Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1 dalis - Pekarskas V.

I.
MATEMATINĖS LOGIKOS IR AIBIŲ TEORIJOS PRADMENYS
1. Matematinės logikos elementai
1.1. Teiginių logika
1.4. Matematinės indukcijos metodas
2. Aibių teorijos elementai
2.1. Aibės ir veiksmai su jomis
II.
KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI
1. Algebrinė kompleksinių skaičių forma
1.1. Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas
1.2. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais
2.
Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma
2.1. Kompleksinių skaičių geometrinė interpretacija
2.2. Polinė koordinačių sistema ir trigonometrinė kompleksinių skaičių forma
2.3. Kompleksinių skaičių, išreikštų trigonometrine forma, daugyba, dalyba ir kėlimas laipsniu
2.4. Šaknies iš kompleksinio skaičiaus, išreikšto trigonometrine forma, traukimas
III.
RIBŲ TEORIJA
1. Funkcija. Funkcijų klasifikacija
1.1. Funkcijos sąvoka ir jos kitimo charakteristikos
1.3. Pagrindinės elementariosios funkcijos
1.5.
Sudėtinė funkcija
1.5. Elementariosios funkcijos, jų klasifikacija
1.6. Parametrinės kai kurių kreivių lygtys
2. Skaičių seka ir jos riba
2.1. Skaičių sekos sąvoka
3. Funkcijos riba
3.1. Funkcijos ribos taške sąvoka
3.5. Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos
3.10. Funkcijos ribos egzistavimo požymiai
3.13. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios nykstamosios funkcijos
3.14.
Ekvivalenčių nykstamųjų funkcijų naudojimas apskaičiuojant ribas
4. Funkcijos tolydumas taške
4.1. Funkcijos tolydumo taške sąvoka
4.3. Aritmetinės operacijos su tolydžiosiomis funkcijomis
4.4. Tolydžiųjų funkcijų superpozicija
4.5. Monotoninės funkcijos tolydumo sąlyga
5. Tolydžiųjų atkarpoje funkcijų savybės
5.1. Pirmoji Boleano ir Koši teorema
5.2. Antroji Bolcano ir Koši teorema
5.3. Pirmoji Vejerštraso teorema
5.4. Antroji Vejerštraso teorema
5.5. Atvirkštinės funkcijos tolydumas
IV.
VIENO KINTAMOJO FUNKCIJŲ DIFERENCIALINIS SKAIČIAVIMAS
1. Funkcijos išvestinė
1.1. Funkcijos išvestinės sąvoka
1.2. Funkcijos išvestinės mechaninė ir geometrinė prasmė
1.3. Funkcijos išvestinės ir jos tolydumo ryšys
1.5. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės
1.7. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas
1.8. Logaritminis diferencijavimas
1.9. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, diferencijavimas
2. Funkcijos diferencialas
2.1. Funkcijos diferencijuojamumas ir diferencialas
2.2. Diferencialo formos invariantiškumo savybė
3. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai
3.1. Aukštesniųjų eilių išvestinės
3.2. Neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės
3.3.
Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis, aukštesniųjų eilių išvestinės
3.5. Leibnico formulė
3.6. Aukštesniųjų eilių diferencialai
4. Vidurinių reikšmių teoremos
4.1. Ferma* teorema
5. Teiiloro* formulė
5.1. Daugianario Teiloro formulė
5.2. Funkcijos reiškimas Teiloro formule
5.3. Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas Makloreno* formule
6. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos
6.1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos sąvoka
6.2. Vektorinės funkcijos riba, tolydumas ir išvestinė
7. Kai kurios kreivių teorijos žinios
7.1. Plokščiosios kreivės kreivis
8. Funkcijų tyrimas
8.1. Funkcijos pastovumo sąlyga
8.2. Funkcijos monotoniškumas
8.3. Funkcijos ekstremumai, būtinos jų sąlygos
8.5. Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė atkarpoje
8.6. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai
8.8. Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo schema
V. NEAPIBREŽTINIS
INTEGRALAS
1. Pirmykštė funkcija
1.1. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos
2. Pagrindiniai integravimo metodai
2.1. Tiesioginio integravimo metodas
3. Įvairių reiškinių integravimas
3.1. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris, integravimas
3.2.
Paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integravimas
3.3. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos reiškimas paprasčiausių trupmenų suma
3.5.
Dviejų tipų iracionaliųjų funkcijų integravimas
3.7.
Diferencialinių binomų integravimas
3.8. Trigonometrinių reiškinių integravimas
4. Integralai, neišreiškiami elementariosiomisfunkcijomis
VI.
APIBRĖŽTIMS INTEGRALAS IR JO TAIKYMAS
1. Apibrėžtinio integralo sąvoka
1.1. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio integralo sąvoka
1.4. Rymano integralo egzistavimo sąlyga
2. Niutono ir Leibnico formulė
2.1. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu
3. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimo metodai
3.1. Kintamųjų keitimo metodas
3.2. Integravimas dalimis
3.3. Integralai J sin"x<ir, j cos"xdx (n e N)
4.
Apibrėžtinio integralo apytikslis skaičiavimas
4.1. Stačiakampių formulė
4.2. Trapecijų formulė
4.3.
Parabolių (Simpsono*) formulė
5. Geometrinis ir mechaninis
apibrėžtinio integralo taikymas
5.1. Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje koordinačių sistemoje
5.2.
Figūros ploto apskaičiavimas polinių koordinačių sistemoje
5.4.
Kūno tūrio apskaičiavimas pagal skerspjūvio plotą
5.5.
Apibrėžtinio integralo taikymo schema
5.6. Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje
6. Netiesioginiai integralai
6.1. Netiesioginiai integralai su begaliniais integravimo rėžiais
6.2. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais konvergavimo požymiai
6.3. Absoliutusis ir reliatyvusis netiesioginių integralų konvergavimas
6.4. Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžimas. Niutono ir Leibnico formulės taikymas
6.5.
Trukiųjų funkcijų netiesioginių integralų konvergavimo požymiai
6.6. Beta ir gama funkcijų konvergavimo sąlygos
6.7. Pagrindinė netiesioginio integralo reikšmė
VII.
KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS
1. Aibės plokštumoje ir erdvėje
1.1. Euklido* erdvės
1.2. Taško aplinka erdvėje R^n
. Atvirosios ir uždarosios aibės
2. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka ir geometrinis vaizdavimas
2.1. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka
2.5. Elipsiniai paraboloidai
2.6. Hiperbolinis paraboloidas
3. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas
3.1. Funkcijos riba taške
4. Kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas
4.1. Dalinės išvestinės
4.4. Pilnojo diferencialo taikymas apytiksliame skaičiavime
4.6. Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas
4.7. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas
4.10. Dviejų kintamųjų funkcijos TeiIoro formulė
5. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumai
5.1. Būtinos ekstremumo sąlygos
5.4. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje srityje
6. Skaliarinis laukas
6.1. Skaliarinis laukas. Lygio paviršiai
7. Geometrinis diferencialinio skaičiavimo taikymas
7.1. Erdvinės kreivės liestinė ir normalioji plokštuma
7.2. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė
VIII. INTEGRALAI, PRIKLAUSANTYS NUO PARAMETRO
1. Tiesioginiai integralai, priklausantys nuo parametro
1.1. Integralų, priklausančių nuo parametro, sąvoka ir tolydumas
1.2. Integralų, priklausančių nuo parametro, diferencijavimas
1.3. Integralų, priklausančių nuo parametro, integravimas
2. Netiesioginiai integralai, priklausantys nuoparametro
2.1. Tolygusis
integralų konvergavimas
2.2. Netiesioginių integralų tolydumas, diferencijavimas ir integravimas
2.3. Netiesioginių integralų apskaičiavimas, diferencijuojant ir integruojant juos parametro atžvilgiu
3. Oilerio integralai
3.1. Beta funkcija ir jos savybės
3.5. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimas naudojant Oilerio integralus
Автор: Pekarskas V.
Теги: matematika integralinės lygtys diferencialinės lygtys aukštoji matematika
ISBN: 9986-13-416-1
Год: 2005
Похожие
Astronomy
Astronomija
Текст
                    Vidmantas PEKARSKAS

1 DALIS Į

Vidmantas PEKARSKAS

DIFERENCIALINIS
IR I N T E G R A L I N I S
SKAIČIAVIMAS
1 DALIS

Vadovėlis aukštosioms mokykloms

Scanned by
Cloud Dancing
r ^

TECI
TECHNOLOGIJA

KAUNAS · 2005

Recenzavo':
matematikos mokslų daktarė docentė N. Janušauskaitė
matematikos mokslų daktaras docentas J. Kleiza
gamtos mokslų daktaras docentas G. Dosinas

Redagavo Z. Šliavaitė

Ketvirtasis pataisytas leidimas

© V. Pekarskas, 2005
ISBN 9986-13-416-1 (1 dalis)
ISBN 9986-13-417-Х (2 dalys)

Pekarskas V.
Pe 58
Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas.
I dalis - K.: Technologija, 1996. - 386 p. 157 pav.
ISBN 9986-13-416-1 (1 dalis)
ISBN 9986-13-417-Х (2 dalys)
Šis vadovėlis
skiriamas
aukštųjų
technikos
mokyklų
studentams. Jame išdėstytas vieno ir kelių kintamųjų funkcijų
diferencialinis skaičiavimas bei vieno kintamojo funkcijų
integralinis
skaičiavimas,
pateikta
nemažai
pavyzdžių,
iliustruojančių teorinę medžiagą, taip pat uždavinių savarankiškam
studentų darbui.

U D K 511 (075.8)

PRATARMĖ
Šis vadovėlis skirtas aukštųjų technikos mokyklų studentams. Jo pagrindas yra matematinės analizės paskaitos, 1965-1996 m. autoriaus skaitytos Kauno technologijos universitete.
Knygą sudaro dvi dalys. Pirmojoje išdėstytas vieno ir kelių kintamųjų
funkcijų diferencialinis skaičiavimas bei vieno kintamojo funkcijų integralinis skaičiavimas. Antrojoje dalyje pateiktas kelių kintamųjų funkcijų
integralinis skaičiavimas, paprastosios diferencialinės lygtys, eilutės, lauko
teorijos elementai, optimizavimo pradmenys.
Autorius yra tos nuomonės, kad matematikos dėstymas technikos universitete turi būti pakankamai griežtas, tačiau matematinių metodų pagrindimas, kuris paprastai yra subtilus ir sudėtingas, neturi užgožti tų metodų esmės. Rašydamas šią knygą, autorius stengėsi rasti kompromisą tarp
tikslumo ir vaizdumo, nors padaryti tai ir nebuvo lengva. Kaip pavyko įgyvendinti šj sumanymą, galės nuspręsti knygos skaitytojai.
Sis vadovėlis pirmiausia adresuotas techniškųjų specialybių studentams, tačiau kartu jis tiks ir tiems studentams, kurie plačiau studijuoja
matematiką. Todėl čia skaitytojai ras ir subtilesnių analizės klausimų, pavyzdžiui, Koši kriterijų, tolygųjį tolydumą. Tokius skyrelius (jie pažymėti
besišypsančio žmogelio veidu) skaitytojai galės praleisti arba apsiriboti tik
pirmąja pažintimi su pačiomis sąvokomis, nes autorius juos stengėsi išdėstyti taip, kad, atsisakius šių klausimų, nebūtų suardyta vadovėlio visuma.
Autorius pataria skaitytojui atidžiai perskaityti I skyrių, nes jame paaiškintos tos matematinės logikos ir aibių teorijos sąvokos bei joms žymėti
naudojami simboliai, kurie toliau vartojami formuluojant apibrėžimus bei
įrodant teoremas. Sie simboliai pratina skaitytoją būti lakonišku, moko
trumpai ir aiškiai reikšti mintis.
Teorija knygoje iliustruota išspręstais pavyzdžiais, kiekvieno skyriaus
pabaigoje pateikta uždavinių, kuriuos siūlome studentamas išspręsti
savarankiškai. Jų paskirtis - ne tiek sudaryti sprendimo įgūdžius (tam skirti
uždavinynai), kiek išmokyti taikyti teoriją. Teoremos įrodymo, pavyzdžio
sprendimo pabaiga knygoje žymima ženklu • .
Autorius nuoširdžiai dėkoja Kauno technologijos universiteto doc. dr.
G. Dosinui, doc. dr. N. Janušauskaitei, doc. dr. A . Pekarskienei ir Vilniaus
Gedimino technikos universiteto doc. dr. J. Kleizai, - atidžiai perskaičiusiems rankraštį ir davusiems vertingų patarimų, bei knygos redaktorei
Z . Šliavaitei už kruopštų redagavimą.
V. Pekarskas

TURINYS
L MATEMATINĖS LOGIKOS IR AIBIŲ
TEORIJOS PRADMENYS
1. Matematinės logikos elementai
1.1. Teiginių logika
1.2. Predikatų logika. Kvantoriai
1.3. Teoremų struktūra
1.4. Matematinės indukcijos metodas

13
13
13
16
17
18

2. Aibių teorijos elementai

18

2.1. Aibės ir veiksmai su jomis
2.2. Aibių atvaizdis, funkcijos sąvoka
2.3. Aibių rėžiai. Įdėtųjų atkarpų lema
2.4. Skaičiosios aibės
2.5. Kontinuumo galios aibės
2.6. Realiojo skaičiaus modulis
2.7. Aibės R poaibių klasifikavimas
Uždaviniai
Atsakymai

18
21
22
23
24
25
26
27
30

I L KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI
1. Algebrinė kompleksinių skaičių forma

31
31

1.1. Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas
1.2. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais

31
32

2. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma

34

2.1. Kompleksinių skaičių geometrinė interpretacija
2.2. Polinė koordinačių sistema ir trigonometrinė
kompleksinių skaičių forma
2.3. Kompleksinių skaičių, išreikštų trigonometrine forma,
daugyba, dalyba ir kėlimas laipsniu
2.4. Šaknies iš kompleksinio skaičiaus, išreikšto
trigonometrine forma, traukimas

34
35
37
39

3. Rodiklinė kompleksinių skaičių forma

40

Uždaviniai
Atsakymai

41
42

I I L RIBŲ TEORIJA

43

1. Funkcija. Funkcijų klasifikacija
1.1. Funkcijos sąvoka ir jos kitimo charakteristikos
1.2. Atvirkštinės funkcijos sąvoka
1.3. Pagrindinės elementariosios funkcijos
1.4. Sudėtinė funkcija
1.5. Elementariosios funkcijos, jų klasifikacija
1.6. Parametrinės kai kurių kreivių lygtys
2. Skaičių seka ir jos riba

43
43
44
45
50
50
52
55

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.

Skaičių sekos sąvoka
Sekos ribos sąvoka
Konverguojančių sekų savybės
Sekos ribos egzistavimo požymiai

55
56
59
61

2.5.
2.6.
2.7.
2.8.

Skaičius e
Hiperbolinės funkcijos
Bolcano ir Vejerštraso principas
Koši sekos ir Koši kriterijus

62
64
66
67

3. Funkcijos riba

70

3.1. Funkcijos ribos taške sąvoka
3.2. Vienpusės funkcijos ribos

70
73

3.3. Funkcijos riba, kaix-»co
3.4. Neaprėžtai didėjančios funkcijos
3.5. Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos
3.6. Nykstamosios funkcijos
3.7. Nykstamųjų funkcijų savybės
3.8. Ribų dėsniai
3.9. Neapibrėžtieji reiškiniai
3.10. Funkcijos ribos egzistavimo požymiai

74
76
77
79
80
82
84
86

3.11. Riba I i m ^
x->0 X

87

3.12. Riba

Iim ( l + - l

,

χ eR

.V—>±oo V
χ)
3.13. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios
nykstamosios funkcijos
3.14. Ekvivalenčių nykstamųjų funkcijų naudojimas
apskaičiuojant ribas
3.15. Funkcijos Koši kriterijus

89

92
93
95

4. Funkcijos tolydumas taške
4.1. Funkcijos tolydumo taške sąvoka
4.2. Funkcijos trūkio taškai
4.3. Aritmetinės operacijos su tolydžiosiomis funkcijomis
4.4. Tolydžiųjų funkcijų superpozicija
4.5. Monotoninės funkcijos tolydumo sąlyga
4.6. Elementariųjų funkcijų tolydumas

96
96
98
99
99
100
101

5. Tolydžiųjų atkarpoje funkcijų savybės

102

5.1. Pirmoji Bolcano ir Koši teorema
5.2. Antroji Bolcano ir Koši teorema
5.3. Pirmoji Vejerštraso teorema
5.4. Antroji Vejerštraso teorema
5.5. Atvirkštinės funkcijos tolydumas
5.6. Tolygusis tolydumas
Uždaviniai
Atsakymai

102
103
103
104
104
105
108
112

I V , VIKNO KINTAMOJO FUNKCIJŲ
DIFERENCIALINIS SKAIČIAVIMAS
1. Funkcijos išvestinė
1.1. Funkcijos išvestinės sąvoka
1.2. Funkcijos išvestinės mechaninė ir geometrinė prasmė
1.3. Funkcijos išvestinės ir jos tolydumo ryšys
1.4. Funkcijų diferencijavimo taisyklės
1.5. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės
1.6. Išvestinių lentelė
1.7. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas
1.8. Logaritminisdiferencijavimas
1.9. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis,
diferencijavimas
2. Funkcijos diferencialas
2.1. Funkcijos diferencijuojamumas ir diferencialas
2.2. Diferencialo formos invariantiškumo savybė
3. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai
3.1. Aukštesniųjų eilių išvestinės
3.2. Neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės

113
113
113
116
118
119
121
124
125
125
127
128
128
130
130
130
131

3.3. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis,
aukštesniųjų eilių išvestinės
3.4. Niutono binomas
3.5. Leibnico formulė
3.6. Aukštesniųjų eilių diferencialai
4. Vidurinių reikšmių teoremos
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.

Ferma teorema
Rolio teorema
Koši teorema
Lagranžo teorema
Lopitalio teorema
Lopitalio taisyklė

5. Teiloro formulė
5.1. Daugianario Teiloro formulė
5.2. Funkcijos reiškimas Teiloro formule
5.3. Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas Makloreno
formule
5.4. Funkcijų reikšmių apskaičiavimas
6. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos
6.1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos sąvoka
6.2. Vektorinės funkcijos riba, tolydumas ir išvestinė

132
133
134
134
135
135
136
137
138
139
140
142
142
143
146
148
149
149
150

7. Kai kurios kreivių teorijos žinios

152

7.1. Plokščiosios kreivės kreivis
7.2. Kreivio apskritimas
7.3. Evoliutė ir evolventė

152
155
156

8. Funkcijų tyrimas

157

8.1. Funkcijos pastovumo sąlyga
157
8.2. Funkcijos monotoniškumas
158
8.3. Funkcijos ekstremumai, būtinos jų sąlygos
158
8.4. Pakankamos ekstremumų sąlygos
160
8.5. Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė atkarpoje ....162
8.6. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai
164
8.7. Grafiko asimptotės
166
8.8. Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo
schema
168
Uždaviniai
171
Atsakymai
175

V . NEAPIBRĖŽTINIS INTEGRALAS
1. Pirmykštė funkcija

177
177

1.1. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos ..177
1.2. Neapibrėžtinių integralų lentelė
180
2. Pagrindiniai integravimo metodai
2.1. Tiesioginio integravimo metodas
2.2. Integravimas keičiant kintamąjį
2.3. Integravimo dalimis metodas
3. Įvairių reiškinių integravimas
3.1. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris,
integravimas
3.2. Racionaliosios trupmenos. Paprasčiausių racionaliųjų
trupmenų integravimas
3.3. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos reiškimas
paprasčiausių trupmenų suma
.3.4. Racionaliųjų trupmenų integravimas
3.5. Dviejų tipų iracionaliųjų funkcijų integravimas

182
182
183
186
189
189
192
196
198
201

3.6. Integralai Jtf^Jt, -Jax2 +bx+cj dx . Oilerio keltiniai

203

3.7. Diferencialinių binomų integravimas
3.8. Trigonometrinių reiškinių integravimas

206
209

4. Integralai, neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis

213

Uždaviniai
Atsakymai

215
217

V I . APIBRĖŽTINIS INTEGRALAS IR J O
TAIKYMAS
1. Apibrėžtinio integralo sąvoka

219
219

1.1. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio
integralo sąvoka
1.2. Darbu sumos

219
222

1.3.
1.4.
1.5.
1.6.

2?3
224
225
226

Darbu sumų savybės
Rymano integralo egzistavimo sąlyga
Integruojamųjų funkcijų klasės
Apibrėžtinio integralo savybės

2. Niutono ir Leibnico formulė

229

2.1. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu
2.2. Niutono ir Leibnico formulė
3. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimo metodai
3.1. Kintamųjų keitimo metodas
3.2. Integravimas dalimis
π/2

229
231
232
232
235

π/2

Jcos i i Xiit (n e N)

235

0
O
4. Apibrėžtinio integralo apytikslis skaičiavimas

237

3.3. Integralai

jsin"xi£r,

4.1. Stačiakampių formulė
4.2. Trapecijų formulė

237
239

4.3. Parabolių (Simpsono ) formulė
4.4. Pavyzdžių sprendimas

239
241

5. Geometrinis ir mechaninis apibrėžtinio integralo taikymas....246
5.1. Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje
koordinačių sistemoje
5.2. Figūros ploto apskaičiavimas polinių koordinačių
sistemoje

248

5.3.
5.4.
5.5.
5.6.

250
254
256
259

Kreivės lanko ilgis
Kūno tūrio apskaičiavimas pagal skerspjūvio plotą
Apibrėžtinio integralo taikymo schema
Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje

6. Netiesioginiai integralai
6.1. Netiesioginiai integralai su begaliniais integravimo
rėžiais
6.2. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais
konvergavimo požymiai
6.3. Absoliutusis ir reliatyvusis netiesioginių integralų
konvergavimas
6.4. Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžimas.
Niutono ir Leibnico formulės taikymas
6.5. Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų konvergavimo
požymiai
6.6. Beta ir gama funkcijų konvergavimo sąlygos
6.7. Pagrindinė netiesioginio integralo reikšmė
Uždaviniai
Atsakymai

246

267
267
270
274
277
279
283
284
286
292

V I L K E L I Ų KINTAMŲJŲ FUNKCIJOS
1. Aibės plokštumoje ir erdvėje

293
293

1.1. Euklido erdvės
293
1.2. Taško aplinka erdvėje R". Atvirosios ir uždarosios aibės...295
2. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka ir geometrinis
vaizdavimas
2.1. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka
2.2. Sukimosi paviršiai
2.3. Elipsoidai
2.4. Hiperboloidai
2.5. Elipsiniai paraboloidai
2.6. Hiperbolinis paraboloidas
2.7. Kūgiai
2.8. Cilindriniai paviršiai
3. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas

296
296
297
298
299
300
300
301
302
303

3.1. Funkcijos riba taške
3.2. Kartotinės ribos
3.3. Kelių kintamųjų funkcijų tolydumas

303
304
306

4. Kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas

308

4.1. Dalinės išvestinės
4.2. Pilnasis funkcijos pokytis
4.3. Pilnasis diferencialas
4.4. Pilnojo diferencialo taikymas apytiksliame skaičiavime
4.5. Sudėtinių funkcijų išvestinės
4.6. Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas
4.7. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas
4.8. Aukštesniųjų eilių išvestinės
4.9. Aukštesniųjų eilių diferencialai
4.10. Dviejų kintamųjų funkcijos Teiloro formulė
5. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumai
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.

Būtinos ekstremumo sąlygos
Pakankamos ekstremumo sąlygos
Sąlyginiai ekstremumai
Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė
uždaroje srityje
5.5. Mažiausių kvadratų metodas

308
310
312
314
315
318
318
320
323
324
327
327
328
331
335
336

6. Skaliarinis laukas

340

6.1. Skaliarinis laukas. Lygio paviršiai
6.2. Kryptinė išvestinė
6.3. Gradientas

340
341
343

7. Geometrinis diferencialinio skaičiavimo taikymas

346

7.1. Erdvinės kreivės liestinė ir normalioji plokštuma
7.2. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė
Uždaviniai
Atsakymai

346
348
351
355

VlIL INTEGRALAI,

PRIKLAUSANTYS NUO

PARAMETRO
1. Tiesioginiai integralai, priklausantys nuo parametro
1.1. Integralų, priklausančių nuo parametro, sąvoka ir
tolydumas
1.2. Integralų, priklausančių nuo parametro,
diferencijavimas
1.3. Integralų, priklausančių nuo parametro, integravimas
2. Netiesioginiai integralai, priklausantys nuo parametro

356
356
356
357
360
363

2.1. Tolygusis integralų konvergavimas
363
2.2. Netiesioginių integralų tolydumas, diferencijavimas
ir integravimas
365
2.3. Netiesioginių integralų apskaičiavimas, diferencijuojant
ir integruojant juos parametro atžvilgiu
366
3. Oilerio integralai

370

3.1. Beta funkcija ir jos savybės
3.2. Gama funkcija ir jos savybės
3.3. Gama ir beta funkcijų sąryšis
3.4. Papildinio formulė
3.5. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimas naudojant
Oilerio integralus
Uždaviniai
Atsakymai

370
372
373
374

DALYKINĖ RODYKLĖ
LITERATŪRA

375
377
379

380
385

MATEMATINĖS LOGIKOS IR
AIBIŲ TEORIJOS PRADMENYS

1. Matematinės logikos elementai
Samprotaudami žmonės iš tam tikrų prielaidų gauna vienokias ar
kitokias išvadas. Labai svarbu žinoti, kokios yra tos išvados - teisingos ar
klaidingos, kaip reikia samprotauti, kad išvengtume klaidingų išvadų. Sie
klausimai rūpėjo jau senovės mąstytojams. Buvo sukurtas mokslas, vadinamas logika, kuris ir tiria priimtinus samprotavimo būdus. Logikos atsiradimas paprastai siejamas su graikų filosofo Aristotelio* vardu. Jo sukurtos logikos pagrindu X I X a. susiformavo šiuolaikinė matematinė logika,
kurios pradininku laikomas airių matematikas Dž. Bulis**. Jis sukūrė algebrą, kurioje tradiciniai loginiai uždaviniai sprendžiami algebriniais
metodais. Pagrindiniai šios algebros objektai - teiginiai bei loginės
operacijos su jais.

1.1. Teiginių logika
Pagal matematinę logiką, teiginys yra bet kuris sakinys, kuris gali būti
teisingas arba klaidingas, bet negali būti vienu metu ir teisingas, ir
klaidingas.
Teiginių pavyzdžiai:
1)2x2 = 4;
Aristotelis (384-322 m. pr. Kr.) - graikų filosofas.
** Džordžas Bulis (G. Boole, 1815-1864) - airių matematikas.

2) trikampio kampų suma lygi π ;
3) sin 30° = 2 .
Pirmieji du teiginiai teisingi, trečiasis - klaidingas. Teiginius sutarsime
žymėti raidėmis p, q,... .
Iš kelių teiginių, vartojant logines jungtis „arba", „ ir" bei kitas, galima
sudaryti naujus, sudėtinius teiginius.
1 apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš kitų teiginių, sujungtų logine
jungtimi „arba ", vadinamas disjunkcija, arba teiginių logine suma.
Teiginių p ir q disjunkcija žymima pvq ir skaitoma „p arba q ". Iš karto
pabrėšime, kad jungtis „arba" šnekamojoje kalboje vartojama šiek tiek
kitaip negu matematinėje logikoje. Išnagrinėkime, pavyzdžiui, sakinį
„Manęs pasitikti ateis brolis arba sesuo". Taip sakydamas, žmogus turėjo
galvoje, kad jo pasitikti ateis arba brolis, arba sesuo, bet ne abu kartu.
Matematinėje logikoje jungtis „arba" jau neturi skiriamojo atspalvio. Disjunkcija p\/q teisinga tada, kai p - teisingas, q - klaidingas teiginys, arba q teisingas, op - klaidingas teiginys, arba p, q - abu teisingi teiginiai.
Disjunkcija klaidinga tik tada, kai abu teiginiai p ir q yra klaidingi.
2 apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš kitų teiginių, sujungtų logine
jungtimi „ir", vadinamas konjunkcija, arba teiginių logine sandauga.
Teiginių p ir q konjunkcija žymima p/\q. Konjunkcija teisinga, kai abu
teiginiai p ir q yra teisingi.
Įvairių teoremų formuluotėse dažnai vartojama jungtis „jei ..., tai".
Pavyzdžiui, „Jei keturkampio dvi priešingos kraštinės yra lygios ir
lygiagrečios, tai toks keturkampis yra lygiagretainis".
3 apibrėžimas. Teiginys, sudarytas iš keleto teiginių, sujungtų logine
jungtimi „jei..., tai", vadinamas implikacija.
Implikacija žymima ženklu =>, kuris dažnai dar vadinamas išvados
ženklu. Teoremos sąlygą ir išvadą pažymėję atitinkamai raidėmis p ir q,
teoremą galėtume simboliškai parašyti taip:

skaitome: „Jei p, tai q'\ „Išp išplaukia q", „Sąlygap yra pakankama išvados
q sąlyga" arba „Sąlyga q yra būtina, kad galiotų sąlyga p " .
Implikacija yra teisinga, jei iš teisingos prielaidos gaunama teisinga
išvada, ir klaidinga, jei iš teisingos prielaidos gaunama klaidinga išvada.
Sutarta implikaciją laikyti teisinga, kai abu teiginiai p ir q klaidingi arba kai
p - klaidingas, o q - teisingas.
Sukeitę teoremos p =>q prielaidą ir išvadą vietomis, gautume teoremą
kuri vadinama atvirkštine duotajai.
Kai teorema p => q yra teisinga, atvirkštinė jai gali būti ir teisinga, ir
klaidinga. Pavyzdžiui, teorema „Jei keturkampis yra rombas, tai jo įstrižainės viena kitai statmenos" yra teisinga, o jai atvirkštinė teorema „Jei

keturkampio įstrižainės yra statmenos viena
kitai, tai jis - rombas" yra klaidinga. Tuo
įsitikiname, pasižiūrėję į 1 paveikslą. Jame
nubraižyto keturkampio įstrižainės viena kitai
statmenos, tačiau tas keturkampis nėra rombas.
O štai Pitagoro teorema ir jai atvirkštinė abi yra
teisingos.
Kai abi teoremos - tiesioginė p => q ir
atvirkštinė ą => p - teisingos, rašome p <=» ą.
Kadangi iš p išplaukia q ir iš q išplaukia p , tai
kiekviena sąlyga yra būtina ir pakankama, kad

j pav

galiotų kita sąlyga. Dažnai,
formuluodami
teoremas, vietoj žodžių „p yra būtina ir pakankama sąlyga, kad galiotų ą "
sakome „ p tada ir tik tada, kai q ".
4 apibrėžimas. Du teiginiai, sujungti logine jungtimi „ tada ir tik tada,
kai", vadinami logiškai ekvivalenčiais.
Todėl posakis „ p yra būtina ir pakankama sąlyga, kad galiotų q"
išreiškia ne ką kita, kaip teiginių p ir q ekvivalentumą. Taigi dviejų teiginių
ekvivalentumo įrodymas yra būtinos ir pakankamos sąlygos įrodymas arba
atvirkštinės ir tiesioginės teoremos įrodymas.
Loginis ekvivalentumas p <=> q teisingas, kai p ir q yra kartu teisingi
arba kartu klaidingi.
Pažymėję teiginio teisingumą vienetu, o klaidingumą nuliu, išdėstytus
samprotavimus apie operacijų teisingumą apibendrinsime jų teisingumo
reikšmių lentele:
P

я

pvq

1

1

1

PAq

Р=><7

1

1

P^q
1

O

1

1

О

1

О

1

O

1

О

О

О

O

O

О

О

1

1

Iš kiekvieno teiginio, neigiant jį, t.y. tvirtinant, kad jis yra neteisingas,
gaunamas naujas teiginys, kuris vadinamas duotojo teiginio neiginiu.
Neiginį žymime p; skaitome: „Netiesa, kad p " arba „Ne p". Jo teisingumo
reikšmių lentelė pateikta žemiau.
Neigimo operacija yra unarinė, t.y. atliekama su vienu teiginiu, kitos
operacijos - binarinės, nes jos atliekamos su dviem teiginiais.
Suformuluosime svarbiausius logikos dėsnius.
1. Neprieštaravimo

dėsnis. Du

vienas

kitam

priešingi teiginiai p ir p negali būti vienu metu teisingi:
p a p = O .

P

P

1

о

о

1

2. Negalimo trečiojo dėsnis. Iš dviejų priešingų teiginių p ir p vienas
visuomet yra teisingas:
p v p = 1 .
3. Teisingos išvados dėsnis (modus ponens). Iš teisingos prielaidos
išplaukia tik teisinga išvada.
4. Klaidingos išvados dėsnis (modus tollens). Klaidinga išvada išplaukia tik iš klaidingos prielaidos.

1.2. Predikatų logika. Kvantoriai
Panagrinėkime sakinį „ x yra upė". Šis sakinys nėra teiginys, nes
neaišku, ar jis teisingas, ar klaidingas. Tikrai, jei vietoj „x" įrašytume
Nemunas, gautume teisingą teiginį, o jeigu įrašytume Baltija - klaidingą.
Tokie sakiniai vadinami predikatais arba teiginio funkcijomis. Predikatus
žymėsime A(x), B(x).
Predikatus galima paversti teiginiais dvejopai. Pirmąjį būdą, kai vietoj
χ įrašomas konkretus objektas, jau aptarėme. Antrasis būdas pagrįstas
kvantorių naudojimu. Paprastai naudojami du kvantoriai - bendrumo ir
egzistavimo. Terminas „kvantorius" kilęs iš lotyniško žodžio quantum „kiek" ir kiekybiškai apibūdina teiginį.
Simboliu V žymimas bendrumo kvantorius; jis vartojamas vietoj žodžių
„bet kuris", „kiekvienas", „visi". Pavyzdžiui, teiginį „Kad ir koks būtų realusis skaičius*, visada x+2=2+x " galima parašyti taip:
Vxe R:

x+2= 2+x .

Simboliu 3 žymimas egzistavimo kvantorius; jis vartojamas vietoj žodžių
„egzistuoja bent vienas", „galima rasti". Pavyzdžiui, teiginį „Galima rasti
tokią natūraliąją χ reikšmę, su kuria x + 2 = 5 " parašome simboliškai taip:
ЗхеУУ:

x+2= 5 .

Iš predikato A(x) galima gauti teiginius, parašant priešais jį bendrumo
arba egzistavimo kvantorių. Sakiniai: Vx A(x) - su visais χ predikatas A(x)
yra teisingas, 3x A(x) - yra toks x, su kuriuo A(x) teisingas, jau yra
teiginiai. Pavyzdžiui, sakinys „x - pirminis skaičius" yra predikatas, o
sakiniai „Bet kuris skaičius χ yra pirminis" ir „Egzistuoja skaičius χ, kuris
yra pirminis" - jau teiginiai; pirmasis jų yra klaidingas, antrasis - teisingas.
Simboliu Ί A žymėsime teiginio A neiginį. Taigi Λ A = A .
Sakykime, kad visi χ e M turi savybę a ( x ) :
Vx € M :

α (χ) .

Šio teiginio neiginys skamba taip: „Yra bent vienas elementas χ e M ,
kuris neturi savybės α ( χ ) , o turi savybę l a ( x ) . Vadinasi, teisingas sąryšis
eA/:

α(χ)

З х е M:

Ι α (χ).

Gavome labai svarbų rezultatą: neigdami teiginį, prasidedantį bendrumo
kvantoriumi V, pastarąjį pakeičiame egzistavimo kvantoriumi Ξ ir kartu
neigimo operaciją priskiriame savybei a ( x ) .
Analogiškai įrodytume sąryšį
ΊΞхеМ:

a(x)

o

VxeM:

Ία(χ) .

1.3. Teoremų struktūra
Jau aptarėme, kad teoremą „Jei p,
implikaciją

tai q"

galima užrašyti kaip

o jai atvirkštinę teoremą - kaip
q=>p.
Teorema p => q vadinama priešingąja, o teorema q=> p

- priešingąja

atvirkštinei.
Vėl

grįžkime prie nagrinėto pavyzdžio. Tarkime, kad

tiesioginė

teorema yra „Jei keturkampis yra rombas, tai jo įstrižainės viena kitai
statmenos". Suformuluokime šiai teoremai atvirkštinę, priešingąją ir priešingąją atvirkštinei teoremas: jei keturkampio įstrižainės viena kitai statmenos, tai jis - rombas (atvirkštinė); jei keturkampis ne rombas, tai j o
įstrižainės nėra statmenos viena kitai (priešingoji); jei keturkampio įstrižainės nėra statmenos viena kitai, tai jis - ne rombas (priešingoji atvirkštinei). Aišku, kad šiame pavyzdyje atvirkštinė ir priešingoji teorema
yra klaidingos, o priešingoji atvirkštinei - teisinga. Pastarasis faktas nėra
atsitiktinis dalykas, o atspindi bendrą svarbią taisyklę, būtent, tiesioginė ir
priešinga atvirkštinei teoremos yra ekvivalenčios:
p=>qoq=>p

.

Si savybė yra įrodymo prieštaros metodu (lotyniškai reductio ad
absurdum - „suvedimas į absurdą") pagrindas; vietoj teoremos p =>q ,
kurią reikėjo įrodyti, įrodome teoremą q => p. Kitaip sakant, norėdami
įrodyti teoremą p => q , darome prielaidą, kad galioja q, t. y. teiginys q yra
neteisingas, ir bandome įrodyti, jog galioja p , t. y. teiginys p irgi yra
neteisingas. Jei tai padaryti pavyksta, pradinė teorema p=> q
įrodyta.

laikoma

1.4. Matematinės indukcijos metodas
Tai labai svarbus teoremų įrodymo būdas. Priminsime pagrindinius jo
momentus.
Sakykime, reikia įrodyti, kad tam tikras teiginys A(n) (n - natūralusis
skaičius) teisingas. Įrodome dviem etapais:
1. Patikriname, ar teisingas teiginys A(I).
2. Tardami, kad teiginys A(n) teisingas, kai n = k, įrodome, jog jis teisingas, kai n-k+l,
t.y. įrodome, jogy4(&) = > T a d a galėsime tvirtinti, kad teiginys A(n) teisingas ir su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi n.
Matematinės indukcijos metodu įrodysime nelygybę
n\>2n~l ;
čia n - natūralusis skaičius, n >2.
Kai n-2, tai 2 ! = 2 2 " 1 , taigi teiginys A(2) yra teisingas.
Tarkime, kad nelygybė
k\> 2k~x

(1)

yra teisinga. Įrodysime, kad bus teisinga nelygybė
[k + \)\>2k.
A b i (1) nelygybės puses padauginame iš (&+1) ir gauname:
k\(k + l)>2k-i(k

+ l),

+ l ) ! > 2k~1(k + 1).

(2)

Kadangi k+1 > 2 , kai k > 2, tai iš (2) nelygybės, įrašę į ją vietoj k+1 skaičių
2, gauname:
(к + 1 ) ! > 2 к - 1 ( к + 1)> 2к~х2 = 2к.
Vadinasi, (/с+1)! > 2к, kai к>2. Ši nelygybė tampa lygybe, kai к = 1. Todėl
(к+\)\>2к, kai к> 1. Kadangi A(k)=>A(k+Y),

tai nelygybė n\>2""1

teisinga
su \fn > 2 .

2. Aibių teorijos elementai
2.1. Aibės ir veiksmai su jomis
Aibės sąvoka yra neapibrėžiama, pirminė, sąvoka. Aibe laikome
objektų, kuriems būdingas tam tikras požymis, visumą.
Pavyzdžiui, studentų aibė, figūrų, homotetiškų duotajai, aibė, natūraliųjų skaičių aibė.
Priminsime, kad elementariojoje matematikoje nagrinėjamos tokios
skaičių aibės: N - natūraliųjų skaičių aibė, Z - sveikųjų skaičių aibė, Q racionaliųjų skaičių aibė, R - realiųjų skaičių aibė.

A i b ę A , sudarytą iš elementų a, b, c,...,

žymėsime taip:

A = {a, b, c,... }.
Norėdami pažymėti, kad elementų χ aibė turi savybę P(x), rašome
{χ I P(x)}. Pavyzdžiui, užrašas {(x; y) \ y1- 4χ > 0} reiškia aibę taškų (x; y),
kurių koordinatės tinka nelygybei y 2 - 4x > 0. Atkarpą [a; b], intervalus (a;
b), (-oo; a) ir kitus galime užrašyti taip:
[a; b] = {χ I xe/?,

a<x<b},

(a; b) = {x \xeR,

a<x<b},

(-oo; a) = {x \xeR,

-oo<jc

<

a},

R = (-oo; + o o ) = {x1 - o o < χ < +oo} .

A i b ė A , kurios kiekvienas elementas kartu yra ir aibės B elementas,
vadinama aibės B poaibiu.
ZaQ,

Žymime AaB

arba BzdA.

Pavyzdžiui, NczZ,

QczR.
Aibės A ir B yra lygios tada ir tik tada, kai AczB ir B czA. Taigi
A=B

Rašoma

o

ACBABczA

.

A=B.

Aibė, neturinti elementų, vadinama tuščiąją ir žymima simboliu 0 .
Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę A[]B , sudarytą iš elementų, priklausančių bent vienai aibių A, B :
AlJB = {X\X&A wx&B] .
Aibių A ir B sankirta vadiname aibę AHB,

sudarytą iš elementų, pri-

klausančių abiem aibėms :
AftB

= {x IxeA

AXeB}

Pavyzdžiui, kai A = { 1, 2, 3, 4, 5}, B={-1,
= {1,0,1,2,3,4,5},
Baigtinio

AHB

.
O, 1, 2}, tai

AliB

=

={1,2}.

aibių
Ai,
A2,...,
An
sąjungą
žymime
n
n
A1IJ A2D--UAn
arba ( J Ą - , o sankirtą - A1 CiA2 П·--DA n , arba f ) A ' ·
i=l
i=l
Kai i įgyja visas natūraliąsias reikšmes, tai aibių sąjungą žymime
OO
OO
|J A1 , o sankirtą - [^Ai .
i=\
/=1
OO
Pavyzdys. Raskime Q A „ , k a i An = x\ χ e R, O <x < — ,n sN \.
n
n=1
Sprendimas
A1HA2=

kiekio

(0,1) Π (θ, I)

= (θ, i)

. A, ClA2HA3

= (θ, £) Π (θ,

=

0, — . Taikydami matematinės
3.

indukcijos

Aibių A ir B skirtumu vadiname
elementų, kurie nepriklauso aibei B:

metodą

įrodytume,

kad

aibę A\B, sudarytą iš tų aibės A

A \B={x I x&A лxiB}

.

Pavyzdžiui, к а Ы = {1, 2, 3, 4, 5}, B={-1, 0,1, 2} taiA\B={3, 4, 5}.
Aibės AczE papildiniu iki aibės E vadiname aibę Ac, sudarytą iš tų aibės
E elementų, kurie nepriklauso A:
Ac = [χ \ χ & E л χ £ A] = E \ A .
Kadangi A ir Ac neturi bendrų elementų, tai^4 f|Ac = 0 .
Jeigu aibes A ir B schemiškai pavaizduotume plokščiomis figūromis,
tai 2 paveiksle subrūkšniuotos dalys būtų atitinkamai A U B , A Π B, A\B ir
Ac.
Išvardysime pagrindines minėtų operacijų savybes:
\) AUB

= BUA,

A f]B = B f) A

- komutatyvumo

(perstatomumo)

savybė;
2) (A [j B) [j C =A [j (B [j C); (A Π B) f] C =A f] (B f] C) - asociatyvumo
(jungiamumo) savybė;
3) (A UB) Π C=(Af)C)

U (B Π C )

-

distributyvumo

(skirstomumo)

savybė;
4)AcAUB;
A f)B=A,

5) А ПВсА;

6)AU0=A;

7)Af)0=0;

kai AczB.

AUB

A\B

АПВ

Ac

8)AUB=Bir

Įrodysime, pavyzdžiui, 3 savybę. Įrodymo eiga tokia. Pažymėkime
E=(A

U 5 ) Π C ir F= (А П C ) U (B Π C); toliau, tarę, kad x e E, įrodome, jog

Xe F, vadinasi, Ec.F.
FczE.

Atvirkščiai, tarę, k a d x e F , įrodome, jog xeE,

Iš sąlygų £ c F

xeE=(AUB)f)C
лхеС) v

(ХЕВ

ir FczE

=^xe(AUB)
л х е С ) =>

išplaukia, kad E=F.
лхеС^>(хеА

хе(АГ\С)

todėl

Taigi įrodinėjame:

v x e В)лхеС

U ( S f I C ) = F ; vadinasi,

=> (хеА л
=>xeF,

XSE

todėl E d F .
Sąlyga FczE įrodoma analogiškai.

2.2. Aibių atvaizdis, funkcijos sąvoka
Tarkime, kad duotos bet kokios dvi aibės X ir Y.
1 apibrėžimas. Funkcija arba atvaizdžiu, apibrėžtu aibėje X su reikšmėmis aibėje Y, vadiname taisyklę f, pagal kurią kiekvienam aibės X elementui χ priskiriamas vienas aibės Y elementas f (x).
Rašome: f: X~>Y arba
f(x). Elementas f(x) vadinamas elemento χ
vaizdu, arba funkcijos/reikšme taške x.
Dažnai pati f u n k c i j a / ž y m i m a simboliu f(x). Toks simbolio f(x) dvilypumas nesudaro keblumų, nes jo prasmė paprastai būna aiški iš konteksto.
Aibę X vadiname funkcijos / apibrėžimo aibe, o visų jos elementų
vaizdų aibę (y | y=f(x),xeX}
- funkcijos/reikšmių aibe; ją žymime f(X).
Atvaizdis gali būti dvejopas: visi aibės Y elementai yra aibės X
elementų vaizdai (3 pav., a) arba aibėje У yra elementų, kurie nėra aibės X
elementų vaizdai (3 pav., b). Pirmuoju atveju sakome, kad aibė X atvaizduojama į aibę Y, o antruoju - aibė X atvaizduojama aibėje Y.
Matematikoje labai svarbus yra aibės atvaizdis į aibę, kai vieną elementą хе X atitinka vienas yeY, ir atvirkščiai. Toks atvaizdis vadinamas
abipusiškai vienareikšmiu Xatvaizdžiu į Y, arba bijekcija.
2 apibrėžimas. Funkcija f: X^Y
vadinama bijekcija, jeigu f(X) = Y ir
skirtinguose aibės X taškuose funkcija f įgyja skirtingas reikšmes f(xi)*f(x2),
kai χ\φχ2, Vx1 ,x2 e l .
3 apibrėžimas. Jeigu tarp dviejų aibių A ir B nustatyta abipusiškai vienareikšmė atitiktis, tai sakome, kad aibės A ir Byra ekvivalenčios. ŽymimeA—B.
Aibių ekvivalentumo savybės:
1) A - A - refleksyvumo savybė;
2) A-B => B-A - simetriškumo savybė;
3 )A~B лВ ~
C=>A~Ctranzityvumo savybė.

a)

b)

2.3. Aibių rėžiai. Įdėtųjų atkarpų lema
Aibė

AczR

vadinama

skaičius M, su kuriuo x<M,
su kuriuo x>m,
m<x<M,

aprėžtąja

iš viršaus, jeigu

egzistuoja realusis

Vxe/I. Analogiškai, jeigu egzistuoja skaičius m,

V x e A , tai aibė A vadinama

Vxe/1, tai aibė A vadinama

aprėžtąja

iš apačios.

aprėžtąja. Skaičiai m ir M

Kai

vadinami

tos aibės apatiniu ir viršutiniu rėžiais.
Pavyzdžiui, aibė

v4 = j x | x = —,

Vn e N j

iš viršaus aprėžta skai-

čiumi 1, o iš apačios - skaičiumi 0. Beje, pirmasis rėžis aibei priklauso,
antrasis - ne.
Nesunku suvokti, kad aibė, turinti vieną viršutinį rėžį, kartu jų turi be
galo daug, todėl galima kalbėti apie mažiausią iš tų rėžių.
1 apibrėžimas. Mažiausias iš visų viršutinių aibės A rėžių vadinamas
tiksliuoju viršutiniu tos aibės rėžiu ir žymimas sup Λ arba sup {χ} (lotyniškai
supremum - „aukščiausias").
2 apibrėžimas. Didžiausias iš visų apatinių aibės A rėžių vadinamas
tiksliuoju apatiniu rėžiu ir žymimas inf A arba inf{x} (lotyniškai infimum „žemiausias").
Jau

minėtos

aibės

Λ = |χ|χ = —,

V« e i v j

tikslieji

rėžiai yra

šie:

s u p A = I, inf A=O, be to, s u p ^ 4 e ^ ,
iniAeA.
Kai aibė A nėra aprėžta iš viršaus (apačios), sutarsime, kad sup A
= +oo (inf Л = - сю).
Be įrodymo suformuluosime tiksliųjų rėžių teoremą, kuri dar vadinama Boleano* teorema.
1 teorema. Jei aibė aprėžta iš viršaus (apačios), tai ji turi ir tikslųjį
viršutinį (apatinį) rėžį.
Panagrinėkime atkarpų [a„;b„], neN,
^
а
n
n 1
visumą, pasižyminčią tokia savybe (4 pav.):
*
*
[a1;bl]zD[a2-,b2]zD...ZD[an-,bn]zD...

[

[

]

]

Tokios atkarpos vadinamos įdėtosiomis.
Эп
bn
Suformuluosime vadinamąją įdėtųjų atav
karpų lemą.
^ P ·
2 teorema. Egzistuoja realusis skaičius, priklausantis visoms įdėtosioms
atkarpoms [an\ bn],neN.
Į r o d y m a s . Jei m<n

, tai [a„; bn]cz [am; bm], todėl am<an<

b„< bm.

Iš sąlygų am < bn ir an < bm išplaukia, kad ak<bi su visais natūraliaisiais
k ir / nepriklausomai nuo to, kokie jie yra: ar k>l, ar k<l. Sąlyga ak<bt
reiškia, kad bh VleN- aibės {ak} rėžis, todėl, remiantis Boleano teorema,

Bernardas Bolcanas (B. Bolzano, 1781-1848) - čekų filosofas ir matematikas.

galima teigti, kad egzistuoja sup {a k }=c, kuris iš visų viršutinių rėžių yra
mažiausias, vadinasi, c<bk

. Antra vertus, c yra aibės {ak} viršutinis rėžis,

todėl ak < c, Vfce N. Taigi
ak<c

<bk , Vfce N,

o tai reiškia, kad c - bendras visų atkarpų [ak ; bk] taškas.

•

2.4. Skaičiosios aibės
Sakykime, A - bet kokia aibė. Pažymėkime In={1,
n} hN={1,2,
...,n,...}.

2, ... ,

1 apibrėžimas. Aibė A vadinama baigtine, kai
A-In.
Priešingu atveju ji yra begalinė.
2 apibrėžimas. Aibė A vadinama skaičiąja, kai A-N. Kitaip sakant, A
yra skaičioji aibė, kai visus jos elementus galima sunumeruoti visais
natūraliaisiais skaičiais, be to, taip, kad skirtingi elementai gautų skirtingus
numerius.
Pavyzdys, {rodykime, kad visų sveikųjų skaičių aibė Z yra skaičioji.
Aibes Z ir N surašykime taip:
Z={0,1,

-1,2,-2,

N={1,2,

3,-3,...},

3, 4, 5, 6, 7,... } .

Antroje eilutėje surašytus skaičius priskirkime pirmos eilutės skaičiams, kitaip sakant, pirmos eilutės skaičius sunumeruokime. Galima parašyti ir funkciją
/ =

χ
2 ,

i

— — ,

n -lyginis,
n - nelyginis,

kuri nustato abipusiškai vienareikšmę atitiktį / : N-^> Z .

•

oo

1 teorema. Jei An - skaičioji aibė, tai Į J An- irgi skaičioji aibė.
n=l
Į r o d y m a s . Kadangi kiekviena aibė An yra skaičioji, tai visus jos
elementus galima sunumeruoti ir surašyti taip: {ani, an2, an3, ..., ann, ...}.
Pirmasis dviženklio indekso skaitmuo yra aibės numeris n, o antrasis aibės elemento numeris. Visų aibių elementus surašykime lentele.
oo

Joje yra visi aibės [J An

elementai. Tų ele-

^1/^2/^13

«24

/1=1

mentų numeravimo tvarką pavaizduokime
rodyklėmis ir juos visus surašykime seka
«11,fl21>^12, Язь «22, «13, «41, «32, «23, «14, —

βψ4

-«31

«32

α

«4-f

«42

«43

33

α

34

^44

Narių a n k , kurių indeksų skaitmenų suma lygi n+k, yra baigtinis skaičius
(jų yra n+k-1), todėl kiekvienam ank bus priskirtas tam tikras numeris. Jei
kuris nors elementas kartotųsi, tai, turint galvoje aibių lygybės apibrėžimą,
jj reikėtų praleisti. Taigi įrodėme, kad suskaičiuojamo kiekio skaičiųjų
aibių sąjunga yra skaičioji. •
2 teorema. Racionaliųjų
Įrodymas.

skaičių aibė Qyra skaičioji.

Pažymėkime

Л„=|—,

k e Z,

rcewj.

Tuomet

oo

Q=

[J An . Aibė An yra skaičioji, nes ją galima išreikšti dviejų skaičiųjų
n=i
aibių sąjunga:
0

л , ={o. - . — . - , · } υ {
[

n

n

n

J

I

· - — · · · • • • }
n

n

n

•
J

Tuomet Q - suskaičiuojamo kiekio skaičiųjų aibių sąjunga, todėl Q irgi skaičioji aibė.

•

2.5. Kontinuumo galios aibės
Siame skyrelyje susipažinsime su neskaičiosiomis aibėmis.
Teorema. Atkarpos [0; 1] taškų aibė yra neskaičioji.
Į r o d y m a s . Tarkime priešingai, kad ši aibė yra skaičioji.
Tuomet visus jos elementus galima sunumeruoti ir surašyti
tokia seka: X1, x2, ..., xk, ... Padalykime atkarpą [0; 1] į tris lygias dalis:
1
—

3_

1 2
?

—

*

—

_3 3_

ir

—; 1 . Kiekvienas atkarpos [0; 1] taškas priklauso vienai
3

arba dviem (kai jis yra dalijimo taškas) jos dalims. Taigi tikrai yra dalis,
kuriai taškas X\ nepriklauso; ją pažymėkime Δι. Atkarpą Δι vėl padalykime
į tris lygias dalis ir simboliu Δ 2 pažymėkime tą jos dalį, kuriai nepriklauso
taškas X2- Procesą tęskime. Gausime įdėtųjų atkarpų visumą
[0; I J d A 1 D A 2 D . . . D i t =>...;
čia X k i A k . Remdamiesi įdėtųjų atkarpų lema, galime tvirtinti, kad visos
šios atkarpos turi bendrą tašką c. Kadangi jis yra kiekvienos atkarpos Ak
(keN) taškas, tai jis nesutampa nė su vienu iš taškų xh x2, ..., xk, ... (jeigu c
sutaptų, pavyzdžiui, s u ą , tai būtų CiAk ). Taigi nustatėme, kad taškas c,
būdamas atkarpos [0; 1] taškas, nesutampa nė su vienu sekos xi,x2, -,Xk, —
tašku. Si prieštara įrodo, kad aibė [0; 1] nėra skaičioji.
Apibrėžimas. Aibės, ekvivalenčios atkarpai

•

[0; 1], vadinamos

konti-

nuumo galios aibėmis, arba tiesiog kontinuumais.
Sudarę atitikt\f(x)=a+(b-a)x , įsitikintume, kad atvaizdis/: [0; l]->
—>[a; b] yra bijekcija, todėl aibė [0; 1 ]~[a; b]. Vadinasi, atkarpa [a; b] -

kontinuumas. Toliau pasiremsime teiginiu, kurį pateikiame be įrodymo:
neskaičiosios aibės galia nepasikeičia, kai iš jos pašalinamas baigtinis kiekis
taškų. Iš to išplaukia, kad intervalai [Α; ft), (A; b] ir (a; b) irgi yra
kontinuumai. Kadangi funkcija y = t g x nusako abipusiškai vienareikšmę
atitiktį tarp intervalų ( - π / 2 ; π / 2 ) ir (-co; +00), tai šie intervalai ekvivalentus, todėl realiųjų skaičių aibė R=(-co; +00) irgi yra kontinuumas.
Iracionaliųjų skaičių aibė irgi yra neskaičioji, nes jeigu ji būtų skaičioji,
tai tuomet realiųjų skaičių aibė, kaip dviejų skaičiųjų aibių, sudarytų
atitinkamai iš racionaliųjų bei iracionaliųjų skaičių, sąjunga irgi būtų
skaičioji.
Taigi galutinai aibės N, Z, Q - skaičiosios, o iracionaliųjų bei realiųjų
skaičių aibės - kontinuumai.

2.6. Realiojo skaičiaus modulis
Apibrėžimas. Realiojo skaičiaus
skaičius, apibrėžiamas lygybe
.

a moduliu

vadinamas

neneigiamas

, f a, kai a > O ,
a=i
, .
[-a, kai a < O.

Iš

modulio

apibrėžimo

išplaukia,

kad

|х|<а<=>-а<л:<й,

o

I χ I Išvardysime
>aox<-avx>a.
keletą modulio savybių:
i)

\ab\ = |a|-|ь| ;

2)

i"

3)

|а + ь|<|й| + |ь| ;

4) j |Й| -\b\I < |а -

.

Įrodysime 3 ir 4 savybes. Sudėję savaime aiškias nelygybes
-1 я I < а < I а I ir - \b\<b <\b \, turime: - (| я | + Ift| )< а +&< I а
+ |ft|o|fl+ft|<|a| + |ft|. Taigi 3 savybė įrodyta.
4 savybė išplaukia iš 3 savybės:
|a| = |fl-ft + ft|<|a-ft| + |ft|=>|a|-|ft|<|fl-ft|
ft| = | f t - a + a | < ] f t - f l | + |fl|=>|ft|-|a|<|ft-a| = |a-ft|<=>
<=> Ια |-|ft I >-\a -ft I.
Taigi gavome - |a-ft|<|a|-|ft|<|a-ft| <=> I I a | -1 b \ | < |fl- ft |.

2.7. Aibės R poaibių klasifikavimas
1 apibrėžimas. Sakykime, ae R
vadinamas taško a δ spindulio aplinka.

ir

δ > 0. Inter\>alas ( α - δ ; a + δ)

Žymime K 8 (a). Taško a aplinka vadiname ir kiekvieną aibę VczR, jei ji
turi poaibį F 8 (я). Suprantama, kad taškas я turi be galo daug aplinkų.
2 apibrėžimas. Taškas a vadinamas aibės EciR ribiniu (sankaupos)
tašku, jei kiekvienoje jo aplinkoje yra dar bent vienas aibės E taškas,
nesutampantis su a.
1 teorema. Jei a - ribinis aibės E taškas, tai kiekvienoje jo aplinkoje yra
be galo daug aibės E taškų.
Į r o d y m a s . Tarkime priešingai, kad yra tokia taško я aplinka К 8 (я),
kurioje yra baigtinis aibės E taškų skaičius. Atstumus nuo я iki tų taškų
pažymėkime di, d2, ... , dn , o min{i/j, d2, - , dn }=d. Sudarykime naują
taško я aplinką, kurios spindulys δι < d . Tuomet šioje aplinkoje nebus nė
vieno aibės E taško, o tai prieštarauja sąlygai, kad a - ribinis taškas. Gauta
prieštara ir įrodo teoremą. •
Pavyzdžiui, tiek intervalo (я; b), tiek ir atkarpos [я; b] visi taškai yra
ribiniai.
3 apibrėžimas. Jei kiekvienas ribinis aibės E taškas priklauso tai aibei,
tai aibė vadinama uždarąja.
Tokia, pavyzdžiui, yra atkarpa [я; b], todėl ji dažnai vadinama uždaruoju intervalu.
4 apibrėžimas. Taškas a vadinamas aibės E vidiniu tašku, jei yra bent
viena to taško aplinka V^(a)czE.
Pavyzdžiui, intervalo (я; b) visi taškai yra vidiniai, atkarpos [я; b] visi
taškai, išskyrus galus я ir b, taip pat yra vidiniai.
5 apibrėžimas. Jei kiekvienas aibės taškas yra jos vidinis taškas, tai tokia
aibė vadinama atvirąja.
Pavyzdžiui, tokia yra aibė (a; b), todėl šis intervalas dažnai vadinamas
atviruoju. Taško я aplinka irgi yra atviroji aibė.
Prisiminę 2.1 skyrelyje suformuluotą aibės papildinio apibrėžimą,
galime sakyti, kad aibės E papildinys Ec bus aibė visų taškų ae R, bet ai E.
Įrodysime teoremą, kuri sieja atvirąsias ir uždarąsias aibes.
2 teorema. Aibė E yra atvira tada ir tik tada, kai aibė Ec uždara.
Į r o d y m a s . Priminsime, kad loginė jungtis „tada ir tik tada" sieja du
ekvivalenčius teiginius. Teiginių ekvivalentumo įrodymas susideda iš būtinos ir pakankamos sąlygų įrodymo.
Būtinumas. Tarkime, kad aibė E yra atvira. Įrodysime, kad Ec uždara.
Sakykime, kad я - ribinis Ec taškas. Tuomet kiekvienoje jo aplinkoje К 8 (я)
yra aibės Ec taškų, todėl К 8 (я) negali būti aibės E poaibis, o tai reiškia, kad
я nėra vidinis E taškas. Kadangi E , kaip atviroji aibė, sudaryta tik iš vidinių
taškų, tai at E => ae Ec, todėl Ec - uždaroji aibė.

P a k a n k a m u m a s . Tarkime, kad aibė Ec yra uždara. Įrodysime, kad E
atvira. Imkime ae E, tuomet ai Ec. Kadangi visi ribiniai Ec taškai jai
priklauso, tai a negali būti ribinis Ec taškas. Vadinasi, yra tokia a aplinka
V&(a), kurioje nėra Ec taškų, todėl Vs(a)<zE. Taigi a - vidinis E taškas, be
to, ae E. Tai ir reiškia, kad aibė E atvira. •
6 apibrėžimas. Taškas a vadinamas aibės E sienos tašku, jei kiekvienoje
jo aplinkoje yra ir aibės E taškų, ir taškų, nepaklausančių E. Visų aibės E
sienos taškų aibė vadinama aibės E siena.
Pavyzdžiui, atkarpos [a\ b] sieną sudaro dviejų taškų aibė {a, b}.

Uždaviniai
1. Nustatykite, kurie šių sakinių yra teiginiai ir kokie jie yra - teisingi
ar klaidingi:
a) Trakai yra Lietuvos sostinė;
b) Nemunas įteka į Kuršių marias;
c) romaną „Viešnia iš šiaurės" parašė Antanas Vienuolis;
d) prašyčiau atnešti knygą;
e) apskritimu vadinama aibė visų plokštumos taškų, kurių kiekvienas
yra nutolęs nuo pasirinkto šios plokštumos taško vienodu atstumu;
f) apskritimo spindulys lygus bet kurio jo taško atstumui iki apskritimo
centro;
g) egzistuoja toks natūralusis skaičius* , su kuriuo 2 χ - 8 = 9 ;
h) visi lygiapločiai trikampiai yra lygūs;
i) kur yra Neries ir Nemuno santaka?
2. Suformuluokite šiuos teiginius ir nustatykite, kokie jie yra - teisingi
ar klaidingi (.x,y e R).
2

a) Vx 3y : x + y = 9 ;

b) Эх : Ixl < O ;

c) Vx:

-9

=x+ 3;

χ-3
d) Vx Vy: x + _y = 9 ;
f) Vx: x 2 > x

e) Vx: х > 5 л х > 6

<=> 5 < x < 6 ;

<=> x > l v x < 0 .

3. Panaudodami loginius simbolius, suformuluokite matematinės indukcijos metodą.
4. Panaudodami bendrumo ir egzistavimo kvantorius, dviem būdais
užrašykite teiginį: „Nėra tokio racionaliojo skaičiaus, kurio kvadratas lygus
2".

5. Panaudodami loginius simbolius, užrašykite šiuos teiginius; suformuluokite ir parašykite jų neiginius:
a) skaičiusio - lygties/(jc)= O sprendinys;
b) skaičius X0 - vienintelis lygties f(x)= O sprendinys.
6. Išskirkite
kiekvienos
šių
implikacijų
sąlygą
ir
išvadą.
Suformuluokite implikaciją, priešingą duotajai ir atvirkštinę priešingajai.
Nustatykite, kokios jos yra - teisingos ar klaidingos:
a) jei aš studijuoju, man daugiau kaip dešimt metų;
b) jei paskutinis skaičiaus 17 skaitmuo lygus 5, tai 17 dalijasi iš 5;
c) jei skaičiaus 23 skaitmenų suma dalijasi iš 5, tai šis skaičius
dalijasi iš 5.
7. Logikas pateko j piratų nelaisvę ir buvo uždarytas oloje, turinčioje
du išėjimus. Piratų vadas pasiūlė tokį šansą išsigelbėti: „Vienas išėjimas
veda į laisvę, kitas - į mirtį. Tu gali pasirinkti bet kurį jų. Tau padės du
mano piratai. Vienam iš jų gali pateikti vienintelį klausimą. Bet perspėju,
kad vienas šių piratų visada sako tiesą, o kitas visada meluoja." Neilgai
galvojęs, logikas paklausė ir išgirdo atsakymą, kuris padėjo jam pasirinkti
išėjimą, vedantį į laisvę. Koks buvo logiko klausimas?
8. Matematinės indukcijos metodu įrodykite šiuos sąryšius (čia ns N):
a) I 2 + 2 2 + 32 +...+ n2 =

n(n + \)(2n + \)
6

п ( п + 1)(и
сc)) 11-2
- 2 ++2-3
2-3+ +
3-4
3-4
+ +...п(п
+ n(n
+ ...
+ 1)+
= \) =

i l l

2/1-1

+ 2 )

;

1

f) (i + * ) " > 1 + n* , kai jc > - 1 (Bernulio* nelygybė);

n šaknų

* Jakobas Bernulis (J. Bernoulli, 1654-1705) - šveicarų matematikas ir fizikas.

9. Tarkime, kad A=(-3;

4] , B=[2;

8). Raskite aibes AU B,

Af]B,

A\B, Bl Л ir pavaizduokite jas skaičių tiesėje.

11. Raskite Į J

a + —; b

ir Q

f l

> b + —\;neN.

12. Raskite A\B, kai A = {2; 4;...; 2n;...}, B = {3; 6;...; 3n;...}; n e N.
13. Įrodykite, kad:
a) A\(BUC)

=(Л\Д)П(Л\С) ;

b) Л \ ( Я П С ) = ( Л \ Я ) и ( Л \ С ) ;
c)A=(Af]B)U(A\B)

;

d) л и ( в п с ) = ( л и в ) п и и с ) .
14. Įrodykite de Morgano* dėsnius:
a) [A{]B)c=Acf\Bc

b) ( Л П В ) С =

;

15. Tarkime, k a d / : X^Y,

aibės A1, A2 c l

a) I(A1UA2)

= Z(A1)Uf[A2)

b) I(A1KA2)

^ f (A1)Kf

U^c.
Įrodykite, kad:

;

(A2) ;

c) pateikite pavyzdį, kai
/(Λια42)*/(Λι)η/μ2).
16. Tarkime, kad f: X-^Y,

aibės Л , B c * ir / ( Л П В ) = / ( Л ) П / ( В ) ·

Įrodykite, kad atvaizdis / skirtingiems aibės X elementams priskiria skirtingus aibės У elementus.
17. Įrodykite, kad šios aibės yra skaičiosios:
а) {/г e N I n = 2k, k e N) ;

* Ogastas de Morganas (A. de Morgan, 1806 -1871) - anglų matematikas ir logikas.

18. Įrodykite, kad bet kuris begalinis skaičiosios aibės poaibis yra
suskaičiuojamas.
Pasinaudodami šiuo rezultatu, įrodykite, kad aibė
{« e Z | n = k2 - k + 1, A: e /V j yra skaičioji.
19. Aibę sudaro plokštumos taškai, kurių koordinatės yra racionalieji
skaičiai. Įrodykite, kad tokia aibė yra skaičioji.
20. Įrodykite, kad daugianarių, kurių koeficientai - racionalieji skaičiai, aibė yra skaičioji.
21. Plokštumos apskritimų spinduliai ir centrų koordinatės yra racionalieji skaičiai. Įrodykite, kad tokių apskritimų aibė yra skaičioji.
22. Raskite aibių A tiksliuosius rėžius sup Λ ir inf,4, kai:
a) A = \x e R\ χ = —,
1
2"
b)
c)

neN

= ^л:e/?J x = —, m,neN
I
n
A

= {X&Q

\

X2

<2}

ir

m<n

.

23. Tarkime, kad X ir Y - dvi netuščiosios realiųjų skaičių aibės, be to,
aibė X aprėžta iš viršaus ir Y с X . Įrodykite, kad aibė Y irgi aprėžta iš
viršaus ir sup У < s u p X
24. Duotos tokios plokštumos aibės:
a) skritulys, kurio spindulys 1, be jį ribojančio apskritimo;
b) skritulys, kurio spindulys 1;
c) kuri nors baigtinė aibė;
d) aibė Z;
e) skaičių — (n e N) aibė;
f) visa plokštuma.
n
Kokios yra šios aibės - atvirosios ar uždarosios?

Atsakymai
1. a) Klaidingas; b) teisingas; c) teisingas; e) teisingas; f) teisingas; g) klaidingas;
h) klaidingas; 2. a) Teisingas; b) klaidingas; c) klaidingas; d) klaidingas; e) teisingas;
f) teisingas. 3. Įrodomą teiginį pažymėkime A (n); B={n I A(n)}; (IeB л ne B) => (n +1) e B.
4.1 3X <=Q:x2=2 <=> VXEQ: V = 2 . 5. a) 5λγ0:/(λ:ο)=0; b) Здс0:Д*о)=0 аУхфх0 =>/(*)* 0.
7. Galimas klausimo variantas - „Ar tiesa, kad šis išėjimas veda į laisvę tada ir tik tada,
kai tu - melagis?" 9.y4uB=(-3; 8), АГЛВ = {2\ 4],Л\В = (-3; 2), BV4 = (4; 8). 11. (α; b).
12. A\B = { 2; 8; 14; ...; 6N^· ...}u{4; 10; 16; ...; 6N-2; ...}. 22. a) sup/i = 1/2, i n M = 0 ; b)
sup/l = l, inf/l=0; c) s u p / l = V 2 , i n f A = - ^ . 24. a) Neuždara, atviroji; b) uždaroji,
neatvira; c) uždaroji, neatvira; d) uždaroji, neatvira; e) neuždara, neatvira; f) uždaroji, atviroji.

KOMPLEKSINIAI SKAIČIAI

1. Algebrinė kompleksinių skaičių forma
1.1. Kompleksinio skaičiaus apibrėžimas
Iš mokyklos kurso žinome, kad kvadratinės šaknies traukimo operacija apibrėžta ne su visais realiaisiais skaičiais, o tik su neneigiamais.
Todėl kvadratinė lygtis, kurios diskriminantas neigiamas, realiųjų šaknų
neturi. Sprendžiant antrojo ir aukštesniojo laipsnio lygtis, matematikams
iškilo daug klausimų, kurie privertė išplėsti realiųjų skaičių aibę.
1 apibrėžimas. Kompleksiniu skaičiumi vadinamas reiškinys z=x+yi; čia
χ, y- realieji skaičiai, i - menamasis vienetas, turįs savybę Z2=-I.
Taip apibrėžę kompleksinį skaičių, galime sakyti, kad lygtis x 2 + 1 = 0
turi dvi kompleksines šaknis X\j2=±i, o lygtis x2+6x+\3=() - dvi kompleksines šaknis JCti2= - 3 ± 2 i. Taigi, kai kvadratinė lygtis turi šaknį χ +yi, tai
ji turi ir kitą šaknį χ -yi. Kompleksiniai skaičiai x+yi ir x-yi vadinami
jungtiniais ir žymimi z= x+yi, z = χ - yi.
Skaičius χ vadinamas kompleksinio skaičiaus z realiąja dalimi ir žymimas R e z, o skaičius y - menamąja dalimi ir žymimas I m z (iš prancūzų
k a l b o s reele - „ r e a l u s i s " ir imaginaire

- „menamasis"). Pavyzdžiui,

R e (-3 + 2 0 = - 3 , I m ( - 3 ± 2i ) = ±2.
Kompleksinių skaičių aibę žymime simboliu C. Taigi C={x+yi\ x,
yeR}.

2 apibrėžimas. Du kompleksiniai
vadinami
Zi =Z2

skaičiai z1=X\+y1i ir Z2 = X2 +>'2'

lygiais tada ir tik tada, kai Rezi = R e z 2 ir I m z i = I m z 2 . Taigi
^ x

1

=X2

Ayl

=y2.

1.2. Veiksmai su kompleksiniais skaičiais
Kompleksinių skaičių sudėtį ir daugybą apibrėšime aksiomiškai, o
atimtį bei dalybą - kaip veiksmus, atvirkštinius minėtiesiems.
1 apibrėžimas. Kompleksinių skaičių Z\=X\+y\i ir Z2 = x2+y2i suma
vadinamas kompleksinis skaičius
z = x+ yi = Z1+z2

= ( x , +x2)+

[yι + y2)i

•

(1)

Pavyzdžiui, (2 + 3/ ) + (5 - Ai ) = 7 - / .
2 apibrėžimas. Kompleksinių skaičių Z1 =X1 +y μ ir Z2 =x2+y2i skirtumu
vadinamas kompleksinis skaičius z = x+yi = Z1-Z2, su kuriuo Z1=Z +Z2 .
Iš sąlygosZ 1 =Z + Z2 turime:
X]+y\i = χ + x2 + (y + y2)i.
Remdamiesi kompleksinių skaičių lygybe, gauname: X1 = x +X2 ir у г =
=y +y2. Todelx =Xi-X 2 ir y =y\-y2. Taigi
z = Z1-Z2

=(X1-X2)+

Iy1 - y2)i

.

(2)

Pavyzdžiui, (4 - 3 / ) - (5 - 6 i ) = - 1 + 3/.
3 apibrėžimas. Kompleksinių skaičių Z1 =X^y1I

ir Z2=X2+y2i

sandauga

vadinamas kompleksinis skaičius
z = X+ yi = Z1Z2

= ( X ] X

2

-У\Уг)+(х\Уг

+ x

2У\У

·

(3)

Pavyzdžiui, (3-2/ )· (4+7/) = (12+14) + (21- 8)/ = 26+13/.
4 apibrėžimas. Kompleksinių skaičių Z1 =X1+^/ ir Z2 =X2 +y2i dalmeniu
vadiname kompleksinį skaičių z = χ +yi = —

(Z2 5*0), su kuriuo Z1 = z Z2 .

z

2

Iš sąlygos Z1 = zz2

išplaukia, kad

X1 + y\i = XX2 -УУ2
Remdamiesi

kompleksinių

+ Х

skaičių

( 2У + хУгУ •
lygybės

apibrėžimu,

sistemą
X 1 =xx2-yy2

,
Х

У\ =Х2У + У2 >
turinčią vienintelį sprendinį
_ X1X2+У1У2

., _

-*1У2

gauname

9
о
nes X 2 + y 2 * O . jei tik Z 2 * O .
Taigi
iL

*l x 2 + 3 ^ 2

=

Z2

+

^ 1 - ^ 2

xj+yl

į

(4)

Х2+У2

5
5 . 1 1.
Jv. . 2-i
Pavyzuziui,
=
г=
/.
3+i
10 10
2 2
Imkime du kompleksinius skaičius Z1 = X 1 + 0 /, Z 2 = X 2 + 0 / , kurių menamosios dalys lygios nuliui, ir apskaičiuokime jų sumą, skirtumą,
sandaugą ir dalmenį, remdamiesi (1)-(4) formulėmis:
Z 1 + z 2 = X1 + X 2 + (0 + 0)/,
Z

- Z

1

2

=

XJ

- X

2

+

(0

-

O)/

,

Z 1 · ζ 2 =X1X2 + 0 · i ,
— = — + 0 • /.
Z2
х2
Iš šių rezultatų matyti, kad tokių kompleksinių skaičių aibė ekvivalenti
realiųjų

skaičių

aibei, todėl galime tiesiog rašyti Ζι=Χι + 0 · / = Χ ι

ir

z 2 = x 2 + 0 · / = x 2 . Be to, aišku, kad realiųjų skaičių aibė yra sudedamoji
kompleksinių skaičių aibės dalis: RczC .
D a b a r nagrinėsime kompleksinį skaičių z = 0 +yi, kurio realioji dalis
R e z = 0 . Jis rašomas tiesiog z =yi ir vadinamas menamuoju skaičiumi.
Apskaičiuokime dviejų menamųjų skaičių Z 1 = y i r

Z 2 = y2i

san-

daugą Z 1 Z 2 . Pritaikę (3) formulę, gauname:
Z 1 Z 2 = (0 - yxy2 ) + (0 + 0)/ = -yxy2
Kai

Z[

= i ir

Z

2

.

= / , tai
z j Z 2 = /· / = / 2 = - 1 .

(5)

Taigi (5) formulė paaiškina menamojo vieneto, panaudoto apibrėžiant
kompleksinį skaičių, prasmę.
Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad (1) ir (3) formulėmis apibrėžtiems
sudėties ir daugybos veiksmams galioja komutatyvumo, asociatyvumo ir
distributyvumo savybės. Todėl sudėti, atimti bei dauginti kompleksinius
skaičius galima kaip įprastus dvinarius algebroje, o sandaugą i2 reikia
pakeisti skaičiumi -1. Kartu yra teisingos ir greitosios daugybos formulės.
Pavyzdžiui, (3-4/ ) ( 7 + 5 / ) = 21-28/+15/ - 2 0 i2 = 21-13/+20 = 4113/;
(3-4/) (3+4/) = 9-16 z2 = 9+16 = 25.

Taigi nereikia specialiai įsidėmėti (1)-(3) formulių, taip pat ir (4)
formulės. Tokį pat rezultatą gautume, jeigu trupmenos —

(z2 * 0) skaitiklį

ir vardiklį padaugintume iš skaičiaus, jungtinio z 2 • Vadinasi,
Z1

Z1

J

2

z ,2 z 2
Pavyzdžiui,
2 - 3ί _ (2 - 3/)(4 - i) _ 8 - 12ί - 2i + 3i2
4 + /'

(4 + /)(4 - i)

8-14/-3

5-14/

16 + 1

17

16-i

2. Trigonometrinė kompleksinių skaičių forma
2.1. Kompleksinių skaičių geometrinė interpretacija
Apibrėžėme kompleksinius skaičius ir keturis aritmetikos veiksmus su
jais. Dabar išmoksime tuos skaičius vaizduoti geometriškai. Tai labai
svarbu, norint kompleksinius skaičius taikyti praktikoje.
Sutarsime kompleksinį skaičių z = χ +yi vaizduoti plokštumos tašku
M(x;y),

kurio koordinatės stačiakampėje koordinačių sistemoje yra л: ir y

(5 pav.). Realiuosius skaičius z = χ atitiks abscisių ašies Ox taškai (jk; 0), o
menamuosius z = yi - ordinačių ašies Oy taškai (0; y). Todėl ašis Ox
vadinama realiąja ašimi, ašis Oy - menamąja ašimi.
Taigi kiekvieną kompleksinį skaičių atitinka vienintelis plokštumos
taškas ir, atvirkščiai, kiekvieną

plokštumos

tašką

atitinka

tik vienas

kompleksinis skaičius. Todėl dažnai kompleksinį skaičių z vadiname tiesiog
tašku z.
Kompleksinį skaičių z=x+iy

galima taip pat vaizduoti plokštumos

spinduliu vektoriumi, kurio koordinatės y r a * ir_y (5 pav.). Šio vektoriaus
ilgį vadiname kompleksinio skaičiaus moduliu ir žymime |z| arba r, t.y.
|z| = r = ^x2 +y2

; čia simbolis

žymi aritmetinę šaknį.

Z 1 4-Z 2

M(x;y)

5 pav.

6 pav.

Kadangi χ 2 + у 2 = ζ ζ , tai |ζ|2 = ζ ζ .
Kompleksinius skaičius patogu vaizduoti vektoriais todėl, kad tuomet
tų skaičių atimtis ir sudėtis atitinka vektorių sudėtį ir atimtį (6 ir 7 pav.). Iš
tiesų, sudedami bei atimdami kompleksinius skaičius, šias operacijas atliekame su jų realiosiomis bei menamosiomis dalimis. Tokias pat
operacijas atliekame su atitinkamomis vektorių koordinatėmis, kurios
sutampa su kompleksinių skaičių realiosiomis ir menamosiomis dalimis.
P a v y z d y s . K o m p l e k s i n i a i skaičiai z tenkina sąlygą |z + 2+z | =
= |z-l -Ai I. Kur yra taškai z , vaizduojantys šiuos skaičius?
S p r e n d i m a s . Kadangi Ui-Z 2 I yra atstumas tarp taškų, vaizduojančių skaičius Zj ir Z2 (7 pav.), tai skaičius |z+2+z I = U - (-2-i ) lyra atstumas tarp taško z ir taško Af (- 2; -1), o skaičius | z—1—4/1 = U-(1+401 atstumas tarp taško z ir taško N(1; 4). Sąlyga |z+2+/1 = U - 1 - 4 ; I reiškia,
kad ieškomieji taškai z yra vienodai nutolę nuo taškų Л/ ir N. Vadinasi,
ieškomieji taškai yra tiesėje, statmenoje atkarpai MN ir einančiai per tos
atkarpos vidurį. •

2.2. Polinė koordinačių sistema ir trigonometrinė
kompleksinių skaičių forma
Taško padėtį plokštumoje galima nusakyti ne tik stačiakampėmis
Dekarto koordinatėmis. Pasirinkime spindulį Ox (8 pav.) ir jame pažymėkime tašką O. Šį tašką vadinsime poliumi, o ašį Ox - poline ašimi.
Tuomet taško M padėtį plokštumoje apibūdinsime dviem dydžiais: poliniu
spinduliu r > 0 - taško Af atstumu iki poliaus O ir poliniu kampu φ, kurį
sudaro spindulys r su poline ašimi; kampas φ atskaitomas priešinga
laikrodžio rodyklės judėjimo kryptimi. Dydžiai r ir φ vadinami polinėmis
taško Af koordinatėmis. Neneigiamo skaičiaus r reikšmė vienareikšmiškai
apibrėžta visiems plokštumos taškams. Polinio kampo φ reikšmė visiems
taškams, nesutampantiems su poliumi, apibrėžta dėmens, kartotinio 2π,
tikslumu; poliui ji neapibrėžta iš viso.
Jei polių O sutapatintume su stačiakampės koordinačių sistemos
pradžia, o polinę ašį - su abscisių ašimi (9 pav.), tai nesunkiai gautume
ryšio formules
y n

M

O

X
7 pav.

O

X
8 pav.

χ = r cos φ ,
у = r sin φ .
Be to,

-I

X2

+

y

(6)

2

Dydį r jau pavadinome kompleksinio skaičiaus z = x + y i moduliu. Kampas φ vadinamas to
skaičiaus argumentu ir žymimas φ = Arg z .
Kompleksinio skaičiaus z = O argumentas neapibrėžiamas, o j o modulis |zl = o .
Tą patį kompleksinį skaičių z atitinka be galo daug argumento reikšmių, kurios viena nuo kitos skiriasi dydžiu 2 n k , ksZ.

Iš jų išskiriame

pagrindinę argumento reikšmę φ 0 = argz , tenkinančią sąlygą 0 < a r g z < 2π
arba - π < argz < π .
Tada

iš

9

paveikslo

matome,

kad

Argz = argz +2nk,

keZ,

y

χ = /-coscpo, y = rsincpo, tg(p 0 = — .
X

Todėl
z = x + y i = r cos ср0+г> Sincp0 = r (coscpo +; sincp 0 ),
be to, kai pagrindinė argumento reikšmė tenkina sąlygą - π< φ 0 < π , tai
.У
arctg—,

kai
υ

Фо = a r g z :

π + arctg —,

χ>0,
kai

χ < 0, у > 0 ,

kai

χ<0, y < 0 .

(V)

Χ

у

- π + arctg—,
JC

K a i x = 0 arbay = 0, kampą φ 0 = argz patogiausia nustatyti iš brėžinio.
Apibrėžimas. Kompleksinio

skaičiaus

z išraišką

z = |z| ( c o s A r g z +

+i sin A r g z ) vadiname jo trigonometrine forma.
Kadangi cos Argz = cos argz ir sin A r g z = sin argz, tai išraiška
z = |z| (cosargz +i'sinargz)=r(coscpo+isin(po)

y n

bus taip pat kompleksinio skaičiaus z trigonometrinė forma.

5 ,, z

1
pavyzdys.
Parašykime
trigonometrine forma.

Фо

z = 5i

S p r e n d i m a s . Iš 10 paveikslo matome, kad

Фо =
10 pav.

skaičių

2

' r = 'Z' = 5 '

Todėl z = 5/ = 5 I cos— + гsin —

2

pavyzdys.

Parašykime

skaičių

z =

У .

= - l - V 3 i trigonometrine forma (11 pav.).
S p r e n d i m a s . Remdamiesi (6) formule,
z| = J ( - l ) 2 + ( - V ^ )

rašome:

=2,

-1

o

pritaikę (7) formulę, gauname:
φ Πυ

r
γ/

π
2π
= - π + arctg —.—r^ = - π + — =
(-1)
3
3

A

o

*

•-л/3

11 pav.

Iš brėžinio matyti, kad
Φο = 2 π -

2π

4π

Kampai φ0 (-π < φ 0 < π ) ir φ 0 (0< φ 0 < 2π) nurodo tą patį spindulį
vektorių z. Tada Z=-I--Jbi

= 2 J^ cos

+ i sin

I—
4π
4JI
. . 47C
4π
+/isin
—j . Abi
arba z =-1-л/3 i = 2 I c o s; —
—+
sin—

3

~

šios išraiškos yra duoto

3

kompleksinio skaičiaus trigonometrinės formos.

•

2.3. Kompleksinių skaičių, išreikštų trigonometrine forma,
daugyba, dalyba ir kėlimas laipsniu
Jei Zi =ri(cos(pi+f'sin(pi), z2 = r2(coscp2+;sin<p2), tai daugindami Z1
Z2 kaip dvinarį iš dvinario, gauname:
Zi-Z2 = / v r 2 (cos φι cos φ2 - sin φ, sin φ2 + i cos φι sin φ 2 +
+ i sin φι cosφ 2 )= rrr2(cos

(φι + φ 2 )+isin (φ, + φ 2 ) ) .

Iš čia išplaukia, kad
U 1 -Z 2 I = ri r2 = IZi I · Iz 2 I,
A r g ( z ! · ζ 2 ) = φ ι + φ2 = A r g Z i + Argz 2 .
Skaičius Z] irz 2 (z 2 *0) dalysime taip:
±L_
Z2

Zx-T1 _ /Į(cos(PI +tsincpĮj-r^cosĮ-cpzj + isi^-cpz)) _
=
2
r
2
Z2 · Z2

Λ
= -i-(cos(9!
- Φ2) + ' sin (<Pi - Φ2))' t-y·

IL
Z
2

_ η KJ
r
2 hi

IL
z

2

(8)

Jei (8) formulėje vietoj z\ ir z2 įrašytume z (zj =Z2 = z =x+iy

=

= r (cos φ + i sin φ ) ) tai būtų
ζ · ζ = ζ 2 = r 2 (cos2cp + isin2(p).
Įrašę toje pačioje formulėje vietoj Z\ skaičių z 2 , o vietoj z 2 - skaičių z,
gauname:
z 3 = z 2 - z = r3(cos3cp + i'sin3(p).
Panaudoję matematinės indukcijos metodą, įrodytume, kad
zn

= r«(cosn(p + /sinn(p), ne N.

Si formulė vadinama Muavro'
n

formule. Iš jos išplaukia, kad
ir Arg ^z n j = n Arg z .

= r"=\z\

.
.
( Γ
\60
Pavyzdys. Apskaičiuokime I v 3 - n .
S p r e n d i m a s . Parašysime skaičių z =л/з - i trigonometrine forma.
Kadangi |z| =

—
6
:2

R

=

(arba

д/(л/з)

+ ( - l ) 2 = 2 , o φ 0 = arctg

π
11π
φ0 = 2 π - — = — - )
6
6

+ г sin -

COS

t —^ =
: -arctg
S

(12 pav.),

tai

arba z = V3 — i = 2 cos

11π

z = V3-i =
. . 11π
+ «sin

Pritaikę Muavro formulę, gausime:
,--(VS - f

.

W

J

J

E

t

l

4

¾

=

= 2 6 0 (cos 10π - 1 sin 10π) = 2 6 0

У
r Я

arba г 6 0 = (л/3 - г)6° =

1

-η
= чбоГ
2
cos 60

11π

o V °

χ

N J

\

6

· СП
+1· sin
60
6

= 2 6 0 (cos 110π + / sin 110π) = 2

12 pav.

Abrahamas Muavras (A. de Moivre, 1667-1754) - anglų matematikas.

2.4. Šaknies iš kompleksinio skaičiaus, išreikšto
trigonometrine forma, traukimas
Apibrėžimas. Kompleksinį skaičių ω vadiname n-tojo laipsnio šaknimi iš
kompleksinio skaičiaus z, jei ω" =z . Žymime ω = rfz .
Jei z = r(cos<po +/sin<p ( )), o ω = p ( c o s 0 + i s i n Θ ) , tai iš lygybės
ω " = z ir Muavro formulės išplaukia, kad
p " ( c o s n 0 + /sin/j©) = r(coscpo + г sin φ 0 ) .
Tokia lygybė teisinga, kai
p"=/-,

ηθ = φ 0 + 2 π £ ,

keZ.

Iš čia
p=^

Q=<>0+2nk.

;

Vadinasi,
n

(9)

n

Norėdami iš (9) formulės gauti visas galimas skirtingas 0¾

reikšmes, turi-

me imti k = 0 , 1 , . . . , n -1. Taigi rfz turi n skirtingų reikšmių.
Pavyzdys. Raskime visas šaknies

V=I reikšmes.

4

S p r e n d i m a s . Skaičių-1 užrašome trigonometrine forma:
-1 = cos π + i sin π .
Taigi
r = Įz| = 1 , o

(po = π .

Todėl iš (9) formulės išplaukia
COS

π + 2kn

. . π + 2кк
hi Sin

k=О,1,2,3

.

Tada
π
. . π
Я
.4ϊ
α>η
= cos— + /sin— = — + ι — ;
υ
4
4
2
2
ωι1 =Cos

3π

. . 3π
!-/sin — =
4
4

λ/2
2

5π
. . 5π
л/2
оь = c o s — + г sin— =
4
4
2
а ьJ = cos

7π

. . 7π
л/2
1-г s i n — =
4
4
2

Уωι

M
h ι —;
2
. л/2
1— ;
2
. л/2
г— .
2

С%
\ —
\4

/ о
Oh

/ l
/ЛЛ4
Ix
(Oi

Visas šias skirtingas reikšmes atidėję plokštumoje, matome, kad jos
sutampa su taisyklingojo keturkampio, įbrėžto į apskritimą, kurio centras
koordinačių pradžioje, o spindulys lygus 1, viršūnėmis (13 pav.).
Bendru atveju visos šaknies

ω^ =

•

(čia k = 0, 1, 2, ...,

n-i)

reikšmės yra taisyklingojo /г-kampio, įbrėžto į spindulio R = '^jzf apskri+
timą, kurio centras koordinačių pradžioje, viršūnės.

3. Rodiklinė kompleksinių skaičių forma
Tokia kompleksinio skaičiaus forma gaunama panaudojant Oilerio*
formulę
e i(p = cos φ + / sin φ ,
kurią pateikiame be įrodymo. Tuomet
z = r (cos φ + i sin φ) = re,>?.
Ši išraiška ir vadinama rodiklinė kompleksinio skaičiaus forma. Ją patogu
naudoti dauginant ir dalijant kompleksinius skaičius. Tikrai, kai
Z1 = rxe,φι
Z

x

Z

1

=T

x

T

1

M^

,

z2 =Г2е1<?2,

ir

ϋ-

=

^2

tai

^<·(Φι-Φ2)

(22*o).

R

2

Be to,
<'(φ+2πΑ:)

ZN=Z-Vmp
1 pavyzdys.
skaičiuokime z 4 .

ir

ψζ = ψτε
+

Parašykime

"

,

čia k = 0 , 1 , 2 , . . . , / / - 1 .

skaičių z = 1 + i rodiklinė

forma

ir ap-

i
\
i—
S p r e n d i m a s . Kadangi 1 + / = -J2 cos — + г sin— , tai 1+ i = 4le 4

ir z 4 = [-Щ

,«U

= Aein=

4 ( « « π + г sin π) = - 4 .

A

2 pavyzdys. Raskime skaičiaus z = ε 7Ί ππ ', + 2 re
realiąją ir menamąją dalis.
S p r e n d i m a s . Pritaikome Oilerio formulę:

* Leonardas Oileris (L. Euler, 1707-1783) - šveicarų kilmės matematikas, mechanikas ir
fizikas, gyvenęs ir dirbęs Rusijoje.

£ Ίπϊ+2

_ g 2 ^ π ι = е 2 (со8 7л + г" sin 7π) = e 2 (cos π + г sin π) = - e 2 .

Todėl R e z = -e2, I m z = O .

•

Uždaviniai
1. Atlikite veiksmus:
c) ( I + / ) 1 6 ;

a) ( 3 - 4 0 ( 2 + 7 0 ;
/1
Λ224
e)[i±i)
;

3

d) ( 4 - 7 / ) ;

к
f) ( l + / V J ) 1 5 .

2. Apskaičiuokite sumą 1 + α + α 2 + ... + α 1 9 , k a i

α = ^=- .

3. Raskitex ir y, kai
1+i
-

4. Jei

Z I
z +1

7 1
menamasis skaičius (z = a+bi, z * - 1 ) , tai a " + b = 1 .

Įrodykite.
5. Parašykite kompleksinius skaičius trigonometrine forma:
a) ctg α - / , kai O < α < j ;
с) -1 + г'л/з ;

1
л/з
d)- +/—;

b) tg α - i , kai O < α < π ,
e) 2-2/л/З ;

α * у;

f) s i n a + /(1 - c o s a ) .

6. Raskite šių šaknų reikšmių aibes ir pavaizduokite jas geometriškai:
a) V / ;

b) 3/-1 + / ;

c) t/-2 - 2/л/З .

7. Kokias geometrines taškų vietas nusako šie sąryšiai:
a) 2 < |z +1 - 2г| < 3 ;
c) |z-2/ j < 1,5,

b) |z|/ + z = 2 + / ;

γ < argz < ~ ;

I l l l l
I
d) |z-/| = |z + /| = | z - l + z'|;
f) log 1 / 2 |z-2|>log 1 / 2 |z|;

I
|2 I
|2
e) |z-2| +|z + 2| = 2 6 ;
g)

lo

SVI

I I 2 -I 1+1
2 +

ĮZ|

^

2

?

8. Panaudodami veiksmų su kompleksiniais skaičiais geometrinę
interpretaciją, įrodykite žinomą geometrijos teoremą: „Lygiagretainio
įstrižainių kvadratų suma lygi jo kraštinių kvadratų sumai".

9. Panaudodami Muavro formulę, išveskite formules:
•2
a) sin Зх = 3 sin χ - 4 sin χ ;
о

b) eos Ъх = 4 cos χ - 3 cos χ .
10. Išspręskite lygtis:
2

b) χ 3 - 8 = 0 ;

a) χ + χ +1 = 0 ;

с) χ 4 + 8 1 = 0 ;

d) χ 5 + 32 = 0 ;
e) χ 4 + 6х 3 + 14х 2 + 6х + 13 = O ,
kai žinoma viena lygties šaknis i.
11. Apskaičiuokite sumas:
a) COSx + cos2x + cos3x + ... + cosnx ;
b) COSx + cos 3x + cos 5x + ... + cos ( 2 « - l ) x ;
c) sinx + sin Зх + sin 5x + ... + sin (2n-l)x.

Atsakymai
1. a) 34+13/; b)

i с) 256; d) -524+7/; e) 1; f) -32768.2.1 + į f i + l)i .

3.(11; -2). 5.a) — — v(cos(2n-a) + isin(2jt-a)) ; b) —ί— (cosi-^
+ a) + /sin(4f
+ cx)), kai
w
w
sina
'
cosa\
'
'>
0<α<π/2 ir y—!—j-(cos(-f- + a) + /sin(-f- + a ) ) , kai π/2<α<π; c) 2(cos-^-+i'sin·^·);
d) cos-j+; s i n y ;

e) 4(cos-^-+/sin-^ ) ;

- 2 м п * ( с о в ( я + * ) + /яп(я + * ) ) , Ы

^ c o s 165° + /sin 165° j ;

f) 2 s i n f (cosf+ /sin

),

kai

sin^-<0.6.a) ± ^ ( l + / ) ; b ) ^ 2 ^

(cos285° + /sin285° j ; c)

+

sinf>0;
+

/

; ±^у(-л/з+ /) .

7. a) Žiedas, apribotas koncentrinių apskritimų, kurių centras (-1; 2), o spinduliai 2 ir 3
(vidinio apskritimo taškai nepriklauso); b) taškas (2; -3/2); c) skritulio, kurio spindulys 1,5 ir
centras
(0; 2), taškai, esantys tarp spindulių, išeinančių iš koordinačių pradžios ir sudarančių su
abscisių ašimi kampus π/З ir 2π/3 (spindulių taškai nepriklauso); d) taškas (1/2; 0); e)
apskritimas, kurio centras (0; 0) ir spindulys 3; f) pusplokštumė, esanti į dešinę nuo tiesės x=l
(tiesės taškai nepriklauso), iš kurios pašalintas taškas (2; 0); g) skritulys, kurio centras (0; 0) ir
spindulys 5.
10. a) - — ± • — i ;
2
2

b) 2, - I t i - J i ;

c) Ą - l ± i ) ;
2 v
'

d) -2, - 2 ( c o s ^ ± / sin-y- ) , 2(cos-| ± /sin-| j ;

. nχ

11. a)

n+1

sin^-cos^— X

·

-2

Λ

Sin2nx

2
2 — ; b)
;
sin-f
2 sinx

с)

sin

nx

sin л:

.

—(l±«);
2 v
e) +/, -3±2/.

;

RIBŲ TEORIJA

1. Funkcija. Funkcijų klasifikacija
1.1. Funkcijos sąvoka ir jos kitimo charakteristikos
Bendrą funkcijos sąvoką apibrėžėme I skyriaus 2.2 skyrelyje. Dabar
nagrinėsime tik skaitines funkcijas. Tai funkcijos, kurių ir argumentai, ir
reikšmės yra realieji skaičiai.
1 apibrėžimas. Skaitine funkcija vadinamas realiųjų skaičių aibės R
poaibio D atvaizdis į aibės R poaibį E. Aibė D vadinama apibrėžimo sritimi,
aibė E - reikšmių sritimi.
Poaibio D elementus pažymėję raide x, poaibio E - raide y, o taisyklę,
pagal kurią atvaizduojame, - raide / , funkciją galėsime užrašyti taip: x-*y
arba y =f(x). Vartosime ir tokius žymenis:/: D->E,f: X->Y; č i a X , Y- taip
pat aibės R poaibiai.
Skaitines funkcijas galima išreikšti trimis būdais:
1) surašant argumento ir funkcijos reikšmes lentelėje;
2) pateikiant funkcijos grafiką;
3) nusakant funkciją formule, kurioje nurodoma, kokius veiksmus reikia atlikti su kintamojo л: reikšme, norint rasti atitinkamą y reikšmę.
Trečiasis reiškimo būdas vadinamas analiziniu ir naudojamas dažniausiai.
Priminsime iš mokyklos kurso žinomas funkcijos kitimo charakteristikas.
Tarkime, kad funkcijos y=f(x)
apibrėžimo sritis D yra simetriška
koordinačių pradžios atžvilgiu.

2 apibrėžimas. Funkcija

f vadinama

lygine, jei su kiek\'ienu χ e D

teisinga lygybė / ( - x ) = / ( x ) . Jeigu su kiekvienu χ e I)

/ ( - x ) = - / ( x ) , tai

funkcija vadinama nelygine.
Lyginės funkcijos grafikas simetriškas ašies Oy atžvilgiu, o nelyginės koordinačių pradžios atžvilgiu.
3 apibrėžimas. Funkcija f vadinama periodine su periodu T> O, kai su
kiekvienu xsD taškai (x+T)

ir (x-T)

irgi priklauso sričiai D ir yra teisinga

lygybė
Дх)=/(х+Г).
Kai skaičius T y r a funkcijos/periodas, tai skaičius kT (k - bet kuris
sveikasis skaičius, nelygus nuliui) irgi yra tos funkcijos periodas.
Kalbant apie funkcijos periodą, paprastai turimas galvoje mažiausias
teigiamas periodas.
4 apibrėžimas. Funkcija f vadinama didėjančia intervale (a; b), jeigu iš
nelygybės X\ < x 2 (xi e ( a ; b), x 2 e ( a ; b)) išplaukia nelygybė f (χ ι
)<f(x2).
Kai iš nelygybės X1 < x 2 išplaukia nelygybė f {x\ ) > / ( x 2 ) , funkcija
vadinama
mažėjančia.
Jeigu iš X1 < X2 =>/(xi) < / ( x 2 ) (/(X 1 )>/(x 2 )), tai funkciją
nemažėjančia (nedidėjančia) intervale (a; b).
Visų šių tipų funkcijos bendrai vadinamos monotoninėmis.

vadiname

1.2. Atvirkštinės funkcijos sąvoka
Sakykime, kad atvaizdis f: D-* E yra bijekcija. Tuomet kiekvieną y e E
atitinka tik vienas elementas xe D. Taisyklė / " ' , kuri vaizdui y priskiria
e l e m e n t ą χ, v a d i n a m a atvirkštiniu atvaizdžiu, arba atvirkštine funkcija
f~l:E^>D.
Norėdami rasti analizinę atvirkštinės funkcijos išraišką, lygybę y = / ( x )
sprendžiame kaip lygtį ir gauname χ prieklausą nuo y : x=f~x(y). Funkcijoms / ir / " ' būdinga tai, kad D ( / ) = £ ( f ' ) , E(f)=D(f~l).
Viena kitai
atvirkštinių funkcijų / 1 ir f grafikai
sutampa. Atvirkštinės funkcijos arУ—Х

gumentą, kaip įprasta, pažymėkime
raide χ , o pačią funkciją - raide y.
Taigi vietoj funkcijos / " ' (y) imkime
funkciją
/ - ' ( x ) . Funkcijų / ( χ ) ir T 1 ( X )
grafikai jau skiriasi, jie yra simetriški
vienas kitam tiesės y =x atžvilgiu.

14 pav.

Pavyzdys. Raskime funkciją,
atvirkštinę funkcijai x 3 , ir nubraižykime jos grafiką.

S p r e n d i m a s . Iš lygybės
Vb

y =x3 gauname χ = \[y .
Vietoj χ įrašome y, o vietoj y - raidę χ: y = Ux .
Taigi л/х yra atvirkštinė
funkcijai
Ux

x3.

Funkcijos
O

grafiką gausime at-

X

1

O

vaizdavę funkcijos χ grafiką

simetriškai

tiesės

y=x atžvilgiu (14 pav.).

•

15 pav.
Tarkime, kad / funkcija, apibrėžta atkarpoje [a; b]. Jeigu ši funkcija nemonotoninė, tai dvi
skirtingas argumento reikšmes gali atitikti ta pati funkcijos reikšmė
(15 pav.):/(xi)=y ( i ir/(x 2 )=yu. Konstruodami atvirkštinę funkciją, iš sąlygos
y = / ( x ) turime išreikšti x=/~'(y). Tačiau šį kartą y(l reikšmę atitiks dvi
skirtingos argumento χ reikšmės xx ir x 2 . Tokiu atveju sakysime, kad
funkcija, grafiškai pavaizduota 15 paveiksle, atvirkštinės funkcijos neturi.
Funkcija, turinti atvirkštinę, vadinama
atvirkštinės - neapgręžiamąja.

apgręžiamąja,

o

neturinti

Pavyzdžiui, funkcija x2, k a i x e R, yra neapgręžiamoji, nes dvi skirtingas
argumento reikšmes X I = 2 ,

X

2

=-2

atitinka ta pati funkcijos

reikšmė

y = ( ± 2 ) 2 = 4 . Tačiau, kai xe[0; +OO), ta pačia formule y =X2 apibrėžta
funkcija jau yra apgręžiamoji. Iš lygybės y =x 2 , turėdami galvoje, kad χ > O,
randame X = Y[y . Sukeitę raides χ ir y vietomis, gauname

atvirkštinę

funkciją y = Г х . Jos grafikas pavaizduotas 16 paveiksle.
Atvirkštinės funkcijos egzistavimo sąlygas suformuluosime
nagrinėdami funkcijos tolydumą (žr. šio skyriaus 5.5 skyrelį).

vėliau,

1.3. Pagrindinės elementariosios funkcijos
Išvardysime funkcijų, vadinamų pagrindinėmis elementariosiomis,
klases. Tos funkcijos detaliai nagrinėjamos mokyklos kurse, todėl čia
pateiksime tik jų apžvalgą. Išimtį sudarys atvirkštinės trigonometrinės
funkcijos, apie kurias kalbėsime plačiau.
Prie pagrindinių elementariųjų funkcijų priskiriamos laipsninės, rodiklinės, logaritminės, trigonometrinės ir atvirkštinės trigonometrinės
funkcijos.
1. Laipsnine

vadinama funkcija x°; čia α e R. Keletas šios funkcijos

grafikų pavaizduota 14, 16-22 paveiksle. Kai α - sveikasis teigiamas
skaičius, tai laipsninė funkcija apibrėžta intervale (-oo; +oo) (14, 17 pav.).

\\

y = X

Il
4,

V·

у=4х

1

О

•к
Il

\ I

0

1

χ

18 pav.

Ki

20 pav.

/=X3

у = X

21 pav.

22 pav.

Kai α - sveikasis neigiamas skaičius, tai ši funkcija apibrėžta visoje skaičių
tiesėje, išskyrus χ = 0 (18,19 pav.).
2. Rodiklinė yra funkcija ax\ čia a > 0 , a* 1 (23 pav.). Jos apibrėžimo
sritis D = (-co; +oo), reikšmių sritis £ = ( 0 ; +oo).

3. Logaritmine vadinama funkcija Iog a X ; čia a>O, a* 1 (24 pav.). Ši
funkcija yra atvirkštinė rodiklinei funkcijai. Logaritminės funkcijos apibrėžimo sritis/) = (0; +oo), reikšmių sritis £ = ( - < » ; +oo).

23 pav.

24 pav.

4. Trigonometrinėmis vadinamos funkcijos sinx, cosx, tgx ir ctgx.
Funkcijos
E=[

sinx

apibrėžimo

sritis D=(-со;

+oo), reikšmių

sritis

1; 1]. Ši funkcija nelyginė, periodinė, jos periodas 2π. Funkcijos sinx

grafikas vadinamas sinusoide (25 pav.).

Yi

\

1

/

- X

π
2

У

o

/=Sinx
π
2

3π

/2ъ

χ

-1

25 pav.
Funkcijos

COSx

apibrėžimo

sritis £)=(-oo;

+oo), reikšmių

sritis

£ = [ 1; 1]. Ši funkcija lyginė, periodinė, jos periodas 2π. Funkcijos cosx
grafikas vadinamas kosinusoide (26 pav.).

r

i .

r

y=tg χ

Funkcijos tgx
grafikas
pavaizduotas
27
paveiksle.
Apibrėžimo
sritis
D =

I

= 1(-— + kn; — + kn ,
V 2
2
J

Π π2
u

/

/π

3π

у

2

keZ;

reikšmių sritis £ = ( - o o ; +oo).
Ši funkcija nelyginė, periodinė,
jos periodas π.
Funkcijos ctgx grafikas
pavaizduotas
28
paveiksle.
Apibrėžimo sritis D=(kn;
π+
kn), keZ; reikšmių sritis E=
=(-oo; +oo).
Ši
funkcija

27 pav.

nelyginė,
riodas π.

periodinė,

jos

pe-

5. Atvirkštinėmis
trigonometrinėmis funkcijomis vadinamos funkcijos
arcsinx,
arccosx, arctgx ir arcctgx.
Išnagrinėsime, kaip konstruojamos šios funkcijos.
Funkcija arcsinx. Funkcija sin χ apibrėžta intervale
D = (-co; +oo), jos
reikšmių
aibė £ = [ - 1 ; 1]. Ši funkcija yra
neapgręžiamoji, nes bet kuri
tiesė y=a (|α|<1), lygiagreti
ašiai Ox, kerta funkcijos sinx
grafiką daugelyje taškų, vadinasi, tą pačią reikšmę y=a
sinusas
įgyja
daug
kartų.

28 pav.

Išskiriame

apibrėžimo

srities

atkarpą [ - f - ! y ] · Joje sinusas įgyja visas reikšmes iš atkarpos [-1; 1] ir
kiekvieną reikšmę - tik vieną kartą. Taigi funkcija sinx atkarpoje

y ;-f]

yra apgręžiamoji. Atvirkštinė jai funkcija vadinama arksinusu ir žymima
arcsinx.

Taigi

D(arcsinx) = [-1;

1],

£(arcsinx)=

y ;-f].

Kadangi

atvirkštinių funkcijų grafikai yra simetriški tiesės y=x atžvilgiu, tai
arksinuso grafiką gausime, tiesės y = x atžvilgiu simetriškai atvaizdavę
funkcijos y = s i n x grafiko dalį, esančią atkarpoje [ _ y ^ y ] (29 pav.).

y=arccosx

/=COSX

30 pav.

29 pav.
Funkcija arcsinx nelyginė: arcsin (-x)—arcsinx.

Funkcija arceosx. Žinome, kad funkcijos cosx Z) = (-co; +oo), £ = [ - 1 ;
1]. Ši funkcija taip pat yra neapgręžiamoji, nes bet kuri tiesė y=a (| a | < 1),
lygiagreti abscisių ašiai, funkcijos cosx grafiką kerta daugelyje taškų,
vadinasi, tą pačią reikšmę y=a funkcija įgyja daug kartų. Išskyrę
apibrėžimo srities atkarpą [0; π], matome, kad joje funkcija cosx kiekvieną
reikšmę įgyja tik vieną kartą. Atvirkštinė jai funkcija vadinama arkkosinusu
ir žymima arc cosx. Z)(arccosx)=[-l; 1], £(arccosx)=[0; π].
Arkkosinuso grafiką gausime, tiesės y=x atžvilgiu simetriškai
atvaizdavę funkcijos cosx grafiko dalį, esančią atkarpoje [0; π] (30 pav.).
Funkcija arccosx yra nei lyginė, nei nelyginė, be to, arccos ( - χ ) = π arccosx.
Funkcija arctgx. Ji yra atvirkštinė funkcijai tgx ir konstruojama analogiškai arksinusui, išskyrus funkcijos tgx apibrėžimo srities intervalą
( - f ; f ) . D ( a r c t g x ) = (-oo; +oo),
E (arctgx) = ( - f i f ) ·

Grafikas

pavaizduotas
31
paveiksle.
Funkcija arctgx yra nelyginė:
aretg (-x ) = - arctgx.
Funkcija arcctgx. Jos grafikas pavaizduotas 32 paveiksle.
D(arcctgx) = (-co; +со),
£(arcctgx) = (0; π ) .
Funkcija

arcctgx

yra

lyginė, nei nelyginė, be to,
arcctg (-χ)=π-arctgx.

nei

aretg χ

У k
у=х

2

y=arcctg χ
O

2 \

Έ

X

32 pav.

1.4. Sudėtinė funkcija
Nagrinėsime funkciją f (u), kurios argumentas u kartu yra k i n t a m o j o *
funkcija: Μ=φ (x). Įrašę j lygybę y = f ( u ) vietoj u šią funkciją, gauname
y=f(ę(x)).
Sakome, kad atlikome funkcijų y=f (u) ir u=ę(x ) superpoziciją.
Taip gauta funkcija / ( φ ( χ ) ) vadinama sudėtine funkcija, o argumentas u tarpiniu argumentu. Pavyzdžiui, atlikę funkcijų Y=IgM ir m=tgx superpoziciją, gauname sudėtinę funkciją lgtgx. Kartais sudėtinė funkcija
/(<p(x)) žymima s i m b o l i u / ° φ.
Sudarydami sudėtinę funkciją, galime imti tik tas χ reikšmes, su kuriomis apskaičiuotos u reikšmės priklauso funkcijos f (u) apibrėžimo sričiai.
Štai sudėtinė funkcija Igtgx apibrėžta tik su tomis χ reikšmėmis, su kuriomis tgx > 0 , kadangi logaritminė funkcija apibrėžta tik su teigiamomis
argumento reikšmėmis.
Galima sudaryti sudėtines funkcijas, turinčias keletą tarpinių argumentų. Pavyzdžiui, tarkime, kad y=cos v, v = >/l - u2 ,

u= Igx . Tada

funkcija cos^/l - Ig 2 χ

bus kintamojo χ sudėtinė funkcija, o v ir u -

tarpiniai argumentai.
superpozicijas.

Sudarydami

šią

funkciją,

panaudojome

dvi

1.5. Elementariosios funkcijos, jų klasifikacija
Šios funkcijos sudaro paprasčiausių analizėje nagrinėjamų funkcijų
klasę.
Elementariosiomis vadinamos funkcijos, kurios gaunamos iš skaičių ir
pagrindinių elementariųjų funkcijų, naudojant keturis aritmetinius veiksmus bei superpozicijas ir atliekant visas šias operacijas baigtinį skaičių

/— 5x-3
kartų. Pavyzdžiui, taip sudaryta funkcija Iog 2 arcsinv* +
, todėl ji
tgx
yra elementarioji.
Elementariosios funkcijos skirstomos į algebrines ir transcendentines
(lotyniškai transcendens - išeinantis už ribų). Algebrinių klasę sudaro
racionaliosios bei iracionaliosios funkcijos. Racionaliosios dar skirstomos į
sveikąsias racionaliąsias bei trupmenines racionaliąsias. Visa tai pavaizduojame tokia schema:

Sveikosiomis racionaliosiomis funkcijomis (daugianariais) vadinamos
funkcijos
P(x) = a0xn

i

+CI1XN

+CI2XN'2

+...

+ AN-\X

+ AN \

čia flu, fli, A 2 , ... , a n - realieji skaičiai ( a 0 * 0 ) , vadinami koeficientais, n natūralusis skaičius, vadinamas daugianario laipsniu. Šios funkcijos
apibrėžimo sritis D = ( - o o ; +00).
Trupmenine
dalmuo

racionaliąja

-P(x)
Q{x)

a0xn
b0x

m

funkcija

+A1Xn-1
m 1

+ bxx "

vadinamas

dviejų

daugianarių

+... + an_\X + an
+ ... + bm_xx

+ bm

Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje, išskyrus tas χ reikšmes, su
kuriomis vardiklis lygus nuliui.

Jeigu, apskaičiuojant funkcijos reikšmę / ( x ) , atliekamos sudėties,
atimties, dauginimo, dalijimo ir kėlimo laipsniu, kurio rodiklis yra
trupmeninis racionalusis skaičius, operacijos, tai taip sudaryta funkcija

Paminėsime, kad išvardyti trys algebrinių funkcijų tipai neaprėpia visų
algebrinių funkcijų. Yra bendresnis algebrinių funkcijų apibrėžimas, kurio
čia nepateikiame.
Funkcija, kuri nėra algebrinė, vadinama transcendentine. Pavyzdžiui,
tokios yra trigonometrinės, atvirkštinės trigonometrinės, rodiklinė ir kitos
funkcijos.

1.6. Parametrinės kai kurių kreivių lygtys
Nagrinėsime dvi kintamojo t funkcijas
(1)
tardami, kad t kinta atkarpoje [i0; Т]. Kiekvieną t reikšmę atitinka viena χ
ir y reikšmių pora. Jeigu tą porą traktuosime kaip plokštumos χ Oy taško
koordinates, tai kiekvieną reikšmę t atitiks vienas tos plokštumos taškas.
Kai t reikšmės kinta nuo tu iki T, tai šis plokštumos taškas nubrėžia tam
tikrą kreivę, todėl (1) lygtys vadinamos parametrinėmis kreivės lygtimis, o
kintamasis t - parametru.
Tarkime, kad iš lygties χ = φ (i) galima išreikšti parametrą t: ί = Φ ( χ ) .
Įrašę šią t reikšmę į lygtįy=(p(i), gaunamey=cp(<I>(x)).
Taigi (1) lygtys y apibūdina kaip kintamojo χ funkciją, todėl sakome,
kad ši funkcija yra apibrėžta parametriškai.
Išvesime kai kurių kreivių parametrines lygtis.
Apskritimas. Apskritimas, kurio centras O ir spindulys R (33 pav.),
nusakomas lygtimi
χ2

Mx,y)

2

+y

=R2.

Imkime šio apskritimo kintamą t a š k ą M ( x ; y )
ir sujunkime jį su kordinačių pradžia. Kampą,
kurį sudaro teigiama ašies Ox kryptis su spinduliu
O M , pažymėkime raide t. Tuomet

X

[y = R s i n i ,

O < i < 2π.

Tai ir bus parametrinės apskritimo lygtys. Pakėlę
abi jų puses kvadratu ir sudėję lygtis, gausime:

2

2

cos

2

•

i + sin

2

ί

x2+y2=R2

arba

Elipsė. Elipsės, kurios pusašės lygios a ir b, lygtis yra tokia:
2

2

У1

Λ .

a2
b2
Pažymėkime: x=a cos t. Įrašę šią χ
reikšmę j elipsės lygtį, gausime
Я 2 COS 2 t

y2

A2

Ь

—+—
= 1 ;
2

Llo

iš čia y = ^ s i n i .

At \) ^
„
Ql p Jla χ

Lygtys
ί χ = a cos t ,
Įy = b sin i ,

O < t < 2π,

(2)

34 pav.
yra elipsės parametrinės lygtys.
Išsiaiškinkime parametro t geometrinę prasmę. Nubrėžkime du
apskritimus, kurių centrai būtų koordinačių pradžios taške ir spinduliai я ir
b (34 pav.). Imkime kintamą elipsės tašką
MQc; y ) ir per jį nubrėžkime statmenį PB ašiai Ox. Tašką B sujunkime su
koordinačių pradžia. Kampą, kurį sudaro teigiama ašies Ox kryptis su
spinduliu OB, pažymėkime raide t. Tuomet, atsižvelgę į 34 paveikslą,
galėsime parašyti:
χ = OP = a cost,
CQ = b sin t .
Remdamiesi (2) lygtimis, galime tvirtinti, kad CQ=y,
yra lygiagreti ašiai Ox.

vadinasi, tiesė CM

Taigi elipsės parametrinių lygčių parametras t reiškia kampą, kurį
sudaro teigiama ašies Ox kryptis su spinduliu OB.
Cikloidė. Cikloide vadinama kreivė, kurią brėžia apskritimo taškas,
kai tas apskritimas neslysdamas rieda tiese (35 pav.).

2πα X

Tarkime, kad riedančio apskritimo taškas M iš pradžių buvo
koordinačių pradžioje. Taško M koordinates po to, kai apskritimas
pasisuko kampu t , pažymėkime χ ir

y:
X=OP=OB-PB=
y=PM=BK=

OB-MK,
CB-CK.

Jeigu apskritimo spindulys lygus a,
tai
MK = a sin t,
CK = a cos t .
Kadangi
apskritimas
rieda
neslysdamas, tai OB= MB = at, todėl
36 pav.

χ = at-a sini = a ( i - s i n i ) ,
y= a-a cost = a (I-cost)

.

Lygtys
χ = a (/ - sin ή,
у = а(1 - e o s i )
yra parametrinės cikloidės lygtys. Kai parametras t kinta nuo O iki 2π,
gauname pirmąją cikloidės arką.
Astroidė. Astroide vadinama kreivė, kurią brėžia apskritimo su spinduliu

a
4

taškas, kai tas apskritimas neslysdamas rieda kitu apskritimu,

kurio spindulys a, be to, mažesnis apskritimas visą laiką yra didesniojo
viduje (36 pav.).
Astroidės parametrinės lygtys tokios:
Jjc = a c o s 3 1 ,
įy = α sin 3 t ,

O < i < 2π,

(šių lygčių išvedimo nepateikiame). Pakėlę abiejų
dešiniąją puses laipsniu 2/3 bei sudėję lygtis, gauname:
X

2 / 3

+ Y

2 / 3

=

A

2 / ^

cos 2 i + sin 2 11 =

Taigi astroidės lygtis yra
X

2 / 3

+ Y

2 / 3

= A

2 / 3 _

lygčių

kairiąją

ir

2. Skaičių seka ir jos riba
2.1. Skaičių sekos sąvoka
Apibrėžimas. Skaičių seka (arba kintamuoju dydžiu) vadinama skaitinė
funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje N.
Šios funkcijos apibrėžimo sritis - aibė N, reikšmių sritis - tam tikras
aibės R poaibis.
Sekos bendrąjį narį pažymėję xn (čia n - nario numeris), galėsime
parašyti n ~+xn , arbax„ =f(n). Seką žymėsime simboliu {x„ }.
Paminėsime du svarbiausius sekų reiškimo būdus.
1. Seka reiškiama formule x„ =f(n ), nurodančia, kaip pagal numerį n
apskaičiuojamas atitinkamas narys xn. Pavyzdžiui, formulė

xn =

n +1

apibrėžia seką
n
I i l l l
2' 3' 4 ; 5; 6 ; " ' ; n + i ; · "
2. Seka reiškiama rekurentiškai: nurodomas pirmasis sekos narys
(arba keli pirmieji nariai) ir taisyklė, pagal kurią galima nustatyti (« + l)-ąjį
narį, kai žinomas numeris n > 1 ir sekos nariai, kurių numeriai ne didesni
už n.
Pavyzdys. Raskime xn, kai seka {x„ } apibrėžta formule

л

Sprendimas.

«+1

л

п ~

Lygybeje

(n + l)(n + 2)
2
'
xn+\=xn

+

(N + \)(N + 2)

^

.

.

vietoj

n

įrašę

skaičius 1, 2, 3, gauname:
2-3
x

2

\ +

= x

= 1+3= 4,

3-4
X3 =X2+

-γ- = 4 + 6 = 10 , ...

Pastebėję, kad
,
1-2-3
,
2-3-4
χ, = I = - — , X 2 = 4 = — —
,
6
o

3-4-5
1П
X 3 = 1 0 = — — , ... ,
o

suvokiame, jog
л(я

+ 1Хя + 2)
6

Šią formulę nesunkiai galėtume pagrįsti, taikydami matematinės indukcijos metodą. •
Jeigu pagal kurią nors taisyklę išrinktume tam tikrus sekos {x„} narius
ir surašytume juos ta tvarka, kokia jie pateikti sekoje {x„ }, tai gautume
naują seką, vadinamą sekos {x„ } posekiu. Posekį žymime |χ„λ j , keN; be

to, nIc

< Kici

tada ir tik tada, kai k\<

k2.

Pavyzdžiui, galima išskirti sekos

(—1)" J du posekius: pirmasis posekis {1, 1, 1, ...} gaunamas parenkant
narius su lyginiais numeriais, antrasis {-1, -1, -1, ...}.- su nelyginiais
numeriais.

2.2. Sekos ribos sąvoka
Pradėsime nuo pavyzdžio. Sakykime, duota seka {xn}, kurios bendn -1
rasis narys xn =
. Apskaičiuokime jos narius, imdami n = 1, 2, 3,... :
2n

n· i- i · 1· 2- J L JL-

' 4' 3' 8 ' 5' 12' 1 4 ' " '

Nesunku suvokti, kad, didėjant numeriui n, sekos nariai „artėja" prie
Pavyzdžiui, kai n = 101, tai xn =
Xfi

j .

. Bendrąjį narįx„ parašysime taip:
n-1_

1

1

2n

2

2n

.

Didėjant n, dėmuo — „artėja prie nulio", todėl xn iš tiesų artėja prie
2n
Šį faktą pažymime simboliais:

n—><» 2n

l

·

2

Juo didesnes n reikšmes imame, juo mažiau xn skiriasi nuo savo ribos,
lygios

j . Vadinasi, ribą galėtume apibrėžti taip: skaičius a yra sekos xn

riba, kai, imant pakankamai didelius n, xn ir a skirtumo modulis pasidaro
kiek norima mažas. Toks apibrėžimas gana aiškus, bet netikslus. Kokius n
laikyti pakankamai dideliais, ką reiškia „kiek norima mažas"?
Patikslinkime suformuluotą apibrėžimą. Skirtumo x„-a modulis turi
būti mažesnis už bet kurį pasirinktą teigiamą skaičių ε. Nustatysime, kokie
turi būti šią sąlygą tenkinančių sekos narių numeriai. Grįžkime prie
pavyzdžio. Reikalaujame, kad
1

/7-1
< ε <=>
2n

1

1
< ε <=> —
2
2n

Išsprendę šią nelygybę, gauname:
n >

1
—

2ε

.

< ε teisinga su

— pažymėkime raide N. Vadinasi, nelygybė
2ε

visais n >N= — . Kadangi numeris N gali buti tik sveikasis skaičius, tai N
2ε
imame lygų — sveikajai daliai:
2ε
J_

N

=

2ε

Apibrėžimas. Skaičius a vadinamas sekos {x„} riba, kai kiekvieną
teigiamą skaičių ε atitinka toks natūralusis skaičius N, kad su visais n >N
teisinga nelygybė
\xn - a\ < ε .
Šį apibrėžimą parašykime simboliais: Iim xn = a , jeigu
n—>oo
\/ε>0 3N: n>N

=>

\xn-a\<z .

Šiuo atveju taip pat sakoma, kad kintamasis xn artėja prie a, ir rašoma
xn-+ a.
Seką, kuri turi ribą, vadiname konverguojančiąja

seka. Dar kartą

akcentuojame: norėdami įrodyti, kad seka {xn } konverguoja prie a, pagal
laisvai pasirinktą ε turime rasti tokį numerį N, kad su visais n>N

galiotų

nelygybė \xn—a I < ε .
1 pavyzdys, {rodykime, kad

Iim

8л+ 7

oo

2n

= 4 . Kam lygus N, kai ε=0,04 ?

S p r e n d i m a s . Iš nelygybės
8/J + 7

2n

< ε

gauname:
7
—<ε
In
Paėmę N

1_
2ε

»

turėsime: n >N

7
n>—
2ε
=> \xn - 4| < ε , todėl Iim xn = 4 .

Kai ε=0,04 , tai — =
=87,5 . Taigi N=87.
2ε
0,08

•

Išsiaiškinsime sekos ribos geometrinę prasmę. Nelygybė

Taigi skaičius a yra sekos {xn} riba, kai kiekvieną ε > 0 atitinka toks
numeris N, kad visi sekos nariai su didesniais numeriais priklauso taško a

σ

α-ε

σ+ε

f-

ε spindulio
aplinkai
Κε (α).
Tuomet
tos
aplinkos išorėje bus tik
baigtinis skaičius sekos
narių (37 pav.).

^
X

—ι—

X/V-l ^N
37 pav.

2 pavyzdys. Įrodykime, kad 1 yra skaičių sekos xn
Sprendimas.
nelygybę

Remdamiesi

sekos

(-1)"
^ -1| = 1 + L J

ribos

1

apibrėžimu,

sudarome

< ε,

iš kurios gauname n > Iog2 - . Todėl imame N=
Tarkime, kad laisvai pasirinkome ε = 2

riba.

10

Iog2-

. Tada N= Ilog 2 2 1 0 = 10.

Vadinasi, kai ε = 2~10, tai, imdami natūraliąsias n reikšmes, didesnes
už N= 10, gausime \xn -1| < ε . Taigi, kai
ε =2

-IO

Nelygybės \xn - ΐ | < ε o

3N = 10:

n>N-.

<ε

1 - ε < x n < 1 + ε nusako taško 1 ε spindulio

aplinką (38 pav.).
(-1)"
Vadinasi, kai skaičių seka x„ = 1 + ^n
pasirinktą ε =

atitinka numeris /V=10, n u o kurio pradedant, visi
tolimesni sekos nariai

1+ε

1-8

X7 X 9

artėja prie ribos 1, tai laisvai

H—

—t—
XlO Xe

χU -- I - 11
-L
x

1

2

X

12 - 1

38 pav.

:1

patenka į taško 1 ε spindulio aplinką (žr. 38 pav.).

'
213'""

•

3 pavyzdys. Įrodykime, kad skaičius — nėra sekos xn = ^n

+

^ riba.

7
IN-5
Sprendimas.
Žinome, kad, neigdami teiginį, kvantorių
V
pakeičiame kvantoriumi Ξ, ir atvirkščiai. Vadinasi, skaičius a nėra sekos
{xn } riba, jei

3ε > O V/V : 3 n> N => Vxn - a > ε .
4/1 + 2
Apskaičiuojame \xn - a\ =
Tn - 5

3

In + 29

7

7(7« - 5)

1 In + 29
. KaIn - 5

7

,,
Tn + 29 „
.
,, ,
ι 1 _ . ,
1
dangi su Vn —
— > 1, tai su Vn \xn -a\> —. Parinkę ε = — , gauname:
3 ε = — V « => 1|x„ - αϊ
>ε .
1
7
"
Taigi

a

3
= ~ n ® r a duotosios sekos riba.

•

2.3. Konverguojančių sekų savybės
1 teorema. Jei seka tun ribą, tai tik vieną.
Į r o d y m a s . Tarkime priešingai, kad seka {x„ } turi ribas a ir b, be to,
a φ b . Vadinasi,
V ε>O

3 N1:

n > Nx => \xn - a <

νε>0

3 N2:

n> N2 =>\x„ - b\<— .

Parinkime N = max{/V j , N2};
I

I

tuomet abi nelygybės \x„ - a | < ^

g

.

.

I

l

I x n ~ b I < ~ t>us teisingos kartu. Įvertinkime skirtumą | a-b \:
\a-b\=\a-xn +xn -b\<\xn -a\ + \xn

-6|<-| + | = ε .

Matome, kad dviejų skaičių skirtumo modulis yra mažesnis už bet kurį kiek
norima mažą skaičių ε > 0 . Tai reiškia, kad a-b = O, taigi a = b, o tai prieštarauja prielaidai, kad a φ b. Teorema įrodyta.

•

2 teorema. Konverguojanti seka yra aprėžta.
Į r o d y m a s . Sakykime, kadx n -+a. Pagal ribos apibrėžimą
jc„ -> a o

Paskutinioji

V ε > O 3 N : n > N => \xn -a\< ε .

nelygybė

< xn < a + ε , kai n>N.

ekvivalenti

dvigubajai

nelygybei

a-ε <

Ji reiškia, kad seka aprėžta, pradedant (A^-l-l)-uoju

nariu. Kadangi už intervalo ( я - ε ; я +ε) ribų yra baigtinis skaičius sekos
narių, tai tą intervalą galima išplėsti taip, kad į j į patektų ir sekos nariai
x b x 2 , --,XN

• Tuometx n e ( я - ε ; я +ε) su V η e/V. O tai ir reiškia, kad seka

(x„} yra aprėžta (žr. I skyriaus 2.3 skyrelyje pateiktą bet kokios aibės
aprėžtumo apibrėžimą: m < x < M o x e [m; M]).

A

ir

3 teorema. Jei x„—>α ,y„—»fr ir xn >y„ (neN),
Įrodymas.

Tarkime

priešingai,

kad

tai

a<b.

a>b.
Tuomet

b-a> 0.

Pažymėkime: b-a = ε >0, b = α+ε. Pasiremkime ribos apibrėžimu:
ι
ι
ε
BTV1: n > TV1 => \xn-a | < —,

xn -» a <=> \/ε > 0 (kartu ir ε = b-a)
j„->6»Ve>

0

BN2:

n > N2 =>\yn

Pastarosios nelygybės bus teisingos kartu, kai parinksime
Toliau
k

a

~ \<xn

\

<fl

+

f'

\Уп-Ь

N=max{NhN2}·

<=> ь~^<Уп<

b

+

Taigi
Уп >b-^

= a + e-^

=a+

^>xn

Gavome yn>xn,
bet tai prieštarauja teoremos sąlygai xn >y„ .
Vadinasi, prielaida, kad a <b, yra neteisinga. Teorema įrodyta.
Kitaip sakant, ši teorema teigia, kad nelygybėje yra teisingas ribinis
perėjimas:x n >y n => Iim xn > Iim yn.
•
я—>00

rc—>00

D a r paminėsime, kad apskritai iš nelygybės x„ > yn =>
> Iim yn,
п-усс

o

ne būtinai

Iim xn > Iim yn.
Л->оо
Л-> OO

Pavyzdžiui,

Iim xn >
n—WO

— > —-,
n
n

bet

Iim - = I i m i - - J = 0 .
n—>00 n

n—>oo\

Tl J

Išvada. Jei xn < M ir χn —» a ,tai a < M .
Ši išvada tiesiogiai išplaukia iš 3 teoremos, nes Л—>00
Iim M = M.
4 teorema. Jei xn —» a, yn —> b (a ir b - baigtinės ribos), tai:
1) xn + yn

a+b ;

2) cxn -> ca , c = const;

3) xn

- Уп

4)

^

a b

;

, b* O .
Уп

b

Šios teoremos dabar neįrodinėsime, nes vėliau įrodysime tokią pačią
teoremą, pritaikytą funkcijoms.

2.4. Sekos ribos egzistavimo požymiai
1 apibrėžimas. Seka {xn} vadinama
reikšme teisinga nelygybė
XN +1 ^XN

didėjančiąja,

kai su kiekviena n

,

t.y. kai didesnius narių numerius atitinka didesni sekos nariai.
2 apibrėžimas. Seka {x„} vadinama mažėjančiąja, kai su kiekviena n
reikšme teisinga nelygybė
XN +1 < XN .

Kai xn+\ >x„, turime nemažėjančią

seką, kai xn+\ <xn -

nedidėjančią

seką.
Nemažėjančios ir nedidėjančios (kartu didėjančios ir mažėjančios)
sekos vadinamos monotoninėmis sekomis.
2.3 skyrelyje įrodyta 2 teorema liudija, jog aprėžtumas yra būtina
sekos ribos egzistavimo sąlyga. Nesunku įsitikinti, kad šios sąlygos dar
nepakanka sekai konverguoti. Štai, pavyzdžiui, seka {(-1)"} yra aprėžta,
bet ribos neturi. Tačiau, kai seka yra monotoninė, aprėžtumas kartu yra ir
pakankama jos konvergavimo sąlyga.
1 teorema. Monotoninė ir aprėžta seka turi ribą.
Į r o d y m a s . Tarkime, kad seka {xn} yra didėjanti ir aprėžta iš viršaus.
Tuomet ji turi tikslų viršutinį rėžį sup {xn} = a, be to,x n < a. Įrodysime, kad
būtent a yra šios sekos riba.
Nesunku suvokti, jog Vs > O 3 N, su kuriuo teisinga nelygybė

χΝ>α-ε.

K a d a n g i seka didėjanti, tai iš nelygybės n > N => x n > x N > a - ε . Taigi
xn>a

-εοα-χη

<ε <=> |x n -a \ <ε. O tai reiškia, kadx„-»a.

•

Pavyzdys. Įrodykime, kad seka {xn}, apibrėžta formule
Г - n 4n - P o + P

l

x

10

+

J-

···

I Pn
Г '

+ —

ίο"

konverguoja; p į (/=1, 2, ... , n) - sveikieji neneigiami skaičiai, mažesni
už 9.
S p r e n d i m a s . Apskaičiuojame
x

n+1 - xn

iš čia

=

T77 - 0 '
10"+1

xn+i > x n , n e N .

Vadinasi, seka yra monotoninė. Įrodysime, kad ji aprėžta. Kadangi
Pi < 9 , tai
9

9

9

9
9
9
Reiškinys —- + — - + ... + — - yra geometrinės progresijos, kurios vardiklis
10

ίο2

10"

1 . .
.
9
. . . .
<7 = — ir pirmasis narys X1 = — , suma. Ji lygi
9

9

10

10"+1

Į

1_J_
10

9

; χ

10"

Taigi 0 < x n < p 0 + 1 ; seka yra aprėžta. Kadangi seka tenkina abi teoremos sąlygas, tai ji turi ribą.

•

Paminėsime, kad ši teorema nenurodo, kaip rasti ribą, o tik teigia, kad
sekos riba egzistuoja.
Suformuluosime dar vieną sekos ribos egzistavimo teoremą, kuri kartais irgi būna naudinga.
2 teorema

(tarpinio kintamojo ribos teorema). Jei

xn <zn

< yn

(n eN) ir xn -» a, y „ -» a, tai ir zn -» a .
Įrodymas.
χ„-»α»νε> 0

3 N χ. n > N j => \xn- α | < ε <=> a - ε < x n < a + ε ;

yn -> a <=> Ve > 0 3 N 2

n> N2

=5> \yn- fl| < ε <=> a - ε < yn

<α+ε .

Parenkame N = max (./V1, J V 2 } , su kuriuo kartu bus teisingos abi
nelygybės. Surašome nelygybių grandinėlę
a- ε<χη
Iš jos išplaukia, kad
reiškia, kad zn

< zn <yn

< α +ε .

α-ε < zn < a +ε a> \zn -a\< ε , kai neN.

a . Teorema įrodyta.

O

tai

•

Matematikai šią teoremą juokais vadina „dviejų policininkų" teorema.
Mat jeigu tarp dviejų policininkų xn ir y„ svyruoja girtuoklis Zn, tai jis
atsidurs nuovadoje a, į kurią policininkai jį ir veda.

2.5. Skaičius e
Išnagrinėsime vieną nuostabią ribą ir susipažinsime su svarbia matematine konstanta, vadinama skaičiumi e.
f

O"

Imkime seką {xn}, kurios bendrasis narys xn = ^ 1 + -J

, neN.

{ro-

dykime, kad ji turi ribą. Norėdami pritaikyti monotoninės sekos ribos
egzistavimo požymį, turime įrodyti, kad pasirinktoji seka yra didėjanti ir
aprėžta iš viršaus.

Pritaikome Niutono binomo formulę (žr. šios knygos I V skyriaus 3.4
skyrelį) ir parašome xn dėstinį:

^ 1 + ^ = 1 + ¾ - I ^ i
Jfc=I

,
" n(n-i)...(n-k
= 1+ > —
-—
k=1

+ l)

1
n

,
" 1
= 1+ >
k=1k\

r

*

n-1

n-2

n

n

n)(1_ л) '"i1

~ 1+

...

n-k + 1
n

V

Vietoj n įrašę dydį n +1, kiekvieną suskliaustą dauginamąjį padidintume,
todėl xn+i>xn. Be to, xn+1 dėstinyje atsiranda dar vienas papildomas teigiamas narys, vadinasi, neabejotinaix n + i >x n . Taigi pasirinktoji seka didėja.
Kadangi

k

,2k'·

tai jc„ >2. Antra vertus,
1
xn < 1 + У — ,
Kl· ι
k=i •
nes kiekvienas suskliaustas dauginamasis yra mažesnis už 1. Pasinaudoję
nelygybe k!>
A : ! > 2k^ _ 11 (žr.
(žr. II skyriaus 1.4 skyrelį) ir geometrinės progresijos
sumos formule, gauname:
I Xnn

1

2

<1+ t—*
Σ -T-T
>yk-1<1 +
Jfc=I

z

T1 = 1 + 27n-1 Ц- = 73
n-l ί-<3

1--

2
Taigi įrodėme, kad 2 < xn < 3 . Seka {x n } yra monotoninė ir aprėžta,
todėl ji turi ribą. Si riba ir buvo pavadinta skaičiumi e:

(

lV
Iim 1 +—
= e.
n—>cc\ nJ
Kadangi 2 < xn < 3 , tai ir 2<e < 3. Apytikslė skaičiaus e reikšmė 15
ženklų po kablelio tikslumu yra tokia:
e=2,718281828459045 .
1873 m. Sarlis Hermitas* įrodė, kad skaičius e yra transcendentinis.
Taip vadinamas realusis arba kompleksinis skaičius, kuris nėra algebrinės

Šarlis Hermitas (Ch. Hermite, 1822-1У01) - prancūzų matematikas.

lygties su sveikaisiais koeficientais šaknis. Beje, transcendentinis yra ir
skaičius π.
Skaičius e dar vadinamas Neperio skaičiumi pagal škotų matematiko
Neperio* pavardę, nes būtent Neperis logaritmus skaičiavo pagrindu
/
7\10
I l + IO"7 I
Logaritmai, kurių pagrindas yra e, vadinami natūraliaisiais

ir žymimi

ženklu I n . Taigi
In χ = Iog e χ .
Rodiklinė funkcija, kurios pagrindas e, turi specialų pavadinimą ir žymėjimą; ji vadinama eksponentine funkcija ir žymima taip:
expx = e x .
Toks išskirtinis dėmesys eksponentinei funkcijai yra neatsitiktinis, nes su
šia funkcija dažnai tenka susidurti nagrinėjant įvairius gamtoje vykstančius
procesus.

2.6. Hiperbolinės funkcijos
Taip vadinamos funkcijos, apibrėžiamos naudojant skaičių e:
sh χ =

e —e

,

,
e +e
ch χ =

Pirmoji jų yra hiperbolinis sinusas, antroji - hiperbolinis kosinusas (39 pav.).
Naudojantis šiomis funkcijomis, apibrėžiamos dar dvi funkcijos:
shx .
ir
hiperbolinis tangentas th χ =
chx
kotangentas

hiperbolinis

.
chx
. .
cth χ = — — . Taigi thx
shx
x

e +e

ex-e

x

e*+e"*

x

Jų
grafikai
ex-e~x
pavaizduoti 40 ir 41 paveiksle.
Funkcijų shx, chx, thx apibrėžimo
sritis D=(- oo; +oo), o funkcija Cthx
apibrėžta visur, išskyrus tašką x = 0 .
Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad
Cthx =

39 pav.

7
2
ch χ - sh χ = 1.

Džonas Neperis (J. Napier, 1550-1617) - škotų matematikas.

У'

ivV y = c t h

χ

л
1

O

χ

-1

40 pav.

41 pav.

G a n a įdomiomis savybėmis pasižymi hiperbolinio kosinuso grafikas,
kuris dar vadinamas grandinine kreive. Taip jis pavadintas dėl to, kad už
galų pakabinta grandinė nukardama įgyja hiperbolinio kosinuso grafiko
formą.
Sukdami grandininę kreivę apie ašį Ox, gauname paviršių, vadinamą
katenoidu (lotyniškai catena - grandinė) (42 pav.). Katenoidas priklauso
vadinamųjų

minimaliųjų

paviršių

klasei:

jo

paviršiaus

plotas

yra

mažiausias, palyginti su visais paviršiais, einančiais per apskritimus γι ir γ2,
kurie

gaunami

kertant

katenoidą

statmenomis

jo

sukimosi

ašiai

plokštumomis.
Funkcijos shx ir chx pavadintos hiperbolinėmis neatsitiktinai.
9
9
v
Nagrinėkime hiperbolę, kurios lygtis χ

-y

= 1. Sios hiperbolės

kintamojo taško M koordinates pažymėkime χ ir y. Tarę, kad χ = ch /,
I . Kadangi žinome, jog ch /-sh t = 1, tai y = shi.
gautume ch 2 iVadinasi,
χ = ch t ,
y = shr
У'

/

V

\

X

/
42 pav.

/ M M

A

o ir "
43 pav.

yra hiperbolės parametrinės lygtys. Neįrodinėdami paminėsime, kad
parametras t lygus dvigubam hiperbolinės išpjovos AOM plotui (43 pav.).

2.7. Bolcano ir Vejerštraso* principas
Pirmiausia įrodysime vieną papildomą teiginį, tiesiogiai
išplaukiantį iš įdėtųjų atkarpų lemos (žr. I sk. 2.3 skyrelį).
1 teorema (susitraukiančiųjų atkarpų lema). Jei [a„;

-

įdėtųjų atkarpų seka ir Iim [ bn - a A = O , tai abu kintamieji a„ ir
Л—>00
bn turi bendrą ribą Iim an = Iim bn
л-»оо
TJ->00

=c.

Į r o d y m a s . Kadangi [a„; bn ] - įdėtosios atkarpos, tai jos turi bendrą
tašką c, su kuriuo teisinga nelygybė
an<c<bn

.

Iš čia
O < c - an < bn - an —> O ,
todėl c - an —> O, t. y. an —> c. Analogiškai įrodytume, kad ir bn
Tikriausiai suvokėte, kad susitraukiančiosios
įdėtosios atkarpos, kurių ilgis bn-an

c.

•

atkarpos bus tokios

-> O.

Dabar aptarsime sąlygas, kuriomis seka turi konverguojantį posekį.
Aišku, kad kiekviena konverguojanti seka turi ir konverguojantį posekį. Jei seka neturi ribos, tai dar nereiškia, kad ta seka neturi konverguojančio posekio. Pavyzdžiui, seka, kurios bendrasis narys xn = (-1)" ,
neturi ribos, tačiau ji turi du konverguojančius posekius:
1, 1, ..., 1, ...
-1, -1, ..., -1, ...
Pirmasis gaunamas imant lygines n reikšmes ir artėja prie 1, o antrasis
gaunamas, kai n reikšmės nelyginės, ir artėja prie

-1. Pasirodo, kad tai

būdinga visų aprėžtųjų sekų savybė.
2 teorema (Bolcano ir Vejerštraso lema). Kiekviena aprėžta seka turi
konverguojantį posekį.
Į r o d y m a s . Kadangi seka {xn} aprėžta, tai visus jos narius galima sutalpinti kurioje nors atkarpoje [a; b]. Šią atkarpą padalijame pusiau ir pasirenkame tą jos dalį, kurioje yra be galo daug sekos narių; tokia atkarpos
dalis tikrai yra, nes priešingu atveju ir visoje atkarpoje būtų baigtinis skaičius sekos narių, o to būti negali. Pasirinktąją atkarpą pažymėkime
*

Karlas Teodoras Vilhelmas Vejerštrasas (K. Th. W. WeierstraB, 1815-1897) - vokiečių
matematikas.

[flj; Ь)] ir vėl padalykime pusiau. Simboliu I a 2 ; ^2] pažymėkime tą jos
dalį, kurioje yra be galo daug sekos narių. Gausime įdėtųjų
sistemą:
[O1; bi]z>[e2;

b2]^...z>[ak;

atkarpų

bk]z>...

Remdamiesi įdėtųjų atkarpų lema, tvirtiname, kad yra realusis skaičius c,
priklausantis visoms atkarpoms [ak;

-> O, kai k -> 00 , tai pagal susitraukiančiųjų

Kadangi bk -ak =
atkarpų lemą ak

bk ], k e N .

c ir bk -> c .

Dabar posekį jJtnjfc j sudarome induktyviai. Pirmiausia pasirenkame
kurį nors vieną sekos narį Jtn , esantį atkarpoje [aj; b\ ], po to - kurį nors
kitą sekos narį х , ь e [ a 2 ; b2] ir pagaliau x„k

bk ]. Taip padaryti

visada galima, nes kiekvienoje atkarpoje [a^; bk ] yra be galo daug sekos
narių. Kadangi
ak<x„k<bk

k

ak^>c,bk->c,

tai, remiantis „dviejų policininkų" teorema, galima teigti, kad ir Xn^ -» c .
Teorema įrodyta. •
Įrodydami 2 teoremą, taikėme nuoseklaus dalijimo metodą, kuris bus
naudingas ir ateityje.

2.8. Koši* sekos ir Koši kriterijus
Apibrėžimas. Seka {xn} vadinama Koši seka, jei V e > O 3 N:
n> N лт>

N

=>

|jtn - xm I < ε .

Įrodysime dvi Koši sekų savybes.
1 teorema. Kiekviena konverguojantį seka yra Koši seka.
Į r o d y m a s . Tarkime, kad xn -> a. Tuomet
xn->a

<=> Vs > O 3N:

n>N

=> |jt n -a|<-^ .

Kadangi numeriui n keliamas vienintelis reikalavimas, kad būtų n>N, tai
n vaidmenį gali atlikti bet kuris natūralusis skaičius m>N.
Todėl
jt,,-»a<=> ν ε > 0

3N:

m>N

\xn ~xm\ = \[xn - a)
Teorema įrodyta.

+

I
I ε
=> |jtm - a\ < — . Įvertinkime skirtumą:

{ a - xmj\-\xn-а\ + \хт-а\<^ + ^ = г .

•

Ogiustenas Luji Koši (A. L. Cauchy, 1789-1857) - prancūzų matematikas.

2 teorema. Kiekviena Koši seka yra aprėžta.
Į r o d y m a s . Iš sąlygos \xn -xm\ < ε turime xm - ε < Xn < xm + ε . Fiksavę
numerį m, kartu pasiektume, jog dydžiai xm - ε ir xm + ε būtų pastovūs.
Taigi sąlyga xm - ε < xn < xm + ε reikštų, kad sekos nariai yra aprėžti, kai
n>N.

Kadangi už intervalo [xm - ε; xm + ε)

sekos narių, tai rėžius

xm - ε

ir

xm + ε

ribų yra baigtinis kiekis

galima išplėsti taip, kad į

intervalą ( x m - ε ; xm + ε) patektų ir sekos nariai x\,x2, ··· , Xy· Tai, kad
visi sekos nariai patenka į intervalą (xm - ε ; xm + ε), reiškia, jog seka yra
aprėžta.

•

Dabar suformuluosime labai svarbų sekos konvergavimo požymį,
kuris net turi specialų pavadinimą.
3 teorema (Koši kriterijus,). Seka {xn} konverguoja tada ir tik tada, kai
ji yra Koši seka.
Į r o d y m a s . Primename: teoremos formuluotėje panaudota loginė
jungtis „tada ir tik tada" reiškia, kad teoremos įrodymas susideda iš dviejų
dalių - būtinumo (atvirkštinės teoremos) ir pakankamumo (tiesioginės
teoremos) įrodymo.
Būtinumas išplaukia iš šiame skyrelyje įrodytos 1 teoremos.
Įrodysime p a k a n k a m u m ą . Pagal tik ką šiame skyrelyje įrodytą 2 teorem ą kiekviena Koši seka yra aprėžta. O iš bet kurios aprėžtos sekos {x„}, remiantis Boleano ir Vejerštraso lema, galima išskirti konverguojantį posekį
x„, —» c . Tuomet
X

N

C <=> V E > O B N

: Щ

> N

Kadangi {x„} yra Koši seka, tai \xn - xm | <

I

= > IXN

I

ε

- С < —

.

Numeriams nk ir m keliamas tas pats reikalavimas, todėl m gali atstoti

-с

ι

ε
ε
< —+— = ε .
I
2 2

Taigi Ix n - c < ε , o tai reiškia, kad xn -> c . Teorema įrodyta. A
Šiek tiek pakeisime Koši sekos apibrėžimą, vietoj m imdami skaičių
n +p; čia p - bet kuris natūralusis skaičius. Taip daryti galima, nes iš sąlygos
n> N => n + p > N , o skaičius m ir turi būti didesnis už N. Todėl Koši
seką dar apibrėšime taip: seka {x„} vadinama Koši seka, jei

νε>0

BN: η> N AVpeN

=> \χ

η+ρ

-Xn

<ε.

Taip suformuluotas Koši kriterijus dažniausiai taikomas sprendžiant
uždavinius.
Pavyzdys. Įrodykime, kad seka
x„
"

=

sinl
1-2

sin 2

Sin n
+ ... + n[n +1)
2-3

h

—

konverguoja.
S p r e n d i m a s . Apskaičiuojame skirtumą:
x

n+p ~ xn

_

= x

n+1 + xn+2 + ··· + xn+p

sin(n +1)
(.n +1 )(n + 2)

sin(n + p)

+ ... +

(n + p)(n + p + l)

Tuomet
in [n +1)|
\xn+p

x

n —

(n + l)(n + 2)
1

(n +1){n + 2)

+ ... +

+ ... +

Sini
(n + p)(n + p +1)
1

(n + p)(n + p +1)

Pasinaudokime tapatybe
1
n(n +1)

n

1
n+\

Gausime:
X J <

...

+

1

n+1

n+2

1

n+2

1

1

n+3

n+3
1

n+p

n+p+l

Pareikalaukime, kad butų
A - i
ε

.+•

1
n +l

n+1

n+p+1

n+4
1

<

n+1
1

< ε . Tuomet bus n >

ε

1 . Parinkę N=

, turesime:

νε>0

3Ν

: η> N

\χη+ρ

+ ...

Χ

η И" ®

nepriklausomai nuo ρ reikšmės. Taigi duotoji seka konverguoja.

3. Funkcijos riba
3.1. Funkcijos ribos taške sąvoka
Prieš apibrėždami funkcijos ribą, išnagrinėkime pavyzdį. Sakykime,
duota funkcija
2x2-8

Ji neapibrėžta taške x=2. Imkimex reikšmes, artimas skaičiui 2, ir apskaičiuokime funkcijos reikšmes šiuose taškuose:
X

1,9

1,95

1,995

2,0005

2,001

У

7,8

7,9

7,99

8,001

8,002

|x-2 I

0,1

0,05

0,005

0,0005

0,001

Iy-Sl

0,2

0,1

0,01

0,001

0,002

Iš lentelės matome, kad kuo arčiau skaičiaus 2 yra χ reikšmė, tuo
funkcijos reikšmė artimesnė skaičiui 8. Taigi, mažėjant reiškinio | jc — 2 |
reikšmėms, mažėja ir reiškinio |y-8| reikšmės. Kitaip tariant, kai χ reikšmės pakankamai artimos skaičiui 2, atitinkamos funkcijos reikšmės kiek
norima mažai skiriasi nuo skaičiaus 8. Tuomet sakome, kad skaičius 8 yra
2
2x - 8
funkcijos
riba, kai χ artėja prie 2. Žymime

Iim
jc—>2

= 8
χ - 2

Patikslinsime posakio „Kai χ reikšmės pakankamai artimos skaičiui 2,
atitinkamos funkcijos reikšmės kiek norima mažai skiriasi nuo skaičiaus 8"
prasmę. Funkcijos reikšmės kiek norima mažai skirsis nuo skaičiaus 8,
jeigu
|y-8|<6 ;
čia ε - bet kuris kiek norima mažas teigiamas skaičius. Kai χ * 2, turime:
|y-8|-

2x2 - 8

χ-2

.
8 < ε <=> 2(x - 2)(x + 2)
χ- 2

< ε <=>

<=> 12(x + 2) - 8| < ε <=> |2x - 4| < ε <=> |x - 2| < j

.

Vadinasi, kad ir koks mažas būtų teigiamas skaičius ε, pagal jį galima
parinkti tokį teigiamą skaičių δ (šiame pavyzdyje δ = ε / 2 ) , kad iš nelygybės

\x - 2| < δ
Ix

2

- 8

Iim
л:—>2 χ -2

išplauktų

nelygybė

|y - 8| < ε .

Cia

ir

yra

teiginio

= 8 prasmė.

Tarkime, kad funkcija f:X

-> У apibrėžta tam tikroje taško a aplin-

koje, galbūt išskyrus patį tašką a. Šią savybę kaip tik turėjo funkcija
2x^ — 8
; taške x=2 ji buvo neapibrėžta, o bet kokioje šio taško aplinkoje
χ-2
apibrėžta. Dar tarkime, kad a - ribinis aibės X taškas, vadinasi, bet kurioje
jo aplinkoje yra be galo daug aibės X taškų.
1 apibrėžimas. Skaičių b vadiname funkcijos f riba taške a (arba kai
x^a
),jei
Vs > O 3δ: | χ - α | < δ , χ Φ α => | / ( χ ) - 6 | < ε .
(3)
Žymime Iim f (χ) = b arba / ( x ) -» b , kai χ

a.

*->a
Taip suformuluotas funkcijos ribos apibrėžimas vadinamas Koši ribos
apibrėžimu arba apibrėžimu „ε-δ
Sąlygas

\x - α| < δ

kalba".

ir χ Φ α

galima parašyti taip:

O < \x - a\ < δ . Ši

nelygybė ekvivalenti nelygybei
α-δ<χ<α+δ

,

χ Φα .

(4)

Iš nelygybės |/(jk) - b\ < ε gauname:
b - ε < f (χ) < b + ε .
44

paveiksle

grafiškai

pavaizduota,

(5)

kad

f[x) —> b , kai

χ

a.

Kadangi iš (4) nelygybės išplaukia (5) nelygybė, tai skaičius b bus funkcijos
/ r i b a taškex=a , jeigu bet kurį ε > 0 atitiks tokia taško a aplinka K 5 (a) \a
(iš aplinkos pašalintas taškas a), kad su visais χ iš šios aplinkos atitinkamos
funkcijos reikšmės pateks į 2ε ploVi
b+ε
b

i i • i
i f] 11

M
У

J/ л

y=b+z.

Intervalas (b-ε;

taško

b

f(x)^>b,

2ε

/. JJJ.. /1

b-ε

čio juostą, apribotą tiesių y=b-z
aplinka
kai

χ e K8(a)

.

έ>+ε) bus

Vz (b).

χ-+a,

(jc Фа)

ir

jeigu

Taigi
iš

=> y e Vt(b). Be

to, iš 44 paveikslo matyti, kad δ
priklauso nuo pasirinkto ε. Maži-

0

α-δα

α+δ

χ

nant

taško

b

aplinkos

spindulį,

mažėja ir taško a aplinkos spin44

pav-

dūlys. Vadinasi, δ = δ (ε).

Jt2 -16
1 pavyzdys. Įrodykime, kad Iim
x—>4 дг-4
S p r e n d i m a s . Funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje, išskyrus tašką
χ = 4. Kai χ Φ 4, tai

χ 2 -16

= x + 4 . Taigi turime parodyti, kad pagal ε > 0

X - A

galima parinkti tokį δ > O, kad iš nelygybės 0 < \x - 4| < δ išplauktų nelygybė

χ2 - 1 6

< ε , arba

x-4

reikia parinkti δ = ε .

|x + 4 - 8| < ε . Iš čia

|x - 4| < ε . Vadinasi,

•

2 pavyzdys. Įrodykime, kad Iim χ
x-*2

=A.

S p r e n d i m a s . Reikia įsitikinti, jog
ν ε > O 3δ > O: Ix - 2| < δ

χ2 - 4 < ε .

Л
Nelygybė χ 2 - 4 < ε ekvivalenti nelygybei 4 - ε < χΔ < 4 + ε .Iš pastarosios, atsižvelgę į tai, k a d x > 0 (x->2), gauname:
-J A - ε < χ < -JA + ε

.

A t ė m ę iš visų dalių po 2, turime:
л/4 - ε - 2 < χ - 2 < л/4+ ε - 2 .

(6)

Kadangi -JA - ε - 2 < 2 - л/4 + ε (tuo įsitikinti nesunku), tai, galiojant
nelygybei
2-л/4 + е < Х - 2 < Л / 4 + Е - 2 ,

(7)

bus teisinga ir (6) nelygybė. (7) nelygybė ekvivalenti nelygybei
Ix - 2| < л/4 + ε - 2 .
Taigi, paėmę δ = л/ΪΤε - 2 , gausime: |χ-2|<δ => |x 2 -4| < ε . Teiginys įrodytas. A
Pateiksime kitą funkcijos ribos apibrėžimą, kuris vadinamas Heinės*
ribos apibrėžimu arba apibrėžimu „sekų kalba".
Kaip ir anksčiau, sakykime, kad funkcija f: X -> Y apibrėžta taško a
aplinkoje, galbūt išskyrus patį tašką a.
2 apibrėžimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba taške a,
jei bet kurią konverguojančią prie a argumento reikšmių seką {x„}
(x„*fl) atitinka konverguojanti prie b funkcijos reikšmių seka
{/(x„)}, kai n-»oo.

Heinrichas E d u a r d a s H e i n ė ( H . E. Heine, 1821-1881) - vokiečių matematikas.

Taigi
Iim f (χ) = b <=> У{хп}:

xn

a , xn φ a => f(xn)

-» b .

(8)

Įrodysime, kad Koši ir Heinės apibrėžimai ekvivalentus, t. y. kad
(3)<=>(8).
Sakykime, (3) sąryšis teisingas. Turime įrodyti teiginį: (3)=>(8). Jei
xn -» a, tai V5 > O 3N : n > N => \xn - a\ < δ . Kadangi (3) sąryšyje tei-

giama, kad iš nelygybės \x - a\ < δ => |f(x) - b\ < ε , tai iš \xn - a\ < δ
=> Jf(xn) -

< ε . Nelygybė

\f(xn) - b\ < ε

ir reiškia, kad

f(xn)

-> b.

Išsiaiškinome, kad teisingas (8) sąryšis.
Dabar sakykime, kad (8) sąryšis yra teisingas. Turime įrodyti, kad iš
(8)=>(3). Tarkime priešingai. Vadinasi, taško a δ spindulio aplinkoje
atsiras

bent

vienas

taškas

χ',

su

kuriuo

iš

nelygybės

\x' - α| < δ => I f (x') - b\ > ε ; čia ε > O - tam tikras skaičius.
Sudarykime teigiamų skaičių δ „ seką, konverguojančią prie nulio,
pavyzdžiui, δ „ = — , n e N.
n
nelygybės \x'n - a\ < —
f(x'n)

=>

Kiekvieną δ = δ „

atitiks x' = x'n, be to, iš

\f(x'n) - b\ > ε . Pastaroji nelygybė reiškia, kad

nekonverguoja prie b, o tai prieštarauja (8) sąryšiui. Gautoji prieš-

tara ir įrodo reikiamą teiginį: iš (8)=> (3).

•

3.2. Vienpusės funkcijos ribos
Iki šiol nagrinėjome funkcijos ribą taške, kai χ įgyja visas reikšmes iš
taško a δ spindulio aplinkos (išskyrus patį tašką x = a) tiek iš kairės, tiek iš
dešinės to taško pusės.
Jeigu, ieškant ribos, kai x->a, apsiribojama tik χ reikšmėmis, esančiomis į kairę nuo a, tai tokia riba vadinama
funkcijos riba iš kairės ir žymima
Iim / ( * ) = I i m / ( * ) = Z ( A - O ) = ^ 1 ,
Λ->α-0
χ <a
o jeigu apsiribojama tik χ reikšmėmis iš
dešinės taško a pusės, tai tokia riba vadinama funkcijos riba iš dešinės ir žymima
Iim f(x) = Iim f(x) = f (a + 0 ) = b2.
χ—>α+0
χ—>a
χ >a
Funkcijos ribos iš kairės ir dešinės vadinamos vienpusėmis ribomis.

Funkcijos vienpusės ribos pavaizduotos 45 paveiksle. Kai
bi=b2,
sakoma, kad funkcija/taške a turi ribą,
o kai b ι ^b2, tai taške a funkcija / r i b o s
neturi.
Pavyzdys. Raskime
pavaizduotos funkcijos

О

m=·

- 2

2

kai χ > O,

1-х,

kai χ < O,

-x~ - 2 ,

Z=-X2- 2

46 paveiksle

vienpuses ribas taške χ = 0.
Sprendimas.
/ ( + 0 ) = Iim (-χ2 - 2 ) = - 2 ,
Л-+0
46 pav.

/ ( - 0 ) = Hm ( l - x ) = l .
дг->-0

K a d a n g i / ( - 0 ) / / ( + 0 ) , tai duotoji funkcija neturi ribos taške χ = 0.

3.3. Funkcijos riba, kai

»oo

Panagrinėkime funkciją / ( x ) = 2 + -ί . Aišku, kad, didėjant x , trupmeX

nos

— reikšmių1 moduliai mažėja. Taigi, kai χ reikšmės yra didelės,
χ
funkcijos / reikšmės mažai skiriasi nuo 2. Sakoma, kad / riba lygi 2, kai
χ o o , ir rašoma Iim / ( x ) = Iim 2 + — =2.
*->co
x->co V
X/
Nagrinėkime funkciją/, apibrėžtą visoje skaičių tiesėje.
Apibrėžimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba, kai χ

со, jei

Vs>O 3 Μ ( ε ) > 0 : |x|>M =>|/(х)-Ь < ε .
Žymima

Iim / ( χ ) = b arba / ( χ )

b, kai χ

oo. Čia M = Μ ( ε ) yra pakan-

X—>00

karnai didelis skaičius, priklausantis nuo pasirinktojo ε.
Šio apibrėžimo užrašą x-»oo, suprantame kaip du užrašus: x-»+co
arba χ —> — oo. Jei funkcija yra tokia, kad šiuos atvejus reikia nagrinėti
atskirai, tai rašome:
Iim / ( x ) = b

arba

X->+CO

Iim / ( x ) = b .
X—>—СО

Funkcijos / riba, kaix->+oo ir kaix-+-oo, apibrėžiama analogiškai,
kaip ir Iim / ( x ) , tik apibrėžimo formuluotėje sąlyga |x I >M pakeičiama
atitinkama sąlyga χ > M arba χ < - M .

Grįžkime prie skyrelio pradžioje nagrinėtos funkcijos ir įrodykime,
kad Iim (2 + - ) = 2 .
χ—>co V
χJ
Remdamiesi apibrėžimu, sudarome nelygybę
If(x)~b\

= -j-r < ε

2 + - I - 2

χ

\x\

Iš jos \x > - .
ε
1
Skaičius ε yra kiek norima mažas, o skaičius - - jau didelis, todėl,
ε
parinkę M= — , gausime:
ε
Ve > О З М = - > O: \х\> M
ε

2+-I-2 < ε .
л:

Vadinasi, Iim (2 + - ) = 2 .
X—>oo\

Interpretuokime apibrėžimą geometriškai. Kadangi
\x\>M <=> χ e(-co;-M)U(A/; + co) ,
tai su kiekviena χ reikšme iš šių intervalų funkcijos reikšmės skiriasi nuo
ribos kiek norima mažai (47 pav.).

V

\ y=2 +

2+ε

1
X

^

I/—O
y—Δ

2-ε
x<-/W
-M

x>M
\ 0

M

X

3.4. Neaprėžtai didėjančios funkcijos
Be išnagrinėtų funkcijos/baigtinės ribos sąvokų, k a i x - » a arbax-»co,
vartojama ir begalinės ribos sąvoka. Pavyzdžiui, funkcija -ί-, apibrėžta su
χ
visais ΧΦΟ (48 pav.), įgyja kiek norima dideles reikšmes, kai x-+0. Tuo
atveju sakoma, kad funkcijos riba taške χ = O yra begalinė, ir rašoma
Iim -Kr = oo .
x-»0 X z
1 apibrėžimas. Funkcijos f riba taške a yra begalybė, jeigu
V M > O 3δ = δ ( Μ ) > О :

|χ-α| < δ,χ * α => |/(x)| > M .

Žymima Iim f [χ) = oo, arba / ( x )

oo , kai χ a

.

Jeigu funkcija / ( x ) -» oo, kai χ -» a, įgydama tik teigiamas arba tik neigiamas reikšmes, tai atitinkamai rašome Iim f(x) =+co arba Iim f(x)
x—>a

χ—>ct

=

=—00.
:

1 pavyzdys. Įrodykime, kad Iim

+00 .

S p r e n d i m a s . Pagal 1 apibrėžimą, kad ir koks didelis būtų skaičius
M > O, turi būti teisinga nelygybė
|/(x)| > M , arba

>M

.

χ I < -L·= . Pažymėję -L·= raide δ (δ > 0),
ЫМ
л/м
V M > 0 36 = - p L > 0 : Ixl < δ, χ ^ О =>

Vm

1

1

ι
ι
=> —y > M , todėl Iim —- = +oo .
χ2
χ^ο χ 2
Tai galima interpretuoti geometriškai.
Kadangi

|x| < δ <=> - δ < χ < δ , tai su kiek-

viena χ (χ * 0 )

reikšme iš šio

intervalo

funkcijos reikšmės bus dar didesnės
skaičių

M > O,

kad

ir

pasirinktume (žr. 48 pav.).

kokį

didelį

už
jį

•

Dar apibrėšime begalinės ribos begalybėje sąvoką, t. y. Iim / ( x ) = oo .

2

apibrėžimas. Jeigu

V M > O 3 7 V > 0 : |x|>JV => | / ( x ) | > M , tai

Iim f(x) = со, arba f (χ) —>co, kai x—>oo.

x->co

Atskiru atveju gali būti nagrinėjamos ribos:
Iim f ( x ) = +со,
X—>+00

Iim /(jc) = +со,
X—>-00

Iim / ( χ ) = -oo,
X—>+00

Iim f (χ) = -oo.
X—>-00

2 pavyzdys. Iim χ
Χ—>00

= +со ,
Iim χ
X—>—GO

= -oo ir pan.

A

Funkcijos, kurių ribos (tam tikrame taške arba begalybėje) lygios begalybei, vadinamos neaprėžtai didėjančiomis.

3.5. Aprėžtosios ir neaprėžtosios funkcijos
1 apibrėžimas. Funkcija f vadinama aprėžta tam tikrame intervale, jeigu
egzistuoja toks skaičius M> O, kad su visomis χ reikšmėmis iš duoto intervalo
teisinga nelygybė |/(x)| ^ M .
Pavyzdžiui, funkcija sinx aprėžta visoje savo apibrėžimo srityje, nes
|sinx|<l,

Vx e (-co; + со);

čiaM=l.

Dabar, panaudodami bendrąjį funkcijos aprėžtumo apibrėžimą, suformuluosime funkcijos aprėžtumo apibrėžimus, kai χ -» a ir χ -> oo.
2 apibrėžimas. Funkcijafvadinama

aprėžta, kai χ —> a ,jeigu egzistuoja

tokia taško a aplinka Vs(a)\a, kurioje ta funkcija yra aprėžta.
3 apibrėžimas. Funkcija f vadinama aprėžta, kai χ
со, jeigu egzistuoja
toks skaičius N> O, kad su visomis χ reikšmėmis, tinkančiomis nelygybei
|x I >N, funkcija f yra aprėžta.
Kai funkcija / yra aprėžta, tai teisinga nelygybė l / ( x ) I <M arba jai
ekvivalenčios n e l y g y b ė s - M < f ( x ) < M . N e l y g y b ė A < f ( x ) < B , k a i A ir
B - bet kokie realieji skaičiai, irgi yra
funkcijos aprėžtumo sąlyga.
Pavyzdžiui, funkcija — i —
1+χ
(49 pav.) yra aprėžta visoje savo
apibrėžimo srityje, nes
0<-

1

<1.
1 + χ-

o funkcija 2 1//x (50 pav.) yra aprėžta
iš viršaus skaičiumi 1, kai x—>-oo;

skaičiumi 1 ji aprėžta ir iš apačios,
kai x-> +со; taip pat galima tvirtinti, kad funkcija

yra aprėžta

iš apačios skaičiumi O visoje apibrėžimo srityje.
Iš

ribų

Iim / ( x ) = со

Iim /(x) = со
χ—>a
apibrėžimo

arba
išplau-

X—><x>
kia, kad funkcija yra neaprėžta, kai
ji neaprėžtai didėja. Atvirkščias
teiginys ne visada teisingas: neaprėžta
funkcija
gali
ir
nebūti

50 pav.

neaprėžtai didėjanti.
Pavyzdžiui, funkcija χ sinx yra neaprėžta, kai x->co, nes V A / > O
galima rasti tokias χ reikšmes, su kuriomis |xsinx|>M

(51 pav.). Bet ši

funkcija nėra neaprėžtai didėjanti, nes taškuose χ = O, ±π, ±2π, ... ji lygi
nuliui.

/ = x sin χ

51 pav.
1 teorema. Jeigu funkcija

tun baigtinę ribą b taške χ = a, tai ji yra

aprėžta, kai χ —» a.
Į r o d y m a s . Kadangi pagal ribos apibrėžimą
Iim f(x) = b <=> ν ε > O 35 > 0 :
л:~>a

O < |x - α| < δ => I f (χ) - b\ < ε ,

\f(x)\ = I f(x) -b + b\< I'/(*) - b\ + \b\ < ε + Щ = M .
Taigi |/(x)| <M

. O tai reiškia, kad funkcija/yra aprėžta, k a i x - > a .

•

2 teorema. Jei

Iim f (χ) = /?#(), tai funkcija
x—>a

f(x)

yra aprėžta, kai

χ—>a.
Į r o d y m a s . Kadangi

Iim / ( x ) = b , tai teigiamą skaičių ε = | b | atitinx—>a

ka tokia taško a aplinka F 8 (a)\ a, kurioje
ι/ы_й|<1=М.
1
2
2
Tuomet
\f(x)\ = \b-(b-f(x))\>\b\-\b-f(x)\>\b\-^ = ^>0,kaixeV5(a)\a

.

Vadinasi,
2
/W

" H

O tai ir reiškia, kad funkcija ~~~~ yra aprėžta, kaix->a . •
/W

3.6. Nykstamosios funkcijos
Apibrėžimas. Funkcija

a(x) vadinama

nykstamąja, kai x^>a (arba kai

χ—» oo), jeigu jos riba lygi nuliui.
Taigi funkcija a(x) nyksta, kaix—>a, jeigu
\/ε > O 3δ > O : О < \x - a\ < δ => |α(χ)| < ε ,
ir nyksta, kai χ

oo, jeigu
ν ε > 0 ЗМ > О : \х\> M

Pavyzdžiui, funkcija sinx nyksta, kai χ

=> |α(χ)|<ε .
О, о funkcija — - kai χ—>οο.

χ
Analogiškai seka {α„ } yra nykstamoji, jei a„ -> O .
Suformuluosime svarbią teoremą, susiejančią funkciją, jos ribą ir nykstamąją funkciją.
Teorema. Funkcija f(x) taške a turi baigtinę ribą b tada ir tik tada, kai ji
išreiškiama suma b + a(x), kurioje a(x) yra nykstamoji funkcija, kai x—>a.
Trumpai tariant, funkcija skiriasi nuo savo ribos nykstamąja funkcija, panašiai kaip kintamasis dydis - nykstamuoju dydžiu.
Į r o d y m a s . Būtinumas. Tarkime, kad Iim / ( x ) = b . Tuomet \/ε > O
X -»ū
atitinka tokia taško a δ spindulio aplinka Vs(a)\a, kurios taškuose teisinga
nelygybė

| / ( x ) - b | < E . Pažymėkime:

a(x) = f(x) - b.

= b + α ( χ ) , be to, |α(χ)| < ε , todėl Iim a(x) = O .

Tuomet

/(x) =

Pakankamumas. Jeigu f (χ) = b + a(x) ir Iim α (χ) = O, tai Ve>Oatiχ—>a
tinka tokia taško a δ spindulio aplinka V6(a)\a, kurios taškuose I a(x) \ <s.
Tada ir

1 f(x)-b

1 <ε

. Vadinasi, Iim f(x) = b . Teorema įrodyta.
x^ya

•

3.7. Nykstamųjų funkcijų savybės
Įrodysime keletą nykstamųjų funkcijų savybių, kurias nesunkiai galėtume pritaikyti nykstamiesiems kintamiesiems dydžiams. Savybes įrodysime, kai χ-+a, tačiau jos bus teisingos ir kaix->oo.
1 teorema. Baigtinio skaičiaus nykstamųjų funkcijų suma yra nykstamoji
funkcija.
Į r o d y m a s . Tarkime, kad sumą sudaro dvi nykstamosios funkcijos
a(jt) ir β(χ), kai х->я. Kadangi Iim a(x) = 0 ir Iim β(χ) = 0 , tai
x->a
χ—>u
Ve > 0 35] > 0 : 0 < | χ - α | < δ 1 => Į c x ( j c ) | < ,
Vs > 0 3δ 2 > 0 : 0<|л:-а|<δ 2 => |β(*)|<^ ·
Pasirinkime

δ = min(5j, δ 2 ) ,

t. y. mažesniąją

iš dviejų

taško a

aplinkų. Pasirinktoje aplinkoje F8(a)\a kartu bus teisingos abi nelygybės:
|α(*)|<·| ir |β(χ)|<-^- . Tuomet, remdamiesi modulio savybėmis, galėsime
parašyti:
|α(*) + β ( φ | α ( φ | β ( * ) | < | + | = ε ,
todėl
l i m ( a ( * ) + p(jt)) = 0 .
x->a
Pritaikę matematinės indukcijos metodą, teoremą galėtume apibendrinti, kai nykstamų dėmenų skaičius yra bet koks baigtinis. •
2 teorema. Aprėžtosios
nykstamoji funkcija.

ir

nykstamosios

funkcijų

sandauga

yra

Į r o d y m a s . Tikrai, jei funkcija/(x) aprėžta, kaix-+a, tai
3M>0

35j>0:

0 < Įjc - α| < S 1 =>

\f(x)\<M,

o jei a ( x ) nyksta, kaix-»a, tai
Vs > 0 3δ 2 > 0 : 0 < \x - a\ < δ 2 => Įot(x)| < —

.

Parinkę 6 = m i n ( 6 b δ 2 ), sužinotume, kad aplinkoje Vs(a)\a kartu bus
teisingos abi nelygybės: |/(jc)| < M ir jtx(jc)| < —

. Tuomet

|/(χ)·α(χ)| = | / ( χ ) | · | α ( χ ) | < Μ . ^ = ε ,
todėl
1ίπι(/(χ)·α(χ)) = 0 .
jt->a

•

Iš šios teoremos tiesiogiai išplaukia tokios išvados.
1 išvada. Dviejų nykstamųjų funkcijų sandauga yra nykstamoji funkcija.
Tikrai, nes sąlyga |α(χ)| < ε reiškia, kad bet kuri iš šių funkcijų yra
aprėžta.
2 išvada. Konstantos ir nykstamosios funkcijos sandauga yra nykstamoji
funkcija.
3 teorema. Jei funkcija
funkcija

CL\X)

—f

/W

a(x)

nyksta, kai x->a ir Iim f(x) = b*O,

tai

nyksta, k a i a .

Į r o d y m a s . Kadangi Iim f(x) = b
x—ya
„ , ..
1
ГГ,
lunkcija —r— yra aprėžta. Tuomet

/W

tai pagal 3.5 skyrelio 2 teoremą

«(*)

,

-

.V

. : yra nykstamosios ir aprėžtosios
fix)

Cti JC)
, . yra nykstamoji. •
/W
Nykstamąsias ir neaprėžtai didėjančias funkcijas sieja gana paprastas
ryšys, nusakomas šia teorema.
4 teorema. Jei funkcija f(x) neaprėžtai didėja, kai χ-»й, tai funkcija

funkcijų sandauga. Vadinasi, funkcija

a(x ) =

j
Ax)

nyksta, kai χ—> a .

Į r o d y m a s . Kadangi

lim/(jc) = oo, tai kiek norima mažą skaičių
X-Mi

ε>0

atitinka tokia taško a δ spindulio aplinka Κ δ (α)\α, kurios taškuose

|/(jc)| > — = M ; čia M > O - jau didelis skaičius. Tuomet |a(x)|=
tuose pačiuose taškuose. Vadinasi, l i m a ( x ) = 0 .
jt->a

< ε

•

Pavyzdžiui, — ^ O, kai χ -> oo.
JC
Panašiai įrodomas ir atvirkščias teiginys: jei funkcija a(x) nyksta, kai
χ

a, tai funkcija — — neaprėžtai didėja, kai χ -> a . Analogiškai įroa(x)

doma, kad 4 teorema teisinga ir tada, kai χ -» oo.

Ši teorema įteisina tokius simbolinius užrašus, naudojamus skaičiuojant ribas:
C
C
C
C
C
C
= +00 ,

+0

= -OO ,

= +0 ,

-O

+00

= - 0 ,

-oo

—

= 0 ,

oo

—

=

00,

O

čia c > O, c=const.

3.8. Ribų dėsniai
Šiame skyrelyje suformuluoti dėsniai tinka ir kintamiesiems dydžiams,
ir funkcijoms. Kai kurie jų jau įrodyti I I I skyriaus 2.3 skyrelyje, kitus
įrodysime dabar. Įrodinėdami tarsime, kad χ -> a, tačiau žinoma, jog visi
teiginiai yra teisingi ir tada, kai χ -> oo.
1 teorema. Jeifunkcija

kuriame nors taške turi ribą, tai tik vieną.

Įrodoma analogiškai, kaip ir 2.3 skyrelio 1 teorema.

•

2 teorema. Jei dvi funkcijos f ir g tenkina nelygybę f(x) > g(x),
χ-+a ,ir abi turi baigtines ribas, tai Iim f(x) > Iim

kai

.

Įrodoma analogiškai, kaip ir 2.3 skyrelio 3 teorema.

•

3 teorema. Jei dvi funkcijos f ir g turi baigtines ribas Iim f(x) = A ,
χ—
Iim g(x) = B (A, B eR), tai:
1)
2)

Iim ( / ( * ) + *(*)) = Λ + Я ;
χ -иг
Iim cf[x) = сА,

C=Const;

аг->а

3)

Iim (f{x)-g{xj)
χ-иг

4)

Iim44 =" ,
х^а
В

= AB ;

·

Į r o d y m a s . 1) Remdamiesi teorema, siejančia funkciją ir jos ribą,
gauname lygybes
f(x)=A+a(x),
g(x) =

B+p(x)·,

čia α (χ) ir β (χ) nyksta, kai χ -» a . Tada
f(x)+g(x)

=

A+B+(a(x)+P(x)).

Kadangi dviejų nykstamųjų funkcijų suma α ( r ) + β
funkcija, tai pagal tą pačią teoremą
l i m ( / ( x ) + g(x)) = ^4 + 5 .
2) ir 3) sąryšiai įrodomi analogiškai.

) yra nykstamoji

4) Remdamiesi vėl ta pačia funkcijos ir jos ribos sąryšio teorema,
gauname:
f (x)=A

+ a Qc),

g(x) = B + p(x)·,

čia α Qc) ir β Qc) nyksta, kai χ -+ a . Pertvarkykime:
f(x)

_ A + a(x) _ A

A + a(x)

g(x) ~ B + β(χ) ~ B
_A

|

Βα(χ)-Αβ(χ)

B
Dydžiai Ba(x)

Β+β(χ)
_Ą

B

|

β ( β + β(χ))

ir A[i(x)

A _

в

' '

yra konstantų ir nykstamųjų funkcijų san-

daugos, todėl jie nyksta, taigi nyksta ir jų skirtumas Ba(x) -Αβ(χ).

Trup-

mena γ(χ) (pagal 3.7 skyrelio 3 teoremą) yra nykstamoji funkcija, nes jos
O
skaitiklis nyksta, o vardiklis turi ribą B Φ O , kai χ -+ a . Todėl

x->a g(x)

B

Remdamiesi šiais dėsniais ir nykstamųjų funkcijų savybėmis, apskaičiuojame ribas.
5x2 - Ix + 4
7
4
5x -7x + 4
2
^
Pavyzdys. Iim — 5
= Iim — ^ j l
= Iimc o
f—^r- =
*->«> 2 x + 8x - 3 χ—>«> 2x + Sx — 3
-^ z-i+, 1 _ „
2
2

X

Iimi 5
X->00 V
=
7

7
X

+

2

4
X2 J
5
1
r- = — , nes
2

Iim 2 ^ - Λ
X->goV
χ χ )

A · '
» O ir —

O

A

1 •
, kai χ -» 00. 4*

*
P (x)
—

Apskritai, apskaičiuodami ribas Iim

(Pn(x), Qm (x) ~ daugia-

x^Qm{x)
nariai), skaitiklį ir vardiklį dalijame iš xk ; čia k = max{n, m }. Štai
X3 -4x 23 + Ix - Ъ
,.
x3-4x2+7x-3
,.
x
hm
r
= Iim
r—
χ-*°ο
χ +2x-ll
χ + 2x -11
4

L

2

3

= Iim — r ^ — — - p — = 00, nes
x->°o 1
2
11
+

X X

2

χ

X

1

3

>0,

x

3

c
χ —> 00. Taigi galiausiai gauname reiškinį — = 00 .

1

1
-» O , —^
-+ O , kai
J
X

Apskaičiuokime dar vieną ribą:
x+2

1 2
+-

x
Iim 2 X + 2
- Iim
. x
= Iim
, x Ί = O,
.v->oo χ ~4χ + η
χ >co χ - 4χ + 7
χ >co j _ Z +

χ2
nes —

*

^2

O , -į--> O, kai χ-><x>.

3.9. Neapibrėžtieji reiškiniai
Išnagrinėjome reiškinių f+g, fg,

Į

— ribas, kai funkcijos f ir g turėjo
g
baigtines ribas (dalmenyje vardiklio g riba negalėjo būti lygi nuliui). Dabar
panagrinėkime, kokios gali būti šių reiškinių ribos, kai / ir g ribos yra
begalinės arba g riba lygi nuliui. Dažnai pasitaiko vadinamieji keturių tipų
neapibrėžtumai.
1. Nagrinėkime

f(x]
santykį ——g(x)

arba — I ir tarkime,

kad

abi

Уп

funkcijos
f(x)

ir g(x)

(arba Jtn ir yn) kartu artėja prie nulio, kai jt-»α arbax->oo.

Nors funkcijų f(x)

ir g(x)

ribos žinomos, apie jų santykio ribą nieko

bendra pasakyti negalima. Si riba priklausomai nuo abiejų funkcijų kitimo
dėsnio gali turėti įvairias reikšmes arba net visai neegzistuoti. Tai bus aišku
iš šių pavyzdžių:
1) Tarkime, kad f(x) = - ί , g(x) = —.
X
X

Kai χ -»oo, tai f(x) -» O ,

, .
f(x)
1
g(x)
g[x) -> O ir Iim
^ = h m — = O, o hm v
= Iim χ = oo .
X->co д х )
X—>°o X
X—/W
Л'->00
2) Dabar tarkime, kad
/ ( χ ) —> O ir g(x)

2
f(x) = —, o
χ

3
g(x) = —.
χ

Kai

χ

oo, tai

fix)
2
O. Tuomet Iim
= - .
Jt->oo g(x)
3

3) Pagaliau imkime dvi natūraliojo argumento funkcijas x„ = - — - —
n
I
X
n+1
ir yn = — (abiejų ribos lygios nuliui). Jų santykis — = (-1)"
visai neturi
л
Уп
ribos.
Taigi nors visų pavyzdžių skaitiklio ir vardiklio ribos lygios nuliui,
tačiau santykio ribos yra skirtingos ir betarpiškai priklauso nuo pačių

funkcijų pobūdžio. Sakome, kad reiškinys —, kai f -> O ir g
8

O , yra

neapibrėžtumas ^ .
2. Panaši padėtis susidaro ir nagrinėjant santykį

f(x]
; '
8{x)

f

)
χ
arba — ,
\
ynJ

kurio f ( x ) i r g ( x ) (arbax„ i r y „ ) neaprėžtai didėja. Šio santykio riba gali
būti ir baigtinė, ir begalinė, ir iš viso gali neegzistuoti. Pailiustruosime
pavyzdžiais.
j
j
1) Tarkime, / ( x ) = — , g(x) = —— . Kai x—>0,
tai / ( * ) - • °°,
χ
χ
/(*)
§[*)
1
g(x) —> oo, o Iim —7—f = Iim χ = O, Iim -)—!- = Iim — = со.
модх)
x->0 f [Χ) x->OX
2) Dabar tarkime, kad f(x) = 2x, g(x) =x. Kai
g(x)->oo,o

со , tai f(x)->со

ir

Iim 4 4 = 2 .
^
g(x)

i m

3) Pagaliau sakykime, kad xn = (2 + ( - l ) " + 1 j · n , yn = n. Tada x„-> 00,
y„—> со, kai n-> 00, o santykis — = 2 + (-l)" + 1 visai neturi ribos.
Уп

f
00
Reiškinys — , k u r i o / - » 00 ir g -»00, vadinamas neapibrėžtumu — .
00

8

3. Toliau
x

nagrinėkime dviejų funkcijų

sandaugą f{x)g(x)

(arba

x

n 'У n ) · Jei f ( ) (arba x„)->0, o g(x)(arba y„)-»co, gauname neapi-

brėžtumą O · со . Pailiustruosime pavyzdžiais.
1) Kai χ ->oo, tai f(x) = ——>0,

g(x) = χ ->oo, of(x)-g(x)=

— ->0 .

X2

2) K a i x - » 0 , t a i / ( x ) =x-+0,g(x)

X

= -Ir-*
X

00

, of(x)-g(x)=

— -»oo.
X

3) K a i * - » O, t a i / ( x ) = 2 r - » 0 , g ( x ) = -—>00, o Iim f(x)-g(x)
χ
x->0
(-l)" + l
4) Tarkime, xn = -—-— , yn = n. Tada, kai n
и

= 2.

00, xn —> O, y„ -> 00, o

sandauga x„ -y„ = ( - l ) " + 1 ribos neturi.
4. Pagaliau

išnagrinėkime sumą f(x)+g(x)

(arba xn+y„),

kurios

dėmuo / ( * ) - > 00, o g (χ) —>-oo. Turime neapibrėžtumą 00-00. Įvairias
pasitaikančias galimybes pailiustruosime pavyzdžiais. Kaix->+00, tai:

1) f (χ) = 2x

+CO , g(x) = -χ

2) / ( χ ) = χ
3) / ( * ) =
4)

χ

+00;

+со , g(x) = -2χ -> -co , ο / ( χ ) + g(x) = -χ
-3

Tarkime,

+oo , y n

-CO, O f [χ) + g(x) = χ

+oo, g(x) = -χ -» -oo,
kad

χη=η

+ [-1)",

Iim (f

(χ)

yn=-n.

-oo ;

+ g(x)) = -3 .

Tada,

kai

и - » oo,

-со , о х п + у„ = (-1)" ribos neturi.

Taigi, net žinodami funkcijų / ir g ribas, ne visada galime nustatyti iš
šių funkcijų sudarytų aritmetinių reiškinių ribas. To padaryti neįmanoma,
kai pasitaiko keturių tipų neapibrėžtumai:
O
CO
—,
,
O
OO

0-OO, 00 — 00.

3.10. Funkcijos ribos egzistavimo požymiai
Suformuluosime teoremą apie monotoninės funkcijos f: X -+Y ribos egzistavimą, analogišką šio skyriaus 2.4 skyrelio 1 teoremai.
Sakykime, kad a - aibės X r i b i n i s taškas, be to, χ <a.
1 teorema. Monotoniškai
apačios) aibėje X funkcija

didėjanti (mažėjanti)

ir aprėžta iš viršaus (iš

turi baigtinę ribą, kai x-»a. Priešingu atveju ji

artėja prie +oo.
Į r o d y m a s . Tarkime, kai x-»a, funkcija / didėja ir yra aprėžta iš
viršaus. Kadangi tokios funkcijos reikšmių aibė {/(x)} aprėžta, tai egzistuoja sup {f(x)}=b,

be to, / ( x ) < b . Įrodysime, kad

Iim / ( x ) = b. Parinx-»a

kime bet kokį ε > 0; tuomet b - ε nėra aibės f(x) viršutinis rėžis. Vadinasi,
yra toks taškas χ ' , kuriame / ( x ' ) > b - ε . Funkcija yra didėjanti, todėl iš
sąlygos χ > χ' => / ( χ ) > / ( x ' ) ,
Kadangi

/(x) < b ,

tai

|/(χ)-ί>|<ε, kai x'<x<a,

taigi

f(x)>b-e.

Iš čia

b-f(x)<e.

Gavome

nelygybę

Iim f(x) = b.

Šį kartą

b- f(x) = |/(x) - b\.
o tai reiškia, kad

χ—>a
pakanka parinkti δ = α - χ ' , tuomet iš sąlygos χ' < χ turime

a-x<8.

Kai funkcija yra neaprėžta iš viršaus, tai V M atitinka χ ' , su kuriuo
f(x') > M . Iš sąlygos χ > x' => / ( x ) > M , todėl Iim / ( x ) = +oo .
x—>a

Teorema teisinga ir tada, kai χ

a , bet χ >a.

•

Suformuluosime teoremą, analogišką šio skyriaus 2.4 skyrelio 2 teoremai, kurią pavadinome „dviejų policininkų" teorema.

2 teorema (tarpinės funkcijos ribos teorema). Jei funkcijų
reikšmės tenkina nelygybes ii[x) < z(x) < v(x) ir

u, z ir v

Iim u(x) = Iim v(x) =b,

tai ir Iim z(x) = b.
χ—>a
Į r o d y m a s . Iš nelygybių u < z < v išplaukia nelygybės u-b
<v-b. Kadangi Wmu=b\x

<

z-b<

Wmv = b, tai
x->a

x-кг

Vs > O 3 δ ! > 0 : 0 < | χ - α | < δ 1 => \u-b\<s,
Vs > O 3δ 2 > O : O < |x - д| < δ 2 => |ν - b\ < ε
Parinkime δ = m i n ^ į , δ 2 ) , t. y. aplinką К8(а)\я. Joje kartu galios abi
nelygybės \u - b\ < ε ir |v - b\ < s arba joms ekvivalenčios nelygybės
-£<u-b
Parašę

nelygybių

< ε ir - ε < v - b < ε .
< v-b < ε ,

gauname

nelygybę - ε < z - b < ε , teisingą aplinkoje V&(a)\a. Vadinasi,

grandinėlę

- z < u - b < z-b

Iim z = b.

Šią teoremą pritaikysime įrodydami dvi nuostabias ribas:
\

I i m = I i r
χ-»0 X

χ

Iim Į 1 + —I
x->±ooV
X

3.11. Riba Hm
^ O

=e.

—

д;

Apskaičiuodami šią ribą, susiduriame su neapibrėžtumu — . Pirmiau0
sia įrodysime papildomą nelygybę
sinx < χ < tgx , kai 0 < χ < — .

/?=!

Nagrinėkime apskritimą, kurio spindulys
(52 pav.). Centrinį kampą AOC
pa-

žymėkime
QAOAC

<

x,

0 < χ < —.
2

&Pj.04C <

QAOAB

Aišku,

kad

; čia simboliu Q

pažymėtas atitinkamos figūros plotas. Kadangi

QAOAC

= -

2

°

A

C

D

= - 1
2

sinx,

Qispj.OAC =J-OC2-X=

Qaqab

J-I-X,

= J-OA-AB

= j-l-tgx,

tai

gauname
1 .
1 1
— sinx < — χ < — tgx ,
2
2
2
arba
sinx < χ < tgx .
Padaliję visus narius iš teigiamo dydžio sinx, gausime
1
1<

*
smx

Tuomet cosx <

χ
šią nelygybę, turime:

1

<

.

COSX

< 1, nes sinx > O, cosx > O, kai О < χ < —. Pertvarkę
2

„ 1
O<I

sinx
.
_ . 2χ
— < 1 - cos χ = 2 sm —

9X
. χ
χ
Kadangi sin — < sin— < J — 1 , tai
2
2
n
O< 1
1

s m x

< Iχl ;

is cia
1 Il
l-x <
Bet

Iim (l-|x|) = 1,

x->+Ov

teoremą ir

'

Iiml = I,

sin

χ

*

1
< 1.

todėl pagal tarpinės funkcijos ribos

χ—>+0

..
sinx
.
π
. .( χ sin(-x)
sinx
hm
= 1. Kai — < χ < О, tai / ( - χ ) = — 1 — - =
, ο
χ->+0 χ
2
- X X

tai reiškia, kad su neigiamomis χ reikšmėmis riba yra ta pati:
..
sinx
Iim
= 1 .
χ—»-0 X
Sujungę abu atvejus, gauname:
,. sin χ
.
hm
= 1 .
x->0 χ
Funkcijos

sin χ
χ

grafikas pavaizduotas 53 paveiksle. Iš jo matyti, kad
,.
sinx
hm
=O.
X-»co X

53 pav.

Išspręskime keletą pavyzdžių.

.ч
1)

sin3x
•Зх
,.
sin Зх
.. Зх
Ъх
= Iim —
hm
= hm
х-»0 sin7x х->0 sin7x
jc—>0 I x
•Ίχ
Ix
\2
2 sin2-

2)

Iim - — C ° S X = Iim
JC->0

χ

Δ

2
2

JC->0

sin

^ =*->0
I i m2 f

X
2

3)

tgx
,.
Iim - 5 - = Iim
X - > 0

X

*->()

sinx

,. sinx
= Iim

X C O S X

X - » 0

X

3.12. Riba
Įrodysime,
e= Iim

(

n - > ooV

kad

ši

riba

χ

lygi

/

,.
Iim

1

JC->0

C O S X

:1 .

Iim (l + i Y , х е Д
±00 V

skaičiui

XJ

c,

turėdami

galvoje,

kad

Л"
1 + — , neN. Išnagrinėsime atskirai šią ribą, kaix->+oo irx->- oo.
nJ

l)x->+oo.
Kadangi kiekvienas realusis skaičius χ yra tarp dviejų gretimų natū1
1 1
raliųjų skaičių и ir л +1, tai п < х < п + 1 ,
< — < — . Pridėję prie visų
n +1 χ n
nelygybės narių po 1 ir pakėlę atitinkamais laipsniais, turėsime:
J

1+

s»

n +1

/

л Л

/·

1 < 11 + — I <11 +

+ l

Apskaičiuokime ribas:
Iim f l + —j
72—>00 V П

= Iim ( l + —)
Л-> OOV
n/

· Iim f l + —) = e > n e s
OOV
n
n+l

Iim f l + —-—I = I i m f l +
n—>oo V
n + 1/
л->oo V

1

n + 1/

• Iim 1 +
AI—>00 \

1

H m f l + A j =1.
-1

Π+ 1

= e , nes

-i
Iim

1+—

/I —>co V

=1.

л + 1/

Todėl, remdamiesi tarpinės funkcijos ribos teorema, gauname:
Iim ( 1v+ —iY
X->+00
χJ = e .
2)x->-co.
Iim
1 + A = Hm
V
X—>-00 V
XJ X—>+00

=

Iim f l + —
X—>+OOV
X-I

χJ

l l = Iim f l + — 1
J
X—>+oo V
X-W

χ Iim ( l + — — ] =e , nes
X->+oo V
X-IJ

Vadinasi,

Iim
хн
X—>+oo V X - B

χ->+oo V χ J

Iim ( l +
х->+oo V

=

Iim f l + — X-I
X—>+GO V
X-I

1
= 1.
X-I

Iim 1 + — I = e .
X—>oo V XJ

Funkcijos 11 + —J

grafikas pavaizduotas 54 paveiksle.

1 išvada. I i m f l + z) 2 = e .
z->0
'

У'

Tikrai, jei pažymėtume dydį
1

raide χ, tai χ
z
tuomet

O ir

gautume

Lim f 1 + — ] = e .
X—>00 V
XJ

1
-1

oo, kai z

O
54 pav.

X

2

išvada.

Sakykime,

kad

z = a ( x ) ir Iim a ( x ) = O . Tada

Iim (l + а ( х ) ) а И = Iim (l + z) 2 = e .
χ—>я
z->0
Remdamiesi šiomis ribomis, įrodysime, kad:
log„(l + x)
L
1) Iim —
= \ogae ;
x->Q
X
2) Iim
x->0

ax -1
X

1) Tikrai*

= 1пй .

^ +
χ

Iim
.*->0

J j m I o g J l + x ) 7 = Iog a Iim (l + x ) 7 =
x—>0
*->0

=

= Iog fl e .
Atskiru atveju, kai a = e, gauname:
Iim
x->0

ln(l + x) =

1

χ

2) Pažymėkime OX-I = U, a* = u + l. K a i x - > 0 , tai
jame ribą:
u
Iim
-.
r=—
M^O Iog fl (u +1)

1
1
,
,—
Iog fl (u + 1)
Iog fl e

u-> O

0. Apskaičiuo-

Ina .

U

Atskiru atveju, kai a =e, gauname:
Iim
*->o

Pavyzdys.

Atl
5

Iim f ———j
χ->oo V2x + 3 J

ex - 1
-= 1 .
χ
.
ч Ati
,. (2х + Ъ-2\ 5
= hm
χ->οο ν 2χ + 3

. -2 3χ-2
2χ±ΐλ ШЗ 5
= Iim

1+-

-2

^

2 ι· l 3-1
"χχ
T ,mri
^"χ~*οο2+—

-1 Iim
=e

2χ + 3

-11
•e

5 2

-1
=e

5

Čia sukeisti vietomis ribos ir logaritmo simboliai. Kad taip galima daryti, įrodysime
vėliau, kalbėdami apie elementariųjų funkcijų tolydumą.

3.13. Nykstamųjų funkcijų palyginimas. Ekvivalenčios
nykstamosios funkcijos
Sakykime, kad funkcijos α ir β nyksta, kai x->a

(arba x-»co), t. y.

Iim a ( x ) = O ir Iim β(χ) = O. Tokias funkcijas palyginame, atsižvelgdami į
χ->a
χ ->a
a(x)
jų santykio ribą hm
, jei ta riba egzistuoja.
x->a β(χ)
1 apibrėžimas. Jei santykio
tai α ir β vadinamos

β(χ)

riba, kai Χ —» a, yra Iim
x->a β(χ)

tos pačios eilės nykstamosiomis

1 pavyzdys. Kai
nykstamosios funkcijos, nes

= ЬФ O,

funkcijomis.

α(χ)=2κ 3 ir β(χ)=5χ 3 yra tos pačios eilės
a

rhm —)-f
W = 2— ΦΠO . ж •
x->0 β(χ)
5
Ctl X)
2 apibrėžimas. Jei Iim
' = 0 , tai a vadinama aukštesnės eilės negu β
Х->Я β(χ)
nykstamąja funkcija. Žymime
2

pavyzdys.

Kai

χ-wo,

α(χ)=ο(β(χ)).
a(x) =

1

j
1+χ

3
β(χ) = — —
nyksta.
1+χ

ir

Apskaičiuojame:
J_

I

4, 4: == Iim
lim η
-γ- = - I i m ^ f
1
>β(χ) Χ—>α> M 4· X I • 3 X-»00 .

l i m

1

X

=O .

2

Vadinasi, kaix-»co, α yra aukštesnės eilės nykstamoji funkcija negu β.
Taigi

j = oĮ
J , kai jc —> oo.
l + x2
Vl + x^

•

3 apibrėžimas. Jei a(x) ir ( β ( χ ) / (k>0), kai x^a,
nykstamosios funkcijos,

tai a vadinama

yra tos pačios eilės

k-tosios eilės nykstamąja

funkcija,

lyginant su β.
4 apibrėžimas. Dvi nykstamosios funkcijos

a ir β, kai x—>a (x —>со),

ct(x I
vadinamos ekvivalenčiomis, jei lim — ~ =1. Žymime a(x)~β(χ),
x-»a β(χ)
(χ

со).
Išvardysime keletą ekvivalenčių nykstamųjų funkcijų,
sinjt
1) Kadangi lim
= 1, tai sinx~x , kai χ ^ O .
x->0 χ

kai x—>a

2) Kadangi Iim
= 1, tai tgx ~x , kai χ -> O .
χ~»0 χ
3) Įrodykime, kad
Iim
x->0

arcsinx

.
= 1.

χ

Pažymėję arcsinx raide y, turėsime: x =
Tuomet

siny ir y->0, kai x->0.

s n
,.
arcsinx
У
ι·
i .F
i
Λ
Iim
= hm —— = I , nes hm
= I .
x-»0
χ
y->O siny
>>->0 y

Vadinasi, arcsinx ~x , kai χ
O.
4) Analogiškai įrodytume, kad
I i m ^
x->0

= I .

X

Todėl arctgx ~x , kai χ -> 0 .
5) Kadangi
Iim

1 - cosx
I
=— = —
X2

x->0

2

(žr. šio skyriaus 3.11 skyrelio 2 pavyzdį), tai
l-cosx~

2

, kaix—>0.

Šio skyriaus 3.12 skyrelyje įrodėme, kad
г —
Ч -1 —
+—
*)
· Iim
,·
Iim
hm
- == 11i ir
ir
Iir
χ—»0
χ
x->0

X

= 1.

Iš to gauname dar du sąryšius.
6) In ( l + x ) ~ x , kaix-»0 .
7) έ - l ~ x , kaix->0 .

3.14. Ekvivalenčių nykstamųjų funkcijų naudojimas
apskaičiuojant ribas
Įrodysime teoremą, kuria remsimės apskaičiuodami ribas.
T e o r e m a . Dviejų nykstamųjų funkcijų santykio riba nepasikeičia pakeitus tas funkcijas joms ekvivalenčiomis funkcijomis.
Į r o d y m a s . Tarkime, kad a ~ a b β ~ βι, kaix—
Iim —7"-τ = 1,
Х->Й 0 l ] ( x )

H m 4 4 = l ·

χ~+αβ\(χ)

Apskaičiuojame:
Iim —
— = Iim
· — · — = Iim —
χ-»α β
χ—>ΰ P1 CC1 β
χ->« Pj

· Iim — · Hm A
χ-»α a j х-»я β

Kadangi lim — = 1 , lim — = 1, tai galutinai lim — = lim — .
X-^aa j
χ->β β
х-*а β
x->a β!
.
1 pavyzdys,

,.
sin Зх
,.
Зх
3
lim
= lim — = — .
х-»0 sin8x
х->0 8х
8

•

.
,
2 pavyzdys,

..
sin4x
..
4х
4
lim
= lim — = — .
х->0 tg5x
χ—>0 5х
5

•

·ίπ
IJ-JxJ

πχ

π

)

sm

cos
3 pavyzdys. Iim
— = lim
χ->1 1 - х
х->1

π π
V-Tjc
= lim — — = —
χ->ι 1 - х

1-х

π
2

.
..
Incosx
,.
ln(l + cosx-l)
,.
cosx-1
4 pavyzdys. Iim
- — = lim —
= lim
—
X->0 X2
χ—>0
X2
χ-»0
X2
ι 2
*
1
= Iim — 22— = —- .
χ-»0 X
2

5 pavyzdys.

•

Iim I tg—

toS2

I

χ \ cos
2

S p r e n d i m a s . Pažymėkime: lim tg—
X—>πν 4J

= A . Išlogaritmavę šį reiš-

kinį ir sukeitę logaritmo bei ribos simbolius vietomis, gauname:
1пЛ = In lim Į tg
"

j c°s 2 = lim In Į t g ^ p " ' 2 = l i m — —x In Į tg :
"
χ-»π cos-

ln^l + t g ^ - l j
= lim
χ—>π

= lim

tgį-1

tg^-tg^

7

r— = lim —
χI
χ —>TT π

= lim —
x
χ->π π

x

V2

2)

2

2

. fπ
sin

. χ π
sin
V 4 4/
χ
π
cos — cos —
4
4_ =

χ-»π

2

(χ
V4

πλ
47

lim

x-*ic
2

2

2

1
2 π
cos —
4. =

_
2

-

Todėl

A

= e -1 =

I
e

2

Palyginkime 5-ojo pavyzdžio ir 3.12 skyrelio pavyzdžio rezultatus.
Abiejuose

pagrindai

artėja

prie

1

( g į U l ,

χ
Ϊ
f 3x - 2
tg— —> 1, kai χ —> TiJ , o laipsnio rodikliai - prie oo —
1

kai

X—»00,

» oo , kai x->oo;

π
>oo, kaix->7t, nes cos— = .0 . Tačiau atsakymus gavome skirtingus:

cos —
2
1

e

ir — . Sakome, kad susidūrėme su neapibrėžtumu I cc .
e
Tokių laipsninių neapibrėžtumų yra dar du: O0 ir oo°. Visi šie trys

neapibrėžtumai: 1°°, O0 ir oo°- atsiranda apskaičiuojant uv ribą, kai u -»1,
v—»oo; u —> O, v->0; и-+со, v->0. Įsitikinsime tuo. Pažymėkime: uv = A .
Išlogaritmavę šią lygybę, gauname:
InA = vInii .
1) Kai u -» 1, v

oo, tai v In u yra neapibrėžtumas oo · O, nes In »-> O ;

2) kai u —> O, v —» O, tai v In u yra neapibrėžtumas O • oo, nes In u —» - со;
3) kai u

oo, v

O, tai v In u yra neapibrėžtumas O · oo, nes In u -> oo.

Kadangi visais trimis atvejais gavome neapibrėžtumą O -oo, tai jis
generuoja ir kitus tris neapibrėžtumus : I cc , O0 ir oo°.

3.15. Funkcijos Koši kriterijus
Suformuluosime dar vieną funkcijos / : X—>Y ribos egzistavimo požymį, analogišką sekų Koši kriterijui (žr. šio skyriaus
2.8 skyrelio 3 teoremą). Įrodysime, kad jis teisingas, k a i x - » a
(jis teisingas ir tada, kaix-»oo).
T e o r e m a . Funkcija f turi baigtinę ribą taške a tada ir tik tada, kai
\/ε > O 3δ > 0:

|x' -a\ < δ л Įx" - α | < Ъ , х ' Φ α, χ " φ α =>
(9)

^|/(χ')-/(χ")|<ε.
Įrodymas.

Būtinumas.

Tarkime,

kad

egzistuoja

baigtinė

riba

Iim / ( x ) = b . Pagal ribos apibrėžimą
дс-»я
Iim / ( χ ) = b <=> Ve > O 3δ > 0:|χ-α| < δ , χ Φ α => |/(χ) -b\ < — .
x-ya
2
Vadinasi, jei tik |χ'-α|<δ

ir | χ " - α | < δ ,

χ ' Φ α , χ " Φ α , tai teisingos

nelygybės |/(x')-b\<— ir |/(x")-b\< —. Tuomet

ε
ε
—
<\f(x')-b\ + \f(x")-b\<^—+
+ ^<e
2
2

.

P a k a n k a m u m a s . Įrodinėdami sąlygos pakankamumą, pasinaudosime
funkcijos ribos apibrėžimu „sekų kalba". Sakykime, kad teisingas (9) sąryšis. Išrinkime iš X seką

- > a . Žinome, kad

—> а <=> V5 > O 3N:n > N лт>

δ
ι
, δ
N ^>\хп -а\<
лm|д:
——
л x
-та-й|
< —< .1
2
2
δ

Tuomet \xn -

δ

| = |( xn - a) + (а - xm )| < \xn - a\ + \xm - a| < — + — = δ . Tai-

gi \xn - xm \ < δ . Remiantis (9) sąryšiu, iš sąlygų
δ
I
I δ
х,г-й|<—л л
| лx: mо т - аа| < -— => | / ( х „ ) - / ( х т ) | < ε .
2
ι m
I 2
Gavome
=>

|/(*„)-/(*m)|<e,

vadinasi, { / ( ¾ ) } yra Koši seka, todėl ji konverguoja. Taigi
*n ->a => f{xn)
o

tai pagal Heinės

apibrėžimą

b

>

reiškia, kad

lim / ( x ) = b .

Teorema

я:—>a
įrodyta.

•

D a r Koši kriterijų pritaikysime funkcijai, kai χ

oo. Skamba jis taip:

funkcija f turi baigtinę ribą, kai χ —> oo, tada ir tik tada, kai
νε>03Μ>0:

\x'\> M л\х"\> M =>\f(x') - f(x")\< ε .

4. Funkcijos tolydumas taške
4.1. Funkcijos tolydumo taške sąvoka
1 apibrėžimas. Funkcija f: X~>Y vadinama tolydžia taške x0e X, jeigu ji
apibrėžta šiame taške ir jo aplinkoje, be to,
lim f(x) = f(x0)

X—^ ATq

,

trumpai tariant, jeigu funkcijos riba taške X0 lygi jos reikšmei tame taške.
Prisiminę funkcijos ribos apibrėžimą, galime sakyti, kad funkcija/yra
tolydi taške X 0 , jei
V e > O 3δ > 0:

O<

|JC — J C 0 1

< δ => \f(x) - f(x0 )|< ε .

Skirtumas X-XQ vadinamas argumento pokyčiu ir žymimas Δ χ = χ - χ 0 ,
o skirtumas f(x) -f(x 0 ) vadinamas
funkcijos pokyčiu ir žymimas Ay =
=Δ/(χ 0 )=/(χ)-/(χo). Kadangi Χ =X0 +
+Ar (čia Δ χ > 0 arba Δ χ < 0 ) , tai
funkcijos pokytis Ay
=f(xn+Ax)-f(x0)
(55 pav.).

У*
M

Уо+Ау

M

/

0

^=fM

Уо

О

Χ0+ΔΧ

Tuomet iš 1 apibrėžimo išplaukia,
kad
55 pav.

Hm ( / ( * ) - / ( * o )) = 0 ,
arba
Iim Δ v = 0 , nesx->x 0 , kai Δχ-> 0.

Δχ->0

Taigi tolydžią taške funkciją galima apibrėžti ir taip.
2 apibrėžimas. Funkcija f vadinama tolydžia taške X 0 , jeigu nykstamą
argumento pokytį atitinka nykstamas funkcijos pokytis:
Iim Ay = 0 < = > V s > 0 3 5 > 0 :

|Δ χ I < δ

|Δ y| < ε .

ΔΪ—>0

1 ir 2 apibrėžimai yra ekvivalentus.
Kadangi

Iim χ = x 0 , tai, remdamiesi 1 apibrėžimu, gauname:
X—^Xn
Iim f(x) = / ( Iim x ) .

Iš šios lygybės darome svarbią išvadą: jeigu funkcija
funkcijos simbolius galima sukeisti vietomis.

tolydi, tai ribos ir

Apibrėšime vienpusį funkcijos tolydumą taške.
3 apibrėžimas. Funkcija f vadinama tolydžia taške X 0 iš kairės, jei f (xu) =
=/(xo-O)
=

l i m

n

X—>Xp + U

=

Iim / ( x ) ,
X—>Хц-0

ir

tolydžia

iš

dešinės,

jei /(x 0 ) =f(x0+ 0) =

/W·

Iš čia išplaukia, kad funkcija / yra tolydi taške x 0 , jei ji tame taške
tolydi iš kairės ir iš dešinės:
/ ( x 0 ) = / ( X 0 - O ) = / ( x 0 +0) .
Sakysime, kad funkcija yra tolydi intervale (a; b), jeigu ji tolydi
kiekviename to intervalo taške. Funkcija bus tolydi atkarpoje [a; b], jeigu
intervale (a; b) ji tolydi, taške a tolydi iš dešinės, o taške b - iš kairės.
Tolydžios
atkarpoje
[a; b] funkcijos
nenutrūkstanti kreivė šioje atkarpoje.

grafikas

yra

ištisinė,

4.2. Funkcijos trūkio taškai
Taškas xa bus funkcijos/: X—>Y trūkio taškas, jei šiame taške funkcija
yra neapibrėžta arba netolydi.
Suklasifikuokime funkcijos trūkio taškus.
1 apibrėžimas. Taškas Xil vadinamas funkcijos f pirmosios rūšies trūkio
tašku, jeigu jame egzistuoja baigtinės ribos iš kairės f (Xil-O) ir iš dešinės
f(xo+O), bet jos nėra tarpusavyje lygios: f(x0 - 0) &f(x0+0).
Sakoma, kad taške x0 funkcijos grafikas daro baigtinį šuolį (56 pav.).
1 pavyzdys. Išnagrinėkime funkcijos [x\ pobūdį (57 pav.) taškuose
χ e Z. Kadangi, pavyzdžiui,/(2-0) = 1 , / ( 2 + 0 ) = 2, t a i / ( 2 - 0 ) ^ / ( 2 + 0 ) ir
taškas χ = 2 yra pirmosios rūšies trūkio taškas. Tokios pat rūšies yra ir kiti
taškai χ e Z. •
2 apibrėžimas. Kai bent viena vienpusė funkcijos f riba taške neegzistuoja arba yra begalinė, tai taškas xQ vadinamas šios funkcijos antrosios rūšies
trūkio tašku.
2 pavyzdys. Taškas χ = - 2 yra funkcijos —-— (58 pav.) antrosios rūX+2
šies trūkio taškas, nes jame ribos iš kairės ir iš dešinės yra begalinės, be to,
/ ( _ 2 - 0 ) = -«>,

/(2+0) = + » .

•

3 apibrėžimas. Taškas Xo vadinamas funkcijos f pašalinamuoju
tašku, jei

trūkio

f (X0-O) = / ( r 0 + 0 ) * / ( * „ ) ·
Šį trūkio tašką pašaliname, funkcijos reikšmę f(x0) pakeisdami jos riba
Iim f(x)

.

3 pavyzdys. Išnagrinėkime funkciją
Sinx

ZiW =

X
0,

kai χ Φ 0,
kai χ = 0.

v>

Yf

L

K=M

2

f[x0+0)
šuolis

f{xo - 0)

1

f
0

-I

Xo
56 pav.

X

O

1

-1
57 pav.

2

3 X

Iim f\{x) = Iim s m ^ = 1,
дг—>0
x->0 X

Kadangi

Ул

o Z I (0) = 0 , tai Iim Z I (χ) * Z I (O), vadiχ-+0
nasi, χ = 0

-

trūkio

taškas.

Jis

K

yra

pašalinamasis, nes galima sudaryti naują
funkciją

- 2

/ 2 ( x ) , tolydžią taške x = 0 ir

x+2

O

apibrėžtą taip:
sinx
/2(*)=

.

—
[ 1,

"°'
kai χ = 0.

58 pav.

k a i X

Šiame pavyzdyje funkcijos reikšmę Z1(O) pakeitėme tos funkcijos ribos taške x = 0 reikšme Iim Z1 (x) = 1 .
x-*0

•

4.3. Aritmetinės operacijos su tolydžiosiomis funkcijomis
T e o r e m a . Jei funkcijos f ir g tolydžios taške X0, tai ir funkcijos f+g,

f-g,

f

— (g (x 0 ) * 0) tolydžios tame taške.
g
Į r o d y m a s . Teoremos teisingumu įsitikinsime, pasinaudoję ribų dėsniais.

Įrodysime, pavyzdžiui,

kad

funkcijos tolydumo išplaukia, kad

dalmuo

f

—
g

tolydus.

Iš

kiekvienos

Iim / ( x ) =Z(XQ),
Iim g(x) =g(x 0 );
χ—«o
χ—>χο

remdamiesi ribų dėsniais, gauname:
IimZM
X->X0

X

g(x)

f
Vadinasi, — tolydi taške X 0 .
g

Iim

м

f M

g(x)

X—^XQ

g(x

0

)

A

4.4. Tolydžiųjų funkcijų superpozicija
Įrodysime, kad tolydžiųjų funkcijų superpozicijos rezultatas - sudėtinė
funkcija - irgi yra tolydi funkcija.
T e o r e m a . Jei funkcija g tolydi taške x0, o funkcija f - atitinkamame taške
VO = g(Xii), tai sudėtinė funkcija f (g(x)) irgi tolydi taške X0.
Į r o d y m a s . KadangiZtolydi taškey 0 , tai
Ve>0 3 ų > 0 :

|у-у 0 1<Л

=>

1/0)-/(Уо) I < ε .

Pagal teoremos sąlygą g tolydi taške X 0 , todėl \/Η, kartu ir jau
parinktąjį η atitiks toks δ > 0 , kad iš sąlygos |χ-χ 0 |<δ => |g(x)-g(x 0 ) I <
< η . Taigi gavome:
U - X 0 1 < δ => |g(x)-g(x 0 )|<n => \f(g(x))-f(jį(x{))) I <ε .
Si nelygybė rodo, kad/(g(x)) - tolydi taškex(, funkcija. Teorema įrodyta.
Kadangi f(g(x)) - tolydi taške x 0 funkcija, tai
Hm f(g(xj)

•

=ZfefXo)) = / ( Hm g(x) ).

X—^ Xq

X—^XQ

Remdamiesi šia lygybe, galime tvirtinti, kad tolydžiosios funkcijos ir
jos ribos simbolius galima sukeisti vietomis ir tada, kai funkcija yra
sudėtinė.

4.5. Monotoninės funkcijos tolydumo sąlyga
Įrodysime monotoninės funkcijos tolydumo intervale X
požymį. Šis intervalas gali būti baigtinis, begalinis, uždaras,
pusiau atviras arba atviras.
Teorema. Jei monotoniškai didėjančios (mažėjančios) intervale X funkcijos f reikšmių aibė yra inten'ale Y ir užpildo jį ištisai, tai funkcija
f intervale Xyra tolydi.
Į r o d y m a s . Tarkime, kad f - didėjanti funkcija. Parinkime tokį tašką
X0 EX, kuris nesutaptų su intervalo X dešiniuoju galu. Įrodykime, kad
šiame taške funkcija yra tolydi iš dešinės. Analogiškai galėtume įrodyti, kad
taške x0 funkcija yra tolydi iš kairės, kai X0 - ne kairysis X galas. Tuomet
galėsime tvirtinti, kad funkcija apskritai yra tolydi taške X0.
Pažymėkime: f(x0) =yo· Reikšmė y0sY ir y 0 nėra dešinysis Y galas.
Parinkime tokį kiek norima mažą ε > 0 , kad y\ = у 0 +г irgi priklausytų Y.
Kadangi Y sudaro tik funkcijos f reikšmės, tai aibėje X būtinai yra taškas
Xi,
kuriame
f(x\)=y\.
Funkcija f yra didėjanti ir
yi>y„,
todėl
x!>x0.
Pažymėkime:
Χι -χ»=
*
^ ^
Kl
= δ. Pasirinkę XQ < X < X I
У
(59 pav.), turėsime
ε

.

Ko

V
'

0

<
Xg

δ
X

X

X1

X

Z ( X 0 ) < f (χ) < f (X1).
Taigi iš nelygybės 0 < x -x„ < δ
0
<f(x)-f(x0)<
< ε , o tai reiškia, kad
lim / ( x ) = / ( x 0 ) .
лг-»дг0+0

Vadinasi, funkcija f tolydi
taške X0 iš dešinės. Tai ir
reikėjo įrodyti. •

4.6. Elementariųjų funkcijų tolydumas
1. Kadangi funkcija χ yra tolydi intervale (-oo; +oo), tai, remdamiesi
aritmetinėmis operacijomis su tolydžiomis funkcijomis, galime teigti, jog
sveikoji racionalioji funkcija
α^χη +A1JC"-1 + ... + α η _γχ + a n
yra tolydi intervale (-oo; +oo), kartu šiame intervale bus tolydi ir trupmeninė racionalioji funkcija
a qx" +ЙГ[ХЛ~' + ...+an_\X + a n
b0xm+b\xm

1

+ ...+bm_\x + bn

išskyrus taškus, kuriuose vardiklis lygus nuliui.
Kalbėdami apie kitų pagrindinių elementariųjų funkcijų tolydumą,
remsimės monotoninės funkcijos tolydumo požymiu.
2. Rodiklinė funkcija Ox ( я > 1 ) yra didėjanti, kai xe(-oo; +oo), jos
reikšmės yra teigiamos ir ištisai užpildo aibę Y = (0; +oo), todėl ax - tolydi
intervale (-oo; +oo) funkcija.
3. Logaritminė funkcija IogAX ( я > 1 ) yra didėjanti, kai xe(0; +oo), jos
reikšmės ištisai užpildo aibę Y = (-oo; +oo), todėl Ιο&,χ - tolydi intervale
(0; +со) funkcija.
4. Laipsninė funkcija x a =e a l r u r yra dviejų tolydžių funkcijų / < = a l n x ir
e" superpozicijos rezultatas, todėl ji irgi tolydi savo apibrėžimo srityje.
5. Trigonometrinė funkcija sinx didėja, kai χ e

π

π

2

2

, jos reikšmės

ištisai užpildo aibę Y = [-1; 1], todėl sinx - tolydi atkarpoje

π

π
;

2 2

funkcija. Tą patį galėtume pasakyti ir apie jos tolydumą kitose atkarpose,
todėl sinx - tolydi intervale (-oo; +oo).
Analogiškai įsitikintume, kad cosr irgi tolydi intervale (-oo; +oo).
Funkcijų tgx ir Ctgx tolydumas jų apibrėžimo srityse išplaukia iš to,
kad šios funkcijos yra tolydžių funkcijų sinx ir cosr aritmetinių operacijų
rezultatas.
6. Atvirkštinė trigonometrinė funkcija arcsinx didėja, kaixe[-l; 1], jos
π

reikšmės ištisai užpildo aibę Y =
.

2

π
;

, todėl arcsinx - tolydi atkarpoje

2.

[-1; 1] funkcija.
Analogiškai įsitikintume, kad funkcija arccosx tolydi atkarpoje [-1; 1],
o funkcijos arctgx ir arcctgx tolydžios intervale (-oo; +oo).
Taigi reziumuodami galime tvirtinti, kad visos pagrindinės elementariosios funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityse.

Kadangi iš pagrindinių elementariųjų funkcijų, panaudodami baigtinį
kiekį aritmetinių operacijų ir superpozicijų, gauname visas elementariąsias
funkcijas, tai ir jos yra tolydžios savo apibrėžimo srityse. Taigi, apskaičiuodami elementariųjų funkcijų ribas taške a, galime jas pakeisti funkcijų
reikšmėmis tame taške.

5. Tolydžiųjų atkarpoje funkcijų savybės
5.1. Pirmoji Boleano ir Koši teorema
Tai teorema apie funkcijos virtimą nuliu.
Teorema. Jei tolydi atkarpoje [a; b] funkcija f tos atkarpos
galuose įgyja priešingų ženklų reikšmes, tai tarp a ir b būtinai yra
toks taškas c, kuriame / ( c ) = 0 .
Į r o d y m a s . Tarkime, kad f{a)< 0 i r / ( b ) > 0 . Tašku ~~~ atkarpą [a·, b]
padalykime pusiau. Jei būtų
kykime,

]

=

0>

ta

· teorema būtų įrodyta. Sa-

Simboliu [a\,fei]pažymėkime tą atkarpos [a; b] dalį,

kurios galuose funkcijos reikšmės yra priešingų ženklų. Tarkime, kad
/ ( α ι ) < 0 ir f(bi)>0.
Pratęsę procesą, gausime atkarpą [an; bn], kurios
galuose f(an)<

0 ir f(bn)>

0. Kadangi atkarpos [a n ; bn] ilgis - — - -» 0 , kai
2n

n ->oo, tai turime susitraukiančiųjų atkarpų seką
[а-Ь]^^]

=>...=>[<*„;&„] з . . .

Tokiu atveju abu kintamieji an ir bn turi bendrą ribą c:
lim an = lim bn = c .
П—»00

n-¥ oo

K a d a n g i f u n k c i j a / y r a tolydi, tai Iim f{an)
Π—>00
Iš

sąlygų

Iim f(bn)

f(an) < 0

ir

f(bn) > O

= f{c)

išplaukia,

kad

ir

Iim f(bn)
П-* OO
Iim f[an)
п-нc

= /(c).
<0

ir

> O . Taigi vienu metu / ( c ) < 0 ir /(c)>0. Vadinasi, /(c) = 0.

«-»00
Teorema įrodyta. A
Geometrinė teoremos prasmė labai aiški: tolydi kreivė gali pereiti iš
vienos ašies Ox
įrodymo būdą

pusės į kitą, tik perkirsdama tą ašį (60 pav.). Teoremos
galima pritaikyti sprendžiant

randame atkarpą [a; b], kurios galuose f(a)

lygtį f(x)=

0.

Pirmiausia

ir f(b) yra priešingų ženklų.

Tuomet atkarpos viduje tikrai yra lygties /(χ ) = 0 šaknis. Dalydami tą
atkarpą pusiau ir pasirinkdami tą dalį, kurios galuose funkcijų reikšmės yra
priešingų ženklų, bei tęsdami procesą, galėsime kiek norima

tiksliai

priartėti prie šaknies.

5.2. Antroji Bolcano ir Koši teorema
Tai teorema apie tarpinę funkcijos reikšmę.
Teorema. Jei tolydi atkarpoje [α; b] funkcija f atkarpos
galuose įgyja nelygias reikšmes f(a)=A
ir f(b)=B
(A<B), tai
kiekvieną dydį C, tenkinantį sąlygą A<C<B,
atitinka atkarpos
[a; b] taškas c, kuriame f (c)=C.
Į r o d y m a s . Sudarykime pagalbinę funkciją cp(x) = / ( x ) - C . Tuomet
cp(fl) = f (a)-C

=A-C<0,

4>(b)=f(b)-C

= B-C> 0. Dabar galime remtis

pirmąja Bolcano ir Koši teorema: tarp taškų α ir b turi būti taškas c, kuriame φ (c) = 0; iš čia f (c) = C. Teorema įrodyta.

•

Kitaip sakant, įrodytoji teorema tvirtina, kad tolydi atkarpoje [a; b]
funkcija įgyja visas tarpines reikšmes tarp f (a) ir/(i>).
Tačiau priešingas teiginys, kad funkcija, įgyjanti visas tarpines reikšmes, yra tolydi, gali būti ir klaidingas. Tokia, pavyzdžiui, yra funkcija

/W=-K' ^
[

0,

0

'

x = 0.

Ji įgyja reikšmes tarp -1 ir 1, tačiau taške x = 0 yra trūki, nes r i b o s / ( - 0 ) ir
/ ( + 0 ) neegzistuoja.

5.3. Pirmoji Vejerštraso teorema
Įrodysime teoremą apie funkcijos aprėžtumą.
Teorema. Tolydi atkarpoje [a; b] funkcija f yra aprėžta toje
atkarpoje, t. y. egzistuoja skaičiai m ir M, su kuriais
m

<f(x)<M.

Į r o d y m a s . Tarkime priešingai, kad, pavyzdžiui, / nėra aprėžta iš
viršaus. Tuomet kiekvieną neN atitiks atkarpos [я; b] taškas x„, kuriame
f(x„)>n.

Kadangi sekos {x„} nariai priklauso atkarpai [a; b], tai seka {xn}

yra aprėžta. Žinome, kad iš aprėžtos sekos galima išskirti konverguojantį
posekį x„k -> c . K a d a n g i / - tolydi funkcija, tai f(x„k)
prieštarauja sąlygai f Unk) -nk>

-> / ( c ) . Tačiau tai

kuri reiškia, kad f[xUk

Gautoji

prieštara ir įrodo teoremą. A
Sutarkime funkcijos / tiksliaisiais rėžiais vadinti jos reikšmių aibės
if(x)} tiksliuosius rėžius.

5.4. Antroji Vejerštraso teorema
Įrodysime teoremą apie didžiausią ir mažiausią funkcijos
reikšmę.
T e o r e m a . Tolydi atkarpoje [a\ b] funkcija f pasiekia savo
tiksliuosius rėžius. Kitaip sakant, yra du atkarpos [a; b] taškai,
kuriuose funkcija įgyja savo didžiausią ir mažiausią reikšmę.
Į r o d y m a s . Pagal ankstesniąją teoremą tolydi atkarpoje [a; b]
funkcija yra aprėžta. Sutarkime kalbėti apie aprėžtumą iš viršaus. Tuomet
ji turi tikslųjį viršutinį rėžį sup{/(jc)}=M. Tarkime priešingai, kad šio rėžio
funkcija nepasiekia, t. y.f(x)<M.
Sudarykime pagalbinę funkciją

Kadangi f(x)<M,

tai M-f(x)*O

ir funkcija φ yra tolydi atkarpoje [α; b].

Remiantis pirmąja Vejerštraso teorema, galima teigti, kad φ ( χ ) šioje atkarpoje yra aprėžta: φ (χ) < μ.
Išsprendę nelygybę

Ц—- < μ , gauname: f (χ) < M -— .
M - f (χ)
μ

Taigi skaičius M - — yra funkcijos/viršutinis rėžis, mažesnis u ž j o s tikslųjį
μ
viršutinį rėžį M=sup{/(jt)}, o taip būti negali. Gautoji prieštara ir įrodo
teoremą.

•

5.5. Atvirkštinės funkcijos tolydumas
Įrodysime teoremą, kurioje nusakomos sąlygos, kada funkcija turi atvirkštinę, be to, tolydžią funkciją.
T e o r e m a . Jei tolydi intervale X funkcija f didėja (mažėja), tai
jos reikšmių aibėje Y egzistuoja vienareikšmė didėjanti (mažėjanti)
ir tolydi funkcija f '1.

Į r o d y m a s . Tarkime, kad funkcija/didėja. K a d a n g i j i tolydi, tai aibę
Y ištisai užpildo tos funkcijos reikšmės. Vadinasi, kiekvieną y 0 e Y atitinka
nors viena reikšmė x0 e X , su kuria f(x0) = y 0 . Kadangi funkcija didėjanti,
tai ši reikšmė X0 yra tik viena. Iš tiesų, jei butų ir kita χ reikšmė XQ ,
pavyzdžiui,

Xq>X0,

f[x'o) > f{xo) > °

tai

su

kuria

ta

/ ( х о ) = Уо>

·

iš

sąlygos

χό>χ 0

=>

neįmanoma, nes / ( 4 ) = f(x0) = y 0 .

Taigi, priskyrę y 0 vienintelę reikšmę x 0 , kartu gausime vienareikšmę
atvirkštinę funkciją χ =g(y).
Įrodysime, kad ši funkcija irgi didėja. Parinkime dvi reikšmes y' ir
y" > y'.
f(x")

Sakykime, kad jas atitinka reikšmės

= y"

ir f(x') = y' • Jei būtų χ" <x',

x"

ir χ',

su kuriomis

tai dėl funkcijos / monotoniš-

kumo turėtume: / ( χ " ) < / ( χ ' ) , t. y. y " < y',

bet tai prieštarauja sąlygai

y" > y'. Taigi iš sąlygos y" > y' => χ" > χ', o tai rodo, kad funkcija

f~l

didėja.
Ši funkcija tolydi, nes ji yra monotoninė ir jos reikšmės ištisai užpildo
intervalą X. Taigi ji tenkina visus reikalavimus, suformuluotus funkcijos
tolydumo sąlygoje (žr. šio skyriaus 4.5 skyrelio teoremą). A

5.6. Tolygusis tolydumas
Tarkime, k a d / - tolydi intervaleXfunkcija. K a r t u j i tolydi
ir bet kuriame taške X0 e X. Tai reiškia, kad
Ve > 0 35 > 0:

- Jt01 <

δ

=> Į/(jc) —/(лг0)| < ε .

Bendru atveju 5 yra ne tik ε, bet irX 0 funkcija: δ=δ(ε,Λ;ο). Tai iliustruoja 61
paveikslas.
Pareikalaukime, kad 5 priklausytų tik nuo ε, o nuo X0 nepriklausytų.
Taip priartėjame prie funkcijos tolygaus tolydumo sąvokos.

Apibrėžimas. Funkcija f: X^>Y vadinama

tolygiai tolydžia intervale X,

jei
\x' - x"\ < 5 =>\f(x') - f{x")\< ε ,

Vs > 0 35 > 0:

nesvarbu, kokia yra taškų x' ir x" padėtis intervale X.
Šį kartą δ priklauso tik nuo pasirinktojo ε : δ = δ(ε).
Pabrėšime, kad iš funkcijos tolydumo dar nebūtinai išplaukia jos
1
( 2
tolygusis tolydumas. Imkime, pavyzdžiui, funkciją / ( x ) = sin— , χ e 0; —

Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad intervale
Parinkime du taškus x' =

χ'-χ"=-

funkcija yra tolydi.

2

1
r— ir x" = — (ne N). Tuomet
(2n + 1)π
ηπ
1

n( 2 n + ΐ)π

I / И - / И

0;

-> 0 , kai n

oo, o

. π(2 n + l)
- Sin 7Ш = 1 .
= Sin —
2

Taigi, jeigu pasirinktume 0 < ε < 1 , tai iš nelygybės \x' -x"\ < δ , nors ir kiek
mažas būtų δ, išplauktų nelygybė \f(x') - / ( x " ) | > ε , kuri reikštų, kad f
nėra tolygiai tolydi intervale

0; —
v π

Tačiau, pasirodo, jei tik apibrėžime minėtas intervalas X yra uždaras,
tai tolydumo jau pakanka, kad funkcija būtų ir tolygiai tolydi.
Kantoro* teorema. Tolydi atkarpoje [a; b] funkcija joje yra ir tolygiai
tolydi.
Į r o d y m a s . Tarkime priešingai, kad atkarpoje [a; b] tolydi funkcija
nėra šioje atkarpoje tolygiai tolydi. Prisiminkime sąryšį 1 V x e M : a(x) <=>
З х е М : 1α(χ). Šį kartą jis reiškia, kad yra toks ε > 0 bei du taškai x' ir χ" ,
kuriuose
\f(x')-f(x")\>e,

nors |jc'-x"| < 5 ;

čia 5 > 0 - bet kuris kiek norima mažas skaičius. Pasirinkime, pavyzdžiui,
1
seką 5,,=
• 0. Kiekvieną δ„ atitiks du atkarpos [α; b\ taškai x'n ir х"г,
kuriuose
f{*n)-f(*n

) > ε , nors

< δ»

Georgas Kantoras (G. Cantor, 1845-1918) - vokiečių matematikas.

Kadangi seka { x'n } sudaroma iš atkarpos [a; b] taškų, tai ji yra aprėžta.
Tuomet pagal Boleano ir Vejerštraso lemą ji turi konverguojantį posekį
>x0. D ė l tos pačios priežasties ir seka { X f l } turi konverguojantį
posekį хЦк. Iš sąlygos |xį ~x'nk\ < ^nk " • O aišku, kad ir x"h ->x 0 . Pagal
sąlygą funkcija / y r a tolydi, todėl f[x'„kj
f[xnk)

met
f(x'nk)

- f(xnk

~ f(xnk

/ ( x 0 ) ir f(x^

bet

tai

) ^ ε· Teorema įrodyta.

) - > / ( x 0 ) , tuo-

prieštarauja

nelygybei

•

Iš šios teoremos gausime vieną svarbią išvadą.
Atkarpą [я; b] taškais
Я =X0 <Χι<Χ2<

... < Xi-\ < Xi < ...

bet kaip padalykime į n dalių (62 pav.).
Didžiausią ir mažiausią funkcijos
[x/_i;x,],

pažymėkime

atitinkamai

nij= i n f j / ( x ) J , χ e [x ; _!; x,].
funkcijos

svyravimu

i-tajame

<x„=b

reikšmę,

įgyjamą

Mi= s u p j / ( x ) } ,

Tuomet

χ e [x;_|;

skirtumą Mi-Zni = ω,

intervale

[x,_i;x/]·

atkarpoje

Jei

ir

vadinsime

funkcija

tolydi

atkarpoje [я; b], tai ji yra ir tolygiai tolydi, todėl
Vs > 0 35 > 0:

|X,-_Į - X , | < δ => |/(x,_I) -/(x ; -)| < ε ,

nepriklausomai nuo taškų Xi irx, padėties. D ė l šitos priežasties taškus x,_i
ir Xi galima parinkti taip, kad juose funkcija įgytų reikšmes M1 ir m , .
Tuomet turėsime
Vs > 0 3δ > 0:

|x(_j -Xį\ < δ => ω,· < ε .

Išvada. Kai f - tolydi atkarpoje funkcija, tai tą atkarpą visada galima
padalyti į dalis taip, kad funkcijos svyravimas kiekvienoje dalyje, kurios ilgis
mažesnis už δ, būtų kiek norima mažas.
/ I

y=f[x)

Δχ,
O

χ,

X,

b

X

Uždaviniai
1. Duota funkcija/: D -» E. Raskite aibę E, kai:
a) D = - U I -2 < x < 3 }, x->x2;
b)D={x\
l < x < 1000 }, x->lgx;
I
7ΓΧ
I
c) D = {x I 0 < x < 1 }, x-> t g — ; d) D= {χ \ 0 < χ < π }, x->sin2r .
4
2. Nubraižykite funkcijos sgnx (lot. signum - ženklas) grafiką:
-1, kai χ < 0,
sgn χ = \ 0, kai χ = 0,
1, kai χ > 0.
3. Funkcija {x} (trupmeninė skaičiaus χ dalis) apibrėžiama taip: {x} =
= x-[x]; čia [x]- sveikoji skaičiaus χ dalis. Nubraižykite funkcijos {x}
grafiką.
4. Raskite / ( 0 ) , f(-x),

f(x - 1 ) , / Q ) , kai f(x) =

.

5. Įrodykite, kad
f(x + 3 ) - 3 / ( x + 2) + 3/(x + 1 ) - f ( x ) = 0 , k a i f(x) = ax2+bx
6. Raskite f(x),

kai:

7. Raskite fn(x)

= / ( / ( . . . / ( * ) ) ) , kai f(x) = -=

"

'

VZ-

+

2

λ

a) f(x - 2) = χ2 - 4x + 7;

n kartų

+ c.

b) / ( — - j = χ

x2

8. Raskite šių funkcijų apibrėžimo sritis:
a) y = arccos

2 + sinx

c)y= Jcos2X
4

+ V l 6 - x 2 ; b) y = arcsini Iog 3 — ] + Jcosx- — ;
V
2/
v
2

л
+ Ig ^ 4 - ^ — ; d ) y = a r c s i n ( t g x ) +
χ 2 - 5x + 6 '
](x-3)j5-2x

9. Tarkime, k a d / : X->Y,A,

'

BDY. Įrodykite, kad:

а) г\аНВ)=г\а)НГ\в)·,

b) f-i{Y\B)

=

X\f~i(B).

2

10. Raskite funkcijos y = x - 8 ϊ + 13 (x<4) atvirkštinę funkciją. Raskite
aibę/(^4), ka\A = {xeR \ 2<x < 3} i r / _ 1 ( B ) , kai B={yeR | - 3 < y < 2 2 } .
11. Seka xn apibrėžiama tam tikra rekurentine formule. Parašykite x„
išraišką:
A

)

X

N+L =

X

N

+

7

I V

>

(n + 2J(rt + 3)

X

I = 7 Ι

3

B ) X

N + 1

- X

N

= N,

X

1

=

1.

12. Pasinaudodami sekos apibrėžimu, įrodykite, kad šios lygybės yra
teisingos:

Зп + 2
. _
a) Iim
=1,5;
П-> OO 2 n

, . . . « " - 2 1
b) lim
=ГС->оо
3

? 5"
с) lim ——— = 2 ;
n->00 5" — 1
13. Įrodykite, kad
pradedant

2
" - 2
n+3

d) lim ^ = 1 ,
n->co

a > 1.

2n
lim
=2. Raskite sekos numerį Af, kuriuo
И—>00 /7 + 3

< 0,01.

14. Apskaičiuokite ribas:
...
Г1
3
5
2η-ί\
a) hm — + ^ 2r + -=+ ...+
3
n-xAl
2
2
2" J

r
1
1
1
..
; b) hm
+
+ ...+—
r
n(n + \)y
"->« yl-2 2-3

c) hm f V 2 . t / 2 - ^ / 2 . . . . . 2 T ^ l .
15. Pasinaudodami teorema apie monotoninės ir aprėžtos sekos ribos
egzistavimą, įrodykite, kad šios sekos konverguoja:
ч
6«-5
) n=—:—;
2n

1
1
b) Xn=-T-T + -—+···
2+1 2+1

a x

+

1
2"+l

d) xn=\+— + — + ·•·+— - I n n (pasinaudokite nelygybeJt > In(l+x), x>0);
2 3
n
e) xn = J5 + ^5 + -^5+ ... + л/5 ; raskite šios sekos ribą.
n šaknų

16. Jei seka turi ribą a, tai bet kuris jos posekis irgi turi ribą a.
Įrodykite.
17. Jei seka konverguoja, tai, pašalinę baigtinį kiekį jos narių,
gauname konverguojančią seką, turinčią tą pačią ribą, kaip ir pradinė seka. Įrodykite
18. Jei seka yra monotoninė ir turi bent vieną aprėžtą posekį, tai ji
aprėžta. Įrodykite.
19. Įrodykite, kad seka turi ribą a tada ir tik tada, kai bet kuris jos
posekis turi posekį, konverguojantį prie a.
20. Įrodykite, kad monotoninė seka konverguoja tada, kai ji turi konverguojantį posekį.
21. Įrodykite, kad seka turi ribą tada ir tik tada, kai ji yra aprėžta ir
turi vieną dalinę ribą (daline riba vadiname posekio хПк ribą).
22. Įrodykite, kad seka JC N = ( - 1 ) " diverguoja.

23. Panaudodami Koši kriterijų, įrodykite, kad šios sekos konverguoja:
.
cosl
cos 2
cos n ;
,.
. 1 1 +
1
+
a)x„= — + -2-+ - + ^ Γ
2 - + —'>
J
3
3
2
3
n
,
, 1 1
1
c) x„ = 1 + — + — + ··· + — .
2! 3!
n\
24. Suformuluokite sąlygas, reiškiančias, kad duotoji seka netenkina
Koši kriterijaus.
25. Taikydami Koši kriterijų, įrodykite, kad sekos diverguoja:
1

1

1

1

1

КЧb) x =
a ч) x „ = l1 + —+ ··· + — ;
+
+ ··· +
.
n
2
n
In 2 In 3
In n
26. Panaudodami funkcijos ribos apibrėžimą, įrodykite, kad lygybės
teisingos:
X2

-9

b) Iim χ 2 = 9 ;
x->3

a) Iim
=6 ;
x-»3 X - 3
c) Iim -Jx = 2 ;
x->4
27. Apskaičiuokite ribas:
. ,. V x + 3 - 3
a) Iim
;
x->6 χ-6

14

b)

c) Iim ^ x +
^ x + -;
χ->4 4 -у/χ + 12
e)

d) Iim ax =I
x->0

d)

(a > 1) .

,.
Vx2 + Зх + 10 - 2
hm
-=
;
χ->-2 χ -4χ-12
Iim f · / * + Vx +Vx - V x l ;
x->+coV
у

Iim [ л/х3 +Зх 2 - V x 2 - 2 χ ] ; f)

Iim x f V x 2 + 2 χ - 2 V x 2 + χ + χ ] ·

28. Įrodykite, kad funkcija fix) = —cos— yra neaprėžta bet kurioje
χ
χ
taško χ=0 aplinkoje, tačiau ji nėra neaprėžtai didėjanti, kai x—» 0 .
29. Apskaičiuokite ribas:
π
sinl X +
ч
r
X
3J
..
V2 tg 6x
u4
a) hm
— ;
b) hm —Į=
COSX-A
X ^ y j l cos4x
х-*-- COSX3
2
cos2x-sin2x-l
ч ,.
c) hm
j =
;
χ—>0
а/ЛТ-1

d) hm
X ^

2

V2sinx + 3 - V 6 s i n x - 1

ci 2x

Z

N
x

tg e
\ ie) hm

4

3cos—

-e
7y

;

s n2i
r\ i- /1
\cosecx
ч ,.
'
—cosx
f) lim(l + tgx)
; g) hme
v
x->0
'
" χ—>0
X

1

h) lim у/cos χ ;
x->0
'

k) lim

/ ^

r

i) lim
X-Wv X J

Z V

;

sm

1)

Ini e*2 + 2 Vxl
* ;
'

I

j)

i

lim
x->+0

m

m) l i m ( j l + x)(l + x 2 ) ( l + x 4 ) . . . ( l + x 2 " J | ,

i

tgVx

,

kai UI < 1 ;

n) lim cos—cos—...cos— .
' n^yoX
2
4
In)
30. Nustatykite šių nykstamųjų funkcijų eilę, lygindami jas su x, kai
x-»0 :
a) л/l + x + x 2 -л/l-x+x 2 ;

b)ecosx-e·,

d) arcsinjVy + x 3 - 3 j ;

e) Vcosx -Vcosx .

с) 1пМ+хл/2-хе

31. Parinkite tokį skaičių A, kad funkcija
f Π

X2-I
r _ ι > kai χ it 1,
A,

b ū t ų tolydi

taške x = l .

kai χ = 1,

32. Parinkite tokius skaičiusi ir B, kad funkcija
1
kai χ > 1,
X
Ax + B, kai χ < 1,

butų tolydi visoje skaičių tiesėje.

33. Panaudodami loginius simbolius, užrašykite teiginį, reiškiantį, kad
funkcija nėra tolydi taške X0 e D .
34. Ištirkite Dirichlė* funkcijos
, .

iO, kai χ-iracionalusis skaičius,
=

{ 1, kai χ - racionalusis skaičius,

tolydumą bet kuriame taške. Raskite jos trūkio taškus ir nustatykite jų rūšį.
35. Nustatykite šių funkcijų trūkio taškų rūšį:
a ) / W = Sgnx;

b) /(x) = 3* ;

c)/(x) = —
e

;
+1

Peteris Gustavas Leženas-Dirichlė (P. G. Leujene-Dirichlet, 1805-1859) - vokiečių
matematikas.

d) / ( χ ) = arctg - J — ,
X - I

kai

+X

36. Funkcija / ( x ) = ^

/(±1) = į .
2

— - neapibrėžta taške x = 0 . Kokia turi būti

šios funkcijos reikšmė / ( 0 ) , kad funkcija būtų tolydi taške x=O ?
37. jrodykite, kad funkcija |/(x)| yra tolydi taške X 0 , jeigu šiame taške
tolydi funkcija / ( x ) . A r teisingas atvirkščias teiginys?
38. Tarkime, kad funkcija / apibrėžta ir tolydi atkarpoje [a; b] ir
/ ( x ) > O su visais xs[a;

b\. Įrodykite, kad egzistuoja c > 0 , su kuriuo

/ ( x ) >c visuose atkarpos [a\ b] taškuose.
39. Ar šios lygtys turi šaknis, priklausančias nurodytai atkarpai:
a) X 5 - 4x 3 + 3x - 2 = O,

xe[0,2];

b ) s i n x - x = 0,

xe

40. Ar yra toks atkarpos [-6; 6] taškas, kuriame funkcija
X

TLX

f(x) = — + c o s —
16
2

įgyja reikšmę, lygią 8?

41. Įrodykite, kad intervale (0; 1) funkcija / ( x ) = A yra tolydi, bet ne
tolygiai tolydi.

Atsakymai
1. a) [0; 9]; b) [0; 3]; c) [0; 1]; d) [-1; 1]. 4. - ;

2

b)

.I-J

7.

i.

"2 π^ ~5π
,
. .
. 8. a) [-4; π] U [0; π]; b) — ; — U — ; 6
_3 3.
3
Vl + nx
X

2

d) ψ , 2,5)

10.X

=

4-

f) - I . 29. a) - į : b) 3; c)-4; d) — ;
4
V3
5
S n Į:

'

χ

ί . 6. a) x 2 +3;

2x + \
;c)

f πΊ
0 ; - U(3; 4);
V 3.

; [-2; 1]; [-1; 4]. 11. a) ^ ± 1 ; b) 1 +

13. N=598 . 14. a) 3; b) 1; c) 2. 15. e)

m) — ! — ; n)

; — - ;

2-х '

1 + V2T
2
e) ~ ;
3π

. 27. a) - ; b) — ; c) — ; d) — ; e) 2;
6
96
27
2
f) e; g) 2; h) 1; i) 1; j) 2; k) e; 1)

3

. 30. a) Ekvivalenčios; b) antros; c) tos pačios; d) trečios; e) antros.

31. A=2.32. A = I, B=0.36.3/2.

39. a) Taip; b) ne. 40. Taip.

VIENO KINTAMOJO FUNKCIJŲ
DIFERENCIALINIS
SKAIČIAVIMAS

1. Funkcijos išvestinė
1.1. Funkcijos išvestinės sąvoka
Išvestinės sąvoka yra viena svarbiausių matematikos sąvokų. Funkcijos
išvestinės radimą vadiname tos funkcijos diferencijavimu.
Tarkime, kad funkcija/apibrėžta tam tikrame intervale X. Jame pasirinkime dvi nepriklausomo kintamojo reikšmes: χ irx 0 . Jų skirtumas χ - X0
vadinamas nepriklausomo kintamojo, arba argumento, pokyčiu ir žymimas
Vadinasi, kai Ax =x -x0,

tai χ =X 0 + Αχ. Sakoma, kad nepriklauso-

m o kintamojo pradinė reikšmė X0 įgijo pokytį Ax.
Skirtumas f(x0 -I- Ax) -f(x0) vadinamas funkcijos / pokyčiu taške X0 ir
žymimas simboliu Af (x0). Taigi
AfŲco) = ./'(*() + Ax ) -f (X0) .
Dydis Af(x0) tiesiog vadinamas funkcijos pokyčiu ir žymimas Af arba
Ay (55 pav.).
Funkcijos ir jos argumento pokyčių santykis išreiškia funkcijos kitimo
vidutinį

greitį

atkarpoje

[x0 + Ax\ x 0 ] , kai Δχ <0:

[χο;χ0+Δϊ],

kai

arba

atkarpoje

Af[xo)
л
Ax

Vvid

/(χ0+Δχ)-/(χ0)
л
Ax

·

Vidutinio greičio riba, kai nepriklausomo kintamojo pokytis artėja
prie nulio,

I im ΔΑ*θ)
Δϊ->0

=

/(*о + А * ) ~ / Ы

lim

Δχ

ΔΧ->0

Ax

vadinama funkcijos kitimo greičiu taške x(1, arba išvestine.
Apibrėžimas. Jei egzistuoja baigtinė funkcijos

pokyčio Af(X0) ir jį sukė-

lusio argumento pokyčio Ax santykio riba, kai Ax artėja prie nulio, tai ji vadinama funkcijos y =f(x) išvestine argumento χ atžvilgiu taške X0 .
Išvestinę žymime / ' ( x 0 ) arba j ' Į v=JCo . Taigi
f U )

=

lim M č o )
Δϊ—>0 Ax

=

f(xo

lim

+ Ax

)-f(xo)
Ax

Δ»:—>0

.

K a d a n g i Ax = χ -X0 ir Af (x0) = f(x0 + Ax ) -f(x0)=f(x)

-/(x0), o

χ—»x0, kai Ax -»0, tai išvestinę galima parašyti kitaip:
/'(X0)=

Hm M z A

.r-» JCQ

x

X-XQ

A

.

Išvestinė, apskaičiuota su bet kuria kintamojo χ e X reikšme, bendruoju atveju yra kintamojo χ funkcija, todėl žymima f'(x),

y'x • Šiuos sim-

bolius pasiūlė G . V. Leibnicas. Dar vartojamas Ž. L. Lagranžo * žymėjimas
dy
— . Jj kol kas traktuosime tik kaip išvestinės simbolį, nesuteikdami jam
dx
trupmenos prasmės. Koši siūlė išvestinę žymėti simboliais Dy arba Df (x0),
tačiau jie neprigijo.
Dar apibrėžiamos vienpusės išvestinės taške x0: išvestinė iš kairės
/'(X

0

-O)=

lim
X-^Xq-O

f

^zAxA

X-XQ

ir išvestinė iš dešinės
/ " M O ) =

lim
X—>XQ+0

M z A

x

A

.

X-XQ

Aišku, kad funkcijos išvestinės tam tikrame taške
ekvivalentus jos vienpusių išvestinių tame taške lygybei.

egzistavimas

Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (G. W. Leibniz, 1646 - 1716) - vokiečių matematikas ir
filosofas.
Zozefas Luji Lagranžas (J. L. Lagrange, 1736 - 1813) - prancūzų matematikas ir
mechanikas teoretikas.

1 pavyzdys. Apskaičiuokime funkcijos / ( x ) = |x| (63
pav.) išvestinę taške X 0 =O.
S p r e n d i m a s . Pagal išvestinės apibrėžimą

/'(O)=IimM^iO)O

Af->0

0

= Iim x-+0 χ

63 pav.

1, kai χ -» +0,
[-1, kai χ —» -0.
Taigi /'(+0) = 1, / ' ( - 0 ) = -1.
Kadangi vienpusės išvestinės
taške Xo=O tarpusavyje nelygios, tai f u n k c i j a / š i a m e taške
išvestinės neturi. A
2

pavyzdys.

čiuokime
(64

Apskai-

funkcijos

pav.)

У = ТХ

išvestinę

taške

X 0 = 0.

Sprendimas.
f ( x ) - m _
/'(O) = Ii"},
:

64 p a v .

X-O

x->0

1

Iim — — - = Iim
χ—>ο χ

= +OO ,

Kadangi gautoji riba yra begalinė, tai funkcija

taške χ» = 0 išves-

tinės neturi (apibrėždami išvestinę, reikalavome, kad pokyčių santykio riba
būtų baigtinė). A
3 pavyzdys. Raskime funkcijos y = x 2 išvestinę bet kuriame taške x.
S p r e n d i m a s . Pagal išvestinės apibrėžimą
,

.

f'(χ) =

(χ + Δ χ )

Iim ^
Δτ-»0

=
Taigi ( χ 2 ) = 2χ.

'-

Δ X

2

- χ

2

.

2 χ Δ χ + (Δχ)2

ΔΪ->0

Δ X

= hm

Iim (2χ + Δ χ) = 2 χ .
Δχ->0

*

'—

=

1.2. Funkcijos išvestinės mechaninė ir geometrinė prasmė
Funkcijos f(x) išvestinę taške jc0 apibrėžėme kaip funkcijos kitimo
greitį tame taške. Šiuo apibrėžimu ir apibūdinama išvestinės mechaninė
prasmė: kūno nueitojo kelio išvestinė laiko atžvilgiu yra to kūno greitis, o
greičio išvestinė (kelio antroji išvestinė) laiko atžvilgiu - pagreitis:
a = v\t) = s"(t) .
Prieš pradėdami nagrinėti išvestinės geometrinę prasmę, apibrėšime
kreivės liestinės sąvoką.
Apskritimo liestine vadinama tiesė, turinti su apskritimu tik vieną
bendrą tašką. Ne kiekvienai kreivei toks liestinės apibrėžimas tinka. Todėl
bet kurios kreivės / liestinę taške M0 reikia nusakyti kitaip. Per tašką M0 ir
kitą tos kreivės tašką M (65 pav.) nubrėžkime kirstinę M0M. Kai taškas M ,
judėdamas kreive /, artėja prie
taško M0, kirstinė sukasi apie
tašką M0.
Apibrėžimas. Ribinė

padėtis

M0T, kurią užima kreivės kirstinė
M0M, kai taškas M kreive artėja
prie

taško

M0,

vadinama

tos

kreivės liestine taške M0.
Tarkime, kad duotoji kreivė
yra funkcijos y = f(x) grafikas
(66 pav.). Nesunku suprasti, jog
santykis
65 pav.

Δχ

lygus kampo

φ

tangentui:
tg<p =

Χ0 + Δ Χ

Ay
Ax

Sakykim,
taškas M ,
judėdamas funkcijos y =f(x) grafiku, artėja prie taško M0. Tada
Δχ artėja prie nulio, o kirstinė
M0M - prie ribinės padėties, t.y.
liestinės M0T. Jei liestine M0T
sudaro su teigiamąja ašies Ox
kryptimi kampą a, tai φ
α.
Kai liestine nelygiagreti ašiai
Oy, tai dėl tangento tolydumo
tg φ
tg α . Todėl

k = tga=

Iimtgφ =
AX->0

lim

= f'(x0)

Δ.Ν—»0 Δ

•

X

Taigi
к =
Vadinasi,

funkcijos

MQIXQ- f(xQ)),

у =/(x)

/'(х,о).

grafiko

liestinės,

nubrėžtos

krypties koeficientas k lygus išvestinės f'(x)

per

tašką

reikšmei, aps-

kaičiuotai lietimosi taške χ = X0 ·
Pasinaudoję tiesės, einančios per tašką

М0(х0;/(х0))

ir turinčios

krypties koeficientą k, lygtimi
У- Axo) =

k

*o).

gauname kreivės liestinės lygtį
y - Ą x o ) = fXхo)

(*-*o)·

Tiesė, einanti per lietimosi tašką statmenai liestinei, vadinama kreivės
normale. Kadangi statmenų tiesių krypčių koeficientai k, ir k2 tenkina
sąlygą k\ = ——, tai normalės lygtis bus tokia:
h
1
У -

J

/(XO)

f U)

(x-x0).

C

f (X0)=- CO

f (X0) = + 00

O

yn
f [X0- 0 ) = +oo

f

Hx0-O)=-O)
f ' ( x 0 + 0 ) = +oo

O

O

^o

(x0+0)=-o)

Jeigu funkcijos /(χ) vienpusės išvestinės taške X0 tarpusavyje nelygios,
galime kalbėti apie vienpuses kreivės liestines, kurių krypčių koeficientai
f'{xo + O) ir f'(xg - θ). Kai funkcijos išvestinė taške x0 yra begalinė, tai
kreivės liestinė šiame taške yra statmena ašiai Ox (67 pav.).

1.3. Funkcijos išvestinės ir jos tolydumo ryšys
Sj ryšį apibūdina tokia teorema.
Teorema. Jei funkcija f(x) turi išvestinę taške X0, tai ji šiame taške yra
tolydi.
Į r o d y m a s . Kadangi funkcija turi išvestinę taške x0, tai egzistuoja
baigtinė riba

/'(x 0 ')= Ax-»0
"m Δ X .
v

Pasiremkime teiginiu, kad funkcija skiriasi nuo savo ribos nykstamąja
funkcija. Todėl
AZ=/'(x0)+a;
v
Δχ
čia a—> 0, kai Δχ —> 0. Tuomet
Ay = / ' ( χ 0 ) Δ χ + α Δ χ .
Iš šios lygybės išplaukia, kad
Iim Ay=

Iim / ' ( χ 0 ) Δ χ + Iim « Δ χ = 0 .

Δχ-»0

Δχ->0

Лх->0

Taigi nykstamą argumento pokytį atitinka nykstamas funkcijos pokytis, o
tai reiškia, kad taške x0 funkcija yra tolydi. •
Atvirkščias teiginys gali būti ir neteisingas: iš funkcijos tolydumo tam
tikrame taške dar neišplaukia, kad tame taške funkcija turi išvestinę. Jį
patvirtina anksčiau išnagrinėti du pavyzdžiai: funkcijos |x| ir

yra toly-

džios taške X0 = 0, tačiau jame išvestinės neturi.
Taigi funkcijos tolydumas taške yra tik būtina tos funkcijos išvestinės
egzistavimo sąlyga. Trūkio taškuose funkcija negali turėti išvestinės.
Pavyzdys. Įrodykime, kad funkcija

m=

X s i n A j JfaJ x Φ o,
χ
0,
kai x = 0,

yra tolydi taške x0 = 0, tačiau jame neturi išvestinės.
S p r e n d i m a s . Apskaičiuokime
Iim / ( x ) = Iim χ sin — .
χ-»0
x-»0
X

K a i x - > 0 , funkcija sin — ribos neturi, tačiau yra aprėžta, nes sin
<1.
χ
χ
Žinome, kad aprėžtos ir nykstamosios funkcijos sandauga yra nykstamoji
funkcija, todėl
Iim χ sin A = 0 .
x->0
X
Taigi Iim Д х ) = 0 = / ( 0 ) , o tai reiškia, kad funkcija tolydi taške X 0 = 0.
x->0

Raskime /'(0):
/'(0)

=

=

Iim A
Ax^-O

O

I

A x
Ax

Δ χ sin —
Δχ

hm
Δχ—>0

H

M

=

0
=

Δχ

^
f(Ax)-f(0)
Δχ—>0
Δ X

,.
. 1
Iim sin
Δχ—>0

=

.

Δχ

Kadangi ši riba neegzistuoja, tai duotoji funkcija neturi išvestinės taške
X0=O.

•

1.4. Funkcijų diferencijavimo taisyklės
1 teorema. Jei funkcijos u ir v turi išvestines taške x, tai funkcijos Cu (C konstanta), u+v, uv ir — irgi turi išvestines šiame taške, be to,
v
(Cu)

= Cu',
t
(m+ v) =U1 + v',
r
(uv) =u'v + uv',
U I

VJ

=

U

V-UV

V

2

'

Kaip pavyzdį įrodysime trečiąją šių formulių:
,
(uv) =

.
u(x + Δχ) v(x + Δχ) -м(х)
hm —
—
Δχ->0

=

V(X)

-

Ax

U(X + Δ Χ ) - Μ ( Χ ) ,
,
ν(χ + Δ χ ) - ν (уχ ) , ,
Iim - i
— ν(χ + Δχ) + hm —
'-+-и(х) =
Δχ—>0

Δχ

Δχ-»0

Δχ

= м'(х) ν(χ) + ν'(χ) м(х), nes Iim ν(χ + Δχ) = ν(χ) .
Δχ^Ο
Taip yra todėl, kad funkcija v turi išvestinę, vadinasi, ji kartu yra ir
tolydi.

•

2
funkcija

teorema
u = u(x)

atitinkamame
funkcija

(sudėtinės

funkcijos

taške X0

turi išvestinę u'x = u'(x0),

taške UIL = u (X11)

Y = f(u(xjj

diferencijavimas).

- išvestinę

Tarkime,

o funkcija

y'U=F\uo)·

Tada

kad

y =f(u)
sudėtinė

taške X0 taip pat turi išvestinę Y'X, lygią išvestinių Y'U ir

u'x sandaugai:
Ух = У'и u'xĮrodymas.
egzistuoja riba

Kadangi funkcija y = f(u)

lim
=
Δ«—»0 Ali

taške u0 turi išvestinę, tai

f'(u0).

Iš šios lygybės išplaukia, kad

AZ=/'( M o )+a;
Au

čia α

0 , kai Δ u -» 0. Išreiškiame pokytį Ay\
Ay = / ' ( « o ) ' Au + a · Au .
Padaliję abi šios lygybės puses iš pokyčio Ax Φ 0, apskaičiuosime

abiejų pusių ribas, kai Ax->0 (dėl u (x) tolydumo Au -*0, kai
l i m —— = Z1IUQ)-

Δϊ^ΟΔΧ

lim

ΔΪ->0ΔΧ

+

lim a-

Δ*->0

lim

Δ*->0ΔΧ

Ax->0):

,

arba
У(*о)

=

/ ' ( " o ) " ' ( * o ) +0-м'(дг0),
Ух=Уиих-

А

3 teorema (atvirkštinės funkcijos diferencijavimas). Tarkime, kad
funkcija y =f (x) turi ah'irkštinę funkciją χ =g (y). Jeigu funkcija y =f(x) taške
x=x0 turi baigtinę ir nelygią nuliui išvestinę f'(x0), tai atitinkamame taške
y 0 =f(xo) egzistuoja atvirkštinės funkcijos χ = g (y) išvestinė, lygi —γ-—r. Taigi
fVo)
x'=-L
У

Ух'

Į r o d y m a s . Suteikę argumentuiy pokytį Ay, apskaičiuojame funkcijos
x = g(y) pokytį:

Ax =g(y0+Ay)-g(y0) •
Pagal sąlygą funkcija y =f(x)

turi atvirkštinę funkciją, vadinasi, ji yra

vienareikšmė, todėl Ax Φ0 , kai Д у ^ О . Turime:

Ax

1

Ay~

Y

i

Ay_
х=д[у)

Ax
Ко

Kai Ay -+ O, tai dėl funkcijos
χ = g (y) tolydumo ir pokytis
Ax->0.

o

Ax
Ay

Tuomet

/

—^-~+y' x ,
Ax

p

α
> x'yv . Gavome formulę

/ /

0

1

X0

χ

68 pav.

Ух

Paaiškinsime jos geometrinę prasmę. Žinome, kad y'x = t g a (68 pav.).
Atvirkštinės funkcijos χ = g (y) grafikas sutampa su y = / ( x ) grafiku, tik jos
argumentas atidedamas ašyje Oy. Todėl x'y = tg β; čia β - kampas, kurį ta
pati liestine sudaro su ašimi Oy. Taigi išvestoji formulė išreiškia žinomą
prieklausą
tgp = - ^ - ,
tga
к
siejančią kampų α ir β tangentus, kai tų kampų suma lygi — .

1.5. Pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestinės
1. J e i y = c o n s t , tai Ay = O su bet kuriuo A x , todėl y ' = 0.
2. Trigonometrinių funkcijų sinx, cosx, tgx (χ

+kn, k e Z)ir ctgx
2

(χ Φ kn, k e Ζ) išvestinės.
a) Argumento pokytį Ax atitinka toks funkcijos sinx pokytis Ay:
Ay = sin(x+Ax) - sinx = 2 sin-^--cos^x + - ^ ^
Todėl
/ . /
(sinx)

=

- . Ax
f
Ax
2 sin
cos χ +
2
V
2
Iim
—

..
Ay
Iim —— =
Δχ-»θΑχ

= 2 cosx

Δχ—»0

Ax

. Ax
Ax
sin
.·
7
1
2 =_ 2 cosx Iim —^—
Iim
= 2cosx·— = cosx,
Δχ->0

Ax

Δχ—>0 A x

. Δχ
nes sin
2

Δχ
2

, kaiAx-»0

b) (cos χ) = ^sin

= C0S

(f-X)(f"X

- xjj

= C0S _JC _1

(f )'( )

nes sin ^

sinx ,

- x'j yra sudėtinė χ funkcija.
R

c) (tgx)'

'

'

f sin χ ^ _ (sinx) -cosx-sinx-(cosx)
VcosxJ
COS2X
2
__ cosx-cosx-sinx-(-sinx)
_ cos 2 x +
_
_ sin x _
COS

d) (ctgx)

X

COS" X

1
COS

cosx]

-sinx sinx-cosx-cosx

1

Sinxy

sin 2 x

sin 2 x

X

3. Logaritminės funkcijos у = In χ, χ > O išvestinė.
,, /
Inx =
>

χ + Δχ
~

,.
1η(χ + Δχ)-1ηχ
Iim — 1
= Iim

A - - . ί\
Δχ—»0

Δ Λχ „

.
. П
Δχ->·0

Δ Λχ. .

=

Iim

1
Δχ->0

j Y1
Π
'

|

Δχ

Δ Χ

Δχ
=

Iim -^ l - = —,
Δχ—»0 Δ χ

X

nes I n ( 1 + α ) ~ α, kai α->0; čia α =

ΔΤ

χ

>O, kai Δ χ 0 .

In χ
1
' j
Kadangi I o g a X = - — , tai (Iog a χ) = - — ( I n x ) = — — .
Ιηα
Ιηα
χ Ιηα
4. Rodiklinės funkcijos у = α χ , α > O, α Φ1, -οο<χ< +oo išvestinė.
1
Sudarome atvirkštinę funkciją χ = Ioga y ir remiamės formule y'x = —
x'
^rt j =

! — γ = — j — = y Ina = Ox Ina .
(Iog a y)
——
y In a
Atskiru atveju, kai a=e, gauname:
įe x) j

= ^ Ine = ^ .

5. Laipsninės funkcijos y=xa,aeR,x>0

išvestinė.

log

Remdamiesi tapatybe A "'' = b, gauname: χ = elnx . Todėl laipsninę funkciją galima išreikšti taip:
χ

Tuomet

( X

A

)

= χα· α · - =
χ

=

( E

A L N

α

a l n

= E

* )

a

p n x j

=

galn.r

=

*-(alnx)'=X

_

T T

-a-

(Inx)'=

αχ""1,

6. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų arcsinx, arccosx, arctgx ir
arcctgx išvestinės.
л
a) Funkcijosy = arcsinx išvestinę nagrinėsime, kai |х|<1, |y|< у .
71 К
Atvirkštinė funkcija χ = siny intervale y e (-—
) turi teigiamą išvestinę
x'y = cos y. Todėl
1

i(arcsinx]
• \=

1
cos

(siny)'

1

1

Jl-Sin2y

^

V b χ2

л
nes cosy > O, kai |y | < — . Taigi
(arcsinx) =
b) Funkcija y = arccosx
x = cosy , kuri intervale

, ^
^ x 2

.

(|х|<1, 0 < y < π ) yra atvirkštinė funkcijai

ye(0; π) turi neigiamą išvestinę x'y = - sin y .

Todėl
(arccosx)

1

=

1

(cosy)'

-sin^

1

1

V^ — cos 2 y

V b χ2

Taigi
/

1

(arccos χ)

VT

X
Ti

c) Funkcija у = arctgx
χ = tgy. Todėl
I
(arctgx)

1

(tgy)'

(χ s R,

\y \ < —) yra atvirkštinė funkcijai

1

1

2

l/cos y

1

2

l + tg y

1 + χ2 '

d) Analogiškai apskaičiuojama funkcijos y = arcctgx (χ ей, 0 < y < π )
išvestinė.

(arcctgx)

=•
(ctgy)'

-l/sin2 у

1 + ctg2>>

Taigi
(arcctgr) =

—j .
1+x

Gautus rezultatus pateiksime lentele.

1.6. Išvestinių lentelė
1. ( x a ) = a / "

1

.

r
x

2. [a

3. (ex)
4

j = a*\m

.

= ^ .

·

5. (Inx)' = — .
χ
I
6. (sinx) = cosx.
r
7. (cosx) = -sinx.
8.

( t g x ) ' = - i - ·
cos X

9. ( c t g x ) ' = - —
sin χ
1

10. (arcsinx) =

V l ^
'

11. (arccosx) = -

ι
2
л/Г-Xι—л

12. (arctgχ) = 2" ·
1+x
I
13. (arcctgx) =

\
— j
1+x

.

1 + x2

1.7. Neišreikštinių funkcijų diferencijavimas
Funkcija y = / ( x ) paprastai vadinama išreikštine, nes kintamasis y
išreikštas kintamuoju χ .
Dabar tarkime, kad kintamieji χ ir y susieti tam tikra lygtimi
F{x,y)

= 0 ,

be to, kiekvieną intervalo X reikšmę χ atitinka viena y reikšmė, nustatoma
iš tos lygties. Tuomet kintamąjį y galima laikyti kintamojo χ funkcija, apibrėžta intervale X. Sakome, kad lygtis F (χ, y) = 0 apibrėžia neišreikštinę
funkciją.
Pavyzdžiui, išsprendę lygtį
x2+y-8 = 0
kintamojoy atžvilgiu, sužinome, kad ji apibūdina funkciją y = 8-x 2 .
Tačiau ne kiekvieną neišreikštinę funkciją galima pakeisti išreikštine,
nes kartais iš lygties F (χ, y) = 0 neįmanoma kintamojo y išreikšti kintamuoju χ. Pavyzdžiui, tokia yra lygtis
2y + x-jtgy

= 0.

Dabar aptarsime, kaip galima apskaičiuoti neišreikštinės funkcijos išvestinę, nekeičiant tos funkcijos išreikštine. Lygtį F(x, y) = 0 panariui diferencijuojame argumento χ atžvilgiu, kartu turėdami galvoje, kad y yra argumento χ funkcija (remiamės sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisykle).
Pavyzdys. Raskime y ' , kai funkcija apibrėžta lygtimi
X4 + Y 4 - 4 x y = 6 .
S p r e n d i m a s . Diferencijuojame abi duotosios lygties puses:
4x3 + 4y 3 · y ' - 4 ( y + x y ' ) = 0 .
Iš šios lygybės, kaip iš lygties, randame y ' :
У

4x3-4y
-3
4x-4y

χ3-y
O · ^
х-y

1.8. Logaritminis diferencijavimas
Kartais, prieš diferencijuodami funkciją, ją išlogaritmuojame, ypač kai
toji funkcija išreikšta kelių dauginamųjų sandauga.
1 pavyzdys. Išdiferencijuokime funkciją
(3x + l ) 5
е * х -(4-х)7
jos apibrėžimo srityje.

S p r e n d i m a s . Išlogaritmavę turime:
Iny = 5 ln(3x +1) + ^-ln(x - 4) - tgx - 7 ln(4 - x ) .
Abi gautos lygybės puses diferencijuojame argumento χ atžvilgiu:
1
5
1
ч
— y -= 3+—
r
У
3x +1
3(x-4)

1

7

=
Cos X
2

4-х

/ 1\
-1 .
v

;

Iš čia
15
У

=У

1

3x +1

Cos X

1

1
2

3(x-4)

Funkcija y = w(x)1

7

2

3(x-4)

15
3x + l

1

Cos X

4-х

+-

(3x + l) 5 V x - 4

7
4

etgJC - ( 4 - х ) 7

(u (x) > 0) vadinama sudėtine rodiklinė

funkcija.

Jos išvestinė randama, tą funkciją logaritmuojant ir pritaikant sudėtinės
funkcijos bei funkcijų sandaugos taisykles išvestinei rasti:
I
'
(Iny) = (v(x) · 1пм(х)) ,
1
,
„
1
— y = v In m + v —
u
У

,
u ,

y' =

v' · Inw + v · -

(mv)

= v-u"-1 -u'+ uv

Taigi
lnu-v'.

2 pavyzdys. Išdiferencijuokime
okime funkc
funkciją
NCtgJC

y=(*

2

+

i) c

jos apibrėžimo srityje.
Sprendimas.
y ' = ctgx · (x 2 + I p "

1

· (x 2 +1) + (x 2 + l p

(M

X

ln(x 2 + lj(ctgx)

Ctg дг

= 2xctgx·^.χ

2

лс'е^- 1
+1)

sin 2 χ

-InI

( * 4 ·

=

1.9. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis,
diferencijavimas
Sakykime, funkcija y = / ( x ) apibūdinta parametrinėmis lygtimis
I * = <P (ή,

Dar tarkime, kad egzistuoja šių funkcijų išvestinės x\, y't, o funkcija
χ = φ(ί) turi atvirkštinę funkciją t = Φ ( χ ) , kuri taip pat turi išvestinę.
Tuomet funkciją y = ψ(ί) galime laikyti sudėtine funkcija:
y = ψ(ί),

kurios t = Φ ( χ ) .

Pasinaudoję sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisykle, gauname:
y'x=y'ft'x
Tačiau t'x = —,
χ',

•

todėl

y'x=y'rjr=į-

Λ, Į

{'i*o).

JLI

Pavyzdys. Cikloidės χ = a ( i - s i n i ) , y = a (1-cosi) liestine nubrėžta
71
per tašką Mih

kurį atitinka parametro reikšmė / = y .

Parašykime tos

liestinės lygtį.
S p r e n d i m a s . Pirmiausia apskaičiuokime taško A / 0 ( x 0 ; y 0 ) koordinates: X 0 = a j^y-sin-^j =
, y0 =
fl^l-cosyj
= a. Liestinės
krypties koeficientas lygus y'x reikšmei taške M 0 . Randame tą reikšmę:
,

· ,

yt _
x;r

flSin

asmt

« (v 1 - c o s i ) '
'

Todėl liestinės lygtis yra tokia:
у-й =X-Al

' ππ
2

I
Ух

\М»

.

π
2

—

f,
πΛ
α 1 - cos —

2. Funkcijos diferencialas
2.1. Funkcijos diferencijuojamumas ir diferencialas
1 apibrėžimas. Funkcija f vadinama diferencijuojama
pokytį

Ay = f(x0+Ax)

taške X0 , kai jos

- f (X(j) galima išreikšti suma dviejų dėmenų,

kurių

pirmasis yra tiesinis Ax atžvilgiu, o antrasis - aukštesnės eilės negu Ax nykstamoji funkcija, t.y.
Ay = A Ax + o ( Δ χ ) ;
čia A = const,

ο(Δχ)
lim — — - = 0.
Δ*->0 Ax

Teorema. Funkcija y =f(x) yra diferencijuojama taške X0 tada ir tik tada,
kai taške X0 egzistuoja išvestinė /'(x0)

=A.

Į r o d y m a s . Būtinumas. Kai funkcija/(x) yra diferencijuojama taške
x0, tai pokytį Ay galima išreikšti lygybe
Ay = A Ax + o (Δχ) ,
iš kurios išplaukia, kad
A y

Ax

^A ι

Ax

Tuomet
/'(X0)-

Taigi

lim

^

=

lim

Ax->0 Ax

[

А

ΔΛ—>0 v

+

° - Щ =

Ax )

+

l i m

Δ.τ-»0 AX

= A

.

f'(xo)=A.

Pakankamumas. Tarkime, kad A = f'(xn).
V
Ay
šios lygybės g a u n a m e : —— =A
Δχ
Ay = (A + α ) Δχ,
=

А

arba

Tuometi =

lim
. Iš
Ax->0AX

+ α ; čia α —> O, kai Ax —> 0. V a d i n a s i ,

Ay = AAx

+ α Δ χ . Kadangi

lim α = 0, tai α Ax = o (Δχ). Taigi Ay = A Ax + o ( Δ χ ) .

CL Ax
lim
=
Δ*—>0 Ax

•

Δϊ—»0

Iš įrodytos teoremos išplaukia, kad teiginiai "funkcija turi išvestinę" ir
"funkcija yra diferencijuojama" yra ekvivalentūs.
Dydis A Ax yra pagrindinė pokyčio Ay dalis.
2 apibrėžimas. Reiškinys f '(χ 0 ) Δχ vadinamas funkcijos f (x) diferencialu taške X0 ir žymimas df(xįį)

arba dy.

Taigi

i

dy = f'(χ)

Pasinaudoję šia
kai y = x , gauname:

A8

formule,

dx = x' • Ax = 1 • Δχ = Δ χ .
Tuomet

W—

dy =

D.V=W

У

Αχ.

f'(x)dx.

^ a

Išsiaiškinkime diferencialo

X0

0

g e o m e t r i n ę p r a s m ę . Iš 69

x0+Ax

χ

paveikslo aišku, kad
BC
AB

69 pav.

= tga = / ' ( x 0 ) ,

todėl
BC= f'(X0)

AB=

f'(x0)Ax

.

Taigi df(x()) = ВС. Prieiname tokią išvadą: funkcijos diferencialas lygus liestinės,
nubrėžtos per taškų x(), ordinatės pokyčiui, atitinkančiam argumento pokytį Ax.
Suformuluosime diferencialo savybes, tiesiogiai
diferencijavimo taisyklių bei diferencialo apibrėžimo:

išplaukiančias

iš

d(au + βν) = a du + β ί/ν, α, β-const,
d(uv) = udv + vdu ,
u '\ vdu - udv

Panaudodami diferencialą, galime apytiksliai apskaičiuoti funkcijos
reikšmes. Kadangi
Ay = dy + o (Δχ),
tai Ay ^dy . Vadinasi,
/(χ0+Δχ)-/(χ0)« /'(x0) Δχ,
/(xo+Δχ) ~f(xo) + / ' ( * θ ) Δ χ .
Pavyzdys. Apskaičiuokime ^26,8 .
S p r e n d i m a s . Pažymėkime:/(x) = Гх , Xo — 21, f (х0) = 3, Δχ =-0,2.
_2
Tuomet / ' ( * ) = V
= 2,99.

•

3

, /'(x0) = -

_

=

±

ir Ц Ш

+ ^-(-0,2) =

2.2. Diferencialo formos invariantiškumo savybė
Raskime sudėtinės funkcijos y = /(x), x = φ (t) diferencialą.
Įrašę j y=f(x)

vietoj argumento χ j o išraišką χ = φ(ί), gausime

funkciją y = / ( φ (i)) = F (t), priklausančią nuo t . Todėl
dy = y', dt.
Kadangi y't = y'x • x't, tai dy = y'x • x't dt = y'xdx , nes pagal diferencialo
apibrėžimą dx = x't dt.
Vadinasi, diferencialo išraiška visada apibrėžiama formule
dy =

f(x)dx,

nesvarbu, kokia yra funkcija f(x)'· sudėtinė ar nesudėtinė. Ši savybė ir
vadinama diferencialo formos invariantiškumo savybe. Iš paskutiniosios
formulės išplaukia, kad

= fdy
Taigi trupmena — yra ne tik išvestinės simbolis, bet ir dviejų diferencialų
dx
santykis.

3. Aukštesniųjų eilių išvestinės ir diferencialai
3.1. Aukštesniųjų eilių išvestinės
Tarkime, k a d / ( x ) - diferencijuojama kiekviename taške χ e X
cija. Jos išvestinė f'(x)

funk-

yra nauja kintamojo χ funkcija g(x): f'(x) = g{x)·

Jei funkcija g(jc) diferencijuojama, tai galima kalbėti apie jos išvestinę
t
§'(•*) ={f'{x))
f"[x)'

У'хх

> kuri vadinama funkcijos f(x) antrąja išvestine ir žymima
af

ba

— r - . Analogiškai, kai
dx

f"(x)

irgi diferencijuojama

funkcija, tai apibrėžiame trečiosios eilės išvestinę / " ' ( * ) = ( / " ( ^ ) ) > kurią
d\
žymime — γ . Apskritai, kai taške χ egzistuoja (n-l)-osios eilės išvestinė
dx
/ ( " _ 1 ) (x), tai «-tosios eilės išvestinę apibrėžiame taip:

/<»>(*)- ( / ( » - O (χ))

;

dar rašome:
y(»)Jy
7

M )

V

V,arba
J

^
= ^
Иг" Ch

Funkcija vadinama n kartų diferencijuojama taške J t e I , jei šiame taške
egzistuoja visų eilių tos funkcijos išvestinės imtinai iki n-tosios eilės.
Pavyzdys. Raskime funkcijos /(x) = sinx «-tosios eilės išvestinę.
S p r e n d i m a s . Nuosekliai diferencijuojame:
+ xj ,

/'(x) = (sinx) = cos χ = sin

/ " ( χ ) = (cosχ) = - s i n x = sin^y-2 + xJ ,
/'"(x) = (-sinx)

= -cosx = sin^y-3 + x

Darome išvadą, kad
/ W ( X )

:

sinl ~ n + x

Norėdami įrodyti, kad ši formulė tikrai teisinga, galėtume pasinaudoti
matematinės indukcijos metodu.

3.2. Neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės
Kaip ieškomos neišreikštinių funkcijų aukštesniųjų eilių išvestinės,
parodysime spręsdami pavyzdį.
Pavyzdys. Raskime funkcijos, apibrėžtos lygybe
arctg ^ = | l n ( x 2 + y 2 ) ,
antrąją išvestinę.
S p r e n d i m a s . Diferencijuojame abi lygybės puses, nepamiršdami,
kad y yra kintamojo χ funkcija:
1
y

y

1+ K

2

y'χ-y _ 1
X

2

z

2

X

2

z

1
+ y

2 '(2x + 2yy')
z

Išsprendę šią lygtį y' atžvilgiu, gauname:
У

Х +

,
=

У
·

x-y

Vėl diferencijuojame abi lygybės puses χ atžvilgiu:
..„ _ (l + / ) ( x - y ) - ( l - > " ) ( x + ,v) _ 2(xy'-y)
(*-y)2

'

(*-y?

Į gautą lygybę įrašę y' išraišką ir sutvarkę, turime:
X+y
2 χ·'
y
Х-У - )

_2(x2+y2)

(χ-у)2

[х-УУ

3.3. Funkcijų, apibrėžtų parametrinėmis lygtimis,
aukštesniųjų eilių išvestinės
Funkcijosy, nusakytos parametrinėmis lygtimis
ίχ = φ(ή,
j ν = Ψ (ί),
pirmoji išvestinė randama pagal formulę
yi=

4 = 4 OJC t

(O

Sudarykime naują funkciją
χ = φ(ί),
y i = η(0·
Išdiferencijavę ją kintamojo χ atžvilgiu, gausime jau antrąją išvestinę,
kuri, remiantis (1) formule, apskaičiuojama taip:

Л

-

Щ

-

X1

.

P

)

Analogiškai galėtume rasti ir aukštesnių eilių išvestines.
Pavyzdys. Raskime funkcijos χ = a cos3?, y = a sin 3 i antrąją išvestinę
У»·
S p r e n d i m a s . Pasinaudokime (1) formule:

За sin 2 t cost
2 !
•
За cos t (-sin t)

Ух =

=

"tSi ·

Dabar taikykime (2) formulę:

!_
yix =

(-tSi) '

cos 2 1

_

3acos 2 i ( - s i n i )

3acos 2 i ( - s i n i )

3.4. Niutono
Nagrinėsime funkciją

3acos4isini

binomas

P n (x) = (x + а ) " , kuri yra n - tojo laipsnio

daugianaris
Pn(x)

= (a + x)n

= A0

+ A2X2

+ A1X

+ — l · ANXN

čia A0, Ah ... ,An - koeficientai.
Įrašę į ją reikšmę χ = O, gauname A0=a".
diferencijuojame:
P;(x) = n(a + x)n~l =Α1+2Α2χ

;

(3)

Abi (3) lygybės puses

+ ··· + ηΑηχη~1

.

(4)

Kai χ = O, gauname A\=na"~\ Išdiferencijavę abi (4) lygybės puses,
turime:
Р Д х ) = n(n - 1)(а + x ) " ~ 2 = IA2

+ n(n-l)Anxn~2

+ 2 ·3A3X + 3 ·4 A 4 X 2 + ··· +

.
2

K a i x = 0, tai IA2 = n(n-\)a

(5)
ir ^l 2

=

n(n — l)
—я

n_2

• Išdiferencijuojame

abi (5) lygybės puses ir įrašome į ją χ reikšmę, lygią nuliui:
2 · 3A3 = n(n - 1)(ai - 2)a"~ 3 ; iš čia A3 =

an~3.

~

Pratęsę procesą, gautume:
n(n-l)...(n-m

+

l)fl>l_m>

w

=

0)1>2)

n

m!
Įrašę šias koeficientų išraiškas į (3) formulę, gauname vadinamąją
Niutono binomo formulę, būtent,
/

\n

а+X

'

=a

n

n-1 1

+na n

A I ( W - Ij )

X + -^

и ( и - 1 ) - ( и - / п + 1) я-w

2!
w

O

n„

_ z2

...

2

x z + ••· +
„_i

m!
Izaokas Niutonas (I. Newton, 1643 - 1727) - anglų fizikas ir matematikas.

„ .v, . . n(n -1) ...(n
-m +1)
„
.. ^ m .
Reiškinį —
-— 1
- pažymėję Cn ir sutarę, kad
m\
pertvarkome Niutono binomo formulę:
(a + x)n

= Cnan

+ C1NUN-1X

(a + x)n =
Koeficientai Cm

+ ••• + Cna"-mxm

+ C1NUN-1X1

JCman~mxm
m=O

vadinami binominiais

+•••

n

Cn = 1 ,

+ CNNXN

,

.

koeficientais; jie pasižymi įdomia

savybe:
JjC
m=O

m

= 2".

3.5. Leibnico formulė
Išveskime sandaugos uv n-tosios eilės išvestinės formulę, kai u ir v
turi išvestines iki «-tosios eilės:
(UV) =u'v + uv',
n

(.UV) =(u'v)

t

t

+(kv')

= u"v + u'v' + uv" + u'v' = u"v + 2u'v' + uv" .

Išdiferencijuojame dar kartą:
(uv)'" = u"'v + 3u"v' + 3u'v" + uv'" .
Supratę, kad koeficientai 1, 3, 3 ir 1 yra binominiai koeficientai, ir
apibendrinę, galime parašyti:
n
(m)
w
1

H

=

ΣΟ "-

m=O

Norėdami įrodyti, kad ši formulė tikrai teisinga, galėtume panaudoti
matematinės indukcijos metodą.

3.6. Aukštesniųjų eilių diferencialai
Sakykime, kad / - diferencijuojama funkcija ir dy = f'(x)dx

- jos

2

diferencialas. Antrosios eilės diferencialu d y vadinamas pirmosios eilės
diferencialo diferencialas, t.y. dy = d(dy). Apskritai d"y =

dįdn~1y).

Kai χ - nepriklausomas kintamasis, tai dx = Ax = const, todėl
ify = d(dy) = (dy) dx = (f'(x) dx) dx = f"(x)

dxdx = f"(x)(dx)2

.

Pažymėję (dx)2 = dx2, gauname:
d2y = f"(x) dx2 .
Analogiškai įsitikintume, jog
d3y = f'"(χ) dx3 ,

dny = f^n\x)dxn

.

Taigi gauname formulę

dny
Vadinasi, šiuo atveju reiškinys — y r a ne tik n - tosios eilės išvestinės simbolis, bet ir trupmena, lygi tam tikrų dydžių santykiui.
Dabar sakykime, kad χ - priklausomas kintamasis: χ = φ (t). Tuomet
funkcija/(x)
bus sudėtinė. Raskimejos antrosios eilės diferencialą:
d2y = d(dy) = d(f'(x) dx) = d(f'(x)) dx + /'(*) d(dx) =
= f "(x)dx2

+f'(x)d2x.

Kaip matome, ši formulė nesutampa su formule d2y = f"(x)dx2

, todėl

antrosios eilės diferencialas, kartu ir aukštesniųjų eilių diferencialai, neturi
formos invariantiškumo savybės. Taigi šiuo atveju reiškinį

dny
dxn

galima

traktuoti tik kaip išvestinės simbolį, nesuteikiant jam santykio prasmės.

4. Vidurinių reikšmių teoremos
Įrodysime kelias teoremas, kuriomis pagrįstas įvairus išvestinių taikymas.

4.1. Ferma* teorema
Sakykime, kad funkcija f (x) yra apibrėžta intervale (a ; b), o jo vidiniame
taške c įgyja didžiausią (mažiausią) reikšmę. Jei tame taške egzistuoja baigtinė
išvestinė f '(c), tai būtinai f'(c) = 0.

Pjeras Ferma (P. de Fermat, 1601 - 1665) - prancūzų teisininkas ir matematikas.

Į r o d y m a s . Sakykime, / ( c )
- didžiausia reikšmė, t.y. su
visomis intervalo ( a ; b)
χ
reikšmėmis

У

/ ( x ) < / ( c ) « / ( x ) - / ( c ) < 0.
Pagal išvestinės apibrėžimą

0

_

α

f '(c) = lim •
x—>c

^

X-C

Ši riba nepriklauso nuo to, ar χ
artėja prie c iš kairės, ar iš dešinės, nes išvestinė taške χ = c
egzistuoja.

70 pav.

Kai χ > c, tai χ — c > 0, todėl

f(x)
- f (c)
w
y
X-C

lim M z / l f l
x->c+0

K a i x < c, tai A x ) ~ f { c )

< 0 ir / ' ( c ) <0.

X-C

> q įr

X-C
Gavome: / ' ( c ) < 0 ir f'(c)
f'(c) = 0. A

' < 0 . Tuomet

lim

X^c-0

ЛХ)~ЛС)

> Q^ t o d ė ]

л >

0

X-C

> 0. Iš šių dviejų nelygybių išplaukia, kad

Geometrinė lygybės prasmė tokia: c - vidinis intervalo (a; b) taškas,
per kurį išvesta kreivės y = f (x) liestinė yra lygiagreti ašiai Ox. Esminis šios
teoremos reikalavimas, kad taškas c būtų intervalo (a ; b) vidinis taškas, nes
reikėjo ieškoti vienpusių ribų jame.
Jeigu funkcija didžiausią (mažiausią) reikšmę įgytų atkarpos ( a ; b)
gale (70 pav.), tai liestinė galėtų ir nebūti lygiagreti ašiai Ox, todėl ir
išvestinė tame taške galėtų nebūti lygi nuliui.

4.2. Rolio* teorema
Sakykime, kad funkcija f(x)

tolydi atkarpoje [a; b],

diferencijuojama

bent intervale (a; b), be to, f (a) = f (b). Tada tarp a ir b yra bent vienas
taškas c (a <c <b),

kuriame f'(c)

= 0.

Į r o d y m a s . Iš ankstesnio kurso žinome, kad tolydi atkarpoje funkcija
įgyja tiek mažiausią reikšmę m, tiek ir didžiausią M.
Jei M=m,

t a i / ( x ) =M = m = const visame intervale ir /'(x) = 0 su

Vx s(a-,b).
Mišelis Rolis (M.Rolle, 1652 - 1719) - prancūzų matematikas.

Yi

K

s—N4

a

0

C1

71

Jei

МФГП,

b

C2

r .

χ

0

P av -

1

χ

72 pav.

tai abi reikšmės negali būti įgyjamos atkarpos galuose, nes

f (a) = f (b). Vadinasi, didžiausia arba mažiausia reikšmė įgyjama kuriame
nors vidiniame taške c. Tada pagal Ferma teoremą / ' ( c ) = 0.

•

Geometrinė šios teoremos prasmė tokia: jei funkcijos reikšmės atkarpos galuose lygios, tai egzistuoja bent vienas vidinis atkarpos taškas,
kuriame liestine lygiagreti ašiai Ox (71 pav.).
Visi Rolio teoremos reikalavimai yra esminiai. Pateiksime pavyzdžių.
1 pavyzdys. Nagrinėkime funkciją f(x) = |x[,

χ e[-l; l].

Nors / ( - 1 ) = / ( 1 ) = 1, tačiau nė viename atkarpos [-1; 1] taške
f'(x)*

O, nes netenkinamas diferencijuojamumo intervale (-1; 1) reika-

lavimas (jau anksčiau išsiaiškinome, kad taške x = 0 funkcija
nediferencijuojama).
2

pavyzdys.

|x| yra

•

Funkcija

f(x) = x-{x\

(72 pav.)

atkarpoje

[0; 1]

apibūdinama sąryšiu
, j i ,
/l

kai O < χ < 1,

J

* - { 0 , kai χ = I.

Nors ši funkcija diferencijuojama intervale (0; 1) ir / ( 0 ) = / ( 1 ) = O, tačiau
/ ' ( * ) * O visuose intervalo (0; 1) taškuose. Taip yra todėl, kad funkcija
trūki taške* = 1.

•

4.3. Koši teorema
Sakykime, kad funkcijos f(x)
diferencijuojamos

ir g(x) yra tolydžios atkarpoje

[a\ b],

bent intervale ( a ; b), be to, g'(x) * O intervale (a;

Tada tarp a ir b yra taškas c, kuriame
f (b)-f

(a)

g(b)-g(a)

f'(c)
g'(c)"

b).

Ši formulė vadinama Koši formule,
baigtinių pokyčių, teorema.
Įrodymas.
g(b) = g(a),

Skirtumas

g(b)-g(a)

o pati teorema - Koši,

arba

^ O, nes priešingu atveju

būtų

tuomet pagal Rolio teoremą g'(x)

kuriame nors intervalo

taške būtų lygi nuliui, o tai prieštarautų teoremos sąlygai.
Sudarome pagalbinę funkciją
F(x) =

f(x)-f(a)-^M(g(x)-g(a)).

Ji tenkina visas Rolio teoremos sąlygas:
1) F (x) tolydi su Vx e [a; b], nes f(x) ir g (x) tolydžios;
2) F'(x)

egzistuoja su VJC e ( α ; b ) :

3) F(a) = O, F(f>) = /(i>) - / ( „ ) -

M

(g(i) - s H ) = O .

Todėl pagal Rolio teoremą tarp a ir b yra taškas c, kuriame F'(c) = O .
Įrašę į (6) formulę vietoj χ dydį c ir prilyginę išvestinę nuliui, gauname:

Iš šios lygybės ir išplaukia Koši formulė.

•

4.4. Lagranžo teorema
Lagranžo teorema yra Koši teoremos atskiras atvejis, kai g (χ) = x.
T u o m e t g ( a ) = a i r g ( b ) = b ir
Teorema. Jei funkcija

y = f(x)

= 1 ^ O su Vx e ( a ; b).
yra tolydi atkarpoje [a; b] ir diferen-

cijuojama intervale (a ; b), tai tarp a ir b yra taškas c, kuriame f (b) - f (a) =
=

f'(c)-(b-a).
Į r o d y m a s . K a i g ( x ) = x , iš Koši teoremos išplaukia, kad yra taškas c

(a < c < b), kuriame

=

fi

T-a Ψ~
a)

'

arba

W - M =

Пс)-(Ь-а).

Si formulė vadinama Lagranžo formule.
Išnagrinėkime Lagranžo teoremos geometrinę prasmę (73 pav.).

A

Kadangi b-a
f(b)-f(a)=BC,

=AC,

Vk
B

tai
m

Sąlyga tga = / ' ( c )

reiškia, kad

f(a)

c - toks taškas, kuriame kreivės
liestinė lygiagreti stygai AB.
Kadangi c yra tarp a ir b, tai
a <c <b i r O < c-a < b-a, t o d ė l
c-a = Θ (b-a); čia O < Θ < 1. Taigi
с =a + Θ (b-a). Tuomet Lagranžo
formulę galima parašyti taip:
f(b)-f{a)=f\a

/
C
O

C

73 p a v .

Q(b-a)){b-a).

+

Nors Lagranžo formulėje yra nežinomas taškas c arba nežinomas
dydis Θ , tačiau tai nekliudo šią formulę taikyti, ypač kai reikia pertvarkyti
dviejų funkcijos reikšmių skirtumą. Tuo įsitikinsime vėliau ne vieną kartą.

4.5. Lopitalio* teorema
Tarkime, kad f ir g - tolydžios ir diferencijuojamos
galbūt išskyrus patį tašką a, funkcijos,
lim f(x)

=

taško a aplinkoje,

lim g(x) = 0,

be to, g'{x) Φ O minėtoje aplinkoje. Tuomet, jeigu egzistuoja

egzistuoja ir riba lim

, tai

ir kartu teisinga lygybė

Į r o d y m a s . Funkcijos f(x) irg(x) gali būti neapibrėžtos taške a, todėl
tarsime, k a d / ( a ) = O, g (a)= 0. Tuomet funkcijos f(x) ir g (x) bus tolydžios
taške a ir tenkins Koši teoremos sąlygas. Galima parašyti Koši formulę:

/ W = M z M = ZM
g(x)

g(x)-g(a)

g'(c) '

Gijomas Fransua Antuanas de Lopitalis (G. F. A. de L'Hospital, 1661 - 1704) prancūzų matematikas.

kurioje χ < c <a

arba a <c <x.

*->a g(x)

Kai χ ->a, tai c ->a . Vadinasi,

c->a g'(c)

x-+a g'(x)

4.6. Lopitalio taisyklė
Ši taisyklė taikoma neapibrėžtumams aiškinti. Ji remiasi įrodytąja
Lopitalio teorema, iš kurios formuluotės aišku, kad Lopitalio taisyklė
taikytina neapibrėžtumui -jj-.
1 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą
lim
>o

ex -1
χ

.

Sprendimas.
H m M l = W
- limil-1.
x—>0 X
VO J
л;->0 1

A

Jeigu, pritaikius vieną kartą Lopitalio taisyklę, neapibrėžtumas -Ц
neišnyksta, taisyklė taikoma dar kartą.
,. ex-e~x-2x
2 pavyzdys. Iim
x—>0 x - s i n x

= H

m

x->0

M M

J M

sinx

vO/

l

i

=

m

*->0

Г ОЛ
— =
VOy

M M =

,. е * + < Г * - 2
fO
lim
= —
>0 l - c o s x
VO
2.

A

cosx

Teoremą įrodėme taikydami neapibrėžtumui -Ц, kai χ ->a . Tačiau ji
OO
teisinga ir tada, kai χ ^>oo. Be to, ją galima taikyti ir neapibrėžtumui — ,
OO
kai χ ->a arba χ

oo. Šių teiginių įrodymo čia nepateikiame.

3 pavyzdys. Apskaičiuokime

xn
lim
, kai a > O, n > O .
X—•+со Qax

OO
S p r e n d i m a s . Kaix->+oo, turime neapibrėžtumą — . Pritaikę Lopioo

talio taisyklę n kartų, gauname:
г
lim
X->+oo

x

" =
Cax

νlim "Xn'1
ax
X->+oo (Ig

=

vlim —
" (—
" -j 11 K '
x->+oo
a Cax

2

= ... =

lim
x->+co

n\ =0.
.
CJnCax

д

•

Lopitalio taisyklę galima taikyti ir tada, kai turime neapibrėžtumus
O-co, oo -oo, 0°, oo0, I е0 . Tačiau pirmiausia juos reikia pertvarkyti j neapibrėžtumus — arba — . Neapibrėžtumus 0°, oo°, ir V
O

galima pakeisti

oo

neapibrėžtumu O со, išlogaritmavus duotąjį reiškinį. Pavyzdžiui, neapibrėžtumą O -oo, kuris atsiranda apskaičiuojant sandaugos
ribą, k a i / - ^ 0 ,
O
oo
f
g
g -+со, taip pakeičiame neapibrėžtumu — arba — : fg= ~, arba
.
O
oo
1
1
g

7

Reiškinį f-g, iš kurio gauname neapibrėžtumą с о ^ з о , kai f—><x>, ir g —><x>,
pertvarkome šitaip:
1_ 1
f~8

=

ι

ι _ 8

I
f

I
8

f

f
I I
8

ir gauname neapibrėžtumą —. Išspręsime dar keletą pavyzdžių.
.

2

χ—>a

2a

JC - A

sin-

• X-Cl
ш
,.
ч
4 pavyzdys. Iim sin
t g — = ( 0 • ooj = Iim

1

x—>a

2
— =

tg ^
2a
.

Sin

= Iim
x
^a

JC-a

/r .\

COS

— — = i—1 = Iim
x
cte—
^
^a
2a

1
5 pavyzdys. ,·
Iim Γ
*-*ιν1ηχ

JC-a

1

1

—

-2_2_
. π
2
sin — 2a
2a

=

__2_ = _ « .
π
—

A

2a

1

"l = (/ 0 0 - g c \
* - l - гl n *
J = ,·
bm -;
x-\)
x->i ( J C - I j l n J C

= (O
—
vO

l - I
:

,-

Iim

JC

,·

— - = Iim

injc + ^ 1

X^ixlnx

+ x - l

=

Г 0Л

,.

1

— = Iim

VoJ

X-+1 l n x + x

X

1

= —.

l

+ 1

JC

ι
6 pavyzdys. Apskaičiuokime ribą Iim (— arccosjc] 1 .
x->ov π
J

2

π
1
— ir
2
χ

S p r e n d i m a s . Kaix->0, tai arccosx

neapibrėžtumą I х . Pažymėkime:

>00, todėl čia turime

limf—arccosx) A = A . Abi šios lygybės
x-»0V π
J

puses išlogaritmuojame:
1
InA = In I i m f — a r c c o s x ) x = Iim Ini—arccosx] л = Iim — Inf—arccosx] =
*->ον π
J
νπ
J
Х-УОХ ν π
J
ln(^-arccosxj
= (со · 0) = Iim
χ->0

=
χ

1

1

arccosx
= Iim
^ 0

I n - + Inarccos л:
— = Iim _ π
VO J
χ->ο
χ

Γ-, ~2

V1

χ

ι

τ
= --

= - Iim

1

j m 0

2
Taigi InA = — , todėl A = e
π

V I - X 2 arccosx

71

2
π

.

•

5. Teiloro formulė
Išvesime labai svarbią formulę, kuri funkciją išreiškia tam
daugianariu.

tikru

5.1. Daugianario Teiloro formulė
Sakykime, kad Pn(x)

yra n -tojo laipsnio daugianaris

Ρ η (χ) = α 0 + α ι ( χ - χ 0 ) + · · · + α η ( χ - χ 0 ) η .
Išdiferencijąvę jį n kartų, gauname:
Pn(x) = ai + 2a2(x-xo)

+

3a?,(x-Xo)2

Pn(x) = 2a2 + 2-3a3(x-X0)+---+n(n

+'" + nan{x

~ xo)"

- 1 )a„(x-x0)"

P™(x) = 2 • 3a 3 + · · ·+ n(n - l)(/i - 2) an(x - x 0 ) " ~ 3 ,

pįn\x) = n(n-l)(n-2)...3-2

Ian

.

Brukąs Teiloras (B.Taylor, 1685 - 1731) - anglų matematikas.

2

^
,

Įrašykime j daugianario ir jo išvestinių išraiškas vietoj χ dydįx 0 :
PN(X0) = a o ,
···.

Pnn\*0) =

Pn(x0) = ax , Pn(x0) = Ha2

, P"(x0)

= 3!a3

,...

nlan.

Iš šių lygybių išplaukia, kad
«о=

Pn(x0),

"i=Pn(xo)>

a2 =

,

Лк)Ы

РпЫ

Įrašę šias koeficientų išraiškas j pradinę
gauname vadinamąją daugianario Teiloro formulę:
Pn(x) = PN(X0)+

daugianario

išraišką,

X0)2+•••+

P^(x0)(x-x0)+

)-.

(7)

n\

5.2. Funkcijos reiškimas Teiloro formule
Nagrinėkime bet kurią n +1 kartą diferencijuojamą tam tikrame
intervale X funkciją/(x), kuri apskritai nėra daugianaris. Pagal analogiją su
(7) formule sudarykime daugianarj
Pn(x) = f(x0)4U)(x-x

0

)

+

^ ( χ - χ

0

)

2

+

· · ·

+

^ ^ ( χ - χ

0

)

η

· ,

čia χ ir x 0 e X. Nors šio daugianario ir funkcijos/(x) reikšmės taške x(1 bei jų
atitinkamų išvestinių iki «-tos eilės reikšmės taške x() sutampa, tačiau
bendru atveju, kai pati funkcija / ( x ) nėra daugianaris, negalima tvirtinti,
kad/(x)=F„(x). Sakykime, f(x) nuo P„(x) skiriasi dydžiu rn (x):
r„ (χ)= f (x)-Pn(x)

,

t.y.
rn (x) = f(x) - f (X0) - f'(x0)(x

X - X0)2 - . . . -

-X0)-

-I^M(X-X0)".
n\

Dydis rn (x) vadinamas liekana, arba liekamuoju

'

·

(8)

nariu.

Apibrėžtumo dėlei tarkime, kad χ > x0. Analogiškai, kaip ir (8) formulėje, dydį Xo pakeitę kintamuoju z, sudarykime pagalbinę funkciją

- ζ)2 - · · · -

φ(ζ) = f (χ) - f (ζ) - f'(z)(x - ζ) -

^

(

χ

- ζ)" , (9)

apibrėžtą atkarpoje [лг () ; jc].
Kadangi funkcija f (χ) yra n kartų diferencijuojama, tai funkcijos
/, /', /",...,

tolydžios intervaleX, todėl funkcija φ(ζ) irgi tolydi tame

intervale. Be to, ji ir diferencijuojama, o jos išvestinė lygi
φ'(ζ) = -f (z) - f"(z)(x

-Z)2+

- z) + f'(z)-£№-(x

f{n+l\z)(

f{n

чи-1

+

f"(z)(x

% ) ,

- z) - . . . -

λη

n m

Pasirinkime dar vieną tolydžią atkarpoje [jr0; x] ir diferencijuojamą
intervale

funkciją

ψ(ζ),

kurios

ψ'(ζ)*0.

Funkcijos

ψ(ζ)

išraiškos kol kas nesukonkretiname. Funkcijos φ(ζ) ir ψ(ζ) tenkina Koši
teoremos sąlygas, todėl joms atkarpoje [x a ; χ ] pritaikome Koši formulę:
φ ( * ) - φ ( * θ ) _ Ф'(с) •
ψ(χ)-ψ(Λ:ο)
Ψ'(c)

čia xt)<c

<x .

Iš (9) ir (10) formulių turime:
/·(/! +1)/
cp(x) = 0 ,

ср(дс0) = /·„(*),

ф'(с) =

\

-у^(дс-с)".

Taigi
0

_

f(n+%)
и!

ψ(*)-ψ(*ο)

-(χ - с ) "

Ψ'Μ

is cia

=

Parinkę

skirtingas

лт! ψ-įc)
ψ(ζ)

liekamuosius narius. Kai

W

išraiškas,

ψ'(ζ) = -(n + l ) ( j t - z ) " ,

M

gauname
+

ψ(ζ) = ( x - z ) " '

tenkina keliamus jai reikalavimus), tai

^

•
nevienodos

formos

(tokia funkcija tinka, nes ji
\|/(Д:)

= 0,

ψ'(с) = -(n + l ) ( x - c ) " .

Ψ(Λ:0) = (Χ - * О ) "

+ 1

>

Tuomet
&+%)(χ-ή",
r n { x )

-~nUn

,

l)(X-c)"\'

+

{X

r

~

η

_

/"+%),

n+1

X0)

Liekamasis narys, nusakomas šia lygybe, vadinamas Lagranžo formos
liekamuoju nariu. Jo išraiška labai panaši į Teiloro formulės (n + l)-ojo
— — - 0 ^ (x - χ ο ) " + 1 ; yra tik vienintelis
(n + 1)!

nario išraišką

skirtumas -

liekanoje išvestinės reikšmė apskaičiuojama ne taške x a , bet tarpiniame
taške се(х0\ x ) . Atsižvelgdami į tai, kad f(x)=Pn (x)+rn (x), parašome
galutinę Teiloro formulės išraišką:
f(x) = f (xo) +

+

Af(X0)

= f'(x

f(x)-f(x0)

0)

^

(

x

- xo)2 + - +

\n,ft+1\c)t
\n+\
+-į—.WT(X-XQ)
•
(n + 1)!

П!

Pažymėję x-x0 = Δ χ ,
formulės išraišką

-X0)+

Χ

Ax

ίΛΛ,

(U)

= Af(x0), gauname dar vieną Teiloro

+ I ^ A x

2

+..·+

AX"

+

f(n+1)(
C)

(n + 1)!

Ax"+1

Jeigu parinktume ψ(ζ) = x-z, tai gautume Koši formos liekamąjį

narį.

Tuomet ψ(χ) = 0 , ψ(^ο) - x - x o , ψ'(ζ) = - 1 , todėl

=~^(x~c)n(X-X0)

Φ )

•

Prisiminę, kad C galima pakeisti C = X0
gauname
X - C =

x-x 0 - Θ

(X-XQ)

=

+ Θ(χ-χ ( ) ),

(12)
0<Θ<1,

(1 - Θ ) (χ-χ 0 ).

Įrašę šią χ - c išraišką į (12) formulę, gauname galutinę Koši formos
liekamojo nario išraišką
i i =!
rn(x)

V

i

N

l

i

1

n v r(*-*o)
-(1-©)

5.3. Kai kurių elementariųjų funkcijų reiškimas
Makloreno* formule
Teiloro formulė, kurios x 0 = O, vadinama
Remiantis (11) formule, galima parašyti tokią
išraišką:
1!

Makloreno
Makloreno

2!

formule.
formulės

n\

{n+
+ f \)xn,

(13)

(и + 1)!

Rasime kai kurių elementariųjų funkcijų dėstinius, gaunamus pritaikius (13) formulę.
l./(x) =

Kadangi f{n\x)
e

čia r„(x) =

2.f(x)

= e*,

/ ( " } ( 0 ) = 1 su Vn eN , tai

.
X
X
X
( \
=l + x + — + — +··· + — + /Jx
2!
3!
n\
'

у

—r-x"+1,
(n +1)!

(14)

;

O < c <x.

= s i n x Įrodėme, kad
O,

mz
/ W ( x ) = s i n [ n ^ + x j . Tuomet/

(n)

(0) = sin

n = 2k,

(-1)*,

n = 2k +1,

k s Z. Todėl
χ3

SinX = X

3!

H

χ5

χ1

5!

7!

2k + l
\k χ
H v( — l ) ,
,
' (2k +1)!

H

Лк+3

čia \г2к+з{х)\ =

2к+з{х)

;

(!5)

Лк+г
jS in((2A:

(2 к + 3)

3. / ( χ ) = cosx.

+ г

+ 3 ) | + c}

Kadangi

(2& + 3)!

COSC

f^"\x) = c o s y + x j , tai

analogiškai

sinusui gauname:
Cosx = I

X

2

2!

1-

X

4

4!

X

6

6!

+ •··+(-1)
y
1

K

X2K

7—r- + /71-+2(*)
;
v
(2k)\
'

Лк+2
cia
ia 1¾+2 W l =

COS C
(2k + 2)\

Kolinas Maklorenas (C.Maclaurin, 1698 -1746) - škotų matematikas.

(16)

4.f (χ) = ln(l+jt). R a n d a m e išvestines:

{l + x)
Apskaičiuojame jų reikšmes taške χ = 0:
/ ( 0 ) = 0,

/ ' ( 0 ) = 1,

/ " ( 0 ) = - 1 , . . . , /(")(0) = ( - I r 1 ( M - I ) !

Vadinasi,
ln(l + x) = x - ^ - + y - ^ - + - + ( - l У ' ^ + ф )

;

(17)

n+1

cia

r
( l + c)" + 1 (n +1)

5. fix)

= (l+лг)01, kai α ей.

Kadangi f(n\x) = α ( α - 1 ) . . . ( α - n + 1) (ΐ + χ ) α ~ " , tai
/ ( 0 ) = 1, /'(0) = α , / " ( 0 ) = a ( a - l ) , . . . , / W ( 0 ) = α ( α - 1)... ( α - n + 1).
Tuomet
ι,
\a ,
α ( α -1) τ
α ( α - 1 ) . . . (α - η +1) η
( l + x) = l + c a + v ^ i 'χ2 + ···+ —
—^
'-x"+rnix);
2!
η!
cia r,.

(r)

α(α~ΐ)-(α-η)/Ί

/1ПЧ

(18)

ла-и-l „+ι

Iš šios formulės, kai а = n e N, gauname Niutono binomo formulę, nes
tuomet rn (x) = 0 .
Remdamiesi išvestomis (15) - (18) formulėmis, galime tam tikru tikslumu funkciją pakeisti daugianariu, kurio reikšmė pasirinktame taške
apskaičiuojama atliekant aritmetinius veiksmus. Tokie funkcijų dėstiniai
naudojami apskaičiuojant funkcijų reikšmes su E S M .

5.4. Funkcijų reikšmių apskaičiavimas
1 pavyzdys. 0,0001 tikslumu apskaičiuokime J e .
S p r e n d i m a s . Įrašę į (14) formulę vietoj χ skaičių j
n
4~e=e2

=

2

ii)

3

,gauname:

f Iх"
+

+

2

2!

3!

(19)

n\

ec
1
1
1
čia r„= - , 0 < c < —. Kadangi ec < e2 <2, tai rn <
+1
(n +1)!2" '
2"
'
( И + 1)!2 Я
Norėdami išsiaiškinti, kiek reikia imti (19) sumos dėmenų, kad galėtume
Je

apskaičiuoti duotuoju tikslumu, reikalaujame, kad liekamasis narys

būtų mažesnis už duotąjį tikslumą, t.y.
<0,0001 .
(n + 1) ! 2 "
Ši nelygybė jau teisinga, kai n = 5 , nes tuomet
—
6! 2 =

— < 0,0001 .
32-720

Taigi -Te « 1 + - + - M
2
2 -2!

+
2 ·3!

+ — —
2 -4!

+ M - «1,6487.
2 5 ·5!

•

2 pavyzdys. 10 ~4 tikslumu apskaičiuokime sin I 0 .
S p r e n d i m a s . Įrašykime į (15) formulę tokį keitinį:χ = — ( l
180
Gausime:
• ,o
Sinl =

π

3
,
π 2k+l
ι л\к
53
+•••+ V -1
—Γ—,
180 -3!
' 180
(2k +1)!

=

—rad).
180

π

180

180 2 * +3 (2k + 3)!

, nes lcoscl < 1.

COSC

180

(2k + 3)!

Pareikalaukime, kad būtų
2к+Ъ
180 2/с+3 (2к + 3)!

< 0,0001 .

Kadangi ši nelygybė jau teisinga, kai k = 0 , tai
sin I 0 « —

180

Ьг^+з ;

2k+3

2fc+3

cia Ы + з | :

0

я 0,0175.

6. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos
6.1. Skaliarinio argumento vektorinės funkcijos sąvoka
Sakykime, kad kiekvieną argumento t e [i 0 ; T] reikšmę atitinka spindulio vektoriaus r taško M(x; y; z) (74 pav.) koordinatės, apskaičiuotos
pagal formules
χ = x(t),
<y = y{t),

χ i
(20)

z = z(t).
Kintant parametro t reikšmei,
kis ir taško M padėtis. Taigi
spindulys vektorius r brėš erdvinę
kreivę, vadinamą
to
spindulio
vektoriaus hodografu
(graikiškai
hodos - „kelias").
(20) lygtys vadinamos parametrinėmis kreivės lygtimis, o
lygtis

i = r (i)=(χ (t); y (/); 2 (i))

0

У

^ ^ ^
>r
*

74

av
PaV

'

vadinama vektorine kreivės lygtimi. Funkcija r (i) vadinama skaliarinio argumento vektorine funkcija.
Išvesime sraigtinės kreivės lygtį. Šią kreivę gauname vyniodami statųjį
trikampį ABC aplink cilindrą (75 pav.). Pėdsakas, kurį cilindro šoniniame
paviršiuje palieka to trikampio įžambinė, ir yra sraigtinė kreivė.

Pažymėkime: AO = α , ZMAN'
= Θ , Z AON= t. Tuomet taško
M(x; y ; z )
koordinatės
bus
χ = a cos t,
y = a sin i,
U
z = MN= M'N' = NA- tg Θ = AN- tg Θ = at • tg Θ . Vadinasi, sraigtinės
kreivės parametrinės lygtys yra tokios:
X = ACOSi,

• y = asini,
z = atgO -t.

6.2. Vektorinės funkcijos riba, tolydumas ir išvestinė
Tarkime, kad

limx(i)=x0,
^O

t t

r0 = ( x 0 ^ 0 ' ½ )

vadinamas

Iim y(t) = y 0 ,
'^tO

funkcijos

Iim r(i) = r0 . Jeigu x0 =x(t0),y0
n o

=y(t0),

r(i)

Iim z(t) = z0.
^O

Vektorius

t t

riba,

kai

t->t0.

Taigi

Z 0 = z (i 0 ), tai funkcija r(i) vadi-

nama tolydžiąja taške t0. Tuomet
Iim f(i) = F(i 0 ).
Apibrėšime vektorinės funkcijos išvestinę. Sakykime, kad parametro
reikšmę t atitinka kreivės taškas M, o reikšmę t + At - taškas Mi (76 pav.).
—>
Tuomet M M 1 = r (i + Δί) - r(i) = Ar .
Apskaičiuokime Δ ? koordinates:
Δ γ

=

(x(i

+

At) - x(i);

y(t + At) - y(t);

z(t + At) - z(i)) =

(Δχ; Лу; A z ) .
. Ar
Sudarome santykį — =
At

f

Ax _ Ay Az^
— ; ——; —
. Jo ribą, kai Δί->0, ir vadiAt At At

dr
name vektorinės funkcijos išvestine. Žymime — . Jeigu funkcijos χ (i), y (i) ir
dt
z (t) turi išvestines, tai vektoriaus — =
Δί
U i
. dx
prie — ,
dt

dy
— ,
dt

:

At

;—
At)

dz , . ,
_ _ . .
— , kai Δ i -» O. Taigi
dt
dį__(<b.4L.dz\_

dt ~{dt'dt'dt)~X'

, τ + v'-l + z'-k
1+У

'

i + Zt

k

koordinatės artėja
J

Išsiaiškinsime geometrinę išvestinės prasAr
mę. Vektorius —
yra kolinearus vektoriui
At
Ar . Kai A / - » 0 , tai taškas M i kreive artėja
prie taško M , o styga MM1 ribiniu atveju užima liestinės, nubrėžtos per tašką M , padėtį.
Ar
Tokia Fpati bus ir ribinė vektoriaus
—
At
padėtis. Vadinasi, — bus nukreiptas išilgai
dt
76 pav.
kreivės liestinės, nubrėžtos per tašką M , be to,
parametro t didėjimo kryptimi. Kitaip sakant, jį galėsime laikyti kreivės
liestinės krypties vektoriumi s = (x't; y't; zį). Liestinės, nubrėžtos per tašką
M 0 (X 0 ; y o; z0), lygtys bus tokios:
* - * o _ У - У o _ Z - Z n^
x\
y[
z;
Plokštuma, nubrėžta per lietimosi tašką stamenai liestinei, vadinama
normaliąja

kreivės plokštuma. Kadangi liestinė statmena šiai plokštumai, tai

liestinės krypties vektorių

s

galima laikyti normaliosios

plokštumos

normaliuoju vektoriumi i i = (jc't; y't; z't ). Tuomet normaliosios plokštumos lygtis bus tokia:
jc;(jc-x 0 ) + y ; ( y - y 0 ) + z ; ( z - z 0 ) = o .
Teisingos šios vektorinių funkcijų diferencijavimo formulės:
. d
- ч Jr1
db
1)
Γι + Г?
)=
i- + - - ·
21
' dr 1
dt
dt
dr
2) į ( a, r ) , = α — j
dt
dt

4..)

d /_

„ ,

dri

α

eR:

_

_

dr2

•

Visos šios formulės įrodomos analogiškai, kaip ir skaitinių funkcijų
diferencijavimo formulės. Kaip pavyzdį įrodysime 4) formulę. Žinome, kad

i
F1Xr2=X1
X2

Pasiremkime determinanto
pateikiame be įrodymo:
X

Ч

1

x

2

Уг

z

Уъ

z

I

-

χ

2

*3

I

J I

ζ

У2

ζ

Уъ

ζ

k
Z1

y2

Z2

.

diferencijavimo

x

ί

2

j
yx

I

+

χ

2

χ

3

3

У\

z

У2

ζ

Уз

ζ

formule,

X1

I

+

2

χ

2

У\

z

У2

ζ

Уз

ζ

χ

3

kurią

3

čia

I

2
3

Vadinasi,
0

I r ( F 1 X i 2 ) = X1
χ

2

=

d r,
dt

0

0

У1

z

У2

ζ

I

2

i

+

XJ
χ

2

j

к

У1

z

У2

ζ

I

2

i

+

x

I

χ

2

j

к

У\

z

У2

z

I

2

- _
dr7
X r17 + 1Γι X dt
de

Pavyzdys. Įrodykime, kad e ± — , k a i

|e| =1.

S p r e n d i m a s . Kadangi |e| =1, tai её =1, todėl
- (yе ё ) = O .
dt
'
Antra vertus,
d
de _ _ de
„ de _
— ее =
e+e
= 2
e= U .
dt
dt
dt
dt
Lygybė ^ e

= O ir reiškia, kad vektoriai

e ir

yra tarpusavyje

statmeni.

7. Kai kurios kreivių teorijos žinios
7.1. Plokščiosios kreivės kreivis
Kreivės formą galima apibūdinti jos išlinkiu. Tarkime, duota kreivė,
kuri kiekviename taške turi liestinę. Pažymėkime kreivės tašką A ir
nubrėžkime jos liestinę AM (77 pav.). Sakykime, kad lietimosi taškas buvo
perkeltas į tašką B, tada liestinė AM užėmė padėtį BN. Kampą MCB
pažymėkime α .

1 apibrėžimas. Lanko

AB

vidutiniu

kreiviu /cvjd vadinamas dydis
Ial
^vid
AB
2 apibrėžimas. Kreivės kreiviu taške A
vadinama vidutinio kreivio riba, kai taškas
B artėja prie taško A :
kA = Iim
B^A

Iim
B->A

kvid

u

77 pav.

,

\AB

1 pavyzdys. Apskaičiuokime apskritimo (78 pav.), kurio spindulys r, kreivį
bet kuriame taške.
Sprendimas.

Kadangi AB = α ·r ,

tai
α
c

ir

vid

ar

kA = Iim ArvItJ = Iim — = — .
B^>A
B-*A r
r
Taigi

apskritimo

kreivis

78 pav.

kiekvie-

name jo taške vienodas ir lygus — .

•

r
Išveskime kreivėsy = f(x) kreivio formulę bet kuriame taške M(x; y)
(79 pav.). Parinkime dar vieną kreivės tašką M 1 , kurio abscise χ+Ax ir
nubrėžkime dvi liestines: vieną - per tašką M , kitą - per M 1 . Jų su ašimi
Ox sudaromus kampus pažymėkime φ ir φ + Δ φ . Tuomet Z MiNT = Δ φ .
u
Lanko M 0 M ilgį nuo tam tikro taško M0 pažymėkime s . Tuomet jo
U

U

pokytis Δ s, atsiradęs dėl χ pakitimo, bus Δ 5 = M 0 M 1 - M 0 M =

U
MM1.

Taigi
^•'vid

-—

M

|δ j

*=

I i m M
As—>0 A s

= dų
ds

Dydžiai φ ir i priklauso nuo χ , todėl lygtis φ = φ (χ) ir .s = ί (x)
galima laikyti parametrinėmis funkcijos φ lygtimis, priklausančiomis nuo
parametro χ , todėl
άφ
dy _~dx
ds

ds^ '
cbc

79 pav.

Rasime išvestines — ir — . Kadangi tg φ = y', tai φ = aretg y' ir
dx
dx
d(Į> _
1
•ydx
i + y'2
Iš 80 paveikslo matome, kad
MM1 = As*
As ^
Δϊ

\MMX\ = JAx2+Ay2

JAX2 +Ay

2

Δχ

I
V

|

,

f Ay

ΐΔχ,

ds
As
,
Ay
... .„
As
v
v.
— = lim — , o y - lim — , todėl is sąrysio —
dx
Δ*—>0 Ax
Δτ->0 Ax
Δχ

l +l —
V
V Ar

gauname: — = J l + у ' 2 . Tuomet
dx
dų> _ 1 +у'2

У
'
(ι+у2у

к =

\у"\
(I + / 2 ) '

7.2. Kreivio apskritimas
Dydis R = — vadinamas kreivės kreivio taške M spinduliu.

Per tašką

M (x; y) nubrėžiame kreivės / normalę MP (81 pav.) ir n u o taško M atstumu
R = — pažymime tašką M0, be to, toje pusėje nuo M, iš kurios žiūrint
k
kreivė atrodo esanti įgaubta. Taškas M0 vadinamas kreivės kreivio taške M
1
centru, o apskritimas, kurio centras taške M0 ir spindulys R=
kreivio
k
apskritimu. Rasime to apskritimo centro M0 koordinates α ir β.
Į normalės lygtį
Ka
įrašę vietoj X
turime:
P

Iš

ir

Y

dydžius

α ir β,

-y = -i-(a-x) .
y'

sąlygos

(21)

\MQM\=R,

panaudoję

atstumo tarp dviejų taškų M0 ir M formulę, gauname:
2

д/(а - χ ) + ( β - y )

2

= R .

о
81 pav.

(22)

Į (22) lygtį įrašome β - y išraišką, apibrėžiamą (21) lygtimi, ir pertvarkome
gautą lygtį:
(α -χ)2

ί~(α-χ)2

( а - χ)2

=R2,

у'2 R2

R
1
i+-V
j'2

,2
1+37

Iš čia
α-χ

=

R\ У'

α =χ±

λ/Ϊ+7

,2

•R.

71 + y

,2

Tuomet
P=y +

•R .

\3/2

(ι+У' 2 ) 3
Įrašę j pastarąsias formules vietoj R reiškinį - — j — f — , gauname:
\у"~

1+ y'2)
а = дс± y'{V — i
.
[y" I

_1+V'

β=^+

2

—

И'

Dabar turime nuspręsti, kurį ženklą pasirinkti. Iš 81 paveikslo aišku,
kad β > y , kai kreivė yra įgaubta, todėl pasirenkame apatinį ženklą.
Kadangi y" > O , tai \y"\ = y" . Vadinasi,

а =*

W

1
+/2)
Ч г - ^ ,
y"

P=y+

1 + y' 2

(23)

y"

Analogiškai įrodytume, kad šios formulės teisingos ir tada, kai kreivė
iškila.

7.3. Evoliutė ir evolventė
Kreivės kreivio centrų geometrinė vieta vadinama kreivės evoliute, o
pati kreivė evoliutės atžvilgiu - evolvente (arba involiute).
Pavyzdys. Išveskime elipsės χ = a cos t , y = b sin / evoliutės lygtį.
S p r e n d i m a s . Apskaičiuojame:
y't
b cost
b
Ух = — =
— = — ctgi,
χ',
-asini
a
b
„» - ( ½ ) ' -

Ух

1

a

sin 2 t
-a sint

a 2 sin 3 i '

Įrašę šias reikšmes į (23) formules ir atlikę veiksmus, gauname:
b
а = a cos t - -

i
O
\
b
ctgi i1 H—o-ctg2 i
V
a

2

Ι

1

1 +

3
cos t ,

2 • 5"i
sin" 1

b2
-C
a

2

—b
a

a

β = bsini +

a

2

t g _ i

b2 - a2

. 3
sin t .

2 · 3
sin t

Eliminavę iš šių lygybių parametrą t , gauname evoliutės lygtį

82 pav.
2

α

a2-b2

i

-I
a)

ab

Ši lygtis panaši
2

2

χ3

уЗ

83 pav.

į astroidės

lygtį

2
= c3

todėl ir elipsės evo-

liutė savo f o r m a p a n a š i į astroidę
(82 pav.). •
Iš evoliutės apibrėžimo aišku,
kad evoliutės liestine yra evolventės
84 pav.
normalė. Todėl kreivės evoliutę
galima gauti taip: per kiekvieną kreivės tašką brėžiame jos normalę ir
randame kreivę, liečiančią visas šias normales (83 pav.). Jei kiekviena
normale paleistume šviesos spindulį, tai šviesa koncentruotųsi evoliutėje.
Todėl optikoje evoliutė vadinama kaustika (graikiškai kaustikos deginantis).
Technikoje dažnai naudojama apskritimo evolventė, t.y. kreivė, kurią
brėžia ant apskritimo vyniojamo siūlo galas (84 pav.). Šios kreivės formą
turi dantračių profiliai, turbinos rato mentės, pakeliamojo tilto mechanizme įtaisytas skridinys ir kt.

8. Funkcijų tyrimas
8.1. Funkcijos pastovumo sąlyga
Teorema. Jei diferencijuojamos
inter\'ale (a; b) funkcijos
tapačiai lygi nuliui, tai funkcija f(x) tame intervale yra pastovi.
Į r o d y m a s . Pasirinkime du
pritaikykime Lagranžo teoremą:

intervalo

(a; b)

taškus

išvestinė
X\, хг

ir

/(*2)-/(*l) = /'(c)(x2-*l);
čia X1 < c <x2 . Kadangi f'(c) = O, tai f(x2) -f(xi)

= O, f(x2)

= f(xi).

O

tai reiškia, kad/'(x) = const, χ e (я; b). A
Išvada. Jei dviejų funkcijų f (x) irg(x) išvestinės intervale (a; b) sutampa,
tai tos funkcijos tame intervale skiriasi tik konstanta.
I
Iš tiesų, jei f'(x)

= g'(x),

tai (f(x)-g(x))

= 0. Remiantis įrodytąja

teorema, galima parašyti, k a d / ( x ) - g (x) = const.

8.2. Funkcijos monotoniškumas
Teorema. Jei diferencijuojamos inten'ale (a; b) funkcijos išvestinė yra
teigiama (neigiama), tai funkcija tame intervale didėja (mažėja).
> 0, χ e (a; b).

Į r o d y m a s . Įrodysime, kad funkcija didėja, kai f'(x)
Pasirinkime du intervalo (a; b) taškus Xi,
Lagranžo formulę:
/ ( X

2

) - Z ( X

1

)

= Z-(C)(X

x2 (χλ <x2)

2

-X

1

)

ir pritaikykime

.

Kadangi f'(c) > 0, X 2 - X 1 > 0, tai f'(c) (x2 - X1) > 0, tuomet f (X2)-f(xi)
Iš čia f (x2) > f(xI).

> 0.

Taigi iš X 2 > X\ =>

= > Z ( * 2 ) >f(x 1)· Vadinasi, funkcija f(x)
didėja.

•

Paminėsime,

kad

teoremoje

formuluotoji sąlyga f'(x)

su-

> 0 nėra bū-

tina funkcijai didėti. Teoremos teiginys
—

•

teisingas ir tada, kai intervalo (a\ b)
viduje yra baigtinis skaičius taškų,
kuriuose f'(x)

85 pav.

= 0 (85 pav.). Tai taškai,

kuriuose liestinė yra lygiagreti ašiai Ox.

8.3. Funkcijos ekstremumai, būtinos jų sąlygos
Apibrėžimas. Funkcijos f(x) reikšmė f(x0) vadinama tos funkcijos
maksimumu (minimumu), kai yra taško x0 aplinka (xo - δ; Χο+δ), kurioje su
visais χ teisinga nelygybė f (x0) > Z ( * ) ( Z ( * o ) -f(x)) (86, 87 pav.).
Kitaip sakant, taškas X 0 yra funkcijos maksimumo (minimumo) taškas,
jei reikšmė f(x 0 ) yra didžiausia (mažiausia) iš visų reikšmių, įgytų tam
tikroje taško X 0 aplinkoje. Todėl taip apibrėžti maksimumas ir minimumas

χ0-δχ0χ0+δ

χ
χ,-δ

О
86 pav.

86 pav.

88 pav.

89 pav.

X

D

X

d

+ 6

vadinami lokaliaisiais (lotyniškai localis - „vietinis"). Maksimumas
minimumas kartu vadinami ekstremumais.

X

ir

Iš pradžių tarkime, kad intervale (я; b) funkcija turi baigtinę išvestinę.
Jei taškas x 0 yra funkcijos ekstremumo taškas, tai egzistuoja aplinka
(x0 - δ; X0 + δ), kurios vidiniame taške x 0 funkcija įgyja didžiausią arba
mažiausią reikšmę. Tuomet pagal Ferma teoremą

/ ' ( x 0 ) = 0 . Tai tik

būtina ekstremumo sąlyga, ir nereikia manyti, kad kiekviename taške,
kuriame / ' ( x 0 ) = 0, funkcija turi ekstremumą. Štai, pavyzdžiui, funkcijos
•y

J

y = x (88 pav.) išvestinė y' = 3x

taške χ = 0 yra lygi nuliui, tačiau šiame

taške funkcija ekstremumo neturi. Ekstremumas gali būti ir tokiame taške,
kuriame funkcija neturi išvestinės. Funkcija y = |x| taške x = 0 neturi
išvestinės (žr. šio skyriaus 1.1 skyrelio 1 pavyzdį ir 63 pav.), tačiau χ = 0 yra
jos

minimumo

3
У = 1-х

taškas.

89 paveiksle

pavaizduotas

grafikas

funkcijos

kuri neturi išvestinės taške χ = 0, bet šiame taške įgyja

maksimumą. Tačiau nereikia manyti, kad kiekviename taške, kuriame
išvestinė neegzistuoja, funkcija turi ekstremumą. Pavyzdžiui, funkcija

У = Тх

taške χ = O neturi išvestinės, tačiau ji tame taške ir ekstremumo

neturi (64 pav.).
Taškai, kuriuose funkcijos išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja,
vadinami kritiniais taškais.

8.4. Pakankamos ekstremumų sąlygos
Dabar suformuluosime sąlygas, kurių pakanka, kad egzistuotų ekstremumas. Sakykime, kad x0 yra vienas iš funkcijos kritinių taškų; jame
f'(xo) lygi nuliui arba neegzistuoja.
1 teorema. Tarkime, kad funkcija f(x) taško X0 aplinkoje (.X0 - δ; JC0 + δ),
(išskyrus gal būt tašką X0)

turi baigtinę išvestinę f'{x).

intervale (xn - δ; x0) ir f'(x)

< 0 intervale (jto; xu + δ), tai taškas

funkcijos f (x) maksimumo

taškas. Kai

f'[x) < 0

Kai

/'(*)>

O

x0 yra

intervale (x0 - δ; X0) ir

f'(x) > 0 intervale (x0; X0 + δ), tai taškas XIL yra funkcijos f(x)

minimumo

taškas.
Paprastai ši teorema formuluojama trumpiau:
x0, išvestinė pliuso ženklą keičia į minuso ženklą,
taškas; kai minusą keičia pliusu, tai X0 yra minimumo
Į r o d y m a s . Įrodysime tik pirmąją teoremos
Antroji dalis įrodoma analogiškai. Sakykime, kad
f'(x)

>0,

f'(x)

< 0, kai

kai χ einant per tašką
tai X0 yra maksimumo
taškas.
dalį apie maksimumą.

kai χ < x0,
x>x0.

Pritaikykime Lagranžo formulę:
f(x)-f(x0)

= f'(c)(x-x0)

;

čia c yra tarp л: ir X0.
1) K a i x <x0 , tai f'(c) > 0 ir x-x0 < 0, todėl iš f '(c) (x-x0)< 0 =>
=>f(x)-f(xo)

< 0, arba/(xo) >f(x).

2) K a i * >x0 , tai f'(c) < 0 ir x-x0 > 0, todėl iš f'(с)

(д:-л:0)< 0 =>

=>/Ы
>f(x).
Taigi funkcijos reikšmė taške X0 yra didžiausia, lyginant ją su kitomis
funkcijos reikšmėmis, paimtomis iš intervalo (JC0 - δ;
taškas X0 pagal apibrėžimą yra maksimumo taškas.
Įrodytoji teorema vadinama pirmąja

x 0 + δ). Tuomet

•

pakankama

ekstremumo egzista-

vimo taisykle. Geometriškai ji iliustruojama taip.
Kai f'(xo) = 0, tai liestinė, einanti per tašką x0 (90 pav.), yra lygiagreti
ašiai Οχ, o kai f'(x0)

neegzistuoja, tai liestinė yra lygiagreti ašiai Oy

(91 pav.). Jeigu, be to, dar
išvestinė keičia ženklą, pavyzdžiui, iš pliuso į minusą, tai
kreivė iki taško X0 kyla į viršų,
po to, perėjusi per tašką x0,
leidžiasi žemyn. Tai bus maksim u m o taškas. Jeigu išvestinės
ženklas nesikeičia, tai kreivė, ir
praėjusi tašką x0, lieka tokia
pati, kokia buvo: arba kylanti
aukštyn,
arba
besileidžianti
žemyn; taške x0 ji tik persilenkia.

Vl

max

T
A .

f'(x0)

=0, o f"(xo)*0.

X0 yra maksimumo
kas, kai f"(x())

iš

I

90 pav.

f (X0) neegzist.
max
ima

A
ж

,mirt

kad
0

Taškas

91 pav.

taškas, kai

/ " ( * „ ) < 0 , ir minimumo

e

o

Sakykime, kad taško X0
aplinkoje egzistuoja pirmoji ir
antroji funkcijos išvestinės.
Tarkime,

-g¾,

min

Suformuluosime dar vieną
pakankamą ekstremumo egzistavimo sąlygą, paprastai vadinamą antrąja taisykle.

2 teorema.

W = ū

taš-

>0.

Į r o d y m a s . Vėl įrodysime tik pirmąją teoremos dalį.
Kadangi antroji išvestinė yra pirmosios išvestinės f'(x)
f "(χ o ) =

lim / ' ( * ) - / ' ( * o ) _
χ • XO

lim

Tarkime, kad / " ( ^ 0 ) < 0. Tuomet ir
Kai

X<XQ,

todėl f'(x)

tai x-x0 < 0, todėl f'(x)

/'(*)
χ

nes /'( j r O) = 0.

/'W
X — XQ

<0.

> 0, o kai χ >xa , tai x-x0 > 0,

< 0. Išvestinė pakeitė ženklą iš pliuso į minusą, todėl pagal

pirmąją taisyklę taškas xf) - maksimumo taškas.
Antroji taisyklė netinka, kai taške x„ f'(x0)
tada, kai

išvestinė, tai

•
neegzistuoja. Ji netinka ir

f " ( x 0 ) = 0. Tuomet reikia taikyti pirmąją taisyklę. Taigi pirmoji

taisyklė taikoma plačiau negu antroji.

8.5. Funkcijos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė
atkarpoje
Funkcijos ekstremumai (minimumai ir maksimumai) ne visuomet
sutampa su didžiausiomis ir mažiausiomis reikšmėmis atkarpoje. Tai
parodysime brėžinyje (92 pav.). Kaip matyti iš grafiko, mažiausiąją reikšmę
funkcija įgyja taške x3 - viename iš minimumo taškų, didžiausiąją dešiniajame intervalo gale, t.y. taške b, kuriame funkcija neturi ekstrem u m o (nes dešiniau taško b funkcija neapibrėžta).
Suformuluosime taisyklę, kaip apskaičiuoti funkcijos didžiausiąją ir
mažiausiąją reikšmę atkarpoje.
Norint rasti funkcijos mažiausiąją ir didžiausiąją reikšmę, reikia
sužinoti atkarpoje esančius funkcijos kritinius taškus, apskaičiuoti funkcijos reikšmes juose bei atkarpos galuose ir iš visų gautų reikšmių išrinkti
mažiausią ir didžiausią reikšmę.
1 pavyzdys. Raskime funkcijos y
siąją reikšmę atkarpoje [-4; 3].

didžiausiąją ir mažiau-

S p r e n d i m a s . Randame
У

=

—

л/25-x 2
ir kritinį tašką

χ = O,

kuriame

y ' = 0. Kiti kritiniai taškai χ = ± 5,

kuriuose y' neegzistuoja, nepriklauso atkarpai [-4; 3]. Apskaičiuojame
y (0) = 5,

y ( - 4 ) = 3,

y(3) = 4 .

Vadinasi,
max y = 5 ,
*<e[-4;3]

miny = 3 .

•

xe[-4;3]

2 pavyzdys. Skritulys, kurio spindulys R, padarytas iš filtravimo popieriaus. Iš skritulio reikia išpjauti tokią kampo α išpjovą, kurią sulankstę į
kūgį, gautume didžiausio tūrio filtrą (93 pav.). Apskaičiuokime šio filtro
tūrį.

Уi

\ /
X

σ

X1

0

λ2

b

*

93 pav.
S p r e n d i m a s . Tarkime, kad gauto kūginio filtro spindulys yra r, aukštinė - h. Jo sudaromoji bus R. Apskaičiuojame tūrį:
F=

-7ir2/z
3

= Inr2
3

JR2-r2

.

v

Kūgio pagrindo apskritimo ilgis 2π r lygus lanko / ilgiui, o šis lygus Ra.
Todėl
2nr = Λα.
β
Iš čia r = — α . Įrašę šią reikšmę į tūrio formulę, gauname:
2π
K(α
a ))

=

R

t

τ-α2ν4π2 - a 2
o, 2
24π

Aišku, kad 0 < α < 2π . Vadinasi, uždavinys bus išspręstas, kai rasime
funkcijos V maksimumo tašką intervale (0; 2π ).
Ieškome šios funkcijos išvestinės:

V(a)

=

R3

2-\/4π2 - α

24π

Šios funkcijos kritinis taškas

а0 =

3

α^8π 2 - З а 2 j

24π 2

ylAn2-а2

R

2а

2ал/4тг2 - а 2

2

2π^—

J

rad (α 0 « 294°). Kadangi

F'(А) > O, kai А < OT0 ir F'(А) < O, kai А > O F L , tai taškas OT0 - maksimumo

3 pavyzdys. Į r o d y k i m e , k a d su visais jc e ( - oo; + oo) yra teisinga
nelygybė

1

—<
2

x2+x
*

2

+l
+l

3

<— .
2

χ2 + χ +1
., . v
χ
, apibrėžtą
2
χ + 1
visoje skaičių tiesėje. Nelygybė bus įrodyta, jeigu įrodysime, kad jos
3
Sprendimas.

Išnagrinėkime funkciją y

=

didžiausioji ir mažiausioji reikšmė intervale (- oo; + со) atitinkamai lygi —
ir — . Kadangi funkcija apibrėžta visoje skaičių tiesėje ir
2

lim y = 1, tai

x->±x

jos didžiausioji ir mažiausioji reikšmė sutaps su maksimumu ir minimumu.
Ieškome šios funkcijos ekstremumų:
(2x + l)(x 2 + l ) ~ ( * 2 + x + l ) 2 x
1_χ2
У'

y' = O, kai x = - l ir χ = 1. Patikrinę, kad taške χ = - 1 funkcija įgyja minimumą, o taške x = 1 - maksimumą, apskaičiuojame y m i n = —, ymax = ~ •
1
3
Vadinasi, — < y < — .
2
2

•

8.6. Kreivės iškilumas ir perlinkio taškai
1 apibrėžimas. Kreivė vadinama
egzistuoja to taško aplinka

iškila aukštyn (žemyn) taške x0, jeigu

FG ( X Q ) , kurioje visi tos kreivės taškai yra po

liestine (virš liestinės), nubrėžta per kreivės tašką X0 (94 pav.).
2 apibrėžimas. Taškas M, kuris atskiria iškilą aukštyn kreivės dalį nuo
iškilos žemyn dalies, vadinamas kreivės perlinkio (vingio) tašku (95 pav.).
1 teorema. Jei taške X0 funkcija f(x) turi tolydžią antrąją išvestinę, kuri
yra neigiama (teigiama), tai kreivė tame taške yra iškila aukštyn (žemyn).
Įrodymas.

Sakykime, kad f(x

0)

< 0. Nagrinėkime taško X0 aplinką

K5 (x 0 ). Per tašką x 0 nubrėžiame liestinę T (96 pav.) ir parašome jos lygtį
yi~f{xo)

= f'{xo){x-xo)>

У1 = fixo)

+

f'{xo){x-xo)•

Norėdami įrodyti, kad kreivė taške x 0 yra iškila aukštyn, turime įrodyti,
kad to taško aplinkoje liestinės taškai yra virš kreivės taškų, t.y. kad
Уa - Ув > 0 . Funkciją/(x) išreiškiame taško X0 aplinkoje Teiloro formule:
f (χ) = f(x0)

+ f'(x0 )(x - X 0 ) +

čia c ε Κ δ ( χ 0 ) . Randame skirtumą:

x

- o У2;

УА-УВ

у ii

о) +

=YI~f(x)=f{x

+ / ' ( * o ) ( * - * o ) - f[хо)

-

r

f"(c)
2!
-X

Iš

sąlygos

0

)

2

.

X0-S Xo Xo+δ

f{x0)

< O

ir

94 pav.

/ " ( x 0 ) tolydumo išplaukia, kad
ir f "(c) < O pakankamai mažoje
aplinkoje.
(x-x0)

Kadangi

> O, tai у а -у в > 0.

M

Teorema įrodyta.
2 teorema (būtina perlinkio
taško sąlyga). Jeigu funkcija f
taške X0 turi tolydžią
antrąją
išvestinę ir taškas X0 yra kreivės
perlinkio taškas, tai / " ( x 0 ) = 0.

0

X

95 pav.

Į r o d y m a s . Jei taškex 0 būtų
/ " ( x 0 ) > 0 (arba / " ( * „ ) < 0 ) ,
tai remiantis 1 teorema, kreivė

y

n

šiame taške būtų iškila žemyn
(arba aukštyn). Iš to ir išplaukia
teoremoje suformuluotas rezultatas.
3 teorema. Jei / " ( x 0 ) = 0
ir antroji išvestinė, eidama

per

0

tašką X0, keičia ženklą, tai taškas
X0 - perlinkio taškas.

96 pav.

Į r o d y m a s . Jeigu f"(x)

<0,

kai χ < x 0 ir f " ( x ) > 0, kai χ > x 0 , tai į kairę nuo taško X0 kreivė yra iškila
aukštyn, o į dešinę nuo x 0 - iškila žemyn. Tuomet pagal apibrėžimą taškas
X0 - perlinkio taškas.

•

8.7. Grafiko asimptotės
Apibrėžimas. Tiesė vadinama kreivės asimptote, kai bet kurio kreivės
taško atstumas iki tos tiesės artėja prie nulio, taškui tolstant kreive (97 pav.).
Asimptotės skirstomos į vertikaliąsias ir pasvirąsias.
1. Vertikaliosios asimptotės.

Jei nors viena šių

ribų

lim
f{x),
x->a-O

lim /(JC) , lim /(JC) yra begalijt->a+0
Jt->a
nė, tiesė x = a
yra vertikalioji
asimptotė (97 pav., c).
Pavyzdžiui, kreivės y = 1
jc + 3
vertikalioji asimptotė yra tiesė
JC = - 3 , nes
1
lim
O)

j t - > - 3 - 0 JC + 3

lim

^

=

+ OO

x - > - 3 + 0 JC + 3

2. Pasvirosios asimptotės. Sakykime, kad tokios asimptotės
lygtis y = kx + b. Rasime koeficientus k ir b.
Taškas M(x;y) yra kreivės
taškas, o N(x;yN)
- asimptotės
taškas, a - kampas, kurį asimptotė
sudaro su teigiama ašies Ojc
kryptimi (98 pav.).
Pagal apibrėžimą, kai / yra asimptotė, tai lim MP = 0. Iš Δ MNP
X->00

yn

O

Γ\
O

C)

turime:

MP
MN

...
f
todel MN=

cos α
MP

cos α
MP ->0. Todėl

π
αφ —
2

ir M/V—>0, kai

I i m M A f = 11т(у-удг)
*->co
X >co
= lim ( / ( * ) - f e e - f t ) = 0 .

=

Pritaikę ribų dėsnius, gauname:
b = l i m (/(JC) - kx] .

Be to,
l i m (/(JC) - K X - B J

= lim JC М .
x—>cc

к

Л

=

Xa
Ol

j . o .

98 p a v .

Kadangi sandaugos riba lygi nuliui,
JC Φ O, tai antrojo dauginamojo riba turi
būti lygi nuliui. Todėl
lim M
\ χ
X-*<x>
Tačiau

χ

-

k

-

b

-

X

= 0.

> 0 , kai JC - > oo, vadinasi,
lim
JC—>QO

/W

-к

=0,

к = lim
fl·
X—>co X
Atskiru atveju, kai к = O, asimptotė y = b yra tiesė, lygiagreti ašiai Ox.
Jei, apskaičiuodami koeficientus к arba b, sužinome, kad bent viena
iš ribų yra begalinė arba neegzistuoja, tai funkcijos grafikas pasvirosios
asimptotės n e t u r i . Be to, ieškodami koeficientų к ir b, privalome nepamiršti, kad užrašas JC - > со suvokiamas kaip du: JC

- oo ir JC

+ oo.

Todėl, jeigu reikia, atskirai apskaičiuojame ribas, kai JC - > + oo ir JC - > - oo,
nes jos gali būti ir skirtingos.
- 3JC + 2
asimptotės.
JC + 7
tiesė JC =
- 7,
asimptotė

Pavyzdys. Raskime funkcijos y =
Sprendimas.

Vertikalioji

-JC

lim y = +oo. Apskaičiuojame koeficientus:
χ->-7+0
к =

,.
-jc z -3JC + 2
= -1
lim —
r
л:->+oo ( χ + 7)-JC

b =

lim
*->±G0

F

- X

2

- 3X

x+7

+2
-+χ=

rlim 4 x + 2 =л4 .
χ—>±oo x + 7

Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: y = - x + 4 .

nes

8.8. Bendroji funkcijos tyrimo ir jos grafiko braižymo
schema
Funkciją tiriame pagal tokią schemą.
1. Nustatome funkcijos /(x) apibrėžimo sritį. Jeigu yra trūkio taškų,
apskaičiuojame funkcijos ribas jiems iš kairės ir iš dešinės, taip pat ribas
apibrėžimo srities galuose.
2. Ištiriame, kokia yra funkcija: lyginė ar nelyginė, periodinė ar neperiodinė.
3. Išsprendę lygtį f(x)= O, randame taškus, kuriuose funkcijos grafikas
kerta ašį Ox. Įrašę į funkcijos išraišką χ reikšmę, lygią nuliui, randame
tašką, kuriame grafikas kerta ašį Oy.
4. Išdiferencijuojame funkciją. Randame lygties f'(x) = O šaknis.
Prijungę prie jų taškus, kuriuose f'(x) neegzistuoja, gauname visus kritinius taškus. Jie padalija apibrėžimo sritį į tam tikrus intervalus. Nustatę
išvestinės ženklą kuriame nors pasirinktame intervalo taške, sužinome,
koks yra išvestinės ženklas visame tame intervale. Taip tvirtinti galime štai
kodėl. Jeigu intervale išvestinė keistų ženklą, tai tame intervale dar turėtų
būti taškas, kuriame išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja, t.y. turėtų būti
kritinis taškas. Tačiau visi kritiniai taškai jau surasti. Ištyrę, koks yra
išvestinės ženklas kiekviename intervale, sužinome funkcijos didėjimo ir
mažėjimo intervalus bei ekstremumo taškus. Apskaičiuojame funkcijos
ekstremumus.
5. Randame funkcijos antrąją išvestinę. Išsprendžiame lygtį
f"(x) = O. Prie jos šaknų prijungę dar ir taškus, kuriuose f"(x) neegzistuoja, sužinome, kurie iš jų gali būti perlinkio taškai. Sie taškai apibrėžimo
sritį padalija į tam tikrus intrevalus. Nustatę antrosios išvestinės ženklą
kiekviename tokiame intervale, sužinome grafiko iškilumo intervalus bei
perlinkio taškus. Apskaičiuojame funkcijos reikšmes perlinkio taškuose.
6. Randame vertikaliąsias ir pasvirąsias grafiko asimptotes.
7. Braižome funkcijos grafiką.
Pavyzdys. Ištirkime funkciją y =

(* + l) 3

ir nubraižykime jos grafiką.

(,-I)2
S p r e n d i m a s . 1. Funkcija egzistuoja, kai χ φ\. Todėl jos apibrėžimo
sritis tokia: (-oo; l ) u ( l ; o o ) . Apskaičiuojame
Iim y = + o o , Iim y = - o o ,
Iim у = + с о .
лг-»+со
jc->1+0
2. Funkcija nei lyginė, nei nelyginė, nes
фу (χ)

bei y (-χ)

Φ

-y (χ).

Funkcija neperiodinė.
3. Funkcijos grafikas kerta ašį Ox taške χ = - 1 , nes šiame taške y = O,
o ašį Oy- taške y = 1.
4. Randame
„ , , t i i M

~ . (X-I) 3

'

y' = O, kai χ — -1 arba χ = 5. Šie taškai apibrėžimo sritį padalija į intervalus ( - o o ; -1), ( - 1 ; 1), (1; 5) ir (5; oo). Paėmę kurią nors χ reikšmę iš
vieno šių intervalų, ištiriame, koks yra y '

ženklas (jį žymime simboliu

s g n y ' ) šiame taške. Toks pat y ' ženklas bus ir visame intervale. Taip pat
nustatome y ' ženklą ir kituose intervaluose. Sudarome lentelę.
1 lentelė
X

(-oo; - 1 )

- 1

(-i;

sgn y '

+

0

+

( i ; 5)

υ

-

ekstr.

У

( 5 ; oo)

0

+

min.

Ч

nėra

5

Apskaičiuojame ymį„ taške χ = 5: y m i„ = 13,5. Taške χ = - 1 ekstremum o nėra, nes pirmoji išvestinė, eidama per šį tašką, ženklo nepakeitė.
5. Randame
24(^+1)

'

"(-D

4

^

y " = 0 , kai χ = -1. Sudarome y " ženklo tyrimo rezultatų lentelę.
2 lentelė
(-oo; - 1 )

χ

- 1

(-1;

i)

oo)

(1;

у"

-

0

+

+

Kreivė

n

perlinkis

U

u

Sgn

Apskaičiuojame у регИпк , kai χ = - 1 : урегИпк = 0.
6. Grafikas turi vertikaliąją asimptotę x = l . Randame pasvirosios
asimptotėsy = kx+b koeficientus:
k =

b =

+
lim
= lim
±α0
*->· (χ-ΐ) χ
*->±<»

lim
X->±°0( χ - I ) 2

=

χ 3 +3x 2 + 3x +1
χ -2x

= 1,

+χ

5x + 2x + 1
lim —-z
= 5.
* - > ± o o JC 2 - 2 x + 2

0

χ
99 pav.

Todėl pasvirosios asimptotės lygtis y = χ + 5.
7. Grafiką braižome taip:
1) Pažymime taškus, kuriuose funkcija neegzistuoja, bei taškus, kuriuose grafikas kerta ašį Ox ir ašį Oy.
2) Nubrėžiame asimptotės.
3) Pažymime maksimumo, minimumo, perlinkio taškus.
4) Braižome kreivę, atsižvelgdami į abi lenteles: imame pirmą intervalą ir žiūrime, kokia yra funkcija - didėjanti ar mažėjanti - ir koks jos
grafikas šiame intervale - iškilas aukštyn ar žemyn, ir 1.1., pavyzdžiui, iš
pirmos lentelės matyti, kad intervale (-oo; - 1 ) funkcija didėja, o iš antros
lentelės - kad šiame intervale kreivė yra iškila aukštyn. Todėl šiame
intervale grafiko dalis gali atrodyti tik taip, kaip parodyta 99 pav., a.
5) Braižydami grafiką, būtinai atsižvelgiame į ribas, kurias apskaičiavome pirmajame tyrimo punkte. Ištirtos funkcijos grafikas pavaizduotas
100 paveiksle.
y n

13,5

01

5

χ

Uždaviniai
1. Pasinaudodami išvestinės apibrėžimu, raskite f'(x),

kai:

3

a) f{x) = χ ;
b) fix) = cosx;
c) fix) = tgx;
d) /(χ) = e1.
2. Tarkime, kad funkcijos/(χ) ir g (x) taške χ = O turi išvestines,
/ ( 0 ) = g(0) = 0. Įrodykite, kad:
. , b f i . / t o K) ;
x->0 X
'

b)

=

*->0 g(x)

g'(0)

3. Jei/(x) turi išvestinę taške x 0 , tai
Iim
X^rX

* / ( * o ) - * o f {χ

/(*o)-*o/'(*o)

X — XQ

Įrodykite.
4. Išdiferencijuokite funkcijas:
a)y = |x|;
b)y=x|x|;
c)y=ln|x|;
5. Funkcija y = | cosx | tolydi su kiekviena χ
к
kad taškuose — + π n (n e Z) ji neturi išvestinės.

d ) y = |cos3x |.
reikšme. Įsitikinkite,

6. Raskite šių funkcijų išvestines taške x 0 :

a)/(*)=

i !-cosx
χ
,
[O,

c)/(x) = Γ 2
10,

. π
X sin—

.
kaix*U,

b ) / w

=

kai x = 0, X0 = 0;

s i n

į ' kai**0'
kai x = 0, X0 = 0;

x

e
0,

d)/(x) =

- 1,

kai χ Φ 0,

kai x = 0, X 0 = 0;

z
fl + x -l

χ
0,

,

kai χ Φ 0,

kai χ = 0, X 0 = 0.

7. Išdiferencijuokite funkcijas:
a )y-

Χ2-4

+

χ2-4

c)y = arctg(e* -e

jc

+ 4 Inl( x 2 - 4 ) ;

J;

e)y = ^sinln(Ctgx) ;

g)y = -i(tg3x + Incos2 3x) ;

b)y= ( 3 ^ - 4 ) ^ + 1 )

X
cos —
I
2

;

d) y = sin 2 (cosx) + cos 2 (sinx);
f) y = 2 V 1 + X 2 + 31n(x + yfv+л

h)y=xarccos J

I r
1 + I, COS —
Il
2
+ 2 a r c t g J c o s — - In

i )y =

3

I *
1 - ,11 cos •—

X

^ + Vx -arctg Vx ;

j ) y = aretg

j

f2
k)y = X х ,
m

t g

\
+ l n ^ 2 + tg 2 x + tgxj ;
2
+ tg x
\)y= (sinx)' 8 *;
t
t
(prieš tai įrodykite, kad (shx) = chx, (chr) = shr).

χ > O;

) У - (chx) s h i

8. Įrodykite, kad n-tosios eilės determinanto išvestinė apskaičiuojama
pagal formulę
/12(-*) · •f 1η{χ)

AiW

Л 2 М ·- Z t n W

//JlW

/ л 2 ( * ) · ••/ил W

/11W / I 2 W - •Л Л W
Il

/n W

Z t 2 W - ••/te W

fili*)

x
/ n l W fn2i ) · • / n « W

9. Tarkime, kad / ( x ) ir g(x) diferencijuojamos intervale (a; b)
funkcijos ir f(x) > g(x). A r teisingas intervale (a; b) sąryšis
f{x)

> *'(*)

?

10. Įrodykite formules:
a) l + 2x + 3x

„_!

+--- + WC

=

l - ( n + l ) x " +nx

n+1

(1-х)2
b) I 2 +2 2 - x + 3 2 - x 2 + ··· + n 2 x " _ 1

=
+2

l + x - ( n + l ) 2 x " + (2n 2 +2 n- 1 )x" + 1 - я 2 х "

ί7?

=

11. Raskite y'x , kai:
b) χ = cos31, у = sin 3 1;

a) χ = 2 cos t, y = 3 sin t;
c)χ = l n ( l - f ) , у = arccos Vf ;
d) χ = arcsin

у = arccos
л/Г+ f2

1
Vi + ί2

12. Raskite y'x , kai funkcija apibrėžta neišreikštine lygtimi:
2

2

x
a)\— + —У = 11 ;
> 4
9

b)

c)y+xexy

У = xy .
d) aretg —
χ

= 0;
X2

13. Per hiperbolės —τα
Parašykite jos lygtį.

V2
b

+^

=

;

= 1 tašką (xo;yo) nubrėžta liestinė.

14. Įrodykite, kad apskritimo x2+y2 = a2 liestinė yra to apskritimo
evolventės χ = a (cos t + i sin f), y = a ( s i n i - r c o s / ) normalė.
15. Įrodykite, kad traktrisės χ = a ( ^ l n t g y + cosij , y = a s i n i
i e ( 0 ; π)) liestinės
pastovus.

atkarpos tarp lietimosi taško ir ašies

Ox

(a>0,
ilgis yra

16. Raskite šių funkcijų diferencialus dy, kai:
a)y = ^4 + x2 ;

b ) у = 1п|з~л/х) ;

c)y = arcsin|x| .

17. Taikydami formulę / ( χ + Δ χ ) « f(x) + f'(x) Ax , įrodykite apytiksles lygybes (Ax - mažas):
2
a) ( l + Δϊ)

я 1 + •—;
n
c) e" x * 1 + Δ * ;
e) Ux + Ax ~ Ifx H

b)sinAx«Ax;
d) In ( 1 + Δχ ) « Δχ ;

-==.
3 ίχ2

18. 0,001 tikslumu apskaičiuokite apytiksles reikšmes:
a) sin 61°;

b) arcsin0,49 ;

c)^/įoT;

d)e H ' 2 .

19. Raskite y" , kai:
b ) y = W l + x2 ;

а)y = In sin*;
20. Raskite y ^ ,
A )y=x",

n s N;

е'Щх;

с)у =

kai:
b ) y = COSA:;

C

)y=——-·

cx+ d

i_
21. Įrodykite, kad funkcija f(x) =e

x

~ , kai χ i r

/ ( 0 ) = 0 , turi

antros eilės išvestinę taške x0 = O .
22. Raskite y"x , kai:
a) χ = л/1 - t 2 ,

_y = arcsini;

b)x = c h i ,

y = \п[е1 +e~' j .

23. Suteikite Rolio ir Lagranžo teoremoms fizikinę prasmę, tarę, kad
χ - laikas, o / ( x ) - judančio tiese materialaus taško koordinatė laiko
momentu x.
24. Ar galima taikyti Rolio teoremą šioms funkcijoms:
a ) f ( x ) =TXa - 3x2 - 8 atkarpoje [- 1; 1]; b ) / ( x ) = -Jjxf atkarpoje [- 2; 2]?
25. Taikydami Lagranžo formulę, įrodykite, kad šios nelygybės yra
teisingos:
χ— y
X
X-V
a)
— < In— <
— , kaiO<_y<x;
b) |cosx-cos_y| < |x-.y| .
χ
y
y

26. Tarkime, kad funkcija / ( x ) : 1) atkarpoje [a·, b] turi tolydžią
išvestinę;

2) intervale ( a ; b)

turi antrąją išvestinę; 3) f (a) = f(a)

=0,

f (b) = 0 . Įrodykite, kad yra taškas c e (a·, b), kuriame f "(c) = 0.
27. Sakykime, kad funkcijoms f(x)
taikyti
-g(a)

Lagranžo

formulę:

= g'(c){b-a),

f (b) - f ja)

ce(a\b).

f'{c)

=

g{b)~g{a)

ir g(x)

atkarpoje [a; b] galima

f [b)-f[a)

= f'[c)(b-a),

g(b)~

Padaliję vieną lygybę iš kitos, gauname:

Ar galima tokiu budu įrodyti Koši teoremą?

g'{c)

28. Tarkime, kad funkcijos f(x)
jamos, k a i x > x 0 , be to,/(x 0 ) = g(x0),

ir g(x)

apibrėžtos ir diferencijuo-

/ ' ( * ) > g'[x), kai л: >x0.

Įrodykite,

kad f(x)>g ( r ) , kai χ > x0.
29. Taikydami Lopitalio taisyklę, apskaičiuokite šias ribas:
VCOSX- 1
a) Iim
*->0 sin 2 2x

c) Iim
x->2 ln(x-l)

b) Iim

d)

χ -2

In sin 3x

Iim

lntg5x

tgx-

π

χ

t —
e) Iim te
x-+o{ W
g)

2

χ

o;™/ -!)
-Vi+ лX
h) Iim-

Iim I— arcctgx
Χ->-αο\ π

x->0

4

3

COS X

tg χ

2

30. Daugianarjx - Tr + Sr - 5x + 3 išreikškite dvinario χ - 2 laipsniais.
31. Šias funkcijas išreikškite Makloreno formule, apsiribodami
pirmaisiais keturiais nariais:
a) f (χ) = V^TT;

b) f (χ) = ^-f
χ+ 2

;

= "Tx ·
e

32. Apskaičiuokite 10 " 3 tikslumu:
a) Ųe ;

b) In 1,3 ;

c) cos 72°;

d) л/ΪΟ .

33. Raskite funkcijų didėjimo ir mažėjimo intervalus:
1
a) f (x)=x +
b)f(x)=
sin— , k a i x > 0 .
\+χΔ
Χ
34. Taikydami funkcijos monotoniškumo sąlygą, įrodykite, kad šios
nelygybės yra teisingos:
&)Ec>l+X,

kai ΧΦΟ ;
2

c) 2x arctg χ > In (1 -fx ).

b)x>ln(l+x),

kaix>0;

35. Su kuriomis realiomis p reikšmėmis funkcija y = q - px - sin25x
didėja visoje skaičių tiesėje?
36. Tarkime, kad funkcija f(x)
kia, kad f'(x)

didėja intervale (a\b). Ar iš to išplau-

irgi didėja intervale ( a ; b ) ?

37. Tarkime, kad
f(x)

= к

1 Д 2

[θ

>

x xl

kai χ Φ O,

,

g^Axe~

kai χ = O,

' ,

kai χ Φ О,

}O

,

kai χ = 0.

Įrodykite, kad / ( χ ) taške χ = 0 turi minimumą, o g (x) taške χ = 0 ekstrem u m o neturi.
38. Raskite funkcijų didžiausias ir mažiausias reikšmes nurodytoje
atkarpoje:
.
1
а)У=-

1
1
b ) y = In2X - 2 lnc, Χ E [ 1 ; 5 ] .
+ ~т
τ,
2
j
*
χ
x
39. Apskaičiuokite plotą didžiausio stačiakampio sklypo, kurį galima
aptverti ilgio a tvora, kai iš vienos pusės sklypą riboja tiesi siena.
40. Sijos skerspjūvis yra stačiakampis, sijos stipris proporcingas jos
pločiui b ir aukštinės h kvadratui. Sija tašoma iš rąsto, kurio spindulys R.
Koks turi būti santykis h/b, kad sija būtų stipriausia?
41. Išveskite šviesos atspindžio dėsnį (kritimo kampas lygus atspindžio
kampui), taikydami šitaip nusakomą principą: šviesos spindulys sklinda iš
taško A į tašką B taip, kad kelyje j o sugaištas laikas yra minimalus.
42. D u kanalai, kurių plotis a ir b, susikerta stačiu kampu. Kokio
didžiausio ilgio rąstą galima nuplukdyti iš vieno kanalo į kitą?
43. Ištirkite funkcijas ir nubraižykite jų grafikus:
a)y =

ίχ + ί) 2
x _ 2 >

b

)y

=

(

x

2

-

c

;

)J =

;

xeJr

d) y = χ2 In χ.

Atsakymai
1
4. a) sgnx (л:*0); b)2|x|; c) — (x*0); d)
χ
X5

1

c ) 0 ; d ) - . 7. a)
2

- COSx

(*2-4

W. ·
sin (2 sinx); e)

; b)

2\e2x
Ф

х

3
1
sin2r |cosx|. 6. a) — ; b) neegzistuoja;
2
2
e3x+ex

; c) -j- =T-—; d)-sinx sin(2cosx)e
+1
+1
~e

cosln(ctgx)
2x + 3 .
,
.
' — , f) .
- ; g)(l-tg3x) ;
2
sin2x Jsinln(ctgx)
Vl+x

h)

1)

arc

cos

i)

V х +1

(sinx)tgiil + i i ^ l ;
V
COS"X)

m)

11. a) - 1 , 5 ctg t;

b) - t g f ;

C)

d)

- 1 ¾ ) ;

1 +χe

b)

s

; c)

Snxtfo

1 h - r
- J
;
2 V t

9x

,

.
"

d)sgnr.

12. a ) - — ;

0.

16.

b2

•

18. a) 0,875;

Х(2Х2+З)

,
V—;;

bb)

i

) T
—
2
(l + *χ2 )j

-

ne.

v2
i

yX

;

a)

·

'

^

b) 0,512 rad, arba 29°20';

e~tgt(l -sin2x)
c;

> c)

1

—

ccoos

(x - 2)"+(x - 2) 3 - 10(x - If
2

d) 3,162.

- ; b)

t

3
2

-

('••T
; g) el/n ; h) - .

2

+ — X3 + й 5 (х);
16

- 25(x-2) - 15. 31. a) l + ^ x - - x
2
8

с) X - X

a) n!;

2/n

; b) 1; c) j ; d) 0; e) e ~ ; f) e

3

+^-+д5(х);

20.

-

*

2

2

24. a) Taip; b) ne. 27. Ne. 29. a) ~

c) 0,309;

b)

4y

13.
a2

atveju

Vb

d) 1,2. 19. a)

b) - 1 + х -

/(lnr+l);

Bendru

b) cos[x + y · ] ; с) ( - 1 ) л _ 1 л ! c"~\ad - bc)(cx+d)~n~\ 22. а)

30.

k)

( c h x f j ^ f s h 2 χ + c h 2 x l n c h x ) . 9.
*
'

4 ¾ ¾
x(l-x2-J2)

2Л/7(З -Л}'

c) 1,003;

c)

Jtg2X + 2 ;

j)

. x 3 x
sin—JCOS —
2 V
2

4

+

+«<*)•

33. a) Didėja visoje skaičių tiesėje;

32. a) 1,396;
b) didėja

b) 0,262;

intervaluose

i — - — ; — - — I , mažėja intervaluose (2; со) ir f — - — ; — - — I , k = 0 , 1 , 2, ... 35.p < - 5 .
U * + 3 4/fc + l J
U J t + 5 4k+3J
36.

Ne.

38.

b) m i n / ( x ) = - l

a)

min

/(x)=-890

taške

taške X = e, m a x / ( x ) = 0

2 3

42. [а ! +

43. a) J M A X = O

.

1/10,

taške χ = 1 .

max

/(x)=l
2

39. a /8.

taške
40.

h/b

x = l;
=-Jl.

taške x = - l , J M I N = 12 taške x = 5 , didėjimo intervalai

(-00; - 1 ) , (5; oo), mažėjimo - (-1; 2), (2; 5), perlinkio taškų nėra, iškilumo aukštyn intervalas
(-00; 2), žemyn - (2; oo), asimptotės χ = 2, j = x

+ 4;

b) J m i n = - 4 taške χ = 1, didėjimo

intervalas (1; со), mažėjimo - (0; 1), perlinkio taškų nėra, iškilumo žemyn intervalas, (0; со),
asimptočių nėra;

c) J min = e taške χ = 1, didėjimo intervalai (-oo; 0), (1; oo), mažėjimo -

(0; 1), perlinkio taškų nėra, iškilumo aukštyn intervalas (-со; 0), žemyn - (0; oo), asimptotė
y = x + 1, / ( - 0 ) = - 0 ;

mažėjimo |θ; e~ 3 / 2 j , žemyn -

d) J r a i n = — t a š k e χ =

2e

JperImk = " γ τ

t a

^e

e ^ 2 , didėjimo intervalas

x = e

>

|e~ 3 / 2 ;ooj , asimptočių nėra, / ( + 0 ) = - 0 .

iškilumo aukštyn

(e"'/ 2 ;co),
\
'
intervalas

NEAPIBREZTINIS INTEGRALAS

1. Pirmykštė funkcija
1.1. Pirmykštės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo sąvokos
Diferencialinio skaičiavimo pagrindinis uždavinys - rasti funkcijos
F(x)

išvestinę

F'(x) = / ( x ) arba diferencialą dF(x) = f(x)dx.

Dažnai

tenka spręsti atvirkštinį uždavinį - ieškoti funkcijos F(x), kai žinoma šios
funkcijos išvestinė f(x)
arba diferencialas f(x)dx.
Jei prisimintume
išvestinės mechaninę prasmę, tai atvirkštinis uždavinys skambėtų taip:
atkurti materialiojo taško tiesiaeigio judėjimo dėsnį, kai žinomas to taško
greitis.
1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte
funkcija atkarpoje [a; b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose χ teisinga lygybė
F'(x)=f(x)

arba dF{x)

=f(x)dx.

Analogiškai
apibrėžiama
funkcijos
begaliniame bei atvirame intervale (a; b).

f(x)

pirmykštė

funkcija

1 pavyzdys. Funkcijos f(x) = X5 pirmykštės funkcijos F(x) intervale
( — G O ; + OO)

yra šios: F(x)=

X

6
=

χ6

6

— , F(x)= —

1-C (čia C - laisvoji konstanta), nes

6

+7, F(x)=

X

6

3,2,

6

F(x)

F\x)=

2

fvM
—
I 6 J

=

pavyzdys.

(J>
I 6

=

fx6
λ
(χ6
Л
-—3,2
= — +С
6
6
I
)
I

Funkcijos / ( x ) = — —
cos χ

f
intervaluose

+7
)

Я

=x5=/(x).

pirmykštės

funkcijos

•

F(x)

я 1

( n k - —; n k + —J

(čia

k e Z)

yra

šios:

F(x)=tgx,

F(x) = t g x + π , F ( x ) = t g x - 5 , F ( x ) = t g x + C , nes
F ' ( x ) = ( t g x ) ' = (tgx + π)' = ( t g x - 5 ) ' = (tgx + С ) ' = — \ — = / ( x ) . A
COS X
Vadinasi, jei funkcija/(x) turi vieną pirmykštę funkciją F(x), tai ji turi
jų be galo daug ir jos apibūdinamos formule F(x)+C. Tačiau kyla klausimas, ar visos pirmykštės funkcijos gaunamos iš formulės
F(x)+C,
keičiant konstantos C reikšmes.
Į šį klausimą atsako tokia teorema.
Teorema. Jei F\ (x) ir F2(x) yra dvi funkcijos f (x) pirmykštės funkcijos
atkarpoje [a ; b], tai jos viena nuo kitos skiriasi tik konstanta C:
F1(X)-F2(X)=C.

Į r o d y m a s . Pagal pirmykštės funkcijos apibrėžimą visuose atkarpos
[a ; b] taškuose χ teisingos lygybės:
F/(x) = / ( x ) ,
^ i W = m Iš jų gauname: F{(x) = Fj(x)

su kiekviena reikšme iš atkarpos [a ; b].

Toliau belieka pasiremti I V skyriaus 8.1 skyrelio išvada, teigiančia, kad dvi
funkcijos tam tikrame intervale skiriasi tik konstanta, jeigu jų išvestinės
lygios tame intervale. Apie tokias funkcijas dar sakoma, kad jos yra lygios
konstantos tikslumu.

•

Išvada. Kai F(x) yra viena funkcijos f(x) pirmykščių atkarpoje [a; b\
funkcijų, tai kiekviena kita tos funkcijos pirmykštė šioje atkarpoje išreiškiama
suma F(x)+C; čia C - laisvoji konstanta.
Pavyzdžiui, funkcijų
—xj~x +C, - c o s x + C ,

-Jx , sinx, e* pirmykštės funkcijos yra tokios:
ex+C.

2 apibrėžimas. Jeigu funkcija
funkcija, tai reiškinys F(x)+C
neapibrėžtiniu

integralu.

Jis

F(x)

yra funkcijos

f(x)

pirmykštė

(čia C - konstanta) vadinamas funkcijos f(x)
žymimas

simboliu

jf(x)dx.Ženklas

j

,

vadinamas integralo ženklu, yra stilizuota raidė „s" ir kilęs iš lotyniško
žodžio summa pirmosios raidės.
Funkcija /(x) vadinama pointegraline funkcija, f (x)dx - pointegraliniu
reiškiniu, χ - integravimo kintamuoju.
Vadinasi,
\f(x)dx = F(x)+C

, C = const ,

kai
F'{x)=f(x)
Veiksmas, kuriuo randama duotosios funkcijos pirmykštė funkcija,
vadinamas integravimu. Jis yra atvirkštinis diferencijavimui.
Geometriškai
y = F(x)

neapibrėžtinis

integralas

reiškia šeimą

kreivių

+C, kurių kiekviena gaunama lygiagrečiai pastumiant funkcijos

y = F(x) grafiką ašies Oy kryptimi j viršų
ar j apačią. 101 paveiksle pavaizduotos
kelios ^lxdx =X2+C

yn

šeimos kreivės.

У

K=X2+3

A r kiekviena funkcija, apibrėžta
kuriame nors intervale, turi pirmykštę?
Pasirodo, kad bendruoju atveju
tenka atsakyti neigiamai. Tačiau, kai
funkcija f(x) yra tolydi atkarpoje [a ; b],
tai jos pirmykštė funkcija (kartu ir
neapibrėžtinis integralas) egzistuoja visada. Šį teiginį įrodysime vėliau.

/=X2+2

K=X2

—

/=X2-S

\

7

Suformuluosime pagrindines neapibrėžtinio integralo savybes:
/r , ч
1) (jf{x)dx)
2)

101 pav.

=/(*);

d(\f{x)dx)=f(x)dx·,

3) \dF(x) =

F(x)+C.

4) J(a/(x) + pg(x))iic = a^f(x)dx

+

α,β-const.

Paskutinioji savybė vadinama neapibrėžtinio integralo tiesiškumo
savybe. Pirmosios trys tiesiogiai išplaukia iš neapibrėžtinio integralo
apibrėžimo, o ketvirtąją įrodysime.
Kadangi diferencijavimas turi tiesiškumo savybę, tai
(a jf{x)dx
=a f(x) + Vg(x).

+ V\g{x)dx)

Antra vertus,
(J(a/(x) + p g ( x ) ) ^ )

=af(x)+pg(x).

4) lygybės abiejų pusių išvestinės lygios, todėl ši lygybė teisinga
konstantos tikslumu.

1.2. Neapibrėžtinių integralų lentelė
Jeigu F'(x)=f(x),

tai
jf{x)dx

=F(x)+C,

todėl, žinodami elementariųjų
neapibrėžtinių integralų lentelę.
1. jdx

funkcijų

išvestines,

=x+C.
a+l

2. Jf x a d x = +C
a+l

4. J\axdx = —
Ina

(a*-l).

V

'

+C.

5. fexdx = e* +C.
6. Jsinxctc = - c o s * + C .
7. Jcosxctc = sinx + C .

9.

,2.

L ^ - =-ctgx+C.
χ

J sin

ί

*

JVTv

=arcsinx+C = - arccosx+C.

galime

sudaryti

13.

f

,

dx

. χ
= arcsin—I-C.

14. Jtgxiic = - I n I cosx I + C .
15. jctgxiir = I n I sinx I + C .

16.

Γ dx

= In t

SINX

17

18.

19.

J s dx

ί:

cosx

* +C.
~2
π

= In

T

χ
+

1 .

ί:

χ-α
χ+α

dx

ί

+C.

Y

+C.

= In х + л/х2 ±β 2 +C.

11 ir 13 - 19 formulių pirmykščių funkcijų nėra išvestinių lentelėje. Šių
formulių teisingumu galėtume įsitikinti, išdiferencijavę dešinėse jų pusėse
esančius reiškinius. Visais atvejais gautume atitinkamas pointegralines
funkcijas.
Paaiškinsime 3 formulę. Žinome, kad
i Inx , kai χ > O,

In χ

1 ln(-x), kai χ < O,

todėl
kai χ > O,
(

l n

M)

=
-χ

(-1), kai χ < 0.

Taigi abiem atvejais nepriklausomai nuo χ ženklo
(
vadinasi,

l n

M)

1
=T

'

f — = In \x | +C .

Jχ

1 pavyzdys. |(3х 2 - 2 sin χ + 6л/х) dx = J 3 x 2 i f e - J 2 sin xdx + |б-Jxdx =

= 3jx2dx-

3
P —
2 Jsinxdtc + 6 I x 2 dx = 3· — +2cosx+

2
+C=
2

3

=x +2cosx+4xVx+C.

•

2 pavyzdys. J t g 2 X i f o =

=

j]—

J ν cos

1]dx =
x ^

Г S ' n * dx =
J cos X

X

Γ - —

J

COS

dx

X

j—^
Jiic = t g x - x + C .
cos χ

•

J

2. Pagrindiniai integravimo metodai
2.1. Tiesioginio integravimo metodas
Šis metodas pagrįstas
Įrodysime tokią teoremą.
Teorema. Jeigu jf(x)dx

integravimo

formulių

invariantiškumu.

= F(x) + C ir u = cp(x) - funkcija, turinti toly-

džią išvestinę, tai
\f(u)du=F{u)
Įrodymas.
dF(x) =f(x)dx

Kadangi

jf(x)dx

+ C.

=FQc)+C,

. Imkime sudėtinę funkciją

tai

F'(x)=f(x)

arba

F (u ) = f((p(x)) . Žinome, jog

pirmosios eilės diferencialui būdinga formos invariantiškumo savybė, todėl
dF(u) = F '(u) du=f
Tuomet j f (u) du = jdF(u)

(u) du.

=F(u)+C.

•

Vadinasi, pagrindinių integralų formulės visada yra teisingos; ir
nesvarbu, ar integravimo kintamasis yra nepriklausomas, ar bet kuri diferencijuojama to kintamojo funkcija. Pavyzdžiui,
a+l
\uadu=
J

n J+
. 1l
a

+C

(a*-l),

-=InUI+C.

fu

(1)

(2)

J ( 3 x + 5) 1996 dx . Kadangi d(3x+5)=3dx,

1 pavyzdys.

tai

ir J ( 3 x + 5)1996<£t = - | J ( 3 x + 5) 1 9 9 6 J(3x + 5) =

dx=^d(3x+5)
1 (3x + 5) 1997
= — -—YŲŲj

(pritaikėme (1) formulę).

•

Apskritai visada galima dx pakeisti d(ax+b),
dx= — d (ax+b),
a

nes d(ax+b)=

adx

ir

a φ O.

2 pavyzdys. j " x 2 t / x 3 +Adx = J x 2 ( x 3 +4j 4 dx. Kadangi dįx3 +4j =
=3x 2 tfc,taix 2 i& = | d ( x 3 + 4 ) . Tuomet J x 2 t/x 3 +4 iit =
5

= i

J(x3

+4

) Ϊ rf(x3

+

4) = l ^

(pritaikėme (1) formulę).

3

;4)

4

+C = ^

+

+C.

•

3 pavyzdys. Jsin(2x - 3)dx = — Jsin(2x - 3)d{2x - 3) =
1
:- -cos(2x-3)+C.

Γ (Į6x-5)dx
(6x-5)dx

J

4 pavyzdys

Зх

2

_

- 5x + 7 ^

Γęd(3x2

J

Зх

2

-5χ + ή ^
-5x + 7

= In Зх2 - 5 х + 7 j +С (pritaikėme (2) formulę).

5 pavyzdys,

r
J

А

,
f sin χ ,
fii(cosx)
= - In cosx
tgxdx = I
dx = - I
Jcosx
J cosx

(pritaikėme (2) formulę). Gavome integralų lentelės 14 formulę.

+С
•

Toliau išnagrinėsime du pagrindinius integravimo metodus.

2.2. Integravimas keičiant kintamąjį
Sakykime, kad, norėdami rasti integralą

jf(x)dx,

kintamąjį pakei-

čiame pagal formulę χ = φ(ί) . Dar tarkime, kad funkcijos / ( χ ) , φ ( i ) ir

φ'(ί) yra tolydžios, o funkcija χ = φ ( ί ) turi atvirkštinę funkciją. Tada
dx= (p'(t)dt. Įrodysime, kad teisinga lygybė
jf(x)dx=

|/(φ(/))φ'(ί)Λ.

(3)

Į r o d y m a s . Išdiferencijavę kairiąją lygybės pusę, gauname:
(if{x)dx)^

=/(*).

Dešiniąją įrodomos lygybės pusę diferencijuosime
funkciją, kintamąjį t laikydami tarpiniu argumentu. Todėl
(ί/Μ'))

= /(φ(0)

Φ'(')

=f(x)'

=(№('))

nes t

X = ~
XT

Φ'(0

dt

X

kaip

• 'i = /М')М0

sudėtinę

•

= ~7П\ • ( 3 ) !ygybė įrodyta.
φ ^rj

=

А

Suintegravus reikia grįžti prie senojo kintamojo χ .
Integruojant kartais tinka keitinys t=\\i(x) . Sakykime, reikia rasti integralą

j * ^ 7 } dx . Pažymėkime: f = ψ(χ) , dt = ψ'(χ) dx . Gausime:

J ψ(*)

1 pavyzdys.

Г
Jaz

^x
+xz

= -Ą- f
a2 J .

1+

——— . Parenkame keitinį t = —;
ίχΥ
a

dx = adt. Tada
f

dx

т

Ja + χ

=

I f
~?

adt

j

=

α J1+Г

1
^
1
χ
_
— arctg ί + C = — arctg—l-C.

a

Gavome integralų lentelės 11 formulę.
2 pavyzdys,

i ,
J y/a2-X2

= — Γa
J

a

a

•
dx
X

,2

I-Ia

t = —,
a
1 C adt
β J V w

f
r

"

J

dt

VT

dx = adt
•

Χ

^

= arcsin/+C = arcsin—I-C
,2
a

/

(a>0) .

Gavome integralų lentelės 13 formulę.
Paminėsime

trigonometrinius

•

keitinius:

1)

x=a smt,

x=a cos i;

2)x=a tgi, x=a etgč; 3) x = —
—/ , x= sini . Pirmąjį tikslinga taikyti, kai
cos
/7
9
pointegraliniame reiškinyje yra dauginamasis Vfl ~x
2
„2
Vfl2 + χ2 , trečiąjį - kai yra Vx" - a
:iąjį - kai y

, antrąjį - kai yra

• χ2 dx

3 pavyzdys.

χ = asini,
dx = a cos t dt
= JVa 2 - fl2 sin2 t a costdt = a2 Jcos2 t dt =

= a2 Ι ^ ψ ^ - Λ =

+

i Jcos 2 i d{2t)]

Ąsin2i]

Iš keitinio — = s i n i , tardami, kad t kinta atkarpoje
α

+C.
π

π
;

'2 2

, gauna-

• χ
· „
•
^x Г. . 2
me: i = arcsin—, sin2i = 2 sinf cosi = 2—Vl - sin t =

-2Ϊ.1-:

2x V 7 7

+ -Vfl2 -X2 + c .

2

4 pavyzdys

. Tuomet

IVfl - x

•

i Vx +fl
2

2

t=X+\X

+fl

X + Vx 2 + fl2 ,
ai = — ,
—flx,
2
2

Jx Ta

dt =

dx,
Vx 2 +fl 2
dx
dt

Vx 2 +fl 2

'

iir = — aresin—l-

2

fl

= J y = InH-C = In ( х + л/х2 + α 2 ) + С .
dx

Analogiškai gautume:

= In χ +

1Jx -U
r

+С.

2

Įrodėme integralų lentelės 19 formulę.

s
5 pavyzdys.

f

dx

h ™
JVe +!
jc

Jex + 1= t,
ex + 1 = t2,
exdx =

2ίώ,

2 tdt
=

Γ
=

2tdt

J (^ 2 - l ) r ^

Γ t/f
Jz2-I

In

f-1
f +1

+C=In

ex + 1 - 1

+C.

Cjr +1 +1

2.3. Integravimo dalimis metodas
Išnagrinėsime dar vieną efektyvų integravimo metodą.
Tarkime, kad u=u(x)
ir v = v ( x ) - kintamojo χ funkcijos, turinčios
tolydžias išvestines. Tuomet šių funkcijų sandaugos diferencialą galėsime
užrašyti taip:
d(uv
iš čia

)=udv+vdu;

udv=d(uv)-vdu.

Integruodami šios lygybės abi puses, gauname:
judv = Je/(m·) - ^vdu ,
Judv = uv - ^vdu .
Tai ir yra integravimo dalimis formulė. Kad galėtume tinkamai pasinaudoti
ja, privalome pointegralinį reiškinį suskirstyti į du dauginamuosius u ir dv
taip, kad pavyktų suintegruoti diferencialinius reiškinius - iš pradžių dv, po
to vdu; todėl metodas ir vadinamas integravimo dalimis metodu.
Daugumą integralų, integruojamų šiuo metodu, galima suskirstyti į
tris grupes.
1) Integralai J p ( x ) l n x i £ t ,

JP(x)arcsinxdr , |P(x)arctgxiic

čia P(x) - daugianaris; žymime u= l n x , M = arcsinx, M = arctgx,...

, ...;

^P{x)eaxdx , Jp(x)cosoxi£c , JP(x) sin ях cit ; čia a -

2) Integralai

realusis skaičius, P(x) - daugianaris; žymime u =P(x).
3) Integralai Jeax cosbxdx , Je a * sinbxdx,

Jsin( In χ) dx , Jeos(Inx) dx,

ax

...; žymime U=C
(arba и = cosbx), u =sin(lnx). Pažymėję bet kurį šios
grupės integralą raide / ir du kartus pritaikę integravimo dalimis formulę,
gausime pirmojo laipsnio lygtį integralo / atžvilgiu. Išsprendę ją, rasime I .
Aišku, kad yra ir kitokių integralų, kuriuos galima suintegruoti
dalimis.
1 pavyzdys.
du=dx,

Jxsin2xdx . Pažymėkime:

u = x, dv=sin2xdx.

Tada

1
1
v= Jsin2x<ic = — Jsin2xJ(2x) = - —cos2x. Taigi Jxsin2xi£t =

1
1
1
1
= ——xcos2x + — Jcos2xiit = -—xcos2x + — Jcos2xd(2x) = C- — xcos2x + — sin2x.
2
4

•

2 pavyzdys. Jarctgxtic =
-dx,

u = arctgx, du =
l +x
dv = ώc,

= xarctgx-

f xdx

v = Jūtc = .

iYTT

2

HL

1 H
= xarctgx2 J

= xarctgx-

1+ X

|ln(l + x2)+C. i

3 pavyzdys. I= j"VX 2 + a 2 dx =

2

U = -J.χ

+ a2,

-dx,

du =
V x 2 + O2

dv = dx,

Γ"2
2
•хл]х +a

v = J<ic = χ

J"

(x2+a2)-

2 , „2

fJ x

dx = xVx" + a~ r

Ta2

Tx2Ta1

- dx =

dx

= xVx 2 +a2 - J V x 2 + a2 dx + a2 j"

^ T a

/~~2 2
xylx +a 2

- J V x 2 + a2 dx + a2 In^x + -Jx2 +a2 j ,
I= xVx 2 +a2 - / + a2 ln(x + Vx 2 + a 2 j .
Taigi dešinėje pusėje gavome pradinį integralą, kurį perkėlę į kairiąją
pusę, turėsime:
21= xyIx2 + a2 + a2 I n f x + V x 2 + a 2
2
Todėl J V x

2

2

2

+a

2

+ ^ - l n ( x + Vx2 + α 2 ] +С.

dx =^yjx +а

Analogiškai gautume:
,2
f Г"2
2* .
^
r~2
2
Vx - α ar = — i χ -a
J
2
4 pavyzdys. I=

й In x + V x 2 - я 2
2

+C.

Jeax cosfoxdx =
U = Cax,

dv = cosbxdx,

du = CieaxCbC, v = — sin fox

= ^ e i u r S i n f o x - - Ce i " sin bx dx
b
bJ
dv = sinfeei k ,

u =e
ax

du = Ue dx, v = - — cos bx

= — e ^ sinfox - — ( - —^ iur cosfox + — Feax cosbxdx] = ^e ajr Sinfox+

b
+ Areax

b\ b ax
b j
J b
cosbx-Ar
Ie cosbxdx = e ^ i — sinfox + ^-cosfoxl - Ar I.

fPerkėlę dydį —γΐ į kairiąją
pusę, gausime:
b

Γ „2 I
1 + -S-I=C
l bV

(

n

ax

2

I

— sin bx + Ar cos bx I .

{

f
e^ibsmbx + acosbx)
Tada \e cosbxdx =
^
-+C.
a2+b2
Analogiškai
\e sin bxdx =

e^^asinbx

-bcosbx)

a2+b2

+C.

3. Įvairių reiškinių integravimas
3.1. Funkcijų, kurių išraiškoje yra kvadratinis trinaris,
integravimas
I Nagrinėkime integralą l\ =

f

—

dx

; čia a ^ 0 , b, c - realieji

J ax" +bx + c
skaičiai. Pertvarkykime vardiklyje esantį kvadratinį trinarį,
dvinario kvadratą:
c
f 2 b
) a
χ + —x + —\=
\
a
a)
v

=

χ + —b Y
2a

a

Aac-b'

cia

+

Aac-b*
^ —

2a

= I k 2 ^ 0.

Pliuso

a

v 2a

±k2

x + ±]
2a.

Aai

v 2aJ

išskirdami

ženklą

rašome

tada,

kai

reiškinys

z

Aa
Aac - b2

> 0 arba kai trinaris ax2+bx+c neturi realiųjų šaknų; minuso

Aa
.
kai

Aae-b2
Aaz

< 0 arba kai trinario šaknys realios.

Tada

A= f — ^
J

ax

+bx + e

dx

=^ f
a

J

V

χ+—
2a)
Parinkę keitinį χ H

2a

= t ,dx = dt, turėsime:
dt
h

- a4 J t2

±k2

,2
±kl

Gavome integralų lentelės 11 ir 18 formules.

1 pavyzdys.

±Χ
f
= [-5
—
=
z
Jx +2x
+3
Jxz+2x
+l +2

d(x + l)

1

ί

χ+1
+ c

UT

II. Nagrinėkime integralą I2 =

-

+2

^

aras

'72

Γ
J (χ + ψ

-

Mx + N
I— J
dx ; čia M,
h ax + bx + c

N,

a, b, c -

realieji skaičiai. Pertvarkykime pointegralinę funkciją:

Mb

m

.— H[2ax + u\
b) +(M
\N
f Mx+ N J
C 2a
'V
2 aJ
12 = I —~
dx = I
J ax" +bx + c
J
ax~+bx + c
„

=

M_ C{2ax + b)dx
2

2

<*Jax +bx

fAr
+ \N
V

+c

f

Ί

МЬЛ C

N

dx

2

^

IaJJax +bx

,
dx =

Max2+bx

_M
2

+c

^J

+ c)

+

2

ax +bx + c

Mb),

M l l 2 u
I
(xr
МЬЛТ
III = — I n I ax + bx + с \ + N
h •
2a J
2a
V
2a J

III. Nagrinėkime integralą / 3 =

f
I

dx
; a, b, с - realieji

J Vox2 +bx + c
skaičiai. Pertvarkę analogiškai kaip ir I atveju, turėsime integralus:
dt

kai a > 0 ,

i VP ±k'
arba
dt

f Vfc2-i2
kai a < 0, ir trinaris ax1 + bx + c turi realias šaknis.
Gavome integralų lentelės 19 ir 13 formules.
IV.

Nagrinėkime

/4 =

integralą

f

I

Mx+ N
I ax

dx .
+ bx + c

analogiškai kaip ir I I atveju, gausime:
ц =

f

Mx+ N
I— = ^ = =

2

,
M
dx - —

J л/яг +br + r

2й

f

2 ax + b
I —=====
dx +
JJnr^+hr
+r

Pertvarkę

+ (N-Щ

1

, лг
+ ι N

2 j

f

J

МЛ

*

V«x

2

+

= ^

6x

+

2fl lf

J

c

( « +2 bx
+ f+ a c +I

j

M ΓΊ—Γ
ίΛΤ
/ , = —Vax" + bx + C + N
2α у
α
ν

Mb,

Γ

2 pavyzdys.

"ί

2 Y

I

-

^_

2α

2
c/l4αχ 2
c p

+ Ьх + c I +

1

τ

I Z3.

Jji

VT-X-X2

S p r e n d i m a s . Sudarykime skaitiklyje pošaknio 1 - х - X 2 išvestinę bei
išskirkime šiame trinaryje dvinario kvadratą:
f .

2

* -

8

d* = -!,-2*-1

JVl-X-X2

JVl-X-X2

• f(l-x-x2pc/(l-x-x2)-9f
J

1

[

'

f ,

J M
_Į

J t

2

+ 2

*
.i

1

j

j r +

1i _ iι_ Λ
l

dx

dx -9

,

-

2

vn

*

U x '
F i

J

=

J

+ x

X-X

J l - X - X
- i )

j i ^ 7 -

1

9

j*
J

15
-4

dx

Γ

r i )
V*+2J

2

=

dt
]

M
V4

^

i
2
f ·
- |5

J

14
1
Parinkę keitinį x + — = t, dx = dt,

2

cit
Г
,x
V

+

Γ

2

2

turėsime:

.
t
. 2r
aresin —=• = aresin -7=,
V5
V5

7

f
2x-8
,
„ Γ
T r>
.· ·2x +1
Todėl galutinai I — P = = O x = C - 2 V l - x - x -yarcsin- _
.
JVl-X-X2
V. Nagrinėkime integralą Z5 =
1
Parinkę keitinį Mx+ N= - , c/x=
t
3 pavyzdys.

dx

Lx(x + l)Vx
l

2

+1

I

i;1— c/i
Mt2

dx
= = = = = ;
ax + bx

Vš
čia M ^ 0.

, gauname Z1 tipo integralą.

л: +1 = —,
t
dx = — d t ,
Г
χ =

1

dt

- f

2t + 2t

Γ

4Ϊ J

- - 1

t

A
f

JN2
J "
i —
+-

l-jc+ , 2 U
=C—^ln
V2

f

+. r - i + 2
V
2

=C—=In
V2

+1

2(jc +1)

3.2. Racionaliosios trupmenos. Paprasčiausių racionaliųjų
trupmenų integravimas
Priminsime, kad racionaliąja trupmena vadinamas dviejų daugianarių
santykis
F(Jc) _

я 0 х " + A 1 X n - 1 +... + an-\x + a„

Q(x) ' b0xm + bxxm~l

+ ... + bm_xx + bm '

č i a F ( x ) , Q ( x ) - daugianariai, neturintys bendrų šaknų, я 0 * 0 , b0*0 .
Racionalioji trupmena vadinama taisyklingąja, kai skaitiklyje esančio
daugianario laipsnis n yra mažesnis už vardiklyje esančio daugianario
laipsnį m. Priešingu atveju racionalioji trupmena yra netaisyklingoji. Jeigu
racionalioji trupmena netaisyklinga, tai, padaliję skaitiklio daugianarį iš
vardiklio daugianario, šią trupmeną galime išreikšti naujo daugianario
S ( x ) ir taisyklingosios racionaliosios trupmenos suma:

Q(x)

S(X)+

Q(x)'

R(x)
.
. , , . . . . , . . .
v.
cia — 7 — - j a u taisyklingoji racionalioji trupmena.
Q(x)
_
.
I x i -4x2 + 5x-3
62x - 57
Pavyzdys.
= Ix-18+ •
2
x + 2x - 3
χ2 + 2 x - 3

Šį rezultatą gavome taip:
Ixi-

4x2+5x-3

3

Į X2+2X-3

2

"7X +14X -21X

IX- 18

z

-18r +26x- 3
"-18* 2 -36x+54
62*-57

A

Dabar išnagrinėsime, kaip integruojamos vadinamosios paprasčiausios
racionaliosios trupmenos. Jos esti keturių tipų:
I. - A - ;
x a
~
J1J
χ

„.

Mx + N
2
'
+ px + q

^
(x-a)k

'

Mx+ N
,
ч i· '
' 2*·
^x + px + q^

čia a, A, M, N, p, q - realieji skaičiai, k - natūralusis skaičius, be to,
k > 2, diskriminantas D = p2-Aq < 0 .
Pažvelgę į diskriminantą apibūdinančią nelygybę, matome, jog lygtis
. r + px + q = 0 realiųjų šaknų neturi.
Suintegruosime pateiktas trupmenas.
(χ-α)

ι.

=

x-a

J x-a
II.

-k+1

J x
Л

f

ι
ι
- =A In\x-a I + C .

, dx = A \lx-a)-kd(x-a)

Л

= A ^

X

' ^

+C=

+C.

(l-A^X-fl)*"1
M> f „
Mp
(2x + p ) + A r ^

III. i - ^ L * =
Jx

+px + <7

f

Jx

m

r*(*2+**+g)

z

+px + q

2 2

2 JJ x χ+ +px
p x + 9o

v

, Гд,
^

f

2

l
2

J

jc +

z

7

Jx

Μ/Λ f
2

2 JУ JJ

+q

^

=

M —
+px + g

Л
2
2
x z + 2· —-χ + - - + q - ± —
2
4
4

dx
2

2

(

^

+

v

4

" ,
2

Parinkę keitinį

x +^ = t ,

dx = dt ir pažymėję q-

raide

gausime:
f

Мк + ЛГ

,

M .

2

Į

ί τ ^ Γ ^ ' Ύ ^
ln(x 2 + px + ¢ ) + ( n -

= y

+

\l(Kr

V

IV.

f

+

^

J

t

dt

· I arctg i + C =

^q-P2

'

C

"H r--JJttf-

M 1 / 2
\ 2N-Mp
= —ln(xz
+px + q) + .
^ arctg
2

Μρλ

+

2x + p

+C.

^Aq-P2

Ą .

+ px + g j

Pertvarkę analogiškai kaip ir I I I trupmeną, gausime:
Γ

Mx + N

J ( * 2 + / « + *)*

+

2

- τ-) J ^ *
f

+
2

; j

Ą

=

2

(/
ip

+

2

6

+ q) ^

- K * 2 + ^ + ?)*

+

f ί(*2+^+«Γ

Д

г_
%

+ UV- 2

ęd(x2+px

Jx _M

M
)"

2(1-^)(*

+

^
2

+

+

+^)

л

Gautąjį integralą pažymėkime Ik ir pertvarkykime:
Г
=

\x2+Px

dx

C
+ q)k

=

dt

\t2+b2)k

_1

f

i'2+*2)J'(f2+b2f

/2

-dt =

b2,

J_ f
=

b2

1_ f

dt
j*"1 V

}įt2+b2

t1 dt

J(f2+b2j*

Antrąjį integralą integruosime dalimis:
u = t, du = dt,

tdt

dv =

2

tdt
J
(t +b )
f<

2 kV

2

(t +b ) '
-\(t2

+b2)~kd(t2

2 k

+b2)
2(k

.
Taigi
181

_

f

dt

k =

\

t

2

+

_ J _
b

2

2

f b

Г
)

£

Kadangi

I—
J

-\){t2+b2)k'x

dt

[ t

,

1

+ b

Г

2 ^ -

dt

dt
= Λ - ι , tai

2
2
i (t
i +b )

h =

h-1

+
t2+b2

2{k-l)[

i

Zfc =

.Jfc-i

'Jfc-I

2(* - 1)

2jt-3 .
-+
h

(4)

2 (*-!)(•
Vadinasi, integralo

+

Γ
J (χ

2

^ — — iic

apskaičiavimas pakeičiamas

+ pjt + g j

integralo
Ik
apskaičiavimu, o tai galima padaryti
rekurentinę formulę. Kai k= 1, gauname integralą
/1=

f dt
1
i
_
H
τ = — arctg— + C .
2
2
J i +b
b
b

naudojant

Žinodami I1, rasime
Ii =

I2:

h(,^i, ) ""H I' ^ ) 4/,
dt

22

1 i t
2

Ib

2

W

2 2 2

2

1
t)
^
+ —arctg— + C .
+b
b
b
2

Žinodami I2 , galime rasti Z3 ir 1.1.

3.3. Taisyklingosios racionaliosios trupmenos reiškimas
paprasčiausių trupmenų suma
Jau išsiaiškinome, kaip integruojamos paprasčiausios trupmenos. Bet
kuri taisyklingoji racionalioji trupmena integruojama remiantis teiginiu,
kad ją galima išskaidyti paprasčiausių trupmenų suma. Sis teiginys, kaip ir
toliau suformuluota teorema, įrodomi algebros kurse, čia tuos tvirtinimus
pateiksime be įrodymo.
Pix)
— y r a
Q{x)

Sakykime, kad

taisyklingoji racionalioji trupmena, kurios

skaitiklyje ir vardiklyje esantys daugianariai P(x) ir Q(x) neturi bendrų
šaknų. Trupmenos vardiklio daugianario Q ( x ) šaknys gali būti realios ir
skirtingos, kai kurios realios ir kartotinės, jungtinės kompleksinės
skirtingos ir jungtinės kompleksinės kartotinės. Realią nekartotinę šaknį α
vardiklio Q(x)
skaidinyje atitinka dauginamasis x-a,
« - t o j o kartotinumo realią šaknį β - dauginamasis ( x - β ) " , jungtinių kompleksinių
šaknų nekartotinę porą - dauginamasis x2 + px + q , kurio diskriminantas
neigiamas, k - tojo kartotinumo jungtinių kompleksinių šaknų porą - dau,
P(x)
ginamasis ( x " + r x + s ) . Tuomet trupmenos —)—^ skaidymą paprasčiausi*)
šiųjų trupmenų suma apibūdina tokia algebros teorema.
Teorema.

P(x)
— Q[x)

Jei

taisyklingoji

racionalioji

trupmena,

vardiklis išskaidytas šitaip:
Q(x)=(x-

α)...(χ - β)'\..|χ2 + p χ + q^...(^x2 + rx + i j

tai ją galima išreikšti paprasčiausių trupmenų suma:
P(x)
A
—— =
QH
X-O.

1- H

Bn

1

(χ-β)

η

Bn,
—
(χ-β)""1

1- H

B1
i
*-β

1- +

,

kurios

Cx+ D

Mk-\x + Nk_x
+...+
/ ,
\k-1

2

χ +px + q

M1X

+

(Χ2

+ RX + S

N]

(5)

2

'
X + ГХ + 5
čia Л , B i, ...,

C, D, Mu Ni, ..., Mk, Nk - realieji neapibrėžti koeficientai

(kai kurie jų gali būti lygūs nuliui).
Norėdami

apskaičiuoti

šiuos koeficientus,

sudedame

trupmenas,

parašytas dešinėje (5) lygybės pusėje ir sulyginame skaitikliuose esančius
daugianarius. Kadangi du daugianariai tapačiai lygūs tik tada, kai lygūs jų
koeficientai, esantys prie vienodų χ laipsnių, tai galime sulyginti šiuos
koeficientus. Gausime tiesinių lygčių sistemą, kurią išsprendę rasime
minėtus koeficientus. Šis metodas vadinamas neapibrėžtųjų koeficientų
metodu. Kartais koeficientus galima apskaičiuoti paprasčiau. Kadangi,
sulyginę skaitiklius, dešinėje ir kairėje lygybės pusėje gauname tapačiai
lygius daugianarius, tai ir jų reikšmės su bet kuriomis χ reikšmėmis turi
būti lygios. Įrašę tam tikras χ reikšmes, gauname lygtis, iš kurių galime
rasti minėtus koeficientus. Geriausia parinkti χ reikšmes, lygias realiosioms vardiklio šaknims.
Pavyzdys. Taisyklingąją

trupmeną

2x 3 + 4x 2 + χ + 2
(x-l)

išreikškime

+x + l

paprasčiausių trupmenų suma.
S p r e n d i m a s . Kadangi trinario χ2 + χ +1 šaknys kompleksinės, tai,
remdamiesi suformuluota teorema, gauname lygybę
2x 3 + 4x 2 + χ + 2

A

B

Cx+ D

Sudėję dešinėje jos pusėje parašytas trupmenas, gauname:
2x 3 + 4x 2 + x + 2

ή + Β(χ- l)(x 2 + χ +1) + (Cx + D)(x -1)2

Sulyginame skaitiklius:
3

2r +4x2 +χ +2=A (χ2 +χ 4-l)+fi(x 3 -l) + (Cx+Z))(x 2 -2r +1) .

(6)

Taikome neapibrėžtųjų koeficientų metodą. Sulyginę koeficientus
prie χ 3 , χ2, χ1, x°, sudarome lygčių sistemą:
r-3
χ2
r1
„0
Г

B+ C = 2,
A-2C+D
= 4,
A + C-2D = 1,
A-B+D
= 2.

Ją išsprendę, randame A = 3, B = 2, C = O, D = I .
3

2x

2

+ 4x

+x + 2

(x-Ij2Ix2+χ+

3

ή

Todėl

2

1
ι

(χ-if

2

x +x

+l

Minėtus koeficientus galėjome rasti ir kitaip: kadangi vardiklio viena
šaknis x = l reali, tai, įrašę į (6) lygybę vietoj χ skaičių 1, gautume:
9=3A,

A= 3.

Kitus tris koeficientus rastume išsprendę trijų lygčių sistemą, kurią
gautume sulyginę koeficientus prie vienodų χ laipsnių.

•

3.4. Racionaliųjų trupmenų integravimas
Nagrinėkime integralą

fP(x)
P(x)
I—7—-rdx . Jeigu racionalioji trupmena —7—r
J Q(X)
Q(x)

netaisyklinga, tai pirmiausia ją išreiškiame tam tikro daugianario S ( x ) ir
taisyklingosios racionaliosios trupmenos

R(x)
— s u m a :

Q(x)
Plx)
-HQ{x)

ч

= S(x)+
K
'

R(x)
-H·.

Q[x)

Integruodami šią lygybę, gauname:

JeW

J 1 ;

J Q(x)

Kadangi 5 ( x ) - daugianaris, tai jį suintegruoti lengva.
Belieka rasti integralą

CRix)
I—-г^-dx . Išreiškę trupmeną
J Q(X)

rasčiausių
trupmenų
suma, racionaliosios trupmenos
pakeisime paprasčiausių trupmenų integravimu.

R(x)
— p a p Q(X)
integravimą

^x2 + 2)dx
1 pavyzdys. Raskime integralą

i,(χ + ΐ ) ( χ - 2 )
3

S p r e n d i m a s . Pointegralinį reiškinį sudarančios trupmenos vardiklio
šaknys yra realios, todėl, remdamiesi 3.3 skyrelio (5) lygybe, tą trupmeną
išreiškiame paprasčiausių trupmenų suma:
X2+2

A

B

C
- +

3

(JC + 1 ) ( X - 2 )

(* + l )

3

(x + l )

2

+

* + l

D
-

x-2'

Sudėję dešinėje lygybės pusėje parašytas trupmenas, gauname:
X

2

+ 2

_

A(x

+ 1 ) 2 ( J C - 2 ) + D(x

- 2) + B(x + 1 ) ( J C - 2 ) + c(x

(χ + ΐ)3(χ-2)

(x +

+1)3

lf(x-2)

Sulyginame skaitiklius:
x2+2=A(x-2)+B(x

+ l)2(x-2)+D(x+\f

+ l)(x-2)+C(x

.

(7)

Įrašę į (7) lygybę reikšmę χ = - 1 , gauname: 3 = - 3 A , arba
A=-I.
2
Įrašę reikšmę χ = 2, gauname 6 = 27D, arba D= — . Kitiems dviem
koeficientams rasti užtenka dviejų lygčių. Pertvarkome (7) lygybę:
x2+2=(C+D)x3+(B+3D)x2+(A-B-3C+3D)x+(-2A-3B-2C
3

+

2

Sulyginę koeficientus, esančius prie JC , x , gauname sistemą
χ3
χ2
2
iš Jjos randame C = — ,
9

1

3

(χ + 1)3

2

*

J (JC + 1 )

+ 2
-

=

9
_2
"9

;

л:+ 1

2

2 Mjc-2) _
9

J

AC-2

9(* + l)

9(x-2)

i———j— —
3

J(JC + 1 )

-i { x + l ) ~ 3 d { x + 1 )
+

3(л: + l ) 2

^ = -

(JC-2)

?d(x + \)

J

1
B = — . Tada
3

χ2 +2
(x + l) [x-2)

f

C+ D = O,
B+3D = 1;

3 J (

+ l)

4
Į

~ 2(x +1)

X

+ 1

)2

f - ^ +

9 J J C + 1

~2d{x+1

2

'

3(JC + 1)

2, I
In JC
9

,1

+ 1

+

D).

+ -ln|x-2|+C = C-

x - 2

2X

\ +-In
\2
9
x+1
6(x + iy

2 pavyzdys. Raskime integralą

J;

2x3 +Ax2 +x + 2

dx .

( x - l ) 2 ( x 2 + x + l)

C
J
T
Sprendimas.

Trupmeną

2x3+4x2+x + 2
—•
r
χ +x+l
2
(-i) !·

.„
įsreiskeme

papras-

čiausių trupmenų suma 3.3 skyrelyje išspręstame pavyzdyje. Pasinaudokime gautu rezultatu, ieškodami integralo:
2 x 3 +Ax2 + χ+ 2
2 ^

ί (x-l)
1

2

=

( x 2 + x +ΐϊl )

+2 f - ^ +

J(X-I)2

fJχ

J^-I

dx
+x + l

K*"·>•= г J f ^ + J t ^/ л/3/—л 2 = C - x - 1
χ+—

2

ι
ι
2
2x +1
+2 In I x-11 + —pr arete — .
л/3
л/3

+

+

V2 ,

A

3 pavyzdys. Raskime integralą

Гх4+2x2 + χ
J

S p r e n d i m a s . Kadangi trupmena

ūk.

(x2+l)^
X4

+ 2x 2 + χ _ χ 4 + 2x 2 + χ

+12

P )

χ 4 +2x 2 +1

netaisyklinga, tai pirmiausia jos skaitiklį padalijame iš vardiklio:

X4+2X2+X
4

г +2Г+1

Į x4+2T2+1
1

х- 1
. . . χ 4 + 2x 2 + χ
x-1
fx4+2x2+x,
t
Todel —
= 1 -I
— . Tuomet
I
— dx =
x4+2X2+1
<2+Л2
J
<χ2+Λ2

T

•

yra

f

X-I

\
с = \dx + Г
J

x +A
f i x 2 +l)~2d(x12
2
J 1
'
Γ dx
—
J*

Г X2 dx
+

+1

—-dx-

J(x2+l)2

1
Τ=χ-~Γ~η

J(x2+l)2

2

dv =

I

dx=x-

, 1
,
2(x2+l)

г-arctg X-

du = dx,

X,

———

ν=
2(x2+l)

'

χ
l f i f o
χ +1
--j—
γ+—
=X--J2
2
2 l x + l)
2 J Χ +1
2IX2+1)
* +l
7
r
2(x2+l)

=

P + l)

(x2+l)Z

=x

^x

J(x2+l)2

+l)1 - f ( 1 + "2 2 ) '2 f
J
(x +l)

U =

Г

1
_
arctg χ + - a r c t g x + C =
2

arctgx+C.

2

3.5. Dviejų tipų iracionaliųjų funkcijų integravimas
Šiame skyrelyje nagrinėsime du tipus iracionaliųjų funkcijų, kurių
integralai, parinkus keitinį, pakeičiami racionaliųjų funkcijų integralais,
kitaip sakant, jų pointegraliniai reiškiniai racionalinami.
p
I. Nagrinėkime integralą

'

/Л

m

ί « Χ,Χ"
J ι

,.. . , X i

dx. Simboliu R žymime
/

kintamųjų x, x n _..., x s atžvilgiu racionaliąją funkciją. Pavyzdžiui, jei
_
П Х )

\2

/

(х + 4)(л/х + 5

, tai f
~

( 2 - ^ p c - l )

(x)=R

1
3

1

X, X , X 4 , X 5

ι

r

i"

J

m
XtXn

dx pointegralinis reiškinys racionalina-

,.

V

J

mas naudojant keitinį Vx = t; iš čia X=Ik,

dx = kf

l

dt, k lygus trupmenų

m
r
— ,..., — bendrajam vardikliui. Iš tikrųjų
(

m
X, X n

i' I
= J/ψ*

,tni,...

Kadangi

n\ =

,. ..,X

i

dx =

)ktk^
Wik

'

mk

fl tk,t

"

r

J

,. • >t

1

s

ktk~l

dt =

/

dt =

jR^dt.

rk
, ..., S1 = —
s

n

rk N

yra sveikieji skaičiai, tai pointegralinė

funkcija yra racionalioji.
Integralų

|/? ( (ί)ί/ί

integravimą jau aptarėme anksčiau.
1

Γ -Jx dx _
1 pavyzdys.
• J t p T T

2

f

χ
3

dx .

J y X4 +1
1

S p r e n d i m a s . Kadangi trupmenų

3

— ir — bendrasis vardiklis yra 4,

tai, parinkę keitinį i/x = t, χ = t4, dx = Atidt, gausime:
. 4 Ο Ι . Λ * . 4 f ^ L . 4 L· . ^ L ) *

= 4 γ! 2 ,dt-AΛ
J

=

I ^ - I n I

4 3
t2
,
'
dt =——
3
Ji +!
3

4

V x

3

+

1

+C.

4

3
f 4 3 +1)
4 3 43 ,
L=
-t --In / + 1 +C=
3 J ,3+1
3
3

A

II. Nagrinėkime integralą

ίτ·

-

m
f OX+ ЬЛ n

ax + b

\cx + d

cx+ d

dx;

čia a, b, с, d - realieji skaičiai, ad-bc φ 0 . Šio integralo pointegralinis
reiškinys racionalinamas naudojant keitinį
ax + b
cx+ d

ax + b

=t,

cx+ d

čia k - trupmenų

u\~
αχ + ΐΛ n
Kcx+ dJ

=

ad-bc
{a~ct)

,
—k - t

,

dt;

— ,..., — bendrasis vardiklis. Tuomet
n
s

km

f

dtk - b
,
-r- , dx=
a-et"

k

=Г,х=

-

= t>h

^

5

f
# \ — kr
Г αχ + ΐΛ s = - = f„ .
\cx + dJ

čia nЬ . . . , S 1 - sveikieji skaičiai. Įrašę šiuos reiškinius į pradinį integralą,
gautume integralą

J

čia R2(t)~

ad-bc
a-ct

(a-ctk

_ktk-ldt=\R2{t)dt.
f

racionalioji funkcija.

2 pavyzdys.

Г
—- · ^UUzr.
U J (1-х)
Vl-x

S p r e n d i m a s . Parinkę keitinį 31^ + x = t ,
''1-х
6

йх=

(i

J

3

'2

2

J
,
— dt , 1 - χ =

j

Z

+

l)

4

.^з

, gausime:

*

"

+ ]|

2

3.6. Integralai

|

1

2
2

4

Jl +x 7
ox =

f - 4— - ^

J ( I - X )

2
J/i^x,Vax

f

^ + X = f 3 , X = -^5—1-х
/3+1

2

8ν1-χ/γ1-χ

+ Z>x + cJ dx .

Oileriokeitiniai

Nesunkiai galėtume įsitikinti, kad tokių integralų pointegraliniai reiškiniai racionalinami, naudojant vieną šių trijų
Oilerio keitinių:
1) kai a > 0 , tai

2) kai с > 0 , tai
Vox2 +bx + c = x / ± V č ;
ir X2,

3) kai kvadratinis trinaris ax 2 + bx+ c turi skirtingas realias šaknis x\
tai
-Jax2 +bx + c = /(x-x)

čia χ

;

kuri nors viena trinario šaknis.

P

1 pavyzdys. Raskime I =

-Λ/Χ

2

+3X + 2

dx.

«1
χ + V x 2 +3x + 2

S p r e n d i m a s . Kadangi šiame pavyzdyje α = 1 > 0 , c = 2 > 0 ir trinaris
x 2 + 3 x + 2 turi dvi realiąsias šaknis

X

1

= - I ,

X

2

= - 2 , tai tinka bet kuris

Oilerio keitinių. Panaudosime trečiąjį:
V x 2 t- 3x + 2 = /(x + l ) ;
is cia

χ=

t2

- 2

I-/

Itdt

ir dx =

2

M

. Įrašę šiuos reiškinius į pradinį integ-

2

ralą, gauname:
i2-2

't

2

-2

Il-/2

Γ \-t'

+ 1
y

f "> ~

2

JT T
- +

Г -2

/

v 1-/

,

2/ώ

^

_

M

^ +1

[ J 4 l

2

J (/ + l ) 3 ( / - 2 ) ( / - 1 )

Pointegralinę funkciją išskaidome paprasčiausių trupmenų suma:
г2 +2/

/4

3

(/ + l ) ( / - 2 ) ( / - 1 )

(/ + I)

+
3

+ C
/+1
(/ + 1)'
β

+D

E+

/-2

t-l

Apskaičiavę koeficientus, gauname:
1
5
17
A = -— , B = —— , C = —— ,D
6
36
216

8
= —
27

ir E

Tuomet
- i f
dt
/=1
~ 3 J ( f + i)3

5_ Γ
+

dt

1 8 J '(/
( i ++1 )2
l)

_ YT_ Γ dt

_ _H> Γ dt

108 J / +1

27 J / - 2

3
=—
8

3 f dt
=
4 Ji-I

1
6(f +1)

r-

5
7
18(/ + 1)

17 , ι
, ι
In ( + 1
108

16 . ι „ ι
In i - 2 +
27

+ - ln| i - 1 1 +C;
4
cia / =

л1х2 +3X + 2
χ +1

Kai kuriuos nagrinėjamo tipo integralus galima rasti paprasčiau, netaikant Oilerio keitinių. Reiškinyje ax2 + bx + c (a * 0) išskirkime dvinario
<
/c
b1
kvadratą: ax2 + bx + c = a \ x2 + —χ+ —]=
I = a a\ χ + —I
+
a
a
a
4a2 JJ
- a

b ^2
χ + ·—
V
2a J

. 4ac-b2
-1
4a

2 , 2. v.
b
= at±n ; čia χ 4
2a

t, dx = dt,

4ac-b2

, 2 / r>4
— =±n
(n φ 0).
4a
•
Kadangi a gali būti ir teigiamas, ir neigiamas, tai raide a pažymėję

reiškinį ±m2,

integralą

J f t ^ x , Vax 2 +bx + c^dx

pakeičiame vienu šių

integralų:

I.

Jm2I2

II. ^R[t,4m2t2

+n2^jdt;

(8)

-n2^jdf,

(9)

III. ^R{t,yln2-m2t2Jdt.

(10)

Sie integralai, atitinkamai parinkus keitinius, pakeičiami
nometrinių funkcijų integralais. Keitiniai gali būti tokie:
(8) integralui tinka keitinys t = —Igz
m

arba
V

(9) integralui-keitinys / = — secz = — - —
m
wcosz
(10) integralui - keitinys / = — sinz
arba
m
V
2 pavyzdys. Suintegruokime

dx

i

t = — ctg z ,
m
J
arba
V

t = ——
msinz

t = — cosz .
m
J

trigo-

S p r e n d i m a s . Šis integralas yra III
x = 3sinč, dx = 3costdt, gausime:
j*

i

dx

f

= ltg/+C =

9

3 cos t dt

_

Jf^W

A
—+C
9cos

=

'

tipo, todėl, parinkę

j*3cosidi _ 1 j*

keitinį

dt

»J
COS

2

t

A , sin '
+ C9- I - - J b + C VTwT
Π
Τ
1-

9

9

9-у9-

2

•+C.

•

3.7. Diferencialinių binomų integravimas
Reiškinys xm[a + bx")P dx vadinamas diferencialiniu

binomu",

a, b - bet kokios konstantos, m , n , p- racionalieji skaičiai.
Kalbėsime apie tokių reiškinių integravimą. Įrodyta, kad diferencialinio binomo integralas

^xm [a + bxn)P dx, kai m,

n, p-

racionalieji

skaičiai, išreiškiamas elementariosiomis funkcijomis tik tada, jeigu kuris
nors vienas iš skaičių:
1) P,

2)

n

3)

+p,
n
yra sveikasis (teigiamas, neigiamas).
Išnagrinėkime, kaip kiekvienu atveju integruojamas diferencialinio
binomo integralas.
1) Jeigu p yra sveikasis teigiamas skaičius, tai, panaudoję Niutono
binomo formulę, pointegralinę funkciją išreiškiame racionaliąja funkcija ir
ją žinomais metodais suintegruojame. Jeigu p < 0 , tai, parinkę keitinį
Vx = t,

X= S

(k - trupmenų m ir n bendrasis vardiklis), pointegralinę

funkciją išreiškiame racionaliąja funkcija.
r
2) Tarkime, kad p - trupmena, p = - , o
s
Reiškinį Xm (a+bx"ydx

tn +1
n

sveikasis skaičius.

pertvarkome pažymėję x" raide 2. Tada

m+1
j > ( a + bxn fdx=^

—+ ^
n

Kadangi

J ( a + bz)pz

- sveikasis skaičius, tai ą =

»

m +

n

~\z.

^ _ ] irgi sveikasis skai-

čius, todėl
jxm

(a + bx"Y

dx = I J ( f l + bz)pzUz

= I

J/?(z,(e +

bz)p)jdz.

Iš 3.5 skyrelio žinome, kad tokio tipo pointegralinė funkcija racionalinama
ts , t.y. a+bx" =

naudojant keitinį a+bz=

3) Tarkime, kad p = —
s

m

bei

+

ts.

- trupmenos, bet

n

^ L t l +p
n

_

sveikasis skaičius. Integralą pertvarkome:
|(fl + bz)pzUz

Kadangi p + q =

m +1

= ||

a + bz

:p+qdz.

1 +p - sveikasis skaičius, tai

n

^(a + bz)pz4z

= J f l L

o tokio tipo pointegralinė funkcija
a + bz
= ts , t.y. a+bx"=
χ"ts

a + bz

dz,

racionalinama,

naudojant

keitinį

2

r

-if
3

fJ

2 \~

^

1 +Jt 3

dx.

J

I

1
S p r e n d i m a s . Cia

m =

-— ,

2
n=—,

keitinį t = Ux , x = /3, dx=3t2dt,
Л i
1 \ -2

J'

1 +

V

JC

p=-2

((1) atvejis). Parinkę

gausime:

(ir

3

y

иM
Jil(- 2 ) 2

J

1

1

3
1
- - l T2 + C = C -

2 1+r

J(i

,

3

+ i

2

)2

- = C21 1 + V x 2

2 pavyzdys,

f

X

x

^

J V1-х

= fx3(l-x2)

2

2

dx .

J
1
n = 2, p = — ,
2

S p r e n d i m a s . Cia m = 3 ,

m +1
= 2-sveikasis

n

i
skaičius

((2)

atvejis).

Parinkę

keitinį

2

2

2

x= (l-i j2,

1-х = ? ,

l
2

2

dx = -[l-t )

χ

= C-

tdt,

gausime:

(2 + x 2 ) .

3

3 pavyzdys.

2

K^

=7 |x~ 2 (l + x 2 |

,

».
S p r e n d i m a s . Cia

m=-2

J

„

,

1

2dx.

j

„
n = 2 , p =

3
2
2

,

m +1
n
2

sveikasis skaičius ((3) atvejis). Parinkę keitinį l + x = 1 X

2

J

i.

χ = (t2 - l j 2 ; dx = ~[t2 - l j

X

=

2

J

l+x

2 tdt,

gausime:

2

2
Γ 1--ί' -dt =CW
J ί 22

1
'

. ^
1 = C-

JC
JlTx2

V1 + χ2

.
Vp=-Z

, χ2 =

tL

-1

3.8. Trigonometrinių reiškinių integravimas
Nagrinėsime integralus
cosx

J/?(sinx,cosx)i£t; čia R - kintamųjų sin χ ir

racionalioji funkcija. Si funkcija visada racionalinama
χ

keitinį

tg — = t,

sąlygos t g y = i

parinkus

kuris dėl šios priežasties vadinamas universaliuoju.

Iš

turime:
Idt

x = 2arctgi, dx =

2tg

f

— , sinx=

1+ i

l + tg2±
5
2

1-¾2!

—=

COSX =

2

1+ tg *
5
2

21

—=

—,

l +t

,-,2

T- .

i +t

Todėl
f/?(sinx,cosx)iZr =
1

[r\ ^ A r , ^ - A r \ R \ ( t ) d t .
J
J
u + t2
l+t
1 + t2

Nors universalusis keitinys
/?(sinx, c o s x ) ,
tiniais.

J

X
tg — = t

visada racionalina

funkciją

tačiau kartais ją galima racionalinti paprastesniais kel-

1) Sakykime, pointegralinė funkcija F (sinx, cosx) yra nelyginė funkcijos sinx
atžvilgiu (pakeitus funkcijos
sinx ženklą, pointegralinė
funkcija pakeičia ženklą), t.y.
R ( - s i n x , c o s x ) = -R (sinx, cosx).
. з
Tokia yra, pavyzdžiui, funkcija R (sinx, cosx) =
3
D,( - s i•n x , c o s x ч
R
) = (-sinx) =
cosx-3

cosx-3

, nes

s i n 3 x = -R (sinx,
, .
.
cosx).
cosx-3
^t

Tada tinka keitinys cosx = t, χ = arccos t, dx=
JT-

r

2) Sakykime, pointegralinė funkcija R (sinx, cosx)
funkcijos cosx atžvilgiu, t.y.
R ( s i n x , - c o s x ) = - R (sinx, cosx).

yra nelyginė

Siuoatvejutinkakeitinys sinx = i, χ = aresin t, dx =
V T ^ '
cosx
3) Sakykime, pointegralinė funkcija
cijų sin χ ir cos χ atžvilgiu, t.y.

R (sinx, cosx) yra lyginė funk-

R ( - sinx, - cosx) = R (sinx, cosx).
Pavyzdžiui, .R(sinx, cosx)= sin 2 x+3 sinx cosx+5 yra lyginė sinx ir
cosx atžvilgiu, nes
i ? ( - s i n x , - c o s x ) = ( - s i n x ) 2 + 3(-sinx)(-cosx)+5=
=sin2x +3 sinx cosx: +5 = R (sinx, cosx).
Tuomet tinka keitinys tgx = t,

χ = aretgt, dx =

tg x
t
,
= ,
, cosx =
y]l + tg2x
Vl + tz '

sinx =

1
V^Ttg 2 X

^t , ,
1+t
1
Vl + t2

I S m X dx.
J 'cos χ - 3
S p r e n d i m a s . Pointegralinė funkcija yra nelyginė funkcijos sinx atž1 pavyzdys.

vilgiu, todėl tinka keitinys cosx = t , sinx = V l - t 2 , dx=

^t
.
2
Vl-t

Tuomet
3
.3 „

2

11 — i "2 1 rfl
dt

Γ

fjūiiL A _ f ('-' ^
J cos χ - 3

-J

(-- 9 ) + о
t-3

COS2 X
2

J

i

(/-3)(1-г2)

Г dt
= J(i + 3)dt + 8 J y ^ -

I
ι
+3cosx+81n cosx-3 +C.

2 pavyzdys

•i

o

n

Л

J

t-3

гЛ

• • fiz£i*_ fiizl dt

i

=

J

t-3

t^
— +3i +8 In I ί-З I + C =

•

tie

2 sin χ + 5 sin χ cos χ - 2

S p r e n d i m a s . Pointegralinė funkcija yra lyginė sinx ir cosx atžvilgiu, nes

2(-sin χ) 2 + 5(-sin x)(-cos χ) - 2
Parinkę keitaų

tgx=/,

2sin 2 χ + 5sinxcosx - 2

dt

.
t
γ , sinx = - = = ,
1 + i2 '
Vl + / 2

dx =

cosx=

1
Vl + / 2

'

gausime:
dt
I + /2
2/ 2
Jl·^-^
2 s i n χ + 5sinxcosx-2
d/
J 2/-2 + 5 / - 2 - 2 / 2

5/

J4I + /

J 5/-2

2 +

5 J

I + /2

5/-2

5

I + /2
= | l n | 5 t g x - 2 | +C.
3 pavyzdys.

f

J 5 + 4 cos χ

χ
S p r e n d i m a s . Parenkame universalųjį keitinį t g — = /. Tuomet

2 dt
2

I-1
Idt
cosx = " \l , dx=
t
1 +1

f

dJ-

2

J 5 + 5/ + 4 - 4 / 2

.
ir

f
dx
Γ
i + t2
I-—
= IΊ
J 5 + 4cosx
J
I-/2
5 + 4·
1 + /'

—
= 2 *j——— = 2— ^fJ/2+9

2
2
J / +3

= 2—arctg— + C =
ё
3
3

χ
t g
2
i
^ a r c t g y 2 +C.

4 pavyzdys

dx

i Sin

3

X COS
•s χ
X

S p r e n d i m a s . Kadangii?(sinx, cosx)= — з
sm XCOSX
1

R ( - sin χ, - cos χ ) =
(-sinx)

1
= —τ
, tai
(-cosx)
sin χ cosx

R (sin χ , cosx) = R ( - s i n χ , - c o s x ) . Vadinasi, tinka keitinys
~
, ,
Tuomet αχ=

dt

=- , sinx = —=

1 + г2 '

t

1
, cosx = — ρ = ir
+ ί2

VTT7 '

Λ/Γ

dt
Γ

dx

Jsin xcosx

1+f
t

J

— d t
ί

J

,

fл

=

t

Γώ

-r-+

3

J ί

3

ί3

J

1 + t2

^i + ί212

_

ι

— = C

1 H2

Γ

3

Į1+t2j2

fi + ί 2

dt
2

Γ

3

ι

ι ι
+InIiI=C

T

,ι
ι
ζ - + I n ItgX I. A

Itg2X

It

J i

tgx = f .

dx

5 pavyzdys

•ΐ

sinx

χ
S p r e n d i m a s . P a n a u d o s i m e keitinį tg — = t .
„
I u o m e t sinx =

2t

,
Idt
.
=-, dx =
ir
2
1+t
1+t
r dx
J

=

sin χ

J

rdt
, į ι
,
— = In i + C = In
t

Gavome integralų lentelės 16 formulę
Kai kurie integralai

+ C.

A

J/?(sinx,cosx)<&

nesunkiai suintegruojami

naudojant trigonometrines formules
2
l + cos2x
cos χ =
,
2

. ,
l-cos2x
surx =

'

2

'

cos mx cos nx = I (cos (m + n)x + cos(m -rc)x),
sin rax cosnx = I ( s i n ( m + n)x + sin(ra - n)x),
sin mx sin/ix = I ( c o s ( m - n)x - cos[m + « ) x ) .
Jsin 4 χ dx.

6 pavyzdys. Raskime
Sprendimas.

I

1 - cos2x^2

Jsin 4 χ

dx = I

= J | s i n 2 x j dx =

1 - 2 c o s 2 x + cos 2 2xjc£c =

= i

^ Jiie - 2 Jcos 2 χ ifc+ -^- J(l + cos4x)čitj =

1 Γ
1
1
^
= - 4I x" — sin 2x л— ^dx н— Jcos Ax dx j =
ι Гχ - sin2x
· „ + ι—χ +ι—sin4x
. „ , +C
„
= —

:

1 f3
. „
I . .
= — — x - s i n 2 x + — sin4x
4l2
8

•

+C.

γ
7 pavyzdys. JsinIx cos5xdx = — J(sinl2x + sin2x)dr =
If

1

1
cosl2x — c o s 2 x + C = C
12
2
J

1

1
cos 1 2 x — cos2x.
24
4

4. Integralai, neišreiškiami elementariosiomis
funkcijomis
1.1 skyrelyje minėjome, kad kiekviena funkcija f(x ), tolydi kuriame
nors intervale, tame intervale turi pirmykštę funkciją. Kitaip sakant, tolydžių funkcijų integralai egzistuoja. Tačiau tai nereiškia, kad tolydžios funkcijos integralą visada galima išreikšti elementariąja funkcija. Kai kurių net
labai paprastų elementariųjų funkcijų integralai gali būti neelementariosios funkcijos. Tokius integralus vadiname „nesuintegruojamais", turėdami
galvoje, kad jų negalima išreikšti elementariosiomis funkcijomis.
Jau minėjome, kad integralas

J x m įa + bxn j^ dx neišreiškiamas ele-

mentariosiomis funkcijomis, kai nei p, nei
sveikieji skaičiai. Tokie pat yra ir integralai

(integralinis sinusas),

(Vsinx dx ,

J

m +

n

^ ; nei

m +

n

^ +p

je~x dx , Js"1*

nėra

dx =six

=ciχ (integralinis kosinusas), Jsinx 2 dx ,

f dx
I
=Iix (integralinis logaritmas) ir 1.1., kurių irgi negaJ Inx

Įima išreikšti baigtiniu elementariųjų funkcijų kombinacijų skaičiumi.
Vadinasi, tokie integralai minėta prasme yra „nesuintegruojami". Esti

integralų, kurie neišreiškiami elementariosiomis funkcijomis, tačiau daug
r

kur naudojami. Pavyzdžiui, toks yra integralas
tikimybių teorijoje. Integralas

Ie

- X

2

dx , plačiai taikomas

J s i n x 2 άκ naudojamas šviesos difrakcijos

klausimams spręsti.
Prie neapibrėžtinių integralų, kurių nepavyksta išreikšti baigtiniu
elementariųjų funkcijų kombinacijų skaičiumi, priskiriami
elipsiniai
integralai. Taip jie buvo pavadinti dėl to, kad pirmiausia su šiais integralais
teko susidurti apskaičiuojant elipsės ilgį (žr. V I skyriaus 5.3. skyrelį).
Elipsiniai integralai būna trijų tipų:
/ -

f

dx
2

Is

χ 2 dx

f

J^(l-x2)(l-it2x2)

"

dx
+ /zx2Uil-x2)(l-£2x2

čia 0 < / c < l , h gali įgyti ir menamąsias reikšmes. Jie vadinami pirmojo,
antrojo ir trečiojo tipo elipsiniais
integralais.
Z . Liuvilis įrodė, kad šie
integralai yra neelementariosios funkcijos. A. M . Ležandras" dar labiau
suprastino minėtus integralus, panaudojęs keitinį χ = sin φ ^O < φ < у ] :

f

*

.

Z2=-L

j Vl-It2Sm2 φ

t

--L f j T Š ^ į .
*

2

άψ

f

,2-2
I j l - к sin φ

f

J

*

" ί 1 + /гsin

φΜΐ-k

sin

Sie integralai taip pat vadinami pirmojo, antrojo ir trečiojo
elipsiniais
integralais.
Y p a č svarbūs ir dažniausiai taikomi integralai

φ
tipo

Ležandro

άφ

ί -Jl-k

F

1-k

2

sin 2 φ
sin

φ dų>.

Ž o z e f a s Liuvilis (J. Liouville, 1 8 0 9 - 1 8 8 2 ) - p r a n c ū z ų matematikas.
A d r i e n a s Mari Ležandras (A. M. Legendre, 1752 - 1 8 3 3 ) - p r a n c ū z ų matematikas.

Uždaviniai
1. Suintegruokite tiesioginio integravimo metodu:
a) j"sin2xVl + cos2 χ dx ;

In χ dx

b)

In 2 χ

χ
с)

sin 2 χ

ί cos

4

dx

arcsin -Jx

d)

3

χ\
(l + tg x)

dx ;

Vx-.
In ( χ + Vl-KX2

2

x

e) J(l + c t g x y ^ d x ;

f)

dx .

ί

Jux

2

2. Suintegruokite keisdami kintamąjį:
a)

d)

χ-Ί

J
i

dx ;

b)

Jl-x

Cjxdx

X Vx

c

J^+i '
j* χ5 dx

dx
2

c)

^

e)

z

J VTT^

+4

;

j* e3xdx

JVTTI '
Γ

dx

JxVTT

3. Suintegruokite dalimis:
a) Jxsinx dx ;

b) jVxlnx<£c ;

d) j|x 2 - 3x + l)e~xdx;

e

) ie

x

c) Jarcsinxtic
f) Jcos In xiic

cos χ dx ;

4. Raskite šiuos racionaliųjų funkcijų integralus:
a)

c)

e)

J
J
J

dx ;

b)

J

dx ;

X4 - 5 x

(x-l)iie

d)

х 2 (Х-2)(Х + 1)"
Зх + 5x +12
2

dx :

f)

χ +1

2

+4

f dx
r

JT Ti
Г

Зх+1

-dx .

J x ( l + x2)2

5. Raskite šiuos iracionaliųjų funkcijų integralus:
a)

J

-Jx dx

V + l

b)

+χ
2

ii-x i i

-

X

dx;

с) Jjc3Vl-X2

e)

J"

JxV
J

dx ;

dx

1 - 2 x + 7x 2

χ2 +4x

dx .

Vx2 + 2x + 2

ЪТ?

χ6

dx

6. Raskite šiuos trigonometrinių funkcijų integralus:
I c o s 3 χ Sin 3 Xiic ;
a) \fc

e) J8 - 4sinx
A + 7cosx
dx
2
^ 1
7cos x + 2sin~x

J

O

h)

J

J

Sin7X

iie ;

b)

л/27-j
;

3 + 5cosx
dx

J
J

3
5
i 'sin x Cos X

-Ixdx

c) Jx 7 e

dx

J

4

7. Suintegruokite:

a)

COS3X

d) Jsin3x sin7x<£e ;

c) Jsin 4 xdx ;

g)

b)

d)

dx

1 6 - χ 4

'

Jί*
J

dx

JV

dx

Sin X COS' X

e) Jln 3 Xiic;

g)

f)

sin2xiie
4

• 4

h)

e2x +ex +1

COS X + Sin X
χ arctg χ čir
i)

aresin χ
-dx ;

2

j) J l n
j)

( x + Vl+ χ \dx;

K f
k)

dx
5

2
2 3
1) J ^ j x -a j cie ;

χVx +9
m) J V l + sec Xiie ;

n)

J

(4-x)<±e

χ2 h x

2

+2x-4

Atsakymai
(l + cos2*)4/3; b) С— л/5 — In2 χ; с)|ΐη(ΐ + tg3x) + С; d) (arcsin-v/x)2 + С;

l. С

e) C- ectg*; f) ln2(x + J1 + χ 2 ) + C. 2. а) 10л/2 - χ +jyĮ(2-xf
b)

_

+ 2λ /7

-

+ C;

+ 6arctg^x + С; с) j ^ ' + l f ' J ^ *

+ 2л/777 + С; d

e) С- J ^ J

+

|į f r f

+ 1

f

+

--j J f T f ;

f) — arccos — + C. 3. a) sinx-χ cost +C; b)—X3^2I I n x — + C ; c) χ arcsinx +
•Vl-x 2 +C; d) (T^jx-χ2 j + C ; e)

e " (sinx-cosx)+C; f) y (cos Inx +

+sin Inx)+C. 4. a)x+ln

(x + lf(x-2)
χ-3
+ C; c) C — - + C; b)
7 -In
2x
3
x+3
- l)(x + 2)

--In |xI + — In|x-21
4
36

X-I
- — arctgx +C;
— + — I n U + l l ; d) -In
3(x +1)
9
4 x+l

3x +1
2
ч ^ V3
„ χ
9
5 X2 +1
e) C — — arctg
+ - arctg χ + -ln-j-^-; f) In |x I- —ln(l + χ j • 2
>(x + l)
3
3
3
4 4
X - In X4 +1
+ — arctgx+ C. 5. a) —
/

\

\5

Jh-χ2 )

+j

;

^

Гl + x
+ C; b) J+ C; c) C
-H
!

+ C; e)-

In
χ + •J\-2x + 1

l-xz

+

+ C;

5x5
4

—

4

-

4
4
χ +1 + Jx 2 + 2x + +
2 C. 6. a)—Cos X—cos x + C;
f) —(x + 5)4 x2 + 2x + 2 --In
' 15
7

b)

1

1

4 sin4x

6 sin6x

e) In

tgy-5
tg--3

1 Γ sin4x
4sin2x + 6x|; d) — sin4x- — sinIOx+ C;
+ C; c) C+
161 2
J
8
20
,g

+ C; f)
; -In
4

χ
2
+ C; g) - j = arctg . - t g x +C;
Vl4

2

h) 4^/tgT + C. 7. a) l a r e s i n J + C ;

c) C - -

b) A-In

2+χ
+ ±arctg£+ C ;
2-х

(x6 + 3x4 + 6x2 + б) ; d) 2y[tįx + C; e) x(ln3x-31n2x + όΐηχ-б) + C;

f) С

χ

arcsinx- In 1 +Vl-X

h) x-ln(2+ex
^

2

+2-Jl + ex +e2x)

; g) С - arctg (cos 2x);

>

+C;

i)

. * , + - arctgx^rctSx + C;
4(1 + * 2 )
4
2Į1 + x j

Vx5 + 9

3+
2
In
j) .vIn2(x + Vl + x 2 ) — 2t]\ + x2 In^x + Vl++χ2x
) + С; к) C
2
'
15
V^
,. 1
I 2 2\3
1) — X^X -a j

3α χ Π
2 3a 4 , f
Π
—νχ- -a + —^-ln^x +V*

m) C + 2arccos|Včosxj ; n)

Зх" + 2х - 4
+ С.

2
-a

+ С;

APIBRĖŽTIMS INTEGRALAS IR
JO TAIKYMAS

1. Apibrėžtinio integralo sąvoka
1.1. Kreivinės trapecijos plotas ir apibrėžtinio integralo
sąvoka
Sakykime, kad atkarpoje [a; b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija
f(x). Figūra, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų - tiesių χ = a ir
χ = b, iš viršaus - funkcijos f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija (102 pav.).
Apskaičiuosime šios trapecijos plotą. Atkarpą [ a; b ] taškais
a=x(i<x
!<...
< Jt;_i<x, <... <x„= b bet kaip padalykime j n dalių.
Kiekvienoje dalyje bet kur pasirinkime po tašką c, ir suraskime funkcijos
reikšmę/(c,) šiame taške. Kiekvieną atkarpą [*, _!; Xi] laikydami kraštine,
nubraižykime stačiakampį, kurio pagrindas Axi= Xį-Xi_\, o aukštinė lygi
f(cį) [i = 1, n). Gausime laiptuotą figūrą
(103 pav.). Apskaičiuokime jos plotą.
Kiekvieno stačiakampio plotas lygus
f(ci)Axį, todėl visos laiptuotos figūros
plotas σ lygus tokių dėmenų sumai.
Taigi
n
Γ Δχ

σ = Σ/( /) < ·
ί=1

Aišku, kad laiptuotos figūros plotas
bus tuo artimesnis kreivinės trapecijos

y=W

0

a

103 pav.
plotui, juo bus mažesnės atkarpos [JC,_I ;

. Pažymėkime тахДх,· raide λ .

Tikslią kreivinės trapecijos ploto reikšmę S gausime apskaičiavę sumos σ
ribą, kai λ —> 0 (tuomet n neaprėžtai didėja). Vadinasi,
и
5 = Iim σ = Iim V / ( c . · ) Axi .
λ->0

Aprašytą

procedūrą

λ->0

pritaikykime

(1)

'

bet

kokiai

tolydžiai

funkcijai

apibrėžtai atkarpoje [a; b ]:
n
1) sudarykime sumą ^ / ( c , · ) Axi , kuri vadinama Rymano'

f(x),

integraline

1=1

suma;
2) apskaičiuokime šios sumos ribą, kai λ -> 0 :
n
Iimi Y f (Ci) A Xi .
Apibrėžimas. Jei egzistuoja baigtinė integralinės sumos riba, kai Л
nepriklausanti nuo atkarpos [ a; b ] skaidymo būdo bei nuo parinktų taškų
CĮ, tai ta riba vadinama funkcijos F(X) apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a; b ].
Apibrėžtims integralas žymimas simboliu"
b

\f(x)dx.
a
Taigi
b

n

\f(x)dx =Wm^f(Ci)Axi.

(2)

λ—>0
a

'-I

Skaičiai α ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu integravimo rėžiais.
Georgas Fridrichas Bernhardas Rymanas (G. F. B. Riemann, 1826 - 1866) - vokiečių
matematikas.
Taip žymėti pasiūlė prancūzų matematikas Žanas Baptistas Zozefas Furjė
(J. B . J . F o u r i e r , 1 7 6 8 - 1 8 3 0 ) .

(2) formulė rodo, kaip galima formaliai integralinės sumos ribą
pakeisti apibrėžtiniu integralu: pirma, ribos ir sumos ženklas keičiami
b
simboliu j , antra, funkcijos reikšmė tarpiniame taške /(c,) keičiama f(x), o
a
dydis A Xi - reiškiniu dx. Šią pastabą vertėtų įsidėmėti, nes tokiu būdu
toliau ne kartą nuo integralinės sumos pereisime prie apibrėžtinio
integralo.
Jeigu funkcijos f(x) integralinė suma turi baigtinę ribą, tai funkciją
vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [ a; b ] arba integruojama
atkarpoje [a; b ].
i
Pavyzdys. Taikydami apibrėžimą, apskaičiuokime fx2dx .
o
S p r e n d i m a s . Šiame pavyzdyje/(JC) =x2, a = O, b = 1; atkarpą [0; 1]
padalijame į n lygių dalių:
л
'-O
1
v. . τ—
Δ Xį =
= — ; cia ι = \,n.
n
n
Gauname tokius dalijimo taškus: x0 = 0, x\ = — ,X2= — , . . . , Jt,·_i = - — ,
n
n
n
XI=

i
Yi
— , ... , XN= — = 1. Tašką c, parenkame per vidurį tarp taškų jc,_i ir
n
n
i-1 | i
+

Xj, todėl j o koordinatė lygi

2

2
Apskaičiuojame/(c,)=

——
2n

. Vadinasi, c, = —

2

— = ——-.
2n

. Tuomet

n

2
2
2
2
2
i (li-\) _ 1 +3 +5 +...+ (2k-1)

P(Ci)Axi=^

;_l

Pasinaudoję

/=1

4« 3

4/73

I 2 + 32 + 5 2 + ... +(2л-1)2

formule

i,^4n2 - lj
j

apskaičiuojame integralą:
į 2 ,
" K " 1 ) 1
4„2-l
4
1
\x ax = Iim —
-r- - = hm
j- = — = —.
z
Q
«->00 3 • 4n
«->00 I2n
12
3

A

Iš (1) formulės išplaukia, kad kreivinės trapecijos (102 pav.) plotas
b
S=

\f(x)dx.

Tai ir yra apibrėžtinio integralo geometrinė prasmė. O kokia j o
fizikinė p r a s m ė ?
T a r k i m e , k a d taškas j u d a skaičių tiese tiesiai tolydžių greičiu v(f);
t e [/ 0 ; Т]. T u o m e t per t r u m p ą laiką Ati = ί, - ί,·_i jis nueina apytiksliai
v(c;) · Δ i, kelią; čia c, e [ Z i i ; f,·]. Kelias s , nueitas per laiką nuo t0 iki T, bus
n
apytiksliai lygus sumai Σ v(c, )Δ/, , o tiksli kelio reikšmė bus jau integralas
/=1
τ
s =
jv(t)dt.
'o

Dabar išsiaiškinsime, kokios turi būti sąlygos, kad integralinė suma
turėtų baigtinę ribą. Aišku, kad funkcija f(x) turi būti aprėžta, nes
priešingu atveju, jei ji atkarpoje [я; b] būtų neaprėžta, tai tokia ji būtų
kuriame nors daliniame intervale, kartu neaprėžtas būtų ir dėmuo
f(Ci) AXi, atitinkantis tą intervalą. Tokia integralinė suma baigtinės ribos
neturėtų. Taigi funkcijos f(x) aprėžtumas yra būtina jos integruojamumo
Rymano prasme sąlyga. Kaip žinome, šią sąlygą tenkina tolydi atkarpoje
[ a; b ] funkcija.

1.2. Darbu* sumos
Išnagrinėkime dar dvi integralines sumas, šiek tiek paprastesnes už Rymano sumą. Pažymėkime:
Mi = sup{/(x)|, χ e [x, _i -,Xi],
ra, = i n f j / ( x ) J , χ € [jCį-ь Xi],

i = \,n.

Sudarykime sumas
n
S =

YjMiAxi,
;=1

n
s = Y^ml • Axi.
(=1
Pirmoji jų vadinama viršutine Darbu suma, antroji - apatine
suma. Kadangi
ra, < f(Ci) < Mi,

*

Ci E [x,_| -,Xi],

v

Ž a n a s G a s t o n a s D a r b u (J. G. Darboux, 1 8 4 2 - 1917) - prancūzų matematikas.

Darbu
(3)

tai teisinga nelygybė, kuri g a u n a m a padauginus (3) nelygybės narius iš
Axi > O ir susumavus juos pagal i :
n
n
n
JjMi-Axi
< JjI(Ci)Axi
< X MiAxi , t.y. s < σ < S .
(4)
/=I
;=1
ί=1
Geometriškai apatinė suma i lygi laiptuotos figūros, esančios kreivinės
trapecijos viduje, plotui (104 pav.), o viršutinė suma S - laiptuotos figūros,
kurios viduje yra kreivinė trapecija, plotui (105 pav.).

1.3. Darbu sumų savybės
Įrodysime tris šių sumų savybes.
1 savybė. Prie turimų skaidinio taškų pridėjus naujų, apatinė
Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė - tik sumažėti.
Į r o d y m a s . Tarkime, kad tarp taškų x,:_i irx, (i = \,n) pažymėtas dar
vienas dalijimo taškasx,_i < χ < χ,. Pažymėkime:
m, = inf j / ( x ) J , χ e [x;_, ;x f ] ,

coi = inf{/(*)} , Χ e [x,_i;x] ,
W2 = inf j / ( x ) J , X G [χ;χ,· ] ,
J - apatinė Darbu suma, atitinkanti naują padalijimą. Aišku, kad ω ! > m,
ir CO2 > m,.
Sumos s ir 7 skiriasi tik tais dėmenimis, kurie atitinka dalį [x,_i; x ( ]:
sumoje s - tai dėmuo m, (x, -x, _i), o sumoje J - du dėmenys: coi ( χ -χ,·_ι )4+ ω 2 ( χ , _ι - χ ). Kiti sumų i ir 7 dėmenys vienodi, todėl
7-s=

C0]|x-x,-_i | + ω 2 | χ / - x ) - m , ( x ; · - x , _ i )

= ω](χ-χ ; ·_|) + ω 2 (χ,· - χ)-m,(χj
= (χ -x,'_])(cO] -mi) + (xi -χ)(ω2

=

- χ + χ -χ,·_ι) =
~щ).

Kadangi
J-

Χ - XI _Χ > 0 ,

s > 0 , t.y.

sąryšį.

> 0,

XI-X

J > s . Analogiškai

> 0 ir

Щ-MI

įrodytume viršutinių

(о 2 -т г · > 0, tai
Darbu

sumų

•

2 savybė. Apatinė Darbu suma yra ne didesnė už viršutinę, net jeigu jos
atitinka skirtingus atkarpos [a\b] skaidinius.
Į r o d y m a s . Darbu sumas, atitinkančias vieną skaidinį, pažymėkime
raidėmis Si ir S b Darbu sumas, atitinkančias kitą skaidinį -S 2 ir S2 ir Darbu
sumas, atitinkančias skaidinį, sudarytą iš pirmojo ir antrojo skaidinio
taškų - s3 ir S 3 . Tuomet remdamiesi (4) nelygybe ir tik ką įrodyta savybe,
galėsime parašyti: S1 < s 3 < S 3 < S2.
Taigi S i < S2. Savybė įrodyta.

•

Įsitikinome, kad visa apatinių sumų aibė {s} aprėžta iš viršaus bet
kuria viršutine suma S, todėl egzistuoja tos aibės tikslusis viršutinis rėžis
sup {s} = / , be to, / < S; analogiškai dėl viršutinių sumų aibės {5}
aprėžtumo iš apačios dydžiu /

egzistuoja tos aibės tikslusis apatinis rėžis

inf {S} = I , be to,
/ < I . Įrodėme dar vieną savybę.
3 savybė,

s < / < 7 <S .

(5)

1.4. Rymano integralo egzistavimo sąlyga
Teorema. Funkcija f(x) atkarpoje [a·, b] integruojama
Rymano prasme tada ir tik tada, kai kiekvieną ε > O atitinka toks
skaidinys, kad
S-s

(6)

< z.

Į r o d y m a s . Būtinumas. Tarkime, kad funkcija integruojama, t. y.
egzistuoja Iim σ = /. Vadinasi,
λ->0

Vs > O 3 δ > 0: λ < δ = > I σ - / I < - ,
2
σ-Ι I < - о / - - < в < /
2

+

2

ε

2

Fiksuokime atkarpos [α; b] skaidinį, tuomet sumos s ir S bus
pastovios, o suma σ kis. Aišku, kad sumos s ir S bus sumų σ aibės tikslusis
apatinis ir viršutinis rėžis. Todėl
I-

- < s < σ < S <1 + - .
2

Iš šios nelygybės išplaukia:
S < I + —,s > I - —.
2

2

Iš pirmosios nelygybės atėmę antrąją, gauname: S - s <
reikėjo įrodyti.

ε . Tai ir

Pakankamumas. Tarkime, kad (6) sąlyga teisinga; tuomet iš (5)
išplaukia, kad
L = 7Jų bendrąją reikšmę pažymėkime raide I , t. y.
turėsime s < / <S.

/ = / = / .

Iš (5)

Iš anksčiau žinome, kad s < σ < S. Kadangi dydžiai / ir

σ yra tarp s ir S, kurių skirtumas mažesnis už ε , kai Axi pakankamai maži,
tai I / - σ I < ε tuo labiau, o tai reiškia, kad
Iim σ = I .
λ->0

Taigi funkcija/(x) integruojama atkarpoje [a; b] .

•

Paminėsime vieną įdomų dalyką. Įrodinėdami pakankamumą, gavome
sąlygą

/

= 1 = 1, kuri

kartais

laikoma

funkcijos

integruojamumo

atkarpoje apibrėžimu. Sis apibrėžimas ir ankstesnis λIim
->0 σ

= I yra ekvi-

valentūs. Prisiminę, kad ω , = M , - m , , apskaičiuojame skirtumą S-s:
n
n
S-s = J(Mį
-mAAxi = Jj(S)i Axi .
i=1
/=1
Tuomet funkcijos integruojamumo sąlygą galėsime užrašyti taip:
n
\/ε > O Ξ δ > O: λ < δ = > Jai-Axi
< ε.
;=1

Dabar šią sąlygą pritaikysime išsiaiškindami, kokių klasių funkcijos yra
integruojamos.

1.5. Integruojamųjų funkcijų klasės
Pagrindinę integruojamųjų funkcijų klasę sudaro tolydžios
atkarpoje [a ; b ] funkcijos.
1 teorema. Tolydi atkarpoje [ a; b ] funkcija f(x) yra integruojama Rymano prasme.
Į r o d y m a s . Kadangi funkcija /(x) tolydi atkarpoje [a\b], tai jai
galima pritaikyti Kantoro teoremos išvadą, kad funkcijos svyravimas
i - tajame intervale ω , gali būti kiek norima mažas. Todėl Ve > O 3 δ > O:
Axi < δ =>
=> ω, < —-— . Tuomet
b- a
"

J a
/=1

i

• Axi

ε

<
b

-

"

JAxi
α

/=1

ε

=
b

(b -a)

-α

ο tai reiškia, kad funkcija f(x) yra integruojama.

A

= ε,

2 teorema. Monotoniška atkarpoje [ a ; b ] funkcija f(x) yra integruojama Rymano prasme.
Į r o d y m a s . Tarkime, kad funkcija/(x) yra didėjanti. Jos mažiausioji ir
didžiausioji reikšmės daliniame intervale [xt , x, ] bus lygios:
m, = f(x,-\), Mi = fix,).
Tuomet
S-s=

= (f(xi)-f(Xid

i(f (X1) ~f (Xl^)AXi
i= 1

+Kx2) -KxO +/(Xi) - f(Xi)+ - +

-f(xn~ι)) ΔΧ, =

+ f(XN)

=

(f(XN)

-

f(XO))AXĮ

= (f(b) -/(fl)) Ax 1 .

Kai Axi
0 , tai aišku, kad ir 5 - s -» 0. Teorema įrodyta. •
Apibrėžimas. Funkcija vadinama dalimis tolydžiąja atkarpoje [a; b],
kai ji šioje atkarpoje turi baigtinį kiekį pirmojo tipo trūkio taškų.
1 teoremos rezultatą apibendrina tokia teorema (ją pateikiame be
įrodymo).
3 teorema. Dalimis
Rymano prasme.

tolydi atkarpoje [ a ; b ] funkcija yra integruojama

1.6. Apibrėžtinio integralo savybės
Sakykime, kad/(x) ir g(x) - integruojamos atkarpoje [a;b]

funkcijos.

Tuomet teisingi šie teiginiai:
b
b
b
1. J(a/(x) + Pg(x)) dx = α |/(χ)ί& + β Jg(x) dx ; čia α , β - bet kokie
a
a
a
realieji skaičiai.
Į r o d y m a s . Pritaikę integralo apibrėžimą, gauname:
b
n
J ( q f ( x ) + ^x))dx
= Iim ^ ( « / ( c , ) + pg(c,)) A x,· =
o
n
n
b
b
= α Iim Y f ( C i ) A x i + P l i m ^ g ( C j ) A x , = α|/(χ)ί&; + β Jg(x)i& . •
^0I=I
a
a
b
2. Įvesdami apibrėžtinio integralo ^f(x)dx sąvoką, darėme prielaidą,
a
kad a < b. Kai b < a, tai sutarsime, kad
b
\f(x)dx =

a
-\f(x)dx.

a

b

a
Dar paminėsime, kad pagal apibrėžimą ^f(x)dx
a

= 0.

3. Kad ir kokie butų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė
b

c

|/(X)Ū6C =

Jf(x)dx +

b

a

a

\f{x)dx,

jei tik visi trys integralai egzistuoja.
Į r o d y m a s . Sakykime, kad a < c < b . Minėjome, kad integralinės
sumos ribos reikšmė nepriklauso nuo [ a ; b ] skaidymo į dalis, jei tik
funkcija integruojama. Todėl atkarpą [a; b] galima suskaidyti j dalis taip,
kad taškas c būtų dalijimo taškas. Tuomet
b

c

Jf(Ci)Axi

a

b

=Jf(Ci)Axi

+ Jf(Ci)Axi

.

a

Perėję prie ribos, kai λ
0 , gauname reikiamą lygybę.
D a b a r tarkime, kad taškas c yra atkarpos [ a ; b ] išorėje, pavyzdžiui,
a < b < c . Tuomet, remdamiesi tik ką įrodyta savybe, galėsime simboliškai
(kad būtų trumpiau) rašyti:
c
b c
b
c
c
c
b

J=M ^ y - J=J- J = f +

a

a

b

a

a

b

a

c

M

4. Jei/(x) > 0 atkarpoje [a; b ] , tai
b
\f(x)dx> 0.
a
Į r o d y m a s . Kadangi bet kuriame atkarpos [a; b] taške c, /(c,) > 0 ir
b
Axi > 0, tai J f [cį)Axj > 0. Perėję prie ribo£ kai λ —> 0 , gauname
a
reikiamą nelygybę.

•

5. Jei /(x) > g ( x ) atkarpoje [a; b ], tai
b
b
\f(x)dx> |g(x)cfe.
a
a
Į r o d y m a s . Iš nelygybės f(x) >g(x) išplaukia nelygybė f(x)-g(x)
Tuomet pagal 4 savybę
b
b
b
J ( / ( x ) - g ( x ) ) < & > 0 , t . y . \f(x)dx>\g{x)dx.
a
a
a
6. Tarkime, kad m =

min f(x),

M =

•

max f (χ). Tada
xĄa-,b\

> 0.

m(b -a) <

\f(x)dx <M(b-a)

.

(7)

a
Į r o d y m a s . Kadangi m < /(c,) < M ir Ax1 > O, tai
Σ

m A x

i

Σ

^

/=I

/(с,- )Δχ(· < Σ

/=1

·

(8)

(=1

η

η

Apskaičiuosime sumą JmAxi

=InjAxi

/=1

= m(b -a).

Dabar aišku,

/=1

kad, perėję prie ribos (8) nelygybėje, gauname (7) nelygybę. •
7. Vidurinės reikšmės teorema. Sia savybe remiamasi dažnai, todėl ją
suformuluosime kaip teoremą.
Teorema. Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [ a ; b], tai egzistuoja tos
atkarpos taškas c, kuriame b
\f(x)dx=f(c)(b-a).
a
Į r o d y m a s . Kadangi funkcija tolydi atkarpoje [ a ; b], tai ji šioje atkarpoje įgyja mažiausią ir didžiausią reikšmę m ir M , todėl m < /(x) < M.
Tuomet teisingos (7) nelygybės. Padaliję jas iš b - a > O, gauname:
m <

й

I

\f(x)dx<M.
a

{

Dydis

a

b

f f ( x ] d x yra tarp funkcijos/(x) mažiausios ir didžiausios

b-a

J

a
reikšmių m ir M , taigi pagal teoremą apie tolydžios atkarpoje funkcijos
tarpinę reikšmę jis yra funkcijos/(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pavyzdžiui,
kuriame nors taške c. Todėl
1
b-a

6
J

ff{x)dx

= /(c);

a
iš čia
b
\f(x)dx=(b-a)f(c).
•
a
vadinama vidutine funkcijos /(x) reikšme atkarpoje

Reikšmė /(c)
[a; b].
1 pavyzdys. Įrodykime, kad

2 < JA/4 + x2dx < V Š .
o

S p r e n d i m a s . Apskaičiuosime tolydžios atkarpoje [0; 1] funkcijos
fix) = л/4+ χ 2

f

reikšmes ra ir M . R a n d a m e f'(x)=

(x)> 0 atkarpoje [0;1], tai funkcija J 4 + x2

.
2
л/4 + X

. Kadangi

šioje atkarpoje didėja,

todėl mažiausią reikšmę ra ji įgyja kairiajame atkarpos gale, o didžiausią
reikšmę M - dešiniajame. Taigi
m

= / ( 0 ) = V ? = 2, M=f(

1) = л/4 + 1 = V Š .

Vadinasi,
2 < }л/4 + x2dx < V Š .
o

•

2 pavyzdys. Įvertinkime integralą
2π
r

J
CtX

P л/5 + 2 sin χ
S p r e n d i m a s . Apskaičiuosime tolydžios atkarpoje [ 0 ; 2 π ] funkcijos
f(x) =

=- reikšmes ra ir M. R a d ę / ' fx) = л/5 + 2 sin χ
J{5 + 2smx)3

išsprendę lygtį
f{x) kritinius

/ ' (χ) = 0 , t.y.
taškus

/(2π) = - į , , / ( f ) =

7t
—
Z

cosx = 0 , kai χ e [0; 2π] nustatome

Зя
ir — .
Z

, / ( ¾

bei

Toliau

=

I
apskaičiuojame: / ( 0 ) = - = · ,
yj 5

Aišku, kad ra = - ^ , M

f

J= .

Todėl, pritaikę (7) formulę, gauname
2π

<

V7 ~

abr
J л/5 + 2 sin χ

<

2π

^

~ 7з '

2. Niutono ir Leibnico formulė
2.1. Integralas su kintamu viršutiniu rėžiu
Jei funkcija/(x) integruojama atkarpoje [a; b ], tai ji bus integruojama
χ
ir atkarpoje [α;χ], x e [ a ; b]. Nagrinėsime integralą jf(t)dt,
kuris
a
geometriškai reikštų kreivinės trapecijos (106 pav.), turinčios kintamą

kraštinę AB, plotą. Aišku, kad
tokios trapecijos plotas bus kintamas ir priklausys nuo χ. Todėl
X
\f(t)dt = φ(χ).
a

0 σ

χ

χ+Δχ

Teorema.

b χ

106 pav.

Jei

funkcija

f(x)

[a; b],

tai

tolydi

atkarpoje

(Φ(χ))'

= f (χ) šios atkarpos taš-

kuose.

Į r o d y m a s . Kintamajam χ suteikiame pokytį Ax ir apskaičiuojame
pokytį Δ Φ :
χ+Δχ

Δ Φ = Φ ( χ +Δχ) - Φ (*)

χ

χ

= J-J = J+

χ+Δχ

χ

J-J=

χ+Δχ

{/(Ή·

χ+Δχ

Integralui

\f(t)dt taikome vidurinės reikšmės teoremą:
χ+Δχ

ΔΦ =

\f(t)dt =f(c)(x

+

Ax-x)=f(c)Ax;

čia c yra tarp je ir χ + Ax . Tuomet
ΔΦ
Ax

_

f (c) Ax
Ax

=M-

Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu:
/ ,
ΔΦ
,ч
Φ'(χ) = Iim
= Iim f (c).
Δχ—>0 Δ χ

Δχ—>0

Kadangi с -> χ, kai Δχ —> 0, tai dėl Дх) tolydumo
Iim f (с) = Iim f (с)
Δχ-»0
с—>x

=/(x).

Taigi
Ф'(х)=/(х).

А

Ši lygybė reiškia, kad funkcija Ф(х) yra funkcijos /(x) pirmykštė
atkarpoje [ a ; b ].
Iš to gauname svarbią išvadą: kiekviena tolydi atkarpoje [ a ; b ]
X
funkcija f(x) turi pirmykštę funkciją Ф(х) = J / ( / ) dt.
a
Taigi įrodėme dar V skyriaus 1.1 skyrelyje suformuluotą teiginį apie
pirmykštės funkcijos egzistavimą.

2.2. Niutono ir Leibnico formulė
Išvesime svarbiausią matematinės analizės formulę, kuri apibrėžtinj
integralą susieja su pointegralinės funkcijos pirmykšte funkcija.
Teorema. Jeifunkcija f(x) tolydi atkarpoje [ a ; b ] ir F(x) - kuri nors jos
pirmykštė šioje atkarpoje, tai
b
\f(x)dx =F(b) - F (a).
a
Į r o d y m a s . Remiantis ankstesne teorema, galima teigti, kad tolydi
л
atkarpoje [a; b] funkcija f(x) turi pirmykštę, lygią J / ( i ) dt. Kadangi pagal
a
sąlygą F(x) irgi yra funkcijos /(x)
pirmykštė, tai jos turi skirtis tik
konstanta, todėl
X
I f (t) dt =F(x) + C.
a
Įrašę į šią lygybę reikšmę χ = a , gauname:
a
jf(t)dt

= F (a) + C,

a
O = F(a) + C,
Taigi

X
jf(t)dt

= F(x) -F(a).

C = -

F(a).

Vietoj χ įrašome reikšmę b:

a
b
\f(t)dt = F(b)-F(a).

A

Ši formulė vadinama Niutono ir Leibnico formule. Skirtumą

F(b)-F(a)

įprasta žymėti F(x)' Ъ . Tuomet Niutono ir Leibnico formulė rašoma taip:
b
\f(x)dx = F (b) - F (a) = F(x)
a
K.

1 pavyzdys. Apskaičiuokime

Ij — L — + cosx j Λ .
^VcoszX
J

S p r e n d i m a s . Kadangi — p- i r m y k š t ė lygi tgx, o cosx pirmykštė
COS X
lygi sinx, tai

f — L — + cosx )dx = (tgjc + sinx)
J
v COS X
'
O
= ( t g f + s i n f ) - ( t g O + sinO) = l + ^ .
2

pavyzdys. Apskaičiuokime

•

funkcijos f(x) = 10 + 2 sinx + 3cosx

vidutinę reikšmę atkarpoje [0; 2π].
Sprendimas.
2π
2π
(l Ox + 2 cosx-3 sin χ)
О

j( 10 + 2sinx + 3cosx)i/x
_ O
Ac)
2π - О
20π
2π

2π

= 10.

3. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimo metodai
3.1. Kintamųjų keitimo metodas
Šis metodas pagrįstas tokia teorema.
b

1 teorema. Tarkime, kad integrale j/(x)<ix kintamasis χ pakeistas pagal
a
formulę χ = φ(ί). Jeigu:
1) Дх) tolydi atkarpoje [a; b],
2) φ(ί) ir tp'f / ) tolydžios atkarpoje [ α ; β ],
3) φ(ί) reikšmių aibė yra atkarpa
b

tai

[a; b], be to, φ ( α ) = a, φ (β) = b ,

β

\Ąx)dx=

//(φ(ί))φ'(ί)Λ.
α

α
Į r o d y m a s . Sakykime, kad F(x) - funkcijos/(x) pirmykštė atkarpoje
[a; b]. Tuomet, panaudoję Niutono ir Leibnico formulę, gauname:
b

\f(x)dx = F(b) -F(a)
a
β
β
= J^(cp(0) = {^'(ср(О)л.
a

= F(<p(P)) -F(q>(a)) =

a

Išvestinę F'(cp(i)) apskaičiuosime, taikydami sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę

ί-'(φ(0) = / ( φ ( 0 ) φ ' ( 0 ·
Vadinasi,

b
\f{x)dx =
a

β
//(φ(/))φ'(ί)ώ.
α

64

1 pavyzdys. Apskaičiuokime

-η=—^= .
J-v/X+VX

S p r e n d i m a s . Kintamąjį pakeiskime taip, kad išsitrauktų abiejų rūšių
dx = 6t5dt.

šaknys: tfx = t, χ = t'\ Tuomet

Į keitinį

§Jx = t vietoj χ

įrašome skaičius 1 ir 64: л/Г = t, л/б4 = i; iš čia t = 1 ir t = 2. Todėl
64

2

f

dx

,

2

f bt dt

=

=6

JvrT/r J777
1

f

.

1

3

2

3

2

,

s ft dt

2
z

f|

=6

J7TT JI
1

i

t

1

2

-t

+

I - - L dt =
t+\

+ ? - lnl/ 1+1|
1

Baigti siūlome skaitytojams.

•

2 pavyzdys. Apskaičiuokime

χ2 dx .

S p r e n d i m a s , χ = a sini, O < t < — , dx = acostdt.
įrašoma O ir a:
i =

a sini = O, a sini = a;

Į keitinį vietoj χ

iš čia sini = O, sini = 1 ir i = O,

—. Tuomet
2

JVo2 -X

1

dx =

JVa2 - a2 sin2 t a cost dt =

π
Л 2

= a2 Jcos 2 tdt = A- J(l + cos2i)t/i = A-^i + ^-sin2i2
2 teorema.
funkcija. Tuomet

Tarkime,

\f(x)dx =

kad f(x) - io/ydi atkarpoje

_

[ - α ; a ] (a > 0)

2 J / ( x ) dx , kai / ( x ) - lyginė funkcija;
O
O,

kai / ( x ) - nelyginė funkcija.

Įrodymas.

a

О

J/(X)Ū&C =

| / ( Χ ) Ί &

a
J/(x)atc.

+

-a
-a
O
P i r m a j a m e integrale p a k e i s i m e k i n t a m ą j į : Χ = -1, dx = - dt. K a i
χ = - a, tai iš χ = - / gauname t = a, o kai χ = O, tai iš tos pačios lygybės
turime t = O, todėl
O
|/(x)Jx
-α

O
= - / / ( - 0 dt =
α

α
\f(-i)dt
O

=

α
J/(-x)A.
O

Tuomet
a
a
a
a
\f(x)dx = J/(-x)i/x + //(д)оЬг = J ( / ( - x ) + /(x))i/x.
-a
O
0
0
J e i / ( x ) - lyginė funkcija, t a i / ( - x ) = /(x) i r / ( - x ) + /(x) = 2/(x). Jei
/(x) - nelyginė funkcija, tai /(-x) = -/(x) ir /(-x) + /(x) = O. Iš to ir
išplaukia reikiama lygybė. •
3 pavyzdys. Įrodykime, kad
A+T

jf(x)dx
a
nepriklauso nuo a, kai /(x) - tolydi ir periodinė funkcija, kurios periodas
lygus T.
a+T
0
T a+T
j/(x)ūtc = J + j + J .
a
a
0
T
a+T
Apskaičiuosime
\ f(x)dx:
Sprendimas.

τ
χ - T = z, dx = dz,

X
Z

T
0

a+T
a

a+T
a
\f{x)dx =
\f(z+T)dz.
T
o
Kadangi funkcija/(x) yra periodinė, tai f(z + T) = /(z), todėl
a+T
a
a
\f(x)dx = \f(z)dz = J f(x)dx.
τ
0
0
α+γ

Taigi

jf(x)dx
a

0
T a
a
T
a
T
= J + J + J = - J + J + J = J f(x)dx,
a

0

0

0

0

0

0

o tai reiškia, kad duotasis integralas nepriklauso nuo a.

•

3.2. Integravimas dalimis
Šis metodas pagrįstas tokia teorema.
Teorema. Sakykime, kad u(x) ir v(x) - diferencijuojamos
[a; b] funkcijos. Tuomet
b
b
judv = uvb- Jvc/м.

atkarpoje

a
a
Į r o d y m a s . Panaudoję lygybę d(uv) = udv + vdu bei Niutono ir
Leibnico formulę, gauname:
b
b
jd(uv) = uvb = j(udv + vdu).

Taigi

b
b
judv + Jvdu =

UV

; is cia
b
judv = uvb— jvdu .
a

•

a

e
Pavyzdys. Apskaičiuokime Jxlnxdx .
i
S p r e n d i m a s . Pažymėsime Inx = u, o xdx = dv. Tuomet du = -jdx
ir V =

2
c
\xdx = -y- •

e
jxlnxdx --

e
2

χ
4

1

Inx

J Jxcfct

2 χ

1 _ ez+l
4

4

3.3. Integralai

π/2

π/2

o

o

J sin"x<ir, j

cos"xdx

(n

e

N)

Pirmiausia įrodysime, kad šie integralai yra lygūs. Pakeiskime kintam ą j į : * = -f -t,

dx = -dt. Tuomet

π/2
/2

n/

°f

Jsin "xdx
i
O

= -

[sin" ( f -t)dt
π/2

π/2

π/2
n

fcos tdt
о

=

Jcos n Xifr.
о

=

f
[sin "Įf-tjdt

=

π 2

' .

Dabar

apskaičiuosime

dalimis: u = sin"-1 χ,
v = -cosx.π/2Vadinasi,
In=

Jsin xdx
n

Jsin nxdx.
Integruosime
o
Tuomet du = (Ji-I)Sin^ 2 X cosx dx,

integralą

dv = s'mxdx.

In =

π/2

-1

-cosxsin" χ| ^ + J [η-1) sin"-2 χ cos2 χ dx

=

π2

о

=

о

π/2

f π/2

-2

2

Ν

π/2

-2

= (и-l) J sin" x|l-sin x^dx = (я-l) J sin" xdx- Jsin"xdr .
O

V O
π/2

Kadangi

O

J

π/2

Jsin n xdx = I n , tai

Jsin n ~ 2 xdx =1,,-2- Taigi

о

о

gavome

rekurentinj sąryšį
In =

(n-l)(/„_2-/„),

In = (n-l)/„_2-(«-l)/„,
/„ + (и-1)/„=(п-1)/„_ 2 )
I — w-1
τ
In
— 'n-2Panaudoję šią formulę, gautume
τ
—
j 7"-4
'n-2
- n-3
TJZf
todėl
I — n-\
in
.. ' n-3
^ τ-4
и
n-2
Pratęsę šį procesą, gautume I
lyginis.
Kai n - lyginis (n = 2m), tai
_

h

kai n - nelyginis, arba

(2w-1)(2m-3)-..,3-l
2m(2m-2)-..,4-2

π/2

π/2

čia

I0=

Jsin0Xifo=

^dx = .

°!

π/2 _ π

O
2
O
O
Kai n - nelyginis (n = 2m + \), tai
_
2m(2m-2)-...-4-2- .
'2/ϊ!+1 —ηζ
ггтт
—, T T-M ί
(2w + 1)(2/и -1)-...-5-3
π/2

cia Zi= Jsin χ ί/χ =-cosx
O

π/2

= 1.

I0, kai n

Simboliu n\\ (skaitysime "dvigubas faktorialas") pažymėsime vien tik
lyginių skaičių iki n sandaugą, jei n - lyginis, ir vien tik nelyginių iki n
skaičių sandaugą, jei n - nelyginis. Pavyzdžiui:
5!! = 1 - 3 - 5 = 15, 6!! = 2 - 4 - 6 = 48.
Tuomet
_

12т —

(2m-l)!!

π

2 m\\

2

> '2m + l

_

—

2от!!

ч ' ·
(2/И + 1)!!

Trumpiau šias dvi lygybes galima parašyti taip:
(w - O- π
и!!
In =

2

.
. . .
, kai n - lyginis;

( " - 0 " ,kai n - nelyginis.
JL

Pavyzdys. Apskaičiuokime

Jsin 8

dx .

χ
S p r e n d i m a s . Pakeiskime kintamąjį: — = t, dx = 2dt. Tuomet
η

>π/2
ν
8

Jsin ^x

= 2 Jsin 8 / dt = 2о

7!!

π

8!!

2

= 2

7-5-3

π

35π

2

128

-·— =

8-6-4-2

.

ж

•

4. Apibrėžtinio integralo apytikslis skaičiavimas
Apibrėžtinį integralą lengva apskaičiuoti, kai žinoma pointegralinės
funkcijos pirmykštė. Tačiau kartais ji yra labai sudėtinga arba visai
neišreiškiama elementariosiomis funkcijomis. Tuomet apibrėžtinį integralą
skaičiuojame apytiksliai.

4.1. Stačiakampių formulė
Kreivinės trapecijos (107 pav.), kurią riboja kreivė y = f(x), ašis Ox ir
tiesės* = a b e i * = b, plotas lygus integralui
ь
j/(x)dx,
/(*)> 0.
a
Apskaičiavę apytikslę tos kreivinės trapecijos ploto reikšmę, kartu apskaičiuosime ir integralą.

107 pav.
Atkarpą [a\ b] taškais a = X 0 , X\, Хг, ..., x„ = b padalijame į n lygių
dalių (žr. 107 pav.), kurių kiekvienos ilgis Δχ = ———. Kiekvienos tokios
n
dalies ilgis dar vadinamas integravimo žingsniu.
Nubrėžę per dalijimo taškus tieses, lygiagrečias ašiai Oy, kreivinę
trapeciją padalijame į n vienodo pločio juostelių. Kiekvieną tokią juostelę
pakeičiame stačiakampiu, kurio aukštinė lygi funkcijos /(x) reikšmei,
apskaičiuotai atkarpų [χ 0 ;χι], [xi;x 2 ], —, [ x n - i \ x n ] vidurio taškuose.
Tuos taškus pažymime X\n, x3/2, ..., х„-ш, o atitinkamas ordinates У m, Уъа, —, Уn -1/2 · Tuomet laiptuotos figūros plotas
S

=

y 112 · Δ χ

+

УЗ/2'ΔΧ

= Δχ (уι/2 + Уз/2 +

+

-

+

...

+ УП-1/2' Δ χ

=

Уп-т)·

b

Kadangi

J/(x)<& « S, tai gauname formulę
a
b

\f(x)dx
« - I f y
J
n

u 2

+ y3l2 + ... + y„.V2),

(9)

a

kuri vadinama stačiakampių
formule.
(9) formulės paklaida vadiname kairiosios ir dešiniosios (9) apytikslės
lygybės pusių skirtumą, kuris paprastai žymimas Rn. Jeigu atkarpoje
[ a; b ] funkcija /(x) turi antrosios eilės tolydžią išvestinę, tai paklaida
išreiškiama formule (čia ir toliau dydžių Rn formulės pateikiamos be
įrodymo)

Rn =
čia a < ξ < b.

IAn

;

(10)

4.2. Trapecijų formulė
Dabar kiekvieną juostelę pakeičiame trapecija (108 pav.) ir apskaičiuojame visų tokių trapecijų plotų sumą
5

= Z O l Z L Д , + Z i l Z l Λ , + .,.+ Ζ - ι ΐ Ζ - Λ , ,

= δ*I

Уо Уп

*

+ У1+У2 + -+Уп-1

Ją ir laikysime apytiksle integralo

\f(x)dx

b-a

f У p + У„

j f ( x ) d x reikšme. Taigi

+ У1+У2 + ... + Уя-1

(11)

Ši formulė vadinama trapecijų formule.
Paklaidą Rn apskaičiuojame pagal formulę
Rn

Un1

(12)

•/"(ξ);

čia a < ξ < b.

/

X

s

K1

У*

VnTyn

Y0

X0

Xi

X2

*„-, Xn

X

108 pav.

4.3. Parabolių (Simpsono*) formulė
Atkarpą [a; b] dalijame į lyginį skaičių 2n lygių dalių ir atitinkamas
funkcijos reikšmes pažymime yQ, y\, y2, ..., у-ы-г, VinУь>Kreivinės
trapecijos dalį, atitinkančią atkarpą [xQ;x2], pakeičiame kreivine trapecija,
kuri apribota jau ne kreivės y = f(x), o parabolės
y =Ax2

*

+ Bx + C,

Tomas Simpsonas (T. Simpson, 1710 - 1761) - anglų matematikas.

einančios per tris taškus M0(x0,
), M\(x\, y i ) , M2(x2, Уг) (109 pav.).
Apskaičiuosime tokios parabolinės trapecijos plotą.
Г

3
Ax

2
x2
Bx
_
+ — + Cx
3
2

Axa +Bx+ C^dx =

i(

X0

x

O

= —

—-Xo) + ~(x2-Xo)+

X2-XQ

C(X2-X0)

=

1

{2A{x2 + X2Xo + xO ) + 3 β ( χ 2 + ^o) + 6 c j .

Kadangi M0, M1, M2 - parabolės taškai, tai jų koordinatės turi tenkinti
parabolės
įbolė lygtį. Turėdami galvoje, kad X i = — — — , gauname tokias tris
lygybes:
y0 = Axo2 + Bx0 + C,
= Ax12+Bx1

yx

+C =

A
2 H A X Xi
= — Jtn
0
4
2

XQ -f Xj

A

+x

x

2

O

+B

+ C

2

B
2
H A JC?
H—JCo
"t S xI + C_ .
4
2
2

Л

уг

= Ax2

Л-

+

BX2

С.

Padauginę antrosios lygybės abi puses iš 4, po to sudėję ją su pirmąja
ir trečiąja lygybėmis bei atlikę veiksmus, gauname:

Уо +Ąy\

+У2 =2л(хо

+Χοχ2 +x2) + 3B(x0 +x2) + 6C

Vadinasi, parabolinės trapecijos plotas
S=
У

il

M

M2

i2_iSL(y0
6

„_
y=f[x)

+

4yi +y2) =

(У0 +

6л

^+У21

todėl

M1
i
7
i
X0

Vi
X1

УK2
x:

ч
J/(x)A * ^

(Уа

+

4y, +y 2 ).

O

Analogiškai
XĄ

109 pav.

on

x

\f{x)dx «

Į) _

Q

(>>2 + 4y3 +^ 4 );

x

In
b-a
\f(x)dx
~ ——(Ут-2
J
6n

+ 4_У2«-1 +У m)•

x

2n-2

Sudėję šiuos integralus, gauname parabolių (Simpsono) formulę
b
\f{x)dx*

b

a

—-((уо+ут)+
6n

a

+ 2(У2+УА

4(У] + y3 + ... + y^-i)

+

+Уъ-г))·

+ -

(13)

Paklaidą Rn apskaičiuojame pagal formulę

*-fc^zwWi

i")

čia a < ξ < b .

4.4. Pavyzdžių sprendimas
Pateiktos paklaidų formulės naudojamos, norint nustatyti, j kiek dalių
reikia padalyti atkarpą [я; b], kad būtų galima apskaičiuoti integralą
pasirinktu
tikslumu.
Jeigu
tikslumas
ε > O,
tai,
pažymėję
Mk =

max

, iš (10), (12) bei (14) formulių gauname nelygybes

дге[а;Ь]

I

l

|Л„|

(15)
24/;

< ί ^ - Μ

2

<

ε

,

(16)

12«

|Я„|<

( 6
7 ) 5 Μ4<ε.
180•(2л)

(17)

Išsprendę jas, randame n reikšmę.
Visų šių paklaidų nustatymo praktinė reikšmė nedidelė, nes įvertinti
f " { x ) (o juo labiau f^ A \x)) dažniausiai sunku, ypač jei funkcija išreikšta
lentele. Todėl paklaidai skaičiuoti taikomas toks metodas.
Bet kuriuo būdu parinkus integravimo žingsnius h ir H = 2h, du
b
kartus apytiksliai apskaičiuojamas / = J f { x ) d x ir gaunamos jo apytikslės
a
reikšmės

^

ir

formulių paklaida

^

. Tada gaunama tokia stačiakampių ir trapecijų

Ώ

_ Σ/,

*

3 — '

ir Simpsono formulės paklaida
R

_ Σ/,

~Ση

15
Apytikslia integralo I reikšme laikoma
1

Th

=

+R

-

Taikant šį metodą, stačiakampių ir trapecijų formulėse n turi būti
lyginis, o Simpsono formulėje - skaičiaus 4 kartotinis.
3,2

1 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

J l n cos

dx, pasirinkę žingsnį

1,6
0,2. Įvertinkime paklaidą.
S p r e n d i m a s . Šį integralą apskaičiuosime panaudodami (11) bei (13)
formules ir dviem būdais įvertinsime paklaidas.
Sudarysime lentelę:
H = Ih = 0,4

f ( x ) = lncos [ - ^ x j

h = 0,2

i

Xi

y>

i

-r,

yi

O

1,6

Уо

0

1,6

Уо

-0,13203

1

1,8

yi

-0,16921

2

2,0

У2

-0,21194

3

2,2

Уз

- 0,26070

4

2,4

У4

-0,31612

5

2,6

У5

- 0,37900

6

2,8

У6

- 0,45032

7

3,0

У7

-0,53139

8

3,2

У8

- 0,62394

1

2,0

2

2,4

3

2,8

4

3,2

У\

У2

Уъ

У4

a) Trapecijų metodas (a = 1,6; b = 3,2; n = 8).
3,2

J l n c o s ( ^ x ) * « ^-[У0+2У*
1,6

+У1+У2+Уъ + У4+У5+Уб+У1)

;

У1 + У2 +Уз +У4 + }¾ +Jb +У7
|

= - 2,31868

уд + Vg _-0,62394-0,13203
2

^

0 3 7 7 9 9

2

Σ
ft-a _ 3,2-1,6 _
η

= - 2,69667
0 2

8

3,2

J l n c o s ^ x j i i c « - 2,69667 • 0,2 « - 0,539334.
1,6

Paklaidą įvertinsime panaudodami (16) formulę:
ι

(b-a)h2

ι

\Rn\<{

12

>

·

ι

max
max

,

|/"(x

e[I,6; 3,2]'

2
1

/"M =

^7
γ,
l o W f ^ x )
10

I Rn \ < ( 3 ' 2

Tuomet

max
Jnax
|/"(x)| = /"(3,2) « 0,3438.
-HΓ1,6;
· 3,2]
" '

^6)-(0,2)

^ 0,00184 < 0,002.

12
3,2

Todėl

Jlncos

x j dx = - 0,539 ± 0,002.

1,6
b) Simpsono metodas (a = 1,6; b = 3,2; n = 4).
3,2
w
ι
lncos —-χ; \dx
J
Vio

=

1,6

6«

"(уо

+

У%

+ 4

{у\ + Уг + У5 + У1) + 2 {У2 + J4 + Уб)) 5
УО +у 8 = -0,75597

+ 4 ( y i + у з + Л + У?) = - 5 , 3 6 1 2 0

+ 2 ( у 2 + у 4 + У б ) = - 1,95676
X

=-8,07393

b-a

_ 3,2-1,6 _ 1,6

6η

6-4

~ 24

3,2

In cos I — χ I dx
10

1,6
24

( - 8,07393) « - 0,538262.

1,6

Paklaidą įvertinsime, panaudodami (17) formulę:
I

l ^ [b-a)n
180

max
χ e[l,6; 3,2]

χ e[l,6; 3,2]

•21 π
1 + 2sin
10

2tcJ

/W(X)

IO 4

/ (4) w

(4)

max

cos

41
10'

/(4)(3,2)

: 0,5733.

Tuomet
(3,2-1,6)-(0,2) 4 _
IRJ

<

0,5733 » 0,0000082 < 0,00001.

180

Todėl
3,2

J l n cos (yb· xj dx = - 0,53826 ± 0,00001.
1,6
c) Trapecijų metodo paklaidą įvertinsime, taikydami formulę

ΣΑ ~Σ#
Turime

=-0,539334.

Apskaičiuojame
^

:
_

3,2-1,6( J o + ^ 4
+ Jl

+У2

+Уз

=

= 0,4- ( - ° ' 1 3 2 0 3 - ° ' 6 2 3 9 4 -0,21194-0,31612-0,45032]
= 0,4 · ( - 1,35637) = - 0,542548.

Tuomet paklaida
Λ

=

Σ* ~ΣΗ

-0,539334 + 0,542548

=

=

^

1 0 7

^

<

_

Taigi
3,2

Ilncos — x\dx = - 0 , 5 3 9 + 0,002.
V l10
O

J

1,6

d) Simpsono metodo paklaidą įvertinsime, taikydami formulę

Ση

"ΣΗ
15

Turime ^

=-0,538262.

Apskaičiuojame ΣΗ

Σ

16

=

3

Η

'•

Į ~ 2 '

6-2

6

^

0

+

У

4

+

4

^

1

+

+

2

^ )

=

( - 0,13203 - 0,62394 + 4(- 0,21194 - 0,45032) +

12

+ 2 · (- 0,31612)) = ^ - ( - 4,03725) = - 0,538300.
Tuomet paklaida
Λ

=

Σ „ - Σ Η

=

-0,538262 + 0,538300

15

=

^

^

<

15

Galiausiai
3,2

I In cos r"-x\
— ; dx =-0,53826 ± 0,00001.
J
VlO
1,6

_2
2 pavyzdys. Iš anksto pasirinktu tikslumu ε = 0,5 · 10
trapecijų
metodu apskaičiuosime integralą
1,2

j In^l + χ 2 j
0
Integravimo
formulę.

žingsnį

parinksime

;

atsižvelgdami

!

S p r e n d i m a s . Randame / " ( * )

(·-2)

H)

į paklaidos

vertinimo

Įsitikiname, kad

max

|/"(jc)| = |/"(θ)| = 2.

Tuomet
,

,

Įb-aį*

^

,

w |

č i a h =

b - a .

12
* e [o; 1,2] I"7 w3 I '
n
II Kn lI ь (,b-af
_ (1,2-o)
_ 1,728
_ 0,288
2
'
/
2
12n
6n5
6 n=2
n2 .
Pagal sąlygą turi būti I Rn I < 0 , 5 - I O " 2 , todėl gauname nelygybę
Π 988
^ = P < 0 , 5 - I O - 2 , arba n2 > 5 7 , 6 .
n
Išjos matyti, kad užtenka paimti n = 8. Todėl

Taigi

1,2

J ln(l + χ 2

\,l
DX

*

Va + V»

T

Α

+У\+У2+Уъ+УА+У5

+ У(,+У1

=

o
= 0,15 [ °

+

° 2 8 9 2 0 + 0,0223 + 0,0862 + 0,1844 + 0,3075 + 0,4463 +

4- 0,5933 + 0,7431) = 0,15 · 2,8291 = 0,4244.
Vadinasi,
1,2

|ln(l + x

2

) ^ = 0,424 ±0,005.

•

o

5. Geometrinis ir mechaninis apibrėžtinio integralo
taikymas
5.1. Figūros ploto apskaičiavimas stačiakampėje koordinačių
sistemoje
Jau žinome, kad kreivinės trapecijos, apribotos funkcijos f(x) > 0
grafiko, abscisių ašies ir tiesių χ = a bei χ = b , plotas lygus
b
S = \f{x)dx
a
Jeigu f(x) < 0 atkarpoje [a; b ], tai

b
\f{x)dx < 0 , tačiau j o modulis lygus
a

figūros plotui. Todėl

S = -\į\x)dx.

y^

a
K a i / ( r ) atkarpoje [a; b] kelis
kartus keičia ženklą (110 pav.),
tai atkarpą [ a; b ] išskaidome į
atkarpas [a\c], [c; d], [d\b]
ir apskaičiuojame kiekvienos
dalies plotą. Įvertinę integralų
ženklus, gauname:
c
d
b
S= \f(x)dx - \f{x)dx + \f{x)dx ,
a
c
d
arba trumpiau
b
S = \\f{x)\dx.
a
Jei figūrą riboja dviejų lunkcijų/(x) irg(x) grafikai (111 pav.), tai

S

1

=

S

E A M C F

- SEBNDF

b
b
b
= \f{x)dx - \g[x)dx = J ( / ( x ) - g ( x ) ) dx .
a
a
a

pavyzdys. Apskaičiuokime

figūros,

apribotos

kreivių y = x 2 ir

y = -Jx (112 pav.), plotą.
S p r e n d i m a s . Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų
abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį

χ2 =

Jx ;

iš čia X1 = 0, x2 = \.

Tuomet

111 pav.

112 pav.

1
1

5 =

=

X3

|
о

О

о
2

2 pavyzdys. Apskaičiuokime figūros, apribotos elipsės

X V
+^
a"

y<
МШ\
0

Уo

113 pav.

χ

2
r

=1

b

(113 pav.), plotą.
S p r e n d i m a s . Apskaičiuokime
plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanoninę lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis χ = a cost, y = b sin t.
Pirmajame ketvirtyje χ kinta nuo O
к
iki a, todėl t kinta nuo — iki O (to-

kias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį χ = a cos i vietoj χ jo reikšmes O ir a),
b

Į formulę S = Jydx vietoj y įrašykime y = b sin t, o vietoj dx - jo reikša
mę, gautą iš lygybesx = a cos t , t.y. dx = x\dt = - a s i n / Λ . Tuomet
π/2
o
S = - Jb sin t a sin / dt = ab J sin 2tdt =
π/2

O

, 1!! π
1 π
τνώ
= ab
= ab · — · — =
.
2!! 2
2
2
4
Visos figūros, kurią riboja elipsė, plotas lygus

• 4 = каЬ.
4

5.2. Figūros ploto apskaičiavimas polinių koordinačių
sistemoje
Tarkime, kad polinėmis koordinatėmis p ir φ apibūdintos kreivės
lygtis yra tokia: p = / ( φ ) ; čia / ( φ )
Apskaičiuosime plotą išpjovos OAB,

- tolydi funkcija, kai α < φ < β.
kurią riboja kreivė p = / ( φ )

ir

spinduliai vektoriai φ = α ir
φ = β (114 pav.).
Šią išpjovą spinduliais vektoriais bet kaip padalykime į n

dalių.

Raskime dalies, apribotos spindulių cp,_] ir φ,, plotą. Kampą tarp šių
spindulių pažymėsime Δ φ, = φ, - φ,_ι. Šioje dalyje bet kur nubrėžkime

114 pav.
spindulį vektorių p, ir tą dalį pakeiskime skritulio, kurio centras taške O ir
_
1—2
spindulys P i , išpjova. Jos plotas lygus — p, Δ φ, . Tokių išpjovų plotų suma
1 "
-Zpi2
1
i=1

A(

pi

bus apytiksliai lygi duotosios figūros plotui. Tikslią ploto reikšmę gausime
apskaičiavę ribą, kai λ = max Δ φ, -> O. Kadangi ši suma yra funkcijos
P2 = ( / ( Φ ) ) 2 integralinė suma, tai jos riba, kai λ

O, lygi apibrėžtiniam

β

1
integralui — Jp 2 dų>. Taigi figūros plotas
β
\ Jp2^cp ·
Pavyzdys. Apskaičiuokime figūros, apribotos polinio spindulio atkarpos ir esančios tarp pirmosios (O < φ < 2π) ir antrosios (2π < φ < 4π)
logaritminės spiralės p = ae°'2v (a > 0) vijų (115 pav.), plotą.
S p r e n d i m a s . Pirmoji vija susidaro, kampui pasikeitus nuo 0 iki 2π,
o antroji - nuo 2π iki 4π. Todėl
4π

f

2π

e0,4<p

s =

\

\a2e°Mdv

2π

= 1,25a (e '

- \ I
- 1) .

a

2

^

=

i

^5fli

V

4π
2π

λ
2π
_

е 0,4 Ф

ο,

A

Vijų pavadinimai - pirmoji ir antroji - yra sąlyginiai, nes logaritminė
spiralė iš tikrųjų daug kartų apsisuka apie polių, asimptotiškai artėdama
prie jo. Beje, logaritminė spiralė pasižymi įdomia savybe. Visi iš poliaus
nubrėžti spinduliai kerta ją vienodu kampu. Gyvojoje gamtoje yra būtybių,

augančių pagal logaritminę spiralę. Štai, daugelio minkštakūnių bei sraigių
kriauklės (žr. knygos viršelį), taip pat kai kurių žinduolių ragai susisukę
pagal logaritminę spiralę. Šios kreivės savybės taip nustebino Jakobą
Bernulį, kad jis ją pavadino spira mirabilis (stebuklingąja spirale) ir prisakė
iškalti antkapyje bei parašyti: Eatem mutata, resurgo (pasikeitusi gimstu iš
naujo).

5.3. Kreivės lanko ilgis
1. Kreivės lanko ilgis stačiakampėje koordinačių sistemoje. Tarkime, kad
stačiakampėse koordinatėse nusakyta kreivė, kurios lygtis y = f(x). Rasime šios kreivės lanko AB ilgį (116 pav.). Pirmiausia apibrėšime, ką
vadiname kreivės lanko ilgiu. Tuo tikslu lanką AB
bet kaip taškais
A = M 0 , M1,..., Mį-1, M , . . . , Mn = B, padalykime į n dalių. Sakykime, kad
šių taškų abscisės yra a = x0, X\, ...,
x„ ..., xn = b. Per gautus taškus
išveskime stygas AMi,
M 1 M 2 , ..., M1^M1, ..., Mn_įB. Stygos M1^M1 ilgį

\

Mi
M

i

/

, / ^

в
y=f[x)
ΔΚ

AX i

At
0

a

b

χ

pažymėkime Asi.

Tuomet laužtės, įbrėžtos į lanką AB,

ilgis bus lygus

Σ As į . Pažymėkime max Axl raide λ.
/=1
Apibrėžimas. Kreivės lanko AB ilgiu L vadinama riba, prie kurios artėja
įbrėžtos į tą kreivę laužtės ilgis, kai λ —> O.
Taigi
n
L = Iim V Asi .
D a r tarkime, kad funkcija f(x) ir jos išvestinė f'(x)

atkarpoje [a\b]

tolydžios. Pažymėkime: Ayi =I(Xi) -/(*,_1) · Pagal Pitagoro teoremą
/

Asi = J(Axi)2

,

\

2

+(Ayi)2=.H 1 +i—]
,AxiJ

Axi.

V

Skirtumui Ayi = f(xt) -/(*,_ ι) pritaikome Lagranžo teoremą. Tuomet
Ay, = f'(ct)

(Xi-Xr l) = f'(cj)

^

=

Axi

Axi; Ci e

1

Xi). Todėl

^

=

Axi

.

Δί,· = Jl+ (/'(Ci))2

Vadinasi,
L =

HmYAv,

Axi.
1+

= Hm Y

'=I

T(C1)

)/

(/'Ы)

Δ*,· .

/=1

Kadangi f'(χ) tolydi atkarpoje [a; b], tai -Jl + (f'(x))2
egzistuoja parašytos integralinės
integralui:

L =

j^l
a

+ (f'(x)f

irgi tolydi, todėl

sumos riba, kuri lygi

dx =

jVl + y'2 dx
a

apibrėžtiniam

=^dsa

čia ds = Jl + y'2 dx . Dydis ds vadinamas kreivės lanko ilgio

diferencialu.

з
1 pavyzdys. Apskaičiuokime kreivės y = χ2 ,0<x
i
7 y'
S p r e n d i m a s . R a n d a m e y' = — x2 ,Ji^y
, yl +

==JlIi

<4 lanko ilgį.
+ - χ . Tuomet

2

- J Ilf +F-xdxH =J- iо II 1 +—χ 1

d\ \+—x I =

3

I
9

2

i + ^
4

3V

2

Η ( . ο Λ - ι ) .
z/

O

Jau minėjome (žr. V skyriaus 4 skyrelį), kad elipsės ilgis išreiškiamas
elipsiniu integralu. Dabar įsitikinsime tuo, apskaičiuodami elipsės
X
a

2

2

F
+^y
b

=

1 ( a > b ) ilgį. Iš elipsės lygties randame
b Γ2
2
' = — \a - χ
Уa

Todėl
bx
Γ~2

a\a
čia A2 =

-χ

2

.

Γ

"T

α

2

2

—k χ

^ = I - a2

-χ

2

2

a 2 - ft2
2 — (taigi /с - elipsės ekscentricitetas). Tuomet elipsės ilgis
a

a Γ^2~^72~ΊΓ
2 ι
2
2
£ = 4 [,Г ,
^ ^x = 4fl fVl - A: s i n / dt
2
n
V
0
х
^
O
O
(keitinys χ = α sini)·
Taigi gavome apibrėžtinį integralą, kuris irgi vadinamas antrojo tipo
elipsiniu integralu. Jis žymimas simboliu:
φ ,
£(Λ:;φ)= J v l - £ 2 sin2 t dt .
O
Panašiai žymimas ir pirmojo tipo elipsinis integralas:

F(k- φ) = J t =

dt

o Vi •k 2 sin2 ?

Yra sudarytos šių integralų reikšmių lentelės.
Vadinasi, elipsės ilgis

H).

L = AaE\
Pavyzdžiui, kai a = 2, b = V 3 ,

tai A: = 0,5 ir £(0,5;

) = 1,4675.

T u o m e t L = 11,74.
2. Kreivės lanko ilgis, kai kreivė duota parametrinėmis lygtimis. Tarkime,
kreivės lygtys yra tokios: χ = φ (t), y = ψ (t), te [/ (l ; T]; čia φ (i) ir ψ (t) -

tolydžios atkarpoje [ί 0 ; T] funkcijos, turinčios tolydžias išvestines. Tuomet
y'x = — ,dx = ψ',άίϊτ Jl + y'2 dx = J(p'2 +ψ} 2 dt. Vadinasi, jeigu
φι
b
T
T
φ (ί0) = a, φ (T) = b, tai L =

J ^ l +y'2dx

=

a

čia ds = τJx'į 2 +y'2

^x'2

+ y'2dt = J d s ;

'o

'o

dt.

2
pavyzdys.
Apskaičiuokime
cikloidės χ = a(t - sin/), y = a ( l - c o s i )
(a > 0) pirmosios arkos ilgį (117 pav.).
S p r e n d i m a s . Pirmoji cikloidės arka
gaunama, kai parametras t kinta nuo 0 iki
2 π . Randame:
x't = a ( l - c o s / ) ,
yjx'2

+y'2

y't = a s i n i ,

= Ja2 (l - 2 cost + cos 2 /) + a 2 sin 2 / = ^ 2 a 2 ( l - c o s i ) =

t
= J 4 a 2 sin2 - = 2 a sin—
2

2asin^-, nes sin

2π

> 0 , kai i e [0; 2π].

2π

t 2π
f
t J Л
Isin-й = -4а cos—
= 8fl.
J
2
IJ
2
0

3. Kreivės lanko

ilgis polinių

koordinačių

sistemoje. Tarkime, kad

kreivės lygtis polinių koordinačių sistemoje yra p = / ( φ ) , φ e [α; β]. Šią
lygtį

galima

stačiakampių

pakeisti

parametrinėmis

ir polinių

koordinačių

lygtimis,

naudojant

ryšio

tarp

formules χ = p cos φ, у = p sin φ .

Tuomet, įrašę į šias lygtis vietoj p dydį / ( φ ) , gauname:
x =

/ ( ψ ) c o s Ф, У = / ( φ ) sin φ ;
čia parametras φ vaidina parametro t vaidmenį.
β
Tuomet L =

J ^ x į 2 + у'2 сЛр . Randame:
α

χ'φ = p{p cos φ - ρ sin φ ,
I
V 4 2 +K2

η
=VP2

+

Ρφ

čia ds = ^p2 + ρ'2 dų>.

ir

L

γ'φ = p į sin φ + ρ cos φ , todėl
β
β
I
7
= W P 2 + Ρφ d V = I d s >
'

3 pavyzdys. Apskaičiuokime kardioidės
p = α ( 1 + c o s φ ) (118 pav.) ilgį.
S p r e n d i m a s . Pirmiausia apskaičiuosime viršutinio lanko, kuris gaunamas, kai
polinis kampas φ kinta nuo O iki π, ilgį.
Turime:

118 pav.

Ρφ = - a sin φ ,

Jp2 + ρ'φ

=

Jla2

„2Ф
2
+2α2 cos<p = ^2a (l + cos(p) = J4a2 cos
2

= 2 a cos- . Tuomet
π

L 1 = 2 a\ cos

Φ ί/φ
= 2a Jcos-^-c/φ = 2a • 2 sin ^
2
2
O

G a l u t i n a i L = 2L, = 8a.

= 4a .

•

5.4. Kūno tūrio apskaičiavimas pagal skerspjūvio plotą
Tarkime, duotas tam tikras kūnas. Bet kurio pjūvio, nubrėžto per
tašką χ e [a; b], statmenai ašiai Ox, plotas priklausys nuo taško χ
padėties, todėl jis bus kintamojo χ funkcija. Ją pažymėsime Q(x).
Sakykime, kad Q(x) - tolydi atkarpoje [a ; b ] funkcija. Sudarykime skaidinį
a = x0 < X\ < ... <x„ = b (119 pav.). Bet kur atkarpoje
; Xi ] parinkime
tašką Ci ir per jį nubrėžkime pjūvį, statmeną ašiai Ox. Šio pjūvio plotas bus
lygus Q(Ci).
Laikydami šį pjūvį pagrindu, nubrėžiame cilindrinį kūną
ABCDEF', kurio sudaromosios lygiagrečios ašiai Ox. To kūno tūris lygus
Q(c,:). (Xi-Xi_0
=
Q(Ci)AX,
Tuomet duotojo kūno tūris apytiksliai lygus tokių cilindrinių kūnų tūrių
sumai:
υ»

Σΰ{φχ>
i=1

•

Z'
4

^ s

V z

О

120 pav.

121 pav.

Tikslią tūrio reikšmę gausime apskaičiavę ribą, kai λ = max Δ X1
V =

Iim

λ-»0/=1

0:

^Q(Ci)Axl,.

Prisiminę, kaip integralinės sumos riba formaliai keičiama
gauname:

integralu,

b

V = \Q{x)dx .

(18)

а
-

2

3

2

1 pavyzdys. Apskaičiuokime kuno, apriboto paraboloido z = x" + —y
ir plokštumos z = 4, tūrį (120 pav.).

S p r e n d i m a s . Jeigu paraboloidą kirstume plokštuma z = const, tai
jo pjūvyje gautume elipsę
Χ2 +

V

= Z ,

2*

kurios kanoninė lygtis
2

2

—Z

Tos elipsės pusašės lygios а = •Jž,

skyrelio 2 pavyzdį), tai Q(z)

V =

= π -Jz • J^z

Ιπ,—zdz=

J

b =A=-Z

V3

. Kadangi Q(z) = rnib (žr. 5.1

= π

z. Tuomet

π,ί—· —
V 3

2

(

8лл/б

(18) formulę panaudosime, išvesdami sukinio
tūrio formulę. Sakykime, kad sukinys gautas sukant
k r e i v i n ę trapeciją aABb a p i e ašį Ox (121 pav.).
Pjūvis, nubrėžtas per tašką χ statmenai ašiai Ox,
yra skritulys. Jo spindulys lygus y = /(x). Todėl
b

Q(X) = Ky1 = K (f(x))2 ir V = π fy2dx .

2 pavyzdys. Skritulys, apribotas apskritimo
χ2+ (y-a)2 = b2 (a > b), sukamas apie ašį Ox
(122 pav.). Apskaičiuokime gauto sukinio, vadinam o toru, tūrį.
S p r e n d i m a s . Toro tūris lygus dviejų sukinių
tūrių skirtumui: pirmasis sukinys gaunamas sukant
kreivinę trapeciją ABCDE, o antrasis - trapeciją
Išsprendžiame lygtį x2 + (y-a)2 = b2 kintamojo y atžvilgiu:

122 pav.
ABFDE.

(y-a)2

= b2-χ2
y = a

, y-a

=

±Jb^22

-X2

±^
^2 -X2

Lanko BCD lygtis v'i = a + ^lb2 - χ 2 , o lanko BFD
Tuomet toro tūris bus lygus
V=

= 2π j

'b ^
ь
Л
2π \y\dx - \yl dx =
Vo

[a + yjb 2 - x 2

-уь = a- "Jb2

b
2π

\(yf - y i ] d x =

dx = 8 πα μ

b2 -χ2

dx.

о
Pažymėkime: χ = b sin t, dx = b cos t dt. Gausime:
π/2

V=

,2 1ϋ π
\cosztdt = 8nabz- — -- = 2n2ab2.
2!! 2

z

8nab

5.5. Apibrėžtinio integralo taikymo schema
Siame skyrelyje paaiškinsime, kaip dažniausiai praktikoje taikomas
apibrėžtinis integralas.
Sakykime, tam tikras dydis Q siejasi su atkarpa [a\ b \ ir turi tokią
savybę: kiekvieną atkarpos [ a ; b] dalį [α; β] atitinka tam tikra dydžio Q
dalis, be to, jei atkarpa [α; β] susideda iš dalių [α; γ] ir [γ; β], tai
β [ α ; β ] = β [ α ; γ ] + β[γ;β].
Si lygybė rodo, kad dydis Q turi adityvumo savybę.

Kaip dydžio Q pavyzdį galime
paminėti kreivinės trapecijos
ABCD plotą (123 pav.), lanko
CD ilgį, sukinio, gauto sukant
šią trapeciją apie ašį Ox, tūrį,
nes visi šie trys dydžiai yra
"atkarpos [a·, b] funkcijos", be
to, turi minėtą savybę.

Y=№

X+AX

Uždavinio tikslas - apskaičiuoti dydžio Q reikšmę, atitinkančią visą atkarpą [a; b].
Tarkime,

kad

123 pav.

"elementą-

riąją atkarpą" [χ; χ +Δχ] atitinka dydžio Q "elementas" AQ. Šį elementą
stengiamės pakeisti apytiksliu reiškiniu q(x)Ax,
atžvilgiu, o nuo AQ

kuris būtų tiesinis Ax

skirtųsi ne daugiau kaip nykstamu dydžiu, be to,

aukštesnės eilės negu Ax. Tuomet bus teisinga apytikslė lygybė
AQ

&q(x)Ax.

Ji bus tuo tikslesnė, kuo mažesnis Ax.
Pavyzdžiui, apskaičiuodami kreivinės trapecijos plotą, elementariąją
juostelę KLMN pakeičiame įbrėžtiniu stačiakampiu KLPN, kurio plotas
lygus f{x) Ax, todėl šiame pavyzdyje
Δ £?«/(*) Δ*·
Atkarpą
[A ·, b] taškais Ū — Xo?
···> XN = b suskaidome į
elementarias atkarpas [a\xi], [X1IX2], ..., [xn-i ;b]. Tuomet kiekvieną
atkarpą [л',_|
atitiks dydžio Q dalis, apytiksliai lygi £/(x,)Ar,; o visas
dydis Q bus apytiksliai išreiškiamas suma
n
Qx

Σ<ι{χί)Αχί

•

i=1

Ši lygybė bus tuo tikslesnė, kuo smulkesnės elementariosios atkarpos, todėl
aišku, kad Q bus minėtos sumos riba. Vadinasi, Q bus išreiškiamas
apibrėžtiniu integralu
b

Q = Jq(x) dx .
Paprastai lygybė Δ Q « q(x)Ax rašoma šitaip:
dQ = q(x) dx ,

(19)

ir po to, norint gauti Q išraišką, belieka tuos "elementus" dQ "susumuoti".
1 uždavinys. Kreivinė trapecija ABCD
(124 pav.) sukama apie ašį Oy.
Apskaičiuokime gauto sukinio tūrį.

S p r e n d i m a s . Išskiriame elementą KMPL ir apskaičiuojame sukinio,
gauto sukant šį elementą apie ašį Oy, tūrį. Šio sukinio tūris bus lygus
dviejų ritinių tūrių skirtumui: pirmojo ritinio spindulys yra OK
=x,
antrojo - OL = χ + dx, jų abiejų aukštinė lygi KM = y. Todėl elementarusis tūris
dV = π(χ + dx)2y - nx2y = Iiixydx -t- ny (dx)2.
Beje, tai dar ne (19) formulė; reikia atmesti antrąjį dėmenį
nes jis yra aukštesnės eilės nykstamasis dydis negu dx. Todėl

vy(dx)2,

dV = 2 Tixydx.
"Sumuodami" iš čia apskaičiuojame sukinio tūrį:
b
V = 2π jxydx . A
a
2 uždavinys. Lankas AB, χ e [a, b] (125 pav.) sukamas apie ašį Ox.
Apskaičiuokime gauto sukimosi paviršiaus plotą.
S p r e n d i m a s . Išskiriame kreivės elementą ds. Jį apytiksliai laikysime
styga. Apskaičiuosime paviršiaus, kuris gaunamas sukant trapeciją KMNL
apie ašį Ox, plotą. Kadangi gautas paviršius bus nupjautinio kūgio, kurio
pagrindų spinduliai y ir y + dy, o sudaromoji ds, šoninis paviršius, tai j o
plotas lygus
dQ= 2π

y + (y + dy)
—
-ds

=2nyds+ndyds.

Atmetę nykstamųjų dydžių sandaugą ndyds, turime:
dQ =

2nyds,

todėl
Q

b
= 2k \yds.
a

•

5.6. Apibrėžtinio integralo taikymas mechanikoje
1. Kintamos jėgos darbas. Tarkime, kad taškas, veikiamas kintamos
jėgos F(x), juda atkarpa [a; b], be to, jėgos kryptis sutampa su judėjimo
kryptimi. Apskaičiuokime darbą, kurį atlieka jėga, perkeldama tašką iš
padėties a į padėtį b. Išskirkime elementarųjį kelią nuo taško χ iki taško
χ + dx. Jėgos reikšmė taške* bus lygi F(x). Tarkime, kad tokia jos reikšmė
išlieka nuo taško jc iki jc -+- dx. Tuomet elementarusis darbas bus lygus jėgos
ir nueito kelio sandaugai:
dA « F(x)-dx ;
iš čia
A =

b
\F[x)dx.
a

1 pavyzdys. Vienas spyruoklės galas įtvirtintas, o kitas tempiamas
(126 pav.). Apskaičiuokime, kokio dydžio darbas bus atliktas tempiant
spyruoklę.
Sprendimas.
Pasinaudosime
Huko
dėsniu,
teigiančiu,
kad
tamprumo jėgos didumas yra tiesiog proporcingas deformacijai: F{x) = kx;
čia k - proporcingumo koeficientas. Tuomet darbas

2 pavyzdys. Cilindrinės horizontaliai gulinčios cisternos ilgis a,
pagrindo spindulys R (127 pav.). Apskaičiuokime, koks darbas atliekamas,
išsiurbiant iš jos per viršutinę kiaurymę tepalą, kurio tankis γ.
S p r e n d i m a s . Sakykime, tepalo elementariojo sluoksnio aukštis
lygus dx. Apskaičiuokime to sluoksnio tūrį dV:

126 pav.

AB = JAP2-PB2

0

= Jr2-(R-χ)2 =JlRX-X2 ;

У

A / ' f i

=

dx
tuomet dV = 2a JlRx - x2 dx. Pakeliant
šį sluoksnį į aukštį x , atliekamas elementarusis darbas

P

- χ2 dx,

dA = yxdV = 2ayx^lRx

2 R /

todėl
2R

rX

^x^2Rx-x2

A=2ay

127 pav.

dx .

Suintegruokime:
2R

jxyllRx

- χ2 dx = - j j(2R-2x)y/lRx-x2

dx + R ^lRx-X2

0

0

0
2R

= --

2R

J
2

2

+ R J^/л2 -(x-R)2

\{2Rx-x y~d(2Rx-x )

[lRx-x2
3/2

3/2

j

dx =

2R

+R
0

' R2
V2

R3
= — (arcsin 1 - arcsin ( - 1 ) ) =

.x-R
arcsin

R1

—

+
R

π + π—
—
2
2

x-R
l

dx =

2R

л/2 RX-XA

nR

Taigi A = π а у Ri.
•
3 pavyzdys. Vertikali pusskritulio formos plokštelė panardinta į
vandenį taip, kad jos skersmuo yra vandens paviršiuje (128 pav.). Apskaičiuokime vandens slėgį į šią plokštelę, jeigu jos skersmuo lygus 6 m.
Sprendimas.

Apskaičiuodami skysčio slėgį p, remsimės Paskalio
dėsniu, kuris teigia, kad skysčio slėgis į
plokštelę lygus jos plotui S, padaugintam
iš panardinimo gylio h ir skysčio tankio
β Y γ, t.y. p = y Sh.
Išskiriame elementariąją plokštelės
juostelę, kurios plotas apytiksliai lygus
dS = AB • dx. Kadangi apskritimo lygtis
X2+y2

= 9, tai CB =y=

V 9 - x 2 . Ele-

mentarioji juostelė panardinta gylyje χ,

todėl

slėgio
2

= 2γχ л!9-X

elementas

dp = yxdS = y χ ABdx = γχ · 2 CBdx =

dx. Tuomet
3/2

= 18γ

2. Nevienalyčio strypo masė. Tarkime, kad ašies Ox atkarpoje [a\b]
yra nevienalytis strypas, kurio ilginis tankis γ(χ). Apskaičiuokime to strypo
masę.
Išskiriame elementariąją strypo dalį dx ir tariame, kad visos tos dalies
tankis lygus γ (χ). Tuomet elementarioji tos dalies masė dm = γ (.χ) d χ, о
viso strypo masė
b
m = |γ (x)dx .
4 pavyzdys. Apskaičiuokime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis
tankis γ (χ) = 2 + 0,001 χ2 ( g / c m ) .
Sprendimas.
100
J(2 +0,00 Ix 2

m=

0

/
0,001 3
= I 2x:+
χ

100

„

1
= 533

I®

3. Plokščiosios figūros statiniai momentai ir masės centro koordinatės.
Apskaičiuokime plokščiosios figūros ABCD (129 pav.) statinius momentus
ir masės centro koordinates.
Žinome, kad materialiojo taško M statinis momentas K kurios nors
ašies atžvilgiu lygus md\ čia m - taško M masė, d - jo atstumas nuo tos
ašies. Jeigu turime sistemą materialiųjų taškų Mi, kurių kiekvieno masė
m, , o atstumas nuo ašies d ,
tai tokios sistemos statinis
momentas išreiškiamas suma:
K=

Znudl .
I=1

Tarkime,

kad

trapecijos ABCD
kirsčiusi
paviršinis

tolygiai,
tankis

kreivinės

masė pasistodėl

jos

χ x+dx b

γ = const.

Išskiriame elementarųjį stačiakampį (jis subrūkšniuotas)

129 pav.

ir apskaičiuojame jo elementariąją masę, kuri lygi j o ploto ir tankio γ sandaugai:
dm

=yydx.

χ

Toliau dar tarkime, kad visa to elementaraus stačiakampio masė
sukoncentruota j o centre N, kurio koordinatės χ +^dx
šio taško atstumas iki ašies Ox lygus ^y,

o iki ašies Oy

ir ^y.

Kadangi

- χ +

dx, tai

statinių momentų Kx ir Ky elementai lygūs
dKx = ^yyydx

jyy2dx,

=

1
1
dKy = (x + ~^dx)yydx = yxydx +
yy(dx)2.
Atmetę paskutiniosios lygybės antrąjį dėmenį, gauname:
dKy =

yxydx.

Vadinasi,
J

yc

b

b

Kx = -y fy2dx , Ky= y fxydx.
a
a
Figūros masę pažymėkime m, o jos masės centro koordinates - xc ir
Tuomet
Ky = mxc ir Kx = myc
Iš čia
b
b
b
y ^xydx
y ^xydx
^xydx
K
- vУ_ _ __a
_a
a
χ
b
b
'
m
m
y ^ydx
\ydx

2
a
=-f

Kx
Ус= —
m

(20)

\ydx
5

pavyzdys.

Apskaičiuokime

vienalytės figūros
У=

χ

(γ = const),

apribotos

kreivių

y = Jx

(130 pav.),

y = x2

ir

masės

centro koordinates.
S p r e n d i m a s . Išvestose masės
centro koordinačių formulėse
vietoj y turėsime įrašyti У2-У1,
nes šį kartą toks yra subrūkšniuoto 129 paveiksle stačia

kampio aukštis. Samprotaudami, kaip ir anksčiau, galėtume išvesti tokias
formules:
b

\Х{У2 -y\) d x

\{У2
a

- У \)dx

\)(y\-yl)d>
- r
\{y2-y\)dx
Todėl
i

j i

Jx[^[x -x2^dx
x

c =

O1

—Jįx — j:4jdx
c
_ ^r»
L
20 ' У =

e
2

J( 4 ^ - x ) d x
0
4.

Kreivės

koordinatės.Tarkime,

ISL
i

L·

V/ r\ Ų ^ - x 2 ydx

=

!

20

O
lanko

statiniai

momentai

ir

masės

centro

kad materialios kreivės tankis γ = const. Išskirkime

kreivės lanko elementą ds; tuomet jo masė bus dm =yds. Pažymėkime bet
kurį kreivės lanko elemento tašką

Tuomet statinių

momentų

elementai bus lygūs
d Kx = y γ ds, dKy = χ yds,
o patys statiniai momentai
i

Kx=

i

O

y Jyds

,

Ky=

O

y

Jxds,

0

0

jei tarsime, kad parametras s kinta nuo 0 iki s0. Kadangi kreivės lanko ilgis
i

lygus

O
Jcfe, tai tos kreivės lanko masės centro koordinatės būtų išreiškia-

o
mos formulėmis:
i

5

O

-O

Jxds
x

c = -7
I
O

Jds

0

Jyds

,

Λ = ĄSO

·

(21)

Jds
ds

o

6 pavyzdys. Apskaičiuokime apskritimo p = 2a sin φ statinį momentą
polinės ašies atžvilgiu, kai tankis jo taškuose lygus 1.

S p r e n d i m a s . Kadangi polinė ašis sutampa su ašimi Ox (131 pav.), tai ieškomasis
statinis momentas Kx = ^yds. Kreivės lygtis
o
išreikšta polinėmis koordinatėmis, todėl į šią
formulę turėsime įrašyti:
y = p sin φ = 2α sin φ sin φ = 2a sin2 φ ,
ds = Jp2 + p'2 d(p =
/

9

9

9

9

= -\j4a sin φ + 4a cos φ dų>= 2adų ;
integralo rėžiai bus kampo φ kitimo rėžiai. Taigi
π

Kx=

:

π

J2asin 2 φ·2α dq> = 4α2 Jsin 2 φ<Λρ =

2a 2 J(l — соз2ф)с/ф = 2a2^(p--^-sin2(pj

2πα .

•

5. Plokščiosios figūros ir kreivės lanko inercijos momentai. Žinome, kad
materialiojo taško M inercijos momentas ašies arba kito taško atžvilgiu
'j

lygus md ; čia m - taško masė, d - jo atstumas nuo ašies ar kito taško.
Materialiųjų taškų Mh kurių kiekvieno masė m t , sistemos inercijos
momentai ašių Ox, Oy ir koordinačių pradžios atžvilgiu bus lygūs
n
n
Ix =
,· ·yf , Iy = YjmI "xI2 ' 7O = L + h· •
/=1

/=I

Samprotaudami taip pat, kaip darėme išvesdami statinių momentų
formules, nustatytume, kad plokščiosios figūros inercijos momentai lygūs
b
Ix=

Ί

b
,

a

Iy =Y \x2ydx,
a

o kreivės lanko inercijos momentai lygūs
-5O

Ix=y\y2ds,
0

s

O

Iy=y\x2ds.
0

6. Guldino* teoremos. Suformuluosime dvi teoremas, kurios geometrines sukimosi paviršių charakteristikas sieja su sukamų kreivių ir jų
apribotų figūrų masės centro koordinatėmis.
Paulius Guldinas (P. Guldin, 1577 - 1643) - šveicarų matematikas.

Iš (21) formulės
J

O

->0

j yds
Ус=

VIO "

J'yds
=

-

ids
(L - kreivės lanko ilgis) gauname:
[yds

=Lyc\

O
iš čia
«0
2π Jyds
yds = 2лу
2πν,с · L .
о

Šio skyriaus 5.5 skyrelyje sužinojome, kad dydis 2π Jyds lygus pavirti
šiauš, gauto sukant kreivę apie ašį Ox, plotui; dydis 2лyc lygus apskritimo,
kurį nubrėžia sukamos kreivės masės centras, ilgiui. Taigi įrodėme teiginį,
kuris vadinamas pirmąja Guldino
teorema.
1 teorema. Paviršiaus, gauto sukant kreivę apie kurią nors tos kreivės
nekertančią ašį, plotas lygus tos kreivės lanko ilgiui, padaugintam iš apskritimo, kurį nubrėžia sukamos kreivės masės centras, ilgio.
Remdamiesi šia teorema, galime rasti kreivės lanko masės centro
koordinatę yc, kai žinomas kreivės lanko ilgis L ir jos nubrėžto paviršiaus
plotas Q.
7 pavyzdys. Apskaičiuokime cikloidės χ = a ( i - s i n / ) , y = a ( l - cos t)
pirmosios arkos masės centro koordinates.
S p r e n d i m a s . Žinome, kad tos arkos ilgis L = 8a (žr. šio skyriaus 5.3
skyrelio 2 pavyzdį). Spręsdami tą patį pavyzdį, gavome:

ds = 2a sin — dt:
2

tuomet
2π

Q

„

2π

= 2π ja(l-cos/)2iisin^-d/ = 8πα 2 Jjsin 3 ^-d/ =
2
2z
z
O
o
!π
2π

К

= -16πα 2 I Il-COS
1-cos22 — d cos—I
...
=
о

2) У

2

=

-16πα'

cos

'
2

3t
cos —
2
—
3

2π
16πα

-2 + -

=

64 πα

4
Vadinasi,
64 πα
3
_ 4α
2π·8α ~ Τ '
Iš kreivės simetriškumo išplaukia, kad xc =
Remdamiesi (20) formule
A f
2

πα.

\)/ct

d x

_

2

а

У'--t
jydx
(S - figūros plotas), gauname:
1b
-\y2dx

= Syc-

is cia

Žinome, kad dydis

π jy2dx

= 2πγα · S.

n^y 2 dx

lygus sukinio, gauto sukant kreivinę

a
trapeciją apie ašį Ox, tūriui, o dydis 2nyc - apskritimo, kurį nubrėžia
sukamos kreivinės trapecijos masės centras, ilgiui. Taigi įrodėme teiginį,
kuris vadinamas antrąja Guldino
teorema.
2 teorema. Sukinio, gauto sukant plokščią figūrą apie jos nekertančią
ašį, tūris lygus tos figūros plotui, padaugintam iš apskritimo, kurį nubrėžia
sukamos figūros masės centras, ilgio.
Šią teoremą irgi galima panaudoti ieškant masės centro koordinačių.

6. Netiesioginiai integralai
6.1. Netiesioginiai integralai su begaliniais
integravimo rėžiais
Apibrėždami

integralą

b
Jf(x)dx,

funkciją /(x)

laikėme

tolydžia

a
atkarpoje [a\b], o integravimo rėžius - baigtiniais. Apibrėžtinio integralo
sąvoką apibendrinsime dviem kryptimis, tardami, kad integravimo rėžiai
yra begaliniai arba kad pointegralinė funkcija yra trūki. Šiame skyrelyje
nagrinėsime integralus su begaliniais rėžiais.
Tarkime, kad funkcija /(x) apibrėžta ir tolydi visuose intervalo
\a \ +oo) taškuose. Tuomet ji integruojama bet kurioje atkarpoje [a; b],
b > a. Vadinasi, integralas
b
(22)

\f(x)dx
a
turi prasmę. Nagrinėsime šio integralo ribą, kai b -> +oo.

1 apibrėžimas. Jeigu egzistuoja (22) integralo baigtinė riba, kai b —» +oo,
tai ji vadinama funkcijos fŲc) netiesioginiu integralu intervale [а; +со), arba
pirmojo tipo netiesioginiu integralu, ir žymima simboliu
+OO
b
\f[x\dx = Iim \f[x\dx.
b—•+со J
Šiuo atveju sakome, kad netiesioginis integralas

Jf(x)dx

konverguoja.

a
Priešingu atveju, kai minėtoji riba yra begalinė arba neegzistuoja, sakome,
kad netiesioginis integralas diverguoja.
Išsiaiškinsime netiesioginio integralo
geometrinę prasmę, kai f(x) > 0. Integь
ralas Jf(x)dx reiškia figūros aABb, apri-

JV(X)CfX
a

V
\

botos kreivės y = f(x), ašies Ox ir tiesių
χ = a, χ = b (132 pav.), plotą, o netie-

β
/J

X

+00

sioginis integralas

Jf(x)dx

- begalinės

a
figūros, apribotos kreivės y = f(x),
Ox ir tiesės χ = a (133 pav.), plotą.

ašies

0

α

b

X

У'

oo

L

Jf(X)OfX
^ ^ ^ ^

O

α

O

X

134 pav.

133 pav.
Analogiškai apibrėžiame:
b

^f(x)dx =

\f{x)dx =

Iim

\f(x)dx + f/(x)dx=

J/(x)cfe,

Iim \f(x)dx + \\m \f(x)dx.
a
+00

1 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

dx
f
— (134 pav.).
J o l + ^2

S p r e n d i m a s . Remdamiesi apibrėžimu, galime užrašyti:
-OJ
ι·

I

J

dx

i , 1 + JC

=

U
r

F= J

j

T \ + X2

Iim arctgjc
a-»-oo

+CU

dx

2

+

r

I

n

.

dx
\+X

V

,.

T=

hm
A->^°:\

r

J

7

dx

,.

7+

llm

+ X2

O

dx

r

J

X2

B^+COĮ 1 +

b
,.
,.
,
π
π
+ Iim arctgjc = - hm arctgcr + Iim arctgo = — h — = π .
i->+oo
O
α—>^x>
й-»+оо
2 2

Taigi integralas konverguoja.

•
+00

2 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

Jeaxdx , a < O (135 pav.).
o
Sprendimas.

+00

b

fe^dx =

O

Iim

^

+0o

Ieaxdx

= i Iim e
a b—»+со
1

=

O
M

K

i:™ t„ab
= — Iim
Ie
a 6->+oo\
" ) - 7 ·
Integralas konverguoja.
A

Šiuose pavyzdžiuose integralą apskaičiavome, pirma radę pirmykštę
funkciją, po to - jos ribą. A b u šiuos momentus galima išreikšti viena
formule.
Kadangi f u n k c i j a / ( χ ) tolydi atkarpoje [a; b], tai šioje atkarpoje
egzistuoja jos pirmykštė funkcija F(x). Todėl pagal Niutono ir Leibnico
formulę
b
jf{x)dx =
F(b)-F(a)=F(x)ba.
a
Iš šios lygybės matyti, kad netiesioginis integralas

Jf(x)dx

konver-

a
guoja tada ir tik tada, kai egzistuoja baigtinė riba
Iim F(b) = F(+oo);
o
tuomet
+00

\f(x)dx = F(+ao)-F(a)
a

= F(x)

Iš netiesioginio integralo apibrėžimo ir tik ką gautos formulės išplaukia, kad, apskaičiuodami netiesioginius integralus, galime taikyti integravimo dalimis ir kintamųjų keitimo metodus.
π/2

3 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

,

O
Sprendimas.
dx =

Panaudokime

keitinį

^t
. Tuomet
l+ r
π/2

f

ώ

Γ

dx

M
Jl +
- 2x
· —sin

dt

6

tgx = t,

.2
7
t
sin"x = ———,
l+r

6.2. Netiesioginių integralų su begaliniais rėžiais
konvergavimo požymiai
Dažnai pakanka tik ištirti, ar netiesioginis integralas konverguoja, ar
diverguoja, neapskaičiuojant jo reikšmės. Tam tikslui suformuluosime
kelias teoremas, kurios vadinamos konvergavimo požymiais.
Pradėsime nuo bendriausio požymio, tinkančio ir tada, kai funkcija
yra teigiama (arba neigiama), ir tada, kai ji intervale [a; +00) keičia
ženklą.
+00

1 teorema (Koši kriterijus). Integralas

^f(x)dx

\f(x) dx

tada, kai У ε > 0 3 A0 > a: A > A0 л A' > A

Į r o d y m a s . Pažymėkime

\f(x)dx

konverguoja tada ir tik

= ФИ).

< ε.

Integralas

a
konverguoja, kai egzistuoja baigtinė riba

\f(x)dx
a

Iim Ф ( Л ) , o šios egzistavimą
A-y+co

nusako Koši kriterijus, teigiantis, kad baigtinė riba

Iim Ф(Л) egzistuoja
Л-»+оо

tada ir tik tada, kai
Ve > 0 3 A 0 > a : A > A 0 A A ' > А =>|ф(л')-ф(л)| < ε .
Apskaičiavę
A
|φ(Λ')-Φ(Λ)| =

\Ąx)dx- \f(x)dx

A'

A

A'
\f(x)ch

J+J-J

a

A

a

įsitikiname, kad iš to išplaukia ir reikiama nelygybė. Teorema įrodyta. •
Sprendžiant uždavinius, Koši kriterijus taikomas retai; dažniausiai
paisoma kitų, paprastesnių, požymių. Suformuluosime juos, o įrodinėdami
pasiremsime Koši kriterijumi.
Kita vertus, toliau pateikti požymiai, priešingai negu Koši kriterijus,
tinka tik tada, kai pointegralinė funkcija yra teigiama.
2 teorema (palyginimo požymis). Jeigu su visomis x>a
reikšmėmis
teisinga nelygybė
0 <f(x)<g(x)
(23)
+00
+OO
ir jeigu integralas ^g(x)dx konverguoja, tai konverguoja ir integralas ^f{x)dx ,
a

a
+00

jeigu diverguoja integralas J f(x)dx
a

+00

, tai diverguoja ir integralas

^g(x)dx.
a

Į r o d y m a s . Kai

A > A0 л А' > A, tai iš (23) nelygybės išplaukia,

kad
A'
Jg(x)<&

J / M dx
1) Tarkime, kad integralas

(24)

Jg(x)dx konverguoja. Remdamiesi Koši
a

kriterijumi, gauname:
A'
\/ε > 0 3 A0>

a: A > A0 л A'

>

A-

Jg{x)dx

< ε.

Tuomet iš (24) nelygybės išsyk gauname:
A'
\f(x)dx

< ε.

A
o tai ekvivalentu integralo

J f(x)dx konvergavimui.
a

+00

2) Tarkime, kad

+00

Jf(x)dx
a

diverguoja; turime įrodyti, kad

jg(x)dx
a

+00

irgi diverguoja. Jeigu sakytume priešingai, kad

Jg(x) dx konverguoja, tai,
a
remdamiesi tik ką įrodyta pirmąja teoremos dalimi, gautume, kad integ+00

ralas J f (x)dx irgi konverguoja. Tai jau prieštarauja teoremos sąlygai.
a

•

+00

Tiriant integralo
kokia funkcija

Jf(x)dx
a

konvergavimą, iš anksto nėra žinoma, su

reikia palyginti pointegralinę funkciją.

Labai

dažnai

palyginimui naudojama laipsninė funkcija — . Išnagrinėkime integralą

J f

(O>0).

Tarkime, kad α * 1; tada
+00

=
Jxa

+OO

_Lxl-a
a
1-a

(1-a).

.a-l

Jeigu α > 1, tai α - 1 > O ir — ^ — > О, kai χ -» +oo, todėl

'
(a-l)d

J-^- =

. Taigi integralas konverguoja.

a - 1 < O, 1 - a > O ir x 1 _ a

Jeigu α < 1, tai

+со, kai л:

+oo,

todėl integralas diverguoja.
Kai α = 1, tai
Cdx

_

+CO
Гс
?dx
I — = Inx
= +00 .
a
J
a

-

a

Jx
a

~
+00

Cdx konverguoja, kai α > 1, ir diverguoja, kai
—
J Ya

Vadinasi, integralas
a< 1.

+00

1 pavyzdys. Ištirkime integralo

Sprendimas. Kaix>e,tai

N^-c/x konvergavimą.

ЯГ

l n x > l , todėl
v χ

>—Jrr-.
X1

Kadangi

+00

1
a = - < 1, tai integralas
3

i* dx

J Vx

diverguoja; tuomet pagal 2 teoremą

+00

diverguoja ir integralas

*lnx
1-^=-*.
J \x

•

e

Praktikoje naudingas dar ir toks požymis.
3

teorema

[a; +oo)

(ribinis

palyginimo

požymis).

Tarkime,

kad

intervale

apibrėžtos dvi teigiamos funkcijos f(x) ir g(x). Jeigu egzistuoja

baigtinė riba
f(x)
Iim
= K > O,
*->+« g(x)
+00

tai netiesioginiai integralai
diverguoja.

+00

j/(x) dx ir

Jg(x)dr kartu konverguoja arba

a

a

Į r o d y m a s . Žinome, kad
hm Ц-!- = J C o V e > O 3 M > 0: χ > M => ^ f - f
Mx)

< ε

K

o

f ( x )

<=>AT-ε < ^ f J . < / с + ε .
Kadangig(x) > O, tai gauname (/v - ε )g(x) < /(χ) <

+ ε)#(χ).

Dabar

Iš

belieka

pritaikyti

palyginimo

požymį.

nelygybės

+CC

/(jc) < (K + ε)#(χ) aišku, kad, konverguojant integralui

Jg(x)c/x, kartu ir
a

+00

integralui

a

+00

+

turi konverguoti ir integralas

nelygybės (K - ε ) g(x) < f(x)

J/(x)c/x. O iš
a

irgi aišku, kad, konverguojant

+00

integralui

+00

J/(x)i/x , turi konverguoti integralas
a
+со
jg(x)ctc.

Analogiškai

divergavimą.

^(K-ε)g{x)dx ir kartu integralas

samprotaudami,

galėtume

įrodyti

ir

integralų

•
+00

Prisiminę, kad integralas

'dx
I —
Jχ

konverguoja, kai α > 1, ir diverguoja,

kai α < 1, iš šio požymio tiesiogiai gauname išvadą, kurią patogu taikyti
tiriant integralų konvergavimą.
Išvada. Jei funkcija

f(x), lyginant ją su —, kai χ —> +oo, yra α > O eilės
χ
+00

nykstamoji funkcija, tai integralas

^ f(x)dx
a

konverguoja, kai a > 1, irdiver-

guoja, kai α < 1.
2 pavyzdys. Ištirkime integralų
+OO
+00
f arctgx
,
f
I
Tirdx , I
2
Ul + x )'
J j c
konvergavimą.

3

dx
1
V I ^

r

+^0
f Vjc ,
ir I
dx
Л +*

S p r e n d i m a s . Apskaičiuojame ribas:
arctgx

Iim

I
2\3/2
+X
V
—
τ 1)
= гIim
_L
X

3

x 3 arctgx _ π
32

I1"22\) /

2'

1
3

x Vll + x 2
^=

,.
Iim
X—»+00

1

,·
Iim

χ

,

X->+CO I Γ

i
= 1,
χ2

X4

Iim
.t-»+00

1+

* =

Į

Iim —

=

1.

x->+co 1 + X

X1/2

Kadangi pointegralinės funkcijos, kai χ - » + да, yra atitinkamai α = 3,
α = 4 ir α = i

eilės nykstamosios funkcijos, tai pirmieji du integralai

konverguoja, o trečiasis diverguoja.
•
Pastaba. Kai kalbame apie abiejų integralų konvergavimą kartu, tai K
gali būti ir lygus nuliui.

6.3. Absoliutusis ir reliatyvusis netiesioginių integralų
konvergavimas
+00

Nagrinėsime

J / ( x ) dx, kai/(x) intervale [a; +да) turi pastovų ženklą
a

arba jį keičia.
+00

1 apibrėžimas. Integralas

Jf{x)dx
a

vadinamas absoliučiai konverguo-

+00

jančiu, jei konverguoja integralas
Teorema. Absoliučiai

j]/(x)| dx .
a
konverguojantis integralas konverguoja.

sakant, jei konverguoja integralas

integralas

J / ( x ) dx.

+00

j]/(x)|o!x, tai juo

labiau

Kitaip

konverguoja

J|/(*)|

Į r o d y m a s . Koši kriterijų taikome integralui

dx:

a
V ε > 03A0>

a: A > А0л

A'>

A =>

A'
< ε <=>
\\f(x)\dx
A

A'
<i=> J|/(x)\dx < ε.
А'
Iš savaime aiškios nelygybės

J / M dx

<

A'
J|/( x)| dx

ir ankstesnės

A
+00

turime

\f(x)dx

ε, o tai reiškia, kad integralas

pavyzdys. Ištirkime integralo

S p r e n d i m a s . Kadangi

funkcijos integralas

galima teigti, kad

LCOS X
J — — dx konvergavimą.

IcosxI < 1 , tai

COSX

< — .
χ2

Pastarosios

Cdx
l-r- konverguoja. Remiantis palyginimo požymiu,
J χ

TW
COSX

I

J/(x)cfx konverguoja.

-uu

dx konverguoja, o tai reiškia, jog

absoliučiai konverguojantis.

i

COSX
—-—dx yra

•

Atvirkščias teiginys gali būti ir neteisingas. Iš to, kad konverguoja
+OO
+00
J / ( x ) dx, dar neišplaukia, kad konverguoja J|/(x) | dx . Išnagrinėkime
a
a
pavyzdį.
+00

2 pavyzdys. Ištirkime integralo

Sprendimas.
kime: u =

I S m X dx konvergavimą.
J χ
i

Pritaikykime integravimo dalimis metodą. Pažymė-

— ,du = ——z-,
sin xdx = dv, v = - cosx. Tuomet
*
χ2

+CO
Г sin X ,
dx =

i

1

+00
+00
fcosx ,
.
fcosx ,
—г dx = C o s l - I—-—dx.

COSX +00

χ

X

1

J

1

J

χ2

1

X2

+00

Kaip jau įsitikinome, integralas

Г cos χ
— — dx konverguoja. Taigi integralas
J χ

+00

+00

JfilLLdx

irgi konverguoja. Dabar išnagrinėkime integralo

J l i t H dx

i
.
konvergavimą, pasiremdami sąryšiu | sinx | > sin χ = -— —
° ~ . ir, ir tuo, kad
2
+CO
+00
+00
f1-cos2x^ _
fdx
f"cos2x
c
dx.
J 2x
J 2x J 2x
1
C;2x
S A

+00

f — = — In χ ' = +oo, o integralas — Γ c o s ^ x ^ry k onV erw 2χ
2
2 J
χ
1
1
(tuo galėtume įsitikinti panašiai, kaip ir nagrinėdami integralą

Integralas
guoja
+CO

+00

ΓSinjX ^ ^ Tokiu atveju integralas
J x

Π — c o s 2 x J x diverguoja. Remdamiesi
J
2x
+00

palyginimo požymiu teigiame, kad integralas

Sinx

dx irgi diverguoja.

+00

Taigi

diverguoja.

integralas

J

+OO1

stnx

^x

konverguoja,

o

integralas

J

sinx

dx

•
+00

2 apibrėžimas. Jei integralas J f(x)dx
a

+00

konverguoja, o integralas J|/(x)|c?x
a

+00

diverguoja, tai integralas

J f(x)dx
a

vadinamas reliatyviai konverguojančiu.

+00

Toks yra integralas

I S ' " A dx .
J χ

6.4. Trūkiųjų funkcijų netiesioginių integralų apibrėžimas.
Niutono ir Leibnico formulės taikymas
Tarkime, kad funkcija f(x) yra tolydi intervale (a; b], o taške χ = a
turi antrosios rūšies trūkį. Taigi taške χ = a ji yra neaprėžta, kartu dėl šios
priežasties neintegruojama atkarpoje [a; b]. Tačiau tarkime, kad į dešinę
nuo taško a, pavyzdžiui, atkarpoje [a + e\b] ( 0 < ε <b-a)
ji jau yra
b

integruojama. Tuomet ribinę integralo

Jf(x)dx

reikšmę, kai ε -> O,

α+ε
b

natūralu laikyti integralo

Jf(x)dx

reikšme.

a
b

Apibrėžimas. Jeigu egzistuoja baigtinė riba Iim Jf f ( x ) d x , tai ši riba
ε->0
α+ε

b

vadinama

trūkiosios funkcijos

f(x) netiesioginiu integralu

ff{x)dx
a

arba

antrojo tipo netiesioginiu integralu intervale (a; b].
Taigi
b

b

Jf(x)dx

=

Iim

Jf(x)dx,

ε > 0.

ε_

a
b

Jeigu riba

Jf(x)dx

Iim \f(x)dx yra baigtinė, tai sakome, kad integralas
ε-»0
α+ε

konverguoja, priešingu atveju - diverguoja.

Jeigu funkcija f(x) turi antrosios rūšies trūkį taške χ = b, tai
b

b-ε

Jf(x)dx
a
Jeigu funkcija f(x)
[a;fe]taške χ = c, tai

=

Iim Jf(x)dx
ε—»0 a

turi antrosios rūšies trūkį vidiniame atkarpos

b

h

, ε > 0.

c

b

\f(x)dx =

\f(x)dx + \f(x)dx ,

a

a
c'-ε,

c
b

\f(x)dx = Iim
f f ( x ) d x + Iim
\f{x)dx .
ε,->0
ε,-»0
1
ζ
a
α
c+ε2

(25)

1 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

S p r e n d i m a s . Funkcija y = \

[ĖL.

Jx2"

truki taške χ = 0. Remdamiesi (25)

lygybe, galime parašyti:
0-ε,
Cdx
I v +

i

f dx
I

J x

r =

2

..
hm
ε,->0

i

χ1

1

I

ε2->0

-1

Iim —
- Iim —
ε,—)-0 χ -1
ε2->0 X

f dx

,.
hm

J

x

0+ε,

= - Iim —— + I l - Iim 1
ει—^Ov — εη
ε2->ον

Taigi integralas diverguoja.

= +00 .
ε2

•

Jeigu, apskaičiuodami integralą, neatsižvelgtume j funkcijos trūkio
tašką x = 0, tai gautume
i
' dx

1 1

T
Jx2

X -1

=

1 1 -

2.

-1

Šis rezultatas, aišku, yra klaidingas, nes teigiamos funkcijos integralas
negali būti neigiamas.
Sakykime, kad b - funkcijos f(x) antrosios rūšies trūkio taškas ir
funkcija/(x) intervale [ a ; b )

turi pirmykštę funkciją F(x). Tuomet

b
b-e
J/(x)ūtc = Iim |/(x)obc = Iim F(x)

ε

= Ihn F ( ^ - e ) - F ( a ) .

Taigi netiesioginio integralo egzistavimas ekvivalentus baigtinės ribos
Iim F(b - ε) egzistavimui. Jeigu ši riba egzistuoja, tad ją natūralu laikyti
ε—>0

pirmykštės funkcijos F(x) reikšme taške b, tuomet F(x) bus tolydi visoje
atkarpoje [ a ; b ]. Vadinasi, kai F(x) tolydi atkarpoje [ a ; b ], tai
netiesioginį integralą apskaičiuojame taikydami Niutono ir Leibnico
formulę
b
\f{x)dx = F(b)-F(a)
= F(x) .
Ta pati formulė tinka ir tada, kai trūkio taškas yra atkarpos viduje
arba kai jų yra keli, svarbu tik, kad pirmykštė funkcija būtų tolydi visuose
atkarpos [ a ; b ] taškuose.

e

2 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą

dx

J:л/ Inx

S p r e n d i m a s . Integralas yra netiesioginis, nes pointegralinė funkcija
nutrūksta taške χ = 1.
e

f

e

dx

Γ ¢/( In χ)

ι
- ) = J - = 2 Vlnx
J Vlnx

_

J χ V Inx

Kadangi pirmykštė funkcija 2Vlnx

tolydi atkarpoje [ 1; e], tai galima

taikyti Niutono ir Leibnico formulę. Todėl
e;

b Vlnx

= 2Vlnx

= 2 Vln

Inl

=2.

Apskaičiuojant trūkiųjų funkcijų netiesioginius integralus, galima
taikyti integravimo dalimis ir kintamųjų keitimo metodus. Reikalavimų,
kurie tuomet keliami pointegralinėms funkcijoms, čia neformuluosime.
3 pavyzdys. Apskaičiuokime JxlnxJx .

Sprendimas.

i
JxlnxJx =

1

u = lnx, du = —dx,

χ

2
xdx = dv, v = ·

1
,
I i 1
-In; i - —Tχαχ
= — In
1
O
Ί J
Ί
O

Inx
— - — Iim .
4
2ι-»ο 1

1

4

1

,·
2,
Iim χ lnx
Ί - νη
2*->·ο
J_

1 Iim
,
2 χ—>ο

χ

-jlT-

2

1
4

1
4

1 , - 2
+ - hm χ ζ =
4 χ—>0

1

.

4

6.5. Trukiųjų funkcijų netiesioginių integralų konvergavimo
požymiai
Be įrodymo suformuluosime palyginimo ir ribinį palyginimo požymius, analogiškus suformuluotiems pirmojo tipo netiesioginių integralų
konvergavimo požymiams. Pirmieji du taikytini tik funkcijoms, kurios yra
teigiamos intervale ( o ; b].

1 teorema (palyginimo požymis). Jeigu funkcijos f(x) ir g(x) intervalo
(a; b\ taške χ = a turi antrosios rūšies trūkį ir su visais χ iš šio intervalo
b
teisinga nelygybė 0 <f(x)<g(x),
tai, konverguojant integralui
^g(x)dx,

konverguos

ir integralas

a
b

b
Jf(x)dx,
a

o diverguojant integralui
a

b
diverguos ir integralas \g(x)dx .
a
b
J/(jc) dx konvergavimą, labai dažnai palyginimui

Tirdami integralo

a
1

naudojame funkciją

(x-a)a

Išnagrinėkime integralą
b
ε > 0; tuomet

f — — — = Iim
Ux-a)a
^O
'

=

(b-a)

Iim

1-α

dx
UX
—
* (x-d)a
a
b

(b > a). Tarkime, kad

f — — — = Iim -.—-—
J (χ_α)α
Ηθ1-α

1-α

=

ti^
1-α

1
- Iim
ε->ο ( 1 - α ) ε

> oo , kai ε

diverguoja. Jeigu α < 1, tai α - 1 < 0 ir

J
ε

f

c

^
(x-a)a

b
ι

;

α+ε

α+ε

Jeigu α > 1, tai α - 1 > 0 ir ——г
εα

todėl

ir

„l-α

1-α

ε->0

Ь
F

= ———
1-α

1

,

0, todėl integralas

= ε 1 _ α -» 0 , kai ε -> 0 ,

. Taigi integralas konverguoja, kai α < 1.

b
Kai

α = 1,

tai f — — — = \—X = Iim [ i A- = I i m l n i x - я )
а
J
J
χ-α
ε—>0 •>χ-α
χ-α
Чу-п\
Χ-α
ε-»0
ε—>0 v
(.x-a)
a

= 1ίπι(ΐη(ό-α)-1ηε)

α+ε

= oo. Vadinasi, integralas

ε->0

kai α < 1, ir diverguoja, kai α > 1.

b
α+ε

dx
ί ———
(χ-α)α

J

konverguoja,

1,5
Γ cos χ
1 pavyzdys. Ištirkime integralo
I—j=-dx konvergavimą.

J

VX

O
S p r e n d i m a s . Funkcija

y =

COS JC
r

yra trūki taške χ = 0. Bet, kai

Vx
χ e ( 0 ; 1,5], tai
cosx

1

л/х

л/х
1,5

Kadangi α = — < 1, tai integralas
2

[-J= dx konverguoja. Tuomet

J Vx

o
1,5
pagal 1 teoremą integralas

COS JC

I—^dx
Гх

konverguoja.

i

A

1
2 pavyzdys. Ištirkime integralo

I
o

S p r e n d i m a s . Funkcija

2 + sin χ
γ ά χ konvergavimą.
v

2 + sin χ
— yra truki taške χ = 1. Kadangi su
(x-l)

visomis χ reikšmėmis 2 +sinx > 1, tai
2 + sin χ
(x-l)

2

1
(x-l)2
i

Kadangi šiame pavyzdyje α = 2 > 1, tai integralas

f

I

dx

- diver-

o

guoja. Tuomet pagal 1 teoremą integralas

I

2 + sin χ
—dx diverguoja.

J(x-1) 2

A

o v
'
2 teorema (ribinis palyginimo požymis). Tarkime, kad intervale (a; b]
apibrėžtos dvi teigiamos funkcijos f(x) ir g(x), kurios taške a turi antrosios
rūšies trūkį. Jeigu egzistuoja baigtinė riba
/ М
Iim ^7-4 = K > O,
g(x)

b

tai netiesioginiai integralai

b

Jf[x)dx

ir Jg(x)dx kartu konverguoja arba

diverguoja.

3 pavyzdys. Ištirkime integralo

h

dx

konvergavimą.

1-х0

S p r e n d i m a s . Integralas yra netiesioginis, nes pointegralinė funkcija
nutrūksta taške χ = I. Apskaičiuojame
1

1
6

Iim

^

х-И

6
·

O - r

V T

r

^ I + x + x 2 )(l + x 3 )

=Iim
χ—> 1
(1-Γ

Aišku, kad šio santykio riba bus konstanta, lygi

dx

integralas

i;(1-х)

, kai α =

— . Kadangi

konverguoja, tai kartu konverguoja ir integralas
1/6

i

i

dx
1 - X

6

Kai funkcija fŲc) intervale (a; b] (a - antrosios rūšies trūkio taškas)
keičia ženklą, pritaikę Koši kriterijų, gauname bendrą egzistavimo sąlygą.
b

3 teorema (Koši kriterijus). Netiesioginis integralas Jf{x)dx

konver-

guoja tada ir tik tada, kai
α+η
νε>03δ>0:0<η<δΛ0<η'<δ

f/(x)dx

< ε.

α+η

Antrojo tipo netiesioginių integralų absoliutusis ir reliatyvusis konvergavimas apibrėžiamas taip pat, kaip ir pirmojo tipo netiesioginių integralų.
Ir šį kartą absoliučiai konverguojantis antrojo tipo netiesioginis integralas
konverguoja.

6.6. Beta ir gama funkcijų konvergavimo sąlygos
\xa~x(\-x)h ldx vadinamas beta funkcija ir žymimas
o
B(a, b). Išnagrinėkime, su kuriomis a ir b reikšmėmis šis integralas
konverguoja. Kai a < 1, tai pointegralinė funkcija trūki taške л: = O, kai
b < 1, - taške χ = 1, todėl šis integralas yra netiesioginis. Jj išreiškiame
dviejų integralų suma:
Integralas

1/2

,

\xa~\\ -x)

B (a, b)=

ι

dx + \xa~\\-xyldx

O

.

1/2

1/2
b x
j xa~\\ - χ)
clx , kai a > 1, yra tiesioginis, todėl konverguoja.
o
Kai a < 1, jis yra netiesioginis. Pritaikysime ribinį palyginimo požymį:
Integralas

Iim
v—>+0

Ц—^
i

= 1.

X11/2

Kadangi integralas

f

I

dx

konverguoja, kai 1 - a < 1, t.y. kai a > 0 , tai

o
1/2

\xa~x(\-x)
dx . Taigi
o
pastarasis integralas, kaip netiesioginis, konverguoja, kai 0 < a < 1, o kaip
su šia a reikšme konverguoja ir integralas

1/2

tiesioginis, kai a > 1. Vadinasi, integralas
kai a > 0 .

|xfl_1(l-x)
o

Analogiškai įsitikintume, kad integralas

dx konverguoja,
\xa'x(\-x)b~Xdx
1/2

konverguoja, kai b > 0 . Galutinai funkcija B (a, b) konverguoja, kai vienu
metu a > 0 ir b > 0 .
+0

° -i j xa e Xdx vadinamas gama funkcija ir žymimas Γ(α). Jį
o
išreiškiame dviejų integralų suma:
1/2
+со
Γ (a) =
\ xa-le~xdx + I xa~le~xdx .
Integralas

O

1/2

Kai a < 1, pirmasis integralas yra antrojo tipo netiesioginis integralas, nes
pointegralinė funkcija trūki taške χ = 0. Kai a > 1, jis konverguoja kaip
tiesioginis integralas. Apskaičiuojame:

Iim

х а _ 1 е~ л

χ—>+0

= 1;

1
X1"*

iš

čia

1/2
j x"

integralas

_
e Xdx,

kaip

netiesioginis,

konverguoja,

kai

o
1 - a < 1, t.y. kai a > 0. Galutinai šis integralas, nekreipiant dėmesio,
kokio tipo jis yra, konverguoja, kai a > 0.
Antrajam integralui irgi taikome ribinį palyginimo požymį:
a

Iim

1x

~Xe~x

x-»+oo

1
X

xa+a~]
Iim —
= 0.

=

*-»+00

A

Sis sąryšis teisingas
su bet kuria α
00
integralas

+

Į x"

gX

reikšme, kartu ir su α > 1. Taigi

_1

e Xdx konverguoja su bet kuria a reikšme. Todėl gama

1/2

funkcija konverguoja, kai a > 0.

6.7. Pagrindinė netiesioginio integralo reikšmė
+00

Netiesioginį integralą

J/(x)i/x apibrėžėme taip:
—00
+CO
c
b
j f ( x ) d x = Iim \f(x)dx
+
Iim
|/(x)Jx.
a-+-0o J
b-*+OO
-oo
a
C

Dabar imkime a = b. Tuomet
+oo
jf(x)dx =
-oo

c
a
Iim \f(x)dx
+ Iim \f(x)dx = Iim \ f(x)dx
J
a-*-oo
a-»+oo
a-*+oo
a
c
-a

Jeigu ši riba egzistuoja, tai ji vadinama pagrindine

.

netiesioginio

+00

integralo

J/(x)c/x reikšme Koši prasme ir žymima
—00

v.p.

+oo
a
\f(x)dx = Iim j f[x)dx.
a-»+oo
-oo
-a

Simbolis v.p. kilęs iš prancūzų
„pagrindinė reikšmė".

kalbos žodžių

valeur principai

-

Analogiškai

apibrėžtume

antrojo

tipo

netiesioginio

integralo

b

kai f(x) turi antrosios rūšies trūkį vidiniame [ a ; b ] taške c,
pagrindinę reikšmę:
b
v.p.

fc-ε

[Ąx)dx=

Iim

b

\f{x)dx+

f

va

f(x)dx

c+ε

J

Jeigu netiesioginis integralas konverguoja, tai aišku, kad jis konverguoja ir pagrindinės reikšmės prasme. Atvirkščias teiginys gali būti ir
klaidingas. Tai iliustruosime pavyzdžiu.
TW

Pavyzdys. Įrodykime, kad integralas

f

x+\ ,

,.

αχ diverguoja įprastąja

χ +1
prasme, bet konverguoja pagrindinės reikšmės prasme.
-OO

+GO

Γχ

Sprendimas.

+1

_

2

X

Jx +1

= π +

Γ

xdx

+00

Γ χ dx
2

J χ +1

+

Г

dx
2

J χ +1

(žr. 6.1 skyrelio 1 pavyzdį).

J77T
+00

= 1
Jv

2

+1

ln(x 2

lim

2

I

+1)

)

= — Iim In ^ + * .
2 £->-oo b +1
6 -»+00

Ši riba neegzistuoja, kai b —» - oo ir b' —> + oo nepriklausomai vienas

nuo kito. Taigi integralas

f

*

X

2

+

^ dx diverguoja. Tuo tarpu

+ 1

+00

+00
xdx

v.p.

J

1

,.

-z
= — Iim In1
χ +1
2 6—»+oo (

<4

-b

= O, todėl v.p.

f* +l ^
I—

dx =

Jx2 + 1

π.

Uždaviniai

1. Taikydami apibrėžimą, apskaičiuokite integralus:
1
1
1
a) jxdx ;
b) jexdx;
c) Jx 3 dx.
0
0
0
2. Įvertinkite integralus:
π
2.

2
a) J
;

b

)

f-y—-;
J χ +1
i

c)

dx

f
2
J 5 + 3eos χ

b
Jf(x)dx.
Sudarykite apatinę ir viršutinę Darbu
a
sumas s ir S, dalydami atkarpą [ a ; b ] į n lygių dalių, po to sudarykite
3. Duoti integralai

sumas i ir 5 , dalydami į 2n lygių dalių. Įsitikinkite, kad s < š < S < S.
2
π

a) Jsinxeic,n = 3;
o

b)

Cdx
I
—,n = 5 .
Jl +χ
o

4. Įrodykite, kad Dirichlė funkcija (žr. III skyriaus 34 uždavinį)
neintegruojama atkarpoje [ 0 ; 1 ].
χ
5. Raskite funkcijos y =

I
Jt2+5
o

dt kritinius taškus intervale ( 0 ; oo ).

ex
C/4 -16
6. Raskite funkcijos y =
I
-(//ekstremumą.
+1
ό
χ
cos л/7
7. Įrodykite, kad funkcija y = I—T=—dt tenkina sąlygą

J

-Jt

\

„ „
y'
sinVx
2 v" + — +
X
X
У
X
8. Raskite y'x, kai Jcos/ dt + Jsin t dt = O
0

0

= 0.

9. Apskaičiuokite ribas:
JcosZ 2 Ji
a) Iim
JT->0

j-J^gtdt
;

b) Iim -S

Χ

.

*->+()

JVsin t dt
O
10. Apskaičiuokite integralus, tiesiogiai taikydami Niutono ir Leibnico
formulę:
π
a)

fj~7==
- 7 = = ;;
JVl + χ
0
1
2x - 3
^
d) Г
2
J Vx -3x + 5

b Wj VV4 ^- xJ 2 x
b)
J x; ;
o
-1
Г
6

'

c)
с)

Γ

Jv;

J
o
1/2 ln3
j*
e

dx
2

J χ + 6x +13'

-e2*

J

11. Keisdami kintamąjį, apskaičiuokite šiuos integralus:
13
In 3
4

a)

d)

I* xdx

Г

^

dx

c

j*

Jx

2

J Vx-4 '
5

J Ve - Г
In 2

JJ i (χ+16)3/2 '

3π

π

π

fsin6—Jx ;
J
3
О

jr

4

О

e) Ϊ
*
;
J 1 +sinx+ Cosx
О

f)

Jx
f
2
J l + 4sin x

12. Ar galima šiuos integralus suintegruoti, panaudojant nurodytus
keitinius:
2
^
1 ,
j
a) Jf x 2 J r , χ2 = i;
b) Jf V x 2 + U x , χ =
;
cos/
-i
o
1
2л, f ώ
1
C
dx
Χ
r,
d)
o J r 7 p r ,
5 - 3 cos χ
2
-i
o
13. Integravimo dalimis metodu apskaičiuokite šiuos integralus:
π
3

2

a) f(3x + 2)lnx J x ;
,
1

-

b)

I лV ;
I sin'jr

·>

2π

c) | x 2 c o s x J r ;
*
O

ι
d) fln(l +x)dx;

S
Jxarctg xdx.

e)

0

O

14. Pakeitę kintamąjį, įrodykite šias lygybes:
1

Г Иг
a) J ^ r

1/Л

'
С Их
= j

А
(χ > 0);

л

b) \Ąx)dx = \f(b - x)dx ;

ι
„2

ι \
1
c) \x f [x2 jcfc = - \xf(x)dx (a > 0);
2
о
о
π/2

d)

f)

π/2

π

J/(cosx)t/x=

J/(sinx)i/x;

0

0

\xm(\-x)"dx =
0

π/2

e) Jx/(sinx)t/x = π J/(sinx)afx;
0

0

\xn(\-x)mdx.
0

15. Funkcija /(x) yra nelyginė atkarpoje

periodą, lygų T. Įrodykite, kad

\f(t)dt

L

L

2' 2

, periodinė ir turi

yra periodinė funkcija ir jos

a
periodas lygus T.
.^t
, , ·
, , πΛ
2n r
(2 n)', π
16. Įrodykite, kad j cos xdx =
—j .
o
2 " ·(«!)
π

17. Įrodykite, kad

Ii

'sinwx ,
fO, kai m - lyginis,
I
-dx = •
sin χ
[π, kai m - nelyginis.
0

18. Tarkime, kad f"(x)

- tolydi atkarpoje [a ; b\ funkcija. Įrodykite,

kad
b
I xf "(x)dx = (bf '(b) - f (b)) - (af '(a) - f (a)).
a
19. Apskaičiuokite integralus:
3

2

a) Jsgnix 4 - 13x2 + 7>6\dx;
-2

3π/2

b) JfexIaix ;

c)

0

Jxsgn(sinx)a5c.
0

20. Apskaičiuokite figūrų, kurias riboja duotosios kreivės, plotą:
а)y = 6 r - x 2 - 7 , у = x - 3 ;

Ъ)<į\x\ + J\y\ =-Ja

, y = 0\

с)у =х-х2,

d)x2y2 = 4(х - 1), χ = 5;

у = ху/ 1 - х ;

e) χ = 2 cos t - cos 21, у = 2 sin t - sin 21 (kardioidė);
f) p = 2 л/3 coscp, ρ = 2sin φ;

g) (χ2 + у 2 ) 2 = 2а2 χ у (lemniskatė).

21. Kreivė у = e "ctxSin β χ (χ > 0) kerta ašį Ox taškuose x k = k π / β
(fc = O, 1, 2,...). Įrodykite, kad ašies Ox ir kreivės pusbangių apribotų
figūrų plotai sudaro geometrinę progresiją, kurios vardiklis q = e "απ/ρ.
22. Tarkime, kad p > 1, q > 1, — + — = 1. Pasinaudodami plotų
P 4
savybėmis, įrodykite, kad su bet kuriomis teigiamomis a ir b reikšmėmis
teisinga nelygybė
aP
ьч
— +—
>ab.
P
4
23. Apskaičiuokite šių kreivių lankų ilgį:
a) y2 = χ3, nukirstos tiese χ = 4 / 3;
b ) у = - V x + 12 , - 11 < x < - 3 ;
6
c)y = 2л1\ + ех/2
d ) χ = sin 4 1,
C2

, In 9 < x < In 64;

y = cos 2 f, O < f < π / 2 ;

e) χ = — c o s 3 Z ;
α

C2

y = —sin3?,
b

0<ί<2π,

c2 = a2-b2

(elipsės

evoliutė);
f) p = a coscp;
g) ρ = α(1 - sin<p), - π / 2 < φ < - π / 6 .
24. Sakykime, kad /(i) tris kartus tolydžiai diferencijuojama
intervale (a; b) funkcija. Raskite kreivės χ = / " ( / ) cos t + / ' ( / ) sin i,
y=

f'(t)

c o s i - f "(t) sin/

(α < t\<t<t2

25. Apskaičiuokite kreivės χ =

<b)

lanko ilgį.

t

t

j*cosz ^z ^ y -

JfiiLi t Z z lanko ilgį

ι

i

nuo koordinačių pradžios iki artimiausio jos susikirtimo su vertikaliąja
liestine taško.
2

2

X V
v-— (žr. V I I skyriaus 2.5 sky4
8
relį) ir plokštuma z = 10. Apskaičiuokite kūno tūrį.
-

26. Kuną riboja paraboloidas z =

27. Kuną riboja kūgis

X2

+

V2

(z-3)2
— z ~

^ (^r- V I I skyriaus 2.7

skyrelį) ir plokštuma z = 0. Apskaičiuokite kūno tūrį.

28. Įrodykite, kad piramidės, kurios pagrindo plotas S, o aukštinė H,
turis lygus — SH.
29. Nupjautinio kūgio pagrindai - elipsės, kurių pusašės lygios a, b ir
a', b', jo aukštinė lygi H. Apskaičiuokite to kūgio tūrį.
30. Apskaičiuokite tūrį sukinių, kurie gaunami duotų kreivių apribotas
figūras sukant apie nurodytas ašis:
a) y = χ2 - &t + 15, y = O (apie ašį Ox, apie ašį Oy);
b)_y = arcsinx, y =
O < χ < 1 (apie ašį Ox);
c) 2.py = χ2, y = U l (apie ašį Ox);
d) y = e" + 6, y = e2*, χ = O (apie ašį Oy).
31. Duotoji kreivė sukama apie ašį Ox. Apskaičiuokite gauto sukimosi
paviršiaus plotą:
Ъ)у = 1/4 + χ2, O < χ < 1/2;

а)y = Vx , 3/4 < χ < 15/4;
2

2

с) χ + 4у = 36.
32. Įgaubtojo veidrodžio paviršius yra sukimosi paraboloido nuopjova.
Jos aukštis 4 dm, pagrindo spindulys 6 dm. Apskaičiuokite veidrodžio
paviršiaus plotą.
33. Į skystį, kurio tankis γ, panardinta (viršūne aukštyn) trikampė
plokštelė taip, kad jos viršūnė yra vandens paviršiuje. Raskite skysčio slėgį į
plokštelę, jei trikampio pagrindas a, o aukštinė h.
34. Kokio didumo darbas atliekamas išsiurbiant skystį iš cilindrinio
rezervuaro, kai to skysčio tankis γ, rezervuaro aukštis h, o pagrindo
skersmuo d ?
35. Raskite elipsės χ = a cos t, y = b sin t apribotos figūros inercijos
momentą ašies Oy atžvilgiu.
36. Raskite pusapskritimio y = -Jr2 - x 2 ir jo bei ašies Ox apriboto
pusskritulio svorio centro koordinates.
37. Apskaičiuokite pirmojo tipo netiesioginius integralus:
+OO
+CO

O

e

+

+00

g)
I

O

38. Ištirkite šių integralų konvergavimą:
+00

+00

^^

+00
xdx

a)

b)
1
+GO

c)

fcrfr/

Оr
+00

..4

d)
2
О
39. Apskaičiuokite antrojo tipo
įsitikinkite, kad jie diverguoja):
.
a)

O

0,5

f

f

dx
7—лзТ=!;
J ( x + l)Vx + l

Jxln
2
.

e )

f sinx
T=^cfe;
Jvcosx

χ

-π/2
j

1

f - dx

h

f In χ

r4

;

0

a)

Jt/r?

b)

0

d)

I

, . f cos2 Vx ,

;

H^

.

ift;

c)

O

f

dx
-rx
Jl nln\e
f e * ++1-е]
1-е) '
1 \
'

H ^ E
e) I —
J=
J л/х sin Vx
n

e)

,

ift

Jw '

0
0
0
40. Ištirkite
šių
integralų
konvergavimą:
1
4
Cdx

f

J

Jx
X -

Sinx

dx.

41. Apskaičiuokite:
+00

a) v.p. Γ — —
;
J(x-4)5

b) v.p. f sin χ Jx ;
1

c) v.p.

Γ—.
J *

3

42. Su kuriomis
riomis k reikšmėmis konverguoja integralai:

f ^ * ;

ь)

J x
O

dx

P
sin/c χ

9

J sir
O

43. Su kuriomis α ir β reikšmėmis konverguoja integralai:
+со

a)

π/2

[-^—r-dx,

Jl+ χ

о

μ

β > 0;

(arba

π/2

dx

O
χ2dx

xą + \

integralus

c)

-2
Γ

netiesioginius

b)

2

h

2
+00
ρsin^
· 2 xdx

b)

Tsina χ cosp χ Jx ?

J

о

Atsakymai
1. a) 1/2;

b)e-l;

с) 1/4.

2. а) 4 <1 < 2·>/30 ;

b)|</<^;

b) s = 0,945, 5 = 1,265,
S = 1,027,

—
S =1,187. S.nk,keN.

b) π; с) 2/3; d) 2(л/з - V J ) ; e) j

e) In2; f)

; f)

6.

4
3

sin χ
-.
cosv

151η3. 8.

9.a)l;b)l.

л/2 .

. 11. a) 100/3; b) 2^arctg2--jj ; c) — ; J4
d)

. 12. a) Ne; b) ne; c) ne; d) ne. 13. a) 10In2-17/4; b) π ί - - —
2V5

И

/c) 4π; d) In— ; e) — - — - .
e
3
2

64 '

tto

JI:

2

d) (2-^5 + 1^2 + ,/5))/4 ; e)4įa3-b^/ab·,

27. π·/77 .

9

15π .

19. a) 3; b) 14 - ln(7!); c) - — . 20. a) 4,5; b) а2/з ; c) 0,1;
8

d) 8(2-arctg2); e) 6π; f) 5π/6->/з ; g) α2.

26. 200π>/2.

10. а) 2;

23. а) 112/27; b) 25/3; с) 2(1 + In 1,5);

f) πα; g) 2a.

24. j|/"'(i) + f'(t) | dt.

29. — ν((2α + α') b + (a + 2a') b') .
6

30. a) 16π/15,

25.1ηπ/2.

32π/3;

b) π ( π 2 - 8 ) / 4 ; ε )32πρ 3 /15; d)3π(2In3- 1)1η3. 31.а)28тс/3; b) (зln(V2 +1) + 7-^2) π/32;
c) 2-*/3π(4π + Зл/З); 32. 49 π. 33. rah2/3.
л:£. = 0, ус = 4г/3к.
38. a)

34./hnd2l&.

35.πα3ί>/4. 36. Xc = 0, yc = 2τ/π;

37. а) 1/3; b) π/VF; с) π/6; d) 1; e ) 2 ( l - l n 2 ) ; f) 13 π/4; g) n!; h) 1/4.

Diverguoja;

b) konverguoja;

c) diverguoja;

d) konverguoja;

e) diverguoja; f) konverguoja. 39. a) Diverguoja; b)-1/2 In2 2; c) 4; d) π; e) diverguoja;
9
f) —

.

40. a) Konverguoja; b) konverguoja; c) diverguoja; d) diverguoja; e) konverguoja.

41. a) 15/64; b) 0; c) 0.42. a) k < 3; b) k < 1. 43. a) α > - 1, β > α + 1; b) α > - 1, β > - 1.

KELIŲ KINTAMŲJŲ
FUNKCIJOS

1. Aibės plokštumoje ir erdvėje
1.1. Euklido* erdvės
Taško padėtis skaičių tiesėje apibūdinama viena koordinate x,
plokštumoje - dviem koordinatėmis χ ir y, erdvėje - trimis koordinatėmis
χ, y ir z. Šios koordinatės yra realieji skaičiai. Apibendrindami tai,
sutarkime nagrinėti taškus ( j u o s dar vadinsime vektoriais), turinčius n
koordinačiųX b X2, — , xn\ čiax„
i = 1, n - realieji skaičiai. Tokius vektorius žymėsime χ = (X1; x2; ... ; x„), o
jų aibę - R". Šią aibę dar kartais vadinsime erdve R". Erdvė R1 (visų
realiųjų skaičių aibė) paprastai vadinama realiąja tiese, R2 - plokštuma, R3
- trimate erdve. Imkime dar vieną vektorių y = (уь y2; ...; y„). Dabar
panašiai, kaip darėme vektorinėje algebroje, apibrėžiame dviejų vektorių
sudėtį ir vektoriaus daugybą iš realiojo skaičiaus α :
X + y = (Χι + У ь Х 2 + y 2 ; . . . \Xn + У п ) ,

αχ = ( а х ь а х 2 ; . . . ; ах„),
vadinasi, x+y s R", αχ e R".

Euklidas (Euklides, 365 - 300 m. pr. Kr.) - graikų matematikas.

Apibrėžti veiksmai pasižymi komutatyvumo, asociatyvumo ir distributyvumo savybėmis, nes jos būdingos realiesiems skaičiams.
Nuliniu vektoriumi O laikysime vektorių, kurio visos koordinatės lygios 0.
Apibrėžkime dar dvi sąvokas:
1) dviejų vektorių skaliarinę sandaugą
n
x y = Σ х1У1;
I=I
2) vektoriaus normą (ilgį)
Il X 11 = ( X - X ) i ^ = ν Σ ι

'

Aišku, kad pastarosios dvi formulės apibendrina analogiškas vektorinės
algebros formules.
Vektorių χ = (χχ·, x2; ...; xn) aibę Rn , kurioje tokiu būdu apibrėžtos
sudėties ir daugybos iš skaičiaus operacijos, skaliarinė sandauga ir norma,
vadinsime η-mate Euklido erdve.
Pavyzdžiui, kai χ eRl, t.y. kai χ

=(X\),

tai ||x|| = JXf

n
pačios skaliarinės sandaugos x y = Σ x i У ^
ir χ·χ =
(=1
skaičiai, tai
n
n
n
x
x
ir
I
x-x
I
=
χ y Il =
l
/=I
/=I
/=I

Σ ^

= | X11 . Kadangi

n
Σχ?
/=I

Уга

rea

liej'

Σ I

todėl Il x-y y > χ · y ir Il X-X Il = x-x. Šių dviejų sąryšių prireiks vėliau, įrodant
teoremą.
Teorema. Jei x, y, z e Rn , α e R1, tai:
1.

2 .

3 .
4 .
5 .

|x||>0

Il

χ

α χ- = |α|• I I
I x - y
I χ

+

Il

^

Il

χ

у I

|χ-ζ|| ^ l l

Il =

0

<=>

χ

=

0 ;

χ II;

II-II у II;
I χ Il +
χ

-

y

Ily
Il +

II;
l l y - z

Į r o d y m a s . 1 ir 2 savybės yra trivialios. Įrodysime 3 savybę, kuri vadinama Koši nelygybe.
Išreiškę vektorius χ ir y koordinatėmis, matome, kad turime įrodyti
nelygybę
ΣΧι>'ι
/=1

s

Jl-

Ii = I

r

(1)

ι

Norėdami ją įrodyti, pasirinkime savaime teisingą nelygybę
t(xiU
i=l

+ y i ) 2 > 0.

Pertvarkę ją, gauname kvadratinę u atžvilgiu nelygybę
n
n
n
u2 ς 4 + ^ Σ ^ ι + Zyf *
/= 1
;=1
J=1
9
.
. . .
Kadangi koeficientas prie u yra teigiamas, tai ši nelygybe teisinga su
visomis u reikšmėmis, kai kvadratinio trinario diskriminantas D < 0.
Randame
λ 2
n
n
f JL
x
D = 4- ΣWi
-4-T I^yfVj=I
j
J=1
J=I
Pertvarkę nelygybę D < 0, gauname reikiamą (1) Koši nelygybę.
Įrodysime 4 savybę.
Il χ + y Il 2 = ( x + y)-(x + y ) = X-X + 2 x-y 4- y-y .
Kadangi X-X = || χ·χ || = || χ ||2 ,

x-y < || x-y || < || χ ||·|| y ||, tai

Il x + у Il 2 ^ Il χ Il 2 + 2 Il χ IHl у Il + Il у Il 2 = ( Il χ Il + Il у I l ) 2 ;
iš čia
Il χ 4-у Il < Il χ I l + 11 у Il.
5 savybę g a u n a m e iš 4 savybės, vietoj χ įrašę χ - y, o vietoj y įrašę
y-z.

A

1.2. Taško aplinka erdvėje R". Atvirosios ir uždarosios
aibės
Įveskime atstumo erdvėje Rn tarp dviejų taškų x = (xi;x2',—;xn)

ir

у = (у\;У2>—1Уп) sąvoką. Tai padarysime, apibendrindami žinomą atstum o analizinėje geometrijoje formulę, ir atstumą ρ (x, y) tarp taškų χ ir y
apibrėšime taip:
p(x,y)=, ZixJ-^-)
Vj=I

= I I х - У II·

Erdvė Rn, kai joje apibrėžta atstumo sąvoka, vadinama metrine erdve R".
Sakykime, kad x° =

χ ® ; ^ ; · · · ; ^ I - tam tikros aibės E c : R " taškas.

1 apibrėžimas. Taško x° ε > 0 aplinka
E taškų χ, kurie tenkina sąlygą p (χ, x°) < ε.

VE (X°) vadinsime visumą aibės

Erdvėje R2 aplinka - skritulys, kurio centras taške x°, o spindulys ε, be
jį ribojančio apskritimo; erdvėje R3 aplinka - rutulys, kurio centras taške
x°, o spindulys ε, be jį ribojančios sferos.
Analogiškai, kaip ir I skyriaus 2.7 skyrelyje, apibrėžiami ribiniai ir
vidiniai taškai bei atvirosios ir uždarosios aibės. Trumpai priminsime šiuos
apibrėžimus.
Taškas vadinamas ribiniu aibės E tašku, kai kiekvienoje jo aplinkoje
yra be galo daug tos aibės taškų. Jis vadinamas vidiniu aibės E tašku, jei yra
tokia jo aplinka, kuri yra aibės E poaibis.
Aibė vadinama uždarąja, kai visi jos ribiniai taškai kartu yra ir jos
taškai. Atvirąja vadinama aibė, sudaryta tik iš vidinių taškų. Atviros aibės,
pavyzdžiui, yra taško x° aplinkos Ve (x°).
2 apibrėžimas. Aibė vadinama jungiąja, jei bet кипе du jos taškai gali
būti sujungti laužte, sudaryta tik iš tos aibės taškų. Atvira jungi aibė vadinama
sritimi.
3 apibrėžimas. Aibė vadinama
skaičius M, su kuriais

aprėžtąja, jei egzistuoja taškas χΘ ir

p (x, x°)< M. Kitaip sakant, aibė yra aprėžta, kai visus

jos taškus galima patalpinti n-mačiame rutulyje, kurio centras taške x°, o spindulys M.

2. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka ir geometrinis
vaizdavimas
2.1. Kelių kintamųjų funkcijos sąvoka
Tarkime, kad D - tam tikra erdvės Rn taškų aibė.
A p i b r ė ž i m a s . Taisyklė f, pagal
χ = (XiIX2;.xn)
mųjų funkcija

kurią kiekvienam

aibės D

taškui

priskiriamas vienas realusis skaičius u, vadinama n kintau = f(x^,-.,Xn).

Aibė D vadinama

žimo sritimi, aibė E = {u e R\u = f(x\,x2,...,xnų

tos funkcijos apibrė-

- jos reikšmių aibe; D a R",

E<zR\
Dviejų kintamųjų funkcija z = f(x, y) gaunama, kai skaičius z priskiriamas plokštumos taškui (x; y), o trijų kintamųjų funkcija u = f(x, y, z), kai
skaičius u priskiriamas erdvės R3 taškui (x;y; z).
1 pavyzdys. Jeix, y, z- stačiakampio gretasienio matmenys, tai jo tūris
V = xyz yra trijų kintamųjų funkcija, apibūdinanti atitiktį
f: (х, y, z)

->xyz.

2 pavyzdys. Raskime funkcijos
1-х2 -y2

z = Inxy+
apibrėžimo sritį.

S p r e n d i m a s . Funkcija bus apibrėžta, kai
Į xy > O,
[1-х 2 -J^ z > 0

χ > O,
y>0,
2

χ +y

arba
2

r

r.
Щ

;X

\

f

0

/

<1
136 pav.

χ < 0,

X 2 + y 2 < 1.

Nelygybė χ

+y

< 1 apibrėžia skritulį (136 pav.), o nelygybės χ > 0,

y > 0 arba χ < 0 , y < 0 pirmąjį ir trečiąjį koordinatinius ketvirčius. Apibrėžimo sritis - 136 paveiksle subrūkšniuotos skritulio dalys; ašių Ox ir Oy
taškai apibrėžimo sričiai nepriklauso. •
Išsiaiškinkime, koks yra dviejų kintamųjų funkcijos z = f(x,y)
geometrinis vaizdas. Apskaičiavę kiekviename apibrėžimo srities D taške
(x;y) funkcijos reikšmę z, gauname skaičių trejetą (x, y, z), kuris erdvėje R3
nusako tašką M (x; y; f (x, y)). Tokių taškų visuma sudaro tam tikrą paviršių erdvėje R3. Taigi funkcija z = f (x, y) erdvėje .R3 apibrėžia paviršių.
Toliau išvesime svarbiausių paviršių lygtis.

2.2. Sukimosi paviršiai
Tarkime, kad plokštumoje
χ O z duota kreivė /, kurios lygtis
F(X,Z) = 0 (137 pav.). Sukdami
šią kreivę apie ašį Oz
,
gauname
sukimosi
paviršių.
Išvesime to paviršiaus lygtį.
Kintamąjį
sukimosi
paviršiaus
tašką
pažymėkime
M(x;y; z); prieš tai didžiosiomis
raidėmis X , Z
pažymėjome
kreivės kintamojo taško
N
(X;0;Z)
koordinates, kad jos
skirtųsi nuo paviršiaus kintamojo taško koordinačių. Taškai
M ir N priklauso tam pačiam

apskritimui, kurio centras ,4 (0; 0; z), todėl
\χ\ =AN=AM=

y/(x-0)2 +(y-0)2

=Jx2+y2

+ (z-z)2

.

Kadangi taškai M k N yra toje pačioje plokštumoje, statmenoje ašiai
Oz, tai jų aplikatės lygios, todėl Z = z. Įrašę į lygtį F (X, Z) = 0 gautas X ir
Z išraiškas, gauname sukimosi paviršiaus lygtį
2
2
{ d X +y ,

ZI

=0.

Palyginę sukamos kreivės / lygtį F (χ, z) = 0 ir gauto sukinio lygtį
Jx2

+ y2, z j = 0, darome išvadą: norėdami gaud sukimosi paviršiaus

lygtį, turime sukamos kreivės lygtyje palikti nepakeistą kintamąjį, žymintį
sukimosi ašį, o kitą kintamąjį pakeisti kvadratine šaknimi (su ženklu ± prieš
šaknį) iš likusių dviejų koordinačių kvadratų sumos.
Pasinaudodami šia išvada, išvesime svarbiausių
lygtis.

sukimosi paviršių

2.3. Elipsoidai
Sukimosi elipsoidais vadinami paviršiai, kurie gaunami sukant elipsę
apie jos simetrijos ašis. Tarkime, plokštumoje χ Oz duota elipsė
χ2
z2
— + — = 1 (a>c),

kuri sukama apie ašį Ox (138 pav.). Gautas paviršius

a
c
vadinamas ištemptu sukimosi elipsoidu. Jei šią elipsę suktume apie ašį O z ,
gautume suspaustą sukimosi elipsoidą. Pirmojo elipsoido lygtis
2
x

a

2

+y

2

2
+ z

c

_,

2

o antrojo 2

2

2

a2
Perkirtę

ištemptą

c2

sukimosi

elipsoidą

statmena

plokštuma χ = h (h <a), joje gauname apskritimą
/+z
c
arba

2

2

^
-

V

'

sukimosi

ašiai

ICirsdami sukimosi elipsoidą plokštumomis, statmenomis ašims Oz ir
Oy, pjūviuose gautume elipses.

138 pav.
Visus
2

2

pjūviuose

gautus

(2)

apskritimus
2

1

pakeičiame

2

elipsėmis

2

h
χ
y
Z
У
z
At- + = γ = 1 - = γ , kurios bus paviršiaus
+ -Ar + — = 1 susikirtimo su
2
z
2
2
b
c
a
a'
b'
c2
2

2

2

χ
y
Z
-γ + ^-γ + -γ = 1 vadinamas
a
b~ с
triašiu elipsoidu, skaičiai a, b, c - jo pusašėmis. Visuose triašio elipsoido
pjūviuose, statmenuose trims ašims Ox, Oy ir Oz , jau gaunamos elipsės.
Kai a = b = c, gauname sferą, kurios Iygtisx2 + y2 + z 2 = a2.
plokštumomis χ = h rezultatas. Paviršius

2.4. Hiperboloidai
Vienašakis sukimosi hiperboloidas
i i
a2

gaunamas, kai hiperbolė
i i
c2

~

sukama apie ašį Oz (139 pav.), o dvišakis - kai ta pati hiperbolė sukama
apie ašį Ox (140 pav.). Pirmojo hiperboloido lygtis
X

2

Z

+ Y

a

2

Z

2

Z

c

2

Z

_

2

antrojo y

2

+Z

2

= 1.
a
c
Panaudodami šias lygtis, panašiai kaip darėme anksčiau, išvestume
vienašakio hiperboloido lygtį
2

2

2

a2

b2

c2

140 pav.

139 pav.
У

= 1.

Paminėsime įdomią vienašakio hiperboloido savybę - per kiekvieną
hiperboloido tašką eina dvi j o paviršiuje esančios tiesės, taigi jis tarytum
išaustas iš tiesių. Šią savybę išnaudojo statybininkai, statydami bokštus.
Juos sudaro kelios viena ant kitos pastatytos vienašakių hiperboloidų dalys,
o kiekviena dalis pagaminta iš tiesių sijų, sujungtų susikirtimo taškuose.
Panašiai sukonstruotas ir garsusis Eifelio bokštas Paryžiuje.

2.5. Elipsiniai paraboloidai
Sukimosi
paraboloidą
gauname
sukdami parabolę x2 = 2pz apie ašį Oz
(141 pav.). Jo lygtis
X2 + y2 = 2pz ,

p >0 .

Iš šios lygties, panašiai
anksčiau, gauname elipsinio
loido lygtį:
2

ιZ

kaip ir
paraboX

2

X
y
— +— = z ;
2p
Iq

.i

čia p > 0, q > O arba p < O, q < 0.

0
4r

£

141 pav.

2.6. Hiperbolinis paraboloidas
Taip vadinamas paviršius, apibrėžiamas lygtimi

Jis nėra sukimosi paviršius,
be to, jo lygties negalima
gauti iš sukimosi paviršių
lygties, kaip tai
darėme
anksčiau.

χ

Kaip geometriškai atrodo hiperbolinis paraboloidas,
nustatysime,
kirsdami
jį
įvairiomis plokštumomis.
Kirsdami šį paraboloidą
plokštuma
z = h,
pjūvyje
X2
gauname hiperbolę — - Iph

142 pav.

v2
X2
—— = 1 . Kai h = O, tai hiperbolė
Iqh
1p
У

išsigimsta į dvi susikertančias tieses
JTp

= 0 ir

Jlq

*

Jlp

r+

v2
—
2q
.

y

Jlq

0,

einančias per koordinačių pradžią. Plokštumos* = 0 ir y = 0 iš hiperbolinio
9
9
paraboloido iškerta paraboles y = -2qz ir л; = 2 p z .
Hiperbolinis paraboloidas pavaizduotas 142 paveiksle. Šis paviršius
dar vadinamas balnu.

2.7. Kūgiai
χ
z
Sukdami tiesę — = —
a
c
sukimosi kūgį

c#0)apie ašį Oz

_z
arba
2

2

2

xz +yz _
2
~~'
a
c
Iš čia gauname elipsinio kūgio lygtį
2

2

2

a2

b2

c2

144 pav. pavaizduoti kūgiai z = Jx2 +y2 ,
z = A-Ijx2

+y2 , ir y = 9 - 3 Vx 2 +z 2 .

Elipsoidai, hiperboloidai, paraboloidai ir kūgiai vadinami antros eilės paviršiais.

(143 pav.), gauname

2.8. Cilindriniai paviršiai
Taip vadinamas paviršius, kurį nubrėžia tiesė, judėdama lygiagrečiai
pasirinktai tiesei ir kirsdama duotąją
Z "
kreivę. Ši kreivė vadinama vedamąja, o
pasirinktoji tiesė - sudaromąja.
Nagrinėsime paprasčiausius atvejus, kai sudaromosios yra lygiagrečios
koordinačių ašims.
Tarkime, kad vedamoji / yra plokštumoje χ Oy ir jos lygtis F (x, y) = 0, o
sudaromosios yra lygiagrečios ašiai Oz .
Pasirinkime kintamąjį cilindrinio paviršiaus tašką M (x; y; z) (145 pav.). Jei
taško N fx; y) koordinatės tinka kreivės

M(x;y;z)

I

N(XiY)

145 pav.

cr

b y

I lygčiai, tai šiai lygčiai tinka ir taško M (x; y; z) koordinatės, nes abu tie taškai yra tiesėje, lygiagrečioje ašiai Oz. Taigi vedamosios lygtis F (x, y) = 0
erdvėje nusakys cilindrinį paviršių, kurio sudaromosios lygiagrečios ašiai
Oz. Analogiškai, lygtys F(x, z) = 0 ir F (y, z) = 0 apibūdins cilindrinius
paviršius, kurių sudaromosios lygiagrečios atitinkamai ašims Oy ir Ox .
2

2

X
V
2
Parinkę vedamosiomis antros eilės kreives — +
= 1, y = 2px ir
a~
b"
2

2

χ
y
— = 1, gausime antros eilės cilindrinius paviršius: elipsinį
a"
b"
parabolinį cilindrą ir hiperbolinį cilindrą (146 pav.).

cilindrą,

3. Kelių kintamųjų funkcijos riba ir tolydumas
3.1. Funkcijos riba taške
Kad būtų vaizdžiau, funkcijos ribos ir tolydumo sąvokas apibrėšime
turėdami galvoje dviejų kintamųjų funkcijas.
Tarkime, kad f u n k c i j a / : D ^ E

apibrėžta taško М о (л:0;у о ;) e£>

aplinkoje, išskyrus galbūt patį tašką M 0 .
Apibrėžimas. Skaičius b vadinamas funkcijos f riba taške M0, jei kiekvieną ε > 0 atitinka toks δ > O , kad visuose taško MQ δ aplinkos taškuose M,
nesutampančiuose su MQ , teisinga nelygybė
\ f ( M ) - b \

<

ε .

Rašome:
Iim

f(x,y)

= b , arba

Iim

f(x,y)

= b.

Panaudodami kvantorius, šį apibrėžimą užrašome taip:
Iim f(x,y)
M—>M0

= b<z>Ve>0 38>0: MsV5

(M0)\M„ =>\f(M)-b\
2

2

Pavyzdys. Ištirkime, ar f u n k c i j a / ( x , y ) =

Xy
X

<ε.(3)

turi ribą taške

+y

0(0; 0).
S p r e n d i m a s . Taškas M prie taško O gali artėti įvairiais keliais. Pasirinkime tiesesy = kx . Tuomet
Iim

2 2
χ y
..
. —j- = hm

M - > 0 X4

+ y

4

X-^o

2, 2 2
χ k χ
X

4

+ k

4

X

4

—

,2
k
1+

k

4

Taigi, kai taškas M artėja prie taško O skirtingais keliais, gaunamos
skirtingos ribos reikšmės. Vadinasi, funkcija ribos taške O neturi. •
Kelių kintamųjų funkcijų ribos pasižymi tomis pačiomis savybėmis,
kaip ir vieno kintamojo funkcijų ribos. Suformuluokime šias savybes.
1. Kai

Iim
M - > M

/(M) = A ,

Iim

g(M) = B , (A, B - baigtiniai dydžiai),

M - > M

0

0

tai
Iim (f(M)
M->M Q

+ g(M)) = A + B,

Iim f(M)g(M)
M-^M 0

=

AB,

M i , A ,
lim
м->м0 g(M)
B
2. Jei funkcija

B t 0

.

f tun taške MQ ribą, tai egzistuoja to taško

aplinka,

kurioje funkcija yra aprėžta.

3.2. Kartotinės ribos
Nagrinėsime funkcijos f(x,y)

ribas, kai vienas argumentų yra fik-

suotas. Sakykime, kad toks yra y. Tuomet f(x, y) bus vieno kintamojo χ
funkcija,

o

riba

lim f(x,y)

bus

kintamojo

y

funkcija,

t.y.

Х-»ЛГ(|

lim f(x,y)

= 9 ( y ) . Taigi yra prasmė kalbėti apie šios funkcijos ribą, kai

X->XFL

y —> y0 , t.y.
Analogiškai

Iim cp(y) =
galima

lim

gauti

Anksčiau apibrėžtą ribą

lim f(x,y)

ir tokią

• Toji riba vadinama kartotine.

kartotinę

lim
f(x,y),
(x;y)->(xn ;>>(,)

ribą

lim

lim f(x,y) •

kai abu kintamieji χ ir y kartu

artėja prie X 0 ' r Уо > vadiname dvilype riba.
Kyla klausimas, ar kartotinės ribos yra lygios viena kitai ir kaip jos
siejasi su dvilype riba. Išnagrinėkime du pavyzdžius.
1 pavyzdys. Raskime funkcijos
2 2
f(x,y)kartotines ribas taške (0; 0).

x y

4
4
X +y

Sprendimas.
Iim Iim X
= Iim —-^—
= 0,
»0_y—>0 χ + y
Μθχ4+0

Iim Iim X —
= Iim — — = 0 .
y^Ox^O χ4 + y4
y->0y4+0
Taigi šios funkcijos kartotinės ribos yra lygios. Kaip jau ištyrėme anksčiau,
(3.1 skyrelyje), šios funkcijos dvilypė riba taške (0; 0) neegzistuoja.

•

2 pavyzdys. Raskime funkcijos
t!
\=
f(x,y)

X 3

X

3

У%
+y

kartotines ribas taške (0; 0).
Sprendimas.
3

3

Iim Iim
— =
jf->0_y->0 χ 0 +у л
3

3

Iim ^ r = 1,
χ

3

3

χ —y
—y
Iim Iim — ; — ~ = Iim
= -1.
y->0x^>0 χ +y
y->0 y
Taigi šios funkcijos kartotinės ribos yra skirtingos. Nesunkiai įsitikintume,
kad dvilypė šios funkcijos riba taške (0; 0) neegzistuoja:
X3-y3
,.
X 3 -Zc 3 X 3 =
hm
— j — h m — 5
τ~Ύ
(дс;?)-^)^+/
Х^0х3+к3х3
y=kx

I-к3
T·
\ + k3

4

^

Iš šių dviejų pavyzdžių išplaukia, kad funkcijos kartotinės ribos gali
būti ir lygios, ir nelygios, o dvilypė riba gali neegzistuoti net ir tada, kai
kartotinės ribos egzistuoja ir net yra lygios.
Toliau įrodysime svarbią teoremą, kuri nustato kartotinių bei dvilypių
ribų sąryšį.
Teorema.

Jei

Iim
f(x,y)
(x;y)->(x0;y0)

egzistuoja
=b

ir

su

(baigtinė
kiekvienu

arba
y

begalinė)

dvilypė

riba

egzistuoja

baigtinė

riba

Iim f (χ,y) = φ (y), tai egzistuoja ir kartotinė riba
x

~yxO

Iim cp(y) = Iim Iim / ( x , y ) ,
У~>Уо
У->Уох~>хо

Į r o d y m a s . Teoremą įrodysime tarę, kad хо,.Уо, b - baigtiniai. Kadangi egzistuoja dvilypė riba
lim
f(x,y)
\y)^>(x0\y0)

O
tai, remdamiesi

(3) sąryšiu, gauname:

= b,
VE > 0

35 >0:

0 < \x - X 0 \ < δ,

0<|y - yQ I<δ =>I/(χ, у) - b |<ε. Dabar fiksuokime y taip, kad būtų
0 < | у - у о | < δ, o nelygybėje

|/(x,_y)-fc| < ε pereikime prie ribos, kai

χ -> X 0 · Tuomet, turėdami galvoje, kad
| / ( x , y ) - b | < ε gauname
kad

lim

lim
x->x0

/ ( x , y ) = cp(y), iš nelygybės

|cp(y)-b| <ε, kai 0 < | y - y o | < 6 , o tai reiškia,

φ (_y) = b. Teorema įrodyta.

•

3.3. Kelių kintamųjų funkcijų tolydumas
Tarkime,

kad

apibrėžimo sričiai.
Apibrėžimas.
x

taškas

A/ 0 (x 0 ;_y 0 )

Funkcija

priklauso

z =f(x, y)

vadinama

funkcijos

z=f(x,y)

tolydžiąja

taške

s

O'>'o) > jei j° riba taške M0 lygi funkcijos reikšmei tame taške, t.y.
Iim

f(x,y)

=

f(x0,y0).

Tą patį apibrėžimą suformuluosime " ε - δ kalba": funkcija f (χ, y) vadinama
tolydžiąja taške A/ () (x 0 ;_y 0 ), kai
νε>0

3δ>0:

Me V5 (M0)

=> | (f (M)

-

f (M0)

|<ε,

arba

detaliau
ε

ν ε > 0 3δ>0:|χ- X 0 I < δ ir |у - y 0 | < δ => | / ( x , y ) - / ( х 0 , у 0 ) I < ·
Kai funkcija tolydi kiekviename srities D taške, tai ji vadinama
tolydžiąja srityje D.
Laikydami skirtumus χ - X 0 ir y - y0 argumentų pokyčiais Δ χ ir Δ у,
o skirtumą f(x,y)-/(½,}¾)

~ funkcijos pokyčiu Δ z, išsiaiškiname, kad

funkcija yra tolydi, kai nykstamus argumentų pokyčius atitinka nykstamas
funkcijos pokytis.
Anksčiau apibrėžtas funkcijos tolydumas taške yra jos tolydumo abiejų
kintamųjų χ ir_y atžvilgiu apibrėžimas. Fiksavę vieną kintamąjį, pavyzdžiui,
y = yQ, gausime vieno kintamojo funkciją φ(χ) = / ( x , y 0 ) . Jei ši funkcija
bus tolydi taške x 0 , tai sakysime, kad funkcija f(x, y) yra tolydi taške
(X 0 Jy 0 ) kintamojo χ atžvilgiu. Analogiškai apibrėžiamas funkcijos f(x, y)

tolydumas taške ( x 0 ; y 0 )

kito kintamojo y atžvilgiu. Aišku, kad tolydi

abiejų kintamųjų atžvilgiu funkcija yra tolydi ir kiekvieno kintamojo
atžvilgiu. Atvirkščias teiginys yra neteisingas. Tą faktą galima pailiustruoti
pavyzdžiu.
Pavyzdys. Nagrinėkime funkciją

Rx,y)

=

p-į·,
χ +y
0,

kai (x,y)

(0,0),

k a i ( x , y ) = (0,0).

Prieš tai įsitikinome, kad ši funkcija neturi ribos taške (0; 0), todėl ji
nėra tolydi šiame taške. Ištirkime jos tolydumą atskirai kiekvieno
kintamojo atžvilgiu. Apskaičiuokime ribas, kai kintamieji fiksuoti:
Iim f i x , 0) = Iim Д - = 0

ir

Iim / ( 0 , y) = Iim -¾- = 0.
Kadangi šios ribos lygios funkcijos reikšmei taške (0; 0), tai funkcija
x2y2 l(xA + y 4 j
atžvilgiu.

šiame taške tolydi skyrium paimtų

kintamųjų χ ir y

•

Suformuluosime kelių kintamųjų tolydžiųjų funkcijų savybes, kurios
yra analogiškos vieno kintamojo tolydžiųjų funkcijų savybėms.
1 savybė (operacijos su tolydžiosiomis funkcijomis). Jei f ir g - tolydžios taške M0 funkcijos, tai f + g, f g ir f Ig (g (M0)

* 0) irgi yra tolydžios

šiame taške funkcijos.
2 savybė (sudėtinės funkcijos tolydumas). Tarkime, kad z=f(x,
sudėtinė funkcija, kudos kintamieji χ ir y yra naujų kintamųjų

y) -

u ir v funkcijos:

χ = φ (u, v), y = ψ (u, v). Jei funkcijos φ ir ψ yra tolydžios taške (и 0 ;v 0 ), o
funkcija f yra tolydi atitinkamame

taške (φ (m 0 ;v 0 ), ψ (M 0 JV 0 )), tai sudėtinė

funkcija z = f (ψ (ιι, v), ψ (m, V)) irgi yra tolydi taške (U0; V 0 ).
3 savybė (tarpinės funkcijos reikšmės teorema). Tarkime, kad funkcija
z = f (x, y) tolydi jungioje aibėje D ir f (A), f (B) - jos reikšmės taškuose
A, B e D. Jeif(A) <C <f(B), tai yra srities D taškas c, kuriame f (c) = C.
4 savybė (aprėžtumo teorema). Jei funkcija z =f(x, y) tolydi aprėžtoje
uždaroje aibėje D, tai ji aprėžta toje aibėje; be to, yra aibės D taškai M\ ir
M2,

kuriuose ši funkcija įgyja didžiausią ir mažiausią reikšmę.

4. Kelių kintamųjų funkcijų diferencijavimas
4.1. Dalinės išvestinės
Tarkime, kad srityje D apibrėžta dviejų kintamųjų funkcija z =f(x, y),
taškas M0(x0;y0)

e D.

Fiksuokime kintamojo y reikšmę, tardami, kad

У = УО- Tuomet funkcija
Apskaičiuojame

z = f(x,Y0)

bus vieno kintamojo

šios funkcijos pokytį, kuris atsiranda dėl

pokyčio Ax. Jį pažymime Axz
Α

χ Ζ

funkcija.

argumento

ir vadiname daliniu funkcijos pokyčiu. Taigi

= Д*о

+

Уo ) -

f

(x 0 ,Уо)·

Analogiškai apibrėžiame pokytį
\ z = f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0).
Pokytis, kuris atsiranda pakitus abiem argumentams χ ir y, vadinamas
pilnuoju ir žymimas Az. Taigi
Δz =

f(x0+Ax,y0+Ay)-f(x0,y0).

Bendru atveju Az # Axz + Ayz. Pavyzdžiui, kai z =xy, tai
Axz = (x+Ax)y -xy = yAc, Ayz = x(y+Ay) -xy

=xAy

Az = (x+Ax)(y+Ay) -xy = xA y + y A x + AxAy.
Taigi šiame pavyzdyje Az = Axz + AyZ + AxAy, todėl Az *Axz + Δ ν ζ .
Kadangi funkcija z = f(x,y0)

yra vieno kintamojo funkcija, tai galima

kalbėti apie šios funkcijos diferencijavimą kintamojo χ atžvilgiu, kai kitas
argumentas fiksuotas. Taip gauta funkcijos išvestinė vadinama

daline

dz
kintamojo χ atžvilgiu ir žymima — . Pagal išvestinės apibrėžimą ji lygi ribai
dx
Hm bL

=

Ax->0 Ax

lim

/(*o +

Ax—*0

Уо) - f{xp, У o)

;

Ax

jei ši riba egzistuoja ir yra baigtinė.
Analogiškai
Ё1 = Hm V
ду
Д у ^ о Ay

=

J i m /(хо,Уо + Ау)-/(х0,Уо)
д_у->о
Ay

Galima vartoti ir tokius žymėjimus:

z'x,z'y,fx(x0,y0).

Kai duota trijų kintamųjų funkcija u =f(x,y,
, ,.
.v
.
du
du
dalines įsvestmes: — , —
дх
dy

z), tai nagrinėjame tokias

. du
, ,
ir — . Pirmoji jų gaunama tarus, kad fiksuoti
dz

kintamieji y ir z, antroji - kai fiksuoti χ ir z, o trečioji - kai fiksuoti χ ir y.
Iš to aišku, kad dalinė išvestinė apskaičiuojama taip pat, kaip ir
paprasta išvestinė, nes kiti kintamieji laikomi konstantomis.
Pavyzdys. Raskime funkcijos
vz

U = X-

dalines išvestines jos apibrėžimo srityje.
Sprendimas.
z
du
du
z y -\
— = y χ,
Sx
Š7

xy

Inx-Zy z " 1 ,

du
Yz

= x-v Inx-y z - Iny .

Pirmoji šių išvestinių apskaičiuota kaip laipsninės funkcijos, o kitos
d v i - kaip rodiklinių funkcijų, nes funkcija u kintamojo χ atžvilgiu yra
laipsninė, o kintamųjų y ir z atžvilgiu - rodiklinė. •
Išsiaiškinkime dalinių išvestinių geometrinę prasmę. Apskaičiuodami
dz
išvestinę — , tariame, kad_y = v»o. Geometriškai tai reiškia, kad paviršius
Sx
z =f(x,y)

kertamas plokštuma y = v ( l . Ši plokštuma iš paviršiaus z = /fx, y)

iškerta kreivę z = f(x,y0),
χ Oz

esančią plokštumoje, lygiagrečioje plokštumai

(147 pav.). Remdamiesi vieno kintamojo funkcijos išvestinės geo-

metrine prasme, galime tvirtinti, kad dalinės išvestinės

z=f{x,y)

—
Sx

reikšmė,

apskaičiuota
z = f(x,yo)

taške

M0,

bus lygi

tangentui

kampo

a,

kurį

kreivės

kurį

kreives

liestinė T sudaro su tiese, lygiagrečia ašiai Ox.
Bz(M0)
—
dy

Analogiškai

bus

lygi

tangentui

kampo,

z = f ( x 0 , y ) liestinė sudaro su tiese, lygiagrečia ašiai Oy .

4.2. Pilnasis funkcijos pokytis
Nustatysime ryšį, kuris pilnąjį pokytį
Az=

f(x0 +

Ax,y0+Ay)-f(x0,y0)

susieja su funkcijos z = f(x, y) dalinėmis išvestinėmis —
dx

ir — ,

kai

dy

pastarosios egzistuoja taško ( х & у ^ ) aplinkoje ir jame yra tolydžios.
Parinkime tašką (x 0 + Ax,y 0 + Ay) taip, kad jis priklausytų minėtai
aplinkai ir sudarykime pilnąjį pokytį Az = f(x0 + Ax,y0 + Ay)-f(x0,y0).
to prie Az išraiškos pridėkime ir atimkime reiškinį f(x0,y0
Az = f(x0 + Ax,y0 + Ay) - f(x0,y0
Reiškinį f(x0,y0
tamojo funkcijos

+ Ay) + f(x0,y0

Po

+ Ay). Tuomet

+ Ay)- f(x0,y0).

(4)

+ A y ) - f ( x 0 J o ) galima traktuoti kaip vieno kin-

f(x0,y)

dviejų reikšmių skirtumą, nes kintamasis л:

fiksuotas. Šiam skirtumui taikome Lagranžo formulę:
f(x0,y0+Ay)-f(x0,y0)

= f;(x0,y)(y0

+ Ay - y0);

(5)

čia y 0 < y < y o +Ay.
Analogiškai

taikome

Lagranžo

f(x0 + Ax,y0 + Ay)-f(x0,y0

formulę

ir

skirtumui

+ A y ) , tačiau šį kartą fiksuotas kintamasis

y+Ay. Gauname:
f(x0 + Ax,y0 + Ay)-/(x0,y0
Čia

XQ

<

Х<

XQ

+ ΑΧ

+ Ay) =

y 0 + Ау)(х 0 + Ax - х0);

(6)

.

Įrašę (5) ir (6) išraiškas į pilnojo pokyčio (4) formulę, gauname:
Az = / ; ( x , y 0 + A y ) - A x + / ; ( x 0 , y ) - A y .
Kadangi dalinės išvestinės yra tolydžios taške (x 0 , Уо), tai
,,
1™ 1ппМх>Уо+
(Дд:,
Д_у)^(0,0)
.л

}[Ψ

tn

Jy(

x

Ьу) = К(*о>Уо) >

O j )=

fy(xo^o),

(7)

nes χ -» X0 ir у -» y 0 , kai Δ χ -> O ir Ay —> О.
Toliau panaudokime iš anksčiau žinomą teiginį, kad funkcija nuo savo
ribos skiriasi nykstamąja funkcija. Todėl
/ ; ( х , у 0 + Ау) = / ; ( х 0 , у 0 ) + а ,
/;(*о,ю=/;(* ο^ο)+β;
čia α priklauso nuo Δχ ir а -> O, kai Ax

(8)
(9)

0; β priklauso nuo Ay ir β -> 0,

kai Ay —^ 0.
Įrašę (8) ir (9) išraiškas į (7) formulę, gauname:
Δζ ={&(х0,Уо)

+ a)Ax + (f;(x0,y0)

Δ

χ

Δ

= fx( Xo, У о) ·* + fy (• ο, У о)

У+α

+ P)Ay =
Δ

* + βΔ У .

arba trumpiau
Az=

— Ax + — Ay + αΔτ + βΔy .
дх

(10)

ду

Taigi, kai funkcijos z =f(x,

y) dalinės išvestinės yra tolydžios taške

( x 0 , y 0 ) , tai tos funkcijos pokytį galima išreikšti (10) formule. Tuomet, kai
Ax

0, Ay

0, tai ir Az -> 0, o tai reiškia, kad pati funkcija yra tolydi

taške ( x 0 ; y 0 ) .
Pažymėję p = -JAx2 + Ay2 , (10) reiškinį galėsime parašyti kompaktiškiau. Tikrai tuomet, kai p Φ 0,
αΔx + βΔy=

čia α · — + β —
P
P

f

Ax
ΔιΛ
a
+ β · — · ρ = ε p;
V p
ρJ

= ε ir ε - > 0 , kai ρ - > 0 , nes α - > 0 , β->0, ο dydžiai

Δχ . Δν
.ν .
— ir — yra aprėžti:
P
P

Δχ
P

< 1 ir

< 1
P

Vadinasi,
Λ
Az=

dZ
2
— ΔЛ хн ^ АAy + ε ρ .
дх
ду

Kadangi Iim — = Iim ε = 0 , tai ε p = o (p).
ρ->0 P
p-»0
Todėl pilnąjį pokytį galima užrašyti taip:
Δ z = z'x Ax + z'y Ay + o (p).

4.3. Pilnasis diferencialas
Nagrinėdami vieno kintamojo funkciją / , ją pavadinome diferencijuojama taške x 0 , kai jos pokytį Ay = / ( x 0 + A x ) - / ( x 0 ) galima išreikšti suma
Ay = A Ax+ o (Ax);
čia A = const, o ( A x ) - aukštesnės eilės nykstamoji funkcija, lyginant su Ax.
Dabar

šį apibrėžimą

apibendrinsime

taikydami

kelių

kintamųjų

funkcijai. Kad būtų paprasčiau, imkime dviejų kintamųjų funkciją z =f(x,
У)·
Taigi funkcija z =f(x, y) vadinama diferencijuojama taške ( x 0 ; y 0 ) , jei
jos pilnąjį pokytį galima išreikšti suma
Az = AAx + BAy + o(p)\

(11)

čia A, B - konstantos, o (p) - aukštesnės eilės nykstamoji funkcija, lyginant
su p = yjAx2 +Ay 2 .
Suformuluosime sąlygas, kada funkcija z = / ( x , y) yra diferencijuojama
taške ( x 0 ; y 0 ) .
1 teorema (būtina funkcijos diferencijuojamumo sąlyga). Jei funkcija
z= f(x, y) yra diferencijuojama
dalinės išvestinės —,
дх

ду

taške (Xg;>'o), tai šiame taške egzistuoja

, be to, jų reikšmės, apskaičiuotos šiame taške,

atitinkamai lygios A ir B.
dz
Į r o d y m a s . Norėdami rasti — , fiksuokime y. Tuomet, įrašę į (11)
дх
lygybę vietoj Ay nulį (Ay = 0), gauname:
A V Z = A Ax + O ( | A X | )

.

Iš čia

Ac
Kadangi

+

(12)

Ax

o(\Ax\)
Iim — — - = 0 , tai iš (12) išplaukia, kad egzistuoja
Ax->0 Ax

dz
,.
A„z
— = Iim
= A .
дх
Δχ—»0 Ax
dz
A n a l o g i š k a i į s i t i k i n t u m e , k a d egzistuoja ir —
ду
įrodyta.

•

= B. T e o r e m a

Jau anksčiau minėjome, kad funkcija z = f (х, y) yra tolydi, kai ją
galima išreikšti (10) arba jai analogiška (11) formule. Vadinasi, diferencijuojama taške funkcija šiame taške yra tolydi.
Tačiau, kaip ir vieno, taip ir kelių kintamųjų funkcijos atveju, iš
funkcijos tolydumo, taip pat ir dalinių išvestinių egzistavimo dar neišplaukia jos diferencijuojamumas.
4.2 skyrelyje, nagrinėdami pilnąjį funkcijos pokytį, įrodėme, kad
funkciją z= f(х,

y) galima išreikšti (10) arba (11) formule, kai taško

( x 0 ; y 0 ) aplinkoje egzistuoja dalinės išvestinės, tolydžios šiame taške. Tai
ir yra funkcijos
z=f(x,
y) pakankamos diferencijuojamumo sąlygos. Vadinasi, įrodėme
tokią teoremą.
2 teorema (pakankama funkcijos diferencijuojamumo sąlyga). Jei
funkcijos z =f(x, y) dalinės išvestinės —

ir —

дх
(х0;у0)

aplinkoje

juojama

tame taške.

Funkcija,
diferencijuojama

ду

ir šiame taške yra tolydžios, tai funkcija

turinti tolydžias dalines
arba glodžiąja
funkcija.

diferencialu

yra diferenci-

išvestines, vadinama

Oz
Kai galioja (11) lygybė, tai reiškinys —
дх
funkcijos pilnuoju

egzistuoja tam tikroje taško

Qz
Ax + —
ду

tolydžiai

Ay vadinamas

dz
dz
ir žymimas d z = —Ax-\
Ay. Kadangi
дх
ду

nepriklausomų kintamųjų pokyčiai Ax, Ay sutampa su jų diferencialais dx,
dy, tai galutinė pilnojo diferencialo išraiška tokia:
dz ,
dz ,
dz = — άχΛ
dy.
dx
dy
Reiškiniai — dx ir —dy
dx
dy

vadinami daliniais

d z = —dx
dx

,

dy z = —dy
dy

diferencialais

ir žymimi

.

Aišku, kad dz = dxz+dvz.
Dviejų kintamųjų funkcijos pilnojo diferencialo formulę nesunku
apibendrinti ir bet kokiam kintamųjų skaičiui. Pavyzdžiui, kai duota trijų
kintamųjų funkcija u =f(x, y, z), tai jos pilnasis diferencialas
du

, X
//v

du

, , T _Ldu
W

4.4. Pilnojo diferencialo taikymas apytiksliame
skaičiavime
Kadangi pilnasis pokytis ir pilnasis diferencialas skiriasi tik aukštesnės
eilės nykstamuoju dydžiu, lyginant su p, tai Az & dz\ iš čia gauname
formulę, kurią naudojame apytiksliame skaičiavime:
f (x0 + Δχ, y 0 + A y ) « f (x0, y 0 ) + / ; (x 0 , y 0 )A* + / ; (x 0 , y 0 )Ay,

(13)

1 pavyzdys. Apskaičiuokime apytiksliai -^6,022 +7,96 2 .
S p r e n d i m a s . P a ž y m ė k i m e f(x, y)

= -Jx2 +y2 . Tuomet ieškomoji

reikšmė bus/(6,02; 7,96).
Parinkime
f(x0, y 0 ) =

n =

X

0

= 6,

y 0 = 8,

tuomet

Δχ = 0,02,

ι
л/36 + 64 = 10. R a n d a m e f'x =

2
2
ί χ +у

>

0.3¾) =

1
—
2^fx2+y2

Ay=-0,04

П

'

χ

·2χ
ί χ

0,6, / ; ( х 0 , у 0 ) =

л/36 + 64

ir

2

+/

• = o,s

л/ 36 + 64

;

Taikome (13) formulę:
•J6,022 +7,96 2 = / ( 6 , 0 2 ; 7,96) » 10 + 0,6 · 0,02 + 0 , 8 - ( - 0,04) « 9,98. А
Parodysime, kaip pilnasis diferencialas taikomas, įvertinant paklaidas.
Tarkime, kad dydis u yra kintamųjų χ ir y funkcija: u = / ( x , y). Jeigu,
matuodami χ ir y, darome paklaidas Δχ ir Ay, tai funkcijos u reikšmė bus
apskaičiuota su paklaida Au=f(x

+ Δχ, y + Δ y) - f (χ, y). Kai paklaidos

Ax ir Ay yra pakankamai mažos, tai Au

u, todėl

Δ u « — zlx + —
дх
ду

Ay,

o absoliučioji paklaida
|ΔΜ|

Яf
Ax + —Ay <
дх
ду

df

df
дх

• ΙΔΧΙ

+

df
ду

АУ

Maksimalias absoliučiąsias argumentų paklaidas pažymėkime |A*X| , A * y ,
o dydžio u - AtU . Tuomet galime tarti, kad

А*гл =

1

1

df
дх

Δ*χ

+

df

A*y

dy

Santykine paklaida δχ vadinamas absoliučiosios paklaidos ir apytikslės dydžio reikšmės santykis:

δχ= — ,
χ
ο maksimaliąja santykine paklaida - dydis
Δ'χ
δ*χ
Todėl
Аи

J_

δ и

I/1
BetI
/

дх

L(Inlzl) , 1
дх[ Ul>
f

δ и

дх

Ν/Ι)

df

л* I j .

дх

'

и

df

1

Л*
Ay

ду

'

Š L = — ( У / 1 ) . Tuomet
ду
Sy1 1П>

+

A χ

д

Ay

M

ау

Taigi maksimali
santykinė funkcijos paklaida
logaritmo maksimaliai absoliučiajai paklaidai.

А* 1п|/|
lygi jos

natūraliojo

2 pavyzdys. Išveskime sandaugos ir dalmens maksimalios santykinės
paklaidos formules.
S p r e n d i m a s . 1 . u =xy. R a n d a m e
įдх

ln

v(

N)=

'

—-y
xy

= - ' į χ ду

+

2. u = —. R a n d a m e
У
f
л
_D_
X
In дх v y\>
δ и

|x|

= — *=
xy

- '
y

A* I
Δ y

Δ χ
δ u

ΔA*χ

xΗΝ)

=

I

A

δ*χ + 5*y .

In

χ ' ду

+

A'у

1
У

= δ*χ + ю*у

4.5. Sudėtinių funkcijų išvestinės
Tarkime, srityje D apibrėžta sudėtinė funkcija z = f (u, v), kurios argumentai u ir v yra kintamųjų χ ir y funkcijos: u=u(x, y), v = v fx, y). Kartu
pareikalaukime, kad, kintant χ ir y, taškas (u; v) priklausytų D.
Dar
tarkime, kad funkcija z turi argumentų u ir v atžvilgiu tolydžias išvestines

dz . dz
,
, ..
.
.
„
. du
du
— ir — , o funkcijos u ir v - a r g u m e n t ų χ ir y atžvilgiu — , — ,
du
dv
dx
dy

dv
—
dx

. dv
ir
.
Suteikime argumentui χ pokytį Ax, laikydami y fiksuotu. Tuomet
atsiras pokyčiai
AxU = u(x + Ax,y)~ u(x,y)
Axv = v(x + Ax,y) -

ir

v(x,y).

Kartu pakitus u ir v, pasikeis ir z - atsiras pilnasis pokytis
Az = f (u +Axu,

v+

Axv)-f(u,v),

kurį galima išreikšti (10) formule. Taigi
D Z

S

Λ

Z

*

Л

D A

Az = —Axu
+ — Δ^ν + αΔ^Μ +
du
dv
Abi šios lygybės puses dalijame iš Δ χ ^ Ο :
Az _ dz
Δχ

Ax u

du

dz

Δχ v

dv

Ax

Ax

Δ^,Η—>0,

Axv—>0,

Ax

Kai Ax—> 0, tai ir

αAxu

ρΔ^ν.

βΔ^ν

+

Ax
nes funkcijos u ir v yra

tolydžios. Tuomet a - » 0 ir β-»0. Apskaičiuojame ribą:
Δζ
dz
Iim — = —
ΔΧ->οΔϊ
du

,.
ArU
dz
Arv
lim — — H
lim — — ;
Δχ—>0 Ax
Bv Δχ->0 Ax

iš čia gauname
dz
dz
— =
Sx
du

du

+

Sx

dz

dv

Sv

Sx

.

(14)

Analogiškai įrodytume, kad
Sz _ Sz

du

dy

dy

du

+

Sz

Sv

dv

dy

1 pavyzdys. Raskime — ir — , kai z = arcsin — , u = X2 - y2,
Sx
dy
v

v=xy.

S p r e n d i m as. Pritaikysime (14) ir (15) formules. Pirmiausia randame
dalines išvestines:
Sz

1

1

du

1
v

,

2

2

Jv -U

2

dz

I

f

'
Г

V2

u

du
Vylv2-U2

дх

dv
= 2x, —
дх

du
= y, —
д
У

„
dv
= -2y,
--=x.
д
У

Tuomet
dz
— =

1
_
,
2x
Vv2_w2

M
f„
>'
2x - —
I
V

u
1
,
y = ,2
^v -K2
νΛ/ν2_Μ2 *

δζ
1
. . .
— = I .2
, ·Ry)
Sj
VV -M 2

u
1
7=
= X = 7 =2
=
VA/v2-m2
VV -M 2

Γ .
MX
-2^

(14) ir (15) formules galima apibendrinti bet kokiam kintamųjų
skaičiui. Jeiguz =f(u, v, w), o u, v, w yra χ bei y funkcijos, tai
dz

_ dz

dz

du

du dx

dx

_ dz

dy

dz

+

. dv
— + dz dw

dv dx

du

dz , dv

du "dy

dv ' dy

1

dw

dx

dz

dw

(16)

(17)

dw "dy

Tarkime, kad z = f(x, u, v), o u = u (x) ir v = v (x). Vadinasi,
z= f (x, u (x), v(x)) ir yra vieno kintamojo funkcija, todėl kalbėsime apie
jos pilnąją išvestinę — . Ją rasime taikydami (16) formulę ir laikydami,
dx
kad χ yra irgi tarpinis argumentas, kaip u ir v, o jo ryšys su galutiniu
argumentu χ nusakomas lygybe χ = χ. Kadangi u ir v yra vieno kintamojo
funkcijos, tai vietoj dalinių išvestinių rašysime pilnąsias. Tuomet
dz _ dz

dx

dz

dx

dx

du dx

dx

du ^ dz

dv _ dz

dv dx

dz

dx

du

+

du dx

+

(18)
dv dx

d
2 pavyzdys. Raskime — , kai χ =

2

2

, u = sin t, v = In t.

_
„
,
dx
Sprendimas.Taikome (18) formulę: —
dt
dx
—
dv

dv

„
dx
. Randame —- =
dt
dt

dv
1 _
dx
— = - . Tuomet — =
dt
t
dt

2

2

=

dx
—
dt

u-v
dx
2u dx
^—, — = — , — =
t2
du
t
dv
i
?
u -v
2u
2v
-z
1
cos t —тг. A
t
t
t

+
2v
t

dx du
du dt

+

du
, — = cos t,
dt

4.6. Pirmojo diferencialo formos invariantiškumas
Sakykime, kad funkcija z =f(u,

v) turi tolydžias dalines išvestines z'u

ir z[,, o kintamieji u ir v yra naujų kintamųjų χ ir y funkcijos: u = u (x, y),
v = v(x, y). Sudėtinės funkcijos z = f(u

(x, y), v(x, y)), priklausančios nuo

argumentų χ ir y, diferencialas apibrėžiamas formule
.
dz =

Išvestines — ir —
d x d y

dz

,
dz ,
dx +
dy .
dx
dy

(19)

rasime taikydami (14) ir (15) formules, [rašę jų

išraiškas į (19) formulę, gauname:
.
f dz du
dz
dz —
+
\du dχ dv

dz du ^ dz dv
Sv^l ,
dy
dx +
V du dy
dv dyy
dxj

du ,
dz_ du
—dx H
dv
du dx
dy

4-

*

dv

dv ,
—dx
dx

H

dv ,
dv
dy

Bet
du ,
du ,
dv ,
dv ,
,
— dx + — dy = du, — dx + —dy = dv.
dx
dy
dx
dy
Tuomet
dz
dz
dz = — du-\ dv.
du
dv
Tokia pilnojo diferencialo išraiška būtų, jei u ir v būtų nepriklausomi
kintamieji. Taigi pilnojo diferencialo išraiška nepriklauso nuo to, kokie yra
kintamieji u ir v; ji yra tokia pati ir kai u, v - nepriklausomi kintamieji, ir
kai u, v - kitų kintamųjų funkcijos. Vadinasi, pirmasis diferencialas
pasižymi formos invariantiškumo savybe.

4.7. Neišreikštinės funkcijos diferencijavimas
Nagrinėkime dviejų kintamųjų funkciją F(x, y). Iš analizinės geometrijos žinome, kad lygybė F (x, y) = O apibrėžia tam tikrą kreivę plokštumoje xOy. Norėdami y išreikšti kintamojo χ funkciją y =f(x), turime
išspręsti lygtį F (х, y) = O kintamojo y atžvilgiu. Tokiu atveju sakome, kad
lygtis F(x, y) = O nusako neišreikštinę funkciją y =f(x). Kadangi / (x) lygties F (x, y) = 0 sprendinys, tai F (x, f (χ)) = 0.
Kyla klausimas, kokia turi būti funkcija F, kad vienareikšmiškai
galėtume iš lygties F(x, y) = 0 rasti у = / ( x ) ? Į šį klausimą atsako neišreikštinės funkcijos egzistavimo teorema, kurią pateikiame be įrodymo.

Teorema. Tarkime, kad funkcija

F (x, y) ir jos dalinės išvestinės Fx bei

Fy tolydžios tam tikroje taško (x0;y0)

aplinkoje. Jei

^ 1 ( W o ) = O ir F;(x0,y0)*

O ,

tai yra taško ( x 0 ; y 0 ) aplinka, kurioje lygtis F(x, y) = O turi vienintelį sprendinį y = f(x), tenkinantį sąlygą y0= f (x0). Be to, funkcija f (x) bei jos išvestinė yra tolydžios taško x0 aplinkoje.
Dabar išnagrinėkime neišreikštinės funkcijos, apibrėžtos lygtimi
F (x, y) = 0, diferencijavimą. A p i e tai jau kalbėjome, tačiau bendros formulės neišvedėme, o nagrinėjome tik atskirus pavyzdžius.
Tarkime, kad lygtis F(x, y) = 0 apibrėžia funkciją y =f(x). Tuomet
F(x, f (x))= 0. Diferencijuojame abi šios lygybės puses, panaudodami
sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę. Gauname:
F' + F'y
=0 ·
*
dx
'
iš čia
dy _

F'x_
x
Fį

dx

1 pavyzdys. Raskime — , kai y ex
dx
S p r e n d i m a s . F(x, y) =y ex
Fy= ex

+xey

2

(20)

+ χ ey

=0.

2

+ χ ey , F'x=yex

2

• 2x + ey

-2y, todėl
2

2

dy _

2xyex*

4- рУ
+e

dx

2xyey2+ex2

'

Toliau nagrinėsime lygtį
F(x,y,z)

= 0.

Jeigu kiekvieną skaičių χ ir y porą iš tam tikros srities atitinka viena arba
kelios z reikšmės, tenkinančios lygtį F(x, y, z) = 0 , tai ši lygtis apibrėžia
vieną
2

arba
2

χ +y -z

2

kelias

neišreikštines

funkcijas

z.

Pavyzdžiui,

lygtis

= 0 apibrėžia dvi kintamųjų χ ir y funkcijas

• = -Jx2 + y2

ir z = —J.
X2 +y2

Tarkime, kad funkcija F (x, y, z) ir jos dalinės išvestinės F'x, F'y, F!.
yra

tolydžios

tam

tikroje

taško

(x0;y0;z0j

aplinkoje,

be

to,

dz
Oz
Tuomet funkcijos z dalines išvestines — ir —
Bx
By

rasime taikydami (20)

formulę. Iš pradžių tarkime, kad fiksuotas yra y, po tox. Taigi
dz

F'x

dz

Fy

dx

Fz

Sy

F'z

2 pavyzdys. Raskime — ir — , kai exyz - xyz = 0 .
Bx
By
Sprendimas.
Bz

exyz

- y z-yz

у Λ

Bx

xyz

-xy

xy I

e

xy

XZ (l-exyz)

exyz-XZ-XZ

Sz
By

z

xyz

•xy-xy

xye

У

-1

4.8. Aukštesniųjų eilių išvestinės
Funkcijos z = / ( χ , y)

dalinės

išvestinės

—
Bx

ir

—
dy

yra

naujos

kintamųjų χ ir y funkcijos, kurios irgi gali turėti dalines išvestines to paties
arba kito argumento atžvilgiu. Jos bus pradinės funkcijos z =f(x, y)
antrosios eilės dalinės išvestinės (arba antrosios dalinės išvestinės).
Jei pirmoji išvestinė buvo rasta argumento χ arba y atžvilgiu, tai jos
išvestinės χ ir y atžvilgiu žymimos taip:
= A f^ i l
BxydxJ'
2

B z
dy Bx

d

d2 z
dx dy

=

d_ f Bz_'
dy\Bx_

d2z
2

dy

dz
dy

dz

Sxl4 By

arba atitinkamai zxx,

zxy,

zyy,

Zyx .

Analogiškai apibrėžiamos trečiosios, ketvirtosios ir 1.1, eilės išvestinės.
Išvestinės skirtingų kintamųjų atžvilgiu vadinamos mišriosiomis.
1 pavyzdys. Duota funkcija u = x 2 y z 3 + χ y 3 z 4 . Raskime mišriąsias
y
y
,W
jos įsvestines UM)
xxyz ir U
vxzx .

Sprendimas.
u

xxyz

= 6 z 2>·

u'x = 2 x y z 3 + y 3 z 4 ,

u'^x = 2 y z 3 ,

Ut^xy =

2z3,

и'

= x2z3 + 3xy2z4,

+3y2z4, u'"

= Ixzi

u"

= 6xz2

+Uy2Z3,

J 4 ) = 6u z 2
"yxzx
^
Matome, kad u^4\yz

u\4\zx

=

У . Tada
2 pavyzdys. Duota funkcija z = arctg—
χ
δχ
θ2z _
9x2

dz
Sy

θ3z

2xy
(x2+y2f

_2x(x2-3y2

9x2д

{x2+y2

У

d2 z

X

y2-X2

X2 + y2 ' dy dx

Matome, kad

d3z

_

dx2 dy

χ2+y2'

d3 z
2

^

2x[x2-3

' dy dx2

2 +y2)

y21

įx2+y2į

d3z
dy dx2

Taigi šiuose pavyzdžiuose mišriosios išvestinės, apskaičiuotos tų pačių
kintamųjų atžvilgiu, bet skirtinga tvarka, sutampa. Pasirodo, kad tai nėra
atsitiktinis dalykas.
Teorema. Jei taško M0(Хо.'Уо) aplinkoje egzistuoja funkcijos
z=f(x,y)
dalinės išvestinės f x , f'y, f^y ir fyx, o jos mišriosios išvestinės fjL ir fyx
dar ir tolydžios taške M 0 (x 0 ; y0), tai tame taške

/ '"

f"

r=

xy

Jyx •

Į r o d y m a s . Nagrinėkime reiškinį
A = (f(x{) + Δχ, y,) + Ay) -/(χо + Δχ, y 0 )) - (f(xa, y 0 + Ay) -f(x0, y»)). (21)
Pažymėkime: φ (χ) = f (χ, y 0 + Ду) - f (χ, yo). Tuomet
А = φ (х„ + Δχ) - φ (χ0) .
Kadangi taško M 0 (χ 0 ; yo) aplinkoje egzistuoja išvestinė f
φ(χ)

diferencijuojama

atkarpoje

skirtumui φ(χ0 + Δχ) - φ (x0) galima
gauname
Α = φ'χ (χ)(χ0+Δχ-χ0)

x

[χ0;χ0+Δχ],

taikyti

, tai funkcija
Tuomet

Lagranžo formulę.

Taigi

= φ'χ ( χ ) · Δ χ ;

čia X 0 < χ <X() + Δχ. Įrašę į šią lygybę cp(x) išraišką, turime:
A = ( f x ( х , Уо +
Kadangi / "

A

y ) ~ f i ( χ , yo))· Δχ .

apibrėžta taško M 0 aplinkoje, tai funkcija f'x diferen-

cijuojama atkarpoje

[ у 0 ; у 0 + Л у ] . Tuomet gautajam skirtumui galima

taikyti Lagranžo formulę. Todėl

(22)

A = f Чу [χ, у)-Ax Ay;
čia yt)<y

<yQ + Ay.

(21) formulės vidurinius dėmenis sukeitę vietomis, gauname:
A = (f(x0 + Ax, y 0 + Ay) -f (χо, y 0 + Ay)) - (/(*,, + Аде, y 0 ) -f(x0, y 0 )).
Pažymėję
Ψ 00 = f(xo + Ax, y) - f (xo, y ) ,
turime:
A = ψ (уо + Ay) - ψ (уо).
Šiam skirtumui taikome Lagranžo formulę:
A = ψ ^ (y)-Ay ;
čiay 0 < y <yo + Ay. Tuomet
A =

(f;(x0+Ax,y)-f;(x0,y))Ay.

Pritaikę dar kartą Lagranžo formulę, gauname:
A = / / , U

y) b x A y ,

(23)

čia xa < χ oco + A x
Sulyginę (22) ir (23) lygybes, darome išvadą, kad
(24)
Kadangi išvestinės fx'y

ir fyx

tolydžios taške M 0 (хо/Уо), tai

.л A l i m 0,0)
(Δλγ,Δ>»)->(
lim

=

f

"y

fy'x(ŽJ)=

(Ax,Ay)->(0,0) '

v

'

(Xih У }

" '

fZ(xo,yo)У

Tuomet, suradę abiejų (24) lygybės pusių ribas, gauname:
fx"y (*o, Уо) = fyx (χο, Уо)·
Teorema įrodyta. •
Iš šios teoremos išplaukia tokia išvada: jei mišriosios
d" f
d"f
-T-1: τ ir „ n_L k yra tolydžios, tai jos yra lygios.
дхкдуп к
ду" кдхк

išvestinės

4.9. Aukštesniųjų eilių diferencialai
Tarkime, kad funkcija z =f(x, y) turi tolydžias aukštesniųjų eilių dalines išvestines. Tuomet jos pirmasis diferencialas
,
dz .
dz ,
dz - — dx + — dy
dx
dy

(25)

yra nauja kintamųjų χ iry funkcija, nes dx ir dy, kaip nepriklausomų
mųjų χ ir y pokyčiai, yra pastovūs. Vadinasi, galima nagrinėti šios
funkcijos diferencialą, kitaip tariant, funkcijos z diferencialo d z
diferencialą d (dz), kurį vadiname antrosios eilės diferencialu
(arba
9

antruoju

·

Jis žymimas d z =d(dz).

diferencialu).

kintanaujos
pilnąjį
tiesiog

9

Ieškodami d z , pasinau-

dosime (25) formule, tik įrašysime joje vietoj z reiškinį d z:
d2z

= d (dz) = — (dz) dx + — (dz) dy =
dx
dy
_d_
дх

dz
ŠL dx + —dy
дх'
dy

dz
dx -\
—dx
dy v Sx

d2 z .
d2 z
—Tdx +
dy
ду dx
дх 2

(

dx+

dz
+ —dy
ду

dy

d2z

Л
,
d2z
dx +
2 Φ dy.
dxdy
ду

= d χ2, dy

Pažymėję, kaip ir anksčiau, dx • dx = (d χ)

dy = dy2 , galu-

tinai turime:
d2 z
,2
d2 z
2 . τ d2 z
d z = —;r dx
+2 я я dxdy + —уz
дхду
ду
дх'

dy- .

Pirmąjį diferencialą simboliškai užrašome šitaip:
dz = I — dx + — dy I-z.
V δχ
ду
J
Tuomet antrąjį diferencialą, tarytum iškėlę z už skliaustų, simboliškai gali
me parašyti taip:
d2 ζ =

' д
я .
— Й Х
v δχ

Н

2
dя , ^
dy
ду
J

·ζ

.

Tęsdami toliau, indukcijos metodu galėtume įrodyti, kad
dnz = d[dn~xz\ =
Štai, pavyzdžiui,

d
^
—ax
dx

д

,
+ —dy
dy

'

d \ .

V
.3
,
&
—rdx
+3 L
dx dy
дх

дх3

dx2dy

d3z

dx* + 3

д
5
—dx , + —dv / V -Z=
дх
ду • J

дх2 ду

dx

+ 3—-—дх ду'

dy + 3

dx d\>2 + -^-—dy3
ду

a3z
дх ду2

•z =

dx dy2 + - -γ d v3 .
dy

Dabar išnagrinėkime sudėtinės funkcijos z=f(x,
y), x=x(u,
v), y =
= y (u, v) antrąjį diferencialą. Žinome, kad ir šį kartą pirmasis diferencialas
dėl formos invariantiškumo savybės turi (25) išraišką
,
dz ,
dz ,
dz = — dx + — dy,
дх
ду
tačiau dabar dx
reiškinius —
дх

ir dy

dx ir — dy turime diferencijuoti kaip sandaugas. Tuomet
ду

d1 z =d (dz) = d

'Szл
dx.

dΔζ
—τ
dx2

nėra pastovūs, o jau priklauso nuo u ir v, todėl

dx + —
dx

d2z

, 2
dx +

dx dy

= \—dx
A

+—dy
dy

. ,

dxdy

dz
-z + —d
dx

d(dx)+d

dz_
ду.

d y + į d ( d y )=
dy

2
S2Z . ,
d z , 2 dz
dz ,2
dxdy + —-rrdy
+—d
-\—-d
χ +
dx
dydx
dy2
dy
dz
χ + —d
dy

j2

у =

у.

Palyginę šią d z išraišką su (26) formule, matome, kad antrasis diferencialas formos invariantiškumo savybės jau neturi. Aišku, kad ši išvada
tinka ir aukštesniųjų eilių diferencialams.

4.10. Dviejų kintamųjų funkcijos TeiIoro formulė
Tarkime,

kad

funkcija

z =f(x,

y)

apibrėžta

tam

tikroje

taško

M0(x0;y0)
ε aplinkoje ir joje turi tolydžias dalines išvestines iki n +1 eilės imtinai.
Pažymėkime tašką M ^ x 0 + Ax\ y 0 + A y ) taip, kad ir jis priklausytų taško
M0

ε aplinkai. Taškus M 0 ir M 1 sujunkime atkarpa, kurios parametrinės

lygtys

Įrašę šias χ ir y reikšmes j funkciją f(x, y), gauname vieno kintamojo t
sudėtinę funkciją
z = f(x0+t

Ax,

kurios pokytis Az = f(x0+Ax,

y0+t Ay) =

F(t),

y0 + Ay)-f(x0,y0)

= F(I)-F(O).

Funkcija F (?) yra vieno kintamojo funkcija ir turi n +1 išvestinę, todėl
ją galima išreikšti Makloreno formule su liekamuoju Lagranžo formos
nariu:
F(t)=F(0)

Р Щ
+- —
1!

(
l

F ^
——.
2!

+
T

2

+

+

+

—.
n\

,

——
+

(П+1;

čia c = O + Θ (t - 0) = © t, Θ e (0; 1).
Įrašę į F (i) išraišką t = 1, gauname:
F(I) = F O

+

F"(0)
fW(0)
F("+1'(0)
+ —Y+... +
P +
įr-l.
2!
n\
(« + 1)!

F'(0)
1!

Tuomet
(27)

+

+

t!

t l

Dabar rasime F (t) išvestines, diferencijuodami ją kaip sudėtinę funkciją.
Taigi
=

df(x0+tAx,y0+tAy)

d(x0+tAx)

Bx
|

+

dt

df(x0+tAx,y0+tAy)

d(y0+tAy)

dy

dt

Kadangi
d(x0+t

A*)

d(y0 + 'AjQ

dt
F'(0) =

d f

y

dt
^

y

°

]

Лх +

д / (

^

У 0 )

Ay =

df(M0).

Analogiškai
F"(t) =
'

d2 fV(χ*+1
Ах,y *+t Ay)
0
^
-Ax
d χ2

B2f(x0+tAx,y0+tAy)
2
dy2

,

+2

d2 f(x
n+t
v 0

Ax,yn+t Ay)
—
-AxAy
dxdy

(d_^x+d_
2 =
2
Ay
= \—AxX + — Ay\
У
UJC
dy

+

δ

f(x0+tAx,y0+tAy),

F

„(0)=

d2f(y

o )

^ I M

v + 2

дх

dIlbfA^

дхду

ду

= d 2 f (M0).
Tęsdami gautume:
/

лk

F^\t)=^į-Ax

+ į-Ayj

f(x0

+ tAx,

y0+tAy)·,

iš čia
^k
F^(O)

= [į-Ax

+

į-Ayj

f(xo,

/

y0) = ^ / ( M

0

),

yi+1

F ^ + 1 ' ( Θ ) = I^-ΔΑ: + — A y J

f(x0 + 0 A x , y o +QAy) =

= ^+1/(хо+©Ах,уо+0Ау).
Įrašę gautas išvestinių reikšmes į (27) formulę, galutinai turime:
Az = f(x0

=

df{xp,yo)

+ Ax, y 0 + Ay) - f(x0,y0)
d2f(x0,y0)

1!

=

dnf(x0,y0)

2!

"'

л!

+ — ^ t — («^ + r1)!j — — >

Θ

e

Si formulė ir vadinama dviejų kintamųjų funkcijos
Lagranžo formos liekamuoju nariu.

1

·

Teiloro formule su

χ—V
— išreikškime Teiloro formule taš1 + xy

Pavyzdys. Funkciją z = arctg

ko (0; 0) aplinkoje, apsiribodami trečiosios eilės diferencialais.
χ—v
S p r e n d i m a s . Kadangi arctg
— = arctg χ - arctg y, tai
l + xy
df _
дх

1
l+x

df_
2

'

1_

=

ду

\ + y2

todėl
5/(0,0)
дх

28

= 1

'

S/(0,0)
ду

=

1

Toliau
δ2/ _
δχ

δ2/

2x

2

2

(1 + x 2 j '

_

d2 f

Q

δχδ.ν

'

_

2V

2
5y

+

todėl
SV(O1O)=O
δχ 2
'

^ Z M = O
dy 2

Randame
δ

3

/.

2^3x2 - l)
3

M

Sy 3

o,

δχ 2 бу

δχ 3

s3/

δ3/(0,0)

^ M

= O,

δχ ду

'
2

2(l-Зу )

2 4

('- ) '

δ3/(0,0)

-2,

δχ 3

-2 .
δ/

Įrašę šias išvestinių reikšmes į (28) formulę, o dydžius X 0 + Δ χ = χ ir
Уо + Δ у = y pakeitę dydžiais Δχ = χ ir Ay = у, (х ( ) = 0, у 0 = 0 ) gauname:
arctg

1 + ху

= I x - 1 - у + 1 ( - 2 х 3 + 2у 3 ) + Я 4 ( х , у ) =
3! \
I
= х - у + -^(у3-х3)+д4(х,у);

čia R4(x,y)

- liekamasis narys.

•

5. Kelių kintamųjų funkcijos ekstremumai
5.1. Būtinos ekstremumo sąlygos
Nagrinėkime dviejų kintamųjų funkciją 2 = f(x, y), apibrėžtą srityje D .
Sakykime, kad taškas M 0 (x 0 ; y 0 ) - vidinis srities D taškas.
Apibrėžimas. Taškas MQ vadinamas
maksimumo

(minimumo)

funkcijos

tašku, jei yra tokia taško

visuose taškuose teisinga nelygybė/(x0,y0)

z = f (х, y)
M0

aplinka,

lokaliojo
kurios

^ /(x,y) (/(x0,y0) ^ /(x,y))·

Kadangi / ( x , y ) - / ( х о . У о ) = Δ ζ , tai taške M 0 yra maksimumas (minimumas), kai Az < 0

(Δζ > 0).

Maksimumas ir minimumas kartu vadinami

ekstremumais.

Teorema.

Jei

taškas

M 0 ( J C 0 J y 0 ) yra

diferencijuojamos

funkcijos

Z = / ( J C , y) ekstremumas, tai
(29)

dx

dy

Į r o d y m a s . Fiksuokime kintamąjį y, tardami, kady = y 0 . T u o m e t z =/(JC, y)
bus vieno kintamojo funkcija, kuri taške JC 0 įgyja ekstremumą. Todėl jos
išvestinė argumento JC atžvilgiu tame taške turi būti lygi nuliui, bet ši
išvestinė dviejų kintamųjų funkcijai yra jos dalinė išvestinė. Vadinasi,
Sfjx0,

y θ)

=

SJC

Analogiškai įrodytume, kad ^ ( * 0 ' ^ ° )
dy

= o. A

Taigi ekstremumas gali būti tik taškuose, kuriuose funkcijos pirmosios
dalinės išvestinės lygios nuliui (arba kuriuose bent viena pirmoji dalinė
išvestinė neegzistuoja). Tokie taškai vadinami kritiniais funkcijos
taškais.
(29) sąlygos yra tik būtinos, bet ne pakankamos funkcijos ekstremumo
v

9

sąlygos. Stai, pavyzdžiui, funkcijos Z = JC - Y
dz
tines —

dz
= 2JC, —

SJC

9

(žr. 142 pav.) dalinės išves-

= - 2y taške ( 0 ; 0 ) lygios nuliui, tačiau šis taškas nėra

SY

ekstremumo taškas, nes jo aplinkoje yra taškų, kuriuose funkcijos reikšmės
didesnės už z (O, 0) ir kuriuose jos mažesnės už z (O, 0).

5.2. Pakankamos ekstremumo sąlygos
Išnagrinėsime sąlygas, kurių pakanka, kad kritiniame taške funkcija
turėtų ekstremumą. Tarkime, kad funkcija Z = / (JC, y) yra apibrėžta, tolydi
ir turi tolydžias pirmos ir antros eilės dalines išvestines taško M 0 (jc 0 ;y 0 )
aplinkoje, o pats taškas M0 yra kritinis, t.y.
Sf(xQJo)

=

0

ir

Sf(x0,y0)

=

o

Sy

SJC

Pažymėkime:
Λ _ S2f(xQJo)
SJC2

B

'

=

S2f(xoJo)
SJC S y

c

'

=

S2f(x0,y0)
Sy2

Parašykime Teiloro formulę, apsiribodami tik antros eilės nariais:

A z

J f M

A x

+

d

f M

дх
+ 2-

+

g

22

A y

+

ду

/ ( y o )
дх

2

Ах2+2Э

ГЫУО)

1

Ax

Ay

+

d2

f(X

d3f(x0+®Ax,

0>У0)

Ay2

ду 2

дхду
Уо+QAy)

Qe^1J

3!
Kadangi pirmosios išvestinės taške M0 lygios nuliui, tai
d 2 f ( x o + Θ Δχ,
Δζ = -(A Ax2 + 2BAxAy +j CAy2) +
2V
'
I
3!
Kai dydžiai

|Δχ|, [Ду

y 0 + Θ Ay)

yra maži, tai trečios eilės nariai yra žymiai

mažesni už antros eilės narius, todėl Az ženklas tam tikroje taško M0
aplinkoje priklauso nuo reiškinio
P(Ax, Ay) = AAx2 + IBAxAy
ženklo (koeficiento

+ CAy2

nerašome, nes jis neturi įtakos ženklui). Taigi, kai

P(Ac, Ay) > O su visais Δχ * O, Ay Φ O, tai Az > O ir taške M0

bus

minimumas.

bus

Kai

maksimumas. Jei

P( Ax, Ay) < O, tai

ir Az < O, todėl

taške M0

Ac, Ay) = O, tai pokyčio Az ženklas jau priklauso nuo

trečios eilės narių ir tuomet reikalingas tolimesnis tyrimas (čia šio klausimo
nenagrinėsime).
Ac
Iškėlę prieš skliaustus Ay2 (Ay φ 0) ir pažymėję — = t , gauname, kad
Ay
P(Ax, Ay) = Ay 2 (At 2 +2Bt +C).
Žinome, kad kvadratinis trinaris At2+2Bt

+ C su visomis t (taigi su visomis

Δχ Φ 0, Ay Φ 0) reikšmėmis yra arba tik teigiamas, arba tik neigiamas,
kai jo diskriminantas yra neigiamas. Todėl turi būti B2 -AC

< 0, t. y.

2

AC - B > 0. Tokiu atveju trinario ženklas priklauso nuo koeficiento A
ženklo (kai AC -B2 > 0, tai AC > B2 > 0, todėl A ir C yra vienodų ženklų).
Vadinasi, P(Ac, Ay) > 0, kai A > 0, ir P( Ac, Ay) < 0, kai A < 0. Todėl ir
Az > 0 ( Δ ζ <0), kai A > 0 (A < 0).
K a M C - B 2 < 0, tai trinaris gali būti tiek teigiamas, tiek ir neigiamas,
todėl ir dydis

Ac, Ay), kartu ir Az, gali keisti ženklą taško M0 aplinkoje.

Tuomet taške M0 ekstremumo nėra. Jeigu AC - B2 = 0, tai P( Ac, Ay) gali

pasirodyti lygus nuliui, tuomet taške M0 gali būti ekstremumas, bet gali ir
nebūti. Apibendrinę tyrimą darome tokią išvadą.
Išvada. Jeigu AC -B2 >0, tai taške M0 yra ekstremumas:
kai A < 0, ir minimumas,

2

ekstremumo nėra. Jeigu AC-B

maksimumas,

- B2 < 0, tai taške

M0

= 0, tai lieka neaišku ar taške M0

yra

kai A > 0. Jeigu AC

ekstremumas ar jo nėra.
1 pavyzdys. Ištirkime funkcijos
z = χ3 + у3 + Ъху
ekstremumus.
Bz
9
S p r e n d i m a s . Suradę dalines išvestines — = 3x z + 3y ir
dx
dz
—

„o
= 3y

.v .
+ 3x, is sistemos
|3x 2 + 3y = 0,
{Зу2+Зх = 0

randame du kritinius taškus (0; 0) ir ( - 1; - 1).
Apskaičiuojame antrosios eilės išvestines:
d2z
Sx2

„
= 6x,
'

S2Z

„
= 3,
Bx By
'

d2 z
—dy2

= 6y

ir jų reikšmes kritiniuose taškuose:
taške (0; 0) A = 0, B = 3, C = 0 ir,4C - B

2

= - 9 < 0;

taške (- 1; - 1) A = - 6, B = 3, C = - 6 ir AC-B2

= 3 6 - 9>0,A

< 0.

Taigi taške (0; 0) funkcija ekstremumo neturi, o taške (-1; -1) ji turi
maksimumą z m a x = 1.

•

2 pavyzdys. Ištirkime funkcijos
Z = (x-yf

+(y-1)3

ekstremumus.
Sprendimas.

Suradę

dalines

išvestines

Bz
— = 2(x-y)
Bx

— = -2(x -y) + 3(y -1) 2 ir prilyginę jas nuliui, gauname sistemą
By
I x - y = 0,
|З(У-1)2-2(*-У) = 0,

ir

ό ζ
όζ
iš kurios randame kritinį tašką M0 (1; 1). Kadangi — T = 2 ,
= -2,
дхдхду
PjI
——r = 2 + б(у -1) = 6y - 4 , tai A = 2, B =-2,
dy

C = 2. Taigi AC-

B2 = O

ir kol kas neaišku, ar taške M0 yra ekstremumas, ar j o nėra.
Norėdami

tai

išsiaiškinti,

apskaičiuokime

funkcijos

pokytį

Az = z ( l + A x , l + A y ) - z ( l , 1) = ( A x - A y ) 2 +Ay 3 . Parinkime Ax = Ay .
Tuomet Az = Ay 3 , todėl Az > O, kai Ay > O ir

Az < O, kai Ay < 0.

Kadangi Az keičia ženklą taško M0 aplinkoje, tai taške M0 ekstremumo
nėra.

•

5.3. Sąlyginiai ekstremumai
Išnagrinėkime tokį pavyzdį. Funkcija z = -ĮR 2 -X

2

-y

2

(148 pav.) turi

maksimumą taške (0; 0). Kitų taškų, kuriuose ji turėtų ekstremumą, nėra.
β
Kirskime paviršių kokia nors plokštuma, pavyzdžiui, y = — . Ji paviršiuje
iškerta kreivę, kurios taške M aplikatė pasiekia maksimalią reikšmę. Si
R_
2
2
-y
maksimumas, kai y :
reikšmė irgi yra funkcijos z = JR -X
Toks maksimumas vadinamas

sąlyginiu.

Apibrėžimas. Funkcijos z=f(x,

y) ekstremumai, kai kintamieji χ ir y

susieti tam tikra lygtimi φ (χ, у) = 0, vadinami

sąlyginiais

ekstremumais.

Lygtis φ (χ, у) = 0 vadinama ryšio lygtimi.
Išnagrinėkime du sąlyginių ekstremumų radimo būdus.
Tarkime, kad funkcijos f(x, y) ir φ(χ, y) ekstremumo taško aplinkoje
turi tolydžias dalines išvestines.
Iš ryšio lygties
išreiškiame
χ e [a;b],

kitu,
ir

φ (χ, у) = 0,

jei

tik

įmanoma,

vieną

pavyzdžiui, y = ψ (χ),

įrašome

į

z=/(x,

y).

Gauname vieno kintamojo funkciją
z =/(x, ψ(-ϊ)),

χ e [a\b].

Telieka rasti didžiausią ir mažiausią jos
reikšmę atkarpoje [a;fo].
1 pavyzdys. Raskime funkcijos z = x y
sąlyginius
2

χ +y

2

=18.

ekstremumus,

kai
148 pav.

kintamąjį

Sprendimas.
χ e

Iš

Jt2+y2 =18

sąlygos

—s/T8; a/TŠ . Įrašę šią y reikšmę į z=xy,

turime:

y = ±Vl8-x2 ,

gauname vieno kintamojo

funkciją z = ±x V l 8 - χ2 , apibrėžtą atkarpoje [-Λ/Ϊ8; VT8 j .
Raskime didžiausią ir mažiausią
Pirmiausia randame kritinius taškus:

jos

reikšmę

šioje

atkarpoje.

18-2x2
4

= ±

-X

V18 — χ 2 J

V 18-x2

z ; = O, kai 18-2л; 2 = O, arba x = ±3.
A b u šie taškai priklauso atkarpai
Zj = χ V18 - χ2

- V l 8 ; VTŠj. Apskaičiuojame funkcijų

ir Z2 = - X V l 8 - χ2

reikšmes šios atkarpos galuose ir

kritiniuose taškuose:
Z12

(—VTŠ) = 0 ,

Z12 ( V i s ) = 0 ,
Z 2 (3) = -9,

z=xy,

2,(-3) = -9,

Z 2 (-3) = 9.

9

Taigi funkcija

Zj(3) = 9,

9

kai χ +y

= 1 8 , taškuose(3; 3) ir (-3; - 3 )

įgyja sąlyginį maksimumą z m a x = 9 , o taškuose (-3; 3) ir (3; - 3 ) - sąlyginį
minimumą z m i n = - 9 .

•

Išnagrinėsime bendresnį sąlyginių ekstremumų radimo metodą, kuris
vadinamas Lagranžo daugiklių
metodu.
Tuose taškuose, kuriuose funkcija z = / ( x , y) gali turėti sąlyginius ekstremumus, kai jos argumentus sieja ryšio lygtis φ(χ, y) = 0, funkcijos f(x, y)
pilnoji išvestinė* atžvilgiu turi būti lygi nuliui.
Iš sąlygos z =f(x, y) rasime — , turėdami galvoje, kady yra χ funkcija:
dx
ĖL:=ĖL

dx

+

дх

ду

dx

Ekstremumo taškuose

дх

ду

dx

Išdiferencijavę ryšio Iygtjx atžvilgiu, turime:
дх

ду dx

Ši lygybė teisinga su visomis χ ir y reikšmėmis, kurios tinka lygčiai
φ (х, У) = 0.
Padauginę (31) lygybės abi puses iš kol kas nenustatyto daugiklio λ Φ 0
ir sudėję gautą lygybę su (30) lygybe, gauname:

V дх

dy

dx,

+λ

5φ+
^dx
dy

=

Q

dx)

arba

дх

дх

ду

ду

dx

(32)

(32) lygybė teisinga visuose ekstremumų taškuose.
Daugiklį λ parinkime taip, kad būtų teisinga lygybė

ду

ду

Tuomet iš (32) formulės išplaukia, kad ir

дх

дх

Vadinasi, ieškomieji ekstremumo taškai tenkina trijų lygčių sistemą:

дх

дх

ду

ду

(33)

(р(х,у) = 0

su trimis nežinomaisiais χ, y ir λ. Išsprendę ją, rasime taškus (x; y),
kuriuose funkcija z = f(x, y) gali turėti sąlyginius ekstremumus ir kurie tenkina ryšio lygtį φ (χ, у) = 0. Kadangi (33) lygtys nusako tik būtinas sąlyginio
ekstremumo sąlygas, tai reikia papildomai ištirti, kurie iš gautųjų kritinių
taškų yra ekstremumo taškai. Konkrečiuose uždaviniuose išvada apie ekstremumo egzistavimą ir rūšį kai kada išplaukia iš uždavinio esmės, todėl
pakankamų sąlyginių ekstremumų egzistavimo sąlygų čia neformuluosime.
Nesunku suvokti, kad (33) lygtys nusako trijų kintamųjų funkcijos
F(x, y, λ) =f (χ, у) + λ φ (χ, y) būtinas ekstremumo sąlygas.
Išnagrinėtą būdą galima apibendrinti bet kuriam kintamųjų skaičiui.
Sakykime, reikia rasti n kintamųjų funkcijos u = / ( ^ , ¾ , . . . , ¾ ) sąlyginius
ekstremumus, kai kintamieji x\,x2,...,x n susieti ryšio lygtimis

Φι(*ι ,χ2,-,xn)
cp2(xi,x2,... ,χ

= О,
η

) =

О,

Фот( х 1' х 2' ···' х п) - 0;
čia т < п .
Norėdami rasti taškus (х\,х2,...,хп),

kuriuose funkcija u gali įgyti

sąlyginius ekstremumus, sudarome pagalbinę funkciją
F (X1 ,X2,..
+

ΧΙΨ^^Ί

• ,Xn , X1,λ2,...,Xm)=
X I , X

2

, . . . , X

N

) +

...

f (X1,X2,...,xn)
+ X

M

U

( X

M

randame dalines jos išvestines χ 1 , χ 2 , . . . , χ η

L J

X

2

+

, . . . , X

N

),

atžvilgiu ir prilyginame jas

nuliui:
ŽL
Sx

+

|

. + Xm

+

λ

d<Pl

(

S x

2

+

dx„

λ]

S x

+

.. + Xm

n

З ф
S x

2

d<Pi

δ φm

=

0,

=

0,

=

0.

Sx|

<Эх Į

1

df_
Sx

dtpi

λ!

,

.. + Xm

т

(35)

2

δ φm

дхп

Iš (34) ir (35) lygčių sudarome m + n lygčių sistemą, iš kurios randame
nežinomuosius

x1,x2,...,xn

ir

X1,X2,...,Xm.

Ar

gautuose

taškuose

funkcija tikrai turi sąlyginį ekstremumą, ar neturi j o iš viso, bendruoju
atveju nenagrinėsime.
2 pavyzdys. Stačiakampio gretasienio tūris lygus V. Kokie turi būti
gretasienio matmenys, kad j o paviršius būtų mažiausias?
S p r e n d i m a s . Gretasienio matmenis pažymėkime x, y ir z (x > 0,
y > 0, z > 0). T u o m e t j o paviršius
S = 2 xy + 2 y z + 2 xz.
Vadinasi, turime rasti S minimumą, kai xyz = V. Sudarome pagalbinę
funkciją F = 2 xy + 2yz + 2 χ z + X (xyz - V), ją išdiferencijuojame x, y, z
atžvilgiu ir gautas išvestines prilyginame nuliui:
2_y + 2z + Xyz = O,
2x + 2 z + Xxz = O,
2y + 2x + Xxy = 0.
Pirmąją lygtį padauginame išx, antrąją - iš y, o trečiąją - iš z. Iš pirmosios
atėmę antrąją, o iš antrosios - trečiąją, gauname lygtis 2 zx - 2 zy = O ir

2 xy - 2 xz = 0. Iš jų išplaukia, kad x=y =z, o iš sąlygos χ y z = V gauname
X= W . Taigi iš visų duotojo tūrio stačiakampių gretasienių minimalų
paviršių turi kubas. Kad tai iš tikrųjų yra sąlyginis minimumas, aišku iš
geometrinių samprotavimų: gretasienio paviršius negali būti neribotai
mažas, todėl natūralu manyti, kad, tinkamai parinkus gretasienio kraštines,
jo paviršius įgis mažiausią reikšmę. •

5.4. Didžiausioji ir mažiausioji funkcijos reikšmė uždaroje
srityje
Tarkime, kad funkcija z= f (х, y) apibrėžta ir tolydi uždaroje srityje D,
apribotoje kreivės L , be to, diferencijuojama jos vidiniuose taškuose.
Tuomet pagal funkcijos aprėžtumo teoremą (žr. šio skyriaus 3.3 skyrelio 4
savybę) yra taškai, kuriuose funkcija/įgyja didžiausią ir mažiausią reikšmę.
Tai gali būti vidiniai srities taškai arba kreivės L taškai. Jei didžiausią ir
mažiausią reikšmę funkcija įgyja vidiniuose taškuose, tai tie taškai turi būti
kritiniai funkcijos taškai.
Taigi, norėdami rasti uždaroje srityje didžiausiąją ir mažiausiąją
funkcijos reikšmes M ir m, turime:
1) rasti srities D vidinius taškus Pi,

kuriuose funkcija gali įgyti

ekstremumus;
2) apskaičiuoti funkcijos reikšmes šiuose taškuose f (PI );
3) rasti kreivės L taškus QJ, kuriuose funkcija gali įgyti sąlyginius
ekstremumus, ir apskaičiuoti jų reikšmes J (Q1);
4) iš skaičių / ( P i ) ir f (Qj) išrinkti didžiausią skaičių M ir mažiausią
skaičių m.
Pavyzdys. Raskime funkcijos z = χ y

(2 - χ - y) didžiausiąją ir ma-

žiausiąją reikšmę trikampyje, apribotame tiesių y = 0, y =x,

χ + y = 2

(149 pav.).
S p r e n d i m a s . Randame dalines išvestines z'x
-2

z' = χ y (4 - 2x - 3y). Išsprendę lygčių
sistemą

[ х У ( б - 4 х - З у ) = 0,
Įx 3 y(4 -2x — 3y) = 0,

randame

vienintelį

esantį

srities

kritinį
viduje.

tašką

m

§

Apskaičiuojame

I
z(P)

=

. Funkcijos reikšmės kraštinės y = 0

JTy 2 (6 - 4x

b),

taškuose lygios nuliui. Rasime didžiausiąją ir mažiausiąją funkcijos reikšmę
kraštinės y = χ taškuose. Įrašę y = χ j z išraišką, turime z = 2 x5 (1 - x), kai
χ e [0;

1]. Apskaičiuojame z (0) = 0, z (1) = 0. Išsprendę

lygtj

z'x =

= 2 χ4 (5 - 6x) = 0, randame kritinį tašką χ = —, esantį atkarpos [0; 1]

6

viduje. Toliau apskaičiuojame

Analogiškai rasime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę kraštinės
α o

y = 2-х

taškuose. Tačiau, įrašę į z = χ y (2 - χ - y) šią y išraišką,

gauname z = 0. Taigi visuose kraštinės χ + y = 2 taškuose z = 0. Norėdami
rasti didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes M ir m, turime palyginti skaičius
z(P)=

— я0,148, z ( 0 ) = z (1) = 0, z ( - ) -0,134 ir z = 0 kraštinių y = 0 ir
27

v 6/

4

χ +y = 2 taškuose. Vadinasi, didžiausioji reikšmė M = z(P)=

—

įgyjama

vidiniame srities taške, o mažiausioji z = 0 - kraštinių y = 0 ir χ + y = 2
taškuose.

•

5.5. Mažiausių kvadratų metodas
D a ž n o eksperimento tikslas - nustatyti tam tikro dydžio y priklausomybę nuo kito dydžio x, imant baigtinį skaičių atskirų reikšmių Xi, i = 1, n .
Tokio eksperimento rezultatas - Xi ir jas atitinkančių eksperimentinių y,
reikšmių lentelė arba kreivė, nubrėžta per taškus ( X i I y i ) . Siame skyrelyje
išnagrinėsime vieną būdą, kaip gauti tą kreivę atitinkančios analizinės
funkcijos išraišką. Tokias funkcijas vadinsime empirinėmis,

(gr. empeiria -

„pažinimas, paremtas patyrimu") o jų ieškojimo procesą (lot. approximo

-

„artėju"). Kadangi kiekvienos funkcijos

aproksimavimu
analizinėje

išraiškoje, be jos argumento x, yra ir tam tikri skaitiniai koeficientai, tai
bendroji empirinės funkcijos analizinė išraiška yra tokia:
y =f(x,

a, b, c,...).

(36)

Išsiaiškinkime, kaip reikia parinkti empirinės funkcijos parametrus
a, b, c,..., kad gauta empirinė funkcija geriausiai atitiktų eksperimentu
nustatytą priklausomybę. Tokio uždavinio sprendimas priklauso nuo to, ką
sutarsime laikyti „geriausiu" atitikimu. Galima, pavyzdžiui, reikalauti, kad
maksimalūs atstumai tarp empirinės (36) kreivės ir eksperimento taškų
arba atstumų tarp empirinės kreivės ir eksperimento taškų moduliai būtų

minimalūs. Labiausiai paplitęs tokių
mažiausių kvadratų metodas.

uždavinių

sprendimo būdas yra

Sakykime, kad argumento Xi reikšmę atitinka eksperimentu gauta y,
reikšmė. Įrašę Xį reikšmę j empirinės funkcijos (36) išraišką, gausime
funkcijos r e i k š m ę / ( X i , a, b, c, ...), paprastai nelygią y,·, nes y,· reikšmėms
turi įtaką eksperimento paklaidos. Skirtumą

y,· - / ( x , , a, b, c, ...)

vadiname empirinės funkcijos nuokrypiu. Mažiausių kvadratų

metodo

reikalavimas yra toks: parametrai a, b, c,... turi būti tokie, kad nuokrypių
kvadratų suma būtų minimali. Taigi
"
s

=

,
( Y I - F ( X I , A , B , C , . . . ) )

Σ

—>

min.

1=1
Tokiu atveju funkcijos S dalinės išvestinės kintamųjų a, b, c,... atžvilgiu turi
būti lygios nuliui:
^ = 0 , ^ = 0 , ^ = 0 , . . .
da
db
dc
Išdiferencijavę S parametrų a, b, c, ... atžvilgiu ir prilyginę gautas dalines
išvestines nuliui, gauname lygčių sistemą, sudarytą iš tiek lygčių, kiek
parametrų turi funkcijay = / ( * , a, b, c,...):
^ y
i=t

i

- f (Xi,a,b,c,..))^

= 0,
(37)

(=1

Toliau išnagrinėsime dažniausią atvejį, kai funkcijay =f(x,
yra tiesinė, t.y.

a, b, c, ...)

y = ax + b.
Kadangi —
da

= x,

db

= 1, tai iš (37) sistemos gauname sistemą
n
/=1
n
£(уг·-(a*,·+6))=0,
i=l

kuri pertvarkoma į tokią:

n
a

n

x

YI

+bJ^Xi

,=1

•

n
=

,=1

Y4Xiyi,
,=1

(38)

η
η
ClYjXi+Hb=Yyi.
ι =1
/=1
Kai funkcija y =f(x,
tai —
да

= χ2,

a, b, c, ...) yra kvadratinė, t. y . y = a x

—
= χ, —
дь
дс

2

+bx + c ,

= 1. Tuomet iš (37) sistemos gauname trijų

lygčių sistemą
n

n

"Υ4

+bYxf

+cYxf

I=1

/=1

n
+bYxf

n
+CYxi

J=1
n
^Yxf
I=I

i =l

n
a

Y

n

x

f

n
lLxi

+h

I =I

n
=

n
= Yxl У

;=1
+nc =

Yxfyi,
I=I

i =l
n
Yyi,

I=I

i=l

iš kurios galėsime rasti parametrus a, b ir c.
Imkime dvi praktikoje paplitusias funkcijas: laipsninę y = Axb
diklinęy = Aabx.

ir ro-

Išlogaritmavę gauname:

Igy = lg^4 + M g x ir Igy = Igyl + (blgfl)

x.

Pažymėję Igy raide Y, Igx - raide X, IgA - raide c, Iga - raide B, turime
tokias dvi lygtis:
Y = c + bX

ir Y = c + Bx,

kurios yra tiesių lygtys. Taigi laipsninės funkcijos grafikas yra tiesė koordinačių sistemoje, kurios abiejose ašyse atidėtos ne x, ir y,· reikšmės, o jų
logaritmai, o rodiklinės funkcijos grafikas yra tiesė koordinačių sistemoje,
kurios ordinačių ašyje atidėtos ne y,· reikšmės, o jų logaritmai. Tokios
koordinačių sistemos vadinamos atitinkamai logaritminiu

ir pusiau logarit-

miniu tinkleliu. Šiuos požymius galime panaudoti, norėdami nustatyti, ar
gautoji kreivė nėra laipsninės arba rodiklinės funkcijos grafikas. Imkime
pavyzdį.
Pavyzdys. Eksperimento rezultatai pateikti lentelėje
X

1

2

3

4

5

6

У

2

2,8

3,5

4

4,5

4,9

Raskimejuos aproksimuojančią funkciją.

Sprendimas.
Atidėję
šias
reikšmes
įprastoje
koordinačių
sistemoje (150 pav.), matome, kad
gauta kreivė panaši į laipsninės
arba rodiklinės funkcijos grafiką.
Todėl,
norėdami
išsiaiškinti
empirinės
funkcijos
išraišką,
eksperimentinius
duomenis
atidedame pusiau logaritminiame ir
logaritminiame
tinkleliuose

Il

0

1

2

ί

3

4

5

6

150 pav.

(151 pav.), prieš tai sudarę naują
lentelę
X

1

2

3

4

5

6

Igx

0

0,301

0,477

0,602

0,699

0,778

įgy

0,301

0,447

0,544

0,602

0,653

0,690

!

•• r ~

0,7

0,7

;

0,6

0,6

0,5

0,5

0,4

0,4

0,3

0,3
0,2

~

ig/

ig/

X

0,2

0

1

2

3

4

5

6

0

χ

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Igx

151 pav.
Kadangi eksperimentiniai taškai logaritminiame
tiesę, tai empirinė kreivė turi išraišką

tinklelyje

sudaro

Igy = a Igx + b.
Parametrus a π b rasime iš (38) sistemos, įrašę į ją Ig Xi ir Ig y,· vietoj
Xi ir y į, t.y. iš sistemos
n
a

n

Z 1 S 2 * ; +bYlgxi
i=1
i=1

n
CiYlgxi+nb=
(=1

n
=

n
Y Igyi.
(=1

Ylgxi-Igyi,
;=1

X

Igx

Ig2X

igr

lgx-lgy

y7 <j«*
-

1

0

0

0,301

0

1,995

2

0,301

0,0906

0,447

0,1345

2,827

3

0,477

0,2275

0,544

0,2595

3,469

4

0,602

0,3624

0,602

0,3624

4,007

5

0,699

0,4886

0,653

0,4564

4,483

6

0,778

0,6053

0,690

0,5368

4,913

Σ

2,857

1,7744

3,237

1,7496

Taigi turime sistemą
i 1,7744 a + 2,857/) = 1,7496,
[2,857a + 6b = 3,237,
iš kurios gauname: a = 503, b = 0,300. Tuomet empirinė kreivė apibūdinama lygtimi
Igy = 0,503 Igx + 0,300;
iš čia
y = IO 0 ' 3 · χ 0 ' 5 0 3 = l,995x 0 ' 5 0 3 .
Lentelės paskutiniame stulpelyje, kad galėtume palyginti, pateiktos y
reikšmės, apskaičiuotos pagal gautą empirinę formulę.

•

6. Skaliarinis laukas
6.1. Skaliarinis laukas. Lygio paviršiai
Sakykime, kad kiekvieną srities D tašką M atitinka skaliarinė dydžio u
reikšmė, kurią žymėsime u (M). Tokiu atveju sakoma, kad srityje D
apibrėžtas skaliarinis laukas. Jeigu kiekvienam srities D taškui būtų
priskirtas vektorinis dydis, tai turėtume vektorinį lauką. Skaliarinio lauko
pavyzdys - netolygiai įkaitusio kūno taškų temperatūra, kitaip sakant,
temperatūrų laukas. Vektorinio lauko pavyzdys - magnetinis laukas.
Jeigu skaliariniame lauke parinktume koordinačių sistemą, tai
skaliarinį lauką apibūdintų taškų M ( x ; y ; z) koordinačių funkcija u (M), t.y.
trijų kintamųjų funkcija u (x,y, z).
Prilyginę u (χ, y, z) reikšmes konstantai C, gauname lygtį u (x, y, z) = C,
kuri geometriškai reiškia tam tikrą paviršių. Toks paviršius vadinamas lygio
paviršiumi, visuose jo taškuose funkcijos u reikšmės yra pastovios.

Fizikoje, nagrinėjant potencialo lauką, tokie paviršiai vadinami ekvipotencialiniais.
Kai skaliarinis laukas yra plokščias ir jį apibūdina dviejų kintamųjų
funkcija u (x,y), tai gauname lygio linijas u (x,y) = C. Tai bus kreivės, kurių
taškuose funkcijos u reikšmės yra pastovios. Tokios kreivės žymimos
žemėlapiuose, norint parodyti kalnų aukštį.

6.2. Kryptinė išvestinė
Tarkime, kad skaliarinį lauką srityje D nusako funkcija u = u (дс, y, z).
Parinkime tašką M (χ, y, z) ir kokį nors vektorių I , išeinantį iš to taško
(152 pav.). Sakykime, kad tas vektorius su ašimis Ox, Oy ir Oz

sudaro

kampus a , β, γ. Tuomet j o vienetinio vektoriaus koordinatės bus cos a ,
cos β, cosy. Parinkime dar vieną tašką M\(x + Ax;y + Ay; z +Az),

per

kurį

čia

eina

vektorius

I .

Atstumą

| MM1

|

pažymėkime

Al;

Sakykime, kad funkcija u (x, y, z) yra tolydi srityje D ir turi tolydžias
išvestines u'x ,

u' ir u'z . Tuomet jos pilnąjį pokytį Au = u (MX)-U

(M)

galima išreikšti taip:
Au=—

du
дх

Ax

H

du
ду

АуЛ

du .
-Az + γ Į AX+ γ 2 Ay + γ 3 Az;
dz

čia γ ι , у2 , Уз - nykstamosios funkcijos, kai Δ/->0.
Apibrėžimas. Jeigu egzistuoja baigtinė santykio — riba, kai A /—»0, tai
Al
ši riba vadinama

funkcijos

u išvestine vektoriaus

kryptine išvestine. Ji žymima simboliu
du
,.
Aii
Taigi — = Iim —
dl
Δ/—»0 Al

du Az

Ax

—.
dl
z

I

kryptimi arba tiesiog

Ax
Ay
Az
Kadangi — = cos α , —- = cos β, — = cos γ, tai
Al
Al
Al
du
du
du
du
— = — cos α Ч
cos β H
cos γ,
dl
dx
dy
dz
nes paskutiniai trys dėmenys artėja prie nulio, kai Δ/->0.
-3 -2 o

Pavyzdys. Raskime funkcijos

u=χ y z

kryptinę išvestinę taške

M 0 (2; -1; 3) vektoriaus M 0 M 1 kryptimi, kai M 1 (3; 2; 4).
S p r e n d i m a s . Randame
>
,
* ,
,
r1
M 0 M 1 = ( 1 ; 3; 1), | M 0 M 1 |= Vl + 9 + 1 = V l l , tuomet c o s a = - j = ,
cos β = —p=, cos γ = — j = . Toliau randame išvestines
л/И
VlT
du
dy

Л Л Л

= Зх у ζ

3x2y3z3,

—
dx

Зы
-1 Л Л
, — = 3χ у z ir apskaičiuojame jų reikšmes taške M 0 :
dz

du

•324,

dx M,O

du
MjR

du

= 648,

O

dz

MN

= -216 .

Įrašę šias išvestinių ir krypties kosinusų reikšmes į (39) formulę, gauname:
du_ _ 1424
~dl

A

Vn

Imkime du lygio paviršius u (x, y, z) = C\,u (x, y, z) = C2 (153 pav.)
ir pažymėkime jų taškus M , M 1 ir M2 • Kadangi taškai M 1 ir M 2 priklauso tam pačiam lygio paviršiui, tai U(M1)

= U(M2).

Tuomet skaliarinio

lauko pokytis Au tiek kryptimi M M 1 , tiek kryptimi M M 2

yra toks pat:

Au = u ( M 1 ) - u ( M ) = u ( M 2 ) - u ( M ) . To lauko vidutinis kitimo greitis
kryptimi M M 1 lygus

Au

, o kryptimi M M 2

MM-

MM1

Kadangi | M M 1
gomis

kryptimis

yra

Au

lygus

M M 2 |, tai vidutinis lauko kitimo greitis skirtinskirtingas.

Momentinis

lauko

kitimo

greitis,

u(x,K,z)=C2

U(X1KZ)=C,

153 pav.
Au

pavyzdžiui, kryptimi M M 1 , bus lygus pokyčio

Au
~Al

ribai, kai

MM1

Δ/-»0. Taigi lauko kitimo greitis taške M kryptimi
kryptinei išvestinei

MM1

bus lygus

du
dl

Vadinasi, kryptinė išvestinė apibudina
pasirinktąja kryptimi.

lauko kitimo greitį taške

6.3. Gradientas
Diferencijuojamos funkcijos u = u (x,y,z) gradientu taške M vadina. .
. . .
du
mas vektorius, kurio koordinates lygios —
dx

M

du
, —
dy

M

du
, —
dz

M

T. v
. Jis zy-

mimas grad и arba Vm. Taigi
du τ
du du grad u = — i H
j H
k .
dx
dy
dz
.
. . . . .
. . . . . .
Nesunku suvokti, kad kryptine įsvestine
du
. . .
. f du
+ — cosy yra dviejų vektorių — ,
dz

\dx

du
du
du
— = — cos α H
cos β 4dl
дх
dy

du
—,

du
—

dy

dz)

ir (cos α , cos β, cos γ )

skaliarinė sandauga. Pirmasis jų yra tik ką apibrėžtas grad м, O antrasis
vektoriaus I vienetinis vektorius e/. Taigi

du
, _
— = grad u e,.
oi
Pasinaudokime vektorių skaliarinės sandaugos formule
a b = |a| - p r g b .
Tuomet kryptinę išvestinę galima užrašyti taip:
= I ė/ I · pr{ grad и = prj grad m.
Taigi įrodėme, kad kryptinė išvestinė lygi gradiento projekcijai vektoriuje
I . Iš to aišku, kad kryptinės išvestinės reikšmė bus didžiausia, kai ji bus
skaičiuojama gradiento kryptimi, be to,
du ι
dI

grad u I.

ll=grad u

Vadinasi, kai grad u ^ O , tai skaliarinio lauko kitimo greitis yra
didžiausias vektoriaus grad и kryptimi ir mažiausias vektoriaus - grad u
kryptimi. Todėl kryptis, apibūdinama vektoriumi grad M , vadinama
greičiausio pakilimo kryptimi, o kryptis, nusakoma vektoriumi - grad и greičiausio nusileidimo
kryptimi.
1
2

T=x y

pavyzdys.
xy

+ yz-e .

Kūno

temperatūrą

Nustatykime,

kuria

erdvėje

apibūdina

kryptimi

funkcija

temperatūra

taške

M 0 (2; 1; 2) kinta greičiausiai.
S p r e n d i m a s . Žinome, kad tai bus grad Г kryptis. Randame dalines
išvestines:
dT
— =2xy
-ye
J
dx

xy

y

,

dT
2 ,
x y
— =jc +Z-Jte ' ,
dy

dT
— = у.
dz

Apskaičiuojame jų reikšmes taške M0 (2; 1; 2):
дТ_
dx мо

л
2
= 4- e

'

dT
dy

л <> 2
,, = 6 - 2 e ,

m

O

ST
—
dz

M

= 1.
0

Tuomet grad T= (4 - e2 ) i +(6 - 2 e2 ) j + k , o didžiausias temperatūros
kitimo greitis taške M 0 bus lygus
IgradTl = ^ 4 - e 2 ) 2 + ( б - 2 е 2 ) 2 + I 2

= л! 45 - 32e2 + 5e4 «9,03.

A

Tuo, kad skaliarinis laukas kinta greičiausiai gradiento kryptimi,
pagrįsti gradientiniai ekstremumų paieškos metodai. Taikome juos taip:
parenkame kokį nors tašką
А(хл-,уA\zA),
priklausantį funkcijos

и = / ( χ , y, ζ ) apibrėžimo sričiai D, ir iš j o tiese /, lygiagrečia gradM,
žengiame pasirinktą žingsnį į tašką B. Tiesės I kanoninės lygtys yra tokios:
X

~ XA

_

У ~Y Л

du

_

Z

~

Z

A

du

du

дх A

dz A
dy A
Prilyginę šiuos santykius parametrui
gauname tiesės / parametrines lygtis:
X — Xyį

+

du
дх

du
•U

У =

У A

du

•t, z

Z

A

+T-

dz

д

А

У

t.

(40)

Po to taške B vėl randame gradientą ir jo kryptimi žengiame naują žingsnį į
tašką C. Procesą tęsiame tol, kol gradiento koordinatės pasidaro lygios
nuliui. Tai rodo, kad pasiektas ekstremumo taškas.
Čia aptarėme tik judėjimo gradiento kryptimi principus, nekalbėdami
apie daugelį subtilių dalykų, su kuriais susiduriame, spręsdami įvairius
optimizavimo (lot. optimus - „geriausias") uždavinius. Tie dalykai nagrinėjami specialiuose matematikos skyriuose, pavyzdžiui, netiesiniame programavime. Dabar išspręskime pavyzdį.
1
1
2 pavyzdys. Raskime funkcijos z = χ - χ +y - 2 y

minimumą.

S p r e n d i m a s . Pasirinkime tašką A (0; 0) ir raskime jame gradientą:
Sz
„
,
— = 2л;-1,
dx

dz
dy

o
= i2y - 2,

f

d z

—
dx

~

1

= -2,

dy

·

todėl gradM \A = ( - 1; - 2). Dar apskaičiuojame funkcijos z reikšmę šiame
taške: z (0; 0) = 0. Pasinaudodami (40) lygtimis, sudarome parametrines
tiesės, einančios per tašką A ir lygiagrečios gradientui, lygtis:
χ = o + (- 1) t = -1, y = 0 + ( - 2) t = -21.

(41)

Toliau panaudosime greičiausio nusileidimo metodą. Tokiu atveju
parametras t turi būti neigiamas. Parenkame t = - 1 ir įrašę jį į (41) lygtis,
apskaičiuojame xB = 1, yB = 2 . G a u n a m e tašką B (1; 2). Apskaičiuojame
z (B) = z ( l ; 2) = 1 - 1 + 4 - 4 = 0. Matome, jog z (A) = z {B), o tai reiškia,
kad m i n i m u m o tašką „peršokome". Grįžkime į tašką A ir iš jo pajudėkime
mažesniu

žingsniu,

imdami

t = -0,5. Tuomet

iš (41)

lygčių

turime:

Xq = 0,5, yQ = 1, t.y. gavome tašką C (0,5; 1). Apskaičiuojame
z(C)=z

(0,5; 1) = 0,5 - 0,5 + 1 - 2 = - 1,25 bei

oz
dx

0.

dy

Taigi gradientas taške C yra nulinis vektorius, todėl jokiu poslinkiu iš taško
C neįmanoma pakeisti funkcijos z reikšmės. Kadangi z (C) reikšmė yra
mažesnė, lyginant su z (A) ir z (B), tai taškas C - m i n i m u m o taškas.

•

7. Geometrinis diferencialinio skaičiavimo taikymas
7.1. Erdvinės kreivės liestinė ir normalioji plokštuma
Žinome, kad lygtys
χ = x(i),
y = y{t),
z = z(t)
nusako

erdvinę

kreivę,

kurios

liestinės,

nubrėžtos

per

tašką

M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) , lygtys tokios:
*-*o
x[

_ У~Уо
y;

.
z;

čia x't, y't ir z't apskaičiuotos taške M 0 .
Kadangi
Ф2(х,у,г)

dviejų

paviršių,

apibrėžiamų

lygtimis

Ф^(х,у,г)

=O

ir

= O, susikirtimo rezultatas yra erdvinė kreivė, tai ją galima

nusakyti lygčių sistema

ja>,(*,y,z) = o,
\φ2{χ,γ,ζ)

(42)

= 0.

Kiekvieną sistemos lygtį išdiferencijuojame t atžvilgiu. Kadangi x, y, z
priklauso nuo t, tai Φ , ir Φ 2 diferencijuojame kaip sudėtines funkcijas:
5Φ
dx + 5Φ|L —
dy + δ Φ
. Ldz
-,1 —
·—
—
dx dt
dy dt
dz dt
дФ2 dx
дх

dt

дФ2 dy
ду

О,

дФ2 dz

dt

dz

= 0.

dt

Išsprendę šią homogeninę lygčių sistemą, gauname:

dx dy dz
dt' dt' dt

δΦ,

δΦ,

δΦ,

δΦ,

δΦ,

δΦ,

dy
δΦ2

δζ
δΦ2

δζ
δΦ2

дх
δΦ2

дх
дФ2

Sy
δΦ2

ду

δζ

δζ

дх

дх

ду

Kad būtų trumpiau, pažymėkime šiuos determinantus atitinkamai A ,
B, C. Tuomet kreivės, kuri nusakoma (42) lygčių sistema, liestinės,
nubrėžtos per tašką M 0 , lygtys bus tokios:
x

~xo
A

_ У~Уо _ z~2o
B
C

.
'

čia visos dalinės išvestinės apskaičiuotos taške M 0 , be to, bent vienas
dydžių A, B, C nelygus nuliui. Kai vienu metu A=B

= C = O, tai taškas

M 0 vadinamas ypatinguoju kreivės tašku. Jame kreivė gali iš viso neturėti
liestinės.
Normaliosios plokštumos lygtis bus tokia:
A(x-x0)+B(y-y0)

+ C(z-Z0)

= 0.

Pavyzdys. Kreivė nusakoma lygčių sistema
+y2 +z2

X2

Iх

2

+

y

2

=9,

(43)

•4.

Kuriame taške jos liestinė lygiagreti plokštumai 2 x - 3 y + z + 5 = 0?
S p r e n d i m a s . Ieškomąjį tašką pažymėkime M 0 ( X o i y O i z O ) - R a n c l a m e i
5Φ ι
дх

дФ2
5Φ,
L =- 2 z,
dz
дх

δΦχ
0
=_ 2x, — i - = 2 y,
dy

2x,

5Ф 2

_

2y,

дФ 2
dz

Tuomet
dx

dy

dz

2у 0

2z 0

2z 0

2х 0

2х 0

2у 0

dt'

dt'

dt

2у 0

0

0

2х 0

2х 0

2у 0

= ~4yozo

4x z

• 0 =~y0z0

oo

• xozo •

Taigi liestinės krypties vektorius
s = (-Уо zo; χο zo ;ū)·
Duotos plokštumos normalusis vektorius n =(2; -3; 1). Kadangi liestinė
lygiagreti plokštumai, tai n ± s , todėl n - s =0.
Vadinasi,
-2 y0z0

-3 x0z0

=0.

Kadangi taškas (x 0 ; y 0 ; z 0 ) yra kreivės taškas, tai jo koordinatės tinka (43)
sistemos lygtims:
\x20+y20+z20 =9,
Ί
2
4.
1*0 +Уо
Gavome trijų lygčių sistemą
4+yl+zl
2

2

*o +Уо

=9,
4,

2у 0 г 0 + 3 х 0 Z0 = 0 .

Iš jos randame

x0 = ±—j==

Jo

= +

Z0

Vn'

=

± Л / 5 . Ieškomų

lietimosi taškų yra keturi:
4

6

Vn'

Vn

Vn'

Vn

;VJ

;Vs

Vn' Vn

,

Vn' Vn

Uždavinį galima spręsti ir kitu budu, prieš tai parašius parametrines
kreivės lygtis χ = 2 cos i, y = 2 sin i, z = ±VŠ.

•

7.2. Paviršiaus liečiamoji plokštuma ir normalė
Tarkime, kad funkcija Ф(х,у, z) = O apibūdina tam tikrą paviršių.
Pasirinkime to paviršiaus tašką M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) ir per jį nubrėžkime bet
kurią kreivę L , esančią tame paviršiuje (154 pav.).
1 apibrėžimas. Kreivės L liestinė, nubrėžta per tašką

M0,

vadinama

paviršiaus liestine taške M0 .
Kadangi per tašką

M0

paviršiuje galima nubrėžti be galo daug

kreivių, tai per tą tašką galima išvesti ir be galo daug paviršiaus liestinių.
Įrodysime, kad visos šios liestinės yra vienoje plokštumoje.
Sakykime, kad taške M 0 visos trys dalinės išvestinės

Ф'х,Ф'у,Ф'г

egzistuoja ir yra tolydžios, be to, bent viena jų nelygi nuliui.
Tarkime, kad paviršiuje nubrėžtos kreivės L parametrinės
lygtys yra tokios:
χ = χ (ή ,
-y =
z =

154 pav.

y(t),
z(t).

Kadangi šios kreivės taškai
yra paviršiuje, tai, įrašę šias x, y, z
išraiškas į lygtį Ф(х, y, z) = O,
gauname tapatybę parametro t
atžvilgiu. Išdiferencijavę ją kaip
sudėtinę funkciją argumento t
atžvilgiu, turime

Žinome,

kad

kreivės

Š = (x't; y't\z't).

L

liestinės

Pažymėkime

taške

ii =

M0

krypties vektorius

Φ^,; <JV ) . Tuomet

(44)

yra

lygybė

reiškia, kad vektorius n ir s yra statmeni, nes kairėje jos pusėje esanti
suma yra lygi jų skaliarinei sandaugai.
Kadangi L yra bet kuri paviršiuje nubrėžta kreivė, tai vektorius n yra
statmenas visoms per tašką M 0

nubrėžtoms paviršiaus liestinėms, todėl

visos tos liestinės yra vienoje plokštumoje.
2

apibrėžimas.

Plokštuma,

kurioje

yra

nubrėžtos per tašką M0,

vadinama paviršiaus

M0 vadinamas lietimosi

tašku.

visos paviršiaus

liečiamąja

liestinės,
Taškas

plokštuma.

Kadangi vektorius ii statmenas kiekvienai paviršiaus liestinei,
esančiai liečiamojoje plokštumoje, tai jis statmenas tai plokštumai. Taigi ii
- normalusis šios plokštumos vektorius, todėl paviršiaus liečiamosios
plokštumos lygtis yra tokia:
Φ' χ (χ - X 0 ) + Ф'у{у-у0)

+ Φ ζ ( ζ - zo) = О;

(45)

čia visos dalinės išvestinės apskaičiuotos lietimosi taške M0 (x0; y0; Z0),
be to, kaip jau reikalavome bent viena išvestinių Φ ^ , Φ ' Ν , Φ ^

nelygi nuliui.

Kai visos šios išvestinės kartu lygios nuliui, tai taškas M 0

vadinamas

ypatinguoju paviršiaus tašku. Siame taške paviršius gali iš viso neturėti
liečiamosios plokštumos.
Pavyzdžiui, kūgio
taškas, nes jame

x2+y2-z2

= O viršūnė (0; 0; 0) yra ypatingasis

Φ'χ = Φ^, = Φ^ = 0 . Siame taške kūgis neturi liečiamosios

plokštumos, nes kūgio liestinės, nubrėžtos per j o viršūnę, nėra vienoje
plokštumoje (tos liestinės sudaro patį kūgio paviršių).
Kai paviršius apibūdinamas lygtimi z = f(x, y), t. y. lygtimi Ф(х, y, z) =
= f(x,y)-z

= 0, tai

Φ'χ = / ; , Φ ; = / ; , Φ ; = - I . Tuomet iš (45) lygties

gauname tokią paviršiaus liečiamosios plokštumos lygtį:
= /^0^0)(*-½)+
Kadangi diferencijuojamos dviejų

(46)

Г;(хо,Уо)<У-Уо)·
kintamųjų

pilnasis diferencialas taške M 0 lygus fx(x0,y0)

funkcijos z =f(x,

y)

Ax + / ' (x 0 , y 0 ) Ду, tai,

pažymėję χ - X 0 = Δχ, y - y 0 = Ду, z - Z 0 = Az, iš (46) lygties gauname,
kad dviejų kintamųjų funkcijos pilnasis diferencialas taške

M0

lygus

liečiamosios plokštumos aplikatės pokyčiui tame taške.
Tiesė, nubrėžta per lietimosi tašką
majai

plokštumai,

vadinama paviršiaus

M 0 (X0; y0; Z 0 )
normale.

Tos

statmenai liečiatiesės

krypties

vektorius

lygiagretus

liečiamosios

plokštumos

normaliajam

vektoriui

š = (fJc (x 0 , y 0 ) ; f y (x 0 , y 0 ) ;-l), todėl kanoninės normalės lygtys tokios:
X-Xq

_

Х

У~Уо

_z-z0

/у(хо'Уо)

/Х( О'Уо)

-1

Kai paviršius apibrėžtas neišreikštine lygtimi Φ (χ, y, z) = O, tai
gauname tokias normalės lygtis:
X-Xq
φ'
^x

z

~zo
φ'
^z

_ У~Уо _
φ'
^y

Sakysime, kad vektorius yra statmenas paviršiui taške M 0 , jei jis
statmenas to paviršiaus liečiamajai plokštumai, nubrėžtai per tašką

M0.

Turėdami tai galvoje, įsitikinsime, kad skaliarinio lauko u = u (x, y, z)
gradientas taške M 0 yra statmenas lygio paviršiui u (x,y, z)= C, einančiam
per tašką M 0

(čia С = и(х0,

y 0 , Z0)).

Iš tiesų, kadangi lygio paviršiaus

liečiamosios plokštumos taške M 0 lygtis turi išraišką
11

X (х-хо)+

u

'y (У -У o)

+

u'z (z-z0)

= 0,

tai jos normalusis vektorius yra vektorius n = (u'x,u'v,u'z)

.Taigi jis sutam-

pa su skaliarinio lauko gradientu grad и = (u'x, u'y, u'z), o tai reiškia, kad
gradientas taške M 0 yra statmenas lygio paviršiaus liečiamajai plokštumai,
nubrėžtai per tašką M 0 .
Pavyzdys. Sakykime, kad paviršių nusako lygtis z =f(x, y) (155 pav.).
Parinkime jo tašką N ir per jį išveskime liečiamąją plokštumą. Dydžiu t g a
paprastai apibūdinamas paviršiaus (kalno) statumas taške N. Išveskime
statumo formulę.

Sprendimas.
mėkime U=Z-

Iš lygybės z=f(x,

y) gauname z - / ( x , y) = 0. Pažy-

f(x, y). Iš geometrinių samprotavimų aišku, kad kampas α

lygus kampui, kurį ašis Oz sudaro su grad M . Todėl
t Γ A
a \
e o s a = c o s ( k , grad u) =

k grad u
.„ ,
.
k |grad u\

Kadangi
k = (0; 0; 1), | k | = l , g r a d u = ( - / ; ; - / ; ; l ) ,

Igradw I = ^ l + / ; 2 + / ; 2

,tai

1

cos α =

Ji+/;2+/;2
1
2
1
1
1
Pasinaudokime formule 1 + tg α = — - — . I š j o s I t g a I =
—»
cos" a
V cos

1 ,
a

todėl
Itga

= Ji+/;

2

+/;

2

-I=V^

2 +

/;

2

·
9

9

Apskaičiuokime, pavyzdžiui, paraboloido z = 9 - χ -y

statumą taš-

ke N ( 1 ; 2). R a n d a m e
z'x = -2x,

Z1Y = -2y,

z'x(N) = ~2,

Zjr(AT) = - 4 .

Tuomet I tg α I = J ( - 2 ) 2 +(-4) 2 = >/20 « 4, 472 ir α » 77,4°.

•

Uždaviniai
I

1. Tarkime, kad duotos aibės v4= {(x,y) I x

9

9

+ y > 4 },

S = {(χ, y) I χ 2 + y 2 < 9 }, C = {(x, y) Iy > - χ 2 } , D= {(χ, y)
Apibūdinkite geometriškai šias aibes:
а) ( л п в ) и ( с п о ) ;

b)

(^Ufi)n(CUD);

c) ( ^ n s n c ) \ D ;

d)

((Л11Я)\Я)ПС.

2. Raskite šių funkcijų apibrėžimo sritis:
a) z =

1

;
2

· У
— + arc sin —;
2

V* +y ~9
b) z = д/4 - x 2 - y 2 + In xy ;
c) z = Jį-y2-x2JĮsin2

7α + sin2 лу|;

|y<|x|}.

d) z = arc cos —тг + arc cos (1 -у).
У
X2 У

3. Raskite funkcijos —=——γ kartotines ribas bei jos dvilypę ribą taške
Xz +y
(0; 0).
4. Įsitikinkite, kad funkcija
X2V

fix, У) =

Ą—^-y, kai (x,y) * (θ, O),
χ +y
0,

kai

(x,y) = (θ, θ),

turi lygias kartotines ribas taške (0; 0), tačiau jos dvilypė riba taške (0; 0)
neegzistuoja.
5. Įrodykite, kad funkcijos
2

2

x-y + x_ +yz
Х+У

fix, У) =
0,

kai

,kai уф -χ,

y = -χ,

kartotinės ribos taške (0; 0) yra nelygios. Kokia iš to išplaukia išvada?
i
6. Apskaičiuokite funkcijos f(x, y) = (l + x2 +y 2 j* 2 +y 2 dvilypę ribą
taške (0; 0).
7. Įrodykite, kad funkcija
xy
fix, У) =

, kai (x,y)

Φ

(θ, 0),

χ +y
0,

kai

(x,y) = ( 0 , 0 ) ,

taške (0; 0) yra tolydi kiekvieno kintamojo atžvilgiu, tačiau ji nėra tolydi
šiame taške abiejų kintamųjų atžvilgiu.
8. Įrodykite, kad funkcija
X
fix, У) =

2

- y

2

, kai I χ Į

Φ

I y I,

F r i n
0,

kai

I χ I = I y I,

taške (0; 0) yra tolydi tiek kiekvieno kintamojo, tiek ir abiejų kintamųjų
atžvilgiu.

9. Raskite z'x

ir z'y kai

a) z = гУ·
c)z =

b) z = arcsin — ;
7

х -У
t g ^ - ^
2 '
X +y

10. Įrodykite, kad funkcija

f(x,y)

=

* *
χ +y

kai(*,>>)*( 0,0),

0,

( x,y) = ( 0, 0 ) ,

kai

turi trūkias išvestines f'x (0, 0) ir fy (0, 0).
11. Įsitikinkite, kad funkcija/(jc, y ) = д/рф|у] yra tolydi taške (0; 0),
turi dalines išvestines

fx

(0, 0),

fy

(0, 0), tačiau šiame taške yra

nediferencijuojama.
12. Duota z = arctg (y - x),
13. Duota z = sin (χ

9

Raskite

9

у = — . Raskite z'u,
v
9
9
-y ) tinka lygčiai

14. Įrodykite, kad funkcija z =yf(x
dz

χ

dx

1
y

dx

U

+ у ), x = uv,

1

dz_

dz _ i
dy

y

15. Įrodykite, kad funkcija z = cos (χ - at) + ex+at
tinka lygčiai
d2z

1

dx2

a2

z'v .

d2z
dt2

(α >0, a = const)

= 0.

16. Duota funkcija
χ2-y2
f(*,y)

=

Įrodykite, kad f^ y (0, 0) Φ

γ

xy

, kai (χ,у) φ (θ, θ),
X +у
0, kai (χ,у) = ( 0 , 0 ) .
(0, 0). Kodėl?

17. Įrodykite, kad funkcija z = χ φ —
2 d2 z

+ Ixy

d2 z
dx dy

+y

+ ψ —
2 d2 z

VdyT

tenkina sąryšį

= 0n

18.

Įrodykite,

z =y f

kad

neišreikštinė

funkcija z,

apibrėžiama

lygtimi

funkcija z, apibrėžiama

lygtimi

, tenkina sąryšį
X

19.

Įrodykite,

z = Jf[ax

kad

dz
дх

hy

dz
ду

neišreikštinė

= Z.

-by + z) , tinka lygčiai
dz

dz

bu — + a — =nO .
дх
ду
20. Raskite šių funkcijų ekstremumus:
a) z = χ2 + xy + y2 - 2x - 3y ;
c) Z =

τ
X'

+ Xy

o

b) z = x 3 + y 3 - 9xy + 27;

+ 6xy .

21. Raskite šių funkcijų didžiausias ir mažiausias reikšmes nurodytose
srityse:
a) z = χ2 + y2 +xy-5x-4y+

10, x > 0 , y > 0 ,

b) z = J-X2-y2

<1.

,

χ2+y2

x+y<4;

22. Įrodykite, kad kelių teigiamųjų skaičių geometrinis vidurkis yra ne
didesnis už jų aritmetinį vidurkį, t.y.
j x ι X2-Xn

ь

·

n
23. Kūgio tūris lygus V. Kokie turi būti kūgio matmenys, kad šoninis j o
paviršius būtų mažiausias?
24. Trikampio perimetras lygus 2p. Kokios turi būti jo kraštinės, kad
sukinio, gauto sukant tą trikampį apie vieną jo kraštinę, tūris būtų didžiausias?
25. Išmatavus du dydžiusx iry, gautos tokios jų reikšmių lentelės:
a)

b)

X

-1

-2

0

1

2

3

У

2,8

2,3

3,6

4

4,7

5

X

-2,6

-2,1

У

3,8

-1,1
5

0

2,5

4,1

1Д
0,6

-4,6

2,1

Žinodami, kad a) priklausomybė yra tiesinė y = a χ + b, o b) - kvadrao

tinė y = ax + b χ + c, mažiausių kvadratų metodu raskite šias priklausomybes.
26. Išmatavus du dydžius* iry, gauta tokia jų reikšmių lentelė:
X

1

У

11,10

1,4
7,31

1,8

2,2

2,8

5,36

4,18

3,10

Nustatykite, kokia yra dydžių χ ir y priklausomybė - laipsninė ar rodiklinė - ir raskite ją.
27. Raskite funkcijos u =
u normalės šiame taške kryptimi.

išvestinę taške (1; 2; 3) paviršiaus

28. Parašykite paviršiaus xy + z

+ xz = 1 liečiamosios plokštumos

lygtį, kai ji lygiagreti plokštumai χ-y + 2z = 0.
29. Įrodykite, kad sraigtinės kreivės χ = a cos t,
liestinė sudaro pastovų kampą su ašimi Oz.
χ2

40
30. Kuris paviršius - z = —
3
yra statesnis taške (4; 2; 4)?

y2
-— ar
3

2

y = a sin t,

χ2

y2
—
4

4

z = ct

z2
- -— = 1 8

Atsakymai
2. a) Plokštumos dalis tarp tiesių
y = χ ir y = -x, esanti apskritimo X2 +y2= 9 išorėje, toje
dalyje yra ašis Ox, apskritimo taškai sričiai nepriklauso; b) apskritimo X2+y2 = 4 apriboto
skritulio dalys pirmajame ir trečiajame ketvirčiuose, koordinačių ašių taškai sričiai
nepriklauso; c) plokštumos taškai, kurių abi koordinatės - sveikieji skaičiai; d) kreivinis
trikampis, apribotas parabolių
y2 =x, y2 = -χ ir tiesės y = 2, be viršūnės (0; 0).
3.0.

6.,.

9. a)

z'x = y Xy'1,

4

.. .

_

*

Jy2-X2
=

у1 + 2xy (Y2+*2)

12.

,
*

=^
У

+У

- f

cos-2

Jy2-X2

^zZ^ .

(Y2+X2)

τ- —X= — 1 . 13. z' = 2cos(x 2 +y2)
1 + (У-Х)Л2у!Х
J

20.

X+

Y

Į XV + —I , z'., = 2ucos(x2
V
V)

+ y2) \ χ -Ą-)
•
\
V2)

.

a) zmin( 1/3, 4/3)= - 7/3; b) zmin(3, 3) = 0; c) zmin( V3 , - 3) = - 6 л/з , Zmax (-V3 , -3) =

=6 S
2

cos-2

2

У

• 21. a) Zmai (2, 1) = 3. Zdidi (0, 0) = z (0, 4) = 10;

χ +y

2

b) zmai

= 0 apskritimo

=1 taškuose, Zdidi (0, 0) = 1. 23. h = r -Ji . 24. a = b = 3/4p, c = p/2.
2

25. a ) y =

0,56* + 3,45; b) y = - 1,00424 x - 2,00657 χ + 4,04321. 26. y = 11,22c- · . 27. e11 S0
28. v - x - 2 z ± VF = 0. 30. α » 76,7°, β = 65,9°.

1 25

.

INTEGRALAI, PRIKLAUSANTYS
NUO PARAMETRO

1. Tiesioginiai integralai, priklausantys nuo
parametro
1.1. Integralų, priklausančių nuo parametro, sąvoka ir
tolydumas
Nagrinėkime dviejų kintamųjų funkciją f(x,y),
apibrėžtą stačiakampyje D ={(x\y) \a<x<b; c<y<d } (156 pav.). Fiksavę vieną argumentą,
pavyzdžiui, y, turėsime vieno kintamojo funkciją f(x,y).
Jei ji tolydi
stačiakampyje D, tai egzistuoja integralas
b
I(y)=\f{x,y)dx,
a

^
χ

kuris yra kintamojo y funkcija. Šis integralas vadinamas tiesioginiu integralu,
priklausančiu nuo parametro y . Išnagrinėsime
sąlygas, kada funkcija I (y) yra tolydi.
Teorema. Jei funkcija f(x,y ) tolydi
stačiakampyje D, tai integralas I (y) irgi
yra tolydi kintamojo y funkcija atkarpoje
[c,d].

Į r o d y m a s . Imkime tašką y ( l e[c;i/] ir suteikime jam tokį pokytį Ay,
kad уо + Ay

eD.

Apskaičiuokime
b

|А/| = |/(у 0 + А у ) - / ( у 0 ) | :

b

\f{x,yo+by)dx-[/"(*')¾)^

\(f{x,yo + by)-f{x,y0))dx
a

<^\f(x,y0

=

+ Ay)-f(x,y0)\dx.

(1)

a
Kadangi funkcija / yra tolydi srityje D ,

todėl

VE>0

3δ:

|YO+Ay-YO

tai ji joje ir tolygiai tolydi,

I = I Ay | < δ => \f(x,y0+Ay)-f(x,y0)

|

b-a

Tuomet iš (1) gauname:
b
|/(уо+Ау)-/(уо)|<

jei tik

U y l < δ . Sąlyga

atkarpoje [c;d].

f—^—dx = —^—.
J b-a
b-a

= ε,

| Δ /1 < ε ir reiškia, kad funkcija I (y) yra tolydi

•

Iš šios teoremos išplaukia svarbi išvada. Kadangi funkcija I (y)

yra

tolydi atkarpoje [c; d ], tai
lim I (y)= Ify0).
y-+y0

Tačiau Ify0)=

b
\
ff(x,y0)dx=
lim f(x,y)dx,
j
^
o
a

(2)

nes funkcija f(x,y)

atžvil-

giu kintamojo y irgi tolydi taške y0. Įvertindami tai, iš (2) lygybės gauname:
b

b

lim \f(x,y)dx = I lim f(x,y)dx
'-> Vn a .
J У~+Уо
У^УО

.

Ši lygybė rodo, kad ribos ir integralo ženklus galima sukeisti vietomis, kai
f(x,y) -tolydi stačiakampyje D funkcija.

1.2. Integralų, priklausančių nuo parametro, diferencijavimas
Kalbėsime apie diferencijavimą po integralo ženklu.
Teorema. Jei funkcija

f(x,y)

ir jos dalinė išvestinė fy(x, y) yra toly-

džios stačiakampyje D, tai teisinga formulė

b
Ty =

lfy{x,y)dx,
a

kuri vadinama Leibnico
Įrodymas.

formule.

Taškui

y e [c; d]

suteikime

y+Ay e [c; d], ir apskaičiuokime santykį
AI

I (y + Ay)- / (y)

=

J

b
tf(x,y+Ay)-f{x,y)
J

pokytį

Ay,

kad

— :

1

J

tokį

\
a

.

a

-

^

Ay

a
Skirtumui f(x ,y +Ay) -f(x ,y)

pritaikome Lagranžo formulę:

f(x,y+Ay)-f(x,y)=

f'(x,y)-Ay

;

čia y yra tarp y ir y+Ay. Tuomet
b

AI
—

=\f;{x,y)dx.
a

y

Dabar imkime ribą, kai
Iim — = / ' .
Ay >0 Av

Ay-»0.

Kairėje lygybės pusėje gausime

Dešinėje lygybės pusėje sukeisime vietomis integralo ir

ribos ženklus, nes išvestinė fy (x,y)
b
I' = f Iim
Ay->0
a

yra tolydi stačiakampyje D. Gausime:

7

f'(x,y)dx.

Kai A y - > 0 , tai y —>y, taigi dėl išvestinės
Iim f'(x,y)dx
Ay-»0

7

=

tolydumo turime:

f'(x,y).

Vadinasi, galutinai
b
Ty = \fy{x,y)dx .
a

•

b
1 pavyzdys. Žinodami, kad

Г
= — arctg—
a2+ χ2
a
a

(a

,

о
apskaičiuokime

dx

.Wr

S p r e n d i m a s . Kadangifunkcija

f(x,a)

= ——a

ir jos išvestinė

+χ

f'a (x, a) yra tolydžios su visomis χ ir a Φ O reikšmėmis, tai galime taikyti
Leibnico

formulę.

Abi

parametro a atžvilgiu:
b
2a

f

2

2 2

(a +χ )

duotosios

lygybės

,
1
b
dx=—— arctg2
а
а

puses

I

O

b
2

b

л

diferencijuokime

1Ί

я3

,

Y
а

is cia
D

f

dx

1

b

b

b
ab
arctg — + 2
2a V
a
a +b2
3 1

Dabar išnagrinėkime atvejį, kai integravimo rėžiai a k
priklauso nuo parametro y , t. y.

b

irgi

b(y)
ι (y)=

J

Ąx,y)dx.

-(y)
Sakykime, kad funkcijos a (y)
ir —
dy

ir b (y)

turi tolydžias išvestines

atkarpoje [c ;d]. Pažymėkime I (y) = Ф ( у ,a (y ),b(y))

cijuokime kaip sudėtinę funkciją:
_ δΦ + ЭФ da
ду
Apskaičiuodami

да

dy

дФ
— , rėžius a
dy

+

V r

l

irdiferen-

дФ db
db dy

ir b laikome konstantomis, todėl

galime taikyti Leibnico formulę:
5 Ф

—
dy

W

δΦ
- — , naudojamės integralo su kintamu viršutiniu
db
rėžiu integravimo taisykle. Todėl
Apskaičiuodami

Г

ь(у)
\f(x,y)dx

сФ
~db

=f(b(y),y).

W-v)

Analogiškai
(Ky)
Ί
\f(x,y)dx

δΦ
да

Ш
=

J a

U(^)

)
jf(x,y)dx

-

=

~f(a(y),y)

J a

U (y)

Galutinai
ь(у)

Vy =

jf;(x,y)dx-f(a(y),y)~+f(b(y),y)^-

.

dy

a(y)

^

2 pavyzdys. Išdiferencijuokime integralą I (y) =

(3)

cosy
\\n(2x~y)dx (y > 0 ;
y

2x-y

>0).
S p r e n d i m a s . Remdamiesi (3) formule, gauname:
cosy
J
I1v = -

f

•

I v х-y
1)
2

< & - l n ( 2 y - y ) l + ln(2 cosy-y ) ( - s i n y ) =

= --ln(2 х - y )

COSV

- l n y - s i n y ln(2 cosy-y )=

= -|siny + £ ) ln(2 c o s y - y ) - y Iny .

1.3. Integralų, priklausančių nuo parametro, integravimas
b
Nagrinėkime f u n k c i j o s / ( y ) = J/(x,y)c&

integralą atkarpoje [c\d]\

a
d

d

Jb

\

\l{y)dy =
\f(x,y)dx dy.
r
J V/1
/

Π*

λ

d

b

]\\f(x,y)dx\dy=\dy\f(x,y)dx.

с
Teorema.

Jeifunkcija

f { x , y )

d

d

\l(y)dy

=

c
Įrodymas.

tolydi

stačiakampyje

b

b

\dy\f(x,y)dx

=

Ca

D ,

tai

d

\dx\f(x,y)dy

a

.

C

Įrodysime bendresnę lygybę, rėžį

d

pakeitę kintamu

rėžiu a , būtent
]dy\f(x,y)dx

=

\dx]f(x,y)dy,

(4)

kai a e [ c ; d ] . Suintegravę kairiąją ir dešiniąją pusę, gausime kintamojo
α funkcijas. Pažymėkime jas a t i t i n k a m a i ^ ( a ) ir B (a) ir diferencijuokime.
Kadangi
a

A

db
\f(x,y)dx

(a)

d y ,

J\ a
tai A ( a )

diferencijuojame kaip integralą su kintamu viršutiniu rėžiu.
b

Todėl

A'a

bus lygi pointegralinei funkcijai

j f ( x , y ) d x ,

kurioje

a
integravimo kintamasis y pakeistas viršutiniu kintamu rėžiu α . Taigi
b
A^

=

\f{x,a)dx

.

(5)

Kadangi
Va
B (a) =

(I \f(x,y)dy

dx,

J Vr

o

\f(x,y)dy

= φ ( χ , α ) , tai

B ( a ) = |φ(χ,α)ί/χ .
Vadinasi, B ( a ) turime diferencijuoti taikydami Leibnico formulę.
Todėl

Funkciją
φ (χ, α )
viršutiniu rėžiu:

diferencijuokime

φ^(χ,α) =

\f{x,y)dy

kaip integralą su

= f(x,

kintamu

a).

V
Tuomet

(6)

B

'a = \f(x,a)dx .

Palyginę (5) ir (6) lygybes, matome, kad
A'a = B'a.
Jei dviejų reiškinių išvestinės lygios, tai tie reiškiniai skiriasi konstanta,
todėl
A = B+y ;
čia γ = const. Kai α = с , tai A = O ir В = O, todėl ir γ = 0.
Vadinasi, A ir B sutampa su visomis α reikšmėmis.
Kai α = d, tai iš (4) lygybės gauname įrodomą lygybę.

•

Pavyzdys. Apskaičiuokime integralą
i
/=

Sprendimas.

i

X

F T

-X

A

Inx

dx

(0<a<b).

Tiesiogiai šio integralo apskaičiuoti negalima, nes

neapibrėžtinis integralas

P

Inx

-dx

neišreiškiamas elementariosiomis

funkcijomis. Pasinaudokime tuo, kad
xb-xa
Inx

b

= \xydy.

Tuomet

-iKK
„0

1 b
dx = Ji/x jxydy.
0

a

0

Dabar sukeiskime integravimo χ ir y atžvilgiu tvarką:
I b

b

1

Ji/x ^xydy = jdy jxydx .
Oa

a

0

1

Kadangi

χ'+ 1

y

^x dx =

y + 1O

О

tai

y+1

b
6

f

α

, 6+1
= In
я+1

2. Netiesioginiai integralai, priklausantys nuo
parametro
2.1. Tolygusis integralų konvergavimas
Tarkime,

kad

funkcija

D= |(x,y)|a < χ < +oo,c < y < i/J

f(x,y)

yra

apibrėžta

srityje

ir su kiekviena y reikšme iš atkarpos

[c;i/] egzistuoja netiesioginis integralas

I(y)=

(7)

įf(x,y)dx,

kuris vadinamas netiesioginiu
integralu,
priklausančiu
nuo
parametro.
Tokiems integralams galima taikyti ką tik išdėstytą tiesioginių integralų,
priklausančių nuo parametro, teoriją, tačiau reikia laikytis papildomų
reikalavimų.
Ypatingas vaidmuo čia tenka netiesioginio integralo tolygiojo konvergavimo sąvokai, kurią dabar ir išnagrinėsime.
+ CO

Integralas

jf(x,y)dx

vadinamas konverguojančiu taške y e

,

a
jei egzistuoja baigtinė riba
Iim

A
[f(x,y)dx=

+<»

f f(x,y)dx

= I (y),

t. y. jei
Ve > O

3A0:

A >

A1O
1

/(y)-

\f{x,y)dx < ε .

Šiame apibrėžime minimas skaičius AQ priklauso ne tik nuo ε , bet ir
n u o taško y padėties, t. y. Ao = A 0 ( e , y ) . J e M o priklauso tik nuo ε , tai
(7) integralo konvergavimas vadinamas tolygiuoju.

Taigi integralas

vadinamas tolygiai konverguojančiu atkarpoje [c;d] y atžvilgiu, jei

I(y)

1

VE > O BA0: А > A1O

Ąy)-

\f(x,y)dx < ε

su visomis y reikšmėmis iš atkarpos [c;c?].
Apskaičiuokime
A

+•»

A

A

A

+ «>

+<*>

I(y) - \f(x,y)dx = / - J = J-"- J - J = J / М * ·
α
a
a
a
A
a
A
Vadinasi, integralas / (y) atkarpoje [c;t/] konverguoja tolygiai, kai
1

Vs > 0 3 A0: A > A1O

Integralas

\f(x,y)dx

< ε , Vy e[c;d].

jf(x,y)dx

vadinamas (7) integralo

liekana.

A
Dabar suformuluosime tolygiojo integralų konvergavimo požymį, kurį
patogu taikyti sprendžiant uždavinius.
Teorema

(Vejerštraso

požymis).

egzistuoja neneigiama funkcija

g(x),

\f(x,y)\<g(x),Vx

Tarkime,

kad

intervale

[a;+oo)

sukuria
e [а;+со), Vy e [c; d].
+ 00

Tuomet, kai konverguoja netiesioginis integralas

^g(x)dx , tai netiea

OO
sioginis integralas I (y)= Jf(x,y)dx
konverguoja tolygiai ir absoliučiai.
a
Į r o d y m a s . Iš sąlygos \f(x,y)\<g(x)
turime:
HOO

+00

\f(x,y)dx<
A

+00

\\f(x,y)\dx< \g(x)dx.

A

(8)

A
+ 00

Kadangi netiesioginis integralas

Vs > 0 3 Д ) = Α0(ε):Α

^g(x)dx

> A0

konverguoja, tai

\g(x)dx < ε .

Ši nelygybė ekvivalenti nelygybei
\g(x)dx < ε ,

(9)

nes g (χ) - neneigiama funkcija. Sugretinę (8) ir (9) nelygybes, gauname:
+ OO
\f(x,y)dx

<ε

su visais y e[c;cf] . Tai ir reiškia, kad netiesioginis integralas / ( y ) konverguoja tolygiai ir absoliučiai. Teorema įrodyta.
Funkcija g ( χ ) ,

tenkinanti nelygybę

•

\f(x,y) | < g(x),

vadinama

funkcijos f(x,y)
maiorante.
Pavyzdys. Ištirkime, ar konverguoja tolygiai integralas
00
1(a) =

S p r e n d i m a s . Kadangi e

a x

+0

°
Jg(x)dx =

Integralas
konverguoja.

Tuomet

P

pagal

-dx.

<1 su visomis α ir я; reikšmėmis, tai

f dx
J — =

1

Vejerštraso

=1

vadinasi,

požymį

duotasis

jis

integralas

konverguoja tolygiai ir absoliučiai su visomis realiomis α reikšmėmis.

•

2.2. Netiesioginių integralų tolydumas, diferencijavimas
ir integravimas
Be įrodymo suformuluosime tolygiai konverguojančių netiesioginių
integralų, priklausančių nuo parametro, savybes, analogiškas įrodytoms šio
skyriaus 1.1-1.3 skyreliuose.
Kaip ir anksčiau, pažymėkime
+ 00

I (y)=

\f{x,y)dx.
a

Tarkime,
D ={(x,y)

I a<x<

kad

funkcija

+oo, c<y<d},

f{*>y)
o integralas

yra
I(y)

tolydi

srityje

atkarpoje

konverguoja tolygiai y atžvilgiu. Tuomet teisingos šios savybės.
1. Funkcija I (y)

yra tolydi kintamojo y funkcija atkarpoje [c; d j.

d
d
\l(y)dy=\dy
c
c

+ =°
jf(x,y)dx=
a

+00 d
\dx
a c

jf(x,y)dy.

Kitaip tariant, ši savybė rodo, jog du integralus galima sukeisti vietomis,
kai vienas jų integruojamas baigtiniame intervale, o kitas - begaliniame.
3. Jei funkcija f(x,y)
tenkina minėtas sąlygas ir srityje D dar turi
+ 00

tolydžią išvestinę fį(x,y),

o integralas

jfy[x,y)dx
U

atkarpoje [c;i/] kon-

verguoja tolygiai y atžvilgiu, tai funkcija I ( y ) diferencijuojama atkarpoje
[c;d] , be to,
+ 00

Ty=

\f;{x,y)dx.
a

Vadinasi, funkcijai I ( y ) galima taikyti Leibnico formulę.

2.3. Netiesioginių integralų apskaičiavimas, diferencijuojant
ir integruojant juos parametro atžvilgiu
1 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą
j* arctg
χ
arCtgX

J x(l +

dx.

(10)

x2

S p r e n d i m a s . Šį integralą apskaičiuosime, iš pradžių pakeitę jį bendresniu integralu, priklausančiu nuo parametro, be to, taip, kad (10) integralas būtų pastarojo atskiras atvejis.
Išnagrinėkime integralą
+ 00

Г - ^ Л .

/(α)-

(11)

oJ
Aišku, kad (10) integralas gaunamas iš (11), kai α = 1 .
Pirmiausia ištirkime, ar (11) integralas konverguoja. Kai α = 0 , tai
/(O) = O; taigi integralas konverguoja. Paskui (11) integralą išreikškime
netiesioginių integralų suma:
1(a)=

1 +oo
{ + J
O
1

ir pritaikykime ribinį palyginimo požymį.

Kadangi
arctg αχ
lim
χ->0

χ 1+χ
.
1

= 0,

Гх
tai pirmasis integralas konverguoja. Analogiškai kadangi
arctg αχ
lim

X(i+X'I
1

tai konverguoja ir antrasis integralas. Vadinasi, (11) integralas konverguoja.
Formaliai išdiferencijavę / ( α ) , gauname:
+ 00

f

r ,

(12)

a

Bet

l + x2

(l + a 2 x 2 ) ( l + x 2 )
o integralas
r

ίτ

dx

+ oo

π

j = arctg χ
O ~2
+χ

konverguoja, todėl (12) integralas, remiantis Vejerštraso požymiu, konverguoja tolygiai. Taigi 1(a) diferencijavimas pagrįstas.
Suintegruokime (12) integralą:
-

+

f

dx

_

Į

J (l + a 2 x 2 ] ( l + x 2 j

+

r(l + a V ) - a
J

2

( l + ^2)

2
2
(l(l++ aa22xx22))((ll +
+ x )

^

h CO

f
1-α

2

dx

J1 + χ

2 f
2

α

(arctg χ - α arctg αχ)

Jl +α

2

X

2

1-α

+ 00

O

=

1

fπ _

π

π

1

2
π

1+α
1

2

1 - α

,

kai α > O,
kai α < 0.

Integruodami pastarąjį rezultatą, gauname:
π
-ln(l + a ) + C,
1(a) =

kai α > 0,
(13)

L·
- y l n ( l - a ) + C,

kaiacO.

Kadangi /(O)=O, tai iš (13) sąryšio išplaukia, kad C = O. Galutinai
y l n ( l + a),

kaia>0,

-yln(l-a),

kaia<0.

1(a) =

Apskaičiavę / ( 1 ) =

turime:

+ 00

o x(l + x )

2

2 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą
f sin χ

(14)

dx .

J χ

S p r e n d i m a s . Tiesiogiai šio integralo apskaičiuoti negalima, nes
sinx
pirmykštė neišreiškiama elementariosiomis funkcijomis.
funkcijos
Norėdami apskaičiuoti (14) integralą, nagrinėkime bendresnį integralą
sinx

1(a)

(15)

-dx.

o
Į jį įrašius a = 0 , gaunamas (14) integralas.
• l · integralą parametro α atžvilgiu, gauname:
Formaliai išdiferencijavę (15)

+ 00

I'a
Kadangi
e

cur

Sinx < e

su

visomis

ax

. Integralas

\ e
о
χ

sin χ dx .

J e
o

reikšmėmis
ax

| sin χ | < 1

tai

Clx konverguoja, kai a > 0 . Iš tiesų

J C ax Clx =
Q

fC-axCk =

Iim

Iim ( - - e ^
a-»+ooV α

a

Todėl funkcija e m
yra funkcijos e m sin χ mažorantė.
Taigi, remdamiesi Vejerštraso požymiu, galime teigti, kad integralas
00
Ita = - je _ a j c sin xdx konverguoja tolygiai, kai a > 0 . Vadinasi, 1(a) difeo
rencijavimas parametro α atžvilgiu yra pagrįstas.
Du kartus suintegravę dalimis šį integralą, gauname:
' - - T

1

T -

1+a
Vadinasi,
/ ( a ) = -arctga+C.
+00

(16)
^

neaprėžtai didėja, tai | /(a)| < J e'^dx = — , o tai reiškia, kad
α
O
71 .
/ ( α ) - » 0 . Tuomet iš (16) lygybės gauname: C— —
Kai

α

Todėl
/(a)=|-arctga , /(0)=|.
Taigi gavome:
+ 00

i

sinx ,
π
dx = — .
χ
2

О
3 pavyzdys. Apskaičiuokime Puasono integralą
+ 00

I=

j ε~

χ2

dx.

O
S p r e n d i m a s . Šį integralą išreiškiame dviejų integralų suma:
1 +χ
/ - / • J .
O
1
Pirmasis konverguoja, nes yra tiesioginis integralas. Kadangi e

- X

2

<e

,

+ 00

kai x > l , o integralas

je~xdx
o

konverguoja, tai ir antrasis integralas,

Simonas Denis Puasonas (S. D. Poisson, 1781-1840) - prancūzų fizikas ir matematikas.

remiantis palyginimo požymiu, konverguoja. Pakeiskime kintamąjį: x = ty ,
dx=ydt.
Tuomet
+ 00
+CO
I= J e~x~dx = y J
e~'2y2dt.
O

O
_ 2

Padauginkime abi lygybės puses iš

e

y

dy

+ 00

2

ir integruokime
+00

2

y

2

[0; + oo). Gausime / 2 =

J ye~y dy J e~l y dt. Sukeitę
O
O
integralus vietomis (kad taip galima daryti, čia nepagrįsime), turėsime:
atžvilgiu intervale

+ 00 +CO
2

/=

-W
У

fdt j уе~
O

(

i\

1+i

+CO

W =

O

J
o

^
_

J

_

у'(ы>)

Ή)

+ 00

Oy

dt

4ii

dt
+ r

+ oo
π
1
— arctg?
o ~4
Kadangi I > O, tai iš čia galutinai
foo
I—
Ie-X2dx
= ^L
i
2

3. Oilerio integralai
3.1. Beta funkcija ir jos savybės
Šią funkciją apibrėžėme V I skyriaus 6.3 skyrelyje:
i
B(a,b)=
jxa~\\-x)b~]dx.

(17)

o
Ten pat įrodėme, kad ji egzistuoja, kai a>O ir b > 0 . Pirmiausia neįrodinėdami paminėsime, kad (17) integralas tolygiai konverguoja, kai a>a0,
b>b0,
kad ir kokie būtų a0 >O i r b 0 > 0 . Todėl beta funkcija yra tolydi,
kai α > 0 ir b > 0 .
Toliau išnagrinėsime keletą beta funkcijos savybių.
1. Beta funkcija yra simetriška a ir b atžvilgiu:
B(a,b) =

B(b,a).

Tuo nesunkiai įsitikintume, jei kintamąjį χ pakeistume kintamuoju
b

2. B (a,b)=

a +

Integruokime
al

dv=x dx.

'

]

B(a,fr-1), kai b>\ .

I-1.
(18)

b-1

(17)

Gausime:

integralą

dalimis,

žymėdami

ы = (I-Jt)

_ Xa(I-X)6'1
B {α,b) =
а

l , b-I1r a β„
+— j x ( l - x p V x
0
* О

=

ι
\xa(\-x)b~2dx.
а
о
Toliau, remdamiesi savaime aiškia tapatybe
xa(\-

x)b~2 = xa'\\-x)b~2

-xa~\l-

x)b-X,

gauname:
fx"" 1 (1 - x)b~2 dx-—

B(e, b ) = —
fl

fx"" 1 ( \ - x ] b X d x ,
a

O

O

arba
B(a,ft)= — B ( f l , b - 1 ) - — B (a,b);
a
a
iš čia ir išplaukia (18) formulė.
Kai b - natūralusis skaičius, pavyzdžiui, b =n , paeiliui pritaikę (18)
formulę, gauname:
Q
(
\
B (a,n)=

—
a+n-\

1

...
a+n-2

Ы[a, л\
B
1.

a+ l

Kadangi
B(a, 1 ) =

d/·(a,n)=
\
B

1
,
f xa_1c/x =
o
" ~

2

a + n — 1 a + n-2

...

1

1

.
a+\ a

/m\
(19)

Jeigu ir a - natūralusis skaičius, sakykime, a = m , tai iš (19) turime:
BK » ) - ,
<"-'" y
rt',-'»<"-'»'.
тут + \)...[m + n-2)[m + n-1)
(ш + и-1)!
Šią formulę taikysime ir tada, kai m =1, n =1, tačiau nepamiršdami,
kad O! = 1.
y
3. Kintamąjį χ pakeitę kintamuoju
, nesunkiai gautume kitą
y+1
analizinę beta funkcijos išraišką:
+ 00

/-1
J\
.
>a+hdy·
(1 + y)'
o
Beta funkcija dar vadinama pirmojo tipo Oilerio integralu.
B

(fl'b)=

3.2. Gama funkcija ir jos savybės
Taip V I skyriaus 6.3 skyrelyje pavadinome funkciją
+ CO

j Xa-1C-xCk.
o

Γ(β)=

(20)

Įrodėme, kad šis integralas konverguoja, kai a > 0 . Dabar neįrodinėdami
paminėsime, kad jis konverguoja tolygiai bet kurioje atkarpoje [c \d] , jei
0 < c < d <+oo , todėl gama funkcija yra tolydi, kai a >0 .
Pateiksime keletą jos savybių.
1. Funkcija Γ(α) turi visų eilių išvestines. Diferencijuodami paeiliui
po integralo ženklu (kad taip galima daryti, čia nepagrjsime), gauname:
+ CO

\xa~l\nxe'xdx
o

Γ'(a) =

,

+ 00

\xa~l\n2xe'xdx

Γ "(a)=
o
ir t. t.

2. Integruodami (20) integralą dalimis (u = e x,
name:
α

Γ( ) =

e~xxa

1\ +00
+ - \xae~xdx
n
β
a 0J

+ 00

dv = xa

l

dx),

gau-

= — Γ(α +1);
/Tf

is cia
Γ(β+1) = β Γ ( β ) .

(21)

Taikydami paeiliui šią formulę, turime:
Γ(α +2) = (a +1) Г(а +1) = (a +1) а Г ( a )
ir 1.1. Todėl
Γ(α + n ) = (a + n - 1)(α + n - 2)... а Γ(α).
Įrašę į šią formulę reikšmę a = 1 ir turėdami galvoje, kad
+ 00

Г(1) =

J e~xdx = 1 ,
O

gauname:
Г(л +1)= n !

(22)

3. Kadangi Г(1) = Г(2) = 1 , tai, pritaikę Rolio teoremą, galime tvirtinti, kad atkarpoje [1;2] yra taškas до , kuriame Γ'(α 0 ) = 0 . Sis taškas

yra minimumo taškas, nes visoje apibrėžimo srityje, kartu ir taške ŪQ
Γ"(α) > O.
Kai

a -» +00 , tai iš ( 2 2 ) formulės matyti, kad

formulės išplaukia, kad

Γ(α)

+oo. Iš ( 2 1 )

Γ( a ) = —

. Kadangi dėl Γ ( α ) tolydumo
a
Γ(α +1) -> Γ(1) = 1 , kai α - > + 0 , tai tuomet Γ ( α ) - » + ο ο . G a m a funk-

cijos grafikas , kai a > 0 , pavaizduotas 157 paveiksle.
G a m a funkcija dar vadinama antrojo tipo Oilerio integralu.

У

3
2
1

0

1

2

3

х

157 pav.

3.3. Gama ir beta funkcijų sąryšis
Išvesime svarbią formulę, susiejančią šias dvi funkcijas, būtent

Tuo tikslu (20) integralo kintamąjį χ pakeiskime kintamuoju x = ty
(t >0). Tuomet
+ 00

Γ(a)=ta

Jya-1^Jy,
O
+ 00

^

Jya-1C-Vdy.

=

Vietoj a įrašykime a +b , o vietoj t imkime 1 + i :
\y"+b-Xe-{U,)yd
(1 + Г

6

O

Dabar abi šios lygybės puses padauginkime iš

ir integruokime

n u o O iki +со :
+ GO /
J
o

r[a

(

+00

L\.fl-1
+ b)t

1+ ί

)

dt =

a+h
α+

+00

a

l

ya+b~le-^ydy.

\t ~ dt J
O

O

+ 00

Kadangi

f
ί α _ 1 dt
I
^Tb
J (1 +1)
O4

= B(a,b)

,

tai kairėje pusėje gauname

B(a,b) Γ ( α + b).
Dešinėje pusėje pakeiskime integravimo tvarką (kad
taip daryti galima, čia nepagrįsime). Gausime:
+ 00

B(a,b)Y(a+b)

+00

\ία'ιβ^άί

=

O
+<»
Vidinis integralas
jt^e'^dt

.

O
W α)
pagal (24) formulę lygus

o

У

Tuomet
+ 00

В(а,Ь)Г(а+Ь)=

J / ^ V ^ Щ-dy

= Γ(α) jy^e^dy

=Г(а)

O
iš čia gauname (23) formulę.

3.4. Papildinio formulė
Toliau teks pasinaudoti formule
+ 00

Xa-1

if

π
J
-dx =
+χ
sin πα

O

kurią čia pateikiame be įrodymo. Jei į anksčiau išvestą formulę

B (a, b)=

J
O

Xa-1CbC
a+b
(l + x)

vietoj b įrašytume 1-α , tai gautume:
+ 00

Β(α,Ι-α)=

Γχα-1
I
dx = ·

π

Г(Ь);

Tuomet, pritaikę (23) formulę, turime:
B(«,l-«)= M

p

^

=Г(«)Г(1-«);

iš čia ir gauname papildinio formulę
Γ(β)Γ(1-α)=Pavyzdžiui, kai a =

π
sin πα

, turime:

sin —
2
todėl
r

I TI = V^ ·

Panaudodami šią Tl — ] reikšmę, galime nesunkiai apskaičiuoti Puaч2
+ 00

f -Jt^2
sono integralą / = I e
O

.

Pakeiskime kintamąjį, pažymėdami

x

= J y . Tuomet

/ = i 7 ^ y - i y = l 7 y 2 - V ^ y

= Ir(I)

- I ^ .

3.5. Apibrėžtinių integralų apskaičiavimas naudojant
Oilerio integralus
Kai kuriuos
integralais.

apibrėžtinius

integralus

galima

pakeisti

Paminėsime, kad yra sudarytos jų reikšmių lentelės.
1 pavyzdys. Apskaičiuokime

I= f?,[hJ-dx.
o*

*

S p r e n d i m a s . Pakeitę In — kintamuoju t , gauname:
χ
+ 00

į

/ = J r V ' r f / = r ^ j «0,893.
o

•

Oilerio

2 pavyzdys. Apskaičiuokime
π
2

I= ^Jtgxdx .
о
S p r e n d i m a s . Kintamąjį tgx pakeitę kintamuoju y , gauname
i
+ CX)

/=

2
In T
V^
1+y
5

o kintamąjį y - kintamuoju
+ 00 i
I=

1

22

, turime:

[*z 4<fe _ 1 B f 3
1+z

2

Г| _ 1

V 4 ' 4/

J
o
3 pavyzdys. Apskaičiuokime integralą
π

π

ijl
_ π>

2 · π ~
sin—

:

2

I= Jsin m Xcos"xdx (m>-1,
и>-1).
о
S p r e n d i m a s . Kintamąjį sin2x pakeitę kintamuoju y , gauname:
j m
n
j m-1
n-1
I= \yJ( 1 - y)2 - 7 X
= 2\ \y~( 1 o
2VyVl-y
O
1 m+1

n+1

.

2

2

v

=

1

Π

2

+

Pavyzdžiui,
2
4

6

Jsin X cos xdx

j JΓ Ι - Ι Γ Ι = —

Г(6)

Kadangi

- r l - 1 = — Vn , Г(6) = 5! = 120,

*tai•

r

fsin
· 4xcos 6xdxj = 3π

+ 1

^

Uždaviniai
1. Apskaičiuokite ribas:
2

a) Iim \4x
α—>0,

cosaxdx;

b) Iim

i£t;

α->0

-1
1+a

f

i
dx

c) Iim
a->0) J l + x2 + a2 '

d)

Iim

J-

dx

„1 + |1 + -

2. Ar galima reiškinyje
p
Г X2Л
Γ—χ exp
^ α 2"У
J a
sukeisti vietomis ribos ir integralo simbolius?
3. Apskaičiuokite ribas:

a) Iim

fsi]
sin^ X
|J 1+χ
O

Jl

;

b)

4. Raskite funkcijos / (a) išvestinę, kai:

a)

1(a)

Γΐη(ΐ + αχ)

~ J

b) 1(a)=

dx , a > 0 ;

1+ χ

α
Plnil+
αχ)
L
I—1
dx,
J
χ
O

-oo<a<+oo;

cos α

Jea^1"*

c) 1(a)=

dx,

-oo<a<+oo;

sin a
a

d ) / ( a ) = J / ( x + a;x-a)c?x,
O

f

Hm I e ~ a i < m x d x .
a-»+oo
O

-co<a<+<x>.

5. Išdiferencijavę parametro atžvilgiu, apskaičiuokite integralus:
π
π
2
2
f I 2
2
2
2 \
farctglatgx)
1
a) J l n ^ a sin x + b cos xjdx;
b) I
-d:c;

c)ч

ι, iTiJCOsi
f Inlnil^
·

J

1 - eJCOSX
c

dx

ι i ,
, |β|<1.

COSAT

6. Įrodykite, kad integralai tolygiai konverguoja, kai α e (~co;+cc):
+QO
a)

+00

iM
I —

I c o s a * dx;
Ji

b)

-dx;

+

+00

c)

f

art

Itgay

dx.

2

7. Apskaičiuokite integralus:
+00

а)

1

fl-e_our
Г
\
dx,

J — " 1 · a>"1;
α>-1;

O

b)
b>

f
I
O

J

X

Jl^x2

jlnįl-a2*2)
C)

I

7

> -1<a<1·
+00

8. Funkcija f ( x ) tolydi, kai χ > O, o integralas J ^

j

dx konverguoja,

A
f Aay) " Л И
= / ( 0 ) I n - , kaia > 0 i r b > 0 .
J
x
a
o
9. Panaudodami 8 uždavinio rezultatą, apskaičiuokite integralus, kai
a>O ir b > 0 :
+со
+00
- ax-ax
Ie
-e Dx-bx .
fcosax-cosfct ,
o,
14
а) I
dx ,
b)
dx .
к а Ы > 0 . Įrodykite, kad

0

O

*

10. Pritaikę Oilerio integralus, apskaičiuokite šiuos integralus:
1

4
2

a) J У χ - *

\xa~\A-x)b~Xdx,

b )

0

o

1

3

a >0 , b >0 ;
π
2

d) JJC2 V^^x 2 dx \

c) JVJC-J(3dx;
O
+QO

1
e) [sin

J

0

O
1

f) J A :
O

+00

к

h)

—
O
π

+еж

2

i) jxme~x"dx,

n>0;

j)

jft^dx.

Atšalimai
4 Jl
π
1. a) — — ; b) 1; c ) — ;
3

4

b)lln(l +a2);

Ie
d) I n — ,

e+1

1
a-1

2. Ne. 3. a) 0; b)0. 4. a ) — ί — I n

c) -( e a l s i n o l sin a +^ a I cosa I cosa) + " f J T x

1

^ d x

e

,

2

;

+a

; d)/(a;-a) +

sin a

; čia u=x+a,

+2

v=x~a.

5. a) π In U

o

2

c)uarcsina.

7. a) l n ( l + a);

U-; b) — sgna l n ( l + |a|) ;
2

b) γ I n j ^ a + V l + a 2 j ; c) i c ^ V l - a 2 - l j . 8. N u r o d y m a s .

+00
Pažymėkite

F(x)=

^^-dx

ir įrodykite, kad

J^

bA
a x

)

fa

-A ) ^x - j / M ^

,

χ

T0Iiau

/4
pritaikykite integralo vidurinės reikšmės teoremą.
a+b 1

b) 4

~ B(a\b)

; c ) - ^ ;

d)

2

arba

2

„ > 1 ; h) Irfi-I ; i) I r i — 1 , —
n

VnJ

n

V

a

; e) * L . f) _ J L · . .
16

5Г i - 1

9. a) In—;

n

J

n

g)

5 sin—

>0; j ) — Ϊ — .
~
π
2 cos—
16

b)
±
m

B

In—.

a

10. a) — ;

8

i - L ; l - I ) , „ <0
V m

n )

DALYKINĖ RODYKLĖ
Abipusuškai vienareikšmė
atitiktis 21
Aibė
aprėžta iš apačios - 22
aprėžta iš viršaus - 22
aprėžtoji - 296
atviroji - 26, 296
baigtinė - 23
begalinė - 23
funkcijos apibrėžimo - 21
funkcijos reikšmių - 21
jungioji - 296
kontinuumo galios - 24
natūraliųjų skaičių -18
racionaliųjų skaičių -18
realiųjų skaičių -18
skaičioji - 23
tuščioj i -19
uždaroji - 26, 296
Aibės papildinys 20
Aibės poaibis 19
Aibių sąjunga 19
Aibių sankirta 19
Aibių skirtumas 20
Argumentas
funkcijos - 43
kompleksinio skaičiaus - 36
Asimptotė
pasviroji -166
vertikalioji -166
Atkarpa 19
Atvaizdis
abipusiškai vienareikšmis - 21
aibių - 21
Astroidė 54
Bijekcija 21
Binomas
diferencialinis - 206
Niutono -133
Binominiai koeficientai 134
Bolcano ir Vejerštraso
principas 66
Cikloidė 53

Dėsnis
de Morgano - 29
klaidingos išvados -16
negalimo trečiojo -16
neprieštaravimo -15
teisingos išvados -16
Diferencialas
antrosios eilės - 134, 323
aukštesniosios eilės - 134, 323
pilnasis - 313
pirmosios eilės -128
Diferencialo formos invariantiškumo
savybė 130,318
Diferencij avimas
apibrėžtų parametrinėmis
lygtimis funkcijų - 127,132
atvirkštinės funkcijos -120
kelių kintamųjų neišreikštinės
funkcijos - 318
logaritminis -125
sudėtinės funkcijos -120
vieno kintamojo neišreikštinės
funkcijos -125,131
Disjunkcija 14
Dvi nuostabios ribos 87
Ekstremumas
kelių kintamųjų funkcijos - 327
lokalusis -159
sąlyginis - 331
vieno kintamojo funkcijos - 158
Ekvivalenčios aibės 21
Ekvivalenčios nykstamosios
funkcijos 92
Elipsoidas
sukimosi - 298
triašis - 299
Euklido erdvė 294
Evoliutė 156
Evolventė 156
Figūros plotas 221
Formulė
daugianario Teiloro -142

determinanto
diferencijavimo -152,172
funkcijos Teiloro -143
Leibnico -134
Makloreno - 146
Muavro - 38
Niutono ir Leibnico - 231
Oilerio - 40
parabolių (Simpsono) - 241
papildinio - 374
stačiakampių - 238
trapecijų - 239
Funkcija
algebrinė - 51
apgręžiamoji - 45
aprėžtoji - 77
atvirkštinė - 44
atvirkštinė trigonometrinė - 48
beta - 283, 370
diferencijuojamoji -128, 312
Dirichlė -111
elementarioji - 50
gama - 283, 372
hiperbolinė - 64
iracionalioji - 52
kelių kintamųjų - 296
laipsninė - 45
lyginė - 44
logaritminė - 47
monotoninė - 44
neapgręžiamoji - 45
neaprėžtai didėjanti - 76
neaprėžtoji - 78
neišreikštinė -125
nelyginė - 44
nykstamoji - 79
pagrindinė elementarioji - 45
periodinė - 44
pirmykštė -177
racionalioji - 51
rodiklinė - 46
signumx- 108
skaitinė - 43
skaliarinio argumento
vektorinė -149
sudėtinė - 50
sveikoji racionalioji - 51
teiginio -16

tolydi taške - 97, 306
transcendentinė - 51
trigonometrinė - 47
trupmeninė racionalioji - 51
Funkcijos riba, kai χ
oo 74
Funkcijos riba taške 71, 303
Funkcijos tolydumo taške
sąvoka 96, 306
Funkcijų superpozicija 50
Geometrinė kompleksinio skaičiaus
interpretacija 34
Gradientas 343
Grandininė kreivė 65
Greitis
funkcijos kitimo taške - 114
funkcijos kitimo vidutinis - 113
lauko kitimo - 343
Heinės ribos apibrėžimas 72
Hiperboloidas
dvišakis - 299
dvišakis sukimosi - 299
vienašakis - 299
vienašakis sukimosi - 299
Implikacija 14
Integralas
absoliučiai konverguoj antis - 274
antrojo tipo netiesioginis - 277
apibrėžtinis - 220
elipsinis - 214, 252
neapibrėžtinis -178
nesuintegruojamas - 213
pirmojo tipo netiesioginis - 267
reliatyviai konverguojantis - 276
Integravimas
diferencialinų binomų - 206
funkcijų, kurių išraiškoje yra
kvadratinis trinaris -186
iracionaliųjų funkcijų - 201
paprasčiausių racionaliųjų
trupmenų -192
trigonometrinių reiškinių - 209
Intervalas
atvirasis - 26
uždarasis - 26

Involiutė 156
Išvestinė
antrosios eilės -130
antrosios eilės dalinė - 320
atvirkštinės funkcijos -120
dalinė - 308
determinanto - 152, 172
funkcijos -113
kryptinė - 341
mišrioji - 320
neišreikštinės funkcijos -125,
318
sudėtinės funkcijos - 120, 315
vektorinės funkcijos - 150
vienpusė - 114
Kardioidė 254
Katenoidas 65
Kaustika 157
Kompleksinio skačiaus forma
algebrinė - 31
rodiklinė - 40
trigonometrinė - 35
Kompleksinių skaičių dalmuo 32
Konjunkcija 14
Koši nelygybė 294
Koši ribos apibrėžimas 71
Kreivė
grandininė - 65
lygio - 341
sraigtinė - 149
Kreivio apskritimas 155
Krcivinė trapecija 219
Kreivės lanko ilgis 251
Kreivis
apskritimo -153
kreivės - 153
vidutinis - 153
Kriterijus
Koši funkcijos - 95
Koši sekų - 67
netiesioginio integralo
konvergavimo Koši - 270
Kryptis
greičiausio nusileidimo - 344
greičiausio pakilimo - 344
Kūgis 301

Kvantorius
bendrumo -16
egzistavimo -16
Laiptuota figūra 219
Laukas
skaliarinis - 340
vektorinis - 340
Lema
Bolcano ir Vejerštraso - 66
įdėtųjų atkarpų - 66
Lemniskatė 289
Liestinė
erdvinės kreivės -151
plokščiosios kreivės -116
Lygtys
astroidės - 54
cikloidės - 54
parametrinės apskritimo - 52
parametrinės elipsės - 53
parametrinės hiperbolės - 66
parametrinės kreivių - 52
ryšio - 331
Logaritminė spiralė 249
Maksimali santykinė paklaida
dalmens - 315
funkcijos - 315
sandaugos - 315
Menamoji kompleksinio skaičiaus
dalis 31
Metodas
gradientinis ekstremumų
paieškos - 344
integravimo dalimis - 186, 235
kintamųjų keitimo apibrėžtiniame integrale - 232
kintamųjų keitimo neapibrėžtiniame integrale -183
Lagranžo daugiklių - 332
matematinės indukcijos -18
mažiausių kvadratų - 336
neapibrėžtųjų koeficientų -197
tiesioginio integravimo -182
Modulis
kompleksinio skaičiaus - 34
realiojo skaičiaus - 25

Momentas
inercijos - 264
statinis-261, 263
Natūralusis logaritmas 64
Neiginys 16
Neapibrėžtumas 84
Netiesioginis integralas, priklausantis
nuo parametro 363
Normalė
kreivės -117
paviršiaus - 349
Oilerio keitiniai 203
Pagrindinė netiesioginio integralo
reikšmė Koši prasme 284
Paraboloidas
elipsinis - 300
hiperbolinis - 300
Paviršiaus liečiamoji plokštuma 349
Paviršiaus statumas taške 350
Paviršius
antrosios eilės - 301
cilindrinis - 302
ekvipotencialinis - 341
lygio - 340
sukimosi - 297
Plokštuma
erdvinės kreivės
normalioji - 151
paviršiaus liečiamoji - 349
Polinė koordinačių sistema 35
Polinis kampas 35
Polinis spindulys 35
Polius 35
Pokytis
argumento - 97
funkcijos - 97
pilnasis funkcijos - 310
Požymiai
funkcijos ribos egzistavimo - 86
netiesioginių integralų su
begaliniais rėžiais konvergavimo
- 270
sekos ribos egzistavimo - 61
trūkiųjų funkcijų netiesioginių
integralų konvergavimo - 279

Predikatas 16
Rėžis
apatinis - 22
tikslusis apatinis - 22
tikslusis viršutinis - 22
viršutinis - 22
Riba
dvilypė - 304
funkcijos taške - 71, 303
integralinės sumos - 220
kartotinė - 304
kelių kintamųjų funkcijos skaičių sekos - 57
vektorinės funkcijos -150
vienpusė funkcijos - 73
Ribų dėsniai 82
Sandauga
kompleksinių skaičių - 32
loginė teiginių - 14
Seka
didėjančioji - 61
konverguojančioji - 57
Koši - 67
mažėjančioji - 61
monotoninė - 61
skaičių - 55
Sekosposekis 55
Skaičius
kompleksinis - 31
menamasis - 33
Neperio - 64
transcendentinis - 63
Skaičius e 62
Skaliarinis laukas 340
Sritis 296
Sudėtinis teiginys 14
Suma
apatinė Darbu - 222
integralinė Rymano - 220
kompleksinių skaičių - 32
loginė teiginių - 14
viršutinė Darbu - 222
Svorio centro koordinatės
figūros - 262
kreivės -263

Šaknies traukimas iš kompleksinio
skaičiaus 39
Taisyklė
antroji pakankama ekstremumo
egzistavimo - 161
Lopitalio - 140
pirmoji pakankama ekstremumo
egzistavimo - 160
Taisyklingoji racionalioji
trupmena 192
Taškas
kritinis - 160, 328
maksimumo - 158, 327
minimumo - 158, 327
perlinkio (vingio) - 164
ribinis - 26, 296
sienos - 27
trūkio - 98
vidinis - 26, 296
Taško aplinka 26,295
Teiginys 13
Teorema
antroji Bolcano ir Koši - 103
antroji Guldino - 266
antroji Vejerštraso - 104
atvirkštinė - 17
atvirkštinės funkcijos
tolydumo - 104
Ferma - 135
funkcijos, jos ribos ir
nykstamosios funkcijos
ryšio - 79

Kantoro- 106
Koši -137
Lagranžo -138
Lopitalio- 139
monotoninės funkcijos ribos
egzistavimo - 86
monotoninės sekos ribos
egzistavimo - 61
pirmoji Bolcano ir Koši - 102
pirmoji Guldino - 265
pirmoji Vejerštraso -103
priešingoji -17
priešingoji atvirkštinei - 17
Rolio -136
tarpinės funkcijos ribos - 87
tarpinio kintamojo ribos - 62
tiesioginė - 17
tiksliųjų rėžių (Bolcano) - 22
vidurinės reikšmės - 228
Teoremų struktūra 17
Tiesioginis integralas, priklausantis
nuo parametro 356
Tinklelis
logaritminis - 338
pusiau logaritminis - 338
Toras 256
Traktrisė 173
Vaizdas - 21

LITERATŪRA
1.

Fichtengolcas G. Matematinės analizės pagrindai. I, II t. - V.:
Mintis, 1965.-422, 452 p.

2.

Iljinas V., Pozniakas E. Matematinės analizės pagrindai. I, II t. V.: Mokslas. 1981. - 520, 402 p.

3.

Kabaila V. Matematinė analizė. I, II t. - V.: Mokslas, 1983, 1986.
- 408, 482 p.

4.

Kubilius J. Realaus kintamojo funkcijų teorija. - V.: Mintis, 1970.
- 284 p.

5.

Matuliauskas A. Algebra. - V.: Mokslas, 1985. - 384 p.

6.

Rudinas V. Matematinės analizės pagrindai. - V.: Mokslas, 1978.
- 256 p.

7.

Rumšas P. Trumpas aukštosios
Mokslas, 1976.-559 p.

8.

Bohme G. Analysis 1. Anwendungsorientierte Mathematik. Berlin: Springer-Verlag, 1990. - 492 S.

9.

Kirkwood J.R. An Introduction to Analysis. - Boston: PWS K E N T Publishing Company, 1989. - 276 p.

matematikos

kursas. -

V.:

10. Pforr E. Α., Schirotzek W . Differential - und Integralrechnung
fur Funktionen mit einer Variablen. -Leipzig: BSB B. G. Teubner
Verlagsgesellschaft, 1990. - 244 S.
11. Бермант А. Ф . , Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. - M.: Наука, 1973. - 720 с.
12. Демидович Б. П . С б о р н и к задач и упражнений по математическому анализу. - M . : Наука, 1972. - 544 с.
13. Жевняк P. M . , Карпук А. А. Высшая математика. 4.1, II. Минск.: Вышейшая школа, 1984, 1985. - 223, 221 с.
14. Кудрявцев JI. Д. и др. С б о р н и к задач по математическому
анализу. Интегралы. Рады. - M.: Наука, 1986. - 528 с.
15. Пискунов H. С. Дифференциальное и
исчисления. Т. I. - M.: Наука, 1978. - 456 с.

интегральное

Leidyklos „ Technologija " knygas galima
užsisakyti internetu www.knygininkasJt

K A U N O TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS
Vidmantas P E K A R S K A S
DIFERENCIALINIS IR INTEGRALINIS SKAIČIAVIMAS
I dalis

Brėžiniai S. Mikalausko
SL 344. 2005-01-26. 24,25 leidyb. apsk. I. Tiražas 500 egz.
Užsakymas 375. Kaina sutartinė.
Išleido leidykla „Technologija", K. Donelaičio g. 73, 44029 Kaunas
Spausdino Standartų spaustuvė, S. Dariaus ir S. Girėno g. 39, 02189 Vilnius