фр, то
ind (Фр, А£) = ind (Фр, £).	(7.20)
4 Теорема 7.7.1 быстро приводит к необходимому выводу. В качестве О)
и 0.2 возьмем малые окрестности точек соответственно ( и Настолько малые,
чтобы точка £ была единственным нулем поля Фр на Г2], а А(£) — единственным
нулем Фр на О2. Области 12, и О2 имеют одинаковую сердцевину по отношению
к полям I - АВ и I - ВА, где В = Ар~1, что влечет за собой (7.21), т. е.
7(Фр, fii) =7(ФР, Q2).	(7.21)
134
Глава 7. Вполне непрерывные поля
А это и есть (7.20), с учетом выбора 12, и П2. ►
Непосредственное следствие теоремы 7.7.2:
7.7.3.	Теорема. Если £ — изолированный нуль поля Фр, то
шс1(фр, 0 = тс1(фр, Л£) = ... = та(Фр, Лр-1£).	(7.22)
Отметим вскользь следующий результат, который существен-
но дополняет принцип Браудера.
7.7А. Пусть р — простое число, А(Х) С Q, где X — множество
нулей поля Фр, лежащих в замыкании Q ограниченной области Q,
причем поле Фр невырождено на Q. Тогда
"f(I - Ар, О) = 7(1 - А, О) (mod р).	>	(7.23)
Глава 8
Нелинейные операторы
в пространствах с конусом
The whole of science is nothing more
than a refinement of everyday thinking.
Einstein
Отображения в полуупорядоченных пространствах вы-
пали из системы общего математического образования
по недоразумению. Потому что там не только все хо-
рошо решается, но туда помещается чуть ли не весь
нелинейный анализ, если смотреть, разумеется, опти-
мально прищурившись.
8.1.	Полуупорядоченность и авансы
Теория положительных операторов бегло рассматривалась в [4, т. 2]
с акцентом на дифференциальных уравнениях в R", и в [4, т. 5]
с ориентацией на линейные операторы. Здесь проблематика из-
лагается с более широким замахом. Поскольку тематика остается
малоизвестной, излагать ее приходится максимально просто, что
само по себе не так плохо. Но в данном случае ясность и акценты
особенно важны, если думать не столько о «наполнении сосудов»,
сколько о «зажигании факелов».
8.1.1.	Теорема [4, т. 2]. Пусть матрица A(t) внедиагонально по-
ложительна b(t) > 0, и система
х — A(t)x + b(t)
При г j все al} (i)	0.
136 Плавав. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
имеет единственное положение равновесия х* > 0. Тогда х* асимп-
тотически устойчиво. >
Если присмотреться — результат фантастический. Устойчи-
вость обеспечивается «почти без предположений».
Вот другая изюминка [4, т. 5]. Линейный положительный оператор в банахо-
вом пространстве, полуупорядоченном воспроизводящим конусом, — непрерывен2^.
Еще один «пустячок»* 3):
8.1.2.	Многочлен p(z) гурвицев в томм случае, когда строго положительны ко-
эффициенты и p(z), и многочлена q(z), имеющего корнями все суммы пар корней
многочлена p(z). >
Ясное дело, может показаться, что речь идет о специфических
задачах. Но за счет универсальных трюков в рамки «положитель-
ности» удается поместить очень широкие классы задач. Напри-
мер, с помощью специальной полуупорядоченности получаются
самые общие утверждения о свойствах матриц произвольного ви-
да (раздел 8.6).
Основной фокус рассматриваемых методов заключается, ко-
нечно, не в положительных числах, а в полуупорядоченности,
вводимой с помощью конусов.
8.1.3.	Замкнутое выпуклое множество К в банаховом простран-
стве Е называется конусом, если для любого ненулевого х £ К
Хх £ К при А 0 и Хх $ К при А < 0.
В R" конусы бывают круглые, граненые и другие. Частный
случай: неотрицательный ортант R" — вариант наиболее по-
пулярный. Любой конус в Rn представляет собой объединение
совокупности уходящих в бесконечность лучей, выходящих из нуля
и протыкающих замкнутое выпуклое ограниченное множество, не
содержащее нуля.
2* О разрывных линейных функциях см. [4, т. 12].
3) Strelitz Sh. И Amer. Math. Monthly. 1977. 84. 542-544.
8.1. Полуупорядоченность и авансы
137
Каков бы ни был конус, элементы х Е К принято называть
положительными, ибо
х Е К О х >0,
а знак > трактуется как больше.
Простейшими примерами конусов в беско-
нечномерных пространствах служат конусы неот-
рицателъных функций К+ в С и Lp’, конус вы-
пухлых на [0, 1] функций с нулевыми концами,
ж(0) — ж(1) = 0.
Конус определяет в Е полуупорядоченностъ: xi>y (равносиль-
но у < ж), если х—у Е К. Такие неравенства, как и обычные, мож-
но умножать на неотрицательные числа; складывать одноименные;
переходить к пределам; х < у, у < z влечет за собой х < z (свой-
ство транзитивности); а из ж <?/,?/< ж следует ж = у.
Набор свойств знака 5= существенно богаче. Например, ограниченная мо-
нотонная (®j;+i Хк) числовая последовательность обязательно сходится.
Но последовательность, монотонная в смысле ®ft+1 будь она ограничен-
ной хоть по норме, хоть по конусу (все х,; < z), — в общем случае не обязана
сходиться, хотя в Rn сходится независимо от конуса.
Положительные и монотонные операторы. Оператор / : Е —> Е
называется положительным, если f(K) С К; и монотонным, если
х < У => /(«) « /(у)-
В случае полуупорядоченности Жп неотрицательным ортантом, линейный
оператор положителен, когда у определяющей его матрицы неотрицательны все
138 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
элементы. Интегральные операторы при полуупорядоченности с помощью К+
положительны при положительном ядре.
Для введения полуупорядоченности используются десятки
разновидностей конусов. Их описание подчеркнуло бы сразу
богатство и разнообразие теории, но для первого знакомства
это едва ли допустимо. На простейших разновидностях все же
необходимо остановиться, чтобы дальше не отвлекаться.
Нормальные и правильные конусы. Конус К называется нор-
мальным, если справедлива лемма о трех милиционерах', из схо-
k k к -
димости крайних последовательностей в v < х < w к общему
k
пределу следует сходимость х к тому же пределу.
В общем случае это не так. Конус К+ неотрицательных функций в про-
странстве С' (непрерывно дифференцируемых функций) свойством нормаль-
ности не обладает. Все конусы в R” нормальны. Конусы К- в С и Lp также
нормальны.
Для проверки нормальности могут использоваться различные критерии.
Например, конус нормален, если из 0 < х < у следует ||®|| <	.
и константа N(K) не зависит от х и у.
Нормальность равносильна отсутствию в К элементов, которые «почти
противоположно направлены». Точнее, конус К нормален в томм случае, когда су-
ществует такое <5 > 0, что ||б| +е21| S для любых единичных векторов в\, е2 с К.
Конус, содержащий внутренние точки, считается телесным.
Конус называется воспроизводящим, если каждый элемент х £ Е
представим в виде
х = и - v (u,vE К).
Всякий телесный конус является воспроизводящим. Конус К+
в С телесен, в Lp — воспроизводящий, но не телесный.
Наконец, конус К называется правильным, если любая не-
убывающая ограниченная по конусу последовательность сходится
по норме, и — вполне правильным, если сходятся по норме неубы-
вающие ограниченные по норме последовательности.
8.2. Специфика монотонности
139
Правильные конусы нормальны, вполне правильные — правильны. Телес-
ный правильный конус вполне правилен. Конус К+ в Lp вполне правилен. Все
конусы в R” правильные.
8.2.	Специфика монотонности
При рассмотрении монотонных опе-
раторов часто используются так на-
зываемые конусные отрезки {v,w):
множества элементов х, заключен-
ных между д и w, т. е. v < х < w.
• Если конус нормален, конусный отрезок (v, w) ограничен по норме. (?)
/(«) >V, f(w) < W.
В случае монотонного оператора из v < х < w следует
/(д) < /(ж) < /(w). Поэтому конусный отрезок (v,w) опера-
тором f отображается в себя как только
Соединяя сказанное с принципом Шаудера 7.4.8, получаем следу-
ющий тривиальный в контексте, но весьма полезный результат.
8.2.1.	Теорема. Пусть конус К нормален. Тогда вполне непрерыв-
ный оператор f, удовлетворяющий неравенствам
f(v) >v, f(w) < w (v < w),
имеет на конусном отрезке (v,w) неподвижную точку ,
X = /(ж*).
Тут, конечно, трудно не упомянуть знаменитый принцип
Биркгофа—Тарского, гарантирующий существование неподвиж-
ной точки у монотонного оператора, не обязательно непрерывно-
го. Факт уникален, но больше как феномен, а не как инструмент.
Доказательство в простейшей ситуации R" есть в [4, т. 1], макси-
мально общий результат сформулирован и доказан в [4, т. 5].
Выпуклость конусного отрезка очевидна, замкнутость и ограниченность обеспечива-
ется нормальностью конуса, задающего полуупорядоченность.
140 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
Монотонные операторы широко применяются для организа-
ции вычислений с помощью итерационного процесса
= /(?),
каковой в случае монотонного оператора / обладает следующим
характерным свойством. Если точка ж0 под действием / идет
вперед (назад), т.е. /(ж0) >ж° ( < х°), то вся последовательность
хк монотонно возрастает (убывает),
ж0 < ... < хк < ...	(ж0 > ... > хк > . . .),
ь	Ь_ 1
что сразу вытекает из применения к неравенству ж > ж опе-
ратора f, в результате чего жА+1 = f(xk) > f(xk~}) = хк и т. д.
v	о.о
Если теперь есть две точки v < w , «меньшая» из которых
идет вперед, а «большая» — назад, то для
vk+l = f(vk), wk+i = f(wk)
имеем
о .	к . к '	. о
v <...<« < ...w < ... < w .
к к
8.2.2.	Обе последовательности v , w оказываются монотонными
и ограниченными по конусу, и в случае непрерывного f и правильного
конуса сходятся к неподвижным точкам
= /(v*), w* = f(w*).
А если f имеет лишь одну неподвижную точку х*, то любая после-
довательность хк процесса xk+i — f(xk) при условии v° < ж0 < w°
оказывается зажата в тиски:
vk < xk « wk,	(8.1)
и потому тоже сходится, хк -> ж*. <
5* Таким образом, в случае правильного конуса теорема 8.2.1 справедлива и без
предположения о полной непрерывности f, и даже без предположения о непрерывности /,
но это требует отдельного доказательства — см. [4, т. 5].
Поскольку применение монотонного оператора f к неравенству ®° < х° < W0 дает
/(д°)</(ж°)<т. е. и1 < т' и1. Индуктивное повторение процесса приводит к (8.1).
8.3. Феномен инвариантности конуса
141
В случае
/(ж) = {/1(Ж2), /2(Ж1)}
первый итерационный шаг изобра-
жен на рисунке справа. Конусный
/ о 0\
отрезок {V , w ) на первом шаге пе-
реходит в (v1, wl) — заштрихован-
ный прямоугольник. Любая точка
Жо после первой итерации попадает
в {v1, W1).
8.3.	Феномен инвариантности конуса
Положительный оператор f, как следует из определения, остав-
ляет конус инвариантным, f(K) С К. Как ни малозначительно
на первый взгляд сие обстоятельство — из него многое следует.
Достаточно вспомнить теорию положительных матриц [4, т. 3]
и вообще -- позитивных линейных операторов [4, т. 5]. Ощутимы
выгоды и для нелинейного анализа.
Одно лишь понятие вращения положительного поля свидетель-
ствует о внушительном потенциале явления f(K) С К. Фабула
здесь такова. Пусть £1(К) обозначает ограниченную область в ко-
нусе К С Е, т. е. £1(К) открыто в К, но не обязательно в Е.
Причем Q(K’) содержит вершину конуса — нуль Е. Очевидно,
всегда можно указать такую область Q С Е, что
Далее положительное вполне непрерывное векторное поле I — f,
определенное и невырожденное на Й(К), продолжается с сохра-
нением положительности и полной непрерывности на Q, после
чего 7(1 — f, Q) объявляется вращением положительного поля I— f
на Й(2Г) с фиксацией обозначения y(l— f, . Корректность
определения легко устанавливается.
142 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
На первый взгляд, хитрость невелика. Достаточно ясно, что
после некой подготовительной работы можно раз и навсегда
избавиться от необходимости гомотопировать отображения на той
части границы Q, рис. (8.2), которая является одновременно
частью границы конуса.
(8.2)
Такой эффект в самом деле достижим, что немаловажно с точки
зрения удобства и экономии — см. далее. Но преимущества
вращения положительного поля этим не исчерпываются. Скажем,
конус может быть не телесным (конусы К+ в Lp). В этом случае
обычное вращение I - f на границе Ei(K) вообще не определено.
Индексы положительного оператора. Стандартная техника изу-
чения положительных операторов ориентируется на анализ их
поведения на пересечениях S(r) сфер Sr = {х : ||ж|| = г} с кону-
сом К, как правило, в окрестности нуля и на бесконечности, т. е.
при малых и больших значениях г > 0.
8.3.1.	Определение. Положительные вполне непрерывные опера-
торы fo и f] называются положительно гомотопными на множе-
стве Г, если существует такой положительный вполне непрерывный
(по совокупности переменных) оператор H(x,t),
Н : Г х [0, 1] -У К \ {0},
что
Н(х, 0) = /о(«), Н(х, 1) н Л(ж), жег,
причем
Н(х, t) £х при х е Г, t Е [0, 1].
8.3.2.	Пусть оператор f положителен и вполне непрерывен на ко-
нусе К. Если при достаточно малых (достаточно больших) г > 0
оператор f положительно гомотопен на S(r) оператору Н0(х) = 0,
8.3. Феномен инвариантности конуса
143
то индекс f в нуле (на бесконечности) равен 1,
ind (/, 0) = 1 (ind (/, оо) = 1).
Если же f положительно гомотопен на S(r) оператору^1
Hr(x) = rh0, hoEK, Ц/ioll > 1,
то ind (У, 0) = 0 (ind (f, со) = 0).
Вот простые достаточные условия.
8.3.3.	Пусть при достаточно малых (достаточно больших) по норме
х G К, х 0, положительный вполне непрерывный оператор f
удовлетворяет условию
f(x)^x.	(8-3)
Тогда ind (f, 0) = 1 (ind (f, co) = 1).
ч Положительной гомотопией от f к H0(x) = 0 может служить, например,
Н(х, t) = tf(x)- Невырожденность tf(x) х вытекает из (8.3). ►
8.3.4.	Пусть при достаточно малых (достаточно больших) по норме
х 6 К, х Ф 0, положительный вполне непрерывный оператор f
удовлетворяет условию
f(x) 4 х.
(8.4)
Тогда ind (У, 0) = 0 (ind (f, со) — 0).
В соответствии с данным выше определением положительного векторного поля
х ~~ /(%)• Но так как связь с общей схемой мы здесь не прослеживаем, декларации
в данном случае трактуются как определения.
^Заметим, все операторы Нр(х) =	(0 г) на S(r) положительно гомотопны
друг другу.
144 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
ч Оператор / положительно гомотопен на S(r) оператору Нр(х) = (3h0,
где /3 достаточно велико. Положительной гомотопией служит
Н(х, t) = tf(x) + (1 - t)(3h0.
Невырожденность Н(х, t) вытекает из следующего рассуждения. Предположим
противное. Тогда для любой последовательности Д» -> оо можно указать после-
довательности хк 6 S(r) и tk 6 [0, 1], такие что
xk -tkf(xk) = (}-tk)/3kh0.	(8.5)
Но так как хк 6 $(г) и оператор f вполне непрерывен, без ограничения общности
можно считать f(xk) -> z — в противном случае можно перейти к сходящейся
подпоследовательности. Отсюда вытекает ограниченность последовательности
ж* - tkf(xk'), а значит, и (1 — tk)/3kh0, что в свою очередь позволяет считать
(1 —	-> 7 0, tk -> 1.
Из (8.5) теперь следует, что последовательность хк сходится к некоторому
х° £ S(г), причем
х° - f(x°) = 7Л0,
т.е. f(x°) < х°. Но это противоречит (8.4). ►
8.3.5.	Пусть ind(/, 00) — 1, где f положительный вполне непрерыв-
ный оператор. Тогда у f существует в конусе неподвижная точка.
ч Условие ind (/, 00) = 1 гарантирует существование положительной го-
мотопии Н(х,1) на S(R) (R достаточно велико) от f(x) к Н0(х) = 0. Пусть,
для определенности,
H(x,0) = Q, H(x,\) = f(x).
Введем в рассмотрение оператор (везде х 6 К)
' /(®).
/(®) = <
если ||ж|| R,
если R ^||ж11 2Я,
если ||х|| > 2R.
Очевидно, оператор / вполне непрерывен и преобразует конус К в свою
компактную часть. Поэтому из принципа Шаудера следует существование у /
неподвижной точки х* € К. Для завершения доказательства остается убедиться
в том, что ||ж|| 5% R. Возможность ||х|| > 2R очевидным образом отпадает.
А если R ||ж|| 2R, то Н(х°, io) = а:0, где
, , lk*ll о ях*
я ’	||х‘|Г
что противоречит невырожденности гомотопии Н(х, i). ►
8.3. Феномен инвариантности конуса
145
Довольно часто в приложениях уравнение
х = /(ж)
имеет нулевое решение, которое с содержательной точки зрения
тривиально, и вопрос заключается в существовании ненулевых
(нетривиальных) решений. Таково уравнение
x(t) = У G(t, s)y>[s(s), s] ds
о
при условии <р(0, з) = 0.
8.3.6.	Пусть индексы в нуле и на бесконечности положительного
вполне непрерывного оператора f не равны,
ind (/, 0) ind (/, оо).
Тогда у f существует в конусе ненулевая неподвижная точка.
ч Допустим, ind (/, 0) = 0, ind (/, оо) = 1. В силу ind (/, 0) = 0 су-
ществует положительная гомотопия Н(х, t) на Sir) (г достаточно мало),
связывающая f(x) и Н0(х) = rh0 (||Ло|| > 1). Введем в рассмотрение опе-
ратор (везде х € К)
если
/(®) = <
если
г
2'
/(®)>
если
Так как /(ж) = f(x) при достаточно больших по норме х ё К, то
ind (/, оо) = ind (/, оо) = 1, и по теореме 8.3.5 существует неподвижная точка
х* ё К оператора f Остается показать, что ||ж*|| г. Возможность С
заведомо исключена. Если же
Т
- < ||ж*|| < г, то Я(ж°,£0) = х°, где
г
2
что противоречит невырожденности гомотопии Н(х,1).
146 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
Другой возможный вариант ind (/, 0) = 1, ind (/, оо) = 0 сводится к преды-
дущему с помощью перехода к оператору51
хек, х^о,

так как ind {F, 0) = 0, ind(.F, оо) = 1. Действительно, положим R = 1/г, и г
достаточно мало. Пусть Hx{x,t) — положительная гомотопия на S{r) от /(ж)
к Нв(х) = 0, a H2(x,t) — положительная гомотопия на S{R) от /(ж) к
HR(x) = Rh0 {h0 е К, ||/i0|| > 1). Тогда ||ж|12Я| (ж/||ж||2, /.) будет положительной
гомотопией на S{R) от F к Нв, а ||ж||2.Н2(ж/||ж||2, 0 ~ положительной гомо-
топией на S{r) от F к Нг.
Поэтому из уже доказанного следует существование ненулевой неподвиж-
ной точки ж0 € К у оператора F. Тогда ж* = ж0/||ж0||2 — неподвижная точка
оператора f ►
8.4,	Антураж текущего фарватера
В текущем фарватере более-менее очевидны следующие резуль-
таты, каковые полезно додумать 9 10\
8.4.1.	Оператор f называют сжатием конуса,
если при достаточно малых {достаточно больших)
по норме хеК, ж 0
/(ж) ж (/(®) Ъ х),
и наоборот, — растяжением конуса, если при до-
статочно малых {достаточно больших) по норме
х е К, х 0
/(ж) > ж (/(ж)	ж).
8.4.2.	Пусть положительный вполне непрерывный оператор f яв-
ляется сжатием или растяжением конуса. Тогда f имеет в К
по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку х*.
Безусловно, это просто более слабый вариант теоремы 8.3.6.
Но факт 8.4.2 легче запоминается и легче проверяется И это бы-
вает важно, чтобы теорема не погибла под грузом максимальной
9) Выворачивающему /(ж) наизнанку.
|о) Подробности и дополнительные детали есть в [14].
Если имеет место.
8.5. Операторы сдвига в условиях полуупорядоченности
147
общности. Внятные и удобные упрощения часто дают больший
эффект, чем тяжеловесные обобщения.
8.4.3.	Условия
/(ж) х, /(ж) ж
на одной и той же поверхности S(г) несовместимы. <1
8.5.	Операторы сдвига в условиях полуупорядоченности
В случае V ж, t: /(ж, t) Е К оператор сдвига по траекториям
= /1(Ж1,...,ЖпЗ),
< .....................
т. е.
ж = /(ж, t),	(8.6)
положителен, но это малоинтересная ситуация. Внимания за-
служивают системы (8.6), в которых движение не может поки-
нуть конус по более деликатным причинам, каковые в принципе
очевидны. Требуется /(ж, t) > 0 как только траектория выходит
на границу конуса. Внутри же конуса движение произвольно.
В случае полуупорядоченности с помощью R" это приобре-
тает форму внедиагональной положительности правой части (8.6):
если при любых ж >0, t 6 1 и j = 1,... ,п
х^,0,х^+х,..., xn,t) 0.
Другими словами, значения f(x,t) при ж > 0, т. е. ж 6 int К,
не контролируются, но как только ж попадает на границу R" —
вектору f(x,t) запрещается быть направленным вовне конуса.
8.5.1.	Теорема. Оператор сдвига Ust по траекториям внедиаго-
нально положительной системы (8.6) — положителен.
148 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
ч Траектории вспомогательной системы
х = f(x, t) + e	(8.7)
со строго положительным е > 0 — не могут выйти из конуса, ибо в граничных
точках направлены строго внутрь R" . Поэтому оператор сдвига по траекториям
(8.7) положителен. При е -> 0 траектории (8.7) переходят в траектории (8.6). ►
По горячим следам разделаемся сразу и с монотонностью.
Правая часть (8.6) называется внедиагоналъно монотонной, если
при любых ж > О, i 6 R и ; = 1,... ,п
Проще говоря, внедиагональная монотонность означает моно-
тонность роста каждой по любой чужой координате Жу,
д if
j / г. В гладком случае это равносильно -—	0, j г.
dxj
8.5.2.	Теорема. Оператор сдвига Ust по траекториям внедиаго-
нально монотонной системы (8.6) — монотонен.
ч Если x(t) и y(t) удовлетворяют, соответственно,
х = f(x, t) и у = f(y, £), i > s,
то z(t) = x(t) - y(t) удовлетворяет системе
г = f(y + z, i) - f(y, i)	(8.8)
с внедиагонально положительной правой частью. Теорема 8.5.1 гарантирует
z(t) = x(t) - y(t) 0 при условии x(s) y(s). ►
Теоремы 8.5.1 и 8.5.2 при изучении внедиагонально положи-
тельных и внедиагонально монотонных систем (8.6) позволяют
переходить на стандартный язык теории положительных и мо-
нотонных операторов, избавляя от необходимости строить новую
«внедиагональную» теорию. Вот как это работает.
Пусть система дифференциальных уравнений
ж = /(ж)
(8-9)
8.5. Операторы сдвига в условиях полуупорядоченности 149
описывает динамику химического реактора, жг- обозначает кон-
центрацию г-го реагента. Если система замкнута, то движение
происходит в плоскости 5(1):
= 1	(100%).
i
В силу инвариантности 5(1) оператор сдвига Ut по траекториям
(8.9) не может удовлетворять на 5(1) ни условию Ut(x) > х,
ни условию Ut{x) < х. И тогда в силу п. 8.4.3 система обязана
иметь равновесие 12\ Конечно, тут можно было бы обойтись
теоремой Брауэра. Вот менее очевидный пример.
Пусть (8.9) описывает динамику в модели сосуществования п
биологических видов, ж:- — численность популяции г-го вида.
Правдоподобно выглядит следующее предположение. Если сум-
марная численность У2 xi достаточно мала (велика), то числен-
i
ность хотя бы одного вида возрастает (убывает). Отсюда следует
Ut(x) х при малых по норме х, и Ut(x) х при больших
по норме х. Но тогда существование равновесия, периодического
режима в случае (8.6), вытекает из теоремы 8.4.2 о сжатии конуса.
Для овладения инструментом полезно осмыслить простые вопросы.
8.5.3.	Если траектория x(t) системы (8.6) с монотонным 13) оператором сдвига
начинает двигаться вперед (назад), то она все время будет двигаться вперед
(назад). <
• В системе с монотонным оператором сдвига из х 6 (v, w) следует
v(t) < x(t) < w(t),	(8.10)
где v(t), x(t), w(t) — траектории (8.6), выходящие из точек
v(s) = v, x(s) — x, w(s) =w (s t).
12)Дибо периодическое решение, если вместо (8.9) система подчиняется уравнению
(8.6) с периодической правой частью.
,3) Из-за внедиагональной монотонности правой части или по другим причинам,
например, в случае матричного конуса, см. далее.
150 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
Если дополнительно
f(v, з) >0, f(w, з) < 0,
то v(t) >v, w(t) < w, причем v(t) монотонно растет, a w(/.) — убывает, т. е.
конусный отрезок {v,w} инвариантен: v < x(t) < ш, если k(s) ё (v, w).
8.5.4.	Если система с монотонным оператором сдвига имеет на инвариантном
конусном отрезке (v,w) единственное равновесие х*, то из монотонности роста
v(t) и ограниченности, в силу v(t) < w(t) < w, — следует v(t) -> х“. По аналогич-
ной причине w(t) -> х*. И тогда из сходимости крайних функций в (8.10) к одному
пределу — следует
x(t) -> х* при любом ж(0) 6 (v, ш),
а также асимптотическая устойчивость х*. <
Выделим также более-менее очевидный в рассматриваемом
окружении результат.
8.5.5.	Теорема 14\ Если
x>f(x,t), у <	х(0)>у(0),
и отображение f(x, t) внедиагонально монотонно, то
x(t) >y(t) при t > 0.	<1
8.6.	Конус положительно определенных матриц
Нижеследующий пример показывает широкие возможности ис-
пользования полуупорядоченности.
Полуупорядочим пространство Е симметричных матриц ко-
нусом К неотрицательно определенных матриц, и рассмотрим
оператор Н : Rn -> Е,
Н(х) = ххТ,
|4) Теорема 8.5.5 обобщает хорошо известный и широко применяемый в скалярном
случае результат, где условие внедиагональной монотонности теряет смысл и потому
исключается.
8.6. Конус положительно определенных матриц
151
[ж] ж2... жп],
Ж]Ж2
Ж2Ж2
жпж2
Ж] жп
®2®п
ЖПЖ.
т
X
где
«2
х =	, ,
Н _ Ж2Ж1
_ЖПЖ1
Производная Н(х) вдоль траекторий линейной системы
х = Ах
равна
fl! m	гр	гр
—(XX ) = жж А + Ахх ,
dt
т. е.
Н = НАТ + АН.	(8.11)
Уравнение (8.11) линейно и может быть записано в стандартной форме
h = Ah,
где h это вытянутая в столбик матрица Н,
Л. = [1ьц,...» hn\,..., h\n,...,	.
а матрица А записывается с помощью кронекерова произведения [4, т. 3]:
А = 1®А + АТ®1,
причем А невырождена в томм случае, когда А не имеет таких собственных
значений, что А; + Ау = О при любых i, j, в том числе при i = j.
Таким образом, с решением (8.11) нет проблем, надо лишь
озаботиться переводом с кронекерова языка на обычный. В итоге
получается 15')
H(t) = eAtH(0)eATt.	(8.12)
151 В (8.12) для упрощения обозначений полагается H(t) =	.
152 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
Можно обойтись и без этих хлопот, убеждаясь подстановкой, что
(8.12) является решением (8.11), и ссылаясь на единственность
решения линейного дифура.
Из Я](0) >Яг(0) следует
Hi(t) - H2(t) = eAtHl(0)eATt - eAt H2(0)eATt =
= eAt [Я,(0) - Я2(0)] eATt >0,
что означает монотонность оператора сдвига по траекториям мат-
ричного дифференциального уравнения (8.11), а заодно и положи-
тельность.
Для асимптотической устойчивости нулевого равновесия си-
стемы с монотонным оператором сдвига достаточно (см. п. 8.5.4),
чтобы нашлась точка Яо S int К, идущая под действием оператора
сдвига назад. При этом точка — Но G -int К автоматически идет
вперед, и конусный отрезок (Яо, -Но) будет инвариантным для
оператора сдвига по траекториям (8.11), в силу монотонности.
Наличие такого Но в данном случае гарантирует разрешимость
в int К уравнения
НоАТ + АНо = -Go	(8.13)
при любом Go 6 int К, каковое представляет собой известное
уравнение Ляпунова , дающее необходимые и достаточные усло-
вия гурвицевости матрицы А.
Обратим внимание, что полуупорядоченность и монотон-
ность привели к необходимым и достаточным условиям асимпто-
тической устойчивости линейных систем общего вида, без каких бы
то ни было ограничений на структуру матриц. Так что конусная
идеология не так узка и одностороння, как иногда кажется. Во-
прос лишь в том, как преобразовать задачу и подобрать конус,
чтобы вскрыть спрятанную монотонность.
|6) В котором обычно полагают Go = I. Решением (8.13) в случае гурвицевой матрицы А
00
является Яо — / eAtGoeA 1 dt.
о
8.7. Гетерогенные отображения
153
8.7.	Гетеротонные отображения
Расширять диапазон приложений можно, не только манипули-
руя выбором подходящего конуса, но и препарируя надлежащим
образом изучаемый оператор. В результате практически всегда
можно добиться трансформации задачи в «монотонную». Вот
один из естественных способов.
8.7.1.	Отображение f : Е —> Е называется гетеротопным, если
оно представимо в диагональном виде
f(x) = f(x, х),
причем сопутствующий оператор f(v, w) монотонно растет по v
и убывает по w.
Сопутствующий оператор f действует из Е х Е в Е. При же-
лании ситуацию можно дожать до чисто монотонной следующим
образом. Вводится тильда-оператор
f : Е х Е -> Е х Е,
сопоставляющий паре элементов (у, w) пару (f(y, w),f(w,v)).
Легко видеть, что если теперь пространство Е х Е пар (у, w)
полуупорядочить конусом {К, —К}, где конус К лежит в первом
экземпляре Е, а -К — во втором, то f(y, w) будет монотон-
ным 17) по конусу {К, -К}. В результате изучение f(x) сводится
к исследованию монотонного оператора /(щ w) в Е х Е.
Идея диагонального расщепления оператора заслуживает быть осмысленной
на примерах.
• На практике широко распространены операторы в Rn
/| (Ж|,..., жп)
/(Ж) = /2<Ж1> - - - » Жп) ;
-Уп(®1 > • • • > *®п).
17)	Полуупорядоченность в Е х Е с помощью конуса {К, —К} означает:
(v', w1) X (v, w) О v' v, w' « w.
154 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
у которых каждая компонента /,• по каждой координате х3 либо возрастает,
либо убывает18^. Такие операторы называются гетерогенными. Сопутствующий
оператор в этом случае может быть получен заменой в компонентах /, пере-
менных Xj на Vj либо Wj, в зависимости от того, возрастает или убывает /,
по j -му аргументу. Вот как это выглядит. Пусть
/i(®) = 1 - е
2-1
(8-14)
Сопутствующим будет оператор / с компонентами
~ In(1 + v2) ,
f2(v,w) =-----------г <7—.
Wi	у wi
(8-15)
В общем случае удобно ввести две матрицы Р = [р,у] и Q = [д^], где
q,:j = 1 — pij, a Pij = 1, если /,• растет по j-му аргументу, и pfj = 0 в противном
случае. Сопутствующий оператор записывается тогда как
f(v, w) = f(Pv + Qw).
• Такой же фокус можно проделать с интегральным оператором
Gx(t) = J G(t, s)x(s) ds,	(8.16)
п
если G(t, s) представить в виде разности двух положительных функций,
G(t,s) = P(t, s)-Q(t,s),
что всегда можно сделать. Сопутствующим оператором будет
G(v(t), w(t)) = У [P(t, s)v(s) - Q(t, s')w(s')j ds. (8-17)
о
Аналогично можно представить оператор суперпозиции f(t, х):
/[/,»(/)] =p[i,®(i)] - q[t, »(/)],	(8.18)
где р и q положительные и монотонно возрастающие по второму аргументу
функции. Сопутствующим для /[/,»(/)] будет
f[t, v(t), w(t)] = p[t, v(t)] - q[t, w(0].	(8.19)
l8) Таков всякий линейный оператор Ах с матрицей произвольной знаковой структуры.
Таковы функции избыточного спроса в рыночных моделях, нелинейные связи в моделях
сосуществования биологических видов и др.
8.7. Гетеротопные отображения
155
Объединяя теперь идеи (8.17) и (8.19), легко определить сопутствующий
для интегрального оператора Гаммерштейна
= У G(t, s)f [s,®(s)] ds,
Q
как сопутствующий — композиции гетерогенных операторов 19\
w) = G(f (у, w), f(w, v}).	(8.20)
• В случае оператора f с компонентами
/i(s) = arctgi] +
Xi + х2
5 + xi
(8-21)
уже нельзя сказать, что /|, /2 монотонно возрастают или убывают по xt или
х2. Однако идея построения сопутствующего оператора может быть оставлена
прежней. Каждое конкретное ж, заменяется на V, или w,, в зависимости оттого,
возрастает или убывает по нему функция /,. В итоге:

Vl +v2
5 + Wf
fi(v, w) = arctgu, +
(8.22)
• Для монотонного f(x) в качестве сопутствующего можно взять
f(y, w) = /(v), для антимонотонного (убывающего по х): f(v, w) = f(w).
Легкость образования сопутствующих операторов, конечно,
настораживает. Почти все отображения оказываются гетеротон-
ными, а значит, и монотонными в Е х Е. И если бы монотонность
в голом виде обеспечивала выигрыш, жизнь упростилась бы по-
всеместно. Однако монотонность сама по себе мало что дает.
Если на прицеле, например, неподвижные точки, то жела-
тельно наличие инвариантного конусного отрезка, роль которого
теперь играет сильно инвариантный конусный отрезок {у, w}, опре-
деляемый неравенствами
f(y,w)>v,	f(w,v)<w.	(8.23)
19^ Формула (8.20) образования сопутствующего оператора годится для композиции
любых гетерогенных отображений.
156 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
Неравенства (8.23) обеспечивают обычную инвариантность ко-
нусного отрезка {(v, w), (w, v)) для тильда-onepamopa f(v, w).
Роль предположения о единственности неподвижной точки
теперь играет единственная разрешимость системы уравнений
f(y,w) = v, f(w,v)—w,	(8-24)
означающая единственность неподвижной точки у оператора
f(v,w), обеспечивающую (см. п. 8.2.2) сходимость итерацион-
ной процедуры
(vk+\wk+l) = f(vk,wk),
т. е.
{k-1-1	л / k k\
V — f(V , W ),
________ л/ к „,к\
W = f\W , V ),
(8.25)
к неподвижной точке х* оператора /,
к *	к *	*	£( *\
V X , w -> X , X = f(x ).
Из сказанного ясно, что к выбору сопутствующего оператора
(всегда неоднозначного) необходимо подходить предусмотритель-
но. Скажем диагональное расщепление скалярной функции f(x),
рис. (8.26) (а), вида
/(ж) = mm{<p(x),if>(x)},
где tp(x) монотонно возрастает, а ^(ж) — убывает, может быть
образовано с помощью различных функций <р(х) и ^(ж)- Два
варианта изображены на рис. (8.26) (б, в).
(8.26)
8.8. Ге тер о тонная динамика
157
Качество сопутствующего оператора
f(v, w) = min {<p(v), V’(w)}
будет разным.
8.8.	Гетеротонная динамика
Изучение системы уравнений
х = f(x) - х	(8.27)
может опираться на сопутствующую систему
{V = /(щ w) - V,
w = f(w, v) — w,
оператор сдвига по траекториям которой Uts будет «половинкой»
монотонного оператора
uts(y, w) = {Uts(y, w), Uts(w, v)},
и при выполнении условий (8.23) и единственности решения
(8.24) будет существовать единственное на (v, w) асимптотически
устойчивое равновесие (п. 8.5.4) исходной системы х = /(ж) — х.
Обобщение теоремы 8.5.5:
8.8.1.	Пусть оператор f(x,t) гетеротонный, и f(v,w,t) — со-
путствующий для него. Тогда из
x=f(x,f), v	w < f(w,v,t), г>(0) < ж(0) < w(0)
следует
V £ > 0 : v(t) < x(f) < w(£).	<
В тех случаях, когда динамика не укладывается в рамки (8.27) и записыва-
ется в форме
® = /(®),
158 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
сопутствующую систему надо задавать иначе:
v = f(v, w),
< J	(8.28)
w = f(w, v),
где внедиагонально сопутствующий оператор f отличается от / тем, что в диа-
гональном представлении компонент
/>(®) = />(®,
каждая /,(», х) растет по всем Xj (кроме j = г) первого векторного аргумента,
а по второму векторному аргументу убывает (как обычно).
Оператор сдвига по траекториям (8.28) оказывается гетеротонным.
8.9.	Супероднородные операторы
Теория гетеротонных операторов [16] довольно ветвиста из-за
многообразия обстоятельств — неодинаковые вторичные при-
знаки операторов (типа полной или обычной непрерывности,
сильной положительности и др.), вариации предположений, раз-
ные пространства и конусы. При этом стержневые идеи во всех
случаях одинаковы, и с ними целесообразно знакомиться на фо-
не простейших декораций, чему удовлетворяет пространство R”,
полуупорядоченное неотрицательным ортантом R” .
8.9.1.	Монотонный сильно положительный оператор1^ f(x) назо-
вем супероднородным, если для любых х > 0 и т G (0, 1)
/(тж) > т/(ж),	(8.29)
где знак > усиливает > , означая', а > b => а - b G int К.
В рассматриваемом пока случае R", полуупорядоченном ортантом R" ,
неравенство а > Ъ означает, что все а, > Ь,.
В [9] операторы из п. 8.9.1 называются вогнутыми. По инер-
ции эта «псевдовогнутая» терминология сохраняется до сих пор,
20* Сильно положительным называют оператор f(x), переводящий ненулевые точки
х С. К во внутренние: /(г) g intK".
8.9. Супероднородные операторы
159
хотя изначально было ясно, что название неудачно. Вогнутые
скалярные функции неравенством (8.29), конечно, охватываются,
но (8.29) покрывает гораздо более широкие классы отображений.
В одномерном случае это те функции, которые с любым лучом,
выходящим из нуля, пересекаются не более одного раза. Термин
«супероднородность» представляется более адекватным.
Что касается основных свойств супероднородных операторов,
то это единственность ненулевой неподвижной точки х , если она
существует, и сходимость к х* итераций
xk+} = f(xk)	(8.30)
из любого начального положения ж0 > 0, ж0 / 0.
4 Сие просто доказывается с помощью метрики Биркгофа
р(х, у) = min{a : е~ах С у С еах} (х, у > 0).
Очевидно,
Г f(x) > f(e-^y) > e-^f(y),
I Ш > f(e-^x) > e~^f(x),
откуда
/’(/(»)>/(’/))<	2/),	(8-31)
что и влечет за собой вышесказанное. ►
Требование (8.29) недотягивает до кондиций,
обеспечивающих существование неподвижной
точки. Рисунок слева дает пример скалярной
функции, которая удовлетворяет всем услови-
ям определения 8.9.1, но уравнение ж = /(ж)
решений не имеет.
160 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
Усиление (8.29) до
f(rx)>ref(x), 0 6(0,1),	(8.32)
уже гарантирует наличие ненулевой неподвижной точки, посколь-
ку выкладки, ведущие к (8.31), в условиях (8.32) дают21)
0р(х,у),
т. е. / удовлетворяет принципу сжимающих отображений на внут-
ренности конуса, которая по метрике Биркгофа является полным
пространством. Однако надо иметь в виду, что в практических
задачах часто выполняется лишь (8.29), но не (8.32). Скажем,
в случае /(ж) = Ах + Ь, где А положительная матрица и Ь > 0,
на (8.32) нельзя рассчитывать, но (8.29) справедливо — и этого
хватает для положительной разрешимости х = Ах + Ь.
Надежды охватить гетеротопный случай супероднородностью
типа 8.9.1 принципиально обречены на провал22 23).
8.9.2.	Гетеротопный оператор /(ж) при условии
v,w>0 =>	f(v,w)>0
и
f\rv,-w]>Tf(v,w) (r 6 (0, 1); v, w > 0)	(8.33)
\ т /
называется супероднородным2^.
Подставляя в (8.33) v' = tv. w = -w, получаем обратное неравенство
г
f (-v , ты ) < -f(y', ы') (т € (0, I); V1, ы' > 0).
\Т / т
211 С поправками вида f(x) f(e~^x’y^y) i>e~Ot>^x’y^f(y).
221 Потому что концы с концами не сходятся. Во-первых, для положительности тильда-
оператора требуется, чтобы один аргумент в паре (у, w) был положителен, другой —
отрицателен. Но тогда рассыпается главная идея «осмотревшись в В х Е, вернуться
на диагональ v = w = х». Во-вторых, если попытаться обойтись без положительности,
условие (8.29) для тильда-оператора приводит к несовместимым неравенствам.
23) Гетеротопные операторы (8.14)—(8.15), (8.21)-(8.22) супероднородны.
8.9. Супероднородные операторы
161
Поэтому
Г f(x) = f(x, х)	e^\j) >
I f(.y) = f(y, У) >f(e-^'x, e^x) > e~^f(x),
откуда, как и в чисто монотонном случае, вытекает (8.31) с теми же послед-
ствиями для f из п. 8.9.2, а именно: единственность ненулевой неподвижной
точки х*, если таковая существует, и сходимость к х* итераций (8.30) из любого
начального положения х° >0, х° 0.
Усиление (8.33) до
f (tv,-w^ > T°f(v, w) (д, w > 0, 0 6 (0, 1))	(8.34)
обеспечивает существование неподвижной точки х* > 0.
К сказанному можно многое добавить. Правда, это дополне-
ния второго порядка малости. Скажем, в случае (8.34) сжимает
по метрике Биркгофа не только сам оператор /, но и его тильда-
оператор f. Как следствие, сходятся также итерационные про-
цессы (8.25), каковые зажимают снизу и сверху вычислительную
процедуру24^ (8.30), если начинаются в вершинах сильно инвари-
антного конусного отрезка (v°, ш°), который заведомо существует.
Все это сохраняет силу, если (8.34) ослабить до (8.33), но огово-
рить существование неподвижной точки х* > 0.
С выходом в функциональные пространства теория много-
кратно расслаивается. Обстоятельства варьируются в широких
диапазонах, и в один саквояж не помещаются. Новости появля-
ются в самом начале. Целесообразным, а иногда необходимым
оказывается образование пространства EUg из и0-измеримых эле-
ментов хЕЕ, зажатых в тиски:
~7“о < х « Th,	(8.35)
где ид £ К — изначально фиксированный ненулевой элемент.
Наименьшее в (8.35) 7 > 0 называется и0-нормой х, Щ‘||И().
При = 1 и полуупорядоченности с помощью К+, в случае С'
пространство EUo совпадает с С1, а и0 -норма — с нормой С. В случае L?
Давая тем самым оценку последовательных приближений (8.30).
162 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
пространство Еи совпадает с L^, наконец, в случае С «ничего не меняется»,
EUa = С. Если же и(|(7) = t(l — t), то Eu представляет собой совокупность
таких функций ж(£), что |ж(£)| 7t(l — t), 7 > 0.
Далее вводится множество К(ид) ненулевых х G К, удовле-
творяющих неравенству aua < х < /?«0, при некоторых а, [3 > 0,
и требование f : К -» int К в пп. 8.9.1, 8.9.2 заменяется на f :
К -> К(и0), поскольку чистой положительности оператора быва-
ет недостаточно, как недостаточно неотрицательности матрицы,
скажем, для теоремы Перрона [4, т. 3].
В дальнейшем ветвлении исследования определенную роль начи-
нают играть свойства конуса (нормальность, правильность), взаимо-
связь и0 -нормы с исходной нормой пространства Е, полная непре-
рывность оператора (но не всегда). Связное изложение есть в [16].
Определенный интерес представляют различные достаточные
условия супероднородности, которую, в частности, может обес-
печивать тем или иным образом усиленное неравенство
f(v, w) - f'v(v, w)v + f'w(v, w)w > 0,	(8.36)
где f'v(v, w), f'w(v, w) — производные Фреше.
В случае Rn, полуупорядоченного телесным конусом, в (8.36)
достаточно > поменять на >. А для гетерогенного оператора
в R” соответствующее неравенство, обеспечивающее суперодно-
родность, приобретает вид
: fi(x) -
j
dfj
дх.
Xj > 0.
8.10.	К-системы
В разделе К обозначает некоторый телесный конус в R”. Отоб-
ражения предполагаются непрерывными.
8.10.1.	Определение. Оператор f: К -»Rn называется К -отоб-
ражением, если граничные точки К он не переводит во внутренние,
т. е. в int К.
8.10. К-системы
163
8,10.2.	Отображения fo и f\ называются К-гомотопными на мно-
жестве Г С К, если существует такая невырожденная деформация
(гомотопия) Н(х,Х),
Я:Гх [О, 1] ->Rn\{0},
что
H(x,Q) = f0(x), H(x,l) = f\(x)
и Н(х, А) при любом А 6 [О, 1] является К-отображением.
Отношение Я-гомотопии разбивает Я-отображения на клас-
сы эквивалентности, позволяя тем самым строить топологическую
теорию с ориентацией на изучение нулей векторного поля. Избе-
гая идеологических повторений, ограничимся наиболее результа-
тивным срезом.
8.10.3.	Пусть К-отображение f при достаточно малых (доста-
точно больших) г > О К-гомотопно на пересечениях S(r) сфер
Sr = {х : ||ж|| = г} с конусом К — оператору1^1
Нг(х) = х - rh0, h0EK, ||Ло|| > 1-
В этом случае говорят, что К-индекс оператора f в нуле (на бес-
конечности) равен нулю, и пишут
indjc (/, 0) = 0 (indjc (/, оо) = 0).
8.10.4.	Теорема. Пусть f — К -отображение и ind^ (/, оо) 0.
Тогда уравнение f(x) = 0 имеет положительное решение х* >0.
8.10.5.	Теорема. Пусть К-индексы в нуле и на бесконечности
не равны,
indtf (/, 0) indjc (/, оо).
Тогда f(x) = 0 имеет ненулевое положительное решение х* >0.
Теоремы 8.10.4, 8.10.5 (см. [14]), вообще говоря, голословны, поскольку
ненулевые индексы не были определены. Однако в русле теории вращения
25)	Заметим, что все операторы НТ(х) при т г А'-гомотопны друг другу.
164 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
непрерывных, и тем более положительных, векторных полей — легко понять,
о чем идет речь2б\ Например, ind# (/, •) = 1, если / на S(r) ТГ-гомотопно
тождественному отображению.
К сожалению, удобные критерии оценки А--индексов типа
сжатия и растяжения конуса (теорема 8.4.2) в данном случае
не работают. Но удобства сохраняются в случае полуупорядо-
ченности с помощью и внедиагональной отрицательности
оператора /, определяемой как
, Xj-x, 0, xj+1, ...,хп)^0
при любых ж>0, и j = п. В этом случае f заведомо
является А'-отображением.
8.10.6.	Внедиагонально отрицательный оператор f назовем К-сжатием конуса,
если при достаточно малых (достаточно больших) по норме х £ К, х О
f(x) « 0	(f(x) > 0),
и наоборот, — К -растяжением конуса, если при достаточно малых (достаточно
больших) по норме х 6 К, х 0
f(x) Ъ 0	(f(x)	0).
8.10.7.	Пусть внедиагонально отрицательный оператор f является
сжатием или растяжением конуса. Тогда f имеет по крайней мере
одну ненулевую неподвижную точку ж* > 0. <
Сюда можно приплюсовать также упрощение теоремы 8.10.4.
8.10.8.	Теорема. Пусть внедиагонально отрицательный оператор f
при достаточно больших по норме х Е К, либо при ж G А(г) для
некоторого г > 0, удовлетворяет условию
fix) 4- 0.
Тогда f(x) = 0 имеет положительное решение ж* > 0. <
Конечно, если бы затея с А'-отображениями конструктивно
сводилась лишь к внедиагонально отрицательным операторам, с
2б) См. хотя бы доказательства теорем 8.3.5, 8.3.6.
8.10. К-системы
165
последних и надо было начинать, минуя декорации 27\ Однако
if-индексы считаются и в общем случае. Если, скажем, при доста-
точно малых {достаточно больших) по норме ж >0 £ -отображение
имеет положительное ахиллесово направление ho (/(ж) pho при
любых р > 0), то
indtf (/, 0) = indjf (/, оо) = 0.
Ситуация
indjf (/, 0) = indjf (/, оо) = 1	(8.37)
несколько сложнее, но и она разруливается так или иначе.
Но самое главное — это аппаратная роль. А’-отображения
оказываются той «средой», в которой можно деформировать,
скажем, внедиагонально отрицательные операторы, не меняя то-
пологических свойств.
8.10.9.	Теорема. Если гомотопия Н(х,Х) внедиагонально моно-
тонна при любом А Е [0, 1], то свойство асимптотической устой-
чивости равновесия сохраняется при деформации.
4 В контексте раздела 8.5 ясно, что внедиагональная монотонность Н(х, А)
влечет за собой обычную монотонность оператора сдвига по траекториям
х = Н(х, А). Далее, необходимым и достаточным условием асимптотической
устойчивости нулевого равновесия является свойство А°: в int R" существует
точка, идущая под действием оператора сдвига назад, и точка в intR" , идущая
под действием оператора сдвига вперед. Поэтому для доказательства теоремы
достаточно установить инвариантность условия А° по отношению к внедиаго-
нально монотонным деформациям.
Последние сохраняют К-индекс, причем для асимптотически устойчивого
равновесия любой системы х = F(x)
indK(-F,0) = 1.	(8.38)
Из (8.38) следует, что отображение — F(x) не может иметь ахиллесова направ-
ления, т. е. для любого h 6 R” можно указать такую точку х 6 ЕА, что
-F(x) = ph (р > 0). Если взять h g intR" , то в силу внедиагональной моно-
тонности точка х, в которой -F(x) = ph, также принадлежит внутренности
неотрицательного ортанта. Но
F(x) = -ph, hGintRl
Хотя как сказать, см. ниже.
166 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
означает, что точка х 6 int Ж" под действием оператора сдвига идет назад.
Наличие точки х 6 intRZ, идущей под действием оператора сдвига вперед,
устанавливается аналогично. ►
8.11.	Теоремы о накрытиях и неравенства
Пусть /(0) и /(оо) обозначают производные К-отображения f
в нуле и на бесконечности, и К = R” .
В определении (5.3) матрицы /'(оо) к ||ж|| -> оо целесообразно добавить
требование х € К, что ослабит условия дифференцируемости / на бесконечно-
сти. В этом случае отображение / естественно трактовать как асимптотически
линейное по конусу.
Если f непрерывно дифференцируемо и является К-отоб-
ражением, то /(0) и /(оо) — также А’-отображения, и наобо-
рот. Поэтому в естественных предположениях индексы ind/< (/, 0)
и ind# (/(0), 0) совпадают28^. То же самое можно сказать и об ин-
дексах на бесконечности.
Линейные К-отображения, в свою очередь, оказываются тес-
но связаны с положительной обратимостью.
8.11.1.	Теорема. Матрица А положительно обратима29) в томм
случае, когда Ах является К -отображением, и уравнение Ах = у
имеет положительное решение хотя бы при одном у > 0.
4 Доказательство совсем просто. Множество JlR" есть конус, и если Ах
является А'-отображением, возможны лишь два варианта 30\ Либо
R"С 4R" ,
28) К-индексы, как топологические характеристики, не меняются при достаточно
малых возмущениях оператора.
То есть уравнение Ах = у имеет положительное решение х > 0 при любом
положительном у > 0.
30) Иначе найдется граничная точка х е R" , переходящая внутрь R" .
8.11. Теоремы о накрытиях и неравенства
167
либо
в; р| ж; = 0.
В первом случае Ах = у разрешимо при любом у > 0, т. е. А положительно
обратима. Во втором случае у Ах = у положительных решений при у > 0 вообще
нет. В ситуации
матрица А не может быть К-отображением. ►
Нелинейное накрытие конуса R” , т. е. положительная разре-
шимость уравнения
У(ж) = у	(8.39)
при любом у >0, обеспечивается близкими по духу условиями.
8.11.2.	Теорема. Если К-отображение f удовлетворяет условию
lim ||У(ж)|| = оо, ж G	(8.40)
||®Ноо
и ind# (/, оо) 0, то уравнение (8.39) положительно разрешимо
при любом у G R" .
4 Возьмем любое у >0. В силу (8.40) при достаточно больших по норме
х > 0 векторы f(x) и f(x) — у не могут быть противоположно направлены.
Поэтому на S(R) их связывает невырожденная гомотопия
Н(х, А) = f(x) - Ху,
каковая при любом А € [0, 1] является ТГ-отображением, если уж f таково.
Следовательно,
indjr (/ - у, оо) = indjf (/, оо) 0.
Далее остается сослаться на теорему 8.10.4. ►
Результат 8.4.3 в отношении положительного оператора о не-
совместимости условий У (ж) ж, У(ж) ж на одной и той же
поверхности S(r) мог быть сформулирован в эквивалентной фор-
ме о разрешимости неравенств. Вот аналог для К-отображений.
168 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
8.11.3.	Если indjf (/, оо) 0, то неравенство f(x) >0 разрешимо
в R” . Более того, для любого ненулевого у >0 уравнение /(ж) = ру
положительно разрешимо при некотором р > 0. <
В случае внедиагонально отрицательного оператора, в частности, положи-
тельная разрешимость неравенства /(ж) >0 вытекает (теорема 8.10.8) из условия
f(x) 0 при достаточно больших по норме х € R+ 
8.12.	Универсальные Р-системы
Вернемся к Р-отображениям, определенным в разделе 3.8 как
/(«) = {/1(ж),..., /п(ж)},
которые не обращают знак ни одного ненулевого вектора х 6 R” ,
т. е. для любого ненулевого х >0 найдется такой индекс j, что
• /Дж) > 0.
Затрапезное определение оживает в системах «действия — результаты».
Действия Xj обеспечивают свои положительные результаты
!/. = Л(0, • • •, 0, Kj, 0,..., 0),
но могут пагубно влиять на чужие yj. Поэтому из-за побочных влияний
совокупный результат у = /(ж) может оказаться частично отрицательным.
Иногда P-отображение устроено так, что строго положитель-
ных результатов можно добиться, не используя всех действий.
Другими словами, f(x) > 0 при х >0, но не х > 0. Содержатель-
но это отвечает избыточности набора действий. Если же набор
действий неизбыточен, то /(ж) — А’-отображение. Причем не-
зависимо от того, является ли /(ж) — Р-отображением. Просто
неизбыточность равносильна К -свойству, и могла бы использо-
ваться вместо определения 8.10.1 (в случае К = R" ).
Но самой по себе неизбыточности еще недостаточно для по-
ложительной разрешимости /(ж) > 0. Дополнительно требуется
что-нибудь вроде ind^ (/, •)	0. Однако если Л--отображение яв-
ляется еще и P-отображением, то уже ничего больше не требуется.
Положительная разрешимость неравенства /(ж) > 0 гарантирует-
ся теоремой 3.8.1 Карамардиана:
Неравенство f(x) > 0 с Р -отображением f : Ж" -> R" всегда положительно
разрешимо.
8.12. Универсальные Р -системы
169
4 В предположении противного / является К-оператором. Но тогда /
К-гомотопно на S(r) (при любом г > 0) внедиагонально отрицательному отоб-
ражению
х® f(x) = {xif}(x),...,xnfn(x)}.
К-гомотопией может служить Н(х, t) с компонентами
h^, t) =	- t + txi).
Изопределения P-отображения следует s® f(x) 0 на S(r), что влечет за собой
indff (/, оо) 0, и теорема 8.11.3 приводит к противоречию с предположением
о неразрешимости f(x) > 0. ►
Переменные ж, по-прежнему будем называть действиями,
yi — f(x) — результатами, но теперь будем считать, что Xi могут
принимать не только положительные значения, но и отрицательные,
причем /(0) = 0 и
sign /ДО,..., 0, Xi, 0,..., 0) = sign жг-,
т. е. «при отсутствии помех» каждое действие жг- дает результат yi
того же знака.
Допустим, некоторые yi надо увеличить, другие — умень-
шить. Естественный вопрос: можно ли такого изменения добить-
ся стереотипными действиями, т. е. увеличивая Xi, если yi надо
увеличить, и уменьшая жг-, если yi надо уменьшить.
Положительный ответ на этот вопрос можно дать, если /(ж)
является универсальным Р-отображением, каковым мы называем
отображение
/ : R" -> R",	/(0) = 0,
в том случае, когда для любого вектора х 0 можно указать
такой номер j, что Xj  fj(x) > 0, т. е. хотя бы один результат
является «ожидаемым».
8.12.1.	Теорема. Пусть /(ж) является универсальным Р-отобра-
жением и R” _ обозначает некоторый ортант. Тогда существует
вектор х G Ж”_, так°й что3^ /(ж) G R”_.
3|^То есть все результаты являются «ожидаемыми», все действия «стереотипными».
170 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
4 Для доказательства достаточно перейти к другой системе координат,
в которой R" _ станет неотрицательным ортантом, и воспользоваться теоремой
Карамардиана. ►
Универсальным Р -отображением по приращению назовем отоб-
ражение /(ж), если для любого ж 6 R” и любого ненулевого
Дж G R” существует такой номер j, что
[Д(ж + Дж) - /Дж)] Дж; > 0.	(8.41)
Если (8.41) выполняется для Дж, достаточно малых по норме, опе-
ратор f будем считать локально универсальным Р-отображением.
До некоторой степени удивительно, что
8.12.2.	Локально универсальное Р-отображение является универ-
сальным Р -отображением по приращению.
4 В предположении противного найдется пара точек а -/- 6, таких что
Vj: [/Да)-Д(&)](а; -ЬД ^0.
Без ограничения общности можно считать, что а >6 и даже У j : aj > bj (иначе
можно перейти к «усеченному» оператору, обнуляя «лишние» /Д. Пусть © —
множество тех х 6 (а, Ь), для которых f(x) < f(a). Поскольку оператор /
непрерывен, © компактно. А так как / локально универсальное Р-отображе-
ние — точка а является изолированной точкой множества ©. Но тогда ком-
пактно и множество © \ {а}, на котором непрерывная функция ip(x) --	|ж,-|
вынуждена достигать минимального значения в некоторой точке х* € © \ {а}.
С другой стороны, должен существовать (теорема 8.12.1 в локальном варианте)
малый по норме вектор Дж < 0, такой что
V; : fj(x + Дж) <
Следовательно, х* + Дж £ © \ {а}, но тогда <р(х* + Дж) < <р(х*). ►
Обратим внимание, что любое универсальное Р-отображение
по приращению f взаимно однозначно, а в случае ||/(ж)|| -» оо
при ||ж|| -» оо, f — еще и гомеоморфизм R" на R”.
Теорема 8.12.2 освобождает от необходимости следить за /(ж)
в целом. И если отображение /(ж) гладкое, задача сводится к вы-
fi
яснению того, является ли производная f\x) =
Р-матри-
dxj.
цей, т. е. линейным универсальным Р-отображением.
8.13. Системы с ограниченным межэлементным взаимодействием 171
3.12.3	. Теорема. Матрица является Р-матрицей в томм случае,
когда все ее главные миноры строго положительны^.
8.13.	Системы с ограниченным
межэлементным взаимодействием
Максимально просты для изучения системы, в которых внутренних
взаимосвязей (побочных влияний) вообще нет, т. е. все yi = f(xi),
dfi . , .
соответственно, все частные производные -— при г 1 тож-
dxj
дественно нулевые. Понятно, что появление малых побочных
влияний до определенного предела не должно мешать успешному
функционированию системы.
Если абсолютную величину частных производных -— (г Ф ])
oxj
принимать за количественную меру внутренних взаимодействий
в системе, то ясно, что эту меру надо сопоставлять с величиной
dfi
частных производных -— > 0. Другими словами, малость взаи-
OXi
модействий должна быть не абсолютной, а относительной.
Универсальными Р -отображениями по приращению будут, на-
пример, гладкие отображения, удовлетворяющие одному из сле-
дующих условий32 33^
dfi(x) _ ys dxi	dfi(x) dxj	> o,	i = 1,.	•, n,	(8.42)
dfi(x) _ yv	dxi	> 0,	i 1,.	., n.	(8.43)
Строго положительны все главные миноры и у положитель-
но определенных матриц, и потому в категорию универсальных
32) Доказательство и комментарии см. в [4, т. 3].
33) Поскольку у матрицы с положительной доминирующей диагональю все главные
миноры строго положительны, и тогда п. 8.12.2 вслед за 8.12.3 дает требуемое заключение.
172 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
Р-отображений по приращению попадают / при условии
V х, z : (/'(ж)г, z) > 0.
(8.44)
Аналоги условий (8.42)-(8.44) в конечных приращениях вы-
34)
глядят так ':
ДД(ж)ДжА > 0
(IДж*| = max |Джг-|),
г
(8.42)л
п
Д/i (ж^пДжг- > о,
г=1
(8.43)Л
где Sign а отличается от sign а только при а = 0, принимая
в случае а = 0 все значения из [-1, 1]. Наконец,
п
> О,
г=1
(8.44)л.
Существование такого индекса г, что Д/,(ж)Дж,- > 0, в ситу-
ациях (8.42)Л-(8.44)Л очевидно.
Пример. Пусть п потребителей тока параллельно подсоединены к источ-
нику ЭДС. Вольт-амперная характеристика г-го потребителя имеет вид
li = <pi(U, Х{),
где I, — ток, U — напряжение, хг — проводимость. Нелинейные функции
»,(Г7, хб предполагаются монотонно возрастающими. Источник ЭДС также
нелинеен, U = U(I), где I = I, , причем 17(1) монотонно убывает, из-за
внутреннего сопротивления источника.
Законы Кирхгофа приводят к следующей системе уравнений:
li = <Pi(U(I), Xi), I =
34> A/.(®) = fi(x + A®) - fi(x).
8.14. Комментарии и дополнения
173
которая в указанных предположениях всегда имеет решение
Л	(8.45)
Покажем, что набор функций (8.45) удовлетворяет условию (8.43)Л. Возь-
мем Дж 0 и разобьем множество индексов на три подмножества:
• К-, состоит из таких индексов, что Дж, > 0;
® К= состоит из таких индексов, что Дж,- = 0;
® К< состоит из таких индексов, что Дж,- < 0.
Возможны три случая: Д1 > 0, Д1 = 0, Д1 < 0. Рассмотрим ситуацию Д1 > 0.
В силу убывания I, = ^,-(17(1), ж,-) по I и возрастания по х,, имеем Д1,- С 0 для
Всех i G К< U К=. Таким образом,
^ДД = ^Д1;- £ Д|1;| > 0,
i	iEK> i€K<UK=
что означает (8.43)Л. Случаи Д1 = 0, Д1 < 0 разбираются аналогично.
8.14.	Комментарии и дополнения
® Множество Q С Е ограничено по конусу сверху, если ж < у для всех
ж € П и некоторого элемента у 6 Е, который называют верхней границей Q.
Аналогично определяется — нижняя граница.
Если в множестве Р верхних границ множества Q есть наименьший элемент
Zo (zo < z, z € P), то он называется точной верхней границей множества П и обо-
значается через sup Q. Аналогично определяется точная нижняя граница inf Q.
Конус К называется миниэдральным, если любое множество из двух эле-
ментов {ж, у} имеет точную верхнюю границу зир{ж, у}. Если же точная верхняя
граница имеется у каждого ограниченного множества, то конус называется силь-
но миниэдральным.
Конус К+ в С миниэдрален, в Lp — сильно миниэдрален. Сильно
миниэдральны ортанты в Rn. «Круглые» конусы K(£t) и граненые, в общем
случае, — не миниэдральны.
®	Конус К+ в С[0, 1] — нормален, телесен, миниэдрален, не прави-
лен. В С [0,1] — не воспроизводящий, не нормальный, не миниэдральный.
В Хр[0, 1] — нормальный, воспроизводящий, но не телесный, сильно миниэд-
ральный, вполне правильный.
®	Линейные положительные операторы интегрированы в нелинейный ана-
лиз, поэтому их теорию [4, тг. 3, 5] желательно иметь под рукой. Остановимся
на формулировке принципиальных результатов. Далее А — линейный положи-
тельный оператор.
174 Глава 8. Нелинейные операторы в пространствах с конусом
3.14.1.	Если Лж0 >7Х'о, ж0 € К, то спектральный радиус р(А) у.
Аналогичная оценка спектрального радиуса по обратному неравенству
Ах0 < 7^0, Жо & К, ж0 ф 0,	(8.46)
в общем случае не имеет места, но в достаточно свободных предположениях
(8.46) влечет за собой /?(4)	7. Например, если К — нормальный телесный
конус, а ®о — внутренний элемент К.
Естественный отправной пункт изучения позитивного спектра линейного
положительного оператора — классическая теорема Перрона'.
8.14.2.	Пусть матрица А — [a,j] строго положительна. Тогда:
» Спектральный радиус р(А) > 0 является собственным значением алгебраиче-
ской кратности единица, и ему отвечает строго положительный собственный
вектор.
•	Других положительных собственных значений и векторов матрица А не имеет.
•	Если Ах = Аж, А р(4), ж Ф- 0, то |А| < р(4).
Сюда можно приплюсовать: если матрица А >0 неразложима, то р(А) > 0
является собственным значением алгебраической кратности 1, которому отвечает
строго положительный собственный вектор. Других положительных собственных
значений и векторов у А нет. Далее проблематика упирается в изучение им-
примитивных матриц, имеющих периферический спектр (собственные значения,
совпадающие по модулю с р(Д)).
Многое сохраняется в функциональных пространствах, разумеется, в мо-
дифицированной форме.
8.14.3.	Если конус К нормальный и воспроизводящий, то у линейного положи-
тельного оператора А число р(А) является точкой его спектра.
8.14.4.	Пусть линейный неограниченный оператор А вполне непрерывен и Непо-
ложителен. Тогда А имеет единственный положительный собственный вектор ж0,
которому отвечает ведущее собственное значение Ао > 0.
8.14.5.	Пусть линейный и-положительный оператор А имеет положительный
собственный вектор ж0, отвечающий позитивному собственному значению Ао = 1.
Тогда для всех х 6 К, отличных от ихГ: (у > 0), элементы х и Ах несравнимы:
х - Ах £ К, Ах — х $ К, т.е.
х Ах,
х < Ах.
Глава 9
Возмущения и бифуркации
The ark was built by amateurs,
the Titanic — by professionals.
Теория бифуркаций знает ответы на во-
просы, которые еще не пришли в голову.
До поры до времени никто ведь не догады-
вался, к чему ведет лишний грамм урана.
А маятник, «стоящий на ушах» из-за не-
большой вибрации? А черные дыры? Так
что залежи неведомого заслоняет лишь
броня консерватизма. Да ослабит Господь
инерцию созерцания, которая противится
резким изменениям картины явления.
9.1. О содержательных задачах
и абстрактных постановках
Параметрические уравнения
G(x, А) = О
со скалярным параметром А, и акцентом на «неприятностях», —
настолько широко распространены, что даже неуместно ломиться
в открытую дверь с какими-то частными примерами.
Потеря устойчивости упругих конструкций при
увеличении нагрузки, возникновение взрывной
волны, порхающего эха, резонанса, турбулентнос-
ти, гравитационного коллапса — все это те самые
«частные примеры», вмещающие большие теории.
176
Глава 9. Возмущения и бифуркации
Общий знаменатель при этом — ме-
таморфозы, происходящие с решением
ж(А) уравнения (9.1). Фокус внимания —
на точках бифуркации, в которых ж(А)
так или иначе ветвится, — то ли од-
нозначная функция становится много-
значной, то ли меняется число ветвей,
то ли возникает хаос.
Для определенности можно иметь в виду воз-
никновение смежных форм равновесия у шарнирно-
закрепленного стержня в случае увеличения про-
дольной нагрузки Л (п. 1.4), где исходное нулевое
равновесие не зависит от А, а при А > Ао появляют-
ся симметричные ненулевые формы равновесия, что
изобразить как /	. Таким обра-
зом, нулевое решение стоит на месте, и от трезубца
остаются только усы.
условно можно
9.1.1.	Ситуацию G(0, А) = 0 примем за каноническую, и Ао назовем
точкой бифуркации, если любому Е> О отвечает
А 6 (Ао - £, Ао + е),
при котором уравнение (9.1) имеет хотя бы одно ненулевое решение
в шаре ||ж|| < Е.
Задачи с дрейфующим однозначным решением ж* (А) поме-
щаются «в рамки» переходом к уравнению
С?(ж*(А) + х, А) = 0.
Под (9.1) далее подразумевается либо уравнение в R", либо
G(x, А) = ж - А(х, А),	(9.2)
где А : Е х R -> Е — вполне непрерывный оператор, что поз-
воляет применять теорию вращения, несмотря на бесконечную
размерность пространства Е.
9.1. О содержательных задачах и абстрактных постановках 177
В том случае, когда линейное приближение G'x[x(X0), A0]z
невырождено, отображение G(x, Ло) в точке ®(Л0) является ло-
кальным гомеоморфизмом. Соответственно (теорема 2.4.1) — в не-
которой окрестности (ж(А0), Ао) существует и единственно реше-
ние ж(А) уравнения (9.1). Поэтому, с учетом G(0, А) н О,
точкой бифуркации может быть лишь такое Ао, при ко-
тором оператор G'x(0, Ао) вырожден^.
Обратное, разумеется, неверно. Вырождение 6^(0, Ао) необязатель-
но влечет за собой бифуркацию. Однако Эйлером была предложе-
на некая рецептура отыскания критических нагрузок на основе
перехода от (9.2) к линеаризованному уравнению, которая осно-
вывалась как раз на вырождении линейной модели и вне то-
пологических рамок выглядела туманно, причем долгое время,
несмотря на многочисленные попытки, не поддавалась обосно-
ванию. В рамках теории вращения правомерность метода Эйлера
устанавливается тривиально 3\ см. далее.
Наконец, вернемся к самому понятию бифуркации. Термин
неоднозначен, и встречается в разных модификациях. Данное
выше определение ориентируется на изменение числа решений.
Однако играть роль может и качество решения. При этом воз-
можны сюрпризы. Скажем, в системе
х = G(x, А)
устойчивый фокус может деформироваться в — неустойчивый,
без возникновения в окрестности дополнительных особенностей,
А родственные, вроде бы, устойчивые рав-
новесия могут не переводиться друг в друга без аномальных
видоизменений, см. разделы 6.7, 9.3. Но пока остановимся на би-
фуркациях, основанных исключительно на ветвлении решений.
В предположении достаточной гладкости G.
В случае (9.2) вырожденным обязан быть оператор I — ЛДо, Ао).
Красносельский М.А. // УМН. 1957. 12. Вып. 1.
178
Глава 9. Возмущения и бифуркации
9.2.	Принцип смены индекса
Допустим, ж(А) — однозначная ветвь изолированных нулей4)
векторного поля G(x, А), и Пд — область, не содержащая других
нулей кроме ж(А). Тогда по теореме 3.4.5
т.	е. деформация по А 6 [р, v] не меняет вращения5) на Йд и, как
следствие, индекса
ind [С(ж, А), ж(А)].	(9.3)
Поэтому, если индекс (9.3) меняется в некоторой точке Ао, то это
гарантировано точка бифуркации.
Сказанное требует уточнения, потому что не ясно, за каким
рукавом ветвления надо следить,
удобно как раз введенное выше предположение <7(0, А) = 0, при
котором одна из ветвей — просто точка (нулевое равновесие).
То есть ®(А) при каждом фиксированном А является изолированным нулем вектор-
ного поля G(x, X).
5) Непрерывность деформации Цд легко достигается переходом к деформации шарика
-ВлСЦд.
9.2. Принцип смены индекса
179
В этом случае Ао назовем точкой смены индекса, если существуют
сходящиеся к Ао последовательности
Рк ~У Ао, > Ао при /г —> оо,
такие что
ind [G(«, pk), 0] yt ind [G(s, vk), 0] при всех к.
9.2.1.	Теорема. Всякая точка смены индекса является точкой
бифуркации.
Разумеется, имеет смысл говорить лишь об изолированном нуле6)
ж(А0) = 0. Но тогда можно считать, что
ind [G(s, pi-), 0] Ф ind [G(s, Ao), 0] при всех fc.	(9.4)
В этом случае в достаточно малых шарах ||«|| < £ уравнение G(®, Ао) = О
не имеет ненулевых решений. Но в силу непрерывности7) G(®, А) при доста-
точно больших к поля G(x, р./;) будут невырождены на границе ||ж|| = £, и,
с учетом (9.4), уравнения G(s, = 0 обязаны иметь ненулевые решения. ►
Понятно, обратное необязательно, но к п. 9.2.1 можно доба-
вить: в ситуациях «общего положения» точки бифуркации являются
точками смены индекса.
На практике чаще всего сценарий бифуркационной мутации
заключается в вырождении СдО, А) «на одно мгновение», т. е.
лишь в точке А = Ао, слева и справа от которой оператор G^(0, А)
невырожден и имеет разные индексы 8\ Другими словами, в боль-
шинстве случаев индексы по разные стороны от точки бифурка-
ции равны ±1 и вычисляются по линейному приближению.
В точке смены индекса линейного оператора 6^(0, А) долж-
но происходить вырождение G’x нечетной алгебраической крат-
6) Иначе сразу ясно, что Ао — точка бифуркации.
7)либо полной непрерывности векторного поля (9.2), если задача рассматривается
в функциональном пространстве.
8) Разные знаки детерминанта, если сюжет развивается в Вп (п. 3.5.7), либо, в случае
(9.2), п. 7.4.10, число вещественных собственных значений (с учетом кратностей) оператора
Л)(0. А), ббльших единицы, — слева и справа от Ао должно быть разным.
180
Глава 9. Возмущения и бифуркации
ности9). Просто потому, что ликвидация вещественных отрица-
тельных собственных значений парами — не приводит к изме-
нению индекса10^. «Парное исчезновение» может происходить в
процессе деформации по А расщеплением кратных отрицатель-
ных собственных значений на комплексно-сопряженные (с воз-
можным, но необязательным уходом в правую полуплоскость в
результате пересечения мнимой оси в точках ±гш)
Но хотя бы одна траектория движения отрицательного собствен-
ного значения вправо должна, раз уж индекс меняется, пройти
через нуль комплексной плоскости.
Поэтому по кратности вырождения G^(0, А) в ситуациях об-
щего положения можно судить о наличии бифуркации. В этом
русле представляет интерес совсем простой — но покрывающий
массу приложений — результат:
9.2.2.	Теорема Красносельского. Пусть в случае (9.2) производ-
ная Aj;(0, А) имеет вид
Х(0, А) = АВ,	(9.5)
и 1 — собственное значение нечетной кратности линейного опе-
ратора В. Тогда Ао — точка бифуркации уравнения
х = А(х, А). <
Разумеется, обойтись теоремой 9.2.2 не всегда удается. Рам-
ки (9.5) могут оказаться тесны, и тогда приходится выяснять,
По поводу разницы между алгебраической и геометрической кратностью см. [4, т. 3].
|0) Поскольку индекс линейного оператора (Тх (пп. 3.5.7, 7.4.10)
indlG)., 0) = sign det G'x = (-1)^,
где в — число вещественных отрицательных собственных значений G'x.
9.3. Перестройки фазового портрета
181
не возвращается ли собственное значение у Л^(0, А) обратно,
коснувшись нуля и не пересекая мнимую ось. Не говоря о ситуа-
циях, где Л'ж(0, А) вырождается, начиная с Ао, и далее необходимо
иметь дело либо с исходным нелинейным вариантом задачи, либо
с ее приближением, но уже нелинейным.
Разбор полетов в задаче о смеж-
ных формах равновесия шарнирно-
закрепленного стержня (см. раздел
1.4) — есть в [10].
9.3.	Перестройки фазового портрета
Метаморфозы, происходящие с системой, могут быть связаны
не только с ветвлением «положений равновесия», но и с каче-
ственными изменениями иного сорта. Рождение автоколебаний,
«перерождение» экстремальных точек (раздел 6.5), наконец, раз-
личные перестройки фазовых портретов динамических систем.
Во всех таких случаях скачкообразного изменения свойств объ-
екта также принято говорить о бифуркациях.
Рассмотрим трансформации нулевого равновесия системы
x = f(x,X),	(9.6)
при условии что изменение скалярного параметра А не ведет к по-
явлению в окрестности нуля других положений равновесия.
Индексу равновесия системы х = f(x) можно было бы припи-
сать значение ind(/, 0), но правильно:
ind (—/, 0) , ибо оный
182
Глава 9. Возмущения и бифуркации
естественно привязывать к индексу поля х — Ut(x), где Ut — опе-
ратор сдвига по траекториям (9.6), и t достаточно мало. А при
малых £ > О поля х - Ut(x) и -/(ж) • t непротивоположно на-
правлены в силу
х - Ut(x) = -f(x) • t + o(t),
и потому индексы х - Uf(x) и -/(ж) одинаковы.
9.3.1.	Теорема. Индекс асимптотически устойчивого равновесия
(9.6) равен
ind(/-Dt,0) = ind (-/,0) = 1,	(9.7)
где Ut — оператор сдвига по траекториям (9.6).
Асимптотически устойчивое равновесие х* в Rn является [15] равномерно
асимптотически устойчивым, т. е. существует окрестность Q точки х*, такая
что Uk(il) -> {ж*} при к -> оо. Но тогда с учетом теоремы Браудера (п. 5.6.1)
ind (I — Ut,O)= 1 • При этом t > 0 — любое * 12\ ►
Широко распространено заблуждение, что (9.7) имеет место
и для устойчивого положения равновесия 13\ В R ина плоскости
R2 это действительно так. Но в больших размерностях интуиция
сталкивается с неожиданностью.
9.3.2.	Теорема. В R3 индекс устойчивого равновесия х* может
быть любым числом из ..., — 1, 0, 1, а в R”, п 4, — любым целым
из Z.
Пусть х* = 0, и ©j, Э Э ... — последовательность вложенных друг
в друга шаров с р ручками, диаметры которых стремятся к нулю, и все ©£ содержат
точку х*. Пусть fk(x) — поле внешних нормалей Мк. Поскольку вращения
7(/*,©‘)=7(/\-^)
не зависят от к и равны 1 — р (теорема 5.7.2), — вращение соответствующего
поля на каждом «шаровом слое с р ручками» <Эк \ 0*+1 равно нулю, и потому
Что получается переносом слагаемых в Ut(x) = х + f(x)t + о(1).
12) Самб х — Ut(x') служит гомотопией между операторами с разными значениями t.
Невырожденность следует из Ut(x) -> х* при t оо.
1'1,1 Без требования обязательной сходимости траекторий к равновесию из достаточно
малой окрестности.
9.4. Деформации с ограничениями
183
может быть продолжено на «слой» невырожденно (теорема 4.5.1). В результате
получается невырожденное продолжение f(x) на \ {0}. При этом ясно, что
нулевое равновесие системы
х = -f(x)	(9.8)
устойчиво, потому что траектории не могут покидать ©£, поскольку на границе
скорости —f(x') направлены внутрь. Наконец (см. начало раздела), индекс нуля
системы (9.8) есть индекс ind (/(ж), 0) = 1 — р.
В больших размерностях система с устойчивым равновесием, имеющим
любой индекс из Z, строится аналогично на базе теоремы 5.7.2. ►
9.4.	Деформации с ограничениями
Из теоремы 9.3.1 следует, что равновесие гарантировано не явля-
ется асимптотически устойчивым, если ind (/— £7), 0)	1. Это
полезный критерий. Но случай ind (J - Ut, 0) = 1 в некотором
роде покрыт мраком, поскольку допускает «что угодно», как по-
казывает пример из раздела 6.7, где асимптотически устойчивая
Г— 1 0	14)	,
х невырождено ' деформируется в систе-
х, все решения которой (за исключением ж(£) = 0)
уходят в бесконечность, а индекс в обоих случаях равен 1.
Однако сужение класса допустимых деформаций способно
в точности очертить границу гурвицевости, как уже отмечалось
в разделе 6.7. Но класс С+ (см. п. 6.7.1), деформации в кото-
ром сохраняют гурвицевость, не совсем удобен с точки зрения
контроля процесса. Вот другой рецепт, основанный на переходе
от матриц А размера п х п к матрицам Л* размера п2 х п2:
Л* = I ® А + АТ ® I,	(9.9)
где ® обозначает кронекерово произведение. Фокус состоит в том,
что [4, т. 3]: собственные значения А* исчерпываются комбинациями
А, + Aj собственных значений самой матрицы А. И это делает
очевидным следующий факт.
|4) То есть без появления ненулевых положений равновесия.
система х =
1 0
0 1
му х =
184
Глава 9. Возмущения и бифуркации
9.4.1.	Теорема. Матрица А гурвицева в томм случае, когда гур-
вицева матрица А*.
Более того, если множеству Е всех матриц п х п поставить в
соответствие множество Е* матриц вида (9.9), то вполне ясно, что
невырожденные в Е* деформации сохраняют неизменным число
собственных значений матрицы как в левой полуплоскости С,
так и в правой15^. Поэтому:
9.4.2.	Теорема. Матрицы А и В обе одновременно гурвицевы или
негурвицевы в томм случае, когда существует деформация от А
к В, невырожденная16) в Е*.
Получается совсем простой критерий. Деформации Н(-, t)
в Е сопоставляется деформация Я*(-Д) в Е*, и надо «всего
лишь» следить за условием
detH*(-,i)^0.
Невырожденные деформации в Е* оказываются, таким обра-
зом, достаточно тонким инструментом ', позволяющим не толь-
ко классифицировать устойчивые и разнообразно неустойчивые
линейные системы, но и разобраться, скажем, с невырожденны-
ми критическими точками, не разделяя их всего на два класса,
как это происходит при использовании деформаций в исходном
пространстве. Конечно, выход в J5* связан с увеличением размер-
ности, но тут рассчитывать на бесплатный сыр нет оснований.
Уместно вернуться к разделу 8.6 и напомнить, что маневр
перехода от 4 к матрице Л* связан с переходом от исходной
системы х = Ах к матричной системе
Н = НАТ + АН,	(9.10)
15-) По причине, которая указывалась в п. 6.7. Невырожденная деформация в Е* исклю-
чает возможность наличия в спектре чисто мнимых собственных значений ±гш, и потому
не может перевести собственные значения из левой полуплоскости в правую, и наоборот.
Если Н деформация, то матрица	невырождена при любом if.
17) С более высоких этажей задачи выглядят проще, см. главу 9 в [4, т. 6].
9.4. Деформации с ограничениями	185
каковая одновременно с х = Ах асимптотически устойчива
или неустойчива, причем оператор сдвига по траекториям (9.10)
положителен и монотонен. И тогда теоремы 9.4.1, 9.4.2 получают
новое обоснование с учетом соображений полуупорядоченности.
Последние состоят в «обобщении» теоремы 8.10.9, в которой
условие внедиагональной монотонности нужно лишь для того,
чтобы оператор сдвига был монотонен. Поэтому соответствующий
результат может звучать так:
9.4.3.	Теорема. Если оператор сдвига по траекториям
х = S(x, А), х Е R^
при любом фиксированном А монотонен, то свойство асимптоти-
ческой устойчивости равновесия сохраняется при невырожденной
деформации S(x, А).
Подъем из Rn к матричным уравнениям — с эффектом
использования идей полуупорядоченности — возможен и в нели-
нейных вариантах. Например, от х — f(x, t) по схеме
Я(ж) = ххТ,	Н — xfT(x, i) + f(x, t)xT < F(H, i),
при условии что оператор сдвига по траекториям Н = F(H, i)
монотонен по конусу положительно определенных матриц.
Фокус (9.9) работает и в другом контексте. Полином
р(А) = Ап + вп_ 1 Ап + ... + А + во
представим в виде det (4 — AZ), где А сопровождающая матрица [4, т. 3],
0 ... 0	-а0
1	0	.	.	0	-в]
0 10.0	-в2
0	.	.	1	0	-вп_2
О .	.01	-вп_1.
Но тогда многочлен q(z), имеющий корнями все суммы пар корней многочлена
p(z), можно записать в форме q(z) = det (4* - AZ). В результате (п. 8.1.2): для
186
Глава 9. Возмущения и бифуркации
гурвицевости многочлена p(z') необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты
многочленов
det (4 - AZ) и det (4* - AZ)
были строго положительны.
9.5. Многопараметрические задачи
Бифуркационные мотивы усложняются, когда в системе меня-
ются сразу несколько параметров. Наглядную иллюстрацию дает
пресловутая катастрофа сборки, представляющая множество кри-
тических точек потенциала
1 1 ,
ф(х, А), А2) = - х + - Д2® + Ai®,	(9.11)
т. е. совокупность точек (ж, А), А2), удовлетворяющих уравнению
ф'х = ж3 + А2ж + Ai — 0.	(9-12)
Катастрофа сборки всплывает каждый раз при упоминании
теории катастроф по простой причине. При двух, как говорят,
управляющих параметрах А,, А2 — нет «ничего другого» структур-
но устойчивого, за исключением еще катастрофы складки
ф'х = ж2 + А — 0,
9.5. Многопараметрические задачи
187
которая также относится к системам с двумя параметрами, хотя
второй параметр немой ls * * 18^. Как только управляющих параметров
становится три и больше — ситуация выходит из-под визуального
контроля, потому что хотя бы еще одним параметром приходится
описывать состояние системы
Особого внимания в данном контексте заслуживает струк-
турная устойчивость [18], о которой уже говорилось в [4, т. 7],
и здесь не хотелось бы повторяться. Но бросить еще один камень
в тот же огород стоит потому, что структурная неустойчивость
потенциалов <р(х) = ж4 и
^(ж, А2) = | ж4 + | Л2ж2	(9.13)
на фоне структурной устойчивости (9.11) — часто вызывает не-
доумение, происходящее из нежелания вникать в определение.
9.5.1. Определение. Семейства функций ip(x, A), i/>(x, А), т. е.
<р, ф : R" х Rr -> R,
эквивалентны в нуле, если ip(x,X) = чЬ [х(х, А), /г(А)] + £(А), где £(А) — гладкое
отображение, /г(А) — диффеоморфизм, z(x, А) — семейство диффеоморфизмов.
Неустойчивость (9.13) проявляется
следующим образом. Критические точ-
ки tp(x, А2) определяются уравнением
х2 + А2ж = 0, т. е. представляют собой
объединение прямой х = 0 и параболы
х2 + А2 = 0 (рисунок слева). График воз-
мущенного уравнения а:3 + А2ж + е = 0
ls) В х2 + цх + А от члена цх можно избавиться заменой системы координат, каковая
входит в реестр допустимых эквивалентностей с точки зрения структурной устойчивости.
19)
' Конечно, можно рисовать различные трехмерные срезы многомерных катастроф,
®[ + A3®3 + А2®2 + А)®, =0	(ласточкин хвост},
xf + Л4®( + A3®3 + Л2®( + А1 ж г =0	(бабочка),
х\ + As®3 + Л4®) + Аз®[ + Л2®, + A j ® । =0 (вигвам),
плюс небольшая серия омбилических катастроф [18]. Но эти «срезы», надо признать,
визуальной ясности не добавляют, а то и запутывают.
188
Глава 9. Возмущения и бифуркации
(рисунок справа) имеет другой топологический тип20’, хотя в чисто аппрокси-
мационном отношении он какую-то часть населения может устраивать. Однако
формальное определение 9.5.1 таких эксцессов не допускает.
Семейство же поверхностей (9.12) укладывается в прокрустово ложе
определения 9.5.1, поскольку линейные члены и константы «легализованы»,
а от квадратических — можно избавиться заменой переменных. Поэтому воз-
мущения степени 3 с точностью до «эквивалентности» меняют лишь пара-
метры (9.12). Что касается возмущений степени > 3, то они не играют роли,
потому что в данном случае не могут изменить топологию поверхности, но это
устанавливается уже нетривиальным образом.
Вернемся к бифуркациям. Ме-
няя значения параметров {Ai, Аг}
системы (9.12) вдоль кривой А(т) =
= {Д](т), А2(т)}, получаем одно-
параметрическую деформацию
^(ж,т) = ^(ж,А1(т), Л2(т)),
в результате которой могут проис-
ходить скачки гистерезисного типа.
Такого сорта «драматические преображения», характеризующие
систему в целом, на фоне объемного просмотра ситуации стано-
вятся более зримы и понятны. Когда видны окрестности однопа-
раметрической деформации вдоль кривой
А(т) = {А1(т),А2(т)},
картина проясняется за счет дополнительного обзора.
Рассмотренные в предыдущих разделах задачи о критических
значениях параметра соответствуют прохождению кривой
{ж(т), А](т), Л2(т)}	(9.14)
через точку S'. А в данном случае, при более широкой панораме,
видно, как бифуркация зависит от выбора пути (9.14). Но дело
20’ Нарушена связность, исчезло самопересечение.
9.6. Итерационные процессы
189
не только в этом. Визуальные декорации вокруг катастрофы
сборки важны также как образец, показывающий, что может
стоять за кадром изменения одного параметра.
О прикладной роли теории катастроф. Постон и Стюарт [18]
пишут, что проникновение теории катастроф в термодинами-
ку произвело больше тепла, чем света, — не рискуя сказать
«ни тепла, ни света», что многие поддержали бы. Поддержали бы,
поскольку технической помощи от ТК не видно. Да, уравнение
Ван-дер-Ваальса в два счета сводится к описанию катастрофы
сборки, но физике от этого ни холодно ни жарко. Конечно, стол-
пившиеся вокруг философы говорят много интересного о фазовых
переходах, но все это не вписывается в утилитарное русло. И то-
гда физики заявляют, что не было случая, когда бы ТК принесла
практическую пользу. Оно, конечно, так и есть, но все же не так.
Не так в том смысле, что акцент делается неправильно.
Хорошая теория, как хороший подарок, не должна иметь
утилитарной ценности. Ввысь и вглубь, — вот что поддержива-
ет и удерживает прагматику, т. е. Поднебесную вместе со всей
рутиной и научными дисциплинами. Утилитарным потокам не-
обходимы рамки, опора, — и это главное, хотя не сразу бросается
в глаза. А когда обзор полностью замыкается в овеществленной
части Вселенной, наука, как и вообще жизнь, сводится к требо-
ванию «хлеба и зрелищ» и теряет смысл.
Теория катастроф прививает определенный стиль мышления,
и в этом ее роль. Стиль же дает результаты не прямо, а опо-
средованно. Поэтому искать плоды раньше времени неразумно.
Не стоит даже думать о них. Curiosity has its own reason for exist-
ing, — писал Эйнштейн.
9.6.	Итерационные процессы
Когда аудитория внимательна и благожелательна, там разумно
не перегибать палку. Недоговаривая, недооценивая, не настаи-
вая, — что стратегически оптимально. Когда же у слушателей нет
190
Глава 9. Возмущения и бифуркации
интереса, вплоть до тошноты, там допустимо переоценить, зайти
с неожиданной стороны, даже приврать. Но отложенная реак-
ция при этом, как правило, негативная. Где же, мол, обещанные
чудеса. С чем-то подобным столкнулась на определенном этапе
теория катастроф. В меньшей степени те же проблемы возника-
ют и в теории хаоса. Первоначальное воодушевление сменяется
разочарованием, а причина заключается не в отсутствии якобы
обещанных результатов, а в неоправданных ожиданиях.
Скажем, до сих пор при объяснении перехода к динамиче-
скому хаосу обычно пересказывается классическая работа Фейген-
баума2Х\ основанная главным образом на анализе одномерного
итерационного процесса
®ш+1 —
в простейшем варианте:
|У
жт+1 —	®т)-	(9.15)
Читатель, воспринимая модель как игрушечную, обычно бла-
годарен за пояснения на пальцах, но ждет перехода к изложению
теории. И становится на дыбы, когда общие результаты (турбу-
лентность, аттракторы) начинают излагаться лишь по аналогии
со свойствами (9.15), чем грешит сам Фейгенбаум. Надо признать,
читатель отчасти прав. Но только отчасти.
Дело в том, что науку вперед двигают исключительно игрушечные
задачи. В пользу этого тезиса работают многочисленные примеры
[3]. Напомним один пример — флаттер-эффект, приводивший
2|) Feigenbaum M.J. Universal Behavior in Nonlinear Systems // Los Alamos Science. 1980.
№ 1. 1. P.4-27. Перевод: УФН. 1983. 141 (вып.2). С. 343-374.
9.6. Итерационные процессы
191
в тридцатые годы прошлого столетия к необъяснимым катастро-
фам в авиации. Природа явления была совершенно не ясна.
Однако в попытках разобраться никому в голову не пришло ис-
следовать обтекание газовым потоком фюзеляжа или хотя бы
крыла самолета. Взяли простейшую упруго закрепленную пла-
стинку в газовом потоке, записали уравнения и долго пробовали
и ошибались, пока не «поймали» эффект.
Потом, конечно, были эксперименты в аэродинамических трубах,
но мини-задача с прямоугольной пластинкой сыграла решающую
роль, вскрыв суть явления и его закономерности.
Аналогичную роль по отношению к сложным динамическим
системам играет модель (9.15). Как ни велика пропасть между
ними на первый взгляд.
В двух словах суть дела такова. Итерации (9.15) есть хт =
= /(xm-i), где22) /(х) — Ах(1 - х), что равносильно
т раз
При этом /т(ж) — полиномы возрастающей степени 2т, отоб-
ражающие в себя отрезок [0, 1], и даже [с, 1 — г], при условии23)
Л е (0,4 - г).
^Зависимость от А не фигурирует в обозначении /(г), чтобы не рябило в глазах.
При необходимости «напомнить и подчеркнуть» используется индекс, /д.
23) Сужение поля зрения до [е, 1-е] удобно с точки зрения избавления от мешающей,
в некоторых отношениях, нулевой точки.
192
Глава 9. Возмущения и бифуркации
Поэтому все fm(x) обязаны иметь на отрезке [е, 1 - е] хотя бы
одну неподвижную точку при условии 2 < А < 4 - е. При этом
у /(«) неподвижная точка х* = /(«*) на [е, 1 - е] только одна.
А при А, близких к 2, и у всех fm(x) нет других неподвижных
точек, кроме х*. Но по мере увеличения А наступает момент
А = А], при прохождении которого происходит бифуркация,
и у f2(x) = f(f(x)) появляются еще две неподвижные точки х\,
х*2, не совпадающие с положением равновесия х*. При этом ясно:
f{x\) = x*2,	/(ж2) = < xUxl
что означает возникновение цикла Г2 периода 2, причем х*, «2
являются неподвижными точками всех функций fm при т = 2J,
j Е N. Затем наступает момент, в котором происходит бифур-
кация рождения невырожденного цикла2^ Г4, и т.д. Характерная
особенность процесса — последовательное рождение циклов Г2>
в окрестности точек бифуркации А = Ау. При этом рождение
каждого нового цикла, сопровождаемое удвоением периода, раз-
рушает предыдущие (в смысле потери устойчивости), новый же
цикл появляется на свет устойчивым.
Последовательность точек бифуркации
А[, А2,... Ау,... 24
24) Невырожденным циклом Г;, длины р называют траекторию Х\,...,хр из попарно
несовпадающих точек, удовлетворяющую (9.15) и условию X] = хр.
9.7. Иерархия циклов
193
сходится к некоторому бифуркационному значению , при ко-
тором наступает хаос25 2\ Изображающая точка (9.15) мечется
по игровому полю, «не находя покоя».
Фейгенбаум заметил стабилизацию
5п = Хп ' -> <5 = 4,669...,
Ап+1
и в некотором роде настоял, что константа <5 не меняется в «ши-
роком» диапазоне варьирования функции /(ж) в процессе
«Зрительный зал» воспринял явление как сногсшибательное z6\
и это порядком оживило интерес к итерационным процессам, что
лишний раз показывает доминирующее влияние второстепенных
факторов на репутацию. Главный феномен в этой истории все-
таки — переход к хаосу через удвоение периодов колебаний.
9.7.	Иерархия циклов
Имея намерение распространить, до некоторой степени, фило-
софию удвоения циклов на многомерный случай (раздел 9.8),
задержимся на одномерной модели, ибо в ней — намек.
Фейгенбаум вместе со своими предшественниками27^ кон-
центрировался в основном на удвоении периодов. Дальнейшие
исследования сместили акценты, выдвинув на авансцену иерархию
циклов Шарковского, вокруг которой закрутилась целая карусель
работ. Центральный результат здесь состоит в следующем. Если
в итерационном процессе = /(жго) из существования цик-
ла Гр следует существование Гд, пишут р > q, либо Гр > Гд.
25’ Понятие динамического хаоса носит, вообще говоря, расплывчатый характер, см. раз-
дел 9.10.
2б) Нельзя сказать, что факт неправильный, но аргументация в пользу — несколько
размазана, хотя это не так важно, ибо фарватер в стороне.
27* См. обзорную статью: Misiurewicz М. Remarks on Sharkovsky’s Theorem // Amer. Math.
Monthly. 1997. 104. №9.
194
Глава 9. Возмущения и бифуркации
Шарковский установил общую закономерность:
3 > 5 > 7 > 9 > 11 > ...
2 • 3 > 2 • 5 > 2 • 7 > 2 • 9 > 2 • 11 > ...
22 • 3 >- 22 -5 > 22 -7 > 22 -9 > 22 • И > ...	(9.16)
... У 23 У 22 > 2 > 1.
Здесь в первой строке в порядке возрастания идут все нечетные
числа, кроме 1, далее следует первая строка, умноженная на 2,
затем на 2 , 2 и т. д. Наконец, последняя строка состоит из сте-
пеней двойки в порядке убывания вплоть до 2° = 1.
Так что при упорядочении (9.16) натурального ряда из р >- q
и существования цикла Гр следует существование цикла Г'9. Кро-
ме того, по теореме Шарковского (1964) для любого р можно
указать унимодальную функцию f : [0, 1] —> [0, 1], у которой есть
цикл Гр, но отсутствуют циклы периодов q > р, что легко уста-
навливается выбором подходящей кусочно-линейной функции.
Таким образом, в случае (9.15) при увеличении А естественно
ожидать последовательного появления циклов периода 2 и далее
вплоть до некоторого максимального в смысле (9.16) значения.
При А = 1 + 2V2 здесь возникает доминирующий над всеми
цикл Гз-
Исходное доказательство теоремы Шарковского было слож-
ным, но постепенно стала вырисовываться относительно простая
картина. Установим для иллюстрации частный результат.
9.7. Иерархия циклов
195
9.7.1.	Теорема. Из существования цикла Гз в системе
®m+l =
где / : 1R —> R произвольная непрерывная функция, следует сущест-
вование циклов Гр любого периода2^.
Мини-подготовка. В процессе рассуждений перед глазами по-
лезно иметь геометрическую картинку 28 29\
(9-17)
Сегменты А и В на (9.17), с концевыми точками из Гз, обла-
дают, как легко проверить, следующими свойствами: образ f(A)
накрывает В — пишем А В, a f(B) накрывает и А, и В, т. е.
f(B) D A, f(B) D В. Таким образом 30\
А Л В, В Л А, В Л В.
(9-18)
28) Факт 9.7.1 нередко приписывают Ли и Йорке (Li and Yorke) (1975), частично
переоткрывшим Шарковского много лет спустя.
Чтобы разнообразить варианты начинать надо не с функции, а с цикла, и потом уже
через три точки проводить график /(г). Для циклов вида (9.17) возможна унимодальная
функция. В случае Гз типа
график /(г) неизбежно извивается.
Если 3-цикл устроен по-другому, переобозначение сегментов, концами которых
служат точки Гз, сводит ситуацию к (9.18).
196
Глава 9. Возмущения и бифуркации
9.7.2.	Если отрезок [а, /?] при отображении f накрывает себя, то
у f на [а,/?] существует неподвижная точка3^ х* = f(x*).
Заметим, что в случае А В сегмент А всегда можно ужать
до сегмента А1 С А, накрывающего В в точности, иначе говоря

, что записываем как А щ В.
Поэтому любую цепочку
J1 4 J2 Jj  • • 4 Jn
можно сделать точной,
/ , /
J\ =4 J2 =4 J3 =4 ... =1 Л-1 =1 Jn,
заменяя последовательно Ji,... Jn-\ на С J\,... J'n-\ С Л-ь
но только в обратном порядке:
/(4-0 =Л,/(4-2) =4-i,.-.,/(4) =4
Аналогичный трюк можно проделать с замкнутой цепью
л 4 л 4... 4 л 4 л,
3|) Теорема Брауэра напрямую не работает, особенно если концы [а, Д] уходят за преде-
лы |а, Д] в одну сторону. Но выбирая на [а, Д] точки а, Ъ так, чтобы /(а) = а, /(&) = Д,
имеем
/(а) - а 0 /(6) - Ъ,
откуда f(x) - х = 0 для некоторого х между а и Ь.
9.8. Многомерный сценарий
197
в результате чего получится замкнутая «почти» точная цепь
, f . f f , f
j'2 =4... =4 Jn Ji-
9.7.3.	А поскольку
с л = /"(/{),
t fn f	/	*
m. e. J\ J\, mo fn имеет в J\ неподвижную точку x*, каковая
автоматически оказывается п-циклической п>.
4 Доказательство теоремы 9.7.1. Существование 1-цикла (неподвижной
точки /) следует из В -4 В (п. 9.7.2), а 2-цикла — из А -4 В Л А (п. 9.7.3),
причем в невырожденности этого 2-цикла легко убедиться. Далее. Для любого
р > 3 в силу (9.18) справедливо
А В U В U... U В, Л А,
р — 1 раз
откуда (п. 9.7.3) следует существование р-цикла
х" е A, f(x*) ев,...,г\х) EB,fn(x*) — х е А, (9.19)
невырожденность которого вытекает из следующих соображений. Концевые
t	г	t
точки В после трех и более итераций вдоль цепочки В -> В	В
уходят за пределы В, и потому не могут входить в цикл (9.19). Следовательно,
х* в (9.19) лежит внутри A, a fk (sc*~) $7 int А при 1 k s? р - 1. И только /р(х*)
снова попадает в int А. Поэтому х* имеет период р. ►
9.8.	Многомерный сценарий
Игрушечная модель (9.15) вызывает естественные ассоциации
с реальными динамическими системами. Тем не менее обычные
рассуждения о турбулентности с экивоками в сторону одномер-
ного блуждания жто+1 = Ажто(1 — жт) выглядят несерьезно.
32) Хотя не исключен тривиальный вариант х* =	что невозможно, если в замкну-
той цепи существует хотя бы одна пара сегментов с непересекающимися внутренностями,
а концевые точки Jj, не могут быть неподвижными для fn по той или иной причине.
Например, если концевые точки Jj- принадлежат Гр, а п и р взаимно просты.
198
Глава 9. Возмущения и бифуркации
Хотя, надо признать, «теоретические выводы с прикладным уклоном»
почти всегда опираются на теоремно необеспеченную аргументацию 33\ Фи-
зические прозрения проистекают из догадок. А догадки возникают на базе
не относящихся к делу теорем, вызывающих побочный резонанс.
Так или иначе, но одномерная безделушка (9.15) издева-
тельски многозначительна. При этом странно, что «исследования
вокруг», породившие целые научные дисциплины 34\ не выхо-
дят в общем-то в многомерные пространства, чтобы хоть как-то
поддержать измышления Космического толка. Выход в банахово
пространство Е позволяет осуществить теория вращения вектор-
ных полей.
Далее рассматривается динамическая система
жт+1 =	(9.20)
где скалярный параметр А меняется в некотором диапазоне [а, /?],
а вектор х принадлежит R" или даже хЕЕ, но тогда предпо-
лагается дополнительно полная непрерывность оператора /д(ж).
Считается, что /д преобразует в себя ограниченную область Q
при любом A G [а, /?], замыкание Q гомеоморфно шару, и поле
I - fx невырождено на Й. Наконец, неподвижная точка х*х опе-
ратора f\(ж) единственна в Q опять-таки при любом А.
Для обнаружения циклов Гр надо рассматривать векторные
поля I - /д , нули которых (неподвижные точки /д),
(9-21)
образуют циклы периода р, среди которых всегда есть цикл
стоящей на месте точки х*х = fx(x*x), и возможны подциклы
периода q в случае составного р = sq. Что касается циклов Гр, то
они по определению невырождены, т. е. все точки (9.21) различны.
33) Стоит упомянуть знаменитую историю открытия омега-минус бариона, предсказан-
ного Гелл-Манном на основе туманной аналогии. История кратко описана и прокоммен-
тирована в [3|.
34) Символическая динамика, комбинаторная динамика.
9.8. Многомерный сценарий
199
9.8.1.	По теореме 7.7.3 индексы всех неподвижных точек (9.21),
для каждого конкретного £, — одинаковы35 зб^, т. е.
ind(I - fpx, £) = ind(l- fp, /л(£)) = • • . = ind(l - fp, /f *(£)).
(9.22)
Факт 9.8.1, пребывавший в облике никчемного инструмен-
та, в данном контексте играет первостепенное значение. По-
этому здесь стоит на миг задержаться. Важно обратить внима-
ние, что (9.22) уравнивает индексы точек (9.21) при одном и
том же р. Но индексы ind(I — fx, £) и ind(I — fxp, £) могут быть
различны.
9.8.2.	Определение. Систему (9.20) назовем нормальной, если она
при любом А не имеет разных циклов Гр одного периода р и не име-
ет циклов с нулевым топологическим индексом (9.22), а об индексах
неподвижных точек хр(Х) операторов fx вне точек бифуркации
можно судить по линейным приближениям модели в малых окрест-
ностях жр(А), т. е. по знакам детерминантов^
|^-(/л(МА)))'|-	(9-23)
В определении 9.8.2 собраны фильтры типичности системы.
Хотя, конечно, как посмотреть. Но шаг в омут многомерно-
сти далее настолько рискован, что указанные предосторожности
не выглядят чрезмерными. Да и не минимизация требований сей-
час стоит на очереди. Проблема — в центральном механизме.
9.8.3.	Теорема. В указанных выше предположениях нормальная
система (9.20) может иметь циклы Гр только периодов р = 2k,
к = 0, 1, 2,..., причем при любом фиксированном А
... а Г21- Гд >- Г2 <* Г],	(9.24)
35) Нули (9.21) поля х — f\(x), само собой, предполагаются изолированными.
зб) Другими словами, индексы по разные стороны от точки бифуркации равны ±1,
и не так легко указать задачи, где бы индексы были другими.
200
Глава 9. Возмущения и бифуркации
и если в системе существует конечное число циклов, то старший —
в смысле (9.24) — цикл Г2* имеет индекс +1, а индексы всех его
подциклов равны — 1.
4 Поскольку /Л, равно как и все /д, отображают 11 в себя, то (п. 3.6.2
плюс п. 4.4.4)
7(/-/f,Q) = l, р—1,2,....
Соответственно, по теореме 5.1.1 об алгебраическом числе нулей, в силу един-
ственности равновесия к*(А) (неподвижной точки оператора /Л), индекс к*(А)
вдоль ветви остается равным +1,
®*(А)
ind (/ - /Л, Кд) = +1. х®
•	Далее необходимо рассматривать векторные поля I — f%- Множество
неподвижных точек оператора /д содержит цикл37) Гр и все его подциклы,
включая тривиальный Г| = {к*(А)}. Таким образом, у /д ровно три неподвиж-
ные точки: одна к*(А) и две из Г2. Причем у пары из Г2 индексы должны
совпадать (п. 9.8.1), а в силу 7(/ - /д, 1!) = 1 и необходимости
7(1 _ /л> ^) = 52 ind (/ - /д, Xj) (теорема 5.1.1)
i
выход из положения единственный: у Г2 индексы по +1, а у неподвижной
точки /Л, но уже как неподвижной точки /д, индекс меняется с +1 на -1.
И тогда, как и требуется, +1 + 1-1 = +1. Визуально бифуркационное ветвление
происходит так:
ж — /д(ж) = 0.
•	У /д — четыре неподвижные точки: одна к* (А) и три из Г3, причем
у всех из Г3 индексы должны быть равны либо +1 либо -1. Но тогда не удается
удовлетворить теореме об алгебраическом числе нулей с учетом у(1 — /д, 1!) = 1.
Цикл Г3 невозможен. По аналогичной причине отсеиваются все циклы за ис-
ключением циклов Г2р.
37) Элементы траектории.
9.8. Многомерный сценарий
201
2к
® Специфика отображения /д заключена в том, что его множество непо-
движных точек включает элементы траекторий всех циклов
Г2ь,..., Г4, Г2, Г|,
и если элементы Г2ь имеют индекс +1, а индексы его подциклов —1, то это
единственно возможным образом поддерживает вращение на границе3S^
+2к - 2к~' - ... — 2° = +1.
Например, ветвление решений уравнения
® - /л(ж) = 0
естественно происходит следующим образом,
и после второй бифуркации включает четыре точки невырожденного цикла Г4
индекса +1 и три точки индекса —1 — подциклов Г2 и Г15 что обеспечивает
необходимую сумму индексов - /д, Q) = +1.
® Теорема, разумеется, не утверждает существование циклов Гр, но до-
пускает только периоды р = 2к, причем если в системе появляется Г;,. при
изменении А, то гарантируется наличие всех младших, в смысле упорядоченно-
сти (9.24), циклов. ►
Результат 9.8.3 держится на теореме об алгебраическом чис-
ле нулей (п. 5.1.1) и одинаковости индексов любого цикла (9.21)
(п. 9.8.1). Определенную роль играет и предположение о нормаль-
ности системы 9.8.2, хотя тут кое-что можно убрать с небольшими
потерями. Теорема 9.8.3 пострадала бы, но не рухнула, даже если
снять ограничение на количество циклов Гр одинакового перио-
да р и запрет на обнуление индексов. В системе тогда могли бы
38) Из-за отрицательности индексов все подциклы Г21-1,..., Г2, Г| не могут быть
асимптотически устойчивы.
202
Глава 9. Возмущения и бифуркации
появиться другие циклы, в том числе Г3, но отрезок иерархии
(9.24) остался бы. С той разницей что, скажем, число циклов Г2
с индексом +1 выходило бы на один больше, чем с индексом -1,
остальные — с нулевым индексом. Так что механизм удвоения
циклов сохраняется и в многомерном сценарии, и ведет к хаосу
едва ли не той же дорогой. Вмешательство циклов других перио-
дов либо невозможно, либо вторично по своему эффекту.
9.9. Загадочность циклов типа Г3
Циклы Г2к возникают в результате ветвления неподвижных то-
чек операторов /2 (х), — и это более-менее стандартный тип
бифуркационных метаморфоз. Привычный и понятный. Цикл Г3
39)
возникает из ниоткуда если возникает.
Три неподвижных точки ненулевого индекса оператора* 40' /3(ж) не мо-
гут «вырасти» из £ = /(£) — сумма индексов будет неподходящей. Остается
вроде бы невероятная возможность, когда три неподвижные точки у /3(х)
появляются одновременно «с потолка». Сначала, разумеется, индекс каждой
неподвижной точки нулевой, а потом эти точки раздваиваются на точки с про-
тивоположными индексами, в результате чего возникают два уже структурно
устойчивых цикла Г3.
В скалярном случае это похоже на такую под-
гонку графика х — /3(ж), чтобы при деформации кос-
нуться оси абсцисс в трех точках синхронно, а потом
уже дрейфовать дальше вниз.
Ситуация не выглядит типичной. Поэтому на бегу думается,
что феномен Г3 — не более чем патология. Но в одномерных
моделях-то циклы Г3 возникают заурядным образом, реализуя
как раз сценарий одновременного появления нулей векторного
поля, хотя синхронизацией заниматься вроде бы «некому».
39) т-	тз
' То же самое можно сказать о циклах Гр простых периодов р.
40' Параметр X у fx мы опускаем, чтобы не загромождать обзор.
9.9. Загадочность циклов типа Г3
203
Рассмотрим для иллюстрации систему
ж&+1 = /(ж&) с кусочно-линейной функци-
ей /(ж), где цикл периода 3 вот-вот по-
явится — стоит подключить небольшую де-
формацию. Загадочность проявляется при
построении графика троекратной компози-
ции /3(ж).
График /2(ж) в данном случае выглядит вполне невинно,
а вот график /3(ж) — неожиданно, если «на бегу».
Языки у = f3(x) кончиками (белые кружочки) синхронно при-
ближаются к прямой у = ж, как будто ими управляет невидимая
рука. В окрестности положения равновесия (черный кружочек)
«ничего не происходит», индекс остается равным +1.
Фокус, безусловно, заключен в устройстве композиции /3(ж),
но природа явления до конца все же не ясна. Особенно смутные
впечатления возникают в связи с иерархией (9.16). Обоснование,
конечно, просто и понятно, — но оно с того же этажа, что
и вопрос. Тогда как хотелось бы — с высоты птичьего полета. Где
еще дикий порядок (9.16) подменяет анархию?
204
Глава 9. Возмущения и бифуркации
9.10. Устойчивость и хаос
Цикл ГР = {х*, х\,..., Хр} в системе41^
Х/-+1 = f(xk)
мы называем устойчивым, если42) fkp(x) —> х\ при к —> оо для х
близких к х\, и неустойчивым — в противном случае.
Такое определение вызывает естественный ассоциативный отклик. Хотя
строго говоря, здесь надо было бы говорить об асимптотической устойчивости,
как о сходимости плюс устойчивости АЗ — см. раздел 2.5.
Итак, устойчивость цикла характеризуется спектральным ра-
диусом р производной Фреше (матрицы Якоби)43)
(гм»'=Л(4) /;«).	(9.25)
Для устойчивости цикла достаточно р < 1; р > 1 влечет за собой
неустойчивость.
Теорема 9.8.3, утверждающая отрицательность индексов всех
циклов, кроме старшего Г2м тем самым гарантирует неустойчи-
вость всех подциклов Г2*-1,..., Г2, Г]. У старшего цикла тополо-
гический индекс равен +1, но это не обеспечивает устойчивости,
хотя и не исключает. Поэтому для определения бифуркационных
значений А в общем случае надо следить за сменой индекса у стар-
шего цикла44), а не за потерей устойчивости T2t, что годится для
одномерных моделей.
Что касается циклов за пределами ряда (9.24), — каковые могут возникать
в скалярном случае, а также в многомерных вариантах модели (9.20) при ослаб-
лении требований нормальности системы, — то они всегда возникают с нулевым
4|’ Как и ранее, под Гр подразумевается цикл периода р без подциклов.
42) Разумеется, вместо х( можно взять любую другую точку х).
43) Спектр матрицы (9.25) не зависит от порядка сомножителей [4, т. 3].
44’ То есть за сменой знака детерминанта (9.23). Появление циклов все более высокого
порядка в модели (9.20) — необязательно. Для этого надо делать те или иные предполо-
жения о зависимости fx(x) от Л.
9.10. Устойчивость и хаос
205
индексом, т. е. неустойчивыми. И от малей-
шего возмущения то ли исчезают, «как утрен-
ний туман», то ли раздваиваются на циклы
с противоположными индексами.
Поэтому из двух близких циклов, скажем
Г3, один обязательно неустойчив, другой —
может быть. Но если в одномерной модели
существует какой-нибудь цикл вне (9.24), то
все циклы
..., r2t,..., Г4, Гз, Гj
неустойчивы, чего вполне хватает для наступления хаоса.
Последнее, конечно, чересчур сильно сказано. Потому что
безупречного определения детерминированного хаоса в общем-то
нет. Варианты крутятся обычно вокруг перемешивания [4, т. 2, раз-
дел 7.1], расходимости траекторий, плотности орбит либо вообще
отсутствия чисто периодических решений. Но в каждом направ-
лении находятся свои подводные камни. Например, повышенная
чувствительность к начальным данным нередко преподносится
как увеличение с течением времени расстояния между точками.
Легко сказать, но как сделать, имея в виду закрытые системы?
9.10.1. Если f отображает в себя метрический компакт С, и
Ух,у€С: р(/(ж),/(?/)) ^ р(ж, у),
то /(?/)) = Р(х’ У)’ и нижний предел
lim р(х, = О
А-»оо
для любого х 6 С. <
Выбирая в качестве / оператор сдвига Ut при некотором t,
имеем туже помеху в непрерывном времени. Выход из положения,
конечно, есть, но волокита — как «та же добыча радия».
Глава 10
Многозначные поля
Anything you lack can be trained.
В главе рассматриваются вопросы, связанные
с разрешимостью включений
О € Т(х) либо х € Т(х).
В первом случае говорят о нуле, во втором —
о неподвижной точке многозначного векторного
поля.
10.1.	Причины многозначности
Многозначные отображения возникают всякий раз, когда функ-
ции задаются неявно. Скажем, если
Ф(ж, у) = О
определяет зависимость у = Т(х) — в смысле Ф(ж, Т'(ж)) = 0, —
то в общем случае нет гарантии, что Т(х) однозначная функция.
Та же ситуация возникает в связи с оптимизацией. Оператор
Т'(ж) = Arg max tp(x, у),
У
как правило, многозначен Аналогичны сценарии в теории игр
[4, т. 7] и других задачах, где зависимости особых состояний
от параметров извлекаются из опосредованных моделей.
Но даже если однозначен, на этом бывает удобнее не фокусироваться, допуская
многозначность и получая те же самые результаты, — например, с помощью теоремы
Какутани вместо теоремы Брауэра.
10.1. Причины многозначности
207
Многозначен субдифференциал2} д<р(х), широко используе-
мый в выпуклом анализе, с помощью которого положение мини-
мума ж* выпуклой функции ip(x) характеризуется условием
06ty(z‘),	(10.1)
т. е. х* обязан быть нулем многозначного векторного поля <р(х).
Еще один источник интереса к многозначным объектам —
дифференциальные включения
x6F(x,t),	(Ю.2)
где F(x,t~) возникает опять-таки из рассмотрения ситуаций, из-
начально описываемых обычными функциями. Скажем, неявное
дифференциальное уравнение
/(ж, ж, t) = 0
может быть записано в виде (10.2) с оператором
F(x,t) = {у : ЖжЛ) = 0},
а дифференциальное неравенство
/(ж, ж, i) 0
принимает вид (10.2), если положить
Г(ж,£) = {у : /(у, ж, 0 > 0}.
Происхождение (10.2) бывает другим. В системах с переменной
структурой, например, движение возможно по траекториям одной
из двух систем
ж = /(ж; 0) либо ж =/(ж; 1),	(10.3)
что естественно описывать как
ж = /(ж;и),	(Ю-4)
где и может принимать одно из двух значений: 0 или 1.
21 А также субдифференциал Кларка [4, т. 7], пригодный для исследования невыпуклых
функций.
208
Глава 10. Многозначные поля
Разумное переключение параметра и способно обеспечивать
неожиданные эффекты. Скажем, если движение в обоих случаях
(10.3) происходит по раскручивающимся спиралям, то надлежа-
щее переключение и, как показано на рисунке (10.5), может
превратить систему в устойчивую.
(10.5)
Запись (10.4) вызывает ассоциации с задачей управления
x = f(x;u), uEU.	(10.6)
В том и другом случае все укладывается в схему (10.2), если
положить
F(x,t) = {у : у = f(x; и), U&U}.
В случае двухточечного множества U система мечется меж двух
огней, но необязательно в духе (10.5). При бесконечно быстром
переключении могут возникать скользящие режимы.
(Ю-7)
10.2. Замкнутые отображения
209
Если, например, в (10.3) /(ж; 0) = v, f(x', 1) = w, и переклю-
чение между системами
х — v, х = w
происходит на оси X], то возникает скользящее движение вдоль Х[,
как на рис. (10.7). Такое движение обычно мыслится как предел
зигзагообразного движения
«перерегулирования».

при уменьшении
Предельные переходы подобного рода являются самостоя-
тельной головной болью, для избавления от которой применяется
специальное теоремное сопровождение, меняющее облик перво-
начальной задачи. Производная в (10.2) заменяется так назы-
ваемой контингенцией, в результате чего х 6 F(x, t) переходит
в cont ж С F(x, i). Множество U при этом естественным образом
овыпукливается, что узаконивает скользящие режимы. Но это
другая история, которая нас здесь не интересует.
10.2.	Замкнутые отображения
Многозначным отображением Т : X -> 2Г называется оператор,
сопоставляющий каждому элементу ж 6 X некоторое непустое
подмножество множества Y, т. е. Т(х) С Y для любого ж G X.
Y
Далее отображения Т: X —> 2 предполагаются ограниченными,
переводящими каждое ограниченное множество А С X в ограни-
ченное множество
Т(Д) = [J{T(x) : ж £ Д}.
10.2.1.	Определение. Многозначное отображение Т : X —> 2Y
называется замкнутым, если его график
Z = {(ж, у) е X X Y : ж е X, у е Т(ж)}
замкнут в X х У.
210
Глава 10. Многозначные поля
Замкнутые отображения называют также полунепрерывными
сверху^. В частном случае, когда Т(х) оказывается однозначным
отображением, его замкнутость, или полунепрерывность сверху,
равносильна обычной непрерывности. Первоначальное знаком-
у
ство с операторами вида Т : X -> 2 сопровождается обычно
дополнительной атрибутикой: полунепрерывность снизу, непрерыв-
ность по Какутани и т. п. Все это малополезно, но необходимо как
любое «оформление документов». Что же касается полунепрерыв-
ности сверху, то она проходит красной нитью через большинство
приложений.
Время от времени на авансцену выходит непрерывность по Ха-
усдорфу, возникающая в рамках следующей схемы. Допустим, все
образы отображения Т : X -> 2Г компактны. Если через Yc обо-
значить множество всех компактных подмножеств множества Y,
то Т можно рассматривать как обычное однозначное отображе-
ние Т : X -> Yc- Если при этом Yc метризовано с помощью
метрики Хаусдорфа^, то о непрерывности Т можно говорить как
о непрерывности однозначного отображения Т : X —> Yc- В этом
случае Т считается непрерывным по Хаусдорфу.
10.3.	Отображения с выпуклыми образами
Пусть Q обозначает ограниченную область в R”, многозначное
отображение Т задано на Л, и образы Т(х) С R” выпуклы при
любом ж G Q.
Выпуклость образов Т(х) характерна для большинства приложений. Суб-
дифференциал и даже субдифференциал Кларка [4, т. 7] имеют выпуклые образы,
При исключении из сценария требования ограниченности образов возникает неко-
торая турбулентность во взаимодействии понятий [2].
Метрика Хаусдорфа конструируется следующим образом. Для множеств А, В С У
уклонение А от В определяется как
<?(Л, В) = sup р(х, В) = sup inf р(х, у),
хе.л Хелтов
где р — метрика в У. Хаусдорфовым расстоянием между А и В называется максимальное
из уклонений <S(4, В), 6(В,А).
10.3. Отображения с выпуклыми образами
211
а в задачах управления овыпукливание образов неизбежно, если допускаются
быстрые переключения управляющих параметров.
Многозначное отображение Т(х) называют также многознач-
ным векторным полем, а точку х, в которой 0 £ Т(х), — нулем
многозначного поля. Поле Т(х) считается невырожденным на мно-
жестве Г, если на Г оно не имеет нулей. Изучаемые далее поля
предполагаются невырожденными на границах Й рассматривае-
мых областей. Теория вращения многозначных полей во многом
аналогична теории вращения обычных векторных полей и опира-
ется на следующую аппроксимационную конструкцию.
10.3.1.	В силу компактности Й при любом £ > 0 в Й существует
Е-сеть
Lg ~ I > • • • >	} •
В каждом множестве T(Xf) фиксируем произвольную точку
yi £ T(xi), и определим N весовых функций
aie ~ W)’
3
где Qje(x) — max{0, £ — ||ж — Xj||}. Заметим, что 0уг(ж) > 0
для любого х £ Й, поскольку набор точек Xj образует е -сеть.
Назовем теперь однозначное отображение
N
t(x) = ^aje^)yi	(Ю.8)
»=1
£ -аппроксимацией отображения Т(х).
10.3.2.	Определение. Пусть отображение Т(х) (с выпуклыми
образами) невырождено на Й и замкнуто. В этом случае вращением
^(Т, Й) многозначного векторного поля Т(х) на Й назовем вращение
однозначного векторного поля (10.8) на Й при достаточно малых Е.
◄ Проверка корректности определения в данном случае сводится к провер-
ке независимости вращения е-аппроксимаций (10.8) от выбора е-сети (при до-
статочно малых е) и от выбора точек у,.
212
Глава 10. Многозначные поля
В силу невырожденности Т на Q любое замкнутое выпуклое множество
Т(х) не содержит нуля. Поэтому существует некоторая выпуклая окрестность U
множества Т(х), также не содержащая нуля. Но так как отображение Т по-
лунепрерывно сверху, то в U лежат все образы Т(у') точек у из некоторой
окрестности V исходной точки х. Таким образом, каждой точке х € О можно
поставить в соответствие шаровую окрестность Vx, обладающую тем свойством,
что ее образ T(VX) лежит в выпуклом множестве, не содержащем нуля. Из по-
крытия компакта И открытыми шарами Vx выберем конечное подпокрытие.
Пусть такое подпокрытие образуют шары Vt,... ,Vm.
10.3.3.	Лемма. Существует такое <5 > 0, что шар радиуса S с центром в любой
точке х € П целиком лежит в одном из множеств Vj,..., Vm.
Пусть е(х) обозначает максимальный радиус шара с центром в х, цели-
ком лежащего в одном из множеств Vlt... ,Vm. Очевидно,
Ф) е(у) - Ца: - 2/||, е(у) е(х) - ||х - ?/||
для достаточно близких точек х, у. Отсюда |е(х) - е(у)\	||х - ?/||, т. е. функция
е(х) непрерывна на Q. Для завершения доказательства достаточно положить
<5 = mm{e(s) : х € П}. >
Возьмем любую гi-сеть и любую г2-сеть (гь е2 < <5/2) на П, и пусть
N	N
М®) = ^2аз^(х)Уг,	t2(x) = Y^(.x)z(	(10.9)
3=1	г=1
соответствующие однозначные аппроксимации вида (10.8). Для произвольного
х € Q в суммах (10.9) ненулевые коэффициенты могут быть только при тех у,,
г,, которые принадлежат образу <5-окрестности точки х. Но этот образ лежит
в одном из образов 7(14), который, в свою очередь, лежит в некотором выпуклом
множестве, не содержащем нуля. Поэтому в любой точке х € Q все векторы
у,, Zj, коэффициенты при которых в (10.9) отличны от нуля, также лежат
в выпуклом множестве, не содержащем нуля. Отсюда вытекает невырожденность
и непротивоположная направленность однозначных полей Z,(s), i2(s) на Q,
что влечет за собой их гомотопность. Корректность определения вращения
многозначного поля доказана. ►
10.4.	Теоремы о неподвижных точках
После того как у(Т, Q) сведено к вращению однозначной аппрок-
симации (10.8), теория вращения многозначных полей развивает-
ся проторенными путями. Доказательства фактически не требу-
ются. Достаточно ссылок на скалярные аналоги пп. 3.5, 3.6.
10.4. Теоремы о неподвижных точках
213
10.4.1.	Определение. Многозначные векторные поля Tq(x) и Т\(х)
называются гомотопными на Q, если существует замкнутое по со-
вокупности переменных многозначное отображение (с выпуклыми
образами) Н(х, t) (ж £ £i,t £ [0, 1]), такое что прилюбом t £ [0, 1]
поле H(x,t) невырождено на Q и
Н(х, 0) = Т0(ж), Н(х, 1) = Ti (х).
10.4.2.	Теорема. Гомотопные многозначные векторные поля име-
ют одинаковые вращения.
10.4.3.	Лемма. Если многозначное векторное поле Т невырождено
на замыкании Q, то т(Т, Q) = 0.
◄ При достаточно малых е аппроксимации (10.8) ® поля Т невырождены
на Q. Далее остается сослаться на лемму 3.5.4. ► Такому образцу следуют
и другие доказательства.
10.4.4.	Теорема. Пусть у(Т,Г1)	0. Тогда включение 0 £ Т(ж)
разрешимо в П, т.е. существует точка х* £ Q, в которой
0 £ Т(х).
10.4.5.	Теорема. Если при любом ж £ Q произвольные векторы
У\ £ Т\(х), у2 £ Т2(х) не направлены противоположно, то поля
Т](х) и Т2(х) гомотопны.
Теорему Брауэра обобщает получившая широкое распростра-
нение
10.4.6.	Теорема Какутани. Пусть многозначное отображение Т(х)
переводит в себя замкнутый шар В, т.е. Т:В —У 2В. Тогда у Т в В
есть неподвижная точка х* £ Т(х*).
Ч Без ограничения общности центр шара В можно считать расположен-
ным в нуле. Предположим противное: Т не имеет неподвижной точки в В.
Тогда поле х - Т(х) невырождено на сфере В и, в силу Т(В) С В, векторы
х € В и х — у при любом у g Т(х) — непротивоположно направлены, иначе
точке у пришлось бы лежать на продолжении радиус-вектора х 6 В, что проти-
воречит условию Т(В) С В. Далее решает ссылка на теорему 10.4.5. ► Обратим
Имеются в виду ^-аппроксимации не на границе, а на замыкании Я.
214
Глава 10. Многозначные поля
внимание, что схема доказательства почти слово в слово повторяет обоснование
теоремы 3.6.2. Такая аналогия имеет место и для следующих результатов.
10.4.7.	Теорема. Пусть 0 € £1 и х-у 0 для любой пары векторов
хе й, ует(х).	(ю.ю)
Тогда включение 0 еТ(х) разрешимо в Q.
10.4.8.	Теорема. Пусть 0е£1их-у^х-х для любой пары
векторов (10.10). Тогда отображение Т имеет неподвижную точку
ж* е й.
10.4.9.	Теорема. Пусть 0 е£1 и для любой пары векторов (10.10)
существует индекс i, такой что Xiyi > 0. Тогда включение 0 6 Т(х)
разрешимо в £1.
10.4.10.	Теорема. Пусть Q eTluy Хх для любой пары векторов
(10.10) и любого А > 1. Тогда отображение Т имеет неподвижную
точку ж* Е Q.
Аналогию с однозначными отображениями можно было бы
продолжить. Так, например, легко доказать аналоги теорем о су-
ществовании у многозначных отображений собственных векто-
ров, т. е. о разрешимости включений Аж Е Т(х) при некотором А.
Для многозначных отображений справедлива также теорема об ал-
гебраическом числе неподвижных элементов поля, аналогичная
теореме 5.1.1. Под неподвижными элементами в данном слу-
чае понимаются связные множества нулей многозначного поля,
и речь идет об изолированных неподвижных элементах, имеющих
непересекающиеся окрестности.
В приведенных выше теоремах фигурируют различные пред-
положения относительно пары векторов (10.10). Эти предполо-
жения было бы полезно ослабить, требуя справедливости тех или
иных условий не для любого ж Е Й и любого у Е Т(х), а для
любого ж Е Й и некоторого у Е Т(х). В отдельных случаях такое
послабление возможно. Вот два примера соответствующих утвер-
ждений, первое из которых обобщает теорему Какутани.
10.4. Теоремы о неподвижных точках
215
10.4.11.	Пусть В — замкнутый шар и для любого х £ В некоторый
вектор у £ Т(ж) принадлежит В, т.е. пересечение любого образа
Т(х) (х £ В) с В не пусто. Тогда у Т в В есть неподвижная точка
X* £ Т(ж*).
Сначала заметим, что теорема Какутани остается справедливой, если Т
переводит в Б не весь шар В, а лишь его границу (только это и было
использовано в доказательстве теоремы 10.4.6). В данном случае этому условию
удовлетворяет отображение 7?Р)Т(ж). Далее желаемый вывод обеспечивается
ссылкой на п. 10.4.6). ►
10.4.12.	Теорема. Пусть O£Q«®-t/^O для любого х £ Q
и некоторого у £ Т(х). Тогда включение 0 £ Т(х) разрешимо в £1.
Положим Р(х) = {z : х • z 0}. Отображение Р(х) Q Т(х) удовлетво-
ряет предположениям теоремы 10.4.7. ►
Сокращения и обозначения
< и ► - начало и конец рассуждения, темы, доказательства
> — утверждение приводится без доказательства
< — утверждение легко может быть доказано
(?) — предлагает проверить или доказать утверждение в качестве упражнения,
либо довести рассуждение до «логической точки»
(!) — предлагает обратить внимание
«в томм случае» — «в том и только том случае»
А => В — из А следует В
х € X — х принадлежит X
X U У, X П У, Х\У — объединение, пересечение и разность множеств
X С У — X подмножество У, в том числе имеется в виду возможность
X С У, т. е. между X С У и X С У различия не делается
~ — отношение эквивалентности, определяемое контекстом
0 — пустое множество
Л — замыкание Л
Л = дО — граница Л
2!! — множество всех подмножеств множества Л
N — множество натуральных чисел {1,2,...}
Сокращения и обозначения
217
Z — группа целых чисел -1, О, 1,...} по сложению
R = (-оо, оо) — вещественная прямая
R” — n-мерное евклидово пространство
3 — квантор существования
V — квантор общности
S’*-1 — единичная сфера в R"
1Х — тождественное отображение X -> X
> — знак полуупорядоченности по конусу К; х > у означает х - у € К;
а векторное неравенство х > у означает х - у 6 int К
К+ — конус неотрицательных функций
R” — неотрицательный ортант
х • у = {х, у) — скалярное произведение векторов х и у
dx
х = —----производная по времени
ас
ди ,	,
— = их — частная производная функции и по переменной х
ох
V f(x) — градиент функции f(x)
Литература
1.	Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М., 2004.
2.	Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Вве-
дение в теорию многозначных отображений и дифференциальных
включений. М.: URSS, 2005.
3.	Босс В. Интуиция и математика. Изд. 3-е. М.: URSS, 2008.
4.	Босс В. Лекции по математике. Т. 1: Анализ; Т. 2: Дифференциальные
уравнения; Т. 3: Линейная алгебра; Т. 4: Вероятность, информация,
статистика; Т. 5: Функциональный анализ; Т. 6: От Диофанта до Тью-
ринга; Т.7: Оптимизация; Т. 8: Теория групп; T9: ТФКП; Т. 10: Пе-
ребор и эффективные алгоритмы; Т. 11: Уравнения математической
физики; Т 12: Контрпримеры и парадоксы; Т. 13: Топология; Т. 14:
Теория чисел. М.: URSS, 2004-2010.
5.	Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и ее применения. М.:
Мир, 1968.
6.	Емельянов С. В., Коровин С. К., Бобылев Н. А., Булатов А. В. Гомотопии
экстремальных задач. М.: Наука, 2001.
7.	Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику:
От маятника до турбулентности и хаоса. М., 1988.
8.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа. М.: Наука, 1972.
9.	Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференци-
альных уравнений. М., 1966.
10.	Красносельский М.А., Забрейко П. П. Геометрические методы нели-
нейного анализа. М.: Наука, 1975.
11.	Красносельский М.А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линей-
ные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985.
12.	ЛэмДж.Л. Введение в теорию солитонов. М., 2000.
13.	Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный
курс. М.: Мир, 1972.
14.	Опойцев В. И. Нелинейная системостатика. М.: Наука, 1986.
Литература
219
15,	Опойцев В. И. Обращение принципа сжимающих отображений //
УМН. 1976. 31, вып.4. С. 169-198.
16.	Опойцев В. И. Обобщение теории монотонных и вогнутых операто-
ров // Тр. Моск, матем. об-ва. 1978. 36. С. 237-273.
17.	Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих
систем. Изд. 6-е. М.: КомКнига/URSS, 2007.
18.	Постон Т, Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М., 1980.
19.	Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.:
URSS, 2001.
Предметный указатель
Автоколебание 98
атлас 61
ахиллесово направление 52
Базис стандартный 63
бифуркация 176
Вариация 120
векторное поле 41
---многозначное 211
верхняя граница 173
внедиагональная
монотонность 148
—	отрицательность 164
—	положительность 147
вполне непрерывное поле 119
— непрерывный оператор 119
вращение векторного поля 44
— вполне непрерывного
векторного поля 122
—	линейного поля 53
—	положительного поля 141
входной сигнал 12
вынужденное колебание 97
выходной сигнал 12
Гетерогенный оператор 153
гладкая гомотопия 63
—	изотопия 67
гомеоморфизм 60
—	локальный 60
гомеоморфные пространства 60
гомотопные отображения 48
Диагональное расщепление
оператора 153
диффеоморфизм 60
диффеоморфные
пространства 61
дифференциал Гато 120
— Фреше 120
дифферен цируемость
по Фреше 120
Задача Коши 95
Иерархия циклов
Шарковского 193
импульсная переходная
функция 12, 101
индекс на бесконечности 79
— нуля 77
— цикла 116
интегральный оператор
Вольтерра 32
Карта 61
— локальная 61
карты согласованные 61
касательное пространство 62
катастрофа сборки 112, 186
компакт 119
компактность в себе 120
конус 136
—	воспроизводящий 138
—	вполне правильный 138
— матричный 150
Предметный указатель
221
— миниэдральный 173
— неотрицательных
функций 137
—	нормальный 138
—	правильный 138
—	сильно миниэдральный 173
—	телесный 138
конусный отрезок 139
критическая точка 64
критическое значение 64
Лемма Кластера—Куратов-
ского—Мазуркевича 56
липшицевость 25
локальная эквивалентность
функций 108
локальные координаты 62
Матрица монодромии 99
метрика Биркгофа 159
—	Хаусдорфа 210
многообразие гладкое 62
—	с краем 62
множество компактное 119
—	предкомпактное 119
морсовское I-седло 108
мультипликатор 99
Накрытие конуса 167
направляющий потенциал 105
невырожденная деформация 48
неотрицательный ортант 82
непрерывность
по Хаусдорфу 210
неявная функция 34
норма евклидова 29
—	кубическая 29
—	линейного оператора 30
—	матрицы 30
—	октаэдрическая 29
—	подчиненная 30
— спектральная 30
— столбцовая 30
— строчная 30
нуль векторного поля 42, 53, 77
Обезьянье седло 108
ограниченность по конусу 173
оператор Гаммерштейна 121, 155
— гетерогенный 154
— монотонный 137
— положительный 137
— сдвига 95
— сильно положительный 158
— суперпозиции 154
— Урысона 119
ориентация положительная 63
— стандартная 63
отображение замкнутое 209
— многозначное 209
— полунепрерывное сверху 210
Подвижно гомотопные
функционалы ПО
положительно гомотопные
отображения 142
полуупорядоченность 137
пример Какутани 118
— Урысона 28
принцип Браудера 89
— Лере—Шаудера 125
— сжимающих
отображений 24, 25
— Шаудера 125
проектор Шаудера 121
производная Гато 120
— на бесконечности 80
— Фреше 120
пространство Еи 161
222
Предметный указатель
Равновесие по Нэшу 15
равномерная
невырожденность 118
растяжение конуса 146
реакция Белоусова—Жаботин-
ского 17
регулярная точка 64
регулярное значение 64
Сжатие конуса 146
сжимающее отображение 24
сильная производная 120
слабая производная 120
сопутствующая динамическая
система 157
сопутствующий оператор 153
степень отображения 49, 66
структурная устойчивость
вращения 73
Теорема Адамара 35
—	Бобылева 110
—	Брауэра 55
—	Какутани 213
—	Красносельского 180
—	о неявной функции 33
—	Парусинского 109
—	Перрона 174
—	Сарда 64
—	Хопфа 74
—	Шарковского 194
теоремы родственности 130
тильда-оператор 153
точка невозвращаемости 103
— смены индекса 179
точная верхняя граница 173
— нижняя граница 173
трансверсальность 116
Уравнение в вариациях 96
— Дуффинга 98
Факториальная сходимость 32
формула произведения
вращений 79
функционализация параметра 85
функция Трина 12
— последования 115
Цикл 115, 116
—	невырожденный 192
Число Рейнольдса 83
Эквивалентность критических
точек 108
ТГ-растяжение конуса 164
К-сжатие конуса 164
Р-отображение 58
—	локально универсальное 170
—	универсальное 169
----по приращению 170
и0 -измеримый элемент 161
и0 -норма 161
iirsstm iirssth URss.ru • URSs.ru
Другие книги нашего издательства:
Босс В.
Интуиция и математика	LIR^S
Книга раскрывает существо многих математических идей
и явно представляет собой новый шаг в области популяриза-
ции науки. Неожиданно просто и коротко передается смысл
фундаментальных результатов. Сложные факты предстают
в интуитивно ясном виде. Стиль изложения необыкновенно
экономен. Интонация дружественная.
Для широкого круга читателей. В первую очередь для сту-
дентов и преподавателей, инженеров и научных работников.
И даже для старших школьников, которые сумеют обойти
незначительные вкрапления высшей математики.
" v 'м
МАТЕМАТИКА*
s»
Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике.
Милнор Дж. Теория Морса.
Клейн Ф. Неевклидова геометрия.
Клейн Ф. Высшая геометрия.
Ху Сы-Цзян. Теория гомотопий.
Стинрод Н. Топология косых произведений.
Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия.
Постников М. М. Лекции по алгебраической топологии.
Харди Г. Г. Курс чистой математики.
Харди Г. Г. Расходящиеся ряды.
Харди Г. Г, Рогозинский В. В. Ряды Фурье.
Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства.
Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии.
В. Босс. Наваждение
Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий.
Дубровин Б. А., Новиков С. П, Фоменко А. Т. Современная геометрия. Т. 1-3.
Магницкий И. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики.
Грин Б. Элегантная Вселенная. Пер. с англ.
Грин Б. Ткань космоса. Пер. с англ.
Пенроуз Р. НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ. О компьютерах, мышлении и законах физики.
Тел./факс: (499) 135-42-46, (499) 135-42-16, E-mail: URSS@URSS.ru http://URSS.ru	Наши книги можно приобрести в магазинах: «Библио-Глобус» (м. Лубянка, ул.мясиициая, 6. Тел. (495) 625-2457) «Мосиовский дом иииги» (м.Арбатсиая, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (495) 203-8242) «Молодая гвардия» (м.Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. (495) 238-5001, 780-3370) «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр-т, 40. Тел. (495) 137-8019) «Дом книги иа Ладожсной» (и. Бауманская, ул. Ладожская, 8, стр.1. Тел. 287-0302) «Гнозис» (м. Университет, 1 гум.корпус МГУ, иомн.141. Тел. (495) 939-4713) «У Кентавра» (РГГУ) (м. Новослободсиая, ул. Чаянова, 15. Тел. (499) 973-4301) «СПб. дом книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 448-2355)
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSSTU
В «Лекциях по математике» В. Босса вышли тома:
1. Анализ. 2. Дифференциальные уравнения. 3. Линейная алгебра.
4. Вероятность, информация, статистика. 5. Функциональный
анализ. 6. От Диофанта до Тьюринга. 7. Оптимизация.
8. Теория групп. 9. ТФКП. 10. Перебор и эффективные
алгоритмы. 11. Уравнения математической физики.
12. Контрпримеры и парадоксы. 13. Топология. 14. Теория чисел.
15. Нелинейные операторы и неподвижные точки.
Готовится: «Теория множеств».
В условиях
информационного
наводнения
инструменты
вчерашнего дня
перестают,
работать.
Поэтому учить
надо как-то иначе.
«Лекции» дают
пример.
Плохой ли, хороший —
покажет время.
Oto в любом случае,
это продукт нового
поколения,
ffle же «колеса»,
тот же «руль», та же
математическая
суть, — но по-другому.
В. Ъосс
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 (499) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 (499) 135^2-46
Из отзывов читателей:
Чтобы усвоить предмет,
надо освободить его от деталей,
обнажить центральные
конструкции. Это тяжелая
работа, которая в «Лекциях»
проделывается автором.
Дается то, чего недостает. Общая
картина, мотивация, взаимосвязи.
И самое главное — легкость
вхождения в любую тему.
Содержание продумано и хорошо
увязано. Громоздкие доказательства
ужаты до нескольких строчек.
Виртуозное владение языком.
9
8715 ID 111667
785397
013284
@ЙН»| ®	«iwsii»!,
а	®п@чйлк«1 чдагей®
я©
йГ.©Ч51:и»;1 isi
>есу URSS@URSS.ru.
в нашем интернет-магазине http://LIRSS.ru