М. О. Корпусов, А. Г. Свешников
НЕЛИНЕЙНЫЙ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
В ФИЗИКЕ
МЕТОДЫ .
ИССЛЕДОВАНИЯ
URSS
НЕЛИНЕЙНЫ^
ОПЕРАТОРОВ?

М. О. Корпусов, А. Г. Свешников
НЕЛИНЕЙНЫЙ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ФИЗИКЕ
Методы исследования
нелинейных операторов
URSS
МОСКВА

ББК 22.152 22.162 22.18 22.311 22.318
Настоящее издание осуществлено при финансовой поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
(проект № 10-01-07051)
Корпусов Максим Олегович,
Свешников Алексей Георгиевич
Нелинейный функциональный анализ и математическое моделирование
в физике: Методы исследования нелинейных операторов. — М: КРАСАНД,
2011.—480 с.
Настоящая книга посвящена изложению основных методов нелинейного
функционального анализа, а также их применения к конкретным краевым
и начально-краевым задачам для нелинейных уравнений в частных производных.
В книге описаны вариационные, топологические методы, методы компактности
и монотонности, а также метод верхних и нижних решений. Наконец, рассмотрены
основные методы доказательства отсутствия нетривиальных решений и разрушения
решений за конечное время.
Книга предназначена для специалистов в области математической и
теоретической физики, будет полезна также студентам и аспирантам соответствующих
специальностей.
Издательство «КРАСАНД». 117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 60x90/16. Печ. л. 30. Зак. № 405.
Отпечатано в ООО «ПК „Зауралье"». 640022, Курган, ул. К. Маркса, 106.
ISBN 978-5-396-00363-7
©КРАСАНД, 2011
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
UftSS
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс (многоканальный):
+ 7 (499) 724-25-^5
9177 id 118567
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме И какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.

Содержание
Предисловие б
Введение 7
Глава 1. Нелинейные операторы 9
§ 1. Введение 9
§ 2. Производные Гато и Фреше нелинейных операторов 9
§3. Оператор Немыцкого 19
§4. Производная Фреше оператора Ар 21
§ 5. Компактные операторы 28
Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы .... 38
§ 1. Введение 38
§ 2. Потенциальные операторы 38
§ 3. Полунепрерывные функционалы 47
§4. Одно квазилинейное уравнение 60
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум 64
§ 1. Введение 64
§ 2. Уравнение Лагранжа 64
§3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана 72
§4. Задача нелинейной оптики (I) 91
§5. Задача нелинейной оптики (II) 115
§6. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева 124
§7. Одна задача теории полупроводников 136
Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале 146
§ 1. Введение 146
§2. Род множества 146
§3. Псевдоградиентное векторное поле 151
§4. Лемма о деформации 2 156
§5. Теорема о горном перевале 169
§6. Система уравнений фон Кормана 182

4 Содержание
Глава 5. Вариационный метод. Принцип концентрированной
компактности П. Л. Лионса 188
§ 1. Введение 188
§2. Основная лемма 192
§3. Вариационные задачи в L1 197
§ 4. Орбитальная устойчивость уединенных волн
уравнения Кортевега—де Фриза 209
Глава 6. Метод компактности 223
§ 1. Введение 223
§2. Нелинейное гиперболическое уравнение 223
§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа. . 234
§4. Div-curl-лемма и ее применение 251
Глава 7. Метод монотонности 264
§ 1. Введение 264
§ 2. Основные понятия теории монотонных операторов 264
§ 3. Теоремы существования 268
§4. Одна задача теории сегнетоэлектричества 277
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке 292
§1. Введение 292
§ 2. Принцип сжимающих отображений 292
§ 3. Принцип неподвижной точки Шаудера 294
§ 4. Нелинейное параболическое уравнение 298
§ 5. Квазилинейное уравнение с псевдолапласианом 308
Глава 9. Топологические методы 311
§ 1. Введение 311
§2. Топологическая степень в конечномерном случае 311
§3. Топологическая степень в банаховом пространстве 316
§4. Некоторые примеры 321
Глава 10. Метод верхних и нижних решений 327
§ 1. Введение 327
§2. Мотивация 327
§ 3. Существование решения краевой задачи
для полулинейного эллиптического оператора 329
3.1. Классическая разрешимость.
Результат Герберта Аманна 329
3.2. Один результат о неединственности Герберта Аманна. . 345
3.3. Слабая обобщенная разрешимость 352

Содержание 5
§4. Квазилинейное эллиптическое уравнение 355
4.1. Результат Г.Аманна и М. Г. Крэндэлла 355
4.2. Результат С. И. Похожаева для Au = f(x, и, Vtx) 366
4.3. Система уравнений эллиптического типа.
Результат Н. Кавано 376
§ 5. Параболические уравнения. Полулинейное параболическое
уравнение. Результат Д. X. Саттингера 384
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений 399
§1. Введение 399
§ 2. Классическая теорема X. Фуджита 399
§ 3. Разрушение решения нелинейной системы уравнений
гидродинамического типа. Метод X. А. Левина 403
§4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева
и Э. Л. Митидиери 409
4.1. Отсутствие решений нелинейных стационарных
дифференциальных неравенств 414
4.2. Отсутствие глобальных решений эволюционных
дифференциальных неравенств первого порядка 424
4.3. Отсутствие глобальных решений эволюционных
дифференциальных неравенств второго порядка 433
4.4. Отсутствие глобальных решений нелинейных
дифференциальных неравенств Соболевского типа .... 440
Приложение. Критические точки на финслеровом С1 -многообразии . . . 452
Литература 468
Предметный указатель 473

Предисловие
Настоящая книга является продолжением монографии по методам
нелинейного функционального анализа «Геометрические и топологические
свойства линейных пространств» [20]. В данной работе мы акцентируем
внимание читателя на следующих методах нелинейного анализа:
вариационных методах, методах компактности и монотонности, топологических
методах и методе верхних и нижних решений. Изложение теоретического
материала иллюстрируется примерами из физики полупроводников,
физики твердого тела, нелинейной оптики и нелинейной механики.
Содержание и тематика книги обсуждались с И. А. Шишмаревым,
который высказал много полезных замечаний, за что авторы ему искренне
признательны.

8
Введение
В девятой главе предлагается топологический метод, основанный на
понятии степени отображения. Предлагаются его применения к
некоторым стационарным задачам.
В десятой главе рассматривается важный метод верхних и нижних
решений, работающий там, где имеет место принцип максимума.
В одиннадцатой главе рассматриваются два основных метода
доказательства отсутствия и разрушения решений нелинейных уравнений
различных типов — энергетический метод X. А. Левина и метод нелинейной
емкости С. И. Похожаева и Э. Митидиери.
Наконец, в Приложении рассматривается результат А. Жулькина о
распространении метода теории категории Люстерника—Шнирельмана
на многообразия С1-гладкости.
Данная книга была написана в ходе выполнения проекта РФФИ
№ 08-01-00376 и президентской программы поддержки молодых докторов
наук МД-99.2009.1.

Введение
Книга состоит из одиннадцати тематических глав.
В первой главе вводятся необходимые для дальнейшего изложения
свойства нелинейных операторов. Вводится оператор Немыцкого,
который используется в вариационных и топологических методах. Наконец,
рассмотрены некоторые свойства оператора
Apu = div (|Vtx|p~2Vu) при р > 2.
Во второй главе рассматриваются полуограниченные функционалы, для
которых устанавливаются теоремы о существовании экстремальных точек.
В третьей главе рассматривается задача на условный экстремум.
Разобрана теория категорий Люстерника—Шнирельмана, на основе которой
получены достаточные условия существования счетного множества
критических точек четного функционала относительно некоторого
многообразия. Также рассматривается метод глобального расслоения С. И.
Похожаева. Теория иллюстрируется примерами из физики.
В четвертой главе разбирается теория рода множеств, введенная
М. А. Красносельским, а также теорема о горном перевале А. Амбросетти
и П. Рабиновича. На основе этого рассматриваются одна квазилинейная
задача для оператора Ар и система уравнений фон Кормана, возникающая
в нелинейной механике.
В пятой главе рассматривается принцип концентрированной
компактности П. Л. Лионса, который используется для доказательства так
называемой орбитальной устойчивости уединенной волны для уравнения
Кортевега—де Фриза.
В шестой главе рассматривается известный метод компактности,
который широко используется в нелинейном анализе. Этот метод
применяется к изучению разрешимости в слабом смысле одной нелинейной
гидродинамической задачи. Кроме того, вводится так называемая Div-Curl-
лемма, на основе которой в дальнейшем исследуется одна задача для
уравнения Камассы—Холма.
В седьмой главе излагается метод монотонности, который позволяет
при недостаточном количестве априорных оценок доказывать теоремы
о слабой разрешимости, если «главный» нелинейный оператор обладает
неким свойством монотонности. В качестве примера рассматривается одна
задача из теории сегнетоэлектриков.
В восьмой главе рассматривается один из самых распространенных
методов нелинейного анализа — метод, основанный на теореме о
неподвижной точке. Рассматриваются приложения этого метода к нелинейным
эллиптическим и параболическим уравнениям.

Глава 1
Нелинейные операторы
§ 1. Введение
В этой главе мы введем важные понятия дифференцируемости по
Гато и по Фреше. Эти два понятия носят фундаментальный характер при
исследовании вариационных задач, а также при рассмотрении
различных нелинейных краевых задач. Будут доказаны важные теоремы о связи
этих двух понятий друг с другом и с понятиями непрерывности функций,
дифференцируемых или по Гато, или по Фреше. Рассмотрение данных
понятий будет снабжено некоторыми примерами. Наконец, последняя
часть этой главы будет посвящена важному для приложений оператору
Немыцкого. Будет приведен без доказательства фундаментальный
результат о сильной непрерывности оператора Немыцкого. Этот результат будет
неоднократно использоваться в дальнейшем. Для понимания этой главы
достаточно владеть понятиями, сформулированными в [20, гл. 1].
§2. Производные Гато и Фреше
нелинейных операторов
Пусть В| и П&2 — это два банаховых пространства относительно норм
|| ||i и || 112 соответственно. Пусть, кроме того, (•, -)i и (•, -)2 есть
соответствующие скобки двойственности.
Рассмотрим некоторый, вообще говоря, нелинейный оператор
F : В| -> В2.
Введем понятие дифференцируемости по Гато оператора F. Дадим
соответствующее определение.
Определение 1.1. Оператор F называется дифференцируемым по
Гато в точке u £ Bj, если для любого ft Е В| имеет место предельное
равенство
F(u + Aft)-F(tx)
lim
А-*0
= 0,
(2.1)
где ¥д(и) при каждом фиксированном tiGBj есть линейный оператор
из В| в В2. При этом нелинейный по и £ Bj оператор ¥'д(и)
называется производной Гато оператора F.

10
Глава 1. Нелинейные операторы
Замечание 1.1. Введем В2-значную функцию
<р(\) = F(u -f АЛ)
для всех u, h G Ш\ и A G R1. Тогда, как нетрудно видеть, согласно определению 1.1
имеет место равенство
ал а=0
Рассмотрим теперь ряд примеров производных Гато отображений.
Пример 1.1. Рассмотрим случай линейного оператора
F : Bi -> В2.
Тогда, очевидно, в силу линейности этого отображения имеет место
следующее равенство:
F(u + Aft)-F(ti) _pft>
т.е.
f;(u) = f.
Тем самым приходим к выводу о том, что линейный оператор из В| в В>2
является бесконечное число раз дифференцируемым по Гато, причем всякий
раз соответствующая производная Гато совпадает с самим оператором, >
Пример 1.2. Рассмотрим следующее отображение:
f = (f,,...,fn):rm->rn,
где Rm и Rn — это евклидовы пространства строк. Конечно, они являются
банаховыми относительно, например, таких норм:
INI, = (|«,|2 + ... + |«т|2),/2 и Nh = (N2 + ... + W2)1/2,
где u = (ui,..., um) g Rm и v = (v\,..., vn) g Rn • Вычислим производную
Гато отображения f. Как известно из линейной алгебры, всякое
линейное отображение из Rm в Rn можно задать некоторой вещественной
матрицей А, состоящей из m строк и п столбцов. Поэтому согласно
определению 1.1 имеет место предельное равенство (2.1). Возьмем в этом
предельном равенстве в качестве Л вектор е;- g Rm:
е;- = (0,...,0,1,0,...,0),
где 1 стоит на j-m месте. Согласно определению 1.1 при фиксированном
ueRm
есть линейный оператор из rm в r„. Поэтому
F;(«)e;- = Ае,-

§ 2. Производные Гато и Фреше нелинейных операторов
11
и, значит,
(Ае,)* = dkj ,7 6 1,га и fcGl,n.
Тем самым из (2.1) с учетом выбора норм получаем, что
lim
А-*0
Но, как хорошо известно,
А
0.
A-iO A duj ''
Таким образом,
т. е. производная Гато отображения F представляет собой якобиан этого
отображения. >
Пример 1.3. Рассмотрим оператор Гаммерштейна
1
Щи) = J к(х, у)д(и(у), у) dy для всех у G [0, 1].
о
В качестве банаховых пространств В\ и В2 возьмем С[0, 1] и потребуем,
чтобы
к(х, у) G С([0,1] х [0,1]), х) G С(Е! х [0,1]).
В силу этих предположений имеет место предельное равенство
А-+0 А ои
Поэтому производная Гато оператора Гаммерштейна имеет вид
1
G'g(u)h = J к(х, У)^Ыу), y)h(y) dy для всех h(x) G C[0,1]. >
о
Теперь приступим к рассмотрению еще одного вида производной от
оператора — производной Фреше. Дадим определение.
Определение 1.2. Оператор F называется дифференцируемым по
Фреше в точке и G Bi, если в окрестности этой точки для любого
h G Bi имеет место следующее представление:
¥{и 4- h) = ¥{и) + ¥f{u)h + ш{щ h), (2.2)

12
Глава 1. Нелинейные операторы
причем
ш Мм*=0. (2.3)
Линейный при фиксированном и €Ш\ оператор
¥'f(u) : в, -> в2
называется производной Фреше оператора f.
Пример 1.4. Рассмотрим отображение, определенное формулой
¥(х) = <
j^P~2 при x = {xux2)^0;
Х| ~h Xj
О при х = (жь Xi) = (0,0).
Докажем, что это отображение дифференцируемо по Гато в точке (0,0).
Действительно, имеет место следующая цепочка выражений:
W(x + \h)-¥(x) 1 X*h]h2 h]h2
—а— = \щтщ=хщтц-*° при
в точке х = (0,0). Тем самым производная Гато этого отображения в
точке (0,0) равна нулевому отображению: f^(0) = в. Предположим, что
производная Фреше этого отображения существует в точке (0,0) и равна
нулевому отображению 9. Действительно, согласно определению 1.2
производной Фреше и явному виду отображения f имеет место следующее
равенство:
F(fc) =«(*,*), UpJ'^y11 =0 при ||Л||->+0.
||Л|Н0 А
Значит, с необходимостью получаем, что
HF(A)|| t
0.
Рассмотрим стремление к точке (0, 0) вектора Л € R2 по кривой h2 = h\.
Имеет место равенство
\№)\\ N3IM 1
1 11 1 /А
нлЦл I -- = , I -»г*0 при

§ 2. Производные Гато и Фреше нелинейных операторов
13
Полученное предельное равенство означает, что производной Фреше в
точке (0,0) не существует. Тем самым из существования производной Гато в
какой-то точке не следует существование производной Фреше в этой же
точке. >
Возникает естественный вопрос: при каких дополнительных условиях
существует производная Фреше в некоторой точке, в том случае когда
сущсствовует производная Гато в той же точке. Для ответа на этот вопрос
нам необходимо доказать следующие два утверждения о среднем значении.
Во-первых, справедлив следующий результат.
Теорема 1.1. Пусть ¥ : В -> R1. Тогда для каждой пары и, Л G В
найдется такое число А = \(и, h) G (0,1), что имеет место формула
¥{и 4- Л) - F(ti) = (¥'g(u 4- АЛ), ft), (2.4)
где (•, •) есть скобки двойственности между банаховыми
пространствами В и В*.
Доказательство. Введем всщественно-значную функцию
<р(\) =F(u4-Aft).
В силу замечания 1.1 имеем
iP,(X) = (¥,g(u + Xh)1h).
Заметим теперь, что в силу теоремы Лагранжа для вещественных функций
имеет место равенство
<р(\) - (р(0) = у/(А) при некотором A G (0, 1).
Значит, справедливо равенство (2.4).
Теорема доказана. □
Только что доказанная теорема позволит нам доказать следующий
результат.
Теорема 1.2. Пусть ¥ : В\ -> В2, тогда для каждой пары и,Н G Ш\
и f* G BJ найдется такое вещественное число А = A(u, Л, /*) G (0, 1),
что имеют место следующие выражения:
<Л F(« + ft) - F(t»))2 = (Л F;(t» + АЛ)Л>2 (2.5)
и
||Ж(« + Л)-Ж(«)||2< ||Г;(« + АЛ)||Ы2||А||,. (2.6)
Доказательство. Рассмотрим вещественнозначную функцию:
¥>(u) = (/*,F(«))2:B, ->R'.

14
Глава 1. Нелинейные операторы
Из дифференцируемости по Гато оператора ¥(и) вытекает дифференци-
руемость по Гато функции
<p(u) : Bi -> R1,
причем имеет место равенство
<4(«),л>, = <др;(«)л>г
В силу теоремы 1.1 имеет место равенство
ф 4- Л) - ф) = (fpf9(u 4- АЛ), Л),
при некотором числе А = А(м, Л, /*) G (0, 1). Значит, имеет место
равенство (2.5).
В силу следствия из теоремы Хана—Банаха при фиксированных
uy h G Bi найдется такое /* G В2 с ||/*||2* = 1, что
(Г, f(« + Л) - f(«)>2 = ||f(« + h) - F(«)||r
Тем самым имеет место неравенство (2.6).
Теорема доказана. □
Наконец, мы в состоянии доказать следующий результат.
Теорема 1.3. Пусть оператор F : Bi -> В2 является
дифференцируемым по Гато в некоторой окрестности точки и G Bj и производная
Гато Wg(-) непрерывна в точке и G Ш\. Тогда оператор F
дифференцируем по Фреше в этой же точке и G Bi и
f;(«) = f}(«).
Доказательство. Введем обозначение:
ш(щ h) = F(ti 4- Л) - ¥(и) - W'g(u)h.
Пусть /* G BJ, тогда имеем:
(Г, Л))2 = (Г, F(» + ft) - F(u)>2 - (/*, F;(tt)ft>r
По теореме 1.2 найдется такое число А = \(и, Л, /*) G (0,1), что
(Г, F(ti + h) - F(ti)>2 = (Г, F;(ti + Aft)ft>2.
Следовательно,
(Л Ф, h))2 = (Г, F;(ti 4- АЛ)Л - F;(ti)ft>2.
По следствию из теоремы Хана—Банаха при фиксированных и, h G Bi
найдется такое /* G В£ с ||/*||2* = 1, что
Httffc)||2 = <rf«(iiffc)>r

§ 2. Производные Гато и Фреше нелинейных операторов
Значит, имеет место неравенство
1И«,л)ц2<||р;
\\¥'g(u + Xh)-¥'g(u]
')||
НЛП
Следовательно, в силу непрерывности ¥'д(-) в точке u G В\ имеет место
неравенство
Теперь мы можем установить связь между понятиями
дифференцируемости по Фреше и непрерывности отображения. Справедлива следующая
Теорема 1.4. Пусть F: Bi -» В2 — это отображение,
дифференцируемое по Фреше в некоторой точке тогда отображение F
непрерывно в этой точке.
Доказательство. Действительно, в силу дифференцируемости по
Фреше в точке и G Bj имеет место следующее представление:
при достаточно малом Л G Bi. Но тогда имеет место следующая цепочка
неравенств:
||F(u + ft) - F(»)||2 < ||F(» + ft) - F(«) - F}(«)ft||2 + ||F}(t.)ft||2 <
<0 + 11'/(«)||м2)РН|-
Пример 1.5. Приведем пример отображения, дифференцируемого по
Гато в некоторой точке, но не непрерывного в этой точке. Пусть
1И«,л)||2
нгп —
цл|||-»о ||Л||,
Теорема доказана.
^ lim ||F;(ti + Afc)-F;(ti)||M2 =
цл|Иом *v *v /||,-+2
□
теорема.
||IF(« Ч- Л) — IF(«) — №->(«)Л||2 ^
Теорема доказана.
F:R2->R!,
при (ж|,ж2) = (0,0).
Действительно, выражение
¥(х 4- АЛ) - ¥(х)
А
в точке х = (0,0) имеет вид
А(А6Л* 4- А3Л^) А3Л* 4- h\
А5Л?Л2 % h\h2
ТТ~С ~7~~t ТГ Л - |;
-> 0 при А -> 0.

16
Глава 1. Нелинейные операторы
Значит, производная Гато указанного отображения существует в точке
х = (0,0) и равна нулевому отображению
¥'д(в) = 0.
Докажем, что тем не менее отображение F не непрерывно в нуле.
Действительно, рассмотрим кривую в R2 ж2 — \х\ при Л > 0 и устремим
точку (х\, хг) к (0,0) вдоль этой кривой. Тогда получим
¥(х)
х2=Лх? 1 4- А3'
Таким образом, предел при х -> (0,0) вдоль кривой ж2 = Хх\ зависит от
параметра А > 0. Следовательно, указанное отображение F не является
непрерывным в точке (0,0). >
Однако в случае дифференцируемости по Гато есть некоторый
ослабленный вариант непрерывности. Справедлива следующая лемма.
Лемма 1.1. Пусть отображение F дифференцируемо по Гато в
некоторой точке и G Bj. Тогда имеет место следующее неравенство:
||F(ti + Aft)-F(ti)||2<c|A|,
(2.7)
где с — с(и, h) > 0.
Доказательство. В силу дифференцируемости по Гато в точке и еВ\
имеет место следующая цепочка неравенств:
¥(u+\h)-¥(u)
¥(u+\h)-¥(u)
4-||Р;^)Л||2^с14-с2=с3,
где сз не зависит от А. Отсюда вытекает неравенство (2.7).
Лемма доказана.
□
Теперь мы в состоянии доказать формулы дифференцирования по
Гато и по Фреше композиции операторов. Именно, справедлив следующий
результат.
Теорема 1.5. Пусть ¥ : В] -> В2 и G : В2 -> В3, причем оператор ¥
дифференцируем по Гато в некоторой точке и G Вь а оператор G
дифференцируем по Фреше в точке ¥(и). Тогда их композиция
К = G oF
дифференцируема по Гато в точке и G Ш\, причем имеет место
следующее равенство:
K'g(u)=G,f(¥(u))¥'g(u). (2.8)

18
Глава 1. Нелинейные операторы
= ||g>,(F(t»), F(« + Л) - F(tt))||3 ||F(« + fc)-F(ti)||
||Л|™о ||F(a + A)-F(«)||2 ||А||,
Кроме этого, имеет место предельное равенство
„га ^tfb= о-
Тем самым приходим к утверждению теоремы.
Теорема доказана. □
Справедлив следующий важный результат.
Теорема 1.7. Пусть оператор ¥ является компактным и
дифференцируемым по Фреше в точке и Е Ш>\, тогда ¥j(u) является также
компактным оператором.
Доказательство. Предположим противное. Тогда найдется такое е > О
и такая последовательность ||ttn||i ^ 1, что
\\F'f(u)un-¥'f(u)um\\2^3e. (2.10)
С другой стороны, в силу дифференцируемости по Фреше в точке и Е Ш\
имеет место представление
f(u + ft) -¥(и) =р;(и)Л + а;(и,Л) для h€B\.
Тогда для этого е > 0 найдется такое д > 0, что при < д имеет место
неравенство
1Ив,А)||2<е||Л||,.
С другой стороны, справедливы равенства
F(ti 4- 6ип) - ¥(и) = ¥'f(u)Sun + ш(и, 6ип),
F(ti + Sum) - ¥(и) = ¥'f(u)6um 4- «(ti, 6um),
откуда сразу же получаем
f(t* 4- дип) - ¥(и 4- 6um) = S¥'f(u)(un - um) + u)(u, 6un) - u>(u, 8um).
Следовательно, отсюда вытекает цепочка неравенств
S\\¥'f(u)(un - um)\\2 < ||F(ti + дип) - ¥(u + Sum)\\2 +
+ Sun)\\2 4- \\ы(и, Sum)\\2 < ||F(tf 4- Sun) - ¥(u + Sum)\\2 + 2e8.
Заметим, что в силу (2.10) имеет место неравенство
\\F'f(u)(un-um)\\2>3e.
Значит, приходим к неравенству
||F(« + 5ип) - F(« 4- 8um)\\2 > ед > 0,
что противоречит предположению о компактности отображения f.
Теорема доказана. □

§ 2. Производные Гато и Фреше нелинейных операторов
17
Доказательство. Справедлива следующая цепочка неравенств:
щ||к(« + ал) - к(«) - ag'/(f(«))f;(«)||3 <
< + ал)) - G(F(ti)) - G',(F(«))(F(tt + ал) - F(«))||3 +
+ щНС/М»))[F(« + Aft) - F(ti) - af;(«)ft] ||, = Ii + h-
Рассмотрим сначала выражение I2. Для него справедлива оценка
¥{и + АЛ) - ¥{и)
h < \\G'f(¥(u)
l2-»3
-> 0 при A -> 0.
2
Теперь рассмотрим выражение для \\. Для него в силу определения 1.2
справедлива оценка
I, ^ + Aft) -F(«)||2) < щ5(|А|) = 3(1),
где мы воспользовались результатом леммы 1.1.
Теорема доказана. □
Наконец, справедлив следующий результат.
Теорема 1.6. Пусть ¥ :Ш\ -> В2 u G : В2 -> Вз, причем оператор ¥
дифференцируем по Фреше в некоторой точке и G Bj, а оператор G
дифференцируем по Фреше в точке ¥(и). Тогда их композиция
К = GoF
дифференцируема по Фреше в точке и G Bi, причем имеет место еле-
дующее равенство:
K'f(u) = G/(F(ti))F}(ti). (2.9)
Доказательство. Имеет место следующая цепочка неравенств:
||К(« 4- Л) - K(ti) - G'^F^JF}^)^ <
< ||G(F(ti + ft)) - G(F(ti)) - G',(F(ti)) [F(ti + ft) - F(ti)] ||3 +
+ ||G,;(F(tt)) [F(ti + ft) - F(ti) - F}(u)ft] ||3 <
^ ||«,(F(ii)fF(i. + ft) -F(ii))||3 + llG^F^H^H^Kft)^.
Теперь заметим, что в силу дифференцируемости по Фреше оператора F
имеет место оценка
||F(« + ft)-F(«)||2^c||ft||,.
Поэтому имеет место следующее предельное равенство:
1^,^(11)^(1» +ft)-F(ii))||3
lim — =
Plli->0 ||ft||i
2 Заказ 405

§ 3. Оператор Немыцкого
19
§ 3. Оператор Немыцкого
Теперь приступим к рассмотрению одного частного, но важного
класса операторов, называемых операторами Немыцкого. Для того чтобы ввести
оператор Немыцкого, нам сначала необходимо рассмотреть так
называемые каратеодориевы функции. Пусть (Г2, Ж, у) —- это есть полное
измеримое а-конечное пространство. Дадим определения.
Определение 1.3. Функция
/(х, и) : Q х RN R]
называется каратеодориевой, если она для всех и Е RN /х-измерима
на Г2 и для /х-почти всех х Е Г2 непрерывна по и Е RN.
Определение 1.4. Оператор Nf(u) = f(x,u(x)) называется
оператором Немыцкого.
Его важность при исследовании нелинейных краевых задач
обусловлена тем, что для него справедлива следующая теорема М. А.
Красносельского.
Теорема 1.8. Оператор Немыцкого Nf (и) является ограниченным и
непрерывным, действующим из
n
Y[hPk(n,ti) в Lg{Qlfi) при pktq Е [1,+оо)
к=\
тогда и только тогда, когда для соответствующей каратеодориевой
функции f(x, и) справедлива оценка
n
\Нх,и)\^а(х) + с^ЫРк/я
k=\
для всех и = (и\,... ,un) ЕRn и fi-почти всех х€П,где а(х) ЕL^(f2,/i).
Доказательство этой теоремы, достаточно сложное и кропотливое,
имеется в работе [22]. □
Рассмотрим теперь следующий важный результат, который будет нами
неоднократно использоваться в вариационных задачах.
Пусть
/(ж, и) : П х RN -> R1
является каратеодориевой функцией. Введем так называемую
потенциальную функцию
z
F(x,z) = f f(x,Od(, (3.1)
О
2*

20
Глава 1. Нелинейные операторы
а также функционал
tj){u) = J F(x, u(x)) dx.
(3.2)
Предположим также, что
\f(x,u)\^a(x) + c\u\p/p' при р - и ре(1,+оо),
Р- 1
где a(x) G L+(Q) и с > 0. Тогда для потенциальной функции F(x,u),
определенной формулой (3.1), имеет место следующее неравенство:
< ф)|и| + -|«1Р <
Р
, + — + - 1«Г = о, (ж) + с, |«|р,
V Р Р
(3.3)
где ai(x) G L!(Q) и ci > 0. Очевидно, что по своему определению
потенциальная функция F(x, и) является каратеодориевой и поэтому в силу
теоремы М. А. Красносельского и (3.3) приходим к выводу, что
соответствующий оператор Немыцкого
является ограниченным и непрерывным. Следовательно, функционал гр(и),
определенный формулой (3.2), является ограниченным и непрерывным
из Ufa) в R1. Действительно, в силу оценки (3.3) имеет место цепочка
неравенств:
J \F(x,u(x))\dx^ f a,(x)dx + c, J \u\p dx < c2 + d||ii||£.
Ограниченность доказана. Докажем непрерывность. Пусть
ип -> и сильно в LP(Q).
Тогда
\г/>(ип) - г/>(и)\ < ||JV>(ti,i) - NF(u)\U -> 0 при п -> +оо.
Итак, непрерывность и ограниченность функционала *ф(и) доказана.
Докажем теперь его дифференцируемость по Фреше. Рассмотрим следующее
выражение:
w(u, v) = гр(и + v) - *ф(и) - (Nf(u), v) для и, v G LP(Q);
Mti,t;)| <
У [F(z, н(ж) + v(z)) - F(z, ti(x))] dx - J Nf(u)(x)v(x) dx

§ 4. Производная Фреше оператора Ар
21
Заметим, что имеет место цепочка равенств
F(x, u(x) + v(x)) - F(x, u(x))
J — F(x, u(x) + tv(x)) dt = J f(x,u(x)+tv(x))v(x) dt.
0
Поэтому справедлива оценка
i
v)\ < J dt J dx \Nf(u + tv)(x) - Nf(u)(x)\• \v(x)\ <
о n
1
< f ЛЩ(и + Ь)-Щ{и)\\,\\о\\,.
0
Следовательно, в силу непрерывности оператора Немыцкого Nf(-) имеет
место предельное неравенство
1
Нт '^У*1 < lim Г dt\\Nf(u + tv)-Nf(u)\\.=0.
IN,->o \\v\\p->oJ 11 7 /v
о
Тем самым справедлива следующая лемма.
Лемма 1.2. При сформулированных условиях функционал гр(и),
определенный формулой (3.2), является дифференцируемым по Фреше, причем
имеет место следующее равенство:
ip'f(u) = Nf(u) для всех и G hp(Cl) при рЕ(1,+оо). (3.4)
§ 4. Производная Фреше оператора Ар
В этом параграфе мы вычислим производные Гато и Фреше важного
в приложениях нелинейного оператора — псевдолапласиана:
Ари ее div (\Vu\p-2Vu) : Wj'p(Q) -> УГ1*(П), p > 2, p' = p/(p - 1).
Этот оператор имеет производную Фреше, определенную на WqP(Q):
(Ap)'f(u)h ее div (\Vu\p~2Vh) + (p - 2) div (|Vt/|p"4(Vii, Vh)Vu) :
WlQP(Q) x WloP(Q) -> VTl^(a).
Действительно, пусть и, h G WqP(Q). Введем обозначения
C = Vti, i) = X7h.

22
Глава 1. Нелинейные операторы
Для нахождения производной Фреше оператора А\(и) = - div (|Vti|p 2Vti)
необходимо найти производную Фреше оператора |CIP~2C- С этой целью
предварительно найдем производную Гато указанной функции для любой
( G 1/(0) х 1/(0) х 1/(0), т.е. докажем, что имеет место предельное
равенство
lim || (\C+tfH"-2(C+tff)- 1С?-2С )г1 - 1С?-2ч-(р-2)1С?"4(С, ЙС"||, = о.
Для любых фиксированных С, if G 1/(0) х х множества
Ei = {xeQ:\C\>6> 0}, Ei = {х G П : |С1 < <*}
при произвольном фиксированном 6 > О являются измеримыми
подмножествами множества ft, причем, очевидно, ft = Eg U U Eo, мера
Лебега meas E0 = 0. Далее нам нужно рассмотреть два случая: р G (2,4)
и р G [4, +оо). Второй случай проще, поэтому мы рассмотрим первый.
Итак, пусть р G (2,4).
Рассмотрим векторнозначную функцию
e(t) = \C + tr}\p-2(C + tfl), Р>2,
для которой справедлива формула Тейлора с остаточным слагаемым в
форме Лагранжа:
S(t) = &(0) + S'(T)t, т €(0,0, в(о) = \(Г21
в'(т) = |С + ПрГ2П+ (р " 2) (г \fj\2 + (V, С)) 1С + т1ГЧС+ ^)]7r-qi=
= ч|(С + гч)ГЧ(р-2)|С + гч1'
Очевидно,
Кроме того,
J dx \e'(r)f < (р - \f' f dx W'lC + Trffb-
p_2)£
Ei Ei
/ - \ </(?-!)/ ч(р-2)/(р-1)
< (p - l)"^-') ^ у dx »pj у dx 1С + <
< С№Р-* [llfll, + r||41lp],'0,"2)/(P"l) < C,<$ + C2r < J
при достаточно малом J > 0 и малом £ > 0, г G (0,£). Таким образом,
справедлива оценка
(1С + *1ГЧ£+ *v) - 1С?"2С )г1 - 1сГ2? - (р - 2)|С?-4(С, ч)С
P'.Ei

§ 4. Производная Фреше оператора Ар 23
Справедливо следующее неравенство:
< f у dxia(p-2)pV,J f у *фт'гч =r.
Е* E*
Потребуем, чтобы pfri = р, тогда Г2 = р - 1, Г| = (р - 1)(р - 2) 1,
(р - 2)р'г\ = р, j/ri = р/(р - 2). Отсюда следует оценка
Y<(j dx |С? J f J dx\ff\p\ < C* < |.
4 4
Аналогичным образом доказывается, что
е
(р-2)\\\СГ4(Ш\^<1
при достаточно малом 6 > 0.
Значит,
(1с+tnr2((+1$ - \er2?)ri - ict2? - (p - 2)icr4(c, ffi<\lE, < f
при достаточно малых t > 0 и S > 0.
Теперь рассмотрим векторнозначную функцию
er(0 = ICr+<4f"2(f+««). Р>2,
на множестве Ед. Функцию 0(f) можно представить в следующем
эквивалентном виде:
e(t) = |1СТ + t2\vf + 2(С, v)Г2)/2(С + tv) = IC?-2|i + *Г2)/2(С + tff),
где
t2\C\2 + 2t(c,f})
z = ^—
1С?
где
1/р'

24
Глава 1. Нелинейные операторы
Пусть t > 0 настолько мало, что z 6 (0,1). Тогда, воспользовавшись
формулой Лагранжа и тем, что р € (2,4), получим
р-2
(1+гГ^=1 + ^____ ^(0,z).
Отсюда получим
вц)=ф)+лег2?+tip - 2)Ji!^i4c+
i
(i+o(4_p)/2 (i+o(4_p)/2
(P - 2)<2(C ?)icrv+ ^<2IC?-4l4l2C + ^3КГ41?12?
где из явного вида z следует, что при фиксированных
С, rj G LP(Q) х LP(Q) х LP(Q)
найдется такое г G (0,£), что справедливо представление
т21С12 + 2т(С,»?)
\с\2
Отметим, что
|^|>^|2|(С,ч)|-тМ2|, lCl>r|4f|
при достаточно малом г G (0,£) на множестве Ej. Кроме того, при таких
г G (0, t) справедливы оценки
1
(1+£)(4-р)/2
- 1
Отметим, что при |£| > т\гЦ имеет место неравенство |£| < 3. Справедливы
неравенства
j = I [g(t) - ад г1 - icrv - (р - 2)icT4(c «)c^iEi <
< ||(i - (1 + О^Хр - 2)1СГ4(С, *)<fl,>Ej +
+ ||(i + О0"4*'2 [(р - 2ЖС Ф\СГ*П+
+{р- 2)2-' icr4i4i2c<+(р - 2)2-' |с?-4м V
Для Ji выполнена следующая оценка равномерно по t > 0:
h < стст-2^!^^ < с(*. т\ы) < +оо.

§ 4. Производная Фреше оператора Ар
25
С другой стороны, в силу явного вида £ имеем, что £ +0 при т,
стремящемся к нулю для почти всех х G Е<$, t > т > 0. Значит,
(1-(1+О0'"4)/2)(р-2)<с|^и+о
при t > т > 0, стремящемся к нулю. Стало быть, в силу теоремы Лебега
приходим к выводу, что при достаточно малом t > 0 справедлива оценка
Воспользовавшись тем, что при достаточно малом t > 0 имеет место
неравенство \rj\t < \(\, получим соотношения
Ш?)\СГ**Ц<\СГ2\П\.
t\\cr4\m < \(Г2\П\,
t2\\(r4\ff\2fi\^\cr2\v\-
Отсюда с учетом явного выражения для J2 получим, что, с одной стороны,
при достаточно малом t > 0 имеем
J2^C;
с другой стороны,
t(vX)\<\p~4ff^o, t\Cr4№?^o, <2|СТ"4М2ч->о
при t -> +0 для почти всех х G E«j. И снова по теореме Лебега приходим
к выводу, что при при достаточно малом t > 0
е
4
Отсюда, при достаточно малом t > 0, следует:
Тем самым приходим к выводу, что
\\(\< + tv\p-2(< + tv) - \СГЧ)г1 - ICTV- (р- 2)\cr\Cv)c\l < е
при достаточно малом t > 0.
Следовательно, векторная функция
1С?-2С ре (2,4)
дифференцируема по Гато. Это в свою очередь означает, что оператор
div (\Vu\p~2Vu) дифференцируем по Гато для любого u G WqP(Q) и его
производная Гато имеет вид
div (\Vu\p~2Vh) + (р-2) div (| Vti|p~4(Vu, Vh)Vu) V h G Wj*p(Q).

26
Глава 1. Нелинейные операторы
Для удобства перепишем производную Гато оператора Ари в виде
А'|,и(«)Л = Ац(«)Л + Ai2(«)A,
A|,(«)ft = -div(|V«|p_2Vft),
А12(«)Л = -(р - 2) div (|V«|P_4V«(V«, Vft)),
где
A',,u(-): Wj*(0) -> £(Wi'p(n); W"1-"'^)), p' =
Докажем теперь, что производная Гато Ац(н) является сильно
непрерывным и ограниченным отображением
Wj'p(n) -> £(wi'p(n); W"iy(n)).
По определению имеем
||Ац(и) - A„K)||w,)P(nHw.iy(n) =
= sup ||An(t«)ft-AI|(t*n)ft|L.1yrnv <С sup Jn(u),
где
J»(*)= ( / d* lv^lp'Hv^r2 - 1^Г2Г') .
Отсюда получаем оценку сверху величины Jn(/i). Действительно,
справедливо следующее неравенство:
1п(Л) ^ у ] dx |Vfc|^ J ^ у ||Vtir2 - |VWnr2|pV2J
где
r\ +r2 = 1, ПР = p, ri=p-l, r2 = -, p=
p-2 p-1
Стало быть, справедливо неравенство
Рассмотрим оператор
f = |v«r2 = («? + ^ + «^, =
Этот оператор порожден каратеодориевой функцией, причем
соответствующий оператор Немыцкого, как несложно убедиться, действует из

28
Глава 1. Нелинейные операторы
|Vti„| IViinl у
Из этих неравенств вытекает, что Sn -> +0, как только Vnn -> Vh
сильно в
Стало быть,
||A,Iett(t*) - А',,ип(г1п)||<Р(пн^1У(п) -> +0,
как только un->u сильно в Wo'p(H).
Тогда по теореме 1.3 мы приходим к выводу, что производная Фреше
оператора
Apu: wJ'p(Q)->W"iy(Q)
определена на Wo'p(Q) и имеет следующий явный вид:
div (\Vu\p-2Vh) + (р - 2) div (| Vu|p~4(Vu, Vu)Vii) :
WJ'P(Q) -> £(wj'p(ft); W-iy(Q)).
Совсем просто можно доказать, что производная Фреше нелинейного
оператора
\u\qu : Lq+2(Q) -> L(*+2)/(*+1)(Q), q > 0,
определена на L^+2(ft) и имеет следующий явный вид:
(q + \)\u\qh : Lq+2(fy -> £(Lf+2(n); L(*+2)/(*+,)(Q)).
§5. Компактные операторы
Важность рассмотрения так называемых компактных операторов
обусловлена тем, что это понятие широко используется в топологических
методах при обобщении понятия степени конечномерного отображения.
Дадим определение. Пусть
IF : В, -> В2,
где Bi и В>2 — это два банаховых пространства с соответствующими
скобками двойственности (•, -)i и (•,-Ь-
Определение 1.5. Оператор ¥ называется компактным, если для
каждого ограниченного множества В С В| замыкание множества
F(B) С В2 компактно в В2.
Но, как правило, в приложениях мы сталкиваемся с более узким
понятием.

§ 5. Компактные операторы
29
Определение 1.6. Оператор ¥ называется вполне непрерывным,
если он непрерывен и компактен.
Очень важным в приложениях к исследованию нелинейных краевых
задач является понятие полностью непрерывного оператора. Дадим
определение.
Определение 1.7. Оператор ¥ называется полностью непрерывным,
если из условия
ип и слабо в Bj
вытекает, что
¥(ип) -> ¥(и) сильно в В2.
Естественно, возникает вопрос о связи понятий вполне
непрерывности и полной непрерывности операторов. Частично на этот вопрос
отвечает следующая теорема.
Теорема 1.9. Пусть L G £(Bi,B2) — вполне непрерывный оператор,
тогда он является полностью непрерывным.
Доказательство. Итак, пусть
ип и слабо в Bi,
тогда эта последовательность сильно ограничена в Bi. Тогда в силу
компактности L из последовательности {ип} можно извлечь
подпоследовательность {иПк}, такую что
ЬиПк -> v сильно в Вг.
Рассмотрим транспонированный к L оператор
L*: Bj -» В*.
Поскольку L G £(В1,Вг), т.е. является линейным и непрерывным, то и
L' G £(В2,В*), причем, по определению транспонированного оператора,
справедливо следующее равенство:
(f\hu)2 = (L'/*,tt), для всех /* G Bj, и G В\.
Докажем, что
hun Lu слабо в Вг.
Действительно, имеет место следующее выражение:
(f\Lun -Lu)2 = {\}f\un - и){ ->0 при п->+оо,
поскольку
ип и слабо в Bi.
Таким образом, приходим к выводу, что
Lun Lu слабо в Вг. (5.1)

30
Глава 1. Нелинейные операторы
Докажем теперь, что на самом деле
hun -> Ln сильно в В2.
По доказанному,
hunk -> v сильно в В2,
значит,
Lunk -1 v слабо в В2.
Следовательно, в силу (5.1) приходим к равенству
v = hu.
Теперь предположим, что найдется такая подпоследовательность
{иПк} С {ип}>
что имеет место неравенство
\\Lunk - hu\\2 )с>0 для всех n* G N.
С другой стороны, по доказанному, у этой подпоследовательности
найдется подпоследовательность
{иПк1} С {tinJ,
такая что
\\hunki - Lt*||2 -» 0 при / -* +оо.
Справедлива цепочка неравенств
О < с ^ \\Lunk - hu\\2 ^ \\hunk - hunki\\2 + \\LunH - hu\\r
Выберем теперь / G N настолько большим, чтобы имело место неравенство
||Ltt^-Lti||2<^.
С другой стороны, для каждого / G N найдется такое n* G N, что
пк = пк, => иПк = иПк{ => Lti^ = ЬиПк,
и тогда
||Ltint-LunJ|2=0
и мы приходим к противоречивому неравенству
0<с< ^.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема доказана. □
Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, не справедливо.

§ 4. Производная Фреше оператора Ар
27
LP(n)xLP(Q)xLP(fi) BLP/^-2)(tt),p > 2,р/(р-2) > 1. Значит, по теореме
М.А. Красносельского, оператор
f : 1/(П) х LP(Q) х LP(Q) -> Lp/(p"2)(Q)
является ограниченным и сильно непрерывным, т.е.
f dx\\vunr2-\vur2\p/(p~2)->+o,
n
как только Vun -> Vh сильно в L^Q), и тогда из явного вида вытекает,
что ЛП(Л) -> +0 равномерно по Л на сфере ЦЛЦ+2 = 1.
Рассмотрим теперь оператор
Ai2(ft) = -(р - 2) div (|Vu|p~4(Vii, Vfc)Vu).
Введем функции
где ^m = «im. n*€N, ft€Wo'p(fi). Нетрудно проверить, что операторы
Немыцкого, определенные функциями Д,- действуют из 1/(П)х1/(Я)х][/(П)
в 1//<р-2^(П). Тогда справедливы неравенства
||А|2(и) - A|2(ttn)||w..P^w-iy =
= (р-2) sup ||div(|Vtt|p-4(Vu,Vft)Vu-
ll»llw.*=i
- |v«„r4(v«n> vft)v«„) ||w.iy <
3
53 [|V«r4(V«, Vft)tt„ - |V«„r4(V«„, Vh)unZi]
< С sup
HftlL..,=i
<C sup 53|||у«Г4(у«,улк,.-|у«„Г4(у«п,уйК1(|| <

§ 5. Компактные операторы
31
Пример 1.6. Как известно, пространство 1\ обладает свойством Шура,
т. е. из условия
un -1 и слабо в 1\
вытекает, что
un -> и сильно в 1\.
Поэтому единичный оператор
I :/,->/,
является полностью непрерывным, но, очевидно, не является
компактным. >
Однако при дополнительном условии рефлексивности банахова
пространства Bi из полной непрерывности линейного оператора
L : Bi -> В2
вытекает компактность. Действительно, справедлив следующий результат.
Теорема 1.10. Пусть линейный операторе полностью непрерывен.
Тогда, если банахово пространство Ш\ рефлексивно, то h — это вполне
непрерывный оператор.
Доказательство. Непрерывность оператора L вытекает из того факта,
что всякая последовательность {ип} С Bj, такая что
ип -> и сильно в Bi,
является слабо сходящейся:
ип и слабо в Bj.
Теперь осталось воспользоваться полной непрерывностью оператора L.
Докажем теперь компактность. Действительно, пусть В С Ш\ — это
ограниченное множество. Тогда из любой последовательности {ип} С В
в силу рефлексивности Bi можно выбрать слабо сходящуюся
подпоследовательность:
иПк и слабо в Ш\.
Следовательно, в силу полной непрерывности оператора L имеем
Lunk -> hu сильно в В2.
Отсюда вытекает компактность.
Теорема доказана. □
Важным следствием теорем 1.9 и 1.10 является следующее
утверждение.
Теорема 1.11. Пусть L Е £(Bi,B2) и Ш\ рефлексивно. Тогда для
полной непрерывности оператора L необходима и достаточна вполне
непрерывность оператора L.

32
Глава 1. Нелинейные операторы
Для дальнейшего нам необходимо дать еще одно определение и
доказать одну вспомогательную лемму. Дадим определение.
Определение 1.8. Множество В с в банахова пространства в
называется относительно компактным, или предкомпактным, если его
замыкание компактно.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1.3. Подмножество К с в является относительно
компактным, если для всякого е > О найдется такое относительно компактное
множество К£ с в, что для каждого и g К найдется такое и£ е Kf,
что
\\и - и£\\ ^ е.
Доказательство. Пусть е > О выбрано и фиксировано. По условию
леммы найдется относительно компактное множество
К/2 с в,
а это в свою очередь означает, что найдутся такие точки
uk£ g в, к = 1,п,
что
к,/2 с (j Ве/2(ике), (5.2)
где
В£/2(«*) = {« € В : Hu-uJlK^},
т.е. замкнутый шар в в радиуса е/2 с центром в и£ при к = 1,п.
С одной стороны, по условию леммы имеем: для каждого и g К
найдется такое и£/2 g К£/2, что
11«-«£/2||<^. (5.3)
С другой стороны, в силу (5.2) найдется такое ко е 1, п, что
|К/2-"М| ^ \
Отсюда и из (5.3) приходим к выводу, что
11 тх - г
Это означает, что
и - t£|| ^ \\и£/2 - t£|| + ||u - иф\\ ^ | + | = е.
к с (j Ве(ик£),
т. е. множество К является относительно компактным.
Лемма доказана. □

§ 5. Компактные операторы
33
Теперь мы в состоянии доказать важную для нас в дальнейшем теорему.
Теорема 1.12. Пусть Ш\ иШ2 — это банаховы пространства «DCB|
— это ограниченное множество. Пусть, кроме того, F : D -> В2 — это
некоторое отображение. Тогда следующие два условия эквивалентны:
(I) F — это вполне непрерывное отображение;
(II) для каждого е > о найдется такое ограниченное и непрерывное
отображение
F£ : D -> В2,
что ¥£(D) принадлежит замыканию выпуклой оболочки множества
F(D) в В2,
dim (spanFf(D)) < +оо
(где span это линейная оболочка) и
\\¥(и) - ¥£(и)\\2 ^ е для всех и G D.
Доказательство. Докажем сначала, что из (I) вытекает (II).
Действительно, пусть отображение F является вполне непрерывным
отображением. Тогда в силу ограниченности D С ii множество F(D) относительно
компактно в В2. Следовательно, для каждого е > О найдутся такие точки
v£ G В2, k = 1, п, что
п
к=\
B£(vk£) = {veB2: \\v-v£\\2^e}.
Введем функции
fk(v) = imx{e-\\v-vk£\\2,0}
и рассмотрим следующую функцию:
к=\
где
,к\ — /„, г- та . IL. ЛМ
fm(v)
fm{v)/Y^fk{v) при fm(v)j=0;
k=l
I 0 при fm(v) = о
(5.4)
при m G 1, п и для всех v G F(D). Теперь мы можем ввести отображение
¥£(и) следующим образом:
п
^е(и) = 53 7m(¥(u))v£n для всех и G D.
т=1
Ограниченность этого отображения очевидна. Докажем непрерывность.
По своему построению (5.4) функция
fm = fm(f\,-->,fn) ПРИ m = !7n
3 Заказ 405

34
Глава 1. Нелинейные операторы
непрерывна по совокупности вещественных переменных Д G R1, а
функция Д = Д(г) непрерывна для всех v G F(D). Наконец, по условию
леммы оператор F непрерывен на D С Ш\. Следовательно, по теореме
о композиции непрерывных отображений оператор ¥£(и) непрерывен.
Наконец, Fe(u) — это конечномерный оператор, поскольку
spanFe(D) С span{v],..., t£},
F(D) — компактно в В2 и имеет место неравенство
||F(u)-Ft(u)
X)/m(F(«))F(«)-X;/ra(F(«))«r
n n
2
< £ /m(F(«))||F(«) - vTh < X) /»<*<«))« = e-
Докажем теперь, что из (II) вытекает (I). Действительно, возьмем
еп = — при n € N,
п
тогда, во-первых, Fn = ¥£н имеет своим равномерным пределом
отображение F, которое в силу непрерывности и ограниченности операторов Fn
также является непрерывным и ограниченным. С другой стороны, введем
обозначение
v = F(m) и vn = ¥(u) для всех u G D.
Имеет место следующее неравенство (по условию (II)):
llv-Vnlh <
но множество Fn(D) относительно компактно, поэтому в силу леммы 1.3
приходим к выводу, что F(D) относительно компактно в В2.
Следовательно, отображение F вполне непрерывно.
Теорема доказана. □
Пока мы рассмотрели связь полной непрерывности и вполне
непрерывности линейных операторов. Однако есть некоторые результаты и для
нелинейных операторов. Справедлива следующая лемма.
Лемма 1.4. Пусть К : Ш\ -> В2 — это полностью непрерывный
оператор. Тогда при условии рефлексивности банахова пространства Е\
оператор К является вполне непрерывным.
Доказательство. Докажем сначала непрерывность оператора К.
Действительно, пусть
ип -> и сильно в Вь

§ 5. Компактные операторы
35
но тогда, очевидно,
ип -1 и слабо в Bp
Отсюда в силу полной непрерывности оператора К приходим к выводу,
что
К(ип) -> Щи) сильно в В2.
Тем самым непрерывность оператора К доказана.
Докажем теперь компактность оператора К. Действительно, пусть
D С Bi — это некоторое ограниченное множество. Пусть {ип} С D. Тогда
в силу рефлексивности Bi из этой последовательности можно выбрать
некоторую подпоследовательность {иПк} С {ип}> такую что
иПк -1 и слабо в Ш\.
Поэтому в силу полной непрерывности оператора К приходим к выводу,
что
K(tinJ -> Щи) сильно в В2.
Тем самым компактность оператора К доказана.
Лемма доказана. □
Заметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Пример 1.7. Пусть Ш\ = L2(0, 1) и В2 = R\. Рассмотрим следующий
нелинейный оператор:
1
Щи) = J u2(s) ds = \\и\\\.
о
Докажем, что он является вполне непрерывным. Сначала докажем
непрерывность. Пусть
ип -> и сильно в L2(0, 1),
но тогда в силу очевидного неравенства
IIWb-INbHlK-ulb
приходим к выводу о том, что
IWh -> N|2 при п -> 4-00,
поэтому
Щ^п) -> Щи) при п -> +00.
Докажем теперь компактность оператора К. Пусть D С L2(0,1) — это
произвольное ограниченное множество. Докажем, что
K(D) компактно в R1.
Но для этого достаточно доказать, что K(D) — это ограниченное
множество. В силу ограниченности D в L2(0,1) имеем следующее неравенство:
||ti||2 ^ с для всех и G D
3*

36
Глава 1. Нелинейные операторы
при некотором с > 0, не зависящем от и. Тогда
О < К(н) ^ с2 < +00.
Тем самым компактность оператора К доказана.
Теперь докажем, что, тем не менее, оператор К не является полностью
непрерывным. Действительно, рассмотрим последовательность {ип} С L2(0,1),
где
un(s) = sin (irns), s G (0,1), n G N.
Тогда для любой фиксированной функции
v(s) G L2(0, 1)
в силу теоремы Римана—Лебега имеет место выражение
1
J v(s) sin (жпз) ds -> 0 при n -> -f-oo,
о
т. е. в силу теоремы представления Рисса
ип 0 слабо в L2(0,1).
Однако
1
о
Теперь мы рассмотрим важное свойство вполне непрерывных
операторов, а именно, свойство существования вполне непрерывного
продолжения всякого вполне непрерывного отображения. Предварительно
приведем без доказательства две важные теоремы.
Теорема Мазура. Пусть В является банаховым пространством и С С В
является компактным множеством, тогда замыкание выпуклой оболочки
множества С тоже компактно.
Теорема Дугунджи. Пусть X — это метрическое пространство, Y —
это локально выпуклое векторное топологическое пространство, А С X
есть замкнутое непустое множество и ¥ : А -> Y — это непрерывное
отображение, тогда существует такое непрерывное отображение X
в Y, что
П^д = F и ¥(Х) С conv IF (А).
Наконец, справедлива следующая важная теорема о продолжении.
Теорема 1.13. Пусть В\ и В2 — это два банаховых пространства,
D С 1| есть ограниченное и замкнутое множество и ¥ : D -> В2 —

§ 5. Компактные операторы
37
это вполне непрерывное отображение, тогда существует такое вполне
непрерывное отображение Р :Ш>\ -> В2, что
F|D = F.
Доказательство. По теореме Дугунджи для отображения ¥ существует
такое непрерывное отображение
t: В, -> В2,
что
t\D = ¥ и F(B,) С convF(D).
Теперь, согласно теореме Мазура, поскольку множество F(D)
относительно компактно в В2, то convF(D) тоже относительно компактно в В2,
а вместе с ним относительно компактно и множество F(Bi). Таким
образом, оператор f является и компактным.
Теорема доказана. □
Литературные указания
Материал для данной главы взят из работ [5], [6], [22], [69], [77] и [78].

Глава 2
Вариационные методы.
Полуограниченные функционалы
§1. Введение
С этой главы мы начинаем рассмотрение различных вариационных
методов исследования нелинейных операторных уравнений. В основном
эти методы применяются при исследовании краевых задач для нелинейных
операторных уравнений эллиптического типа, хотя они применимы и при
исследовании устойчивости стационарных решений различных
эволюционных нелинейных уравнений, например уравнений Кортевега—де Фриза,
Шрёдингера, а также нелинейного волнового уравнения. В данной главе
мы рассмотрим классические результаты для функционалов, которые
полуограничены либо сверху, либо снизу.
§ 2. Потенциальные операторы
Прежде чем переходить к исследованию каких-то вариационных
задач, мы должны установить, имеет ли заданная исходная нелинейная
операторная задача вариационную постановку, т.е. задачу отыскания
минимума или максимума некоторого функционала.
Итак, пусть В — это некоторое банахово пространство относительно
нормы || || и со скобками двойственности (•, •) между В и к нему
сопряженным пространством В*. Пусть на этом банаховом пространстве В
задан некоторый (нелинейный) функционал
^•.B-^R1.
Будем как и в предыдущей главе обозначать символами фд(и) и ^(м)
производные Гато и Фреше соответственно. Дадим определения.
Определение 2.1. Слабым градиентом функционала V в некоторой
точке u G В назовем его производную Гато в этой точке:
^(u)==grad^(ti):B->B*. (2.1)
Определение 2.2. Сильным градиентом функционала гр в некоторой
точке u G В назовем его производную Фреше в этой точке:
i/>'f(u) = grad; ip(u): В -> В*. (2.2)

§ 2. Потенциальные операторы
39
Наконец, дадим определение потенциального оператора.
Определение 2.3. Оператор
F : В -» В*
называется сильно потенциальным или потенциальным, если
найдется такой дифференцируемый по Фреше функционал
^(ti):B-*R\
что
F(w)=grad/^(tt). (2.3)
Определение 2.4. Оператор
F : В -> В*
называется слабо потенциальным, если найдется такой
дифференцируемый по Гато функционал
\1){и) :B->R\
что
F(ti)=grad,tf(ii). (2.4)
Естественно, возникает вопрос о достаточных условиях
потенциальности заданного оператора F : В -> В*.
Для ответа на этот вопрос нам необходимо ввести понятие локальной
непрерывности по Липшицу. Дадим определение.
Определение 2.5. Оператор F, действующий из одного банахова
пространства Bj в другое банахово пространство В2, называется
локально по Липшицу непрерывным, если для каждого R > О имеет
место следующее неравенство:
||F(t«i)-F(tt2)||2<c(ll)||tti-tt2||i для всех иьи2еВ,, (2.5)
таких что
||и*|||<Д при А: =1,2.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1. Оператор F : В -> В*, удовлетворяющий условию
локальной непрерывности по Липшицу, потенциален тогда и только тогда,
когда для всех и, v е В имеет место равенство
1 1
f (F(tu),u)dt- J (¥(tv),v)dt =
о о

40 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
1
= J (¥(tu + (l -t)v),u-v)dt при «,vGB. (2.6)
о
При условии (2.6) сильный потенциал \j)(u) оператора ¥ имеет вид
1
<ф(и) = <ф(0) + J (f(hi), и) dt для всех (2.7)
о
где в Е В — нулевой элемент.
Доказательство. Итак, пусть оператор f сильно потенциален, тогда
найдется дифференцируемый по Фреше функционал
такой что
¥(и) = grad/ <ф(и).
В этом случае справедлива следующая формула:
i
/d
-i>(tu + (l-t)v)dt =
о
i
= j (ip'f(tu + (\ -t)v),u-v)dt =
о
l
= j (¥(tu + (\-t)v),u-v)dt (2.8)
о
Положим в равенстве (2.8) сначала v = в Е В, тогда получим следующее
равенство:
i
tf(u) = W) + f (¥(tu),u)dt. (2.9)
о
Теперь положим в равенстве (2.8) и = й получим тогда следующее
равенство:
i
= ф(в) + У* (F(to), v) dt. (2. Ю)
о

§ 2. Потенциальные операторы 41
С учетом равенств (2.9) и (2.10) получим следующее выражение:
1 1
ip(u)-ip(v) = J (¥(tu)tu)dt- j (F(tv),v)dt.
о о
Отсюда и из (2.8) приходим к (2.6).
Пусть теперь для оператора F выполнено равенство (2.6). Определим
функционал ip(u) равенством
i
^(u) = ^(0) + J (F(tu),u)dt. (2.Н)
о
Докажем, что функционал \j){u) дифференцируем по Фреше и его
производная Фреше равна ¥(и). Действительно, имеет место цепочка
следующих равенств:
i i
<ф(и + h) - tp(u) = j (W(t(u + h)),u + h) dt- j (W(tu),u) dt =
о 0
l
= j (F(t(u + h) + (\-t)u),h)dt. (2.12)
о
Введем следующее обозначение:
w(u, h) = ip(u + h) - \j)(u) - (F(t*), h).
Но тогда для u(u, h) справедлива цепочка неравенств:
l
|u(it, Л)К f |<F(^(w + Л) + (1 - 0^) - ^(n), Л>| <
о
l
< f ||F(*(tt + ft) + (l-Ott)-F(tt)||j|ft||ctt<
0
1
< c(R) f ||t(« + A) + (1 - t)u - «|| \\h\\ dt = c(R)\\h\\lX-
0
для всех u, h G В, для которых
INK л и р|КД.

42 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Следовательно, приходим к выводу, что
||Л|Н0
Тем самым функционал xj)(u) дифференцируем по Фреше на каждом шаре
^ R, и его производная Фреше равна
iP'f(u) = W(u).
Теорема доказана. □
Давайте зададимся вопросом о нахождении решений следующего
операторного уравнения:
¥(и) = веш\ и ев. (2.13)
Предположим, что оператор F потенциален и его потенциал — это
функционал *ф(и). Дадим определение.
Определение 2.6. Пусть М с в — некоторое непустое и замкнутое
подмножество. Точка й е М называется точкой экстремума
функционала \р(и) на М, если
inf чр(и) = 1р(й), либо sup <ф(и) = 1р(й).
«ем и€М
Теперь рассмотрим следующую функцию:
4>(t) = xj>(u + th) при «€(-1,1),
где й — это точка экстремума функционала ^(-) на множестве М = в.
Тогда функция (p(t) достигает экстремума в точке t = 0. В силу
дифференцируемости функционала *ф(и) по Фреше в точке й е в приходим
к выводу, что <p(t) дифференцируема в точке t = 0. Но тогда необходимым
условием экстремума является следующее:
v#(o) = о =► (tp'f(u),л) = о v л е в i>'f(u) = вев* =► Щй) = в.
Следовательно, с необходимостью, множество всех точек экстремума
функционала <ф(и) есть решения операторного уравнения (2.13). С другой
стороны, понятно, что не всякое решение операторного уравнения (2.13)
является экстремалью функционала ip(u), поскольку равенство (2.13) —
лишь необходимое условие. Попробуем найти достаточные условия
существования экстремали у функционала *ф(и). С этой целью нам
необходимо получить формулу, аналогичную формуле Тейлора, для функционалов,
дважды дифференцируемых по Фреше, причем вторая производная
Фреше равномерно непрерывна на М. Итак, пусть М — это замкнутое,
непустое подмножество банахова пространства в, на котором рассматривается
функционал хру дважды дифференцируемый по Фреше на М. Справедлива
следующая лемма.

§ 2. Потенциальные операторы
43
Лемма 2.1. При сформулированных условиях для каждого и ЕМ и для
каждого ЛЕВ, такого что и + th Е М для всех t Е [О, 1 ], имеет место
следующее выражение:
1>(и + Л) = 1>(и) + (V}(ti), ft) + l-(iP'}f(u)h, ft) + u>2(u, ft), (2.14)
где для u;2(ti, ft) выполнено следующее предельное равенство:
Urn iS^ = 0. (2.15)
ЦЛ1НО ||Л||2 '
Доказательство. Итак, пусть существует и равномерно
непрерывна на М С В. Заметим, что для ^(и) в силу дифференцируемости по
Фреше справедливо следующее равенство:
#(ti + ft) = #(ti) + ip'}f(u)h + ам(1*, ft),
где
.. Ho;i(tt,ft)IL Л
lim — = О
PINO ||Л||
при и Е М и любом ft Е В, таком что и + Л Е М при достаточно малых
по норме ft. Поэтому справедлива следующая цепочка равенств:
1 1
i>(u + ft) - ф(и) = у* ^(i* + «ft) = У* (tf/(ti + *ft)fft)# =
о о
1
где
о
I
o;2(u,ft) = у* (a;i(w, ift), ft) d*.
о
Значит, отсюда приходим к следующему равенству:
1
4(
и + Л) - ^(«) = (*/(«), Л> + <^//(e)ft, h) ftdt + и>2(и, Л)
о
= <#(«), Л) + \Wn{u)h, ft) + «,(«, ft),
где для W2(«, ft) справедливо следующее представление:
!
w2(«,ft) = J {w\(u,th),h)dt.

44 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Стало быть, приходим к неравенству
1
|Ц2(«,Д)|< / \\ui(u,th)\U\h\\dt.
о
Поэтому справедливо следующее предельное неравенство:
Pino ||Л||2 ||Л|Н0У ||Л||
о
Тем самым формулы (2.14) и (2.15) доказаны.
Лемма доказана. □
Теперь мы в состоянии доказать один результат о необходимом
условии экстремума функционала. Справедлива следующая лемма.
Лемма 2.2. Пусть функционал ip(u), дважды дифференцируемый по
Фреше в некоторой окрестности точки й g в, имеет равномерно
непрерывную в этой окрестности точки й вторую производную Фреше,
тогда необходимыми условиями минимума (максимума) в этой точке й
являются следующие:
$(й) = о и (ip'f(u)h, h)^0 « 0) v h g в. (2.16)
Доказательство. Рассмотрим разложение функционала \j)(u) в
окрестности точки экстремума й g в:
^(й + К) = ф(й) + (Щи), h) + X-{il>"ff(u)h, h) + и>г(й9 h).
Но, как мы доказали ранее, в точке й имеет место равенство
= о,
поэтому приходим к следующему равенству:
х1>{й + h) - гр(й) = faffWh, h) + и2(й, h). (2.17)
Предположим, что й — это точка локального минимума (максимума),
но для некоторого h\ g в имеет место следующее неравенство:
{il)"ff{u)huhx)<0 (>0).
Тогда для h = eh\ при е > 0 имеет место следующее выражение:
<$/(Л)Л, h) = e2(ip'}f(u)h\9h\) < 0 (> 0).
Теперь, выбирая € > 0 сколь угодно малым, получим, что в любой
окрестности точки й g в найдется точка eh\ g в, что
tp(u + eh{)-ip(u) <0 (>0),

§ 2. Потенциальные операторы
45
т.е. в точке й G В нет минимума (максимума). Следовательно,
необходимым условием минимума (максимума) в точке й G В есть условие
{xl)"ff(u)h, h) ^ О (^ 0) для всех ЛЕВ.
Лемма доказана. □
Заметим, что в отличие от вещественного анализа условие
{\l)"ff(u)hy ft) ^ 0 « 0) для всех ЛЕВ.
не является достаточным условием минимума (максимума).
Действительно, имеет место следующий пример.
Пример 2.7. Рассмотрим следующий функционал на банаховом
пространстве С[0,1] относительно стандартной супремум-нормы:
*ф(и) = j u2(x)(x - u(x)) dx.
о
Справедлива следующая цепочка равенств:
i i
tp(u + Л) = f(u + h)2(x -u-h)dx = J u2(x -u)dx +
о о
l l l
+ J {lux - 3u2)h dx + J{x- 3u)h2 dx- J h? dx.
0 0 0
Из второго равенства приходим к выводу, что
^/(||) = 0
на двух функциях
и(х) = 0 и и(х) = ^х.
Заметим теперь, что
i
(^//(0)Л, ft) = 2 j h2(x)x dx^O для всех h(x) G C[0, l],
о
причем
#)) = o,
т. е. на функции u(x) = 0 выполнены все необходимые условия локального
минимума, но, тем не менее, на ней функционал не достигает локального

46 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
щ{х) = |1
минимума. Действительно, рассмотрим следующее однопараметрическое
семейство функций:
е - х при х G [0, е];
о При X ^ €.
Очевидно, что функция щ(х) G С[0,1] для всех е G (0, 1). Теперь
вычислим норму этой функции
sup \u€(x)\ = е -> 0 при е -> О,
*€|0,1|
т. е. в любой окрестности функции и(х) = О G С[0, 1] содержится функция
ue(x) G С[0,1] при некотором е > 0. Теперь вычислим значение
функционала ^(-) на функции Действительно, имеем
г1>{пе{х)) = J u]{x) (х - u€(x)) = < 0 = ^(0).
о
Тем самым минимум у функционала ip(u) на функции и(х) = 0 не
достигается. >
Тем не менее, можно сформулировать теорему о достаточных условиях
экстремума.
Теорема 2.2. Пусть 1р(и) : В -> R1 — э/ло дважды дифференцируемый
по Фреше в некоторой окрестности точки й G В функционал, причем
вторая производная Фреше равномерно непрерывна в этой окрестности
точки й. Тогда при условиях
(i) ^(Л) = 0;
(ii) (f}f(u)h9 ft) > c\\h\\2 « -с||л||2) для всех л G В и с = с(й) > 0
в /яо«//се й G В у функционала xj)(u) достигается минимум (максимум).
Доказательство. Докажем достаточность условий для минимума
функционала *ф(и) в точке й, поскольку достаточность условий для
максимума проверяется аналогичным образом. Действительно, с одной стороны,
в силу условий теоремы имеет место представление в окрестности точки
й G В:
ф(й + ft) - m = ц,',(й)9 л) + \(*пП№9 ft) + ш2(и, л). (2.18)
Кроме того, поскольку имеет место предельное равенство
|ц2(ц, ft)l
lim —лги?— = °>
||Л|Н0 ||л||2
то при достаточно малом ||ft|| для заданного с > 0 будет иметь место
неравенство
М«,л)|<|цл||2.

§ 3. Полунепрерывные функционалы
47
Тогда из (2.18) получим неравенство для таких h G В:
Ф(й + л) - № > l-(i>'}f(u)h, л> - J||ft||2 > |||ft||2 - |||Л||2 = J||ft||2(
т.е. в точке u G В достигается минимум у функционала <ф.
Теорема доказана. □
Замечание 2.1. При условиях теоремы 2.2 каждая экстремаль функционала rp(u):
В -> R1 является решением операторного уравнения V/(M) = О-
Замечание 2.2. Отметим, что в условии теоремы 2.2 мы потребовали, что, в
частности, для минимума в точке надо потребовать выполнения неравенства (И) для
всех h G В. Это условие невозможно ослабить в следующем смысле. Если
потребовать выполнения неравенства
<*;,(й)ЛвЛ>>с||Л||2 при |Ш|<е0> (2.19)
из этого неравенства вытекает, что на самом деле е0 > О сколь угодно велико.
Действительно, предположим противное: пусть существует такое h\ G В, что имеет
место противоположное неравенство
<*;,(«)*,. ft,><cp,ii2.
Возьмем теперь
h = ehx при 0<£^т7—т,
Pill
тогда
1141 < *о,
но имеет место неравенство
£J(^/(u)ft,h><C£2||ft||2.
Получили противоречие с (2.19).
§ 3. Полунепрерывные функционалы
Полученное в теореме достаточное условие (II) (естественно, в
совокупности с условием (I)) является очень сильным, и на практике ожидать
от функционала существования равномерно непрерывной второй
производной Фреше не приходится, а если таковая имеется, то требование
сильной положительности (отрицательности) ipff(u) тем более на
практике не выполняется. В частности, если функционал xj)(u): В -> R1 является
потенциалом некоторого оператора ¥(u) = grad^ ip(u): В -> В*, то это
требование означает существование равномерно непрерывной производной
Фреше этого оператора, такой что
(F'f(u)h, ft) ^ с||Л||2 « -с||Л||2) для всех Л G В
при с = с(й) > 0. Поэтому в этом параграфе мы ослабим требование (II)
теоремы 2.2. Напомним определения выпуклого множества и выпуклого
функционала.

48 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Определение 2.7. Подмножество М С В банахова пространства
называется выпуклым, если для любых u, v G М и всех t G [0, 1] имеет
место вложение tu + (1 - t)v G М.
Определение 2.8. Функционал ip(u) : В -> R1 называется выпуклым
на выпуклом множестве М С В, если для всех и, v G М и всех t G [0, 1]
имеет место неравенство
xj){tu + (1 - t)v) < ty(it) + (1 - t)1>(v).
Теперь дадим определение слабо секвенциально полунепрерывного снизу
функционала:
Определение 2.9. Будем говорить, что функционал ip(u) : В -> R1
является слабо секвенциально полунепрерывным снизу в точке щ G
М С В по отношению к М С В, если для любой последовательности
{ип} С М, такой что
ип Щ слабо в В,
вытекает, что
*ф(щ) < lim inf tp(un).
n-»+oo
Определение 2.10. Будем говорить, что функционал \j)(u) : В -> R1
является слабо секвенциально полунепрерывным снизу на М С В,
если он является слабо секвенциально полунепрерывным снизу в
каждой точке и G М.
Напомним определение слабо секвенциально компактного
множества М.
Определение 2.11. Подмножество М банахова пространства В
называется слабо секвенциально компактным, если из каждой
последовательности {ип} С М можно выделить слабо сходящуюся на М
подпоследовательность {иПк} С {ип}:
иПк щ G М слабо в В.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. Пусть М — это слабо секвенциально компактное
подмножество банахова пространства В и \j)(u) : В -» R1 является слабо
секвенциально полунепрерывным снизу функционалом на М. Тогда
функционал xj) ограничен снизу на М и достигает в некоторой точке щ G М
своего минимума на М:
и€М
Доказательство. Итак, пусть {ип} СМ— это минимизирующая
последовательность функционала гр по отношению к М С В. Тогда
ip(un) -> inf <ф(и) при п -> +оо.

§ 3. Полунепрерывные функционалы
49
Поскольку М слабо секвенциально компактно, то найдется такая
подпоследовательность {иПк} С {ttn}, что
иПк щ 6 М слабо в В.
Но тогда в силу слабой секвенциальной полунепрерывности снизу
функционала гр на М имеет место неравенство
1р(щ) ^ lim inf ip(unk).
Тогда справедлива следующая цепочка соотношений:
inf ip(u) < 1р(щ) < lim inf *ф(иПк) = lim tp(un) = inf ip(u),
ti€M Л-»+оо n->+oo ti€M
из которой следует, что
гр(щ) — inf tp(u) > -оо.
ti€M
Теорема доказана. □
Для дальнейшего нам необходимо ввести понятие слабой коэрцитив-
ности функционала tp(u).
Определение 2.12. Функционал tp(u) : В -> R1, удовлетворяющий
условию
lim гЬ{и) = оо,
IMN+oo
называется слабо коэрцитивным.
Справедлива следующая важная теорема.
Теорема 2.4. Пусть В — это рефлексивное банахово пространство,
а М С В — это слабо секвенциально замкнутое подмножество, тогда
если функционал гр(и) : В -> R1 является слабо коэрцитивным на М
и секвенциально слабо полунепрерывным снизу функционалом на М, то
он ограничен снизу на М и достигает своего минимума на М:
— inf <ф(и) > -оо.
ti€M
Доказательство. Пусть
с*о = inf 1р(и)
u€M
и {ип} СМ— это минимизирующая последовательность для функционала xj):
ip(un) -> с*о при п -> +оо.
Поскольку числовая последовательность {ip(un)} является сходящейся, то
она ограничена, но в силу слабой коэрцитивности функционала ^ на М
имеем
гр(и) -> оо при ||и|| -» +00.
Следовательно, ||un|| < R при некотором R > О, не зависящем от п Е N.
4 Заказ 405

50 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Поскольку банахово пространство В является рефлексивным, то по
теореме Эберлейна—Шмульяна [16] каждое ограниченное по норме
множество слабо секвенциально относительно компактно. Поэтому без
ограничения общности можно считать, что последовательность
ton ~^ слабо в В.
Но {ип} С М и М слабо замкнуто, поэтому щ Е М. С другой стороны,
в силу слабой секвенциальной полунепрерывности снизу функционала ip
на М приходим к выводу, что
•ф(щ) ^ lim inf ip(un).
п->+00
ТЪким образом, приходим к выводу, что имеет место цепочка
соотношений:
inf ip(u) < 1р(щ) ^ lim inf tp(unk) = lim i>(un) = inf "ф{и),
tiGM A;->-f oo n->+oo ti6M
из которой следует, что
гр(щ) = inf \j)(u) > -oo.
ti€M
Теорема доказана. □
Теперь мы получим необходимые и достаточные условия слабой
секвенциальной полунепрерывности снизу функционала гр(и) : В -> R1 на
подмножестве М С В. Справедлива следующая лемма.
Лемма 2.3. Пусть М С В, тогда для того чтобы функционал гр был
слабо секвенциально полунепрерывным снизу, необходимо и достаточно,
чтобы для каждого а £ R1 множество
Е(о) = {и Е М : гр(и) ^ а}
было слабо секвенциально замкнуто в М.
Доказательство. Итак, пусть \j)(u) является слабо секвенциально
полунепрерывным снизу на М С В. Пусть {ип} С Е(а) при некотором
а £ R1. Тогда из условия, что
v>n Щ € М слабо в В
вытекает, что
tp(u0) < lim inf 1р(ип) ^ о,
n->-f 00
т. е. мо £ E(a) и, следовательно, множество E(a) является слабо
секвенциально замкнутым в М.
Пусть теперь для каждого a € R1 множество Е(а) слабо
секвенциально замкнуто в М и пусть {ип} С М, причем
ип щ £ М слабо в В.

§ 3. Полунепрерывные функционалы
51
Введем обозначение
7 = lim inf ip(un).
n-*+oo
Но тогда существует такая подпоследовательность {иПк} С {ип}, что
lim 1>(unk)=T
Л->+со
Стало быть, при достаточно большом & £ N
иПк Е Е(7 + г) для всех е > О,
но
Мп* tio G М слабо в В,
поэтому в силу слабой секвенциальной замкнутости Е(а) для каждого
a е r1 приходим к выводу, что
щ £ Е(7 + е) для каждого е > 0.
Значит, u0 £ Е(7),
^(t*o) ^ 7 = lim inf ^(un),
n->+oo
т. е. *0 — это слабо секвенциально полунепрерывный снизу функционал
на М.
Лемма доказана. □
Теперь можно получить достаточные условия слабой секвенциальной
замкнутости множества Е(а) при а £ R1. Именно, справедлива следующая
лемма.
Лемма 2.4. Пусть М С В — это выпуклое множество, a ip(u): В -> R1
есть непрерывный и выпуклый функционал. Тогда множество
Е(а) = {и G М : ^(м) ^ а}
является слабо секвенциально замкнутым.
Доказательство. В силу непрерывности яр множество Е(а) замкнуто,
а в силу выпуклости *ф приходим к выводу, что множество Е(а) выпукло.
Стало быть, Е(а) является слабо секвенциально замкнутым (см.,
например, [13]).
Лемма доказана. □
Теперь можно получить некоторые достаточные условия
существования минимума функционала *ф(и) : В -> rl на некотором множестве
М с В. Справедливы следующие две теоремы.
Теорема 2.5. Пусть В — это рефлексивное банахово пространство
и М С В — это выпуклое, замкнутое и ограниченное подмножество,
а функционал *ф является непрерывным и выпуклым на М. Тогда
функционал *ф ограничен снизу на М и существует такая точка щ G М, что
inf *ф{и) = 1р(щ).

52 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Доказательство. Является следствием теоремы 2.3 и леммы 2.4.
Теорема доказана. □
Теорема 2.6. Пусть в — это рефлексивное банахово пространство
и tp : в -> rl есть выпуклый, слабо коэрцитивный и непрерывный
функционал, тогда он ограничен снизу на в и существует такая точка
щ G в, что
<ф(щ) = inf 1р(и).
иев
Доказательство. Является следствием теоремы 2.4 и леммы 2.4.
Теорема доказана. □
Давайте теперь рассмотрим один пример.
Пример 2.2. Приведем следующую нелинейную краевую задачу:
Арп = /(*) G УГ1*(П), р G (2, +оо), р' =
Р~х (3.1)
u\m = 0, u(x) G WJ40),
где П С - это ограниченная область с гладкой границей dVt G C2J
при 6 G (0,1), а символом Арм обозначен следующий нелинейный при
р > 2 оператор:
Apu(x) = div (|Ум(ж)Г2Уи(ж)).
Дадим определение слабого решения задачи (3.1):
Определение 2.13. Слабым решением задачи (3.1) назовем решение
класса u(x) G Wo'p(ft), удовлетворяющее равенству
<-Д,и(х)+ /(*),¥>(*))= 0 для всех <р G Wo'p(f2), (3.2)
где (•, •) — это скобки двойственности между банаховыми
пространствами У/10*(П) и W-^(n).
Определение 2.14. Слабой производной функции v G L2(£2) в
смысле скобок двойственности (•, •) между банаховыми пространствами
Wo'p(fl) и W~l'p'(Sl) называется следующая величина:
В дальнейшем мы будем пользоваться данным определением слабой
производной и говорить об «интегрировании по частям» в указанном
смысле.
Прежде чем переходить к исследованию соответствующей
вариационной задачи, рассмотрим оператор Ар. Докажем, что он удовлетворяет
следующему свойству:
Ap:WlQP(Q)^WUp\n) при р > 2. (3.3)

§ 3. Полунепрерывные функционалы
53
Действительно, этот оператор можно представить как композицию трех
операторов:
£ = Vu, v = \t\P~2t, w = div 77.
Итак, пусть u £ Wo'p(f2), тогда
£ = Vu : W1qp(Q) -> 1/(П) х ... х 1/(П),
77 = |£|р_2£ : 1/(П) х ... х 1/(П) -> x ... x l/(n), p' =
p- 1
w = div 77: Lp\il) x ... x l/(n) -> Wiy(П).
Тем самым свойство (3.3) доказано.
Сопоставим задаче (3.1) следующий функционал:
1>(u) = ^,(u) + ^2(t«) = - [ |Vu(x)|" + (/, 11) (3.4)
Р J
Найдем производную Фреше этого функционала. Производная Фреше
второго слагаемого вычисляется элементарно:
^2(u + А) - fc(ti) = (/, u + h) - (/, 11) = (/, Л),
Вычислим теперь производную Фреше функционала
^,(u) = I / \X?u{x)\p dx : wj'p(fi) -> R1.
Р J
Действительно, заметим, что справедлива следующая формула:
К + чГ = (1« + ч\2)'п = №2 + Ш, v) + W\Yn =
для всех f,*7 £ R^ и малых \q\. Из этой формулы вытекает, что если
положить
f = Vu и 77 = V/i,
то справедливо следующее равенство:
^i(« + A) -^i(tt) = j |Vu|p~2(Vu, VA) dx + ux(uyh)y
0.
где
l|VA||2-»0 ||VA||2

54 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Заметим, что поскольку u G Wo'p(fl), то
|Vu|p"2Vu G hp'(Q) х l/(n) х ... х l/(fi)
и поэтому имеет место равенство
j (|Vu(x)|p"2Vu(x), Vh(x)) dx = (-A„u, h).
n
Таким образом, производная Фреше функционала <ф(и) равна
^(и) = -Дри + /,
т. е. оператор
F(u) = -Дри + / : Щ{0'Р(П) -> W"iy(fi)
является сильно потенциальным. Теперь заметим, что по условию / £
W"l,^(fi), поэтому имеет место неравенство
K/.tOI<ll/ll-.yl|Ve||,.
Следовательно, для функционала (3.4) справедлива следующая оценка
снизу:
^^illVullJ-ll/H-.yllVullp.
Введем обозначение
с = ||/|1-.у,
тогда имеем
^(«)>i||V«||j;-c||V«||p. (3.5)
Пусть е G (О, I), тогда, используя неравенство Юнга, получим цепочку
неравенств
Поэтому продолжим неравенство (3.5):
^(u)>lzf||Vuiip_Cl> Cl = J.
Следовательно,
<ф(и) -» 4-оо при ||Vtt||p -> 4-оо,
и поэтому функционал (3.4) является слабо коэрцитивным.
Теперь докажем слабую секвенциальную полунепрерывность снизу
функционала 1р(и) на Wo'p(fl). Действительно, пусть
ип п0 слабо в Wj'p(£2),

§ 3. Полунепрерывные функционалы
55
тогда в силу слабой секвенциальной полунепрерывности снизу нормы
банахова пространства Wo'p(fi) приходим к выводу, что
lim inf f \Vun\pdx^ f \Vu0\p dx.
n->+co J J
Кроме того, поскольку / G W"",,^(n), имеет место предельное равенство
(/, tin) -> (/, "о) при n -> -foo.
Тем самым
^(ti0) ^ Hm inf t(>(un).
П->+00
Теперь можно воспользоваться теоремой 2.4, в которой следует взять
M = wJ'p(fi) при р^2.
Для полноты изложения докажем теперь единственность слабого
решения рассматриваемой краевой задачи. Пусть единственности нет и
М|,М2 — это какие-то два разных решения задачи (3.1), Тогда согласно
определению 2.13 слабого решения имеют место следующие два равенства:
(-Арщ(х) 4- /(х), <р(х)) = 0 для всех <р G Wj'p(fi), * = 1,2.
Вычитая одно равенство из другого, получим следующее выражение:
(-Арщ 4- ДРи2, <р) = 0 для всех (р G \^'Я(П).
Теперь возьмем в качестве функции (р(х) G Wq'p(0) следующее выражение:
<р(х) = щ(х)-и2(х)е Wj'p(£2),
тогда сразу же получим равенство
(-АрЩ 4- APw2, Mi - ti2) = 0.
Отсюда, интегрируя по «частям», т. е. «перебрасывая» производную V
оператора Др, которая понимается в слабом смысле, получим следующее
равенство:
j (|Vtn(s)p"2Viii(x) - |Vu2(x)|p~2Vu2(x), Vti,(x) - Vti2(x)) dx = 0.
n
Теперь заметим, что для произвольных векторов a, b G RN имеет место
цепочка следующих неравенств:
(|ЬГ2ЬЧаГЧ&-а)>2-Ч|&Г^ при р>2.

56 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Следовательно, приходим к неравенству
0 = у (|VMI(x)|p-2Vu1(x)-|VM2(x)|p-2Vu2(x),VM1(x)- Vu2(z)) dx >
n
> 22-'||Vii, - Vtialg.
Отсюда легко следует, что щ(х) = и2(х) почти всюду на П. >
Теперь, в заключение данного параграфа, рассмотрим еще некоторые
легко проверяемые на практике достаточные условия слабой
секвенциальной полунепрерывности снизу функционала %р : В -> R1 и достаточные
условия слабой коэрцитивности этого функционала. Но сначала дадим
определение.
Определение 2.15. Оператор F : В -> В* называется монотонным,
если для любых м, v G В имеет место следующее неравенство:
<F(ti)-F(t>),ti-i>)>0,
и называется строго монотонным, если равенство нулю в последнем
неравенстве имеет место тогда и только тогда, когда u = v.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 2.5. Пусть функционал гр(и) : В -> R1 является
дифференцируемым по Фреше на В, а его производная Фреше
ip'f(u) : В -> В*
является монотонным отображением, тогда функционал гр является
слабо секвенциально полунепрерывным снизу функционалом на банаховом
пространстве В.
Доказательство. Итак, пусть функционал tp : В -> R1 является
дифференцируемым по Фреше на банаховом пространстве В. Тогда для любых
м, v G В имеет место цепочка равенств
1 1
= j (tp'f(v + t(u-v))-<ip'f(v)iu-v)dt + j (l>,f(v)iu-v)dt.
о о
Теперь предположим, что производная Фреше ip'j(u) является
монотонным оператором, т.е.
{гр)(и) - и - v) ^ 0 для всех и, v G В,

§ 3. Полунепрерывные функционалы
57
но тогда
(if'f(v + t(u - v)) - tp'f(v), t(u - v)) ^ 0 для всех t e [0,1].
Следовательно,
(ip'f{v + *(u - v)) - ^/(v)»u " v) ^ 0 ^ BCex te l°» 4
и имеет место неравенство
i
0(ti) - tP(v) > f (l>'f(v)9 u-v)dt = u - t>). (3.6)
0
Теперь предположим, что у нас имеется произвольная последовательность
{un} С В, такая что
un —1 v слабо в В.
Подставим в неравенство (3.6) вместо и величину ип и получим
неравенство
<ф(ип) ^ ip(v) + (j>'f(v), un - v).
По условию приходим к выводу, что
lim (ip'f(v)y un - v) =0 при n -> -f оо.
n->-f 00
Таким образом, справедливо следующее предельное неравенство:
lim inf if>(un) ^ ip(v).
n->-f 00
Лемма доказана. □
Сейчас нам потребуется новое понятие. Дадим определение.
Определение 2.16. Оператор
F : В -> В*
называется коэрцитивным, если
flF(ii),t*)
lim , V, =
INH+oo ||u||
Теперь мы можем доказать лемму о достаточных условиях слабой
коэрцитивности функционала *ф : В -> R1 при условии его
дифференцируемости по Фреше на В.
Лемма 2.6. Пусть <ф : В -> R1 и
4>'f(u) : В -> В*
определена, тогда если ip'f(u) является коэрцитивным и ограниченным
оператором, то функционал *ф слабо коэрцитивен на В.

58 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Доказательство. В силу дифференцируемости по Фреше
функционала гр : В -> R1 для него справедливо представление (2.7):
i
^(м) = <ф($) + J (i>'f(tu), u) dt для всех u G В.
о
Сделаем замену переменных в последнем интеграле:
*—ii=ir при |М|*°-
Тогда получим равенство
*м-*ю+7<*(нт)-НГ>* <">
о
В силу коэрцитивности оператора ip'j для каждой постоянной с > 0
найдется такое достаточно большое число г = г (с) > 0, что имеет место
следующее неравенство:
С другой стороны, ограниченность оператора ^/ означает, что
sup
r€|0,r),ti€B
Ksr)
= m < -foo.
Теперь получим оценку снизу для выражения ij)(u) из равенства (3.7). При
> г имеет место цепочка выражений
N1 ...
dr
о г
г INI
о * г
для всех u G В при > г > 0. Следовательно, функционал 1р(и)
является слабо коэрцитивным, причем
ip(u) ^ ф\\ - с,, где с, > О, |М| ^ г > О,
а постоянную с > 0 можно сделать сколь угодно большой при достаточно
большом г > 0.
Лемма доказана. □

§ 3. Полунепрерывные функционалы
59
Тем самым из лемм 2.5 и 2.6 вытекает следующая важная теорема.
Теорема 2.7. Пусть ^:B-»Rl — некоторый функционал, В — это
рефлексивное банахово пространство. Тогда если функционал ip
дифференцируем по Фреше на В, то при условии, что
tp'f : В -> В*
является строго монотонным, коэрцитивным и ограниченным
отображением, операторное уравнение
<ф',(и) = Л Е В* (3.8)
имеет единственное решение и Е В для всех ЛЕВ*.
Доказательство. Рассмотрим функционал
<фо(и) = 1/>(и) - (h, и).
Введенный функционал удовлетворяет всем условиям теоремы 2.4, в
которой надо положить М = В. Единственное, что требует разъяснений, —
это доказательство слабой коэрцитивности функционала 1ро(и). Для него
справедлива следующая оценка снизу:
*,(«) > t/>(u) - \\h\\.\\u\\ > с\\и\\ - с, - ||Л||.||«||,
причем из доказательства леммы 2,6 вытекает, что для каждого ЛЕВ*
постоянную с > О можно выбрать большей, чем ||Л||., при условии
достаточной величины г > О, такой что ^ г. Следовательно, приходим
к неравенству
^o(tt)>(c-||fc||.)N|-ci при ||||||^Г>0.
Тем самым слабая коэрцитивность функционала чро на В доказана.
Следовательно, функционал ^o(w) является ограниченным снизу и
достигает своего минимума в некоторой точке щ Е В. Теперь в силу
дифференцируемости по Фреше функционала i/)q на В приходим к выводу, что
в силу необходимого условия экстремума дифференцируемого по Фреше
в точке мо Е В функционала имеет место операторное уравнение
= 0 => ^(tio) - Л = в Е В*.
Следовательно, операторное уравнение (3.8) имеет решение при всяком
ЛЕВ*. Докажем, что это решение единственное. Действительно, пусть
для некоторого ЛЕВ* имеется два различных решения u\,u2 Е В,
причем щ Ф иг. Но в силу строгой монотонности ip'f(u) имеем следующую
цепочку соотношений:
о = (V>/M - i>'t(u2)9 iii - ti2) > 0.
Полученное противоречие доказывает единственность.
Теорема доказана. □

60 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
§ 4. Одно квазилинейное уравнение
Рассмотрим следующую задачу (см., например, [68]):
- Apu = - div (|Vwr2Vw) = /(х, u), х G П,
{
(4.1)
u = 0, ж 6 dSl,
где П С Kw — ограниченная область с гладкой границей d£l € C2,i,
6 € (0, 1].
Введем обозначение
Np
{NP
—, если p<N,
оо, если N.
Предположим, что функция / : fl х R1 -> R1 является каратеодориевой
и удовлетворяет условию роста
|/(ж, s)\ ^ ФГ1 + Ь(х), х G П, 5GR1, (4.2)
где О 0 — некоторая постоянная, g G (1,р*), b(x) G И/(П),
Офаничение q € (1,р*) гарантирует компактность вложения
Wj-P(ft) ^ Ь'(П).
Заметим, что, как мы ранее доказали, функционал
^(«) = i||V<
непрерывно дифференцируем по Фреше на пространстве Wo'p(ft). Причем
производная Фреше равна ip'f(u) = -Ар. С другой стороны, в силу условий
роста (4.2) функционал
Ф(и) : Wi'p(Q) ->М',
определенный формулой
з
Ф(и) = J F(x, u) dx, F(x, s) = J f(x, t) dr,
Q 0
является непрерывно дифференцируемым по Фреше на пространстве
Wo'p(H) и производная Фреше имеет вид Ф'(и) = N/u, где Nf — это

§ 4. Одно квазилинейное уравнение
61
оператор Немыцкого, порожденный каратеодориевой функцией f(x,u).
Следовательно, функционал
= tp(u) - Ф(и) = -||Vtt|g - f F(x, u) dx (4.3)
является функционалом из класса C^Wo'^ft); R1) и
S» = (-Apu) - Nfu.
Заметим, что в силу компактного вложения Wo'p(ft) <-> Lq(Q) вытекает,
что функционал H(u) является слабо непрерывным снизу в Wo'p(ft).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.8. Пусть / : ft х R1 -> R1 является каратеодориевой
функцией, удовлетворяющей условию роста (4.2) при q = р. Предположим,
что существует такая функция а(х) Е L°°(ft) с а(х) < Х\ на
множестве положительной меры Лебега, что имеет место
*dI? (х s)
lim sup —т-r1— ^ a(x) ^ Ai равномерно no x Eft. (4.4)
Тогда функционал 3(u) является слабо коэрцитивным.
Доказательство. Рассмотрим следующий функционал
Щь) = \\Vv\\pp - j a(x)\v\p dx,
определенный на W0'p (ft). Докажем, что существует такое €о > 0, что
Щу)^е0 для всех v Е Wj'p(ft) с ||Vi;||p = 1. (4.5)
В силу классического результата Ф. Ф. Линдквиста [83] имеем
А, = inf | v € Wj*(n)\{0>}, (4.6)
причем инфимум достигается в точности тогда, когда v = j3u\, где щ > О —
некоторая функция.
В силу (4.4) и (4.6) непосредственно получаем, что Щь) ^ 0 для всех
v Е Wo'^(ft).
Итак, для доказательства (4.5) предположим противное, т. е. пусть
существует последовательность {vn} Е W^'p(ft) с ||Vi;n||p = 1 и >t(vn) -> 0.
Теперь мы можем выделить такую подпоследовательность, которую мы
снова обозначим через {vn}, что для некоторого vo G Wo'p(ft)
vn vo слабо в Wo'p(ft) и vn -> vQ сильно в Lp(ft).

62 Глава 2. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы
Заметим, что функционал
г;к> J a(x)\v\p
является непрерывным на L^fi) и слабо непрерывным на Wq'^H). В силу
слабой полунепрерывности снизу функционала N на Wq'^H) получаем
неравенства
О ^ HVttolB - [ <х(х)ЫР dx ^ lim inf yt(vn) = 0.
J n-*+oo
Стало быть,
С другой стороны,
||Vi>0||£ = j a(x)\v0\pdx.
следовательно,
f a(x)\v0\pdx,
\\Vv0\\p = f a(x)\v0\pdx=\,
откуда следует, что v0 Ф 0. Тогда в силу (4.4) и (4.6) получаем
AilMi; < HVtblg = f a(x)\v0\pdx < А,|Ы|£, (4.7)
п
из чего следует, что
1" imi?'
Отсюда вытекает, что vo = Рщ, u\ > 0, /3 Ф 0. Следовательно, |^о(я)| > 0
почти всюду в области П. Введем обозначение
П, = {х е П | а(х) < Ai}.
Поскольку meas(fii) > 0, мы получаем
J a(x)\v0\pdx = J a(x)\v0\pdx+ f a(x)\v0\p dx < A,|N|?,
что противоречит (4.7). Так что (4.5) доказано. Очевидно, что из (4.5)
вытекает неравенство
\\Vv\\p-f a(x)\v\p>e0\\Vv\\p для всех г; Е Wj'p(n). (4.8)

§ 4. Одно квазилинейное уравнение
63
Пусть е > 0 таково, что е < Х\€о. Используя (4.4) и условия роста (4.2)
при q = р, получим неравенство
F(x, s) ^ + €\s\p + fc + с(ж) для iGfi, 5GR1. (4.9)
Теперь из (4.8) и (4.9) вытекает слабая коэрцитивность функционала 3"(v):
?(v) > l-(eo\\Vv\\pp - e\\v\\p) - к, > *!^£||Vt>|g - Л, -> +oo
при ||Vt;||p -> +oo.
Теорема доказана. □
Литературные указания
Материал для этой главы был взят из работ [5], [35], [40], [68], [69],
[77J, [83] и [93].

Глава 3
Вариационные методы.
Условный экстремум
§1. Введение
В этой главе мы акцентируем внимание на рассмотрении
вариационных задач для функционалов при некоторых дополнительных
ограничениях, т.е. рассмотрим вариационную задачу на условный экстремум.
Довольно часто тот функционал, который непосредственно
соответствует исходной нелинейной краевой задаче, не является ограниченным
ни снизу, ни сверху, поэтому, естественно, у него нет экстремальных
точек на заданном банаховом пространстве, но, с другой стороны, исходной
краевой задаче можно сопоставить вариационную задачу на условный
экстремум, такую что будут выполнены все условия теоремы 2.4 предыдущей
главы и с необходимостью экстремаль этой вариационной задачи будет
удовлетворять уравнению Лагранжа. Кроме того, мы рассмотрим в этой
главе теорию Люстерника—Шнирельмана и очень полезный метод
расслаивающих функционалов С. И. Похожаева, который позволяет сопоставить
исходному функционалу краевой задачи задачу на условный экстремум
для некоторого другого функционала, также связанного с исходной
краевой задачей.
§ 2. Уравнение Лагранжа
Пусть у>: В -> R1 и ^>: В -> R1 — это функционалы, определенные
на банаховом пространстве В. Рассмотрим многообразие в В, задаваемое
уравнением
Vc = {u Е В : <р(и) = с} при с Е R1.
Теперь мы можем дать определение условного экстремума.
Определение 3.1. Точка щ £ Vc называется точкой минимума
(максимума) функционала гр относительно многообразия Vc, если
найдется такая окрестность
U(tio) = {и £ В : \\и- iiqII ^ г}
при некотором г > О, что
ip(u) ^ гр(щ) (^ гр(щ)) для всех и £ Vc П U(w0).

66
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
относительно многообразия Se. Докажем, что в этом случае найдется такое
число /I Е R1, что
С этой целью рассмотрим одномерное подпространство Ш\ С Н, где
Hi = {Au0: A ER1}.
Пусть Ш2 — это ортогональное дополнение Ш\ в Н, т. е. для Н имеет
место ортогональное разложение:
н = н, еи2.
Пусть, кроме того, ft £ Н2 — это произвольный вектор, принадлежащий
сфере Se, т.е. ||ft|| = о > 0. Рассмотрим теперь следующий вектор:
и = (\+ае)щ + eh. (2.1)
Потребуем, чтобы этот вектор лежал на сфере Se:
\\u\\2 = a2=>(\+ea)2a2 + e2a2 = a2t
где мы воспользовались тем, что щ ± ft. Таким образом, приходим к
следующему уравнению:
i i i -1 ± \Л - £2
(1 + еау + г = 1 =» га1 + 2а + е = 0 => aU2 = .
Из этих двух корней выбираем
-1 + \/П^?
а = .
€
Заметим, что
1
а = --е + о(е) при е->0.
Теперь, поскольку функционал
ip(u): Н -> R1
является (по условию) дифференцируемым по Фреше в точке щ Е Sfl, то
для всех u Е Se вида (2.1) справедливо представление
i/)(u) - 1/>(щ) = (^/Ы, w - wo) + w(t«o, u-щ), (2.2)
из которого в силу (2.1) получим равенство
V»(u) - гр(щ) = {ф'/(щ), аещ + eft) + ы(и0, <*ещ + eft),
причем
at = o(z) и w(t*ot crctio + £ft) = o(e)y

§2. Уравнение Лагранжа
65
Далее мы будем рассматривать тот важный случай, когда
функционалы гр и (р являются дифференцируемыми по Фреше в точке щ Е Vc.
Дадим определения.
Определение 3.2. Точка щ G Vc называется обыкновенной точкой
многообразия Vc, если
№Ы)\\>о.
Определение 3.3. Точка щ G Vc называется условно критической
точкой функционала гр относительно многообразия Vc, если найдется
такое число /i G R1, что
г/>'/(щ) = 1кр'/(щ).
Справедлива следующая важная теорема — основная для данной главы.
Теорема 3.1. Пусть функционалы (р и гр являются дифференцируемыми
по Фреше в точке щ G В, причем точка щ G В является обыкновенной
точкой многообразия (р(и) = (р(щ):
ЫЫ\\>о,
тогда, если точка щ G В является точкой условного экстремума
функционала гр относительно многообразия
Vc, = {и G В : (р(и) = <р(щ) = со},
то точка щ G является условно критической, т. е. найдется такое
ц G R1, что
гр)(щ) = /V/Ы.
Доказательство в общем случае будет предложено в следующем
параграфе в связи с рассмотрением теории категорий Люстерника—Шнирель-
мана, а сейчас мы докажем теорему для одного важного случая, когда
В = Ш — это вещественное гильбертово пространство со скалярным
произведением (♦, •), функционал (р(и) = (и, и), а точка щ G Sfl:
Sfl = {и G Н : <р(и) = (и, и) = о2} при о > 0.
Прежде всего докажем, что каждая точка сферы §„ является обыкновенной
точкой. Действительно,
<р(и + h) - (р(и) = (u + h,u + h)- (и, и) = 2(и, h) 4- (h, h),
т.е.
¥>'/(«) = 2« => ||^(«)|| = ^/(2«,2«) = 2||«|| = 2о > 0.
Предположим, что точка щ G Ш является точкой условного экстремума
функционала
гр:т-+Ш]
5 Заказ 405

68 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Определение 3.4. Слабым решением задачи (2.3) назовем функцию
u G Но(П), удовлетворяющую следующему равенству:
|u|p_2«, v) = О для всех v G Но(П), (2.5)
где (♦, •) — это скобки двойственности между гильбертовыми
пространствами Hq(H) и НМ(П).
Заметим, что в примере 2.2 второй главы нами было доказано, что
оператор
Ар: wJ'p(n)-> W~iy(n) при р^2.
Но при р = 2 оператор Др = Д, поэтому
Д : Hj(fl) = Wj-2(n) -> Н~'(П) = Щ~1'2(П). (2.6)
Теперь заметим, что имеет место следующая цепочка плотных вложений:
Hj(fl) CL'(fl) CL2(fl) С^^СГ'й при р G [2, 2*). (2.7)
Действительно, это следствие [20, гл. 1, теорема 1.16], поскольку Н^П),
LP(fi) при указанных условиях — рефлексивные пространства, причем
имеют место следующие плотные вложения:
Н&(П) С ЬР(П) => с Н"'(П),
1/(П) С L2(n) => Ь2(П) с
Кроме того, в силу [20, гл. 1, теорема 1.19] имеют место следующие
равенства:
(/,!*>= J f(x)u(x)dx для всех u(x) G Hj(ft), f(x) G hp(Q) С Н-|(П),
п
(/, = У f(x)u(x) dx для всех п(ж) G Н^(П), /(ж) G L2(H) С Н-,(П).
п
Теперь заметим, что нелинейный оператор
\u\p'2u: 1/(П)->1/(П) при р>2, р=-^—.
р- I
Действительно,
У \\u(x)rM*)f d* = f |w(x)|(p",)p'dx = У |и(х)|* dx.
Следовательно,
|tt|'-2tt : Hj(fl) С 1/(П) -> l/(n) С ЕГ'(П).

§2. Уравнение Лагранжа
67
т.е.
{
поэтому приходим к равенству
Но по условию теоремы в точке и = щ G Sfl у функционала гр имеется
условный экстремум относительно сферы Se, поэтому при достаточно
малом е > О знак левой части должен сохранятся для всех и £ Sfl с такими
малыми £, но это с необходимостью возможно при условии, что
(гр^(щ), h) — О для всех ft G
1р'/(щ) G Hi гр^(щ) — цщ при некотором ц G R1.
Теорема доказана. □
Приведем один пример.
Пример 3.1. Рассмотрим следующую нелинейную краевую задачу:
-Au + Xu = \u\p'2u в П,
Предположим, что ft С RN (N > 3) — это ограниченная область с гладкой
границей <Ш G С(2,(,) при 6 G (0, 1]. Предположим также, что
2<Р<^2, (2.4)
тогда в силу теоремы вложения СЛ. Соболева имеет место вполне
непрерывное вложение
Н£(П) <-*<-* ЬР(П) при N ^ 3.
Прежде чем приступать к исследованию этой краевой задачи заметим, что
функционал
ЕМ = \ f I Vn|2 dx + ±f \u\2 dx-- f \u\p dx,
Q Q Q
производная Фреше E'^(w) которого удовлетворяет уравнению
(Е;(и), v) = О для всех v G Но(П),
а это и есть слабая постановка задачи (2.3), однако этот функционал
не является ограниченным ни снизу, ни сверху, и поэтому, естественно,
он не достигает ни минимума, ни максимума на Но(П). Тем не менее,
рассматриваемая нелинейная краевая задача допускает вариационную
постановку на условный экстремум. Но сначала, как всегда, дадим определение
слабого решения краевой задачи (2.3).
5*

70
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
поэтому
ип -¥ и сильно в L2(Q).
Значит,
A j |ti„(x)|2 dx -> A j |и(ж)|2 dx при п -> +оо.
Слабая секвенциальная полунепрерывность снизу для функционала гр
доказана.
Теперь докажем, что множество V слабо замкнуто. Действительно,
пусть {ti„} с V и
ti„ и слабо в Но(П),
но по предположению (2.4) имеет место следующее вполне непрерывное
вложение:
Н£(П) 1/(П),
поэтому
ti„ -» и сильно в 1/(П),
1= J \un(x)\pdx-+ J \u(x)\p dx.
j \u(x)\p dx= 1,
n
т.е. ti G V. Тем самым слабая замкнутость доказана.
Теперь докажем слабую коэрцитивность функционала гр(и) на V.
Действительно, в силу неравенства Фридрихса имеет место следующее
неравенство:
J |Vti(x)|2 dx ^ A| J \u(x)\2 dx для всех u G Но(П),
n n
где 0 < Aj — это первое собственное значение оператора -Ас
однородным условием Дирихле. Поэтому для функционала гр(и) справедлива
следующая оценка снизу:
+{*)>\f \Vu(x)\2dx+±f |Vti(x)|2dx = ^l + ^ J |Vti(x)|2dx.
Поэтому функционал гр(п) слабо коэрцитивен при условии, что
а> -а|.
но тогда
Значит,

§2. Уравнение Лагранжа
69
Наконец, единичный оператор
lu: L2(fi)->L2(fi),
но опять в силу цепочки вложений (2.7) приходим к выводу, что
lu : Hj(n) с L2(n) -> L2(fi) с ИГ'(П).
Таким образом, приходим к выводу, что при условии (2.4) нелинейный
оператор
-Аи + \и- \и\р-2и : Ш10(П) -> ИГ'(П).
Поэтому определение 3.4 слабого решения корректно.
Теперь сопоставим краевой задаче (2.3), понимаемой в слабом смысле
(2.5), следующую вариационную задачу на условный экстремум.
Рассмотрим функционал
*(«) = \ J (|V«(x)|2 + А|«(х)|2) dx (2.8)
на гильбертовом пространстве Ш10(О) и многообразие
V = |n G НЙ(П) : <р(и) = f \и{х)\р dx = 11. (2.9)
Прежде всего проверим, что функционал гр(и) является слабо
секвенциально полунепрерывным снизу на V. Итак, пусть
{ип} с V с Hj(n),
причем
ип -*> и G V слабо в Ho(ft),
но тогда
lim inf г/>(ип) ^ *ф(и).
п-*+оо
Действительно, это следствие того факта, что
lim inf f \Vun(x)\2dx^ f \Vu{x)\2 dx,
n-*+oo J J
поскольку
|Vn(x)|2^
1/2
— это норма на Но(П). Кроме того, в силу теоремы вложения СЛ.
Соболева имеет место вполне непрерывное вложение
Н&(П) ->->Ь2(П),

§2. Уравнение Лагранжа
71
Осталось проверить, что все точки многообразия V являются
обыкновенными. Действительно, рассмотрим функционал
ф) = f Hx)\>dx.
n
Его производная Фреше имеет вид
¥>'/(«) =Р1«Г2«-
С одной стороны,
|y,W|L= «.р \W,(u),v)\.
I|V*||2<1
С другой стороны, заметим, что
(<p'f(u), u) =р J \и(х)\р dx=p>0 на V.
п
Поэтому
||р/(и)||.= sup \(<p'f(u),v)\Zc\(<p'f(u),u)\^cp>0 для всех tiEV,
liv»lh<i
где с > 0 — это некоторая постоянная, не зависящая от и Е V. Тем самым
выполнены все условия теорем 2.4 предыдущей главы, а значит, найдется
такая точка tio Е V, в которой у функционала fp достигается минимум.
Кроме того, отсюда вытекает выполнимость всех условий теоремы 3.1
настоящей главы. Следовательно, найдется такое число ц Е R1, что будет
выполнено следующее равенство:
(*1>'/(щ) - 1*<р'/(щ)> v) =0 для всех v Е Но(П),
но это равенство есть не что иное, как следующее равенство:
(-Ащ + Хщ-fi\u0\p~2u0iv) = 0 для всех v Е Но(П). (2.10)
Теперь докажем, что р. > 0. Действительно, положим в равенстве (2.10)
v = щ Е Hq(Q), тогда после «интегрирования по частям» получим равенства
2ф(щ) = j [|Vti0(x)|2 + A|ti0(x)|2] dx = ц f \щ(х)\р dx = /*,
n n
поскольку ti0 E V. Но, как мы доказали, ^(ti0) > 0, следовательно, и ц > 0.
Теперь осталось сделать замену
1/(р-2)
ti0
(1 V
чтобы прийти к равенству (2.5).
Тем самым нелинейная краевая задача (2.3) разрешима в слабом
обобщенном смысле при А > -Aj. >

72 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
§3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
В данном параграфе мы рассмотрим важную в приложениях теорию
категорий Люстерника—Шнирельмана и ее применение к
дифференцируемым по Фреше на В функционалам. Сначала дадим определение
стягиваемого множества. Пусть X — это отделимое топологическое пространство,
т. е. хаусдорфово пространство.
Определение 3.5. Подмножество А С X называется стягиваемым
на X множеством, если найдутся такая функция (деформация)
h(t,u): [0, 1] х Л -> X
класса С([0,1] х А; X) и такая точка й G X, что
ft(0, и) = и и h(\,u) = u€X для всех и G А.
Теперь мы можем дать определение категории множества АсХ
относительно хаусдорфова пространства X.
Определение 3.6. Категорией множества А СХ как подмножества
хаусдорфова пространства X называется отображение
catx(4): 2х -» Z+ U {+оо},
удовлетворяющее следующим условиям:
(i) catx(0) = 0;
(ii) catx(-4) = min {k G N: А С (Jm=i Am} > где каждое множество Am с X
является замкнутым и стягиваемым в X;
(Hi) catx(-4) = +оо, если нет конечного покрытия.
Категория сзХ\(А) множества Л С X по отношению к X обладает
следующим набором свойств.
Теорема 3.2. Пусть X и Y — это два хаусдорфовых пространства.
Справедливы следующие свойства:
(i) если Ас С, то cat\(A) С catx(C);
(ii) catx(4 U С) ^ catx(4) + catx(C);
(iii) catxxv(^ x {^}) = catx(-4) для каждой точки z G Y;
(iv) если г}: А-ьХ является гомеоморфизмом, гомотопичным
тождественному отображению id а на А С X, тогда имеет место неравенство
catx(A) ^ catxfoM)).
Доказательство. Первое свойство вытекает из тех соображений, что
покрытие множества С является покрытием множества А. Второе
свойство вытекает из того, что объединение покрытий А и С является
покрытием и их объединения АиС. Третье свойство доказывается
следующим образом. Пусть cate(i4) = к < +оо, поскольку в противном случае

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
73
и catxxvM х {z}) = +00. Пусть
IK
m=l
— это покрытие множества А. Но тогда, поскольку {z} — это замкнутое
множество в Y, имеем:
к
771=1
— это покрытие множества А х {z} и обратное тоже верно.
Приступим к доказательству четвертого свойства. Итак, пусть
catxtoU)) = к < +оо,
поскольку в противном случае сразу же приходим к утверждению. Пусть
{Cm}m=i ~~ замкнутые и стягиваемые в X множества, для которых в силу
стягиваемости определены деформации
M'.tt)€C([Ofl]x^w;X).
Поскольку отображение г}: А -> X гомотопично тождественному
отображению idyi, то существует такая деформация h(t, и), что
Введем обозначение
Рассмотрим множества
h(0,) = idAi ) = 17-
Ч) = А(1,').
*r'(Cm), m=\,k.
Множества {Лт}ш=1 образуют замкнутое покрытие в силу
гомеоморфности отображения 17. Докажем, что все эти множества являются
стягиваемыми в X. Действительно, рассмотрим следующую деформацию:
hm(t,u) = <
h(2t, и) при t G
ftm(2«-l,ft|(t*)) при *G
4
1
2'1
Понятно, что
ftm(*,u): [0,1] x Лт-> X и hm(t,-) = idA, hm(l, ■) = um € X.
Осталось доказать, что
Ат('.«)€С([0,1]ху1т;Х).

74
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Но это сразу же следует из определения деформаций h(t, и) и hm(t, и)
и следующего равенства:
ft(l, и) = tj(u) = h\(u) = Am(0, Ai(ti)) для всех и G X.
Тем самым семейство множеств {Ат}!^=1 является стягиваемым в X.
Следовательно,
catxM) ^ k = catxfoM)).
Теорема доказана. □
Для дальнейшего нам сейчас потребуется ввести определение
абсолютного окрестностного ретрактора. Пусть X и Y — это два метрических
пространства и D С Y — замкнутое подмножество,
tp : D С Y -> X,
причем <р е C(D;X). Дадим определение.
Определение 3.7. Метрическое пространство X называется
абсолютным окрестностным ретрактором (ANR), если для любого
замкнутого множества D С Y найдется такая окрестность U С Y,
содержащая D, что отображение (р можно продолжить до непрерывного на U.
Справедлива следующая важная теорема.
Теорема 3.3. Пусть метрическое пространство X является ANR и
А С X — это произвольное замкнутое множество, тогда найдется
такая окрестность U С X множества А, что имеет место следующее
равенство:
catx(4) = catx(U).
Доказательство. Итак, пусть catx(>l) = к < +оо, поскольку в
противном случае утверждение теоремы вытекает из теоремы 3.2. Пусть
{Am}m=\ ~~ 3X0 замкнутое покрытие множества А, причем каждое Ат
является стягиваемым в X, т.е. существует такая деформация
hm(t,u) еС([0, \]хАт,Х),
что
hm(0, и) = и и Ат(1, и) = йт G X для всех и G Ат.
Докажем, что для каждо^ множества Ат найдется такая его окрестность
Um, что ее замыкание Um стягиваемо в X. Действительно, рассмотрим
следующее декартово произведение метрических пространств:
Y = [0,1]хХ.
Рассмотрим замкнутое подмножество этого метрического пространства
Еш = {[0, 1] х Ат} U {{0} х X} U {{1} х X}

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
75
и непрерывную функцию на этом замкнутом множестве
' hm(tyu) при t G [0, 1], u G Ат\
um(t, ti) = < и при t = О, ti G X;
k flm при t = 1, и G X.
Поскольку В — это ANR, то [0, 1] х X — это тоже ANR. Поэтому
найдется такая окрестность Vm С [0,1) х X множества Еш, что функция ит
допускает непрерывное продолжение
um(t,u)eC(Vm;X).
Без ограничения общности можно считать, что множество Vro замкнуто
в [0, 1] х X, следовательно^найдется такая замкнутая окрестность Um
множества Ат, что [0, 1] х Um С Vm, причем
йт(0, и) = и и йт(1, и) = йтеХ для всех и G Um,
т.е. замкнутые множества Um при т = I, к являются стягиваемыми в X,
причем
к
U= U VmDA
к = catx(i4) ^ catx U ^ к catx(>l) = catx(U).
Теорема доказана. □
Рассмотрим теперь ряд примеров.
Пример 3.2. Пусть X = В — это банахово пространство, а
А = BR(0) = {ti G В : Л}.
кество А замкнуто в В. Докажем,
, рассмотрим следующую деформа
h(t, ti) = (1 - t)u G C([0, 1] x Л; В).
Очевидно, что множество А замкнуто в В. Докажем, что оно стягиваемо
в В. Действительно, рассмотрим следующую деформацию:
Ясно, что
Л(0, ti) = ti и A(l,ti)=0GB для всех ti G А.
Стало быть, ____
catB (BR(0)) = 1. >
Следующий пример очень важен нам для дальнейшего.
Пример 3.3. Символом S^"1 обозначим единичную сферу в
евклидовом пространстве RN:
SN~l = {xeRN: \\u\\N=\}.

76 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Символом Р^"1 обозначим следующее множество:
rN-l = {(x,-x);x€Sl,-,}>
которое называется (N - 1)-мерным проективным пространством.
Справедливо следующее равенство:
catpjr-ifP*"1) = N, (3.1)
доказательство которого выходит за рамки настоящей книги.
Интересующийся читатель может найти его в работе [92]. Пусть теперь S00 — это
единичная сфера в банаховом пространстве в:
S°° = {«€B: N1 = 1},
и введем соответствующее проективное пространство
Р°° = {(и,-и); tiES00}.
Но тогда в силу равенства (3.1) имеет место следующее равенство:
catpx (Р00 П Р""1) = cav-i (Р00 П Р""1) = N.
Отсюда в силу произвольности N Е N приходим к выводу, что
catpx(P°°) = +oo. > (3.2)
Теперь продолжим рассмотрение теории категорий Л юстерника—Шни-
рельмана.
Введем следующие обозначения:
Aj = {A СХ: catxM^j}, (3.3)
где А — это замкнутое множество в X,
Cj = inf sup^(ti), (3.4)
ACAj U£A
где t/>: X -> Rl. Совершенно понятно, что имеет место вложение
Aj С Aj-\,
т. е. последовательность множеств Л* является убывающей.
Приступим к рассмотрению важного приложения теории категорий
Люстерника—Шнирельмана к вариационным задачам на условный
экстремум.
Пусть в — это вещественное и сепарабельное банахово пространство
с сопряженным в*. Пусть, кроме того,
tp eCm(B;Rl),
т. е. функционал (р является дважды дифференцируемым по Фреше,
причем вторая его производная
<р"П(и): В -> jC(B; В*)

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
77
и, кроме того, является непрерывным отображением, т.е.
Р//(и)€С(В;£(В; В*)).
Рассмотрим следующее множество:
V={vGB: tp(v)= 1}, (3.5)
причем предположим, что
||^/(v)||. > 0 для всех v G V.
В силу последнего условия множество V С В является многообразием.
Из теории гладких многообразий вытекает, что многообразие V
является С2-многообразием, причем норма банахова пространства В
индуцирует метрику на этом многообразии и относительно этой метрики
многообразие V является метрическим пространством, удовлетворяющим
ANR-условию.
Введем теперь касательное пространство в точке v G V:
TvV={tiGB: (<p'f(v)9u)=0}. (3.6)
В дальнейшем, как можно заметить, функционал (р и соответствующее
многообразие V являются тем самым ограничением для некоторого
функционала tp9 т.е. мы будем рассматривать условный экстремум
функционала %р на многообразии V, порожденном функционалом (р.
Теперь введем в рассмотрение функционал
ip:E->Rl9
относительно которого предположим, что он принадлежит классу С(,)(В; R1),
т. е. он является дифференцируемым по Фреше на В и его производная
Фреше является непрерывным отображением:
tp'f(u) G С(В; В*).
Норма производной Фреше гр^(и) с ограничением на касательное
пространство TVV имеет следующий вид:
\\tP'f(v)\U^V)= sup \W,(v)9u)\9 (3.7)
IMKI.H6T.V
где v G V.
В дальнейшем мы будем постоянно пользоваться следующим
неравенством:
(Л") ^ ll/*ll.(T,V)||w|| для всех w G T„V,
которое доказывается следующим образом — в силу (3.7) имеет место
неравенство
/*,jjSj[)<ll/*ll*(TfV) т* W*0' weTvV>
поскольку при w = в доказывать нечего.

78 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Дадим определение.
Определение 3.8. Точка г; G V называется критической точкой
функционала гр по отношению к многообразию V, если имеет место
равенство
||lWI|.(T.V) = 0. (3.8)
Кроме того, в дальнейшем мы будем пользоваться следующим
обозначением:
гр* = {v G V : гр(у) ^ d] . (3.9)
Справедлива следующая лемма о двойственности.
Лемма 3.1. Пусть /, g G В*, тогда имеет место равенство
sup |</, г7>| = minll/ - A^|U. (3.10)
IMK1.(JM>>=0 А**1
Доказательство. Действительно, с одной стороны
sup |(/,v)|= sup К/-Ад, t;)|,
поскольку (g, v) = 0. С другой стороны,
\(f-^,v)\<\\f-\9\U\\v\\<\\f-^\U,
поскольку ||v|| ^ 1. Кроме того, по теореме Хана—Банаха существует
такое продолжение / G В* функционала /, что
(7i v) == (/»v) Для всех v € ker (g)
и имеет место равенство
sup К/, t>)| HI/H..
Кроме того, имеет место следующее вложение:
ker (g) С ker (/ — /),
из которого в силу линейности функционалов д, /, / G В* вытекает
существование такого A G R1, что
/-/ = *</.
но отсюда вытекает, что
11/11. = II/ -Asll.-
Лемма доказана. □
Из этой леммы сразу же вытекает следующее важное утверждение.

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана 79
Теорема 3.4. Пусть tp G С^фИ1). гр G C^BjR1), u G V,
определенное формулой (3.5), тогда имеет место равенство
IM(«)IL(T„V) = min Щ(и) - A#(ti)||,. (3.11)
В частности, если и G V — это критическая точка функционала гр
относительно многообразия V, то найдется такое р G R1, что
V7(n)-/V,(tt) = 0GB*. (3.12)
Доказательство. Достаточно взять в лемме 3.1
/ = xp'f(u) G В* и g = р'Ди) G В*
при фиксированном ti G В.
Теорема доказана. □
Замечание 3.1. Доказательство теоремы 3.4 является обещанным
доказательством теоремы 3.1 в общем случае для функционалов у?, гр G С(,)(В; М1).
Теперь дадим определение псевдоградиентного векторного поля на V.
С этой целью рассмотрим следующее подмножество М С V:
M={tiGV: ||^/MIL(T"V)^0}^0-
Замечание 3.2. В дальнейшем мы будем изучать функционалы гр G С(В; М1), т. е.
такие, что
#(.)€С(В;В*).
Следовательно, если в некоторой точке v G V имеет место неравенство
l№(»)||.(T.V) > о,
то и в некоторой малой окрестности из топологии метрического пространства V
будет иметь место это неравенство. В частности, множество М будет также
метрическим пространством.
Определение 3.9. Локально липшиц-непрерывное на Ж С V С В
отображение
д(-): Ж -> В
называется псевдоградиентным векторным полем на Ж, если д(и) G
TU(V) и для этого отображения выполнены следующие свойства:
|M«)||<2||^(«)||,(TUV), (3.13)
W*UW)>W№\\l(TuV) (з.н)
для всех и G Ж.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.5. Пусть гр G C^(B;R!) и (р G C^BjR1), тогда на Ж
существует псевдоградиентное поле д(-) : В -> В.

80
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Доказательство. Итак, пусть v Е Ж С V — это произвольная точка
и T„(V) — это касательное пространство в этой точке. Напомним, что
х е TV(V), если
(<p'f(v),z)=0.
Поскольку <p'f(v) Ф в € В*, то найдется такое х Е T„(V), что ||х|| = 1 и
Ш*),х)>1Ш*)\\.РМ (3-15)
Действительно,
tl)'f(v) Ф в для v Е М.
Поэтому по следствию из теоремы Хана—Банаха найдется такое х Е В,
что = 1 и
(il>',(v),x) = ||vH»)||.(T,,v)|M| = U'f(v)\\t{TvV) > -3\\i>'f(v)l(Tvv).
Тем самым неравенство (3.15) доказано. Кроме того, по определению
многообразия V в каждой его точке v Е V имеет место неравенство
<p'f(v)*oeB\
но тогда в силу того же следствия из теоремы Хана—Банаха вытекает
существование такого z Е В, что
(<p't(v).z) = l. (3.16)
Действительно, найдется такое z\ Е В, что имеет место следующее
равенство:
<#(»).*>)' = Ik/OOllJWI nP" INI = L
откуда следует, что если положить
z =
ik/wii.'
то получим требуемое равенство. Заметим, что эти найденные элементы
ж, z Е В, естественно, зависят от ti G М. Теперь отметим, что если
<р Е C^BjR1), то в окрестности (из топологии метрического
пространства М) точки v Е М С V имеет место следующее разложение:
(<p'f(*)>z) - Wf(v)>z) = (v"ff(v)(u - v)>z) + Ф> v>u- v)>
где
lim V, —-—- = 0, ti,vGM, zGB,
||и-«|Н0 ||ti - V||

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
81
но в силу (3.16) отсюда приходим к равенству
((p'f(u), z) = 1 + (<p'ff(v)(u - v), z) + w(z, v,u — v),
из которого вытекает, что для близких точек uy v G М в топологии
метрического пространства М справедливо неравенство
<#(«),*> >0. (3.17)
Теперь введем следующие обозначения:
причем второе равенство рассматривается в достаточно малой окрестности
точки v G М, существование которой следует из (3.17). Заметим теперь,
что так как
xeT9(V)*>(<p'f(v),x)=09
следовательно, поскольку по определению у G T„(V), то и
(<p'f(v),y)=0,
но тогда gv(v) = у. Теперь заметим, что в точке u = v отображение
gv(u) удовлетворяет условиям (3.13) и (3.14). Действительно, имеют место
следующие выражения:
Ы«)Н = IMI = f IMHWOOlLCr.v) = Ill^/Wll.cr.v) < 2lk/(«)ll.(T»v).
кроме того,
Ш*)>ш) = \ш*),х)Ш*Штм > Ik/Wll.cw
Теперь заметим, что поскольку гр G С^(В; R1) и <р G С^(В; R1), то
отображение gv(u) является непрерывным по Липшицу в некоторой
окрестности точки и = v. Действительно, для этого достаточно доказать локальную
непрерывность скалярных функций
(<p'f(v)>v) и Wf (*)>*)
в некоторой малой окрестности точки и = v G М из топологии
метрического пространства М. Это следствие того, что <р G С^2^(В; R1) и
следующего разложения:
((p'f(u)9 w) = ((p'f(v), w) + {4>"ff{v){u - v), w) + w(w, v, и - v),
где
\u)(w% v% и — v)\
lim V, „ л =0, ti, v G M, w G B.
ll«-v||->o \\u - v\\
6 Заказ 405

82
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Теперь, поскольку
€£(В;В*),
т. е. при фиксированном v G М отображение <p'ff(v) является линейным
и непрерывным отображением, и значит ограниченным, имеет место
следующее неравенство:
- W'f(v),w)\< 5l|^,(f)||C(B^iii»ii • н«- «н
при достаточно малой величине ||u - v\\, т.е. функция (^(ti),iu)
является липшиц-непрерывной в некоторой малой окрестности точки v G V.
С другой стороны, 'ф G С^(В; R1). Значит, отображение
#(.)€С(В;В*),
т. е. непрерывно в некоторой окрестности точки u = v G V.
Следовательно, найдется такая окрестность точки v G Ж из топологии
метрического пространства Ж> что будут иметь место следующие неравенства:
||^(«)|| < 2||V/(«)||,(T„V), (3.18)
(iP'f(u),gv(u))^\\i>'f(u)\\](TuV) (3.19)
для всех и G N(t;). Рассмотрим теперь семейство
W = {N(v); v G Ж}.
Это семейство является открытым покрытием метрического пространства
Ж у поэтому существует такое локально конечное открытое покрытие
метрического пространства Ж
U={Ni; г G N},
что для всякого г G N найдется такое v G V, при котором
% с Щу).
Теперь сопоставим каждому i G N некоторое v, G V и соответствующее
N, и N(vj). Для этого введем функцию
gVi(u) при и G
О при и £ N(vi).
Кроме того, введем весовую функцию
Pi(u) = distance(ti, B\N,),
где distance — расстояние. Теперь рассмотрим отображение д(и): В -> В,
определенное формулой
+00

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
83
Осталось проверить, что оно удовлетворяет условиям определения 3.9
псевдоградиентного векторного поля на Ж. Действительно, для каждого
г £ N и всякого u Е N(v,) в силу (3.18) имеет место неравенство
lk(«)||<2||^(«)||.(TuV).
Следовательно,
+00
Z>(«)ito(«)ii
\Ш\\ ^ j=L+Z < 2|M(«)||.(T„V).
Теперь в силу (3.19) имеет место следующая цепочка соотношений:
+00
Eft(«X^(«).ft(«)>
+00
EftWlk/Wl&Ti.v)
> -— = ll^/Wll!cr.v).
Теорема доказана. □
Теперь докажем следующую важную лемму о деформации.
Лемма о деформации 1. Пусть гр £ С(1)(В;^), S С V, с Е R1 и
б, д > О таковы, что
||^(ti)||#(TuV)^y VueA = ip-{([c-2e,c+2e])nS26nV, (3.20)
где
$2б = {иеШ: distanced, S) ^ 26}.
Тогда существует такая деформация т](1,и) £ С ([0, 1] х V; V), что
выполнены следующие свойства:
(i) если и € А, то rj(t, и) = гх при t = 0;
(ii) 77(l,^+enS)C^c-e^^^C:te = {^^K: ^(гх)^с±е};
(iii) ip(ri(t, и)) является убывающей функцией по t Е [0,1] для всех и Е V.
6*

84
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Доказательство. В силу теоремы 3.5 на многообразии
Ж={ие V: ip'f(u)£0eB*}
существует псевдоградиентное векторное поле g(u) : В -> В, которое по
его определению удовлетворяет условиям
||9(1|)|| < 2||^(«)||,(Tuv), <V/(«).s(«)> > lk/(«)ll!(T.v)
для всех u G М, в частности на ScMC VcE. Теперь определим
следующие множества на V:
Л = V1 ([с - 2е, с + 2е]) П S2(J,
В = ^1([c-e,c + £])nS^nV,
где
8j = {w € В : distance^, S) ^ 6}.
Рассмотрим следующую функцию:
distance^, Е\Л)
(3.21)
distance(ti, Е\Л) + distance^, Ъ)
Понятно, что введенная функция удовлетворяет условию
1 при иеЪ;
О при uG Е\Л.
Рассмотрим векторное поле на Е:
{р(и)а(и)
~ШШ "Р" (3.22)
О при ti G Е\Л.
Теперь нам надо доказать, что это векторное поле является локально лип-
шиц-непрерывным на Е. По определению псевдоградиентного векторного
поля g(u): Е -> Е является локально липшиц-непрерывным, поэтому нам
достаточно доказать, что функция p(ti) : Е -> R1 является локально лип-
шиц-непрерывной. Действительно, для любых tibti2 из ограниченного
множества банахова пространства Е имеет место неравенство
distance(tib Е\Л) + distance^, Ъ) ^ 8 > О при А: = 1,2,
поэтому имеет место следующее неравенство:
1
\р(щ) - р(и2)\ ^ ^|distance(tib Е\Л) - distance(ti2, Е\Л)| +
+ |distance(tib Е\Л) - distance(ti2, Е\Л)| +
+ |distance(tib Ъ) - distance^, Ъ)\.

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
85
Теперь нам нужно доказать локальную липшиц-непрерывность
функции distance^, и) для и из ограниченного множества Е. Действительно,
по определению
distance^, и) = inf ||гх - v\\.
Предположим для определенности, что
distance^, щ) ^ distance^, 1*2).
Справедливо неравенство треугольника:
\\и\ - v\\ ^ \\и2 - v\\ + \\и\ - 112II для всех v Е С,
отсюда, взяв инфимум от обеих частей неравенства по v Е е, получим
следующее неравенство:
|distance(e, щ) - distance^, 1*2) | ^ ||tii - М2Ц
для всех U\,ui из ограниченного множества банахова пространства В.
Следовательно, приходим к выводу о локальной липшиц-непрерывности
функции
р(и): В -> R1,
тем самым локальная липшиц-непрерывность функции f(u) :В-*В
доказана.
Теперь заметим, что справедливо неравенство
||/(«Ж— для «6 Л.
Действительно, по условию теоремы
||V/(«)IL(T«V) £ j для «€Л
и, кроме того, по определению псевдоградиентного векторного поля на М
имеет место следующая цепочка неравенств:
ll^(«)!l!(T»v)<(^(«).5(«))<
< ||^(«)||.(T«v)||p(«)|| =» \\д(и)\\ > ||^(«)II.(t.v) > j-
Теперь из определения (3.22) векторного поля f(u) имеет место цепочка
неравенств
Давайте теперь рассмотрим задачу Коши для обыкновенного нелинейного
дифференциального уравнения на многообразии V:
do*
— = /И, (т(0) = и € А С V. (3.23)
at

86 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Поскольку нелинейная функция /(•) по доказанному является локально
липшиц-непрерывным и ограниченным отображением на V, то
согласно общей теории нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений задача Коши (3.23) имеет единственное классическое решение класса
o(t) G €^([0, 8е]; V), лежащее на многообразии V при достаточно малых
е > 0 и 6 > 0.
Теперь мы определим искомую деформацию и докажем, что она
удовлетворяет условиям (i)-(iii). Действительно, пусть
ф, и) = <т(Ш, и) G С([0, 1] х V; V).
Заметим, что всякое классическое решение задачи (3.23) удовлетворяет
интегральному уравнению
r(t, и)-и = J /(<r(r,ti))dr,
о
поэтому мы отсюда получаем следующую оценку:
t
1И«,«) - «у ^ / н/ит, «))||
о
поскольку t G [0, 8е]. Но тогда отсюда приходим к неравенству
\\ri(t, и) - ^ 6 для всех t G [0,1]. (3.24)
Заметим, что справедлива следующая цепочка соотношений:
#И*,и))
dt
p(o(t,u))
||*И*.«0)||
^ -p(<r(t, ti)) ^ -l-p{o{t, и)) ^ 0. (3.25)
Давайте теперь проверим, что выполнены все утверждения теоремы. Итак,
если ti G Л, то
t)(t, ti) = ti при t = 0,
поскольку
V(t, tOLo = *(8rf' и)\ыо = *(°»tt) = и'
Таким образом, получаем, что (i) выполнено, поскольку либо ti G Л, либо
ti g Л. Утверждение (iii) вытекает сразу же из (3.25), поскольку
#ИМ)) dj>(4(t9u)) ^А
— <0=» — ^0 при tG[0,1]. (3.26)
ас at

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
87
Осталось доказать только утверждение (И). Итак, возьмем u G *фс+£ п S.
Тогда, если найдется такое t G [0, 8е], что
ip(<r(t,и))^с- е,
то и
^(<т(8е, и)) ^ с - е
в силу неравенства (3.26). Пусть теперь a(t,u) G ф"{([с- е,с + е]) для
всех t G [0, 8е], но тогда в силу (3.24) мы получим, что
\\ф,ч)-ч\\^6,
т.е.
<r(t, и) еЪ = *ф~х ([с - е, с + 5]) п Sj п V.
Тогда p(cr(£,u)) = 1 и мы получаем из (3.25) неравенство
#И*,и)) 1
^ 4'
Интегрируя его по £ G [0, 8е], получим неравенство
^(<т(8е, гх)) ^ ^(гх) - ^с + е-2е = с-е,
т.е.
^(ту(1,гх)) = ^(<т(8е,гх)) ^ с-е для всех гх G Sn^c+f.
Утверждение (И) доказано.
Лемма доказана. □
Теперь мы можем перейти к рассмотрению общего минимаксного
принципа для изучения экстремальных точек функционала гр G С^(В; R1),
ограниченного снизу на многообразии V. Напомним следующие
обозначения:
Aj ее {Л С V : catv(.A) ^ с,- = inf sup ^(гх),
где А — это замкнутое множество в топологии метрического
пространства V. Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 3.6. Предположим, что функционал гр G C^^BjR1) и
ограничен снизу на многообразии V С В. Если
c = ck= c*+i = ... = с*+ш, (3.27)
тогда для каждых е > О, 6 > О, A G Л*+т и замкнутого в топологии
метрического пространства V множества В С V, таких что
sup <ф(и) ^ с + е, catv(S) ^ га, (3.28)

88
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
найдется такая точка щ Е V, что
(i) с - 2е ^ чр(щ) ^ с + 2е\
(ii) distance^, A\\ntfy ^ 26;
(НО Ш«о)\\.(ТщУ)<*е/*.
Доказательство. Прежде всего отметим, что при условиях теоремы
множество точек щ € V, для которых выполнены свойства (i) и (ii), не
пусто.
Теперь предположим, что существуют такие € > 0, 6 > О, A Е Лд.+т
и замкнутое множество Ъ С V, что
sup ip(u) ^ с + е, catv(S) ^ ш,
но утверждение (iii) не выполнено, т. е.
Введем обозначение
S = Л\ int Ъ
и применим лемму о деформации 1, тогда получим существование такой
деформации
9(*,tt)eC([0,l]xV;V)f
которая стягивает множество *фс+£HS в множество ^с"е, но в этом случае
согласно результату теоремы 3.2 (iv) имеет место неравенство
catv(^c+f П S) ^ catv(^c"c)- (3.29)
Теперь заметим, что в силу условия теоремы
^с+еПЛ = Л,
поскольку
sup ip(u) ^ С + 6,
но тогда, поскольку S = Л\ intS, получаем
^c+ens = s.
Таким образом, приходим к выводу, что
catv(^c+f П8) =catv(S).
Следовательно, из (3.29) получаем, что
catv(S) ^ catv(^c"e)-
Теперь наша задача — доказать следующее неравенство:
catv(^c~e) О - 1. (3.30)

§ 3. Теория категорий Люстерника—Шнирельмана
89
По условию теоремы имеем
с = Ck = inf sup ib(u).
Рассмотрим множество
ipc-£ = {ueV: ip(u)^c-e}.
Предположим, что
catv(^"e) ^ *,
но тогда, в силу замкнутости множества ipc~e в топологии метрического
пространства V, это множество принадлежит системе множеств Л*.
Следовательно,
с = с* = inf sup rp(u) ^ sup ip(u) ^ с - e,
АеАк uza uei/>e~e
т. е. e ^ 0, что противоречит исходному условию е G (0, 1). Значит, (3.30)
доказано. Следовательно, в силу теоремы 3.2 справедлива следующая
цепочка неравенств:
А; + га ^ catvH) ^ са^(Л\ int Ъ) + catv(S) ^ catv(S) + га ^
^ catv(^c~f) + rn ^ А; - 1 + га.
Получили противоречие.
Теорема доказана. □
Дадим определение.
Определение 3.10. Будем говорить, что функционал яр G С^(В; R1)
удовлетворяет условию Пале—Смейла (PSC) на многообразии V С В,
если у всякой последовательности {ип} С V, удовлетворяющей
условию
гр(ип)->с и \\ip'f(un)\l(TUnV)-> 0 при п->+оо (3.31)
для с G R1, имеется сильно сходящаяся подпоследовательность:
иПь —> u G V сильно в В при А; -> +оо.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.7. Пусть функционал гр G C^^BjR1) является
ограниченным снизу на многообразии V и удовлетворяет на этом многообразии
условию (PSC) при некотором с G R1. Пусть, кроме того, выполнено
условие (3.27). Тогда для множества
К = {и 6 V : </>(«) = с, ||#(u)||.(T.V) - О}
имеем
catv(Kc) ^ га + 1.

90
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Доказательство. Предположим, что
catv(Kc) < m.
Тогда по теореме 3.3 об ANR (метрическое пространство V является ANR)
для множества Кс существует замкнутая в топологии V окрестность ВС V
множества Кс, такая что
catv(S) = catv(Kc) ^ m.
Сделаем одно терминологическое замечание. Говоря об окрестности Ъ
множества Кс, мы понимаем, что имеет место следующее вложение:
Кс С intB С Ъ. (3.32)
Теперь мы применим теорему 3.6, в которой положим А = V. Тогда из
теоремы 3.6 вытекает существование такой последовательности {ип} С V,
что
1>Ы -> с, №f(un)\l(TUnV) -> 0, distance^, V\intB) -> 0
при п -> +оо. Поскольку функционал гр удовлетворяет условию (PSC)
на многообразии V, то существует подпоследовательность
Ы cWcv,
такая что
unk -> tio Е V сильно в В.
Тогда получим, что, во-первых,
VM = c, ||V/W||.(t^v) = o,
т. е. щ Е Кс, а во-вторых,
щ Е V \ int Ъ.
Следовательно,
щ Е Kcfl(V\intB),
но в силу (3.32) имеет место вложение
Кс С intB,
а тогда
Kcn(V\intB) = 0.
Полученное противоречие доказывает, что
catv(Kc) ^ m + 1.
Теорема доказана. □

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
91
Важным следствием этой теоремы является следующая.
Теорема 3.8. Пусть функционал гр £ C^^EjR1) является ограничен-
ным снизу на V, причем
О infill).
Пусть, кроме того, для всех
с е [ inf гр(и), d]
функционал гр удовлетворяет условию (PSC) //а многообразии V. 7огда
функционал гр достигает минимума на V, причем гр имеет по меньшей
мере catv(^d) критических точек на V.
§4. Задача нелинейной оптики (I)
Рассмотрим следующую физическую задачу, возникающую в
нелинейной оптике. Предположим, что в ограниченной области П С RN (при
N = 1, 2, 3) имеется активная нелинейная (электрическая) среда, которая
облучается лазерным излучением с частотой ш £ R1:
D = D0(x)eiut, E = E0(x)eiut, (4.1)
с комплексными амплитудами бо(х) и Eq(x). Причем для пары (D, Е)
выполнены уравнения Максвелла в квазистационарном приближении
div D = 0, rot Ё = 0 при х £ П.
Отсюда и из (4.1) приходим к следующим уравнениям для комплексных
амплитуд:
div D0 = 0, rot Ё0 = 0 при х £ Q, (4.2)
причем
б0=£Ё0, (4.3)
где ё есть нелинейный оператор в частных производных, зависящий от
частоты и) £ R1. Поскольку лазерное излучение, вообще говоря, является
достаточно интенсивным, нужно учесть наличие пространственной
дисперсии среды £1 С R^, и поэтому оператор е имеет следующий вид
(см., например, [28]):
£=-A+(l + ^#o|2)l, (4.4)
где I — это единичный оператор. Заметим, что Ёо £ и D0 £ —
это комплексные амплитуды, т.е. имеют место следующие равенства:
Ео = Eoi + tEo2, Do = Dqi + tDo2,

92 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
где ^
Еоь Е02, ^оь ^02 ^ ^ '
причем под величиной |Ёо|2 понимается следующее равенство:
|Ё0|2 = |Ео,|2 + |Ёо2|2.
В силу второго равенства из (4.2) получаем сразу же, что
rot Eoi = rot Ё02 = О,
т. е. в предположении поверхностной односвязности области Q Е RN
приходим к выводу, что существуют такие функции u(x),v(x) Е С^(П),
что
Eoi = Vtt, Ё02 = Vv.
Кроме того, в силу первого равенства из (4.2) имеют место следующие
равенства:
div Doi = div D02 = О,
причем
Doi = i Eoi, E>o2 = i Eo2,
но тогда отсюда и из (4.4) мы приходим к следующим уравнениям:
2с2
- A2u + Au+-ttj div ([|Vi*|2 + IVv|2] Vu) = 0, (4.5)
2c2
- A2v + Av + -^-77 div ([\Vu\2 + |Vv|2] Vv) = 0. (4.6)
Теперь мы оговорим знак величины 77 Е R1, входящей в систему
уравнений (4.5) и (4.6). Предположим, что г) < 0, тогда такая среда Q С RN
называется дефокусырующей (см., например, [28]). Введем обозначение
0 < А = Trj.
С учетом этого обозначения система уравнений (4.5) и (4.6) примет
следующий вид:
-А2и + Аи = A div ([\Vu\2 + |Vv|2] Vu),
-A2v + Av = \ div ([|Vi*|2 + IVv|2] Vv). ^
Теперь обсудим краевые условия на границе dQ Е С4,6 (при д Е (0,1])
области П. Предположим, что граница дП представляет собой
«заземленный» и «идеальный» проводник, но тогда граничные условия примут
следующий вид:
{
ди
U\dil = V\dil = °> fab п(х)) = (Ё02, п(х)) = 0 ^
dv
= 0,

94 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Определение 3.12. Слабым решением задачи (4.7)-(4.8) назовем
пару
w{x) = (u(x), v(x)) Е Но(П) х Но(П),
удовлетворяющую равенствам
{B{(w),z{) = {B2(w),z2)=0 для всех z,,z2eHo(«), (4.12)
где B\(w) и B2(w) определены в формулах (4.10) и (4.11)
соответственно.
Приступим к изучению слабой разрешимости рассматриваемой задачи.
Введем следующие функционалы:
xl){w)=X-f [\Au\2 + \Av\2]dx + ^f [|Vu|2 + |Vv|2] dx, (4.13)
<p(w) =X-f [IVti|2 + |Vv|2]2 dx (4.14)
для w = (ti, v) G Hg(ft) x Hg(ft).
В качестве банахова пространства Е, фигурирующего в предыдущих
параграфах данной главы, возьмем
е = ejj(ft) х mg(n).
Сильным сопряженным к нему, очевидно, будет следующее банахово
пространство:
В* = Ш~2(П) х Ш~2(П).
Кроме того, мы будем рассматривать банахово пространство
F = Wl0A(n) х Wj'4(ft).
Банахово пространство
В = х
будем рассматривать относительно одной из эквивалентных норм:
\\w\\ = ^ J [|Ди|2 + |Av|2] dxj , w = {u,v) G E, (4.15)
а банахово пространство F = Wq,4(Q) x W^,4(n) — относительно нормы
1/4
w = (и, v) G F. (4.16)
( \ 1/4
IHIi= у f [|Vtx|2 + |Vi;|2]2dxJ ,

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
93
где nx G RN — вектор нормали в точке х G dCt. И мы приходим к
следующим граничным условиям:
du
~dnx
an dnx
= u\dn = v\dn = 0. (4.8)
an
Обсудим теперь нелинейную краевую задачу (4.7)-(4.8). Тривиальные
решения u(x) = v(x) = 0 в х G £2 всегда являются решениями этой системы.
Наша задача — найти те A G R1, при которых существуют
нетривиальные решения этой краевой задачи. Тем самым, решив эту
математическую задачу, мы получим физический результат о том, что при
кратковременном облучении активной нелинейной, дефокусирующей
сильнопространственно дисперсной среды в ней появляются собственные
колебания частоты ш, зависящей от А по формуле
1/2
при tj < 0
(при условии, конечно, что частота лазерного излучения была равна этому cj).
Теперь перейдем к строгому математическому исследованию нелинейной
краевой задачи (4.7)-(4.8). Дадим определение слабого решения этой
задачи.
Определение 3.11. Слабым решением задачи (4.7)-(4.8) назовем
пару
w(x) = (u(x), v(x)) G HJj(ft) x Но(П),
удовлетворяющую равенству
((D(w), z)) = 0 для всех z = (z,,2;2)Ge?(n)xe?(n), (4.9)
где B(w) = (B{(w),B2(w)),
Di (w) = - A2u + Au - A div ([|Vu|2 + | Vv|2] Vu), (4.10)
02И = - A2v + Av - A div ([|Vu|2 + | Vv|2] Vv), (4.11)
a (('»*)) — это скобки двойственности между гильбертовыми
пространствами ШЦП) х и Ш~2(П) х Н"2(П).
Если ввести скобки двойственности (•, •) между гильбертовыми
пространствами Ho(n) и Н"2(П), то имеет место следующее явное
представление для скобок двойственности ((•, •)):
«B(u>), z)) = Z\) + (D2(w), z2).
Тогда определение 3.11 слабого решения эквивалентно следующему
определению:

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
95
Действительно, докажем, что введенные нормы (4.15) и (4.16) являются
нормами, эквивалентными стандартным нормам. Стандартной нормой на
банаховом пространстве
В = Ш2о(П) х Ш2о(П)
является следующая:
|МГ = |Ди|2д*х^ + |At;|2dx^ .
Очевидно, имеет место следующее двустороннее неравенство:
^IHf < |М| < И|' для всех w = (u, v) G В.
С другой стороны, стандартной нормой на банаховом пространстве
F = Wj'4(ft) х Wj*4(ft)
является следующая:
IHI'i = ( / |V«|4 dx^j \Vv\4 dx^j ,
и имеет место следующее двустороннее неравенство:
^|H|i < ||u;||i < cx\\w\\\ для всех w = (?i, v) G F, cx > ^.
Напомним, что мы рассматриваем «физически» осмысленную ситуацию —
это N = 1, 2, 3. Рассмотрим более детально введенные функционалы ip(w)
и ip(w) на банаховом пространстве В. Нам надо, прежде всего, доказать,
что
(p(w) G С(2)(В; R1) и xl>(w) G С(,)(В; R1).
Пусть h = (fti, h2) G В; рассмотрим разность
i>(w + h) - rp(w) = j [AuAhi + AvAh2 + (Vu, V/ii) 4- (Vv, Vh2)] dx +
l- f [\Ahx\2 + |ЛЛ2|2 + \Vhx\2 + \Vh2\2} dx.
n
Из этого представления мы сразу же получаем, что
1>'f(w) = (-Au + A2u,-Av + A2v) GC(B;B*). (4.17)
Займемся теперь функционалом <p(w). Итак, пусть
w = (u, v), h = (huh2)e¥ = Wj'4(tt) x W*'4(tt),
+

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
97
где
<p"ffx(w)h = ~ div ([|Vu|2 + |Vv|2]УЛ,)
- ^ div ((Vti, Vh\)Vu) - ^ div ((Vv, Vh2)Vu),
<p"ff2{w)h = ~ div ([|Vu|2 + |Vt;|2]УЛ2) -
- ^ div ((Vv, Vu2)Vv) - ^ div ((Vu, Vui)Vv).
Как и ранее, можно доказать непрерывность по
w = (u,v)£F = Wj'4(ft) х Wj'4(ft)
второй производной Фреше (p'^(w). Следовательно,
ip(w)eC{2)(¥;R{).
Теперь заметим, что в силу предположения N = 1, 2, 3 имеет место
следующее вполне непрерывное вложение:
В = Н2(П) х Hj|(n) с->с-> f = Wj'4(ft) х Wj*4(ft), (4.20)
кроме того, имеет место плотное вложение
В = Hjj(n) х Hg(n) С F = Wj'4(H) х Wj'4(ft),
следовательно, в силу рефлексивности банахова пространства
в = н£(п) х Hg(n)
и [20, гл. 1, теорема 1.16] имеет место плотное вложение соответствующих
сопряженных пространств:
F* = wM/3(n) х wIe4/3(n) С В* = Н~2(П) х Н"2(П).
Следовательно, функционал ip(w) и его производные Фреше (p'f(w) и
<p"ff{w) действуют следующим образом:
(p(w) :В CF->R\
<p'f(w) :В CF->F* С В*,
ip"ff(w) : В с F -> £(F; F*) С £(В; В*).
Тем самым приходим к выводу, что (p(w) £ С(2^(В; R1).
Теперь введем многообразие V:
V = {weE: tp(w)= 1}. (4.21)
7 Заказ 405

96
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
тогда справедлива следующая цепочка равенств:
(p(w 4- h) - ip(w) =
= \f [IVu|2 + 2(Vu, Vfci) 4-1Vfti |2 + |Vv|2 + 2(Vv, Vh2) + \Vh2\2]2 dx -
n
-\f [|Vu|2 + |Vt;|2]2dx =
= f (|Vu|24-|Vt;|2) [(Vti,Vfti)4-(Vt>,Vft2)] dx +
ft
+ \f (I v*i I2 +1™2|2) (|Vu|2 + |Vv|2) dx +
ft
4- f [(Vtx,V^!)2 + 2(Vtx,V^)(Vt;,V^2) + (Vt;,V^2)2] dx + u2(w,h),
ft
где
u2(w,h) = f [(Vu, Vfti) + (V»,Vfc2)] [|V^i|2 + |V^2|2] +
ft
+ ^/ [|Vft,|2 + |Vft2|2]2dx.
ft
Рассмотрим сначала слагаемое, линейное по h = (h\,h2):
f (|Vu|2 4- |Vv|2) [(Vu, Vfci) + (Vv, Vft2)] =
= -(div ((|Vu|2 4- |Vv|2) Vu), Л,>, - (div ((|Vu|2 + |Vv|2) Vv), Л2>,,
где (•, -)i — это скобки двойственности между банаховыми
пространствами Wo'4(n) и W~I,4/3(Q). Отсюда сразу же получаем явное представление
для производной Фреше функционала <p(w):
tp'^w) = (_ div ([|Vu|2 4- |Vv|2] Vu), - div ([|Vu|2 4- |Vv|2] Vv)) (4.18)
для всех w = (u, v) £ F = Wq,4(Q) x Wq,4(Q). Кроме того, приходим к
явному виду второй производной Фреше функционала <p(w):
<p'}f(w)h = W'm{w)h, ip"ff2(w)h)f (4.19)

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
99
где wn = (un, vn), w = (u, v). Наконец, поскольку величина
1/2
^ f [|Ди|2 + |Дг;|2]^ ,
как мы уже доказали, является нормой элемента
w = (и, v) Е В = Но(П) х Но(О),
то в силу слабой секвенциальной полунепрерывности нормы банахова
пространства имеет место следующее предельное неравенство:
Hmtaf j [|Дия|2 + |Д»„|2] dx> J [|Ди|2 + |Дг;|2] dx.
Значит,
lim inf tp(wn) ^ xp(w).
П-4+00
Кроме того, в силу очевидного неравенства
1 2
xj){w) ^ -|Мг для всех w Е В
приходим к выводу, что функционал гр(го) является слабо коэрцитивным
на всем В. Докажем теперь слабую секвенциальную замкнутость
многообразия V. Пусть {wn} С V и
wn w слабо в В,
тогда нам нужно доказать, что w EV. Поскольку мы уже установили в (4.20)
вполне непрерывное вложение
В = Hjj(n) х Ho(ft) <-><-> F = Wj'4(fi) x Wj'4(ft),
TO
wn-+w сильно в F = Wj'4(H) x wj,4(ft).
Но поскольку
где — это норма на F, то имеем
1 = ip(wn) ->(p(w) при n -> +00.
Следовательно, y?(w) = 1 и, значит, к; Е V.
Таким образом, в силу теоремы 3.4 функционал t/)(w) достигает
минимума в некоторой, возможно неединственной, точке W\ Е V, т.е. точка w\
является условно критической точкой функционала xj)(w) относительно

98 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Докажем, что все точки многообразия V являются обыкновенными.
Действительно, пусть существует такая точка W\ £ V, что в этой точке
^0 = 0 ев*,
но тогда в силу явного выражения (4.18) для ip'f(w) справедлива следующая
цепочка равенств:
0 = (Ш*>\)>*\)) = / [|Vtx1|2 + |Vt;1|2]2dx = 4^(ti;1) = 4,
п
поскольку tz>i = (u\,V\) £ V. Полученное противоречие доказывает, что
<p'f(w) фвеВ* для всех w £ V, (4.22)
т. е. все точки многообразия V обыкновенные.
Докажем теперь, что
ij)'f{w) Ф в £ В* для всех w £ V.
Предположим, что в некоторой точке w\ £ V имеет место равенство
V>/(wi) = 0EB*,
тогда в этой точке в силу явного вида (4.17) производной Фреше tp'f(w)
справедлива следующая цепочка равенств:
0 = ((fp'f(wx)9 wx)) = 2rp(w{) => wi = 0 £ В,
но тогда, поскольку w\ £ V, имеют место равенства 1 = ip(w\) = 0, откуда
заключаем, что исходное предположение не верно и, следовательно,
rp'fiw) ф в £ В* для всех w £ V. (4.23)
Докажем теперь, что функционал rp(w) достигает минимума в
некоторой точке W\ = (tii,vi) £ V — многообразия, определенного формулой
(4.21).
С этой целью, прежде всего, докажем слабую секвенциальную
полунепрерывность снизу функционала t/>(w) на многообразии V.
Действительно, пусть {wn} с V — это произвольная последовательность, такая что
wn w £ V слабо в В,
тогда, поскольку банахово пространство В = Ид (ft) х ^o(ft) вполне
непрерывно вложено в банахово пространство Ho(ft) х Ho(ft),
wn -> w сильно в Ho(ft) x Hq(ft).
Следовательно, имеет место следующее предельное равенство:
^lim^ f [\Vun\2 + \Vvn\2} dx = f [\Vu\2 + \Vv\2] dx,

100
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
многообразия V = {w Е В : <p(w) = 1}, поэтому в силу (3.12) найдется
такое число р> = \\ ЕМ1, что будет иметь место равенство
1>'f(w\) - W,(ti>i) = 0 Е В*. (4.24)
Докажем, что Х\ > 0. Действительно, из равенства (4.24) приходим к
следующему равенству:
«^/(^О-W/(«i).wi» = 0
откуда сразу же получаем
((t'f(wl),wl))=M((<p'f(wi),wl)),
т.е.
2ip(wi) = Ai4p(i0i) = 4Ah (4.25)
поскольку ttfi Е V. Значит, ip(w\) = 2Aj. Предположим, что ij)(w\) = 0,
но отсюда следует, что W\ = В Е В и тогда 1 = ip(w\) = 0. Полученное
противоречие доказывает, что
fp(wi) > 0=> Ai = ^ip(w{) > 0.
Теперь заметим, что равенство (4.24) эквивалентно равенству
((^/(u,i)-AiV/(u,i)«u))=° Для всех h = (huh2) Е В. (4.26)
Но тогда, с учетом явного вида (4.17) и (4.18) производных Фреше ip'f(w)
и <p'f(w), мы приходим к выводу, что найденная точка W\ = (u\9 V\) Е V
является слабым решением исходной задачи в смысле определения 3.11,
соответствующего собственному значению А = Ai > 0.
Тем самым нами доказано следующее утверждение.
Лемма 3.2. Функционал ip(w) достигает минимального значения 2Х\ > 0
на многообразии V в некоторой точке W\ Е V.
Приступим к доказательству того факта, что функционал гр(гю)
удовлетворяет условию (PSC) на многообразии V при с ^ 2Х\. Действительно,
пусть последовательность {wn} С V — это произвольная
последовательность, такая что
1>(wn)^c и \\l>'f(wn)\l(Twy)^>0 при п->+оо. (4.27)
Из первого условия вытекает, что последовательность ограничена по норме
банахова пространства
В = Hjj(n) х Hjj(n).
Тогда в силу рефлексивности этого пространства у последовательности {wn}
существует подпоследовательность {wnk} С {tyn}, такая что
wnk -± w слабо в В. (4.28)

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
101
Для удобства в дальнейшем найденную подпоследовательность {wnk}
будем обозначать снова через {wn}. Заметим, что ранее мы доказали слабую
секвенциальную замкнутость многообразия V, и поэтому w Е V. Для
дальнейшего нам необходимо доказать следующую формулу:
фп)(Ш*»)'z)) - \*Ы(Ш*п), *» = «V-/К). Уп)), (4-29)
где {уп} С TWnV — это некоторая ограниченная последовательность,
зависящая от z: \\z\\ ^ R и {wn} С В.
Доказательство формулы (4.29). Запишем элемент z принадлежащего
шару ||z|| < R банахова пространства В в следующем виде:
z = tnwn + уп, причем уп е TWnV.
Докажем, что найдется такая независящая от п Е N постоянная c7(R) > 0,
что
||у„|| < с7(Д) < +оо для всех п е N.
Заметим, что в силу определения {уп} справедливо следующее равенство:
т.е. в силу явного выражения (4.18) для производной Фреше <p'f(w)
справедливо равенство
tn = \{Wf{wn),z)) =
= \f PW + |Vvn|2] [(Vttn, Vz,) + (Vvn; Vz2)] dx, (4.30)
n
где wn = (un,vn) и z = (zi,z2). Докажем, что последовательность чисел
{tn} С R1 является офаниченной. Действительно, справедлива следующая
цепочка неравенств:
l«nl<Ci У [|Vttn|2 + |Vf>„|2] [|Vu„||Vzi| + |Vi;„||Vz2|] <ta =
-«./о
Vun|3|Vz1| + |Vun|2|Vvn||Vz2| +
+ |Vvn|2|Vun| |Vz,| + |Vvn|3|Vz2|] dx = c,(I, + I2 + b + I4). (4.31)
Рассмотрим первое слагаемое. Воспользуемся неравенством Гельдера и
получим следующую цепочку неравенств:
h = f |Vu„|3|Vzi| dx < ^ J IV^I3"1 dx^j ^ f |Vz,r dx^ <

102
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
^ J |V«„|4dx^ ^ J |Vz,|4dx^ < |||Vtt„|||; |||Vz,|||4,
где мы взяли
4 1 1
Pi = г, P2 = 4, —+ — = 1-
3 Pi Рг
Теперь заметим, что поскольку последовательность {wn} = {(un,vn)}
является ограниченной в В = Mq(Q) х Но(П), то и последовательности {ип}
и {vn} являются ограниченными в Hj)(f&). Но пространство Mq(Q) вполне
непрерывно, а значит и ограничено, вложено в Wq,4(^), поэтому
последовательности {ип} и {vn} ограничены в Wq,4(^). Следовательно,
|||Vttnl||4 ^ с, < +оо, |||Vvn|||4 ^ с2 < +оо,
где постоянные сь с2 не зависят от п Е N. Кроме того, z = (z\,z2)
принадлежит по условию ограниченному множеству ||z|| ^ R банахова
пространства В = Hj)(fi) х Hj)(fi). Тем самым по тем же причинам имеют
место следующие неравенства:
|||VZi|||4 ^ Сз(Л) < +00, |||VZ2|||4 < С4(Л) < +оо.
Стало быть, интеграл Ii офаничен числом, не зависящим от п Е N.
Аналогичным образом доказывается ограниченность интеграла Рассмотрим
теперь второй интеграл. Для его оценки воспользуемся обобщенным
неравенством Гельдера и получим следующую цепочку неравенств:
12 = У \Vun\2\Vvn\\Vz2\dx^
< ( / |Vtin|2ri dx^j ^ J \Vvnp dx^j ^ J \Vz2p dx^j ,
где мы положим
1 1 1
r\ = 2, r2 = 4, r3=4, — + — + — = 1,
r, r2 r3
тогда получим для 12 следующую оценку:
h < |||V«„|||J |||Vt>„|||4 |||Vz2|||4 < a(R) < +00.
Аналогичным образом оценивается интеграл I3. Следовательно, из (4.31)
получаем, что числовая последовательность {tn} является ограниченной:
|*я|<«(Д)<+оо.
Стало быть, справедлива цепочка неравенств
llVnll ^ \\z - tnwn\\ ^ \\z\\ + |*п| ||l0n|| ^ Cl(R) < +00.

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
103
Тогда после подстановки выражения z = tnwn + yn в левую часть (4.29)
получим следующую цепочку равенств:
"= <P(wn)((il>'f(wn), wn))tn + <p(wn)((il>f(wn),yn)) -
- ^Мл)((^И™п)'=
= 2tP(wn)tn - 2i/)(wn)tn + ((tp'f(wn)9yn)) = ((l>f(wn),yn)).
Тем самым формула (4.29) доказана. □
Теперь докажем, что
((1>'/(и>п), Уп)) -> 0 при п -> +00.
Действительно, это следствие второго условия в (4.27). Справедлива
следующая цепочка неравенств:
Wf(»n),vn))\ < lk/K)IL(T-^)liynii ^
< c7(fl)||^/(tnfl)||,(TiiilV) -> 0 при +оо,
поскольку по построению {уп} Е T^V и \\уп\\ < С7(Я). Следовательно, из
формулы (4.29) вытекает предельное равенство
^К)<<^И^),^>>-^К)<(^И^)^>>->° ПРИ п">+00 (4-32)
равномерно по z Е В из произвольного конечного шара \\z\\ ^ R. Заметим,
что поскольку последовательность {wn} является ограниченной, то если
мы возьмем z = wn в формуле (4.32), из нее получим равенство
?(»n)((*/W»w»))" ^Ю<(^/Ю,^п» =
= <p(wn)2ip(wn) - ^ip(wn)4<p(wn) = 0.
Следовательно, формула (4.32) «проверена».
Замечание 3.3. Формулу (4.32) можно получить немного другим путем.
Действительно, согласно формуле (3.11) имеет место следующее равенство:
lkH^n)||^TWnV) = min||^K)-MK)|L->0 при п->+оо,
в силу второго условия из (4.27). Теперь заметим, что имеет место следующая
цепочка соотношений:
min \\tp'f(wn) - pp'f(wu)\l = Щ(ь>Л) - w'f(wn)\l =

104
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
= sup \((i>f(wn)-w'f(wn),z))\ ^
> c\((if/(wu), wn)) - tin((<p'f(wn), wn))\ = c\2xl>(wn) - /vty(ti/n)|,
отсюда мы приходим к выводу, что имеет место предельное равенство (4.32), если
мы положим
Теперь посмотрим как воспользоваться полученной формулой (4.32)
для доказательства сильной сходимости выбранной
подпоследовательности {wn} С V. Действительно, обозначим через ((•, скобки
двойственности между банаховыми пространствами
FEEWj'4(ft)x Wj'4(fi) и F*EW-ll4/3(n)xW"ll4/3(fi).
Заметим, что банахово пространство В = Иц(П) х Ho(ft) плотно вложено
в банахово пространство F, причем банахово пространство В
рефлексивно, поэтому в силу [20, гл. 1, теорема 1.16] имеет место равенство скобок
двойственностей:
((f\w)) = ((f\w))l для всех /* Е F*, ги Е В. (4.33)
Рассмотрим отдельно второе слагаемое в предельной формуле (4.32),
которое имеет следующий вид:
-\*Ы(Ш"п),г)). (4.34)
Заметим, что для последовательности {wn} С V С В С F имеем
W,(wn)} С Г. (4.35)
С другой стороны, z Е В и поэтому мы можем для выражения (4.34) в силу
(4.33) получить равенство
= -\^n)(Wf(wn),z))l. (4.36)
Докажем теперь, что последовательность (4.35) является ограниченной
в F*. Действительно, имеет место следующая цепочка выражений:
ЫЫ\и = „s»p Ш(«п),*>>,|^
IMIi<i
^ с, sup / [|Vu„|2 + \Vvn\2] [\VUn\ |Vzi| + |Vv„| |Vz2|] dx.
IWliO I
Далее пользуемся уже полученными оценками для выражения (4.31).
Теперь возьмем в качестве z Е В в равенстве (4.36) разность z = wn - w
и получим, что
-\i>(wn)((<p'f(wn), v>n - w))x -> 0 при п -> +оо. (4.37)

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
105
Действительно, предельная формула (4.37) является следствием таких
рассуждений. Банахово пространство В = х вполне непрерывно
вложено в банахово пространство F = Wo'4(ft) х Wo'4(ft), а
последовательность {wn} С В слабо сходится к w в банаховом пространстве В, поэтому
wn -> w сильно в F.
Следовательно,
^Ю((^/Ы'адп"ад))| ^ ^Ю||^/Ю||,Л^п -u>||i ^
^ С2||гип - ty||i -> 0 при П -> +00,
где с\ > О и не зависит от n Е N. Здесь мы воспользовались
ограниченностью числовой последовательности {i>(wn)}, которая вытекает из первого
условия (PS)C (4.27).
Итак, возьмем в правой части предельной формулы (4.32) z = wn-w
и получим выражение
"я = ((i>'f(wn), wn - *>)) - ^i>(wn)((<p'f(wn), wn - w)){. (4.38)
Рассмотрим теперь числовую последовательность
((tp'f(w),wn-w)).
Докажем, что она стремится к нулю при п -> +оо. Действительно,
*'f(w) е В*,
а по доказанному последовательность {wn} С В сходится слабо к w Е В в В.
Значит,
((il>'f(w), wn - w)) -> 0 при п -> +оо. (4.39)
Теперь перепишем формулу (4.38) в эквивалентном виде
•я = (($'f(wn) ~ $'f(w)> wn - w)) +
+ (<^/И' ™я ~ ™)) ~ ^Ю<<^/(^)' W" ~ W))\>
из которого получим следующее выражение:
((ф'/(юп) - 1>'f(w)9 wn - u;)) =
= In " ((^/(™)' ™" " ™)) + ^(™п)((у>'/(™")> ™" " U,))l»
правая часть которого стремится к нулю при п -> +оо в силу предельных
формул (4.32), (4.37) и (4.39). Значит, мы пришли к предельной формуле
((fp'f(wn) - 1>'f(w), wn - w)) -> О при n -> +00.

106
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
В силу явного вида (4.17) производной Фреше il>'f(w), после
«интегрирования по частям» получим выражение
((l>'f(wn) - if'f(w)9wn - w)) = f [|Дип - Ди|2 + \Avn - Д*|2 +
+ |Vun - Vu|2 + |Vv„ - Vv|2] dx -> 0 при n -> +oo.
Но это означает, что
wn = (un, vn) -> w = (u, v) сильно в В,
причем w Е V.
Таким образом, нами доказано, что функционал r/>(w) удовлетворяет
условию (PSC) относительно многообразия V для всех с^2Х\.
Заметим, что функционалы <p(w) и r/>(w) являются четными, поэтому
мы можем отождествить диаметрально противоположные точки
многообразия V. Введем в рассмотрение банахово пространство
Х = {х = [w, -w] : we В}
с нормой ||ж||х = |М|. Определим функционалы на X следующим образом:
Vi(x) = ip(w) и ip\(x) = ip(w) для всех х = [w, -w] Е X.
Рассмотрим теперь многообразие Vi с X:
V{ = {xeX: ip{(x) = \}.
Сильным сопряженным пространством X* к банахову пространству X
является множество
Х* = {х* = [/*,-/*]: /*ЕВ*}
со следующими скобками двойственности между X и X*:
(*•,*) = «/•,«».
Таким образом, мы приходим к выводу, что функционалы ij)\(x) и <f\(x)
удовлетворяют всем условиям теоремы 3.8, в которой функционал г/)\(х)
рассматривается на многообразии Vi.
Теперь наша задача — доказать, что
catV|(Vi) = +оо. (4.40)
С этой целью заметим, что на fc-мерном банаховом пространстве X* с X
все нормы эквивалентны, поэтому
— это есть конечномерное проективное пространство. Заметим, что в силу
результата примера 3.3 имеет место равенство
catp*(P*) = k + 1.

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
107
Заметим, что банахово пространство В = Mq(Q,) х является сепара-
бельным, значит, сепарабельным является и банахово пространство X.
Поэтому существуют такие конечномерные банаховы пространства Хд-СХ,
что
Xj; С Xfc+i, X = induct X*,
*-*+оо
где induct — индуктивный предел банаховых пространств. Стало быть,
имеет место предельное равенство
induct XknVi = Vj.
fc->+00
Следовательно,
lim catx.nv.Wt П V,) = catV|(V,),
*->+oo
но тогда
catVl(Vi) = +00,
поскольку
catx.nv, (X* П V,) = catp.(P*) = k + 1.
Стало быть, выполнено равенство (4.40).
Рассмотрим теперь произвольное число d ^ 2Х\ и соответствующее
множество:
(^)d = {xeX: tfi(s) = tf(ti>K<f}-
Заметим, что имеет место равенство множеств
= (^i)dnvI,
где, напомним,
tf = {xeVx: i>i(x) = i>(w)^d}.
Кроме того, очевидно, имеет место вложение
Ш^СШ*2 при d{^d2.
Нетрудно проверить, что поскольку имеет место неравенство
cx\\w\\>{Wv))Xn>Ml
где ||tu|| является нормой на банаховом пространстве В, то множеству (^i)d
принадлежит шар из банахова пространства X радиуса ci(2rf)1/2 с центром
в точке [0, -0] е X, где в е В. Следовательно,
Vi С induct(^i)d", dn = 2Ain, n E NU {+oo}.
n->+oo
Заметим, что имеет место следующее неравенство:
catVl (V,n(^)rfn) =catVl ifr.

108
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Отсюда сразу же получаем, что
lim caty. = +°°>
П->+00
поскольку
catVl(Vi) = +00 и V|= induct ((^i)dn П Vi).
п-»+оо
Тогда согласно теореме 3.8 функционал г/>\(х) имеет не менее чем
счетное множество геометрически разных условно критических пар точек
хк = [гид., -и;*], где и;* Е V. Следовательно, существуют такие числа
А* Е R1, что имеет место равенство
((l>'f(wk) - \k4>f{v>k)i h)) = 0 для всех ЛЕВ. (4.41)
Докажем, что все А*>0. Действительно, возьмем в формуле (4.41) Л = 10*,
тогда в силу явных выражений (4.17) и (4.18) для ip'j(w) и ^(10)
соответственно получим, что
2^(t0*) = Xk4ip(wk) = 4А*, поскольку 10* Е V.
Значит,
А* = ^(wk),
а поскольку 10* Е V, то 10* Ф в. Следовательно, А* > 0. Кроме того, в силу
леммы 3.2 приходим к выводу, что
il>(wk) ^ 2Aj > 0 для всех к Е N,
где Ai > 0 — это первое собственное значение исходной краевой задачи
относительно многообразия V.
Формула (4.41) есть не что иное, как запись слабого решения
исходной краевой задачи в смысле определения 3.11. Таким образом, нами
доказана следующая теорема.
Теорема 3.9. Нелинейная краевая задача (4.7), (4.8), понимаемая в
слабом смысле определения 3.11, имеет не менее чем счетное множество
геометрически разных собственных функций wk Е В = х Hj)(ft),
принадлежащих многообразию V = {10 Е В : ^(10) = 1} и
соответствующих собственным значениям А* > 0 при k Е N, причем
r/>(w) ^ 2Ai > 0 для всех w Е V
и равенство достигается на первой собственной функции W\ Е V,
соответствующей первому собственному значению Х\ > О, где функционалы
r/>(w) и <p(w) определены формулами (4.13) и (4.14) соответственно.
Следующая наша цель — это доказательство того факта, что
А* -> +оо при к -> +оо. (4.42)
Предварительно докажем одну лемму о категории компактного множества.

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
109
Лемма 3.3. Пусть X есть компактное подмножество метрического
пространства V, которое представляет из себя С?-гладкое
многообразие. Тогда
catv(3C) < +оо.
Доказательство. Для каждой точки w Е X найдется такой шар
B(w; R(w)) с центром в точке w Е V и радиуса R(w) > 0, который
стягиваем к точке w. Рассмотрим произвольное покрытие множества X С V:
(j B(w;R(w));
поскольку множество X компактно в V, то из этого открытого покрытия
можно выделить конечное подпокрытие
п
ивК;Я(и>,)).
х=1
Но каждый шар в силу примера 3.2 имеет категорию
catv (В(щ; Я(щ))) = 1.
Поэтому справедлива следующая цепочка неравенств:
у П ч П
catv(X) ^ catv ( (j Цщ\ R(wi)) J ^ catv (B(w,; R(w{))) =п< +оо.
^ х=1 ' i=i
Лемма доказана. □
Для доказательства предельной формулы (4.42) нам необходимо
исключить из рассмотрения следующие два случая:
(i) существует такое натуральное число га Е N, что
\п = Аш для всех п ^ га;
(ii) такого натурального числа га Е N не существует, но найдется такое
положительное Л Е R+, что оно является конечной предельной
точкой последовательности {Аш}.
Давайте последовательно обсудим эти две ситуации и докажем, что
они не имеют места.
Итак, предположим, что имеет место ситуация (i). Рассмотрим
множество
Кд„ = {w 6 V : = 2Am, Wf(w)\\t(TwV) = о},
но тогда согласно теореме 3.7 имеет место равенство
catv(KAm) = +оо.
Докажем, что множество Кдт является компактным. Действительно, пусть
последовательность {wk} С Кдт и является ограниченной в В. Поскольку

110
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
функционал ip(w) удовлетворяет условию (PSC) при с ^ 2Ai, то из этой
последовательности можно извлечь сильно сходящуюся
подпоследовательность {wkt} С {wk}:
wkt -> w сильно в В при / -> +00.
Докажем, что w Е Кдт. Действительно, имеет место следующая
предельная формула:
2Am = ip(wkt) -> 0(н>),
значит, rp(w) = 2Am. Кроме того, из условия, что
lk/K)||.(Tu).,v) = o,
как и ранее, выводим равенство
О = ((i/>'f(wkt) - ^/И> *>к, - w)) ^ \\wk, - w||2,
из которого получаем, что wkl = w и тогда, очевидно,
И, стало быть,
Наконец, в силу уже доказанной слабой секвенциальной замкнутости
многообразия V получаем, что w Е V. Следовательно, w Е Кдте, т. е. множество
КЛт является компактом метрического пространства V. Но тогда согласно
лемме 3.3 получаем, что
catv(KAm) < +оо.
Полученное противоречие доказывает, что случай (i) не имеет места.
Рассмотрим теперь случай (И). Поскольку последовательность {Аш}
имеет предельную точку Л > Aj, то из этой последовательности можно
выделить монотонно неубывающую подпоследовательность {АШ/} С {Аш},
т.е.
Ат„ /* Л при п -> +оо.
В целях упрощения вида выкладок эту найденную подпоследовательность
будем опять обозначать как {Аш}. Введем следующее множество:
К = {w Е V : 2А, ^ ^ 2Л + е, \\*f(w)\l<JwV) = °}>
где число е > О будет выбрано ниже. Как и в случае с множеством КЛте,
можно доказать, что в силу выполнимости условия (PSC) для функционала
ip(w) на многообразии V для всех с ^ 2Aj множество К компактно в V.
Поэтому имеет место равенство
catv(K) = j < +оо.

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
111
По теореме 3.3 об ANR найдется такая замкнутая в метрическом
пространстве V окрестность __
N D К,
что имеет место равенство
catvpsf) = catv(K) = j < +оо.
Напомним, что мы понимаем под окрестностью:
К С int{3sf} С N.
Введем в рассмотрение следующее множество:
S = y2A+e\N,
где, напомним обозначение,
1>2A+€ = {weV: 1>(w)^2A + e}.
Выберем минимальное натуральное число m 6 N таким образом, чтобы
были выполнены следующие неравенства:
2Am > 2К-е > 2АЬ (4.43)
Теперь возьмем множество Л £ Л;+т таким образом, чтобы имело место
следующее неравенство:
sup ip(w) ^ 2Л + e (4.44)
(напомним, что An = {А С V : catv (Л) ^ п} и Л — это замкнутые
подмножества метрического пространства V). Это возможно сделать,
поскольку
2А + е>2А,-+т>
а
2A;+m = inf sup t/>(w).
A€Aj+m W£j{
Теперь введем новое множество
Ъ = А\К.
Справедлива следующая цепочка неравенств:
catv (Л) < catv (Ъ) + catv(>0
=> catv(S) ^ сгХу(А) - catv(N) ^ j 4- m - j = m.
Следовательно,
catvCB) ^m=>BE Лт.
Теперь воспользуемся результатом леммы о деформации 1, в которой
положим с = 2А, выбрав необходимые £>0и£>0,и получим существование
деформации
€С([0, 11 xV; V),

112 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
причем в силу результата (iv) теоремы 3.2 и свойств найденной деформации
справедливы следующие неравенства:
catv Щ ^ catvCB) > m,
т.е. множество 17(1,3) Е Лт, поэтому в силу деформационной леммы
имеет место неравенство
2Am ^ sup 0(77(1, и)) ^2А-е< 2Ат,
поскольку
2Ат = inf sup ip(w),
т. е. пришли к противоречию. Следовательно, ситуация (И) не имеет места.
Заметим, что собственные значения Ат являются решениями
следующей «минимаксной» задачи:
хт = \ inf sup 0(w),
где _
Am = {Л С V : catv(Л) > rn} и A = Л.
Кроме того, имеет место вложение ЛШ| ЗЛШ2 при mj ^га2. Следовательно,
имеет место неравенство
Am, = ~ inf sup 0(w) ^ ^ inf sup ip(w) = АШ2 при mi ^ m2.
2 лелте| 2 лелт2
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 3.10. Для собственных значений задачи (4.7), (4.8),
понимаемой в слабом смысле определения З.П, собственные значения {Ат},
соответствующие собственным функциям {wm} С И^(П) х Нд(П) о/я-
носительно многообразия V, имеют бесконечно удаленную предельную
точку — {+00}, т. е. выполнена предельная формула
lim Ат = + оо,
т-*+оо
причем каждое собственное значение — кратности не более конечной
и имеют место неравенства
0<А, ^А2^А3^...^Ат^...,
где
Ат = - inf sup 0(w), Лт = {Л С V: са^(Л) ^ т} и Л = Л.
2 лелт и,ел

§ 4. Задача нелинейной оптики (I)
113
Теперь приступим к физической интерпретации полученных
математических результатов. Предварительно установим связь первых
собственных значений относительно многообразий следующего вида:
Ve = {t£;GB: ^И=1>,
где
<pe(w) = -<p(w) при е Е (0, 1].
Действительно, все критические точки функционала *ф(у)) относительно
многообразия V£ удовлетворяют следующему операторному равенству:
Ф'/Ые)) - Ит(е)<р'е/Ые)) = 0 Е В* =>>
ip'f(wm(e)) - fim(e)^f(wm{e)) = 0 Е В*.
Следовательно, имеет место связь собственных значений нашей краевой
задачи относительно многообразия Ve:
€
но отсюда, положив е = 1, сразу же получим требуемую формулу
Ага(£) = М11 при ее (0,1]. (4.45)
Нас будет в дальнейшем интересовать формула (4.45) при m = 1, т. е.
первое собственное значение. Из формулы (4.45) приходим к выводу,
что первое собственное значение краевой задачи (4.7)-(4.8) относительно
многообразия Ve при е Е (0, 1) строго больше первого собственного
значения Aj относительно многообразия V. Этот результат нам потребуется
в дальнейшем. Теперь дадим определение волнового пакета.
Определение 3.13. Под волновым пакетом W понимается
множество
W = {Ё0(х)еш : Ё0(х) Е £ С С", « € Х> С R+}, хеП (4.46)
где
£ = |й0(х) : Х- J |Ёо(х)|4Лс < а4|, при а Е (0,+оо).
Определение 3.14. Комплексный вектор Ё0(ж)е,а;' Е W называется
колебанием.
Замечание 3.4. Величина
\f\U*)\*d*
п
имеет смысл энергии, запасенной в материальной среде Q CRN.
8 Заказ 405

114
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Предположим, что в волновом пакете W существует колебание Eoe,w*,
такое что
±j |E0(*)|V = a4.
n
Заметим, что без офаничения общности можно считать величину a = 1.
Действительно, в противном случае во всех наших формулах надо сделать
замену
Ё0 -> аЁ0.
Тогда изменится формула, связывающая а; с А. Именно, она примет
следующий вид:
1/2
при г} < 0. (4.47)
Отметим теперь, что каждое колебание
E0ei<jt е W
имеет некоторую энергию
если
l- j |Ё0(х)|4<*х = ее(0,1].
п
И это колебание активная нелинейная среда П С RN «пропускает»,
соответствующая этой частоте ш Е Ъ С К+ величина
\ = -аЧ% v<0,
является собственным значением нелинейной краевой задачи (4.7)-(4.8)
относительно многообразия Ve при е G (0,1). Все другие колебания среда
С RN «фильтрует». В силу результата теоремы 3.10 колебаний, которые
пропускает среда, достаточно много, причем соответствующие частоты
ш ^ 0 принадлежат счетному множеству и имеют предельную точку 0.
С другой стороны, в силу леммы 3.2 собственных значений Аш
относительно многообразия V, меньших чем Aj > 0, нет. Действительно, в
противном случае величина А < Aj удовлетворяет неравенству
2А = inf ip(w) < 2Ai = inf 0(w),
u/ev u/ev
которое противоречиво.
Но мы уже получили формулу (4.45), из которой при m = 1 вытекает,
что первое собственное значение Ai краевой задачи (4.7)-(4.8)
относительно многообразия V является минимальным по отношению ко всем
другим первым собственным значениям относительно многообразий V£

116
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
ограниченную область П С RN (при N = 1,2, 3) с гладкой границей
dSl G С2,6 при 6 G (0,1]. При этом оператор диэлектрической
проницаемости имел следующий вид:
2с2 lst
где параметр среды 77 < 0.
В этом параграфе мы рассмотрим случай, когда оператор
диэлектрической проницаемости является нелинейным и нелокальным по Ёо:
ё =-Д+ ( 1 + ^г, / |Ёо(х)|2<*х)1, (5.1)
(l-f^/|E0(x)|2
где параметр среды tj < 0. В этом случае исходная векторная система
уравнений примет следующий вид:
-Д2и + Au = X J [|Vu|2 + |Vv|2] dxAu, (5.2)
п
-A2v + Av = А У* [IVu|2 + IVv|2] dx Д», (5.3)
где
2c2
A = -—*!> *7<0. (5.4)
a;
Граничные условия для u и v остаются прежними:
dv
= 0. (5.5)
an
Дадим определение слабого решения нелинейной и нелокальной краевой
задачи (5.2)—(5.5).
Определение 3.15. Слабым решением задачи (5.2)—(5.5) назовем
пару функций
to = (u,v)GlE Hjj(n) х Но(П),
удовлетворяющих равенству
((O(to),ft)) =0 для всех ft = (fti,ft2)GB, (5.6)
где ((•, •)) — это скобки двойственности между банаховыми
пространствами В = Hg(ft) х ШЦП) и В* ее ИГ2(П) х НГ2(П),
D(w) = (Ditto), D2(w)),

§ 5. Задача нелинейной оптики (II)
115
при с Е (О, 1]. С другой стороны, следствием теоремы 3.10 является то,
что имеют место неравенства
0 < Л^бг) ^ Х2(е) ^ А3(е) ^ . ^ Xm(e) ^ . при е Е (0,1].
Рассмотрим частоту Woo, соответствующую первому собственному
значению Aj краевой задачи (4.7)-(4.8) относительно многообразия V. Связь
этой частоты с \\ > 0 следующая:
Woo=ac(5?)
1/2
По доказанному, меньших собственных значений, чем Х\, у краевой задачи
(4.7)-(4.8) при дополнительном условии, что
\ / |Ёо(х)|4
dx = ip(w) ^1 при w = (u, v) Е В = Но(П) х Но(П),
не существует. Таким образом, среда П с RN «не пропускает» любые
колебания из волнового пакета W с частотами ш, удовлетворяющими
неравенству
ш > Шоо = aci—^—j при %) < 0,
где
(\ 1/4
\J |E(x)|4dx)
— это «энергия» колебания в среде. В этом заключается экспериментально
наблюдаемый эффект фильтрации высокочастотных колебаний.
Замечание 3.5. Мы рассмотрели исходную физическую задачу в классе
Е(х) Е Hj(fl) х Hj(n) С L4(Q) х L4(Q)
и именно для такого «гладкого» волнового пакета W получили результат о
«фильтрации». Заметим, что частота отсечки стремится к -foo при условии, что
величина a -> -foo. Поэтому среда Q может «пропускать» не «гладкий» волновой
пакет W (для любого частотного подмножества Ъ С R1), такой что
^/l*«)l4*J =
1/4
+00.
§5. Задача нелинейной оптики (II)
В предыдущем параграфе мы рассмотрели физическую задачу из
теории нелинейной оптики о собственных колебаниях в нелинейной, де-
фокусирующей, сильно-пространственно дисперсной среде, занимающей
8*

§ 5. Задача нелинейной оптики (II)
117
где
Bl(w) = -A2u + Au-X j [|Vu|2 + |Vv|2] dxAu,
D2(w) = -A2v + Av - A j [\4u\2 + \Vv\2] dx Av.
Q
Замечание 3.6. Внимательный читатель может заметить, что формально систему
уравнений (5.2)—(5.3) можно переписать в «линейном» виде
-Д2и + Ди = Aci Ди, -Д2и + Av = Acj Av,
где
У [|Vu|2 + |Vv|2]da: = c1,
затем решить эту «линейную» задачу на собственные функции и собственные
значения, найти соответствующие {Ат} и {wm} = {(um, vTO)}. Однако теперь
необходимо доказать, что хотя бы некоторое wn принадлежит многообразию
/
[|Vu|2 + |Vv|2] dx = с,
п
Пусть wm = (um,vTO) не лежит на этом многообразии, но тогда можно взять
вместо wm пару функций rwmi где г > 0, и подобрать г > О таким образом,
чтобы это растяжение функции wm лежало на этом многообразии. Однако нужно
сделать эту замену и в системе уравнений, вспомнив, что С\ = С\ (w) — нелинейный
функционал. И в результате мы обнаружим, что rwm — решение другой системы
уравнений. Поэтому нелокальную задачу нужно исследовать «честно».
Для изучения задачи (5.6) введем в рассмотрение следующие
функционалы:
= Х- J [|Д«|2 + \Av\2} dx + Х- J [|V«|2 + |V«|2] dx, (5.7)
<p(w)=l-^J [|Vu|2-f \Vv\2]dx^J . (5.8)
Функционал r/)(w) : В -> R1 был детально изучен в предыдущем параграфе,
где было доказано, что rp(w) G C(I)(B;R!), и, кроме того, была явно
вычислена первая производная Фреше, имеющая следующий вид:
$'f(w) = (А2и - Аи, A2v - Av) для всех w = (и, v) G В. (5.9)
Поэтому наша ближайшая цель — заняться изучением функционала ip(w).
Но сначала оговорим специально необходимые функциональные
пространства. Сначала, как и ранее, введем на банаховом пространстве
В = ИЙ(П) х Ш20(П)

118
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
следующую норму:
1/2
INI
= i^f [\Au\2 + \Av\2] dx^j ,
где w = (u, v) G В. Рассмотрим также банахово пространство
F = Hj(n) xHj(n)f
на котором зададим норму следующим образом:
= (/[IV«|2 + |V»|2]&^ ,
где w = (u, v) G F. Сильно сопряженным к F является следующее
пространство:
Заметим, что мы рассматриваем «физически» осмысленную ситуацию —
это N = 1,2,3. Поэтому имеют место вполне непрерывное и плотное
вложения
ds
В <-><-> F и В с F.
В силу плотного вложения В в F, рефлексивности В и [20, гл. 1,
теорема 1.15] приходим к выводу о том, что имеет место следующее плотное
вложение соответствующих сильно сопряженных пространств:
F* ее И"!(П) х ИГ'ф) с ИГ2(П) х Ш~2(П) ее В*,
а для соответствующих скобок двойственности в силу [20, гл. 1,
теорема 1.16] имеет место следующее равенство:
((f\w)) = «/*, го)), Длявсех w е В, /* G F*, (5.10)
где ((•,•))i — это скобки двойственности между банаховыми
пространствами F и F*. Теперь мы можем приступить к изучению функционала
<p(w). Наша задача — доказать, что
<p{w) eCm(B;Rl), (5.11)
и вычислить явно его первую производную Фреше. Действительно,
заметим, что
<p(w) :F->R!.
С другой стороны, рассмотрим следующее выражение для <p(w + ft) при
w = (u9v),h = (huh2) GF:
<p(w + h) = ^f [|Vu + Vftil2 + |Vv + Vft2|2] dx^j =

120
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Наконец, рассмотрим выражение для I3. Для него справедливо
следующее выражение:
= OVtil2 + |Vv|2] dx f [|Vfc,|2 + |V/i2|2] dx =
= \f [\Vu\2 + \Vv\2]dx-((-Ah,h))v
Следовательно, вторая производная Фреше <p'ff(w) функционала <p(w)
имеет следующий вид:
где
<p"ff(w)h = - div ((Vn, Vhi)Vu) - div ((Vv, Vh2)Vu) -
-\f [\Vu\2 + \Vv\2]dx-Ahu
<p2ff(w)h = - div ((Vv, Vh2)Vv) - div ((Vu, V/m)Vv) -
-\j [|Vti|2 + \Vv\2] dxAh2.
Из явного вида второй производной Фреше <p'ff(w) функционала <p(w)
вытекает ее непрерывность на f. Тем самым
<p(w)eCl2)(F\Rl).
С другой стороны, в силу уже доказанных плотных вложений
ds Л ds Л
в С f и f С В
имеют место следующие свойства функционала <p(w):
<p(w)
<p'f(w)
<p"ff(w)
причем
^,(-)€С(В;£(В;В*)).
Тем самым приходим к выводу, что <p(w) е с^(в; r1)
в с f-*r\
ds Л ds Л
в с f f с в ,
bcf-*£(f;f*) с£(в;в*),

§ 5. Задача нелинейной оптики (И)
119
=<p{w)+f [|Vu|2 + |Vv|2] dx f [(Vu,Vfti)-f(Vv,Vft2)] dx+
ft ft
+ (/ [(V*>VM + (V^Vft2)]dx^ +
+ \f [Wu\2+\Vv\2]dx f [|V/ii|2+|V/i2|2]da:+a;2(ti;,/i) =
ft ft
=<p(w)+11 + h+h+^2 (to, ft).
Рассмотрим отдельно выражения Ii, I2 и Ь. Для Ii можно
«интегрированием по частям» получить следующее выражение:
I, = j [|Vu|2 + \Vv\2] dx f [(Vu, Vfti) + (Vv, Vft2)] dx =
ft ft
= У [|Vu|2 + \Vv\2} dx-({-Awiti))y
ft
Следовательно,
v)(w) = J [|Vu|2 + |Vv|2] dx • (-Au, -Av). (5.12)
Теперь рассмотрим выражение для 12. Для него справедлива следующая
цепочка равенств:
2
12 1 Г' ^
'ft
= {^f [(Vu,Vft,) + (Vt;,Vft2)] **j
= У (Vu,Vft,)2<te + У (Vv,Vft2)2dx + 2^ (Vu, Vfti) (Vv, Vft2) dx =
n ft ft
= (- div ((Vn, Vft,)Vu), ft, >, + < - div ((Vr, Vft2)Vv), ft2>, +
+ (- div ((Vu, Vft 1)Vv), ft2> j + (- div ((Vv, Vft2)Vu), ft,), =
= (- div ((Vu, Vft,) Vu) - div ((Vv, Vft2) Vu) , fti), +
+ (- div ((Vv, Vft2)Vv) - div ((Vu, Vfti)Vv), ft2>,,
где (•, — это скобки двойственности между банаховыми пространствами
Hj(n) и ИГ1(П).

§ 5. Задача нелинейной оптики (II)
121
Введем теперь многообразие V, относительно которого будем искать
условно критические точки функционала %j)(w):
V= {w G В: <p(w) = l}.
Прежде всего надо проверить, что все точки многообразия V
обыкновенные. Действительно, предположим, что существует точка wq £ V, в
которой
<p'f(wo) = 0 ев\
но тогда имеет место следующая цепочка равенств:
О = ((<p'f(wo), w0)) = 4<p(w0) = 4,
здесь мы воспользовались явным видом производной Фреше (5.12)
функционала <p(w). Таким образом, в каждой точке w G V определено
нетривиальное касательное пространство:
T„V = {z G В : ((V'f(w)9 z)) = 0}. (5.13)
Кроме того, докажем, что
4>'f(w) ф в G В* для всех w G V.
Действительно, предположим, что существует такая точка Wq G V, что
гр^(ь)0)=веВ\
тогда справедлива следующая логическая цепочка:
0 = ((^/(^о)» wo)) = 2^(^о) => w0 = 0 => <p(w0) = 0 w0 <£V.
В предыдущем параграфе нами было доказано, что функционал rp(w)
является слабо секвенциально полунепрерывным снизу и слабо
коэрцитивным. Поэтому сейчас нам нужно доказать, что многообразие V является
слабо секвенциально замкнутым. Действительно, пусть {wn} С V С В и
wn w слабо в В при п -» +оо,
докажем, что w G V. Это следствие следующих рассуждений. Поскольку
N = 1, 2, 3, имеет место вполне непрерывное вложение
В ее н£(П) х НЙ(П) «->«-> F ее Hj(fl) х н£(П).
Поэтому
wn -> w сильно в F.
Но тогда
1 = <p(wn) -> (p(w) при п -> +00,
т.е. <p(w) = 1, откуда вытекает, что w G V. Таким образом, в силу
результата теоремы 3.4 справедливо следующее утверждение.

122 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Лемма 3.4. Функционал t/)(w) достигает минимального значения 2Ai > О
на многообразии V в некоторой точке W\ G V, где
0<Al = ^(w1),
причем W\ является обобщенным решением задачи (5.6),
соответствующим собственному значению \\.
Теперь приступим к доказательству существования по меньшей мере
счетного числа условно критических точек функционала rp(w)
относительно многообразия V. Для этого нам необходимо доказать, что функционал
tp(w) удовлетворяет условию (PSC) относительно многообразия V для всех
с ^ 2Aj, но это проводится в точности таким же образом, как и в
предыдущем параграфе.
Заметим, что функционалы (p(w) и rp(w) являются четными, поэтому
оправданы следующие рассуждения. Рассмотрим банахово пространство
X ее {х = [w, -w] : we В},
функционалы <f\(x) = <p(w) и ip\(x) = t/)(w) и многообразие
V, = {хеХ: <рх(х) = \}.
Как и в предыдущем параграфе, доказывается, что
catV|(Vl) = +oo,
функционалы (f\(x) и гр\(х) удовлетворяют всем условиям теоремы 3.8,
и имеет место предельная формула
lim catv, Мп) = +оо,
П-++00
где
= {х G V, : фх(х) ^ dn}, dn = 2A,n, nGNU {+oo}.
Таким образом, выполнены все условия теоремы 3.8, и мы приходим к
следующему утверждению:
Теорема 3.11. Нелинейная, нелокальная краевая задача (5.2)—(5.5),
понимаемая в слабом смысле определения 3.15, имеет не менее чем счетное
множество геометрически разных собственных функций
wkeB = ml(Q) хHo(ft),
принадлежащих многообразию V = {w£B: <p(w) = 1} и
соответствующих собственным значениям А* > 0 при k G N, причем
rp(w) ^ 2Aj > 0 для всех w G V
и равенство достигается на первой собственной функции W\ G V,
соответствующей первому собственному значению Х\ > О, где функционалы
t/)(w) и (p(w) определены формулами (5.7) и (5.8) соответственно.

§ 5. Задача нелинейной оптики (II)
123
Заметим, что собственные значения нелинейной краевой задачи
(5.2)—(5.5) относительно многообразия V являются решениями следующей
«минимаксной» задачи:
I AeAm W£A
где
Am = {А С V : catvH) ^ m}
и A = А. Поэтому имеет место вложение Ami С Лш, при га, ^ га2.
Следовательно, имеет место следующее неравенство:
\ inf sup tp(w) ^ \ „г
2 лел,», 2 АеАт2 тед
Am, = - Л|п/ sup ^(ti>) ^ - М sup ^(ti>) = АШ2,
т.е. Am, ^ АШ2 при m, ^ га2.
Далее, в точности повторяя рассуждения соответствующего места
предыдущего параграфа, приходим к выводу, что последовательность
собственных значений {Аш} относительно Многообразия V является
монотонно неубывающей и имеет единственную предельную точку {+оо}.
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 3.12. Для собственных значений задачи (5.2)—(5.5),
понимаемой в слабом смысле определения 3.15, собственные значения {Ат},
соответствующие собственным функциям {wm} С Hq(Q) х Hq(Q)
относительно многообразия V, имеют бесконечно удаленную предельную
точку — {+оо}, т. е. выполнена предельная формула
lim Ат = +оо,
т-*+оо
причем каждое собственное значение — кратности не более конечной
и имеют место неравенства
0<А, ^А2^ А3^...^Ат^...,
где
Лт = \ inf sup if>(w)9 Ат = {А С V: catv(.A) ^ га} и A=A.
2 A€Am W£A
Введем в рассмотрение многообразие
Ve = {w G В : <pe(w) = 1}, <pe(w) = ^<p(w) при e G (О, 1]. (5.14)
Как и ранее, устанавливается связь между собственными значениями
краевой задачи (5.2)—(5.5) относительно многообразия Ve и собственными
значениями относительно многообразия V. Действительно, имеет место
формула
Хт(€) = ^}1 при eG(0,l]. (5.15)

124 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
В частности, из этой формулы вытекает, что Aj(l) является минимальным
первым собственным значением краевой задачи (5.2)—(5.5) при
дополнительном условии
<p(w)^\, we В,
имеющем физический смысл ограниченности сверху «энергии» волнового
пакета W.
Теперь приступим к получению оценки снизу первого собственного
значения Х\ относительно многообразия V. В силу леммы 3.4 имеет место
равенство
t/>(wl) = 2\u in, е V,
где W\ = (u\,V\) е Но(П) х Hq(O) есть собственная функция,
соответствующая первому собственному значению Aj. Справедлива следующая
оценка:
1>Ы>\/ [|Vt*,|2 + |Vt;,|2] dx = 2,
п
wxev=>^f [|Vti,|2 + |vv,|2] dx = l.
поскольку
Следовательно,
A, ^ 1. (5.16)
Аналогичным образом устанавливается эффект фильтрации и
доказывается формула
1/2
/ \
/ \1/2
где
1/2
П
Но в отличие от локальной задачи (4.7)-(4.8), рассмотренной в
предыдущем параграфе, для нелокальной задачи (5.2)—(5.5) у нас получена оценка
снизу (5.16). Следовательно, мы получаем оценку сверху на величину
частоты отсечки Woo'.
Шы^асу/^Ъ), rf<0. (5.17)
§6. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева
В этом параграфе мы рассмотрим метод глобального расслоения
С. И. Похожаева, который позволяет сопоставить исходной нелинейной
задаче с однородными нелинейностями, т.е. такими, что A(au) = aaA(ti),

§ 6. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева
125
некоторую вариационную задачу на условный экстремум.
Действительно, довольно часто функционал Эйлера ip{u), соответствующий
исходной задаче в некотором банаховом пространстве, может не быть
ограниченным ни снизу, ни сверху. Однако метод глобального расслоения
С. И. Похожаева позволяет сопоставить исходной задаче новый
функционал : В R1 и некоторое многообразие V С В таким образом,
чтобы функционал wF(ti) был ограничен снизу на V. После чего можно
воспользоваться теорией категорий Люстерника—Шнирельмана.
Давайте детально разберем один простейший пример.
Пример 3.4. Рассмотрим следующую задачу о собственных колебаниях:
Аи + \и\р~2и = О при х е П;
{
4>п = °>
где Q — это ограниченная область в евклидовом пространстве RN, dft G С2,6
при S G (0, 1]. Пусть, кроме того, р G (2, 2*):
2N
при N ^ 3;
{2N
N-2
+ оо
2*= { N-2 " ' (6.2)
оо при N = 1,2.
Сопоставим краевой задаче (6.1) функционал Эйлера:
г/>(и) =X-J | Vti|2 dx-- j \u\p dx, (6.3)
который рассматривается на банаховом пространстве В = Hq(O). Давайте
докажем, что функционал гр(и) является неограниченным на В.
Действительно, для доказательства неограниченности снизу возьмем в качестве
и G В величину и = tv, где t > О и v G В. Тогда получим следующее
равенство:
г/)(и) = tp(tv) = X-t2 j |Vv|2 dx - V j \v\p dx -оо при t +oo,
поскольку p > 2. Докажем теперь неограниченность сверху. Для этого
возьмем в качестве и величину
v
и =
тогда после подстановки в (6.3) получим
1/2

126
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
но в силу теоремы вложения С.Л.Соболева имеет место неравенство
INi><CillVt>||2 для всех t>€Ho(fi).
up
Отсюда вытекает оценка
_1и?
llvt»H5
IIP "
т. е. получили следующую оценку снизу для функционала г/)(и):
1 <?
> -||Vv||2 - — +оо при ||Vv||2 -> +оо.
2 Р
Таким образом, функционал tp(u) является неофаниченным на Hq(Q). >
Теперь мы на примере задачи (6.1) опишем метод глобального
расслоения С. И. Похожаева. Представим функцию u G в в виде и = tv, где
£ G R1 и v G в = Ho(fi). Введем новый функционал
^,(«, v) = t/)(tv): F = R1 х н£(П) -» R1,
причем пространство F является банаховым относительно стандартной
нормы
IHIi = ll(*.«)lli = l«l + IN,
где символом ||-|| обозначена норма в банаховом пространстве Hq(^).
Это существенно важный момент!!! Вводится новый параметр t G R1,
и поэтому можно потребовать выполнения некоторого дополнительного
условия, т. е., например, потребовать, чтобы решение задачи принадлежало
следующему многообразию:
v = {w = (t, v) G F : <p(w) = c}, (6.4)
где с G R1, <p(w) : F -> R1. И теперь мы можем рассматривать функционал
t/)\(w) на многообразии v. Для задачи (6.1) в качестве функционала <p(w)
удобно взять норму банахова пространства в = Hq(Q):
V = {w = (tyv)eV: <p(t,v) = \\Vv\\2 = l}9 (6.5)
т. е. пересечение многообразия v С F с банаховым пространством является
единичной сферой в банаховом пространстве в
S={vGB: ||Vv||2= l}. (6.6)
Для дальнейшего нам необходимо получить явное выражение для
производной Фреше произвольного функционала f(t,v) : F ->- R1 класса С1.
Действительно, имеет место равенство
F(t + г, t> + ft) = F(t, v) + -^t + {F'vf{t, v), ft) + w((t, t»), (r, ft)),

§ 6. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева
127
причем
|г|+||Л|Н+оо \т\ + ||А||
Следовательно, производная Фреше функционала F имеет вид
F'f(w) = (^^> всех w = (*. «О € F. (6.7)
Как нам уже известно, необходимым условием существования
критической точки у функционала F относительно многообразия V является
следующее равенство:
||*/W|L(T«V) = ° ПРИ weV- (6-8)
Прежде всего выясним явный вид касательного пространства T^V.
Заметим, что это пространство определено в каждой точке многообразия V,
поскольку в каждой точке имеет место
<p'f(w) ф 0 Е F* = R1 хГ'(П).
Действительно, в силу (6.7) призводная Фреше имеет следующий вид:
<p'f(w) = (О, -Av) для всех w = (t, v) G V.
Предположим, что в некоторой точке Wq = (to,Vo) G V имеет место
равенство
<p'f(w0)=0eF\
Отсюда сразу же вытекает, что
-AvQ =0=> (-Av0, v0) = |Ы|2 = 0 => v0 = О,
но тогда (p(wo) = 0, что противоречит условию <p(wo) = 1. Касательное
пространство T^V согласно определению имеет следующий вид:
T„,V = = (г, Л) € F : г» = ^-т + (<p'vf(w), ft) = о|,
где ((•,)) — это скобки двойственности между F и F*. Но согласно
определению (6.6) многообразия V имеют место следующие равенства:
d<p(w) ,
——— = 0, <pVf(w) — - Av для всех w — (ty v) G V.
Поэтому приходим к формуле
Tu,V = R1 х TVS для всех w = (t, v) G V, (6.9)
где S определено формулой (6.6).
Теперь займемся изучением равенства
>'f(w)\\t(TwV) = 0, (6.10)

128 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
которое является необходимым условием экстремали в точке w е V
функционала tp(w) относительно многообразия V. Действительно, согласно
определению полунормы
IHMT.v)
имеет место цепочка равенств
Ww)l(TwV)= sup Wi/(w)9z))\ =
*=(г. Л)€Т.У.|М|,<1
sup
x=(r.fc)6T.V.|W|,<l
^г + <Л/С).»>
sup
И+||Л||^1.гбЕ,.ЛбТ,8
d^l(tll)
r + <^i,/(w),*>
Но тогда равенство (6.10) равносильно следующим двум равенствам:
dip\(w)
dt
= 0, \\i/)\vf(w)\l(Tv§)=0 для всех 4GR1. (6.11)
Эти два равенства являются необходимыми условиями существования
условно критической точки функционала rp\(w) относительно
многообразия V. Теперь заметим, что в нашей задаче
t2 \t\p
i>\(t9v)
dx.
Следовательно,
dxl>\(w)
0 =
dt
v€S
t-t\t\p~2 J \v\pdx = 0 => t(v) = ±(^f MPdx^j
-l/(p-2)
П П
Но тогда, в силу того что второе равенство из (6.11) выполнено для всех
t е R1, мы можем ввести новый функционал по формуле
-Vip-2)
9-~
(6 12)
который рассматривается на многообразии §, определенном формулой
(6.6). Действительно, в силу цепного правила дифференцирования по
Фреше имеет место равенство
. dtb\(t(v).v) , , ,
&f(v) = g t'f(v) + tp[vf = i/>\vf для всех veS,
здесь мы воспользовались первым равенством из формулы (6.11). Но тогда
второе равенство из формулы (6.11) эквивалентно следующему равенству:
||f.«/(«')||.(T«S) = ||?'/(t;)||,(TvS)=0 при t = t(v), veS.

§ 6. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева 129
Следовательно, задача отыскания условного экстремума функционала tp\(t, v)
относительно многообразия V в банаховом пространстве F = R1 х Hq(Q)
эквивалентна задаче отыскания условного экстремума функционала 7(v)
относительно единичной сферы S банахова пространства в = Нд(П).
Для полученной задачи отыскания условно критических точек
функционала 7{v) относительно единичной сферы S банахова пространства
8 = Hq(Q) в силу четности функционалов <p(v) и 7(v) уже можно
применить теорию категорий Люстерника—Шнирельмана. Давайте сейчас
приступим к этой работе.
Прежде всего докажем, что функционал 7 ограничен снизу на
единичной сфере S. Действительно, в силу теоремы вложения С.Л.Соболева
имеет место следующее неравенство:
IN,<c,||v»||2, ре (2,2*).
Имеем ^
j \v\pdx^A f \Vv\2dx\ = cf,
поскольку v e S. Таким образом, приходим к оценке снизу для
функционала З^а):
?(v) > Р~2 2р/1_2) > 0 для всех veS. (6.13)
Р Cj
Теперь проверим, что функционал J(v) удовлетворяет на единичной сфере
S условию (PSC) при всех
c>mf?(v).
ves
Действительно, пусть {vn} С S — это произвольная последовательность,
такая что имеют место условия
7{vn)^c и Ц^/ЫЦДТ^^-^О при п->+оо. (6.14)
Заметим, что поскольку {vn} С S, то эта последовательность ограничена
в в и поэтому у нее в силу рефлексивности в = Hq(Q) существует
подпоследовательность {vnk} С {vn}f такая что
vnk -± v слабо в в при к -> +оо.
Отметим, что, в частности, v £ §, поскольку единичная сфера
вещественного гильбертова пространства Но(П) слабо компактна.
Из того, что вложение
Hj(tl) <-><-> 1/(П) при р е (2,2*)
вполне непрерывно, имеем
уПк -± v сильно в hp(Q) при к ->- +оо.
9 Заказ 405

130
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
В частности,
ll«nJ|p-»N|p ПРИ fc->+00.
В силу первого условия (PSC) получаем
^(vn) ^ К для всех п Е N,
где К е (0, + оо) и не зависит от п € N. Поэтому приходим к выводу, что
IMI,*0 (6.15)
и, значит,
5(vnk) -> 7{v) при к -> Н-оо.
Для сокращения громоздкости выкладок обозначим найденную
подпоследовательность {vnk} снова через {vn}.
Для того чтобы воспользоваться вторым условием из (PSC), найдем
производную Фреше функционала 7(v). Действительно,
{ -2/(р-2)
/ . \"Я/(Р-2)
(v) = - ( J |tf da: J '"I'"2'
= у Mp<4 M' «• (6.16)
Производная Фреше функционала <p(v) = || вычисляется элементарно:
¥>',(«) =-At;. (6.17)
Теперь перепишем второе условие из (6.14). Действительно, справедлива
цепочка выражений
||S/K)|L(T».S) = \\?,Ы + w'i(«n)||. = + PnV'/WH. =
= SUp I+ /inV/C")' *) I > I(^/Ы + Hn<p'f(v„), V„) I =
= I <5/("n).»n> + /*»<¥>'/(»„), »„)|.
Отдельно вычислим выражения
(?/(»„),»„) и (<p'f(vn),v„).
Получим
(З/Ы, ""> = -(/ I • (v'/W> »n> = ¥>(»„).

§ 6. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева
131
Теперь выберем {/х„} С R+ таким образом, чтобы
(Э/(»„). vn) + tin(<p'f(vn), vn) = О,
тогда получим, что
Лп = ( / 'Г"
ч -2/(р-2)
fdx)
a
Но тогда для таких {/хп} в силу второго условия из (6.14) получим
предельную формулу
ln = (&t(vn)9z)+ib(<p'f(vn)>z)-*0 при п->+оо. (6.18)
Заметим, что имеет место следующее равенство:
\?f(vn)fdx = nn, р' = ^Т
Поэтому последовательность {Tf(vn)} ограничена в 1/'(П). С другой
стороны, имеет место следующая цепочка плотных и непрерывных вложений:
Но(П) С 1/(П) С 1/(П) С Н~ !(П).
Поэтому в силу [20, гл. 1, теорема 1.16] имеет место равенство
(3/(vn), to) = J ?f(vn)(x)w(x) dx для всех w(x) G Но(П). (6.19)
Ранее мы доказали, что
vn -> v сильно в У (О),
тогда в силу ограниченности {3*j(vn)} в 1/'(П) из (6.19) приходим к
выводу, что
(3/(«п), vn - v) -> 0 при п -> +оо. (6.20)
С другой стороны, в силу слабой сходимости {гп} к v в Ho(fl) приходим
к выводу, что
{<p'f(v), vn - v) -> 0 при п->+оо, (6.21)
поскольку ^(v) G H-,(fi).
Теперь из выражения (6.18) можно получить следующее равенство:
= I„ - (2/(t>„), vn - - fin(<p'f(v), vn - v) -> 0 при n -» +oo,

132 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
которое вытекает из предельных формул (6.18), (6.20) и (6.21). С другой
стороны, по доказанному
рп ^ е > 0 при достаточно большом n Е N.
Итак,
(<p'f(Vn) - <p'f(v), vn-v) = J IVvn - Vv|2 dx -> 0 при n -> +oo,
n
т.е.
vn -> v сильно в Ho(fi) при n -> +00.
Таким образом, функционал J(v) удовлетворяет условию (PSC)
относительно единичной сферы S для всех
OinfSYv) > 0.
Заметим, что функционалы 7(v) и <p(v) четные. Поэтому мы можем
отождествить диаметрально противоположные точки единичной сферы S.
Введем банахово пространство
X = {х = [v, -v] : v Е В = Но(П)},
функционалы 5\(x) = 7(v) и <р\(х) = tp(v) и многообразие
V, = {sEX: tpx(x) = l}.
Но многообразие V\ является бесконечномерным проективным
пространством р00, поэтому
catVl(Vi) = +оо.
Рассмотрим множество
??п = {х Е V, : 7\{х) ^ dn}, dn -> +оо при п -> +оо.
Заметим, что
V, = induct Э1\
п->+оо
Значит,
lim catVl (э1п) = +оо.
n->+oo >vi/
Следовательно, в силу теоремы 3.8 мы доказали следующее утверждение.
Теорема 3.13. Функционал 7(v) имеет не менее чем счетное множество
условно критических, геометрически разных точек {vn} с s с Hq(£2)
относительно единичной сферы § с Но(П), причем для соответствующих
собственных значений {А„} справедлива минимаксная формулировка:
-2/(р-2)
\n = inf sup I / \v\p dx )

§ 6. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева 133
где
Л„ = {А С S: cats(.A) ^ п},
причем А = Л w, /с/юме того, Л = -Л. Наконец,
последовательность собственных значений {Хп} монотонно неубывающая и имеет
единственную предельную точку Aqo = -foo, и поэтому справедлива
предельная формула
Г \vn\pdx= 1 \0 при п->+оо.
Теперь наша задача заключается в том, чтобы доказать, что
последовательность {uk} С Но(П) при щ = t(vk)vk является последовательностью
критических точек функционала t/>(u). Действительно, по доказанному
точки Vk удовлетворяют равенству
tf\fv(tk,vk)--tik<p'fv(tk,vk)=OeB\ где tk = t(vk). (6.22)
Умножим «скалярно» равенство (6.22) на vk относительно скобок
двойственности между банаховыми пространствами Нд(П) и Н_1(П) и получим
равенство
(ф\Мщ)> vk) = l*k(<p'f(wk), Vk)' (6.23)
Заметим, что имеет место следующая цепочка равенств:
<*{/.(«.), »*> = Ш(ик), vk) = tkdM£Vk) = 0.
Последнее равенство имеет место в силу равенства (6.11). Но тогда из (6.23)
вытекает, что
Цк(<р'/(и>к),»к) =0,
но поскольку по построению
WfiV)k),vk) ф0,
следовательно,
/х* = 0.
Отсюда в силу (6.22) вытекает равенство
tfi/tftk, Ъ) = о е В* =» в = vk) = tkil>'f{uk).
Следовательно, ик = t(vk)vk — это критические точки функционала <ф(и)
на банаховом пространстве В = Н^П).
Таким образом, исходная краевая задача (6.1) имеет по меньшей
мере счетное множество геометрически разных собственных функций вида
v>k = t(vk)vk, где ||о*|| = 1.
Теперь перейдем к рассмотрению общей задачи глобального
расслоения. Итак, пусть у нас имеется функционал Эйлера <ф(и): В -> R1, соот-

134 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
ветствующий исходной нелинейной краевой задаче. Мы сопоставим этому
функционалу следующий функционал:
^(*, v) = il)(tv): F = R1 x В -> R1. (6.24)
Далее, мы вводим в рассмотрение многообразие
V = {w = («, v) е F : Vl(t9 v) = с, ф 0}. (6.25)
Предположим, что функционалы
in(t9v) € C{[)(F\{0};Rl), Vl(t9v) € C(2)(F\{0}; R1),
где б = (0,0). Пусть w\ =(t\9v\) — это критическая точка функционала
ip\(t,v) относительно многообразия V. Тогда в этой точке справедливо
равенство
+ in(p\t(wx) = в Е F*, /х, G R1. (6.26)
Но производные Фреше функционалов ip\(w) и (p\(w) имеют следующий
вид:
(6.27)
Отсюда и из (6.26) приходим к следующим двум равенствам:
dt^ + /Xl 5Г(Ш,) = °' ^/«^ + = в. (6.28)
Теперь заметим, что в силу определения функционала ij)\(w) имеют место
равенства
tifv(t,v) = til>'f(u), ^(t9v) = (i>'f(u)9v) при ii = to. (6.29)
Тогда из равенств (6.29) и системы уравнений (6.28) получим следующую
систему:
(lrt/(<it>i),t>i) = -li\°Vl^X\ *itfi/(*it>i) = —
отсюда имеем:
Значит, имеет место равенство
=/*.<¥>'./(«>.),»,>. (6.30)
Тогда отсюда имеем:

§ 6. Метод глобального расслоения С. И. Похожаева
135
Потребуем выполнения условия
fii^^{tp\t(w)%v) для всех w = (ttv)eV, (6.31)
которое имеет смысл невырожденности многообразия V при с\ ф 0.
Но тогда при выполнении условия (6.31) из равенства (6.30) вытекает,
что \i\ = 0, и из (6.26) получаем сразу же равенство
0 = V>!/t;(*b«l) =*lV>/(ttl) ПРИ Щ =t\V\.
Значит, точка щ = t\V\ является критической точкой функционала tp(u).
Теперь зададимся вопросом — каким образом предъявить этот
расслаивающий функционал tp\(t9 v)9 порождающий многообразие V. Можно
взять в качестве расслаивающего функционала <p\(t9v) норму исходного
банахова пространства, и тогда такое расслоение называется сферическим.
С другой стороны, в качестве расслаивающего функционала можно взять
функционал, порожденный функционалом Эйлера ip(u)9
соответствующим исходной задаче. Действительно, пусть
ф{и)еС1г)(В\{0};Я})9
тогда введем расслаивающий функционал (p\(t9 v) по формуле
у>,(г, v) = {\l)"ff{tv)v, v) для всех (*, v) G R1 x В. (6.32)
Докажем, что все точки соответствующего многообразия
V = {(t,v)eRl хВ: vi(t9v)=d ф0}.
являются обыкновенными. С этой целью докажем, что выполнено
следующее равенство:
/ i v д<р\(w)
(<p\fv(w),v) -t r" =2<px(w) для всех w G F. (6.33)
ot
Действительно, имеют место равенства
С другой стороны, имеет место равенство

136
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Поэтому справедлива следующая цепочка равенств:
d(p\(w)
dt
Следовательно, равенство (6.33) доказано. Докажем, что все точки
многообразия V являются обыкновенными. Действительно, пусть существует
такая точка wq = (to, vq) G V, что в этой точке
тогда умножим «скалярно» этот функционал на элемент Wq = (-to, Vq)
относительно скобок двойственности ((•, •)) между банаховыми
пространствами F и F*, тогда получим цепочку равенств
правая часть здесь в силу равенства (6.33) равна 2(p\(wo) = 2с\ Ф 0.
Полученное противоречие доказывает, что многообразие V не особенное.
§ 7. Одна задача теории полупроводников
Итак, рассмотрим задачу о стационарном токе в полупроводнике.
Действительно, пусть fi С R3 есть ограниченная область с достаточно
гладкой границей, причем пусть область П поверхностно односвязная.
Предположим, что область П занимает полупроводник с отрицательной
дифференциальной проводимостью и с сильной диссипацией, причем мы
рассматриваем стационарный случай. Выпишем следующую исходную
систему уравнений Максвелла в квазистационарном приближении:
при о*о, Ро > 0. Поскольку мы рассматриваем стационарный случай, то
предполагаем, что
В силу поверхностной односвязности области П С R3 существует
потенциал u(x) G CW(fi) электрического поля:
<p\f(w0) = в G F* = R1 х В*,
0 = ((<p\f(wQ)t W0 » = (<р'ф{щ)9 Vq) - t0
d(p\(w0)
dt
divD = -n, rotE = 0, D = еЁ, О 1,
^ = A(\n\2n) + div J, j = <r0(l - А>|Ё|2)Ё,
(7.1)
(7.2)
Ё = -Vn.

§ 7. Одна задача теории полупроводников
137
= *1л1 = 0. (7.4)
act
Тогда система уравнений (7.1)-(7.2) легко редуцируется к следующему
одному уравнению:
-A(\Au\2Au) + Aw = A div (|Vti|2Vti). (7.3)
В качестве краевых условий исходной системы уравнений (7.1)-(7.2)
возьмем следующие:
(Ё, n*)\on = u\m = 0,
откуда сразу же приходим к следующим граничным условиям:
ди
Теперь дадим определение слабого решения задачи (7.3)-(7.4).
Определение 3.16. Слабым решением задачи (7.3)-(7.4) называется
функция и(х) Е Wo'4(ft), удовлетворяющая следующему равенству
(H(u),w)=0 для всех wGWj4(fi), (7.5)
где
Щи) ее -Д(\Аи\2Аи) + Аи - A div (\Vu\2Vu),
символом (•, •) обозначены скобки двойственности между
банаховыми пространствами WJj,4(n) и W"2-4/3(n).
Для решения этой задачи применим метод сферического расслоения
С. И. Похожаева. Действительно, введем новый функционал
v) ее ip(tv): R1 х W20A(Q) -> R1, (7.6)
где г/>(и) — это функционал Эйлера, соответствующий слабому решению
задачи (7.3)-(7.4) в смысле определения 3.16:
гр(и) = ^f |Aii|4 dx + \f |Vu|2 dx - £ j |Vu|4 dx. (7.7)
п п a
В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:
В ее Wo'4(fi), В* ее W~2'4/3(fi), F = R1 х В, Г = R1 х В*.
Теперь в качестве расслаивающего функционала <p\(t, v) возьмем
<pl(t,v) = \\Av\\A4.
Заметим, что величина || Av||4 — это одна из эквивалентных норм на
банаховом пространстве Wo*4(f2). Рассмотрим соответствующее многообразие,
порожденное расслаивающим функционалом
V ее {w = (t9 v) е F : <pi(t9 v) ее ||Av||4 = 1}.

138 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Заметим, что
V = R'xS, S = {v6B:||Av||4 = 1}.
В таком случае сразу же получаем, что
Тогда
T„V = R х T„S.
t4 t2
Определяющим уравнением в теории глобального расслоения является
следующее:
из которого сразу же получаем равенство
= 0,
£ + t f |Vv|2dz- ХЬЪ J |Vv|4 dx = 0,
откуда, в свою очередь, получаем равенство
t
Та J |Vv|4<*r-lj = J |Vv|2dx. (7.8)
Давайте проанализируем это равенство. Действительно, если имеет место
неравенство
A f | Vv|4 dx - 1 ^ 0,
п
то уравнение (7.8) имеет только тривиальное решение
Щ = (*о,«о) = (0,0).
Поэтому необходимым условием существования нетривиальных решений
задачи (7.3)-(7.4) в смысле определения 3.16 является следующее:
> / iv»|4
dx > 1.
(7.9)
При выполнении условия (7.9) мы приходим к явному выражению для
функции t = t(v):
1/2
/
t = t(v) = ±
A
\ n
/|V1:
/ iv«|4
dx
\
(7.10)
dx - 1
/

§ 7. Одна задача теории полупроводников
139
Теперь введем функционал
3WKS = *iM»),») = j
/ivvr
/ iv«|2
2
/ |Vt>|4
dx - 1
^ У |Vt)|2 dx^
.y |Vv|4dx-
dx
, У |Vv|4 dx - 1
n /
f |V»|4dx =
/ |V»|
dx
J |V«|4 dx -
V n
I |Vt,|4dx-lj~| |V»|4
^ I |Vt,|2dx^
4
У
|V»|4dirt
Таким образом, функционал 7(v) примет вид
( f \Vv\2dx]
*A / |V»|4dx- 1
(7.11)
который рассматривается на многообразии
S={t>eB:||At>||4 = 1}
при дополнительном условии
> / IV«|4
dx > 1.
Наша дальнейшая стратегия следующая — мы доказываем, что
функционал 7(v) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.8 на многообразии Si,
представляющем из себя пересечение единичной сферы S с множеством,
определенным дополнительным условием (7.9).
Прежде всего докажем, что при условии (7.9) функционал 7
ограничен снизу на сфере S. Действительно, очевидно, имеет место вложение
w2i4(n)ccu/4(n)nwj'4(n),

140 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
поэтому найдется такая постоянная с\ > 0, что справедливо неравенство
с? J |ДН4 **> J \Vw\A dx,
из которого сразу же вытекает неравенство
Ac? f |ЛН4 dx - 1 > A J |VH4 ^ - 1 > 0,
но на сфере S отсюда получим
Act - 1 ^ A f \Vw\4dx- 1 >0,
a
поэтому при условии (7.9) получаем следующую оценку снизу для
функционала 7 на сфере S:
7(v) > 4^J_ I f \Vv\2dx) для всех v G § С W^4(Q).
Теперь докажем, что для всех
с ^ inf 3(v)
функционал удовлетворяет условию (PSC) относительно многообразия Sj.
Итак, пусть {vn} С §i — это произвольная последовательность,
удовлетворяющая условию (PS)C. Но в силу того, что {vn} ограниченное множество,
а банахово пространство В = Wo*4(ft) рефлексивно, существует такая
подпоследовательность {vnk} С {vn}, что
vnk v слабо в Wo,4(H) при к -> +оо.
В дальнейшем в целях упрощения вида выкладок будем обозначать
подпоследовательность {vnk} опять символом {vn}. С другой стороны, имеют
место следующие вполне непрерывные вложения:
w2QA(n) wj,4(n), Ш20А(П) Wj'2(ft),
поэтому выбранная подпоследовательность {vn} сходится сильно:
vn->v сильно в W^,4(n) при *->+оо, (7.12)
а также
vn-+v сильно в W^,2(n) при *->+оо. (7.13)
Из первого условия (PSC) вытекает, что последовательность {3Xv„)} С К1
является ограниченной. Следовательно, из (7.12) и (7.13) вытекает, что
7{vn) -> 7(v) при п Н-оо. (7.14)

§ 7. Одна задача теории полупроводников
141
Поэтому, в частности, имеет место следующее неравенство:
А J \Vvydx > 1,
п
т. е. выполнено условие (7.9). Заметим, что производная Фреше
функционала 7{о) имеет следующий явный вид:
J \Vv\2dx ^ j |Vi»|2dx^
2/(«0 = 7 Д» + ——^ -jA div (|Vw|2Vt>),
(7.15)
а производная Фреше функционала <p(v) = ||Av||4 на Si равна
<p'f(v) = A(|Av|2Av). (7.16)
Поэтому из цепочки равенств
H^/WlLCM,) = inf H^/W + MWll. =
= ||^/Ы + ^/Ы||."^0 при *->+«>•
Как обычно, приходим к равенству
(?/W, vn) = lin(<p'f(vn), vn), т. е. fin = 43{vn).
Поэтому отсюда в силу (7.14) получаем, что
fin = W{vn) -> 4 J(v) = 4с = fi > О,
следовательно, найдется такое N G N, что
fin^e>0 для всех n^N. (7.17)
Тем самым из второго условия (PSC) получаем, что
ln = (^f(vn)9z)+iAn((p'f(vn)9z)^0 при п->+оо (7.18)
для всех z G В = Wo*4(H) из ограниченного множества этого банахова
пространства. Как и ранее доказываем, что последовательность
{?/(«»)}
является ограниченной в W"1,4/3(fi), поэтому в силу (7.12)
(Э7Ю, vn-v)->0 при п Н-оо. (7.19)

142
Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
Кроме того,
(<p'f(v),vn - v) 0 при п-++оо, (7.20)
поскольку <p'f(v) G W"2«4/3(n) и
vn v слабо в Wo,4(H).
Наконец, из (7.18) приходим к равенству
Pn(<p'f(vn)-<p'f(v),vn-v) = ln-Hn(<p'f(v),vn-v)-(3'f(vn),vn-v)i (7.21)
из которого в силу предельных формул (7.18)—(7.20) вытекает, что
Vn(<p'f(vn) - <f'f(v)> vn - v) 0 при n -> +00.
Отсюда в силу (7.17) приходим к следующим выражениям:
Wf{vn) - <p'f(v), vn - v) = f [|At;n|2At;n - |At>|2At>] [Avn - Av] dx >
n
^ 4||Av„ - Av||4-> О при n -> +oo.
Значит,
vn v сильно в Wo*4(H) при n +00.
Таким образом, функционал wF(v) удовлетворяет условию (PSC).
Теперь мы должны проанализировать, что представляет собой
множество Si = SП U, где
S={wGB: ||Ди>||4 = 1}, U= jwGB: A J \Vw\4 dx > l|.
Прежде всего заметим, что решения (w, А) следующей задачи на
собственные функции и собственные значения относительно единичной сферы S
не принадлежат множеству Si:
А(|Агу|2Аг^) + A div (\Vw\2Vw) = 0, (7.22)
=w =0. (7.23)
Действительно, умножим уравнение (7.22) «скалярно» на w G Wjj,4(n)
относительно скобок двойственности (•, •) между банаховыми
пространствами Wo*4(fi) и W"2,4/3(Q) и после интегрирования «по частям» получим
равенство
||Aii»||J = A||V«||4=M=A||V«||J,
т.е. не выполнено условие (7.9).

§ 7. Одна задача теории полупроводников
143
Введем банахово пространство
X={x = [w,-w] : w G В = W^4(n)},
функционалы 7\(х) = 7(w), <f\(x) = у?(ги) и многообразие
V={xGX: p,(i) = l}nU,, U, = jxGX: |Vw|4 > lj.
Банахово пространство В = Wo'4(fi) является сепарабельным, поэтому
существует возрастающая последовательность В* fc-мерных банаховых
пространств, таких что
D Вд. и induct Вд. = В.
Следовательно, если положить
Хл = {ж = К -til] : wEB*},
то будем иметь
X*+i D X* и induct Хд. = X.
Рассмотрим пересечение VDX* С V. Поскольку на конечномерных
банаховых пространствах все нормы эквивалентны, то, следовательно, на
банаховом пространстве X* нормы
1/4
\\Ax\\4 = \\Aw\U = \Aw\4dx^ ,
= ( / 1 Vti;|4 dX)
Q
1/4
HVarlU = HVwIU '
эквивалентны, поэтому имеет место двустороннее неравенство
^||Aw||J^||Vu;||J>a(*)||Ati;||5 для всех w G В*, (7.24)
где Ai > 0 — это первое собственное значение задачи (7.22)-(7.23)
относительно единичной сферы S, причем, очевидно, a(k) ->0 при А;-> +оо.
Пусть х = [w, -w] G VflXjb, тогда из (7.24) получим следующую цепочку
неравенств:
> A||Vio||J > Aa(fc),
откуда, если потребовать, чтобы Xa(k) > 1 и А > \\, получим
VnUinXfc=VnXfc=P*f

144 Глава 3. Вариационные методы. Условный экстремум
но
catp* (Р*) = k+ 1,
т.е.
catvnx. (VflX*) =*+1.
Теперь рассмотрим множество
3?ПХЬ
где
У? = {х G V : У,(я:) = У(и>) < d}.
Но тогда для функционала 7(w) для всех w G V П Uj П Хк справедлива
следующая цепочка соотношений:
Поэтому при
J 1 1 4
имеет место вложение
VnUiflX* c?f ПХЬ
следовательно,
catvnu.nx. (5f ПХ*)
Таким образом, для каждого к G N для функционала З^ж) относительно
многообразия V* = V П Хд. при дополнительном условии, что
А > max {a(k)~{,\\\, lim а(к) = О,
&->+оо
выполнены все условия теоремы 3.8, из которой вытекает существование
по меньшей мере А: 4- 1 критических точек функционала
относительно многообразия V*. Следовательно, доказана следующая теорема.
Теорема 3.14. Функционал 7(v) имеет по меньшей мере к + 1 условно
критических точек относительно многообразия § П В* С S П U при
дополнительном условии
А > max {a(k)~l,\\}, lim a(k) = О,
где {В*} — это возрастающая последовательность к-мерных банаховых
пространств
В* С B*+i и induct В* = В,
*-*+00
величина а(к) > О определяется как максимальное число, при котором
выполнено неравенство
а(*)||Д»|Й < HVu»|l4 для всех w G В*,

Глава 4
Вариационные методы.
Теорема о горном перевале
§1. Введение
В этой главе мы займемся изучением критических точек функционала,
который, вообще говоря, не является ограниченным ни снизу, ни сверху
на банаховом пространстве В. Но если в предыдущей главе использовался
метод глобального расслоения С. И. Похожаева, то в этой главе
используется теорема о горном перевале А. Амбросетти и П. Рабиновича.
§ 2. Род множества
Дадим определение рода множества — понятия, аналогичного понятию
категории Люстерника—Шнирельмана, но для четных функционалов (и, как
мы увидим в дальнейшем, очень важного понятия в приложениях к
нелинейным краевым задачам, допускающим вариационную формулировку.
Итак, пусть В — это вещественное банахово пространство. Рассмотрим
один важный класс его подмножеств. Действительно, дадим определение.
Определение 4.1. Символом
Е(В)
обозначается семейство замкнутых подмножеств А С В\{0}, которые
являются симметричными относительно точки в G В.
Определение 4.2. Родом множества a G Е(В) называется
отображение
7:E(B)-»NU{+oo},
такое что выполнены следующие свойства:
(I) тИ = 0;
(ii) 7(Л) = п, если n G N — это наименьшее натуральное число, при
котором существует нечетное непрерывное отображение h G С(Л; Rn\{0});
(iii) у (А) = +оо, если не существует такого натурального числа.

§ 7. Одна задача теории полупроводников
145
a Х\ > О — это первое собственное значение задачи (7.22)-(7.23)
относительно единичной сферы §.
Таким образом, при условиях этой теоремы множество
{vnt(vn)}>
где
являются решениями задачи (7.1)—(7.2), понимаемой в слабом смысле
определения 3.16.
Литературные указания
Материал для данной главы был взят из работ [5], [22], [28], [31], [38],
[69], [77], [82] и [93].
10 Заказ 405

§ 2. Род множества
147
Для дальнейшего нам потребуется одна важная лемма.
Лемма Бор сука. Пусть m < n « U С R" — это открытая,
ограниченная и симметричная окрестность нуля, а
ft : flU -> Rm
— это нечетное и непрерывное отображение, тогда
в € h(d\J).
Следствием леммы Борсука является следующая теорема.
Теорема 4.1. Пусть U — это ограниченная, симметричная окрестность
нуля банахова пространства В. Тогда
7(0U) = dim В.
Доказательство. Пусть 0 < dim В < Н-оо, тогда в определении 4.2
в качестве нечетного непрерывного отображения ft возьмем ide, но тогда
мы приходим к выводу, что
7(0U) ^ dim В,
а из леммы Борсука сразу же вытекает, что на самом деле имеет место
равенство, поскольку в противном случае из леммы Борсука получим, что
0eh(d\J), heC(dV;Rm\{0}).
Полученное противоречие доказывает, что в данном случае имеет место
равенство
7(0U) = dim В.
Пусть теперь dim В = +оо. Предположим, что {Вп} — это возрастающая
последовательность n-мерных банаховых пространств в В, т.е.
BnCB, BnCBn+i, dimBn = n.
Тогда имеем следующие соотношения:
7(0nBn) = n<7(0U),
откуда в силу произвольности п G N приходим к выводу, что
7(0U) = dim В = +оо.
Предположим, наконец, что В — {в}. Тогда 9U = 0, но в этом случае
dim В = 0, 7(0) = О,
т. е. и в этом случае приходим к выводу, что
7(0U) =dimB = 0.
Теорема доказана. □
10*

148 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Род множества обладает следующим набором свойств:
Теорема 4.2. Пусть А, А\, А2 G Е(В) u he С(В; В), тогда:
(i) 7(Л) ^ 0 причем у (А) = О <=> Л = 0;
(ii) ес/ш Л! С Л2, то 7(Л,) < 7(^2);
(Ш) 7MiU^2)<7Mi)+7U2);
(iv) 7(A)<j(h(A));
(v) ес/ш Л е Е(В) является компактным, то j(A) < +00, причем найдется
открытая окрестность U множества А, что U G 2(B) м 7(Л) = 7(U);
(vi) если Во — это подпространство банахова пространства В
коразмерности k е N, тогда ес/ш 7(Л) > к, то А П Во Ф 0.
Доказательство. Утверждение (i) вытекает сразу же из определения 4.2
рода множества.
Докажем утверждение (ii). Итак, пусть 7(Л)2 = то < +оо, поскольку
в противном случае доказывать нечего. Пусть ft G С(Л2; Rm\{0}), но тогда
Л,=Й|^6С(^,;КЯ\{*})
и поэтому сразу же приходим к выводу, что
7(Л0 <то = 7(Л2).
Докажем утверждение (Ш). Итак, пусть
j(A\) — 7711 < +00, 7(Л2) = то2 < +оо,
поскольку в противном случае доказывать нечего. Пусть, кроме того,
ft, G С(Л1;Кш'\{0}), ft2 G С(Л2;КШ2\{0})
— это соответствующие нечетные отображения. Эти два отображения можно
продолжить до нечетных отображений
h{ е C(B;Rm,\{0}), ft2 G C(B;RW2\W).
Тогда отображение
h = (huh2)eC(M;Rm>+m>\{e}),
причем
Цлм** и &LlUil6C(ilIUil2;R-'+-\W).
Следовательно,
7(Л, U Л2) < То! + то2 = 7(Л,) + 7(Л2).
Докажем, что имеет место утверждение (iv). Пусть ft G C(ft(;4);Rm), но
тогда ho he С(А; Rm). Следовательно,
7(4)<т=7(Щ)).

§ 2. Род множества
149
Теперь докажем наиболее трудоемкое утверждение (v). Пусть множество
A G £(В) является компактным. Следовательно, найдется такое число
г > О, что
ЛПВг(0) = 0,
где Вг(0) — это замыкание шара Вг(0). Докажем это. Действительно, пусть
такого г > 0 не существует. Но тогда, положив г = 1/п при п G N и
выбирая {ап} С В таким образом, чтобы ап G А П Bi/„(0), мы получим, что
ап -> в сильно в В при п -¥ +оо.
Отсюда в силу компактности А получим, что 0 € А, но это противоречит
исходному предположению, что
А G Е(В).
Рассмотрим следующее открытое покрытие множества А:
Dr = Br(x)UBr(-i),
где х пробегает все А. Но тогда в силу компактности А найдем конечное
множество точек {ж,} С А при г = 1, то, что
A G (J Dr(s,), Dr(aj,) = Вг(ж,) U Br(-xt-).
Теперь возьмем разбиение 1 {<Рк(я)}™=\, подчиненное покрытию Dr(x,),
m
Рр(Мя)} С Dr(xk), ^2 <рк(х) = 1 для всех х G Л.
т.е.
su
Рассмотрим отображение
h(x) = {hk(x) G С(Л; Rm), к = Т~^} ,
h t \ -[ <Pk^i при х G Мж*);
* I -¥>*(я)> при х G Вг(-ж*).
Ясно, что Вг(х,)ПВг(-х,) = 0 в силу выбора г > 0. Разбиение 1 {<рк(х)}
можно считать четным, поскольку в противном случае можно взять
Таким образом, по построению имеем
h(-x) = -h(x) и ft(x)GC(B;Rm),
причем

150 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Следовательно, *у(А) < га < +00. Докажем теперь вторую часть
утверждения (v). Итак, пусть у(А) = га0 < +оо и h(x) G С(4; RTOo\{0}) •
Используя теорему о продолжении Дугунджи получим непрерывное
отображение h G С (В; Rm°), где
h\A = h.
Поскольку множество А — это компакт, то и h(A) — тоже компакт в RTOo,
т.е. найдется открытая окрестность нуля V G Rm°\{0}, такая что
h(A) С V,
но тогда U = /i_1(V) есть симметричная, открытая окрестность нуля в В\{0},
причем Л С U С U. Следовательно,
гп0 = у(А) < 7(U) = га0.
Доказательство утверждения (vi) проводится от противного.
Теорема доказана. □
Непосредственным следствием этой доказанной теоремы является
следующая лемма.
Лемма 4.1. Пусть А, А\, А2 G Е(В). Тогда справедливы следующие
утверждения:
(i) если A i и А2 гомеоморфны друг другу и соответствующий гомеоморфизм
является нечетным отображением, то j{A\) = 7(^2);
(ii) если 7(i4i),7(i42) < +00, то
y(AM2)>l(Ai)-i(A2),
(iii) 7(Л) < dim В.
Доказательство. Докажем утверждение (i). Действительно, пусть
7(i4i) = m,, 7(Л2) = т2, /I, €С(Л,;Мт'\т), h2 G С(Л2; Rm\{0})
и, кроме того, ip G С(А\ \ А2) — это указанный нечетный гомеоморфизм.
Заметим, что
h3 = h2oipeC(Al\Rm2\{0})3
Л4 = Л,о^ €С(Л2;КТО,\{9}).
Отсюда мы сразу же получаем, что тп\ —ш2.
Оставшиеся утверждения (ii) и (iii) вытекают из теоремы 4.2 (Hi) и
теоремы 4.1 соответственно.
Лемма доказана. □
Замечание 4.1. Заметим, что для конечного множества A G Е(В), которое,
очевидно, имеет вид {±я*}™=1, его род равен 1. Действительно, рассмотрим
отображения
h{±xk) = ±U
ясно, что Цх) е С(Л; R'\0).

§ 3. Псевдоградиентное векторное поле
151
§ 3. Псевдоградиентное векторное поле
В этом параграфе будут введены понятия псевдоградиентного вектора
и псевдоградиентного векторного поля и доказана важная
деформационная лемма, необходимая для доказательства основной теоремы настоящей
главы — теоремы о горном перевале.
Пусть В — это вещественное рефлексивное банахово пространство
относительно нормы || || с сильным сопряженным В* относительно
соответствующей нормы || ||* и со скобками двойственности (•, •) между
В и В*.
Предположим, что задан некоторый функционал
ф(и) : В -> r1,
который является непрерывно дифференцируемым по Фреше на
некотором выпуклом подмножестве U С В, т.е.
1>{u)eC{l){U;Rl).
Дадим определение.
Определение 4.3. Элемент банахова пространства v Е В называется
псевдоградиентным вектором для функционала ip в точке и Е U С В,
если имеют место следующие неравенства:
1И<2||#(«)||.. (3-1)
где символом tp'f(u) мы обозначили производную Фреше
функционала ф в точке и G U С В.
Теперь мы можем дать определение псевдоградиентного векторного
поля. Действительно, пусть
В={иеВ: 1>)(и)ф0}. (3.3)
Понятно, что множество В является метрическим пространством
относительно расстояния, индуцированного нормой || || на банаховом
пространстве В. Предположим, что на метрическом пространстве В задано
локально липшиц-непрерывное отображение
Т : В -> В. (3.4)
Дадим определение.
Определение 4.4. Отображение Т называется псевдоградиентным
векторным полем для функционала гр € C^(U; R1), если для каждой
точки и G В элемент T(u) Е В является псевдоградиентным вектором
для функционала ip в точке и G В.

152 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Справедлива следующая лемма.
Лемма 4.2. Для каждого функционала ip€C^ (В; R1) существует
псевдоградиентное векторное поле на В.
Доказательство. Сначала нам необходимо доказать следующее
вспомогательное утверждение.
Для каждого uGB найдется такой элемент w G В с единичной нормой
\\w\\ = 1, что
<#(«),»> >f||#(«)L (3-5)
Для доказательства этого утверждения введем функционал
причем имеет место следующая логическая цепочка:
и G В=> Щи) фО =► 11/Ц. = 1.
Заметим, что из теоремы Хана—Банаха вытекает следующее следствие
(см., например, [16]):
Следствие 1 из теоремы Хана—Банаха. Пусть В — рефлексивно,
тогда для каждого функционала f G В*\{0} найдется такой элемент
w G В, для которого \\w\\ = 1, что
</, «> = н/н..
Теперь достаточно применить это следствие для
1 ||*/(«>||.
и получить, что
2
(/,ю) = 1>- при N1 = 1-
Утверждение доказано. □
Заметим, что вектор
z = l\\i>'t(u)lw (3.6)
является псевдоградиентным вектором для функционала чр в точке и G В.
Действительно, проверим свойства (3.1) и (3.2) определения 4.1.
Справедливы следующие цепочки выражений:

§ 3. Псевдоградиентнов векторное поле
153
<#(«).*> = ||№(«)||.М(«).»> > \WM\t
Отметим, что для псевдоградиентного вектора z, определенного формулой
(3.6), выполнены строгие неравенства в свойствах (3.1) и (3.2)
определения 4.1. Поскольку ij) G С^(В; R1), то его производная Фреше V/(u)
является непрерывным отображением из В в В*, поэтому для каждого
и G В найдется такая открытая окрестность Vu G В, что элемент z,
определенный формулой (3.6), где w = w(u), является псевдоградиентным
вектором для функционала $ в каждой точке й G Vu П В, т.е.
||z||<2||Vv(u)|L, Шй)>*)>\Ш*)\\1 Для всех йеУиПШ.
Заметим теперь, что система окрестностей
M = {Vu,uGB} (3.7)
образует открытое покрытие В, но, как мы уже отмечали, В является
метрическим пространством относительно метрики, индуцированной нормой
|| || банахова пространства В, поэтому для системы М, определенной
равенством (3.7), можно найти локально конечное открытое покрытие
{Щ (3.8)
при j = 1, +оо, причем каждое Mj содержится в некотором Vu. Отметим,
что это счетное покрытие, поскольку топология метрического
пространства задается счетным семейством открытых множеств.
Введем теперь расстояние между точкой х G В и множеством В\М;-:
Pj(x)= inf ||а: - «||. (3.9)
Ясно, что если х G В\М;-, то Pj(x) = 0. Докажем, что введенное расстояние
Pj(x) является липшиц-непрерывной функцией на В.
□ Действительно, пусть v G В\М;- и u\,v,2 G В, тогда имеет место
следующее очевидное неравенство:
llltti-till-llttj-wlll^l^-ttjH.
Пусть для определенности Pj(u\) ^ Pjfa), тогда
\\щ - v|| - ||u2 - v\\ ^ ||tti -t*2||
и, переходя к инфимуму по v G Mj, получим
\Pj(u\)-Pj(u2)\ < ||t*i -t*2||,
т.е. липшиц-непрерывность расстояния по х G В.
Утверждение доказано. □

154 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Введем функцию
Отметим, что каждый элемент х G В принадлежит лишь конечному числу
множеств из системы (3.8), поэтому сумма в знаменателе формулы (3.10)
для каждого фиксированного х € В состоит из конечного числа
слагаемых, отличных от нуля.
Заметим, что по построению каждое Mj С Vu> при некотором Uj G В.
Поэтому вектор
*i-!iw<«*>ii.«j (зл1>
при Wj = Wj(uj) является псевдоградиентным вектором для функционала
'ф в каждой точке v G Vu.. Введем отображение
Т : В -> В
следующим образом:
+00
Т(*) = (3.12)
Отметим, что 0 < Pj(x) < 1 и
+00
а из свойств (3.1) и (3.2) псевдоградиентного вектора видно, что выпуклая
оболочка псевдоградиентных векторов является псевдоградиентным
вектором.
Докажем теперь, что введенное в формуле (3.12) отображение Т:В-+В
является локально липшиц-непрерывным. С этой целью достаточно
доказать, что каждая функция Pj(x), определенная формулой (3.10), является
локально липшиц-непрерывной. Итак, пусть х\, х2 G I/, где U — это
ограниченное подмножество банахова пространства В. Тогда найдется такое
число S = d(U) > 0, что
+00
У^] pj(x) ^ S > 0 для всех х G U.
з=\
Но тогда из липшиц-непрерывности функций Pj(x) на В вытекает
локальная липшиц-непрерывность и функций Pj(x).
Таким образом, отображение Т(х), определенное формулой (3.12),
является локально липшиц-непрерывным, а значит, поскольку для каждого

§ 3. Псевдоградиентное векторное поле
155
ж £ В представляет собой псевдоградиентный вектор для функционала V
в точке iGB, является псевдоградиентным векторным полем для %1>.
Лемма доказана. □
Непосредственным следствием этого утверждения является
следующая лемма:
Лемма 4.3. Пусть функционал 1р Е С^(В; R1) является четным, т. е.
*ф(-и) = г/)(и), тогда существует псевдоградиентное вектороное поле,
которое является нечетным оператором:
t(-x) = -t(x) для всех хеШ.
Доказательство. Согласно результату леммы 4.2 для функционала чр
существует псевдоградиентное векторное поле
Т(х) : Ё -> В.
Введем отображение
f(x) = i[T(x)-T(-x)]. (3.13)
Ясно, что отображение Т(х) является нечетным и локально липшиц-не-
прерывным отображением. Осталось доказать, что для каждого uGB это
отображение t(ti) является псевдоградиентным вектором для
функционала чр в точке и € В, т.е. что выполнены следующие условия:
||t(tt)|| ^ 2|№(«)||.. <#(«), t(«)> >
Докажем сначала, что
V>/(-tx) = -ip'f(u) для всех не В. (3.14)
Доказательство формулы (3.14). Действительно, согласно
определению производной Фреше имеет место следующее представление:
ф(и + ft) - гр(и) = (^(u), ft) + ш(и, Л).
Отсюда вытекает следующее равенство:
гР(-и - Л) - ^(-и) = Ш~и), -ft) + w(-ti, -ft).
Но поскольку ip(-u) = t/>(u) для всех и £ В, то из последнего равенства
получим, что
у>(и + л) - = <-#Н0' Л> + -ft)-
Осталось заметить, что функция ш(и, Л) определяется так, что имеет место
следующее предельное равенство:
н*||-»° ИЛИ

156 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
поэтому в этом контексте можно написать, что u;(-u, -Л) = ш(и, h). Стало
быть, мы пришли к следующему равенству:
ip(u + Л) - ip(u) = (-ip'f{-u), h) + w(ti, h),
из которого сразу же получаем, что
ip'f(u) = -ip'f(-u) для всех u G В.
Формула (3.14) доказана. □
Теперь заметим, что в силу свойства (3.14) нечетности производной
Фреше ^/(и) имеют место следующие оценки:
HtMii < I||T(i.)|| + 1||т(-«)|| < + = 4№l>
< (^(-").т(-«)>, ik,(«)|i; ^ <^/(«),т(«)>.
Отсюда получаем следующее неравенство:
2||«>/(«)||. < <•>/(«), Т(«) - Т(-и)>.
Следовательно, имеет место требуемое неравенство
Лемма доказана. □
§ 4. Лемма о деформации 2
Введем следующие обозначения:
Ас = {ti G В : ^(u) ^ с}, Hfc ее {и G В : ^(и) = с, ^/(и) = °}-
Напомним определение условия компактности Пале—Смейла.
Определение 4.5. Функционал G С^(В; R1) удовлетворяет
условию Пале—Смейла (PS), если у любой последовательности {um} С В,
такой что
{^(«го)} С R1 ограниченная, (4.1)
1>f(um) 0 сильно в В* (4.2)
существует такая подпоследовательность {um} С {um}, что она
сильно сходится в В.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 4.4. Для функционала 'ф G С^(В; R1), удовлетворяющего
условию (PS), множество КССВ компактно для каждого с G R1.

158 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Предварительно заметим, что в силу леммы 4.2 множество Кс — это
компакт в В, поэтому для любой окрестности UD Кс можно указать такое
д > О, что
U3 = {u £ В : distance^, Кс) ^ б},
distance(ti, С) = inf ||u - v\\,
«ее
будет содержаться в U. Поэтому вместо окрестности U можно сразу же
рассматривать окрестность Us, определенную формулой (4.3). В том
случае, если Кс = 0, то Us = 0.
Заметим теперь, что существуют такие числа Ь > О и е\ > О, «/то
||lfr/M|L^>° Для всех ueAc+ei\{Ac-€lUUs/s). (4.4)
□ Действительно, предположим, что такие числа b > О и €\ > О
не существуют. Тогда существуют такие последовательности
ЫСВ, {Ьт}, {em}cR\,
что
tim G Лс+ет\(Лс_ет U Uj/g) и ||^/К»)||. ^ Ьт для всех т е N.
Ясно, что тогда
{ip(um)} С [c-em,c + em]
и
ll>'f(Um) -> ^ СИЛЬНО В В* При Ш +00,
т. е. последовательность {ит} удовлетворяет условиям (PS) для
функционала 1р е C^(B;Rl). Значит, существует такая подпоследовательность
{ttmj С {Um}, ЧТО
ит -> й сильно в В при k -> -foo.
Но тогда
й е Kc\Us/% = 0.
Полученное противоречие доказывает утверждение. □
Поскольку свойство (4.4) остается справедливым при любом е€(0,е\),
то поэтому сразу же предположим, что
£^(°'™п{е°'тА'1})- (4>5)
Введем теперь следующие обозначения:
Л ее {u Е В : <ф(и) ^c-£,}u{tieB: ^H^c + ei},
Б = {и G В : с - £ < с + е}

§ 4. Лемма о деформации 2
157
Доказательство. Пусть {tim} с Кс. Тогда tl>{um) = с и ^/(^т) = 0>
но тогда согласно условию (PS), поскольку {ip(um)} = {с} является
ограниченной, в В существует подпоследовательность {umk} с {tiTO}, такая что
um —> й сильно в В.
Докажем, что б G #с. Действительно, это следствие того, что по условию
t/>(u) G C(1>(B;R!), поэтому
С = 1p(umk) при * +00,
# = V/fa™*) сильно в ®* при * ~* +00-
Значит,
= с и ^/(й) = 0, т. е. й G -ЙГС.
Лемма доказана. □
Теперь дадим следующее определение.
Определение 4.6. Произвольная функция
^,«)еС([0,1]хВ; в)
называется деформацией.
Теперь мы можем сформулировать и доказать важную лемму о
деформации 2.
Лемма о деформации 2. Пусть функционал ip G С^(В; R1) и
удовлетворяет условию (PS), тогда для каждого €q > О, с G R1 и произвольной
окрестности U множества Кс найдутся такая деформация rj(t, и) G
G С ([О, 1] х В; В) и е G (0, €q), что выполнены следующие свойства:
(i) 7/(0, и) = и для всех и G В;
(ii) v(*>M) = и всех t G [О, 1] если гр(и) £ [с - €q, с + £о];
(iii) для каждого фиксированного t G [О, 1] деформация ?у(£,-):В->В яяля-
е/яся гомеоморфизмом;
(iv) ||?7(J, и) - и|| < 1 для «тех * G [0, 1] w ti G B;
(v) ^(i/(£, u)) < ^(u) для t G [0, 1] w всех и G B;
(vi) 9(1,Лс+Ли)с-4с-е;
(vii) если Kc = 0, /яогда j4c+£) с лс_е;
(viii) ес/ш ip(u) — эюо четный функционал, тогда существует деформация
t](t, и), нечетная по переменной и G В.
Доказательство. Идея построения деформации ту(^,и) с нужными
свойствами заключается в том, чтобы найти эту деформацию как
решение некоторого обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка в банаховом пространстве В с начальным условием т](0, и) = и
для всех и G В.

§ 4. Лемма о деформации 2
159
для фиксированного е £ (О, €\). Ясно, что А П В = 0. Введем функцию
«(а) = distance^, А)
*v 7 distance^, А) + distance^, В)'
Введенная функция удовлетворяет следующим свойствам: д(х) = О при
х € А, д(х) = 1 при х е В и, наконец, 0 ^ д(х) ^ 1. Докажем, что
введенная функция д(х) является локально Липшиц-непрерывной на В.
□ Действительно, для любых щ, ui из ограниченного множества
банахова пространства В имеет место неравенство
distance^*, А) + distance^, В) ^ S > О при k = 1, 2,
поэтому имеет место следующее неравенство:
\я(и\) - 9(иг)\ ^ ^|distance^ 1, А) - distance(u2, -4)| +
+ |distance(tti, А) - distance(u2, А) \ +
+ ^|distance(ui, В) - distance^, В)\.
Теперь нам нужно доказать локальную лйпшиц-непрерывность функции
distance(C, и) для и из ограниченного множества В. Действительно, по
определению
distance(C, и) = \nf\\u - t>||.
Предположим для определенности, что
distance(6, щ) ^ distance(e, «2)-
Справедливо неравенство треугольника:
||ui - v|| ^ ||tf2 ~ «II + ||tt| - иг|| для всех «ее,
отсюда, взяв инфимум от обеих частей неравенства по v G 6, получим
следующее неравенство:
|distance(C, и\) - distance(C, ti2)| ^ ||«i - u2\\
для всех tii,ti2 из ограниченного множества банахова пространства В. □
Аналогичным образом введем следующую функцию:
f( . _ distance^, US/s) ^ ?,
' W ~ distance^, U&/%) + distance^, B\Ug/4)'
которая также равна нулю на Uj/s и единице на BYU^ и 0 ^ f(x) ^ 1.
Кроме того, точно так же можно доказать, что функция f(x) локально
липшиц-непрерывна.

160 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Наконец, отметим, что если функционал ip(u) является четным, то
множества А, В, Us являются симметричными относительно точки в Е В,
а также введенные функции f(x) и д(х) являются тоже четными.
Теперь введем следующую функцию:
|| при -«10.11:
w при Ol.
Поскольку функционал <ф Е C^^BjR1), то для него существует
псевдоградиентное векторное поле
Т(м): В -> В.
Причем если функционал tp является четным, то псевдоградиентное
векторное поле Т(и) можно выбрать нечетным. Эти два утверждения —
следствия предыдущих двух лемм.
Теперь введем следующий оператор:
!»)ft(||T(tt)||)T(u) при ней;
(tt) = \o
(4.9)
при иЕВ\В.
Заметим, что оператор W : В -> В является локально Липшиц-непрерывным.
□ Действительно, по построению функции д(и), f(u) и Т(и)
являются локально липшиц-непрерывными. Докажем, что функция
h(s): R\. -> Rl+
является локально липшиц-непрерывной. Причем функция h(s)
дифференцируема при s Ф 1, а в точке s = 1 существуют правая и левая
производные, причем производная испытывает разрыв первого рода. Пусть
5i, «2 G R+, тогда рассмотри самый трудный случай — это когда s\ G [0, 1],
а 52 ^ 1. В этом случае имеет место неравенство
|ft(5!)-/l(52)| ^ \sX -52|.
Таким образом, справедливо следующее неравенство:
\h(s\) - h(s2)\ < \s\ - 021 Для всех 8\9 s2 G R+.
Докажем теперь, что функция
ft(||T(ti)||) : В -> Rl+
является локально липшиц-непрерывной. Действительно, имеет место
следующая цепочка неравенств:
|А(ЦТ(и,)||) - ft(l|T(u2)||)| < |||Т(«,)|| - ||Т(«2)||| < ||Т(и.) - Т(«2)||,
а оператор Т : В ->• R1 является локально липшиц-непрерывным
оператором, который обращается по построению в нуль на В\В. Тем самым
оператор
g(u)f(u)h(\\T(u)\\)T(u) : В -> В
является локально липшиц-непрерывным на В. □

§ 4. Лемма о деформации 2
161
Заметим, что по построению имеет место неравенство
О < ||W(t*)|| < 1 для всех u G В,
причем если функционал *ф является четным, то оператор W является
нечетным.
Теперь, наконец, мы можем реализовать идею построения деформации
rj(t, u) G С ([0,1] х В; В) как решение следующей задачи Коши:
«Wft), 1/(0, и) = и G В. (4.10)
at
Поскольку отображение W(i;): В -> В является локально
липшиц-непрерывным, то в силу известной теоремы для каждого фиксированного и G В
существует такой непустой сегмент
te [r(u),t+(u)] ,
на котором существует единственное классическое решение задачи (4.10).
Теперь докажем, что ^(и) = ±оо. Докажем, например, что t+(u) = +оо.
Действительно, предположим, что
t+(u) < +00.
Пусть {tn} С R+ — это строго возрастающая последовательность,
сходящаяся к t+(u). Задача (4.10) в классическом смысле эквивалентна
следующему интегральному уравнению:
t
tf(ty и) - фо, u) = f ЩЧ)(а) ds (4.11)
'о
для любых Mo £ [t~(u)>t+(u)] ПРИ * > *о- Из этого интефалыюго
уравнения вытекает, что
r,(tn+uu)-ri(tn,u)= j W(r/)(s) ds,
tn
а из этого уравнения в свою очередь следует, что имеет место следующая
оценка:
\\V(tn+[yu)-V(tnju)\\ < sup \\W(4)\\(8)\tn+\-tn\. (4.12)
*€|r(ti).«+(ti)|
Заметим, что по-доказанному имеет место неравенство
||W(t*)|| < 1 для всех и G В.
Поэтому отсюда и из неравенства (4.12) вытекает следующее неравенство:
\\ri(tn+uu)-ri(tn,u)\\<\t n+\-tn\- (4-13)
11 Заказ 405

162 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Но отсюда вытекает, что последовательность {q(tn, и)} С В является
фундаментальной в банаховом пространстве В. Следовательно,
r)(tni и) -* й сильно в В при п -> +00.
Теперь достаточно в качестве начального условия при t = t+(u) взять
величину
t}(t+(u),u) = й
для дифференциального уравнения (4.10) и продолжить, тем самым,
решение Tf(t9u) за интервал £+(м), что противоречит максимальности
величины t+(u). Следовательно, t+(u) = +оо. Аналогичным образом приходим
к выводу, что t~(u) = -оо.
Из свойства непрерывной зависимости от начальных данных задачи
Коши (4.10) для нелинейного дифференциального уравнения вытекает,
что ее решение принадлежит классу
ф,и)еС([0,1]хВ; В).
Поскольку в задаче (4.10) г}(0,и) = и для всех и G В, то мы сразу же
получаем первое утверждение доказываемой леммы.
Заметим теперь, что по условию е\ < 6q. Пусть
tp(u) i [с-е0,с + еоЬ
т.е.
ие {и G В: <ф(и) < с-£0}и {и G В : <ф(и) ^ с + бг0} С А,
где множество А было введено ранее. Но функция д(и) по построению
удовлетворяет свойству
д(и) = 0 при ие А.
Поэтому для всех и G В таких, что t/>(u) £ [с - ео> с + ео],
W(??(*, и)) =0 на сегменте t G [0, ^),
поскольку
j/(U)GC([0,l]xl;i).
Но тогда
~Г=0 при t е [0,Jj] =>Ti(t,u) =и для всех tG[0,ii].
at
Стало быть, r)(t\yu) = и, а следовательно,
rp(rj(tuu))=tp(u) £ [с-е0,с + е0].
Но тогда найдется такое ti > t\, что W(iy(f, и)) = 0 при J G *гЬ Таким
образом, продолжая этот процесс, мы получим, что
fl(t, и) = и при t G [0,1]

164 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Пусть теперь u G В таково, что W(u) Ф 9. Ясно, что и G В, поскольку на
множестве В\В W(u) = в по построению. Заметим, что в силу того что
деформация
ф,и) GC([0, 1] хВ;В),
найдется такое число t\ > О, что
Щг](1,и))ф0 при £ G [(Mi) => ту(^, w) G В при te[09t\).
Таким образом, на этом интервале определено псевдоградиентное поле
T(ri(t,u)) при t€[Of*i).
Поэтому для таких t G [0, t\) справедлива следующая цепочка выражений:
= (*'/№,"))> f) = «i))p(if(<.«))Л(||Т(||(*,и))||) х
х (V/W> «О). Т(ч(*. «О» < 0 для всех t G [0,«,). (4.16)
Последнее неравенство имеет место, поскольку по построению функции
/(м), g(u), h(s) ^ 0, а поскольку r)(t, и) G В при £ G [0,11), то имеет место
неравенство (3.2):
Таким образом,
—VM*,и)) ^0 для всех t G [0,*,), (4.17)
at
и, стало быть, имеет место неравенство
ММЖМО при *€[<Ui).
Предположим, что t\ < 1 и в этой точке W(ry(f i, и)) = 0, тогда
единственным продолжением за эту точку t = t\ будет функция
ri(t,u) = ry(^,u),
но тогда имеет место следующая цепочка соотношений:
1>(v(t, w)) = ^(q(th ti)) < ip(u) для всех f ^ f i.
Стало быть, нами доказано, что для всех t G [0,1] и всех и G В имеет
место неравенство
Теперь перейдем к доказательству свойства (vi). Как мы уже отмечали,
достаточно доказать, что
Ч(МС+Л11,)С Ас.£.
В силу свойства (v) имеет место следующее неравенство:
i>(ri(t3 и)) < tp(u) для всех t G [0, I] и для всех и G В.
Поэтому если u G 4с-е, то и ту(1, и) С л1с_е.

§ 4. Лемма о деформации 2
163
для всех u Е В таких, что
ф(и) £ [с-е0,с + ео].
Таким образом, доказано утверждение (и).
Доказательство свойства (iii) выходит за рамки данной книги. Отметим,
что оно основано на полугрупповом подходе к нелинейной задаче (4.10).
Перейдем к доказательству свойства (iv). Действительно, интегрируя
уравнение (4.10) с учетом начального условия, получим равенство
t
r){tyu)-u = j W(rj)(s)ds. (4.14)
о
Поскольку t G [0,1], a ||W(w)|| < 1 для всех u G В, то получим из (4.14)
неравенство
\\ф, u) - u|| < t < 1 при t G [0, 1] для всех u G В.
Следовательно, свойство (iv) доказано.
Отметим, что если функционал ip(u) является четным, то, как мы
уже отмечали, функции д(и) и f(u) тоже являются четными, а
псевдоградиентное векторное поле Т(и) может быть выбрано нечетным, поэтому
по построению оператор W(m) является нечетным. Докажем, что тогда
t}(ty -и) = -ri(t, и) для всех t G [0,1] и всех и G В. (4.15)
□ Действительно, рассмотрим задачу
"Wfo), rto,-tt) = -«=>i(-4)=W(-iy), -т?(0,-«) = «,
Введем обозначение
X(t,u) = -r)(t, -и),
тогда введенная функция удовлетворяет задаче Коши
§=W(x), Х(0,и) = и,
которая по-доказанному имеет единственное решение, т. е. x(t>и) = v(t> w)>
и, стало быть, приходим к равенству (4.15). □
Теперь докажем свойство (v). Действительно, если и G В таково, что
W(w) = в, то в силу доказанной однозначной разрешимости задачи (4.10)
приходим к выводу, что
rf(ty и) = и для всех t G [0,1]
и, следовательно,
M(*,ti)) = iMtO.
11*

§ 4. Лемма о деформации 2
165
Таким образом, нам осталось доказать свойство (vi) для всех
ueY = Ac+£\(Ac-eUU6), (4.18)
т. е. доказать, что для всех u G Y
ф,и)е Ас-£.
Поэтому приходим к неравенству
|*(||(*, «))<<>. (4.19)
Кроме того, имеет место следующее неравенство:
гр(ф, и)) - 1>(ф, и)) ^ с + е - (с - €Х) = е + ех ^ 2ех. (4.20)
Действительно, неравенство (4.20) выполнено, поскольку
т?(0, и) = и G Y ip(u) < с + е.
С другой стороны, функция д(и) = 0 при и G Л, поэтому решение i/(f, и)
задачи (4.10) не пересекает множество
{u G В : ^(ti) ^c-ej
и, стало быть,
С-С|.
Из неравенств (4.19) и (4.20) вытекает, что
о
J ^(ф9и))<2ег. (4.21)
t
Теперь заметим, что имеет место цепочка неравенств (4.16), из которой
вытекает равенство
(4.22)
Выберем теперь t > 0 в неравенстве (4.21) настолько малым, чтобы для
всех s G [0, t] имело место следующее вложение:
ф, u)eZ = АС+£\(АС.£ U ад. (4.23)
Ясно, что по построению Us/2 с Us, а потому
Y с Z.
Но по доказанному ранее утверждению (4.4) найдется такая постоянная
Ь > 0, что
l№/fo(*.tt))|L >Ь>0 для всех sG[0,*]. (4.24)
Но тогда ф, и) G В для всех s G [0,4].

166 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Заметим теперь, что
д(т](з, u)) = f(r)(s, и)) = 1 для всех s G [0, t]. (4.25)
□ Действительно,
ту(5, и) G Ас+£\(Ас-е U Us/2) Для всех s G [0, t].
Но е G (0, €\) и поэтому 17(5, м) G J3, где множество В С В было введено
ранее следующим образом:
В = {и€В: с-е ^ гр(и) < с + е}.
Поскольку функция p(w) равна 1 на u G J5, то
^(17(5, и)) = 1 для всех s G [0, t]. (4.26)
Докажем теперь, что
/(17(5, и)) = 1 для всех s G [О, Ь]. (4.27)
Действительно, множество
4C+A(4MUUW)CB\UW
и поэтому по построению функции f(u) вытекает свойство (4.27). □
Теперь из неравенства (4.21) и равенств (4.22), (4.24), (4.26) и (4.27)
вытекает следующая цепочка соотношений:
t
2ei> j 5(ф,«))/(|/(5,«))Л(||Т(|/)||)(^(Ф.«)).Т(»/(*.«))>^ =
о
t t
=f л(нт(1|)||)<^/(1|(*,«)),т(1|(*,«))>л> f hmm)WM\ld»>
о 0
t t
>ь I h(\\T(4)\\)W/(l)\ld»lf Н\\т(ч)\\)\Ш\\<ь>
0
fh(\\T(ri)№(v)ds =\ f-gW№№m\)44)ds
b
>2
lb
=-ltoM-«ll.
(4.28)

§ 4. Лемма о деформации 2
167
Таким образом, из цепочки неравенств (4.28) вытекает оценка
1М*,«)-«||<^.
Напомним, что
e,G(0,min{eo'3l'T'l})-
Следовательно, из последнего неравенства вытекает следующее
неравенство:
И»/М-«|к£. (4.29)
Предположим теперь, что в момент времени t > О деформация t}(t9u)
«покидает» множество Z, определенное равенством (4.23). Тогда в силу
определения множества Z и того, что V(|7(5»u)) ^ 1>(u) Для все* s G [0, 1]
и всех u G В (см. свойство (v)), имеют место следующие ситуации:
(I) либо деформация rf(tf и) «входит» в множество Ug/2',
(II) либо деформация rj(t, и) «входит» в множество Ас-е.
Докажем, что ситуация (I) не имеет места.
□ Действительно, предположим противное тому, что rj(t,u) G Us/2,
но по-доказанному, расстояние между *?($,**) и и не больше (5/8, тогда
и G Uj, что противоречит исходному предположению о том, что
ueY = Ac+£\(Ac-£UUs). □
Следовательно, единственный путь покинуть деформации rj(tf и)
множество Z — это «войти» в множество Ас-£. Докажем, что при некотором
t G (0, 1) деформация t](ty и) G Ас-е.
□ Действительно, предположим, что
r)(tt и) G Z для всех t G (0,1),
но тогда имеют место равенства (4.26) и (4.27) и равенство
= -Н\Ш\\)Шч)>Ш),
следовательно по определению 4.2
Шч).Ш)>\Шч)\\1
поэтому имеет место следующая оценка:
jW,«)) < -h(\\m\\)Wf(4)t (4.30)

168 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Возможны следующие два случая:
(О l|Tfo)|| < 1;
(") l|Tfo)|| > 1.
В первом случае
Л(ЦТ(Ч)||) = 1,
а поскольку
ryGZCilc+ei\(^c_eiUUj/8),
то для таких ту имеет место неравенство (4.4):
||*ЗД||. > ъ > о.
Стало быть, в первом случае имеет место неравенство
«Ж(4.31)
Во втором случае приходим к следующему неравенству:
г^'^х-рш11^11-- (4'32)
В силу свойства (3.1) имеет место следующая логическая цепочка:
2||*/(«)||. > \\т\\ -щщ- > -Щ^Г > 4'
поскольку ||Т(ту)|| > 1. Следовательно, из (4.32) вытекает следующая
оценка:
-I (4.33)
Таким образом, из неравенств (4.31) и (4.33) вытекает следующее
неравенство:
-min {ft2,1}. (4.34)
Интегрируя это неравенство, с учетом неравенства (4.20) получим, что
min |b2, i j < f(u) - ф(ф,и)) < 2еь
т.е.
€\ ^ min
что противоречит определению числа е\. □
Таким образом, свойство (vi) доказано. А свойство (vii) вытекает сразу
же из свойства (vi).
Лемма доказана. □

§ 5. Теорема о горном перевале
169
Непосредственным следствием леммы о деформации 2 является
следующее утверждение:
Следствие 1. Пусть tp G CW(B; R}) и этот функционал
удовлетворяет условию (PS). Предположим, что с G R{ не является критическим
значением функционала хр, т.е.
Кс = {и£Ш: хр(и) = с, xp'f(u) = в) = 0,
тогда для каждого 6q > О найдутся такая деформация
rf(t,и) еС([0,1]хВ; В)
и такое е G (0, 6q), что выполнены следующие два свойства:
(I) ту(1, и) = и для всех и G В таких, что %р(и) & [с - ео, с + ео];
(II) чО.Лс+еКЛ-,.
Этот результат нам потребуется в следующем параграфе,
посвященном теореме о горном перевале.
§ 5. Теорема о горном перевале
Справедлива следующая теорема.
Теорема о горном перевале. Пусть tp G C^BjR1) и функционал хр
удовлетворяет условию (PS). Предположим, что выполнены три
следующих условия:
(!) т=0;
(ii) существуют такие числа а > 0 и г > 0, что
1>(и) >а>0; (5.1)
и£дВг
(Hi) существует такой элемент е G В\БГ, что tp(e) < 0,
где
ВГ = {и£В: \\и\\ < г}, дВг = {иеШ: \\и\\ = г}.
Тогда у функционала гр существует критическое значение с ^ а,
/сотовое может быть вычислено как решение следующей минимаксной задачи:
c=inf sup tp(u), (5.2)
*€Г u€*(|0.l|)
где
Г = {ff G С([0,1]; В) : g(0) = в, g(l) = с}. (5.3)

170 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Доказательство. Прежде всего докажем, что по определению числа с
имеем с < +оо. Действительно, рассмотрим следующий путь:
0(t) = te€C([O,l];B),
тогда
с ^ sup ij)(te) < +00,
*€|0,l|
поскольку функционал tp G C^^BjR1) и, следовательно, r/>(te) G C([0,1]),
и потому этот функционал ограничен на множестве t G [0, 1].
Заметим теперь, что если g G Г,тор([0, \])ПдВг Ф 0. Действительно,
д(0) = веВГуг д(\) = е$Вг.
Справедливо следующее неравенство:
sup r/)(v) > inf %j)(w) ^ a
«€^(|0,ll) *£двг
в силу условия (iii). Следовательно,
с = inf sup i/)(u) > inf %j)(w) > a.
^€Ги€р(|0,1|) w*dBr
Стало быть,
с > a.
Предположим, что число с, определенное формулой (5.2), не является
критическим значением. Тогда
Кс = {u G В : \j){u) = с, ij>'f(u) = в} = 0.
Теперь выберем в следствии I из леммы о деформации 2 величину
a
£о=2
и указанное число с. Тогда согласно следствию I существуют е G (0, е0)
и деформация rj(t, и) G С ([О, l] х В;В), удовлетворяющие свойствам (I)
и (Н).
Выберем теперь путь д G Г таким образом, чтобы имело место
неравенство
sup \j)(u) ^ с + е. (5.4)
«€p(|0,l|)
Введем в рассмотрение функцию
h(t) = V( l,g(t)). (5.5)
Поскольку функция h(t) является композицией непрерывных отображений
g(t) G С([0,1];В) и 1/(1, и) G С(В;В), то и сама функция ft(*) G С([0,1]; В).
Докажем, что функция h(t) принадлежит множеству путей Г.

172 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Введем обозначение
Np
( Np
э*=1 N-p'
[ оо,
если р < N,
р = - - -
если р ^ N.
Предположим, что функция / : Q х R1 -4 R1 является каратеодориевой
и удовлетворяет условию роста
|/(х, 5)| ^ c\s\q-] + Ъ(х)у х G П, 5 G R1, (5.9)
где с > О — некоторая постоянная, q G (1,р*), Ь(ж) G ИУ(П),
Ограничение q G (1,р*) гарантирует то, что вложение
WlQtP(Q) «->«-> Lf (П)
вполне непрерывно.
Заметим, что функционал
*(«)ssl||v«n;
непрерывно дифференцируем по Фреше на пространстве Wo'p(H) — это
было нами доказано ранее. Причем производная Фреше равна
V>/(ii) = -ДрИ.
С другой стороны, в силу условий роста (5.9) функционал
Ф(«): Wj*(n)-»R\
определенный формулой
s
Ф(н) = J F(x, u) dxy F(xy s) = J /(ж, r) dry
п 0
является непрерывно дифференцируемым по Фреше на пространстве
Wqp(^), и производная Фреше имеет вид Ф'(и) = Nf(u)y где Nf — это
оператор Немыцкого, порожденный каратеодориевой функцией f(xyu).
Следовательно, функционал
,5,о)

§ 5. Теорема о горном перевале
171
□ Действительно,
Л(0) = «Ю,*(0)) = *(М) = *,
где последнее равенство выполнено в силу свойства (I) следствия 1 из
леммы о деформации 2, поскольку xj)(0) = 0 < | < с - ео, где мы
воспользовались выбором £о = а/2 и доказанным фактом, что с ^ а. Наконец,
имеет место следующая цепочка:
h(\) = ri(\,9(l)) = r)(\,e) = e,
где последнее равенство имеет место опять в силу свойства (I) следствия 1
из леммы о деформации 2, поскольку
t/>(e)^0< ^<с-е0. □
Стало быть, h(t) G Г. Значит, согласно определению (5.2) имеет место
следующее неравенство:
с ^ sup f/>(u). (5.6)
и€Л(|0,Ц)
Теперь заметим, что в силу выбора д G Г имеет место формула (5.4),
из которой следует, что
g([Ot\])cAc+£> где ее
С другой стороны, в силу определения (5.5) и свойства (II) следствия 1
из леммы о деформации 2 имеет место следующая цепочка вложений:
Л([0, \]) = r)(\ig([Oy 1])) С ч(Ме+е) С Л,-,. (5.7)
Но тогда отсюда и из неравенства (5.6) вытекает следующее неравенство:
с ^ с - е при е G
Полученное противоречие доказывает, что число с, определенное
формулой (5.2), является критическим значением функционала
Теорема доказана. П
Пример 4. /. Рассмотрим следующую задачу:
-Дри = - div (|Vtir2Vti) =/(x,ti), ж GO,
и = о, xedn,
где С R" - ограниченная область с гладкой границей dil G С2-*,
<5 6(0,1]. >

174 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Следовательно,
(-Дри + АриПк9иПк - ti) -> 0 при А;->+оо,
но отсюда получаем, что
(-Дрн + ДрнП4, иПк -u) ^ c(p)\\Vu - Vii„J|p -> 0 при -> Ч-оо,
а из этого следует, что
иПк -> ti сильно в Wq,p(£)).
Лемма доказана. □
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.3. Если существуют такие в > р и sq > О, что
0F(xy s) ^ sf(xy s) для х£ П, \s\ ^ 50, (5.12)
тогда J удовлетворяет условию (PS) да определения 4.6.
Доказательство. Достаточно доказать, что любая последовательность
{ti„} С Wo'p(ft), для которой {y(tin)} ограничена, а З'(ип) -> 0 сильно
в W~1,p'(ffc), является ограниченной. Тогда из леммы 4.2 вытекает
утверждение теоремы.
Пусть d G R1 — такое число, что 7(ип) ^ d для всех п G N. Для
каждого п £ N введем обозначения
Пп = {х G ft | \ип(х)\ > 50}, П'„ = ОД,.
Справедливо неравенство
-||Vti„||;- f j F(xyun)dx + f F(xyun)dx) <d. (5.13)
Теперь мы получим оценки каждого интеграла в левой части выражения
(5.13).
Пусть п G N — произвольное фиксированное.
Если х G П'п, тогда |ип(ж)| <«о ив силу условия роста (5.9) и
определения
F(xys) = j f(xyr)dr
получим оценку сверху
F(xy ti„) ^ ci|ti„(z)|* + с(х) ^ c\sqQ + с(ж)
и, следовательно,
У F(xy tin) dx ^ Cj5q meas(H) + ^ c(z)dz = iTi. (5.14)

§ 5. Теорема о горном перевале
173
является функционалом из класса С1 (Wq,p(H); R1) и
= (-Дри) - Nf(u) е wj'p(n) -> w~iy(n).
Заметим, что в силу вполне непрерывного вложения
Wj'p(Q) «->«-> Lf (П)
вытекает, что функционал 7(и) является слабо непрерывным снизу в Wq,p(H) .
Прежде всего введем условие компактности Пале—Смейла (PS):
Определение 4.7. Будем говорить, что функционал удовлетворяет
условию (PS), если всякая последовательность {ип} С Wq,p(H), для
которой последовательность 7(ип) ограничена и 5T'(tin) -> 0 сильно
в W~lp(n), содержит сильно сходящуюся в Wq,p(H)
подпоследовательность.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 4.5. Если {ип} С Wq,p(H) ограничена и Т(ип) -> 0 сильно
в W"1,p'(n) при п -> +оо, тогда {ип} содержит сильно сходящуюся
в Wo'p(n) подпоследовательность.
Доказательство. Понятно, что в силу условия ограниченности
последовательности {tin} С Wo'p(f&) из нее можно выделить слабо в Wo'p(fi)
и сильно в hq(U) сходящуюся подпоследовательность {иПк}. Поскольку
^(^п) -> 0 сильно в W",,p'(n) при п -> +оо, то мы имеем
(^(unk)9Unk-u) = (-ДрИ„4 - iV>(tt„fc)f tin* - и) -Ю. (5.11)
Но
(Nf(unk),unk -ti) ->0 при А;->+оо,
поскольку
(W/KJ, tint - ti> ^ ||iV/(tinJ|^||tint - tt||v,
а, как мы уже сказали, в силу вполне непрерывного вложения W0,p(n) «->
иПк -> ti сильно в Lq(Q)
и оператор Немыцкого Nf(unk) Офаничен в ИУ(П). Стало быть, из (5.11)
мы получаем, что справедливо предельное равенство
(-ДрпП4, иПк - ti) О при А; -> +оо.
Теперь заметим, что в силу слабой сходимости
иПк ti слабо в Wq,p(0) при А; -> +оо,
поэтому имеет место следующая предельная формула:
(-ДрМ, иПк — ti> —> 0 при А; -> +оо.

176 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Теперь из (5.17) и (5.18) вытекает неравенство
Q-^llVttnlljJ-^llVttnllp^iir,
и в силу условия в > р приходим к выводу, что {tin} ограничена в Wqp(H).
Действительно, это следствие следующих выражений:
A2||V«„||, = P'/V/P||V«„||P^ < e||V«.l5 + l- (j£&y
при e = Aj/2, где
Отсюда приходим к неравенству
livens ^ к2.
Теорема доказана. П
Справедлива следующая лемма.
Лемма 4.6. Функционал 7 обладает свойствами:
(О У(0) = 0;
(ii) 7 отображает ограниченные множества в ограниченные множества.
Доказательство, (i) Очевидно,
(ii) Поскольку
?(и) = -Ари - Nfut
то, очевидно, что
H^WIU ^ H-ApiiH. + \\NfU\U < \\Vu\\pp-1 + K\\Nfu\\<
для всех и е W]0,P(Q).
Более того, в силу вполне непрерывного вложения
Wj'p(tt) <-><-> Lf (П)
и в силу того факта, что Nf отображает офаниченные множества из Lq(Q)
в офаниченные множества из ИУ(П), получаем, что 7' отображает
офаниченные множества из Wo'p(ft) в офаниченные множества из W~I,p'(n).
Пусть теперь v £ Wo'p(H). Тогда имеем:
\S(v)\ = \m - У(0)| = \(5>(lv), v)\ < Hff'^IUlVell,
с £ € (О,1). Тогда сразу же получаем (ii).
Лемма доказана. □

§ 5. Теорема о горном перевале
175
Если ж £ Пп, тогда |ип(ж)| ^ so и в силу (5.12) имеем
1
F(xyun) ^ -/(ж,ип(ж))ип(ж),
из чего вытекает
J F(xy un) dx^^ J /(ж, un)un =
^[ j f(x, un)un dx- j /(ж, un)un с
В силу условия роста (5.9) получаем
У f(xyun)undx ^ У (фп|* + Ь(ж)|н„|) cte ^
^ c5q meas(n) + sq j b(x) dx = K2>
откуда вытекает неравенство
1 f K2
~ej u")tt"dx <
Наконец, в силу (5.13)—(5.16) получаем оценки
^IVunllj; ~lf f(x, u„)«„ dx < d + Kx + ^ = K,
kvun\fp-UNf(un),un)^K.
P 0
(5.15)
(5.16)
(5.17)
С другой стороны, поскольку У(пп) -> 0 сильно в W"lp'(n) при п -> +оо,
то найдется такое щ € N, что
|(^(tin),iin)| ^ ||Vtin||p для всех п^щ.
Следовательно, для всех п^щ имеем
\(-АриПуип) - (Nfun,un)\ ^ ||Vti„||p,
или
\\\Vun\\pp-(Nfunyun)\^\\Vun\\py
откуда следует, что
■^I|V«.||; - ^||Vu„||p < -l-(N,un,u„).
(5.18)

178 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Теперь возьмем Л ^ 1. Ясно, что
J(Xu) = —||Vtij|J - I f F(x, Xu) dx+ j F(x9 Xu) dx J. (5.22)
Wa(u) П\Л/А(и) '
Если x € M\(u), тогда Xu(x) ^ s\ и в силу (5.21) имеем
F(x, Ati(x)) ^ 7(x)aV.
Следовательно,
У F(x, Ati) dx ^ A19 ^ 7(x)ii'dx^A* ^ ч(х)и9 dx = XBKx{u)9
M*(u) AfA(u) Af,(u)
(5.23)
где K}(u) > 0.
Если x E £ДМд(и), тогда Ati(x) < s\ и в силу условий роста (5.9)
получим
|F(x, Au(x))| ^ c,AV + с(х) ^ cxs\ + с(х).
Следовательно,
У F(x,An)dx ^cj^meas(ft) + ^ c(x)dx = K2. (5.24)
n\AfA(u) П
Из (5.22)-(5.24) получаем
А^,
Теорема доказана. □
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.5. Предположим, что каратеодориева функция
f(x9s) ^xRUr1
удовлетворяет условиям:
(i) существует такое q G (1,Р*), who
|/(x,s)| ^cfl*!*"1 + 1) для xGft, 5 G R1,
с постоянной О 0;
(ii) lim sup , ' < Ai равномерно no x € Q, где X\ — это первое соб-
$-+0 \s\p ls
ственное значение задачи Afv f \\v^p~2v — 0 в Wo'p(ft).
J(Ati) ^ ^-HViilg - A^,(ti) + Кг -> -oo при A -> +oo.

§ 5. Теорема о горном перевале
177
Замечание 4.2. Предположим, что функционал 7 неограничен снизу. Тогда для
любого г > 0 найдется такой элемент v G WoP(H) с ||v|| ^ г, что 7(v) ^ 0.
Действительно, в противном случае найдется такое г > 0, что для всех и G WoP(ft)
с ||ti|| ^ г имеет место неравенство 7(и) ^ 0. Тогда в силу леммы 4.3 (ii) множество
ограничено. Отсюда следует, что функционал 7 ограничен снизу.
В следующей теореме получены достаточные условия
неограниченности функционала 7 снизу.
Теорема 4.4. Пусть выполнено одно из следующих условий:
(i) существуют такие числа в > р и 3\ > 0, что
или
(ii) существуют такие числа в > р и 3\ < 0, что
0 < 0F{xt s) ^ sf(xy s) для х G П, s ^ S\, (5.20)
тогда функционал 7 неограничен снизу.
Доказательство. Более точно, мы покажем, что если и G Wq,p(H) , и > 0,
такая, что
meas(Mj(ti)) > 0 с М\(и) = {ж G П | и(х) ^ s{},
тогда J(Ati) —> -оо при А —> +оо.
Во-первых, для А ^ 1 обозначим
и заметим, что М\(и) с М\(и) и, следовательно, meas(MA(ti)) > 0.
С другой стороны, существует такая функция 7(ж) G L!(H), 7 > 0, что
| ||Vu||p < г}
0 < 0F(z, 5) ^ 5/(z, s) для х G П,
О *1
(5Л9)
MA(ti) = {z G П | Ан(х) ^ sx
}
F(z,s)^7(z)s для ж G П, s^S\.
Действительно, для х G Q и г ^ sj в силу (5.19) имеем
(5.21)
из которого вытекает (5.21) с
7(х) =
F(xiS])
я9
12 Заказ 405

180 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
>^l|Ve|g-J|Mg-«4l|V< = ||V«|g[l(l-/i|j!^) -C3||Vu|irP] ^
> \\*< (» " ^) " сз1^«||ГР] > « > 0
при условии, что ||Vti||p = г достаточно мало.
Теорема доказана. □
Имеет место следующая лемма.
Лемма 4.7. Справедливы следующие результаты:
(i) Если и G WoP(fi) — это слабое решение задачи (5.8) с f(x,s) ^ 0
для х G fi w 5 < 0, /иогда ti ^ 0.
(11) Если и е wi'p(n) — это слабое решение задачи (5.8) с f(x,s) ^ 0
для xGft we^O, /иогдя ti < 0.
Доказательство. Рассмотрим только (i), поскольку (ii)
рассматривается аналогично.
Пусть ti G Wi'p(fi) — это слабое решение задачи (5.8); введем
обозначения
fi_ = {х G ft | ti(x) < 0} и ti_ = max{-ti, 0}.
Известно (см., например, [12]), что ti G Wo'p(ft) и имеет место следующее
выражение:
{-Vti в х G П_,
0 в
Поэтому в силу определения слабого решения задачи (5.8) имеем
п
откуда получаем
j |Vti|p"2(Vti, Vti_)dx = J f(x, ti)ti_ dx,
- J \Vu\p dx = - J /(x, ti)ti > 0.
Таким образом, Vti = 0 почти всюду на П_ и, следовательно, Vti_ = 0
почти всюду в области fi. Значит, ||Vti_||p = 0, или ti_ = 0 почти всюду
в области fi. Тем самым ti ^ 0 почти всюду в области П.
Лемма доказана. □
Теперь можно доказать основной результат данного параграфа.
Теорема 4.6. Предположим, что f : Q х R1 -» R1 — это каратеодо-
риева функция, удовлетворяющая условиям:

§ 5. Теорема о горном перевале
179
Тогда существуют такие постоянные г > 0, а > О, что
l||Vu||,=r
Доказательство. Определим функцию Л : П R1:
ь/ \ 1- f(x>s)
Mx) = l,Tioup|Ip7-
В силу условия (ii) найдется такое ц G (0, Ai), что Л(ж) < ц равномерно
по iGfi. Таким образом, найдется некоторое 6^ > 0, такое что
, ,„ / < /х для ж G П, 0 < И < <L,
или
/(ж, 5) ^ /х/"1 для ж G П, 5 G (0,(5.25)
-рМ'"1 ^ /(ж, s) для iGfi, 5 G (-^, 0). (5.26)
Заметим, что каратеодориева функция / удовлетворяет условию /(ж, 0) = 0
для ж G ft. Из (5.25) и (5.26) и в силу определения F имеем
F(xys)^^\s\p для xGft, M<V (5.27)
В силу (i) легко проверить, что F удовлетворяет неравенству
|F(x,s)|<c,(|*|* + l) для хеП, s G R1 (5.28)
с некоторой постоянной С\ ^ 0.
Выберем <ji G (max{p, Тогда в силу (5.28) найдется такая
постоянная С2 ^ 0, что
№5)| ^с2И* для iGft, (5.29)
Из (5.27) и (5.29) имеем
F(x, s) < -\s\p + c2\s\* для x G ft, 5 G R1. (5.30)
P
Теперь в силу вариационной формы определения первого собственного
значения
Ai - int p
t>€Wj'*(n)\{0} |M|p
и в силу вложения Wo'p(H) <->*-> L^(ft) получим цепочку неравенств
У(гх) = -HVw||^ - У* F(xyu)dx>-\\Vu\\p-£ У* HPdx-c2 у |ti|f« <*ж ^
12*

§ 5. Теорема о горном перевале
181
(i) существует такое q G (1,р*), что
|/(«,*)|<c(|«|f"! + l) для xGfl, 5GR1,
с постоянной О 0;
/(х, в)
(ii) lim sup . 2 < А» равномерно по х е £1, где \\ — э/ио жрвое cotf-
ственное значение задачи Apv + A|v|p~2v = 0 в Wo'p(fi);
(iii) существуют такие постоянные в > р и Sq > 0, «//ио
0 < 0F(x, 5) < 5/(х, 5) для х G П, |*| ^ 50.
7огдд задача (5.8) имеет нетривиальные решения tx_ ^ 0 < ti+.
Доказательство. Докажем существование неотрицательного слабого
решения и+. Определим новую каратеодориеву функцию
0, если s < 0,
/(х, 5), если 5 > 0,
и пусть
F+(x, 5) = У /+(*,т) dr.
о
Справедливы следующие свойства:
(i) функция /+ каратеодориева и удовлетворяет условию роста
|/+(х,5)|<с(|5ГЧ1) для х G П, 5GR1;
(ii) lim sup < Ai равномерно по x G 12;
(iii) 0F+(x, s) < */+(x, 5) для x G П, |«| ^ 50;
(iv) 0 < eF+(x, s) < */+(x, 5) для ж G fi, О *o-
Действительно, свойства (i), (iii) и (iv) очевидны.
Докажем (ii). Имеем
/+(х, s) f f+(x,8) f+(x,s)\
lim sup , . , = max < hm sup , . , , lim sup , . , > =
= max ^0, lim sup ^ < ^1 равномерно
Из условий (i)-(iv) вытекает, что функционал F+(ti) G C^Wj^ffyR1),
определенный соотношением
по х G П.
9+(и) = j\\Vu\r, - jF+(x,u)dx,

182 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
имеет нетривиальную критическую точку ti+ G Wo'p(ft). Чтобы доказать
это, применим теорему 4.2 с / = J+. Кроме того, в силу (i) все результаты,
относящиеся к У, остаются справедливыми для .7+ с /+ вместо /. Ясно,
что 7ь(0) = 0. Наконец, в силу условий (i) и (ii) и теоремы 4.7 найдутся
такие постоянные а, г > 0, что
HVu||,=r
Более того, в силу теоремы 4.6 (i), леммы 4.3 (ii) и замечания 4.2 найдется
такой элемент v € W^,p(ft) с ||Vv||p ^ г, что 3"+(v) ^ 0. Наконец, в силу
условия (iii) и теоремы 4.5 .7+ удовлетворяет условию (PS).
Нетривиальная критическая точка ti+ G Wo*p(ft), которая существует
в силу теоремы 4.2, удовлетворяет задаче
j |Vti+|p""2(Vti+, Vv)dx = У f+(x,u+)vdx для всех v G Wq'p(H).
n П
(5.31)
Так как /+(ж,«) = 0 для всех ж G ft при $ ^ 0, то из леммы 4.4 (i)
вытекает, что ti+ ^ 0.
Теперь по определению /+ из (5.31) получаем
j |Vtt+r2(Vtt+,Vv) = y /(x,ti+)v для всех vGWj,p(fi).
Теорема доказана. □
§ 6. Система уравнений фон Кормана
В этом разделе мы рассмотрим приложение рода множества к
следующей системе уравнений фон Кормана, описывающей свободные
колебания тонкой зажатой пленки:
Д2/= -[«>, wl, xGft
A2w = lAF0+ /,«], (6Л)
w = / = Vti; = V/ = 0 ж G 9ft,
где ft С R2 — ограниченная область с гладкой границей 5ft,
F0(x,,x2)GC2(ft),
[ti, v] = в«|Х|0ад + - 2tiJ|l2v„l2.
С этой целью нам понадобится уже введенное понятие рада множеств
и его свойства.

§ 6. Система уравнений фон Кормана
183
Определение 4.8. Для t ^ dim В положим
di = inf sup 7lu), где 7: В -> R!. (6.2)
Определение 4.9. Будем говорить, что функционал 7 G C^BiR1)
удовлетворяет условию Пале—Смейла (PS), если любая
последовательность {ti„} С В такая, что 3*(tim) < 0, {7(um)} ограничена снизу
и 7'(um) -> 0 сильно в Н~2(П), содержит сильно сходящуюся в В
подпоследовательность.
Справедлива следующая важная теорема.
Теорема 4.7. Пусть функционал 7 G C^BjR1) удовлетворяет уело-
вию (PS) в смысле определения 4.9, является четным и 7(0) = 0. Тогда
если -оо < d{ < 0, то
Kdi = {ti G В I 7(и) = di и 7lJ{u) = 0} (6.3)
является непустым компактом в В. Более того, если
-оо < di = d,+ i = ... = di+r = d < О,
/иогдя 7(/Trf) ^ г + 1.
Доказательство. Утверждение, что каждое K&t является компактом,
немедленно вытекает из условия (PS) в смысле определения 4.5 (это, в
частности, было доказано ранее в главе 3 на стр. 140). Утверждение, что
не пусто, является следствием последнего утверждения теоремы. Стало
быть, осталось доказать последнее утверждение теоремы.
Предположим, что г ^ 0. Поскольку К% — это компакт, то
найдется такая его симметричная окрестность (7, что U G £(В), 7(17) = 7(*d)
в силу свойства (v) рода множества. Выберем с > 0 и поток ц так, что
d + с < 0 и rj\(7d+c - U) С 7ё~с, как в лемме о деформации 2. По
определению 4.4 существует К G Е(В) такое, что К С 7rf+c и 7(/Г) ^ i -f г.
Пусть G = K~U. Тогда в силу свойств (ii) и (iii) рода множества имеем
l(K<)*j(K)-j(G). (6.4)
поскольку К С G U Kg. Также совершенно понятно, что G € £(В),
T7i(G) G £(В) и »7i(С) С 7d-.c. В силу свойства (i) t(m(G)) > 7(G)-
Если 7(G) > t, тогда 7(iji(G)) > t и мы приходим к противоречию, что
di ^ d - с. Следовательно, 7(G) ^ * - 1 и из (6.4) получим, что j(Kd) >
г + 1.
Теорема доказана. □
Сопоставим слабому решению задачи (6.1) функционал
У(А, to) = ^ У (|Д«>|2 4- 1|Д/|2 - A(F0, «,]«>) dx. (6.5)
n

184 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
В качестве банахова пространства В возьмем гильбертово пространство
Hj)(ft) относительно скалярного произведения
AuAv dx,
л
с нормой ЦАиЦг. Для <р, w G Но(П) положим
Zw(<p) = J ((wXl)2(pX2X2 + (wX2)2(pXlXl - 2wXlwXl(pXlX2) dx. (6.6)
л
Из (6.6) в силу неравенства Шварца получим оценку
Mv)\<ct\\7w\\l ЦАИЬ,
из которой следует, что при фиксированном w g Hq(Q) функционал,
определенный формулой (6.6), является линейным и непрерывным на Но(П).
В предположении, что tp g Cq(Q) и гу G Но(П), можно интегрированием
по частям получить следующие равенства:
Cw(ip) = - J[w,<p]wdx = - J[w,w]ipdx. (6.7)
л л
В силу теорема Рисса о представлении линейного непрерывного
функционала над гильбертовым пространством, найдется такое / g Но(П), что
= (/.¥>)•
Это есть слабая формулировка первого уравнения из системы фон Кор-
мана 6.1.
Функционал 7(Xtw) из (6.5) представляет из себя потенциальную
энергию. Легко проверить, что
3%(А, w)tp = J (AwA(p - [F, (p]w) dx,
л
где F = XFq + f. Поэтому нетрудно доказать, что критические точки (A, w, f)
функционала У(А, w) из (6.5) являются слабыми решениями задачи (6.1).
Теорема 4.8. Функционал J(A, w) удовлетворяет условиям
компактности теоремы 4.7.
Доказательство. Предположим, что {wm} С Нд(П) с У(А, wm) ^ 0.
Следовательно,
\\Awm\\22+l-\\Afm\\U\L„jF0). (6.8)
Если {wm} неограничена в Но(П), то мы можем предположить, что
||Дмт||2 ~> +00-

186 Глава 4. Вариационные методы. Теорема о горном перевале
Лемма 4.9. Существует такая функция М(А) > 0, что если (A, ti>, /)
удовлетворяет задаче (6.1) в слабом смысле, то тогда
l|AHl2 + l|A/lb<M(A).
Доказательство. Из (6.1) вытекают равенства
IIA/Ill = "MA \\Aw\\l = Cu(XF0 + f). (6.14)
Сложив последние два уравнения, получим
1|ДН|2 + 1|Д/112 = АМ*Ь), (6.15)
и, следовательно, w лежит в множестве, где У(А, •) < 0 (сравните с (6.8)),
которое, как мы уже доказали, ограничено в Hq(Q), а отсюда и из (6.15)
вытекает, что ЦА/Цг ограничено.
Лемма доказана. □
Для того чтобы нам оказаться в рамках условий леммы 4.9, нам
необходимо рассмотреть следующую линейную задачу:
A2w = fi[F0y w]y xGfl, w = Лгу = 0, x G ЗП. (6.16)
Известно (см. работу [64]), что задача (6.16) обладает неограниченной
последовательностью действительных собственных значений конечной
кратности. Обозначим их через
... <Л.„ <Л.| <0< Л| ^Л,.
где либо множество отрицательных, либо множество положительных
собственных значений может быть ограниченным, но не одновременно.
Предположим, что t{ — собственный вектор, соответствующий собственному
значению А,. Причем е, может быть нормирован условием, что
l|Aei||l = Aisign(Ai)
и, следовательно,
£e,CFo) = sign (А,).
Введем множество
А
к к
= {X)ale,||a|=(2a?)1/2 = f>o}.
^ 1=1 1=1 '
Тогда при условии, что А > А* для достаточно малого е > 0 и w £ А,
имеем
1 * 1
1 i=i 1

§ 6. Система уравнений фон Кормана
185
Определим последовательности wm,am,/m следующим образом:
Wm = amWm, OLm > 0, fm = «т/т, ||ЛЙ>т||2 = 1.
Тогда из (6.8) получаем неравенство
1 + \\\Ы\ < А£,йт(^0). (6.9)
Поскольку последовательность {wm} ограничена в Hq(H) , то она содержит
слабо сходящуюся в Но(П) и сильно сходящуюся в Wo'4(H) к функции
w £ Hq(Q) подпоследовательность, которую мы снова обозначим через
{wm}. Следовательно, в силу (6.9) получим
1 < A£e(F0) (6.10)
и, в частности, w Ф 0. Заметим, кроме того, что из (6.9) вытекает
ограниченность последовательности {/т} в Hq(^). Положим /т = ат/т.
Поскольку ат +оо, в то время как {/т} — ограниченная
последовательность, имеем
/т -> 0 сильно в Но(П).
Поскольку
A2fm = -[wmiwm] в слабом смысле, т.е. (fm,<p) = -^wm{^>) (6-п)
для всех tp £ Hq(^), то, переходя к пределу при га +оо, получим
0 = £w(<p). (6.12)
Уравнение(6.12)) можно переписать в виде
J [w, w]<p dx = 0. (6.13)
Но (6.13) справедливо для всех (р £ L2(Q) в силу плотности вложения
Hq(H) С l2(Q). Поэтому, выбирая (р = Fo, приходим к противоречию
с (6.10).
Далее имеем
3*fw(K w) = w + Tw - XLwt
где T и L — компактные потенциальные операторы. Тогда из условия
grad3"(A, wn) -> 0 сильно в Н"2(П) и ограниченности {wn} вытекает, что
{wn} обладает сильно в Mq(Q) сходящейся подпоследовательностью.
Теорема доказана. □
Нетрудно проверить, что справедлива следующая лемма.
Лемма 4.8. Функционал Э"(А, •) ограничен снизу.

§ 6. Система уравнений фон Кормана
187
Такой же результат может быть получен для
i=-k
и А < A—jb. Стало быть, в силу теоремы 4.8 приходим к требуемому
результату.
Теорема 4.9. Если А > А* (Л < А_*), то функционал У(А, •) обладает
по крайней мере к различными парами критических точек, которые
являются слабыми решениями задачи (6.1). Соответствующие
критические значения даются формулой (6.2).
Литературные указания
Материал для этой главы взят из работ [22], [50], [59], [60], [65], [68],
[69], [77], [89], [90] и [93].

Глава 5
Вариационный метод.
Принцип концентрированной
компактности /7. Л. Лионса
§1. Введение
В этой главе мы рассмотрим важный принцип компактности П. Л.
Лионса, который на английском языке называется ^concentration-compactness
principles В частности, мы рассмотрим приложение данного принципа
компактности к доказательству орбитальной устойчивости решения вида
уединенной волны для уравнения Кортевега—де Фриза. Основная
причина «появления» данного метода заключается в том, что в неограниченных
областях отсутствуют необходимые для изучения задач теоремы о
компактности, например теорема Реллиха— Кондрашова уже, вообще говоря,
несправедлива. Поэтому П. Л. Лионсом был предложен принцип
компактности, который позволяет свести вопрос об относительной компактности
минимизирующей последовательности некоторого функционала к
некоторому строгому субаддитивному свойству.
Данный метод будет применен к исследованию следующих
вариационных задач:
где К (ж), /(ж) — это заданные функции, j(u) — это выпуклая функция
и А — это заданная положительная величина, имеющая смысл массы
жидкости, плотность которой описывается величиной р(х). Кроме того,
П. Л. Лионе рассмотрел также следующую вариационную задачу Шоку—
Пекара:
inf
Ш + К(*)р) dx-\ff
p(x)p(y)f(x -y)dxdy р^ О,

§1. Введение
189
" i II u2(x)u2(y)]^tf dxdy ue m1(rN>>> I"2(x) dx = 4-
R*xRtf RN >
Для данной задачи были найдены необходимые и достаточные условия
на V(x)t при которых задача разрешима. Кроме того, принцип
компактности П.Л.Лионса позволил изучить следующую задачу в вариационной
формулировке:
-Ли = /(ж, и) жЕ R*, и Ф 0, и -> 0 при |ж| -> -f оо.
Отметим, что при рассмотрении этого уравнения в ограниченной области
существенно использовалось то, что область ограниченная и имеют место
теоремы вложений Соболева.
Теперь мы рассмотрим некоторые эвристические соображения о виде
упомянутого уже субаддитивного принципа.
Рассмотрим следующую типичную проблему. Пусть Н — это
функциональное пространство над полем и J и Е - функционалы,
определенные над Н, имеющие следующий вид:
E(ti) = f е(ж, A(ti)(x)) dx, J(u) = f j (ж, B(ti)(x)) dж, (1.1)
R" R"
где
е(ж,р) : RN x Rm -> R1, j(x,p) : RN x Rn -> R1
и j' ^ 0. А операторы А и В — вообще говоря, нелинейные и действующие
из Ш в Е и F соответственно.
Рассмотрим следующую вариационную задачу:
1А = inf{E(ti) | и G И, J(ti) = А}, (1.2)
где А > 0. Кроме того, предположим, что
j(x, q) -> j°°(g), е(ж,р) -> е°°(р) при |ж| -> +оо (1.3)
для всех р G Rm, q G Rn.
Кроме того, рассмотрим задачу «на бесконечности».
\? = inf{E°°(ti) | и G Н, J°°(ti) = А}, (1.4)
где
Е°°(и) = f е°°(А(и)(ж)) dx, J°» = | Г(В(и)(ж)) dж. (1.5)
R" R"

190 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
{
Теперь заметим, что всегда имеет место неравенство
IA<Ia + lA°-a, ae[0,A), (1.6)
где мы считаем, что Ь = 0. Действительно, пусть е > 0 и ue, ve
удовлетворяют неравенствам
Ia<E(u£)<Ia + e, J(u£) = a;
\f.a < Е>Е) < If.a +1, J>£) = A - a, K)
где, используя пробные функции с компактным носителем, можно считать,
что и£ и v£ имеют компактные носители. Введем новую функцию
v?(x) = ve(x + nX), хек", |xl = l.
Для достаточно больших п расстояние между носителями функций ие(х)
и v?(x) стремится к +оо. Пусть теперь
supp{u£(x)} с 5^(0), supp{v?(x)} с КЛГ\5Ля(0),
где 5д„(0) — это шар радиуса R > 0 с центром в начале координат и
последовательность {Rn} монотонно стремится к +оо. Тогда справедлива
следующая цепочка равенств:
E(u£(x) + i£(x)) = j е(х, A(u£(x) + v?(x))) dx +
+ J e(x, A(u£(x) + v£(x))) dx = J e(x, A(u£(x)(x))) dx +
R"\s*„(o) sRn(o)
+ J [e(x, A(t£(x))) - e°°(A(i£(x)))] dx +
*N\Sb(0)
+ y1 e"(A(t£(*)))<te =
R"\S*„(0)
= У e(x,A(ti£(x)(x))) + e°°(A(t£(s))) dx +
Rtf RAT
+ J [e(x, A(t£(x))) - e°°(A(t>?(x)))] dx. (1.8)
R"\uin(0)
Причем понятно, что последнее слагаемое в цепочке неравенств (1.8)
стремиться к нулю при п -» -foo. Тем самым приходим к выводу, что
имеет место следующее выражение:
E(u£+v?)~ {E(u£) + E°°(v?)} ->0 при п->+оо. (1.9)

§1. Введение
191
И аналогичным образом устанавливается, что
J(ue + v?)-{j(u£)+J°°(v?)}->0 при п->+оо. (1.10)
Теперь заметим, что в силу инвариантности соответствующих интегралов
относительно сдвигов имеем
E°°(t>?) = J>?)=J>£). (1.11)
Тем самым из (1.7)-(1.11) мы получим, что
1а +1"» < HmЕ(«£ + vnc) = E(uc) + E°°(ve) ^la + lf_e + 2e, (1.12)
П
limJ(«£ + t»?) = J(u£) + J°>£) = A. (1.13)
П
Стало быть,
E(ti£ + v") -> IA при n -> -f oo, (1.14)
и, значит, в силу неравенства (1.12) приходим к выводу, что
Теперь давайте поясним, с какими типичными ситуациями мы столкнемся
в последующих параграфах. Пусть сначала е и j зависят от х. В этом
случае мы покажем, что для каждого А > 0, каждая минимизирующая
последовательность задачи (1.2) относительно компактная тогда и только
тогда, когда выполнено следующее строгое субаддитивное неравенство:
1А<1а + 1л°-а Va€[0,A). (1.15)
В том случае, когда е и j не зависят от ж, задачи (1.2) и (1.4) эквивалентны.
В этом случае всякая минимизирующая последовательность задачи (1.4)
относительно компактна тогда и только тогда, когда выполнено следующее
строгое субаддитивное неравенство:
lA<Ia + lA-a VaG(0,A); (1.16)
здесь мы воспользовались тем, что
Ia = £\ О€(0,Л].
Покажем, что условие (1.15) (или условие (1.16)) является необходимым
условием относительной компактности минимизирующих
последовательностей задачи (1.2) (или задачи (1.4)). Действительно, мы уже доказали,
что всегда имеет место неравенство (1.6). Поэтому предположим, что
lA = I« + I?-a, «G(0,A),
и пусть ип и vn — это минимизирующие последовательности с
компактными носителями задач (1.2) и (1.4) соответственно. Рассмотрим случай,
когда е и j не зависят от х. Ясно, что
П«„) = А-а, E°°(t;n) = Е"" -> \£а,

192 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
где vn(x) = vn(x + (п) и (n G R^. Выбирая |£п| достаточно большим, мы
можем предположить, что расстояние между носителями функций un и vn
стремиться к +оо. Рассмотрим теперь последовательность
wn =un+vn
и докажем, что эта последовательность не является относительно компактной.
Действительно, мы можем найти такую последовательность chn Е V(RN)
с заданной нормой в функциональном пространстве Н, что
J wnXn dx = Q.
RN
С другой стороны, как и ранее, можно доказать, что
](wn) -> A, E(wn) = lim (E(tin) + E(vn)) = 1в + l£e = 1А.
п
Таким образом, мы построили минимизирующую последовательность {«;„},
которая не является относительно компактной.
§ 2. Основная лемма
В этом параграфе мы рассмотрим основную лемму, которая и
показывает, что условия (1.15) и (1.16) гарантируют компактность всех
минимизирующих последовательностей. Итак, справедлива следующая лемма:
Лемма 5.1. Пусть {рп(%)}п=\ есть последовательность в L^R^),
удовлетворяющая условиям:
рп(ж) ^ О, J рп(х) dx = А > 0 — фиксированное число. (2.1)
Тогда существует подпоследовательность {Pn*(x)}*^i>
удовлетворяющая одному из трех условий:
(i) (компактность) найдутся такие точки yk € R^, что
Ve > 0 Э 0< Ж +оо : J рПк(х)dx^\-e; (2.2)
SRk(Vk)
(ii) (исчезновение)
lim sup / рПк(х) dx = 0 V 0 < R < +oo; (2.3)
*->+OOy€RAr J

§2. Основная лемма 193
(Hi) (дихотомия) найдется такое а Е (О, А), что для всех е > О существует
такое ко ^ 1 и р]к, р\ Е L^R^), удовлетворяющие при к^ ко:
\\рпк~ (рк +Pk)\\v(R») ^
fpk-<*
< с,
(2.4)
distance (supp р1к, supp р*) -> +оо при к -» -foo.
Доказательству данной леммы предпошлем некоторые соображения
о том, как в дальнейшем мы будем использовать ее результаты. Рассмотрим
следующую стандартную ситуацию, когда е, j зависят от х, и
предположим, что выполнено неравенство (1.15). Пусть {ип} — это
минимизирующая последовательность задачи (1.2):
ЕЮ -> IA, JW = А.
Теперь мы применим лемму 5.1 с рп(х) = j(х, В(ип)(х)): мы найдем
некоторую подпоследовательность рПк(х), такую что выполнено одно из трех
вариантов утверждения леммы. Легко проверить, что (и) не может быть
выполнено. Действительно, справедлива следующая цепочка выражений:
f j(x,M(unk)(x))dx =
Sr(v)
= f j (x, Ш(иПк)(х)) dx - f j (x, ЩиПк)(х)) dx =
R" RN\sR(v)
= A- f [;(x,B(tinJ(x))-i~(B(ttnJ(x))]dx-
*n\Sr{3!)
- J r(M(unk)(x))dx.
Заметим, что при достаточно большом R > 0 имеют место неравенства
J [j(х, BKJ(x)) - Г{В(иПк)(х))] dx < J
R"\S*(y)
и
I r(BKJ(x))dx<^.
*N\Sr{h)
13 Заказ 405

194 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
Поэтому
f j{xyB(unk){x))dx>^.
Sr(v)
Причем в силу неравенства (1.15) имеет место неравенство
h<if
и, значит, А Ф 0.
Теперь заметим, что если имеет место случай дихотомии, то для
любого е > 0 можно (см. далее доказательство леммы 5.1) разбить нашу
подпоследовательность иПы = u\ + u\ + vk, где
причем имеют место следующие свойства:
|j(tij) - а| < е, \j(u2k) - (А - а)| ^ г, |Н ^ г,
distance (supp и*, supp u2k) -> +oo при A; -> -f oo.
Заметим теперь, что справедливы следующие соотношения:
= / J (*. B(iiJ)(x)) dx = I j (x, B(t£)(x)) dx =
R"
= I [j(x, B(«i)(x)) - i°°(B(iiJ)(x))] dx + J r(E(u2k)(x)) dx.
Отсюда следует, что
J(i»J) - J°°(tiJ)-> 0 при fc->+oo.
Кроме того, справедлива цепочка равенств
Е(и^ = Е(я* + г4 + г4) = j e(x,h{vk + ul + u2k){x)) dx =
R"
= У* e(x,A(vk + u2k)(x))dx + J е(х, A(v* + «1)(х)) dx =
= У [e(xfA(iFft + ii2)(x)) -е°°(А(»* + «2)(x))] dx +
*n\srk(Vk)
+ У* е°°(А(г;Л + 11л)(х)) <*я + У e(x, A(t>*+ tij)(x)) dx =
ЦЛГ RAT

§2. Основная лемма
195
= f [e(x,A(vk + ul)(x))-e°°(A(vk + u2k)(x))] dx +
KN\sRk(yk)
+1 [e~(A(vk + ul)(z)) -e~(A(ul)(x)j\ dx +
R*
+ f [e(*,A(tfc+t*i)^
RN
Отсюда, потребовав сильную непрерывность оператора А и
полунепрерывность снизу функций е(х, •) и е°°() в пределе при к -> +оо найдется
такое 6(e) > 0, что в результате получим
1А - , lim E(u„J > lim inf {E(uJ) + E"(aJ)} - 6{e) > \a-c + l£a-e - 6(e)
и, переходя здесь к пределу при е -> 0, получим неравенство
l\ ^ la + i^-a.
которое противоречит неравенству (1.15). Значит, имеет место случай
компактности. Осталось доказать ограниченность последовательности {ук}к=\-
Предположим противное. Это означает, что носитель некоторой
подпоследовательности при к -> +оо «уходит» на бесконечность. Тогда
справедливы предельные соотношения
IA = lim E(fi„J ^ lim inf E°°(iinJ, \ук\ -> oo,
A = J(u„J = lim J°°KJ
&->-f oo
и, следовательно,
Ia > I?,
что противоречит неравенству (1.15).
Теперь приведем доказательство леммы 5.1.
Доказательство леммы 5.1. Рассмотрим следующую функцию:
■ sup
Qn(t)= SUp f pn(Od(.
Ш
Заметим, что Qn(t) — это последовательность неубывающих,
неотрицательных, равномерно ограниченных функций, определенных на
множестве R+, и
lim Q„(0 = A.
t->+00
Стало быть, в силу леммы Арцела существует такая подпоследовательность
{Qnk(t)} и такая неубывающая, неотрицательная функция Q(t), что
lim Qn. (t) = Q(t) для всех t ^ 0.
fc-»+oo
13*

196 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
Заметим, что
a = lim Q(t) G [О, А].
Совершенно понятно, что если a = 0, то это случай (ii). Докажем, что
если a = А, то имеет место случай (i). Действительно, возьмем
А
и заметим, что существует такое R — Д(/х) > 0, что для всех k ^ 1 мы
имеем
Qnk(R)= sup / pnk(t)dt>/i
Sr(v)
и существует последовательность
SRk(Vk)
Введем обозначение
Ук = Ук(^
и заметим, что
\УкЬ*) ~ Ук\ < + я(/|) для всех /х ^ ^.
Пусть
Таким образом, приходим к выводу, что существует такая
последовательность {ук} в R^, что для всех
А
имеем
f Pnk(t)d(>n
и имеет место случай (i).
Пусть, наконец, a G (О, А), тогда, как мы сейчас докажем,
справедливо свойство (iii). Пусть е > 0. Выберем R > 0 таким образом, чтобы
Q(R) >a-e.
Тогда для каждого к G N достаточно большого имеем:
a-e < Qnk(R) <а + е.

§ 3. Вариационные задачи в L
197
Более того, мы можем найти Я* -> +оо при к -> +оо так, что
Наконец, существует такая последовательность {yk}£=\ € ^> что:
J Pnk(t)d(e(a-e,a + e).
SRk(Vk)
Положим
Рк = Рп* 15Л,Ы, Рк = Рп4 (Ы, Я* -> +00.
Теперь понятно, что выполнены все свойства (iii) поскольку
f {pnk~Pk-pl}dx =
= f рПк (x) dx < Qnk (Rk) - Qnk (R) + 2e^(a+e)-(a-e) + 2e = 4e.
Лемма доказана. □
§3. Вариационные задачи в L1
Рассмотрим задачу о нахождении функции и, минимизирующей
функционал
где
inf < J j(u) dx - X- JJ u(x)u(y)f(x - y) dx dy | и G KA i, (3.1)
KA=JtiGL^(RJV)nL,(RJV),ti^O, почти всюду fudx = \\, (3.2)
q = , pG (l,+oo),
P
функция / удовлетворяет условиям
/ G MP(R*), / ^ О почти всюду, (3.3)
j — это строго выпуклая, неотрицательная функция на R+,
удовлетворяющая условиям
lim jtt)rl = 0, lim j(t)t'q = +оо. (3.4)
Напомним, что посредством MP(R^) мы обозначаем пространство Мар-
цинкевича.

198 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
Наш основной результат сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 5.1. Пусть выполнены условия (3.3), (3.4). Тогда каждая
минимизирующая последовательность {ип} функционала (3.1)
относительно компактна в L1 (R^) тогда и только тогда, когда выполнено условие
h<la + h-a Va€(0,A). (3.5)
Если условие (3.5) выполнено, тогда для каждой минимизирующей
последовательности {ип} существует такая последовательность точек {ук]
в RN, что последовательность {ип(- + уп)} относительно компактна
в L^R^JflL^R^) и последовательность {j(un(- + yn))} относительно
компактна в L^R^). В частности, если (3.5) выполнено, тогда
существует минимум задачи (3.1).
Замечание 5.1. Прежде чем перейти к доказательству теоремы, заметим, что в
силу неравенства Юнга для сверток и вложения M^R^) С L/^R^) имеем неравенство
Л ФМу)/(х - у) dx dy < CiHtill^^jll/llMP^), г =
Действительно, имеем
< НУЛИ,, г' =
u(x)h(x) dx
г- Г
где
h(x) = J dyf(x-y)u(y),
IWK ll/MMIr. i = i + i-i. r= 2p
r1 r p 2p - 1
Кроме того, используя классический результат о интерполяции лебеговских
пространств, получим
и, значит,
ФМу)/(* - у) dx dy ^ c2||t*||*,(RjV)||t*l|Ll^RV)ll/|livi^(R^).
R*xR*
Рассмотрим некоторые свойства минимизирующих
последовательностей. Во-первых, ясно, что
J un(x)dx = X,
RN
во-вторых,
f Л«Я)<С|>

§ 3. Вариационные задачи в V
199
где с\ не зависит от п Е N. Действительно, в противном случае Чп не
была бы минимизирующей последовательностью. С другой стороны, если
выполнено условие
lim inf Я*)*"' > tUh/IIm^A2-', (3.6)
то, во первых, 1^ > -oo для всех // G (О, A], 1^ является непрерывной
функцией относительно // G (О, А] и, во-вторых, справедливо неравенство
с, > У j(un)dx = J W^J7 >со f \un\Ux.
Rtf RAT Rtf
Таким образом, приходим к выводу, что последовательность {ип}
равномерно по п G N ограничена в L^R^) PlL^R^) и {j(un)} равномерно
по п G N ограничена в Ll(R^).
С другой стороны, если
f(x) = \x\~N/p, значит feMp(RN),
и если удовлетворяет неравенству
limsup;(0*"g < гСо11/Нм'(к")А2"*,
где со — это наилучшая константа в неравенстве (3.6), тогда можно
показать, что 1д = -оо. Действительно, возьмем u G i)+(RN)9 такую что
и(х) dx = А
- // u(x)u(y)f(x-y)dxdy = K > к = \imsup j(t)t~q.
2 J J /->oo
R"xR"
Теперь мы рассмотрим функцию
Ясно, что ие все еще лежит в К\ и мы имеем:
У ;Ю dx-X- Л u£(x)u£(y)f(x - у) dx dy <
R" R"xR"
j [cu£(x) + ^y^ti£(x)^ dx~\ ff ue(x)ue(y)f(x - y) dx dy <
RAT R"xR"
^ cA + *±*e-** _ Ке-"» = cX- !Lz±£-»/p _> _oo.

200 Глава 5. Принцип концентрированной компактности И Л. Лионса
Теперь заметим, что если ,;(•) выпуклая и
lim jlt)t'1 = 0
и если выполнены условия (3.3), (3.4), тогда 1д ^ 0- Действительно,
возьмем и е V+(RN) с
u(x) dx = Л.
Теперь мы рассмотрим функцию u£(x) = eNu(ex). Ясно, что и£ все еще
лежит в К\, и мы легко находим, что
j j(u£(x)) dx = j u(x)^N^j(eNu(x)) dx->0
при e -> +0, и это означает, что 1д ^ 0.
Заметим, что справедлива следующая лемма.
Лемма 5.2. Пусть h(x) — это вещественная функция на [0, Л] с Л > 0,
удовлетворяющая условию h(9a) < 9h(a) для всех a Е (0, Л), в Е (1, Л/а).
Тогда мы имеем:
ft(A) < h(a) + ft(A - а)
для всех а Е (0, Л).
Теперь докажем следующую вспомогательную лемму.
Лемма 5.3. Предположим, что помимо условий (3.3), (3.4) выполнено
одно из двух следующих условий:
V* > 1 и почти всех ( Е RN, f(t() ^ t'm/Nf((), (3.7)
для некоторого т Е (0, N)
или
Ув^\ VtT* 0, j(9t) ^ e2j(t). (3.8)
Тогда неравенство (1.16) выполнено тогда и только тогда, когда 1д < 0,
и в этом случае справедлива теорема 5.1.
Доказательство. Пусть a Е (0,Л). Мы собираемся доказать, что если
в Е (1, Л/а) тогда имеет место неравенство
ha < Ma При УСЛОВИИ 1а < 0.
При этом мы воспользуемся некоторой модификацией леммы 5.2. Теперь,
если (1.16) выполнено, тогда в силу замечания 5.1 с необходимостью
имеем 1д < 0, поскольку 1^ ^ 0 для всех р. ^ 0. Таким образом мы можем
предположить, что 1а < 0. Если (3.7) выполнено, тогда мы можем взять
любой элемент и Е Ка и положить

§ 3. Вариационные задачи в l1
201
ясно, что v G Kea и, таким образом, справедлива цепочка неравенств
ha^ueK г/J"(«0*B-y ff u{x)u{y)f{0{x-y))dxdy\ <
^ R"xR" '
^ ^inf \ej j(u) dx - ^-y— JJ u(x)u(y)f(x - y) dx dy 1 <
^ R* R"xR" '
^ 02~m/iVIa < Ola < 0.
С другой стороны, если выполнено условие (3.8), мы можем взять u G Ка
и положить v(x) = 9и(х). Ясно, что v G Коа и, таким образом,
Ifa^nf < У* j(ftc)<to-y У*У u(x)u(y)f(x-y)dxdy\^e2\a<0\a<0.
Лемма доказана. □
Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы 5.1. Прежде всего
отметим, что, как мы ранее выяснили, условие (1.16) является
необходимым условием, того, чтобы каждая минимизирующая последовательность
являлась компактной. Поэтому сейчас нашей задачей является
доказательство того, что условие (1.16) — это достаточное условие компактности
каждой минимизирующей последовательности. Как мы ранее доказали,
каждая минимизирующая последовательность удовлетворяет условиям:
v ~Ь 1
ип — ограничено в l^R*) п l^R*), q = -,
Р
j(un) — ограничено в l^r^).
Доказательство теоремы 5.1.
Шаг 1. «Дихотомия» не имеет места.
Если имеет место утверждение (iii) леммы 5.1, тогда найдется
такое a > 0, что для любого фиксированного е > 0 существуют и\,
удовлетворяющие при больших п условию (2.4), и, кроме того, по ходу
доказательства леммы 5.1 ясно, что мы можем предположить
выполнимость следующих условий:
ип = и\ + у2 + vn, 0 ^ и1п, и2п, vn ^ 1,
и\и2п =unvn =ulvn = 0 почти всюду.
Наконец, введем обозначения:
dn = distance (supp ulni supp a„ = J undx, /Зп = J u\dx.

202 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
Мы можем без ограничения общности предположить, что
dn -> +00, an -> а, /Зп -> Д,
а 6(0, Л), Де(0,Л-а),
\a-a\ ^е, |Д-(Л-а)| ^5.
Во-первых, заметим, что имеет место неравенство
J j(un) dx> J j(uln)dx + J j(u2n) dx.
rn R" R"
Кроме того, мы имеем
JJ un(x)un(y)f(x-y)dxdy= JJ u\{x)v}n{y)f{x-y)dxdy-
R"xR"
R* xR*
+
+ JJ u2n(x)u2n(y)f(x-y)dxdy + 2 JJ u]n(x)u2n(y)f(x-y)dxdy
R"xR" R^xR^
+ 2 JJ un(x)vn(y)f(x -y)dxdy- JJ vn(x)vn(y)f(x - y) dx dy.
R"xR" R"xR"
Теперь заметим, что имеют место оценки
JJ un(x)vn(y)f(x-y)dxdy
R"xR"
^ \\f\\w Ыи ll4.Hi/ ^ c\\un\\Lr \\vn\\lq/2 \\vn\\q£ <
^ c||un||L. ||ия||[/2 II^HiT^ ^ с^1"^2, r = ^TJ, Я = ^
Здесь мы воспользовались утверждением (Hi) леммы 5.1, тем, что г Е (1, q),
и ограниченностью un равномерно по n Е N в lf(RN) С L^R^JflLJ (R*),
а также интерполяционным неравенством Гельдера, неравенством Юнга
для сверток. Аналогичным образом устанавливается, что справедливо
неравенство
JJ vn(x)vn(y)f(x-y) dxdy
R^xR"
Теперь докажем, что имеет место предельное равенство
JJ u\l(x)u1n(y)f(x-y)dxdy->0 при п->+оо.
R^xR"

§ 3. Вариационные задачи в L1
203
Действительно, отмечая, что для всех 6 > 0, fs = fl{\f\^s} лежит в U(RN)
для всех q Е мы выводим, что имеет место неравенство
R"xR"
JJ u1\(x)u2n(y)f(x-y) dxdy
JJ u\(x)u2n(y)f6(x-y)dxdy
JJ uln(x)u2n(y)fs(x - |>« dx dy
^6\г +
клгхклг
поскольку
dn = distance (supp u\, supp ul).
Последний интеграл оценивается следующим выражением:
и мы приходим к выводу, что интеграл стремиться к нулю, поскольку
2q
2g-l
[О
если q Е так как
II/^w^uIUr*)^0 при п-»+°°-
Комбинируя все эти неравенства, мы находим
IA= Ит
п->+оо
^ lim inf
n->+oo
S J J'M dx~\ JJ un(x)un(y)f(x - y) dx dy \ >
W R"xR" '
J j(uln)dx-1- JJ uxn(x)uxn(y)f(x-y)dxdy\ +
{RN R"xR" '
j У j(tti) dx~{ff ul(xWn(y)f(x -V)dxdy\- 6(e) =
^ та У R^xR^
+ lim inf
n->+oo
Ie + 1д —
где 6(e) -» -f0 при £ -> +0. Переходя к пределу при е -> -f0, получим
неравенство, противоречащее (1.16).

204 Глава 5. Принцип концентрированной компактности И Л. Лионса
Шаг 2. «Исчезновение» не имеет места.
Если имеет место утверждение (ii) теоремы, то, рассуждая
аналогичным образом, приходим к выводу, что
JJ un(x)un(y)f(x - у) dx dy ^
R^xR"
ОЛ2+ JJ un(x)un(y)f6(x-y)dxdy <
RtfxR"
^б\2+ JJ un(x)un(y)gf(x - у)1(|х-*|<л) dx dy + ||мя||^и-|) ll/f llu,
RA'xRA'
где q выбрано произвольным образом из [1,р) таким, что
1 £+1
29-1
и где <jj* определяются следующим образом:
9б = fdh Я, /* = (/j - Д)+1(|Х|<Л) + Л1(|*|>я).
Теперь заметим, что имеют место следующие соотношения:
0 ПРИ Л ~* +о° Для всякого фиксированного (J > 0;
un(x)un(y)gf(x - у)1(|х-|,|<д) dx dy ^
R^xR"
^ Д У пп(х) У ^п(у) dy dx ^ RQn(R)X.
Таким образом, устремляя п к +оо, затем R к +оо и, наконец, 6 к 0, мы
находим:
УУ* un(x)un(y)f(x-y)dxdy ->0 при п->+оо.
R^xR"
Отсюда следует, что
1а > О,
и, таким образом, это противоречит условию (1.16).
Шаг 3. Выводы.
Мы уже доказали существование такой последовательности уп в R^,
что выполнено (i) леммы 5.1. Теперь мы обозначим через йп = ип(< + уп).

§ 3. Вариационные задачи в L1
205
Переходя, если это нужно, к подпоследовательности, мы можем
предположить, что ип сходится слабо в к некоторому и для а Е [Uq] и
и е L^R^) flL^R*). В дополнение, выпуклый функционал
J j(u) dx,
будучи сильно полунепрерывным снизу на L^R^), по лемме Фату
является слабо полунепрерывным снизу, и мы имеем:
lim inf / j(un) dx^ j(u) dx.
n-++oo J J
Rtf Rtf
Используя утверждение (i) леммы 5.1, просто доказать, что
J и dx —
R"
Теперь мы докажем, что на и достигается минимум, т.е. мы имеем
JJ un(x)un(y)f(x-y)dxdy-> JJ u(x)u(y)f(x-y)dxdy.
R^xR" R^xR"
Действительно, в силу неравенства для норм
|Н«п1ЫЫ1|<||«-«„||
имеем неравенства
JJ un(x)Un(y)f(x-y)dxdy> -
клгхклг >
{Л1/21
JJ u(x)u(y)f(x - у) dx dy > <
R^ xR^ ' '
JJ (йп(х) - u(x)) (йп(у) - u(y)) f(x - y) dx dy
R"xR"
1/2
R* xR*
< <5a2 + es(R) +
JJ («„(x) - u(x)) («„(y) - u(y)) f(x - y) dx dy
JJ (й„(х) - u(x)) («„(j/) - u(y))gs(x - y) dx dy
R"xR"

206 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
Введем обозначение:
vn(x) = j (un(x) - u{yj)gf{x - у) dy.
rn
Поскольку
g?(x-.)eV(RN)CllJ"(RN)9
мы имеем для всех х Е RN:
vn(x) = J un(y)gf{x -y)dy- J u(y)gf(x -y)dy->0
при n -> +00. Кроме того, имеет место цепочка равенств
J ( у un(y)gg(x -y)dy\dx = J I j un(x - y)gf{y) dy
%n ^Rtf ' Rtf \Rtf
= f dygf(y) J un(x -y)dx = X j dygf(y) =
j u(x-y)dx J dygi(y) = J {J u(y)gf{x-y)dy
on ion ion \toN '
Rtf Rtf Rtf
Отсюда следует, что
У un{y)gf(x-y)dy-> У u(y)gf(x-y)dy bL1^"),
R* R*
или, иначе говоря, vn(x) -> 0 сильно в L^R^) при п -» +оо. Стало быть,
Vn(x) -> 0 сильно в при п -> +оо , а Е [1, +оо), и, таким образом,
мы находим
У un(x)vn(x)
rn
dx -> 0 при п -» +оо;
У^ (и„(ж) - ti(x)) (й„(2/) - u(y)) f(x - у) dx dy -> 0 при п -> +оо.
Значит, и — это минимум.
Теорема доказана. □
Теперь мы рассмотрим некоторое обобщение задачи (3.1). Именно,
мы рассмотрим сейчас следующую задачу:
1а = inf{E(ti) \ u £ Кд}, (3.9)

§ 3. Вариационные задачи в V
207
где
КА = I u е V(RN) П L1^"), и > 0, почти всюду J udx = \\, (3.10)
P+l /1
q = , p€(l,+oo),
P
E(u) = J j(u) dx + J V(x)u(x) dx - ^ JJ u(x)u(y)f(x - y) dx dy
(3.11)
и, кроме того, /, j удовлетворяют условиям (3.3), (3.4). Наконец, мы
предположим, что потенциал V удовлетворяет услолвиям
7ЕС6(М"), V(x)-^V0O при |х| -> +00. (3.12)
Кроме того, введем в рассмотрение следующую задачу:
I? = inf{E»|t*EKA}, (3.13)
E°°(u) = J Jiujdx + Vn J u(x)dx-^ JJ u(x)u(y)f(x-y)dxdy,
R" R^ R"xR"
(3.14)
и положим Io = 0. Справедлива следующая теорема:
Теорема 5.2. Мы предположим, что выполнены условия (3.3), (3.4) и
(3.12). Тогда каждая минимизирующая последовательность {ип} задачи
(3.9) относительно компактна в hl(RN) тогда и только тогда, когда
выполнено следующее условие:
1д < 1а + 1д°-а V«€ [О, Л). (3.15)
Если это условие выполнено, тогда каждая минимизирующая
последовательность {ип} относительно компактна в h[(RN)nhq(RN) и {j(un)}
относительно компактна в h\RN). В частности, существует
минимум задачи (3.9).
Доказательство. Наметим некоторые моменты в доказательстве
данной теоремы. Следуем схеме доказательства теоремы 5.1. Относительно
шага 1 мы только заметим, что могут иметь место два случая: {уп}
ограничена и {уп} неограничена. Пусть {уп} ограничена. Мы имеем
и\ = un\sR{yn)> и2п = unlw\sR(yn).
Справедливы следующие выражения:
J Vu\ dx= J Vu\ dx = Voo Ju\dx+ J {V - Voo}u2n dx

208 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
\У - УооЫп dx -» 0, поскольку Rn -» +00.
\x-yn\^Rn
С другой стороны, если последовательность {уп} неофаниченная, тогда,
взяв подпоследовательность, если это необходимо, мы можем
предположить, что \уп\ -> +оо, и, таким образом, получить
J Vundx- j V°°undx ^ j \V -V°°\undx->0.
Следовательно, как и на шаге 1 теоремы 5.1, мы получим
либо iA^iff + i~-j(e), либо 1А > I? + 1д -
и, устремляя е к 0, приходим к неравенствам, которые противоречат (3.15).
Относительно шага 2 мы заметим, что если Qn(t) -> 0 при п -> +оо
для всех t < oo, тогда
fvundx-fv°°undx ^HF-Oloo j undx+ f \V-V°°\undx^
rn
\*\>R
<\\У-У°°\\МЯ) + \ sup \V(x)-V°°\,
и мы находим, что \\ ^ 1д° после предельных переходов при п -> +оо
Я -» +оо. Это противоречит случаю а = Л в (3.15).
Таким образом, утверждение (i) в лемме 5.1 справедливо, и если
последовательность {уп} неофаниченная, мы можем предположить,
переходя, если нужно, к подпоследовательности, что \уп\ -> +оо. Отсюда
следует, в частности, что для всех R < оо мы имеем
/
Sr(0)
un dx -> 0 при п -» +оо
и по тем же соображениям, что и раньше, заключаем, что
J Vun dx- J V°°un dx
при n -> +oo. И это снова противоречит случаю а = Л в условии (3.15).
Теорема доказана. □

§ 4. Уравнение Кортевега—де Фриза
209
§ 4. Орбитальная устойчивость уединенных волн
уравнения Кортевега—де Фриза
Рассмотрим широко известное уравнение Кортевега—де Фриза,
имеющее следующий вид:
Щ + uux + uxxx = 0. (4.1)
Как известно, это уравнение имеет решение вида уединенной волны:
ЗС
"^-.rfflvEa- (=x-ct (42>
Уравнение (4.1) обладает следующими двумя сохраняющимися во времени
величинами
Q(u) = ±f u2dx (4.3)
R1
dx. (4.4)
R>
Первая из этих величин называется «энергией», а вторая — «моментом
неустойчивости».
Отметим, что для уравнения Кортевега—де Фриза в работах [62,63]
было доказано следующее важное утверждение:
Теорема 5.3. Для каждого € > 0 существует такое 6 > 0, что если
\\Щ - <РсЫ < s>
тогда решение и(х, t) (4.1) с начальным условием и(х, 0) = щ(х)
удовлетворяет свойству
т£ ||и(я, t)-<pc(x + y)\\wm<e
для всех t € R\.
Отметим, что в теореме 5.3 не указано, что
\\u(x9t)-tpc(x-Ct)\\mdx)<e
для всех моментов времени. Однако некоторые продвижения в этом
направлении имеются.
В данном параграфе мы рассмотрим, как принцип компактности
П. Л. Лионса применяется к исследованию орбитальной устойчивости
уединенных волн, при этом будет доказана теорема 5.3,
сформулированная выше. Доказательство будет разбито на несколько частей. Итак,
пусть Е и Q определены выражениями (4.4) и (4.3) соответственно.
Нетрудно доказать, используя Соболевские теоремы вложения, что Е и Q —
14 Заказ 405

210 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
непрерывные отображения из H^R1) в R1. Фиксируем некоторое
положительное число С и положим (рс как в формуле (4.2). Пусть
Я = Q(<Pc),
и определим вещественное число \q следующим образом:
Iff = inf{#ft): ^НУ) и Q(tl>) = q}. (4.5)
Определим также множество минимизирующих элементов для
вариационной задачи (4.5):
G, = {ф € Н1 : Е(ч/>) = lq и CM) = q}, (4.6)
а также введем минимизирующие последовательности, как
последовательности {/„} функций в H!(R!), удовлетворяющие условиям
Q(fn) = q Для всех n Е N
и
lim #(A) = V
Каждой минимизирующей последовательности {/„} мы поставим в
соответствии последовательность неубывающих функций
Мп(г):[0, +оо)-> [0, q]9
определенных формулой
у+г
Mn(r)= sup [ \fn\2dx.
y-r
Элементарные соображения подсказывают, что любая ограниченная
последовательность неубывающих функций на [0, +оо) должна иметь
подпоследовательность, которая сходится поточечно (в действительности,
равномерно на компактных множествах) к неубывающей предельной
функции на [0, +оо). Следовательно, {Мп} имеет подпоследовательность,
которую мы снова обозначим через {Мп}> сходящуюся к функции М(г),
причем ясно, что
lim M(r) = а Е [0, q].
Принцип компактности П. Л. Лионса, примененный к данной ситуации,
заключается в двух наблюдениях. Первое состоит в том, что если a = q,
тогда минимизирующая последовательность {/„} обладает
подпоследовательностью, которая после подходящего сдвига, сходится сильно в H^R1)
к некоторому элементу из G^. Второе заключается в том, что a = q
должно быть для всякой минимизирующей последовательности {/п}. Отсюда
следует, что не только существует минимизирующий элемент в H!(Rl),
но всякая минимизирующая последовательность сходится сильно в H^R1)
к множеству Gg.

§ 4. Уравнение Кортевега—де Фриза
211
Справедлива следующая лемма.
Лемма 5.4. Пусть B>Oud>0— заданные числа. Тогда существует
такое tj = т](В,б), что если f G Ul(R]) с ||/||Hi ^ В и ^ (5,
/яогда
У+1/2
sup / |/(я)|3 dx ^ ?/.
У-1/2
Доказательство. Мы имеем
Следовательно, существует некоторое jo G Z, для которого
io+1/2 2 io+1/2
io-i/2 io-i/2
Теперь, используя теорему вложения Соболева, заключаем, что найдется
такая константа А > О, не зависящая от /, что имеет место неравенство
(io+1/2 v 1/3 у io+1/2 v 1/2
| l/fitej <л( f [f2 + (f)2] dx\ .
Л-1/2 ' Ъо-1/2 '
Следовательно,
(io+1/2 v 1/3 / Jo+l/2 v 1/2
Jo-1/2 7 L \?o-l/2 7
таким образом,
io+1/2
io-1/2
Лемма доказана. □
Теперь установим некоторые свойства вариационной задачи (4.5).
Лемма 5.5. Для любого q > О имеем -оо < \q < 0.
Доказательство. Выберем произвольную функцию \j) G H^R1), такую
что Q(V0 = q и
Rl
14*

212 Глава 5. Принцип концентрированной компактности И Л. Лионса
Для каждого в > О определим функцию грд следующим образом:
1/>е(х) = у/в гр(0х).
Тогда для всех в > О имеем
и
#2 /» д\/2 р
ЕШ = - jty'fdx- — J tfdx.
R> R>
Следовательно, взяв в = во > О достаточно малым, мы получим
#(^о) < О
и, следовательно, поскольку \q ^ E(i/>eQ)y получим, что
Ig<0.
Пусть теперь *ф обозначает произвольную функцию из H^R1),
удовлетворяющую условию
Ш = я-
Для того чтобы доказать, что lq > -oo, достаточно доказать, что имеет
место оценка снизу для функции E(t/>), не зависящая от tp. Прежде всего
воспользуемся стандартным вложением Соболева и интерполяционной
теоремой для Соболевских пространств:
J V3 dx
где символом A > О обозначены различные постоянные, не зависящие
от *ф. Теперь, используя трехпараметрическое неравенство Юнга, получим
в итоге неравенство
где е > О — произвольно и А£ зависит от но не зависит от *ф. Таким
образом, поскольку
1М1и> = ШЬ = Ш))хп,
имеем
где снова АСА не зависит от ■ф. Следовательно,
E(tl>) = E(1,) + Q(ip)-Q(1,) =

§ 4. Уравнение Кортевега—де Фриза
213
R1 R'
Выбирая е = £о^З,мы получаем оценку снизу
и тем самым доказательство завершено.
Лемма доказана. □
Лемма 5.6. Если {/„} — это минимизирующая последовательность для
Ig, тогда существуют такие постоянные В > О и д > О, что
0) ll/nll для всех п G N;
00 И/п|£з ^ <5 для достаточно больших n Е N.
Доказательство. Для доказательства утверждения (i) имеем
|||/»Ии« = ЖД) + <?(/.) + \ffldzZ sup S(/„) + g + ^||/„||^ <
< A(l +\\fn\\% ||/„C) < A(l + ll/nll^,2),
где мы снова воспользовались теоремой вложения Соболева и
интерполяционной теоремой для Соболевских пространств, причем через А мы
обозначаем различные постоянные, не зависящие от п. Из полученного
неравенства легко следует утверждение (i).
Для доказательства утверждения (ii) мы будем действовать от
противного: если такой постоянной не существует, то
lim inf / (/„)3 dx ^ 0;
П-++0О J
но тогда
R1 Rl 7 4 Rl 7
что противоречит лемме 5.5.
Лемма доказана. □
Лемма 5.7. Для всех q\> qi > О имеет место неравенство
Доказательство. Прежде всего докажем, что для всех в > О и q > О
имеет место равенство

214 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
Для того чтобы доказать это неравенство, заметим, что для всех функций
гр G H^R1) функция гре, определенная соотношением
удовлетворяет равенствам
ЯШ=0Я(Ф)> ЕШ=05/3Е(1>).
Следовательно,
I#f = inf: ЯШ = Oq} = inf{05/3E(iP) : Qfr) = q} = 05/3I„
что и утверждалось.
Теперь для любых tfi, #2 > О имеет место выражение
= (ei +Ы5/31. < (gf + ?25/3)ii = i?1 + 1Й.
Лемма доказана. □
Теперь мы докажем следующее утверждение, имеющее
непосредственное отношение к принципу компактности П. Л.Лионса.
Лемма 5.8. Предположим a = q. Тогда существует
последовательность вещественных чисел {уь уг> • • •}» таких что:
(i) для каждого z < q существует такое число г = r(z), что
Уп+Г
f \fn\2dx>z
Vn-r
для всех достаточно больших п G N;
(и) последовательность {fn}, определенная равенством
7п(«) = f(x + уп) для всех хеШ1,
имеет подпоследовательность, которая сходится сильно в Ml(Rl) к
некоторой функции g Е Gq. В частности, Gq непусто.
Доказательство. Поскольку a = q, тогда существует такое число го > О,
что для всех достаточно больших значений п мы имеем
У+Го
Q„(r0) = sup / \fn\2dx>\.
y€R J 2
У-го
Следовательно, для достаточно большого п найдется уп, такое что
У*+Го
/ 1Д12 <**>§.
Уп-го

§ 4. Уравнение Кортевега—де Фриза
215
Теперь возьмем z < q. Ясно, что мы можем предположить z > q/2. Снова,
поскольку а = q, мы можем найти такие ro(z) и N(z), что если п ^ N(z),
тогда
|/n|2da:>z
У*(*)-г0(*)
для некоторого yn(z) G R1. Поскольку
/ \fn\2dx = q,
R>
то отсюда следует, что для всех больших п интервалы [уп - Го,уп + го]
и [Уя(^)""го(^). Уп(^)+^о(^)] должны пересекаться. Таким образом,
определяя г = r(z) = 2г0(г)+го, мы имеем, что интервал [уп-г, уп+г] содержит
[Уп(*) - r(z), Уп(я) + r0OL и» следовательно, утверждение (i) доказано.
Теперь из утверждения (i) следует, что для каждого k G N найдется
такое г к € R1, что для всех достаточно больших п
Гк
j \Udx>q-X-.
-г*
Из леммы 5.6 (i) вытекает, что последовательность {/п} равномерно
ограничена в и, следовательно, из компактного вложения Н!(П)
в L2(fl) для ограниченных Q вытекает, что некоторая
подпоследовательность последовательности {/„} сходится в L2[-r*, г*] к предельной
функции g G L2[-r*, Гк], удовлетворяющей условию
Гк
J \g\2 dx>q-X~.
-Гк
Используя процедуру диагонализации Кантора и учитывая, что
J \fn\2dx = q
для всех п G N, приходим к выводу, что некоторая подпоследовательность
последовательности {/п} сходится сильно в L2(R!) к некоторой функции
g G L2(R!), удовлетворяющей условию
f \9\2dx = q.
R>

216 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
Снова используя утверждение (i) леммы 5.6, имеем
II/. ~9\\v < 47п-9\\в„ < А\\ГШ - eC\\U -9\\% < ||Л "С6,
где А не зависит от п. Стало быть,
/п -> д сильно в L3(R!).
Кроме того, в силу слабой компактности единичной сферы и слабой
полунепрерывности нормы в гильбертовом пространстве мы имеем
||0||hi ^Hminf||7n||Hi.
п-»+оо
Отсюда вытекает, что
и, следовательно,
ад< lim «(/„) = 1„
П->+00
Наконец,
Big) = lim E(fn), \\g\\v = lim \\fn\\v, \\g\\0 = lim \\fn\\v.
n->+oo n->-foo n->-foo
Отсюда вытекает, что
IMIh' = lim ||/„||H.
П-++00
и, следовательно, из элементарных свойств гильбертовых пространств
вытекает сильная сходимость /„ kjbH^R1).
Лемма доказана. □
Следующая лемма описывает поведение минимизирующей
последовательности в случае 0 < а < q.
Лемма 5.9. Для каждого е > О найдется такое число N Е N и
последовательности {gN,gN+\,- ••} и , Л#+ь ...} функций из H^R1),
таких что для каждого n ^ N имеют место следующие свойства:
(О 1<?Ы-а|<г;
(И) \Q(hn)-(q-a)\<e;
(Hi) E(fn)>E(gn) + E(hn)-e.
Доказательство. Выберем функцию (р Е Cq°[-2,2] такой, что (р = 1
на [-1, 1], и выберем ^ € C00(R1) таким образом, чтобы
<р2 + гр2 = \ на R1.
Для каждого г Е R1 определим функции
<рг(х) = v(j^). ^г(ж) = ^(7) •

§ 4. Уравнение Кортевега—де Фриза
217
Для всех достаточно больших значений г мы имеем
а - е < M(r) ^ M(2r) ^ а для всех n ^ N.
Следовательно, для каждого n ^ N найдется такое уп, что
Уп+Г
Уп-Г
У»+2г
Уп-2г
dx> а - е,
dx<a + e.
(4.7)
(4.8)
Теперь определим
9п(х) = (рг(х - yn)fn(x), hn(x) = <фг(х - yn)fn(x).
Тогда утверждения (i) и (ii) очевидны.
Для того чтобы доказать утверждение (Hi), заметим, что имеет место
равенство
E(gn) + E(hn) = -
1
+ 2
J M)2dx + 2 J <pr<p'rfnf'ndx + f (<p'r)2f2d*
R> R>
f ti(f'n)2dx + 2 f ii>rtifnf'ndx + f (tiffUx
R' R' R'
R' R'
+ \ f {ti - ti) fn dx+l-J (ti - ti) fn dx,
где для краткости мы писали просто <рг и грг вместо <рг(х-уп) и i>r(x-yn)-
Теперь
ti+ti = u НЫ'Нь- =
llv'lli
г г
Таким образом, используя неравенство Гельдера и утверждение (i) леммы 5.6,
мы приходим из последней длинной цепочки выражений к уравнению
E(gn) + E(hn) = e(fn) +q(J-)+LJ [{tf - vl) + (ti - ti)] fn dx,
R<

218 Глава 5. Принцип концентрированной компактности И Л. Лионса
где посредством Q{\/r) мы обозначаем различные слагаемые,
ограниченные по абсолютной величине выражением А\/г с постоянной А\, не
зависящей от г и п. Используя теперь неравенства (4.7) и (4.8) мы получим
/ Ы - Ч>\) + (W - ti)] fn dx ^ ( f 2|/n|2 dx j H/JIl. < A2e,
где снова A2 не зависит ни от г ни от п. Выбираем теперь г таким
образом, чтобы
и тогда приходим к неравенству
E(fn)7tE(gn) + E(hn)-(A2+\)e для всех n > N(r). (4.9)
Таким образом, приходим к утверждению (iii).
Лемма доказана. □
Лемма 5.10. Если 0 < а < д, тогда
^ 1а Н~
Доказательство. Во-первых, заметим, что если </ — это такая
функция, что
\Q(g) - a\ < е,
тогда
удовлетворяет неравенству
\Р-\\<Ахе,
где А\ не зависит от g и е. Следовательно,
la ^E(Pg) ^E(g) + А2е,
где А2 зависит только от А\ и \\д\\\. Такой же результат справедлив для
функций ft, таких что
|Q(ft)-fa-a)|<e.
Из леммы 5,9 легко следует существование такой подпоследовательности
{ДЛ последовательности {/„} и соответствующих функций дПь и hnk,
что для всех к
E(gn>)>la-^> E(hnk)>\q-a-^
и
E(f«>)>E(9nk) + E(hnk)-1-.

§ 4. Уравнение Кортевега—де Фриза
219
Следовательно,
Я(/».)>1а + 1,-а-|.
Переходом к пределу при к -> +оо и приходим к утверждению леммы.
Лемма доказана. □
Замечание 5.2. Из леммы 5.7 следует, что «дихотомия» не имеет места.
Докажем теперь лемму, из которой следует, что «исчезновение» не
имеет места.
Лемма 5.11. Для всякой минимизирующей последовательности а > 0.
Доказательство. Из лемм 5.4 и 5.6 вытекает существование такого
rj > 0 и такой последовательности {уп} вещественных чисел, что
У.+ 1/2
/
|/n|3 dx^t] для всех п G
Уп-1/2
Следовательно,
(Уп + 1/2 v , у»+ 1/2 v
j \fn\2dx \ ^Ав( f \fn\2dxY
Уп-1/2 ' Ч.-1/2 '
где 4 — это константа вложения L00^1) в H^R1). Таким образом,
получаем, что
а= lim М(г)>м(1-)= lim мя(^)>-^><).
Г-++00 \2/ П-++00 \2/ УШ
Лемма доказана. □
Теорема 5.4. Множество Gq не пусто. Более того, если {fn} — это
минимизирующая последовательность для \q, тогда:
(i) существует последовательность {у\, у2,...} и элемент g G Gg такой,
что последовательность {fn(x 4- уп)} имеет подпоследовательность,
сходящуюся сильно в H^R1) к д\
(ii) lim inf l|/n(- + y)-0||Hl =0;
(Hi) lim inf - ^||h> = 0.
n->+oo geG4
Доказательство. Из предыдущих лемм следует, что а = д, т. е., как
и следовало ожидать, имеет место случай «компактности». Следовательно,
согласно лемме 5.8 множество Gq не пусто и имеет место утверждение (i)
теоремы.

220 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
Для доказательства утверждения (ii) заметим, что если оно не
выполнено, тогда существует такая подпоследовательность {ДЛ
последовательности {/п} и число е > 0 такое, что
для всех k Е N. Но поскольку {ДЛ — минимизирующая
последовательность для Ig, из утверждения (i) настоящей теоремы вытекает
существование такой последовательности {у*} и go Е Gq такого, что
Hm^nf !!/„,(•+ Л)-Л||Н1 =0.
Это противоречие доказывает утверждение (ii).
Наконец, поскольку функционалы Е и Q инвариантны относительно
сдвигов, то Gqi очевидно, содержит вместе с д и любые его трансляции.
Таким образом, утверждение (iii) вытекает из утверждения (ii).
Теорема доказана. □
Естественным следствием теоремы 5.4 является то, что Gq — это
устойчивое множество для начальной задачи для уравнения Кортевега—
де Фриза (4.1).
Теорема 5.5. Для каждого е > 0 найдется такое S > 0, что если
inf ||ifo - g\\Hi <б,
тогда решение уравнения (4.1) с начальным условием и(х,0) = щ(х)
удовлетворяет неравенству
inf M;t)-g\\w <е
для всех t Е R\.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна; тогда
существует число е > 0, последовательность {фп} функций из H!(R!) и
последовательность чисел {tn}, такие что
inf 1№,-0||н' < I
и
inf IKMn)-^! >е
для всех п, где un(x, t) — это решение уравнения (4.1) с начальным
условием ип(х, 0) = xj)n. Тогда поскольку
1>п -> Gq сильно в H^R1)

§ 4. Уравнение Кортевега—де Фриза
221
и
Е(9) = U> Q(9) = g Для всех g G Gg,
мы имеем
B(i>n)->lq и Q(Vn)-><7.
Выберем последовательность {ап} таким образом, чтобы Q(ani/)n) = q
для всех п, так что, ап -> 1. Последовательность
/„ = апИп(-,*п)
удовлетворяет равенству Q(/n) = q и
lim #(/„) = lim Я(ип(.,*п))= lim E(t/>n) = lq,
n-»+oo n-»+oo n-»+oo
следовательно, это минимизирующая последовательность для Ig. Из
утверждения (iii) теоремы 5.4 вытекает, что для всех п G N достаточно больших
существует последовательность gn G Gg такая, что
Но тогда
|K(-,*n)-fln||Hi < H^Mn) -/n||H. +
+ ИД - А»Нн> < 11 " a»||M-, <Я)||Н| + \
и, переходя к пределу при п -» -foo, получим противоречие.
Теорема доказана. П
ства Gq.
Наконец, справедлива лемма, характеризующая структуру множе-
Gq:
Лемма 5.12. Если Gq не пусто, тогда
Gq = {ipc(- + xo):x0eR1}.
Доказательство. Если g(x) G Gg, тогда в силу принципа множителей
Лагранжа существует такое A G R1, что
6E(g) + \6Q(g) = 0, (4.10)
где 6Е(д) и 6Q(g) — это производные Фреше функционалов Е и Q
в точке д. Нетрудно проверить, что
6E(g) = -g"-l-g2, SQ(g) = д.
И, таким образом, (4.10) — это обыкновенное дифференциальное
уравнение. «Bootstraps-метод позволяет показать, что любое L2-решение
уравнения (4.10) является гладким. Кроме того, можно показать, что каждое
решение уравнения (4.10) имеет вид if\(x + xo), где xq G R! произвольно,

Глава 6
Метод компактности
§ 1. Введение
В данной главе мы рассмотрим один из самых мощных методов
нелинейного анализа — метод компактности. Данный метод применим ко всем
трем классическим классам дифференциальных уравнений в частных
производных, а также к нелинейным уравнениям Соболевского типа.
Метод компактности формально заключается в том, что при
доказательстве сходимости приближенного решения, построенного по методу
Галеркина, существенно используются вполне непрерывные вложения
пространств СЛ. Соболева. Какой-то особой теории метода компактности нет,
поэтому, как правило, метод компактности иллюстрируется на ряде
примеров. Поэтому и мы тоже рассмотрим некоторые конкретные
нелинейные краевые задачи и на их примере проследим, как применяется метод
компактности.
§ 2. Нелинейное гиперболическое уравнение
Пусть П — ограниченная область вМ3с гладкой границей
бе (0,1].
Приведем классическую постановку рассматриваемой в дальнейшем
задачи:
|^-Ди + №* = о, хеп, *е(о,т), (2.1)
ti|^ = 0, и(х,0)=щ(х), и(х,0) = щ(х), жеП, (2.2)
где q > О и
d2u d2u d2u
Аи = Щ + Щ + Щ> * = (*ь*2,*3).
Сейчас мы приведем обобщенную постановку задачи (2.1), (2.2).
Дадим следующее определение.
Определение 6.1. Слабым обобщенным решением задачи (2.1), (2.2)
назовем функцию u(x)(t) класса
uЕ L00(О,Т;К{Щ, ueh°°(О,Т;L2(ft)), u G L00(О,Т;H"!(fi)),

222 Глава 5. Принцип концентрированной компактности П. Л. Лионса
a (fix определена соотношением (4.2), в котором С = А. Следовательно,
д(х) = <рс(х 4- хо). Это доказывает, что
С {<Рс(- + х0): х0 GR1}
и обратное вложение имеет место, если, конечно, Gq не пусто, в силу
трансляционной инвариантности функционалов Е и Q.
Лемма доказана. □
Комбинируя теорему 5.4, 5.5 и лемму 5.12, приходим к утверждению
теоремы 5.3.
Литературные указания
Материал для данной главы взят из работ [53], [62], [63], [84], [85].

224
Глава 6. Метод компактности
удовлетворяющую задаче
т
jdt(u"-Au+\u\qu,v)=0 VveLl(0,T;Wl(n)), gG(0,4], (2.3)
о
u(o) = щ g mj(n), u(o) = щ g h\n), (2.4)
где (•, •) — скобки двойственности между гильбертовыми
пространствами Hj(ft) и Н-^П).
Задача (2.3)-(2.4) эквивалентна следующей:
т
Jdt<p(t)(u -Au + \u\qu,w)=0 VwGHj(ft), V^(0GL!(0,T), (2.5)
о
ii(0) = щ G Н4(П), ti'(O) = 11, G L2(ft). (2.6)
Действительно, справедливо более общее утверждение.
Пусть В — рефлексивное, сепарабельное банахово пространство с
сопряженным В*, со скобкой двойственности (•, -)в- Обозначим через || • ||в
норму в В, а через || • |Ц, — норму в В*.
Пусть С[и] — некоторый дифференциальный оператор в частных
производных, такой что для любого Т G (0, То) имеет место неравенство
ess.sup||£[tt]||*(*)<C(T)<+oo VTG(0,T0), (2.7)
<€|0.T|
Рассмотрим следующие две формулировки слабого обобщенного
решения оператора С[и\\
т
fdt(C[u]9w)B<p(t) = 0 VttfGB, V^(0GL!(0,T) VTG(0,T0), (2.8)
о
и
т
f dt(C[u],v)B = 0 VvGLl(0,T;B), VTG(0,T0), (2.9)
о
где символом (•, )в обозначена скобка двойственности между банаховыми
пространствами В и В*. В силу (2.7) левые части выражений (2.8) и (2.9)
определены.
Докажем теперь, что с любой наперед заданной точностью
произвольную фиксированную функцию из L!(0, Т; В) можно приблизить в смысле
L!(0,Т;В) функциями из С([0,Т];В). Действительно, введем финитную

§ 2. Нелинейное гиперболическое уравнение
225
в R1 бесконечно дифференцируемую функцию
U,
P(t) = < —- v<2- 1У Щ<1; (2.10)
|<| > 1,
где постоянная С > 0 определяется условием
Фиксируем произвольную функцию w € L1 (0, Т; В), а через v обозначим
продолжение функции v нулем вне интервала (0, Т). Используя функцию
(2.10), введем срезку функции ю:
v£{t) = -ef *p(y)«W» (2-»)
где интеграл понимается в смысле Бохнера. Заметим, что в силу результата
[49, теорема 3.8.4] из (2.11) заключаем, что ve G С([0,Т]; В). Справедливо
следующее выражение:
ve{t)-v{t)=X-f dsp^-^[v{s)-v{t)].
Из последнего выражения вытекает неравенство
II^O-^OIIb^^/^p^)!!^"^^ v<e(°>T)' (212)
R1
а из (2.12) вытекает неравенство
t+e
\\v€(t) - v(t)\\b ^l-fds \Ш ~ «(ОНв- (2.13)
t-e
В силу [49, теорема 3.8.5] получаем, что для почти всех t € (0, Т)
справедливо следующее предельное равенство:
\imQl- f ds\\v(s)-v(t)\\b = 0.
t-t
Значит, для почти всех t Е (0, Т) справедливо предельное равенство
ДтИ)-Л0||в = 0.
15 Заказ 405

226
Глава 6. Метод компактности
В силу теоремы Лебега приходим к выводу, что
т
lim |dt\\v(t)-v<(t)\\v = Q.
О
Итак, мы доказали, что любую функцию из hl(Q, Т; В) сколь угодно точно
можно приблизить функциями из С([0, Т]; В).
Рассмотрим банахово пространство С([0,Т];В). В силу
сепарабельности банахова пространства В в этом пространстве найдется счетная
всюду плотная система элементов {tfl*}^. В силу результата [11,
теорема 1.3 главы IV] система функций К^}^в|, t G [0,Т], всюду плотна
вС([0,Т;В).
Пусть {<Pk(t)}i=\ ~~ какой-либо «галеркинский» базис в L!(0, Т).
Справедливо следующее неравенство:
т т
1 mi.mj *
/II г
dt\\v- ^тзМз^О^*, < / dt\\v-ve\\B +
/Т и mi,m2 и
О 11 *ь*2=1 "В
Т
/И га 1. га 2 / my \ и
dt\\ XI ^imi*i^ftlf f*1-27ал^,(<)) =
О 11 *i.*2=l 4 *з=1 ' "В
где
о
= Ii+l2 + l3, (2.14)
m2
*2=1
Тем самым для любого е > О найдутся такая функция v£, что Ii ^ е/3,
такие mi, Ш2 G N и такие dm,m2*i*2» чт0 Ь ^ £/3. Наконец, найдутся такие
7*2*з- что Ь ^ £/3. Тем самым из (2.14) вытекает неравенство
/Т II mymj
О *ь*з=1
Рассмотрим задачи (2.8) и (2.9). Очевидно, что из (2.9) вытекает
(2.8). Теперь мы докажем, что из (2.8) вытекает (2.9). Действительно,
справедливо следующее равенство:
т т
dt(C[u]9v)B = у dtU[u]9v- X) ^3*1*3^*3(0^*,^ (2.16)
О 0 *1,*3 = 1 в
ГП| ,тз
(2.15)
в

§ 2. Нелинейное гиперболическое уравнение 227
15*
для всех v G L2(0, Т; В). В силу (2.7) и (2.15) отсюда вытекает, что правая
часть равенства (2.16) для любого е > 0 может быть сделана меньше
5(e) -» 4-0 при е -> 4-0. Так как левая часть не зависит от е > 0, то
приходим к (2.9).
Тем самым задачи (2.8) и (2.9) эквивалентны.
Справедлив следующий основной результат.
Теорема 6.1. Пусть щ G Hj(O), щ G L2(H) u q G (0,2]. Тогда
существует единственное слабое обобщенное решение задачи (2.1), (2.2) в
смысле определения 6.1 в классе
и G L00 (0, Т; Н4(П)), и G L00 (0, Т; L2(ft)), и" G L00 (0, Т; Н"1 .
Доказательство.
(I) «Приближенные» решения.
Рассмотрим теперь «приближенную» к задаче (2.5)—(2.6) следующую
задачу:
Ъ т
/ dt <p{t){uln - Aum 4- \um\qumi wj) =0, um = J2 (2A1)
о *=>
Tra > 0, € Н4(П) V^OeL^O.T), j=T7m,
M<>) = um0 G Hi(n), u'm(0) = umX G L2(ft), (2.18)
cmHOec(2)[o,Tm],
где
m
ixmo = ami^i ~> ^0 СИЛЬНО В Ho(ft),
t=l
m
^ml = 53 ^""^ U* СИЛЬНО В L2(fi),
t=l
а относительно системы функций {wj}^ предположим, что это решения
задачи на собственные значения и собственные функции
Awj + XjWj = 0, Wj G
Неизвестно, что система функций {wj}^ линейно независима и плотна
в н4(п).
Поскольку Cg°[0,Tm] С L1(0,Tm),TOB(2.17) возьмем функцию (p(t) G
Cq°[0, Тш]. С другой стороны, в классе Ст*(1) G C(2)[0,Tm] имеем
<t& - Аит + \um\qumi wj) е С[0, Тт].
Отсюда в силу основной леммы вариационного исчисления получим
поточечную по t G [0, Tm] систему т уравнений:
<гС - Atim + \um\qumy Wj) = 0, j= T~^. (2.19)

228
Глава 6. Метод компактности
Так как Wj G Hj(fi) С L2(fi), поэтому
(wk, wj) = (wki Wj)2, (Awki Wj) = (Vwk, Vwj)2.
Кроме того, поскольку по построению
um е L00(0, Tm; Hj(ft)) С L00(0, Тт; V+2(Q)), при [0,4]
имеем
|«ra|'«ra€Loo(0,Tra;L^2)/<«+1)(n)).
С другой стороны, Wj € С L?+2(ft). Поэтому
(\um\9um,Wj) = (\um\qumiWj)2.
В силу этого из (2.19) вытекает следующая задача:
m m
k=\ l=\
(2.20)
В силу линейной независимости системы w\,..., wm имеем
det (wk,Wj)2^0.
Поэтому система (2.20) после обращения матрицы ||а*,|| = \\(wk, Wj)2\\
примет вид системы типа Коши—Ковалевской, а значит, найдется такое
Тш > 0, что система (2.20) с соответствующими начальными условиями
имеет решение Cmk(t) £ С^[0, Тш].
(II) Априорные оценки.
Умножим уравнение (2.19), отвечающее индексу j, на cfmj и
просуммируем по j. Тогда получим
(*С, um)2 4- (Vum, Vu'm)2 + (\um\qum, u'm)2 = 0, (2.21)
откуда
—[iitaii+iivtufl + ^liwiffi=°- (2-22)
В силу (2.22) получим
I + l|v«m||I] + _^)|„m||*^ =
= \ [Il«m.ll2 + HVl^olli] + ^НвтоНЙ (2-23)
По условию имеем
umo -> мо сильно в Ho(ft), um\ -> щ сильно в L2(ft),

§ 2. Нелинейное гиперболическое уравнение
229
что означает выполнение неравенства
\ [lk.Hl + HVtUll] + ^ H«»ll$ < С(Т), (2.24)
где постоянная С(Т) не зависит от га Е N. Из (2.24) вытекает, что
um ограничены в L00 (О, Т; Но(П))>
um ограничены в L00 (О, Т; L2(ft)) • ^ ^
Отсюда, в частности, следует что Тт > 0 не зависит от га Е N.
(III) Предельный переход.
Пространство
L°°(0,T;Hj(n))
является сопряженным к
L^CTjH-1^)),
и поэтому из последовательности ит можно выделить такую
последовательность Up, что
tip —* и *-слабо в L00 (О, Т; Ио(П)), (2.26)
Up v *-слабо в L00 (О, Т; L2(ft)). (2.27)
Из (2.26) вытекает, что
и^-ь и в D' (О, Т; Hj(n)), (2.28)
и, следовательно, в силу (2.27) имеем v = и'. Кроме того, из (2.26) и
(2.27) вытекает, что ит принадлежат ограниченному множеству M.l(Q),
Q = (О, Т) х П. Однако, как известно, вложение H!(Q) в h2(Q) компактно.
(Здесь мы применяем метод компактности!!!) Итак мы можем считать, что
подпоследовательность удовлетворяет условию
иц-* и сильно в L2(Q) и почти всюду, (2.29)
и, наконец, поскольку |um|gum ограничены в L°°(0, Т; Ь^+2М?+|)(П)), то
можно еще предположить, что
\um\qum и> *-слабо в L°°(0, Т; L(g+2)/(*+l)(ft)). (2.30)
Существенно важный момент — здесь мы сталкиваемся с одной из наиболее
типичных трудностей нелинейных задач — доказательство того, что
w = \и\9и. (2.31)
На этот вопрос отвечает следующая лемма.

230
Глава 6. Метод компактности
Лемма 6.1. Пусть Q — ограниченная область в R% х Rt, gm и g —
такие функции из W(Q), 1 < р < 4-оо, что
\\9m\\ir{Q) < С gm д почти всюду в Q.
Тогда gm-± д слабо в I/(Q).
(Мы применим эту лемму в случае, когда
9т = \ит\чит, р= ——;
в силу того что дт -> \u\qu = д почти всюду и дт д слабо в W(Q).
Но тогда, согласно лемме, w = д = \и\яи.)
Доказательство. Пусть М — возрастающая последовательность
чисел, стремящихся к +оо; положим
Ем = {z\z eQ, \gm(z) - g(z)\ ^ 1 для \i ^ M}, z = (ж, t).
Множества (измеримые) Ем растут с увеличением М, и
meas(Z?Af) -> meas(Q) при М -> 4-оо.
Пусть Фм — множество функций (p(z) из l/(Q) с носителем в Ем и
и
Ф плотно в \Р\0). Если мы возьмем (р G Ф, то в силу теоремы Лебега
j <f(9m -g)dz^ + 0 при m -foo (2.32)
Q
(действительно, tp G Фм0, и если взять m ^ М, то |у?(^то - <;)| < |^| и левая
часть этого неравенства стремится к нулю почти всюду). Так как Ф плотно
в I/ (Q), то (2.32) доказывает лемму.
Лемма доказана. □
Таким образом, равенство (2.31) доказано, и можно перейти к пределу
в (2.19), полагая тп = /х. В силу (2.26) и (2.27) имеем
(Vii^, Vwj)2 (Vu, Vwj)2 *-слабо в L°°(0, Т), (2.33)
(ttj., wjh («'■ Wjh *-слабо в L°°(0, T), (2.34)
(МЧ, «y)2 (МЧ Wj)2 *-слабо в L°°(0, T), (2.35)
и, следовательно,
«, «>)2 = »,')2 («". «jh в Ф'(0, T). (2.36)

§ 2. Нелинейное гиперболическое уравнение
231
С другой стороны, в силу (2.19) имеем
(t&, Wj)2 = «, wj) = (Vt*m, Vwj)2 - (\um\qumi Wj)2 = 0. (2.37)
Значит,
(С ю,)2 -> («, w,)2 *-слабо в L°°(0, T), (2.38)
откуда в силу (2.36) получаем v = u". Теперь мы можем перейти к пределу
при то = /* -л Ч-оо в задаче (2.17) и с учетом (2.33)—(2.38) получить
т
J dt V{t)(u" - Ati + |и|Ч Wj) - О,
о
i = T7^ у^)еь!(о,т).
Отсюда в силу плотности «галеркинского» базиса {to*}^ в Ш10(П) мы
получим из (2.39) задачу (2.5).
Нам осталось доказать, что построенная функция u(x)(t)
удовлетворяет начальным условиям (2.6). Действительно, по построению имеем
^(0) = ti^o->t*o сильно в Но(П). С другой стороны, в силу (2.26)-(2.28)
после возможного исправления на множестве из [О, Т] нулевой меры
Лебега получим
1*0(0) t*(0) слабо в L2(fl).
Отсюда следует, что имеет место начальное условие «(0) = t*o.
Теперь в силу (2.38) имеем
(t*JJ,, Wj)2 -> (v, Wj)2 *-слабо в L°°(0, Т)
и, следовательно,
(t*^(0), Wj)2 -> (1*', Wjh\M = («'(0), Wj),
а поскольку
(t*0(O),t*;;)2 -> (uuWj)2>
то имеем
(u'(Q)iWj)2 = (uuWj)2 Vj.
(IV) Единственность.
Сначала докажем следующее важное утверждение.
Лемма 6.2. Пусть
veh2 (О, Т; L2(n)), v'eh2 (О, Т; Ь2(П)),
тогда имеет место следующее равенство для почти всех t £ (О, Т):
t
- IWll(0) = 2 f ds(v',v)2(s).
о

232
Глава 6. Метод компактности
Доказательство. Регуляризуя функцию Ь, действующую из R в h2(Q)
и равную v на [О, Т] и О вне этого интервала, мы легко получаем
последовательность функций vm, удовлетворяющих условиям
vm € С°°([0, Т]; h2(Q)), vm -> v сильно в L,2OC(0,Т; Ь2(П)).
Совершенно очевидно, что для функций vm выполнено равенство
^(Vm,Vm)2 = 2(vm,t4)2.
Далее имеем
\\VmWl -> Ы\1 (v'm, vm)2 -> (v, v)2 сильно в Ц,с(0, Т).
Отсюда, переходя к пределу при m +оо в смысле Z>'(0,T), получим
равенство в смысле Х>'(0, Т):
±(v9v)2 = 2(v,v')2. (2.40)
Теперь заметим, что
(v,v)2eh\o,T), (v,v')2ehl(o,T),
откуда в силу (2.40) следует, что
(v,v)2e АС[0,Т].
Таким образом, интефируя (2.40) note (0, Т), приходим к
утверждению леммы.
Лемма доказана. □
Лемма 6.3. Пусть выполнены условия теоремы 6.1 и, кроме того, qe(0,2].
Тогда решение и, полученное в теореме 6.1, единственно.
Доказательство. Пусть щ и и2 — два слабых обобщенных решения
задачи в смысле определения 6.1 и w = щ -и2. Пусть s е (0, Т). Положим
я
- J w(a) da,
t
0, t > s;
t
w\(t) = J w(o) da, так что ip(t) = w\(t) - w\(s), если t < s.
о
Тогда из (2.3), положив v = ip(t), получим
т
f dt {w" - Aw + |tt,|'tt, - \u2\qu2, = 0, w(0) = 0, w(0) = 0. (2.41)

§ 2. Нелинейное гиперболическое уравнение 233
0
Тогда приходим к равенству
-\m\1{s) - = f (Ы'щ - |u2|««2,1>)2 dt. (2.42)
0
Рассмотрим отдельно выражение в правой части, т.е., с учетом равенства
ip(t) = w'(t), выражение
з
i = J (M4 4«2l4V)2<tt.
о
По абсолютной величине это выражение не превосходит
(q+l)J sup (|i»i|Mi»2|f)W
n
последнее выражение с помощью неравенства Гельдера можно оценить
через (размерность 3)
Cidlltiirilj + lll^riljJIHUIIw'Ib.
Теперь потребуем, чтобы q G (0,2], а тогда имеет место вложение
Hj(ft) С L6(fi).
Отсюда, интегрируя по частям, получим
s3 3
- J(w',tl>')2dt + f (Vw,Vi>)2dt = f (\u\\qU\ - \u2\4u2,rl>)2dt,
0 0 0
а поскольку ^'(t) = w(t), в силу леммы 6.2 имеем
з
- f(w',w)2dt = -l-\\w\\22(s).
о
Поскольку w\(t) € C(I)([0, Т]; Но(П)) и w(t) = w\(t), справедлива цепочка
равенств
3 3 3
j (Vw(t)tVtl>(t))2dt = J [Vw^Vw^t))^- f (Vw(t),Vwx(s))2dt =
0 0 0
з
= f dt(Vw\{t),Vw,(t))2- \\Vwx{s)\\\ = -^||V«,(j)||i.

234
Глава 6. Метод компактности
В силу всех этих соображений приходим к выводу, что имеет место нера-
венство
lIK^OlVw.llKllVtiallDllVHblrt,
а поскольку «ь ti2 Е L°°(0, Т; Hq(S7)) , окончательно имеем
|i|<C3(T)||Vu;|h||«/|h.
Отсюда в силу (2.42) приходим к неравенству
t
ll»'ll!(0 + I|V«||1(0 < С4(Т) f ds [\\w'\\l(s) + \\Vw\\l(s)].
о
Отсюда в силу леммы Гронуолла—Белмана [14] приходим к выводу,
что U\=ui почти всюду.
Лемма доказана. □
Теорема доказана. □
§ 3. Нелинейная система уравнений
гидродинамического типа
В данном параграфе мы рассмотрим вопрос об однозначной
разрешимости в некотором обобщенном смысле следующей начально-крае вой
задачи для трехмерной системы уравнений Осколкова с кубическим
источником:
—(Аи - и) + Аи + (и, V)u + |и|2и = Vp, (3.1)
at
divu = 0, (ж,0еПх(0,Т), (3.2)
u|dn = 0, u(s,0) = iio, (3.3)
где x = (x\, ж2, жз) € R3, П — ограниченная область с гладкой границей
dQ € С2*6, S е (0,1]. Причем область Q локально расположена по одну
сторону от границы <Ю,
(— — —\ А = — —
\дхх' дхг dxj' " дх] + л ' +
92
дх\ + дх]'
р — давление в жидкости, u = (t*i, м2, г*з) — вектор скорости в жидкости.
При этом мы существенно будем использовать метод компактности.
Система уравнений (3.1)-(3.3) описывает динамику вязко-упругой
жидкости Кельвина—Фойгта при учете кубического источника. Для
системы уравнений без кубического источника ранее была доказана
глобальная во времени однозначная разрешимость в слабом и классическом

§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа 235
смыслах. Причем относительно начальных данных не требовалось
никаких условий малости.
Прежде всего определим, в каком смысле мы понимаем слабую
обобщенную разрешимость задачи (ЗЛ)-(З.З).
Определение 6.2. Под слабым обобщенным решением задачи (3.1)-
(3.3) мы понимаем решение u(x)(t) из класса
u(x)(t) G L°°(0, Т; H(tt)), u'(x)(t) G L2(0, Т; Н(П))
следующей задачи:
т
f dt <p(t)(D(u)9 w) = О V <p(t) G L2(0, T) V w G Н(П), u(0) = Uo,
о
(3.4)
D(u) = -(Ди - и) + Ди + (u, V)u + |u|2u, (3.5)
где (•, •) — скобки двойственности между пространствами Hq(O) и
H_I(S7), т.е. имеют вид
<D(u),w) = (Bl{u),wl)l + (D2(u)>w2>l +<D3(u),iD3>I>
D(u) = (D,(u),D2(u),D3(ii)), w= (wuwl9W3),
(•, )i — это скобки двойственности между гильбертовыми
пространствами и НТ^О), а
Н(П) = {u G Н£(П): divu = О}.
Определение 6.3. Слабой производной функции v G L2(Q) в смысле
скобок двойственности между гильбертовыми пространствами
Hq(S7) и H_,(n) называется следующая величина:
В дальнейшем мы будем пользоваться данным определением слабой
производной и говорить об «интегрировании по частям» в указанном
смысле. В частности, стандартная ситуация следующая:
1-1 1-1 Q
о€Но(П) VtD€Ho(n).

236
Глава 6. Метод компактности
В силу определения 6.3 слабой производной задачу (3.1)-(3.2) можно
переписать в следующем виде:
on L •=' 1=1
+ 2 Ui (■• ^) - (I"!2"- w>] = 0 v *>(0 € l2(°- t) v w € ВД-
Прежде всего докажем, что задача (3.1)—(3.2) эквивалентна
следующей задаче:
т
j dt (D(u), v) = 0 V v G L2 (О, T; Н(П)), u(0) = u0 G Н(П), (3.6)
о
D(u) = — (До - u) + Ди + (и, V)u + |и|2и. (3.7)
at
Действительно, имеет место следующая цепочка рассуждений.
Пусть В — сепарабельное банахово пространство с сопряженным В*,
со скобкой двойственности (•, -)в. Обозначим через || • ||в норму в В,
а через || • ||в — норму в В*. Кроме того, пусть Ш\ — сепарабельное
банахово пространство, вложенное в В.
Пусть С[и] — некоторый дифференциальный оператор в частных
производных, такой что имеет место неравенство
т
j dt ||£M||;2(«) < С(Т) < -foo VT G (0,To). (3.8)
о
Рассмотрим следующие две формулировки слабого обобщенного
решения оператора C[v]:
т
Jdt(C[u]tw)B<p(t) = Q VwEB, V^(0GL2(0,T) VTg(0,T0)
о
(3.9)
и
т
f dt(C[v],v)B = 0 VvGL2(0,T;B,), VTG(0,T0), (3.10)
о
где символом (•, -)в обозначена скобка двойственности между банаховыми
пространствами В и В*. В силу (3.8) левые части выражений (3.9) и (3.10)
определены.

§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа 237
Докажем теперь, что с любой наперед заданной точностью
произвольную фиксированную функцию из L2(0, т; Ш\) можно приблизить в смысле
L2(0, т; Bi) функциями из С([0, т]; Bi). Действительно, введем финитную
в R1 бесконечно дифференцируемую функцию
„оЛМрЬ)' <1: (з.м,
I 0, |f| ^ 1,
где постоянная О 0 определяется условием
J dtP(t) = l.
R1
Фиксируем произвольную функцию v £ L2(0, т; Bi), а через v обозначим
продолжение функции v нулем вне интервала (О, т). Используя функцию
(3.11), введем срезку функции v:
v€(t) = lf dsp(^y(s), (3.12)
R1
где интефал понимается в смысле Бохнера. Заметим, что в силу результата
[49, теорема 3.8.4] из (3.12) заключаем, что v£ € С([0, т]; Bj). Справедливо
следующее выражение:
v£(t) - v(t) = 1 f dsp{^j [v(s) - v(t)].
R>
Из последнего выражения вытекает неравенство
||t;-(0-^(0||Bl <|/^р(Ц^)ll^)-^(0||Bl v*e(o,t), (3.13)
R>
а из (3.13) вытекает неравенство
t+e
II^W-^WHb, < 7 / ds\\v(s)-v(t)\\Bi. (3.14)
t-e
В силу [49, теорема 3.8.5] получаем, что для почти всех t £ (О, Т)
справедливо следующее предельное равенство:
t+e
Hmoi| л||ф)-и(0||В|=о-
t-e

238
Глава 6. Метод компактности
Значит, для почти всех t G (0,Т) в силу (3.14) справедливо предельное
равенство
\imo\\v(t)-v*(t)\\Bi=0.
В силу теоремы Лебега приходим к выводу, что
\imj dt\\v(t)-v'(t)\\2ti=Q.
Итак, мы доказали, что любую функцию из L2(0, T;Bi) сколь угодно
точно можно приблизить функциями из С([0, Tj; Bi).
Рассмотрим банахово пространство C([0,T]; Bi). В силу
сепарабельности банахова пространства Ш\ в этом пространстве найдется счетная
всюду плотная система элементов {w*}^. Кроме того, система функций
{w*i'*2}Ja-|' ' е [°'ТЬ всюду плотна в С([0,Т];В|).
Пусть {<Pk(t)}t=\ — какой-либо базис в L2(0, Т). Справедливо
следующее неравенство:
dt\\v- X) Стмььрф^ь \ ^ / dt\\v-vt
*.,*з=1
т
<*Лв, +
/м ШьШ2 и 2
О " *ь*2=1 iibi
Т
/II Ш|,п>2 / шз \ ||2
dt\\ X ^imifcifeWfcif^-S^jWjW) =
= Ii + l2 + b, (3.15)
где
ш2
*2=1
Тем самым для любого € > 0 найдутся такая функция ve, что \\ < 5/3,
такие mi, шг G N и такие dm,m2ibi*2» что Ь ^ £/3. Наконец, найдутся такие
7*2*3, что I3 ^ 5/3. Тем самым из (3.15) вытекает неравенство
т
2
^5. (3.16)
В,
Рассмотрим задачи (3.9) и (3.10). Очевидно, что из (3.10) вытекает
(3.9). Теперь мы докажем, что из (3.9) вытекает (3.10). Действительно,

240
Глава 6. Метод компактности
Отсюда из результатов теории векторных полей (см., например, [43])
получим
f=gradej>(t,x) GL2(0,T; 1Г1(П)).
В силу [43] получим
т т
/INlw dt ^ с(П) j||l||i-,(n) dt < С(Т),
о о
так что
j>GL2(0,T; L2(Q)/R).
Теорема доказана. □
Из теоремы 6.2 вытекает, что классическое решение является слабым
обобщенным решением в смысле определения 6.2.
Докажем теперь единственность решения задачи (3.1)—(3.2). Сначала
докажем следующее важное утверждение.
Лемма 6.4. Пусть
u е L00 (0, Т; Н(П)), u е L2 (0, Т; Н(П)),
тогда имеет место следующее равенство для почти всех t Е (0, Т):
t
||u|||+ ((u,u)) - IKHl-((uo.uo)) =2 J dS[(u',u)2+((u',u))]. (3.18)
0
Доказательство. Регуляризуя функцию u, действующую из R в Н(П)
и равную и на [0, Т] и 0 вне этого интервала, мы легко получаем
последовательность функций um, удовлетворяющих условиям
итеС°°([0,Т];Н(П)), (3.19)
um —> и сильно в L2OC(0, Т; Н(П)), (3.20)
u'm -> и сильно в L2OC(0, Т; Н(П)). (3.21)
Совершенно очевидно, что для функций um выполнено равенство
jt [(um, um)2 + ((um, um))] = 2(um, u'm)2 + 2((um, u'm)). (3.22)
Из (3.19)—(3.21 вытекает, что
lh.ll!-4Ml2, ((U'm,um))-*((U',U)),
(u'm, Um)2 -> (u', U)2 СИЛЬНО В Vloc{Q, T).

§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа 239
справедливо следующее равенство:
т т
/Г I ™b™3 v
dt(C[u]yv)B= I dt(c[u], V- 53 Ст.тзМз^^КЛ (ЗД
О 0 *ь*з=1 В
для всех v G L2(0, Т; В|). В силу (3.8) и (3.16) отсюда вытекает, что правая
часть равенства (3.17) для любого е > 0 может быть сделана меньше
6(e) -> 4-0 при € -> 4-0. Так как левая часть не зависит от € > 0, то
приходим к (3.10).
Тем самым получили, что задачи (3.9) и (3.10) эквивалентны.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 6.2. Пусть f G L2 (0, Т; Н"1 (П)). Тогда для того чтобы имело
место равенство
т
f dt(f, v) = 0 V v G L2 (0, T; Н(П)),
о
необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая функция
p(*,z)GL2(0,T; L2(tt)/R),
что f = gradxp, где (•,•) — скобки двойственности между Hq(H) и
н-»(п).
Доказательство. Достаточность. Итак, пусть существует такая
функция р(х, t) G L2(0, Т; L2(ft)/R), что f = gradx р G L2 (0, Т; Н"1 (П)), тогда
имеет место следующая цепочка равенств для всех v G L2(0, Т; Н):
т т т
j dt (f, v) = J dt (gradp, v) = - j dt (p, div v) = 0 V v G L2(0, T; H).
0 0 0
Необходимость. Итак, пусть f G L2(0,T; H_I(S7)) и справедливо
равенство
т
fdt(f,\)=0 Vv£L2(0,T;H(n)).
о
Пусть v = y>(0w> ¥>(0 € L2(0, T) и w G Н(П), тогда в силу основной леммы
вариационного исчисления получим
(f, w) = 0 V w G Н(П) И почти всех * G [0, Т].
В частности, отсюда вытекает, что
((f, Н)> = 0 V Н G У(П) и почти всех t G [0, Т].

242
Глава 6. Метод компактности
Поскольку divuj = 0, то из последнего равенства получим
Nil + (К*)) + lfds ((w,w)) - f йх{\щ\\ - |u2|2u2)(u, - u2) -
- / dx ^(t»*u2)wl4
о *=i
0.
(3.25)
Рассмотрим сначала последнее слагаемое в равенстве (3.25). Заметим, что
оно в точности совпадает с тем слагаемым, которое было рассмотрена
в работе [26]. Теперь заметим, что из теорем вложения Соболева при
N = 3 имеем Ho(fi) С L4(Q), поэтому в классе
L00 (0, Т; Hj(n)) С L* (0, Т; L4(fi)).
В силу условий леммы для почти всех t Е (0, Т) имеем
/ £>2jt)4<fc<C(T)(
*=1
тогда из [26] вытекает
^d(T)((w,w)) 4-C2(T)||w||i
Кроме того,
j da:(|u,|2u, - |u2|2u2)(u, - u2)
<C3(T)((w,w)).
Таким образом, из (3.22) приходим к неравенству
t
IMl2+((w,w))<C4(T) f d*[IHl2 + ((w,w))](.) V«6[0,T], (3.26)
0
из которого в силу леммы Пюнуолла—Белмана приходим к выводу, что
w = 0 для почти всех (ж,<)efix (0,Т).
Лемма доказана. □
Теперь мы приступим к доказательству основного результата данного
параграфа. Справедлива следующая теорема.
Теорема б.З. Для любого uq Е Н(П) существует единственное слабое
обобщенное решение задачи (3.4)—(3.5) класса
и е L00(0, Т0; Н(П)), «' € L2(0, Т„; Н(П)),

§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа 241
Отсюда, переходя к пределу при га -> 4-оо в смысле 2?'(0, Т) в
равенстве (3.22), получим равенство в смысле V'(0, Т):
-[(u,u)2 + ((u,u))]=2(u,u')2 + 2((u1u')).
(3.23)
Теперь заметим, что
(u,u)2,((u,u)) Е^(0,Т) и Mh^M^GL'M.
Таким образом, интегрируя (3.23) по t G (0,Т), приходим к утверждению
леммы.
Лемма доказана. □
Наконец, мы можем доказать единственность задачи (3.4)-(3.5),
которая, как мы выяснили, эквивалентна задаче (3.6)—(3.7).
Лемма 6.5. В классах
u G L00 (О, Т; ЩП)), u' G L2 (О, Т; ЩП))
при Т > 0 решение задачи (3.6)—(3.7) единственное.
Доказательство. Пусть щ и и2 — два решения задачи (3.6)-(3.7),
соответствующие одной и той же начальной функции u0 G Н(П). Введем
обозначения
( ч Г "1 - "2, *€[0,*];
wW"\o, se[t,n
Возьмем в (3.6) v = w и вычтем уравнение (3.6) для решения иг из
уравнения (3.6) для решения u). Тогда после интегрирования по частям, что
законно в рассматриваемых классах, получим следующее равенство:
t г
J ds (w', w)2 + ((w', w)) + ((w, w)) - J dx - |u2|2u2)(u, - u2) -
0.
(3.24)
-Wd*(^2+«ltwKi
Из (3.18) получим
t г
l|w||i + ((w, w)) + 2 f ds ((w, w)) - f dx (|u,|2u, - |u2|2u2)(u, - u2) -
- J dx ^(ю*и2 + Ui*w)wIt
*=1
= 0.
16 Заказ 405

244
Глава 6. Метод компактности
Поскольку по построению система wj,... ,w#,... линейно независима
в Н(П), то матрица
(K-Wj)) + (Wi.Wfh
невырождена, поэтому, обращая ее, приходим к следующей системе
уравнений:
j=i i,*=i.i
771 771 ✓ i 171 2 \
= X)^X^( X)^W* W/jWi) ^» * = Um> (3.33)
j'=l /=1 ^' k=\ ' 2
с начальными условиями ^,(0) = 7Ш1. В силу общих результатов вытекает,
что система уравнений (3.33) с соответствующими начальными условиями
действительно имеет решение в классе Cmk(t) Е С^[0, Тш].
Теперь мы приступим к выводу априорных оценок. Умножим
уравнение (3.30) на Cmk(t) и просуммируем по к = 1,га, тогда получим первое
энергетическое равенство
~[((um,uro)) + (um,um)2] + ((um,um)) = ||um||J. (3.34)
Теперь умножим обе части уравнения (3.30) на dmk(t) и просуммируем
по к = 1, га, тогда получим второе энергетическое равенство
((Um,uj) +(u,m,U,m)2 + ~((um,Um)) = —HUJIJ+ ((Um,V)um,U^)2.
(3.35)
Рассмотрим первое энергетическое равенство. Прежде всего отметим, что
поскольку мы рассматриваем трехмерное пространство, то имеет место
вложение
Н£(П) С L4(Q).
Отсюда сразу же получаем вложение
Hj(fl) С L4(Q).
Стало быть, имеет место неравенство
l|um||4^C((um,Um)),/2.
Введем обозначение
фгп=Х~ ((um, um)) + ^(um, um)2, Фшо = Фт(0). (3.36)
Из первого энергетического равенства вытекает неравенство
Ф'т < 4С*Ф1, (3.37)

§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа 243
причем момент времени Т0 > 0 максимален в том смысле, что либо
То = 4-оо, либо То < 4-оо и тогда имеет место предельное равенство
lim sup ((u, u)) = + оо.
«По
Доказательство. Рассмотрим конечномерную аппроксимацию
задачи (3.4)—(3.5). Именно, поскольку пространство Н(П) сепарабельно, то
существует последовательность линейно-независимых элементов wb...,
wn,тотальная в Н(П). Для каждого га определим приближенное
решение um уравнения (3.4) следующим образом:
тт
J dMO<D(um),w*)=0 V^)GL2(0,Tm), um(0)=um0, (3.27)
о
D(Um) = ^(Aum ~ Um) + Д"т + fan, V)um + |um|2Um, (3.28)
где
m
um = ^cmjk(OwA;, um(0) = um0 = ^2 akwk -» uo сильно в Н(П). (3.29)
*=1 k=\
Относительно Cmk(t) мы предполагаем, что они являются решениями
системы уравнений (3.27) класса С^[0,Тт] при некотором Тш > 0. В
указанном классе имеет место вложение
(D(um),w*)GC[0,Tm],
поэтому в силу вложения (p(t) G Со°°*[0, Тш] С L2(0, Tm), а значит, в силу
основной леммы вариационного исчисления имеем
(D(um),w*)=0, (3.30)
откуда в силу (3.29) получим для Cmk(t) следующую систему уравнений:
Yl [fa.wib + (fa.wi))]4» + (fa. wi))<*n< +
i=\ i=l
m,m m s m 2 \
4^6(wi,w/,w;)cmt(0cm/(0 = X^( X) w»>wj) ^ i=^m,
(3.31)
где
fc(u,v,w)=^ / Ui(DiVj)wjdx, (3.32)
и = (щ,и2,щ), v = (vj, v2, v3), w = (u>i, w2, wi).
16*

246
Глава 6. Метод компактности
Для I справедлива следующая цепочка неравенств:
Г 3,3 I Я«' I г 3,3
п 1=1
^|((C«C)) + |l|um|lt
Из (3.40) и (3.41) вытекает оценка
t
Hi
dXi
2
2
2>
+
+
*
/
2
2
du'i
2-i
+
I
+
dx2
dx3
(3.41)
0
t
(3.42)
(3.43)
Из (3.39) и (3.42) вытекает, что
um равномерно по га ограничено в L°°(0, Т; Н(П)),
vim равномерно по га офаничено в L2(0, Т; Н(П)).
Из (3.43) вытекает, что найдется такая подпоследовательность
последовательности um, для которой справедливо следующее:
Um-^u *-слабов^(0,Т;Н(П)), (3.44)
u'm v* слабо в L2 (0, Т; Н(П)). (3.45)
Докажем, что v* = и'. Действительно, из (3.44) вытекает, что в смысле
распределений 2>'(0, Т; Н(П)) справедливо предельное равенство
в силу единственности предела имеем v* = и'.
Лемма 6.6. Для некоторой подпоследовательности последовательности
Um = (ttlm, и2т, Щт)
имеем:
UimUjm UiUj Слабо в L2(QT),
QT = (0, Т) х П для всех t,j = TjT

§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа 245
из которого, в свою очередь, вытекает неравенство
Поскольку umo -> щ сильно в Н(П), то Фшо ^ Со не зависит от га Е N.
Далее возможны два случая для некоторой подпоследовательности
последовательности {um}: либо Фшо|Фо, либо Фт0|Фо. Обозначим через В = 4С4.
Рассмотрим сначала случай Фшо t $о- Тогда справедливы неравенства
1-вфш0^ i-ВФо* v*e(o,T,), T,=B~V,
Фш^С, Vte(0,T), те (о,то, T,=B~V,
где С\ не зависит от га Е N.
Рассмотрим теперь случай Фш0 I Фо- Для любого га < га имеем
Фшо > Фшо, 1 - ВФт0* ^ 1 - ВФто*.
И для любого £ Е [О, В 'ф^о) получим
Со
Фт <
1 - ФтоВе
Стало быть, для любого фиксированного Т из интервала Т Е (0, Ti)
найдется такое ffi Е N, что будет иметь место неравенство (3.39).
Теперь из второго энергетического равенства мы получим следующее
неравенство:
t
ds[(KM)+ КМг] ^
о
t
' (3.40)
^ ^l|Um|l4 + ^((UmO,Um0)) +
j ds ((um, V)um,um):
Теперь отдельно рассмотрим слагаемое
((um, V)um,um)2.
Введем обозначение: h = u'm, тогда справедлива следующая цепочка
равенств:
3 3,3
((Um, V)um,Um)2 = / Л,(иш, V)timi = / hi(Umi>dj)Ur>
^ С dh' ^ Г dv!
£ У =-. ^, У ^"-^=

§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа 247
Доказательство. В силу (3.43) имеем
umi е L00 (О, Т; Hj(il)), v!mi € L2 (О, Т; Hj(n)), i = ТД
равномерно по то Е N. Значит,
nmi е и1 (Qt) «-» l4(qt) с l2(qt).
Стало быть,
Vrm -> ti, СИЛЬНО В hA(Qj).
Докажем теперь утверждение леммы. Действительно, для всех w Е L2(Qt)
т т
J J dxdtumiumjw = j j dxdt[urni-ui]umjw +
on on
t
4- J J dx dt Ui[umj - Uj]w + J J dx dtUiUjW,
on on
Справедливы следующие оценки:
т
4W
J j dxdt[umi-Ui]un
п
t
j J dxdt[umj-Uj\uiW
0 ft
< \\*mi ~ Uj\U \\Ui\U \\W\\2 -> +0,
при то -» +00.
Лемма доказана. □
Для дальнейшего нам потребуется следующая лемма.
Лемма 6.7. Пусть последовательность {uTO}jJj!?| равномерно по то € N
удовлетворяет следующим условиям:
т
!М1ц>(п) < С> j dt lKnl|2„,(fi) ^ С V te (О, Т), (3.46)
о
где 0 < Т < -foo w постоянная С зависит от Т. Тогда существует
функция u(s) Е Ь4(П) для почти всех s Е [О, Т] и имеет место
предельное равенство
umk(s) -> u($) со/юно в Ь4(П) для почти всех a Е [О, Т],
где П — ограниченная область в R3 с достаточно гладкой границей.

248
Глава 6. Метод компактности
Доказательство. Имеет место компактное вложение
Hlo(Q) «-> L4(0).
Рассмотрим следующее рефлексивное банахово пространство:
R = {и | и g l2(0, Т; н£(п)), и' g l2(0, Т; Hj(n)) }. (3.47)
Заметим, что функция um(t) после возможного изменения на множестве
нулевой меры Лебега на (О, Т) принадлежит классу
um(0 € C([0,T]; Hi(fi)) С C([0,T]; L4(n)).
В силу (3.46) последовательность {um}+~, офаничена в R.
Поскольку R — рефлексивное банахово пространство, то из
последовательности {иш}^, можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность
{"шЛш^1. в частности,
umk и слабо в l2 (О, Т; Hj(fl)). (3.48)
Докажем, что
umk(s) -> u(s) сильно в Ь4(п) для почти всех з g [О, Т]. (3.49)
Воспользуемся техникой работы [30]. Без офаничения общности можно
считать, что и = 0. Кроме того, s не ифает никакой специальной роли,
и нам остается только показать, что
um*(0) -> 0 сильно в L4(Q). (3.50)
Определим теперь v* равенством
yk(t) = иШ4(А£), Л > 0 фиксировано, (3.51)
причем
иША(0) = v*(0), ||vft||I^(0aT:4i(n)) ^ с,Л"1/2, ||v/a.||l2(o.T.^(n)) ^ с2А1/2.
(3.52)
Если функция <р из класса С*[0, Т] и <р(0) = -1, tp(T) = 0, то
т т т
v*(o) = f М*Ы' л = А + 7*. Л = / К Л> 7* = У* ¥>Чк Л-
0 0 0
Значит,
Цит*(0)Нь<(п) < НАНь<(П) + Ыкчп) < с3Л,/2 + Ы1ь«(П).
Для произвольного е > 0 выберем А > 0 так, чтобы сзА!/2 ^ е/2.
Поскольку v* 0 слабо в l2(0, Т; Hq(H)) , то 7* 0 слабо в H^fi). Но вложение

250
Глава 6, Метод компактности
Рассмотрим теперь нелинейные слагаемые в уравнении (3.27). Именно,
в силу лемм 6.6 и 6.8
т зз т
3'3 " " 010/*
J dt(p(t)((um, V)um,w*) = - ^ У dx dt (p(t)ujmuim-^
о 'Jsl on J
3,3 T T
"£/ / ^^^S:55/dM0<(u,v)u,w*),
'Ja| on J 0
T T
У dM0<|um|2um,w*)-+ У dtV(t)(\u\\wk).
о о
Пусть Т=То > 0. Причем То > 0 есть максимальный момент времени,
т. е. либо То = Ч-оо, либо То < оо и имеет место предельное равенство
lim sup ((ц, и)) = 4-оо.
«По
Предположим противное: То < 4-оо, но
((u,u))(*)<C<+oo V*E[0,T0].
Заметим теперь, что после изменения на множестве меры Лебега нуль
имеем u Е С ([О, Т0); Н(П)). Пусть V Е (О, Т0). Тогда имеем
г
y<te(D(u),v) =0 УуЕЕ2([0,Г);Н(П)), u(0) = Uo Е Н(П). (3.54)
о
Рассмотрим теперь следующую задачу:
T+t
j da(D(u),v)=0 VvEL2([r,T40;H(fi)), и(Г) = ur E Н(П).
v
(3.55)
Сделаем замену переменных a = s—T и vt(a) = u(a+V). Приходим к
следующей задаче:
t
J ёа(Щи)(а)9^а + Т))=0
о
Vy(a + Г) Е L2 ([0,0; Н(П)), w(0) = up Е Н(П).
Сравним данную задачу с (3.4). Поэтому найдется такое Т* = Т'(Т'), что
существует решение интегрального уравнения при t Е (0,Т*). Поскольку
sup ((и, и)) < 4-оо,
Т€(0,То|

§ 3. Нелинейная система уравнений гидродинамического типа 249
Hq(Q) в Ь4(П) компактно, поэтому имеет место сильная сходимость 7* -> О
в L4(Q). Стало быть, для произвольного е найдется такое N, что для всех
га* > N имеет место неравенство
1|Ит*(0)|||/(П)
Тем самым (3.50) доказано.
Лемма доказана. □
Теперь мы можем доказать следующее утверждение.
Лемма 6.8. Пусть последовательность {ит}*^ равномерно по га Е N
удовлетворяет следующим условиям:
т
1к.11ц№) ^ С, f <tt||u'm||2H,(n) ^ С Vte (0, Т), (3.53)
о
где 0 < Т < 4-оо и постоянная С зависит от Т. Тогда существует
функция u(s) Е L4(Q) для почти всех s Е [0, Т] и имеет место
предельное равенство
|umJ2um, -» |u|2u
сильно в L4/3(Q) для почти всех t Е [0, Т].
Доказательство. Из леммы 6.7 вытекает, что для некоторой
подпоследовательности ит последовательности um имеет место следующее
свойство:
сильно в L4(Q) для почти всех t Е [0, Т].
Заметим, что справедливо следующее неравенство
||umJ2umt - |u|2u| ^ Cmax{|u|2, |umJ2}|um, -u|.
На основе данного неравенства при помощи неравенства Гельдера получим
IlKlV - |u|2u||4/3 <Cmax{||u||i ||umJ|^}||urot - u||4,
откуда сразу же приходим к утверждению леммы.
Лемма доказана. □
Теперь можно перейти к пределу при га -> +оо в уравнении (3.27).
Действительно, в силу (3.44) и (3.45) справедливо следующее предельное
равенство:
т т
/ dM0^(A"m-um)-f Aum,w^J dty(0^(Au-u) + Au,w*y
о о

§ 4. Div-curl-лемма и ее применение
251
то существует точная нижняя грань функции Т* = Т*(Т) > 0, которую
мы обозначим Т* > 0. Теперь возьмем
Т*
Г-Т.-1.
Имеем
u = {u(0, *€[0,Г]; w(t-T), «€[Г,Г+Г]}.
Но Т = То - Т*/2, поэтому
u = {u(0, ielO.T']; w(t-V), «б^.То+Г/г]}.
Мы пришли к выводу, что решение задачи (3.4) можно продолжить за
момент времени Т0 > 0. Поэтому приходим к противоречию с условием
конечности момента времени То > 0.
Теорема доказана. □
§4. Div-curl-лемма и ее применение
В этом параграфе мы докажем одну лемму, важную для приложений.
Определение 6.4. Пусть w Е h2(U;RN), w = (to1,... ,wN).
Определим curl w € W"l,2(C/; MNxN) следующим образом:
(curl w)ij = wlx. -vPx., 1 < iyj < N.
Теорема 6.4. Предположим, что {v*}JLi, {wk)kL\ — две ограниченные
последовательности из L2(C/; R^), такие что
1. {div Vk}fL} принадлежит компактному подмножеству из W~l,2(C/);
2. {curl Wk}fL{ принадлежит компактному подмножеству
u3W~{>2(U;MNxN).
Предположим, что v^v слабо в L2(U; RN) и wk w слабо eh2(U; RN).
Тогда vk • wk -> v • w в смысле распределений.
Доказательство. Для каждого k = 1,... определим векторное поле
ик Е W2*2(U; RN) как решение следующей задачи:
-Аик =wk в U, (4.1)
ик = 0 на 0U. (4.2)
Решение этой задачи понимается в слабом смысле. Поскольку {iu*}^
ограничена в L2(U;RN), то {щ}?^ ограничена в W2>2(U;RN).
Теперь положим zk = - div и*, у* = wk - Dzu, к = 1, — Тогда {z*}^
ограничена в Wl,2(C/). Кроме того,
yi = wk- zktXi = + u{XiX. = (uJkXi - u\tXj)Xi. (4.3)

252
Глава 6. Метод компактности
В силу предположения 1 и из (4.1) вытекает, что {curl принадлежит
компактному подмножеству из W^E/; MNxN). Таким образом, из (4.3)
вытекает, что {у*}*^ содержится в компактном подмножестве
пространства Lk(l7;R*).
Поэтому мы можем предположить, что с точностью до перехода к
подпоследовательности имеем
zk z слабо в Wl,2(E/), yk -> у сильно в 1^(1/; RN), (4.4)
где
z = divu, y = w-Dz для u Е W2,2(tf; R*),
-Ди = iu в С/, и = О на dU.
Пусть теперь у? Е С?°(Е/). Тогда имеем
В силу (4.4) имеем
J vk-wk<pdx = J vk-(yk + Dzk)<pdx.
j vkyk(pdx-> J vydx.
и и
Кроме того, в силу предположения 1 и из (4.4) получим
J vk • Dzk(p dx = - j vk- D(pzk dx - (div vky zk(p) -
и
- J v-D<pz dx- (div v,z(p) = J v-Dz<pdx,
и
где (•, •) — скобки двойственности между банаховыми пространствами
Wl'2(tf) и W~l>2(U).
Таким образом,
У* vk • tfljb^ da: -> J v • (у + Dz)y? dx = J v - w<p dx.
и и и
Теорема доказана. □
Далее мы рассмотрим один пример, в котором существенно
используется Div-curl-лемма. С этой целью приведем следующую задачу Коши для
уравнения Каммассы—Холма, описывающую нелинейные волны на
поверхности воды [66,67]:
Щ - vxxt + Ъиих = 2ихихх + uuXXXi t > О, х Е R1,
и(0,х) = щ(х), x£R
(4.5)

§ 4. Div-curl-лемма и ее применение
253
Дадим определения сильного и слабого обобщенных решений задачи
(4.5).
Определение 6.5. Сильным обобщенным решением задачи (4.5)
называется функция u(x)(t) класса
и € С([0, +оо); Ш\ЖХ)) п С(1) ([0, +оо); H2(R*)), (4.6)
удовлетворяющая задаче
/ (Щ - uxxt 4- 3t«*x - 2uxuxx - uuxxx)v(x, t) dx = 0,
r. (4.7)
u(xy 0) = щ(х) € H3(R!) Уф, 0 € C([0, 4-oo); L2(R!)).
Для уравнения (4.5) справедливы следующие эквивалентные
преобразования. Резольвента (H-dJ)""1 может быть записана при помощи свер-
точного оператора:
(l-dl)~lf=l-p*f, р = ехр(-|х|), / е l2(r').
Предположим теперь, что и
и € С([0, 4-оо); H3(R1)) п С(1) ([0, +оо); H2(R1))
— соответствующее txo £ H3(R^) решение уравнения (4.5) в смысле
определения 6.5. Используя уравнение (4.5), нетрудно показать, что
(I - д2х)(щ 4- uux) = -2uux - uxuxx = -дх (u2 4- ^u2^. (4.8)
Следовательно,
щ + uux = -Х-дх (р * (и2 4- 1-и£) ). (4.9)
Введя нелинейный оператор
F(v)=l-(^v2+p* (*2 + ^*))>
уравнение (4.9) можно переписать в виде закона сохранения:
щ + F{u)x = 0, и(х, 0) = щ(х).
Теперь дадим определение слабого обобщенного решения.
Определение 6.6. Слабым обобщенным решением задачи (4.5)
называется функция u(x)(t) класса
uEL^+oojH^R1)), (4.10)

254
Глава 6. Метод компактности
удовлетворяющая задаче
т
J JiU(Pt + F(u)<px} dxdt + j щ(х)(р(0, x) dx = 0,
0 R1 R1
и(0,х) = щ£Ш\Ж1) Vp€C£l)([0>T];Rl)> (4'U)
F(v) =^г2тр*^ + ^), v E H^R1).
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 6.9. Каждое сильное обобщенное решение является слабым
обобщенным и каждое слабое обобщенное решение класса
и Е С([0, +оо); H3(R!)) П С(1) ([0, +оо); Ш2(Ж1))
является сильным обобщенным решением.
Основное утверждение настоящего параграфа следующее:
Теорема 6.5. Пусть щ 6 H^R1) и предположим, что уо = щ-щ%хх —
положительная регулярная мера Бореля с ограниченной полной вариацией.
Тогда существует глобальное слабое обобщенное решение задачи Коши
(4.5).
Доказательство данной основной теоремы предварим некоторыми
вспомогательными леммами.
Как известно, Co(R!) — банахово пространство, сопряженным
которому является пространство всех регулярных борелевских мер M(Rl),
причем имеет место вложение M(R!) С ©'(R1). Посредством M+(R!) С M(Rl)
обозначим положительные меры Бореля.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 6.10. Для любой р Е M+(R!) существует такая
последовательность fn Е W°(Rl) flL^R1), что
fn>0, ||/„||i < 1Ы1м, и /п->М *D'(Rl).
Доказательство. Возьмем «шапочку»:
р Е D(R!), supp(/>) Е [0, 1], р^О, J р(х) dx = 1.
R>
Определим последовательность
рп(х) = пр(пх) Уж Е R1.

§ 4. Div-curl-лемма и ее применение
255
Пусть
/п = ^*Рп^О, fn Е С00^1) П L^R1), /„->,! bD'CR1).
Заметим, что dkfn = fi* вкрп Е L^R1) для всех к ^ 1, и, таким образом,
мы приходим к выводу, что fn Е W1'*^1) для всех к ^ 1. Теорема
вложения Соболева позволяет нам доказать, что /п Е H°°(Rl).
Пусть (♦, •) — скобки двойственности между V(Rl) и ©'(R1). Тогда
согласно теореме Фубини имеем
J(ii*p)(x) dx = J </i, p(- - x)) dx = J J pn(y-x) dp,y dx =
R1 R1 R» Rl
= //np((y~x)n) dxdN = / ( /P(y-x)dx)dt*v =
R1 R1 Rl R1 '
= 1И1,1 ^<|И|1|Ы|м = 1ЫЫ.
R>
Лемма доказана. □
В работе [67] были доказаны следующие утверждения.
Теорема б.б. Пусть щ Е H3(Rl) и предположим, что уо = щ - мо,** > О
w принадлежит L^R1). Тогда задача Коти (4.5) имеет единственное
сильное обобщенное решение в смысле определения 6.5.
Лемма 6.11. Пусть щ Е H3(R!) и предположим, что уо — ~" Щ,хх ^ и
w принадлежит L^R1). Если и — это соответствующее щ сильное
обобщенное решение задачи Коши (4.5), тогда мы имеем
и{Ь)-ихх{Ь)>Ъ, (4.12)
N*)IIh« = INIh«. (4.13)
l|ti(Olli = lly(Olli=llyolli, (4Л4)
IMQIloo < llftlli (4.15)
для всех t^Q.
Пусть tio Е H^R1) ипредположим, 4Toyo = ^o~wo,2?x^3Vt+(R1)' Более
того, пусть
т = || ti0 - п0,хх1Ы-
По лемме 6.10 найдется последовательность yj Е C^R^nL^R1), yj > 0,
такая что
l|yolli<m и y0n->y0 bD'(R!). (4.16)
Пусть
"о = ^.y0neCoo(R1). (4.17)

256
Глава 6. Метод компактности
Заметим, что и% ^ 0 и yj = мо ~ ио,хх для я ^ 1. В силу неравенства
Юнга для сверток имеем
1Ш<1ИЫ1Уо11ь Н(«о).1Ь < 11рх1Ы1уоп11.
и, следовательно, в силу (4.16) имеем
|К|1н< < 11р11н-11уо11. <т||р||„,. (4.18)
Кроме того, в дополнение к этому справедлив следующий результат:
Лемма 6.12. гх0 слабо в H^R1).
Доказательство. В силу (4.18) существует такое v Е H^R1), что
Uq-^v слабовН1^1).
Стало быть, для любой функции / Е D(R') имеем
f yn,fdx = f (t*S/ + K),/,) dx-> f(vf + vxfx) = (v-v„,f).
R1 R1 R1
С другой стороны, используя (4.16), получим
J yofdx-> (t4o-tloiX*,/>.
R1
Предьщущие два соотношения показывают, что
v-vxx=u0- щ,хх Е H~!(Rl).
Поскольку
l-dl
— это топологический изоморфизм между H^R1) и H~l(Rl) мы приходим
к выводу, ЧТО V = щ.
Лемма доказана. □
Лемма 6.12 и выражения (4.18) и (4.16) дают подходящую
аппроксимацию начальной функции щ Е H^R1) для задачи Коши (4.5),
удовлетворяющую условию Uq - UotXX Е M+fR1).
Далее, в силу теоремы 6.6 для каждой начальной функции и%,
определенной соотношением (4.17), существует единственное сильное
обобщенное решение un задачи Коши (4.5) класса
un Е С([0, +оо); H3(R!)) П С(1)([0, +оо); H2(R!)).
Введем следующее обозначение:
yn(t)=un-unXX9 п>1, t>0.

§ 4. Div-curl-лемма и ее применение
257
Мы намереваемся доказать, что некоторая подпоследовательность
последовательности {un} сходится слабо к слабому обобщенному решению
задачи Коши (4.5) в смысле определения 6.6. И здесь решающую роль
будет играть Div-curl-лемма.
Справедлива следующая лемма [80]:
Лемма 6.13. Пусть П открыто в R2, Е\ — компактное подмножество
в Ш[01с(0), Е2 — ограниченное подмножество пространства М(П), и
Ei — ограниченное подмножество Соболевского пространства W^'°°(ft).
Тогда
(Е\ + Е2) П Е$ относительно компактно в Н/~|.(П).
Фактически, мы будем использовать лемму 6.13 только для случая
Я, = {0}.
Пусть р > 1 и П С I2 - открытое подмножество. Теперь введем
следующее линейное пространство:
Wpt/oc(n) = {vG T>'(il) : (pv E W~"1,p(R2) для всех ^D(ft)}.
Данное линейное пространство является пространством Фреше
относительно семейства полунорм
{[«->IIHIw-«*]^€0)(n)}.
Лемма 6.14. Последовательность {ихх\п^ 1} относительно компакт-
на в Н^((0, Т) х R1) для каждого Т > 0.
Доказательство. Заметим, что для всех 0 и п ^ 1 в силу леммы 6.11
и соотношения (4.16) имеем:
11«п(0-«^|1м<11уп(011. = 11Уо111<т,
ll«n(OII. = llyn|l. = llyolh^m.
Следовательно,
\\ипхх\\м < 2т.
Отсюда следует, что
{ипхх} ограничена в M((0,T) х R1). (4.19)
Пусть у? Е £((0,Т) х R1) и ^ G WU(R2). Тогда в силу леммы 6.11
и соотношения (4.16) справедлива цепочка соотношений
\(<p<x,i>)\ =
J J <puxxi/> dx dt = J J (ip^ + <pi/>x) u" dx dt
0 R1 0R>
< C^HuSllL^ao^xR'll^llw'.'CR2) ^ ^llyollill^llw'.'CR2) ^ C^mlMlw^R2)-
17 Заказ 405

258
Глава 6. Метод компактности
Это показывает, что
{t&; n ^ 1} ограничена в W^'00((О,Т) х R1). (4.20)
Теперь, воспользовавшись леммой 6.13, из (4.19) и (4.20) приходим к
утверждению леммы.
Лемма доказана. □
Лемма 6.15. Для каждого Т > 0 последовательность
K + «)2 + «ni&;
относительно компактна в Н^((0, Т) х R1).
Доказательство. Дифференцируя уравнение (4.9) по ж, мы получим
для всех t > 0 и n > 1
■й + К)2 + «Хх = -\ь\ (р* [(«")2 + ^Ю2]) =
= ^((н-92)-п)(Р.[(«п)2 + 5Ю2]) =
^Ю' + ^Ю2-^* ((«n)2 + 5«)2)- (4.21)
Справедливо следующее неравенство:
< Н«"11н« = И«о11н. < "»21Ы1н.>
из которого, используя неравенство Юнга для сверток, в силу леммы 6.14
получим
||р.([«п]2 + 5К]2)
< IWIi ll^l&i = llplli К11н>< т'ЦрН, IIpIIh
Предыдущие два соотношения и очевидное вложение L!(R!) С M(Rl)
показывают, что последовательность
{(»П)2 + \К)2-\р* ((«и)2 + |(1в)2);п> l} (4.22)
офаничена в M((0,T) х R1).
Теперь введем обозначение
/n = ip.((«e)2 + ^(t4)2), п>\.

§ 4. Div-curl-лемма и ее применение
259
Для заданных
мы имеем
^€D((0,T)xE') и V>€Wu(R2)
1
0 Ri
I i
J J(<P^x+<Pxip)f2 dxdtl ^ C^H/^llloo^tjxrtll^llw^cr2)-
0 RI '
Кроме того, из неравенства Юнга следует цепочка неравенств
IIAloo = \
|p**([«Y + ^K]2)||
.П|2 , li..ni2
2
< Н«"11н. = Ы1оо II«oIIh' < m^i^Hoo К.,
Пм2
так что
ll/*loo<m2||PzlUlp|&..
Суммируя все полученное, получаем, что в силу определения функции fn
{(«n)2 + - \Р * (V)2 + ^К)2); я > l}
офаничена в W/~[,oo((0,T) х R1). В силу леммы 6.13 получим
|(«")2 + i(«2)2 - \р* ((«»)2 + \(ч»?у,п > l}
относительно компактна в Hj^((0, Т) х R1). В силу уравнения (4.21)
приходим к утверждению леммы.
Лемма доказана. □
Лемма 6.16. Для любого в€ [О,1], найдется постоянная К>0, такая
что
1|иП||вС,-Ч|0Н-оо);Н"-1) < К> П > 1.
Доказательство. Используя лемму 6.11 и соотношения (4.16) и (4.18),
мы получим, что
||«Х||2 < ИЛЬ IKIIoc < К||н> НУо!. < m2||p||H.
для всех ^Оип^ 1. Также в силу неравенства Юнга для сверток имеем
<1ЫЬ Kf+^K]2 <11р*1Ы1«п|1н.<т2ЦрИн.,
|рх*(к12+5К]2)
17*

260
Глава 6. Метод компактности
Используя последние два соотношения и уравнение (4.9), получим
<"i2|Nh'0 + IIpIIh')> t> 0, п>1.
н-'
Отсюда сразу же получим оценку
||«П(0-«П(5)||Н-, <K\t-3\, f,01,OI.
С другой стороны, в силу леммы 6.11 и соотношения (4.18) получим
||un(<) - un(a)||Hl ^ 2m||p||H> t,s>\, п>1.
Используя интерполяционное неравенство
1Н1н^ <1М1н"!|Ин., в е [о,1], «6Н1,
мы получим, что
\\un(t) -ип(з)\\н»_> < K\t - s\x~\ «,О0, n > 1.
Для данного в Е [0,1], предыдущего неравенства, леммы 6.11 и (4.18)
получим утверждение доказываемой леммы.
Лемма доказана. □
Лемма 6.17. Существуют такие подпоследовательность {иПк}
последовательности {ип} и функция
и Е L00((0, +oo);H,(R1)),
что
unk^u слабо в L2((0,+oo);ml(Rl))y
иПк -> и почти всюду на (0, +оо) х R1
и
иПк -> и сильно в Ь21ос((0, +оо) х R1).
Доказательство. Пусть Т > 0. Для любого в Е (3/4,1] справедливо
вложение Соболева
H2'-i(Ri) «_> BC(4'~3)/2(R!).
Следовательно, в силу леммы 6.16 имеем
Цип|1вс5/6(|о,т|хк') < К, п ^ 1.
Для любого открытого и ограниченного множества OCR1 пространство
ВС5/6([0,Т] х О) компактно вложено в L2((0,T) х О). Таким образом,
в силу леммы 6.11 существуют такие подпоследовательность п* -> +оо
и функция и Е h2((p9T;Ml(R1)), что справедливы следующие свойства:
иПк и слабо в L2((0,T); H'fR1))

262
Глава 6. Метод компактности
для некоторой постоянной М > О, не зависящей от п*. Таким образом,
мы делаем вывод о существовании функции v € L2(0, TxR1), что
(О2 v слабо в L2 ((О, Т) х R1).
Отсюда и в силу (4.23) мы приходим к выводу, что
(unxk)2-±u2x слабо в L2((О,Т) xR1). (4.24)
При п* -> +оо мы имеем, что
т т
J f [Р * №?] <fxdxdt = f f (unxk)2(p * <рх) dx dt ->
О Rl 0 Rl
Т Т
-> J J u2x(p*<px) dxdt = J J (p*ul)(px dxdt.
0 Rl OR!
Используя неравенство Юнга для сверток, получим, что
р*(рх EL!((0,T) xR!).
В силу леммы 6.11 и (4.18) приходим к выводу, что
l|tin*|lL-((o,T)xR. < sup {||tin4|H.} = sup {K*||„.} < m||p||„i.
n*,*€|0,T|
Отсюда в силу теоремы Лебега, поскольку un* -> и почти всюду на (О, Т) х R1,
имеем, что
т т
j f [p*(unk)2]<pxdxdt = J f(unk)2p*<pxdxdt
0 Rl 0 Rl
T T
J J u2(p * 4>x) dxdt = J J(p * u2)(px dx dt.
0 Rl 0 Rl
В силу тех же соображений имеем
т т
J J unk(pt dxdt-) J J u(pt dxdt.
0 Rl 0 Rl
Поскольку supp(y?) С [О, T) x R! — компакт, из (4.24) следует, что
т т
f f(unk)2<px dxdt-* j f u2ipx dxdt
0 Rl 0 Rl

§ 4. Div-curl-лемма и ее применение
261
иПк -» и сильно в L2 ((О, Т) х 6).
Выбирая Т = j и О = при -> +оо и используя процедуру
диагонализации, мы найдем подпоследовательность последовательности
{иПк}, которую снова обозначим через {мп*}, такую что
иПк -> и сильно в L2OC((0, T)xR')
и
un* -> и почти всюду на (0, +оо) х R1.
В силу леммы 6.14 и (4.18) мы получим
|MIhi < sup {||«п'||н>} < sup {||<4|1н-} < m||p||„,
для почти всех t ^ 0. Так что, u G L°°((0, + оо); H^R1)).
Лемма доказана. □
Доказательство теоремы 6.6. Для доказательства теоремы 6.13 мы
применим Div-curl-лемму. Пусть Т > 0 и возьмем <р Е Cc^([0,T) х R1).
Определим функции vnk, wnk: (0,Т) х R1 -» R2 следующим образом:
»nt = («n*CX*)> «^ = (o,o.
Лемма 6.17 утверждает, что
vnk (иих, и) слабо в Ь}ос ((О, Т) х R1),
и>Пк (0, их) слабо в L20C ((О, Т) х R1).
В силу лемм 6.14, 6.15 мы имеем
{div.,nt} = {(С)2+ +
относительно компактно в Hj^((0,T) х R1) и
{curlwnJ =
относительно компактно в Hj^^O, Т) х R1). Стало быть, в силу Div-curl-
леммы получаем
v„kwnk = (i#)2 -> и2 вФ'((0,Т)хК'). (4.23)
С другой стороны, в силу леммы 6.11 и (4.18) приходим к выводу, что для
всех Ttk
т т
f jWfdxdt^ sup (Ш\1о) f J№fdxdt^M
0 Rl '€|0,T| 0 Rl

§ 4. Div-curl-лемма и ее применение
263
при rtk -> -foo. Таким образом, приходим к выводу, что
т т
f f F(unk)<pxdxdt-> f f F{u)ipxdxdt (4.25)
0 Rl 0 Rl
и, поскольку un* — это сильное обобщенное решение задачи Коши (4.5)
в смысле определения 6.6, в силу леммы 6.9 имеем
т
f f (unk<Pt + F(unk)<px) dxdt + f u%k(x)<p(0,x) dx = 0.
0 Rl Rl
В силу (4.25) и результата леммы 6.12 мы приходим к выводу, что и — это
слабое обобщенное решение задачи Коши (4.5) в смысле определения 6.6.
Теорема доказана. □
Литературные указания
Материал для данной главы взят из работ [21], [30], [39], [50], [66] и [67].

Глава 7
Метод монотонности
§1. Введение
В этой главе мы рассмотрим один из самых важных методов
нелинейного анализа. В методе компактности для доказательства сходимости
(в слабом смысле) приближенного решения, построенного, например,
методом Галеркина, необходимо наличие «достаточного» количества
априорных оценок, но иногда этих априорных оценок недостаточно. В этом
случае, если «главный» оператор обладает свойством сильной
монотонности, то можно обойтись без этих дополнительных априорных оценок.
В частности, метод монотонности может быть использован для широкого
спектра задач, например для следующего нелинейного параболического
уравнения:
^=div(|V«r2V«),
где р > 2. Заметим, что «главный» оператор этой задачи является
нелинейным.
§ 2. Основные понятия теории
монотонных операторов
Пусть В — это банахово пространство с сильным сопряженным В*,
причем (•, •) — это скобки двойственности между этими банаховыми
пространствами. Через 11-11 обозначим норму банахова пространства В, а через
ИИ* — норму банахова пространства В*. Дадим некоторые определения.
Определение 7.1. Оператор А : В -> В* называется
(i) радиально непрерывным, если при любых фиксированных u, v Е В
вещественная функция s -> (А(и + sv), v) непрерывна на [0, 1];
(ii) деминепрерывным, если из ип -> и сильно в В следует, что
Аип Аи слабо в В*;
(iii) липшиц-непрерывным, если существует такая постоянная М, что
||Au - Av|| < М\\и - v||
для любых u, v е В;

§ 2. Основные понятия теории монотонных операторов
265
(iv) ограниченно липшиц-непрерывным, если существует такая
возрастающая функция р, на [0, +оо), что для любых и, v Е В
\\Au-Av\\^n(R)\\u-v\\,
где Д = тах{||и||,|И}.
Теперь дадим определения различных вариантов свойства
монотонности операторов.
Определение 7.2. Пусть и, v — произвольные элементы из В.
Оператор А : В -> В* называется:
(i) монотонным, если
(Au - Av, и - v) ^ 0;
(И) строго монотонным, если
(Au - Av, и - v) > 0 для u^ti;
(iii) сильно монотонным (с постоянной монотонности т), если
(Au - Av, и - v) ^ m||u - v||2, га > 0;
(iv) локально ограниченным, если для любого фиксированного и Е X
существуют такие постоянные е > 0 и М, что ||Av||* < М при ||u-v|| < е.
Наконец, напомним определение важного свойства операторов —
коэрцитивности операторов.
Определение 7.3. Оператор А:В-»В* называется коэрцитивным,
если существует определенная на [0, +оо) вещественная функция 7() с
lim 7(5) = +00,
5-»+00
такая что
(Аи, и) > 7(||«||)||«||.
Для дальнейшего нам необходимы следующие вспомогательные леммы.
Лемма 7.1. Каждый монотонный оператор А:В-»В* локально ограничен.
Доказательство. Допустим, что А не является локально
ограниченным. Тогда существует такая последовательность {un}, что ип -> и сильно
в В и ||Аип||ф -> +оо. Для п = 1,2,... положим
и«„-«11.
В силу монотонности А, для любого v Е В
— (Aun, v) < — ((Aun, v) + (Aun - A(u + v), un - u - v)) <

266
Глава 7. Метод монотонности
^ — ((Aun, un - ti) + (A(ti + v), v + ti - un)) ^
+ — ||A(« + t;)||,(||t;|| + ||«-«n||) (2.1)
где постоянная Mi зависит от ti, v, но не зависит от п. Соответствующая
оценка справедлива и для -v. Таким образом,
lim sup
n-»+oo
— (Atin,v)
<+oo VvGB,
откуда по теореме Банаха—Штейнгауза
— ||Аип||ф < М = const,
т.е.
||Aiin||, ^ Мап = М(1 + ||Aun|U|u - un\\).
Пусть по выбрано так, чтобы для п^щ выполнялось условие
M\\u-Un\\^X-.
Тогда из последнего неравенства следует, что при п ^ щ
\\Kun\U < 2М.
Но это противоречит тому факту, что ||Аи„||ф -> +оо.
Лемма доказана. □
Лемма 7.2. Каждый линейный монотонный оператор А : В -> В*
непрерывен.
Доказательство. Пусть ип -> и сильно в В. Положим
tin - ti
при ип Ф и;
u«„-«ir
О при tin = ti.
Тогда vn -> 0 сильно в X и по лемме 7.1
||Avn||* ^ М = const.
Отсюда получаем
\\Аип - Au\U = \\ип - и\\]/2 \\Avn\U < М\\ип - и\\1/2 -> +0.
Лемма доказана. □
Справедлива следующая важная лемма.
Лемма 7.3. Пусть А : В -> В* — монотонный оператор. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
1) оператор А радиально непрерывен;

§ 2. Основные понятия теории монотонных операторов
267
2) из (/ - Av, ti-v)^OVvGB следует Аи = /;
3) W3 соотношений и„ и в Е, Atin / в В* w lim sup(Awn, un) < (/, u)
П->+00
следует, что Аи = /;
4) оператор А деминепрерывен;
5) ес/ш if — плотное подмножество в В, wo нз (/-Av, u-v) ^ О V v G К
следует Аи = /.
Доказательство. 1) => 2) Пусть v — произвольный элемент из В
и ^ = и - tv, t > 0. Имеем 0 ^ t(f - Avt, v) или, после деления на t,
0 ^ (/ - Avt, v). Отсюда при t -> 0 получаем в силу радиальной
непрерывности оператора А неравенство 0 < (/ - Avt,v). Ввиду произвольности
v G В из этого неравенства следует, что Аи = /.
2) =Ф 3) Пусть «„-^ивВ, Aun / в В* и lim sup(Atin, ип) < (/, и).
п-*+оо
Тогда для произвольного v G В имеем
(/ — Av, u — v) = (/, w) - (/, v) - (Av, u - v) ^
^ lim sup «Ati„, tin> - (/, v) - (Av, и - v)) =
n->+oo
= lim sup ((Aun, un) - (Ati„, v) - (Av, un - v)) =
n-»+oo
= lim sup(Au„ - Av, u„ - v) ^ 0.
n-»+oo
Отсюда на основании 2) вытекает, что Аи = /.
3) 4) Пусть ип —> и сильно в В. Вследствие локальной
ограниченности оператора А последовательность {||Atin||*} ограничена. Пусть {vn} —
подпоследовательность последовательности {un}, такая что Avn / в В*.
Тогда
lim (Avnyvn) = (/,u),
П-*+00
откуда в силу 3) Аи = / и Av„ An. Отсюда обычным образом выводится
слабая сходимость последовательности {Aun} к Аи.
4) => 5) Очевидно, что А как деминепрерывный оператор является
радиально непрерывным. Поскольку 1) => 2), то достаточно показать, что
из (/ - Av, и - v) ^ 0 V v G К следует (/ - Av, и - v) ^ 0 Vv G В. Так
как К плотно в В, то для каждого v G В существует последовательность
{vn}, такая что vn G if и v„ -> v сильно в В. Используя деминепрерыв-
ность, получаем
(/ - Av, u — v) = lim (/ - Avn, и - vn).
n->+oo
5) => 1) В частном случае К = X утверждение 5) совпадает с 2).
Но из 2), как уже было доказано, следует деминепрерывность, а значит,
и радиальная непрерывность оператора А.
Лемма доказана. □

268
Глава 7. Метод монотонности
Лемма 7.4. Пусть А : В -> В* — радиально непрерывный монотонный
оператор. Тогда при любом / ЕВ* множество К решений уравнения
Аи = f выпукло и слабо замкнуто.
Доказательство. Пусть и\,и2 Е К и щ = tu\ + (1 - t)u2i t Е [О, 1].
Тогда для любого v Е В
(/ - Av, и* - v) = ЦАщ - Av, uj - v) + (1 - t)(Au2 - Av, u2 - v) ^ 0
откуда в силу леммы 7.3
Ati* = /,
т. е. К выпукло.
Пусть {ип} — такая последовательность элементов ип Е К, что ип-*и
в X. Для любого v Е В имеем
(/ - Av, и - v) = lim (/ - Av, un - v) = lim (Aun - Av, un - v) ^ 0,
n->+oo n->+oo
поскольку Au„ = /. Таким образом, в силу леммы 7.3
Аи = f,
т. е. К слабо замкнуто.
Лемма доказана. □
§ 3. Теоремы существования
В этом параграфе мы изложим важную теорию Браудера—Минти
монотонных коэрцитивных операторов, нашедшую важное приложение в
теории эллиптических краевых задач. Но сначала нам потребуется
следующая лемма.
Лемма 7.5. Пусть Т: Rn -»Rn — непрерывное отображение, для
некоторого R > 0 удовлетворяющее условию
(То, о) ^ 0 при \а\ = R.
Тогда существует такое а Е Rn, что \а\ < R и То = 0.
Доказательство. Допустим, что
То ф 0 для всех о Е Кл = {о | о Е Rn, |о| < R}.
Тогда отображение, определяемое по правилу
п То
о-»
|То|'
является непрерывным отображением из /Гд в /Гд. В силу теоремы Брау-
эра о неподвижной точке существует о Е Kr, такое что
~ То

§ 3. Теоремы существования
269
Очевидно, |а| = R и (То, о) = -Д|То| < 0, в противоречие с нашим
предположением, что (То, о) ^ 0 для |а| = R.
Лемма доказана. □
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 7.1 (Браудер, Минти). Пусть А:В-»В* — радиально
непрерывный монотонный коэрцитивный оператор. Тогда множество решений
уравнения
Аи = / (3.1)
при любом / ЕВ* непусто, слабо замкнуто и выпукло.
Доказательство. Ввиду леммы 7.4 нам надо лишь показать, что (3.1)
имеет по крайней мере одно решение. Пусть {ft„} С В — какая-нибудь
полная система линейно независимых элементов в В, и пусть Вп —
замкнутая линейная оболочка векторов {h\,..., ftn}. Тогда соответствие
п
{оь... ,on} -> Ylaihi = ti"
определяет взаимно-однозначное непрерывное отображение С
пространства Rn на Вп. Очевидно,
|а|,=||Са|| VoERn
является нормой на Rn. В силу эквивалентности всех норм на
конечномерном пространстве имеем
\a\^c\a\{=c\\Ca\\.
Определим оператор Т : Rn -» Rn по правилу
Та = {&,,..., 6„}, 6, = (ACa-/,ftt).
Поскольку А как радиально непрерывный монотонный оператор деми-
непрерывен (лемма 7.3), оператор Т непрерывен. Из коэрцитивности А
следует, что для достаточно больших R\ > О
(^^-Il/ll.)ll«nll^0 при \Ы\>Нх.
Поэтому для |a| = R = Rxc
(Та, а) = £ Ьт = (А«„, «„) - (/, «„) ^ (^jp " 11/11.) IWI > 0.
Следовательно, согласно лемме 7.5 существует такое о Е Rn, что То = 0;
значит, для ип = Со
(Aun,hi) = (f,hi), t=l,..., п. (3.2)

270
Глава 7. Метод монотонности
Из оценки
lltcll <II/IU
и коэрцитивности А вытекает, что ||мп|| < М\, и потому (Atin,tin) ^ М2
для п = 1,2,... . Поэтому заключаем, что ||Atin||. ^ М, п = 1,2,... .
Далее, в силу (3.2)
+00
lim (Aun,h) = (f,h) VftG Ив„.
П-++00 w
Отсюда следует, что Aun / слабо в В*. Пусть {иП4} —
подпоследовательность последовательности {ип}, такая что иПк и слабо в В.
Покажем, что и является решением уравнения (3.1). Из (3.2) получаем
lim (Atin,,tin,) = lim (f,unk) = (f,u).
*-++oo *-++oo
Но тогда согласно п. 3 леммы 7.3 Ati = /.
Теорема доказана. □
Теорема 7.2. Пусть оператор А : В -> В* радиально непрерывен,
строго монотонен и гсоэрцитивен. Тогда существует обратный оператор
А""1 : В* -> В, w обратный оператор строго монотонен, ограничен
и деминепрерывен.
Доказательство проведем в четыре шага.
1. Оператор А"1 : В* -> В существует. Очевидно, достаточно
показать, что уравнение Аи = f при любом / G В* имеет точно одно
решение. Теорема 7.1 гарантирует существование хотя бы одного решения и.
Пусть v — другое решение. Тогда
(Аи - Av, и - v) = 0.
Вследствие строгой монотонности А отсюда следует, что и = v.
2. Оператор А"1 строго монотонен. Пусть f,g G В*, f ф д. Полагая
и = A"1/, v = А"1*/, в силу монотонности А имеем
(/ - д, А"1/ - A~lg) = (Аи -Av,u-v)> 0.
3. Оператор А"1 ограничен. Пусть Аи = f и ||/||* ^ М. Тогда
(Ati, и) ^ 7(1М1)1М1 и» следовательно, 7(||ti||) ^ ||/||*. Так как 7(5) -> +оо
при 5 -> +оо, то отсюда вытекает, что
||«|| = ||А-7К*
с постоянной К, зависящей только от М.
4. Оператор А"1 деминепрерывен. В силу леммы 7.3 достаточно
показать, что из соотношения
(f-g,u-A-lg)>0 Уд G В* (3.3)

§ 3. Теоремы существования
271
следует равенство u = А */. Пусть (3.3) выполнено. Тогда для любого
v G В и для д = Av имеем
(f - Av,u-v) = (f - д,и-A~lg) ^ 0.
Ввиду радиальной непрерывности А отсюда следует, по лемме 7.3, что
/ = Ati, т.е. и = А"1/.
Теорема доказана. □
Наконец, справедлива следующая полезная в приложениях лемма.
Лемма 7.6. Пусть оператор А : В -> В* радиально непрерывен и сильно
монотонен. Тогда у него существует обратный оператор А"1 : В* -> В,
который является липшиц-непрерывным. Если А вдобавок липшиц-не-
прерывен, то А"1 — сильно монотонный.
Доказательство. Оператор А"1 : В* -> В существует по теореме 7.2.
Для любых /, g G В* и для и = A""1/, v = А""1*/ имеем
II/ - 9\\*\\и - «|| > (An - Av, ii - v) ^
откуда
> m||ii - v|r = mllA"1/ - A-'dlHt* - v||
/ - A~ g\\ ^ —Ц/ -p||*.
m
Если А липшиц-непрерывен, то
(/ - gt A"1/ - A~]g) = (An - Av,u - v) ^ m\\u - v||2 ^
^l|A«-A«||2 = ^ll/-^.
Лемма доказана. □
Пример 7.1 (эллиптическое уравнение высокого порядка с монотонным
оператором). Рассмотрим некоторое нелинейное эллиптическое
уравнение с монотонными операторами. Именно, рассмотрим следующее
уравнение:
A2u -Au- div (|Vti|p-2Vtt) = /, и G И?(П), / G НГ2(П),
2iV (3.4)
р^З при TV = 1,2, 3 ^ р ^ ——- при N ^ 3.
Относительно области предположим, что ft С RN — ограниченная область
с границей ЭП G С4'*, S G (0,1].
Определение 7.4. Решение задачи (3.4) класса и(х) G Hq(H)
понимается в следующем смысле:
(D(u), w) = 0 для всех w G Ho(fi), (3.5)

272
Глава 7. Метод монотонности
где
D(u) ее A2u -Au- div (| Vttf2Vu) - /,
а (•, •) — это скобки двойственности между банаховыми
пространствами Hjj(n) и е_2(п).
В силу условий на р (р > 2), рефлексивности банахова пространства
Hq(Q) и [20, гл. 1, теорема 1.16] выполнена цепочка плотных и
непрерывных вложений
вб(п) с wj'p(n) с wiy (п) с е_2(п),
р' = — 1), поэтому уравнение (3.4) можно записать в виде
Аи = / G Н"2(П), А : Hg(n) -» НГ2(П), (3.6)
где
А = А2и - Аи - div (|Vu\p~2Vii). (3.7)
Теперь докажем, что для оператора А выполнены все условия теоремы 7.1
(Браудера, Минти). Действительно, радиальная непрерывность данного
оператора доказывается элементарно. Теперь мы докажем коэрцитивность.
Итак
(Аи, и) = \\Au\\l + ||V«||2 + HVttlg > \\Au\\l = \\и\\2Щ{{1).
Здесь мы предположили, что пространство Hq(Q) наделено одной из
возможных эквивалентных норм:
IMIiftn) = НД^1Ь.
Таким образом, доказываем коэрцитивность оператора А с функцией
7(5) = 8.
Теперь докажем сильную монотонность оператора А. Действительно,
для любых и, v Е Hq(Q) имеем
(Ati - Av,u-v) = \\Аи - Av\\\ + ||Vti - Vt/||2 +
+ f dx {\Vu\p~2Vu - \Vv\p~2Vvy Vu - Vv). (3.8)
n
Наконец, докажем элементарное неравенство
(|iSi Г2ШХ - \w2\p-2w2i wx -w2)>0 (3.9)
для всех w\ и w2 из E^. Действительно, из (3.9) вытекает, что
Nil' + \w2\p - (в,,в2)[|в,Г2 + 1«2Г2] >
> \m\p + Ыр - |в,| |в2|[|в,Г2 + 1«2Г2] =
= {\щ\р~2\щ\- |в2Г2|в2|, - |в2|) ^ 0. (3.10)

§ 3. Теоремы существования
273
Из (3.8)—(3.10) вытекает, что
(Au -Av,u-v)^ ||Aii - Avlli = ||и - »Нн»(п).
Итак, выполнены условия теоремы 7.1 Браудера—Минти. Значит, для
каждого / Е Н~2(П) существует решение задачи (3.4). В силу леммы 7.6
и сильной монотонности оператора А вытекает, что решение задачи (3.4)
существует и единственно. При этом оператор А имеет липшиц-непре-
рывный обратный оператор с постоянной Липшица, равной единице. >
Пример 7.2(параболическое уравнение с р -лапласианом). Рассмотрим
начально-краевую задачу для уравнения параболического типа
следующего вида:
^-div(|V«r2V«)=/, р>2, «€Wi'p(n),
«(0) = «о € Wj,p(fi).
Определение 7.5. Слабым обобщенным решением задачи (3.11)
назовем функцию u(x)(t), удовлетворяющую условию
где
f <p(t)(D(u),w)dt = j V(t)(f,w)dt
о о
Vto € Wj,p(fi) V <p(t) € Lp(0, T),
D(«) = ^-div (|Vu|p_2Vu),
(3.12)
(•, •) — это скобки двойственности между банаховыми
пространствами Wj*(fl) и >
Справедлива следующая теорема.
Теорема 7.3. Пусть заданы функции f и щ, удовлетворяющие
условиям
f Е If' (0, Т; W"iy(П)), ^ + ^ = 1, щ Е Ь2(П).
Тогда существует, и притом только одна, функция и,
«€Lp(0(T;VC(n)), (3.13)
удовлетворяющая (3.12).
Замечание 7.1. Положим
A(v) = -div(|Vtir2Vti). (3.14)
18 Заказ 405

274
Глава 7. метод монотонности
Без труда проверяется, что А отображает W,,f(Q) в W~,,p'(Q), и если ti
удовлетворяет (3.13), то
A(ti) € Lp'(0,T; W",y (**))• (3.15)
Тогда из (3.11) следует, что
ti, = ^€L',(0,T;W-,p'(n)). (3.16)
Из (3.16) следует, что после возможного изменения на множестве нулевой меры
функция ti является непрерывным отображением [0,Т) W~,p(Q), так что
начальное условие имеет смысл.
Замечание 7.2. Пусть V — рефлексивное пространство Банаха, содержащееся
в пространстве Гильберта Н, V С И, причем соответствующее вложение
непрерывно и V плотно в И. Отождествляя Н с сопряженным ему пространством и
обозначая через V сопряженное к V, мы, таким образом, можем отождествить Н
с подпространством в V:
V С И с V.
Если задана такая функция ti 6 Lp(0,T;V), что ti' € L'(0,T;V), то функция
ti : [0,Tj -> И непрерывна (после, быть может, изменения на множестве меры
нуль) и отображение и -> и(0) является сюръективным отображением на Н.
Доказательство теоремы 7.3. Пусть W\,..., wn,... — «галеркинский
базис» в Wo'p(n); определим «приближенное решение» um(t) нашей задачи:
m
Um(t) = J2cmk(t)wkt c^(0€C(l)[OfTm], meN.
k=\
Тогда из (3.12) в силу основной леммы вариационного исчисления
получим, что Cjnkit) являются решениями следующей системы уравнений:
(ti'm(0, Wj)2 + (A(tiw(0)> v>j)2 = (f(t)> Wj)2, 1 < J < m,
m (317)
tiro(0) = tlom = ^(O)t^b tiom -> ti0 сильно в Wqp(Q).
k=\
В силу известных результатов теории обыкновенных дифференциальных
уравнений имеем: um(t) определяется на интервале [0, tm], tm > 0. Однако
отметим, что
<А(«),«) = |Ы1Р. (3.18)
где ||*|| — это «стандартная» норма на W^(n), т.е.
|Н|= ^ J \Vv\>dx^ .

§ 3. Теоремы существования
275
Тогда в силу (3.17)
t t
\\Um{t)\2 + J \\um(s)\\Pd8< f ||/(5)||. \\um{8)\\d$^\\uQm\\ (3.19)
0 0
откуда следует, что tm = T и
um офаничены в L00 (О, Т; L2(ft)) П V (О, Т; W^(ft)). (3.20)
Следовательно, мы можем выделить такую подпоследовательность и^, что
BL2(0,T;L2(ft)) *-слабо, (3.21)
иц и в I/ (0, Т; Wj'p(ft)) слабо, (3,22)
и„(Т) в L2(ft) слабо, (3.23)
А(и„)-+х BLp'(0,T;W-iy(ft)) слабо (3.24)
(поскольку ||A(ti)|| ^ сЦиЦ^"1), и, следовательно, А(ит) офаничены в
l/(0,T; W-^(n)).
Продолжим um(t), A(um(t)), ... на R нулем вне [0, Т];
соответствующие продолжения обозначим через um(t), A(um(t))t... .Из (3.17) следует,
что
(JrtUm^'Wj)2 + №(UmW>w>)2 =
= (7(0, ™;)2 + Kn, wj)2S(t - 0) - (iiw(T), ю;)2<5(* - T). (3.25)
Здесь мы воспользовались известными формулами связи классической
производной с производной в смысле распределений (см., например,
[20, гл. 4]). Теперь можно перейти к пределу в (3.25) при т = /*и
фиксированном j, откуда выведем, что
{ltU'Wj) 2 + & = U' ^2 +
+ (но, wj)26(t - 0) - ({, Wj)2S(t - Т), j = 1, m (3.26)
и, следовательно,
^ + X = / 4- «o*(t ~ 0) - 0(< - T). (3.27)
Сужая (3.27) на (0,Т), получим, что
"' + * = /, (3.28)
откуда и' е I/ (0, Т; W_l^(ft)), следовательно, и(0) и и(Т) имеют смысл,
и, сравнивая с (3.26), получим, что и(0) = щ и и(Т) = £.
18*

§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества 277
Теперь используем деминепрерывность для доказательства того, что из
(3.33) следует (3.29). Положим v = u - \w, А > 0, w G 1/(0,Т; Wl0'p(Si))
и произвольно; тогда из (3.33) следует, что
т
A f (x-A(ti-Aw), w)2 dt ^ 0, (3.34)
о
откуда
т
J (x-A(u-Xw),w)2dt^0. (3.35)
о
Устремляя A -> +0 в (3.35), получим
т
J (x-A(u),w)2dt>0 \fw. (3.36)
о
Следовательно,
X = А(и).
Пусть tij и u2 — два решения задачи. Тогда разность w = и\ - и2
удовлетворяет уравнению
w + A(tii) - A(i42) = 0, w(0) = 0,
откуда
(и/, w) + (А(щ) - A(i42), tii - ti2) = 0,
и, благодаря монотонности,
(w',w) = ~\w(t)\2<0,
откуда w = 0.
Теорема доказана. □
Итак, метод монотонных операторов позволяет доказать однозначную
обобщенную разрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи для
важного класса нелинейных параболических уравнений.
§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества
В данном параграфе мы приведем вывод одной начально-краевой
задачи для полулинейной системы уравнений, исследованием которой мы
займемся в следующих разделах, а также рассмотрим постановки двух
нелинейных задач, исследование которых требует отдельного рассмотрения.

276
Глава 7. Метод монотонности
Итак, мы докажем существование решения, если покажем, что
X = A(t»). (3.29)
Из свойства монотонности оператора А следует, что
т
Х„ = f (А(и„) - A(t/(0), Up(t) - v(t)) dt^O V v e 1/(0, T; Wj*(n)).
о
(3.30)
Согласно (3.17)
т т
J (А(«Д n,)2 <tt = f (/, ti„)2 dt + i|uo„|2 - \К{Т)\2
о 0
и, следовательно,
т
x„ = f (/, tg2 л + \ы2 - \ыт)\ -
о
т т
- / (А(и„,г/))2Л- J (AM.Un-iOjtf, (3.31)
о о
,|2 |.,/т\|2\
откуда (поскольку lim inf |гхм(Х)|2 ^ |и(Т)|2)
т
lim sup Х„ < f (/, u)2 Л + Х-\щ\2 - i|ii(T)|2 -
о
т т
- /(X.v)2dt- J (A(v),ti - v) dt. (3.32)
о 0
Из (3.28) можно заключить, так как интегрирование по частям законно,
что
т т
/(/, ч)2 dt + i|u0|2 - l-\u(T)\2 = f (x, u)2 dt.
о о
Сопоставляя это равенство с (3.31), (3.32), получим, что
т
f (X-A(v),u-v)2dt>0. (3.33)

§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества
279
где _
P(z,t), v(«,0€L°°(0,T;Hi(n)).
Существование и линейность соответствующих дифференциалов Гато
доказывается непосредственной проверкой. Для доказательства
непрерывности достаточно проверить, что
sup \dF^<p\P)(<p)\ < +oof sup \dFP(<p\P)(P)\ < +oo,
НЙ1=1 ||F||=i
гдс || • || = || • |lL«(OeT;Hj(n))-
Проверим, например, первое неравенство. С этой целью
воспользуемся неравенством Гельдера. Обозначим через ((р, tp) скалярное
произведение в L2(H), <р, <ф G L2(H).
\dFMP№\< f ^[|(v^v^|w + e2|(Mft^v)|W +
о
+ </djlivvll2liv^||2 +
о L
/ Ч (Я2 + 1)/0>2 + 2) , v 1ДР2 + 2)
+ e2lf dx\<pr+A If dx\<pr+2) + ||VP||2||y>||2
T
<cjds [\\V<p\\2 + e2M\^ + \\VP\\2]\m\2.
0
Отсюда получаем
т
sup \dF,{tp\P)(ft\^C f da\\\VM»)+e2\\v&») + \\^^')\ <+oo.
Таким образом, существуют производные функционала F((p\P):
Уравнение движения для P(x,t) имеет следующий вид [46]:
dP 6F dw

278
Глава 7. метод монотонности
В [46] была предложена линейная модель малых флуктуации в сегне-
тоэлектрике-полупроводнике. В данной работе мы рассмотрим ее
нелинейное обобщение. Соответствующее обобщение функционала свободной
энергии для случая невырожденного сегнетоэлектрика-полупроводника
имеет следующий вид [28]:
dxdt
q
2~'(VP)2 + 2~'Р2 + е,(р, + 2Г'|Р|Р|+2 -
- 2-'(V?)2 + - е2(рг + 2)-'|^Г+2],
где ej, е2, ез — орты декартовой системы координат, в которой х=(х \, х2,жз),
Q = (0,Т)хП, Р(х, t)e\ — вектор поляризации, t) — потенциал
электрического поля в полупроводниковом сегнетоэлектрике.
Причем на границе раздела сегнетоэлектрика-полупроводника и
идеально проводящей среды
Ию = °. PL = °. «>°-
Будем предполагать, что
t) е V (О, Т; Hj(n» П L"+l (О, Т; 1/1+2(П)),
ф, t) G L1 (О, Т; Hj(n» П L*+l (О, Т; 1*+2(П)),
и, кроме того,
4
О ^ pi ^ ——~ при n ^ 3, 0 < -foo при n = 2, i = 1,2.
Из последних условий следует, что Но(П) непрерывно вложено в lPi+2(Q)9
t=l,2.
6F{<p\P) 6F(<p\P)
Для доказательства существования производных —; и ———
6<р ор
функционала F(<p\P) нам достаточно убедиться в том, что
дифференциалы Гато dF^(ip\P) функционала F(<p\P) по <р и dFp(<p\P) функционала
F(<p\P) по р существуют, линейны и непрерывны как отображения
df,(<p\p): L°°(0,T;Hi(n)) -» R1,
dFP(<p\P): Ь°°(0,Т;]НЙ(П)) ->R!.
Обозначим значение соответствующих дифференциалов Гато как
функционалов над
L~(OfT;Hj(n))
через
dfp(v\p)w, dFP{4>\P)(P),

280
Глава 7. Метод монотонности
С другой стороны, предполагается выполненным условие равновесия [46]
dtp
Отсюда получаем
А<р-е2\<р\Р2<р =
Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:
^ + Р + ех\Р\Р*Р = ДР - |£ х = (х,, х2, х3) € П, * > 0,
at ох\
дР
А(р - e2\<p\Pl<p = q^-, х = (хи х2, хъ) е П.
Введем обозначения: u = Р, v = (р, тогда искомая задача примет вид
+ \u\Plu = Ди - j^, х = (хь х2, х3) € П, t > 0, (4.1)
Дг; - е2МР2г> = т—, х = (х,, х2, х3) е П, (4.2)
axi
4юН*1 = °. '>°> (4-3)
и(х, 0) = г/0(х), х = (хь х2, х3) е П, (4.4)
причем решение и(х, £), v(x,£) задачи (4.1)-(4.4) ищется в классе
и(х, 0 G L1 (0, Т; Н$(П)) П (0, Т; 1/|+2(П)),
v(x91) € L1 (0, T; Hj(n)) П Lft+I (0, T; Lft+2(n))
и, кроме того,
4
0 < pi < ——- при N ^ 3, 0 < pt- < 4-оо при N = 2, i = 1, 2.
Рассмотрим также постановки двух задач, требующих отдельного
рассмотрения и формально получаемых из системы (4.1)—(4.4): когда либо
р2 = 0, либо в уравнении (4.1) е\ = 0 и отсутствует слагаемое Aw. Тогда
в первом случае для одномерной задачи Коши система уравнений (4.1)-
(4.2) примет вид
ди
— +u + ex\u\1u = uxx-vxy 7 > 0, х £ К1, t > О, (4.5)
ot
vxx- e2v = их, w(x,0) = w0(x). (4.6)
Формально применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнений
(4.5)-(4.6), что справедливо в соответствующих функциональных классах,

§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества
281
в результате ряда выкладок получим
+00
du Г
— + j dyK(x-y)u(y,t) + el\u\'ru = Q, и(х, 0) = и0(х), (4.7)
где преобразование Фурье ядра К(х) имеет вид
к(р) = 1+р2 + - р2
Р2 + е2
Bo-втором случае из системы уравнений (4.1)—(4.2) получаем систему двух
уравнений
du dv
■^+n = - —, х = (хьх2,х3) GO, *>0, (4.8)
du
Av - e2\v\P2v = —, x = (хь x2, x3) G П. (4.9)
C/Xi
Причем дифференциальным следствием системы (4.8)-(4.9) является
уравнение псевдопараболического типа [39]:
(JH(Av-£2|vrv)+0=o-
'1
В заключение отметим, что начальное условие (4.4) в задаче (4.1)-
(4.4) ставится для функции п(х, £), что соответствует заданию начального
возмущения поляризации. Однако более естественным с точки зрения
физики является задание начального условия для потенциала электрического
поля. При этом начальное возмущение поляризации определяется как
решение уравнения (4.2) при t = 0. Данная задача оказывается некорректно
поставленной и интересной для исследования.
Приступим к исследованию глобальной разрешимости слабого
обобщенного решения задачи (4.1)—(4.4).
Пусть П — ограниченная область, такая что существуют собственные
значения {А,}^0? и собственные функции {ю,-}£Т первой краевой задачи
для уравнения Лапласа, причем dCl G C2+<J, d G (0,1).
Данные предположения будем считать выполненными на протяжении
всего параграфа.
Теперь дадим определение слабого решения системы уравнений (4.1)-
(4.4).
Определение 7.6. Слабым обобщенным решением задачи (4.1)-
(4.4) будем называть функции u, v, принадлежащие следующим
классам:
« е L°°(0, +oo;L2(fi)) DL2(0, +00;ВА(П)) ПLPl+2(Q),
Q = (О, +оо) х О, t; € L°° (О, +00; Hj(fi)) П L2 (O, +00; Hj(fi)),
«' €L2(0,T;L2(fi)),

§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества
283
С другой стороны, если решение задачи (4.10)—(4.12), удовлетворяющее
включениям в формулировке теоремы 7.1, существует, то u(t)t в частности, принадлежит
классу L°°(0, -foo; h2(Q)). Отсюда в силу непрерывности отображения u(t) с
необходимостью получаем и(0) G L2(fi).
Доказательство теоремы 7.4. Для доказательства глобальной
разрешимости слабого обобщенного решения воспользуемся методом Пшеркина
в сочетании с методом монотонности и компактности.
Шаг 1. Локальная разрешимость задачи (4.1)—(4.4).
Рассмотрим специальный базис в И^(П):
Awi + XiWi = 0, Wi\dil ^= 0.
Заметим, что W{ ё Но(П)ПН2(П) при дополнительном условии dil € C2+J,
б е (0,1).
Будем искать приближенное решение ит — um(t), vm — vm(t) в виде
т т
Um = Y2 CmityWi, Vm(t) = ^ dmi(*K',
i=l i=l
где Cmi(t), dmi(t) определяются из условий
(
Vm> Wi) + («т, Щ) + £l (!«m|P'«ro, Wi) + (V«ro, Vw,) = - ,
(4.13)
(V«m, Vwi) + e2(\vm\plvm, Wi) = - w^J. (4.
14)
Пусть
m
t*m(0) = = a|'W» Щ сильно B l2(°)> ai = Cmi(O)- (4-15)
Замечание 7.4. Необходимым условием разрешимости системы уравнений
(4.13)—(4.15) в классе cmt(J), tfm,-(i) € C[0,*m] является требование того, что
Д s dTO,(0) — это решение системы уравнений (4.14) для момента времени t = 0,
имеющее вид
АЛ 4- £2 (Ы0)Г21/т(0),«/,) = - a, («/,, ^). (4.16)
Докажем, что система уравнений (4.16) имеет решение
Pi =/?t(ai,a2,... ,am).
С этой целью воспользуемся одним вариантом теоремы Брауэра о
неподвижной точке (см. [30, стр.66]).

282
Глава 7. Метод монотонности
удовлетворяющие условиям
т
Г I ди п dv \
о
т
f dt <p2(t)(^Av - e2\v\P2v - |5L, w2^ = 0
0
V<pi(t) G L2(0,T), Vi/;, G Но(П) Vp2(t) € L2(0,T), Vw2 G Hj(n);
ti(x, 0) = щ(х) G Но(П),
Можно доказать, что слабое обобщенное решение задачи (4.1)-(4.4)
эквивалентно следующей задаче:
т
/ dt(^+u + £MPlu-Au+^^^ =0,
о
т
У dt (^Av - e2\v\P2v - ^-.02^ =0
о
V^i(t) € L2(0,T;Hj(Q)) Vfc(t) G L2(0, T; Hj(ft));
u(x, 0) - ti0(x) G Ш10(П).
4
Теорема 7.4. Пусть 0 ^ ——- при N ^ 3 и/ш 0 ^ p, лрм N = 2,
t = 1,2, i*o(я) G L2(ft). 7Ьгдя существует единственное слабое
обобщенное решение системы (4.1)—(4.4) в смысле определения 7.5 u(t), v(t),
удовлетворяющее следующим условиям:
и G L00 (0, + оо; L2(ft)) П L2 (0, -f оо; Но(П)) П LPl +2(Q),
Q = (0, +оо) х П, v G L00 (0, -f оо; Но(П)) П L2 (0, -f оо; Hj(n)),
и GL2(0,T; Ь2(П)),
^ -f u + e\\u\Vxu- Au + =0, (ж,*) G <?, (4.10)
at axj
ди
Av - e2\v\P2v - — = 0, (x, 0 G <?, (4.11)
ax,
ti(0) =u0 G L2(H). (4.12)
Замечание 7.3. Отображение u(t) : [0,T] -> ИГ'(П), является непрерывным,
поскольку, во-первых, u{t) : [0,Т] -* Hj(tt), а во-вторых, du{t)/dt • [0.Т] -» Н"'(П)
в силу вложения H<i(Q) «-> 1/1+2(П). Так что начальное условие (4.12} имеет смысл.

284
Глава 7. Метод монотонности
Лемма 7.7. Пусть /? -> P(fi) — такое непрерывное отображение Rm
в себя, что для подходящего р > О
(P(P)9P)>0 v/3 из сферы \/}\=р9
где для (5 = {ft}^,, *7 = {ty}™- е Rm л*ы полагаем
т
<£.•/> = £ Aw. 1/?1 = (/з,/з),/2.
i=l
7огда найдется такое /?, < р, *шо Р(/?) = О.
Пусть P({ft)Sl,) = ЫГ=1> ^
ф = (Vt;m(0), Vwi) +£2(К(0)Гг;го(0),«;|) - (иш(0),
тогда
(PW./J) = ||Vt>ro(0)||^e2||t,ro(0)||^ - (uro(0), ^)
и справедливо неравенство
(Р(/?),/?> ^ [||Vt>w(0)||2 - ||nm(0)||2] ||Vt;m(0)||2 4- е2|К(0)||^ ^ О
при условии ||Vvm(0)||2 ^ ||г/т(0)||2. Данное условие равносильно
следующему неравенству:
т т
i=i i=i
Отсюда сразу же получаем, что при
/го v 1/2 / +оо v 1/2
41=1 7 Ч»=1 7
выполнены все условия леммы 7.7, а значит существует решение
А = /?,(аьа2,...,ат), t= 1,т,
системы уравнений (4.16).
Докажем, что система обыкновенных нелинейных уравнений (4.13)-
(4.15) имеет решение класса Cmi(t) G C(1)[0,£m] и dmi(£) G С(|)[(Мт],
i = 1, m, при некотором £m > 0.
С этой целью заметим, что система уравнений (4.14) имеет вид
Fi(zi,z2, '-.,zm,yi,y2,...,ym) =
= Ал + е2(|«»|А«т,1»|) +Sw(Wi'^t) = 0' (41?)
j=i ^ 17
= rfro. (t), 2/. = Ст. (t), i = Т~т.

§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества
285
Кроме того, из явного вида функции следует
Fi = Fi(zuz2, ..,л,й,й C(1)(IRm5 Rro). (4.18)
Докажем, что матрица Fj(z,y), полученная путем дифференцирования
функции Ft = Fi(zx, z2,..., zm, у\, уъ..., ym) по переменным z{, z2,..., zm,
является обратимой. Действительно, указанная матрица имеет вид
А = {а0}™£и, ау = АЛу 4- е2(р2 4- 1)(|г;го|Р2«;8, ну). (4.19)
Очевидно, матрица (4.19) является симметричной. Рассмотрим
квадратичную форму, соответствующую данной матрице:
Л = Л(£ь6,...,£т)= X)
Из (4.19) получим
ГО ✓ ГО ГО v
А = А«,,6,...,U = E А«&? + 4-1)(|г>тГ2, X)£<W) =
i=l ^ i=l ; = 1 '
го го го
=£ а^«?+е&2+1)(кг, I2) > X) 1=Е w
i=l i=l ;=1
Отсюда следует, что квадратичная форма неотрицательна и обращается в
нуль тогда и только тогда, когда {й}^ = {0}^, т. е. данная квадратичная
форма положительно определена. В силу критерия Сильвестра все главные
миноры матрицы (4.19) положительны.
Таким образом, выполнены все условия теоремы о системе неявных
функций. Стало быть, найдется такой прямоугольник J = i]mxi™CRmxRm
и существует такое отображение z = f(y) £ С^Цф; I?), что для любой
точки (y,z) е I = 1? х I?
F(y,z) = Q & z = f(y).
Кроме того, данное решение единственно. Действительно, пусть zx и z2 —
два решения системы уравнений (4.17) с одним и тем же у £ Rm. Тогда
из (4.17) получим
\{(zl - z}) + e(\vlmrvxm - \v2mrv2m, щ) = 0.
Умножим обе части последнего равенства на z\ - z\ и просуммируем по
i = l,m. Учитывая монотонность функции \g\Plg при р2 ^ 0, получим
z\ = z] для всех i = 1, га.
Вернемся к исходным обозначениям
dmi(t) = Л(СшЬ Сго2, • • • , Cmm) € С(,)(/Ш),
{а,}го=1 е Im С Rm,

§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества
287
Воспользуемся теперь неравенством Гельдера для правой части последнего
равенства и получим
^ll"mll2 + ^IKII^2 + ^l|V«m||2
<\\\Vvm\\22+l-\\u'm\\22.
Интегрируя по t € (О, Т), получим
т
2 / dt \\u'm\\l + l-\\um\\22 + -L-\\Um\\pp\Xl + 5l|Vttm||| <
о
т
<\fdt \\Vvm\\\ + l-\\um0\\l + —L-iit^iij;;^ + I||vUm0||l
0
В силу полученных неравенств следует, что
um ограничено в L00 (О, Т; L2(f2)),
um ограничено в L2 (О, Т; Ho(fi)),
um ограничено в LPl+2(Q),
um ограничено в L2 (О, Т; L2(ft)),
vm ограничено в L2 (О, Т; Но(П)),
vm ограничено в LP2+2(Q), Q = (0, -f оо) х Q.
Рассмотрим уравнение (4.22). Справедливо следующее неравенство:
l|V«m||2 + е2|КН^2 < Z-'HVe™!!! + 2-4|Um||i
Отсюда получаем
vm ограничено в l00 (О, Т; Hq (ft)),
где Q = [0,T] xft, ТЕ (0, -f оо].
Теперь мы можем выделить такие подпоследовательности и что
Up и слабо в L2 (О, Т; Но (ft)) ,
Up —^ и *-слабо в L00 (О, Т; L2(ft)),
Up —^ и слабо в LPl+2(Q),
Up -± и слабо в L2 (О, Т; L2(ft)),
Vp^v *-слабо в L00 (О, Т; Hj(ft)),
Vp-^v слабо в L2 (О, Т; Но(П)),
Wp\PlUp х\ слабо в hq{(Q),

286
Глава 7. Метод монотонности
где Im — замкнутый прямоугольник. Подставляя выражение (4.20) для
dmi(t) в систему уравнений (4.13), получим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений с невырожденной матрицей коэффициентов
при производной по времени от Cmi, % == l,m:
~Г = я(ст) € С(|)(/т), = (с,т, с2т,..., Сшп,)7, ^,(0) = а<.
ас
Последняя система в силу теоремы Осгуда для систем нелинейных
обыкновенных уравнений имеет решение с™,- £ С^[0, tm] на некотором
промежутке времени [0, tm], причем данное решение единственно. Из (4.20)
сразу же получаем, что dm, £ С^[0, Таким образом, существует
промежуток времени [0, tm], tm > 0, на котором существует единственное
решение системы уравнений (4.13)—(4.15) класса С^[0, £т].
Шаг 2. Априорные оценки.
Займемся теперь выводом априорных оценок. Умножим обе части
уравнений (4.13)—(4.14) на Cmi(t) и dm,(£) соответственно и, просуммировав
по t = 1, га, получим
2-'
+ ll«mlll + etW^ttl + HVt^Hi = - (jj^, «m), (4.21)
HVtgi! + е2Ш%Х\ = - t>ro). (4.22)
Сложим уравнения (4.21)—(4.22), получим
2-ljt\\um\\22 + \\um\\\ + el\\um\%Xl + \\Vum\\\ + iivtgii + е2Ы1ЕЙ = о.
Интегрируя по времени, получим
t
о
+00
= \\um(0)\\UC = '£al
1=1
Очевидно, что постоянная С в правой части последнего неравенства не
зависит ни от га £ N, ни от £ £ [0, +оо]. Из последнего неравенства
вытекают такие априорные оценки, что tm = Т, Т £ (0, +оо] — любое
фиксированное.
Теперь умножим обе части уравнения (4.13) на dmi(t) и просуммируем
по i = 1, га. В результате получим равенство
|lh.ie + ^lh.eS + ilv*je]-(|fx)

288
Глава 7. Метод монотонности
ЫРЧ-"*2 слабое!.^),
ttp(r) С слабо bL2(H),
К1РЧ Х\ *-слабо в L°°(0,T; L*'(n)),
Ы% Хг *-слабо в L00(О, Т; ЬЯ1(П)),
где
д, = (р.4-2)(р1 + 1)-1, 1 = 1,2, те (о,+оо], (? = (о,т)ха
Шаг J. Доказательство, того что Х\ = W\Pxu, хг = \v\P2v.
Поскольку ит ограничено в L2(0, Т;Н^(П)) и и'т ограничено
в L2(0, Т; L2(f2)), то ит принадлежит ограниченному множеству в M{(Q),
где Q = (О, Т) х П. Поэтому в силу компактного вложения
H!(Q)«->L2(Q)
имеем
Up —> и сильно в h2(Q) и почти всюду.
Отсюда в силу леммы Лионса (см. главу 5) приходим к выводу, что
XI = М*и. (4.23)
Докажем, что Xi = \v\P2v.
Заметим, что для применения метода компактности в данном случае
не хватает априорных оценок, поэтому далее мы воспользуемся методом
монотонности.
Продолжим функции
dv du
нулем вне отрезка [О, Т]. И обозначим соответствующие продолжения как
Um, \um\PlUm, Aum, Vm, \vm\PlVm, Avm,
тогда в силу теоремы об интегрировании по частям для абсолютно
непрерывных функций имеем
f(y) € АС[а, х0] П АС[ж0, Ь], ф) € Р[а, 6],
(/» = -(/,*»') = - / /(*)/(*)«te = -/(*M*)lt,+0-/(*M*)ir"° +
ft
+
а
У {/'(x)Mz) dz = [/(so + 0) - /(*„ - 0)] p(z0) •

§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества
289
ъ
+
f if(x)Mx) dx = ([/]„*(* - *o) + {/'(*)}. Ф)),
a
f = WW + \ПуАу - Уо), [/]* = f(yo 4- 0) - /(уо - 0),
где /' — производная в смысле распределений, {f'(y)} — производная
в классическом смысле, а отсюда имеем
= Km, Wi)6(t - 0) - (ит(Г), w,.)4(t - Г),
(Avm,Wi) - e2{\vm\Plvm,Wi) =
Перейдем к пределу при т = /х -> -foo:
= (ti0>Wi)*(*-0)Г),
(Av,w,-) - е2{\ъщ) = ^^у, Wi^j•
Следовательно,
+ ?I -f el3tl - An + — = u06(t - 0) - (* - Г), (4.24)
du
Av-£2X2 = ^. (4.25)
Сужая (4.24)-(4.25) на (0,T), получим
dv
v! + u + e\X\ ~ An + — = 0, (4.26)
OX\
du
Av-e2x2 = g^. (4.27)
Как отмечалось в замечании 7.1 к формулировке теоремы 7.3,
отображение
ti(*):[0fTl->H"!(n).
является непрерывным. И следовательно, м(0) и м(Г) имеют смысл. В силу
непрерывности функции u(t) имеем м(0) = щ и м(Т) = £.
Докажем теперь, что \2 = MP2v. Введем обозначение
т
1р = £2 У Л (^(fp) - Л2(«;), vp - w), A2(w) = \w\Plw.
о
19 Заказ 405

§ 4. Одна задача теории сегнетоэлектричества 291
Устремляя А -> 0 и используя полунепрерывность оператора A2(v),
получим
т
J (X2-A2(v),w)dt>0 Vw€LPl+2(Q).
о
Отсюда следует, что \i — A2(v) — \v\P2v.
Шаг 4. Единственность решения задачи (4.1)—(4.4).
Докажем теперь единственность решения рассматриваемой системы
уравнений.
Пусть (tii, V\) и (ti2, v2) — два решения системы уравнений с одним
и тем же начальным условием. Тогда, проделывая стандартные выкладки,
получим
2~lJtWui ~ "2II2 + \\щ - и2\\\ + ||Vti, - Vu2\\22 +
+ (i4i(tii)- Ai{u2),ui -u2) +|Vvi - VV2II2 +
+ (A2{v{) - A2(v2), vi - v2) = 0,
Ai(w) = \w\Pi+V 1 = 1,2.
В силу монотонности операторов Ai(w), получим
2~lJtWui ~ u2\\l + 11*1 - U2W2 + UVti, - Vu2\\\ + ||V»| - Vv2\\22 ^ 0.
Отсюда вытекает
||гх, — гх2||2 = 0, ||Vt>i - Vv2\\ = 0,
и, значит, tii = ti2, V\ = v2 почти всюду.
Таким образом, нами доказана однозначная разрешимость в слабом
обобщенном смысле системы уравнений (4.1)—(4.4).
Теорема доказана. □
Литературные указания
Материал для этой главы взят из работ [6], [И], [28], [30] и [40].
19'

290 Глава 7. Метод монотонности
0 0
a./-(Sf^)-/-(Sf-^)-
0
Поэтому в итоге имеем
т
О < lim tof Г, - - / dt - f (£, t,) dt -
о о
Т т
-*2 f (X2,w)dt-e2 J (A2(w),v-w) dt =
о 0
T T T
= *2 У (ДС2. v) dt-e2 J(хъ u>) dt-e2 J (A2(w), v-w)dt =
0 0 0
T
= e2 J (X2 - A2(w), v-w) dt.
0
Воспользуемся теперь полунепрерывностью отображения w -> M^w.
Действительно, пусть v - w = Ай;, й 6 I/2+2(Q), тогда получим
т
j (X2-A2{v-Xw)iw)dt^0.
В силу равенства (4.14) имеем
т т т
e2 f (A2(vll),vll)dt = - f ||Vt»ji«tt- f (v ^) <«•
0 0 0
Поскольку Up -> u сильно L2(0, T; L2(ft)), a
fb-£ o»60BLJ(0,T,Ll(n)),
то справедливо предельное равенство
т т

Глава 8
Теоремы о неподвижной точке
§1. Введение
В данной главе мы рассмотрим один из самых простых, но
чрезвычайно распространенный метод сжимающих отображений. Важным фактором
этого метода является то, что если он применим к задаче / = А/, то
решение этой задачи единственно.
§ 2. Принцип сжимающих отображений
Метод сжимающих отображений является, по всей видимости,
наиболее широко используемым методом нелинейного анализа. Дадим
определение неподвижной точки.
Определение 8.1. Точка / называется неподвижной точкой
оператора А, если / = А/.
Напомним определение непрерывного по Липшицу оператора.
Определение 8.2. Оператор А : В -> Е удовлетворяет условию
Липшица на D С В с константой Липшица q > О, если существует такое
О < q < +оо, что
Ш-Ы^я\\Г-9\\> Г>дев.
Наконец, введем определение сжимающего отображения.
Определение 8.3. Оператор А, удовлетворяющий условию
Липшица с константой q Е (О, 1), называется сжимающим.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 8.1. Если выполнено неравенство
- /nil < «II/. - /.-ill. Ol, (2-1)
в котором q G (0,1), то при всяком п ^ 1
Н/»+* - /»И < - - ли, i,
и (/„) есть последовательность Коти.

§ 2. Принцип сжимающих отображений
293
Доказательство. Из (2.1) по индукции получаем, что
- fnUWh - ЛИ. » > 1.
Следовательно, при А; ^ 1
11Д+* - АН
А;
^ ll/i - /oil £ <7n+jM < «"О - q)~l\\fi - /oil.
Так как g < 1, правая часть стремится к нулю при п -> -foo, и значит,
(/я) — последовательность Коши.
Лемма доказана. □
Справедлив следующий важный принцип.
Принцип сжимающих отображений. Предположим, что оператор А
отображает замкнутое подмножество D банахова пространства ШвЗ
и является сжимающим. Тогда А имеет в D единственную
неподвижную точку, скажем /. Далее, при любом начальном значении /о G D
последовательные приближения fn+\ = A/n, n ^ 0, сходятся к /,
и справедлива следующая оценка скорости сходимости:
11/-/»11<<7п(1-<7Г'||А/о-/о1|. (2.2)
Доказательство. Поскольку А — сжимающий оператор, то
- МК Q\\fn - /„-.II, Ol, (2.3)
и из леммы 8.1 следует, что при п> m
11/»-/т||<«"(1-«Г'||а/0-/о||, 1.
Этим доказано, что (/„) — последовательность Коши. Так как D замкнуто
и (/n) Е D, последовательность (/„) сходится в D к некоторому /. В силу
непрерывности А
А/= lim А/„ = lim /я+| = /,
n-++oo n->+oo
т. е. / —• неподвижная точка. Чтобы доказать единственность, допустим,
что g — другая неподвижная точка А. Тогда
||7-*||Ч|а7-А0||<«г||7-*||.
Поскольку 0 < q < 1, это означает, что / = д.
Теорема доказана. □

294
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
§3. Принцип неподвижной точки Шаудера
Сначала напомним знаменитую теорему Брауэра о неподвижной
точке в конечномерном пространстве.
Теорема Брауэра о неподвижной точке 1. Пусть D — ограниченное
замкнутое выпуклое подмножество конечномерного нормированного
векторного пространства. Если А — непрерывное отображение D в себя,
то А имеет неподвижную точку в D.
Имеет место и ослабленный вариант теоремы Брауэра.
Теорема Брауэра о неподвижной точке 2. Пусть оператор А
отображает единичный шар S = {х Е Еп : ^ 1} n-мерного евклидова
пространства Еп в себя. Тогда в S найдется неподвижная точка
оператора А.
Определение 8.4. Пусть в банаховом пространстве Е задано
множество М из конечного числа элементов
М = {&,-€ В: i = 1,..., п}.
Множество всевозможных линейных комбинаций
п
где все А, ^ 0 и
t=i
называется выпуклой оболочкой множества М и обозначается Со(М).
С помощью теоремы Брауэра можно доказывать различные теоремы
о неподвижных точках нелинейных операторов в бесконечномерных
банаховых пространствах. Справедлив основной результат этого параграфа.
Теорема принцип Шаудера. Пусть оператор А отображает
замкнутое ограниченное выпуклое множество D банахова пространства В
в себя. Тогда если А вполне непрерывен на В, то он имеет на D
неподвижную точку.
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть оператор А
не имеет на D неподвижных точек. Тогда найдется такое ео > О, что для
всех iGD
||А(х) - х\\ > е0. (3.1)
Действительно, если это не так, то найдется такая последовательность
{хп} с р, что
||А(жп)-ж„|| ->0, п->+оо. (3.2)

§ 3. Принцип неподвижной точки Шаудера 295
Но тогда, вследствие компактности A(D) в В, из последовательности
{А(жп)} можно выделить подпоследовательность {А(жП')}, сходящуюся
к элементу хо Е A(D). Из (3.2) видно, что и хп> -> Хо, п' -> +оо. При
этом хо Е D, ибо A(D) С D, a D замкнуто. Полагая в (3.2) п = п',
вследствие непрерывности А(х) получаем А(хо) = £о» что противоречит
нашему предположению об отсутствии у А неподвижных точек на D.
Итак, выполняется неравенство (3.1).
Будем далее считать, что О Е Р. Это условие не является
ограничением. В самом деле, пусть уо Е D. Рассмотрим множество Do = D - уо и
оператор
А0ж = А(х + уо) - у0.
Можно доказать, что Do — замкнутое выпуклое множество, Ао — вполне
непрерывный оператор. Если Хо Е D — неподвижная точка оператора А,
то жо + уо € Do — неподвижная точка оператора Ао.
Зафиксируем любое е Е (0, ео). Пусть
Ме = {yi Е A(D), t = l,...,n}
есть конечная е-сеть множества A(D). Выделим в множестве Ме
максимальную линейно независимую систему элементов. Можно считать, что
ее образуют элементы множества
Ne = {yi, t = l,...,m}, m^n.
Рассмотрим m-мерное банахово пространство Вш, натянутое на элементы
множества Ne и являющееся подпространством банахова пространства В.
Пусть, далее,
Ке = Co(0UM£)
— выпуклая оболочка множества, состоящего из объединения точки 0 и
точек конечной е-сети Ме. Очевидно, что Ке С Вт. Далее, Ке является
выпуклым телом в Вт, поскольку Co(0UMf) С Ке. Кроме того, К€ С D,
так как по условию теоремы A(D) С D, a D выпукло.
Рассмотрим оператор Af, отображающий D в D и определяемый
следующим правилом: для х Е D
п
А£(х) = Ц , (3.3)
1=1
где ц((х) = 0, если ||А(х) - #|| > е, и щ(х) = е - \\А(х) - у,||, если
||А(ж) - yi\\ ^ е. Оператор Ае часто называют ^-проектором Шаудера.
Рассмотрим теперь сужение оператора А£ на множество К€. Можно
доказать, что Ае отображает Ке в себя. Далее, Ае непрерывен. Таким об-

§ 3. Принцип неподвижной точки Шаудера
297
Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что
М = 1. Определим отображение
если ||Аж|| ^ 1,
||Ах|Г ССЛИ l,A*ll>L
Докажем, что это отображение переводит единичный шар
в единичный шар. Действительно, пусть ж Е Di, тогда возможны два случая:
(I) ||Ах||< 1,
00 ||Ах|| > 1.
В обоих случаях получаем, что ||А*х|| < 1. Получим теперь оценку по
норме разности А*х\ - А*х2 в случае, когда Х\, х2 G Oj. Действительно,
возможны три принципиальных случая:
1) ||Ах,|| < 1 и ||Ах2|| < 1;
2) ||Ах, || > 1 и ||Ах2|| > 1;
3) ||Ах,|| < 1 и ||Ах2|| > 1.
В первом случае мы сразу же получаем оценку
||А*х, - А*х2|| < ||Axi - Ах2||. (3.6)
Во втором случае справедлива цепочка неравенств
Axi Ах2
||A*xi - А*х2|| <
< ||||Ах2||Ах, -||Ах,||Ах2|| <
ЦАх.Ц ||Ах2||
||Ах2||[Ах, - Ах2] + [||Ах2|| - ЦАх.ЮАхгЦ
< ||Ах2|| ||Ах, - Ах2|| + |||Ах2|| - ||Ах,||| ||Ах2|| <
< ||Ах2|| ||Ах, - Ах2||. (3.7)
Рассмотрим теперь третий случай. Тогда для любой точки {хз: ||Ахз|| = 1}
справедлива оценка
Ах2 Ахз
|А*х, - А*х2|| < ||Ах, - Ах3|| +
||Ах2|| ||Ах3||
х, - Ах3|| + 2||Ах2|| ||Ах2 - Ах3||.
(3.8)
Из неравенств (3.6)—(3.8) вытекает, что если оператор А непрерывен
и вполне непрерывен, то таков соответственно и оператор А*.
Поэтому в силу теоремы о принципе Шаудера получаем, что оператор А* имеет
неподвижную точку жо. Покажем, что точка Xq является неподвижной
точкой отображения А. Действительно, предположим, что ||Ажо|| ^ 1.
Тогда жо = А*Жо = аАжо с a — 1/||Ажо||, и поэтому ||ж0|| = ||А*жо|| = 1.

296
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
разом, к сужению Ае на Ке можно применить теорему Брауэра 1, согласно
которой существует неподвижная точка хе G К£ оператора А£:
А£(х£) = х£.
Заметим, что оператор А£ обладает следующим свойством:
||А(*)-Ае(х)||<е (3.4)
для всех х б D, т. е. оператор А£ аппроксимирует оператор А на D с
точностью е. Действительно,
п п п
A(x) - A,(x) = -ЬЦ i=| = J=L-_ .
X) *»<(x) 2 X) ч<(ж)
i=i «=i <=!
Отсюда вытекает, что
n
Y,fi(x)\\Mx)-yi\\
||A(x) - A, (*)|| ^ ^=1— ,
где суммирование в числителе и знаменателе ведется только по тем
индексам i, для которых ||А(х) - у,-|| < е, поскольку если ||А(ж) - у,-|| ^ е,
то /хДж) = 0. Следовательно,
п
X)
||А(*)-Ае(*)||<-*Т =
1=1
В силу (3.4) имеем
\\А{х£)-х£\\ = \\А{х£)-А£{х£)\\ ^е.
Это противоречит неравенству (3.1), ибо мы взяли е G (0, ео). Значит,
допущение о том, что А не имеет на D неподвижных точек, неверно, и
теорема Шаудера доказана. □
Следствие. Пусть А — вполне непрерывное отображение банахова
пространства В в себя. Пусть существует постоянная М такая, что для
всех х G В и a G [0, 1], удовлетворяющих уравнению
х — аАх,
справедливо неравенство
INII < М. (3.5)

§ 4. Нелинейное параболическое уравнение
299
Доказательство. Мы применим метод последовательных
приближений, рекуррентно определяя
щ = Нщ, un+\ = Нщ + K(un). (4.10)
Основным моментом является выбор нормы.
Шаг 1. Выбор нормы.
В качестве нормы возьмем следующее выражение:
x€Rn,^0 /Чж»*)
^>-^Чта'4 (4|2)
Д/дг 2. Оценка оператора К из выражения (4.5) по норме || • ||.
Лемма 8.2. Существует такая константа С\ > 0, что
11ВД11<<?.1М1,+а (4.13)
для любой непрерывной функции v ^ 0, ||v|| < -foo.
Доказательство. В самом деле, согласно определению нормы (4.11),
имеем
v(x,t)l+a^\\v\\l+ap(x,t)l+a,
откуда по определению К (4.5)
K{v) < ||„||,+"«V+e). (4.14)
Однако
откуда
/)(х,Д),+а<С2(з + ^)па/2/>(х,Д),
t
K(pl+a)^C2 f (a+^)na/2 У tf(z,j,,*-*)/>(y,s)dy<
0 R"
C2 / {^Г^р{х'1)==Сгр{х'1)'
о
где мы воспользовались условием па > 2. Далее, из (4.14) следует, что
р(х, t)
Отсюда вытекает утверждение леммы.
Лемма доказана. □

298
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
Но это противоречит неравенству (3.5) с постоянной М = 1.
Следовательно, предположение ||Ажо|| ^ 1 неверно, т.е. ||Ажо|| < 1. Тогда
Жо = А*жо = Ажо.
Следствие доказано. □
§ 4. Нелинейное параболическое уравнение
Пусть задано а > 0. Ищется функция u(x9 t), удовлетворяющая
уравнению
ди
— -Ди-и1+а = 0, жЕМп, *>0, (4.1)
at
и условиям
и(х9 0^0, и Е C(Rn х (0, +оо)), и{х9 0) = и0(х) ^ 0 (4.2)
(задача Коши).
Определение 8.5. Под ослабленным глобальным решением задачи
(4.1), (4.2) будем понимать решение класса C(Rn х (0, 4-оо))
следующего нелинейного интегрального уравнения:
и = Нщ + К{и)9 (4.3)
где
Нщ = j U(x9y9t)uQ(y)dy9 (4-4)
R"
t
K(u)(x9t) = f do f U(x9y9t-o)u(x9o)l+ady9 (4.5)
0 R"
_1_
(4тг7)я/2
Теперь будет установлена следующая теорема.
Теорема 8.1. Предположим, что
па > 2. (4.7)
Тогда для любого заданного X > 0 существует такое о9 что если щ
является непрерывной функцией, удовлетворяющей условию
0 ^ щ(х) ^ (техр (-^М2) . (4-8)
то существует глобальное решение задачи (4.1), (4.2) в смысле
определения 8.5, для которого выполнена оценка
^-y.O^zdr^^p^-iix-yi2). (4.6)
/ 1 Л
I 1 .Л 1

300
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
Так как \\р\\ = 1, то из (4.13) следует, что
ЦВД1КС,. (4.15)
Докажем теперь следующее утверждение.
Лемма 8.3. Пусть задано М > 0. Каковы бы ни были непрерывные
функции и, v ^ 0, такие что
IH ^ м, |М| ^ м,
всегда
^Cx{\+a)Ma\\u-v\\. (4.16)
Доказательство. Действительно,
|и(у,s),+a -v(y,з),+а| ^ (14-а)тах{и(у,з)\v(y,з)а}\и(у,з)-у(у,з)\<
^(\ + а)Мар(у,з)а\\и-ь\\р(у,з),
откуда
\K(u)(x,t)-K(v)(x,t)\ <
t
< J da f U(x,yJ - а)\и(у,з)^а -v(y,3)^a\dy ^
0 R"
^(l+a)Ma\\u-v\\K(p),
а отсюда в силу (4.15) следует (4.16).
Лемма доказана. □
Шаг 3. Сходимость процесса (4.10).
Очевидно, что (4.8) эквивалентно неравенствам
0 ^ щ ^ 6U(x, 0, х), б = <г(4пх)П/2> (4.17)
и речь идет о доказательстве сходимости (4.10) для «достаточно малых»
6>0.
Доказательство состоит из двух этапов:
(I) Из (4.10) и (4.13) следует, что
||«n+I|K<J + C1||u„||1+a (4.18)
(поскольку (4.17) приводит к неравенству Нщ ^ др).
Таким образом, ||мп|| ^ -уп, где 71 = и 7П+, = 6 + С^а.
Отсюда следует, что для достаточно малых 6 > 0
Ы^М(д), (4.19)
где М(S) -> 4-0 при S -> 4-0.

§ 4. Нелинейное параболическое уравнение
301
(II) Из определения (4.10), а также из (4.16) и (4.19) выводим, что
||ип+1 - un\\ = \\K(un) - К(ип-г)\\ ^ С,(1 4- a)M(S)a\\un - ип_,И,
откуда получается наш результат в силу леммы 8.1, коль скоро S > 0
выбрано так, что выполняется неравенство С\{\ 4- a)M(S)a < 1.
Теорема доказана. □
Теперь зададимся вопросом: как связаны задача Коши (4.1) и (4.2)
и интегральное уравнение (4.3), и насколько ослабленное решение задачи
гладкое? В этой связи введем некоторые определения.
Определение 8.6. Неотрицательная функция u(t, х) называется
классическим решением задачи Коши (4.1) и (4.2) на отрезке [0, Т],
если м, Vxu, VxVxu и щ существуют и непрерывны в полосе Qj =
= [0,Т] xRn.
Определение 8.7. Пусть Т > 0, £[0,Т] — множество всех
непрерывных функций u = u(t,x), определенных на полосе [0, Т] х W1 и
удовлетворяющих неравенству
\u(t,x)\^Mexp(\xf) (4.20)
с некоторой постоянной М > 0 и /3 Е (0, 2).
Определение 8.8. А — это множество всех таких неотрицательных
функций щ(х) на Rn, что щ(х), Vxu0(x), и VxVxuq(x) непрерывны
и офаничены.
Пусть функция р(х) такова, что
\х\ ^ 1,
1*1 > 2.
Тогда определим
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 8.4. Пусть u — u(t, х) — классическое решение задачи Коши
(4.1), (4.2) в £[0,Т] для некоторого Т > 0 и щ(х) е А. Тогда u(t,x)
удовлетворяет интегральному уравнению (4.3).
Доказательство. Рассмотрим функцию
vN(t, х) = pN(x)u(t,x).
Тогда в силу определения функции u(t,x) как классического решения
задачи Коши (4.1), (4.2) справедливо уравнение
^- = AvN + pNul+a - 2(VpNt Vu) - uApN,
vN(x, 0) = Pn(x)u0(x).

302 Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
где
vN{t,x) = Vx+V2-2Vz-VA, (4.22)
V\= J U(x-y, t)pN(y)u0(y) dy,
R"
t
V2 = J ds f U(x-y,t-s)pN(y)u(s,y)l+ady,
0 R"
t
V3 = f ds f U{x-y,t-s)(VypN{y),Vyu{s,yj) dy
0 R"
t
V4 = J ds J U(x-y,t- s)u(s,y)AypN(y)dy.
0 R"
Поскольку щ(х) £ А, то совершенно понятно, что
V\ -> J U(x - у, t)uQ(y) dy при N -> +oo.
Rn
Поскольку u £ £[0,T], то ux+a £ £[0,T], т.е. при некоторой постоянной
M > 0 и некотором /3 £ (0, 2) справедливо неравенство
|ttl+e|<Mexp(|yf). (4.23)
В силу этого имеем
t t
\V2 - K(u)\ < М J ds f V{x-y,t-s) exp (\yf) dy = M f <pN{s) ds,
0 о
где
<Pn(*)= J U(x-y,t- s) exp (\yf) dy.
\v\>n
Для каждого x и t функция (Pn(s) равномерно ограничена, поскольку
0 ^ <Pn(s) ^ J U(x-y,t- 5) exp (\yf) dy =
R"
= C^ exp(-|?/|2)exp(|x4-2v^=:54|/?) *K
В силу того что каждое слагаемое в уравнении (4.21) имеет компактный
носитель по переменной х £ Кп, справедливо интегральное представление

§ 4. Нелинейное параболическое уравнение
303
<С f ехр(-М2)ехр[(М +2y/i\4\)P] dV.
Rn
Следовательно, мы можем применить теорему Лебега и получить, что
t
\V2 - K(u)\ ^ М jds <pN(s) -> 4-0 при N -> -foo.
о
Теперь мы докажем, что V3 -> 0 и V4 -> 0 при iV -> -foo. То, что V4 -> 0
при iV -> -foo, понятно, поскольку
1АМг>)1<^2>
так как u Е £[0, Т]. Что касается V3, то интегрированием по частям мы
получим
V3 = -V5 - VA% (4.24)
где
0 R"
Для того чтобы оценить V5, заметим, что
\VypN(y)\^CN-\
а также
|V,£T(«,0| ^ СГ<т+Ч2 ехр . (4.25)
Мы можем предположить, что
\u(sfy)\^Mexp(\yf)
с некоторыми постоянными М > 0 и /3 Е (0, 2), поскольку м £ £[0, Т].
Тогда, делая замену переменной интегрирования у - х = Ъу/t - stj, мы
получим
t
\V5\ ^CN~l j{t-s)~m dsx
0
f ехр (-M2) exp [(|x| + 3Vt^\V\)P] dt) ^ C'N~\
R"
где С зависит только от х и t. Таким образом, мы имеем V$ -> 0 и,
следовательно, V3 -> 0. Таким образом, из (4.22) следует утверждение.
Утверждение доказано. □
х
R

304
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
Лемма 8.5. Пусть и — классическое решение задачи Коши (4.1), (4.2)
в £[0,Т]. Тогда
ди г Л
— G£[0,T], i = l, п.
Доказательство. Пусть v £ £[0, Т] функция, удовлетворяющая
неравенству
\v(s,y)\^Mexp(\yf) (4.26)
для некоторых постоянных М > 0 и /3 Е (0, 2). Пусть
t
w(t,x) = J ds j U(x-y,t- s)v(s,y)dy. (4.27)
0 R"
В силу (4.25) легко проверить, что
t
дхю С С д
* 0 R" '
Действительно, в силу (4.26) имеем
t-e
иг(t,x) =
0 R'
l—t
f(t9 х) = J ds f V{x-y,t-s)v(s, у) dy (4.29)
с e > 0. Ясно, что we(t,x) сходится к w(t,x) при е -> 4-0 равномерно
по ж, t £ Qj = [0, T]xRn. Совершенно то же самое справедливо и для
м£х) = {ds {-£^и(х - у>1 - sWs> у) йУ (4-3°)
* 0 R"
в силу (4.25) и (4.26). Кроме того, для любой положительной постоянной
Л > 0 мы можем выбрать М > 0 и j £ (/3,2), удовлетворяющие
неравенству
ехр(Л|ж|^) ^ Мехр(|ж|7). (4.31)
Таким образом, мы имеем
t
dW Cf -^L= J exp [-M2 + (M + 3Vt\V\f] dy <
0 Rn
dxi
t

§ 4. Нелинейное параболическое уравнение
305
Следовательно,
dw
<Cexp(|af)
дх{
с некоторыми постоянными С > 0 и 7 £ (/3, 2). Отсюда следует, что
^е£[о,т].
Теперь заметим, что
du(t, х) = Шщ + дК(и)
дх{ дх{ дх{
Отсюда, в силу того что м1+ог G £[0,Т], мы сразу же приходим к выводу,
что
дК{и)
дх{
Теперь, поскольку щ G Л, то
дНщ
дх{
Стало быть, в силу (4.32) имеем
du(t, х)
дх{
Утверждение доказано. □
G £[0,Т].
G£[0, Т].
G £[0,Т].
Лемма 8.6. Пусть и — неотрицательное непрерывное решение
интегрального уравнения (4.3) в цилиндре Qj = [0,Т] х Rn. Предположим,
что u(t, х) ограничено в Qj. Тогда u(t, х) — классическое решение
задачи Коши (4.1), (4.2).
Доказательство. Как и в предыдущем утверждении, нетрудно
показать, что ди/дх{ непрерывны и офаничены в цилиндре Qj = [0, Т] х Rn
и, кроме того, имеет место равенство
t
5*7= ё+/ds I ^и(х -yJ~ sHs>y)l+a dy- (4 33)
0 R"
Отсюда сразу же получаем
Й = ё + (1+а) IdSI U(x-yJ-sHs,yyd-^<iy. (4.34)
20 Заказ 405

306
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
Учитывая ограниченность uadu/dxi, из (4.33) получим равенство
0 R»
(4.35)
Отсюда, как и в предыдущем утверждении, получаем, что величина
d2u
dxidxk
ограничена и непрерывна в цилиндре Qj. Теперь докажем, что u(t, х)
непрерывна по переменной t по Гельдеру в следующем смысле:
\u(t + ft, х) - u(t, х)\ ^ Chm, Q^t^t + h^T, х £ Rn,
где постоянная С > 0 и не зависит от t и х. Сначала рассмотрим
выражение
(t, х) = K(u)(x, t) = J da j U(x, у, t - a)u(x, a)i+a dy, (4.36)
0 R"
у> » = (4^75 exP " у\2) • (437)
Справедливо следующее равенство:
w(t + ft, x) - w(t, x) = I\ 4- h,
где
t+h
Ix = J ds J U(x-y,t + h-s)u(s,y)l+a dy,
t R»
I2 = J ds J U(x-y,t- s)v(s, y) dy,
0 Rn
«(5,») = / U{y-z,h)u{s,z)x+adz-u{s,y)x+a.
R"
В силу офаниченности u(t, x) совершенно понятно, что
|/i|<Cft.
С другой стороны, мы имеем
\v(s, y}\<cf exp (-M2)|u(«, у + 2А1/2Ч) - u(«, »)1+а| dr, ^ Chl/1,

§ 4. Нелинейное параболическое уравнение
307
поскольку выражение
|V,(u(*,*)l+e)h(l + o)tte|V,ii|
ограничено в цилиндре Qj. Следовательно, мы имеем
\Ь\ < Chm,
и тем самым мы установили непрерывность по Гельдеру по переменной t
функции u(t,x). Теперь займемся функцией ut(t,x). Возьмем
положительный параметр е > 0. Рассмотрим следующее выражение:
w
t-e
-e{ty х) = Ke(u)(x, t) = J da J U(xty, t - a)u(x, o){+a dy. (4.38)
= J U(e,x-y)u(t-eiy)l+a dy +
Поскольку м1+а ограничена, we(t> x) стремится к w(t, x) при e -> 4-0
равномерно в цилиндре [б, Т] х Rn, S — это достаточно малое положительное
число. Справедливо равенство
—U(x-y,t-s) = AxU(x- y,t-s) =AyU(x-y,t-s),
из которого следует
dw£(t,x)
dt
t-e
4- jds f U(x-yit-s)Ayul+a(s,y)dy = h+I4. (4.39)
0 R»
/з стремится к u(t,x)l+a равномерно no t и x при e -> 4-0, поскольку
u1+a ограничена и равномерно непрерывна в цилиндре Qj. С другой
стороны, Ц сходится равномерно в цилиндре Qj к функции
t
<p(t,x) = j ds f U(x-y,t-s)Ayul+a(s,y)dy, (4.40)
0 R"
поскольку величина Ayul+a(s, у) ограничена в цилиндре Qj. На этом
этапе мы имеем равенство
^=4.Гт^«), (4.41)
причем справедливо уравнение, полученное интегрированием по частям
в выражении для (p(t, х):
<p(t,x) = Axw(tfx).
20*

308
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
Отсюда получаем
*) + *.,■(«,.). (4-42)
Стало быть, в силу уравнения (4.3) имеем
^^ = д«М + «1+0(*,*).
Здесь мы учли то, что
jt(Hu0)(x,t) = Ax(Hu0)(x9t).
Одновременно мы доказали непрерывность и ограниченность функции
ut(t,x) в цилиндре Qj. Наконец, заметим, что
u(t, х) -» щ(х) при t -> 4-0
равномерно по х G Rn, поскольку
(Нщ)(х, t) -> щ(х) и K(u)(t, х) -> 0 при t -> +0
равномерно по х G Rn.
Утверждение доказано. □
§ 5. Квазилинейное уравнение с псевдолапласианом
Рассмотрим следующую задачу:
-Apu = - div (|Vu|p-2Vu) = /(ж, и), xefi,
м = 0, xedtl,
где ft С RN — ограниченная область с гладкой границей 8Q G С2*6, S 6 (0,1 ].
Введем обозначение
Np
{NP
-- , если р < N,
N-р
оо, если р^ N.
Предположим, что функция / : П х R1 -> R1 является каратеодориевой и
удовлетворяет условию роста
|/(х,5)| ^фГЧ^), xefi, sGR1, (5.2)
где с > 0 — некоторая постоянная, g G Ь(ж) € ЬУф),
g + g' " L
<7 G (1,р*) гарантирует компактность вложения
Wj'p(tt) «-> L* (П).

310
Глава 8. Теоремы о неподвижной точке
где с\ — наилучшая постоянная вложения W0'p(ft) -> Lq(q).
Следовательно, для каждого u € S справедливо неравенство
IIT(U>IIV<«>" к*тиК>>ю ~ ^IIT(«)llw..(fi) < о (5.6)
с некоторыми постоянными К\, 0. Заметим, что из (5.6) вытекает
существование такой постоянной а ^ 0, что
llT(")Hw;*(n) ^ а-
Отсюда вытекает ограниченность S, поскольку
IMIwJ'w = allT(")HwJ*(n) ^ а-
Это, очевидно, выполнено при условии q Е (\,р).
Следовательно, справедлива теорема
Теорема 8.2. Если каратеодориева функция f : О, х Е1 -> Е1 д>до-
влетворяет (5.2) с (fE(l,p), /иогдя оператор (-Ap)~lNf имеет
неподвижную точку в WqP(Q), или, что эквивалентно, задача (5.3) имеет
решение. Более того, все решения этой задачи образуют ограниченное
множество в Wq,p(£2).
Доказательство непосредственно вытекает из следствия из теоремы
о принципе Шаудера.
Литературные указания
Материал для этой главы взят из работ [18], [23], [25], [30], [45], [48],
[68] и [72].

§ 5. Квазилинейное уравнение с псевдолапласианом
309
Теперь сопоставим каратеодориевой функции /(ж, и) оператор Немыцко-
го Nf = /(ж,и(ж)). Заметим, что справедлива следующая цепочка вложений:
Wj'p(ft) <-> Ь«(П) Л l/(П) W-|j/(n),
из которой вытекает, что оператор Немыцкого является компактным
оператором
Определение 8.9. Слабым решением задачи (5.1) называется
функция и G Wo'p(fO, удовлетворяющая уравнению
(-Дрм, v) = (Nfu, v) для всех v G W^(fi), (5.3)
где (•, •) — скобки двойственности между банаховыми
пространствами WJ'P(H) и W'^n).
Как мы уже установили ранее, оператор
(-Др)"1 : W"1'^)-> vC(tt)
является офаниченным и непрерывным. Поэтому (5.3) может быть
переписано в эквивалентном виде
и = (-Ap)-lNfu, (5.4)
с компактным оператором
Т(-) = (-Д,ГЧ : vC(f2) -> Wi'p(f2). (5.5)
Докажем, что следующее множество ограничено в Wo'p(ft):
S = {и € Wj,p(ft) | « = аТ(«) для некоторого а G [0,1]}.
Справедлива следующая цепочка равенств для произвольного и G WqP(£1):
f /(ж, и(х))Т(и) dx^f (c\u\q~l + b(x))\T(u)\dx.
Более того, для и G S, т. е. и — aT(u) с некоторым a G [0, 1], мы имеем
цепочку неравенств
1|Т(и)||^,,(п) < са"-х||T(tt)||J + ||Ч|,||Т(«)||, <
< c?a«-4|T(«)||;,.,(n) + с,||%||Т(«)||^(п) <

Глава 9
Топологические методы
§1. Введение
В этой главе будет рассмотрено понятие степени отображения в
конечномерном случае, и это понятие мы обобщим на случай бесконечномерного
банахова пространства для компактных операторов. Данный метод имеет
важные приложения для нелинейных эллиптических операторов.
§ 2. Топологическая степень в конечномерном случае
Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство, Q, — ограниченное
открытое множество в Rn. Рассмотрим непрерывное отображение
f(x) = (f\(x\>x2,..., ж„),..., fn(x\,x2,..., xn))
замыкания Q области AbR".
Если дополнительно предположить, что
f(x) Ф О при х G дП = (2.1)
то отображению / может быть поставлена в соответствие целочисленная
характеристика deg(/,Q, 0), называемая степенью отображения и
однозначно определяемая следующими тремя свойствами:
1. Если f(x) — х - х0, где х0 G Ю, то deg(/, fi, 0) = 1.
2. Пусть fii, П2 —_непересекающиеся открытые подмножества О, и
f(x) Ф 0 при х G Q,\(Q\ U Ог); тогда
deg(/, П, 0) = deg(/, П,, 0) + deg(/, П2,0). (2.2)
3. Пусть Л : [0,1] х П -> W1 — такое непрерывное отображение, что
h(t, х) ф 0 при t G [0,1], х G ЯП. Обозначим
/о(ж) = Л(0, х), /,(*) = ft(l, ж), xefl, (2.3)
тогда
deg(/o,n>0) = deg(/I>n>0). (2.4)
Первое свойство — это условие нормировки, второе — свойство
аддитивности степени относительно области, третье свойство — инвариантность

312
Глава 9. Топологические методы
степени при гомотопии. Отображения fo(x) и f\(x), определяемые
формулой (2.3), называются гомотопными на ft. Иначе говоря, отображение h
осуществляет гомотопию отображений fo(x) и f\(x).
Степень отображения, или, по другой терминологии, вращение
векторного поля, может быть определена различными способами: или при
помощи понятий алгебраической топологии, или методами анализа.
Однако для применений степени способ определения не имеет значения.
Основную роль играют указанные выше основные свойства степени.
Отметим только, что один из способов введения степени основан
на аппроксимации отображения / непрерывно дифференцируемым
отображением g : ft -> Rn, таким что
n«j|/(x)-^)|<mjn|/(«)|,
и для всех точек х € П, в которых д(х) = О, якобиан
Dx ^
Возможность такой аппроксимации обеспечивается теоремой Сарда,
которую можно найти в работе (34). По определению полагаем
deg(/, П, 0) = deg(5) П, 0) = 53 sign , (2.5)
1=1
где х\,..., ж/ — все те точки области ft (проверяется, что их конечное
число), для которых д(х) = 0. При этом считаем правую часть (2.5) равной
нулю, если д(х) Ф 0 в области ft.
Наряду с deg(/,ft, 0), степенью отображения / множества ft
относительно точки 0, можно определить и степень отображения /
множества ^относительно произвольной точки у Е Rn, обозначаемую через
deg(/, ft, у), — для этого полагаем
deg(/,n,y) = deg(/-y,a0), (2.6)
где / - у — отображение, действующее по правилу
(/-¥)(*) = /(*)- У-
Отметим основные свойства степени deg(/, ft, 0), используемые
дальше при изучении свойств степени отображений в банаховых пространствах.
Лемма 9.1 (Лере—Шаудера). Пусть непрерывное отображение
f:ft^Rn
таково, что
fn(xu... ,хп) = хп при (х\,...,хп)е(1. (2.7)

§ 2. Топологическая степень в конечномерном случае
313
Предположим, что выполнено условие (2.1), и пересечение
ft' = ft П {х : хп = 0}
непусто. Тогда
degtf^OHdegtf'^O), (2.8)
где f — отображение ft' в Е71"1, определенное равенством
f(x\,..., хп-\) = (/i(zb ..., жп_1,0),..., /n-i(si,..., жп_ь 0)).
Не доказывая лемму, отметим только, что равенство (2.8) легко
доказывается для дифференцируемого отображения д(х), удовлетворяющего
условию (2.7), в том случае, когда deg(</, ft, 0) можно определить
равенством (2.5). В этом случае точки ж, области ft, для которых д(х) = 0,
имеют вид ж, = (х\, 0), и просто проверяется, что
Dgjxj) _ Рд'(х\)
Dx Dx
Так что для таких отображений (2.8) является следствием (2.5).
Естественно, возникает вопрос о том, гомотопны ли отображения
с одинаковой степенью. Ответ на него дает следующая теорема, известная
как теорема Хопфа [34].
Назовем ограниченную связную область ft в R" жордановой, если
множество Rn\Q связно.
Теорема 9.1. Пусть ft — жорданова область в W1 и непрерывные
отображения /ь fi : ft -> Rn удовлетворяют условиям f\(x) ^0, /2(2) ф 0
для х G 9ft, deg(/i, ft, 0) = deg(/2, ft, 0). Тогда отображения f\, /2
гомотопны на ft.
Лемма 9.2. Пусть OEft, / :ft->Rn — непрерывное отображение,
удовлетворяющее условиям (2.1), и
(f(x), х)^0 при х Е дП. (2.9)
Тогда deg(/,ft,0) = 1.
Доказательство. Рассмотрим отображение h : [0,1] х ft -> W1,
h(t,x) = tx + (\-t)f(x). (2.10)
При х Е 9ft имеем (h(t, х),х) = t\x\l + (1 - t)(f(x),x), и правая часть
положительна при t > 0 в силу условий леммы. Отсюда и из (2.1) следует,
что h(t, х) Ф 0 при t Е [0,1] и х Е 9ft. Используя свойства 1) и 2) степени
отображения, получаем
deg(/,ft,0) = deg(l,ft, 0) = 1,
где I — тождественное отображение.
Лемма доказана. □

314
Глава 9. Топологические методы
Справедлива следующая важная лемма.
Лемма 9.3. Пусть f — непрерывное отображение
Б(0, R) = {х G Rn : \x\^R}
в Rn, удовлетворяющее условиям (2.1) и
/(-ж) = -/(ж) для |х| = Д. (2.11)
Тогда deg (/, В(0, R),6) — нечетное число.
Доказательство данной леммы можно найти в книге [22]. □
Отображение /, удовлетворяющее условию (2.11), называется
нечетным на сфере 5(0; R) = {х G Rn : \х\ = R}.
Замечание 9.1. Утверждение леммы 9.3 остается в силе, если заменить условие
(2.11) следующим условием:
ш-й "р" '*=*• (2',2>
В этом случае / гомотопируется к нечетному на S(0\ R) отображению посредством
гомотопии
/!(*,*) = /(*)-0-ОД-*). (2.13)
Отличие от нуля h(ty х) при t € [0, 1], х € 5(0; R) следует из (2.12).
Применение степени отображения к доказательству разрешимости
уравнений в конечномерном пространстве основывается на следующей
фундаментальной теореме.
Теорема 9.2. Пусть непрерывное отображение f : ft -> Rn
удовлетворяет условию (2.1) и пусть deg(/, П, 0) ф 0. Тогда уравнение
f(x) = 0 (2.14)
имеет по крайней мере одно решение в области П.
Данная теорема является непосредственным следствием следующей
леммы.
Лемма 9.4. Пусть непрерывное отображение f : П -> Rn
удовлетворяет условию f(x) Ф 0 при х G ft. Тогда deg(/, П, 0) = 0.
Доказательство достаточно провести для области настолько
малого диаметра, что для ж', х" G О,'
|/(*') - /(z")| + \х' - х"\ < \ min |/(х)|. (2.15)
Для такой области f(x) гомотопируется к отображению
/о(ж) = х - хо + /(ж0), хо G П',

§ 2. Топологическая степень в конечномерном случае
315
следующим образом:
h(t, х) = t(x -х0 + f(x0)) + (1 - t)f(x).
В силу (2.15) h(t,x) Ф О при t G [0, 1], х G ЯП', х - х0 + /(ж0) ^ 0 при
х G ft'. Отсюда, используя свойства 1)-3) степени отображения, получаем
deg^H7, 0) = deg(/0,n7,0) = 0.
Общий случай сводится к случаю, удовлетворяющему неравенству (2.15),
путём покрытия П открытыми множествами малого диаметра с
последующим применением свойства 2) степени отображения.
Лемма доказана. □
Следствиями данного результата являются следующие две леммы.
Лемма 9.5 (об остром угле). Пусть f:D->Rn — непрерывное
отображение замыкания ограниченной области D С Rn. Предположим, что
нуль — внутренняя точка D и на границе 8D области D выполнено
условие
п
(/(*), х) = 53 Шх{ > 0, хе 8D. (2.16)
1 = 1
Тогда уравнение
f(x) = 0 (2.17)
имеет по крайней мере одно решение в D.
Доказательство. Если для отображения / не выполнено условие
f(x) Ф 0 при х G dD, то уравнение f(x) = 0 уже имеет решение,
принадлежащее dD.
В противном случае в силу леммы 9.2 определена степень
отображения deg(/, D, 0) = 1. Теперь утверждение следует из теоремы 9.2.
Лемма доказана. □
Лемма 9.6. Пусть g : Rn -> Е1 — непрерывная четная положительно
однородная порядка 1 функция, т. е. такая, что
g(-x)=g(x), g(Xx) = Xg{x) для х G Rn, Л > 0. (2.18)
Предположим, что при R > 0
D = {xeRn:g(x)<R},
и пусть f : D -> Rn — непрерывное отображение, удовлетворяющее
при некотором у G Rn условиям
f(-x) = -f(x) для хе 8D,
!(х)-ЬуфО при te[0, 1], xedD.
Тогда уравнение f(x) = у имеет решение в D.

316
Глава 9. Топологические методы
Доказательство данной леммы приведено в работе [41]. □
Наконец приведем без доказательства следующую важную теорему
Брауэра (см., например, [34]).
Теорема 9.3. Всякое непрерывное отображение замкнутого
ограниченного выпуклого множества из Rn в себя имеет неподвижную точку.
§ 3. Топологическая степень
в банаховом пространстве
Отметим, что в бесконечномерном случае теорема Брауэра не имеет
места. Справедлив следующий пример.
Пример 9.1. Пусть X = 12 и В — замкнутый единичный шар в 12
и отображение / : В -> В задается формулой
/(*) = (vT4W,*i ,..•)■
Это отображение непрерывно, но не имеет неподвижных точек. В самом
деле, если бы х = (х\,х2,...) была неподвижной точкой отображения /,
то мы имели бы = 1, так как ||/(я)|| = 1 для всех ^ 1. С другой
стороны, из равенства х = - ||ж||2, Х\,... ) следовало бы, что Х\ = О,
х2 = х\, жз = х2 и т.д., т. е. что х = (0,0,...), а это противоречит тому,
что = 1. >
Таким образом, мы видим, что в бесконечномерном пространстве
недостаточно требовать от / одной непрерывности. Мы будем требовать
еще компактности.
Определение 9.1. Непрерывное отображение /, заданное на
банаховом пространстве X и отображающее его в себя, называется
компактным, если для любого ограниченного замкнутого
подмножества ft множество /(ft) является компактным.
Справедлива следующая важная теорема.
Теорема 9.4. Пусть ft — произвольное замкнутое ограниченное
подмножество в X. Отображение / : П —> X компактно тогда и только
тогда, когда оно является равномерным пределом конечномерных
отображений (т. е. отображений, образы которых лежат в конечномерных
подпространствах).
Доказательство. Предположим, что отображение / — компактно.
Тогда /(ft) является компактным подмножеством в X. Поэтому при любом
с > 0 можно покрыть /(ft) открытыми шарами В\,...,В^е), центры
которых х\,..., Xj(£) лежат в /(ft). Пусть функции ipi(x) образуют разбиение

318
Глава 9. Топологические методы
xn Е 5 и <р(хп) -> у, то хп - Щхп) -> у. Поскольку К — компактное
отображение, можно выбрать сходящуюся подпоследовательность
(обозначим её снова через жп), для которой Щхп) -> z. Тогда xn -> z + у = х
и, в силу непрерывности, х - Щх) = у.
Отсюда следует, что (p(dQ) — замкнутое множество, так что если
Уо £ ^(9П), то уо находится на положительном расстоянии 6 от 8Q. Пусть
теперь £ < 5/2, и пусть Ке — е-аппроксимация отображения К, образ
которой лежит в конечномерном пространстве N£ = N', содержащем
точку уо. Тогда (р£ = х - К£(х) Ф уо на dft. Рассмотрим отображение
для него степень deg(y?e, N£ П ft, уо) определена.
Определение 9.2. Положим deg(y>, ft, уо) = deg(y?e, iVe П ft, уо).
Мы утверждаем, что эта степень не зависит от выбора К£ и,
значит, корректно определена. Чтобы доказать это, воспользуемся следующей
леммой.
Лемма 9.7. Пусть ft — открытое ограниченное множество в Rn.
Будем рассматривать Rn как прямую сумму Rni 0 Rni, щ + п2 = п, /ид/с
что ЛЕЕ71 единственным образом разлагается в сумму х — Х\ -\- х2,
Х\ eRni и х2 eRnK Пусть F : ft -> Е71 — отображение вида
F(x) = ж + у>(ж),
г&? у?: ft -> Rni. Предположим, что у Е М711, у £ F(dft). 7Ъгдл
deg(F,ft,y) = deg (F|n|,n,,y),
г&? ft! = К"1 П ft.
Заметим прежде всего, что степень deg(y>e, N£ П ft, уо) не изменится,
если повысить dim N£; другими словами, если М = N£®W, где
пространство W конечномерно, то (обозначая снова надстройку через у£) имеем
deg ((р£, М П ft, уо) = deg ((р£, N П ft, у0).
Это непосредственно следует из леммы 9.7.
Предположим далее, что — другая аппроксимация отображения
К, для которой : ft -> iV^. Пусть # — конечномерное пространство,
содержащее N£ и Nv. Применив снова лемму 9.7, получим, что
deg ((р£, N£ П ft, уо) = deg (y£, # П ft, y0),
deg (^, ^ П ft, y0) = deg (^, # П ft, y0).
Положив теперь ^ = ttp£ + (1 -t)(pv, мы видим, что в силу гомотопической
инвариантности
deg (tpe, # П ft, уо) = deg ((рп, # П ft, у0).

§ 3. Топологическая степень в банаховом пространстве
317
единицы на /(П), согласованное с покрытием {Д}^=р т.е.
m
rpi(x) ^ 0, ^2 i/)i{x) = 1 при х Е /(£2) и ^,=0 вне Б,.
i=i
Положим
i=\
Ясно, что Д(ж) принадлежит выпуклой оболочке точек ж^. Далее,
m
||/(ж)-д(ж)|| = £*(/(*))[*«-/(*)]
i=i
Если $i(f(x)) > 0, то /(ж) еВ{и \\Xi - /(ж)|| < е, значит, ||/ - Д|| < е
равномерно по х. Доказательство обратного утверждение очевидно.
Теорема доказана. □
Теперь мы в состоянии доказать теорему Шаудера о неподвижной
точке.
Теорема 9.5. Пусть Q — замкнутое выпуклое ограниченное
подмножество банахова пространства Xw/:fi->Q - компактное
отображение. Тогда f имеет неподвижную точку.
Доказательство. Пусть, как и выше, f€(x) — это е-аппроксимация
отображения /, и пусть N£ — линейное пространство, натянутое на Х\,...,
ж;(е). Поскольку П выпукло, а Д(П) содержится в выпуклой оболочке
образа /(П), то Д(ж): SI -> И П N£. Значит, f£(x) отображает лежащее в N£
замкнутое ограниченное множество П П N£ в себя. Но тогда по теореме
Брауэра 9.3 о неподвижной точке отображение fe(x) имеет неподвижную
точку х£ (т.е. f€(xe) = хе). Пусть теперь е -> +0. В силу компактности
последовательность Д(же) содержит сходящуюся подпоследовательность,
которую снова обозначим через f£(x€). Итак, х£ = f£(x£) -> хо. Но
\\xe-f(Xe)\\ = \\fe(Xe)-f(x£)\\^e,
следовательно, f£(x£) -> /(жо), откуда /(ж0) = Жо.
Теорема доказана. □
Теперь мы в состоянии ввести понятие топологической степени
отображения в случае банахова пространства.
Пусть X — банахово пространство, П — ограниченное открытое
подмножество в X, <р : П -> X — отображение вида tp = I - К, где К —
компактное отображение, и уо £ <р(дО). Мы хотим определить deg(^,H, уо)-
Заметим прежде всего, что для всякого замкнутого ограниченного
множества S множество (p(S) = (I - К)(5) замкнуто в X. В самом деле, если

320
Глава 9. Топологические методы
Пример 9.3. Мы представим здесь одно простое применение теории
степени к изучению эллиптической краевой задачи со слабой
нелинейностью. Пусть р — эллиптический оператор порядка га > 0 с «хорошими»
граничными условиями Ви = 0 на flft. Требуется решить задачу
Fu = g(xfufdpu)i Еи = 0 на 9ft, (3.2)
где g — некоторая функция класса С00 по х G ft и по переменной и
и её производным до порядка га - 1 включительно, возрастающая по этим
переменным медленнее линейной функции, т. е. для некоторых констант
7 < 1 и М
\g(z9u,aPu)\<M(l+ £ |Л|У. (3.3)
Мы рассмотрим только простейший случай, когда
% = ind р ее dim ker (р) - codim R(p) = 0, ker p = 0,
так что существует р"1. Положим д(х, u, d^u) = G[u\ и перепишем наше
уравнение в абстрактном виде
u-F-]G[u] = 0. > (3.4)
Теорема 9.6. При сделанных предположениях задача (3.2) имеет
решение в С00 (Щ.
Доказательство. При доказательстве существования решения
уравнения (3.4) воспользуемся теорией степени отображения применительно
к банахову пространству X = {и Е C^m"^(ft) | Ей = 0 на 9ft}. Для начала
нам нужна следующая априорная оценка, которая получена в работе [27].
Пусть р > п и предположим, что существует решение и,
принадлежащее Wm,p(ft); тогда в соответствии с [27] имеем
\\u\\w^^C\\G[u]\\u^CfM
/0 + Е1Л|У7л1№
о 4 \Р\<т ' \
№
В силу того что 7 < 1, следует существование такой константы С\, что
решение и удовлетворяет неравенству
Из теоремы вложения Соболева и замечая, что р > п, получаем искомую
априорную оценку
Mm-l < Съ (3.5)
где | • — норма банахова пространства C^m_1^(ft).
Рассмотрим в пространстве X, определенном выше, шар в:
Mm-i <c2 + i.

§ 3. Топологическая степень в банаховом пространстве
319
Заметим еще, что если у> = I-K и у0 £ y?(ft), то deg(y>, ft, уо) = 0.
Действительно, (р(П) является замкнутым множеством и, следовательно, находится
на положительном расстоянии от уо- Поэтому мы можем воспользоваться
конечномерной аппроксимацией (р£ отображения ср, такой что
(р£ : N£ П ft -> We, уо g П ft).
Но тогда deg(y?e, iVe п ft, у0) = 0.
Таким образом, справедливы все результаты из параграфа 1 данной
главы — нужно лишь требовать дополнительно, чтобы отображение (р
было определено на границе 9ft,
tp : 9ft -> Х\{уоЬ
и чтобы К = I - (р было компактным отображением границы 9ft в X.
Итак, понятие топологической степени отображения и в случае
банахова пространства определено корректно.
Пример 9.2. Рассмотрим интегральный оператор К, действующий в
пространстве X = С[0, 1] или X = L2(0, 1):
1
K(i*)(0 = f K(t, s)u(s) ds,
о
где ядро K(t, s) — непрерывная функция на замкнутом квадрате [0,1] х
[0,1]. Оператор К является компактным линейным отображением
пространства X в себя. Это остается верным и в случае, когда ядро К(s, t)
измеримо и как функция от s непрерывно, причем эта непрерывность
равностепенна по t, а модуль \K(s, t)\ ограничен некоторой константой.
Вот нелинейный пример:
1
K(ti)(t) = f K(s,t)f(u)(s)ds, (3.1)
о
где ядро K(s, t) непрерывно в замкнутом квадрате, а / — непрерывное
ограниченное отображение [0, l]xRl -> R1, |/(ti)| ^ М. Если X = С[0, 1],
то К будет компактным отображением на любом шаре
|Н| = max|t*(0l < N. >
Для иллюстрации теоремы Шаудера о неподвижной точке приведем
следующую очевидную лемму.
Лемма 9.8. Интегральный оператор (3.1) имеет неподвижную точку,
т. е. у уравнения
к(«)(0 = «(*),
есть решение.

§4. Некоторые примеры
321
На в зададим отображение
y?(u) = u — F~]G[u].
Ввиду априорной оценки (3.5) у уравнения у>(и) = 0 нет решений на 90.
Далее, существует такая константа Сз, что |G[u](x)| < Сз при u G 0;
таким образом, зафиксировав, как и раньше, р > п, мы получим оценку
||gml<c4.
Поэтому в силу априорных оценок решения задачи (3.2) (см., например,
[27])
||p_1gm||w„,<C5 (з.б)
и согласно теореме вложения Соболева
\F-lG[u]\m_l+ii^C6 при А» = 1-£.
Отсюда вытекает, что P_1G[] — компактное отображение шара 0 в X,
и легко проверить, что это отображение непрерывно. Следовательно,
определена степень deg(v?, в, 0). Из наших оценок вытекает, что степень
deg(v?, 0,0) отображения
<pt(u) = u-№-lG[.]9 «€[0,1],
не зависит от t и потому равна своему значению при t = 0, а именно,
единице. Таким образом, уравнение (3.4) имеет решение в 0.
Для завершения доказательства заметим, что из неравенства (3.6)
вытекает, что решение и лежит в Wmp(0). Из того же, что и G 0, легко
следует, что G[u] лежит в Wlp(0). Применив наши основные
результаты для пространства W*,p(0), найдем, что и G Wm+,,p(0), а поскольку
р > п, то и G С<ш)(0). Продолжая в таком духе, получим, что и является
С(°°)(0)-решением уравнения (3.2).
Теорема доказана. □
§ 4. Некоторые примеры
Пусть МсИ - некоторое подмножество гильбертова пространства Н.
Определение 9.3. Отображение
Ф :М->Н
называется монотонным векторным полем, если Ф непрерывно,
преобразует ограниченные множества в ограниченные и обладает
свойством (S+): если хп —1 х слабо в!и
lim sup (Ф(х„),х„ -ж0) =0,
п-++00
ТО Хп -> Xq СИЛЬНО В Н.
21 Заказ 405

Глава 9. Топологические методы
Для монотонных векторных полей может быть введено понятие
вращения со всеми его естественными свойствами. Конструкция его введения
аналогична соответствующей конструкции введения вращения вполне
непрерывных векторных полей.
Приведем еще один признак разрешимости нелинейных уравнений.
Пусть_Н — гильбертово пространство, Q С Н — ограниченная область
и Ф : £2 -> Н — монотонное векторное поле.
Теорема 9-7. Пусть О G to и для х G 80, выполнено неравенство
(Ф(*),*)>0.
Тогда уравнение
Ф(х) = О
имеет в П по крайней мере одно решение.
Доказательство. Если Ф(х) Ф 0 при х G OSI, то семейство
(1 -Л)Ф(ж)+Лж, хедП, 0<А^1,
является гомотопическим мостом между полем Ф и единичным полем.
Поэтому
7(Ф,9П) = 1.
Теорема доказана. □
Рассмотрим краевую задачу для стационарной системы уравнений
Навье—Стокса, имеющей следующий вид:
-1/ДЙ + ]Г) щ — = -Ар + /, div 5 = 0, й\дп = 0, (4.1)
1=1 0Xi
где v > 0 — некоторая постоянная,
— оператор Лапласа,
А- — il J?L
дх] + дх\ + дх\
\дх{' дхг 8xJ
— оператор градиента, р — давление, / = (/ь /2, /з) — гладкая заданная
функция. Далее мы воспользуемся обозначениями глав 19 и 20
параграфа 3.
Определение 9.4. Обобщенным решением задачи (4.1) называется
такая вектор-функция й G Й(П), которая для всех w G Й(П)
удовлетворяет равенству

§4. Некоторые примеры
323
Определим оператор А: Й(П) -> Й(П) и элемент tft £ Й(П) так, чтобы
для всех w Е Н(П) имели место равенства
((^, to)) = J fiw* dx-
(4.4)
Тогда задача отыскания обобщенных решений системы уравнений (4.1)
Навье—Стокса эквивалентна отысканию решений операторного уравнения
A(U) = £ йе Й(П).
(4.5)
Докажем сначала, что оператор А непрерывен и ограничен как оператор
из Й(П) в Й(П). Действительно, имеет место равенство
||А(и) - АК)||Й = sup I ((A(ti) - АК), <р)) I. (4.6)
1101=11 1
Пусть йп -> й сильно в Й, тогда
((A(u)-A(u„),0)|<
/"/ |а«, дщ„ dwt |\
< Е У ^"^7 ^ + |u'u''"a* JdI' (47)
Поскольку гГп -> Д сильно в Й, то в силу очевидного вложения Й С L4(ft)
имеем йп -> й сильно в l4(£2), а значит UinUjn ~> ttjttj сильно в l2(n).
Отсюда и из (4.7) вытекает, что
((A(ti)-A(un),£))| ^
^c(||tf-tin||fl||0|fl + £ ||m-iii-ii«niiin||2ll¥llfl) ">+0 (4.8)
при п -> +оо. Значит, из (4.6) вытекает непрерывность оператора А,
а положив ип = О — и ограниченность.
Докажем теперь, что оператор А обладает (5)+ свойством.
Действительно, представим оператор в виде следующей суммы:
А = Ао + А,, (4.9)
где
2V
i,j=\i ах)ох)
(4.10)

324
Глава 9. Топологические методы
((А,(и),®)) = £ /ui^dx- (4Л1>
t.i=i п 1
Предположим, что un и слабо в Й(П) и оператор А удовлетворяет
требованию
lim sup ((A(u„), ffn - fl)) = 0. (4.12)
п-++00
Теперь докажем, что
limsup((A,(ffn),tin-ti)) =0. (4.13)
n-t+oo
Действительно, в силу компактного вложения Й(£1) «-* L4(Q), найдется
некоторая подпоследовательность последовательности {йп}, которую мы
снова обозначим через {йп}, что
йп -> й (4.14)
сильно в L4(f2). Значит,
tini^n; -*ЩП} (4.15)
сильно в L2(Jl). Из (4.11) вытекает
| ((A,(un), un - ff)) | ^ ]Г у Ln;^(iim- - и,-)
dx ^
ttn*-iiill2->+0 (4.16)
при n -> -f оо. Тем самым выражение (4.13) доказано. Отсюда в силу (4.12)
имеем
lim sup ((Ао(й„), ип - и)) = 0. (4.17)
Заметим теперь, что для оператора Ао выполнено условие сильной
монотонности:
((АоЙ-Ао^в-в)) >\\й-Щ2й. (4.18)
Выражение (4.18) можно переписать в виде
Цв-*|Нй< {(А0й,й-йп)) + ((Аойп,йп-й)). (4.19)
Первое слагаемое стремится к нулю в силу слабой сходимости йп й
при п -> +оо. Второе стремится к нулю в силу (4.17). Значит,

§4. Некоторые примеры
325
сильно в fit(ft). Тем самым оператор А обладает свойством (S)+. Кроме
того, из легко проверяемого равенства
О
следует, что
((А(«),«))=ИМ1й.
Поэтому векторное поле
Ф(й) = А(й) - гр,
нули которого совпадают с обобщенными решениями системы уравнений
Навье—Стокса, является монотонным и на сферах
5(г) = {й€Й(П):||«||й = г}
больших радиусов г > 0 удовлетворяет неравенству
((Ф(«),«))й>0, ||Й||д = г.
Действительно,
((Ф(«), «))fl > ими - !1^11й11«11й = 11в11йН1в|1я - \\Ш > о
при г ^ ^"Ч^Нй- Поэтому в силу теоремы 9.8 уравнение (4.5) имеет
хотя бы одно решение. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 9.8. При любых и > 0 и при любой f G it(ft) стационарная
система уравнений Навье—Стокса (4.1) имеет хотя бы одно решение.
В качестве следующего примера рассмотрим задачу об
упруго-пластическом кручении упрочняющихся стержней. Ее формализация приводит
к отысканию решений уравнения
Здесь х = (х\, хг) G ft С R2, ft — ограниченная область, / : R+ -> R —
непрерывная функция, характеризующая свойства материала стержня.
Отыскиваются решения уравнения (4.20), удовлетворяющие нулевым
граничным условиям
и\ш = 0. (4.21)
Предполагается, что функция / удовлетворяет оценкам
0 < с ^ f(t) ^ С < -foo, 0 ^ t < +оо, (4.22)
а функция (p(t) = f(t2)t является монотонно возрастающей.

326
Глава 9. Топологические методы
Исследовать задачу (4.20), (4.21) будем в пространстве H^(ft). Как и
в предыдущем случае, устанавливается, что краевая задача (4.20), (4.21)
эквивалентна операторному уравнению
A(u) = д,
где оператор
А : Hj(n) -> Hj(n)
определяется равенством
(AW, v)^ = J /<|V«|2)(^ + dx.
Как и ранее, непосредственно устанавливается, что оператор А
непрерывен, ограничен и удовлетворяет условию (5)+. Кроме того,
(А(«), «)н.(п) = f /(|V«|2)|V«|2 dx (4.23)
и
(k(u)-A(v),u-v)m)> f (/(|V«|2)|V«|-/(|Vt;|2|VV|))(|V«|-[V«|)dx.
n
(4.24)
Из соотношения (4.23) следует оценка
(А(ш)9 ш)ц|(п) > с||ш|1ц>(п)-
Поэтому монотонное векторное поле Ф(и) = A(u) - д удовлетворяет на
сферах S(r) с Нд(П) при больших г > 0 неравенству
(Ф(и),и)ц1(П) >0,
следовательно, разрешимость краевой задачи (4.20), (4.21) вытекает из
теоремы 9.8. Единственность решения этой задачи вытекает из неравенства
(4.24). Таким образом, нами установлена
Теорема 9.9. Пусть выполнены оценки (4.22), а функция f(t2)t
монотонно возрастает на полуоси t Е [0, +оо). Тогда краевая задача (4.20),
(4.21) имеет единственное решение.
Литературные указания
Материал для этой главы взят из работ [4], [11], [22], [25], [34], [35] и [41].

Глава 10
Метод верхних и нижних решений
§1. Введение
В этой главе мы рассмотрим так называемый метод верхних и нижних
решений, который позволит доказать теоремы о существовании решений
квазилинейных уравнений параболического и эллиптического типов.
§2. Мотивация
Мы начнем рассмотрение тематики данной главы с одного
чрезвычайно важного результата, полученного С. А. Чаплыгиным. Рассмотрим
следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:
J = /(*.»). <К*<Т, у(0) = у0. (2.1)
Как известно (см, например, [36]) справедлива следующая теорема
существования решения задачи (2.1).
Теорема 10.1. Пусть функция f(t,y) определена, непрерывна и
удовлетворяет условию Липшица по переменной у в полосе п = {0 ^ t ^ Т,
у Е К1}. Тогда на промежутке 0 ^ t ^ Т задача Коши (2.1) имеет
единственное классическое решение.
Данная теорема не является локальной, но тем не менее класс
функций f(t, у), удовлетворяющих данной теореме, весьма узкий. Поэтому во
многих случаях более эффективным для исследования задачи (2.1)
является метод дифференциальных неравенств Чаплыгина.
Справедлива следующая теорема сравнения Чаплыгина.
Теорема 10.2. Пусть существует классическое решение y(t) задачи
(2.1). Пусть существует функция z(t) G CW(0, Т] П С[0, Т]:
dz
-£<f(t9x(t))9 te(0,T), z(0)<y0.
Тогда имеет место неравенство
z(t)<y(t), te[Q,T).

328
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Доказательство. При t = 0 неравенство выполняется. Пусть оно
первый раз нарушается в точке t\ G (0, Т]. В этой точке имеем z(t\) = y(t\).
При t = t\ кривые y(t) и z(t) пересекаются или касаются. Следовательно,
f (<■) > = /(«I. »(*■)) = /(«Ь *(*0).
что противоречит условию теоремы.
Теорема доказана. □
Определение 10.1. Функция a(t) G С(,)(0, Т] П С[0,Т] называется
нижним решением задачи (2.1), если выполнены неравенства
dot
— <f(t,a(t)), 0<^Т, а(0)<у0.
at
Функция P(t) G С^(0,Т] П С[0, Т] называется верхним решением
задачи (2.1), если выполнены неравенства
^ >/(<,/?(*)), 0<*<Т, /3(0) > уо-
Справедлива следующая теорема о существовании и единственности
Чаплыгина.
Теорема 10.3. Пусть существует нижнее a(t) и верхнее f3(t) решения
задачи (2.1), такие что
a(t)</3(t)> *€[0,Т].
Пусть функция f(t, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица
по переменной у:
|/(*.У|) ~ ЖЫ| < N\yx - у2|, Уьй€ [а,/3], t G [0,Т].
Тогда задача Коши (2.1) имеет единственное решение y(t),
удовлетворяющее неравенствам
a(t) < y(t) < /3(0, 0 ^ * < Т.
Доказательство. Продолжим /(£, у) так, чтобы она была непрерывна
и удовлетворяла условию Липшица в полосе t G [0, Т], у G К1, и
рассмотрим вместо задачи (2.1) задачу
У). °^'<т> У(0) = Уо, (2.2)
at
где h(t,y), например, такая:
' f(t,№) + (y-№)> v>№,
Ht,y) = < f(t,y), 0<*<Т, (2.3)
J(t,a(t)) + (y-a(t)), y<a(t).

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
329
Функция h(t, у) удовлетворяет условию Липшица с постоянной Липшица
N = тах{#о, 1}, где NQ — постоянная Липшица функции f(t,y). Тогда
в силу теоремы 10.1 решение существует и единственно. Это решение,
лежащее в начальный момент между нижним и верхним решениями, не
может покинуть область между ними в силу теоремы 10.2. Следовательно,
для этих у h(t,y) = f(t,y), т.е. решение задачи (2.2) является решением
задачи (2.1).
Теорема доказана. □
§3. Существование решения краевой задачи
для полулинейного эллиптического оператора
3.1. Классическая разрешимость.
Результат Герберта Аманна
В этом параграфе мы рассмотрим классический результат Герберта
Аманна, посвященный методу верхних и нижних решений,
применительно к следующей задаче:
Lu = fix, и) в х G ft, , ч
(3.1)
Eu = (p(x,u) на АП, v 1
где L — это линейный равномерно эллиптический оператор с
отрицательно определенной главной частью и В — это линейный граничный
оператор первого порядка.
Введем конкретные условия и ограничения для задачи (3.1).
Пусть aG(0,1) фиксировано. Обозначим через ft ограниченную
область пространства RN с границей 9ft и замыканием ft. Мы предположим,
4To9ftGC2+a.
Мы будем рассматривать эллиптический оператор
*. As = I 1 к i=l *
с вещественными коэффициентами
aik(x) G C2+a(ft), щ(х) G C,+a(ft), a(x) G Ca(ft),
кроме того, предположим, что
n n
^(кк(х)№>уо^2и*)29 a(x)>0 VxGft, V£GR", To > 0.
i,k=\ i=l
Для каждого x G 9ft мы обозначим посредством
u{x) = {v\x),u\x),...yuN{x))

330 Глава 10. Метод верхних и нижних решений
внешнюю нормаль к границе dft в точке х Е dft. Пусть
Pi(x),...,/3N(x)eCl+a(dn)
— это заданные функции, удовлетворяющие условию
n
Х>(*У(*)>о.
1=1
Теперь обозначим через е переменную, принимающую лишь два
значения — 1 либо 0. Определим граничный оператор В следующим образом:
где
Р(х) £ C2~e+a(dfl)
— это функция, удовлетворяющая для всех х £ dft условию
Р(х) > 0, если е = 0,
и
Р(х) ^ 0, если е = 1.
В соответствии с этими предположениями оператор Во — граничный
оператор Дирихле, Bi — это либо оператор Неймана, либо граничный
оператор третьего рода.
Гипотеза о принципе максимума. Если и е С(2)(П) П Ce(ft) и
справедливы неравенства
Lu^O вП, Ееи ^ 0 на дП, (3.2)
тогда отсюда следует, что
и(х) ^ 0 для всех х £ ft.
Кроме того, и(х) > 0 для всех х £ ft при условии, что строгое
неравенство в (3.2) выполнено по крайней мере в одной точке х Е ft.
Хорошо известно, что для произвольной функции f(x) е Ca(ft) и
(f(x) £ C2~£+Q(dft), граничная задача
Lm = / в ft, Шеи = <р на dft
имеет единственное решение и Е С2+а(Ю) (см, например, [24]).
Пусть R+ = [0,+оо) и рассмотрим функции <fo(x) Е C2+a(dft) и
(р\(х,и) Е С1+а(0П х R+). Введем функцию
<ре(х, и) = (1 - е)(р0(х) + е<рх (ж, и) Е С2'£+а(дП х R+).

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
331
Наконец, предположим, что f(x,u) и (р£(х, и) являются каратеодориевы-
ми и порождают операторы Немыцкого
F(tl)(*) = f(x, и(х)), Фе(и)(х) = <р£(х, U(X)).
В дальнейшем мы всегда будем сопоставлять каратеодориевой функции
д(х, и) оператор Немыцкого, записанный соответствующей заглавной
буквой: G(ti).
Тогда мы рассмотрим следующую краевую задачу:
Ltt = F(u) вП, Ш£и = Ф£(и) нгдП, (3.3)
где под решением задачи (3.3) мы подразумеваем функцию
и(х) е С2+а(П),
которая удовлетворяет задаче (3.3) тождественно.
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 10.4. Пусть
/(ж,г*)еСа(ПхК+),
щ{х) € С2+а(дП) и <рх(х9 и) е С1+а(дП х R+)
— это заданные функции и предположим
/(ж, 0) ^ О для всех ж Е П
и
<Ре(х, 0) ^ 0 для всех ж Е 0fi.
Тогда необходимым и достаточным условием существования
неотрицательного решения краевой задачи (3.3) является существование
неотрицательной функции v(x) Е C2+Q(Q), удовлетворяющей неравенствам
hv ^ F(v) в П, B£v ^ (v) на дП. (3.4)
£олее того, если это условие выполнено, тогда существуют
максимальное й ^ v и минимальное й ^ v неотрицательные решения в том смысле,
что для каждого неотрицательного решения и < v задачи (3.3)
выполнено неравенство
й ^ и < й.
Рассмотрим некоторые вспомогательные результаты.
Поскольку dQ Е С2+а, найдется такое конечное открытое
покрытие {U\,U2,..., Um}, что существуют диффеоморфизмы г*, k== 1,..., га,
класса С2+а, отображающие £/* в замкнутый единичный шар К С RN.
Более того, образ Uk П П под действием г* совпадает с К+ = {y€RN\\y\< 1,
у* >0} и образ t/lb П дП совпадает с Е = {у Е R*| |у| < 1, у" = О}.

332
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
По определению можно ввести банахово пространство 1/(сЮ):
1М1ьг(0П) = ( ]С"^11ие) ) ' Vk = V° TkX-
Тогда справедлива следующая важная лемма.
Лемма 10.1. Пусть tp Е C(0ft) — заданная функция. Тогда
существует постоянная 7 > 0, не зависящая от <р, такая что
inf||u||wi(n) <7lMli/(«i),
где инфимум берется по отношению ко всем и Е С1 (ft),
удовлетворяющим условиям
, л ди
ov an
Доказательство. Достаточно показать, что существуют такие
функция ti и постоянная 7 > 0, не зависящая от <р, что
Nlw'(O) <7lMlLf(Wl).
Пусть V\,..., Vm — это открытые подмножества множеств U\,..., Um
соответственно, такие что Vkddil = 17* П 9ft, и пусть е*(ж), = 1,..., га, —
это разбиение единицы, соответствующее системе {Vj,..., Vm}. Для
каждого к = 1,..., m определим и* Е C^V* П ft) таким образом, чтобы
I а 8иь
Тогда легко проверяется, что
{ТП 171
0, в противоположном случае.
Хорошо известно, что из условия
«L = °
вытекает неравенство
» 11 я.. |Р
n
Таким образом, нам достаточно доказать следующее утверждение:
существует такая постоянная у > О, что для каждой ip € С(Е) мы можем найти
функцию v € С'(Р), удовлетворяющую условиям
v\E = 0,
dyN
= 1> (3.5)
Е

334
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Теперь мы введем следующие пространства:
F = {ueC(2)(n)|B,ti = 0}
и
v' = {иес(2)(П)|в;и = о},
и положим для к = 1, 2
= sup J^,p)l , иес'(п),
где через (•,•) обозначено скалярное произведение в L2(Q). Теперь из
(3.7) вытекает цепочка соотношений
|Lii|.^ = sup V ;| = sup ^ ^
> 7~' SUP uiTT^ ^ 7"'l|t«llL.(n) ^ 7"'1М1ы(П).
Следовательно, для каждой u £ C<2)(fi)
1М1ьг(П) < 7IM-2*.
Используя интерполяционную теорию Соболевских пространств, получим
неравенство
Nlw»*(n)<7MI-u. "СУ- (3-8)
Пусть u G С2(П) произвольно. Обозначим через tio Е С2(?)) произвольную
функцию, удовлетворяющую задаче
Bi(u-tio) = 0, ti0|dn = 0. (3.9)
Следовательно, u - tio G V и из (3.8) вытекает неравенство
INIw»*(n) < 7IM-U +7 inf (M>l-u + ll*ollw»*(n))>
где инфимум берется по всем функциям tio, удовлетворяющим (3.9).
Интегрируя по частям, получим
(Ltio, v) = J^ OitW-jgjg + ^ 6,(x)^t; 4- aw+
+ J d(x)vB\u0 da
an

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
333
и неравенствам
/101 dy^jfWdy, i=l,....ЛГ, (3.6)
Р Е
где посредством Р обозначена пирамида
P={yeK+UE\y + yN =(yl+yN И"1 + у^) € е}.
Для каждого у = (y,t) € Р посредством v обозначим следующую
функцию:
v+t
v(y) = t2~N f mdfj,
a
где рассматривается (N-1)-мерный интеграл. Можно проверить, что
v(y) е С!(Р) и удовлетворяет условиям (3.5).
При помощи неравенства Гельдера легко проверить, что для каждой
/ Е С[о, 6] и для каждого t е (0,6 - о) имеет место неравенство
ъ-t x+t р ь
f \ f №<Ч \f(x)fdx.
ax a
Используя (N— 1) разданное неравенство, приходим к утверждению леммы.
Лемма доказана. □
Мы будем использовать результат леммы 10.1 для получения
априорной оценки для следующей линейной краевой задачи:
hu = f в ft, Ш\и = (р на 9ft.
В следующей лемме устанавливается необходимая для дальнейшего
априорная оценка.
Лемма 10.2. Существует такая постоянная у>0,что для всех uEC2(ft)
7(HMlLf(fl) + IIBittH^flfl) + l|Bitt||L,(«l)),
где q = p/(p- 1).
Доказательство. Обозначим через L* и В* соответствующие
сопряженные операторы к L и Ш\. В силу известных априорных оценок,
полученных Агмоном—Дуглисом—Ниренбергом, имеют место неравенства
IMIw»*(n) < 7НМ1ьг(П), если Bitt = °> ^ ^
IMIw*(n) < 7llL*ttllLr(n)> если ш*и = °>
поскольку обе задачи имеют по крайней мере по одному решению.

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
335
с 6, G С(0) и б е С(дП). Следовательно,
|(Ltio, v)\ ^ 7 ^||ti0||w«.*(n)l|v||w^(fi) + J \vB}uQ\ da^j ,
|vB,ti0| da < 7l|Bit«ollLf(wi)ll«llLf(en)
и в силу результата Гаглиардо
1Н1и>(0П) ^ 7lNlw»*(n)-
Отсюда следует, что
|Ltio|-ilff < 7(llttollw^(n) + l|Bitto||Lf(«i)),
и, используя (3.8), мы получим
IMIw»*(n) < 7(|Lti|-i,g 4- ||B,ti||Lg(dfi)) +7inf||t«ollw»*(n)-
Наконец, можно проверить, что найдется такая функция 6 е С(9П), что
два множества
В, = {t* € С2(Щ | В|« = <р9 и\ш = 0}
и
32 = |«€С2(П)|^|^ = ^, «1ш = 0}
эквивалентны. Следовательно, в силу леммы 10.1 мы имеем
inf||tio||w»*(n) = inf||t*0||w»*(n) < 7l|Bitt||Lf(an)
и приходим к утверждению леммы.
Лемма доказана. □
Теперь заметим, что результаты лемм 10.1 и 10.2 достаточно грубые.
Чтобы получить тонкие априорные оценки, необходимо, следуя работе
[51], ввести норму
||^||^1/p = inf||ti||w*.P(fi),
где инфимум берется по отношению ко всем функциям u £ С*(П),
которые равны <р на границе дС1. Пусть \л е (l/q, 1) — заданное число. Тогда
вследствие [76, теорема 1] существует такая постоянная 7 > 0, что для
всех (р € О1 (ЯП)
IMU-i/^<7lMlo(«i). (ЗЛО)
Наконец, хорошо известно, что для любого р> N пространство Соболева
Wk'p(Q) непрерывно вложено в С*~1+/1(П) с р. = 1 - JV/p, т.е. существует
такая постоянная 7 > 0, что для всех и £ WktP(Q)
1М1с*-'+*(п) < 7lMlw**<n). (ЗЛ|)

336
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Пусть v, И G С2+а(П) — это такие заданные функции, что v < 0. Тогда
мы определим множество
П х [v, 0] = {(ж,О I * € П, Ж £ < «}.
Таким же образом определяются множества
0ftx[v,0], nx[v,*)]2, Мх[М]2.
Лемма 10.3. Яус/яь {рп} — э/яо ограниченная последовательность в
Ca(U х [v, 0]2), сходящаяся поточечно к функции д, и пусть {фп} —
это ограниченная последовательность в С1+а(сШ х [v, 0]2), сходящаяся
почти всюду к функции гр. Более того, пусть {ип} — это
последовательность в С2+а(П), удовлетворяющая неравенствам
которая сходится поточечно к функции и. Предположим, что для
каждого п^2
Ltin = Gn(un, tin_,) в П,
Ш£ип = еУп(ип, ип.{) + (1 - е)<р на дП,
где (р Е C2+a(dQ). Тогда и G С2+а(П) и удовлетворяет следующей задаче:
Lu = G(u, и) в Q, ,
(3 13)
Ш£и = £Ф(и, и) + (1 - £)(р на дП,
и, кроме того, последовательность {ип} сходится в С2(П) к и.
Доказательство. Напомним, что символами Gn и Фп обозначены
операторы Немыцкого, порожденные функциями дп и <фп.
Очевидно, что имеет место вложение
С2+а(П) С W2'p(tt)
для произвольного р > I. Следовательно, для р = N/( I - а) в соответствии
с (З.П) справедливо неравенство для всех п G N:
11*|||1с»+«(й) < 7lKllw»*(n). (3.14)
Теперь мы рассмотри два случая: е = 0ие=1.
(!) е = 0.
Поскольку ип удовлетворяет (3.12), тогда Ь^ф-оценки из работы [51]
дают неравенство
l|ttnllw*(n) <7(||G?n(tin,tin_1)||LP(fi) + |Mh-l/p).
В соответствии с нашими предположениями {Gn(un, tin-i)} офаниче-
на в следовательно, {ип} офаничена в W2,p(fl) и, в силу (3.14),

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
337
ограничена в С1+а(П). Отсюда вытекает, что {Gn(tin, tin-i)} ограничена
в Ca(Q) и, следовательно, в силу оценки Шаудера имеем
IWlc?+«(d) < Tf(\\Gn(un, «ii-i)||c.(^ + IMb+°(M)) >
откуда вытекает ограниченность {un} в С2+а(П).
(И) е = 1.
В этом случае I/ -оценки работы [51] имеют вид
l|ttnllw*(n) <7(||G?n(tin,tin_,)||LP(fi)4- ||Ф„(и„,tin-Oil,^).
Следовательно, из (3.10) вытекает
Н«п11да*(П) < 7(||Ся(|«п,«11-|)||Ип) + ||*n(ttn,t»n-l)||o(«i))
с l/g</x< 1. Следовательно, в дополнение к случаю (i) мы должны
показать, что последовательность {Фп(^п, tfn-i)} офаничена в О'(сШ). В
соответствии с нашими предположениями, мы это покажем, если докажем,
что {un} офаничена в О'(П). Следовательно, в силу (3.11)
достаточно доказать, что {un} офаничена в W1,p,(ft) с р\ = N/(\ - р) > Np.
Но это простейшее следствие леммы 10.2 поскольку последовательность
{Фп(ип, tin_i)}, очевидно, офаничена в С(дО). Следовательно, снова
последовательность {un} офаничена в W2,p(ft) и С1+а(П). В силу наших
предположений получаем, что последовательность {tyn(un,un-\)}
офаничена в С1+а(сЮ), и, следовательно, из неравенств типа Шаудера
П«п11с?+-Й < 7(||СяК,1*я-|)||с.(й) + ||ФпК, ttn-l)||ci+.(fln))
вытекает офаниченность {un} в С2+а(П).
Теперь снова одновременно рассмотрим случаи е — 0 и е= 1. В обоих
случаях, как было нами доказано, {un} офаничена в С2+а(П).
Следовательно, в силу теоремы Асколи—Арцела существует такая
подпоследовательность, которая сходится в С2(П) к элементу v е С2+а(П). Но
поскольку {un} сходится поточечно к ti, мы имеем v = ti и, более того, вся
последовательность {tin} сходится в С2(П) к ti. Следовательно, Ltin -> Lti
и Beun -> Ш£и равномерно. Наконец, справедлива цепочка неравенств
| Gn(ti„, tin-1) - G(u, ti) I < I Gn(un, tin_,) - Gn(ti, ti) I +1 Gn(ti, ti) - G(ti, ti) | <
<7(|tin-ti|a + |tin-,-ti|a) + |Gn(ti,ti)-G(ti,ti)|,
которая показывает, что Gn(uni tin-i) -> <7(ti, ti) поточечно. Аналогичное
неравенство показывает, что tyn(un,un-\) -> Ф(и,ti) поточечно, и в
пределе приходим к задаче (3.13).
Лемма доказана. □
22 Заказ 405

338
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Доказательство теоремы 10.4. В дальнейшем мы будем рассматривать
более общие предположения, чем в формулировке теоремы 10.4. Именно,
пусть выполнены следующие условия.
Гипотеза Н. Пусть существуют функции v, 0 Е C2+a(ft),
удовлетворяющие условию v ^ 0, и функции
f е са (ft х [v, я]), <р0 е c2+a(9ft), (рх е с1+а (дп х [», о]),
такие что
Lv^¥(v) eft, Вед^Фе(у) надП,
и
L«>F(«) в SI, ЪеЬ^Ф€(Ь) надП.
Нас интересует существование решений следующей нелинейной
эллиптической краевой задачи
Lti = F(ti) в ft, Шеи = Фе(и) на 9ft. (3.15)
Теорема 10.5. Пусть выполнена гипотеза Н. Кроме того,
предположим, что существует такая неотрицательная функция т(х) Е Ca(ft),
что для всех х Е ft и для (, rj имеют место неравенства
v(x) < i/ ^ £ < 0(ж),
f(x,0-f(x,V)>-m(x)((-t)).
Пусть р € R1 удовлетворяет условию
\dtpi
и > max
апх|с,с|
(3.16)
(3.17)
w определим последовательность {ип} С C2+a(ft) рекуррентным образом
hun + miin = F(iin_,) + mti„_i e ft,
B£ti„ + ецип = Фе(11п-1) + e/itin_, на 9ft.
7Ъгда ес/ш tio = 0, /яо последовательность {un} сходится монотонно
сверху к решению й задачи (3.15), и если щ = v, тогда {ип} сходится
снизу к решению й задачи (3.15). В любом случае последовательность
{ип} сходится в C2(ft). Более того, любое решение и задачи (3.15)
с v ^ ti < Ь удовлетворяет неравенству
Доказательство. Пусть uq = 0. Тогда и\ определено и в силу гипотезы Н
имеем
L(ti, - *>) + m(tii - 0) = F(«) - L« < 0 в ft,
Bf(ti, - 0) + f/i(ti, - 0) = Фе(0) - Ве« < 0 на 9ft.

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
339
Следовательно, в силу принципа максимума, щ ^д. Учитывая это
неравенство и (3.16), (3.17), получим
L(ti, -v)^ F(«) - F(v) + m(d - ti,) ^ m(v - ti,),
Bf(ui - v) > Фе(Ъ) - Ф,(й) + e/x(*> - ti,) ^ г/ф - ti,),
или
L(ti, - v) 4- m(ti, - v) ^ 0 в Q,
B£(ti, - v) + e/i(ti, - v) ^ 0 на дП.
Следовательно, снова по принципу максимума имеем ti, ^ v. Теперь
по индукции получаем, что {tin} принадлежит С2+а(П) и удовлетворяет
неравенству
v < ... < tin < ti„_, < ... < ti, < a.
Таким образом, {tin} сходится поточечно к некоторой функции й на Q.
Наконец, для всех n £ N положим
gn(x, (, rj) = /(ж, г]) + m(x)(rj - 0, (я, ^,»?)еПх \v, 0]2,
Ы*> t> V) = <Р\{*> V) + n(v - 0, («, t, V) € x [v, 0]2
и в силу леммы 10.3 доказываем утверждение теоремы, относящееся к
сходимости {tin} с tio = 0.
Аналогичным образом можно показать, что в случае tio = v имеем
v < ti, < ... < tin_, < un < ... < О,
и отсюда следует сходимость последовательности {tin} в С2(П) к решению
й задачи (3.15).
Пусть теперь ticv^ti^fl — это произвольное решение (3.15).
Тогда мы можем взять ti вместо v и получить неравенство ti < й ^ 0 и
аналогичным образом взять ti вместо 0 и получить неравенство v < и ^ ti.
Это доказывает теорему. □
Теорема 10.6. Пусть функции v, 0 : О -> R1 удовлетворяют
^равенству v < 0. Кроме того, предположим, что для каждого ж £ Q и (,г},
таких что v(x) < £ < ?7 < 0(ж),
/(ж, 0 > /(ж,*/), ^ ^,(ж,77). (3.18)
Тогда задача (3.15) имеет не больше одного решения и, которое
удовлетворяет условию
v < ti < 0.
Доказательство. Пусть w 1,1*2 — это два решения, удовлетворяющие
условию
v < ti,, ti2 ^ 0.
Положим
fti = {ж £ ft | и,(ж) > и2(ж)}
22*

340
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
и заметим, что условия монотонности (3.18) приводят к неравенствам
L(t*i - ti2) ^ 0 в П,
Bf (t*i - ti2) ^ 0 на дП\ П дП,
щ - и2 = 0 на дП\ П П.
Следовательно, в силу принципа максимума, примененного к fti, имеем
щ ^и2 в ^1 и, следовательно, П. Аналогично доказывается, что tii ^ ti2,
следовательно, tii = u2.
Теорема доказана. □
Пусть 7 > 0 — это постоянная Гельдера:
\f(x,()-f(y,v)\<'r{\x-y\a + \(-V\a)
для всех (х,(), (у, rj) е Пх[г>, 0]; определим функции /, / £ Са(Пх[й, 0])
следующим образом:
f(Xyt) = f(Xyv(x))-4(t-v(x))a
/(х,() = Нх,Цх))+<у(Цх)-Оа.
Пусть /I удовлетворяет (3.17); определим функции
Vi. 01 еС1+а(0Пх [v,0])
следующим образом:
Vi(s> 0 = Vi(ж, Ф)) - М£ " *>(*))
и
ф\(х, О = <pi(x, Цх)) + р(Цх) - ().
Наконец, положим Щ = фо = Vo и заметим, что
7<f<f И (р£<<Ре<Фе. (3.19)
Лемма 10.4. #>>сть выполнена гипотеза Н. Д/мше того, предположим,
что существует такая постоянная д > 0, «/то имеют место
неравенства _ _
Lv - F(v) ^ Вег>- Фе(г>) ^ -(/3 + е)6 на 9П,
и
L0-F(0)^(J *Q, Bf«^ (>9 -h е)5 на дП.
7огдд краевые задачи
Lu = f(u) *Q, Веи = Фе(и) /ш9П, (3.20)
w
Lt^lfyi) efi, Веп = Фе(п) надП (3.21)
имеют единственные решения й и й соответственно. Более того,
v ^ й ^ й ^ 0.

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
341
Доказательство. Единственность — это прямое следствие теоремы 10.6.
Из соображений непрерывности следует, что существует такая постоянная
a > 0, что функции
w = v + a, w = д - a
удовлетворяют задачам
Lw ^ ¥(w) в ft, Bew ^ Ф£(ь}) на дП (3.22)
и
Lw^t(w) в ft, B£w ^ &£(w) В 9ft. (3.23)
Действительно,
Lw - ¥(w) =hv- ¥(v) + acr + ¥(v) - ¥(v + a) ^ -6 + acr^cr"
и
В£ь)-Ф£(Ш) = Bev - Фе(у) +fi(T + Фе{у) -Ф€(й + ст) < -/3(6-a)-e(6-cr).
Следовательно, для достаточно малых a > 0 неравенство (3.22)
выполнено. Аналогичным образом доказывается (3.23). Очевидно, что функция
/ определена на ft х [w> 0 + сг] и удовлетворяет неравенству типа (3.16)
с m = yaaa"1. Более того, в силу (3.19) выполнены неравенства
Ц« + сг) ^ Ы ^ F(«) ^ F(0) ^ 1(0 + сг) в ft,
В*(« + сг) ^ В, 0 ^ Ф£(0) ^ Фе(0) ^ Ф,(0 + (т) на 9ft.
Следовательно, по теореме 10.5 и в силу единственности на интервале
[гй, 0 + <т] найдется точно одно решение и задачи (3.20), удовлетворяющее
неравенствам
w ^ й ^ д + сг.
Аналогичные рассмотрения приводят к выводу, что существует точно одно
решение задачи (3.21) с
v - a ^ й ^ ь).
Наконец, в силу (3.19)
Ы = $(й) ^ ¥(й) в ft,
В£й = Ф£(й) 7?Ф£(й) в 9ft.
Следовательно, _ _
L(u - й) > ¥(й) - ¥(й) в ft,
В£(й -и)> Ф£(й) - Ф£{й) на 9ft.
Положим
ft! = {х е ft | й(х) < й(х)}
и заметим, что в силу монотонности /(ж, •) и tp\(x, •) следует:
Цй-й)^0 Bftb

342
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Ве(Д-б) ^ 0 на dfti П0П,
й-й = 0 на dtl\ П П.
Следовательно, в силу принципа максимума имеем й ^ и, и лемма
доказана. □
Сейчас мы покажем, что лемма 10.4 имеет место без дополнительных
условий за исключением гипотезы Н.
Лемма 10.5. Пусть гипотеза (Н) выполнена. Тогда краевые задачи
Ы = Щи) *П, Веи = Фе(и) надП (3.24)
и
Lu = $(u) *Q, Веи = $е(и) надП (3.25)
имеют единственные решения й и й соответственно. Более того,
v ^ и < й ^ 0.
Доказательство. Обозначим через е единственное решение задачи
Lti = 1 в П, Beii = /3 + е на 0П.
Тогда в силу принципа максимума имеем е > 0. Для каждого п £ N
положим
vn = v е и 0п = 0 + -е
п п
и определим /п и Д на 1) х [йп,0п] посредством выражений
/п(х, 0 = /(*, »(*)) - 7 - «(*) + ^Ф))
и
Д(х, 0 = /(*, в(х)) + 7 (•(*) - € + ^е(*)) Q.
Аналогичным образом определим на 9П х [vn,0n] функции fr,n и fr,n
посредством выражений
fr.ii = Vifc, t>(s)) - /х^ - «(ж) + ^Ф))
и
0U = Vl(x9 Цх)) + р.(^(х) - £ + ^Ф)).
Наконец, положим ^0,п = Фо,п = ^о- Тогда из гипотезы (Н) вытекают
неравенства
Lvn - ¥n(vn) = hv - - - ¥(v) < -- в П,
n n
IM„ - Ф*,пЫ = В£в - -09 + е) - Ф£(у) < --(/? + г) на «1,
п п

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
343
и аналогично получаем неравенства
IA-*■„(«*)>- вП, Ъ«я-Фе*(«я)>"(0 + *) *дП.
п п
Стало быть, в силу леммы 10.4 (с 6 = 1/п) для каждого n Е N существуют
точно два решения un и йп краевых задач
Ltt = Fn(u) в ft, В£и = Ф£,п(и) на 0ft,
и
Lu = £п(и) вП, Beu = $£tn(u) на 9ft
соответственно. Более того, vn ^ un ^ йп ^ 0П. На множестве ft х [vn-\, f>n-i]
справедливо неравенство _ _
/п ^ /п-1»
а на множестве 9ft х [vn_i, 0n-i] имеют место неравенства
Следовательно,
Ып = ¥n(un) > ¥n-\(Un)> BeUn = Ф,,п(йп) ^ Ф,,п-1(«п),
и, значит, _
Цйп - йп-0 > Fn_!(ttn) - Fn.^ttn-O,
Bf (Йп - iin-l) ^ ^£,n(tin) - ^.n-l(Un-l).
Отсюда, используя принцип максимума, в силу монотонности функций
/п(ж, •) и ^1,п(ж, •)> точно так же, как и в теореме 10.6, доказываем, что
ttn-i ^ tZn и аналогично un ^ йп-\. Следовательно,
vi ^ б, ^ й2 ^ ... ^ йп < ... ^ йп < un_i < ... < fti < 0].
Таким_образом, последовательность {йп} сходится поточечно к функции
и на ft и {йп} сходится поточечно к функции 6 на ft, такой что
v ^ б ^ й < 0.
Для каждого n G N мы определим функцию рп на ftх[tJi, 0i]2 посредством
выражения _
9n(x,t,v) = fn(x,t)
и функцию 1рп на 9ft х [vi,0i]2 посредством выражения
V>n(M,t?) = £i,n(z,£).
Тогда <;„ -» / и -> поточечно и {<;„} и {t/>n} офаничены в
Ca(ftx [й,,^]2) и C1+a(9ftx[vb*)i]2)
соответственно. Следовательно, по лемме 10.3 й £ C2+er(ft), и это решение
задачи (3.24), которое в силу монотонности /(ж, •) и <р\(х, •) единственно.

344
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Аналогичным образом доказывается, что й — это единственное решение
задачи (3.25).
Лемма доказана. □
Сейчас мы готовы к доказательству нашей основной теоремы
существования.
Теорема 10.7. Пусть гипотеза И выполнена. Тогда существует по
крайней мере одно решение задачи (3.15), такое что
v ^ д.
Более того, существует максимальное решение й с условием
v ^ й ^ 0
и минимальное решение й с условием
v ^ й ^ 0
в том смысле, что для каждого решения и с условием
v ^ и ^ 0,
имеем
Доказательство. Для каждой пары w, w G С2+а (ft), удовлетворяющей
условию
v ^ w ^ й ^ 0,
мы определим
/(•; гй) £ Са (ft х [w, 0]) и /(•; w) G Са (ft х [v, w])
при помощи выражений
J(x, w) = f(x, w(x)) - 7 (£ - w(x))a
и
f(x, £; w) = f(x, w(x)) + 7 (ЭД - 0° •
Аналогичным образом мы определим функции
<рх(•;«;) G C1+a(9ft х [w,<0]) и fr(•;«)) G C1+a(0ft х [v, и)]) :
<рх(х, £ w) = ^(ж, ю(ж)) - /х (£ - w(x))
и
01 (ж, £; ti)) = (рх(х, й(х)) + p. (w(x) - ().
Рассмотрим теперь последовательности {йп}, {йп} С C2+a(ft),
определенные равенствами
wo = v, Lun = F(txn; u„_i), Ш£йп = еФ{(йп; йп-\) + (1 - e)<pQ

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
345
и
щ = 0, Ып = Цйп; £„_,), Еейп = еФ{(йп; й„_,) + (1 - e)ip0.
Тогда в силу леммы 10.5, в которой v заменено на йп-\ и 0 заменено
на йп-\, легко доказать, что имеют место неравенства
v < 6i < ... iin < ... < йп < ... < 6| < в.
Следовательно, последовательности {un} и {йп} сходятся поточечно на ft
к функциям и и й соответственно, таким что
v ^ й ^ й ^ 0.
Для каждого п £ N определим функции дп £ Ca(ft х [0, 0]2):
, . _ Г /(ж, 0. если v(x) ^ q ^ Цх),
gn(X^'r,)~\f(x,v)-'y(t-v)a, если
и V>neC1+a(0ftx[0, 0]2):
С учетом этих определений последовательность {йп} удовлетворяет задаче
Lu„ = Gn(un\un-X) в ft,
Bfun = еФпК, tin_,) + (1 - е)<р0 на 9ft.
Следовательно, в силу леммы 10.3 имеем, что й £ C2+a(ft) удовлетворяет
задаче
Ьй = ¥(й) в ft, Шей = Фе(й) на 9ft.
Таким же образом доказывается, что й — это решение задачи (3.15). Факт,
что й — это минимальное, а й — это максимальное решения задачи (3.15),
следует из доказательства теоремы 10.7.
Теорема доказана. □
Теорема 10.4 доказана. □
Замечание 10.1. Непосредственно видно, что все доказательство теоремы 10.4
проходит при более слабых условиях на коэффициенты эллиптического оператора.
Именно, при условиях _
aik(x),ai(x),a(x)eCa(ty
и в том случае, когда граничное условие не зависит от и, доказательство проходит.
3.2. Один результат о неединственности Герберта Аманна
Пусть ft — это ограниченная область в RN при условии N ^ 2 с
границей 9ft С C2+a, а £ (0, 1). Мы рассмотрим равномерно эллиптический
оператор
L« ее - £ + £ М*)^т + а(х)и
i,k=\ 1 к •=! 1

346 Глава 10. Метод верхних и нижних решений
с вещественными коэффициентами 0,7.(2;), а^ж), а(х) G Ca(ft) и, кроме
того, о ^ 0.
Пусть /? = (/?*,... ,/?^) — это внешнее векторное поле на границе
9ft с компонентами Р*(х) G C1+a(9ft) и положим
1=1
Мы рассмотрим фаничный оператор вида
dti
Bii = Aii + «—,
0Р
где мы предположим, что либо Ро = \ и 6 = 0 (фаничное условие Дирихле),
либо (5= 1 и /?о G C1+a(9ft).
Как и ранее, мы будем сопоставлять каратеодориевой функции
g(x, и(х)) оператор Немыцкого, обозначаемый соответствующей
заглавной буквой G(u).
Наконец, пусть
vx,v2: ft -> R1
— заданные функции, такие что v\ ^ v2. Тогда мы определим множество
ft х [vuv2] = {(х,0 |zG ft, vx(x) ^( ^ v2(x)}.
Пусть
/ : ft х S->R!
— заданная каратеодориевая функция. Мы рассмотрим нелинейную
краевую задачу вида
Lti = F(ti) eft, Ви = 0 на 9ft. (3.26)
Теперь сформулируем основной результат предыдущего пункта
относительно разрешимости задачи (3.26).
Теорема 10.8. Предположим, что существуют функции V\,v2€ C2+a(ft)
с условием V\ ^ v2 и функция f G Ca (ft х [v\, v2]), такая что
L»i ^ ¥(v\) в ft, Bvi ^0 на 9ft
и
Lv2 > ¥(v2) в ft, Bv2 ^ 0 на 9ft.
Тогда существует no крайней мере одно решение краевой задачи
Lu = ¥(и) eft, Bit = 0 на 9ft,
такое что
V\ ^ и ^ v2.
Более того, существует минимальное решение щ и максимальное
решение и2, такие что для решения и выполнено неравенство
V\ ^ ti! ^ ti < ti2 < V2.

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
347
В том случае, если минимальное и максимальное решения
различаются, то теорема 10.8 гарантирует существование только двух решений
задачи (3.26). Главная цель этого пункта — это доказательство утверждения
о том, что если существуют два неравных решения и\ фи2, то существует
и неравное им третье решение щ ^ щ ^ и2.
В дальнейшем мы будем писать и < v, если и ^ v и и Ф v. Наш
главный результат следующий.
Теорема 10.9. Пусть предположения теоремы 10.8 выполнены. Кроме
того, предположим, что щ <_и2 и оператор Немыцкого F,
рассматриваемый как оператор из С(П) в С(П), имеет в точках щ,и2
производную Фреше F'(iii) G С*(П). Тогда краевая задача (3.26) имеет
по меньшей мере три различных решений
щ <щ < и2
при условии, что краевая задача
hv - ¥'(щ)у = 0 вП, Bv = 0 надП, г = 1,2 (3.27)
имеет только тривиальное решение.
Замечание 10.2. Следует заметить, что из дифференцируемости по Фреше
оператора Немыцкого F(-) следует, что щ,и2 — это внутренние точки области
определения оператора F(u).
В следующей теореме устанавливаются достаточные условия, при
которых имеют место утверждения теоремы 10.9.
Теорема 10.10. Пусть выполнены условия теоремы Ю.9 и в дополнение
пусть
^ec(nx[Vl,v2]).
Обозначим через Xq главное собственное значение задачи
hu-Xu = 0 eft, Ви = 0 надП.
Тогда краевая задача (3.26) имеет по меньшей мере три различных
решения щ < щ < и2 в том случае, когда для всех х € Q
ft -f
—(x,Ui(x))<\0.
Для каждого v G Са(П) обозначим через Kv единственное решение
линейной краевой задачи
Lu = v в Q, Ши = 0 на дП.
Хорошо известно, что К — это линейный оператор, действующий из Ca(Q)
в С2+а(П).

348
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Пусть g(xy u) £ Ca(ft х R) — это заданная каратеодориевая функция.
В следующей лемме мы докажем, что краевая задача
Lti = G(ti) eft, Ви = 0 на 9ft, (3.28)
эквивалентна уравнению типа Гаммерштейна
и = KG(u) (3.29)
в банаховом пространстве C(ft) со стандартной нормой.
Лемма 10.6. Пусть д £ Cor(ftxRl) задана. Тогда оператор Немыцкого
G действует непрерывно и ограниченно из C(ft) в C(ft). Более того,
краевая задача (3.28) эквивалентна уравнению Гаммерштейна (3.29) в
банаховом пространстве C(ft) и К действует из C(ft) в C(ft) компактно.
Доказательство. Очевидно, что G — непрерывный оператор, который
переводит ограниченное множество из C(ft) в ограниченное множество
из C(ft). Более того, G отображает С1 (ft) в С*(ft).
Для каждого р > 1 в силу [51, теорема 15.2] из неравенства
IMIw^(n) ^ 7llMlLr(n)
следует, что К отображает I/(ft) и, следовательно, пространство C(ft)
непрерывно в W2,p(ft). Хорошо известно, что при р ^ N/( \ - а)
пространство W2,p(ft) непрерывно вложено в C1+a(ft). Следовательно, поскольку
C1+a(ft) компактно вложено в C(ft), линейный оператор К отображает
C(ft) компактно в C(ft).
Очевидно, что каждое решение задачи (3.28) является решением
задачи (3.29). Обратно, каждое решение ii£C(ft) задачи (3.29) с
необходимостью принадлежит области значений оператора К : C(ft) -> C1+a(ft)
Таким образом, и £ С1 (ft), и поскольку G переводит С1 (ft) в C^(ft), то и
принадлежит области значений оператора К : Ca(ft) -> C2+a(ft).
Следовательно, и является решением задачи (3.28).
Лемма доказана. □
Приведем один абстрактный результат. Пусть Е — произвольное
вещественное банахово пространство и пусть оператор А : Е -> Е является
вполне непрерывным, т.е. компактным и непрерывным. Как всегда, через
I мы обозначим единичный оператор. Для произвольного ограниченного
подмножества MCEcOg(I- А)(дМ) мы обозначим через
deg(I - А, 0, М)
степень Л ере—Шаудера произвольного вполне непрерывного векторного
поля I - А по отношению к 0 и М. Наконец для каждого и £ Е и
произвольного р > 0 мы обозначим через В(и, р) открытый шар в Е с центром
в точке и и радиуса р.

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
349
Справедлива следующая основная лемма.
Лемма 10.7. Пусть А: Е -> Е — это вполне непрерывное отображение.
Предположим, что существует линейный оператор В : Е -> Е, такой
что
IMHoo ||tf||
и I не является собственным значением оператора В. Пусть щ и и2 —
это два различных решения уравнения
и = A(ti). (3.31)
Предположим, что А(-) имеет производную Фреше А' в точках щ иь.2,
такую что 1 не является собственным значением операторов А'(щ)
г = 1,2. 7огда уравнение (3.31) имеет ло меньшей мере три различных
решения.
Доказательство. В силу леммы 3.1 из работы [22, стр. 209] оператор В
компактен. Следовательно, поскольку 1 не является собственным
значением оператора В, тогда существует такая постоянная к > 0, что для всех
и G Е имеет место неравенство
||ii-Bit||^*||tf||.
Согласно (3.30) существует такая постоянная р\ > 0, что для всех и G Е
с IMI ^ Р\ имеет место неравенство
||А(«)-В«||^|М|.
Следовательно, для ||tx|| ^ рх и каждого г G [0,1] имеет место неравенство
||и - rA(tf) - (l - r)Bti|| > - Bti|| - ||А(и) - B«|| ^
Из этого вытекает, что для каждого р^ р\ векторные вполне непрерывные
поля
Е-А и I-B
гомотопны на дВ(0, р) и, следовательно,
deg (I - А, 0, В(0, р)) = deg (I - В, 0, Б(0, р)).
Поскольку I не является собственным значением оператора В, эта степень
равна ±1 в силу теоремы Лере—Шаудера [22, теорема 4.6, стр. 138].
Наши предположения относительно решений щ и щ приводят к
выводу, что эти решения изолированные, т.е. существует р2 >J), такое
что щ — единственное решение задачи (3.31) в замкнутом шаре р2),
г = 1,2. Более того, в соответствии со свойствами индекса Лере—Шаудера
deg(l-A,0,BK-,p2)) =±1. (3.32)

350
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Предположим, что р > max(||tii|| + ръ ||ti2|| + />2> Pi) • Тогда в соответствии
с предыдущими рассуждениями и свойством аддитивности степени имеем
2
±1 = deg (I - А, 0, В(0, р)) = X) deg (I - А, 0, В(щ9 р2)) +
i=i
2
deg(l - А, 0, Б(0, р)\ U Б(и„ р2))
(мы здесь предположили, что без ограничения общности можно считать
0 g (П - А)(еШ(0, р))у поскольку в противном случае лемма тривиально
справедлива). Это уравнение вместе с (3.32) приводит к условию
degfl - А, 0, В(0, р)\ (J В(щ, р2)) Ф 0.
^ i=l '
Следовательно, существует по меньшей мере одно решение уравнения
(3.31) в шаре Б(0, р), отличное от и, и и2.
Лемма доказана. □
Теперь все готово для доказательства теоремы 10.9.
Доказательство теоремы 10.9. Определим функцию
g(xyu)eCa(SlxRl)
следующим образом:
{/(x,vi(x)) + v,(x)-^, если £0,(ж),
/(*>£)> если v,(zK£^ v2(x),
f(x, v2{x)) + v2{x) - (, если ( ^ v2{x).
Тогда легко видеть, что краевые задачи
hu = ¥(u) в ft, Ви = 0 в 9ft, (3.33)
и
Lt* = G(tt) в ft, Ви = 0 в 9ft, (3.34)
имеют одинаковые решения. Действительно, предположим, что и — это
решение задачи (3.34). Пусть
ft, = {х е ft | и(х) < vi(x)}.
Тогда функция w = и - v, удовлетворяет неравенствам
Lw^O в ft,, BtOO на 9ft, П 9ft, w = 0 на 9ft, П ft.
Следовательно, в силу принципа максимума w ^ 0, т.е. ft, = 0. Значит,
и ^ v,. Таким же образом доказывается, что и ^ v2, из чего следует,

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
351
что и — решение задачи (3.33). С другой стороны, каждое решение задачи
(3.33) является решением задачи (3.34). Поэтому эти две задачи
эквивалентны.
Стало быть, в силу леммы 10.6 краевая задача (3.34) эквивалентна
уравнению Гаммерштейна
u = KG(tt)
в C(Q). Более того, отображение
KG : С(П) -> С(Й)
вполне непрерывно. Таким образом, достаточно проверить условия
леммы 10.7.
Легко видеть, что существует постоянная о > 0, такая что для всех
ti G С(П)
||G(ti) + ti|| <<г.
Следовательно,
Hm ||KG(«) + Ki»||_o
IMH+oo ||ti||
и в силу принципа максимума 1 не является собственным значением
оператора -К.
Оператор Немыцкого F определен на некотором подмножестве D(¥)
пространства С(П), и G — это расширение оператора F на все
пространство С(П). Предположение о дифференцируемости по Фреше оператора F
в точках ti,, г = 1,2, приводит, в частности, к выводу о том, что ti, — это
внутренние точки области определения D(¥) оператора F.
Следовательно, G — это дифференцируемый по Фреше оператор в точках tii и щ и,
кроме того, F'(tii), % = 1, 2. В соответствии с тем, что задачи (3.28) и (3.29)
эквивалентны, в силу предположений теоремы следует, что 1 не является
собственным значением оператора
(KG)' (ti,) = KG'(tfj), i = 1,2.
Таким образом, взяв
А = KG, В = -К,
приходим к выводу о справедливости леммы 10.7, откуда следует
утверждение теоремы.
Теорема 10.9 доказана. □
Теперь можно доказать теорему 10.10. Для этого достаточно показать,
что при условиях теоремы 10.10 краевая задача
Lv - ¥'{щ)у = 0 Bfi, Bv = 0 на (3.35)
i = l,2, имеет только тривиальное решение.

352
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
В силу предположения о гладкости Д легко видно, что оператор
Немыцкого F в каждой внутренней точке D(¥) дифференцируем по Фреше.
Более того, в этих точках
F'(u)(z) = ^(s, «(*)).
Следовательно, краевая задача (3.35), записанная в виде
Lv = !*,•(•))« = 0 в ft, Bv = 0 на 9ft,
имеет единственное решение и в силу теоремы единственности [56]
получаем нужный результат.
3.3. Слабая обобщенная разрешимость
В этом пункте мы рассмотрим метод слабых нижних и верхних
решений для нелинейного уравнения Пуассона
~Дп = /(п) в ft, и = 0 на 9ft, (3.36)
где
/ : R1 -> R1
— это гладкая функция и
|/(*)|<с (ZGR1), (3.37)
где с — константа.
Определение 10.2.
(i) Функция й G H!(ft) называется слабым верхним решением задачи
(3.36), если
j (Vu, Vv) dx > J f(u)v dx (3.38)
для любой функции v G Ho(ft), v ^ 0 почти всюду.
(ii) Функция n G El^ft) называется слабым нижним решением задачи
(3.36), если
J (Vti,Vv) dx^ J f(u)vdx (3.39)
n П
для любой функции v G Ho(ft), v ^ 0 почти всюду.
(iii) Функция ti G H!(ft) называется слабым решением задачи (3.36), если
J (Vti, Vv) dx = j f(u)v dx (3.40)
n П
для любой функции v G Ho(ft).

§ 3. Полулинейный эллиптический оператор
353
Замечание 10.3. Если й, u G С2(П), то из (3.38) и (3.39) получаем
-Дб ^ /(б), -Au ^ /(и) в П.
Теорема 10.11. Пусть существует верхнее й и нижнее и решения
задачи (3.36), такие что
и < О, й ^ 0 на 30, в смысле следов,
1 . (3.41)
и ^ и почти всюду в П.
Тогда существует слабое решение и задачи (3.36), такое что
и < и < й почти всюду в П.
Доказательство проведем в несколько шагов.
Шаг 7. Фиксируем достаточно большое Л > 0 так, что отображение
z->f(z) + \z (3.42)
неубывающее. Такой выбор возможен в силу условия (3.37).
Теперь запишем щ = ии при заданных ti*, к = 0,1,2..., индуктивно
определим ti*+, G Ho(ft) как единственное слабое решение линейной
краевой задачи
-Дп*+, + Ati*+, = /(ti*) 4- Ati* в П, ti*+, =0 на dSl. (3.43)
Шаг 2. Покажем, что
и = щ ^ щ < ... < ti* < ... почти всюду в П. (3.44)
Для этого сначала заметим, что в силу (3.43) при к = 0
J ((Vti,, Vv) + Ati,v) dx = J (f(u0) + \u0)vdx (3.45)
для любой v G Но(П). Вычитая (3.45) из (3.39), используя щ = и и полагая
v = (ti0 - tii)+ G Ho(ft), О 0 почти всюду,
находим
J (V(ti0 - ti,), V(ti0 - ti,)+ + A(tio - ti,)(ti0 - ti,)+) dx < 0. (3.46)
n
Однако
v+ fV(«o-«i) почти всюду на {ti0 ^ ti,},
V(ti0 - щу = <
I 0 почти всюду на {ti, ^ tio).
Следовательно,
f (|V(tio-ti,)|24-A(ti0-ti,)2)dx<0,
23 Заказ 405

354
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
откуда tio ^ tij почти всюду в области П. Теперь по индукции
предположим, что
ttjb-i < ti* почти всюду в П. (3.47)
Из (3.43) находим
J ((Vuk+uVv) + \uk+{v)dx = J (f(uk) + \uk)vdx (3.48)
п
и
j ({Vuk)Vv) + \ukv)dx = J (f(uk.x) + \uk-x)vdx (3.49)
для любых v G Нд(П). Вычитая (3.48) из (3.49) и полагая
v = (ti* -ti* + 1)+,
находим
J [|V(ti* - ti*+i)|2 + \{uk - ti*+,)2] dx =
= j [(/(tt^.i) + AttA_i) - (/(tt*) + А«Л)] (ti* - ttjb+i)+ dx ^ 0.
п
Последнее неравенство верно в силу (3.47) и (3.42). Поэтому ti* ^ ti*+i
почти всюду в области ft, как и утверждалось.
Шаг 3. Теперь покажем, что
ti* ^ й почти всюду eft, к = 0, 1, 2 ... . (3.50)
При к = 0 (3.50) верно в силу (3.41). Пусть для некоторого к
ti* ^ й почти всюду в ft. (3.51)
Вычитая (3.38) из (3.48) и полагая
v = (uk+i -u)+,
находим
j [|V(ti*+, - й)\2 + A(ti*+1 - ti)2] dx ^
f [(/Ы + Xuk) - (/(«) + Au)] (ti*+1 - й)+ dx ^ 0
в силу (3.51) и (3.42). Таким образом, ti*+i ^ti почти всюду в области ft.
Шаг 4. Ввиду (3.44) и (3.50)
М < ... < и* < ti*+i < ... < й почти всюду в ft. (3.52)

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
355
Поэтому
u(x) = lim щ(х)
существует для почти всех х Е ft. Кроме того,
uk -> ti сильно в L2(ft), (3.53)
что гарантируется теоремой о мажорируемой сходимости и (3.52).
Наконец, так как
Н/Ы1Ь(п) <с[1+||и*|Ь(п)],
из (3.43) получаем
8ир||и*||ц<п) < +00-
Поэтому существует подпоследовательность {ti^}^, слабо сходящаяся
kuG Hj(fi).
ZZ/дг 5. Наконец, проверим, что ti — это слабое решение задачи
(3.36). Для этого фиксируем v £ Ho(ft). Тогда из (3.43) находим
J ((Vti*+i, Vv) + \uk+\v) dx = j (f{uk) + \uk)vdx.
П П
Устремляя k -> -foo, имеем
У* ((Vti, Vv) + Ativ) dx = J (f(u)+Xu)vdx.
n П
Сокращая член, содержащий А, приходим к требуемому равенству
y^Vti, Vv) dxz= j f(u)v dx-
n
Теорема доказана. □
§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
4.1. Результат Г.Аманна и М. Г. Крэндэлла
В данном пункте мы приведем результат Г Аманна и М. Г. Крэндэлла
относительно разрешимости краевой задачи для квазилинейного строго
эллиптического уравнения вида
Ati = /(х, ti, Vti) в ft, Bti = 0 на 9ft, (4.1)
23*

356
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
где
N
ajk(x) = akj{x) G С(П), 53 aMx)t& > 0
для х G £2 и £ G RiV\{0}. Кроме того, предположим, что граничный
оператор В — это есть оператор Дирихле, т. е.
Кроме того, всюду в данном пункте (и в параграфе) мы требуем
выполнения условия р > N Следовательно, в силу соответствующей теоремы
вложения Соболева имеем компактное вложение
Определение 10.3. Решением задачи (4.1) называется функция
u G W*'P(Q), удовлетворяющая уравнению
An = /(ж, п, Vti) почти всюду на П и Вп = 0 в dil.
Определение 10.4. Верхним решением задачи (4.1) называется
функция ti G W*'P(Q), удовлетворяющая неравенству
An ^ /(ж, ti, Vti) почти всюду на П и Bti ^ 0 в 8Q.
Определение 10.5. Нижним решением задачи (4.1) называется
функция ti G W*'P(Q), удовлетворяющая неравенству
Ati < /(ж, ti, Vti) почти всюду на П и Вп < 0 в д£1.
Если v, w : Q -> R1, тогда v ^ w означает, что v(x) < w(x) почти
всюду на П, и v < w означает, что v < w и, более того, v(x) < w(x)
на множестве из Q положительной меры. Посредством [v, w] мы
обозначим множество измеримых функций ti : П -> R1, таких что v < ti_< w.
Если X — это банахово пространство вещественных функций на П, мы
обозначим через [v, w]\ множество [v, w] ПХ с относительной
топологией, наследуемой из X.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 10.12. Предположим, что функция
ТО**(П)«->С*"'(П), k= 1,2.
(4.2)
удовлетворяет условию непрерывности
/ = /(г,Й)^фхМ' xR*)

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение 357
и такая, что
Ц- е с(П х R1 х RN; RN), ^ G C(ft хМ'х RN).
A/?OAfe /иого, пусть существует такая возрастающая и ограниченная на
компакте функция
c:R+ ->R+,
что
\f(x^,i)\^(\iW + \i\2)>
(x,£,i/) G ft xR1 xR*
Пусть v — э/ио нижнее решение, а 0 — верхнее решение задачи (4.1).
7огдд (4.1) имеет по меньшей мере наибольшее решение й и наименьшее
решение й из упорядоченного интервала [v, О].
Рассмотрим теперь следующую вспомогательную задачу:
и + A (At/ - f(x, и, ft(Vti))) = £ в ft, Bti = 0 на Ш, (4.4)
для заданного g G [п, Л], А > 0 и h G C^R*;R*).
Справедлива следующая лемма.
Лемма 10.8. Пусть выполнены предположения теоремы 10.1. Пусть
v — это нижнее решение, аЬ — это верхнее решение. Тогда существуют
функция h G C^R^; R^) и число А > 0, такие что
(i) Для каждого g£ [v,ti] задача (4.4) имеет точно одно решение и€ [й,0].
З/ио решение обозначается как
и = Т(д).
(и) Функция и G [v, 0] — э/яо решение (4.1) /иогдд и только тогда, когда
и = Т(и).
(Ш) Яд^сть С{, = {n G С1 (ft) : Bti = 0 на дП}. Тогда
Т : [M]i/(n)-> 1«, «]<*<!>)
является непрерывным, компактным и строго возрастающим, т. е. из
g ^ § следует, что Т(д) < Т(§), и если д < §, тогда T(g)-T(g) лежит
во внутренности множества {и G C^(ft) : ti ^ 0}.
(iv) Если w G [v, 0] — это строгое нижнее решение (соответственно,
строгое верхнее решение) задачи (4.4), тогда w < T(w) (соответственно,
T(w) < w).
Лемма 10.8 доказывается при помощи принципа максимума и
совокупности со следующей априорной оценкой:

358
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Лемма 10.9. Пусть f удовлетворяет условию (4.3). Тогда существует
такая функция
7 : R+ -> R+,
что
INw'p(fi) <7(1Ы1с®)-
Более того, 7 ограничена на компактных множествах и зависит только
от А, Б, Q,N,p и с.
Дальнейшие наши действия такие: сначала мы покажем как из леммы
10.8 следует теорема 10.12, а затем докажем, как из леммы 10.9 вытекает
лемма 10.8, и, наконец, мы докажем лемму 10.9.
Доказательство теоремы 10.12. Если Т — это отображение,
определенное в лемме 10.8, то из (i), (ii), (iii) леммы 10.8 следует, что
йп = Тя(0)
убывает к элементу й из сегмента [v, 0] при п -> +оо ий- это
максимальное решение задачи (4.1) в [v, 0]. Таким же образом доказывается,
что
«„ = ¥"(«)
растет до минимального решения й.
Теорема доказана. □
Доказательство леммы 10.8. Пусть v, 0 Е W2*p(ft) «-> С1 (ft) — это
нижнее и верхнее решения задачи (4.1) с v ^ 0. Пусть
m = твх{\Щсщ, ||«|1с(П)} + »■ (4-5)
Пусть
И = {Л Е C'fR"; R"): |ftfo)l < Ш для 77 Е R*}.
Из леммы 10.9 и теорем вложения Соболева следует, что найдется такая
постоянная М ^ га, что если Л G *К и и G [й, 0] есть решение задачи
At/ = /(ж, п, /&(Vti)) в ft и Bti = 0 на 9ft,
тогда
1М1с>(й) < М. (4.6)
Выберем h G IK, которое удовлетворяет условию
/1(77) = 77 для \т)\ < М и h(RN) является офаниченным, (4.7)
и рассмотрим задачу
ti + A(Ati- /(ж, ti, ft(Vti))) =g в ft, Bti = 0 на Г = 9ft, (4.8)

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
359
где Л > 0 и д G [v, О]. Если (4.8) имеет решение иии = р, тогда
1М1с<й> < м
в силу (4.6). Вследствие (4.7) мы имеем h(Vu) = Vu и и — это решение
задачи (4.1). Обратно, любое решение и задачи (4.7) с и G [v, 0] есть
решение задачи (4.8) с д = и. Далее мы докажем, что (4.8) в
действительности имеет единственное решение и G [v, 0] для каждого д G [v, 0]
и отображение
д->и = Т(д),
определенное в лемме 10.8, при условии, что Л > 0, достаточно мало.
Пусть
k(z,l,ri) = f(x,t,h(4))
и Л > 0 удовлетворяет условию
1 - Xk((x, (, rj) > 0 для х G ft, |(| ^ m, ?7 G (4.9)
Выбрать такое Л возможно, поскольку h(RN) — это ограниченное
множество и
*<(х,^) = лЫ,%)).
Теперь мы фиксируем Л > 0, как выше, и определим оператор Немыцкого:
G{u):Cl(n)->C{Sl). (4.10)
Следовательно
G{u){x) = к(х,и(х), Vu(x)), (4.11)
и (4.8) можно переписать так:
ti + a(At*-G(ti)) =0 в ft, Еи = 0 на 9ft. (4.12)
Для того чтобы доказать существование и единственность решений задачи
(4.12), мы будем использовать следующий принцип максимума.
Лемма 10.10. Предположим, что а; G L°°(ft) для j = 0,..., N и ао > 0.
Пусть и G W2'p(ft) удовлетворяет неравенствам
N
Аи + ^2 ujDjU + аон ^ 0 в ft, Ши ^ 0 нд Г.
7огда и ^ 0. Яолее того, если и ф 0, тогдд ti(ic) > 0 для всех х G ft.
£Ьш и ф0 и и(хо) — 0 для некоторого Xq G 9ft, тогдд
0n
< о,
где а — это произвольное векторное поле, внешнее по отношению к
границе 9ft в точке Xq G 0ft и не тангенциальное по отношению к 0ft.

360
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Доказательство приведено в работе [61]. □
Лемма 10.10 будет нами использована для доказательства следующего
принципа сравнения:
Лемма 10.11. Предположим, что и, v G W2'p(fi) удовлетворяют
условию
Nlc(fl)> IMIc(n) < т
и следующим неравенствам:
и + \(Аи - G(u)) **v + \(Av - G(v)) в CI,
Ши ^ Bv на дО,.
Тогда и ^ v. Более того, если и Ф v, тогда и(х) > v(x) для х G П.
Если u^v и u(xq) = v(x0) для некоторого Xq G dtl, тогда
-(х„)--(х„)<0(
где а — это внешнее векторное поле в точке х0 G д£1.
Доказательство. Пусть w = и - v. Тогда в силу предположений
справедливы неравенства
N
Aw+ ^2aj(x)DjW + a0w ^ 0 в Q, Bw ^ 0,
где
1
aj(x) = ~ f (ж' v(x) + TW(X)> Vv(x) + rVw(z)) dr
о
для j = 1,... ,7V и
l
а0(ж) = A"1 J \\ - АЛ^(ж, v(z) + rw(z), Vv(z) + rVw(z))J dr.
о
Мы имеем а0 > 0 в силу (4.9), и, следовательно, из леммы 10.10 вытекает
требуемое утверждение.
Лемма доказана. □
Лемма 10.12. Пусть g G [v, д]. Тогда задача (4.12) имеет
единственное решение и G [v, д].
Доказательство. Единственность вытекает сразу же из леммы 10.11.
Действительно, пусть g G [v, ti] фиксированное и положим, что
V! = 0 + A(A0-G(0)) -g.

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
361
Поскольку 0 — это верхнее решение и 0 - д ^ 0, мы имеем tp ^ 0.
Из I/-теории эллиптических краевых задач и из леммы 10.10 вытекает,
что для каждого q G LP(ft) задача
Г (A + I)to = 9 в ft,
\ Вю = 0 на 9ft * ' '
имеет единственное решение
w = Kq G W2'p(ft).
Более того, отображение
К : I/(ft) -> W2'p(ft)
непрерывно. Положим
£ = -К (А +1) 0 и w = £ + 0.
Тогда
iD G W2'p(ft), (А +1) w = 0 и Bw = Bv.
Определим оператор
EiC^ft) xR1 ->C'(ft)
посредством выражения
И(и, г) ее X(u - tw) + К[(1 - X)u - XG(u)-д-т(гр-Xw)]. (4.14)
Очевидно, что оператор Н является непрерывно дифференцируемым и
H(ti, г) = K[u + A(Au - G(w)) -д-тф] (4.15)
при условии, что
u-TW £ W2,p(ft) и В(и - т$) = 0.
Следовательно, Н(0, 1) = 0 и решение и уравнения Ш(и, 0) = 0 — это
также и решение задачи (4.12). Далее мы покажем, как «дотянуть»
решение и = 0 при г = 1 уравнения Ш(и, 1) = 0 до решения уравнения Ш(и, 0)
при т = 0. Пусть посредством D\M(u9 т) обозначена производная Фреше
отображения и -> Ш(и9 т). Ясно, что явное выражение производной
Фреше _ _
D,E(ti,r):C1(ft)->C1(ft)
дается выражением
DxK(u9 r)ft = Aft + K[(l - A)ft - AG'(u)ft],
где
N gh
G'(u)h = къ(х> u> Vti) л- + kdx>м'

362
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Функция h Е С1 (ft) удовлетворяет уравнению
£>,И(а, r)ft = 0
тогда и только тогда, когда h Е W2p(ft), Bft = 0 на границе 9ft и
ft + A(A-G'(ii))ft = 0 Bft.
Из леммы 10.10 и (4.9) вытекает, что отображение D\M(u,r) инъектив-
но если |М|С(ф < т. Поскольку отображение К ограничено из I/(ft)
в W2,j,(ft) «-» С1 (ft), то это отображение компактно из I/(ft) в С1 (ft).
Отсюда сразу же получаем, что К является автоморфизмом в С1 (ft) для
(t*, г) Е С1 (ft) х R1 с |М|с(п) < т. Таким образом, в силу теоремы о
неявной функции существует такая окрестность
VxW точки (i),l) B<C!(ft)xR\
что
H(ti, г) = 0
имеет единственное решение и = и(т) для г £ W с w(r) Е V. В частности,
и(1) = 0. Поскольку
Н*11с(Й) < w и r ~* w(r) непрерывно,
мы можем предположить, что
1Мг)11с(й) < ™>
выбирая W достаточно малым.
Из уравнения
H(ti(r),r) = 0
и (4.15) мы выводим, что и(т) € W2'p(ft) и
w(r) + A[Au(r) - G(u(r))] ^д + тф,
Ъи(т) = гВгд = гВ0 < В0
для т £ W Г) [0,1]. Поскольку также
д + тф ^g + j> = {) + А(А0 - G(0)) для г Е W П [0,1],
то из леммы 10.10 вытекает, что
и(т) < 0.
Аналогичным образом мы выводим, что
u(t)^v для т eWH [0,1].
Используя, кроме того, (4.7) и (4.11) и определение ft, выводим, что
G(w(r)) остается ограниченным в L°°(ft).

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
363
Тогда из (4.14) и уравнения
H(t*(r),r) = 0
следует, что
{и(т) : г G W П [0,1]} ограничено в W2,p(ft)
и, следовательно, относительно компактно в С^П). Используя
стандартную процедуру, можно установить существование непрерывного
отображения
u:[0,l]->C'(ft),
такого, что
H(t*(r),r) =0
и
v ^ u ^ 0 для т G [0, 1].
Лемма доказана. □
В соответствии с леммой 10.12 мы можем определить отображение
[й, 0] Э д^и = Т(д),
где и — это единственное решение задачи (4.12) в [0, 0]. Из (4.6) и (4.7)
вытекает, что неподвижные точки отображения Т — это точно решения
задачи (4.1), которые лежат в интервале [й, 0]. Таким образом, утверждения
(i), (ii) леммы 10.8 выполнены. Более того, как выше, мы видим, что
Т([0,0]) — ограниченное множество в W2,P(Q) <-> Св(П)
и, следовательно, относительно компактно в Cg(ft). Отображение Т
непрерывно как отображение
Т:[0,0]ья^[0,0]с«
в силу леммы 10.12 о единственности. Тот факт, что Т — строго
возрастающее, следует сразу же из леммы 10.11. Так что утверждение (iii)
леммы 10.8 выполнено. Далее, пусть w — это нижнее решение задачи
(4.1) с w G [0, 0]. Очевидно, что этот сегмент может быть заменен на
сегмент [w, 0] в вышеприведенных доказательствах, так, что
T([w, 0]) С [г/;, 0] и w < T(w).
Если w — это не решение, тогда
w Ф Т(м), так что w < T(w).
Подобным образом доказывается, что, w —- верхнее решение задачи
(4.1) — удовлетворяет неравенству
T(w) ^ w
со строгим неравенством для строго верхнего решения. Это доказывает
утверждение (iv) леммы 10.8.
Лемма 10.8 доказана. □

364
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Таким образом, нам осталось доказать лемму 10.9. Лемма 10.9
вытекает из следующей леммы:
Лемма 10.13. Для каждого b G L°°(fi) существует точно одно
решение и G W2*(Q) задачи
(A + I)u = 6(l + |Vu|2) в П,
В« = 0 на дП.
(4.16)
Более того, существует такая возрастающая функция
7o:R+->R+,
ограниченная на компактных множествах, что
Nlw>*(n) <7о(1|Ч1ь-(п)).
Функция 7о зависит только от А, О,, В,р и N.
Прежде чем доказывать данное утверждение, заметим, что если и —
решение задачи (4.1), то оно же и решение задачи (4.16), в которой
f(x, и, Ум) + и
l + |Vt*|2 '
Так что если мы положим
7(r)=7o(c(r) + r),
то утверждение леммы 10.9 следует из леммы 10.13.
Доказательство леммы 10.13. Пусть <т\, a2 G [0,1] и предположим, что
(А + 1)щ = Ъ(<т{ + |Vwt|2) в П, Вщ =0 на дП. (4.17)
Положим
w = щ - и2 и М = \(т\ - <т2\
[Несправедливо следующее равенство:
<^-">->sXi)8V-
= \<r\ ~ <т2\ - {<тх - <т2)Ъ ^ 0 в Q,
и
В(М -w) = M на дП.
Следовательно, в силу леммы 10.10 имеем
w ^ М.
Аналогичным образом доказывается, что
w > -М.

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение 365
Таким образом, имеем неравенство
11*1 " и2\\с(Ц < ki - *г\ II&IIl-pi). (4.18)
В частности, если a\ = a2> тогда u{ = u2 и решение задачи (4.16)
единственное. Кроме того справедлива следующая цепочка равенств:
(А +1)10 = (e-i - #г2)Ь + 6(|Vui|2 - |Vu2|2) =
= fa - <ri)b + Ь(| Vt*i |2 - I Vm - Vt*i |2) в Q
и
Bw = 0 на вП.
Следовательно, имеет место неравенство
||(А + 1И|ИП) < 2||Ь||ь»(П)|||Уад|2||ь„(п) +
+ ||ft||L»(n)(meas(n),/p + ЗЦ|У«,|2||ИП)).
Известное неравенство Гаглиардо—Ниренберга приводит к выводу о
существовании такой постоянной 71 > 0, что имеет место неравенство
1Н*«| II is(n) <7ilNllL~(n)INIIw^(n).
Комбинируя данное интерполяционное неравенство, неравенство (4.18)
и существование такой постоянной 73 > 0, что
||(А + I)w||Lf(n) >ЪМ\\Р*(П)>
мы приходим к выводу, что
l|t*l - tt2||wa*(n) < kl - *2| ЪХЪ \Щ\ъ«>{П) \\Щ ~ ti2||w^(n) +
+ 72(l|b||L»(n),l|tii||w^(n)), (4.19)
где
72: r2+ -> R+
является неубывающей функцией каждого аргумента, ограниченной на
компактных множествах. Выбираем G\ = 0, щ и натуральное число п
такое, что
п~1Ъ1Ъ\\Ъ\\ъ<»(п) < ^>
тогда из (4.19) вытекает, что если
rjGlO.iT1],
то имеет место неравенство
l|ti2||w^(n)< 272(||6|lLoo(n),0). (4.20)

366
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Все полученные оценки остаются справедливыми, если Ь заменить на тЬ
для т G [0, 1]. Рассмотрим следующую вспомогательную задачу:
((А+1).+ |v„|') .о, (421)
1 Bti = 0 на 8SI.
Если мы сможем решить данную задачу, то тогда положим
1
(72 = —, U-i—U
П
в неравенстве (4.19) и используем оценку (4.20) для получения неравенства
Г1 2'
l|ttil|w**<n) < 74(ЦЬ|к*(п)) Для с\ G -, -
Продолжая таким образом, мы получим за п шагов требуемый результат.
Для того чтобы доказать разрешимость задачи (4.21), обозначим через
Q(r, у?) решение следующей задачи:
( (A + I)ti = r*Q + |Vti|2) вП,
[ Bti = 0 на 0Q.
Отображение
QrlO.lJxC'P-^C'fO)
является компактным, непрерывным, и решения уравнения
V? = Q(r, у?)
образуют равномерно ограниченное множество в силу оценок выше. Более
того, _
Q(0, (р)=0 для всех у? G С!(П).
Следовательно, Q(l, у?) имеет неподвижную точку в силу принципа Лере—
Шаудера неподвижной точки.
Лемма доказана. □
4.2. Результат С. И. Похожаева для Au = /(ж, и, Vie)
В этом пункте мы рассмотрим следующую задачу:
Au = /(х, ti, Vti) в области Q, и = у? на границе 00, (4 23)
в пространстве Соболева W2,p(Q) с р > N. Здесь П — это ограниченная
область из R^ с границей dil класса С2.
Этому вопросу был посвящен предыдущий пункт. Однако
предполагалось, что нелинейная функция f(x, м, Vm) является непрерывной
функцией по совокупности переменных. В этом случае имеет место известное

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
367
условие Бернштейна [3] на рост нелинейной функции, достаточное, чтобы
из априорной оценки ||и||ь«>(л) вытекали априорная оценка |||Vt*|||L00^ и
тем самым оценка |М|\у2-я(г*)-
В настоящем пункте, взятом из работы [37], не предполагается
непрерывность нелинейной функции по совокупности переменных.
Вместо этого условия требуется, чтобы эта нелинейная функция
принадлежала пространству I/(ft) при произвольной фиксированной функции
и(х) Е W2'P(H) с р > N
Задача (4.23) изучается в классе вещественных функций из
пространства Соболева W2,p(ft) при p>N, так что граничная функция <р является
следом,
функции <р из W2,p(ft), т. е. принадлежит пространству W2~',p(dft) с
нормой
|1И1'2-1 р < Q)ll0llw**(n),
р *г
где со не зависит от ф.
Относительно функции / предполагается, что выполнены следующие
условия.
(i) Пусть функция /(ж, п, £) определена на ft х R1 х RN со значениями
в R1 и удовлетворяет условию Каратеодори, т. е. измерима по ж при
всех (и, £) Е R1 х RN и непрерывна по (и, £) при почти всех х Е ft.
(ii) Пусть
|/(ж,и,£)| <Ь(2мО(1 + |£П с /1 = 2-- и р>ЛГ (4.24)
Р
для почти всех ж £ ft и при всех (u, £) Е R1 х R^, где функция Ь(х, и)
измерима по ж Е ft при всех u Е R1, непрерывна по и почти при всех
ж Е ft и при любом фиксированном J > О
sup Ь(-,и) ELp(ft).
Из условий (i) и (ii) следует, что оператор
F(ti)(z) : W2*(ft) -> I/(ft),
порожденный каратеодориевой функцией /(ж, гг(ж), Уи(ж)), является в
силу теоремы М. А. Красносельского (Глава 1, параграф 3) непрерывным
оператором из W2*(ft) в ЩП).
Теорема 10.13. Пусть выполнены условия (i) и (ii) с некоторым р > N.
Тогда существует функция Ф : R+ -> R+, ограниченная на каждом
компакте, такая что для любого решения и(х) из W2<p(ft) с р > N
задачи (4.23) выполнено неравенство
ll«llw*(o) < *(Af. .). (4-25)

368
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
если ||м||ь»(п) < М. Здесь
Ьм(х) = sup{ft(z, м) | |tf| < M}, R+=R+xR+xR+
и R+ = {t e R1 \t ^ 0}.
Доказательство. Имеем
Д« = /(х)«,У«) = ^^(1 + |У«Г) с li = 2-j.
Отсюда
где c(x) = bM(x) ^ 0.
Тогда для функции ti имеем
j Au- c(x)u = /i(x)|Vtt|#i + /о(ж) в области ft,
\u = (p на границе 5Я.
Здесь
/|(х) = ^"уУ0 + |Vt,|")' /о(х) = ш -с{х)и(х)-
Наша цель — получить оценку |М|\у2*(п) через величины,
ограничивающие сверху
NIl-<<i). Н/оНищ» ИИГ2-1
Для этого рассмотрим в пространстве W2,p(ft) с р > N краевую задачу
Av - c(x)v 5s f\(x)\Vvf + tf0(x) в области ft,
v = t<p на границе сЮ ^
(4.26)
{
с параметром t £ [0,1] и с функциями с, f\ и /0, определенными выше.
Для задачи (4.27) справедлива следующая лемма о единственности
решения.
Лемма 10.14. При любом фиксированном f G [0,1J задача (4.27) имеет
не более одного решения из W2*p(fi), р> N.
Доказательство. Предположим обратное. Тогда для разности w = v-z
двух возможных решений v и z имеем
N gw
Aw - c(x)w = f\(x) У fti(sc)-— в области ft,
w = 0 на границе dil.

370
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Положим
jr = (t2-<i)(i + IN|L.(n)), h>t{.
Лемма 10.15. Выполнено неравенство
ll«2-»l||<(«2-«l)0+IMlL«(n)).
Доказательство. Для функции (v - К) имеем
N
Д(в - К) - c(x)(v - К) = ^ hi(x)(v - К) +
i=i
+ (*2 - *i)/o(s) -f с(х)К в области П
и
v - К = (t2 - t\)(p - К на границе <Ш.
Далее,
с(х)1Г + (*2 - *i)/o(«) = (*2 - «i) (||«||ь«(п)с(х) + с(«) + /0(а:)) =
= (t2 -11) (||ti||L.(n)c(«) + с(х) + - с(х)и(х)) =
= (h-t\)(с(х)(|M|L-<n) + с(х) + /!(*))) ^0
в области П и
V - К = (*2 ~ ti)^ - (t2 - *i)(l + |М|ь-(П)) < («2 - U){V - IMIl««1))
на фанице 9П. Тогда из работы [1] следует, что v(x) ^ К в П.
Аналогичными рассуждениями доказывается неравенство
-JT ^ *5(х) в П.
Лемма доказана. □
Продолжим доказательство теоремы 10.13. Для этого рассмотрим
параметрическое семейство задач (4.27). Отметим, что в силу леммы 10.14
решение задачи (4.27) при t = 1 совпадает с решением задачи (4.26)
и (в силу принятых обозначений) с решением задачи (4.23).
Пусть V\ и v2 — решение задачи (4.27), соответствующие значениям t\
wt2>t\ параметра t. Тогда в силу леммы 10.15 имеем
ll«2-Vl||<(*2-*l)(l+|M|Loo(n)). (4.28)
С другой стороны, функция v = v2 - v\ является решением задачи
Г Дт; - c(x)v = f\(x)(\Vvif - |Vt>,D + {t2 - *i)/o(s) в области П,
\ 0 = (*2 - U)<P на фанице дП.
Следовательно,
IIд* -Ф0*1Ц«) < s'-'ii/.ii^llivsill' } +

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
369
Здесь
h{(x) = J т(х,т)йт,
где
при
I.—I v.
Я,(«,г)=0 при g^r_ + _j=0.
Поскольку c(x) ^ 0, c(z) G /i G I/(fi), ftt(x) G !/(«), i = 1,..., N,
и p > N, то из результатов работы [1] следует, что w(x) = 0.
Лемма доказана. □
Пусть теперь V\ и v2 —■ это решения задачи (4.27), соответствующие
значениям t\ и t2> t\ параметра t G [0,1]. Тогда для разности v = v2-V\
имеем
N _ ^
Av - c(x)v = /i(z) ^ Л,(ж)^ h (£2 - t\)fo(x) в области П,
< .=1 0ж,
г; = (t2 - t\)<p на границе дП.
Здесь
1
ft,(x) = у Щ(х9т) dr,
о
А/ да дьл2 /л
Я,(х>г) = 0 при ^lT— + —j=0.
где
*=1
24 Заказ 405

372
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Отсюда в силу независимости Л от указанных значений №, и из
неравенства вложения
W2,p(n) ^ С'(П) с p>N,
\\№{k^\\L»{n)<c2\\v^v^m
за конечное число итераций получаем утверждение теоремы. При этом
первой итерации к = 1 соответствуют № = 0 и = 0.
Теорема доказана. □
Замечание 10.4. В работе [37], содержание которой мы излагаем, доказана
неулучшаемость параметра
/1 = 2 при р> N.
Р
Рассмотрим теперь задачу (4.23) при условиях (i) и (ii) и при
следующем условии Липшица.
(Hi) Пусть
|/(ж, u, rj) - /(ж, и,0| < Ь{(х, и, £, ri)\%i - i\
при почти всех х G ft и при всех («,£,?/) G R1 х RN х RN, где
функция Ь\(ж, u, (, rj) измерима по ж G ft при всех (и, £, rj) G R1 х RN х RN,
непрерывна по (u, (, rj) при почти всех ж G ft и при любом
фиксированном / > 0
sup{Mst*,£,*/)IM<*, М < *} G L'(ft) с p>N.
Напомним теперь известные определения.
Определение 10.6. Функция й G W2p(ft) с р > N называется
верхним решением задачи (4.23), если
( -Ай + /(ж, й, Vu) ^ 0 почти всюду в ft,
\ й ^ (р на границе 9ft.
Определение 10.7. Функция й G W2p(ft) с р> N называется
нижним решением задачи (4.23), если
( -Ай + /(ж, й, Vti) < 0 почти всюду в ft,
\ й < (р на границе 9ft.
Теорема 10.14. Пусть выполнены условия (i)-(iii) с некоторым р> N
и граничная функция (р принадлежит пространству W2~?'p(9ft). Пусть
существуют верхнее й и нижнее й решения задачи (4.23) из W2,p(ft),
такие что й(х) ^ й(х) в ft. Тогда существует решение и(х) G W2,p(ft)
задачи (4.23) и
й(х) < и(х) < й(х) в ft.

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
371
+ 2"||/ilb(«)l|lV«il||t.(n) + («2 " *.)11/о11ип). (4-29)
||«||'2_1.р < (<2-<i)ll¥>ll'2_i.p (4.30)
при 0 ^ £i < t2 ^ 1.
В силу неравенства Гаглиардо—Ниренберга для функций v из W2,p(ft)
с р > N следует, что
HlV*l||L-(n) < c,||e||U<n)PllL-<n) (4-31)
с в = р~1 И ПОСТОЯННОЙ С\ = Ci(ft, N,p).
С другой стороны, в силу известной линейной теории эллиптических
задач выполнено неравенство
Pllw^(n) ^ A(\\Av - <Я\\щп) + ||ИГ2-1вР)-
Здесь А = А(П, N,p, \\с\\щП)).
Тогда, используя неравенства (4.28)—(4.31), получаем
m\wm < 2*-хгхА\\и\\Щъ){\ + 1М1ь-<п))*~'(*2-uY~x\\v\\^m +
2^^||Г1|1н^сп>Ц1^«11||£-сп> ^01Л11ж-р<п> ll^lli_x.jp>-
Отсюда следует, что
P||w,,(fi) ^ 2Л(||/о||ИП) + ||И1'2_1.,) +2^+lit||/I||iAn)|||V»,|||^(0) (4.32)
при
0<*2-*1 <К (4.33)
где
Л = (2с1)-"/("-,)^11/.11и«))"1/(,'",)(1
Здесь t\ u ti это любые числа из отрезка [0,1], удовлетворяющие
неравенству (4.33), и v\9 v2 — соответствующие им решения из W2tP(Q)
задачи (4.27).
Обозначив
*<*-'>=«,, <<*> = *2, »<*-•) = «,, »<*> = i*,
из неравенства (4.32) получим
llt^llw^fi) < 2Л(||/о||„(п) + H^-'^lw^n) + НИЦ.р) +
+ 2"+lA||/,||I,(n)|||Vt><fc-,)|||^(fi)
при
0<tw-«(*-I)<ft, *W, «(*-'> € [0,1].
24*

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
373
Доказательство этой теоремы основано на нижеследующих леммах.
Лемма 10.16. Пусть вещественная функция Fq(x, и,£), определенная
на ft х R1 х RN, удовлетворяет условию Каратеодори (i) с f = Fq и
sup \F0(;u,t)\elf(n) с p>N. (4.34)
Тогда краевая задача
Аи = Fq(x, и, Vu) eft, и = (р на 9ft,
где (ре W2-i,p(9ft), имеет решение и Е W2,p(ft).
Доказательство. Рассмотрим краевую задачу
Аи = Fo(x, v, Vv) Bft, и = на 9fi
при произвольной функции v Е С1 (ft). Тогда по известной линейной
LP-теории эллиптических задач эта краевая задача при любой функции v Е С1 (ft)
имеет решение и Е W2p(ft), и = T(v), для которого в силу (4.34)
выполнено неравенство
ll«llw»*(n) < с, (4.35)
где постоянная с не зависит от v Е С1 (ft). Оператор
Т:С!(П)-> W2,p(ft)
является непрерывным и вследствие компактного вложения
УГ2*(П)<-*СЩ9 p>N,
является вполне непрерывным оператором из С1 (ft) в С1 (ft). В силу
оценки (4.35) существует шар в пространстве С1 (ft), который оператор Т
переводит в себя. Тогда по известной теореме^ Шаудера о неподвижной
точке оператор Т имеет в пространстве С1 (ft) неподвижную точку и,
которая по определению оператора Т принадлежит пространству W2,p(ft).
Лемма доказана. □
Определим теперь для функции и G W2,p(ft) с р > N оператор срезки
о соотношением
г й(х) при и(х) > й(х),
аи = < и(х) при й(х) < и(х) < й(х),
w й(х) при и(х) < й(х)
и рассмотрим краевую задачу
Аи = f(x, ои, Vou) eft, и = (р на 9ft. (4.36)

374
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Лемма 10.17. Пусть функция f удовлетворяет условиям (i)-(iii) с р> N
и (р € W2-p-p(dil). Пусть и € W2-"(n) есть решение задачи (4.36).
Тогда
и(х) < и(х) < й(х) в П. (4.37)
Доказательство. Для функции w = и - й имеем
Aw ^ /(ж, au, Vu) - /(ж, й, Vu) в области П, (4.38)
w < 0 на границе <Ю. (4.39)
Предположим теперь обратное утверждению леммы. Тогда множество
G = {ж G П | ю(ж) > 0}
не пусто и
Aw ^ /(ж, й, Vu) - /(ж, й, Vu) на G.
Отсюда вследствие условия (iii) получаем
Aw ^ -bi(x)\Vw\ на G,
где 6i G 1/(1)) с р> N. Тогда из результатов работы [1] следует, что w
достигает строго положительного максимума на границе д£1. Это
противоречит граничному условию (4.39). Таким образом, доказано, что и(х)^й(х)
в области П. Аналогично доказывается неравенство й(х) <«(ж) в области
П.
Лемма доказана. □
Пусть теперь
М = тах{тахй(ж), maxй(х)}.
х€П x€fi
Тогда
NlL«(n) < М
и в силу теоремы 10.13
IMIw**<n) < \\Ьм\\щп),IMI'2-i.,)-
В силу теоремы вложения Соболева имеем
Nlc'ffi) < c2||ti||w2.p(n), р > N, (4.40)
где положительная постоянная с2 не зависит от функции и G W2,p(n).
Тогда получаем
ma_x |V«(x)| < Мь М, = с2Ф(М, НИ1'2-1 „)•
x€fi '
Определим теперь функцию
t f(x,0 при 1(1 ^ М2,
{/(,,.,«4)
при |£|>М2)

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
375
где
Mi = max< Mj, max I Vti(x)|, max |Vu(x)| \.
{ tCO red J
Эта функция удовлетворяет условию (i) и условию (ii) с соответствующим
неравенством
") при |£|>М2.
Функция Fj удовлетворяет также условию (Hi) с соответствующей
функцией Ъ\.
Рассмотрим теперь краевую задачу
( Au = F\lx, ои, Vw) в области ft,
s L 4-41)
(u = <p на границе aft.
Функция
' F{(x,u(x),£) при u(x)>u(x),
Fi(x,«, () = I Fj(x,«, О при ti(x) < u(x) < u(x),
k 7F, (ж, й(х), 0 при u(x) < й(х)
удовлетворяет условиям леммы 10.16 и
F\(x, и, 0 = F\ (х, oru(x), Vti(x)).
Следовательно, к задаче (4.41) применима лемма 10.16, в силу которой
существует решение и е W2,p(ft) этой задачи.
Функция й(х) является верхним решением и й — нижним решением
задачи
Аи = F{(x, и, Vii) в ft, и = (р на 9ft. (4.42)
По лемме 10.17 имеем
й(х) < и(х) < й(х) в ft,
и, следовательно, ои(х) = и(х), так что полученное решение и задачи
(4.41) является также решением задачи (4.23).
Теперь, применяя теорему 10.13 к решению и задачи (4.42), получаем
IMIw^n) < ф(м> \\Ъм\\ща>. IMI'2-i.,).
р г
Тогда из неравенства вложения (4.40) следует, что
max |Vu(x)| < М, с М, = с2Ф(М, \\Ьи\\щп), IH'2_i J-
Поскольку при \(\ < Mj < М2 функция F\ = /, то окончательно
получаем, что решение и задачи (4.42) является решением задачи (4.23).
Теорема доказана. □

376
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
4.3. Система уравнений эллиптического типа.
Результат Н. Кавано
В этом пункте мы рассмотрим следующую систему уравнений:
( Au + F(x, u, v) = 0,
\ Av + G(x,u,v) = 0 { }
в RN, где F(x, u, v) и G(x,«, v) определены на RN х R1 х R1 и локально
непрерывны по Гельдеру по переменной х €RN с постоянной 1 > А > 0
и непрерывно дифференцируемы по и и v.
Введем следующие определения.
Определение 10.8. Под верхним-верхним решением задачи (4.43)
мы понимаем вектор-функцию (й, v) е Cf+X(RN) х CJ^CX(RN),
удовлетворяющую дифференциальным неравенствам
ГД* + *(«,«,«)<0,
bRn.
Определение 10.9. Под нижним-нижним решением задачи (4.43)
мы понимаем вектор-функцию (й,«) € CJ^R*) х C,2^A(RAr),
удовлетворяющую дифференциальным неравенствам
{
ДО + G(x, й, 0) ^ 0 ( ' '
в RN.
Определение 10.10. Под верхним-нижним решением задачи (4.43)
мы понимаем вектор-функцию (й, *) € CJ^R*) х CJ*X(RN),
удовлетворяющую дифференциальным неравенствам
A* + F(*.*,«)<0.
ДО + G(x,й,0)^0 к ' '
Определение 10.11. Под нижним-верхним решением задачи (4.43)
мы понимаем вектор-функцию (й,$) € Cj+X(RN) х C,2^A(RAr),
удовлетворяющую дифференциальным неравенствам
fA« + F(«,M)>0,
\ M) + G(x,u,i)^0 к ' '
в R".

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
377
Основные результаты относительно разрешимости задачи (4.43) —
это следующие теоремы.
Теорема 10.15. Предположим,
Fv(x,u,v)^0 и Gu(x,u,v) ^ 0 в RN х R1 х R1.
Если существуют ограниченное верхнее-верхнее решение (u(x),v(x)) и
ограниченное нижнее-нижнее решение (й(х),Цх)) задачи (4.43) в RN,
такие что
Цх) < й(ж), 0(ж) < Цх), х е RN, (4.48)
тогда система (4.43) имеет ограниченное решение «в целом* (u(x),v(x)),
удовлетворяющее неравенствам
й(х) < и(х) < й(х), Цх) < v(x) ^ Цх), х е RN. (4.49)
Теорема 10.16. Предположим,
Fv(x,u,v)^0 и Gu(x, и, v) < 0 bR^xR1 xR1.
Если существуют ограниченное верхнее-нижнее решение (й(ж),0(ж)) и
ограниченное нижнее-верхнее решение (й(х)9Цх)) задачи (4.43) в RN,
такое что (4.48) выполнено, тогда система (4.43) имеет ограниченное
решение «в целом*, удовлетворяющее (4.49).
Доказательство теоремы 10.15 основано на следующей лемме.
Лемма 10.18. Пусть BR — это шар с радиусом R > 0 в RN. Если
условия теоремы 10.15 выполнены, тогда существуют вектор-функции
(ur(x), vr(x)) и (йл(х),дц(х)) со следующими свойствами:
(i) (uR(x), #я(ж)) и (йл(х),дл(х)) принадлежат классу
C2+*(Br) х С2+Л(ВД);
(ii) (ur(x), #я(ж)) и (ur(x), Vr(x)) удовлетворяют задаче (4.43) в BR\
(iii) Цх) < uR(x) < uR(x) < й{х), Цх) < 0л(ж) < vR(x) < Цх), х £ 5л(ж).
Доказательство. Возьмем векторную функцию
такую что
Цх) < /(ж) < й{х), Цх) < (/(ж) < Цх), х G R",
и рассмотрим следующую краевую задачу:
г Аи + «, v) = 0,
< Д» + G(x, и, v) = 0 bBr, (4.50)
w «(ж) = /(ж), ф) = #(ж) на dBR.

378
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Поскольку F и G — это непрерывно дифференцируемые по и и v
функции, то существуют положительные постоянные К\ и К2,
удовлетворяющие неравенствам
Fu(x, w, v) + Ki^ 0, Gv(x, u,v)+K2>0 вВях/,х /2, (4.51)
где
I\ = Г inf й(х), sup й(х)]9 I2 = [ inf 0(ж), sup Цх)].
Теперь рассмотрим следующую итерационную схему:
(A-K{)um = - [F(x9um-l9vm-{) + К{ит-{]9
(А - Kx)vm = - [G(x, iim_i, »TO-|) + K2vm-{] в BR9 (4.52)
um{x) = /(ж), иш(ж) = #(ж) на 5ЯЛ, m G N.
Если мы положим
(щ(х)9у0(х)) = (й(ж),0(ж)),
тогда функция (и\(х)9 v\(x)) определяется схемой (4.52) и из (4.44)
вытекает
' (А - Кх)(и{ - щ) = - [Дй + F(x, й, Я)] > 0,
< (А - K2)(v{ - vq) = - [Д* + G(x, й, *)] > 0 в BR9 (4.53)
, t*i(x) = /(ж), t>i(x) = р(ж) на 8BRt m G N.
Стало быть, в силу принципа максимума
и0(х) ^ щ(х)9 Vo(x)^v{(x)9 xeBR. (4.54)
Положим
F(x9«, v) = F(x9 и, v) + /ifitt,
G(x9 u9 v) = G(x9 u9 v) + K2v.
Тогда в силу (4.51) F(x, u9 v) и G(x9 u, v) — неубывающие по и и v. Таким
образом, если мы предположим, что
um-1 (x) ^ um (ж), Vm_, (ж) ^ Vm (ж) В Br ,
тогда из (4.52) мы получаем, что
(А-Кх){ит+Х -ит) = - [F(x9um9vm)-F(x,um_,,vm-\j\ >0,
(A-K2)(vm+X ~vm) = - [G(x9um,vm) -G(x9um-,,vm_,)] ^0, (4.55)
ttm+i=WmW = /(a;), г;т+1(ж) = г;т(ж)=р(ж) на д#Л,
и снова в силу принципа максимума имеем
um(x)^um+i(x), vm(x) ^ »т+|(ж), хЕБя. (4.56)

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
379
Поскольку (4.54) выполнено, то по индукции мы получим
последовательность
{{um(x),vm(x))}+™{,
удовлетворяющую (4.56) для каждого га Е N. Мы обозначим эту
последовательность посредством
{(um(x),*m(x))}+:,.
Если теперь мы положим
(u0(x),vQ(x)) = (й(ж),0(ж)),
тогда итерационная схема (4.52) даст последовательность
{(йт(*),м*))С,
со следующим свойством:
йт(х) < flm+i(x) и 0ш(ж) < 0т+1(ж) в BR, т = 1,2,... .
С другой стороны, в силу (4.48), мы получим
' (А-К\)(щ -й\) = -[F(x,й,Я)-F(x,й,в)] <О,
< (А-К2)(*1-д{) = -[б(х,й,Ъ)-б(х,й,{>)] <0, (4.57)
,ul(x) = ul(x) = f(x), 1)l(x) = i)l(x)=g(x) на 9ЯЯ, mGN.
Следовательно, в силу принципа максимума имеем
й{(х)^й{(х) и $\(х) ^ t),(x) вБд.
По индукции получаем, что последовательности
{(М*Мт(*))С, И {(йт(х),вго(х))}+~
удовлетворяют неравенствам
й < й, ... йт < ... < йт ^ ... < U| ^ й,
Таким образом, последовательности
{(«т(*),м*))С, и {(««(*),*»(*)) >i*,
сходятся поточечно к некоторым векторным функциям —
{(uR(x),i)R(x))} и {(uR(x),vR(x))} (4.59)
соответственно, вБд.
Теперь мы докажем, что (4.59) — это решения краевой задачи (4.50).
Поскольку
{(*(*),«(*)) С и №x),9(x)))ZZ' (4-6°)
(4.58)

380
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
ограничены на Br, тогда существуют такие постоянные L\ и М\, что
\\F(X, um, Vm)\\u{BR) < LU \\йт\\щвл) ^ LU
\\G(X, Um, Ю\\щВл) < MU \\Vm\\u{BR) ^ MU
для всех га £ N. Более того,
ll/llw2*($7)> llffllw^n)
ограничены для всех p > 1. Следовательно, в силу LP -оценок Агмона—
Дуглиса—Ниренберга [51], выбрав
N
получим, что существуют положительные постоянные Li и Mi, не
зависящие от га, такие что
РтИс'+ЧВл) ^ L*> Н*т|1с»+А(5л) < М2- (4.61)
Отсюда вытекает, что
F(x, um(x), bm(x)) и G(x, um(x), bm(x))
являются непрерывными по Гельдеру с показателем А 6 (0,1) в Br и их
нормы не зависят от га. Из оценок Шаудера
П*т11<?+*(1ж) < £з(||*11с*(Вж) + 11/11<?+*(ОД0 + Рт|1с°(Дл))>
ll<Ulc*+*(B*) ^ Ml(WG\\c*(BR) + 1ЫЬ+А(0Вл) + Рт||с0(Вл))
с константами L$ и Мз, не зависящими от га, получаем, что
последовательность
{(Ы*), *«(*))}
является ограниченной в С2+А(Яд) х С2+А(Бд). Поскольку вложение
С2+А(Бд) х С2+А(Яд) в C2(BR) х C2(BR) компактно и
{(um(x),fjm(x))}
является монотонной последовательностью,
{(um(x),vm(x))}
сходится в С2 (Br) x С2 (Br) к
{(«*(*), М*))}- (4.62)
Из (4.52) вытекает, что (4.62) — это решение краевой задачи (4.50) и,
конечно, принадлежит пространству C2+x(Br) х С2+А(Дн).
Аналогичным образом устанавливается, что
(ur(x),{)r(x))

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
381
также решение краевой задачи (4.50) класса C2+X(BR) х C2+X(BR). Кроме
того, из (4.58) следует справедливость неравенств
Цх) ^ uR(x) ^ uR(x) ^ Цх), Цх) < «R(x) ^ *R{x) ^ Цх), х е BR.
Лемма доказана. □
Доказательство теоремы 10.15. В силу леммы 10.18 для каждого шара
BR = {xeRN : \x\<R}> R=\,2,...,
существует решение
(uR(x),vR(x))
задачи (4.50), удовлетворяющее неравенствам
Цх) ^ uR(x) < Цх), Цх) < vR(x) < Цх), х е BR. (4.63)
Рассмотрим последовательность
{(uR(x),vR{x))}.
Мы хотим показать, что эта последовательность содержит
подпоследовательность, сходящуюся к решению «в целом» задачи (4.43).
Пусть S > 0 — это некоторое фиксированное натуральное число, и
пусть R ^ 5 + 1. Мы утверждаем, что существуют постоянные L4 и М4,
не зависящие от R, такие что
Ция1Ь+Чв5) < ^4 и |М|с2+А(ад < М4. (4.64)
В соответствии с (4.63) имеем:
равномерно ограничены. Таким образом, в силу внутренних U*-оценок
Агмона—Дуглиса—Ниренберга с
N
р = —х
приходим к выводу о существовании постоянных L5 и Ms, не зависящих
от R, таких что
\\ur\\o+*(bs+p) < Ls и \\vr\\cw(b,+,) < М5, (4.65)
где р 6 (0, 1) — произвольная постоянная. Отсюда вытекает, что функции
FR(x) = F(x, uR(x), vR(x)) и GR(x) = G(x, uR(x), vR(x))
являются равномерно непрерывными по Гельдеру с некоторой постоянной
Л Е (0,1) в Bs+p. Применяя внутренние оценки Шаудера, мы получим
\\Ы\сЫ(Вм) < с\ (Ы\с*(вя+,) + \\Ысцв,+,)) > ^ ^
\\vr\\&+*(bs) < c2(\\vr\\co(bs+p) + \\Gr\\&(bs+p))>

382
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
где С\ и с2 — это постоянные, не зависящие от R. Из (4.66) вытекают
требуемые оценки (4.64).
Теперь в силу компактного вложения
С2+А(Я,) х С2+Х(В{) <ч> С2(В{) х С2(В{)
последовательность
{(ur(x),vr(x))}
содержит подпоследовательность
{(uri(*),VRi(*))}>
которая сходится в С2(В\) х С2(В\) к вектор-функции
(«•(*). «'(*)).
Очевидно, что (ul(x), vl(x)) удовлетворяет задаче (4.43) в В\ и
й(х) < ul(x) < й(ж), Цх) < v\x) < v(x), х е Вх.
Аналогичным образом устанавливается существование у
последовательности
{{Щх(*)>Щх(*))}>.
под последовател ьности
которая сходится к вектор-функции (u2(x), v2(x)) в С2(В2) х С2(В2).
Повторяя данную процедуру, мы получим, что для каждого к = 1,2,...
последовательность
{(Щь-г(*)>Щы(*))}
содержит подпоследовательность
{(^(«),ti^(«))},
которая сходится в С2(Б*) х С2(£*). Пусть
(uk(x)9vk(x)) = .lim (uRjkivRjk).
Тогда (ик(х)> vk(x)) удовлетворяет задаче (4.43) и
й(х) ^ ик(х) < й(х), Цх) < vk(x) < v(x), хеВк.
Более того,
(г/(*)У(*))|В4| = (и*^*)У-^)).
Теперь определим вектор-функцию (17(ж), V(x)) в RN таким образом,
чтобы
(U(x), V(x)) = (uk(x), vk(x))> если ж G В*.

§ 4. Квазилинейное эллиптическое уравнение
383
Тогда (U(x), V(x)), очевидно, является решением задачи (4.43) в R^,
которое удовлетворяет неравенствам
й(х) < U(x) ^ й(ж), Цх) ^ V(x) < Цх), х G
Теорема 10.15 доказана. □
Доказательство теоремы 10.16 основано на следующей лемме.
Лемма 10.19. Пусть BR — это шар радиуса R > 0 в RN. Если
выполнены условия теоремы 10.16, тогда существуют вектор-функции
(йц(х), i)R(x)) и (uR(x), vR(x)),
удовлетворяющие следующим свойствам:
(i) (uR(x), QR{x)) и (uR(x), f>R(x)) принадлежат классу
C2^(BR) х С2+А(ВЛ);
(ii) (uR(x), tiR(x)) и (uR(x), tiR(x)) удовлетворяют задаче (4.43) в BR\
(iii) й(х) ^ uR(x) ^ uR(x) ^ й(х), Цх) < f)R(x) ^ i)R(x) ^ Цх), xeRN.
Для доказательства леммы 10.19 нужно применить технику,
основанную на итерационной схеме (4.52) с константами К\ и К2,
удовлетворяющими (4.51). Пусть F(x,u,v) и б(х, и, v) — такие же, как и при
доказательстве леммы 10.18. Тогда F(x, и, v) является неубывающей по и
и невозрастающей по v, и G(x, и, v) является невозрастающей по и и
неубывающей по v. Используя этот факт и принцип максимума, можно
показать, что итерационная схема (4.52) с
(щ(х), v0(x)) = (й(х), Цх)) и (щ(х), vQ(x)) = (й(х), Цх))
производит последовательности вектор-функций
(йт(х), ««(*)) и (Мж), vm{x))
соответственно, удовлетворяющих неравенствам (4.58). Требуемые
функции получаются как пределы следующих последовательностей:
(йд(ж), Мж)) = Ит (йт(х), Ът(х)),
(йд(х), Мх)) = Нт (йго(х),«т(х)).
Замечание 10.5. Отметим, что попутно мы фактически доказали разрешимость
задачи (4.43) в ограниченной области с гладкой границей с условием Дирихле.
Замечание 10.6. Полученный результат можно использовать для доказательства
разрешимости уравнений эллиптического типа высокого порядка, для которых,
вообще говоря, нет принципа максимума (см., например, [74]). Действительно,
рассмотрим краевую задачу для бигармонического оператора:
A2u = /(z,u), x£RN.

384
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Введем новую функцию
v = Ли.
Тогда приходим к следующей системе уравнений вида (4.43):
Дг/ = /(ж,и), Au = v, x£RN.
§ 5. Параболические уравнения.
Полулинейное параболическое уравнение.
Результат Д. X. Саттингера
В этом пункте мы рассмотрим как применяется метод монотонных
итераций, предложенный в работе [91], содержание которой мы сейчас и
излагаем. В пропедевтических целях мы сначала посмотрим, как данный
метод применяется к краевой задачи Дирихле для полулинейного
эллиптического уравнения. А затем распространим метод до краевой задачи для
полулинейного уравнения параболического типа.
Действительно, рассмотрим следующую краевую задачу:
hu 4- /(ж, и) = 0 вП, Ми = д на 5Q, (5.1)
где
L« = £ atjix)-— + £4»(x)_ x = (X ,XN)
J i=l
и В — это один из операторов:
или
Ши=(^+/3(х)и^\
Символом
д_
dv
обозначена внешняя производная по конормали, и мы предполагаем, что
Р(х) ^ 0 почти всюду на границе дП. Относительно коэффициентов мы
предположим следующее:
а0(ж), Ь{{х) е Са(Щ, /(ж, и) е СаЛ(П х R1).
Пусть, кроме того, граница области принадлежит классу С2+а.
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема 10.17. Пусть существуют гладкие (верхнее и нижнее)
решения щ(х) ^ Vq(x), такие что
Liio + /(ж, щ) < 0, Шщ > 9

386
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Тогда Fu > 0 в силу выбора К > 0. Значит, функция F возрастающая.
Таким образом, приходим к выводу, что
(L - K)w О, Bw = 0,
где
id = T(«2)-T(«i).
В силу строгого принципа максимума для эллиптических операторов имеем
w > 0 в П.
Теперь определим
ti, = T(tio), vx = T(vq).
Покажем, что щ < щ и v\ > vo. Действительно, имеем
(L - К)щ = - [f(x, щ) + Кщ], Bui = g,
так, что
(L - К)(щ - щ) = -/(ж, но) - Кщ - Lii0 + Кщ = - [Liio 4- /(ж, и0)] ^ 0
и
B(tii -щ) = g-Шщ <о.
Таким образом, в силу строгого принципа максимума имеем U\ < щ.
Аналогичным образом доказывается, что v\ > vq.
Поскольку и, < щ9 то T(iii) < Т(щ) = щ. Так что
последовательность, определенная индуктивно следующим образом:
tii=T(t*o), wn=T(iin_1),
является монотонно убывающей. Аналогично,
v, =T(t>o), vn = T(vn-i)
определяет монотонно возрастающую последовательность. Кроме того,
мы имеем неравенство
vn < un для всех п £ N.
Стало быть,
vo < V\ < v2 < ... < vn < ... < щ < un-\ < ... U\ < щ.
Действительно, Vo < Щ- Предположим, vn-\ < un-\. Тогда
uu=T(un-i)>T(vu-i) = vn.
Поскольку последовательности
{uk} и {vk}
являются монотонными, то существует поточечные пределы
u(x) — lim iijk(x) и v(x) = lim Vk(x).

§5. Параболические уравнения
385
hv0 4- /(ж, v0) ^ О, MvQ < д.
Предположим f — это гладкая функция на
m\nvo(x) ^ и < тьхщ(х).
Гогдд существует регулярное решение w задачи
Lw 4- /(ж, w) = О, Biu = р,
такое что Vq ^ w ^ щ.
Доказательство. Мы можем предположить, что
ограничена снизу для ж 6 П, minvofa) < и < тахио(ж) и, кроме того,
для таких ж, ti имеет место неравенство
£<*.«) + *>о
при условии, что К > 0 — достаточно велико. Мы определим отображение
Т следующим образом:
v = T(u),
если
(L - K)v = - [/(ж, ti) + Ки], Bv = g.
Отображение Т вполне непрерывное, поскольку переводит Са(П) в C2+a(Q)
в силу оценок Шаудера для эллиптических уравнений. Более того, мы
сейчас докажем, что оно монотонно в следующем смысле: если z\ ^z2i то
T(zi) < T(z2) при условии, что
min Vo(x) < z\9 z2 < maxщ(х).
xen xen
Действительно, если z\ < z2i тогда
(L - K)T(zx) = - [/(ж, zt) + JTzi], ВВД = g,
(L - 1Г)Т(*2) = - [/(ж, z2) + Kz2], BT(*2) = p.
Таким образом,
(L - К) [T(z2) - T(z,)] = - [/(x, z2) - /(x, г,) + K(z2 - z,)],
B(T(z2)-T(z,))=0.
Поскольку ii < v, то величина в скобках неотрицательна. Действительно,
рассмотрим функцию
F(x, и) = /(ж, ii) + Ки.
25 Заказ 405

§ 5. Параболические уравнения
387
Оператор Т является суперпозицией нелинейного оператора
и ь-> f(x, и) + Ки
с обратным линейным оператором, определяемым как отображение <р ь-> v,
где
(L - K)v = ip в Q, Bv = д на дО.
Для ограниченных и и f(x,u) первый оператор переводит поточечно
сходящуюся последовательность в поточечно сходящуюся
последовательность. Оператор <р ь-> v является непрерывным оператором из 1/(0)
в W2*p(0) для всех р 6 (1, оо) в силу ИгР-оценок Агмона—Дуглиса—Нирен-
берга. Таким образом, поскольку
uk=T(uk-x)
и так как {щ} является ограниченной последовательностью, поточечно
сходящейся, она сходится также в W2,P(Q). В силу теоремы вложения
Соболева имеем компактное вложение
W2'"(Q) CI+a(Q)
для
N
a = 1 при р > N.
Р
Таким образом, последовательность {щ} сходится в С1+а(П) и в силу
классической оценки Шаудера для^ регулярных эллиптических краевых
задач {ик} сходится также в С2+а(0). Таким образом, мы имеем
и = lim uk = lim T(ii*_i)=T lim uk-{ = T(f2).
*-*+oo A:-++00 *->+oo
Аналогичный результат имеет место и для v. Так что й и v являются
неподвижными точками оператора Т, и, более того, они принадлежат
классу С2+а(0) для 0 < а < 1. Следовательно, они являются регулярными
решениями краевой задачи (5.1).
Теорема доказана. □
Лемма 10.20. Полученные при доказательстве теоремы 10.17 решения
й и v являются максимальным и минимальным решениями на множестве
Vq < и < tio. То есть если w — это любое решение краевой задачи (5.1),
такое что Vq ^ w ^ щ, то v ^ w ^ й.
Доказательство. Мы имеем w = T(w), щ = Т(щ). Поскольку w < щу
T(iy) < T(iio), или w < и\. По индукции, w ^ ип для всех n Е N.
Следовательно, w < и(х). Аналогично имеем w ^ v(x).
Лемма доказана. □
Сейчас мы перейдем к рассмотрению смешанной краевой задачи для
полулинейного параболического уравнения.
25*

388
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Пусть Q С RN и Гт = П х (0, Т). Мы рассмотрим два вида граничных
условий, имеющих вид
u = g(x, t) на дП х (0, Т)
или
ди
— +P{x)u = g(x,t) на5Пх(0,Т),
OV
и(х, 0) = д(х) на Q п {t = 0}.
Введем следующие определения верхних и нижних решений.
Определение 10.12. Функция щ(х, t) называется верхним
решением на Гт, если
Liio + f(x, щ) - —^ < 0 вГт, Шщ^д на 0ГТ. (5.3)
оъ
Определение 10.13. Функция Vo(x,t) называется нижним
решением на Гт, если
я*»
hv0 + /(ж, v0) - --^ > 0 в Гт, Bvo < Р на 9ГТ. (5.4)
at
Пусть iio(x, £) и Vq(x, t) — это соответственно верхнее и нижнее
решения рассматриваемой задачи, причем Vq < щ на Гт. Теперь мы
выберем К > 0 настолько большим, что fu+K > 0 в области (х,t) 6 Гт,
min Vo ^ ti < max tio- Теперь определим щ следующим образом:
Lul-Kul-^ = -[f{x,u0)+Kuo], Мщ=д на дГт. (5.5)
В силу принципа максимума для параболических уравнений нетрудно
показать, что щ(х, t) < Uo(x,t) в Гт. Отображение щ(ху t) н-> щ(х, t)
обозначим через
Щ = ЗЫ-
Как и ранее, можно доказать следующую теорему.
Теорема 10.18. Пусть существует верхнее решение щ(х, t) и нижнее
решение Vq(x, t) в Гт:
Lii0 + /(ж, u0) - ^ < 0, Мщ^д на 9ГТ,
Lv0 + f(x, vQ) - ^ ^ 0, Bvo^p ка0Гт,
с Vo ^ tio- Определим последовательности {ип} и {vn} индуктивно
посредством
ип+1 =ЗК), vn+l = vn.

§ 5. Параболические уравнения
389
Если К > О выбрано достаточно большим, что
0 у?
— (ж, и) + К > О «а min t>o < и < max tio,
OU Гт Гт
тогда последовательности {ип} и {vn} являются монотонно убывающей
и возрастающей соответственно. При п -> +оо обе
последовательности стремятся к единственной неподвижной точке оператора
3(ti) = ti,
которая является сильным решением задачи
ди
Lti 4- /(ж, ti) - — = 0, Bti = g на дГТ. (5.6)
at
Давайте рассмотрим доказательство данной теоремы для граничных
условий второго рода. С этой целью рассмотрим линейную неоднородную
краевую задачу
/ д\ ди , ч
(JL - К - - J ti = /, — + /Jti = g, u(x, 0) = t/>.
Решение данной задачи может быть выписано в следующем виде:
t
u(x,t) = f G(x,Z,t)rl>{()di + f f G(x,i,t-T)f{i,T)didT +
n on
t
О n
Это интегральное представление можно использовать для доказательства
разрешимости нелинейной задачи (5.6). С этой целью надо заменить
функцию /(£, г) на - [f(£, ti(f, т)) + Ки((, т)]. После этого можно применить
метод монотонных итераций.
В случае граничных условий Дирихле теорема доказывается
следующим образом. Оператор 3, определенный выше, переводит ограниченные
измеримые функции в непрерывные функции на fix [0, Т]. Это следует
из того, что сингулярность функции Грина слабая. Более того, в силу
теоремы Лебега оператор 3 переводит ограниченную поточечно сходящуюся
последовательность в поточечно сходящуюся последовательность. Таким
образом,
ti = lim ип = lim 3(un-i) = 3(м).
Поскольку ti ограничена и измерима, то ti = 3(и) является непрерывной
на Q х [0,Т].
Справедливо следующее утверждение, которое мы оставим без
доказательства.

390
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Лемма 10.21. Пусть щ(х) u Vq(x) — это верхнее и нижнее решение
эллиптической задачи
Lw + /(ж, и) = 0 в Вм = g(x) на дП с vo(x) ^ щ(х).
Тогда для всякой непрерывной функции (р(х) с vq(x) ^ (р(х) ^ щ(х) мы
получим глобальное классическое решение начально-краевой задачи с
начальной функцией (р. Причем соответствующее решение (р(х, t)
удовлетворяет неравенствам
vq(x) ^ <р(х, t) ^ щ(х) для всех t > 0.
Заметим, что в данном случае g не зависит от t.
Теперь мы установим некоторые свойства монотонности решений
начально-краевой задачи. Если щ(х) — это верхнее решение
соответствующей эллиптической задачи, тогда, как легко видеть, оно может быть
взято в качестве начальной точки метода монотонных итераций. Кроме
того, когда щ(х) может быть взято в качестве начальной функции для
начально-краевой задачи, тогда соответствующее м(ж, t) монотонно убывает
во времени. Это может быть доказано следующим образом.
Пусть
Ltio + /(ж, w0) < 0 вЯ, Вио > 9 на дП.
Предположим, что м(ж, t) удовлетворяет (5.6). Тогда из доказательства
теоремы 10.18 мы приходим к выводу, что
и(х, t) < щ(х).
Пусть h > 0 и определим
и(х, t + h)- и(х, t)
wh(x, t) = .
Тогда
tM*.o) = "(*'V(a:,0)<0
и Wh удовлетворяет задаче
Lwh + tkWh - ^ = 0, wh(x,0) ^ 0, Ewh =0 на дП,
где
1
tk(x9t) = J Д(ж,su(z9t + h) + (l-8)u(z9t)) ds.
о
В силу принципа максимума имеем wh(x, t) ^ 0 для всех t > 0.
Поскольку и — это регулярное решение задачи (5.6), то
щ = lim Wh(x, t) ^ 0.

§5. Параболические уравнения
391
Таким образом, справедливо следующее утверждение:
Теорема 10.19. Каждое гладкое класса С2+а(П) верхнее решение
эллиптического уравнения щ(х), взятое в качестве начальной функции,
дает монотонно по t невозрастающее решение м(ж, t) параболической
задачи 5.6). С другой стороны, каждое гладкое класса С2+а(П) нижнее
решение эллиптического уравнения яо(ж), взятое в качестве начальной
функции, дает монотонно по t неубывающее решение v(x, t)
параболической задачи (5.6).
Для доказательства следующей теоремы удобно убрать
неоднородность из граничного условия. Отметим, что при этом не теряется
общность рассуждений. Действительно, рассмотрим граничную задачу
Lit + /(ж, и) = 0, Bti = g. (5.7)
Рассмотрим сумму
ti = v + l/),
где
hrp = 0, Brp = g.
Тогда получим следующую краевую задачу для v:
Lv + /(ж, v + гр) = 0, Ви = 0. (5.8)
Теперь предположим, что мо(ж) ■— это верхнее решение задачи (5.7), так
что
Ltco + /(ж, tio) < 0, Вио ^ д.
Тогда для vo = Щ - 1* мы получим задачу
Lv0 + /(ж, t>o + 1>) < 0, Bv0 > 0.
Таким образом, t>o ■— это верхнее решение задачи (5.8).
Сейчас мы покажем, как концепция верхних и нижних решений
может быть ослаблена.
Пусть L* — это сопряженный оператор к L. Область определения
имеет следующий вид:
X>{L*} = {(р : V(p € L2(ft) и существует такое tp* € Ь2(П),
что (Lti, (р) = (и, <р*) для всех и £ £>(L)}.
Если (р Е 2>(L*), тогда мы пишем ip* = h<p.
Определение 10.14. Назовем щ слабым нижним решением, если tio
ограничено и измеримо на О и
J (u0V<p + f(xiuo)<p)dx'£0 (5.9)
для всех (р > 0, (р е 2>(L*).

392
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Определение 10.15. Назовем vo слабым верхним решением, если vo
ограничено и измеримо на Г2 и
/
(voVtp + /(ж, vQ)ip) dx ^ 0 (5.10)
п
для всех ip > 0, <р е V(L*).
Справедлива следующая теорема:
Теорема 10.20. Пусть щ — это слабое нижнее (верхнее) решение и
пусть м(ж, t) удовлетворяет начально-краевой задаче
ди
hu + /(ж, и) - — = 0, и(ж, 0) = щ(х), Ши = 0 (5.11)
at
в области f2 х (О, Т). Тогда
^0 (<0) вПх(0,Т).
Для доказательства теоремы 10.20 нам сначала нужно доказать
линейный аналог.
Лемма 10.22. Пусть щ £ L2(f2) и предположим, что
(tio,LV)>0 (<0)
для всех ^ ^ 0, принадлежащих V(L*). 7Ьгда решение начально-краевой
задачи
Lit - = 0, Bit = 0, и(ж, 0) = и0(ж)
ас
монотонно неубывающее (невозрастающее) для t>0.
Доказательство. Пусть граница области Г2 достаточно гладкая,
тогда оператор L замкнутый и порождает полугруппу
U(*) = exp(*L) HaL2(ft).
Нетрудно заметить, что L* также порождает полугруппу и
U*(t) = exp (*L*) = (U(«))* на L2(ft).
Таким образом, для любого ф Е V(L*), ф > 0,
(u,, р) = (LU(*)tio, = (ti0, (U(«))*LV) =
= (u0,U*(OLV) = (tio,L*U*(c)^).
Заметим теперь, что если ^ £ V(L*) и ^ > 0, U*(t)<p £ P(L*) также
положительна. Действительно, полугруппа U(t) — это интегральный оператор,

394
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
так что в^ = 0 на границе Таким образом, в силу леммы 10.22,
примененной к оператору L - К, получим, что
dt dt
Пусть м(ж, t) — это решение задачи (5.11). Представим и в следующем
виде:
тогда для v получим задачу
dv
hv + /(ж, щ + v) - — = /(ж, w0) + Кщ - Кщ, Bv = 0, и(ж, 0) = 0.
at
Введем следующие обозначения:
v(z,t + h)-v(z9t) 1х1(ж,^ + Л)-и,(ж,0
Wh(x,t) = , u\th = ,
i
= f /„(ж,5(м1(ж,^ + Л) + |;(ж,^ + Л))+(1-5)(и1(ж,0 + ф,0))^.
о
Тогда с учетом этих обозначений мы получим
hwh+thwh " ^ = -[(н + К]и1Л. (5.12)
Для h = 0 имеем £о(я, 0 = /и(ж, tii + v). Тогда, если мы выберем К > 0
настолько большим, чтобы
& + ЛГ>0,
то в силу
имеем м^л ^ 0. Так что правая часть (5.12) неотрицательна. Более того,
Bwh =0 на дП
и
(и(ж, Л) - ti| (ж,h)) - (и(ж,0) - tii(ж,0)) и(х9h) - щ(ж,h)
wn(x, 0) = = ^ 0.
п п
Это последнее неравенство следует из того, что итерации убывают
монотонно к и:
щ(х) ^ tii (ж, t) ^ ... ^ м(ж, t) для t^0.
Теперь в силу принципа максимума, примененного к wn, получаем, что
wh(x, t) ^ 0.

§5. Параболические уравнения
393
ядро которого есть функция Грина (7(ж, у, t) > 0. С другой стороны,
сопряженная полугруппа U*(£) — это тоже интегральный оператор, ядро
которого есть G(y, ж, t) > 0. Стало быть, в силу наших предположений
на щ Е L2(f2) имеем
(щ> Ч>) ^ 0 для всех <р £ X>(L*), ф ^ 0.
Поскольку щ — непрерывная функция, для t > 0 имеем
Доказательство теоремы 10.20.
Для доказательства теоремы надо решить задачу
Lit 4- /(ж, и) - щ = 0, и(ж, 0) = щ(х).
С этой целью рассмотрим следующую (линейную) задачу
Ьщ-Кщ-^- = -[/(ж,и0(ж)) + #и0(ж)], Bw, =0, и,(ж,0) =и0(ж)
для подходящего достаточно большого К > 0. Пусть теперь ^> = T(tio),
где гр — это решение следующей задачи:
(L -К)1> = - [/(ж, ti0) + * ti0], В^ = 0.
Теперь представим щ(ху t) в виде
tii = i>\ + tp
и тогда для v\ получим задачу
dv{
Ьох -Kvx- — =09
ot
Bv\ = Bti! - В^(ж) =0 на dil x {t > 0}, v\(x, 0) = щ(х) - rp(x).
Для любых tp E P(L*), (p > 0, получаем цепочку равенств
/ «,(s,0)(L*-X><te = / [no(s)(L* - К)<р - T(iio)(L* - Л>] d« =
Лемма доказана.
□
поскольку
tp = T(iio) Е P(L),

§ 5. Параболические уравнения
395
Следовательно, в пределе при h 10 получим
— < 0.
dt
Это показывает, что
Теорема доказана. □
Справедлива следующая теорема.
Теорема 10.21. Пусть щ(х) u vQ(x) — это нижнее и верхнее решения
эллиптического уравнения (5.1), причем щ(х) ^ vq(x). Пусть u(x,t)
и v(x,t) — это соответствующие решения начально-краевой задачи
(5.6) с начальными данными щ(х) и Vq(x) соответственно. Пусть,
кроме того, g = 0. Тогда
и(х, t) t й(х), v(x, t) I v(x), й(х) ^ v(x)
при t -> -hoo, где й(х) и v(x) — это стационарные решения
эллиптической краевой задачи (5.1).
Доказательство. В силу известного принципа сравнения для
параболических уравнений получим неравенства
щ(х) ^ и(х, t) ^ v(x, t) ^ vo(x) для всех t^O.
Используя теорему 10.20, мы получим, что
так что v является невозрастающей и и неубывающей. Следовательно,
существуют поточечные пределы
й(х) = lim u(x,t), v(x) = lim v(x, t),
*->+oo *->+oc
причем
й(х) ^ v(x).
Теперь докажем, что й(х) — это сильное решение стационарного уравнения.
Пусть <р е P(l*) и для всех t > 0 мы имеем
У ^<pdx = j [(phu + <pf(x, и)] dx —j [uh*<p + f(x, u)<p] dx.
Подействуем на обе части последнего выражения оператором

396
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
тогда получим
/U(*'V(*,0)^ = /U/«(«.«)*LV + ^//<*,.)*}*.
п « ^ о 0 ^
Справедливы следующие предельные равенства:
Ф,т)-Ф,о)^ (513)
т
- J u(x,t)dt->u(x) при Т->+оо, (5.14)
о
т
i J f (х, u(z, *)) dt->f(x, u(x)) при T -> +oo. (5.15)
0
Более того, эти три величины в левой части остаются ограниченными
равномерно при Т -> +оо. Таким образом, в силу теоремы Лебега мы
получим, что в пределе при Т -> +оо
0 = у [u(x)V<p + f(x, u(x))ip] dx,
или
(в, LV) = (g, ip), g(x) = -f{x, й(х)). (5.16)
Теперь мы покажем, что если
(u, Vip) + (f(x, и), <р) = 0 для всех ip € P(L*),
тогда и — это классическое решение соответствующей краевой задачи.
Во-первых, заметим, что L и L* обратимы, это следует из принципа
максимума. Пусть 3 — это обратный оператор к L. Подставляя
w = -Zf(x,u),
мы получим
(w, Vip) = -ш, Vip) = -(/, a*LV) = -(/, 0,
следовательно,
(и - w, Vip) = 0 для всех ip е V(V).
Но область определения L* — это все L2(f2), а это означает, что
и = w - Zf(x, и).
Поскольку
и + 3/(ж, w) = 0,

§5. Параболические уравнения
397
то и — это слабое решение нелинейной краевой задачи
Lit + /(ж, и) = 0.
Для того чтобы доказать, что и есть сильное решение, нам нужно
доказать гладкость it. Но в силу IP -оценок Агмона—Дуглиса—Ниренберга
и е W2p(f2) для любого р е (1, +оо), поскольку
3 : ЬР(П) -> W2'p(tt)
и поскольку /(ж, и) офаничена и измерима, если таково п. В силу теоремы
вложения Соболева имеем при р> N, что
и е с1+а(П).
Наконец, в силу классических оценок Шаудера
и е С2+а(?2).
Теорема доказана. □
Теперь рассмотрим как теория верхних и нижних решений
применяется к вопросу устойчивости решений краевых задач для полулинейных
параболических уравнений. Дадим следующее определение.
Определение 10.16. Решение U(x) краевой задачи (5.1) устойчиво
в супремум-норме, если для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что
если
\\щ(х)-Щх)\\ьх{п)<д,
тогда
\\и(х, t) - U(x)\\LOO(Q) < е для всех t ^ 0,
где м(ж, t) удовлетворяет начально-краевой задаче
^ = Lit + /(ж, и), Ви = 0, и(ж, 0) = и0(ж). (5.17)
at
U(x) асимптотически устойчиво, если в дополнение
\\и(х,1)-и(х)\\ъоо{п)->+0 при *-»+оо.
Справедлива следующая теорема
Теорема 10.22. Пусть U(x) есть решение задачи (5.1), и пусть у и
гр — это нижнее и верхнее решения соответственно, причем
<р <U <ip на ft.
Пусть v начально-краевой задаче
dv
— = hv + /(ж, v), Bi; = g, v(x, 0) = v0(x). (5.18)

398
Глава 10. Метод верхних и нижних решений
Если
<р<у0<1р,
тогда
<p(x,t) < v(x,t) < 1р(х,Ь),
где <p(x,t) и ip(x,t) являются решениями задачи (5.18) с начальными
условиями (р(х) и tl>(x). Если Т^ж) t U(x) и 1™^ I U(x)y тогда U(x)
является асимптотически устойчивым и
м(ж, t) -> U(x) при t -> +оо.
Доказательство. Утверждение данной теоремы — это немедленное
следствие теоремы сравнения для параболических уравнений. В силу
теоремы 10.21 мы знаем, что
<р(х, t) t Ф(х) и tp(x, t) I ф(х)
при t -> +оо. Если <р(х) = $(ж), тогда с необходимостью имеем
U (ж) = ^(ж) = %р(х)
и
и(ж, t) -> U(x) при t -¥ +00.
Это тот случай, когда (р (гр) порождают монотонно возрастающую
(убывающую) последовательность, которая сходится к U(x). В частности, из
леммы 10.20 следует, что если
Tm<ptU и
при га -> +оо, тогда U асимптотически устойчиво и решение v(x,t)
задачи (5.18) с начальной функцией (р < v0 < t/> стремится к U(x) при
t -> +00.
Теорема доказана. □
Литературные указания
Материал для этой главы взят из работ [9], [36], [44], [52], [54]-[57],
[73], [74], [75], [81], [86].

Глава 11
Разрушение и отсутствие решений
§1. Введение
В этой главе мы рассмотрим основные методы исследования
разрушения решений задач для нелинейных уравнений за конечное время.
§ 2. Классическая теорема X. Фуджита
В этом параграфе мы рассмотрим исключительно красивый результат,
полученный в работе [72]. Итак, рассмотрим задачу Коши для
полулинейного уравнения параболического типа в Rn:
щ = Ди + м,+а, и(х, 0) = щ(х), t > 0, х е Rn. (2.1)
Далее мы будем использовать определения и обозначения из девятой
главы. Справедлива следующая теорема:
Теорема 11.1. Пусть 0 < па < 2. Предположим, что щ(х) Е А не
равно тождественно нулю. Тогда решение задачи (2.1) не существует
в £[0,Т] для всех Т > 0.
Доказательство. Для начала докажем следующую лемму:
Лемма 11.1. Пусть и = u(t, х) — классическое решение задачи (2Л) в
£[0, Т] с нетривиальным начальным условием щ(х)еА. Тогда мы имеем
)ba-u{t,Q)-a>at, *Е[0,Т], (2.2)
где
j0 = J0(*) = J U(x, t)u0(x) dx. (2.3)
Доказательство. Пусть e > 0 — некоторая постоянная. Возьмем te [0,Т]
и фиксируем его. Рассмотрим функцию
v£ = v£(s,x) = U(t-s + е,х), s е [0,Т], х € Rn, (2.4)
jf = J£(s) = J v£(s, x)u(s, x) dx, (2.5)

400
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
где
U{t'x) = j4^eXP(-Tt]x]2)-
Ясно, что ve(s, х) удовлетворяет сопряженному уравнению
теплопроводности
а7 = ~Av<-
При условии неотрицательности щ(х) функция J£(s) тоже
неотрицательна. Пусть теперь u Е £[0, Т], тогда существует некоторая положительная
постоянная М > 0 и постоянная /? Е (0,2), такие что
0 ^ ф, х) < М exp (\xf), s Е [0, Т], х Е Кп. (2.6)
Используя замену переменной
ж = 2\/£ - s + erj,
имеем
0 ^ J£(s) ^ М J U(t-s + e,x) exp (\xf) dx =
R"
= Mir~m/2 f exp (~M2) exp {\ly/t-s + e\P\ijf) <
R»
^M*-m/1 J exp(-|4|2+7M0^.
R»
где
7 = 2"(t + e/w.
Последнее неравенство показывает, что функция J£(s) существует для
всех з и является непрерывной функцией по з. Докажем теперь, что
Je(s) — непрерывно дифференцируемая функция по s и справедливо
равенство
£j£(s) = f v£(s, x)u(s, x)l+Q dx. (2.7)
R"
Это можно доказать следующим образом. Пусть р(х) Е Co°(Rn) такова,
что 0 ^ р ^ 1 и
РК) I 0, |х| > 2.
Тогда определим
Pn(x)

§ 2. Классическая теорема X. Фуджита
401
Положим
l{N)(s) = J ve(s9 x)u(s9 x)pN(x) dx. (2.8)
R»
В силу определения функции рм(х) справедлива цепочка равенств
I ^ <
-u + v£-
f(dve(s,x) du(s,x)\
= J{—d7-u + Ve-te-)Mx)dx
J (-u(s, x)Av£(s, x) + v£($, ж)Дн($, x))pN(x) dx 4-
R»
+ У v£($, z)u!+a(s, ж)/>лг(ж) da; = I, 4-12. (2.9)
R»
Из условия u(s9 x) G £[0, T] вытекает, что u]+Q(s9 x) G £[0,Т]. Поэтому
справедливо предельное равенство
Ь -> у* v£(s9 x)u(s9 x)l+a dx при N -> 4-oo.
R»
Покажем теперь, что Ij -> 0 при N -> 4-оо. Интефированием по частям
мы получим
Ii = -2 У* vf($, x)(VxpN(x)9 Vxti) dx - У v£($, ж)ф, x)ApN(x) dx.
Rn Rn
(2.10)
В силу (2.6) крайнее слагаемое в правой части равенства (2.10) может быть
оценено следующим образом:
Pn= Уv£(s9x)u(s9x)ApN(x)dx <CW~2 Jv£(s9x)u(s9x)dx^CN~2->0
R» R"
при N -> 4-oo. В силу соответствующего результата восьмой главы имеем
du
dXi
G£[0, Т].
Стало быть,
У v£(s9 х)\Vxu(s, х)\ dx < С,
откуда следует, что
4n
У v£($, х) (VxpN(x), Vxu(s9 х)) dx
<СЛГ!->0 при ЛГ->4-оо.
26 Заказ 405

402
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Совершенно точно так же можно доказать, что имеет место сходимость
—-> —^ при N -> -hoo.
Стало быть, имеет место равенство (2.7). Отметим, что v£(s, х)
удовлетворяет равенству
J v£(s, х) dx = 1.
R"
Поэтому в силу неравенства Йенссена [15] справедливо неравенство
^>il+a(s), 0О<*. (2.11)
При этом мы воспользовались выпуклостью вниз функции ж1+а при
х ^ 0. Решая дифференциальное неравенство (2.11), получим
Je(0ya-Je(tra><*t. (2.12)
Теперь перейдем к пределу при е -> 4-0. Тогда мы получим
J£(«)->tt(«,0) и J£(0)-> J0(*).
Лемма доказана. □
Теперь перейдем к доказательству утверждения теоремы 11.1. В силу
леммы 11.1 справедливо неравенство
Joa(t)>at. (2.13)
Теперь нам нужно оценить Jo(£) снизу. Без ограничения общности мы
можем считать, что начальная функция щ(х) положительна в некоторой
окрестности начала координат. Тогда мы можем выбрать такие
положительные постоянные 7 > 0 и S > 0, что при |ж| < 26 имеем щ(х) ^ 7-
Пусть t^82> тогда справедлива оценка снизу
]0(t) = J U(xy t)u0(x) dx ^ J U(x,t)u0(x)dx^j J (4ntyn/2e~l dx.
R" |2|^2* |x|<2J
Следовательно,
h(t)>Cxt~m/2 при t>62 (2.14)
при некоторой положительной постоянной С\ > 0. Подставляя (2.14)
в (2.13), получим неравенство
tna/2>aCxt при t^d2. (2.15)
Однако (2.15) не может быть выполнено при всех <$2, поскольку
па < 2.
Теорема доказана. □

§3. Метод X. А. Левина
403
§3. Разрушение решения нелинейной системы
уравнений гидродинамического типа.
Метод X. А. Левина
В данном параграфе мы рассмотрим вопрос о разрушении решения
начально-краевой задачи для трехмерной системы уравнений Осколкова
с кубическим источником:
^(Ди - и) + Ди + (и, V)u + |и|2и = Vp, (3.1)
01
div и = 0, (ж,*)€Пх(0,Т), (3.2)
и|^ = 0, и(ж,0) = и0, (3.3)
где ж = (х\, Хъ жз) G К3, П — ограниченная область с гладкой границей
дО G С2<у, 6 G (0, 1]. Причем область П локально расположена по одну
сторону от границы 9П,
\дхх9 дхг дх3)9 " дх] + дх\ + дх]9
р — давление в жидкости, u = (u\, t*2, из) — вектор скорости в жидкости.
Ране$ в третьем параграфе седьмой главы методом Галеркина в
сочетании с методом монотонности была доказана теорема о существовании
непродолжаемого во времени слабого обобщенного решения. В этом
пункте мы будем использовать обозначения и седьмой главы.
Введем обозначения:
Ф(0 = 5((и,и)) + 1(и,и)2, (3.4)
<Ы0 = ^ ((Um, Ura)) + ^(ura. Umb, (3.5)
Ш=(М*М)+КМг. (3.6)
Справедлив основной результат данного параграфа.
Теорема 11.2. Пусть выполнены все условия теоремы 7.3 параграфа 3
седьмой главы. Тогда при условии
||uo||J>50((uo,uo))+49(uo,uo)2,
решение задачи (3.1)-(3.3) разрушается за конечное время То > 0:
lim sup ((u, u)) = +oo,
«По
причем имеют место двусторонние оценки на время разрушения решения
Т0€[ТЬТ2].
26*

404
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Если же
2(1 + <7?)<3'
то решение задачи (3.1)-(3.3) существует глобально во времени То
+оо, причем
-В,{
-В,<1
где
Т2
А--
В,
А~^'\ Т, = 1ф0-'С2-4,
^Фо3[(ф'(0)-84Фо)2-196Ф^]
2С?
1 '/2
В2 = 4(^, Ф0 = Ф(0),
С\ — наилучшая константа вложения Hq(0) в L2(fi):
C,(w,w)2/2< ((w,w)),/2 Vw€H0(n),
Сг — наилучшая константа вложения Hq(0) в L4(fi):
l|w||4<C2((w,w))I/2 VwGHj(fi).
Доказательство. С учетом этих обозначений перепишем первое
энергетическое равенство (3.34) из седьмой главы в виде
Л = um)) + llUntlU-
(3.7)
Умножим обе части уравнения (3.30) из седьмой главы на dmk(t) и
просуммируем по k = 1, га, тогда получим второе энергетическое равенство
Jm(«) = - ^((Ит.Ит)) + I^IKIlJ + ((«т, V)llm, ll'm)2. (3.8)
4Л'
В силу третьего парафафа седьмой главы справедлива следующая оценка
для Jm(t):
Jm(«) < UW)) + ~|К.|Й + yJ«(0 + ^IKIlt (3.9)
Из (3.9) с учетом (3.4) и (3.7) вытекает следующее неравенство:
(l - |) J«(0 < -^|((»m. "m» + jO) + ^Ф<т(0 + ^".(О? (3-Ю)
~((ura,um)) = ^((u'm,um)) < ^((ura,ura)) + (3-11)

§3. Метод X. А. Левина
405
Из (3.10) и (3.11) получим неравенство
(l - j)Ut) < \<(t) + ^Ф'га(0 + (3-12)
Справедлива следующая лемма:
Лемма 11.2. Имеет место неравенство
(Ф'т)2^2Фт}т. (3.13)
Доказательство. В силу определения фт(£) имеем равенство
(Ф'т(0)2=[((и'т,ит))+(и^ига)2]2,
из которого в силу неравенства Коши—Буняковского вытекает неравенство
(ф'ш(0)2 < [((14,0)1^((11«.и«))1^ + (14,01/2K,uw)f]2 <
< [(("rn, Um)) + (ll'm, Um)2] [((Um, Um)) + (Um, Um)2] ^ 2Фт]т.
Лемма доказана. □
Из (3.12) и (3.13) вытекает следующее обыкновенное
дифференциальное неравенство второго порядка (см. работу [17]):
ФтФм - а(Ф'т)2 + /ЗФ'тФт +7Фт > 0, (3.14)
где
.-»(■-?). Т-£ (3.15)
В силу того что £ G (0,2/7), выполнено следующее неравенство: а > 1.
Рассмотрим теперь детально неравенство (3.14). Его нетрудно привести
к следующему линейному дифференциальному неравенству:
ZJJ, 4- /Ж'т - <Ит < 0, 6 = 7(а - 1), (3.16)
относительно новой функции
Zm = 4>jTe. (3.17)
Перейдем теперь к новой функции
Ym = Zmept (3.18)
в уравнении (3.16), тогда с учетом (3.17) получим следующее неравенство:
Y|;-/JY'ra-<JYm<0. (3.19)
Из (3.18) следует, что
Y'ra = е"(а - 1)Ф™° (-Ф'т + jz-f *т) • (3-20)

406
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Потребуем выполнения условий
ф'(0)> -^тФ(О). (3.21)
а — 1
Тогда, переходя, если нужно, к подпоследовательности, получим, что
ф'™(°) > ^тф"»(°)- (122>
а — 1
В силу непрерывной дифференцируемости функции Ym из условия
(3.22) с учетом (3.20) приходим к выводу, что найдется такой интервал
[0, Тзш), принадлежащий области определения Фт(£), что Y'm ^ 0.
Следовательно, при t G [0, Тзт] величина -/3Y'm(£) ^ 0. Отсюда и из
неравенства (3.19) получим
4C-tfYmO при *Е[0,Т3т]. (3.23)
Потребуем выполнения следующего неравенства:
Ф'(0) > -т^=Ф(0) 4- -^-гФ(О). (3.24)
V а - 1 а - 1
Тогда, переходя, если нужно, к подпоследовательности, получим
неравенство
Ф'т(0) > -^=Фт(0) 4- -£-Фт(0). (3.25)
V а - 1 а - 1
Из неравенства (3.23) вытекает
(Y'm)2>6Y2m + h2m, (3.26)
причем в силу (3.25) имеем
Am = {(I-а)2Ф"» [(ф'т(0)-^ФгЛО))2-(^Т)1(Фт(0))2] }^>0.
Из (3.26) получим
V'm(t)^-Am V*G[0,T3w]. (3.27)
Из (3.27) вытекает, что на области определения функции Фт(£) величина
Y'm < 0, откуда и из (3.27) имеем
Ym(0 ^ Ym0 - Amt.
Стало быть, найдется такой момент времени Tmo G (0, Т2т), что
lim sup Фт(0 = -Ьоо,
tnmo
где Т2т = Ym(0)Aj

§3. Метод X. А Левина
407
Теперь получим оптимальные условия на коэффициенты а, /3 и 7,
которые зависят от произвольного параметра е G (0,2/7).
Действительно, в выражении (3.25) фигурируют две функции
параметра е G (0, 2/7):
а - 1 \а - 1 /
Из условия минимума этих функций, с учетом явных значений
коэффициентов а, /3 и 7 приходим к выводу, что £ = 1/7. Стало быть,
/i= 84, /2 = (196)1/2 = 14, а=Л, /3 = 42, 7 = 98.
С учетом этого приходим к оптимальному условию на начальную функцию
Ф'(0) > 14Ф(0) + 84Ф(0) = 98Ф(0), (3.28)
где
Ф(0) = \ ((uo, uo)) + |(ud, uoh, Ф#(0) = ~ ((uo, uo)) + Ikllt
Преобразуя полученное выражение, получим следующее условие на
начальную функцию:
lluolli > 50((uo, uo)) + 49(u0,110)2. (3.29)
Заметим, что первое энергетическое равенство (3.7) можно переписать
в следующем эквивалентном виде:
t
Фт(«) = Фтое"2' + j ds е-2«~з) [(uw, uw)2 + |К,|Й] (s). (3.30)
о
Как мы ранее доказали в лемме в третьем параграфе седьмой главы,
Um(0 u(f) сильно в L4(fi) С L2(fi) для почти всех t G [0, Т].
Отсюда в силу (3.30) имеем
t
Фт(0->|К«) = Фое-*+ / dse-W-tfamh + MtiKi);
{ (3-31)
Ф(0 = Х- ((и, и)) + ^(и, и)2, Ф0 = Ф(0),
для почти всех t € (0, Т), поскольку игао -> ио сильно в Н(П) при го -> +00.
Возьмем в (3.6) в третьем параграфе седьмой главы
(a(s), s€[0,t];
v(s)=u
s€[t,T],

408
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
где u(s) — решение задачи (ЗЛ)-(З.З), которое в силу теоремы
существования из седьмой главы третьего параграфа существует. В результате
получим
t
Ф(() = Фое"2* + fda е-2»-'» [(u, и)2 + \\u\\44] (s).
о
Отсюда и из (3.31) приходим к выводу, что
Фт(0 -> Ф(0 для почти всех t е (0,Т).
Теперь заметим, что из (3.27) вытекает следующая оценка:
где
Ага={(1-а)Ч-2в(0)[(ф'т(0)-^Фт(0))^^^(Фт(0))2]}1/2>0.
Действуя точно так же, как и в работе [39], и переходя к пределу при
га -» +оо, получим, что
ф(*)>-г °T\uia \) Д™ почти всех *G (О, Т2), Т2 = А'1Ф}Га9
где
А = {(1 - а)2Ф"» [(ф'(0) - ^TT^(O))2 - ^4т)2(Ф(0»2] > а
Из (3.38) парафафа 3 главы 6 получаем оценку снизу на время разрушения
решения исходной задачи.
Из первого энергетического равенства (3.7) вытекает следующая оценка:
ф'(0 + ((и,и)) <4С$Ф2(«), (3.32)
где Сг — наилучшая константа вложения Нд(П) в L4(fi):
IH|4<C2((w,w))1/2 VweHi(O).
Из (3.32) вытекает следующее неравенство:
Ф'(0 + С?(и,и)2<4С^Ф2(0, (3.33)
где С\ — наилучшая константа вложения Нц(П) в L2(fi):
С\ (w, yi)f < ((w, w))1/2 Vw 6 Hj(0).

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 409
Из (3.32) и (3.33) вытекает следующее неравенство:
Ф,(«) + В,Ф(«) ^ В2Ф2(0, В, = -j-j-^j, В2
В2 = 4С£.
Отсюда при условии
<
^ 2(1 + С2)С24
получаем
Теорема доказана.
□
§ 4. Метод нелинейной ёмкости
С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери
В данном параграфе излагается общий подход к априорным оценкам
решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных,
основанный на методе пробных функций. Этот подход охватывает
достаточно широкий класс нелинейных задач, для которых исследуется
проблема отсутствия нетривиальных решений.
Используемый подход существенно отличается от используемых
ранее методов. В основном ранее использовались методы, основанные на
принципе сравнения. Этот принцип позволяет на основе построения
нижних и верхних решений доказать разрушение решения за конечное время
для исходных рассматриваемых эволюционных уравнений и аналогичным
образом доказать отсутствие нетривиальных решений соответствующих
нелинейных эллиптических задач.
В предлагаемом подходе не используется метод сравнения.
Излагаемый подход основан на априорных оценках. Именно, сначала получается
априорная оценка для решения рассматриваемой нелинейной задачи.
Затем рассматривается асимптотика этой априорной оценки. Асимптотика
рассматривается относительно некоторого параметра, стремящегося либо
к Н-оо, либо к 0, в зависимости от характера задачи. Доказательство
отсутствия решения проводится методом от противного.
Вывод априорной оценки основан на методе пробных функций.
Оптимальный выбор пробной функции приводит к минимаксной
нелинейной проблеме, которая порождает нелинейную емкость, индуцированную
соответствующей нелинейной задачей. Для анализа проблемы отсутствия
достаточно получить точную оценку первого члена асимптотики этой
емкости. Этот факт существенно упрощает анализ и позволяет рассматривать
новые классы нелинейных задач без привлечения какой-либо
информации о фундаментальном решении соответствующего дифференциального

410
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
оператора. В частности, этот подход позволил С. И. Похожаеву и Э. Ми-
тидиери рассмотреть многомерные нелинейные гиперболические задачи
высокого порядка.
Теперь рассмотрим некоторые несложные примеры.
Пример 11.1. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное
неравенство fc-ro порядка
*(*"°(0) = хк.х > 0, t>0, q>\. (4.1)
Вопрос о разрушении решения задачи (4.1) будем решать в несколько
шагов.
I. Априорная оценка.
Умножаем неравенство (4.1) на пробную функцию у ^ 0 из класса
, такую что
р'(0) =... = v<*-»(o) = о, ?(т,) =... = ^-"(т,) = о,
где
;т<т,,
Г 1 при 0 < * <
^'_\0 при *>Т,.
Тогда получим
т, т, k
J |x|V(0 dt < (-1)* J dt - xk-L (4.2)
о 0
Отсюда в силу неравенства Юнга с параметром е > 0
e»<£ef + -T7rr^ ~ + -7 = 1^
q q'e* 1 q q'
находим, что
/ \x\\^\t)\dt^-f NV(0 dt + ^ / dt. (4.3)
о 0
Из (4.2) и (4.3) вытекает неравенство
т, т,
f \x\Mt) л < J / MV(0 dt + ^nf щ^т * - (4-4)
0 0 о
Пусть теперь е £ (0, q). Из неравенства (4.4) получим
т, т,
о о

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 411
Поскольку е G (0, q) и по условию q > 1, мы можем взять в (4.5) значение
е = 1 и получить в результате неравенство
о о
Здесь мы воспользовались очевидным неравенством
g- 1
II. Нелинейная емкость.
Для получения априорной оценки введем следующую величину:
«M*4.T${/jJ!^«}, (4.7)
где точная нижняя грань берется по всем пробным функциям (p(t) из
указанного класса и Т\ > Т. Эту величину естественно назвать нелинейной
емкостью, индуцированной задачей (4.1). Тогда оптимальная априорная
оценка (4.6) принимает вид
j
\x\q dt ^ сар(£>*, Т) - xk-\. (4.8)
III. Асимптотика.
Возьмем в качестве пробной функции (p(t) функцию вида
t
tp(t) = <р0(т) с т = -,
где <ро(т) G C^IR1), <р0 ^ 0, такую что
1 при
О при т ^ т\ > 1.
Г 1 при 0<r < 1,
Mr) = j (
Тогда
in
dr - хк-\.
"I
lyuv /г
О 1
Ясно, что функция (fo из рассматриваемого класса с
У 1^о(г)К 1
I

412
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
существует. Обозначим через с\ > 0 значение этого интеграла. Тогда
получим
т
/
M'rt^dT1"*-**-,. (4.9)
о
IV. Отсутствие глобального решения.
Из оценки (4.9) при Xk-\ > 0 немедленно получаем отсутствие
глобального нетривиального решения при hq* > 1. Действительно, при
Т -> +оо из неравенства (4.9) следует, что правая часть становится
отрицательной, в то время как левая часть всегда неотрицательна.
V. Оценка времени «жизни» решения.
При Xk-\ > 0 имеем, что при Т > Т0 с
То
решение задачи (4.1) не существует. >
Пример 11.2. В качестве иллюстрации возможностей метода можно
рассмотреть вопрос об отсутствии решения классической задачи
-ДОМ*, g>l, x£RN. (4.10)
Рассмотрим вопрос об отсутствии слабого решения задачи (4.10).
Под слабым решением задачи (4.10) понимается решение следующей
задачи:
j \u\q<pdx^ ju(-A<p)dx Vp6Ci2)(r^), ip ^ 0, (4.11)
где S<p — это носитель функции tp.
В силу неравенства Гельдера справедлива цепочка следующих
выражений:
J Ы |Др| dx = J dx ^ ^ J |«|V<fa) ( f ^ <bj ,
sip sip sip sip
i + i = l. (4.12)
q q>
Из (4.11) и (4.12) вытекает неравенство
J \u\"(pdx^J\A<p\*ч>1-* dx. (4.13)

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 413
Теперь возьмем в качестве у tpi с 7 > 2q' и неотрицательной функцией
tp G C^q\rn). Справедлива цепочка равенств
Д^7 = 7 div (tpi- 1Щ) = -yip1"1+ 7(7 - 1)^7~2|V^|2.
Отсюда следует неравенство
|A^|V"7' =7^(*7"1Д^ + (7- 0^7"2|V^|2)'^W ^
Таким образом, из (4.13) следует неравенство
У |ti|V<te<cj J (f-'lAipl* +^7"V|V^|V)dx|. (4.14)
Теперь выберем пробную функцию гр(х) следующим образом:
( , ч Г 1 при 0 < « < 1,
*(*)=!\о при О 2.
Из (4.14) вытекает неравенство
J |«|?da:<c| j (^lA^+^-^lV^cteJ, (4.15)
где if — это шар радиуса Ry/2. Теперь сделаем замену переменных в
правой части неравенства (4.15):
х = Щ.
После этого приходим к неравенству
J \u\q dx^coRN-2rf.
к
Из этого неравенства следует, что при оно не может быть выполнено для
всех R G r+ при условии 2q' > N. Отсюда следует отсутствие
нетривиального решения задачи (4.10) из пространства u G lqloc(rn) при условии
N
l<q<N^2'
Заметим, что может быть доказан результат об отсутствии решения при
более сильном условии
N
Однако доказательство этого факта требует более тонких рассуждений. >

414
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
4.1. Отсутствие решений нелинейных стационарных
дифференциальных неравенств
Известно какую роль в теории аналитических функций играет теорема
Лиувилля:
Теорема Лиувилля. Если функция f(z) аполитична на полной ком-
плексной плоскости z, то она — постоянная.
Естественно, эту теорему можно перефразировать как отсутствие
нетривиальных ограниченных решений уравнения Лапласа на всей
плоскости. В этом разделе будут рассмотрены некоторые примеры «теорем типа
Лиувилля» для стационарных нелинейных дифференциальных неравенств.
Рассмотрим сначала следующую задачу:
^2 д2а^(х,и)
где
ац{х,и) : RN х R->R t, j = 1,... ,JV (4.17)
суть каратеодориевы функции, удовлетворяющие условию
\aij(x,u)\ < а0|«|р bR"xR (4.18)
с постоянной oo ^ 0 и некоторым р > 0, b > 0 — константа и
q>p. (4.19)
Дадим определение слабого решения задачи (4.16).
Определение 11.1. Слабым решением задачи (4.16) называется
функция и G Lqloc(RN), удовлетворяющая неравенству
- / £ °0(*>") <*0 / *МV dx (4.20)
для любой функции <р ^ 0, <р G C^^R^).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 11.3. Пусть показатель q удовлетворяет неравенству (4.19) и
(4.21)
Тогда не существует слабого глобального нетривиального решения задачи
(4.16).

416
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Тогда получим (р(х) = ^о(|£|2) и
(4.27)
где
n
д2(р0
6 = N- 2г'.
(4.28)
Выберем теперь пробную функцию фо таким образом, чтобы интеграл в
правой части (4.25) был конечным. Ясно, что такая функция фо
существует. Тогда из формулы (4.25) следует, что справедлива априорная оценка
/ I«IV
dx < СК
(4.29)
с некоторой константой С = Со > 0. Отсюда получаем после перехода
к пределу при R -» +оо, что если в < 0, то
j |и|* dx = 0.
Таким образом, утверждение теоремы доказано при в < 0, т. е. при
Р<<?<
Рассмотрим теперь случай в = 0, т. е.
N
N-2'
(4.30)
N
1 N-2
В этом случае соотношение (4.27) влечет
(4.31)
где
- /
Следовательно, в силу (4.25) имеем априорную оценку
dx ^ CqCj

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 415
Доказательство. В силу определения решения (4.20) и неравенства
(4.19) имеем
Ь J \u\q<pdx^a0 f |ti|*L2(v?)dx, (4.22)
R"
R"
где
rr**, dxidxj
В силу неравенства Гельдера справедлива цепочка неравенств:
j \u\>L2(<p) dx = f (|„|yV/r-^T7F dx <
R* R"
Rw
* 1 1 i
r=-, - + -7 = 1.
p г г
Из (4.22) и (4.23) вытекает неравенство
1/г
1/г'
R" 4R*
Отсюда приходим к неравенству
где
г g
г, г = -, Со
г - 1 р
Теперь выберем пробную функцию ф(х) следующим образом:
Г I при 0 < s < I,
^) = \0 при 5^2.
Сделаем теперь замену переменных х -> £:
(4.23)
(4.24)
(4.25)
(4.26)

418 Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Возьмем функцию щ(х) вида
Щ{Х) = (1 + \x\*y/li-P)
с достаточно малым е > 0. Тогда эта положительная гладкая функция
удовлетворяет неравенству
-Aup > uq bR^.
Таким образом, неравенство (4.21) является неулучшаемым.
Рассмотрим теперь следующее дифференциальное неравенство с
критическим вырождением вида
-\x\2Au^\u\q bR"\{0}, (4.35)
где q > 0 и N ^ 1.
Определение 11.2. Пусть q > 1. Функция и называется слабым
решением задачи (4.35), если
(•) ueLLO^Uo});
(ii) «€L'OC(1R"\{0})
и
f ^jVdx < - f и&{\х\2-"ч>) dx, (4.36)
для любой неотрицательной (p G Cg0 (M7V\{0}).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 11.4. Пусть q > I. Тогда задача (4.35) не имеет слабого
решения.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай N > 2. Предположим
противное, и пусть и — нетривиальное слабое решение задачи (4.35).
Из (4.36) имеем
/ dx < / J^n (N2A^ + 2(2 - N)(x9 V<p)) dx. (4.37)
Введем обозначение
/ = |х|2Ду> + 2(2-i\0(x,Vy>).
Используя неравенство Гельдера, приходим к следующему неравенству:
J \х\"]П J \x\«/i <р*/1\х\»~"'1 *

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 417
при любом R € r+. Так что
J \u\q dx^coa. (4.32)
Вернемся теперь к неравенству (4.22). Заметим, что
supp{L2(y>)} С {х € R*| R < \х\ < V2R}.
Тогда соотношение (4.22) в силу неравенства Гельдера влечет
Ь J|ti|V*e<eo7o J |w|pL2(^)dz<
R" Д<|х|<ч^Я
<ao7o[ J \u\*<pdx\' ( f [±Ш-йх\' . (4.33)
Отсюда в силу равенства (4.31) следует, что
f \u\q<pdx) . (4.34)
Но в силу (4.32) и абсолютной сходимости интеграла
. f dx
R"
имеем
J \u\q dx -> +0
R^\x\^V2R
при Я -> +oo. Тогда, переходя к пределу при R +оо в (4.34), получим
J \u\qdx = b.
R"
Таким образом, и в случае 6 = 0 утверждение теоремы доказано.
Теорема доказана. □
Теорема 11.3 является неулучшаемой, т.е. показатель q нельзя
увеличить в общих условиях этой теоремы. Этот факт следует из простого
контрпримера. Пусть р > 0 и
N
Я>1ГГ2Р-
27 Заказ 405

420
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
где
^.|s»-.| [ К + Р-^/„г<+00,
Наконец, устремляя Д -» +оо в (4.41), приходим к требуемому
утверждению.
Теперь рассмотрим случай N = 2. Из (4.36) следует, что
(4.42)
где
Выбирая y>(x) = y>(M)> из последнего неравенства получаем
J—^dx^J —^ -. (4.43)
R2 .R2
Используя логарифмическую замену переменных, как и выше, и полагая
видим, что (4.43) дает
Далее завершаем доказательство аналогично случаю N > 2. Случай JV = 1
рассматривается аналогичным образом.
Теорема доказана. □
Теперь рассмотрим некоторое обобщение теоремы Бернштейна.
Известно, что если u £ C^(R2) — решение уравнения минимальной
поверхности
(1 + и])ихх - 2ихиуиху + (1 + ul)uyy =0 в R2, (4.45)
то и(х, у) = ax + Ъу + с, где а, 6, с £ R1. Это утверждение известно как
теорема Бернштейна.

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 419
Из этого неравенства в силу (4.37) приходим к неравенству
[\и\* л „ f llx|2A^ + 2(2-iNT)(a:> У^)|^ л 11
/ 7~~ти<Рdx ^ / j . .at „> i — dz, - + — = 1. (4.38)
У \x\N* J \x\Nip*-1 q q' v 7
Теперь предположим, что правая часть этого неравенства конечна. Далее
мы покажем, что это всегда возможно сделать за счет подходящего
выбора функции (р. Возьмем радиальную функцию у G Со°(К^\{0}). Тогда
из (4.38) следует
W* R"
где |х| = г. Вводя замену переменных
s = In г, -оо < s < +00,
и полагая
мы видим, что правая часть (4.39) принимает вид
R1
где l^^"1! обозначает меру единичной сферы в RN. Затем выбираем
функцию ф0 G Со°(К^), такую что
/1 при
W(') = \0 при Ю2,
и полагаем
*W = W>(^). R>0.
Вводя замену переменных s = rt, видим, что (4.40) для r > 1 принимает
вид
j W«\*\)dz<R <\s I у ^гг- Hr,
R* Rl
и тогда в силу нашего выбора фо имеем
я
j J {u^dsdu^R^A^ (4.41)
-r sn~l
27*

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 421
Исследуется естественный вопрос: предположим, что u g C(2)(R2) —
решение дифференциального неравенства
- div ( . VU Л ^0 в R2, (4.46)
здесь в левой части содержится оператор минимальной поверхности в
непараметрической форме. Какие утверждения можно высказать тогда о
функции и(х)1
Определение 11.3. Функция
A:R*-»R*,
определяемая формулой
А,(р) = A(p)Pi, р g R\ i = 1,..., N,
где A g С([0, +оо]; R1), порождает оператор типа средней кривизны,
если существует С > 0, такое что
0 < А(р) ^ С для всех peRN. (4.47)
Если и g CW(RN; R1), то дифференциальный оператор,
порождаемый А, определяется формулой
div (A(Vu)Vu).
Замечание 11.1. Оператор средней кривизны в (4.47) соответствует функции А,
определенной формулой
А(р) = А(|р|)р,, А(|р|)= 1 PeRN
V1 + |р|2
и | • | обозначает конечномерную норму.
Определение 11.4. Функция и g C^R^), N = 1,2, называется
слабым решением задачи
- div (А(Vti)Vti) ^0 bR*,
если для любой функции (р g Cq^R^) выполнено неравенство
0 ^ j A(Vu)(Vu, Vtp) dx. (4.48)
rn
Основной результат состоит в следующем.
Теорема 11.5. Пусть и g C^^R^), N = 1,2, — слабое решение задачи
- div (A(Vu)Vu) ^0 в RN, (4.49)
ограниченное снизу. Тогда и есть константа на всем RN, N = 1, 2.

422
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Доказательство. В основе доказательства данной теоремы лежит
следующая лемма.
Лемма 11.3. Пусть u g C^^R^) — слабое решение задачи (4.49).
Предположим, что и ограничено снизу и положим
т = inf и(х).
Тогда существует К > О, такое что
J A(Vv)|Vv| V2 dx ^ KRN~2> (4.50)
Br
где
v= 1+ix-m и BR = {x g RN : \x\ < R}.
Доказательство. Очевидно, v — слабое решение задачи (4.49) и v(x) ^ I
для всех х g Шм. Пусть ip g Cq^R^) — неотрицательная функция и
положим
Ф) = ^. хек"
Эта функция допустима как пробная. Тогда из (4.48) получаем
f A(Vv)\Vv\2v-2i>(z)dx + f A(Vv)(Vv, V^)v_I dx (4.51)
R" R"
и по неравенству Коши с е > 0
a&<^a2 + -U2
2 2е
имеем неравенство
J A(\/v)(VvyVip)v~l dx ^
R"
^ \ I A(Vv)lVvl2v"V^+ Ye j A(Vv)lvV>lV dx.
R" R"
Отсюда и из (4.51) при е g (0,2) получим неравенство
О " l) / A(Vv)\Vv\2v~2*P dx < Ye I |V^~' dx' (4*52^
rn rn
Остается показать, что правая часть ограничена при подходящем выборе
пробных функций t/> g C^^R^). Для этого достаточно взять в качестве
пробной функции rj)1 при достаточно большом 7 > 0.

424
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
где постоянные С и К определены в (4.47) и (4.50). Тогда, принимая
во внимание, что в соответствии с (4.50)
A(Vv)|Vlnv|2 GL!(R2),
получаем, что существует последовательность {Я*} с Я*-»+оо, такая что
^lirn^ J A(Vv)|Vlnv|2 =0,
Rk^\xtey/2rk
откуда с учетом (4.53) следует
J A(Vv)|Vlnv|2 = 0,
R2
что завершает доказательство.
Теорема доказана. □
Из доказанной теоремы вытекает следующее утверждение.
Утверждение 11.1. Пусть u G C*2)(R2) — решение дифференциального
неравенства
Если и ограничена снизу, то и(х, у) = const для всех (ж, у) G R2.
4.2. Отсутствие глобальных решений эволюционных
дифференциальных неравенств первого порядка
Этот пункт посвящен исследованию так называемых теорем типа
Фуджиты для эволюционных уравнений и неравенств первого по времени
порядка. Одно из основных различий между подходом С. И. Похожаева
и Э. Митидиери и известными методами состоит в том, что они априори
не налагают условий на знак решений. Для них очень важно, что нет
принципиального различия между задачами, изучавшимися в
предыдущем параграфе, и эволюционными задачами. Таким образом, нашей
главной целью является доказательство такой оценки решений задачи, чтобы
в дальнейшем выбрать подходящую пробную функцию в определении
слабого решения рассматриваемой задачи. Конечно, это означает, что наша
пробная функция теперь зависит от (ж, t), t — временная переменная,
х — пространственная. Может возникнуть естественный вопрос: почему
мы не рассмотрели данные результаты в параграфе, посвященном
теоремам типа Фуджиты? Ответ прост — мы решили отразить оригинальные
результаты С. И. Похожаева и Э. Митидиери в отдельном параграфе.

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и 9. Л. Митидиери 423
Выбираем Vo(0 € C^R1) так, что
/1 при |*| < 1,
^) = Ь при |||>2.
1>(x) = ipo(jP), R>o.
и полагаем
Тогда после подстановки данного t/>(x) в (4.52) и замены х = Щ получим
утверждение леммы.
Лемма доказана. □
Предположим сначала, что N = 1. Из (4.50) вытекает, что
J A(v>'|V
2 dx = 0,
следовательно, u = m для всех х £ R1.
Теперь рассмотрим случай N = 2. Выбирая tp как в предыдущей лемме,
из (4.51) получаем
j A(Vv)|Vv| VV ^ У* A(Vv)|Vv| \Vip\v~l dx.
Кроме того, справедлива оценка
j A(Vv) |Vv| iV^ItT1 dx ^
R^x^y/lR
(\ 1/2 / \ 1/2
f \{Vv)\Vv\2v-2xl>dx\ I ^ A(Vw)|V^|V^J •
Из последних двух неравенств вытекает неравенство
j A(Vt>)|Vt>|2trfy<te<
but
)1/2 / \ 1/2
( У AfVtOlVtflV1**) ^
\^VZH R^\x\^y/2r
( \ 1/2
^С1/2к1 f A(Vi;)|Vv|VVdx) , (4.53)
R^\x\^y/2r

426
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Критический показатель q из задачи (4.54) определяется
асимптотиками при R -> +оо следующих выражений:
,UL (нл.ад),■,
. - jT-rdtdT
с Л = и параметром в = р/х. Величины и В^, в свою очередь,
порождают определяющую величину
С(л) = ^""'а, + д*+'-*в,. (4-59)
Справедлива следующая основная теорема
Теорема 11.6. Пусть q удовлетворяет неравенству (4.56) с р>0 и
-1/
lim inf
я-++00
\xkr
J ti0(ж) dx ^ 0. (4.60)
Пусть существует во > 0, такое что
lim inf СЛД) < +оо. (4.61)
я->+оо
7огда не существует слабого нетривиального глобального в R++I
решения u(t, х) задачи (4.54).
Доказательство. В силу определения 11.5 слабого решения и
неравенства (4.58) имеем
+00 +оо N
j J b(ttx)\u\q<pdxdt^ J J Y^ao{t9x)\u\pU{^)dxdt-
0 R" *^'=1
+00
II U~didXdt~ I u*(x)№*x)dx (462)
0 rn
где
, . dxidxj
Отсюда по лучаем, что на основании параметрических неравенств Юнга
выполнены следующие соотношения:
+00 +00
Х1 ■ ' ' \pi4ipviq ^
о rn о rn
+00 +00
| Jao(t,x)\ufU(V)dxdt = f fiM'f'bTW'j^dxdt-.

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 425
Мы рассмотрим в этом пункте неравенства вида
»\;=1 J
t*(0, ж) = ио(ж) G hj0C(RN).
Здесь
a0(£, ж, ti) : R+ х R* х R -> R
суть каратеодориевы функции, удовлетворяющие неравенствам
\aij(t9 x,tt)| < ao(t, ж)|и|р в R^+1 х R (4.55)
с р > О и измеримой неотрицательной функцией ао. Пусть теперь b(t, х) —
положительная измеримая функция, такая что Ь> О почти всюду в R++1, и
q > max{l,p}. (4.56)
Далее предполагается, что измеримые функции ао ^ 0 и Ь > О
удовлетворяют условию
jFr tfZietio,№+l\Q(R)), (4-57)
где
Q(R) = {(*, х) G R?+I : t* + \xf < 2Д"}
при R > 0 — достаточно большом параметре, Л' = q/(q-p), q' = q/(q- 1),
а параметры x ^ 1 и /х ^ 2 определены ниже через параметр 0 = x/fi.
Определение 11.5. Слабым решением задачи (4.54) называется
функция
u(t,x) :R^+I ->R!,
такая что
a0(x,t)\u\", b(t,x)\u\4 eVl0C(Rl+l),
удовлетворяющая неравенству
+ 00 +00 N
. у j_ м I I _ /, _ .л у dxdt>
О R* О R* ••J"1
+ 00
У У &(*,x)|u|V + J u0(x)<p(0,x)dx (4.58)
О R" R"
для любой функции у?(£, х) ^ 0 с компактным носителем из класса
С^-И)-

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 427
+00 +00
<1//м>^+1//^^.
О R" О R"
где
р q - р А А'
+00 +00
OR" О R*
+00 +00
OR" OR"
где
1 1
- + -7 = 1.
Отсюда и из (4.62) приходим к неравенству
+00 +00
" R" О R"
+оо /
где с,,с2,с3 > 0.
Введем теперь пробную функцию у? вида
ft* 4- Izl^ \
<р(*. х) = <pR(t, х) = Ц-^) (4.64)
с параметрами к ^ 1 и /х ^ 2, которые будут определены ниже. Выбираем
функцию у?о(я) € CJ^OR1) так, что
Г 1 при 0 < g < 1,
ЫЖ) = \0 при х>2.
В соответствии с (4.64) сделаем замену переменных t -> г, ж -» £ по
формулам
с неопределенным параметром в = р/н.

428
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Тогда неравенство (4.63) принимает вид
+ c2RN+e-e< f f -Ш' dx dt-сг f u0(xM0, x) dx,
(4.65)
где
" 5Vo
Выберем теперь пробную функцию <ро так, чтобы
(чы)А' КГ'
/ЛА'-1 ' <f-\
^0 У?о
< const
при 1 ^ т* + ^2. Тогда из неравенства (4.65) следует, что
+00
J J \u\qb<pR dxdt^
0 R"
< c\RN+B-2X'Ae(R) + clRN+0-e*Be(R) - c3 f tio(sM<>, x) dx (4.66)
R"
с постоянными cj, > 0.
Рассмотрим теперь нижний предел при R -> +оо в (4.66) при
в = в0 > 0. Если
lim MCeAR) = О,
я-++00 0
то в силу условия (4.60) из (4.66) получаем
+00
lim inf / / b(t, x)\u\q<pR dx dt = 0,
Д->+оо J J
0 R"
т.е.
+00
J j b(t,x)\u\q dxdt = 0.
0 R"

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 429
В силу неравенства Ь > О почти всюду в R++1, отсюда следует, что и = О
почти всюду в R++1. Итак, в этом случае теорема доказана. В случае
О < lim inf CeAR) < +00
л->+оо
получаем сначала ограниченность интеграла
+00
j j b(t,x)\u\q dxdt< +00.
0 R"
Далее используем аргументы, аналогичные соответствующим аргументам
в эллиптическом случае.
Теорема доказана. □
Приведем пример использования доказанного утверждения.
Пример Фуджиты.
Рассмотрим следующую задачу:
^>Ati + tif BRf1, (4.67)
u(0, х) = щ ^ 0 на RN
cq>\ и tioGL^R").
Здесь, в терминах теоремы 11.6, имеем
р=1, а0(£,ж) = 1, b(ttx)=\.
Тогда для этой задачи получаем
A9(R)=Ae, В,(Я) = В,,
где А$ > 0, Bfl > 0 и они не зависят от R > 0. Далее имеем
С#(Я) = В?+*-*Ы + (4.68)
Чтобы определить оптимальное значение 0О > 0, положим
N + 0-2q' = N + e-Oq.
Отсюда находим
в = в0 = 2.
Подставив это значение в (4.68), получим
Ce(R) = RN+2-2'(Ae + Be). (4.69)
Условие (4.61) принимает вид
2
N + 2 - 2q' ^ 0, т. е. g < 1 + —. >

430
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Теперь рассмотрим одну сингулярную задачу. Пусть N ^ 1 и q > 1,
—-М2ДО|и|' bR"\{0}xR+,
«(*, 0) = «o(x) € LL(RW\{0}) в R*\{0}.
Определение 11.6. Функция и называется слабым решением задачи
(4.70), если и € Ц?ос(К^\{0} х R+) и
+00 +00
/ f^vdxdt<~J J«A(M2_JV) -
0 R" OR"
0 R" R"
для любой неотрицательной функции tp G Cq°(Rjv\{0} x R+).
Теорема 11.7. Пусть выполнены следующие предположения:
(i) «0(*)€L'oc(R"\{0});
/щ (х)
—ггг- dx ^ Ч-оо (возможно, бесконечен).
\х\
\xKR
Если l < q < 3, mo задача (4.70) имеет слабого решения.
Доказательство. Во-первых заметим, что
Д(М2~%) = (W2aV + 2(2 " ")(*• VV))-
Пусть
/ = \х\2А<р + 2(2 - N)(x, Vtp) + у/.
В силу неравенств Гельдера и Юнга справедливы следующие соотношения:
+00 +00
J J \x\N J J \x\N'** |«|^(i-i/g) ^l/g
OR" OR"
\ 0 R" 7 X 0 R"
q J J \x\N q1 J J \x\Nip*-1
OR" OR"

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 431
Из последнего неравенства и из (4.71) следует неравенство
w
q J J \x\N q' J J \x\N<p<t-x J \x\N YK '
0 R* 0 RN RN
Отсюда получаем неравенство
+00
0 RN
+ 00 +00
l/K
1 1 ■ dx dt €
f f MV
У У м*
0 R"
^ 7° /" lN2A^ + 2(2-JV)(x,Vy)+y'|?' /■ 1ю(«)
^ У У WV7^ dx l~q У Тёр7"
О R" R*
(4.72)
где
! + I = lf O^GC0~(R"\{0}xR+).
Выбирая
<p(x,t) = 4>(\x\,t)
и вводя замену переменных
5 = 1пг, г = \х\, 5 Е R1,
из (4.72) получим
о RN О R'
д / / tto(*,«M*.0) (4.73)
где
Уточним наш выбор функции (р. Берем функцию ip в виде

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 433
Ви = {(£, г) Е R х R+ : \£ + (2 - ЛГ)Дг| < 2}.
Рассуждая стандартно, получим С < -foo. Наконец, заметим, что
BNtR = {xeRN: \х\ < R + (N - 2)R2} С Ащ.
Таким образом,
r2 2
j f ^dxdt^C'R3-2*-q' J f Uo(sM4\(j^dsdu) (4.77)
0 bntr -2 5"-'
и соответственно
+00
IIwdxdt^~q'I wdx<0- (478)
0 R"
Теперь, в случае 1 < q < 3, неравенство (4.78) дает требуемое утверждение.
Теорема доказана. □
4.3. Отсутствие глобальных решений эволюционных
дифференциальных неравенств второго порядка
В этом пункте мы рассмотрим некоторые дифференциальные
неравенства «гиперболического» типа. При этом используемая техника
пробных функций дает достаточные условия разрушения дифференциального
неравенства. Как мы уже отмечали, метод пробных функций дает ответ
об отсутствии решения вне зависимости от типа дифференциального
неравенства, и это дает возможность совершенно единообразно доказывать
соответствующие результаты.
Рассмотрим сначала следующую задачу:
§^ У) Я%^я,и) + 6(*,*,г|) в<+\
91 «м£т (4.79)
u(0,x) =щ(х), щ(0,х) =щ(х) xeRN.
Здесь I ^ 1, A« и Ь — каратеодориевы функции, удовлетворяющие
следующим условиям:
|Аа(*,ж,и)| < a0|tf|p при /<|а|<го,
b(t, х, u) ^ bo\u\q с постоянными oo, bo > 0, (4.80)
р > 0 и q > тах{1,р}.
28 Заказ 405

432
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
где ipo, ip\ и a(s,t) — достаточно гладкие функции, определенные для
Д>0.
Вводя оператор
действующий на функции из Co°(R2), имеем
+ ^ Ы», t) + (2 - N)a,(,, t) + ф, t)] *> Qj) i>\ (^) •
Далее выбираем функцию 0(5, t) таким образом, чтобы
ass(s, t) + (2 - N)as(s, t) + 0,(5, t) = 0.
Допустимо выбрать
0(5, t) = s + (N- 2)t.
Затем возьмем такие ^o, € Cq°(R), что
f 1 при 0 ^ t/ < 1,
^o(y) = \ F (4.74)
\ 0 при j/^2, V '
1 при |y| < 1,
при |y| ^ 2,
и положим
(4.75)
Вводя замену переменных
получим
t = R2T, s = Щ, (4.76)
= ЛММЖЛГ - 2)Дг)
и, с очевидными обозначениями,
1
ЪЛ<Р) = # ИТМ' (* + " 2)т) + (« + " 2)Лг)],
л2 2
У J ^Ldxdtt: C'R3-2' ~q' f f u0(s, ы)Ъ (^) da,,
0 Лл( -2S*-1
где
= {(x, «)6R№xR+: |ln |x| + (2 - N)t\ < я},

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 435
Тогда получаем
Ь° II \u\4(Pdtdxi*ao If W X) \Da(p\dtdx +
+ JJ u<p" dt dx- J U\(x)<p(0, x) dx.
Отсюда, применяя неравенства Гельдера и Юнга, получим следующие
неравенства:
„„ // м>ц„)« * . // ^<м^« * <
I^ |uy>„| dtdx^JJ lul^'/'^-j^ л da: ^
6o yy i«iv
< I fto // ItilVd«di I ill ^ ^ , <й<*е 1 <
^dtdx + ^JJ^dtdx,
4%
где
Постоянная d > О будет определена позже. В силу этих неравенств
получаем следующую оценку:
Ь° II \u\9(Pdtdx<^ II \u\9Vdxdt + -bo JJ \u\q<pdtdx +
R*+. R*+. R*+,
28*

434
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Относительно начальных данных предполагается, что
щ(х), ux(x)tVloc(RN). (4.81)
Определение 11.7. Слабым решением u(t, х) задачи (4.79) с
условиями (4.80) и (4.81) понимается функция u G 1Ц*0С(Е++1), такая что
- J (tto(s)p'(O, х) - щ(х)<р(0, ж)) dx + JJ и<р" dt dx ^
> JJ (-l)lQ]\*(t>x>u)Da<pdtdx + JJ b(t,x,u)<pdtdx
R*+i /<|e|<m rat+i
(4.82)
для любой неотрицательной функции (р £ c£'™(K++1) с компактным
носителем.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 11.8. Пусть выполнены условия (4.80) и (4.81). Пусть
J Щ(х)<
) dx ^ 0.
R*
Тогда, если
2N < %±i), (4.83)
задана (4.79) не имеет нетривиального глобального решения u(t, х) в
указанном классе.
Доказательство проведем в несколько шагов.
Шаг 1. Априорные оценки.
Из неравенства (4.82) в силу (4.80) имеем
&о JJ \u\9<pdtdx^a0 JJ \и\р ^ \Da<p\dtdx +
R*+i R*+i '<M<m
+ JJ иц>" dtdx + J (tz0(s)y?'(0, x) - tii(z)y?(0, x)) dx. (4.84)
r£+« R*
Выберем функцию (p из указанного класса, такую что
<р'(0,х) = 0. (4.85)

436
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
г' еГ'-'К-' JJ <рт~х
° «*+■
+
"^FT ff^dtdx- f «i(*M0,*)<**.
о on j j y j
° R^+' R"
Теперь возьмем в качестве d величину
В этом случае приходим к следующему неравенству:
at аа; -
R£+' ° R?+'
^(l)r7/^"<ttdi"/"i(iMo'i)dr (4 86)
ZZ/аг 2. Асимптотические оценки.
Введем теперь срезающую функцию у? следующего вида:
<p(t,x) = <pQl д* ' j с х>1, /i>0, (4.87)
где у?о • Л£+ Л£+ — гладкая неотрицательная функция, такая что
, ч fl при 0<{<1, , ч
Параметры к > 1 и /* > О будут определены ниже.
В соответствии с (4.87) введем новые переменные (t,x) (r,i/)
по формулам
t = Я2/*г, х = Я2/Ч (4.89)
Подставляя функцию и вводя новые переменные в (4.86), находим, что
JJ \u\q<pdtdx^c{R91 +с2Я9г ~с3 ^ ui(x)<p(0,x)dx, (4.90)
R*+i R^

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 437
где
Л 2N л.2 ^ й 2N л.2 21<*
0\ = 1 , #2 = h
ц к и ' ц к ft(q-p)'
С|=? JJ ^dTdV'
С2=йоУ JJ ~^dTdri' C3=v
Можно показать, что существует функция ц>о указанного вида, такая что
с\ < -foo, С2 < 4-00 при R -> 4-оо. При этом сг = ci{R), если m> I.
Для получения оптимального результата выберем параметры \i > О
и х > 1 из условия 01 =02, т. е.
4g' 2lq
Таким образом,
Отсюда, полагая fi = 2,4,..., мы можем подобрать х > 1 достаточно
большим так, чтобы функция ц>, определенная формулой (4.87) с
достаточно гладкой функцией у?о, принадлежала классу Co*m(lR++1).
Подставляя это значение х в формулы для 0\ и 02, получим
V я-р )>
Отсюда, в силу наших стандартных рассуждений, т.е. устремляя R->+oo
в (4.90) и используя при 0О дополнительно наши стандартные аргументы,
приходим к утверждению теоремы.
Теорема доказана. □
Теперь рассмотрим уравнение с нелокальной нелинейностью. Итак,
рассмотрим следующую задачу:
^-а( [ \4u\2dx\bu>\u\q в<+1,
61 Vi / (4.91)
du
t»(0, х) = «0(x), —(0,х) = щ(х), x€RN, q>\.
Здесь а : R+ -> R есть непрерывная ограниченная функция,
|a(s)Ko Vs€R+. (4.92)

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 439
Введем обозначение
/ = |/| + сь|ДИ-
Тогда
ff \u\fdtdx = ff \u\<pV^j-4dtdx<
^ f ff\u\«<pdtdx) ( ff ^dfdij .
Отсюда в силу (4.95) вытекает неравенство
ff\u\Wdtdx<fl^+^\tdx +
+ q j (щ (x)<p(0, x) - щ(х)ч>'(0, x)) dx. (4.96)
R"
Выберем теперь срезающую функцию вида
^,х)^^о(^1^), (4.97)
-(2)/
где функция у?о £ Q (К+) такая, что
1 при 0<£<1,
при £ ^ 2
и у?0 ^ 0- Заметим, что <р'(0, х) = 0.
Подставляя функцию <р в (4.96) и делая замену переменных (t, х) ->
t = Rr, х = Rtj,
мы получим
II \u\q<pdtdx^cxRN+x-1<{ -q I (щ(х)ц>(0, x) - u0(x)<p'(0, x)) dx,
(4.99)
где
Ясно, что существует такая функция щ указанного вида, что С\ < +оо.

438
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Относительно начальных данных предполагаем, как всегда,
"о, tii € Uoc(*N)> J uxdx> 0. (4.93)
Дадим определение слабого решения задачи (4.91).
Определение 11.8. Слабым решением задачи (4.91) называется
функция
«glL«+'). v«eLL(r?+i).
такая что
JJ \u\q<pdt dx^ JJ u<p" dt dx-
+ J (щ(х)<р(0, x) - щ(х)<р'(0, x)) dx (4.94)
r"
для любой неотрицательной гладкой срезающей функции
Отметим, что в силу (4.92) коэффициент а(-) имеет смысл и в случае
|2,
/IV.P
dx = -f оо.
r"
Справедлива следующая теорема.
Теорема 11.9. Пусть выполнены условия (4.92) и (4.93). Тогда при
любом q > 1 при N = 1 шш Kg<(JV+l)/(iV - 1) я/ю N > \, если N > 1
задача (4.91) ымее/я глобального нетривиального решения из
указанного класса.
Доказательство. В силу (4.94) на основании (4.92) имеем
JJ |u| V dt dx < JJ uip" dt dx +
r?+i r£+'
+ со JJ \u\ |Ap| dtdx + J (m(x)<p(Q, x) - u0(x)y?'(0, x)) dx. (4.95)
R*+l RS

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 441
<- J dxdt\u(x,t)\9<p(t,x) + ^ f dxdt^-Yzp--
С учетом этого неравенства из (4.101) получим следующее неравенство:
J dxdttp(t,x)\u\4 <
R
j dx dt ^'^1^ + q' f «o(x)Ay>(0, x) dx. (4.102)
R"
Теперь в качестве пробной функции <p(t, х) возьмем следующую:
М>х) = **(^)ъ(^)> а>0> Р>°< л>0- (4Л03)
где
m.(f\ = I
0 при 2,
/1 при 0<£<1,
(4.104)
/1 при 0<£<1,
^) = \0 при i>2.
Рассмотрим отдельно первое слагаемое в правой части неравенства
(4.102), которое после подстановки пробной функции (4.103) и очевидной
замены переменных
t х
а = ■
примет следующий вид:
J dxdt 1АУ'(*_>0Г =ClR*fi+-«V+*)t (4.105)
где
Теперь потребуем, чтобы имело место неравенство
7 = % > q(N - \)-2q при N ^ 3.
Р
Заметим, что при этом условии всегда выполнено неравенство
N/3 + а- q'(2P + а) < 0 (4.106)

440
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Применяя далее стандартные аргументы к неравенству (4.99) при
N + К 2rf
и дополнительные мультипликативные неравенства Гельдера для
предельного случая
N + 1 = 2q\
мы получаем утверждение теоремы.
Теорема доказана. □
4.4. Отсутствие глобальных решений нелинейных
дифференциальных неравенств Соболевского типа
В этом пункте мы рассмотрим, как применяется метод нелинейной
емкости к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа.
Рассмотрим сначала следующую простейшую задачу:
-Д^>М*, д>1, ж G RN, t>0, и(х,0) = 1ю(*). (4.100)
at
Определение 11.9. Слабым решением задачи (4.100) называются
функции ti G L^R^"1"1) и щ(х) G L'(R^), удовлетворяющие
неравенству
J йхйЬи(х,Ь)&ч>'(х,Ь) + J uo(x)A(p(Oix)dx ^ J dxdt(p(t,x)\u\q
(4.101)
для любой функции с компактным носителем
Используя неравенство Гельдера, получим следующее неравенство:
dxdt\u(x,t)\ \A<p'(x,t)\ <
/
r*+l r++l
Отсюда, используя неравенство Юнга, получим неравенство
J dxA\u(z^)\\btp\x,t)\ <
r;+

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 443
^ dsdJA^^ + f u0(x)A(p(Q,x)dx. (4.112)
Теперь положим
и получим неравенство
|дуОМ)К
+ к+
_ у* dxdt^^l^ +2у 1ю(»)Д^(0,»)&. (4.113)
1
+ 2
rJ+i r"
Теперь выберем пробную функцию (p(t,x). Именно, пусть
12
где
^,х) = ^(0^2(^г), Д>0, (4.114)
{1 при 0<*<у,
0 при ^Т, (4.115)
М „р» 0««1.
\0 при £>2.
+ У mL7^' <4Л10>
Аналогичным образом получаем следующее неравенство:
У ifedf |Др||и| < - f dxdt\u(x,t)\"<p{t,x) +
RAr+i цлг+i
Из (4.109)—(4.111) мы получим неравенство

442
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
при N^3. В случаях N=1,2 имеет место, очевидно, то же самое
неравенство (4.106). Рассмотрим теперь второе слагаемое в правой части
неравенства (4.102). После подстановки пробной функции (4.103) в это
слагаемое мы получим
J щ(х)А<р(0, x)dx = J щ(х)Ах(р(х) dx.
R" RP^\x\^V2R0
Поскольку по условию щ(х) Е L^R^), то правая часть последнего
равенства стремится к нулю при R -> +оо. Поэтому, переходя к пределу при
R -> +00 в неравенстве (4.102), мы получим равенство
J dxdt\u\9 = Q. (4.107)
R^+'
Тем самым нами доказана следующая теорема.
Теорема 11.10. Для любой функции щ(х) £ L^R^) и q > 1
отсутствует глобальное нетривиальное слабое решение задачи (4.100).
Теперь рассмотрим следующую, более сложную задачу:
-д^-доК, q>i, хеж", о о, (4108)
и(х, 0) = щ(х).
Определение 11.10. Слабым решением задачи (4.108) называются
функции и Е L/0C(R++I) и щ(х) е L'(R^), удовлетворяющие
неравенству
J dxdtu(x,t)A(pf(x,t)+ J dx dtu(x, t)A<p(x, t) +
R*+. R*+.
+ J u0(x)A(p(0ix)dx^ J dxdtip(t,x)\u\q (4.109)
R" R{+i
для любой неотрицательной функции с компактным носителем
<p(t,x) € Co'2(R++l).
Используя неравенство Гельдера и трехпараметрическое неравенство
Юнга, мы получим, как и ранее, неравенство
J dxdt\Aip'\\u\ < - J abd^(z,0|VM +
Rtf+I R*+l

444
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
Подставим пробную функцию (4.114) в (4.113) и сделаем замену
переменных х = yR. В результате получим неравенство
т
О R"
^ cxRN~2(/ + c2RN~2</ + 2 J щ{х)А(р(0, х) dx, (4.116)
где
Т
c>=2dFWJdtl^- J dy~^2
0
Из (4.116) в силу того что tio(s) G L^R^) при условии
N
\<q< jj—^ при N > 3,
а если
ЛГ= 1,2,
имеем (переходом к пределу при R -> +оо)
т
J J dxdt<p{(t)\u\q = 0,
О R"
т. е. при указанном условии отсутствует нетривиальное решение класса
ttGL?0C(R?+I). Случай
N
q = —- при N > 3
рассматривается как и в случае задачи (4.16).
Заметим, что результатом теоремы 11.6 было то, что решение
соответствующего дифференциального равенства существует глобально во
времени при N = 3 в случае 3 < q. Таким образом, справедлива следующая
теорема.
Теорема 11.11. Пусть N = 3 и щ(х) G L'(R^). Тогда для
существования нетривиального глобального во времени слабого решения задачи
(4.108) необходимо и достаточно, чтобы q > 3.

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 445
Теперь мы рассмотрим следующую задачу для дифференциального
неравенства:
-jt(Au + \\u\pu)-Au>\u\\ xeRNf «>0,
u{xi0)=u0(x)eV(RN)i р^О, q>l, р+1<9> Л^О.
Дадим определение слабого решения задачи (4.117).
Определение 11.11. Слабым решением задачи (4.117) называется
функция и(ж, t) е (R++I), такая что
щ(х)еЬ\Ш% \u0\pu0eV(RN)
и выполнено условие
J [uAtpf + X\u\putpf] dxdt- J Atpu dx dt +
+ У [uQA(pQ + \\uo\pUo<po]dx}t J \u\qtpdxdt (4.118)
для любой неотрицательной функции с компактным носителем
^,х)€с;'2«+1).
Используя неравенство Гельдера и трехпараметрическое неравенство
Юнга, получим следующие неравенства:
j \u\\^\dxdt^-q f \u\"vdxdt+-^ f l^f-dxdt, (4.119)
f \u\ IAtp\ dxdt^± J |«|V dx dt + f dx dt, (4.120)
„ЛГ+, Rj»+I R„+,
|A| / |«rVVxdt= / +1,V+I)/'*dxdt^
RA4l Rtf+I
< f J \u\4<pdxdt\ ( f |А|Гг1^|Г dxdt\ <
R++l R++l

446
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
<± f MVM + iWl / j^** (4.12.)
где
Г = —^— > 1, г' = -, д=^-7.
р+ 1 г - 1 g - 1
Теперь возьмем
d= qr
4r + 2q
Из (4.118) с учетом (4.119)—(4.121) мы получим неравенство
R*+l R*+l RAT+1
+ ^^ГТ У Щ-^xdt + lj + (4.122)
Теперь в качестве пробной функции ^(ж, J) возьмем
¥>Мнр,(^)Ц^), а>0, >3 > О, Д>0, (4.123)
где
Г1 при 0<£<1,
<"«)=1.0 при <>2, / ч
(4.124)
Г, при 0<«1,
\0 при ^2.
Рассмотрим слагаемые в правой части неравенства (4.122), которое после
подстановки пробной функции (4.123) и очевидной замены переменных
t
a = ■
примет следующий вид:
j |«|V dx dt < с,+ btf+fif-W + CiRa+<3N-r'a +
+ 2 У [«оА^о + Л|«о|р«о¥»о] da:, (4.125)

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 447
где
I I ****
2 |АГ' Г Г
г1 dr'-x
Совершенно очевидно, что первое слагаемое в правой части неравенства
(4.125) при R -> +оо дает вклад в асимптотическое поведение более
высокий чем, скажем, второе слагаемое. Поэтому потребуем условия равенства
асимптотического поведения второго и третьего слагаемых:
q- 1
и потребуем условия, что
a + PN <</2/3,
из которого после некоторых алгебраических преобразований получим
условие
JV+7 a- 1 -р
1<9<ЛТ^2' 7 = 2"^1-
Заметим, что в важном случае, когда р = 0, мы приходим к критическому
показателю Фуджиты: I < q < 1 + 2/iV.
Теперь рассмотрим последнее слагаемое в неравенстве (4.125):
2 J [щА<ро + \\щ\рщ<ро] dx. (4.126)
R"
Совершенно нетрудно показать, что при R -> +оо этот интефал стремится
к величине
2A J \u0\pu0dx. (4.127)
R"
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 11.12. Пусть
щ(х) е V(RN), \щ\рщ е V(RN)9 p+Kj
и выполнено неравенство
A j dx<0,

448 Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
тогда при условии
N +7 - 2 g - 1
we существует глобального нетривиального решения задачи (4.117) оас-
са и eL*(R?+I).
Рассмотрим теперь следующую задачу:
- —(Д« + A div (|V«|P_2V«)) - Д«> |V«|*.
u(»>0) = iio(»), xeR", *>0, А^О, (4Л28)
р > 1, g > max{l,p- 1}.
Дадим определение слабого решения задачи (4.128).
Определение 11.12. Слабым решением задачи (4.128) называется
функция и е L°°(R+; C^R*)), такая что
|Vti| G L!(R^+I), |V«|Ji€Ll(R++l),
удовлетворяющая условию
- J dxdt [(Vu, Vip') + A(|V«|P"2V«, Vip') + (Vu, Vp)] -
- f dx [(V«0) V^o) + A(|V«or"2V«0) Vy>o)] > f |Vu|V(*,0 dxdt
(4.129)
для любой неотрицательной функции с компактным носителем
„(*,*) 6 Cj'2(R?+1)-
Используя неравенство Гельдера и трехпараметрическое неравенство
Юнга, получим следующие неравенства:
J dxdt\(Vu,Vip')\ ^ | J dxdt\Vu\q<p + -^rzi J dxdt^
<t-\ •
(4.130)
|v*>K
У dxdt\{Vu,V<p)\^-q У dxd«|V«|V + ^rr У dx<tt^T>
Rtf+I
(4.131)
R* + l R* + l

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 449
|а| J dxdt\Vu\p~2\(Vu,V(p')\ <
где
9 = —г> г = —Г> г =
g - 1 г - 1 р - 1
Теперь возьмем в качестве d выражение
4r+ 2g
Тогда из (4.129) с учетом (4.130)—(4.132) мы получим неравенство
/ IvulVM)^^ / dxdt^+W* f dxdtl$T+
лг+1 Rtf+i R*+i
R* + l R*
(4.133)
Теперь в качестве пробкой функции (р(х, t) возьмем
12
^,a.) = Vl(J-^^^, а>0, /3>0, Д>0, (4.134)
где
Г1 при 0<£<1,
<Pi(0 = |
0 при £ ^ 2,
(4.135)
Г1 при 0<£<1,
^) = \0 при D2.
Рассмотрим слагаемые в правой части неравенства (4.133), которое после
подстановки пробной функции (4.134) и очевидной замены переменных
t
a —
примет следующий вид:
J {Vu^^x^dxdt^Rf^-^"^ +c2Ra+(,N-r'la+n +с3Да+^-^■
29 Заказ 405

§ 4. Метод нелинейной ёмкости С. И. Похожаева и Э. Л. Митидиери 451
при условии, что
|Vt»o| е V(RN), ivuor1 е V(RN).
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 11.13. Пусть
\Vu0\eV(RN), ivtior1 е V(RN),
тогда:
(i) если p^2uq>p-\ при N = 1 или
N
p-\<q< N _ { при N ^ 2,
(ii) если р Е (1,2) и
ЛГ+7 2-р
\<q<—t г, 7 = г> для всех N ^ 1,
то отсутствует глобальное во времени нетривиальное решение задачи
(4.128) класса, указанного в определении 11.12.
Литературные указания
Материал для этой главы взят из работ [21], [33], [39] и [40].
29*

450
Глава 11. Разрушение и отсутствие решений
-2 J dx [(У«о,У^)+А(|У«оГ2У«0)У»?о)], (4.136)
где
2 f [ ИиИ^^У^.
Cl = td^ J J dyd°-^-'
1<*<2 l<|y|<2
<K<r<2 1<|у|^2
/ /
t<<r<2 1<|у|<2
Рассмотрим теперь два случая: р^2ир€(1,2).В первом случае главное
слагаемое асимптотики при R 4-оо — это слагаемое с С3. Из условия
a + /3N < q'p
приходим к неравенству
N +у a
Легко проверить, что наилучшей постоянной является 7 = 0, т. е. a = 0.
Отсюда приходим к неравенству
N
q < j^—у при ЛГ ^ 2,
либо
g€R+ при ЛГ = 1.
Рассмотрим теперь случай р € (1,2). В этом случае слагаемые с с-i и сз
будут вести себя одинаковым асимптотическим образом при условии
q'P = r'(a + p).
Отсюда приходим к условию
2-р
и, следовательно,
— 7 = г Для всех N ^ 1.
iV +7 - 1 g - 1
Совершенно точно так же, как и ранее, устанавливается, что при R -> +оо
J dx [(Vti0, V^o) + A(|Vttolp~2Vtto, V^o)] -> 0

Приложение
Критические точки на финслеровом
С1 -многообразии
В этом дополнении мы приведем без доказательства результаты
А. Жулькина [94], которые позволяют ослабить требование, чтобы
многообразие М С В, на котором ищутся критические точки некоторого
функционала tp, было класса С2-гладкости.
Пусть М есть С1 банахово подмногообразие банахова пространства В
без границы. Обозначим касательное расслоение многообразия М через
Т(М), а касательное пространство многообразия М в точке х Е М —
посредством Т2(М). Пусть
|| || :Т(М)->[<>,+оо)
— это непрерывная функция, такая что:
(i) для каждого х Е М ограничение || || на Т2(М), обозначенное через
|| ||х (иногда просто || ||), — одна из возможных норм на Т2(М);
(ii) для каждого Xq Е М и k > 1 существует такая окрестность U точки Xq,
что
^11 Н.<11 Ik ОН Их, хеи.
Функция || || называется финслеровой структурой на Т(М).
Регулярное многообразие вместе с фиксированной структурой на Т(М)
называется финслеровым многообразием. Каждое паракомпактное С1 банахово
многообразие допускает финслерову структуру. Для каждого С1-пути
a : [a, ft] -> М
определим длину пути а посредством выражения
ь
1(a) = J И0|| Л.
a
Пусть х,у — это две точки на одной и той же компоненте
многообразия М.
Определение П.1. Введем метрику на каждой компоненте
многообразия М:
р(х,у)= inf 1(a). (П.1)
<г:[х,у]

Приложение. Критические точки на С1-многообразии 453
Топология, порожденная данной метрикой на многообразии М,
согласована с исходной топологией многообразия М.
Пусть М — это финслерово многообразие и 3 Е C^MjR1).
Обозначим дифференциал 3 в точке х Е М через <№(х). Тогда d$(x) есть
элемент кокасательного пространства Т2(М)* многообразия М в точке
хеш.
Определение П.2. Точка х Е М называется критической точкой
функционала У, если d7(x) = 0. Соответствующее значение с = 7{х)
называется критическим значением. Значения, отличные от
критических, называются регулярными.
Введем следующие обозначения:
К={жЕМ: dS-(x) = 0},
КвЕКПГ^с),
?c = {iEM: 3(х) <с}.
Если М — это финслерово многообразие, тогда кокасательное расслоение
Т(М)* имеет дуальную финслерову структуру, задаваемую посредством
выражения
\\w\\*x=sup{(w,v): t>GTx(M), |И, = 1>,
где w E Т2(М)* и (•, •) — это двойственность между ТХ(М)* и ТХ(М).
Понятно, что отображение х «-> ||dy(a:)||x определено и непрерывно для
7 G
Самоопределение П.З. Будем говорить, что функционал 7 Е C^MjR1)
удовлетворяет условию Пале—Смейла на уровне с Е К1
(обозначение — (PSC)), если каждая последовательность {хп} Е М, такая что
^(Хп) ~> с и ||d9r(a;n)||5ii -> 0, содержит сходящуюся в М
подпоследовательность.
Введем следующие обозначения:
Л,- = {А С М : catM(.A) ^ j, А — компактно},
Г;- = {А С М : А Е Е(В), j(A) >j, А — компактно}.
Справедлива первая теорема.
Теорема П.1. Пусть М есть С1 финслерово многообразие. Функционал
У Е С^(М; R1) является ограниченным снизу на многообразии М, при-
чем множество
9* = {и Е М : Ци) < Ь}
полно в метрике р многообразия М. Рассмотрим минимаксную задачу
Cj = inf sup 3(и).

454
Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
Если Л* Ф 0 для некоторого k Е N и функционал 3{и) удовлетворяет
условию (PSC) для с = Cj при j = 1, fc, то функционал Э'(и) имеет на
многообразии М по меньшей мере к различных критических точек.
Кроме того, имеет место второе утверждение в терминах рода
множеств.
Теорема П.2. Предположим, что М есть симметричное относительно
в Е В С1 -подмногообразие вещественного банахова пространства В,
причем в £ М. Пусть функционал 3(и) Е С^(М; R1) является четным
и ограниченным снизу на М. Введем минимаксную задачу
Cj = inf sup J(u),
тогда если Г* ф 0 при некотором k Е N и удовлетворяет условию
(PSC) при с = Cj, j = 1, к, то функционал 3{и) имеет по меньшей мере
к различных критических точек на многообразии М.
Рассмотрим следующий пример.
Пример П. 1. Нужно решить следующую задачу на собственные
функции и собственные значения:
{
-Apu + /(ti) = Xg(u) при х Е П;
ti = 0 при х Е dil, ^
причем
Х- J |Vti|p <fo + J F(u)(x) dx = beR\ (П.З)
где ограниченная область П С R^ имеет достаточно гладкую границу. >
Замечание П. 1. Заметим, что многообразие М С Wj'p(Q), определенное формулой
М =
= j u Е Wj'p(0): - j\Vu\p dx + f F(u)(x) dx = b E R1 i,
вообще говоря, не является С2-гладким, если потребовать, чтобы р Е (1,2).
Поэтому результаты из третьей главы в данном случае не применимы.
Для решения этой задачи нам необходимо ввести некоторые
предположения относительно условий роста каратеодориевых функций f(t) и
g(t). Прежде всего, предположим, что эти функции непрерывны по
переменной t Е R1. Тогда они порождают соответствующие операторы Не-
мыцкого (см. первую главу):
Nf(-) = f(-) и ад=5о.

Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
455
Пусть
t t
F(t) = f f(s)ds, G(t) = f 9(8) ds.
о 0
Потребуем теперь следующего условия на рост функций f(t) и g(t):
1/(01 < «1 +*i\tr\ \9(t)\ < a, +a2\t\r-\ (ПА)
где аьа2>0иге (2,р*),
NP
при N < р;
э*= I N-p
[ Ч-оо
Р = <, N-р
-f оо при N ^ р.
Дадим определение слабого решения краевой задачи (П.2)-(П.З).
Определение П.4. Функцию u(x) € Wo'p(fl) назовем слабым
решением задачи (П.2)-(П.З), если имеет место следующее равенство:
(D(u), w) = О для всех w € W^(H), (П.5)
где
D(u) = Apu + f(u)- \g(u),
(•, •) — это скобки двойственности между банаховыми
пространствами Wj'p(H) и W^n).
В дальнейшем мы будем рассматривать банахово пространство Wo'p(ft)
относительно одной из эквивалентных норм
Up
Введем теперь функционалы:
tp(u) = - j G(u)(x) dx, <p(u) = <p2(u) + (f\(u),
<px(u) = f F(u)(x) dx, <p2(u) = i||t«r
П
Имеет место следующая лемма.
Лемма П.1. Справедливы следующие свойства:
(I) имеют место следующие равенства:
(l>'f(u), w) =- J Ng(u)(x)w(x) dx,

456
Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
(<p'f(u), w) = (<p\f(u), w) + (ip'2f{u), w)9
(<p\f(u),w) = j Nf(u){x)w(x)dx,
n
(<p2f(u)yw) =(-Apu,w)
для всех w e Wj'p(ft);
(II) операторы
ift(u) = -N9(u): wj*(0) -> W-1'(П),
^(t») = JV/(ii): Wj*p(ft) -> Wiy (П)
являются полностью непрерывными',
(III) функционалы tp и tp непрерывны относительно слабой сходимости.
Доказательство. Прежде всего отметим, что в силу условия роста (П.4)
имеет место вполне непрерывное вложение
Wj*(n) «-*«-> Lr(ft), (П.6)
кроме того, имеет место плотное вложение
Wj'p(ft) с Lr(f2).
Заметим, что банахово пространство Wo'p(fi) при р > 1 является
рефлексивным, поэтому в силу [20, гл. 1, теорема 1.16] имеют место плотные
непрерывные вложения
wj*(n) С ЬГ(П) с ЬГ'(П) с Wiy (П). (П.7)
Ранее нами было доказано, что производные Фреше функционалов tp(u)
и <р\(и) есть соответствующие операторы Немыцкого:
#(«0 = -*#(«»). <p'f(u) = Nf(u),
причем в силу (П.7), [20, гл. 1, теорема 1.15] и свойств оператора
Немыцкого имеют место следующие равенства:
= - f N9(u)(x)w(x)dx,
(tp\f(u),w)= j Nf(u)(x)w{x) dx
для всех w(x) E Wq,p(H). Производная Фреше функционала
<p2(u) = ku\\"

Приложение. Критические точки на С1-многообразии
457
ранее нами была вычислена и
<Р2/(«0 = -А**.
Докажем утверждение (II). Действительно, пусть
un и слабо в Wj'p(H),
но тогда в силу вполне непрерывного вложения (П.6)
tin -> и сильно в Lr(H).
Теперь воспользуемся условиями роста (П.4) и свойствами оператора Не-
мыцкого (см. первую главу) и приходим к выводу, что
Nf(un) -> Nf(u) сильно в Lr'(H).
Отсюда и из (П.7) приходим к выводу, что
Nf(un) -> Nf(u) сильно в W"lp'(n). (П.8)
Докажем, наконец, утверждение (III). Действительно, пусть
un и слабо в Wqp(Q),
тогда в силу вполне непрерывного вложения
WJ'P(H) «->«-> hr(Q)
мы приходим к выводу, что
um -> и сильно в Lr(H).
Кроме того, по построению функции F(t) и G(t) — непрерывные функции
переменной t Е R1, причем из условий роста вытекают следующие условия
роста, но уже функций F(t) и G(t):
\F(t)\<a+c2\t\r, \G(t)\<Cl+c2\t\r.
Следовательно, приходим к выводу, что для соответствующих операторов
Немыцкого Np(-) = F(-) и Nq(-) = G(-) в силу теоремы 1.8 первой главы
справедливы следующие предельные формулы:
Np(un) -» NF(u) сильно в L!(J7),
Nd^n) -> Nc(u) сильно в L'(n).
Таким образом,
V?iK) = J NF(un)(x) dx -> ip{(u) = J NF(u)(x) dx,
V>K0 = - j NG(un)(x) dx -> ip^u) = - J NG(u)(x) dx
при n —> +00.
Лемма доказана. □

Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
459
поэтому
-Apun = (p'f(un) - Nf(un).
Кроме того, в силу доказанной полной непрерывности оператора
Немыцкого Nj(-) приходим к выводу, что
Nf(un) -> Nf(u) сильно в W",y(H).
Следовательно,
-Арип -> й сильно в W",,p'(n).
Но поскольку оператор
-Др: Wj'p(H)-> Wiy(n)
является дуализующим отображением строго выпуклого при р > 1
банахова пространства Wo'p(n) в его сопряженное W",,p'(fi) (см. [20, гл. 1]),
то уравнение
-Apw = ue W"iy(H)
имеет единственное решение
w = (-АРГ{й е Wj'p(H),
поэтому отсюда и из очевидного неравенства
(1*|Г"2*||6Г26. Ь - 6) > с(рМ - 61" Для всех fc € R*
вытекает, что
(-Apun + Apw, ип - w) = J (\Vun\p~2Vun - | Vw|P~2Vw, u„ - w) dx^
n
^ c(p) J \Vun - Vw\ dx -> 0 при n -> +oo,
n
Таким образом, отсюда получаем, что
ип -> id сильно в Wo'p(n),
но тогда
ип и; слабо в Wj'p(H).
В силу отделимости всякого банахова пространства имеем w = и.
Лемма доказана. □
Предположим, что 6^0 — это регулярное значение функционала
<р(и), т.е. для всех и Е {<р(и) = Ь} имеем
v'f(u)toe wiy(n).

458 Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
Имеет место вспомогательная лемма.
Лемма П.2. Справедливы следующие свойства:
(I) оператор (р^(-) отображает ограниченные множества из Wqp(D) в
ограниченные множества из W-,'p'(£2);
(И) если ип и слабо в W^ft), а последовательность {<p'f(un)} сходится
сильно в УГ1*(П), то ип->и сильно в Wqp(Q).
Доказательство. Докажем утверждение (I). Действительно,
(p'f(u) = -Apu + Nf(u),
где оператор Немыцкого #/(•) в силу теоремы 1.8 первой главы переводит
ограниченные множества из 1/(П) в ограниченные множества из 1/(0).
Тогда в силу плотных и непрерывных вложений (П.7) приходим к
выводу, что оператор Немыцкого Nf(-) переводит ограниченные множества
из WQ,p(n) в ограниченные множества из W"lp'(Q). Рассмотрим теперь
оператор -Ари. Действительно, имеет место следующее равенство:
(-Apu,v) = j (IVu|p"2Vu, Vv) dx,
откуда в силу неравенства Гельдера получим оценку
1<-д,«,^|<кг'1М1.
Отсюда получим, что
||Д,и||.= sup \(-ApUlv)\<\\u\r\
IMKi
а поскольку каждое ограниченное множество банахова пространства
содержится в некотором шаре \\и\\ ^ R, то из последней оценки получим
\\ApU\u^Rp-\
Стало быть, и оператор Ар переводит офаниченные множества из Wj^fi)
в Офаниченные множества из W~1,p'(0). Таким образом, (I) доказано.
Докажем теперь утверждение (II). Пусть
ti„ и слабо в Wqp(Q)
и последовательность {<p'f(un)} сходится сильно в W~ltP'(Q):
4>'f{un) -> v сильно в W~1,p
Заметим, что
V/К) = ~Арип + Nf(un),

460
Приложение. Критические точки на с1 -многообразии
Тогда М = <p~l(b) есть С1-гладкое финслерово многообразие. Согласно
результатам третьей главы мы приходим к выводу, что u е м является
критической точкой функционала %j)(u) на М тогда и только тогда, когда
#(ti) + inp'f(u) = ве wiy(n). (П.9)
Предположим, что также
^(u)^ewI,p'(fi)
на многообразии М. Следовательно, поскольку <p'f(u) Ф в на
многообразии, то \л Ф 0. Поэтому есть взаимно-однозначное соответствие между
числами /I и А:
А = /Г'.
Теперь мы можем доказать следующий результат о существовании по
меньшей мере счетного множества слабых решений задачи (П.2)-(П.З) в
смысле определения П.4. Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема П.З. Предположим, что функции /, g е с1 (R1; R1), являются
четными и удовлетворяют условию роста (П.4). Пусть, кроме того,
G(t) > 0 для почти всех t е R1 и выполнены неравенства
F(t) > -dx\t\p - */(*) > pF(t),
G(t)>-F(t)-d3, dud2,d3>0. 1 ' )
Тогда если b Ф 0 есть регулярное значение функционала (р(и), то
задача (П.2)-(П.З), понимаемая в слабом смысле определения П.4, имеет
по меньшей мере счетное множество геометрически разных решений,
принадлежащих многообразию М = <p~l(b).
Доказательство. Прежде всего отметим, что из условия G(t) > 0 для
почти всех t е R1 вытекает
tl>'f(u) ф в для всех и е Wl0,p(n).
Действительно, поскольку
в Ф и(х) е wj*(n),
то существуют такие числа /3 > a > 0, что
meas{x е П : /3 ^ и(х) ^ а} > 0.
Наконец, поскольку
t
G(t) = J g(s) ds>0 для всех t E R1,
о
то при t E [a, /3] приходим к выводу о том, что
meas {г е [а, /3] : д(т) > 0} > 0.

Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
461
Значит, д(и(х)) > 0 на множестве из О, положительной меры, а поскольку
tff(u) = -9(u),
то приходим к требуемому результату. В частности, приходим к выводу,
что при Ь Ф О в G М, и тогда
ip'j(u) Ф в для всех u Е М.
Теперь нам предстоит «топологическая» работа — нам нужно доказать,
что многообразие М (которое является симметричным относительно
в G Wo'p(n) в силу четности функционала <p(u)f а поскольку b Ф О, то
это многообразие не содержит точку в G Wo'p(n)) содержит компактные
множества произвольного рода, т. е. введенное ранее множество Г* Ф 0
для всех k G N.
Заметим, что банахово пространство
В = wj*p(n)
является сепарабельным при р Е (1, +оо), поэтому в силу результата
работы В. Д. Мильмана [32] существует такая биортогональная система
{e,},t°?CB = W^(n) и {e;.}t~CB*=W-,y(^),
что
и, кроме того, множество {ej} тотально на W^ft), где под тотальностью
понимается то свойство, что из условия
(ej,v)=0 для всех j = l,+oo
вытекает, что v = в. Введем следующие банаховы пространства:
Bm =span{ei,e2,... ,em},
Вш = span{em+i,em+2,.--}.
Рассмотрим теперь следующую величину:
I ее inf jttGB^: - f \Vu\pdx-dx j \u\pdx, \\u\\ = \ 1. (П.11)
Докажем, что I > 0. Действительно, предположим противное, тогда
существует такая последовательность
Ы С Bi,
что
- f\Vum\pdx-dl f\um\pdx^ причем \\um\\ = 1. (П.12)
Р J J m

462
Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
Заметим, что при п ^ га имеет место равенство
(e*,txm) =0,
поэтому в силу тотальности множества {ej} С W~l,j^(n) над Wo,p(n)
приходим к выводу, что
um в слабо в В.
Отсюда в силу вполне непрерывного вложения
Wo'p(ft) LP(Q)
приходим к выводу, что
um -> в сильно в
но тогда из (П. 12) в пределе при га -> -foo получим противоречивое
неравенство
'«а
Следовательно, I, определенное формулой (П. 11), строго больше нуля.
Пусть I ^ а > 0, тогда, положив
и=1й*
из (П.11) получим неравенство
\_ 1
Pi
п
Отсюда сразу же получаем оценку
- j \Vv\p dx-dx j \v\p dx > a\\v\\p > 0.
П П
Теперь в силу условий (П. 10) и последнего неравенства получим оценку
снизу на функционал <р(и):
ip(u) ^ о\\и\\рр - d2 meas{n} для всех u Е В^. (П.13)
Отсюда вытекают важный вывод: множество
МП1& = ¥>-'(&) пв£
является офаниченным. Действительно, это следствие того, что
многообразие М задается как множество точек (р(и) = Ь Е R1. Поэтому из (П. 13)
получаем оценку
\\и\\р ^ [Ь + й2теы{П}]а-1.
Пусть теперь
Е* = span{em+i,..., em+*},

Приложение. Критические точки на С1-многообразии 463
тогда, во-первых, dimE* = k> во-вторых, в £ МНЕ* и чуть ранее
указанное пересечение является симметричной и ограниченной окрестностью
точки в G Е*, поэтому в силу теоремы 4.1 четвертой главы
7(МПЕ*) = dimE* = к.
Ясно, что М п — это замкнутое, ограниченное и конечномерное
множество — значит, это компакт на М. Поэтому
Г* Ф 0 для всех к G N.
Продолжим наше доказательство. Теперь наша задача — доказать, что
функционал tl>(u) ограничен снизу на подмногообразии МпЕ^.
Действительно, во-первых, пусть j > тп, тогда в силу условия, что G(t) > О
для почти всех t G R1,
cj = inf sup ib(u) < 0.
Пусть теперь Л G Г;, тогда в силу свойства (vi) теоремы 4.2 четвертой
главы приходим к выводу, что
А п Вт Ф 0.
Заметим, что функционал *ф отображает офаниченные множества из
Wq,p(£1) в офаниченные множества в R1. Действительно,
<ф(и) = - j Ng(u)(x) dx,
поэтому достаточно вспомнить условие роста (П.4) для функции g(t) и
тогда для G(t) получить оценку
\G(t)\^Cl+c2\t\r.
Поэтому в силу теоремы 1.8 первой главы приходим к выводу, что
оператор Немыцкого Nc(-) является Офаниченным отображением из Wo'p(n)
в l'(ft), но тогда 1р(и) есть ограниченное отображение из Wq,p(0) в r1.
Следовательно, функционал офаничен снизу на офаниченном множестве
М П В^. Таким образом, числа
cj > -оо для всех j > т.
Докажем теперь, что функционал tp(u) удовлетворяет условию (PSC) для
всех с < 0 на многообразии М. Действительно, пусть {ип} С М — это
произвольная последовательность, такая что
V>K)->c, ||^К)||ф(ТипМ)->0 при п-++оо. (П.14)
Наша задача — доказать, что существует такая подпоследовательность
{fn*} С {ип}у что
иПк -> u G М сильно в В = Wo,p(n) при к -> + оо.

Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
465
поскольку {ип} С М. Таким образом,
1
Заметим, что функция Q(t) = tg(t) непрерывна на R1 и удовлетворяет
условию роста следующего вида:
\9(t)\<cx+ci\t\r9 с,,с2>0,
но тогда соответствующий оператор Немыцкого
N9(u) = ug(u)
переводит ограниченные множества из
Wj'p(n) Lr(n)
в Офаниченные множества из L'(n). Следовательно,
l^nl ^ с3 < +оо для всех п £ N. (П. 17)
Докажем теперь, что
/*п -> Ф 0 при п -> +00.
Действительно, достаточно доказать, что
J g(un)un dx -> К Ф 0 при п -> +оо.
л
Поскольку подпоследовательность {ип} сильно сходится в к и при
п -> +оо, то
J д(ип)ип dx -> J д(и)и dx при п -> +оо.
Но в силу первого условия из (П. 14)
ip(un) -+с<о^ифве w^(n).
С другой стороны,
#(«) = -N,(v),
причем мы ранее доказали, что ^(и) Ф в для всех и Ф 0, поскольку
G(t) > 0 для почти всех t, но тогда д(и(х)) > 0 на множестве
положительной меры и
(^V(u), и) = - J д(и)(х)и(х) dx < 0.
п
30 Заказ 405

464
Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
Прежде всего докажем, что из первого условия в (П. 14) вытекает
ограниченность последовательности {ип} в В. Действительно, в силу условия
(П. 10) доказываемой теоремы имеем следующую цепочку соотношений:
un) = - J G(un)(x) dx ^ j F(un)(x) dx + d3 meas(n) =
= b--\\un\\pp + di meas(tt),
P
откуда приходим к выводу, что
lltffill <d4< -foo,
где ^4 не зависит от п £ N. Поэтому в силу рефлексивности банахова
пространства Wo'p(n) при р е (1, -foo) мы приходим к выводу, что существует
такая подпоследовательность {иПк} С {ип}, что
иПк и слабо в В = Wj'p(ft). (П.15)
Следовательно, в силу вполне непрерывного вложения (П.6) имеем
иПк -> и сильно в (П. 16)
В дальнейшем в целях улучшения вида выкладок будем обозначать эту
выбранную подпоследовательность так же, как и исходную
последовательность. Теперь займемся анализом второго условия из (П. 14). Имеет
место следующая цепочка выражений:
1к/Ы|к(тИпм)= sup K^w,")| =
t/€TenM||t/||<l
= mf \Шип) + W/W|L = ЫЫ + >
> c\(l>'f(Un) + Pn<p'f(Un), Un) I = 0.
фажение для '
j g(un)(x)un(x) dx
Из последнего равенства получим выражение для числовой
последовательности {цп} С R1:
Mun),Un)
Р>п =
<^К), ип) ы? + J f(Un)(x)Un{x) dx
В силу следующего условия из (П. 10),
pF(t) < tf(t),
приходим к неравенствам
\К\\Р + J /КК<*ОрМк1Г + f F(u„)(x)dx] =pM0,

466
Приложение. Критические точки на С1 -многообразии
Таким образом, ц Ф 0. Следовательно, в силу второго условия из (П. 14)
выполнена следующая предельная формула:
In = (^(wn),2:)+^n(v?/(un),z>->0 при п->+оо (П. 18)
равномерно по всем z Е WQ,p(fi) из шара ||z|| ^ 1. Заметим, что (П. 18)
можно записать в следующей эквивалентной форме, положив z = un - u:
Hn(-&pUn + &U,Un-u) = \n+fin(ApU,Un -U)- {tff(un),Un -u). (П. 19)
Поскольку un сходится слабо в В, то
(&pu, un - u) -> 0 при n -> +оо. (П.20)
С другой стороны,
(V>/(u„), un - u) = J Nf(un)(un - u) dx,
n
поэтому
(V>/K)» un - u) -> 0 при n -> +oo, (П.21)
поскольку имеет место оценка
JNf(un)(un-u) dx
^ (/ \Nf(Un^ ^/ \un(x) - u(x)\r dx^j ->0 при n->+oo
и, по доказанному, оператор Немыцкого iV/() переводит офаниченные
множества из W^n) в офаниченные множества из Lr'(H) и справедливо
(П. 16). Таким образом, правая часть выражения (П. 19) в силу предельных
формул (П.18), (П.20) и (П.21) стремится к нулю. Но, по доказанному,
найдется такое N Е N, что имеют место неравенства
О < е ^ \цп\ < +оо для всех n ^ N.
Следовательно, в силу (П. 19) приходим к следующей цепочке выражений:
(-Дри„ + Ди, un-u) = J (\Vun\p~2Vun - \Vu\p~2Vu, Vun-Vu) dx^
^ c(p) j I Vwn - Vu\p dx-+0 при n -> +oo.
Q
Таким образом,
un -> u сильно в В при n -> +00.

Приложение. Критические точки на С1 -многообразии 467
Отсюда и из явного вида функционала (р(и) приходим к выводу, что
b = <p(un) -> <p(u) (p(u) = H«GM.
Следовательно, условие (PSC) выполнено при с < 0, поэтому в силу
теоремы П.2 функционал *ф(и) имеет на многообразии М по меньшей мере
счетное множество геометрически разных собственных функций.
Теорема доказана. □
30*

Литература
1. Александров А. Д. Условия единственности и оценки решения задачи Дирихле
// Вестник ЛГУ, серия матем., мех. и астрономии. 1963. № 13. Вып. 3. С. 5-29.
2. Байокки К, Капело А. Вариационные и квазивариационые неравенства. М:
Наука, 1988. 448 с.
3. Бернштейн С. Я. Об уравнениях вариационного исчисления. Собрание
сочинений. Т. III. М.: Наука, 1973.
4. Бобылев Н.А., Емельянов С. В., Коровин С. К. Методы нелинейного анализа в
задачах управления и оптимизации. М.: URSS, 2002. 114 с.
5. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов.
М.: Гос. изд. технико-теор. лит., 1956. 344 с.
6. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.:
Наука, 1972. 416 с.
7. Вайнберг М.М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных
уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.
8. Вайнберг М. М. Некоторые вопросы дифференциального исчисления в
линейных пространствах // УМН. №7. Вып.4. 1952. С. 55-102.
9. Васильева А. Б., Нефедов II. Я. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных
неравенств Чаплыгина. М.: Изд-во МГУ, 2007.
10. Габов С. А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ, 1988. 178 с.
11. Гаевский Х.у Грегер К, Захариас К Нелинейные операторные уравнения и
операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.
12. Гущин А. К, Михайлов В. П. Дополнительные главы курса «Уравнения
математической физики» //Лекционные курсы НОЦ, 7. МИАН РАН. М., 2007.
13. Данфорд Я, Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. 3-е изд. М.:
URSS, 2010. 896 с.
14. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука,
1967. 472 с.
15. Зорин В. А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. 544 с.
16. Иосида К. Функциональный анализ. 3-е изд. М.: Издательство ЛКИ/URSS,
2010. 624 с.
17. Калантаров В. К., Ладыженская О. А. Формирование коллапсов в
квазилинейных уравнениях параболического и гиперболического типов // Записки
ЛОМИ. 1977. Т. 69. С. 77-102.
18. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
744 с.
19. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их
приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.
20. Корпусов М. О.у Свешников А. Г. Нелинейный функциональный анализ и
математическое моделирование в физике: Геометрические и топологические
свойства линейных пространств. М.: Красанд/URSS, 2011. 416 с.

Литература
469
21. Корпусов М.О., Свешников А. Г. О разрушении решения системы уравнений
Осколкова // Матем. сб. 2009. Т. 200. №4. С. 83-108.
22. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных
интегральных уравнений. М.: Гос. изд. технико-теор. лит., 1956. 392 с.
23. Крейн С Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом
пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.
24. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в
пространствах Гельдера. Новосибирск: Научная книга, 1998.
25. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М: Наука,
1988. 304 с.
26. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимемой
жидкости. М.: Наука, 1970.
27. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. Теоретическая
физика. М.: Наука, 1992. Т. 8. 664 с.
29. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи. М.: Мир, 1971.
372 с.
30. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. 3-е изд.
М.: URSS, 2010. 586 с.
31. Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г. Топологические методы в вариационных
задачах. М.: Гос. издат., 1930. 68 с.
32. Мильман В. Д. Геометрическая теория пространств Банаха. Часть I // УМН.
1970. Т. XXV. Вып.З (153). С. 113-124.
33. Митидиери Э., Похожаев С И. Априорные оценки и отсутствие решений
дифференциальных неравенств в частных производных // Труды МИАН.
2001. Т. 234.
34. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир,
1977. 232 с.
35. Осмоловский В. Г. Нелинейная задача Штурма—Лиувилля. СПб., 2003. 260 с.
36. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. 7-е изд. М.: Книжный дом «Либроком^/URSS, 2009. 240 с.
37. Похожаев С. И. Об уравнениях вида Ди = /(я, и, Vu) // Матем. сборник.
1980. Т. 113. №2. С. 324-338.
38. Похожаев С. И. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач //
Труды МИАН СССР. 1990. Т. 192. С. 146-163.
39. Свешников А. Г., Альшин А. Корпусов М. 0.у Шетнер Ю.Д. Линейные и
нелинейные уравнения Соболевского типа. М.: Физматлит, 2007. 734 с.
40. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О. Нелинейный функциональный
анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. М.: Научный
мир, 2008. 400 с.
41. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных
задач. М.: Наука, 1990. 450 с.
42. Соболевский П. Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом
пространстве // Труды ММО. 1961. Т. 10. С. 297-350.
43. Темам Р. Уравнения Навье—Стокса. М.: Мир, 1981. 408 с.

470
Литература
44. Тихонов А. Я, Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения:
Учебник для вузов. 5-е изд. М.: Физматлит, 2005.
45. Треногий В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.
46. Федосов В. Я. Низкочастотные флуктуации и релаксация в
полупроводниковом сегнетоэлектрике// Физика и техника полупроводников. 1983. Т. 17. N° 5.
С. 941-944.
47. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами.
М.: Наука, 1990. 536 с.
48. Хатсон В., ПимДж. Приложения функционального анализа и теории
операторов. М.: Мир, 1983. 432 с.
49. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд-во
иностр. лит., 1962. 832 с.
50. Эванс Л. К. Уравнения с частными производными. Новосибирск.: Тамара
Рожковская, 2003. 563 с.
51. Agmon .У., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions
of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions //
Comm. Pure Appl. Math. 1959. XII. P. 623-727.
52. Ako K. On the Dirichlet problem for qusi-linear elliptic differential equations of the
second order // J. Math. Soc. Japan. 1961. Vol. 13. № 1. P. 45-62.
53. Albert J. P. Concentration compactness and the stability of solitary-wave solutions
to nonlocal equations // Applied analysis. Baton Rouge, LA, 1996. P. 1-29;
Contemporary Mathematics. 221. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.
54. Amann II. On the existence of positive solutions of nonlinear elliptic boundary
value problems // Indiana University Mathematics Journal. 1971. Vol. 21. №2.
P. 125-146.
55. Amann Я. Existence of multiple solutions for nonlinear elliptic boundary value
problems // Indiana University Mathematics Journal. 1972. Vol.21. № 10. P.925-935.
56. Amann H. A uniqueness theorem for nonlinear elliptic boundary value problems //
Arch. Rat. Mech. Analys. 1972. Vol.44. P. 178-181.
57. Amann Я., Crandall M. G. On some existence theorems for semilinear elliptic
equations // Indiana University Mathematics Journal. 1978. Vol. 27. № 5. P. 779-790.
58. Amann H. Periodic solutions of semi-linear parabolic equations // In ^Nonlinear
Analysis: A Collection of Papers in Horor of Erich Rothe». Academic Press. 1972.
59. Ambrosetti A.t Rabinomtz P. H. Dual variational methods in critical point theory and
applications // Journal of differential equations. 1973. 14. P. 349-381.
60. Ambrosetti A. Critical points and nonlinear variational problems // Memoires de la
S.M.F. 1992. Vol.49. P 1-139.
61. Bony J.-Af. Principe de maximum dans les espaces de Sobolev // C. R.Acad. Sci.
Paris. Sen A 265. 1967. P. 333-336.
62. Benjamin Т. B. The stability of solitary waves // Proc. Roy. Soc. London Sen A 328.
1972. P. 153-183.
63. Bona J. On the stability theory of solitary waves // Proc. Roy. Soc. London Ser.
A 344. 1975. P. 363-374.
64. Berger M. S. On von Karman's equation and the buckling of a thin elastic plate. I.
the clamped plate // Comm. Pure Appl. Math. 1967. 20. P. 687-719.
65. dark C. D. A variant of the Lusternik—Schnirelman theory // Indiana University
Mathematics Jornal. 1972. Vol.22. N° 1. P.65-74.

Литература
471
66. Constantin A, Escher J. Global weak solutions for a shallow water equation //
Indiana University Mathematical Journal. 1998. Vol. 47. №4. P. 1527-1545.
67. Constantin A., Escher J. Global existence and blow-up for a shallow water equation //
Annali. Sc.Norm. Sup. Pisa. 1998. Vol.23. P.303-328.
68. Dinca (7., Jebelean P., Ma whin J. Variational and topological methods for Dirich-
let problems with p-Laplacian // Portugaliae Mathematica. 2001. Vol.58. N° 3,
P. 339-378
69. Drabek P.t Milota Y Methods of nonlinear analisys. Applications to differential
equations. Birkhaser, 2007. 575 p.
70. Drabek P., Otani M. Global bifurcation result for the p-biharmonic operator //
EJDE. 2001. Nq 48. P. 1-19.
71. Fridman A. Partial Differential Equations. Holt, New York, 1969.
72. Fujita H. On the blowing up solutions of the Cauchy
73. Fukagai N Existence and uniqueness of entire solutions of second order sublinear
elliptic equations // Funkcialaj Ekvacioj. 1986. №29. P. 151-165. problem for
щ = Au + u,+° // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1966. Sect. IA. Vol. 13. P. 109-124.
74. Furusho Y.y Kusano T. Existence of positive entire solutions for higher order quasi-
linear elliptic equations // J. Math. Soc. Japan. 1994. Vol. 46. Nq 3. P. 449-465
75. Furusho Y, Kusano T. A supersolution-subsolution method for nonlinear biharmonic
equations in // Czechoslovak Math. J. 1997. Vol.47 (122). P.749-768.
76. Gagliardo E. Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di
funzioni in n variabli // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1957. XXVII. P. 284-305.
77. Gasinski L.t Papageorgiou NS. Nonlinear analisys. Volume 9. Chapman and Hall.
Series in Mathematical Analysis and Applications / Edited by R. P. Agarwal and
D. O. Regan. 2005. 960 p.
78. Gasinski L.t Papageorgiou N. S. Nonsmooth critical point theory and nonlinear
boundary value problems. Volume 8. Chapman and Hall. Series in Mathematical
Analysis and Applications / Edited by Ravi P. Agarwal and Donal О Regan. 2005.
768 p.
79. Hayashi N.t Kaikina E. /., Naumkin P. /., Shishmarev I. A. Asymptotics for dissipative
nonlinear equations. Springer, 2006. 565 p.
80. Hormander L. Nonlinear Hyperbolic Differential Equations. Lectures. University of
Lund, 1988.
81. Kawano N. On bounded entire solutions of semilinear elliptic equations // Hiroshima
Math. J. 1984. 14. P. 125-158.
82. Kuzin /., Pohozaev S. Entire solutions of semilinear elliptic equations. Nonlinear
Differential Equations and their Applications, 33. Birkhauser Verlag, Basel, 1997.
vi+250 p.
83. Lindqvist P. On the equation div (|Vu|p~2 Vu) + \\u\p~2u = 0 // Proc. Amer. Math.
Soc. 1990. Vol. 109. P. 157-164.
84. Lions P. L. The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations.
The locally compact case, part 1 // Annales de VI. H. P. section C. 1984. Vol. 1.
№2. P. 109-145.
85. Lions P. L. The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations.
The locally compact case, part 2 // Annales de Г1. H. P. section C. 1984. Vol. 1.
№4. P. 223-283.

472
Литература
86. Nagumo М. On principally linear elliptic differential equations of the second order //
Osaka Math. J. 1954. 6. P. 207-229.
87. Naumkin P. I. Shishmarev I. A. Nonlinear Nonlocal Equations in the Theory of
Wsives. Translations of Mathematical Monographs 133. Providence, R. I.: American
Mathematical Society, 1994.
88. Otani M. T. Jdogawa The first eigenvalues of some abstract elliptic operators //
Funkcialaj Ekvacioj. 1995. 38. P. 1-9.
89. Rabinowitz P. H. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems //
Indiana Univ. Math. J. 1974. Vol. 23. № 8. P. 729-754.
90. Rabinowitz P. H. Minimax methods in critical point theory with applications to
differential equations // AMS. 1986. №65. P. 100.
91. Sattinger D. T. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary
value problems // Indiana University Mathematics Journal. 1972. Vol.21. №11.
P. 979-1000.
92. Schwartz J. Nonlinear Functional Analysis. Gordon and Breach Sciences Publishers,
New York, 1969.
93. Struwe M. Variational methods. Applications to Nonlinear Partial Differential
Equations and Hamiltonian Systems. Fourth Edition. Springer-Verlag Berlin Heidelberg,
2008. 320 p.
94. Szulkin A. Ljusternik—Schnirelmann theory on C! -manifolds // Annales de П. H. P.,
section C. 1988. Vol.5. №2. P. 119-139.

Предметный указатель
Вектор
псевдоградиентный 151
Векторное поле
псевдоградиентное 151
Волна
волновой пакет 113
колебание 113
Деформация 157
Лемма
Div-curl 251
Борсука 147
Л ере—Шаудера 312
о двойственности 78
о деформации 1 83
о деформации 2 157
об остром угле 315
Многообразие
метрика 452
обыкновенная точка 65
псевдоградиентное векторное
поле 79
финслерово 452
Множество
выпуклая оболочка 294
выпуклое 48
категория 72
относительно компактное 32
предкомпактное 32
род 146
слабо компактное 48
стягиваемое 72
Оператор
АР 21
Немыцкого 19
вполне непрерывный 29
деминепрерывный 264
компактный 28
коэрцитивный 57, 265
липшиц-непрерывный 264
локально непрерывный
по Липшицу 39
локально ограниченный 265
монотонный 56, 265
нелокальный 116
неподвижная точка 292
непрерывный по Липшицу 292
ограниченно
липшиц-непрерывный 265
полностью непрерывный 29
потенциальный 39
радиально непрерывный 264
сжимающий 292
сильно монотонный 265
сильно потенциальный 39
слабо потенциальный 39
строго монотонный 56, 265
типа средней кривизны 421
Отображение
компактное 316
монотонное векторное поле 321
степень 318
Отображения
гомотопные 312
Производная
F}(ii) 12
f;(u) 9
Гато 9
оператора Ар 21
Фреше 11
оператора Ар 21
слабая 52, 235
Пространство
абсолютный окрестностиый
ретрактор 74
касательное 77
проективное 76
хаусдорфово 72

474
Предметный указатель
Решение
классическое 301
ослабленное 298
сильное 253
слабое 52, 68, 93, 94, 116, 137,
223, 235, 253, 271,273, 281,
309, 322,414,418, 421,425,
430, 434, 438, 440, 442, 445,
448, 455
Теорема
Браудера—Минти 269
Брауэра 294
Дугунджи 36
Красносельского 19
Мазура 36
Хана—Банаха 152
Шаудера 317
принцип Шаудера 294
Функционал
l№(«)ll.cr.v)77
выпуклый 48
критическая точка 453
критическое значение 183
принцип (PS) 156
сильный градиент 38
слабо коэрцитивный 49
слабо полунепрерывный снизу
48
слабый градиент 38
сферическое расслоение 135
тотальный 461
точки экстремума 42
условие (PS) 183
условие (PSC) 89, 453
условно критическая точка 65,
78
условный экстремум 64, 67
экстремум
достаточные условия 46
необходимые условия 44
Функция
деформация 72
каратеодориева 19
ANR 74

UHSS.ru URSS.ru URSS.ru URSSru
URSS
Другие книги нашего издательства:
Дифференциальные и интегральные уравнения
Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.
Немыцкий В. В.у Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.
Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды.
Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Коддингтон Э.А.У Левинсон И. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.
Сикорский Ю. С Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Понтрягин Л. С Дифференциальные уравнения и их приложения.
Трикоми Ф.Дж. Дифференциальные уравнения.
Филипс Г. Дифференциальные уравнения.
Амелькин В. В. Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения.
Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях.
Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Лефшец С Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
Ловитт У. В. Линейные интегральные уравнения.
Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений.
Теория чисел
Оре О. Приглашение в теорию чисел.
Вейль А. Основы теории чисел.
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел.
Ожигова Е. П. Что такое теория чисел.
Понтрягин Л. С. Обобщения чисел.
Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел.
Жуков А. В. Вездесущее число «пи».
Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел.
Хинчин А. Я. Цепные дроби.
Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа.
Серия «Физико-математическое наследие: математика (теория чисел)»
Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах.
Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу.
Дирихле П. Г. Л. Лекции по теории чисел.
Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа.
Берман Г. Н. Число и наука о нем: Общедоступные очерки по арифметике натур, чисел.
Ингам А. Э. Распределение простых чисел.
Ландау Э. Основы анализа: Действия над числами.
Титчмарш Э. Ч. Дзета-функция Римана.
Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах.
Демидов И. Т. Основания арифметики.
Дэвенпорт Г. Высшая арифметика: Введение в теорию чисел.
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru

URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru
Другие книги нашего издательства:
Математическое моделирование
Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование.
Тарасевич Ю. Ю. Информационные технологии в математике. URSS
Тарасевич Ю. Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы.
Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей.
Блехман И. И., Мышкис А.Д.У Пановко Я. Г. Прикладная математика.
Плохотников К. Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Морозов В. В. и др. Исследование операций в задачах и упражнениях.
Сухарев А. Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа.
Саати Т. Л. Принятие решений при зависимостях и обратных связях.
Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения.
Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем.
Оптимизация
Галеев Э. М. Оптимизация: теория, примеры, задачи.
Софиева Ю. Цирлин А. М. Введение в задачи и методы условной оптимизации.
Ковалев М. М. Дискретная оптимизация (целочисленное программирование).
Ковалев М. М. Матроиды в дискретной оптимизиции.
Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.
Понтрягин Л. С. Принцип максимума в оптимальном управлении.
Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление.
Габасов Р. у Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления.
Программирование
Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы линейного программирования. Кн. 1-3.
Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Задачи и методы линейного программирования. Кн. 1-3.
Юдин Д. 5., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование.
Гольштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Специальные направления в линейном программировании.
Гольштейн Е. Г. Выпуклое программирование: Элементы теории.
Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации.
Юдин Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования.
Юдин Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений.
Дикин И. И. Метод внутренних точек в линейном и нелинейном программировании.
Теория графов
Оре О. 1>афы и их применение.
Оре О. Теория графов.
Харари Ф. Теория графов.
Березина Л. Ю. Графы и их применение.
Мельников О. И. Незнайка в стране графов.
Мельников О. И. Теория графов в занимательных задачах.
Мельников О. И. Обучение дискретной математике.
Емеличев В.А.У Мельников О. И. и др. Лекции по теории графов.
Малинин Л. //., Малинина II. Л. Изоморфизм графов в теоремах и алгоритмах.
Родионов В. В. Методы четырехцветной раскраски вершин плоских графов.
Деза Е. И., Модель Д. Л. Основы дискретной математики.
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru

URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS
Другие книги нашего издательства:
Учебники и задачники по математике
Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Т. 1-7.
Краснов М.Л., Киселев А. Макаренко Г. И. Сборники задач
«Вся высшая математика» с подробными решениями.
Тактаров //. Г. Справочник по высшей математике для студентов вузов.
Боярчук А. К. и др. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). Т. 1 -5
Босс В. Интуиция и математика.
Босс В. Лекции по математике. Т. 1-15:
Т. 1: Анализ; Т. 2: Дифференциальные уравнения; Т. 3: Линейная алгебра;
Т. 4: Вероятность, информация, статистика; Т. 5: Функциональный анализ;
Т. 6: От Диофанта до Тьюринга; Т. 7: Оптимизация; Т. 8: Теория групп; Т. 9: ТФКН;
Т. 10. Перебор и эффективные алгоритмы; Т. 11. Уравнения математической физики;
Т. 12. Контрпримеры и парадоксы; Т 13. Топология; Т. 14. Теория чисел;
Т. 15. Нелинейные операторы и неподвижные точки.
Алексеев В. М. (ред.) Избранные задачи но математике из журнала "АММ".
Жуков А. В. и др Элегантная математика. Задачи и решения.
Арлазоров В. В. и др. Сборник задач по математике для физико-математических школ
Медведев Г. //. Задачи вступительных экзаменов но математике на физфаке МГУ.
Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение (с решениями).
Попов Г. Н. Сборник исторических задач по элементарной математике.
Золотаревская Д. И. Сборник задач по линейной алгебре.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями.
Антоневич А. Б. и др. Задачи и упражнения по функциональному анализу.
Городецкий В. В. и др. Методы решения задач но функциональному анализу.
Грищенко А. Е. и др. Теория функций комплексного переменного: Решение задач.
Яглом А. А/., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении.
Супрун В. П. Математика для старшеклассников. Кн 1, 2.
Базылев Д. Ф. Олимпиадные задачи по математике.
Куланин Е.Д.У Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах.
Эвнин А. Ю. Задачник по дискретной математике.
Киселев А. П. Задачи и упражнения к «Элементам алгебры».
Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. Кн. 1, 2.
Серия «Классический университетский учебник»
Колмогоров А. //., Драгалин А. Г. Математическая логика.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии.
Ишханов Б. С, Капитонов И. М., Юдин //. Я. Частицы и атомные ядра.
Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. В 4 т.
Серия «Знакомство с высшей математикой»
Понтрягин Л. С. Алгебра.
Понтрягин Л С. Метод координат.
Понтрягин Л. С. Анализ бесконечно малых.
Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения.
URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru

URSS.ru URSS.ru URSS.ru URSS.ru
URSS
Другие книги нашего издательства:
Серия «Синергетика: от прошлого к будущему»
Пенроуз Р. НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ. О компьютерах, мышлении
и законах физики. Пер. с англ.
Маинцер К. Сложносистемиое мышление: Материя, разум,
человечество. Новый синтез. Нср. с англ.
Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика.
Ландо II С. Нелинейные колебания и волны.
Неймарк Ю. Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания.
Трубецков Д. И. Введение в синергетику. В 2 кн.: Колебания и волны; Хаос и структуры.
Хакен Г. Информация и самоорганизация. Пер. с англ.
Анищенко Б. С. Знакомство с нелинейной динамикой.
Анищенко Б. С. Сложные колебания в простых системах.
Климонпювич Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса.
Безручко Б. П. и др. Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях.
Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.
Олемской А. И. Синергетика сложных систем: Феноменология и статистическая теория.
Арнольд В И. Теория катастроф.
Алексеев Ю. К., Сухорукое А. П. Введение в теорию катастроф.
Князева Е. //., Курдюмов С. П. Основания синергетики. Кн. I, 2.
Редько Б. Р. Эволюция, нейронные сети, интеллект.
Тюкин //. Ю , Терехов Б. А. Адаптация в нелинейных динамических системах.
Чернавский Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации).
Баранцев Р. Г. Синергетика в современном естествознании.
Пригожий И. Неравновесная статистическая механика.
Пригожин И. От существующего к возникающему.
Пригожий //., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени.
Пригожин //., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.
Пригожин //., Николис Г. Познание сложного. Введение.
Суздаев И. //. Нанотехнология: физико-химия нанокластеров, наноструктур
и наноматериалов.
Тел./факс:
+7(499)724-25-45
(многоканальный)
E-mail:
URSS@URSS.ru
http://URSS.ru
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«НАУКУ - ВСЕМ!» (м.Профсоюзная, Нахимовский пр-т, 56. Тел. (499) 724-2545)
«Библио-Глобус» (м.Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. (495) 625-2457)
«Московский дон книги» (м. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (495) 203-8242)
«Молодая гвардия» (н. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. (495) 238-5001,
780-3370)
«Дон научно-технической книги» (Ленинский пр-т, 40. Тел. (495) 137-6019)
«Дон книги на Ладожской» (н. Бауманская, ул. Ладожская, 8, стр. 1.
Тел. 267-0302)
«СПб. дом книги» (Невский пр., 28. Тел. (812) 448-2355)
«100 000 книг» (г.Екатеринбург, ул.Тургенева, 13. Тел. (343) 22-12-979)
Сеть магазинов «Дон книги» (г. Екатеринбург, ул. Антона Валена, 12.
Тел. (343) 253-50-10)
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru

URSSru
URSS.ru
URSS.ru URSS.ru
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых
Российской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных
экономических условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования
и распространения.
URSS
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Корпусов М. О., Свешников А. Г. Нелинейный функциональный анализ
и математическое моделирование в физике. Кн. 1,2.
Корпусов М. О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях.
Корпусов М. О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях.
Данфорд П., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.
Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.
Хургин Я. //., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике.
Иосида К. Функциональный анализ.
Князев П. Н. Функциональный анализ.
Князев П. И. Интегральные преобразования.
Луговая Г. Д., Шерстнев А. II. Функциональный анализ: Специальные курсы.
Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функций.
Титчмарш Э. Введение в теорию интегралов Фурье.
Бор Г. Почти периодические функции.
Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной.
Артин Э. Введение в теорию гамма-функций.
Марченков С. С. Представление функций суперпозициями.
Русак В. //. Математическая физика.
Гликлих 10. Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики.
Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике.
Эльсгольц Л. Э. Качественные методы в математическом анализе
Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление.
Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам.
Бауэр Э. Введение в теорию групп и ее приложения к квантовой физике.
Петрашень М. Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике.
Ван дер Верден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике.
Багавантам С, Венкатарайуду Т. Теория групп и ее применение к физич. проблемам.
Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика.
Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Конденсированное состояние.
Воронов В. К., Подоплелов А. В., Сагдеев РЗ. Физические основы нанотехнологий.
Вайнберг С. Мечты об окончательной теории. Пер. с англ.
Грин Б. Элегантная Вселенная. Пер. с англ
Грин Б. Ткань космоса: Пространство, время и текстура реальности. Пер. с англ.
Рэпдсии Л. Закрученные пассажи. Пер. с англ.
Цвибах Б. Начальный курс теории струн. Пер. с англ.
С/Э
С/Э
С/Э
С/9
Г2
С/Э
С/Э
■
1
С/Э
С/Э
■
1
С/Э
С/Э
■
1
Но всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел. 4-7 (499) 724-25-45 (многоканальный)
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в интернет-магазине: http://URSS.ru
Научная и учебная
литература
С/Э
С/Э
URSS.ru:
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru

URSS
ТЕЛЕФОН/ФАКС (многоканальный) Ул. Дм-V**Hoea
+7(499)724-25-45
I
IОбщая
схема
М
Академическая
ая
Детальная схема
ОТ Мт Профсоюзная;
8 мин. пешком (до офиса)
или одна остановка
наземным транспортом:
автобусы № 67, 67к, 130;
троллейбус № 49
до остановки
«Ул. Ивана Бабушкина»
От Mi Университет;
трамваи № 14, 39
до остановки
«Черемушкинский рынок»;
трамваи № 22,26
до остановки
«Ул. Вавилова»;
автобусы № 67, 67г, 130;
троллейбус № 49
до остановки
«Ул. Ивана Бабушкина».

Максим Олегович КОРПУСОВ
Доктор физико-математических наук. В 1995 г
окончил физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова,
в 1998 г. — аспирантуру по кафедре математики и
защитил кандидатскую диссертацию на тему
«Динамические потенциалы и их приложения к двумерному
уравнению внутренних волн». В 2005 г. защитил докторскую
диссертацию «Метод энергетических оценок и их
приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболиче-
Алексей Георгиевич СВЕШНИКОВ
Известный специалист в области математического
моделирования задач электродинамики и
гидродинамики. Почетный работник высшего профессионального
образования РФ, заслуженный профессор МГУ.
Лауреат Ломоносовской премии МГУ за педагогическую
деятельность, награжден Почетной грамотой ВАК России.
Автор свыше 400 научных работ, в том числе 6
монографий и монографических обзоров, а также 5
учебниНаше издательство предлагает следующие книги:
Hi ЛИИ* ИИЫИ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
И МАТЕМАТИЧ' СКО<
МОДЕЛИРОвАН**!
Ii J
•ИКЦИОНА
•НЙЛИЗУ
mm
9177 ID 118567 Отзывы о настоящем издании, I #% I E-mail:
II llll II ill II III H IIIIIHIIIIH a также обнаруженные опечатки присылайте I URSS@URSS ru
IIIII III lllll I IIIII i noaApecyURSS@URSS.ru %
IIHI i Ваши замечания и предложения будя учтены л Каталог издании
III II III lllll I lllll i и отражены на web-странице этой книги i »' I в Интернеге
ЙЕВВНэЦиВНЖН С в нашем интернет-магазине http://URSS.ru URSS http.7/URSS.rU
ирео наши новые ggagggagas +7(499)724-25-45
uiwu координаты 117335, Москва Нахимовский пр-т 56
ков и учебных пособий. Удостоен ордена «Знак Почета», ордена
Трудового Красного Знамени, медали «За доблестный труд. В ознаменование
100-летия со дня рождения В.И.Ленина» и многих других медалей.
ского типа». Является известным специалистом по теории нелинейного
функционального анализа и нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных.