/
Автор: Власов В.З.
Теги: материаловедение сопротивление материалов строительная механика избранные труды
Год: 1963
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
В. З. ВЛАСОВ
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
том
I
Тонкостенные упругие
стержни.
Принципы построения
общей технической теории
оболочек
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
МОСКВА 1963
ОТ КОМИССИИ ПО ИЗДАНИЮ СОЧИНЕНИЙ
В. З. ВЛАСОВА
Настоящее собрание сочинений выдающегося советского ученого в области
сопротивления материалов, строительной механики и теории оболочек
члена-корреспондента АН СССР Василия Захаровича Власова издается в трех томах. В первый том
сочинений включена монография «Общая теория оболочек и ее приложения в технике»,
опубликованная в 1949 г., а также ряд статей по общим вопросам теории оболочек.
Второй том содержит монографию «Тонкостенные упругие стержни» издания 1959 г.
Здесь излагается общая теория прочности, устойчивости и колебаний тонкостенных
стержней. Во второй том также включен обзорный доклад В. 3. Власова «Принципы
построения общей технической теории оболочек и новые конструктивные формы
пространственных систем», подытоживающий всю его научную деятельность. Доклад был
сделан на Втором международном конгрессе по теории оболочек в г. Осло в 1957 г.
Третий том содержит монографию «Тонкостенные пространственные системы» издания
1958 г., в которой приводятся общие вариационные методы расчета призматических
складчатых систем и оболочек.
Издание подготовлено комиссией по изданию трудов
В. 3. Власова
Состав комиссии:
Н. И. Безухов, В. В. Власов, А. А. Гвоздев,
А. Л. Гольденвейзер, А. К. Мрощинский,
О. Д. Ониашвили, И. М. Рабинович (зам.
главного редактора), В. В. Соколовский (главный
редактор), Н. С. Стрелецкий, И. С. Цурков
(ответственный секретарь).
ТОНКОСТЕННЫЕ УПРУГИЕ СТЕРЖНИ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящей книге дается общая теория тонкостенных стержней,
широко применяемых в качестве конструктивных элементов в
строительном деле, судостроении и авиастроении. По этой теории тонкостенный
стержень, имеющий в своем естественном (ненагруженном) состояниц
форму цилиндрической оболочки или призматической складки,
рассматривается как пространственная пластинчатая сплошная система,
способная в каждой точке срединной поверхности воспринимать не только
осевые (нормальные и сдвигающие) усилия, но также и моменты. В
отношении деформаций стержня вместо обычной гипотезы плоских
сечений автором принимается другая, более общая и естественная гипотеза
о недеформируемости контура поперечного сечения стержня. Эта
гипотеза вместе с гипотезой об отсутствии деформации сдвига в срединной
поверхности приводит к новому закону распределения по сечению
деформаций удлинений, именно к закону секториальных площадей,
включающему в себя как частный случай закон плоских сечений и
позволяющему определить напряжения в самом общем случае
изгибно-крутильных форм равновесия стержня.
Кроме теоретических исследований в настоящем труде приводятся
результаты экспериментальных работ по проверке настоящей теориц,
проделанных в 1938 г. научными сотрудниками ЦНИПС Д. В.
Бычковым, Н. Г. Добудогло, А. Р. Ржаницыным и С. И. Стельмахом. Более
подробное изложение экспериментальных работ и практические методы
расчета, доведенные до таблиц и графиков, будут опубликованы в
подготовляемом в настоящее время к печати специальном сборнике трудов
лаборатории строительной механики ЦНИПС.
Следует отметить, что в связи с рассмотрением тонкостенного стержнд
как пространственнойскладчатойсистемы и изучением изгибно-крутильных
форм равновесия автор вынужден был ввести ряд новых терминов,
отражающих новые понятия статического и геометрического характера,
связанные с законом секториальных площадей. Автор заранее просит
извинения у читателей за новую терминологию, которая является весьма
условной и далеко не окончательной.
В заключение автор приносит глубокую благодарность проф.
А. А. Гвоздеву, проф. И. М. Рабиновичу и проф. Н. С.1 Стрелецкому за
весьма ценные замечания и указания, данные ими при ознакомлении с
рукописью настоящей книги, а также научным сотрудникам ЦНИПС
Д. В. Бычкову, А. Л. Гольденвейзеру, А. К. Мрощинскому, Ю. В. Реп-
ману и А. Р. Ржаницыну за редактирование рукописи и проверку формул
и техникам ЦНИПС Ф. А. Перн и В. П. Синицыной за помощь, оказанную»
ими при техническом оформлении рукописи.
В. З. Власов
Москва, 1940 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание монографии «Тонкостенные упругие стержни»,
подготовленное автором спустя 18 лет после выхода в свет первого издания,
содержит ряд новых задач сопротивления материалов, строительной
механики и прикладной теории упругости. К таким задачам относятся
тонкостенные стержни-оболочки открытого профиля, подкрепленные
поперечными бимоментными связями, стержни-оболочки закрытого
профиля, претерпевающие при депланации наряду с деформацией профиля
также и деформацию сдвига, стержни сплошного сечения, бимоментная
теория предварительно напряженных стержней, бимоментная теория
температурных напряжений, равновесие стержней-оболочек при сложном
нагружении, пространственная устойчивость и колебания конструкций
типа тонкостенного стержня и др. Все эти задачи разрешены на основе
общей бимоментной теории депланации с использованием в статических
задачах вариационного метода приведения к обыкновенным
дифференциальным уравнениям.
Изложенная в монографии теория охватывает также элементы
конструкций, которые по своим размерам могут быть отнесены к категории
стержней.
Более общая теория автора, позволяющая рассчитывать сложные
пространственные системы типа цилиндрических и призматических орто-
тропных оболочек средней длины, изложена в другой нашей
монографии «Тонкостенные пространственные системы».
Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность
В. В. Власову, А. К. Мрощинскому и Ф. А. Перн за большую помощь,
оказанную ими при подготовке данной рукописи ко второму изданию.
Москва, 1958 г.
В. З. Власов
Глава I
ТЕОРИЯ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ-ОБОЛОЧЕК
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
§ 1. Классификация расчетных схем по пространственному
признаку
В современной строительной механике, понимаемой в широком смысле
слова, расчетные схемы основных элементов конструкций и сооружений
по признаку их пространственной протяженности можно разделить на
четыре класса: 1) сплошные тела, 2) пластинки и оболочки, 3) стержни
сплошного сечения и 4) тонкостенные стержни.
К первому классу относятся тела, для которых протяженность в
пространстве трех измерений по всем направлениям характеризуется
величинами одного порядка, например, шар, куб, не слишком длинный
эллипсоид или параллелепипед, сплошная упругая среда, заполняющая все
пространство или полупространство, различные детали строительных и
машиностроительных конструкций, испытывающие напряжения от
действия местных нагрузок или температуры. Решение задач об определении
напряжений и деформаций в сплошных телах, изложение точных методов
решения этих задач составляет предмет математической теории
упругости.
Ко второму классу относятся тонкостенные пространственные
системы при условии, что из трех измерений таких систем в пространстве
два выражаются величинами одного порядка, а третье, относящееся к
толщине конструкции, представляет собою малую величину относительно
первых двух. Примером таких систем являются пластины, тонкие плиты
(круглые, прямоугольные, трапециевидные и др.), оболочки,
обрисованные по какой-либо заданной поверхности (цилиндрические, конические,
сферические, эллиптические, гиперболические и др.), вообще
тонкостенные конструкции, широко применяемые в строительном деле, авиации,
судостроении, приборостроении и в других областях техники.
Общая теория пластинок и оболочек, включающая вопросы
прочности, устойчивости и колебаний, основана на геометрических
гипотезах, справедливых с известной степенью приближения для тонких
деформируемых тел. Точные и приближенные методы расчета пластинок и
оболочек составляют содержание нового, весьма обширного
синтетического раздела строительной механики, который может быть назван
строительной механикой тонкостенных пространственных систем.
К третьему классу мы относим тела, имеющие форму брусьев.
Пространственная протяженность таких тел характеризуется тем, что из трех
измерений два выражаются величинами, мало отличающимися друг от
друга, а третье по отношению к первым двум представляет собою
большую величину. Такие тела мы называем стержнями сплошного сечения.
В частности, если тело имеет форму длинного параллелепипеда, то оно
6
Тонкостенные упругие стержни
может рассматриваться как стержень сплошного сечения при условии,
что два основных размера стержня в плоскости его поперечного сечения
(ширина и высота прямоугольника) не слишком сильно отличаются друг
от друга.
При рассмотрении явлений изгиба и растяжения стержней сплошного
сечения этот основной признак пространственной протяженности тел
третьего класса позволяет ввести ряд дополнительных геометрических
гипотез. Гипотезы, определяющие упрощенную расчетную модель
стержня, заключаются, по существу, в том, что из шести компонентов
тензора деформации стержня как пространственного тела при поперечном
изгибе и продольном растяжении сохраняется только деформация
удлинения в направлении, параллельном оси стержня. Остальные пять
компонентов тензора деформации принимаются равными нулю. Следствием
этих чисто геометрических гипотез является, как нетрудно показать,
закон плоских сечений, лежащий в основе элементарной теории изгиба
балок. Согласно этому закону поперечные сечения стержня, плоские до
деформации, остаются плоскими и после деформации.
При рассмотрении явления кручения исходят из так называемой
теории чистого кручения, основанной на гипотезах об отсутствии
деформаций удлинений и сдвига в плоскости поперечного сечения и
деформаций удлинений в продольном направлении. Эта теория позволяет
определять в стержне одни только касательные напряжения,
возникающие на площадках поперечного сечения стержня.
Элементарная теория растяжения (сжатия), изгиба и чистого
кручения составляет общую техническую теорию стержней сплошного
сечения, основанную, по существу, на применении к таким стержням
принципа Сен-Венана. Согласно этому принципу и указанным гипотезам
внутренние силы поперечного сечения стержня в самом общем случае
упругой деформации стержня приводятся к одной равнодействующей,
определяемой как вектор в пространстве тремя компонентами силы и
тремя компонентами момента. Замена этой равнодействующей какой-
либо другой системой сил, статически ей эквивалентной, не
сопровождается изменением напряженного и деформированного состояния
расчетной модели, принимаемой для стержня сплошного сечения.
К расчетным схемам третьего класса относятся и всякого рода
стержневые системы (плоские, пространственные, статически определимые
и статически неопределимые), элементами которых являются стержни,
работающие при изгибе по закону плоских сечений и при кручении по
теории чистого кручения, т. е. в основном стержни сплошного сечения.
Теория и методы расчета таких систем, по существу, и составляют
содержание старых курсов строительной механики стержневых систем.
К четвертому классу расчетных схем элементов конструкций и
сооружений относятся тела, представляющие собой длинные призматические
или цилиндрические оболочки, характеризующиеся тем, что
протяженность их в пространстве по всем трем основным измерениям выражается
величинами разных порядков: толщина оболочки представляет собой
малую величину по сравнению с каким-либо характерным размером
поперечного сечения, а этот размер должен быть малым по сравнению
с длиной оболочки. Такие тела названы автором тонкостенными
стержнями. Примером тонкостенных стержней являются широко
применяемые в строительных конструкциях металлические прокатные, сварные
или клепаные балки, колонны, отдельные элементы ферм и рам и т. д.
Многие строительные сооружения, работающие как пространственные
системы, по своим относительным размерам могут быть отнесены к
конструкциям типа тонкостенных стержней. К таким сооружениям, в
частности, относятся некоторые типы балочных и арочных мостов с достаточ-
Гл. 1. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 7
но жесткими поперечными связями, висячие мосты с проезжей частью
корытного или двутаврового профиля, конструкции длинных
железобетонных ребристых, цилиндрических и призматических
сводов-оболочек, бункеров, трубопроводов и т. д. В авиации и в судостроении к
тонкостенным стержням следует отнести металлические стрингеры, шпангоуты,
отдельные элементы конструкции самолета, корабля.
Специфическая особенность тонкостенных стержней состоит в том,
что эти стержни, как пространственные системы типа оболочек, могут
при кручении испытывать деформации продольных удлинений, а
следовательно, и пропорциональные этим деформациям продольные
нормальные напряжения, приводящиеся в каждом поперечном сечении к
системе самоуравновешенных продольных сил. Эти, не рассматриваемые в
теории чистого кручения дополнительные продольные нормальные
напряжения, возникающие вследствие относительной депланации сечения,
могут достигать весьма больших значений в тонкостенных стержнях
открытого (жесткого или деформируемого) профиля, а также и в стержнях
закрытого деформируемого профиля.
В заключение отметим, что изложенная здесь классификация
элементов конструкций и сооружений по пространственному признаку, несмотря
на выделение пространственных систем типа тонкостенных стержней
в новый самостоятельный класс, является далеко не
исчерпывающей1.
Эта классификация скорее носит качественный характер,
определяемый гипотезами, лежащими в основе расчетных схем каждого класса.
Резкой границы между расчетными схемами описанных выше
элементов конструкций указать нельзя. Одна и та же конструкция, в
зависимости от условий ее работы под внешней нагрузкой, характера задачи
строительной механики, относящейся к этой конструкции, степени
точности, предъявляемой к расчету, может быть перенесена из одного
класса в другой. Так, например, тонкЪстенный стержень, обладающий в
поперечном сечении жестким закрытым профилем, при изгибном кручении
во многих случаях может быть отнесен к категории стержней сплошного
сечения. Возникающие в таком стержне дополнительные продольные
нормальные напряжения носят местный характер и в соответствии с
принципом Сен-Венана по длине стержня затухают весьма быстро. Если
же тонкостенный стержень в поперечном сечении обладает закрытым
гибким (деформируемым) профилем, то такой стержень следует
рассматривать как тонкостенную пространственную систему типа длинной
цилиндрической или призматической оболочки и учитывать в нем дополнительные
напряжения, связанные с депланацией сечения и обусловленные
деформацией изгиба стержня-оболочки в поперечном направлении.
Точно так же при решении некоторых специальных задач по теории
стержней сплошного сечения приходится учитывать дополнительные
факторы, связанные с депланацией таких стержней, и пользоваться, по
существу, вариационными методами теории тонкостенных стержней,
распространяя и обобщая эти методы в своей физической концепции на
стержни сплошного сечения. К таким задачам относится, например,
задача о напряжениях и деформациях рельса, балки прямоугольного
сечения, балок и плит, лежащих на упругом основании, и др.
1 В курсах строительной механики основные расчетные схемы конструкций и
сооружений по пространственному признаку обычно делятся на следующие три класса:
1) сплошные тела; 2) пластинки и оболочки; 3) стержни и стержневые системы. К
последнему классу с давних пор безоговорочно относят также и тела, называемые нами
тонкостенными стержнями и составляющие, по существу, новый класс конструкций
и сооружений, принципиально отличающихся от стержней сплошного сечения.
8
Тонкостенные упругие стержни
§ 2. Основные гипотезы. Расчетная модель.
Изгибное кручение
1. Общая теория тонкостенных стержней, обладающих в поперечном
сечении открытым жестким или закрытым деформируемым профилем, была
разработана автором на основе
данной им ранее общей технической
теории ортотропных
цилиндрических и призматических полу-
безмоментных оболочек.
Рассмотрим тонкостенную
пространственную
конструкцию типа цилиндрической или
призматической оболочки,
имеющей в поперечном сечении
произвольно заданное
очертание и состоящей из конечного
числа тонких узких пластинок,
как плоских, так и
криволинейных (рис. 1). Будем считать,
что составляющие данную
оболочку пластинки жестко
соединены вдоль ребер так, что в
каждой точке ребра устраняется
всякого рода подвижность
одной пластинки по отношению
к другой, соседней с ней.
Пусть б — толщина
оболочки, d — какой-либо
характерный размер поперечного сечения
(ширина или высота
профиля), I — длина. При относительных размерах, выражающихся
величинами порядка
4<0,1; 4<<М,
Рис. 1.
мы относим рассматриваемую конструкцию к категории длинных
цилиндрических оболочек. Такие оболочки, независимо от формы и
геометрических размеров профиля, мы назвали тонкостенными стержнями.
2. В нашей теории тонкостенных стержней, как и в общей теории
оболочек, существенную роль играет так называемая срединная
поверхность стержня-оболочки, т. е. поверхность, проходящая
через середины толщин пластинок, образующих данный стержень.
Срединная поверхность тонкостенного прямого стержня, состоящего в общем
случае из плоских пластинок и цилиндрических оболочек, относится к
классу цилиндрических поверхностей. Прямые линии, параллельные оси
стержня и принадлежащие срединной поверхности, представляют собою
образующие этой поверхности. Плоская кривая, получающаяся от
пересечения срединной поверхности с плоскостью Р, перпендикулярной к
образующим, называется направляющей. Иногда мы будем называть ее
профильной линией.
Приняв образующие и направляющие за координатные линии, мы
будем иметь взаимно ортогональную систему координат, позволяющую
на срединной поверхности однозначно определить положение любой
точки. Текущие координаты какой-либо точки М по образующей и на-
Гл. 1. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 9
правляющей мы будем в дальнейшем обозначать соответственно через z
и ^ (рис. 2).
За начало отсчета координаты z может быть принята любая
плоскость, перпендикулярная к оси (соответственно — образующей) стержня.
Мы обычно будем принимать за начальную плоскость—плоскость,
совпадающую с торцом стержня-оболочки. На рис. 2 начальной будет
наиболее удаленная от
наблюдателя плоскость Р0, а
положительным направлением координаты z
будем считать 'направление от
начальной плоскости к
наблюдателю. За начало отсчета координаты
^ может быть принята любая
образующая. Мы обычно будем
принимать за начало отсчета
образующую, лежащую в плоскости
симметрии (в случае симметричных
профилей), или образующую,
совпадающую с продольным краем
какого-либо элемента профиля
стержня.
3. Как известно, для стержня,
находящегося в условиях
растяжения (сжатия), изгиба или кручения, существенными являются нормальные
и касательные напряжения, возникающие на площадках поперечного
сечения стержня. Эти напряжения представляют собой те расчетные
статические величины, по которым, определяются основные размеры
конструкции. Нормальные же напряжения, возникающие на площадках
продольного сечения и действующие параллельно касательной к
профильной линии, в работе тонкостенного стержня как пространственной
системы не играют существенной роли.
Предложенная автором теория стержней открытого профиля построена
на следующих геометрических гипотезах:
а) тонкостенный стержень открытого профиля рассматривается
как оболочка, обладающая в плоскости поперечного сечения жестким (не-
деформируемым) профилем,
б) деформация сдвига срединной поверхности, характеризующаяся
изменением прямого угла между координатными линиями z = const,
s=const, принимается равной нулю.
Считая профиль стержня жестким, мы тем самым постулируем, что
напряжения (нормальные и касательные), возникающие на площадках
поперечного сечения стержня, не изменятся от замены одной внешней
поперечной нагрузки, приходящейся на элемент стержня, заключенной
между сечениями z = const и z + dz = const, другой нагрузкой, статически
эквивалентной первой. Другими словами, мы полагаем, что при внешней
нагрузке,,действующей в плоскости поперечного сечения и
приводящейся к системе сил, статически эквивалентной нулю для каждого
элементарного поперечного диска, стержень ведет себя как жесткое тело и,
следовательно, нормальные и касательные напряжения по площадкам
поперечного сечения стержня от этой нагрузки равны нулю.
Действительно, пусть на тонкостенный стержень открытого
профиля, имеющий на концах жесткие поперечные диафрагмы, действует
поперечная нагрузка, состоящая из двух взаимно уравновешенных
поперечных сил Q, приложенных в двух разных точках произвольно
выбранной поперечной элементарной полоски (рис. 3, а). Такого рода
нагрузка в упругом стержне с деформируемым профилем вызовет попереч-
40
Тонкостенные упругие стержни
ные изгибающие моменты, а также поперечные и нормальные усилия по
площадкам продольного сечения стержня. Крайние вертикальные
пластинки, к которым приложены поперечные силы (?, будут претерпевать
каждая в своей плоскости деформацию изгиба, связанную, как нетрудно
.видеть, с деформацией профиля стержня. Вследствие такой деформации
продольные ребра тонкостенного
стержня согласно нашей общей
теории призматических и
цилиндрических оболочек получат деформацию
продольных удлинений. Этим
деформациям в упругом стержне будут
соответствовать нормальные
напряжения по площадкам поперечного
Рис. 3.
Рис. 4
сечения стержня. Нормальные напряжения в свою очередь вызовут в
пластинках стержня касательные напряжения, определяемые из условий
равновесия элемента стержня-оболочки. Эти напряжения, как нормальные,
так и касательные, в рассматриваемом случае нагружения стержня
находятся в прямой зависимости от деформаций, характеризующих
изменение формы и геометрических размеров профиля стержня.
Если эти деформации положить равными нулю, т. е. рассматривать
стержень как оболочку, усиленную жесткими поперечными диафрагмами,
то в таком стержне взаимно {уравновешенная поперечная нагрузка не
совершит никакой работы. Профиль стержня остается неизменным, и,
следовательно, в поперечных сечениях стержня напряжения будут равны нулю.
Принимая вторую гипотезу об отсутствии деформации сдвига, мы
тем самым считаем, что координатные линии z = const, s = const,
ортогональные до деформации, остаются ортогональными и после деформации,
т. е. пренебрегаем изменением прямого угла между этими линиями как
геометрическим фактором, не имеющим вследствие своей малости
существенного значения для напряжений в тонкостенном стержне-оболочке
открытого профиля.
4. Обобщая сказанное выше, мы приходим к выводу, что при
определении нормальных и касательных напряжений о и т, возникающих
только на площадках поперечного сечения стержня-оболочки, внешняя
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 11
поперечная нагрузка, состоящая из какого угодно числа сил,
приложенных в разных точках профильной линии сечения z = const, может быть
заменена в той же плоскости z — const одной, статически
эквивалентной ей силой, имеющей вполне определенную линию действия (рис. 3, б, в).
Эта равнодействующая, определяемая в общем случае как погонная
поперечная нагрузка (нагрузка, приходящаяся на поперечную полосу
единичной ширины), не может быть перенесена в другое положение
параллельно самой себе. Перенос поперечной нагрузки из одной продольной
плоскости действия в другую, ей параллельную, сопровождается
изменением напряженного и деформированного состояния тонкостенного
стержня. Поперечные нагрузки; представленные на рис. 4 и действующие на
свободном конце консольной двутавровой балки, вызывают в этой балке
различные напряженные состояния. Нагрузка, показанная на рис. 4, а,
вызовет деформацию изгиба. Нагрузка, показанная на рис. 4, б, вызовет
изгибно-крутильные деформации; нагрузка же, показанная на рис. 4, в
и действующая в плоскости одной только полки, вызовет в балке сложное
деформированное состояние, которое по принципу независимости
действия сил может быть получено путем наложения двух состояний:
изгибного (рис. 4, а) и изгибно-крутилъного (рис. 4, б).
Изгибное состояние описывается законом плоских сечений. В этом
состоянии обе полки двутавровой балки испытывают одинаковую
деформацию изгиба: верхние волокна полок растянуты, нижние — сжаты.
Изгибно-крутильное состояние относится к явлению изгибного или
стесненного кручения, т. е. такого кручения, при котором отдельные
продольные элементы стержня (пластинки) наряду с кручением
испытывают также и изгиб. В поперечных сечениях, помимо касательных
напряжений, возникают и нормальные напряжения. Состояние изгибного
кручения в нашей теории описывается уже другим законом,
принципиально отличным от закона плоских сечений. В рассматриваемом примере
изгибно-крутильное состояние характеризуется тем, что полки
двутавровой балки, имеющей на одном конце жесткую заделку, в результате
кручения испытывают изгиб каждая в своей плоскости, причем этот изгиб для
обеих полок происходит в противоположных направлениях. При нагрузке,
показанной на рис. 4, б, крайние верхние волокна полки, расположенной
справа, испытывают растяжение, а нижние — сжатие; крайние же
верхние волокна левой полки испытывают сжатие, а нижние — растяжение.
В результате такой деформации поперечные сечения двутавровой балки
уже не остаются плоскими.
Искривление плоского поперечного сечения, обусловленное
продольными перемещениями точек сечения из его плоскости, называется депла-
нацией сечения.
В случае изгибного кручения депланация стержня сопровождается
возникновением в поперечных сечениях не только касательных, но
также и нормальных напряжений. В каждом поперечном сечении стержня
нормальные напряжения приводятся к новой обобщенной силе,
представляющей собой систему взаимно уравновешенных продольных
усилий. Назовем эту обобщенную силу продольным бимоментом стержня.
В рассматриваемом примере бимомент состоит из изгибающих моментов
полок балки, имеющих в любом поперечном сечении одинаковые
значения и разные знаки.
5. Теория пространственных изгибно-крутильных форм равновесия
тонкостенного стержня основана, по существу, на отказе от гипотезы
плоских сечений и от трактовки стержня как одномерной упругой
модели, для которой граничные условия могут быть заданы только в смысле
принципа Сен-Венана. Принципиальное отличие этой теории от
элементарной теории изгиба балок состоит в том, что она основана на гипотезах,
12
Тонкостенные упругие стержни
позволяющих рассматривать явление изгибного кручения стержня как
кручение тонкостенной пространственной системы типа оболочки с
учетом фактора депланации сечения.
Если в отношении перемещений в плоскости поперечного сечения
элементарный диск стержня, заключенный между плоскостями z = const
и z+dz = const, для принятых гипотез рассматривается как жесткое
тело, то в отношении перемещений из плоскости сечения этот диск нами
рассматривается как изменяемое, деформируемое тело. Точки какого-
либо сечения z=const стержня наряду с перемещениями, определяемыми
законом плоских сечений, могут получать также и дополнительные
продольные перемещения, связанные с депланацией сечения. Вследствие
этой депланации внешняя продольная нагрузка, состоящая из сил,
приложенных в точках какого-либо поперечного сечения z = const стержня, в
отличие от поперечной нагрузки, не может быть заменена какой-либо
другой статически эквивалентной ей системой продольных сил. Всякая
замена продольной нагрузки другой, статически ей эквивалентной,
равносильна загружению стержня дополнительной взаимно
уравновешенной продольной нагрузкой. Такая нагрузка, будучи приложена к
стержню, рассматриваемому в свете элементарной теории изгиба балок^
не вызовет дополнительных деформаций и напряжений, поскольку
поперечные сечения, согласно этой теории, остаются плоскими.
Уравновешенная же продольная нагрузка, приложенная в контурных точках
поперечного сечения тонкостенного стержня, может вызвать депланацию
сечения. В результате такой депланации в поперечных сечениях стержня
возникнут дополнительные нормальные напряжения, приводящиеся в
сечениях z — const к внутреннему продольному бимоменту. Этот бимомент,
по мере удаления от сечения, в точках которого приложена внешняя
взаимно уравновешенная продольная нагрузка (внешний бимомент),
согласно принципу Сен-Венана будет затухать. Однако степень этого
затухания в значительной мере зависит от относительных геометрических
размеров и структуры поперечного сечения стержня. Для стержня
сплошного сечения, а также для тонкостенного стержня, имеющего в
поперечном сечении жесткий закрытый профиль, депланация сечения,
вызываемая внешней продольной взаимно уравновешенной нагрузкой, носит
местный характер. Эта депланация, а также и связанные с ней внутренние
напряжения по мере удаления от места приложения нагрузки быстро
затухают. В случае же тонкостенного стержня открытого профиля
депланация сечения, вызванная действием продольной взаимно
уравновешенной нагрузки и относящаяся к изгибному кручению, по мере
удаления от места приложения нагрузки, как правило, затухает весьма слабо.
Для такого стержня внутренние бимоментные напряжения и связанная
с этими напряжениями деформация изгибного кручения являются весьма
существенными факторами. Применение принципа Сен-Венана к расчету
тонкостенного стержня на действие внешней нагрузки, вызывающей
кручение, может привести к грубой ошибке. Поясним это примером. На
рис. 5, а изображена консольная двутавровая балка, нагруженная на
свободном конце внецентренно приложенной продольной силой Р. Такая
сила, согласно элементарной теории изгиба балок, заменяется
статически-эквивалентной ей системой продольных усилий, вызывающих
центральное растяжение и чистый изгиб в главных плоскостях.
Продольная нагрузка, вызывающая только растяжение, показана на рис. 5, б.
Продольные нагрузки, вызывающие только чистый изгиб, показаны на
рис. 5, в и г. Каждая из этих нагрузок представлена продольными силами,
приложенными в четырех крайних точках профиля балки и имеющими
по абсолютной величине одинаковые значения, равные -т-.
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 13
В случае центрального растяжения продольная нагрузка является
•симметричной относительно обеих главных осей сечения Ох и Оу.
В случае чистого изгиба в главной плоскости Охъ продольная нагрузка
будет симметричной относительно оси Ох и кососимметричной
относительно другой оси Оу. В случае чистого изгиба в другой главной
плоскости Oyz продольная нагрузка имеет симметричное расположение
относительно оси Оу и кососиммет-
ричное относительно оси Ох.
В этом разложении,
проделанном в соответствии с моделью
плоского сечения, недостает еще
одного компонента заданной
нагрузки, а именно — системы
четырех продольных сил (величина
Р V
каждой равна -г-)» имеющих
относительно обеих осей кососиммет-
ричное расположение (рис. 5,9).
Такая нагрузка приводится к двум
равным по величине и
противоположным по знаку изгибающим
моментам, действующим в плоскостях
полок двутавра и вызывающим
изгиб этих полок в противоположных
направлениях. Вследствие такого
изгиба поперечные сечения
двутавровой балки будут претерпевать
депланацию, которая по мере
удаления от места приложения
нагрузки будет затухать тем медленнее,
чем тоньше стенка двутавра. В
результате такой чисто бимомент-
ной продольной нагрузки, т. е.
нагрузки, статически
эквивалентной нулю, тонкостенный стержень
будет испытывать деформацию
кручения. Таким образом, явление
кручения стержня может иметь
место не только при действии
поперечных крутящих сил (моментов),
но также и при действии одних
только продольных сил. Это
явление для тонкостенного стержня открытого профиля находится в тесной
связи с депланацией сечения и по этой причине не может быть изучено
методами элементарной теории изгиба балок, основанной на гипотезе
плоских сечений, выражающей по существу применение к этим балкам
как к стержням сплошного сечения принципа Сен-Венана.
Рис. 5
§ 3. Перемещения и деформации. Закон секториальных площадей.
Обобщение гипотезы плоских сечений
1. Осью стержня в сопротивлении материалов обычно называют
линию центров тяжести площадей поперечных сечений. В дальнейшем
всякую прямую в пространстве, параллельную этой оси, условимся
называть произвольной осью стержня. Пусть произвольная ось стержня
пересекается с плоскостью его поперечного сечения z = const в точке О
14
Тонкостенные упругие стержни
(рис. 6). Отнесем поперечные сечения стержня к прямоугольной системе
координат Оху с началом отсчета в точке О; оси Ох и Оу ориентируем так,
чтобы они вместе с положительным направлением третьей оси Oz
образовывали левовинтовую систему координат1. Координаты х и у
произвольной точки М профильной линии тонкостенного стержня представляют
собой вполне определенные функции независимой переменной s.
Рис. 6
2. Предположим, что тонкостенный стержень-оболочка претерпевает
какую-либо деформацию. В результате этой деформации произвольная
точка М срединной поверхности стержня займет в пространстве новое»
положение. Наша задача заключается в определении перемещений точек
срединной поверхности стержня, поскольку ими характеризуется
деформированное состояние стержня.
Остановимся сначала на поперечных перемещениях, т. е. на
перемещениях в плоскости поперечного сечения стержня. Согласно первой
геометрической гипотезе о жестком профиле деформация стержня
происходит так, что форма профиля и все геометрические размеры этого
профиля в плоскости поперечного сечения остаются неизменными, т. е. на
поперечное сечение стержня в отношении перемещений в этой плоскости
можно смотреть как на абсолютно жесткое тело, положение которого*
определяется тремя независимыми величинами, отвечающими трем
степеням свободы диска на плоскости.
Подобно тому, как это делается в кинематике твердого тела, мы будем)
определять поперечные перемещения точек сечения z = const через
перемещение некоторой произвольно выбранной точки А, взятой в этом
сечении, и угол поворота всего сечения относительно этой точки. При этом,
если точка А не принадлежит профильной линии, то считается, что она
жестко связана с ней.
Пусть ах и ау — координаты точки A, a £(z) и r\(z) — проекции
полного перемещения этой точки А на оси координат Ох и Оу соответственно.
Этими проекциями как функциями от z определяется пространственная
кривая, в которую после деформации переходит связанная со стержнем
произвольная ось стержня с координатами х = ах, у = ау (рис. 7). Пусть
0(z) есть угол поворота сечения z — const в плоскости Оху относительно
той же точки А. Этим углом как функцией от z определяется угол
закручивания стержня по длине. Угол закручивания 0(z) мы будем считать
положительным, если, смотря на сечение z = const против направления
оси Oz, мы видим, что оно поворачивается по часовой стрелке.
1 Система координат называется левовинтовой, если для наблюдателя,
смотрящего на плоскость Оху против направления оси Oz, совмещение оси Ох с осью Оу
происходит путем поворота оси Ох на 90° по часовой стрелке.
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 15-
Обозначая перемещения какой-нибудь точки В поперечного сечения?
стержня по направлению осей Ох и Оу соответственно через Ев и т)в и
заменяя по малости угла 9 дугу окружности отрезком касательной к этой
окружности, получим для этих перемещений следующие выражения
(рис. 7):
1в = I — (by — ay)
г\в = г\ + (Ьх
- ау) е, \
-ах)В4
(3.1)
где Ъх и Ьу — координаты точки В.
При малых величинах £(z), T](z) и 8(2) перемещение профиля стержня
в плоскости поперечного сечения можно рассматривать как вращение
вокруг точки, называемой мгновенным центром вращения. Положение*
этого центра в плоскости Оху определится
из условия его неподвижности.
Совмещая произвольную точку В с мгновенным
Рис. 7
Рис. 8
центром вращения, мы должны перемещения £в и Лв этой точки
приравнять нулю. Формулы (3.1) примут вид:
Ьу-ау)в = 0Л
Ьх - ах) в = 0.)
1-(Ъу-ау)В = 0,\
г) + (Ьх
(3.2)
где Ьх и by теперь обозначают координаты мгновенного центра вращения.
В дальнейшем мгновенный центр вращения будем называть центром
кручения. Из уравнений (3.2) получаем формулы для координат центра
кручения:
Ьх = <Ь — тг > )
I (3*3)
Ьу = йу + -§- • J
Уравнениями (3.3) определяется в общем случае пространственная
кривая, которая может быть названа линией центров кручения.
Положение центра кручения, в отличие от центра тяжести сечения,
зависит от деформации стержня, а следовательно, и от внешней нагрузки,
вызывающей эту деформацию.
3. Полное перемещение произвольной точки М срединной
поверхности стержня-оболочки есть векторная величина, определяемая в
пространстве тремя компонентами.
За эти компоненты мы примем:
1) продольное перемещение и; это перемещение будем считать
положительным, если оно направлено в сторону возрастания переменной z:
16
Тонкостенные упругие стержни
2) поперечное тангенциальное перемещение г;, направленное по
касательной к профильной линии; при положительном значении это
перемещение направлено в сторону возрастания переменной s;
3) поперечное нормальное перемещение до; положительное
направление этого перемещения определится из условия того, что перемещения
и, v и до при положительных значениях образуют левовинтовую систему
координат (см. рис. 6).
Все три перемещения будут в
общем случае функциями двух
независимых переменных z и s.
Рис. 9
Рис. 10
Остановимся на определении поперечных перемещений v и до. Их
нетрудно найти из формулы (3.1), которая для произвольной точки
профильной линии М с текущими координатами хну примет вид:
Is = I - (у - оу) ел
Лв = л + (х — ах) в, /
(3.4)
где £s и r\s — перемещения точки М по направлению осей Ох , Оу.
Обозначив угол, образуемый касательной к профильной линии в
точке М с осью Ох, через а и проектируя £8 и tjs на направление
касательной (рис. 8), получим для тангенциального перемещения v (z, s)
выражение:
v (z, s) = £s cos a + r)ssin a. (3.5)
Аналогично получим выражение для нормальной составляющей до (z, s)
полного перемещения:
w(z, s) = T|s cos a — £s sin a. (3.6)
Подставляя в (3.5) и (3.6) вместо £s и tis их выражения по
формуле (3.4), будем иметь:
v (z, s) = £ cos a + Ti sin a + [(x — ax) sin a — (y — ay) cos a] 0, | « _
w (z, s) = — £ sin a + ti cos a + [(x — ax) cos a + (y — ay) sin a] 6. j
Из рис. 9 видно, что
(х — ах) sin a — (у — ау) cos а = h (s),
(х — ах) cos a + (у — ay) sin a = t (s),
(3.8)
где A (s) и £(s) — длины перпендикуляров, опущенных из точки А
соответственно на касательную и нормаль к профильной линии в' точке М,
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 17
Воспользовавшись равенствами (3.7) и (3.8), мы можем выражения
для v(z, s) и w(z, s) представить в более компактном виде:
v (z, s) = I (z) cos a (s) + т) (z) sin а ($) + 6 (z) h (s), (3.9)
w{z,$) = —l (z) sin a($) + x\ (z) cos a (s) + 6 (z) t (s). (3.10)
В формулах (3.9) и (3.10) последние слагаемые определяют
перемещения, происходящие вследствие поворота всего сечения относительно
точки А. При малом угле поворота каждое из этих перемещений, как зто
следует из кинематики твердого тела, определяется как произведение
угла поворота на длину перпендикуляра, опущенного из точки А как
из центра вращения на прямую, проходящую через точку М в
направлении искомого перемещения.
Определим теперь продольное перемещение и (z, s) точки М,
возникающее вследствие деформации срединной поверхности и направленное из
плоскости поперечного сечения стержня. Это перемещение мы можем
найти на основании второй гипотезы об отсутствии деформации сдвига
срединной поверхности.
Деформация сдвига в общем случае определяется как относительное
изменение прямого угла, заключенного между координатными линиями
$ = const иг = const, возникающее при переходе оболочки в
деформированное состояние. Эта деформация для цилиндрической оболочки
обусловливается перемещениями и = u(z, s) и v = v(z, s).
На рис. 10 показаны тангенциальные (происходящие в
соответствующих касательных плоскостях) перемещения для четырех точек М, а,
Ь, с элементарного прямоугольника поверхности. Зная перемещения
всех четырех точек выделенного прямоугольника, мы можем определить
интересующую нас деформацию сдвига. Эта деформация в точке М по
определению равна сумме углов а, [}, на которые после деформации
поворачиваются стороны Ма и Mb элементарного прямоугольника.
Обозначая деформацию сдвига через у, будем иметь:
ди , dv /п л л\
Полагая для тонкостенного стержня открытого профиля деформацию
сдвига равной нулю, мы можем написать:
£+£ = 0, (3-12)
Так как перемещение v(z, s) нам уже известно, — оно определяется
формулой (3.9), — то мы можем теперь найти продольное перемещение
u(z, s). Решая уравнение (3.12) относительно искомой функции u(z, $),
будем иметь:
м
u{z,s) = l(z)- jj ~ds. (3.13)
Mi
Здесь £ (z) — некоторая произвольная функция, зависящая только от
координаты z и представляющая продольное перемещение точки Ми
служащей нач#1ОД отсчета координаты $. Интеграл в правой части
равенства (3.13V ^Шчйсляется вдоль профильной линии по переменной s в
пределах от *«наага*)й точки Mi до той точки М, для которой определяется
неремешД^&е ЭД£, $). '
18
Тонкостенные упругие стержни
Дифференцируя равенство (3.9) по переменной z и умножая обе части
этого равенства на ds, получим:
-£ds = £' (z) cos a (s) ds + r\' (z) sin a (s) ds + 6' (z) h (s) ds. (3.14)
Из рис. 11 имеем:
cosa«ds = dxy\
sinoc-ck = dy, \ (3.15)
/*.ds = dco.J
В этих формулах ds представляет собой дифференциал дуги
профильной линии; dx, dy — дифференциалы декартовых координат,
соответствующие элементу ds профильной линии; d(o — удвоенная площадь
элементарного треугольника (сектора), основанием которого служит дифференциал
Рис. 11 Рис. 12
дуги ds, а высота определяется длиною перпендикуляра /г, опущенного
из точки А на касательную в точке М к профильной линии.
Внося выражения (3.14) и (3.15) в правую часть равенства (3.13) и
выполняя интегрирование, получим:
и (2, s) = £ (z) - I* (z) х (s) - Т|' (z) у (s) - 6' (Z) 0) (*), (3.16)
где x(s), y(s) — декартовы координаты точки М\ co(s) — удвоенная
площадь сектора, ограниченного отрезком дуги М\М профильной линии
и двумя прямыми AMi, AM, соединяющими концы этого отрезка с
точкой А (рис. 12). Эта площадь автором названа векториальной.
Площадь ©(5), как и координаты x{s), y(s), входящие в формулу (3.16),
для данной профильной линии при выбранных точках А и Mi
представляют собой вполне определенную функцию от координаты s. Точку А мы
называем полюсом секториальных площадей, а точку Mi —
векториальной начальной точкой.
Прямая A Mi, служащая началом отсчета секториальных площадей
и соединяющая полюс А с какой-либо выбранной на профильной линии
точкой Mi, может быть названа неподвижным радиусом-вектором.
Прямую A Mi, соединяющую полюс А с переменной точкой М, т. е. с точкой,
для которой вычисляется площадь co(s), будем называть подвижным
радиусом-вектором.
Секториальную площадь будем считать положительной, если
описывающий ее подвижной радиус-вектор AM при взгляде против
направления оси Oz вращается по часовой стрелке.
На рис. 13 дана эпюра секториальных площадей, построенная для
профиля, показанного на рис. 6. Ординаты cd(s), выражающие собой в
некотором масштабе секториальные площади, на правом криволинейном
участке профиля при принятом правиле знаков имеют положительные
Гл, /. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 19
значения. Для левого же участка профиля эти ординаты будут
отрицательными. На прямолинейных участках профильной линии секториаль-
ные площади всегда представляются прямолинейными (в общем случае
трапецеидальными) эпюрами, поскольку площадь <o(s) на таком участке
в функции от координаты s
всегда представляется линейным
законом.
Формулой (3.16) представлен
общий закон для продольных
перемещений u(z, s) тонкостенного
стержня оболочки, имеющего в
поперечном сечении открытый
профиль. Этот закон может быть
сформулирован следующим образом: Рис- 13
Продольные перемещения u(z, s)
по сечению z = const тонкостенной
открытой оболочки цилиндрической или призматической формы при
отсутствии деформации изгиба контура поперечного сечения и
деформаций сдвига срединной поверхности складываются из перемещений,
зависящих линейно от декартовых координат точки на линии контура, и
перемещений, пропорциональных секториальной площади.
*~г
Рис. 14
Первыми тремя слагаемыми формулы (3.16) выражен закон Бернул-
ли — Навье, согласно которому поперечные сечения, плоские до
деформации, остаются плоскими и после деформации. Продольные перемещения,
определяемые суммой первых трех членов формулы (3.16), возникают
в результате сложной деформации растяжения и изгиба в двух
плоскостях: Oxz и Oyz. Функция £(z) определяет осевую деформацию; поперечные
сечения при этой деформации получают только поступательные смещения
вдоль образующей стержня. Функции l(z) и t](z), представляющие собой
прогибы произвольной оси стержня х = ах, у = av в продольных
плоскостях Oxz, Oyz (рис. 14), характеризуют деформации изгиба. При этой
деформации поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются
относительно осей Ох, Оу, лежащих в плоскости поперечного сечения.
20
Тонкостенные упругие стержни
Последним, четвертым членом формулы (3.16) определяется та часть
перемещений, которая не следует закону плоских сечений и возникает
в результате кручения. Это отклонение от закона плоских сечений
назовем векториальной депланацией сечения. Эта депланация представлена
законом секториальных площадей.
Величина 6' (z) = -т- , представляющая собой относительный угол
кручения, служит мерой депланации сечения. Эту величину мы будем в
дальнейшем называть депланацией стержня при кручении. Продольное
перемещение какой-либо точки М срединной поверхности, возникающее
вследствие одной только деформации кручения, равно взятому со знаком
минус произведению из депланации 0'(z) на секториальную площадь со (s),
имеющую полюс в точке А плоского поперечного сечения и начало
отсчета в точке М\ профильной линии.
Заметим, что при определении продольных перемещений u(z, s) мы
не пользовались гипотезой плоских сечений. Закон Бернулли —Навье,
выражающий эту гипотезу и лежащий в основе современной
элементарной теории изгиба балок, представляет собой частный случай закона,
выраженного формулой (3.16).
4. Зная перемещения точек срединной поверхности оболочки, мы
можем теперь найти и деформацию этой поверхности в любой ее точке М.
В дальнейшем нас будет интересовать продольная деформация г = e(z, s),
определяемая как относительное удлинение линейного элемента dz,
проходящего через какую-либо точку М поверхности и направленного
параллельно образующей этой поверхности. Это удлинение определяется
% ди 1
как отношение разности продольных перемещении и + -^— dz и и двух
соседних точек а и М к длине элемента dz исходной (недеформированной)
поверхности (см. рис. 10):
в = £. (3.17)
Дифференцируя, согласно (3.17), равенство (3.16) по продольной
координате z, получим общую формулу, также четырехчленную, для
относительного продольного удлинения:
z(z,s) = t'(z)-r(z)x(s)-rf(z)y(s)-e"(z)<u(s). (3.18)
Формула (3.18) показывает, что относительные продольные
удлинения e(z, s) на профильной линии z = const складываются из удлинений,
зависящих линейно от координат z(s), y(s) точки профильной линии и
подчиняющихся закону плоских сечений, и удлинений, распределенных
вдоль профильной линии по закону секториальных площадей и
возникающих вследствие депланации сечения.
Формула (3.18) носит общий характер и позволяет для данного
тонкостенного стержня по заданным четырем функциям £(z), £(z), r\(z), 0(z)
определить деформацию продольного удлинения в любой точке
срединной поверхности. Эта формула также является обобщением известной в
сопротивлении материалов формулы для деформаций удлинений,
возникающих при осевом растяжении и изгибе балки, и получающейся из
закона плоских сечений.
5. Формула (3.18) показывает, что любая цилиндрическая
поверхность, рассматриваемая как срединная поверхность тонкостенного
стержня, может испытывать деформации даже в предположении, что очертание
•этой поверхности в плоскости ее поперечного сечения остается
неизменным и деформация сдвига отсутствует. Деформация этой поверхности
характеризуется тем, что ее образующие (линии s — const) получают от-
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 21
яосительные удлинения, и эти удлинения в разных точках поверхности
могут принимать разные значения.
Исследуем теперь вопрос о том, может ли поверхность испытывать
деформации, если предположить, что относительное продольное
удлинение во всех точках поверхности (при любых значениях координат z и s)
равно нулю. Другими словами, можно ли цилиндрической поверхности
сообщить какую-либо деформацию, рассматривая эту поверхность в
свете принятых ранее двух геометрических гипотез и считая ее также
нерастяжимой и в продольном направлении.
Для решения этой задачи мы должны, очевидно, положить е = О,
Из формулы (3.18) получаем:
С (z) - Г (z) х (s) - л" (z) у (s) - 6" (z) со (s) ^ 0. (3.19)
Так как равенство (3.19) должно выполняться при любом значении
переменного s и функции 1, x(s), у($), а>($) линейно независимы между
собой \ то мы приходим к уравнениям:
С (*) = 0; Г (z) = 0; rf (*) = 0; 0" (z) = 0.
Интегралы этих уравнений будут иметь вид:
£ (*) = Со» )
£(*) = 6о + &.|
*|(*) = Ло + Ло2,{
6 (z) = % + %z. )
Здесь постоянные интегрирования рассматриваются как произвольно
заданные величины. Из этих величин £0, £0, т)0 представляют собой
поступательные перемещения начального сечения z = 0 по трем взаимно
перпендикулярным направлениям; £0', г\0\ 60 — угловые перемещения того
же сечения z = 0 относительно трех взаимно перпендикулярных осей;
6 0' — обобщенное перемещение, относящееся также к сечению z-Ои
представляющее собой депланацию этого сечения.
Легко видеть, что шесть независимых величин £0, £<,, т)0, |'0, т^, 9$
соответствуют шести степеням свободы поверхности, рассматриваемой
в пространстве как жесткое тело. Эти величины мы можем исключить
из рассмотрения, поскольку они относятся к перемещениям поверхнрсти
как жесткого тела и, следовательно, не оказывают никакого влияния
на деформацию поверхности. Мы можем поэтому для начального сечения
положить равными нулю поступательные перемещения £0, £0, ц0 й
угловые перемещения £'0, г\0, 0. У нас остается еще одна произвольная
величина — депланация 6^, характеризующая, согласно (3.16), искажение
поперечных сечений поверхности по закону секториальных площадей.
Из последней формулы (3.20) следует, что депланация 6^ заданная
в сечении z = 0, сопровождается деформацией кручения стержня. Эта
деформация, определяемая как относительный угол закручивания, для
тонкостенного стержня с нерастяжимой срединной поверхностью
остается постоянной по длине стержня (не зависит от координаты z)
9 = 0^ = const.
1 Условие линейной независимости функций 1, х (s), у (s), со (s) состоит в том, что на
заданном интервале изменения независимой переменной s ни одна из этих функций
не может быть получена как линейная комбинация остальных трех функций.
(3.20)
22
Тонкостенные упругие стержни
Мы видим, что всякая нерастяжимая цилиндрическая или
призматическая поверхность, имеющая в поперечном сечении жесткий контур,
может испытывать деформацию, и эта деформация характеризуется углом
кручения 0(z) =6^2, пропорциональным координате z с коэффициентом
пропорциональности Э0, представляющим собой секториальную деплана-
цию начального сечения z = 0#
Такого рода деформация рассматривается в теории чистого
кручения тонкостенного стержня, т. е. кручения, при котором в поперечных
сечениях стержня возникают одни только касательные напряжения, и
эти напряжения как величины, пропорциональные деформации
кручения 6'= в^, по длине стержня остаются постоянными.
Таким образом, как теория изгиба, так и теория чистого кручения
тонкостенных стержней, рассматриваемые в сопротивлении материалов,
в отношении деформаций представляют собой частный случай нашей
общей теории, описываемой законом секториальных площадей и
построенной на гипотезах о неизменяемости формы профиля тонкостенного
стержня и отсутствии деформаций сдвига в срединной поверхности стержня-
оболочки.
Гипотезы Бернулли — Навье, лежащие в основе элементарной теории
изгиба балок, и гипотезы Сен-Венана, относящиеся к задаче о чистом
кручении стержня, являются частными случаями наших более общих
геометрических гипотез, позволяющих расширить рамки современного
сопротивления материалов и рассмотреть ряд новых задач по прочности,
устойчивости и колебаниям тонкостенного стержня, рассматриваемого
как пространственная система типа цилиндрической или призматической
оболочки с жестким профилем.
§ 4. Закон плоских сечений — частный случай закона
секториальных площадей
1. Выше мы отметили, что в самом общем случае деформации
тонкостенного бруса относител ьные удлинения, определяемые формулой (3.18),
в поперечном сечении z = const складываются из удлинений, определяемых
из закона плоских сечений, и удлинений, меняющихся по дуге кснтура
согласно закону сектор иальных площадей.
Эпюра удлинений e(z, $) по сечению z = const получается путем
наложения четырех эпюр, из которых одна остается постоянной по дуге
профильной линии, вторая и третья соответственно пропорциональны
расстояниям от данной точки контура до осей координат Ох и Оу,
четвертая определяется секториальной площадью, имеющей полюс в точке А.
Мы получаем таким образом для продольных деформаций е четыре
различных выражения в функции дуги $.
Однако можно показать, что для тонкостенных профилей,
обладающих недеформируемым контуром сечения, изменение деформаций е в
функции дуги $, выраженное формулой (3.18), может быть представлено
одним только законом секториальных площадей. Из этого закона, как
частный случай, вытекает закон плоских сечений, лежащий в основе
обычной теории изгиба балок.
Закон секториальных площадей можно сформулировать следующим
образом:
Для тонкостенного стержня с жестким профилем, находягцегося
одновременно в условиях растяжения (сжатия), изгиба и кручения,
относительные продольные удлинения е = e(z, $) в поперечном сечении z = const
меняются по закону секториальной площади, имеющей полюс и начало
отсчета в определенных точках сечения.
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 23
Прежде чем перейти к доказательству этого положения, выведем
формулу преобразования секториальной площади при переносе полюса
и начала отсчета.
Пусть cda и о)/) — соответственно секториальные площади, имеющие
полюсы в точках А и D (рис. 15). Для дифференциалов этих площадей
мы имеем формулы:
dcoA = (х — ах) dy — (у — av) dx,
d(dz> = (х — dx) dy — (у — dv) dx,
где ax и ay — координаты точки А;
dy — координаты точки D; х и у — к
наты контурной точки М.
Из формул (4.1) получим выра
для дифференциала разности секто]
ных площадей:
Рис. 45
d (соА — (oD) = (ау — dv) dx — (ax — dx) dy. (4.2)
Интегрируя обе части равенства (4.2) и выражая со а через со#,
получим:
Юа = «л + К — dv) я — (ах — dx) У + С, (4.3)
где С — произвольная постоянная, зависящая от начала отсчета секто-
риальных площадей.
Обозначая через х0 и у0 координаты точки, от которой отсчитывается
дуга $, и считая, что эта точка служит также началом отсчета секториаль-
ных площадей соА и cd.d, т. е. полагая, что при$ = 0 секториальные площади
<&а = <*>d = 0, получим для постоянной интегрирования С выражение:
С = —(ay — dy) х0 + (ах — dx) у0. (4.4)
В формуле (4.4) постоянная С выражена координатами начальной
точки М0, которая может быть выбрана пока совершенно произвольно.
Внося выражение (4.4) в формулу (4.3), получим искомую
зависимость между со а и сох>:
«А = <ол + (dy — dv) (х — х0) — (ах — dx) (у — у0). (4.5)
Перейдем к доказательству сформулированной выше теоремы.
Деформированное состояние стержня, как видно из формулы (3.18),
определяется функциями £, £, т) и 0. Функция £, как было уже сказано выше,
представляет собой продольные перемещения, одинаковые для всех точек
поперечного сечения; £ и г| — проекции на координатные плоскости Охг
и Oyz пространственной кривой, в которую после деформации стержня
переходит прямая, параллельная образующей цилиндра и
проектирующаяся на плоскость Оху в точку А с координатами ах и ау; 0 — угол
закручивания, зависящий также от z. При заданных функциях £, |, г\ и 0
относительные удлинения е определяются формулой (3.18), в которой
<&($) обозначает секториальную площадь, имеющую полюс в точке А.
Переходя от полюса А к полюсу D и заменяя a>(s) по формуле (4.3) через
<о#, получим выражение для е:
в = С - CV - [£" + К - dy) в"] х - h" - К - dx) (Г] у - G'W (4.6)
Произвольные величины С, dx и dy подберем так, чтобы в формуле
(4.6) обратились в нуль деформации, зависящие линейно от координат
} (4.1)
dx и
оорди-
жение
риаль-
24
Тонкостенные упругие стержни
точки сечения. Для определения величин С, dx и dy получаем следующие
уравнения:
С - Св" = 0, )
у{-{ах-йх)Ъ" = 0Л (4.7)
r + (ay-dy)^ = 0.
Из этих уравнений находим:
w »
в
4 = а*-^,[ (4.8)
<*v = «у + |у
Формула (4.6) при выполнении условий (4.7) принимает следующий
вид:
е = — в" (z) coD (z, 5), (4.9)
что и доказывает нашу теорему. Здесь секториальная площадь cdd(z, $)
в общем случае деформации стержня зависит уже от двух переменных
zh$, поскольку координаты полюса этой площади dx, dy и величина С,
определяющая, согласно уравнению (4.4), начальную точку отсчета сек-
ториальной площади, являются функциями от z.
Точку D, служащую полюсом для секториальной площади сор, мы
в дальнейшем условимся называть секториальным центром депланации.
Эта точка, как видно из формул (3.3) и (4.8), в общем случае деформации
стержня не совпадает с центром кручения В.
Совпадение точек В и D получается в том случае, когда прогибы | и т)
точки А и углы закручивания в удовлетворяют уравнениям:
в в* ' ев"' ( V)
Уравнения (4.10) удовлетворяются, например, в случае деформации
стержня по закону тригонометрической функции. Так, если перемещения
£, у\ и 0 заданы в виде
£ = £0 sin A,z, t] =5 т)0 sin Xz, в = в0 sin A,z,
где £о, ti0, 0О и А, — постоянные величины, то уравнения (4.10)
удовлетворяются при любом z:
6 — 6" 6о - C°nSt'
-3- = -31 - Ж - const
6 — 6" — 6о ~COnSt-
векториальный центр депланации D в этом случае совпадает с центром
кручения В:
dx = Ьх = ах — -^- , )
воо [ (4.11)
Координаты точек D ъ В, как видно из формул (4.11), не зависят от z.
Этими координатами определяется прямая, параллельная оси z и
служащая в рассматриваемом случае синусоидальной деформации осью
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 25
кручения стержня. Поперечные сечения стержня, оставаясь в своей
плоскости неизменяемыми, при деформации поворачиваются
относительно оси кручения на угол 6 =0О sin A,z, меняющийся по длине стержня по
закону sin %z.
Закон секториальных площадей, выраженный формулой (4.9),
является общим законом для относительных удлинений е тонкостенного
стержня, обладающего в поперечном сечении жестким контуром.
Если же деформация стержня такова, что 6" = 0, а £" и rf отличны
от нуля, то центр депланации, как видно из формул (4.8), лежит в
бесконечности. Закон секториальных площадей в этом случае вырождается
в закон плоских сечений; прямая, соединяющая центр изгиба с начальной
точкой отсчета секториальной площади, переходит в так называемую
нейтральную ось сечения; деформации удлинений е в сечении z = const
меняются пропорционально расстоянию от нейтральной оси.
Закон, сформулированный нами для относительных удлинений, будет
справедлив также и для продольных перемещений и. Четырехчленную
формулу (3.16) для перемещений и можно тем же способом привести к
одночленному виду:
U = —в' (z)(ue (Z, S).
Здесь перемещения и уже определяются одним только законом
секториальных площадей. Координаты полюса Е, который мы назовем секто-
риальным центром абсолютной депланации, будут:
av+ "Г-,
(4.12V
Начальная векториальная точка определится из условия:
С = f. (4.13)
Сравнивая формулы (4.12) и (4. 13) с формулами (4.8), мы видим, что
в общем случае деформации центр депланации и центр абсолютной
депланации не совпадают, начальные секториальные точки — различные
точки.
2. Рассмотрим геометрический способ построения секториального
центра депланации. Предварительно заметим, что эпюра относительных
удлинений для поперечного сечения стержня полностью определяется
четырьмя ординатами. Действительно, пусть хи у\ — координаты четырех
точек профиля стержня, в которых заданы относительные удлинения е^
и пусть (D| (i = 1, 2, 3, 4) — секториальные площади, отвечающие зтим
точкам. Подставляя эти величины, взятые для каждой точки, в
формулу (3.18), получим систему четырех алгебраических уравнений
относительно неизвестных £', £", г\'\ 6\ Если точки хи у% выбраны так, что
определитель
1 Ху ух COjl I
11 хг у2 со2
11 ^зУз^з
1 s4 уА со4
(4.14).
отличен от нуля, то для неизвестных £', |", г\" и 6" получаются
определенные значения, и эпюра относительных удлинений для поперечного^
сечения стержня может быть построена.
26
Тонкостенные упругие стержни
Если же точки хи у% выбраны так, что определитель (4.14) равен нулю,
то система уравнений становится несовместной, и эпюру относительных
удлинений построить нельзя.
Отметим два случая обращения в нуль определителя (4.14):
1) Определитель обращается в нуль, если все четыре точки лежат
л а одной прямой. Действительно, разлагая определитель по элементам
последнего столбца, мы будем иметь множителями при со^ (i = 1, 2, 3, 4)
нули, так как эти множители представляют собой площади
треугольников, вершины которых лежат на одной прямой.
2) Определитель обращается в нуль, когда три точки лежат на одном
прямолинейном участке профиля стержня. В самом деле, эпюра
относительных удлинений на прямолинейном участке меняется по закону
прямой, следовательно, определяется на этом участке двумя ординатами.
Рассмотрим тонкостенный стержень открытого профиля, состоящий
из узких прямоугольных пластинок. Поперечное сечение стержня и эпюра
относительных удлинений показаны на рис. 16. При построении секто-
риального центра депланации мы будем исходить из эпюры
относительных удлинений для части профиля, составленной из отрезков 1—2.
3—4, 5—6, поскольку эпюру относительных удлинений для всего
поперечного сечения стержня можно определить четырьмя ординатами,
заданными в точках 2, 2, 3, 4 (рис. 16).
Отметим на рис. 16 три точки: М0, М0, М0, в которых относительные
удлинения равны нулю. Точки М0 и М*0 принадлежат профилю, точка М0
получается продолжением прямолинейных отрезков 1—2 и Г—2' до
взаимного пересечения. Проведем далее прямую М0 — М0. Эта прямая
является нейтральной осью для части стержня 1—2—5— Л/0,
поскольку относительные удлинения для этой части профиля пропорцией
на льны расстояниям до прямой М0 — М0.
Покажем, что эпюру относительных удлинений для части сечения
стержня 1—2 — 5 — М0 можно рассматривать как секториальную
площадь, полюс которой выбран в произвольной точке К прямой,
проходящей через точку 5 и параллельной М0 — М'0, а начальная секториальная
точка взята в М0. Убедимся в том, что для точки М'0 секториальная
площадь равна нулю. Действительно, секториальная площадь в M'Q
представляется разностью удвоенных площадей треугольников КМ05 и KM'J),
так как для первого из них секториальная площадь положительна
(радиус-вектор вращается по часовой стрелке), а для второго —
отрицательна (радиус-вектор вращается против часовой стрелки). Но площади
этих треугольников равны: они имеют общие высоты К — L и основания
К — 5. Поскольку в точке M'Q секториальная площадь равна нулю, а
на участке о — М0 эпюра меняется по закону секториальной площади,
то наше утверждение доказано.
Точно так же доказывается, что прямая М0 — M"Q является
нейтральной осью для части профиля 3 — 4 — 6 — М0 и что эпюра
относительных удлинений для этой части меняется по закону секториальной площади
с полюсом, взятым в произвольной точке К' прямой, параллельной
М0— M"Q и проходящей через точку #, й начальной точкой М0.
Продолжив прямые К — 5ylK' — б до взаимного пересечения, найдем
секториальный центр депланации — точку D. Относительное удлинение
в поперечном сечении нашего стержня будет меняться по закону
секториальной площади с полюсом в точке D и начальной секториальной
точкой М0.
3. Рассмотрим стержень, состоящий из одного или нескольких,
связанных между собой пучков узких прямоугольных пластинок. Попереч-
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 27
ное сечение такого стержня, состоящего из одного пучка, показано на
рис. 17.
Для любого пучка справедливо следующее утверждение:
В пределах пучка относительные удлинения меняются по поперечному
сечению по закону плоских сечений.
Для доказательства этой теоремы достаточно показать, что секториаль-
ная площадь с полюсом и началом отсчета в произвольных точках
поперечного сечения в пределах этого пучка меняется по закону плоскости.
Для удобства рассуждений возьмем
начальную секториальную точку в
центре пучка — точке А. Полюс секториаль-
ной площади выберем в произвольной
точке К поперечного сечения стержня
(рис. 17).
W
Рис. 16
Рис. 17
Проведем прямую линию через эти точки. Прямая АК будет
нейтральной осью пучка А, поскольку секториальные площади для точек пучка
пропорциональны расстояниям от этих точек до прямой АК.
Следовательно, в пределах пучка секториальная эпюра меняется по закону плоскости,
что и доказывает теорему.
Следствием нашей теоремы является следующее утверждение:
тонкостенный стержень, состоящий из одного пучка прямоугольных весьма
тонких пластинок, не испытывает депланации. Его поперечные сечения,
плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
§ 5. Зависимость между напряжениями и деформациями
До сих пор мы рассматривали тонкостенный стержень с чисто
геометрической точки зрения. Исходя из гипотезы о недеформируемости
контура сечения и считая, что деформации сдвига срединной
поверхности равны нулю, т. е. что координатные линии z = const и $ = const
после деформации остаются взаимно ортогональными, мы получили
общий закон (3.18) для продольных деформаций.
Однако формула (3.18) не дает еще вполне определенного выражения
для деформаций е, поскольку в ней функции £(z), £(z), tj(z) и B(z)
неизвестны.
Такая кинематическая неопределенность происходит вследствие того,
что нами совершенно не использованы статические условия, а именно,
условия равновесия упругого тела, получившего определенную
деформацию. Задача становится вполне определенной, если к кинематическим
условиям, выразившимся для деформаций е в законе секториальных
площадей, добавить статические условия и использовать физическую
зависимость между напряжениями и деформациями, представленную
законом Гука.
28
Тонкостенные упругие стержни
С переходом стержня в деформированное состояние в нем возникнут
внутренние силы упругости. Эти силы в поперечном сечении z == const
представляются нормальными и касательными напряжениями.
Из всех напряжений, возникающих в поперечном сечении стержня,
в нашей теории, относящейся к стержням, состоящим из тонких
пластинок, учитываются нормальные напряжения, действующие по
направлению образующей срединной поверхности, и касательные напряжения,
направленные по касательной к профильной линии; касательные же
напряжения, направленные по нормали к профильной линии, в нашей
теории, как величины весьма малые, принимаются равными нулю.
В дальнейшем будем считать, что нормальные напряжения по толщине
стенки стержня остаются постоянными, касательные же напряжения
по толщине стенки меняются по линейному закону (рис. 18, а, б).
Рис. 18
Исходя из этих статических гипотез, относящихся к напряжениям,
действующим в поперечном сечении стержня, мы тем самым заранее
полагаем равными нулю так называемые продольные изгибающие
моменты, возникающие вследствие неравномерного распределения
продольных нормальных напряжений по толщине стенки стержня1.
Нормальные напряжения поперечного сечения, по умножении их на
толщину стенки, статически приводятся к одним только нормальным
усилиям, действующим по направлению образующей срединной
поверхности.
Касательные же напряжения приводятся к сдвигающим силам,
действующим по направлению касательной к дуге контура (рис. 18, в), и
крутящим моментам. Сдвигающие силы получаются из общей
трапецеидальной зпюры касательных напряжений путем выделения
прямоугольной зпюры с ординатой, равной полусумме ординат в крайних точках
эпюры. Крутящие моменты возникают вследствие разности касательных
напряжений в крайних точках стенки. Эти моменты статически
эквивалентны касательным напряжениям, меняющимся по толщине стенки
по закону кососимметричной треугольной зпюры и принимающим в
крайних точках стенки значения, равные полуразности крайних ординат
трапеции (рис. 18, г).
Таким образом, напряженное состояние стержня в плоскости
поперечного сечения может быть выражено через нормальные напряжения
a(z, s)y средние касательные напряжения t(z, $) и крутящие моменты.
Касательные и нормальные напряжения t(z, $) и a(z, s) рассматриваются
как функции двух переменных z и $. Крутящие же моменты, приходящиеся
на единицу длины и зависящие от разности касательных напряжений в.
крайних точках стенки, мы будем приводить к крутящему моменту Hk(z)>
1 Расчет тонкостенных стержней с учетом продольных изгибающих моментов»
приведен в § 14 гл. II.
Гл. /. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 29
распространенному на все поперечное сечение. Этот момент будет
функцией одной переменной z.
Условимся относительно знаков этих величин. Элементарная площадка
поперечного сечения будет считаться положительной, если внешняя
нормаль к этой площадке направлена в сторону положительных значений
координаты z (рис. 19). Напряжения,
действующие в какой-либо точке этой
площадки, будем считать
положительными, если они направлены в
сторону возрастания координат
точки срединной поверхности оболочки
(рис. 19). Крутящий момент
условимся считать положительным, если
со стороны положительной площадки
он вращает поперечное сечение по
часовой стрелке.
Пользуясь физической
зависимостью между напряжениями и
деформациями стержня, мы можем определить напряжения а,
Нк через деформации.
Согласно закону Гука относительные удлинения элемента срединной
поверхности стержня по двум взаимно перпендикулярным направлениям
^представляются в следующем виде:
Рис. 19
т и момент
}
Si =£-(01 — 116), J
(5.1)
тде бив! — относительные удлинения стержня в продольном и
поперечном направлениях; о и ai — нормальные напряжения, соответственно
по площадкам поперечного и продольного сечений; Е — модуль упругости
(при растяжении); \i — коэффициент Пауссона.
Согласно гипотезе о недеформируемости контура мы должны
деформацию удлинения ei дуги контура положить равной нулю:
Si — |ха = О,
юткуда
<3i = \ie. (5.2)
Внося выражение (5.2) в первую из формул (5.1), получим:
1 — |а*
Е
а.
(5.3)
Формулой (5.3) устанавливается зависимость между продольными
относительными удлинениями е и нормальными напряжениями а. Эту
зависимость мы можем представить и в такой форме:
о = Exef
(5.4)
где через Е\ обозначен приведенный модуль упругости продольного
растяжения:
*i = f4jp- (5-5)
В дальнейшем мы будем пренебрегать величиной [i2 по сравнению
•с единицей и считать Ei = Е.
30
Тонкостенные упругие стержни
Подставив значение е из формулы (3.18) в формулу (5.4), получим-
общий закон распределения нормальных напряжений а = a(z, s):
а = Е (£' - ?х - т|"У - в'ю). (5.6)
Согласно этому закону нормальные напряжения а получаются в
результате наложения напряжений, распределенных по сечению z = const по
закону расстояний от некоторой прямой, и напряжений, меняющихся
в зависимости от дуги $ по закону секториальных площадей. Как и в
случае деформаций е, закон распределения напряжений а по сечению
z = const может быть представлен секториальной площадью a)(z, s) с
полюсом в центре депланации. Действительно, на основании формул (4.9) и
(5.4) имеем:
а (2, $) = — EQ" (z) (x>D (z, $).
Формула (5.6), как мы видим, является обобщением известной в
сопротивлении материалов трехчленной формулы, относящейся к продольному
нормальному напряжению в стержне, испытывающем одновременно
осевую деформацию и деформацию изгиба в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях. Четырехчленной формулой (5.6) утверждается, что в
поперечных сечениях тонкостенного стержня, помимо напряжений,
обусловленных растяжением и изгибом стержня и распределенных по сечению
z = const по закону плоских сечений (то есть зависящих от координат
х и у линейно), могут возникать также продольные нормальные
напряжения, определяемые законом секториальных площадей.
Отличие нашей теории от теории так Называемого чистого кручения
состоит именно в том, что закон секториальных площадей,
представленный общей четырехчленной формулой (5.6), позволяет определить
нормальные напряжения при кручении стержня, которые в теории Сен-Венана,
относящейся к чистому кручению, принимаются равными нулю.
Определим теперь крутящий момент Ни. Этот момент, как уже
отмечалось выше, возникает в поперечном сечении вследствие
неравномерного распределения касательных напряжений по толщине стенки стержня
и относится к случаю чистого кручения стержня. Из теории чистого
кручения, т. е. кручения, при котором в поперечном сечении возникают одни
только касательные напряжения, для крутящего момента имеем
выражение
Hk = G/d9', (5.7)
где G — модуль упругости при сдвиге; 6' — производная от угла
закручивания; Jd — момент инерции при чистом кручении, вычисляемый для
тонкостенных складчатых профилей по формуле:
/d=|2dS3, (5.8)
причем d и б — соответственно ширина и толщина пластинок, из которых
состоит стержень, a — эмпирический коэффициент, близкий к единице.
Нам осталось теперь определить касательные напряжения. Заметим,
что нормальное напряжение a(z, $), представленное формулой (5.6), мы
определили, используя для упругого стержня зависимость (5.4) и считая,
следовательно, это напряжение пропорциональным соответствующей
ему деформации удлинения. При определении же среднего касательного
напряжения t(z, s), показанного на рис. 18, в, мы не можем
воспользоваться аналогичным уравнением упругости, поскольку в нашей теории
деформация сдвига, вызываемая касательными напряжениями, по малости
принята равной нулю.
Гл. /. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 31
При определении касательных напряжений t(z, s) мы будем
исходить уже не из закона Гука, а из соответствующего условия статики,
выражающего равновесие элемента оболочки в продольном направлении.
Таким образом, эти напряжения определяются статическим методом,
подобно тому, как это имеет место в элементарной теории изгиба балок.
Выделяя из стержня в координатах z и s бесконечно малый элемент
со сторонами dz и ds (рис. 20) и приравнивая нулю сумму проекций всех
сил, действующих на этот элемент, на направление образующей, получим:
d (об) ds + d (тб) dz + pz dz ds = 0, (5.9)
где б = 6(s) — толщина оболочки, являющаяся в общем случае функцией
от s; pz =pz (z, s) — проекция интенсивности внешней поверхностной
нагрузки на ось z\ эта проекция в общем
случае зависит от двух переменных z и s.
Разделив уравнение (5.9) на
произведение дифференциалов dz ds> получим:
Чг + Чг + р* = °- (5Л°)
В этом уравнении об и тб представ- @+с1б)8
ляют собой нормальные и сдвигающие
усилия, отнесенные к единице длины,
возникающие в поперечном сечении
z = const. Решая уравнение (5.10) относительно касательных
напряжений т и принимая во внимание, что толщина стенки б не зависит от zr
найдем:
8 8
x(Z)s) = ±[s0(z)-\pzds-^6ds]. (5.11)
о о
Здесь S0(z) — произвольная функция, зависящая только от одной
переменной z. Нетрудно выяснить физический смысл этой функции.
Полагая в выражении (5.11) s = 0 и замечая, что определенные
интегралы, стоящие в правой части этого выражения, при 5 = 0 обращаются
в нуль, получим:
*(*.0) =Щ«Уо(2).
Отсюда находим
S0 (z) = т (z9 0) 6 (0). (5.12)
Из выражения (5.12) видно, чуо функция S0(z) представляет собой
сдвигающие усилия тб, действующие по продольному сечению ,5 = 0.
Подставляя в правую часть равенства (5.11) найденное ранее для а
выражение (5.6) и обозначая через dF дифференциал площади сечения
6ds, мы можем написать:
8 8 8
т = |[S0 - \ pzds - Е (Г \ dF - Г \xdF-
О 0 0
s 8
— r\m J ydF -Ъ'"\^ codF)]. (5.13)
Здесь через £", g"\ г\т и 6'" обозначены вторая и третьи производные от
соответствующих функций.
32
Тонкостенные упругие стержни
Формулу (5.13) удобно представить в следующем виде:
8
О
+ Ех[т ^- + Ж" ^-, (5.14)
где F(s), Sx(s) и Sv(s) — соответственно площадь и статические
моменты относительно осей х и у, вычисляемые по формулам:
8 S 8
F (s) = J dF, Sx (s) = \ ydF, Sv(s) = J zdF; (5.15)
0 0 0
характеристика, вычисляемая по
SW = J adF. (5.16)
о
jA/ Функция S<a(s), представляющая вместе с функциями F(s),
Sx(s) и Sv(s) распределение сдвигающих усилий по
контуру сечения, напоминает по своему виду формулу для
статического момента с той только разницей, что роль плеча
в этой формуле играет секториальная площадь со; условим-
1 ся поэтому в дальнейшем величину S^s) называть сектори-
/ \. альным статическим моментом.
' ^ Величины F(s), Sx(s), Sy(s) и Su(s), определяемые фор-
Рис. 21 мулами (5.15) и (5.16), вычисляются для части сечения,
заключенной между начальной точкой М0 на дуге контура,
и точкой М, для которой определяется по формуле (5.14) касательное
напряжение т. Если начало координаты s выбрано в крайней точке
дуги контура, то эти геометрические факторы вычисляют только для
отсеченной части сечения, например, на рис. 21 для части, которая
расположена выше точки М, определяемой дугой s.
Если внешняя продольная нагрузка как поверхностная, так и
погонная, относящаяся к отдельным продольным линиям, включая и
продольные края, отсутствует, то формула (5.14) переходит в более простую:
т <г- s)=m[- v w F w+5" <*) sv &+v w s* (*)+e'" (*)s» («)]• (5-17)
Формула (5.17), представляющая собой частный случай более общей
формулы (5.14), в свою очередь является обобщением известной в
сопротивлении материалов формулы для определения касательных
напряжений при поперечном изгибе балки.
Первым членом общей формулы (5.17) определяются касательные
напряжения, возникающие от действия на стержень сдвигающих усилий,
приложенных на продольных краях и вызывающих только растяжение.
Второй и третий члены формулы (5.17) относятся к касательным
напряжениям, возникающим при изгибе тонкостенного стержня в двух взаимно
перпендикулярных продольных плоскостях. Последним членом, имеющим
одинаковое строение со вторым или третьим членом, определяются
осевые касательные напряжения, возникающие при стесненном кручении
тонкостенного стержня и распределенные по толщине стенки оболочки
также равномерно (см. рис. 18, в).
£<a(s) — новая геометрическая
формуле
/'л. /. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 33
§ 6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня
в произвольной системе координат
Из формул (5.6), (5.7) и (5.14) видно, что напряжения а, т и момент
Ях, определяющие состояние внутренних усилий оболочки в поперечном
сечении z=const, зависят от функций £(z), |(z), r\(z) и Q(z). Эти функции
остаются пока неизвестными. Для определения их нам нужно привлечь
неиспользованные еще
условия равновесия.
Выделим из стержня
двумя сечениями z=const и z +
+ dz = const, элементарную
поперечную полоску,
имеющую ширину dz. Действие
стержня на эту полоску
заменим нормальными и
сдвигающими усилиями и крутящими
моментами, распределенными
по криволинейным сторонам
полоски. Эти усилия и моменты как функции от z при переходе от сечения
z= const к сечению z+dz=const получат некоторые приращения,
пропорциональные (с точностью до бесконечно малых высшего порядка)
дифференциалу dz (рис. 22). Кроме усилий, заменяющих собой действие
стержня на выделенный элемент, на него будет действовать также и
внешняя нагрузка.
Условия равновесия элементарной поперечной полоски могут быть
представлены в следующем виде:
\ (6.1)
2Z = 0, [l&ldzds+(TL-TK + q2)dz = 0;
2X = 0, \ ^ ' cos a-dz ds + qxdz = 0;
2^ = 0, \ d* sin <x-dzds + qvdz = 0;
2 MA = 0, \ —^-i dz [(x — ax) sin а — (у — ay) cos <x)d$ +
L
+ Hkdz + mdz = 0.
Первое уравнение получено из условия равенства нулю суммы
проекций на направление образующей всех сил, действующих на
выделенный элемент. В этом уравнении выражение
д(<зЬ)
dz
dz ds, стоящее под
интегралом, представляет собой разность продольных нормальных сил,
приходящихся на элемент dz ds; qz — продольная поверхностная
нагрузка, направленная по оси z и приходящаяся на всю поперечную
полоску единичной ширины; Tl=Tl(z) и Tk—Tk(z) — сдвигающие
усилия, приложенные по продольным краям стержня, определяемым
крайними точками контура s—sk и s=sl.
Вторым и третьим уравнениями выражены условия равновесия
элементарной полоски по направлениям осей х и у поперечного сечения.
В этих
*(t»)
уравнениях подынтегральные
выражения * ' cosa-dzds и
dz
sin a-dzds представляют собой соответственно проекции на оси х и у
34
Тонкостенные упругие стержни
дифференциала сдвигающей силы, приходящейся на элемент
оболочки dzds\ дх=Ях(г) и qy=qy(z) — интенсивности внешних поперечных
нагрузок, действующих соответственно по направлению координатных осей
х и у.
Последнее уравнение получено из условия равенства нулю суммы
действующих относительно произвольной точки А поперечного сечения
моментов от всех сил, приложенных к выделенному элементу. Первым членом
этого уравнения представлен момент от осевых сдвигающих усилий,
приложенных по сечениям z = const и z + dz = const; этот момент для
элемента dz определяется как момент от проекций на оси х и у дифференциалов
сдвигающих сил, действующих по направлению касательных к дугам
контуров сечений. Второй член представляет собой дифференциал
крутящего момента Нк, приходящийся на полоску шириною dz. Последним
членом т выражен момент от внешней поперечной нагрузки.
Интегралы (6.1), вычисляются по переменной s для всей кривой L
поперечного сечения. Сокращая уравнения (6.1) на dz и замечая, что
ds cos а = dx, ds sin a = dy,
[(x — ax) sin a — (y — Oy) cos a] ds = d(o
[см. формулу (4.1)J, мы можем написать:
0(qfl)
dz
ds + TL-TK+qt = 0,
f 0(Tfi)
dz
dx+qx=:0,
d(xb)
dz
r£^ + * = o,
dco -f Hk -f m = 0.
(6.2)
Толщина стенки стержня б нами рассматривается как функция одной
переменной s. На этом основании толщина б, стоящая под интегралом
в первом из уравнений (6.2), может быть вынесена из-под знака частной
производной о,т выражения (об).
Обозначая й этом уравнении произведение 6ds через dF и применяя
формулу интегрирования по частям к интегралам, стоящим в остальных
трех уравнениях, получим:
\£dF + TL-TK + qt = 0,
F
L
д (тб) \l с д г д (тб) 1 , , Л \
L
(6.3)
д(х6)
dz
(О
IK-\°w[^]ds + H* + m = °-
В этих уравнениях выражения, стоящие под знаком подстановок,
нужно вычислить при значениях независимой переменной $,
определяющих положение крайних точек кривой z = const, т. е. при s—Sk и s=Sl-
Величина тб представляет собой сдвигающее усилие Т, приходящееся
на единицу длины продольного сечения срединной поверхности. При
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 35
s=sk и s—sl эта величина принимает соответственно значения
сдвигающих усилий TK(z) и Tl(z), приложенных по продольным краям стержня.
Мы имеем:
д(хЬ) I
dz
d(tfi)
dz
ls=sK
=8L
= T'L(z).
Выполняя в уравнениях (6.3) подстановку и меняя местами в
подынтегральных выражениях частные производные по z и s от функции (тб),
получим:
\£dF + qt + TL-TK = 0,
F
(6.4)
-\*i[1wl]ds + (i* + T'LXL-T'KXK==0'
F
- \ *^[^r]ds +Н'х + т + T'L(*L - Т'как = О,
F
где хк, Ук, хь я уь — соответственно координаты начальной и конечной
точек кривой поперечного сечения оболочки; а>к и &L — секториальные
площади для этих точек.
Из формул (5.6), (5.14) и (5.7) имеем:
^-dF = ?Е dF -г IмEx dF — x[mEy.iF— ГЕъ dF, Ч
_д_ Г д (Тб)
dz
[т] ds = -£d8-fEdF + l™ExdF +
+ r\l^EydF + WEa>dF1
Нк = G/d6".
V
(6.5)
Внося теперь в уравнения (6,4) выражения (6.5) и замечая, что
производные от искомых функций £(z), £(з), 11(2) и 6(z) могут быть
вынесены из-под интегралов, получим:
?E^dF — YE^xdF — тСЕ^ ydF — ГЕ^аьйР + qz + TL~TK= 0,1
F F F F
^dJ±xds + Z"E^ xdF— VE\ x2dF-
L F F
- rfVE \xydF- WE ^x(*dF+qx + T'LxL - T'KxK = 0,
F F
\d{fyds + l"'E\ydF-\^E\yxdF- г (б>6)
L F F {
- v^E \y*dF- WE J y<a dF + qy + T'LyL - T'KyK = 0,
F F
jj ^g-cods + CEJ ©dF-\™E^<s>xdF — t\WE^ aydF —
L F F F
— WE jj ffl« dp + G/(jr + m + T'LV>L — TkWK = 0.
36
Тонкостенные упругие стержни
Мы получили четыре дифференциальных уравнения относительно
четырех неизвестных функций £(z), £(z), x\(z) h9(z). Интегралы, входящие
в' коэффициенты этих уравнений, вычисляются для всего поперечного
сечения стержня.
Для большей наглядности представим уравнения (6.6) в следующей
табличной форме:
Таблица 1
СМ
\ i*dF-D*
F
— \xidFB*
F
-Л yidFD*
F
F
EW |
— \lxdF-IP-
F
\ x*dFD*
\ yxdFD*
F
\ (oxdFD*
F
Л(«)
— \lydF.B*
\ xydF-D*
F
\ y*dFD*
F
\ (oydF-D*
F
b(z)
— ^iadF-D*
F
\ vxdFD*
\ (uydF-D*
F
\<o4F-D*-
F
__ GJd 7)2
J6
Члены, зависящие
от нагрузки
= -±(qz+TL-TK)
= w(<1* + T'l*L-
L
1 =±{Яу + ТьУь-
-Т'кУк + \уд£<!*)
L
i =w(m + T'La>L~
Буквой D в таблице 1 обозначен символический оператор, обозна-
чающий взятие производной по переменной z,
°-±
от функции, стоящей в заголовке соответствующей колонки; показатель
степени при D обозначает порядок производной. Например, слагаемое,
стоящее во втором уравнении в колонке под |(z), в раскрытом виде
выглядит так:
\x*dF- ^|и Т. д.
F
При такой форме записи легче заметить, что система
дифференциальных уравнений равновесия выделенной полоски стержня-оболочки
обладает симметричным строением. Коэффициенты табл. 1, симметрично
расположенные относительно диагонали, проходящей от верхнего левого
угла к нижнему правому углу, равны друг другу. Таким образом, из
16 коэффициентов системы только 10 оказываются существенно
различными между собой: четыре диагональных и шесть побочных.
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 37
Из табл. 1 легко подметить также закон образования этих
коэффициентов; все они представлены в виде интегралов, вычисляемых для
площади всего поперечного сечения стержня,
образуются из четырех известных
функций (рис. 23):
1; х (s); у (s); ®(s)
(6.7)
Подынтегральные функции
путем попарного перемножения их; так,
подынтегральные функции коэффициентов
первого уравнения получаются
умножением первой функции 1 (постоянная для
всего контура поперечного сечения) на
каждую из функций (6.7);
подынтегральные функции коэффициентов второго
уравнения получаются умножением
функции x(s) на каждую из функций (6.7);
аналогичным же образом получаются
подынтегральные функции коэффициентов
двух последних уравнений умножением
функций y(s) и (o(s) на каждую из
функций (6.7).
При заданном контуре поперечного
сечения эти коэффициенты представляют
вполне определенные величины; так как
они зависят от формы профиля стержня,
то их называют геометрическими
характеристиками сечения. С некоторыми из
них мы уже встречались в сопротивлении материалов. Они имели
следующие сокращенные символические обозначения:
а) статические моменты (размерность [L3], где [L] — единица длины):
Рис. 23
Sx = \ydF, Sy = J xdF;
(6.8)
, б) моменты инерции (размерность [L4]):
осевые:
центробежный
/я = 5 y4F, Jv = \x*dF-
F F
(6.9)
(6.10)
По аналогии с обозначениями и терминологией, принятыми в
сопротивлении материалов, характеристики, получающиеся вследствие
введения' нами новой секториальной координаты (o(s), мы называем и
обозначаем сокращенно так:
а) секториальный статический момент (см. § 5) (размерность [L4]1):
= ^ со dF;
(6.11)
1 Здесь и в дальнейшем новые геометрические характеристики сечения отмечают»
ся индексами подынтегральных функций.
38
Тонкостенные упругие стержни
б) секториальный момент инерции (бимомент инерции) размерность
Ш]):
/ш =Д со2 dF; (6.12)
F
и секториальные центробежные моменты инерции (размерность [Lb]):
Лис = \ юз dF, 1шу = \ щ dF. (6.13)
При этих обозначениях система дифференциальных уравнений
равновесия стержня запишется в следующем виде:
FtT - Syf" - SxVT - SJ'" =-±(q2 + TL - TK),
- svc + Jvi™ + Jxv^ + /^e™ =
= i- («*+Tlxl - Tkxk+\xd£ds)>
5«r + /«»EIV + /«4IV + ^-«eIV =
= 4" (qy + nyL ~ ТкУк + \yjids)>
- 5.Г + /«6IV + J»v4™ + JJlw - ^
•g- (m + rij©L - Гк©к + ^ <*> "^ ^)
f (6.14)
§ 7. Дифференциальные уравнения
равновесия стержня в главных
координатах
1. Система дифференциальных уравнений равновесия
стержня-оболочки (6.14) имеет сложный и неудобный для практического
применения вид. Это объясняется тем, что мы выбрали основные функции 1, x(s),
y(s) и <o(s) произвольно: поперечное сечение мы отнесли к произвольным
прямоугольным осям, полюс секториальной площади выбрали в
произвольной точке А, начало отсчета секториальной площади — в
произвольной точке Mi профильной линии.
Произвол наш, следовательно, характеризуется свободным выбором
на плоскости поперечного сечения стержня шести величин: Sx и Syi
определяющих положение начала отсчета координат; Jxy, определяющей
направление осей координат; J^x и 1шу, определяющих положение полюса
секториальных площадей; «So, определяющей направление начального
радиуса-вектора (или, другими словами, положение начальной точки
отсчета секториальных площадей).
Выберем основные функции 1, x(s), y(s) и <o(s) так, чтобы они были
ортогональны, понимая под ортогональностью свойство этих функций,
состоящее в том, что интегралы из попарных произведений функций (но
не квадратов лх) по площади сечения F, распространенные на все попереч-
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 39
ное сечение, равны нулю, т. е.:
Sy = \ \xdF = О, S„ = [ 1(0 dF = 0.
F F
Sx = [ lydF = 0, /^ = \x® dF = 0, !
F F '
■Леи = \ яг/ dF = 0, /шу = \ у© rfF =0.
(7.1)
Мы видим, что условия ортогональности основных функций
представляют собой условия обращения в нуль всех побочных
коэффициентов уравнений (6.14).
При выполнении условий ортогональности (7.1) для основных
функций система этих уравнений распадается на четыре отдельных
уравнения:
EFt' = -(qx + TL-TK),
FJvl™ = qx + T'hxL - Ткхк +,J x ~fds,
EJxt\™ = qv+ TLyL - TKyK +\)y^ds,\
t>Pz
EJJb™ - G/dG" = m + T'uu>L - T'Ku>K + \<*£
ds.
(7.2)
Если продольные края стержня свободны от сдвигающих сил и
внешняя нагрузка представлена одними только погонными поперечными
силами qx (z), qi,(z) и моментом m(z) (наиболее часто встречающийся в
практике случай), то уравнения (7.2) имеют еще более простой вид:
EF? = 0, )
EJvl™ = qx, !
Е7хтГ=ду,\
EJJi™ — GJdQ" = m. J
(7.3)
Первое из уравнений (7.3) определяет продольные перемещения £(z)
от продольной растягивающей или сжимающей силы, приложенной по
концам стержня и распределенной по сечению равномерно.
Второе и третье уравнения относятся к поперечному изгибу стержня
и определяют перемещения £(z), r\(z) такой точки А поперечного сечения,
которая отличается тем, что взятая относительно нее секториальная
площадь (d(s) обладает свойством ортогональности по отношению к
функциям x(s) и y(s).
Четвертое уравнение относится к кручению стержня при действии
поперечной нагрузки, дающей относительно точки А внешний погонный
крутящий момент m(z).
2. Функции 1, x(s), y(s) и (o(s), удовлетворяющие условиям
ортогональности (7.1), мы назовем главными обобщенными координатами
поперечного сечения тонкостенного стержня. Физический смысл условий
ортогональности (7.1) заключается в том, что взаимная работа
внутренних (внешних) сил двух каких-либо состояний деформации стержня,
40
Тонкостенные упругие стержни
определяемых перемещениями £(z), |(z), лС2) ив(^), при отнесении
поперечного сечения к главным обобщенным координатам 1, x(s), y(s) и cd(s) равна
нулю.
Определим главные обобщенные координаты поперечного сечения.
Прежде всего заметим, что первые три условия ортогональности (7.1)
относятся к закону плоских сечений и представляют известные в
сопротивлении материалов условия для определения главных центральных
осей сечения. Следовательно,
координаты x(s) и y(s) отсчитываются от главных
центральных осей поперечного сечения
и являются главными координатами.
Нашей задачей является определение
главной секториальной координаты со.
Для этого мы воспользуемся
последними тремя условиями ортогональности
(7.1). Из этих условий последние два нам
понадобятся для определения полюса
главной секториальной координаты, а
первое — для определения начальной
секториальной точки.
Необходимо отметить, что при определении полюса и начала отсчета
главной секториальной координаты мы можем относить поперечное
сечение к произвольной системе координат Оху. Ниже мы это докажем.
Вначале же, для простоты вычислений, будем считать, что система
координат Оху отнесена к главным центральным осям.
Найдем сначала координаты искомого полюса. Ранее мы получили
формулу (4.5), которую запишем следующим образом:
<*>а = *>в + К — bv)х (s) — (ах — Ъх) у (s) + [(ах — Ьх) у (s0) — К — bv)х Ы J г
(7.4)
где (Ол, ®в — секториальные площади части контура поперечного
сечения стержня с полюсами соответственно в точках А и В; x(s0), y(s0) —
координаты начальной точки (точки, для которой соА = а>в =0); x(s)y y(s) —
текущие координаты точки контура s, для которой определяются
секториальные площади соА и сов; ах, ау — координаты точки А; Ъх, by —
координаты точки В (все координаты отнесены к произвольной
прямоугольной системе координат Оху).
Формулой (7,4) мы связали секториальные координаты, отсчитываемые
от общего начала, но имеющие полюса в двух произвольных точках А и
В поперечного сечения (рис. 24).
Воспользуемся условиями ортогональности: /ttX =0 и J^v =0.
Предположим, что А есть полюс, при котором эти условия выполняются, а
В — некоторый вспомогательный полюс. Тогда, подставляя в условия
ортогональности (7.1) формулу (7.4), получим следующие два уравнения:
\ (йА х dF = \ (*вх dF + (av— bv) \ хг dF — (ах — bx) [xydF +
F F F F
+ l(*x — bx) У (s0) — К — bv)x (5o)l \ x dF = 0,
F
jj (oAy dF = J toBydF + (ay— bv)^xydF - K- bx) J y*dF +
F F F F
+ Ha» - bx) у (s0) — (av - by) x (s0)) J у dF = 0.
Гл. L Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 41
Так как сечение отнесено к главным центральным осям, то
J xydF = Jxy = 0, jj xdF = Sv = 0, \ ydF = SX = 0.
F F F
Воспользовавшись обозначениями (6.9) и (6.13) для моментов
инерции, получим:
<*х = «х — 6* = j- ^ <*вУ dF = -^-,
(7.5)
°Н/ = ау — &у = — J- \ °>В^ dF = —-
у # Jy
Точка А с координатами ах, ау называется главным секториальным
полюсом, или просто главным полюсом.
Убедимся в том, что координаты точки А, определяемые формулами
(7.5), не зависят от того, где мы возьмем
начало отсчета секториальной площади <ов, - 1
или, другими словами, координаты зтой
точки инвариантны по отношению к началу
отсчета секториальных площадей.
Предварительно отметим следующий
очевидный факт. Секториальные площади
^в^о» s) и g>b(si, s), имеющие общий полюс в
точке В, но различные начальные
секториальные точки 50И5Ь отличаются друг от друга на
постоянную величину <ов (s0, sx), равную удвоенной площади сектора,
заключенной между радиусами-векторами, соединяющими полюс с этими
точками (рис. 25):
<*в (Sq, s) = G)B (su s) + 0)В (so, si)- (7.6)
Подставляя значения (7.6) в формулы (7.5), получим:
ax—bx = j-^ г/(ов (s0, s) dF = J-Q г/<ов (sl9 s) dF + <oB (sl7 s0) J у dF^ ,
X F x F F
av — bv = — J" \ Х(°в (so, s)dF = — j- f\ xo)B (sx, s) dF + <oB (sl9 s0) ^ xdF j.
^ F ^ F F
Так как мы имеем дело с главными центральными осями, то
\xdF = Sy = 0, \ydF = SX = Q,
F F
отсюда следует:
ax — bx = j- J yo)B (s0, s) dF = ~- ^ г/<ов (sx, s) dF,
av — bv = — T" \ x0)* (5o, «)^ = — 7-"\ «©в («l» «)^F,
*W v i
что и подтверждает высказанное положение.
Из изложенного видно, что главный полюс есть особая точка
поперечного сечения стержня; положение полюса (как и положение центра
тяжести) зависит только от геометрических размеров поперечного сечения.
Нетрудно убедиться в том, что у оболочек и складчатых профилей,
имеющих в поперечном сечении одну ось симметрии, главный полюс лежит
на этой оси. В случае сечения с двумя осями симметрии главный полюс
находится на пересечении осей симметрии и, следовательно, совпадает
с центром тяжести сечения.
42
Тонкостенные упругие стержни
Координаты главного полюса в главных центральных осях стержня
выражаются согласно формуле (7.5) через координаты другой,
произвольно выбранной точки В, служащей полюсом для вспомогательной секто-
риальной площади <йВ- Пользуясь произволом в выборе точки В, мы можем
поместить ее, в частности, в центре тяжести сечения; тогда формулы (7.5)
будут иметь более простой вид:
Х F
v F
Обратимся теперь к определению начальной секториальной точки
главной секториальной координаты о. Эту точку мы найдем,
воспользовавшись условием ортогональности Sw =0.
Отметим, что секториальный статический момент, определяемый как
интеграл от произведения секториальной площади о на дифференциал
площади поперечного сечения dF, при произвольном выборе точки s0
(но при фиксированном положении полюса А) будет равен разности
статических моментов, вычисленных отдельно для участков сечения с
положительными и отрицательными секториальными площадями. Благодаря
зтому мы всегда можем выбрать начало отсчета секториальных площадей
так, чтобы секториальный статический момент Бш всего сечения обратился
в нуль.
Выше мы получили выражение (7.6), в котором связали две секториаль-
ные площади, имеющие общий полюс Ву но различные начальные секто-
риальные точки s0 и sla Эта формула для полюса А главной
секториальной координаты примет вид:
<*а (slf s) = о)А (s0, s) — шА (s09 sx).
Величина о)A(50,5i), равная удвоенной площади сектора, заключенного
между радиусами-векторами As0 и Asx и дугой s0Si, представляет собой
функцию дуги SqSi. Обозначив длину дуги через t (рис. 25), введем
следующее сокращенное обозначение:
<оА(«о. *i) = D(*)- (7-7)
Пусть $! есть та начальная точка отсчета, при которой выполняется
условие Sa =0. Подставляя в зто условие формулу (7.7), получим:
^(оА(*о, s)dF — D(t)F = 01
F
откуда для величины D (t) находим следующую формулу:
D(t) = ±-\(oA(s<»s)dF.
F
В зтой формуле секториальной площадью D{t) определяется
расстояние t между произвольно выбранной точкой s0 [от которой отсчитываем
подынтегральную координату o)A(so, s)] и искомой точкой sx, при которой
выполняется условие S^ =0. Эту точку в дальнейшем будем называть
секториальной нулевой точкой.
Легко убедиться в том, что у складчатых профилей, имеющих в
поперечном сечении одну ось симметрии, секториальная нулевая точка
лежит на пересечении этой оси с профильной линией.
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 43
векториальных нулевых точек может быть несколько, а может быть и
бесконечно много. Так, у симметричного двутаврового профиля любая
точка стенки является нулевой секториальной точкой. Нулевую секто-
риальную точку, наименее удаленную от главного полюса, мы будем
называть главной секториальной нулевой точкой.
Остановимся теперь на определении главной секториальной
координаты со и соответствующего ей главного секториального момента J& в
том случае, когда поперечное сечение отнесено к произвольной системе
координат Оху.
Запишем формулу (7.4) в более компактном виде:
о)Л = <xlfx — аху + <х + 0)В, (7.8)
где
<*х — ах — bXi \
*v =<iy — bv, l (7.9)
<х = (ах — bx) у (s0) — (ау — by) х (s0). )
Так как координаты искомого главного полюса и нулевой
секториальной точки нам неизвестны, то коэффициенты ах, ау и а являются
неизвестными в выражении (7.8). Известными величинами в этом уравнении
являются текущие координаты х и у и секториальная координата сов,
отнесенная к произвольно выбранному полюсу В с произвольной
начальной точкой отсчета. Предполагая, что о&а есть главная секториальная
координата, удовлетворяющая условиям ортогональности (7.1), напишем
эти условия в раскрытом виде, подставляя вместо од его выражение по
формуле (7.8). Получим три уравнения:
Л>А* = \ (<V — <хху + а+ (ов)хdF = О,
F
J<*av = \ (avx ~ ахУ + а + шв) У dF = О,
F
St»A = \ (ЯуХ — аху + <х + шв) dF = О,
F
или в раскрытом виде:
<ху \ х2 dF — ах \ ху dF + а \ х dF + \ <&вх dF = О,
F F F F
ay^yxdF—*x^y2dF + a\ydF + ^(dBydF==0, \ ^ щ
F F F F
ay[xdF — <xx\ydF + a[dF + [ aBdF = 0.
F F F F
Воспользовавшись обозначениями (6.8) — (6.13), мы можем записать
систему (7.10) в сокращенном виде:
**VaV — Jxv&x ~\- Sya = — J<aBxi \
Jxv<*y — Jx<*x + Sx<*= — J*BV, | (7.11)
Syav — $xax + Fa = — £«£. j
Мы получили систему трех неоднородных алгебраических уравнений
относительно трех неизвестных аХ1 <ху и а. Так как матрица
коэффициентов этой системы имеет симметричный вид, то неизвестные Ох, <ху и а
44
Тонкостенные упругие стержни
можно определить, пользуясь, например, сокращенным алгоритмом
Гаусса.
После определения <хЖ1 <ху и а по формулам (7.9) можно построить
эпюры главной секториальной координаты соА и тем самым получить на эпюре
положение начальной точки отсчета секториальных площадей
Зная эпюру соА, нетрудно определить главный секториальный момент
инерции /6>А. Действительно, подставляя в выражение /6>А = \ (o2AdF
F
значение оА по формуле (7.8), получим:
Л>А = <*у {Jy&y — Jxy&x + ^уа + J<*Bx) — <*х {^хуЯу — Jx<*x + Sx** + Л>ву) +
+ <*(SyCty — Sx<xx + Fa + S„B) + JWBXav — J«>Byax + S^a + /WB. (7.12)
Выражения в скобках на основании (7.11) равны нулю, поэтому
формула (7.12) будет иметь более простой вид:
ЛоА = &yJ<uBx — aaVG>By + &&шв + **шв* (7.1o)
Так как ах, ау и а мы определили из решений системы (7.11), J<*Bxy
J<abvj ^сов и /w при произвольном полюсе В нам известны, то
формула (7.13) дает возможность вычислить /а,А.
§ 8. Обобщенные силы поперечного сечения. Бимомент
и его физический смысл
Разрешив дифференциальные уравнения (7.2) для общего случая
загружения, или уравнения (7.3) для случая, когда qz = Ть= Тк~ О,
при заданных граничных условиях мы определим функции £(z), £(z),
T](z) и 8(z). Зная эти функции, мы можем затем по формулам (5.6), (5.14)
и (5.7) найти нормальные и касательные напряжения, а также крутящие
моменты, возникающие в поперечном сечении стержня. Для этих
напряжений и моментов в случае действия на стержень одних только
поперечных нагрузок (qz = Ть =Тк = 0) мы имели такие выражения1:
о=Е(?-Гх-1\'у-<Га>), \
T^[P^+4-^+r5f}| (8.1)
Hk = GJdW, )
где х, у, о) — главные координаты точки сечения; Sx(s), Sv(s) —
статические моменты отсеченной части поперечного сечения; S^ls) —
секториальный статический момент, вычисляемый также для отсеченной части
сечения.
Изложенная нами теория тонкостенных стержней основана на идее
приведения двухмерной континуальной упругой системы, т. е. системы,
равновесие которой описывается дифференциальными уравнениями в
частных производных по координатам z, s срединной поверхности
оболочки, к системе дискретно-континуальной, т. е. к системе, обладающей
конечным числом степеней свободы в поперечном направлении и
бесконечно большим числом степеней свободы в направлении образующей оболочки.
Действительно, в § 3 было показано, что элементарная поперечная
полоска стержня, заключенная между сечениями z = const и z + dz = const,
в силу принятых в нашей теории геометрических гипотез обладает в
пространстве семью степенями свободы. Перемещения из плоскости z = const
[продольные перемещения u(z, s)] определяются согласно (3.16) четырьмя
1 В этом случае на основании первого уравнения (7.3) £" = 0.
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 45
обобщенными кинематическими величинами: £, £', tj' и 8'. Перемещения
в плоскости z = const [поперечные перемещения v(z, s) и w(z, s)]
определяются согласно (3.9) и (3.10) тремя величинами: £, ц и 8.
В соответствии с этими кинематическими степенями свободы
внутренние нормальные и сдвигающие силы тонкостенного стержня,
возникающие на площадках поперечного сечения z = const, могут быть приведены
к обобщенным продольным и поперечным силам, относящимся ко всему
поперечному сечению стержня.
Исходя из понятия возможной (виртуальной) работы, мы можем
обобщенные продольные силы определить как работу всех элементарных
продольных сил odF на каждом из рассматриваемых нами в принятой
кинематической модели возможном продольном обобщенном
перемещении, равном единице. Полагая в формуле (3.16) последовательно £ =1,
£' = —1, ц' = —1 и 8' = —1 (три остальные при этом имеют нулевые
значения), мы получим четыре элементарных состояния продольных
перемещений h(z, s) в сечении z = const: 1, ж, у и w. Помножая
элементарную продольную силу odF последовательно на каждую из функций 1,
#, у nw и интегрируя затем по всей площади сечения, получим для
обобщенных продольных сил, соответствующих этим состояниям, следующие
формулы:
F
Mx=^oydF,
М<
у = — \ ox dF,
F
(8.2)
Первыми тремя формулами определяются продольная сила и
изгибающие моменты поперечного сечения.стержня. В соответствии с принятым
нами правилом знаков (рис. 26)
положительная нормальная сила odF^
приходящаяся на элемент площади сечения и
действующая в положительном квадранте плоскости
Охуу будет давать положительный момент
относительно оси Ох и отрицательный —
относительно оси Оу. Четвертой формулой
(8.2) определяется новая статическая
величина, имеющая размерность кг'См2 и
соответствующая секториальной депланации
сечения ю. Эта величина В названа нами бимоментом. В отличие от
момента бимомент представляет собой обобщенную уравновешенную силу,
т. е. силу, статически эквивалентную нулю.
Подставляя в (8.2) вместо а его выражение по первой из формул (8.1)
и имея в виду, что мы имеем дело с главными обобщенными координатами
(1, х, г/, w), удовлетворяющими условиям ортогональности, получим:
Рис. 26
N = EFl'% )
Му = EJV\\ |
Mx = -EJxy\\ |
В = - EJJT. J
(8.3)
46
Тонкостенные упругие стержни
Формулами (8.3) устанавливается дифференциальная зависимость
между основными обобщенными величинами — статическими величинами
JV, Му, Мх, В и кинематическими величинами £, £, т), 0, характеризую-
щими изменение напряжений и деформаций в стержне по переменной г.
Эти формулы можно представить и в таком виде:
{
г
ц"
0"
—
=
=
_
N
EF *
EJv'
В
(8.4)
EJ '
СО
Подставляя выражения (8.4) в формулу для нормальных
напряжений б (8.1), получим:
в = 4--т*-*+-г1 2/+-#-<». (8.5)
у х со
Этой формулой нормальные напряжения <r(z, s) выражены через
обобщенные силы N(z), My{z), Mx(z), B(z) и главные обобщенные координаты 1Г
x(s), y(s) и <o(s). Первые три члена в формуле (8.5) совпадают с известными
формулами сопротивления материалов, опирающимися на закон плоских
сечений. Четвертый член определяет нормальные напряжения,
возникающие вследствие того, что сечения при кручении не остаются плоскими, а
депланируют по закону секториальных площадей. Эти напряжения
пропорциональны произведению бимомента В на секториальную
координату о; коэффициентом пропорциональности здесь служит величина,
обратно пропорциональная главному секториальному моменту инерции /w.
Величину EJu, фигурирующую в последних формулах (8.3) и (8.4) и
характеризующую жесткость стержня в тех случаях кручения, когда
в поперечном сечении возникают нормальные напряжения
В
б* = -у- о,
J со
распределенные по закону секториальных площадей, будем по аналогии
с теорией изгиба балок называть секториальной жесткостью депланации
стержня.
Подобным же образом мы можем выразить функции,
характеризующие изменения касательных напряжений т по переменной z, через
статические факторы — силы. Эти силы мы определим как работу
элементарных контурных сдвигающих сил Tds = (x6)ds на каждом из возможных
единичных перемещений £ = 1, т) = 1, 0 =1 контура сечения в плоскости
z = const. На основании формул (3.9), (3.15) мы можем определить их
следующим образом:
Qx = \(xb)dx, Qv = \(xb)dy ]
* F \ (8.6)
Нш = [ (тб) da> = [ (тб) h ds, I
Г л, I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 47
где Qx, Qv — поперечные силы в сечении z = const, действующие по
направлению осей Ох, Оу,\ Н& — изгибно-крутящий момент от осевых
сдвигающих сил Т = тб, действующих по касательным к дуге контура сечения
относительно центра изгиба.
Подставляя в (8.6) напряжения т, определяемые второй из формул
(8.1), и принимая во внимание, что в силу ортогональности главных
координат 1, х, у и о справедливы зависимости1
\sxdx = 0, ^xdo) = 0, [s^dx^O
т? Е р
О, ^Smdy
F F
isydy = 0, ^Syda»
F F
0,
получим:
Qx = -EJyl'", 1
Qv = -EJx1f, }
H& = — EJofi", )
(8.7)
Формулами (8.7) поперечные силы и изгибно-крутящий момецт Н^
выраженьг-через третьи производные от прогибов |, ц линии главных
полюсов и от угла кручения 8. При изгибе по закону плоских сечений
коэффициентами при них служат жесткости EJX, EJV> а при кручении по
закону секториальных площадей — жесткость EI&. Из формул (8.7)
находим:
■+-Q-'
EJ *х,
Г' =
(8.8)
Подставляя найденные значения (8.8) в формулу (8.1) для осевых
касательных напряжений т, получим:
1
Т" Sy(s) + ^Sx(s) + ^S<a (s)] . (8.9)
Jy Jx J<a J
Из формул (8.4) и (8.8) путем дифференцирования и исключения
производных от перемещений получаем соотношения:
Qx = -Mv, QV=M'X, Н<Л = В\
1 Действительно, применяя интегрирование по частям,, получим:
\ Sxdx = Sxx —\хdSx = Sjc — \xydF = 0,
F F F F
\ Sadx = Sax\ -\xdSa = Sax\ -\x(odF = 0,
F lF F lF F
\ Sydx = Syx\ -\xdSy = Syx\ -\x*
F F F
(8.10)
ЫГ = — J„
и, аналогично,
s
Sxdy = -Jx, \Sd<j> = -J,
48
Тонкостенные упругие стержни
Эти соотношения, представляющие собой обобщение известной в
сопротивлении материалов теоремы Журавского, справедливы в случае
действия на стержень одних только поперечных нагрузок. Как мы
отмечали в начале параграфа, формула (8.9) справедлива в случае
действия одной только поперечной нагрузки. В более общем случае, когда
на стержень действует также и продольная нагрузка, приложенная в виде
сдвигающих сил по продольным краям, вместо (8.9) следует
пользоваться формулой:
x=±[TK + (TL-TK)?P-§±Sy(s)-^Sx(s)-^S„(s)],
где Тк и Tl — сдвигающие усилия, действующие вдоль продольных
краев стержня; F(s) — площадь отсеченной части сечения.
Третья из формул (8.7) относится к изгибно-крутящему моменту Нш
относительно главного полюса от осевых сдвигающих сил тб,
действующих по касательной к дуге контура сечения; третья из формул (8.1)
представляет крутящий момент #*, возникающий от неравномерного
распределения по толщине стенки касательных напряжений,
пропорциональных расстоянию от рассматриваемой точки до профильной линии.
Сумма моментов Н^ и Н* даст полный крутящий момент, который мы
обозначим через Н:
# = #„ + #* = - EJJP + GJdV.
(8.11)
§ 9. Центр изгиба
1. Линией центров изгиба называется прямая, параллельная обра*
зующей стержня и обладающая следующим свойством: если внешняя
поперечная нагрузка, включая реакции, проходит через эту прямую,
то стержень будет находиться в условиях
центрального поперечного изгиба. Под
центральным поперечным изгибом мы понимаем
чисто изгибную деформацию стержня, т. е.
деформацию, при которой поперечные
сечения, оставаясь плоскими, подичают только
поступательные смещения, определяемые
прогибами £ = £(z), Л—лО2) (рис. 27, а).
Если же поперечная нагрузка, включая
и опорные реакции, хотя бы на каком-либо
одном участке стержня приводится к
равнодействующей, не проходящей через линию
центров изгиба, то стержень будет
находиться в условиях сложного сопротивления при
изгибе и кручении. В сечениях стержня,
помимо напряжений от изгиба, возникнут
дополнительные напряжения изгибного
кручения, определяемые законом секториаль-
ных площадей (рис. 27, б)"
В § 7 мы определили координаты главного полюса А. Покажем, что
для стержня постоянного сечения главный полюс совпадает с центром
изгиба, а линия главных полюсов является одновременно и линией центров
изгиба. Для этого выпишем формулу (8.9) для касательных напряжений:
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 49
Нетрудно убедиться, что первыми двумя членами этой формулы
определяются касательные напряжения от изгиба при прохождении
поперечной нагрузки через линию главных полюсов; третьим же слагаемым
определяются касательные напряжения от изгибного кручения,
пропорциональные крутящему моменту Нш и возникающие в том случае, когда
Н«> ф О, т. е. когда поперечная нагрузка (включая и реакции опорных
связей) не проходит через линию главных полюсов. Действительно,
касательные напряжения, определяемые первыми двумя членами формулы
(8.9) в центральных осях координат, не дают крутящего момента
относительно главного полюса:
\xbhds =Д тбЛо = —^\svd(d — ^[sxd(d = 0.
F F у F х F
Изгибно-крутящий момент Нш получается от касательных
напряжений, определяемых только последним членом формулы (8.9):
[ тбdo = — -f-\s„d(d = Нш. (9.1)
F W F
Отсюда следует, что при Нш = 0 поперечная сила, а следовательно, и
внешняя поперечная нагрузка, ею уравновешиваемая, в каждом
сечении, т. е. при любом значении независимой переменной z, проходит через
линию главных секториальных полюсов. Значит, эта линия одновременно
является и линией центров изгиба. На этом основании в дальнейшем,
если не будет оговорено особо, главный секториальный полюс будем
называть центром изгиба, а линию главных секториальных полюсов —
линией центров изгиба.
Следует отметить, что к нашим выводам относительно линии главных
секториальных полюсов можно прийти и другим, чисто аналитическим
путем. Для этого рассмотрим последнее дифференциальное уравнение
равновесия стержня (7.3) для угла закручивания 0(z):
Ejj™ _ GJdr = т. (9.2)
Если стержень находится в условиях одного поперечного изгиба,
то интеграл этого уравнения 0(z) должен быть тождественно равен нулю,
что, очевидно, выполняется, если, во-первых, внешняя распределенная
нагрузка проходит через линию главных секториальных полюсов, т. е.
уравнение однородно и m(z)=0, и если, во-вторых, граничные условия для
уравнения (9.2) однородны1. Выполнение последних условий фактически
сводится к отсутствию внешних сосредоточенных крутящих моментов
относительно линии главных полюсов (т. е. сосредоточенная поперечная
нагрузка также должна проходить через эту линию) и отсутствию
сосредоточенных продольных бимоментов, поскольку влияние сосредоточенных
силовых факторов учитывается граничными условиями. Если поперечная
нагрузка удовлетворяет этим требованиям, то кручения не будет. Поэтому
линия главных секториальных полюсов является в то же время и линией
центров изгиба.
2. Величины ах, ау, определяемые по общим формулам (7.5), будем
в дальнейшем называть координатами центра изгиба. Исходя из
описанного выше понятия о равновесии стержня при центральном поперечном
изгибе, мы дадим здесь другой, статический метод определения координат
центра изгиба. Центр изгиба может быть определен как точка пересечения
1 То есть на концах стержня выполняются любые из условий (2.8) и (2.10) гл. ТТ.
50
Тонкостенные упругие стержни
линий действия поперечных сил Qx и Qv при двух независимых
изгибах в главных плоскостях.
Пусть, как и ранее в § 7, Ьх и Ьу — координаты произвольно
выбранного полюса В; ах и ау — координаты центра изгиба А,
При изгибе в плоскости Oyz сдвигающие усилия Г=т6 определяются
по формуле:
Jx
Для крутящего момента от этих усилий относительно точки В
получим выражение:
Нв = \ xbdtoB = -£y\sxd«>B = ^J»BV. (9.3)
F X F *
С другой стороны, по теореме Вариньона, этот момент равен моменту
равнодействующей сдвигающих усилий, проходящей через центр изгиба:
Нв= Qv(ax-bx). (9.4)
Сравнивая между собой правые части равенства (9.3) и (9.4), найдем
координату ах центра изгиба:
, <*ВУ
о>х —• Ьх = —f— .
Jx
Аналогичным образом из рассмотрения изгиба в плоскости Oxz
получим:
<овх
аи — bv = 7— •
V
Обе формулы совпадают с ранее приведенными формулами (7.5).
3. В классической теории изгиба балок, основанной на законе
плоских сечений, фундаментальное значение имеет понятие об оси стержня.
В сопротивлении материалов за такую ось безоговорочно принимается
линия центров тяжести поперечных сечений стержня. В задачах
строительной механики изгибаемый элемент какой-либо
стержневой системы (многопролетной балки, рамы) рассматривается также
в свете элементарной теории изгиба балок и отождествляется с
упругой одномерной моделью, а именно с оськх^^асположенной по
линии центров тяжести поперечных сечений стержня.. Это основное
понятие сопротивления материалов и строительной механики стержневых
систем, вытекающее из закона плоских сечений и имеющее по существу
обоснование в принципе Сен-Венана, в свете излагаемой нами общей
бимоментной теории изгибного кручения нуждается в коренном пересмотре
и обобщении. Если изгибаемый элемент конструкции по своим размерам
относится к категории тонкостенных стержней, то при рассмотрении
такого элемента как пространственной системы существенное значение
имеет также и линия центров изгиба. Эта линия совпадает с линией
центров тяжести сечений для стержней, имеющих в поперечном сечении две
оси симметрии. Для стержней же произвольного несимметричного профиля
или профиля с одной осью симметрии линия центров изгиба не будет
совпадать с линией центров тяжести сечения. Применяя к таким стержням
обычную теорию изгиба балок, позволяющую рассмотреть только изгиб-
ную деформацию, мы должны за ось стержня принимать не линию
центров тяжести сечений, а линию центров изгиба и считать, что поперечные
нагрузки, вызывающие изгиб стержня по закону плоских сечений,
приложены в точках линии центров изгиба. Если же поперечную нагрузку
Гл. I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля 51
(распределенную по пролету или состоящую из сосредоточенных сил)
относить к течкам линии центров тяжести, то такая нагрузка, кроме
изгиба, вызовет также и кручение. Обычная теория изгиба балок в этом
случае становится непригодной.
Поясним это на примере балки швеллерного профиля. Для такого
профиля центр тяжести О и центр изгиба А находятся на оси симметрии
по разные стороны от
стенки (см. рис. 34).
Поперечная вертикальная
нагрузка, проходящая через
линию центров тяжести,
вызовет в такой балке не
только изгиб, но и
кручение, сопровождающееся
депланацией поперечных
Рис. 28 Рис. 29
сечений. Швеллерная балка при действии на нее поперечной нагрузки
будет испытывать изгиб, описываемый обычной теорией, только в том
случае, если эта нагрузка приложена в точках линии центров изгиба,
находящихся вне сечения.
На рис. 28 показана модель, представляющая собой швеллер,
заделанный одним концом в вертикальную стенку и загруженный
сосредоточенной силой на свободном конце.
По оси симметрии поперечного сечения на свободном торце имеется
планка, жестко соединенная со стержнем.
Сила, приложенная в центре тяжести сечения и действующая по оси
симметрии профиля, вызывает поперечный изгиб стержня (рис. 28, а).
Сила, приложенная в центре тяжести сечения и действующая
параллельно стенке, вызовет наряду с изгибом и кручение консольного стержня
52
Тонкостенные упругие стержни
(рис. 28, б). Угол закручивания стержня фиксируется стрелкой
индикатора, установленного на свободном конце стержня.
Сила, приложенная в центре изгиба и действующая параллельно
стенке профиля, вызывает только изгиб стержня (рис. 28, в).
На рис. 29 показана модель консольной трубы с продольным разрезом.
Центр изгиба такой трубы находится на расстоянии диаметра от центра
тяжести сечения, на стороне, противоположной разрезу. Поперечная
нагрузка, приложенная в центре тяжести и направленная
перпендикулярно к плоскости симметрии, проходящей через продольный разрез,
вызывает наряду с изгибом также и закручивание стержня.
Глава II
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
§ 1. Координаты центра изгиба и векториальные
геометрические характеристики для некоторых профилей
При расчете тонкостенного стержня-оболочки с открытым профилем
а совместное действие изгиба и кручения по излагаемой нами теории
необходимо, кроме геометрических характеристик поперечного сечения,
связанных с законом плоских сечений, вычислить подобные
характеристики, связанные с законом секториальных площадей. Рассмотрим
несколько примеров на вычисление координат центра изгиба и
секториальных характеристик. Сечения в нижеприведенных примерах будем
относить к главным центральным осям.
1. Двутавровое сечение с неодинаковыми полками. Пусть di, cfe,
dz и 6i, 62, 63 — соответственно ширина и толщина элементов сечения.
Оу — ось симметрии сечения (рис. 30). Для определения координат
центра изгиба воспользуемся общими формулами (7.5) гл. I. Определять
же нулевую секториальную точку в нашем примере нет необходимости,
поскольку профиль симметричен относительно стенки и любая точка
стенки профиля является нулевой секториальной точкой.
Выберем вспомогательный полюс В секториальной площади и?в в
точке пересечения стенки с верхней полкой двутавра. Начальную
секториальную точку возьмем в произвольной точке стенки профиля.
Вычисление интегралов формул (7.5) гл. I проведем приемами строительной
механики. Для этого построим эпюры геометрических величин,
входящих в подынтегральные выражения (рис. 31).
На рис. 31, а приведена эпюра секториальных площадей и?в.
векториальные площади на участках верхней полки и стенки равны нулю;
на участке нижней полки они представляются кососимметричной эпюрой*
На рис. 31, б, в приведены эпюры расстояний х и у от точек
профильной линии сечения до главных осей.
Вычисляя интегралы \ х®в dF и \y&BdF приемами строительной
F F
механики, т. е. умножая для каждого участка площадь одной эпюры
на расположенную под ее центром тяжести ординату другой эпюры и
учитывая толщины элементов б, получим:
J*Bx = \ <овя dF = j£- d2 = — /3yrf2,
F
J<*BV = \^(oBydF = 0.
F
54
Тонкостенные упругие стержни
Таким же приемом вычисляем момент инерции Jy:
j у — \ x ar — -j2—I jy — J \y -\- J3yy
где Jly9 J3y — моменты инерции полок относительно оси у.
Для координат центра изгиба, согласно формулам (7.5) гл. I, б\дем
иметь:
*х = О,
а,, =
4«з
*А+*А
d2 =
\
■ \
3?у
(1.1)
Выражение ах=0 показывает, что центр изгиба находится на оси
симметрии. Расстояние ау от этого центра до точки В> отложенное на
£
— а,
т—~л\
Ъ
т
F^T"
Рис. 30
К
Mi
©
I >«*4
ш
Рис. 31
оси Оу в положительном направлении, определяется второй из формул
(1.1). Для двутаврового профиля с одинаковыми полками, как профиля
с двумя осями симметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести се
чения:
Формула (1.2) следует из формулы (1.1), если в ней положить dx=d3,
61=63.
Из формул (1.1) нетрудно получить формулы для координат центра
изгиба таврового профиля. Для зтого нужно площадь сечения одной из
полок положить равной нулю. Если считать с?з=0, то получим:
если считать dt = 0, то
<** = 0, ау = 0;
ах = 0, (ху = с?2.
(1.3)
(1.4)
Выражения (1.3) и (1.4) показывают, что в тавровом профиле центр
изгиба лежит в точке пересечения стенки с полкой. Действительно, как
мы видели в § 4 гл. I, поперечное сечение стержня, состоящего (из п|учка
пластинок, не испытывает депланации, и поэтому изгибно-к^угящий
момент Я» равен нулю. Равенство же нулю #w указывает на то, что
равнодействующая касательных напряжений в поперечном сечении (в
предположении, что касательные напряжения по толщине пластинок
распределены равномерно) проходит через центр изгиба. Этой точкой будет
являться центр пучка, поскольку касательные напряжения параллельны
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 55
профилю стержня и их равнодействующая, следовательно, проходит
через его центр.
Определив центр изгиба для двутаврового профиля с полками разной
ширины, мы можем теперь, пользуясь радиусом-вектором AM, построить
эпюру главных секториальных площадей со. Эта эпюра приведена на
рис. 32. Пащрс А и начальная точка отсчета секториальной площади лежат
на оси (симметрии Оу. Эпюрой секториальных площадей со (рис. 32)
выражен закбн распределения по сечению
дополнительных нормальных напряжений ош от изгибного
кручения.
Формула для секториального момента инерции
принимает вид:
/w = ^ со2 dF = ау1у + (d2 - Оу)2 J3v.
F
Для касательных напряжений хЫ1 возникающих
вследствие депланации поперечного сечения стержня,
из формулы (8.9) гл. I получим:
tfw(*)Sw(s)
тш =
JJ(s)
(1.5)
Отсюда видно, что дополнительные сдвигающие напряжения хш в
поперечном сечении стержня меняются по закону секториального
статического момента:
S„{s) =^(x>dF.
Этот момент вычисляется для отсеченной части контура, т. е. для той
части, которая расположена по одну сторону от рассматриваемой точки
на контуре. Так как правая часть формулы (1.5) содержит знак минус,
а момент дополнительных касательных напряжений относительно центра
I т р q
а)
®
£
8
К
Рис. 33
Jay
SSi
F
■j.
Wt
Рис. 34
изгиба как раз и есть крутящий момент #w, то отсюда следует, что эпюра
секториальных статических моментов, взятая с обратным знаком,
выражает закон распределения касательных напряжений tw по сечению
стержня. Заметим еще, что знак £w($) зависит от направления обхода
контура поперечного сечения, которое в каждом конкретном случае
устанавливается применительно к профилю стержня.
Вернемся к нашему примеру и будем считать, что как для верхней,
так и для нижней полки двутавра возрастание координаты s происходит
слева направо. Отсюда легко построить эпюру 5Ш. Так, для отсеченной
56
Тонкостенные упрушие стержни
части профиля 1т (рис. 33, а) секториальный статический момент будет
отрицателен, поскольку мы от границы контура I до точки т идем в
положительном направлении, а эпюра со для участка 1т отрицательна; для
отсеченной части профиля pq момент Sw также будет отрицателен,
поскольку мы от границы контура q до точки р идем в отрицательном
направлении, а секториальная площадь для этого участка положительна.
Эпюра секториальных статических моментов приведена на рис. 33, б.
По ширине полок моменты Sa
меняются по закону параболы,
поскольку секториальная площадь как для
верхней, так и для нижней полки
выражается нечетной линейной
функцией, для стенки же профиля
секториальный статический момент равен
нулю, так как секториальная
площадь для точек стенки равна нулю.
Напомним, что ранее (§ 5 гл. I) за
положительное направление
касательных напряжений, отнесенных к
положительной поперечной
площадке, мы приняли направление отсчета координаты $, а за положительное
направление крутящего момента, отнесенного к той же площадке,
направление этого момента по часовой стрелке. Принимая это во внимание,
нетрудно определить направление дополнительных сдвигающих усилий в
поперечном сечении стержня. Направление этих усилий в полках двутавра
Рис. 35
oc,ct
(сгг2<ххШ,д, |
4 в
Рис. 36
показано на рис. 33, б стрелками. В любой точке стенки двутавра
дополнительные сдвигающие напряжения исчезают, так как для этих точек S<*
равняется нулю.
2. Корытное сечение (швеллер). Пусть с? и б соответственно ширина
и толщина стенки, а g?i и 61 — ширина и толщина полок корытного
сечения (рис. 34). Центр изгиба А для такого сечения лежит на оси симметрии
Ох, Нулевая секториальная точка находится на пересечении оси
симметрии с профилем стержня. Расстояние ах от стенки до центра изгиба А
определяется по формуле (7.5) гл. I.
На рис. 35, а приведена эпюра секториальных площадей org с полюсом
В в точке пересечения стенки с осью симметрии Ох\ на pi(c. 35', б дана
эпюра ординат у. Вычисляя приемами строительной механшсй
определенный интеграл от произведения функций, представленных эпюрами
(Ов и г/, и учитывая толщину полки 8i, получим:
J»Bv = \ У® в dF =
F
4~~
(1.6)
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 57
Момент инерции Jx вычисляется как интеграл от квадрата ординат
эпюры у по площади сечения F:
Jx = \ У2 dF = -jg- + -^i . (1.7)
Подставляя выражения (1.6) и (1.7) в соответствующую
формулу (7.5) гл. I, получим координату центра изгиба:
ос* =
<*BV F 6ai°\ tfl°l
ly2dF « + e*A 2dA+db
F *j
Эпюра главных секториальных площадей ш, представленная на
рис. 36, а, имеет кососимметричный вид относительно оси симметрии Ох.
Началом отсчета площадей служит точка В, лежащая на оси симметрии,
векториальные площади для точек стенки, лежащих ниже оси Ох, будут
иметь положительные значения, поскольку эти площади описываются
движением радиуса-вектора AM по часовой стрелке. В точке
примыкания полок к стенке секториальные площади достигают наибольших
значений, что указывает на то, что при кручении наибольшие дополнительные
напряжения будут возникать в углах швеллера.
векториальная площадь для полок сечения по мере удаления от стенки
убывает по абсолютной величине и в точке С, находящейся от стенки на
расстоянии, равном расстоянию от стенки до центра изгиба А, принимает
нулевое значение.
векториальный момент инерции J& вычисляется как интеграл от
квадрата ординат эпюры ш по F. Пользуясь приемами строительной механики,
получим:
/ш = ^ со2 dF = 1 (dx - Зое*) d2 d\bx + axJx,
F
где Jx — момент инерции (1.7).
На рис. 36, б приведена эпюра секториальных статических моментов
So,, характеризующих распределение по сечению сдвигающих усилий
Т=хЬ от кручения. За положительное направление обхода принят обход
контура по часовой стрелке. Моменты 5Ш на каждом прямолинейном
участке контура меняются по закону квадратной параболы и
принимают максимальные (по абсолютной величине) значения в тех точках, где
секториальные площади (о равны нулю. Направление сдвигающих усилий
при кручении в поперечном сечении стержня представлено на рис. 36, б
стрелками.
3. Зетовое сечение. Для определения центра изгиба в зетовом
сечении с шириной и толщиной стенки d и б и полок d\ и 6i выберем
вспомогательный полюс В в центре тяжести сечения (рис. 37). Начало отсчета
секториальной площади возьмем в произвольной точке стенки профиля.
Эпюры секториальных площадей «в и координат х и у для контура
сечения приведены на рис. 38. Вычисляя при помощи этих эпюр интегралы,
входящие в формулы (7.5) гл. I, и имея в виду, что для полок эпюры
секториальных площадей одинаковы, а эпюры координат отличаются
только знаками, получим:
ах = 0; ау = 0. (1.8)
Выражения (1.8) показывают, что для зетового сечения центр изгиба
совпадает с центром тяжести.
58
Тонкостенные упругие стержни
Построим теперь эпюру главных секториальных площадей. Полюс А
этих площадей находится в центре изгиба, т. е. в данном случае в центре
тяжести сечения. Нам нужно эпюру со построить так, чтобы эта эпюра
была взаимно нулевой не только с эпюрами х и у от изгиба, но также и с
эпюрой от равномерного растяжения или сжатия.
Рис. 38
Поскольку эпюра (ов, приведенная на рис. 38,а, ортогональна с
эпюрами х и у (рис. 38, б, в), нам остается теперь наложить на нее эпюру,
соответствующую напряжениям от осевого растяжения (сжатия), и
подобрать ординаты эпюры со так, чтобы секториальный статический
момент 5W для всего сечения обратился в нуль.
J*
цаб+ZuAY
Рис. 39
Пусть точка полки Мо, отстоящая от стенки на расстоянии /, служит
началом отсчета секториальных площадей со. При таком выборе
начальной точки эпюра секториальных площадей со будет иметь вид, показанный
на рис. 39, а. Ординаты этой эпюры являются линейными функциями
параметра t, определяющего положение начальной точки Мо. Подберем
параметр t так, чтобы секториальный статический момент S& для всего
сечения обратился в нуль, т. е. чтобы
S„=\<s>dF= 0.
(1.9)
Раскрывая условие (1.9) при помощи эпюры, изображенной на рис. 39, а,
по правилу Верещагина получим:
(b.-t)^
tcPb
= 0,
откуда
t —
*i"i
db + Ufa
(1.10)
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 59
Эпюра со, приведенная на рис. 39, а, при t, определяемом по формуле
(1.10), будет взаимно нулевой со всеми остальными компонентами
общей четырехчленной формулы (8.5) гл. I. Это значит, что нормальные
напряжения ош, изменяющиеся по сечению согласно закону главной
секториальной плОщадк со, из четырех статических факторов формулы
(8.5) гл. I дают только изгибно-крутящий бимомент В, Продольная сила
от этих напряжений и изгибающие моменты будут равны нулю.
Секториальная площадь со по ширине полки меняется по линейному
закону. По стенке эта площадь остается постоянной. Это указывает на
то, что при изгибном кручении зетового стержня стенка испытывает
равномерное растяжение или сжатие в зависимости от знака внешнего
крутящего момента и от условий закрепления стержня на концах1.
Для секториального момента инерции получаем формулу:
I _ffii M^i + 2dt
J<*~ 12 а ^6 + 2^бГ
На рис. 39, б приведена эпюра секториальных статических
моментов iSo,, характеризующих изменение секториальных сдвигающих усилий
Т=т6 в поперечном сечении (контур сечения обходится слева направо).
Эпюра S& на участках полок представляется параболами второй степени
с максимальными ординатами в начальных точках отсчета секториальных
площадей. Для стенки секториальный статический момент меняется по
закону прямой линии, принимая нулевое значение в начале координат.
На этом же рисунке показаны равнодействующие сдвигающих усилий,
подсчитанные на участках поперечного сечения по эпюре секториальных
статических моментов. Эти равнодействующие для всего сечения
приводятся к одному только изгибно-крутящему моменту Н<*.
4. Составное несимметричное сечение. Рассмотрим сложное
несимметричное сечение, составленное из двух швеллеров № 12 (рис. 40, а).
Такое сечение применяется в промышленных зданиях в качестве
фахверкового прогона.
Выпишем характеристики швеллера № 12, которыми мы
воспользуемся при вычислениях (ГОСТ 10017-39):
h = 12 см, b = 5,3 см, d = 0,55 см, t = 0,9 см,
F = 15,36 см2, Jx= 346,3 см*, Jy = 37,4 еле4, z0 = 1,62 еле.
Центр тяжести сечения находится в точке О, отстоящей от оси
горизонтальной стенки на расстоянии 2,46 еле и от оси вертикальной стенки
на расстоянии 3,54 еле. Главная ось Ох составляет с горизонтальной
осью угол р=29°53' (рис. 40, б). Площадь сечения и главные моменты
инерции равны:
F = 30,72 еле2, Jx = 976,8 еле4, Jy = 383,8 еле4. (1.11)'
Оси отдельных элементов сечения с указанием длины, толщины и
площади каждого участка показаны на рис. 41, а.
При определении центра изгиба и вычислении секториальных
характеристик мы будем считать, что для горизонтального элемента сечения
2 — В осью служит прямая, являющаяся осью стенки горизонтального
швеллера. Толщина этого элемента на участке 2 — 6 равна толщине стенки
1 Приведенное здесь утверждение на основании теоремы Бетти о взаимности
работ имеет также и обратную силу; зетовый стержень в случае действия осевой силы,
приложенной в точках стенки профиля, наряду с растяжением (сжатием), будет
испытывать и кручение. Более подробно об этом изложено в § 8
60
Тонкостенные упругие стержни
швеллера, а на участке 6 — В — сумме толщин стенки горизонтального
швеллера и полки вертикального.
Выбирая вспомогательный полюс в точке В пересечения осей стенок
двух швеллеров, получим для участков В — 2, В — 3 и В — 4 нулевые
эпюры секториальных площадей и для участков 1 — 2 я 4 — 5 —
треугольные эпюры (рис. 41, б). Координаты точки В в главных осях будут:
Ьх = 4,29 см, bv=— 0,38 см. (1.12)
Рис. 40 Рис. 41
Эпюры координат точек профильной линии х и у даны на рис. 42.
Вычисляя определенный интеграл от произведений ш^наа; и у и
учитывая толщины элементов, получим:
Лов* = — 1096,0 смь, J»BV = — 38,3 см5. (1.13)
Рис. 42
Подставляя (1.11), (1.12), (1.13) в формулы (7.5) гл. I, найдем
координаты полюса А:
ах = 4,25 см, ау — 2,48 см.
По отношению к осям стенок швеллеров центр изгиба А отстоит: от
вертикальной оси на расстоянии 1,38 см (вправо) и от горизонтальной оси
на расстоянии 2,48 см (вниз) (рис. 43, а).
Определим начальную точку отсчета главных секториальных
площадей Мо. Пусть эта точка находится на стенке вертикального швеллера
на расстоянии t от оси стенки горизонтального хшв^ллера. Эпюра
секториальных площадей шА при фиксированном расстоянии t будет иметь
вид, показанный на рис. 43, а. Вычисляя с помощью этой эпюры секто-
риальный статический момент S<* для всего сечения, найдем:
S„(t) = 42,53* —102,72.
Гл. 77. Методы расчета тонкие пенных стержней открытого профиля 61
Этот момент при произвольном t есть функция положения начальной
точки отсчета секториальной / площади.
Приравнивая величину S& нулю, получим:
>=^,415 см.
По определении t эпюра главных секториальных площадей со будет
иметь вид, показанный на рис. 43, б.
О)
U8t>35,7t 08КМ
6)
39,04
10,27
Рис. 43
Для секториального момента инерции получаем значение
Л, = 4829 см\
Эпюра секториальных статических моментов S^ дана на рис. 44.
5. Сечение, очерченное по дуге окружности. Пусть R — радиус дуги
профильной линии кругового сечения,
б — толщина стенки сечения, а — половина
центрального угла (рис. 45).
Рис. 44
Выберем полюс В вспомогательной секториальной площади в
геометрическом центре дуги окружности. Начало отсчета площади а>в
возьмем в точке Л/о пересечения оси симметрии с профильной линией
контура. Обозначая через <р центральный угол, определяющий на контуре
точку Л/ с текущей координатой s, и совмещая ось Оу с осью симметрии
сечения, мы можем написать:
х = R sin ф, у = by — R cos ф, (ов = 7?2ф.
(1.14)
Согласно значениям (1.14), получаем выражения секториально-центро-
бежных моментов инерции, входящих в формулы (7.5) гл. I:
+а
Л>в* = \ %®в dF = i?46 \ ф sin ф с?ф,
62
Тонкостенные упругие стержни
Ju>BV = \ у(&в dF = -Я3& \ (by — R cos ф) ф с?ф.
F —а
В моменте инерции 1ШвХ подынтегральное выражение представляет
собой четную функцию. Этот интеграл будет отличен от нуля. В моменте
инерции 1ШвУ подынтегральное выражение представляет собой
нечетную функцию. Интеграл от нечетной функции в интервале,
симметричном относительно начала координат, как площадь кососимметричнои
эпюры равен нулю. Таким образом
овх
*ВУ '
•■ 2i?46 (sin а — а cos а),\
0. (
Учитывая, что Ъх =0, получим из формул (7.5) гл. I и (1.15):
*х = ах = 0, ]
<*вх
2Л46
(sin а — а cos а).
(1.15)
(1.16)
Равенство ах=0 показывает, что центр изгиба находится на оси
симметрии. Расстояние по оси симметрии от центра изгиба до
геометрического центра дуги окружности, совпадающего с полюсом #, определяется
второй формулой (1.16).
Вычислим момент инерции /у, входящий в эту формулу. Пренебрегая
моментом инерции элемента dF=6ds относительно касательной к дуге
контура сечения по сравнению с моментом инерции всего сечения, т. е.
считая, что нормальные напряжения о по толщине стенки
распределяются равномерно, мы можем написать:
Jv = \ x2dF.
F
Подставляя в эту формулу значения х и dF из формул (1.14) иг
интегрируя, получим:
Jy = R3b \ sin2фcftp = i?36(а — sinacosa). (1.17)-
Вторая из формул (1.16) принимает вид:
ау = — 27?
sin a — a cos a
a — sin a cos a
(1.18>
По формуле (1.18) расстояние от центра изгиба до центра дуги круга
по оси симметрии определяется в функции угла а (при центральном угле-
2а). Значения координат ау для разных углов а приведены ниже в табл. 2..
a
ay
30°
-1,004 R
60°
-1,117 R
90°
—1,274 R
120°
—1,436 R
Таблица 2
150°
-1,609 R
180°
—2 Л
Из этой таблицы видно, что центр изгиба находится вне дуги контура
сечения.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 63-
При а =180°, т. е. в случае тонкостенной трубы, имеющей сквозной
разрез по образующей, центр изгиба находится на расстоянии диаметра
D=2R от геометрического центра О в стороне, противоположной
разрезу (рис. 46, а)1.
Если концы такой трубы закрепить от прогибов и угловых перемещений
и приложить к ней в середине пролета сосредоточенную поперечную
нагрузку, то состояние напряжений и деформаций трубы будет зависеть
Рис. 46
от положения нагрузки в плоскости поперечного сечения. Если
нагрузка проходит через центр изгиба, то труба будет находиться в условиях
одного только поперечного изгиба (рис. 46, а). Если нагрузка не проходит
Рис. 47 Рис. 48
через центр изгиба, например, в случае действия собственного веса
(нагрузка проходит через центр тяжести сечения, рис. 47), то труба будет
находиться в условиях сложного сопротивления, при изгибе (рис. 46, а)
и кручении (рис. 46, б) одновременно. В поперечном сечении трубы, кроме
напряжений от изгиба, подчиняющихся закону плоских сечений,
возникнут дополнительные напряжения от «кручения, определяемые законом
секториальных площадей.
Эпюры ординат у и секториальных площадей со, характеризующие
распределение напряжений ах и aw в поперечном сечении, соответственно
при изгибе и кручении, показаны на рис. 46, а и б. На рис. 47 дан
примерный вид эпюры напряжений ох+аш при совместном действии изгиба
и кручения.
Из эпюры рис. 46, б видно, что в поперечном сечении разрезанной
трубы имеются три точки, в которых напряжения аы от кручения равны
нулю. Эти точки не лежат на одной прямой, что указывает на деплана-
цию сечения. Секториальные напряжения аш достигают максимальных
1 Во избежание недоразумений обращаем внимание на то, что на рис. 45, 48, 50
осью симметрии служит Оу, а на рис. 46, 47, 49 осью симметрии служит Ох.
64
„пристенные упругие стержни
(по абсолютной величине) значений в точках Е nF (не считая точек,
совпадающих с разрезом), где подвижной радиус-вектор, описывающий
площадь (D, совпадает с касательной к дуге профильной линии. В точке,
совпадающей с разрезом, напряжения aw вследствие свободной подвижности
продольных краев претерпевают разрыв.
В рассматриваемом круговом сечении для эпюры главных секто-
риальных площадей со получается простое аналитическое выражение.
Из рис. 48 имеем:
ш = R (<ху sin ф + #ф)-
В этой формуле <Ху берется со своим знаком. Для секториального
момента инерции получаем формулу:
4-е
/ю = [ tfdF = R3b \ (OySincp + #Ф)2Жр =
F —a
= |Д2бГаз_ 6 (sin а-а сов oQM { щ
3 L а - sin a cos a J ' v f
2
при а = я /ш = у 7?б6я (я2 — 6).
Зная значение со(а), нетрудно получить аналитическое выражение
для секториального статического момента отсеченной части сечения. За
положительное направление обхода примем обход контура по часовой
стрелке. Пользуясь рис. 48 для отсеченной части МК, получим:
ф
S„ = \ (*dF = R2b [ (*vs\n<( + R<p)d<p.
Полагая в этой формуле a = я, получим выражение Sa для трубы
с разрезом:
ф
S» = Л2б [ (— 2 sin ф + ф) dy = Л3Ь (2 cos <р + £■ — 2,93). (1.20)
Эпюра секториальных статических моментов, вычисленная по
формуле (1.20), приведена на рис. 49. Из этой эпюры видно, что в случае
кручения касательные напряжения, пропорциональные S^ достигают
наибольших значений в двух точках поперечного сечения. Эти
напряжения статически приводятся к изгибно-крутящему моменту Нш (§ 8 гл. I),
который вместе с моментом от чистого кручения уравновешивает
внешний крутящий момент.
Формулы (7.5) гл. I для вычисления координат центра изгиба и
формула (6.12) гл. I для вычисления секториального момента инерции имеют
общий характер; в частности, толщина контура поперечного сечения
может меняться по любому закону.
Рассматривая выше профиль, очерченный по дуге окружности, мы
предполагали толщину контура постоянной. Полученные результаты
мы можем обобщить на случай, когда поперечное сечение стержня
оболочки, очерченное по дуге окружности, состоит из участков различной
толщины и имеет одну ось симметрии (рис. 50, а).
С этой целью рассмотрим какой-нибудь промежуточный /с-й участок,
толщина которого равна 6к; участок этот ограничен радиусами,
составляющими с осью симметрии в положительномквадранте углы p^_L и [}&; аналогич-
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 65
ный участок в силу симметрии будет и по другую сторону оси
симметрии (рис. 50, б). Далее мы будем считать, что контур, заключенный между
углами — рА и +рЛ, имеет толщину +б*» а контур, заключенный между
— р/с_1 и + Pfc-n имеет отрицательную толщину—6*. Тогда для ft-го
участка получим по формуле (1.15):
-\
F
s(oDdF = Л4б,
( \ <psin<pd(p— \ <psin<pd<p)
= 2Л46Л [(sin р* — р* cos р*) — (sin рЛ_х — р*^ cos р*^)],
и по формуле (1.17):
Jv = ^ aW = /?36Л [(Р* — sin р* cos рЛ) — (рЛ_х — sin р*_! cos 3*-i)].
Рис. 50
Суммируя полученные величины по индексу к от 1 до л, где л — число
участков, имеющих разную толщину, получим формулу для координаты
центра изгиба:
п
j 2 [(sin рЛ - РЛ cos pft) - (sin рЛ_х - p^cos р^)] 6к
ау = --^ = -2Д*=1 .(1.21)
У S КР* - sin 3* cos Р*) - (P*-i - sin 3^icos" 3a-i)1 6к
/c=i
Аналогичным же образом получим формулу для секториального
момента инерции:
, п -.2
\ 2 [(sin Рл - pft cos рл) - (sin pft_x - 3ft_x cos p^)] бл
JJ [(pA - sin pA cos pk) - (Р^х - sin pft-1 cos ^k_1)) 6k
. (1.22)
A-=l
6. Сечение, усиленное продольными ребрами (стрингерами).
Рассмотрим тонкостенный стержень, усиленный продольными ребрами.
Поперечное сечение такого стержня будем представлять профильной
линией с сосредоточенными в отдельных точках площадями сечений
продольных ребер (рис. 51). Принимая для таких стержней гипотезу о
недеформируемости контура сечения, мы можем изложенную выше теорию
секториальных площадей распространить также и на сечения с толщиной
66
Тонкостенные упругие стержни
стенок, меняющейся по закону любой прерывной функции. Для этой цели
нам достаточно приведенные выше определенные интегралы, относящиеся
к различным секториальным характеристикам сечения, понимать как
интегралы Стильтьеса, т. е. на участках, где рабочее поперечное сечение
представляется конечными площадями, приложенными в отдельных
точках сечения, заменять зти интегралы суммами произведений
подынтегральных функций на значения соответствующих площадей. При таком
обобщении секториальные центробежные моменты инерции /мх и 1шу,
входящие в формулы (7.5) гл. I, примут следующий вид:
'<авх
J x(*BdF = J scoB6 ds + 2 xkvBkfk, j
F L k
J<*Bv = \ V<*BdF = J y©B& ds + ^ yk<*Bkfk>
(1.23)
где б = б (s) — толщина стенки сечения (в общем случае может быть
переменной); Д. — площадь сечения продольного ребра с центром тяжести
в точке К; сов*- — секториальная площадь для точки К; эта площадь
определяется полюсом В и профильной линией MqM и не зависит от
площадей сечения элементов тонкостенного стержня.
Интегралы, стоящие в правых частях
формул (1.23), берутся по переменной s и
распространяются на весь контур сечения.
Суммы распространяются на все площади
сечения, сосредоточенные в точках контура.
Для осевых моментов инерции Jx и Jv мы
получаем аналогичные выражения:
0
</\
5^
1
V...
Д*
Рис. 51
L к !
(1.24)
L к
На основании уравнений (1.23) и (1.24) формулы (7.5) гл. I
принимают вид:
ах =
ly^Bbds+^yk(oBkfk
L к
1 ™Bbds + 2**°W/c
L к
L к L к
Для секториальных характеристик S& и /w получаем выражения:
L(s) *(«) I
/. = $ ©«в Л+ 2^4/*-
(1.25)
(1.26)
Первой из формул (1.26) определяется секториальный статический
момент для точки контура М; интеграл и суммы, стоящие в правой части
этой формулы, распространяются только на отсеченную часть сечения.
Для всего сечения £« = 0. Второй из формул (1.26) определяется
секториальный момент инерции. В этой формуле интегрирование по s и сум-
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 67
мирование по сосредоточенным площадям /fr распространяется на все
поперечное сечение.
По формулам (1.25) и (1.26) мы можем вычислить координаты центра
изгиба и секториальные характеристики сечения для прокатных
профилей с учетом переменности толщин стенок и утолщений в местах
сопряжения отдельных частей сечения.
По этим же формулам можно рассчитать сечения, состоящие из одних
только сосредоточенных площадей. В этом случае нужно, очевидно,
толщину стенки б считать равной нулю. Мы получим:
ах =
S WW*
а-и = —
2 x*<w*
_k
2j xkh
k(s)
'. = 2°*/*-
(1.27)
Формулы (1.27) относятся к стержням, в которых нормальные силы
в поперечных сечениях воспринимаются одними только продольными
элементами. Такими стержнями являются, например, фермы открытых
железнодорожных мостов, пространственные конструкции самолета,
усиленные ребрами, и т. д. Сквозные стенки ферм в приведенном здесь расчете
в) ф.
Рис. 52
условно рассматриваются как сплошные пластинки, работающие в
поперечных сечениях на одни только сдвигающие силы. Нормальные силы
воспринимаются одними только продольными элементами.
В качестве примера рассмотрим мостовую ферму о ездою понизу,
усиленную поперечными рамами. Выбирая для определения центра изгиба
по формулам (1.27) полюс в точке В и полагая /1=/2=/з=/4, получим
ау=-~ (рис. 52, а)> Центр изгиба, как мы видим, и в этом случае
находится вне сечения. При кручении продольные деформации
удлинений по сечению распределяются по закону секториальных площадей.
Эпюра этих площадей приведена на рис. 52, в. Умножая деформации
удлинений на жесткость Ef продольных элементов, получим
нормальные усилия в поясах пространственной фермы при кручении. Эти усилия
нужно прибавить к усилиям, возникающим в стержнях фермы от изгиба.
Таким образом, принимая для ферм гипотезу о недеформируемости
контура сечения, мы можем эти фермы рассчитывать как сплошные
пространственные системы, учитывая возникающие в них
дополнительные напряжения от кручения.
Тонкостенные упругие стержни
7, Цилиндрическая оболочка, подкрепленная в продольном
направлении пластинками и стержнями. На рис. 53, а показано поперечное
сечение системы, состоящей из цилиндрической оболочки, двух пластинок
и двух бортовых элементов, каждый из которых представляет собой
тонкостенный стержень.
Если рассматриваемая конструкция по своим размерам относится к
категории длинных цилиндрических оболочек или если эта конструкция
в поперечном направлении усилена ребрами (шпангоутами), то при рао
чете такой конструкции как
пространственной системы может быть с успехом
использована теория тонкостенных стержней.
Распределение продольных нормальных
напряжений при изгибе описывается законом плоских
сечений, причем этот закон распространяется
на все элементы сечения, включая и участки
профиля, относящиеся к продольным
стрингерам, пластинкам и тонкостенным стержням,
работающим совместно с оболочкой и
составляющим с профилем этой оболочки в
поперечном сечении одно жесткое целое. Аналогично
в случае изгибного кручения распределение в
поперечном сечении продольных нормальных
напряжений описывается законом секториаль-
ных площадей, и этот закон,
характеризующий депланацию сечения, остается также
единым для всех элементов профиля.
На рис. 53, б показана эпюра ординат
х — х (s), выражающая закон плоских сечений
j. при изгибе стержня-оболочки из плоскости
м симметрии. На рис. 53, в приведена эпюра
ординат а = ы ($) закона секториальных
площадей при изгибном кручении относительно центра изгиба А. Положение
центра А определяется по формулам (7.5) общего метода,
изложенного в § 7 гл. I. Входящие в эти формулы определенные интегралы
распространяются на все элементы профиля. Главные характеристики
сечения для рассматриваемого сложного профиля вычисляются по формулам
(6.9) — (6.13), в которых интегрирование распространяется также на
все участки сложного профиля, включая промежуточные пластинки и
бортовые тонкостенные стержни.
§ 2. Кручение стержня при действии поперечной нагрузки
1. В § 9 гл. I было установлено, что тонкостенный стержень,
обладающий в поперечном сечении жестким контуром, при действии на него
поперечной нагрузки, не проходящей через центр изгиба, будет испытывать
не только деформации изгиба, но также и деформации кручения. Мы
опустим здесь все, относящееся к изгибу балок, основанному на гипотезе
плоских сечений [первые три уравнения (7.3) гл. I], и займемся только
изучением кручения тонкостенного стержня, возникающего в общем
случае действия поперечной нагрузки. Последняя формула (7.3) гл. I
дает для угла закручивания 6 (z) в случае действия одной только
поперечной нагрузки дифференциальное уравнение
EJ^1Y - GJdBn — т = 0. (2.1)
Напомним, что через т обозначен свободный член, представляющий
собой в случае действия одной только поперечной нагрузки внешний
крутящий момент, приходящийся на единицу длины оболочки. Если qx
Рис. 53
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 69
и qv — интенсивность поперечных нагрузок, действующих по
направлениям главных осей, а ех и еу — плечи этих нагрузок относительно центра
изгиба (рис. 54), то крутящий момент т определяется формулой
Чу х ^х у
Разделим уравнение (2.1) на коэффициент при 0 и введем обозна*
чения:
А2 =
GJd
EJtA
■I2
(2.2)
(I — длина пролета стержня-оболочки
вдоль образующей),
/(*) =
EJ.
•т.
Тогда уравнение (2.1) примет более
простой вид:
9IV-£e"-/(Z)
о.
(2.3)
Рив. 5 4
2. Дифференциальное уравнение (2.3) — линейное, неоднородное
(в случае, если m=f=0), с постоянными коэффициентами.
Общий интеграл дифференциального уравнения (2.3) может быть
представлен в виде
0 (z) = d + C2z + С3 sh -£- z + Ct ch -j- * + в (z).
(2.4)
Здесь Cu C2» Cs и C4 — произвольные постоянные, получающиеся в
результате интегрирования однородного дифференциального уравнения,
т. е. уравнения, получающегося из уравнения (2.3) путем отбрасывания
свободного члена / (z); Q(z) — любое частное решение, удовлетворяющее
неоднородному уравнению (2.3); к — безразмерное характеристическое
число, определяемое по формуле (2,2)1.
*-«/£•
1 Напомним, как получается общее решение однородного уравнения
Решение этого уравнения ищем в виде
в = е",
(а)
(б)
где г — неизвестный множитель, подлежащий определению. Подставляя (б) в
уравнение (а), получим:
rVz~-Jr2erz=0.
Отсюда, сокращая на общий множитель erz, будем иметь для определения
значений г характеристическое уравнение
(в)
Л2 / к2 \
Г4-—Г2 = 0 ИЛИ Г« (г»--£-)= 0.
Решая уравнение (в), находим для его четырех корней следующие значения:
к к
п = г2 = 0 (корень двойной кратности), гз = у , г4 = — -j .
70
Тонкостенные упругие стержни
Это число, как мы видим, зависит от отношения жесткости G/d при
чистом кручении, рассматриваемом в свете теории Сен-Венана, к секто-
риальной жесткости EJ& (т. е. жесткости, относящейся к кручению
стержня, сопровождаемому появлением в поперечных сечениях нормальных
напряжений) и пропорционально I — пролету оболочки в продольном
направлении.
Имея общий интеграл для угла закручивания (2.4), мы можем
получить также общие интегралы для депланации 9' = -^— и для
внутренних силовых факторов поперечного сечения стержня.
Такими факторами являются бимомент /?, получающийся от
нормальных напряжений при кручении (вместо него можно было бы взять
сами нормальные напряжения, связанные с бимоментом формулой
о = -j- со , и полный крутящий момент Н, состоящий из суммы из-
гибно-крутящего момента Нш от осевых сдвигающих сил и крутящего
момента Ни от неравномерного распределения касательных напряжений
по толщине стенки. Для этих величин мы получили формулы (8.3) и (8.11)
гл. I:
S=-£/"S' 1 (2.5)
Н = — EJJ'" + GJdB'. j к
Найдя производные первого, второго и третьего порядка по
переменной z от функции 0(z) (2.4) и внося их в формулы (2.5), получим общие
интегралы для В и Н. Окончательно получим для четырех основных
расчетных величин (двух кинематических: угла закручивания в и
депланации в', и двух статических: бимомента В и полного крутящего момента Н)
следующие формулы:
0 (z) = d + C2z + С3 sh -j- z + C4 ch -j- z + 6 (z),
6' (z) = C, + C,-f ch-£-* + C4Ash .*. z + 9' (z),
В (z) = - GJd [Cs sh А г + Ct ch £ z + £ 9* (*)],
Я (z) = £/d [C2 + 9'(z) --J 6"'''(z)] .
(2.6)
3. В теории дифференциальных уразиопин указываются общие
приемы для отыскания частных интегралов неоднородного уравнения. Так,
например, зная общий интеграл однородного уравнения, можно опре-
Следователыю, общий интеграл однородного уравнения (а) можно записать
в виде
J(_ k_
Q = Ci + C2z + C3el +С4е l .
Переходя затем от показательных функций к гиперболическим по формулам:
-г* * * —Г2 * *
е =cn-jrz-fsh-i-z, е = ch у г - shyz
и обозначая (С3 + С4) и (С3 — С4) новыми постоянными С3 = С3 + С4 и С4'= С3—С4,
получим искомое выражение
к к
е = Сх + C2z -j- С3 sh -j z + C4 ch -j z.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 71
делить частный интеграл неоднородного уравнения методом вариации
произвольных постоянных; этот способ применим вообще к линейным
уравнениям с постоянными и переменными коэффициентами.
Для разных частных видов нагрузок указываются наиболее простые
и быстрые способы получения частных интегралов. Мы не будем
рассматривать все эти случаи, так как в дальнейшем намерены при решении
дифференциального уравнения кручения воспользоваться методом
начальных параметров, а нахождение частных интегралов по этому методу
отлично от классических способов, о которых мы говорили выше.
Применению метода начальных параметров к нашей задаче мы посвятим следующий
параграф, а теперь приведем несколько примеров получения
частных интегралов для некоторых часто встречающихся случаев нагрузки
по обычной теории.
а) Сосредоточенный крутящий момент. Такой
случай имеет место при отсутствии поверхностных сил. Сосредоточенный
крутящий момент получается от действия сосредоточенной поперечной
нагрузки, не проходящей через центр изгиба. Погонная нагрузка от
крутящего момента т равна нулю. Частный интеграл неоднородного
уравнения (2.3) равен нулю:
e(z)=0.
Формулы (2.6) принимают следующий вид:
9(2) = Сг + C2z + C3sh Az + C4ch Az,
e'(z)= c2 + c3AchAz + c4Ash^z,
£(z) = ~G/d(c3shAz + C4chAz),
H(z) = GJdC2.
Из четвертой формулы (2.7) видно, что общий крутящий момент от
внутренних сил на незагруженном участке не зависит от переменной z.
Это следует также и из условий
равновесия части стержня, заключенной
между сечениями, в плоскостях которых
действуют крутящие моменты от
сосредоточенных сил.
Формулы (2.7) позволяют также
определить усилия и деформации
стержня от внешней нагрузки, приложенной
по концам и осуществленной в виде
нормальных или касательных
напряжений, распределенных по сечению в
соответствии с законом секториаль-
ных площадей. рис 55
б) Равномерно
распределенный крутящий
момент. Если на стержень действует поперечная нагрузка, имеющая
постоянную интенсивность и постоянное направление и приложенная на
линии, параллельной образующей, то внешний погонный крутящий
момент т от такой нагрузки будет выражаться постоянной (не зависящей
от z) величиной.
Обозначая интенсивность поперечной нагрузки через q и плечо этой
нагрузки относительно центра изгиба соответственно через е1 получим
(2.7)
72
Тонкостенные упругие стержни
для интенсивности крутящего момента т выражение (рис. 55):
m=qe.
Дифференциальное уравнение (2.3) для этого случая принимает
следующий вид:
flIV A:2 fl„ qe п
Частное решение этого неоднородного уравнения будет:
п ?е_Р_ л
v - 2EJa fc* z '
Общие интегралы (2.6) для деформаций и усилий от кручения будут
иметь вид:
в (г) = Сх + C2z + Cssbj-z + C4ch|z - ^-^ z\
B'(z)=C2+Cs±ch±z + Ci±sh±z-£->-?fzt
B(z)=-GJd(cssb±z + Cicb±z-£:£y
ff{z)=GJd(C2-£-JLzy
в) Крутящий момент, распределенный по закону
трапеции. Интенсивность крутящего момента т может быть выра^
жена формулой
™> = e(q0 + -^-z),
где функция qQ+-j-z представляет собой трапецоидальную Нагрузку,
приложенную на прямой, параллельной образующей, и имеющую
плечо е относительно центра изгиба. Общие интеграле (2.6) в этом
случае имеют вид:
4z) = C1 + C2z + Casb±z + Cicb±z-sZj:(3q0z*+<!?- *»)£,
в' (*) = Сй + Сь ±-<Ai\ z + C4-fsh j-z - £- (q0z + ±lL z2)-£ ,
B(z)=-GJd[cash±z + Cicb±z--^(q0 + ^ *)£],
FW-^C.-^w + ^.Hji. + ^i-].
4. Определив тем или иным способом общие интегралы четырех
основных расчетных величин в функции четырех произвольных постоянных
интеграции, мы можем определить эти произвольные постоянные, исходя и&
граничных условий на концах стержня. Так как произвольных
постоянных четыре, то на каждом конце стержня необходимо поставить два
условия.
Основные виды граничных условий, с которыми нам придется
встречаться, можно свести к нескольким типам.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 73
а) Конец стержня жестко заделан. Это значит, что
опорное сечение закреплено от перемещений как в плоскости этого
сечения (отсутствие угла закручивания 0), так и из плоскости (отсутствие де-
планации 8'). Это чисто кинематические граничные условия; их можно,
следовательно, записать так:
6 = 0, в' = 0 (2.8)
при z = 0 или z = Z, в зависимости от того, к какому концу относится
это условие.
б) Конец стержня имеет шарнирное
закрепление. Под шарнирным закреплением стержня мы условимся понимать
такое закрепление, при котором опорное сечение не имеет угла
закручивания (сечение закреплено от поворота относительно оси z) и свободно
может депланировать из своей плоскости (по сечению отсутствуют секто-
риальные продольные'силы). Граничные условия для шарнирно
закрепленного конца стержня будут иметь вид:
6=0, В=0. (2.9)
Здесь одно условие кинематическое, другое — статическое.
в) Стержень имеет свободный конец. Под этим
понимается отсутствие на конце статических факторов (продольных секто-
риальных сил и общего крутящего момента). Следовательно, на
свободном конце стержня мы имеем чисто статические условия:
fi = 0f # = 0. (2.10)
I Так как стержень имеет два конца, то граничные условия могут
сочетаться в разных комбинациях; так, например, условия (2.8), равно как и
условия (2.9), могут выполняться на обоих концах одного стержня;
условия (2.10) не могут выполняться на обоих концах одного стержня; на
одном конце могут выполняться условия (2.8), а на другом (2.9) или (2.10).
Перечисленными комбинациями мы, конечно, не исчерпываем всех
видов граничных условий, которые могут встретиться на практике; на
концах могут быть приложены крутящие моменты заданной величины,
бимоменты или продольные нормальные силы и т. д. Некоторые из таких
видов граничных условий будут ниже рассмотрены.
Наложением граничных условий и определением произвольных
постоянных интегрирования, по существу, заканчивается основная часть
расчета; дальнейшее заключается в вычислении силовых или
кинематических факторов.
§ 3. Применение метода начальных параметров
к расчету стержней на кручение
1. Общее решение однородного дифференциального уравнения
кручения
eIV_-*Le" = o (3.1)
к
представлено формулами (2.7). В этих формулах функции 1, z> shy*,
к
ch -r z являются частными линейно' независимыми между собой решениями
уравнения (3.1), а С1э C*t С*и ^4 произвольными постоянными. Эти
постоянные в каждом частном случае определяются из граничных условий.
Пользуясь методом начальных параметров, мы можем легко выявить
74
Тонкостенные упругие стержни
природу этих постоянных и значительно упростить расчет стержней на
кручение.
Выберем начало координаты z в каком-либо произвольном сечении
стержня. Будем считать, что для этого начального сечения все
геометрические и статические факторы, связанные с кручением стержня по секто-
риальному закону, имеют вполне определенные заданные значения.
Обозначая эти факторы соответственно через 60, 6', В0 и Н0 и
предполагая, что стержень находится под действием одних только начальных
факторов, т. е. считая, что по длине стержня внешние воздействия равны
нулю, получим из общих формул (2.7), полагая z = О, следующую
систему уравнений для определения произвольных постоянных Сг, С2, Сз и
С4 через начальные параметры 0О, 6^, В0 и Н0:
% = С\ + СА, в0 = С2 + у С3,
Вь = — C^GJ^ Н0 = C^GJfi.
Решая эту систему уравнений, получим
л . 1 ~ \
^1
Сг
с3
с.
=
=
=
-о ' GJd -
1 И
GJd я0'
'О'
1 ■ /1
к °° к GJd
1 п
н0,
(3.2)
(3.3)
Подставляя найденные значения Сх, С2, С3 и С4 в формулы (2.7),
иолучим общие формулы метода начальных параметров для всех четырех
расчетных величин:
e=e0 + -iG'oShAz_^_Bo(ch|z_i) +
+ ё77*.(*-ТЛИ
*' = »o^Tz-TGTdBosbTz + GTd(l-cbTZ)Ho>
В = -±GJd%sb^-z + B0cb^z + ^H0shjZ,
Н=Н0.
Эти формулы в своей совокупности образуют систему линейного
преобразования изгибно-крутильных факторов начального сечения 60, &'0У
В0 и Н0 в изгибно-крутильные факторы 6(2), 6'(2)* В (z) и Н (z) сечения
с текущей координатой z. Коэффициенты этого преобразования зависят
не только от координаты z, определяющей взаимное положение двух
сечений (начального и рассматриваемого), но также и от величин GJd, EJ<*
У EJa'
характеризующих упругие свойства стержня
при кручении. Линейное преобразование, выраженное формулами (3.3),
удобно представить в виде табл. 3.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 75
Таблица 3
е«
6' (*)
GJ~dB{Z)
4Я(2)
(во
1
1
0
0
0
%
LsbLz
k i
chTz
-LshlLz
к 1
0
GJd °
1-ch h-z
— sn — z
I I
chTz
0
-1-я.
GJd °
z— LshJLz
к I
1-chA:
/obfc
TshTz
1
В этой таблице в верхней горизонтальной строчке и в крайнем левом
вертикальном столбце выписаны изгибно-крутильные факторы,
относящиеся к двум различным сечениям стержня1. В пересечениях
вертикальных столбцов с горизонтальными строчками выписаны коэффициенты
преобразования (3.3). Эти коэффициенты образуют матрицу, которую мы
будем называть матрицей начальных параметров.
2. Из способа получения матрицы начальных параметров следует,
что эту матрицу можно записать и в более общей форме, а именно, взять
за начальное сечение не z = О, а любое произвольное сечение z = t (z^>f>0).
Тогда в коэффициентах матрицы вместо аргумента z следует брать
аргумент (z — t). Матрица может быть представлена в виде следующей таблицы:
Таблица 4
е<«)
в'(г)
-J—B(z)
GJd
GJd
«i
1
0 ,
0
0
в;
к 1
ch А (г — t)
-_LshJL(z-t)
к 1
0
ohDi
1 — chA(z — t)
-]LshlL(z-t)
ch±(z~t)
0
mHt
— Jl sh A (z — t)
к lK J
l_ch * (z —*)
4.A*(.-.)
1
Докажем несколько важных свойств матрицы начальных параметров:
а) Определитель матрицы начальных параметров равен единице при
любом значении z.
1 Для того чтобы сохранить однородность коэффициентов таблицы, вместо В и
Н мы рассматриваем величины, им пропорциональные:
G77* и "с77я-
76
Тонкостенные упругие стержни
Действительно, раскрывая этот определитель, получим:
Д = eh2- (2 — t) - sh2 j (z — t) = 1 \
б) Так как коэффициенты матрицы при заданных упругих
характеристиках и длине стержня зависят от относительной координаты (z — t),
определяющей взаимное положение двух сечений стержня t = const и
z^>t — const, то формулам табл. 4 можно придать различный смысл в
зависимости от того, какое из двух сечений считать переменным.
Считая начальное сечение t = const заданным и давая независимой
переменной z различные значения, мы можем по формулам табл. 4
построить графики изменения факторов 6(2), 6'(г), В (z) и Н (z) от действия
каждого из четырех начальных факторов 6*, 8 Л Bt и Ht в отдельности.
Фиксируя теперь определенным образом сечение z = const, для
которого разыскиваются значения 6 (z),Q'(z), B(z)n H(z)t и давая начальному
сечению t = const различные положения по длине стержня, получим по
формулам табл. 4 уравнения линий влияния (инфлюент) для каждого
из четырех факторов 6(2), 6'(z), B(z), Н (z) в отдельности. Поэтому
коэффициенты этой матрицы, зависящие от аргумента (z — t), ^удут в этом
случае функциями влияния.
Поскольку независимой переменной в случае линий влияния является
та же относительная координата и уравнения линий влияния совпадают
с уравнениями эпюр, то графики изменения изгибно-крутильных
факторов являются также и линиями влияния для этих факторов. Это есть
свойство взаимности эпюр и инфлюент.
в) Линейное преобразование, представленное матрицей табл. 4,
обладает также свойством обратимости. Это свойство заключается в
том, что с помощью этой матрицы можно произвести не только
прямое преобразование начальных факторов 6*, 6*, угг- Bt и
-TTj-Ht сечения t = const, принятого за начальное, в факторы
1 1
6(z), 6' (z), -fry- В (z) и ^-j- Н (z) сечения с текущей координатой z, но
1 1
также и обратное преобразование факторов 62, 6Z , т^т-Д* и тп-#2 в
{jJ d LrJd
1 1
факторы G(J), 6' (t), -gj- В (t) и -gj-H(t). Для этого нужно
сечения z = const и t = const поменять местами, т. е. считать за
заданное начальное сечение z = const, а за текущее t = const.
Естественно, что аргумент (z — t) изменит при зтом знак на обратный.
Четные функции влияния при изменении знака аргумента на обратный не
изменятся; функции влияния нечетные при изменении знака аргумента
переменят знак на обратный. Таким образом, матрица обратного
преобразования, коэффициенты которой получаются из коэффициентов матрицы
табл. 4 путем замены знаков нечетных функций на обратные, может быть
представлена в виде табл. 5.
1 Определитель^ матрицы начальных параметров представляет собой известный
в теории линейных дифференциальных уравнений определитель Вронского.
Фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения, для которой
определитель Вронского при начальном значении аргумента равен единице,
называется в теории линейных дифференциальных уравнений нормальной фундаментальной
системой. Следовательно, наше решение, составленное из линейно независимых
функций
Ik к I к
1, -£->hy(z-0, 1 -chT(z-0, (*-0--jphT(z-0,
представляет собой нормальную фундаментальную систему для уравнения (3.1)..
Гл. //. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 77
Обратное линейное преобразование (табл. 5) является, по существу,
решением системы четырех уравнений табл. 3, если в этих уравнениях левые
' 1 1
части 6Z, 62, -7п- Вг и я-р- Hz считать заданными величинами, а начальные па-
GJd bJd
* 1 1
раметры 6ь 6*, yrf-Bt и yrj-Ht — искомыми.
Определитель матрицы обратного преобразования также равен единице,
так как изменение знака всех нечетных функций на обратный не меняет
величины определителяг.
Таблица 5
е(0
в'(0
m~dH{t)
<kH{t)
«Z
1
0
0
0
•;
-1й7(г-"
ch А (2 — t)
т*-т<—*>
0
-к*'
1— chA(2 — t)
**.*<«-«)
ch А (2 — t)
0
1 -н
-(2-0 +
/с 1
1—ch * (z —0
-4sh*(2-t)
1
3. Перейдем теперь к получению интегралов однородного
уравнения (3.1) от различных сосредоточенных факторов, как угодно
расположенных по длине стержня. Предварительно запишем матрицу
начальных параметров табл. 3 в более компактной форме, обозначая
коэффициенты этой матрицы буквой К с двумя индексами, показывающими строку и
столбец, на пересечении которых в таблице находится коэффициент.
Матрица начальных параметров в символической форме записи
представлена в виде табл. 6.
Формулы, выписанные в табл. 6, а в развернутом виде для случая
стесненного кручения — в табл. 3, позволяют определить изгибно-кру-
1 1
тильные факторы 6(z), Q\(z), ?rr(B)z и ?rrH{z) для любого сече-
GJd
GJA
ния z=const, если известны эти факторы для начального сечения z = 0.
Рассматривая коэффициенты K(z) табл. 6 как функции влияния и
пользуясь принципом наложения, вытекающим из линейности этого
преобразования, мы можем при помощи этой таблицы определить изгибно-
крутильные факторы [6(z), G'(z), t^-B(z) и ^ H(z) для любого
GJd
1 Эта матрица обладает еще рядом интересных свойств. Доказательство этих
свойств для матрицы более общего типа, относящейся к дифференциальному
уравнению с двумя заданными обобщенными упругими характеристиками г2 и s4:
6IV — 2г20п + ^6 = 0,
подробно изложено в монографии автора [51J.
Вывод этого уравнения дан в § 5 гл. III.
78
Тонкостенные упругие стержни
Таблица 6
о,
6(2)
в' (2)
-J_#(z)
*ee (г)
#в'в («)
А'вв(2)
*не (2)
в;
*вв< (г)
л:в,в,(2)
*Вв'(г)
KHV (х)
G77Bo
*ев (г>
*8'В (2)
*ВВ <2)
*hb <г)
сЬЯ°
* ея (2)
*е-Н (*)
#рН(г)
*ня(2)
сечения стержня от действия сосредоточенных кинематических и
статических факторов, приложенных в произвольных сечениях. Так, например,.
если на стержень, кроме начальных параметров 60, 8J,, ?ГГ B0i -^j- Н0,
GJd °' GJd
' 1 1
действуют сосредоточенные факторы fy, 8*t qj- Bt и -gj- Htl
приложенные в сечении z = t, то для сечений с абсциссами z > t изгибно-крутиль-
1 1
ные факторы 9, 6', рту- В и -тгу-Н будут складываться из факторов в (z),
G^d G/d
1 1
6'(z), тгу- В (z) и ?rrH{z)^ возникающих от одних только начальных
(jjfi (jJ d
параметров 90, 80, тгу- B0 и тп-Hq, и факторов 6 (z — 0» 8'(z — г)г
trJd UJd
1 1
-j-B {z — t) и ttj-H (z — t), получающихся в результате действия
GJ
* 1 1
одних только сосредоточенных факторов 8*, 8*, ~y- #t и ^у- Ht\ коэффи
GJ*
циенты влияния в обоих случаях одни и те же, но в первом случае они
вычисляются для аргумента z, а во втором случае для аргумента (z — I).
Следовательно, для участка стержня, расположенного далее сечерия
t = const или в самом сечении (т. е. при z !> t), для вычисления наших
основных величин мы будем иметь формулы, представленные в табл. 7.
Для участков стержня, расположенных ближе сечения t=const
(при z < /), для вычисления основных величин следует пользоваться
формулами табл. 6. При практических расчетах по методу начальных
параметров формулы табл. 7 являются основными. В этих формулах в
дальнейшем будем считать заданными величины сосредоточенных факторов-
' 1 1
6м 6/» тгч- Bt Ujrr-Ht и сечение, в котором они приложены (z = t).
1 GJd UJd
В большинстве случаев при расчетах приходится иметь дело со
статическими нагрузками и гораздо реже с кинематическими, поэтому в табл. 7
можно сохранить только Bt и Ht, положив 9^ = в* =0.
4. Пользуясь законом наложения, мы можем легко обобщить формулы
таблицы 7, распространив их и на более сложные случаи действия
нагрузок, которые приложены в различных сечениях стержня в виде
сосредоточенных факторов или распределенных на некотором участке стержня
по тому или иному непрерывному закону.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 79
Таблица 7
9(«) |
во
*вв(2)
в'(») || KVb(z)
ЩВ(*) Кт(г)
gth^
d
КН») z)
е'о
Kw(z)
Kvv(z)
Квв-(>)
А'Нв'(г)
GJdBo
к6В(*)
*е<в(2)
*вв(г>
*нв(г)
GTdH°
*ен(2)
*е'н(г)
*вя(г)
кнн(*)
е*
Kw{z-t)
K»'*{z-t)
KB6(z-t)
Km(z-t)
е-,
^9в'(2-0
tfre.(*-0
л:вв,(2-«)
к-не-(2-о
GTft
KiB(z-t)
KVB(z-t)
KBB(z-t)
KHB(z-t)
GTdH<
K9H(z-t)
KVH(z-ty
KBH(z-n
KHH(z-t)
Предварительно сделаем замечание о знаке начального фактора Нь
от сосредоточенного внешнего крутящего момента Н, приложенного в
сечении z = t стержня.^Покажем, что при положительном значении Н
начальны^ фактор Ht определяется по формуле Н\——Н.
Рис. 56
Пусть в сечении z = t действует внешний сосредоточенный крутящий
момент Н (рис. 56, в). Этот момент в данном случае образован внешней
поперечной силой Р, приложенной в сечении z = t на расстоянии е от|
линии центров изгиба (рис. 56, а), и определяется по формуле Н—Ре.
Согласно рис. 56, в крутящий момент Н положителен, так как он направлен
по часовой стрелке со стороны значений z — £^>0.
В сечении z = 0 начальное значение крутящего момента, как
начального параметра, равно Но. Положительное направление этого момента
на площадке с отрицательной нормалью будет против часовой стрелки
(§ 5 гл. I). Двигаясь в направлении оси Oz и проходя сечение z = t, мы
будем получать отрицательное приращение функции Н (z) в этом
сечении. Действительно, для части стержня z — t <0 крутящий момент Н на
площадке с отрицательной нормалью создает вращение по часовой стрелке,
если смотреть на эту площадку со стороны значений z — ^Ои поэтому
его значение, как значение начального фактора Ни в сечении z — t = О
будет отрицательным, т. е. Ht = —H*
Аналогичное замечание нужно сделать и относительно Bt.
Рассмотрим для примера стержень, загруженный на участке от z =tx
до z=t2 нагрузкой q(z), расположенной с эксцентриситетом е по
отношению к линии центров изгиба и создающей, следовательно распределенный
SO
Тонкостенные упругие стержни
крутящий момент H(z) = q (z)e (рис. 57), интенсивность которого может
менять свою величину по какому-либо закону в функции от координаты z.
На участке стержня от z = 0 до
z = t± нагрузки нет никакой и,
следовательно, все основные функции
выражаются только через
начальные параметры по формулам табл. 6
или в развернутом виде по формулам
табл. 3.
Суммируя «сосредоточенные»
моменты Н (t)dt на всем протяжении
от z = tx до z(tx^z<^ t2) или,
другими словами, интегрируя последний
столбец табл. 7 по переменной t в
пределах от t = ti до £ = z, получим
формулы, учитывающие влияние
только распределенной нагрузки — крутящего момента интенсивности
H(z). Эти формулы будут иметь вид:
t=z
*М = -С72 \ H{t)K*H{z-t)dty
t=z
т
GJ,
t=i,
t=z
GJ,
■B(z) =
GJ*
7&THW =
GJ
GJ*
J H(t)KVH(z-t)dt,
=z
[ H{t)KBH(z-t)dt,
4
=2
J H(t)KHH(z-t)dt.
t=z
(3.4)
Присоединяя формулы (3.4) к формулам табл. 6, зависящим только
от начальных параметров, получим формулы для вычисления основных
расчетных величин для второго участка стержня (t2^>z^ti).
Третий участок стержня от z =*2 до z = I не содержит нагрузки.
Формулы для третьего участка (I > z > t2) будут отличаться от аналогичных
формул для второго участка только тем, что в интегралах вместо
верхнего предела*=2 будет предел t = H, так как нагрузка собирается со всего
участка (от tx до te).
5. Вычислим для конкретного случая нагрузки интегралы,
фигурирующие в вышеприведенных формулах, и представим эти формулы в
развернутом виде. Пусть на участке стержня *2>z>£i приложен
равномерно распределенный крутящий момент H{t) = ge, где q и эксцентриситет
е — постоянные величины. Вынося qe за знак интеграла и раскрывая
коэффициенты влияния, стоящие под интегралами, по соответствующим
формулам табл. 3, получим:
t=l t=z
gi- \ H(t)KeH(z-t)dt = g- jj [(z-t)—Lab±(z-t)]dt =
f=*!
t=tl
= Л-Г (z — t)2
GJ
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 81
(=(,
f=z
gt- J H{t)K*.H{z-t)dt = £- J [l-ch4(*-*)]* =
1=2
g±- 5 H(t)KBH(z-t)dt = -£- jj i-sh-J-(z-t)A =
t—tt t=tl
Аналогичным образом вычислим интегралы для третьего участка
стержня (z>te):
^j-d \ H(t)KrH{z-t)dt =
= ^{^-'1+ЯЛт(*-'«)-Лт(*-^]}'
^- J H{t)KHH{z-t)dt = $-(t2-t1).
*=*,
*=«•
Формулы для определения основных расчетных величин в
раскрытом виде для указанного вида нагрузки приведены в таблицах 8 (для
участка z<*i),9 (для участка Н ^> z > ti) и 10 (для участка z>fcs).
Т а блица 8
е«
6' (Z)
1 1
GJ~dH^
%
1
0
0
0
в'
0
I k
¥shTz
, k
chTz
I k
-TshTz
0
i
GJd B°
k
1 — ch -r z
k k
-7shTz
k
ch-jz
0
1
I k
z-TshTz
ь
1 — ch -r z
I k
TshTz
1
82
Тонкостенные упругие стержни
Из рассмотрения таблиц 8, 9 и 10 может создаться ложное
представление, что нагрузки, приложенные на каком-либо участке стержня,
оказывают свое влияние на последующие участки и не влияют на участки
предыдущие; так, например, в приведенном примере нагрузка приложена
на втором участке и члены от нагрузки (частные интегралы от нагрузки)
есть в формулах для второго и третьего участков, но их нет в формулах
для первого участка.
Ошибочность такого суждения станет очевидна, если мы вспомним,
что начальные параметры 60, во, В0 и Н0 являются произвольными
Таблица 9
6(2)
1
гМ |
сг/(г)
GJd К '
%
1
0
0
1°
1 1 R
е« 1 GTd В°
1
1 сь * *
— sh — z
k 1
chAz
-yshT2
0
1-chAz
~TshT2
chAz
I
0
-L#0
z - L sh A z
к I
1-chAz
— sh — z
к I
1
JLae
GJd4
(* - *i)2 /2 v
X
2 A2"
'i-ch^f-tol
+ chA(f_t1)l
- (2 - t,)
Таблица 10
e<*)
«'(*)
с4;*(г)
<?ЬЯ(г)
6о
1
0
0
jl
1°
б'о
/ к
TshTz
Chyz
/ A
|-TSh-2
1 0
1
GJd °
l-ch|2
к к
-yshyz
chyW
1 о
i
GTdH°
z — -LshJLz
к I
1 — ch A z
1 и k
7TshT*
1 1
ardv
2~ + _2 FX
X ["ch -j (2 — ta)-ch A (2 - £x)j
- и - *i)- 4- X
x\sh^(z-t2)-sh±(z-tl)'}
-zi[-cl4(2-<2) +
+ ch A(z^^)l
I ~(h — h)
Гл. 11. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 83
постоянными интегрирования дифференциального уравнения (3.1) и
подлежат определению из граничных условий на концах стержня z = 0 и
z = I. Два условия на конце z = 0 сразу дают определенные значения
(обычно нулевые) для двух начальных параметров, а два других параметра
определяются из соответствующих условий на конце z = l. Этот конец
относится к последнему участку стержня, на котором сказываются все
предыдущие нагрузки. Таким образом, через два параметра,
определенные из формул последнего участка, влияние всех нагрузок скажется и на
предыдущих участках, в том числе и на первом, не содержащем
непосредственно частных интегралов от нагрузки.
§ 4. Стержни под действием крутящих моментов,
приложенных на концах
Применим метод начальных параметров к расчету на кручение
стержней, находящихся под действием внешней заданной нагрузки. Начнем
с более простых случаев внешней нагрузки, а именно — с таких, когда
состояние усилий и деформаций на
всем протяжении стержня
описывается одними и теми же формулами;
к таким нагрузкам относятся,
например, нагрузки, приложенные
только на концах стержня.
Рассмотрим, в частности, стержень,
находящийся под действием взаимно
уравновешенных крутящих моментов,
приложенных на концах (рис. 58).
Деформации и напряжения
стержня будут зависеть от условий
закрепления концов стержня. Мы
рассмотрим здесь два случая граничных уело- Рис. 58
вий.
1. Концы стержня свободвы от продольных векториальных сил.
В этом случае на обоих концах стержня должны обращаться в нуль бимомен-
ты В. Двумя другими условиями должно быть равенство крутящих
моментов на концах стержня заданным внешним крутящим моментам //. Но
из табл. 3 мы видим, что Н (z) = Н0 и поэтому достаточно приравнять Н (z)
заданному Н только на одном конце; поэтому здесь мы имеем не два,
а одно условие. Пусть это условие относится к краю z = I, тогда в качестве
четвертого граничного условия примем равенство нулю угла
закручивания на краю z = 0.
Таким образом, граничные условия в этом случае будут иметь вид:
при z = 0 В = 0 и 9 = 0j_
при z = l В = 0 и // = #
Из этих условий получаем: _
В0 = 0, 90 = 0 и Н0 = /7. (4.1)
Три начальных параметра таким образом уже опуделены; четвертый
начальный параметр 0 о определим из последнего условия: В(1) =0.
Используя (3.3) получим:
В(/) = — yG/A shfr -Ь -L7Ishk = Q.
Отсюда находим:
84
Тонкостенные упругие стержни
Подставляя найденные значения начальных параметров (4.1) и (4.2)
в матрицу табл. 3, получим для основных расчетных величин следующие
формулы:
e(z>=G7^2' *'М=Щ' 5<z) = 0> H(z) = H. (4.3)
Для угла закручивания 0 (z) мы получили формулу, совпадающую с
известной формулой из теории чистого кручения тонкостенных стержней.
Изгибно-крутящий бимомент B(z) при выбранных граничных
условиях всюду (при любом z) равен нулю. Это указывает на то, что в стержне
со свободными концами нормальные напряжения при кручении равны
нулю. В стержне возникают одни только касательные напряжения,
образующие в поперечном сечении замкнутый силовой поток и
приводящиеся к крутящему моменту Н.
Относительный угол закручивания 0'(z) в случае чистого кручения
пропорционален крутящему моменту Н и обратно-пропорционален
крутильной жесткости GJd. Величина Jd для тонкостенных открытых
профилей, как отмечалось уже ранее [(5.8) гл. I], вычисляется по формуле
где а — коэффициент, зависящий от формы сечения. Ниже в табл. 11
приводятся полученные экспериментальным путем значения коэффициента
а для некоторых типов прокатных профилей.
Таблица 11
Уголковое
Корытное
Тавровое
Двутавровое
Широкополочное двутавровое
Зетовое
0,86-1,10
0,98-1,25
0,92-1,25
1,16—1,44
1,21-1,47
1,13-1,20
2. Опорные сечения стержня при кручении остаются плоскими.
При этих граничных условиях на обоих концах стержня отсутствует
депланация 0'.
Считая по-прежнему угол поворота начального сечения равным нулю,
.мы можем граничные условия представить в следующем виде:
при z = 0 6' = 0, е = 0;
при z = / 0' = 0, Н = /У.
Эти условия сразу определяют три начальных параметра
е0 = 0, V0 =0,Яо = Я: (4.4)
Четвертый начальный параметр находим из условия 0'(/)=О. Берем 0'(/)
из табл. 3; используя при этом (4.4), получим:
8'(0--4-^8h*+^(l-chA)-0,
Гл. //. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 85
откуда
Вп
l 1
sh к
ch к 77
(4.5)
Подставляя найденные значения начальных параметров (4.4) и (4.5)
в таблицу 3, получим для основных расчетных величин следующие
формулы:
•W-i&l-i1
■ch/c
B(x) = »4(L
1
sh /с
ch к
shk
■ ch /с
(ChyZ-l) + Z-|shy*],
sh j z + 1 — ch-T-zj
sh /c
ch -j- z + sh -pz) ,
Я (z) = H.
(4.6)
Так как условия закрепления стержня симметричны, а внешняя
нагрузка обратно симметрична, то можно упростить эти формулы, если начало
отсчета координаты z выбрать в
середине пролета стержня (рис. 59) и
считать при этом, что угол
закручивания в начальном сечении равен нулю.
В этом случае угол закручивания 0
будет представлять нечетную
функцию г. Следовательно, и бимомент
В, пропорциональный второй
производной от угла закручивания, также
будет являться нечетной функцией z,
обращающейся в нуль при z = 0, по- Рис. 59
скольку при двукратном
дифференцировании четность функции не меняется. Можно также убедиться и
непосредственно, что в среднем сечении стержня бимомент обращается
в нуль, полагая в третьей формуле (4.6) г = ~.
Таким образом, граничные условия будут иметь вид:
при z = О
при z = -^-
Начальный параметр 9'0 будет равен
е = о,
е' = о,
5Т равен:
ch-2-l
В = 0;
н = н
н
ch
GJ^
2
и для основных расчетных величин получим следующие выражения:
0(z) =
Я
z —
lsbTz
к u к
chT
e'(z)=J:l
Chyl'
U (z) = Н
v. к
I shTz
Н (z) = Н.
(4.7)
S6
Тонкостенные упругие стержни
Из формул (4.7) следует, что в стержне, имеющем на концах жесткие
из своей плоскости диафрагмы, при кручении возникают не только
крутильные касательные напряжения, относящиеся к случаю чистого
кручения (т. е. к кручению без деформаций удлинения отдельных волокон
по оси Oz), но также секториальные нормальные и касательные
напряжения, связанные с работой отдельных элементарных продольных полосок
на изгиб в плоскости этих полосок при жесткой заделке их концов.
Формулы для секториальных напряжений аа и т^ на основании (8.5),
(8.9), (8.11) гл. I и (4.7) будут иметь вид:
ь k
в i и *hTz
ш и ch-тт-
ЯШ5Ш($) HSm(s)chTz
со ~о>
Т<д —
'«. Ь (») JJ> (•) , к
(4.8)
Из этих формул видно, что нормальные напряжения меняются
относительно среднего поперечного сечения (начала отсчета координаты z)
по закону нечетной функции (shyz), а касательные напряжения —
по закону четной функции Uh~z\\ и те, и другие принимают
наибольшие значения в спорных сечениях. Полагая в (4.8) z =-=-1
получим для этих наибольших значений формулы:
iff h
max аш = -j j- со (s) th у ,
max Tw = -r—jrrr •
§ 5. Стержень под действием поперечной нагрузки,
не проходящей через центр изгиба
Рассмотрим тонкостенный стержень с открытым профилем
поперечного сечения с пролетом равным Z, имеющий на концах определенные
закрепления.
Пусть на стержень в некоторой точке z = t действует сосредоточенная
поперечная сила Р, отстоящая от центра изгиба на расстоянии е (см.
рис. 56, а). Стержень в этом случае будет находиться в условиях
сложного сопротивления при изгибе и кручении. В самом деле, нагрузка Р,
будучи перенесена параллельно самой себе в центр изгиба (рис. 56, б),
вызовет в стержне напряжения, определяемые по обычной
элементарной теории изгиба. Сосредоточенный же внешний крутящий момент
H=zPe, полученный при перенесении силы Р в центр изгиба (рис. 56, в),
вызовет в стержне дополнительные секториальные напряжения ош и т^.
Опуская расчет стержня на нагрузку, вызывающую изгиб стержня по
закону плоских сечений, мы рассмотрим здесь расчет стержня на действие
сосредоточенного крутящего момента Н = Ре,
Так как в сечений z = t приложен один тол ько внешний
сосредоточенный фактор Н, томы будем иметь Ht=—H—~Pe (§ 3 п. 4), и формулы
табл. 7 § 3 в развернутой форме принимают следующий вид:
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 87
Таблица 12
0(3)
6'(*)
GTdBW
5rdffW
во
1
0
0
0
в'о
1 и ft
TshTz
k
chTz
' i. k
-TshTz
0
877*
1-chjz
k k
-TshTz
т. *
chTz
0
^Я°
z~TshTz
1 — ch-jz
Z A;
TshTz
1
1 1
GJdHt=- GJdPe
I k
(z —')"" T sh т (- ~ ')
/ A:
1
По этим формулам величины 8 (z),0'(z), B(z), H(z) вычисляются только
для сечений стержня, расположенных левее сечения z = t (для z^t),
в котором приложен крутящий момент Н = Ре.
Для сечений же, расположенных ближе сечения z — t (для z<^t),
в формулах табл. 12 следует удержать члены, содержащие только
начальные параметры 0О, 0О, В0 и Н0, и отбросить члены, содержащие внешнюю
нагрузку Н =Ре.
Переходя к определению начальных параметров, рассмотрим
несколько частных случаев граничных условий.
1. Стержень, имеющий на концах шарнирные закрепления. Здесь
мы имеем условия (2.9) на обоих концах, поэтому граничные условия
запишутся следующим образом:
при z = 0 9 = 0, В = 0; \
прп z = I 6 = 0, В = 0. J
Первые два условия непосредственно определяют два начальных
параметра: 60 = 0 и 50 = 0; остальные два начальных параметра 0О и
Н0 — найдем из двух последних условий (5.1). Составляя при помощи
табл. 12 выражения 8(0 и В (I) и приравнивая их нулю, получим:
в^тЛ* + ^(»-твЬ*) = -^[тЛт(/-0-('-0].
-%rsbk + c^ish k = c77Tsh hl ~ *)•
Решение системы (5.2) дает для 0'О и Н0 значения:
9o=GJ^[(/-^shft-/shT(Z-0],
Н0 = Ре1-^. J
Подставляя найденные значения начальных параметров (5.3) в табл. 12
и имея в виду, что аналитические выражения для изгибно-крутильных
факторов на каждом участке будут различны, окончательно получим:
(5.3)
Тонкостенные упругие стержни
для участка 0 <^ z < t
ft/x Pe]l-t IsbYG-t) k 1
bM = GTd[-Tz AihjT-shTzJ'
*
, shy (J-г)
shft
sh -j-z,
Я (z) = i>e i=i
(5.4)
для участка ?<z</
Ре
(l-z)-
l sh T f
k sh k
sh 4 (I — z)
].
e'(z)=^[-T+s4^ch4(z-zl
B(z)
H{z)
Pe
l_
k
Pe.
sh-
shA
•shT(/ — z),
(5.5)
Формулы (5.4) и (5.5) носят общий характер и позволяют определять
кинематические и статические факторы 9(z),6'(z), В (z) и Н (z) для любого
сечения при любом положении сосредоточенной силы Р в пролете. Как
уже говорилось в § 3, фиксируя в этих формулах сечение / = const и
давая различные значения переменной z, мы можем по этим формулам
построить для 6(z), Q'(z)> В (z) и Н (z) эпюры от внешнего сосредоточенного
крутящего момента Ре, приложенного в определенном сечении t = const.
Если же в этих формулах считать аппликату z постоянной, а расстояние
до сечения t — переменным, принимающим в интервале 0 <^t <^1
всевозможные значения, то в этом случае формулы (5.4) и (5.5) выражают собою
уравнения линий влияния для перемещений 0(z), 6'(z), сил В (z) и Н (z)
сечения z — const от сосредоточенного крутящего момента Ре,
передвигающегося по длине стержня.
Имея выражения (5.4) и (5.5), мы можем также легко определить
дополнительные нормальные и касательные напряжения от кручения,
определяемые по формулам:
То) —
B(z) , .
• J
(5-6)
где H^(z) =H(z)— GJdQ'(z) на основании формулы (8.11) гл. I.
В формулах (5.6) статические факторы В (z) и Нш (z) характеризуют
изменение напряжений сг^ и ты по длине стержня (при заданном
положении нагрузки), а геометрические факторы со (s), S^ (s) и 6(s) — изменение
этих напряжений по контуру поперечного сечения.
Гл. II, Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 8V)
Рассматривая выражения (5.4) и (5.5) как уравнения линий влияния,
т. е. считая в этих выражениях z пока постоянным, a t — переменным, и
пользуясь законом независимости действия сил, мы можем легко подсчитать
перемещения и усилия в случае кручения стержня от системы внешних
сосредоточенных крутящих моментов Piei, Ръеъ,..., приложенных в
точках tu t2,... и т. д.
Можно также определить величины 6 (z), Q'(z), В (z) и #(z), а
следовательно, на основании (5.6) найти значения аы и tw, получающиеся от
сплошной поперечной нагрузки, действующей на стержень.
Если поперечная нагрузка по длине стержня меняется по величине и
положению, но остается постоянной по своему направлению, то
интенсивность внешнего крутящего момента в этом случае выражается формулой
m(t)=q(t)e(t), (5.7)
где q (t) — интенсивность нагрузки, e(t) — расстояние в сечении t от
центра изгиба до этой нагрузки.
Считая поперечную нагрузку q{t) сплошной, т. е. действующей по
всей длине стержня, а т (t)dt — сосредоточенным (на длине dt)
крутящим моментом, аналогичным моменту, обозначенному в формулах (5.4)
и (5.5) через Ре, мы получим формулы основных расчетных величин,
интегрируя соответствующие величины по всей длине стержня; таким
образом, для сплошной нагрузки мы получим:
Z I \
6 (z) = \ 6 (z, t) m(t)dt + ^b (z, t) m (t) dt,
0 z I
z I
8' (z) = \ 9' (2, t) m (t) dt A-W (z, t) m (t) dt,
1 \ \ (5'8>
В (z) = [ В (z, t) m(t)dt + [В (z, t) m (t) dt,
0 z I
z I I
H (z) =[h (z, t) m (t) dt + [H (z, t) m (t) dt.
о z )
Сечением z (в котором мы определяем величину интересующего нас
фактора) весь интервал от 0 до I (длина стержня) разбивается на две части.
Функции 9(z, t), 8'(z, t), B(z, t) и H(z, t) в формулах (5.8) суть функции
влияния, определяемые формулами (5.4) или (5.5) в зависимости от того,
на каком участке по отношению к рассматриваемому сечению z
расположена нагрузка т (t)dt, влияние которой учитывается. Очевидно, что функции
влияния, стоящие в первых слагаемых формул (5.8), должны вычисляться
по формулам (5.5), так как здесь t<^z, а функции влияния, стоящие во
вторых слагаемых (5.8), должны вычисляться по формулам (5.4), так как
для этого участка t^>z.
Считая в формулах (5.8) т (t) величиной постоянной, что имеет место,
например, в случае, когда q = const и е — const, и выполняя
интегрирование, получим формулы для значений 0(z), 0'(z), B(z), H(z), получающихся
в произвольном сечении z под влиянием равномерно распределенного
внешнего крутящего момента.
90
Тонкостенные упругие стержни
Эти формулы имеют следующий вид:
» / \ I* т
•-м-тте
B(z) = -^-т
A;2
ch
^z(Z —z) +
x(f-)
2Z2
— 1
ch-
4(t-)
Sh
4(t-)'
ch-
\ (5.9)
ch
t(4-)
ch-
H(z)=m(±-z).
Для напряжений aw и tw получим следующие формулы:
I2 т ,
ch
1 —
т(-Ы
ch-т
1
tw =
I
k JJ\S)
S„ (s)
sh
w-)
(5.10)
ch-тг
J
Из формул (5.10) видно, что в случае равномерной нагрузки qy
действующей на постоянном расстоянии е от центра изгиба, наибольшие
нормальные напряжения аш получаются в среднем (по длине)
поперечном сечении, касательные же напряжения хш достигают наибольших
значений в опорных сечениях:
max о« = -л- — (о (s) 11 ^ \ ,
V ch^/
/с2 Л,
тахта
/ т о , ч , /с
(5.11)
Формулы (5.9) мы могли бы получить и другим путем, исходя из
матрицы табл. 9, в которой на основании соображений, развитых в § 3,
представлены в последнем столбце частные интегралы от равномерной нагрузки
<7, действующей на постоянном расстоянии е от центра изгиба на участке
от z — tx до z = t2. Для данного случая, когда q действует по всей длине
стержня, в табл. 9 нужно положить tx = 0 и считать, что формулы этой
таблицы справедливы для всего интервала от 0 до L
Накладывая граничные условия (5.1), получим значения начальных
параметров:
I 1 + ch k\
в0 = о, е(
{- JL (Л
°-GjA2
sh
zhk\
#о = 0> #о = ^Т
Подставляя эти значения начальных параметров в табл. 9,
видоизмененную применительно к данному случаю, придем к формулам (5.9).
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 91
Рассмотрим в качестве числового примера фахверковый прогон,
представленный на рис. 40. Для этого прогона мы получили в § 1:
Jx = 976,8 см\ Jv = 383,8 см*, /„ =■- 4829 см\
Крутильное сопротивление Jd вычислим по формуле (5.8) гл. I при
коэффициенте а = 1:
Jd = 6,17 см*.
Для упругих характеристик материала примем:
£ = 2100 000 кг/см2,
G = 0,4 Е.
Длина прогона пусть будет / = 3,00 ле. Для упругой
характеристики к по формуле (2.2) получаем:
£=6,782.
Определим напряжения о от равномерно
распределенной поперечной нагрузки q = 0,9 — , при-
\2 |
*»
J IS.»
Г ■
1 *>
5
3
4
А
Рис. 60
ложенной с эксцентриситетом е = — 7,11 см
относительно центра изгиба (рис. 60). Такая нагрузка получается от
собственного веса кладки стены, лежащей на прогоне. Эта нагрузка, помимо
539 © 1318
954 ® 251
@
напряжений от изгиба,' вызовет также напряжения от кручения.
Напряжения от изгиба вычисляются по обычным формулам сопротивления
материалов; наибольшие же напряжения от кручения вычисляются по первой
из формул (5.11):
max ош = — 24,43 со (s).
Эпюра секториальных площадей со (s) изображена на рис. 43, б. При
наличии этой эпюры напряжения aw по вышенаписанной формуле легко
подсчитываются для любой точки контура.
Результаты расчета прогона (в кг/см2) приведены в табл. 13.
На рис. 61, а приведена эпюра наибольших напряжений стИзГ = о* + Оу
от изгиба. На рис. 61, б дана эпюра напряжений ош от кручения.
Суммарная эпюра напряжений о = ох + ау + ош для среднего поперечного
сечения показана на рис. 61, я.
Из сравнения эпюр для аизг = <хх + ау и а = ах + оу + <*«,,
приведенных на рис. 61, а и в, видно, что погрешность, которая получается
при расчете прогона по обычной теории изгиба по сравнению с расчетом
с учетом кручения, достигает весьма больших значений. Такое
расхождение между результатами расчета по теории плоских сечений и по
излагаемой здесь теории объясняется тем что данный прогон нами рассматривался
92 Тонкостенные упругие стержни
Таблица 13
№ точек
1
2
3
4
5
вХ
+391,5
+719,9
—893,4
+210,2
+781,7
аУ
-930,1
—538,3
-425,1
+887,9
+662,3
бх+ ау
—538,6
-181,6
-1318,5
+1098,1
+1444,0
°со
—953,8
+602,0
-250,9
+317,1
—830,7
«* + «!/ + ««
—1492,4
+783,6
-1569,4
+1415,2
+613,3
как отдельный элемент, не имеющий связей от кручения. В
действительности, кирпичная стена, вес которой передается на прогон, вследствие
своей монолитности будет оказывать сопротивление кручению. Вследствие
этого сопротивления вес стены на прогон будет передаваться с меньшим
эксцентриситетом. С уменьшением эксцентриситета дополнительные сек-
ториальные напряжения сг^ при постоянной нагрузке будут уменьшаться,
в то время как напряжения от изгиба от эксцентриситета не зависят.
Эпюра напряжений о = вх -{- ву -\- оф при учете упругой
сопротивляемости кирпичной стены будет занимать промежуточное положение между
эпюрами, показанными на рис. 61, а и е.
Чтобы составить представление о влиянии эксцентриситета на
величину (То,, мы приводим ниже, в табл. 14, результат вычисления аш при
трех эксцентриситетах: е = — 7,11 см (соответствует нагрузке,
рассмотренной выше), е = — 1,38 см (соответствует той же нагрузке, но
приложенной в точке 3) и е = — 12,84 см (та же нагрузка приложена в точке 1)
(рис. 60).
Таблица 14
№ точек
1
2
3
4
5
е =—1,38
—185,1
+116,8
-48,7
+61,5
-161,2
кг
°со см*
е—7,11
—953,8
+602,0
—250,9
+317,1
-830,7
е=—12,84
-1722,5
+1087,0
-453,1
+572,5
—1500,2
Составляющие напряжений от изгиба ах и оу, как уже указывалось,
не меняют своей величины при изменении эксцентриситета; их величина
остается прежней (табл. 13).
2. Стержень, концы которого жестко заделаны. В этом случае на
обоих концах стержня мы имеем дело с граничными условиями вида (2.8):
при 2 = 0 8 = 0, 9' = 0;
при z = l 9 = 0, 9' = 0. (5Л2)
Первые два условия непосредственно определяют два начальных
параметра, остальные же два начальных параметра В0 и Я0 мы
определим из двух последних условий по формулам табл. 12.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 93
Получим два уравнения:
(1-сЬЛ) + ^(1-1)вЬЛ + ^[1вЬ|(/-1)-(/-0] =0,
Л
GJ.
Из этих уравнений находим:
В0 = -Ре
I k I I к к
t+(l —Och к+ у sh j t — j shk + у sh у (Z—/)—'chy (/—0
#0 = i>*
A;
1 + ytf-
• 0 sh к ■
kshk + 2(i — chk)
к к
chfc + chy I— chy(Z — t)
к sh к + 2 (1 — ch /c)
(5.13)
(5.14)
Формулы для основных расчетных величин при этих граничных
условиях получим, подставляя найденные значения начальных параметров
в табл. 12. Они будут иметь вид: на участке 0<^z<^t:
Н (г) = Я0;
ша участке t <^ г <^ /
+^[l-chl(z-4
■о,
} (5-15)
5 (z) = B0ch-^Z + #0^-sh у г + Pe^sh у (z
Н (z) =Н0 + Ре,
где Во и //о определяются по формулам (5.13).
Рассматривая выражения (5.14) и (5.15) как функции влияния, мы
можем аналогично предыдущему случаю по формулам (5.8) определить
изгибно-крутильные факторы от любой сплошной нагрузки и, в
частности, для равномерно распределенного крутящего момента m — qe =
= const, действующего по всей длине стержня.
В этом последнем случае проще даже будет исходить из табл. 9 § 3,
.полагая в ней *i = 0. Налагая гранитные условия (5.12), мы определим
94
Тонкостенные упругие стержни
из этих условии начальные параметры:
° - в; = о,
"о
вп
т
12 Ar cli ~2" — 2 sh it
k
2sh"2
Н0 = т у .
Подставляя найденные значения начальных параметров в выражения
табл. 9, получим в случае равномерно распределенного крутящего
момента, действующего по всей длине стержня, следующие формулы для
основных расчетных величин:
*('-*)
О'(2) =
т /2
ЁГЛТ
kz к
t2 sh -кг sh ~2i (I — z)
к
fcsh-^-
k I I \
, i shrlz-TJ
В (z) = m
/ссЬт(2-т)
shy
/ \-i
и k
shy
H(z) = m(-L-z).
(5.16)
Для секториальных напряжений аш и ха на основании (5.16)
получим выражения:
к I 1\-\
3о> ~ Т, к*
i fech-(z-y)
Shy
(0(S),
Тц)
2У.
«sh-L 6<s)
2
shr(z-y)-
(5.17)
Наибольших значений напряжения (5.17) достигают в опорных
сечениях стержня, т. е. при z = О и z = 1:
т I2 (. к .-, к \ , ч
max ош = у- -^- ^1 — у cth у J » ($),
max ты = 4-
m/ *?«(*)
2^ы d(*)
3. Стержень, у которого один конец жестко заделан, а другой шарнир-
но закреплен. В этом случае на одном конце стержня должны
выполняться условия (2.8), а на другом — условия (2.9). Пусть для определенности
условия (2.8) относятся к краю z = О, а условия (2.9) (шарнирное опира-
ние) относятся к краю z = I.
Тогда условия (2.8) на краю z = 0 определяют сразу два начальных
параметра:
е0 = о; е0' = о
Г л, У/. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля [)о
Два других начальных параметра So и Но определим из двух
уравнений, к которым приводят условия (2.9) на краю z = l. Эти уравнения,
которые мы получим при помощи табл. 12, имеют вид:
В0{1 -chk) + Нп [l —j-shk) + 1>е[± Sh £(/ -0 - (/ - О] = 0, |
i?0ch/c-4-//0ysliA:-Pe-ish-y(/ —0 = 0. )
Решая систему (5.18), найдем:
(5.18)
Вп = Ре
HQ=Pe
I I2 к
T(/-«)sh*--£-shT(/-
I
-г sh к ~ I ch к
I к
у sh у (/ — t) — (I — t) ch к
I
т~ sh к — / ch к
(5.19)
Формулы для основных расчетных величин будут иметь такой же
вид, как и в предыдущем случае: (5.14) — для участка 0 <; z << t и (5.15) —
для участка t <; z<^ I, только в них теперь вместо В0 и Н0 нужно поставить
их значения, определяемые формулами (5.19).
В случае равномерно распределенного крутящего момента m=qe=
= const, действующего по всей длине стержня, формулы для основных
расчетных величин будут иметь вид:
9(z> = щ\- (£+4)+ shfe-feChfc hh4(ch4-Tsh4)-1
- 4к [2 + (ft*-2)chft]z + £(sh $z-k ch|z) +
+(т-г)*4с-«)]}.
+
B(z) =mw
|(ch*2-fcsh*«) + -li_Zch *(/_,)]},
[ к2 \ к к к п
II — -77-J sh -г- (/ — z) -f sh т z - Л; ch т z
J'
sh Л — Л ch Л
ft])
[ (5.20)
„.. | ^[2 + (ft*-2)ch
//(z) = - m у+ shfe_fechfe
По формулам (5.6) легко вычислить нормальные и касательные
напряжения от кручения: сгы и tw.
4. Стержень с одним заделанным и другим свободным концом. Считая,
как и в предыдущем случае, что заделка относится к начальному сечению
и что на другом конце обращаются в нуль статические факторы, можно
записать граничные условия для этого случая следующим образом:
при z = 0 6 = 0, 6' = 0; \
при z - / В = 0, И = 0. J
(5.21)
9b
Тонкостенные упругие стержни
Уравнения для определения оставшихся начальных параметров Ва и
Но, составленные при помощи табл. 12, будут иметь вид:
B0chk + H0^shk== Pe^shj(l-~ О,
Отсюда находим:
Н0 = Ре.
И о = Ре,
j sn -у (I — I) — sn К (
)
j sh-j- (I — t) — shk
к chk
(5.22)
(5.23)
Формулы для определения основных расчетных величин будут, как
и в двух предыдущих случаях, представлены выражениями (5.14) и (5.15),
в которые вместо Во и Но должны быть вставлены их значения (5.22).
Формулы же для основных расчетных величин в случае равномерно
распределенного крутящего момента т = qe = const, действующего по
всей длине стержня, для этого вида граничных условий будут иметь
вид:
е(*)= -^5пг[- £ - £shfc + Л1 -i)chk +
+ жсЬ —z + xshT(Z^Z)j,
B(z) = ~^i-[ch/c-chTz-/i:shT(z-z)]'
#(z) = —m(l — z).
По формулам (5.6) легко найти нормальные и касательные
напряжения от изгибного кручения: аш и tw.
Мы рассмотрели четыре типа стержней, отличающихся между собой
граничными условиями. Для всех этих типов граничные условия
задавались в явном виде, причем из четырех изгибно-крутильных факторов
два начальных параметра принимали нулевые значения.
Приведенное решение можно легко распространить также и на более
общий случай, когда граничные условия задаются в форме линейных
соотношений между кинематическими и статическими факторами, С
такими граничными условиями мы встречаемся в случае, когда стержень
на концах упруго заделан. Примером может служить стержень какого-
нибудь промежуточного пролета неразрезной балки, упруго заделанный
в соседние элементы этой балки. Статические факторы, действующие в
опорных сечениях этого стержня, будут пропорциональны
соответствующим кинематическим факторам. Коэффициенты пропорциональности
определяются из условия совместности продольных секториальных
деформаций и углов закручивания в опорных сечениях.
5. Кручение стержня при действии изгибающего момента. Мы
рассмотрели вопрос о кручении стержня, концы которого находятся в
различных граничных условиях, при действии на него поперечной нагрузки,
не проходящей через центр изгиба.
Покажем, что, имея решение для случая действия на стержень
сосредоточенной силы, можно легко из этого решения получить основные формулы
для расчета стержней на кручение при действии сосредоточенного (а
следовательно, можно далее развить и для распределенного) изгибающего
момента.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 97
Пусть в точке z = t на стержень действует в плоскости, параллельной
оси стержня и отстоящей от центра изгиба на расстоянии е,
сосредоточенный изгибающий момент М (рис. 62, а).
Поскольку плоскость действия этого
момента не проходит через центр изгиба, то в
стержне, кроме напряжений от изгиба,
возникнут также напряжения и от кручения.
Дополнительные деформации и напряжения,
возникающие в стержне по закону сектори-
альных площадей, в том случае, когда
плоскость действия момента М не проходит
через линию центров изгиба, мы определим,
исходя из формул табл. 12, выведенных для
случая действия сосредоточенной
поперечной силы.
Обозначим любой из четырех факторов v v«;, „ ул,п 7^г
6(z), e'(z),
B{z)
rT~ti{z) через Ф (z, t), имея в виду, что этот фактор является функ-
цией двух переменных z я t; будем, кроме того, полагать, что мы имеем
дело с единичной нагрузкой Ре = 1, и отметим это обстоятельство
индексом Р при функции Ф. Тогда любую из формул таблицы 12 мы можем
символически записать следующим образом:
ФР s Фр (z, t).
Заменим теперь внешний изгибающий момент М, приложенный в
точке z = £, парой поперечных сил Р с плечом At (рис. 62, б):
* = -&■
At
(5.24)
Подсчитывая значение фактора Фр при действии двух равных и
противоположно направленных поперечных сосредоточенных сил Р,
приложенных в сечениях t и t + At, мы можем, используя (5.24), написать:
Ф, -№,(.., + 40 - Ф, С 01 * - Фр"'' + ад",-Фр("" *••
Переходя к пределу при At —>0, получим:
Ф
м
2* Me.
dt
(5.25)
Таким образом, функция влияния для изгибно-крутильного фактора Ф^
от изгибающего момента М, действующего в плоскости, параллельной
оси стержня и отстоящего от центра изгиба на расстоянии е, определяется
как величина, пропорциональная производной по t от ФР, где под ФР
понимается функция влияния для аналогичного фактора в случае, когда
на стержень действует сосредоточенный внешний крутящий момент
Ре = 1; коэффициентом пропорциональности служит величина Me.
Так, например, для стержня с шарнирными закреплениями на концах,%
при действии на него в сечении z=t сосредоточенного изгибающего
момента М, приложенного с эксцентриситетом е относительно центра
изгиба, получим на основании (5.4), (5.5) и (5.25) следующие выражения
для основных изгибно-крутильных факторов:
Тонкостенные упругие стержни
для участка 0 <; z < t
6(2)
Mel z , chT(I-«) k ]
, , ч Me\ 1 ft cbT(*-') ft 1
(Z) = CT:L-T + T—Ш chT2J'
chy(i-t) k
B(z) = -Me—WJ- shTz,
HU\ Me ■
H(z) = j-,
для участка t ^ z <[ J
r _ft -,
ft
ft
chT* *•
B{z) = Me^rsh±{}-z),
H{z) = -^.
Аналогичным образом можно получить формулы и для других
случаев граничных уеловий.
Из формулы (5.25) следует, что при е = 0 величина Фм также
обращается в нуль. Это означает, что если внешний изгибающий момент
действует в плоскости, проходящей через центр изгиба, то все
дополнительные секториальные факторы, связанные с кручением стержня, обращаются
в нуль. Стержень в этом случае будет находиться в условиях центрального
поперечного изгиба. В общем же случае, когда плоскость действия
внешнего изгибающего момента не проходит через центр изгиба, в стержне,
кроме оствных изгибных деформаций и напряжений, возникнут также и
дополнительные факторы, связанные с явлением закручивания.
§ 6. Кручение стержня и определение бимоментов при действии
продольной силы, приложенной на конце
1. Отклонение от закона плоских сечений имеет место, как мы увидим
ниже, не только в случае изгиба от поперечной нагрузки, не проходящей
через даВД Изгиба, но также и в случае действия продольных сил (сжи-
нцмшщШу растягивающих или сдвигающих), приложенных как на концах,
так ж в премавольном месте срединной поверхности, а также и в случае,
когда продольная сила приложена вне сечения и передается на него при
помощи эддасой консоли, прикрепленной к некоторой точке контура
стержня.
папоишш предварительно, что, исходя из закона секториальных
площадей, мы можем заданную внешнюю продольную нагрузку заменить
эквивалеятншш ей четырьмя силовыми факторами, а именно: продоль-
Ч0& Ш^фШММЫШШ ешнш JV, изгибающими моментами Мх и Му и бимомен-
Гл. //. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 99
том В. Каждый из этих силовых факторов мы представляем как обобщенную
силу,полученную путем рассмотрения работы заданной внешней нагрузки
в сечении z = const на соответствующем продольном перемещении,
определяемом одним из четырех компонентов общей четырехчленной формулы
(3.16) гл. I.
Если внешняя продольная нагрузка, задается в сечении z = const
в виде нормальных напряжений о($) (рис. 63, а), то на основании
формул (8.2) гл. I для указарных
силовых факторов, статически
эквивалентных этой нагрузке, будем иметь:
"Л
odF,
Mx=*\eydF,
М,
I _
= — \ oxdF,
(6.1)
Рис. 63
В =Д scodF.
F
Если продольная нагрузка состоит
из ряда сосредоточенных сил Рк
(fc=l, 2, 3,..., /г), приложенных в
различных точках дуги контура
поперечного сечения (рис. 63, б), то формулы (6.1) для определения четырех
силовых факторов сечения z = const будут иметь вид:
к
Mx = ^jPkyk,
к
к
Ту = ^РкЩ-
(6.2)
Здесь через хк и ук обозначены координаты точки приложения силы Рк,
через шЛ — секториальная площадь для этой точки; суммирование
распространяется на все силы Рл (fc= 1, 2, 3,...» п), приложенные по дуге
контура сечения z = const.
Если нагрузка состоит из одной только продольной силы Р,
приложенной в точке контура К(хк, ук> юл), то формулы (6.2) будут иметь более
простой вид:
N = P,
Мх = Руи,
~МУ = — Рхк>
В = Р(о .
(6.3)
Здесь уместно будет напомнить, что знак бимомента зависит:
100
Тонкостенные упругие стержни
1) от знака внешней нормали сечения z — const, в котором приложена
сила Р,
2) от направления силы Р и
3) от знака соответствующей бимоменту секториальной координаты со.
Внешнюю нормаль и силу Р мы считаем положительными, ,если они
по направлению совпадают с положительным направлением оси Oz; сек-
ториальную площадь со мы считаем положительной, если эта площадь
при взгляде на сечение z = const со стороны положительной внешней
вормали описывается движением подвижного радиуса-вектора по часовой
стрелке.
Рис. 64
Если считать, что секториальная координата со, соответствующая
силе Р, имеет положительное значение, то для четырех случаев
приложения силы Р, показанных на рис. 64, бимомент будет положительным
в соответствии с принятым правилом знаков для случаев а) и в) и
отрицательным для случаев б) иг).
Приведенные формулы дают возможность по заданной эпюре
нормальных напряжений a (s) или эпюре продольных нормальных сил вы
числить статические факторы, приложенные по сечению z = eonst. Зная
величины этих факторов, можно затем легко определить напряжения в
любой точке стержня. Для нормальных напряжений ранее была получена
формула (8.5) гл. I:
*v + -r«-
В этой формуле первыми тремя членами выражены напряжения,
подчиняющиеся закону плоских сечений. Статические факторы,
характеризующие изменение этих напряжений по длине стержня при действии
одной только продольной нагрузки, не зависят от переменной z и
определяются по формулам:
Последним членом в формуле (8.5) гл. I представлены напряжения сг^,,
возникающие вследствие] закручивания стержня. Изгибно-крутящий
бимомент В, характеризующий изменение секториальных нормальных
напряжений по переменной z, в' отличие от статических факторов Nt
Мх и Му, по длине стержня не остается постоянным.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 101
В теории тонкостенных стержней мы приняли гипотезу о
неизменяемости профиля стержня. Из этой гипотезы следует, что любую
поперечную нагрузку, действующую в плоскости поперечного сечения, можно
заменять статически эквивалентной ей нагрузкой в той же плоскости,
поскольку поперечное сечение стержня ведет себя как абсолютно
жесткое тело.
Иначе обстоит дело с продольной нагрузкой, приложенной к точкам
поперечного сечения стержня. Действительно, поперечное сечение в
отношении продольных перемещений обладает не тремя, а четырьмя
степенями свободы; продольные перемещения сечения не следуют закону
плоскости, сечение стержня испытывает депланацию. Каждой степени
свободы отвечает своя обобщенная продольная сила. Эти обобщенные
продольные силы, отнесенные к главным координатам, есть
растягивающая сила N, изгибающие моменты Мх и Му и бимомент В.
Обобщенная продольная сила — бимомент представляет собой особую
систему продольных сил, приложенных к точкам поперечного сечения
стержня, а именно: систему сил, статически эквивалентную нулю. Для
стержня заданного профиля в зависимости от внешней нагрузки и
граничных условий бимомент в любом сечении имеет вполне определенное
значение. Так как замена одной продольной нагрузки, приложенной к
точкам поперечного сечения стержня, другой, статически ей
эквивалентной, изменит значение бимомента в этом сечении, то, вообще говоря,
такую замену делать нельзя. Мы можем в поперечном сечении стержня
одну продольную нагрузку заменять другой лишь таким образом, чтобы
значения четырех обобщенных продольных сил в этом сечении оставались
неизменными. В частности, мы можем в поперечном сечении стержня
заменять одну продольную нагрузку другой продольной нагрузкой,
статически эквивалентной первой, если обе нагрузки рассматриваются в
пределах одного пучка пластинок, входящих в состав данного стержня.
Нетрудно показать, что в этом случае значение бимомента в
рассматриваемом поперечном сечении не изменится, поскольку в пределах одного
пучка пластинок, как мы ранее показали, продольные перемещения
меняются по закону плоскости.
Покажем, еще, что необходимо строго различать, какой парой сил
образован изгибающий момент — парой продольных сил или парой
поперечных сил. Рассмотрим тонкостенный стержень корытного профиля,
находящийся под действием сосредоточенного изгибающего момента,
приложенного к концу стержня. Эпюра главных секториальных
площадей для такого профиля приведена на рис. 36, а. Пусть момент изгибает
стержень в продольной плоскости, проходящей через центр изгиба А
и нулевую секториальную точку Si. Если этот момент образован парой
поперечных сил (рис. 65, а), то, очевидно, кручения не будет, так как
поперечные силы лежат в плоскости, проходящей через центр изгиба.
Если тот же момент образован парой продольных сил, приложенных в
точках В и Si (рис. 65, б), то бимомент В в начальном сечении определится
по формуле
В=Рав
и стержень будет закручиваться. Наоборот, пусть плоскость действия
сосредоточенного изгибающего момента проходит через нулевые секто-
риальные точки Si и 6*2 (рис. 65, <?, г). В этом случае стержень будет
закручиваться, если изгибающий момент образован парой поперечных сил,
поскольку поперечные силы не проходят через центр изгиба; если же
изгибающий момент образован парой продольных сил, приложенных
в точках Si и $2, то кручения не будет, так как Si и $2 — нулевые секто-
риальные точки.
102
Тонкостенные упругие стержни
Необходимо, далее, помнить, что если изгибающий момент образован
парой поперечных сил, то эти силы можно по линии их действия
переносить в любую точку поперечного сечения стержня, так как профиль
стержня считается жестким. Если же изгибающий момент образован
парой продольных сил, то кручение стержня будет зависеть от точек
приложения этих сил: нельзя произвольно заменять одну пару продольных
Рис. 65
сил другой парой, статически эквивалентной первой. Вообще, как мы
выше отметили, одну произвольную продольную нагрузку можно
заменять другой продольной нагрузкой лишь таким образом, чтобы в
рассматриваемом поперечном сечении четыре обобщенные продольные силы
сохраняли свои прежние значения.
Как и ранее, мы будем опускать случаи растяжения (сжатия) и иЬ-
гиба по закону плоских сечений как хорошо известные из курса
сопротивления материалов и будем заниматься только выводом формул для
определения дополнительных (секториальных) деформаций и напряжений,
возникающих вследствие закручивания стержня от действия внешней
продольной нагрузки.
2. Рассмотрим случай, когда на концах стержня приложены одни
только изгибно-крутящие бимоменты В. Пусть стержень находится под
действием сжимающих сил Р, приложенных на концах стержня и
направленных по линии К—К (рис. 66, а). Бимомент В определяется в
этом случае по последней из формул (6.3), которая при принятом правиле
знаков будет иметь вид (для обоих концов):
Б = — Рщ.
Будем считать, что начальное сечение 2=0 закреплено от угла
закручивания, тогда граничные условия для данного случая нагрузки можно
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 103
записать следующим образом:
при z = 0 6 = 0, Я = — P(ok;
при z = l # = 0, В = —Рщ.
Начальные параметры при таких граничных условиях будут иметь
значения:
60 = 0,
Р<йк к /с
е° = — G77TthT'
я0 = о,
(6.4)
Рис. 66
а основные расчетные величины будут вычисляться по формулам:
в«=^(сь4-*-«|*Л*Я-.1). |
#(z) = 0.
Формулы (6.4) упростятся, если начало отсчета координаты z выбрать
в среднем поперечном сечении стержня (рис. 66, б) и считать при этом, что
угол закручивания на конце по-прежнему равен нулю.
Граничные условия при этом можно записать следующим образом:
при z = 0 Я = 0, 9' = 0;
при z = у В = — АоА, 6 = 0.
Формулы (6.4) при таких условиях примут вид:
6(2) =
9'(2) =
Я (2) =
H(z) =
Ршк ch у г — ch -j
Wd ~к
chy
i>CDft fcShT2
ch-7-z
chy
0.
(6.5)
104
Тонкостенные упругие стержни
Для нормальных напряжений, возникающих под влиянием одного
только изгибно-крутящего бимомента, мы получаем теперь формулу:
к
<3W = --^—~io(s). (6.6)
Эти напряжения, как видно из формулы (6.6), зависят не только от
положения точки на профильной линии контура s, но также и от
положения точки на образующей (координата z). Наименьшие напряжения
получаются в среднем поперечном сечении при 2 = 0. По мере удаления
от этого сечения в ту или другую сторону напряжения возрастают по
, к I
закону en -j z\ при 2 = ±-^-> т- е* в крайних сечениях, напряжения
достигают наибольших значений:
max аш = ^ со (s). (6.7)
Формулой (6.7) определяется заданная секториальная эпюра
напряжений, ^эквивалентная статически заданному изгибно-крутящему бимо-
менту В.
Мы приходим таким образом к весьма важному выводу, а именно:
Явление закручивания стержня может иметь место не только в
случае чистого кручения и поперечного изгиба силой, не проходящей через
центр изгиба, но также и в случае действия одних только продольных сил,
приложенных к концам стержня.
Ниже будет показано, что этот вывод относится также и к продольным
силам и моментам, приложенным в любой точке срединной поверхности
стержня, а также и вне ее с передачей на стержень при помощи жесткой
консоли.
Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня
при произвольном приложении сил, как правило, не следуют закону
плоских сечений. Этот закон имеет место только в частном случае
действия продольных сил, когда эти силы распределены по сечению так,,
что изгибно-крутящий бимомент В от этих сил, определяемый последней из
формул (6.1), (6.2) или (6.3), равен нулю. Так, например, если продольная
нагрузка состоит из одной только силы Р, то изгибно-крутящий бимомент
равен нулю в том только случае, если эта сила приложена в такой точке
контура, для которой равна нулю секториальная площадь со($).
В поперечных сечениях стержня, в общем случае действия
продольной силы (когда ЪфО), кроме нормальных напряжений, возникнут
также касательные напряжения r(z, s) и крутящие моменты /Z*.
Касательные осевые сдвигающие напряжения r(z, s), определяются по общей
формуле (8.9) гл. I, откуда
, ч Hta(z)S(A(s)
Tw(2'5) = 7JW-- М
Здесь Н<ь(г) — изгибно-крутящий момент, который равен согласно третьей
из формул (8.10) гл. I производной по переменной z от бимомента B(z):
Chy
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 105
Подставляя (6.9) в (6.8), получим:
к
М^) = т;}4ж' (6Л0>
Их формулы (6.10) видно, что осевые касательные напряжения по
длине стержня меняются по закону нечетной функции sh у- z. При 2=0,
т. е. в среднем поперечном сечении, эти напряжения равны нулю. В
поперечном сечении касательные напряжения пропорциональны секториаль-
ному статическому моменту S^s), вычисляемому для отсеченной части
сечения, и обратно пропорциональны толщине стенки стержня б (s).
Касательные напряжения т, умноженные на толщину стенки б (s), дают
сдвигающие усилия Г=тб, приходящиеся на единицу длины дуги контура
сечения. Эти же усилия Т приводятся к паре сил, действующей в
плоскости поперечного сечения и равной изгибно-крутящему моменту
Яи(2) = 5
t6d(0.
L
Кроме изгибно-крутящих моментов H^z), в поперечных сечениях
стержня возникнут также и крутящие моменты Нь, вычисляемые по
формуле (5.7) гл. I. Для этих моментов на основании формул (5.7) гл. I
и (6.5) получаем:
к_
Нк (z) = GJtf (z) = Рщ -*- ^ЦД (6.11)
chy
Нетрудно убедиться в том, что общий крутящий момент H(z), равный
по формуле (8.11) гл. I сумме моментов HJ^z) и Hk{z), при действии
одной только продольной силы равен нулю:
H(z) = H(a(z) + Hk(z) = 0. (6.12)
Формула (6.12), полученная на основании формул (6.9) и (6.11),
выражает собою одно из условий равновесия части стержня, лежащей по одну
сторону от сечения.
3. В качестве примера рассмотрим несимметричный профиль,
изображенный на рис. 67. Главные оси обозначены через х и у\
вспомогательные центральные оси — через £ ит); угол между центральными и главными
осями <р = 21°42\
Площадь сечения и главные моменты инерции имеют следующие
значения:
F = 285,6 см2;
Jx = 43 040 см*-у
Jy = 120 300 см*.
Для определения координат центра изгиба выберем в качестве
вспомогательного полюса В — точку 4, находящуюся на пересечении оси
горизонтального элемента с осью правой вертикальной стенки, и построим
относительно этого полюса эпюру секториальных площадей сод (рис. 68, а).
106
Тонкостенные упругие стержни
Вычисляя интегралы от произведений эпюр сов на х и <ов на у (рис. 68, б
и в) по площади всего поперечного сечения, получим:
Лох = \ a>BxdF = — 1 402008 ел*5,
/ву = ^ со^г/ dF = — 223 000 см*.
Формулы (7.5) гл. I для координат центра изгиба, отсчитываемых
от вспомогательного полюса В в направления главных осей, дают:
<хх =
coy
л.
л.
— 5,18 сл«, а„ = у^ — 11,66 сие
Ш? а) 35,95 $ 6,79 КА2 6)
31,43
Рис. 67
Так как вспомогательной полюс В имеет по главным осям координаты
<рйс. 68)
bx =£ 17,88 см, Ьу = — 3,55 см,
to Координаты Цвйтра изгиба А по главным осям будут:
ах= 12,70 см, ау = 8,11 см.
По этим данным легко подсчитать расстояния центра изгиба от осей
горизонтального и правого вертикального элементов поперечного
сечения; они будут соответственно равны 8,93 см и 9,43 см (рис. 69, а).
Помещая полюс в центр ивгиба А и считая, что начальная точка
отсчета секториальных площадей Мо отстоит от левой вертикальной оси
на расстоянии t (рис. 69, а), строим эпюру секториальных площадей и
из условия
Su = \ «odF = 0 находим t = 41,73 см.
F
На рис. 69, б дана эпюра главных секториальных площадей со,
построенная после определения положения начальной секториальной точки
Мо. На рис. 69, в дана эпюра секториальных статических моментов S&.
По эпюре со вычисляем секториальный момент инерции. Крутильное
«сопротивление определяем по формуле (5.8) гл. I при коэффициенте а,
принятом равным единице:
;d = 2f = 419,8 см*.
Гл, II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 107
Из эпюры секториальных площадей (рис. 69, б) видно, что линейное
распределение напряжений а по сечению имеет место только в частном
случае, когда продольная сила Р приложена в одной из трех точек
профильной линии, для которых секториальная площадь со равна нулю.
При любом же ином положении силы Р в поперечных сечениях возникнут
дополнительные (секториальные) напряжения, связанные с депланацией
сечения. Эти напряжения при граничных условиях, указанных в п. 2
настоящего параграфа для стержня с началом отсчета координаты z в
среднем поперечном сечении, определяются для произвольной точки
поперечного сечения, отстоящего от среднего поперечного сечения на
расстоянии z, по формуле (6.6), которую мы запишем теперь в виде:
<Зо> = ^G)(s)q>(/f, z),
где
h
ch-y z
ф(/с, z) = Г.
Chy
Функция ф(/с, г), как видно из (6.13), зависит от положения точки
по длине стержня и от упругой характеристики /с, вычисляемой по
формуле (2.2). В данном случае, поскольку мы рассматриваем половину
стержня (координата z отсчитывается от среднего сечения), при вычислении к
мы должны под I понимать половину длины стержня.
Функция ф(/с, z) характеризует изменение секториальных
деформаций по длине стержня. На рис. 70 приведены графики функции ф (к, а),
построенные для разных длин стержня при коэффициенте Пуассона |х = -j? —
= 0,4. На этих графиках по оси абсцисс отложены относительные
расстояния а = Т/2 > выраженные в долях половины длины стержня и
отсчитываемые от среднего поперечного сечения, по оси ординат —
величины ф(/с, а).
Графики показывают, что секториальные деформации сечения, а
следовательно, и дополнительные напряжения ам, с удалением от концов
стержня к середине уменьшаются, причем степень уменьшения при данных
размерах поперечного сечения стержня и заданном коэффициенте Пуассона
\i зависит от длины стержня /. С увеличением длины стержня
секториальные нормальные напряжения в большей степени уменьшаются в средней
его части. Для весьма длинных стержней эти напряжения носят местный
характер, и, следовательно, согласуются с принципом Сен-Венана. При
к—> оо, т. е. для бесконечно длинного стержня, секториальные нормальные
(6.13)
108
Тонкостенные упругие стержни
напряжения всюду равны нулю, за исключением концевых сечений
а = +1 или z = +y » для которых функция ф принимает единичные
значения. Действительно, выражая гиперболические косинусы по
известным формулам Эйлера, можем функцию ср представить в виде
<р =
Из этой формулы видно, что для всех значений а, заключенных между
нулем и единицей (или, что то же самое,— для всех значений z,
заключенных между нулем и 1/2), функция ср при /с—*оо обращается в нуль, а
ch
ch
k
k
T
=
и k
chTa
chT
=
k
— a
e2
k
e2
+ e
+ e"
k
— a
2
k
2
=
k
e2
(a-
-1)
1 + 6-
i + e
-Ы
—k
f,o\
0,9
0.8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2\
0,1\
\<р(к,<х)
,s
s
s
——
^
A
/
—-
^
/,
/
-—■
'//
V,
A
Ш
w
(
i
cc
f
Ы
-Ы
-l«M
0 0,1 0,2 Oj Of 05 0.6 0,7 Q8 0? 1,0
Рис. 70
I
\У
Рис. 71
при a = 1 функция ф принимает значение, равное единице, независимо ог
величины к.
Переходя к вычислению эпюр нормальных напряжений а по
поперечному сечению, рассмотрим случай, когда сжимающая сила приложена в
точке 2 (рис. 71). Изгибно-крутящий бимомент В вычисляется здесь по
формуле
В = — Рщ.
Полагая в этой формуле Р = 50 т и замечая, что для точки 2
со2 = — 372,7 см2, получим:
В = 50 000 • 372,7 = 18,635 - 106 кг см2, (6.14)
б« = Ф(&, a)y-a>(s) = q>(&, *) ^9т.\& ^Н = 1,174© (s) ф (Л, а).
Прибавляя напряжения, определяемые по формуле (6.14), к
напряжениям, которые получаются по обычным формулам сопротивления
материалов от осевой сжимающей силыТУ = — Р = — 50/пи от изгибающих
моментов Мх = Ру2 и Му = Рхг, получим:
F
_ 50000 _ 17. , кг
ао-"^- — "285^" ~ — 1/0,1сле2»
ах = — -^ хк = 10,334 хк,
м«
сУ =
:-ук = — 15,637 ук.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 109
Ниже, в табл. 15 даны нормальные напряжения, вычисленные для
точек .7, 2, 3, 4У 5 поперечного сечения по трехчленной формуле
сопротивления материалов: а = а0 + ох-\- оу. Эти напряжения зависят только от
положения точки на контуре профильной линии и не меняются по длине
чггержня.
Таблица 15
Точки
кг
з—о
см2
1
—321,1
2
—642,5
3
386,6
4
65,2
5
-255,9
Дополнительные (секториальные) нормальные напряжения aw,
определяемые по формуле (6.14) для стержня длиной I = 900 см, для шести
2z
значений a = -у- приведены в табл. 16. Эти напряжения являются уже
функцией двух переменных: а и s. Переменная а определяет положение
точки по длине стержня, и влияние ее определяется функцией ср (/с, а),
которая при.к = 1,464 и заданных значениях а имеет значения:
Ф(Л; 0) =0,43917,
ср(/с; 0,2) = 0,4581,
Ф(Л; 0,4) = 0,5167,
ф(Л; 0,6) = 0,6196,
Ф(Л; 0,8) = 0,7762,
Ф(Л; 1) -1.
Переменная s определяет положение точки на поперечном сечении
срединной поверхности данного стержня, и влияние ее определяется секториаль-
ными координатами юк.
Таблица 16
о
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Напряжения ощ в точках:
J
378,1
394,5
445,0
533,6
668,4
861,2
2
—192,2
—200,5
—226,1
—271,1
—339,7
-437,6
3
—121,6
—126,9
-143,1
—171,5
—214,9
—276,9
4
19,7
20,5
23,1
27,7
34,7
44,7
5
160,9
167,8
189,3
226,9
284,4
366,4
Складывая по сечениям напряжения, выписанные в табл. 15, с
дополнительными напряжениями табл. 16, получим полные напряжения a
от сжимающей силы Р = 50 т/г, приложенной в точке 2.
Значения полных напряжений для характерных точек поперечных
сечений приведены в табл. 17.
На рис. 72, а, б, в по данным табл. 17 построены эпюры напряжений
для сечений a = 0; 0,5; 1,0. На этих эпюрах для сравнения пунктиром
нанесены напряжения, взятые из табл. 15, определяемые по обычной теории
но
Тонкостенные упругие стержни
Таблица 17
а
О
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Напряжения о в точках
J
57,0
73,4
123,9
212,5
347,3
540,1
2
—834,7
—843,0
—868,6
-913,6
—982,2
—1080,1
3
265,0
259,7
243,5
215,1
171,7
110,3
4
84,9
85,7
88,3
92,9
99,9
109,9
г
-95,0
—81,9
-66,6
-29,0
28,5
110,5
сопротивления материалов. Дополнительные напряжения о^ и в этою
случае, как мы видим, достигают весьма больших значений.
6) ^ 6)
Рис. 72
При внецентренном сжатии в стержне, помимо нормальных напряже-
ний, возникнут вследствие появления секториальной депланации также и
касательные напряжения. Эти напряжения складываются из осевых
напряжений, которыми обусловливаются сдвигающие усилия, действующие
по направлению касательной к дуге профильной линии, и напряжений,
приводящихся в каждой точке контура к крутящей паре. Осевые
сдвигающие напряжения определяются по формуле (6.8), где изгибно-крутящий
момент Нш (z) характеризует изменение напряжений tw по длине стержня,
а секториально-статический момент S^s) и толщина стенки стержня б (s)
характеризуют изменение напряжений хш по поперечному сечению; при
постоянной величине б (s) (как в нашем примере) изменение напряжений
То, по поперечному сечению определяется одной функцией £<„($). Этот
момент для произвольной точки сечения вычисляется по формуле (6.И)
гл. I:
£.($)= \ (odF. (6.15)
F(s)
Интеграл в формуле (6.15) распространяется на отсеченную часть сечения,
расположенную по одну сторону от данной точки на контуре. Эпюра сек-
ториальных статических моментов приведена на рис. 69, в.
По длине стержня, как это видно из формулы (6.10), касательные
напряжения меняются по закону нечетной функции sh-r-z, принимая
нулевые значения в середине длины стержня (при z = 0) и
наибольшие значения на концах стержня Ы = + ~^-)-
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля llf
Полагая в формуле (6.10) z =-~-, получим:
Ръ
tw = J—g -J S<a (S) th ~2"
/uf^|
1-chi
chZ
Как показано выше, осевые касательные напряжения в любом
поперечном сечении статически приводятся к моменту #w(z), названному
нами, в отличие от крутящего момента
Hk(z) при чистом кручении, изгибно-
крутящим моментом. Помимо #w(z),
в сечении стержня возникнет и крутя- a) J=^^ б)
щий момент Hk(z)i обусловливаемый
неравномерностью распределения
касательных напряжений по толщине
стенки и вычисляемый по формуле (6.11).
На рис. 73, а показан график
изменения моментов Hk (z) по длине стержня.
Как ранее указывалось,
тонкостенный стержень при внецентренном дей- Рис 7з
ствии продольной силы, помимо
деформаций осевых удлинений и
изгиба, будет также испытывать и деформации кручения. Угол
закручивания в рассматриваемом случае (при z — 0 в середине длины стержня)
определяется по первой иа формул (6.5). На рис. 73, б дан график
изменения угла 8 по длине стержня.
§ 7. Кручение стержня при действии продольной сдвигающей силы,
приложенной в произвольной точке
1. Рассмотрим тонкостенный стержень, находящийся под действием
продольной сдвигающей силы, приложенной в произвольном месте
срединной поверхности стержня. Эта сила,
кроме напряжений от осевого
растяжения (сжатия) и изгиба, вызовет также
дополнительные напряжения от кручения.
Пусть продольная сила Р, совпадающая
по направлению с положительным
направлением оси z, приложена в произвольной
точке z = t, s = к срединной поверхности
стержня (рис. 74). Этой силе будет
соответствовать внешний бимомент В = Рщ,
равный произведению силы Р на
значение секториальной координаты щ в точке приложения этой силы.
Так как в точке z = t, s = к приложена внешняя продольная сила Р>
создающая внешний сосредоточенный бимомент В = Р<йк, то значение
начального фактора Bt при положительном направлении силы Р (в сторону
положительной оси z) и при сод^О для значений z^> сбудет
противоположным значению В (см. рис. 64, г), а поэтому необходимо считать, что Bt=
= — J?= — Рщ, В этом случае формулы табл. 7 в развернутой форме
запишем в виде, представленном в табл. 18.
Формулы табл. 18 справедливы для участка стержня, расположенного за
сечением z = t, т. е. при z ^> t\ для участка же стержня, расположенного
ближе сечения z = t, т. е. при z < t, в приведенных формулах нужно
удержать только члены, содержащие начальные параметры 60, 60, В0 и HQr
и отбросить члены, содержащие внешнюю нагрузку В = Рщ.
112
Тонкостенные упругие стержни
00
0 00
О'М
1 !
<rrdH^
1
0
0
0
е'о
l к
TshTz
к
chyz
1 и к
~TshTz
0
GJdB°
к
1 — ch у z
-yshyz
, к
chTz
0
GJdH«
1 к
z — у sh у z
, A:
1 — ch у z
/ к
TshTz
1
Таблица 18
1 D 1 n
GTdBt = -GJ2 k
к
1 — ch у (z — t)
A: Ar
— yshy(z — t)
A:
ch у (z — t)
*
0
Формулы табл. 18 справедливы не только в случае, когда внешний
бимомент возникает при действии одной сосредоточенной силы Р, но и
при воздействии нескольких сил, сосредоточенных или как угодно
распределенных по сечению z = t; в последних случаях В вычисляется по
соответствующим формулам (6.1) и (6.2).
Начальные параметры 60, %, BQ и Н0 определяются из граничных
условий. Как и в случае поперечных сил, рассмотрим частные случаи
граничных условий.
а) Стержень на концах шарнирно оперт.
Граничные условия в этом случае имеют вид:
при z = 0 6 = 0, В = 0;
при z = I 6 = 0, В = 0.
Начальные параметры, определенные из этих граничных условий при
помощи табл. 18, имеют следующие значения:
о0 = о,
е0
в iL ch4(/-ol |
"~ GJA I L1 K shAr V I
0,
■n-
(7.1)
Основные расчетные факторы будут вычисляться по следующим
формулам:
Для участка 0 <^ z < t
e(z) = eoTshT2 + ^(z-TshTz)'|
e'(z)=e;ch4z + ^(i-chAz),
B(z)= — GJcfi'o-^ sh -j z + H0 -£- sh у z,
H{z) = H0.
(7.2)
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 113
Для участка / < z ^ I
o(2) = e;lsh42 + ^(2-|sh|z)-^[i-chA(z-4 ]
9'(2) = 9;сь*2+^(1-сь^)+54йЬт(г-^
B(z) = -GJd%±sh±-z + Hn±*h±z~Pwkvh±(z~t)
H(z) = H0.
\ (7-3)
Начальные параметры 0O и HQ определяются по формулам (7.1).
б) Стержень с жестко заделанными концами.
Граничные условия для этого случая имеют вид:
при z = О, 9 = 0, 9' - 0;
при z = I 0 - 0, 9' = 0.
Начальные параметры, удовлетворяющие этим условиям,
определяются формулами:
\
6о = 0,
во = 0,
k к к
_ ch -j t + к sh -j (l—t) — ch — (I —t) — ch A:+l .
"o = В 9 , , , , , , Г
#o=-S
2 + к sh Ar — 2 ch к
к Г к к "1
-j sh у (I — t) + sh -j \t — sh Ar
2 + ArshAr — 2chAr
(7.4)
Пользуясь табл. 18 и учитывая при этом (7.4), составляем формулы для
вычисления основных расчетных факторов:
Для участка 0 ^ z < /
Я (а) = #0.
Для участка t <^ z <; J
e(2) = ^d(1-ch4z)+^(z-ishTz)-!
+ GTdTshT(z-/)'
В (а) = В0 ch | z + #01 sh A z-.P<o*ch -£ (а -«),
Я (г) = #0.
(7.5)
(7.6)
114
Тонкостенные упругие стержни
в) Стержень, у которого один конец жестко
заделан, а другой шарнирно закреплен.
Предполагаем, что заделан край z ~ 0 и, следовательно,
при z = o е0 = о, е'0 = о.
Граничные условия на краю z = I будут иметь вид:
при z = I 0 = 0, Я = 0. (7.7)
Остальные два начальных параметра В0 и Н0, определенные из
условий (7.7), будут иметь значения:
ВЛ = В
1 к
_-^shk — ch — (l — t)
-r- sh к — ch к
Нь = В
_ ch -j- (l — t) — ch к
■ sh к — I ch к
(7.8)
Формулы для определения основных расчетных факторов такие же,
как и в предыдущем случае граничных условий; начальные же параметры
BQ и Н0 в них должны определяться по формулам (7.8).
г) Стержень, у которого один конец жестко
заделан, а другой свободен (консоль). Полагаем, что
заделка относится к краю z = 0 и, следовательно, как и в предыдущих слу-
чаях*
при z = o е(о) = о, е'(0) = о.
Граничные условия на другом краю имеют вид:
npi2 = 2 В{1) = 0, Я(/) = 0.
Начальные параметры имеют следующие значения:
90 = 0,
во = 0,
В0 = В
#0 = 0
к I
_ch — (/ — t) I
(7.9)
ch /с
Подставляя найденные значения начальных параметров (7.9) в
соотношения (7.5) и (7.6), получим формулы для определения основных
расчетных факторов и для этого вида граничных условий.
2. Выведенные выше формулы для изгибно-крутильных факторов от
сосредоточенной продольной силы, приложенной в произвольной точке
срединной поверхности стержня, позволяют на основании закона
независимости действия сил определить угол закручивания, депланацию и
секториальные статические факторы от поверхностной продольной
нагрузки, которая может быть либо сосредоточенной, либо распределенной
непрерывно по срединной поверхности стержня.
Выведенные в этом параграфе формулы дают также возможность
определить секториальные перемещения и силы от сосредоточенного
изгибающего момента, действующего в касательной плоскости к срединной
поверхности стержня.
Гл. 77. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 115
Пусть в точке z = t, s = к срединной поверхности стержня в
касательной плоскости к этой поверхности приложен сосредоточенный момент М,
образованный парой продольных сил Р, отстоящих друг от друга на
расстоянии As (рис. 75). Величины М, Р и
As связаны следующей зависимостью:
Р =
М_
As
(7.10)
Из изложенного в п. 1 этого параграфа
видно, что изгибно-крутильные факторы
от воздействия сосредоточенного
внешнего бимомента В = Рщ в окончательном
виде, после определения по граничным
условиям значений начальных
параметров, пропорциональны этому бимоменту; поэтому мы можем представить
их в такой записи:
6(2) = ei(z)PcOfr,
е/(2) = е/1(2)Ро)Л,
B(z) = B1(z)Pcoki
H(z) = H1(z)P<ok,
)
(7.11)
где 6X(2), 9i (z), Bi(z) и #i(z) обозначают те же изгибно-крутильные
факторы, но от воздействия единичного бимомента, приложенного к точке
z = ty s = /с; щ обозначает секториальную координату в точке К
поперечного сечения.
Пусть Q>(z) обозначает любой из изгибно-крутильных факторов Q(z),
0'(z), B(z) и Н (z). На основании (7.11) мы можем написать
ф (z) = Фх (z) Рщ .
В точке, отстоящей от К на расстоянии As, секториальная координата
тоже получит приращение, которое мы обозначим через Дсо*.
Тогда для фактора Ф (z) от действия пары сил (рис. 75) мы можем,
рассматривая формулы табл. 18 как функции влияния, написать
Фм (z) = Фг (z) [— Рщ + Р{щ + Ащ)] = Фх (z) РАщ .
Подставляя сюда Р по формуле (7.10) и переходя затем к пределу при
As-*0, получим:
ФМ (s) = Ф, (,) М (^)^о = ФХ (,) М (£ )^.
Таким образом, выражения для изгибно-крутильных факторов от
воздействия сосредоточенного изгибающего момента М, лежащего в
касательной плоскости в точке z = t, s = /с, примут вид:
e(z) = el(Z)M(f)s=fc
B(z) = Bl{z)M(^
Hiz)-Hl{,)M(%)
не
Тонкостенные упругие стержни
Из этих выражений видно, что изгибно-крутильные факторы от
действия сосредоточенного изгибающего момента М, лежащего в касательной
плоскости к срединной поверхности в точке z = t, s = к, выражаются
такими же формулами, как и от действия сосредоточенной продольной
силы Р, приложенной в той же точке ъ = t, s = к, с заменой множителя
Рщ на М(-^-\ , т. е. они пропорциональны производной по
переменной s от секториальной координаты со в точке К.
Если момент М приложен в точке, где производная -г- равна нулю,
то все изгибно-крутильные факторы обратятся в нуль. Из геометрических
соображений и способа получения главной секториальной площади со
следует, что касательная плоскость к срединной поверхности стержня
в точке, где -т- = 0, проходит через центр изгиба. Таким образом,
dm ,ч ~
в точке, где-^- = 0 , стержень будет находиться в условиях центрального
поперечного изгиба. К этому же выводу мы пришли и ранее при
рассмотрении вопроса о действии изгибающего момента, замененного парой
поперечных сил (см. рис. 62, бу.
' В § 1 на рис. 32, 36, а и 39, а даны эпюры секториальных площадей
для двутавра, швеллера и зетового сечения; по ним легко получить для
этих же профилей эпюры -г~; они будут иметь вид, показанный на
рис. 76, а, бив.
По этим эпюрам мы можем судить, что моменты, приложенные в
плоскостях стенок двутавра и зетового профиля, дадут только поперечный
изгиб и не вызовут крутильного эффекта, так как плоскости стенок
проходят через центр изгиба. Моменты же, приложенные в плоскостях
полок всех трех профилей, а также в плоскости стенки швеллера, помимо
поперечного изгиба, вызовут дополнительные изгибно-крутильные на-
rfco
пряжения, причем, поскольку эпюры -г- имеют для каждого элемента
постоянное значение, то место приложения момента в каждом элементе
безразлично.
Заметим, что все наши рассуждения относились к случаю, когда
изгибающий момент действует в точке поперечного сечения стержня. В этом
случае мы можем представлять изгибающий момент как парой
продольных сил, так и статически эквивалентной ей парой поперечных сил,
поскольку они приложены к бесконечно малому элементу ds dz срединной
поверхности стержня в пределах одной пластинки.
3. Рассмотрим, наконец, случай, когда продольная сила приложена
вне сечения стержня и передается на него при помощи жесткой консоли,
прикрепленной в некоторой точке контура D (рис. 77, а).
Докажем следующую теорему: Если к тонкостенному стержню,
обладающему недеформируемым контуром поперечного сечения и не имеющему
деформаций сдвига, в какой-нибудь точке D прикреплена под прямым углом
к образующей стержня жесткая консоль CD, то продольное перемещение
конца консоли {точки С) в самом общем случае деформации стержня
складывается из перемещений, определяемых законом плоских сечений, и пере-
1 А. иЛ.Феппль в своей книге «Сила и деформация» в главе о кручении
тонкостенных стержней (т. II, стр. 130) приводят такое утверждение: «В случае
чистого изгиба плоскость действия внешних сил можно перемещать параллельно
самой себе без изменения распределения напряжений в балке». Это утверждение, как
мы видим, неправильно. Напряжения в тонкостенном стержне при чистом изгибе
зависят не только от направления плоскости действия момента, но также и от способа
осуществления этого момента и положения плоскости его действия.
Гл, II, Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 117
мещения, пропорционального векториальной площади о)с, основанием ко-
торой служит линия M0DC (М0 — начальная точка отсчета главных сек-
ториальных площадей), а полюс находится в центре изгиба А (рис. 77, б).
Продольное перемещение конца консоли (точки С, рис. 78, а)
складывается из продольного перемещения uD основания консоли (точки D)
/
/у
А
б)
Рис. 76 Рис. 77
и относительного продольного перемещения uqd точки С по отношению
к точке/), возникающего вследствие поворота консоли CD относительно
прямой п — л, лежащей в плоскости Р поперечного сечения t = const
и проходящей через точку D под
прямым углом к консоли CD: ^ ^ О
"с = "d + ыС1>. (7.12)
Так как точка D лежит на
срединной поверхности стержня,
то ив определяется по формуле
(3.16) гл. I:
uD = £— I'xd — л'2/я — O'cdd.
(7.13)
гдехя, у в ио)£> — главные линейные
и секториальная координаты
точки D.
Обозначив через а угол,
который образует направление
консоли CD с осью х, а через h —
длину перпендикуляра из центра
изгиба на направление консоли, мы
можем на основании (3.9) гл. I
определить проекцию перемещения
точки D на направление консоли:
vd = I cos а + т] sin а + 6/&. (7.14/
Рис. 78
Через образующую стержня, проходящую через точку D и консоль
CD, проведем плоскость Р (рис. 78, б). Пунктиром на этом рисунке
показана проекция на плоскость Р образующей стержня, проходящей через
точку D после деформации стержня. Так как по условию консоль CD
жестко прикреплена к контуру под прямым углом к образующей, то она
после деформации повернется в продольной плоскости на некоторый
угол, тангенс которого с точностью до величины второго порядка малости
мы можем определить как производную по переменной z от перемещения vd'
vD (z + dz) — vD (z)
dz
= ^ =
dz
D'
118
Тонкостенные упругие стержни
Умножая v'D на длину консоли CD, которую мы обозначим через Scd,
получим величину продольного перемещения ucd точки С вследствие
указанного поворота консоли CD после деформации:
uCD = -vDSCD. (7.15)
Происхождение знака минус в формуле (7.15) легко объяснить
по рис. 78, б.
Подставляя в (7.15) выражение (7.14), продифференцированное один
раз по переменной г, и замечая, что
SCD cos а = хс — xD , SCD sin а = ус — yD , SCDh = сос/),
получим
и
cd -=~1' (*с - хо) - V (Ус - У в) - еЧг> > (7-16)
где хс и ус— главные линейные координаты точки С, a ocd — удвоенная
площадь треугольника, основанием которого служит длина консоли
CD, а вершина лежит в центре изгиба.
Подставляя в формулу (7.12) выражения (7.13) и (7.16) и замечая, что
<»о + <*cd = ^с »
получим
ис = С - 1'хс - v[yc - 6'сос , (7.17)
что и подтверждает высказанную теорему.
Теперь можно распространить понятие обобщенных внешних сил
N, Мх, Му и В, эквивалентных заданной силе Р в смысле возможной
работы на перемещениях из плоскости сечения t = const, и на случай, когда
сила приложена вне контура поперечного сечения и передается на
сечение при помощи жесткой консоли. Для этих обобщенных сил формулы
будут совершенно аналогичны формулам (6.3):
iV = P-l,
мх =
в =
РУс
-Рхс
■Рос.
(7.18)
К последней из формул (7.18) мы можем прийти непосредственно,
исходя из следующей теоремы: Если продольная сила приложена вне сечения
стержня и передается на сечение при помощи жесткой консоли, прикреплен-
ной в некоторой точке контура D (рис. 79) и лежащей в плоскости
поперечного сечения стержня, то эта сила будет вызывать бимомент, равный
произведению силы Р на удвоенную секториальную площадь AM0DC,
ограниченную двумя радиусами-векторами, проведенными из центра изгиба
А в начальную точку контура Мо и в точку С приложения силы Р,
контуром сечения и осью консоли.
Пусть е — длина консоли. Перенесем силу Р в точку D; тогда в точке
D, кроме силы Р, мы должны приложить еще момент Ре. Заменить
продольную силу Р статически эквивалентными величинами в данном случае
можно, поскольку мы находимся в пределах жесткой консоли
(продольные перемещения консоли следуют закону плоскости). Сила Р,
приложенная в точке D профильной линии, вызовет бимомент Pcoi>, где со л— удвоен-
Гл. II, Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 119
ная площадь AMoD. Момент же в заделке (точке D), равный Ре и
действующий в плоскости консоли, мы разложим на два компонента: на момент,
действующий в плоскости радиуса-вектора AD, и момент, действующий
в плоскости, перпендикулярной к AD. Первый момент, поскольку
плоскость действия его проходит через центр изгиба, не вызовет кручения;
Рис. 79
второй момент Ре sin ф вызовет бимомент, равный AD>Pe sin ф, где AD —
расстояние между точками А и D, но AD-e sin ф есть удвоенная площадь
&ADC. Складывая оба бимомента, получим
E=PnD+P<*AADC = P*c,
где сое— удвоенная площадь AMqDC. Теорема доказана и мы другим
путем пришли к прежде полученной формуле.
4. В соответствии с четырьмя внешними статическими факторами
(7.18) напряжение в тонкостенном стержне при действии продольной силы
Р в общем случае будет определяться также четырехчленной формулой
(8.5) гл. I. Как уже не раз говорилось, нас в этой работе интересует
главным образом четвертый член этой формулы, относящийся к
дополнительным напряжениям от кручения под воздействием внешнего продольного
бимомента B(z).
Бимомент — новый силовой фактор, представляющий собою, по
существу, систему продольных сил, статически эквивалентную нулю.
Поскольку бимомент пропорционален секториальной площади сое, то
напряжения и деформации стержня при действии продольной силы Р зависят
не только от положения силы в плоскости сечения t = const, но также и
от способа передачи этой силы на стержень (от точки D — присоединения
консоли к стержню). С изменением положения точки D меняется секто-
риальная площадь сое, и, следовательно, меняется величина бимомента
и соответствующих ему напряжений и деформаций стержня,
определяемых законом секториальных площадей.
Бимомент B(z) в произвольном сечении стержня определяется
интегрированием дифференциального уравнения
B"(z)-^B = 0; (7Л9)
120
Тонкостенные упругие стержни
при заданных граничных условиях на концах стержня и при
выполнении условий сопряжения, участков стержня в сечении z = t\ уравнение
(7.19) получается из уравнения (3.1) при использовании первой
формулы (2.5).
5. В качестве примера рассмотрим стержень, находящийся под
действием внецентренно приложенных растягивающих сил Р. Пусть С —
точка приложения силы; Dx и D2 — точки присоединения жестких
консолей к стержню соответственно в сечениях z=0 и z=l; А — центр изгиба;
М0 — начальная точка отсчета секториальных площадей (рис. 80).
Рис. 80
Из четырех обобщенных силовых факторов, на которые может быть
разложена заданная внешняя сила Р, мы займемся только одним —
внешними бимоментами. Эти внешние бимоменты имеют следующие
выражения:
в сечении z = 0 Вх = Р<й1С ,
в сечении z = I &0= Р®2с '
где ©хс и со2с— главные секториальные координаты точки С в сечениях
z = 0 и z = I (на рис. 80 это удвоенные заштрихованные площади АМ0ОгС
и AMqD%C). Зная бимоменты на концах стержня, мы можем легко
определить бимомент для произвольного поперечного сечения z = const. Так
как внешняя нагрузка представлена сосредоточенными продольными
силами, то при определении бимомента будем исходить из однородного
дифференциального уравнения (7.19).
Общий интеграл этого линейного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами второго порядка может быть представлен
в виде:
B(z)^C1sh^-z + C2ch^-z1 (7.20)
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 121
где Ci и Сг — произвольные постоянные, определяемые из следующих
граничных условий:
при z = О В (()) = В1 = Ра1С ,
при z = l В(1)=В% = Р<д2С .
Произвольные постоянные будут иметь значения:
В2 — В\ ch к
Сг
sh/c
а для бимомента в произвольном сечении будем иметь формулу:
По найденному бимоменту B(z) легко определить дополнительные
нормальные напряжения, возникающие вследствие кручения стержня при
действии продольной силы:
/ ч #(*) / ч
J (Л
Пользуясь выражениями (7.18) и (7.21) перепишем общую формулу
(8.5) гл. I для вычисления нормальных напряжений следующим образом:
о (z, *) = Р {4- + j- * (*) + j- У (*) +
+ 7% [»ic *h -f (* - z) + <о2С sh А «]} • (7.22)
Если для точки С приложения силы Р секториальные координаты
имеют равные значения, т. е. ©1С = со2С = о)с, то формула (7.22) будет
иметь более простой вид:
a(z, 5)
Ус
ch
j + r^W+rS'W + r^W-
т(т-г)
ch
(7.23)
Если при этом сила приложена в центре тяжести сечения, то
хс = у = 0 и формула (7.23) еще упрощается:
б (*,*) = *>
(Do
ch
^+^0)(6)
f(±-)'
ch-
(7.24)
6. Мы рассмотрели общий случай задачи об определении бимомента
от заданной продольной нагрузки. В случае, когда заданная продольная
нагрузка представляет собой уравновешенную систему сил, бимомент
от нее инвариантен по отношению к полюсу и началу отсчета секториаль-
них площадей. Другими словами, бимомент От любой продольной
уравновешенной нагрузки, распределенной по сечению непрерывно или состоящей из
сосредоточенных сил, не зависит от центра изгиба и начала отсчета сек-
ториальных площадей.
122
Тонкостенные упругие стержни
Докажем это. Пусть продольная нагрузка состоит из сосредоточенных
сил Piy Р2, Р3у •••» Рп, приложенных в точках (i = 1, 2, 3, ..., п)
поперечного сечения.
Согласно принципу независимости действия сил бимомент от суммы
сил равен сумме бимоментов от каждой силы в отдельности:
5 = 2 P&i9 (7.25)
где о)|— секториальная площадь, отсчитываемая от начальной точки до
точки приложения силы Piy а полюс находится в центре изгиба.
Обозначим через o)i секториальную площадь с полюсом в произвольной
точке и произвольным началом отсчета секториальных площадей; тогда
связь между секториальными координатами о){ и o>i на основании (7.8)
гл. I можно представить в виде
о)/ = ю, + axt + byi -f •€ , (7.26)
где xi и yi— координаты i-й точки; a, b, с — некоторые коэффициенты,
зависящие от положения полюса и начала отсчета секториальной
площади (Of.
Формула (7.25) после подстановки в нее выражения (7.26) примет
вид:
2 Ррй = 2 />, + 2 pt (™< + bVi+с) • (7-27)
/=i /=i /=i
Второе слагаемое в правой части формулы (7.27) представляет собой
момент от продольных сил Pi, Р2, Рз, ..., Рп относительно прямой,
определяемой коэффициентами а, Ъ и с1. В случае нагрузки, статистически
эквивалентной нулю, этот момент равен нулю, какова бы ни была прямая,
выбранная в плоскости поперечного сечения. Отсюда следует равенство
2 Р*Ы - 2 Р&* •
i=i t=i
подтверждающее высказанное положение.
§ 8. О принципе Сен-Венана в теории тонкостенных стержней
1. Из изложенного в предыдущем параграфе видно, что отклонение от
закона плоских сечений и кручение стержня могут иметь место не только
при действии поперечной нагрузки, не проходящей через центр изгиба,
но также и при отсутствии какой бы то ни было крутящей нагрузки.
Закон линейного распределения нормальных напряжений по сечению при
растяжении или сжатии стержня, не имеющего на концах жестких
диафрагм, оказывается справедливым только в частном случае приложения
продольной нагрузки, а именно, когда опорные бимоменты от этой
нагрузки равны нулю (рис. 81).
1 Действительно, из аналитической геометрии известно, что расстояние от
произвольной точки (xit t/j) на плоскости до прямой ах-$-Ьу-$-с = 0с точностью до
коэффициента пропорциональности определяется по формуле:
ах{ -f- Ъу{ + с.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 123
Ив формулы (7.24) следует, что кручение стержня может иметь место
и в случае центрального растяжения, когда сила приложена по линии
центров тяжести сечений. Явление кручения стержня при
осевом растяжении легко показать на примере стержня
зетового профиля. Из эпюры секториальных площадей,
приведенной на рис. 39, а, видно, что в условиях стесненного
кручения стенка зетового стержня, нагруженного по
концам крутящими моментами, испытывает равномерное
растяжение (сжатие). На основании принципа взаимности можно
утверждать и обратное, а именно: зетовый профиль при
растяжении (сжатии) одной только стенки, наряду с
деформациями удлинений (укорочений) получит также и
деформацию кручения. Действительно, передавая на одну только
стенку стержня продольную силу, мы получим бимомент от
этой силы, отличный от нуля. Этот бимомент в произвольном
сечении z = const вычисляется по формуле (7.21):
B(z) = ^£[sh± z+ sh±(l-z)] = Р<0,
ch
v. k
(8.1)
\р
Рис.
где ©с— секториальная площадь в центре тяжести сечения (середина
стенки), т. е. в точке приложения осевой силы Р9 передающейся только на
§
§
Рис. 82
*ж
О 02 Ofi 0,6 0.8 ф
Рис. 83
стенку. Этому бимоменту соответствует деформация кручения 8(z),
определяемая дифференциальным уравнением (2.5):
EJJT (z) = —B (z).
Под влиянием растяжения стенки, в полках по линии их контакта со
стенкой возникнут сдвигающие усилия (рис. 82, а), вследствие чего полки,
помимо деформации растяжения, получат также каждая в своей
плоскости и деформацию изгиба, выпуклостью в сторону стенки. В результате
изгиба полок в разные стороны стержень получит деформацию кручения
при отсутствии крутящих моментов (рис. 82, б).
124
Тонкостенные упругие стержни
Такая центрально приложенная продольная растягивающая нагрузка
Р
помимо напряжения а0 = -=-, вызывает также дополнительные НаПрЯ-
жения aw = y-<o. Напряжения aw, возникающие от бимомента В>
р
в отличие от осевого напряжения б0 = -=- не остаются постоянными по
длине стержня, а изменяются по тому же закону, что и бимомент В (8.1).
Согласно придципу Сен-Венана напряжения, вызываемые
уравновешенной (в сечении) внешней нагрузкой, носят местный характер и быстро
затухают по мере удаления от места приложения этой нагрузки. Это
утверждение несправедливо в отношении тонкостенных стержней. Хотя
бимоменты представляют собой уравновешенную систему сил, но
теоретические и экспериментальные исследования показывают, что напряжения
Оа от бимоментов, приложенных на концах тонкостенного стержня с
открытым контуром, вследствие пространственной деформации такого
стержня, выражающейся в кручении, как правило, не носят характера
местных напряжений. В применении к тонкостенным стержням,
имеющим в поперечном сечении неизменяемый открытый профиль (и вообще
к оболочкам), принцип Сен-Венана практически не соблюдается и имеет
ограниченную область применения.
В рассматриваемом случае загружения секториальные напряжения
aw по мере удаления от концов стержня к середине, как видно из закона
изменения их по длине стержня (8.1), затухают, причем степень
затухать г* ^d
ния зависит от относительной упругой характеристики нг — 1* .
EJ он
Чем меньше величина А, тем затухание будет медленнее, и, наоборот,
чем больше А:, тем затухание будет быстрее. В предельном случае, когда
А—^0, эпюра напряжений по длине стержня будет стремиться к прямой,
параллельной оси стержня; напряжения а» на всей длине стержня
остаются постоянными. Этому случаю в теории изгиба соответствует задача
о чистом изгибе балок. При &—► эо, как это показано в § 6 на примере Ч-об-
разного сечения стержня, напряжения aw носят местный характер.
Представление о характере изменения бимомента (или продольного
нормального напряжения aw) вдоль пролета стержня при различных
значениях упругой характеристики можно получить из рис. 83. На этом
сЬт(~2~~~2)
рисунке дан график изменения функции z , входящей в
состав формулы бимомента (а следовательно, и напряжения aw) и
определяющей закон изменения как #(z), так и au (z) по переменной z для
значений А = 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7; для сравнения дан также график для
предельного случая & = 0.
ch
1ЬЫ
Значения функции - имеют следующие числовые значе-
113
ния в сечениях z = -т-» "о" и Х^ (та^л. 19).
Что касается величины относительной упругой характеристики к>
то, как можно судить по формуле
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 125
эта величина зависит в основном от толщины 6 стержня, его длины I и
взаимного расположения пластинок (стенки, полки и т. д.), составляю
щих стержень, друг относительно друга.
Оставляя неизменным контур поперечного сечения и длину стержня
и меняя только толщину его, можем убедиться, что чем меньше толщина б
Таблица 19
к
1
2
3
4
к / 1 \ 1
chTV2-z)
к
chy
1 , 3 ,
при г — -rl и -г- 1
4 4
0,915
0,731
0,550
0,410
при Z = — 1
Л 1
0,887
0,648
0,425
0,266
к
1 5
7
к ( 1 \
к
chy
1 , 3 ,
ПрН Z = -т- 1 II — 1
4 4
0,308
0,234
0,179
1 .
при Z = -£- г
0,163
0,099
0,060
тем меньше будет величина к и наоборот, потому что в жесткость GJ<t
толщина входит в кубе, а секториальная жесткость EJ<& зависит от
толщины линейно. Таким образом, чем меньше толщина б пластинок,
составляющих стержень, тем затухание секториальных напряжений (а также
бимоментов) по длине стержня будет медленнее.
От длины стержня, при прочих неизменных условиях, к зависит
линейно; затухание напряжений по длине стержня тем больше, чем больше
длина стержня. В § 6 зависимость зта обследована на примере Ч-образного
стержня и графически представлена на рис. 70.
Зависимость к от взаимного расположения друг по отношению к
другу пластинок, составляющих стержень (при прочих равных условиях),
поясним на примере стержня Z-ro профиля. Рассмотрим этот стержень
как тонкостенную систему, составленную из трех узких пластинок,
примыкающих друг к другу (стенка к полкам) под прямыми углами. Полки
такого стержня (рис. 82, б) при изгибе в своей плоскости от действия
центрально приложенной (только к стенке) продольной нагрузки
встречают со стороны стенки слабое сопротивление, поскольку стенка, при
расположении полок в разные стороны, будет испытывать кручение.
Вследствие кручения, которому тонкостенный стержень открытого
профиля при небольшой толщине пластинок оказывает весьма слабое
сопротивление, затухание напряжений от бимомента в этом стержне будет
медленное.
Другое дело, если все три пластинки 2-го профиля расположить в
одной плоскости, т. е. повернуть каждую полку на 90°, тогда мы будем иметь
пластинку, состоящую из трех узких полосок (рис. 84, а). В этом случае
уравновешенная продольная нагрузка, приложенная на концах средней
пластинки, вследствие того, что крайние полоски, монолитно связанные
с средней пластинкой, не могут прогибаться в своей плоскости, вызовет
напряжения только в непосредственной близости от точек приложения
нагрузки (рис. 84, б), причем напряжения эти обусловливаются главным
образом деформацией сдвига. Положения пластинок по отношению друг
к ДРУгу, промежуточные между двумя выше рассмотренными, естествен-
но» будут давать и степень затухания напряжений а*, по длине также
промежуточную, заключающуюся между степенями затухания, относящимися
к взаимному расположению пластинок 0° и 90°.
126
Тонкостенные упругие стержни
Явление кручения и связанная с ним депланация сечения могут иметь
место и в случае, когда к концам стержня приложены изгибающие
моменты. Так, например, если моменты в случае зетового профиля приложены
на концах одной полки (рис. 84,в), то бимоменты, а следовательно,
и углы закручивания8(г) и напряжения^ будут отличны от нуля. Отсюда
следует, что понятие чистого изгиба, как и рассмотренное выше понятие
чистого растяжения, в свете изложенной здесь теории требует уточнения.
Следует вообще заметить, что описанное здесь и в § 6 явление
закручивания стержня при действии продольной силы имеет место лишь в
случае, когда концы стержня не закреплены от продольных деформаций, т. е.
когда концевые сечения
стержня могут свободно де-
планировать (получать
перемещения из своей плоскости).
Такие граничные условия
носят теоретический
характер. В действительности
концы стержней металлических
конструкций обычно как-то
закреплены, имеют ребра
жесткости или планки,
которые в той или иной степени
оказывают сопротивление де-
планации сечения. С
увеличением жесткости диафрагмы
влияние секториальных
факторов при внецентренном
действии продольной силы уменьшается. Если диафрагмы обладают
бесконечно большой жесткостью, то концевые сечения, а следовательно, и
сечения в произвольной точке z = const, при действии продольной силы
остаются плоскими. Дополнительные секториальные факторы в этом
предельном случае обращаются в нуль.
Описанное здесь и в двух предыдущих параграфах закручивание
тонкостенного стержня при действии растягивающей силы или бимомента
зкспериментально подтверждается на моделях, показанных на
рисунках 85 и 86.
На рис. 85 показано действие растягивающей силы. Модель в этом
случае (рис. 85, а) представляет собою тонкостенный стержень 1 зетового
профиля, имеющий по концам опорные уголки: уголок 2 прикреплен
неподвижно к станине 5, другой уголок 3 может перемещаться по
направляющей, прикрепленной к станине.
Опорные уголки имеют по три пальца, на которые свободно
надеваются втулки 4, закрепленные на торцах стержня. Оси втулок
расположены в центре тяжести профиля и на его полках в точках, для которых
главные секториальные площади равны нулю. Сквозь втулки и пальцы
просверлены (в собранном виде) отверстия для пропуска штырей, с помощью
которых осуществляется жесткое соединение стержня с опорными
уголками. Подвижной уголок перемещается по специальной направляющей
корытного сечения, имеющей на одном конце вертикальную стенку 6.
Сквозь эту стенку свободно пропущен натяжной винт, прикрепленный
соосно одним концом к подвижному уголку (опора стержня). В винте
прорезана шпоночная канавка для направляющей шпонки, укрепленной в
вертикальной стенке. На свободный конец винта надет штурвал 7, при
вращении которого винту сообщается только поступательное
перемещение, передаваемое подвижной опоре и вызывающее растяжение
тонкостенного стержня. Стержень может растягиваться двумя способами:
Гл. 11'. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 127
а) Растяжение осуществляется одной силой, приложенной в центре
тяжести сечения. В этом случае помимо растяжения наблюдается также
и закручивание стержня, возникающее вследствие депланации сечения.
Угол закручивания фиксируется стрелкой прибора, расположенного в
середине пролета стержня (рис. 85, а).
Рис. 85
б) Растяжение осуществляется двумя одинаковыми силами,
приложенными к полкам в двух таких точках, для которых секториальные
площади равны нулю. В этом случае имеет место только растяжение без
закручивания и стрелка, фиксирующая закручивание, остается
неподвижной (рис. 85, б). ^
На рис. 86 показана модель, позволяющая осуществить загружение
стержня одним только бимоментом.
Модель представляет собою тонкостенный стержень 1 зетового
профиля с одним свободным концом. Около другого конца стенка стержня
жестко прикреплена к вертикальной планке 2, связанной со станиной 3
128
Тонкостенные упругие стержни
(рис, 86, а). К этому же торцу стержня соосно приклепан винт со свободно
насаженной на него скобой 4, могущей занимать любое положение
относительно стенки и полок зетового профиля. На конец винта надет
штурвал 5, вращая который мы растягиваем стержень вдоль его оси и
одновременно прижимаем скобу к тем точкам поперечного сечения стержня,
которых эта скоба касается (сжимаем соответствующие волокна стержня).
Таким способом осуществляется передача бимоментной нагрузки к торцу
Рис. 86
зетового профиля. Максимального значения бимомент достигает, когда
скоба поставлена в крайнее наклонное положение.
Депланация вызывает кручение, которое ясно видно на модели (рис.
86, б) и может быть зафиксировано индикатором, установленным у
свободного конца тонкостенного стержня.
§ 9. Аналогии с элементарной теорией изгиба балок
1. В предыдущих параграфах была изложена теория стесненного
кручения, имеющая место при произвольном законе распределения по
длине стержня внешнего крутящего момента и при различных граничных
условиях и характеризующаяся возникновением в поперечных сечениях
стержня не только касательных, но и нормальных напряжений. Эта
теория по своему построению идентична существующей элементарной теории
изгиба балок. Как неоднократно ранее указывалось, теория изгиба балок,
основанная на законе плоских сечений, вытекает как частный случай из
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 129
предложенной новой теории, основанной на более общем законе
векториальных площадей. Рассматривая отдельно теорию стесненного
кручения тонкостенного стержня, описываемую в приведенных ранее
формулах и уравнениях одной только функцией углов закручивания 8 (z), мы
видим, что эта теория в своем математическом оформлении аналогична
элементарной теории изгиба балок.
Рис. 87
Эта аналогия представлена ниже в сводке основных формул по теории
изгиба и теории стесненного кручения (табл. 20).
Таблица 20
Изгиб в плоскости Oyz
|закон плоских сечений
(рис. 87, а)]
Jx = \y4F
F
Sx = ^ydF
F
Т| = T)(Z)
Mx = -EJxrT
Qv = M'x = -EJxvr
MX(Z) / ч
а — vis)
^X J ^v°'
Jx
_ Qv(z)Sx(s)
x Jxb(*)
Яу = Яу(г)
Стесненное кручение
[закон секториальных площадей
(рис. 87, б)]
F
F
е = 8(z)
в'--
B = -EJJ"
H„ = B' = -EJJ'"
B(z)
m = m(z)
Аналогия между теорией изгиба и теорией стесненного кручения, как
видно из табл. 20, выражается в том, что основным факторам т), т)', Мх,
Qy, представляющим собою в теории изгиба балок соответственно прогиб,
девиацию (угол поворота сечения), момент и поперечную силу, в теории
130
Тонкостенные упругие стержни
стесненного кручения соответствуют основные факторы 0, 0', В и #w,
представляющие собою соответственно угол закручивания, меру депла-
нации, бимэмент и изгибно-крутящий момент.
Внешней погонной поперечной нагрузке qy соответствует внешний
погонный крутящий момент т. Нормальные и касательные напряжения
cw и ты выражаются формулами, совершенно аналогичными формулам
ах и хх в случае изгиба. То же можно сказать и о геометрических
характеристиках Jx, Sx, /w и 5Ы.
Отличие изложенной здесь теории кручения от теории изгиба состоит
в том, что вместо дифференциального уравнения
EJSy = 4y (»•!>
которым мы пользуемся в теории изгиба балок, нам в теории стесненного
кручения приходится пользоваться несколько более сложным
дифференциальным уравнением
EjyY — GJdQ=rn. (9.2)
Наличие в уравнении (9.2) члена со второй производной от угла
закручивания 0, как это отмечалось ранее, обусловлено неравномерностью
распределения по толщине стержня касательных напряжений,
параллельных профильной линии.
2. Исследования, однако, показывают, что для цилиндрических и
призматических оболочек открытого профиля и стержней, состоящих из
тонких пластинок, с отношением толщины к характерному размеру
поперечного сечения порядка 0,02 и менее, крутильная жесткость GJ& как
величина, пропорциональная кубу толщины, без ощутительной погрешности
может быть принята равной нулю. Это допущение равносильно допущению,
что крутящие моменты, возникающие вследствие неравномерного
распределения касательных напряжений по толщине стенки, равны нулю.
Отбрасывая в уравнении (9.2) для строительных ребристых сводов —
оболочек и складчатых систем член с 0", т. е. полагая, что касательные
напряжения, параллельные срединной поверхности, по толщине стенки
распределяются равномерно и, следовательно, эти напряжения в случае
кручения приводятся к крутящему моменту
Н — 7/w = — EJ^fi'" у
получим:
£7weIV' = /и. (9.3)
Последнее уравнение имеет такой же вид, как и уравнение (9.1) изгиба
обыкновенной балки.
Из отмеченных выше аналогий вытекает следующее важное
предложение:
все известные в сопротивлении материалов и в строительной механике
аналитические методы расчета балок и стержневых изгибаемых систем,
основанные на законе плоских сечений, целиком могут быть обобщены и
распространены на теорию стесненного кручения тонкостенных
стержней, систем, составленных из таких стержней, и ребристых
сводов-оболочек.
Таким образом, все четыре основные величины теории стесненного
кручения (угол закручивания 0, соответствующий прогибу tj;
производная 6', определяющая в силу (3.16) гл. I меру абсолютной депланации
сечения и соответствующая в теории изгиба балок девиации т)'; бимомент
В, соответствующий изгибающему моменту Мх, и крутящий момент Ны,
соответствующий поперечной силе Qy) могут быть определены хорошо из-
Гл. П. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 131
вестными аналитическими или графическими методами теории изгиба
балок. Так, например, если стержень-оболочка длиной / находится под
действием равномерно распределенной нагрузки q=qy, направленной
параллельно оси Оу и приложенной с эксцентриситетом е относительно
линии центров изгиба, и если граничные условия на концах z =0 viz =1
соответствуют шарнирному закреплению (т. е. в случае изгиба на этих
концах обращаются в нуль прогибы т) и моменты Мх, а в случае
стесненного кручения — угол закручивания 0 и бимомент В), то для
изгибающего момента Мх и прогиба г\ и соответственно для бимомента В и угла
закручивания 0 будем иметь совершенно идентичные формулы:
Mx(z)=q{(l-z), т|(*)
B(z) = ^ (/-*), 0(z)
Последние две формулы (9.4) получаются из первых двух, на основании
высказанного предложения, путем замены q на т = qe, Jx на /w, г\ на 0
и Мх на В.
Изгибающий момент Мх и прогиб х\ принимают наибольшие значения
в середине пролета:
пл ql* 5 ql*
Аналогично бимомент В и угол закручивания 0 будут иметь
наибольшие значения также в середине пролета:
D ml2 0 5 ml4
max£=-g-, maxe-—^
Продольные нормальные напряжения о (z, s) в любой точке (z, s)
в рассматриваемом случае нагрузки будут вычисляться по двучленной
формуле
/ ч А/а (2) / ч 1 В (2) / ч
° <*' *> = -J—У И + 7 е0 И*
J х J<a
3. Таким же способом, исходя из приведенной здесь аналогии и не
делая всех выкладок, связанных с определением постоянных
интегрирования уравнения (9.3), мы можем для неразрезного тонкостенного стержня
(или неразрезной цилиндрической оболочки), у которого опорные сечения
(крайние и промежуточные) закреплены от углов закручивания, сразу
написать уравнение трех бимоментов:
/n#n_i + 2 (1п + /п-и) Вп + Znf-i^n-j-i = — 6 (/?n -J- Вп' ), (9.5)
где Zn, In^ — пролеты; #п-ь Впу Вп+1 — опорные бимоменты; Вп'-,
дФ.л — Правая и левая фиктивные опорные реакции от «загружения»
эпюрами бимоментов однопролетных статически определимых балок
основной системы.
Уравнение (9.5) получается из уравнения трех моментов путем замены
величины из теории изгиба балок соответствующими им величинами
из теории кручения.
4. Для металлических тонкостенных стержней с отношением толщины
стенки к характерному поперечному размеру порядка 0,1 крутящие
моменты, возникающие вследствие неравномерного распределения
касательных напряжений по толщине стенки, играют уже существенную
роль, и для таких стержней нельзя полагать жесткость GJa равной нулю.
\ (9-4>
132
Тонкостенные упругие стержни
Задача об изгибном кручении стержня в этом более общем случае
описывается уравнением (9.2), имеющим математическую аналогию с
уравнением теории поперечного изгиба предварительно растянутой балки,
т. е. с уравнением
Я/Л1У - Prf = Я,
где Р — растягивающая сила.
Из этой аналогии следует, что при решении задачи об изгибном
кручении стержня с учетом сен-венановской жесткости чистого кручения могут
быть также широко использованы известные в сопротивлении материалов
и в прикладной теории упругости аналитические методы расчета
предварительно растянутых балок. Так, например, уравнения трех бимоментов
для многопролетного тонкостенного стержня, имеющего постоянную,
отличную от нуля, жесткость £?/<*, могут быть получены из уравнений трех
моментов многопролетной балки, растягиваемой силою Р и имеющей
идентичные условия со стержнем в задаче об изгибном кручении как в
отношении внешней нагрузки, так и в отношении опорных закреплений.
Эти уравнения имеют вид:
ап, n-i^n-i + аПпВп + аПг п-к#п_|_1 = ®в(п) — ®A(n+i)i (9.6)
где #п-ь Вп, 5п-к — опорные бимоменты трех последовательно
расположенных опорных сечений; ап> п_г, аПг п и аПг п+1 — коэффициенты,
вычисляемые в самом общем случае по формулам:
_ shkn-kn ln
(In, П~\
Л* sh кп EJ«>, п '
_ fcnchfcn-shfcn ln А^ chkn±1- sh /cn+1 /n+,
аП,П— .о . . " I? J I
Л* sh kn EJ„, » /£+1 sh *n+1 EJ„t n+1 '
__ sh V+i "" fen+i Zn+l
kn+lshkn+l ^J<*.n+l
причем knj An+1 — упругие характеристики стержня в пролетах п, п'+ 1,
расположенных по обе стороны от я-й опоры; /Wf n, /w> п+1 — главные
секториальные моменты инерции сечений стержня в этих пролетах.
Величины 6В(П), вА(П+1)» входящие в правые части уравнений (9.6),
обозначают меру депланации стержней п, п -\- 1 в п-м опорном сечении
основной (разрезанной на опорах) системы. Индексы В, А обозначают
правый и левый концы стержней п, п + 1 основной системы.
Величины 0 В(п), 0ЛГп_|_и в каждом частном случае нагрузки могут быть
определены изложенным выше методом начальных параметров при
граничных условиях для стержня, имеющего на концах шарнирные
закрепления. Каждое из уравнений (9.6) при фиксированном п выражает собой
условие непрерывности депланации стержня на я-й опоре, аналогичное в
теории неразрезных балок условию непрерывности девиации (угла
наклона касательной к линии прогибов). Давая индексу п последовательные
значения 1, 2, 3, ...., получим полную систему трехчленных уравнений,
имеющую структуру, одинаковую с уравнениями трех моментов в теории
неразрезных балок. Этими уравнениями определяются опорные бимоменты.
§ 10. Практический метод расчета складчатых систем и оболочек,
усиленных поперечными ребрами
Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что
строительные оболочки и складчатые системы, усиленные в поперечном
направлении ребрами, с достаточной для практики степенью точности
Г л II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 133
можно рассматривать как пространственные тонкостенные системы,
обладающие в поперечном сечении жестким (недеформируемым) контуром
[40, 42]. Кроме того, в ребристых строительных оболочках и складках,
толщина которых по сравнению с остальными геометрическими размерами
в поперечном сечении очень мала, можно
считать крутильную жесткость GJ^
равной нулю и исходить, следовательно, при
расчете на кручение и.ч
дифференциального уравнения (9.3).
Г*
ь
— 129-+
Ё29&
-П2-
BF^
200-
^
у<г
j
*-
400-
-200 И
У1
Рис. 88
0 У^ .
63.62
V1
Рис. 89
Рассмотрим в качестве примера тонкостенную пятигранную складку,
представленную на рис. 88. Определим напряжения в такой складке от
вертикальной равномерно распределенной нагрузки, действующей в
плоскости крайней правой грани.
Поскольку поперечное сечение складки имеет одну ось симметрии, то
центр изгиба лежит на оси симметрии. Расстояние от центра изгиба по
оси симметрии (оси у) до точки пересечения этой оси с профильной линией
складки определится по второй из формул (7.5) гл.1:
ьу =
J(uB X
\ (0Б xdF
F
x2dF
На рис. 89 приведены эпюры секториальных площадей сой и
расстояний х и у для точек конгура сечения. По эгим эпюрам получим следующие
значения геометрически* характеристик:
секториальный центробежный момент инерции:
J(oBx - {соБ х dF = 2156 • 10е см\
F
осевые моменты инерции:
jx = \y*dF = 36,58-105 ел*4,
-s
xUF = 73,48.10е см*,
координата центра изгиба:
ау = ау — by = — 29,34 см .
На рис. 90, а изображена эпюра главных секториальных площадей
о, представляющая закон изменения напряжений <Тц> от кручения.
134
Тонкостенные упругие стержни
Беря интеграл от произведения квадратов ординат этой эпюры по нло-
щади F, получим секториальный момент инерции:
Ja = \ о2 dF = 18040 • 10е см*.
На рис. 90, б дана эпюра секториальных статических моментов £ш (s),
характеризующие изменения по сечению дополнительных сдвигающих
напряжений хф.
6*91,9
Рис.
Мы имеем теперь все данные для определения дополнительных
напряжений (нормальных и касательных) от кручения.
Обозначим через М, Q, q и е соответственно изгибающий момент,
поперечную силу, внешнюю равномерно распределенную поперечную
нагрузку и эксцентриситет этой нагрузки.
Опираясь на математическую аналогию между изгибом и кручением
и пользуясь формулами (9.4), можно написать:
В (г)
™M{z)
еМ (г),
Hu>{z) = ^Q{z)--eQ{z).
Отсюда получим формулы для напряжений вш и ты:
Me , .
S<* (s)
Полные напряжения а и тот нагрузки, вызывающей изгиб в
вертикальной плоскости и кручение, определяются формулами:
о =
X =
+
есо
).«,
Т "т г
_0_
6
(10.1)
Поскольку мы использовали аналогию между изгибом и кручением,
формулы (10.1) могут быть применены во всех случаях, когда опорные
сечения в отношении изгибных и изгибно-крутильных факторов имеют
однотипные условия. Например, эти формулы справедливы в случае
шарнирного закрепления отдельных граней, когда все сечение, будучи
закрепленным при наличии жесткой в своей плоскости диафрагмы, может
свободно перемещаться из плоскости (депланировать). Этими формулами
можно также воспользоваться в случае, когда складка в опорных сечениях
жестко заделана от поперечных и продольных перемещений.
На рис. 91, а даны эпюры максимальных напряжений aw от кручения
при загружении обеих крайних граней рассматриваемой складки равно-
Гл. II, Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 135
4,35
(НЛО)
мерной обратно симметричной нагрузкой q = 100 кг 1м. Пролет складки
I =10 м. Опорные сечения, имеют шарнирные закрепления.
На рис. 91, б приведена эпюра ох от изгиба той же поперечной
нагрузкой при симметричном загружении.
На рис. 91, в даны полные напряжения о=охгош от односторонней
нагрузки q = 100 кг/м, полученные методом наложения эпюр,
представленных на рис. 91, а и б. На всех трех рисунках указаны схемы загруже-
ния. Наибольшие нормальные
напряжения как при изгибе, так и
при кручении в рассматриваемом
случае нагрузки возникают в
среднем поперечном сечении. На всех
приведенных эпюрах пунктиром
показаны напряжения, полученные по
более точной теории складчатых
оболочек, позволяющей учесть
деформации контура сечения [40].
Характерные числовые значения
этих напряжений даны в скобках.
Из сравнения сплошных эпюр с ~':
пунктирными следует, что
деформации контура сечения имеют
значительно большее влияние при изгибе
в плоскости симметрии, чем при
кручении.
Тонкостенные складчатые
системы, не усиленные поперечными
жесткими ребрами при действии
поперечной нагрузки, вызывающей изгиб,
следует рассчитывать с учетом
деформаций контура сечения. При
действии же крутящей нагрузки эти системы с достаточной для практики
точностью могут быть рассчитаны по изложенной здесь теории секториаль-
ных площадей. Если складчатая система усилена поперечными ребрами,
то с увеличением жесткости ребер влияние деформации контура сечения
весьма быстро уменьшается. Пунктирные эпюры приближаются к
сплошным.
Ребристые складчатые системы, применяемые в тонкостенных
железобетонных покрытиях, при действии поперечных нагрузок
(симметричных и несимметричных) ведут себя как пространственные тонкостенные
сплошные системы, обладающие недеформируемым контуром. Такие
системы нужно рассчитывать по изложенной здесь теории, основанной на
законе секториальных площадей.
В качестве примера приведем некоторые результаты расчета
цилиндрической ребристой деревянной оболочки пролетом I =100 м, выстроенной
в СССР в 1935 г. [4011. Поперечное сечение этой оболочки, очерченное по
дуге окружности, состоит из участков различной толщины и имеет в
верхней (центральной) части ослабление для устройства светового фонаря;
сечение имеет одну ось симметрии (рис. 92, а). Общий вид оболочки.дан на
рис. 92, б. Криволинейными краями оболочка опирается на жесткие в своей
плоскости диафрагмы. Координата центра изгиба а^ и секториальный
момент инерции /w вычисляются по формулам (1.21) и (1.22). Приведем
основные геометрические характеристики сечения относительно главных
11,17
№,80)
Рис. 91
1 Конструкция этой оболочки была разработана под руководством профессоров
Г. Г. Карлсена и М. Е. Когана.
136
Тонкостенные упругие стержни
осей:
F = 3908(M03 см2, Л-6120-106 ел*4,
а* = 0, /1У = 49 34(М06 см\
ау = — 985 см , Л> = 12 600 • 109 еле6.
На рис. 93, а даны эпюры нормальных напряжений ох в среднем
поперечном сечении оболочки от изгиба равномерной поперечной нагрузкой
Рис. 92
q = 100 кг/м, действующей симметрично относительно оси симметрии
(схема загружения показана на том же рис. 93).
На рис. 93, б даны эпюры напряжений ао от вертикальной обратно
симметричной нагрузки (схема загружения показана на этом же рисунке),
вызывающей только кручение.
Для случая загружения односторонней нагрузкой q = 100 кг/м на
рис* 93, в даяы суммарные эпюры напряжений a =ax.+aw, полученные
методом нал(?жения эпюр от изгиба и кручения. Пунктирами на этих
эпюрах и цифрами в скобках показаны напряжения, найденные по
предложенному автором более точному методу, позволяющему учесть
деформации контура сечения [51].
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 13?
На этом примере мы еще раз убеждаемся в том, что дополнительные
напряжения от кручения, возникающие вследствие нецентрального
(по отношению к центру изгиба) действия поперечной нагрузки,
достигают весьма больших значений.
То обстоятельство, что поперечные
сечения оболочки после деформации не
остаются плоскими, играет весьма
существенную роль в пространственной
работе тонкостенных стержней и
оболочек.
§11. Стержни и оболочки, поперечные
сечения которых обладают только
одной степенью свободы
1. Приложим нашу теорию к
расчету пространственных конструкций типа
тонкостенных стержней с поперечными
сечениями, обладающими в отношении
поперечных перемещений только одной
степенью свободы. Мы будем считать,
что рассматриваемые конструкции
имеют закрепления, исключающие изгиб
таких конструкций как балок.
Поперечные сечения при таком закреплении
могут только поворачиваться
относительно некоторой прямой,
представляющей собой, в общем случае, заданную
мгновенную ось вращения. Примером
таких конструкций могут служить
ребристые цилиндрические и
призматические покрытия, по одному продольному краю шарнирно
прикрепленные к неподвижной опорной продольной стене и свободные по другому
продольному краю.
Рассмотрим в качестве примера тонкостенную пространственную
конструкцию типа цилиндрической оболочки открытого профиля,
подкрепленную поперечными ребрами и находящуюся под действием заданной
поперечной нагрузки. Предположим, что по одному продольному краю
оболочка соединена с неподвижной продольной опорной стенок при помощи
цилиндрического шарнира, по другому же продольному краю оболочка не
имеет никаких закреплений (рис. 94, а). На поперечных краях оболочка
может иметь любые закрепления. Считая профиль оболочки при наличии
ребер жестким, мы приходим к выводу, что поперечное сечение оболочки
z = const в отношении перемещений в плоскости этого сечения обладает
одной только степенью свободы. Перемещения любой точки сечения
могут быть выражены через угол 8 = 0(z) поворота этого сечения
относительно неподвижной точки С. Этот угол, как и ранее, мы считаем
положительным, если поперечное сечение z — const при взгляде на него против
направления оси Oz поворачивается по часовой стрелке.
Согласно теории тонкостенных стержней деформация кручения
сопровождается депланацией сечения. Эта депланация в рассматриваемом
случае описывается законом секториальных площадей с полюсом в
неподвижной точке С. Начало отсчета секториальной площади cd(s) зависит
от способа закрепления точек опорного продольного края оболочки в
отношении продольных перемещений. Если оболочка по опорному
шарнирному краю закреплена также и от продольных перемещений, и, следова-
Рис. 93
138
Тонкостенные упругие стержни
тельно, этот край не может получать деформаций удлинения, то
неподвижная точка С поперечного сечения оболочек является также и секториаль-
ной начальной точкой (рис. 94, б). При описанном здесь способе
прикрепления оболочки к опорной стене могут возникать не только нормальные и
поперечные силы, но также и действующие в продольном направлении
сдвигающие усилия. Эти усилия при действии на оболочку одной только
внешней поперечной нагрузки будут пропорциональны секториальному
статическому моменту (6.11) гл. I:
5W = \ ш dF ,
F
вычисленному для всего поперечного сечения. Если же продольный край
оболочки в каждой своей точке закреплен от перемещений в плоскости
Рис. 94
поперечного сечения и имеет свободную подвижность в продольном
направлении (рис. 95, а), то в этом случае по опорному краю должны обращаться
в нуль сдвигающие усилия. Отсюда следует, что при действии на оболочку
одной только поперечной нагрузки, равнодействующая продольных
нормальных усилий в любом поперечном сечении должна быть равна нулю.
Так как равнодействующая пропорциональна секториальному
статическому моменту, то начальная секториальная точка С в случае
продольной подвижности опорного края определяется из условия
F
Эпюра секториальных площадей для оболочки с продольно-подвижным
опорным краем, удовлетворяющая этому условию, показана на рис. 95, б.
Система дифференциальных уравнений равновесия элементарной
поперечной полоски, выделенной из стержня-оболочки, в нашем случае
сводится к одному дифференциальному уравнению относительно функции
угла кручения 0(z):
EJJlY-GJdti' = m. (11.1)
В этом уравнении угол поворота 0(z) и внешний погонный крутящий
момент m(z) рассматриваются относительно неподвижной в плоскости по-
Гл. IT. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 139
перечного сечения точки С\ представляющей собой центр вращения
сечения z = const. Полюс секториальной площади выбирается в той же точке
С. За начало отсчета секториальной площади принимается точка 6\
если опорный продольный край закреплен от продольных перемещений.
Если же опорный край имеет свободную продольную подвижность, то
начальная секториальиая точка находится из условия обращения в нуль
векториального статического момента.
Рис. 95
Ранее мы отметили, что для складчатых призматических и
цилиндрических систем жесткость при кручении GJd можно принять равной нулю.
В этом случае уравнение (11.1) примет более простой вид:
EJJ™ - т .
Определив из этого уравнения функцию кручения 0(z) при
соответствующих граничных условиях на поперечных краях, мы сможем найти
продольные нормальные и касательные напряжения по формулам:
б (2, s)
B(z) / ч
н.
JJ («)
)
(11.2)
Для вычисления этих напряжений можно также воспользоваться
аналогией между изгибом и кручением. В этом случае входящие в формулы
{11.2) бимомент B(z)vi изгибно-крутящий момент Нш (z) определяются как
соответствующие им в теории балок изгибающий момент и поперечная
сила с заменой поперечной погонной нагрузки q(z) на внешний погонный
крутящий момент m(z) — q(z)e. Здесь е — эксцентриситет приложения
нагрузки q(z) относительно опорной продольной линии.
Если оболочка, находящаяся под действием поперечной нагрузки,
представляет собой многопролетную неразрезную конструкцию,
опирающуюся на жесткие в своих плоскостях поперечные диафрагмы и имеющую
по опорному продольному краю шарнирное закрепление, то, пользуясь
уравнением трех бимоментов (9.5), нетрудно получить решение задачи и
в этом случае.
140
Тонкостенные упругие стержни
2. Рассмотрим более сложные системы с одной степенью свободы для
поперечных перемещений сечения z = const. Такая система, состоящая
в поперечном сечении из двух жестких дисков, шарнирно-соединенных*
между собой, приведена на рис. 96. Она состоит из цилиндрической
оболочки и призматической складки, которые соединены между собою.
Рис. 96
Мы по-прежнему будем считать, что на систему действует только
поперечная нагрузка, и система может иметь любые закрепления на поперечных
краях.
Предположим сначала, что шарнирно-опертый продольный край СС
закреплен от продольных перемещений, шарнирно-опертый край СъС*
имеет свободную продольную
подвижность, средний же цилиндрический шарнир
С\С\ устраняет взаимные продольные
перемещения складки и оболочки. При
таком закреплении продольных краев
возникающие в опорном крае СС
сдвигающие усилия воспринимаются
неподвижной опорной стеной.
Для решения задачи нам прежде
всего необходимо выяснить закон изменения
по поперечному сечению системы
продольных перемещений, возникающих
вследствие депланации сечения.
Так как продольный край СС лишен
продольной подвижности, то выберем
полюс и начало отсчета секториальной площади оболочки в
неподвижной точке С, представляющей собой центр вращения поперечного
сечения оболочки. Полюс же секториальной площади для складки возьмем
в центре вращения складки в точке Сг (рис. 97, а).
Поскольку наша система обладает в плоскости поперечного сечения
одной степенью свободы, эпюры секториальных площадей складки и
оболочки связаны дополнительным условием и, следовательно, угол поворот»
поперечного сечения складки 02 определяется углом поворота
поперечного сечения оболочки вг (рис. 97, а). В дальнейшем мы за обобщенное
поперечное перемещение, через которое выражается поперечное перемещение
любой точки сечения z = const нашей системы, примем прогиб v среднего
Рис. 97
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 141
цилиндрического шарнира. При этом для углов поворота 8i и 02 будем
иметь следующие очевидные формулы:
6* = Т ' 6а = Т •
где an b представляют собой хорды профилей оболочки и складки
соответственно.
Определив зависимость между углами поворота 0! и 92i нетрудно
построить эпюру продольных перемещений в поперечном сечении нашей
системы. Эта эпюра на части профиля, принадлежащей оболочке, будет
меняться по закону срх (s) = <*l^s' , где w^s) — секториальная площадь,
рассматриваемая в пределах оболочки; полюс и начало отсчета этой
площади находятся в точке С. Эпюра продольных перемещений на части
профиля, принадлежащей складке, будет меняться по закону ср2 (s) = ^iii,
где co2(s) — эпюра секториальной площади для складки; полюс этой
площади находится в точке Сг, начало отсчета — точка М (рис. 97, б) —
выбирается из условия равенства ординат эпюр фх и ф2 в среднем
цилиндрическом шарнире Ci, поскольку оболочка и складка на продольной
линии С1С1 не имеют взаимной продольной подвижности. Закон
распределения продольных перемещений ф($) всей системы в целом представлен на
рис. 97,6!.
Перейдем теперь к составлению дифференциального уравнения
равновесия элементарной поперечной полоски, выделенной из нашей
системы. Для этого мы применим принцип возможных перемещений Лагранжа.
Согласно этому принципу сумма работ всех сил, действующих на нашу
элементарную поперечную полоску, на любом возможном для этой полоски
перемещении равна нулю.
Примем за виртуальное перемещение нашей полоски единичный
прогиб среднего цилиндрического шарнира гл = 1. Составим выражение
работы на этом прогибе сдвигающих усилий, представляющих собою
действие отброшенных частей системы на нашу поперечную полоску
единичной ширины:
^-S*j-iWl*+54-i%».*_j±'j**h+54-4?*4. <n.s)
S\ Ьг St S2
В этом выражении первый интеграл распространяется на профиль
оболочки, второй — на профиль складки, h^s) — длина перпендикуляра,
опущенного из точки С на касательную к оболочке в данной точке
профильной линии, А2($) — длина перпендикуляра, опущенного из секто-
риального центра складки (точки М) на касательную к профилю складки
в данной точке.
Преобразуем выражение (11.3) интегрированием по частям:
% I 1 д(тб) \Ci Г 1 д*(тЬ) , .
\ a oz 1\Г \ a dsoz 1
+
1 д(хЬ)
с' Г 1 д*(тд)
С
T^hr^ds- (1L4)
В этом выражении проинтегрированные члены исчезают, так как в
точке С секториальная площадь щ равна нулю, в точке Сi распределение
1 Обращаем внимание на то, что положительная секториальная площадь
соответствует одинаковым направлениям вращения подвижного радиуса вектора и отсчета
угла закручивания О-
142
Тонкостенные упругие стержни
продольных перемещений непрерывно, а в точке С% отсутствуют
продольные сдвигающие усилия.
С помощью формулы (5.10) гл. I преобразуем виртуальную работу
сдвигающих усилий (11.4) к следующему виду:
(11.5)
Так как на части профиля, принадлежащей цилиндрической оболочке,
продольные нормальные напряжения меняются по закону
3(z, s) = — Eb[ (z) О)! (s) ,
а на части профиля, принадлежащей призматической оболочке, по закону
з (2, s) = — EQ2 (z) о)2 (s) ,
то, подставляя эти выражения в формулу (11.5), окончательно получим
IV,
(ll.fi)
Л = — EJ9v" (z) ,
где постоянная Уф определяется по формуле
Ранее мы отметили, что для призматических и цилиндрических систем,,
обладающих недеформируемым контуром поперечного сечения,
крутильную жесткость GJd можно пола-
Д
ь
|Яг
si J
Рис. 98
гать равной нулю. Поэтому нам
остается лишь определить работу
внешней поперечной нагрузки,
приходящейся на выделенную
поперечную полоску единичной
ширины, на прогибе v = 1 среднего
цилиндрического шарнира.
Предположим, что на эту
полоску действует вертикальная
нагрузка, состоящая как из сосредоточенных, так и из распределенных
нагрузок. Мы будем считать, что в продольном направлении любая из
этих нагрузок представляет собой известную функцию от z (рис. 98).
Для виртуальной работы этой нагрузки, которую мы обозначим
через m(z), получим следующее выражение:
»ф)= ~[2 pi(2)^+^(^^-^]+i[s^(z)si+5/''(z"9')s'd's']- (1|-7)
г=1 3=1
В этой формуле pi(z) — внешние погонные нагрузки,
сосредоточенные в поперечном направлении и приложенные в точках Si поперечного
сечения z = const оболочки (рис. 98); р (z, s) — распределенная в пределах
оболочки внешняя поверхностная нагрузка (координата s отсчитывается
от неподвижной точки С); p](z) —внешние погонные нагрузки,^
сосредоточенные в поперечном направлении и приложенные в точках Sj
поперечного сечения z = const складки; p'{z, s') — распределенная в пределах
складки внешняя поверхностная нагрузка (координата s' отсчитывается
от точки Сг).
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 143-
Складывая выражения (11.6) и (11.7), получим следующее
дифференциальное уравнение относительно обобщенного прогиба v(z):
Ejyv(z) = m{z). (И Я)
Определив из этого уравнения искомую функцию v(z) при заданных
граничных условиях на поперечных краях, мы по формулам (11.2) сможем
найти распределение продольных нормальных и касательных напряжений
в нашей системе. При этом бимомент В определится по формуле:
B^—EJvV"{z).
При решении нашей задачи мы положили крутильную жесткость GJd
равной нулю. Если же поперечные размеры нашей системы таковы, что
необходимо учитывать в сечении z = const крутящий момент Нк, то к
левой части уравнения (11.8) нужно добавить слагаемое, выражающее
виртуальную работу крутящих моментов системы, действующих на
поперечную полоску единичной ширины сечения, на прогибе v ~ 1. Для этой
работы мы получим следующее значение:
Л =G{-^fdA- ±fd)v(z) = GJdv{z), (11.9)
где Jd и Jd представляют собой соответственно моменты инерции при
чистом кручении цилиндрической и складчатой оболочек нашей системы.
Дифференциальное уравнение (11.8) примет вид:
Ejyv{z)~GJdv"(z) = m(z). (11.10)
3. Остановимся теперь на иных видах закрепления продольных краев
рассматриваемой системы. Заметим, что все наши рассуждения останутся
без изменений, за исключением определения начальных секториальных
точек для оболочки и складки.
Так, например, когда оба гаарнирно-опертых продольных края имеют
свободную продольную подвижность, а средний цилиндрический шарнир
устраняет взаимные продольные перемещения складки и оболочки, то
начальную секториальную точку для части профиля, принадлежащего
оболочке, мы должны будем выбрать из условия
\ ф ds = 0 ,
где интеграл распространяется на все поперечное сечение нашей системы.
При этом эпюра cp(s) должна быть непрерывна в точке С\ (рис. 99, а).
Если же предположить, что не только продольные края, но и средний
цилиндрический шарнир не воспринимает сдвигающих усилий (складка
и оболочка имеют взаимную продольную подвижность по линии С\С\),
то в этом случае начальные секториальные точки для частей профиля
СС\ и С\Съ найдутся соответственно из условий:
\ ср! ds = 0\ \ ф2 ds = 0 .
Здесь первый интеграл рассматривается в пределах цилиндра,
второй — в пределах складки. Очевидно, что при этом продольные
перемещения, изменяющиеся в поперечном сечении по закону ф($), на
продольной линии С\С\ терпят разрыв непрерывности (рис. 99, б).
4. Так как уравнение (11.10), или в более простом случае (11.8), по
своему виду совпадает с соответствующим уравнением теории
тонкостенных стержней, то отсюда следует, что изложенные выше методы расчета
144
Тонкостенные упругие стержни
таких стержней, как однопролетных, так и многопролетных, целиком
распространяются и на пространственные системы рассматриваемого здесь
типа. В частности, с успехом могут быть использованы методы
математических аналогий с классической теорией изгиба балок, изложенные в
§ 9. Надо только иметь в виду, что применительно к сложным
тонкостенным системам, обладающим в поперечном сечении одной степенью свободы,
под основными искомыми геометрическими и статическими величинами
«следует понимать обобщенные перемещения и обобщенные внутренние
силы, отвечающие принятому для
данной системы закону распределения
перемещений точек в поперечном
сечении и закону депланации сечения.
Поясним сказанное примером.
Предположим, что оболочка, представленная на
рис. 96, на поперечных краях имеет
простое опирание, при котором на этих
краях обращаются в нуль прогибы и
продольные нормальные напряжения.
Пусть такая оболочка находится под
действием равномерно распределенной
по длине погонной нагрузки q = const.
При решении этой задачи мы можем на
основании методов математической
аналогии воспользоваться готовыми
формулами (5.9) и (5.10), заменив в этих
формулах 9 и 9' соответственно на г? и г/, J<* на /ф и определив
величины Jd и т из формул (11.9) и (11.7).
5. Если представленная на рис. 96 система имеет на линии сопряжения
двух оболочек не шарнирное, а жесткое соединение, то деформация такой
системы произойдет вследствие деформации изгиба оболочек в
поперечном направлении. Такой деформации будут соответствовать упругие
поперечные изгибающие моменты, играющие существенную роль в нашей
теории цилиндрических и призматических оболочек средней длины [51].
-Сохраняя для такой системы принятый выше закон депланации сечения
и раскрывая дополнительное условие непрерывности угловой деформации
в промежуточной точке Ci, получим для обобщенного прогиба v = v(z)
уравнение:
Ejyy - GJdv" + kv = m. (11.11)
Здесь дополнительная упругая характеристика к вычисляется по
формуле:
в которой бц— взаимное угловое перемещение в шарнире С\ от
единичного момента. Это перемещение определяется обычными методами
строительной механики для рамы-полоски единичной ширины.
Уравнение (11.11) приводится к уравнению предложенной нами общей
технической теории балок, пластинок и оболочек в упругой среде с двумя
обобщенными упругими характеристиками:
v^_2r2v+s4v^ 4т т.
Общее решение этого уравнения в фундаментальных функциях метода
начальных параметров дано в работе [51].
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 145
§ 12. Изгибное кручение цилиндрической оболочки с длинным
прямоугольным вырезом (приближенное решение)
1. Рассмотрим конструкцию типа цилиндрической или
призматической оболочки, ослабленную в средней своей части одним или
несколькими достаточно длинными прямоугольными вырезами. Будем считать, что
оболочка подкреплена в продольном направлении стрингерами и
пластинками и в поперечном — шпангоутами. К такого рода конструкциям
Рис. 100
могут быть отнесены: корпус фюзеляжа самолета, корпус корабля,
покрытие типа свода-оболочки, имеющее в верхней своей части световые
проемы. Не уменьшая в принципиальной своей части общности
излагаемого ниже метода, будем считать, что рассматриваемая оболочка как
пространственная система имеет две плоскости симметрии: продрльную
вертикальную и поперечную также вертикальную. Такая конструкция
при наличии одного выреза будет по длине состоять из трех частей: одной
средней оболочки открытого профиля длиной 21 и двух крайних оболочек,
каждая — закрытого профиля длиною а (рис. 100).
Продольную координату z условимся отсчитывать от
среднего поперечного сечения, совпадающего с плоскостью
симметрии.
Предположим, что оболочка на поперечных краях z = + (Z+a) имеет
жесткие диафрагмы, устраняющие на этих краях деформацию контура
и депланацию сечения. Такие диафрагмы вместе с промежуточными
шпангоутами приближают рассматриваемую оболочку к
пространственной системе типа тонкостенного стержня, переменного по длине
сечения.
2. Пусть оболочка находится под действием крутящих моментов Н,
приложенных в плоскостях опорных сечений. Такая нагрузка вызовет
в оболочке деформацию изгибного кручения, сопровождающуюся депла-
нацией поперечных сечений.
146
Тонкостенные упругие стержни
На среднем участке (профиль оболочки показан на рис. 101, а)
деформация изгибного кручения описывается законом секториальных
площадей, отсчитываемых от точки профиля, лежащей на оси симметрии.
Полюсом этих площадей служит точка А, лежащая также на оси симметрии.
Положение точки А определяется из условия ортогональности функций
х = x(s) и о = о (s).
Эпюра секториальных площадей распространяется на все участки
профиля средней части стержня, в том числе на продольные стрингеры и
пластинки (рис. 101,6); геометрические характеристики сечения этой части
стержня вычисляются в главных координатах также для всех участков
профиля, как изложено в п. 7 § 1.
Рис. 101
Все основные расчетные величины изгибного кручения на участке
—/<^0<^Z выреза могут быть определены по общим формулам метода
начальных параметров, приведенных в табл. 3 § 3. Полагая в начальном
сечении z = 0,9 0 = 0» ^о= 0 и принимая во внимание, что крутящий момент
Н в рассматриваемом случае остается постоянным по длине стержня,
получим:
e = e0_sh_2+ /2__sh_zu
eW0chA2+ " (!_сь_^), с
Jlb
G0 GJd sh -у- z + H sh -j-z «
(12.1)
Здесь остается неопределенной величина 0О, характеризующая степень
абсолютной депланации в начальном сечении z=0.
Таким образом, функции 9(2), Q'(z), B(z) определяются на среднем
участке с точностью до произвольного параметра 60 формулами (12.1)
при заданной обобщенной характеристике стержня, определяемой по
формуле (2.2) и заданном крутящем моменте Н. Продольное нормальное
напряжение а = o{z, s) и продольное перемещение и = u(z> s) при изгибном
кручении, вызванном опорными крутящими моментами, определяются
из формул (3.16) и (5.6) гл. I:
и = — 6'<оэ б = — £6"<о. (12.2)
На каждом из крайних участков рассматриваемая конструкция
представляет собою замкнутую цилиндрическую короткую оболочку. Такую
Гл. IL Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 147
оболочку при наличии в торцовом сечении жесткой диафрагмы,
устраняющей как деформацию контура, так и депланацию сечения, в случае
кручения можно рассматривать как безмоментную систему, т. е. считать, что
по толщине стенки нормальные и касательные напряжения
распределяются равномерно. В этой оболочке при отсутствии поверхностной
нагрузки нормальные напряжения, относящиеся к площадкам продольного
сечения, будут равны нулю *.
Сдвигающие усилия Т могут быть определены приближенно по
формуле чистого кручения. Считая эти усилия постоянными (не зависящими от
координат z и s) и приравнивая в каком-либо поперечном сечении
крутящий момент от этих сил заданному крутящему моменту оболочки Ну
получим
** Thds = H , ^12.3)
§
где h — перпендикуляр на направление касательной к линии профиля.
Из формулы (12.3) имеем:
гр Н
где Q — удвоенная площадь, ограниченная контуром профиля оболочки.
Из уравнения равновесия
OZ ' OS
можно получить простую формулу для продольного нормального
напряжения б = c(s), показывающую, что это напряжение не зависит от
координаты z.
Из закона Гука б = Е -^ получаем формулу для продольного
перемещения u==u(zy s) при жестком закреплении опорного сечения
оболочки z = I + а:
ц = _ «(.)(* + «-,) ^ (12>4)
Знак минус в формуле показывает, что на участке l*Cz^l-\-a
перемещение и при положительном растягивающем напряжении и при
неподвижности края z = l+а будет иметь отрицательное значение,
показывающее, что точка перемещается против направления положительной
оси Oz.
Иэ формулы (12.4) при z — l получаем
б =-■§-«. (12.5)
Этой формулой приближенно устанавливается закон
пропорциональности между напряжениями а и перемещениями и в точках края,
примыкающих к средней оболочке. Формула (12.5) напоминает гипотезу Винкле-
ра в элементарной теории изгиба балки на упругом основании.
Имея формулы (12.1), (12.2), (12.4), мы можем раскрыть условие
упругого сопряжения оболочек в плоскости их контакта z = L Для
продольных перемещений условие непрерывности в точках линии z = I на участке
контакта приводит к уравнению
ик = ис,
1 Равенство нулю этих напряжений нетрудно получить, составляя сумму
проекций на нормаль к поверхности всех сил, приложенных к бесконечно малому элементу
поверхности dz ds.
148
Тонкостенные упругие стержни
где ип и ис— продольные перемещения, относящиеся соответственно к
крайней и средней оболочкам.
Определяя в уравнении (12.5) ик по формуле (12.2), получим
<зк = ^. (12.6)
Выделим теперь в окрестности контактной (пограничной) линии z = I
сколь угодно узкую поперечную полоску и приложим к этой полоске
на участке контакта продольные нормальные усилия а^б* и асбс,
действующие соответственно со стороны крайней и средней оболочек.
В соответствии с основными положениями теорий тонкостенных
стержней, вытекающими из вариационного метода и закона секториальных
площадей, мы должны условие равновесия элементарной поперечной полоски
в зоне контакта представить в виде уравнения работ всех продольных сил,
приложенных к полоске на возможных для этой полоски перемещениях,
определяемых при изгибном кручении законом секториальной депланации.
Это условие имеет вид:
$(<Ьвс —б*д*)юЖ = 0, (12.7)
F
где 6k и бс — толщины элементов оболочки соответственно на крайнем и
среднем участках.
Подставляя в уравнение (12.7) напряжения, определяемые при z=l
по формулам (12.2) и (12.6) и делая соответствующие преобразования,
будем иметь:
6" + -^6' = 0. (12.8)
Входящая в это уравнение безразмерная величина v вычисляется по
формуле
\tfdFc
Здесь числитель представляет собой секториальный бимомент инерции
Jak> относящийся к крайней оболочке. Этот бимомент следует вычислять
для сечения на участке контакта крайней оболочки со средней с учетом
площадей пластинок и стрингеров крайней оболочки. Величина, стоящая
в знаменателе, определяется как секториальный бимомент инерции
профиля, относящегося к средней оболочке. Если поперечные сечения
крайней и промежуточной оболочек таковы, что их бимоменты инерции /«*
и /wc на участке сопряжения между собою равны, то v = l.
Раскрывая обобщенное граничное условие (12.8) при помощи формул
(12.1), в которых следует положитьz = In принимая во внимание
формулу (2.2), после несложных преобразований получим
' Я/2
где безразмерный коэффициент кг вычисляется по формуле
1
к . v
*1 = -7* Ч Г- (12-'9)
а I — sh к + — ch к ]
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 149
Подставляя теперь найденную величину % в первую из формул (12.1),
получим
°W-^i(*-*iV-r*7-*). (12Л0>
Этой общей формулой определяется угол кручения оболочки на
среднем участке в любом поперечном сечении z = const.
Формула для бимоментов (2.5) на этом участке будет иметь вид:
В = — EJJST = Hkxv -~- sh-£- z .
Из этой формулы видно, что бимомент принимает наибольшее значение
при z=l, т. е. на линии сопряжения средней оболочки с крайней. Эпюра
бимоментов, как и эпюра углов закручивания, на среднем участке />£>—/
относительно начала отсчета координаты z будет кососимметричной.
После определения бимоментов нормальные напряжения в
рассматриваемом случае изгибного кручения оболочки вычисляются по
одночленной формуле
Эти напряжения по абсолютной величине достигают максимальных
значений в опорных для средней оболочки сечениях z=+l в тех точках, для
которых ординаты главной секториальной площади w(s) принимают
наибольшие значения (рис. 101, б).
3. Приведенные выше формулы для угла кручения и бимомента
получены с учетом жесткости GJd чистого кручения оболочки на открытом
участке, т. е. с учетом, как отмечалось уже неоднократно ранее,
неравномерного распределения касательных напряжений по толщине стенки
оболочки. Исследования показывают, что для тонкой открытой оболочки
фактор жесткости чистого кручения имеет второстепенное значение.
Для такой оболочки эту жесткость можно считать равной нулю, что будет
равносильно допущению о том, что касательные напряжения по толщине
стенки распределяются равномерно.
Формулы для открытой оболочки, обладающей нулевой жесткостью
при чистом кручении, могут быть получены из приведенных выше более
общих формул путем предельного перехода.
Выведем, например, формулу для угла закручивания 8(z). Полагая,
что при GJd = 0 коэффициент к также равен нулю, разлагая
гиперболические функции в ряд и ограничиваясь в этих рядах членами до второго
порядка малости включительно, из выражений (12.9) и (12.10) получим:
к 1 _JL["i_^!M i-^VI
Г £*i/_L U\\ v L v w T2o/J'
й'">=йЙ-['-т(!+3]('+ж>Н
_ НП_ Г_а_ /J_ , v\ z*1
~~ EJa[ v U +2<J 6Pjz-
Бимомент В (z) в этом частном случае будет иметь вид:
В (z) = — EJJT (z) = Hz.
150
Тонкостенные упругие стержни
§ 13. Экспериментальное подтверждение теории тонкостенных
стержней
В лаборатории строительной механики ЦНИПС в 1938—39 г. были
проведены эксперименты над металлическими тонкостенными балками
открытого сечения с целью проверки правильности предложенной
автором четырехчленной формулы (8.5) гл. I для нормальных напряжений
при совместном действии изгиба и кручения:
б = -тг — ТЕх + -Т-у+ j-(0.
r Jy Jx J<a
Рассмотрим результаты испытаний сварной балки П-образного
сечения при совместном действии изгиба и кручения. Балка была изготовлена
из листовой стали марки Ст. 3 толщиной 6 = 5 мм, пролетом / = 2700 мм.
Благодаря специально изготовленным опорным частям и отсутствию
жестких, сплошных диафрагм, обеспечивалась возможность поворота
сечения относительно вертикальной и горизонтальной осей его, а также
свободных продольных перемещений отдельных точек сечения (депланации
сечения) и исключалась возможность возникновения угла закручивания
на опорах. Поперечная нагрузка прикладывалась по середине пролета
центрально и с разными эксцентриситетами относительно центра изгиба.
Измерительные приборы (рычажные тензометры) были поставлены в
двух сечениях по длине образца, на расстоянии 101 см от опор. По
контуру каждого сечения было поставлено по шестнадцать приборов. По
ширине каждого из трех основных элементов балки было расположено по
четыре тензометра. Показания тензометров дали возможность выявить
закон распределения напряжений по ширине каждого элемента и по
сечению в целом.
Физические характеристики материала образца: модуль продольной
упругости/?, модуль сдвига G и коэффициент Пуассона \л — были
определены заранее лабораторией испытания материалов МГУ. Величины их
следующие:
Е = 2,15- Ю6-^ ; G = 0,815-106 —2; а = 0,334.
см2 см2' ^ '
Измеренные деформации были обработаны по способу наименьших
квадратов и разложены на четыре составляющие, соответствующие
четырем видам работы балки: вертикальный изгиб и кручение (основные
напряжения), горизонтальный изгиб и продольное растяжение
(дополнительные напряжения). На рис. 102 показаны напряжения по сечению
образца для центрального и трех случаев нецентрального приложения
нагрузок с эксцентриситетами е=2,29 см; е=4,66 см и е=6,82 см. На
графиках нанесены:
а) результаты, полученные из эксперимента;
б) результаты, полученные после обработки экспериментальных
данных способом наименьших квадратов;
в) напряжения, полученные теоретическим расчетом.
Достаточно хорошее совпадение экспериментальных и теоретических
кривых свидетельствует о том, что при совместном действии изгиба и
кручения нормальные напряжения в поперечном сечении тонкостенных
стержней-балок распределяются по закону секториальных площадей.
Желающих подробнее ознакомиться с постановкой самих
экспериментов и их результатами отсылаем к опубликованным в печати
материалам [27, 28].
Кроме обработки результатов экспериментов, проведенных
непосредственно в лаборатории ЦНИПСа, с той же целью были обработаны по
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 151
предложенной нами четырехчленной формуле эксперименты, проведенные
Бахом в 1909-10 г. [211].
Производя опыты над металлической балкой корытного сечения
(швеллер, рис. 103, а), Бах установил, что поперечная нагрузка, действующая
перпендикулярно к плоскости симметрии швеллера и проходящая через
жперинентальные до обработки (дерхние числа),
мсперименптмые после оорабогти (средние числа),
— — — мецретичесме (нижние числа)
Рис. 102
центр тяжести его, наряду с деформациями изгиба вызывает также и
деформации кручения. Деформации удлинений четырех крайних волокон
швеллера при произвольном положении нагрузки не следуют закону
плоских сечений.
При действии поперечной нагрузки в плоскости стенки швеллера
(рис. 103, б) деформации от кручения в опытах Баха оказались
значительно меньше, чем в случае приложения нагрузки в центре тяжести сечения
(рис. 103, в) (деформации удлинения в стенке швеллера не замерялись).
Обнаружив опытным путем отклонения от закона плоских сечений
при действии поперечной нагрузки, не проходящей через центр изгиба,
152
Тонкостенные упругие стержни
Бах, однако, не дал исчерпывающего объяснения этому явлению,
объяснив его несимметричностью профиля.
Результаты опытов Баха, пересчитанные для напряжений в кг/см2,
приведены в табл. 21. Испытания I относятся к случаю, когда нагрузка
проходит в срединной плос-
а) 1
H»fJ'
б)
ЦТ
9*
55
ЦИЗГ j
ЦТ.
P~ke.ii- „. . . кости стенки швеллера
(рис. 103, б); испытания
II — к случаю, когда
нагрузка проходит через центр
тяжести сечения (рис. 103, в).
Для сравнения в этой же
таблице приведены данные
для напряжений,
полученные по исследованиям Вебе-
ра и по теории автора.
Хорошее совпадение
теоретических результатов,
полученных автором, и
экспериментальных данных указывает на то, что обработка подобного рода
экспериментов по четырехчленной формуле дает правильные результаты.
Таблица 21
\)цш
Рис. 103
Испытания
№№ точек
По Баху . . .
По Веберу . .
По теории
автора ....
1
205,7
200,0
201,0
I
2
—108,7
—123,0
1—106,2
3
—205,7
—200,0
—201,0
4
108,7
123,0
| 106,2
II
1
357,9
337,0
337,0
2
—189,0
-207,0
—178,0
3
-357,9
-337,0
—337,0
4
189,0
207,0
178,0
§ 14. Расчет стержней с учетом продольных изгибающих моментов
Изложенная выше теория относится к тонкостенным стержням типа
длинных оболочек, имеющих весьма малую толщину. Эта теория
основана на допущении о том, что нормальные напряжения по толщине стенки
распределяются равномерно; такое допущение равносильно
пренебрежению продольными изгибающими моментами ввиду незначительности их
роли в общем напряженном состоянии тонкостенного стержня. Такое же
допущение лежит и в основе нашей общей технической теории оболочек
и пространственных складчатых систем и позволяет в значительной мере
упростить методы их расчета. Основанием к такому допущению послужили
многочисленные теоретические и экспериментальные исследования по
тонким цилиндрическим и призматическим оболочкам средней длины,
проведенные как самим автором, так и другими исследователями.
Область применения этой теории, как, впрочем, и любой теории,
основанной на известных допущениях, не может быть четко ограничена,
так как она зависит от многих обстоятельств, да и само понятие
«тонкостенный стержень» не является чем-то раз навсегда определенным и
зависит от характера задачи, целей расчета, вида нагрузок и т. д.
Основное в нашей теории — это учет депланации сечения и влияния
ее на работу стержня. В теории тонкостенных стержней открытого профиля
это выявляется в форме закона секториальных площадей, являющегося
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 153
обобщением закона плоских сечений. В теории тонкостенных стержней
замкнутого профиля так же, как и в теории депланации стержней
сплошного сечения, как будет показано в § 1 гл. IV и в § 1 гл. V, закон секто-
риальных площадей неприменим, и влияние деформации учитывается не
обобщенной секториальной координатой cd(s), а другой обобщенной
координатой депланации у(х, у) = ху\ могут встретиться случаи, когда
обобщенная координата депланации у(х, у) будет иметь и другое аналитическое
выражение.
Ниже будет показано, как нужно видоизменить выражения
обобщенных координат в поперечном сечении упругого стержня открытого
профиля, чтобы учесть влияние продольных изгибающих моментов, или, что
одно и то же, учесть влияние неравномерного распределения по
толщине стенок продольных нормальных напряжений. Продольный
изгибающий момент, приходящийся на единицу длины, выражается, как
известно из теории пластинок, следующей формулой:
ЛуГ EV/dh> , d2w\
Здесь выражение -^ представляет собой изменение кривизны в
поперечном направлении стержня. Для тонкостенных стержней эта
деформация кривизны равна нулю, так как профиль стержня считается
абсолютно жестким и поэтому
11 12 02* •
Для нормальной составляющей вектора полного перемещения мы
имели формулу (3.10) гл. I:
w (z, s) = — \ (z) sin a (s) -j- ц (z) cos a (s) + 9 (z) t (s),
где a (s) — угол между касательной к профильной линии в данной точке
(s) и осью Ox; t(s) — величина перпендикуляра, опущенного из
произвольного секториального центра А на нормаль к профильной линии в
данной точке (s); £ и г\ — поступательные перемещения точки Л; 8 — угол
поворота сечения в своей плоскости относительно точки А.
Таким образом
Мг (z, s) = — Щ^- [— Г (z) sin a (s) + if (z) cos a (s) + 9" (z) t {s)\.
Связанная с зтим моментом поперечная сила Nl9 приходящаяся на
единицу длины, будет иметь вид:
^ = a-w в - it [- 6" (z)sin а (*) + л" (z)cos а (») +е'" №1 (*>] * •
Чтобы учесть влияние продольных изгибающих моментов на работу
тонкостенного стержня, нам нужно ввести поправочные члены в диф-
1 Формула для поперечной силы Nu известная из теории пластинок, имеет
яг ЭМг ЭН
следующий вид: /Vi = -g—- + "gj-, где Н — интенсивность крутящего момента, вы-
Е63 д2и>
числяемая по формуле Н = -ттг (1 — V) "я7я7 • ^ случае тонкостенных стержней
ЬН
-Q- = 0, так как производная от крутящего момента по s содержит деформацию
д2ш
кривизны профиля стержня -гг^ .
154
Тонкостенные упругие стержни
ференциальные уравнения (6.14) гл. I, появляющиеся при проектировании
поперечной силы iVi на соответствующие оси. Это равносильно введению
в рассмотрение некоторой дополнительной нормальной поверхностной
нагрузки рПУ действующей на полоску единичной ширины dz = l и равной
разности поперечных сил, приложенных в сечениях z=?const и z+dz =
= const (рис. 104):
" — ^h — _ Е& (*)
-IV,
JV
IV,
12
[— £1V (z) sin a (s) + T)1V (z) cos a (5) + 91 v (z) t (s)]
Ясно, что pn не даст составляющей на ось Cte, поэтому первое
уравнение (6.14) гл. I останется без изменения; дополнительные члены
получат три последних уравнения (6.14) гл. 1.
\Pnds
Рис. 105
Обозначим через dpx, dpv и dm проекции на оси я, у и момент от
дополнительной нормальной силы рп ds, относящейся к произвольной точке
сечения с текущей координатой s.
В соответствии с принятым правилом знаков будем иметь (рис. 105):
dpx == — рп sin a (s) ds ,
dpv = pn cos a (5) ds,
dm = dpv (x — ax) — dpx (y — ay) —
= Pn l(x — ax) cos a + (y — ay) sin a] ds = pn* ds.
Переходя к обобщенным силам и интегрируя эти выражения по всему
контуру поперечного сечения, получим для добавочных членов второго,
третьего и четвертого уравнений системы (6.14) гл. I соответственно
выражения:
рх=— EtlY[ sin2 a (s) dJ + Ex)™ ^sin a (s) cos *(s)dJ + £9IVJ t {s) sin a (5) dJt
py = ££TV f sin a (5) cos a (s) dJ — Er\iy \ cos2 <x(s)dJ — EQiy ^ * (s) cos a (5) d/,
= EllY \ t (s) sin a (5) d/ — Er\1Y [ t (s) cos a (5) d/ — £9IV J *2 (5) d/ .
Присоединяя эти дополнительные члены к соответствующим уравне-
т
IV IV
qIV
ниям (6.14) гл. I и объединяя коэффициенты при £ , т) и 0 vf получим
те же уравнения, но в этих уравнериях геометрические характеристики
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 155
Jx> Jyj Jxv и ^»» ^wci J**v будут определяться формулами,
отличающимися от соответствующих формул (6.9) — (6.13) гл. I наличием
дополнительных слагаемых, отражающих влияние продольных изгибающих
моментов, а именно:
/*= [y*{s)dF + ^cos**(s)dJ,
Jy = С х2 (s) dF + [ sin2 a (s) dJ,
Jxy = \x (s) у (s) dF — \ sin a (s) cos a (5) d/,
Л>х = \a>(s)x(s)dF — \t (s) sin a (5) <?/ ,
Jm = \ © (5) г/ (5) dF + w (5) cos a(s)dJ,
J„ = [&* (s)dF + \t* (s)dJ .
В этих формулах приняты обозначения;
(14.1)
dF = 6ds, dJ = j^ds
J?.
12
dF,
где толщина 6=6 (s) рассматривается как функция переменной s.
Интегралы распространяются на все поперечное сечение.
К таким же результатам придем, исходя из других соображений.
Предположим, что продольные нормальные напряжения по толщине
стенки меняются по линейному закону (рис. 106, а, б). Положение
произвольной точки М поперечного сечения будет теперь функцией двух
переменных: координаты 5, отсчитываемой от некоторой начальной точки вдоль
контурной линии до точки Mi, и расстояния л, отсчитываемого от
профильной линии по нормали к ней (рис. 106, а).
По существу мы здесь имеем дело с явлением, рассмотренным нами
в § 7, а именно: с случаем, когда продольная сила приложена не
непосредственно в какой-либо точке профильной линии, а находится вне контура
и действие ее передается на стержень при помощи жесткой консоли,
нормальной к профильной линии. В данном случае мы должны
рассматривать нормаль в любой точке профильной линии как консоль,
распространенную по обе стороны от профильной линии. Длина консоли
меняется от нуля до половины толщины стержня в данном месте, а каждая точка
консоли рассматривается как точка приложения продольной силы.
Обозначим через x{s, л), y(s, п), <o(s, п) соответственно обобщенные
линейные и секториальную координаты произвольной точки (s, п)
поперечного сечения стержня, а через x(s), y(s) и a>(s) те же координаты, но
относящиеся к точке s профильной линии; из рис. 106, a, b найдем следующие
зависимости между ними:
х (s, п) =x(s) — п sin a (s) Л
y(s, п) = y(s) + ncosa(s),\
© (5, п) — a> (s) + nt (s). j
(14.2)
Функции sin a (s) и cos a (s) могут быть представлены в другой форме—
как производные по переменной s от соответствующих координат, а
именно:
dy (s) ,
sin a (s) =
cos a (s)
ds
dx(s)
~~aT~
— X
156
Тонкостенные упругие стержни
Так как обобщенные координаты являются функциями двух
переменных s и л, то геометрические характеристики выражаются при помощи
двойных интегралов, в которых dsdn представляет элемент площади
поперечного сечения, а интегрирование распространяется на всю
площадь поперечного сечения с пределами интегрирования по переменной
п от — у до + -j [6 = &(s) — толщина
стержня] и по переменной s — по всему
контуру поперечного сечения. Ввиду
того, что переменная п входит в
выражения обобщенных координат, как видно
иэ (14.2), в очень простой линейной
форме, то, выполняя интегрирование по л,
мы можем свести двойные интегралы к
контурным интегралам. Геометрические
*Ъ|<М
Рис. 106
Рис. 107
характеристики после таких преобразований будут выражаться
следующими формулами:
+?/2
Sx = \ \ У (Sj п) ds dn =[у (s) dF,
(s) -8/2
+8/2
Sy = \ \ x (s, n) ds dn = \ x (s) dF,
(s) -8/2
+8/2
Jx = \ \ y% (*' *) ds dn = \y2 (5) dF + \cos2 adJ>
(3) -8/2
+8/2
Jy ~ \ \ 7? (s, n) dsdn = \ ж2 (s) dF + \ sin2 a dJ,
<«) -Б/2
+8/2
Jxy — \ \ У (s, n) x(s, n)dsdn=\x (s) у (s) dF — \ sin a cos a d/,
(s) -5/2
(14.3)
Гл. II, Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 157
+V2
S„> = \ \ со (s, п) ds dn = \ со ($) dF,
(ь) -Б/2
J их = \ \ a; (s, тг) со (5, n)dsdn = \ со (5) я (5) dF — w (5) sin a(s) d/,
(8) —S/2
+S/2
I (14.4)
/^ = \ \ у (s, я) со (s, n) ds dn = \ со (5) г/ (s) dF + \ £ (s) cos a (s) d/,
(8) -8/2
+5/2
/e =Л ^ со2 (*, n) ds dn = \co2 (s) dF +[t2 (s) dJ.
(з) -Б/2
Мы пришли к полученным выше формулам (14.1); при этом Sx, Sy и £ш
вообще остались в том же виде, который они имеют без учета продольных
изгибающих моментов. Нужно отметить, что, по существу, мы получили
уточненные формулы только для характеристик Jax, /wy и 1Ы; для
моментов же инерции /ж, Jy и Jxy [формулы (14.1)] мы имеем обычные
выражения сопротивления материалов.
Вследствие указанных соображений, определение главных
центральных осей на основании выполнения условий Sx = Sy = Jxy = 0
происходит обычным порядком методом сопротивления материалов. Определение
же главных секториальных координат и координат центра изгиба при
учете продольных изгибающих моментов следует производить по
уточненным формулам, которые получаются совершенно аналогично тому, как
они были получены в § 7 гл. 1.
Пусть В я А — полюсы с координатами (Ъх, Ьу) и (аХ1 ау). В этом
случае формула (4.3) гл. I для секториальной площади при переносе полюса
и начальной точки примет вид:
со а = сов + (Оу — by) х — (ах— Ъх) у + С.
Из рис. 107 найдем выражения для функции t (s) при переносе полюса:
tA = *в — (ах — bx) cos a (s) — (ay — bv) sin а (s).
Считая, что полюс В и начальная точка выбираются нами произвольно,
а точка А является искомым центром изгиба, и составляя для соА и £А
условия 5Ы = lux = /ay = 0 при помощи развернутых формул (14.4),
получим три уравнения, из которых определим координаты ах и Оу
искомого центра изгиба и константу С, определяющую направление
начального радиуса-вектора.
Формулы для определения указанных величин будут иметь следующий
вид:
я* = Ьх +
А-
I сов (s) у (s) dF + 1 tB (s) cos a (s) dJ
J <oB (s) x (s) dF — J tB (s) sin a (s) dJ
C =
jo>B(s)dF
(14.5)
При вычислении интегралов, как и в общей теории тонкостенных
стержней, можно пользоваться графоаналитическими приемами строитель-
158
Тонкостенные упругие стержни
ной механики. К прежним эпюрам х (s), y(s) и со (s) необходимо добавить
еще эпюры:
cos a (s) = х' (s), sin а (s) = у' (s) и tB (s),
которые в большинстве практических случаев имеют также довольно
простой вид.
Общие дифференциальные уравнения равновесия тонкостенного
стержня остаются прежними [(7.3) гл. I]:
EFln = 0,
EJvl> = qx,
EJxr?Y = дУ9
EJjF — GJjf = m.
§ 15. Поперечные изгибающие моменты в тонкостенных
стержнях
1. Рассматривая тонкостенные стержни и ребристые оболочки как
пространственные пластинчатые системы, обладающие не деформируемым
контуром поперечного сечения, мы, наряду с нормальными и
сдвигающими силами в поперечном сечении, неявным образом учитываем также
поперечные изгибающие моменты, стремящиеся деформировать контур
поперечного сечения. Эти моменты легко подсчитать, если известны
сдвигающие осевые силы, действующие по продольной линии поперечного
сечения. Выделяя для этой цели двумя поперечными сечениями z = const
hz -\-dz = const бесконечно малый элемент — полоску стержня или
оболочки, мы должны в этих сечениях приложить осевые сдвигающие силы.
При переходе от сечения z = const к сечению z +dz = const сдвигающие
силы Т в каждой точке контура получат приращения. Эти приращения с
точностью до величин высшего порядка малости могут быть выражены
как частные дифференциалы от Т (z, s) при изменении одной из
независимых переменных:
dT = d£dz=d-^dz. (15.1)
Подставляя вместо т его выражение (8.9) гл. I получим формулу, по
которой легко определяется интенсивность тангенциальной нагрузки в
случае совместного действия на стержень изгиба и кручения. Зная
тангенциальную нагрузку dT, мы можем из условия равновесия части
выделенной полоски определить для какого-либо продольного сечения стержня
поперечный изгибающий момент G, а также поперечную и нормальную
силы Q и N (рис. 108). При вычислении силовых факторов G, ЛГ, Q
продольного сечения стержня от внешней поверхностной нагрузки и от
разности сдвигающих сил можно воспользоваться приемами графической
статики, основанными на теории веревочного многоугольника. Отметим
здесь, что в случае сосредоточенной поперечной нагрузки, приложенной
к какой-нибудь точке пролета, поперечные силы Qx, Qy и изгибно-крутя-
щий момент Нш [в формуле (8.9)] на незагруженном участке длины
стержня остаются постоянными. Тангенциальная нагрузка от сдвигающих сил,
определяемая по формуле (15.1), при Qx = const, Qy = const H#<o=const
будет равна нулю. Следовательно, поперечные изгибающие моменты в
рассматриваемом случае сосредоточенной нагрузки будут также равны
нулю. Деформации контура сечения носят только местный характер и не
влияют на распределение усилий в стенках стержня.
Гл. II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 159
2. Поперечные изгибающие моменты G можно вычислить и другим,
чисто аналитическим путем, исходя из дифференциальных уравнений
равновесия бесконечно малого элемента dz ds срединной поверхности
оболочки, которую мы рассматриваем в свете определенных статических и
геометрических гипотез. Статические гипотезы
состоят в следующих положениях.
Цилиндрические оболочки произвольного очертания,
подкрепленные продольными и поперечными
ребрами (стрингерами и шпангоутами), при
достаточно частом расположении этих ребер, мы
рассматриваем как тонкостенную
пространственную систему, в поперечных сечениях
которой могут возникать одни только нормальные
и сдвигающие усилия. Продольные
изгибающие и крутящие моменты, вследствие их слабого влияния на
напряженное состояние оболочки, принимаются равными нулю. По
продольным сечениям оболочки, помимо нормальных и сдвигающих
усилий, могут возникать также и поперечные силы. В силу таких
статических гипотез за расчетную модель оболочки принимается тонкостенная
о
Рис. 108
6d+d(68)
N+dN
Рис. 109
Рис. 110
пространственная система, состоящая по длине (вдоль образующей) как
бы из бесконечного множества поперечных элементарных изгибаемых
полосок. Каждая из таких полосок уподобляется плоскому кривому
стержню, работающему в каждом своем сечении не только на растяжение
(сжатие), но также и на поперечный изгиб и сдвиг. Взаимодействие между
двумя смежными поперечными полосками в оболочке выражается в передаче
с одной полоски на другую одних только сдвигающих и нормальных
усилий. Такого рода пространственные системы, т.е. системы, наделенные
различными физическими свойствами в продольном и поперечном
направлении, мы будем называть ортотропными пространственными системами.
Статическая структура описанной расчетной модели показана на
рис. 109. Стерженьками, расположенными в срединной поверхности
оболочки, схематично обозначены связи, через которые от одной поперечной
полоски к другой передаются продольные нормальные и сдвигающие
усилия. Дифференциальные уравнения равновесия цилиндрической
оболочки, в силу принятых статических условий, будут иметь следующий
вид (рис. 110):
д(<з6) . дТ .
11 h Р
dz
ds
0,
ЭТ . dN Q . п
(15.2)
160
Тонкостенные упругие стержни
где р, g, г — проекции вектора интенсивности поверхностной нагрузки
соответственно на ось z, направление s и на нормаль к поверхности
в данной точке, R = R(s) — радиус кривизны профильной линии.
Система уравнений (15.2) путем исключения сил 7\ ЛГ, Q приводится
к одному уравнению
д2 (аб)
dz*
+ QG = P, (15.3)
где Р — функция, зависящая от компонентов внешней поверхностной
нагрузки:
Q — дифференциальный оператор по переменной s:
»-£(*£) + £(■**■)• («")
Как будет показано ниже, этот оператор связан с законом сектори-
альных площадей. Если поверхностные силы отсутствуют, то искомые
внутренние силы оболочки могут быть выражены через одну функцию
F = F (z, s) по формулам;
o6 = QF, T = -Q14~Ft N = R d*F
dz * » Af -"^a** *
U ~~ 522» V — fl* 022 »
(15.6)
где Q — дифференциальный оператор третьего порядка также по
переменной s:
°*=£■(*£)+*£-■• <15-7>
операторы Q и Qj связаны соотношением
QF=^(Q1F). (15.8)
При i?.— = ф и Д-> оо первые три из соотношений (15.6) переходят
OS
в известные формулы Эри для плоской задачи теории упругости. Функция
F может быть названа функцией напряжений для цилиндрической
оболочки. Эта функция, как и в плоской задаче, в принятой нами расчетной
модели, обусловленной только статическими гипотезами, играет роль
основной статически-неопределимой величины. Если поверхностная нагрузка
отлична от нуля, то к правым частям (15.6) следует добавить
соответствующие частные решения неоднородных статических уравнений. Эти частные
решения могут быть получены из уравнений (15.2) и предположения:
G = 0 или (об) = 0. Во втором случае (при об = 0) частные интегралы для
G, Nvl Q легко могут быть получены из (15.3) на основе закона секториаль-
ных площадей для моментов G.
3. Использование статических гипотез привело нас к одному
уравнению (15.3) с двумя неизвестными функциями (об) и G. Чтобы избежать
этой неопределенности в решении задачи, необходимо получить еще одно
уравнение. Это уравнение мы найдем из рассмотрения геометрической
стороны задачи и использования геометрических гипотез.
Согласно геометрическим гипотезам, деформации поперечных
удлинений оболочки и деформации сдвига, как величины, мало влияющие
Гл. II, Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 161
на состояние основных внутренних сил оболочки, принимаются равными
нулю. Деформации оболочки в нашей расчетной модели происходят так,
что линии срединной поверхности, перпендикулярные к образующей,
в каждой точке остаются нерастяжимыми и углы между линиями главных
кривизн (координатными линиями), прямые до деформации, остаются
прямыми и после деформации.
Связь между деформациями оболочки ei,
и, v и w выражается формулами:
_ ди
_ dv
82 — "лГ
82, т и х и ее перемещениями
ди .
д
w
dv
dz
\
(15.9)
d / v , dw \
Х ~~ IS" \~R "Г Ts~)
Первой из этих формул выражено относительное удлинение элемента
вдоль образующей.
Вторая формула относится к удлинению элемента в направлении,
перпендикулярном к образующей. Это удлинение получается как сумма
двух величин, из которых [первая (-^~) представляет собой
относительное удлинение дуги ds, возникающее вследствие приращения v при
переходе от точки М к точке iV, а вторая f -^-j относится к укорочению
дуги, происходящему вследствие перемещения
точки М по внутренней нормали к поверхности
на расстояние w (рис. 111).
Третья формула определяет деформацию
сдвига в срединной поверхности стержня.
Последняя, четвертая, формула относится
к деформации изгиба элемента по дуге ds. Эта
деформация кривизны получается как частная
производная по дуге s от угла 0
v , dw
/? + !*> на
Рис. 111
который поворачивается касательная в точке
М к дуге поперечного сечения при переходе элемента в деформированное
состояние, обозначенное на рис. 111 пунктиром.
Исключая из этих уравнений перемещения и, v и до, получаем одно
дифференциальное уравнение неразрывности деформаций:
^1
9*2
\ ds2 ) l ds \ R ds I Ids2 \ dz ds) l
+uim+u("m+s=o. HMO)
Исходя из геометрических гипотез об отсутствии деформаций
поперечного удлинения и сдвига, т. е. считая, что
получаем
е2 = 0 и у = О,
Qe1 + g = 0.
(15.11)
(15.12)
Это весьма важное в нашей теории уравнение неразрывности деформаций,
предложенное нами еще в работах [35, 36], показывает, что деформации
162
Тонкостенные упругие стержни
изгиба x=x(z, s) поперечной элементарной полоски (деформация профиля
оболочки) при гипотезах (15.11) в общем случае сопровождается
деформацией растяжения оболочки вдоль образующей (депланацией поперечного
сечения).
Для ребристых оболочек и тонкостенных стержней мы принимаем еще
гипотезу об отсутствии деформаций контура поперечного сечения, т. е.
полагаем х=0. Для этого случая уравнение (15.12) принимает более
простой вид, а именно:
Qex = 0, (15.13)
где оператор Q выражается формулой (15.5). Покажем, что оператор Q
связан с законом секториальных площадей. В раскрытом виде уравнение
(15.13) будет иметь вид:
Это—дифференциальное уравнение четвертого порядка, линейное,
с переменными коэффициентами, зависящими от радиуса кривизны
R = R (s). Введем новую функцию ср (z, s), определяемую уравнением
Ф = £. (15-15)
Отсюда ех выражается через ф следующим образом:
8
Ei == ^ф (z, s) ds + Z1 (z), (15.16)
0
где Zx (z) — произвольная функция координаты z.
Вводя в уравнение (15.14) вмегто ех новую функцию ф, получим
м(«-5) + Ш) = 0. (15.17)
Проинтегрируем это уравнение один раз по переменной 5 и обозначим
новую произвольную функцию от z через Z4 (z). В результате получим
£(*£) + *=*•(*>• <15-18>
Если обозначить через а = a (s) угол, образуемый касательной к
профильной линии в точке s с осью х, то из чисто геометрических
соображений следуют зависимости:
ds = R da; -£- = cos a, -j- = sin а. (15.19)
Пользуясь зависимостями (15.19), можно произвести замену
независимого переменного s на а в уравнении (15.18) и получить
?§ + <p=*Z4. (15.20)
Однородному уравнению
£в + ф = о, (15.21)
как известно из теории дифференциальных уравнений, удовлетворяет
функция
Ф -- A sin а + В cos а. (15.22)
Гл. II'. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 163
Решение неоднородного уравнения (15.20) найдем из решения
однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных. Для этого
дифференцируем функцию (15.22) по а, считая, что произвольные функции
А и В являются функциями не только z, но также и а:
#Ф дА . . дВ . А D •
~ = ^— sin а + -з- cos а + A cos а — В sin а ,
да да ' Ао*
и полагаем
да
дЛ . , дВ п ч
Slna+ cosa = o,
да
L
—-= A cos а — fisina. J
(15.23)
Последнее уравнение при тех же предположениях дифференцируем
еще раз по а:
д2ш ЗА дВ . . . D
r-J = -=- cos а — ^~ sin а — Л sin а — /> cos а.
да3 да да
Подставляя этот результат вместе с выражением (15.22) в
формулу (15.20), получаем
(15.24)
дА дВ . „г*
-з- cos a — 3— sin a — /tZ4.
da da *
Решая это уравнение совместно с первым уравнением (15.23) отно-
дЛ дВ
сительно у- и у, находим:
= Z4/? cos a,
дЛ
da
д2? rj о •
— = —ZaH sin a.
da а
(15.25)
Отсюда интегрированием по а получаем:
8
А =: ZAR cos a da + Z2 (z),
0
8
В = — Z4 [ R sin a da + Z3 (z),
[
(15.26)
где Z2(z) и Ze(z) — новые произвольные функции, зависящие только
от переменного z. Интегралы, стоящие в правой части уравнения (15.26),
легко вычисляются при использовании зависимостей (15.19). Решение
уравнения (15.20) можем записать в виде:
ф = Z2sina -f- Z3cosa -f Z4(;zsin a — у cos a), (15.27)
и, следовательно, для ei, определяемого формулой (15.16), будем иметь:
S 8. S
г1 = Z] + Z2 \ sin a ds + Z3 \ cos a ds + Z4 \ (я sin a — г/ cos a) ds =
0 0 0
8 8 8
^ Z, + Z^dy + Z^dx + Z€^ (xdy-ydx),
164
Тонкостенные упругие стержни
ИЛИ
гг = Zx + Z2y (s) + Zzx (s) + Z4g> (s), (15.28)
где со (5) = \ (жdy — у dx).
о
Все произвольные функции интегрирования отнесены к Zt (z).
Геометрический смысл о (s) удобнее выяснить, переходя к полярным
координатам р и \|) (рис, 112). Так как
то
и, следовательно,
х = р cos \|), у = р sin \|), *
dx = — р sin t|) d\|) + dp cos \|),
dy = p cos \|) ch|) -f dp sin г|),
(0(5) = ^ {xdy — ydx)= ^p2cty,
о 0
8
где \p2d\j) [а отсюда и &(s)] представляет удвоенную площадь сек-
о
тора, заключенного между двумя радиусами-векторами и дугой s, т. е.
величину секториальной площади. Формула (15.28), являющаяся
решением дифференциального уравнения (15.14),
совпадает с выведенной ранее в § 3 гл. I другим методом
формулой
Е = С' (*) - Г (z) х (S) - т," (z) у (S) - 9" (Z) (О (8).
В этой формуле роль произвольных функций
интегрирования Zi(z), Z2(z), Zz(z), Z4(z) уравнения
(15.15) играют величины £' (z), — l (z), — т)" (z),
—8 "(z), имеющие определенный геометрическийсмысл.
Обе формулы идентичны и представляют закон
секториальных площадей, частным случаем которого является закон
плоских сечений.
4. Рассматривая оболочку, подкрепленную ребрами, как
приведенную ортотропную упругую систему, представим закон Гука при
гипотезах (15.11) в следующей упрощенной форме (коэффициент Пуассона |А
принимаем равным нулю):
где А — жесткость оболочки при растяжении вдоль образующей; D —
жесткость (приведенная, с учетом поперечных ребер) при изгибе оболочки
по линии контура. Если ребра отсутствуют, то очевидно
ёЬ3
Рис. 112
Еу £> =
12
(15.30)
где Е — модуль упругости при растяжении (сжатии); б — толщина
оболочки.
Внося (15.29) в уравнение (15.12) и присоединяя ранее полученное
уравнение (15.3), получаем систему двух дифференциальных уравнений
оболочки с двумя неизвестными функциями а и G:
д2 (<зЬ)
dz2
+ QG = Р,
D dz2
(15.31)
Гл. П. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля 165
Система (15.31) в отношении членов с производными по s имеет
симметричное строение, что находится в полном соответствии с основными
теоремами теории упругости.
При R = const (для круговой оболочки) уравнения (15.31) будут иметь
постоянные коэффициенты.
Если во втором уравнении (15.31) положить /) = оо, т. е. считать, что
мы имеем дело с ребристой оболочкой или тонкостенным стержнем, в
которых контур предполагается недеформируемым (х=0), то приа = Лемы
придем к уравнению (15.13):
Qe = 0. (15.32)
Отсюда для продольной деформации е = е (z, s) в функции от
контурной координаты s вытекает геометрический закон секториальных
площадей, подробно рассмотренный нами ранее.
Если в первом уравнении системы (15.31) положить а6=0, т. е. считать,
что оболочка в поперечных сечениях работает на одни только
сдвигающие усилия, как это имеет место, например, в случае гофрированной
оболочки, то при Р = 0 (однородная задача) придем к уравнению
QG = 0, (15.33)
совершенно аналогичному уравнению (15.32). Значит поперечные
изгибающие моменты G = G (z, s) в функции от контурной координаты s также
будут следовать закону секториальных площадей. Этот закон, в отличие
от аналогичного ему геометрического закона для деформаций удлинений
е= e(z, 5), может быть назван чисто статическим законом секториальных
площадей. Обозначая сокращенно через G(z,s) общий интеграл
однородного уравнения (15,33), мы, на основании изложенного выше, можем его
записать в виде:
G (z, s) = Z5 (z) + Z6 (z) x (s) + Z7 (z) у (s) + Z8 (z) <d (5), (15.34)
где Z5(z), Z6(z)y Z7(z) и Z8(z) — произвольные функции интегрирования;
x(s), y(s)— текущие координаты точки профильной линии; <о (s) —
текущая секториальная координата этой точки.
Отдельным слагаемым в выражении (15.34)
можно легко дать механическую интерпретацию.
Первым членом представлен чистый изгиб
поперечной полоски от момента Go, приложенного на
начальном продольном крае 5 = 0 (рис. 113);
вторым и третьим слагаемым представлены моменты
в точке контура х (s), y(s) от сил qx0 и qyo,
параллельных осям координат и приложенных на
начальном продольном крае 5=0; последний член
относится к моменту от сдвигающих сил T=T(z), Рис. 113
имеющих по дуге профильной линии постоянную
интенсивность. Произвольные функции Z5 (z), Z6 (z), Z7(z) hZ8(z),
имеющие вполне определенный механический смысл, определяются из
граничных условий на продольных краях оболочки.
Если усилие а6=^=0, то, определив его из уравнения (15.32) и подставив
его в первое уравнение системы (15.31), получим
qG_|>_ iLg^j = 0. (15.35)
166
Тонкостенные упругие стержни
Общий интеграл этого неоднородного уравнения (15.35) мы можем
представить в виде суммы двух интегралов:
G = gi(s, s)+g2(z, s), (15.36)
где gi(z, s) — общий интеграл однородного уравнения, представленный
формулой (15.34), a g2 (z, s) — частный интеграл неоднородного
уравнения (15.35). Таким образом мы видим, что в тонкостенных стержнях,
наряду с осевыми силами, возникают поперечные изгибающие моменты G
и поперечные и нормальные силы Q и N, действующие по площадкам
продольного сечения. Одно из основных положений элементарной теории
изгиба балок, заключающееся в том, что при изгибе продольные волокна
балки не оказывают друг на друга давления, в применении к
тонкостенным стержням является неверным. Для тонкостенных стержней и оболочек
оказывается более естественным принять гипотезу не об отсутствии
нормальных сил и моментов по продольным сечениям, а об отсутствии
деформаций удлинений и изгиба, т. е. гипотезу о недеформируемости контура
сечения.
Возвращаясь к эпюрам, показанным на рис. 91, а, б (см. пример
расчета в § 10), мы замечаем, что, в случае изгиба в плоскости симметрии,
деформации контура играют большую роль, чем в случае кручения.
Объясняется это тем, что при изгибе в поперечных сечениях возникают
сдвигающие усилия, представляемые симметричной эпюрой. Моменты G от
этих усилий будут распределены также симметрично относительно оси у
и вызовут симметричную деформацию контура сечения. Вследствие такой
деформации расстояние между крайними точками контура изменится.
В случае же кручения изменение сдвигающих усилий по сечению, как
видно из эпюры для секториальных статических моментов £ы (рис. 90,6),
представляется нечетной (обратносимметричной) функцией. Поперечные
изгибающие моменты от этих усилий будут меняться по закону кососим-
метричной эпюры. В силу этого проекция расстояния между двумя
симметричными точками контура на ось х не изменится. Деформация контура
сечения при обратносимметричной нагрузке от кручения получается
таким образом меньше, чем при симметричной нагрузке от изгиба в
вертикальной плоскости.
Глава III
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ-ОБОЛОЧКИ, УСИЛЕННЫЕ
ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
§ 1. Метод пространственного расчета многоопорных конструкций
Бимоментная теория изгибного кручения вместе с методами
строительной механики позволяет также сравнительно просто рассчитать
пространственные системы типа тонкостенных стержней, имеющие в пролете
в произвольно заданных точках промежуточные опоры. К таким системам
относятся, в частности, конструкции балочных мостов с. косыми опорами
Рис. 114
(рис. 114), конструкции покрытий типа ребристых сводов-оболочек,
имеющих по продольным краям стержневые опоры (рис. 115).
В целях простоты изложения будем считать, что рассматриваемая
система в поперечном сечении имеет вертикальную ось симметрии.
Предположим, что такая система находится под действием вертикальной
нагрузки, равнодействующая которой для поперечной полоски единичной
ширины лежит в плоскости симметрии профиля. Примером такой
нагрузки является собственный вес конструкции. Такая нагрузка при
отсутствии асимметричных опорных связей, согласно изложенной выше
теории, вызовет только деформацию изгиба. Деформация же кручения
будет отсутствовать, поскольку нагрузка будет проходить через линию
центров изгиба, лежащую также в продольной плоскости симметрии.
При наличии же связей, расположенных на некотором расстоянии от
оси симметрии профиля, конструкция, наряду с изгибом, будет
испытывать и деформацию кручения, вызываемую реакциями опорных связей.
168
Тонкостенные упругие стержни
Для определения этих реакций мы можем воспользоваться методами
строительной механики, распространяя и обобщая эти методы на
рассматриваемые здесь тонкостенные пространственные системы. Будем
исходить из метода сил. Выберем в качестве основной системы
тонкостенную однопролетную конструкцию, получающуюся из заданной путем
отбрасывания промежуточных опорных связей. Деформированное
состояние такой системы при любом сложном нагружении может быть
определено путем наложения элементарных состояний от изгиба и от изгибного
кручения. Поскольку в нашем примере внешняя нагрузка и опорные
Рис. 115
связи вертикальны, то из элементарных состояний основной системы
нас будут интересовать состояния двух видов, а именно: чисто изгибные
и изгибно-крутильные (рис. 114,6; 115,6).
Действие реакции какого-либо опорного стержня, не проходящей
через центр изгиба, может быть приведено к загружению основной
системы сосредоточенной вертикальной нагрузкой, лежащей в плоскости
симметрии и вызывающей чисто изгибную деформацию, и
сосредоточенного крутящего момента, вызывающего деформацию изгибного
кручения. Вертикальный прогиб т) = т) (z, t) стержня в каком-либо сечении
z = const от сосредоточенной вертикальной нагрузки Р, действующей
по оси симметрии в каком-либо другом сечении t = const при шарнирном
опирании концов стержня, определяется по формулам:
для значений / > z ^> £
«
*](*' Ъ = Р(м/}1 \l*-(l-z?-t% (1.1)
для значений *>£>0
4(*» 0 = ^fej->-('-02-z2]- (1-2)
Формулы (1.1) и (1.2) могут быть получены либо путем применения
метода начальных параметров к дифференциальному уравнению изгиба
балки в уравнении системы (7.3) гл. I, либо путем применения общей
формулы Мора для перемещений
i Mz(s)Mt(s)
Л(*> *) = ) YJ dS> (L3)
о
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 169
где Mz(s) и Mt($)—изгибающие моменты от единичных сил, приложенных
в двух разных точках оси балки с абсциссами z и t. Формулы (f.l) и (1.2)
представляют собой функцию влияния (функцию Грина) для задачи об
изгибе однопролетной балки с шарнирными опорами на концах.
Угол кручения G =Q(z, t), возникающий в каком-либо сечении z~const
от сосредоточенного крутящего момента В. = Ре, действующего в плоскости
какого-либо другого сечения t = const, определяется по формулам (5.4)
и (5.5) гл. II для значений l^z^t
для значений t ]> z > О
А/ А Н \1~1 ' ^Т^-^ . k 1 (1.5)
Этими формулами представлена функция влияния (функция Грина)
для задачи об изгибном кручении однопролетной тонкостенной балки,
имеющей на концах также шарнирное опирание.
Формула (1.4) переходит в формулу (1.5) при замене z на t, что
находится в соответствии и с симметрией функции Грина, и с теоремой Бетти
о взаимности перемещений: 8 (я, t)=Q(t, z).
В случае ребристых сводов оболочек, применяемых в строительном
деле, а также в случае цилиндрических и призматических оболочек
открытого профиля, широко применяемых в авиации и в судостроении,
жесткость GJd сен-венановского кручения является фактором
второстепенного значения. Считая эту жесткость, а следовательно и величину /с,
равной нулю, мы можем упростить формулы (1.4) и (1.5). Для этого необ
ходимо разложить гиперболические функции, входящие в формулы
(1.4) и (1.5), в ряд, ограничиться двумя членами разложения для каждой
функции и совершить предельный переход.
Упростим, например, формулу (1.4):
ТУ
lim0(z, t) = Пт7гГ X
( к ( к2 \ к Г к2 1\
-i5^,J£^{'-(1 + S«')[t + i('-)']('-¥)}
_l_'_<Lpi>l(,_((_z)s_fl (16)
Формула (1.6) справедлива для значений Z>z>J. Для значений
f>z>0 из формулы (1.5) получим
9 (V) = e^zjr^ I*8-(*-'>*-*']• (1'7)
Формулы (1.6) и (1.7) имеют совершенно одинаковое строение с
формулами (1.1) и (1.2) и отличаются от них величинами, относящимися к
определяемому перемещению, к нагрузке и к обобщенной геометрической
170
Тонкостенные упругие стержни
характеристике. Идентичность этих формул является также следствием
высказанных нами выше общих положений, относящихся к
математической аналогии в теории стержней при изгибе и изгибном кручении.
Приведем теперь формулу для прогибов основной системы от внешней
поперечной равномерно-распределенной нагрузки q, действующей в
плоскости симметрии:
4(z) = 2ZETx(l3-2lz* + z% (1.8)
Зная деформации нашей основной системы в рассмотренных здесь
ее элементарных состояниях, мы можем теперь легко получить уравнения
метода сил для искомых реакций вертикальных промежуточных опор.
Эти уравнения при числе п промежуточных опор имеют вид:
6ii^i + 612^2 + • • • + ЬщХп + 6iP = о,
62i^i + 622Х2 + . . . + 62ПХП + б.
-0. |
'2р -°' I (1.9)
\
finA + 6п2 Х2 + • • • + 6ппХп + &пр = 0. j
Здесь искомые реакции Х\ (г = 1, 2, 3,..., п) считаются положитель
ными, если они соответствуют растяжению опорных связей.
Коэффициенты и свободные члены уравнений (1.9) вычисляются по общим
формулам:
Ьц = Лг; + Ь%; (г, / = 1, 2, 3, . . . , п),
6га = Лга (г = 1, 2, 3, ... , п),
где i и / — порядковые номера уравнений и неизвестных; \\ij=y](zil tj) —
прогиб в сечении г-й опоры от сосредоточенной единичной силы, соответ-
ствующей искомой реакции/-й опоры; 6^=6у (zi? ^) —угол кручения в
сечении i-й опоры от сосредоточенного единичного крутящего момента Н$ = Ь,
действующего в плоскости, проходящей через /-ю опору.
Величина Ь представляет собой половину ширины конструкции (плечо
крутящего момента). В соответствии с принятым правилом знаков эта
величина будет положительной для опор, расположенных по рис. 114,
115 справа от оси симметрии, и отрицательной для опор, расположенных
слева от этой оси.
Свободный член 6iq г-го уравнения вычисляется по формуле (1.8)
как прогиб \]i=t](2i) от заданной нагрузки в сечении, проходящем через
г-ю опору. Определив из уравнений (1.9) опорные реакции, мы можем
затем с помощью приведенных выше формул для элементарных состояний
основной системы по методу суперпозиции получить прогибы и углы
закручивания заданной пространственной многоопорной системы.
Нормальные и касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях
системы, в рассмотренном здесь случае следует вычислять по двучленным
формулам:
o(z, s) = -E[yf(z)y(s) + ir(z)a(s)],
t(z, s) = E
§ 2. Стержни, усиленные планками
1. Изложенный в § 7 гл. II метод учета влияния продольной силы,
приложенной в произвольной точке поперечного сечения стержня, имеет
исключительно важное значение при расчете тонкостенных стержней
Гл. 111. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 171
(колонн и балок), усиленных поперечными планками. Этот метод в
сочетании с общеизвестными методами строительной механики позволяет
учитывать влияние планок.
Назначение планок, в основном, это — увеличение жесткости стержня
при работе его на кручение. С этой точки зрения стержень, усиленный
планками, занимает некоторое промежуточное положение между
стержнями с открытым контуром поперечного сечения, которые мы до сих пор
рассматривали, и тонкостенными стержнями с замкнутым контуром
поперечного сечения, которые будут нами рассмотрены более подробно
далее; теперь мы только отметим, что если в основе теории тонкостенных
Рис. 116 Рис. 117
стержней с открытым контуром поперечного сечения лежит гипотеза о
недеформируемости контура поперечного сечения и пренебрежение
деформациями сдвига, то при рассмотрении тонкостенных стержней с
замкнутым контуром поперечного сечения существенное значение имеют как
раз те факторы, которыми мы пренебрегали в стержнях с открытым
контуром, а именно: деформации контура и деформации сдвига. Принимая
это во внимание, мы при рассмотрении работы стержней, усиленных
планками, будем исходить из следующих предположений:
а) самый стержень считаем по-прежнему обладающим недеформируе-
мым контуром поперечного сечения и деформациями сдвига в нем
пренебрегаем;
б) планки считаем деформируемыми в своей плоскости, и деформации
сдвига в них учитываем.
2. Рассмотрим тонкостенный стержень открытого сечения, усиленный
планками (рис. 116, а). Число планок пусть будет п; расстояния между
планками, а также размеры планок могут быть различные; прикрепление
их к телу стержня будем предполагать жестким. Очевидно, что такой
стержень с п планками можно рассматривать как пространственную
комбинированную конструкцию, состоящую из цилиндрической оболочки
и плоской стержневой системы типа фермы Виренделя. Изменение степени
статической неопределимости такой конструкции, происходящее только
от планок, будет равно Зп. Если же принять во внимание, что контур
стержня мы считаем недеформируемым [и, следовательно, осевые
(продольные) деформации планок равными нулю] и что вследствие жесткого
прикрепления планок к стержню эпюра моментов при работе планки на
изгиб будет иметь вид кососимметричной трапеции (рис. 117) с нулевой
точкой по середине длины планки, то, разрезая планки по середине, мы
получим для нашей заданной системы основную систему с п неизвестными.
За искомые величины принимаем возникающие в планках поперечные
силы Zi, Z2,..., Zb..., Zn (рис. 118); для определения этих сил методами
строительной механики получаем каноническую систему п уравнений:
172
Тонкостенные упругие стержни
+ 6lQ = 0, j
621 %i + (622 + ^22) 22 + . .. + 62nZn -f- 62g = 0, ( (2.1)
• J. !l
бщ^! + 6n2Z2 + . . . + {bnn + &nn) %n + 6nQ = 0. J
Коэффициенты этих уравнений имеют следующий физический смысл:
6^ —взаимное смещение концов в месте разреза i-й планки по
направлению действующих сил от единичной силыД/приложенной в /с-й
планке, происходящее без учета деформаций самих планок, а только*
вследствие депланации стержня;
Рис. 118
6ji — взаимное смещение концов г-й планки по направлению
действующей силы от единичной силы, происходящее только вследствие
деформации самой планки в своей плоскости и определяемое с учетом
деформации сдвига планки;
biq -г- взаимное смещение концов г-й планки по тому же направлению,
происходящее в основной системе от заданной внешней нагрузки.
Коэффициенты &ц вычисляются по общим правилам строительной
механики и выражаются формулой
а а
\=2{\!£dS + v\vdsy (2.2)
о о
где а — длина плапки; J = —у — момент инерции планки относительно
оси 1—1 (рис. 116, б); F = bd — площадь поперечного еечения планки;
v — коэффициент, зависящий от формы планки (для планки
прямоугольного сечения v=l,2),
Пользуясь эпюрами М и Q, представленными для данного случая на
рис. 117, на основании (2.2) получим
Ъ^ = Ш7 + ^Г' (2'3)
Как видно из этой формулы, коэффициенты 6^ не зависят от
положения планки по длине стержня.
Остановимся на вычислении коэффициентов 6jQ, представляющих
взаимное смещение по направлению сил Z\ концов г-й планки в месте
разреза, происходящее от заданной внешней нагрузки. Если обозначить
концы планок в месте разреза буквами К и L (начальная и конечная точка
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 173
>при обходе контура в этом сечении по часовой стрелке), как показано
на рис. 119, а, то будем иметь:
Sig = uqL — uqK, (2.4)
тде uqL и uqK — перемещения u(z) от действия внешней нагрузки q,
соответственно в точках L и К.
Перемещения и (z, s), происходящие вследствие закручивания стержня,
•согласно формуле (3.16) гл. I, выражаются следующим образом:
u(z, s) = — 6'(z)co(s), (2.5)
где 6' (z) — относительная депланация, зависящая только от
координаты z, а со (s)— секториальная площадь, зависящая от положения точки
да контуре поперечного сечения.
Рис. 119
На основании (2.5) выражение (2.4) можно записать в виде
&iq = — 8g fa) (C0L — CDK). U (2.6)
На рис/119, б в сечении z\ = const, проходящем через ось г-й планки,
показана эпюра секториальных площадей с полюсом в центре изгиба А,
причем ординаты эпюры отложены по оси z, а не в плоскости сечения,
как мы это делали ранее. Из этого рисунка видно, что со^—со# представляет
собой удвоенную площадь, заключенную между профильной линией
стержня и осью планки; обозначив эту удвоенную площадь через Q, будем
иметь на основании (2.6):
&iq = — e'Q (z,) Q. (2.7)
Таким образом, коэффициент &iq от нагрузки [свободный член системы
^.l)] состоит из двух множителей: постоянного числа й,не зависящего
от положения планки на оси z, и относительной депланации 0g (z),
зависящей от внешней нагрузки q и от граничных условий, в которых
находятся концы стержня. Пользуясь методом начальных параметров,
изложенным в главе II, функцию 9' (z) нетрудно найти для любого вида
внешней поперечной и продольной нагрузки.
Нам осталось установить вид коэффициентов 6^, отражающих
взаимное смещение в месте разреза г-й планки по направлению действующих
сил Z| от единичной силы, приложенной к А-й планке, причем сами планки
(с разрезом) мы рассматриваем в данном случае как жесткие консоли.
В сечении z^ = const, в котором расположена k-я планка, действие
планки заменено силами Zk; эти продольные силы передаются на тонко-
174
Тонкостенные упругие стержни
стенный стержень при помощи жестких консолей, какими являются,,
как сказано выше, половины планок и, как показано в § 7 гл. И, создают
внешний бимомент, величина которого равна
Вk = Zk ((0L — (DK).
Принимая во внимание, что
и что мы вместо Zk берем единичную силу, получим для бимомента,
приложенного на месте А>й пленки,
Вк= Q. (2.8)
Переходя к сечению z* = const, в котором расположена £-я планка
и взаимное смещение концов которой при действии в сечении zk — const
бимомента Вк представляет коэффициент 6^, мы по аналогии с
выражением (2.6) можем написать
Л** = -%A(Zi) ((oL - (дК) = - 8^(z0 fi, (2.9).
где fi — удвоенная площадь, образованная профильной линией стержня
и осью г-й планки, а 6^ (z*) — мера депланации в сечении Z\ = const
от действия бимомента Вк, приложенного в сечении zk = const. 0-g (zi)>
легко подсчитывается по формулам § 7 гл. II для различных граничных
условий, в которых находятся концы стержня. Так, например, для
случая, когда стержень имеет по концам шарнирное опирание, по второй из
формул (7.3) гл. II (считая, что z{ ]> zk), после подстановки значений 0О
и Н0 по (7.1) гл. II, получим после некоторых преобразований:
_ г k * л
Подставляя (2.10) и (2.8) в выражение (2.9), получим окончательно
для коэффициента 6** формулу:
Ь* = щт1к ш Ч- (2Л1)
Как видно из этой формулы, 6^, так же как и коэффициенты 6ig,
зависят от координаты z и, кроме того, от взаимного расположения г-и
и к-н планок.
1 Данные выкладки проделаны для случая, когда бимомент Вк приложен в
сечении zk = const, а взаимное смещение ищем в сечении zi = const, причем zx^>- zk. Для
случая же, когда В{ приложен в сечении z{ = const, а взаимное смещение ищем
в сечении zk = const и по-прежнему zi>zfr, т. е. когда нам нужно получить
6/d, мы пользуемся второй из формул (7.2) гл. 11, и формула (2.10) примет вид:
;yw / L съ k J
W*>--GJd i l sbk
Подставляя значение 9 ^ (zk) в формулу (2.9), получим bik = 6ki1 как и должно быть
в силу теоремы взаимности.
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 175
Разрешив систему (2.1) и определив значения неизвестных Zi? мы
можем определить любое интересующее нас усилие и перемещение в
стержне, усиленном планками, при любых граничных условиях на
концах стержня, считая, что на стержень помимо основной заданной внешней
нагрузки действует еще ряд бимоментных нагрузок QZ* (по числу
планок), приложенных в местах присоединения планок.
3. Поясним влияние планок на примере фахверкового прогона,
составленного из двух швеллеров №12, рассмотренного в§1п. 4ив§5п. 1
Рис. 120
гл. II (рис. 120). Поперечное сечение прогона и основные размеры даны
на рис. 40; все необходимые данные, относящиеся к нагрузке и
геометрическим характеристикам, приведены в § 1 и § 5 гл. II.
Как и ранее (§ 5 гл. II, п. 1), полагаем, что концы прогона находятся
в условиях, соответствующих шарнирному опиранию.
Пусть на каждом конце прогона приварено по одной планке, соеди
няющей кромки 1пЗ (рис. 120, а). Будем считать планки одинаковыми.
Размеры планок следующие: длина а = 11,28 см, ширина d = 10 см.
толщина б = 0,6 см.
По формуле (2.3) вычисляем коэффициенты бц и 622 уравнений (2.1),
отражающие податливость самих планок. Так как большинство
коэффициентов уравнений (2.1) содержит в качестве множителя величину GJ&,
то вместо бц и 622 удобнее вычислять GJd&u и б/дбгг.
Находим последовательно:
F = bd = 6,0 слс2, \
J = S" = 50'° см*< \ (2.12)
GJd8u^GJdl22 = Jd{^^ + 1-^-)== 19,82 4 j
1 Во всех вычислениях силы берутся в кг, а длины в см.
176
Тонкостенные упругие стержни
Удвоенная величина площади, заключенной между контуром сече-
■ния и замыкающей планкой, равна (рис. 40, 120, б):
Q = 113,5 см*.
При ширине планок d = 10 см мы должны считать, что одна планка
присоединена к стержню в сечении z = z\ = 5 см, а другая планка
присоединена в сечении z = Z2 = 295 см.
Коэффициенты 6^, вычисляемые по формуле (2.11), для данного
случая будут иметь вид:
к к
i-r(Z —zi)ch-
0i1 -crd т~ L* Жк Ч*
ff 1 |\ chT(Z^z2)chT22 "I
(2.13)
д _А _ ^2 1 Г, chT(^.2)chT2l "I
Ои - 021 - QJ2 — [« shk г J •
При длине прогона I = 300 еле и значении А: = 6,78^ (§ 5 гл. II,
* 1) получим:
ch4z2 = 393,8,
l
откуда
chT(Z - Zt)
chy (I — z2) = chyzx = 1,006,
sh/c = 440,9,
GJd^n — GJd&22 ~ 218,8,
GJab12 = G/d621 = — 42,26.
(2.14)
Наконец, коэффициенты 6ig, играющие в уравнениях (2.1) роль
•свободных членов, на основании формул (2.7) и (5.9) гл. II, для данного
вида граничных условий вычисляются по формуле
&iq
[УЧ£
SlQ
^29
=
ie
=
=
— Q
1
GJd
будем ш
— Q
— Q
1
1
ml
петь
га/
T
ml
t(*-«)-
sh
T(l—*i)
Ch-TT
(2.15)
4(4-4
1 m' * Г П
G77 a t[t z'j
sh-
■(т-Г
ch-
sh
т(у~г2)
Chy
Так как в случае равномерно распределенной внешней нагрузки
q = 9 кг/сле и эксцентриситете ее приложения е = —7,11 еле,
интенсивность крутящего момента имеет значение m = — 63,99 «г и
^T-^b-Hi-^H'278'
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 177
sh
т(т-*) = -лт(у-*)= 13'24'
ch|- = 14,86,
то получим
G/Ag = — GJdb2q = 766800. (2.16)
Система уравнений (2.1) на основании (2.12), (2.14) и (2.16) будет
иметь такой вид:
238,6ZX - 42,26Z2 = -766800,
-42,26ZX + 238,6Z2 = 766800
00,1
(2.17)
Решение этой системы дает для сил Z\ и Z%, заменяющих действие
планок на стержень, следующие значения:
— гг = Z2 = 2730 .кг.
Как и следовало ожидать, в силу симметрии задачи силы эти равны
по абсолютной величине и обратны по знаку. Этим силам соответствуют
внешние бимоменты В\ и i?2, приложенные к стержню в тех же сечениях
и определяемые формулами:
Hi = Zibl, В2 — Z<£1.
Обозначая абсолютную величину этих бимомеытов через Ву получим
В = — В1 = — ZSI = В2 = Z2Q = 309 800 кг-см*. (2.18)
Теперь мы можем выяснить, как влияют планки на напряжения от
кручения и на депланацию, возникающие в стержне под действием
внешней нагрузки. Напряжения будем рассматривать в середине пролета, где
они при нашей нагрузке (суммарные от изгиба и кручения) будут
наибольшими. Так как нормальные напряжения от кручения определяются
формулой
В (г) / ч
Ju>
и величины со (s) и /ш, как известно, зависят только от формы
профильной линии стержня, а влияние нагрузки определяется только величиной
бимомента В (z) в интересующем нас сечении z = const, то для решения
поставленного вопроса нет нужды сравнивать напряжения ош, а
достаточно ограничиться сравнением бимоментов B(z), что мы и сделаем.
При отсутствии планок на концах стержня бимомент
от внешней нагрузки (в нашем случае— внешнего закручивающего
момента интенсивности т=—63,99 кг, равномерно распределенного по длине
стержня) будет определяться формулой (5.9) гл. II:
Bq(Z) = mfc2
ch
^а-)
chT
в частности, при z = -^ будем иметь:
Bq
(i) = mT*(i—V\ = _116800 кг'см*- (2-19)
178
Тонкостенные упругие стержни
При наличии планок на концах стержня бимомент от воз-
действия той же нагрузки получится прибавлением к бимоменту (2.19)
величины бимомента от воздействия внешних сосредоточенных бимомен-
тов В\ и i?2, заменяющих собой действие планок на стержень.
Бимомент в любом сечении z > zx от воздействия внешнего бимомента
В\) приложенного в сечении Z\ = const, выражается третьей формулой
(7.3) гл. II:
B(z)^^GJd%^sh^z + H0^sh^z-B1ch^-(z^z1)i (2.20)
где 0О и Н0 на основании (7.1) гл. II имеют вид:
#1 1 [ Ch у (/ — 2i) 1 g^
00 = 'GTdTli~k shk J; Яо==-Г-
Бимомент в любом сечении z < z2 от воздействия внешнего
бимомента В2, приложенного в сечении z2 — const, выражается третьей
формулой (7.2) гл. II:
B(z) = - GJd% 1 sh 4 * + H0 i sh у z, (2.21)
где 0O и #o на основании (7.1) гл. II имеют вид:
к
__ #2 1
6о =
'd
1
chy(/-s2)1 ^
к ^ь* J' //о = -Г
Объединяя формулы (2.20) и (2.21), принимая во внимание (2.18) и
выполняя несложные преобразования над гиперболическими функциями,
получим формулу для бимомента в любом сечении z1<^z<^Z2 от
воздействия внешних бимоментов В\ и Вг, заменяющих действие обеих планок на
стержень:
^^ = ~ichT^[shT2 + sh4(z-z)]- (2-22)
так как ch у (/ — z2) = ch у zx.
При z = у (в середине пролета) этот бимомент будет иметь
следующее значение:
к к
I I \ - Sh~2 к _ Chy 2!
*« Ы = 2В -Ш-ch Т 2* = В -V • (2-23)
Ch J
Подставляя в (2.23) значения В по (2.18) и значения
ch-|= 14,86, chyZ! = 1,006,
получим
Вт (у) = 20 980 кг-см*. (2.24)
Сравнивая (2.19) и (2.24), мы видим, что планки снижают величину
бимомента в середине пролета, а следовательно, и величину продольных
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 179
напряжений аш от кручения на 18%. Сами же планки при ширине каждой
d=lO см и общем пролете стержня 1= 300 см закрывают всего 1/1б часть
пролета.
На рис. 121, а представлены графики бимомента при отсутствии
планок на концах и при наличии планок.
Посмотрим теперь, как те же планки влияют на депланацию
поперечных сечений стержня. Избегая
лишних вычислений, мы будем
рассматривать и сравнивать не сами
относительные депланации 0'(z)> а
величины, отличающиеся от них
только постоянным множителем С/<ь
а именно: GJdQ'(z). Следовательно,
говоря о депланации, будем
рассматривать пропорциональный ей
крутящий момент.
При действии внешней нагрузки
т на стержень, не усиленный
планками, на основании (5.9) гл. II для
нашего случая имеем
GJd%{z) = m±
Кт-)
k 11 \
sh
и к
Chy
(2.25)
для стержня без планок
_._ —. — с тоннами
Рис. 121
Как видно из формулы (2.25),
относительная депланация равна нулю
в середине пролета \Z:==~2) и достигает наибольших значений по
абсолютной величине на концах стержня при z = 0 и z— 1\ в силу симметрии
депланации на концах стержня равны по абсолютной величине и обрат-
ны по знаку.
В нашем примере получим следующее значение для депланации при
z = 0:
GJd% (0) = т
1
ch
= —6774 кг-смг
(2.26)
2 /
^ Относительная депланация от действия внешних бимоментов В\ и
2?2, заменяющих собой действие на стержень двух концевых планок,
будет вычисляться для 0<^z<^z1 по формулам (7.2) гл. II:
GJ<$'nn (z) = GJd% ch A z + #0 (l - ch | z) ,
где на основании (7.1) гл. II
180
Тонкостенные упругие стержни
Для конца стержня z = 0 при соблюдении (2.18) мы будем иметь
к
__ j ch — Z2 — ch
GJXn(0) = B-
к ch ~j z2 — ch -j zi
shk
что в данном конкретном случае дает:
GJdfLi (0) = 6240 кг-см. (2.27)
Сравнивая (2.27) с (2.26), мы видим, что планки шириной d = 10 еле,
расположенные на концах стержня (условно отнесенные к сечениям zx
и z2), уменьшают депланацию на концах стержня на 92%. Если бы мы
не учитывали податливости планок, пренебрегая в уравнениях (2.17)
составляющими (2.12), то получили бы для б/дб'пл (0) более близкое по
абсолютной величине к (2.26) значение, а именно:
GJtfitm (0) = 6714 кг-см,
что составляет по абсолютному значению 99 ?«' от G/d6g(0).
В сечениях же z = z\ и z = Z2 при наличии жестких планок депланация
от нагрузки вообще отсутствует, так как депланации от нагрузки и от
влияния планок равны по абсолютной величине и обратны по знаку и,
следовательно, в сумме дают нуль
На рис. 121,6 представлен график изменения величины GJdQ'(z) как
для стержня, усиленного на концах планками, так и для свободного
от планок. Из этого графика видно, как сильно сказывается на депланации
поперечного сечения стержня наличие только двух планок на концах
стержня.
На примере фахверкового прогона удобно выяснить еще один вопрос,
а именно: произойдет ли существенное изменение в работе стержня, если
планками мы соединим не кромки 1 и 5, как мы это делали выше, а другие
кромки, например 2 и 5. Площадь замкнутого контура в этом случае
значительно отличается от площади замкнутой части в первом случае,
рассмотренном выше, и имеет следующее значение:
Q = 192,8 см2
(числовые данные приведены на рис. 40, а).
Пусть планки по длине стержня расположены в тех же местах, что
и ранее, и поперечные размеры планок — ширина и толщина — будут
прежние. Посмотрим, какие изменения произойдут в коэффициентах
уравнений (2.17) и как изменится результат решения.
Вследствие изменения длины планки (теперь а= 13,37 см) изменится
величина коэффициента бгг» вычисляемого по формуле (2.12); для нашего
случая получаем
GJd6n = GJd622 = 26,33. (2.28)
Вследствие изменения площади Q, величина коэффициентов 6ifi4
вычисляемых по формулам (2.13), увеличится по сравнению с (2.14) в
192 82
лло'ф = 2>9 раза (пропорционально отношению квадратов площадей Q,
так как все прочие величины, входящие в состав этих коэффициентов,
не меняются). Новые значения коэффициентов будут:
GJdbu = G/d622 = 631,3, \
GJd612 = С/Ах = -122,0. j U"®>
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 181
Наконец, коэффициенты 6iq увеличатся по сравнению с (2.16) в
Алп\ = 1,7 раза (пропорционально отношению площадей Q) и будут
теперь равны
GJd6iq = — GJd62q = 1 303 000.
Вместо системы (2.17) теперь будем иметь такую систему уравнений:
657,6ZX — 122,0Z2 = — 1 303 000, \
— 122.0Z! + 657,6Z2 = 1 303000. J (2,30)
Для Zx и Z2 получим следующие значения:
— Z1 = Z2= 1671 кг,
а для бимоментов, соответствующих этим силам и заменяющих собою
действие на стержень планок, получим
В = —В1 = — ZXQ= 2^ = 7,0 = 322 100 кг-см2. (2.31)
Сравнивая результаты (2.31) и (2.18), мы замечаем, что несмотря на
кажущееся большое различие в коэффициентах систем (2.17) и (2.30),
бимоменты, заменяющие собою действие на стержень планок, во втором
случае примерно на два процента превышают результат, полученный в
первом случае. Это станет понятным, если мы, рассматривая, например,
систему (2.17), предположим, что планки, усиливающие стержень,
абсолютно жестки. При таком предположении мы должны, очевидно,
считать, что коэффициенты 6ц и 622, учитывающие податливость планок,
равны нулю. Тогда система уравнений (2.17) в качестве коэффициентов
будет содержать только 6^ (2.13), имеющие в качестве множителя Q2
и коэффициенты 6iq, содержащие множителем Q, как видно из (2.15).
Если в качестве неизвестных в этой системе принять теперь не Zi
и Z2, a 2?i = ZXQ и В2 = Z2Q, то вся система уравнений (2.17) может быть
сокращена на Q и коэффициенты уравнений (2.17), а следовательно,
и результат решения ее, не будут зависеть от площади Q, которая
образуется в стержне благодаря наличию планок. Отсюда заключаем, что
если считать планки абсолютно жесткими, то совершенно безразлично,
какая замкнутая область в стержне образуется в месте присоединения
планки — большая или малая.
То, что в выше разобранном примере мы получили небольшое
расхождение в результатах (2.31) и (2.18), объясняется тем, что мы учитывали
упругость планок, а длина планок хотя и незначительно, но отличается
в обоих случаях при прочих равных условиях; во-вторых, даже если
бы планки и были одинаковой длины, все же их удельный вес в составе
коэффициентов (там, где 6ц суммируется с 6ц) будет различным при
разных й, как это легко увидеть из сопоставления(2.12) и (2.14) с
соответствующими им выражениями (2.28) и (2.29). В разобранном нами конкретном
примере даже большая разница в площадях Q практически незначительно
сказалась на результатах, но проведенный анализ поможет читателю судить
и в других случаях о целесообразном расположении планок.
Изложенная в данном параграфе теория учета планок, приведенный
численный пример и графики, представленные на рис. 121, показывают,
что наличие планок в значительной степени влияет на напряженное и
деформированное состояние тонкостенного стержня.
182
Тонкостенные упругие стержни
§ 3. Стержни, усиленные часто расположенными планками
и раскосами
Рассмотрим задачу о пространственном расчете конструкции типа
тонкостенного стержня-оболочки открытого профиля, усиленной в какой-
либо продольной плоскости поперечными связями (планками, раскосами
и т. п.). Предположим, что эти поперечные связи, в отличие от задачи,
рассмотренной в § 2, часто
расположены вдоль стержня. Схемы таких
конструкций с швеллером в качестве
основного тонкостенного стержня-
оболочки представлены на рис. 122.
Будем рассматривать такую
конструкцию как комбинированную
пространственную систему, состоящую
из тонкостенного стержня-оболочки
и упругой приведенной ортотропной
пластинки, эквивалентной по своим
механическим свойствам поперечным
связям1 (рис. 123). Проводя
мысленно разрез по линии
присоединения приведенной пластинки к
стержню-оболочке, мы должны действие
этой пластинки на стержень
заменить сдвигающими силами (рис.
124, а). Обозначим сдвигающие силы,
приходящиеся на единицу длины,
через T(z).
Обратимся к дифференциальным
уравнениям равновесия стержня в
главных координатах (7.2) гл. I.
Перепишем эти уравнения для
случая действия на стержень только
поперечной погонной нагрузки и
сдвигающих сил, приложенных по
продольным краям стержня:
EFV = ТК- TLy \
EJyllw = qx + TLxL-TKxK, J
EJxrr = qy + TiyL-TKyK,
Ejyy - GJd0"
m + TLaL — TKa>K.
Рис. 122
(3.1)
Выделим из стержня с разрезом (рис. 124, а) в сечении z = const
элементарную поперечную полоску единичной ширины (рис. 124, б). На
линии разреза мы, очевидно, имеем:
T{z) = TK(z) = TL(z). (3.2)
Пусть, как это показано в § 2, Q — удвоенная площадь замкнутого
контура, образованного в поперечном сечении профильной линией стерш-
1 Под ортотропной пластинкой мы условились понимать пластинку, обладающую
разными свойствами по отношению к растяжению, сдвигу, изгибу. В данном случае
ортотропность выражается в том, что пластинка работает только на сдвиг и не
воспринимает растягивающих напряжений.
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 183
ня и условной пластинки1. Используя (3.2), запишем дифференциальные
уравнения равновесия (3.1) применительно к данному случаю в
следующем виде:
EFi" = 0, \
EJvl1Y = Чху [ « QN
гг iv Г 1^*°/
EJxy\ = 9„, |
£/ы01У - GJdW' = т + T'Q. )
Здесь, как и ранее, Т обозначает производную от сдвигающей силы
Т по переменной z.
Рис. 123
Рис. 12
Сопоставляя систему дифференциальных уравнений (3.3) с ранее
полученной системой (7.3) гл. I, мы видим, что наличие условной упругой
пластинки, действие которой на стержень мы заменили сдвигающими
силами Т, совершенно не отражается на первых трех уравнениях системы,
которые относятся к растяжению (сжатию) и изгибу в двух плоскостях:
четвертое же уравнение системы, относящееся к кручению стержня, от
личается от ранее полученного наличием добавочного члена T'Q.
Этим членом, как нетрудно видеть, для оболочки закрытого профиля
учитывается дополнительный крутящий момент тпт от сдвигающих у си
лий Т = T(z), равномерно распределенных в поперечном сечении z = const
на линии профиля. Действительно, для крутящего момента Нт какого-
либо сечения z = const от сдвигающих усилий Т получаем значение
Я7
ф Th ds,
(3.4)
где h = h(s) — длина перпендикуляра, опущенного на направление,,
касательное к линии профиля; интеграл в формуле вычисляется для всего
замкнутого профиля. Так как Т = T(z) зависит только от z и hds — dm,
то из формулы (3.4) для Нт получаем значение
Нт = TQ,
(3.5)
1 Считаем^ уместным подчеркнуть, что пластинка, о которой идет речь, называется
нами условной и по своим механическим свойствам она эквивалентна поперечным
связям, которые работают только на сдвиг.
Что касается условий ортогональности, то эти условия выражают ортогональность
эпюр 1,а\ г/, со, по закону которых меняются нормальные напряжения. Поэтому
поперечные связи как связи, работающие на сдвиг, очевидно, не будут влиять на
геометрические характеристики сечения стержня, все условия ортогональности остаются
в силе и мы вправе пользоваться уравнениями равновесия в главных координатах
(7.2) гл. 1.
184
Тонкостенные упругие стержни
где Q — удвоенная площадь, заключенная внутри замкнутого профиля.
Интенсивность гпт крутящего момента получается как производная
от Нт:
яг? = Нт = T'Q.
Нам нужно теперь сдвигающую силу Т равномерного потока
выразить через деформацию кручения тонкостенного стержня закрытого
профиля. Для решения этой задачи будем исходить из уравнения
упругости
ди dv Т /Q А.
Здесь, как и ранее, и = u(z, s) и v = v(z, s) — перемещения точки
срединной цилиндрической поверхности, направленные соответственно вдоль
образующей и по касательной к профильной линии; G — модуль сдвига;
б — толщина оболочки, которая может быть и переменной, в сечении
г = const. Уравнение (3.6) для стержня-оболочки с жестким профилем
принимает вид:
Из этого уравнения находим:
ST
-^ds — W(x>(s) + U0{z),
о
где Uo(z) — произвольная функция интегрирования, представляющая
собой продольное перемещение начальной точки, от которой ведется
отсчет координаты s и секториальной площади co(s). Так как продольное
перемещение и = u(z,s) должно во всех точках замкнутого профиля
удовлетворять условию непрерывности, то мы будем иметь уравнение
§
^ds — Q'Q= О,
Об
где интеграл берется по всему замкнутому контуру. Считая в этом
уравнении Т — T(z) не зависящим от s, получим
ЬТТ = Q0'. (3.7)
Здесь коэффициент бт представляет собою взаимное продольное
перемещение концов разрезанной элементарной поперечной полоски оболочки
при действии в этом разрезе сдвигающей силы, равной единице. Для
этого коэффициента в случае оболочки закрытого профиля получаем
формулу
ds (3.8)
7Г$-
В случае рассматриваемой здесь комбинированной системы, имеющей
в поперечном сечении также закрытый профиль и состоящей из оболочки
и приведенной ортотропной пластинки, коэффициент бт может быть
вычислен по формуле
Здесь интеграл первого слагаемого представляет собой определенный
интеграл, распространенный на часть профиля, относящуюся собственно
к тонкостенному стержню; бпл — продольное взаимное перемещение от
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 185
силы Т=1, происходящее только от упругой податливости приведенной
ортотропной пластинки.
Считая, что тонкостенный стержень не работает на сдвиг [как мы
это приняли в исходных геометрических гипотезах (§ 2 гл. I)], т. е.
полагая в последней формуле для интеграла, распространяющегося
только на профиль стержня, модуль сдвига G = oo, получим
St = бпл.
Таким образом, взаимное продольное смещение концов разрезанной
поперечной полоски происходит вследствие работы на сдвиг одной лишь
упругой ортотропной пластинки.
Из формулы (3.7) получим следующее выражение для сдвигающей
силы Т (z):
T(z) = -£-V(z). (3.9)
В этой формуле как Q, так и йу не зависят от координаты z\
поэтому производная от сдвигающей силы Т по переменной z, входящая
в состав четвертого уравнения системы (3.3), может быть представлена
в виде
г = £<г(ж)
>т
и, следовательно,
Введем обозначение
QT' = ¥-V(z). (3.10)
^=Jd. (3.11)
Тогда формула (3.10) примет вид
Qr = G7de*(z).
Воспользовавшись последним выражением, перепишем
дифференциальное уравнение кручения системы (2.3) в следующей форме:
EJJU™ -G(Jd + Jd) G" = m. (3.12)
Мы видим, что уравнение (3.12) идентично уравнению (2.1) гл. II, и
поэтому все, что относится к решению уравнения (2.1) гл. II для стержней
открытого профиля, можно использовать при решении аналогичных
задач, относящихся к тонкостенному стержню, усиленному поперечными
связями, перечисленными в начале этого параграфа. Для этого
необходимо в тех формулах, где фигурирует момент инерции тонкостенного
стержня при чистом кручении Jd, заменять его суммой Jd+Jd, где Jd,
вычисляемый по формуле (3.11), по аналогии с Jd можно назвать
моментом инерции при кручении тонкостенного стержня с поперечными
связями. В частности, для характеристического числа А, вычислявшегося
по формуле (2.2) гл. II, теперь нужно применить формулу
V EJ
Вместо формулы (5.7) гл. I для крутящего момента Н^, возникающего
при чистом кручении, нужно пользоваться формулой
Hk = G{Jd + Jd)V.
186
Тонкостенные упругие стержни
Приведем формулы коэффициентов 6Т и соответствующих им
моментов инерции Jd для наиболее часто встречающихся видов поперечных
связей.
а) Для случая, представленного на рис. 122, д, когда связи
представлены упругой ортотропной пластинкой, работающей только на сдвиг,
для коэффициента 6Т будем иметь формулу
6т =
а
G6y
где а, б и G — соответственно ширина, толщина и модуль сдвига
пластинки. Момент инерции J а вычисляется по формуле (3.11).
б) Для случая, когда поперечные связи представлены поперечными
планками прямоугольного сечения, равномерно распределенными по
пролету (рис. 122, а) и работающими не только на сдвиг, но и на изгиб из
плоскости поперечного сечения стержня, мы получим для 6т следующее
выражение:
х аЬ ( аЮ . 1,2 \ /Q ,о\
где а — длина планки, b — шаг (расстояниемежду планками), EaG —
модули упругости планки, FnJl и /Пл— площадь поперечного сечения и момент
инерции одной планки.
Формула (3.13) получается из формулы (2.3) введением множителя 6,
поскольку мы как бы приводим дискретног-поставленные поперечные
связи к сплошной условной упругой пластинке, для которой перемещения
6Т от сдвигающей силы Т = 1 будут, очевидно, в Ь раз больше, чем для
сплошной упругой пластинки, поперечное сечение которой равно
продольному сечению планки.
Момент инерции Jd в этом случае определяется по формуле
7_^!__^? Г1 ,о,1Лч
Jd~ 6TG~ ab ' J^_L,ij2' ( }
в) В случае, когда поперечные связи осуществлены в виде раскосов,
наклоненных под углом ср к продольному краю (рис. 122, б), выражение
для 6т будет иметь вид:
6Т = „ . f , (3.15)
где а — высота прогона, F — площадь поперечного сечения раскоса,
Е — модуль продольной упругости раскоса.
Эта формула получается следующим образом (рис. 125). Если
стержень-раскос АВ удлинился так, что точка А осталась на месте, а точка В
сместилась в положение В' на величину б, то возникающее при такой
деформации растягивающее усилие в стержне равно
N = COS ф sin ф ^^
а
Проекция этого усилия на направление перемещения б равна
Лг cos2 ф sin ф „„,
Ncosw= -EF6.
т а
Для сдвигающего усилия, приходящегося на единицу длины стержня,
получим:
с N cos ф EF cos ф sin2 ф х
О =• 7 = 5 0>
a ctg Ф о2
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 187
откуда и получается формула (3.15); Jd вычисляется по формуле
Jd = — — F sin2 ф cos ф.
(3.16)
г) Для случая перекрестной решетки (рис. 122, в), если раскосы
работают только на растяжение, остаются предыдущие формулы (3.15) и
(ЗЛ6)-
Если же раскосы работают и на растяжение, и на сжатие, то формулы
принимают вид:
6т = оьг • 9 у Jd = S7T— Sin2 ф COS ф.
1 2tFsm2 ф cos ф a2G т т
д) В случае поперечных связей, представляющих комбинацию из
предыдущих связей (см., например, рис. 122, г), получим формулы для
6Т суммированием соответствующих,
ранее полученных значений.
На том же примере
фахверкового прогона, который неоднократно
приводился, проиллюстрируем
применение изложенного метода расчета.
\Ш)
т
Рис. 125
Рис. 126
На рис. 126 приведены графики изменения по длине пролета бимомента
B(z) и крутящих моментов G(Jd+Jd)®'(z) для фахверкового прогона при
нагрузке и граничных условиях таких же, как в ранее приведенном (§ 2)
примере, для случая, когда стержень усилен 10 планками, равномерно
распределенными по его длине.
Размеры планок такие же, как в § 2: длина а = 11,28 см, тоЛщина
6 = 0,6 см, ширина d = 10 см, удвоенная площадь внутри замкнутого
контура, образуемого в месте присоединения планки, Q = 113,48 см2, шаг
планок Ъ = 32,22 см.
В этом случае получаем:
/3 = 124,4 см*, Л +'Jd = 130,6 см*, к = 31,20.
Здесь, как и в § 5 гл. II, п. 1, принято G = 0,4 Е.
Если тот же стержень усилен 10 раскосами по схеме, представленной
на рис. 122, б, то, полагая площадь поперечного сечения^раскоса F = 1 см2,
шаг b = 30 см и ф = 20°36\ получим:
/d = 29,32 см2, к = 16,27.
Графики изменения по длине пролета бимомента B(z) и крутящего
момента G(Jd+JdW(z) будут иметь такой же вид, как и на рис. 126, а
максимальные ординаты будут соответственно равны:
188
Тонкостенные упругие стержни
для бимомента в середине пролета
В (~) = —21770 кгсм2,
для крутящего момента на концах стержня
G (Jd + Jd) 6' (/) = — G (Jd + Jd) G' (0) = 8418 кгсм.
Чтобы судить об изменении величины относительной депланации в
зависимости от вида поперечных связей, мы приведем величины G0'(z)
при z = I для трех случаев:
1) для стержня, не усиленного поперечными связями,
GO' (I) = 1098 кг/см3 ;
2) для стержня, усиленного 10 равномерно-распределенными по
длине стержня планками,
GO' (I) = 68,78кг/сж8;
3) для стержня, усиленного 10 раскосами,
G0' (I) = 237\2кг/см3.
§ 4. Стержни, усиленные поперечными диафрагмами
1. Выведем формулы, позволяющие учесть влияние диафрагмы на
работу тонкостенного стержня, причем, как и ранее, при выводе формул
будем иметь в виду только кручение стержня, сопровождаемое деплана-
цией сечения.
Рис. 127 Рис. 128
Предположим, что к стержню в сечении, расположенном на
расстоянии гх от начального сечения, присоединена упругая поперечная диафрагма
толщиной h (рис. 127).
Разрешая данную контактную задачу вариационным методом в смысле
принципа возможных перемещений, выделим из тонкостенного стержня
двумя поперечными сечениямиъ = zx — enz = zi+ еэлементарную
полоску, включающую диафрагму, отнесенную нами к поперечному сечению
z = ъ\ (рис. 128), и составим для этой полоски уравнение работ. За
возможные перемещения возьмем продольные перемещения и (z, s), причем,
так как нас интересует только та часть перемещений, которая связана с
депланацией сечения, то для определения этих перемещений будем
пользоваться формулой (2.5):
u(z9 s) = — e'(z)<o(s). (4.1)
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 189
В диафрагме возможными перемещениями будут прогибы w {х, у)
из плоскости пластинки-диафрагмы, направленные также вдоль оси Оъ
и возникающие при чистом кручении пластинки-диафрагмы.
Из условия неразрывности деформаций очевидно, что в местах
присоединения диафрагмы к стержню должны выполняться условия
u{zXis) = w(x, у). (4.2)
Приравнивая работу внешних и внутренних сил на соответствующих
возможных перемещениях нулю, получим:
— \ (бхб) и (zly s) ds + \ (б2б) и (zlts) ds +
+ \\2D(i-v)(^dxdy = 0. (4.3)
Последнее слагаемое, выраженное двойным интегралом, который
распространяется на всю поверхность пластинки-диафрагмы, представляет
работу внутренних сил — крутящих моментов на соответствующих
деформациях кручения. Это слагаемое получается следующим образом.
Из теории пластинок известно, что интенсивность крутящих моментов
определяется по формуле
tfx=*v = -/>(i-ii)4£, (4-4>
где и = 1гк— тг—цилиндрическая жесткость пластинки, п — толщина
1Z (1 — \1 )
пластинки, \i — коэффициент Пуассона. Каждый из крутящих моментов
Нх и Ну совершает работу на кривизне кручения д д . Поскольку
крутящие моменты и деформация кручения имеют разные знаки, а работа
внутренних сил берется с отрицательным знаком, то, интегрируя работу
крутящих моментов по всей площади пластинки, мы и получаем последнее
слагаемое уравнение (4.3). Два первых слагаемых, представленных
интегралами, распространенными на все поперечное сечение
тонкостенного стержня, относятся к работе внешних по отношению к нашей полоске
сил на возможных продольных перемещениях и (zu s). Такими силами
для выделенного элемента стержня будут продольные нормальные силы
поперечного сечения (аб), где 6 — толщина тонкостенного стержня, а
о — продольпое нормальное напряжение, которое мы обозначили для
сечения z = z\ — в через (aiS) и для сечения z=ziJre через (агб). Представим
эти интегралы в другом виде. Полагая £>ds = dF и пользуясь формулой
(4.1), получим:
\ (бб) и (zlfs) ds = —Q' (zx) [ ew (s) dF.
Так как У oa) dF = В представляет по определению бимомент, то
будем иметь:
[(ad)uds=— W{zi)B.
На этом основании два первых слагаемых можно заменить такими:
V(z1-*)B1-V(z1 + E)Bt, (4.5)
Вг = \ бхсо dF,
В2 = \ а2ЫР,
где
190
Тонкостенные упругие стержни
и интегралы распространяются на всю площадь поперечного сечения
стержня.
Относительно бимоментов Вх и В% можно сказать следующее: при
е—>0, т. е. при неограниченном сближении этих двух сечений и при
отсутствии диафрагмы, в пределе будем иметь Въ — Bi = 0; при наличии же
диафрагмы #2 будет отличаться от 2?iHa некоторую величину В —
величину бимомента, отражающего влияние диафрагмы на стержень.
Таким образом, два первых слагаемых в выражении (4.3), записанные
в форме (4.5), при переходе к пределу при е—>0 и при наличии в сечении
z = 21 диафрагмы можно представить в виде:
[9' (*! -г)В1- 6' (Zl + в) £2]~о = - в' fa) В, (4.6)
где под В понимаем величину бимомента, заменяющего собою действие
диафрагмы на стержень.
Учитывая (4.6), можем теперь (при е—>0) переписать формулу (4.3)
следующим образом:
-b'(z1)B + \i\2D(l-[i)(^0dxdy = O. (4.7)
Остановимся на вычислении двойного интеграла, входящего в
формулу (4.7). Из теории пластинок известно, что в случае чистого кручения
пластинки перемещение w определяется формулой
w = Cxy, (4.8)
где С — постоянная, определяемая соответствующими граничными
условиями.
С другой стороны, в п. 6 § 7 гл. II мы доказали, что бимомент от любой
продольной уравновешенной нагрузки, распределенной по сечению
непрерывно или состоящей из сосредоточенных сил, не зависит от центра
изгиба и начала отсчета секториальной площади. Поскольку действие
диафрагмы на стержень и представляет собой такую уравновешенную
систему сил, то при вычислении в формуле (4.1) секториальной площади
G)(s) мы можем полюс секториальных площадей помещать где угодно.
Если, в частности, поместить полюс секториальных площадей в центре
пластинки, а оси координат для пластинки выбрать проходящими через
ее центр (рис. 128), то для вычисления co(s) будем иметь формулу
со (s) = ху, (4.9)
где х и у — координаты соответствующей точки профильной линии
стержня *.
Формулу (4.1) для возможного продольного перемещения перепишем
теперь в следующей форме:
u(z, s) = -V(zl)xy. (4.10)
Так как по линии пересечения профильной линии с плоскостью
диафрагмы должны выполняться условия неразрывности деформаций (4.2),
то, сопоставляя (4.10) с (4.8), мы находим, что
и следовательно, для перемещений w пластинки-диафрагмы имеем:
w=— 9' (zjxy. (4.11)
* Система координат для пластинки выбрана так, чтобы была справедлива
формула (49). Координаты а: и у, вообще говоря, не являются главными координатами, фор*
мула (4.9) верна лишь в пределах профиля стержня.
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 191
Подставляя (4.11) в выражение (4.7) и замечая, что
дх ду
-о'**),
а \\dxdy представляет площадь пластинки-диафрагмы, после
сокращения на 0' (zj) получим:
В = D (1 — ц) Q6' (zj),
(4.12)
где через Q, как обычно, обозначена удвоенная площадь пластинки.
Заменяя цилиндрическую жесткость D по формуле (4.4), представим
формулу (4.12) в другом виде:
В =
Eh*Q
12(1 + 1»)
в'Ы.
(4.13)
Это и есть формула бимомента, заменяющего действие диафрагмы
на стержень; как видно из этой формулы, бимомент пропорционален
относительной депланации стержня в поперечном сечении, где распо-
ложена диафрагма, с коэффициентом пропорциональности .,. , , > ,
зависящим от физических характеристик и размеров диафрагмы.
Таким образом, влияние поперечной диафрагмы, расположенной
в сечении z = zkr на работу тонкостенного стержня сводится к появлению
в этом сечении дополнительного сосредоточенного продольного
бимомента, заменяющего собой действие диафрагмы на стержень и определяемого
формулой (4.13). Теперь уже нетрудно, пользуясь методом начальных
параметров, написать общие формулы расчета на кручение тонкостенного
стержня, усиленного поперечными диафрагмами на любую внешнюю
нагрузку при произвольных граничных условиях.
Так, например, пользуясь табл. 7 и 9 § 3 гл. II, получим следующие
расчетные формулы для стержня, находящегося под действием
равномерно распределенного по всей длине стержня крутящего момента
интенсивности Н = ql и дополнительного сосредоточенного силового фактора
BZk, приложенного в сечении z = zk и заменяющего собой действие упругой
диафрагмы на стержень:
(«)=в.+в;4л4-«+*|(1-сь4-«)+^;(«-4«»ь4«) +
-G^Tshy(z-z*)-^-d(2-TshTz)'
В (z) = - O/A-ish |z + B0ch±z + H0-Lsh \z +
+ ^ch|(z-zk) + m£(l -ch-^z),
H (z) = H0 — mz,
где BZh = —B =
(4.14)
gfe8fl
12(1+1»)
eZk (n. 4 § 3 гл. II).
2. Приведем в качестве примера численный расчет того же фахверко-
ього пролета, который неоднократно рассматривался нами как в этой,
так и в предыдущей главах (рис. 40, б).
192
Тонкостенные упругие стержни
Геометрические размеры прогона, модули упругости и нагрузку мы
оставим прежними (§§ 1 и 5 гл. II), т. е. будем считать, что I = 300 см,
/d=6,17cjK4,£, = 2,1.10e^/c^2,/c = 6,782,m = — 63,99 яг; для упругой
диафрагмы примем: толщина h = l см, коэффициент Пуассона \i = 0.
Диафрагмы расположим по концам верхнего швеллера, как показано на рис. 129,
и следовательно, Q = 113,5 см2 (§ 2). Концы стержня будем считать гаар-
нирно-опертыми.
Из условия шарнирного опира-
ния стержня по торцам имеем:
о0 = в0 = о,
е (I) = о,
В{1) = в = ре' (I).
oi
0/
|
£?
§
"■~
""""1"
SS
«о
1
\/
J, 1, 1j li i/ Ai Ji .
8l 4l <T 2C SC 4* S( §
/*—N ^
Рис. 129
Рис. 130
Здесь последнее условие выражает бимомент в сечении z = /, заме-
няюпщй собой действие упругой диафрагмы в этом сечении; через р
обозначено, как это следует из (4.13), выражение -тк--.
Раскрывая два последних граничных условия с помощью формул
(4.14) и учитывая, что в начальном сечении у нас также приложен
сосредоточенный продольный бимомент, получим:
С/А [j sh k + gj- (ch ft - 1)] + H»l(i — 1 sh ft) = ml2 [1 - i (ch ft - 1)] ,
сЩт0тлк+2cfdTshA:+Tsh/c];-
_#0[^(chft-l) + |shft] = ^m/(l-ishft)-^(ch/c-l),
откуда для начальных параметров 0О и Н0 получаем следующие
значения:
/ / Г1 2 2 "|
2j sh Л — jjj (ch Л — 1) + jpi у (ch Л + 1) + р (ch Л — 1) — -jf sh Л
G/de0 = р т дик m/2>
-j- sh Л + i>J [*sh Л + 2 (1 — ch *)] + 2j>/ (^ch A: — -j-J
(4.15)
/2 / ^ \ / sh /b\
^shfc + ^-j shA + 1-chA J+jtf (сЬ*--^-)
#o = ж ; ^гтг ™l>
/2 / sh Ar\
у sh к + />* f A: sh к + 2 (1 — ch *)] + 2Л/ ( ch * - -y-J
где
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 193
Для нашего примера
рх = 3,832 сму GJd% = — 6235 кг/см, Н0 = — 9596 кг/см.
На рис. 130 представлены графики изменения по длине стержня
величин G/d0' (z) и В (z) при значениях начальных параметров % и Но
1 1
(4.15); указанные функции вычислены для значений z = Qy—l, -pi,
о 4
3 7 1 7
-77- / и -X-L и по симметрии распространены на вторую половину стержня.
Из сравнения с аналогичными графиками (рис. 121), вычисленными
для того же стержня, находящегося под действием той же поперечной
нагрузки, но усиленного по концам не диафрагмами, а планками, видим,
насколько планки сильнее влияют на напряженное состояние стержня
по сравнению с диафрагмами, хотя по количеству затраченного металла
диафрагмы превосходят планки примерно в 1,7 раза.
§ 5. Кручение стержня в упругой среде
1. Во многих случаях вопросы расчета элементов конструкций
приводят к задаче о прочности и устойчивости тонкостенных стержней в
упругой среде. Ниже мы изложим общий метод расчета тонкостенных стержней
в упругой среде, испытывающих наряду с
деформациями изгиба также и деформации кручения.
Пусть стержень, имеющий в поперечном сече- / 0Г
нии произвольное очертание и обладающий не-
деформируемым контуром, находится в сплошной
упругой среде.
В отношении этой среды мы будем
предполагать, что она упруго закрепляет каждое
поперечное сечение от перемещений в его плоскости.
Такую среду мы можем представить себе в виде
непрерывно распределенных по длине стержня
упругих поперечных связей, закрепляющих
какую-нибудь продольную элементарную полоску ds в каждой точке z от
поступательных перемещений в плоскости Охуи углового перемещения
относительно оси, параллельной образующей.
Пусть Н и Н' — бесконечно близкие точки, в которых поперечные
сечения стержня упруго закреплены от перемещений в плоскости Оху.
Такое закрепление показано на рис. 131, где через hx и hy обозначены
координаты точки Н в главных осях.
При деформации стержня в упругих поперечных связях возникнут
реактивные усилия, параллельные осям Ох и Оу, и реактивные
закручивающие моменты, заменяющие собой действие упругой среды. Мы будем
считать, что как эти усилия, так и моменты пропорциональны
соответствующим (поступательным и вращательному) перемещениям линейного
элемента НН' поперечного сечения бруса в плоскости сечения.
Обозначая перемещения точки Н по главным осям сечения Ох и Оу
соответственно через £н и г\н и угол поворота линейного элемента НН'
через 6я» мы можем реактивные усилия и реактивный момент упругой
среды, приходящиеся на единицу длины стержня, представить в
следующем виде:
(5.1)
L—hx
\у
Рис.
131
>£\
qx = —К&н,
Яу=— ^г/Пн >
m = — К$н + (hx
-ае) qv-
\
i
-{hy — ay) qx, J
194
Тонкостенные упругие стержни
где К^у К^ и Kq представляют собой коэффициенты упругости среды.
Первые два из этих коэффициентов имеют размерность кг/см2 и численно
равны поперечным силам, которые нужно приложить к упругим стержням
на длине в 1 см, чтобы вызвать перемещение точки Н по оси Ох или Оу,
равное 1 см. Третий коэффициент имеет размерность кг/см и определяется
как момент, приходящийся на единицу длины стержня и
соответствующий единичному углу поворота линейного элемента НН''. Все эти
коэффициенты зависят только от упругих характеристик среды и в каждом
частном случае легко определяются обычными методами строительной
механики. Знак минус, стоящий в правых частях формул (5.1),
получается вследствие того, что реактивные усилия и моменты упругой среды
при положительных линейных и угловом перемещениях элемента НН'
имеют отрицательные значения.
Исходя из гипотезы о недеформируемости контура поперечного
сечения, мы можем перемещения £я, г\н и 0я, относящиеся к линейному
элементу НН', выразить через перемещения £, т] центра изгиба и >гол
поворота 8 всего сечения по формулам (3.1) гл. I:
lH = l-(hy-av)99 )
Чн^ Л + (^с — а*)6> } (5.2)
•вя = е. )
Подставляя равенства (5.2) в формулы (5.1), получим:
qx = -Kz[t-(hy-ay)Q]y )
m=—Kffi±Kz (hy — ay)l — K^ (hx — ax)i\—\
- [Къ (hv - ауу + Kn (hx - ax)*] e. i
Формулами (5.3) реактивные воздействия упругой среды выражены
теперь уже в функции основных искомых перемещений стержня |, г\ и 9.
Если точку Ну в которой к рассматриваемому стержню примыкают
упругие связи, отнести к центру тяжести сечения, как зто имеет место,
например в конструкциях металлических мостов, то hx = hy = 0, и
формулы (5.3) принимают более простой вид:
qx = -Kz а + М),
qv = — к* (л — М),
т = - К$ - К&уЪ+КъйхЧ - [Кга\ + К^а\) 0.
Полученные здесь реактивные усилия упругой среды по отношению
к стержню представляют собой внешнюю дополнительную нагрузку.
Присоединяя эту нагрузку к заданной, мы выразим дифференциальные
уравнения равновесия (7.3) гл. I в следующем виде:
EJvl1V-(qx + qx) = 0, )
EJJV ~ (Qv + Яу) = 0, [ (5-4)
EJvB™ — GJdy — (m + i») = 0. J
Внося сюда реактивные усилия по формулам (5.3) и перенося члены
от нагрузки вправо, найдем:
Гл. 111. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 195
EJyl*v + К^Ц- (hy - av) 6] = qx, у
EJxv?* + KTi 1ц + (hx - ax) 0] = qy, '
EJJ™ - GJdV + [Кь (hy - avf + K^ (hx - axf + K0] 0- f
— K^ (hy — ay) I + K^ (hx — ax) ц = m. i
Уравнения (5.5) при заданной внешней нагрузке, определяемой
функциями qx(z), qt,(z) и m(z)J относятся к изгибу и кручению тонкостенного
стержня в упругой среде с тремя коэффициентами постели. Эти уравнения
при произвольном расположении в поперечном сечении точки Ну
являющейся точкой контакта стержня с упругой средой, образуют систему трех
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений относительно
трех неизвестных функций: £, т| и 8.
При hx = ах и h4 = а,п т. е. в случае, когда точка контакта Н в
плоскости Оху совпадает с центром изгиба А, система совместных
дифференциальных уравнений (5.5) распадается на три независимых уравнения:
EJvl™+Kll = qx,
EJxr\1V + K^\ = qy,
EJJfiv - G/dl# + #e9 == m.
(5.6)
Первые два уравнения представляют собой известные уравнения
изгиба балки на упругом основании с коэффициентами постели К% при
изгибе в плоскости Oxz и КА при изгибе в плоскости Oyz.
Третье уравнение относится к кручению балки в упругой среде с
коэффициентом постели Kq при кручении. Этим уравнением вместе с
граничными условиями определяется функция 0 (z), представляющая собой угол
закручивания стержня. При постоянных коэффициентах EJ&, GJa и К%
третье из уравнений (5.6) в общем случае легко интегрируется в
элементарных трансцендентных функциях, представляющих собой произведения
тригонометрических и гиперболических функций от разных аргументов.
Разделив третье уравнение (5.6) па EJ& и имея в виду воспользоваться
методом начальных параметров, ограничиваясь поэтому только его
однородной частью, мы можем представить это уравнение в виде:
6iv_ 2гЧ'+ ^6 = 0, (5.7)
где г2 и s4 — характеристики, зависящие от физических и геометрических
свойств стержня, определяемые формулами:
*-wh-*=*f:; (5-8)
2. Уравнение (5.7) представляет собой тот более общий вид
дифференциального уравнения четвертого порядка, о котором мы говорили в § 3
гл. II. При r*=f=0, s4 = 0 мы получим уравнение стесненного кручения,
детально исследованное нами выше; при г2 = 0, s*=f=0 мы получим
уравнение, аналогичное первым двум уравнениям системы (5.6); при
г2 = s4 = 0 придем к уравнению, аналогичному уравнению изгиба
простой балки.
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (5.7),
будет иметь вид:
Л4 — 2rW + s4 = 0.
196
Тонкостенные упругие стержни
Корни этого уравнения вычисляются по формуле
А= ±г j/l + |/l--£ (5.9)
и зависят, следовательно, от соотношения между s и г.
Рассмотрим некоторые случаи этих соотношений, заметив
предварительно, что из физических соображений следует, что величины s и г не
могут быть отрицательными.
a) s ^> г; все четыре значения /с комплексны и могут быть
представлены в виде
/c^+a + pi,
где аир — действительные положительные числа, определяемые по
формулам:
« = /?+?. p = l/^. (5.10)
Общее решение однородного дифференциального уравнения (5.7) может
.быть записано в виде
9 (z) = С1Ф1 (z) + С2Ф2 (z) + С3Ф3 (z) + С4Ф4 (г). (5.11)
Частные решения Ф1(г)1 Ф2(г), Ф3(^), Ф4(2) представляют собой
произведения тригонометрических и гиперболических функций и
выражаются формулами:
Ф± (z) = ch az • sin pz, 1
Ф2(г) = chaz • cosPz,
ф3 (z) == sh az • cos pz,
Ф4(г) = sh az • sinpz
(5.12)
[аир определяются формулами (5.10)].
б) s = г; все значения корней действительные и попарно равные:
/»*1 = /С2 == Г, /Сд = /С4 == — Г.
Общее решение определяется формулой (5.11), но частные решения
Фх(г), Ф2(г), Ф3(2) и Ф4(г) будут теперь определяться уже другими
формулами, а именно:
фх (z) == sh rz, Ф2 (z) = ch rz,
ф3 (z) = z ch rz, Ф4 (z) = z sh rz.
в) s <^ г; все значения корней действительны и не равны; они
определяются формулами:
*i = ~ h — i*i = V^+VT^I^
Л8 = - /с4 - (1а = Vr2 - /г4- *4.
Общее решение однородного дифференциального уравнения (5.7)
определяется по-прежнему формулой (5.11), а частные решения
определяются следующим образом:
Фг (z) = sh (LiiZ, Ф2 (z) = ch \jlxz,
Ф3 (Z) = Sh |Ll2Z, Ф4 (z) = Ch |Ll2Z.
г) Наконец, случай s = 0, г =jt= 0, как мы уже указывали, есть случай
стесненного кручения, с которым мы до сих пор и имели дело в этой книге.
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 197
В этом случае мы исходим непосредственно из уравнения 6IV — k2Q" ~ О
и для частных решений получаем формулы:
®i (*) = z> Ф2 (z) = 1» \
Ф3 (z) = sh kz, Ф4 (z) = ch kz.j (5,13) '
Все перечисленные выше случаи при различных формулах частных
решений имеют одинаковые основные расчетные величины:
6, 6', В = — EJJ>\ H = —EJ„ 6'" + G/d9' (5.14)
и, следовательно, при решении задач может быть использована матрица
начальных параметров, которую мы в этих целях и представили с
коэффициентами влияния, записанными в символической форме табл. 6 § 3
гл* П.
Таким образом, все выводы в применении к расчету стержней,
сделанные в § 3 гл. II и др., целиком распространяются и на задачи,
описанные в настоящем параграфе2.
Что касается способа получения матрицы начальных параметров или,
другими словами, способа вычисления коэффициентов влияния, то он
достаточно подробно изложен в § 3 гл. II для случая стесненного кручения
и может быть аналогичным же образом повторен и для других случаев.
Необходимые для этого производные первого, второго и третьего порядка
от частных интегралов Ф\ (z), G>2(z), Фз (z) и Ф4(я), выраженные через
эти же функции, для разобранных здесь четырех случаев приведены
в табл. 22. В этой же таблице приведены также и выражения \ Oj(z) dz
через функции <3)j(z) для указанных случаев.
Матрица начальных параметров, записанная в символической форме,
для всех рассмотренных здесь случаев будет иметь один и тот же вид;
эта матрица представлена табл. 23. Коэффициенты же влияния для
разных случаев будут различными; они выписаны для случаев s>r,
5 = г и«<гв табл. 24. Случай г=/=0, s = 0 в эту таблицу не включен,
потому что он подробно рассмотрен в § 3 гл. II, а матрицы табл. 23 и табл.
6 § 3 отличаются друг от друга только множителями при статических
величинах ВиЯ;в табл. 6 взят множитель ^j- , в табл. 23 взят множи-
uj d
1
тель -г-у- .
§ 6. Совместная работа пластинки и подкрепляющих
ее тонкостенных стержней
1. Задача о совместной работе пластинки и тонкостенных стержней
имеет большое практическое значение; с ней, например, приходится
иметь дело судостроителям при расчете обшивки судна,
водонепроницаемых переборок, строителям — при расчете перекрытий и т. д. В
настоящее время нет достаточно простых и надежных методов расчета таких
конструкций. Приближенные методы, как правило, плохо отражают
действительную картину напряженного и деформированного состояния
пластинки, подкрепленной стержнями. Точные же методы требуют весьма
1 Формулы (5.13) отличаются от формул (2.4) гл. II тем, что ранез мы
пользовались безразмерными координатами; кроме того, здесь мы поменяли местами С\ и
С2. Это сделано для удобства сравнения с другими случаями и, конечно, существа
дела не меняет.
2 В £ 3 некоторые свойства матрицы начальных параметров были доказаны для
конкретности применительно к случаю уравнения (3.1) гл. П. Они без труДа могут быть
повторены и для уравнения более общего вида (5.7).
Таблица 22
Случай
1
2
Л
со
II
со
Функция, ее производные
и интеграл
Ф.(г)
Ф/ (*)
<Dj* (')
ф/" г*;
^Г«;л
Ф. r*J
ф/ г«;
ф/ г*;
ф,* г*;
^г«;л
ФПг)
(нечетная)
chaz-sinpz
аФ4 + Зф2
(а2 — З2) Фх + 2аЗФ3
а (а* — ЗЗ2) Ф4 +
+ 3(Зх2-32)Ф2
аФ4 — ЗФа
а2 + 32
sh Г2
гФ2
Г8Фх
1*ф*
>■ 1
Ф2(2)
(четная)
cb atz-cos32
аФ3 — Зф1
(а2 — З2) Ф2 — 2аЗФ4
а (а2 — ЗЗ2) Фз -
— 3 (За2 — З2) Ф1
аФ3 + 3^1
а2 + 32
ch tz
гФх
г2Ф2
Г*ФХ
1ф,
Ф3(2)
(нечетная)
sh qlz • cos $z
аФ2 — 3^4
(a2 — 32) Фз — 2аЗФх
а (а2 — ЗЗ2) Ф2 —
— 3 (Зх2 — З2) Ф4
аФ2 + ЗФ4
а2+32
z chrz
Ф2 + гФ4
2гФх + г2Фз
ЗГ2Ф2 + ^4
ТФ4__Ф2
1
Ф4(2)
(четная)
sh qlz • sin 3^
аФх + ЗФз
(а2~32)Ф4 + 2аЗФ2
а (а2 — ЗЗ2) Фх +
+ 3(За2-32)Фз
аФг — ЗФз
а2 + 32
z sh rz
Ф1 + гФ3
2гФ2 + г2Ф4
ЗГ*Ф! + Г8Ф8
1 1
—Фз гФ1
г г2
Таблица 22 (окончание)
Случай
3
4
V
О
II
со
Функция, ее производные
и интеграл
Ф;(г)
ф,' (')
«V (г)
ф/" г*;
^ (z)dz
Ф> W
ф/ w
Ф/ г«>»
ф/" г«;
\ф,- Г«; Л
Ф1 (г)
(нечетная)
sh p-iz
I
р,1Ф2
Й°1
^Ф2
— Ф2
^1
Z
1
0
0
т
Ф2 (г)
(четная)
ch Ц^г
Н1Ф1
Л
^1Ф1
Hi
1
0
0
0
z
Фз(*)
(нечетная)
sh |X2z
И.2Ф4
ti*.
*4Ф4
М-2
sh kz
/сФ4
*2Ф3
W>4
ь ]
Ф4 (z)
(четная)
ch щг
ЦгФз
№*
\4фз
~Фз
^2
ch kz
ЛФз
Л2Ф4
Л^з
200
Тонкостенные упругие стержни
Таблица 23
9(«)
в' (*)
во
%
-^99 | ^99'
^9'9
КВВ
кт
К%'Ъ'
КВЪ'
KHQ'
1 1 1
EJ„B* 1 EJ^o
KQB
KB'B
KQH
KQ'H
KBB KBH
KHB
KHH
трудоемких вычислений. Предлагаемый здесь вариационный метод имеет
целью частично восполнить указанный пробел.
2. При решении рассматриваемой здесь задачи мы будем исходить из
изложенного в работах [46, 51] вариационного метода расчета
прямоугольных пластинок (и призматических оболочек), имеющих несмещаемые
ребра. Этот метод также основан на идее приведения бигармонического
уравнения изгиба пластинок к обыкновенным дифференциальным
уравнениям.
В основе метода лежат следующие допущения: пластинка в каждой
точке под действием внешней нормальной нагрузки может, получать
одни только нормальные смещения; удлинения пластинки по ее ширине
равны нулю; граничные условия на каждом из продольных краев х = 0
и х = а остаются постоянными по всей длине продольного края, а на
каждом из поперечных краев z = 0 и z = I остаются постоянными по всей
длине поперечного края; внешняя нагрузка, изменяясь по ширине
пластинки (в направлении Ох) по произвольному закону, может изменяться
и по длине пластинки (в направлении Oz), сохраняя при этом подобие во
всех сечениях х = const и z = const; другими словами, нагрузка может
быть представлена в виде произведения двух функций:
р(х, z) = P0(x)K(z).
(6.1)
Про гиб пластинки представляем в форме произведения двух функций:
w(z, z) = W(z)x(x),
(6.2)
из которых функция х (#) задается нами в соответствии с геометрическими
условиями на продольных краях и характером нагрузки, а функция
W(z)y рассматриваемая как обобщенный прогиб пластинки, является
искомой.
Достаточно точное решение можно получить, приняв за функцию
X (х) прогиб элементарной поперечной полоски шириной dz = 1 (при
соответствующих геометрических условиях опирания) от вспомогательной
нагрузки, имеющей тот же закон изменения, что и заданная внешняя
нагрузка.
После выбора функции х (#)> приравнивая нулю, на основании
принципа Лагранжа, сумму работ всех внешних и внутренних сил
поперечной балки-полоски на единственно возможном для нее перемещении х (#)»
придем, согласно вариационному методу автора, к обыкновенному
дифференциальному уравнению четвертого порядка для определения
функции W (z):
/!V о ОТ*/" 1 Г\ЛТ П А (6 3^
AWls — 2BW + CW — G = 0.
Таблица 24
Коэффициенты влияния
^09 = КНН
^9'9 — КНВ
квъ — КНЪ'
кт
А99' = КВН
к^,ь, = квн
KBV
КЪВ = ^9'Н
к
Л9'В
Л9Я
Случаи
Ог
Ф2-2^Ф4
— (ЗФз-аОМ
S4
ьГз*4
2^ [В (3*2 - ?2) ф3 + а (3?2 _ а1) ф1]
2^з (3°i + аФз>
ф2 + 2^ф4
2^з 1а (3?2 - а2) °1 - 3 <3*2 - З2) фз]
"" 2S3°4
- 25з(*ф1 + £Фз)
"" 2?ЗГ* (ctOi - ЗФз)
s = г
Ф2 — у °4
у(ф1_гф3)
г3
2Ф*
г3
у (за>1 - гФ3)
1
YT (Oi + гФ3)
Ф2 + у Ф4
- у (ЗФХ + гФ3)
1
1
- 27 (Ф1 + гФл)
1
— (ф1 _ Гфз)
s<r
1
..2 ,.2^1Ф4-^2Ф2)
П. ~^2
— — (^Фз-^Фх)
Г1— ^2
1
2 » 1Г1ф1 — ^2^3)
1
_ ... ... /ц2лч .. 9/IS \
..2 ..2 (^Г^-^а04)
1 я ч
„2 „2 (^2Фз-^!Ф1)
Pi ^2
1
о <> (Ф4 — Ф2)
1 1
2 „2 (Н*Ф8 —M>l)
^1~^2
1 ( * m 4 <П
^;-^1|цф»"йф^
202
Тонкостенные упругие стержни
Коэффициенты А, В, Q для пластинки, закрепленной на
продольных краях х = 0, х = а от прогибов, вычисляются по формулам:
а
A = D\%*dxt
о
а
5 = Z)jj(X')2^.
о
а
C=D\ (%ydx,
о
где D = -77Т — цилиндрическая жесткость.
Свободный член уравнения (6.3) G(z) определяется как работа всех
заданных нагрузок (включая сосредоточенные), приходящихся на
элементарную балку-полоску, на возможном перемещении % (х):
а
G(z) = ^p{x, z)%{x)dx
(понимая интеграл в смысле Стильтьеса) или в развернутом виде, при
наличии в нагрузке сосредоточенных факторов,
а
C(z) = \jp%dx + %Ра(k) + 2Mk%' (*)> (6-4)
0
где pk и Mk —- соответственно сосредоточенная сила и момент,
распределенные по линии х = к.
По определении функции W (z) из уравнения (6.3) и граничных
условий на поперечных краях все внутренние усилия и моменты легко
определяются через эту функцию по соответствующим формулам.
Расчет пластинки может быть также произведен применением метода
начальных параметров. В этом случае однородное уравнение,
соответствующее уравнению (6.3), будет иметь вид
Wlv — 2r2W + sW = 0, (6.5)
где
В качестве основных расчетных величин принимаются: обобщенный
dW (z)
прогиб W (z), обобщенный угол поворота <р = , = W (z) и
соответствующие этим двум геометрическим величинам обобщенные стати-
обобщенный момент М = — AW (z),
обобщенная поперечная сила Q = — AW" (z) + 1BW
'(*)■} (6Л)
На основании всего вышеизложенного мы можем для
рассматриваемого случая расчета пластинки представить матрицу начальных
параметров в следующем виде:
1 Мы полагаем в (6.7) коэффициент Пуассона равным нулю.
Гл. III. Стержни-оболочки, усиленные поперечными связями 203
Таблица 25
W(z)
<р(г)
4ми
-aow
И',
Kww(z)
K,w<*)
KM\V (г)
* QIV <*>
Фо
*w<p (=)
*„<«>
км* (2)
^<}ф(г)
1
KWM (г)
*<рМ(2)
А'.»ш (г)
Kqh <3>
т<?»
^IVQ (z)
*W2>
*MQ (2>
*qq»
Коэффициенты влияния К\$ в развернутом виде даны в табл. 24, нужно
только соответственно заменить индексы W на6, <р на6', Л/ на В, Q на Я.
Это следует из сопоставления выражений (6.5), (6.7) с аналогичными им
выражениями (5.7) и (5.14).
3. После этих предварительных замечаний обратимся
непосредственно к интересующей нас задаче о совместной работе лластинки с усиливаю-
щими ее стержнями. Пусть тонкостенный стержень, который для
упрощения рассуждений будем предполагать имеющим две оси симметрии,
расположен параллельно продольным краям пластинки. Оси координат
стержня параллельны осям координат пластинки (рис. 132). Контакт
пластинки со стержнем осуществляется по линии Л — к пересечения
срединной поверхности пластинки с плоскостью стенки стержня; в
поперечном сечении точка контакта отмечается некоторой координатой х = #*.
Из условия совместности деформаций по линии контакта стержня с
пластинкой следует, что в выделенной сечениями z = const и z + dz — const
полоске пластинки со стержнем в точке контакта:
1) прогиб пластинки равен прогибу стержня
W%(k) = rl(k), (6.8)
2) угол поворота пластинки раЕен углу закручивания балки
W%'{k) = 9(k).
(6.9)
204
Тонкостенные упругие стержни
В тонкостенном стержне прогиб т] и угол кручения G
удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
EJxi\™ = qv,
EJJlv — GJdb'' = m.
Следовательно, на основании (6.8), (6.9) и (6.2) в точке контакта
б}дут выполняться зависимости:
EJ„XkWlY-GJdxkW = mk9 I
me Xfr = 1 (k)> %k = %' (А), Ячн = ?v (A, z) vt mk = m (k, z).
Заменяя действие стержня на пластинку сосредоточенной силой
рк = — qyk и моментом Мк = — т* (рис. 133) (если стержней в
пластинке несколько, то суммируя их действия), получим для свободного
члена (6.4) (при условии, что сосредоточенные факторы в этой формуле
вызваны влиянием стержня) следующее выражение:
а
G (z) = \p%dx - %EJx%lWly - ^ \EJm (X;)WIV - GJd (x'*)W]. (6.11)
6
Вставляя теперь свободный член G(z), выраженный формулой (6.11),
в общее уравнение (6.3) и объединяя подобные члены, получим:
где
AWW—2BW + CW — G= 0,
А = А + 2^/«xi + S^- (xi)1.
5 = /»+{2G/d(xi)1,
u
$PX<ur.
(6.12)
(6.13)
Уравнение (6.12) имеет такой же вид, как и уравнение (6.3) для
пластинки, не усиленной стержнями. В выражения для коэффициентов
А и В согласно формулам (6.13) входят физические и геометрические
характеристики стержней, усиливающих пластинку.
При решении уравнения (6.12) методом начальных параметров мы
приводим однородную часть уравнения к виду (6.5)
Коэффициенты г2 и s4 будут вычисляться по формулам: -
А
B + Y%GJd(Xk)
A + ^EJ^l + ^EJ^Xb?
С
(6.14)
Весь же остальной алгоритм остается таким же, как при решении
в обычной пластинке. Матрица начальных параметров представляется
табл. 25, основные расчетные величины вычисляются по формулам (6.7)
с заменой в них коэффициентов А и В соответственно на Л и В,
вычисляемые по формулам (6.13); корни характеристического уравнения будут
определяться не величинами г2 и s4, вычисляемыми по формулам (6.6),
а величинами г2 и s4, вычисляемыми по формулам (6.14).
Глава IV
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОБОЛОЧКИ ЗАКРЫТОГО ПРОФИЛЯ,
УЧЕТ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА
§ 1. Общий вариационный метод приведения сложных двухмерных
задач теории оболочек к одномерным
1. Идея этого метода состоит в том, что искомые функции, зависящие
от двух переменных и удовлетворяющие системе дифференциальных
уравнений в частных производных, представляются в виде конечных сумм
произведений двух функций, из которых одна представляет заданную
(заранее выбранную) функцию от
одного переменного,а другая
—искомую функцию от другого
переменного; применяя принцип
возможных перемещений и вводя в
рассмотрение систему искомых функций,
число которых определяется
числом степеней свободы выделенной
элементарной полоски,
рассматриваемой условно как стержневая
система, мы приходим к системе
обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений, что в
значительной мере упрощает
решение задачи.
2. Рассмотрим тонкостенный
стержень, имеющий в поперечном
сечении конечное число
замкнутых контуров и состоящий из рис 134
узких прямоугольных пластинок
(рис. 134). Предположим, что
последние соединены между собой на узловых линиях жестко и,
следовательно, вдоль этих линий подвижность пластинок друг
относительно друга невозможна.
Положение точки М на срединной призматической поверхности
тонкостенного стержня, как указывалось ранее, определяется двумя
координатами: координатой z — расстоянием от некоторой начальной плоскости
z = 0, и координатой s—расстоянием по контуру поперечного сечения
стержня от некоторой начальной образующей s = 0 (положительные
направления координатных осей даны на рис. 134).
Пусть перемещения точки М (z, s) суть u(z, s) — продольное
перемещение в направлении образующей и v (z, s) — контурное,
тангенциальное перемещение по направляющей тонкостенного стержня.
Положительные направления перемещений и (z, s) и v(z, s), в соответствии с ранее
206
Тонкостенные упругие стержни
принятым правилом знаков, совпадают с положительными направлениями
координат z, s.
Представим перемещениям (z, s) и v (z, s) в виде конечных разложений:
т
u(z, s) = 2 Ui (z) (pi (s)
1
v(z, s) = %Vlt(z)yk(s)
1
где функции cpi(s) и %• (s) от одного только переменного s выбираются
предварительно и, следовательно, будут величинами известными;
функции Ui (z) и Vk (z), т. е. функции другого (и тоже только одного)
переменного z будут искомыми неизвестными величинами; значения величин т
и /г будут пояснены ниже.
Выделим из тонкостенного стержня двумя сечениями z = const и z -f-
+ dz — const элементарную поперечную полоску шириной dz. Условно
будем рассматривать эту полоску как плоскую стержневую систему —
раму, состоящую из нескольких замкнутых контуров.
Рассмотрим деформированное состояние этой полоски, определяемое
только продольными перемещениями u(z, s) [при v(z, s) = 0].
В этом случае плоская контурная линия элементарной рамы,
оставаясь на призматической поверхности тонкостенного стержня, переходит
в пространственную линию, определяемую относительно первоначального
сечения z = const [при выбранных предварительно функциях фг($)1
выражением (1.1).
Сделаем предположение, что в описываемом случае деформированного
состояния прямолинейные элементы контурной линии стержня, выходя
из плоскости z = const, будут оставаться прямыми. Такое предположение
эквивалентно гипотезе плоских сечений, применяемой отдельно для
каждой из составляющих данный тонкостенный стержень узких
прямоугольных пластинок. Тогда положение после деформации элементарной
полоски относительно начальной плоскости z = const вполне
определится продольными перемещениями ее т узловых точек. Следовательно,
элементарную полоску условно можно рассматривать как стержпевую
систему, обладающую т степенями свободы в отношении продольных
перемещений. Примем в формуле (1.1) искомые функции Ui{z), (/2(2),...,
Um (z) за продольные перемещения т узлов элементарной полоски.
Соответствующие этим перемещениям, согласно (1.1), функции cpi (5), фг(^), ...,
фт(я) удовлетворяют всем необходимым условиям непрерывности
продольных перемещений и (z, s) по контуру поперечного сечения тонкостенного
стержня. Функции фг (s) при таком выборе искомых величин имеют очень
простое геометрически наглядное выражение: каждая из них отлична от
нуля только на прямолинейных участках контура, сходящихся в узле i\
в пределах каждого из этих участков ф* (s) изменяется по линейному
закону, принимая значение, равное единице, в г-й узловой точке и
значение, равное нулю, в другой крайней узловой точке данного участка. На
всех остальных участках контурной линии функция ф| (s) будет равна нулю
(рис. 135). Такой способ построения функций q>i(s) не является
единственным. За искомые функции Ui (z) можно принять любые независимые между
собой величипы общим числом т. Тогда каждой совокупности т
независимых величин Ui(z) будет отвечать совокупность т линеЙЕЮ
независимых (т. е. не могущих быть выраженными линейно одна через другую)
фукций ф| (s), причем каждая из них будет непрерывной на всем контуре,
а на отдельных участках контура будет представляться линейной эпюрой.
В раздожении (1.1) заранее выделим продольные перемещения,
относящиеся к элементарному расчету тонкостенного стержня как балки
(i = 1, 2, 3, . . . , m),
(1.1)
(Л = 1, 2, 3, ..., п),
(1.2)
Гл. IV, Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 207
многосвязного поперечного сечения на основе гипотезы Бернулли,
принимаемой для всего сечения z = const в целом. За три из т возможных
продольных перемещений Ui(z) следует принять величины Ul(z)1 £/2(2:),
Us(z), определяющие перемещения рассматриваемой шарнирной модели
на призматической поверхности как жесткой плоской системы; это будут
функции изменения по длине стержня продольных перемещений узловых
точек при растяжении (сжатии) и изгибе в вертикальной и
горизонтальной плоскостях. Закон плоских сечений, применяемый ко всему сечению
в целом, требует уже специальной комбинации для построения
функций ф! (s), ф2 (s), ф3 (s), каждая из которых
представится как линейная функция
декартовых координат х = х (s), у = у (s) точки
контура поперечного сечения тонкостенного
стержня.
Остальные члены разложения (1.1)
определяют для функции u(z, s) такое состояние
продольных перемещений, при котором
поперечные сечения тонкостенного стержня
претерпевают депланацию, т. е. не остаются рис j35
плоскими. Таким образом, депланация
тонкостенного стержня, имеющего в поперечном
сечении многосвязный контур, определяется т — 3 независимыми
функциями продольных перемещений UA(z), Ub(z)1..., Um(z).
Выбранные (тем или иным способом) в разложениях (1.1) непрерывные,
линейно независимые функции фг (s) общим числом т (i = 1, 2, 3, . . ., т)
представляют по своему смыслу обобщенные координаты деформации
элементарной поперечной полоски тонкостенного стержня из плоскости
поперечного сечения z = const.
Соответствующие этим обобщенным координатам функции СГ{ (z)
(i = 1, 2, 3, . . ., ггг), из которых каждая зависит только от координаты z,
представляют собой искомые обобщенные продольные перемещения
тонкостенного стержня.
При построении другой системы функций % (s) (Л = 1, 2, 3, . . ., л),
входящих в разложения (1.2), рассматривается деформированное
состояние элементарной полоски в ее плоскости, т. е. в плоскости z = const.
Отождествляя, как и ранее, эту полоску со стержневой системой
и вводя предположение о нерастяжимости ее элементов (составляющих
ее стержней), приходим к выводу, что контурное перемещение v(z,s)
можно выразить через перемещения Vjc(z) (к = 1, 2, 3, . . .,я)
шарнирной стержневой системы в плоскости этой системы. Под коэффициентами
Vk(z) в разложениях (1.2) мы будем понимать независимые величины,
определяющие форму перемещений шарнирной стержневой системы
в ее плоскости. Число п искомых функций Vk (2) равно числу степеней
свободы стержневой системы в ее плоскости и определяется формулой
п = 2т — с,
где т — число узлов; с — число стержней многосвязной системы.
Теперь мы изложим наиболее простой способ построения системы
функций \|)/c(s). Выбирая п независимых величин FA(z) для перемещений
элементарной стержневой системы в плоскости сечения z — const и давая
последовательно каждой из этих величин в разложении (1.2) единичные
значения, а остальные полагая равными нулю, мы можем путем
рассмотрения полученных таким образом элементарных перемещений
системы определить все нужные нам функции ф*(&). Каждая из функций
будет представлять собой контурное перемещение некоторой точки в
соответствующем элементарном состоянии Vk = 1 и Vh = 0 при h ф к
208
Тонкостенные упругие стержни
(рис. 136). В пределах каждого прямолинейного участка контура
тонкостенного стержня функция \|>* (s) сохраняет постоянное значение (в силу
нерастяжимости элементов контурной линии), т. е. не зависит от
координаты s и представляет таким образом осевое перемещение
соответствующего стержня шарнирной модели.
Таким образом, мы можем построить п линейно независимых между
собой эпюр функций t|)/t (s) при любом выборе величин Vk (z).
В частности, мы можем так выбрать эти величины, что три из них:
Vx (z), 72 (z) и Vs (z) — будут определять перемещения модели в целом как
плоской стержневой системы без изменения формы системы. Остальные
величины VA (z), Vb (z), . . ., Vn(z) в этом случае будут относиться к таким
перемещениям системы, при которых
меняется взаимное расположение отдельных ее
звеньев, т. е. когда имеет место деформация
контура поперечного сечения.
Следовательно, деформация контура
тонкостенного стержня определяется п — 3
независимыми величинами, где п — число
степеней свободы элементарной полоски,
рассматриваемой как плоская шарнирностерж-
невая система. Функции i|)/t(s),
соответствующие п степеням свободы шарпирной
стержневой системы в ее плоскости, удовлетворяют условию
линейной независимости и условию непрерывности перемещений точек контура
элементарной поперечной полоски (включая также и узловые точки
контура), поскольку шарнирная модель в каждом из п возможных
элементарных состояний Vk — 1 остается всюду непрерывной. Выбранные тем
или иным способом непрерывные, линейно независимые между собой
функции %• (s) общим числом п (к = 1, 2, 3, . . ., п) представляют собой
заданные обобщенные координаты деформации элементарной поперечной
полоски тонкостенного стержня в плоскости этой полоски (в плоскости
сечения z = const). Соответствующие этим функциям искомые величины Vn(z)
(к = 1, 2, 3, . . ., п), каждая из которых зависит только от координаты
z, представляют собой искомые обобщенные поперечные перемещения
тонкостенного стержня.
Следовательно, положение всех узловых точек поперечной
элементарной полоски тонкостенного стержня после деформации в пространстве
при выбранных обобщенных координатах
<Pi (s) (i = 1, 2, 3, . . ., m) иф* (s) (k = 1, 2, 3, . . ., n)
определяется m -f- n искомыми обобщенными перемещениями:
продольными U\ (z) (i = 1, 2, 3, . . ., m) и поперечными V* (z) (k — 1, 2, 3, . . ., n).
3. После выбора обобщенных координат ср* (s) и г|эА (s) в разложениях
(1.1) и (1.2) задача сводится к определению обобщенных перемещений
Ui(z) и Vk{z) (i — 1, 2, 3, . . ., т\ k = 1, 2, 3, . . ., n).
Пусть a = a (z, s) и x = x (z, s) обозначают соответственно
нормальные и касательные напряжения, возникающие в сечении тонкостенного
стержня. Будем считать эти напряжения функциями только координат
z, s, предполагая, что по толщине стержня напряжения а и т
распределяются равномерно (касательные напряжения т приводятся только к
сдвигающим силам).
На основании закона Гука имеем:
/ \ г, ди
о (z, s) = Еж,
'С4-°(£+£)-
(1.3)
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 209
Подставляя сюда разложения (1.1) и (1.2), получим:
a (z, S) = Е ^ U'i (z) (р4 (s) (i = 1, 2, 3,
т(z,s) = G[^Ui(z)<p[(s) + ^V'k(z) yk(s)]
(i = l, 2, 3, ..., m; A = l, 2, 3, .
, m),
n).
(1.4)
(1.5)
Элементарная поперечная полоска, выделенная из тонкостенного
стержня, будет находиться под действием внешних нормальных и
сдвигающих сил, действующих в сечениях
z— const и z + dz = const,и заданных
поверхностных сил (рис. 137). Пусть
р* = р* (2, s) и q*=q*(z, s)
обозначают внешние по отношению к
данной полоске силы, действующие
соответственно по направлению
образующей оболочки и по
профильной линии (положительные силы
направлены в сторону возрастания
координат z и s).
Относя эти силы к единице
площади срединной поверхности
тонкостенного стержня, получим для них
следующие выражения:
>* = §fi + />>
dz
дх
dz
б + <7>
(1.6)
(1.7)
t(z,s)^dz
где б = б (s) — толщина оболочки, ко- Рис -137
торая предполагается заданной
функцией (в общем случае прерывной) только одной координаты5, а/? = p(z,s)
и q = q (z,s) представляют собою заданные внешние поверхностные силы.
Интегральные условия равновесия элементарной полоски при
выбранных формах перемещений (pi (s) и \|)&(s), определяемых т + п степенями
свободы, на основании начала возможных перемещений могут быть
представлены в форме т + п уравнений:
^ ^(pjdF — jj X(p]dF + \ ptfjds = 0 (/ = 1, 2, 3, .. ., m), (1.8)
F F L
Y^hdF-^Vk^^ds+^hds = 0 (/г = 1, 2, 3, ..., n), (1.9)
где dF = bds — дифференциал площади поперечного сечения оболочки.
В этих уравнениях, как и в дальнейшем изложении, интегралы
определенные и берутся либо по всей площади поперечного сечения
(например, \ -^-(pjdFj, либо по всему контуру поперечного сечения
F
(например, \ p<pjds\.
L
Уравнениями (1.8) представлены т условий равновесия элементарной
полоски dz = 1 в направлении, перпендикулярном к плоскости z = const.
210
Тонкостенные упругие стержни
Каждое из уравнений (1.8) выражает собой равенство нулю суммы
работ всех внешних и внутренних сил элементарной полоски при
деформировании полоски из ее плоскости.
За возможные (виртуальные) перемещения в уравнении номера /
этой группы приняты продольные перемещения Uj (z, s) = lcpj (s) точек
элементарной полоски, определяемые одним только членом,
соответствующим номеру / разложения (1.1) при U$ (z) = 1.
Крайние члены уравнений (1.8) относятся к работе внешних сил р*
(1.6), действующих на полоску шириною dz = 1 и направленных
перпендикулярно к поперечному сечению стержня. Средним членом выражена
работа внутренних сдвигающих сил. Для элемента полоски ds эта работа
определяется как произведение (с обратным знаком) сдвигающей силы
xbds на деформацию сдвига. Последняя в рассматриваемом случае
вариации деформированного состояния равна
dU.
Уравнениями (1.9) представлены п условий равновесия этой полоски
в плоскости z = const. Каждое из уравнений (1.9) получено
приравниванием нулю суммы работ всех внешних и внутренних сил
элементарной полоски на соответствующих перемещениях при деформировании
полоски в ее плоскости. За возможные перемещения в уравнении номера h
приняты поперечные тангенциальные перемещения F/, (z, s) = 1 ^(5)
полоски, определяемые одним только членом номера h разложения (1.2) при
обобщенном поперечном перемещении V*h{z) = 1. Крайние члены
уравнений' (1.9) относятся к работе внешних контурных сил д* (1.7) полоски,
действующих в ее плоскости. Средним членом выражена работа
внутренних сил на деформациях изгиба полоски, соответствующих Л-му
элементарному состоянию перемещений шарнирной кинематической цепи в
плоскости этой цепи. Для элемента полоски ds эта работа в случае изгиба
определяется как произведение (с обратным знаком) изгибающего момента
M(z, s)=^Vk(z)Mk(s) (Л = 1, 2, 3, ..., п)
Mh (s)
на взаимный угол поворота ds ДВУХ смежных сечении, ограничи-
EJ
вающих этот элемент. Буквами Mlc=Mk(s) и Mh=Mh(s) обозначены
изгибающие моменты поперечной полоски-рамы, соответствующие
элементарным состояниям деформации этой рамы Vk(z) — 1 nVh (z) = 1 в
предположении, что узлы рамы свободны от внешних угловых связей, т. е. что
изгибающие моменты Mk (s) и Mh (s) в любых из п возможных состояний
(А, &=1, 2, 3, ..., лг) во всех узлах удовлетворяют условиям равновесия.
Моменты Мк (s) и Mh (s) находятся обычными методами строительной
механики путем обратного перехода от деформированного состояния
стержневой рамной системы к внутренним силам.
Величина J= J (s) представляет собою момент инерции поперечного
сечения выделенной элементарной полоски при ширине dz — l. При
Т Ь3
отсутствии поперечных связей момент инерции J = —; при наличии же
дополнительных, достаточно часто расположенных поперечных связей —
рам, подкрепляющих тонкостенный стержень, момент инерции / должен
вычисляться с учетом среднего момента инерции этих рам, т. е. момента
инерции, приходящегося на единицу длины тонкостенного стержня.
Подставляя в (1.8) и (1.9) вместо a(z, s) и х (z, s) их выражения (1.4)
и (1.5), получим систему m -f п линейных дифференциальных уравнений
относительно искомых обобщенных m продольных Ui(z) (г = 1, 2, 3, ..., лг)
и п поперечных Vk(z) (Л=1, 2, 3, ..., п) перемещений.
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 211
Эта система может быть представлена в следующем виде:
г 2 а*и* - 2 b*Ui ~ 2c*kV'k + гг л = °>
i i /с
i к к
(i, / = 1, 2, 3, .. . , т; А, к = 1, 2, 3, .. . , п),
(1.10)
где г =
G "
Коэффициенты уравнений (1.10) вычисляются по формулам:
ап = \ 9i (s) <?i (s) dF,
F
bji = ^ 9i (s) <fi (s) dF>
F
c3k = \ Ф;' (^) tyk (S) dF,
F
Chi =\^h (S) 4>i (s) dF>
F
Oi& = jj ^h{s)^k(s)dF,
(1.11)
*a*=f5
! f Mh(*)Mfe(*)
EJ
ds,
где интегралы распространяются на все элементы поперечного сечения
тонкостенного стержня. Эти коэффициенты обладают свойством
взаимности: ан == dij, b^ = bij, rhk = rkh, shk = skh и при h = к cjk = chi.
Это свойство находится в согласии с известной теоремой Бетти о
взаимности работ упругой системы.
Формулы (1.11) носят общий характер и позволяют вычислять
коэффициенты уравнений (1.10) для тонкостенного стержня произвольного
очертания в поперечном сечении при произвольном способе апроксимации
искомых перемещений u(z, s), v(z,s) по переменной s.
При выборе функций q>i(s) (г = 1, 2, 3, . . ., т) и tyk{s) (Л = 1,
2, 3, . . ., п) вышеизложенным методом интегралы в выражениях (1.11)
для каждого прямолинейного участка контура получают очень простое
выражение, поскольку функции <pi(s) на этом участке зависят от
координаты s линейно, а производные ср/ (s), так же как и функции tyk (s), имеют
на прямолинейном участке контура постоянное значение.
Интегралы первых пяти формул (1.11) при dF ~ dds имеют
одинаковую форму с шестой формулой с той только разницей, что вместо входя-
ж 1
щей в последнюю формулу величины -у под знаком интегралов находится
толщина б пластинок, составляющих тонкостенный стержень.
Все коэффициенты уравнений (1.10) могут быть вычислены известными
методами теории рам при помощи эпюр функций ф| (s), ф* (s), % (s), <р^ (s),
Ф; (5)» tyh (s), Mh (s), Mk (s), построенных для всего многосвязного контура.
Величины Pj(z) и <ft(z), относящиеся к свободным членам уравнений
(1.10), представляют собой известные функции от z и при заданных
212
Тонкостенные упругие стержни
поверхностных силах р (z, s) и q (z, s) вычисляются по формулам:
Рз =J FPjds, qh =^ q^hds. (1.12)
L L
В соответствии с физическим смыслом, вытекающим из способа их
определения, величины Pi (z) и qh (z) могут быть названы обобщенными
внешними силами.
Дифференциальные уравнения (1.10) выведены при произвольном
выборе функций фг (s) и%($), определяющих коэффициенты этих
уравнений.
Так как функции ф* (s) и tyk (s) линейно независимы и каждая из них
может быть задана с точностью до произвольного множителя, то за
искомые функции Ui (z) nVk (z) всегда могут быть выбраны такие независимые
между собою обобщенные продольные и поперечные перемещения, при
которых соответствующие им обобщенные координаты ф| (s) и % (s) на
всем поперечном сечении обладают свойством ортогональности, понимая
ПОД ЭТИМ, ЧТО ДЛЯ КаЖДОЙ СОВОКУПНОСТИ фуНКЦИЙ ф| (s) и if>fc (s)
выполняются условия:
аН = \ Ч№ dF = 0 при j ф i,\
? [ (1.13)
гм = \ tyhtykdF = 0 ПРИ h ф k. \
f )
Система дифференциальных уравнений (1.10) при выполнении условий
(1.13) будет иметь более простой вид:
1 "I
2 chiU) + гмУн — у 2 ^Л + "g- 2ь = 0 (Л, ft = 1, 2, 3,. . ., п).
к
(1.14)
Функции фг (s) и o|?fr(s), отвечающие условиям ортогональности (1.13),
могут быть названы главными обобщенными координатами. Выбор
ортогональных функций фг (s) и tyk (s) может быть выполнен
графоаналитическими методами строительной механики.
4. Симметричная система линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами (1.14) или (1.10) может быть приведена
к эквивалентному ей одному дифференциальному уравнению.
В данном случае это будет уравнение порядка 2 (т -\- п). Отсюда
следует, что искомые функции ?7г (z) и7* (z), удовлетворяющие системе (1.14),
будут определены с точностью до 2(т + п) произвольных постоянных.
Число этих постоянных равно удвоенному числу степеней свободы в
пространстве элементарной поперечной полоски стержня шириной dz — 1.
Это находится в полном соответствии с числом независимых граничных
условий, которые могут быть заданы на крайних поперечных сечениях:
z = 0nz=l(l — пролет стержня в направлении образующей).
Распоряжаясь этими произвольными постоянными, можем получать решения для
данного стержня при различных граничных условиях, заданных
относительно продольных и поперечных перемещений; эти решения будут вполне
определенные и единственные, удовлетворяющие всем необходимым
геометрическим условиям. После определения Ui (z) и Vk (z) путем
решения уравнений (1.10) можно найти напряжения a (z) и t(z) в какой-либо
чгочке сечения z = const по формулам (1.4) и (1.5) также с точностью до
2 (т -f- п) произвольных постоянных.
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки вакрытого профиля 213
Введем в рассмотрение обобщенные продольные и поперечные силы
в сечении z = const стержня. Исходя из идеи о виртуальной работе
нормальных и сдвигающих сил об и тб в этом сечении на каждом из т -+- п
возможных перемещений, определим эти силы так, как мы это делали,
основываясь на законе секториальных площадей в § 8 гл. I, а именно:
P5(z) = ^ o^dF (/ = 1, 2, 3, . . ., т); \
? (1.15)
Qh{z) = \x^hdF (h = 1,2,3, . . „л). .
Рассматривая величины Pj (z) и Qh (z) как внутренние силы стержня,
выразим их через основные функции Щ (z) nVk(z). На основании (1.4),
(1.5), (1.11) и (1.15) получаем:
Pi (*) = Е 2 ап U^ <?» (z) = G (S ^i^i + S oX- ) (1.16)
г i k
(/, i = 1, 2, 3 . . ., m; A, A = 1, 2, 3, . . ., n).
Если же функции % (s) и г|>& (s) взяты ортогональными, то выражения
(1.16) будут иметь более простой вид:
P5(z) = Ea^U), Qh(z)=G(^ chiUi + гшу'Л (1.17)
(i — 1, 2, 3, . . ., т; h — 1, 2, 3, . . ., ri).
Формулу (1.4) мы теперь можем представить в виде
р.
о = у. —Lq>j (J = 1, 2, 3, . . ., т),
7 "
или в раскрытом виде:
°> *£■ ъ <*> + ^ * W + ^? tf <«> 4- • • • + -^г *- <*>• <1Л8)
Формула (1.18), справедливая при ортогональности функций <pi (s),
является обобщением ранее полученной на основании закона
секториальных площадей формулы (8.5) гл. I
N мч , мх , В
r Jy Jx Ja>
для стержней с открытым недеформируемым контуром; действительно,
если положить
<PiO0 = 1, ф2г» = *[(*), Фз(*) = ?W и <p4(s) = (о (5), (1.19)
то будем иметь:
Рх = \ ai;dF ={ЛГ, an = ^ l2 dF = F,
J°2 = \ a#dF = — Myj a22 = \ x2 dF = /y,
2*4
Тонкостенные упругие стержни
P3 = ^oydF = МХ1 «зз = \у2 dF = /х,
F F
Р4 = [ош dF = В, а44 = ^ (о2 dF = Л>.
F F
На основании этой аналогии будем называть геометрические
характеристики ajj = \ ф!^ (/ = 4, 5, . .., т) бимоментами инерции, а обоб-
F
щенные продольные силы Р4, Р6, ..., Рт, связанные с депланацией
сечения,— продольными бимоментами. Подробным же образом можно
выявить физический смысл и другой группы обобщенных сил Qh.
Полагая
^2 (s) = у' (s), y1(s) = z'(s),
о|>з (s) = х (s) у' (s) — у (s) x1 (s)
п используя функции (1.19), получим на основании выражений (1J.7)
<?i = Qx,
Q3 = Н\
В отличие от этих сил (поперечных сил и крутящего момента), будем
называть обобщенные силы (?4> Qsr •••» Qny соответствующие обобщенным
перемещениям К4, ^б» • ••» Vn, поперечными бимоментами.
Теперь, имея общий интеграл дифференциальных уравнений стержня
(1.14), мы можем определять напряженное и деформированное состояние
стержня при самых разнообразных граничных условиях на поперечных
краях, заданных в усилиях, в перемещениях или частью в усилиях,
а частью в перемещениях.
§ 2. Стержень-оболочка с изменяемым прямоугольным
профилем
1. Применим изложенную в предыдущем параграфе теорию к расчету
на прочность тонкостенного стержня, состоящего из четырех пластинок,
образующих в поперечном сечении прямоугольник; поперечное сечение
такого стержня имеет две оси симметрии: горизонтальную Ох и
вертикальную Оу (рис. 138).
Элементарная полоска шириною dz = 1, выделенная из стержня двумя
поперечными сечениями z= const и z+dz = const, обладает четырьмя
степенями свободы из плоскости и четырьмя степенями свободы в
плоскости полоски. Поэтому перемещения какой-либо точки любой
пластинки в ее плоскости мы можем представить в виде конечных рядов:
и (z, s) = иг(Z) ф! (s) + U2 (z) ф2 (s) + U3{z)ф3(s) + Ut(z) ф4(s),\
v (zf s) = Vt (z) % (s) + V2 (z) o|)2 (s) + V3 (z) % (s) + V, (z) o|>4 (s). J ( * )
1 В данном случае формулы (8.9) гл. I для касательных напряжений не имеют
места, поскольку в теории тонкостенных стержней открытого профиля касательные
напряжения в силу гипотезы об отсутствии деформации сдвига определялись из условий
статики, в то время как в теории тонкостенных стержней закрытого профиля мы
определяем касательные напряжения из закона Гука.
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 215
Обозначим, как обычно, через x(s)ny(s) координаты какой-либо точки
прямоугольного контура относительно осей симметрии, а через h (s) —
перпендикуляр из центра на любую сторону прямоугольника; пусть
х* (s) и у' (s) — производные по переменной s от этих декартовых
координат.
Функции фг (s) (i =1, 2, 3, 4) и о^/с (s) (к =1, 2, 3, 4) определим следующим
образом:
ф1 (s) = 1, ф2 (s) = х (*), фз (s) = у (s), ф4 (s) = x(s)y (s); (2.2)
i|>i (s) =h(s), i|>2 (s) = x' (s), -фз (s) = y' (s),
1|>4 (S) = Ж' (5) y(s) + X (S) y' (S).
Эпюры функций фг(s), производных <pi(s) и эпюры функций tyk(s)
показаны на рис. 139, а, б, в. Обобщенные перемещения, соответствующие
этим обобщенным
координатам, будут иметь
определенный физический смысл,
а именно: я/
а) обобщенные про
дольные перемещения: U\ (z) —
поступательное
перемещение всего сечения z =const;
V\ (z)e. U3 (z)—углы
поворота сечения z = const
соответственно относительно
осей Оу и Ox; С/4 (я)—
обобщенная депланация
сечения z = const;
р«—й
f 1
i 1
1
11
W
0
L
У
t *1
—=fl
м
"15
f
л:
Г
Рис. 138 Рис. 139
б) обобщенные поперечные перемещения: Vi (z) — угол поворота
сечения z = const как жесткого целого относительно оси Oz; V2(z) и V3(z) —
поступательные перемещения (прогибы сечения z = const по направлениям
осей Ох и Оу; F4(z) — обобщенная контурная деформация прямоугольного
сечения стержня).
Пусть di, 61 и Fi =didi — ширина, толщина и площадь поперечного
сечения вертикальной пластинки; с?2, 62 и Fz = ^262— ширина, толщина и
площадь поперечного сечения горизонтальной пластинки; I — длина
стержня (рис. 138).
Предположим для общности, что стержень усилен стрингерами,
расположенными на ребрах и работающими совместно с пластинками. Пусть
AF — площадь сечения стрингера. Обобщенной деформации F4 (z) для
стержня, пластинки которого на ребрах жестко соединены между собою,
соответствуют поперечные изгибающие моменты. Эпюры этих моментов
(2.3)
ЧИ1ЮИ11
щ © Р
ПнияшР
fpr^
©
Ш
ш
ш
©I
А
тттшттт
©
шШп
шш
©
ттгШтт
©
[^ **
к
^
щ © щ щ
шш
f
<8Ч
N
||®|
inffi
1
216
Тонкостенные упругие стержни
11
^Щ
б)
9-Ь—- т-Р
б)
Чг
(t
V
мч
Z*—С
М (s) для элементарной поперечной полоски показаны на рис. 140, а1.
Для определения значения момента в узле рассматриваемой полоски
воспользуемся методом сил. Для этого рассмотрим два состояния нашей
элементарной рамы, отвечающие единичному обобщенному перемещению
VA (z) = 1. Одно состояние мы получим, если вставим шарниры в узлах рамы
и приложим в этих узлах единичные изгибающие моменты (рис. 140, б).
Эпюра этих моментов, очевидно, будет
подобна эпюре M(s), но только ординаты
эпюры в узлах рамы будут равны
единице. Другое элементарное состояние
соответствует обобщенному
поперечному перемещению -ф4 (рис. 140, в). Из
условия равенства нулю взаимных
поворотов соседних стержней в узле
Рис.J140 рамы получим:
6пМ + 61ф = 0.
В данномТслучае для первого состояния взаимный поворот соседних
стержней, приходящийся на один узел рамы, вычисляется по обычной
формуле Мора:,
-I
Для взаимного перемещения соседних стержней узла рамы при
состоянии г|)4 получим (как видно из рис. 140, в) следующую формулу:
->1Ф
= —2.
Таким образом, ордината эпюры (рис. 140, а) в узле рамы,
отвечающая единичному обобщенному перемещению F4(z)=l, определится по
формуле
12
М =
EJX "t" Е J2
а искомый изгибающий момент в том же узле, соответствующий
перемещению F4(z), равен
#(г) = А7АК4(2)'
EJX + EJ2
1 Вид этой эпюры определяется из следующих соображений. Проекция на
нормаль к этой пластинке всех внешних сил, приложенных к бесконечно малому
элементу пластинки, в случае отсутствия внешней поверхностной нагрузки выражается
через интенсивность изгибающих и крутящих моментов, как известно из теории
пластинок, следующим образом:
d*Mz d*Ms д2Н
dz*
ds*
Jdz ds
= 0.
Предполагаем, что продольные нормальные и касательные напряжения по
толщине пластинки распределены равномерно, получим:
М z = Я = 0.
Отсюда следует, что
д2Л/е
:0.
Таким образом, изгибающий момент, относящийся к продольной площадке, линейно
изменяется по координате s. Очевидно, что из условия непрерывности поперечных
изгибающих моментов М8 = М (z, 5) вдоль s и обращения M(z, s) в нуль в середине
каждой пластинки нашего прямоугольного профиля и следует эпюра М (s),
представленная на рис. 140, а.
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 217
где через Jx = j^ , /2 = — обозначены соответственно погонные моменты
инерции вертикальной и горизонтальной пластинок, относящиеся к
продольному сечению стержня.
Раскрывая для данного случая общие дифференциальные уравнения
(1.10) и вычисляя коэффициенты этих уравнений по формулам (1.11)
при помощи эпюр, показанных на рис. 139, получим следующие основные
уравнения:
1) EFUl + Pl = 0,
2) EJ U"2 - 2GF2 (U2 + V2) + р2 = 0,
3) 2GF2 (U2 + V2) + q2 = 0,
4) EJJJl - 2СЛ (Ua + V',) + ps = 0,
5) 2GF, (U'3 + V',) + q3 = 0,
6) aUt - йхС/4 - b2V\ - byt + Pi = 0,
7) fe2[/; + ьуг + b2V\ + qi = 0,
8) Ь.и'. + ЬУ+ЬУ-сУ. + д^О.
Здесь приняты следующие обозначения для геометрических
характеристик:
F = 2Fj, + 2F2 + AAF,
(Fi , F%
\
(2.4)
J.,= dl(%+q + AF);
и обобщенных жесткостей:
1
a = ±Edldl(F1 + F2+MF),
b1~\G{d\F2 + dlFl),
b2=-.±-G{-d\F2+dlF,),
(2.5)
С —
96
dx
do
(2.6>
Свободные члены вычисляются по общим формулам:
Pj=\p<pjds (/=1, 2, 3, 4), )
?л = [qtynds (h = 1, 2, 3, 4). J
Первым уравнением системы (2.4) независимо от остальных семи
определяются продольные деформации стержня в случае осевого растяжения
или сжатия.
Если предположить, что обобщенные продольные нагрузки /?2 =
==р3 = 0, то второе и третье уравнения приводятся к одному уравнению:
,iv _ , EJv _. _ п (2.7)
EJyVr-q2 + ^ql^09
а четвертое и пятое уравнения приводятся к уравнению
.IV
EJXV? -q,+ r
ШГ^з = 0.
2.8)
218
Тонкостенные упругие стержни
Уравнениями (2.7) и (2.8) определяется деформированное состояние
стержня (с сохранением формы контура) при изгибе его как тонкостенной
балки соответственно в горизонтальной и вертикальной плоскостях.
Последними членами в этих уравнениях учитывается влияние
деформации сдвига соответственно в плоскостях горизонтальных и вертикальных
пластинок на прогиб стержня. Если этими деформациями пренебречь
(т. е. предположить, что поперечные сечения стержня при изгибе остаются
не только плоскими, но и нормальными к изогнутой оси стержня), то
уравнения (2.7) и (2.8) совпадут с известными уравнениями элементарной
теории изгиба балок.
На этом основании мы в дальнейшем не будем останавливаться на
анализе первых пяти уравнений, а займемся исследованием трех последних
уравнений, которые независимо от остальных образуют симметричную
систему трех дифференциальных уравнений, определяющих вместе с
граничными условиями на поперечных краях деформированное состояние
стержня, связанное для продольных перемещений с депланацией сечения, а для
поперечных перемещений с кручением и деформацией контура.
2. Внешние силы в трех последних уравнениях системы (2.4)
представлены свободными членами р4, qx и д4У вычисляемыми по общим
формулам (2.6). В соответствии с изображенными на рис. 139, а я в эпюрами
обобщенных координат <р4 (s), i|n(s) и \|)4 (я), мы можем эти силы назвать:
р4 — внешний погонный продольный бимомент, дй — внешний погонный
поперечный бимомент, qx — внешний погонный крутящий момент.
Аналогично, исходя из понятия о виртуальной работе и имея в виду,
что в случае кручения элементарная поперечная полоска стержня
обладает одной степенью свободы при перемещениях этой полоски из ее пло
скости и двумя степенями свободы при перемещениях в своей плоскости
получим формулы для внутренних обобщенных сил:
В = — \<syAdF,\
I
II = J x^dF, \ (2-9)
Q = [ x^dF. j
Здесь обобщенную продольную силу В мы называем продольным би-
моментом; обобщенная поперечная сила Н — есть не что иное, как
крутящий момент, а новую обобщенную силу Q, соответствующую деформации
контура, будем называть поперечным бимоментом; эта сила, подобно
продольному бимоменту В и в отличие от крутящего момента Н, также
статически эквивалентна нулю.
В целях придания наглядности излагаемой теории и упрощения
обозначений условимся в дальнейшем обозначать: искомую обобщенную
депланацию UA (z) через U(z), искомый угол кручения Vi(z) через Q(z)
и искомую обобщенную деформацию контура F4(z) через х (z).
Соответствующие этим обобщенным перемещениям обобщенные координаты будем
обозначать вместо <р4 (s),tyi (s) и if>4 (s) соответственно черезф (s),\|)e (s) и я|)х (s).
На основании (1.4) и (1.5) формулы для нормальных и касательных
напряжений будут иметь вид:
g(z, s) = EU'(z)<p(s)t л
х (z, s) = G[U (z) <p' (s) + 6' (z) фе (s) + x' (z) t|>x (*)]. J K ' '
Формулы (2.9) после подстановки в них выражений (2.10) и
вычисления определенных интегралов с использованием зависимостей (2.5)
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 219
будут иметь вид:
В = — all',
н = ь2и + М' + to'.
Q = b1U + М' + М'.
(2.11)
Наконец, рассматриваемая здесь система трех дифференциальных
уравнений в случае ее однородности (при /?4 = qx = д4 = 0) запишется в
новых обозначениях следующим образом:
btW + bjar + м" = о, [ (2.12)
Ьги' + Ъф" + ЬххГ — сх = 0. J
3. Займемся теперь интегрированием системы однородных
дифференциальных уравнений (2.12). Введем в рассмотрение новую функцию / (z)
и выразим через эту функцию и ее производные искомые перемещения
U(z), Q(z) и x(z), так чтобы первое и третье уравнения системы (2.12)
удовлетворялись тождественно при любом выборе функции /(z). Этому
условию будут удовлетворять зависимости:
(2.13)
где /', /", /IV — производные соответствующих порядков по переменной z.
По подстановке (2.13) во второе уравнение системы (2.12) получим
разрешающее уравнение в виде
£(й{-Щ)/v« -аЬхГ + <Ъ\-ЩГ= 0.
или в другой записи:
/vi-2r2/IV + s7" = 0, (2.14)
где г2 и"«4 — величины, определяемые или по формулам:
-»_ ь* s4 = -, (2.15)
и = Г>
u ™ cb2 ' ^ Ъ2>
*=7/'V>
\
-&А 1
1
J
2(4-^) '
или, если использовать зависимости (2.5), по формулам
2 24 Я / 1 1 \ \
s* =
Jx ^ Л J
Величины г2 и s4 в уравнении (2.14) можно рассматривать как
обобщенные упругие характеристики. Обобщенные внутренние силы также
выражаются через функцию / (z) и ее производные: для получения соответст-
220
Тонкостенные упругие стержни
вующих формул нужно подставить выражения (2.13) в формулы (2.11):
В = -аГ, f ^ v
Н = - к ^ - *»/v +1г - ^— г- \ <2Л7)
<? = «/'"• J
Таким образом, проблема кручения тонкостенного стержня
замкнутого прямоугольного контура приведена к одному разрешающему
дифференциальному уравнению (2.14) шестого порядка с постоянными
коэффициентами. Если мы определим из этого уравнения и граничных условий
функцию /(г), то при помощи формул (2.13) и (2.17) мы сможем найти
функции как; для основных обобщенных перемещений, так и для
основных обобщенных внутренних сил. Попутно обратим внимание, что из
первой и третьей формул (2.17) следует, что
Q = -B',t (2.18)
т. е. что обобщенная поперечная сила Q (поперечный бимомент) равна
производной от обобщенной продольной силы В (продольного бимомента).
Аналогичная зависимость была получена нами в § 8 гл. I для
тонкостенных стержней открытого недеформируемого контура; там же отмечалось,
что этому положению в сопротивлении материалов соответствует теорема
Журавского. Нужно отметить, что равенство (2.18) справедливо только
в случае р4 = 0.
Общий интеграл уравнения (2.14) может быть представлен в виде
/ (z) = СгФг + С2Ф2 + С3Фз + С4Ф4 + C5z + Св, (2.19)
где Ci. Сг, ..., С6 — произвольные постоянные, подлежащие
определению из граничных условий, а Ф1э 02, Фз и Ф4 — гицерболо-тригонометри-
ческие функции, являющиеся частными линейно независимыми решениями
уравнения (2.14) и определяемые формулами1:
ф2 = chazsin pz, ч
<D2 = chazcospz,
Ф3 = shazcos(3z, •
Ф4 = sh az sin pz,
где аир — соответственно действительная часть и коэффициент при
мнимой части четырех сопряженных комплексных корней
характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению
(2.14). Значения аир вычисляются ло формулам:
(2.21)
где s2 и г2— обобщенные упругие характеристики (2.15). Производные
различных порядков от функций Ф;(г) (2.20) выражаются через эти же
функции по формулам табл. 26.
1 Для определенности рассматриваем случай комплексных корней.
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 221
Таблица 26
Функции Ф.
фг = ch %z sin |3z
ф2 = ch iz cos $z
Ф3 = sh tz cos £z
Ф4 = sh az sin pz
Нечетные
производные от Ф.
7
ЛФ4 + ВФ2
ЛФ3 — ВФХ
АФ2 — ВФА
АФг + ВФг
Четные производные
от <bj
АФг + ВФ3
АФ2 — ВФА
ЛФ3 — ВФХ
АФА + ВФ2
Здесь А и В для различных производных выражаются через аир
следующим образом (табл. 27):
Таблица 27
Порядок производной
I
II
III
IV
А
a
a2 —р2
a (a2 — 33а)
a4 - 6a2(32 + З4
в
3
2a[*
3(3a2-p2)
4ap (a2 — 32)
Подставляя общий интеграл функции /(z) (2.19) в правые части
равенств (2.13) и (2.17) и пользуясь таблицами 26 и 27 производных
функций Ф, (z), мы получим общие интегралы искомых обобщенных
перемещений и основных обобщенных внутренних сил в функции шести
произвольных постоянных С\, С2, ..., Св. Для удобства обозрения они
записаны в форме табл. 28.
Мы можем интегралы основных обобщенных перемещений и усилий
представить в другой, более удобной для практических применений
форме, а именно: как функции непроизвольных постоянных С г, Съ, ..., Сб1
а функции начальных параметров, которые играют ту же роль
произвольных постоянных интегрирования, но имеют определенный механический
смысл. За начальные параметры в данном случае принимаются значения
на начальном краю z = 0 основных обобщенных перемещений U0, 0О, х0
и основных обобщенных сил Во, Но я Qo. Поступая, как изложено в § 3
гл. II, мы от общих интегралов табл. 28, выраженных как функции
произвольных постоянных Ci, С2, ..., С6, перейдем к таблице общих
интегралов тех же основных величин, выраженных как функции начальных
параметров Uo, 60, хо, Во, Но я Qo,— к так называемой матрице начальных
параметров, представленной для данного случая в виде табл. 29.
В табл. 29 для сокращения записи приняты два новых обозначения:
Г1 = £ГГ^' Г2=^1Т2' (2.22)
где Ь\ и Ьъ определяются формулами (2.5).
4. При помощи интегралов, представленных в табл. 29, решение
краевой задачи для оболочки (или тонкостенного стержня) ограниченной
длины приводится к определению только трех постоянных
интегрирования, поскольку из шести начальных параметров хо, Uo, Go, Но, Во и Qo
в каждой частной задаче три будут представлять собою известные
величины, определяемые из условий закрепления начального сечения z = 0.
Учет влияния как сосредоточенных, так и распределенных по какому
222
Тонкостенные упругие стержни
U (г)
6(2)
Х(2)
В (г)
H(z)
Q(«)
Сг
аФ4 + РФ2
2г2 Ъг
~"^Т1 <г ф1 + 2с*Фз)
-р[(««-6а»р»+04)Ф1 +
+ 4сф (а2 — Р2) Ф3]
— а (г2Фг + 2сфФ3)
—
а [а (а2 — 302) Ф4 + 3 (За2 —
-Р2)Фз]
с2
аФ3 | №
2г2 6,
^[(а*-6а232+р«)Ф2-
— 4сф(а2 —Р2)Ф4]
— а (г2Фа — 2сфФ4)
—
а [а (а3 — Зр2) Ф3 — р (За* —
-р2)Фх]
х(«)
U (г)
в(«)
Я(2)
В(5)
<?(«)
*0
ф2 + 2^ф4
^(аФг-ЗФз)
as4
-т. из ф*
0
as*
as*
^(аФх + рФз)
иа
1
~ 2о$ (аФ1 + рФз>
Ф2-2^'Ф*
as2
Т22сф<аФ1-РФз>
0
as^
^-(аФх-рФз)
as4
во
0
1
0
1
0
0
0
я0
-^(аФх + рФз)
Т2(^1+ф2_^ф4)
Т^(аФ1-?Фз) + Т1-
1
as2
Т2 2^(«Ф1-РФ,)
as4
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 223
Сг
аФ2 — рФ4
2г2Ь2
^[(а4_6а2р2 + 34)фз_
— 4ар (а2 — р2) Фх]
— а (г2Ф3 — 2сфФ0
—
а[а(а2 —Зp2)Ф2 —
-P(За2-P2)Ф4]
с.
афг + РФ3
2г2Ь2
^4[(а*-6а2р2+Р*)Ф4 +
+ 4ар (а2 — р2) Ф2]
— а (г2Ф4 + 2арФ2)
—
а [а (а2 — Зр2) Ф! +
+ р(За2-р2)Ф3]
Таблица 28
сб
1
—
—
ь\-ъ\
~' h
—
св
—
—
—
—
Таблица 29
*о
1 _
2^рФ*
а (а2 — 3(32) Ф1 + р (р2 — За2) Ф3
2ар as2
Г2(_1+ф2_ ^-Ф4)
О
Ф2~1арФ4
■^(аФ^рФз)
Qo
а (а2 — Зр2) Ф1 + Р (За2 — р2) Фз
2aPas4
2^арФ4
"" 2^{аФ1 + ^°з)
О
1
~23р"(аФ1 + РФз)
Ф' + ^рФ*
224
Тонкостенные упругие стержни
угодно закону вдоль координаты z статических и кинематических
факторов производится по правилам, изложенным в § 3 гл. II применительно
к матрице начальных параметров для тонкостенных стержней открытого
профиля. Так как принятая нами в данной задаче расчетная модель для
оболочки характеризуется тем, что элементарная поперечная полоска
при кручении обладает тремя степенями свободы (одной при деформации
из плоскости и двумя — в плоскости полоски), то число независимых
граничных условий для одного края оболочки будет равно трем. Всего,
таким образом, на двух краях оболочки может быть задано шесть
независимых условий, что находится в
полном соответствии с порядком
основного разрешающего
дифференциального уравнения (2.14), а
следовательно, и с числом
произвольных постоянных
интегрирования этого уравнения (Ci, С2, ...,
Се или хо, Uo, 60, #0, Во и Qo).
Граничные условия по какому-
либо одному поперечному краю в
зависимости от характера задачи
могут быть заданы или только в
перемещениях, или только в
усилиях, или (в задачах смешанного
типа) частью в перемещениях,
частью в усилиях. Так, например,
в случае полной заделки оболочки
по какому-либо поперечному краю
мы будем иметь граничные
условия чисто геометрического
характера, а именно: на этом крае
должны выполняться условия (7 = 0 =
— х =0. Если это край начальный (z =0), то будем иметь UQ = 0о = х() = О
и три начальных параметра, таким образом, уже будут определены
независимо от того, какие условия будут на другом поперечном крае.
По другому краю (z = I) условия могут быть тоже только
геометрические или только статические; например, если край свободен от
продольных и поперечных закреплений и никаких усилий по этому краю не
приложено, то условия при z = I будут иметь вид:
B{l) = H(l) = Q(l) = 0.
В случае же, если по краю z = I приложена обратносимметричная
система четырех равных по абсолютной величине продольных сил Р и
обратносимметричная система четырех попарно равных по абсолютной
величине поперечных сил q\ и qz (рис. 141, а), то, приводя эти силы к
обобщенным силам (одной продольной и двум поперечным), мы будем
иметь следующие граничные условиями: при z = I
B(l) = d1d2P, H(l) = digi + d2q2, Q(l)^-dlgl + d2q2.
Если по сечению z = I приложены одни только продольные силы Р9
а поперечные нагрузки в этом сечении равны нулю (#i = <72 = 0)- то
граничные условия будут иметь вид:
при z = I В (I) = dxd2P, H(l) = Q (I) = 0.
Если, наоборот, продольные силы в сечении z = I отсутствуют, а по-
Рис, 141
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 225
перечные силы в этом сечении задаются формулами:
qx = d2S, q2 = dxS,
где S — интенсивность равномерного потока заданных сдвигающих
усилий (отнесенная к единице длины контурной линии), то граничные
условия при z = I будут иметь вид:
В (I) = О, Я (/) = 2d1d2S, Q (I) = 0.
В этом случае внешняя нагрузка, заданная на контуре сечения z = Z,
приводится только к крутящему моменту #, определяемому как
произведение удвоенной площади прямоугольника со сторонами d\ и di на
сдвигающую силу S, отнесенную к единице длины контурной линии.
Во всех перечисленных выше случаях три граничных условия по
краю z = I дают три уравнения для определения трех остальных
начальных параметров и дают таким образом вполне определенное решение
задачи о кручении тонкостенной оболочки (или стержня) с замкнутым
контуром поперечного сечения, у которой один конец (z =0) жестко заделан,
а другой (z = J) находится в одном из перечисленных выше граничных
условий.
Мы будем иметь задачу о чистом кручении замкнутого тонкостенного
прямоугольного профиля, если предположим, что оба поперечных края
стержня (z = 0 и z =1) свободны от продольных и поперечных
закреплений и на этих краях приложены одни только сдвигающие силы 5,
которые образуют замкнутый поток постоянной интенсивности по контуру
сечения (рис. 141, б).
Граничные условия в этом случае будут иметь вид:
при z = 0 В0 = (?о = 0, #0 = 2dxd2S\
при z = / B(l) = Q (I) = 0, Н (I) = 2d1d2S.
Определив по этим условиям начальные параметры, получим для
основных расчетных кинематических и статических величин следующие
формулы:
U = -r2H0y )
х = В = <? = 0. J
Вторую формулу (2.23) можно представить в несколько ином виде;
продифференцировав обе части один раз по z, получим:
или
в' = Ti#o (2.24)
H0 = U'.
Раскрывая f\ п0 формуле (2.22) и пользуясь зависимостями (2.5),
получим:
где Q =:dic?2 — площадь прямоугольника со сторонами d\ и di.
Эта формула совпадает с ранее полученной формулой (3.5) гл. III
Нт = Т й, выведенной нами для случая замкнутого профиля. Сдвигающая
сила T(z) определялась по формуле (3.9) гл. Ill Т (z) = г-в' (z), где
226
Тонкостенные упругие стержни
6Т = ф -?, Для замкнутого прямоугольного профиля стержня,
состоящего из пластинок шириной и толщиной соответственно di, 61 и cfe, 62,
учитывая, что модуль сдвига для всех пластинок одинаков, получим
следующее значение дт'
/^ОА А
и, следовательно, Т = Л * * .V (z), откуда окончательно получим:
^т~2(^б2-|-^бГ)0 W»
что полностью совпадает с формулой (2.25), так как в данном случае
Q = did2, в то время как в § 3 гл. Ill Q =2did2.
Если в формуле (2.25) положить 61=62= 6, то получим известную
формулу Бредта, относящуюся к задаче о чистом кручении замкнутого
тонкостенного прямоугольного профиля при одинаковых толщинах стенок:
где величина
Н°=Ш;»'> <2-26>
'*=<г?г (2-27)
представляет собой момент инерции при чистом, сен-венановском
кручении.
Что касается оставшейся в выражениях (2.23) неопределенной
величины 0о, то, поскольку она относится к угловому смещению стержня как
жесткого целого, она не влияет в этом случае на напряженное состояние
стержня и по этой причине может быть принята равной нулю. На других
видах граничных условий мы не будем более задерживаться, отсылая
интересующихся к нашей работе [51].
§ 3. Расчет оболочки с прямоугольным изменяемым
профилем без учета деформаций сдвига
Интегралы основных усилий и перемещений, представленные в
матрице табл.29, пол учены при довольно общих предположениях, учитывающих
не только деформацию изгиба поперечного сечения стержня, но также и
деформацию сдвига. Имея эти интегралы, мы могли бы при помощи
предельных переходов получить решения для задач, являющихся
частными случаями изложенной здесь более общей и точной теории. Так,
переходя в интегралах табл. 29 к пределу при GF\ ->оо и GFi —»оо, что
соответствует гипотезе об отсутствии деформации сдвига, мы получили бы
основные расчетные формулы применительно к этой частной задаче.
Будем в данном случае для простоты исходить не из табл. 29, а из
системы дифференциальных уравнений (2.12). Поскольку мы считаем,
что деформация сдвига отсутствует, то, очевидно, в системе (2.12)
необходимо сделать предельный переход при GF\ —>оо и GF% —>оо. Из формул
(2.5) видно, что при этом Ъ\ —» оо и Ьч —» оо. Кроме того, поскольку
кручение стержня связано с деформацией сдвига, то, очевидно, при отсутствии
деформации сдвига угол кручения Q(z)=0, а следовательно, и обобщенное
перемещение i|n(s) = г|)е($), отвечающее повороту поперечного сечения,
также равно нулю.
В системе (2.12) второе уравнение пропадет, так как оно выражает
работу всех сил, приложенных к элементарной поперечной полоске, на
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 227
обобщенном перемещении T|>e(s), а остальные уравнения этой системы
примут следующий вид:
aU" — b1U — b1n' = 0,
bJJ' + bx%" — си
-О, |
0. /
(3.1)
Так как а — постоянная величина, а Ьг—> оо, то мы из первого
уравнения получим:
tf = — х'. (3.2)
Дифференцируя первое уравнение (3.1) по z и складывая со
вторым, получим:
al/"' — сх = 0.
Воспользовавшись выражением (3.2), перепишем последнее
уравнение в следующей форме:
1 а
При Gi^-xx) и GF2—»оо из формул (2.15), (2.16) и (2.21) следует,
гго г2 = 0 и а2 = З2 = у; полагая к2 = у, получим:
xIV + 4/c4x = 0. (3.3)
Нетрудно видеть, что уравнение (3.3) полностью совпадает с
уравнением (2.14), если положить х=/" и записать уравнение (2.14)
применительно к нашему случаю, т. е. положить г2=0.
Для основных усилий и перемещений получим согласно выражениям
(3.2), (2.13) и (2.17) следующие формулы:
U
х', В = ах", Q=— ах"
(3.4)
Гиперболо-тригонометрические функции (2.20) в случае уравнения
(3.3) записываются следующим образом:
Oj = ch kz sin kzy \
Ф2 = ch kz cos kz, \
Ф3 = sh kz cos kz, [
Ф4 = sh kz sin kz. )
(3.5)
Матрица основных интегралов, выраженных через начальные
параметры хо, Uoj Во и Qo, имеет следующий вид:
*(*)
U(z)
B(z)
Q(z)
Хо
Фа
к (Ф1 - Ф3)
— Й52Ф4
<ZS2/c (Ф1 + Ф3)
Uo
-4(ф1 + фз)
ф2
ак (Фх — Ф3)
— а.92Ф4
В0
—»Ф4
as2 4
к
- ^2(Ф1+Ф3)
Ф2
/С (Ф! — Ф3)
Таблица 30
Qo
-^4(Ф1-Фз)
а!*Ф*
1
- 2^(Ф1+Фз)
Ф2
228
Тонкостенные упругие стержни
Матрица табл. 30 совершенно идентична с матрицей начальных
параметров для балки на упругом основании с той разницей, что в
последнем случае в качестве основных расчетных величин берутся прогиб,
угол наклона касательной к изогнутой оси, изгибающий момент и
поперечная сила. К тем же результатам мы можем прийти и другим путем,
исходя из общих восьмичленных дифференциальных уравнений, ибо
этот метод расчета есть по существу
Ъ) \ Ф Ф частный случай использования изло-
\2
Рис. 142
Л женного нами общего вариационного
*^ метода применительно к складчатым
системам при учете только деформации
контура поперечного сечения системы
и пренебрежении деформациями сдвига
одной пластинки по отношению к
другим [51]. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим тот же коробчатый профиль
(рис. 141) при действии на него
поперечной нагрузки, расположенной в плоскости одной из вертикальных
граней (рис. 142, а), при этом для простоты не будем учитывать стрингеров.
Разлагая нагрузку на симметричную и обратносимметричную
(рис. 142, б и в) и применяя к расчету данного профиля теорию складчатых
систем, т. е. исходя из общих восьмичленных дифференциальных
уравнений, получим одно дифференциальное уравнение для симметричного
загружения и систему двух совместных дифференциальных уравнений
для обратносимметричного загружения:
а) для симметричной нагрузки
№+:
.2 I dz* "Г" ^
4-^=0-
(3.6)
б) для обратное и мметричной нагрузки
did* ° "^ ТГ Ui "1" J%) dz* ~~ U'
(3.7)
где a — продольное нормальное напряжение и G — поперечный
изгибающий момент для одной угловой точки поперечного сечения (в остальных
угловых точках эти напряжения и моменты имеют или те же значения,
или отличаются от них только знаками).
Уравнением (3.6) определяются продольные нормальные напряжения
а в случае изгиба стержня в вертикальной плоскости. Это — задача,
относящаяся к обычной элементарной теории изгиба балок.
Уравнения (3.7) относятся к кручению стержня обратносимметрич-
ными силами y#(z), изменяющимися по длине стержня по произвольному
закону. Путем несложного исключения o(z) или G(z) система
дифференциальных уравнений (3.7) может быть приведена к одному из
следующих уравнений:
<™ + WG+A=0, )
(3.8)
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 229
где 4/с4 = &'4, А и В — члены, зависящие от внешней нагрузки и
определяемые формулами:
144/гЛ Я (*)
4 =
rfirf2 (Л + ^t) (diJ* + d*Ji) di
» 3 g"(*)
Любое из уравнений (3.8), как видим, приводится к уравнению
балки на упругом основании. Однородные части этих уравнений
совпадают с уравнением
xIV + 4/с4х = О,
которое является разрешающим для частного случая, к которому
относится матрица табл. 30. Отсюда заключаем, что, исходя из восьмичлен-
ных уравнений, мы в конечном счете придем к той же матрице табл. 30.
Пример 1. В качестве примера рассмотрим ту же коробчатую
оболочку длиной Z, находящуюся под действием вертикальной равномерно
распределенной нагрузки д, приложенной к плоскости одной из
вертикальных граней (рис. 142, а). Второе из уравнений (3.8) в этом случае
будет однородным:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
б = Сх sh kz cos kz + C2 ch kz cos kz + C3 ch kz sin kz + C4 sh kz sin kz, (3.9)
где Cl9 C2, C3 и C4— произвольные постоянные. Подставляя выражение
(3.9) в первое из уравнений (3.7) и определяя затем функцию G, получим:
к2
G = — 7w dYd2 (Fx -|- F2) (С1 ch kz sin kz + C2 sh kz sin kz —
— C3 sh kz cos /cz — C4 ch kz cos fcz) — ~^.
Произвольные постоянные Cx, C2> C3 и C4 находим из граничных условий.
Рассмотрим случай шарнирного закрепления стержня на концах при
наличии жестких в своей плоскости опорных диафрагм и при q = const.
Выбирая начало координаты z в середине пролета и имея в виду, что как
в отношении граничных условий, так и в отношении внешней нагрузки
плоскости z = 0 является плоскостью симметрии, получим:
С, = С3 = 0.
Напряжения a (z) и моменты G (z) в рассматриваемом случае
выражаются четными относительно z функциями:
а = С2 ch kz cos kz + C4 sh kz sin kz,
G=- k4ld*(^ + F2) (C% sh kz sin /cz - C4 ch fa cos fcz) - ^. (3.10)
Полагая при z = у: <з = 0иб = 0 (согласно условиям продольной
подвижности стержня и недеформируемости контура опорного сечения),
найдем:
u kl kl п , , kl . kl п г,
ch у cos у С2 + sh y sin у С4 = 0,
.kl.kl^ .kl kl п 3<7
shTin ТС,- chTcosTC4 = 2W& + P* ■
230
Тонкостенные упругие стержни
Из этих уравнений получаем значения произвольных постоянных
С2 и С4:
kl
kl
С\ = -
Ъд
sh ~л sin -к
2^(^ + ^)sin2|_ch2|
kl
kl
С4= n
3?
ch -^ cos ~2*
(3.11)
ШЦЛ + *) sin4_chS|-
Формулами (3.10) и (3.11) определяются напряжения а и моменты G
в^любом сечении.
На рис. 143, а, б показаны эпюры наибольших напряжений а в случае
симметричной и обратносимметричной нагрузок для стержня, имеющего
в поперечном сечении размеры: di=120 см, йг=70 см\ 6i =1,0 см, 6г =
=1,6 см. Пролет стержня /=10 м. Нагрузка д=100 кг 1м.
I
ш
@
ш
'w&L^&^#»
Г
'j
@
Рис. 143
кг
о?
р '7 Ли.
Рис. 144
По длине стержня напряжения от симметричной нагрузки, как
следует из уравнения (3.6), меняются но закону квадратной параболы,
напряжения же от обратносимметричной нагрузки меняются по закону,
выраженному произведениями
гиперболических и
тригонометрических функций, как это
видно из формулы (3.10). На
концах балки напряжения о как в
случае изгиба, так и в случае
кручения обращаются в нуль.
На рис. 143, в дана
суммарная эпюра напряжений от
односторонней нагрузки q =
= 100 кг/м. Напряжения в об-
ратносимметричном, а
следовательно, и в суммарном состоянии не следуют уже закону линейного
распределения. Отклонение от этого закона, как видно из сравнения эпюр,
представленных на рис. 143, айв, достигает весьма больших значений.
Это отклонение в данном случае происходит за счет деформаций
контура сечения.
На рис. 144, а приведена эпюра наибольших поперечных изгибающих
моментов в сечении z = 0. На рис. 144, б показаны соответствующие этим
моментам деформации изгиба поперечного контура.
Пример 2. Пусть прямоугольный коробчатый стержень на концах
загружен продольными силами, распределенными по сечению согласно
эпюре а, показанной на рис. 145, а. Эти силы для данного сечения стержня
Рис. 145
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 231
образуют уравновешенную систему сил, т. е. такую систему, у которой
равнодействующая и момент относительно любой оси равны нулю.
Согласно принципу Сен-Венана такая нагрузка не вызывает
напряжений1 в сечениях, достаточно удаленных от места ее приложения. В
отношении же рассматриваемого здесь тонкостенного стержня этот принцип
не оправдывается. В этом легко убедиться, рассчитав стержень на
приложенную по концам уравновешенную продольную нагрузку. Выбирая
начало координат в среднем поперечном сечении и определяя (из условия
равновесия бесконечно малого элемента стержня) касательные
напряжения т, найдем:
б (z) = С2 ch kz cos kz + C4 sh kz sin kzt
x (z) = A [C2 (sh kz cos kz — ch kz sin kz) -\- C4 (ch kz sin kz + sh kz cos kz)],
где A — коэффициент пропорциональности.
Произвольные постоянные определяются из граничных условий:
при z = y б = 1, т = 0.
На рис. 145, б приведен график напряжений, вычисленный для длины
1 = 10 м. Напряжения а в среднем (наиболее удаленном от концов стержня)
сечении достигают весьма больших значений. Эти напряжения в каждой
точке составляют 81 % от напряжений на концах. С увеличением длины
стержня I напряжения а в средней части убывают. Для стержней,
имеющих весьма большую длину, напряжения а от уравновешенной
продольной нагрузки практически обращаются в среднем сечении в нуль. В этом
случае напряжения носят местный характер и, следовательно, находятся
в согласии с принципом Сен-Венана.
В общем же случае принцип Сен-Венана к тонкостенным стержням,
равно как и к оболочкам, неприменим (что уже отмечалось ранее).
§ 4. Расчет стержня-оболочки жесткого прямоугольного профиля
с учетом деформаций сдвига
Рассмотрим задачу о кручении тонкостенного стержня (или оболочки)
с жестким замкнутым прямоугольным контуром. Общий метод расчета
такого стержня на стесненное кручение (с учетом деформаций сдвига)
получается как частный случай предложенного нами общего
вариационного метода. Считая контур стержня недеформируемым, мы должны,
очевидно, положить
/х = /2 —> оо.
Это равносильно тому, что с—>оо [см. формулы (2.5)].
Так как х = 0, то из трех кинематических факторов (2.13) остаются
два: U и 0, которые теперь будут определяться формулами:
Прис—> оо, как видно из формул (2.16), г2—>оо И54-> оо, но отношение
2^2 остается величиной конечной; поэтому, разделив разрешающее
уравнение (2.14) на (—2г2) и переходя к пределу при с—>оо, получим
1 Точнее,— вызывает весьма малые напряжения.
232
Тонкостенные упругие стержни
разрешающее уравнение для данного частного случая. Это уравнение будет
иметь вид
/IV-=£/" = о,
или в другой записи
/IV-£/" = 0, (4.2)
где через к2 обозначена безразмерная упругая характеристика,
определяемая формулой
к2 = — z2 = 48G 6А/2
2г2 Е (rfA + rfedi)(/,i + /f,e + 6A/,)e
Уравнение (4.2) совершенно идентично с уравнением (3.1) гл. II для
случая кручения стержня с открытым недеформируемым контуром; они
отличаются только упругими характеристиками к2, которые имеют
различные значения. Общий интеграл уравнения (4,2) будет иметь такой же
вид, как и интеграл для угла закручивания 8 (2.4) гл. II в случае
однородного уравнения (3.1) гл. II, т. е.
при 8(z) = 0: / = C1 + C,1z + C8shy2 + C,4chyz. (4.3)
Так как разрешающее уравнение в данном частном случае четвертого
порядка, то для получения матрицы начальных параметров нам нужно
помимо интегралов двух кинематических факторов U и 6 получить еще
интегралы для двух статических факторов; из трех основных статических
величин Ву Н и (?, которые фигурируют в общем случае, в качестве этих
двух основных факторов возьмем В ж Н [при х = О, как следует из общих
формул (2.9), Q=0]. Эти статические факторы в нашем случае (при с-> оо)
будут вычисляться по формулам:
* — ?• ) (4-4)
Подставляя в формулы (4.1) и (4.4) значение общего интеграла / по
(4.3), получим выражения четырех основных расчетных величин £7, 6,
В и Н в функции четырех произвольных постоянных интегрирования
Си С2, С3 и С4, а заменяя затем произвольные постоянные Си С2, Сг
и С4 начальными параметрами U0, 0о, BQ и Н0 подобно тому, как это мы
делали в § 3 гл. II в случае тонкостенных стержней открытого профиля,
мы получим для рассматриваемого частного случая — кручения
тонкостенного стержня с жестким прямоугольным контуром — матрицу
начальных параметров (табл. 31).
Нужно отметить, что коэффициент Ьг может быть положительным,
отрицательным или равным нулю в зависимости от размеров контура;
поэтому коэффициенты влияния матрицы табл. 31, содержащие множитель
Ъг, могут быть положительными или отрицательными.
Рассмотрим подробнее случай Ьг = 0. Как видно из (2.5), при Ы ~ 0
d\F2 = d\Fu что при одинаковой толщине пластинок стержня соответствует
квадратному профилю. Система основных дифференциальных уравнений
(2.12) при х = 0 и Ъг = 0 принимает следующий вид:
ft
•;=о0:}
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 233>
Таблица 31
6(2)
U (г)
B{z)
H(z)
во
1
0
0
0
Uo
h I . k
-6TTshT2
к k
ChT2
ak , k
-TshTz
0
Д.
' h k z
ak I
к k
chT2
0
ffo
i» / k ь\ k \
^Tz-^shTz/
b*l* L uk \
62 l . k
-6ifcsh7z
1
Последнее уравнение системы (2.12) в нашей частной задаче
отсутствует, так как оно выражает работу всех внешних и внутренних сил
элементарной поперечной полоски на возможном перемещении i|?K(s).
отвечающем деформации профиля стержня, которая при с—>оо будет
равна нулю.
Оба уравнения (4.5) записаны нами, так же как и система (2.12), при
отсутствии внешней распределенной нагрузки. Продольная и поперечная
нагрузки представлены рядом сосредоточенных силовых факторов,
которые приложены в различных сечениях стержня.
Уравнения (4.5) можно решать независимо друг от друга, так как в
первое уравнение входит только продольное перемещение Е/\ отвечающее
депланации поперечного сечения стержня, а во второе — только угол
поворота поперечного сечения стержня Q(z). Поскольку система
дифференциальных уравнений при Ьг = О распалась на независимые друг от
друга уравнения, то отсюда следует важный вывод: в случае стержня с
жестким профилем при Ъъ = 0 состояние депланации U(z) и состояние кручения
0 (z) не влияют друг на друга. Продольная бимоментная нагрузка не
вызывает кручения стержня, точно так же, как и крутящие моменты,
приложенные к стержню, не вызывают депланации cp(s) его поперечных
сечений.
Из второго уравнения (4.5) следует, что при отсутствии
распределенных по длине стержня крутящих моментов стержень находится в
условиях чистого сен-венановского кручения, так как угол кручения Q(z)
меняется по линейному закону вдоль координаты z. Отсюда, однако, не
следует, что поперечные сечения такого стержня не могут испытывать
депланации. Состояние депланации cp(s), описываемое первым уравнением
системы (4.5), может быть вызвано продольными бимоментными
нагрузками, и это состояние не будет зависеть от угла кручения 8(г).
Матрица табл. 31 совершенно аналогична матрице табл. 3 гл. II,
что является следствием отмеченной выше идентичности разрешающих
уравнений (4.2) и (3.1) гл. II.
Из этой аналогии следует, что изложенные в предыдущих параграфах
методы расчета на кручение тонкостенных стержней открытого профиля
могут быть применены и к рассматриваемой здесь задаче по кручению
тонкостенных стержней замкнутого недеформируемого профиля.
234
Тонкостенные упругие стержни
§ 5. Пространственные конструкции с жестким профилем,
имеющим одну ось симметрии
1. Большой практический интерес представляют задачи о расчете
пространственных тонкостенных конструкций с жестким недеформируе-
мым контуром открытого или замкнутого профиля, обладающие в
поперечном сечении одной осью симметрии. К таким задачам может быть
отнесен, например, расчет корпуса судна, расчет многоконтурного
симметричного кессона крыла самолета и т. д. Здесь с успехом может быть
применен общий вариационный метод, изложенный в § 4.
При решении этой задачи мы ограничимся рассмотрением совместного
действия изгиба из плоскости симметрии и стесненного кручения,
оставляя в стороне более элементарный вопрос о продольном растяжении и
изгибе в плоскости симметрии. Предположим, что перемещения и (z, s)
и v(z, s) представляются в виде четырехчленных рядов, как в формуле
(2.1), а функции cpi(s) и \|)*(s) определяются формулами (2.2) и (2.3). Тогда
при рассмотрении вопроса только о совместном действии изгиба из
плоскости симметрии и стесненного кручения мы будем иметь для
перемещений двучленные разложения:
и (z, s) = Ux (z) ф1 (s) + U2 (z) ф2 (s), Л
v (Z, s) = Vx (z) % (s) + V2 (z) ifc (5), J * • '
где функции фг (s) и %. (s) обозначают:
ф1 (S) = X (S), ф2 (S) -=x(s)y (5), I
%(5) = x'(s) = cos a (5), i|)2(s) = h(s)> )
причем a (s) — угол между касательной в данной точке и осью Ox; h(s) —
перпендикуляр, опущенный из центра кручения на касательную.
В формулах (5.1) искомые обобщенные перемещения имеют следующий
физический смысл:
Ui(z) — угол поворота сечения z = const относительно оси Оу;
Uz(z) — обобщенная депланация сечения z = const;
Vi(z) — поступательное перемещение сечения z = const по
направлению оси Ох;
Vz(z) =0(z) — угол поворота сечения z = const как жесткого целого
относительно оси Oz.
Коэффициенты системы дифференциальных уравнений (1.10),
вычисляемые по формулам (1.11), при заданных значениях функций ф| и tyk
(5.2) будут представлены в следующем виде:
аг1 =jj <p»(s)dF = J x4F,
F F
a12 = a21 = \ ф1ф2й^ = ^ x2ydF,
F F
a22 = \q>\dF = \x*y4F;
F F
F F
bit = К = J y\%dF = J x' (x'y + xy')dF.
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 235
bM=\{%fdF=\(x'y + xy'fdF;
F F
cn = b11 = \<p'iy1dF = \i(xydF,
F F
,c12 = ^ y'^tdF = Jj x'hdF,
F F
c2l = b12 = J %^dF = jj (x'y + xy') x'dF,
F F
c2! = \ %%dF = \ (x'y + xy') hdF;
F F
Cii = b11 = \lbW1dF = \(x'fdF,
F F
en = b12 - jj ^2dF = ^ ж' (aty + sj/') dF,
F F
F F
F F
'11 = 611 = 5*^ = 5 (Ю'ЛР'.
F F
^12 = ^21 = c12 = \ i^iM^ = \ x'hdF у
F F
r22 - $ ^\dF = \ h4F.
Из двадцати коэффициентов, как видим, существенно различных
оказывается только девять: ап, а12, а22, ^п» Ъ12>, Ъгг, с12, с22, r22, а остальные
повторяют их.
Один из этих коэффициентов можно обратить в нуль, исходя из
следующих соображений.
Угол 0(z) есть угол поворота всего сечения относительно оси Oz,
проходящей через произвольно выбранную точку оси симметрии Оу сечения
стержня. Примем сначала за центр кручения сечения стержня центр
тяжести сечения и обозначим длину перпендикуляра, опущенного из
центра тяжести на профильную линию, через h(s). Если принять теперь
за центр кручения сечения произвольную точку ау оси Оу, то длина
перпендикуляра h 1(5), опущенного из этой точки на профильную линию,
выразится через h(s) следующим образом:
hi(s) = h(s) + oiyx',
Ортогонализируя функции hx (s) и х' (s), обращаем в нуль
коэффициент с12:
с12 = С х' (h + аух') dF = 0.
236
Тонкостенные упругие стержни
Отсюда находим координату искомого центра кручения:
1 x'hdF
\(х')
PdF
После сделанных замечаний можно систему дифференциальных
уравнений представить в виде табл. 32.
Символом D, как и ранее, мы обозначаем операцию
дифференцирования функции, стоящей в заголовке таблицы, по переменной z. При
вычислении коэффициентов с22 и г22 под интегралами вместо h нужно»
теперь брать (h-\-ayx').
Таблица 32
Ui(z)
EanD* — Gbn
Ейц™ — Gb\2
GbnD
—
U2(z)
EauD2 — Gbi2
EavJP — G&22
Gbi2D
Gc^D
Vi(z)
— GbnD
— Gb12D
GhiD2
—
v2(z) = e(z)
—
— GczzD
—
Gr^D2
Нагрузка
Pi
Рг
Я\
Яг
Правая
часть
0
0
0
0
Из двух последних уравнений системы (табл. 32) находим (обозначая
производные по z штрихами):
ий = ~^-&' —
1
Т l' Т/" I Ью^М nit , bl2 1
(5.3)
ЬцС22
GbnC22
Gbr
?i-
Дифференцируя первое уравнение системы (табл. 32) один раз по zr
Складывая его с третьим уравнением и подставляя в результат вместо иг
и Vа их выражения по формулам (5.3), получим:
- ЕапУГ + Е —nbl2 ~~ anbl1
Г22
0iv + gi = o,
где
b\i С22
— Е /anbu ^12 \ " Е an " , ' , „
(5.4)
Второе уравнение системы (табл. 32) после дифференцирования один
раз по z и использования зависимостей (5.3) дает
fll2&12 — ^22^11 _Г22 QIV I
Ьц С22
(ЬцЬм — Ь^гаа —Ьцс^ Q// - =Q
ЬцС22
(5.5)
Гл. IV, Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 237
где
- Е ( ai2bi2 «22 \ " Е а12 '' . /&22 &12 \ „ , Ь12 л . '
Умножив уравнение (5.4) на а12, а уравнение (5.5) на (— аи) и сложив
их, получим:
Е (аиа22 - а\2) г-^-Ъ™ _ G [(6iA2 _ ^ jg_* _ ^j е„ +
+ ^12?1 — ЯЦ?2 = 0. (5.6)
Таким образом, систему четырех уравнений табл. 32 мы можем
заменить другой системой четырех уравнений (5.3), (5.5) и (5.6), из
которых уравнение (5.6) по виду идентично изученному нами уравнению
«тесненного кручения тонкостенных стержней открытого профиля, и все
задачи, ранее решенные нами, могут быть целиком применены здесь.
После определения угла кручения 6 и подстановки его в уравнение (5.4)
мы для определения прогиба Vi приходим к известному уравнению
изгиба балки. Наконец, подставляя в (5.3) найденные значения Vi и в,
получаем простые дифференциальные уравнения первого порядка, из
которых легко определяются две остальные искомые функции Ui и 11г.
§ 6. Экспериментальная проверка
1. Теоретические исследования, произведенные на основе
изложенного нами метода, показывают, что продольные нормальные напряжения
в тонкостенных стержнях и оболочках с замкнутым изменяемым
контуром поперечного сечения, происходящие от уравновешенной продольной
нагрузки (бимоментной), не носят характера местных напряжений и
затухают весьма медленно по мере удаления от места приложения этой
нагрузки. Степень затухания зависит как от величины отношения
толщины стержня б к длине грани d замкнутого контура поперечного сечения,
так и от степени жесткости контура поперечного сечения стержня или
оболочки. С увеличением отношения -j степень затухания напряжений
возрастает, однако не настолько быстро, чтобы можно было эти
напряжения считать местными; точно так же при изгибе элементов поперечной
замкнутой рамы степень затухания продольных нормальных напряжений
с от продольной бимоментной нагрузки возрастает с увеличением средних
погонных жесткостей (EJi и Е1г в случае прямоугольного контура) и
только в предельном случае, т. е. в случае оболочки с жестким
замкнутым контуром, дополнительные напряжения, связанные с отклонением от
гипотезы плоских сечений, можно по своему характеру относить к
местным напряжениям. Указанное обстоятельство имеет большое значение
при решении многих практических задач.
Проблема эта, связанная с принципом Сен-Венана, сравнительно
легко может быть исследована при помощи варьирования в уравнениях
(2.12) отношений -т, а также величин J\ и /г, представляющих собой
для ребристой оболочки средние (приходящиеся на единицу длины)
приведенные моменты инерции продольных сечений оболочки. Ранее (§ 8
гл. II) было показано, что в случае тонкостенных стержней (равно как и
оболочек) открытого профиля напряжения от бимомента, даже при
отсутствии деформации контура сечения, распространяются на значительной
части длины стержня и не носят характера местных напряжений. С целью
проверки предложенной теории и метода расчета стержней и оболочек с
238
Тонкостенные упругие стержни
at-*-}
замкнутым контуром поперечного сечения в отделе строительной
механики Института механики АН СССР в 1952 г. были произведены
экспериментальные исследования1.
Две замкнутые призматические оболочки квадратного поперечного-
сечения одинаковых размеров и длиною 1=1 м были испытаны на бимо-
ментную нагрузку, приложенную на одном из концов (рис. 146, а).
Оболочки были изготовлены из листовой стали толщиной 6 = 1 мм
и усилены по ребрам продольными стрингерами, изготовленными иа
равнобоких уголков № 2,5
jb\ f8S—i (25 X 25 X 4), соединенными
с оболочкой заклепками
(0 2 мм, шаг 20 мм, шов двух-
б) III !! j ■' I; ;!|^'^{ рядный). Для придания
жесткости каждый торец был
усилен диагональю. Одна из
оболочек, для того чтобы
иметь право полагать ее
контур достаточно жестким
(практически недеформируе-
мым в плоскости
поперечного сечения), была усилена
диагоналями, приваренными
(крест-накрест) к стрингерам
внутри оболочки в четырех
/ 11 Ъ1
сечениях: z — -^-, -?-, -f" и
-и-. Стрингеры на одном
конце оболочки спилены
заподлицо с торцом, на другом —
для того, чтобы можно было
Рис 14в осуществить бимоментнук>
нагрузку, дваГстрингера (1 и
3, рис. 146, б) выпущены за
торец на 5 мм, а два других (2 и 4) выпущены на 55 мм.
Модуль упругости материала оболочки Е =1,95 -10е кг/см2 был
определен лабораторией испытания материалов в ЦНИПС; испытания
материала производились на образцах, вырезанных из того же листа
металла, из которого была изготовлена оболочка.
Загружение испытуемого образца производилось с одного торца с
помощью двух спаренных гидравлических домкратов. Оболочка ставилась
в вертикальное положение над щелью в силовом полу таким образом,
чтобы торцевые диагонали были расположены в одной вертикальной
плоскости со щелью. Последняя перекрывалась массивной плитой, на
которую устанавливались гидравлические домкраты так, чтобы они находились
один против другого по разные стороны щели. Плунжеры домкратов,
в свою очередь, также перекрывались общей плитой. На нее ставился
в вертикальном положении испытуемый образец таким образом, чтобы
концы стрингеров 1—3 (рис. 147, а), выступающие за его нижний торец,
приходились над центрами плунжеров домкратов. К двум другим концам
стрингеров (2 и 4), выступающим за торец на 55 мм, крепились анкерные-
тяги, которые прочно закреплялись в силовой щели пола.
1 Испытания приводились мл. научным сотрудником Института механики АВ
СССР, кандидатом технических наук Н. Д. Левитской.
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 239*
Продольные деформации замерялись механическими тензометрами с.
базой 2 см, расположенными на контурах пяти сечений
(«-»■ hh ¥-«)
по 4 прибора на каждом сечении (по числу граней); всего, таким образом,
на образце было 20 тензометров (рис. 147, б). Для сечений z=0 и z = l
тензометры ставились на расстоянии 2 см от торцов. Оболочки испытыва-
лись на бимоментную нагрузку по схеме, показанной на рис. 146, а, при-
20 Ь ]^
»4?€ГПЧ
—/» данным эксперимента,
по данным теории (без ре»
то деформации сдвига),
т. донным теории(для
оболочки с жестким контуром),
—-о— по данным эксперимента
(для оболочки с промеж уточ
ными диагональными связями),
Р = 1000 кг. Загрузка велась этапами по 100 кг и плавно доводилась до.
1000 кг, затем спускалась до нуля. Всего было проведено шесть циклов
загрузки и разгрузки. Результаты испытаний (среднее из шести замеров)
представлены в виде графиков распределения продольных нормальных
напряжений в кг/см2 по длине оболочки (рис. 148) и по ее поперечному
сечению (рис. 149).
На этих же графиках приведены кривые распределения напряжений
по длине оболочки, полученные теоретически. Расчет оболочки с
деформируемым контуром (при пренебрежении деформациями сдвига) производил-,
ся при помощи матрицы табл. 30.
Граничные условия в этом случае имеют вид:
при z = 0 щ — В0 = 0,
при z = I к (Z) =0, В (/) = Pd\
Обобщенные жесткости и характеристическое число имели значевия:
a = ~Ed*(F Ь 3AF) = 149 400.106кг.сле4,
240
Тонкостенные упругие стержни
с = 48^ = 421,6 кг,
s*= - =0,2822 Л(Г*см-\
*-/?■
0,00515 см'1.
Начальные параметры, определенные из граничных условий на конце
z — /, имеют значения:
U0 = 3,801- 10"8Р,
Q0 = — 3,406 Р.
- по донным эксперимента
-по донным теории
Рис. 149
На графике (рис. 148) нанесены продольные нормальные напряжения
а = ср#, пропорциональные бимоменту B(z) [см. (2.10 и 2.11)],
вычисленные для тех же сечений, в которых были расположены приборы.
Расчет оболочки с жестким, недеформируемым, контуром поперечного
сечения произведен при помощи матрицы табл. 31, в которой для случая
квадратного контура необходимо положить Ьг = 0. Граничные условия в
этом случае имеют вид:
при z = 0 В0 = Н0 = 0,
при z = I 0 (/) = 0 (что равносильно 0О = 0), В (I) = Рср.
Жесткости и характеристическое число имеют значения:
а = 1 Ed* (F + 3AF) = 149 400- 10е кг-см*,
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 241
Ьг = GcPF = 474 900-103 кг -см\
к = ]/~^ = 5,637-10~2 смГК
Начальный параметр U0, определенный из граничного условия на
конце z — lf равен:
U о = 2,896- Ю-10 Р.
Рис. 150
Анализ графиков и сравнение теоретических данных с
экспериментальными позволяют сделать следующие заключения:
1) в конструкциях типа тонких призматических оболочек закрытого
профиля, не имеющих по длине дополнительных поперечных связей,
решающим фактором, влияющим на напряженное состояние, является
деформация контура; деформации сдвига играют второстепенную роль,
и ими можно при расчете пренебречь;
2) наличие поперечных связей, препятствующих деформации контура,
способствует более быстрому затуханию продольных напряжений по
длине;
3) со всей очевидностью подтверждается высказанное нами положение,
что принцип Сен-Венана имеет ограниченную область применения не
только для тонкостенных стержней открытого недеформируемого профиля,
но также и для тонкостенных стержней и оболочек замкнутого профиля,
если они не усилены дополнительными ребрами жесткости.
2. В цилиндрической или призматической оболочке закрытого
профиля, в отличие от тонкостенного стержня открытого профиля, депла-
нация сечения при отсутствии дополнительных поперечных связей, как
правило, сопровождается деформацией профиля оболочки в поперечном
сечении. Величина этой деформации в значительной степени зависит от
толщины оболочки.
242
Тонкостенные упругие стержни
На рис. 150 показана модель оболочки, представляющая собой
замкнутую (квадратную в плане) призму с отношением длины к ширине
-г* = 4. Ребра оболочки усилены уголками.
Рис. 151
Модель установлена в вертикальном положении. У нижнего торца два
диагонально противоположных ребра (3 и 4) закреплены на станине, два
других ребра (1 и 2) соединены между собою поперечной планкой, в
середине которой (по оси оболочки) шарнирно прикреплен загрузочный
рычаг. На верхнем торце модель снабжена съемной диагональной жесткой
планкой (на рисунке ее нет) (рис. 150, а).
При нажиме на рычаг ребра модели, соединенные внизу планкой,
растягиваются; ребра же, прикрепленные к станине, сжимаются, т. е.
на нижний торец передается самоуравновешенная система продольных
сил (бимомент). При снятой верхней диагонали эта нагрузка вызывает
деформацию контура модели: поперечные сечения модели из квадратных
превращаются в ромбические, что хорошо видно (рис. 150, б).
Продольная деформация — депланация (растяжение одних и сжатие
других диагональных ребер) распространяется далеко от нижнего торца
Гл. IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля 243
по высоте модели и фиксируется индикаторами 6, которые могут быть
установлены в любом сечении по длине оболочки.
На модели с установленной на место верхней диагональной планкой,
т. е. с более жестким контуром, все описанные явления (деформация
контура и депланация поперечных сечений модели) от действия бимомент-
ной нагрузки быстро убывают по высоте оболочки.
3. На рис. 151 показана модель, представляющая собой замкнутую
цилиндрическую оболочку с отношением длины к диаметру -т- = 4
(рис. 151, а). Один конец оболочки свободен, на другом конце оболочка
имеет диафрагму. В четырех точках этого торца, расположенных по
вертикальному и горизонтальному диаметрам, к оболочке жестко
прикреплено четыре пальца (1, 2, «?, 4). Два из них, находящихся в вертикальной
плоскости, закреплены в сбойке 5, жестко соединенной со станиной 6;
два других, находящихся "в горизонтальной плоскости, соединены с
поперечной планкой 7, имеющей в центре ось, совпадающую с
геометрической осью оболочки. Ось планки, пропущенная свободно сквозь
вышеупомянутую стойку, имеет на конце нарезку. Вращая надетый на нее
штурвал, мы сообщаем поступательное перемещение поперечной планке
и тем самым передаем растягивающие усилия двум точкам торца оболочки,
лежащим на горизонтальном диаметре. Две же другие точки,
находящиеся на вертикальном диаметре, будут сжаты. Таким образом, на торец
оболочки передается самоуравновешенная система продольных сил (би-
момент).
При загружении модели бимоментной нагрузкой, приложенной на
торце, ее поперечные сечения депланируют и, кроме того, претерпевают
деформацию изгиба (рис. 151, б). Эта изгибная деформация по мере
удаления от места приложения продольной бимоментной нагрузки не
убывает, как это имеет место в краевом эффекте Геккелера, а, наоборот,
возрастает, достигая в приведенной модели максимальных значений на
другом свободном конце оболочки.
Описанное здесь явление, связанное с депланацией поперечных
сечений и изгибной деформацией, имеет принципиальное значение в
предложенной нами общей полубезмоментной теории цилиндрических и
призматических оболочек средней длины.
Глава V
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ, НАГРУЖЕННЫХ ПО КОНЦАМ ПРОДОЛЬНЫМИ
СИЛАМИ И МОМЕНТАМИ
§ 1. Дифференциальные уравнения устойчивости стержня
1. Выше мы установили, что поперечные сечения тонкостенных
стержней, как правило, после деформации не остаются плоскими. Эти стержни
работают как пространственные тонкостенные системы, испытывающие
продольные деформации не только вследствие изгиба, но также и
вследствие закручивания. Дополнительные секториальные напряжения во
многих случаях достигают весьма больших значений, что является
результатом того, что стержни с открытым недеформируемым контуром обладают
относительно малой жесткостью на кручение. Из этого следует, что
кручение, сопровождаемое появлением в поперечных сечениях секториаль-
ных напряжений, может играть также большую роль и в устойчивости
тонкостенных стержней.
В данной главе излагается общая линейная теория пространственной
устойчивости и критических состояний стержней как тонкостенных
(открытого и закрытого профиля), так и сплошного сечения, нагруженных
ло концам продольными силами и моментами. Эта теория отличается от
классической теории продольного изгиба Эйлера тем, что, будучи
построена на законах, учитывающих депланацию сечения, она позволяет
исследовать явление потери устойчивости и критических состояний
стержня в более общей постановке с учетом пространственных изгибно-
крутильных форм равновесия. Теория Эйлера, построенная на законе
плоских сечений и учитывающая для стержня только чисто изгибные
формы равновесия, представляет собой весьма частный случай излагаемой
здесь общей теории.
Согласно линейной теории для упругой системы в критическом
состоянии, в зависимости от характера действия нагрузки, различают два рода
задач устойчивости.
К задачам устойчивости первого рода относятся такие задачи теории
бифуркаций, в которых для упругой системы в критических состояниях
становятся возможными другие формы равновесия (бифуркации),
качественно отличные от основной докритической формы равновесия.
Классическим примером такого рода задач является теория продольного изгиба
Эйлера. В этой теории основная докритическая форма равновесия стержня
в случае центрального сжатия будет прямолинейной. Эта форма по
достижении сжимающей нагрузкой своего критического значения может
перейти в изгибную форму равновесия, характеризующуюся прогибами стержня
в плоскости наименьшей жесткости. Вторым примером задачи
устойчивости первого рода может служить предложенная автором теория про-
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 245
странственной устойчивости стержня при центральном сжатии. Эта
теория, представляющая собой обобщение задачи Эйлера, характеризуется
тем, что в критическом состоянии для центрально сжатого стержня, кроме
основной прямолинейной формы равновесия, наряду с изгибной эйлеров-
ской формой становится возможной пространственная изгибно-крутиль-
ная форма равновесия, и эта форма во многих случаях может давать
меньшее значение критической силы,
чем теория Эйлера.
К задачам устойчивости второго
рода относятся задачи, в которых с
увеличением внешней нагрузки
возрастает также и деформация системы.
Эта деформация, характеризующая
собой форму упругого равновесия
потери устойчивости, получает
только количественные, а не
качественные изменения. Такого рода
задачами являются сжато-изогнутый
стержень в теории продольного изгиба, рис 152
некоторые из задач излагаемой здесь
общей теории изгибного кручения стержней при внецентренном
приложении продольной сжимающей или растягивающей силы. В этих задачах
основная докритическая форма равновесия будет иметь место также и
в момент потери устойчивости при достижении внешней нагрузкой своего
критического значения.
Потери устойчивости упругой системы в задачах как первого, так и
второго рода согласно линейной теории характеризуется тем, что
деформация системы в закритическом состоянии при сколь угодно малом
увеличении нагрузки может принимать бесконечно большие значения. Эта
деформация, рассматриваемая как вариация возможных для данной
системы форм равновесия в критических состояниях (при дополнительном
статическом условии об отсутствии вариации внешней нагрузки) в
задачах устойчивости как первого, так и второго рода, описывается
линейными дифференциальными однородными уравнениями и
соответствующими данной задаче однородными граничными условиями.
Этот математический критерий лежит в основе излагаемой в данной
главе общей теории устойчивости, охватывающей также и критические
состояния стержня, относящиеся к задачам устойчивости второго рода.
2. Рассмотрим задачу об устойчивости невесомого стержня
рассматриваемого типа, нагруженного по концам продольной сжимающей
силой Р. Имея в виду получить общее решение, мы будем считать, что
продольная сила приложена в произвольной точке (ех, еу) поперечного
сечения (рис. 152).
Мы будем считать, что либо стержень на концах имеет жесткие из своей
плоскости диафрагмы и продольная сила передается на стержень через
эти диафрагмы, либо продольные силы проходят через нулевые секториаль-
ные точки. В этих случаях внешняя бимоментная нагрузка отсутствует и
опорные сечения стержня, плоские до деформации, будут оставаться
плоскими и после деформации. Действие продольной силы выражается
в передаче на стержень осевой силы и изгибающих моментов. Стержень
до потери устойчивости в задачах первого рода будет находиться в
условиях осевого сжатия (растяжения) и чистого изгиба. В поперечных
сечениях стержня возникнут только нормальные напряжения, определяемые
законом плоских сечений.
Если Р — сжимающая сила, а Мх и Му — изгибающие моменты,
получающиеся в случае внецентренного сжатия как произведения силы Р
246
Тонкостенные упругие стержни
на соответствующие плечи (эксцентриситеты ех и еу), то для напряжений
п получаем:
п = -^ + ^у-^х. (1.1)
r Jx Jy
Эти напряжения при постоянных Р, Мх, Му зависят только от
положения точки на контуре сечения (от дуги s). По длине стержня
нормальные напряжения п остаются постоянными. Касательные напряжения т
в рассматриваемом случае продольной нагрузки отсутствуют.
Формулой (1.1) по существу представлено точное решение
пространственной задачи теории упругости для стержня цилиндрической или
призматической формы при условии, если внешняя нагрузка задана
только нормальными напряжениями п, приложенными на торцах стержня
и распределенными по закону плоскости. Боковую поверхность стержня
следует считать свободной от нагрузки. Для такой задачи из шести
компонентов тензора напряжений отличным от нуля будет только продольное
нормальное напряжение п, линейно зависящее от координат х, у в
плоскости поперечного сечения.
При этих условиях все уравнения пространственной задачи линейной
теории упругости, а именно, дифференциальные уравнения
неразрывности деформаций, записанные в компонентах тензора напряжений
(уравнения Бельтрами — Митчелля), и уравнения, выражающие заданные
в точках поверхности статические условия, удовлетворяются
тождественно. Деформированное состояние стержня при малых перемещениях,
согласно классической линейной теории упругости, характеризуется
осевым укорочением (при сжатии) и прогибами £о и т]о в главных плоскостях
Эти прогибы связаны с моментами Мх, Му соотношениями:
so EJy' т,о EJX-
Если при определении изгибающих моментов в рассматриваемом до-
критическом состоянии учесть также и моменты продольной силы,
получающиеся путем умножения этой силы на прогибы, то зависимость между
прогибами и нагрузкой в этом случае будет уже более сложной —
нелинейной. Однако, если эта нагрузка не превосходит своего критического
значения, то в случае задачи устойчивости первого рода деформация
стержня при внецентренном сжатии, согласно линейной теории, будет
чисто изгибной, происходящей в плоскости действия изгибающего
момента.
Величину Р, входящую в формулу (1.1), мы можем рассматривать
как параметр внешней нагрузки. С изменением этого параметра меняются
(при заданном положении силы Р в поперечном сечении) изгибающие
моменты Мх, Му и напряженное состояние стержня. Если сжимающая
сила Р не превосходит известного предела, то в стержне в случае
устойчивости первого рода возникают одни только нормальные напряжения az,
определяемые формулой (1.1). Этими напряжениями и соответствующими
им деформациями удлинения определяется основная изгибная форма
равновесия, характеризующаяся продольными осевыми удлинениями и
прогибами в главных плоскостях. Деформация кручения в докритическом
состоянии при описанном способе передачи нагрузки Р отсутствует.
При некотором значении силы Р основная форма равновесия становится
неустойчивой. Такое состояние стержня называется критическим. Оно
характеризуется тем, что для стержня кроме основной формы равновесия
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 247
возможна также и другая форма. Переход стержня из одного состояния
равновесия в другое в общем случае сопровождается появлением в нем
добавочных напряжений и деформаций. Пусть a (z, s), x(z, s) и H (z) —
соответственно напряжения и моменты, дополнительно возникающие в
стержне с изменением основной формы равновесия, a £(z), ц (z) иВ (z) —
соответственно прогибы оси центров изгиба и угол закручивания,
определяющие дополнительные смещения поперечного сечения стержня в
плоскости сечения z = const. Добавочные напряжения а, т и моменты Н в
искомом деформированном состоянии стержня должны находиться в
равновесии с заданными нормальными напряжениями л.
Считая, что перемещения |, ц и 0 весьма малы, мы можем условця
равновесия стержня в искомом деформированном состоянии представить
в виде уравнений (7.3) гл. I. Свободные члены этих уравнений зависят от
внешней поперечной нагрузки. В нашем случае роль этой нагрузки играют
непрерывно распределенные по срединной поверхности силы,
получающиеся в результате проектирования на неподвижные оси Ох и Оу заданных
внутренних усилий, отнесенных к деформированному состоянию стержня.
С переходом стержня из одного состояния равновесия в другое
элементарная полоска ds получит добавочные прогибы £8 (z) и t]s (z) в
горизонтальной и вертикальной плоскости. Для этих прогибов мы получили ранее
выражения (3.4) гл. I:
ls = l — {у — ay)Q, \ х 2
т|. = т| + (*-а*)0. J l ' '
Нормальные усилия пб ds, действующие в поперечных сечениях
выделенной продольной полоски, вследствие дополнительных деформаций
изгиба спроектируются на направления осей Ох и Оу. Обозначая
интенсивности этих проекций через рх и ру и имея в виду, что в
рассматриваемом случае нормальные напряжения п по длине стержня не меняются,
из рис. 153 получим:
рх dz ds = n6ds — ,
Р*
ру dz ds = пб ds — ,
pv
где px и Ру — радиусы кривизны проекций l,8(z) и r\s(z) на
координатные плоскости Oxz и Oyz пространственной кривой, в которую
переходит после потери устойчивости образующая срединной цилиндриче-
1 1
ской поверхности. Заменив в формулах (1.3) кривизны— и — их при-
Рх Ру
ближенными выражениями по формулам:
1 - г L ~ -
и произведя сокращения на dz ds, получим:
Рх = п6%"8, Ру = п6к)"8.
Подставляя сюда £s и ц8 из формулы (1.2), найдем:
Рх = пб? -пд(у - Оу) 9\
(1.3)
р„ = лбт]" + пЬ (х — ах) 8".
248
Тонкостенные упругие стержни
Эти формулы выведены в предположении, что вариации перемещений
|e, г\8 и 9 являются малыми величинами; произведения и квадраты этих
величин по сравнению с первыми степенями приняты равными нулю.
А
/0
J"
- ~^. X
V.
м\
\*л
V
Г \
2
I—ЦЛЛ-
■AVYn
i ! /
Рис. 153
Зная интенсивности приведенных поверхностных нагрузок, мы можем
по ним определить погонные нагрузки qx, qy и погонный крутящий
момент га:
qx = I" \nb ds — 6" [ пб (у —ау) ds,
L L
qf = x\" jj nb ds + 0" ^ лв (x — ax) ds,
w = — £" \ пб (у — ay) ds -f г)" ^ гсб (x — ax) ds +
L L
+ 0"^ пб [(x - axf + (y - ayf] ds.
\ (1-4)
Внося в правые части равенств (1.4) значение п из формулы (1.1) и имея
в виду, что б ds = dF и что в главных осях \ xdF = \ ydF = \ #i/dF = О,
F F F
получим, выполняя интегрирование:
Чх = - РГ - (ауР + Мх) 6»,
д„=- Рц" + (ахР - Му) 9",
т = - (ауР + Мх) Г + (ахР - Му) г\" +
+ (- гФ + 2р„Л/х - 2рхЛ/у) 6".
\ (1-5)
В этих формулах аЛ и ау — координаты центра изгиба; г, рж и р„ —
геометрические характеристики, имеющие линейную размерность и вычис-
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 249
ляемые в самом общем случае по формулам:
J + J U U
•-•-'-- ''у
j \-а$+а2у, $х=-2/- — ах> $у=---^-— ау, (1.6)
где Jx и J у — моменты инерции, F — площадь сечения, Ux и Uy — новые
геометрические характеристики:
Ux = \yp*dF, Uy=^x9*dF, (1.7)
F F
причем p — расстояние от центра тяжести сечения до точки контура с
текущей координатой s:
р2 = *2 + у\ (1.8)
Формулы (1.7) на основании равенства (1.8) могут быть представлены
следующим образом:
Ux = J V3dF + J vhldF, )
rF * \ (1.9)
Uy = \ x4F + \ y2xdF. 1
F F J
Члены, стоящие в правых частях равенств (1.9), представляют собой
моменты инерции (осевые и центробежные) третьего порядка.
Эти моменты можно вычислить как аналитически, так и графически,
исходя из теории веревочного многоугольника и рассматривая отдельные
сомножители подынтегральных выражений условно как элементарные
фиктивные силы. Следует помнить, что функции х = x(s) и y=zy(s),
стоящие под знаком интеграла, представляют собой координаты точки
контура s в главных осях.
Таким образом, если нам задано поперечное сечение тонкостенного
стержня, то мы можем по формулам (1.5) составить выражения для
компонентов приведенных погонных нагрузок qx> qy и т. Внося эти
компоненты в уравнения (7.3) гл. I, получим:
EJ£™ + PV + (Мх + ауР) 0" = 0, j
EJx^y + РЦ» + {МХ1 - ахР) 6* = О, I
(Мх + avP) I" + (Му - ахР) Л" + I
+ EJJ№ + (г2Р + 2$ХМУ - 2$УМХ - GJd) 0" = 0. J
Уравнения (1.10) образуют систему линейных дифференциальных
уравнений. В этих уравнениях искомыми функциями являются
перемещения £ = £(z), т| = г| (js) и угол закручивания 0 =0(z), возникающие при
потере устойчивости стержня.
Коэффициенты дифференциальных уравнений (1.10) зависят не только
от геометрических и упругих характеристик стержня, но также и от
величин Р, Мх и My, характеризующих при внецентренном сжатии
внешнюю нагрузку (величину и точку приложения ее в поперечном
сечении). Поскольку Р, Мх и Mv при расчете стержня на устойчивость
задаются с точностью до одного параметра (например, с точностью до
значения силы Р), то коэффициенты уравнений (1.10) будут определены
также с точностью до этого параметра.
3. Дифференциальные уравнения (1.10) — линейные, однородные, с
постоянными коэффициентами. Интегрирование их в самом общем случае
250
Тонкостенные упругие стержни
может быть выполнено без особого труда. Полагая, согласно общей
теории,
l = Aekz, r] = Bekzy 9 = Cekz,
где А, В и С — произвольные пока постоянные величины, и подставляя
эти значения в дифференциальные уравнения (1.10), по сокращении на
общий множитель ekz , получим:
(EJyk* + Рк*) А + (Мх + ауР) к2С = 0, )
(EJxk* + Рк2) В + (Му - ахР) к2С = 0 I
(Мх + ауР) к2А + (Му - ахР) к2В + \ ( * )
+ [EJJ* + (г2Р + 2$ХМУ - 2%МХ - GJd) к2} С = 0. J
Так как искомое решение для Ау В, С должно быть отличным от нуля,
то определитель системы однородных уравнений (1.11) должен быть
равен нулю. Это условие дает для к характеристическое уравнение, которое
может быть представлено в виде
| EJyk2 + Р 0 Мх + ауР
0 EJxk2 + Р Му~ ахР
Мх + ауР Му — ахР EJJi2 + (г2Р +
+ 2$xMy-2$yMx-GJd)\
Д = й6
0. (1.12)
Уравнение (1.12), кроме шести кратных нулевых корней, дает для
остальных шести корней значения, отличные от нуля и зависящие от параметра
внешней нагрузки. Общее решение системы дифференциальных
уравнений (1.10) будет состоять, таким образом, из 12 частных решений. Каждое
из этих решений определяется с точностью до произвольного постоянного
множителя. Легко показать, что число частных решений системы (1.10)
находится в полном соответствии со статическими и кинематическими
условиями, которые могут быть заданы на концах изгибаемого в двух
плоскостях и закручиваемого стержня. Интегрируя каждое из уравнений
(1.10) два раза по z и выражая в соответствии со статическим смыслом
указанных квадратур произвольные постоянные через поперечные силы,
моменты и бимомент опорного начального сечения 2=0, получим-
EJyV + Р1+ (Мх + ауР) в = Му- Qxz, )
EJxr)" + Рц+ (My - ахР) Ь = -Мх- Qyzy • J3
(Мх+ауР)1 + (Му-ахР)ц+ |
+ EJ„9" + (r2P + 2$XMV — 2$УМХ — GJd) b=—B — Hz. )
Статические величины, стоящие в правых частях уравнений и играющие
роль начальных параметров, являются компонентами внешней нагрузки,
приложенной в сечении 2 = 0: Qx, Qy — поперечные силы, Н — крутящий
момент, Мх, Му -— изгибающие моменты, В — бимомент. Уравнениями
(1.13) выражены все необходимые условия упругого равновесия
предварительно сжато-изогнутого консольного стержня, находящегося под
действием нагрузки, приложенной на свободном конце. Искомыми функциями
в уравнениях (1.13) являются прогибы £ = | (2), ц =r\ (z) и угол кручения
6=9(2), возникающие в предварительно напряженном сжато-изогнутом
стержне от внешней дополнительной нагрузки, приложенной на
свободном конце. Если заданная нагрузка с компонентами Р, Мх, Му не
превосходит критического значения, то неоднородные уравнения (1.13)
при дополнительных граничных условиях, относящихся к прогибам |,
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 251
г] и углу кручения 6, будут иметь вполне определенное, единственное
решение. Эти уравнения (1.13) в своей совокупности образуют относительно
искомых функций £, т],6 полную систему линейных неоднородных
уравнений второго порядка с симметричной дифференциальной матрицей и с
постоянными коэффициентами, зависящими от ряда статических,
физических и геометрических характеристик, относящихся к предварительно
напряженному сжато-изогнутому упругому стержню произвольной
формы. Полные интегральные системы (1.13) могут быть представлены как
суммы интегралов однородных уравнений и каких-либо частных
решений системы неоднородных уравнений (1.13). Так как правые части
уравнений (1.13) представляют собою линейные функции от z, то частные
интегралы могут быть записаны также в виде линейных функций от z.
Обозначая эти частные интегралы через £, rj, 8, мы получим для них
следующие уравнения:
Pi + (Мх + ауР)в = Му - Qxz, \
p^ + (My-axP)^ = ^Mx^QyzJ \
(Мх + ауР)\ + (Му — ахР) т) + G/dT) = —В — Hz, )
(1.14)
где через GJd обозначена некоторая приведенная жесткость чистого
кручения, определяемая формулой
GTd = —GJd + г*Р + 2$ХМУ - 2$УМХ.
Из этих уравнений находим:
|=1 {[PGJd - (Mv - axPf](Mv - Qxz) -
- (My - axP)(Mx + ayP)(Mx + Qyz) +
+ P(Mx + ayP)(B + Hz)},
(1.15)
Л = X {{My - axP)(Mx + ayP)(My - Qxz) -
- [PGTd - (Mx + ayPf] (Mx + Qvz) +
+ P(My-axP)(B + Hz)},
8 = £ {- (Mx + ayP)(My - Qxz) +
+ (My - axP)(Mx + Qvz) -P(B + Hz)},
где Д — определитель системы (1.14):
A = P [PGTd - (Mx + ayPf - (My - axPf\.
Общие интегралы неоднородных уравнений (1.13) представим в
тригонометрической форме:
\ =
л =
EJ„
2 .,* , (Aisinм+Bicosм + f.
~ \
Mv~a%P У, -5-^(4, sin XiZ + Я* cos М)+Л. \ <1Л6>
г=1,2,3 x
0=2 (Ai Sin ^Z + Bi C0S ^Z) +^
252
Тонкостенные упругие стержни
где Ли Bi(i — \, 2, 3) — произвольные постоянные интегрирования;
kx> ky — величины, имеющие размерность см'1 и определяемые по формулам:
К*- EJX' Kv~EJy>
X2 — корни характеристического уравнения
Р — EJvk2 О Мх + ауР
О Р — EJxk2 My — ахР
Мх + ауР Му — ахР —GTd — EJJ?
(1.17)
Так как определитель (1.17) имеет симметричную структуру, то все три
корня X?, X|, Хз будут действительными. В случае отрицательного корня»^
^i будет иметь мнимое значение. Соответствующие этому корню
тригонометрические функции переходят в гиперболические. Формулами (1.16)
и (1.15) представлено общее решение рассматриваемой здесь проблемы о
равновесии предварительно напряженного стержня с учетом деформаций
изгибного кручения, возникающих от нагрузки, приложенной в
начальном сечении z = 0 и состоящей в общем случае из шести компонентов. Для
определения произвольных постоянных следует задать граничные уело*
вия. Число таких условий в нашей задаче должно быть равно 12. В
зависимости от вида закрепления концов стержня эти условия, заданные
относительно искомых функций и их производных, могут быть либо
чисто статические, либо чисто геометрические, либо смешанного типа.
Раскрывая при помощи общих интегралов (1.16) заданные для какой-либо
конкретной задачи граничные условия, мы всегда будем иметь полную
систему линейных однородных уравнений, позволяющую найти все
постоянные интегрирования. Эти уравнения при действии на стержень нагрузок,
вызывающих изгиб, в докритических состояниях будут иметь вполне
определенное единственное решение. Мы можем таким образом, пользуясь
общими формулами (1.16), определить изгибно-крутильную деформацию
предварительно сжато или растянуто-изогнутого стержня, находящегося
под действием любой нагрузки и, в частности, под действием изгибающих
моментов, приложенных на конце стержня. При достижении внецентрен-
но приложенной сжимающей или растягивающей силы своего
критического значения, изложенное здесь решение для перемещений S, т), 8 в
задачах устойчивости первого рода будет неопределенным, а в задачах
устойчивости второго рода будет принимать бесконечно большие
значения. В том и другом случае значение критической нагрузки находится
из трансцендентного характеристического уравнения, получающегося
путем приравнивания нулю определителя соответствующей системы
однородных уравнений, относящихся к данной краевой задаче. Для
критической нагрузки мы получим бесчисленное множество значений, и все эти
значения будут действительные. Каждому значению критической
нагрузки будет соответствовать (с точностью до постоянного множителя) своя
в общем случае изгибно-крутильная форма равновесия. Мы будем иметь
бесчисленное множество форм равновесия, и все эти формы для данной
задачи образуют полную систему собственных фундаментальных функций.
Критические значения нагрузки выражаются как величины, связанные с
фундаментальными числами этих функций. Практическое значение имеет
форма потери устойчивости и соответствующее этой форме фундаментальное
число, дающее для критической нагрузки наименьшее значение.
4. Уравнения устойчивости (1.10) выведены для тонкостенных
стержней открытого профиля. Эти же уравнения будут справедливы и для
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 253
-стержней, рассчитываемых с учетом продольных изгибающих моментов.
Необходимо лишь помнить, что в этом случае при вычислении
геометрических характеристик (включая и величины Ux и Uy) контурные
интегралы будут заменяться двойными, распространенными на площадь всего
поперечного сечения, как это видно из формул (14.3) и (14.4) гл. II.
Координаты центра изгиба следует определять по формулам (14.5) гл. II,
а момент инерции J d— по теории чистого кручения.
Уравнения (1.10) будут также справедливы и для стержней закрытого
профиля с жестким, неизменяемым контуром. Действительно,
дифференциальные уравнения изгиба (2.7) и (2.8) гл. IV для стержней закрытого
профиля полностью совпадают с соответствующими уравнениями теории
стержней открытого профиля, поскольку при расчете стержней на изгиб
в классической теории продольного изгиба деформации сдвига
принимаются равными нулю. Что же касается дифференциального уравнения
(4.2) гл. IV, связанного с депланацией поперечного сечения стержня, то
оно по своей структуре также напоминает уравнение кручения теории
тонкостенных стержней (3.1) гл. II. Разница заключается лишь в
значении безразмерной упругой характеристики к, определяемой по формуле
(2.2) гл. II:
GJH
В теории стержней открытого профиля, где мы пользуемся законом
секториальной депланации, входящие в эту характеристику бимомент
инерции /w и момент инерции при кручении Jd вычисляются по формулам:
/d = ySdfi3; J« = \a4F.
В теории стержней-оболочек закрытого профиля вместо
секториальной депланации сечения принимается аксиальная депланация сечения
по закону <х> = ху. Геометрическая характеристика J<* вычисляется по
формуле
/w = jj x2y4F,
F
а характеристика Jd определяется из теории чистого кручения по формуле
Бредта. Для тонкостенного коробчатого прямоугольного профиля,
рассмотренного нами в гл. IV, при толщине стенки профиля б и сторонах
прямоугольника dx и d2, будем иметь для геометрических характеристик
следующие формулы:
F = 26(d1+dt), /* = 4-SW + 3d2), /y = 46d22№ + 3di), \
/--7<««. ^«i"«. г2 = Ч^> | (1Л8)
ах = ау = &с = $у = 0, J
где момент инерции при кручении Jd определяется по формуле (2.27) гл. IV.
§ 2. Интегрирование уравнений устойчивости для случаев,
когда концы стержня имеют шарнирные опоры
или жесткие заделки
Особенно просто решается задача об устойчивости стержня, у
которого концевые сечения закреплены от перемещений (поступательных £, Л
и вращательного 0) в плоскости поперечного сечения и свободны от
254
Тонкостенные упругие стержни
нормальных напряжений (рис. 154, а). Для такого стержня граничные
условия представляются в следующем виде:
при* = 0 g = г, = 9 = 0, £" = г," = е" = 0;\
при z = i g = л = е = о, g" = rf = е" = о, J к }
где £— длина стержня. При граничных условиях (2.1) фундаментальные
решения уравнений (1.10) будут иметь следующий вид:
с. л . n3Xz r> . nTtz п ^ . nziz /0 ov
l = Asm-j-, T] = Z?sin-p, 0 = Csin-y-, (2.2>
где А, В и С — некоторые постоянные коэффициенты, п — любое нелое
положительное число (гс = 1, 2, 3, ...).
а)
Рис. 154
Подставляя значения (2.2) в уравнения (1.10) и вводя обозначение
Я = -у, получим для неизвестных Ау В и С, по сокращении на общий
множитель A,2sinA,z, следующую систему однородных уравнений:
(EJytf — Р)А- (Мх + ауР) С = 0,
(EJXX2 — Р)В—(Му — ахР) С = 0,
— (Л/х + ауР) А - {Му — ахР) В +
+ [EJJ* — (г2Р + 2$ХМУ — 2$УМХ — GJd)] С = 0.
(2.3)
Так как коэффициенты А, В и С должны быть отличны от нуля
(иначе мы получим для |, т| и 6 тривиальные нулевые решения), то
определитель системы (2.3) должен быть равен нулю:
EJyX* — Р
0
(Мх + avP)
0
EJXX* — Р
(Му — ахР)
- (Мх + ауР)
- {Му - ахР)
EJJk* — (г*Р + 2$ХМУ -
- 2р„Л/ х — GJi)
= 0.
(2.4)
Уравнение (2.4) является общим и позволяет определить критические
значения параметра нагрузки для произвольного открытого профиля.
Аналогичное решение мы получаем для стержня, у которого концевые
сечения закреплены от поворотов относительно осей х и у и свободны от
крутящих моментов и сдвигающих сил (рис. 154, б).
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 255
Граничные условия в этом случае имеют следующий вид:
приг = 0 Б'= f,'= в'= О, Б" = if = 0* = 0; .
при z = I g' = т|' = 6' = О, Г = if = 0'" = 0. J ^ ;
Функции для g, т] и 0, удовлетворяющие граничным условиям (2.5) и
дифференциальным уравнениям (1.10), будут иметь вид:
«. ж nziz D njlz п п \n%z
£ = ^4cOS-p, r] = Z?cos—, 6 = Ccos^y-.
Детерминантное уравнение, определяющее при рассматриваемых
граничных условиях критическую нагрузку, будет совпадать с уравнением (2.4).
Из этого следует, что критические нагрузки будут иметь те же значения,
что и в случае граничных условий (2.1).
Рассмотрим теперь стержень с жестко заделанными концами
(рис. 154, в). Граничные условия в этом случае будут иметь вид:
при z = 0 Б = т| = 8 = 0, Г = т,' = в' = 0;\ fi
при z = I I = л = б = О, Б' = Л' = в' = 0- J
При граничных условиях (2.6) функции g, т) и 0 можно представить
в виде:
Б= А(1 — cos2bz), )
т| = B(l — cos2X.z), | (2.7)
Как и ранее, здесь Ау В и С — некоторые постоянные коэффициенты, а
п — любое целое положительное число.
Подставляя (2.7) в дифференциальные уравнения (1.10) и сокращая
на 4h2cos2hz, получим для постоянных А, В и С однородную систему
алгебраических уравнений. Приравнивая, как и ранее, определитель этой
системы нулю, получим для критической силы уравнение
EJV (2К)2 — Р 0 — (Мх + ауР)
0 EJx(2l)2 — P —(Му — ОхР)
- (Мх + ауР) - (Му - ахР) EJ„ (2%)2 - (г2Р + 2$ХМУ -
— 2$vMx — GJd)
= 0.
§ 3. Центральное сжатие. Исследование корней характеристического
уравнения. Обобщение теории Эйлера
Если продольные сжимающие силы проходят через центр тяжести
поперечного сечения стержня, то стержень находится в условиях
центрального сжатия. Полагая в этом случае в уравнениях (1.10) моменты Мх
и My равными нулю, получим:
EJyl™ + РГ + ауРЪ" = 0, )
EJxr\™ + Pr]»-axPe'' = 0t \ (3.1)
ауР1» — OxPrf + EJJ™ + (r2P — GJd) б" = 0. j
Дифференциальными уравнениями (3.1) и условиями закрепления
стержня на концах определяются все формы потери устойчивости профиля
при центральном сжатии невесомого стержня. Из уравнений (3.1) следует,
что если координаты центра изгиба ахи ауне равны нулю, т. е. если центр
изгиба не совпадает с центром тяжести сечения, то для стержня дилеров-
256
Тонкостенные упругие стержни
лкая изгибная форма потери устойчивости при центральном сжатии
становится невозможной.
При граничных условиях (2.1) или (2.5) критические силы
определяются уравнением (2.4). Полагая в этом уравнении Мх == Му = 0, получим
детерминантное уравнение для случая центрального сжатия.
Это уравнение может быть представлено в виде
Ру-Р
о
— а„Р
Рх-Р
где
О
ахР
Рх = EJX%\
-ауР
ахР
EJyV
— эйлеровские критические силы,
EJJ* + GJd
О,
(3.2)
(3.3)
(3.4)
— критическая сила для чистой крутильной формы потери устойчивости.
Раскрывая определитель (3.2), получим
(Рх - Р) (Ру - Р) (Pw - Р) г2 - а\Р* (Рх - Р) - ахР* (Ру - Р) = О
или (располагая по степеням Р)
(4 + а\ - т-2) Р3 + 1(РХ +РУ + Ра) Iя - а\Рх - а2хРу] Р2 -
- т* (РХРУ + РХРШ + РУРШ) Р + РхРуРш т* = 0.
(3.5)
Исследуем поведение корней в этом общем случае. Пусть корни этого
кубического уравнения будут Р1% Р2, Р3. Поскольку мы фиксируем здесь hn
(т. е. рассматриваем не только определенные граничные условия и длину Z,
но также и определенную форму потери устойчивости), то Рх, Ру и Р& —
вполне определенные величины. Выясним, как располагаются корни
Рх, Р2 и Р3 по отношению к эйлеровским критическим силам Рх и Ру.
Пусть для определенности Рх <[ Ру. Этого мы можем всегда достигнуть
выбором осей х и у. Обозначим выражение, стоящее в левой части
уравнения (3.5), через / (Р).
При малом значении Р знак функции будет совпадать со знаком
свободного члена и, следовательно,
/ (Р) > о.
При Р = РХ f (Рх) = - а\Р\ (Ру - Рх) < 0. Отсюда видно, что
в интервале 0 < Р ^ Рх функция / (Р) меняет знак, и, следовательно,
в этом интервале будет лежать один корень уравнения; пусть это будет Рх;
следовательно, Рх < Рх.
При Р = Pv f (Ру) = а\Р\ (Ру — Рх) > 0. Значит в интервале
Рх <^Р ^ Ру функция / (Р) тоже меняет знак и в этом интервале лежит
второй корень уравнения; пусть это будет Р2; следовательно,
Р*<Р,<Ру
При достаточно большом Р знак функции / (Р) будет совпадать со
знаком коэффициента при старшем члене (а он отрицательный):
/ (Роо) < 0.
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 257
Следовательно, в интервале Ру < Р < оо будет заключен третий
корень уравнения Р3, так как функция / (Р) и здесь меняет знак.
В отношении корня Рш легко убедиться, что если
РЫ>РУ, то /(P<*)>0
и фупкция / (Р) в интервале Ру < Р < Ры не меняет знака;
следовательно, Р3 ^> Ры; если же
Р<*<РХ, то /(Р„)<0
и функция / (Р) в интервале Рш <^ Р <^РХ тоже не меняет знака;
следовательно, Рг<С Р<* <С ?х-
Рис. 156
В зависимости от соотношения между силами Рх, Ру и Ро>,
определяемыми по формулам (3.3) и (3.4), мы будем получать различные неравенства
для этих корней. Эти неравенства выразятся, в частности, следующим
образом:
при РХ<РУ<Р„ \
Р, < Рх < Р2 < Ру < Ры < Р3 (рис. 155, а), |
при РШ<РХ< Ру
Pi < Р» < Ря < ^2 < Ру < Р* (рис. 155, б).
(3.6)
Резюмируя все сказанное здесь, отмечаем, что корни
характеристического уравнения будут все действительны: корень Рг — наименьший;
Р2 — находится между силами Рх и Ру, а Р3 — наибольший. Наименьшая
критическая сила Рг, являющаяся расчетной, в общем случае будет меньше
критической силы РХ1 определяемой по обычной теории продольного
изгиба. Это значит, что для несимметричного профиля с центром изгиба,
не совпадающим с центром тяжести (ах ф О и ау =f= 0), эйлеровская изгиб-
пая форма потери устойчивости невозможна. Естественной формой
потери устойчивости для такого стержня является изгибно-крутильная,
при которой критическая сила Рг будет иметь меньшее значение, чем
сила, получаемая по обычной теории продольного изгиба.
К этому результату мы можем прийти и другим путем, анализируя
явление потери устойчивости с точки зрения чисто физической. В самом
деле, рассчитывая стержень на устойчивость по теории продольного
изгиба, мы тем самым учитываем одни только изгибпые формы потери
устойчивости. Поперечные сечения стержня согласпо этой теории могут
получать только поступательпые смещения; углы закручивания равны
нулю. Такое предположение равносильно введению по всей длине стержня
угловых связей, препятствующих повороту сечения,стержня вокруг оси
(рис. 156). С введением этих связей критические силы повышаются.
Если поперечное сечение стержня имеет две оси симметрии, то в этом
случае центр изгиба совпадает с центром тяжести. Для координат центра
изгиба получаем значения: ах=ау—0.
258
Тонкостенные упругие стержни
Система дифференциальных уравнений (3.1) распадается на три
независимых дифференциальных уравнения:
EJvl™ + РГ = О,
EJxi\™+Pif = 0,
EJJi™ + (r2P — GJd) 0" = О.
Характеристическое уравнение (3.2) принимает вид
(Рх - Р) (Ру - Р) (Р„ - Р) г2 = 0.
Отсюда для трех критических сил Р1У Р2 и Р3 (при фиксированном X)
получаем выражения:
Pi = РХ1 Pz = Ру, Pz = Р<а> (3.7)
Первые две критические силы совпадают с эйлеровскими силами,
третья — соответствует крутильной форме потери устойчивости с центром
кручения, совпадающим с центром тяжести сечения.
Неравенства (3.6) в этом частном случае (при ах=ау = 0) переходят в
равенства (3.7). Из этого анализа следует, что изгибные формы потери
устойчивости в главных плоскостях, предусматриваемые обычной теорией
Эйлера, для стержня, свободного от угловых связей, возможны только
в случае, если центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. Кроме
критических сил, определяемых по теории продольного изгиба, возможны
также силы Рш, соответствующие потере устойчивости стержня в форме
закручивания относительно продольной оси. Эти силы могут оказаться
ниже эйлеровских сил.
В случае сечения, имеющего одну ось симметрии, выражение (3.2)
упрощается. Пусть для определенности осью симметрии будет ось х;
тогда ау = 0 в силу симметрии, и уравнение (3.2) распадается на два
уравнения:
Ру-Р = 0,
\Px-P ахР
\ахР г*(Рт-Р)\
= 0.
Из первого уравнения получаем эйлеровскую силу
Р = Ру.
Второе уравнение определяет две другие критические силы. В
раскрытом виде это уравнение можно записать так:
г*(Рх-Р)(Ри-Р)-а\Р* = Ъ
или, располагая но степеням Р,
(г2 - о«) i>2 - г2 (Рх + РШ)Р + г*РхРш = 0. (3.8)
Для определения двух других критических сил будет служить формула:
г« {Рх + PJ ±Уг* (Рх + Ям)2 - 4г«/у>, (г* - а\)
2 (г* - а%) ' (3"9>
При ах = 0 формула (3.9) дает
Pi = Рх; Рг = Р»-
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 259
§ 4. Анализ форм потери устойчивости. Центры вращения
Из формул (2.2) следует, что при граничных условиях (2.1) величина
;Vn = -г- определяет форму потери устойчивости по длине стержня.
Величина я, входящая в аргумент тригонометрических функций, как мы
видели выше, может принимать любые целочисленные положительные
значения п = 1, 2, 3,...
Каждому значению п будет соответствовать определенная с точностью
до постоянного множителя синусоидальная форма потери устойчивости
стержня. Так, например, при га=1 перемещения £, г\ и0 по длине стержня,
имеющего на концах неподвижные шарнирные опоры, меняются по
закону синусоиды с одной полуволной; при п=2 эти перемещения меняются
по закону синусоиды с двумя полуволнами и т. д. (рис. 157).
Задаваясь величиной Хп, или (что то же самое) числом полуволн и, мы
тем самым устанавливаем определенную форму потери устойчивости.
При заданном числе полуволн синусоиды характеристическое уравнение
(3.2), как мы видели выше, дает три критические силы, соответствущие трем
степеням свободы пространственно работающего стержня в плоскости
поперечного сечения. Наименьшие Значения этих трех критических сил
получаются при и=1, т. е. в случае, когда стержень теряет устойчивость
по синусоиде с одной полуволной. Параметр Хп, входящий в уравнение
(3.2), при /г=1 принимает значение
К =
Г
Каждой из трех критических сил, определяемых уравнением (3.2)
при заданном ХП7 в плоскости поперечного сечения будет соответствовать
своя форма потери устойчивости. Эта форма характеризуется тем, что
поперечное сечение вращается относительно некоторой точки своей
плоскости, которая при малых значениях £, г\ и0 может быть принята за
мгновенный центр вращения. Координаты этого центра могут быть получены
из условия его неподвижности при использовании уравнений (1.2):
ч
(Су — <1у)Ъ
Л + (сх — «х) 0 :
О,}
о, Г
(4.1)
где сх и Су — координаты центра вращения; £, т) и 6 — при граничных
условиях, отражающих шарнирное закрепление концов, имеют вид:
£ = A sin %zt т) = В sin Xz,
= С sin Xz.
(4.2)
260
Тонкостенные упругие стержни
Отношение постоянных коэффициентов А, В и С для случая
центрального сжатия можно найти из однородных уравнений (2.3) при Мх = Му- 0:
Л <*УР В *ХР и о.
р>
р — р
X
Из формул (4.1) — (4.3) получаем для координат центров вращения
следующие выражения:
(4.4)
1--
1 —
Каждой критической силе, очевидно, будет соответствовать свой
центр вращения, определяющий ось вращения, параллельную оси
стержня. Для трех критических сил Pi, Р2 и Рз, получающихся из уравнения
(3.2) при заданпом числе п полуволн синусоиды, мы получаем таким
образом три центра вращения.
Исключая из выражений (4.4) силу Р, получим геометрическое место
точек центров вращений, которое будет зависеть только от
геометрических размеров сечения; это уравнение имеет вид:
или
СхйуРу — суахРх = схсу (Ру — Рх),
CxayJу cyaxJх == схси V* V Jx)f
(4.5)
где Jx и Jy — моменты инерции относительно главных осей.
Уравнение (4.5) представляет равнобокую гиперболу, имеющую
асимптоты, параллельные главным осям, и проходящую через начало
координат (рис. 158).
§ 5. Расчет центрально сжатого стержня с несимметричным
поперечным сечением
Рассмотрим неравнобокий уголок (рис. 159). Будем полагать, что
концевые сечения уголка закреплены от перемещений в своей плоскости
(поступательных £,т) и вращательного 8) и свободны от нормальных
напряжений а.
Уравнение для случая центрального сжатия представлено формулой
(3.5). Отнесем наше сечение к главным осям Ох и Оу и вычислим
геометрические характеристики сечения, входящие в
уравнение (3.5).
Для нашего случая координаты центра изгиба
в главным осях будут равны:
ах = 5,2 см, ау=—6,3 см. (5.1)
х арактеристяки
Остальные геометрические
имеют следующие значения:
Jx = 2898 си*4,
/d = 13cj»i4, ^ = 39си*2,
J 4-J
ux ~ "■
r* = al + al +
434 CM*, i
J9 см2,
*=\Ь2см*
(5.2)
Что касается секториального момента инерции /ы, то он равен нулю,
так как при положении центра изгиба в вершине уголка секториальные
площади, определяющие напряжения при кручении, равны нулю.
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами
261
(5.3)
Пусть модули упругости равны
Е = 2,1 • 10е кг/см2, G = 0,4Е = 0,84- 10е кг/см2.
Кубическое уравнение (3.5) в данном случае будет иметь вид:
- {fl+Л/ Р3 + {GJd + £ [{Jx + Jy) Г2 _ (/ха2 + Jya2x)] Х2} р* _
- EX* [EJJvr2X* + GJd (Jx + Jy)\ P + E4JvGJd№ = 0. (5.4)
Коэффициентами уравнения (5.4) являются величины, зависящие от
геометрических характеристик сечения, модулей упругости и, через
параметр X, от длины стержня и числа полуволн синусоиды. Подставляя
в уравнение (5.4) данные из (5.1), (5.2) и (5.3), оставляя пока неопределен-
Jx + Jv
ной величину X и разделив все уравнение на -=,—- , получим:
Р* — (1,28.10б + 0,932- 1010Ь2)Р2 +
+ (8,92-1014 + 0,991 • 1019Х2) Х2Р — 7,10-1023^4 = 0. (5.5)
По этому уравнению критическая сила Р определяется как функция
от X = -J-. Определим критические силы для пяти значений длины
стержня:
/ = 100, 200, 300, 400, 500 см.
Вычисляя для этих длин X2 = (^-] при п — 1 и подставляя затем
полученные значения в уравнение (5.5), получим соответственно пять
кубических уравнений для определения критической силы Р. Заметим
попутно, что величину силы Р получим в килограммах. Чтобы не иметь
дела с большими числами, будем вычислять jP в тоннах, уменьшив
соответственно коэффициенты в 103, 106 и 10у раз.
Уравнения для данных пяти случаев будут следующие:
1) для / = 100 см
Р3~93,3.102Р2 + 1050.104Р — 692-106 = 0;
2) для / = 200 см
Р3 — 24,3.102Р2 + 82,5- 104Р- 43,2-10е = 0;
3) для / = 300 см
Р3 — 11,5- 102Р2 + 21,8- 104Р — 8,59.10е = 0;
4) для I = 400 см
P3^7,03.102P2 + 9,26.J04P-2,71.10e = 0;
5) для / = 500 см
Р3 — 4,96- 102Р2 + 5,06- 104Р — 1,1 Ы06 = 0.
Каждому из уравнений (5.6) соответствуют три положительных
действительных корня Pl9 Р2, Рз- Решая эти уравнения, получим
следующие значения критических сил в тоннах:
(5.6)
1) для / = 100 ел* Л = 70; Р2 = 1226,
2) для / = 200 см Рг = 65; Рш = 330,
3) для / = 300 см Р1 = 54; Рг = 172,
4) для / = 400см Рг = 42; Р2 = 120,
5) для I = 500 см Рг = 34; Р2 = 95,
Р3 = 8034;]
Р3 = 2035; |
^8 = ^24; [
Р» = 541; |
Ps = 367. )
(5.7)
262
Тонкостенные упругие стержни
Найденные критические силы соответствуют синусоидальной форме
потери устойчивости с одной полуволной, характеризуемой числом лг =1.
Вообще мы имеем бесчисленное множество значений п и, следовательно,
получим бесконечное число критических сил; однако нас интересуют
для каждого случая только наименьшие из критических сил; нетрудно
убедиться, что значению и=1 соответствуют наименьшие критические
силы. Действительно, из рассмотрения решений (5.7) мы видим, что
с увеличением / критические силы Pi, Р2, Рз убывают, а при уменьшении
/ критические силы возрастают; но в формуле X = -т- увеличение / при
постоянном п можно рассматривать как уменьшение п при постоянном /
и, наоборот, увеличение п при постоянном / можно рассматривать как
уменьшение I при постоянном я, и, следовательно, наименьшая
критическая сила будет соответствовать наименьшему значению п, т. е. и =1.
Эйлеровские критические силы вычисляются по формулам (3.3):
EJX%\ Ру
EJVX*.
В наших пяти случаях эти эйлеровские критические силы будут
иметь следующие величины в тоннах:
1) для I = 100 см Рх = 6007,
Рх = 1513,
Рх = 669,
Рх = 376,
Рх = 240,
2) для / = 200 см
3) для I = 300 см
4) для I = 400 см
5) для I = 500 см
Ру = 900
Pv = 225
Ру = 100
Ру = 56;
Ру = Ж
Подсчитаем для сравнения критическую силу по Вагнеру. Эта
сила вычисляется по формуле (3.4):
-Рвагн = ^2 {EJJk* + GJd).
В нашем случае секториальный момент
инерции /w = 0 и по формуле Вагнера
получаем следующую критическую силу:
GJ,
= 72 т.
Из этой формулы мы видим, что сила Р
не зависит от длины стержня. Такой
неверный результат получается из неправильного
предположения, сделанного Вагнером в
отношении центра кручения при потере
устойчивости.
На рис. 160 приведены графики
наименьших критических сил, вычисленных в
зависимости от длины стержня по изложенным здесь различным методам.
Из этих графиков видно, что эйлеровские критические силы,
определяемые из условия потери устойчивости в форме изгиба в плоскости
наименьшего изгибного сопротивления, получаются выше наименьших
критических сил, определяемых по теории изгибно-крутильных форм
потери устойчивости. С увеличением длины стержня разница между
силами, определяемыми из уравнения Эйлера и кубического уравнения
(5.4), уменьшается. Это означает, что с увеличением длины стержня центр
вращения, определяемый формулами (4.4), удаляется, и изгибно-крутиль-
ная форма потери устойчивости приближается к изгибной форме.
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 263
§ 6. Устойчивость плоской формы изгиба при внецентренном
сжатии
Рассмотрим случай внецентренного действия силы Р (см. рис. 152).
Если ех и еу— координаты точки приложения этой силы, то
Mx = -PeV9 Мч = Рех. (6.1)
Дифференциальные уравнения (1.10) принимают следующий вид:
EJvllv + Р% + (аи - elf) PW = 0,
EJxi\™ + Рц" - (Ox ~ ех) PG" = 0,
К - etl) РГ - (ах - ех) Рт{ + EJJ™ +
+ \Р (г2 + 2$хех + 2р^) - GJd\ в" = 0.
Этими уравнениями и граничными условиями определяются
дополнительные деформации изгиба и кручения, возникающие при
внецентренном сжатии вследствие потери плоской формы изгиба.
Если сила Р будет приложена в центре изгиба, то ех ~ах и еи = ау.
В этом случае система совместных дифференциальных уравнений (6.2)
распадается на три независимых уравнения:
EJVVV + РГ = О, )
ДЛтГ + РтГ = 0,
EJJ" + \Р (г2 + 2Мх + %М - GJdW =0.
Первые два уравнения (6.3) по своему виду совпадают с уравнениями
Эйлера для случая центрального сжатия. Эти уравнения дают решение
задачи устойчивости первого рода в случае, если определяемые ими
деформации изгиба не лежат в плоскости начального изгиба, обусловленного
внецентренным (по отношению к центру тяжести) действием продольной
силы. Если же определяемые этими уравнениями деформации изгиба
лежат в плоскости начального изгиба, то решения этих уравнений отвечают
потере устойчивости второго рода. Третье уравнение определяет новую
форму равновесия, при которой поперечные сечения стержня
поворачиваются относительно центра изгиба, что соответствует устойчивости
первого рода.
Таким образом, мы приходим к выводу, что для открытого профиля
произвольного очертания изгибная форма потери устойчивости,
характеризующаяся поступательными смещениями поперечных сечений, возможна
только при условии, если продольная сжимающая сила будет приложена
в центре изгиба. Если же эта сила не проходит через центр изгиба, то
форма потери устойчивости характеризуется не только прогибами \ и т],
но также и углом закручивания 0.
В § 9 гл. I было отмечено, что в теории тонкостенных стержней
фундаментальное значение имеет линия центров изгиба стержня. Эту линию, а
не линию центров тяжести, необходимо принимать за ось стержня. Мы
видим, что и в теории устойчивости тонкостенных стержней за этой осью
сохраняется особое значение. Действительно, лишь при условии, что
продольная сжимающая нагрузка приложена по линии центров изгиба
стержня, возможна эйлеровская изгибная форма потери устойчивости.
В случае же центрального сжатия несимметричного профиля изгиб в
чистом виде, как мы видели выше, невозможен. Формулы Эйлера в этом
случае неприменимы1.
1 Исключение представляет случай, когда профиль имеет ось симметрии,
относительно которой момент инерции будет наименьшим.
(6.2)
(6.3)
264
Тонкостенные упругие стержни
Если концы стержня закреплены от перемещения и свободны от
нормальных напряжений, то, как мы видели выше из формул (2.2), форма
потери устойчивости по длине стержня представляет собою синусоиду
с целым числом полуволн. Значение продольной силы в случае внецен-
тренного ее приложения находится из уравнения (2.4). Подставляя в это
уравнение значения моментов Мх и Му, определяемые по формулам
(6.1), получим
Ру — Р 0 —р(ау — еу)
О Рх-Р Р(ах-ех)
.-Р(ау — ву) Р (ах - ех) iV2 - Р (г2 + 2%ех + 2%еу)
0. (6.4)
Раскрывая определитель (6.4), найдем
(Рх - Р) (Ру - Р) [г2 (Рш -Р)- 2(W> - 2%еуР] -
- (ау - еу)* (Рх -Р)Р*- (ах - ех? (Ру - Р) Р* = 0. (6.5)
Здесь приняты обозначения (3.3) и (3.4).
Уравнение (6.5) при заданных эксцентриситетах ех и еу и заданной
синусоидальной форме потери устойчивости дает три критические силы
Ри Р2 и Р3. Каждой из этих сил будет соответствовать своя форма потери
устойчивости, характеризующаяся тем, что поперечные сечения стержня
поворачиваются относительно линии центров вращения, причем угол
кручения по длине стержня меняется по закону синуса. Координаты
центра вращения в случае внецентренного действия продольной силы при
малых перемещениях |, ч\ и 0 могут быть вычислены по формулам:
ах~ р ех ау — р еу
X V
сх — р > су — ~р •
i-p i-p-
х ry
(6.6)
Трем критическим силам Рг, Ръ и Рз, получающимся при заданной
точке приложения Е и заданном числе полуволн синусоиды п из
уравнения (6.5), соответствуют три центра вращения Ci, Съ и Сз, определяемые
по формулам (6.6). Если точка Е приложения продольной силы
перемещается в поперечном сечении стержня по кривой
F(ex, еу) = 0,
то центры вращения Сг, С2 и С3, соответствующие трем значениям
критической силы Ръ Р2 и Р3, будут перемещаться по трем кривым:
<Pi (сх, су) = 0, ф2 (cXf су) = 0, ф3 (сх, Су) = 0. .
Так как из трех сил Pi, Ръ и Рз одна будет иметь наименьшее
значение, то при потере устойчивости центр вращения будет находиться на
кривой ф(сх, су) =0, соответствующей наименьшей силе.
§ 7. Изостабы критических сил при внецентренном действии их
Уравнением (6.5), при заданных упругих и геометрических
характеристиках стержня и заданном синусоидальном законе изменения
перемещений £, т] и 0 по длине стержня, устанавливается зависимость между
величиной критической силы Р и координатами точки приложения этой
силы ех и еу. Полагая в уравнении (6.5) i>=Po=const и разделив его на
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 265
Pl(Px-Po) (Pv-P*)(P»-Pq)> получим
(РХ~Ро)(Р(й~^о) ' {Py-P0)(Piu-P0
+
+
2РЛ
+
23,^
Л (Рм - Ро) ^ Ро [Рш - Ро) Р2о
= 0.
(7.1)
Уравнением (7.1) определяется в плоскости поперечного сечения
кривая, обладающая тем свойством, что критические силы Р =Ро,
приложенные в точках этой кривой, имеют постоянные значения. Поэтому мы
можем кривую, выраженную этим уравнением, при A)=const назвать изо-
стабой критических сил в случае внецентренного сжатия. Рассматривая
в уравнепии (7.1) Р =Ро как параметр и давая различные значения этому
параметру, мы получим семейство различных кривых. Все эти кривые,
как видно из уравнения (7.1), будут представлять собою эллипсы или
гиперболы в зависимости от значения параметра Ро.
Если Ро — наименьшая из трех критических сил, то
(/>я_/>0)(/>в_/>0)>0,
(Ру-Ро)(Р(Л-Ро)>0,
и кривая, выраженная уравнением (7.1), будет эллипсом.
Если Ро дает вторую или третью по величине критическую силу, то
изостабы будут либо эллипсами, либо гиперболами, в зависимости от
того, какова величина Ры по сравнению сРх и Ру. Оси эллипсов и
гипербол, получающихся из уравнения (7.1) при разных значениях параметра
Ро, будут параллельны главным осям сечения, поскольку в этом
уравнении отсутствует член с произведением эксцентриситетов ех и еу.
Обозначая полуоси изостабы через а и 6, из уравнения (7.1) после необходимых
выкладок получаем:
а* =
г2(Рх-Ро)(Р(Л
р2
Ро) гх
— +
Й(Лс-Л)»
Р2
+
Щ (рх ~ Ро) (Ру - Ро) . 2а£х (Рх - Ро) 2а,Д, (Рх - Ро)
Ро
■ 2 г*(Рх-Р0)(Рш-Ро) $,(Ру-Ро)*
*\
П
+
f%(Px-Po)(Pv-Po) 2ах£х(Ру-Ра) 2а£и(Ри-Ро)
К
\ (7-2),
Координаты центра изостабы будут иметь вид:
ахР0-Ух(Рх-Р0)
Ро
"„Po-VyiPy-Po)
Для стержня с одинаковыми моментами инерции эйлеровские
критические силы будут равны между собой:
РХ = Ри
EJn*n2
/2 "
266 Тонкостенные упругие стержни
В этом случае эллиптические изостабы вырождаются в окружности.
Радиус окружности вычисляется по формуле
В этой формуле Ро должно быть таково, чтобы R2 было положительным
числом. В противном случае мы получим мнимую окружность.
Если стержень имеет в поперечном сечении две оси симметрии, то
ах=ау=:0; рг= РУ=0. Уравнение (7.1) в этом случае принимает более
простой вид:
е\ е\ г* _
(Рх-Ро)(Р«-Р'оГ + (Ру-Ро)(Рл-Ро) ~ ~Р* ~ °*
Центр кривых, выраженных этим уравнением (при разных значениях
критической силы jP0), совпадает с центром тяжести сечения.
§ 8. Устойчивость плоской формы изгиба стержней
при внецентренном растяжении. Круг устойчивости
Исследуемые нами изгибно-крутильные формы потери устойчивости
возможны не только в случае, когда на стержень действует сжимающая
сила, но также и в случае внецентренного растяжения. Явление потери
устойчивости при внецентренном растяжении математически выражается
в том, что кривая, представленная уравнением (7.1), может сохранить
смысл (не стать мнимой) и приР0<^0. Из этого следует, что можно
указать такие точки, прилагая к которым растягивающие усилия, мы
получим явление потери устойчивости. Физически это явление объясняется
тем, что при внецентренном приложении продольной растягивающей силы
в поперечных сечениях стержня, до того как он потеряет устойчивость,
могут возникать не только растягивающие, но также и сжимающие
напряжения. Этими сжимающими напряжениями и обусловливаются
неустойчивые формы равновесия стержня при внецентренном растяжении.
Совершенно ясно, что потеря устойчивости стержня при внецентренном
растяжении возможна не при всяком положении этой силы в плоскости
поперечного сечения. Если растягивающая сила'находится внутри ядра
сечения, то все сечение испытывает одни только растягивающие
напряжения. В этом случае стержень не может потерять устойчивость ни при
каком значении силы. Ядро сечения является таким образом областью
устойчивости стержня при растяжении.
Естественно возникает вопрос, ограничивается ли эта область одним
только ядром сечения или она выходит за пределы этого ядра. Возможна
ли потеря устойчивости стержня в случае, когда продольная
растягивающая сила приложена вблизи, но вне ядра сечения, т. е. когда на
противоположной стороне сечения появились сжимающие напряжения. Какую
зону в поперечном сечении должны занимать эти сжимающие напряжения,
чтобы стержень потерял устойчивость плоской формы изгиба при конечном
значении растягивающей силы (допуская, конечно, для стержня
бесконечный предел упругости). Ответ на эти вопросы мы получим из уравнения
(7.1), которое определяет собой кривую постоянных критических сил в
переменных ех и еу (при заданном параметре Р0).
Область устойчивого равновесия стержня при внецентренном
растяжении определяется тем, что критическая сила, приложенная на
границе области, принимает бесконечно большое значение.
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 267
Уравнение (7.1) можно записать в таком виде:
+
Рх
получим
~^у
их
ахч pi/ — 27 ^I/*
?х ~г С{, гех ~г е{1
JV Jx
Полагая р этом уравнении /^=00, получим уравнение F (ех, еи) = О,
выражающее аналитически кривую, которая ограничивает область
устойчивости при растяжении. Это уравнение имеет вид:
(ах - ех)2 + (ау - еу)* - 2$хех - 2%^, - г2 = О
или, принимая во внимание принятые ранее обозначения (1.6)
rz = ах + аи ^ j— ,
-^Н-' = 0. (8.1)
Кривая, определяемая уравнением (8.1), представляет собой
окружность. Радиус этой окружности и координаты центра определяются по
формулам:
г/2 г/2 г . Г
кх = j± = ax + $Xl ку = ~г = аи + ру, (8.3)
где Ux и £Лу— геометрические характеристики, представляющие собой
моменты инерции высших степеней, вычисляемые по формулам (1.7).
Таким образом мы приходим к следующему выводу: при внецентрен-
ном действии продольной силы явление потери устойчивости может
возникнуть как в случае сжатия, так и в случае растяжения; в случае сжатия
стержень может потерять устойчивость при любом положении силы в
поперечном сечении; в случае же растяжения явление потери устойчивости
может иметь место при условии, если продольная сила приложена вне
области устойчивости; эта область представляет собой круг независимо
от формы поперечного сечения стержня.
В дальнейшем область устойчивости, ограниченную окружностью (8.1),
мы условимся называть кругом устойчивости. Радиус круга устойчивости
и положение его центра в самом общем случае определяются по формулам
(8.2) и (8.3). Если поперечное сечение стержня имеет одну ось симметрии,
то центр круга устойчивости находится на оси симметрии. Для сечения
с двумя осями симметрии геометрические характеристики Ux и Uy, как
видно из формул (1.7), обращаются в нуль1. Уравнение (8.1) будет иметь
вид
4 + 4-^—' = о.
Радиус круга устойчивости в этом случае равен полярному радиусу
инерции.
1 Это следует из того, что подынтегральные выражения в формулах (1.7) для
симметричных сечений представляют собой нечетные функции [как произведения четной
функции р2 = х2 -\- у2 на нечетную х = x(s) или у = y(s)\. Интегралы же от нечетных
функций в симметричной области, как площади кососимметричных эпюр, равны нулю.
268
Тонкостенные упругие стержни
§ 9. Устойчивость прямоугольной полосы
В качестве первого примера рассмотрим узкую прямоугольную
пластинку, имеющую на концах шарнирные закрепления и нагруженную в
срединной плоскости продольной сжимающей (или растягивающей)
силой. Пусть d и б — соответственно ширина и толщина пластинки в
поперечном сечении. Главные оси совпадают с осями симметрии сечения (рис.
161), следовательно,
ах = dy = ?х = |3у = 0.
Поскольку сечение в рассматриваемом случае состоит из одного
узкого прямоугольника, то для секториального момента инерции мы получаем
нулевое значение:
/м = 0.
Равенство нулю характеристики /w показывает, что в поперечных
сечениях тонкой полоски при кручении возникают только касательные
напряжения, образующие замкнутый силовой поток и относящиеся к
случаю чистого кручения; касательные же напряжения, распределенные
по сечению равномерно, возникают только при изгибе пластинки в ее
плоскости.
Дифференциальные уравнения устойчивости для полосы при вне-
центренном действии продольной силы в срединной плоскости получаются
из общих уравнений (6.2), если в них положить ах= ау— еу= Л>= йх= ру=
= 0:
E'vl™ + П" = 0, \
Е^у\^ + Рц" + ехР^ = 0у \ (9.1)
eJPtf + (Рг* — GJd) О" = 0. J
Первое уравнение определяет критическое состояние полосы от изгиба
в плоскости Oxz, Это уравнение является приближенным, поскольку
полоса при приложении продольной силы с эксцентриситетом ех
получает деформации изгиба до потери устойчивости. Дополнительные
прогибы £ лежат в плоскости изгиба основной формы равновесия. Второе и
третье уравнения (9.1) вместе с граничными условиями определяют из-
гибно-крутильные формы потери устойчивости. Критические силы,
соответствующие этим формам, определяются из уравнения (6.4), которое
в рассматриваемом случае сечения и нагрузки принимает более
простой вид:
Рх — Р ~Рех
Рех (Рл - Р) г2
0, (9.2)
где
px = EJxX\ p„ = ^GJd,
Решая уравнение (9.2) относительно jP, найдем
(0.3)
Формулой (9.3) критическая сила Р выражена в функции координаты
вх, определяющей точку приложений этой силы на оси Ох.
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами
Задаваясь в этой формуле эксцентриситетом ех, мы получим для
критической силы два значения, соответствующие при заданном
синусоидальном законе изменения перемещении т] и0 двум изгибно-крутилышм
формам потери устойчивости.
Мосштабы
р,
1,0
0,8
0,6
4*
0,2
W
1
ш
800
600
200
0-1
200
Ш
600
800
)
?'*•
i |
Я 1
1 1
i
||
!й
? -8 -б^г^Д—
""""■
^-4t=
п
\
1
1-4.
| 1 у\
\!
Р(т)
\\\ i
\ j
к
/ (
,
j
<^ТТ
Щ*->6?1
—1—J—1 ' L-i
' i
;
!
,i
Ч
.
1^
? 0 #
ег(см)
Рис. 161
Рис. 162
Рис. 163
На рис. 162 приведены графики критических сил, вычисленные по
•формуле (9.3) в зависимости от эксцентриситета. Эти графики построены
для прямоугольной стальной полосы, имеющей следующие размеры:
«d=10 см, б =1 см, I =200 см. Модули упругости были приняты равными:
#=2,Ы0* кг/смг,
«.-0,84.10е кг/см*.
Концы полосы имеют шарнирное закрепление как в отношении
прогибов, так и в отношении угла кручения. Критические силы, нанесенные
на этих графиках, даны в тоннах; эксцентриситеты ех — в сантиметрах.
Наименьшая критическая сила Pi будет сжимающей (положительной).
-Эта сила на рис. 162 представлена непрерывным симметричным
графиком Pi. График, помеченный буквой Рг, относится ко второй критической
•силе. Эта сила вне круга устойчивости имеет отрицательное значение
(растяжение); на рис. 162 масштабы для Pi и Ръ — разные.
С уменьшением эксцентриситета ех, т. е. с приближением точки
приложения силы к кругу устойчивости, критическая растягивающая сила
Р2 увеличивается. На границе круга устойчивости эта сила, принимая
бесконечно большое значение, претерпевает разрыв и меняет знак на
обратный. Следует отметить, что критические растягивающие силы во
много раз превосходят сжимающие силы.
Описанное здесь явление потери устойчивости при внецентренном
сжатии или растяжении может быть продемонстрировано на обыкновенной
деревянной рейсшине, имеющей на концах поперечные перекладины
(рис. 163).
§ 10. Устойчивость таврового стержня
Рассмотрим тавровый стержень, имеющий в поперечном сечении одну
ось симметрии (рис. 164). Центр изгиба находится в пересечении осей
стенки и полки тавра. Направляя ось Ох по оси стенки, получим
fly=0.
270
Тонкостенные упругие стержни
Координатой ах является расстояние между центром тяжести сечения
и точкой пересечения стенки и полки. При направлении оси Ох,
показанном на рис. 164, эта координата имеет отрицательное значение.
Пасштойс
ех(см}
Рис. 164
Рис. 165
векториальный момент инерции в данном случае также равен нулю:
/« = 0.
Уравнения устойчивости плоской формы изгиба при действии силы на
ось Ох (т. е. при еу = 0) имеют следующий вид:
F-IV
EJx4iy + рц" - (ах - ех) PV = 0,
- (ах - ех) Ру{ + [Р (/2 + 2$хех) - GJd] 6" = 0.
Уравнение для определения критических сил при шарнирном
закреплении обоих концов стержня будет иметь вид:
\РХ-Р
I Р (ах — ех)
Р(ах-ех)
Р»г*-Р(г*+2№х)
0.
(10.1)
На рис. 165 даны графики критических растягивающих и сжимающих
сил, построенные для таврового стержня при следующих размерах:
dx =10 см, д,г = 5 см, 6i =62 =0,5 см, I =167 см. Модули упругости
были приняты равными:
Е = 2,1 -10е кг/см2, G - 0,84-10е кг/см2.
§ 11. Устойчивость сжатого пояса (коробчатого профиля)
железнодорожного моста
Рассмотрим теперь коробчатый стержень сжатого пояса моста.
Размеры поперечного сечения стержня показаны на рис. 166. При этих
размерах для геометрических характеристик стержня получены значения:
/я= 1,943-10е см\
/„= 1,173-10е еле4,
Jd = 0,03557 -106 см\
/„ = 1747106 см«.
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 271
Внося эти данные в уравнение (10.1) и принимая для строительной
стали 2? =2,1 -10е кг/см2, 6?=0,84-106 кг/см2, получим уравнение
относительно трех величин: критической силы Р, длины / и эксцентриситета ех
(сила предполагается приложенной на оси симметрии). Давая в этом
уравнении длине стержня / различные значения, получим ряд графиков,
определяющих критические силы Р в функции эксцентриситета. Графики
расчетных сжимающих сил Pi для длин
стержня 8, 12, 16, 20 м нанесены
на рис. 167. На этом рисунке ниже оси
абсцисс (оси эксцентриситетов) нанесен
график растягивающей силы Р2,
вычисленный для стержня длиной 1 = 8 м.
Критические силы на графиках даны в
долях линейной жесткости EF.
Для круга устойчивости
рассматриваемого коробчатого профиля
получим:
/
R-V
J,\
J и2
-J.'+-£ = 41,93 см,
' U2
у
U
3J
Ajc=«f = 8,475 см.
Следует отметить, что в центре из- Рис- 16
гиба критическая сила Pi, как ив
предыдущем случае, достигает наибольшего значения, равного эйлеровской
силе. При центральном же действии, т. е. в случае, когда сила приложена
в центре тяжести сечения, критическое значение сжимающей силы
значительно меньше эйлеровской силы.
Масштабы
Р(т)
Ю0 120 ПОег(см)
Рис. 167
Таким образом упругая устойчивость из плоскости симметрии стержня*
значительно повышается, если эту силу приложить в центре изгиба. С
переносом силы в центр изгиба изгибно-крутильная форма потери
устойчивости переходит в изгибную, так как в этом случае центр вращения сх
уходит в бесконечность. Поперечные сечения перемещаются поступатель
но в направлении, перпендикулярном к оси симметрии.
272
Тонкостенные упругие стержни
Эйлеровская изгибная форма потери устойчивости в плоскости Oyz
представляет собой, таким, образом частный случай изгибно-крутильной
формы, когда сила приложена не в центре тяжести сечения, а в центре
изгиба.
§ 12. Устойчивость плоской формы изгиба
при чистом изгибе
Полагая в уравнениях (1.10)
Р = 0, Мх = Afsina, Mv =
• М cos a,
где М — изгибающий момент, действующий в плоскости, составляющей
с осью Ох угол а (рис. 168), получим:
,iv
.Esina.^
EJvliyf +М sin a-О" = 0,
EJxr\lV — М cos a-О" = 0, 1
Mcosa.rf + EJJd14— J
— [2 (P^cos a + p^sin a) M + GJd] 8" = 0.
(12.1)
Mcosa
Дифференциальные уравнения (12.1) относятся к случаю потери
устойчивости при чистом изгибе. Параметром внешней нагрузки
является величина изгибающего момента
А/. Критические значения этого
момента определяются системой
дифференциальных уравнений (12.1) и
условиями закрепления концов
стержня. Если концы стержня
закреплены от смещений £, т) и углов
закручивания 0 и дополнительные
нормальные напряжения ст,
соответствующие искомому
деформированному состоянию, на этих концах равны нулю, то критическое значение
момента определяется из детерминантного уравнения (2.4), в котором
нужно положить Р = 0, Мх = М sin a, Му = — М cos a:
Рис. 168
Ру 0 — Msina
0 Рх М cos a
-Msina М cos а г2Рш + 2M (pxcosa + (Jysina)
= 0, (12.2)
где, как и ранее (§ 3),
Px = EJxX*t py = EJvV, P„ = ±(EJJk2 + GJd) и k=f.
Уравнение (12.2) выведено для профиля произвольной формы. Если
профиль имеет одну ось симметрии (например, ось Оу)у и момент М
действует в плоскости симметрии, то при рх = 0 и a =90° из уравнения (12.2)
выделяется следующее уравнение, относящееся к случаю потери плоской
формы изгиба:
Ру -М
— М г*Ра + 2$уМ
= 0.
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 273
Решая его, получим выражение для момента:
M=pv{pv±Yti+T*^y
(12.3)
Формула (12.3) дает для момента М при заданной величине К = А-
(п = 1, 2, 3, . . .) два разных значения, отличающихся между собой как
по величине, так и по знаку. Наименьшие значения момента, как правило,
получаются при К = -у, т. е. в случае синусоиды с одной полуволной.
Если момент М действует в плоскости Oxz%
перпендикулярной к оси симметрии профиля,
то уравнение (12.2) при рж = 0 и <х = Одает
М = ±Vr2PxP<*
(12.4)
^b
Формулы (12.3) и (12.4) применимы для
любого открытого симметричного профиля,
обладающего жестким контуром. В частности, для
двутавровой балки с одинаковыми полками,
как следует из п. 1 § 1 гл. II,
= \a2dF =
F
(12.5)
Рис. 169
где Jx —момент инерции одной полки относительно вертикальной оси у,
и Р„ = О,
д,г — высота стенки
*-4
Подставляя выражение (12.5) в (12.3) и полагая
получим
M = ^VE7~GJdYi + -^^-> (12.6)
Формула (12.6) совпадает с известной формулой Тимошенко, данной
им впервые в его диссертации [178].
Формулы (12.3) и (12.4) применимы также и для профилей,
представляющих собою пучок пластинок, пересекающихся в Одном ребре и
имеющих ось симметрии Оу (рис. 169). Полагая в этом случае /«, = О,
получим из формулы (12.3)
M=^EJV[ft,± -y/pJ + T^]' <12Л>
Здесь,как и ранее, через GJd обозначена крутильная жесткость профиля
для случая чистого кручения. В частном случае для прямоугольной
полосы формула (12.7) совпадает с известной формулой Прандтля [178].
§ 13. Определение критических сил
в зависимости от условий закрепления
концов стержня [68]
1. Общее уравнение критических сил, представленное формулой
(2.4), относится к стержню, имеющему на концах шарнирные
закрепления в отношении всех трех перемещений. Этот случай закрепления
концов стержня представлен граничными условиями (2.1).
274
Тонкостенные упругце стержни
В зависимости от способа закрепления опорных сечений стержня,
граничные условия для искомых функций £, ц, 0 уравнений (1.10) могут
иметь различные выражения, в общем случае отличные от условий
(2.1). Так, например, в случае стержня, имеющего на концах полную
заделку, граничные условия будут иметь вид:
при z = о g = т| = е = о, % = т|' = «' = 0;
при z = I I = т| = 9 = 0, Ъ' = т|' = 9' = 0.
Если один конец стержня, например z = 0, имеет полную шарнирную
опору, а другой (z = Z) полную жесткую заделку, то граничные условия
представляются в следующем виде:
прц z = 0 I = т) = 9 = 0, Г = ц = 9" = 0;
при, z = / g = т| = 9 = 0, 6' = V = 9' = 0.
Возможны тацже и другие виды граничных условий. Так, например,
если опорное сечение z = 0 имеет шарнирное закрепление в отношении
прогибов £, г] и, будучи закреплено от угла кручения, остается (при наличии
жесткой диафрагмы) плоским, другое же сечение z = l закреплено шарнир-
но в отношении одного только прогиба £ и заделано жестко в отношении
двух других перемещений ц, 0, то граничные условия в этом случае
принимают вид:
при z = 0 I = г\ = 9 = 0, I" = л" = 0, 9' = 0;
при z = I | = п = 9 = 0, Г = 0, п' = 9' = 0.
Во всех описанных здесь и им подобных случаях закрепления концов
стержня критическая нагрузка при действии на стержень продольной
силы Р и моментов Мх, Му, приложенных на концах, определяется
решением системы однородных дифференциальных уравнений (1.10),
заданных с точностью до какого-либо одного параметра нагрузки, при
соответствующих (для данной краевой задачи) однородных граничных условиях.
Точное решение описанцой здесь проблемы, за исключением
рассмотренного выше случая полного шарнирного закрепления концов стержня»
приводит к громоздким математическим вычислениям, связанным с
решением довольно сложных трансцендентных уравнений.
Поэтому при рещенци проблемы пространственной устойчивости
тонкостенного стержня для разных случаев граничных условий мы будем
исходить из приближенного метода, основанного на применении принципа
возможных перемещении к дискретно-континуальной системе.
Пусть
6 (z) = А% (z), Л (z) = В<р (z), 9 (z) = СЧ> (*), (13.1)
где % (z)> ф (z), ij) (z) — некоторые заданные функции, удовлетворяющие
всем необходимым граничным условиям. Число этих условий для каждой
из трех функций будет равно четырем (по два условия на каждом конце
стержня). За функции %, <р,ф мы будем выбирать так называемые
фундаментальные функции поперечных колебаний балки, т. е. функции,
удовлетворяющие однородным дифференциальным уравнениямх:
1 Дифференциальное уравнение свободных колебаний балки имеет следующий
вид:
В данном случае функция прогибов w (z, t) зависит от продольной координаты
балки z и времени t; ЕJ — жесткость балки; pS — масса балки, приходящаяся на
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 275
xiv _ ^ = о, >|
<piv _ р4у = о, I (13.2)
ф™ - v4i|) = О, J
и однородным граничным условиям, имеющим одинаковый вид с
условиями рассматриваемой краевой задачи по устойчивости стержня. Для
параметра Я, входящего в первое уравнение (13.2), из граничных условий
получается трансцендентное характеристическое уравнение. Это уравнение
дает бесконечное множество значений для величины X, являющейся
фундаментальным числом. Бесконечному ряду чисел X соответствует бесконечный
ряд фундаментальных функций х* которые обладают свойствами
ортогональности и в своей совокупности образуют полную систему.
Фундаментальные функции % для разных случаев граничных условий и
соответствующие для них фундаментальные числа приведены в табл. 33. И»
полной системы фундаментальных функций % мы выбираем одну функцию,,
отвечающую первой гармонике; фундаментальное число X для этой
функции является наименьшим фундаментальным числом и соответствует
основной частоте колебаний.
Те же самые рассуждения можно повторить и для второго и третьего
уравнений (13.2). Таким образом, параметрами X, ц, v в уравнениях (13.2)
будут служить величины, характеризующие основные частоты в общем
случае трех различных балок, т. е. балок, имеющих на концах пролета I
разные условия закрепления. Так ка& мы здеоь рассматриваем граничные
условия, различным образом комбинирующиеся из жесткой заделки и
шарнирного опиранйя, то из фундаментальных функций поперечных
колебаний балки нам понадобится функции, относящиеся к трем различным
случаям граничных условий, а именно:
1) шарнирные закрепления обоих концов;
2) жесткая заделка обоих концов;
3) шарнирное закрепление на одном конце и жесткая заделка на
другом г.
Обратимся к основным уравнениям устойчивости (1.10). Этими
уравнениями выражено условие равновесия, а именно: сумма всех сил и
моментов, действующих на элементарную поперечную полоску единичной
ширины, равна нулю. Умножая, например, первое уравнение (1.10)
с учетом (13.1) на функцию х (z) dz, мы получаем работу всех сил,
действующих на нашу поперечную полоску шириной dz в направлении оси <9z,
единицу длины. Для решения уравнения колебаний мы пользуемся методом Фурье,
т. е. представляем функцию прогибов w(z, t) в следующем виде:
w(z, t) = Z(z)T(t).
Подставляя выражение для w в уравнение колебаний, получим
EJZiyT + pSZT" = 0 или -%- = ~27^- = ^4,
где X — некоторая постоянная величина, поскольку левая часть последнего
равенства зависит только от z, а правая только от t. Для функций Z(z) и Т (t) мы
получаем следующие уравнения:
Zlw — X4Z = 0t Т" + Х*^Т=0.
Первым уравнением определяется форма поперечных колебаний балки. Подробнее
об этих функциях смотри в работе автора [51].
1 Все наши рассуждения сохраняются и для стержня со свободным концом.
Таблица 53
Граничные условия
Схема
z=0 z=l
Фундаментальные функции
f
Характеристические
уравнения
Корни характеристических
уравнений (фундаментальные
числа)
| Х2 |Х„(">2)
il-i Jr'
х = о
х' = о
х = о
х" = о
sin
Kz
sin Хп = О
2я
пЛ
х' = о
х"=о
х = о
х' = о
sin —j— — sh
*>n*
*n*
-.(
COS'
-¥)
sh X,
n__sinXn
ch Xn __ cos A^
ch *,n cos Я,Л — 1
4,730
7,8532
2л + 1
Я
x = o
x" = o
x' = o
sm —7— +<* sh -у—
sin A,,,
'shXT
tgbn = thXn
3,9266
7,0685
4л + 1
-я
x = o
x' = o
x"=o
xw = o
sin —7- — sh —j- —
( X*Z 1ЛЛ
— a I cos-y- — ch -y- I
sh Я,Л + sin Xn
ch A,n + cos Xn
ch Я,Л cos Xn
= — 1
1,8751
4,6941
2л-1
Я
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 277
на соответствующем возможном для них перемещении х (*)• Поскольку
мы не можем удовлетворить условию равенства нулю этой работы в
каждом поперечном сечении стержня [функции х (z), <р (z) иг|) (z) не являются
интегралами уравнений (1.10)], то мы требуем удовлетворения этому
условию лишь в интегральной форме, пользуясь фактически при этом
вариационным методом Бубнова — Галеркина с точным удовлетворением
геометрическим и статическим условиям на концах стержня.
Таким образом, подставляя (13.1) в уравнения (1.10), умножая в
соответствии с физическим смыслом первое из этих уравнений на х dz, второе
на ф dz, третье на ty dz, интегрируя затем каждое из трех полученных
таким образом выражений по всей длине стержня I и приравнивая на
основании принципа возможных перемещений результат в каждом из трех
случаев нулю, после ряда преобразований и использования уравнений
(13.2), двух соотношений
i i
\t%ndz = -$(x')f<fc.
^Х<р" dz = ~\%V dz
и четырех аналогичных соотношений для <р и т|э*, получим для А, В, С
систему трех линейных однородных уравнений, которые могут быть
представлены в следующем виде:
[hiEJy l£--P)A -k13 (ОуР + МХ)С = 0,
[htEJx^r -Р)В + к23 (ахР -МУ)С = 0,
- *8i (*уР + Мх)А + к32(ахР - Му) В +
+ {**£/«-£ - № + 2 ФХМУ - $УМХ) - GJd]}c = 0.
[ (13.3)
Здесь к1Ъ к12, . . ., к33 — некоторые безразмерные величины, зависящие
только от граничных условий и определяемые в общем случае по
формулам:
\tdz \tfdz п ^dz
J. ' „4 0 J.
Ь J_ 14 _J
(XT*
Я2
\W)4z
<p* V I
\Wfdz
U'Vdz
]<t'Vdz
kls — «3j —
V UxTd'lWTdz
* 0 0
#23 — "*32
Yi
{y'fdz j (if')2 dz
В табл. 34 даны значения этих коэффициентов для разнообразных
случаев граничных условий (верхние горизонтальные строки таблицы).
1 Эти равенства получаются интегрированием по частям, с учетом того, что
функции х, ф, г|э удовлетворяют геометрическим условиям на концах стержня. Так,
например,
l l I
& XX" dz = xX'\~\ (X')2 dz=~\ (X')2 dz.
U 0 0 о
Таблица 34
Коэффициенты приведенных моментов инерции и эксцентриситетов по пространственной устойчивости стержня в зависимости
от граничных условий
к
«
о
г,
о
Я
и
к
ее
Р.
Я
н
К
&
S
о
, 1
при z = + -£
при Z =
^11
fe
*3»
fel = ^13
^32 = ^23
| = 0; £" = 0
т) = 0; л" = 0
0 = 0; 0" = 0
6 = 0; 5"=0
T] = 0; л" = 0
0 = 0; 0" = O
1
1
1
1
1
e = o; r = o
0 = 0; 0" = 0
5 = 0; Г=0
4 = 0; т|' = 0
6 = 0; 0" = 0
1
4,1223
1
1
0,8834
\ = 0; Iя = 01
т] = 0; т]' = 0
0 = 0; 0" = 01
| = 0; 5"=0
т|=0; т|" = 0
0 = 0; 0" = 0
1
2,092
1
1
0,9041
£ = 0; E' = 0
0 = 0; 0" = 0
6 = 0; 6"= 0
i| = 0;t|# = 0
0 = 0; 0" = 0
2,092
2,092
1
0,9041
0,9041
g = 0; 5' = 0
T] = 0; ti' = G
0 = 0; 0" = 0
1 = 0; £' = 0
т| = 0; T|' = 0
0 = 0; 0" = O
$ = 0; l* = ok = 0; g' = 0
т) = 0; т)' = (Нт]=0; T)' = 0
0 = 0; 0" = 0 0 = 0; 0" = 0
2,092
4,1223
1
0,9041
0,8834
4,1223
4,1223
1
0,8834
| 0,8834
1 = 0; g"=0
r\ = 0; rf = 0
0 = 0; 0' = O
g=0; g"=0
ij = 0: T)*=0
6 = 0; 0* =« 0
1
1
2,092
0,9041
0,9041
£ = 0; g" = o'
т) = 0; tj' = 0
0 = 0; 0' = O
6 = 0; E' = 0
4 = 0; n' = 0
0 = 0; 0" -0
1
4,1223
2,092
0,9041
0,8746
g=0; 5"=0
Л = 0; т)' = 0
0 = 0; 0' = O
£ = 0; 5" = 0
r\ = 0; rf = 0
0 = 0; 0" = 0
1
2,092
2,092
0,9041
1
Таблица 34 (Продолжение)
к
к
я
о
1
S
в*
к
се
Р.
С-г
а
8
S
а
S
•е-
А
О
при z = + —
1
П ри 2 =
2
£ц
&22
^33
&81 = ^13
^32 = &23
£ = 0; Е' = 0
т)=0; т]' = 0
0 = 0; 0'=0
Е = 0; Г = 0
т) = 0; т)" = 0
0 = 0; 0" = О
2,092
2,092
2,092
1
1
6-0; g' = 0
г) = 0; т)' = 0
0 = 0; 0'=О
5 = 0; V = 0
т) = 0; т)' = 0
0 = 0; 0" = 0
2,092
4,1223
2,092
1
0,8746
g = 0; £' = 0
tj = 0; т]' = 0
0 = 0; 0' = 0
5 = 0; Ъ" =0
т) = 0; т|" = 0
0 = 0; 0'= 0
£ = 0; 5' = 05 = 0; Г = о
т] =0; т)' = 0т] = 0; т)"=0
0 = 0; 0" = от = О; 0' = О
4,1223
4,1223
2,092
0,8746
0,8746
1
1
4,1223
0,8834
0,8834
5 = 0; 5" = 0
Tj = 0; t]' = 0
0 = 0; 6' = 0
5 = 0; 5" = 0
tj^O; т|' = 0
0 = 0; 6' = 0
1
4,1223
4,1223
0,8834
1
5 = 0; 5"=0
т] = 0; т]' =0
0 = 0; 0' = О
5=0; Г =0
т] = 0; ч\" = 0
0 = 0; ^=0
1
2,092
4,1223
0^В834
0,8746
5 = 0; 5' = о
Л = 0; т)' = 0
0 = 0; 0' = О
5 = 0; 5" = 0
tj = 0; т]" = 0
0 = 0; 0'= 0
2,092
2,092
4,1223
0,8746
0,8746
£-0; £' = 0
tj = 0; tj' = 0
0 = 0; 0' = О
5 = 0; 5" = о
ц = 0; т|' = 0
0 = 0; 6' = 0
2,092
4,1223
4,1223
0,8746
1
1 = 0; 5' = 0
tj = 0; т]' = 0
0 = 0; 0' = 0
5 = 0; £' = 0
т| = 0; tj' = 0
0 = 0; 0' = О
4,1223
4,1223
4,1223
1
1
со
280
Тонкостенные упругие стержни
Приравнивая нулю определитель уравнений (13.3) и вводя
обозначения
Р* — ^22^^Х~1Г »
22А
Я2
Ру — кг1Е1 у -р
(13.4)
Р<* — ~^г(кззЕ^м^р GJdj, j
получим
(К-Р) (К - Р) [г2 (К - Р) + 2 (р,Л/х - pxMv)] -
- k213 (Pi - Р) (ОуР + Mxf - k\z (Pi - P) (axP - Mvf = 0. (13.5
Формулами (13.4) определяются критические силы: эйлеровские Pxt
Ру и крутильная Р&. Величины &n, &22, А33, входящие в эти" формулы,
при значениях, данных в табл. 34, позволяют определить силы Р*х> Ру, Ры
при самых разнообразных способах закрепления концов стержня. Для
случая полного шарнирного закрепления концов стержня коэффициенты
/сш &22, /с33 прикимают значения, равные единице, и формулы (13.4)
переходят в формулы (3.3) и (3.4).
Уравнение (13.5) при формулах (13.4) и при коэффициентах kll9
к22,. • •» ^зз» приведенных в табл. 34, представляет собою общее уравнение
критических сил и моментов и позволяет рассчитать на устойчивость
тонкостенный стержень при самых разнообразных условиях задачи, заданных
упругими характеристиками материала стержня Е, G, геометрическими
характеристиками JXJ Jy, /<*, Jd, ах, av, px, pv, г2, зависящими от формы
и размеров поперечного сечения стержня, длиной стержня Z, статическими
величинами Р, Мх, Му, определяющими с точностью до одного параметра
внешнюю нагрузку, вызывающую в стержне до потери устойчивости одни
только нормальные напряжения и, наконец, величинами &п, &22, . . ., &33,
зависящими только от граничных условий. Пользуясь значениями
коэффициентов klv Л22, . . ., &33, приведенными в табл. 34, варьируя
перечисленные выше геометрические и статические параметры, мы можем с
помощью одного только уравнения (13.5) охватить весьма большое
количество разнообразных практически важных задач по устойчивости
тонкостенного стержня, как оболочки с жестким контуром, нагруженного
по концам или одной только силой Р, или одним только изгибающим
моментом Л/, и т. д.
При кп = к22 = /с33 = к13 = k2Z = 1 уравнение (13.5) переходит
в уравнение (2.4), относящееся к случаю шарнирного закрепления обоих
концов стержня. Отсюда следует, что расчет стержня при других
граничных условиях в случае, например, внецентренного приложения
продольной силыР может быть выполнен на основе формул, приведенных в
предыдущих параграфах и относящихся к основному случаю указанных
условий (2.1). Нужно только во всех этих формулах критические силы Рх,
Ру, Р<о заменить силами Рх, Ру, Р^, определяемыми при данных граничных
условиях формулами (13.4), и относительные эксцентриситеты ех — ах,
еу — йу заменить приведенными эксцентриситетами к23 (ех — ах) и
^13 (еу ау)'
Следует отметить, что вместо функций колебаний могут быть выбраны
балочные функции (прогибы) от равномерно распределенной статической
нагрузки, отвечающие граничным условиям для каждого из трех
рассматриваемых в нашей задаче перемещений. Другими словами, каждая из
трех функции может быть задана (с точностью до своего произвольного
множителя) в виде полинома четвертой степени. Коэффициенты полинома
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 281
должны быть выбраны в соответствии с граничными условиями для
каждой из функций х» ф» 'Ф в отдельности.
2. Изложенный здесь вариационный метод легко обобщается также
и на тонкостенные колонны, усиленные поперечными бимоментными
связями. Если эти связи представляют собой поперечные планки с
осями, расположенными в сечениях L = LK (i = 1, 2, 3, . . м л), то в
последнем из уравнений (13.3) под величиною GJd следует понимать
приведенную жесткость кручения, определяемую по формуле
GJd = GJd+ 2 bi \x?dz,
i=l, 2
где fy — приведенная жесткость бимоментной связи, относящейся к £-й
планке и вычисляемая изложенными ранее методами: %\ — значение
ПРОИЗВОДНОЙ ОТ фуНКЦИИ Xi (z) В ТОЧКе Z = Z\.
§ 14. Экспериментальная проверка теории на строительных
и авиационных металлических стержнях
В лаборатории строительной механики Центрального
научно-исследовательского института промышленных сооружений под руководством
автора были проведены экспериментальные исследования по проверке
общей теории пространственной устойчивости тонкостенных колонн при
центральном и внецентренном сжатии.
ч±24-£
S
3
"20
"4=1
■1000-
-2000-
м
1
*i|tfj 2Ю-
-250 \ 250-
-250 \
Рис. 170
1. Центральное сжатие1. Для испытания были
запроектированы и изготовлены в мастерских ЦНИПС сварные металлические
образцы из 5-миллиметровой листовой стали Ст. 3 двух типов сечения:
коробчатого и таврового, по три образца каждого профиля (рис. 170).
Чтобы избежать деформации контура сечения и потери местной
устойчивости, по длине образца с интервалами в 250 мм были
поставлены из 3-миллиметровой стали ребра таких размеров, чтобы они по
возможности не препятствовали продольным деформациям от кручения.
Принятые для образцов размеры подобраны с таким расчетом, чтобы
потеря устойчивости по изгибно-крутильной форме происходила в
упругой стадии.
1 Результаты экспериментальных исследований по пространственной
устойчивости тонкостенных металлических стержней при центральном сжатии получены
кандидатом технических наук Н. Г. Добудогло.
282
Тонкостенные упругие стержни
Механические характеристики металла были определены на
соответствующих образцах, вырезанных из той же листовой стали: предел
прочности апч = 4050 кг/см2, предел текучести ат = 2870 кг/см2,
удлинение е = 23%, модуль продольной упругости Е = 2,14-Ю6 кг/см2,
модуль сдвига G был принят равным 0,4 Е.
Граничные условия, принятые при испытаниях, соответствовали
шарнирному опиранйю концов стержня. Соблюдение этих требований
в условиях опыта не представляло каких-либо затруднений, так как
опорные подушки пресса, на которых устанавливались опытные образцы,
имели шаровые или цилиндрические шарниры. Большие затруднения
встретило практическое осуществление
другого требования, вытекающего из
теоретических предпосылок,
положенных в основу расчета профилей, а
именно: требования об отсутствии
нормальных напряжений в опорных сечениях.
Другими словами, оставляя в силе
условие о недеформируемости контура
образца в плоскости его сечения,
необходимо было обеспечить для отдельных
элементов опорного сечения
возможность свободной депланации,
обусловленной закручиванием стержня.
Что касается таврового профиля,
состоящего всего из двух элементов —
стенки и полки, то для него
требование свободной депланации опорного
сечения выполняется автоматически
при непосредственном опирании
стержня на подушки пресса, так как для
профилей, состоящих из
прямолинейных элементов, пересекающихся в одной точке, секториальный момент
инерции /ш, вызывающий искривление сечения, равен нулю.
Для коробчатого же профиля в целях соблюдения указанного
требования были спроектированы и изготовлены специальные опорные
приспособления, состоящие из съемных скоб со стальными шариками,
отдельных для каждого элемента профиля (рис. 171). Верхний и нижний концы
образца опирались на три стальных шарика, причем каждый шарик
находился в центре тяжести своего элемента; следовательно,
равнодействующая давлений на шарики проходила через центр тяжести опорного
сечения образца. При таком устройстве каждому отдельному элементу
опорного сечения обеспечивалась возможность свободно депланировать из
своей плоскости, поворачиваясь около шарика, как около центра
вращения, причем, поскольку шарики были расположены симметрично
относительно плоскости симметрии стержня, то начальная бимоментная
нагрузка отсутствовала и стержень до потери устойчивости не закручивался.
Испытание образцов производилось на 500-тонном прессе системы
«MAN». Вычисленный теоретически центр тяжести сечения образца
совмещался с центром опорных подушек пресса; образец опирался, как
выше указано, или непосредственно на подушки (тавр), или на стальные
шарики (коробчатый профиль).
При испытаниях производились измерения в трех сечениях (на высоте
V4, V2 и 3/4 I): 1) горизонтальных прогибов (прогибомерами Максимова) —
в двух направлениях, 2) фибровых деформаций (тензометрами Гугенберге-
ра), 3) поворота сечения в его плоскости. Для измерения прогиба и
поворота сечения ставились три прогибойера: один из них фиксировал прогиб
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 283
в направлении оси симметрии, второй и третий фиксировали прогибы в
перпендикулярном к этой оси направлении, показывая поворот сечения.
По показаниям прогибомеров определялось положение сечейия в
пространстве.
Поведение образцов под нагрузкой зависело от степени
Прямолинейности образца и от формы сечения. Коробчатые образцы, обладающие
более мощным сечением, теряли устойчивость спокойно, без каких-либо
признаков внезапности, медленно изгибаясь и закручиваясь при
наступлении критического состояния. Образцы таврового сечения выходили из
устойчивого равновесия как бы внезапно, иногда с заметным резким
ударом.
Иногда первоначальный прогиб к моменту потери образцом
устойчивости менял свой знак на обратный. Это явление обусловливалось
кручением стержня, наблюдавшимся во всех образцах, причем только в двух
случаях деформация закручивания появилась с самого начала сжатия
образца, для всех же остальных образцов она Становилась заметной только
к моменту наступления критического состояния.
Результаты экспериментов дают возможность утверждать, что все
испытанные образцы потеряли устойчивость по изгибно-крутильной форме.
Основным показателем для сравнения теоретических результатов
с экспериментальными является величина критической нагрузки: то или
иное соотношение между опытной и теоретической величинами этой
нагрузки позволяет судить о точности теоретического метода определения
критической силы, соответствующей изгибно-крутильной форме потери
устойчивости.
Кроме этой основной проверки, опытным путем проверялся еще один
теоретический вывод, имеющий непосредственное отношение к явлению
закручивания стержня, а именно: к свойствам центра вращения и оси
вращения.
Выше указывалось, что при закручивании стержня отдельные сечения
его поворачиваются вокруг центра вращения, определяемого формулами
(4.4) и что координаты центра вращения не зависят от положения сечения
по высоте стержня по оси z, т. е., что стержень в целом вращается вокруг
некоторой оси, параллельной оси стержня. Оба эти обстоятельства
проверялись опытным путем.
Теоретическая критическая нагрузка определялась по уравнению
(3.9). Упругие и геометрические характеристики, входящие в это
уравнение, а также значения коэффициентов уравнения для коробчатого и
таврового сечений приведены в табл. 35.
По данным этой таблицы получены следующие значения критических
нагрузок для коробчатого и таврового профилей:
1) для коробчатого профиля Pi =26 140 кг, Рг=639 800 кг;
2) для таврового профиля Pi =14 850 кг, Рг=68 250 кг.
Меньшие значения этих сил будут представлять собой расчетные
критические силы.
Критические напряжения для коробчатого и таврового профилей,
отвечающие этим силам, равны соответственно 1335 и 1530 кг/см2.
Опытные критические напряжения, отвечающие опытным критическим
нагрузкам, приведенным в табл. 36, колеблются в пределах 1330 -f-
-М440 кг/см2.
Из этого следует, что и по излагаемой теории и в экспериментах
явление потери устойчивости по изгибно-крутильной форме происходит в
упругих пределах.
Иная картина получится, если мы будем рассматривать наши стержни
с точки зрения обычной теории и будем считать, что они теряют
устойчивость по изгибной форме, без закручивания.
284
Тонкостенные упругие стержни
Уже из табл. 35 видно, что, например, коробчатый образец, гибкость1'
которого равна 52, должен потерять устойчивость за пределом упругости.
Действительно, наименьшая эйлеровская критическая сила для него,
подсчитанная в предположении постоянного модуля Е, оказывается
равной 152,88 т, а соответствующее критическое напряжение равно 7810 кг/см2.
Так как эти величины являются фиктивными, переводим их в реальные.
Профиль
Коробчатый
Тавровый
Таблица
35
Характеристики
Е
кг
см*
2,14-Ю8
2,14-10°
G
кг
см*
0,85640е
0,856-108
/
см
198,4
199,2
А- t
см~х
0,01583
0,01516
F
см*
19,6
9,7
см*
365,5
101,2
СМ*
285,2
38,13
см*
1,83
1,12
Профиль
Коробчатый
Тавровый
Характеристики
Гибкость
1
гх
52,0
100,0
см*
3931
0
н н
К О _
о> о> 2
4,83
2,80
ах
см
9,375
2,80
см*
121,18
20,86
Jx+JV
F
см*
33,29
14,36
кг см*
22,168.10е
1,1934.10е
ггрхр»
кг* см*
0,5568-1012
0,01457-1012
умножая на отношение переменного модуля Г2 к постоянному модулю Е;
это отношение согласно нормам проектирования металлических
конструкций может быть принято для Ст. 3 и гибкости 52 равным 0,36.
Тогда критическая сила и напряжение для случая потери устойчивости
по изгибной форме оказываются равными соответственно:
кр<
-• 55 т, <зкр ж 2800 кг/см2,j
т. е. стержень потеряет устойчивость при пределе текучести.
Для таврового сечения потеря устойчивости по Эйлеру происходит
в упругих пределах, но при большей критической силе, равной 18,75 т.
В табл. 36 приведены теоретические и опытные данные. Из этой
таблицы видно, во-первых, что эйлеровские критические силы значительна
разнятся как от опытных, так и от теоретических, найденных по нашему
методу. Особенно велико расхождение для коробчатого сечения:
критическая сила по Эйлеру в два с лишним раза больше действительной.
Однако для реального стержня, работающего в составе целой конструкции
и обладающего дополнительными жесткостями в виде продольных или
поперечных связей, подкрепляющих открытую часть профиля, разница
между критическими силами, найденными по обычной теории продольного
изгиба и по изложенной здесь нашей теории, должна значительно сни-
1 Под гибкостью в сопротивлении материалов понимается отношение длины
стержня к радиусу инерции. При изгибе в плоскости Oxz радиус инерции определяется по
формуле) г% = у.
2 Здесь Т — так называемый приведенный модуль упругости, зависящий от мо-
дуля упругости Я, переменного модуля за пределами упругости е = — и геометри-
0 с?е
ческих размеров сечения.
Гл. V. Устойчивость стержней^ нагруженных силами и моментами 285
Таблица 36
Профиль
Коробчатый .
Тавровый . .
Критические нагрузки Р, в m
теоретические
по Эйле-
РУ
55,0
18,75
по теории
автора
26,14
14,85
опытные
образец
№ 1
24,7
образец
№2
26,0
образец
№ 3
26,0
14,0
среднее
из трех
25,57
14,0
Отношение
средней
опытной
критической
нагрузки к нагрузке
по теории
автора
0,98
0,94
зиться, так как наличие таких связей увеличивает крутильную
жесткость стержня.
Из таблицы видно, во-вторых, что опытные критические нагрузки очень
близки к теоретическим, подсчитанным по нашему методу; отношение
средней величины первых ко вторым для коробчатого профиля равно
•0,98, для таврового равно 0,94. Такое совпадение можно признать очень
хорошим, а опыты — в полной мере подтверждающими теорию.
Теоретическая величина координат центра вращения отдельных
сечений стержня сх и су определялась по формулам (4.4). Для определения
этих координат опытным путем были использованы показания прогибо-
меров, которые фиксировали положение стенки коробчатого профиля и
лолки тавра в пространстве на всех зтапах нагрузки, в том числе и при
критической нагрузке.
Результаты подсчета опытных и теоретических значений сх (су = 0)
и сравнение их приведены в табл. 37.
Таблица 37
Сечение
Расстояние центра вращения сх от центра тяжести в мм
коробчатый профиль
опытные данные
образец
X* 1
131
122
111
образец
№ 2
120
90
104
образец
JA3
94
115
85
среднее
из трех
115
109
100
теоретические
данные
113
113
113
тавровый профиль
опытные
данные
75
; 120
83
теоретические
данные
134
134
134
Из табл. 37 видно, что для коробчатого сечения экспериментальные
значения координат центра вращения во всех трех сечениях очень близки
к теоретическим.
Опытная ось вращения представляет собой прямую, проходящую
в непосредственной близости от теоретической оси, что является не
менее важным обстоятельством для подтверждения излагаемой теории,
чем совпадение критической нагрузки.
Менее удачную картину мы получили для таврового профиля. Здесь,
по-видимому, сказались причины производственного характера:
влияние сварки и выправления образца на скобе, к которым такой простой
профиль, состоящий всего из двух элементов, особенно чувствителен.
2. Внецентренное сжатие. На прессе Амслера
подвергались испытанию^ сварные образцы стальных двутавровых колонн с
разными полками *. Образцы загружались центрально и не центрально.
1 Исследования эти были проведены доктором технических наук Д. В. Бычковым.
286
Тонкостенные упругие стержни
Продольная сжимающая сила при внецентреняом загружении
передавалась на колонну в точке стенки двутавра с эксцентриситетами в
сторону узкой полки от центра тяжести сечения. На рис. 172 показан
находящийся в прессе образец, потерявший при внецентренном сжатии устой»
чивость по изгибно-крутильяой форме. Экспериментальные исследования*
проведенные на колоннах большой гибкости, хорошо подтвердили
теоретические резул ьтаты.
3. Устойчивость колонн, усиленных планка-
м и. Для проверки высказанного нами положения о том,что в тонкостенных
колоннах и балках открытого профиля при
пространственной работе существенную роль играют не диафрагмы, а
планки, некоторые из образцов были усилены планками,
приваренными симметрично к полкам (по 4 планки с
каждой стороны)1. Влияние планок на устойчивость
колонны как тонкостенной пространственной конструкции
экспериментально изучалось следующим образом.
Образец колонны подвергался сначала сжатию при
наличии на этом образце всех четырех планок.
Продольная сжимающая сила на прессе доводилась до
критического значения, при котором испытуемый образец
приобретал новую изгибно-крутильную форму равновесия.
Деформация цзгибного кручения в критическом
состоянии фиксировалась тензометрами и прогибомерамд,
расположенными на стенках и полках трех сечений:
среднего и двух крайних, отстоящих на расстоянии
четверти длины от концов стержня. Величина
эксцентриситета сжимающей силы Р назначалась таким образом, чтобы
образец при заданной длине и размерах поперечного
сечения, а также и при заданных упругих характеристиках
материала терял устойчивость в пределах упругости.
Этот образец, даже при наличии планок, при разгруже-
нии возвращался в свое начальное недеформированное-
состояние. Деформации изгибного кручения,
наблюдавшиеся при потере устойчивости, после снятия нагрузки
исчезали бесследно, что отмечалось на измерительных
приборах.
Этот же образец испытывался затем вторично на ежа-
Рис. 172 тие> но ПРИ наличии только двух крайних планок,
препятствующих депланации сечения на концах стержня.
Бимоментные связи, соответствующие двум средним
планкам, удалялись путем разреза этих планок. Как и следовало
ожидать, критическая сжимающая сила в таком ослабленном образце
оказалась ниже той, которая наблюдалась в первом случае при наличии
на образце всех четырех планок. После снятия нагрузки образец снова
вернулся в свое исходное не деформированное состояние. После этого в
испытуемом образце были удалены тем же методом разреза и последние
две крайние планки. Модель двутавровой колонны с выключенными*
поперечными бимоментными связями (планками) снова подвергалась
испытанию за сжатие. В этом случае потеря устойчивости происходила
также по пространственной изгибно-крутильной форме равновесия при
значении критической сжимающей силы меньшем, чем в описанных выше-
первых двух случаях.
На рис. 173, а приведена фотография образца с разрезанными
планками, заснятая в момент потери устойчивости, когда начальная докритиче-
1 Исследования были проведены кандидатом технических наук СИ. Стельмахом
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 287
екая форма равновесия; характеризующаяся в нашем случае сжатием
и изгибом в плоскости симметрии двутавра, перешла в ноцую,
качественно другую, изгибно-крутильную форму, состоящую из изгиба из
плоскости симметрии двутавра и стесненного кручения. Эта пространственная
изгдбно-крутильная форма равновесия колонны
при потере устойчивости сопровождается
также ц деплдцацией сечения.
Вследствие депланации поперечные планки
в местах разреза получали взаимные сдриги
в продольном направлении.
На рис. 173, б приведена увеличенная
фотография одной из разрезанных планок (3)
образца, потерявшего устойчивость.
Ниже приведены значения критических сил,
вычислевдые теоретически и полученные
экспериментально описанным выше методом.
Рис. 173
Для сравнения приведены также значения критических сил,
вычисленные для колонн малой гибкости с учетом пластических деформаций по
известным формулам закона плоских сечений, принятым в практических
руководствах и нормах.
Рк эксперимент, (в тоннах) . . .
Р вычисленное по закону пло-
Колонна
без планок
24,4
25,8
57,7
Колонна с двумя
планками
30,2
29,8
57,7
Колонна с
четырьмя планками
39,3
41,0
57,7
4. Устойчивость авиационных стержней.
Помимо результатов описанных здесь экспериментальных работ, проделанных
в лаборатории строительной механики ЦНИПС, нами были использованы
288
Тонкостенные упругие стержни
опытные данные по устойчивости дюралюминиевых авиационных
стержней, полученные в 1935 г. в Дирижаблестроительном институте и в
ЦАГИ [18].
Размеры авиационных стержней в поперечном сечении и результаты
соответствующих теоретических и экспериментальных исследований
приведены в табл. 38, в которой для сравнения приводятся и критические
силы, полученные по обычной теории продольного изгиба.
Из этой таблицы видно, что иэложенная нами теория пространственной
устойчивости тонкостенных стержней, позволяющая наряду с изгибом
учитывать также и закручивание этих стержней, хорошо согласуется
с опытными данными по авиационным стержням.
Теория же продольного изгиба в применении к несимметричным
стержням или к стержням, имеющим одну ось симметрии и обладающим
наименьшим моментом инерции иэ плоскости симметрии, приводит к не*
правильным результатам и дает для критической силы преувеличенные
эначения, расходящиеся с данными эксперимента.
В результате проведенных экспериментальных исследований следует
признать доказанным, что критическая сила при продольном сжатии
тонкостенных стержней открытого профиля имеет значение, равное эйле-
ровской критической силе, только в том случае, когда сжимающая сила
Таблица 38
Геометрические размеры
сечения, мм
№
образцов
Длина
I, мм
Расчетные критические силы Р, кг
по формуле
Эйлера
по методу
автора
по
экспериментальным
данным ЦАГИ
41
е
66
1500
1300
1000
3007
4398
6766
900
1174
1637
920
1150
1400
20
*—*-
гь
Wh
1
2
3
1000
750
500
1000
750
500
1423
2531
5694
4026
7158-
16105
412
654
1318
461
744
1550
400
630
1200
480
780
1420
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 289
приложена к центру изгиба сечения стержня. При других значениях
эксцентриситетов точки приложения силы, а также при центральном
сжатии (кроме случая, когда центр тяжести сечения совпадает с центром
изгиба), критическая сила меньше эйлеровской, причем стержень теряет
устойчивость не только изгибаясь, но и закручиваясь. Эти выводы,
вытекающие из теории устойчивости тонкостенных профилей, подтвердились
не только качественно, но и количественно, так как экспериментальные
и теоретические значения критических сил дали для сравнимых случаев
гибкости хорошее совпадение.
Опытами подтверждается также одно из следствий теории —
существование для каждого профиля своей оси вращения, вокруг которой
происходит закручивание стержня. Эта ось параллельна оси стержня и
является геометрическим местом центров вращения отдельных сечений.
Полученные результаты следует учитывать при проектировании и
возведении металлических конструкций из прокатных профилей, однако
необходимо помнить, что здесь не учитывалось влияние решеток и
планок, которые, приближая тонкостенный открытый профиль к замкнутому,
уничтожают в значительной мере опасное влияние закручивания от
продольного сжатия и тем самым резко уменьшают разницу между
значениями критических сил, вычисленных по Эйлеру и по нашей теории
устойчивости, независимо от эксцентриситета приложения сжимающей нагрузки.
§ 15. Устойчивость стержней, нагруженных по концам
бимоментами
В предыдущих параграфах мы подробно рассмотрели задачу
устойчивости тонкостенных стержней, находящихся под действием сжимающих
сил, приложенных по концам стержня. На эти продольные силы мы
накладывали одно существенное ограничение, а именно, считали, что до
момента потери устойчивости стержень находится в условиях
центрального поперечного изгиба с осевым растяжением, и изгибное кручение
отсутствует. При такой постановке задачи изгибная форма равновесия
стержня в момент потери устойчивости переходила в другую изгибно-крутиль-
ную форму равновесия, качественно отличную от первой.
Рассмотрим теперь более общий случай передачи внешней
сжимающей нагрузки на стержень. Будем считать, что до потери устойчивости
поперечные сечения стержня не остаются плоскими, и, следовательно,
деформации изгиба стержня сопровождаются кручением.
Итак, пусть продольная сжимающая сила при произвольном ее
приложении (в главных обобщенных координатах сечения) приводится к за-
гружению стержня по концам центрально-приложенной продольной
сжимающей силою Р, изгибающими моментами Мх, Му и бимоментом В.
Продольные нормальные напряжения, возникающие в стержне до потери
устойчивости, в этом случае будут определяться уже по четырехчленной
формуле
п = -> +-7^-7^+f<o. (15.1)
Здесь изгибающие моменты МХ1 Му в рассматриваемом случае
нагрузки остаются постоянными по длине стержня (не зависят от координаты z);
бимомент же В представляет собою переменную величину, определяемую
в функции от координаты z по формуле
кг
ch-т-
B=-Pn0—L-, (15.2)
Chy
290
Тонкостенные упругие стержни
где coo — значение главной обобщенной координаты депланации со для
точки приложения сжимающей силы Р; к — обобщенная изгибно-крутиль-
ная характеристика, определяемая по формуле (2.2) гл. II; 21 — длина
стержня-оболочки.
Начало отсчета координаты z выбрано в середине длины стержня.
Формулу (15.2) нетрудно получить, пользуясь рассуждениями п. 5 § 7 гл. II.
Формула (15.1) отличается от формулы (1.1) наличием последнего
четвертого слагаемого, Относящегося к нормальным напряжениям от бимо-
мента. Определяя добавочную приведенную нагрузку от этих напряжений,,
получающуюся в результате бесконечно малого изменения деформации
изгиба и кручения предварительно напряженного стержня, и принимая
во внимание, что бимоментные напряжения зависят также и от
координаты z, получим:
Рхв = б (nls)\
Рув = б (Щв)\
где п — дополнительные нормальные напряжения, вызванные бимомент-
ной нагрузкой.
Подставляя в эти формулы значения £8 и ц8 из формул (1.2),
определяя затем погонные поперечные нагрузки qxBj дУв и погонный
крутящий момент тв по формулам:
Яхв = \ Рхв ds,
L
Яув = } Рув ds,
ь
тв ••= } [рув (х — ах) — рхВ (у — ay)] ds,
L
и принимая во внимание условие ортогональности функций 1, х, у, о>
на всей площади F поперечного стержня, получим:
Яхв = 0, дуВ = О,
Здесь 1/ш — новая геометрическая характеристика сечения,
определяемая по формуле
U„ = ^о) (я2 + у2) dF,
где определенный интеграл распространяется на всю площадь
поперечного сечения.
С определением дополнительного крутящего момента тв от бимомент-
ной нагрузки, уравнения устойчивости (1.10) принимают теперь более
общий вид:
EJylIW+ РГ + (Мх + ауР) Г = О,
EJx4IW + Рц" + (Му - ахР) 6" = О,
(Мх + ауР) Г + (Му - ахР) if + #/w6IV +
+ (г2Р + 2$ХМУ - 2$УМХ - GJd) 0' - ^ (Вй'У = 0.
(15.3)
Гл. V. Устойчивость стержней, нагруженных силами и моментами 291
Эти уравнения при В =f= 0 будут относиться к такому случаю
пространственной устойчивости, при котором критическое состояние
характеризуется изменением деформации стержня лишь с количественной, а не
с качественной стороны. В соответствии с нормальными напряжениями
п, определяемыми по общей четырехчленной формуле (15.1), стержень
до потери устойчивости, наряду с деформацией изгиба, определяемой
уравнениями
0 — EJy ' ^ ~ EJX '
испытывает также и начальную деформацию кручения, обусловленную
действием бимоментов и определяемую уравнением
Искомые функции £ = £(z), т) =t|(z), 9 =9(z) в уравнениях (15.3) при
отнесении этих уравнений к задаче устойчивости, т. е. при определении
критического значения параметра внешней нагрузки, представляют собою
вариации прогибов и угла кручения, которые в докритическом состоянии
отличны от нуля.
Уравнения (1.10) относятся к другому случаю пространственной
устойчивости стержня, а именно, к случаю, когда стержень до потери
устойчивости испытывает только деформацию сжатия и изгиба; деформация
кручения отсутствует.
Как мы уже условились в § 1, уравнения (1.10) будут относиться к
пространственной устойчивости первого рода, так как в момент потери
устойчивости возникает новая форма равновесия, качественно отличная
от начальной формы, уравнения же (15.3) при ВфО относятся к
пространственной устойчивости второго рода, поскольку потеря устойчивости
стержня не сопровождается появлением новой формы равновесия.
Глава VI
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ И БАЛОК
§ 1. Общие дифференциальные уравнения устойчивости плоской
формы изгиба
В предыдущей главе мы рассмотрели вопрос об устойчивости
тонкостенных стержней при центральном и внецентренном действии
продольной силы. При этом в стержне до потери устойчивости возникали одни
только нормальные напряжения n(s), определяемые по формуле (1.1)
гл. V, причем по длине стержня они оставались постоянными;
касательные напряжения до потери устойчивости были равны нулю. Это
обстоятельство позволило в значительной степени упростить общую задачу об
устойчивости тонкостенных стержней с недеформируемым контуром и
свести ее в математической части к интегрированию системы
дифференциальных уравнении (1.10) гл. V с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим теперь задачу об устойчивости стержней, исходя из более
общих предположений в отношении внешней нагрузки.
Пусть на открытый тонкостенный стержень, имеющий в поперечном
сечении произвольное очертание, действует нагрузка, вызывающая в
стержне не только нормальные, но также и касательные напряжения.
Мы будем считать, что поперечная нагрузка и уравновешивающие ее
опорные реакции проходят через линию центров изгиба. При этих
предположениях стержень до потери устойчивости будет находиться в
условиях центрального поперечного изгиба, иначе говоря, поперечные
сечения стержня, не подвергаясь депланации, получают в своей плоскости
одни только поступательные смещения.
Нормальные и осевые касательные напряжения, возникающие в
поперечном сечении, определяются по формулам:
N(z) . Mx(z) М (z)
п (z, s) = -jr1 + —j— У (s) j— x (s), \
tt л- ^и^,^^! I (1Л)
где N(z), Mx(z) и Mv(z) — соответственно нормальная сила и изгибающие
моменты, рассматриваемые в общем случае как функции от z; Mx(z) и
Mv(z) — производные от соответствующих моментов по переменной z;
x(s) и у(s) — координаты точки контура, для которой вычисляются
напряжения rc(z, s) и t (z, s); эти координаты отсчитываются от главных осей
сечения и являются функциями от дуги s; б (s) — толщина стенки
профиля, являющаяся в общем случае также функцией от s; Sx (s) и Sv(s) — ста-
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 293
тические моменты площади отсеченной части сечения, вычисляемые
соответственно относительно осей Ох и Оу.
Стержень в критическом состоянии может перейти из одной формы
равновесия в другую, отличающуюся от первой бесконечно малыми
добавочными деформациями и напряжениями.
Пусть добавочные деформации определяются функциями £(z), ц (z)
и 0(z), из которых £(z) и "Л (2) представляют собой перемещение центра
изгиба по направлению главных осей х и у, а 0 (z) — угол закручивания.
С появлением перемещений £ (z), т\ (z) и 8 (z) в поперечных сечениях
стержня возникнут добавочные нормальные и касательные напряжения
<j(z, s) и r(z, s) и крутящие моменты Н (z). Эти напряжения и моменты
должны находиться в равновесии с заданными основными напряжениями
п (z, s) и t (z, s), отнесенными к состоянию деформаций стержня после
потери устойчивости (т. е. к состоянию, определяемому полными основными
плюс добавочными перемещениями).
При малых деформациях условия равновесия стержня, как было
показано ранее [(7.3) гл. I], могут быть представлены линейными
уравнениями:
EJytlw = qx, EJx^ = qy9 EJJlY-GJdd" = m, (1.2)
где qx и qy —- интенсивности приведенных дополнительных погонных
поперечных нагрузок, получающихся от заданных напряжений rc(z, s) и
t (z, s) при варьировании основного деформированного состояния; т —
интенсивность дополнительного внешнего погонного крутящего момента,
получающегося от заданного напряженного состояния и внешней нагрузки
в искомом деформированном состоянии.
Рис. 174 Рис. 175
Для определения величин qx, qy и т, входящих в уравнения (1.2),
рассмотрим деформированное состояние продольной элементарной
полоски, заключенной между двумя образующими срединной поверхности:
s = const и s + ds = const. Ширина этой полоски равна дифференциалу ds
дуги контура сечения (рис. 174). С переходом стержня из одного
состояния упругого равновесия в другое, смежное с первым, элементарная
полоска кроме деформаций удлинения получит также деформации изгиба
и кручения. Пусть £s и \\s — перемещения точки M(z, s) по направлениям
главных осей сечения Ох и Оу. Эти перемещения для стержня с недефор-
мируемым контуром, как было показано ранее [(3.4) гл. I], выражаются
через перемещение центра изгиба £, ц и угол закручивания 8:
ls = l — (У — ЯУ)6, \
ч. = ч + (*—«х)е. \ ( "'
Здесь через x = x(s)ny = y(s) обозначены координаты точки М (z, s) в
плоскости сечения z = const. Перемещения £s и t)s при заданном значении
независимой переменной s являются функциями от z и определяют собой
пространственную кривую, в которую переходит после потери устойчи-
294
Тонкостенные упругие стержни
вости образующая срединной поверхности s = const. Угол, образуемый
касательной к этой кривой с осью z, определяется своими проекциями
на главные координатные плоскости стержня. Для этих проекций с
точностью до величин второго порядка малости мы имеем выражения:
* = & = l'-(y-<h)v>
Р = г\. = ч' + (« — ах) б
'■;}
(1.4)
f,n+an)dF
Рис. 176
где £', т)' и б'— производные по z от искомых функций £, т) и 0.
Выделим бесконечно малый элемент полоски ABCD (рис. 175). По
боковым сторонам этого элемента АВ и CD будут действовать усилия,
которые в деформированном состоянии
стержня складываются из основных
усилий, относящихся к состоянию
стержня до потери устойчивости,
и добавочных усилий, возникающих
в связи с изменением основной
формы равновесия. Основные усилия
выражаются через напряжения п и £,
определяемые из статического
расчета по формулам (1.1).
Добавочные же усилия, соответствующие
перемещениям £, т| и 0, определяются
напряжениями а и т.
На рис. 175 показаны нормальные
и сдвигающие усилия,
приложенные по сторонам АВ и CD выделенного элемента срединной поверхности
и относящиеся к искомому деформированному состоянию стержня.
Интенсивности этих усилий получаются путем умножения соответствующих
напряжений на толщину контура сечения б (s) и выражаются в кг/см.
При переходе от сечения z = const к сечению z + dz = const нормальные и
сдвигающие усилия как функции положения точки по длине продольной
элементарной полоски получают приращения. Эти приращения
пропорциональны дифференциалу dz.
Нормальные усилия, приложенные по сторонам АВ и CD бесконечно
малого элемента, вследствие деформаций изгиба этого элемента в
плоскостях, параллельных главным плоскостям стержня Oxz и Oyz, будут
наклонены под некоторыми углами к образующей срединной поверхности
недеформированного стержня.
Эти углы будут равны аир для точки Л/, расположенной в сечении
z = const, и а + da, р + dp для точки М1 другого (смежного) сечения
z + dz = const (рис. 176).
Нормальные усилия, действующие по стороне CD, дадут проекции
на оси Ох и Оу. Заменяя вследствие малости деформаций sin а и sin Р
на а и р, мы получим выражения для проекций усилий соответственно на
оси Ох и Оу:
(п + а) б sin a«ds ^
(п + а) б sin p-ds ^
— (па + aa) б ds,
— (гф + оР) б ds.
(1.5)
Переходя к стороне АВ и заменяя вследствие малости деформаций
sin (a -f- da) через a + da и sin (P + dp) через P + dp, будем считать a, p,
a и dn величинами одного порядка малости, а da, dp, da — величинами
более высокого порядка малости. Учитывая только главные члены
разложения получим выражения для проекций соответственно на оси Ох и Оу
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 295
ют нормальных усилий, действующих по стороне АВ:
[п + а + d (п + а)] б sin (а + da) ds ж
ж (па + аа + adrc + nda) bds,
[п + а + d (п + а)] б sin (0 + <ф) ds ^
ж (тф + сф + pdrc + шф) 6ds.
При помощи формул (1.5) и (1.6) можно теперь определить проекции
на оси Ох и Оу приведенной поверхностной нагрузки от заданных
нормальных напряжений п как разность нормальных составляющих усилий
для сторон АВ и CD, отнесенных к деформированному состоянию
стержня. Обозначая интенсивности этих проекций через рхп и руп, мы можем
написать:
pxndzds = (adn + nda) dds, \
Pyndzds = (§dn + nd&) dds. J * " *
Деля обе части равенств (1.7) на dzds и замечая, что выражения nda + adn
и rcdp + $dn, имеющиеся в правых частях этих равенств, представляют
собой частные дифференциалы от произведений па и п$ по переменной z,
получим:
ft
Руп = -fa (П$) б.
Определим теперь проекции приведенной поверхностной нагрузки
на оси Ох и Оу от сдвигающих усилий, приложенных по сторонам А В
и CD деформированного элемента.
Сдвигающие силы в каждой точке поперечного сечения стержня
действуют по направлению касательной в этой точке к дуге контура сечения.
Эта касательная с переходом стержня в деформированное состояние
поворачивается на угол, равный углу закручивания продольной
элементарной полоски. Вследствие деформаций кручения сдвигающие силы
дадут проекцию на направление нормали к срединной поверхности не-
деформированного стержня. Для стороны CD эта проекция на
направление внутренней нормали может быть представлена следующим образом:
— (t + х) б sin G. ds zz — (*6 + тв) б ds. (1.8)
Переходя к стороне А В, заметим, что для этой стороны значения
сдвигающих сил и угла закручивания отличаются от аналогичных величин
для стороны CD частными дифференциалами, пропорциональными
дифференциалу dz. Проектируя сдвигающие силы, действующие по стороне
АВ, на направление внутренней нормали в точке А, отбрасывая, как и
в предыдущем случае, члены более высокого порядка малости и заменяя
sin(0 + d9) аргументом 0 + dQ, получим
[t + dt + (x + dx)] б sin (G + db)dsc^(tO + т9 + Bdt + tdB)6ds. (1.9)
Формулами (1.8) и (1.9) определяются нормальные составляющие от
сдвигающих сил, действующих по сторонам А В и CD деформированного
элемента. Эти составляющие имеют разные знаки: для CD нормальная
составляющая при положительных t и 0 направлена в сторону внешней
нормали; для АВ эта составляющая действует по направлению
внутренней нормали. Разность нормальных составляющих для сторон АВ и CD
(1.6)
296
Тонкостенные упругие стержни
мы можем рассматривать как дополнительную для выделенного
элемента поверхностную нагрузку, получающуюся в деформированном стержне
от заданных касательных напряжений t.
Обозначая интенсивность этой нагрузки через pt и считая ее
положительной, если она направлена по внутренней нормали, мы можем разность
нормальных составляющих, выписанных в правых частях равенств
(1.8) и (1.9), представить в следующем виде:
pt dzds = (Qdt + tdQ) dds. (1.10)
Деля теперь обе части полученного равенства на dzds и замечая, что
выражение8 dt+tdQ, стоящее в правой части уравнения (1.10),
представляет собой частный дифференциал от произведения tQ по переменной z,
получим для интенсивности pt формулу
Л = £<">«•
Поверхностную нагрузку pt, действующую по направлению
внутренней нормали, мы можем представить компонентами по осям Ох и Оу
неподвижной системы координат.
Обозначая эти компоненты соответственно через pxt и pvU найдем:
pxt = — ptsin ф = — Tz Щ 6sin Ц.
ft
Pyt = PtC0Sty=Tz W 6 C0S^'
Здесь через \|) = i|5(s) обозначен угол, образуемый касательной к дуге
контура стержня с осью Ох. Этот угол, как и толщина 8 = 6(s), зависит
только от одной переменной s.
Для компонентов общей приведенной поверхностной нагрузки от
напряжений п и t мы получаем теперь формулы:
Рх = Рхп + Pxt = [rz («*) ~ £ (*6) Sin *] б>
Этими формулами определяются компоненты дополнительной
нагрузки, приходящейся на единицу площади срединной поверхности и
возникающей от заданных напряжений nut вследствие вариации основной
деформации стержня. Эта приведенная дополнительная нагрузка должна
находиться в равновесии с дополнительными нормальными и
касательными напряжениями а и т и крутящими моментами Н, появляющимися
в поперечных сечениях при потере плоской формы изгиба.
По компонентам рх и pv мы можем определить составляющие
поперечной нагрузки, приходящейся на элементарную поперечную криволинейную
полоску, заключенную между двумя смежными поперечными сечениями
z = const и z + dz = const. Обозначая интенсивности этих
составляющих через qx и qy и имея в виду, что они определяются путем
интегрирования поверхностных нагрузок рх и ру по всему контуру поперечного
сечения, мы можем написать:
?х = \ Рх ^S = \ fa ina — М sxn Ф) <№, I
L F '
qy=\pvds4 ^fnP + «cos4>)clF,
L F
(1.11)
(1.12)
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 297
где через L и F обозначены соответственно длина контура и площадь всего
поперечного сечения. В подынтегральные выражения входят напряжения
п (г, s) nt(z, s), относящиеся к состоянию стержня до потери устойчивости,
и угловые перемещения a (z, s), [3(z, s) hO(z,s), относящиеся к искомому
деформированному состоянию после потери устойчивости.
Подставим в правые части написанных выражений (1.12) значения
п и t из формул (1.1), а и р из формул (1.4) и заметим, что N, Мх, Му,
£, т) и Э являются функциями только переменной z, а х, у, б и г|э
являются функциями только переменной s. После дифференцирования по z,
интегрирования по всей площади поперечного сечения F и использования
зависимостей *:
^ ^sintydF = \Sxdy = —Jx, ^ -^costydF = \^Sydx = — Jyy
F F F F
[ — cos^dF = \^Sxdx = 0, \-£ sin ^dF =Л Sydy
F F F F
получим:
Ях=1Я(1' + а£'))'-(МЛ)',\
яу= WW-*?)]'-№)•.]
Определим теперь для деформированного состояния стержня
дополнительный «внешний» погонный крутящий момент, входящий в третье
уравнение системы (1.2).
Для этой цели рассмотрим состояние усилий и нагрузок, действующих
на выделенную в поперечном направлении элементарную полоску sdz.
По криволинейным краям этой полоски действуют нормальные и
сдвигающие усилия. Эти усилия вследствие деформаций изгиба и кручения
продольной элементарной полоски ds, как мы видели выше, дают
дополнительную поперечную нагрузку. Выбирая за моментную ось — прямую,
параллельную образующей цилиндра и проходящую через центр изгиба,
мы получаем для крутящего момента от нагрузки, приходящейся на
элемент оболочки dsdz, при ширине поперечной полоски dz = 1, следующее
выражение:
dmi = [Ру (я — ах) — РХ(У — ау)) ds.
Подставляя сюда компоненты интенсивности нагрузки рх и ру,
определяемые по формулам (1.11), выражая затем аир через искомые
перемещения |, ц и б по формулам (1.4), найдем
dmi = Si t— £'* (у ~ а^ + Ч'п (х — а*) + 6' Iя (х — дх)2 +
+ п (У~ау)2] + 6 [tx(x - ах) + tu(y- ay)]}dF, (1.14)
где tx и tv — компоненты осевого касательного напряжения в
произвольной точке контура:
Jx = £cosi|), ty — ts\nty. (1.15^
Интегрируя обе части равенства (1.14) по всей площади сечения F
и имея в виду, что перемещения £, tj и 8 от координаты s не зависят, мы
О
(1.13)
1 Эти зависимости легко получить, если применить формулу интегрирования по
частям (см. сноску стр. 47).
298
Тонкостенные упругие стержни
можем написать:
Щ =^{- £'$ n(y-ay)dF + т)'\ n(x-ax)dF +
F F
+ 6'$ [n{x-ax)* + n{y-ay?\dF + ^ [tx(x — ax) + ty(y — Oy)\dp\ .
F F
Этой формулой определяется дополнительный крутящий момент от
поверностной нагрузки, которая получается в результате
проектирования на плоскость поперечного сечения стержня заданных нормальных
и сдвигающих усилий, если отнести эти усилия к деформированному
состоянию стержня и учесть изменение направлений этих усилий.
Дополнительный крутящий момент возникнет также и вследствие
того, что сдвигающие силы с переходом стержня в другое
деформированное состояние займут новые положения относительно неподвижной
системы координат Оху. Точки приложения этих сил получат перемещения;
в силу этого заданный крутящий момент, выраженный через
внутренние сдвигающие силы, изменится на некоторую величину. Для
определения этой величины разложим сдвигающие усилия, действующие по
сечениям z=const и z + dz — const, на составляющие по осям Ох и Оу
неподвижной системы координат. Отнеся эти составляющие к единице длины дуги
контура и выразив их через касательные напряжения, мы можем
написать для них следующие выражения:
Сечение z = const
Сечение z -f- dz = const
Проекция на ось Ox
(** + **)»
[tx + rx + d(tx + xx)]b
Проекция на ось Оу
(tv + rv)b
[tv + xy + d(tv + xv)]b
Подсчитаем приращение крутящего момента от сдвигающих усилий,
приходящихся на бесконечно малый элемент dzds выделенной поперечной
полосы. Замечая, что с переходом от сечения z = const к сечению z + dz =
= const перемещения £s и г\8 какой-нибудь точки контура получают также
приращения d£" и dr)s, мы можем дополнительный крутящий момент от
сдвигающих усилий, действующих по криволинейным сторонам
бесконечно малого элемента dzds, выразить следующим образом:
dm2= [Ъ, + ^sdzJ^y + Ty + ^(^ + T1/)dz]6d5-~^(^ + T1/)6d5---
-(л. + ^^)[*х + тя + ^(«я + тя)^]в£Ь + т,в(^ + тя)в^ (1.16)
В этой формуле первым и вторым членами выражен крутящий момент
от сдвигающих сил, действующих параллельно оси Оу; третий и
четвертый члены дают крутящий момент от сдвигающих сил, действующих
параллельно оси Ох.
Приращения усилий и перемещений выражены через частные
дифференциалы от соответствующих функций по переменной z.
Производя в выражении (1.16) очевидные упрощения, отбрасывая
величины второго порядка малости, получающиеся от перемножения
дополнительных касательных напряжений хх и ху на перемещения £« и ц8, и по-
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 299
лагая dz = 1, получим
d,n2 = LT дГ~ \bds- (1Л7)
Подставляя в выражение (1.17) вместо £s и ц3 правые части равенств
«(1.3) и интегрируя затем обе части равенства (1.17) по всей дуге контура
поперечного сечения, получим для крутящего момента, приходящегося
на выделенную поперечную полоску единичной ширины {dz = 1),
выражение:
^-^(^№)-^[^^)-
Крутящий момент т2 выражен, как и момент /ralf в функции заданных
напряжений и искомых перемещений. Момент т2 представляет собой ту
искомую величину, на которую изменяется первоначальный крутящий
момент вследствие разности заданных сдвигающих усилий при
параллельном переносе этих усилий в другое положение, наступившее после потери
устойчивости.
Нам осталось определить третий дополнительный момент, а именно,
приращение крутящего момента т от заданных внешних поверхностных
сил рх и pj, получающееся вследствие того, что эти силы после деформации
занимают другое положение относительно центра изгиба. Приращение
крутящего момента т от заданной нагрузки рх, Ру, приходящейся на
элемент срединной поверхности dzds, вследствие перемещений £, и t|s этого
элемента в плоскости поперечного сечения имеет вид:
dmzdz = (p°yls — Р°хЦ$) dzds.
Подставляя сюда значения |8 и г\8 из формул (1.3), сокращая на dz
и интегрируя затем по всему контуру поперечного сечения, получим для
приращения интенсивности внешнего погонного момента следующую
формулу:
т.
= ^p°yds-ч J p°xds- 6 Г^р°х(х- ах) ds + ^р°у (у - ay) ds\.
L L lb L J
Мы определили дополнительные крутящие моменты от всех сил,
действующих на полоску dz = 1. Общий дополнительный крутящий момент,
входящий в третье уравнение системы (1.2), равен сумме трех моментов:
т = т
+ д2
1
д
+ т2 + тг = -gj — I' \п (у — ay) dF + т)' } п (х — ах) dF \ +
МГц (х - а*? + п (у - Oy/jdFJ + -§7\^\tydF-r\\txdF] +
+ l\ P°yds - т) \Pxds - 6 К p°x(x- ax)ds + \ P°y(y-ay)ds]. (1.18)
L L Lb L J
Подставим в выражение (1.18) нормальные и касательные напряжения
п (z, s) и t (z, s), определяемые в случае центрального поперечного изгиба
по формулам (1.1), и вычислим интегралы, входящие в правую часть
равенства (1.18). Для интегралов с нормальными напряжениями получаем
300
Тонкостенные упругие стержни
следующие выражения:
\n(y-ay)dF = ^\(y-av)dF+^\y(y-ay)dF- ]
-f— \ x {у — a„) di?,
Mx (z),
^ и(x - ax) di? = ^ \| (a; - a*) dF + -j^- \ у (x - ax) dF -
F F * F
M (z) с I
7— ]x(x — aJdF, j. (i.i9>
^ [n (x - axf + n(y- au)4 dF = ^j^ [(x - a*f +
F F
M (z)r
+ (У- «v)2] dF + -±L! \y[(x- axf + (y - av)*\ dF -
X F
_^ifK z [{x _ a*)* + (y- ау)Ц dF.
y F
Пользуясь сокращенными обозначениями (1.6), (1.7), (1.8) гл. V, мы
можем формулам (1.19) придать более простой вид:
\n(y-ay)dF = - OyN (z) + Mx(z),
F
^п {x — a») dF = - axN (z) - Mv (z), [ (1.20)
F
\n[(x- axf + (y - ayf] dF = rW (z) + 2£yMx (z) - 2$xMy (z).
F
Подобным же образом мы можем в формуле (1.18) упростить
интегралы, в которые входят касательные напряжения tx и ty. Принимая во
внимание (1.15), можем написать:
\txdF = w6cos\|)ck, J
F L
\tvdF = W6sin t|?efc,
(1.21)
В полученных формулах выражения ds cos\J) и dssinij) представляют
собой проекции дифференциала дуги контура ds на оси Ох и Оу:
ds cos г|) = dx, ds sin i|) = dy.
(1.22)
Произведение осевого касательного напряжения t на толщину стенки
6 представляет собой сдвигающее усилие, т. е. усилие в поперечном
сечении стержня, направленное по касательной к дуге контура и
приходящееся на единицу длины этой дуги. На основании формулы (1.1)
*6=-
M'x(z)
My(z)
f^Sx{s)+-^Sv{s)
(1.23)
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 301
Подставляя выражения (1.22) и (1.23) в формулы (1.21) и замечая,
ято для всего поперечного сечения
0, \Sydx — — Jy,
F
-Л, \^Sydy = 0,
F
представим интегралы с касательными напряжениями окончательно
в виде:
^txdF = - M'v(z)y \t„dF = Mx(z). (1.24)
F F
Формулами (1.24) выражены известные условия равновесия
элементарной поперечной полоски. Интегралы, стоящие в левых частях этих формул,
при распространении их на всю площадь поперечного сечения F дают
проекции на координатные оси поперечной силы, действующей в сечении
z = const.
Эти проекции в случае поперечного изгиба выражаются через
производные по z от соответствующих поперечных изгибающих моментов. Считая,
что проекции поперечной силы Qx и (^для сечения z = const с
положительной внешней нормалью, направленной по оси z, при положительных
значениях этих проекций совпадают с направлениями координатных осей
Ох и Оу, и сохраняя для моментов Mx(z) и Mv (z) ранее принятое правило
знаков, мы можем моментные условия равновесия поперечной
элементарной полоски срединной поверхности стержня dz=l относительно осей
Ох и Оу записать в следующем виде:
Qx = -M'y> Qy = M'x. (1.25)
Формулами (1.25) поперечные силы Qx и Qv выражены через
производные от моментов My(z) и Mx(z), С другой стороны, эти поперечные силы
могут быть получены как распространенные на всю площадь
поперечного сечения F интегралы сдвигающих сил, действующих в направлении
осей Ох и Оу.
Мы можем также упростить и последние интегралы правой части
равенства (1.18), содержащие члены с компонентами поперечной
поверхностной нагрузки pj и ро
Обозначая через q* и q* компоненты поперечной нагрузки,
приходящейся уже не на элемент dzds срединной поверхности стержня, а на
поперечную полоску единичной ширины (dz = l), мы можем написать:
\p°xds=q°x,
L
\plds= q°u,
L
у°х(х — ax)ds+ \^pI(y — au) ds = qx (ex — ax) + q°y (ey— ay),
L L )
где ex и ey — координаты точки приложения заданной погонной (т. е.
Sxdx
F
}Sxdy
F
(1.26)
302
Тонкостенные упругие стержни
приходящейся на единицу длины стержня) поперечной нагрузки в
плоскости поперечного сечения *.
На основании формул (1.20), (1.24) и (1.26) выражение (1.18) для
интенсивности дополнительного внешнего крутящего момента примет
вид:
т = £ [£' (avN - Мх) - т)' (axN + Mv)] + ~ [G' (r*N + 2$УМХ - 2$ХМУ)] +
+ ±&М'Х+Т)М'У) + lql-y\qx-t[qx{ex- ax) + q°v(ey-ay)).
Выполняя указанное дифференцирование по z и имея в виду, что
на основании условий равновесия элементарной поперечной полоски dz
Mx = Qy=—qy, Ml = — Qx= ql,
представим выражение для крутящего момента окончательно в
следующем виде:
m = ау (Щ'У - ах (iVr^)' - М£" - Myrf + [(r*N + 2$УМХ -
- 2$XMV) 9']' - [q°x (ех -aj + ql (ev - ay)} 8. (1.27)
Формулами (1.13) и (1.27) определяются дополнительные «внешние»
силы qx и qy и момент т, возникающие от заданного напряженного
состояния стержня при изменении его деформированного состояния. Эти
силы и момент должны находиться в равновесии с дополнительными
внутренними силами, которые возникают также вследствие изменения
деформаций.
Подставляя (1.13) и (1.27) в уравнения (1.2), представим условия
равновесия стержня после потери устойчивости в следующем виде:
EJJ?4 - [N (Г + ау9')]' + (МХ6Г = 0, )
EJ*4ly - [N (V - М')Г + {МУЬУ = 0, |
EJjF-GJdW—[{r*N+2$yMx--2$xMy) 8']'+ [ (1'28)'
+ ql [(ех- ах) + q°v (еу - Оу)] 0 - Оу (Л£')' +
+ ax(N4')' + Mxr + Mv4» = 0. ]
Мы получили общие дифференциальные уравнения устойчивости для
произвольного открытого тонкостенного профиля^ находящегося в условиях
сложного сопротивления при центральном поперечном изгибе совместно
с сжатием или растяжением.
В этих уравнениях искомыми функциями являются перемещения
£ = £ (z), т| =г| (z) и 9 =8 (z), возникающие вследствие изменения при потере
устойчивости основной изгибной формы равновесия стержня.
Коэффициенты дифференциальных уравнений (1.28) определяются геометрическими
размерами поперечного сечения стержня, упругими постоянными Е и G
^функциями N = ЛГ (z), Mx = Mx(z), Mv = My(z), q°x=qx(z) и ^«^(z),
зависящими от заданной внешней нагрузки и условий закрепления
стержня по концам.
1 Так как J рхх ds = qxex и J р»уу ds = q%eyi где g°x - \ р*?Ь и g%= ^ p^ds.
L L L L
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 303
При расчете упругих систем на устойчивость обычно
предполагается, что внешняя нагрузка задана с точностью до общего коэффициента
пропорциональности, характеризующего интенсивность этой нагрузки. Все
силы, образующие внешнюю нагрузку, находятся между собой в
заданном постоянном отношении. Расчет на устойчивость упругой системы
в этом случае сводится к разысканию наименьшего критического
значения обобщенной нагрузки, являющейся коэффициентом
пропорциональности.
Полученные нами общие дифференциальные уравнения (1.28)
позволяют исследовать вопросы устойчивости в более общей постановке. Мы
можем внешнюю нагрузку, действующую на упругую систему, считать
находящейся в линейной зависимости от одного или нескольких
параметров. Практический интерес представляет собой случай, когда внешняя
нагрузка линейно зависит от одного параметра. С такого рода нагрузкой
мы встречаемся при расчете на устойчивость упругой системы,
нагруженной предварительно заданной постоянной нагрузкой (например,
собственным весом) и испытывающей затем действие временной нагрузки.
Постоянная нагрузка имеет вполне определенное значение, временную же нагрузку
мы можем считать заданной с точностью до одного параметра,
являющегося коэффициентом пропорциональности для этой нагрузки.
Силовые факторы iV, Мх, Му, д% и <$, зависящие от внешней нагрузки
и граничных условий и вместе с геометрическими размерами поперечного
сечения стержня и упругими характеристиками его материала
определяющие коэффициенты дифференциальных уравнений (1.28), в этом случае
будут находиться в линейной зависимости от параметра нагрузки. С
изменением этого параметра изменяется также внешняя нагрузка,
действующая на упругую систему, и изменяются, следовательно,
коэффициенты дифференциальных уравнений (1.28); при некотором определенном
значении параметра для системы наступает состояние неустойчивого
равновесия, при котором основная форма равновесия может перейти в
смежную с ней другую форму, характеризующуюся вариациями
перемещений |, т) и 6 и представленную дифференциальными
уравнениями (1.28).
Математически такое состояние неустойчивого равновесия
выражается в том, что при некотором (критическом) значении определенного
параметра X и при однородных граничных условиях система линейных
однородных дифференциальных уравнений (1.28) может иметь решения,
отличные от нуля.
Существует бесчисленное множество решений для функций £ (z), т) (z)
H9(z), удовлетворяющих при определенных значениях параметра X
дифференциальным уравнениям (1.28) и граничным условиям. Все эти
решения образуют так называемую систему фундаментальных функций.
Каждое частное решение этих дифференциальных уравнений при заданных
однородных граничных условиях определяется своим фундаментальным
числом, пропорциональным параметру X критической нагрузки.
Бесконечному множеству фундаментальных чисел будет
соответствовать бесконечное число критических нагрузок и бесконечное множество
форм состояния равновесия упругой системы после потери устойчивости.
Каждая из этих возможных форм равновесия определяется с точностью до
произвольной константы фундаментальными функциями системы
уравнений (1.28). Неопределенность решения рассматриваемой здесь проблемы
устойчивости обусловлена тем, что при выводе этих уравнений мы,
вследствие малости перемещений |, rj и 8, выразили равновесие упругой
системы в координатах недеформированного состояния.
Фундаментальные числа, определяемые уравнениями (1.28) и
граничными условиями, могут иметь как положительные, так и отрицательные
304
Тонкостенные упругие стержни
значения. Для определения расчетной критической нагрузки из
бесконечного множества положительных и отрицательных значений параметра X
следует выбрать те, которые по своей абсолютной величине являются
§ 2. Устойчивость стержней при действии продольных сил,
распределенных по длине стержня по произвольному
закону
Дифференциальные уравнения (1.28) являются общими и охватывают,
в частности, широкий класс задач по устойчивости открытых
тонкостенных профилей при произвольном действии нагрузки (продольной и
поперечной), вызывающей в профиле до потери им устойчивости нормальные
напряжения n(z, s), распределенные в сечении z = const по линейному
закону.
Если внешняя нагрузка состоит из одних только продольных сил,
распределенных по длине стержня по произвольному закону и
вызывающих в сечении (до потери стержнем устойчивости) нормальные
напряжения, распределенные по линейному закону, то мы имеем:
q°x=q°v = 0, Mx = Neyj My = -Nex, (2.1)
где ех и еу — эксцентриситеты приложения продольной силы N = N (z).
Уравнения (1.28) при условиях (2.1) принимают следующий вид:
EJyllv - [N (g' + aft'))' + (NeyB)' = 0, )
EJxXff - [N (т)' - M')]' - (Nejty = 0, I (2 ^
EJJ™ - GJ$" - [N (r2 + 2$yey + 2$xex) 9']' +
+ ax (iVr)')' - ay (NIJ + Ne£* - Nbrf = 0.
Эти уравнения представляют собой обобщение полученных ранее
уравнений (6.2) гл. V для случая, когда продольная сила приложена
только по концам стержня и, следовательно, по длине стержня остается
постоянной.
Если ех— еи= 0,то уравнения (2.2) переходят в следующие уравнения
устойчивости при центральном сжатии:
ШхЦ™ - [N (V - 0*9')]' = 0, [ (2.3)
EJJ™ - GJdW - г2 (NQJ - ау {Щу + ах (Ni\')' = 0. i
Считая, что продольная сила N = N (z) линейно задана с точностью
до одного параметра, мы можем написать
N(z) = N^(z) + XN1(z),
где №(z) — вполне определенная постоянная нагрузка, вызывающая
в стержне заданные начальные напряжения; XNi(z) — временная
нагрузка, меняющаяся по длине стержня по вполне определенному закону
и заданная с точностью до коэффициента пропорциональности А,,
характеризующего интенсивность действия этой нагрузки.
Примером может служить весомый стержень, нагруженный на конце
центрально приложенной продольной силой, критическое значение ко-
1 Описанная здесь однородная краевая задача, приводящая к фундаментальным
функциям и числам, может быть решена при помощи интегральных уравнений.
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 305
торой является искомым; продольная сила N(z) для произвольного
сечения z = const здесь определяется по формуле
N(z) = -rFz + N1,
(2.4)
где yFz — вес части стержня длиной z; N1 — продольная сила,
приложенная на конце стержня (рис. 177).
Подставляя выражения (2.4) в уравнения (2.3), получим:
ilv [(Л^-т^ИГ + вЛГ
EJ&
о,
EJxxF - [(N, - yFz) (tj' - ахВ')}' = 0,
EJJ14 — GJdB' — г2 [(Ni - BFz) в']' — ау [(Л^ — (
- tFz) Г1' + ах [(N, - rFz) ti']' = О
(2.5)
\N,
При у = 0, т. е. в случае невесомого стержня, уравнения (2.5) переходят
в рассмотренные ранее уравнения (3.1) гл. V для стержня, нагруженного
по концам сжимающей силой Р == — Nu А
Полагая в уравнениях (2.5) Ni равным нулю и принимая
yF = g за параметр нагрузки, получим уравнения
устойчивости для случая, когда стержень находится под
действием центрально приложенной продольной нагрузки,
имеющей по длине постоянную интенсивность. Эти уравнения
будут иметь следующий вид:
-E/x4IV+[^(V-o^)r = 0f
Е1У - GJJT + г2 (gzBJ - ах (gzi)')' + ау (gzl')' = 0.
(2.6)
Рис. 177
Критическое значение интенсивности нагрузки g определяется из
условия, чтобы система однородных линейных уравнений (2.6) при заданных
однородных граничных условиях имела ненулевые решения.
Уравнения (2.3), как и более общие исходные уравнения (1.28),
относятся к стержню, имеющему в поперечном сечении произвольное
очертание.
Если поперечное сечение таково, что центр изгиба совпадает с центром
тяжести, как это имеет место, например, в профилях с двумя осями
симметрии, то аЛ= а.,= 0; система совместных уравнений (2.3) распадается
в этом случае на три независимых дифференциальных уравнения:
EJ£1V-№')' = о, \
£/*ti*v_(JVt,V = 0, }
Е1УУ - GJdQ" — г* (ШУ = 0. J
(2.7)
Первые два уравнения относятся к потере устойчивости стержня в
форме изгиба относительно главных осей сечения. Третьим уравнением
оцисывается форма потери устойчивости, возникающая вследствие
закручивания стержня относительно центра изгиба.
В случае равномерно распределенной продольной нагрузки
уравнения (2.7) переходят в следующие:
EJ,,VY + (gW = 0,
EW + (gzrfy = 0,
;<;л,е1У — GJdQ" -ь г2 (gzsry = о.
306
Тонкостенные упругие стержни
Эти уравнения после интегрирования один раз по z могут быть
представлены в виде:
EJ£m + gzl' + СХ = 0,}
EJx4" + gz4' + C2 = 0, (2.8)
EJJT - GJdV + r*gzV + Cz = 0, J
где Си Сг и Сз — постоянные интегрирования. Из этих постоянных
первые две по своему физическому смыслу представляют поперечные силы
Qx и Ql> а третья — крутящий момент #о, действующие в начальном
сечении z = 0. Если начальное сечение свободно от поперечных сил и
крутящего момента, то постоянные интегрирования обращаются в нуль, и
уравнения (2.8) принимают следующий вид:
EJxxf + gzn' = 0, [ (2.9)
EJJX" — GJdW + r*gzV = 0. J
Из этих уравнений первые два совпадают с известными
дифференциальными уравнениями для стержня, находящегося под действием
равномерно распределенной продольной нагрузки и теряющего устойчивость
вследствие изгиба1, третье же уравнение относится к закручиванию
стержня после потери устойчивости и по своему виду совпадает с первыми
двумя уравнениями. Подставляя в первые два уравнения (2.9) выражение
и в третье уравнение (2.9) — выражение
и = тУ B-(z—^)'
где В — соответствующая характеристика жесткости: EJxy EJy или EJai
приведем каждое из уравнений (2.9) к виду:
р- + 1 *•+(!-.*,)*'-0, (2.10)
где под v нужно понимать соответственно |, т| и 9.
Это есть уравнение Бесселя относительно v. Общий интеграл
уравнения (2.10) относительно производной от искомой функции будет
g = C1/Vl(2) + C2/_v,(z), (2.11)
где Jyb(z) и J_}/t{z) — функции Бесселя, зависящие не только от z, но
также и от параметра внешней нагрузки g, входящего в аргументы этих
функций; С\ и Сг — постоянные интегрирования.
В рассматриваемом здесь случае краевой задачи функции Бесселя при
соответствующих однородных граничных условиях образуют систему
фундаментальных функций, определяющих (с точностью до постоянного
множителя) возможные для данного упругого стержня формы потери
устойчивости. Фундаментальные числа этих функций определяют
величины критических нагрузок. Из этих нагрузок за расчетную выбирается
та, которая имеет наименьшее значение.
1 См. (841, разд. I, гл. IV.
Гл. VI, Устойчивость плоской формы иагиба стержней 307
§ 3. Устойчивость плоской формы изгиба тонкостенных балок
при действии поперечной нагрузки. Общий случай
Полагая в уравнениях (1.28) продольную силу N равной нулю,
получим следующие общие дифференциальные уравнения устойчивости для
стержня, находящегося под действием произвольно заданной поперечной
нагрузки:
EJyZlY + (MxQ)" = 0,)
2?/хг)™+(Му9)" = 0,
EJJ™ + Ш*МУ - 2$УМХ - GJd) 9']' +
+ Iql (ех - ах) + q°y (еу - ау)\ 9 + МЛ" + Myi\m = 0, J
(3.1)
где qx (z) и qy (z) — компоненты интенсивности заданной погонной
поперечной нагрузки, приложенной по линии х = ех и у = еу и
проходящей через центр изгиба; Мх (z) и Му (z) — изгибающие моменты от
заданной нагрузки, определяемые из статического расчета с учетом условий
закрепления бруса на концах.
Внешняя поперечная нагрузка, входящая в уравнения (3.1), может
быть задана по произвольному закону. Эта нагрузка в зависимости от
абсциссы z может быть переменной не только по величине, но и по своему
направлению, поскольку компоненты qx (z) и qy (z), входящие в
уравнения (3.1), могут быть заданы независимо друг от друга.
Если направление поперечной нагрузки по длине бруса остается
постоянным, то компоненты нагрузки qx (z) и qy (z), а следовательно, и
компоненты моментов Мх (z) и Му (z) будут находиться между собой в
заданном постоянном отношении.
Уравнения (3.1) относятся к стержню, имеющему в
поперечном»сечении произвольное очертание. В случае профиля с двумя осями симметрии
величины ах, ау, (Jx и ру равны нулю. Уравнения (3.1) при этом
принимают следующий вид:
Ejyt™ + (мхъу = о, |
EJxrfY + (Mv9)" =0, J (3.2)
Ejyw - GJdQ« + (q°xex + q°yey) 9 + MXV + MX = 0. '
Если поперечная нагрузка действует в плоскости, параллельной Oyzy
то qx = 0, Му = 0; второе уравнение системы (3.2) выделяется, а
остальные два образуют систему, определяющую (вместе с граничными
условиями) форму потери устойчивости при изгибе в плоскости Oyz. Эта система
имеет вид:
£/^"4 (МжвГ = ОД
£/и01У - G/08" + д°уеу0 + МЛ" = 0.1 " '
При еу = 0, т. е. в случае поперечной нагрузки д„ (z), приложенной
в центре тяжести сечения, уравнения (3.3) принимают следующий вид:
EJy%lw +(МХЪУ = 0,\
Е1У - GJdQ" + МХГ = 0. J { ' }
Дифференциальные уравнения (3.4) относятся к стержню, имеющему
в поперечном сечении две оси симметрии и нагруженному поперечной
нагрузкой ql (z), распределенной по произвольному закону на линия
808
Тонкостенные упругие стерясни
центров тяжести сечений и действующей в одной из плоскостей
симметрии Oyz. Изгибающий момент Мх в общем случае в уравнениях (3.4)
рассматривается как заданная функция. Эта функция определяется
нагрузкой ql (z) и условиями закрепления концов стержня.
§ 4. Устойчивость плоской формы изгиба двутавровой балки.
Обобщение задачи Тимошенко
Дифференциальные уравнения (3.4), полученные нами как частный
случай более общих уравнений (3.1), в свою очередь, являются обобщением
известных уравнений по устойчивости двутавровой балки, полученных
С. П. Тимошенко [181]. Для двутавровой балки секториальный момент
инерции /w определяется по формуле
/.oJuFdP»^, (4.1)
F
где Ь и б — соответственно ширина и толщина полок балки; h — высота
стенки двутавра.
Выделяя в правой части равенства (4.1) множитель Jy = -jj , мы
можем величину /<о представить в виде
Л> = ~2" Jy (4.2)
Подставляя (4.2) в (3.4), получим уравнения устойчивости для
двутавровой балки:
EJytIY + (MxQ)" = 0,)
£ £//v - GJJP + Мх? = 0. J (4'3)
Уравнения, выведенные Тимошенко для консольной балки, имеют
следующий вид:
*1
2
EJJT - GJdV + М£ - М'х\ + J М'Л dz = 0. J (4'4)
Сравнивая уравнение (4.3) с уравнениями Тимошенко (4.4), мы видим,
что они различаются между собою порядком производных от искомых
функций. Объясняется это тем, что Тимошенко при выводе уравнений
(4.4) исходил из условий равновесия конечного участка балки и заранее
удовлетворил статическим условиям на свободном конце консольной
балки. Первое из уравнений (4.4) выражает собой равенство нулю моментов
относительно оси Оу для участка балки со свободным концом. Второе
уравнение получено из условия приравнивания нулю суммы крутящих
моментов, относящихся к тому же участку балки в ее состоянии до потери
устойчивости.
Дифференциальные уравнения (4.3) выражают собой равновесие
бесконечно малого элемента двутавровой балки dz=l. Первое уравнение
представляет собой равенство нулю вариаций поперечных нагрузок,
действующих в направлении оси Ох и возникающих вследствие
изменения деформированного состояния балки. Второе уравнение относится к
крутящим моментам, приходящимся также на бесконечно малый элемент
dz. Интегрируя первое уравнение (4.3) два раза, а второе — один рдз и
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней £09
применяя для второго уравнения форШуяу интегрирования по частям,
мы можем написать:
EJvl" + MXQ = Az + B,
z
* EJy&" - GJffi + M£ - M'x% + J M"x % dz = C,
0
где -4, В и С — произвольные постоянные. Эти постоянные, как легко
усмотреть из статического смысла преобразования уравнений (4.3) в
уравнения (4.5), равны соответственно вариациям поперечной силы QXy
действующей в начальном сечении z = 0 по направлению оси Ох, изгибающего
момента Му относительно оси Оу и крутящего момента Ну действующих
в том же сечении. Если в начальном сечении z = 0 вариации статических
факторов QX9 My и Н равны нулю, как это имеет место, например, в
случае консольной балки, то постоянные интегрирования А, В и С равны
нулю, и уравнения (4.5) переходят в уравнения (4.4) для балки, у
которой статические факторы на свободном конце при изменении
деформированного состояния, т. е. с появлением перемещений £ и 0, не меняют
своего значения.
Если балка на концах имеет жесткое или упругое закрепление от
линейных и угловых перемещений, то постоянные интегрирования А,
В и С уже не будут равны нулю. В этом случае вместо формул (4.4)
следует воспользоваться более общими уравнениями (4.3), свободными от
предположений в отношении начальных условий, поскольку этими
общими уравнениями выражено равновесие бесконечно малого элемента балки.
Дифференциальные уравнения (3.4), полученные для стержня с двумя
осями симметрии из более общих уравнений (3.1), по своему виду ничем
не отличаются от уравнений (4.3) для двутавровой балки. Отсюда следует,
что все исследования Тимошенко, относящиеся к устойчивости плоской
формы изгиба двутавровой балки, могут быть целиком использованы при
расчете на устойчивость тонкостенных балок с двумя осями симметрии.
Нлжно только в формулах, выведенных Тимошенко, вместо величины
-TyLJy подставить соответствующее значение секториальнои жесткости
EJ(u.
Дифференциальные уравнения (4.3) в отношении внешней поперечной
нагрузки, вызывающей в поперечном сечении изгибающий момент Mx(z),
носят общий характер.
Эти уравнения применимы для внешней поперечной нагрузки,
распределенной вдоль оси Oz балки по любому закону. В частности, если
внешняя нагрузка состоит из двух равных моментов, приложенных по концам
балки и действующих в противоположных направлениях, то момент в
любом сечении балки остается постоянным, и уравнения (4.3) переходят
в уравнения с постоянными коэффициентами:
EUlY + Mxr = Ot \ •
EJJlY - GJdr + MJ£ = О J
Уравнения (4.6) выражают равновесие балки после потери
устойчивости при чистом изгибе. Эти уравнения нами были подробно
рассмотрены ранее в § 12 гл. V.
Если балка нагружена в пролете сосредоточенной силой /\ то мом|ент
Mx(z) на участке между опорой и силой будет меняться по линейному
закону. В случае балки с обоими опертыми краями, если сила Р
приложена посредине, а начало координат находится на левой опоре, дам участ-
(4.5)
310
Тонкостенные упругие стержни
ка, расположенного слева от CjttH Р (рис. 178, а), будем иметь
Mx{z) = %.
Внося это выражение в уравнения (4.3), получим:
qIV
EJJT* — GJdQ" +
4rA6'=0.j
(4.7)
Уравнения (4.7) проинтегрированы Тимошенко в бесконечных рядах.
Критическая сила Ркр, определяемая однородными дифференциальными
уравнениями (4.7) и однородными
граничными условиями, в общем случае
выражается формулой
S^hP.
У1
Ц 1 J
Р кр —
KVEJvGJd
Р
(4.8)
Коэффициент устойчивости К зависит от
величины
ms
(4.9)
Рис. 178
В табл. 39 дан ряд значений
коэффициента К при различных значениях упругой
характеристики т2. Эти данные, вычисленные Тимошенко для
двутавровой балки, на основании указанного выше обобщения могут быть
использованы при расчете на устойчивость балки любого профиля с
двумя осями симметрии.
Таблица 39
т*
К
0,4
86,4
4
31,9
8
25,6
16
21,8
24
20,3
32
19,6
48
18,8
64
18,3
80
18,1
96
17,9
160
17,5
240
17,4
320
17,2
400
17,2
В случае равномерно распределенной нагрузки, момент Мх в каком-
нибудь сечении балки при шарнирном устройстве опор определяется
формулой
МХ=Щ=^, (4.10)
где q — интенсивность нагрузки. Начало координат выбрано на левой
опоре (рис. 178, б). Подставляя формулу (4.10) в уравнения (4.3),
получим уравнения:
EJvllw + -jq[z(l-z)Qr=0,
EJA™ - GJdQ" +\qz(l — z)l' = 0.
Критическое значение нагрузки q в этом случае может быть
определено по формуле
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 311
Здесь коэффициент устойчивости К зависит от той же вспомогательной
величины т2, что и в рассмотренном выше случае сосредоточенной
нагрузки, а именно: от величины, определяемой по формуле (4.9). Значения
коэффициента К для случая равномерно распределенной нагрузки
приведены в табл. 40.
Таблица 40
7П2
К
0,4
143
4
53,0
8
42,6
16
36,3
24
33,8
32
32,6
48
31,5
64
30,5
80
30,1
96
29,4
160
29,0
240
28,8
320
28,6
400
28,6
Если внешние силы, действующие на балку, состоят из равномерно
распределенной по всему пролету нагрузки интенсивности q и
сосредоточенной нагрузки Р, приложенной в середине пролета, то для момента
Mx(z) получаем выражение
Mx=±[Pz + qz{l — z)).
(4.11)
Уравнения (4.3) в этом случае принимают следующий вид:
EJylIV + у {[Pz + qz(l- z)) 9Г = 0,
EJJ™ — GJdQ" + 1 [Pz + qz {I — z)) I' = 0.
В этих уравнениях внешняя нагрузка представлена двумя
параметрами: q и Р. Считая параметр q величиной постоянной, имеющей вполне
определенное числовое значение, а? — переменной, получим уравнения
устойчивости для балки, испытывающей начальные напряжения от
заданной нагрузки q (например, от собственного веса) и нагруженной
сосредоточенной силой Р. Критическое значение этой силы определяется
дифференциальными уравнениями (4.11) и граничными условиями.
В зависимости от величины нагрузки q критическая сила Р может
быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, может
быть равной нулю, если заданная нагрузка случайно окажется
критической.
§ 5. Устойчивость плоской формы изгиба стержней с нулевой
секториальной жесткостью. Обобщение задачи Прандтля
Полагая в уравнениях (3.1) секториальную жесткость Е1Ш равной
нулю, получим уравнения устойчивости при поперечном изгибе для
стержней, сопротивление которых кручению характеризуется одной только
крутильной жесткостью GJd. Эти уравнения имеют вид:
EJylIV + (МЖ = 0,)
EJxx^ + (МУЪ)" = 0, 1
мхг + mvx\" + №хму - 2р„м* - GJd) ет +
+ [q°x (ех - ах) + Яу (еу -ау)] 6 = 0.)
(5.1)
= av
Если поперечное сечение бруса имеет две оси симметрии, то ах =
0, рх = ру=0; в этом случае уравнения (5.1) принимают вид:
EJV\" + {МЛ)' = 0,\
EJxr\™ + (Мув)" = 0,
Мх\" + Мчц" - G/d9" + (q°x ех + qy еу) 6 = 0.
(5.2)
312
Тонкостенные упругие стержни
Если поперечная нагрузка действует в плоскости симметрии Оуъ,
тодх = Му=0.
Второе уравнение системы (5.2) в этом случае выделяется, а первое
и третье образуют систему, которая при ev = 0, т. е. в случае, если
нагрузка qy приложена по линии центров тяжести сечений, будет иметь вид:
EJytlv + (Mjy=:0, \
Mxl"-GJdQ" = 0. f (D-0)
Приведенные здесь уравнения охватывают весьма широкий класс
практически важных задач. Эти уравнения применимы во всех, случаях, когда
секториальная жесткость EJa равна нулю, т. е. когда в тонкостенном
стержне с недеформируемым контуром сечения при кручении возникают
I только касательные напряжения, неравномерно рас-
' пределенные по толщине стенки, нормальные же и
касательные напряжения, определяемые по закону
секториальных площадей, равны нулю.
-—— В § 1 гл. II указывалось, что секториальные
нормальные напряжения приближенно равны нулю
в стержнях, состоящих в поперечном сечении из
одной или нескольких весьма тонких пластинок,
пересекающихся по общей прямой (рис. 179). В этом
Рис. 179 случае секториальную жесткость EJu> следует счи-
' тать равной нулю. Крутильная же жесткость,
относящаяся к случаю чистого кручения, определяется как произведение
модуля упругости при сдвиге G на крутильный момент инерции /<*.
Для профилей, изображенных на рис. 179, величина Jd с достаточной
для практики точностью может быть вычислена по формуле
где di и 6i-~ соответственно ширина и толщина пластинки с номером i.
Уравнения (5.3) относятся к профилю, имеющему в поперечном
сечении две оси симметрии. Из этих уравнений как частный случай получаются
уравнения Прандтля для стержня прямоугольного сечения, у которого
один из главных моментов инерции мал по сравнению с другим.
Систему дифференциальных уравнений (5.3)* после интегрирования
первого из них два раза, мы можем представить в виде:
EJy?-\-MxQ=Az + BA
GJdQ"-Mxr=0, j (5-5)
где А и В — произвольные постоянные, равные соответственно вариациям
поперечной силы Qx и момента Му в начальном сечении балки z = 0. Если
эти вариации равны нулю, как это имеет место, например, на свободном
конце консольной балки, то постоянные А и В равны нулю и уравнения
(5.5) принимают более простой вид:
Выражая |" в первом уравнении через 6 и подставляя это выражение
во второе уравнение, получим основное дифференциальное уравнение
устойчивости для профилей рассматриваемого здесь типа. Это уравнение
может быть записано в форме:
EJVGJ$* + МЧ * 0. (5.7)
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 31*3
Уравнения (5.6) и (5.7) совпадают с уравнениями Прандтля для
прямоугольной полосы. Поскольку в нашем случае поперечное сечение
бруса может быть задано произвольно, лишь бы оно имело две оси
симметрии и характеризовалось секториальной жесткостью Z?/w, равной
нулю, то исследования Прандтля по устойчивости прямоугольной полосы
могут быть целиком использованы при расчете на устойчивость более
сложных симметричных профил'ей.
Рассмотрим несколько частщлх случаев нагрузки.
а) Чистый изгиб. Считая в уравнении (5.7) момент М
величиной постоянной,1 получим уравнение с постоянными коэффициентами,
которое относится к чистому из|гибу и интегрируется в
тригонометрических функциях. Если концы бруса оперты, то
^кр = у1ЩД|, (5.8)
а если зажаты, то
>2jt
MKV = ^VEJyGJd.
Формула (5.8) нами была выведена в § 12 гл. V как частный случай
более общей задачи р чистом изгибе с продольной силой.
б) Изгиб балки поперечными
сосредоточенными силами1. Если на балку в плоскости симметрии Oyz действует
система сосредоточенных сил, то момент Мх= Mx(z) меняется по линейному
закону. Мы можем этот момент для какого-нибудь незагруженного
участка балки представить в виде
Мф = М0 + Мгг, (5.9)
где М0 и Mi — некоторые величины, находящиеся в линейной
зависимости от сил Pl9 Р2, . .., действующих на балку. Подставляя (5.9) в
(5.7), получим
EJyGJ<$" + (М0 + Mxzf 6 = 0. (5.10)
Уравнение (5.10) интегрируется в бесселевых функциях порядка
+ -Т-. Обобщенная критическая сила Ркр может быть представлена
формулой
Р«»= / \ (5.11)
где коэффициент устойчивости К зависит от расположения сил, отношений
между этими силами и условий закрепления концов бруса. Этот
коэффициент выражается через наименьший корень соответствующей бесселевой
функции.
В табл. 41 даны коэффициенты устойчивости К для разных случаев
граничных условий при загружении балки одной сосредоточенной силой.
Эта таблица составлена нами на основании данных, полученных
акад. А. Н. Динником и относящихся к балке-полосе, состоящей из одной
узкой пластинки 2. В первой графе табл. 41 показаны схемы нагрузки и
граничные условия. Во второй графе даны формулы для определения
расчетной критической силы, соответствующей наименьшему корню бесселевой
1 Вопросы устойчивости плоской формы изгиба балки с поперечным сечением в
виде узкого прямоугольника рассмотрены также в работе Коробова [106].
2 См. книгу А. Н. Динника [85], гл. IV.
314
Тонкостенные упругие стержни
Таблица 41
Схема нагрузки и граничные
условия
I критическая
сила Р
II критическая
сила Р
Высшие критические
силы Р
#
%
4,01
VEJvGJd
/«
10,24
VEJ,fiJc
/«
5(8*~3) VEJfr*
5,56
VEJvGJd
/2
11,82
Vejju
I2
J(8*-l)V^Wi
£Z-
*&
Ш
J*"
VZ
16,94
У^ГЩг
/2
68,6
}TEJvGJd
2rt(8ft — 5)
I*
функции. Третья графа содержит формулы критической силы,
соответствующей второму корню бесселевой функции.
В последней (четвертой) графе приведены формулы для определения
высших критических сил. Эти формулы получены на основании
асимптотических формул для корней соответствующего бесселевого
трансцендентного уравнения.
Если сила Р приложена на расстоянии а от одной из опор, то
критическая сила выражается той же формулой (5.11), причем коэффициент К
определяется из трансцендентного уравнения, составленного по
граничным условиям из функций Бесселя. В табл. 42 даны значения этого
коэффициента К для балки с обоими опертыми концами.
Таблица 42
а
Т
К
0,5
16,94
0,4
17,82
0,3
21,01
0,2
29,11
0,1
56,01
0,05
112
в) Действие равномерно распределенной
нагрузки. Изгибающий момент Mx(z) в рассматриваемом случае
меняется по закону параболы 2-й степени. Обозначая интенсивность равномерной
нагрузки через q и выбирая начало координат на левом конце балки,
мы можем написать (рис. 178, б):
gz (* — г)
2
М
Гл. VI. Устойчивость плоской формы извиба стержней 315
Внося это выражение в уравнение (5.7), получим
EJjGJdW +1 qV {I — *)» 9 = 0.
(5.12)
Уравнение (5.12) интегрируется в бесселевых функциях порядка
+ ^- . Критическое значение нагрузки qy входящей в состав аргумента
этих функций, определяется из граничных условий, приводящих к
трансцендентному уравнению Бесселя. Формулы критических нагрузок для
разных случаев граничных условий даны в табл. 43.
Таблица 43
Схема нагрузки и граничные
условия
I критическая
нагрузка q
II критическая
нагрузка q
Высшие критические
нагрузки q
9
ЗЗЗХГЕЕПГЛ
12,85
K*W
/з
38,56
VEJuGJd
2jt(3n-i)
VEJvGJd
/»
-фЕП^шМ-
15,95.
VbJ,fiJt
34,6
VBJvGJd
„(б—рУ1^
Ж
^ ч
f
-4
28,3
VEJ*fiJ«
/з
§ 6. Применение метода возможных перемещений к задаче
о пространственной устойчивости стержней
Уравнения (1.28) в общем случае имеют переменные коэффициенты.
Разыскание по этим уравнениям и граничным условиям фундаментальных
функций и чисел представляет собой сложную математическую задачу,
требующую большой вычислительной работы.
Определение критических сил в этой задаче значительно упрощается,
если воспользоваться принципом возможных перемещений по методу
Бубнова — Галеркина. Сущность этого принципа в применении к
рассматриваемой здесь проблеме состоит в том, что прогибы £(я), Л (z) и угол
закручивания 0(z), характеризующие изгибно-крутильную форму потери
устойчивости бруса, представляются в виде рядов:
= 2^пфп(20, |
1(2) =
Л СО =2#nl|>n(z),
8(z) = 2CnXn(z),j
(6.1)
316
Тонкостенные упругие стержни
где функции <pn(z), tyn(z) и %n(z) подбираются с таким расчетом, чтобы
деформированное состояние бруса, выраженное каждым членом рядов (6.1),
отвечало заданным граничным условиям.
Подставляя выражения (6.1) в уравнения (1.2), мы тем самым апрок-
симируем при помощи рядов (6.1) вариации интенсивностей поперечных
нагрузок и крутящих моментов, выраженные левыми частями этих
уравнений.
Мы получаем таким образом механическую систему, на которую
действуют внешние силы и моменты, определенные с точностью до
коэффициентов рядов (6.1). Поскольку эта система находится в равновесии, то
работа всех внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых
перемещениях должна быть равна нулю. Выбирая за возможные
перемещения
Б* = Ф»(*)» П* = ♦*(*) и e* = 0U(*) (* = 1,2, 3, ...)
и приравнивая нулю работу на этих перемещениях, получим для
коэффициентов А, В, С систему линейных однородных уравнений. Число этих
уравнений будет равно числу искомых коэффициентов. Приравнивая
нулю определитель системы уравнений с неизвестными А, ВиС, получим
уравнение для определения критической силь*. Порядок этого уравнения
в общем случае будет равен 3/А Если в выражениях (6.1) сохранить по
одному члену ряда, т. е. задать |, г\ и0 в виде:
I = Лф(*), r\ = B$(z), В ,= C%(z)9
(6.2)
то для определений Л, В и С получим систему трех однородных уравнений.
Так, например, в случае центрального сжатия подстановка равенств
(6.2) в левые части уравнений (2.3) дает для интенсивностей вариации
поперечных нагрузок и крутящих моментов следующие выражения:
6qx = A [EJytfv - (ЛУ)'] - Cay (tfx')'f
8ду = В [Е1Х^-(Щ'У] + Сах (ВД',
Ьт = С [EJ^ - GJdt" - г2 {N%')'] - Аау (Мр')' + Вах (ЛГф%
У равнения Лагранжа для работы зтих сил на возможных перемещениях
ф(з), *ф(я) и 0C(z), после применения интегрирования по частям к
некоторым слагаемым и использования естественных граничных условий,
имеющих место на концах стержня, принимают следующий вид2:
ii i
A [EJV J (<р")2 dz + J N (q>')2 cfe] + Cay J Ny'tfdz = 0,
В ]EJX J (ф')« dz + J N (г|/)2 dz] - Cax J N^'tdz = 0,
0 0 0
I I I
С [EJJ\ (xT dz + GJd ^ (x')2 dz^r^N (к')2 dz] +
0 0 0
i I
+ Aay[ Ny'x'dz — #ax [ Nty'l' dz = 0.
\
(6.3)
1 Мы поступаем здесь совершенно так же, как и в § 13 гл. V.
2 Так, например,
i i i
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 317
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов
при неизвестных А, В и С, получим для параметра внешней вагрузки,
входящего в выражение функции N = N(z), кубическое уравнение:
y^WPdz + ^Ntoydz О
о о
I I
% \ Щ'*
dz
av\NV'X'd*
— аА N^'x'dz
о
1
о
I
о
i i
+ GJd^(Xydz + r^N(x'fdz
= 0. (6.4)
Корни уравнения (6.4) дают три значения критической нагрузки,
соответствующие трем изгибно-крутильным формам потери устойчивости
в плоскости поперечного сечения. Все эти корни действительные,
поскольку определитель (6.4) симметричный.
Если профиль имеет две оси симметрии, то ах = ау = 0; система
уравнений (6.4) распадается на три независимых уравнения. В этом случае
уравнения для определения критических сил имеют вид:
i i
EJV\ (q>Tdz + \ N (ф')2dz = 0,
0 о
1 I
EJX\^ (t|)")2 dz + ^N ОТ dz = 0, [ (6.5)
о о
I I I
EJ» \ (X")2 dz + GJd J (х')2 dz + r^N (%')* dz = 0.
6 0 0
Первые два уравнения (6.5) относятся к продольному изгибу в главных
плоскостях по заданным формам потери устойчивости. Третье уравнение
относится к продольному закручиванию. Из трех критических сил за
расчетную выбирается та, которая имеет наименьшее по абсолютной
величине значение.
Таким же способом может быть решена задача об устойчивости
плоской формы изгиба стержней при действии поперечной нагрузки. Задавая
искомые перемещения £(z), r\(z) h0(z) в форме (6.2), получим по
уравнениям (3.1) для интенсивностей вариаций поперечных нагрузок и
крутящих моментов следующие выражения:
8qx=AEJy^ + C(MxXy,
6ду = ВЕ1х^ + С(Му%)\
8т = С {£ЗДУ + №ХМУ - 2руМх - GJd) х']' +
+ [q°x (ех - ах) + ?° (еу - ау)\ %} + АМ&'+ВМуф.
где проинтегрированные члены исчезают, так как они выражают работу в четких
сил, приложенных на концах стержня, а эта работа равча нулю, поскольку на
концах стержня либо статические, либо соответствующие им геометрические
факторы равны нулю.
318
Тонкостенные упругие стержни
(6.6)
Составляя уравнения работ этих нагрузок и моментов
последовательно на перемещениях <p(z), -ф(г) их(^), применяя, подобно предыдущему»
интегрирование по частям и удовлетворяя естественным граничным
условиям в проинтегрированных слагаемых, получим:
i i
AEJy \ (цГ)Ч% + С J Мх<?"ф = О,
0 о
1 I
BEJX J W)4z + С J Муфф=09
о о
( l 1
С {Я/* \ (XT dz - \ (2р«Л^у - 2руМх - G/d) (X')2 Л +
'о о
+ \ [q°x (ех - ах) + с?у° (ву - ау)] x2dzj> +
/ i
+ А \ Мхф"х dz + В [ Myty\dz = 0.
о о
Уравнение для определения критического значения параметра
внешней поперечной нагрузки, при котором происходит потеря устойчивости
плоской формы изгиба, получается путем приравнивания нулю
определителя, составленного из коэффициентов уравнений (6.6). Это уравнение
имеет вид:
i
EJ^Wfdz
о
0
i
^ Mxy"%dz
EJx^W)2dz
О
I
\ My$"%dz
^ Мxq\dz
о
I
J My^%dz
о
I I
EJm\(%ydz-\(#JHy-
о о
- 2руМх - GJd) (%')4z +
i
+ \ kx (ех — ах) + ql (еу — ау)] %4z.
= 0.
(6.7)
Уравнение (6.7) также дает три значения для параметра критической
нагрузки.
Если поперечное сечение имеет одну ось симметрии и поперечная
нагрузка действует в плоскости симметрии, то устойчивость плоской формы
изгиба представляется уравнениями:
i i
AEJy J (Ф")2 dz + С J МхФ"х dz = 0,
о о
I II
A J Мхф"х dz + С\ Я/„$ (х*)1 dz + $ (2$УМХ + GJd) (х')2 dz +
0 L о О
+ \qUev-ay)x%dz) = 0.
Гл. VI, Устойчивость плоской формы изгиба стержней 319
Определитель, соответствующий этим уравнениям и дающий
критические значения для поперечной нагрузки, будет иметь вид:
i i
EJv^{y"fdz \Mw\dz
о о
= 0.
\ Мх<р"% dz EJ„ ^ (ХУ dz + J (2$УМХ+ GJd) (Х')2 dz +
О 0 0
I
+ \ 4l^v — ^v)t2dz
о
Изложенный здесь метод, так же как и метод Ритца — Тимошенко,
дает точное решение задачи в случае, если функции cp(z), t|?(z) и X(z)» ха~
рактеризующие изменение деформаций стержня по переменной z,
удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям устойчивости.
Так, например, задавая для прогибов и углов закручивания
синусоидальный закон, т. е. полагая
у = AsinXz, ty = BsinXz, % = CsinXz, (6.8)
где X = —(/i = l, 2, 3,...), и составляя на этих перемещениях уравнения
работ, мы получим для стержня, имеющего на концах шарнирные
закрепления и загруженного продольной силой N = const, точное решение.
Это следует из того, что, как мы видели ранее, функции (6.8)
удовлетворяют дифференциальным уравнениям (3.1) гл. V и граничным условиям.
Определитель системы (6.3) в этом случае совпадает с определителем (3.2)
гл. V.
Если функции cp(z), \|> (z) и %(z) не являются решениями
дифференциальных уравнений устойчивости, то метод возможных перемещений дает для
критических сил приближенные значения. Эти значения будут
отклоняться от точных тем больше, чем менее удачно заданы формы потери
устойчивости.
Можно показать, что критические силы, найденные методом возможных
перемещений, будут иметь преувеличенные значения. Действительно,
задаваясь формами потери устойчивости приближенно, мы тем самым с
механической точки зрения заменяем заданную упругую систему с
бесконечным числом степеней свободы системой, имеющей конечное число
степеней свободы. Такая замена равносильна введению в упругую систему
связей, повышающих устойчивость системы.
Метод возможных перемещений дает наиболее эффективные решения,
если в качестве функции <p(z), \J)(z) и % (z), апроксимирующих согласно
выражениям (6.1) деформированное состояние стержня при потере
устойчивости, выбрать фундаментальные функции поперечных колебаний
балки. Эти функции, как мы видели в § 13 гл. V, удовлетворяют однородному
дифференциальному уравнению вида
XTV — ]i*X = 0 (6.9)
и однородным граничным условиям.
Задавая изгибно-крутильные формы потери устойчивости по балочным
фундаментальным функциям, мы должны эти функции подбирать в
соответствии с граничными условиями. При помощи функций, выписанных
в табл. 33 § 13 гл. V, можно составить уравнения работ (6.3) или (6.6)
для разных случаев граничных условий. Эти условия могут быть заданы
320
Тонкостенные упругие стержни
и в смешанной форме: для прогибов — один, а для угла кручения —
другие.
Характеристическое уравнение, определяющее критические силы,
получается путем приравнивания нулю определителя соответствующей
системы.
В качестве примера рассмотрим балку, имеющую в сечении одну ось
симметрии. Пусть поперечная нагрузка действует в плоскости симметрии.
Уравнения устойчивости (3.1) в этом случае имеют вид:
EJyllv + (МЛ)' = О,
£/weIV- G/de* - 2% (MxVy + ql еуЪ + MJ£ = О (0 < z < I).
Граничные условия при шарнирном закреплении концов будут:
£(0) = Ш = Г(0) = Г(*) = 0,
е (0) = е у) = е* (0) = в* (i) = о.
Если ввести отвлеченные величины:
шх
EJy'
ъ,
a_EJa 2Э„Я/,
а ~ PGJd ' °l ~ lGJd
evEJ4 EJ„
~ lGJd ' C - GJd
(6.10)
и произвести замену независимой переменной, положив z = It,, то
написанные уравнения примут вид:
iv_n»_i. i~»v . ь-'о , A~t»_n m^r^A\7f (6Л1)
об" —в* —6х(хв')' + 61х'в +уХ|' = 0 (0<£<1)
где аргументом всех функций считается £ и штрихами обозначено
дифференцирование по этой переменной. Что касается граничных условий,
то они примут вид:
Е(0) = 6(1) = Г(0) = 6|Г(1) = ОЛ
e(0) = e(i) = e"(0) = e"(i) = о. j ( '
Можно было бы применить метод Бубнова — Галеркина к системе
уравнений (6.11), но при этом пришлось бы задаваться выражениями
обеих величин: £ и 0, что отрицательно сказалось бы на точности
результата. Для получения большей точности можно применить метод Бубнова —
Галеркина к одному дифференциальному уравнению, задаваясь только
одной из неизвестных функций, например функцией 0.
Вместо того чтобы произвести исключение £ из системы (6.11)
формально (что привело бы к довольно громоздкому уравнению и
потребовало выяснения механического смысла последнего), мы воспользуемся
частично граничными условиями. Именно, из первого уравнения системы
(6.11) имеем
Г + Ы9 = Сг + СА,\ (6.13)
где Сх и С2 — произвольные постоянные. Но из граничных условий
(6.12) видно, что левая часть уравнения (6.13) обращается в нуль при
£ = 0 и при £ = 1, а потому Сх = С2 = 0. Следовательно,
£" = _/х6.
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 321
Подстановка этого выражения во второе из уравнений (6.11)
приводит к следующему дифференциальному уравнению для 6:
a9iv _ е" — Ъг (хб')' + (М" — с*2) в = 0. (6.14)
Применим теперь метод Бубнова — Галеркина к уравнению (6.14),
положив
6 = Asinn£. (6.15)
Для этого подставляем последнее выражение в уравнение (6.14),
умножаем результат на sinn£ и интегрируем по £ от 0 до 1:
1
jr2 (»
(ая2 + 1) -о Jt6i \ (xcos n£)'sin я£ dt,+
о
1 1
+ Ь2{ х"sin2nidi — с [ х2sin2я£dl = 0. (6.16)
6 о
Чтобы избавиться от производных функций х, преобразуем интегралы
с помощью формулы интегрирования по частям:
1 1
\ (х cos я£)' sin я£ dt> = — я \ х cos2 я£ d£,
о о
11 1
[ х" sin2 я£с£=— 2я ^ х' sin я£ cos я£ d£ = 2я2 ^ х (cos2 я£ — sin^£) d£.
6о о
Подстановка этих выражений в уравнение (6.16) после упрощения дает
1
\ [(&! + 4Ь2) х + -^-х2] cos 2я£ ^ +
0
1
+ \ (М - £ х2) <*£ + («"2 + 1) = 0. (6.17)
0
Это уравнение дает приближенно интересующее нас критическое
значение параметра нагрузки, входящего в выражение х.
Применим уравнение (6.17) к частным случаям.
а) Чистый изгиб. В этом случае Мх = const, а следовательно,
и х = const и уравнение (6.17) принимает вид
М-^*2 + <ш2 + 1 = 0,
откуда
ЕЗЦ EjA^ Л[я'Ь2 Я2(1 + Я2а)1
^зскр = -7— Х«Р — ~Г [ 2с — V 4с2 ' с J '
или, после подстановки выражений для а, 6Х и с и упрощений, получим
^«KP^-TT^PviK ~/2— ^ J2 Ру + -^2— + GJd).
Так как в данном случае заданная форма потери устойчивости (6.15)
оказалась точной, то полученные значения М^р являются точными
значениями двух наименьших по абсолютной величине критических моментов.
322
Тонкостенные упругие стержни
б) Равномерно распределенная нагрузка
интенсивности q. В этом случае
Mx=-|-z(/-z)=«Jz;(l-£), х = зг£(1-С),
о/3
где X = тгг • Подставляя в (6.17) значения интегралов
1 1
$хсов2я£<*£ = -^, 5x«cos2jitdt = -^,
О О
о о
получим
или
ел2 + (82,08&2 - 46,996^ X - (7995а + 810,1) = 0.
(6.18)
Это уравнение дает приближенно два критических значения параметра
Ккр, которым соответствуют два приближенных критических значения
интенсивности нагрузки q (положительна;: и
отрицательная критическая интенсивность),
определяемых по формуле
Якр ~ "7»" кр*
Чтобы оценить точность получаемых таким
путем результатов, рассмотрим конкретные задачи.
Предположим сперва, что речь идет о потере
устойчивости при поперечном изгибе балки-полосы
(длиной Z, высотой h и толщиной 6), подвергнутой
действию равномерно распределенной нагрузки q, при-
г-
i
!
-^ 2
..\
,?'
— 6
п
'-—1
г
05
71*
Рис. 180
ложенпой вдоль линии центров тяжести сечения. В этом случае
EJy = Е -j^ » GJd ~ G -j-, /о> = 0,
ру = 0, еу = 09
так что
Е
а = 0, Ъх = 0, Ь2 = 0, с = -ТТ7 ,
и уравнение (6.18) для данного случая будет иметь следующий вид:
откуда
^кр
~Х2- 810,1 =0,
Kv= ± 56,921/"-§-,
Ь63Я
12/3 ^ = ±4,74^1/^2?.
,/гб3-
По Тимошенкох эта величина получается равной qKV~ + 4,72 -^ ]/С£.
Ошибка, следовательно, меньше половины процента.
1 С. П. Тимошенко. Об устойчивости упругих систем, Киев, 1910, стр. 106.
Гл. VI. Устойчивость плоской формы изгиба стержней 323
Рассмотрим также случай поперечного изгиба шарнирно опертой по
концам балки сложного поперечного сечения, имеющей длину I = 100 см
и загруженной равномерно распределенной нагрузкой q, как показано
на рис. 180; толщина стенок, образующих контур поперечного сечения
балки, равна б = 0,5 см, остальные размеры (в сантиметрах) даны на
рисунке.
Подсчет по формулам (6.10) дает для данного случая (если считать
G = 0,4£):
|^ = 290,0; |^ = 0,1010; ft, = 7,206; e„ = -4,118;
а = 0,1010; &х = 41,80; Ъ2 = — 11,94; с = 290,0.
Уравнение (6.18) принимает вид
290Х2 - 2944Я - 1618 = 0,
откуда
Х$ = -0,522; Я$ =10,67,
кг
и так как Jy = 164,3 см4; I = 100 см, то qM = — 8,58- 10'6Е ,
q(2) = 175- Ю-5 Е-.
Более точный расчет (если исходить из выражения для 9 с тремя
параметрами: 6 = A sin я£ + В sin 2л£ + С sin Зя£) показывает, что
полученные приближенные значения критической интенсивности нагрузки
преувеличены по абсолютной величине соответственно на 3 и 6%.
Глава VII
РАВНОВЕСИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ СЛОЖНОМ
НАГРУЖЕНИИ
§ 1. Изгиб и кручение стержней, испытывающих начальные
напряжения
Если стержень, обладающий в поперечном сечении жестким
профилем, под действием некоторой критической нагрузки, состоящей в общем
случае из продольных сил и моментов, находится в неустойчивом
состоянии, то любая поперечная нагрузка, приложенная к стержню, согласно
линейной теории, вызовет бесконечно большие деформации. Отсюда
следует, что напряженное состояние, возникающее от какой-либо продольной
нагрузки, меньшей критической (но близкой к ней), будет оказывать
существенное влияние на деформацию стержня от поперечной нагрузки.
Таким образом, возникает задача о пространственном равновесии
стержня, испытывающего, помимо напряжений от внешней поперечной
нагрузки, еще заданное начальное напряженное состояние, характеризующееся
одними только продольными нормальными напряжениями. Такое
состояние будет иметь место в случае чистого растяжения (сжатия) или чистого
изгиба от внешней продольной внецентренно или центрально
приложенной растягивающей или сжимающей силы, а также и в случае
предварительного натяжения продольной арматуры или воздействия температуры.
Мы будем предполагать, что не только силы натяжения арматуры, но и
внешняя продольная нагрузка передаются на стержень через жесткие
торцовые диафрагмы (рис. 181, а).
По этой причине мы можем нормальные напряжения начального
состояния, постоянные по длине стержня, определять по формулам закона
плоских сечений, которые в общем случае будут иметь вид:
пр = -^ + 7^у-^х. (1.11
ч._^ь,_^х. (1.2)
х у
где х, у — координаты точки поперечного сечения стержня-оболочки,
отнесенного к главным центральным осям Ox, Оу\ F — площадь
поперечного сечения стержня-оболочки; Jx, Jy— главные моменты инерции
площади сечения соответственно относительно осей Ох, Оу; Р — внешняя
продольная сжимающая сила, приложенная в центре тяжести
поперечного сечения стержня-оболочки; Мх, Му— внешние изгибающие
моменты, приложенные по концам стержня и действующие соответственно
относительно осей Ох, Оу; Rk — сила натяжения А>го стержня арматуры
(рис. 181, б); Xk, ук— координаты точки приложения силы Rk, являющие-
Гл. VII. Равновесие стержней при сложном наеружении 325
ся также и координатами центра тяжести площади поперечного сечения
к-то стержня арматуры.
Формулой (1.1) определяются напряжения пр от внешней нагрузки.
Эти напряжения для всего поперечного сечения стержня приводятся
Рис. 181
к статически эквивалентным им продольной силе Р и изгибающим
моментам Мх, Му:
^npdF = -P, ^npydF = MXf ^npxdE = —My.
F F F
Формулой (1.2) определяются напряжения tin от предварительного
натяжения арматуры, состоящей из к продольных стержней. Эти
напряжения совместно с напряжениями, возникающими по поперечным
сечениям арматурных стержней, в своей совокупности приводятся к системе
сил, статически эквивалентных нулю для каждого поперечного
сечения, т. е. к бимоментам. Следовательно, в случае предварительного
326
Тонкостенные упругие стержни
натяжения продольной арматуры в каждом поперечном сечении стержня
возникает бимоментное напряженное состояние. Поскольку площадь
сечения арматуры по сравнению с площадью всего поперечного сечения
достаточно мала, силы, возникающие в арматуре, можно отнести к
категории сосредоточенных сил.
В этом и заключается существенное различие между начальными
напряжениями, возникающими от внешней продольной нагрузки, и
начальными напряжениями, возникающими от предварительного
натяжения продольной арматуры; как будет видно из дальнейшего, это окажет
влияние и на дифференциальные уравнения равновесия стержня с
предварительным напряженным состоянием в зависимости от характера
причин, вызывающих это напряженное состояние.
При выводе дифференциальных уравнений равновесия стержня с
начальным напряженны^ состоянием, будем исходить из
дифференциальных уравнений стержня, находящегося под действием внешней
поперечной нагрузки [(7.3) гл. I]:
Е1£™-дх = 0л
EJx^-qy=0A (1.3)
EJjF4 — GJjr—m = 0.)
Полагаем при этом, что наличие в стержне начальных напряжений,
определяемых трехчленной формулой закона плоских сечений, при
деформации его внешней поперечной нагрузкой вызовет появление
дополнительных приведенных погонных нагрузок qx, qy и га, формулы для
которых могут быть получены совершенно аналогично тому, как это
сделано при выводе дифференциальных уравнений устойчивости в § 1 гл. V.
Эти формулы имеют вид [(1.4) гл. V]:
** = £
\ пШ — ф\
пЬ {у — ау) ds,
qy = г\п \ n6ds -f 8* \ nb (x — ax) ds,
m
— V \ гсб {y — ay) ds + T]" \ n6 (x — ax) ds +
L L
+ V \ nb l(x - axf + (y - ayf] ds.
(1.4)
J
В зависимости от причин, вызвавших в стержне начальное
напряженное состояние, в формулу (1.4) вместо п нужно вставить либо пр,
выраженное формулой (1.1), либо nR, выраженное формулой (1.2).
Подставляя в первые части формул (1.4) вместо п их значения пр по
формуле (1.1) и имея в виду, что сечение стержня отнесено к главным
центральным осям, получим для стержня с предварительным
напряженным состоянием от внешней внецентренно приложенной на концах
сжимающей силы Р выражения (1.5) гл. V для компонентов дополнительной
приведенной погонной нагрузки:
T=-PV- (ауР + Мх) 9",
ду=- Рг)" + (ахР - Му) 9",
т = - (ауР + Мх) \' + (ахР - Му) if +
+ (- г2? + 2руМх - 2рхМу) 9",
(1.5)
Гл. VII. Равновесие стержней при сложном наеружении 327
где коэффициенты аХу Оу, г2, 0* и ру вычисляются по формулам (7.5) гл. I
и (1.6) гл. V.
Внося компоненты (1.5) в уравнения (1.3), получим
дифференциальные уравнения для рассматриваемого случая предварительно
напряженного стержня:
EJyllY + PI" + (Мх + ауР) 6" = дх, |
Е1хЦ™ + Рц» + (Му - ахР) 6" = ду,
EJJ™ + (г2Р + 2$ХМУ - 2$УМХ - GJd) G" +
+ (Мх + ауР) Г + {Му - ахР) т|'= т. )
Если предварительно напряженное состояние стержня вызвано не
сжимающей силой Р, а внецентренно приложенной на концах продольной
растягивающей силой Р, то дифференциальные уравнения для такого
стержня получим из системы (1.6), изменив знак перед Р на обратный
и полагая Мх = Реу, Му = — Рех.
В случае, когда внешняя поперечная нагрузка приложена только на
концах, а в пролете отсутствует, система (1.6) будет однородной, т. е.
в уравнениях (1.6) нужно положить qx = q = т = 0, а приложенная
на концах внешняя поперечная нагрузка будет учтена соответствующими
неоднородными граничными условиями.
Если сжимающая сила Р близка к критической, то основная форма
равновесия стержня, для которой были выведены уравнения (1.6),
становится неустойчивой. В таком критическом состоянии стержня, как было
указано выше, возможна другая форма равновесия. Относя систему
дифференциальных уравнений (1.6) к этой другой форме равновесия стержня
и полагая в (1.6) у = q = т = 0, мы придем к уравнениям
устойчивости (1.10) гл. V, црлученным ранее.
Наконец, полагая в уравнениях (1.6) равной нулю внешнюю
продольную нагрузку, т. е. полагая Р = Мх — Му = 0, придем к исходной
системе уравнений (1.3).
Как видно из изложенного, система дифференциальных уравнений
(1.6) носит довольно общий характер и охватывает достаточно большой
класс практически важных задач.
Обратимся теперь к стержням, начальное напряженное состояние
которых вызвано предварительно напряженной арматурой. Будем для
простоты полагать, что в теле стержня имеется только один
предварительно напряженный арматурный стержень; пусть это будет А-й стержень,
проходящий через точку с координатами хк и ук (рис. 181, б). Знак суммы
в формуле (1.2) опускаем.
Подставляя выражение nR (1.2), как указано выше, в выражения (1.4)
и помня при этом, что одновременно с напряжениями nR, возникающими
в поперечном сечении стержня, мы должны учитывать и напряжение в
самой арматуре, которое считаем сосредоточенной силой Rk, приложенной
в точке хк, ук, получим, учитывая, что поперечное сечение стержня
отнесено к главным центральным осям:
£ = 0, ~qy = 0, т = - Д*»*(Г,
где
«* = i4is + TLy* + ^.-«. (1-7)
328
Тонкостенные упругие стержни
причем
Ux = \yp*dFf Uy = ^xP4F,
F F
P2 = ^ + У\ ?\ = x\ + y\.
Мы видим, что предварительное натяжение арматуры, в отличие от
ранее рассмотренного случая внешней продольной сжимающей силы,
совершенно не оказывает влияния на первые два уравнения (1.3),
относящиеся к поперечному изгибу стержня в главных плоскостях, и влияет
на третье уравнение, относящееся к кручению стержня.
Прибавляя т (приведенный крутящий момент от воздействия
предварительного натяжения арматуры) к т (крутящему моменту от внешней
поперечной нагрузки) и объединяя члены со второй производной от угла
закручивания, получим Третье уравнение системы (1.3) в виде
EJJdiy — (GJd — Rk$lk) 8" - m = 0. (1.8)
Если обозначить выражение в скобках в формуле (1.8) через
C7d= GJd-RkMk9 (1.9)
то уравнение (1.8) по виду будет совершенно аналогично третьему
уравнению системы (1.3)
EJJ1Y - GJdQ" - т = 0. (1.10)
Мы приходим, таким образом, к весьма важному выводу: задачи
расчета и исследования напряженного и деформированного состояния при
кручении от действия внешней поперечной нагручки в тонкостенных
стержнях с предварительно натянутой арматурой определяются
дифференциальным уравнением (1.10), подобным третьему дифференциальному
уравнению системы (1.3) для обыкновенного тонкостенного стержня (без
предварительно натянутой арматуры), с заменой в последнем жесткости при
чистом кручении GJd на новую приведенную жесткость GJd, определяемую
формулой (1.9).
Следовательно, теория и методы расчета тонкостенных стержней,
находящихся под действием внешней поперечной нагрузки, могут быть
целиком распространены на тонкостенные стержни с предварительно
натянутой арматурой. Таким образом открываются большие возможности
как для теоретических, так и для экспериментальных исследований в этой
области и практического их использования.
Поскольку дифференциальные уравнения в рассматриваемом случае
относятся к тонкостенному железобетонному стержню, в котором
предварительно натянутая арматура после бетонирования работает совместно
с бетоном, то главные характеристики сечения Jx, Jyi /<* так же, как
и момент инерции при чистом кручении /<*, следует вычислять для всего
приведенного поперечного сечения с учетом площадей сечения арматуры,
умноженных на отношение модулей упругости арматурной стали и
бетона.
Если предварительное напряженное состояние в стержне вызвано не
только предварительно натянутой арматурой, но и внешней сжимающей
продольной силой, то мы должны пользоваться системой
дифференциальных уравнений (1.6), заменив в третьем уравнении этой системы жест-
кость при чистом кручении GJd на новую приведенную жесткость GJd>
определяемую формулой (1.9).
Гл. VII, Равновесие стержней при сложном нагружении 329
§ 2. Изгиб и кручение стержня, предварительно нагруженного
продольными силами
Рассмотрим некоторые случаи нагружения стержня продольными
силами. Пусть стержень в своем начальном состоянии нагружен по
концам центрально приложенной продольной силой Р. Будем считать, что
в поперечном сечении стержень имеет две оси симметрии; в этом случае
центр изгиба совпадает с центром тяжести поперечного стержня. При
этих условиях, очевидно, Мх = Му = 0; ах = Оу = 0 и система
уравнений (1.6) распадается на три независимых уравнения следующего
вида:
Е1хг^±рц» = дуу\ (2.1)
£/weIV — (GJd T r2P) 6" = т. J
В этих уравнениях верхний знак перед Р относится к случаю
сжимающей внешней силы Р, а нижний знак — к случаю растягивающей
силы.
Каждое из уравнений (2.1) можно представить либо в виде
Xlv + ^X''=Q, (2.2)
либо в виде
Xiy--%-X"=Q, (2.3)
где под X нужно понимать любую из функций |, ц или 6 в
зависимости от того, какое уравнение мы рассматриваем; точно так же /с2
и Q будут иметь для каждого уравнения различные значения, а именно:
к2_РР_ РР_ (GJd ~ггр) * (GJd + r*P)l*
ft ~ EJV ' EJX ' EJW > EJa
Уравнение (2.3) совершенно подобно уравнению кручения
тонкостенного стержня, поэтому при интегрировании его можно воспользоваться
изложенными ранее результатами, изменив соответственным образом
коэффициенты уравнений. Так, например, если на сжатый стержень
действует внешний крутящий момент, то деформация кручения этого стержня
определяется уравнением
EJJiy - (GJd - r2P) 6" = те.
Это уравнение отличается от ранее рассмотренного уравнения
кручения (2.1) гл. II только коэффициентом при второй производной от
к2 GJd
угла кручения; в отличие от прежнего значения -тг = /тт-* в этом СЛУ~
к2
чае величина -^- будет выражаться формулой
к2 GJd - Т2Р
I2 - Е1.Л '
330
Тонкостенные упругие стержни
Следовательно, используя полученные ранее решения, мы должны
заменить жесткость при чистом кручении GJ& новой жесткостью
[GJd- т*Р).
Дифференциальное уравнение (2.2) отличается от уравнения (2.3)
только знаком перед членом со второй производной и, следовательно,
общее решение его будет отличаться от общего решения уравнения (2.3) тем,
что частные решения,
представленные гиперболическими функциями,
ъяря
*ЩШШРр
Мои
3*
Рис. 182
Рис. 183
теперь будут представлены тригонометрическими функциями того же
аргумента.
Пример 1. Рассмотрим шарнирно-опертый сжатый стержень, на
который действуют изгибающие моменты Л/0у, приложенные по концам
(рис. 182). Дифференциальное уравнение равновесия в данном случае (при
Чу — 0) будет иметь вид
(2.4)
„IV
EJxify + Prf = 0.
Общее решение однородного уравнения (2.4) представляется в виде
Л = Со + Cxz + С2 cos -^- + Cs sin -^-, (2.5)
где/c^Zj/^.
Если начало координат взято в середине пролета, то в силу
симметрии задачи Сг = С3 = 0, а С0 и С2 определятся из граничных условий
(при z = I: т] = 0 и Му = Моу):
С0 =
EJX ft*
м„
Г*
EJX ft2 cos ft
Таким образом, для прогиба и изгибающего момента получим
окончательные формулы:
kz \
Л EJ_ А;2
,1-
cos
М„
-EJx4"=Mt
COS ft
kz
C0ST~
ov COS ft
Вычисления, проделанные для стержня двутаврового сечения № 24а
длиной 3 м, дают для изгибающего момента в середине пролета значения
-^утах =1,56 Л/0у, т. е. учет продольной сжимающей силы увеличивает
расчетный изгибающий момент на 56%. Если сила Р не сжимающая, а
растягивающая, то для изгибающего момента в середине пролета формула
будет аналогичной, но с заменой тригонометрических функций на
гиперболические:
Му = Моу-
ch
kz_
I
chft
Гл. VII. Равновесие стержней при сложном нагружении 331
Сравнение обоих аналитических выражений для моментов и их
графиков (рис. 183) показывает, что в случае центральноприложенной
растягивающей силы стержень будет в устойчивом состоянии всегда, а в
случае сжимающей силы — только при условии Р ^ Ркр, гдеРкр определяется
по формуле (3.3) гл. V при К = —.
Пример 2. Рассмотрим тот же сжатый стержень при действии на
него равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсивности q
в плоскости Oyz.
Для прогиба х\ вместо уравнения (2.4) теперь будем иметь
соответствующее ему неоднородное уравнение
EJxrT + Рг\" = д, (2.6)
а общее решение уравнения (2.6) получим, добавляя к решению
однородного уравнения (2.5) частный интеграл неоднородного уравнения,
зависящий от нагрузки q. Таким образом, получим
л = Со + ClZ + С2 cos -£- + С3 sin *L + £ z\ (2.7)
Исходя из решения (2.7) и полагая в граничных условиях
шарнирное опирание, получим (при пролете 21 и выборе начала координат
в середине пролета) для прогиба и момента следующие выражения:
/ k \
72 I C0S ~Г Z 1
у ft2 \ cos/с /
Эти формулы аналогичны ранее полученным формулам (5.9) гл. II
(для случая кручения тонкостенного стержня под воздействием внешнего
равномерно распределенного крутящего момента т), в которых 0
заменено на т], В — на Му, т — на g, GJa — на Р, гиперболические функции
заменены на тригонометрические с учетом знаков и т. д.
§ 3. Изгиб и кручение стержней с предварительно напряженной
арматурой
1. Возвратимся к формуле (1.7), определяющей коэффициент ЗКЛ
приведенного крутящего момента, заменяющего действие на стержень
предварительно напряженной арматуры. Величина ЗКЛ зависит как от
геометрических размеров стержня, так и от координат точки
месторасположения арматуры Rk (рис. 181, б). Изменяя координаты х^ и ук, мы
можем придать величине ЗК^ как положительное, так и отрицательное
значение и, в частности, нулевое значение. Из формулы (1.9) следует, что
при ЗЙА = 0 предварительно напряженный стержень не оказывает
никакого влияния на изменение величины GJd, оставляя ее равной GJd\ при
3R/f ]> 0 жесткость стержня при чистом кручении уменьшается, а при
Зйл<С0— увеличивается. Полагая ЗЙА = 0, мы получим уравнение
кривой, каждая точка которой обладает тем свойством, что расположенная
в ней предварительно напряженная арматура не меняет величины
332
Тонкостенные упругие стержни
жесткости стержня при кручении. Уравнение этой кривой будет иметь вид
*l + yl~TLyk-^L*«-£^ = 0. (3.1)
х и у л
Оно совершенно аналогично уравнению (8.1) гл. V и тоже
представляет уравнение окружности, радиус и координаты центра которой
определяются формулами (8.2) и (8.3) гл. V:
х ~~ 2J f Ку~~ ~2J~~ ' J
*" у *" X >
(3.2)
Для стержня с двумя осями симметрии величина Ux = Uy = 0 и ра-
о l/~Jx + Jy
диус окружности равен полярному радиусу инерции Н = у —-=—- г
а центр ее совпадает с центром тяжести сечения. В частности, для
квадрата со стороной а будем иметь R = = 0,408 а.
Внутри круга, ограниченного окружностью (3.1), ЗГО* > 0, а вне этого
круга 5ЮЛ < 0. Если в уравнении (1.7) считать, что 9Й/с = С, где С —
некоторая постоянная величина, то мы придем к уравнению окружности,
радиус которой определяется формулой
*-£+£+£-*■ <з-з)
(здесь /р = J у + J у — полярный момент инерции).
Эта окружность интересна тем, что предварительно напряженная
арматура воздействует на напряженное состояние стержня одинаковым
образом, независимо от того, в какой точке окружности она расположена.
Из формулы (3.3) видно, что наибольшее положительное значение,
которое может принять ЗК&, равно
U2 U2 J
Ык max = ^- + -^ + -f (при этом Rc = 0);
при ЗКЛ = 0 имеет место равенство Rc — R [см. (3.2)]; при дальнейшем
увеличении Rc величина 5ЮЛ будет отрицательной. На рис. 184 дан
график зависимости между Rc и 9ЙЛ для стержня квадратного сечения со
стороной а.
Из формулы (1.9) следует, что можно подобрать такое значение
величины 3RA., при котором будет GJd = Q, т. е. стержень не будет
сопротивляться кручению; для этого нужно положить
GJd = GJd-RkMk = 0,
откуда
3R* =
Для стержней с двумя осями симметрии получим
Гл. VII. Равновесие стержней при сложном нагружении 333
откуда
р!
Ч + у1 = -т-
л,.
Если предварительно напряженная арматура расположена в центре
тяжести сечения (р*= 0), то, для того чтобы стержень не оказывал
сопротивления кручению, напряжение Д* в арматурном стержне должно иметь
величину
Rk = GFJ^-.
Того же эффекта (отсутствия сопротивляемости стержня кручению)
можно достичь соответствующим расположением двух или нескольких,
предварительно напряженных арматур,
располагая их внутри и вне круга,
ограниченного окружностью (3.2).
2. Полученные здесь и в предыдущем
параграфе теоретические результаты,
относящиеся к определению при кручении
приведенной жесткости предварительно
напряженного стержня,
экспериментально проверены в Институте механики
АН. СССР на небольших моделях. Одна
из таких моделей показана на рис. 185.
Модель представляет собой
тонкостенный стержень, состоящий из двух узких
пластинок и имеющий в поперечном
сечении форму симметричного креста. Внутри стержня, вдоль его оси
(в центре поперечного сечения) имеется цилиндрическоеотверстие, в котором
свободно размещается продольный металлический арматурный стержень.
0,5
0
-0,5
-10
-1,5
-2,0
-2,5
-3,0
-3,5
Щ
Т
0,
2 0,
J6 1 |
I
Г-<Ш W 12 ifi 1,6 1,8 2,0 '
|
—
i
i
\
К
Рис. 184
Рис. 185
Этому стержню при помощи несложных опорных приспособлений может
быть сообщено начальное натяжение, величина которого регулируется
поворотом опорного винта. Модель по середине пролета снабжена
боковым горизонтальным рычагом. Груз, подвешенный на конце рычага,
334
Тонкостенные упругие стержни
помимо поперечного изгиба, вызывает также и кручение модели. Угол
закручивания, измеряемый для среднего сечения стрелкой индикатора,
при заданном внешнем крутящем моменте будет зависеть также и от
степени натяжения размещенной внутри стержня продольной арматуры.
С увеличением этого натяжения приведенная крутильная жесткость,
согласно сказанному ранее, уменьшается и, следовательно, угол кручения
в среднем сечении при заданном крутящем моменте будет увеличиваться.
§ 4. Кручение стержней, испытывающих заданные температурные
напряжения
Рассмотрим теперь пространственную задачу о равновесии
тонкостенного стержня со свободными концами, имеющего начальные
температурные напряжения и находящегося под действием внешней поперечной
нагрузки. Эти напряжения могут быть представлены одночленной бимо-
ментной формулой *
n(z, *) = 2ГФ(*)<р(*), (4.1)
где Т — параметр, определяющий температуру; Ф (z) — функция,
зависящая от одной координаты z и характеризующая распределение
нормальных напряжений п по длине стержня; ф($) — функция, характеризующая
распределение напряжений от температуры по поперечному сечению
стержня.
При переходе стержня под действием внешней поперечной нагрузки
в новое деформированное состояние, определяемое прогибами \ = £(z),
г] = х\(г) и углом кручения 9 — 6(z), имеющиеся в этом стержне начальные
температурные напряжения могут быть приведены к дополнительной
(фиктивной) внешней поперечной нагрузке, аналогично тому, как это
было сделано выше для стержней с предварительно натянутой арматурой.
В данном случае, поскольку дг, определяемое формулой (4.1), зависит
также от координаты z, для вычисления компонентов этой нагрузки
будем иметь формулы:
qxt = (Г ^ ndfj - [V \ п (у - ау) «И?J ,
F F
qyt = (if J ndF)' + [б' J п (х - ах) dF^,
¥ F
"*'=~ 1У \п (2/ ~йу) dF I+Ь' [п (*
ax)dF^ +
+ {в'\п [(х - ах)* +{у- avf] dF^',
\
(4.2)
здесь штрихами обозначены производные по z.
Внося в (4.2) значения п из формулы (4.1) и принимая во
внимание условия ортогональности функции <р (s) с обобщенными
координатами 1, х, у закона плоских сечений (\ 1<р dF = \ xqtdF = \ yydF = О J ,
F F F
получим:
4x1 = 9yt = О,
щ = Т [Ф (z) 0' (*)]' \ <р (*) [(я - ах)* + (у- ayf] dF = ЯГ (Ф6')',
1 Подробнее об этом будет сказано в гл. XI.
Гл. VII. Равновесие стержней при сложном нагружении 335
где К — обобщенная упругая характеристика, зависящая от вида
функции ф (z) и от геометрических размеров поперечного сечения стержня,
вычисляемая по формуле
К = $<p[(s- ах)* + (у - ayf]dF,
F
где ах, ау—координаты центра изгиба.
Основное уравнение теории стесненного кручения принимает
теперь вид
EJJlY — GJdr — КГ (Ф6')' — т = 0.
Это уравнение в общем случае имеет переменные коэффициенты. Во
многих случаях функция Ф (z) мало отличается от постоянной величины,
по крайней мере, на среднем участке стержня. Полагая Ф (z) = const,
получим уравнение с достоянными коэффициентами, и задача приводится
к определению приведенной жесткости чистого кручения, которая в
данном случае равна
GTd = GJd+ КГФ.
§ 5. Устойчивость стержней, испытывающих начальные напряжения
1. В § 1 настоящей главы были выведены общие дифференциальные
уравнения (1.6) равновесия стержней, испытывающих заданное начальное
напряженное состояние, и было отмечено, что при известных условиях
эти уравнения переходят в ранее выведенные уравнения устойчивости
(1Л0) гл. V. Затем было показано, что если начальные напряжения
определяются предварительным натяжением арматуры или действием
температуры (в тех случаях, когда можно считать ее не изменяющейся по длине
стержня), то первые два уравнения системы (1.3) не изменяются, а третье
уравнение изменяется таким образом, что внешний вид его остается
прежним, если жесткость стержня при чистом кручении GJd заменить новой
приведенной жесткостью GJdi которая в зависимости от характера
начального напряженного состояния выражается формулой
GJd = GJd-Rk*Blk (5.1)
или
GJd = GJd + КТФ. (5.2)
Сопоставляя все сказанное, мы приходим к выводу, что все задачи,
связанные с системой дифференциальных уравнений устойчивости (1.10)
гл. V, а также вопросы изгибно-крутильных колебаний и динамической
устойчивости тонкостенных стержней, которые будут нами рассмотрены
в гл. IX, легко обобщаются на случаи стержней с предварительно
напряженным состоянием; для этого необходимо только заменить жесткость
при чистом кручении GJd на приведенную жесткость GJd, которая в
случае предварительно напряженной арматуры вычисляется по формуле (5.1),
а в случае предварительно напряженного температурного состояния
вычисляется по формуле (5.2) (для участков, в которых температурный режим
по длине остается постоянным). Из этих рассуждений также следует, что
предварительно напряженное состояние стержня оказывает влияние на
величину критической силы, связанной с крутильной формой потери
устойчивости и не отражается на величине эйлеровских критических сил,
поскольку эти последние не зависят от величины GJd.
2. Все задачи, связанные с предварительно напряженным состоянием
стержня, изложенные в четырех последних параграфах для тонкостенных
336
Тонкостенные упругие стержни
стержней открытого профиля, обобщаются на стержни, рассчитываемые
с учетом продольных изгибающих моментов, и на стержни замкнутого
профиля. Для стержней закрытого профиля, как было указано ранее,
депланацию сечения при кручении нужно задавать в виде (о = ху и бимо-
мент инерции определять по формуле
/„ = J xYdF;
F
под GJd следует понимать сен-венановскую жесткость на кручение.
В частности, для прямоугольного коробчатого закрытого профиля со
сторонами йг и d2 и толщиной б, рассмотренного нами к гл. IV, геометрические
характеристики определяются по формулам (1.18) гл. V. Контурные
интегралы в случае расчета стержней с учетом продольных изгибающих
моментов заменяются двойными интегралами, взятыми по всей площади
поперечного сечения.
Глава VIII
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ С УПРУГИМИ И ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ
СВЯЗЯМИ, РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПО ДЛИНЕ СТЕРЖНЯ
НЕПРЕРЫВНО
§ 1. Устойчивость стержней, находящихся в упругой среде
В предыдущих главах мы рассматривали вопрос об устойчивости
тонкостенного стержня в предположении, что этот стержень по всей длине
свободен от внешних связей, препятствующих в той или иной степени
изменению деформированного состояния стержня и, следовательно,
увеличивающих значение расчетной критической силы.
В инженерных расчетах имеет большое значение задача об
устойчивости стержней, находящихся в упругой среде. С такой задачей мы
встречаемся, например, при расчете на устойчивость сжатого пояса открытого
моста. Роль упругой среды для этого пояса играют поперечные рамы,
связывающие между собой главные фермы. При частом расположении попе*
речных рам упругая среда, с достаточной для практики степенью
точности, может быть принята непрерывно распределенной по длине стержня.
Для получения уравнений устойчивости нам нужно в общих
уравнениях равновесия (1.2) гл. VI считать функции | (z), v\ (z) и 6 (z) искомыми
вариациями основных перемещений и вместо внешних силовых факторов
подставить выражения qx + qx1 qy -\- q.y и т + т. Здесь qx, qy и т
определяются по формулам (1.13) и (1.27) гл. VI и являются дополнительной
приведенной нагрузкой, получающейся при заданном напряженном
состоянии от возникновения добавочных перемещений вследствие потери
устойчивости основной формы равновесия, а дополнительная приведенная нагрузка
q , q и т определяется по формулам (5.3) гл. III и является следствием
непрерывно распределенных по длине стержня упругих связей. Выполняя
указанную подстановку, получим:
EJvllv + А* Ц - (hy - ay) 0] - IN (g' + ОуЪ')]' + (Мх9)" = О, ч
EJxr\™ + К h + (hx - ах) 6] - [N ft' - Охв')]' + {МуЪу = О,
EJjF - GJJf— 1(t*N + 2$УМХ - 2$ХМУ) 8']' +
+ 1д°х(ех - ах) + qOy(ev - av)\ 8 + ax{Ny\')' - ау (N\9)' +
+ МХЪ" + Муц" - /% (hy -ay)t + К {К - ах) т) +
+ [К {К - ауу + /ся (hx - axf + /св] 8 = 0.
Дифференциальные уравнения (1.1) являются общими уравнениями
устойчивости тонкостенного стержня в упругой среде.
338
Тонкостенные упругие стержни
При выводе уравнений (1.1) мы, как и в рассмотренном ранее случае
свободного стержня, отбрасывали по малости перемещений члены,
содержащие квадраты или попарные произведения искомых функций 5, Л и 8.
Коэффициенты уравнений (1.1) зависят:
1) от упругих свойств материала стержня Е и G и геометрических
характеристик поперечного сечения: JXJ Jy, /<*, Ло, F, ях, яу, Р*> Р^;
2) от коэффициентов упругости среды: /с^, /с^, /с0 и координат точки
контакта этой среды со стержнем в плоскости поперечного сечения hx, hy\
3) от внутренних силовых факторов: N (z), Мх (z) и Му (z),
характеризующих заданное напряженное состояние стержня и определяемых
из статического расчета;
4) от компонентов внешней поперечной нагрузки qx, ql и координат
точки приложения ее в плоскости поперечного сечения ех и еу.
Как внутренние силовые факторы N (z), Мх (z) и Му (z), так и
компоненты поперечной нагрузки qx (z) и qy (z), входящие в коэффициенты
уравнений (1.1), задаются с точностью до одного общего параметра.
Критические значения этого параметра выражаются через характеристические
числ$ краевой задачи, описываемой системой однородных
дифференциальных уравнений (1.1) с однородными граничными условиями. За
расчетную критическую нагрузку выбирается та, которая имеет наименьшее
(положительное или отрицательное) значение.
Интегрирование дифференциальных уравнений (1.1) в общем случае
представляет собой весьма трудную математическую проблему,
поскольку эти уравнения при произвольной внешней нагрузке могут иметь
сложные переменные коэффициенты. Это объясняется тем, что при выводе
уравнений (1.1) явление потери устойчивости стержня в упругой среде мы
рассматриваем, исходя из весьма общих предположений как в отношении
внешней нагрузки, так и в отношении поперечного сечения и
характеристик упругой среды. Из имеющихся приближенных методов решения
системы уравнений (1.1) и определения критических нагрузок можно
рекомендовать изложенный выше вариационный метод Бубнова — Галеркина.
§ 2. Устойчивость стержня при центральном действии
продольной силы
1. Общий случай. Для практики весьма важным является
случай центрального сжатия, при котором стержень с упругими связями до
потери устойчивости испытывает одни только нормальные напряжения,
распределенные по сечению равномерно. Полагая в уравнениях (1.1) Мх —
= Му = 0; qx = ql — 0, получим основные уравнения устойчивости
для случая, когда внешняя нагрузка состоит из одних только продольных
сил, вызывающих в поперечном сечении центрально приложенную
норма льн}ю силу N (z):
EJyl™ + \ Ц - (hy - ау) 6] - [N (£' + av6')]' = 0, )
EJxt\™ + /г„ [т) - (hx - ах) 6] - [N (л' - о*в')]' = 0, I
EJ^iy - GJJJT - av (Niy + ax (Ni\'Y - г2 (ЛГ8')' - \ (2.1)
— h (hy - a,,) I + At, (hx — ах)ц + I
+ [k^ (hy - ayf + k^ (hx - axf + k0] 9 = 0. )
В уравнениях (2.1) нормальная сила N = N (z) рассматривается как
заданная (с точностью до одного параметра) функция от z.
Полагая N = — Р = const, получим уравнения устойчивости для
стержня, находящегося в упругой среде и загруженного по концам про-
Гл. VIII* Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 339
дольной сжимающей силой Р. Эти уравнения можно представить в виде:
EJVV + П" + k& + ауРЪ" - кг (hv - ay) 9 = О,
EJxi\iy + Pi\* + М - *хРЪ" + К (Ах - Ох) в = О, I
Я/»0™ + (г2Р - GJd) 9" + [А* (Ау - av)2 + К (A* - a,)2 + ) (2.2)
+ /be] 9 + avPg"- ftfe (Av- fly) 6 - aJV + A* (A« — a*) t| = 0.
Уравнения (2.2) при постоянных к^, к^, /ce, hx и /гу имеют постоянные
коэффициенты и интегрируются в замкнутой аналитической форме. Эти
уравнения охватывают ряд практически важных задач. Достаточно
указать, что при /% = /ц = /св = 0, т. е. при отсутствии упругой среды,
уравнения (2.2) переходят в рассмотренные ранее уравнения (3.1) гл. V
для свободного стержня.
Если граничные условия таковы, что на концах стержня (z = 0 и
z = I) равны нулю вариации перемещений £, ц и 9 и вариации
нормальных напряжений а (пропорциональных вторым производным от этих
перемещений), то частное решение уравнений (2.2) может быть
представлено следующими уравнениями:
£ = A sin — 2, т) = Б sin ~- 2, 9 = С sin — 2, (2.3)
где Л, В и С — некоторые коэффициенты; п — любое целое
положительное число.
Подставляя выражения (2.3) в (2.2) и приравнивая затем нулю
определитель, составленный из коэффициентов при постоянных А, В и С,
получим уравнение для определения критического значения силы Р:
EJyXn — У&Р + Ьь 0 — OyXlP — A* (hy — ау)
0 EJXn - №> + К Ъ&Р -!- К (К - ах)
-ауХ^Р- кг (hv- ау) аХР + К (hx-ax) EJJ*n-%* (r*P-GJd)+ \= 0
+ [^ (hy-ayy + /с, {hx-axf+kQ]
(2.4)
где
A,n = 5£.(n= 1,2,3,...). (2.5)
Уравнение (2.4) при любом заданном числе п полуволн синусоиды
дает для критической силы Р три значения, соответствующие трем
степеням свободы стержня в плоскости Оху. Заметим, что наименьшее значение
критической силы может оказаться при числе полуволн п, большем
единицы.
2. Стержень с двумя плоскостями симметрии.
Уравнения (2.2) относятся к стержню, имеющему в поперечном сечении
произвольное очертание. Если центр изгиба совпадет с центром тяжести
сечения (например, у профилей с двумя осями симметрии), и точка
контакта стержня с упругой средой также находится в центре тяжести, то
ах— ау= hx= hy= 0. Система совместных дифференциальных уравнений
(2.2) в этом частном случае распадается на три независимых уравнения:
EW + Prf + kw^O,
EJjF + (r*P — GJd) 0" + h 6 = 0.
(2.6)
340
Тонкостенные упругие стержни
Первыми двумя из этих уравнений вместе с граничными условиями
определяются изгибные формы равновесия стержня, при которых
поперечные сеченця получают одни только поступательные смещения. Третье
уравнение с соответствующими граничными условиями определяет
потерю устойчивости стержня в форме закручивания, при которой линия
центров изгиба (совпадающая в данном случае с линией центров тяжести)
остается неподвижной.
Если концы стержня шарнирно закреплены, то изгибно-крутильные
формы потери устойчивости по длине стержня представляются
синусоидами sin Xnz (/г=1, 2, 3, ...). Характеристическое уравнение (2.4),
определяющее критические силы, в соответствии с уравнениями (2.6),
распадается на три отдельных уравнения:
EJJti-PXl + kt^O,
EJXn - (г2Р - GJd) X2n + h = 0.
(2.7)
Из уравнений (2.7) получаем следующие формулы для определения
критических сил:
Рхп = EJxXn + — ,
к
Руп = EJJkn + -jj ,
Р —
■*■ ton —
-ц
Е1Ш%„ + GJd -f-
*Г J
(2.8)
Первые две формулы совладают с известными формулами продольного
изгиба стержня, находящегося в упругой среде. Третья формула дает
новое значение для критической силы, определяемой из условия
продольного закручивания.
Критические силы, определяемые формулами (2.8), при заданных
упругих характеристиках стержня и среды зависят от длины полуволн
синусоиды, соответствующей формы потери устойчивости.
Вычисляя критические силы по формулам (2.8), мы должны в каждом
из трех возможных форм потери устойчивости (двух изгибных и одной
крутильной) определить число полуволн синусоиды из условия минимума
соответствующей сжимающей критической силы. За расчетную
критическую силу выбирается та, которая имеет наименьшее значение.
Определим критические силы для бесконечно длинного стержня,
находящегося в упругой среде. Длины полуволн синусоид, дающих для
трех критических сил PXi Ру и Рш наименьшие значения, в формулах
(2.8) представлены параметрами %п (2.5). Полагая Кп= X и дифференцируя
критические силы по этому параметру (что законно, так как в случае
стержня бесконечной длины можно считать, что критические силы являются
непрерывными функциями от X), получим, приравнивая нулю
производные
dP
EJXX - -jf = 0,
Я/^-JL-O,
EJJk —ry = 0»
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 341
Отсюда для параметров X трех возможных форм потери
устойчивости (двух изгибных и одной крутильной) получаем значения:
Х1 = У ёгх> *i = V gjK ь3 = У g^.
Соответствующие длины полуволн синусоид равны:
(2.9)
Критические силы РХУ Pv и Рфу принимающие при этих длинах
волн наименьшие значения, определяются по формулам:
Рх = 2 УШХъ РУ = 2 VEJjb *« = -J- (2 VEJJ^+ GJd). (2.10)
Из этих трех сил за расчетную выбирается та, которая имеет
наименьшее значение.
Из формул (2.9) и (2.10) видно, что как длины полуволн, так и
критические силы зависят только от упругих характеристик стержня и среды.
Следует отметить, что формулы (2.10) дают точные значения критических
сил также и для стержней конечной длины при условии, если длины волн,
определяемые формулами (2.9), укладываются на общей длине стержня
целое число раз. Критические силы в этом случае не зависят от общей
длины стержня.
Если общая длина стержня не будет кратной длине полуволны
синусоиды, то при расчете на устойчивость из двух соседних целых значений
числа полуволн п выбирается то, которое, будучи подставлено в одну из
формул (2.10), дает дЛя соответствующей критической силы наименьшее
значение.
3. Стержень с одной плоскостью симметрии.
Если поперечное сечение стержня имеет одну ось симметрии (например, Оу)
и поперечные связи, образующие упругую среду, лежат в плоскости
симметрии (в данном случае — в плоскости Oyz), то система уравнений (2.2)
разделяется на одно уравнение с искомой функцией y\(z) и систему двух
уравнений с искомыми функциями £(z) и Q(z):
EJ^+Pif+ 1*^ = 0,]
EJyliy + РГ + k£ + ОуРГ - h (Ay - <*v) e = 0, 1 (2 И)
EJJiy + (r2P - GJd) (Г + fa (hv - avf + h] 6 + '
+ ayPb9 — kl{hv — av)l = 0.
Первое уравнение относится к потере устойчивости стержня в форме
изгиба в плоскости симметрии Oyz. Коэффициент упругости среды в этом
уравнении представлен величиной къ. Второе и третье уравнения
образуют систему, которая совместно с граничными условиями определяет
изгибно-крутильные формы равновесия после потери устойчивости.
В соответствии с уравнениями (2.11) детерминантное уравнение (2.4),
относящееся к случаю шарнирного закрепления стержня на концах,
342
Тонкостенные упругие стержни
распадается на два уравнения:
EJxXn
EJyXn — Р^п + к%>
— ауРХ2п — h(hy — ау)
Первое из уравнений (2.12) дает уже знакомое нам выражение для
критической силы [вторая из формул (2.7)].
Второе уравнение дает для критической силы два значения,
соответствующих при заданном числе полуволн п двум возможным изгибно-кру-
тильным формам потери устойчивости. Критические силы,
определяемые зтим уравнением, зависят не только от величин EJy, Я,п и /с$, но также
и от других упругих и геометрических характеристик: EJ<a, GJd, ау и hVJ
имеющих в вопросе устойчивости весьма важное значение.
Эти характеристики во многих случаях оказывают на величину
критической силы существенное влияние.
Из второго уравнения (2.12) видно, что при ау=£=0 потеря устойчивости
в форме «чистого» изгиба (без кручения), которая рассматривается в
работах Ясинского и Тимошенко, для стержней в упругой среде в случае
центрального сжатия не может иметь места.
Существенное влияние на форму потери устойчивости, а
следовательно, и на величину критической силы, оказывает также величина (hv — ау),
определяющая точку контакта стержня с упругой средой (точку
пересечения горизонтальных реактивных сил упругой среды с осью симметрии).
При hv = ау, т. е. при прохождении горизонтальных сил упругой среды
через центр изгиба, второе уравнение (2.12) несколько упрощается:
lEJyti — PXl + kt -ауР\*
I - ayPXl EJXn - (r2P - GJd) Ц + fee
Из уравнения (2.13) получаем выражение для критических сил:
р^ ^[^(Pa+r»Py) + ^ + fcB]
2*£(i--«5)
УК № (р<* + г2рУ) + г\ + feei2 - ^п (г* - 4> КрУрш+ К (hp<*+W+fcgfc»]
(2.14)
где
Ру = EJJkn, Рш = EJJkn + GJ &
Нетрудно показать, что наименьшая критическая сила, определяемая
по формуле (2.14) и соответствующая изгибно-крутильной форме потери
устойчивости, будет меньше силы, которая получается по известной
формуле Ясинского — Тимошенко (без учета кручения). Механически
это следует из того, что, учитывая одни только изгибные формы потери
устойчивости, мы тем самым неявно предполагаем наличие по всей длине
стержня поперечных связей, закрепляющих стержень от кручения.
Эти связи повышают устойчивость стержня.
-^2п + /с„ = 0,
— (1уРХп — k^ (hy — ciy)
EJJ*a-X\(r*P-GJd) +
+ kz (hy — avf + /ce
(2.12)
= 0. (2.13)
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 343
§ 3. Устойчивость стержня при внецентренном действии
продольной силы
Пусть стержень имеет одну плоскость симметрии и находится под
действием продольных сил, приложенных на концах. Будем считать, что
стержень находится в сплошной упругой среде, оказывающей упругое
сопротивление как изгибу из плоскости симметрии, так и кручению.
Поскольку в основе нашей теории лежит гипотеза о недеформируемости
контура сечения, мы можем реактивные силы и моменты среды считать
приложенными в плоскости симметрии на линии, параллельной
образующей стержня. Другими словами, будем предполагать, что контакт стержня
со средой в плоскости поперечного сечения осуществлен в точке, лежащей
на оси симметрии.
Рассмотрим задачу об устойчивости стержня в случае, когда
продольная сжимающая сила Р действует в плоскости симметрии.
Если эта сила не превосходит известного предела, то стержень
находится в условиях сложного сопротивления при сжатии и изгибе.
Напряженное состояние стержня в этом случае характеризуется одними только
нормальными напряжениями, постоянными по длине стержня и
меняющимися в сечении по закону расстояния от некоторой прямой,
перпендикулярной к оси симметрии.
При некотором значении силы Р плоская форма изгиба стержня
становится неустойчивой. Стержень из одной формы равновесия переходит
в другую, причем этот переход в общем случае характеризуется
появлением деформаций изгиба из плоскости симметрии и кручения. Уравнения
устойчивости легко могут быть получены из общих уравнений (1.1).
Полагая в первом и третьем из уравнений (1.1)
N = — jP = const, Мх = —Реу = const, Му = 0, q°x = q°y = О
и отбрасывая второе уравнение, получим:
EJvlIW + PI" + k£ + P (av - ey) 9" - ^ (hv - ay) 8 = 0, j
EJJIV + [P (r2 + 2(V„) - GJd) 8" + [k^ (hv - ayf + ke) 8 + I (3-1)
+ P(av-ey)t"-kz(hy-ay)t = 0. I
Если на концах стержня z = 0 и z = I имеются шарнирные
закрепления, обращающие в нуль перемещения £ и 0 и их вторые
производные, то фундаментальными функциями системы дифференциальных
уравнений (3.1) будут:
£ = A sin Xnz, 6 = С sin Xnz,
где A,n = ^f- (ц = 1, 2, 3, . . .).
Характеристическое уравнение для критических сил имеет вид:
EJyli -PXl + h — Р^п (fly - ev) — k* (hy - av) j
— P\l (ay—ey)-ki(hy—ay) EJJk*n _ {p (r« + 2(Vy) - = 0-
-GJd]X2n + ks(hy-ay)* + ke I
(3.2)
Критические силы, определяемые уравнением (3.2), при заданных
геометрических и упругих характеристиках стержня и среды и заданном
344
Тонкостенные упругие стержни
О
иЦ
эксцентриситете приложения силы, зависят от числа п полуволн
синусоиды. Поскольку уравнение (3.2) относительно Р — квадратное, то,
задаваясь в этом уравнении числом полуволн п, мы получим для
критической силы Р два значения. Из всевозможных целых численных
значений п (п = 1, 2, 3, . . .) за расчетное нужно выбрать то, которое для
критической силы дает наименьшее значение. Для стержней, находящихся
в упругой среде, число полуволн синусоиды, определяющее первую (после
потери устойчивости) форму равновесия, как правило,
получается больше единицы. Это число зависит от
коэффициентов упругости среды к% и /се. С увеличением
коэффициентов к% и А* число полуволн синусоиды возрастает.
£ Из уравнения (3.2) легко можно определить
критические силы также и для бесконечно длинного стержня.
Для этого необходимо продифференцировать уравнение
(3.2) по кпу считая, что Р = / (А,£) есть непрерывная
функция величины Х2п, что, очевидно, справедливо для случая
бесконечно длинного стержня.
тт dP л
,3 48б Принимая при этом, что —- = О, поскольку наимень-
шее значение критической силы отвечает минимуму
функции Р = / (А,*), мы получим дополнительное условие, связывающее
наименьшую критическую силу Р и величину Хп. Из этого условия и
уравнения (3.2) мы найдем значение наименьшей критической нагрузки
и соответствующей ей длины волны.
Уравнения (3.1), полученные как частный случай более общих
уравнений (1.1), в свою очередь, являются обобщением целого ряда задач,
рассмотренных нами ранее. Так, например, при к? = Ле = 0 уравнения
(3.1) и (3.2) переходят в уравнения устойчивости свободного стержня с
одной осью симметрии. При ау = (Зу = еу = 0 эти уравнения относятся
к рассмотренной в п. 2 § 2 задаче об устойчивости стержня, имеющего
две плоскости симметрии и находящегося под действием центрально
приложенной продольной нагрузки.
Помимо рассмотренных выше задач уравнения (3.1) и (3.2) позволяют
решить ряд новых задач по устойчивости стержней в упругой среде.
Рассмотрим некоторые из этих задач.
1. Из уравнения (3.2) как частный случай легко получаем уравнение
критических сил для прямоугольной узкой пластинки, которая имеет
по линии у = hy упругие связи, соответствующие прогибам из плоскости
Oyz и углам кручения, и испытывает до потери устойчивости сжатие и
изгиб (рис. 186). Для этого нужно в уравнении (3.2) положить Оу = Pv = 0:
EJvXi - PXl + kz
PevX\ — k^hy
■ Pr\l+ GJdXl+ hh$+ k9
= 0.
(3.3)
Критические силы, определяемые уравнением (3.3), относятся к потере
устойчивости пластинки по изгибно-крутильной форме. Эта форма
характеризуется тем, что пластинка после потери устойчивости переходит
в линейчатую поверхность, получающуюся путем поворота поперечных
сечений относительно некоторой оси, параллельной образующей; эта ось
представляет собой линию центров вращения и лежит в плоскости
симметрии на расстоянии
с„ =
ЪуК-
hhv
*'A-p* + h
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 345
от начала координат, которое определяется таким же образом, как и
координаты центра вращения в § 4 гл. V. Углы поворота сечений по длине
стержня меняются по закону синуса:
6 = С sin Xnz.
Коэффициент С в этом выражении остается неопределенным. Число
полуволн синусоиды п подбирается из условия минимума критической силы.
При к% = /св = 0 уравнение (3.3) переходит в уравнение критических
сил для свободной пластинки. Изгибно-крутильная форма потери
устойчивости в этом случае характеризуется
синусоидой с одной полуволной.
2. Полагая в уравнении (3.2) равным нулю /св
(коэффициент упругого сопротивления среды
вращению), получим уравнение критических сил
для стержня, закрепленного упруго только от
прогибов из плоскости симметрии (рис. 187). При
Е1Ш = 0, ау = ру = 0 и /се = 0 уравнение (3.2)
относится к устойчивости шарнирно
закрепленной по концам пластинки, имеющей по линии
у = hy упругие поперечные связи. Продольные
края пластинки — свободные. Уравнение
критических сил для такой пластинки имеет вид:
EJykn — Рлп -f- kv
Рву%п — k%hy
-(JV
Рвукп — k%hy
GJd) К + кф%
= 0.
(3.4)
3. Полагая в уравнении (3.2) Р — 0, Реу = — Мх при еу -* оо,
получим уравнение для определения критических значений момента Мх
при чистом изгибе в плоскости симметрии:
EJvXi + kz — MxXl — к?, (hu - au)
- MXX\ - kt (hv - av) EJXx + (2$VMX + GJd) %l +
+ /c£ (hy — dyf + /ce
0. (3.5)
4. Для стержня с двумя плоскостями симметрии и при hy = 0 из
уравнения (3.5) для критического момента Мх получаем формулу:
EJyXl + /с£ - МХХ%
- МХХ\ EJJ& + GJiXl + кд
= 0.
(3.6)
Число полуволн синусоиды п, как и в предыдущем случае, здесь
выбирается из условия минимума критического значения Мх.
[§ 4. Устойчивость стержней, жестко закрепленных
по линии, параллельной оси
В предыдущем параграфе мы рассмотрели задачу об устойчивости
стержня в упругой среде, оказывающей сопротивление как изгибу, так
и кручению.
При расчете на устойчивость элементов конструкций часто встречается
задача об устойчивости тонкостенных стержней, имеющих жесткое
закрепление по какой-либо образующей против изгиба и упругое закрепление
против кручения.
Такую задачу можно было бы решить путем предельного перехода б
формулах предыдущего параграфа к случаю бесконечно большие
346
Тонкостенные упругие стержни
коэффициентов упругости среды к% и к^. Мы здесь решим эту задачу
непосредственно, исходя из общих уравнений (1.28) гл. VI устойчивости
тонкостенного стержня.
Пусть стержень по линии х = сх, у = су жестко закреплен от прогибов
и находится в упругой среде, оказывающей сопротивление кручению
(рис. 188). С введением двух жестких поперечных
связей стержень в поперечном сечении теряет две
степени свободы. Форма потери устойчивости для
такого стержня будет изгибно-крутильной с осью
вращения, совпадающей с линией закрепления, т. е.
каждое сечение стержня может поворачиваться
только относительно точки с координатами х = с*,
У = Су-
Очевидно, что в момент потери устойчивости по
оси вращения будут возникать реактивные силы,
являющиеся дополнительной поперечной нагрузкой
на стержень. Обозначим компоненты этой
дополнительной нагрузки через q*x и q*. Кроме того,
упругое закрепление против кручения даст
дополнительную поперечную нагрузку т* = /с90, где /се — коэффициент упругости среды
против кручения.
Вспоминая физический смысл уравнений (1.28) гл. VI, мы можем
установить, что эта дополнительная поперечная нагрузка должна стоять
вместо нулей в правой части этих уравнений:
EJJF - [N (£' + Оу9')Г + (МХЬ)" = q'x,
EJ,T[™ - [N (л' - а*6')]' +-(МуЬ)" = qv,
EJaW - GJdV- [(rW + 2$yMx - 2pxMy) 9']' +
+ [q°x (сх - ах) + q°v (с« - о,)] в - ay(Nf) + ax(Nr\')' +
+ Мх\' + МуЦ" = т' + q'y (сх — ах) — q'x(cy — av).
На перемещения £, т) и 9 сечений стержня должны быть наложены
ограничивающие условия, выражающие неподвижность точки С:
Рис. 188
(4.1)
(сх — ах) + л = 0, — 8 (су — ау) + I = О,
откуда
Л = - 0 (сх - ах), I = 0 (су - ау). (4.2)
Заменяя в уравнениях (4.1) £ и п их выражениями (4.2), получим:
Ely (Су - ау) 6iv _ (NcyV)' + (Мж9)" = q'x,
- EJX (сх - ах) Giv + (ЛГСяеу + (МЧВУ = q\,
EJaWV - C/d9" - [(Nr* + 2$УМХ - 2$XMV) 0']' + | (4.3)
+ Iqi(сх - ах) + q% (су - о,)] 9 - ау (су - av) (NV)' -
- ах (сх - ах) (NV)' + Мх (Су - Оу) 9" - Му (сх - ах) 9" =
= т* + qy (сх — а*) — qx (су — а„).
Из этих трех уравнений можно исключить величины qx и qv, и тогда
мы получим одно дифференциальное уравнение устойчивости
тонкостенного стержня (жестко закрепленного по линии), соответствующее одной
степени свободы поперечного сечения такого стержня.
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 347
Для упрощения задачи примем TV, Мх и Му постоянными по длине
стержня, т. е. будем рассматривать случаи внецентренного сжатия —
растяжения. При этом, учитывая, что
Мх = Ney = const, My = — Nex = const,
мы можем уравнениям (4.3) придать вид:
FJy (Су - ау) 6™ -N(cv- еу) 0" = qx,
- EJX (сх - ах) 0,v + N (сх - ех) 0" - <?у\
Ej^iv _ GJdV - N (/* + 2р^ + 20^) 9" - [ (4.4)
— W(ay — еу)(су — ау)Г — N(ax — ех){сх — ах) 6" =
= т* + q*y (сх — ад;) — qx (су — Оу).
Подставляя в последнее из уравнений (4.4) значения qx и q*y из двух
первых уравнений, получим:
Е иы + Jx (сх - ах)* + Jy (су - ayf] 0iv _ GJdV -
- N (г2 + 2$хех + 2$уеу) 0" - N (сх - ах) (ах + сх - 2ех) 8" -
— N(cy — ау) (ау + су- ley) 6" + /се0 = 0. (4.5>
Заметим теперь, что величина
К + Jx (Сх — Я*)2 + Jy (Cv — dyf = J„c (4.6)
равна секториальной жесткости сечения \ <u\dFy определенной относи-
F
тельно точки х = сх, у = су. Это вытекает из общей формулы изменения
секториального момента инерции при смещении полюса из центра изгиба
в точку С; эта формула имеет вид
'<*с
J» + JxCl + JyCl + k*F,
v-v
где сх и су— компоненты вектора смещения полюса; /с — некоторый
коэффициент, зависящий от сХ1 су, а также от положения новой начальной
точки отсчета секториальных площадей на контуре сечения; эту новую
начальную точку всегда можно выбрать таким образом, чтобы к
равнялось нулю; при этом /w будет иметь минимальное значение, а
соответствующая эпюра секториальных площадей будет ортогональна эпюре
распределения материала по сечению. В последнем нетрудно убедиться,
пользуясь выражением (4.3) гл. I для преобразования секториальной
площади при переносе полюса и начала отсчета.
Величина 1Шс, характеризующая при к = 0 жесткость сечения
стержня при изгибе с кручением, но без продольной силы,
определяется так же, как и /w, но только полюс берется не в центре изгиба,
а в точке сХУ су.
Введя выражение /шс и изменяя величины г, (Jx и ру их
значениями по формулам (1.6) гл. V, мы можем привести уравнение (4.5) к виду:
Е1Ш(3 — GJ<fi"
N
X I 11
+ cl+cl +
+ ех(^- 2сх) + ew (j* ~ 2су) ] 9' + кф = 0.
348
Тонкостенные упругие стержни
Отсюда, задаваясь деформацией вида 6 = CsinXnz, находим
критические значения N = NKV для стержня, закрепленного вдоль линии
х = сх, у = су и шарнирно закрепленного от поворотов по концам
(при z = О и ъ = Z, 6 = 6" = 0):
где, как и прежде [см. (2,5)], Хп=~-.
Критические силы, определяемые формулой (4.7), при заданной длине
стержня зависят от числа полуволн синусоиды ai. Из всевозможных
целочисленных значений величины п за расчетную выбирается та, которая
для критической силы дает наименьшее абсолютное значение.
Для бесконечно длинного стержня длина полуволны синусоиды,
дающей для критической сжимающей силы Ркр = —NKV наименьшее значение,,
определяется формулой
-«■/=£•
(4.8)
Формулу (4.8) мы получили, продифференцировав правую часть
выражения (4.7) по Хп и приравняв производную нулю, совершенно
аналогично тому, как это сделано при выводе формул (2.9). Аналогичным образом
получим выражение для наименьшей критической силы.
Формула (4.7) позволяет рассчитывать стержень на устойчивость при
весьма общих предположениях как относительно точки приложения
продольной силы на оси симметрии сечения, так и относительно связей,
закрепляющих стержень от перемещений в плоскости поперечного сечения.
Из этой формулы как частные случаи можно получить в готовом виде
решения отдельных задач по пространственной устойчивости стержней и
пластинок.
Рассмотрим некоторые задачи, имеющие практический интерес.
а) Центральное сжатие стержня. Полагая в формуле
(4.7) ех = еу = 0, получим
BJ^+e^ + h.
4^ + 4 + 4
б) Чистый изгиб. Полагая N = 0, lim(Ney) = Мх, еу-+ оо,
ех = 0, получим из уравнения (4.7) (освободившись предварительно в
правой части от знаменателя) формулу для момента, при котором стержень
теряет основную форму изгиба в плоскости Oyz:
BJ.jl + G^ + h.
Mxvs> = - 2- . (4.10)
2с — х
« 77
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 349
в) Стержень, не имеющий упругих связей против
кручения. В этом случае коэффициент упругости среды /се нужно
считать равным нулю. Формула (4.7) принимает вид
EJ^ + GJd
кр ~" 7 4-7 777 \ Тй Г' (4.11)
Форма потери устойчивости для рассматриваемого случая среды
характеризуется синусоидой с одной полуволной на всей длине стержня.
Критическая сила, определяемая формулой (4.11) или (4.7), при
заданных упругих и геометрических характеристиках стержня и заданной
в плоскости поперечного сечения точке контакта с жесткими поперечными
связями, зависит от эксцентриситета приложения силы Р. При некоторых
значениях эксцентриситета е, определяемого из уравнения
^±^- + сх + с1 + ех (°+-2cx^+ev(^-2cv} = 0, (4.12)
эта сила становится равной бесконечности. Если левая часть равенства
(4.12) меньше нуля, то критическая сила 7VKP принимает положительные
значения, что указывает на
возможность потери устойчивости плоской фор- ^Ш^7Тг^1^^Т!ШШ?
мы изгиба при внецентренном растяже- S JMw//'^Ti "TV Ш р
лии (рис. 189). -^--^mrili ri-ftriMW*--*-
Соотношение (4.12) есть уравнение р ,gg
границы устойчивого равновесия
стержня при внецентренном сжатии —
растяжении. При заданных геометрических характеристиках стержня это
уравнение в простой алгебраической форме связывает между собой
координаты ех, еу и сх, Су, определяющие соответственно точку приложения
силы N и центр вращения.
Задаваясь положением одной из этих точек, мы можем из уравнения
'(4.7) определить геометрическое место других точек, дающих для
критической силы бесконечно большое значение.
Легко видеть, что при заданном центре вращения геометрическим
местом точек приложения силы, дающих бесконечно большое значение для
критической силы, будет некоторая прямая; при заданном
эксцентриситете геометрическим местом центров вращения, при которых критическая
сила обращается в бесконечность, будет окружность. Такой же вид имеют
геометрические места соответствующих точек при заданном положении
другой точки и заданном конечном значении критической силы.
г) Продольный изгиб стержня. Формулой (4.11)
выражена критическая сила Ркр, соответствующая потере устойчивости
стержня и форме кручения относительно заданной прямой х = сх, у = су.
Меняя координаты сх и су, мы будем получать различные значения для
критической силы. При сх = оо или су = оо формула (4.11) согласно
(4.6) переходит в формулы Эйлера (3.3) гл. V:
-Рхкр == EJXA , Гукр = bJyk .
Форма потери устойчивости, соответствующая эйлеровской
критической силе, независимо от точки приложения этой силы на оси симметрии,
будет изгибной, поскольку ось вращения находится в бесконечности.
д) Продольное закручиванце стержня
относительно центра изгиба. Полагая в формуле (4.7) сх = ах,
350
Тонкостенные упругие стержни
су = fly, получим
**»rXn + GJd +
Ъ
кр
'* + 2Рхвя + 2рА
(4-13)
Формула (4.13) дает критическую силу PKV для стержня,
испытывающего сжатие и изгиб в плоскости симметрии и теряющего устойчивость
в форме кручения относительно линии
центров изгиба.
е) Прямоугольная узкая
пластинка. Формула (4.7)
позволяет рассчитывать отдельные элементы
тонкостенного стержня (пластинки) на
местную устойчивость.
Полагая /се = 0, Ux = Uy = 0r
Jx = 0, получим формулу критической
силы для пластинки, имеющей на краях
z = 0 и z = / шарнирные закрепления,
а также закрепленной вдоль линии
х = 0, у = су и нагруженной
продольной силой, действующей в плоскости
пластинки на расстоянии еу от середины
сечения (рис. 190, а):
Рис. 190
■Ркр —
pv*l + GJa
12
+**к-ю
(4.14)
так как в этом случае, согласно (4.6), EJmc%\ = EJyX*c*= Руси, где
у — эилеровская сила, вычисляемая по формуле
р _ рт *2 Ed6* я2
' у /vn
12 /2
^,
причем d и б — соответственно ширина и толщина пластинки.
При потере устойчивости по крутильной форме пластинка принимает
форму линейчатой поверхности. Поперечные сечения пластинки, оставаясь,
плоскими, поворачиваются относительно заданной оси вращения.
Полагая в формуле (4.14) су = — —, Jd = -^ d63, получим формулу
критической силы для пластинки с одним свободным и тремя шарнирно
опертыми краями (рис. 190, б):
(4.15)
Критическая сила, определяемая формулой (4.15), зависит от эксцент-
юиситета еу приложения этой силы.
При еу = — — знаменатель правой части равенства (4.15) обращаете я
в нуль, и критическая сила становится равной бесконечности.
При еу = 0 получаем формулу критической силы для случая
центрального сжатия:
3 б3
(4.16)
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 351
Выведенные здесь формулы (4.15) и (4.16) для узких пластинок с
отношением длины пластинки к ее ширине -у- ^> 4 дают для критических сил
значения, весьма мало отличающиеся от точных значений, полученных
Тимошенко с учетом деформации изгиба пластинки по двум
направлениям [181].
§ 5. Применение метода возможных перемещений
Если на стержень действует продольная сплошная нагрузка,
произвольно распределенная по длине, то в поперечном сечении возникает
нормальная сила N = N(z), зависящая от положения сечения по длине
стержня. Уравнения (1.1) в этом случае будут с переменными
коэффициентами. Для стержня с двумя плоскостями симметрии при упругом
закреплении по оси симметрии и при действии одной продольной нагрузки по той
же оси, уравнения пространственной устойчивости имеют вид:
EJjf-my + ku-OA
EJx4^^(N4y + k^ = 0A (5.1)
EJJJV— [(r2N + GJd) 9']'+ M= 0.1
Средние члены этих уравнений имеют переменные коэффициенты,
зависящие от вида функции N(z).
Если внешняя продольная нагрузка имеет постоянную интенсивность
q и действует в направлении положительной оси Oz, причем в начальном
сечении 2 = 0 нормальная сила iV(0) = 0, то для N(z) из условия
равновесия части стержня получается выражение
N (z) = — qz.
Уравнения (5.1) в этом случае принимают вид:
EJxvF + q (zr\y + M = о,
EJJ>™ + [(r*qz — GJd) 6']' + hb = 0.
(5.2)
Уравнения (5.2) и граничные условия полностью описывают явление
потери устойчивости весомого стержня, находящегося в упругой среде
и обладающего поперечным сечением, для которого центр изгиба
совпадает с центром тяжести.
Если интенсивность нагрузки по длине стержня меняется по линейному
закону, как это имеет место, например, в сжатых поясах открытых
балочных мостов,нагруженных по всему пролету равномерно распределенной
поперечной нагрузкой, то функция N(z) представляет собою квадратную
параболу.
Действительно, в балке длиной 21, при шарнирном закреплении ее
концов и выборе начала отсчета в середине балки, изгибающий момент от
действия вертикальной, равномерно распределенной нагрузки q
определяется по формуле
М (z) = \ (I2 - z2).
Рассмотрим ферму моста, состоящую из двух поясов: верхнего и
нижнего, соединенных между собой стойками, причем верхний пояс
352
Тонкостенные упругие стержни
сжат, а нижний растянут; для верхнего сжатого пояса фермы получим
*(*) = —£(**-**). <5-3>
где h—расстояние между поясами, a q — погонная нагрузка на одну
ферму.
Подставляя выражение (5.3) в уравнения (5.1), найдем:
EJy?Y + ik «/2 - *2) *']' + bl = о,
EJX^ + -|- [{Р - z2) т,']' + М = о,
£/tteIV + {[J V2 - *2) - GJd] В'}' + Лев = 0.
В уравнениях (5.4) сопротивление отдельных стоек заменено действием
упругой среды, которая представлена коэффициентами к^ Лч и /с9. При
расчете на устойчивость сжатого пояса открытого моста эти коэффициенты
определяются упругостью стоек фермы. Считая, что эти стойки образуют
для сжатого пояса в вертикальной плоскости Oyz жесткое основание, т. е.,
пренебрегая (в момент потери устойчивости) деформациями удлинений
стоек и исходя из шарнирного присоединения стоек к сжатому поясу,
получим для коэффициентов упругости кц и /с9 среды значения:
/ся = оо, /с9 = 0.
Коэффициент &£, входящий в первое из уравнений (5.4), определяется
сопротивлением стоек изгибу пояса в горизонтальной плоскости.
Второе уравнение при кц =оо выпадает, поскольку в этом предельном
случае прогибы г\ равны нулю. Остальные два уравнения принимают
следующий вид:
EJvlly + ir № ~z2> *']' + к& = °>
EJ»*IV + Ш С -г2) - GJ*\е'}' = °-
Если сжатый пояс моста имеет в поперечном сечении одну
(вертикальную) ось симметрии и поперечные рамы оказывают упругое
сопротивление как изгибу в горизонтальной плоскости, так и кручению, то
уравнения устойчивости при упругом закреплении пояса по линии центров
изгиба, hy = аУ1 имеют вид:
EJvi1Y - (Niy + hi - ау (ту + М = 0,
£/tteIV - GJdw - г2 (ту + /сее - ау (Niy + h& = о.
В этих уравнениях прежние коэффициенты упругой среды обозначены
через &£, /с9. Через к^ и /с9£ обозначены новые коэффициенты приведенной
упругой среды, представляющие собой соответственно погонные упругие
реакции поперечных рам, возникающие вследствие единичного поворота
в =1 элементарной поперечной полоски верхнего пояса фермы, и моменты
поперечных рам, возникающие вследствие единичного смещения \ =1
поперечной полоски пояса. Таким образом, коэффициентами к^ и к^
выражены взаимные силы реакции упругой среды, равные между собой.
В случае равномерно распределенной нагрузки для продольной силы
N(z) сжатого пояса моста имеем формулу (5.3).
(5.4)
Гл. VIП. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями
Уравнения устойчивости будут иметь вид:
EJytIY + ~ш№2- *2) 6Т + k& +avik № -
EJJly-GJJsr + r2-^ [(I2 - z2) 6']' + M +
EJytiy + -k № -*2) vy + *£ +avih w* -*2) e'J' + м = °.
+ «*^[(Р-*Ё) VI'+ *•£==<>.
(5.5)
Критическое значение интенсивности поперечной нагрузки, при
котором сжатый пояс может потерять устойчивость по изгибно-крутиль-
ной форме, определяется однородными дифференциальными уравнениями
(5.5) и граничными условиями. Точное определение критической силы по
уравнениям (5.5) и граничным условиям представляет собой весьма
сложную математическую задачу, поскольку в этих уравнениях имеются
переменные коэффициенты. Для практики при удачном выборе форм потери
устойчивости достаточную точность дает метод Бубнова — Галеркина,
изложенный подробно в § 6 гл. VI.
В качестве примера рассмотрим стержень, имеющий на концах
шарнирные закрепления1. Для форм потери устойчивости зададимся функциями
i = 2 Апsin к** о = 2впsin к*-
(5.6)
Эти функции, как было показано ранее, удовлетворяют условиям
шарнирного закрепления.
Уравнения работ на перемещениях m-го члена рядов (5.6)
принимают следующий вид:
2 Ап \ [EJy%n sin Xnz — (NXn cos %nz)' + fc5 sin %nz\ sin Xmzdz —
о
~^jBn\ [ay(NXncos ^nzy — /r^sin A,nz]sin %mzdz = 0,
о
i
2 A* \ [hi sin knz — ay (NXn cos %nz)'] sin Xmz dz +-
(5.7)
+ 2#u\ [EJmXisin Xnz + GJd%lsin %nz — r2 (NXncos Xnz)' +
0
-f- A*e sin %nz] sin %mz dz = 0.
Полагая в уравнениях (5.7) m=l, 2, 3, ..., получим систему однородных
алгебраических уравнений относительно коэффициентов Лп и Вп{п—\%
2,3, ...) разложений (5.6).
Приравнивая определитель этой системы нулю, получим
характеристическое уравнение для определения критических сил. Порядок
характеристического уравнения относительно искомой критической силы будет
равен удвоенному числу членов разложения. Определение критической
силы по характеристическому уравнению системы (5.7) при большом
числе членов разложения потребует большой вычислительной работы.
1 Такой вид граничных условий соответствует однопр о летному балочному мосту,
имеющему на концах шарнирные опоры.
354
Тонкостенные упругие стержни
В целях упрощения расчета в данной задаче можно воспользоваться
методом последовательных приближений. Мы можем в первом
приближении в разложениях (5.6) удержать по одному члену. Пусть
£= Ans'm'knzy 6 = /?msinXmz.
(5.8)
Будем считать, что в выражениях (5.8) п и т в общем случае могут иметь
разные значения. Уравнения работы при перемещениях (5.8) будут иметь
вид:
Ап \ [EJyXn sin Хп z — (NXn cos A,n z)' + k^ sin %n z] sin Хп z dz -\-
o
i
+ Bm\ [—ay(NXm cos Xm zY+kiQ sin A,m z] sin Xn z dz = 0,
0
Aa\ [A*e? sin Xnz — av (NXn cos X^z)'] sin km zdz +
(5.9)
±Bm[ [EJ*km sin XTO z-j- G/d&sin X,m2 — г2 (ЛОщ cos km z)' +
0
+ /ce sin X,m z] sin km z dz = 0.
Полагая в уравнениях (5.9) побочные члены равными нулю, т. е.
пренебрегая в первом приближении взаимной работой реакций упругой
среды и пользуясь функцией (5.3), которая для шарнирно опертой балки
длиной I при выборе начала отсчета от оси z на одном из концов балки примет
вид:
* = -£«<«-«>.
получим
(EJU Л£ + Л*) \ sin2 Хп zdz — ±- \\\ (lz — z2) sin2 Xn zdz +
\ (5.Ю)
+ -Ц- ^ \ (Z — 2z) sin A,n z cos An z dz = 0,
0
1 1
(EJa X4W + GJd tit + h)^ sin2 Xm z dz - ^ X2m J (Zz - z2) sin2 bm zdz +
о 0
+ ~У[-^т\ (' — 2z) sin Xmz cos kmz dz = 0.
Первое уравнение (5.10) относится к изгибной форме потери
устойчивости, второе — к крутильной. Раскрывая интегралы и решая эти
уравнения относительно критической нагрузки q, получим:
Ях =
i2K^f+*0*
/г2*2 — 12
12
q2 =
( т*п4 т2п2 \ }
[EJt,-ir + GJd-F- + ki)h )
гг (тг„* _ 12) * I
(5.11)
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 355
Формулами (5.11) критические силы выражены в функции параметров
лит, определяющих число полуволн синусоид при потере устойчивости
по изгибной и крутильной формам в отдельности. Мы можем по этим
формулам определить теперь экстремальные значения параметров п и mf
дающие минимум qx и дг. Таким образом определится изгибно-крутиль-
ная форма потери устойчивости. Подставляя найденные из условия
минимума <7i и <72 величины п и т в уравнения (5.9) и приравнивая затем
определитель этих уравнений нулю, получим
i
[EJyXnSlR%nZ —
I °
—(NXncosXnzy +
+ /с^ sin Xnz] sin %nz dz
i
^[-av{NXncosXnz)' +
0
+ kez sin %nz] sin %mz dz
Уравнение (5.12) относительно q — квадратное. Наименьший корень
этого уравнения дает расчетную критическую нагрузку. Форма потери
устойчивости по длине стержня будет смешанной, складывающейся из
деформаций изгиба по синусоиде с п полуволнами и деформаций кручения
по синусоиде с т полуволнами.
Учитывая смежнйе члены разложения, идущие в рядах (5.6) по обе
стороны от п и т и составляя таким же способом уравнения работ, получим
более точные значения для критической силы. Следует отметить, что
изложенный здесь метод определения критической силы обладает весьма
хорошей сходимостью, поскольку этот метод по существу основан на
разложении определителя бесконечной системы в окрестности значений
величин п и т, дающих для сил q\ и дг, определяемых формулами (5.11)»
наименьшие значения.
§ 6. Пространственная устойчивость арочных мостов
1. Применим изложенную теорию к задаче об устойчивости арочных
мостов, состоящих из жесткой балки (балки жесткости) в виде
конструкции типа тонкостенного стержня и двух сжатых арок. Такие мосты в
технической литературе называются мостами системы Лангера и
выполняются по одной из трех схем, представленных на рис. 191. Будем для
определенности считать, что балка жесткости двутаврового сечения
имеет две оси симметрии и поддерживается двумя арками,,
расположенными в плоскости полок двутавра. Схема поперечного сечения моста
показана на рис. 192.
Дифференциальные уравнения устойчивости моста при действии
горизонтальной ветровой нагрузки получаются из уравнений
устойчивости плоской формы изгиба балок (3.3) гл. VI, если в последние добавить
члены, учитывающие влияние сжатых арок. Это влияние выражается
в виде приведенной дополнительной нагрузки, передающейся на
проезжую часть с каждой арки и возникающей вследствие перехода
конструкции моста при потере устойчивости в новое деформированное состояние.
Величина этой приведенной дополнительной нагрузки, передающейся с
одной арки, равна (—Яг;"), где Н — распор каждой арки; v — верти-
^[—ay(NXmcosXmz)'+
о
+ А*£9 sin Xmz] sin Xnz dz
i
msin KmZ —
0
— r2 (NXmcos A,mz)'+/c9sinA,mz]sinA,mzdz
= 0.
356
Тонкостенные упругие стержни
кальные перемещения оси арки, равные прогибам полок двутавра в своей
плоскости.
Проекция дополнительной приведенной нагрузки, передающейся с
обеих арок на направление оси Оуу определится по формуле
<py = -H(vl + v't),
•еде i>i и v2 — вертикальные перемещения первой и второй арок (рис. 193).
Поскольку сумма вертикальных перемещений обеих арок равна
удвоенному перемещению центра тяжести поперечного сечения проезжей части,
приведенная вертикальная нагрузка может
быть Представлена в виде
д1 = -2Нц\
"M^V
ттт
^fTTTTTNv
1
У/УЛУЛЛ|
Рис. 191
У1-
Рис. 192
I
/77.0
*е
Рис. 193
з
X
Дополнительный приведенный крутящий момент будет равен
Но из рис. 193 видно, что
Поэтому выражение (6.1) примет следующий окончательный вид:
(6.1)
ти
— #
Ь2
Внося эти дополнительные нагрузки в уравнения (3.3) гл. VI и
учитывая, что в данном случае действует горизонтальная внешняя нагрузка,
получим дифференциальные уравнения пространственной устойчивости
арочных мостов:
EJxvi™ + 2Hrf + (Mvey = 0>)
oIV
Ь*
M„Tf + EJJ)1 v - G/de* + Н -£- 6" + ЯхехВ = 0.
(6.2)
Однородные дифференциальные уравнения (6.2) вместе с
соответствующими однородными граничными условиями определяют бесконечное
множество значений qx, наименьшее из которых будет давать величину
критической нагрузки.
2. Чтобы получить дифференциальные уравнения для исследования
деформаций и напряжений висячего моста от нагрузок qy и т с учетом
заданного начального напряженного состояния, характеризующегося
величинами qx, Му, Н, нужно правые части уравнений (6.2) считать уже
отличными от нуля:
мх + EJji14 - G/de" + н -£.
' + 9«вяе = т.
(6.3)
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 357
Таким образом, система уравнений (6.3) представляет собой
дифференциальные уравнения равновесия стержня, находящегося в сложном
нагруженном состоянии (помимо внешней поперечной нагрузки стержень
испытывает заданное напряженное состояние от бокового действия ветра
и распора арок).
3. Если пролетное строение выполнено в виде тонкостенного стержням
замкнутого профиля, то уравнения (6.2) и (6.3) также применимы.
Отличие будет заключаться лишь в величине характеристик поперечного
сечения /w и Ja, относящихся к кручению, и способе их вычисления.
О том, как вычисляются эти характеристики для замкнутых профилей,
было сказано в § 1 гл. V.
4. Точный метод определения критической нагрузки по уравнениям
(6.2) и заданным граничным условиям требует большой
вычислительной работы. Задача значительно упрощается, если воспользоваться
принципом возможных перемещений, как это было показано в § 6 гл. VI.
Полагая
xi(z) = By(z),\
b(z)=CX(z) (
(6.4)
и используя результаты, изложенные в § 6 гл. VI, получим уравнение
для определения критической нагрузки в следующем виде:
J [EJX W? - 2# (ф')2] dz V* \ MvV%dz
qx\My-V%dz
jj [Е1Ш (xY + (GJd -H^-) (X')2] dz +
+ Яхе,
№
dz
= 0,
(6.5)
где a = a(z) — функция, выражающая закон распределения нагрузки qx
вдоль пролета1; My=My(z)—изгибающий момент от нагрузки qx=l.
Уравнение устойчивости (6.5) обладает симметрией относительно
главной диагонали, идущей из верхнего левого в правый нижний угол, что
находится в соответствии с теоремой Бетти о взаимности работ. Наличие
указанной симметрии обусловливает вещественность всех значений
критической нагрузки, определяемой из уравнения (6.5).
5. В качестве примера рассмотрим устойчивость арочного моста при
действии горизонтальной ветровой нагрузки, которую будем считать
равномерно распределенной по длине моста. Опирание пролетного
строения на устои предполагается шарнирным. В этом случае
a(z) = l, )
z(l-z)
м„
\
(6.6)
пЛ
2
\|)(z) = sin Xzy
%(z) = sinXz,
где К = r^j- (n — целое число).
Функции \|)(z) и x(z), определенные по формулам (6.6), удовлетворяют
всем грайичным условиям задачи.
1 Мы ранее ввели для поперечной ветровой нагрузки параметр qx, так что эт^
нагрузка в новом обозначении будет дха(^). При критическом значении параметра дх
происходит потеря устойчивости.
•358
Тонкостенные упругие стержни
Вычисляя интегралы, входящие в уравнение устойчивости (6.5),
получим уравнение для определения критической нагрузки в нашем
конкретном случае:
1х Л , w
^(1 + *£-) EJJV + (GJd-H^)tf + qxex
= 0. (6.7)
Уравнение (6.7) позволяет найти при заданном распоре Н два
значения критической нагрузки для каждого значения числа полуволн п.
Отметим, что полученные значения qx будут приближенными, так как
функции sinkz не являются интегралами уравнений (6.2).
Число полуволн п надо выбирать так, чтобы критическая нагрузка
была минимальной. Потеря устойчивости по форме п =1 связана с
растяжением (сжатием) арок. Поскольку сопротивление арок растяжению
значительно больше, чем сопротивление балки жесткости и арок изгибу,
«та форма потери устойчивости практически также исключается.
Поэтому в уравнении (6.7) л может принимать целочисленные значения
от двух до бесконечности. Обычно минимальная критическая нагрузка
получается при п = 2.
Изменяя в полученных выражениях для qx какую-либо величину,
например Н, можно изучить влияние последней на величину критической
нагрузки.
Уравнение устойчивости (6.7) можно разрешить не только
относительно дх, но и относительно любой другой величины, например Jx. В этом
случае мы определим минимальное значение Jxy которое при заданной
боковой нагрузке qx и прочих заданных величинах обеспечит
устойчивость моста.
6. Исследуя зависимость qx от распора //, можно установить, что
при увеличении распора критическая нагрузка уменьшается и даже
может при некотором значении Н стать равной нулю. В последнем случав
мост потеряет устойчивость при действии одной лишь вертикальной
нагрузки.
Полагая в уравнении (6.7) qx =0, увидим, что оно распадается на
два независимых уравнения:
EJx\* — 2H'k2 = 0t (6.8)
EJmW + GJd№ - Я £- № = 0. (6.9)
Уравнение (6.8) определяет критическое значение распора при
потере устойчивости в форме изгиба в вертикальной плоскости:
Соответствующая этому распору вертикальная, равномерно
распределенная критическая нагрузка, приходящаяся на две арки, равна
__8к2я? ГТ , k
<7укр Ji ■CjJxI*
где / — стрела подъема каждой арки1,
1 Стрела подъема арки длиною I при действии на нее равномерно
распределенной поперечной нагрузки интенсивности q определяется, как известно из
строительной механики, по формуле
Г л, VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 359
Уравнение (6.9) определяет критическое значение распора, при
котором происходит пространственная потеря устойчивости в форме
изгибного кручения проезжей части:
^кр = -р- \-jr EJ<* + GJ<lJ •
Соответствующая критическая вертикальная нагрузка в этом случае
будет равна
п __32///i*jt* rr \
ЧУКР — pj2 \—J2-J^J<* "Г UJd) •
Согласно сделанным выше замечаниям, минимальная нагрузка
получится при п = 2 и определится по одной из формул
Яу«р=^Е1х (6.10)
или
QVKP = Щъ [—jT EJ<» + GJd) •
Из полученных двух значений qyHp надо выбрать меньшее.
Если пренебречь жесткостью чистого кручения G/d, то можно
показать, что для двутаврового сечения формулы (6.10) дают одинако-
выи результат, так как в этом случае /^ = — Jx.
§ 7. Пространственная устойчивость висячих мостов
1. Дифференциальные уравнения устойчивости висячих мостов с
балкой жесткости в виде тонкостенного стержня симметричного
профиля (рис. 194) при действии горизонтальной ветровой нагрузки qx
получаются из уравнений для арочного моста (см. § 6) заменой знака перед
распором Н на обратный. В результате будем иметь:
EJxx\™ - 2#т}"+W)" =- 0» \
Муг\" + EJJ>lv — G/d6" — Н -у- в' + яАв = 0. J
Применяя, как и в предыдущем параграфе, принцип возможных
перемещений к определению критической нагрузки из уравнений (7.1),
получим уравнение устойчивости
$[£/«№)*+ qx\My^ldz
+ 2HW)*ldz
i i
qx\Myy%dz $[[£/- (*")2 + (G/d + #-^-)(X')2]dz +
+Яхех\'
= 0. (7.2)
i
X2a dz |
о
Поскольку уравнение (7.2) обладает симметричной структурой, все
значения критической нагрузки получаются также действительными.
2. Рассмотрим в качестве примера устойчивость Такомского висячего
моста (США) при статическом действии горизонтальной ветровой нагрузки
360
Тонкостенные упругие стержни
Ветровую нагрузку будем считать равномерно распределенной вдоль
пролета:
a (z) = 1.
Будем считать также, что проезжая часть опирается на концах шар-
нирно. При этом будем иметь:
м = ^t
Z)
t|> (z) = sin X,z, % (z) == sin Xz, т| (z) = В sin Xz, 8 (z) = С sin Xz
Выражения (7.3) при X =5p и
л =1, 2, 3, . . . удовлетворяют всем
граничным условиям задачи.
} (7-3)
Рис. 194
Уравнение устойчцвости получается дз уравнения (6.6) заменой +Н
на — #:
EJXW + 2Н%2
Решение уравнение (7.4) представим в форме:
= 0.
(7Л)
_ — Ъ±УЪ* — 4ас
где
с = - (EJX№ + 2HW) [eJ„Ь4 +^GJd + H—j Ь2] .
Переходя к конкретным числовым данным, будем иметь следующие,
взятые нами из работы [87] значения для характеристик поперечного
сечения проезжей части, схематично представленного на рис. 195:
Jx = 0,0539 м\ Л* = 1,903 м\ Jd = 1,146-ИГ7 м\
пролет моста I = 853,4 м; распор цепи Н = 5650 т.
Модули упругости материала проезжей части (сталь) примем раю-
ными:
Е = 2,Ь 107 -^-, G = 0,8-Ю7-^-.
1 м? м2
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 361
Рассматривая давление ветра лишь на наветренную сторону и
пренебрегая отсосом, положим
ех = Y = 5,944 м.
Отбрасывая значение п =1 по соображениям, изложенным в
предыдущем параграфе, устанавливаем на основании вычислений, что потерям
устойчивости произойдет по форме с двумя полуволнами.
Соответствующая этой форме потери устойчивости минимальная критическая нагрузка»
равна
д*кР = о,90-^
3. Устойчивость висячих мостов можно значительно повысить при*
той же самой затрате материала, если пролетное строение проезжей частш
выполнять не в виде тонкостенного открытого профиля, а в виде
коробчатого сечения (рис. 196). Жесткость на кручение
в последнем случае значительно возрастает, что
соответственно повышает минимальную
критическую нагрузку.
1-2.451 м
±
1АГ-0,0151б* 8<т7м )
^
Ь-И,89м
V
Рис. 195
Рис. 196
4. Увеличения устойчивости висячего моста можно также достичь w
при проезжей части в виде открытого проф»иля с помощью. специальных
конструктивных мероприятий, увеличивающих жесткость ч профиля на.
кручение (см. гл. III). Наиболее эффективными связями являются
поперечные бимомептные связи, препятствующие депланации поперечного-
сечения. Такими связями могут быть планки, стержни решетчатой
формы, косые диафрагмы. Для придания конструкции большей изгибно-
крутильной жесткости поперечные бимоментные связи должны быть
расположены наиболее часто у концов пролетного строения..
§ 8. Приложение теории к расчету устойчивости крыла самолета
1. Рассмотрим задачу об устойчивости плоской формы изгиба стержня
прямоугольного коробчатого сечения (кессона), показанного на рис. 197.
Будем считать, что поперечное сечение не деформируется в своей
плоскости. Конструкция такого типа может являться несущей конструкцией
крыла самолета.
Дифференциальные уравнения устойчивости (3.3) гл. VI плоской формы
изгиба при действии поперечной нагрузки в плоскости Oxz будут иметь-
вид:
EJ^lv-GJdW + qxexQ + Myrf = О, \ {ЬЛу
где qx— равнодействующая сил лобового давления на единичную
поперечную полоску Поверхности крыла, ех— эксцентриситет точки
приложения равнодействующей сил лобового давления qx.
362
Тонкостенные упругие стержни
Поперечную нагрузку qx для крыла самолета, движущегося в
стационарном воздушном потоке со скоростью г?, можно представить как
величину, пропорциональную квадрату скорости:
qx = — Ь2,
(8.2)
где к — аэродинамический коэффициент, зависящий от формы крыла
самолета (обтекаемости) и других факторов.
Изгибающий момент Му для случая равномерного распределения qx
вдоль крыла самолета и при граничных условиях, соответствующих
жесткой заделке края z=0 и свободному
от закрепления краю z =1,
выражается формулой
я (I — z)2
Му = Ч*\ , (8.3)
где I — длина крыла. При
подстановке выражения (8.2) формула (8.3)
принимает вид
Рис. 197
Му=-
kv2 (I — Z)2
2
Таким образом, система дифференциальных уравнений (8.1) вместе
'С присоединенными к ним однородными граничными условиями позволяет
определить критическую скорость самолета v в стационарном воздушном
потоке, при которой крыло может потерять устойчивость плоской формы
изгиба, испытывая деформацию изгибного кручения.
Полагая, как и ранее [см. (6.4)],
Л = ВЦ (z), 9 = С% (*),
выбирая функции t|? (z) их (z) так, чтобы они удовлетворяли граничным
условиям задачи, и принимая эти же функции г|) (z) и % (z) за возможные
перемещения изложенного ранее вариационного метода, мы можем
характеристическое уравнение рассматриваемой здесь однородной краевой
задачи представить в следующем виде:
\Е7х (t|,")2 dz
dz
qx jj Му XV dz J [EJm ft V + GJd (x')2) dz + Яхех J aX2 dz
= 0. (8.4)
Здесь, как и ранее в § 6, a = a (z) — функция, выражающая закон
распределения поперечной нагрузки qx вдоль образующей; Му — Mv(z) —
изгибающий момент от нагрузки qx = 1.
Приа(2)= 1 Йу = !Ц£>!.
Уравнение (8.4) можно разрешить не только относительно qx, но и
относительно любой другой величины, входящей в это уравнение, при
прочих заданных величинах. Например, можно найти минимальное значение
бимомента инерции /w, который при заданных значениях qx, ех, EJX
и GJd обеспечивает устойчивость кессона.
2. При рассмотрении задачи о прочности и устойчивости крыла
самолета можно считать, что последней жестко заделано у фюзеляжа и сво-
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 363
бодно на другом конце. В соответствии с этим для приближенного
определения критической нагрузки в качестве функций гр (z) и % (z) можно
взять с точностью до произвольного множителя функции статического
прогиба консольной балки от равномерно распределенной поперечной
нагрузки. Жесткость этой консольной балки, вообще говоря, должна
меняться по тому же закону, что и соответствующие жесткости крыла
самолета. Однако в порядке первого приближения можно и для крыльев
переменного сечения пользоваться кривыми изгиба балки постоянного
сечения [75].
Пусть ty(z) и х (z) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Z1Y (z) = 1 и граничным условиям:
Z (0) = Z' (0) = 0, Zn (I) = Z'" (Z) = 0.
Тогда с точностью до постоянного множителя можем принять:
t|> (z) = % (z) = z* — biz3 + 6Z2z2. (8.5)
Определенные интегралы, входящие в состав определителя (8.4),
легко вычисляются:
; i
\ (f)2 dz = lgl>, \ MvxV dz=± l\
о о
I I
0 0
и определитель (8.4) в раскрытом виде, после некоторых преобразований,
принимает вид:
936 EJ е 5832 EJ
Уравнением (8.6) определяется критическая скорость самолета.
В качестве функций ф(г) и %(z) можно взять также фундаментальные
функции собственных изгибных колебаний. Эти функции,
удовлетворяющие дифференциальному уравнению ZIV = fi4Z и соответствующим
граничным условиям, описаны в § 13 гл. V.
3. При вычислении геометрических характеристик сечения крыла,
входящих в состав коэффициентов дифференциальных уравнений (8.1),
мы исходим из формы поперечного сечения кессона, являющегося
несущей конструкцией крыла; что же касается обтекаемости, то эта внешняя
форма крыла учитывается аэродинамическим коэффициентом /с. При
вычислении геометрических характеристик кессона закон депланации
принимаем не секториальный, как для открытых профилей, а аксиальный:
со = ху.
Бимомент инерции, следовательно, вычисляем по формуле
/w = ^a>2dF = \x2y2dF,
F F
а момент инерции Ja определяется методами теории чистого кручения.
В частности, для профиля, имеющего форму закрытого прямоугольника
со сторонами d1 и d2 и толщиною б, геометрические характеристики
определяются по формулам (1.18) гл. V.
364
Тонкостенные упругие стержни
4. Мы можем также учесть наличие в кессоне предварительного
напряженного состояния, возникающего от температурного воздействия
или от предварительного натяжения арматуры. В этом случае, на
основании изложенного в гл. VII, мы вместо жесткости GJd при чистом
кручении должны пользоваться приведенной жесткостью Cr/d, вычисляемой
по одной из следующих формул:
а) в случае начального температурного режима — по формуле (5.2)»
гл. VII
GJd = GJd + КТФ,
б) в случае предварительного натяжения арматуры — по фбрмуле
(1.9) гл. VII
GJd = GJd-RkWk.
Соответствующим расположением предварительно натянутой
арматуры мы можем уменьшать или увеличивать приведенную жесткость GJd
(см. § 3 гл. VII).
5. Изложенная здесь теория устойчивости конструкции типа крыла
самолета описывается однородными дифференциальными уравнениями
(8.1) и присоединенными к ним однородными граничными условиями.
Параметром этих уравнений является скорость самолета в стационарном!
воздушном потоке. Если эта скорость меньше критической, то определитель-
системы (8.1) будет отличен от нуля. В этом случае однородные уравнения
(8.1) при однородных же граничных условиях (т. е. при отсутствии внешней
нагрузки) будут иметь толькб нулевые решения.
Если же конструкция находится под действием вертикальной
поперечной нагрузки, например, подъемной силы крыла самолета; то уравйения
(8.1) в этом случае будут неоднородные и правые части этих уравнений
будут содержать величины, зависящие от этой нагрузки; неоднородная
система уравнений, соответствующая системе (8.1), будет иметь решения,
отличные от нулевых. Наличие в левых частях этих неоднородных
уравнений членов qx и Му, пропорциональных квадрату скорости г?,
показывает, что общая жесткость конструкции в рассматриваемом случае зависит
не только от упругих и геометрических характеристик кессона, но такж^
и от скорости движения самолета. При приближении этой скорости к ее
критическому значению изгибно-крутильная жесткость конструкции в=
целом уменьшается.
6. Несущая конструкция крыла самолета может быть выполнена
также в виде тонкостенного коробчатого профиля переменного сечения.
Дифференциальные уравнения устойчивости плоской формы изгиба (8.1)
в этом случае обобщаются и принимают вид: t
(EJXY + (МУГ) = 0, Муц" + (EJJT)" - (G/d6')' + qxexB = 0.
Характеристическое уравнение (8.4) сохраняет свой вид и для стержня
переменного поперечного сечения, отличаясь тем, что в последнем случае
характеристики, поперечного сечения /х, /w, Jd являются уже
некоторыми заданными функциями от координаты z.
§ 9. Устойчивость системы, состоящей из цилиндрической оболочки
и подкрепляющих ее стержней [54]
Изложенная теория тонкостенных стержней и теория ортотропной без-
моментной в Одном только продольном направлении цилиндрической
оболочки позволяет разрешить сложную контактную задачу по прочности,
устойчивости и колебаниям тонкостенной пространственной системы, сб-
Гл. VIII. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными свяаями 365
«стоящей из цилиндрической оболочки и усиливающих ее в продольном
направлении стержней-оболочек. Применяя общий вариационный метод
« расчету центрально сжатой оболочки (рис. 198) и представляя
компоненты депланации на дуге окружности поперечного сечения
срединной поверхности тригонометрически
ми функциями sin /i(3, получим для
м
Рис. 198
Рис. 199
каждого компонента разложения основной разрешающей функции W=W(z)
обыкновенное дифференциальное уравнение шестого порядка с
постоянными коэффициентами:
(АЛ - S2) Wvl + {2B2S -АК- BXJX + АКг±) Wiy -f
+ (AJ2 + BXK-B\- ВХКХ JJJ-) W - BXJ2W = 0.
(9.1)
Входящие в коэффициенты этого уравнения величины вычисляются
по формулам, выписанным в табл. 44.
В верхней строке таблицы указан номер разложения основной двух-
4
мерной функции Ф(2, 3) = S\ W (z)cosn[i в тригонометрический
ПОЛИПА
ном по угловой координате $=s/R. В левом столбце выписаны
определяемые величины. В формулах приняты следующие обозначения: /г—
толщина оболочки; R — радиус ее срединной поверхности; F — площадь
поперечного сечения тонкостенного стержня; Jx, Jy — моменты инерции
■сечения стержня относительно осей, проходящих через точку контакта
К профиля стержня с оболочкой.
Оси Ку, Кх для стержня выбраны так, что ось Кх направлена по
касательной к окружности оболочки, a Ку — по нормали (рис. 199).
Обобщенные координаты 1, x(s), y(s), w(s) для профиля стержня, при выборе
начала отсчета координат осей x(s), y(s) и полюса секториальной площади
<o(s) в точке контакта К, в общем случае не будут ортогональными. Л, —
«секториальный момент инерции профиля стержня; Sx — статический
момент инерции сечения стержня относительно оси Кх; /ttJC — секториальный
центробежный момент инерции; J a — момент инерции стержня при чистом
кручении; G— модуль упругости при сдвиге; q — интенсивность
внутреннего давления. / — приведенный погонный момент инерции оболочки по
продольному сечению; этот момент при усилении оболочки поперечными
ребрами следует вычислять с учетом осредненного погонного момента
инерции поперечных сечений ребер.
Таблица
А
Вг
В2
Л
Л
s \
к
к,
п = \
2llRh + SF
2R
2
*(Jy+Jx)
0
И»
nRh
2
4я/?Л + 16/1
/г = 2
2я/?Л + в/'
2лЛ
Я
Ли
8(/v + ^«-ff/-«+fii/-)
72^/ + ltoi
16J,
Л/ta . 36 j
2 ~*~/?2 а
Sx j л- j
lOjl/ta + 40^ + 45 -f + 72 vlж *
R R
п = Ъ
2nRh + SF
9nh
2R
ЗлЛ
2
■('v+^^'^+S'-)
1152^/ + 72JC |
24У,
Л/?Л , 256 j
2 i" д2 d
20Я/М + 80/1 + 128 J + 512 Jyt/X
R R2
n=4
2nRh + 16F
Snh
R
2jlh
256JX
7200-^/ + 240Л-|
Шх
nRh
2
34Л/М + 256^
Гл. УТИ. Устойчивость стержней с упругими и жесткими поперечными связями 367
Величины Jx, Jy, Sx, /<о , J<*x для произвольного симметричного
профиля с осью симметрии Ку вычисляются по формулам:
Jx=\y*dF,
F
F
Здесь интегралы вычисляются для всего поперечного сечения стержня;
если б = 6(5) — толщина стенки стержня, то dF = &ds.
Величина р в уравнении (9.1) представляет собой искомое критическое
напряжение для рассматриваемой тонкостенной пространственной
конструкции при продольном центральном сжатии; Е — модуль упругости.
Полагая в уравнении (9.1)
W(z) = sin^,
где I — длина полуволны синусоиды в продольном направлении,
получим уравнение для искомого критического напряжения:
- (AJ, - S*) + (АКХ -£ - AK-BJ, -2B*s)y +
+ (№ -%-AJt- ВгК + Bl) г2 - ЯхЛг3 = 0, (9.3)
где у = (— 1 . Этим кубическим уравнением и присоединенным к нему
условием минимума-^ = 0 при заданных величинах A, /i, 5, ..., /2
определяются три действительных значения искомого продольного критического
напряжения р для каждой из четырех рассматриваемых здесь циклических
форм деформаций оболочки в поперечном направлении. За расчетное
напряжение следует выбрать наименьшее значение ркр. Этому
напряжению будут соответствовать определенные длины полуволн синусоиды
как в поперечном направлении, так и в продольном.
Если в формуле для /г положить q = 0, то мы будем иметь общее
решение по устойчивости оболочки при отсутствии внутреннего давления q.
При р = Aq и q<^0 будем иметь общее решение задачи по устойчивости
оболочки, находящейся под действием внешнего давления.
Если оболочка усилена продольными стержнями, каждый из которых
сопротивляется только растяжению (сжатию), как это имеет место,
например, в случае железобетонной конструкции, то в приведенных выше
формулах следует для каждого стержня положить Jx = Jy = J^ = J^x =
= Sx = Jd = 0.
При отсутствии поперечных ребер величина / зависит только от тол-
щины h оболочки и вычисляется по формуле / = — . При / = О будем
иметь решение задачи для тонкой безмоментной оболочки, усиленной
продольными ребрами. Если же оболочка усилена также и поперечными
ребрами, то величина / при достаточно частом расположении этих ребер может
быть определена по формуле
а
где/р — момент инерции площади совокупного сечения ребра и оболочки
в продольном направлении; а — расстояние между поперечными ребрами.
Jy = \x*dF, Sx=\ydF,\
F F
Л>х = \ xwdF.
(9.2>
Глава IX
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
И ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ И КОНСТРУКЦИЙ
§ 1. Дифференциальные уравнения свободных колебаний
Изложенная в настоящей работе общая теория тонкостенных стержней,
наряду с проблемами прочности и устойчивости, позволяет также
разрешить в общем виде задачу о пространственных колебаниях стержней,
обладающих недеформируемым контуром поперечного сечения.
При решении задачи о колебаниях стержней мы будем исходить из
принципа Даламбера, формально рассматривая динамическую задачу как
задачу статическую с добавлением к силам упругости стержня сил
инерции.
Статическая задача о равновесии стержня, как было показано в гл. I,
$§ 6, 7, в случае отсутствия внешних сдвигающих сил по продольным
краям, приводится к дифференциальным уравнениям:
L
EJvl™-^zds-qx = 0,
L
EJxT\y-\^tyds-qv^O,
L
£Л,61У - GJd 6" - ^ со ds - mA = 0,
(1.1)
где pz — pz(z, s) — проекция интенсивности поверхностной нагрузки на
направление образующей цилиндрической поверхности; qx(z) и qv(z)—
проекции интенсивности погонной поперечной нагрузки; rriA(z) —
интенсивность внешнего крутящего момента от поперечных нагрузок qx и qy
относительно центра изгиба.
Переходя к задаче о колебаниях стержня, мы должны перемещения
£, £> Л» в рассматривать как функции двух переменных: абсциссы z и
времени t.
Определим инерционные силы, приходящиеся на единицу площади
срединной поверхности стержня. В процессе колебаний стержня какая-
нибудь точка М срединной поверхности будет совершать движение.
Перемещение этой точки представляет собой вектор, зависящий как от
положения точки на поверхности (от координат z, s), так и от времени t. Ком-
Гл. IX. Общая теория изгибно-крушильных колебаний 369
ионенты этого вектора в осях х, у, z определяются формулами (3.4) и
(3.16) гл. I:
1м = I — (У — av) в>
% = л + (ж — а*) е«
■в'ю, j
(1.2)
в которых £, ^, г] и 0 суть функции двух неременных z и t. Зная
компоненты полного перемещения произвольной точки, мы можем по этим
компонентам определить инерционные силы, приходящиеся на единицу
площади срединной поверхности. Для этого нужно умножить массу тела,
заключенного в объеме параллелепипеда с основанием dzds = 1 и высотой,
равной толщине стенки стержня б, на ускорение по соответствующему
направлению. Проделав это, получим:
Рх =
Ру=-Т
g №
Т6 *7].
М
dt*
(1.3)
где у— объемный вес материала стержня, б = 6(s) - толщина стенки
стержня, g — ускорение силы тяжести.
Подставляя теперь в формулы (1.3) перемещения точки М,
определяемые по формулам (1.2), получим:
?б Г &1 / ч №1
P*=~TLW~{y~av)'dir\'
гб Г 02п , ,*. ч д*ъ 1
Pv^-TLW + t*-**^}'
{
g \ №
дг1
dzdt*:
д3ц
dzdt2 у
э3е
dzdt2
-У)
(1.4)
Компонентами рх, ри, рг определяется вектор интенсивности
поверхностной инерционной силы в произвольной точке М срединной
поверхности стержня. По этим компонентам мы можем теперь определить
силовые факторы qx, qv, тА, входящие в уравнения (1.1). Принимая во
внимание условия ортогональности функций 1, x(s), y(s) и wis), выраженные
формулами:
\ xdF = \ydF =\ xydF = О,
F F F
\ udF = [ uxdF = [ (oydF = 0, j
р j? V1 /
(1.5)
F F F
и имея в виду формулы (1.4), получим:
qx=\pxds = -^+ayW)—y
L
qv = ]Pvds= -^__ax^jT,
L
«a = \ IP«(« — «*) — Px(y—av)№= — (a„-^ — ax^ + r2 ^j — . j
(1.6)
370
ToHkoctnehnhie упругие Стержни
Определенные интегралы, входящие в уравнения (1.1), по подстановке
в них выражения для pz из третьей формулы (1.4) и по использовании
условий ортогональности (1.5), принимают следующий вид:
)Pzas- Л, , у dz xas- dzW, ,
\
dz yab g dz*dfi
dz Xds ~ g ~dzWt*
L
\
(1.7)
g dz2dt2 ' J
Внося в уравнения (1.1) вместо грузовых членов их выражения,
определяемые в случае колебаний стержня по формулам (1.6) и (1.7), получим
следующие дифференциальные уравнения:
dz2 g dt2 "
"r dz2 g dt2 ~ °'
FT d'Z Т/У *£ t T^ &j ayyFd2b
* v dz* g dz*dt* "^ g dt2 "^ g dt2 ~Vj
FT ^_^JlxTl^-iTZ^-n
xdz* g diWt2 ■+" g dt* g dt2~Vi
ay4fdn " ~*~
g
0, [
ax4Fd*x\ PT o*e rT <ръ
~T~ № + OF ~ d dz* ~
g dz2dt2 + g dt2 u*
yJ<
(1.8)
Уравнения (1.8) относятся к свободным колебаниям тонкостенного
стержня с открытым недеформируемым в плоскости поперечного сечения
профилем произвольного очертания. Первым уравнением независимо
от остальных трех уравнений, вместе с граничными и начальными
условиями, определяются продольные колебания стержня. Остальные три
уравнения образуют в общем случае совокупную симметрично построенную
систему, определяющую вместе с граничными и начальными условиями
поперечные изгибно-крутильные колебания стержня. В частном случае
при ах =ау — 0, т. е. в случае, когда центр изгиба совпадает с центром
тяжести сечения (что имеет место, например, в случае профиля с двумя
осями симметрии), система совместных уравнений (1.8) распадается на
независимые дифференциальные уравнения:
£Л
ЛЛ£Х
сгху
dz*
EJy~dF
д*ц
dz*
Ыж£±-
СТ дЧ
g
g dz2 dt2
yJx д*ц
dz20t2
д*Ь
dt2
g Oz2 dt2
)
(1.9)
Первое из уравнений (1.9), как и в рассмотренном выше общем
случае, относится к продольным колебаниям стержня. Второе и третье из
уравнений (1.9) относятся к поперечным чисто изгибным колебаниям
стержня в главных плоскостях. Эти уравнения отличаются от обычных
уравнений, приводимых в курсах динамики сооружений, наличием
средних членов, представляющих собой компоненты инерционных поперечных
Гл. IX. Общая теория иагибно-крутилъных колебаний 371
нагрузок от поворотов поперечного сечения относительно главных
осей 1.
Последнее уравнение (1.9) относится к вращению элемента стержня
относительно продольной оси, проходящей через центр изгиба (в данном
случае через центр тяжести), поскольку координаты центра изгиба ах
и ау равны нулю.
Из приведенного здесь анализа следует, что поперечные изгибные
колебания балок в чистом виде (без кручения) возможны только в случае,
когда центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. В общем же
случае колебания тонкостенных стержней (как и ребристых
сводов-оболочек и ребристых складчатых систем) будут изгибно-крутилыше,
определяемые совместной системой трех последних уравнений (1.8), и
соответствующими граничными и начальными условиями.
§ 2. Интегрирование уравнений колебаний стержней
Уравнения (1.8) линейные однородные, с постоянными
коэффициентами, зависящими от физических и геометрических характеристик стержня.
Эти уравнения помимо производных от искомых функций £, £, Т) и 8 по
абсциссе z содержат также вторые производные по времени t. Из
сказанного следует, что рассматриваемые колебания стержня будут
гармоническими. Применяя метод разделения переменных в форме, предложенной
Пуассоном, т. е. полагая:
£(*>') = S
П=1, 2, 3,
П=1, 2, 3,
T](z,*)= 2
П=1, 2, 3,
e (*, t) = 2
xn(z)sin knt,
cpn (z) sin knt,
\|?n (z) sin Avi*,
Xn (z) sin knty
n=l, 2, 3,
(2.1)
подставляя (2.1) в уравнения (1.8) и сокращая на общий множитель
eiii/cn/, получим для n-го члена разложения:
EJy<pn
, IV
tJx
yF
arF
Е^1пУ+^кЦп-^к1чп+^к1%п=:0, \
axtF L2„ %tF ,2 , pr у IV
— Kn<?n — ^пфп + &J<J*n —
g
(GJd
tJ« 7.2 ^ v" r*xF ,J
g
kn 1 Xn
g
«x* = o.
(2.2)
1 В книге СП. Тимошенко «Теория колебаний в инженерном деле», наряду с
двучленным уравнением вида
EJv dz* + g dt* = °>
приводится также уравнение вида второго уравнения (1.9), В теории колебаний балок
средним членом по малости обычно пренебрегают.
372
Тонкостенные упругие стержни
Дифференциальные уравнения (2.2) — обыкновенные, однородные. •
Коэффициенты этих уравнений образуют симметричную матрицу и
зависят как от физических и геометрических характеристик стержня, так
и от квадрата частоты колебаний к2п. Симметричная структура уравнений
(2.2) как и уравнений (1.18) есть следствие принципа взаимности Бетти,
являющегося общим принципом линейной динамической теории
упругости. Однородными дифференциальными уравнениями* (2.2) при
однородных граничных условиях определяются фундаментальные числа
и соответствующие им фундаментальные функции рассматриваемой крае-
вой задачи. Поскольку уравнения (2.2) имеют симметричную структуру,
фундаментальные числа будут действительные. Эти числа, как известно
из теории линейных интегральных уравнений с симметричными
регулярными ядрами, образуют спектр, состоящий из дискретных точек. Мы
получим таким образом для заданной однородной краевой задачи,
описываемой системой однородных дифференциальных уравнений (2.2) и
Однородными самосопряженными граничными условиями, счетное множество
фундаментальных чисел, определяемых соответствующим
характеристическим трансцендентным уравнением. Этими фундаментальными
числами определяются все частоты продольных [из первого уравнения (2.2)]
и изгибно-крутйльных [из системы трех последних уравнений (2.2)]
колебаний тонкостенного стержня, обладающего жестким контуром в
плоскости поперечного сечения.
Рассмотрим задачу о колебаниях стержней, у которых концевые
сечения закреплены шарнирно от перемещений £, г) и 6, т. е. концевые
сечения, будучи закреплены от прогибов | и ц и угла кручения 0, могут
перемещаться свободно из плоскости сечений. Эти граничные условия
соответствуют опиранию стержня или цилиндрической оболочки на жесткие
в своей плоскости и гибкие из своей плоскости диафрагмы, поставленные
в концевых сечениях, и близко соответствуют реальным условиям опира-
ния оболочек по криволинейным краям. Выбирая начало координаты z
на одном из концов стержня и обозначая длину этого стержня
(расстояние между опорными диафрагмами) через /, мы можем граничные
условия в этом случае записать следующим образом:
при* = 0 Е = п = в = 0, -^=^ = ^ = 0; J
. . пр„г = , 8_,_,_0. 3_.£.--S-0.J (2'3)
Равенство нулю вторых производных от перемещений |, ц и 0 следует
из условия отсутствия на концах стержня нормальных напряжений а,
которые, как показано нами ранее, выражаются линейно через вторые
производные от прогибов | и г\ и угла кручения 0.
Граничные условия'(2.3) относительно искомых функций фп, \|)п и Хп,
входящих в уравнения (2.2) и являющихся коэффициентами выражений
(2.1), представятся в следующем виде:
при 2-0 фп = \|>п = Хп = 0, фп == г|/п = Хп = 0; ^
при z = / фп =..фп = Хп = 0, фп = г[>п = Хп = 0. f
(2.4)
Условия (2.4) относятся к изгибно-крутильным колебаниям стержня
с шарнирно-закрепленными концами. Продольные колебания,
выраженные первым уравнением (2.2), мы не рассматриваем, поскольку мы
получили для этих колебаний известное волновое уравнение.
Так как уравнения (2.2) содержат искомые функции и четные
производные от этих функций, и коэффициенты этих уравнений не зависят от
Гл. IX. Общая теория иагибно-к рушильных колебаний 373
переменной интегрирования, то фундаментальные функции изгибно-кру-
тильных колебаний стержня при граничных условиях (2.4) имеют
следующий вид:
Фп= Ans'mXnz, ^
фп = Яп sin A,ns, [
Xn = Cns\nKnz1 J
(2.5)
пЛ
где Кп = —j- , n — любое целое положительное число, Ап, Впу Сп —
постоянные величины; зависящие от номера члена разложения.
Подставляя выражения (2.5) в дифференциальные уравнения (2.2)
и сокращая каждое из этих» уравнений на общий множитель sin Xnz,
получим:
liJ ykn —
E'J Х^П
8
12 fr2
■«JF
aryF
knAn
+ [EJXn + GJd%l - {JJ*n + r*F) X A-*] Cn = 0.
(2.6)
Функции (2.5), как мы видим, удовлетворяют дифференциальным
уравнениям (2.2) при условии, если коэффициенты Ап, Впп Сп удовлетворяют
,линейным однородным алгебраическим уравнениям (2.6). Следовательно,
функции (2.5), образующие полную систему функций и обладающие в
интервале (О-г-1) свойством ортогональности, являются
фундаментальными функциями рассматриваемой краевой задачи. Частоты изгибно-
крутильных колебаний стержня кп определяются из условия обращения
в.нуль определителя системы (2.6):
EJX-{Jvtt + F)~kl
0
a yF
EJx"kn — (ЛЛп + F) — кп
К
V ,2
-~гкп
^ к'
EJ^Xn + GJdXn —
- (ЛДп + r*F) -1 kn
=0.
(2.7)
Уравнение (2.7) — кубическое относительно квадрата частоты к*.
Корни этого уравнения действительные. Каждому значению величины Хп
* (или, что то же самое, значению п), характеризующей вместе с выражениями
(2.5) изгибно-крутильные колебания, соответствуют три значения
частоты колебаний стержня. Этим частотам соответствуют три формы
поперечных колебаний стержня. Каждая из этих форм характеризуется тем
что поперечные сечения поворачиваются относительно некоторой оси,
параллельной образующей стержня. . Координаты центра вращения в
374
Тонкостенные упругие стержни
плоскости поперечного сечения определяются по формулам:
Eg К2
(2.8)
1 —
Eg tt
1-
Eg
X2
W
Оу.
Формулы (2.8) получаются из первых двух формул (1.2) при
использовании условий неподвижности точки с координатами (сХ1 су), первых
двух уравнений (2.6) и выражений (2.1) и (2.5).
Таким образом, каждой синусоидальной форме колебаний (каждому
значению А,п) соответствуют три центра вращения и три формы колебаний
в поперечном сечении.
В частном случае при ах =aw=0, т. е. в случае, когда центр изгиба
совпадает с центром тяжести сечения, для корней уравнения (2.7) получаем
следующие формулы:
"пх —
к2 —
к2 —
Б*А
JA + f
*jA
Jy^l + F
Т '
g
т •
EJJ*n+GJd%l
J X2 + r2F
(2.9)
Первыми двумя формулами определяются частоты изгибных
колебаний стержня, при которых поперечные сечения стержня в плоскости сече
ния z=const получают одни только поступательные перемещения,
параллельные главным осям сечения. Эти формулы отличаются от обычных
формул, приводимых в различных курсах, наличием в знаменателе
членов ЛЛ*, Jyh*, происходящих от инерционных сил вращения элемента
балки dz — \ относительно главных осей сечения.
Пренебрегая этими инерционными силами, мы получим для частот
поперечных колебаний формулы, совпадающие с формулами, приведенными,
например, в книге С. П. Тимошенко [179]:
к2
EJA g
кпу —
Е'А В
Последняя формула (2.9) дается нами, по-видимому, впервые. Этой
формулой определяются частоты крутильных колебаний тонкостенного
стержня открытого профиля с жестким контуром. При этих колебаниях
поперечные сечения поворачиваются относительно центра изгиба,
совпадающего в данном случае с центром тяжести сечения. Если пренебречь,
как и в случае изгибных колебаний, инерционными силами от продольных
Гл. IX. Общая теория изгибно-крутилъных колебаний 375
секториальных перемещений материальных точек стержня, то третья
формула (2.9) примет более простой вид:
к2 —■
^л+^л g
JX+JV Т
Заметим, что указанные здесь упрощения формул (2.9) дают
небольшую погрешность только для тонкостенных стержней, применяемых в
строительных и авиационных конструкциях. В случае же ребристых
сводов-оболочек и складчатых покрытий, обладающих недеформируемым
(при наличии поперечных ребер жесткости) контуром, пренебрежение
продольными инерционными силами может привести к большим
погрешностям. Поэтому при определении частот колебаний тонкостенных
конструкций с весьма развитым поперечным сечением следует исходить из
более точных формул (2.9) для сечений с двумя осями симметрии и
уравнения (2.7) для произвольных несимметричных открытых профилей.
Рассмотрим теперь стержень, имеющий в поперечном сечении одну
ось симметрии. Обозначая эту ось через Оу, имеем: ах~0. Уравнение
(2.7) в этом случае распадается на два уравнения, из которых одно будет
уравнением первой степени, а другое — уравнением второй степени
относительно квадрата частоты:
EJy'kn ■
1
-(Jyll + F)jkl
- —An
- —An
EJJKn -f- GJ^Xn —
(2.10)
Первое уравнение дает частоты изгибных колебаний балки в плоскости
симметрии Oyz. Второе уравнение при заданном числе полуволн синусоиды
(заданном значении величины п) дает для частоты два действительных
положительных значения, соответствующих формам изгибно-крутильных
колебаний стержня.
§ 3. Колебание стержней, нагруженных продольной силой
Рассмотрим задачу о колебаниях тонкостенных упругих стержней,
нагруженных по концам в общем случае внецентренно приложенной
продольной сжимающей (или растягивающей) силой Р. Пусть
координаты точки приложения сжимающей силы Р в плоскости поперечного
сечения стержня будут ех, еу. Предположим, что эта сила является
равнодействующей элементарных продольных сил, распределенных на концевых
сечениях стержня по линейному закону. Тогда нормальные напряжения п
в любой точке стержня в состоянии равновесия определяются по
формуле
Р
Ре„
Ре.,
У-
Составим уравнения движения элементарной поперечной полоски
стержня dz, нагруженной по сечениям z — const и z -f- dz = const
продольными силами nb [б = б (s) — толщина стенки стержня]. Эти
уравнения мы получим путем обобщения уравнений (1.8), присоединяя к
376
Тонкостенные упругие стержни
силам упругости и инерционным силам, выраженным левыми частями
уравнений, приведенные поперечные нагрузки qxP, qyP и крутящие
моменты тАР, получающиеся от заданных продольных сил вследствие
изменения (при колебаниях) деформированного состояния срединной
поверхности стержня. Для задачи об устойчивости стержня при малых
перемещениях £, rj и 0 нами получены следующие формулы для этих
сил (см. § 1 гл. V):
дуР=-[Рч\" + Р(ех-ах)Ъ"],
тар = - t - Р (ev ~ av) 5" + Р(ех- ах) Л" + Р( г* + 2%ех + 2рЛ) 6"],
где г2, рх и pw — геометрические характеристики сечения стержня,
определяемые по формулам (1.6) и (1.7) гл. V.
Добавляя нагрузки qxP, qyP и моменты тАр к левым частям
уравнений (1.8) и отбрасывая первое уравнение, относящееся к продольным
колебаниям, получим:
EJX
~У~ dz2dt*
' х dl* ^ dz2 ' х dt*
026
7-Р(?у-«у)-д?Г = 0
EJ
d*T)
у dz*
yJx d*r)
4F% d*%
Д/2 " \e4 °V/
dzidt* "+" g dt* ~^ dz2 g dl* ">
+ P(*x — ax) -^г :
—Г" "5F + ^(e* — ax) a? +
o,
022
дЮ
g dz2dt*
+
d20
+ P(rM 2pA+2P^)^ = 0
(3.1>
ch2
Уравнения (3.1) — линейные, однородные, с коэффициентами,
зависящими как от упругих и геометрических характеристик стержня, так.
и от величины продольной силы Р и координат ех, еу точки приложения
этой силы в плоскости поперечного сечения г.
Этими уравнениями и однородными граничными условиями
определяются изгибно-крутильные формы и частоты колебаний стержня,
нагруженного продольной силой. Из уравнений (3.1) видно, что
свободные колебания нагруженных стержней будут гармоническими. Полагая,
как и ранее [см. (2.1)]:
£(z>0 = 2 <Pn(z)sinM»l
n=l,2,3.... ^ I
Л (2, t)= ^ %*(z)sin knt, I
n=lt2,3,... !
9(z,t)= 2 K(z)s\nknt I
n=l,2,3,... J
(3.2>
1 Если в уравнениях (3.1) продольную силу Р рассматривать как заданную
функцию от времени t: Р = Р (t), то эти уравнения будут относиться к общей теории
пространственной динамической устойчивости тонкостенных стержней. При Р (L, ~
=Р0 cos (pt) будем иметь, систему 3-х уравнений с периодическими коэффициентами.
Некоторые частные задачи этоц теории рассмотрены в работах В. В. Болотина и
И. И. Гольденблата [19,67].
Гл. IX. Общая теория изгибно-крутилъных колебаний 377
и подставляя (3.2) в уравнения (3.1), получим:
*W + (тк1 + р)<-УТ kl ф« - "-1Г kl х» - р (е* - а^ = °-
EJx^ + (^kl + P)^-^kl^n + ^kUn + P(ex-ax)y:n = ().
EJ^? + [Р (г2 + 2% ех + 2р„ бу) + ^ /с2„ - C/d] х; -
(3.3)
Системой обыкновенных дифференциальных уравнений (3.3) вместе
с однородными граничными условиями определяются фундаментальные
числа и фундаментальные функции краевой задачи.
В частном случае при граничных условиях (2.4), соответствующих
стержню со свободными шарнирными опорами, фундаментальными будут
функции sin -у- 2. Подставляя выражения для искомых функций <рП| \|v
и Хп (2.5) в уравнения (3.3), получим для коэффициентов Ап, Вп п.СТ:
систему алгебраических уравнений:
EJykn — [ —— kn -\- Р J Ап — кп Ап —
^kl-P(ev-av)ll
LJ х*^п
2^Lkl+p)xi-iL
[
kl\Bn
+ \l£^kl-P(ex-ax)Kl\
Lb J
+
сп = о,
о,
(ЗЛУ
- [^ к2п - Р (еу - ау) %{\ Ап + [Iy2 к2п -Р(ех- ах) Г;] Бп +
+ {EJJX - [р (г2 + 2%ех + 2рЛ) - GJd + -^ й» ] Ц -
Уравнения (3.4) линейные, однородные, с коэффициентами,
зависящими от геометрических и физических характеристик стержня, от
величины продольной силы и координат точек приложения этой силы,
от параметра Knj характеризующего длину полуволны синусоиды sin KnZ,
и от частоты колебаний к*, соответствующей n-й синусоидальной форме
изменения деформаций по длине стержня. Приравнивая определитель
системы уравнений (3.4) нулю, получим для определения частот
колебаний следующее уравнение:
/l_^»\_i> о
-rf + P(ev-av)
О
+ Р(еу-ау)
C-D-
тЛ»ж *S
е К
Р (ех — ах)
УГ"Х к2п
-Р(ех-ах)
(*-■£)■
-P(r* + 2bfix + 2%/ey)
= 0.
(3.5).
378
Тонкостенные упругие стержни
Здесь для краткости приняты обозначения (3.3), (3.4) гл. V и (2.9):
D — 1 ГПТ \* l ГГ \ h2 — ЕJ<* **п + GJd К g
JLt _ Е'Л
1? EJ"X»
knv-Jy%l+F
g
т
g
т
где
*»=^(n = 1,2,3,...).
Уравнением (3.5) для каждой синусоидальной формы sin Knz
определяются три частоты, соответствующие трем изгибно-крутильным
формам колебаний стержня. Координаты центров вращения поперечных
сечений стержня определяются по формулам:
4F л; \ р
кп \ Р
Кх g Рпх^п' " * я*
пж
fcn Т^ fcn \ Р
*iv+ g рпЛ]ау рпуе»
1
к2 J»
Рассмотрим несколько частных случаев.
1) Полагая в уравнении (3.5) ех = еу = 0, получим уравнение частот
для стержня, нагруженного центральной продольной сжимающей
силой Р:
^-Ь-р ° -4hp)-
kn \ п HF **
&hp)- Vhp)- [М1-£)-4
= о
(3.6)
2) Меняя в уравнении (3.6) знак перед силой на обратный, получим
уравнение частот для стержня, нагруженного центрально растягивающей
силой Р:
м»--£)+' • -(Ц->)*
й
о М<-£) + ' (¥£"РЬ
-(¥'#-')- (?£-')«■ [М*-#-)+*]"
= 0.
Гл. IX. Общая теория изеибно-крутильных колебаний 379
3) Полагая в уравнении (3.5) Р = ех = О, а произведение Реу = —
— Мх = (const величиной конечной, получим уравнение частот для стерж-
1ня, нагруженного по концам изгибающими моментами Мх, действующими
в плоскости Oyz и вызывающими в стержне (в статическом состоянии)
М„
^нормальные напряжения п — -j-y:
yFay kl
Knv
-(« + «*)
P*x(l-
? 2
—)
klJ
yFax
Л'\
£ + *.)
yFax kl
-rf Рп»(1—£-)г* + 2$уМх
= 0.
4) При ax = ay = $x = $y = 0 уравнение (3.5) переходит в
уравнение, определяющее все частоты колебаний для стержня, имеющего в
поперечном сечении две оси симметрии и нагруженного продольной силой Р,
приложенной в произвольной точке сечения (ех, еу):
'V к2'
к2
Кпу
0
ev
('"£)
-Ре,
Ре„
.5) При ах = ау
Йаний следующие значения:
.д, [е^-Ауру
еу = 0 уравнение (3.5) дает для частот коле-
= 0.
Р
Р
-('-
-('-
-(«-
пх
р
J Knxj I
■ J rCny » f
пу
р J ^п<л
ПО) '
(3.7)
Формулы (3.7) относятся к колебаниям стержней, нагруженных
силой Р центрально и имеющих центр изгиба в центре тяжести сечения.
Первыми двумя формулами определяются частоты изгибных
колебаний стержней в главных центральных плоскостях. Последней формулой
определяются частоты крутильных колебаний с центром вращения,
•совпадающим с центром тяжести сечения. Из формул (3.7) видно, что
с увеличением сжимающей силы Р частоты колебаний уменьшаются.
6) Если величина продольной силы стремится к критическому
значению, определяемому в общем случае полученным нами ранее
уравнением
р — р
L пу х
0
\p(ev—<*v)
0
Р — Р
* пх *
— Р(ех — <*х)
* по)
Р (еу — «»)
— Р(ех — ах)
-Р(г2+2$хех+2$уеу)
то частота колебаний такого стержня стремится к нулю. Период
колебаний будет равен бесконечности.
380
Тонкостенные упругие стержни
Помимо рассмотренных здесь частных случаев, уравнение (3.5)
позволяет решить и другие задачи по колебаниям стержней, нагруженных
продольной силой. Из этого уравнения можно, например, при заданной
синусоидальной форме и частоте колебаний к\ определить значение
силы Р, т. е. варьируя параметр Р, настроить стержень на
определенный тон.
Решение такой задачи может иметь практическое значение в
акустике тонкостенных упругих стержней, совершающих изгибно-крутиль-
ныс колебания.
Изложенная здесь теория пространственных колебаний стержней,
нагруженных по концам продольными силами и моментами, может быть
использована при экспериментальной проверке теории пространственной
устойчивости стержней акустическим методом. На основе этой теории
легко также решается в общем виде задача о вынужденных изгибно-кру-
тильных колебания?: тонкостенных стержней, имеющая большое
практическое значение при проектировании конструкций в самолетостроении.
§ 4. Действие нагрузки, меняющейся во времени
Полученные в § 1 дифференциальные уравнения свободных
колебаний (1.8) могут быть использованы для расчета тонкостенных стержней,
а также тонкостенных ребристых оболочек и складок, применяемых в
качестве конструкций для перекрытия больших пролетов, при действии сил,
изменяющихся во времени по произвольному закону.
Если вместо нуля записать в правых частях уравнений (1.8) величины»
соответствующих компонентов возмущающих сил1, то уравнения
движения примут вид:
EJ ^-^J^ + lZ^ + Sll^-a (z t\
\
^Jxdz* is dz*dt* "^ g dt* ' g dt* —4v\zi4* г
g dt* -у^з*2"1" "a? d3sa g dz*dt*^~ g d<* ~mA{zfi). j
(4.1)
Эти уравнения в общем случае образуют совместную систему
дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций g — | (z, /),
г) = г] (2, t) и 0 = б (2, t) и определяют пространственные изгибно-кру-
тильные колебания.
Если стержень имеет вертикальную ось симметрии (ось Оу), то
система (4.1) распадается на две независимые группы:
£,Jxdz* g dz*dt* + g dp - q^Z' l>'
EJ ^1-^^-л.И^1л.Ъ21^1-а {z t) 1
^JVdz* g ds.*dt* + g dt* + g dt* ~ qx\Z,l>'
(4.2).
Первое из уравнений (4.2), содержащее лишь частные производные
функции т] — г) (z, t), представляет собой уравнение вертикальных чисто
изгибных вынужденных колебаний.
1 Первое из уравнений (1.8), описывающее продольные колебания, как и ранее,
отбрасываем.
Гл. IX. Общая теория изгибно-крушильных колебаний 381
Второе и третье из уравнений (4.2) образуют совместную систему диф-
•ференциальных уравнений и определяют совместно с граничными
условиями пространственные иЗгибно-крутильные колебания.
' Если же стержень имеет две оси симметрии, то система (4.1) принимает
вид:
EJ
д*г\ 4JX д*г\ ^F д2г\
EJ,
xdz*
EJ,
vdz*
д2е
GJd^r-
g дъЧР
g dz*dt*
+
+
g dt*
yF d*i
g di2
= Яу(*> 0>
(4.3)
1 dz* g dz*dt2
Первые два уравнения (4.3) относятся к изгибным колебаниям: в
вертикальной и горизонтальной плоскостях; последнее уравнение — к
крутильным колебаниям, при которых поперечное сечение поворачивается вокруг
.центра изгиба, совпадающего в данном случае с центром тяжести сечения.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания ребристой оболочки,
имеющей в поперечном сечении вертикальную ось симметрии и
опирающейся по криволинейным краям на жесткие в своей плоскости и гибкие
►из своей плоскости диафрагмы.
Математически, следовательно, задача сводится к интегрированию
системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений при
заданных граничных и начальных условиях.
Граничные условия рассматриваемой задачи имеют вид:
npIIZ = ; t_,.,_o. -g_£_.g_o. ] ^
При этих условиях решение системы (4.2) может быть представлено
в форме:
оо
l(Z> 0=2 £n(0sin*<nZ,
л(*> о= 2 tin(0sin^nz,
®(z,t)= 29n(0Sin^n2,
(4.0)
ПК
где %n = —j- , n— целое положительное число, /— пролет оболочки.
Легко видеть, что каждый член разложений (4.5) удовлетворяет граничным
условиям (4.4).
Предполагаем, что внешняя нагрузка может быть разложена в ряд
Фурье следующего вида:
•?*(*, 0 =/(0 2 ?*nsin Xnz,
Yy(z>0 =/(0 2 tfynsin Xnz, ^
oo
mA (z, /) = / (t) 2 mAns\n Knz,
(4.6)
382
Тонкостенные упругие стержни
где f(t) — общая для всех компонентов функция, определяющая закон
изменения внешних сил во времени; qxn, qyn, тАп — коэффициенты ряда,
определяемые по известным формулам (как коэффициенты ряда Фурье).
Подставим теперь выражения (4.5) и (4.6) в основные
дифференциальные уравнения (4.2). По сокращении на общий множитель sin Xnz,
получим для я-го члена обыкновенные неоднородные дифференциальные
уравнения:
EJx-KUnit) +-J-(/xtt+ F) гГ„(0 = qvnf (t), )
ejv x*n In (t) + j- (Jv tt + F) & (t) + a-±f e; (0 = qxn f (t),
^ Xn (t) + (EJ* X\ + GJd Xl) 6n (0 + -I (/.« + r2 F) e; (*) = mAnf(t).
(4.7)
Общее решение однородных уравнений (4.7)а может быть получен»
в виде простых гармонических колебаний с частотой кп и фазой ji:
т]п (t) = A sin (knt +ц),\
ln(t) = В sin (knt + цЦ
К (0 = С sin (knt + ц). ) (4.8)
Подставляя в однородные уравнения (4.7) выражения (4.8) и
сокращая на общий множитель sin (knt + ц), получим:
[ EJXn - -J- (/Д2„ + F) А»] А=0,)
[EJy%l-±(Jv%l+F)kl]B-aJ^klC = 0, \ (4.9>
^j- к\В + [EJXn + GJXn - -j- (ЛХ + r*F) Aj] С = 0. j
Функции (4.8) удовлетворяют однородным дифференциальным
уравнениям (4.7) при условии, если коэффициенты А, В и С удовлетворяют
полученным линейным однородным алгебраическим уравнениям (4.9).
Частоты собственных колебаний ободочки получим, приравнивая нулю-
определитель, составленный из коэффициентов при постоянных А, В и С.
Для этих частот получаем два независимых уравнения:
EJXi J-(/«X» + J) ft* = 0, !
ё I
EJyli - -J- (ЛЛ1 + F) *& ~ ^у- *i
_ Mf *£ £/<X + G/Д* - -I- (/etf + r^) kl\
о ©
= 0.
(4.10>
Первое из этих уравнений является уравнением первой степени, а
второе — уравнением второй степени относительно квадрата частоты кп.
Каждому значению величины Хп = — (п = 1, 2, 3, . . .),
характеризующей согласно выражениям (4.5) форму колебаний, соответствуют, таким'
1 Однородные уравнения (4.7) получаются путем приравнивания нулю правых
частей неоднородных уравнений (4.7).
Гл. IX. Общая теория иагибно-крутилъных колебаний 383
образом, три частоты свободных колебаний оболочки kno, кП1 и кп2.
Первая частота соответствует вертикальным изгибным колебаниям, а вторая
и третья — сложным изгибно-крутильным колебаниям.
После того как из уравнений (4.10) найдены значения частот, общий
интеграл однородной системы (4.7) может быть представлен в виде:
rin (t) = A sin (knot + (i0),
ln (t) = Вг sin (knit + (Aj) + B2 sin (kn2t -f fi2),
°n (0 = P1B1 sin (knit + fij) + p^ sin (kn2t + fi2).
(4.11)
В этих выражениях p, ир, — коэффициенты, устанавливающие
зависимость между произвольными постоянными В и С выражений (4.8).
Пользуясь вторым из уравнений (4.9), получим:
Pi
*V*t—('!# + *>*;
«А
р2 =
Б'Лт—1'Л + ъ*1
п2
**РКш
Общий интеграл (4.11) однородной системы уравнений (4.7) может
быть представлен также и в другом виде:
х (t) = A sin knot -f Е cos knot,
t (t) = Bx sin knit + Dx cos knit + B2 sin kn2t + D% cos kmty
(0 =*Pl (51 Sin W + #1 C0S W) + ?2 (B2 Sin W + D2 C0S **!
1
*). J
(4.12)
Переходим теперь к составлению частного интеграла неоднородных
уравнений (4.7). Выражение для частного интеграла может быть получена
при помощи метода вариации произвольных постоянных или метода
начальных условий *. Остановимся на рассмотрении последнего.
Выразим шесть произвольных постоянных интеграла (4.12)
однородной системы (4.7) через перемещения г\п (0), £п (0) и 0П (0) и скорости
Лп (0)» Е'п (0) и 6'п (0) в начальный момент времени. Из выражений (4.12)
для т)п (г), £n (t) и 0n (t) и их производных получим шесть уравнений
для определения шести постоянных, а именно:
Я = Л» (0),
DX+DM= 6п(0),
PlZ>1 + p2Z>2 = 0n(O),
Решение уравнений (4.13) дает:
к^А = Чп (0),
р1кП1В1 + р2кП2В2 = 0n(O). J
кщВг -\- кП2В2
(4.13),
Л =
Ля(0)
^ = Tin (0),
р l»(Q)pi-e«(0) п 6„ (0) р* - е„ (0)
Я*
кп1 (Р* - Pi)
в» (0) - in (0) pi
*П2 (P* - P»)
, Dt
Pi— Pi
en (0) - |n (0) pi
Pi — Pi
(4.14)
В общем интеграле (4.12) мы можем заменить произвольные постоянные
другими величинами, имеющими определенный физический смысл. Внося
1 Метод начальных параметров в применении к задачам колебаний мы называем
методом начальных условий.
-384
Тонкостенные упругие стержни
выражения (4.14) в выражения (4.12), получим:
Цп (/) = Ли (0) cos knot + -£ sin knoty
Kn0
In (t) = p,2 - Pl [(P2 cos knil — Pi cos kn2t) ln (0) +
-+- (cos
Gn (0
= P2 - Pl L^2 C0S knlt ~~ Pl C0S kn2^ ^ ^ "*"
AV - cos A*i0 6n*(0) + (^sin /cnl/ - jp- sin /rn20 ) g; (0) +
+ (r—sin kn2t — ^—sin knlA Ъп (0) I,
' A- n2 A-
\ КП2 Knl
= p2_ рд [PlP2 (cos W — cos kn2t) gn (0) +
+ (p2 cos kn2t — ph cos knlt) 6n (0) -j-
- P1P2 (/r~"sin kn^ ~ F~sin kn2t) & (°) +
h f—- sin /W - ^- sin knlt \ 6; (0)] .
(4.15)
При помощи выражений (4.15) можно определить значения функций
\п (0» Лп (0» ^ (0' входящих в разложения (4.5), если известны
начальные условия. Следовательно, при помощи выражений (4.5) и (4.15) Мы
в случае свободных колебаний можем определить перемещения и скорости
любого бесконечно малого элемента оболочки.
Пусть в начальный момент перемещения и скорбсти любого элемента
оболочки равны нулю, а в момент времени 1г к элементу приложены
скорости г{п (/j), %'п (tx) и 0^ (/i). Закон движения, происходящего под
влиянием полученных скоростей, описывается формулами:
ц'п (ti)
Tin (t) = —г sin kn0 (t — tj,
6» (') = г-Цг I Г/г-sin ** С - ^) - г1 sin Лп2 С _ *i)l 5» d) +
P2 — Pl ^ [_ «nl «n2 J
i» (ti) +
«n (0 =
P1P2
P2 —
+
-Л
[ Pi*t.
— sin/cn2 (/ —/i)-
rtn2
— sinAnl (/ —/i)-
sinA:n2 (t — /x)
'"nl
1
sinknl (t — *i)
sin/cn2 (t — h)
sin &nl (г — tx)
P*n
(4.16)
Приложение этих скоростей эквивалентно действию мгновенной силы.
Считая, что эта мгновенная сила известна, выразим через нее скорости
у\кп (/х), |'n (tx) и 0^ {tx). Если сила, компоненты которой равны qxn / (^),
qinf (li) и mAn/ (fj), действует в течение весьма малого времени А^, то
она сообщает элементу ускорения: r\"n (/j), £* (/) и 6^ (г). Эти ускорения
легко определяются из уравнений (4.7), если в них, согласно предыдущим
рассуждениям, положить t = tt, ч\п (tt) = £n (*i) — 0n (h) = 0.
Решение полученных таким образом уравнений дает следующие
значения для ускорений:
<г СО
Т JxXl+F
/(*|).
Гл. IX. Общая теория изгибно-к рушильных колебаний 385
g 4xn(JJl+r*F)-mAnavF
Т (JyXl+F)(JaXl+r*F)-alF*
g mAn(JvK+F)-1xnavF
T (JvK+F)(JJ-l + ^)-a2yF^
Следовательно, скорости получат значения:
g ai
In (к) =
Ъп (к) =
f(k),
fik).
л; (tl) =
i« (к) =
e„ (к) =
g 1xn(J<A + r2F)-
mAn%F
т (Jyxl+F)(J^l + r'2F)-^F2
g mAn(JA+F)-^n%F
7(*l)A*l,
■f(k)Ak-
(4.17)
Подставляя в выражения (4.16) значения скоростей (4.17), получим
значения функций |п (/), т]п (t) и 9n (t), входящих в разложения (4,5)
для любого момента времени I после того, как сила перестала действовать.
Если же будут действовать несколько импульсов в различное время, то
полученные выражения следует просуммировать. При непрерывном
распределении импульсов во времени эти суммы переходят в интегралы.
Полученные выражения и будут частными интегралами неоднородных
уравнений (4.7).
§ 5. Пространственные изгибно-крутильные колебания
висячих мостов
Дифференциальные уравнения пространственных колебаний висячих
мостов, поперечное сечение которых имеет две оси симметрии, получим
из уравнений (7.1) гл. VIII пространственной устойчивости тех же мостов,
если добавим в эти уравнения силы инерции и аэродинамические силы.
Добавляя силы инерции так же, как это было проделано в § 1, получим:
FT д*Ч 9Hd2j]
м ^л д*ъ С1 *о я ь2 д*ъ т/«
ly dz*~
>dz*
dz*dt*
. yFr* d26 — i
ЯуЛ
g dt*
(5.1)
Здесь:
~q — подъемная сила, приходящаяся на единицу длины моста,
вычисляемая по формуле
q =CL (6)^-4v\
(5.2)
где CL — коэффициент подъемной силы, являющийся функцией угла
кручения 0 (рис. 200); г — плотность воздуха; А — горизонтальная
проекция единицы длины моста; v — скорость ветра;
~т — вызванный ветром крутящий момент, приходящийся на единицу
длины моста и вычисляемый по формуле
т = Ст(6)ггЬ2*
2<? 1
(5.3)
386
Тонкостенные упругие стержни
где Ъ — ширина моста между подвесками; и — вес единицы объема
воздуха; g — ускорение силы тяжести; СТ — коэффициент закручивания,
являющийся функцией угла кручения 6; для
малых углов наклона 9 значение Ст может
быть выражено в форме:
-кг
£т
_-5\
/
7
./
/
Ст,
>
г
№
0,04
0,02
0 J
-ОМ
-0,04
-0,06
1 /
7
/
/
5'
С
Ю'
- >
д
— /ев
(5.4)
Рис. 200
(к — величина постоянная).
В дальнейшем пренебрегаем подъемной
силой, мало влияющей на окончательные
результаты.
Подставляя в правую часть уравнений
(5.1) крутящий момент (5.3) и используя
зависимость (5.4), получим
дифференциальные уравнения динамической устойчивости
в виде:
^у-2ЯЭ
М
а4е,
v ~dz* + EJ<* dz*
g»
■GJd
dz*dt*
dz*
dz*
(Myd) = o,
2 a^2
g
dz4P ^ g dt* 2g 9
0.
(5.5)
Поскольку в уравнения (5.5) входят вторые производные по времени,
колебания будут простыми гармоническими:
г] (2, t) = у\ (z) sin (dt,
0 (z, t) = 8 (z) sin Ш
',)
(5.6)
где to — круговая частота колебаний.
После подстановки выражений (5.6) в уравнения (5.5) и сокращения
на общий множитель sin at получим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
EJxr\
IV
2Нг\" + —a©V
yF
о)2т! + (МУЬУ = 0,
ТЛ
Муц' + EJaVV _ (GJd + Я-|-)9" + у*<в*е*
fFr
<о29 + kub2-^-
g ^ 2g
= 0,
(5.7)
где производные берутся по переменной z.
В дальнейшем будем считать, что по длине моста ветровое давление
распределено равномерно. В этом случае
Му =-|-z(Z- z).
Мы также будем считать, что колебания моста имеют в главном
пролете две полуволны. Это можно обосновать точно так же, как мы это
сделали в § 7 гл. VIII, где рассматривали статическую устойчивость висячих
мостов.
Гл. IX. Общая теория изгибно-крутилъных колебаний 387
Положим
Л (z) = В sin -f- 2, 9 (z) = С sin ^ 2.
Использование принципа возможных перемещений к интегрировании*
дифференциальных уравнений (5.7) приводит к системе двух однородных
алгебраических уравнений:
(5.8>
Х¥),-1г'+ы,ат'-«-
При написании уравнений (5.8) мы считали, 4to зависимость между
скоростью ветра v и напором q приближенно может бы!ъ представлена в виде
q = atv2.
Рис. 201
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов
при В и С, получим для скорости v биквадратное уравнение
CIV*
bv2 — c = 0.
(5.9>
Коэффициенты этого уравнения зависят от различных физических,
геометрических и аэродинамических величин и в том числе от
величины О)2.
Присоединяя к уравнению (5.9) условие экстремума скорости
= 0,
будем иметь возможность определить критическую скорость ветра, npiv
которой должен разрушиться висячий мост.
Применим полученные уравнения к определению критической
скорости ветра, при которой произошло разрушение уже упомянутого Таком-
388
Тонкостенные упругие стержни
ского висячего моста. Вид изгибно-крутильных деформаций проезжей
части моста показан на рис. 201 и 202. Описание конструкции моста и
самой катастрофы даны в работе Ф. Д. Дмитриева [87].
Рис, 202
Имеем следующие исходные данные:
/ = 853 м,
6 = 11,9 м,
F = 0,654 м2,
Ргг = JP = JX + Jy =
Jx = 0,122 м*,
J у = 10,6 м*.
Jd^0,
Л, = 4,31 Л6,
= 10,7 м\
Н = 5,65-10* кг,
Е= 2.11010 кг/м2,
G = 0,8-1010 кг/м2,
Г = 7,85-103 кг/м3,
и — 1,29 кг/М3,
g = 9,81 м/сек?,
щ = 0,144 кгсек2/м3,
к = 0,267.
Значение к мы взяли как тангенс угла наклона касательной к кривой
Ст (рис. 200) в начале координат, так как нами рассматриваются весьма
малые колебания. Если эти колебания неустойчивы, то их амплитуда
растет с течением времени, что в окончательном итоге приводит к разрушению
конструкции.
Произведенные вычисления дали следующее значение критической
скорости ветра:
г;кр = 60,9 км/час = 16,9 м/сек.
Этой скорости соответствует давление
q = 41,4 кг/м.
Действительная скорость ветра в день катастрофы была v — 67 км /час=
= 18,6 м/сек. Как видим, погрешность в величине вычисленной
критической скорости по сравнению с действительной не превышает 10%.
Эта погрешность в основном обусловлена несколько иными
граничными условиями опирания проезжей части моста, имевшей упругое
защемление, а не шарниры по концам. Это увеличение жесткости расчет-
Гл. IX. Общая теория изгибпо-крутилъных колебаний 389
ной системы и привело к тому, что вычисленная критическая скорость
оказалась меньше скорости, при которой разрушился мост.
Если сравнить статическую горизонтальную нагрузку дст, которую
может выдержать мост без потери устойчивости, со скоростным напором
ветра 9дин> соответствующим скорости яри катастрофе, то увидим, что
Уст (7 дин»
т. е. при колебаниях мост может выдержать очень малую динамичесую
горизонтальную нагрузку, в то время, как критическая статическая
горизонтальная нагрузка довольно значительна.
Следует особо подчеркнуть тот факт, что катастрофа наступила
вследствие изгибно-крутильных колебаний, которые и учитываются нашей
теорией. Одни вертикальные, чисто изгибные колебания не приводили к
катастрофе даже при 36 циклах в минуту, которых они достигали в день
катастрофы и которые уменьшились до 14 циклов в минуту
непосредственно перед катастрофой и затем перешли в изгибно-крутильные, которые и
явились решающими. Это подтверждается также и испытаниями модели
в 1/юо натуральной величины моста, произведенными еще до катастрофы
и показавшими динамическую неустойчивость конструкции.
В заключение отметим, что основным мероприятием до повышению
динамической устойчивости висячих мостов является создание
конструкций пролетного строения с большой изгибно-крутильной жесткостью.
Этого можно достичь, проектируя пролетное сечение замкнутой
коробчатой формы или усиливая открытое поперечное сечение
дополнительными поперечными бимоментными связями — планками, косыми
диафрагмами и т. п., увеличивающими крутильную жесткость (см. гл. III).
§. 6. Свободные колебания и аэродинамическая устойчивость
конструкции типа крыла самолета
1. Рассмотрим сначала задачу о свободных колебаниях жесткого
прямоугольного коробчатого профиля, имеющего две оси симметрии. Будем
считать, что по одному поперечному краю коробчатая оболочка жестко
заделана, другой же поперечный край свободен от закрепления (рис. 197).
Дифференциальные уравнения свободных поперечных колебаний
стержня открытого профиля с двумя осями симметрии представлены
уравнением (1.9):
FT д'Л 4J* д'Ч I tF d2*) __ о [
^ x dz* g dz*dt* ""г g dt* ~~4' (
(6.1)
Эти уравнения сохраняют свою силу и для тонкостенной закрытой
оболочки с жестким профилем. Различие будет лишь в способе
вычисления геометрических характеристик Jd и Jw (см. гл. VIII, § 6, п. 3). Для
коробчатой оболочки с толщиной стенок б, поперечное сечение которой
представляет прямоугольник со сторонами dx и d2l геометрические
характеристики сечения вычисляются по формулам (1.18) гл. V:
F = 26 (d, + d2), Jx = ±-6d? (<*i + 3d2)> Jv = -T6(% (d2 + 3di)> \
/d=462« J» = -&F ' f^ = Jx + Jy. J (6'2>
390
Тонкостенные упругие стержни
Система уравнений (6.1) представляет собой три независимых друг
от друга уравнения. Поэтому частоты свободных поперечных колебаний
оболочки, соответствующие чисто изгибным колебаниям в плоскостях
Oxz и Oyz и чисто крутильным колебаниям, можно определять независимо
друг от друга. Для определения этих частот воспользуемся
приближенным вариационным методом Бубнова — Галеркина. В соответствии со
сказанным положим:
I (z) = A sin kxt -ф (z),
т) (z) = В sin kyt -if (z),
6 (z) = С sin kQt x (z)-
(6.3)
В формулах (6.3) kx есть искомая круговая частота колебаний в
плоскости Oxz, ky — частота колебаний в плоскости Oyz и /те — частота
крутильных колебаний.
Функции (p(z),i|p(z) и % (z) представляют собой формы поперечных
колебаний коробчатой оболочки. Этими функциями мы задаемся
заранее. Они точно удовлетворяют граничным условиям:
Ф (0) = ф (0) = х (0) = о,
Ф' (0) = г|/ (0) = х' (0) = 0,
что соответствует жесткой заделке края z = 0, и условиям
Ф-(0=ф'(0 = х*(0 = о,
ф"'(/)=г|/"(0 = Х'"(') = 0,
что соответствует свободному от закрепления краю z = I. Что же
касается уравнений (6.1), то выражения (6.3), вообще говоря, не являются
интегралами этих уравнений и, следовательно, при подстановке выражений
(6.3) в (6.1) левые части уравнений (6.1) в нуль не обращаются.
Поэтому мы потребуем удовлетворения уравнений (6.1) в
интегральной форме в соответствии с принципом возможных перемещений Лагран-
жа, выбирая за возможные перемещения функции ф, яр и %, как мы это
сделали в § 13 гл. V. Для этого подставим (6.3) в уравнения (6.1), умножим
полученные выражения соответственно на возможные перемещения ф, ty
и х и проинтегрируем их по всей длине оболочки. После применения
интегрирования по частям и сокращения на Л, Ву С мы придем к следующим
уравнениям относительно кх, ку и /re:
7 Т 1 '
4Ju
EJy\W)* dz - Ll*i Jfo')* dz - *£-*■ \q? dz = 0,
0 0 0
I I I
EJX \ Wf dz-lfkl\wfdz-^kl\^dz = i),
0 0 0
I I I
Л/„\(ХУ dz + (GJd - lfk*j \(хУ dz-^fk% \гг dz = 0.
Г л IX. Общая теория изгибно-к рушильных колебаний 391
Отсюда получаем формулы для частот:
Л2 =
EJvlW)*dz
I I
о о
I
EJx$(V)*dz
А*
У
g
ч-
l 1 У *
JxlW)2dz-\- F\^dz
о о
I I
EJ„l(r)*dz + GJdl(%Tdz
о о
I I
(6.4)
Принимая за функции ф (z), яр (z) и % (z) функции прогиба консольной
балки (8.5) гл. VIII
ф (Z) = ф (Z) = х (2) = z4 — 4Zz3 + 6Z2z2
и вычисляя определенные интегралы в формулах (6.4), получим формулы
для частот:
Н34ЯЛ,
g
(10bJy+9U*F)l* т '
ИЗ^/^
fcy = (405^ + 9114) I* Y '
81(14g/a + 5W/d) g
в "~ (405/w + 91/2Fr2) /2 т
Ю =
Если воспользоваться формулами (6.2), то выражения для
определения частот собственных колебаний принимают вид:
« = 2?i
Е
378Й (d, + 3di)
£
Т /2 [13Ц> (tf2 + 3^) + 364/2 (di + d»)] *
g 378^2 (rfx + 3d2)
T /2 [13М2 (rfi + 3cy + 364/2 (dl + dt)] '
2 _ ^ 162^4 [7 (rfx + rf2)2 + 120-1- /2]
e_ T /2 (dx + rf2)2 [405^2 + 364/2 (rfl + ^2] •
Из этих формул видно, что крутильная жесткость стержня-оболочки,
пропорциональная модулю сдвига G, оказывает влияние только на
частоту колебаний при стесненном кручении;'изгибные колебания от этой
жесткости не зависят. Отсюда следует, что наличие в оболочке кессона
начальных напряжений, температурных или механических от
предварительного натяжения продольных элементов (стрингеров, лонжеронов),
может через приведенную жесткость GJd [формулы (5.2) и (1.9) гл. VII]
•существенным образом повлиять и на частоту крутильных колебаний.
2. Рассмотрим теперь задачу об аэродинамической устойчивости той
392
Тонкостенные упругие стержни
же коробчатой оболочки с жестким профилем, находящейся в
стационарном потоке воздуха (рис. 197).
Дифференциальные уравнения колебаний оболочки для этого случая
получаются из уравнений (6.1), если к ним добавить аэродинамические
нагрузки, учитывающие влияние лобового сопротивления и подъемной
силы. Поступая совершенно так же, как и в § 8 гл. VIII, но уже
применительно к колебаниям, будем иметь систему двух дифференциальных
уравнений, поскольку первое уравнение (6.1) при лобовом сопротивлении
крыла в плоскости Oxz отделается от двух остальных уравнений:
(6.5)
Правые части этих уравнений представляют соответственно нормальную
силу и крутящий момент — результат действия подъемной силы
конструкции типа крыла самолета; эти величины определяются по формулам
(5.2) и (5.3). Так как мы рассматриваем малые колебания, то положим
?i/ = — ftt, О) 9 0, t), т = — kB (v) 6 (z, *). (6.6)
где k^v) и /се(г?) — аэродинамические коэффициенты, зависящие от формы
и геометрических размеров обтекаемого профиля, а также линейно
зависящие от скорости движения самолета в стационарном потоке воздуха.
Равнодействующая сил лобового давления qx, как указывалось в § 5,
также зависит от скорости движения самолета v и может быть, например,
представлена в таком виде:
qx = — to2,
где к — тоже аэродинамический коэффициент, зависящий от формы и
геометрических размеров обтекаемого профиля и от некоторых других
факторов.
Изгибающий момент Му при равномерно распределенной нагрузке qx
определяется по формуле (8.3) гл. VIII.
Воспользовавшись выражениями (6.6), перепишем систему
дифференциальных уравнений (6.5) в следующем виде:
v dz* +Ыи dz* UJd dz* g dz*dt* ^
(6.7)
Для того чтобы определить частоту колебаний оболочки, положим
r\ (z, t) — ц (z) sin at, 9 (z, t) = 0 (z) sin otf, (6.8)
где со — искомая круговая частота колебаний.
Подставляя выражения (6.8) в систему (6.7), получим после
сокращения на общий множитель sin art систему обыкновенных дифферен-
Гл. IX. Общая теория изгибно-крушильных колебаний 393
цйальных уравнении:
EJxv\iy + -^ ©V - y ^ + (МуВУ + Лч (v)Q = 0, |
МХ+ EJJlY - [GJd _ J^L со2) 0" - \ (6.9)
При интегрировании дифференциальных уравнений (6.9) используем
метод возможных перемещений. Полагаем с этой целью
ii(z) = By(z), 9(z) = Cx(z), (6.10)
где ty(z) и X (z) — выбранные известные функции, удовлетворяющие
граничным условиям задачи. В качестве этих функций может быть принята
с точностью до постоянного множителя функция прогиба консольной
балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки
[см. (8.5) гл. VIII]. Принимая за возможные перемещения также функции
\|)(z) и %(z) и подставляя выражения (6.10) в уравнения (6.9), получим для
интенсивностей вариаций поперечной нагрузки и крутящего момента
следующие выражения:
bqv = В [eJx^ + 1^.ш«ф» -T"m'*] + С [(MvX") + К (») xl
Ьт = BMvy + С{EJa™ - [GJd ~ ^ ь>2) х" -
- \jj- «? — Яхех — h (»)] х}.
Уравнения Лагранжа для этих сил на указанных возможных
перемещениях после применения интегрирования по частям к некоторым
слагаемым и использования естественных граничных условий, имеющих место
на концах стержня, принимают следующий вид:
i Т л i
В [EJX \ Wf dz-±f&\ (г|/)2 dz -1^ со2 ^« dz] +
0 0 0
I I
+ С§MvxVdz + ^kn (v) х2 dz] = 0,
о о
I I J I
В \ МуХЦ" dz + C {EJ„ J (Xy dz + (GJd-±^ со2) jj (X')2 dz -
_ri^««
L g <*' — Qxex — h (»)] Jx1^} = 0.
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных В и С, получим для параметра скорости самолета,
входящего в выражения функций qXJ Му, и аэродинамических коэффициентов.
394
Тонкостенные упругие стержни
k^ {v) и А:е (г;) уравнение:
i j i
EJx\№ydz-±fn*\w)*dz
\МЛ^'dz^k^v^dz
— -—(О
8
\|rdz
\Myl^dz
EJm\(iydz +
о
+ (C/d-I^-CD«)5(X')»dz-
О
I
•[^**-q&-kb(v)]\x*dz
0.
(6.11)
В этом уравнении искомая скорость v связана с частотой круговых
колебаний со; при принятых зависимостях qx, Mv, к-^ (v) и fce (г;) уравнение
будет четвертой степени.
Присоединяя к уравнению (6.11) условие экстремума, мы сможем
определить критическую скорость, при которой должно разрушиться крыло
самолета.
3. Кроме указанных факторов, можно также учесть и наличие
начальных напряжений от температуры или от предварительного натяжения
арматуры; эти начальные напряжения учитываются заменой жесткости
при чистом кручении G/<j приведенной жесткостью GJd по формулам
(1.9) и (5.1) гл. VII.
Изложенная здесь теория может быть распространена также и на
задачи аэродинамической устойчивости конструкции крыла самолета в
сверхзвуковом потоке. В этом случае члены уравнений (6.7), зависящие
от аэродинамических нагрузок, могут быть определены по методу,
предложенному А. А. Ильюшиным [93].
Глава X
СТЕРЖНИ СПЛОШНОГО СЕЧЕНИЯ1
§ 1. Общая теория. Основные уравнения
1. Рассмотрим упругое тело, имеющее форму цилиндрического или
призматического стержня. Отнесем это тело к прямоугольной левовинто-
вой системе координат Oxyz, направив ось Oz параллельно боковой
образующей (рис. 203, а). Излагаемая здесь теория депланации стержней
сплошного сечения основана на той же гипотезе, что и теория тонкостенных
стержней открытого профиля, а именно: на гипотезе об отсутствии
деформации стержня в плоскости поперечного сечения. Геометрический
смысл этой гипотезы состоит в том, что элементарный диск стержня,
заключенный между сечениями z=const и z + dz = const, в своей плоскости
рассматривается как жесткое, абсолютно твердое тело. В силу этой
гипотезы элементарный диск в отношении перемещений, происходящих в
плоскости поперечного сечения, обладает тремя степенями свободы,
соответствующими двум поступательным смещениям и и г;, параллельным
осям координат Ох и Оу, и одному вращательному перемещению 8
относительно продольной оси Oz (рис. 203, б).
Что касается деформации элементарного диска dz из плоскости
поперечного сечения, то этот диск рассматривается как деформируемое
упругое тело, обладающее, вообщее говоря, бесконечно большим числом
степеней свободы, из которых три относятся к перемещениям диска из
своей плоскости как жесткого тела (поступательное перемещение по оси
Oz и два поворота диска относительно осей Ох и Оу). Остальными
бесчисленными множествами степеней свободы описываются компоненты
депланации диска, возникающие в результате его упругих деформаций из
плоскости поперечного сечения. Практически для деформации диска из
плоскости поперечного сечения достаточно ограничиться четырехчленной
формулой, три компонента которой относятся к деформациям диска по
закону плоских сечений, а четвертый компонент относится к депланации
сечения. Исходя из принятых здесь гипотез и пользуясь основными
результатами теории тонкостенных стержней, мы можем перемещения
и (ху у, z), v (х, y,z) и w (х, г/, z) какой-нибудь точки стержня представить
в следующем виде:
и (ж, г/, z) = и (z) — 0 (z) г/, ^
v(x, г/, z) =v(z) + e(z)x; \ (1.1)
w (ж, г/, z) = wx (z) + w2 (z) x + w3(z)y + w4 (z) cp (x, y)y j
1 Вопрос о правомерности распространения гипотез автора на стержни
сплошного сеченая требует дополнительного исследований. При этом необходимо
обоснование этих гипотез и выяснение пределов их применимости, а также
экспериментальная проверка результатов расчетов, проведенных на их основе (Прим. ред.).
396
Тонкостенные упругие стержни
гдеи (z), v{z), 8 (z), wx (z), w2(z), &>3(z), w4(z) — искомые функции,
зависящие каждая только от одной координаты z. Величины и (z) и v (z)
представляют собой прогибы оси Oz стержня по направлению двух других осей
поперечного сечения Ох и Оу. Величина 9(z) представляет собой угол
поворота поперечного сечения стержня относительно продольной оси Oz
(угол кручения).
Величиной w\ (z) определяется поступательное смещение поперечного
сечения стержня z = const вдоль оси Oz. Величины w2 (z) и w3 (z) относятся
к изгибу стержня по закону плоских сечений. Величина wA (z)
представляет собой меру депланации поперечного сечения стержня, а
распределение продольных перемещений w (х, у, z) при этой депланации в поперечном
сечении z = const представлено функцией ф (я, у).
В теории тонкостенных стержней открытого профиля функция ср (х, ?/)
при стесненном кручении определялась законом секториальных
площадей со (s), а мера депланации была равна взятой с обратным знаком
производной по переменной z от угла кручения [—0'(z)]. Это являлось
следствием второй принятой гипотезы, по которой деформации сдвига в
срединной поверхности стержня были равны нулю. В данном случае эта
гипотеза, а следовательно, и закон секториальных плошадей не имеют
смысла. Вместо этого закона мы в дальнейшем при кручении будем
пользоваться гиперболическим законом аксиальных площадей и задавать функцию
Ф формулой1
Ф(ж, у) = ху. (1.2)
Вообще же депланация стержня при стесненном кручении может быть
определена в каждом частном случае и другим законом, например
законом, вытекающим из теории Сен-Венана, относящейся к задаче о чистом
кручении стержня.
Излагаемая здесь теория депланации стержней сплошного сечения,,
в отличие от теории тонкостенных стержней открытого профиля, носит
более общий характер. Эта теория справедлива для стержней как
сплошного сечения, так и для тонкостенных стержней закрытого односвязного
или многосвязного профиля и позволяет учесть фактор депланации сече-
1 Такой закон был впервые предложен нами для тонкостенных стержней-оболочек
закрытого профиля.
Гл. X. Стержни сплошного сечения
397
ния не только при кручении, но также и при изгибе или растяжении
стержня.
Функция ф (ж, у), которую мы будем называть обобщенной
координатой депланации поперечного сечения стержня, вместе с тремя
элементарными функциями 1, х, у, представляющими обобщенные координаты
закона плоских сечений, образуют систему четырех линейно
независимых между собою функций.
2. Представив перемещения и(х, у, z), v (ж, у, z) и w(x, у, z) в форме
конечных разложений (1.1), мы будем иметь для компонентов деформации
стержня следующие выражения:
__ ди (х, у, z) _ п
е** ~~ дх ~ Uj
_ dv (ху у, z) _ п
еУУ ~~ ду ~~ '
du (а?, у, z) , dv (х, у, z) _ 0
ду "Т- дх — и>
^ху
dw (а?, у, 2)
dz
= ^i (^) + u;2 (z) ж + м>з (2) г/ + ^4 (г) ф (х, у),
ди (а:, у, z) , dw (х, у, z)
dz
дх
^уг
= и' (z) + юг (z) - 0' (z) у + ю4 (z) -teJd
__ дг; (а?, у, г) , dw (а?, у, г) _
dz
dy
(1.3)
= г;'(*) + wz{z) + 0'(z)я + w,(z) i*J^-.
Из этих шести компонентов в нашей модели отличными от нуля
являются деформация удлинения егг в продольном направлении и деформации
сдвига exz и еуг соответственно в продольных плоскостях Oxz и Oyz.
Остальные деформации,- происходящие в плоскости поперечного
элементарного диска, в соответствии с принятой гипотезой, равны нулю.
3. Зная деформации, мы можем по общим формулам теории упругости
определить и напряжения.
Из условий
в** =^[°х — V(0y + 0z)] =0,
находим:
evv = 1? [°v — v (°* + °z)] = 0
<з* =
б« =
1—V
V
'V — 1 — v
<32.
При зтих соотношениях закон упругости для продольной
деформации егг принимает вид
oz^E1eZZf (1.4)
где
1 —V
Е* = l-v-
2v2
Е
(1.5)
(v— коэффициент Пуассона).
Величина jEi, определяемая формулой (1.5), представляет собою
приведенный модуль упругости при продольном растяжении. В дальнейшем
398
Тонкостенные упругие стержни
этот модуль будем обозначать буквой Е, определяя его либо по формуле
(1.5), либо приравнивая, как и в случае тонкостенного стержня открытого
профиля, простому модулю упругости при растяжении.
Формула (1.4) по подстановке в нее выражения для ez2, определяемого
соответствующей формулой (1.3), принимает вид
dw
oz = E-7rr =E[wx(z) + Щ (z)x + ws(z)y + wA(z) q> (x, y)]. (1.6)
dz
Для касательных напряжений x^ и xyz, возникающих в нашей модели
в результате упругой дефо.рмации, получаем, воспользовавшись
зависимостями (1.3), выражения:
x„ = Gex2 = G[u'(z) + w2(z)-Q'(z)y + Wt(z)^^]A
хуг = Geyz = G\v'(z) + w3(z) + 9' (z)x +w< (z) Щ±Щ 'J
где G — модуль упругости при сдвиге.
Положительные направления этих напряжений показаны на
выделенном из стержня элементарном параллелепипеде со сторонами dx, dyr
dz (рис. 204).
Касательные напряжения определяются здесь, исходя из закона Гука.
В этом еще одно отличие этой теории от теории тонкостенных стержней
открытого профиля, в которой, в
силу гипотезы об отсутствии в
срединной поверхности
деформаций сдвига, касательные
напряжения определялись, исходя и?
условий равновесия.
4. Переходим к выводу
основных дифференциальных
уравнений для определения семи
искомых одномерных функций и (z)r
v (z), 0 (z), щ (z), w2 (z), w3 (z)
ny4 (z). Воспользуемся
предложенным нами общим вариационным
методом, применяя принцип
возможных перемещений к
элементарному поперечному упругому
Рис. 204 диску толщиною dz, отстоящему
по длине стержня от начала
координат на произвольно фиксированном расстоянии z = const. На
этот элементарный диск действуют внешние силы, состоящие из сил,
действующих на площадках сечений z = const и z + dz = const и
происходящих от нормальных и касательных напряжений, заменяющих
собою действие отброшенных частей стержня, и сил, обусловленных
приходящейся на диск заданной внешней объемной и поверхностной
нагрузкой. Кроме того, диск будет испытывать внутренние упругие напряжения,
возникающие в результате упругой депланации диска. Так как
выделенный из стержня указанным способом элементарный поперечный диск
находится в равновесии, то сумма работ всех сил, относящихся к этому
диску, как внешних, так и внутренних, на виртуальных перемещениях
должна быть равна нулю. За виртуальные перемещения берем
продольные перемещения, соответствующие любой из четырех
линейно-независимых между собою обобщенных координат:
%(ж, у) = 1, х, уу ф (#, у). (1.8)
Гл. X. Стержни сплошного сечения
399*
Обозначим компоненты по осям координат от внешней объемной
нагрузки через X, Y, Z, а от внешней поверхностной нагрузки через Xv,
YVl Zv.
Тогда понимая под г|)| одну из обобщенных координат (1.8), можно
записать обобщенное условие равновесия упругого элементарного диска
в виде
g *L tydxdy - \\ т« -^ dxdy -
— Ц xvz^dxdy + ^Ztydxdy + ^Z^ds = 0. (1.9)
Двукратное интегрирование распространяется на всю площадь
поперечного сечения стержня; однократный интеграл вычисляется по координате
5 для всего контура, ограничивающего поперечное сечение данного
стержня в плоскости Оху.
Первое слагаемое общего вариационного уравнения (1.9) представляет
собою сумму работГвсех внешних элементарных сил L dx dv на соот-
ветствующем виртуальном перемещении г|н. Вторым и третьим слагаемыми
определена работа внутренних касательных напряжений на
соответствующих деформациях сдвига рассматриваемого виртуального состояния.
Четвертым слагаемым учитывается виртуальная работа всех внешних
объемных продольных сил Z, относящихся к данному элементарному диску.
Наконец, последним слагаемым представлена сумма работ всех внешних
продольных поверхностных сил Zv, приходящихся на элементарный
диск.
Придавая в уравнении (1.9) функции г|?| последовательно значения
четырех обобщенных координат 1,#, г/, ф(я, г/), получим систему четырех
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно семи искомых
одномерных функций и (z), v (z), 8 (z), ал (z), тг (z), w3 (z) и wA (z).
Три дифференциальных недостающих уравнения получим, составляя
уравнения равновесия элементарного диска, как жесткого тела в своей
плоскости (условия равенства нулю проекций всех сил на ось Ох, на ось
Оу и момента относительно продольной оси Oz):
(1.10)
\\^dxdy + §Xdxdy + ^Xvds = 0,
2 ^dxdy + g Ydxdy + \ Yvds = 0,
\\(^z-^y)dxdy + \\(Yx-Xy)dxdy +
+ \{Yvx — X^y)ds = 0.
В раскрытом виде системы уравнений (1.9) и (1.10) после использо-
Q
вания формул (1.6) и (1.7) представлены в табл. 45, где у = -т? , a D
означает взятие производной по переменной z от функции, стоящей
в заголовке таблицы:
D = — D2 = —
и dz ' " dz* •
В таблице приняты следующие сокращенные обозначения:
Таблица 45
S
и
ф
и
п
СС
>>
ф
а
я
я
о
S
Я
СС
СС
CQ
К
Я
о
ф
И
О
я
и
СС
Ф
я
ф
и
и
СС
ft
>>
1
2
3
4
1
2
3
ичСг)
/'Я2
v*
\sxD*
\S*D%
0
0
] °
1
w2(z)
SyD*
JyD*_iF
JxyW
j(*>v)D2~Ad£)
FD
0
~SXD
wz{z)
SXD*
J*v&
JXD* _ 4F
J(y.V)D*~yj(fi)
0
/-.о
V>
u>4(z)
V*
7^q>^-T/(g)
7^ФД>*-Т/(|?)
v-^(SMg)]
>№>
4>
['(-8МЙ)>
u(x)
0
— 4FD
0
-r'(S)»
FD1
0
-V
*w
0
0
— ifd
-^e->
0
FD*
SyD*
6(«)
0
T^D
-tV>
W?M-&)>
• — SjD»
V*
c^ + V^
Члены от
нагрузок
у-1
ь
i
Ё '
*"
1
1
0
0
0
0
0
0
0
Гл. X. Стержни сплошного сечения
401
а) принятые в сопротивлении материалов обозначения площади
поперечного сечения, статических моментов и моментов инерции:
^ dx dy = F,
^ у dx dy = Sx,
\\ x dx dy = Sv,
^ y2 dx dy ■= Jx,
U x2 dx dy = JV1 [
U a:?/ da: dy = Jxy.
(1.11)
б) геометрические характеристики, аналогичные секториальному
статическому моменту Sa и секториальному моменту инерции /<* теории
тонкостенных стержней открытого профиля, названные соответственно
статическим бимоментом и бимоментом инерции:
yjcp dx dy = 5Ф, }
^y2dxdy= /ф; )
(1.12)
в) новые геометрические характеристики, напоминающие по своей
структуре моменты инерции и частично имеющие аналогов в теории
тонкостенных стержней, а частично специфические для упругого
сплошного стержня, обозначенные буквой J с аргументом, равным
подынтегральной функции:
\\фо: dx dy = / (д;<р),
^фг/ dxdy = /(г/ф),
2*3* *-'(*£)•]
(1.13)
г) наконец, для членов, зависящих от внешней объемной и
поверхностной нагрузки, приняты обозначения:
U Z dx dy + \ Zv ds = qz,
\\Zx dx dy + \ Zvxds = rx,
^ Z# da: di/ + \ Zv*/ds = rv,
UZq> da: di/ + \ Z^ds = гф, [ (1.14)
§ X dxdy + \^X*ds = jxt
№ У da; dz/ + ^Fv ds = ^,
^ (У* — X*/) da: <Zy + §(Yvx — Xvy) ds = m.
5. Система дифференциальных уравнений табл. 45 выведена в
произвольной системе координат. Система уравнений значительно
упростится, если за оси координат приняты главные центральные оси. Как
402
Тонкостенные упругие стержни
известно, при этом обращаются в нуль три характеристики:
Ох = Sy = JХу = 0.
Если в качестве ф (х, у) возьмем функцию
J(x*y)
Ф (х, у) = ху у
J(xy*)
У:
(1.15)
ортогональную с тремя обобщенными координатами 1, жиу закона
плоскости, то в нуль будут обращены еще три геометрические характеристики,
а именно:
5Ф = / (жр) = / (г/ф) = 0.
Остальные геометрические характеристики, зависящие отфункцииф (х, у),
при выборе ее в форме (1.15), будут иметь значения:
'(*S) = /" J{v £) = J" J(1-16)
Система дифференциальных уравнений в главных центральных осях,
при функции ф (я, j/), определяемой формулой (1.15), будет иметь вид:
J(a?y)
wt — GFu' + rx = 0, (a)
EFw\ + qz = 0,
£/vu>; - GFw2 + GF
У
EJxwl - GFw3 + GF^^Wi - GFv' + ry = 0, (6)
Jx
GF^-^> w2 + GF J-^t W3 + EJjvl -G\jx + Jv +
JV Jx I
+ F [^f + F [^p])wt + GF^u' +
+ GFJJpQ-v' +G(JV- Jv) 8' + гф = 0,
GFw2 - GFJ-^w'i + GFu" + qx = 0,
GFw3 - GFJJp.w\ + GFv" + qy = 0,
G(Jv - Jx)Щ+G (Jx -f /„) 9" + m = 0.
(в)
(r)
(Д)
И
(1.17)
Первое уравнение (1.17) не связано с остальными шестью уравнениями
системы и в дальнейших преобразованиях не нуждается. Система
остальных шести дифференциальных уравнений путем исключения функций
w2, w3 и w4 может быть приведена к системе трех дифференциальных
уравнений относительно трех функций и, v и 0. Исключение можно
провести следующим образом: из трех последних уравнений (г), (д) и (е)
определяем w'2, w'3 и w't через вторые производные от функций и, v и 6
и подставляем в три уравнения (а), (б) и (в), предварительно продифферен-
Гл. X. Стержни сплошного сечения
403
цировав их один раз по переменной z. После преобразований получим
три следующих дифференциальных уравнения относительно трех
искомых функций u(z), v(z) и 0(2):
(1.18)
где
EJyu™ + EJ (х*у) 4^±ф> eiv = дХ9
EJxv™ + EJ (ху*) J-£^- eiv - qyt
EJJSW — G^f? 9» = m,
JX-TJy
~ , > EJy » EJ(x*y)
, . EJx * EJ{xy*)
9v = 9v + ry--urqy- G (/;_ jx) m ,
— EJ* » , JV~Jx Г , J(x*y) J(xy2) 1
Первое уравнение системы (1.17), относящееся к продольному
растяжению, полностью совпадает с аналогичным уравнением теории
тонкостенных стержней. Последнее уравнение (1.18) аналогично уравнению
стесненного кручения теории тонкостенных стержней, если считать выра-
жение г . j приближенным значением момента инерции при чистом
Jx~r Jy
кручении Jd.
Два остальных уравнения, т. е. два первых уравнения системы (1.18)г
относящихся к изгибу стержня в главных плоскостях, отличаются от
соответствующих уравнений теории тонкостенных стержней наличием членов
с четвертой производной от угла кручения 0 (г). Эти уравнения тоже можно
привести к виду, совершенно аналогичному соответствующим уравнениям
изгиба в главных плоскостях тонкостенных стержней открытого профиля.
С этой целью обратимся к первым двум уравнениям (1.1), которые
выражают перемещения любой точки поперечного сечения через перемещения
и угол поворота начала координат. Пусть, для определенности, точка А
с координатами ах и ау является точкой, для которой определяются
перемещения ua и va\ тогда формулы (1.1) примут вид:
иА — и — ау8, vA = v + #x0. (1.19)
Разрешая уравнения (1.19) относительно и и v (перемещений начала
координат), получим:
и = иА + #^8, v = va — #x9- (1.20)
Если в формулах (1.19) угол кручения 0 относился к оси, проходящей
через начало координат, то в формуле (1.20) нужно угол0 относить к оси,
проходящей через точку А(ах, ау).
Подставляя (1.20) в два первых уравнения системы (1.18), получим:
EJvulZ + (EJyay + EJ(Jy)^±-f^ в™ = дх, J
EJxv^+(-EJxax+EJ(xy^J^^^ = qy. I
(1.21)
404
Тонкостенные упругие стержни
Выберем точку А так, чтобы ее координаты обращали в нуль
коэффициенты при 6IV. Тогда уравнения (1.21) будут иметь вид, совершенно
аналогичный соответствующим уравнениям тонкостенных стержней
с открытым профилем:
EJvul? = qx, EJxvlZ=qv. (1.22)
Точка А будет центром изгиба для стержней сплошного сечения
и ее координаты будут определяться формулами, аналогичными
соответствующим формулам тонкостенных стержней открытого профиля:
J(*y2) Jx + Jy
Jy~Jx
а-и =
j(xhj) Jx + Jv
'T„
(1.23)
6. Исходя из отмеченного в предыдущем пункте совпадения вида
дифференциальных уравнений стесненного кручения для стержней
сплошного сечения и тонкостенных стержней открытого профиля, мы по анало-
UxJy
гии можем коэффициент т—р-у- отождествить с моментом инерции при
Jx + Jy
чистом кручении /d.
Полагая J а =
U J.
х" у
, мы получаем приближенную и очень простую
Лс + V
формулу для определения жесткости при чистом кручении для стержней
оплошного или полого сечения.
47 /
Ниже в табл. 46 мы приводим значения величин 7 * ут > ВЫЧИСЛеН-
ные для стержня прямоугольного сечения с различным соотношением
Таблица 46
N. ъ
N. а
Jx + Jy
Jd
1
0,167
0,141
2
0,267
0,229
3
0,300
0,263
4
0,319
0,281
5
0,321
0,291
10
0,330
0,313
оо
0,333
0,333
сторон — . Для сравнения даны величины /d, вычисленные точными
методами теории упругости для тех же сечений (в таблице даны
коэффициенты при а3Ь) [136].
Как видно из таблицы, несмотря на приближенность формулы т * ут ,
значения величин, полученные при помощи этой формулы, довольно
близко подходят к точным значениям /d, особенно при больших
значениях отношения — ; наиболее неблагоприятный случай соотношения
— =1 (квадратное сечение) дает расхождение 18%.
Гл. X. Стержни сплошного сечения
405
7. Основные уравнения изложенной здесь общей теории депланации
стержней могут быть получены также и методом непосредственного
приведения трехмерной проблемы теории упругости к одномерной.
Уравнение равновесия элементарного параллелепипеда в направлении оси
Oz имеет вид
дхгх dxzy даг
~дГ + ~~ЪТ + ~9Г + Z = °'
Определяя в этом уравнении напряжения по формулам:
'ди , dw '
j-у dw
и принимая во внимание нашу основную гипотезу об отсутствии
деформаций ехх> вууу еху в плоскости, перпендикулярной к оси стержня,
получим уравнение для продольного перемещения iv = w(xy г/, z):
где E — приведенный модуль продольной упругости.
Полагая в уравнении (1.24)
w (х9 у, z) = ^ wk (z) Ф* ix> У)
к = 1, 2, 3,... ,п
(где фл—функции заданные, a H^(z) — искомые), умножая это
уравнение в соответствии с вариационным методом приведения на ф (х, y)dx dyr
беря затем от левой части уравнения интеграл по всей площади
поперечного сечения стержня, применяя там, где требуется по ходу выкладок,
формулу интегрирования по частям и приравнивая результат нулю,
получим при фиксированном значении номера i и при надлежащем выбора
аппроксимирующих функций соответствующее i-e вариационное
уравнение системы табл. 45.
Изложенный здесь вариационный метод приведения к обыкновенным
дифференциальным уравнениям при широком использовании основных
физических гипотез и понятий может быть с успехом применен не только
в теории стержней, пластинок и оболочек, но также и к другим задачам
математической физики. Так, например, на основе этого метода могут быть
разработаны приближенные решения ряда задач теории фильтрации,
гидродинамики, теплопроводности и т. д.
8. Следует отметить, что изложенная здесь теория изгиба и кручения
стержней сплошного сечения, представленная основным уравнением
(1.24), имеет принципиальное отличие от теории Сен-Венана. Это отличие-
состоит в том, что в то время как в теории Сен-Венана и в элементарной
теории изгиба балок предполагается, что продольные волокна (слои)
бруса при изгибе и кручении не оказйвают давления друг на друга,
в нашей.теории, наряду с напряжениями в поперечном сечении стержня,
учитываются также и нормальные напряжения, действующие на
площадках, параллельных оси Oz.
В силу указанного различия исходных гипотез наше основное
уравнение (1.24), наряду с производными по х и у, содержит также и вторую
406
Тонкостенные упругие стержни
частную производную по z. Соответствующее же уравнение теории Сен-
Венана имеет частные производные от искомой функции .только по
координатам х и у поперечного сечения бруса.
9. Заметим, что для стержней сплошного сечения будут справедливы
дифференциальные уравнения устойчивости (1.10) гл. V и уравнения
колебаний (1.9) гл. IX теории тонкостенных стержней. Это следует из
того, что дифференциальные уравнения изгиба (1.22) и уравнение
кручения теории стержней сплошного сечения [третье уравнение системы
(1.18)] полностью совпадают с соответствующими уравнениями изгиба и
кручения теории тонкостенных стержней [уравнений (7.3) гл. I]. Отличие
будет заключаться лишь в значении его метрических характеристик. При
вычислении этих характеристик контурные интегралы в теории
тонкостенных стержей заменяются двукратными интегралами теории стержней
сплошного сечения, секториальный бимомент инерции J^ при законе де-
планации (1.15) заменяется характеристикой /ф = \\ y2dxdy, момент
F
UXJV
инерции при чистом кручении Jd вычисляется по формуле Ja —
а координаты центра изгиба определяются по формулам (1.23).
§ 2. Стержни с двумя осями симметрии
Система дифференциальных уравнений (1.17) значительно упрощается,
когда мы имеем дело со стержнями, обладающими в поперечном сечении
одной или двумя осями симметрии.
Рассмотрим для примера стержень с двумя осями симметрии; это
может быть стержень прямоугольного сечения, двутавр с равными
полками, стержень эллиптического сечения — сплошной или с отверстием
эллиптической же формы и т. д. Геометрические характеристики / (х2у)
и J(xy2) в этом случае обращаются в нуль. Оставляя в стороне вопросы об
изгибе в главных плоскостях и растяжении, как хорошо известные из
сопротивления материалов, обратимся к задаче о стесненном кручении
стержня; система уравнений (1.17) распадается и задача о стесненном
кручении описывается двумя дифференциальными уравнениями (в) и
(е) системы (1.17):
EJwl-G(Jx + Jy)wA + G(Jx-Jv)W + гф = 0,
•G(Jx-Jv)wA + G(Jx + Jy)Q' + m = 0. | (2Л)
Систему двух уравнений (2.1) можно свести к одному
дифференциальному уравнению относительно угла кручения 0 путем исключения
функции w^ подобно тому, как это было сделано выше. Здесь выгоднее
применить другой способ — способ введения разрешающей функции; он
удобен тем, что не приходится прибегать к дифференцированию уравнений
(2.1) и тем самым вводить в рассмотрение вместо самих функций,
зависящих от нагрузок гф и т, имеющих ясный физический смысл, их
производные.
Введение разрешающей функции особенно просто, когда одно из
уравнений системы (2.1) однородное; поэтому мы рассмотрим два случая:
а) при внешней продольной нагрузке сохраняем гф=/=0 и полагаем т=0;
б) при внешней поперечной нагрузке полагаем гф=0 ит^О.
а) В первом случае будем иметь систему уравнений:
EJjv\ -G(JX + J у) Wt + G (Jx - J у) 9' +>ф = 0,1
-Gk(Jx~Jy)w^ + G(Jx + Jy)^ = 0. } ( '2)
Гл. X. Стержни сплошного сечения
407
Выбираем разрешающею функцию F — F (z) так, чтобы второе,
однородное, уравнение системы (2.2) удовлетворялось тождественно.
Для этого нужно положить:
и-4 = (Л + Jy) F\ 0 = (Jx - Jy) F\ (2.3)
Подставляя (2.3) в первое уравнение системы (2.2), получим
разрешавшее уравнение для системы (2.2) в следующем виде:
Я/ф (Л + /у) ^IV - 4G7X /tf F' + гф = 0. (2.4)
В некоторых случаях удобно представить это уравнение
относительно бимомента. Бимомент, как известно, представляется по
определению в следующем виде:
В = §°(z> *, у)ср(я, y)dxdy.
Подставляя сюда значение о из формулы (1.6), получим:
В = EJj»v
а на основании первой формулы (2.3) будем иметь
В = EJ* (Jx + Jv) F'\ (2.5)
Продифференцировав уравнение (2.4) один раз по переменной z и
воспользовавшись выражением (2.5), получим
В—1Г'Ш + ЧВ + Г* = 0-
б) Во втором случае, при внешней нагрузке, состоящей из поперечных
сил, т. е. когда т ф 0, а гф = 0, система дифференциальных уравнений,
о которой мы выше говорили, будет иметь следующий вид:
EJ^wl - G(JX + Jy) w, + G (Jx - Jv) 9' = 0, |
- G (Jx - Jy)w\ -|- G (Jx + Jy) 0" + m = 0. i
В этой системе первое уравнение однородно, и поэтому разрешающую
функцию ищем в виде, тождественно ему удовлетворяющем:
"4= -G{Jx-Jy)F', \
6 = EJJ?* - G (Jx + Jv)F.j
После подстановки (2.7) во второе уравнение системы (2.6) получим
разрешающее уравнение в виде
EJ9 (Л + /„) FIV - 4GJxJyF" + -J- = 0 . (2.8)
Это уравнение в своей однородной части совпадает с уравнением (2.4).
Уравнение (2.8), если разделить его на (Jx + Jy), можно представить
и в таком виде:
Мы можем получить искомое дифференциальное уравнение и
относительно неизвестной функции 6 (z). Для этого необходимо первое урав-
Тонкостенные упругие стержни
нение системы (2.1) продифференцировать один раз по 2, и с помощью
второго уравнения (2.1) исключить функцию м/ (2). Обозначая
получающийся при этом свободный член через т (2), будем иметь
EJ^-G^L. 9'-т = 0.
jx~t~jv
Это уравнение по своей структуре совпадает с уравнением стесненного
кручения тонкостенных стержней открытого профиля.
§ 3. Стержни с одной осью симметрии
Большой практический интерес представляют задачи о расчете
стержней сплошного сечения или полых толстостенных конструкций,
обладающих в поперечном сечении одной осью
симметрии, например
железнодорожного рельса (рис. 205, а) или корпуса
судна с поперечным сечением,
изображенным на рис. 205, б. В задачах этого
рода мы исследуем вопрос о
совместном действии изгиба из плоскости
симметрии и стесненного кручения,
сопровождающегося депланацией
сечения, оставляя в стороне более простой
вопрос о продольном растяжении и
изгибе в плоскости симметрии.
Таким образом, из семи искомых
функций (компонентов перемещения)
три, а именно: wx (2), w3 (2) и v (2), мы исключаем из рассмотрения, а
четыре: u(z), 9 (2), w2(z) и Wt(z) — мы должны определить. Формулы (1.1)
для этого случая принимают вид:
Рис. 205
и (2, х, у) = u(z) — Q(z)y,
v(zfx, y) = Q(z)x,
w (2, x, у) = w2 (2) X + w4 (z) ф (x, y).
(3.1)
Система дифференциальных уравнений табл. 45 тоже будет иметь для
этого случая более простой вид, так как мы должны будем отбросить
первое и третье вариационные уравнения и второе уравнение равновесия.
Предполагая, что сечение отнесено к главным центральным осям, получим
систему дифференциальных уравнений, записанную в форме табл. 47.
Закон распределения депланации по поперечному сечению зададим
в виде произведения координат ху и функцию ф (#, у) возьмем в виде
Ф (х, ij) = xy + ах.
(3.2)
Требуя, чтобы функция ф(#, у) была ортогональна с функцией х, найдем
для а следующее значение:
При таком выборе функции ф (х, у) величины, входящие в состав
коэффициентов системы дифференциальных уравнений табл. 47 будут иметь еле-
Гл. X. Стержни сплошного сечения
409
дующий вид:
/ (х<р) = 0,
'(*)'-'. + "-'. + ^.| ,3.3,
Система дифференциальных уравнений табл. 47 после некоторых
несложных преобразований может быть заменена другой, более удобной
системой:
w = г
4 /.
х JV
' +
с(^-^) *
2 ч Jv Jx Jy
- EJvii™ + EJ (x*y) ^±£2f eIV + r* = 0,
д/фе1У-g jJfl a* + m = o,
(3.4)
где дж ,гя и те обозначают:
MyVx-'J
т —
G/?1
Ях,
Гх=дХ + Гх + -7г • j __j ™ —утрЯх,
** X и у
GF
m =
m
ял,
С(/Ж + /у)
лг
Третье уравнение системы (3.4) может быть преобразовано к другому
виду, если вместо функции и (z), обозначающей перемещение начала
координат в направлении оси Ох, ввести другую функцию иА (z),
обозначающую перемещение в направлении оси Ох некоторой точки А,
отстоящей от начала координат .на расстоянии г
йу =
J(*y) JX+Jy
(3.5)
откуда
1 Из первой формулы (3.1) имеем:
"1 = и(2) — 0(2) V
и = иА + ayQ.
Подставляя последнюю формулу в третье уравнение системы (3.4) и требуя
обращения в нуль коэффициента при 0IV, придем к (3.5).
410
Тонкостенные упругие стержни
Таблица 47
«
К
Я
ф
ю
а
Он
>>
ф
s
s
о
S
S
ев
я
о
Ф
ю
о
93
И
ей
«
В
X
ф
S
«
а
2
4
1
3
*'2(S)
EJyD*—GF
EJ (ачр) D2 —
GW>
—
иг«(2)
AV(«p)i)»-G7(|f)
"(S)*
И(2)
— GFD
-<"©)»
| G/?D2
—
в W
—
-41)]°
—
1 С (/,+ /„)/)•
* О.
Щ
rJ
ГФ
<?x
/Я
К
ее
0
0
0
0
Третье уравнение системы (3.4) примет обычный вид
дифференциального уравнения изгиба балки
-EJyiil7 + "гя = 0. (3.6)
После определения 0 из последнего уравнения (3.4) и и (z) или иА (z)
из уравнения (3.6), перемещениям^ ин;4 легко определяются из двух
первых уравнений системы (3.4); следовательно, основным разрешающим
уравнением является последнее уравнение системы (3.4), аналогичное,
как уже указывалось, по своей структуре уравнению стесненного
кручения теории тонкостенных стержней открытого профиля.
Остается сказать несколько слов о вычислении геометрических
характеристик, при помощи которых составляются коэффициенты
дифференциальных уравнений. Что касается определения координат центра
тяжести, площади поперечного сечения и моментов инерции Jx и Jy, то эти
величины имеются в большинстве инженерных справочников; поэтому мы
обращаем внимание только на вычисление двух новых геометрических
характеристик: J (х2у) и J (х2у2), входящих в состав бимомента
инерции /ф.
Поскольку точное вычисление интеграла / (х2у) и / (х2у2)
представляет достаточные трудности, а при приближенном характере излагаемой
здесь теории является даже излишним, мы предлагаем при вычислении
/ (х2у) и / (х2у2) пользоваться методом разбивки сложных сечений, типа
рельса и др., на элементарные прямоугольники и трапеции с основаниями,
параллельными оси Ох и соответственным образом вписывающихся в
заданную конфигурацию. Формулы же для прямоугольника и трапеции
имеют достаточно простой вид. Для прямоугольника с основанием Ъ и
высотой /г, центр тяжести которого отстоит от оси Ох на расстоянии у0
Гл. X. Стержни сплошного сечения
411
(рис. 206, а), имеем:
. h _L Ь
\ г/ \ x2dxdy =
h b
• h i b
Ve+T +T
\ г/2 \ x2dxdy =
h b
ЛЬ3
ИГУо'
— (v2 + -^
12 \^o^ 12 j '
(3.7)
Для равнобокой трапеции с основаниями 61т 62 и высотой /г, центр
тяжести которой отстоит от оси Ох на расстоянии у0 (рис. 206, б),
получаем более сложные формулы:
ь2—bi .
Uo+Cl +-I-k-v1 <*+-.-«>]
/ (x2y) = \ у \ x2dxdy =
' ф\ + bl) (b, + bt) + -^r {bt - b,) (Ы + Zbxb2 + bi),
48
J(xY)
(3.8)
Vo+Ci
+U»'-
b2—bj
(Vo-fCi—V)
\ «
s
]
я2 da: с?г/ =
1/a+C-h _ I [bt-^i (lArfc,-!/)]
e it {(f)2 (fel +*■>(6? +bl) + # <*■ - 6*> ^ +36lu» + *■> +
+
/г2
180 (6i + 62)
[2 {Ьг + 62) (6? + 65) + 56^ (6x + b2f + ЬЩ , (3.9)
где сг
h 2b\ -f- b2
"3
61 + 62 '
Для подсчета геометрических характеристик стержня типа рельса
можно в первом приближении разбить поперечное сечение на небольшое
количество простых частей, например, как показано на рис. 207.
Результат, конечно, будет ближе к действительности, если контур будет разбит
на большее количество прямоугольников и трапеций, лучше
вписывающихся в контур поперечного сечения. J (х2у) и J (х2у2) для всего сечения
получается суммированием результатов, полученных по формулам,
(3.7), (3.8), (3.9) для составляющих поперечное сечение прямоугольников
и трапеций. Ясно, что в случае необходимости подобным же образом
могут быть подсчитаны и любые геометрические характеристики, как то:
Р, $х, Sv, Jx и J у.
Для того чтобы иметь наглядное представление о том, как влияет
количество частей, на которые разбивается площадь при вычислении, на
точность результата, ниже приведена сравнительная табл. 48. В пей даны
значения величин интегралов / (х2у) и / (х2у2) для равнобокой трапеции,
вычисленные по формулам (3.8) и (3.9), и значения тех же интегралов,
вычисленные при помощи формул (3.7) путем замены трапеции
последовательно одним, двумя и четырьмя прямоугольниками.
В скобках даны значения тех же интегралов для перевернутой
трапеции при тех же размерах.
412
Тонкостенные упругие стержни
Изложенный выше метод расчета конструкций, обладающих в
поперечном сечении одной осью симметрии, как указывалось, в одинаковой мере
применим к расчету как стержней сплошного сечения, так и толстЪстенных
полых конструкций типа, например,
корпуса судна (рис. 205, 6). Однако в
последнем случае вычисление геометрических
характеристик, входящих в состав
коэффициентов дифференциальных уравнений,
практически сложно. Поэтому при рас-
0
о)
У*
hb
х
Рис. 206
чете полых или, вообще говоря, не сплошных (открытых или замкнутых)
конструкций мы предлагаем поступать так же, как и в теории
тонкостенных стержней, и относить поперечное сечение к срединной (профильной)
линии, что позволяет при вычислении геометрических характеристик
использовать графо-аналитические методы.
Таблица '48
0
U . *А
iV
FH
A
1
•'
XT
LtZ
0
tT5'1
,/t
1 ■*
!■ i,|
v
L VJ
У
J5E
\
Л = 2
&i = 3; 62 = 5
ci = ^
Уо — ^12 — 12
Л = 2
6 = 4
2/o = 3
Л = 1
&i = 3,5; 62 = 4,5
г/01 = 2,5; г/02 = 3,5
*-i
b*-3f. 3f;4l;4{
% = 2f. 2f; 3f; з|
J(x*y) = 36,7 (31,3)
J (aty) = 32,0 J (A/) = 35,5 (31,49) J (x*y) = 36,4 (31,35)
J(xV) = 122,16 (89,76) | J(*Y) = 99,6 |j (x2i/2) = 116,3 (92,16)| J(*V) = 120,69 (90,36)
§ 4. Замечание о принципе Сен-Венана
Нами неоднократно указывалось, что в тонкостенных стержнях как
открытого, так и замкнутого деформируемого профиля продольные
нормальные напряжения от воздействия продольных бимоментных нагрузок,
приложенных в каком-либо сечении стержня, могут иметь значительную
Гл. X, Стержни сплошного сечения
413
величину даже в местах, достаточно удаленных от места приложения
нагрузок. Другими словами, принцип Сен-Венана в приложении к такого
рода стержням имеет ограниченную область применения и выполняется
безусловно только в случае очень длинных тонкостенных стержней.
Стержни сплошного сечения так же, как тонкостенные стержни замкнутого
профиля с жестким контуром, в этом отношении отличаются от тонкостенных
стержней открытого и
замкнутого деформируемого
профиля, и принцип Сен-Венана
к ним применим в полной
мере. Проведем небольшой
сравнительный подсчет,
подтверждающий это положение.
Рассмотрим стержень
сплошного прямоугольного
сечения со сторонами а и
Ь = 2а и тонкостенный
стержень корытного сечения с
высотой стенки b = 2а,
шириной полок а и общей
толщиной б = 0,1 а. Пусть на одном конце каждого стержня приложена
уравновешенная нагрузка (бимомент), как показано на рис. 208. Для
стержня сплошного сечения
Рис. 208
в0 = 2 Рх*у*>
Л=1
где хк и ук — координаты вершин прямоугольника.
Для тонкостенного стержня корытного сечения
*=1
где О/с — секториальные координаты соответствующих точек поперечного
сечения.
Дифференциальное уравнение возьмем в форме
В" — к*В = 0.
(4.1)
Уравнение это однородное, потому что мы имеем дело с краевой внешней
нагрузкой, которую учтем при наложении граничных условий. Для
наших целей удобно считать, что стержень имеет неограниченную длину;
тогда второе граничное условие будет представлять ограниченность
(конечность) напряжений на конце стержня, достаточно удаленном от конца,
на котором приложена заданная нагрузка В0.
Коэффициент к2 имеет следующие значения:
для стержня сплошного сечения к2
чл
Е J9VX + JV) '
для тонкостенного стержня А:2 = -^г
GJ,
EJ,
Решение уравнения (4.1) берем в виде
В = C1e-kz + C2ekz.
Из условия ограниченности B(z) при z-*oo находим С2 = 0. Считая,
что бимомент В0 приложен на начальном крае 2 = 0, найдем С\ = В0.
414
Тонкостенные упругие стержни
Следовательно, бимомент в любом сечении от воздействия внешнего бимск
мента Во, приложенного при 2=0, будет выражаться формулой
B(z) = B0e-kz. (4.2)
Примем Е — 2G (при коэффициенте Пуассона v = 0). При взятых
размерах получим для стержня сплошного сечения к = 2,19а"1; для
А А*\
тонкостенного стержня J& = -щд- а4, Л> = -^т ав л к = 0,061а"1.
Подставив найденные значения к в формулу (4.2), подсчитаем, что
г>
бимомент будет равен —■ :
а) для стержня сплошного сечения в сечении, отстоящем от начального
на расстоянии z = 0,3а;
б) для тонкостенного стержня в сечении, отстоящем от начального на
расстоянии z = На.
Бимомент уменьшится в 10 раз:
а) для стержня сплошного сечения в сечении, отстоящем от начального
на расстоянии z~ а.
б) для тонкостенного стержня в сечении, отстоящем от начального на
расстоянии z = 38а.
Из этих сравнительных подсчетов мы видим, что затухание бимомента
по длине для стержней со сплошным сечением происходит более чем в
30 раз быстрее по сравнению с тонкостенными стержнями открытого
профиля и, следовательно, бимоментная нагрузка носит явно
выраженный местный характер.
§ 5. Депланация стержня при растяжении
В теории тонкостенных стержней открытого профиля депланация
поперечного сечения связана с кручением; обобщенная координата деплана-
ции представлена секториальной площадью co(s), а мерой депланации
служит взятая с обратным знаком производная от угла кручения [—Q'(z)].
В стержнях сплошного сечения и тонкостенных стержнях замкнутого
профиля депланация сечения в зависимости от характера задачи может
быть связана в равной мере и с другими видами деформации — изгибом
или растяжением; обобщенная координата депланации <p(#, г/), вследствие
этого, не может задаваться раз навсегда в какой то определенной
аналитической форме, и вид ее определяется характером задачи, а удачный выбор
во многом может зависеть от интуиции исследователя.
Пример. Рассмотрим круглый стержень сплошного сечения
длиной 2/, радиуса г = а, растягиваемый продольными сосредоточенными
силами Р, приложенными по торцам и направленными по оси стержня
(рис. 209).
Так как в данном случае мы имеем осесимметричную задачу, то и =
= у = () = и;2 = ^з = 0и определению подлежат компоненты продольного
перемещения w^z) и m>4(z).
Что касается перемещения wt(z), то оно определяется методом
сопротивления материалов из первого уравнения системы табл. 45, которое
при qz = 0 и £ф = 0 имеет вид: w[ = 0. Продольное нормальное напряжение
для этой части решения определяется формулой
* (*) = -£• (5-1)
Продольное нормальное напряжение, соответствующее второму
слагаемому продольного перемещения г#4 (z)(p(x, у), будет выражаться
Гл. X. Стержни сплошного сечения
415.
формулой
<з4 = EwA(z)(p(x, у). (5.2),
Функцию w± (z) определим из дифференциального уравнения
^:-в[/(£)Ч/(*)>=о. (5.3)
которое получается из четвертого уравнения системы табл. 45 npnj
гф = 0 и а^ф = 0.
Z /—=
2 \=
(%щ ?
<а
Рис. 209
Рис. 210
Функцию ф (я, у) нужно выбрать так, чтобы она удовлетворяла
условию осевой симметрии задачи и была ортогональна с функцией (pi(#, у) = 1
или, другими словами, чтобы удовлетворялось равенство Sv = 0.
Примем <р(ху у) = х2+у2+С = г2+С, и величину С определим из
условия ортогональности
Sv = \\ф1 dxdy = 0.
Получим
£ф = \\(х2 + у2 + С) dxdy = Ц(я2 + у*) dxdy + C§dxdy = 0.
Величину первого интеграла удобнее вычислить в полярных
координатах (х2 + у2 = г2):
\\(х2 + y*)dxdy = J jj r*drdb = ^f .
о 0
Второй интеграл представляет площадь поперечного сечения:
§dxdy.
ясг.
Jta4
Следовательно, С= — -к-г^ = 2" и ФункДия Ф(#> 2/) будет иметь вид
(рис. 210):
Ф(ж, г/) = ж2 + г/2 — -|-. (5.4)
Уравнение (5.3) при выбранной функции ф (х, у) (5.4) будет иметь
вид:
EJjvA — 4G (Л + /v) w4 - 0. (5.5)
Решение уравнения (5.5) представим в форме
г#4 = d sh kz -f C2 ch fcz, (5.6)
416
Тонкостенные упругие стержни
где
~iG(Jx+Jy)
А = "|/:
EJ«
Выберем начало координат z в середине стержня. Тогда нам достаточно
рассмотреть одну половину стержня от z = 0 до z = I.
При z — О в силу симметрии должно выполняться условие и?4(0) =0.
Отсюда находим Сг = 0.
Вторую константу найдем из граничного вариационного условия при
z = Z, которое мы получим, приравнивая нулю сумму работ продольных
нормальных сил и внешней нагрузки на продольных единичных
перемещениях ф(#, у):
[Ц а (*. х> У) Ф О*. У) dx АУ — \\ рФ (0) dxdv]z=l = Q1-
Подставляя сюда а из формулы (5.2) и ф (0) = к- из (5.4), получим
EJviv\ + Р~ = 0. (5.7)
1 В общем случае вариационные граничные условия будут иметь более сложный
вид. Если р (х, у) — интенсивность заданной на границе z =1 внешней продольной
нагрузки, а а (г, х, у) — внутреннее продольное напряжение, то при г = ^, очевидно.
Должно выполняться равенство
а (/, х, у) — р(х, у) = 0. (а)
При определении a (z, ж, у) мы всегда исходим из каких-либо предположений, условий
и гипотез, упрощающих определение a(z, х, у) и связанных с заданием закона
распределения этих напряжений по поперечному сечению; это может быть либо закон плоских
сечений, либо какой-нибудь из законов депланации, вытекающий из характера
задачи. Что же касается интенсивности заданной внешней нагрузки р (ж, у) , то она
задается независимо от каких-либо предпосылок или гипотез, поэтому равенство (а) не может
быть в общем случае выполнено то^но. Вместо условия (а) ставим вариационное
интегральное условие: требуем, чтобы на границе z = I сумма работ всех сил —
внутренних и внешних — на возможных для них перемещениях была равна нулю. Мы
будем ближе к действительности, если при этом сможем представить продольные
нормальные напряжения в виде суммы
<*(/,*, у) = 2 Kf9}(*,V), (б)
;=1.2,3. ...,п
представляющей линейную комбинацию из функций <р. (#, у), каждая из которых
представляет собой какой-либо заранее выбранный закон распределения по
поперечному сечению, вытекающий из характера задачи; К- — постоянные числа,
подлежащие определению. За возможные перемещения может быть взята любая из функций
<Pi (xj у) (i = 1, 2, 3, ...,/,..., п). Тогда граничное вариационное условие может быть
записано в таком виде:
ш
2 Kftj(x* У) — Р(х> У)]<М*. y)dxdy = 0. (в)
3=1,2.3 П
Давая i значения 1, 2, 3, ..., п по количеству выбранных функций ф{ (х, г/), мы
получим п уравнений, из которых могут быть определены все коэффициенты К{. Мы видим
здесь полную аналогию с разложением функций в ряды Фурье. Если функции ф7* (х} у)
ортогональны, то система (в) распадается на п простых уравнений. В рассматриваемом
нами случае закон распределения напряжений а по сечению представлен при помощи
двух функций: функции <pi(z, у) = 1, отражающей закон равномерного распределения
а2
по сечению (элементарная задача сопротивления материалов)'и ф4 (х, у) = х2 + у2 — ~к »
отражающей закон депланации при осевой симметрии. Так как при этом ф4 (х, у)
подобрана ортогональной с функцией ф! (х, у) = 1, то граничные условия
удовлетворяются для каждого слагаемого в отдельности.
Гл. X, Стержни сгигошного сечения
417
Дифференцируя и?4> определяемое формулой (5.6), один раз по 2 и
принимая во внимание, что Сг = О, после подстановки в (5.7) будем иметь
при z =1
EJJiC1chkl + P^- = 0,
откуда
г Р__ а2
Получим, теперь формулу для а4:
Объединяя формулы (5.1) и (5.8), получим уточненную формулу для
продольных нормальных напряжений для круглого стержня,
растягиваемого приложенными по оси силами Р:
Р Ра? ( о . « а2 \ chb /К m
Так как
F = яа\ /ф = Ц (г» - 4) г*г*Р = Ж •
то формулу (5.9) можно переписать в другом виде:
а~ Jta* [/ а2 V 2 jchkiy
§ 6. Депланация сжато-изогнутой распорной балки
Рассмотрим однопролетную сплошную балку, имеющую на обоих
концах шарнирные неподвижные опоры. Будем считать, что эти опоры
расположены на уровне нижней грани и закрепляют каждую из опорных
I точек от перемещений как вертикаль-
a)i 1 1 ных, так и горизонтальных (рис. 211).
Рис. 211 Рис.212
Пусть поперечное сечение балки имеет форму двутавра с двумя осями
симметрии (рис. 212).
Предположим, что балка находится под действием вертикальной
нагрузки, лежащей в плоскости симметрии Oyz и проходящей,
следовательно, через линию центров изгиба. Такая нагрузка при наличии в крайних
сечениях балки неподвижных шарнирных опор, расположенных ниже
оси, вызовет не только изгиб, но также и внецентренное сжатие, происхо-
418
Тонкостенные упругие стержни
дящее от горизонтальной составляющей опорных реакций, называемой
распором. Этот распор, будучи применен к точкам одной только нижней
полки, помимо напряжений от изгиба и сжатия, вызовет также и
дополнительные напряжения, связанные с депланацией поперечного сечения.
Поскольку нагрузка действует в плоскости симметрии Oyz и
граничные условия нашей балки также симметричны относительно плоскости
Oyz, то формула (1.6) для продольных нормальных напряжений
принимает следующий вид:
az = £ [w[ (z) + щ (z) y + wl (z) ф (у)], (ОЛ)
где функция поперечного распределения депланации ф(г/) в силу
симметрии зависит только от одной переменной у.
Предполагая, что функции 1, у и ф(г/) удовлетворяют условиям
ортогональности, умножая (6Л) последовательно на 1, у и (р(у) и интегрируя
2
Рис. 2J3
полученные выражения по всей площади поперечного сечения стержня,
мы получим следующие выражения для обобщенных сил поперечного
сечения балки: продольной сжимающей силы Р, поперечного изгибающего
момента Мх и бимомента В:
Р = — EFwx (z) )
Mx = EJxwz{z), | ((3.2)
где бимомент инерции /ф определяется по формуле
/ф= J qtdF.
F ■
Внося выражения (6.2) в (6Л), получим для продольного
нормального напряжения следующую трехчленную формулу:
р М„ -R
s = --r + -f-y + f-<?- (6-3)
Остановимся теперь на обобщенной депланации сечения ф(*/).
Предположим, что по высоте нашей двутавровой балки депланация поперечного
сечения ф следует параболическому закону, принимая в полках двутавра
постоянные, одинаковые для обеих полок значения. В этом случае
функция ф, очевидно, будет удовлетворять условию ортогональности с
функцией у (рис. 213,6), и нам остается ортогонализировать функцию ф с
функцией равномерного растяжения, тождественно равной единице (рис.
213, а). Полагая значения ординат эпюры ф в полках двутавра равными
Гл. X. Стержни сплошного сечения
419
Ф (~2") ^ ~w ♦ а в сеРеДине стенки двутавра ф (0) = 1 — -g^r- , гдеb
—площадь всего поперечного сечения балки, a F\— площадь стенки двутавра,
мы, очевидно, удовлетворим этому условию; соответствующая эпюра
ф(у) приведена на рис. 213, в.
Аналитическая запись функции ф(у) имеет вид:
ф(у)=1_2Л_^1 (6.4)
Главные геометрические характеристики F, Jx, /ф в случае двутавра
вычисляются по формулам:
F = Ft + 2F2, ]
d\
Jx = ~ТГ (Fl +3F*>> l (6.5)
/- _^if 1 /Л\2 2 Л , 21 , 8 ffi«
^ф — 3 L 3 V ^ У 3 ^ "+" 5 J "^ 9 F* #
Распор if в рассматриваемой задаче является статически
неопределимой величиной. Этот распор мы должны определить из условия равенства
нулю взаимного горизонтального перемещения на опорах. Применяя к
решению этой задачи метод сил, выберем в качестве основной системы
статически-определимую балку с одной неподвижной и другой подвижной
опорой. Такая система получается из заданной путем отбрасывания
горизонтальной связи, соответствующей распору Н. Уравнение метода сил,
определяющее распор Н, будет иметь вид
ЬннН + bHq = 0. (6.6)
где §нн— горизонтальное перемещение точки приложения распора Н
от действия этого распора при единичном его значении; bjjq—
горизонтальное перемещение той же точки в основной системе от заданной
нагрузки д.
Относя формулу (6.3) к напряжению <%, возникающему в основной
системе от действия одного только распора Н, мы будем иметь
Н Hdx , В (z) /а _ч
Для определения бимомента B(z) воспользуемся вариационными
уравнениями (1.9). Рассматривая работу всех внешних и внутренних сил
элементарного поперечного диска нашей балки на возможном перемещении
ф(у), определяемом формулой (6.4), при отсутствии массовых сил и
распределенных продольных нагрузок, мы сможем соответствующее
уравнение (1.9) записать в виде
^^JLydxdy- Ц v%dxdy = 0, (6.8)
где касательное напряжение т!/2 определяется по формуле (1.7):
V = G [V (z) + w3 (z) + w, (z) fj-]. (6.9)
Подставляя в (6.8) выражения (6.1) и (6.9) и интегрируя это
уравнение, получим, пользуясь условиями ортогональности,
EJ*w\ (z) — GJjwA (z) = 0. (6.10)
420
Тонкостенные упругие стержни
Здесь бимомент инерции /ф определяется по формуле (6.5), а для
характеристики /ф' получим следующее выражение:
><-№)'«-%■
Дифференцируя уравнение (6.10) один раз по z и пользуясь
выражением. (6.2) для бимомента В (z), получим дифференциальное
уравнение
В" (z) — k*B (z) = 0, (6.11)
где упругая характеристика А:2 имеет следующее значение:
к2= ф
ф
Интегрируя уравнение (6.11), получим
В (z) = C±chkz + Ctshkz.
Выбирая начало отсчета координаты z в середине длины стержня,
обозначая полную длину через 21 и принимая во внимание граничные
условия
2F
при z = ± I В = — #фн = ~j~ Н,
будем иметь
*=^"!£- <6-12>
Внося (6.12) в уравнения (6.7), получим
'-н = -Н\-р- + 1Гу-ш-ш-^(у)\. (6.13)
L -v " J
По этой формуле, в частности, может быть определено напряжение
о — a (z, у) в любой точке двутавра от действия продольной сжимающей
силы Я, приложенной внецентренно. Это напряжение вычисляется с
учетом депланации сечения по параболическому закону. Зная напряжение
а = а (z, у) в функции от z и i/, мы можем затем путем интегрирования
уравнения Гука
W = -J- (6.14)
получить формулу для продольного перемещения w = w (z,
^.Учитывая, что перемещением; в середине пролета по условиям симметрии может
быть принято равным нулю, получаем
w{z,y) = --{T + — y-1-—4-w.<p].
Полагая в этой формуле Н = 1 для опорной точки ( z = /, у = у] ,
получим
Ояя = -г|^г + u^ + -kJ^\'WJ J"
Свободный член ан уравнения (6.6) получим из рассмотрения
деформации основной системы при действии на нее нагрузки г/.
Гл. ЛГ. Стержни сплошного сечения
421
Рассмотрим случай равномерно распределенной нагрузки. Для
изгибающего момента Мх = Мх (z) в каком-либо сечении z = const будем
иметь формулу
м _ чУ-#)
1V1 х — 9
Напряжение oq в основной системе вычисляется по одночленной
формуле
e,-Jb,_lij^5,. ,6.15)
Для продольного перемещения wq из уравнений (6.15) и (6.14)
получаем формулу
■С-*)»-
qz
~«- 2EJX
Из этой формулы при z = I, у = -£ находим:
а - **р
X
Подставляя найденные величины бяя» 6я$ в уравнение (6.6), получим
формулу для распора Н:
H = qJ^Jxl d\l Jx "7^ (6Л6)
Ф
С определением распора Н дополнительные нормальные напряжения
Он в любой точке вычисляются по формуле (6.7). Полное напряжение
в распорной балке, претерпевающей также и депланацию сечения,
получается путем суммирования напряжений: основного cxQ, вычисляемого
по обычной формуле (6.15) сопротивления материалов без учета распора,
и дополнительного Он, определяемого формулами (6.13) и (6.16).
Если в приведенных выше формулах (6.13) и (6.16) отбросить бимомент-
ные члены, относящиеся к депланации сечения, то мы будем иметь более
простое приближенное решение задачи о напряжениях распорной балки
или так называемой балки-свода.
Глава XI
БИМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 1. Основные уравнения
1. Изложенный выше вариационный метод приведения двухмерных
и трехмерных проблем теории деформируемых тел, имеющих форму
цилиндра или призмы, к одномерным задачам нашей общей бимоментной
теории стержней в значительной степени расширяет рамки сопротивления
материалов и прикладной теории упругости и позволяет сравнительно
простыми средствами математического анализа, при использовании
соответствующих физических гипотез, решить ряд новых практически важных
задач по вопросам прочности конструкций. К числу таких задач относится,
в частности, проблема начальных напряжений и начальных деформаций,
вызванных в стержнях изменением температурного поля.
Имея в виду дать здесь сравнительно простую, но достаточно точную
для практики теорию, будем, как и ранее, считать что для стержня как
тонкостенного, так и сплошного сечения, подвергающегося действию
температуры, из компонентов деформаций существенными являются
деформации продольного удлинения и деформации сдвигов в продольных
плоскостях. Деформации же удлинений и сдвига, происходящие в
плоскости поперечного сечения, принимаются равными нулю.
Пусть по-прежнему х, г/, z обозначают координаты какой-либо точки
стержня. Обозначим через w= w(x, г/, z) полное продольное перемещение
точки. Это перемещение в общем случае представляет собою функцию от
всех трех координат х, г/, z и складывается из перемещения упругого
и перемещения, вызванного действием температуры. Полное перемещение
w(xy у, z) согласно нашему вариационному методу, будем искать в виде
суммы, каждый член которой представляет собою произведение из
искомой функции, зависящей от одной только продольной координаты z, на
заданную функцию, зависящую от двух других координат х, у в
поперечном сечении стержня.
Ограничиваясь, как и в теории тонкостенных стержней,
четырехчленной формулой и представляя депланацию сечения каким-либо одним
законом, мы можем написать
w (z, y,z) = i (z) — I' (z) x — i\'(z)y + w (z) ф (x, y). (1.1)
Здесь суммой первых трех членов представлен закон плоских сечений.
Последним, четвертым, членом определяется продольное перемещение,
возникающее вследствие депланации сечения. Функция <р, описывающая
эту депланацию, выбирается по тем или иным физическим соображениям,
в зависимости от характера рассматриваемой задачи.
Для тонкостенного стержня открытого профиля депланация сечения
при. изгибном кручении описывается, как было показано нами, законом
Г л, XI. Вимоментная теория температурных напряжений 423
секториалышх площадей. В случае же тонкостенного стержня закрытого
прямоугольного или эллиптического профиля депланация сечения при
кручении хорошо описывается гиперболическим законом ф = ху. Этот
закон, названный нами законом аксиальных площадей, был положен
также и. в основу теории депланации стержня сплошного сечения,
находящегося в условиях изгибного (стесненного) кручения.
При изгибном кручении стержня как тонкостенного, так и сплошного
сечения за функцию <р может быть выбрана функция свободного
кручения стержня, получающаяся путем решения соответствующей задачи по
теории Сен-Венана.
Закон для депланации сечения, как будет показано ниже, может быть
также получен и из закона распределения заданной температуры в
поперечном сечении стержня. Мы будем считать, что формула (1.1) является
общей, пригодной не только для тонкостенного стержня открытого или
закрытого профиля, но также и для стержня сплошного сечения. Отличие
будет состоять в том, что для тонкостенного стержня функция ф будет
зависеть только от одной координаты s, определяющей в поперечном
сечении положение точки на кривой профиля, а для стержня сплошного
сечения эта функция зависит уже от двух координат х, у, определяющих
положение точки в двухмерной области, занимаемой сечением. В
дальнейшем будем считать, что все четыре линейно-независимые функции 1, х, у,
ф основной формулы (1.1) удовлетворяют условиям ортогональности:
[ xdF = [ydF = \ xydF = О,
F F F
[ qdF = \ <pxdF = \ qydF = 0
f f f { (1.2)
F F
2. Пусть Т — Т(х, у, z) — заданная функция от х, у, z,
характеризующая изменение температурного поля в пространстве, занимаемом
стержнем. Эту функцию мы представим в виде конечной суммы, состоящей из
четырех слагаемых, с выделением в этой сумме членов, зависящих
линейно от координат х, у и соответствующих, таким образом, закону плоских
сечений. Полагая
Г = t0 (z) + tx (z) x + t2(z)y + t (z) ф(x, у), (1.3)
умножая обе части равенства (1.3) последовательно на 1, х, у,у(х, у),
беря затем от обеих частей этого равенства определенные интегралы
по площади поперечного сечения и используя условия ортогональности
(1.2), получим формулы для коэффициентов разложения (1.3):
I TdF I TydF
t _ F t _ F
JV
I TxdF I TydF
F . F
J*
(1.4)
где F — площадь сечения; /x, /y— главные моменты инерции; /ф —
главный бимомент инерции. Все эти переменные величины являются,
таким образом, главными характеристиками сечения, обладающего также
четырьмя степенями свободы.
Определим теперь упругую деформацию относительного продольного
удлинения стержня в какой-нибудь его точке. Это деформация,
очевидно, будет равна разности между полным относительным удлинением
424
Тонкостенные упругие стержни
еп аяш -^— и температурным линейным расширением zt= аТ (а—коэффициент
линейного расширения). Принимая во внимание формулы (1.3), получим
е = С — <х*о — (Г + a'i) ж — (Л* + oit2) y + (w' — at) ф. (1.5)
Умножая упругую деформацию е на модуль упругости Е, будем иметь
четырехчленную формулу для продольного нормального напряжения
e = E[t' — at0 — (V + <**i) х - (tj" + са%) y + (w'- at) <p]. (1.6)
В этой формуле первыми тремя членами представлены продольные
напряжения, распределенные по сечению по закону плоскости. Эти
напряжения для всего поперечного сечения приводятся статически к
продольной, центрально приложенной силе N и к изгибающим моментам
Мх и My. Если стержень (тонкостенный или сплошного сечения,
безразлично), рассматриваемый как жесткое тело, представляет собою
статически-определимый брус, то в таком стержне, при действии на него одной
только температуры, все внутренние обобщенные силы, соответствующие
закону плоских сечений и рассматриваемые в элементарной теории балок,
будут равны нулю. Приравнивая, в частности, нулю продольную силу N
и изгибающие моменты Мх, Му, получим уравнения для функций £ (z)9
ЕЮ. Л(*):
V = «'о, Г = — a*i, Л* = — **2.
Этими уравнениями [при функциях fo = fo(z), h = ti(z), U = t2(z),
вычисляемых по общим формулам (1.4)] определяется свободная температурная
деформация осевого растяжения и изгиба стержня, описываемая законом
плоских сечений. Последним, четвертым, членом разложения формулы
(1.6) представлены нормальные напряжения о для внешне статически
определимого стержня:
a = E(w' — <x*)q>. (1.7)
Эти напряжения возникают вследствие депланации сечения и в
главных обобщенных координатах 1, х, у, ц> приводятся к продольному
бимоменту
В = \ бф dF = EJ9 (wf — at). (1.8)
F
Формула для продольных нормальных напряжений от бимомента может
быть представлена и в другом виде:
в = Дф. (1.9)
Ф
Помимо нормальных напряжений о в поперечных сечениях стержня
возникают также и касательные напряжения ххг и tV2. Эти напряжения
при отсутствии внешних нагрузок в любом поперечном сечении также
приводятся к системе взаимно уравновешенных сил. Формулы для
касательных напряжений будут иметь вид:
xxz = Gw%, xuz = Gw^, (1.10)
где G— модуль упругости при сдвиге.
3. Выделяя из стержня элементарный поперечный диск, отстоящий ог
начала отсчета координаты z на произвольно фиксированном расстоянии
z = const подобно тому, как мы это делали в § 1 гл. X, сообщая этому дис-
Гл. XI. Вимоментная теория температурных напряжений 425
ку, согласно вариационному методу, виртуальное перемещениеф=ф(х,у),
отвечающее выбранному закону депланации сечения, определяя на
виртуальных перемещениях и деформациях работу всех внешних и
внутренних сил диска и приравнивая эту работу нулю, получим следующее
вариационное уравнение:
\*4dF-\Xxt±dF-\xw*dF = 0. (1.11)
F F F
Подставляя в уравнение (1.11) напряжения a, тХ2, т|/2 по формулам
(1.7) и (1.10) и делая некоторые преобразования, поллчим для
искомой функции w(z) уравнение следующего вида:
w" — k2w = f, (1.12)
где к2— обобщенная упругая характеристика депланации стержня,
определяемая как отношение поперечной обобщенной жесткости 0«/ф/,
(связанной с деформацией сдвига) к продольной жесткости EJ^
(связанной с деформацией удлинений):
*■=-!£-. (1.13)
Обобщенные геометрические характеристики сечения J^ и /ф при
заданном законе депланации ф вычисляются по формулам:
J
В этих формулах определенные интегралы для стержня сложного
сечения приф =ф(а:, у) и dF = dx dy будут, очевидно, двукратными; для
тонкостенного же стержня эти интегралы n^ii^=^(s)ndF = б • c?s
приводятся, как уже отмечалось ранее, к однократным.
Стоящая в правой части уравнения (1.12) функция/ = /(z) зависит от
температуры и определяется формулой
f=x^\<fdF. (1.15)
F
Уравнением (1.12) вместе с присоединенными к нему граничными
условиями определяется функция w= w(z), а, следовательно, согласно
формуле (1.7) и нормальное напряжение а = а (х, у, z) в любой точке стержня.
4. Предположим, что температура 7\ действующая на стержень, не
зависит от координаты z и представляет собою заданную функцию от
двух других координат х, у. Функция /=/ (z), определяемая по формуле
(1.15), в этом случае будет равна нулю, и уравнение (1.12) будет
однородным:
vf — khv = a. (1.16)
Общий интеграл уравнения (1.16) может быть записан в виде
w (z) = Cxekz + C2e~kz. (1.17)
Выражение для нормального напряжения б получается из общей
формулы (1.7):
з = Е[к (6\е*г — Сае-**) — а*] ф. (1.18)
426
Тонкостенные упругие стержни
§ 2. Температурные напряжения в полу бесконечном стержне
1. Рассмотрим стержень, имеющий весьма большую длину. Будем
отсчитывать координату z от свободного конца стержня. Функция w (z)
продольного перемещения, возникающего только вследствие депланации
сечения, с возрастанием координаты z, т. е. по мере удаления от
свободного конца стержня, должна оставаться ограниченной. Эта функция для
бесконечно длинного стержня (при z —> оо) должна стремиться к нулю.
Из этого условия следует, что в общей формуле (1.18) должно быть
6\ - 0.
Другую постоянную интегрирования С2 мы определим из того условия,
что на свободном конце стержня нормальные напряжения о должны
обращаться в нуль. При этом условии постоянная С2 принимает значение
Формула (1.18) при найденных значениях постоянных
интегрирования принимает следующий вид:
б = — Ext(\ —е-^)ц). (2.1)
Формула (2.1) показывает, что продольные нормальные напряжения,
вызванные температурной депланациен, при условии, что температура не
зависит от координаты z, достигают наибольших значений в сечениях,
достаточно удаленных от концов стержня. Эти напряжения на среднем
участке длинного стержня приближенно могут быть определены по
формуле
з — — £ос/ф.
Определяя здесь /ф из формулы (1.3), получим
<3 = —Ea(T — t0 — txx — t2y). (2.2)
В формуле (2.2) Т = Т(х, у) — заданная температурная функция;
/о, ti, t» — постоянные величины, вычисляемые в главных координатах
по формулам (1.4). Нетрудно показать, что формулой (2.2) для бесконечно
длинного стержня со свбодными (не закрепленными) концами при
принятых выше статических гипотезах дано точное решение рассматриваемой
здесь задачи о температурных напряжениях. В этой формуле величиной
/ф = Т — t0 — txx — t2y
представлена чисто температурная депланация, отличающаяся от
основной функцииф, характеризующей депланацию сечения, постоянным
множителем t. Таким образом, в случае действия температуры Т = Т (х,у),
распределенной по площади сечения по произвольно заданному закону,
за функцию ф = ф(#, у), описывающую упругую депланацию сечения,
может быть выбрана функция, пропорциональная температурной депланации
ф = у (Т — t0 — hx — t2y).
2. В качестве примера, поясняющего изложенный здесь метод
определения температурных напряжений, рассмотрим тонкостенную
металлическую двутавровую балку с одинаковыми полками (рис. 212).
Предположим, что полки двутавровой балки при изменении температурного поля
имеют во всех точках одинаковую температуру, которую мы обозначим
Гл. XI. Бимоментная теория температурных напряжений 427
через tn. В стенке же двутавра температура распределяется по закону
квадратной параболы, принимая экстремальное (максимальное или
минимальное) значение to в центре сечения. Величины tn и to могут быть как
положительными, так и отрицательными. Описанный закон
распределения температуры по сечению двутавра для случая to^>tn^>0 показан на
рис. 214. Так как эпюра заданной
температуры Т симметрична относительно обеих осей
симметрии профиля, то в приведенных выше
общих четырехчленных формулах (1.1) и (1.3)
по условиям симметрии обратятся в нуль
второй и третий члены. Искомая функция
w— w (х, у, z) будет представлена
двучленной формулой
w(z, s) = £(z)l+u'(z)(p(s).
Эпюры ординат основных функций J и ф
показаны на рис. 213, а и в. Первая из этих
функций представляет собой постоянную для
всех точек сечения величину, равную
единице. Вторая ср (s) на участке стенки
двутавра описывается по закону квадратной параболы, с ординатой в сере-
2F,
Рис. 214
дине, равной 1
3/<
(Fi— площадь стенки, F — площадь всего сечения).
На участках же, относящихся к полкам, функция ф (s) принимает
постоянное, одинаковое для обеих полок отрицательное значение, равное ( ^1.
Функция ф (б), относящаяся к депланации сечения, продиктована
заданным параболическим законом распределения температуры по высоте
сечения. Эта функция удовлетворяет условию ортогональности с функцией
фо — 1 равномерного распределения температуры:
\ ydF = 0.
F
Кроме того, эпюра ф (s) подобрана таким образом, что стрела подъема
параболы равна единице. Эпюра заданной температуры Т,
представленная на рис. 214 в компонентах главных координат 1 и ф (л), получается
путем наложения двух соответствующих эпюр по формуле
где /ср — среднее значение температуры по семени
5 TdF
(2.3)
ю:
Так как стрела подъема эпюры ср (s) на участке стенки профиля равна
единице, а стрела подъема графика температуры T(s\ на том же участке
равна разности температур to — tn, то перед функцией<р(.<?) в формуле (2.3)
взят множитель to — tn.
Установив по заданной температуре закон депланации сечения, мы
можем определить по формулам (1.14) величины /ф> и 7Ф:
/9. = \(ф')26^ = ^1(
428
Тонкостенные упругие стержни
Т С 2АЛ 4 17 Г1 (FA2 2 Л , 21 , 8 *!**
F
где dx, бх — ширина и толщина стенки; /\, F2— площади поперечных
сечений соответственно стенки и одной из полок; F — площадь всего
сечения двутавровой балки. Определив эти геометрические характеристики,
найдем по формуле (1.13) при заданных физических модулях Е и G
обобщенную упругую характеристику к. Напряжения а в точках сечений,
примыкающих к концу стержня, вычисляются по формуле (2.1). В этой
формуле чисто температурный параметр t для рассматриваемого случая
принимает значение
Г Twds
t=Lr~ -*о-*». (2.4)
°ф
В поперечных сечениях, удаленных от концов стержня, формула (2.1)
для нормального напряжения принимает весьма простой вид:
а = Еа (tn — t0) ф.
Из этой формулы видно, что внутренние бимоменты напряжений
пропорциональны разности температур полки и средней точки стенки.
По эпюре для функции ф =ф(я), представленной на рис. 213, в, для
напряжений оп и (То в точках полок и в центре профиля получаем значения:
2 EaFi. t ч
°п — о" р \}п — Iq)<>
2Л
3о = (1-^)Я«('»-<о).
§ 3. Температурные напряжения в стержне конечной длины
1. Определим температурные бимоментные напряжения в стержне,
имеющем конечную длину. Предполагая, как и ранее, температуру
Т=Т(х, у) не зависящей от координаты z, мы будем исходить из
однородного уравнения (1.16).
Общие интегралы для функций w = w(z) и В = B(z), где B(z) определи
ется формулой (1.8), запишем в таком виде:
w = Сх sh kz + С2 ch kz. \
J? = JE/,[A(C1chftz + C2shA;z) — at].} (3,1^
Так как температура Т = Т(х, у) по длине стержня остается постоянной,
то деформированное и напряженное состояние стержня относительно
середины его длины должно быть симметричным. Выбирая начало отсчета
для координаты z в середине длины стержня и обозначая длину стержня
через 21, мы получим граничные условия для одной половины стержня:
при z = О w = 0, |
при z = / В = 0. / ' 3'2)
Первое условие (3.2) чисто геометрическое. Оно получается из условия
отсутствия продольных перемещений в среднем поперечном сечении z = 0.
Это сечение, плоское до деформации, в силу симметрии должно оставаться
плоским и после деформации.
Второе условие (3.2) чисто статическое. Оно получается из условия
равенства нулю нормальных напряжений на свободном конце стержня.
Гл. XI. Бимоментная теория температурных напряжений 429
При граничных условиях (3.2) постоянные интегрирования Ci, Съ
получают значения:
Формула (1.9) для нормальных напряжений принимает вид
в—Я* (!-££) Ф. (3.3)
Эти напряжения достигают наибольших значений в точках среднего
поперечного сечения, т. е. при z = 0:
= -^(1-сТш)<р-
В случае рассмотренной выше двутавровой балки величина t
вычисляется по формуле (2.3); функция ф = ф(з) показана на рис. 213, *.
2. Представляется интересным определить также и касательные
напряжения, возникающие от температуры. Эти напряжения для
тонкостенного стержня следует определять из условия равновесия путем
интегрирования уравнения
Относя это уравнение к стенке двутавровой балки, отсчитывая
координату s от середины высоты стенки, принимая во внимание, что касательное
напряжение в средней точке стенки по условиям симметрии равно нулю
и используя формулу (3.3) для сг и эпюру ф = ф(з), показанную на рис.
213,в, получим
т = — Eat
£[(•-$)-£]■ <3-4»
сЬЛ/ _
1
По этой формуле можно вычислить касательное напряжение т в любой
точке стенки двутавровой балки. По высоте сечения касательное
напряжение т достигает наибольших значений в месте присоединения полок со
стенкой, т. е. при значении ,9 = —, где di— высота стенки:
__*„**(,_$)**
Эти максимальные напряжения по длине балки меняются по закону
нечетной (относительно среднего поперечного сечения) функции shfcz.
3. Таким же путем из другого уравнения равновесия
^ + ,-£й-о (3.5,
по найденной функции (3.4) для т = т (z, s) можно определить и другое
нормальное напряжение сг^, возникающее на площадке продольного сечения
стенки двутавра. Предполагая, что в месте присоединения стенки
двутавра к полке могут возникать одни только касательные напряжения, т. е.,
другими словами, пренебрегая по малости нормальными напряжениями
между стенкой и полкой, получим выражение для crs = а8 (z, s):
es^Ezth2Chkz
oh kl
<% \ 1 / . rff
(•-£)(4-£)-£(*-*)]-
430
Тонкостенные упругие стержни
По этой формуле можно вычислить напряжение as (z, s) в Любой точке
стенки двутавра. При z = 0 и 5 = 0, т. е. для центральной точки
среднего поперечного сечения стенки, as определяется по формуле
i:atk4\ i 5 4/гг
б* =
16chW
\ з з*7 *
4. Следует отметить, что при определении касательных напряжений т
и поперечных нормальных напряжений os мы пользуемся в данном случае
уравнениями статики, в то время как при определении продольных
нормальных напряжений используется закон Гука, причем при составлении
основного вариационного уравнения (1.11) касательные напряжения
также определялись из закона Гука по формулам (1.10). Мы могли бы,
конечно, вычислить касательные напряжения по формулам (1.10), но
правильнее будет определять их из уравнений статики по формуле (3.4),
так как мы пользуемся приближенным вариационным методом. Для того,
чтобы убедиться в этом, рассмотрим консольную балку, нагруженную
равномерно распределенной нагрузкой д.
Будем считать, что длина балки значительно больше ее высоты А,
т. е. для такой балки справедлива гипотеза плоских сечений, и,
следовательно, верпы основные теоремы сопротивления материалов:
tl*\f dQ
Интегрируя эти соотношения и учитывая, что изгибающий момент
пропорционален продольным нормальным напряжениям, а поперечная
сила — касательным, получим следующие порядки этих величин:
а~ \\qdz2, x~\qdz, oH~q, (3.6)
где порядок поперечного нормального напряжения as мы получаем,
воспользовавшись уравнением (3.5).
Из формул (3.6) видно, что существенную роль в напряженном
состоянии стержня играют лишь продольные нормальные напряжения. Что же
касается касательных напряжений и, тем более, поперечных нормальных
напряжений, то они представляют собой факторы более высокого
порядка малости. Поэтому естественнее определять эти второстепенные
факторы, исходя из уравнений статики, после того как уже известно
распределение в стержне продольных нормальных напряжений.
Таким образом, в отношении касательных и поперечных нормальных
напряжений используется метод последовательных приближений.
5. Изложенный здесь в виде примера метод определения
температурных напряжений в двутавровой балке может быть применен и к расчету
узкой прямоугольной пластинки при параболическом законе изменения
температуры по ширине пластинки. Формулы для напряжений в
пластинке получаются из приведенных выше формул для двутавровой балки, если,
считая площади сечения полок равными нулю, положить в них F = Fx.
Глава XI £
ТОНКОСТЕННЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ, ПЛОСКИЕ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
§ 1. Изгиб и кручение плоского стержня с круговой осью
малой кривизны
Теория тонкостенных стержней может быть обобщена и на
тонкостенные криволинейные стержни, имеющие в поперечном сечении
произвольный жесткий контур.
Рассмотрим стержень с круговой осью. Отнесем поперечное сечение
стержня к главным центральным осям и предположим, что ось Ох лежит
в плоскости оси стержня, а оси Оу и Oz образуют вместе с ней левовинто-
вую систему координат (рис. 215).
Рис. 215
Выделяя из стержня двумя близкими сечениями элементарную
поперечную полоску, отнесенную к единице длины оси центров тяжести
стержня, мы можем написать шесть дифференциальных уравнений равновесия
этой полоски. Для проекций всех сил, действующих на полоску в
направлении осей координат, мы получим, учитывая криволииейность стержня,
следующие выражения:
dt ^ R ^
дх = 0,
ТГ + 9» = 0, >
(1.1)
dN Qx ,
0.
432
Тонкостепные упругие стержни
В этих уравнениях N — нормальная сила; Qx> Qv — перерезывающие
силы в направлении осей Ox, Оу, Oz; qx, qy, qz— проекции внешних
погонных нагрузок на направления осей х, у, z; t — длина дуги линии
центров тяжести стержня и Л — радиус кривизны этой линии (рис. 216, а.)
^
Рис. 216
Проекции моментов всех сил на оси координат будут иметь вид:
dt V" + R
dMv
dH Mx ,
-d7--R+m*
= 0,
= 0, j
= 0.
(1.2)
где Mx и My — изгибающие моменты в поперечном сечении стержня;
Hum — соответственно крутящий момент в сечении и внешний
погонный крутящий момент. Как и ранее, моменты Мх, Му, Н и т мы считаем
положительными, если при взгляде со стороны положительных значений
х, у, z соответственно они вызывают вращение по часовой стрелке.
Уравнения (1.2) получены с учетом криволинейности стержня, причем при
проектировании мы пользуемся векторным представлением моментов
Мх, Му и Я (рис. 216, б).
Заметим, что статические уравнения (1.2) носят приближенный
характер. Дело в том, что, согласно теории тонкостенных стержней открытого
профиля, одни силовые факторы мы рассматриваем относительно линии
центров тяжести, а другие — относительно линии центров изгиба. Так,
например, изгибающие моменты Мх и Му мы относим к главным
центральным осям поперечного сечения, а крутящий момент Н должен
рассматриваться относительно линии центров изгиба. В соответствии с этим в
уравнениях (1.2) радиус Л будет отличаться от радиуса кривизны линии центров
тяжести на величину ах, где ах — координата центра изгиба. Будем
рассматривать стержни малой начальной кривизны — с отношением
наибольшего размера поперечного сечения стержня к радиусу
кривизны оси стержня порядка V10 и менее. В этом случае в уравнениях
(1.2) мы пренебрегаем величиной -~- по сравнению с единицей. Это
допущение сводится к тому, что при выводе статических уравнений мы все
силовые факторы относим к линии центров тяжести. Очевидно можно
отнести все силовые факторы и к линии центров изгиба и вообще к
произвольной оси стержня в плоскости Oxz, находящейся от линии центров
тяжести на расстоянии порядка ах. Погрешность будет незначительной,
и мы ею пренебрегаем.
Гл. XII. Тонкостенные криволинейные стержни
433
Исключая из уравнений (1.1) и (1.2) силы N, Qx и Qy, получим:
М.. . Яг
К + -дг - Я* + it = °'
#'
R
М„
~-^ + H' + mz = 0,
Mx + 1r + gv = o,t
(1.3)
где производные берутся по длине дуги t оси стержня.
Пусть, как обычно £ = £ (t) — продольное перемещение стержня;
£ (t), т) (£) — прогибы соответственно в направлении осей Ох и Оу линии
центров изгиба и 9 =0(0 — угол поворота сечения £=const относительно
центра изгиба Л. Мы по-прежнему будем считать 6 положительным, если
поперечное сечение, при взгляде на
него против положительной
касательной к линии центров изгиба,
вращается по часовой стрелке.
Как и в случае прямолинейного
стержня, деформированное состояние
стержня с кривой начальной осью при
жестком контуре сечения определяется
четырьмя величинами, а именно:
относительным продольным удлинением
стержня е(£), деформациями изгиба
щ (t) и к2 (t) этой оси в плоскостях,
параллельных главным плоскостям Oyz,
Ozx, и деформацией кручения х (t).
Выведем выражения для этих
деформаций. Будем по-прежнему
принимать за ось стержня линию центров тяжести сечений стержня t и брать
производные вдоль этой линии, поскольку величиной ах по сравнению
с R мы пренебрегаем.
Для продольной деформации е получим следующую очевидную
формулу
е = Г-4". (1.4)
Для кривизн деформированного состояния стержня кх, ку и kz (кх
и ку — кривизны соответственно в плоскостях Oyz и Ozx, a kz —
кривизна кручения) в проекциях на оси начального недеформированного
состояния стержня получим следующие выражения:
ьх
h
кг
= —
1
= 6'.
л".
+ £"
Я3'
Во второй формуле первым слагаемым представлена начальная
кривизна стержня, последним — изменение кривизны ку вследствие
расширения кругового стержня за счет перемещения £(£). Следует заметить, что
в наших рассуждениях мы пользуемся вспомогательной системой
координат с началом в центре изгиба и с осями Ох и Оу, параллельными главным
центральным осям (рис. 217).
434
Тонкостенные упругие стержни
Выражения для кривизн стержня в проекциях на оси Ох\ Оу* и Oz\
относящиеся к деформированному состоянию (рис. 217), будут иметь вид:
/сх/ = kx cos (хх') + ку cos (ух') + kz cos (zx')y
ky> — kx cos (xy') -4- kv cos (yy') + kz cos (zy')y
kz> — kx cos (xz') -f- ky cos (yz') -f kz cos (zz')>
где косинусы углов между осями координат, относящимися к начальному
и деформированному состояниям стержня, при малых перемещениях £г
т] и малых углах поворота 0 определяются из табл. 49:
Таблица 49
X
У[
2*
X
1
-е
Г
У
е
1
ч'
Z
-е'
—*г
1
Пользуясь этой таблицей, получим следующие выражения для
кривизн к* , ку> и Av:
k. = _n"+(JL + r + JL)e-er,
^ = -лТ + (^- + Г + ^)л' + е'.
Пренебрегая в этих выражениях по малости произведениями функ-
ций |, т), 6 и их производных, отбрасывая слагаемое -^ , выражающее
начальную кривизну стержня, получим для деформаций изгиба и
кручения следующие окончательные формулы:
Hi = - Л* + 7F > *» = ** + ^ , т = 0' + £ . (1.5)
Первой и второй формулами определяются изменения кривизны оси
стержня кг (t) и х2 (/) в плоскостях, параллельных главным плоскостям
Oyz, Ozx. Последняя формула дает кривизну кручения x(t).
Для обобщенных статических величин N, Мх, Му и Н в силу
соотношений
N = EF£\ ]
Мх = - EJxr)",
1 } (1.6)
My^EJvl\ J
Я - - £/„6" + G/d6', J
полученных ранее для стержня с прямой осью [формулы (8.3) и (8.11)
гл. I], будем иметь, пользуясь выражениями (1.4) и (1.5), следующие
Гл. XII. Тонкостенные криволинейные стержни 435
формулы:
Мх = -EJx(vT-±),
MV = EJV(? + ^),
Н = - EJa(V" + ^)+ GJd[ff + |). ]
Формула (8.3) гл. I для бимомента В принимает вид
В = -Е/ы (б" + -£).
(1.7)
(1.8)
Для нормальных напряжений мы принимаем четырехчленную
формулу (8.5) гл. I:
N му , мх , В
(1.9)
в которой х = х (s), у = у (s) — координаты точки контура сечения
в главных центральных осях Ох, Оу; ТХУ Jv — главные моменты
инерции сечения; /w — главный векториальный момент инерции.
Внося выражения (1.7) в (1.3), получим:
Г
ЕЦ1у+2% + ^)-д: + \=0,
E{v + J^iy + ^~?TV4'
EJX + GJd
BJ„ „ EJx + GJd
R ' ^ R
if — EJ„VV + GJdW
я— e" + *» = °>
Л2
i + mz = 0.
(1.10)
Первым из уравнений (1.10), независимо от двух других,
определяются прогибы g = 1(0 в плоскости стержня. Это уравнение, как и формула
(1.7) для Муу совпадает с известным уравнением Буссинеска. Заметим,
что при выводе формулы для Х2 и, следовательно, для Му, мы не
пользовались гипотезой нерастяжимости оси стержня. Поэтому уравнение
(1.10) для £ = £ (/) относится к изгибу кругового стержня в его плоскости,
с учетом деформаций удлинений оси.
Второе и третье уравнения (1.10) образуют систему двух совместных,
симметрично построенных дифференциальных уравнений относительно
функций т) = т) (0, 0 =0 (t)> определяющих деформацию кругового стержня
около его плоскости. Симметричная структура уравнений (1.10),
выражающаяся во взаимности побочных операторов дифференциальной матрицы,
как доказано в ряде наших работ по оболочкам [40, 51J, является общим
свойством уравнений равновесия упругих стержней и оболочек
произвольного очертания и согласуется с основными теоремами эпергостатики
упругого тела.
Исключая из этих уравнений прогибы т) = т) (t), получим основное
дифференциальное уравнение кручения тонкостенного кругового стержня,
r сечениях которого возникают нормальные напряжения не только от
436
Тонкостенные упругие стержни
EJJ41 + (^ - GJd) 6iv + i-Д^ - 2GJd) е-
изгиба, но и от кручения:
J* -,U^ - , EJx + GJd GJd
= -rtJ^ R2Jx ™*+ REJx Я"-шт;т" <1Л1>
Нормальные напряжения определяются согласно четвертому члену
формулы (1.9) законом секториальных площадей. Полагая в уравнении
(1.11) все члены, содержащие /<,,, равными нулю, получим как частный
случай уравнение, относящееся к такому случаю кручения стержня с
круговой осью, при котором в сечении возникают нормальные напряжения
только от одного изгибающего момента:
0 ~^~ ~R^ R^~ ЁЮГХ~ GTdr R \GJd^ EJx)qv- VblZ>
Заметим, что при расчете стержня с круговой осью на изгиб и
кручение из плоскости стержня можно также исходить из уравнения бимоментов.
В силу соотношения
GJA
Н' = В" — т^В
последние два из уравнений (1.3) могут быть представлены в виде:
т Мх mz
^+(1-*1)41-*1-да=-(т«+5)-
где А:2 — упругая характеристика, определяемая формулой
GJjW
(1.13)
k2 =
EJ...
Из уравнений (1.13) легко определяются момент Мх = Mx(t) и би-
момент В = В (t). Зная эти величины в функции от координаты t, мы
можем затем по уравнениям
4 R EJX
„. ч' ' В
8 +Л = -ЯТ.,
(1.14)
определить и кинематические величины ц = ц (t), 9 = в (t), характеризующие
деформацию кругового стержня около ллоскости его оси. В уравнениях
(1.13) и (1.14) производные следует брать по координате t. Если за
независимую переменную выбрать центральный угол у = -=-, то уравнения
(1.13) и (1.14) преобразуются в следующие:
В1У + (1 - /с2) В" - /с2Я = - R* [^- + qy) ,
Гл. XII. Тонкостенные криволинейные стержни
437
де" + т)" = -^д.
К общим интегралам усилий и перемещений нужно присоединить
граничные условия, общее число которых, как легко показать, будет равно
восьми (по четыре условия на каждом конце стержня). Эти условия
представляют собой обобщение условий для стержня с прямой осью при изгибе
этого стержня в плоскости Oxz и кручении. Статические факторы в каком-
либо поперечном сечении стержня будут состоять из момента Мх и силы
Qy, относящихся к изгибу, и бимомента В и общего крутящего момента
Н, относящихся к кручению. Кинематическими независимыми факторами
для данного сечения t = const будут служить перемещение т) = r\(t) сечения
в направлении оси Оу, угол поворота сечения т)' относительно оси Ох,
угол поворота Q = Q(t) относительно касательной к оси стержня (угол
кручения) и, наконец, депланация сечения, представленная кривизною
кручения х = 0' + -g-.
Если стержень одним своим концом закреплен так, что сечение на этом
конце остается неподвижным в отношении перемещений т), 0 и нормальные
напряжения в этом сечении равны нулю, то мы будем иметь случай
шарнирного закрепления..Граничные условий в этом случае выражаются в
0 X)"
равенстве нулю на конце стержня четырех величин т), 0, rf ^ > ®" + ъ- •
В случае жесткой заделки граничные условия выражаются в равенстве
нулю величин т), 0, т]', 0'.
Изложенная здесь теория охватывает ряд практически важных задач
по изгибу и кручению тонкостенных криволинейных плоских стержней
и арок с малой начальной кривизной, т. е. стержней и арок, наибольший
размер поперечных сечений которых в плоскости начальной кривизны
представляет собой величину малую по сравнению с радиусом R оси
стержня, не превышающую примерно 1/ю от этого радиуса.
На основе этой теории могут быть обследованы арки двутаврового,
швеллерного, коробчатого и других симметричных сечений, при разных
положениях этих сечений относительно плоскости начальной кривизны.
Геометрические характеристики, входящие в приведенные здесь
уравнения и определяющие различные жесткости, вычисляются совершенно
так же, как и в случае стержня с прямой осью.
§ 2. Пространственная устойчивость круговых стержней,
арок и торообразных оболочек с жестким профилем.
Основные дифференциальные уравнения
Предположим, что тонкостенный круговой стержень произвольного
профиля с главной осью Ох, лежащей в плоскости оси стержня, находится
под действием моментов Afy, приложенных по концам стержня и
вызывающих изгиб стержня в плоскости его оси, и нормального давления,
приводящегося к погонной нагрузке qx = const, приложенной по окружности,
проходящей в поперечном сечении через точку (ех, 0), и вызывающей в
стержне сжимающее усилие Р, определяемое формулой
P = (R-ex)q9 (2.1)
где R — радиус оси стержня. В этой формуле координата ех
предполагается положительной; нагрузка qx для краткости обозначена через q.
438
Тонкостенные упругие стержни
Уравнения устойчивости части кругового стержня, нагруженного
моментом Mv = const и нормальным давлением q = const, мы получим из
уравнений (1.3), заменяя в этих уравнениях моменты по формулам (1.6),
грузовые члены — по формулам (1.5) гл. V, где мы, согласно (1.5),
полагаем: 1" = х2, rf = — хх и 0' = т. Учитывая, что при пространственной
изгибно-крутильной форме потери устойчивости гидростатическая
нагрузка </, приложенная в точке Е, при повороте сечения на угол 0 даст
относительно центра изгиба А добавочный внешний приведенный крутящий
момент rnq = — q (ех — ах) 0, будем иметь:
EJy (щ +%) +Р >4 + а^РтГ = О,
EJt, (GJA \
Е/Хкг +Pn1--if хт + (^ + ахР - My) %'
= 0,
ауРщ
(EJX
+ Ы+а*р
Му) щ + EJ»X" +
+ (r*P + 2pxAfv - GJd) %' + q (ех - ах) 6 = 0.
(2.2)
Уравнения (2.2) и (1.5) представляют собой общие уравнения устойчивости
части кругового стержня (или арки) произвольного профиля при
единственном ограничении, что одна из главных осей сечения (в нашем случае
ось Ох) лежит в плоскости начальной кривизны стержня. Входящие в эти
уравнения величины JX1 /v, iu>, Jd> я*» а>у, г2, $х, представляющие собой
геометрические характеристики сечения для тонкостенного открытого
профиля, определяются по соответствующим формулам теории
тонкостенных стержней с прямой осью.
§ 3. Круговое кольцо под действием радиальной нагрузки.
Частные случаи. Обобщение задачи Мориса Леви
Если на кольцо действует одна только радиальная нагрузка q,
приложенная в какой-либо точке (ех, 0) оси Ох, то Му = 0, и уравнения (2.2)
принимают вид:
*'•(«+£)
+ iX + avPx" = о,
EJ»
R
tw +
№
IEJ \
аУРщ + ("тг + axP) Xi + EJaiT +
+ (i*P-GJd)x' + q(ex-ax)
axP t' = 0,
6 = 0.
(3.1)
Для замкнутого кругового кольца одной из возможных форм потери
устойчивости может быть форма, характеризующаяся поворотом всех
сечений кольца на один и тот же угол 0.
Принимая во внимание формулы (1.5) и полагая | = т) = 0, а6 = const,
получим из последнего уравнения (3.1) с учетом формулы (2.1) следующее
выражение:
EJX EJX
Я ^ — п, т- п \~ тГ~ • (<^2)
Яех(Я- агУ
ръ*
Формулой (3.2) определяется критическое значение нормального
давления, приложенного на оси Ох в произвольной точке ех.
Знак минус в формуле (3.2) показывает, что при положительном
значении знаменателя критическая нагрузка направлена по отрицательной
оси Ох, т. е. от центра кривизны стержня. При ех= 0 форма потери устой-
Гл. XII. Тонкостенные криволинейные стержни 439
чивости кольца в виде поворота всех сечений на один и тот же угол
становится невозможной.
Возможными формами в этом случае будут другие, определяемые
системой дифференциальных уравнений:
EJV (щ + -J) + Р*2 + аиРх" = О,
EJxk[ + Ръ - ^V" + (^ + ахр) х' = О, j (3.3)
ауРк2 + [^ + а*Д ) кг + EJ„%" - (г2Р — GJd) %' = 0.
Фундаментальными функциями этой системы для замкнутого круго-
е? Y tit
вого кольца будут тригонометрические функции аргумента -^-, где п —
целое положительное число и t — координата окружности центров
тяжести радиуса Л. Полагая в уравнениях (3.3)
к2 = A sin -^- ,
кг = В sin -Q-,
х = С cos
nt
R '
получим для коэффициентов А, В, С систему трех линейных однородных
уравнений. Критические силы находятся из условия существования
нетривиальных решений однородной системы, т. е. решений, дающих для
А, В, С ненулевые значения.
Легко показать, что случай п = 1 отпадает. Наименьшие значения для
критических сил получаются при п = 2, т. е. при такой изгибно-крутильной
форме потери устойчивости, когда все деформации и перемещения на
всей окружности принимают нулевые значения только в четырех,
симметрично расположенных точках. Уравнение критических сил,
представленное в виде определителя, при п =2 будет иметь следующий вид:
3EJ,,
\Р
2ацР
Я2
0
а„Р
и
4Я.7
р *
Д2
EJX
~Д2 + *хР
я
2 (*EJt
R \ Л3
= 0.
(3.4)
Трем корням Ръ Р2, Р3 уравнения (3.4) будут соответствовать три изгиб-
но-крутильные формы потери устойчивости кольца произвольно заданного
несимметричного сечения.
Каждая из этих форм характеризуется поворотом сечений
относительно некоторой окружности. Как и в случае прямолинейного стержня, мы
будем иметь, таким образом, в поперечном сечении три мгновенных центра
вращения.
Уравнение (3.4) носит общий характер и позволяет определить
критические силы Р для тонкостенного кольца или торообразной оболочки с
произвольным жестким контуром.
Если центр изгиба лежит на оси Ох, что имеет место, например в
случае профилей с одной осью симметрии, лежащей в плоскости кривизны
кольца, то аЧ1=^ 0, и кубическое уравнение (3.4) при Р = qR дает для
440
Тонкостенные упругие стержни
критической нагрузки одно значение, определяемое формулой
Яз = -дз- . (3-5>
и два других значения qlt q2, определяемых квадратным уравнением
(l - $■) Яг~ [(l + ^ qx+(i + -£) q»]q+ \q»q* = 0, (3.6)
в котором положено:
4ЯЛ.
Ях =
Я3 '
+ G/d),
г.в6ф^ + ^
(3.7)
В случае профиля с двумя осями симметрии уравнение (3.6) принимает
вид
3
q2 — {qx + q^)q+ xfe»
0.
Формула (3.5) совпадает с известной формулой Мориса Леви [251] и дает
критическую нагрузку q3, отвечающую чисто изгибной форме потери
устойчивости кольца в плоскости начальной кривизны этого кольца.
Критические нагрузки gly q2f определяемые при заданных упругих
и геометрических характеристиках тонкостенного кругового стержня
уравнениями (3.6) и (3.7), соответствуют изгибно-крутильным формам
потери устойчивости около плоскости начальной кривизны кольца с
мгновенными центрами вращения на окружностях, лежащих в плоскости
кольца.
§ 4. Устойчивость арок, находящихся под действием радиальной
нагрузки. Обобщение задачи Тимошенко
Пусть тонкостенная арка имеет произвольное симметричное сечение
с осью симметрии Ох и находится под действием направленной к центру
нормальной нагрузки q, приложенной на оси арки.
Тогда при ау = 0, Р = qR уравнения (3.3) принимают вид:
FJ (GJ* \ ,
EJx7iL + qR*! ■£ хт + [ -/ +Raxq) %' = 0, } (4.1)
EW+ (r*Rq - GJd) т'+ (^+ axRqy, = 0.
Если арка на концах имеет шарнирные закрепления, то, полагая в (4.1)
л . пШ п . пШ „ пШ
щ = A sin -J-, кх = В sin —г- , т = С cos —г- ,
где / — длина всей дуги; t — расстояние по дуге от опоры до
рассматриваемой точки и п — целое положительное число (п = \> 2, 3, ...),
Гл. XII. Тонкостенные криволинейные стержни
441
будем иметь:
EJVr/n7t\2 1 1 л
(l~#)^2-[(l + ^)^+(l + j)^]
д +
+(•-
& \
п2Я2Я2
)ЯхЪ
. = 0.
(4.2)
где дх, <7Ш определяются формулами:
^х /ПЯ\2
Я. = £[Е1Ы(Т}*+ЫЛ].
(4.3)
Первое из уравнений (4.2) при п = 2 (случай арки с неподвижными
шарнирными опорами) дает для q формулу, совпадающую с известной формулой
Тимошенко [178] и относящуюся к устойчивости арки в плоскости ее оси.
Второе уравнение (4.2) вместе с формулами (4.3) при фиксированном
п (п = 2, 3, 4,...) дает два значения ql9 q2, соответствующие изгибно-кру-
тильным формам потери устойчивости тонкостенной арки около ее
плоскости. Наименьшие критические силы получаются при п = 1. Аналиа
приведенного здесь решения показывает, что опасной формой потери
устойчивости тонкостенной круговой арки, как правило,'получается изгибно-кру-
тильная, дающая для критической силы значение, меньшее, чем сила,
определяемая при п = 2 первым из уравнений (4.2).
§ 5. Об устойчивости плоской формы изгиба стержня с круговой осью.
Обобщение другой задачи Тимошенко
Полагая в уравнениях (2.2) Р = q = 0, Му— М, получим уравнения
устойчивости плоской формы изгиба кругового стержня произвольного
сечения с осью Ох, лежащей в плоскости кривизны:
EJxxi+№
/EJ
£-")f-o.J
(5.1).
^ _? _ М J X! + ШатГ + {2%М - GJd) х' = 0.J
Если стержень на концах имеет шарнирные закрепления, то
Xi = В sin -г- . т = 6 COS -j- ,
где п — любое целое положительное число (п = 1, 2, 3,...).
Уравнение критических моментов принимает вид:
~Рх
nztp nit м
IR ^ш ^ I т
где
п2& р _М ?™-Р _?^RM
= 0,
Рх = ^2 у Р<* = Т5" (^" ~~W + ^d) '
(5.2>
442
Тонкостенные упругие стержни
Наименьшие значения М будут при п — 1, т. е. при потере
устойчивости по синусоиде с одной полуволной на всей заданной длине /
арки. Определив М из (5.2) и полагая п= 1, получим
М-RP Ш-^ + -^--2-^У
М -КГхуг \Л2рх+лгНг д).
Га / .2 Р 72
У 4 \R*PX + Я2Я* RJ + R*\l n*RVPjf {D }
где
72—' p« = 72-^—72" + G/dJ . (5.4)
Приведенное здесь решение по устойчивости плоской формы изгиба
тонкостенной арки носит общий характер и позволяет определить критические
моменты М для арки произвольного профиля. Геометрические
характеристики JX1 Jd, /w, (Jx, г2 вычисляются совершенно так же, как и в случае
тонкостенного стержня с прямой осью. При заданных форме, размерах
поперечного сечения, длине и радиусе арки формулами (5.3) и (5.4)
определяются два момента, отличающихся между собой не только знаками
(что физически совершенно очевидно), но и (вследствие кривизны -^j
абсолютными величинами.
В случае профиля с двумя осями симметрии в формулах (5.3) и
(5.4) следует положить рж = 0, г2 = -^-^—-, где F — площадь всего
сечения. В случае стержня с сечением, имеющим форму весьма узкого
прямоугольника, мы можем считать $х = 0, Л* = 0, и тогда формула
(5.3) принимает вид
м = s? (EJx + GJd>>± Ym (EJ* + GJtf + (? ~ ж) EJ*GJd •
Эта формула, полученная как частный случай более общей форадуль*
(5.3), совпадает с формулой Тимошенко [178].
§ 6. Пространственный криволинейный стержень.
Закон векториальных площадей для бимоментов
1. Пусть X = X(t)y Y = Y(t)y Z = Z(t) — некоторая пространственная
кривая, заданная в неподвижных декартовых координатах. За
независимую переменную t может быть принято расстояние по кривой от начальной
точки t — 0, совпадающей с одним из концов ограниченной кривой, до
рассматриваемой точки с текущей координатой t, или какой-нибудь другой
параметр. На рис. 218 представлена винтовая линия со всеми своими тремя
проекциями на координатные плоскости. Эта линия лежит на поверхности
кругового цилиндра, и уравнения для координат какой-либо ее точки Т
имеют вид:
X = Х0 + a cos у, ]
Y = Y0 + asinT, [ (6.1)
Z = Z0 + br, )
где Хо, У о — координаты центра окружности, в которую проектируется
поверхность цилиндра; а — радиус этой окружности; у — полярный
угол на плоскости ОХУ\ b — коэффициент, пропорциональный шагу винта.
Гл. XII. Тонкостенные криволинейные стержни
443
В рассматриваемом примере винтовой линии за независимую
переменную принимается угловая координата у. При у = О формулы (6.1) дают
координаты Хк, YKy ZK начальной точки К винтовой линии:
Рис. 218
При у = Зя будем иметь координаты конечной точки L рассматриваемого
отрезка винтовой линии. Уравнения проекций зтой линии на
координатные плоскости получаются из общих уравнений (6.1) путем исключения
переменной у:
(X-X0)* + (Y-Y0f = a*.
X — Х0 + a cos "7 °,
Эти уравнения показывают, что проекции винтовой линии представляют
собой на плоскости OXY окружность, на плоскости OYZ синусоиду п
на плоскости OZX косинусоиду.
Вообразим в какой-либо точке кривой нормальную плоскость и
прочертим на этой плоскости контурную линию поперечного сечения
тонкостенного стержня так, чтобы точка Л, представляющая собой центр
изгиба для стержня с прямой осью, лежала на заданной кривой (рис. 219).
Будем считать, что оси Ах и Ау подвижного трехгранника параллельны
главным центральным осям сечения стержня и направлены соответственно
по бинормали и по нормали к пространственной кривой. Ось A z направим
по касательной к этой кривой в сторону возрастания координааы t. При
444
Тонкостенные упругие стержни
движении нормальной плоскости по кривой контурная линия, заданная
в этой плоскости, очертит в пространстве некоторую поверхность. Эта
поверхность и будет представлять собой срединную поверхность
тонкостенного криволинейного пространственного стержня. За ось стержня мы
принимаем, таким образом, линию центров изгиба, т. е. геометрическое
место точек А, положение которых в данной нормальной плоскости в
подвижных осях координат Ох, Оу поперечного сечения определяется
формулами (7.5) гл. I.
Предположим, что в отношении бимоментов для любого элемента dt7
заключенного между двумя смежными, нормальными к оси стержня
плоскостями, проходящими через точки t =
= const и t + dt = const, стержень
представляет собой тонкостенную статически
определимую систему. Другими словами,
мы рассматриваем стержень, состоящий
из весьма тонких полос и испытывающий
в поперечном сечении касательные
напряжения, распределенные по толщине
оболочки равномерно. Мы считаем,
таким образом, что жесткость стержня GJd
при чистом кручении равна нулю.
Такой стержнь в случае, когда его ось
представляла собой прямую линию, был
нами рассмотрен в § 9 гл. II.
Стержень, обладающий указанными
выше свойствами и сохраняющий после
деформации форму контура в поперечном
сечении, мы называем идеально тонкостенным. Считая кривизну оси
стержня достаточно малой, т. е. предполагая размеры контурной линии
в поперечном сечении стержня весьма малыми по сравнению с
радиусом кривизны, будем иметь:
Рис. 219
dB
dt
н,
(6.2)
где Н и В — соответственно крутящий момент и бимомент в сечении
t = const.
Уравнение (6.2) является точным для идеально тонкостенного стержня
с прямой осью и выражает собою нашу теорему о том, что производная от
бимомента по дуге t равна крутящему моменту. Эта теорема также
представляет собой обобщение теоремы Шведлера — Журавского.
Присоединяя уравнение (6.2) к шести обычным уравнениям статики
для стержня в пространстве, мы будем иметь полную систему семи
дифференциальных уравнений равновесия для семи обобщенных
внутренних статических факторов, а именно: для трех сил, трех моментов и
одного бимомента в сечении t ~ const.
Пусть стержень имеет на конце!/ жесткую заделку, делающую
поперечное сечение стержня на этом конце неподвижным относительно всех
введенных нами ранее семи обобщенных перемещений (рис. 218). Мы считаем,
таким образом, что на закрепленном конце стержня равны нулю в
отдельности каждый из трех компонентов вектора линейного смещения точки
оси стержня, каждый из трех компонентов вектора углового смещения
поперечного сечения стержня и, наконец, депланация этого сечения.
Другой конец стержня К мы будем считать свободным от всех указанных
выше семи закреплений. Предположим, что на этот консольный стержень
в какой-либо точке S оси его в качестве внешних статических факторов
приложена сила Р$, заданная в осях OX, OY, OZ своими компонентами
Гл. XII. Тонкостенные криволинейные стержни
445
Psx, Psyi Psz, момент Ms, имеющий своими комнонентами в тех же
осях Msx> Msy, Msz, и, наконец, бимомент Bs.
Под действием указанной нагрузки в сечениях стержня возникнут
внутренние силы, состоящие для стержня, поперечное сечение которого
претерпевает секториальную депланацию, из семи обобщенных
статических факторов, а именно, из шести обычных сил (трех сил и трех моментов)
и одного бимомента. На участке KS оси стержня между свободным
(незакрепленными) концом К и точкой S приложения указанных внешних
сил все внутренние силы, включая для идеально тонкостенного стержня
и бимомент, равны нулю. На участке же SL в каждой точке Т этого
участка внутренние силы находятся из условий равновесия. Вектор
силы и вектор момента в каком-либо сечении t = const находятся из шести
обычных условий равновесия стержня, как жесткого тела в пространстве.
В частности, для крутящего момента Н = Н (t) мы получаем формулу:
при ts < t < tL
Н (t) = Psxhyz (t) + Psrhzx (t) + Pszhxr (t) +
+ MSXX' (t) + MSYY' (t) + MSZZ' (*), (6.3)
где hYz (0» hzx (*)» hxy(t) — проекции на координатные плоскости OYZ,
OZX, OXY перпендикуляра h (t), опущенного из точки S приложения
силы Ps на касательную к оси стержня в точке с текущей
координатой t; X' (t), Y' (t)y Z' (t) — производные по дуге t от координат.
Подставляя (6.3) в уравнение (6.2) и интегрируя затем это уравнение, получим
В (J) = PSX&YZ (0 + PSY&ZX (t) + PSZ&XY (*) +
+ MSXX (t) + MSYY (t) + MSZZ (t) + Bs. (6.4)
Здесь Qyzit), &zx(t), &xr(0 представляют собой проекции на
координатные плоскости вектора Q (t), величина которого равна удвоенной
площади линейчатой поверхности, которую описывает подвижной радиус-
вектор, вращаясь вокруг неподвижной точки S (точки приложения силыР)
при прохождении другого конца этого вектора по оси стержня от точки S
до точки Т, для которой определяется бимомент. Величины Qxy (0>
&yz (0» ®zx (0 определяются как удвоенные площади на координатных
плоскостях секторов (сегментов), заключенных между проекцией на
соответствующую координатную плоскость отрезка ST оси стержня и
проекцией хорды, соединяющей концы этого отрезка.
Величинами X(t), Y(t), Z(t) в формуле (6.4) представлены проекции
вектора R(t) (расстояния между точками S и Т) на оси координат ОХ,
OY, OZ (начало координат совмещено с точкой S приложения момента Ms).
Последнее слагаемое в формуле (6.4) относится к внешнему
сосредоточенному бимоменту Bs, приложенному в точке S. Записывая равенство
(6.4) в векторной форме
В (t) = BS + MSB (t) + Ps® (t), (6.5)
где последними двумя слагаемыми представлены скалярные произведения
из соответствующих векторов, мы можем полученный результат
сформулировать в виде следующей теоремы.
Для идеально тонкостенного криволинейного пространственного
стержня с жестким открытым профилем, с одним свободным и другим
закрепленным концом, в случае действия одного только внешнего бимомента
Bs бимомент в любом поперечном сечении стержня на участке между
точкой приложения внешних сосредоточенных сил и закрепленным концом
остается постоянным и равным по величине внешнему бимоменту; в
случае действия одного только сосредоточенного момента Ms бимомент опре-
446
Тонкостенные упругие стержни
деляется как скалярное произведение из вектора этого момента и радиуса-
вектора /?(£), соединяющего точку S приложения момента^с точкой Г,
для которой вычисляется бимомент B(t); в случае действия одной только
сосредоточенной силы-Ps, приложенной в какой-либо точке S оси стержня,
внутренний бимомент B(t) в сечении на участке оси стержня между точкой
приложения этой силы и закрепленным концом равен скалярному
произведению вектора заданной силы Ps и вектора Q (t) удвоенной площади той
поверхности, которую описывает подвижной радиус-вектор на участке оси
стержня между точкой S приложения силы Р и точкой Г, определяющей
Рис. 220 Рис. 221
поперечное сечение с искомым бимоментом; на участке же между
свободным концом и точкой приложения внешних сил бимомент B(t) равен
нулю.
2. В случае стержня, имеющего своей осью плоскую кривую (или
ломаную линию), формула (6.4) принимает вид
В (t) = Bs + MSXX (t) + MSYY (t) + PszQxy (*). (6.6)
Этой формулой представлен закон для бимомента консольного
плоского кривого стержня, аналогичный закону секториальных площадей
для продольных перемещений и нормальных напряжений стержня с
прямой осью при секториальной депланации поперечного сечения этого
стержня.
Заметим, что, в отличие от внутренних изгибающих и крутящих
моментов, определяемых из обычных уравнений статики, бимомент B(i)
в криволинейном стержне от сосредоточенной сщш Р зависит не только
от точки приложения этой силы, но также и от вида кривой на участке
оси стержня, между точкой приложения силы Р и точкой с текущей
координатой t, определяющей данное сечение. Так, например, в случае
плоского кругового, идеально тонкостенного консольного стержня,
показанного на рис. 220,бимомент в заделке определяется как произведение
удвоенной площади сегмента на значение вертикальной силы Pz- В случае же
И-образного в плане консольного стержня, представленного на рис. 221,
бимомент в заделке будет равен нулю, поскольку секториальная площадь
на рассматриваемом участке равна нулю. Аналогичный же вывод мы
получили раньше и для перемещения и из плоскости сечения стержня.
Общая формула (3.16) гл. I распространяется также и на
тонкостенные плоские, криволинейные стержни, если под контурной линией,
представленной на рис. 220, понимать не линию поперечного сечения стержня,
а ось этого стержня. Величина и будет представлять собою
перемещение точки оси стержня из ее плоскости; £', т)'— углы поворотов, а 6'—
мера депланации, рассматриваемые теперь в функции координаты tr
а не z.
Гл. XII. Тонкостенные криволинейные стержни
447
3. Если жесткость стержня GJd при чистом кручении отлична от нуля,
то вместо уравнения (6.6) мы будем иметь дифференциальное уравнение
- EJJT + GJdB = Psx^yz (t) + PsyQzx (t) + Psz^xy (0 +
+ MSXX (t) + MSY Y(0 + MSZZ (t) + B8. (6.7)
Это уравнение вместе с граничными условиями определяет угол
кручения 6 = 0(0 от сосредоточенных внешних статических факторов,
приложенных в какой-либо точке S консольного стержня. Заметим, что на
участке £А*ч * < *s мы должны считать правую часть уравнения (6.7)
равной нулю.
Приведенные здесь основные результаты путем некоторого обобщения
на статически неопределимые системы положены в основу современной
теории расчета плоских и пространственных рам, состоящих из
тонкостенных стержней, а также любых криволинейных стержней. На основе этой
Рис. 222
теории могут быть рассчитаны с учетом секториальной депланации
сечения вагонные рамы, состоящие из швеллеров, всякого рода плоские и
пространственные системы типа тонкостенного криволинейного стержня
открытого профиля.
На рис. 222 представлена в качестве примера такой системы
конструкция многопролетного покрытия, очерченного по части поверхности тора
и усиленного криволинейными бортовыми элементами. Если все три
основных размера такой конструкции представляют собою величины разных
порядков, то расчет ее может быть произведен методами изложенной выше
бимоментной теории тонкостенного криволинейного стержня открытого
профиля. Реакции мнимых опорных связей могут быть найдены как
статически не определимые величины из условий равенства нулю
перемещений по направлению соответствующих опор, подобно тому, как это было
показано ранее в § 1 гл. III на примере многоопорного стержня-оболочки
с прямой осью.
КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Теоретическими и экспериментальными исследованиями установлено,
что распределение напряжений и деформаций в брусе при поперечном
изгибе зависит не только от величины изгибающего момента, но также и от
положения плоскости действия внешних сил (плоскости изгиба).
Гипотеза плоских сечений, лежащая в основе элементарной теории изгиба
балок, соблюдается только в одном из частных случаев внешней поперечной
нагрузки, а именно: в случае, когда эта нагрузка проходит через так
называемый центр изгиба.
В классической теории изгиба отклонение от закона плоских сечений
при действии на балку поперечной нагрузки, не проходящей через центр
изгиба, впервые обнаружил экспериментальным путем в 1909 г. Бах [211].
Производя опыты над металлической балкой швеллерного сечения,
Бах установил, что поперечная нагрузка, действующая перпендикулярно
к плоскости симметрии швеллера и проходящая через центр тяжести его,
наряду с деформациями изгиба вызывает также и деформации кручения.
Деформации удлинений четырех крайних волокон швеллера при
произвольном положении нагрузки не следуют закону плоских сечений.
При прохождении поперечной нагрузки через ось стенки швеллера
деформации от кручения в опытах Баха оказались значительно меньше,
чем в случае приложения нагрузки в центре тяжести. Обнаружив
опытным путем отклонения от закона плоских сечений, Бах объяснил это
отклонение несимметричностью сечения.
Вопросом изгиба и кручения тонкостенных стержней занимался
проф. С. П. Тимошенко в связи со своей работой по устойчивости плоской
формы изгиба двутавровой балки [176]. Экспериментальным путем он
установил величину жесткости двутавровых балок при чистом кручении
и подробно изучил вопрос о кручении, при котором в поперечных
сечениях, наряду с касательными напряжениями, возникают также и
нормальные. Измеренные в опытах С. П. Тимошенко углы кручения хорошо
совпали с теоретическими значениями, вычисленными по его формулам.
После работ Баха и Тимошенко вопрос о кручении тонкостенных балок,
сопровождаемом изгибом отдельных элементов, в течение ряда лет в
печати не освещался.
В 1921 г., т. е. спустя 12 лет после опытов Баха, появилась работа
Майара [253], посвященная вопросу изгиба и кручения тонкостенных
металлических балок. В этой работе автор, анализируя опыты Баха,
отмечает, что отклонение от закона плоских сечений при кручении,
сопровождаемом изгибом отдельных элементов, может иметь ^есто также
и в симметричных профилях.
В своих последующих статьях, опубликованных в 1922 и 1924 гг.,
Майар, кроме результатов экспериментальных исследований, приводит
расчетные данные по определению центра изгиба [254]. Эти данные
получены им на основании метода С. П. Тимошенко. Центр изгиба он, как
Краткий исторический очерк и обзор литературы
449
и ранее Тимошенко, определяет как точку пересечения
равнодействующих элементарных касательных напряжении при изгибе балки в главных
плоскостях.
В 1927 г. появилась работа С. А. Бернштейна [17], в которой автор
отмечал значительное отклонение характера распределения нормальных
напряжений в поперечных сечениях поясов ферм открытых мостов от
закона плоских сечений и назвал это явление «депланацией».
В период с 1921 по 1926 г. в иностранной технической литература
были напечатаны работы Циммермана [288], Зонтага, Эгеншвилера
[226] и Вебера [285]. Из них наиболее интересной является работа Вебера,
в которой автор, кроме метода определения центра изгиба, дает
обобщение результатов Тимошенко по кручению двутавровой балки и метод
определения дополнительных нормальных напряжений при кручении для
двухполочных профилей (двутаврового с разными полками, швеллерного
и зетового). В этой же работе автор обратил внимание на связь между
центром изгиба и центром кручения, т. е. точкой сечения, которая при
кручении не перемещается. Он доказал, что обе эти точки при кручении,
сопровождаемом изгибом полок профиля, совпадают.
Вопросом нахождения центра изгиба для стержней сплошного сечения
занимались советские ученые: акад. Б. Г. Галеркин [60], акад. Л. С. Лей-
бензон [111] и Г. Э. Проктор [143]. В последние годы оригинальные
исследования по определению центра изгиба для стержней сплошного сечения
были проведены Н. X. Арутюняном и Н. О. Гулканяном [7], М. Э. Бер-
маном [16].
Отклонение от закона плоских сечений при кручении тонкостенных
стержней, сопровождаемом изгибом отдельных элементов, играет
существенную роль не только в вопросах прочности, но также и в вопросах
устойчивости. Экспериментальные исследования, проведенные рядом
авторов как в СССР, так и за границей, показывают, что во многих случаях
экстремальными формами потери устойчивости, т. е. формами, дающими
наименьшее значение для критической силы, являются крутильные или,
в более общем случае, изгибно-крутильные.
Так, например, опыты над дюралюминиевыми авиационными
стержнями, проделанные в ЦАГИ в 1934 г. [18], показали, что стержни
коробчатого сечения с открытым профилем, как правило, теряют упругую
устойчивость вследствие закручивания, причем потеря устойчивости
происходит при значениях сил, которые значительно меньше теоретических,
полученных по формулам Эйлера.
Вопросом устойчивости тонкостенных авиационных стержней
занимался немецкий инженер Вагнер; в 1934 г. он совместно с Претчером
опубликовал теоретическую работу, в которой даны формулы для
определения критических сил при потере устойчивости авиационных стержней
в форме закручивания [284]. При выводе своих формул для
дополнительных нормальных напряжений от кручения Вагнер пользовался законом,
аналогичным закону секториальных площадей, выведенному автором
настоящего труда в 1936 г. для профилей произвольного очертания [41].
Следует отметить, что Вагнер при рассмотрении деформации кручения
считал, что центр кручения при потере устойчивости совпадает с центром
изгиба. В действительности же центр кручения, как показали наши
исследования, как правило, не совпадает с центром изгиба. Совпадение
получается только в одном частном случае поперечного сечения стержня,
а именно, когда центр изгиба совпадет с центром тяжести сечения; по этой
причине формула Вагнера применима только для стержней, имеющих в
сечении две оси симметрии. По-видимому, впервые на неточность
результатов Вагнера обратил внимание Остенфельд [269] (1931 г.), получивший
точные решения для таврового, уголкового и швеллерного сечений.
450
Тонкостенные упругие стержни
Вопросы теории изгиба, кручения и устойчивости стержня
полигонального сечения рассматривались Каппусом [242] (1937 г.).
Ланквист и Флиг [252] (1937 г.) определили положение центра
вращения, соответствующее минимуму критической нагрузки.
Из советских исследователей вопросами устойчивости авиационных
стержней занимался П. М. Знаменский (в связи с экспериментальными
исследованиями ЦАГИ, опровергающими теорию продольного изгиба).
В 1934 г. им была напечатана статья [92], в которой на основе метода
Ритца — Тимошенко были даны приближенные формулы для определения
критической силы от продольного закручивания. Однако формулы
П. М. Знаменского имеют те же пределы применимости, что и формулы
Вагнера, поскольку и П. М. Знаменский при выводе своих формул исходит
из предположения, что центр кручения в момент потери устойчивости
совпадает с центром изгиба.
В 1936 г. появилась работа Ф. и Г. Блейхов, посвященная вопросу
кручения и устойчивости тонкостенных профилей [214]. В этой статье
авторы, пользуясь энергетическим методом, получили систему трех
дифференциальных уравнений, относящихся к случаю центрального сжатия.
Однако авторы исходили из закона плоских сечений и заменяли
заданные в поперечном сечении нормальные напряжения
равнодействующей, принимая ее за сосредоточенную силу, приложенную в центре
тяжести. Вследствие такой замены, в одном из уравнений, выражающем
равновесие стержня при вращении относительно продольной оси,
соответствующих нашему третьему уравнению, в последнем члене не
содержится продольной силы, что привело к потере одного из трех корней
соответствующего детерминантного уравнения и дало для двух других
корней неточные результаты.
В 1931 г. автором настоящей книги была предложена техническая
теория ортотропных цилиндрических и призматических оболочек средней
длины, имеющих в поперечном сечении произвольно заданное очертание.
Эта теория, опубликованная впервые в работе [38] и затем в монографиях
[39, 40], основана на рассмотрении оболочки как пространственной
системы, способной в каждой точке сопротивляться не только деформациям
растяжения (сжатия) по двум взаимно-перпендикулярным направлениям,
но также и деформациям изгиба в одном только поперечном направлении.
Из внутренних усилий в оболочке, помимо нормальных и сдвигающих
сил, учитываются также поперечные изгибающие моменты и поперечные
силы, возникающие на продольных сечениях оболочки; продольные
изгибающие и крутящие моменты как величины, не играющие
существенной роли в пространственной работе конструкции, приняты равными
нулю. Отброшены также соответствующие этим моментам (в смысле
математической аналогии) деформации поперечных удлинений и деформации
сдвига срединной поверхности. При перечисленных статических и
геометрических гипотезах проблема равновесия упругой оболочки приводится
к интегрированию системы двух симметрично построенных
дифференциальных уравнений в частных производных относительно двух искомых
функций: продольного нормального напряжения и поперечного
изгибающего момента. Каждое из этих уравнений имеет четвертый порядок по
контурной координате (в поперечном направлении) и второй по
координате, откладываемой в направлении образующей. Решение этой
двухмерной краевой проблемы применительно к оболочкам покрытий дано на
основе предложенного автором нового вариационного метода,
позволяющего в синтезе с методами строительной механики стержневых статически
неопределимых систем приводить сложные уравнения в частных
производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с
симметричной матрицей.
Краткий исторический очерк и обзор литературы
451
Эти уравнения при рассмотрении цилиндрической оболочки как
пространственной системы, состоящей из конечного числа узких продольных
пластинок и бесконечного множества поперечных рам-полос и названной
нами дискретно-континуальной, принимают восьмичленную структуру.
В соответствии с физическим смыслом восьмичленные уравнения
смешанного метода для призматической оболочки делятся на две группы: на
уравнения равновесия и уравнения неразрывности деформаций. Для
интегрирования дифференциальных уравнений теории цилиндрических и
призматических оболочек автором разработан метод разложения искомых
решений по фундаментальным функциям поперечных колебаний однородной
весомой балки. Таким путем удалось разработать практические методы
расчета цилиндрических и призматических оболочек на любую
произвольно заданную нагрузку и при любых произвольно заданных граничных
условиях. Эта теория была впоследствии обобщена автором и на оболочки
произвольно заданного многосвязного упругого контура.
Из зарубежных работ, содержащих, по существу, техническое
приложение смешанного вариационного метода расчета призматических
оболочек и применение этого метода к расчету строительных
оболочек-покрытий, можно указать, например, на работы [223, 272, 274, 279].
На основе нашей теории разрешен ряд новых, практически важных
задач по расчету и проектированию тонкостенных конструкций,
применяемых в строительном деле, в авиации, в судостроении и в других
областях современной техники. В настоящее время техническая теория орто-
тропных оболочек составляет новый раздел строительной механики
пространственных систем.
В 1935 г. в СССР методами описанной выше теории впервые была
рассчитана, спроектирована и осуществлена уникальная по своим размерам
конструкция деревянной ребристой оболочки, перекрывающей площадь
в 6000 м2,— состоящая из двух спаренных между собой
цилиндрических оболочек (100 ж х 30 м каждая) и опирающаяся на поперечные
железобетонные рамы, расположенные в торцовых сечениях и отстоящие одна
от другой на расстоянии 100 м.
Результаты расчета этой конструкции, приведенные частично в
докторской диссертации автора [40], оказались совершенно неожиданными и
непривычными с точки зрения обычных понятий и представлений
классического сопротивления материалов и строительной механики
стержневых систем.
Исследования показали, что напряженное состояние однопролетной
оболочки при действии на нее поперечной нагрузки существенным
образом зависит от положения этой нагрузки в плоскости поперечного сечения.
Так, например, при вертикальной односторонней, равномерно
распределенной нагрузке, приложенной по продольному краю, в поперечных
сечениях оболочки, помимо напряжений от изгиба, определяемых на основе
закона плоских сечений методами балочной теории, возникают
дополнительные нормальные напряжения, не следующие уже закону плоских
сечений и происходящие от действия на оболочку внешней крутящей
нагрузки. Эта нагрузка, отнесенная к единице длины, определяется как
крутящий момент от заданной погонной вертикальной нагрузки
относительно линии центров изгиба. Дополнительные нормальные
напряжения в рассматриваемом случае односторонней нагрузки по своим
величинам значительно превосходят напряжения, определяемые обычными
методами сопротивления материалов, основанными на законе плоских
сечений и не учитывающими влияния эксцентриситета приложения поперечной
нагрузки относительно вертикальной оси симметрии. Эти напряжения
связаны с новым видом работы ребристой оболочки, характеризующейся
изгибным кручением. В отличие от чистого кручения, рассматриваемого
452
Тонкостенные упругие стержни
в теории Сен-Венана, изгибное кручение сопровождается
возникновением в оболочке не только касательных, но также и нормальных
напряжений. Применение теории ортотропных цилиндрических оболочек к
расчету названной выше конструкции ребристого покрытия
существенным образом изменило представление о работе таких конструкций, как
тонкостенные балки корытного профиля, и, выявило новые факторы
пространственной деформации, связанные с депланацией поперечных сечений и
возникающие главным образом от действия на оболочку односторонних
несимметричных нагрузок. Результаты расчета сыграли большую роль
при назначении основных размеров конструкции, обеспечивающих ее
прочность. Выяснилось, в частности, что при односторонней нагрузке
в оболочке, помимо нормальных напряжений, возникают большие
касательные напряжения, достигающие максимальных значений в крайних
верхних частях покрытия, примыкающих к световому проему. Эти
напряжения потребовали усиления конструкции путем увеличения на
соответствующих ее участках толщины.
Исследования также показали, что для цилиндрических оболочек
открытого профиля при достаточной их длине или при наличии достаточно
жестких поперечных ребер деформация поперечного изгиба, связанная
с изменением формы профиля оболочки и происходящая от поперечных
изгибающих моментов, в пространственной работе конструкции не имеет
существенного значения. Эта деформация практически не оказывает
влияния на величины и характер распределения нормальных и касательных
напряжений, возникающих в поперечных сечениях оболочки. Отбрасывая
по малости поперечную изгибную деформацию или (что равносильно) вводя
дополнительную гипотезу о неизменяемости профиля оболочки, автор тем
самым значительно упростил предложенную им ранее более точную
теорию и получил в 1935 г. для продольных деформаций и продольных
нормальных напряжений новый закон распределения их по поперечному
сечению, названный им законом векториальных площадей.
Закон секториальных площадей, включающий в себя как частный
случай закон плоских сечений Бернулли — Навье и описывающий как
плоскую изгибную, так и пространственную изгибно-крутильную
деформацию оболочки, был положен в основу практического метода расчета
ребристых сводов-оболочек, а затем и в основу общей теории прочности,
устойчивости и колебаний тонкостенных стержней открытого профиля.
Таким образом, современная теория тонкостенных стержней,
опубликованная сначала в работах [41, 42, 43], а затем в монографии автора [45],
возникла как частный случай из более общей теории автора и основана
на рассмотрении тонкостенного стержня как пространственной системы
типа цилиндрической или призматической оболочки с жестким профилем.
Эта концепция, в сочетании с вариационными принципами механики
деформируемых тел, позволившими ввести новые понятия об обобщенных
координатах сечения, испытывающего депланацию, об изгибно-крутящем
бимоменте, представляющем собою новую обобщенную продольную
силу, соответствующую в смысле виртуальной работы депланации сечения
и принципиально отличающуюся от сил и моментов, рассматриваемых в
статике твердого тела, оказалась более общей и более плодотворной, чем
концепция балочной теории и классического сопротивления материалов,
от которой по существу отправлялись все названные выше
предшественники автора, начиная с Тимошенко.
Научное и методологическое значения теории тонкостенных стержней-
оболочек состоят еще и в том, что она, будучи построена на гипотезах
более общего характера, чем гипотезы классической теории изгиба балок,
на отказе от гипотезы плоских сечений и от принципа Сен-Венана,
выражающего по существу эту гипотезу в смысле внутренних обобщенных сил
Краткий исторический очерк и обзор литературы
453
и моментов, в значительной мере расширяет рамки сопротивления
материалов.
Основанная в своей математической части на вариационном методе
приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям с одной или
несколькими обобщенными упругими характеристиками, бимоментная
теория автора, путем надлежащего выбора дополнительных физических
гипотез, относящихся к законам распределения напряжений и деформаций
в плоскости поперечного сечения, дает возможность разработать более
точные методы расчета тонкостенных стержней и оболочек как открытого,
так и закрытого многосвязного профиля, а также и стержней сплошного
сечения с учетом депланации и изменения формы и профиля.
Здесь уместно будет отметить, что С. П. Тимошенко в 1945 г.
опубликовал по теории тонкостенных стержней (с ссылкой на нашу монографию
[45]) обширную статью [281], в которой при изложении основной задачи
об изгибном кручении стержня исходит также из идеи рассмотрения
стержня как оболочки; статья эта была переведена на французский язык
и опубликована в Бельгии [257] в 1947 г.
Статья Тимошенко, опубликованная на русском языке как
дополнение ко второму изданию его книги [181], представляет собою по существу
краткое изложение основных глав нашей монографии [45], но только в
других обозначениях. Теория тонкостенных стержней в концепции
автора, с сохранением его терминологии (правда, без ссылки на него),
освещалась и в ряде других работ зарубежных авторов, например Гудира,
Бескина [213, 232].
Из советских работ по теории тонкостенных стержней в первую очередь
следует назвать монографию А. А. Уманского [182], предложившего
оригинальный метод расчета тонкостенных стержней с жестким закрытым
профилем и рассмотревшего на основе бимоментной теории ряд новых
задач по расчету плоских спаренных стержневых конструкций, названных
им биконструкциями.
Книга Д. В. Бычкова и А. К. Мрощинского [29] содержит
систематическое изложение теории тонкостенных стержней применительно к
расчету строительных металлических балок. Книга Д. В. Бычкова [30]
содержит методы расчета рам из тонкостенных стержней. Книги
Б. Н. Горбунова и А. И. Стрельбицкой [73, 74] освещают вопросы
приложения нашей теории к расчету тонкостенных вагонных рам.
Оригинальное изложение теории тонкостенных стержней, основанное
на применении вариационных уравнений Эйлера — Лагранжа, дано в
работе Г. Ю. Джанелидзе [80]. Теоретический интерес представляет
собой также и докторская диссертация Г. Ю.Джанелидзе [81], содержащая,
помимо вариационной формулировки нашей теории, и методы расчета
стержней закрытого профиля.
В книге Джанелидзе и Пановко [82], помимо основных результатов,
относящихся к бимоментной теории изгибного кручения стержней
сплошного сечения, с достаточной полнотой излагаются также и методы
определения напряжений и деформаций при стесненном кручении стержня
закрытого профиля.
Строгое математическое обоснование физических гипотез, лежащих
в основе теории тонкостенных стержней, а также выявление области
применения этой теории было дано в работе А. Л. Гольденвейзера [70]. Этому
весьма важному вопросу посвящены также специальные главы докторской
диссертации Ю. Н. Работнова [146].
Важным вопросам экспериментального изучения деформаций
тонкостенных стержней (балок и колонн) при изгибном кручении и
экспериментальной проверке основных положений нашей теории и, в частности,
закона секториальных площадей было посвящено большое количество
454
Тонкостенные упругие стержни
работ, проведенных в лабораториях ряда научно-исследовательских
институтов и высших учебных заведений. К таким работам относятся, в
частности, исследования Н. А. Болобана [18], Д. В. Бычкова [26, 27, 28],
М. И. Длугача [86], Н. Г. Добудогло [88, 89, 90], А. Р. Ржаницына
[153], С. И. Стельмаха [161, 162], Ю. И. Ягна [207] и др. авторов.
Опыты, проведенные К. Ф. Ковалевым [104], подтвердили выводы
предложенной нами общей теории, относящейся к расчету стержней-
оболочек закрытого профиля с учетом деформации их контура [51]. Они
показали, что стесненное кручение таких тонкостенных стержней, как
правило, сопровождается значительными искажениями контура. Форма
депланации поперечного сечения близка к форме ее при чистом кручении.
На основании проведенных экспериментов К. Ф. Ковалов подтверждает
наш вывод о необходимости расчета замкнутых тонкостенных профилей,
не усиленных поперечными ребрами, с учетом деформации их контура.
Широкой популяризации бимоментной теории тонкостенных стержней
способствовали работы Г. Ю. Джанелидзе [81, 82] и Я. Г. Пановко [133,
134], в которых рассмотрены стержни как открытого профиля, так и
замкнутого. Вопросы расчета тонкостенных стержней с учетом
деформации сдвига рассматривались Р. А. Ададуровым [1, 2].
Приложение теории к расчету тонкостенных конструкций самолета
на прочность содержится в трудах С. Н. Кана [94, 95, 96] и В. И.
Климова [102].
Тонкостенные стержни с малой коничностью применительно к
требованиям авиастроения исследовали Л. И. Балабух [10, И] и Б. П.
Цибуля [193, 194].
Теория тонкостенных стержней была применена для расчета
гидротехнических сегментных затворов Б. С. Васильковым и И. Е. Милей-
ковским [34]. Гидротехнические плоские затворы рассматривались
В. Н. Пастушихиным [137] как тонкостенные пространственные
конструкции типа призматических оболочек.
Вопросы расчета тонкостенных стержней с поперечными связями
освещались в работах Г. П. Соболевского [160], М. И. Длугача [86],
А. М. Шаншиашвили [204, 205].
Распространение бимоментной теории изгибного кручения на
тонкостенные плоские криволинейные стержни дано в работах Н. Я.
Грюнберга [76], Г. Ю. Джанелидзе [81], А. Р. Ржаницына [156] и А. А. Уман-
ского [185, 186].
Обобщение этой теории на тонкостенные пространственные стержни
дано в нашей работе [48]; там же рассмотрена задача о пространственной
устойчивости и пространственных изгибно-крутильных формах
равновесия тонкостенного плоского криволинейного стержня с круговой осью.
Большое практическое значение имеет проблема пространственного
расчета тонкостенных стержней за пределом упругости и определение
несущей способности конструкций типа тонкостенных стержней. Эта
проблема в Советском Союзе изучалась также методами описанной выше
бимоментной теории путем использования для деформаций закона секто-
риальных площадей.
Вопросы расчета тонкостенных стержней за пределами упругости
освещались в работах Р. А. Межлумяна [122], Е. А. Раевской [148],
Н. Д. Рейна [151], А. Р. Ржаницына [154] и А. И. Стрельбицкой [171,
173], многочисленные исследования которой, подтвержденные
экспериментами, имеют большое практическое значение. В последние годы
А. Р. Ржаницын, используя наряду с законом секториальных площадей
и другие геометрические зависимости нашей общей теории депланации
оболочек, лежащие в основе восьмичленных уравнений, и исходя также
из вариационного метода приведения к обыкновенным дифференциальным
Краткий исторический очерк и обзор литературы
455
уравнениям систем в частных производных, рассмотрел ряд задач по
расчету оболочек за пределом упругости и по определению их несущей
способности.
Устойчивость балки прямоугольного сечения из упрочняющегося
материала при чистом изгибе исследована Хиллом и Кларком [235] (1950 г.)
и Уиттриком [287] (1952 г.). Устойчивость двутавровой балки при чистом
изгибе в предположении о чисто пластическом характере процесса
выпучивания рассматривалась Флинтом [229] (1953 г.).
Некоторые вопросы устойчивости упруго-пластических тонкостенных
стержней изучены Л. М. КачановымЦОО) (1956 г.), исходя из гипотезы об
отсутствии разгрузки в момент выпучивания.
Различные случаи устойчивости плоской формы изгиба по теории
деформации с учетом разгрузки материала рассмотрены Л. М. Качановым
[99] (1951 г.) и К. С Чобаняном [196] (1953 г.).
Не меньшее значение, чем проблема прочности, имеет для
тонкостенных конструкций проблема устойчивости. Проблемой упругой
устойчивости тонкостенных стержней при различных граничных условиях
занимались С. А. Амбарцумян [5], А. Л. Гольденвейзер [68], 3. Н. Ма-
зурмович [117] и многие другие.
Устойчивость верхнего пояса открытого моста, элементы которого
выполнены в виде тонкостенных стержней, рассмотрена П. А. Лукашем
1113].
Устойчивость внецентренно сжатых тонкостенных стержней изучалась
Г. М. Чувикиным [197, 198, 200]. Приложение теории устойчивости к
расчету авиаконструкций было выполнено И. Ф. Образцовым [129, 130].
Проблема пространственной устойчивости, разработанная автором
145] применительно к упругим стержням (колоннам, балкам),
развивалась затем успешно в направлении определения критических сил для
стержней, теряющих устойчивость при напряжениях, превосходящих
предел упругости.
К работам, посвященным вопросам устойчивости тонкостенных
стержней за пределом упругости, относятся исследования Б. М. Броуде [22,
23, 24], который изучал устойчивость балок за пределами упругости при
центрированном и внецентренном нагружении, а также общий случай
потери устойчивости внецентренно сжатых стержней за пределом
упругости Л. Б. Бунатяна [25], А. В. Геммерлинга и Г. В. Лонгвиновича
[64], Р. А. Межлумяна [122], В. В. Пинаджяиа [139, 140], А. Р. Ржани-
цына [157] и др. Обширные экспериментальные исследования
устойчивости балок и колонн за пределом упругости произведены Г. М.
Чувикиным [24, 199].
Из зарубежных исследований проблеме расчета тонкостенных стержней
за пределом упругости посвящены работы [219, 235].
Особенный интерес представляет также исследование работы
тонкостенных конструкций при действии динамических нагрузок.
Вопросами расчета тонкостенных стержней и ребристых
сводов-оболочек на собственные колебания и действия кратковременных нагрузок
занимался Б. М. Теренин [47, 50]. Практически важная задача о
собственных и вынужденных колебаниях гидротехнических плоских затворов
плотин была решена В. Н. Пастушихиным [137].
Исследование напряжений и деформаций в тонкостенных балках от
подвижной нагрузки выполнено В. Г. Александровым [3].
Проблема динамической устойчивости и пространственных изгибно-
крутильных колебаний конструкций типа тонкостенных стержней в
связи с аварией Такомского моста рассматривалась на основе общих
уравнений нашей теории в докторских диссертациях В. В. Болотина
(19], И. И. Гольденблата [67] и Ф. Д. Дмитриева [87].
456
Тонкостенные упругие стержни
Большое теоретическое и практическое значение имеет также и
проблема пространственного расчета тонкостенных гибких стержней,
претерпевающих конечные деформации. Эта проблема также с успехом
развивается в Советском Союзе и ей, в частности, посвящены оригинальные
исследования Л. П. Кобеца [103] и С. П. Вязьменского [58].
Представляет практический интерес метод деформационного расчета
сжато-изогнутых стержней, разработанный на основе теории автора
Ю. Д. Копейкиным [105], А. А. Пиковским и К. А. Михайличенко [138].
ЛИТЕРАТУРА
1. Ададуров Р. Ам Определение касательных напряжений в
тонкостенных конструкциях вблизи заделки, Труды ЦАГИ, № 614, 1947.
2. Ададуров Р. А., Напряжения и деформации в цилиндрической оболочке
с жесткими поперечными сечениями, ДАН 62, № 2, 1948.
3. Александров В. Г., Расчет тонкостенных неразрезных балок на
совместное действие изгиба и кручения при подвижной нагрузке (канд.
диссертация), ЦНИПС, 1949.
4. Александров В. Г., Линии влияния изгибно-крутильных факторов
неразрезных тонкостенных балок, Вопр. строит, механ. (Ростовский на-Дону
инж.-строит, ин-т), М., № 2, стр. 35—51, 1953.
5. Амбарцумян С. А., К вопросу расчета устойчивости тонкостенных
стержней, ДАН Армянской ССР, т. XVII, № 1, 1953.
6. Анучкин М. П., Изыскание оптимальных форм балок и колонн из
тонкостенных штампованных профилей (канд. диссертация), ЦНИПС, 1949.
7. Арутюнян Н. X. и Гулканян Н. О., О центре изгиба некоторых
призматических стержней с полигональным поперечным сечением, Прикл.
матем. и механ., т. XVIII, вып. V, 1954.'
8. Афанасьев А. М., О расчете крыла моноблок на стесненное кручение,
Труды научно-технической конференции ВВА им. Н. Е. Жуковского, т. 2,
вып. 2, 1944.
9. Ахметов У. М., К вопросу о выравнивании нормальных! напряжений
в обшивке вблизи креплений и вырезов (диссертация), ЛКВВИА, 1950.
10. Балабух Л. И., Изгиб и кручение конических оболочек, Труды ЦАГИ,
№ 577, 1946.
11. Балабух Л. И., Расчет на прочность конических кессонов, Труды ЦАГИ,
№ 640, 1947.
12. Балаян А. М., Предварительно напряженные цилиндрические
железобетонные оболочки (канд. диссертация), Ин-т стр. мат. и сооруж. АН Арм. ССР,
Ереван, 1949.
13. Беляев В. Н., Расчет свободно несущего крыла, Техника воздушного
флота, №№ 7, 8, 9, 1932.
14. Беляев В. Н., Расчет свободно несущего крыла с работающей обшивкой,
Техника воздушного флота, 1935.
15. Беляев Н. М., Сопротивление материалов, Гостехиздат, 1953.
16. Берман М. Э., К вопросу о центре изгиба, ДАН СССР, т. LXXII, № 1,
1950.
17. Бернштейн С. А., Опытное исследование работы верхнего пояса
открытого моста, Сборник «Исследование напряжений и деформаций при статической
работе моста», Транспечать, вып. № 60, 1927.
18. Болобан Н. А., Исследование дюралюминиевых профилей, 1936.
19. Болотин В. В., Динамическая устойчивость сооружений, Гостехиздат,
1952.
20. Болотин В. В., Интегральные уравнения стесненного кручения и
устойчивости тонкостенных стержней, Прик. матем. и механ., 17, № 2, 1953.
21. Борисов М. Д., Крутильная жесткость составных тонкостенных
стержней с упругими планками, Труды Ленингр. текстильн. ин-та, № 6, стр. 109—
118, 1955.
22. Броуде Б. М., Предельные состояния стальных балок, Стройиздат, 1953.
23. Броуде Б. М., Об устойчивости слегка искривленных и внет;ентренно
нагруженных двутавровых балок, Сборник «Расчет пространственных
конструкций», № 4, Госстройиздат, 1957.
24. Броуде Б. М. и Чувикин Г. М., Экспериментально-теоретическое
исследование общего случая потери устойчивости внецентренно сжатых стержней,
ГПИ «Проектстальконструкция», вып. 1416, 1954; вып. 701, 1957.
25. Бунатян Л. Б., Пространственная устойчивость тонкостенных
стержней с учетом ползучести материалов, Ереван, 1950.
26. Бычков Д. В., Исдытание металлических балок на совместное действие
изгиба и кручения, Строительная промышленность, № 11—12, 1939.
458
Тонкостенные упругие стержни
27. Бычков Д. В., Совместное действие изгиба и кручения в металлических
балках, Сборник «Исследование металлических конструкций», 1940.
28. Бычков Д. В. и Мрощинский А. К., Испытание металлической
балки П-образиого сечения, Труды лаб. строит, механики ЦНИПС, 1941.
29. Бычков Д. В. и Мрощинский А. К., Кручение металлических
балок, Стройиздат, 1944.
30. Бычков Д. В., Расчет балочных и рамных систем из тонкостепных
элементов, Стройиздат, 1948.
31. Бычков Д. В., Некоторые проблемы расчета тонкостенных стержней на
кручение, Труды лаб. строит, механики ЦНИПС, 1949.
32. Бычков Д. В., Тонкостенные металлические профили в применении для
прогонов кровли, Труды лаб. строит, механики ЦНИПС, 1949.
33. Вагнер Г. В., По поводу оболочки, как элемента конструкции самолета,
Сборник переводов ЦАГИ «Исследования прочности тонкостенных конструкций
крыла и фюзеляжа», Оборонгиз, 1938.
34. Васильков Б. С. и Милейковский И. Е., Разработка методов
расчета сегментных затворов как пространственных систем, Научно-техн. отчет
лаб. строит, механики, ЦНИПС, 1953.
35. Вебер К., Передача крутящего момента в балках двухполочного сечения.
Прочность и устойчивость тонкостенных конструкций в самолетостроении,
Сборник рефератов и переводов под ред. А. А. Уманского и П. М. Знаменского, ЦАГИ,
1937.
37. Влайков Г. Г., Устойчивость плоской формы изгиба двутавровой балки
при сложных нагрузках (канд. диссертация), КИСИ, Киев, 1954.
38. Власов В. 3., Новый практический метод расчета складчатых покрытий
и оболочек, Строительная промышленность, №№ 11, 12, 1932.
39. Власов В. 3., Новый метод расчета тонкостенных призматических
складчатых покрытий и оболочек, Госстройиздат, 1933.
40. Власов В. 3., Строительная механика оболочек, ОНТИ, 1936.
41. Власов В. 3., Новый метод расчета призматических балок из
тонкостенных профилей на совместное действие осевой силы, изгиба и кручения, Вестпик
ВИА РККА им. В. В. Куйбышева, № 20, II, 1936.
42. Власов В. 3., Расчет ребристых сводов-оболочек и балок из тонкостенных
профилей на совместное действие изгиба и кручения, «Проект и стандарт», №№ 8,
9, 10, 1936.
43. Власов В. 3., Кручение и устойчивость тонкостенных открытых
профилей, Строительная промышленность, № 6—7, 1938.
44. Власов В. 3., Кручение, устойчивость и колебания тонкостенных
стержней, Прикл. матем. и механ., т. III, вып. 1, 1939.
45. Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Стройиздат, 1940.
46. Власов В. 3., Расчет тонкостенных призматических оболочек, Прикл.
матем. и механ., т. VIII, вып. 5, 1944.
47. Власов В. 3. и Теренин Б. М., Действие импульса воздушной волны
па ребристые своды-оболочки, Сборник «Общая прочность и устойчивость
сооружений при действии взрывной нагрузки», под ред. И. М. Рабиновича, вып. 1,
Стройиздат, 1944.
48. Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни и оболочки с жестким
открытым профилем, Добавление к книге С. П. Тимошенко «Устойчивость упругих
систем», Гостехиздат, 1946.
49. Власов В. 3., Приближенная теория тонкостенных изгибаемых
призматических систем и пластинок и расчет их на колебания и устойчивость.
Исследования по динамике сооружений, Сборник статей под ред. И. М. Рабиновича,
Стройиздат, 1947.
50. Власов В. 3. и Теренин Б. М., Колебания тонкостенных
складчатых конструкций и оболочек. Исследования по динамике сооружений, Сборник
статей под ред. И. М. Рабиновича, Стройиздат, 1947.
51. Власов В. 3., Строительная механика тонкостенных пространственных
систем, Госстройиздат, 1949.
52. Власов В. 3., Контактные задачи по теории оболочек и тонкостенных
стержней, Известия АН СССР, ОТН, № 6, 1949.
53. Власов В. 3., Общая теория оболочек, Гостехиздат, 1949,
54. Власов В. 3., Некоторые задачи сопротивления материалов, строительной
механики и теории упругости, Известия АН СССР, ОТН, № 9, 1950.
55. Власов В. 3. и Мрощинский А. К., Контактные задачи по теории
цилиндрических оболочек, подкрепленных продольными ребрами, Сборник
«Исследования по вопросам теории и проектирования тонкостенных конструкций»,
Стройиздат, 1950.
56. Власов В. 3., Пространственные облегченные конструктивные формы
гидротехнических сооружений и методы их расчета, Известия АН СССР, ОТН, № 10,
1951.
Литература
459
57. Воробьев Л. Н., Влияние сдвига срединной поверхности на величину
деформаций и напряжений в тонкостенных стержнях открытого профиля с не-
деформнруемым контуром, Научн. труды Новочеркасск, политехи, ин-та, 26,
стр. 92—111, 1955.
58. Вязьменский СП., О пространственной деформации гибких топко-
стенных стержней, Строительная механика и строители ко конструкции,
Ленинград, 1957.
60. Галеркин Б. Г., Сборник Ленингр. ин-та иыж. путей сообщения, 1927.
61. Галихманов К. Г., Кручение стержней полукругового сечения, Труды
Уфимск*. авиац. ин-та, вып. 2, стр. 33—43, 1956.
62. Гвоздев А. А., К расчету тонкостенных цилиндрических оболочек,
Строительная промышленность, № 1, 1932.
63. Геккелор И. В., Статика упругого тела, ОНТИ, 1934.
64. Геммерлинг А. В. и Лонгвинович Г. В., Устойчивость сжатых
стержней за пределом пропорциовальности, Техника воздушного флота, № 12,
1938.
65. Геммерлинг А. В., К расчету впецептренно-сжатых тонкостенных
стержней, Тр. лаб. строит, механики ЦНИПС, 1949.
66. Гильман Л. С. и Голушкевич С. С, Кручение призматических
стержней парами, распределенными по их длине, Труды Высшего инженерного
училища ВМФ, вып. 4, 1943.
67. Гольденблат И. И., Современные проблемы колебаний и устойчивости
инженерных сооружений, Стройиздат, 1947.
68. Гольденвейзер А. Л., Устойчивость тонкостенных стержней при
действии продольной силы в зависимости от граничных условий, Труды лаб. строит.
механики ЦНИПС, 1941.
69. Гольденвейзер А. Л., О приближенных методах расчета тонких
оболочек нулевой гауссовой кривизны, Прикл. матем. и механ.,т. XI, вып. 4, 1947.
70. Гольденвейзер А. Л., О теории тонкостенных стержней. Прикл.
матем. и механ., т. XIII, вып. 6, 1949.
71. Горбунов Б. Н., Расчет пространственных рам из тонкостенных
стержней, Прпкл. матем. и механ., т. VII, вып. 1, 1943.
72. Горбунов Б. Н., Стрельбицкая А. И., Расчет рам из
тонкостенных профилей методом деформаций, Гостехиздат Украины, Сборник трудов
КИСИ, вып. VIII, 1948.
73. Горбунов Б. Н. и Стрельбицкая А. И., Приближенные методы
расчета вагонных рам из тонкостенных стержней, Машгиз, 1946.
74. Горбунов Б. Н. и Стрельбицкая А. И., Теория рам из
тонкостенных стержней, Гостехиздат, 1948.
75. Гроссман Е. П., Курс вибрации частей самолета, Оборонгиз, 1940.
76. Грюнберг Н. Я., Изгиб и кручение тонкостенных криволинейных
стержней, Труды лаб. строит, механики ЦНИПС, 1949.
77. Грюнберг Н. Я. Приложение вариационного метода проф. В. 3.
Власова к расчету складчатых оболочек с круговой осью. Экспериментальные и
теоретические исследования тонкостенных пространственных конструкций, Сборник
статей под ред. проф. В. 3. Власова, 1952.
78. Дарков А. В. и Кузнецов В. И., Статика сооружений, Трансжелдор-
издат, 1951.
79. Деркачев А. А., Некоторые вопросы теории тонкостенных стержней
открытого профиля (канд. диссертация), Новочеркасский политехи, ип-т, 1955.
80. Джанелидзе Г. Ю., Вариациояная формулировка теории тонкостенных
упругих стержней В. 3. Власова, Прикл. матем. и механ., т. VII, вып. 6, 1943.
81. Джанелидзе Г. Ю., Теория тонких криволинейных стержней,
обладающих в поперечном сечении не деформируемым контуром, Прикл. матем. и механ.,
т. 8, вып. 1, 1944.
82. Джанелидзе Г. Ю. и Пановко Я. Г., Статика упругих
тонкостенных стержней, Гостехиздат, 1948.
83. Джанелидзе Г. Ю., К теории топких и тонкостенных стержней, Прикл.
матем. и механ., т. XIII, вып. 6, 1949.
84. Динник А. Н., Продольный изгиб. Кручение, Изд-во АН СССР, 1955.
85. Динник А. Н., Устойчивость упругих систем, ОНТИ, 1935.
86. Длугач М. И., О расчете тонкостенных стержней, усиленных решетками
или планками, Сборник «Расчет пространственных конструкций», Машиздат,
1950.
87. Дмитриев Ф. Д., Крушения инженерных сооружений, Гос. издат.
литературы по строит, и архитектуре, Москва, 1953.
88. Добудогло Н. Г., Экспериментальное исследование устойчивости
металлических стержней при центральном сжатии, Строительная промышленность,
№ 11 — 12, 1939.
460
Тонкостенные упругие стержни
89. Добудогло Н. Г., Теоретическое и экспериментальное исследование
устойчивости плоской формы изгиба неразрезных балок узкого прямоугольного
и двутаврового сечений, Труды лаб. строит, механики ЦНИПС, 1941.
90. Добудогло Н. Г., Опытное исследование устойчивости металлических
строительных профилей при центральном сжатии, Труды лаб. строит, механики
ЦНИПС, 1941.
91. Еленевский Г. С, О напряжениях и деформациях трапециевидного крыла
при скручивании, Труды ЦАГИ, № 578, 1946.
92. Знаменский П. М., Общая устойчивость длинных открытых профилей
при продольном сжатии, Техника воздушного флота, № 12, 1934.
93. Ильюшин А. А., Закон плоских сечений в аэродинамике больших
сверхзвуковых скоростей, АН СССР, ПММ, т. XX, вып. 6, 1956.
94. Кан С. Н., Расчет крыла на сдвиг методом Мора, Труды научно-технической
конференции ВВА им. Н. Е. Жуковского, т. 2, вып. 1, 1944.
95. Кан С. Н., Расчет тонкостенных конструкций, Изд. ВВИА, 1948.
96. Кан С. Н. и Пановко Я. Г., Элементы строительной механики
тонкостенных конструкций, Оборонгиз, 1952.
97. Капанян Л. К., Решение некоторых задач о кручении и изгибе полых
призматических стержней (канд. диссертация), Ереван, политехи, ин-т им. К. Маркса,
1953.
98. Карякин Н. И., Кручение тонкостенных стержней в упругой среде, Труды
МЭМИИТ, вып. 60, Трансжелдориздат, 1951.
99. Качанов Л. М., Устойчивость плоской формы изгиба за пределом
упругости, Прикл. матем. и механ., т. XV, № 2, 5, 6, 1951.
100. Качанов Л. М., Устойчивость тонкостенных стержней при упругопласти-
ческих деформациях, ДАН СССР, т. 107, № 6, стр. 803—806, 1956.
101. Киселев В. Ф., Расчет на прочность многопоясной цилиндрической
оболочки с жесткими диафрагмами, Труды ЦАГИ, № 619, 1947-.
102. Климов В. И., Расчет открытых оболочек типа авиаконструкций, Труды
МАИ, вып. 89, Оборонгиз, 1957.
103. Кобец Л. П., Нелинейная теория изгибного кручения упругих незамкнутых
тонкостенных стержней (канд. диссертация), Харьков.
104. Ковалов К. Ф., Изучение стесненного кручения тонкостенных стержней
замкнутого профиля (канд. диссертация), Ленинград, 1954.
105. Копейкин Ю. Д., К расчету внецентренно сжатых тонкостенных стержней
по теории В. 3. Власова, Прикладная мехашка, вып. 2, изд. АН УССР, 1957.
106. Коробов А. П., Устойчивость полосы, Киев, 1913.
107. Коробов А. П., Об устойчивости плоской формы изгиба стержней, ось
которых представляет собой ломаную линию, Изд. Новочеркасского инж.-строит.
ин-та, 1934.
108. Кузьмин Н. Л., Кручение и изгиб тонкостенных стержней открытого
профиля, Стройиздат, 1950.
109. Лашманова И. А. и Новожилов В. В., Стесненное кручение труб,
Уч. зап. ЛГУ, № 217, стр. 254—271, 1957.
110. Лейбензон Л. С, Вариационные методы решения задач теории
упругости, Гостехиздат, 1943.
111. Лейбензон Л. С, Труды ЦАГИ, вып. 8, 1924. Технич. зам. ЦАГИ, № 45г
Изв. АН СССР, стр. 53—68, 1935.
112. Лоткин О. И., Напряжения при чистом изгибе в тонкостенных
стержнях-оболочках прямоугольного сечения, Труды Томского электромеханич. ин-
та инж. ж.-д. трансп., 18, стр. 17—24, 1953.
113. Лукаш П. А., Применение теории проф. В. 3. Власова к исследованию
пространственной устойчивости сжатых поясов открытых балочных мостов.
Экспериментальные и теоретические исследования тонкостенных
пространственных конструкций, Сборник статей под ред. проф. В. 3. Власова, 1952.
114. Луковников В. Ф., Устойчивость прямоугольной полосы и двутавровой
балки при сложном поперечном и продольном нагружении (канд. диссертация),
Рига, 1955.
115. Лунев В. И., Вариационный и графические методы расчета тонкостенных'
стержней открытого профиля (канд. диссертация), Москва, 1954.
116. Лысков В. П., Инженерные методы при определении собственных
значений в задачах В. 3. Власова об устойчивости и колебаниях тонкостенных
конструкций, Сборник «Исследования по вопросам теории и проектирования
тонкостенных конструкций», Стройиздат, 1950.
117. Мазурмович 3. Н., Пространственная устойчивость тонкостенных
криволинейных стержней (канд. диссертация), Киев, 1953.
118. Малкина Р. Л., Расчет балочных и рамных систем из тонкостенных
элементов методом последовательных приближений, Труды Уральск, политехи,
ин-та, сб. 54, стр. 82—102, 1955.
Литература
461
119. Марьин В. А., К расчету фюзеляжа монокок в области выреза при
кручении, Труды Научно-технической конференции ВВА им. Н. Е. Жуковского, т. 2,
вып. 2, 1944.
120. Марьин В. А., Приближенный расчет коротких открытых цилиндрических
оболочек, Сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. 1, Машстрой-
издат, 1950.
121. Межлумян Р. А., Изгиб и кручение тонкостенных цилиндрических
оболочек за пределом упругости, Прикл. матем. и механ., т. XIV, вып. 3, 1950.
122. Межлумян Р. А., Пространственная устойчивость конструкций при
упруго-пластических деформациях, Инженерный сборник, АН СССР, ОТН, т. XIV,
1953.
123. Милейковский И. Е., Расчет составных стержней методами
строительной механики оболочек, Сборник ЦНИПС «Экспериментальные и теоретические
исследования тонкостенных пространственных конструкций», Москва, Гос. издат.
лит. по стр-ву и архитектуре, 1952.
124. Мрощинский А. К., Исследование работы складчатых профилей
методами теории упругости, Труды лаб. строит, механики ЦНИПС, 1941.
125. Новинский Ю., Кручение тонкостенной балки с разрезанной наружной
конической поверхностью, Бюлл. Польской АН, отд. IV, № 2, 1954.
126. Новожилов В. В., Расчет цилиндрических оболочек, Изв. АН СССР, ОТН,
№ 6, 1946.
127. Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, Судпромгиз, 1951.
129. Образцов И. Ф., Устойчивость плоской формы изгиба тонкостенных
стержней (канд. диссертация), Москва, 1949.
130. Образцов И. Ф., К расчету тонкостенных стержней на устойчивость при
изгибе, Труды МАИ, вып. 26, Оборонгиз, 1953.
131. Образцов И. Ф., Расчет оболочек типа кессона стреловидного крыла на основе
теории В. 3. Власова, Труды МАИ, вып. 59, Оборонгиз.
132. Образцов И. Ф., Некоторые вопросы расчета на прочность тонкостенных
конструкций самолета, Труды МАИ, вып. 79, Оборонгиз.
133. Пановко Я. Г., Расчет призматических тонкостенных стержневых систем,
Труды Л ВВА, вып. 7, 1945.
134. Паповко Я. Г., Развитие прикладной теории тонкостенных стержней за
последние годы, Труды ЛКВВИА, вып. 11, 1947.
135. Пановко Я. Г., О предельных состояниях цилиндрических тонкостенных
конструкций, Сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. II, 1952.
136. Папкович П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, 1939.
137. Пастушихин В. Н., Некоторые вопросы статики и динамики плоских
гидротехнических затворов (канд. диссертация), МИСИ, 1954.
138. Пиковский А. А. и Михайличенко К. А., Рациональные методы
расчета сжатых тонкостенных стержней, Научно-технические труды, Сборник
№ 4, 1956.
139. Пинаджян В. В., К вопросу о несущей способности внецентренно сжатых
стержней стальных конструкций, ДАН Армянской ССР, т. VII, № 1? 1954.
140. Пинаджян В. В., Экспериментальное изучение действия бимомента в
коротких сжатых стержнях двутаврового сечения, ДАН Армянской ССР, т. XVIII,
№ 4, 1954.
141. Пинаджян В. В., К вопросу о предельном состоянии коротких
внецентренно сжатых стержней Н-образного сечения при двухосном эксцентриситете
приложения силы, ДАН Армянской ССР, т. XXI, № 2, 1955.
142. Пинаджян В. В., Опытное изучение депланации сечений стержня при
изгибно-крутильных деформациях за пределами упругости, ДАН Армянской
ССР, т. XXI, № 4, 1955.
143. Проктор Г. Э., О центре изгиба, Приложение к русскому изданию книги
А. Феппль и Л. Феппль «Сила и деформация», т. II, ОНТИ, 1936.
144. Пыженков И. А., К вопросу об устойчивости плоской формы изгиба
тонкостенных стержней, Сб. научн. трудов Магнитогор. горно-металлург. ин-та,
№ 7, стр. 404—412, 1954.
145. Рабинович И. М., Курс строительной механики, ч. II, 1954.
146. Работнов Ю. Н., Теория тонких оболочек (докт. диссертация), 1946.
147. Работнов Ю. Н., Курс сопротивления материалов, 1950.
148. Раевская Е. А., Расчет консольной балки двутаврового профиля
методом предельного равновесия на стесненное кручение за пределом упругости,
Инженерный сборник АН СССР, т. XX, 1954.
149. Раевская Е. А., Несущая способность двутавровых балок при
совместном изгибе и кручении (канд. диссертация), МИСИ, 1954.
150. Репман Ю. В., Устойчивость плоской формы изгиба тонкостенных стержней,
Труды лаборатории строительной механики ЦНИПС, 1941.
.151. Рейн Н. Д., О несущей способности и деформациях тонкостенных
стальных балок при изгибе с кручением (канд. диссертация), МИСИ, 1954.
462
Тонкостенные упругие стержни
153. Ржаницын А. Р., Экспериментальное исследование внецентренно-сжатых
тонкостенных стержней, Строительная промышленность, № 9, 1939.
154. Ржаницын А. Р., Сложное сопротивление тонкостенных профилей с не-
деформируемым контуром в пределах и за пределами упругости, Труды
лаборатории строительной механики ЦНИПС, 1941.
155. Ржаницын А. Р., Об определении секториальных геометрических
характеристик сечения тонкостенного стержня (метод произвольных эпюр), Труды
лаборатории строит, механики ЦНИПС, 1941.
156. Ржаницын А. Р., Расчет металлических двутавровых балок, получив-
ших начальное искривление в горизонтальной плоскости, 1946.
157. Ржаницын А. Р., Устойчивость тонкостенных стержней за пределом
упругости, Труды лаборатории строит, механики ЦНИПС, Стройиздат, 1949.
158. Ростовцев Г. Г., Строительная механика самолета, ОНТИ, 1936.
159. Свердлов И. А., О четырехточечном креплении консоли кессонного крыла.
Труды Научно-техн. конференции ВВА им. Н. Е. Жуковского, т. 2, вып. 1, 1944.
160. Соболевский Г. П., Расчет тонкостенных стержней, усиленных пек
перечными планками. Изд. Акад. архитектуры Укр, ССР, 1953.
161. Стельмах СИ., Испытание тонкостенных балок на изгиб и кручение.
Строительная промышленность, № 9, 1939.
162. Стельмах С. И., Испытание на изгиб и кручение моделей тонкостенных
балок, Труды лаборатории строительной механики ЦНИПС, 1941.
163. Стельмах С. И., О границах применения теории Эйлера и Энгессера —
Кармана в расчетах стальных стержней на устойчивость, Вестник инженеров,
и техников, № 2, 1952.
164. Стрельбицкая А. И., Некоторые зависимости между силовыми
факторами в предельном состоянии тонкостенного профиля, Сборник трудов
Института строительной механики АН УССР, № 10, 1949.
165. Стрельбицкая А. И., Предельное состояние двутаврового профиля при
стесненном кручении, Там же, № 14, 1950.
166. Стрельбицкая А. И., Предельное состояние тонкостенного
двутаврового сечепия при сложном сопротивлении, там же, № 15, 1951.
167. Стрельбицкая A. PL, Экспериментальное исследование кручения
тонкостенных балок за пределом упругости, Инж. сборник, т. 13, 1952.
168. Стрельбицкая А. И., Деформации тонкостенной консольной балки при
стесненном кручении, Сб. трудов Ин-та строит, механ. АН УССР, № 16, 1952.
169. Стрельбицкая А. И., Упруго-пластическое кручение тонкостенного
стержня, Изд-во АН УССР, там же, № 17, 1952.
170. Стрельбицкая А. И., Формулы для бимомента в упруго-пластическом
состоянии двутавра, ДАН УССР, л» 6, 1954 (на укр. яз.).
171. Стрельбицкая А. И., Предельные нагрузки тонкостенных балок при
совместном действии изгиба и кручения, Сборник трудов Ин-та стр. механики
АН УССР, № 9, 1954.
172. Стрельбицкая А. И., Предельное состояние тонкостенных профилей
из стали без площадки текучести при изгибе и кручении, Прикл. механ., т. I,
вып. 1, Киев, изд. АН УССР, 1955 (на укр. яз.).
173. Стрельбицкая А. И., Исследование работы тонкостенного
швеллерного профиля за пределом упругости, Сб. трудов Ин-та строительной механики
АН УССР, № 21, 1956.
174. Стрельбицкая А. И., Несущая способность тонкостенных стержней при
сложном сопротивлении, Изд-во АН УССР, Прикладная механика, т. II, вып. 3,
1956.
175. Тер-Мкртичьян А. Н., К теории устойчивости гибких стержней, Труды
Тульск. мехая. ин-та, № 7, стр. 182—195, 1955.
176. Тимошенко С. П., Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой
балки, Известия СПб. Политехнического ин-та, т. IV—V, 1905—1906.
177. Тягунов И. А., Проверка балок на общую устойчивость по теории проф.
В. 3. Власова, Сборник трудов Одесского гидротехн. ин-та, вып. 6, стр. 144—154г
1954.
178. Тимошенко С. П., Об устойчивости упругих систем, Киев. 1910.
179. Тимошенко СП., Теория колебаний в инженерном деле, 1932.
180. Тимошенко С. П., К вопросу об устойчивости упругих систем, Изв.
Киевского политехи, ин-та, 1910.
181. Тимошенко СП., Устойчивость упругих систем, Гостехиздат, 1955.
182. Уманский А. А., Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций,
Москва, Оборонгиз, 1939.
183. Уманский А. А., О нормальных напряжениях при кручении крыла
самолета, Техника воздушного флота, № 12, 1940.
184. Уманский А. А., К графостатике тонкостенных конструкций, Юбилейный*
сборник трудов ВВА им. Н. Е. Жуковского, т. 1, 1942.
Литература
463
185. Уманский А. А.т Расчет тонкостенных криволинейных балок, Труды
научно-технической конференции ВВА им. Н. Е. Жуковского, вып. 2, т. 2, 1944.
186. Уманский А. А., О расчете плоских кривых тонкостенных стержней с
конечной жесткостью свободного кручения, Труды научно-технической
конференции ВВА им. Н. Е. Жуковского, т. 2, вып. 2, 1944.
187. Урбан И. В., Общая форма расчета на стесненное кручение тонкостенных
открытых и закрытых профилей, Труды МЭМИИТ, вып. 62, Трансжелдориздат,
1953.
188. Урбан И. В., Расчет пространственных тонкостенных конструкций,
составленных из открытых и закрытых профилей, Машгиз, 1955, стр. 75—95.
189. Урбан И. В., Теория расчета стержневых тонкостенных конструкций,
Трансжелдориздат, 1955.
190. Феппль А. и Феппль Л., Сила и деформация, т. 2, Москва, ОНТИ,
1936.
191. Филоненко-Бородич М. М., Сопротивление материалов, Гостехиздат,
1949.
192. Филоненко-Бородич М. М., К задаче об устойчивости тонкого
стержня в упругой среде. Исследов. по вопр. устойч. и прочн., Киев, АН УССР, стр. 52—
57, 1956.
193. Цибуля Б. П., Изгиб и кручение конических оболочек типа крыла и
фюзеляжа, Труды ВВА им. Н. Е. Жуковского, вып. 253, 1947.
194. Цибуля Б. П., Изгиб и кручение тонкостенных конических оболочек,
Сборник «Расчет пространственных конструкций», вып. 1, под ред. А. А. Уман-
ского, 1950.
195. Чече А. А., Применение вариационного метода проф. В. 3. Власова к
решению некоторых практических задач термоупругости (канд. диссертация),
Белорусский политехи, ин-т, Минск, 1954.
196. Чобанян К. С, Устойчивость плоской формы изгиба за иределами
упругости при произвольном законе упрочнения, Изв. АН Арм. ССР, сер. физ.-мат.,
ест. и техн. наук, т. 6, № 4, 1953, стр. 1—20.
197. Чувикин Г. М., Устойчивость рам и стержней,, Сгройиздат, 1951.
198. Чувикин Г. М., Устойчивость плоской деформации внецентренно сжатых
стержней при сравнимых главных моментах инерции сечения, Исследования по
теории сооружений, VI, Госстродиздат, 1954.
199. Чувикин. Г. М., Экспериментальное исследование устойчивости плоской
деформации двутавровых балок за пределом упругости, Сборник «Расчет
пространственных конструкций», № 4, Госстройиздат, 1957.
200. Чувикин Г. М., Устойчивость сжато-изогнутых стержней в упругой
области при шарнирном закреплении концов, Труды ГПИ Проектстальконструкция,
вып. 1, 1957.
201. Шаншиашвили А. М., Расчет тонкостенных составных стержней на
кручение, Сборник «Исследования по вопросам теории и проектирования
тонкостенных конструкций», Стройиздат, 1950.
202. Шаншиашвили А. М., Применение теории В. 3. Власова к расчету
составных стержней, Труды Грузинск. политехи, ин-та, № 27, 1953.
203. Шаншиашвили А. Мм К расчету центрально сжатых стальных колонн
на устойчивость с учетом закручивания, Труды Грузинск. подитехн. ин-та,№ 33,
стр. 9—13, 1954.
204. Шаншиашвили А. М., К расчету стальных колонн и балок с частично-
замкнутым контуром, Труды Грузинск. политехи, ин-та, № 4 (39), 1955.
205. Шаншиашвили А. М., К определению крутильной жесткости стальных
колонн и балок с частично замкнутым контуром, Труды Грузинск. политехи, ин-
та, № 4, (39), 1955.
20G. Эбпер Г., Кручение тонкостенной коробчатой балки в случае несвободного
искажения поперечных сечений. Прочность и устойчивость тонкостенных
конструкций в самолетостроении, Сборник рефератов и переводов под ред. А. А.
Уманского и П. М. Знаменского, 1937.
207. Ягн Ю. И., Изгибно-крутильные деформации тонкостенных стержней
открытого профиля, Гостехиздат, 1952.
208. Ягн Ю. И. и Ковалев К. Ф., Особенности стесненного кручения
тонкостенных стержней замкнутого профиля, Инженерный сборник, т. 24, М., изд. АН
СССР, 1956
209. Agent R., Folosirea metodei Cross in calculul placilor sub^ori cilindrice si pris-
matice dupa teoria lui Vlasov, Industria Construc^iilor $i a Materialeror de
construct, 1957, № 2, 3.
210. Austin W. J. Vegian S., Jung Т. P ., Lateral buckling of elasti-
cally end restrained I beams. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, 1955, 81, № 673, стр. 25^
211. Bach-Baumann, Elastizitat und Festigkeit, стр. 369—381 и 268—271,,
Berlin, 1924; VDI, 1909, t. 53, стр. 1710; VDI, 1910, т. 54, стр. 385.
464
Тонкостенные упругие стержни
212. Benscoter S. V., A theory of torsion bending for multicell beams, J. Appl.
Mech., 1954, 21, № 1, стр. 24-34.
213. Beskin L., Stress analysis of open cylindrical membranes, Journal of the
Aeronautical Sciences, October 1944, т. И, стр. 343—355.
214. Bleich F. und Bleich H., Biegung, Drellung und Knickung von Staben
aus dunnen Wanden, Vorbericht Zweiter Kongress Internationale Vereinigung fur
Briickenbau und Hochbau, Oktober 1936, Berlin.
215. Bornscheuer F. W., Beispiel und Formelsammlung zur Spanhungsberech-
nung dunnwandiger Stabe mit wolbbechinderten Querschnitt, Stahlbau, 1953,
№ 2, стр. 32—44.
216. Brezina V., Okrajove podminky ulohy stability tenkostennych dostredne tla-
cenych prutu otevreneno prurezu s jednou osou soumernosti, Inzen. stavby,
1954, 2, № 7, стр. 266—270.
217. Budiansky В., Kruszewski E. Т., Transverse vibrations of hollow
thinwalled cylindrical beams, Nat. Advis. Comm. Aeronaut. Rept., 1953, № 1129,
стр. 10.
218. Cadambe V., Kaul R. K., Torsional rigidity of narroubars and tubes
of twisted shape, J. Scient. and. industr. Res., 1954, В 13 № 10, стр 673—677.
219. Campus F. et Massonnet C, Recherches sur le flambement des colonnes
etc. Comptes Rendus de Recherches, J.R.S.I.A., № 17, Bruxelles, 1956.
220. Chilver A. H., The stability and strength of thinwalled steel struts,
«Engineer», 1953, 196, № 5089, стр. 180—184.
221. Chilver A. H., A generalised approach to the local instability of certain
thinwalled struts, Aeronaut. Quart., 1953, 4, № 3, стр. 245—260.
222. Conway H. D., The nonlinear bending of tnin circular rods, J. Appl. Mech.,
1956, № 1, стр 7—10.
223. Craemer H., Design of Prismatic Shells. Journal of the American Concrete
Institute, 1953, т. 24, № 6.
224. Davidson J. Т., Упругая устойчивость двутавровой балки при изгибе,
Proceeding Royal Society — London, A. 1952, № 1108, стр. 80—94.
225. Drucker D. С, Onat E. Т., On the concept of stability of inelastic
systems, Journal of the Aeronautical sciences, 1954, т. 21, № 8.
226. Eggensschwyler A., Neues uber Biegung und Drehung, Proceedings
of the Second International Congress for Applied Mechanics, 1927, стр. 434, S. B. Z.;
1920, т. 76, № 23, стр. 166; 1924, т. 83, Bauingenieur; 1922, № 1 u № 2, Eisenbau,
т. 12, стр. 207.
227. Engel H. L, Goodier J. N., Measurements of torsional stiffne changes
and instability due to tension, compression, and bending, J. Appls. Mech., 1953,
20, № 4, стр. 553—560.
228. Esslinger M., Flambage lateral des poutres en I courbes tenant compte de la
torsion de flexion, Annal ponts et chaussees, 1954, № 3.
229. Flint A. R., The stability and strength of stocky beams, Journal of Mechanics
and Physics of solids, т. 1, № 2, 1953.
230. Gere J. M., Torsional vibrations of beams of thinwalled open section, J. Appl.
Mech., 1954, 21, № 4, стр. 381—387.
231. Goldberg John E., On the application of trigonometric series to the
twisting of J-type beams, Proc. First U. S. Nat Congr. Appl. Mech., Publ. Amer. Soc.
Mech. Engrs, N. Y., 1952, стр. 281—284.
232. Goodier J., Torsional and Flexural Buckling of Bars of Thin-Walled open
section under compressive and bending loads, Journal of Applied Mechanics,
September 1942, стр. 103—107.
233. Grassam N. S. J., The shear centre of beam sections. Experimental
determination, Engineering 1955, 179, № 42, 45, 46.
234. Heilig R., Verbundbrucken unter Torsionsbelastung. Statik des torsionsbeauns-
pruchten Durchlauftragers, Stahlbau, 1954, 23, № 2, стр. 25—33.
235. Hill H. and Clark J., Lateral buckling of eccentrically loaded I-and H-Sec-
tion columns. Proceeding First. V. S. National Congress for Applied Mechanics,
1952.
236. Horne M. R., The flexural-torsional buckling of members of symmetrical
J-section under combined thrust and unequal terminal moments, Quart. J. Mech. and
Appl. Math., 1954, 7 № 4, стр. 410—426.
237. Jennings J., Shearing stress in thin section beams, Mech. World and Engng
Rec, 1953, 133, № 3406, стр. 198—201.
238. Jennings J., Angle sections in bending. Engineering 1956, 181, № 4712.
239. Johnston В., Eney W., Kubo G., Non-uniform torsion of plate girders.
Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, 1954, 80, № 449, стр. 28.
240. Johnson W., The effect of curvature on the centre of shear, J. Roy. Aeronaut.
Soc, 1955, 59, № 536, стр. 562—565.
241. Johnson W., The twist due to bending moment in cantilevers curved in plan.
J. Roy. Aeronaut. Soc, 1956, 60, № 544, стр. 277—281.
Литература
465
242. Кappus R., Drehknicken zentrisch gedruckten Stabe mit offenem Profil in
elastischen Bereich, Luftfahrt. Forschung, 14, № 9, 1937.
243. Kappus R., Zentrisches und exzentrisches Drehknicken von Staben mit
offenem Profil, Stahlbau, 1953, № 1, стр. 6—12.
244. Kenedi R. M., Shearer Smit W., Fahmy F. 0., Light structures-
research and its application to economic design. Trans. Jnstn Engrs and Shipbuilders
Scotland, 1955—1956, 99, № 4, стр. 207—252.
245. Kordes E. E., Kruszewski E. Т., Investigation of the vibrations of
a hollow thin-walled rectangular beam, Nat. Advis. Gomm. Aeronaut, Tech. Notes.
1955, № 34, 63.
246. Krishnan S., Cadambe V., A note on the minimum weight design of a
thinwalled stiffened rectangular cell subjected to torsion, Aeronaut. Soc. India,
1955, 7, № 3, стр. 43-47.
247. Kollar L., Vekonyfalu rudak csavarasa V. Z. Vlaszov elmelete szerint, Мё-
lyepitestudomanyi szemle, 11, Evfoliam, 5 Szam, 1952, Majus.
248. KrzeminskiJ., Nowe metody obliczania lupin walcowvch, Warszawa, 1955.
249. Kuwahara Arifumi, Investigation on the lateral buckling behavior of deep
J-beams affected by end condition (4tn report) Res. Repts. Fac. Eng. Meije Univ.,
1956, № 7f стр. 1—7.
250. Langhaar H. L., On torsional-flexural buckling of columns, The Journal
of the Franklin Institute, 1953, № 2, стр. 101—112.
251. Levy M., J. mathem. pures et appl., Liouville, Ser. VX, 1884.
252. Lundquist E. and Fligg M., A theory for primary failure of straight
centrally loaded columns, N. A. G. A. № 582, 1937.
253. Maillart R., Zur Frage der Biegung, Schweizerische Bauzeitung, 1921, № 18,
стр. 195—197.
254. Maillart R., tlber Drehung und Biegung, Schweizerische Bauzeitung, 1922,
№ 20, стр. 254—257.
255. Maillart R., Der Schubmittelpunkt, Schweizerische Bauzeitung, 1924, т. 83.
256. Maillart R., Zur Frage des Schubmittelpunktes, Там же, стр. 176—177.
257. Massonet, L'ossature metallique, 1947, № 7, 8, 9.
258. Matteson F., Discussion of «Non-uniform torsion of plate girders» by
Gerald G'Kubo, B. G. Johnston and W. J. Eney., Proc. Amer. Soc. Civil Engrs,
1954, 80, № 563, стр. 21—24.
259. Mc Calley A., Discussion of designing aluminium alloy member for comfined
end load and bending Proc. Amer. Soc. Civil Engrs, 1954, № 429.
260. Morse W., The warping of thin shells. A method of calculation derived and
applied to particular cases, Aircraft Engng, 1953, 25, № 291.
261. Naleszlciewicz J., Zagadniene deplanacji wrzeczywistym ustroju cien-
kosciennym Inzvnieriai Budownictwo, Warszawa, Marzec 1957.
262. Neal В., The lateral instability of jieded mild steel beams of rectangular cross-
sections. Philosophical transactions of the Royal Society of London, A-242, № 846,
1950.
263. Nedderman W. H., Secondary buckling in hollow rectangular columm
sections of steel plates. Iowa state Coll. J. Sci., 1953, 27, № 2, стр. 227—228.
264. Needham R. A., The ultimate strength of multiwed box beams in pure
bending, J. Aeronaut. Sci., 1955, 22, № 11, стр. 781—786.
265. Nowinski J., О zastosowaniu przeksztalcenia Laplace*a do zagadnien shre-
cania pretow cienkosciennych, Arch. mech. stosowanej, 1956, т. VIII, № 1.
266. Nowinski J., О pewnych charakterystycznych punktach przekrojow dzwi-
garow cienkosciennych. Rozpr. mat., 1954, 7, стр. 52.
267. Nylander H., Torsion, hending and lateral buckling of I-beams, Kgl. tekn.
hogskolans handl, 1956, № 102, стр. 140.
268. Onat E. Т., Drucker D. C, Inelastic instability and incremental the
ories of plasticity Journal ob the Aeronautical sciences, 1953, т. 20.
269. Ostenfeld A., Politecknisk Laezean stats Laboratorum for Bygningssta-
tik, Meddelelse, Kopenhagen, 1931.
270. Prandtl, Kiperscheinungen, Nurenberg, 1899.
271. Savona J. S., The desing of tee-beams, Concrete and Constr. Engng, 1956,
51, № 7, стр. 433—434.
272. Schmausses G., Berechnung zylindrischer Schalendacker unter Langs-
vorspannung nach der Methode des stellvertretenden Faltwerks. Die Bautechnik,
34, Jahrgang, Heft, 2, Fehruar 1957.
273. Сим Юн Сeб., Некоторые краевые задачи в строительной механике, Чо-
сон минчучун инмин коигхвачук квахаквон хакпо, 1955, № 2.
274. Soare Mircea, Aplicarea ecuajiilor cu diferenje finite la calculul suprafe-
|elor sufyiri, 1954.
275. Sors Laszlo, Gorhe vanalakkal hatarolt idomok inercianyomatekanak meg-
hatarozasa. Ger, 1956, 8, № 6, стр. 240.
466
Тонкостенные упругие стержни
276. Steinman D. В., The aerodynamic stability of the Machinac Bridge, Roads
and Engng. Constr. 1955.
277. Sutter K., The adaptation of the generalised buckling formula to the conditions
prevailing in aluminium structural elements, Congr. internat. aluminium, juin,
стр. 217—229.
278. Terrington J. S., The torsion centre of girders Application of shell
analysis to structural sections. Engineering, 1954, 178, № 4635, стр. 688—691.
279. Tetzlaff W., Die praktischen Berechnungsverfahren fur tonnen und tro-
gartige Schalen. Deutsche Bauakademie, Forschungsinstitut fur Bautechnik,
Berlin, 1953.
280. Tetzlaff W., Tonnen und trogartige Schalen, praktische
Berechnungsverfahren. Deutsche Bauakademie, Verlag Technik, Berlin.
281. Timoschenko S., Theory of bending, torsion and buckling of thin walled
members of open cross section, The Journal of the Franklin Institute, 1945, № IIlt
стр. 201—219, № IV, стр. 249—268; № V, стр. 343—361.
282. Van der Maas Christian J., Charts for the calculation of the critical
compressive stress for local instability of columns with hat sections, J. Aeronaut. Sci.,
1954, 21, № 6, стр. 399—403.
283. Wagner H., Verdrehung und Knickung'von offenen Profilen, Festschrift 25-
Jahre Т. H., Danzig, 1929.
284. Wagner H. una Pretscher W., Verdrehung und Knickung von offenen
Profilen, Luftfahrforschung, 1934, т. 11, № 6, стр. 174—180.
285. Weber С, Obertragung des Drehmoments in Balken mit doppelflanschigem
Querschnitt, Z. fur angew. Math, und Mech., 1926, т. 6, 1924, т. 4.
286. Wilde P., Belki krzywoliniowe z profili cienkosciennyck otwartych, Arch,
mech. stosowanej, 1956, 8, № 1, стр. 41—50.
287. Wittrick W. H., Lateral instability of recktangular beams of strainharde-
ning material under uniform bending, Journal of the Aeronautical sciences, т. 19.
№ 12, стр. 835—843, 1952.
288. Zimmermann, Bauingenieur, 1926.
289. Xy Хай-чан, Цзе Бо-минь, Общая теория равновесия и устойчивости
упругих тонкостенных стержней, Acta. Phys. Sinica, 1955, № 4.
290. Цзе Бо-минь, Теория колебаний тонкостенных балок, Ули сюэбао, Acta,
phys. sinica, 1956, 12, № 3, стр. 261—270.
ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
ОБЩЕЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
И НОВЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
1. Цилиндрические оболочки средней длины, подкрепленные
продольными и поперечными ребрами (стрингерами и шпангоутами) и имеющие
в поперечном сечении очертание по произвольно заданной гладкой или
ломаной кривой, рассматриваются как тонкостенные пространственные
ортотропные системы, сопротивляющиеся изгибу в одном только
поперечном направлении. Из внутренних усилий оболочки наряду с нормальными
и сдвигающими силами, рассматриваемыми в безмоментной теории,
учитываются также поперечные изгибающие моменты и сопровождающие их
перерезывающие силы.
Продольные изгибающие и крутящие моменты, как второстепенные
факторы в пространственной работе конструкции, принимаются равными
нулю. В отношении деформаций принимаются гипотезы о нерастяжимости
срединной поверхности оболочки в поперечном направлении и об
отсутствии деформации сдвига.
При этих статических и геометрических гипотезах общая проблема
равновесия цилиндрической оболочки описывается системой двух
симметрично построенных дифференциальных уравнений смешанного метода,
предложенного автором в 1932 г.:
„ 12 дЮ А
(1)
Здесь h и h — приведенные толщины ортотропной оболочки в поперечном
и продольном сечениях соответственно; a = a(z, s) и G = G(z> s) — искомые
функции двух переменных, представляющие собой соответственно
продольное напряжение и поперечный изгибающий момент; z и s —
координаты точки срединной цилиндрической поверхности: продольная z,
направленная вдоль образующей, и поперечная s, направленная в^оль
направляющей; P=P(z, s) — заданная функция, зависящая от
компонентов pz, р8, рп — вектора интенсивности поверхностной нагрузки — и
определяемая по формуле
р дРг,дРз ^ ч
в которой R = R(s) — радиус кривизны поверхности.
Через й в уравнениях (1) обозначен дифференциальный оператор
четвертого порядка, связанный с законом секториальных площадей и
определяемый* формулой
468 Принципы построения общей технической теории оболочек
Первое уравнение системы (1) — статическое; оно эквивалентно всем
условиям равновесия элемента оболочки в принятой расчетной статически
неопределимой системе. Второе уравнение системы(1) получено из
соотношений упругости
N
ЕЫ\ G = —то- и
и уравнения
Й8 +
о,
(4)
связывающего в дифференциальной форме деформацию продольного
растяжения е с деформацией поперечного изгиба х и выражающего важное
в нашей теории дополнительное условие
неразрывности деформаций срединной
поверхности оболочки.
Статическая структура принятой
расчетной модели оболочки и
положительные направления внутренних усилий и
компонентов внешней нагрузки показаны
на рис. 1 и 2.
Рис. 1
Рис. 2
Уравнение (4) показывает, что для цилиндрической поверхности при
принятых геометрических гипотезах деформация изгибания в
поперечном направлении, характеризующая изменение формы профиля оболочки,
сопровождается деформацией продольного растяжения е, при которой
поперечные сечения оболочки претерпевают депланацию (не остаются
плоскими).
Если ввести новую функцию напряжений ^ = ^(2, s) по формулам
12 W
h3 W ~~ '
(5)
то второе из систем уравнений (1) удовлетворяется тождественно, а первое
принимает вид
1 К* dz*
(6)
Уравнение (6) в частных производных 8-го порядка по переменной s
и 4-го порядка по переменной z эквивалентно системе уравнений (1).
Все необходимые в расчете усилия и перемещения также могут
быть»выражены через разрешающую функцию ¥. Эта функция, удовлетворяющая
дифференциальному уравнению (6) и граничным условиям на поперечных
(до два условия на каждом краю) и продольных краях (по четыре условия
ria каждом краю), дает решение поставленной задачи.
Принципы построения общей технической теории оболочек 469
2. Общая теория призматических оболочек, состоящих из конечного
числа достаточно узких прямоугольных пластинок и имеющих в
поперечном сечении произвольно заданные очертания, как показано на работке
[1], построена на идее приведения основных дифференциальных
уравнений (1) в частных производных к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений по переменной z, имеющих в общем случае восьмичленную
структуру. Эти уравнения при искомых функциях <з* (z) и Gk (z), представ^
ляющих собой соответственно продольные нормальные напряжения ц
поперечные изгибающие моменты, относящиеся к'k-му ребру
призматической оболочки (рис. 3), имеют следующий вид:
2 ailcok (г) + 2 fti*G* (z) + pi (z) = 0;
k=i—l /f=i—2
*=г+2 А=г+1
2 ***** (Z) — 2 C**G* (Z) = °-
k=i—2 k=i—1
В общем случае тонкостенной ортотропной конструкции, состоящей йЬ
пластинок и стрингеров вдоль ребер оболочки и расположенных
достаточно часто по длине оболочки поперечных ребер (шпангоутов),
коэффициенты этих уравнений определяются следующими формулами:
(7)
в*-1, * = ак, к-1 = -в Рк,
ak,k = 4r(Fk + Fk+1) + AFk;
ck—l, к = С», k-l = -д- • -г-
_ 1 (dk dk+1 \
(8)
(9)
^*—2, к = bkt *_2
^ft—1, к = bk, k-i
+
4--Asin(P*-i '
Ц-хЫыРк-х dk+isin(Vk
^-(ctgq>ft_1 + Ctgq>ft +
db.,, sin фь / '
4
bk, к = -^-(ctg <p*_i + ctg <pft) + ^ sin(Pft+ ^—(ctgq)fc+ctg(p4+1).
(10)
470 Принципы построения общей технической теории оболочек
В формулах (8) Fk— площадь поперечного сечения к-й пластинки,
расположенной между ребрами {к—1) и /с; &Fk— площадь
поперечного сечения стрингера, расположенного вдоль /с-го ребра и
работающего при растяжении (сжатии) совместно с пластинками оболочки.
В формулах (9) dk — ширина к-й пластинки; 1к — погонный момент
инерции (приходящийся на единицу длины) продольного сечения к-й
пластинки, определяемый в случае оболочки, подкрепленной
поперечными ребрами, с учетом среднего момента инерции этих ребер.
В формулах (10) фА — угол смежности между к-й и (А+1)-й
пластинками, пересекающимися по А-му ребру.
Система дифференциальных уравнений (7) состоит из статических
уравнений, представленных первой группой и соответствующих первому
уравнению системы (1), и геометрических уравнений, представленных второй
группой и соответствующих по своему физическому смыслу второму
уравнению системы (1). Свободный член Pi (z) какого-либо i-ro уравнения
первой (статической) группы (7) определяется по формуле
где qi и gi+1 — поперечные контурные погонные нагрузки, действующие
в плоскостях г-й и (г+1)-й пластинок соответственно. К этим нагрузкам
путем разложения может быть приведена любая внешняя нагрузка,
состоящая из погонных сил, заданных в функции от z и приложенных на
ребрах оболочки.
Число статических уравнений в (7) будет равно числу точек 0, 1, 2, ...,п
поперечного сечения, для которых определяются продольные
нормальные напряжения crfc(z), а число геометрических уравнений (7)
определяется числом искомых поперечных изгибающих моментов GA(z),
относящихся к ребрам оболочки.
Характерной особенностью восьмичленных уравнений является то
обстоятельство, что граничные условия по продольным краям
удовлетворяются в процессе составления уравнений. От этого, принимая во
внимание вид и характер граничных условий, зависит число статических и
геометрических уравнений и выражение коэффициентов (8)—(11), главным
рбразом только тех, которые относятся к ребрам, близко расположенным
к продольным краям. Так, например, для оболочки со свободными
продольными краями, состоящей из п пластинок, число статических
уравнений будет равно (п + 1), число геометрических уравнений будет (п — 3),
^а в конечном счете будем иметь систему 2(п — 1) уравнений с 2(п — 1)
неизвестными. Для оболочки замкнутого профиля, состоящей из п
пластинок, система будет состоять из 2п уравнений, из которых п уравнений
будут статическими и п — геометрическими.
Следует заметить, что любая цилиндрическая оболочка при
вписывании в нее призматической складчатой системы может рассматриваться как
призматическая оболочка, и расчет ее вместо решения системы
дифференциальных уравнений в частных производных (1) может быть сведен к
решению системы восьмичленных обыкновенных дифференциальных уравнении
(7). С другой стороны, увеличивая число пластинок п складчатой системы,
путем предельного перехода мы можем от системы восьмичленных
дифференциальных уравнений (7) перейти к системе дифференциальных
уравнений (1) в частных производных.
3. Полученные уравнения могут быть применены также к расчету
призматических оболочек, имеющих предварительно напряженные
элементы. Так, например, в случае складчатой оболочки, представляющей
собой шедовое покрытие и имеющей в А-пластинке предварительно на-
Принципы построения общей технической теории оболочек 471
пряженный, в общем случае криволинейный стержень, в свободных членах
уравнений (7) следует предусмотреть также действие приведенной
внешней нагрузки, происходящей от предварительного натяжения
арматуры. Учитывая, что арматурный стержень уложен по кривой линии,
на пластинку, кроме продольной силы, будет действовать и поперечная
нагрузка.
Если f(z) есть уравнение кривой, по которой уложен предварительно
напряженный стержень, а Г — сила его натяжения, то величина
поперечной нагрузки будет определяться формулой
9Т = Т%. (12)
Продольная нагрузка в зависимости от конструкции натянутой
арматуры может определяться двояко.
1) Если арматура расположена внутри пластинки в канале и не
связана с бетоном, то на пластинку будут действовать приложенные по
концам продольные силы, которые, учитывая пологость кривой, могут
быть приняты равными величине натяжения арматуры Т. В этом случае
действие продольных сил может быть учтено в граничных условиях так:
разлагая силы Т по правилу рычага на две силы, действующие вдоль
ребер, и рассматривая их как сдвигающие силы, приложенные в крайних
точках ребра, можно получить по ним приведенную нагрузку, входящую
в свободные члены уравнений (7). При этом сосредоточенную по краям
сдвигающую силу придется представить в виде ряда
г» ЯГ1 -г-, njlz
2) Если арматура внутри пластинки имеет плотное сцепление с
бетоном, то передаваемое на бетон от арматуры продольное усилие
распределится по длине пластинки. Поскольку закон распределения продольного
усилия по длине пластинки неизвестен, приближенно можно принять его
в виде косинусоиды
P = ^cos5?- (13)
Для получения грузовых членов уравнений (7) нагрузку Р из (13
следует распределить по правилу рычага на ребра, окаймляющие
пластинку; тогда, считая уравнение кривой f(z) записанным относительно
(к—1)-го ребра складки, получим
Tn[dk-/(*)) nz
Рк = ^ созт.
Дальнейший расчет предварительно напряженной оболочки сводится
к интегрированию уравнений (7).
Приведенная поперечная нагрузка qT, определяемая формулой (12),
действует в плоскости грани при положительном ее направлении от ребра
Л—1 к ребру с номером /с. Если растянутый арматурный стержень
предварительно изогнут по плоской кривой второго порядка, то
интенсивность нагрузки qT в этом случае будет иметь постоянное, не зависящее от
z значение. Этой нагрузке будут соответствовать дополнительные
свободные члены статических уравнений смешанного метода. Указанные
дополнительные грузовые члены вычисляются по общей формуле (11).
472 Принципы построения общей технической теории оболочек
4. Значительное упрощение в решение задач, изложенных в п. 1 и 2,
вносит применение балочных фундаментальных функций. Пусть Z = Z(z) —
функция одного переменного z, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению
ZIV-^Z = 0, (14)
где / — длина .оболочки в направлении образующей; т — произвольный
параметр.
Применяя метод разделения переменных, будем искать решение
основных дифференциальных уравнений оболочки в форме
G (z, s) = G (s) Z (z); и (z, s) = и (s) Z' (z); \
a (z, s) = a (s) Z" (z); S (z, s) = S (s) Z'" (z)> J (15)
где G (s) и и (s), б (s), S (s) — искомые функции, зависящие только от
переменного 5, а множителем является функция Z(z) и ее производные по z*
Присоединяя к (15) и (14) граничные условия, заданные на
криволинейных краях z =0й z = /, получим в каждом частном случае краевой
задачи полную систему ортогональных фундаментальных функций Zn(z)
(п =1, 2, 3,...). Каждая из этих функций определяется своим
фундаментальным числом тп (п =1, 2, 3,....), получающимся из однородных
граничных условий и дифференциального уравнения (14).
Для оболочки с шарнирно опертыми криволинейными краями
граничные условия будут такие: при г=0и z=ZZ = Z" = 0.
Фундаментальная функция будет иметь вид
Zn(z) = sin^-Z (п = 1,2,3,...). (16)
В случае оболочки, оба поперечных края которой жестко заделаны и
граничные условия, следовательно, имеют вид Z = Z' = 0 при z = 0 и z = /,
фундаментальные функции выражаются формулой
/ тп т \
Zn (z) = (ch тп — cos тп) ( sin ~j- z — sh у z I —
/ m m \
— (sh Шп — sin mn) I cos у z — ch-y-z 1, (n = 1, 2, 3, . . .), (17)
а фундаментальные числа имеют значения
тг = 4,73; т2 = 7,853,... тп = y=ti я (п > 2). (18)
Подобным же образом строятся фундаментальные функции Zn(z) и для
других случаев граничных условий на поперечных краях оболочки.
Способ построения фундаментальных функций для оболочек и таблицы этих
функций для разных случаев граничных условий, даны в наших работах
[1, 2]. Они идентичны функциям Рэлея в теории поперечных колебаний
однородной весомой балки. Как сами фундаментальные функции, так и
вторые производные от них обладают свойством ортогональности, т. е.
удовлетворяют условиям
i i
\Zi(z)Zk(z)dz = 0; [zl(z)Zl(z)dz= О (19)
о о
при i =f= /с.
Принципы построения общей технической теории оболочек 473-
Представим теперь в уравнениях (1) как искомые, так и заданную
функции в виде разложений в ряды по фундаментальным функциям:
a(z, s) = 2 <3n(5)Zn(z);
71=1
оо
G(z, s)= 2g»(s)Z„W;
n=l
оо
P(z, s)= %Pn(s)Zn(z).
(20),
Умножая первое из уравнений (1) на Zn(z), а второе — на Zn(z)(n —
фиксированный номер члена бесконечного ряда т = 1, 2, 3,...)» беря
затем интегралы по всей длине оболочки и принимая во внимание условия
(19), придем к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений
для определения исходных коэффициентов an(s) и Gn(s):
TYIZ.
h -|Г e„(s) + QG»(«) = Pn(s);
Qon<s)-gGn(s) = 0.
h6
(21),
Системой обыкновенных дифференциальных уравнений (21) при
фиксированном п искомые функции an(s) и Gn(s) определяются с точностью-
до восьми произвольных постоянных, которые в каждом члене
разложения определяются из граничных условий по продольным краям оболочки
(по четыре условия для каждого края). Эти условия могут быть заданы в
силах или в перемещениях, или в случае смешанной задачи — частью
в силах, а частью в перемещениях. При R = const (круговая оболочка)
уравнения (21) будут иметь постоянные коэффициенты.
Аналогичным образом, полагая в уравнениях (7)
°к(*) = 2 °Лп^п(2);
71=1
ОО
Gk(z)= %GknZn(z);
71=1
ОО
71=1
(22)
получим для определения коэффициентов окп-то и Gkn-ro члена
разложения (22) систему восьмичленных симметричных алгебраических
уравнений:
4 *=гЦ-1
*=г+2
/4 2 аис<3кп + 2 bikGkn + Pin = 0;
k=i-l А=г-2
k=i+2 k=i+i
2 bikGkn — 2 cik(*kn = 0»
k=i—2 k=i—l
(23>
474 Принципы построения общей технической теории оболочек
где
1
lPt(z)Z(z)dz
Pin=—t • (24)
Jz»<*)*
О
Таким образом полностью разрешается проблема равновесия
цилиндрической и призматической оболочек произвольного очертания при
произвольно заданных граничных условиях как на продольных, так
и на поперечных краях и произвольной нагрузке.
Eh9
5. Полагая во втором из уравнений системы (1) 12 = оо, т. е.
считая, что контур поперечного сечения оболочки не деформируется
(х = 0), получим
°-&(*-Й+£(х£)-о. <25>
Отсюда для продольных нормальных напряжений a(z, s) в функции
от контурной координаты s вытекает закон секториальных площадей,
положенный в основу нашей общей теории прочности, устойчивости и
колебаний тонкостенных стержней и оболочек произвольных
несимметричных открытых профилей. Этот закон, как показано в работе [3], является
обобщением гипотезы плоских сечений, лежащей в основе современной
элементарной теории изгиба балок.
Продольные нормальные напряжения в любой точке (z, s) в общем
случае вычисляются по четырехчленной формуле
<>(z, S) = -jrl }— X(S) + -1— y(s) +-^CD(S), (26)
г Л у X О)
в которой три первых слагаемых относятся к известной из сопротивления
материалов формуле, основанной на законе плоских сечений; четвертым
слагаемым учитывается депланация сечения. В нем co(s) — новая
главная обобщенная секториальная координата, представляющая собой
удвоенную площадь, заключенную между начальным и подвижным радиусом-
вектором (с полюсом в центре изгиба) и контурной линией оболочки;
1Ш — новая геометрическая характеристика, названная нами бимо-
ментом инерции и определяемая по формуле
1Ш = \ со2 (s) dF; (27)
F
B(z) — новая обобщенная сила, названная нами бимоментом,
возникающая вследствие секториальной депланации сечения и статически
эквивалентная нулю; формулы, определяющие бимомент и связывающие его с
углом кручения в (z), отнесены к центру изгиба и имеют вид
В (z) = [ б (z9 s) о (s) dF = — EIJdn (z). (28^
F
Условия равновесия элементарной поперечной полоски стержня оболочки
в главных обобщенных координатах сечения, обладающих свойством
ортогональности, помимо известных в сопротивлении материалов
уравнений осевого растяжения и изгиба в главных плоскостях, дополняются
новым уравнением, которым совместно с граничными условиями опреде-
Принципы построения общей технической теории оболочек 475
ляется как функция координаты z угол кручения 0 (z):
EIae^ — GIde" + m=0,
(29)
где Elи — секториальная жесткость; GI& — жесткость стержня при
чистом кручении; т — внешний погонный крутящий момент.
Уравнение (29) по своей структуре имеет тот же вид, что и уравнения
поперечного изгиба балки, предварительно растянутой продольной
силой Р:
Теория тонкостенных стержней, основанная на законе секториальных
площадей путем введения новых обобщенных статических и геометрических
величин, построена на той же физической концепции, что и теория изгиба
балок, основанная на гипотезе плоских сечений и вытекающая из нашей
теории как частный случай. Бимоментная теория изгибного кручения,
описываемая уравнением (29), математически имеет полную аналогию с
элементарной теорией изгиба балок. Эта аналогия представлена ниже в
виде сводки основных формул по теории изгиба и теории изгибного
кручения балок.
Изгиб в плоскости
(закон плоских
сечений)
Ix =f y4F
F
Sx = \ydF
F
л = n (*)
■.■-а
Мх= - EIxr\"
Стесненное кручение
(закон секториальных
'площадей)
F
F
6 = в (г)
B~dz
В = -Е1шЬ'
Изгиб в плоскости
(закон плоских сечений)
<?« = *'*«- *'хЧ"
Mjz)
X
Qv <*)*«<«)
( * lx6(s)
Яу=Яу (*)
1
Стесненное кручение
(закон секториальных
площадей)
К = В' = — EIJ&'"
B(z)
(а
т = т (z)
Из этой аналогии вытекает следующее важное предложение: все
известные в сопротивлении материалов и в строительной механике аналитические
методы расчета балок и стержневых систем, основанные на законе плоских
сечений, целиком распространяются и на теорию изгибного кручения
тонкостенных стержней и систем, составленных из таких стержней.
В тех случаях, когда для цилиндрических и призматических, например
железобетонных, оболочек открытого профиля можно, как показали
исследования автора, пренебречь величиной GId, уравнение (29) принимает
вид Е1Ш&1У = ту имеющий в точности тот же вид, что и уравнение изгиба
Е1хц1У = д. Тогда все формулы и числовые коэффициенты в теории
изгибного кручения в точности повторяют соответствующие формулы и
коэффициенты теории изгиба балок.
Если, например, при изгибе балки, шарнирно опертой на концах,
равномерно распределенной нагрузкой q для изгибающего момента и прогиба
в середине пролета мы имеем
п/r Я12 5 ql*
476 Принципы построения общей технической теории оболочек
то при изгибном кручении для той же шарнирно закрепленной балки,
Находящейся под действием равномерно распределенного крутящего
момента т, для бимомента и угла кручения в середине пролета будем иметь
_5_ т/4
384 'EI'
max В = -^ ; max 0
Ребристые складчатйе системы и цилиндрические своды — оболочки,,
усиленные поперечными ребрами, ведут себя как пространственные
тонкостенные сплошные системы, обладающие недеформируемым контуром^
Зпюра 6„
zzz
zzz
\Ю0кг/м
ЮОкг/м т
Рис. 4
Такие системы могут быть рассчитаны по изложенной здесь теории,,
основанной на законе секториальных площадей. На рис. 4 и 5
приведены результаты выполненного автором расчета осуществленной в
строительной практике СССР ребристой деревянной оболочки пролетом;
I = 100 м.
8,99 4J8 дпюРа <*ш
\Ч,ЗЧ
МО 16,15 ,
100 кг/м
Рис. 5
Из сравнения представленных графиков нормальных напряжений от
антисимметричной нагрузки той же интенсивности, вызывающей только
кручение, видно, что последние значительно превышают первые, хотя по
теории Сен-Венана они совершенно не учитываются.
Исследования, проделанные на основе теории, базирующейся на
законе секториальных площадей, показали, что явление кручения стержня
может иметь место (вследствие секториальной депланации стержня) и при
действии продольной силы. Нормальные напряжения, возникающие ог
действия бимоментных, взаимно уравновешенных нагрузок, практически
Принципы построения общей технической теории оболочек 477
не подчиняются принципу Сен-Венана, а так как при стесненном
кручении эти нормальные напряжения могут достигать во многих случаях
весьма больших значений, то при расчете тонкостенных конструкций типа
цилиндрических и призматических оболочек в применении принципа
Он-Венана нужно проявлять большую осторожность.
На рис. 6 приведены фотографии модели тонкостенного консольного
целлулоидного стержня открытого зетового профиля 1, жестко
прикрепленного к станине 3 с помощью вертикальной планки 2. Этот стержень
Рис. 6
при помощи несложного приспособления, состоящего из штурвала с
винтовой нарезкой 5 и подвижной поперечной перекладины на опорном
конце 4, может быть загружен системой трех продольных сил, приводящихся
только к одному продольному бимоменту. Одна из этих сил, приложенная
в центре стенки, будет растягивающей; две другие, приложенные в точках
полок,— сжимающие. На рис. 6, а приведена фотография стержня до
нагружения его бимоментом. На рис. 6, б показана фотография того же
стержня после нагружения его бимоментом. Этот эксперимент,
проделанный в Институте механики АН СССР, наглядно показывает, что чисто би-
моментная нагрузка, приложенная на одном конце стержня-оболочки и
представляющая собой статически эквивалентную нулю систему
продольных сил, наряду с депланацией сечения, вызывает также и деформацию
кручения. Эта крутильная деформация, возникающая в стержне при
отсутствии какой-либо внешней крутящей нагрузки, не является местной,
478 Принципы построения общей технической теории Оболочек
как это должно следовать из принципа Сен-Венана, а распространяется
по всей длине стержня.
Аналогичное явление, связанное с отклонением в тонкостенных
конструкциях от принципа Сен-Венана, может иметь место также и в
оболочках закрытого профиля; Это важное в задачах новой техники
положение, вытекающее из теории ортотропных полубезмоментных оболочек
и выходящее из рамок так называемой теории краевого эффекта, также
хорошо подтверждается экспериментом. На рис. 7 показана фотография
деформированной цилиндрической целлулоидной оболочки, находящейся
под действием одной только бимоментной нагрузки. Эта нагрузка
приложена в опорном сечении и состоит из четырёх продольных сил: двух
Рис. 7
растягивающих и двух сжимающих. Растягивающие и сжимающие
нагрузки по своим величинам имеют одинаковые значения и приложены в
крайних точках двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности
торцового сечения оболочки. Описанная чисто бимоментная
самоуравновешенная нагрузка осуществляется при помощи штурвала с винтовой
нарезкой и двух достаточно жестких перекладин, соединенных в середине
болтом. Обе перекладины соединены также с оболочкой при помощи
съемных болтов.
Деформация оболочки, вызванная действием одной только взаимно
уравновешенной бимоментной нагрузки, характеризуется искажением
форм поперечных сечений оболочки и переходом дуг окружностей
этих сечений в овальные эллипсовидные кривые. Эта деформация,
вызванная, согласно общей теории автора, депланацией поперечных
сечений, достигает наибольших значений на другом свободном конце
оболочки.
Теория изгиба и кручения тонкостенных стержней и оболочек
открытого профиля (в дальнейшем она распространена и на замкнутые профили)
распространяется и на задачи пространственной устойчивости и
пространственных изгибно-крутильных колебаний конструкций типа
тонкостенных стержней и оболочек. Общая теория изгибно-крутильных колебаний
стержней и оболочек, испытывающих в своих поперечных сечениях
нормальные напряжения от продольной внецентренно приложенной силы Ру
описывается следующей, симметрично построенной системой дифферен-
Принципы построения общей технической теории оболочек 479
циальных уравнении:
FT **
^v П , t* *1
^ „ Л/2 i^ ^ Я*2 П"
0"6
g dz2dt2 ' g d*2
dz2
+ Jh~ -м-р(еу-ау)'мг=я^
EI
g dt*
04T] Т/я
а4т]
+ P^
g dzWt2
4F д*ц
+ P(ex — ax) -^ - gv;
&2
a4e
g dzWt2
+
(30)
Здесь £ = £(z, *), r| = T](z, *), в = в (z, *) — соответственно прогибы
и угол кручения, рассматриваемые в случае динамической задачи как
функции не только от координаты z, но также и времени t\ Р — Р (t) —
продольная сжимающая сила, которая может быть задана как функция
времени t\ ех, еу — координаты точки приложения этой силы в
плоскости поперечного сечения стержня; F — площадь сечения; IXJ Iv —
главные моменты инерции; 1Ш --- бимомент инерции; Id — момент
инерции при чистом кручении; ах,ау — координаты центра изгиба; г2, рх, ($у—
геометрические характеристики, определяемые формулами:
У р
(31>
у — объемный вес материала стержня; g — ускорение силы тяжести;
Ях = Ях (z> 0» Яу = Яу (z> 0i т = т (2> 0 — погонные поперечные нагрузки.
Если в уравнениях (30) отбросить члены, содержащие производные
по координате времени t, то получим уравнения пространственной
устойчивости стержня или оболочки, находящегося под действием
внецентренно приложенной продольной силы Р.
Считая в уравнениях (30) Р = const, qx = qy = т = 0 и полагая
в этих уравнениях для стержня, имеющего на концах z = 0 и z = ly
шарнирные закрепления
I = Ansm —j—sin Knt\
D . nTiz . Ts л
Г\ = Bn Sin —r- S111 ^n*i
0 = Cn sin —^- sin Knt,
получим путем приравнивания нулю соответствующего определителя
480 Принципы построения общей технической теории оболочек
уравнение типа векового
Kl
пу
('-€)
0;
8 tf +
Л Л'«\ р. V *» р(р „v.
°xlF П
+ P(ev—ay);
Здесь для краткости обозначено:
%- Р(ех-ах); />па)^1_^^_
(32)
-Рпзс — Е1х\п\ Р
Пу
Е1уХп;
(Е1Л1 + G/d);
„2 _ *'***
Лил»
^•n J-
п = 1, 2, 3,
(33)
Уравнение (32) позволяет определить для каждой п-й гармоники три
действительных значения для частоты Кп собственных колебаний стержня.
Если положить в уравнениях (32) или в полученных решениях Р=0, то
получим общее решение задачи об определении частот собственных
колебаний свободного (не нагруженного силой Р) стержня или оболочки.
Таким образом, для упомянутой ранее деревянной цилиндрической
оболочки пролетом Z ==100 м получены для трех частот собственных
колебаний оболочки, отвечающих при п = 1 основному тону, следующие
значения:
Кх = 14,13 кол/сек; Кг = 4,16 кол/сек] К3 = 52,17 кол/сек.
Из этих значений первое соответствует чисто изгибным колебаниям
в вертикальной плоскости симметрии; второе и третье относятся к
частотам изгибно-крутильных колебаний. Наименьшей частоте колебаний для
этой оболочки, как мы видим, будут отвечать не плоские изгибные, а
пространственные изгибно-крутильные колебания.
Исследования показали, что опасными и решающими в основном как
при пространственной устойчивости, так и при колебаниях являются не
чисто изгибные формы деформации, а изгибно-крутильные.
Подтверждением этого установленного нами еще в 1940 г. факта [3] может служить
анализ причин аварии американского висячего моста через реку Такома,
построенного весной 1941 г. и обрушившегося вследствие кручения от
ветровой нагрузки осенью того же года. Расчет, проделанный по нашей
Принципы построения общей технической теории оболочек 481
теории на основании данных, заимствованных нами из «Engineering
News—Record» за ноябрь 1941 г., дал для критической скорости ветра,
при которой мост теряет устойчивость по изгибно-крутильной форме,
значение v =16,9 м/сек, при действительной скорости ветра в день
катастрофы v = 18,6 м/сек. При этом следует отметить, что одни вертикальные,
чисто изгибные колебания не приводили к катастрофе при числе
колебаний в 2,5 раза большем, чем в момент катастрофы.
Изложенная выше теория для тонкостенных стержней открытого
профиля легко распространяется и на стержни закрытого профиля. В
последнем случае, как это показано автором [4], вместо законасекториаль-
ных площадей следует пользоваться законом аксиальных площадей,
полагая
со = ху. (34)
Формула для бимомента инерции в этом случае примет вид
Л, = \ <o4F = \ x*y4F, (35)
F F
а момент инерции Jd определяется методами теории чистого кручения.
В работе [5] показано, что в задачах о прочности, пространственной
устойчивости и колебаниях стержня может быть также учтено
предварительно напряженное состояние стержня, происходящее либо от
температурного воздействия, либо от предварительного напряжения арматуры.
В этих случаях во всех задачах все формулы и уравнения остаются
прежними, но жесткость при чистом кручении GJd должна быть заменена
новой, приведенной жесткостью GJd, которая вычисляется по формулам:
а) в случае температурного напряжения, постоянного по длине стержня:
GJd = GJd + КТФ; (36)
б) в случае предварительного натяжения арматуры
GJd = GJd + RkOk. (37>
В формуле (36) К — обобщенная характеристика, зависящая от
функции распределения температуры по поперечному сечению и от
геометрических размеров стержня; Т — параметр, определяющий температуру;
Ф — функция, характеризующая распределение нормальных
напряжений по длине, и принимаемая в формуле (36) за постоянную величину.
В формуле (37) Rk — сила натяжения арматуры; Ф* — обобщенная
характеристика, зависящая от геометрических размеров поперечного
сечения и места расположения арматуры.
Разработанная нами общая теория тонкостенных стержней и оболочек
с жестким профилем охватывает весьма широкий класс практически
важных задач по прочности, устойчивости и колебаниям тонкостенных
конструкций (как обыкновенных, так и в упругой среде, с возможностью
учета предварительно напряженного состояния от воздействия
температуры или предварительного натяжения арматуры), применяемых в
различных областях строительной техники (строительное дело,
судостроение, авиация и др.).
Из этой теории как частные случаи вытекают: теория продольного
изгиба стержня, принадлежащая Эйлеру, задача Прандтля об
устойчивости плоской формы изгиба узкой пластинки прямоугольного сечения,
известная задача Тимошенко об устойчивости плоской формы изгиба
двутавровой балки и др.
482 Принципы построения общей технической теории оболочек
Заметим, что на основе теории тонкостенных стержней и оболочек
выявлены некоторые принципиальные недостатки в известных работах
Вагнера, Блейха, Претчера по вопросам устойчивости тонкостенных
авиационных стержней и в работах Дишингера, Эллерса, Эбнера и др. по расчету
цилиндрических и призматических оболочек на основе так называемой
безмоментной теории.
6. Теория тонкостенных стержней, учитывающая депланацию
сечений и являющаяся обобщением элементарной теории изгиба балок,
построенной на гипотезе плоских сечений, в свою очередь может быть
получена из более общей теории, предложенной автором в 1931 г. и в
дальнейших работах детально усовершенствованной. В основе этой более
общей теории, не нуждающейся в стеснительных гипотезах о
неизменяемости контура поперечного сечения оболочки и об отсутствии
деформаций сдвига в срединной поверхности, лежит новый вариационный метод
автора, построенный на прямом приложении принципа возможных
перемещений. Этот вариационный метод в синтезе с методами строительной
механики стержневых статически не определимых систем позволяет
приводить сложные дифференциальные уравнения оболочек в частных
производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений,
обладающих, как и канонические уравнения теории рам, симметричной
структурой.
Этому методу соответствует расчетная модель оболочки,
представляющая собой тонкостенную пространственную систему, обладающую
конечным числом степеней свободы в плоскости поперечного сечения и
бесконечно большим числом степеней свободы вдоль образующей. Такие
системы были нами условно названы дискретно-континуальными.
В основном идея метода заключается в следующем: представляем
перемещения призматической оболочки, составленной из конечного числа
узких прямоугольных пластинок и имеющей в поперечном сечении
конечное число замкнутых контуров, в виде конечных разложений
т
и (z, s) = 2 U% (z) <р{ (я) (г = 1, 2, 3 ш); (38)
1
П
v(z, s) = %Vk(г)Ф*(*) (к = 1, 2, 3 п). (39)
1
Функции ф|($) представляют собой заданные обобщенные координаты
депланации поперечной элементарной полоски, вырезанной двумя
поперечными сечениями z = const и z + dz = const из призматической оболочки.
Функции tyft(s) представляют собой заданные обобщенные координаты
деформаций этой полоски в ее плоскости. Как те, так и другие выбираются
из рассмотрения поперечной полоски как плоской рамы.
Функции Ui(z) и Vft(z) являются искомыми обобщенными
перемещениями, соответственно продольными и поперечными, которые в разложениях
(38) и (39) рассматриваются как непрерывные функции независимой
переменной z.
Выражая через перемещения u(z, s) и p(z, s) напряжения o(z, s) и
t(z, s) и рассматривая интегральные условия равновесия элементарной
поперечной полоски при выбранных формах перемещений фг($) и i]?/c(s),
определяемых т + п степенями свободы (т — число степеней свободы из
плоскости поперечного сечения; п — число степеней свободы в плоскости
поперечного сечения той же элементарной полоски), на основании
принципа возможных перемещений получим систему т +п обыкновенных
дифференциальных уравнений:
Принципы построения общей технической теории оболочек 483
Е 2 а^и\ - G 2 ЬЛиг _ С S c*F; + ft = 0; 1
gScmIT; + G%rMVl- E%shkVk + ?h = 0 [ ( 0)
i k k )
(i, j= 1, 2, 3, . . ., m)
(h, fc = 1, 2, 3, ..., и).
Здесь /?j и qh представляют известные функции от z и s и при
заданных поверхностных силах p(z, s) и q(z,s) вычисляются по формулам
Л = j}p(*.*) q>j(*)«fr; |
Коэффициенты уравнений (40) вычисляются по формулам
aji = J ф; (5) ЧЧ (5)dF; chj = U *h (5) ф) (5) dF; j
6,i = \ Ч>) (*) 4>i (s)dF; rhk = \ ♦* (5) % (5) dF;
Г ' 1С Mh (s) Mk (s)
4k = ) 4>i (s) ^k (s) dF\ shk = -^- ^ ^
(41)
ds,
(42)
где интегралы распространяются на все элементы поперечного сечения
оболочки. Эти коэффициенты обладают свойством взаимности
aji = aiv bJi = bip СМ = CJk (ПРИ Л = A);
Г/i* = ^hJ 5hft = Skh>
выражающим теорему Бетти.
Система (40) совместно с граничными условиями полностью решает
задачу. Граничные условия могут быть не только геометрические,
но и статические, а также и смешанного типа. С этой целью в
рассмотрение вводятся обобщенные силы: продольные Pj{z) и поперечные
Qh(z) в сечении z = const оболочки, определяемые формулами
Pj(z)=^e(zys)<pj(s)dF j
(/= 1, 2, 3, ..., т)\
Qh(z) = \r(Zls)y\'h(s)dF
(h =1,2,3, ...,n).
(43)
Каждая из систем функций %{s) и \|^(s) может быть ортогонализиро-
вана, т. е. подобрана так, чтобы выполнялось условие
\ ф; (S) фг (S) dF = 0 При j=f=i, ]
\ Ук (s) % (s) dF = 0 при h ф к.
(43а)
Тогда система уравнений (40) вследствие обращения в нуль некоторых
коэффициентов приобретает более простую структуру. Изложенный
здесь вариационный метод с успехом может быть применен (и при-
484 Принципы построения общей технической теории оболочек
менялся под руководством автора) к расчету крыла самолета,
тонкостенных конструкций, имеющих в поперечном сечении форму
многоярусной рамы, а также покрытий и перекрытий типа двухслойной
многосвязной оболочки, к расчету конструкции судов и т. п.
7. Метод матричных дифференциальных уравнений используется
также в предложенной нами общей теории оболочек вращения,
усиленных поперечными кольцевыми ребрами и состоящими из отдельных
конических элементов. В этом случае оболочка предполагается безмомент-
ной, а изгибу по линии контура сопротивляются лишь кольцевые ребра.
>/W
Рис. 8
Равновесие и совместность деформаций оболочки с кольцами, как
показано в работе [9], будет описываться системой обыкновенных
дифференциальных уравнений, обладающих симметричной матрицей
^(^- + 1)2^ + а^"+ 2 bikN'k+Pi = 0;
i+l 1+1 i+1
(hiVi- S bikVk+ 2 SiX+ S tikNk + Qi = 0.
ft—i—1 k=i—i fc=i—1
(44)
Эти уравнения относительно искомых функций Nk и F{,
представляющих собой соответственно приведенные нормальные силы и
тангенциальные перемещения (рис. 8), записываются для каждого кольца.
Первое из этих уравнений является уравнением равновесия, а второе —
уравнением совместности деформаций.
Коэффициенты уравнений (44) и приведенные нормальные силы
определяются следующими формулами:
AWi =
а« =
1
N,
sin ф.
rici ci+i
4iz\
N.
i+l
ri+l
iVi,i-i =
1 ЛГ«_1
ci n-i
rl
-~гЯ1-ьг ;
^+1Г{+1
г, (г, - г4-1)
». *»+1
Ь. *+1 = Г=7—
ri 4+1
M'i-'j+i' '
Принципы построения общей технической теории оболочек 485
1 /r«-i , ri riri-i ,„ ri \_J_.
s.. "I /3 ri+l г? г. ч !
" ~ '■f w?+i с. - 'ж) v2 2 ri - 'hi 'hi ; £6hi
1 /3 _ «"«-г ^ , ri \ 1 .
(l + vX^ + r^)^ (l + v)Oi + riK)*<+i .
'* i_1 " Vi-i ('I - »W ^ ' '*• *+i ~ r.r.+l (r. _ r.+l) E6i+lci+1 '
t = (1 + v) C-j + ri+1) ti+1 _ (1 + у)(г4 + г{_,Ц
li('i-'i+l)£6i+lci+l 'iei-'i-l^vi
(г,-г{+1)£6{+1\2 » 2 г4-г{+1 ri+1/
W4-i('i-'i+i)£6i+iV2 2 ri_rHi ri+i/
•i«? <'i - 'i-i) Щ \ 2 2 ri - r«-i r«-i /
d + vH^ + .w)^ Г ,,. ^+1(1+у)(г{ + г{+1) Г
dp.
2 f
Pi = - riU+tfu + yi+|i+1 qiz + ГГ1~\1 4i - i,z + rt (qlr + щ).
ri ~~ ri+i ri ri—l
В приведенных формулах через ct и .9* обозначены соответственно cos у{ и
sin у*, б — толщина оболочки, остальные обозначения — согласно рис. 9. В
качестве примера применения уравнений (44) к расчету конструкций можно
Рис. 9
Рис. 10
рассмотреть задачу о расчете градирни. Расчетную схему такой
конструкции можно представить в виде системы безмоментных конических
оболочек, усиленных в стыках кольцами, жесткость которых
принимается равной поперечной изгибной жесткости примыкающих к ребру
оболочек.
Представляя поверхность градирни в виде системы пяти конических
поверхностей (рис. 10) и учитывая, что на верхнем торце (точка 5)
отсутствует внешняя продольная нагрузка, а на нижнем торце (точка 0)
отсутствуют перемещения (оболочка приближенно принимается
486 Принципы построения общей технической теории оболочек
заделанной по нижней параллели 0), систему дифференциальных уравнений
(44) можно представить в виде матрицы (табл. 1). Интегрирование
системы дифференциальных уравнений (44), представленных в виде
матрицы (табл. 1), легко может быть выполнено в рядах. Так,
представляя функции Vk($) и iVi(ji) в виде рядов Фурье
оо \
vk (Р) = 2 А*п cos пр;
Г (45)
Wk(P)= 2#ftnCOSn|J
n=0 /
и разлагая свободные члены Р* и Q{ также в ряды по косинусам,
преобразуем матрицы (табл. 1) из дифференциальной в алгебраическую.
При этом символ D необходимо заменить на —п, D2 на —п2 и Z)3 на п3.
Матрица алгебраических уравнений будет иметь симметричную
структуру, поэтому ее решение легко может быть произведено по способу Гаусса.
Рассматриваемый метод позволяет произвести расчет градирни также
и в процессе ее возведения. Так, если производство работ осуществляется
по участкам 1, 2, 3, 4, 5, то напряженное состояние на каждой из стадий
может быть получено, исходя из матрицы уравнений (табл. 1), путем
вычеркивания соответствующего числа строк и столбцов.
Действительно, если возведен только первый участок, то уравнения
для кольца 1 будут аналогичны уравнениям для кольца 5 в полной
схеме, и из матрицы нужно вычеркнуть все строки и столбцы с индексами
1, 2, 3, 4. Если возведены два нижних участка, из матрицы нужно
вычеркнуть все столбцы и строки с индексами 2, 3, 4. Если возведены три
участка, то нужно вычеркнуть строки и столбцы с индексами 3 и 4. И,
наконец, когда возведены четыре участка, вычеркнуть строку и столбец с
индексом 4. Из произведенных рассуждений можно сделать вывод, что в
процессе строительства в связи с изменением расчетной схемы оболочки
(количества участков) меняется и разрешающая система уравнений,
определяющих ее напряженное и деформированное состояние. Отсюда
вытекает неприменимость принципа независимости действия сил при
расчете градирни на каждой ступени ее возведения.
Таким образом, расчет градирни на нагрузки в процессе
строительства необходимо производить для каждой стадии отдельно.
На основе изложенного метода могут рассчитываться также покрытия
в виде цилиндрических сводов оболочек, усиленных поперечными
арками, корпуса судов, фюзеляжи самолетов и ракет и многие другие
конструкции и сооружения, расчетные схемы которых могут быть
представлены в виде безмоментных конических или цилиндрических оболочек,
усиленных поперечными ребрами.
8. На основе изложенной выше технической теории ортотропных
оболочек разработан метод расчета кружально-сетчатых оболочек. В основу
расчета, проделанного под руководством автора в Институте механики
АН СССР Г. И. Пшеничновым [10], положена гипотеза о том, что
элементы оболочки — косяки — не сопротивляются изгибу из своей плоскости
и кручению.
Сетчатая оболочка заменяется некоторой сплошной, расчетная модель
которой вследствие указанной гипотезы является геометрически
изменяемой. Для того чтобы расчетная модель была геометрически неизменяемой,
необходимы определенные закрепления ее краев. Есди поверхностная
нагрузка Z(a, р) направлена по внешней нормали к поверхности оболочки,
то деформированное и напряженное состояние оболочки описывается за-
Таблица 1
Уравнения
Статические
Геометрические1
ребер
1
2
1 3
4
5
0
1
2
3
4
(Dt+iyD3
—bo\
— &21 '
1
(D2 + l)ai)3
— &12
— a22D*~
&22
-—&32
1
1 (£>■ + 1)» jD»
— &23
— «33#2 —
— 633
— 643
1
(/>« +1)1 JD8
— &34
- а44Л2 -
— &44
1
(ZP + l)**)3
— &45
*, ГЗ)
b10X>
1
s<x>Z>2 +
+ «00
*io#2 +
+ «10
Nt W
1 ацЛ» +
| + *цЯ
&2i#
*>i#2 +
+ «01
*u#2 +
+ «11
*21#2 + 1
+«21 !
Ni(t)
bnD
1 a22Z)3 +
+ &22D
1 &32#
512^ +
+ «12
*2*D* +
+ «22
532l>2 +
+ «32
N. (&)
bt&D
аьаВ3 +
+ 635!)
b&D
*23#2 +
+ «23
S33D2 +
+ «33
*43#2 + !
+ «43
N<№)
buD
«44#3 +
+ M>
b^D
suD* +
+ «34
$44#2 +
+ «44
iff 1
Pi
P2
p*
p*
Рь
Qo
Qi
Q*
<?3
Q4
R матрице череп D обозначено дифференцирование по координате р.
488 Принципы построения общей технической теории оболочек
данными условиями на краях и дифференциальным уравнением восьмого
порядка в частных производных относительно разрешающей функции
Ф(а, р):
г & , э* , / а* а» \ a» , ^ а* « ^ а°
Laa8 "^ ар8 ~г * 1ааваз2"^аа2аэ^ a^ap4 + u,D'a^—'6>ььЧ*др* +
+ 1>5^ + 1>5^+^Ж^ (46)
где R — радиус оболочки; а — длина стороны квадрата сеткп косяков,
оси которых составляют 45° с направлением образующей
цилиндрической поверхности; / — главный момент инерции поперечного сечения
косяка; Е — модуль упр\гости материала косяков при сжатии
(растяжения); а, р— продольная и поперечная относительные координаты
поверхности оболочки.
Перемещения вдоль осей а, р и внешней нормали к поверхности
оболочки определяются соответственно формулами
в(а1Р)в[_2В^-вВ^+(1-В)^--^]ф(а,й);]
+ (0,5# + 1)^]ф(а,Р);
\ (47)
где
В = ~w ; (48)
F — площадь поперечного сечения косяка.
Если принять положительные направления усилий и моментов
согласно рис. 10, то изгибающий момент, например, будет равен
mi о\— EJ I д* д* д* i 5° . п ^
2аЛ \ аа« аа4ар2 аа*аз4^ ар* TV'V а^
Усилия и моменты, возникающие в косяках оболочки, определяются
через усилия и моменты поперечных и продольных сечений оболочки
посредством простых соотношений.
Если граничные условия по криволинейным краям оболочки
записываются в виде
v = w= N = W = 0, (50)
то при интегрировании дифференциального уравнения (46) могут быть
применены одинарные тригонометрические ряды. При этом корни
получающихся характеристических уравнений либо действительные, либо
чисто мнимые.
На рис. 11 и 12 приведены результаты расчета полуциркульной
оболочки на действие собственного веса интенсивностью 100 кг/м2 поверхности
оболочки при следующих геометрических размерах: R =8,25 ле, / =32,5 ж,
а = 1 м. Поперечное сечение железобетонного косяка размерами
0,25 X 0,07 м на значительном протяжении длины косяка ослаблено
отверстиями» Расчет произведен с учетом лишь первого члена разложений в
Принципы, построения общей технической теории оболочек 489
Рис. 11
тригонометрические ряды по координате и при шарнирном опирании
продольных краев оболочки.
На рис. 11 даны значения перемещений, моментов и усилий в
поперечных сечениях оболочки, где эти величины принимают максимальные
значения. Все поперечные, а следовательно, и продольные сечения оболочки
О Z,b Ь,0 7,Ь 10,0 1Z,b 15,0 17b Z0,0 ZZ,5 Z5.0 Z7tb 30,0 U,bi
n'kz м'кг м
Рис. 12
сжаты. Величинами крутящих моментов, действующих в поперечных и
продольных сечениях оболочки, пренебрегать нельзя, так как они
достаточно велики.
На рис. 12 дано распределение изгибающих моментов и нормальных
усилий в косяках одного из направлений на развертке поверхности
490 Принципы построения общей технической теории оболочек
оболочки. Растягивающие усилия возникают лишь в косяках,
расположенных в углах оболочки.
Указанный метод расчета является простым и доступным для
инженеров-проектировщиков.
9. Тонкостенные пространственные системы, имеющие в своем
естественном ненагруженпом состоянии сравнительно небольшой подъем,
названы нами пологими оболочками.
Общая теория пологих оболочек, данная впервые в 1944 г. и
изложенная с наибольшей полнотой в работе [6], основана на рассмотрении таких
оболочек как слегка искривленных пластинок. Основное допущение в на-
шей теории состоит в том, что срединная поверхность оболочки наделяется
свойствами эвклидовой геометрии. В силу этой гипотезы внутренняя
геометрия поверхности при сравнительно малой для пологой оболочки ее
протяженности отождествляется с геометрией на плоскости или в более
общем случае — с геометрией на развертывающейся поверхности, для
которой гауссова кривизна, определяемая как произведение главных
кривизн поверхности, равна нулю. При этом допущении линейная теория
пологой оболочки, очерченной по произвольной заданной поверхности,
описывается следующими уравнениями:
ди , __ d*w
dv , dho
ду
0</2
со
ди . dv 07 dhv
dNx dS х __ n.
-дх~+Л+ °'
dN2 dS у _
(51)
дх
дМх
дН
ду
Ш
дх
Qi = 0;
дх
~Щ я7"" V2 —U,
(52)
Nx
Eh
\ («i + ve2); Mx = —D (xL + vx2);
N2 = j^j (e2 + vex); Mt = — D (x2 + vxx);
Eh
1 —v2'
Eh
5 =
2(1 + v)
со:
# = —Z>(1—v)t,
(53)
где D — цилиндрическая жесткость оболочки, вычисляемая по формуле
Eh9
D =
12 (1 — v2)
Срединная поверхность оболочки отнесена к прямоугольным
координатам на плоскости Оху. Оси координат Ох и Оу вместе с третьей
осью Oz образуют левовинтовую систему (рис. 13). Положительные
направления усилий, отнесенных к единице длины соответствующего сечения
срединной поверхности оболочки, показаны на рис. 14. Независимыми
переменными в приведенных уравнениях являются координаты х и г/.
Уравнение срединной поверхности задается в виде / = f(x, у).
Принципы построения общей технической теории оболочек 491
Кривизны для пологой оболочки определяются формулами
Если поверхность оболочки очерчена по поверхности второго порядка
(55)
о
f = -^x* + -tLy* + cxy + ex+dy + f,
то кривизны имеют постоянные
значения:
&i = а\ /с2 = Ъ\ кх
с.
Уравнения (51) — (53) образуют
полную систему основных
уравнений общей теории пологих
оболочек, очерченных по
произвольно заданным поверхностям и
находящимся под действием
произвольно заданной внешней
нагрузки
Рис. 13
В зависимости от вида и характера задач &ти уравнения могут быть
приведены к более компактному виду. Так, например, для задачи об
определении напряжений и деформаций оболочки, находящейся под
действием только нормальной внешней нагрузки и различных
температурных режимов на внутренне^ ^и внешней поверхностях, полная
Рис. 14
система уравнений равновесия иг деформаций упругой пологой оболочки,
как показано автором [7], приводится к системе двух линейных,
симметрично построенных дифференциальных уравнений:
Z)V2V2u> — Vfq> = Z.
(56)
В этих уравнениях V2 и V| — дифференциальные операторы второго
порядка:
V2=^ + J^.
V Ят2 "Г ду2 >
1
г,2 . 3* , 92 0, 9* (
(57)
дхду
492 Принципы построения общей технической теории оболочек
Величины Т и Z, являющиеся правыми частями уравнений (56),
представляют собой заданные функции. Одна из этих функций — функция
Т = Т (х, у) относится к температурным деформациям и определяется
формулой
Т = - а (V2*! + !SL+h t^ , (58)
где а — коэффициент линейного температурного расширения; Ьг — средняя
температура нормального элемента оболочки; t2 — температурный
градиент, возникающий в данной точке срединной поверхности вследствие
неравномерного нагрева оболочки в направлении нормали к ее
срединной поверхности.
Величивы ф = ф(х, у) и w = w(x, у) представляют в этом смешанном
методе основные искомые функции и названы нами в соответствии с
физическим смыслом урагнений, которым они удовлетворяют с
достаточной для пологих оболочек степенью точности, соответственно
функцией напряжений (ф) и функцией деформаций (го).
Функцией напряжения <р(я»2/), удовлетворяющей, согласно
статическим формулам
iVi - ду*' iV*"~ дх*' * — — дхду > \W)
однородным статическим уравнениям
полностью определяется безмоментное напряженное состояние оболочки.
Функцией деформаций го(х9 у), удовлетворяющей, согласно геометри-
чзским формулам
Xl ~ дх* ' *2 — ду* ' Т — — дхду • lD1'
однородным геометрическим уравнениям
полностью определяется деформированное состояние, происходящее от
изгиба оболочки.
Если оболочка описана по поверхности второго порядка,
представленной формулой (55), то в результате введения новых функций W =
= W {х, у) и Ф = Ф (х, г/), определяемых формулами
ф = У2У2Ф — EhVlW;
(63)
уравнения (56) перейдут в другие, независимые для каждой функции,
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами восьмого
порядка:
у2^2у2у2ф + Я2у2 V2 Ф = EhT\ \
А \ (64)
V2V2V2V W + W% vlW^jjZ.)
Здесь
Принципы построения общей технической теории оболочек 493
Первым уравнением (64) вместе с граничными условиями
определяется обобщенная функция напряжений Ф (#, у) для случая одного
только температурного воздействия Т (я, у). Зная эту функцию, мы
можем по формулам
w=4"v*ф; ^=уау2ф (66)
определить прежние скалярные функции ли(х>у) и ф(х, г/). Для
внутренних тангенциальных сил и деформаций изгиба, возникающих от
действия одной только температуры, получаем формулы
(67)
Вторым уравнением (64) вместе с присоединенными к нему
граничными условиями определяется обобщенная функция перемещений W (х, у)
для случая загружения оболочки одной только нормальной нагрузкой
Z(x, у). Зная эту функцию, можем по формулам
Ф = — EhV\W\ w=V2VW (68)
определить прежние скалярные функции ср(ж, у) и w(xyy). Для
внутренних тангенциальных сил и деформаций изгиба, нозникающих от
одной только нормальной нагрузки Z(x, г/), будем иметь формулы
»,= 7'7>^-;
W.-WS;
* — ™i£
D%-*.£:
**-*£:
• *~Ч£
*i—vv a^-. — жл»_у*^**'
X — V da% ' Eh * da%
(69)
Моменты Aflt M2, i/ в том и другом случае вычисляются по
соответствующим формулам (53). Уравнения (64) и формулы (66) — (69)
показывают, что между рассматриваемыми здесь двумя основными
задачами о тангенциальных напряжениях и деформациях изгиба,
возникающих в пологих оболочках в первом случае от действия только
температуры, во нтором — от действия одной только нормальной нагрузки,
существует глубокая математическая аналогия, выявляющаяся в
совершенно одинаковой структуре формул (67) и (69).
. Из этой аналогии следует важная для приложений теорема: если
для основных функций Ф (я, у) и W (х, у) на краях оболочки заданы
совершенно одинаковые условия и если правые части уравнения (64)
имеют также одинаковые ныражения, то в этом случае функции Ф и W
совпадают между собой, и результаты расчета на одно из указанных
воздействий могут быть использованы и для другого воздействия.
Для пологой оболочки при кг = const, к2 = const ki2 = 0, т. е. для
оболочки, обрисованной по поверхности эллиптического (&!>(), &2>0)
или гиперболического (/cj>0, /с2<^0) параболоида, а также по
цилиндрической цоверхности (/сх = 0, к2 = const), решение задачи для обоих
случаен внешнего воздействия при к12 = 0 приводится к интегрированию
494 Принципы построения общей технической теории оболочек
уравнения
V2V2V2V2^ + X2 Vl V| F = Р, (70)
где оператор V* теперь будет иметь вид
В зависимости от характера задачи F обозначает W или Ф, а Р
обозначает Z или Т.
При пролетах оболочки 1г и /2 и шарнирных условиях опирания на
всех четырех краях решение уравнения (70) сравнительно просто
получается при помощи двойных тригонометрических рядов.
Полагая
оо оо
F=2 S^nrndn^Bin^, (72)
где Fmn — искомые постоянные коэффициенты, и представляя заданную
функцию Р (х, у) в виде ряда
оо оо
Р(х,у)= S 2^„sin^sin^, (73)
m=l n=i х 2
где Ршп — постоянные коэффициенты, определяемые по известной
формуле
hh
Prnn = jj-2\\P(x,y) sin 2*? sin nM dx dy9 (74>
о 0
получим по подстановке в уравнения (70) выражений (72) и (73)
Отсюда для всех коэффициентов Fmn ряда (72) получаем общую
формулу
^ш^гг^шт^щщытг<76)
Этой формулой вместе с формулами (74) и (72) дается по моментной
теории общее решение сложной задачи о равновесии пологой оболочки
типа тонкостенной пространственной распорной системы, имеющей в
плане форму прямоугольника, усиленной на жестком опорном контуре
нерастяжимым безмоментным кольцом и обрисованной по поверхности
эллиптического, гиперболического или цилиндрического параболоида.
В случае эллиптического параболоида уравнение поверхности в
центральных осях опорной плоскости, проходящей через нижние угловые
точки покрытия, имеет вид
н*,у)=и(4-+4—*)'
Здесь а и Ъ — полуоси эллипса: /0 — стрела подъема.
Принципы построения общей технической теории оболочек 495
Для кривизн kl9 k2t входящих в формулу (76), будем иметь такие
значения:
1 ~~ дх* ~~ а*" ' * ~~ ~djj* "~ ~Р •
В случае гиперболического параболоида кх и к2 будут иметь разные
знаки. Для оболочки, очерченной по поверхности параболического
цилиндра, в формуле (76) одна из кривизн к1} к2 должна иметь нулевое
значение.
Рис. 15
Из описанного здесь метода [6] как частный случай получается
решение по безмоментной теории. Для этого в формуле (76) следует вместо X2
подставить его значение, определяемое по первой из формул (65), и затем
перейти к пределу, положив величину Л2, пропорциональную изгибной
жесткости, равной нулю. Эта безмоментная теория, имеющая полную
математическую аналогию с задачей о равновесии ортотропной мембраны с
двумя различными параметрами натяжения, применима только к
оболочкам положительной гауссовой кривизны.
Для пологих оболочек, прямоугольных в плане, под руководством
автора в Институте механики АН СССР составлены таблицы для
определения тангенциальных усилий, моментов и прогибов от воздействия
нормальной нагрузки Z = const как равномерно распределенной, так и
гидростатической для различных отношений стрелы подъема к толщине оболочки.
Экономическая выгодность применения в строительстве пологих обо-
лочек видна из следующего сопоставления. Если для квадратной в плане
пластинки в центре прогиб и изгибающий момент имеют значения
w = 4,063-10"8^; М1 = Л:2 =- 37,12.1(Г3а2?,
496 Принципы построения общей технической теории оболочек
то для пологой оболочки тех же размеров и под той же нагрузкой при
стрелке f ~ — а будем иметь
w= 0,3993-l(T*jf; Мг = Ма = 1,89-КГ»^.
Теоретические и экспериментальные исследования показывают, что
йредложенные автором распорные конструктивные пространственные
формы типа оболочек положительной гауссовой кривизны, т. е. оболочек,
обрисованных по поверхности эллиптического и в частном случае сфери-
7 ческого параболоида, при
наличии на опорном
контуре достаточно жесткого
безмоментного пояса
принадлежат к числу новых
прогрессивных форм,
позволяющих перекрывать
пространство с большими
пролетами без
промежуточных опор и при срав-
у нительно малом их весе.
На рис. 15 приведена
фотография пологой
сферической железобетонной
рис к5 оболочки с квадратным
планом, опертой в
четырех точках и
усиленной на краях бортовыми балочными элементами. Толщина оболочки
h tm 1,5 еле, стороны перекрываемого квадрата li — h = 7 м. Такая оболочка,
как модель покрытия, была исследована экспериментально в Западной
Германии. Этими исследованиями и многими другими, проводимыми
также и в СССР (испытание Я. О. Гогоберидзе пологих оболочек системы
Дарбази, выполненных из кирпича), полностью подтверждены основные
положения предложенной автором в 1944 г. общей теории пологих
оболочек. Подобного1* рода пологая оболочка из сборного железобетона,
имеющая в плане форму квадрата при стороне /=40 ле, построена в
Ленинграде.
К рациональным конструктивным формам относится также и
предложенная автором для покрытий больших пролетов, таких, как стадионы,
цространственная распорная двухслойная система типа эллиптического
параболоида, имеющая в плане форму эллипса и усиленная на жестком
опорном контуре безмоментным кольцом (рис. 16).
Если /=/(#, у) — уравнение срединной поверхности такой оболочки,
то ее статический расчет по безмоментной теории приводит к
интегрированию уравнения
дхг faji * fa ду fa ду ^ду2 дх2 q ~~ ' * '
в котором q — заданная функция нагрузки; <р(#, у) — искомая функция
напряжений.
В случае эллиптического параболоида при уравнении поверхности в
центральных осях
Принципы построения общей технической теории оболочек 497
основное уравнение (77) принимает .вид.
Это уравнение по своему виду совпадает с уравнением равновесия орто-
тропной мембраны, испытывающей в двух взаимно перпендикулярных
направлениях разные натяжения. В случае безмоментного опорного
кольца функция напряжений ф на опорном контуре должна обращаться
в нуль. Мы имеем здесь полную математическую аналогию с теорией
равновесия ортотропной мембраны, а также в некоторых случаях и с
задачей чистого кручения стержней сплошного сечения.
Присоединяя к уравнению (77а) в случае безмоментного опорного
кольца условие обращения в нуль на эллиптическом опорном контуре
-^ + -?2— 1=0 основной функции напряжений, получим при q = const
для рассматриваемой здесь краевой задачи такое решение
Для компонентов внутренних сил безмоментной оболочки будем иметь
значения:
N1 = —g£ = const; N2 = — Й = const; S = 0.
4/o a 4/o
Эти формулы показывают, что распорный безмоментный купол типа
эллиптического параболоида с безмоментным на опорном эллиптическом
контуре плоским кольцом при действии на купол вертикальной нагрузки q
постоянной интенсивности в сечениях, параллельных главным
центральным осям Ох, Оу, будет испытывать одни только нормальные сжимающие
ПРИ /о > 0 и растягивающие при /0 < 0 (случай подвесного купола) усилия.
Эти усилия выражаются постоянными величинами, пропорциональными
квадратам соответствующих полуосей эллипса. Сдвигающие усилия в
указанных сечениях равны нулю. Сечения в плоскостях, параллельных осям
координат, являются, таким образом, главными сечениями
рассматриваемого распорного купола. Такой купол может быть истолкован как
пространственная распорная система, состоящая как бы из двух семейств
параболических арок: продольных и поперечных. Распор каждой из
таких арок будет вдвое меньше распора для соответствующей плоской арки.
В соответствии со сказанным здесь конструкцию купола целесообразно
проектировать как пространственную комбинированную систему,
состоящую из оболочки и продольных и поперечных ребер в виде
параболических арок, соединенных с опорным кольцом. В случае покрытий больших
пролетов для увеличения устойчивости купола его следует
проектировать и строить в виде ребристой двухслойной оболочки с легким внутри
заполнителем, например из пенобетона, работающего совместно с
плитами оболочки.
Уравнение (70) для случая, когда только два параллельных края
ж= 0 и х = h имеют шарнирное закрепление, а два других имеют любые
граничные условия, может быть проинтегрировано также и методом
одинарных тригонометрических рядов.
Полагая в этом случае
*{** */)= 2 рт(У)sin^ (78)
498 Принципы построения общей технической теории оболочек
и представляя заданную функцию в виде одинарного тригонометрического
ряда
оо
Р(*, 2/)= 2 /\»fo)sin^, (78а)
ТП=1
получим для искомой функции Fm(y) произвольного m-го члена ряда
дифференциальное уравнение восьмого порядка с постоянными
коэффициентами
Полный интеграл для функции Fm(y) может быть представлен в виде
оо
Frn (У) = 2 Cmrtm} (У) + Frno (У) • (80)
3=1
Здесь ypmj(y) представляет произведение гиперболотригонометрических
функций; F^y) —- частный интеграл неоднородного уравнения (79);
Cmj — восемь произвольных постоянных интегрирования, значения
которых определяются из граничных условий на краях у = 0 и у = h.
Принимая за основные расчетные функции четыре геометрических
фактора и, v, w, 0 = — и четыре статических фактора N2, Мъ, Qi, S
и выражая их через разрешающую функцию (80) и функции восьми
постоянных интегрирования Ci, С2, ... , С8, мы можем последние заменить
начальными значениями наших основных величин (при у = 0) н0, г;0, w0y
80» ^2' ^2' *^°' ^2 и пРеДставить интегралы восьми расчетных факторов
и, г?, о;, 8, 7V2, Л/2, Qi, S в виде таблицы или матрицы начальных
параметров. При помощи этой матрицы начальных параметров проще
удовлетворить граничным условиям по прямоугольным краям и сравнительно
просто разрешаются такие контактные задачи, как присоединение к оболочке
по прямолинейным краям бортовых элементов в виде тонкостенных
стержней и балок различной формы.
В случае нелинейной задачи система (56) имеет более сложный вид,
а именно:
DW^g-^ + asfc-
_^Ф dhv_d\_ dhv 2 д*ф d2w _ 7 _л
дуг дх2 дх2 ду2 "" дхду дхду
Для решений этих нелинейных уравнений смешанного метода
автором предложен вариационный метод с использованием балочных
фундаментальных функций [1].
Теория пологих оболочек обобщена также на задачи устойчивости и
колебаний [4]. В частности, применительно к оболочке типа эллирти-
ческого параболоида, находящегося под действием вертикальной
равномерно распределенной нагрузки q = const, проблема устойчивости путем
введения одной разрешающей функции W = W (я, у) приводится к
уравнению
iZ^WVW-^VSVW+ у-яи^о, (82)
Принципы построения общей технической теории оболочек 499
где
17» - * & д*
Из уравнения (82) при к± = -^- и к2 = -^~ находим1
_ 8£Л2/о
?кр ~~ а262 "К 3 (1 — v2j
(83)
Этой формулой определяется значение критической нагрузки qKp. При
а = Ь будем иметь формулу для критической нагрузки купола,
обрисованного по поверхности параболоида вращения или по поверхности сферы.
Надо иметь в виду, что в случае пологих
оболочек формула (83), полученная методами
линейной теории, дает для критической нагрузки,
как правило, преувеличенное значение
примерно, как показывают исследования более
точными методами нелинейной теории, раза в
2—3 больше, чём действительная критическая
нагрузка. В случае двухслойной оболочки в
формуле (83) под h следует понимать
приведенную толщину.
10. Безмоментная оболочка, обрисованная
в своем естественном, ненагруженном,
состоянии по какой-либо заданной поверхности, не
может сопротивляться деформациям
изгибания. Из внутренних сил в ней могут возникать одни только
тангенциальные (нормальные и сдвигающие) усилия, действующие параллельно
срединной поверхности; напряжения от этих усилий по толщине
оболочки распределяются равномерно.
Для оболочки, очерченной по поверхности вращения, уравнение
которой г = r(z), где z — координата по оси вращения, а г — радиус
параллели (рис. 17), разрешающее уравнение для однородной задачи имеет
вид
Рис. 17
^l-T{Fi + w) = 0'
(84)
Здесь р — угловая координата; Fi(i = 1,2,3)— искомая основная
функция, представляющая собой в зависимости от характера задачи либо Fi —
функцию напряжений, либо F2 — функцию перемещений, либо, наконец,
Fs — функцию изгибания.
Формулы, определяющие через эти разрешающие функции усилия,
перемещения и деформации изгибания, имеют следующий вид:
1У1 г2 ар '
д /F2\
tf, = -V_
dFx
At д$
s =
- — (-V
(85)
dF2
w •■
K* =
A dFa
X, =
-4 £K(9]+£*£>«>
'---Ит)- <87>
r" dFz
At d$
1 Формула (83) получается следующим образом. Считаем y2w=Xw и yfa= u.w,
где X и ц. —некоторые параметры, отличные от нуля. Внося эти выражения в (82) и
500 Принципы построения общей технической теории оболочек
Каждая из задач, относящихся к равновесию и изгибанию безмо-
ментной нерастяжимой оболочки, описывается уравнением (84) и
присоединенными к нему надлежащим образом граничными условиями,
статическими или геометрическими.
В уравнении (84) и формулах (85) — (87) А -г- коэффициент первой
квадратичной формы поверхности, вычисляемый по формуле
А = ]/1 + (г')2. (88)
Нами было показано, что если оболочка обрисована по поверхности
второго порядка положительной гауссовой кривизны, т.< е. поверхности
всюду выпуклой (эллипсоид, сфера, параболоид, двухполостной
гиперболоид), то разрешающее уравнение (84) путем соответствующих
преобразований может быть приведено к уравнениям Коши — Римана
теории функций комплексного переменного или, что эквивалентно, к одному
гармоническому уравнению
S+3M' (89>
где р — угловая координата; а — определяется формулой
« = »»У1±|. (90)
Здесь Ъ — большая полуось оболочки.
Этим путем разрешается большой класс задач, относящихся к
расчету как замкнутых оболочек эллиптического типа, находящихся под
действием сосредоточенных сил, так и эллиптических и сферических
куполов односрезных и двухсрезных на произвольную нагрузку.
Последние конструкции как формы покрытий зданий общественного назначения
имеют несомненные экономические и эстетические преимущества перед
другими типами конструкций.
Для оболочек, обрисованных по поверхности второго порядка
отрицательной гауссовой кривизны, вместо гармонического уравнений (89)
мы будем иметь волновое уравнение
Весьма широкий класс оболочек вращения получается путем вращения
вокруг оси Oz алгебраической кривой
r = A{z — of. (92)
Здесь Ау a, \i — параметры кривой, которые могут принимать какие
угодно действительные значения. Для гауссовой кривизны в этом случае
имеем формулу:
K-hh - Н» ft* — D /gov
л - кгк2 - — {z _ а)2 (1 + ^2г2/(2 _ а)2] . ^о;
Из этой формулы видно, что знак кривизны зависит только от показателя
степени [i.
dq __
а
результату. (Прим. ред).
используя далее условие минимума для ?кр: —|L-=0, приходим к требуемому
Принципы построения общей технической, теории оболочек 501
В соответствии с этим поверхности, образуемые вращением кривой
(92), разделяются на три типа:
а) поверхности положительной гауссовой кривизны (параболоиды
различных порядков): /£>0(0<11<1);
б) поверхности нулевой кривизны: К = 0 (\i = 0, \i = 1);
в) поверхности отрицательной гауссовой кривизны: Я<0(1 <ц<0).
Основное уравнение (84) для этого класса поверхностей принимает вид
%-****(%+*)-*■ <*)
Это уравнение будет в зависимости от вида оболочки эллиптического
параболического или гиперболического типа.
а 6 $ $
Рис. 18
Исследования показали, что оболочки гиперболического типа
существенно отличаются от оболочек эллиптического типа и могут допускать особые
ненулевые решения как в случае однородной статической задачи, так и
в случае однородной геометрической задачи.
Рис. 19
Из этого следует, что безмоментная теория применима лишь к
оболочкам положительной гауссовой кривизны. Для оболочек же отрицательной
гауссовой кривизны эта теория применима только в тех случаях нагрузки,
когда соответствующее этим оболочкам уравнение гиперболического типа
имеет вполне определенное решение.
502 Принципы построения общей технической теории оболочек
К нерастяжимым безмоментным системам, допускающим бесконечно
малые изгибания, относятся также и оболочки, имеющие в местах
сопряжения локальную отрицательную кривизну (рис. 18, в, г). Такие оболочки
при некоторых критических значениях геометрических величин
представляют собой пространственные, мгновенно изменяемые системы,
характеризующиеся тем, что при отсутствии внешних нагрузок внутренние
усилия в них принимают неопределенные значения.
На рис. 18 приведены фотографии моделей составных оболочек
вращения, склеенных из целлулоида и подкрепленных в основаниях (на
торцах) тонкими, практически безмоментными пластинками. Оболочки имеют
одинаковые высоты. Основным геометрическим параметром этих оболочек
является отношение радиусов окружностей соответственно средней г2
и крайней г2. При— = ~ , где п — любое целое число, оболочка будет
представлять собой тонкостенную мгновенно изменяемую систему,
допускающую бесконечно малые изгибания. В частности, при п = 2 и
3
г2 == -т- г1э форма геометрической изменяемости характеризуется
деформацией изгиба оболочки на линии сопряжения (в зоне локальной
отрицательной кривизны) по закону cos 2[3, где [3 — угловая координата.
Такая оболочка показана на рис. 18, е. Остальные оболочки представляют
собой жесткие системы.
В механике стержневых систем аналогом рассмотренной здесь задачи
служит пространственная сетчатая шарнирно-стержневая замкнутая
система, состоящая из трехгранников и имеющая по среднему сечению
форму квадрата. Система, показанная на рис. 19, а, соответствует оболочке
положительной гауссовой кривизны. Такая пространственная стержневая
система является геометрически неизменяемой. Система, приведенная
на рис. 19, б, и соответствующая оболочке с локальной отрицательной
гауссовой кривизной, при некоторых критических значениях
геометрических величин, а именно, когда C = 2Ly будет изменяемой1.
1 Исследование системы методом нулевых нагрузок показывает, что при С = 2L
усилия в ряде ее стержней могут быть отличны от нуля, откуда следует мгновенная
изменяемость рассматриваемой пространственной формы (Прим. ред.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Власов В. 3. Строительная механика тонкостенных пространственных систем
Госстройиздат, 1949 (1958).
2. Власов В. 3. Строительная механика оболочек. Госстройиздат, 1936.
3. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Госстройиздат, 1940 (1959).
4. Власов В. 3. Некоторые задачи сопротивления материалов, строительной
механики и теории упругости. Известия АН СССР, ОТН, № 9, 1950.
5. Власов В. 3. Теория предварительно напряженных тонкостенных стержней,
пластинок и оболочек. Известия АН СССР, ОТН, № 5, 1956.
6. Власов В. 3. Общая теория оболочек, Гостехиздат, 1949 (1962).
7. Власов В. 3. Пространственные облегченные конструктивные формы
гидротехнических сооружений и методы их расчета. Известия АН СССР, ОТН, № 10,
1951 (1962).
8. Власов В. 3. и Мрощинский А. К. Контактные задачи по теории
цилиндрических оболочек, подкрепленных продольными ребрами. В сб.
«Исследования по вопросам теории и проектирования тонкостенных конструкций».
Госстройиздат, 1950.
9. Власов В. 3. К теории безмоментных оболочек вращения. Известия АН
СССР, ОТН, № 5, 1955 (1962).
10. Пшеничнов Г. И. К расчету кружально-сетчатых систем. Сообщения АН
Грузинской ССР, № 4, 1957.
ОГЛАВЛЕНИЕ
I. ТОНКОСТЕННЫЕ УПРУГИЕ СТЕРЖНИ
Из предисловия к первому изданию 3
Предисловие ко второму изданию 4
Глава I. Теория тонкостенных стержней-оболочек открытого профиля . . 5
§ 1. Классификация расчетных схем по пространственному признаку 5
§ 2. Основные гипотезы. Расчетная модель. Изгибное кручение ... 8
§ 3. Перемещения и деформации. Закон секториальных площадей.
Обобщение гипотезы плоских сечений 13
§ 4. Закон плоских сечений — частный случай закона секториальных
площадей 22
§ 5. Зависимость между напряжениями и деформациями 27
§ 6. Дифференциальные уравнения равновесия стержня в произвольной
системе координат 33
§ 7. Дифференциальные уравнения равновесия стержня в главных
координатах 38
§ 8. Обобщенные силы поперечного сечения. Бимомент и его физический
смысл * 44
§ 9. Центр изгиба 48
Глава II. Методы расчета тонкостенных стержней открытого профиля . . 53
§ 1. Координаты центра изгиба и секториальные геометрические
характеристики для некоторых профилей 53
§ 2. Кручение стержня при действии поперечной нагрузки 68
§ 3. Применение метода начальных параметров к расчету стержней на
кручение 73
§ 4. Стержни под действием крутящих моментов, приложенных на
концах 83
§ 5. Стержень под действием поперечной нагрузки, не проходящей
через центр изгиба 86
§ 6. Кручение стержня и определение бимоментов при действии
продольной силы, приложенной на конце 98
§ 7. Кручение стержня при дейстии продольной сдвигающей силы,
приложенной в произвольной точке 111
§ 8. О принципе Сен-Венана в теории тонкостенных стержней 122
§ 9. Аналогии с элементарной теорией изгиба балок 128
§ 10. Практический метод расчета складчатых систем и оболочек,
усиленных поперечными ребрами 132
§ 11. Стержни и оболочки, поперечные сечения которых обладают только
одной степенью свободы 137
§ 12. Изгибное кручение цилиндрической оболочки с длинным
прямоугольным вырезом (приближенное решение) 145
§ 13. Экспериментальное подтверждение теории тонкостенных стержней 150
§ 14. Расчет стержней с учетом продольных изгибающих моментов .... 152
§ 15. Поперечные изгибающие моменты в тонкостенных стержнях . . . 158
Оглавление
505
Глава III. Тонкостенные стержни-оболочки, усиленные поперечными
связями 167
§ 1. Метод пространственного расчета многоопорных конструкций , , 167
§ 2. Стержни, усиленные планками 170
§ 3. Стержни, усиленные часто расположенными планками и раскосами 182
§ 4. Стержни; усиленные поперечными диафрагмами 188
§ 5. Кручение стержня в упругой среде 193
§ 6. Совместная работа пластинки и подкрепляющих ее тонкостенных
стержней 197
Глава IV. Тонкостенные стержни-оболочки закрытого профиля. Учет
деформаций сдвига 205
§ 1. Общий вариационный метод приведения сложных двухмерных
задач теории оболочек к одномерным 205
§ 2. Стержень-оболочка с изменяемым прямоугольным профилем 214
§ 3. Расчет оболочки с прямоугольным изменяемым профилем без учета
деформаций сдвига 226
§ 4. Расчет стержня-оболочки жесткого прямоугольного профиля с
учетом деформаций сдвига 231
§ 5. Пространственные конструкции с жестким профилем, имеющим одну
ось симметрии 234
§ 6. Экспериментальная проверка 237
Глава V. Пространственная устойчивость тонкостенных стержней,
нагруженных по концам продольными силами и моментами 244
§ 1. Дифференциальные уравнения устойчивости стержня 244
§ 2. Интегрирование уравнений устойчивости для случаев, когда концы
стержня имеют шарнирные опоры или жесткие заделки 253
§ 3. Центральное сжатие. Исследование корней характеристического
уравнения. Обобщение теории Эйлера 255
§ 4. Анализ форм потери устойчивости. Центры вращения 259
§ 5. Расчет центрально сжатого стержня с несимметричным поперечным
сечением 260
§ 6. Устойчивость плоской формы изгиба при внецентренном сжатии .... 263
§ 7. Изостабы критических сил при внецентренном действии их 264
§ 8. Устойчивость плоской формы изгиба стержней при внецентренном
растяжении. Круг устойчивости 266
§ 9. Устойчивость прямоугольной полосы 268
§ 10. Устойчивость таврового стержня 269
§ 11. Устойчивость сжатого пояса (коробчатого профиля)
железнодорожного моста 270
§ 12. Устойчивость плоской формы изгиба при чистом изгибе 272
§ 13. Определение критических сил в зависим ости от условий закрепления
концов стержня [68] 273
§ 14. Экспериментальная проверка теории на строительных и
авиационных металлических стержнях 281
§ 15. Устойчивость стержней, нагруженных по концам бимоментами 289
Глава VI. Общая теория устойчивости плоской формы изгиба тонкостенных
стержней и балок 292
§ 1. Общие дифференциальные уравнения устойчивости плоской формы
изгиба 292
§ 2. Устойчивость стержней при действии продольных сил,
распределенных по длине стержня по произвольному закону 304
506
Оглавление
§ 3. Устойчивость плоской формы изгиба тонкостенных балок при
действии поперечной нагрузки. Общий случай 307
§ 4. Устойчивость плоской формы изгиба двутавровой балки. Обобщение
задачи Тимошенко 308
§ 5. Устойчивость плоской формы изгиба стержней с нулевой сектори-
альной жесткостью. Обобщение задачи Прандтля . * 311
§ 6. Применение метода возможных перемещений к задаче о
пространственной устойчивости стержней . . . . , 315
Глава VII. Равновесие тонкостенных стержней при сложном нагружении 324
§ 1. Изгиб и кручение стержней, испытывающих начальные напряжения 324
§ 2. Изгиб и кручение стержня, предварительно нагруженного
продольными силами 329
§ 3. Изгиб и кручение стержней с предварительно напряженной
арматурой 331
§ 4. Кручение стержней, испытывающих заданные температурные
напряжения 334
§ 5. Устойчивость стержней, испытывающих начальные напряжения 335
Глава VIII. Пространственная устойчивость тонкостенных стержней с
упругими и жесткими поперечными связями, распределенными по
длине стержня непрерывно 336
§ 1. Устойчивость стержней, находящихся в упругой среде 336
§ 2. Устойчивость стержня при центральном действии продольной силы 338
§ 3. Устойчивость стержня при внецентренном действии продольной силы 343
§ 4. Устойчивость стержней, жестко закрепленных по линии,
параллельной оси 345
§ 5. Применение метода возможных перемещений 351
§ 6. Пространственная устойчивость арочных мостов 355
§ 7. Пространственная устойчивость висячих мостов 359
§ 8. Приложение теории к расчету устойчивости крыла самолета .... 361
§ 9. Устойчивость системы, состоящей из цилиндрической оболочки и
подкрепляющих ее стержней [54] 364
Глава IX. Общая теория изгибно-крутильных колебаний и динамической
устойчивости тонкостенных стержней и конструкций 368
§ 1. Дифференциальные уравнения свободных колебаний 368
§ 2. Интегрирование уравнений колебаний стержней 371
§ 3. Колебание стержней, нагруженных продольной силой 375
§ 4. Действие нагрузки, меняющейся во времени 380
§ 5. Пространственные изгибно-крутильные колебания висячих мостов 385
§ 6. Свободные колебания и аэродинамическая устойчивость конструкции
типа крыла самолета 389
Глава X. Стержни сплошного сечения 395
§ 1. Общая теория. Основные уравнения 395
§ 2. Стержни с двумя осями симметрии 406
§ 3. Стержни с одной осью симметрии 408
§ 4. Замечание о принципе Сен-Венана 412
§ 5. Депланация стержня при растяжении 414
§ 6. Депланация сжато-изогнутой распорной балки 417
Глава XI. Бимоментная теория температурных напряжений 422
§ 1. Основные уравнения 422
§ 2. Температурные напряжения в пол у бесконечном стержне 426
§ 3. Температурные напряжения в стержне конечной длины 428
Глава XII. Тонкостенные криволинейные стержни, плоские и
пространственные 431
Оглавление
507
5 i. Изгиб и кручение плоского стержня с круговой осью малой
кривизны » 431
§ 2. Пространственная устойчивость круговых стержней, арок и торо-
образных оболочек с жестким профилем. Основные
дифференциальные уравнения 437
§ 3. Круговое кольцо под действием радиальной нагрузки. Частные
случаи. Обобщение задачи Мориса Леви 438
§ 4. Устойчивость арок, находящихся под действием радиальпой
нагрузки. Обобщение задачи Тимошенко 440
§ 5. Об устойчивости плоской формы изгиба стержня с круговой осью.
Обобщение другой задачи Тимошенко 441
§ 6. Пространственный криволинейный стержень. Закон секториаль-
ных площадей для бимоментов 442
Краткий исторический очерк и обзор литературы 448
Литература 457
II. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК И
НОВЫЕ КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ 467
Литература 503